и*л

Издательство
иностранной
литературы
TULLIO LEVI-ClVlTA e UGO AMALD1

LEZIONI
di
MECCANICA RAZIONALE

VOLUME SECONDO

Dinatnica det sistemi
con un numero finito
di gradi di liberta

Parte seconda

BOLOGNA

1927
Т. ЛЕВИ-ЧИВИТА и У. АМАЛЬДИ

КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ

Том второй

ДИНАМИКА СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Перевод с итальянского

Д. И. КУТИЛИНА

Под редакцией
И. И. МЕТЕЛИЦЫНА

19 51

ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва
Вторая часть второго тома «Курса теоретической
механики» Т. Леви-Чивита и У. Амальди, посвященного
изложению динамики систем с конечным числом сте-
пеней свободы, содержит динамику твердого тела, кано-
нические уравнения динамики, общие принципы дина-
мики и теорию удара.

Эта часть второго тома, так же как и первая, содер-
жит обширный теоретический материал и много прило-
жений, часть которых авторы поместили в основном
тексте, а часть вынесли в упражнения.

Книга представляет интерес для широких кругов,
изучающих теоретическую механику.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

В предисловии к второй части второго тома мы ничего не имеем
добавить к тому, что было сказано в предисловии к первому тому
в отношении содержания и принципов изложения. Разобранные теории,
порядок расположения, сущность приложений и иллюстрирующих
примеров, взятых из различных областей, достаточно очевидны из
оглавления и указателя.

Следует отметить, что мы позаботились также и о том, чтобы
заняли свое место наши личные небольшие вклады, рассеянные в раз*
личных периодических изданиях, в частности критерий Леви-Чивита
для отыскания частных решений динамических систем.

В упражнениях к гл. X мы рассмотрели связь принципа Гюйгенса
в геометрической оптике с теорией однородных канонических систем.
Речь идет, как известно, о сближении, указанном С. Ли и система-
тически развитом и обобщенном Вессио. Мы рассмотрели в форме
значительно более короткой, хотя и полной, типичный случай среды,
оптические свойства которой не зависят от времени. Этот порядок
идей может представить некоторый интерес для нашего времени,
подобно тому как это уже произошло с элементарной геометриче-
ской оптикой в сравнении с более глубокой физической постановкой
вопросов оптики Френелем, так как еще не исчезла надежда, что
наиболее общие законы распространения, определенные однородными
каноническими системами, могут дать наглядное и выразительное
основание для новой волновой теории Шредингера. Эта теория, при-
ближаясь в общей концепции к идеям, уже предложенным и пол-
ностью иллюстрированным Л. де Бройлем, привела к количественным
предвидениям, которые находят удивительные и тонкие спектро-
скопические подтверждения.
В дополнение к теории импульсивного движения мы изложили
доказательство одной теоремы, интересной с математической точки
зрения и принадлежащей Вольтерра, которая относится к 1893 г.,
но была опубликована только в литографированных лекциях по
теоретической механике, читанных им в том же году в Пизанском
университете.

Т. Леви-Чивита, У. Амальди.
Глава VII

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1.	Основные уравнения

1.	При изучении динамики твердого тела мы обратимся прежде
всего к основным принципам и руководящим идеям общей теории,
изложенной в гл. V и VI. Эта часть динамики системы, по самой
природе физических задач, рассматриваемых в ней, приводит к мето-
дам и результатам, не только интересным с теоретической точки
зрения, но и имеющим важные практические приложения.

В этой главе, после установления общих уравнений, на которых
основана вся динамика неизменяемых систем, мы будем рассматри-
вать, в частности, более простые случаи, а именно твердые тела,
вращающиеся вокруг некоторой оси или движущиеся параллельно
неподвижной плоскости. В двух следующих главах мы рассмотрим
классические вопросы, относящиеся к движению твердого тела около
одной из своих точек, с приложением их к гироскопам (гл. VHI),
и некоторые типичные задачи о качении (гл. IX) и закончим указа-
нием на исследования Вольтерра о неизменяемых системах с цикли-
ческими внутренними движениями.

2.	Для всякого твердого тела S с какими угодно связями и при
любых действующих на него силах в любой момент в течение всего
времени движения, как и для всякой другой материальной системы,
сохраняют свое значение оба основных уравнения (гл. V, п. 16):

f+ *'XQ = M,

(1)

(2)

где, как мы уже знаем, через Q и К обозначены количество движе-
ния и результирующий момент количеств движения твердого тёла
относительно какой-нибудь точки, через v' — скорость (абсолют-
ная) этой точки и, наконец, через R и М—результирующая сила
и результирующий момент относительно той же самой точки всех
внешних сил, действующих на твердое тело. Если за центр приведе-
ния вместо какой-нибудь движущейся точки принимае'тся неподвиж-
ная точка (©' = 0) или центр тяжести твердого тела (у' парал-
лельна <?), то второе основное уравнение при тех же обозначениях
приводится к более простому виду

(2')

Но предположение о неизменяемости системы S влечет за собой
следствие, аналогичное указанному в статике для основных уравне-
ний равновесия твердых тел (т. I, гл. ХШ, § 2) и заключающееся
в том, что в основных уравнениях (1) и (2) или (1), (2') мы имеем
не только систему уравнений, необходимо выполняющихся в тече-
ние всего времени движения твердого тела, но и совокупность
условий, достаточных для определения (при заданных начальных
условиях) этого движения.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть различные типич-
ные случаи движения свободного или несвободного твердого тела.
Мы ограничимся здесь рассмотрением движения свободного твер-
дого тела и движения твердого тела с неподвижной точкой или
осью.

В первом случае основные уравнения (1), (2) или (1), (2') после
проектирования на оси системы координат дадут шесть скалярных
уравнений, т. е. как раз столько, сколько степеней свободы имеет
твердое тело.

Если же речь идет о твердом теле, закрепленном в некоторой
точке О и поэтому имеющем три степени свободы, то в качестве
данных в этом случае будут фигурировать, как это было и в стати-
ческом случае (т. I, гл. ХШ, п. 5), только прямо приложенные (т. е.
активные) внешние силы, но не реакция, возникающая в неподвиж-
ной точке. Поэтому мы будем считать, что результирующий мо-
мент М внешних сил .относительно точки О известен (или, точнее,
может быть выражен в функции от положения и состояния движе-
ния тела), результирующая же сила R заранее неизвестна, так как
она включает в себя неизвестную реакцию в неподвижной точке. Но
во втором основном уравнении, отнесенном к точке О, содержится
только М, так что, проектируя это уравнение на оси, мы получим
три скалярных уравнения, достаточных для определения движения
системы.

Наконец, если твердое тело имеет неподвижную ось, то речь
будет идти о системе только с одной степенью свободы, поэтому
достаточно будет только одного уравнения, чтобы выразить в <Ьунк-
ции времени единственную обобщенную координату — угол, опре-
деляющий положение тела при вращении его около оси. Таким
уравнением, содержащим только приложенные силы, а не реакции,
возникающие в точках закрепления оси, здесь так же, как и в стати-
ческом случае (т. I, гл. ХШ, пп. 6—1.0), будет скалярное уравнение
моментов относительно неподвижной оси.

На основании предыдущих соображений основные уравнения можно
назвать динамическими уравнениями движения твердого тола.
3.	Оси, движущиеся как угодно в пространстве. В динамике твер-
дого тела согласно сказанному в п. 17 гл. V часто оказывается
полезным относить основные уравнения вместо галилеевых осей
к осям Oxyz, движущимся в пространстве по произвольному закону,
в силу чего эти уравнения принимают вид (гл. V, п. 17)

Q + ®'X Q = R,	(3)

+	=	(4)

где через Q, К обозначены производные по времени от Q и к от-
носительно осей Oxyz, через —угловая скорость движущихся
осей относительно первоначальной галилеевой системы и, как и выше,
через ч>'— скорость центра приведения моментов. Если, как сказано
в п. 17 гл. V, этот центр приведения выбирается именно в начале О
подвижных осей, то v' и ю' будут характеристическими векторами
(абсолютного) движения этих осей.

Естественно, что это движение системы отсчета Oxyz будет
в каждом отдельном случае задаваться таким способом, какой лучше
будет подходить к рассматриваемой задаче. Здесь, в общем случае,
мы можем добавить только два замечания, столь же естественные,
сколь и важные.

Во-первых, если, как и в предыдущем пункте, центр приведения
моментов совпадает с центром тяжести твердого тела (v' X Q = 0)
или если речь идет о твердом теле, закрепленном в одной точке
(в этой закрепленной точке <о' = 0), то второе основное уравнение
(отнесенное к подвижным осям) примет более простой вид:

tf+®'XQ = M-	(О

Во-вторых, мы будем иметь более простой и, можно сказать,
более естественный закон движения системы отсчета Oxyz, если
примем эту систему неизменно связанной с твердым телом. В этом
предположении сообразно с выбором центра приведения для момен-
тов будут сохранять также свое значение уравнения (3) и (4) или
(3) и (4'); вектор <и' будет обозначать здесь угловую скорость
(абсолютную) самого твердого тела.

Другие оси, подвижные не только в пространстве, но и в теле,
будут определены в § 8 гл. VIII. Эту возможность разнообразного
выбора осей в различных частных случаях мы оценим при дальней-
шем изложении этой главы и. в особенности в гл. VIII и IX.

§ 2.	Понятие о кинетостатике неизменяемой системы

4.	С технической точки зрения задача о вычислении реакций и,
Следовательно, динамических давлений, на которые мы указывали
1 п. 28 гл. V, приобретает наибольший интерес в случае твердого
тела или в случае более сложной материальной системы, в которую
твердое тело входит как составная часть. Чтобы убедиться в этом,
достаточно обратить внимание на то, насколько важно для конструк-
тора механизмов знать давления, испытываемые деталью С машины
(как в условиях установившегося движения, так и при пуске в ход
или при случайных перегрузках) и происходящие от связей (опор,
направляющих, осей, подшипников, подпятников и др.), которые со-
единяют деталь С с другими частями машины.

В условиях равновесия вычисление реакций выполнялось уже
в элементарной статике для различных типов твердых тел со связями
(т. I, гл. XIII, §§ 3, 4); уже тогда мы видели, что, пользуясь гипо-
тезой абсолютно твердого тела, мы не в состоянии были в общем
случае однозначно получить местное распределение реакций, но могли
определить только характеристические элементы их совокупности,
т. е. результирующую силу и результирующий момент (относительно
заданного центра приведения). Тогда же было отмечено, что такой
неопределенности нельзя избежать, если оставаться в рамках механики
твердого тела и не обращаться к представлениям теории упругости,
в которой принимаются во внимание малые деформации, возникающие
в естественных твердых телах под действием внешних сил.

Совершенно ясно, что аналогичные обстоятельства должны иметь
место также и в динамическом случае, который мы будем теперь
рассматривать; поэтому мы с самого начала ограничим задачу опре-
деления реакций, действующих на твердое тело, вычислением их ре-
зультирующей силы и результирующего момента.

Легко видеть, что определение этих суммарных элементов оказы-
вается почти непосредственным всякий раз: а) когда указаны, как
в статике, активные силы; б) когда, кроме того, вполне известно
движение системы.

Отметим здесь, как это уже было сделано в п. 28 гл. V, что
условие а) будет всегда удовлетворено на основе прямых данных
механической задачи, а условие б) включает в себя большей частью
предварительное интегрирование системы дифференциальных уравне-
ний, которое само по себе составляет более важную и, вообще говоря,
более трудную задачу динамики. Однако достаточно представить себе
технически наиболее простые случаи (маховики, балансиры, шатуны
и т. п.), чтобы понять, как часто рассматриваемое нами движение
твердого тела можно прямо считать известным.

Допустим поэтому, что оба условия, а) и б), удовлетворены, и
среди внешних сил, действующих на заданное твердое тело S, будем
различать силы прямо приложенные и реакции. Для прямо приложен-
ных сил по предположению а) можно считать известными результи-
рующую силу R и результирующий момент Л! относительно какой-
нибудь точки О, которую будем предполагать совпадающей с центром
тяжести или неподвижной. Для неизвестных реакций аналогичные
векторы будем обозначать через R и М.
Основные уравнения (1) и (2') (последнее отнесено к центру при-
ведения О, совпадающему с центром тяжести или неподвижному)
дают непосредственно два уравнения:

м=-л+*

(5)

которые и решают задачу.

Если из этих уравнений определить давления (прямо противопо-
ложные реакциям), то непосредственно видно, что последние склады-
ваются из статических давлений с результирующей силой /? и резуль-
тирующим моментом М и динамических давлений в собственном смысле
слова с результирующей силой — R<d> и результирующим момен-
том— М№, которые определяются равенствами

RW=^g.,
at ’	at

(6)

так что имеем

r = _^ + R№, I
M = -M-|-MW. J

(5')

Заметим, что сказанное до сих пор сохраняет свое значение для
какой угодно материальной системы, а не только для твердого тела.
Но если, как мы здесь это допускаем, речь идет о твердом теле, то
оказывается более удобным для действительного определения общего
характера распределения давлений принять систему отсчета, неизменно
связанную с телом (с началом в центре тяжести или в закрепленной
точке тела). Если, как это уже делалось несколько раз, мы выразим
абсолютные производные от Q и К посредством производных отно-
сительно заранее выбранных осей, неизменно связанных с твердым
телом, то уравнения (6) примут вид

R(d) = Q4-©XQ, М((г) = ЛГ+<йХЛг, (6')
где <о обозначает угловую скорость твердого тела. Теперь, для того
чтобы иметь в явной форме составляющие по подвижным осям векто-
ров R(d> и мы должны только принять во внимание общие фор-
мулы (29'), (30') из п. 15 гл. IV, учитывая при этом возможные осо-
бенности, которые могут быть в каждом отдельном случае.

Так как в уравнения (6') входят Q и К, то составляющие резуль-
тирующей силы и результирующего момента динамических давлений
выразятся через составляющие характеристических векторов и, ©, то,
р, q, г и через их первые производные (а также, конечно, и через
структурные постоянные /и, А, В, С, х0, у0, г0). Если это окажется
возможным, то эти производные удобно исключить; вообще говоря,
ата удается сделать, используя дифференциальные уравнения движе-
ния. В этом случае результирующая сила и результирующий момент
давлений выразятся посредством составляющих характеристических
векторов движения твердого тела и активных сил р].

Простой и особенно интересный пример приложения этих рассу-
ждений будет изложен в § 3 при изучении вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси.

§ 3. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Физический маятник и его применения

б. Твердое тело с неподвижной осью. Рассмотрим твердое тело S,
вынужденное вращаться без трения вокруг неподвижной оси и нахо-
дящееся под действием какой-нибудь системы сил.

Внешние силы приводятся здесь к силам, прямо приложенным
(или активным), и к реакциям, возникающим в точках закрепления
оси; перед нами типичная задача динамики, и мы будем предполагать,
что при заданных прямо приложенных силах нам ничего заранее не-
известно о возможных реакциях и требуется определить движение
тела. Так как система имеет только одну степень свободы, то
достаточно получить одно уравнение, не зависящее от неизвестных
реакций.

Обозначая через 5 ось (неподвижную) вращения твердого тела и
принимая центр О приведения в какой-нибудь точке (неподвижной)
оси мы будем иметь для нашего твердого тела два векторных урав-
нения (1) и (2'). Достаточно заметить, что возможные реакции при-
ложены к точкам оси и потому их моменты относительно этой оси
равны нулю, чтобы убедиться, что мы получим уравнение, опреде-
ляющее движение, проектируя второе основное уравнение (2') на
ось 5 или, иначе, применяя теорему о моменте количеств движения
относительно оси $ (гл. V, п. 10). Обозначив через результирую-
щий момент относительно оси $ внешних активных сил, получим
уравнение

¥ = (’)

или, введя угол 6, который достаточен для определения положения
твердого тела при вращении его вокруг оси, и обозначив через А
момент инерции твердого тела относительно оси $ (гл. IV, п. 20),

Д6 =	(7')

Осевой момент Мг, как и силы, прямо приложенные, от которых
он происходит, можно рассматривать как известный и выраженный
в функции от времени, а также от положения и от скоростей точек
твердого тела, т. е. в конечном счете от t, 6, 6. Таким образом, мы
видим, что определение движения сводится к интегрированию диффе-
ренциального уравнения второго порядка, совершенно аналогичного
тому, которое определяет движение материальной точки, движущейся
по заданной траектории под действием силы с известной касательной
составляющей / (гл. I, § 1):

ms—f(s, s|/).

Массе точки здесь соответствует момент инерции А, касательному
ускорению s — угловое ускорение 6 и, наконец, результирующей /
касательных сил — результирующий момент активных сил отно-
сительно оси.

Естественно, что в особо важном случае, когда силы зависят только
от положения, момент зависит только от 0 (как f—только отз)
и уравнение (7') будет интегрироваться посредством двух квадратур
(гл. I, пп. 12 и 15).

6.	Физический маятник. Физическим маятником называется всякое
твердое тело, свободно вращающееся вокруг горизонтальной непо-
движной оси и находящееся под действием одной силы тяжести. Обо-
значая через $ ось подвеса и через G—центр тяжести маятника (фиг. 1),
мы будем определять положение

маятника в любой момент посред-
ством угла 6 (заключенного между
—те и те), составленного полупло-
скостью $G с вертикальной полупло-
скостью, проходящей через ось $ и
направленной вниз, и измеряемого
от этой вертикальной полуплоско-
сти. За положительное направление
отсчета угла 0 берется одно из двух
возможных для него направлений.
Так как веса отдельных точек твер-

дого тела в их совокупности эквива-

лентны полному весу mg, приложенному в G, то момент Л1£ совпадает
здесь с осевым моментом этого полного веса. Линия действия полного
веса перпендикулярна к оси (горизонтальной) 5, следовательно, абсо-
лютная величина Л1г равна произведению из mg на кратчайшее рас-
стояние между этими двумя прямыми, т. е. | г sin 61, если г есть
расстояние (постоянное) центра тяжести G от оси $. Далее, если при-
мем во внимание, что вес постоянно стремится привести центр тяже-
сти в вертикальную полуплоскость, направленную вниз (от которой
отсчитываются углы), и, следовательно, создает восстанавливающий
момент, то будет ясно, что всегда должен иметь знак, противо-
положный знаку 6, а следовательно, и sin Ci, так что по величине и по
знаку будем иметь

М^ = — mgr sin 6.
Отсюда, применяя уравнение (7х) предыдущего пункта, заключаем,
что уравнение движения физического маятника будет

АЙ = — mgr sin 6.	(8)

Теперь достаточно положить

чтобы привести уравнение (8) к виду
/О =—g sin 6,	(8х)

в котором мы узнаем уравнение, определяющее движение математи-
ческого маятника длины I (гл. I, п. 34).

Так как дифференциальные уравнения одинаковы, то одинаковыми
будут также и интегралы (само собой разумеется, при тождественных
начальных условиях), откуда и следует, что физический маятник
движется как математический маятник длиной А)тг.

Наконец, этот результат можно проверить и прямо, не обращаясь
к гл. I, на основании того соображения, что математический маятник
является только предельным случаем тяжелого твердого тела, которое
д	может вращаться вокруг горизонталь-

т----j—'--------------ной оси. Для этого достаточно повто-

।	рить только что изложенные рассужде-

। г	ния и представить себе, что маятник

।	представляет собой материальную точ-

z 1	ку Р с массой т, соединенную с гори-

।	1 С	зонтальной неподвижной осью $ посред-

] г>	ством твердого стержня (длины I и

_______I______н___________ ничтожно малого веса), перпендику-
Р_________________________лярного к оси $ и свободно вращаю-

Фиг 2.	щегося вокруг нее. В этом случае

имеем А — ml2, г — I, поэтому уравне-
ние движения (8) тотчас же принимает вид (8'); из сравнения уравне-
ний (8) и (8х) вытекает справедливость сказанного выше.

Длина /, определяемая из равенства (9), называется приведенной
длиной физического маятника.

Обозначим через О проекцию центра тяжести G на ось $ и
отложим на полупрямой OG отрезок ОР = I (фиг. 2). Из только что
сказанного следует, что точка Р, принадлежащая физическому маят-
нику, колеблется так, как если бы она не принадлежала этому телу,
а представляла собой свободно подвешенную на нити ОР массу т,
т. е. математический маятник длины ОР = I, подвешенный в точке О.

Точки О и Р называются соответственно центром подвеса и
центром качаний физического маятника, а прямая, параллельная
оси o'z и проходящая через Р, все точки которой колеблются как Р,
называется осью качаний.
Заметим еще, что ось качаний всегда находится на большем рас-
стоянии от оси подвеса, чем центр тяжести. Действительно, если
введем момент инерции твердого тела Ао относительно оси, прохо-
дящей через центр тяжести и параллельной £, то будем иметь
(т. 1, гл. X, п. 21)

А = Ао Ц- mr<i,

откуда на основании равенства (9) следует, что

а так как А0)тг всегда положительно, то имеем

1>г.

7.	Теорема Гюйгенса. Предположим, что маятник устроен так,
что его можно подвешивать также и за ось качаний о. Тогда можно
показать, что приведенной длиной опять будет I, т. е. если ось
качаний становится осью подвеса, то первоначальная ось подвеса
становится осью качаний.

Чтобы доказать это свойство, вычислим приведенную длину I'
нашего маятника при втором расположении. Будем иметь

где А' означает момент инерции относительно новой оси подвеса о
и г' — расстояние G от о; достаточно принять во внимание очевидное
тождество I — г -j- г', чтобы придать этой формуле вид

Но из выражения для I предыдущего пункта следует, что
/_г== А
тг

или

Следовательно,

/' = /,
как мы и утверждали.

Обратно, если маятник колеблется одинаково при любой из
двух параллельных осей подвеса (расположенных в одной и той же
плоскости, но с противоположных сторон и на различном расстоянии
от центра тяжести), т. е. если приведенные длины I и I' совпадают,
то их общая'' величина будет равна расстоянию между обеими
осями (теорема Гюйгенса).
Действительно, из соотношений

следует, что

(Z— r)r — {l— г') г',
или

I (г — г') = г2 — г'2.

А так как, по предположению, расстояния гиг' двух осей от
центра тяжести различны, то мы можем обе части равенства разде-
лить на г — г', после чего получим 1 = г-\-г', что и требовалось
доказать.

8.	Экспериментальное определение ускорения g силы тя-
жести. На теореме Гюйгенса основывается применение физического
маятника для экспериментального определения ускорения силы тяжести.
Для этого употребляется так называемый оборотный маятник. Он
представляет собой физический маятник, с которым соединены две
параллельные оси (ребра призм), содержащие в своей плоскости и
на различном расстоянии от них центр тяжести маятника; кроме того,
оси расположены так, что маятник может качаться около каждой из
них совершенно одинаково. В силу предыдущей теоремы расстояние I
между обеими осями равно длине математического изохронного маят-
ника, так что продолжительность Т одного простого качания при
малых амплитудах будет приблизительно выражаться (гл. I, п. 38)
так:

Так как I и Т легко измеряются опытным путем (Z—посредством
катетометра, Т—путем измерения продолжительности достаточно
большого числа качаний), то предыдущая формула может служить
для определения g.

9.	Опытное определение
теоремы Гюйгенса состоит
инерции твердых тел.

Если нужно определить
тельно данной оси 5, то для
около этой оси.

моментов инерции. Второе приложение
в практическом определении моментов

момент инерции твердого тела относи-
этого достаточно заставить его качаться

Обозначая через т' массу тела, через г' — расстояние его центра
тяжести G' от оси, через А—искомый момент инерции, через Т—
продолжительность одного размаха, будем иметь

-г/	, / А

Т — it 1/	;

Г m’r'g

отсюда можно получить величину А, если, кроме Т', известны т' и г'.
Но определить экспериментально с достаточной точностью вели-
чину г' трудно.

Поэтому удобно воспользоваться следующим искусственным спо-
собом, позволяющим также избежать определение величины т'.

Свяжем с данным телом неизменно вспомогательную массу т",
равномерно распределенную около оси и заставим качаться эту
сложную систему. Пусть Т будет период колебаний этой системы
и р — момент инерции -вспомогательного тела относительно оси
Неизвестное А можно будет выразить посредством Т', Т и у..

Действительно, вводя временно также и расстояние г центра
тяжести G всей системы от оси £, мы будем иметь формулу, анало-
гичную (4), т. е.

7’ __ _ 1 /~	^4 Ч~ р.

'	(m' + т") rs ’

Далее, центр тяжести G" массы т" в силу предположенной сим-
метрии лежит на оси $; с другой стороны (т. I, гл. X, пп. 12 и 10),
применяя распределительное свойство и затем правило моментов
к точкам G' (с массой т') и G" (с массой т"), а также к их центру
тяжести G, мы непосредственно получим

т'г' = (т1	т") г.

Внося величину (т'-\-т")г в выражение для Т, деля полученное
при этом равенство почленно на равенство, определяющее Т', и
возводя потом результат в квадрат, получим

д_

J'S_ у/2 •

10.	Динамические реакции и давления. Для того чтобы опреде-
лить реакции оси, обратимся к общему случаю движения тела с закре-
пленной осью, находящегося под действием каких угодно сил (п. 5).
Изменяя направления реакций на противоположные, найдем, как мы
знаем, давления вращающегося тела на связь. В согласии с общими
рассуждениями п. 4, мы ограничимся вычислением для этих давлений
результирующей силы — R и результирующего момента — М отно-
сительно некоторого центра О, который мы предположим здесь
неподвижным и лежащим на оси вращения твердого тела $. Более
того, отвлекаясь от статических составляющих R, М, мы будем рас-
сматривать исключительно динамические составляющие — RM),—
определяемые из равенств

R'd> = Q4-wXQ, )

Mw = К-\~ w X К, J

где производные по времени берутся относительно осей, неизменно
связанных с телом (подвижных). Таким образом, дело сводится

2 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
к фиксированию в твердом теле этих осей и к проектированию на
них двух предыдущих уравнений.

Но прежде чем производить эти формальные выкладки, отметим
одно непосредственное следствие, которое можно вывести из второго
основного уравнения (5). Именно, принимая во внимание второе из
уравнений (6), напишем второе основное уравнение (5) в виде

М = — М 4-	= — М 4- Mw.

Припоминая, что результирующий момент всех реакций относи-
тельно неподвижной оси j должен равняться нулю, так как речь
идет о силах, приложенных в точках оси рассматривая эту ось
как неизменно связанную с твердым телом и обозначая ее в соответ-
ствии с этим через х, заключаем, что в любой момент должно быть

Мж = — Л4а,+ М^) = 0;

т. е. при движении собственно динамическая составляющая резуль-
тирующего момента реакций относительно закрепленной оси остается
равной результирующему моменту активных сил.

Наконец, то же заключение неявно вытекает и из выражений
составляющих R(d), Mw, которые мы здесь и подсчитаем. С этой
целью достаточно спроектировать уравнения (6') на подвижные оси,
которые, как уже было сказано, мы представляем себе выбранными
таким образом, чтобы ось х совпадала с закрепленной осью вра-
щения $.

В силу этого проекции угловой скорости ю сведутся к р, О, О,
тогда как проекции и, v, tsa скорости поступательного движения
вследствие неподвижности начала О будут равны нулю. Следовательно,
общие формулы (29'), (30') п. 15 гл. IV для проекций количества
движения Q и результирующего момента количеств движения К дадут
выражения

Qa, = °>	= ~ mzoP> Q^my0p>

Kx = Ар, Ку = Ср, Kz = В р,
где, как мы уже знаем, через т обозначена масса твердого тела,
через А — его момент инерции относительно закрепленной оси,
через В', С' — соответствующие произведения инерции и через у0, z0—
вторая и третья координаты центра тяжести. На основании равен-
ства Кх = Ар и принимая во внимание совпадение осей х и ?, можно
написать уравнение движения (7') в виде

Ир = Мх,	(7")

после этого, проектируя уравнения (6') на подвижные оси и исклю-
чая (на основании рассуждений п. 4) р посредством (7"), мы полу-
чим искомые выражения проекций Rfd) и через проекции угловой
скорости р, а также через структурные постоянные твердого тела и
осевой момент внешних сил:

= 0,	)

Z'yd> = -m($Mx+yop*),

^) = от(^-^-гоР2);

су.

Первое замечательное следствие из этих формул мы получим,
применяя их к твердому телу, у которого закреплена одна из глав-
ных центральных осей инерции.

В этом случае имеем В' = С = 0 (так как ось х для твердого
тела есть главная ось инерции) и у0 — z0 —О (так как центр тя-
жести находится на оси х); из предыдущих формул видно, что ре-
зультирующая Rfd> динамических реакций равна нулю, а соответствую-
щий результирующий момент сводится к своей осевой составляю-
щей ТИд,/. Поэтому, возвращаясь к полным реакциям, на основании
уравнений (5') найдем

R = — R, М = — MJ—MJt.

Таким образом, если примем во внимание, что в статических
условиях имеем Мх = 0 (т. I, гл. XIII, п. 8), то можно сказать, что
для твердого тела, вращающегося даже неравномерно вокруг своей
главной центральной оси инерции, давление оси на связь зависит от
внешних сил так же, как и в статических условиях.

В более общем случае, если твердое тело закреплено вдоль
главной оси инерции относительно произвольной точки О (каково бы
ни было положение центра тяжести) и, - следовательно, если мы
имеем В' — С — 0, остается в силе только второе из только что
полученных уравнений, а на место первого надо будет подставить
соответствующее уравнение из системы (5'), т. е.

R = —RW.

Если, далее, предположим момент М внешних сил относительно
точки О равным нулю, то из уравнения (7") увидим, что движение
твердого тела будет равномерным вращением, и, с другой стороны,
из выражения результирующего момента М реакций найдем, что
этот момент равен нулю. Поэтому реакции, испытываемые твердым
телом вдоль оси, эквивалентны одной силе, приложенной в О.
Отсюда (как в этом легко можно было убедиться и ранее из основных
уравнений и как это будет показано в явном виде в п. 12 следую-
щей главы) следует, что равномерное вращение твердого тела сохра-
нилось бы неизменным даже и тогда, когда ось х (главная ось
инерции) оказалась бы закрепленной вместо двух или большего числа
точек только в одной точке О (через которую она проходит).

§ 4. Двойной маятник

11. Двойным маятником называют систему с двумя степенями
свободы, которая получается в результате соединения двух маятни-
ков посредством различных связей (твердых, упругих, электромаг-
нитных и т. п.). С этими системами возможны различные интересные
опыты. В частности, малые колебания двойных маятников в окрест-
ности их положения устойчивого равновесия дают
очень наглядное представление {механические
модели) важных оптических и акустических явле-
.Ду	ний: интерференции и биения (см., в частности,

LA	упражнение 6 предыдущей главы).

/п Мы ограничимся здесь рассмотрением так назы-
| \ У ваемого вертикального ’) двойного маятника,
I	г'	который можно схематически осуществить сле-

I	\ X	дующим образом.

;	К тяжелому твердому телу которое может

!	вращаться вокруг неподвижной горизонтальной

!	оси а1; присоединяется другое тяжелое твердое

!	;	тело S, которое в свою очередь может вращаться

!	\ вокруг оси а, неизменно связанной с и парал-

!	дельной at. При этом предполагается, что пло-

}	скость двух осей и а содержит центр тяжести Gt

!	тела (основной маятник) и вертикальная пло-

;	скость, перпендикулярная к и проходящая

Фиг. 3. через GIt содержит центр тяжести G тела S
(второй маятник).

Очевидно, что речь идет о системе с двумя степенями свободы.
Обозначим соответственно через О, Ог точки пересечения осей а и аг
с указанной выше перпендикулярной к ним плоскостью, проходящей
через G и Gj (плоскость прилагаемой фигуры 3). За обобщенные
координаты двойного маятника мы примем углы w и <pj отклонения
от вертикали отрезков OG и OjGj, измеряемые в одном и том же
направлении от нисходящих вертикалей, проходящих через точки
О и Ор

Так как имеется в виду изменяемая система с двумя степенями
свободы, то два дифференциальных уравнения, необходимых для

!) Более обширное исследование этого класса приборов можно найти
у Н. Bouasse, Pendule, spiral, diapason, т. II, Paris, 1920, гл. ХШ.
определения движения двойного маятника, можно было бы вывести
из основных уравнений, замечая, что для системы тел S, Sj сохра-
няет свое значение теорема об осевом моменте количеств движения
относительно оси ах

С другой стороны, ко второму маятнику S, вращающемуся вокруг
оси а, которая перемещается параллельно самой себе, можно было бы
применить теорему моментов в скалярной форме относительно этой
оси а, вытекающую из уравнения (7) п. 17 гл. V. Мы обратимся,
однако, к уравнениям Лагранжа, которые здесь имеют вид

=	£_^_^L = Q1j (1o)

dt dtp д<%	dt d<f>! dfr

где, как мы знаем, Т, Q, Qx обозначают соответственно живую силу
двойного маятника и составляющие активных сил по лагранжевым
координатам ® и (обобщенные силы). Следовательно, все сводится
к выражению через ср и <pj и через их производные по времени живой
силы Т и последующему определению аналогичных выражений для
обобщенных сил Q и Qx.

Полагая

OXG1 = rlt OG = r, О1О = Х,

заметим прежде всего, что живая сила тела Sx определяется выра-
жением (гл. IV, п. 10)

где через Ах обозначен момент инерции тела Sj относительно непо-
движной оси ах, в то время как для определения живой силы твер-
дого тела S, вращающегося около подвижной оси а, совершающей
поступательное движение, надо обратиться к теореме Кёнига (гл. IV,
п. 8). Если обозначим через m массу тела S, через А — его момент
инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и парал-
лельной а, и через v — скорость его центра тяжести G, то эта
теорема дает следующее выражение для живой силы тела S:

А<рэ,

так что остается вычислить только скорость v. Эта постоянная
скорость равна сумме абсолютной скорости точки О и относитель-
ной скорости точки G по отношению к О *). Обе эти составляющие
скорости, перпендикулярные в плоскости фигуры соответственно
к О]О и OG, определяются по величине и по знаку (относительно

*) То есть скорости точки G по отношению к осям неизменного на-
правления с началом в точке О. (Прим, ред.)
положительных перпендикуляров пг и п к OjO и OG) выражениями
к®! и г®. Поэтому, складывая геометрически эти скорости и прини-
мая во внимание, что с точностью до чисел, кратных 2гс, имеем

п^п —	® -f- GOn == » — ®J(

получим

= k2®i 2rX®<fn cos (® — ®i);	(11)

теперь для живой силы Т двойного маятника получаем выражение

=	+	(12)

Что же касается действующих сил, то ограничимся наиболее есте-
ственным случаем, когда двойной маятник находится под действием
только силы тяжести. Речь идет, следовательно, о консервативной
силе, имеющей потенциал

U = mxgzt 4- mgz,
где

Zj = rx cos ®n z = x cos ®, -4- r cos ®.

Вставляя значения zt и г, находим для U выражение через ср и cpt
U = cos <pt 4- tng (X cos ®L -j- r cos ®),
откуда

z-i dU		dU ,	,	..	,,

Q = -^—= — wgrsin®, <2! = -^— = — (m^ + ^gsincpj. (13)

Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы дать явную форму
уравнениям движения тяжелого двойного маятника (10).

Отказываясь здесь от интегрирования этих уравнений, мы огра-
ничимся приложением их к разбору одной частной задачи, а именно
к отысканию условий, при которых оба маятника движутся с постоян-
ной разностью фаз, т. е. так, как если бы они составляли одну
неизменяемую систему.

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно,
чтобы из уравнений - движения двойного маятника в лагранжевой
форме в любой момент во время движения получалось cpt = ср -|- ф
(где ф = const), если только это условие было удовлетворено в на-
чальный момент. Далее, выражая, что уравнениям (10), после при-
ведения их к явному виду посредством соотношений (11), (12), (13),
можно будет удовлетворить, если положить в них = ® -}- ф, мы
увидим, что для того, чтобы оба маятника колебались с постоянной
разностью фаз, необходимо и достаточно, чтобы ф имело величину
= 0.	(14)

нуль и чтобы удовлетворялись тождественно два уравнения

[Л тг (г л)] ® 4~ mgr sin ® = О,

4- тК(г 4- X)] ? 4“ ~г тк) g sin ® = О,
каждое из которых имеет форму уравнения колебаний простого маят-
ника (гл. I, п. 34); ясно, что для этой цели необходимо и доста-
точно, чтобы тождественно имело место соотношение

А 4- тг (г 4" mgr

z4j 4~ тк(г-\-Х) т1г1-}-тк

Этому условию, заключающему в себе только структурные эле-
менты (геометрические и материальные) двух тел Sj и S, составляю-
щих двойной маятник, можно придать более простой вид, если рас-
сматривать оба эти тела как два физических маятника с осями под-
веса и а и ввести соответствующие приведенные длины Zj и I
(п. 6), определяемые соответственно равенством

^i = —

и, так как А есть центральный момент инерции, равенством

При этих обозначениях условие (14) постоянного совпадения фаз
двух маятников, разрешенное относительно X, принимает вид

,	к-1

i + ^£z2:’

«1 ГГ

когда масса т второго маятника ничтожна по сравнению с мас-
сой тг главного маятника. Это условие приближенно сводится к ра-
венству

X = Zx — I.

Замечательный пример двойного маятника мы имеем в колоколе.
При исследовании особенностей поведения одного колокола Вельт-
ману пришлось развить предыдущие теоретические выводы ') В 1876 г.
в Кёльне имел место случай, на первый взгляд очень странный, —
не удавалось заставить звонить большой колокол, только что под-
вешенный тогда на башне собора: когда пытались звонить, язык
совершал относительно колокола столь малые колебания, что не
удавалось произвести удара, хотя язык и был достаточно длинен

!) Weltmann, Ober die Bewegung einer Glocke, Dinglers Polyt. Jour-
nal, t. 220, 1876.
для того, чтобы достать до стенок колокола. Вельтман на основе
предыдущих рассуждений установил, что для этого колокола
/j —1 = 65,3 см и Х==66,7 см, так что при ничтожности массы
языка по сравнению с массой колокола приближенное равенство фаз
для колокола и языка было обнаружено из совпадения, хотя и гру-
бого, — I с А.

Другой пример применения в технике тяжелого двойного маят-
ника осуществляется плавающими маяками, у которых главным маят-
ником является поплавок, а вторым маятником — фонарь.

§ 5. Движение, параллельное плоскости. Трение
скольжения и качения

12. Общие соовражеиия. Предположим, что на твердое тело S
наложены такие связи и на него действуют такие силы, что оно
движется параллельно некоторой неподвижной плоскости те. Этим мы
хотим сказать, что всякое плоское сечение тела 5, которое вначале
параллельно те, должно оставаться таким же во все время движения.
В силу предположенной твердости тела 5 очевидно, что в таком
случае движение твердого тела будет однозначно определено движе-
нием какого-нибудь одного из этих плоских сечений. Следовательно,
достаточно рассмотреть движение одного из них, например того,
которое содержит центр тяжести О тела S; при этом ничто не мешает
принять за плоскость те неподвижную плоскость, в которой движется
это плоское сечение, содержащее центр тяжести.

Таким образом, мы видим, что тело S будет обладать тремя сте-
пенями свободы, так как за параметры, определяющие положение
тела S, можно принять координаты $0, т(0 центра тяжести G отно-
сительно неподвижных осей в плоскости те и угол в, который
ориентированная прямая, неизменно связанная с S и лежащая в пло-
скости те, образует, например, с осью

Естественно, что для того, чтобы движение твердого тела S
имело только что описанный характер, действующие силы и связи,
наложенные на тело S, а также структура самого тела должны
удовлетворять соответствующим условиям. В следующем пункте
будет показано, что для того, чтобы твердое тело S, предполагаемое
вначале находящимся в движении, параллельном неподвижной пло-
скости те, продолжало двигаться параллельно этой плоскости, доста-
точно, чтобы:

а)	результирующая внешних сил {прямо приложенных и реак-
ций связей) была параллельна плоскости те и результирующий
момент тех же сил относительно произвольной точки плоскости те
был перпендикулярен к этой плоскости;

б)	перпендикуляр, проведенный в начальный момент к пло-
скости те из центра тяжести G, был для S главной осью
инерции.
Отметим теперь же, что это второе условие само собой выпол-
няется, если речь идет не о твердом теле в собственном смысле,
а о неизменяемой материальной плоской системе, целиком лежащей
в плоскости те, или, как мы будем говорить, о плоском (твердом)
диске. Действительно, если в этом случае обозначим через С третью
ось системы отсчета перпендикулярную к те, то третьи коор-
динаты всех материальных точек системы S будут равны нулю, и,
следовательно, обратятся в нуль два произведения инерции

В последующем изложении этого параграфа мы будем заниматься
действительным определением движения, допуская прямо, что усло-
вия а) и б) выполнены для материальной системы, а для удобства
представления и изложения мы будем всюду говорить о плоском
диске, представляя себе вместо заданной системы S диск, если
система и не является таким диском. Центр тяжести О этого
диска мы будем считать совпадающим с центром тяжести системы 5,
массу его т— равной массе системы S и главный центральный момент
инерции С относительно той оси, неизменно связанной с телом и
проходящей через центр тяжести G, которая, по предположению,
вначале перпендикулярна к те, — равным т8а (где 8 есть радиус
инерции).

13.	Динамические и структурные условия плоского движения.
Покажем теперь, почему условия а) и б), приведенные в предыдущем
пункте, достаточны для обеспечения того, чтобы движение твердого
тела постоянно оставалось параллельным неподвижной плоскости те,
если начальное состояние движения было параллельно те.

С этой целью возьмем основные уравнения (1) и (2'), принимая
за центр приведения моментов центр тяжести G системы и относя
эти уравнения к системе координат плоскость которой С = О,
как и в предыдущем пункте, совпадает с плоскостью те, проходящей
через центр тяжести G. В силу предположения a)	посто-

янно равны нулю, так что если спроектируем первое основное урав-
нение на ось С, а второе — на оси J и »], то получим три скаляр-
ных уравнения

dQf- _ л dK' — n dKl> — о
dt ’ dt ’ dt ’

которые тотчас же дают

Qr = const, /Q = const, KTi — const.	(15)

Если теперь примем во внимание предположение б) и допустим,
что в начальный момент движение параллельно плоскости те, то
легко убедимся, что все постоянные в правых частях равенств (15)
равны нулю. Чтобы доказать это, достаточно убедиться, что они.
равны нулю в начале движения; для этой цели начнем с замечания,
что из того предположения, что начальное движение должно про-
исходить в плоскости, параллельной плоскости 1 = 0, следует, что
центр тяжести G движется параллельно этой плоскости, так что
в начальный момент (и, следовательно, в течение всего движения)
Q, безусловно будет равно нулю. Что же касается центрального
результирующего момента количеств движения К, то он связан
с угловой скоростью о посредством аффинора инерции, а в силу
предположения б) направление оси С, перпендикулярной к - и в начале
движения являющейся главной осью аффинора инерции (главной осью
инерции для твердого тела), будет также и направлением вектора «о,
гак как этот вектор вначале направлен по оси С; то же самое будет
иметь место и для вектора К- Поэтому в начале движения (а сле-
довательно, и во все время движения) обе проекции /G, век-
тора К обращаются в нуль.

Остается только доказать, что из постоянного равенства нулю
величин Q-, /ц, Къ следует, что движение будет происходить всегда
в плоскости, параллельной плоскости л, если только оно было
таковым вначале; из уравнения Qr = 0 и из известного тождества
Q=mvff заключаем, что центр тяжести движется в плоскости, парал-
лельной z. Теперь достаточно убедиться, что та главная ось инерции
твердого тела, которую мы предполагаем вначале перпендикулярной
к этой плоскости, остается перпендикулярной к ней во все время
движения.

Для этой цели согласно с тем, что было сказано в общем слу-
чае в п. 3, введем сначала систему отсчета, неизменно связанную
с телом, и воспользуемся в этом частном случае известными клас-
сическими уравнениями (Эйлера), большую важность которых мы
покажем в следующей главе.

За такую систему, неизменно связанную с телом, возьмем систему
осей Gxyz, в которой ось Gz совпадает с главной осью инерции,
вначале перпендикулярной к плоскости г. (и ориентированной так
же, как SQ, а оси Gx и Gy представляют собой две другие
главные оси инерции, проходящие через G (или две любые дру-
гие оси, перпендикулярные между собой, если эллипсоид инерции
есть эллипсоид вращения относительно Gz). Проекции результирую-
щего момента количеств движения на оси системы Gxyz опреде-
ляются (гл. IV, п. 16) равенствами

Кх = Ар, 1<у = Вд, Кг—Сг,	(16)

С другой стороны, если обозначим через х неизменный в простран-
стве единичный вектор неподвижной оси 21, перпендикулярный к
то результирующий момент внешних сил относительно центра тяжести
вследствие того, что компоненты Mri постоянно равны нулю,
можно представить в виде М — Мх; поэтому второе основное урав-
некие, отнесенное к осям, неизменно связанным с телом, т. е. урав-
нение (4') п. 3, принимает вид

После проектирования на подвижные оси (неизменно связанные
с телом) это уравнение даст для неизвестных проекций р, q, г век-
тора w три скалярных уравнения (уравнения Эйлера):

Ар — {В — С) qr =
Bq — (С — А) гр =
Cr— (A — B)pq =

(17)

где через у2, f3 обозначены проекции вектора х на подвижные
оси, или, что одно и то же, направляющие косинусы оси 2С отно-
сительно системы Gxyz.

Величины, f входят в задачу как вспомогательные неизвестные и
прежде всего в силу их геометрического значения связаны конечным
соотношением

2	2,2,2	,

* =71 + Т2 + Тз = 1.

(18)

С другой стороны, неизменяемость в пространстве единичного
вектора х выражается дифференциальным условием d’x.fdt—G или же,
при отнесении к подвижным осям (т. I, гл. IV, п. 10), соотношением

х-|-w X * = О,

которое после проектирования на оси Gxyz приводит к уравнениям
(Пуассона):

= W — ЪЧ,



(19)

т3 = п?—ЪР-

Шесть дифференциальных уравнений (17), (19) вместе с конеч-
ным соотношением (18) определяют закон, по которому изменяется
в зависимости от времени вектор угловой скорости «о внутри тела
и, следовательно, результирующий момент К количеств движения.
Мы знаем, что по теореме о единственности интегралов систем диф-
ференциальных уравнений это изменение с временем однозначно опре-
деляется начальными значениями, которые при единственном усло-
вии (18) можно произвольно приписывать неизвестным функциям р, q, г,
7i> 7з> Is-

Далее, состояние движения, параллельное плоскости т., которое
tow предполагаем у тела вначале, включает в себя, очевидно, отно-
сительно подвижных осей, произвольное начальное значение г0 для г
и начальные значения

Р = Q = 7i = Ъ = °, Ъ = 1	(2°)

для остальных пяти функций.

Если мы предположим теперь, что равенства (20) сохраняют свое
значение не только в начальный момент, но также и для всякого
другого значения времени, то сейчас же увидим, что равенства (17),
(19) будут выполняться тождественно, за исключением третьего-
из (17), которое принимает вид

Сг = М^

и, начиная с начального значения г0, определяет г в функции от
времени.

По упомянутой уже теореме о единственности, это и будет реше-
нием уравнений (17), (19), соответствующим заданному начальному
состоянию движения, параллельного плоскости л; из того, что во все
время движения ^ = ^=0, следует, что главная ось инерции Gz
постоянно сохраняет направление неподвижной оси QC, перпендику-
лярной к плоскости к; в согласии с тем обстоятельством, что центр
тяжести движется в плоскости к, это приводит, как уже было отме-
чено, к заключению, что движение твердого тела оказывается парал-
лельным этой плоскости.

14.	Основные уравнения плоского движения. Предположим теперь,
что структурные и динамические условия, при которых движение
твердого тела оказывается параллельным неподвижной плоскости,
выполнены; в этом случае, как мы видели в п. 12, можно прямо
обратиться к изучению движения твердого диска S в его плоско-
сти л.

Выбрав в плоскости л две неподвижные оси, примем согласно
с условиями п. 12 за параметры, определяющие положение диска,
координаты £0, т]0 центра тяжести G и угол 0, составленный с осью Q;
какой-нибудь ориентированной прямой, неизменно связанной с S,
и возьмем снова основные уравнения (1), (2'), принимая за центр
приведения моментов центр тяжести. Уравнение (1), так как согласно
предположению векторы Q и R оба параллельны л, равносильно,
в этой плоскости, двум скалярным уравнениям, которые получаются
проектированием его на две оси, J и ц, и на основании тождества
Q = mva сводятся к следующим:

^^0 = 7?$, лгт)0=7?^.	(21)

Аналогично, на основании предположения, что К и М перпенди-
кулярны к плоскости л, уравнение (2') будет равносильно при рас-
смотрении плоского движения скалярному уравнению, которое полу-
чится проектированием (2') на третью ось системы Чтобы при-
дать явный вид этому уравнению, положим <п = О, в силу чего <о
означает для диска 5 угловую скорость уже не только по абсолют-
ной величине, как это было вначале, но и с надлежащим знаком,
а именно: в любой момент она будет положительной или отрица-
тельной в зависимости от того, вращается ли диск в рассматривае-
мый момент в направлении от Q; к 2т] (через прямой угол) или
в противоположном направлении. Проекция на ось 2С результирую-
щего момента количеств движения К относительно центра тяжести
определится тогда (гл. IV, п. 16) равенством /G = Си = wzB2(d, так
что искомое скалярное уравнение примет вид

щ82о> = ЛЬ.	(22)

Уравнения (21) (плоского движения центра тяжести) и уравне-
ние (22) (уравнение моментов относительно центра тяжести) пред-
ставляют собой основные уравнения плоского движения диска и,
что вполне естественно, совпадают с уравнениями Лагранжа относи-
тельно параметров $0, т|0, в, которые получились бы на основании
известного выражения для живой силы (гл. V, п. 49)

Если вместо неподвижных осей мы отнесли бы диск?- 5 (как
это уже делалось в предыдущем пункте) к подвижным осям О ху,
неизменно связанным с S, то уравнение (22) осталось бы, очевидно,
неизменным. Что же касается уравнений (21), то надо было бы их
преобразовать; но мы достигнем результата быстрее, если спроекти-
руем на подвижные оси первое основное уравнение, отнесенное
к ним, т. е. уравнение

Q + «XQ = /?.

Если обозначим через vx, vy проекции на оси Gxy скорости
центра тяжести, то аналогичные проекции вектора Q будут
mvv, и мы придем, таким образом, к уравнениям

m{vx— oxoy) = Rx, т(уу-\-<м!х) =Ry'.	(2 Г)

Отметим еще, что все это сохраняет свое значение в предполо-
жении, что мы принимаем за центр приведения моментов центр
тяжести. Если же, наоборот, центр моментов берется в произволь-
ной точке О плоскости и, причем закон движения точки О должен быть
задан посредством выражения ее координат т/ в функции вре-
мени, то К, нужно будет определить на основании известного то-
ждества


Таким образом, получим

К: = щ{82ш-[-($0 — £')Т)О — (т]0 — 7]') €0}.

15.	О трении качения в динамическом случае. Относительно тре-
ния скольжения мы знаем уже (гл. I, § 8), что при движении оно
направлено прямо противоположно скорости точки соприкосновения
между телом и опорой и имеет максимальную величину fN, где f
обозначает коэффициент трения, a N—абсолютную величину нор-
мальной реакции опоры.

Что же касается трения качения, то мы уже видели в Статике
(т. I, гл. XIII, § 6), что его можно схематически представить не-
которой парой с моментом Г, у которого следует отличать каса-
тельную составляющую Гт, или момент трения качения, и нор-
мальную Ги, или момент трения верчения-, в статическом случае
всегда принимают, что величины этих двух моментов не могут пре-
восходить соответственно двух максимумов hrN, h^N, где hx и
обозначают соответствующие коэффициенты трения.

Далее, в динамическом случае допускается, как дальнейший эмпи-
рический закон, что величина каждого из двух моментов Гт,
сохраняет в течение всего времени движения свое максимальное зна-
чение, а направления этих моментов таковы, что сопротивление вра-
щению твердого тела в любой момент оказывается наиболее эффек-
тивным.

Более точно это означает, что ориентированное направление Гт,
остающееся a priori неопределенным, когда угловая скорость и
равна нулю, в любой момент, когда о> =£0, будет прямо противо-
положно направлению касательной составляющей вектора <о, в то
время как составляющая Гп, у которой при о> = 0 остается неопре-
деленной только сторона обращения, при to ф. 0 будет направлена
противоположно нормальной составляющей вектора <о.

Например, в случае цилиндра, который, будучи опертым на шеро-
ховатую плоскость вдоль какой-нибудь своей образующей g, может
вращаться (мгновенно) вокруг нее .и скользить в направлении, пер-
пендикулярном к ней, трение верчения отсутствует, трение же каче-
ния имеет момент Гт, направленный по образующей g в сторону,
обратную вращению, когда оно не равно нулю.

§ 6.	Колесо на горизонтальной плоскости

16.	Уравнения движения. В качестве первого приложения общих
рассуждений, изложенных в предыдущем параграфе относительно-
движения, параллельного плоскости, мы рассмотрим здесь движение
колеса или пары колес (колесного ската), насаженных на одну и
ту же ось, по горизонтальному полу, когда действующие силы соот-
ветствуют или случаю ведомого, или случаю самодвижущегося эки-
пажа.
Имея в виду только движение, параллельное неподвижной пло-
скости, можно на основе предварительных замечаний из п. 12 огра-
ничиться только круговым диском 5, радиус которого обозначим
через г, а полную массу — через т. Предположим, что центр тяже-
сти G совпадает с геометрическим центром диска, и рассмотрим
обычный случай, когда плоскость диска S вертикальна и диск дви-
жется вдоль горизонтальной прямолинейной колеи, которую примем
за неподвижную ось 25, направив ось 2iq по вертикали вберх (фиг. 4),

Пусть на диск S помимо его веса р = mg и реакций опоры
с трением (скольжения и качения) действует горизонтальная сила.

приложенная к центру тяжести,
и активная пара с моментом,
перпендикулярным к диску.
Обозначим проекцию горизон-
тальной силы на ось 25 через т
и осевой момент активной пары
через — ££>i, так что будет
положительным, если пара стре-
мится вращать диск в сторону
от т) к 5, и отрицательным, если
она стремится вращать его
в обратную сторону; обозна-
чая через Г аналогичный осе-

вой момент пары трения качения, введем результирующий осевой

момент

Д4 = Г — 3R.

(23)

Далее, так как центр тяжести G остается на постоянном рас-
стоянии от пола, то его ускорение по вертикали равно нулю, так
что второе из основных уравнений (21) будет просто выражать,
что нормальная реакция N пола уравновешивает вес диска

N — p — mg-,	(24)

для определения движения остаются первое из уравнений (21) (урав-
нение горизонтального движения центра тяжести) и уравнение (22)
(уравнение моментов). Если обозначить через V проекцию на ось 25
скорости центра тяжести, через А — касательную составляющую
реакции (трение скольжения), то уравнения движения примут вид

mV= А, )
ть2ш = м -ф-М./

(25)

Необходимо, кроме того, иметь в виду, что скорость точки О
соприкосновения колеса с плоскостью в любой момент будет свя-.
зана со скоростью vG центра тяжести известным соотношением

г’о = 'г’в + '»Х GO,
так что, проектируя на ось 6, получим для скорости скольжения <з
колеса (касательная составляющая скорости г»0) выражение

<з=х У-]- гео.	(26)

Отсюда, в частности, следует, что во всяком состоянии чистого
качения (а = 0) должно быть

у_]_г«> = 0;	(27)

в любом промежутке времени, в котором это соотношение остается
выполненным, т. е. в котором имеет место чистое качение, удовле-
творяются два уравнения, которые выводятся из уравнений (25)
путем исключения из них со посредством (27) и решения относи-
тельно V и А, т. е. уравнения

+	й=,_ ".

7	'	(25')

(1 + jo- ) А = — т — rj- .44.

\	* О4 /	о4

17.	Условия чистого качения при трогании с места или при
равномерном движении. Обратимся прежде всего к промежутку вре-
мени, когда оба движущие фактора, горизонтальная сила т и пара
с осевым моментом — 2R, стремятся способствовать движению колеса.
Если представим себе ось $ направленной в сторону движения,
иными словами, таким образом, чтобы скорость V центра тяжести
была положительной, то надо будет допустить, что положительными
будут также т и 9)?; посмотрим, каким условиям должны будут
удовлетворять эти два количества для того, чтобы чистое качение
было совместно с эмпирическим законом трения, когда колесо начи-
нает движение или, возможно, достигло своей постоянной скорости.

Это последнее обстоятельство выражается, очевидно, условием

V>0.	(28)

С другой стороны, неравенство У>0 на основании условия
чистого качения (27) влечет за собой ш < 0; и так как трение каче-
ния должно противодействовать вращению, то соответствующий осе-
вой момент Г в этом случае будет положительным; он будет опре-
деляться, как мы знаем, выражением

Г = Лр,	(29)

где h есть параметр (коэффициент) трения качения.

Что касается трения скольжения А, то так как точка соприко-
сновения во всяком состоянии движения является мгновенным цен-
тром вращения и поэтому совпадающая с ней точка колеса имеет
скорость, равную нулю, то существует единственное условие

\A\<tP,	(30)
где f есть коэффициент статического трения. Таким образом, все
сводится к выявлению ограничений, вытекающих для т и да из
соотношений (28), (29) и (30) через посредство уравнений (25'),
которые, как мы видели, остаются справедливыми при чистом
качении.

Исключая М из первого из уравнений (25') и равенства

M = hp— да,	(23')

представляющего собой непосредственное следствие соотношений
(23), (29), и принимая во внимание (28), получим следующее
условие:

правая часть которого есть предельное значение силы тяги (пре-
дельная тяга) при качении, уже определенное в Статике (т. I,
гл. xlll, п. 26); таким образом, можно сказать, что полное дей-
ствие силы и движущей пары, оцениваемое посредством двучлена
т > должно превосходить предельное значение силы тяги при
качении, когда колесо движется ускоренно, и должно равняться
предельному значению- этой силы при его равномерном движении
(V = const).

Аналогично получаются следствия из второго из уравнений (25')
и условия (30). Смотря по тому, будет ли трение скольжения А
отрицательным или положительным, т. е. сопротивлением или уско-
ряющей силой, условие (30) на основании второго из уравнений (25')

можно написать в виде
т +	(30а')

или, соответственно, в виде

— - - 64 М ^.fp (1 +	.	(306')

Если принять во внимание равенство	(23') и	для краткости положить

д = -т+£да,	(31)

до оба неравенства (30а'), (306") примут соответственно вид

+	(30а'<)

(/+£)}•	(306")

Далее, важно отметить, что на практике, т. е. когда речь идет
действительно о колесе или о двух колесах, соединенных в пару,

3 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Ам аль ди
предельное значение силы тяги при качении hp]r будет значительно
меньше аналогичного предельного значения силы трения скольже-
ния fp (т. I, гл. XIII, п. 26), так что законно ввести добавочное
условие

у</,	(32>

которое мы при дальнейшем исследовании всегда будем предполагать
выполненным.

Согласно этому условию правая часть неравенства (ЗОа") будет
положительна, как и правая часть неравенства (ЗОб"). Что же
касается левых частей, то необходимо заметить, что левые части
неравенств (ЗОа') и (ЗОб'), по предположению, обе положительны,
следовательно, то же самое, несомненно, можно сказать и о левой
части неравенства (ЗОб"), которая получилась из левой части (ЗОб')
путем прибавления существенно положительного количества hrpft?.
Наоборот, левая часть — Д неравенства (ЗОб"), которая выводится
из левой, существенно положительной части неравенства (ЗОа'),
путем вычитания hrp№ или остается положительной, и тогда правая
часть (ЗОа") образует истинную границу для — Д, или же будет
отрицательной, что означает, что ее абсолютная величина Д будет
меньше hrp^, т. е. удовлетворяет более узкому неравенству (ЗОб").

Наконец, если назовем разностью сил абсолютную величину
выражения — т-р/Дб2, то увидим, что эта разность не должна
превосходить того или другого из двух известных пределов (при-
близительно равных между собой вследствие малости h r)

из которых нужно взять меньший или больший, в зависимости от-
того, будет ли

или, если применить более наглядное, хотя и не совсем точное
выражение, смотря по тому, преобладает ли движущая сила или
движущая пара.

Особого рассмотрения заслуживают два крайних случая, в кото-
рых движущее действие осуществляется исключительно посредством
силы (везомая повозка) или исключительно посредством пары (само-
движущийся экипаж). В первом случае (iUi = 0) имеют силу равен-
ства (28') и (ЗОа") при ПК = 0, во втором—равенства (28') и (ЗОб")
при ~ = 0.

18.	Период остановки. Торможение. Рассмотрим теперь фазу
остановки, наступающую тогда, когда после прекращения движущего-
действия на колесо действуют тормозные колодки или дается контр-
пар. Это обстоятельство можно представить, полагая в уравнениях (25)
т= 0 и подставляя вместо (23) равенство



(23")

где ЗК, предполагаемое положительным, обозначает момент тормозя-
щего действия, осуществленного произвольным образом.

Найдем также и здесь условия, при которых движение остается
чистым качением.

Речь идет, очевидно, о замедленном движении, потому что пер-
вое из уравнений (25") сводится к следующему:

(25а")

Левая часть этого уравнения существенно отрицательна.

Тренйе скольжения А будет также отрицательным на основании
второго из уравнений (25'), которое здесь принимает вид

0+&)л=-

(256")

на основании законов трения все сводится к выражению того, что
абсолютная величина Д не превосходит Jp. Мы получаем, таким
образом, условие

(33)

из которого, пользуясь равенствами (23") и (29) для момента 2R
тормозящего действия, находим ограничение

(33')

правая часть этого соотношения на основании предположения (32)
будет существенно положительной. Неравенство (33') и будет усло-
вием того, чтобы тормозящее действие не вызывало скольжения.

Наиболее эффективное торможение т. е. торможение, способное
произвести остановку в наименьшее возможное время, мы получим
в том случае, когда замедление — V будет иметь максимум; для этого
на основании уравнения (25"а) требуется, чтобы полный момент М был
максимальным. Если желательно во что бы то ни стало избежать
скольжения, то вместо условий (33), (33') необходимо взять равенства

(34)

(34')
в этом случае замедление на основании соотношения (25') принимает
постоянное значение

— V =fg-

Таким образом, мы видим, что при наиболее эффективном тормо-
жении, когда скольжение отсутствует, колесо движется равнозаме-
дленно; продолжительность торможения при начальной скорости Vo
определяется по известной элементарной формуле (т. I, гл. И, п. 23)
выражением

fg ‘

Это и есть правильное торможение.

Можно было бы предполагать, что дальнейшее увеличение
момента тормозящего действия, хотя и будет сопровождаться
неизбежным скольжением, так как перестанет удовлетворяться усло-
вие (33'), вызовет остановку в более короткий срок. Легко, однако,
доказать, что этого на самом деле не будет и что, наоборот, более
интенсивное торможение затянет его продолжительность.

Действительно, возьмем снова первое из общих уравнений (25),
полагая в нем т = 0, т. е. уравнение

mV = А.

Так как, по предположению, условие (34') более не выполняется,
то движение будет сопровождаться скольжением; трение скольжения
вместо статического становится динамическим, поэтому надо положить
A =fp, где f есть коэффициент динамического трения, который только
в первом и грубом приближении можно отождествить с коэффи-
циентом статического трения; если же речь идет о больших скоростях,
то этот коэффициент принимает, как мы это уже видели (гл. I, п. 45),
значения /*, на много меньшие значения, соответствующего моменту
начала движения. Таким образом, замедление сводится в силу только
что написанного уравнения к f*g, а эта величина, вообше говоря,
меньше (а при больших скоростях — значительно меньше) замедления
в условиях чистого качения.

Отсюда можно заключить, что слишком сильное торможение, т. е.
торможение с моментом, большим момента, определяемого из уравне-
ния (34'), не только вредно с точки зрения лучшего сохранения мате-
риала (как рельсов, так и колес), но даже оказывается значительно
менее эффективным, чем правильное торможение.

19.	Самоторможение. Предположим, что в некоторый момент,
когда колесо находится в состоянии движения самого общего вида,
прекращается всякое движущее усилие (в том числе и тормозящее),
т. е. исчезают одновременно т и WL Мы подтвердим здесь тот факт
(сам по себе очевидный, если принять во внимание действие пассивных
сопротивлений), что движение при этом постепенно прекращается
в течение конечного промежутка времени, и исследуем особенности
этой фазы самопроизвольного прекращения движения.

Уравнения, определяющие эту фазу движения, мы получим из урав-
нений (25), полагая в них т =	= 0, т. е.

mV = А, /по2<о = Г	(35)

Речь идет, следовательно, об изучении любого решения этих уравне-
ний, определяемого начальными значениями Уо, <оо, произвольно зада-
ваемыми для V и <о.

Здесь, естественно, придется рассматривать скорость скольжения а,
которая, как мы знаем, выражается через V и ш посредством равен-
ства (26); ускорение скольжения будет поэтому определяться урав-
нением

'«;=(1+5)л+-&г-	(36)

Чтобы сделать рассуждение более ясным, разобьем его на несколько
частей, причем сначала в а) и б) сделаем некоторые предварительные
замечания, вслед за которыми в в) и г) изложим надлежащие заключи-
тельные выводы.

а)	Если в некоторый момент tx исчезает скольжение, т. е.
имеем а = 0, то дальнейшее движение, начиная с этого момента,
будет представлять собой чистое качение.

Действительно, предположим, что тотчас же после момента tx
снова начинается скольжение и, например, соответствующая скорость о,
по предположению равная нулю при t — в моменты, непосредственно
следующие за моментом tlt будет больше нуля. Тогда при t=tx
будем иметь а > 0. Но тотчас же после момента tx вследствие того,
что для А должны иметь место законы динамического трения, необхо-
димо положить А = —fp, так что правая часть равенства (36) прини-
мает вид

-р{/+Ь(/—£)}’

достаточно вспомнить условие | Г | hp и принять во внимание, если
необходимо, неравенство (32), чтобы убедиться, что речь идет о вели-
чине существенно отрицательной, что противоречит неравенству <з > 0,
только что выведенному из предположения, что а тотчас же после
момента tx может стать положительной.

Аналогично исключается также и предположение, что скорость а
может стать отрицательной, так что остается в качестве возможного
единственный случай, когда а сохраняет величину, равную нулю;
легко убедиться, что это и есть тот случай, который на самом деле
имеет место, так как он совместим с эмпирическими законами трения.
Действительно, трение скольжения А, при котором скорость сколь-
жения а может оставаться равной нулю, определяется по абсолютной
величине на основании уравнения (36) равенством

так как при этом Г = ± hp при со ф 0 и | Г |С hp всякий раз, как ш
исчезает, то в силу (32) получится | Г | < frp и, следовательно, | А | <fp.

б)	Рассмотрим фазу чистого качения (спонтанное качение), которая,
как мы только что видели, наступает за моментом ф когда исчезает а.
В этой фазе в любой момент удовлетворяется условие отсутствия
скольжения

Р4-гсо = О,	(27)

которое вместе с уравнениями (35) путем исключения V и А дает
уравнение

т (г2 -f- S2) со = Г,

где при со^ЕО надо положить Y = ±hp со знаком, обратным знаку со.

Поэтому в общем случае, когда значение cot величины со, соответ-
ствующей моменту не равно нулю, будет иметь место равнозаме-
дленное движение, угловая скорость которого со, начиная с момента
и до того момента, пока она будет отличной от нуля, определяется
равенством

fl or
со = о»1	(t — Z1)	•

Отсюда следует, что эта угловая скорость сведется к нулю по
истечении промежутка времени

т— Vs +	1 0)1 i

hg

в конце которого движение прекращается, потому что, как в этом
можно было бы убедиться путем рассуждения, аналогичного а), на
основании эмпирических законов динамического трения (качения)
угловая скорость со должна оставаться равной нулю.

Далее, если имеем cut = 0, то уже в момент движение прекра-
щается; можно сказать, что и эта возможность содержится в рас-
смотренном выше общем случае, так как выражение, полученное для
продолжительности фазы Т затухания движения, исчезает при со! = О.

в)	После этих предварительных замечаний мы без труда можем
отдать себе отчет о процессе затухания движения при каких угодно
начальных условиях.

Пусть Ёо и соо будут заданными начальными значениями для V и со.
Если соответствующая скорость скольжения а = Vo 4- гсоо будет равна
нулю, то уже начальный момент можно принять за тот, который ранее
мы обозначили через ilt так что остановка произойдет по истечении
некоторого конечного промежутка времени, причем будет иметь место
только чистое качение.

Если, наоборот, р0 будет отлично от нуля, то всегда можно будет
предположить, ориентируя надлежащим образом ось $, что <^>0.
Трение скольжения, по крайней мере в начале движения, будет динами-
ческим, так что закон изменения а с временем, до некоторого момента г1э
когда а обращается в нуль, определяется уравнением (36), в котором
полагаем А = —fp и | Г | hp. В правой части этого уравнения
во всяком случае будет иметь преобладающее значение отрицательный
член трения скольжения

/	/*2\

—

так как даже в самом неблагоприятном случае, когда (при <о < 0)
следует принять Г = hp, правая часть принимает значение

которое в силу соотношения (32) будет меньше нуля.

Если, далее, введем для удобства существенно положительную
постоянную

(37)

большую, чем /, то из уравнения (36) увидим, что а не только
всегда будет отрицательной, но и будет удовлетворять условию

Поэтому скорость скольжения будет постоянно убывать, и так
как замедление не меньше j\g, то, следовательно, эта скорость све-

дется к нулю за конечное время не превосходящее

ао
fig'

Таким образом, заключаем, что действительно существует момент

начиная с которого, согласно сказанному в а), начинается фаза зату-

хания движения для чистого качения.

г)	На этом теоретически исследование можно считать исчерпан-
ным; однако, с практической точки зрения, необходимо еще обратить
внимание на движение центра тяжести G (или оси в случае спаренных
колес). В частности, интересно установить, будет ли такое движение
происходить всегда в одну и ту же сторону или возможно и обратное
движение. Это обнаружится из рассмотрения скорости V, которая
необходимо будет исчезать, если только движение центра тяжести G
может изменить направление на обратное.

Начнем с замечания, что в окончательной фазе чистого качения
^<з=0), в которой, как мы это видели в б), угловая скорость при-
ближается к нулю, сохраняя всегда один и тот же знак, то же самое
будет справедливо и для У = — га; поэтому обращение движения
центра тяжести может произойти только в течение фазы скольжения,
если, разумеется, такая фаза действительно имеется.

Поэтому рассмотрим этот последний случай, полагая, что всегда
возможно, о0 > 0 и имея в виду промежуток времени, протекающий
от момента /=0 до момента /1; когда исчезает а. Так как в этом
промежутке времени мы должны положить А — —fp, то из первого
из уравнений (35) получим

v = -fg.



Таким образом, мы видим, что V во всяком случае изменяется,
постоянно убывая, так что если будем иметь Vo <10 (т. е. если
в начальный момент центр тяжести движется в сторону, противо-
положную стороне скольжения, или, в частности, выходит из состоя-
ния покоя), то не представляется возможности обращения движения;
наоборот, при Уо > 0, если обращение движения будет иметь место,
то оно необходимо будет единственным. Поэтому достаточно рассмо-
треть случай, когда вместе с а0 положительным будет также и
(скольжение и движение центра тяжести в начальный момент направ-
лены в одну сторону).

Далее, второе из уравнений (35), в котором нужно положить
А = —fp, т. е. уравнение

= Г —frp = —rp(f-~Xj,

(35а

вместе с неравенством | Г | hp и обычным условием (32) показы-
вает, что (в будет всегда отрицательным, так что в рассматриваемой
фазе <о все время будет убывать, начиная от своего начального зна-
чения <в0. Таким образом, нам придется различать два частных случая:

0 и <в0 > 0.

В первом частном случае (начальное вращение происходит от 7] к £
или, возможно, равно нулю) <о остается (или становится) отрицатель-
ным; поэтому надо положить Г — hp, и тогда равенство (36), если
воспользоваться обозначением (37), можно написать в виде

з = — fig-

Отсюда для продолжительности фазы скольжения получится зна-
чение

и в этом промежутке времени скорость центра тяжести V в силу
соотношения (35 а) будет равна

v=v0-fgt.
Теперь легко видеть, что при	скорость V не может

исчезать. Действительно, максимальное значение, достигаемое в этом
интервале величиной fgt, определится равенством

так как, по предположению, соо 0, то величина а0 = 4" гш> будучи
положительной, не превзойдет Vo, а так как как это следует
из (37), будет больше /, то имеем

уо>^ао-

Отсюда можно заключить, что при <о0	0 (и, кроме того, при

а0>0, Vo > 0) мы уже не будем иметь обращения движения центра
тяжести.

Перейдем к следующему частному случаю <о0 > 0 (начальное вра-
щение от $ к т]). Тотчас же после начального момента /=0 и до
тех пор, пока угловая скорость остается положительной, трение каче-
ния так же, как и трение скольжения, будет динамическим; поэтому
в первом промежутке времени вместе с уравнением (35а) будут удо-
влетворяться два уравнения, которые получатся из второго уравнения,
системы (35) и из уравнения (36), если в них положить Г = — hp,
А — — fp, т. е.

r<o=— f2g,	(35е)

’ = -СГ+/2)^	(36')

где для краткости обозначено

/а=?(/+4)-	<38>

Три уравнения (35а), (35б), (Зб') будут сохранять свое значение до
тех пор, пока не исчезнет по крайней мере одна из трех величин V, ®, а;
все эти три величины вначале положительны и все три убывают равно-
мерно с течением времени. Промежутки времени, необходимые длЯ1
обращения их в нуль, определяются соответственно выражениями

Ур Г«>о Jq
fg’ fig’ (f+fi)g’

где a0 = Уо4~го>о; из этих трех отношений мы тотчас же видим, что
числитель и знамейатель третьего получаются путем сложения соот-
ветственно числителей и знаменателей первых двух, поэтому, так как
речь идет об отношении между положительными числами, третье на-
верное будет заключено между остальными двумя, если они все три
не равны между собой. Из трех скоростей V, <в, а первыми могут
исчезнуть V или <о, если не все три вместе; в этом случае движение
затухает без какого бы то ни было обращения (горизонтального дви-
жения центра тяжести или вращения вокруг него).

Если первой приводящейся к нулю будет угловая скорость ш,
то момент rw^f^g, когда она исчезает, поскольку еще имеем а > О,
принадлежит к фазе скольжения, так что мы оказываемся в условиях
первого частного случая, в котором, как мы видели, движение центра
тяжести до остановки происходит постоянно в одну и ту же сторону.

Остается, таким образом, рассмотреть только предположение, что
из двух скоростей V и о> первой обращается в нуль скорость V;
это и будет единственным случаем, когда движение центра тяжести
действительно изменит свое направление на прямо противоположное.
В самом деле, так как скорость V должна постоянно убывать, начиная
от* некоторого положительного начального значения, то тотчас же
после момента t— Volfg, когда скорость обращается в нуль, она
необходимо будет принимать отрицательные значения.

Из только что сказанного следует, что для того, чтобы выполня-
лась эта возможность, необходимо и достаточно, чтобы было

Уп < ГО>0
fg fig

или же в силу (38)

+	(39)

т. е. центр тяжести изменяет направление движения на противопо-
ложное (обязательно до прекращения скольжения) только тогда, когда
в начальный момент скорость движения центра тяжести и угло-
вая скорость вращения диска вокруг него стремятся перемещать диск
в противоположные стороны и, кроме того, угловая скорость доста-
точно велика по сравнению со скоростью центра тяжести или, точнее,
удовлетворяет соотношению (39).

§ 7.	Тяжелый цилиндр на шероховатой наклонной
плоскости

20.	Уравнения движения. Рассмотрим однородный круговой ци-
линдр, лежащий на наклонной шероховатой плоскости, с образующими,
перпендикулярными к направлению линии наибольшего наклона, и
предположим, что на него действует только сила тяжести р = mg и,
конечно, реакция опоры. Мы, очевидно, имеем здесь условия п. 12,
так что можно изучать задачу о движении нормального сечения, про-
ходящего через центр тяжести цилиндра, в плоскости этого сечения,
принимая за неподвижную ось 2$ соответствующую линию наиболь-
шего наклона, направленную вниз, и за ось 2т] — перпендикуляр
к ней, направленный вверх (фиг. 5).
В каждой точке образующей касания возбуждаются, согласно зако-

нам трения, реактивные силы и моменты, которые после приведения
к точке касания О в плоскости фигуры будут вполне определены
нормальной реакцией N, направленной вверх, касательной реакцией А
или трением скольжения, направленной по оси 2$, и, наконец, мо-

ментом трения качения, перпендикулярным к плоскости фигуры,
проекцию которого на ось 2£, образующую вместе с осями 2; и 2iq

правую систему осей, мы будем
обозначать через Г.

После этих предварительных
замечаний обратимся снова к ос-
новным уравнениям (21), (22) пло-
ского движения. Так как здесь
расстояние центра тяжести G от
оси Е остается всегда равным ра-
диусу г цилиндра, то второе из
уравнений (21) дает

N = р cos а = mgcos а, (40)
где а обозначает угол наклона пло-
скости к горизонту, а первое из
уравнений (21) и уравнение (22),
если попрежнему будем обозначать

через V скорость (параллельную

оси 2;) центра тяжести, через <и = 0 — угловую скорость с надлежа-
щим знаком, через 8 — радиус инерции цилиндра относительно его

оси, принимают вид

mV = mg sin а А,

ffz82w == гД-]-Г.

(41)

(42)

Мы пришли, таким образом, к тем же уравнениям (24) и (25)
и. 16, с той только разницей, что в выражении нормальной реакции (24)
сила тяжести р заменена ее проекцией р cos а, а величины т и М
в уравнениях (25) выражены здесь в виде

т = р sin а = mg sin а, М = Г.	(43)

Далее, если введем здесь также скорость скольжения

<з = V —гео,	(26)

то из (41), (42) получим уравнение

,па- = т + (1 + ^Л + 2_Г.	(44)

Естественно, что А и Г в силу эмпирических законов трения всегда
должны удовлетворять соответственно условиям | А |	|,Г | hN,

где, как обычно, / и h обозначают коэффициент трения скольжения
и параметр трения качения. На основании равенств (40), (43) оба
эти условия можно написать в виде

И|ф	(«)

|Г|ф;	06)

при этом надо принять во внимание, что в силу тех же эмпирических
законов трения в условии (45) имеет силу исключительно знак равен-
ства во всяком состоянии движения со скольжением (j^tO) и в этом
случае знак А будет противоположен знаку а, тогда как в условии (46)
знак равенства будет иметь силу только тогда, когда налицо будет
качение (и ф 0); в этом предположении Г будет иметь знак, обратный
знаку о).

21.	Исследование возникающего движения. Мы ограничимся здесь
только рассмотрением движения цилиндра, возникающего из состоя-
ния покоя, но зато подробно разберем все возможные случаи, отно-
сящиеся к постоянным, определяющим задачу: углу наклона а, ради-
усу г и радиусу инерции 8 цилиндра, коэффициенту f и параметру k
трения.

Мы сделаем здесь одно предварительное замечание, по существу
чисто интуитивное, заключающееся в том, что ускорение во всяком
случае не будет отрицательным (V^>0), если цилиндр исходит из
состояния покоя, т. е. что центр тяжести, если он не остается не-
подвижным, движется, опускаясь. Это естественное предположение
строго оправдывается на основании теоремы живых сил. Если мы,
как обычно, обозначим через Т живую силу, через U—потенциал силы
тяжести и через L — работу сил трения, то уравнение живых сил
будет иметь вид

dT — dU = dL.

Отсюда в силу того, что величина dL, как относящаяся к силам,
имеющим характер пассивных сопротивлений, не может быть положи-
тельной, мы выводим

dT—

и, следовательно, интегрируя от любого начального момента и при-
нимая во внимание, что в начале движения живая сила равна нулю,,
будем иметь

T-(U— G0)<0.	(47)

Но если мы обозначим временно через £, vj координаты центра
тяжести G, то высота этой точки относительно горизонтали, проходя-
щей через 2, т. е. проекция на вертикаль вектора 2G = 2O-{-OG,
будет равна £ sin а -{-г cos а, так что с точностью до несущественной
аддитивной постоянной можно положить

U = rngz sin а;

из равенства (47) в силу существенно положительной природы Т
выводим, что $ — С0>0. Так как вследствие равенства нулю в началь-
ный момент скорости точки Q направление возникающего движения
совпадает с направлением ускорения, то предыдущее соотношение
для начала движения как раз дает

V>0.

Из этого же соотношения следует, что в моменты, непосредственно
следующие за начальным, скорость V, если не остается постоянно
равной нулю, будет положительной, так что на основании равенств (41),
(43) для возникающего движения во всяком случае справедливо
соотношение

т+А>0.	(48)

После этого замечания обратимся прежде всего к обычным усло-
виям, когда предельное значение тяги при качении (h/rN) меньше
предельного значения трения скольжения (/А/), т. е., как в п. 17,
предположим

|</	(32)

м будем различать для угла наклона плоскости три следующих воз-
можных случая:

а)	малый угол наклона, т. е.

. h •
tga < -;

б)	средний угол наклона, т. е.

h	. ,

где, как и в п. 19, положено

Л=/+-5(/-у);	(37)

в)	значительный угол наклона, т. е.

tga>/i-

Непосредственно за начальным моментом для цилиндра, выходя-
щего из состояния покоя, возможны a priori следующие четыре состоя-
ния: 1) равновесие (со = О, <з = 0); 2) качение без скольжения
a = 0); 3) скольжение без качения (ш = 0, а ф 0); 4) каче-
ние со скольжением (oo^fcO, a^fcO). Мы покажем здесь, что при
h r f в зависимости от того, будет ли угол наклона плоскости
в только что разъясненном смысле малым, средним или значительным,
в согласии с эмпирическими законами трения могут встретиться
соответственно первый, второй или четвертый случай, третий же
никогда не может иметь места.

а)	Малый угол наклона-,

В этом случае в согласии с законами трения будет иметь место
равновесие.

Действительно, так как ш и <з равны нулю, то в силу соотноше-
ния (26) таким же будет и V, следовательно, на основании уравне-
ния (41) будем иметь А — — т; это значение А, несомненно, удо-
влетворит условию (45), так как предположение а) в силу соотноше-
ния (32) влечет за собой соотношение tg а <;/.

С другой стороны, так как <о = 0, то уравнение (42) дает Г= — гА.
При найденном значении А будет Г = rz, а это значение Г при r<h 'tga
удовлетворяет соотношению (46).

Наконец, можно и непосредственно убедиться, что предположе-
ние а) малого наклона совместно с условием (32) заключает в себе
условие равновесия как по отношению к скольжению (tga<^/, т. е.
угол наклона не превышает угла трения), так и по отношению к каче-
нию (т. е., как это следует из рассмотрения равновесия, tga ф1гг).

б)	Средний угол наклона-, h/r <tg<x^.fr.

При этом предположении и, разумеется, при условии (32) возни-
кающее движение будет чистым качением (ш ф 0, а — 0).

Чтобы подтвердить это, заметим прежде всего, что в возникаю-
щем движении угловая скорость <о будет отрицательной, так как на
основании соотношения (26) V= — гы, а V, как и во всяком дру-
гом случае, должно быть больше 0; поэтому из неравенства (46),
которое здесь будет фигурировать как равенство, принимая во внима-
ние, что Г и ш должны быть с противоположными знаками, получим

Г =-/г-т.
tga

Подставляя это значение Г в (44) и полагая в нем о = 0, придем
к уравнению

О + й'4=-(1+4-^)-

определяющему трение скольжения Л; теперь все сводится к про-
верке того, что значение, полученное таким образом для А, удовле-
творяет условию (45). При найденном значении А условие (45) при-
нимает вид

14---^-
' tg a f
или

tg« +4	+ 4);

это соотношение есть не что иное, как заданное условие

в)	Значительный угол наклона: tga>/j.

Мы утверждаем, что при этом предположении и при условии (32}
возникающее движение будет качением со скольжением (<о ф О,
az£0).

Для такого движения соотношения (45), (46) будут равенствами,,
откуда на основании неравенства (32) следует, что ] Г | <г | А после
этого из уравнения (42) получим, что знак <о будет совпадать со зна-
ком А, который в свою очередь в силу законов динамического тре-
ния противоположен знаку а. С другой стороны, так как движение
начинается из состояния покоя, то знак <о тотчас же вслед за на-
чальным моментом будет совпадать со знаком ш, откуда окончательно
видим, что а и <о имеют противоположные знаки. Но так как
У=о— гы и тотчас же после начального момента должно быть
V > 0, то оба слагаемых с одинаковыми знаками могут быть только
положительными, и мы получаем два неравенства з > О, <о < 0, из
которых видно, что цилиндр катится и скользит вниз. Следовательно,
условия (45), (46) дают

Г = — т,
tga	tga ’

а эти два выражения позволяют проверить, что в равенстве

Г Д- г А — »io2o)

обе части будут действительно отрицательными.

Здесь уместно изложить вкратце результаты исследования. Мы
убедились, что при условии (32) покой, чистое качение и качение
со скольжением представляют собой три вида возникающего движе-
ния, согласные с эмпирическими законами трения, соответственно
в трех случаях а), б), в); предоставляем читателю убедиться, что
в каждом из этих случаев остальные три типа возникающего дви-
жения, возможные a priori, но которых мы не рассматривали, должны
быть исключены как противоречащие законам трения.

Для полноты рассмотрим также случай, практически исключитель-
ный, когда предельное значение силы тяги при качении превосходит или
по крайней мере равно предельной силе трения скольжения, т. е.
когда в противоположность условию (32) мы имеем

(«)'
Таков, например, случай цилиндра с очень маленьким радиусом
(вязальная игла), опертого на гладкую наклонную плоскость.

В этом предположении достаточно различать два частных случая:
а') Малый угол наклона-, tga^/. Как и в случае а), при усло-
вии (32), покой будет совместим с законами трения. Действительно,
для состояния покоя уравнения (41) и (42) дают

А — — т, Г = — г А = гт.

Первое из этих значений удовлетворяет условию (45) в силу соот-
ношения	второе удовлетворяет условию (46) в силу (49).

б') Большой угол наклона: tg a >/. При этом условии возникающее
движение, совместимое с законами трения, будет чистым скольжением—
случай, которого мы еще не рассматривали. Для такого движения
имеем со = 0, а ф 0, и так как здесь а тождественно со скоростью V,
которая, как мы знаем, положительна, то необходимо должно быть
a > 0. В силу этого равенство (45) дает

tga

а равенство (42) дает для Г значение

Г=—М = Д т,

tga

удовлетворяющее условию (46) в силу (49); в виде проверки можно
показать, что при найденном значении А ускорение V= (т-j-Д)/ги
действительно будет положительным.

Здесь мы предоставляем читателю доказательство единственности,
т. е. подтверждение того, что в каждом из двух случаев а'), б') при
условии (49) всякий другой тип возникающего движения, помимо
рассмотренного, привел бы к противоречию с законами трения.
Объединим теперь в таблицу результаты, полученные в предыдущем
исследбвании:

tga.С/	покой;

возникающее движение чистого ка-
чения;

возникающее движение качения со
скольжением;

возникающее движение чистого
скольжения.

Заметим теперь, что четыре изложенные здесь структурные гипо-
тезы наравне с четырьмя соответствующими возможностями возни-
кающего движения исчерпывают все возможные случаи и являются,
кроме того, такими, что всегда должен необходимо выполняться
один из них, между тем как три остальные исключаются; поэтому
на основании известного закона логики результаты, полученные
нами, обратимы, т. е. четыре возможных типа возникающего движе-
ния определяются каждый структурными условиями, соответственно
указанным в приложенной выше таблице.

§ 8. Установившееся поступательное движение и продольная
устойчивость самолета

22.	Самолет можно представить себе схематически состоящим из:
а) центральной части, в грубом приближении призматической, назы-
ваемой фюзеляжем и несущей мотор и летный состав; б) одной или
большего числа поверхностей крыльев (несущих поверхностей);
в) других поверхностей (хвостовое оперение, рули и т. п.), предназна-
ченных для обеспечения устойчивости и для маневрирования; г) винто-
моторной группы (один или больше винтов).

Эта сложная система имеет, по крайней мере приближенно, пло-

скость симметрии, в которой лежит
и ось Ох фюзеляжа. Когда аппарат
опирается на горизонтальную по-
верхность, ось Ох располагается
приблизительно горизонтально и пло-
скость симметрии занимает верти-
кальное положение.

Для определенности мы будем
называть полет нормальным, или
установившимся, когда плоскость
симметрии остается вертикальной и
ось Ох скользит горизонтально вдоль
самой себя с постоянной скоростью.
Мы будем рассматривать здесь дви-

центр тяжести О всей системы

Фиг. 6,

жения, которые хотя и не являются нормальными, но мало откло-
няются от нормального полета в том смысле, что плоскость симмет-
рии самолета, оставаясь вертикальной, скользит вдоль самой себя,
а ось Ох немного отклоняется от горизонтали, проходящей через О
(фиг. 6).

Тем самым мы отвлекаемся от всякого возможного отклонения

плоскости симметрии самолета от вертикальной плоскости, проходя-
щей через ось Ох (боковое смещение центра тяжести, вращение
вокруг оси Ох, или боковая качка, вращение вокруг оси Оу, пер-
пендикулярной к Ох в плоскости симметрии, или рыскание). Мы будем
рассматривать, таким образом, плоское движение.

Чтобы максимально упростить постановку задачи, предположим,
что поверхность крыльев схематически изображается в плоскости
движения посредством отрезка GA. Далее, мы будем представлять
себе ось Ох ориентированной в направлении движения; выберем за

4 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Аиальдк
положительное направление вращения вокруг G в плоскости движе-
ния то, которое идет от Ох к вертикали, направленной вверх, и
введем четыре угла: 1) так называемый угол носовой качки (угол
тангажа), т. е. угол 6, по абсолютной величине меньший тс/2, обра-
зуемый осью Ох с горизонталью, проходящей через точку G; 2) угол i
между осью Ох и прямой GA, определяющий положение профиля
крыльев; 3) так называемый угол атаки а, образуемый направлением
вектора скорости центра тяжести ч> с профилем крыльев GA; 4) угол <р
между осью Ох и направлением вектора скорости v.

Очевидно, имеем

a — i— <р;	(50)

заметим теперь же, что при нормальном полете 0 = 0, ® = 0, a — i>
так что при движении, близком к нормальному, определенном выше,
угол й надо принять существенно положительным.

Направляй ось Gy в плоскости движения вверх, перпендикулярно
к оси Ох, найдем для проекций vx, vy скорости центра тяжести <о
выражения

©a, = z>cos<p, vy = v sin <р.	(51)

23.	Если, далее, примем для простоты массу самолета за единицу,
то дифференциальные уравнения движения в проекциях на только
что выбранные подвижные оси принимают вид (п. 14)

= #х, vy + <юх = Ry,	(52)

82® = Д.,	(53)

где символы имеют обычное значение и, в частности, <о обозначает
угловую скорость 6. Теперь все сводится к тому, чтобы уточнить
природу силг действующих на самолет при указанных выше условиях.

В основном играют роль три силы: вес, сопротивление воздуха
и сила тяжести винта, которые для простоты мы будем предполагать
отнесенными к единице массы.

Так как нисходящая вертикаль образует с подвижными осями Ох,
Оу соответственно углы 6—J—тг/2, 0-]-л, то проекции силы тяжести
будут — g sin 0, — g cos 0.

Что же касается сопротивления воздуха, то в условиях продоль-
ного полета оно приводится к единственной силе Ф, приложенной
в точке С оси, называемой центром давления. Многочисленные
опыты1) позволяют утверждать, что, по крайней мере для малых

Ч См., например, С г о с с о, Di un importante coefficiente di stabilita negli
aeroplani, Rend. Lincei, т. XVIII, 19091, стр. 571—575; Sulla stabilita laterals
degli aeroplani, Rend, delle esperienze... aeronautiche del Genio, Anno II
(1912)» стр. 77—142. Painlev6 — Borel — Maurain, L’Aviation, Paris.
1923; заметку I Fuchs — Hopf, Aerodynamik, Berlin, 1922: ч. И, гл. Ill,
См. также трактаты Bothezat (Paris, 1911) и В г у an (London, 1911), в ко-
торых рассматриваются некоторые частные задачи об устойчивости движе-
ния аэроплана.
углов атаки а и для малых углов тангажа 6, компоненты Ф„, Ф„
вектора Ф по ориентированному направление скорости v центра
тяжестй и по направлению нормали v, ориентированной относительно V,
как ось у относительно оси х (называемые соответственно лобовым
сопротивлением и подъемной силой) выражаются в виде

Ф„ = — (Хаа-{-/) и2, Ф„ = Хат»2,	(54)

где Хи/ суть положительные коэффициенты, причем второй обычно
мал по сравнению с единицей (и, следовательно, им можно пренебречь
в первом приближении), а угол а, как мы видели, связан с углами i
и <? формулой (50).

Наконец, обозначим через X и Y компоненты по осям Gx и Gy
силы тяги винта и через /И, результирующий момент относительно
центра тяжести всех действующих сил.

24.	При нормальном полете, можно принять, что сила тяги винта
направлена по оси Gx самолета (К = 0); при этих условиях уравне-
ния (52), (53) должны удовлетворяться величинами 0 = <р = О,
va> — v0~ const,	“ = 0.

Таким образом для уравнений движения мы имеем частное реше-
ние статического типа; так как в этом случае ориентированные на-
правления скорости v и перпендикуляра к ней v совпадают соответ-
ственно с направлениями подвижных осей Gxy, то уравнения (52),
(53) дают

— (Хг3 + /)г>о + ^=О. — £ + Хй>о = О, Л4, = 0.	(55)

Заметим прежде всего, что второе из этих уравнений показывает, что
при заданном угле атаки (который здесь совпадает с углом наклона
профиля крыльев к горизонту) всякий самолет имеет вполне опре-
деленную, соответствующую этому углу скорость установившегося
движения v0, и если нужно изменить эту скорость, то не достаточно
изменить режим мотора, а необходим, кроме того, некоторый маневр,
изменяющий угол атаки.

Отметим далее, что первое из уравнений (55) определяет интен-
сивность силы тяги, которая должна быть развита мотором для преодо-
ления (прямого) сопротивления воздуха; из второго из уравнений (55)
мы видим, что при этих условиях подъемная сила в точности урав-
новешивает силу тяжести. Можно сказать, что подъемная сила воз-
никает по существу благодаря сопротивлению воздуха и только
косвенно — благодаря работе мотора.

25.	Предыдущие результаты, относящиеся к нормальному полету,
могут служить отправной точкой для исследования движения более
общего вида. Мы не намерены здесь входить в подробности и, отсы-
лая к специальным, цитированным выше сочинениям, ограничимся
лишь некоторыми вопросами, относящимися к условиям продольной
устойчивости установившегося полета, т. е. устойчивости полета по
отношению к тем движениям в вертикальной плоскости, близким
к установившемуся, которые мы указали в п. 23.

По существу все будет зависеть от проекций X и Y, силы тяги
винта и момента М^, которые соответствуют этим возмущенным дви-
жениям.

Что касается силы тяги винта, то наиболее приемлемые экспери-
ментальные результаты позволяют считать, что поскольку режим
работы мотора не изменяется, то X и Y сохраняют величины
(Xta-|-/)'n3 и 0, которые они имеют при нормальном полете.

Далее, относительно момента Л1: всех внешних сил необходимо
прежде всего отметить, что так как речь идет о моменте относительно
центра тяжести, то момент силы тяжести равен нулю. То же самое
можно сказать и о силе тяги винта, поскольку, как только что было
сказано, можно принять, что в возмущенном движении она остается
приблизительно осевой. Поэтому остается принять во внимание только
момент относительно центра тяжести сопротивления воздуха или,
еще точнее, местных действий потока воздуха на отдельные элементы
поверхности самолета. Очевидно, по крайней мере в первом прибли-
жении, что эти действия зависят только от скоростей частиц воздуха
относительно отдельных элементов поверхности, а эти скорости в свою
очередь зависят от величины v поступательной скорости и от угла
атаки а. Так как мы намерены рассмотреть здесь малые колебания
около нормального полета, когда будем иметь v = vQ, а. — i, то нам
придется приписать момету который должен исчезать при v = vQ,
a = i, выражение вида

— v*{c(v—+	— г)},	(56)

где с и обозначают две постоянные; теперь мы можем убедиться,
что для устойчивости необходимо, чтобы эти две постоянные были
положительны. Это следует из обычного статического критерия
(т. I, гл. XIII, п. 23), согласно которому силы должны стремиться
привести систему к нормальному режиму. В случае нашей задачи
пара с моментом должна быть такой, чтобы, действуя отдельно,
заставить самолет повернуться и привести v к ч>0 и а к i; это как
раз и означает, что каждый из двух членов суммы (56) должен
иметь знак, обратный соответствующему возмущению v — v0 и а — I.
Наконец, из опыта известно, что из двух членов более важным
является тот, который зависит от возмущения угла атаки; так что
в первом приближении можно прямо положить с = 0.

Следует заметить, что вращению самолета в его плоскости симме-
трии противодействуют пассивные сопротивления, которые, поскольку
речь идет о малых колебаниях (медленных), можно, как известно,
схематически представить в виде сопротивления вязкого трения,
т. е. сопротивления, пропорционального 0, и со знаком, всегда обрат-
ним знаку угловой скорости. В результате, полагая в выражении (56)
с = 0 и замечая, что на основании соотношения (50) имеем а —• Z — —<р,
мы приходим к выражению

—с3®0ё,	(57)

где с2, как и clf есть положительная постоянная. Две пары, со-
ответствующие двум слагаемым момента принято называть соот-
ветственно восстанавливающей и демпфирующей парой (гл. I, п. 58).

Разъяснив таким образом поведение сил при продольном движе-
нии, близком к любому нормальному движению, мы в состоянии
теперь вывести соответствующие уравнения в вариациях. Для этой
цели мы должны снова взять общие дифференциальные уравне-
ния (52), (53), приписать в них величинам Rx, Ry, ЛЬ только что
найденные значения и положить v — v0 е, рассматривая s, ср, 0 как
величины первого порядка и, следовательно, пренебрегая членами
второго порядка относительно них.

Это, между прочим, приводит к тому, что вместо cos® и sin ср
мы должны подставить соответственно 1 и ср, благодаря чему ра-
венства (51) примут вид

^ = ® = ®о + а>

а для левых частей уравнений (52) получим выражения

г, (? + &)•	(58)

Что касается правых частей этих уравнений, то прежде всего мы
займемся теми слагаемыми, которые зависят от сопротивления воздуха Ф.

На основании формул (50), (54) можно положить, приписывая
значок нуль значениям, принимаемым величинами Ф„, Ф, и их произ-
водными при нормальном движении,

I

так как ср есть угол поворота, переводящего систему осей Gxy
в систему ©у, то отсюда получим

Ф® = Ф«— ®Ф,=Ф°—
о	(59)

Ф^ = срфцФЧ = Ф ч-|-djS — ^2ср,
где для краткости положено

«1 = - (^ )° = 2 (^+/) f0.	а2 = — Ф” — (^)° » <

®° = 2^о’	=

заметим, что коэффициенты alr а2, Ь* все положительны.
Вспомним, кроме того, что при движении, близком к нормальному
полету, можно принять

Х= (Xi^+Z) 4 к=о,

и заметим еще, что соответствующие проекции силы тяжести — ^sinO
и —geos 6 равны приближенно — gb и — g.

Принимая во внимание это обстоятельство, а также формулы (57),
(59) и выражения (58) левых частей равенств (52), (53), мы легко
увидим, что соответствующие уравнения в вариациях, представляю-
щие отклонения от любого нормального полета, принимают вид

$ +	-ф-	= 0,

—	-|- v0<p -ф- 62<p + V(ft — 0,

—	S29-|- c2t>09 = °-

(60)

Эти уравнения и позволяют разобрать вопрос о продольной устой-
чивости самолета.

В согласии с рассуждениями п. 23 гл. VII здесь речь будет идти
о линейной устойчивости, и так как конкретное явление, для кото-
рого рассматривается эта устойчивость, по существу относится к бу-
дущему, то достаточно будет применить к системе (60) общий кри-
терий устойчивости в будущем, относящийся к решению статического
типа.

Следовательно, необходимо решить характеристическое уравнение,
которое, как мы знаем, получится, если В уравнениях (60) положить
е = Х1е*#, р = Х2ег<, 0 = Х8е**

и приравнять нулю определитель коэффициентов kt, Х2, Х3.

Таким образом, мы придем к уравнению четвертой степени отно-

сительно z		
	о о"	
Д(г) =	—Ьг VqZ-]- Ьг	voz	= 0,
	0	— с^о	

и искомые условия устойчивости выразятся в том алгебраическом
факте, что корни этого уравнения (или характеристические показа-
тели, относящиеся к любому установившемуся полету) должны иметь
отрицательные действительные части или равняться нулю.

Если заметим, что коэффициент •п083 при г4 является существенно
положительным, то, в частности, увидим, что устойчивость требует,
чтобы известный член Д (0) = c^v^g был тоже положительным, так
как иначе многочлен Д(г) переходил бы от отрицательных значений
к положительным при изменении z от нуля до бесконечности и имел
бы поэтому один действительный и положительный корень. Таким
образом, подтверждается из динамических соображений уже сделан-
ное нами на основании статических соображений допущение^ что
постоянная ct должна быть положительной.

Мы не будем останавливаться на полном разборе других условий
устойчивости и ограничимся замечанием, что, поскольку постоянные
й2> ^1> ^2» с1> с2 и зависят от конструкции основных деталей
самолета, неравенства, выражающие эти условия, дают столько же
соотношений между конструктивными параметрами или правил при
маневрировании *).

§ 9. Критические замечания относительно эмпирических
законов трения

26.	Пэнлевех) первый заметил, что в некоторых случаях эмпи-
рические законы трения могут привести к затруднениям логического
порядка.

Можно сказать, что цель построения схемы любого механического
явления заключается в том, чтобы указать однозначное распределение
ускорений отдельных точек данной материальной системы, когда
известны свойства связей и действующих на систему сил и задано
начальное состояние движения. Однако можно привести примеры
материальных систем (мы укажем здесь один простейший, принадле-
жащий самому Пэнлеве), для которых при вполне определенных силах
и начальных условиях движения последовательное применение зако-

*) Первые работы по динамике и устойчивости самолета принадлежат
Н. Е. Жуковскому (.Динамика аэропланов в элементарном изложении";
статья первая, Труды отд. физ. наук Общ. любителей естествознания, т. XVI,
вып. 2, 1913, стр. 33—50; статья вторая, т. XVIII, вып. 1, 1916, стр. 49—67).

Николай Егорович Жуковский родился в 1847 г. в д. Орехово Вла-
димирской губ., умер в 1921 г. в Москве. Окончил Московский университет
в 1868 г.; в 1876 г. защитил магистерскую диссертацию, а в 1882 г. — доктор-
скую диссертацию на тему: „О прочности движения'. С 1886 г. Н. Е. Жу-
ковский— профессор Московского университета и с 1887 г. — профессор
Московского высшего технического училища. В 1894 г. Н. Е. Жуковский
был избран членом-корреспондентом Академии наук, а в 1900 г. был
выдвинут кандидатом в действительные члены, но снял свою кандидатуру,
не желая переезжать в Петербург.

Н. Е. Жуковский принадлежал к числу немногих ученых, которые
с одинаковым успехом работали и над отвлеченными теоретическими вопро-
сами, и над практическими задачами, выдвигавшимися современной ему
техникой. Основные работы Н. Е. Жуковского относятся к динамике твер-
дого тела, к устойчивости движения и гидромеханике. Однако наибольшую
известность доставили ему работы по теоретической и экспериментальной
аэродинамике; он справедливо считается основоположником теории авиации.
В начале девятисотых годов он организует аэродинамические лаборатории
при механическом кабинете Московского университета, в Кучино под
Москвой и в Московском высшем техническом училище. В 1918 г., после
Великой Октябрьской социалистической революции при его участии был
организован Центральный аэрогидродинамический институт в Москве, Пол-
ное собрание сочинений Н. Е. Жуковского в десяти томах впервые было
издано в 1937 г. {Прим, ред.)

х) Р. Painleve, Lecons sur le frottement et applications, Paris, 1895.
нов механики приводит к заключению, что невозможно определить
ускорения в согласии с законами трения или можно дать несколько
различных распределений ускорений, которые все одинаково спра-
ведливы. В результате, как это может показаться с первого взгляда,
перестает оправдываться так называемый механический детерминизм.

Необходимо, однако, сейчас же заметить (и мы разъясним это на
приводимом ниже примере), что такое несоответствие можно объ-
яснить, отбрасывая гипотезу о непрерывности явлений движения или,
точнее, допуская, что в указанных выше особых случаях наступают
почти мгновенно резкие изменения состояния движения. Они-то и слу-
жат отправной точкой для получения уравнений, определяющих рас-»
пределение ускорений, совместимое с законами трения. Важно заме-
тить, что такие резкие изменения состояния движения часто встре-
чаются в действительности и изучаются в теории так называемого
импульсивного движения (ср. гл. XII).

27.	Пример, который мы хотим здесь рассмотреть, относится
к круглому тяжелому диску, который, будучи вынужден двигаться

в вертикальной плоскости, может катиться и скользить по горизон-
тальной неподвижной и шероховатой прямой 2$, как уже предпола-
галось в § 6, но с той существенной разницей, что диск не является
однородным. Обозначим по-

тяжести от С; обозначив через 6 угол
будем иметь х0 =» р cos 0, у0 == р sin 0 и,

прежнему через г радиус
диска, через V скорость (го-
ризонтальную) геометриче-
скую центра С, через ш—
угловую скорость (со зна-
ком в смысле, установлен-
ном в п. 14) и введем коорди-
наты х0, у0 центра тяжести G
относительно С (точнее, от-
носительно двух осей с нача-
лом в С, параллельных и
одинаково направленных с
неподвижными осями 2Ь]) и
расстояние р = CG центра
полупрямой СО с осью ?,
следовательно,

х0 = — У о ~

так как ® = б. Разлагая движение диска на поступательное движе-
ние, определяемое движением центра С, и вращательное движение
вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через
его центр (т. I, ч. 1, гл. III § 5, п. 14), мы найдем для проекций
скорости точки G на оси 2$ и 2 т; выражения V—wy0, шх0; если
представим себе, что диск находится под действием исключительно
своего веса р = mg и реакции опоры (в точке О) с составляющими А
(трение скольжения) и N (нормальная реакция), то уравнения движе-
ния центра тяжести примут вид:

mTt('V~ = mTt	Р-	(61)

Результирующий момент двух внешних сил относительно центра
тяжести Q сводится к моменту реакции и имеет величину (гЦ-^о) —XqA7,
так что скалярное уравнение моментов относительно центра тяжести
принимает вид

/пй2ш = (г -J- _у0) А — XqN.	(62)

Исключая угловое ускорение ш из этого уравнения и из второго
из уравнений (61) и подставляя вместо х0 его значение — соуо, мы
придем к уравнению

W3-l{(' + yoM — х0^}— АН-Р = О. (63)

Покажем теперь, как можно осуществить и притом сколь угодно
большим числом способов неоднородный диск и сообщить ему такое
движение, что уравнение (63) будет несовместимо с законами трения.

Прежде всего представим себе такое состояние движения: 1) пусть
диск находится в соприкосновении со своей опорной прямой и рас-
положен так, что центр тяжести его G лежит на горизонтальной
полупрямой, проведенной через С в сторону возрастающих абсцисс,
так что вначале имеем х0 = р, уо = О» 2) в начальный момент Zo
сообщается диску поступательная скорость У>0 вдоль опорной
прямой (ш0 = 0).

В этом случае уравнение (63) для начального момента, когда
А — — fN, дает

лф-£(р+/'-)}=^;	(64)

покажем, что, распределяя подходящим образом массу диска, всегда
можно добиться того, чтобы количество

H=£(p+/r)	(65)

было больше единицы, в силу чего из уравнения (64) будем иметь,
что 7V<0; это неравенство противоречит предположению, что диск
действительно опирается на прямую.

Чтобы показать, как это достигается, обратимся к особенно про-
стому случаю, когда неоднородность диска происходит от одной
единственной массы т1У присоединенной в некоторой (эксцентричной)
точке Р однородного диска с массой т0. Обозначив через рх расстоя-
ние СР, которое мы будем предполагать меньшим г, и положив
т^= т0-\~т1г будем иметь прежде всего

тр = mjPt,
или же, обозначая через k отношение т{/т0,
ъ

р = т+тр'-	(66)

Для вычисления 88, квадрата радиуса инерции диска, вспомним
прежде всего, что для однородного диска радиуса г и массы /и0 мо-
мент инерции относительно центра С (т. I, гл. X, п. 33) равен mor8/2,
а относительно точки G, по теореме Гюйгенса, он равен

w0(t + P3)>

так что момент инерции диска с добавочной массой т1 относительно
его центра тяжести G определится равенством

ж82 =	р2 ) _|_ щ (Р1 _ р)2.

Отсюда, принимая во внимание равенство (66), получим

S2 1	/г2 , k 2\

и, наконец, для количества Н, определяемого равенством (65), полу-
чим выражение

И —

2^ + (1 + А)га ’

Будем теперь рассматривать Н как функцию одного аргумента k,
считая заданными г, f и рр Что равносильно тому, что однородный
диск и положение Р добавочной массы т, считаются неизменными,
а масса тх меняется.

Так как речь идет о рациональной функции, всегда положитель-
ной при k > 0 и стремящейся к бесконечности вместе с k, то непо-
средственно ясно, что если взять достаточно большое k, т. е. до-
статочно большую добавочную массу щ, то будем иметь Я>1и,
следовательно, N 0, что противоречит экспериментальным данным. 28

28. Это противоречие, как уже отмечалось в общем случае в п. 26,
можно устранить, если принять во внимание, что в силу самого спо-
соба, каким диск приводится в движение, возникают мгновенные
реакции, резко, изменяющие начальное состояние движения.

Вот более точное истолкование явления, хорошо согласующееся
с экспериментальными данными: в тот самый момент, когда диску
сообщается толчок вдоль горизонтальной опоры, в течение весьма
короткого промежутка времени происходят сложные явления дей-
ствия упругих сил, которые можно схематически представить в виде
системы импульсов, имеющих определенную результирующую и опре-
деленный результирующий момент. Эта -система импульсов вызы-
вает почти мгновенное уничтожение скорости скольжения и в то
же время —• возникновение определенной угловой скорости ш0, бла-
годаря чему состояние движения сразу приводится к- виду, совме-
стимому с экспериментальными законами трения.

Мы не будем дальше задерживаться на этом вопросе и ограни-
чимся указанием на особенно простой пример, данный Клейном1).

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Показать, что приведенная длина маятника, состоящего из однород-
ного стержня, подвешенного за один из его концов, равна 2Z/3, если I есть
длина стержня.

2.	Из двух шаров с равными радиусами и одинаковым весом один запол-
нен равномерно распределенной массой, а другой является полым, с центром
Тяжести в геометрическом центре. Если оба шара подвешены на нитях рав-
ной длины и приведены в колебательное движение, то полый шар колеблется
медленнее сплошного. Мы имеем, таким образом, способ отличить один шар
от другого.

3.	Однородная палочка, изогнутая в виде дуги круга, колеблется в вер*
тикальной плоскости под действием собственного веса около средней точки.
Доказать, что длина эквивалентного простого маятника совпадает с диамет-
ром той окружности, дугу которой составляет изогнутая палочка.

4.	Тяжелый однородный твердый стержень АВ своими концами скользит
без трения по круговому желобку радиуса г, расположенному в вертикаль-
ной плоскости. Речь идет (если отвлечься от способа осуществления связей)
о тяжелом твердом теле, которое может вращаться около центра О желобка.
Если обозначим через 2а центральный угол, стягиваемый стержнем, как хор-
дой, то для приведенной длины / простого изохронного маятника будем
иметь выражение

В частности, 1 = г при а 60°.

5.	Неоднородный круговой диск радиуса R может вращаться вокруг
своей оси, расположенной горизонтально. Обозначим через т его массу,
через А — момент инерции относительно оси вращения, через г—расстоя-
ние центра тяжести О от геометрического центра О (находящегося на оси)
и предположим, что на диск, кроме его собственного веса, действует доба-
вочный вес, плечо которого равно радиусу /? диска, что можно осуществить
посредством добавочной массы т\, подвешенной на нити, имеющей ничтож-
ную массу и обернутой вокруг диска.

Обозначая через 0 угол между OG и нисходящей вертикалью (отсчиты-
ваемый, как положительный, в ту сторону, в которую нагрузка, действуя
одна, стремилась бы вращать диск), показать, что:

1)	уравнение движения будет

/jf) = — g (mr sin 6 —
где

А1 — A 4- «i/?2;

2)	равновесие возможно только при условии, что

«1	< j.

____________ т г ’

х) Zur Painleve’s Kritik der Coulombschen Reibungsgesetze, Gesamm, math,
Abh. т. II, Berlin, 1922, стр. 704—709.
3)	при этом условии будут два положения равновесия, одно устойчивое,
другое неустойчивое;

4)	если в0 есть значение 9, соответствующее положению устойчивого
равновесия, то малые колебания диска около этого положения будут опре-
деляться тем же уравнением, что н в случае простого маятника длиной

mgr cos 0О’

Замечая, что существует интеграл живых сил в виде

HjS2 == 2g {mr cos 0 mjT? (0 + а)},
где а есть постоянная, рассмотреть возможные движения на основе общих
рассуждений § 6 гл. I.

6.	Составить уравнение движения тяжелого твердого тела, вращающегося
вокруг негоризонтальной оси.

Обозначая через а угол наклона оси к горизонту и пользуясь в осталь-
ном символами, принятыми для физического маятника, находим

Л<5 = — mgr cos a sin 0.

7.	Дверь шириною b (и постоянной плотности) неправильно подвешена
на петлях, так что ось вращения немного наклонена относительно вертикали
(в плоскости, в которой дверь расположена, когда она закрыта). Когда
ее открывают, вращая на угол я/2, она не остается открытой и закрывается
через г секунд.

На основании предыдущего упражнения, в котором надо положить
а = тс/2 — I, а также (т. I, гл. X, упражнение 16) А/т = &2/3, г = 0/2, опре-
делить i в функции от b и т (которое удобнее измерять, чем Z).

Получится

з1пг = ^(2,62)2,

3^’

где 2,62 есть численное значение так называемого лемнискатного интеграла

Y cos 0
о

(см., например, Э. Чезаро, Элементарный учебник алгебраического анализа
и исчисления бесконечно малых, ч. II, 1914, § 764, с, стр. 362).

8.	Горизонтальная ось а физического маятника находится в поступатель-
ном горизонтальном движении со скоростью t, изменяющейся с временем.
Показать, что по теореме Кориолиса движение маятника вокруг а будет
происходить так, как если бы эта ось была неподвижна и к каждому мате-
риальному элементу dm тела была приложена сила инерции переносного
движения— dmi. что равносильно предположению, что к центру тяжести,
помимо веса, приложена сила — mi.

Доказать, что движение определяется уравнением

/0 = — gsin 0 — о cos 0,

где, как обычно, обозначены, через — 0 угол, который образует плоскость, про-
ходящая через центр тяжести маятника и через ось а, с вертикальной пло-
скостью, через I — приведенная длина физического маятника и через v—со-
ставляющая т, перпендикулярная к а.
9.	В упражнении 16 гл. 5 определить реакции (нормальные), испытывае-
мые стержнем АВ со стороны направляющих, по которым он скользит своими
концами.

Из основных уравнений или, если угодно, из принципа Даламбера следует,
что вес стержня, реакции и силы инерции должны уравновешиваться, так что
искомые реакции X в В и У в А эквивалентны весу и силам инерции, взя-
тым с обратным знаком.

Предположим для определенности, что центр тяжести G стержня нахо-
дится в его средней точке, которая при движении остается на постоянвом
расстоянии АВ/2 = Z/2 от О (т. I, гл. у, п. 12). Отсюда следует, что если <f
есть острый угол ОВА (дополнение угла б, рассматриваемого в упомянутом
упражнении), то составляющие ускорения точки G суть в радиальном
направлении к 0, /£/2 в перпендикулярном направлении в сторону возрастаю-
щих <р, т. е. вниз. Следовательно, составляющие ускорения по осям Ох, Оу
имеют выражения

у Z (— <р2 sin 4" ? cos <f),	cos <f — sin );

искомые реакции X и У определяются в виде

1	..	1	/	„	2g\

X=-^ml (— sin <p 4- <p cos <f), У = — mt ( — «f2 cos sin 4~ “/ ) •

Так как движение определяется уравнением

••	3 g .

<? =^-~sin<f,

cos <f — cos <t0 4- у cos 1.

которое, если стержень предоставлен самому себе с углом наклона в со-
стоянии равновесия, допускает интеграл энергии

$2 = — 3 -f (cos — cos %),

то для реакции в точке В справедливо выражение, зависящее только от
угла <?,

х = ~2 ’яяйп?

Мы видим отсюда, что когда стержень опускается и, следовательно, <f воз-
растает, то реакция X, вначале положительная, убывает и, наконец, исчезает
для того значения угла <j, которое удовлетворяет равенству

2
cos ?i = у cos <f0;

после этого реакция X становится отрицательной.

Отсюда вытекает интересное следствие. Когда стержень просто опирается
на вертикальную направляющую Оу (односторонняя связь), он, предоста-
вленный самому себе с начальным наклоном <f0, начинает опускаться, оста-
ваясь в соприкосновении с Оу до тех пор, пока угол наклона не достигнет
значения затем стержень отделяется от вертикальной направляющей. Дей-
ствительно, опора может осуществить только положительную реакцию (Х>0),
а в настоящем случае при получилось бы Х<0.

10.	Общее положение кинетостатики, указанное в § 2, допускает инте-
ресное обобщение, к которому мы придем, рассматривая вместо целого твер-
дого тела S, находящегося в движении, одну из его частей
Предполагая, что известны внешние силы, действующие на всю систему,
можно считать также известными результирующую /?х и результирующий
момент Mi (относительно неподвижной или совпадающей с центром тяжести
точки системы Sx) той части внешних сил, которые действуют на Sx. Но
наряду с этими силами придется рассматривать, как внешние относительно Sx,
воздействия (усилия), которым эта часть тела S подвергается вследствие
своей связи с оставшейся частью; замечание, о котором здесь идет речь,
состоит в том, что, составляя основные уравнения для Sb мы сможем опре-
делить результирующую Ф и результирующий момент Г этих усилий. Дей-
ствительно, обозначая через Qx и Д) количество движения и результирующий
момент количеств движения части 5Х, будем иметь

ф _ dQi р г	м

ф-~аГ r~-di

Чтобы, иметь наглядное приложение этого замечания, рассмотрим случай
балки (т. I, гл. XIV, § 5) и попытаемся определить касательное и нормаль-
ное усилия и моменты кручения и изгиба, относящиеся к любому сечению а.

Обратимся, в частности, к цилиндрической однородной балке с осью ОА,
могущей вращаться без трения под действием своего веса в вертикальной
плоскости вокруг точки О; обозначив через т полную массу, через I—длину
балки, через б — угол отклонения ее от вертикали (нисходящей), через х —
расстояние ОР от О любого нормального сечения а, будем искать силы,
с которыми ОР действует на,часть РА.

Предположим для простоты, что плоскость симметрии балки совпадает
с вертикальной плоскостью, в которой происходит движение. Тогда ясно,
что в этой плоскости будет лежать искомая сила Ф, а момент Г, который
мы будем предполагать взятым относительно точки Р, будет перпендикуля-
рен к ней. Поэтому все сведется к определению трех скалярных величин
вместо шести, как это имеет место в общем случае.

Обратимся прежде всего к силе Ф, представляя ее разложенной на две
составляющие — радиальную ->, направленную к точке О (нормальное усилие
или растягивающая сила), и трансверсальную т в направлении возрастаю-
щих 0 (касательное усилие или срезывающая сила).

В силу однородности балки масса части ее РА будет т (I — х)/1 и центр
тяжести этой части будет лежать на расстоянии I + х/2 от точки О. Так
как угловая скорость равна б, то составляющие вектора dQ^dt на основа-
нии известной формулы Q = будут иметь выражения

т(Р — х2) т (Z2— х2) v

2/	’	2/

а аналогичными составляющими веса будут

I — х „ I — х . й,
—т& —1—cos в» — ms—j—sin °;

поэтому (Ri сводится к весу части РА) будем иметь

т (/2 — х2)	I — х „

Ч =	21.. б2 + mg —— cos 6,

т (Р — х2) ••	/ — х . „

< =.. 2/------ 6 + mg sin 9.

Что касается Г, То, как уже было отмечено, достаточно определить его
составляющую Га по оси вращения а (нормаль в точке О к вертикальной
плоскости движения), которую будем подразумевать ориентированной так,
чтобы направление, соответствующее возрастанию -6, было правовращающим;
для этой цели удобно воспользоваться уравнением моментов количеств дви-
жения относительно центра тяжести части РА балки.

Так как момент Г отнесен к точке Р, то составляющая по оси а момента
относительтно центра тяжести усилий, действующих в сечении Р, будет (т. I,
гл. I, п. 33)

С другой стороны, момент веса относительно центра тяжести равен
нулю, а момент инерции части РА относительно ее центра тяжести есть
(т. I, гл. X, п. 30)

m(Z —х)«

12/

Так как составляющая по оси а вектора dfG/dt (гл. IV, п. 20) имеет величину

Ж(/-Х)3..

12/

то из уравнения моментов количеств движения имеем

1	° ~	12/	+ 2

Естественно, что в этой формуле, как и в тех, которые были получены
ранее для -v и -г, вместо 0 и 6 нужно подставить их выражения, которые вы-
водятся в теории движения маятника.

И. Найти результаты предыдущего упражнения, рассматривая вместо
части РА балки часть ОР, смежную с осью вращения. Естественно, что в этом
случае к внешним силам помимо веса необходимо причислить реакцию непо-
движной точки О.

12.	Рассмотреть в вертикальной плоскости шарнирный антипараллело-
грамм ABCD со стороной CD, закрепленной горизонтально (фиг. 8). Если
массы сторон ВС, AD ничтожно малы, то можно рассматривать движение
несвободного твердого стержня АВ, находящегося только под действием
собственного веса. Мы рассмотрим здесь слу-
чай, когда центр тяжести G стержня АВ »и
совпадает со средней его точкой, и этот X.

стержень целйком находится ниже горизон- X.

тали CD. Обозначим через 2с общую длину	"X;

сторон АВ, CD, через 2Ь — наибольшее удале-	X.

ние от прямой CD, которого может достиг- А

нуть точка G (и соответствующего положе- ^****^^^ X.

нию равновесия, когда сторона АВ будет гори-
зонтальной, как и CD); положение АВ будем
определять углом 20, по предположению
острым, который прямая АВ образует с гори-	<₽иг- °-

зонталью CD.

Как мы видели в кинематике (т. I, гл. V, п. 17), в плоском движении
стороны АВ мгновенным центром будет точка / пересечения сторон ВС, AD
и геометрическим местом точек / относительно АВ и CD (подвижная и
неподвижная полодии) будут два равных эллипса с фокусами в точках А, В
И С, D, имеющие в любой момент в качестве общей касательной прямую 10,
биссектрису угла 20.

Если возьмем подвижные оси с началом в G, одна из которых Gx совпа-
дает с GO, а другая Gy направлена вверх, т. е. от G к CD, то из известных
формул аналитической геометрии найдем выражения координат х, у точки 1
в функциях параметра 0 в виде

X __	<2 sin 0	у __ b cos 6

<2 У^а2 sln20 -J- b2cosa0 ’ b j/^sin2 0-|-b2cos20 ’
где в2 = b2 + с2.

Заметив это, доказать, что живая сила Т системы и потенциал ее 17
имеют соответственно значения

Т = -^-А (20)2, U = 2mg cos О "Уa2 sin2 0 -f- b2 cos2 0,

где m есть масса стержня АВ и А — полярный момент инерции его отно-
сительно точки /, определяемый выражением m (82-|-х2-|-_у2), если 8 есть
центральный радиус инерции этого стержня.

Вывести, в частности, из предыдущих формул, что при 0 = 0 будем
иметь устойчивое равновесие только в том случае, если Ь^>с, и что в этом
предположении при малых колебаниях около положения устойчивого равно-
весия система ведет себя как простой маятник длиною

2(63-f-&2)&

Ь3 — с2

13.	Тяжелый круглый диск с центром тяжести в геометрическом центре
катится без скольжения по произвольной кривой, расположенной в верти-
кальной плоскости. Исследовать движение. Обозначим через X кривую, через
Р — точку соприкосновения диска с кривой X и через — угол нормали в Р
к кривой X с вертикалью, направленной вниз, предполагая, что положитель-
ное направление на этой нормали выбрано определенным, хотя и произволь-
ным образом.

Обозначив через г радиус кривизны кривой в точке Р и через а — ра-
диус диска, подтвердить, что абсолютная величина скорости точки Р равна
г | f |, абсолютная величина скорости центра диска С (который описывает
кривую X', параллельную X) равна | (г zt а) <р|. где надо взять знак плюс или
минус, смотря по тому, находятся ли центр кривизны кривой X и диск отно-
сительно касательной к кривой в точке Р с противоположных сторон или
с одной и той же стороны.

Благодаря отсутствию скольжения диск должен иметь угловую скорость,
по абсолютной величине равную

~1 (г ± а) 41,

так что его живая сила, если обозначить через m массу, через о центральный
радиус инерции, будет

Т = j m (г ± а)2 (1 +	42.

С другой стороны, при перемещении ds = | г ± а | dy центра С вес диска,
приложенный в этой точке, совершает элементарную работу

dU — ± mg (г =t a) sin <р d<$,

где знак надо выбрать таким образом, чтобы было dUs 0, смотря по тому,
будет ли перемещение ds нисходящим или восходящим. Движение опреде-
лится уравнением живых сил dT — dU, которое интегрируется непосред-
ственно.

Если кривая X есть окружность с радиусом г>в и диск катится внутри
нее, то у Г надо взять знак минус, а потенциал U, так как теперь в качестве
угла можно взять центральный угол, соответствующий дуге окружности X,
соединяющей самую нижнюю ее точку с точкой Р, определится равенством

U = mg (г — a) cos 9 4~ const.

В этом случае диск ведет себя как простой маятник длиной
/	о2\

14.	На основании формул п. 11 показать, что уравнения, определяющие
малые колебания двойного маятника (вертикального), около конфигурации
устойчивого равновесия ^ = ^ = 0 будут иметь вид

Av + mr (rip ф- Xipj) 4- mgry = 0,

+ ml (rep + Xipt 4- g (m1rl 4- mX) <pj = 0.

Положив

Д i r . /	A 4- «X2 _ »гХг	_

mr' ~ ’	т\Г\ -\-mK ~~ ’ mxrx 4- mX ~ ’

доказать, что l представляет собой приведенную длину второго маятника S
в предположении, что точка О является неподвижной и что X' также есть
приведенная длина, но не главного маятника Si, а воображаемого маят-
ника Sv который получился бы из Sr если бы мы в О поместили всю массу
маятника S.

Доказать также, чтобы этим воспользоваться немного позже, что g/l и
g/X' представляют соответственно квадраты постоянных частот маятников S
и Sp

Уравнения малых колебаний можно написать в виде

X<pi + + S'? — 0,

X'?j4-Z'$ 4-g<Pi = 0;

рассмотрение показательных решений вида <р — peist, ^.= ^6^ приводит
к биквадратному характеристическому уравнению

— M'z* 4- (g — X'z2) (g — Zz2) = 0.

Проверить, основываясь на значениях величин Z, I', V, что в этом урав-
нении коэффициент (X'Z— XZ') при z* всегда будет положительным, так что
при z2-*oo многочлен в левой части стремится к положительной бесконеч-
ности. Так как этот многочлен при z2 = 0 принимает тоже положительное
значение g2 и остается постоянно отрицательным в интервале, имеющем
концами g/X' и g/l, то можно убедиться, что характеристическое уравнение
для z2 дает два положительных значения: одно — меньшее меньшего из двух
значений g/X', g/l, другое — большее большего из них.

Замечая, что величина | z | пропорциональна главной частоте колебаний,
вывести, что главные частоты двойного маятника являются внешними по
отношению^ интервалу, заключенному между частотами двух воображаемых
маятников S и Sp

15.	Два физических маятника S, St имеют одну и ту же плоскость ка-
чаний и точки подвеса О, Oj, расположенные на одной и той же вертикали-
но в то время как маятник S находится в нормальном положении, т. е.
с центром тяжести G под точкой О, маятник St оказывается перевернутым
так, что центр тяжести его G± лежит над точкой Ор Это достигается посред-

5 Зак. 2368. Т. Левн-Чивнта и У. Амальдн
ством следующего приспособления: маятник Sj оканчивается стержнем, имею-
щим направление OjGi и несущим на конце шарик, который может скользить
без трения вдоль цилиндрической полости, просверленной в теле маятника S.
Таким образом, система приведена только к одной степени свободы.

Обозначив через Z, Zt длины двух маятников, через т, тг — нх массы и
положив OG = г, OjGx = Гц проверить, что неравенство mrl* > тггхР дает
условие того, что конфигурация, в которой OG и OjGi будут расположены
на одной прямой (вертикально), является положением устойчивого равновесия,
и доказать, что продолжительность малых колебаний (простых) около такой
конфигурации определяется выражением

п

Alf + Л/2

йг.(/иг4—»г1гт/2)

где A, Ai обозначают моменты инерции маятников относительно соответ-
ствующих осей подвеса.

16.	В возникающем движении неизменяемой плоской системы, выхо-
дящей из состояния покоя, распределение ускорений при обычном значении
символов определяется формулой

ар = «о + “ X ОР.

Пользуясь основными уравнениями (2Н), (22), вывести отсюда, в част-
ности, что составляющие возникающего ускорения любой точки Р суть

где х,у обозначают координаты точки Р относительно осей с началом
в центре тяжести.

17.	Однородный стержень АВ поддерживается в горизонтальном поло-
жении равновесия посредством двух нитей равной длины Z, прикрепленных
к стержню в точках Л и В и подвешенных за две точки Ai и Вь верти-
кально расположенные соответственно над А и В.

Воображая, что нить В;В перерезана, определить начальное натяжение Т
второй нити.

Для этой цели удобно применить формулу предыдущего упражнения
к точке А, о которой известно, что она должна оставаться на расстоянии I
от неподвижной точки Aj. Поэтому ее начальное ускорение может быть
только горизонтальным. С другой стороны, заметим, что внешние силы
сводятся к весу, приложенному к центру тяжести G, и к натяжению Г
нити AiA, действующим в вертикальном направлении — одна вниз, другая
вверх.

Предполагая ось Gy вертикальной и направленной вверх, достаточна
выразить, что вначале вертикальное ускорение точки А есть нуль, и принять
во внимание, что для этой точки у — 0, чтобы заключить, что в начальный
момент имеем Т = mg, т. е. имеем двойное натяжение по сравнению с тем
которому подвергается нить в статических условиях.

18.	Предположим, что скольжение стержня, о котором шла речь в упраж-
нении 9, происходит с трением как в А, так и в В, и для определенности
допустим, что коэффициент трения f имеет одно и то же значение на обеих
направляющих.

Прилагая теорему живых сил и принимая во внимание все внешние
силы, действующие на стержень, составить уравнение движения.
Замечая, что реакции ничего не прибавляют к элементарной работе,
находим

.. з &	f

<? =у sin zp —t (X sin ? + Y cos ?),
где X и Y имеют выражение, указанное в упражнении 9, и знак минус
берется для нисходящей фазы.

19.	Однородный шар катится без скольжения по наклонной шерохова-
той плоскости (с углом наклона i к горизонту) по прямой наибольшего
наклона. Определить реакцию плоскости в точке соприкосновения.

Эта реакция имеет составляющими 2zng,sinz/7 по линии наибольшего
наклона и mg cost по нормали (вверх), так что эта последняя имеет ту же
величину, что и в статических условиях.

Здесь мы также встречаемся с кажущимся парадоксом (ср. т. I, гл. XIII,
п. 33), что трение скольжения направлено в сторону движения; и здесь еще
сохраняет силу объяснение, что такая сила не является в действительности
ни движущей силой, ни сопротивлением, потому что вследствие отсутствия
скольжения ее точка приложения будет всегда иметь нулевую скорость.

20.	Исследовать качение по горизонтальной плоскости тяжелого круглого
цилиндра, центр тяжести которого Q находится на расстоянии г от оси,
предполагая, что прямая, параллельная образующей и проходящая через G,
является главной осью инерции для тела (ср. п. 12).

Рассматривая нормальное сечение, проходящее через G, мы сведем задачу
к двум измерениям (движение диска).

Обозначая через а радиус диска, через С—центр, через Р—точку каса-
ния, через 6 —угол PCQ, будем иметь

PG2 = а2 -|- г2 — 2ar cos 0,
так что если 6 есть центральный радиус инерции и т — масса тела, то
момент инерции А относительно образующей касания будет

А = т (о2 4- a2 -f- г2 — 2ar cos 0).

Принимая во внимание, что существует интеграл живых сил

Л О2 — mgr cos 0 = const,
показать, что малые колебания около положения устойчивого равновесия
0 = 0 будут одинаковы с качаниями простого маятника длиною

824- (а —г)2
г

21.	Возьмем снова задачу предыдущего упражнения, сведем ее к случаю
плоского движения и примем во внимание также и скольжение.

Можно возвратиться к уравнению живых сил в виде
а (Т— U) = dL,
где Т—U имеет выражение

у Л03 — mgr cos 0,
указанное в предыдущем упражнении;

dL = — fmg  PG • 1 d0 |,
где f есть коэффициент трения, и

PG2 = а2	гг — Чаг cos 6.

Дополнить исследование (способом, аналогичным тому, который был раз-
вит в пп. 50—51 гл. I), выяснив, прекратится или будет продолжаться дви-
жение после того, как угловая скорость сделается равной нулю.

22.	Прямолинейный стержень АВ опирается концом А на горизонтальную
шероховатую плоскость. В начальный момент он составляет угол а0 с вер-
тикалью, направленной вверх, и предоставлен самому себе. Требуется опре-
делить наименьшую величину, которую может иметь а0 в функции от коэф-
фициента трения f в точке опоры (и от структурных постоянных), для того
чтобы конец А стержня не скользил по плоскости во время падения.

Решение сводится к тому, чтобы определить реакцию плоскости в точке А,
предполагаемой неподвижной, и указать наибольшую величину отношения
между двумя составляющими X и Y (горизонтальной в направлении проек-
ции АВ и вертикальной) этой реакции. На основании общего критерия
кинетостатики (п. 4), уже применявшегося в упражнении 9, реакция плоско-
сти в точке А дается непосредственно первым из уравнений (5), В настоя-
щем случае, если обозначим через г расстояние центра тяжести Q стержня
от А, производная от результирующей Q количеств движения будет иметь
составляющими, как в упомянутом упражнении, га2 по GA и га в перпенди-
кулярном направлении (ориентированном в сторону возрастающих а). Так как
горизонтальная и вертикальная составляющие вектора сводятся здесь к О
и — mg, то имеем

X = тг ( — a2 Sin а -|- а COS а),

Y = тг — а2 cos а — а sin а + -у .

С другой стороны, уравнение движения и интеграл живых сил, от-
правляясь от допущенных начальных условий (а = а0, скорость равна нулю),
можно написать соответственно в виде

(i2	г2) а = gr sin а, (S2	г2) а2 = 2gr (cos а0 — cos а),

где о обозначает центральный радиус инерции стержня.

Принимая во внимание эти равенства, будем иметь

X _ sin а (3 cos а — 2 cos а0)

+ COS а (3 COS а — 2 COS а0)

а отсюда, в частности, мы видим, что f не должно быть меньше начального
значения только что написанного отношения, т. е.

sin а0 COS а0

4- COS2 а0

Для того чтобы также и при а = л/2 было	требуется, далее,

чтобы

1 г2
COS

Принимая это во внимание (а также и то, что 82/г2^1), проверить, что
предыдущее выражение отношения X[Y, рассматриваемое как функция от а,
имеет всегда отрицательную производную в замкнутом интервале а0 < а < л/2.
Следовательно, отношение Л/ Y, исчезающее в этом интервале (при 3cosa =
= 2 cos а0), принимает наибольшую абсолютную величину на концах а0 и
тг/2 интервала.

Дополнить исследование доказательством того, что указанное выше огра-
ничение

1	О2
cosa0<-^/

является не только необходимым, но и достаточным

23.	Исследовать возникающее движение по горизонтальной шероховатой
плоскости тяжелого стержня, находящегося под действием внешних сил.
Ср. G. Bisconcini, Boll, della Unione mat. ital., Anno IV, 1925; nn. 3—4;
стр. 109—113.

24.	Изучить динамически колебания вращающегося горизонтального вала.

Случай установившегося вращения был рассмотрен как задача об от-
носительном равновесии в § 3 гл. XVI т. I. (Динамическую трактовку
см. С. М е 11 i, Nuovo Cimento, т. XXV, 1923, стр. 77—85.)
Глава VIII

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

§ 1. Общие соображения о движении твердого тела около
неподвижной точки или около центра тяжести

1.	Уравнения Эйлера. В динамике неизменяемых систем типичной
задачей с тремя степенями свободы наряду с плоским движением
является задача о движении твердого тела, закрепленного (без тре-
ния) в одной из своих точек О. Эта задача является одной из важ-
нейших задач всей механики не только вследствие большого разно-
образия конкретных вопросов, которые к ней приводятся, но также
и благодаря тем теоретическим выводам, которые из нее могут быть
получены.

Об общей постановке ртой задачи мы уже имели случай говорить
в п. 2 предыдущей главы. Обратимся снова к указанным там рассуж-
дениям и попутно разъясним и дополним их.

При изучении движения твердого тела, конечно, удобно исходить
из основных уравнений. Уже само предположение о неподвижности
точки О прямо подсказывает, что центр приведения сил или центр
моментов нужно взять в этой точке, благодаря чему основные урав-
нения, отнесенные к галилеевым осям принимают свой наиболее
простой вид

= *	(D

•£=«	(2)

Здесь внешними силами, для которых R и М являются результи-
рующей силой и результирующим моментом относительно неподвиж-
ной точки О, очевидно, будут силы, прямо приложенные (внешние),
и реакция, развивающаяся в О.

Далее, как и в случае твердого тела с закрепленной осью (гл. VII,
п. 5), предположим, что, зная активные силы и ничего не зная за-
ранее о реакции в точке О, мы хотим определить движение твердого
тела около неподвижной точки.

Неизвестная реакция, как одна из составляющих результирующей
силы R, входит только в уравнение (1), так как, будучи приложена
в точке О, она не оказывает влияния на величину момента М и по-
тому уравнение (2) от нее не зависит; твердое тело имеет в этом
случае три степени свободы, и потому для определения движения
тела на основе прямых данных задачи (и начальных условий) доста-
точно одного векторного уравнения (2) (как мы уже отмечали в п. 2
предыдущей главы).

Это основное уравнение можно сделать более наглядным и более
удобным для изучения, если отнести его к осям х, у, z, неизменно
связанным с телом и имеющим начало в точке О, после чего оно,
как известно, примет вид

=	(3)

где и обозначает угловую скорость подвижных осей, т. е. угловую
скорость самого тела относительно осей SStjC, а К есть производная
от К по времени t относительно осей Охуг.

В качестве подвижных осей удобно взять три главные оси инер-
ции твердого тела относительно точки О. При этой системе от-
счета проекции результирующего момента количеств движения К на
оси Охуг имеют простейшие выражения (гл. IV, пп. 16, 19)

Кх = Ар, Ky = Bq, Кг=Сг,	(4)

где А, В, С обозначают три главных момента инерции твердого тела
-относительно точки О (которые, конечно, должны быть даны) и
р, q, г — неизвестные составляющие по осям Охуг угловой скоро-
сти о> этой системы отсчета (т. е. самого твердого тела) относи-
тельно инерциальной системы отсчета 2£т£.

Если обозначим теперь через Мх, Му, 7Иг проекции на подвиж-
ные оси результирующего момента Л1 внешних активных сил относи-
тельно точки О, то уравнение (2) после проектирования на три оси
(главные оси инерции) х, у, г приводит к трем скалярным уравне-
ниям

Ap-(B-C)qr = Nix, |

Bq —(С—А)гр — Му, )	(5)

Сг — (Л— B)pq = Mr J

Эти уравнения, частный случай которых мы уже встречали в п. 13
предыдущей главы, представляют собой классические уравнения
Эйлера — уравнения движения твердого тела около одной из его
точек.

Важно отметить, что, вообще говоря, нельзя утверждать, что точ-
ная и определенная постановка задачи исчерпывается только одними
уравнениями (5). Проекции Мх, Му, Мг момента М внешних актив-
ных сил в самом общем случае выражаются в функции времени, ско-
ростей отдельных точек твердого тела и их положения в пространстве,
или, что то же самое, положения твердого тела по отношению
к осям Далее, в то время как скорости различных точек
тела выражаются при помощи известной кинематической формулы

“ X ОР
в функции от р, q, г и от положения этих точек или, что то же
самое, от трех произвольных параметров, определяющих ориентировку

твердого тела в пространстве, в конечном виде, самые угловые ско-

рости р, q, г в силу их при-
роды связаны с этими тремя
параметрами соотношениями
дифференциального типа.
Отсюда становится ясным,
что для полной постановки
нашей задачи мы должны
прежде всего выбрать эти
параметры и затем присоеди-
нить к уравнениям Эйлера(5)
дифференциальные соотно-
шения между р, q, г и вы-
бранными параметрами.

Выбрав, например, в ка-
честве параметров углы Эй-
лера 0, ср, ф, определяющие
положение подвижных осей

Oxyz относительно осей (фиг. 9), присоединим к уравнениям (5)
известные, чисто кинематические уравнения (т. I, гл. III, пп. 32, 34)

р = 6 cos фф sin ф sin О,

q = — 9 sin ф ф cos ® sin 6,

г =

(6)

Так как Му, Мг в уравнениях (5) можно теперь рассматривать
выраженными в конечном виде как функции от 0, ср, ф, р, q, г и t,
то уравнения (5) и (6) представляют собой систему дифференциаль-
ных уравнений первого порядка (очевидно, приводимую к нормаль-
ному виду) для шести неизвестных функций 0, ср, ф, р, q, г времени.
Исключая р, q, г, мы можем привести ее к эквивалентной ей системе
второго порядка с неизвестными функциями 6, ф, ф. Как в том, так
и в другом случае общее решение зависит от шести произвольных
постоянных, которыми, можно располагать так, чтобы найденное общее
решение удовлетворяло начальным условиям при произвольно задан-
ных начальном положении твердого тела и начальной угловой скорости.

Ничего другого нельзя прибавить в отношении определения этого
движения до тех пор, пока мы не введем какого-нибудь ограничи-
вающего предположения о природе действующих сил или о матери-
альной структуре тела, различные примеры чего мы дадим в следую-
щих параграфах.

Здесь же в общей теории необходимо отметить, что всякий раз,
как только будет определено движение твердого тела, первое основ-
ное уравнение (1) однозначно определит в функции времени реакцию-
неподвижной точки О аналогично тому, как это было в соответ-
ствующем статическом случае (т. I, гл. XIII, п. 55).

2.	Движение свободного твердого тела около центра тяжести.
Согласно тому, что мы видели в п. 2 предыдущей главы, второе
основное уравнение принимает вид

(3)

также и для свободного твердого тела, лишь бы за центр приве-
дения (и начало подвижных осей) был взят центр тяжести тела.
Здесь, естественно, не может быть речи о реакции в точке О, так
что М означает результирующий момент только внешних активных
сил (на этот раз относительно центра тяжести). Уравнение (3) после
проектирования на главные центральные оси инерции твердого тела
дает три дифференциальных соотношения между характеристиками
р, q, г (движения относительно центра тяжести) и моментами Мх, Му, Mz,
которые формально также имеют вид уравнений Эйлера (5). Но здесь
по сравнению со случаем предыдущего пункта имеется существенная
разница. Если мы введем параметры ориентировки твердого тела, на-
пример углы Эйлера, определяющие ориентировку центральных осей
Gxyz относительно инерциальной системы отсчета то момент М
так же, как и активные силы, мы будем рассматривать зависящим
не только от аргументов 9, ф, ф, р, q, г (и f), связанных с движе-
нием относительно центра тяжести, но также и от положения и ско-
рости (абсолютной) самого центра тяжести. А так как движение
центра тяжести определяется первым основным уравнением (вспом-
ним теорему о движении центра тяжести гл. V, п. 6), то мы видим,
что для определения движения свободного твердого тела около центра
тяжести недостаточно рассматривать основное уравнение моментов
изолированно, как при движении около неподвижной точки, но не-
обходимо также (по крайней мере в общем случае) обратиться к об-
щей постановке динамической задачи о движении твердого тела, рас-
сматривая совместно оба основных уравнения.

§ 2.	Быстрое вращение твердого тела и элементарные
гироскопические явления

3.	Элементарная теория гироскопических явлений. Мы сделаем
здесь небольшое отступление от наших рассуждений, чтобы напом-
нить и несколько точнее описать некоторые механические явления,
невольно обращающие на себя внимание каждого, кто их наблюдает.
Каждый из нас, конечно, замечал, что быстро вращающиеся твердые
тела обнаруживают необычное поведение по отношению к силе тяже-
сти. Диск, катящийся быстро по земле, колеса велосипеда во время
езды на нем, волчок, быстро вращающийся вокруг собственной оси,
показывают, что при быстром вращении не наблюдаются, по крайней
мере полностью, обычные эффекты действия силы тяжести. Мы ука-

зали здесь некоторые примеры тех явлений, которые принято назы-

вать гироскопическими.

Под названием гироскоп (которое впервые, повидимому, ввел
Фуко для прибора, построенного Боненбергером [2] в Тюбингене
в 1877 г.) в физике подразумевается прибор, в его простейшей форме

Фиг. 10.

состоящий из металлического однородного мас-
сивного диска, насаженного в его центре О
(фиг. 10)" перпендикулярно к его плоскости на
ось, концы которой опираются в двух диамет-
рально противоположных точках А, А' на метал-
лическое кольцо, свободно вращающееся вокруг
своего диаметра, перпендикулярного к АА'.
Концы В, В' этого второго диаметра опираются
на концы полукруглой вилки; эта вилка сама
свободно вращается вокруг своей оси, поме-
щенной своим нижним концом в муфту, вделан-
ную в устойчивую подставку, которая должна
опираться на горизонтальный стол. Согласно
терминологии, принятой нами в гл. IV, п. 17,
массивный диск вместе с неизменно связанной
с ним осью АА' (поскольку он является твер-
дым телом вращения, обладающим относительно
прямой АА' полной геометрической и динами-
ческой симметрией) и представляет собой гиро-

скоп в узком смысле; подвес же, описанный выше, предназначен для
того, чтобы этот гироскоп мог свободно вращаться вокруг своего
центра тяжести О.

Представим себе, далее, что гироскопу сообщено очень быстрое
вращение вокруг его оси АА' и что прибор опирается на стол, в силу
чего эта ось АА' займет определенное направление. Если теперь мы
попробуем отклонить ось АА' от этого направления, поворачивая
рукой кольцо около его диаметра ВВ' или вилку вокруг ее верти-
кальной оси, то почувствуем тотчас же сопротивление, значительно
большее того, которое могли бы вызвать силы, действующие на ось,
если бы гироскоп был в покое (относительном). Если, далее, мы
возьмем подставку прибора в руку и будем перемещать прибор как
угодно в пространстве (конечно, не слишком быстро и избегая рез-
ких движений), то увидим, что ось АА' гироскопа, находящегося
в быстром вращении, будет сохранять неизменным свое первоначаль-
ное направление относительно окружающих предметов. Если бы мы
воспользовались более тонкими приспособлениями, способными лучше,
чем вилка и муфта, обеспечить свободную подвижность гироскопа
вокруг его центра тяжести и поддерживали бы в течение длитель-
ного времени, например при помощи электромотора, быстрое вра-
щение, to увидели бы, что и суточное вращение Земли не изменит
направления оси АА': ось останется неизменно направленной в одну и ту
же точку небесной сферы. Это утверждение, основанное на экспери-
менте, носит название принципа сохранения направления гироскопи-
ческой оси.

На этом приборе можно наблюдать и другое явление, столь же
важное, но не столь очевидное. Прикладывая к оси гироскопа в любой
ее точке силу F, например силу тяжести, мы достигнем того, что
сопротивление гироскопической оси будет преодолено и она будет
смещаться. Но это смещение будет происходить не так, как можно
было бы ожидать, т. е. не в плоскости, проходящей через ось и линию
действия силы, а в направлении, перпендикулярном к этой плоскости.
Тщательное наблюдение позволяет описать явление более точно.
Сила F, приложенная в любой точке оси, например в точке А, имеет
относительно центра тяжести О определенный момент М, который
будет перпендикулярным (и направленным в определенную сторону)
к плоскости, проходящей через силу F и ось. Под действием силы F
ось гироскопа (направленная, как обычно, в ту сторону, относительно
которой предположенное быстрое вращение гироскопа оказывается
правым) будет стремиться расположиться по направлению и в сто-
рону момента М. В этом и заключается так называемый принцип
стремления к параллельности (оси гироскопа с моментом действую-
щей силы).

Пользуясь уравнением моментов количеств движения, мы сможем
теоретически объяснить оба найденные выше экспериментальным путем
свойства движения тяжелого гироскопа; начнем с разбора принципа
стремления к параллельности. Заметим теперь же, что для объясне-
ния этого явления совсем несущественно предположение, что речь
идет о твердом теле, имеющем гироскопическую структуру; доста-
точно предположить, что ось, вокруг которой происходит быстрое
вращение, совпадает с одной из главных осей инерции твердого тела.

4.	Качественное объяснение стремления оси быстрого вращения
к параллельности с моментом действующих сил. Чтобы изложить
вопрос в наиболее общем виде, возьмем твердое тело какой угодно
структуры и рассмотрим любое движение тела вокруг одной из его
точек О, предполагаемой неподвижной или совпадающей с центром
тяжести. Уравнение моментов количеств движения, отнесенное к инер-
циальной системе осей и написанное в виде

dK=M dt,
показывает, что приращение за любой элемент времени результирую-
щего момента К количеств движения параллельно результирующему
моменту М внешних сил, так что можно сказать, что вектор ЛГ
с течением времени стремится расположиться параллельно М.

Представим себе теперь, что тело очень быстро вращается вокруг
одной из своих главных осей инерции; выражаясь точнее, примем за
подвижные оси Oxyz главные оси инерции твердого тела относительно
точки О и, обозначая через р, q, г соответствующие проекции угло-
вой скорости и, предположим, что в промежутке времени, в течение
которого рассматривается движение, г так велико по сравнению’
с р, q, что каждое из отношений pjr, q[r можно рассматривать как
количество первого порядка, т. е. можно считать, что

где s есть малая величина, которой можно пренебречь в первом при-
ближении.

Отсюда следует, что угол 6, образованный линией действия век-
тора о) или мгновенной осью вращения и единичным вектором k,
направленным по оси быстрого вращения Ог, весьма мал, так как

<s /2,

так что ось мгновенного вращения приблизительно совпадает с глав-
ной осью инерции Oz.

При этих условиях также и результирующий момент К количеств:
движения совпадает приблизительно с осью Oz. Действительно,
угол — Kk определяется соотношением

tg«i— Qr	---Qi--

и потому весьма мал, если предположить, что А, В, С являются
величинами одного и того же порядка.

Поэтому ось Oz будет вести себя так же, как и главный момент
количеств движения отсюда мы сейчас же заключаем, что ось
быстрого вращения стремится расположиться параллельно результи-
рующему моменту М.

Необходимо отметить, что в то время, как приближенное совпа-
дение мгновенной оси вращения с осью Oz имеет место во всяком
случае при одном только предположении о том, что угловая скорость
вращения вокруг Oz велика, последнее утверждение о приблизитель-
ном совпадении направлений К и Ог существенным образом основано
на том, что быстрое вращение происходит вокруг главной оси инер-
ции. Действительно, если бы этого не было, то числитель в выраже-
нии, определяющем tg 0j, зависел бы также и от г, так что ничего
нельзя было бы утверждать о порядке величины угла 6j.

5.	Качественное объяснение принципа сохранения направления
гироскопической оси. Для объяснения этого второго явления обра-
тимся специально к твердому телу S гироскопической структуры
относительно одной из его точек О, принимаемой за неподвижную
или совпадающей с центром тяжести.
Напомним, что под этим, по терминологии, установленной в п. 17
гл. IV, подразумевается, что эллипсоид инерции тела относительно точ-
ки О будет эллипсоидом вращения (А = В). Вспомним, кроме того, что,
выбрав оси Oxyz, в которых Oz является гироскопической осью
(т. е. осью этого эллипсоида вращения), и обозначив через k соот-
ветствующий единичный вектор и через А и С—главные моменты
инерции, соответственно экваториальный и осевой, мы можем выра-
зить угловую скорость и и результирующий момент количеств дви-
жения К в виде

to =-с —rk, = Ас —Crk,	(7)

где вектор е есть экваториальная составляющая вектора <о.

Добавим к этому простое замечание кинематического характера.
Очевидно, что движение твердого тела будет вполне определено,
если, начиная с определенного начального момента, когда задано
положение твердого тела относительно его оси Oz, будет известен
для любого момента единичный вектор k (t) и скаляр г (/) или гиро-
скопическая угловая скорость.

Легко видеть, что экваториальная составляющая e(t) угловой ско-
рости однозначно определяется только единичным вектором k(t). Дей-
ствительно, вспомним прежде всего одну из формул Пуассона (т. I,
гл. III, п. 19).

(8)

которое в силу первого из равенств (7) приводится к виду

Обратим теперь внимание на то, что геометрическое умножение
вектора е справа на единичный вектор k, перпендикулярный к нему,
равносильно повороту вектора е вокруг вектора k на прямой угол
в направлении левого вращения. Если, далее, вектор е X k умно-
жается еще раз векторно на тот же самый единичный вектор k, но
слева, то вектор е будет приведен в свое начальное положение, т. е.
будет иметь место тождество ])

с = k X (е X k);

в нашем случае, принимая во внимание соотношение (9), найдем

(10)

т) Это является частным случаем известного тождества, относящегося к
двойным векторным произведениям (т. I, гл. I, п. 26),

®1 X О X ®з) = (®1  ®з)	— (®1 • ®») ®3-

Достаточно предположить, что и3 совпадают с одним и тем же единич-
ным вектором k, перпендикулярным к = е.
Заметив это, сравним два различных движения твердого телаг
в которых единичный вектор k изменяется по одному и тому же
произвольно заданному закону k (/), угловая же скорость г в первом
движении постоянно равна нулю, а во втором велика, например со-
храняет определенное постоянное весьма большое значение. Вычислим
моменты М, М* сил, которые должны быть приложены, чтобы осу-
ществить как первое, так и второе движение соответственно.

Для этой цели начнем с указания, что в силу замечания, сделан-
ного выше, экваториальная составляющая е угловой скорости будет
в любой момент иметь одно и то же значение для обоих движений,
а оба результирующих момента К и К* количеств движения, наобо-
рот, будут различными, поскольку для первого г = 0, а для второго
г — г0, и будут определяться равенствами

К=Аё, К* = Ае Crjt.

Теперь достаточно применить в обоих случаях уравнение моментов
количеств движения (2) и принять во внимание для второго случая
равенство (9), чтобы заключить

М = М* = А^ + СгоеХк,	(И)

и, следовательно,

М* = М 4- Croe X к.	(12}

То обстоятельство, что приращение М* — М определяется произ-
ведением вектора Се X k, одинакового в любой момент в обоих дви-
жениях, на скалярную величину г0, показывает, что необходимое
усилие для изменения положения гироскопической оси по заданному
закону движения, при прочих равных условиях, будет тем более, чем
быстрее вращение вокруг этой оси. Далее, если при очень большом
г0 необходимо очень значительное усилие, то ясно, что небольшие-
усилия могут дать только ничтожный эффект; этим как раз и объяс-
няется стремление тел с гироскопической структурой, быстро вра-
щающихся около оси симметрии, сохранять приблизительно неизмен-
ным (относительно неподвижных звезд) направление своей оси, даже
если небольшими усилиями пытаются вызвать ее отклонение.

Выше мы ограничились сравнением моментов 7И, Л1*, соответ-
ствующих двум заданным движениям. Так как оба эти момента являются
экваториальными, как это следует из равенств (11), то каждый из
них можно представить себе осуществленным посредством силы, при-
ложенной к оси Oz в произвольно заданной точке Р и перпендику-
лярной к ней. Далее, интересно также сравнить и обе эти силы
F, F*, которые, если положить ОР = 1, определятся соответственно
двумя уравнениями

lk^F=M, Ik^F* = М*,
причем каждая сила перпендикулярна к вектору k. Отсюда на осно-
вании замечания, сделанного выше, об эффекте векторного умножения
вектора на единичный перпендикулярный к нему вектор получим

и, следовательно, на основании равенства (12)

=	-£го0.

Присутствие множителя г0 во втором слагаемом еще раз указы-
вает на стремление гироскопической оси сохранить свое направление
в пространстве; в этой форме доказательство кажется даже более
наглядным, так как последнее равенство дает прямо величину тре-
бующейся силы [3].

6.	Замечание о возникающем движении. В виде дополнения к пре-
дыдущим качественным соображениям обратимся еще раз к твердому
телу S гироскопической структуры и представим себе, что после того,
как ему сообщено быстрое вращение вокруг гироскопической оси Ог,
на него стала действовать сила F, приложенная в произвольной точке Р
оси и перпендикулярная к Ог.

При этих условиях, в силу принципа стремления к параллельности,
гироскопическая ось Ог начнет отклоняться, двигаясь в плоскости,
перпендикулярной к F, и будет стремиться расположиться в направле-
нии момента М силы F относительно О.

Однако, хотя это и является наиболее характерным для движения,
мы не можем утверждать, что в любой момент ось Ог перемещается
перпендикулярно к F. Наоборот, если, в частности, сосредоточим
внимание на начальном моменте, когда на тело, находящееся уже
в быстром вращении, начинает действовать сила F, то увидим, что
в полном согласии с непосредственным представлением возникающее
движение будет происходить в направлении активной силы Т7!3].

Для доказательства заметим прежде всего, что так как момент
М = OP X F лежит в экваториальной плоскости, то имеем Мг — О,
вследствие чего третье уравнение Эйлера (5), если обратить внима-
ние на характеристическое условие гироскопической структуры А = В,
сведется к равенству

г = 0.

Отсюда следует, что во время движения угловая скорость враще-
ния тела вокруг Ог постоянно сохраняет свое начальное значение г0.

С другой стороны, положив, как обычно, ОР — 1, продифферен-
цируем по времени тождество

OP = lk
относительно неподвижных осей, если О есть неподвижная точка,
или относительно осей с неизменными направлениями и с началом
в О, если эта точка совпадает с центром тяжести. Дифференцирова-
ние на основании равенства (9) дает

dP

~=-leXk,	(13)

откуда следует, что в начальный момент, когда по предположению
экваториальная составляющая е угловой скорости ы (целиком напра-
вленной по оси) равна нулю, будет равна нулю также и скорость
точки Р.

Таким образом, эта точка движется (без трения) по сфере с цент-
ром в О и радиусом I.

Следовательно, ее возникающее движение будет происходить в на-
правлении составляющей активной силы в касательной плоскости
к сфере; эта составляющая будет тождественна с F, если сила F
перпендикулярна к оси.

Отсюда, естественно, можно отдать себе отчет также и в физи-
ческом смысле дифференцирования равенства (13) по времени.

Так как вначале е равно нулю и, с другой стороны, справедливо
равенство (9), то имеем

Но в силу того же равенства (9) и равенства К— Ae-\-CrJi
уравнение моментов количеств движения дает

и, следовательно, вначале

\«Г /о /1

после чего, подставляя в (14) и замечая, что из равенства

M = lkXF

в силу обычного тождества, относящегося к двойному векторному
произведению, следует, что

/F = rWX А,

мы приходим к равенству

\d&)0 А ' )о’

которое и выражает как раз то, что возникающее движение точки Р
происходит в направлении активной силы F.
Заметим, что предположение, которое мы имели в виду при этом
втором доказательстве, что активная сила перпендикулярна к оси,
несущественно, ибо всякую силу, приложенную в любой точке Р оси,
можно разложить на ее составляющие: осевую Fa и экваториальную F;
а так как Fa ничего не прибавляет к моменту М, то все произойдет
так, как если бы сила приводилась к осевой экваториальной со-
ставляющей.

7.	Уравнения Эйлера для твердого тела с гироскопической структу-
рой. При рассмотрении в пп. 5 и 6 движения твердого тела с гиро-
скопической структурой мы пользовались, между прочим, разложением
угловой скорости w и результирующего момента количеств движе-
ния К на их экваториальную и осевую составляющие по формулам (7).

Имея в виду последующие приложения, мы остановимся здесь на
форме (указанной в предыдущем пункте), которую можно придать
в этом случае уравнениям Эйлера (5), рассматривая отдельно третье
и объединяя остальные два в одно векторное уравнение относительно
экваториальной плоскости, для того чтобы отчетливо выявить характер
изменения величин г и е.

Третье из уравнений (5), в предположении А — В, приводится
здесь к виду

Сг = М„	(15)

а два другие, если обозначить через экваториальную составляю-
щую результирующего момента внешних сил относительно точки О,
можно будет, очевидно, объединить в одном векторном уравнении

Ае — (С — A)rkXe = Mt.	(16)

В дальнейшем эти два уравнения мы будем называть уравнениями
Эйлера для твердых тел с гироскопической структурой.

К ним можно прийти, конечно, не обращаясь к (общим) уравне-
ниям Эйлера, а выводя их прямо из уравнения моментов количеств
движения на основании предположения А = В, характерного для тел
с гироскопической структурой; не бесполезно указать здесь такой
вывод.

Для производной по времени от К по отношению к инерциальной
системе отсчета в силу второго из уравнений (7) и уравнений (9)
имеем выражение

f = A^-t+CreXk + Crk,

где непосредственно ясно, что третий член в правой части является
осевым, а второй — экваториальным. Но и первый член, т. е. по су-
ществу dejdt является экваториальным, потому что, когда речь идет

6 T. Леви-Чивита и У. Аиалыш.
о векторной производной, которую надо взять относительно инер-
циальной системы отсчета, мы имеем

или же в силу первого из уравнений (7)

g = +	(17)

перпендикулярность к k оказывается здесь непосредственно очевидной,
так как е есть производная от экваториального вектора е, которая
берется относительно осей, неизменно связанных с экваториальной
плоскостью.

Теперь если приравняем в обеих частях второго основного урав-
нения осевые составляющие, то получим уравнение (15); если же при-
равняем экваториальные составляющие, то придем к уравнению

A^+CreXk = Mlt	(16')

которое в силу равенства (17) совпадает с уравнением (16).

§ 3.	Движение по Пуансо

8.	Уравнения движения. В дальнейшем в этой главе мы приложим
общую теорию, развитую в предыдущих двух параграфах, к углуб-
ленному изучению некоторых частных задач, соответствующих простым
и физически наглядным предположениям о природе действующих сил
или о материальной структуре твердого тела, закрепленного в одной
из своих точек О. Прежде всего, обращаясь к твердому телу с какой
угодно материальной структурой, рассмотрим движения, происходя-
щие в том случае, когда активные силы (внешние), приложенные
к твердому телу, имеют по отношению к закрепленной точке О ре-
зультирующий момент, постоянно равный нулю (т. е. векторно экви-
валентны одной силе, приложенной в точке О). Это обстоительство,
очевидно, осуществляется для всякого твердого тела, находящегося
исключительно под действием силы тяжести и закрепленного в его
центре тяжести, и, в еще более частном случае, для каждого твер-
дого тела, закрепленного в одной из его точек, на которое не дей-
ствует никакая активная сила.

При сделанных предположениях в число внешних сил, помимо
активных, входит еще только реакция неподвижной точки, момент
которой относительно точки О равен нулю. Поэтому второе основное
уравнение (2) относительно неподвижных осей принимает вид
и выражает то обстоятельство, что в течение всего времени движе-
ния момент количеств движения К твердого тела относительно не-
подвижной точки О остается постоянным (по величине, направлению
и стороне). Следовательно, имеет место интеграл моментов (вектор-
ный) количеств движения

К=К«,

(19)

где означает начальный результирующий момент количеств дви-
жения.

Здесь имеется частный случай, когда один этот первый интеграл
достаточен для полного определения движения, — это случай, когда
эллипсоид инерции относительно неподвижной точки О сводится
к шару (А = В = С), благодаря чему уравнения (4) оказываются
равносильными одному векторному уравнению

К= Л<о.

Таким образом, если К = const, то и w = const, так что движе-
ние сведется к равномерному вращению (вокруг прямой, проходящей
через О и направленной как угодно, как в пространстве, так и в теле).

Если эллипсоид инерции не сводится к шару, то из того, что АГ
постоянно относительно неподвижной системы осей, еще не следует,
что этот вектор сохраняет неизменное направление внутри тела
или, точнее, неизменное направление относительно осей, связанных
с телом, начало которых, как обычно, совпадает с О. Закон,
по которому изменяется внутри тела вектор АГ (поскольку АГ является
неизменным в пространстве), определяется равенством

АГ+»ХЛГ=О,

(18')

в которое переходит при этой системе отсчета равенство (18).

Если, как обычно, примем систему подвижных осей Оху г, совпа-
дающих с системой главных осей инерции в О, то равенство (18')
после проектирования на эти оси даст три уравнения Эйлера с тожде-
ственно равными нулю правыми частями

Ар — (В — С) qr = О,
Bq — {С—А) гр = О,
Сг — (Л — В) pq = О,

(5')

которые, в отличие от того, что имеет место при общем предполо-
жении относительно действующих сил (п. 1), содержат в себе исклю-
чительно р, q, г и их производные, так что три уравнения (5') до-
статочны для определения закона изменения этих величин с течением
времени, т. е., по существу, движения тела. Активные силы, не вхо-
дящие в уравнения (5'), никакого влияния на движение тела не
оказывают, и все их действие в силу первого основного уравнения
выражается в возникновении реакции закрепленной точки. Твердое тело
движется вокруг неподвижной точки так, как если бы никаких внешних
активных сил не было и сказывался бы только эффект начального
состояния движения. По этим соображениям рассматриваемое здесь дви-
жение носит название движения по инерции или спонтанного дви-
жения. Мы будем называть его движением по Пуансо, по имени того,
кто дал ему геометрическое истолкование, которым мы будем зани-
маться в п. 11 [4].

9.	Первые интегралы. Мы видели в предыдущем пункте, что в на-
стоящем случае, для движения Пуансо, второе основное уравнение (1)
или эквивалентные ему уравнения Эйлера (5) допускают интеграл
(векторный) момента количеств движения

К = К0.	(19)

Отсюда следует, в частности, что при движении по инерции вели-
чина результирующего момента количеств движения К остается неиз-
менной, что на основании равенств (4) можно представить в виде

43p2 + BV+C2r2 = ^.	(20)

Это соотношение представляет собой так называемый интеграл .{ска-
лярный) момента количеств движения {интеграл площадей).

Легко видеть, что существует еще один первый интеграл уравне-
ний (5'). Действительно, когда речь идет о системе со связями, не за-
висящими от времени, справедливо уравнение живых сил (гл. V, п. 30)

dT = dL,

где dL есть элементарная работа внешних сил; с другой стороны, эта
элементарная работа, которая для всякого закрепленного в одной точке
твердого тела определяется (гл. IV, п. 3) выражением М • о> dt, здесь
будет постоянно равна 0 вместе с моментом М внешних сил. Поэтому
теорема живых сил принимает вид dT = 0, откуда, интегрируя, получим

Т— const — Е;	(21)

это и есть интеграл живых сил-, вспоминая известное выражение
живой силы твердого тела, закрепленного в одной точке (гл. IV, п. 15),

мы можем написать интеграл (21) в виде

Др2 + Bq2 + Cr2 = 2Е.	(21')

Необходимо заметить, что постоянную величину кинетической энергии
можно также рассматривать как постоянную величину полной энер-
гии, так как здесь не может быть изменения другого вида энергии
(потенциальной), ибо элементарная работа в данном случае постоянно
равна нулю.

10.	Об интегрировании уравнений движения твердого тела по
инерции. Мы видели в предыдущем пункте, что для уравнения (5')
существуют четыре первых скалярных интеграла, а именно интеграл
живых сил и три интеграла, получающиеся путем проектирования на
неподвижные оси интеграла моментов количеств движения (19). Отсюда
на основании теоремы Лиувилля, которую мы установим в гл. X, можно
непосредственно заключить, что уравнения (5') движения тела по инер-
ции интегрируются в квадратурах.

Мы не будем останавливаться на этом интегрировании, ограничи-
ваясь лишь утверждением, что квадратуры, к которым мы таким обра-
зом приходим, будут эллиптического типа.

Здесь же мы покажем, что после определения угловых скоростей
p,q, г в функции времени t в данном случае достаточно одной квадра-
туры и некоторых алгебраических преобразований, чтобы найти в функ-
ции времени и углы Эйлера, определяющие положение системы Охуг
относительно системы ОЬ]С; в общем же случае для этой цели необ-
ходимо интегрирование (невыполнимое в квадратурах) уравнения
Риккати (т. I, гл. IV, § 8).

Чтобы доказать это, удобно использовать интеграл (19), т. е.
принять во внимание неизменность момента К относительно осей О$т]С.
Приняв неподвижную ось С направленной по этому моменту и обо-
значив через Yj, f2, y3 направляющие косинусы оси $ относительно
системы главных осей инерции, мы можем написать уравнения (4)
в виде

A'li = Ар, = Bq, = Сг,

так что, принимая во внимание известные соотношения (т. I, гл. III,
п. 32)

Yi = sin»sin6, Y2 = cos<psin0, y3 = cos6,	(22)

получим уравнения

К sin © sin 6 => Ар, К cos .© sin 6 — Bq, /Ceos 9 = Cr, (4')
откуда тотчас же выводим соотношения

ь Сг . Ар
cos6 = T, tg© = g£,

которые дают 9, <р в функции от р, q, г, т. е. от t.

Что же касается Ф, то мы будем исходить из известных формул
(т. I, гл. III, п. 34)

р = 9 cos © ф sin © sin 9, q — — 9 sin ф ф cos <р sin 9,
из которых путем исключения 6 получим

.• _р sin <р 4- q cos ср

‘	sin в

Так как из уравнений (4') и из только что написанных выраже-
ний для р и q следует

р sin 6 -J- q cos 6 =	, № sin2 9 = A2p2	B2q2,

о 1X1 v

то заключаем, что

• Ap2 + Bq* .

Y — Л Л2р2_]_В292 >
теперь достаточно одной квадратуры, чтобы вычислить ф в функции
от времени.

11.	Геометрическое представление движения по Пуансо. Если
требуется определить только геометрическую картину движения отно-
сительно неподвижных осей, т. е. последовательность положений,
принимаемых телом в его движении вокруг точки О, отвлекаясь от
закона движения, то отпадает необходимость в интегрированиях,
указанных в предыдущем пункте; достаточно будет знать только
первые интегралы п. 9, т. е. инте-
гралы моментов количеств движе-

ния и интеграл живых

Т = Е.

сил

(19)

(21)

Принимая во внимание эти два
интеграла (один векторный и дру-
гой скалярный), можно сделать
наглядным закон, согласно кото-
рому вращается твердое тело
вокруг точки О; мы придем при
этом к результату, который, как

увидим, представляет известную аналогию с результатом, относя-
щимся к траекториям мгновенного центра вращения для твердых
фигур, движущихся в плоскости (т. I, гл. V, § 2).

Для этой цели рассмотрим эллипсоид инерции твердого тела отно-
сительно его неподвижной точки О. В каждый момент полупрямая
(мгновенная ось вращения), на которой лежит вектор <о, предпола-
гаемый приложенным в точке О, будет пересекать поверхность этого
эллипсоида в некоторой точке Q, которую Пуансо назвал полюсом
(в рассматриваемый момент) (фиг. 11). Далее, на основании равен-
ства, связывающего векторы ю и К (гл. IV, п. 18), мы заключаем,
что при движении тела вектор К всегда будет перпендикулярен
к плоскости т, касательной к эллипсоиду в точке Q, и что расстоя-
ние 8 от точки О до этой плоскости в любой момент определяется
выражением

s=jgj

Так как в настоящем случае вектор К является неизменным в про-
странстве и живая сила постоянна, то заключаем, что плоскость т,
касательная к эллипсоиду в полюсе, неподвижна в пространстве,
как плоскость, которая имеет неизменное положение и постоянное
•расстояние от неподвижной
точки О.

В то время как тело дви-	/

жется около точки О, вместе	I

с ним движется также и	\	о /д

.Неизменно связанный с ним	\	\	\

эллипсоид, но так, что он	.—X--------\ А_____|____

во всякий момент касается	s'	/ J S'

неподвижной плоскости т s'
в мгновенном полюсе Q	* * s'

(фиг. 12); а так как эта	'

точка касания (положение	Фиг. 12.

которой, вообще говоря,
изменяется как на эллипсоиде, так и на плоскости) принадлежит
всегда мгновенной оси вращения, то движение твердого тела про-
исходит так, как если бы эллипсоид инерции, связанный с телом,
катился без скольжения по неподвижной плоскости.

Две кривые, описываемые при движении твердого тела полюсом
соответственно на эллипсоиде и на плоскости, называются (по Пуансо)
полодией (первая) и герполодией (вторая). Если указаны эти две
кривые, то геометрическая картина движения (т. е. картина движе-
ния, оставляющая в стороне закон движения во времени) будет опре-
делена однозначно.

На основании того обстоятельства, что величина вектора К
остается постоянной, легко было бы доказать, что полодия есть
кривая четвертого порядка, получающаяся при пересечении эллипсоида
инерции с другим эллипсоидом, а герполодия, вообще говоря, есть
трансцендентная кривая (мы возвратимся к этому в упражнениях) *)•

!) Для более подробного изучения можно рекомендовать уже упоминав-
шиеся сочинения Аппелля и Лекорню, а также специальные сочинения по
динамике твердого тела. См., в частности, Klein—Sommerfeld, Ueber
die Theorie des Kreisels, Leipzig, 1897—1910; A. Gray, A treatise on gyro-
statics and rotational motion, London, Macmillan, 1918*).

*) См. также Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946; Жуков-
ский Н. Е., Механика системы. Динамика твердого тела, 1939. (Прим,
ред).
Наряду с предыдущим геометрическим представлением спонтан-
ного движения твердого тела, закрепленного в одной точке, принад-
лежащим Пуансо, рассматривались и другие, менее простые, но столь
же изящные и наглядные.

Так, СильвестрJ) заметил, что при движении твердого тела по
инерции всякая поверхность второго порядка, гомотетичная с дру-
гой такой же поверхностью, гомофокальной с эллипсоидом инерции,
катится без скольжения по плоскости, параллельной т и вращающейся
равномерно вокруг перпендикуляра, опущенного на нее из точки О.

С другой стороны, Мак-Куллах* 2), преобразовывая представление
Пуансо при помощи инверсии относительно сферы с центром в О и
радиусом, равным 1 (которая скользит по самой себе во всяком
движении вокруг О), заметил, что при движении по Пуансо так
называемый гирационный эллипсоид или взаимный эллипсоид инерции

х2  у2 , z2 1

Т + ~В ' С“3=3

движется таким образом, что постоянно проходит через неподвиж-
ную точку, расположенную на линии действия вектора ЛГ (и, следо-
вательно, через диаметрально противоположную точку).

Наконец, Джеббиа3), обобщая результат Сиаччи4), заметил, что»
при движении по Пуансо всякая поверхность второго порядка с цен-
тром в О, гомоцикличная с эллипсоидом инерции, катится без скольже-
ния по неподвижной поверхности вращения второго порядка (вокруг
линии действия А); или также (если преобразовать предыдущую
теорему при помощи инверсии относительно сферы с центром в О и
радиусом, равным 1) всякая гомофокальная с эллипсоидом инерции
поверхность второго порядка катится без скольжения по поверх-
ности вращения второго порядка (вокруг полярного для линии дей-
ствия К диаметра).

12.	Перманентное вращение. Посмотрим, имеются ли между беско-
нечно разнообразными движениями по Пуансо, возможными для твер-
дого тела, закрепленного в точке О, равномерные вращения. Это
равносильно вопросу: возможно ли удовлетворить уравнениям
Эйлера (5') или эквивалентному векторному уравнению (18'), пола-
гая <> равным постоянному вектору в теле (а следовательно, также
и в пространстве; т. I, гл. IV, п. 11)? Но в таком, случае в силу

!) Sylvester, On the motion of a rigid body acted’on’by no external
forces, Coll. Math. Papers, т. II, стр. 577—601.

2) M а с C u 11 a g h, On the rotation of a solid body round a fixed point,
being..., The collected works, стр. 329—346.

3) G e b b i a, Su due propiieta della rotazione spontanea dei corpi, Mem.
della R. Ace, dei Lincei, т. I, 1885; стр. 326—333.

4) Collect, math, in mem. D. Chelini, Milano, Hoepli, 1881, стр. 6—16.
соотношений между <й и К последний вектор также будет постоян-
ным как в пространстве, так и в теле; поэтому

wX^=0,

т. е. оба вектора будут все время параллельны.

Обратно, всякий раз, как будет удовлетворяться это условие, из
(18') будет следовать неизменность в теле (помимо неизменности
в пространстве) момента количеств движения К и, следовательно,
угловой скорости w. Поэтому условие, необходимое и достаточное
для того, чтобы движение по Пуансо сводилось к равномерному
вращению, заключается в том, чтобы оба вектора w и К оставались
параллельными.

Но, как мы знаем (гл. IV, п. 18), это будет иметь место только
в том случае, когда угловая скорость ю (и, следовательно, век-
тор Л) постоянно направлена по главной оси инерции; а так как
это условие не налагает никаких ограничений ни на величину, ни на
сторону, в которую направлена угловая скорость <о, то заключаем,
что, когда результирующий момент внешних сил равен нулю, твер-
дое тело может вращаться (с произвольной угловой скоростью,
как в ту, так и в другую сторону) только вокруг каждой из его
главных осей инерции относительно неподвижной точки.

В каждом из этих равномерных вращений полюс остается непо-
движным как в пространстве, так и на эллипсоиде (в вершине) его
так что полодия и герполодия сведутся к этой точке.

Определенные только что равномерные вращения твердого тела,
закрепленного в своей точке О (и находящегося под действием
активных сил с результирующим моментом относительно О, равным
нулю), так же как и соответствующие оси вращения (главные оси
инерции относительно точки О), называются соответственно перма-
нентными вращениями и перманентными осями.

Для оправдания этого названия заметим следующее. При произ-
вольном выборе начальных значений проекций угловой скорости р,
q, г или, что одно и то же, при произвольном начальном значении
Вектора и, эти величины изменяются с течением времени в согласии
с уравнением (18') или с уравнениями (5'), а также в согласии
с условиями качения эллипсоида инерции по плоскости т. Если же
начальное мгновенное вращение происходит (при какой угодно вели-
чине и стороне) вокруг одной из главных осей инерции, то в силу
тех же уравнений (18х), или уравнений (5'), или на основании гео-
метрического представления Пуансо угловая скорость w будет, сохра-
няться неизменной также и в последующие моменты. В конце кон-
цов, здесь речь идет о таких же статических решениях уравне-
ний (5Z), о которых говорилось ранее (гл. VI, п. 17).

Для твердого тела с любой структурой (при отличных друг от
друга А, В, С) имеется только три перманентные оси, перпендику-
лярные друг к другу. Их будет бесконечно много, когда эллипсоид.
инерции относительно неподвижной точки будет эллипсоидом вра-
щения (например, для твердого тела с гироскопической структурой
относительно точки О), так как в этом случае главными осями
инерции, помимо оси симметрии эллипсоида, будут все его эквато-
риальные диаметры.

Если, в еще более частном случае, эллипсоид инерции сводится
к шару, то перманентными осями будут все прямые, выходящие из
неподвижной точки; в этом предположении всякое движение по инер-
ции твердого тела будет равномерным вращением, как это следует
из предыдущего и как это уже было подтверждено в п. 8 на осно-
вании дифференциальных уравнений движения.

13.	Центробежные моменты инерции (моменты девиации). Оста-
новимся на только что отмеченном обстоятельстве: если прямая а,
проходящая через точку О, не является перманентной осью враще-
ния, а начальная угловая скорость совпадает с ней по направлению,
то ось мгновенного вращения при движении тела по инерции будет
смещаться тотчас же после начала движения из своего начального
положения а. Чтобы несколько выяснить причины этого явления,
посмотрим, нельзя ли добавить (к возможным внешним активным
силам с результирующим моментом относительно точки О, равным
нулю) новую силу, которая препятствовала бы оси а перемещаться
и вынуждала бы твердое тело перманентно вращаться вокруг нее
с заданной начальной угловой скоростью.

С этой целью отнесем тело вместо главных осей инерции к любым
осям Oxyz, неизменно связанным с ним, в которых ось Ох совпа-
дает с заданной осью вращения а, в силу чего для составляющих
результирующего момента количеств движения К вместо выраже-
ний (4) будем иметь более общие выражения

Кх=^ = АР— C'q — В'г,

Ky = ^=-C'P^Bq-A'r,

Кг = д-^ = -В'Р-А'Ч + Сг,

где А, В, С означают моменты инерции (теперь уже не главные)
относительно осей х, у, z и А', В', С— те структурные коэффи-
циенты твердого тела (относительно той же самой системы отсчета),
которые мы назвали выше произведениями инерции (центробежные
моменты, моменты девиации).

В более частном случае вращения вокруг оси Ох, которое мы
-.хотим придать здесь твердому телу и которое определяется условиями

р=Ро> ?=:'’ = 0,
где р0 есть заданная угловая скорость, мы должны будем положить
Кт =	Ку==	Ро> Кг ~ В Ро-

С другой стороны, если обозначим через М неизвестный добавоч-
ный момент, то будет справедливо второе из основных уравнений
в виде

достаточно спроектировать это уравнение на подвижные оси, чтобы
получить уравнения

M„ = o, Mv = B'p*, Мг = -С'р1,

однозначно определяющие искомый добавочный момент. Этот момент М
будет равен нулю только тогда, Когда одновременно исчезают В'
и С', т. е. (как известно) когда ось вращения является главной осью
инерции; и во всех случаях именно коэффициенты В', С определяют
этот добавочный момент. В более выразительной форме можно ска-
зать, что необходимость прибегать к добавочному моменту для того,
чтобы сделать невозможным смещение оси вращения из ее начального
положения Ох, обусловливается наличием двух коэффициентов В', С'.
Так как то же самое можно сказать и о коэффициентах С, А' по
отношению к оси Оу и, соответственно, о коэффициентах А', В' по
отношению к оси Oz, то оказывается оправданным название момен-
тов девиации, которое мы приписали структурным коэффициентам
А', В', С' твердого тела (т. I, гл. X, п. 22).

14.	Прецессионный характер движения по инерции твердого тела
о гироскопической структурой относительно закрепленной точки. В слу-
чае твердого тела, имеющего относительно своей закрепленной точки О
гироскопическую структуру, легко описать кинематические свойства
движения более точным и полным способом, чем тот, который дается
для общего случая чисто геометрическим рассуждением Пуансо.

Действительно, возьмем снова первое из уравнений Эйлера в гиро-
скопической форме [п. 7, уравнение (15)J. Так как, по предположе-
нию, результирующий момент М внешних активных сил относительно
точки О равен нулю, то это уравнение принимает здесь вид

Сг = О

и выражает то обстоятельство, что в продолжение всего движения
проекция г угловой скорости на гироскопическую ось остается по-
стоянной.

Вспомним теперь общее выражение, найденное в п. 17 гл. IV для
угловой скорости тела с гироскопической структурой,

® =	rk,	(23)

где k обозначает единичный вектор гироскопической оси.
Так как этот единичный вектор k, по определению, не изменяется
в теле, а с другой стороны, в настоящем случае г постоянно и речь
идет о движении по инерции, а это значит, что момент К неподви-
жен в пространстве, то из предыдущего выражения для <й мы видим,
что угловая скорость есть сумма двух векторов постоянной величины,
первый из которых, направленный по К, неподвижен в пространстве,
а второй, направленный по k, неподвижен в теле. Этого достаточно
для того, чтобы можно было заключить (т. I, гл. IV, п. 15), что
всякое движение по инерции твердого тела с гироскопической
структурой относительно закрепленной точки О представляет
собой регулярную прецессию, имеющую осью прецессии прямую,
параллельную моменту К количеств движения и проходящую через
точку О, и осью фигуры —- его гироскопическую ось. Обозначим через х
единичный вектор (неподвижный в пространстве) момента К и введем
характеристические элементы любой регулярной прецессии, т. е. угло-
вую скорость Wj = рй, которую можно назвать собственной для
твердого тела или гироскопической, угловую скорость w2 = vx пре-
цессии и угол 9 = хй. Тогда, применяя критерий п. 17 гл. III т. I,
мы можем видеть, идет ли речь о прямой (прогрессивной) или обрат-
ной (регрессивной) прецессии, в зависимости от того, будет ли поло-
жительным или отрицательным скалярное произведение

Wj . ы2 = p.v cos 6.

Тейерь из сопоставления выражений

w = vx-|-[ife	(23х)

и (23) имеем прежде всего

а с другой стороны, умножая скалярно обе части равенства (23'
на й, получим

(О • k — Г — V COS 6	|Х.

Таким образом, исключая г из двух последних уравнений, мы
увидим, что характеристические элементы всякой регулярной спонтан-
ной прецессии твердого тела с гироскопической структурой относи-
тельно неподвижной точки связаны соотношением

(Д—C)vcos9 —(^ = 0.	(24)

Отсюда получим

См-2
cos 9 = юх • ю„ = .	•,

л — с*
таким образом, мы видим, что прямой или обратный характер регу-
лярной прецессии зависит исключительно от структуры твердого тела:
прецессия будет прямой, если эллипсоид инерции (относительно за-
крепленной точки) будет удлиненным (4 > С) (фиг. 13), и обратной,
если этот эллипсоид будет сжатым (А < С) (фиг. 14).

Заметим, наконец, что мы, естественно, снова найдем равномерные
вращения вокруг (бесконечно большого числа) главных осей инерции
как вырожденные случаи прецессии.

Фиг. 13.

15.	Движение относительно центра тяжести. Так как второе основ-
ное уравнение принимает вид

(2)

также и в том случае, когда центр приведения О, неизменно связан-
ный с телом, вместо того чтобы быть неподвижным, в любой момент
совпадает с центром тяжести (п. 1), то результаты, полученные в
пп. 8—14, останутся без изменения, если мы будем рассматривать вместо
(абсолютного) движения твердого тела, закрепленного в одной из
своих точек, относительное движение свободного твердого тела вокруг
его центра тяжести, лишь бы результирующий момент внеш-
них сил относительно центра тяжести постоянно был равен
нулю.

Таким образом, мы убеждаемся, например, что тяжелое твердое
тело, свободно падающее в пустоте, будет двигаться вокруг своего
центра тяжести так, как если бы оно было закреплено в этой точке.
Далее, если речь идет о теле вращения (или вообще о гироскопе,
т. е. о твердом теле с гироскопической структурой относительно
центра тяжести), то движение около центра тяжести будет регуляр-
ной прецессией.

В общем случае, какова бы ни была природа активных сил (лишь
•бы результирующий момент относительно центра тяжести был равен
нулю), достаточно предположить, что в начале движения твердое тело
вращается вокруг одной из своих главных центральных осей инерции
(или же не вращается), чтобы можно было заключить, что оно будет
продолжать вращаться бесконечно долго с той же угловой скоростью
(или не будет вращаться) вокруг этой оси.
§ 4. Вопросы устойчивости движения по Пуансо

16.	Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев,
установленных в § 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость пер-
манентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем пара-
графе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной
из своих точек О, относительно которой результирующий момент
внешних активных сил постоянно равен нулю; заметим также, что все,
что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторить
и в применении к перманентным вращениям относительно осей, про-
ходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося
под действием внешних сил, результирующий момент которых отно-
сительно центра тяжести постоянно равен нулю.

Обратимся сначала к твердому телу со структурой общего вида,
т. е., точнее, предположим неравными три главных момента инер-
ции А, В, С твердого тела относительно закрепленной точки, что
равносильно допущению, что неравными являются три главные полу-
оси а, Ь, с эллипсоида инерции относительно точки О; для определен-
ности пусть будет

А < В < С,	(25)

т. е.

а >

b

с.

Мы знаем, что в этом случае для твердого тела возможны пер-
манентные вращения (с произвольной постоянной угловой скоростью)
вокруг каждой из трех главных осей инерции х, у, z\ если введем,
как обычно, проекции р, q, г угловой скорости ю, то перманентные
вращения твердого тела определятся равенствами

’1) Р=Р> ? = г=0,

3s) Я =	г=р=0,

°з) г =	Р = ^==0,

где р, q, г обозначают произвольные постоянные.

Равенства а1; а2, а3 дают три семейства (зависящие каждое от од-
ной произвольной постоянной) статических решений уравнений
Эйлера (5х), которые, определяя р, q, г в функциях времени, вполне
определяют всякое возможное при предположенных условиях движе-
ние твердого тела.	_ _

Покажем теперь, что вращения Oj, о3, т. е. перманентные враще-
ния вокруг наибольшей оси х и наименьшей оси z эллипсоида инерции,
будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси у,
т е. вращения о2, будут неустойчивыми.
17.	Устойчивые перманентные вращения. Мы будем исходить в нашем1
исследовании из интеграла моментов количеств движения и интеграла
живых сил

А2р2±В2д2 + С?г2 = К1	((20)

Ap2-[-Bq2-\-Cr2 = 2E	(21'}

[первые интегралы уравнений Эйлера (5') (п. 9)] и рассмотрим та
соотношение, которое выводится из них путем исключения р2, q2
или г2, смотря по тому, какую устойчивость мы намерены исследо-
вать, alt a2 или о3.

Начнем с первого случая и положим

с^Ко — 2АЕ.

После исключения р2 из уравнений (20) и (21') мы получим первый
квадратичный интеграл

В (В — A)q2-\-C(C— Д)г3=С1,	(26)

в котором для всякого решения о уравнений (5'), определяемого задан-
ными начальными условиями p=Pq, Я~Яо, г — го ПРИ по-
стоянная сг в силу соотношений (25) будет положительной, если исклю-
чить, что вполне естественно, предположение q0 = г0 = 0, которое озна-
чало бы возвращение к случаю ar

Если согласно обычному геометрическому представлению истол-
ковывать значения, которые в любой момент принимают проекции q, г
в решении а, как декартовы координаты точки, движущейся по плос-
кости, то можно сказать, что эта изображающая точка движется
вдоль кривой, определяемой уравнением (26). Эта кривая в силу
неравенств (25) и неравенства сх > 0 всегда будет эллипсом.

Предположим теперь, что решение а соответствует начальным
условиям, получаемым путем незначительного возмущения любого
перманентного вращения Oj вокруг оси х, т. е. предположим, что qQ
и г0 являются произвольно малыми, а р0 близко к значению р, опре-
деляющему вращение Значения постоянной с1г а следовательно,
и осей эллипса (26) будут ничтожно малыми; мы видим таким образом,
что при движении, определяемом из решения а, проекции q и г будут,
сколь угодно долго оставаться близкими к ^=г = 0.

Далее, для определения р возьмем снова один из двух первых
интегралов (20), (21')> например второй. Решив уравнение (21'),
получим

„2 = L (2Д — Bq2 — Сг2).

Так как вначале величина р близка к р, а величины q, г остаются
во время движения весьма малыми, то прямо заключаем, что р-
в решении а сколь угодно долго остается в непосредственной бли-
зости к р. То же самое произойдет, если мы будем сравнивать

указанное решение с другим

решением того же семейства,
соответствующим постоянному зна-
чению р, очень близкому к р
(и нулевым значениям q, г). По-
этому движение Oj устойчиво.

Аналогично доказывается и
устойчивость любого решения а3,
т. е. устойчивость всякого перма-
нентного вращения вокруг наи-
меньшей оси эллипсоида инерции
(фиг. 15).

18.	Неустойчивое перманентное

_	вращение. Перейдем теперь к ис-

следованию решения а2. Исключая q2 из уравнений (20) и (21'),
получим квадратичный интеграл  вида

А (А — В) р2 — С (В — С) r2 =	_ 2ВЕ == са, (27)

где для общего решения а уравнений (5') постоянная с2 может
оказаться как положительной, так и отрицательной (или нулем),
в зависимости от выбора начальных условий р = pQ, q = q0, г — г0,
определяющих а. Здесь изображающая точка для одновременных
значений р и г в решении о движется по гиперболе, которая может
принадлежать тому или другому из двух сопряженных семейств
гипербол, имеющих действительную ось тем меньшую, •ieM меньше
будет по абсолютной величине с2 или чем ближе к нулю будут на-
чальные значения /?0, г0.

Легко убедиться, что предположение об устойчивости решения а2
приводит к противоречию. В самом деле, предположим, что в неко-
тором решении а, вначале близком к решению с2, величина q даже
при беспредельном возрастании времени остается близкой к q — угловой
скорости этого перманентного вращения. В этом предположении q
сохраняет сколь угодно долго знак q, что же касается абсолютной
величины q, то ее всегда можно считать большей |q |/2. Тогда, имея
из уравнений (5')

гр-рт =	[С (В - С) г2 - А (А - В)р2] =	q,

легко видеть, что секторная скорость изображающей точки для р, г
относительно центра ветви гиперболы (27), по которой движется
эта точка, сохраняет всегда один и тот же знак, а по абсолютной
величине остается в течение всего движения больше постоянной

точка, вынужденная двигаться по ветви гиперболы всегда в одном
и том же направлении и так, чтобы своим радиусом-вектором описы-
вать площадь, возрастающую беспредельно с течением времени, может
только удаляться в бесконечность, вопреки предположению об устой-
чивости решения о2.

Таким образом, мы заключаем, что перманентные вращения вокруг
средней оси эллипсоида инерции, соответствующие решению о2, неустой-
чивы (фиг. 15).

19.	Случай тела с гироскопической структурой. Предыдущие ре-
зультаты получены в предположении, что три главных момента инер-
ции относительно точки О неравны между собой; поэтому нужно от-
дельно рассмотреть случай, когда некоторые из моментов инерции
совпадают. Однако бесполезно останавливаться на предположении
А —В —С (эллипсоид инерции, сводящийся к шару), при котором,
как мы знаем, все возможные движения твердого тела сводятся к перма-
нентным вращениям, так что устойчивость каждого из них очевидна.

Остается, следовательно, гироскопический случай, характеризуемый
равенством А = В (С может быть, безразлично, больше или меньше
общего значения величин А и В). В этом предположении возможны,
как мы видели, перманентные вращения (с постоянной произвольной
угловой скоростью) вокруг бесконечного множества осей: гироско-
пической оси z и всех экваториальных осей. Мы покажем здесь, что
устойчивыми будут перманентные вращения вокруг гироскопической
оси, и неустойчивыми — все остальные.

Напомним прежде всего (п. 14), что при любом движении а твердого
тела с гироскопической структурой (регулярная прецессия) проекция г
угловой скорости на направление гироскопической оси остается посто-
янной; отсюда следует, что при исследовании устойчивости мы можем
ограничиться рассмотрением двух экваториальных проекций р и q.

Заметим при этом, что при любом гироскопическом движении о
угловая скорость

ю = е -|- rk

именно потому, что речь идет о регулярной прецессии, сохраняет неиз-
менной свою величину; то же самое свойство имеет, следовательно,
ее составляющая е в экваториальной плоскости, неизменно связанной
с осью фигуры z\ поэтому, обозначив через р0 и q0 начальные зна-
чения р и q в движении а, будем иметь квадратичный интеграл

р2 + 72 = /,2 + 72;	(21")

7 Зак. 2368. Т. Леви-Чквкга и У. Амальди.
который, естественно, можно было бы вывести также из интеграла (21)
живых сил, принимая во внимание допущенные здесь частные пред-
положения. На основании предыдущего синтетического рассу-
ждения условное представление величин р и q посредством изо-
бражающей точки в данном случае реализуется на экваториальной
плоскости концом составляющей е вектора ю, описывающим в тече-
ние прецессии окружность (21") с радиусом Урд-f-постоянно в
одном и том же направлении (и с постоянной скоростью).

Обращаясь теперь к любому перманентному вращению а(г = г,
р = q = О) вокруг гироскопической оси, мы увидим, что для любой
регулярной прецессии о, вначале близкой к а, т. е. такой, что р0
и q0 близки к нулю, изображающая точка для р, q движется сколь
угодно долго по окружности с весьма малым радиусом (21"), а потому
р и q остаются всегда близкими к нулю, и устойчивость вращения а,
таким образом, доказана.

Наоборот, рассмотрим любое перманентное вращение вокруг
какой-нибудь экваториальной оси, которую, не нерушая общности,
мы можем предположить совпадающей с осью х, т. е. обратимся
к решению (/? = р, q = r — О). Для какой-нибудь регулярной пре-
цессии а, вначале близкой к ар т. е. имеющей р0 и q0 соответственно
близкими крик нулю, окружность (21") будет иметь радиус
не ничтожно малый, а близкий к р, так что при движении по ней изо-
бражающей точки проекция q изменяется по гармоническому закону
в интервале, близком к интервалу от р до — ри, следовательно, большем
конечного интервала от р/2 до—р/2, не зависящего от начальной
разности между решениями а и а.

Это вполне ясно показывает неустойчивость всякого перманент-
ного вращения вокруг экваториальной оси [е].

§ 5. Движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки

20.	Чтобы изучить движение твердого тела S с одной непо-
движной точкой при менее частных предположениях относительно
характера действующих сил, чем это имело место в случае Эйлера,
рассмотрим случай, когда твердое тело 5, закрепленное в своей
точке О, находится в однородном силовом поле. Таким однородным
полем можно считать, например, поле силы тяжести, если рассма-
тривать его в достаточно малой части пространства. Каково бы ни было
рассматриваемое однородное поле, активные силы, под действием
которых находится твердое тело, эквивалентны (не только векторно,
но и механически) одной силе (результирующей сил, действующих
на отдельные точки, или элементы твердого тела), приложенной
в центре масс или в центре тяжести G тела. Ясно, что, не уменьшая
общности, мы можем прямо обратиться к только что упомянутому
частному случаю (тяжелое твердое тело с закрепленной точкой);
с другой стороны, мы можем исключить совпадение G с О, т. е.
предположение, что тяжелое твердое тело закреплено в своем центре
тяжести, так как в этом случае мы снова пришли бы к движению
по инерции (п. 3).

21.	Первые интегралы. При принятых предположениях мы начнем
с определения в явной форме первых интегралов нашей задачи,
получающихся из общих теорем о движении системы. Предположим,
что в неподвижной системе осей О£т£ (с началом в О) ось С верти-
кальна и направлена вниз и что система Oxyz, неизменно связанная
с телом, как обычно, совпадает с системой главных осей инерции,
так что соотношения между проекциями вектора угловой скорости
и результирующего момента количеств движения имеют вид

Кх = Ар, Ky = Bq, К, = Сг.	(4)

Заметим прежде всего, что так как внешние силы сводятся
к весу и к реакции в точке О, моменты их относительно вертикали С,
проходящей через точку О, равны нулю, и потому результирующий
момент количеств движения относительно оси О', сохраняет постоян-
ную величину. Таким образом, теорема моментов количеств движения,
если обозначим через х единичный вектор оси С (нисходящей верти-
кали) и через Тз его проекции (направляющие косинусы) на
подвижные оси, даст первый интеграл

= К • х = Kx4i + КуЧъ +	= const = К?.

или же в силу (4)

^-Г1 + ^2 + СПз = /<?.	(28)

Далее, так как сила тяжести есть консервативная сила (и связи
не зависят от времени), то для нашей задачи имеет место интеграл
живых сил

Т— U*=E,
где

Т=1(Д^_|_^2_|_Сг2) = 1лГ-ю,	(29)

а потенциал О силы тяжести Р (ср. гл. V, п. 32) определяется
равенством

t/ = K0>	(30)

где через Со обозначена третья координата центра тяжести G отно-
сительно неподвижных осей. Если обозначим теперь через х0, у0, z9
координаты самого центра тяжести G относительно подвижных осей,
то будем иметь

Со = х • (OG) = Ъх0 4- Т2Л)4- Тзго»	(31)

U = Р СГ1*о 4- ТаУо + Тз^о);	(30')
на основании формулы (29) приходим к явному выражению для
интеграла живых сил

4 (ЛР3 + Вс? + О2) —Р (ТЛ + Ta-Vo + Тзго) = Е-	С32)

Заметим, что из общих теорем о движении систем нельзя полу-
чить для рассматриваемой здесь задачи другие первые интегралы,
кроме (28) и (32), до тех пор, пока не будут введены дальнейшие
предположения о распределении масс внутри тела и относительно
неподвижной точки О *)•

Так как речь идет о задаче с тремя степенями свободы, т. е.
с тремя неизвестными функциями, то ясно, что эти два первых
йнтеграла недостаточны для полного ее решения.

22.	Дифференциальные уравнения движения. Согласно общим
соображениям п. 1 мы придем к полной постановке задачи, отправ-
ляясь еще раз от основного уравнения

=	(3)

в рассматриваемом нами случае результирующий момент внешних сил
относительно точки О приводится к моменту силы тяжести Рх, т. е.

M = P(0G)X'/-	(33)

Этот момент явно зависит от единичного вектора х, определяю-
щего в теле направление и сторону нисходящей вертикали, проходящей
через неподвижную точку; поэтому уравнение

^ + ИХ^=^(ОС)Х'/.	(34)

(или эквивалентная ему система уравнений Эйлера) не приводит
в этом случае, как в случае движения по Пуансо, к изолирован-

!) Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что просуществует других
первых интегралов; напротив, для всякой нормальной дифференциальной
системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-
ного t из теоремы существования общего решения, зависящего от п
произвольных постоянных, необходимо следует существование п первых
интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая отно-
сительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из
этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то
придем во всяком случае к п — 1 первых интегралов, связывающих только
неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят
разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближе-
ний, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят
к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или
тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах,
известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки
о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой
Элементарной форме.
ному определению угловой скорости (или ее проекций р, q, г) в
функции времени; оно позволяет только выразить производную по
времени от К и, следовательно, от в> посредством того же вектора »
и единичного вектора х. Чтобы дополнить постановку задачи, мы
должны будем согласно п. 1 прибегнуть к некоторому другому урав-
нению, которое вместе с уравнением (3) образует систему, позволяю-
щую определить оба вектора ® и х. Таким, очевидно, будет уравне-
ние, выражающее постоянство вектора х относительно неподвижных
осей т. е. уравнение

_^+юХх==0.

(35)

Уравнения (34) и (35), определяющие производные от и и х
посредством тех же векторов, вполне характеризуют движение твер-
дого тела; их можно назвать векторными уравнениями движения
тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке. После
проектирования на главные оси инерции х, у, z они дают шесть
скалярных дифференциальных уравнений

Ар — (В — С) qr = Р (,у073 — ?0-(2),
Bq — (С— А) гр = Р (zo71 — x0f3),
Сг — (Л — В) pq = Р (х072 — joI1);

71 = 72'' —

72 = 7вР —71G

is — ъ-?—ър;

(34')

(35')

первые три из них представляют собой, конечно, уравнения Эйлера
для нашего случая.

В общем мы имеем систему шести дифференциальных уравнений
первого порядка, связывающих шесть неизвестных функций времени р,
q, г> 71, 7з, 7з> следует, однако, заметить, что y2> 7з в СИЛУ их
геометрического значения как направляющих косинусов (проекций
единичного вектора) должны также удовлетворять алгебраическому
уравнению

7| + 7Н7|=Ъ	(36)

которое должно быть поэтому добавлено к дифференциальным урав-
нениям (34'), (35'). Впрочем, уравнение (35), или, если угодно»
эквивалентная ему система (35'), выражает постоянство вектора х,
или 7i + 71+7| = consl>’ поэтому уравнение (36) дает лишь уточне-
ние этой постоянной интегрирования.

Отсюда следует, что общее решение системы (смешанной) (34'),
(35'), (36) зависит от пяти произвольных постоянных.
При средствах современного анализа мы не сможем проинтегри-
ровать эту систему в элементарной форме, по крайней мере до тех
пор, пока не добавим подходящих ограничительных предположений
о распределении масс в твердом теле. В § 9 мы дадим некоторые
исторические указания относительно многочисленных исследований,
посвященных, начиная с Эйлера, этой интересной проблеме и имеющих
своей целью прежде всего открытие все новых и новых случаев
интегрируемости. Один особенно простой и важный также для при-
ложений случай мы будем рассматривать несколько более подробно в § 6.

Здесь же в качестве общего замечания укажем, что система (34'),
(35'), (36) определяет в функции времени, кроме р, q, г, уже не
углы Эйлера О, ф (подвижных осей относительно неподвижных),
а только направляющие косинусы Yi, Y2, уз вертикального единичного
вектора х относительно Oxyz, и вся аналитическая трудность задачи
заключается именно в интегрировании этой системы. Всякий раз как
будут определены в функциях от времени проекции угловой ско-
рости р, q, г и направляющие косинусы Yi, у2, у3, соответствующие
выражения углов Эйлера найдутся путем несложных алгебраических
преобразований и одной квадратуры. Действительно, пользуясь извест-
ными соотношениями (22)

= sin <р sin 6, Ya ~ cos ? sin Тз = соз^>

мы непосредственно получим выражения 0 и <р в конечном виде как
функции от Yn Ya> Та к> следовательно, от времени; после этого
аналогичное выражение для 6 получится путем одной квадратуры,
если мы воспользуемся каким-нибудь из уравнений

р = Y^ О cos ф, <7 = Y2$ — 9 sin о, г = Ygty + ®,
или, в более симметричной форме, уравнением

+ <712 + О'~?) Ъ

которое получается из предыдущих путем умножения их соответ-
ственно на Yi> 7з и последующего сложения.

Квадратура, определяющая ty, вводит новую произвольную постоян-
ную, которая вместе с произвольными постоянными общего решения
системы (34'), (35'), (36) дает шесть постоянных. От этих шести
постоянных и должно зависеть в самом общем случае движение
тяжелого твердого тела с закрепленной точкой (голономная система
с тремя степенями свободы).

23.	В виде дополнения к предыдущим общим  рассуждениям
выведем непосредственно из векторных уравнений (34), (35) два
первых интеграла (28), (32), которые в п. 21 мы получили из общих
теорем о движении системы.
Что касается интеграла (28) момента количеств движения (отно-
сительно вертикали С, проходящей через О), то заметим, что, умно-
жая скалярно обе части уравнения (34) на х, мы придем к уравнению

х • ЛГ+ х • (w X Ю = 0,

так как вектор М перпендикулярен к единичному вектору х, а умно-
жая скалярно обе части уравнения (35) на ЛГ, получим

/С.х’ + ЛГ’(® Хх) = 0.

Достаточно сложить почленно полученные таким образом два урав-
нения и принять во внимание векторное тождество

х • (ю X К} = К • (х X ®) = — К • (® X х),

чтобы получить уравнение

Д>хЧ-х./С=0,

из которого следует

АГ-х = const,	(28')

что и выражает искомый первый интеграл.

Чтобы получить интеграл живых сил, умножим скалярно обе
части уравнения (34) на uadi, после чего получим

K-todt — dU

или

dK • ® = dU,

так как вектор ® перпендикулярен к ® X К, и (гл. IV, п. 3)

М  to dt = dL = dU.

На основании соотношения между векторами К и ® имеем
dK - ® = Ар dp -J- Bq dq Cr dr = dT,
поэтому можно написать

dT = dU,

а отсюда путем квадратуры мы и придем к интегралу живых сил.

24.	Последнее предварительное замечание. Если не вводится ника-
ких специальных предположений относительно распределения масс,
то общие теоремы о движении системы не приводят к другим первым
интегралам, кроме интегралов живых сил и момента количеств дви-
жения (относительно вертикали); на системе уравнений (34), (35)
это сказывается в том, что эта система, вообще говоря, не заключает
в себе никаких соотношений в конечном виде между векторами о>
и х, кроме соотношений (28), (32). Хотя, с аналитической точки
зрения уравнение (35) допускает очевидный интеграл х2 = const,
но для нашей механической задачи, в которой х означает как раз
единичный вектор, этот интеграл неявно заключается в предпосылках,
вместе с последующим условием, что постоянная в правой части должна
быть равна 1; при таких условиях невозможно элементарным путем
приступить к определению неизвестных векторов w и х в функциях
от времени и, следовательно, к исследованию движения.

Все же важно уже теперь отметить, что на основании общей
теоремы Лиувилля, которую мы уже упоминали в п. 10 й доказатель-
ство которой отложили до § 7 гл. X, задача о движении тяжелого
твердого тела, закрепленного в одной точке, будет интегрироваться
только в квадратурах во всех тех случаях, когда для системы урав-
нений (34'), (35') возможно указать первый интеграл, отличный от
первых интегралов живых сил и моментов.

25.	Перманентные вращения тяжелого тела, закрепленного в одной
из его точек. То обстоятельство, что мы не мОжем найти общий
интеграл уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного
в одной из его точек, не исключает, конечно, возможности найти
какие-нибудь частные их решения. Даже не вводя каких-либо огра-
ничительных предположений о материальной структуре твердого
тела, можно показать, как при помощи совсем элементарных средств
удается выявить класс частных решений уравнений (34), (35), зави-
сящий от одной произвольной постоянной.

Мы придем к таким решениям, исследуя вопрос о том, может ли
тяжелое твердое тело, закрепленное в одной из своих точек, равномерно
(или, как часто говорят, перманентно) вращаться вокруг одной и
той же постоянной оси (в пространстве и в теле).

Прежде всего легко видеть, что ось перманентного вращения
в пространстве может быть только вертикалью. Действительно, речь
идет о том, чтобы показать, возможно ли удовлетворить уравнениям
(34), (35) и, следовательно, их первым интегралам (28), (32), пред-
полагая в них постоянной в пространстве угловую скорость ю. Но
в таком случае, как мы знаем (т. I, гл. IV, п. 11), эта угловая ско-
рость будет постоянной также и в теле, откуда следует на основа-
нии соотношений между векторами to и К, что будет постоянным
в теле также и момент К количеств движения; достаточно принять
во внимание интеграл живых сил (32), который можно написать
в виде

-у К • w — х • Р • ОО = Е,

чтобы заключить, что во время движения должно оставаться неизмен-
ным скалярное произведение х • ОО и, следовательно, должна быть
постоянной проекция вертикального единичного вектора х на напра-
вление прямой ОО. Но легко также видеть, что остается постоянной
(в теле) и проекция этого вектора на плоскость, перпендикуляр-
ную к OG. Действительно, из уравнения (34) мы видим, что так
как вектор ЛГ исчезает, а векторное произведение ю X К остается
постоянным (в теле), то таким же будет и векторное произведение
х X ОО. Отсюда следует, что вертикаль, проходящая через точку О,
неподвижна в теле, т. е. что ось вращения может быть расположена
только вертикально.

Заметим, кстати, что если при движении тяжелого твердого тела,
закрепленного в одной точке, остается постоянным в теле момент К,
то постоянной (в теле) будет в силу соотношения между w и К и
угловая скорость ®; а так как она будет тогда неизменной и в про-
странстве, то мы опять приходим к перманентным вращениям, кото-
рые поэтому можно определить как такие движения, в которых
сохраняется постоянным внутри тела результирующий момент К
количеств движения.

Таким образом, наша задача приведена к тому, чтобы определить,
возможно ли удовлетворить уравнениям (34), (35), полагая в них
и = vx, где v обозначает неизвестную постоянную, дающую по вели-
чине и по знаку угловую скорость (скалярную) предполагаемого
вращательного движения твердого тела вокруг вертикали, направлен-
ной вниз.

При таком предположении уравнение (35) будет тождественно удо-
влетворено, потому что, с одной стороны, имеем ® X * — 0 вслед-
ствие параллельности векторов о> и х, с другой стороны, x = Q
вследствие того, что единичный вектор х, как принадлежащий оси
вращения, будет иметь неизменное направление также и относительно
тела.

Поэтому остается только удовлетворить уравнению (34), которое
вследствие неизменности относительно тела момента К количеств
движения, в предположении ® = vx, приводится к виду

vxXtf = ^ • ООХх,
или

•л X [vAT-j-Р • ОО] = 0,	(37)

причем надо отметить, что вектор OG, так же как и векторы х и Д',
остается постоянным внутри тела.

Поэтому все сводится к тому, чтобы убедиться, можно ли под-
ходящими значениями f2, и v удовлетворить уравнению (37),
принимая во внимание, что проекции на подвижные оси вектора х
суть fj, %2> 7в> а вектора К—

= KU = B^, KZ=C^.	(38)

Освободимся теперь же от частного случая ч = 0, соответствую-
щего возможным состояниям равновесия твердого тела. Уравнение (37)
приведется тогда к виду

xXOG = 0

и выразит, что ось OG, проходящая через центр тяжести, как мы уже

знаем, должна располагаться по вертикали или вниз (устойчивое равно-

весие), или вверх (неустойчивое равно-
весие).

Исключая теперь эти два случая
равновесия, т. е. предполагая v^fcO,
заметим, как это следует из уравне-
ния (37), что необходимое условие для
того, чтобы е> = vx давало угловую
скорость перманентного вращения твер-
дого тела, заключается в том, чтобы
три вектора <о, ЛГ, OG были компла-
нарны (фиг. 16), т. е. чтобы было*)

(ЛГХ®) -00 = 0.

(39)

Это скалярное уравнение, если принять во внимание соотношение (38),
по сокращении на v2 = ю2, можно написать в виде

72

4 Уо

£"Гз

7з =°
го



или в виде

(В — С) х0у2у3 4- (С— Л)УоТзТ1 + И — В) гоТ1у2 = 0.	(39")

Оно определяет, следовательно, внутри тела (в координатах f2, у3
прямой, принадлежащей пучку с центром в О) конус второго порядка.
Такой конус, зависящий только от структуры тела и от положения
в нем закрепленной точки, называется конусом Штауде (относительно
точки О) — по имени математика, впервые разрешившего задачу, кото-
рой мы здесь занимаемся х); поэтому мы можем утверждать, что те
прямые в твердом теле, которые могут быть осями равномерного
вращения, надо искать исключительно между образующими конуса
Штауде.

Естественно, что этот конус может выродиться в пару плоскостей
(различных или совпадающих) или даже сделаться неопределенным. Но

*) Из равенства (37) следует, что геометрическая сумма чК + Р • OG-
параллельна вектору х; это невозможно, если три вектора К, OG и х не
лежат в одной плоскости. {Прим, ред.)

СгеПе, т. 113, 1894, стр. 318; Leipz. Вег., т. 51, 1899, стр. 219.
эти случаи могут встретиться лишь при частных предположениях отно-
сительно А, В, С и х0, у0, zQ, т. е. относительно распределения масс
в теле и положения закрепленной точки по отношению к центру
тяжести. Оставляя для упражнений исследование этих исключительных
случаев, мы продолжим здесь рассмотрение общего случая, заключаю-
щегося в том, что закрепленная точка занимает в теле любое поло-
жение относительно центра тяжести и что соответствующие главные
моменты инерции А, В, С все различны.

Прежде чем идти далее, добавим два важных замечания.

Сначала посмотрим, как при допущенных предположениях нахо-
дятся пять независимых прямых, принадлежащих конусу Штауде (т. е.
ровно столько, сколько нужно для его определения), которые опре-
деляются внутри конуса распределением масс и положением закреплен-
ной точки. Этими прямыми будут:

1)	три главные оси инерции (относительно точки О), направляющие
косинусы которых имеют соответственно значения 1, 0, 0; 0, 1,
0; 0, 0, 1;

2)	прямая OG, направляющие косинусы которой пропорциональны
х0> У Оу го‘у

3)	прямая с направляющими косинусами, пропорциональными
х0/'А, у^В, zajC, которая по отношению к эллипсоиду инерции яв-
ляется диаметром, сопряженным с диаметральной плоскостью, пер-
пендикулярной к OG, и поэтому на основании известного геометри-
ческого построения вектора е> по вектору К (гл. IV, п. 18) представляет
собой линию действия вектора to, когда вектор К. принимает напра-
вление прямой OG.

Далее, можно показать, что конус Штауде является просто ко-
нусом (который следовало бы назвать конусом Ампера !)) прямых,
выходящих из О и представляющих собой главные оси инерции

!) Андре Мари Ампер родился в Лионе в 1775 г., умер в Марселе
в 1836 г., был назван Ньютоном электродинамики за открытие и классически
совершенную иллюстрацию законов механического действия, развивающегося
между проводниками (нитеобразными), по которым текут электрические токи
(постоянные). В честь его была названа ампером единица тока (в абсолют-
ной системе, принятой повсюду в электротехнике; ср. т. I, гл. VIII, упражне-
ние 12). Кроме электромагнетизма, он связал свое имя также и с теорией
уравнений в частных производных, в которой, как и в дифференциальной
геометрии, был последователем Монжа.

Автор знаменитого Essai sur la philosophic des sciences (Париж, 1834).
Ампер, классифицируя науки, выдвинул предложение, быстро всеми приня-
тре, отделить от механики и назвать .кинематикой" ту часть ее, которая
относится к описанию движения (рассматриваемого само по себе, независимо
от его причин).

Ампер был профессором математики в Политехнической школе, занимал
кафедру физики в College de France, был членом Академии наук в Париже
и т. п.

В тексте имеется в виду его Memoire sur quelques nouvelles proprietes
•des axes permanents de rotation des corps et des plans directeurs de ces axes.
Mem. de Г Acad, des Sciences de Paris, t. 5, 1821—1822, стр. 86.
твердого тела (каждая относительно одной из своих точек, которая,
естественно, будет отличной от О, для всех осей, за исключением разве
осей х, у, 2) 1).

Для доказательства этой теоремы найдем условие того, чтобы
прямая в твердом теле, выходящая из О и имеющая направляющие
косинусы y2, f3, была главной осью инерции относительно своей
точки О', расстояние которой от О, неизвестное по величине и по
знаку, обозначим через р, так что соответствующие координаты выра-
зятся так: p7i, ру2, ру3.

Рассматривая теперь какие-нибудь оси O'x'y'z', связанные с телом
и имеющие начало в точке О', а осью z’ — прямую ОО’, будем иметь
при надлежащих значениях косинусов аг-,

х' = аус -}- а%у 4- asz,

У = ₽1* + ₽2^+₽3*>

=	+	—Р,

где (х, у, г), (х', у', z') суть координаты произвольной точки в си-
стемах Oxyz и O'x'y'z' соответственно. Условия того, чтобы пря-
мая ОО' была для твердого тела главной осью инерции, мы получим,
если напишем, что соответствующие моменты девиации (центробежные
моменты инерции) равны нулю

2 mtyiZi = 0, 2 niiZiXi = 0.
i	»

Эти два уравнения в развернутой форме принимают вид

ai ИТ1 —	+ «2	— 9тУо) + «8 (сТз—Ртго) = °,

Pi Иъ — Рмхо) + р2 (ВЪ—Р«Уо) + ?з (сТз — Pm2b) =

где т обозначает полную массу твердого тела. Они, очевидно, равно-
сильны уравнениям

— Р^о = °'Г1>

ВЪ~ Р«Л = 0Т2,

СТз — Р^о = °Ъ,

где о обозначает множитель пропорциональности. Если исключим вспо-
могательные неизвестные ри а, то придем к уравнению (39') конуса
Штауде.

26. Перейдем теперь к обращению результата предыдущего пункта,
т. е. к доказательству того, что всякая образующая конуса Штауде,
расположенная вдоль вертикали (и направленная в надлежащую сто-

J) Эта замечательная теорема (остававшаяся долгое время странным об-
разом незамеченной в столь избитом вопросе) принадлежит W. van der
W о u d е, Math. Zeitschr., т. 16, 1923, стр. 170.
рону), будет действительно для твердого тела осью перманентного
вращения (с величиной угловой скорости, зависящей от направления
этой образующей в теле).

Выберем на конусе Штауде образующую q, ориентированную по
одному из своих направлений и имеющую относительно твердого тела
направляющие косинусы -ft, и предположим, что она совпадает
(также и по стороне) с нисходящей вертикалью, проходящей через
точку О. По предположению, направляющие косинусы Та» Тз Удо"
влетворяют уравнению (39'), и все сводится к тому, чтобы убедиться,
можно ли при соблюдении условия (39х) определить, по крайней мере,
•одно действительное значение v, которое удовлетворяло бы уравне-
нию (37). Это векторное соотношение, после проектирования на
подвижные оси, дает три линейных уравнения относительно v2 (уравне-
ния Эйлера перманентного вращения тяжелого твердого тела)

(В — С) 72t3v2 = Р (7az0 — тз^о),
(С—Л) Чз-fjv2 = Р (f8x0 — Т12-о),
(Д — В) TiTav2 = Р (ТьУо — Тахо)-

(40)

Эти уравнения при сделанных предположениях будут обязательно
совместны, так как определители второго порядка соответствующей
матрицы с тремя строками и двумя столбцами по исключении множи-
теля Р будут в то же время минорами взаимного определителя, по
предположению равного нулю,

ЛТ1 Въ

Ti	Тз	Тз ;

хо	Уо	zo

так что по известной теореме *) они сами будут равны нулю.

Предположим пока, что образующая g, приведенная к совпадению
с нисходящей вертикалью, будет отлична от прямой OG и от каждой
из главных осей инерции х, у, z, чем будет исключено то обстоя-
тельство, что косинусы Чи Те» Тз пропорциональны х0, у0, z0 или что
два из них одновременно равны нулю.

При этих ограничениях уравнения (40) однозначно определяют v2
а функции от 7а, 73

„2 __ ^(YsZp —Тз>о) _ В(7зХ0 —т^о) _ В (п>о — Т2х0)	,

(В-С)Т2Тз — (С-Л)тзТ1	’

Если полученное таким образом значение v2 будет положительным,
то мы непосредственно видим, что вокруг образующей g с направляю-
щими косинусами -jj, у2, 43, расположенной вдоль нисходящей верти-

*) См., например, Э. Ч е з а р о, Элементарный учебник алгебраического
анализа и исчисления бесконечно малых, ч. I, 1913, п. 34, стр. 29.
кали, для твердого тела возможны два перманентных вращения с угло-
выми скоростями ztv. Если, наоборот уравнения (40') для v2 дадут
отрицательное значение, то твердое тело не может равномерно вра-
щаться вокруг образущей g, расположенной вертикально и направлен-
ной в первоначально выбранную сторону. Но достаточно будет изме-
нить ее направление на противоположное *), чтобы изменили знаки
все три направляющих косинуса fj, -f2, -f8, и тогда уравнения (40')
дадут для v2 положительное значение.

Этим и доказано наше утверждение, за исключением случая, когда
образующая g совпадает с прямой OG или с одной из главных осей
инерции твердого тела относительно точки О.

Если теперь прямая OG располагается вертикально, т. е. если
имеем	= xQ:yQ:z0, то уравнения (40') дадут v = 0, какова

 >

бы ни была сторона, в которую обращен вектор ОО на вертикали;
мы приходим, таким образом, к двум известным случаям равновесия.

Если, далее, совместим с вертикалью одну из главных осей инер-
ции, то одно из уравнений (40) сведется к тождеству, а два других
окажутся противоречивыми (поскольку в них v рассматривается как
конечная величина).

Будем, однако, переходить к пределу, представляя себе сначала
одну из образующих g конуса Штауде, близкую к какой-нибудь главной
оси инерции, например к оси х (с направляющими косинусами 1, 0, О),
расположенной вертикально и направленной в надлежащую сторону, и
будем неограниченно приближать эту ось к вертикали. Это равно-
сильно предположению, что направляющие косинусы у2, *[8 пря-
мой g стремятся соответственно к 1, 0, 0; в силу этого, в то время
как первое из уравнений (40) будет стремиться к тождеству, второе
или, безразлично, третье дадут для v2 значение, стремящееся к поло-
жительной бесконечности. То же самое остается в силе и для двух
других главных осей инерции; поэтому в виде теоретической интер-
претации действительного случая весьма большой скорости можна
сказать, что главные оси инерции, расположенные вертикально в над-
лежащую сторону для твердого тела, будут осями вращения с бес-
конечными угловыми скоростями (как в одну, так и в другую сто-
рону, безразлично) (фиг. 17).

Поэтому заключаем, что всякая образующая конуса Штауде для
твердого тела является осью равномерного вращения, если только
надлежащая сторона этой образующей совпадает с нисходящей
вертикалью-, при этом абсолютная величина угловой скорости jv[
определяется однозначно, а направление вращения остается произ-
вольным (обратимые перманентные вращения). Только для прямой,
проходящей через центр тяжести (соответственно двум случаям

*) После такой перемены направления на образующей с нисходящей
вертикалью будет совпадать другая ее половина. (Прим, ред.)
равновесия), оказывается безразличным, какое из двух ее противо-
положных направлений совпадает с нисходящей вертикалью.

Предыдущим оправдывается название перманентных осей враще-
ния, которое дают в случае твердого тела, закрепленного в одной
точке, образующим конуса Штауде, включая, как соответствующие

предельным случаям, главные оси
инерции и прямую *), проходящую
через центр тяжести.

§ 6.	Тяжелый гироскоп

27.	Дифференциальные уравнения
движения. Мы будем рассматривать
здесь один из тех случаев, когда
благодаря некоторым частным пред-
положениям (которые можно опра-
вдать на основании физических сооб-
ражений) удается указать для уравне-
ний движения тяжелого твердого
тела, закрепленного в одной точке,
существование еще одного первого
интеграла и, следовательно, на осно-
вании теоремы Лиувилля, упомянутой
в п. 24, привести задачу к квадра-

Фиг. 17.

турам.

Случай интегрируемости, на котором мы хотим здесь остановиться
и который указан еще Лаграйжем и более глубоко изучен Пуассоном,
представляется наиболее простым и наиболее ясным с физической
точки зрения.

Речь идет о движении тяжелого гироскопа, закрепленного
в какой-либо точке О своей оси, отличной от центра тяжести О.
Согласно определению п. 17 гл. IV, гироскойом мы называем всякое
твердое тело, центральный эллипсоид инерции которого есть эллип-
соид вращения; необходимо вспомнить, что для такого твердого тела
эллипсоидом вращения будет также и эллипсоид инерции относи-
тельно всякой другой точки оси; обратно, чтобы заключить, что
какое-нибудь твердое тело является гироскопом в этом смысле,
достаточно знать, что оно имеет гироскопическую структуру отно-
сительно одной из своих точек О и что центр тяжести G принадле-
жит соответствующей оси.

Поэтому по отношению к обычным подвижным осям Oxyz, в ко-
торых Oz есть гироскопическая ось, структурные предположения,

!) Об устойчивости этих перманентных вращений твердого тела, закре-
пленного в одной точке, см. Е. J. Routh, Dynamics и пр., т. II, § 214;
J. Hadamard, Яззос. franpaise, Bordeaux, т. 24, 1895, ч. II, стр. 1;
R. Gramm el, Math. Zeitschrift, т. 6, 1920, стр. 124.
характеризующие этот случай, выражаются в обозначениях преды-
дущего параграфа тремя условиями

А —В, xQ=yo = 0;

(41)

достаточно представить себе, что ось Ог направлена от О к G,
чтобы можно было считать, что г0 > 0. Точка полупрямой OG, нахо-
дящаяся от точки О на расстоянии, равном 1, называется вершиной
гироскопа. Вершина лежит на поверхности сферы с радиусом, рав-
ным 1, и с центром в закрепленной точке О.

Условия нашей задачи получатся при этом из условий задачи
предыдущего параграфа о движении какого угодно твердого тела
вокруг одной из его закрепленных точек, путем добавления усло-
вий (41), и также, если угодно, условия г0>0.

Необходимо теперь же отметить, что момент (33) силы тяжести,



так как вектор OG лежит на оси г, имеет в данном случае вид

М = Pzjt X *

(33')

Что касается дифференциальных уравнений, то мы возьмем их
прямо в форме (34'), (35'). Ограничиваясь здесь пока уравнениями
Эйлера (34'), мы видим, что третье из них (совпадающее в этом
случае с уравнением (15) п. 7) приводится в силу условий (41)
к виду

Сг = 0

л непосредственно дает новый первый интеграл

= const

(42)

что и делает возможным интегрирование задачи в квадратурах.

Отсюда следует, что во всяком движении тяжелого гироскопа
проекция угловой скорости его на гироскопическую ось (гироско-
пическая угловая скорость) остается постоянной.

Два других уравнения (34') (равносильные в совокупности эква-
ториальному уравнению (16) п. 7) принимают вид

Ар — (А — С) rq = — PzQ^, )	(43)

Aq + (А — С) гр = РгоТ1,	|

где в силу только что сказанного г означает постоянную.

Естественно, что остаются в силе и два первых интеграла, получен-
ных в общем случае (п. 21), т. е. интеграл (28) момента количеств дви-
жения относительно вертикали и интеграл (32) живых сил, которые
здесь на основании условий (41) и равенства (42) приводятся соот-
ветственно к следующим:

^(РТ1 + ?Т2) + СгТз = А'®,	(44)

|л(^ + ^) + -1сг2 — Pzfa = E	(45)

при постоянном г.

28.	Определение угла нутации. Обратимся теперь к дифференци-
альным уравнениям (35'). Принимая во внимание оба первых инте-
грала (44), (45) и общие уравнения (35') (достаточно третьего),
легко выделить уравнение для определения переменного у8 — cos 0 и
свести задачу к интегрированию уравнения первого порядка Типа

уже встречавшегося несколько раз (см., в частности, гл. I, § 6).

Положим y3 — cos 0 = s и введем для упрощения формул более
короткие обозначения

С 2Pzo „ Е Кг

л=с’ V=P2- ;%=*•	'“Л	<46’

здесь сир представляют собой две положительные постоянные
(первое — отвлеченное число, а второе имеет размерность угловой ско-
рости), зависящие исключительно от распределения масс в теле; a h,
k, X так же как и Е, К? и г, от которых они отличаются соответ-
ственно множителем (однородности), суть постоянные интегрирования,
приведенные к отвлеченным числам.

При этом соглашении первые интегралы (44), (45) принимают вид

Ph + 4h = Р (* — cXs),	(44')

Ра + <72 — Р2 (5 + — сХ2);	(45')

поэтому, подставляя в тождество

(P7i + <5b)2 + (Р7а — 971)2 = (Р2 + <72) (1 ~ Тз) =

= (Р2 + <72)(1-у2)	(47)

и принимая во внимание третье из уравнений (35'), получим для $
упомянутое выше уравнение

1 s’2 = (1 — S2) (s	h _ сХ2) __	__ Д.) 2.	(48)

Это уравнение представляет собой в некотором смысле резоль-
венту задачи о движении тяжелого гироскопа, потому что (мы пока-
жем это в п. 33) как только будет определено путем интегрирования
уравнения (48) выражение для s = у3 в функции от времени, так
при помощи алгебраических преобразований и квадратур найдутся

8 Зак. 2368. Т. Левн-Чнвита и У. Амальди.
аналогичные выражения и для других неизвестных функций, а именно
для -f2, р, q (г, как мы видели, постоянно'), после чего уже
можно определить углы Эйлера <р, ф.

Уравнение (48) в свою очередь может быть проинтегрировано
в квадратурах (гл. I, п. 15), и так как функция в правой части есть
многочлен третьей степени относительно s, то общий интеграл выра-
зится в эллиптических функциях.

Таким образом, установлено приведение к квадратурам задачи о дви-
жении тяжелого гироскопа.

29.	Замечание о случае, когда гироскопическая скорость равна
нулю. Мы не будем здесь останавливаться на выкладках, необходимых
для интегрирования дифференциального уравнения (48), а изучим
характер общего решения, применяя к этому уравнению критерии,
установленные в общем случае в § 6 гл. I для исследования интег-
ралов уравнений этого типа.

Такое исследование для настоящего случая упрощается путем
исключения частного предположения А = 0, т. е., в силу последнего
из равенств (46), г = 0, которое, как мы здесь покажем, приводило
бы к разобранной уже задаче, а именно к движению сферического
маятника (гл. II, пп. 48, 49).

Чтобы убедиться в этом, заметим прежде всего, что при предпо-
ложении г = 0, т. е. когда исключается вращение вокруг гироскопи-
ческой оси, положение гироскопа в пространстве будет вполне
определено направлением в любой момент гироскопической оси или,
другими словами, значениями, выраженными в функциях от времени,
сферических координат 0 и у (широты и долготы) вершины (п. 27)
и, кроме того, начальным положением тела относительно подвижных
осей.

Далее, направляющие косинусы а3, f3, f3 гироскопической оси Oz
относительно системы координат О£т]С определяются в функциях от О
и у равенствами

a3 = sin0cosy, Р3= — sin 0 sin у, f3 — cos0.

Сравнение с выражениями тех же самых косинусов в функции от
двух углов Эйлера 0, ф (т. I, гл. III, п. 32)

а3 = sin 0 sin Ф, Р3 = — sin 0 cos 4*, Тз = cos ®
показывает (как, впрочем, можно было бы убедиться и прямым
путем на основании геометрического значения различных рассматри-
ваемых углов), что широта 0 действительно совпадает с первым
углом Эйлера и что у и связаны соотношением у = ф— тс/2.

После этого мы сразу же видим указанную эквивалентность
настоящей задачи с задачей о сферическом маятнике. Заметим при
этом, что, за исключением физического значения постоянных, выра-
жения живой силы и потенциала в той и другой задаче имеют один
и тот же вид в обобщенных координатах 6 и у.

Действительно, в случае сферического маятника, обозначая че-
рез т1 массу, через I—длину и принимая во внимание тождество
у = ф — ^/2, будем иметь

Т	—	(92-|- ф2 sin2 6), U —	= mtgl cos

а для гироскопа живая сила при г = 0 определяется равенством

Т = |д(р2+<72).

Принимая во внимание (т. I, гл. III, п. 34), что

р = 0 cos ® 4- ф sin ® sin 6, q — — 6 sin ® ф cos ® sin 9,
можно написать

Т = ~А (б2 + ф251п2 0),
потенциал же имеет следующее выражение:

U = mgza cos 0.

Очевидно, уравнения Лагранжа, соответствующие этим двум задачам,
совпадут, если отождествить длину I сферического маятника с коли-
чеством A)mzQ, имеющим размерность длины.

30.	Исследование резольвенты. Исключим теперь на основании
замечания предыдущего пункта случай 1 = 0 и ограничимся иссле-
дованием решения уравнения (48) только с качественной стороны.
Такое качественное рассмотрение основывается на исследовании кор-
ней (действительных) многочлена третьей степени в правой части (48)

(1 — s2) (s — h — ел2) — (cXs — А)2,

который мы будем обозначать для краткости через /(s) или, если
хотим выявить постоянные (интеграции), от которых он зависит, через
/(s|A, h, k).

Многочлен f (s) при s, стремящемся к —оо, стремится К 4-со
и, за исключением двух случаев, когда c\ = ±k, принимает от-
рицательные значения как при $ =— 1, так и при s = l; отсюда
следует, что этот многочлен, по крайней мере при указанном ис-
ключении, допускает один действительный корень, меньший — 1.
С другой стороны, во всяком движении гироскопа s = cos 0 остается
всегда заключенным между — 1 и -ф-1; к этому интервалу должно
принадлежать и начальное значение s0, и так как для действитель-
ности движения необходимо должно быть /(з0)^>0, то s0 обяза-
тельно будет отличным от крайних значений —1 и +1.

Если /($0)>0, то из предыдущих рассуждений непосредственно
следует, что трехчлен /(s) допускает три действительных простых
корня (фиг. 18), заключенных соответственно в интервалах от —со
до —1, от —1 до з0 и от з0 до -j-1 (за исключением концов).

Если, наоборот, /(so) — O, то возможно, что з0 является
двойным корнем многочлена; но в таком случае, так как всегда
существует третий корень вне интервала от — 1 до 1 (именно,

корень, меньший — 1), /($) в этом интервале не может уже
менять знака и поэтому будет постоянно отрицательным, как и на
концах (исключая точку s = s0, в которой нуль будет второго по-
рядка).

Если, далее, з0 есть простой корень многочлена /(s), то из общего
исследования, проведенного в § 6 гл. I, будет вытекать, что функция s(t),
определенная уравнением (48) и начальным значением з0, имея также
нулевую производную вначале, не будет все же постоянной, и потому
найдутся моменты t*, а значит, и положения з*, в которых в силу
действительного характера движения будем иметь f(s*) > 0; поэтому
и здесь, как и в случае f (s0) > 0, мы заключаем, что многочлен до-
пускает три простых корня, из которых два являются внутренними
для интервала от — 1 до +1, а третий меньше —1.

Остаются два особых случая ел~±&, исключенные выше. При c\=k
многочлен / (з), как всегда, стремится к -]- оо при s, стремящемся
к —оо, кроме того, он будет отрицательным при s = — 1 и нулем при
з=1; поэтому он всегда будет иметь простой корень, меньший — 1;
если s = 1 есть двойной корень, то, как и в общем случае, утверж-
даем, что при—1<з<1 многочлен всегда будет отрицательным.
Если, далее, s = 1 не является двойным корнем, то мы увидим, рас-
суждая, как и выше, что соответственно действительному движению
гироскопа многочлен обязательно имеет третий простой корень вну-
три интервала от — 1 до +1.
Наконец, мы должны рассмотреть еще случай сА = — k. В этом
предположении многочлен /(s) допускает корень $ = — 1; для дру-
гих же двух корней могут представиться различные случаи. Именно,
s = — 1 прежде всего может быть тройным корнем. Если, далее, он
является двойным корнем, то третий корень может попасть как внутрь,
так и вне интервала от—1 до-{-1. Наконец, если s=—1 есть
простой корень, то для других двух корней могут представиться все
возможные случаи, т. е. они могут быть мнимыми, или совпадающими
между собой (лежащими внутри или вне интервала), или действи-
тельными и различными (один внутри, другой вне этого интервала,
или оба вне интервала).

Для последующего необходимо изложить вкратце все случаи,
в которых соответственно действительным решениям уравнения (48)
многочлен /(s) может иметь кратные корни в интервале от з =— 1
до $ = Из предыдущего следует, что, за исключением частного
случая ск = — k, для / ($) в этом интервале (если включить в него
/= -}-1) могут встретиться только кратные корни второго порядка,
изолированные в том смысле, что во всякой другой точке интервала
многочлен будет отрицательным.

Если, наоборот, сХ = — k, то для / ($) в интервале от s = — 1
до s = 1 могут быть:,

а)	тройной корень, и он обязательно будет равен — 1;

б)	или, помимо простого корня з = — 1, двойной корень внутри
интервала от —1 до 4-1; этот двойной корень, как легко убедиться
на основании знака /(з), при очень большом по абсолютной вели-
чине з будет необходимо изолированным в только что разъясненном
смысле;

в)	или двойной корень з = — 1, изолированный в обычном смысле;

г)	или, наконец, двойной корень s==—>1, вместе с другим кор-
нем (простым) внутри интервала от — 1 до -f- 1.

31. Случай простых корней. Нутация гироскопической оси. При-
ложим теперь общие результаты § 6 гл. I, начиная со случая двух
простых корней slt s2 (принадлежащих интервалу от —1 до 4"1)-
При этом предположении функция s = cos 6 с возрастанием времени
неопределенно долго колеблется между двумя крайними значениями st
и з2; по отношению к гироскопу это означает, что ось описывает
в пространстве коническую поверхность, которая все время остается
заключенной между двумя конусами вращения с вертикальной осью
и с углами при вершинах

26j = 2 arc cossj, 202 — 2 arc cos s2

Эта коническая поверхность поочередно касается то одного, то дру-
гого конуса {нутация гироскопической оси).

Чтобы определить движение гироскопической оси, будем рассма-
тривать движение так называемой вершины гироскопа (п. 27), т. е.
конца V вектора О V = k, в котором прямая OG, проходящая через
центр тяжести, пересекает сферу с центром О и радиусом 1.

Траектория (сферическая) точки V называется траекторией вер-
шины', из того, что было сказано выше, следует, что в случае, который
мы здесь рассматриваем, она будет вся заключена между двумя парал-
лелями широты (южной, т. е. измеряемой от южного полюса, или,
еще точнее, нижней, поскольку мы приняли ось Oz направленной
вниз):	= arccos и b2 = arccos s2 и идет попеременно от одной

к другой. В силу нашего соглашения, что 0 = arccos s является южной
широтой, из этих двух крайних параллелей будет выше та, которая
соответствует меньшему корню st.

Теперь интересно, в частности, знать, каково будет расположение
траектории вершины по отношении? к двум крайним параллелям в тех
местах, где эта траектория имеет с ними общие точки. Мы ограни-
чимся здесь предположением, что вершина движется по сфере между
двумя параллелями в собственном смысле, т. е. исключим оба слу-
чая, когда или = — 1 (и сХ = — k), или $2 = 1 (и с\ = k), т. е.
когда та или другая параллель сводится к одной точке (северный
или южный полюс сферы).

На поставленный таким образом вопрос можно ответить, отыскав
выражение угла а, который касательная к траектории вершины в лю-
бой своей точке образует с меридианом, проходящим через нее, т. е.
угла а скорости вершины с единичным вектором и, касательным
к местному меридиану (направленным безразлично в ту или другую
сторону). Этот единичный вектор и, как перпендикулярный к век-
тору k и параллельный вертикальной плоскости (х, k), будет парал-
лелен составляющей вектора х, которая расположена в экваториаль-
ной плоскости гироскопа, т. е. равен 7^+ fa/; поэтому можно написать
и =	= 14+bi .	(49)

У1-Т|	]А-а2

С другой стороны, скорость вершины V, свободного конца еди-
ничного вектора k, приложенного в О, определяется уравнением

=	(50)

так что квадрат соответствующей величины есть p2-\-q2.

Так как по определению скалярного произведения имеем
2	1 fdk ?

\dt)

то достаточно принять во внимание равенства (49), (50) и третье из
уравнений (35')> чтобы заключить, что

s2

cos2 а =	. л-—.	(51)

(1—s2)(p2+q2)	v 7
Заметив это, рассмотрим один из моментов времени, когда вер-
шина будет находиться на той или другой крайней параллели. В этот
момент производная s исчезает, что соответствует максимуму или
минимуму s. Поэтому если вспомним, что предположение Sj = — 1
или s2 = 1 исключено, и, кроме того, предположим временно, что
в рассматриваемый момент р и q не равны одновременно нулю, то
увидим на основании формулы (51), что cos а исчезает, а это озна-
чает, что траектория вершины, вообще
говоря, будет касательной к крайним па-
раллелям в точках, в которых она попере-
менно достигает их (фиг. 19).

Остается рассмотреть исключенный выше
случай, когда р и q одновременно равны
нулю в тот момент, когда вершина гиро-
скопа достигает крайней параллели. Заметим
прежде всего, что до тех пор, пока вершина
не достигла параллели, ее скорость при s Jg-O
не может исчезнуть, так что р и q не могут

одновременно быть равными нулю. Для того	Фиг. 19.

чтобы, далее, соответственно одному из двух
корней s = Sj или s = было р = q = 0, необходимо, чтобы для
такого корня удовлетворялись на основании первых интегралов (44'),
(45') оба уравнения:

k — c\s = Q, s-\-h — сХ2 = О,

из которых следует условие

-4- = сХ2 — h\
с\	’

(52)

общая величина этих двух выражений как раз и дает корень,
о котором идет речь, наверное, заключенный (что следует отметить)
между —1 и 4-1. Далее, при условии (52) из уравнений (45'), (48)
будеТи иметь

s2 = -J-(cXs — k) { 1—-s2 — cX(cXs-f-ft) ’,	(48")

так что равенство (51) принимает в этом случае вид

cos2 <х = 1 — сХ

с Xs— k

1 —s2

откуда заключаем, что когда s стремится к своему крайнему значе-
нию k/с'к, то cos а стремится к 1, а это значит, что касательная
к траектории вершины стремится расположиться ортогонально
к параллели. Другими словами, при указанных условиях траектория
вершины гироскопа в точках, общих у нее с данной параллелью.
имеет точки заострения, в которых она касается соответствую-
щих меридианов (фиг. 20).

Важно добавить, что такой случай может представиться
только на верхней параллели. Чтобы подтвердить это, достаточно
проверить, что в рассматриваемом здесь предположении (52) k'ck
для многочлена f(s) в правой части уравнения (48') является мень-
шим из двух простых корней, заключенных между — 1 и —J— 1. Для
этой цели заметим, что множитель второй степени многочлена f(s)
_____________	при s = k/ck положителен и становится отри-
дательным как при s —> — оэ, так и при

S'	JX s -> оо, так что он имеет два корня, один

/	\ из которых меньше k\ck, а другой больше.

/	\ Далее, первый из этих двух корней является

I	/	] наименьшим из трех корней многочлена /(s)

I	уу и, конечно, будет меньше—1 (предыдущий

--------------------------/ пункт); поэтому заключаем, что в настоящем
\------------/ случае корень многочлена f(s), который

У7 вместе с k[ck дает границы колебания функ-
ции s, является как раз корнем, большим i/cX.

До сих пор мы исключали два случая:
Фиг. 20.	ок = zt k, в которых одна из двух крайних

параллелей, а именно нижняя параллель в пер-
вом случае ($2 = 1) и верхняя параллель во втором случае (Sj — — 1),
сводится к точке (соответственно южный или северный полюс).

Поступив теперь так же, как в общем случае, легко увидим, что
если ck = k и, следовательно, $2=1, то вершина гироскопа перио-
дически приходит в полюс (южный) в направлении меридиана и со
скоростью, необходимо отличной от нуля, так что всякий раз она
продолжает свое движение и касается затем крайней параллели,
соответствующей значению s, > — 1.

Если, далее, будем иметь ск = — k и, следовательно, — — 1,
то вершина, как и в предыдущем случае, может стремиться к полюсу
(северному) только в меридианном направлении, но при этом воз-
можны два случая: или вершина действительно приходит к полюсу
со скоростью, отличной от нуля, и, следовательно, продолжает свое
периодическое движение, чтобы затем прийти в соприкосновение
с соответствующей параллелью $2<1, или (имея при = —1 двой-
ной нуль многочлена f(s) типа г) предыдущего пункта) приближается
асимптотически к этому полюсу.

32.	Случай кратных корней. Установившиеся движения. Возвра-
щаясь к последнему замечанию п. 30, рассмотрим предположение,
что многочлен f (s) в замкнутом интервале от —1 до 4~1 допускает
кратный корень.

Если исключить сначала частный случай ck — ~—k, то речь может
идти только о двойном корне s0 (п. 30), изолированном в том
смысле, что многочлен / ($) во всякой другой точке интервала будет
отрицательным. Мы будем иметь в этом случае меростатическое дви-
жение, в котором s будет сколь угодно долго сохранять свое началь-
ное значение s0. Это значит, что гироскопическая ось все время будет
образующей конуса вращения вокруг вертикали с углом при вершине
29О = 2 arc cos s0 (или, в частности, будет совпадать с вертикалью,
направленной вниз, если ck~k и s0— 1 есть двойной корень). Легко
видеть, что движение твердого тела сведется к регулярной прецес-
сии (т. I, гл. IV, п. 15) или, как предельный случай, к равномерному
вращению вокруг гироскопической оси, направленной вертикально
вниз. Действительно, из равенства т3= з0 на основании интеграла (45')
живых сил следует, что будет постоянным также Ур2-}-^2, т. е.
модуль е экваториальной составляющей е угловой скорости w.
С другой стороны, второе из уравнений (35'), приводящееся при
постоянном Тз к равенству

ЪР — 717 = 0,

выражает пропорциональность р и q величинам и ';2; поэтому
можно написать

V i-4

принимая во внимание, что х = -у 7а/ +Тз*, получим окончательно

==- (* —Тз*)-

1-4

На основании этого выражения экваториальной составляющей
угловой скорости, последней можно придать вид

эта формула выражает, что w есть сумма двух векторов: первый
из них остается неизменным в пространстве и направлен вдоль верти-
кали, а второй остается неизменным в теле и направлен вдоль гиро-
скопической оси. Это и доказывает, что речь идет о регулярной
прецессии, причем ось гироскопа описывает конус вращения около
вертикали, представляющей собой ось прецессии.

Для того чтобы движение гироскопа имело этот прецессионный
характер (или характер равномерного вращения), т. е. для того,
чтобы многочлен f(s) в правой части уравнения резольвенты (48)
имел двойной корень, необходимо и достаточно, чтобы обращался
в нуль дискриминант многочлена /($), т. е. чтобы существовало
некоторое соотношение между постоянными с, h, k, к, или, иначе,
между величинами, характеризующими структуру тела и положение
закрепленной точки, и начальными данными, которые входят в первые
интегралы уравнений движения. Мы не будем формулировать здесь
это условие, так как встретимся с ним немного позже, изучая
непосредственно регулярную прецессию и равномерное вращение
тяжелого гироскопа.

Здесь же отметим, что для того, чтобы полностью исчерпать
исследование кратных корней, необходимо рассмотреть также исклю-
ченный ранее случай с'к = — k.

Из замечаний в конце п. 30 естественно следует, что в этом
случае для вершины прежде всего возможны такие движения к асимп-
тотической точке в северном полюсе, на которые мы уже имели
случай указывать в предыдущем пункте и которые представляются
соответственно случаю г) (двойной нуль Sj =—1, сопровождаемый
простым нулем $2 внутри интервала от —1 до 4-1) всякий раз,
когда начальное значение s0 будет больше —1.

Наоборот, в предположении $0 = — 1, как и в трех других слу-
чаях а), б), в) п. 30, обязательно осуществляются установившиеся
движения, в которых $ при любом t сохраняет свое начальное зна-
чение, соответствующее кратному корню (прецессия или равномерное
вращение около оси, направленной вертикально вверх).

В случае а) тройного корня s = — 1 мы будем иметь перманент-
ное вращение вокруг гироскопической оси, направленной вертикально
вверх; как легко проверить, угловая скорость определится равен-
ством

с

33.	Полное определение движения. Чтобы дополнить предыдущее
общее исследование, нам остается показать, что не только функция
s = f3, получающаяся в результате интегрирования уравнения (48),
но также и другие элементы движения можно вычислить посредством
квадратур.

Так как г постоянно (п. 27), остается рассмотреть только р, q, у2.
Заметим теперь, что равенства (44z), (47), если принять во внимание
также и интеграл (45'), дают возможность представить биномы
/>714~9Т2,—в функции от s, т. е. теперь уже в функции
от времени; из двух полученных таким образом уравнений, которые
для краткости напишем в виде

P7i4-?72 = $i, —	+	=	(53)

где 0j, 02 обозначают две известные функции от t, вводя для удоб-
ства вывода мнимые числа, получим соотношение

(Р 4~Й) (Т1 — Й2) = ©14- г'©2-
которое на основании тождества

(li — Йг) (71 + Й2) = 71 -Нг = 1 —
можно написать так:

Р + Ч = (71 +	~ •	(54)

1 Ъ

С другой стороны, из двух первых, еще неиспользованных урав-
нений (35') следует

71 + гЪ = — ir (71 + *7г) + г7з (Р + г4),
поэтому, подставляя вместо р -4- iq его выражение (54) и деля на
•ft гу2, получим

Так как правая часть есть известная функция от t, то достаточно
одной квадратуры, чтобы получить выражение для iy2, после
чего, заменяя i на —I, мы найдем сопряженную функцию ft— ift и,
следовательно, определим и в отдельности. После этого р и q
определятся из системы линейных уравнений (53) или из уравне-
ния (54).

Впрочем, и не определяя р, q, fj, ft, можно прямо прийти к опре-
делению в квадратурах двух других углов Эйлера ® и ф, если известна
функция s = cos 6.

Действительно, из первых двух уравнений (37) п. 22, умножая
их на fj, ft, складывая почленно и принимая во внимание, что
(т. I, гл. III, п. 32)

ft = sin 6 sin о, у2 = sin 6 cos ср,
получим уравнение

Р71+972 = '?(1—7з).-

которое при сравнении с уравнением (44') дает

р(/г —№ — Сп„
ф =-----------— = —-------—;

1-4 А (1-4)

после этого из третьего из уравнений (37) п. 22 получим

? = —Ф7з*

Из двух последних уравнений находим посредством квадратур
выражения для о и 6 в функциях от времени.

Следует заметить, что в частном случае, рассмотренном в преды-
дущем пункте, когда резольвента имеет один двойной корень и, следо-
вательно, когда ft = cos 6 во время движения остается постоянным,
предыдущие выражения для ф и ср дают новое доказательство прецес-
сионного характера движения, так как эти угловые скорости постоянны.
34.	Приближенные уравнения движения гироскопа при больших
угловых скоростях собственного вращения. Оценивая приближенно
различные члены в общих уравнениях, установленных в предыдущих
пунктах, мы можем указать преобладающие члены в интегральных
выражениях 6, ср, б, справедливых для любого движения тяжелого
гироскопа (движение с нутацией), в том случае, когда гироскоп совер-
шает быстрое вращение вокруг собственной оси.

В п. 4 мы уже указали на точный смысл, который следует вклады-
вать в понятие быстрого вращения. Здесь необходимо добавить, что
проекция (постоянная) г угловой скорости гироскопа в течение всего
времени движения будет велика не только по сравнению с двумя дру-
гими проекциями р и q, но также и по сравнению со структурной
постоянной р, определенной из второго из равенств (46), т. е. из
равенства р2 = 2Pz0/A.

При этом предположении, последнее из равенств (46), т. е.г = Хр,
показывает, что и постоянную к нужно считать очень большой; затем
из интеграла (45) живых сил мы видим, что в выражении постоян-
ной Е слагаемое с г2 преобладает над остальными, так что на осно-
вании первого и третьего из равенств (46) можно положить

й = сХ2-|-й1,	(55)»

где Ztj есть отвлеченное число, не зависящее от X и, по предположе-
нию, очень малое по сравнению с сХ2.

Аналогично первый интеграл (44) моментов количеств движения,
на основании равенств (46) можно написать в виде

k — cks —[— . . •,

где ненаписанные члены не зависят от X; отсюда получаем
_____________________________ k ...........

s ск ск ’

вторая дробь, числитель которой изменяется с временем, остается<
ничтожной по сравнению с постоянной величиной s0 = kjck в силу того,
что ненаписанные члены остаются конечными и не зависят от X *).
Таким образом, мы видим, что когда гироскоп находится в быстром
вращении вокруг своей оси, то ось гироскопа сохраняет приблизи-
тельно постоянный наклон к вертикали (cos60 = s0).

На основании предыдущего в качестве приближенного значения k
(по крайней мере до членов, не зависящих от X) мы примем

k = cXs0;

*) Предыдущее равенство можно написать в виде

cos 0 = cos 60 — : ’' •"

сХ

откуда и видно, что второе слагаемое тем меньше, чем больше X, а первое
от X не зависит. {Прим, ред.)
положим еще, что $0 ф dz 1, в силу чего исключается частный слу-
чай k — ±ch.

Для изучения малых отклонений угла нутации 6 от постоянного
значения 60, т. е. для изучения нутации оси гироскопа, положим
где а рассматривается как количество первого порядка, т. е. как
количество, квадратом которого можно пренебречь.

Здесь речь идет об определении с заданным приближением закона
изменения с временем этой функции а, для чего, конечно, придется
обратиться к дифференциальному уравнению (48). Если s0, которое мы
предположили не равным dzl, есть двойной корень многочлена /($),
то движение гироскопа сведется, как мы уже знаем (п. 32), к регу-
лярной прецессии, и мы будем строго иметь s = s0, т. е. а = О. Если
исключить этот случай, то $ не будет тождественно обращаться в нуль
для решения уравнения (48), о котором здесь идет речь; продифферен-
цировав это уравнение по t и разделив результат на s, мы получим
уравнение

2s г/ , \

достаточно будет подставить в него вместо s и принять во
внимание, что а должно рассматриваться как величина первого порядка,
чтобы получить для определения а линейное уравнение

а-уР2Г(^о)’-урГ(^) = О-

Здесь необходимо уточнить значения, которые надо приписать
f (s0) и f" (s0), учитывая наш порядок приближения. Для этой цели
заметим, что многочлен f(s), если вместо h и k подставить их значе-
ния сХ2-|-й1 и cXs0, сводится к следующему:

/СО = (1 -s2) (х + hj -с2Х2(s- у0)2.

Дифференцируя обе части этого равенства по s и полагая после
дифференцирования s == s0, получим

/ (s0) = 1 — 2V0 — 3so,

f" (s0) = — 2c2a2 — 2Aj — 6s0.

Если обозначим через 2a величину f (s0), не зависящую от л, и
заметим, что в выражении /" ($0) по сравнению с первым членом —2с2Х2
два другие ничтожны, и, кроме того, примем во внимание, что pk = r,
то уравнение относительно а можно будет написать в виде

a" -J- с2г2а — ар2 = 0;
достаточно положить

чтобы придать ему вид

а" -]- с2г^1 = О.

Это есть уравнение гармонического колебательного движения.

Но здесь, чтобы получить как можно более точный и определен-
ный результат, лучше перейти от закона изменения аь т. е., по суще-
ству, от закона изменения а — s — s0 к закону изменения угла нутации,
который, как известно, колеблется вблизи своего среднего значения 60
(s0 = cos 60). Введя угловое отклонение е = 0 — 60, которое надо рас-
сматривать бесконечно малым, как и а, и пренебрегая членами порядка
выше первого относительно е, будем иметь

s = cos (0О + е) = $0 — е sin 0О
и, следовательно,

s — 5о = 0 = 01 + ^2 = — esin60;	(56)

поэтому (допуская возможность деления на sin0o на основании пред-
положения s0 = cosOg^2— О можно представить угловое отклоне-
ние е в виде

S = S1 + S2>
где первое слагаемое

S1 = — С2)2 sin 0О	(57)

является числом, зависящим от начальных постоянных, и во всяком
случае очень мало вследствие наличия в знаменателе с2Х2, а другое
слагаемое

е2 =----(58)

отличаясь от Oj на постоянный множитель, определяется тем же линей-
ным дифференциальным уравнением, что и для <з1э т. е.

г2 -ф- c2r2s2 = 0.	(59)

Интегрируя это уравнение и обозначая через s0, fQ две постоян-
ные, мы получим формулу

0—0о=е1-(-e0cos {сг(^ — /0)},	(60)

которая дает искомое приближенное выражение для угла нутации,
тем более точное, чем более значительным будет г. Наибольшее
отклонение угла 0 от его среднего значения 0о определяется по-
стоянной So-

Чтобы дополнить решение задачи о движении гироскопа при
указанных ранее условиях, мы должны найти аналогичные выражения
для двух других углов Эйлера, '1 и ф, определяемых, как мы видели
в предыдущем пункте, двумя уравнениями

; р (k — cis) •	:	, „,.

Ф=  iZ_s2 > f^r—'bs.	(61)

Припоминая, что k[c\ отличается от s0 членами порядка 1/Х и
что рХ = г, выражению ф можно придать следующий вид:

;	s— s0

так как в переменном множителе числитель s = s0 = а уже первого-
порядка, то, по крайней мере с точностью до членов высшего по-
рядка малости, можно подставить в знаменателе s0 вместо s. После
этого, вводя угловое отклонение г из выражения (56) для s — s0 и
принимая во внимание тождество 1 — So = sin2 60, мы получаем окон-
чательно

:	сг

ф = -^—г-s ;

~ sin 0О ’

наконец, разбивая s на два слагаемых sp э2, определяемых из (57),
(58), можно придать этому равенству вид

♦ <62>

где для краткости через v обозначено число, имеющее размерность
угловой скорости и во всяком случае очень малое по сравнению с г,.
ввиду наличия сомножителя е15

сг	а	1 — 2 A1s0 — 3

sin 0О 81 cA2sin20o r	2cX2sin20e Г'

Для интегрирования уравнения (62) удобно использовать диффе-
ренциальное уравнение (59), которому удовлетворяет %, написав

v	сг sin 0О 82 ’

отсюда легко получается

Ф = v/------—— е2 -I- const,

т	сг sin 0о 2 1

или, так как s2 = e0cos {сг (f—/0)},

$==vZ + ’SHXsin <cr(/~/o)} + c<>nst.	(63)

olll «Q

Как мы видим, ф состоит из суммы двух членов, первый из
которых, пропорциональный времени, соответствует равномерному"
вращению оси фигуры, медленному по сравнению с гироскопиче-
ским вращением (с угловой скоростью г), а второй, периодический
(с периодом У/г^сг), определяет очень малые колебания около этого
прецессионного движения.

Остается, наконец, определить <р. Подставляя в выражение (61)
для ® вместо s его среднее значение s0, получим

ф — г--Ф$о= г----V&J-I----

‘ т °	° 1 сг sin й0 1 ’

откуда видно, что характер изменения совершенно аналогичен
только что определенному! характеру изменения ф; точнее, имеем
уравнение

сз = (г—vs0)^----Йр sin сг (t —10) + const, (64)

которое в первом приближении приводится к виду

<р = (г — vs0) t	const.

Формулы (60), (63), (64) дают упомянутое выше приближенное
аналитическое представление движения тяжелого гироскопа, обла-
дающего большой угловой скоростью собственного вращения. Полу-
ченные здесь результаты оправдывают название псевдорегулярной
прецессии, которое обычно дают такому движению.

Заслуживает внимания частный случай, когда в начальный момент
р и q равны нулю. Это можно осуществить, удерживая сначала ось
гироскопа в заданном направлении неподвижной и сообщив ему
каким-либо образом быстрое вращение около этой оси; после этого
надо предоставить гироскоп самому себе без толчка.

В этом случае выражение постоянной Е живых сил приводится
в силу интеграла энергии (45) к виду

E = ^Cr* — PZqSo,

поэтому на основании соотношений (46) имеем h = c№— $0; следо-
вательно, постоянная йх, которая появляется в формуле (55), есть не
что иное, как—s0, и выражение для v принимает вид

Тс№г’

35.	Равномерное вращение тяжелого гироскопа. В п. 32 мы иссле-
довали регулярную прецессию и, как предельный случай, перманент-
ное вращение тяжелого гироскопа. Здесь, изменяя несколько поста-
новку задачи, мы непосредственно определим и изучим в связи
с начальными условиями движения прежде всего все возможные равно-
мерные вращения тяжелого гироскопа и затем регулярные прецессии,
имеющие осью прецессии вертикаль и осью фигуры ось гироскопа.
При этом следует заметить, что прямое исследование равномерных
вращений тяжелого гироскопа не сводится к рассмотрению простого
частного случая, изложенного нами уже в п. 25 для аналогичной
задачи относительно тяжелого тела с любой структурой, так как
справедливость приведенных там рассуждений основывалась на пред-
положении полной структурной асимметрии тела; мы увидим сейчас,
что при условиях симметрии (41), принятых здесь, конус Штауде,
выражающийся уравнением (39'), будет неопределенным.

В виде общих предпосылок к двум задачам, которые мы имеем
здесь в виду, вспомним (пп. 22, 27), что движение тяжелого гиро-
скопа определяется динамическим уравнением (уравнением моментов
количеств движения)

=	(34j)

и кинематическим уравнением

^- = % + <оХ>с = О;	(35)

при этом в соответствии с распределением масс в гироскопе пред-
полагается

А = В, х0=уо==0,	(41)

и, кроме того, положительное направление оси z выбирается так,
что > 0.

Примем также во внимание, что существует интеграл площадей

г = const;

поэтому для угловой скорости <0 будем иметь векторное выражение
(гл. IV, п. 17)

(65)

при постоянном г.

Если мы хотим теперь определить возможные равномерные враще-
ния тяжелого гироскопа, то все сведется к тому, чтобы посмотреть,
существуют ли для уравнения (34х) при условиях (41) такие реше-
ния /С, для которых выражение (65) вектора w будет постоянным;
неизменность угловой скорости можно выразить безразлично, как по
отношению к неподвижным осям O^rf,, так и по отношению к по-
движным осям Oxyz (т. I, гл. IV, п. 11).

Если напишем, что производная от w по времени, вычисленная
относительно неподвижных осей, равна нулю, и примем во внимание
уравнение (34J и известную формулу Пуассона

=	(8)

то придем к уравнению
[(Л — С) rw — Ргок] X k = 0,	(66)

9 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У* Амальди
из которого следует, что вектор

(А — С) rw — Ргох	(67)

для всякого возможного равномерного вращения тяжелого гироскопа
должен быть параллельным вектору k или равным нулю.

Первый из этих двух случаев приводит к результату, непосред-
ственно очевидному. Действительно, параллельность вектора (67)
с единичным вектором k заключает в себе то, что этот вектор,
вместе с векторами хим, должен оставаться неподвижным в про-
странстве; а так как во вращательном движении единственной не-
подвижной прямой является ось вращения, то отсюда следует, что
эта ось совпадает в теле с гироскопической осью.

Положив

to = rk,
мы приведем уравнение (66) к виду
Pzox X й = О,
откуда следует, что оба единичных вектора х и k направлены по
одной и той же прямой и могут отличаться только стороной, а по-
тому и гироскоп должен вращаться вокруг своей оси симметрии,
расположенной вертикально (вверх или вниз).

Обратно, если ось гироскопа находится в этом положении, то
все условия задачи удовлетворяются, как бы ни выбиралась вели-
чина г (постоянная проекция угловой скорости на направление вектора
й = ±х), так как уравнение (65) во всех случаях (т. е. при любом
выборе г) определяет, при ы — rk и х = ±й, вектор К, который,
как это следует из вычислений, аналогичных сделанным ранее для.
общего случая, должен удовлетворять уравнению (34J.

Таким образом, мы приходим к заключению, которое можно было>
предвидеть заранее, что тяжелый гироскоп, ось которого располо-
жена по вертикали вверх или вниз (т. е. в одном каком-нибудь из
его положений равновесия, т. I, гл. ХШ, п. 23), может вращаться
вокруг этой оси с произвольной постоянной угловой скоростью.

Заметив это, перейдем к исключенному ранее случаю, в котором
вектор (67) будет равен нулю, т. е. положим

(А — С) г ы — Pzq*.	(68)

Так как отсюда следует, что векторы <о и х имеют одно и то же
направление, то мы опять будем иметь вращение вокруг вертикали;
поэтому если мы не хотим возвращаться к разобранному ранее случаю,
гироскопическую ось надо предполагать уже не вертикальной. Поло-
жим в этом случае

о> = vx,	(69)

т. е. обозначим через v проекцию угловой скорости на вертикаль,
направленную вниз (т. е. —<и или — <о в зависимости от того, будет ли
вращение правым или левым), и обозначим, как обычно, через 6 по-
стоянный угол нутации хй (отличный от 0 и тс), так что

r = vcos6.	(70)

Подставляя в уравнение (68) вместо w и г эти их выражения,
мы увидим, что v и 0 связаны между собой условием

(А — С) v2 cos 6 = Pz0.	(68')

Обратно, всякий раз как два действительных числа 6 и v будут удовле-
творять уравнению (68'), будет удовлетворяться благодаря равен-
ствам (69), (70) и уравнение (68). В силу этого момент К, опре-
деленный из уравнения (65), даст решение уравнения (34J, т. е.
тяжелый гироскоп, расположенный таким образом, что его ось обра-
зует угол 0 с нисходящей вертикалью, может действительно вращаться
около нее с угловой скоростью v.

Поэтому можно произвольно задавать 6 или v, лишь бы, конечно,
обе эти постоянные были действительными; легко видеть, каково
как в том, так и в другом случае должно быть ограничение, выте-
кающее из этого условия действительности.

Предположим сначала, что мы задаем угол 9, проводя внутри
тела через точку О ориентированную прямую, которую мы хотим
иметь в качестве оси вращения, направленной по вертикали вниз.
Для того чтобы уравнение (68') определяло соответственно угловую
скорость v действительного вращения, необходимо, чтобы оно для
v2 давало положительное значение, т. е., так как г0 > 0, чтобы было

(А — С) cos 6>0.

Таким образом, мы видим, что всякая прямая в теле гироскопа, про-
ходящая через неподвижную точку и не являющаяся экваториальной
осью инерции (6	тс/2), может быть осью перманентного вращения ги-

роскопа, если только она направлена по вертикали в ту сторону,
которая с осью гироскопа OG образует угол 6, острый или ту пой,
смотря по тому, будет ли А>С или А<С. Другими словами,
при равномерном вращении тяжелого гироскопа .(когда его ось не
является вертикалью) центр тяжести всегда остается ниже или
выше горизонтальной плоскости, проходящей через закреплен-
ную точку, смотря по тому, будет ли симметричный эллипсоид
инерции относительно точки О растянутым (Л>С) или сплюсну-
тым (Л<С).

Так как при всяком действительном вращении из уравнения (68')
определяется только квадрат угловой скорости v2, то вращение может
происходить как в ту, так и в другую сторону, как и в случае
тяжелого твердого тела с какой угодно структурой (п. 26).

Принимая еще во внимание уравнение (68'), можно добавить, что
исключенное ранее предположение 6 = тс/2 (экваториальная ось враще-
ния), рассматриваемое как идеальный предельный случай в смысле,
^разъясненном в п. 26, приводит к вращениям (обратимым) с бесконеч-
ной угловой скоростью.

Предположим теперь, что желательно задаться угловой скоростью >.
В этом случае необходимо принять во внимание, что соответствую-
щее значение, даваемое, уравнением (68') для cos 6, должно быть за-
ключено между —1 и -j-1 (за исключением концов), так что выбор v
остается подчиненным условию v2>Pz0/|X — С|. Другими словами,
во всех равномерных вращениях тяжелого гироскопа вокруг прямых,
отличных от его оси, абсолютное значение угловой скорости не
опускается ниже критического значения (зависящего от распределе-
ния масс в гироскопе)

Резюмируя, можно сказать, что тяжелый гироскоп может совер-
шать бесконечное множество равномерных и обратимых пер-
манентных вращений. Все эти вращения имеют своей осью в про-
странстве вертикаль, проходящую через закрепленную точку. Если
вдоль этой вертикали располагается гироскопическая ось, без-
различно, вверх или вниз, то угловая скорость и сторона враще-
ния остаются совершенно произвольными', всякая другая прямая
в теле гироскопа, проходящая через О, может быть осью перманент-
ного вращения только тогда, когда она располагается вдоль верти-
кали в одном вполне определенном из двух возможных направлений,
после чего будет однозначно определено абсолютное значение соот-
ветствующей угловой скорости (но уже не меньшее некоторого
заданного критического значения).

36.	Имея в виду исследование устойчивости, которым мы будем
заниматься в ближайшем параграфе (§ 7), возьмем снова уравнение (48),
чтобы посмотреть, каким условиям должны удовлетворять постоян-
ные интегрирования X, h, k, для того чтобы движение гироскопа
сводилось к перманентному вращению вокруг гироскопической оси,
расположенной вертикально.

В то время как величины h и k согласно их определению (п. 28)
лают каждое, по крайней мере с точностью до множителя однород-
ности, постоянные Е и интегралов живых сил и момента коли-
честв движения, величина к = г/р есть отношение между постоянной
угловой скоростью (произвольной) г перманентного вращения и по-
стоянной р, которая является характеристикой рассматриваемого гиро-
скопа и имеет размерность угловой скорости. Поэтому, принимая это р
за единицу угловой скорости (естественная единица для угловой
скорости гироскопа), можно истолковать к как меру угловой ско-
рости, относящейся к перманентному вращению гироскопа. Естест-
венно, что X так же, как и г, можно задавать произвольно, но во всяком
перманентном вращении гироскопа вокруг его вертикально располо-
женной оси $ = cos 6 должно оставаться сколь угодно до лго равным -{-1
или —1, смотря по тому, будет ли ось гироскопа обращена вниз
или вверх. Мы знаем, что для того, чтобы уравнение (48) допускало
такое решение, необходимо и достаточно, чтобы зн а чение s = -ф- 1
или s = — 1 было двойным корнем при заданном зна чении X много-
члена f, что, как известно, выражается двумя условиями

/(=±= 1 ] Л, h, А) = 0,

Далее, эти два уравнения можно рассматривать как систему, при-
годную для определения в функции от X значений двух других
постоянных h и k, которым соответствует перманентное вращение
гироскопа со скоростью Хр вокруг гироскопической оси, расположен-
ной вертикально. Обозначая через h и k эти два значения, из выше-
написанных уравнений получим

A = cX2=tl, k = ±ck,	(71)

где надо брать одновременно или верхние знаки, или нижние, в зави-
симости от того, будет ли гироскопическая ось расположена вдоль
нисходящей или вдоль восходящей вертикали.

37.	Регулярная прецессия тяжелого гироскопа. Мы будем искать
здесь возможные случаи регулярной прецессии тяжелого гироскопа,
имеющие осью прецессии вертикаль, проходящую через закрепленную
точку, и осью фигуры — гироскопическую ось. С этой целью при-
меним снова прием, подобный тому, которому мы следовали в п. 35
при определении перманентных вращений (прием, примененный в п. 35,
мог бы войти как частный случай в настоящее исследование).

Положим поэтому

и = vx,	(72)

т. е. обозначим через у. и v постоянные составляющие w по гиро-
скопической оси и нисходящей вертикали или, как мы будем здесь
говорить, собственную угловую скорость и угловую скорость пре-
цессии тела. Подставляя выражение (72) в уравнение (65) и раз-
решая его относительно момента К, найдем

ЛГ=(Ау. —[A —CJr)ft-f-Avx,	(73)

так что все сводится к ответу на вопрос, можно ли удовлетворить
таким значением для К динамическому уравнению (34t) движения
тяжелого гироскопа, если г, у. и v являются постоянными.

Выполняя подстановку (73) в это уравнение и принимая во внима-
ние равенство (72) и тождества сЩсИ—Ъ, k = 0, найдем

{(Ay. — [А — С] г) * + Рг0} = 0;
а так как во всякой регулярной прецессии, не сводящейся к про-
стому равномерному вращению вокруг гироскопической оси, эта ось
(с единичным вектором к) не может находиться в вертикальном
положении, то предыдущее векторное уравнение равносильно такому
скалярному соотношению:

(Лр-[Л — С]ф + Рг0 = О.	(74)

Здесь следует явно выделить, кроме физических параметров гиро-
скопа А, С, Р, г0, также и характеристические параметры прецессии,
которые определяются, кроме угловых скоростей р и v, еще и по-
стоянным углом 9 нутации оси гироскопа. Для этой цели достаточно
заметить, что на основании уравнения (72) проекция г вектора w на
направление k определяется равенством

г = V cos 6,

так что, подставляя это значение г в соотношение (74), мы придадим
ему окончательный искомый вид

(Д — С) v2 cos 9 — Cuv — PZq = Q.	(74')

Это и есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы
параметры р, v, 9 определяли для данного тяжелого гироскопа регуляр-
ную прецессию. Таким образом, мы видим, что каждый из трех
параметров р, v, 9 определяется значениями двух других; при этом,
однако, важно ответить на вопрос, в каких пределах можно выби-
рать произвольно два из этих параметров.

Так как уравнение (74') квадратное относительно v и линейное
относительно р и cos 9, то прежде всего ясно, что вполне произ-
вольно можно задавать угловую скорость прецессии v и угол нута-
ции 9, после чего уравнение (74') дает вполне определенное (даже
и по знаку) значение для угловой скорости р собственного вращения.

Наоборот, произвольный выбор двух угловых скоростей р и v
подчинен тому условию, чтобы вполне определенное и единственное
значение для cos 9, которое получается из уравнения (74'), было за-
ключено между —1 и -]-1 (за исключением концов); другими словами,
требуется, чтобы было

| у2 (4 —С) I
|	+ Ргй I

Наконец, если желательно задать р и 9, то необходимо это сделать
так, чтобы оба корня уравнения (74') второй степени относительно v
были действительными; для этого необходимо и достаточно, чтобы
соответствующий дискриминант не был отрицательным, т. е. чтобы
было

4- 4 (А — С) Pz0 cos 9	0.	(75)
Это условие будет удовлетворено при любом выборе собствен-
ной угловой скорости, даже когда она будет и очень мала, если
будет выполнено условие

(Л — С) cos 6 > О,

т. е. когда (п. 35) гироскопическая ось будет расположена так, чтобы
образовывался острый или тупой угол с нисходящей вертикалью,
в зависимости от того, будет ли эллипсоид вращения инерции отно-
сительно О растянутым или сплюснутым. В этом случае, если
делается предельное предположение, допустимое само по себе, чтобы
собственная угловая скорость р была просто равна нулю, мы придем
к равномерному вращению около вертикальной оси с угловой ско-
ростью v, вполне определенной по абсолютной величине; существо-
вание такого вращения мы установили прямым путем в упомянутом п. 35.

Если же, наоборот, будем иметь

(Л — С) cos 6 < О,

то уравнение (75) накладывает на произвольный выбор собственной
угловой скорости гироскопа р ограничение

I р I > А /^0|(А — С) cos 6 |.

Во всяком случае, как бы ни выбирался угол 6, достаточно, чтобы
угловая скорость р имела надлежащую величину или была очень ве-
лика (как это и бывает в конкретных задачах, имеющих большой инте-
рес), чтобы соответствующее уравнение второй степени (74') допускало
два действительных различных корня и >2; легко видеть, что
в предположении очень большого значения для р один из этих двух
корней будет тоже очень велик (т. е. порядка р), а другой — очень
мал (т. е. порядка р'1). Действительно, положив для краткости

4 (Л — С) cos 6 = С^З,

где 8 не зависит от р, получим для корней уравнения (74') два
Значения

_______уС (

v	2 (А — С) cos 0 (	\ р2 ) f ’

Или же, разделив корни и предположив ничтожно малыми степени р-1
с показателем, большим 1, получим

Ср	СВ	_j__ Pz0

vi	= (А — С) cos 6 ’ v2~4(Л —C) cos0 11 — C '

Следует заметить, что это приближенное значение v2 меньшего корня
можно было бы найти также и прямо из уравнения (74'), пренебре-
гая в нем членом с v2.

Кинематическое истолкование очевидно: какова бы ни была полу-
прямая, проходящая через точку О, неизменно связанная с телом
(а отличная от гироскопической оси), которая (б данный момент)
совпадает с вертикалью (и направлена вниз или вверх), для гиро-
скопа возможны при всяком достаточно большом значении угловой
скорости [А собственного вращения две различные регулярные пре-
цессии вокруг этой полупрямой, для которых прецессионное вра-
щение является быстрым в первом случае (у того же порядка,
что [а) и медленным во втором (у порядка ц'1).

Для этой последней прецессии произведение p2cos9 будет при-
близительно равно

так что, вспоминая признак (уже упоминавшийся в п. 14) из т. I
(гл. IV, п. 17), по которому прецессии делятся на прямые и обрат-
ные, мы увидим, что прецессия с медленным прецессионным вращением
будет прямой или обратной, в зависимости от того, будет ли cos 6
меньше или больше нуля, т. е. смотря по тому, будет ли центр
тяжести О выше или ниже горизонтальной плоскости, проходящей
через О.

Наоборот, для прецессии с быстрым прецессионным вращением
произведение cos 9 принимает приблизительно то же самое значение

Ср.2

А — С ’

как и в регулярной прецессии в движении по Пуансо (п. 14), и
имеет поэтому знак, зависящий исключительно от структурных по-
стоянных. Отсюда следует, что для заданного гироскопа прецессии
с быстрым прецессионным вращением будут все одного и того же
вида (какова бы ни была прямая в теле, приводимая в совпаде-
ние с вертикалью); точнее, все прецессии будут прямыми, если
эллипсоид инерции относительно точки О будет удлиненным (Д>С),
и все они будут обратными, если этот эллипсоид будет сплюснутым
(А < С).

Наконец, можно отметить, что при исключавшемся до сих пор
предположении, что z0 = 0, т. е. что гироскоп закреплен в его центре
тяжести, предыдущие рассуждения приведут опять к регулярной пре-
цессии по инерции (п. 14). Сравнивая уравнение (74') с уравнением (24)
п. 14, мы увидим, что эти регулярные прецессии по инерции непре-
рывно переходят, в предположении z0 ф 0, в прецессии с быстрым
(v —> оо) прецессионным вращением.

38.	Гироскопические весы. Существование регулярных прецессий
с медленным прецессионным вращением как прямым, так и обратным
может быть проверено экспериментально на так называемых гироскопи-
ческих весах. Они состоят из твердого стержня, укрепленного при по-
мощи карданова подвеса в одной из своих точек О (фиг. 21), и двух
тяжелых тел вращения С и С', укрепленных на стержне, как на оси,
с противоположных сторон его точки О, один из которых, например С,
неизменно связан со стержнем, тогда как другой можно закреплять
на стержне на каком угодно расстоянии от О. Поэтому, перемещая
надлежащим образом тело С вдоль стержня, можно по желаник>
сделать так, что центр тяжести всей системы, всегда лежащий на
оси симметрии (общей для стержня и для двух тел С	.

и С'), будет лежать по ту или другую сторону от О.	/

Расположив стержень по наклонной прямой, напри-	/

мер так, чтобы диск С был вверху, приведем диски
в быстрое вращение около их осей и предоставим
систему самой себе *). Тогда мы увидим, что вся система
медленно поворачивается вокруг вертикали в ту же сто- г*
рону, в которую происходит и собственное вращение, I
или в противоположную, смотря по тому, будет ли /[]
центр тяжести выше или ниже закрепленной точки.	f

С’ГЛ

39.	Регулярные прецессии, определенные в п. 37 Ч-х
для тяжелого гироскопа, зависят от двух произволь- /
ных параметров, например у. и v. Но в совокупности оо8 Фиг. 21.
возможных движений на самом деле прецессий насчи-
тывается со4, так как произвольными остаются, кроме р и v, началь-
ная ориентация тела относительно его гироскопической оси (угол со}
и начальная долгота этой оси (угол 40 • Это подтверждается и фор-
мальными соображениями; вспоминая, что любая регулярная прецессия
характеризуется тем, что остаются постоянными величины 6, <о — р,
ф = v, и принимая во внимание, что 9 связано с р и v уравнением (74'),
му видим, что из шести начальных значений, 9, ср, ф, 9, ср, ф»
остаются произвольными четыре: <р, ср, ср, ф.

40.	Мгновенное возмущение прецессии. Непосредственный эффект
изменения угловой скорости прецессии. Два характеристических со-
отношения, 6=0 и (74'), которым должны удовлетворять в началь-
ный момент параметры, для того чтобы движение тяжелого гироскопа,
определяемое ими, было регулярной прецессией, будут удовлетворяться
и в любой момент в течение всего времени движения. Но если в за-
данный момент /0 в силу какой-нибудь внешней причины движение
внезапно будет возмущено или, точнее, эти два соотношения в сле-
дующий момент не будут удовлетворяться, то движение гироскопа
перестанет быть регулярной прецессией и перейдет в более общий

4) Стержню надо еще сообщить угловую скорость v прецессии в началь-
ный момент, чтобы было выполнено условие регулярной прецессии, которое
остается в силе и для начального момента.

Если же систему предоставить самой себе без толчка (ч = 0), то мы будем
наблюдать псевдорегулярную прецессию. (Прим, ред.)
вид движения с нутацией, которое было рассмотрено в п. 31; при
этом гироскопическая ось, вращаясь постоянно вокруг вертикали,
начнет периодически колебаться между двумя крайними углами на-
клона.

Чтобы иметь особенно простой случай, рассмотрим, например,
волчок с центром тяжести выше закрепленной точки, совершающий
прямую регулярную прецессию с быстрым собственным и с медлен-
ным прецессионным вращением (п. 37). Представим себе, что в не-
который момент t0 внезапно заставляют измениться угловую скорость
прецессии = v, оставляя неизменными 6, ср, <р, 6 = О, а также и ги-
роскопическую скорость r = ©4~<j»cos6, что влечет за собой соответ-
ствующее одновременное изменение угловой Скорости <р=р.. Интуитивно
понятно, как можно получить этот эффект, сообщив, например,
рукою толчок оси волчка; динамическое оправдание такой постановки
задачи мы отложим до теории импульсивного движения (гл. XII, § 2).

Допустив здесь возможность с физической точки зрения такого
внезапного изменения величины i = ч и вследствие этого одновремен-
ного изменения величины <р = р, мы постараемся определить непо-
средственный эффект этого изменения и объяснить следующее явле-
ние, которое может быть проверено экспериментально: если импульс
действует в сторону прецессионного движения, то гироскопическая ось
тотчас же обнаруживает стремление выпрямиться, т. е. прибли-
зиться к вертикали (подняться вверх), если же он действует в про-
тивоположную сторону, то ось тотчас же стремится опуститься.

Все исследование сводится к тому, чтобы определить знак, кото-
рый имеет в возникающем движении (возмущенном), начиная от
момента t0, причем в установившемся прецессионном движении у3 = О,
так как в этом случае у3 = cos в = const.

Третье из кинематических уравнений (35')

после дифференцирования по t дает

Is = 719 — ЪР + 719 — W
поэтому, подставляя вместо первых производных выражения, даваемые
теми же уравнениями (35') и уравнениями Эйлера из п. 27, и при-
нимая во внимание, что

7i + 72 = sin 6>
мы придем к уравнению

••	С''

7з = -а г <>71 + 97я) +	sin2 6 ~ (Р2 + 92) cos 6.	(76)
В частном случае регулярной прецессии имеем

Р =	? =	'==*Тз+Р>

и, следовательно,

ру! -|- <77 2 — v sin2 0, р2 Ц- q2 = v2 sin2 0;

подставляя в уравнение (76) и принимая во внимание, что должно
быть у3 = 0, мы приходим к соотношению

O = sin20^rv-|-^- — v2cos0),	(76')

из которого, между прочим, снова можно получить известное усло-
вие (74').

Но так как в момент t0 производится возмущение, благодаря
которому при остающихся неизменными биг угловая скорость пре-
цессии v увеличивается на некоторую величину Av, то можно сказать,
что в возмущенном движении начальное значение у3, если обозна-
чить через F(v) квадратный трехчлен относительно v в правой части
равенства (76'), определяется равенством

= F (V + M

или, если раскрыть правую часть и принять во внимание, что
Л*) = о,

73 = Av sin2 0 г— (2v Av) cos 6 J .	(76"

Так как, по предположению, угловая скорость г значительно
превосходит v и Av, то отсюда видим, что знак у f3 вначале оди-
наков со знаком Av. В этом первоначальном совпадении знаков как
раз и заключается объяснение указанного выше явления. Действи-
тельно, если, имея в виду опять волчок (центр тяжести которого
лежит выше закрепленной точки), предположим для определенности,
что в рассматриваемой прецессии угловая скорость р, по предпо-
ложению, очень велика и положительна, то угловая скорость v
вследствие прямого характера прецессии так же, как и cos0, отри-
цательна; поэтому для увеличения скорости прецессии необходимо
дать угловой скорости v отрицательное приращение Av. На основа-
нии уравнения (76") и начальное значение у3 будет отрицательным,
откуда следует, что 73 = cos0 в момент начинает уменьшаться;
это означает, что угол нутации 0 вначале возрастает, т. е. гироско-
пическая ось стремится приблизиться к восходящей вертикали. Если,
наоборот, возмущение замедляет прецессию, т. е. если Av > 0, то
73 начинает увеличиваться, а ось гироскопа стремится опуститься.
§ 7. Вопросы устойчивости движения тяжелого гироскопа

41.	Если бы мы захотели описать при помощи системы диффе-
ренциальных уравнений, как изменяются в зависимости от времени
при движении тяжелого гироскопа все параметры, определяющие это
движение, то нам необходимо было бы только сопоставить все, что
было сказано в §§ 5 и 6 о постановке динамической задачи о тяжелом
гироскопе или, в более общем случае, о тяжелом твердом теле
с закрепленной точкой, с общими соображениями § 1. Для этого
к уравнениям Эйлера тяжелого гироскопа (п. 27), которые здесь
в силу известных формул (22), уже неоднократно приводившихся,
можно написать в виде

Ар — (А — C)rq= — Pzq cos <d sin 6,

Aq-j-(A — С) гр = Pz0 sin ср sin 6,

r=0,

нам придется присоединить чисто кинематические уравнения (п. 1)
р = b cos ср	ф sin ср sin 6,

q = — 0 sin ср	cos ср sin 6,

г —	4 cos 6 -]- <р.

В результате мы получим систему (приводимую к нормальному виду)
шести дифференциальных уравнений первого порядка с шестью не-
известными функциями времени р, q, г, 6, ср, <|>.

Поэтому, если бы мы захотели применить к движению тяжелого
гироскопа (или, в более общем случае, какого-нибудь твердого тела
с закрепленной точкой, находящегося под действием какой угодно
системы сил) критерии безусловной устойчивости § 4 гл. VI, то
следовало бы во всех случаях для каждого из шести аргументов
р, q, г, 6, ср, Ф учитывать отклонения, которые возникают в воз-
мущенном движении, вначале сколь угодно близком к изучаемому
невозмущенному движению.

Что же касается этого последнего, то оно вполне характеризуется
изменением с течением времени одной части параметров, а именно,
параметров р, q, г, s = cos6, дающих в любой момент проекции
угловой скорости ю и угол наклона оси к вертикали. Таким образом,
можно сказать, что мы имеем здесь задачу не о безусловной устой-
чивости, а об устойчивости, приведенной к параметрам р, q, г,
s = cosO (гл. VI, п., 18).

В этом именно смысле мы и будем рассматривать сначала устой-
чивость перманентных вращений гироскопа вокруг гироскопической
оси (расположенной вертикально), а затем устойчивость других пер-
манентных вращений и регулярных прецессий.
42.	Гироскопическая стабилизация. В т. I (гл. XIII, п. 23) мы
видели, пользуясь статическим критерием устойчивости, что из двух
возможных положений тяжелого твердого тела, закрепленного в одной
точке О, положение, при котором полупрямая ОО, проведенная
из точки О к центру тяжести G, направлена вертикально вниз
(в случае гироскопа А = 0, $ = 1), является устойчивым, а положе-
ние, при котором ось ОО направлена вертикально вверх (в нашем
случае к = 0, s = — 1), будет неустойчивым.

Переходя к явлениям движения, мы видим прежде всего, что
устойчивость перманентных вращений (с произвольной угловой ско-
ростью) вокруг гироскопической оси, направленной вниз ($=1,
1 — произвольно) настолько очевидна, что мы не будем ее доказы-
вать; рассмотрим поэтому, основываясь на динамическом критерии
§ 4 гл. VI, устойчивость по отношению к параметрам р, q, г, s
перманентных вращений тяжелого гироскопа (также с произвольной
угловой скоростью) около его гироскопической оси, направленной
вертикально вверх (s = — 1, А — произвольно).

Указанные только что перманентные вращения обладают одним
замечательным свойством: в то время как для угловых скоростей,
недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого
критического значения X*), эти движения неустойчивы, они становятся
устойчивыми по отношению к р, q, г, s, как только угловая скорость
достигнет критического значения А*, и в особенности, когда она превзой-
дет это значение (т. е. при А^>А*). В этом и заключается явление,
известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим те-
перь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка.
Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально
вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему
сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Доста-
точно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для
того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие,
например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо;
при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться
неподвижным {спящий волчок).

Чтобы отдать себе отчет о причинах этой гироскопической
стабилизации, примем в качестве образцового решения (меростати-
ческого) о- какое-нибудь из вращений вокруг гироскопической оси,
направленной вертикально вверх, т. е. такое решение а для
которого

$ =—1, р = 0, q — 0,
а А и, следовательно, г имеют любое постоянное значение. Но, как
мы уже знаем, и во всяком другом решении а проекция г сохраняет
неизменным свое начальное значение. Поэтому при исследовании
устойчивости мы можем не обращать внимание на величину г и огра-
ничиться рассмотрением отклонений величин р, q, s.
Рассмотрим теперь любое решение а, вначале близкое к а, т. е.
такое, что (при близких друг к другу постоянных X и X) начальное
значение $0 величины s близко к —1, а начальные значения pQ, q&
проекций р и q очень малы. Из интеграла живых сил (п. 28)

ра 4~ <72 = р2 ($ Ц- — сА2),

(45')

справедливого для решения о, как и для всякого другого решения,
будет тогда следовать, что если при неограниченном возрастании I
величина 5 в решении а остается близкой к своему начальному зна-
чению $0, то то же будет иметь место и для величины /724~Л
которая вначале имеет значение ро + <7о> близкое к нулю, так что
проекции р и q останутся сколь угодно малыми.

Если, наоборот, величина s для решения а с возрастанием t
в конце концов получит конечное отклонение от своего начального
значения, то то же необходимо произойдет и с величиной p^-^-q^,
что исключает также и устойчивость по отношению к р, q.

Итак, мы видим, что для рассматриваемых здесь перманентных
вращений приведенная устойчивость по отношению к величинам
s, р, q (и г) не отличается от устойчивости, приведенной
к одной величине s.

Следовательно, мы можем ограничиться изучением того, как
изменяется с временем по сравнению с решением а ($ = — 1, X —
произвольное) уравнения (48) величина s какого-нибудь другого ре-
шения с, которое вначале было близко к с.

Для решения о постоянные интегрирования h и k, как мы это
видели в п. 36, определяются выражениями через соответствующие
X из равенств

Л = сХ24-1, £= — ск,	(71}

так что функция в правой части уравнения (48) приводится к сле-
дующей:

/(s|X, h, Л)=7= (l-f-s)2(l— с2Х2 — s),	(77)

а для любого решения с, которое, по предположению, вначале близко
к а, постоянные X, h, k должны быть близки к X, h, k\ поэтому
можно положить

Х = Х4-Х1; h = h-r- k = k, 4~

где каждое из Х1; hb kr стремится к нулю, когда начальные усло-
вия, определяющие а, стремятся к совпадению с начальными усло-
виями, определяющими а.

Далее, как мы уже знаем, характер изменения функции $ (/), соот-
ветствующей этому решению а, зависит от величины (и кратности)
корней, которые многочлен

/(у iX-f-Xj,

(78>

возможно, имеет в интервале от у = — 1 до у = 1.

Так как при Х1 = /г1 = &1 = 0, т. е. для о, многочлен (78) при-
водится к многочлену (77) и, следовательно, допускает двойной ко-
рень у = — 1 и еще простой корень

у* = 1 —с2Х2,

то очевидно, что при Xt, hx, ku не равных одновременно нулю, не-
достаточно малых, многочлен (78) будет прежде всего иметь два
корня уп у2, вообще говоря, различных, но близких к — 1 (этим,,
конечно, мы не хотим сказать, что они обязательно лежат в интер-
вале от — 1 до +1), и еще третий корень у*, близкий к у8.

Далее, как мы здесь увидим, устойчивость или неустойчивость
с в конце концов зависит от положения, которое занимает этот ко-
рень у* многочлена в интервале (— 1, —1); как мы только что-
видели, он во всяком случае должен быть принят близким к у* =
=1 — с2Х2.

Предположим сначала, что у* находится вне интервала (— 1,
1), т. е. что 1—сХ2 < 1, или же

|Х|>^-	(79)

В этом случае, предполагая, как обычно, что Хп Л1; kL доста-
точно малы по абсолютной величине, найдем, что число у*, близкое
к у*, будет также лежать вне интервала (—1, -{-1), а два других
нуля будут необходимо очень близки к — 1. Таким же, следовательно,
будет и наибольший из них, который мы обозначим через у2. Так
как при у > у2 имеем f (у) < 0, то мы можем быть уверены, что во
всяком действительном решении а (будет ли у действительно изме-
няться вместе с t или оставаться постоянным) число у не превзойдет
уже у2 и останется, следовательно, сколь угодно близким к —1.
Поэтому заключаем, что всякое перманентное вращение а, угловая
скорость которого удовлетворяет неравенству (79), будет устойчи-
вым.

То же самое можно сказать и о предельном случае

(80)

когда уравнение / (у) = О допускает трехкратный корень у = — 1
[случай а), п. 30], так как здесь наибольший из трех корней,
соответствующий любому а, вначале близкому к а, по необходимости
все еще очень близок к —1.

Если, наоборот, корень $* лежит внутри интервала (—1, -|-1).
т» е. если

й<?.

то в тот же интервал попадет и близкий к нему корень $*. С дру-
гой стороны, если, в частности, мы возьмем решение а, вначале близ-
кое к а, для которого постоянная с\, будучи весьма близкой к — k,
все же не совпадает с — k, то можно быть уверенным (п. 29), что один
из трех корней многочлена f (s) будет меньше — 1, а два других
будут внутренними для рассматриваемого интервала. Из них один
будет только что рассмотренный корень s*, а другой, который мы
можем обозначить через st, так же как и внешний корень, будет необхо-
димо близким к —1. Отсюда следует, что в этой категории реше-
ний, вначале сколь угодно близких к а, число s будет сколь угодно
долго колебаться между и $* и, следовательно, сместится от — 1
на конечный интервал; а это показывает на неустойчивость реше-
ния а.

Резюмируя предыдущее исследование, мы можем сказать, что
среди равномерных вращений тяжелого гироскопа вокруг гироскопи-
ческой оси, расположенной вертикально, с центром тяжести выше
закрепленной точки, быстрые вращения (с2л2^>2) будут устой-
чивыми.

Критическая скорость, ниже которой теряется устойчивость,
определяется (если р принять за единицу меры) из равенства (80);
следовательно, ее значение в любых единицах, если примем во вни-
мание п. 28, определится из равенства

\r\^~cVAPzQ.

43.	Неустойчивость перманентных вращений около осей, не сов-
падающих С ОСЬЮ ГИРОСКОПА, и РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЙ ТЯЖЕЛОГО ГИ-
РОСКОПА. Мы уже отметили (п. 37), что со4 регулярных прецессий,
которые возможны для тяжелого гироскопа, содержат в виде частных
случаев (при [А — C]cosb>0 и р- = 0) перманентные вращения
(вокруг вертикали), которые получаются, если мы расположим верти-
кально в надлежащую сторону каждую из оо2 прямых тела, про-
ходящих через точку О и не совпадающих с гироскопической осью
(и не экваториальных).

Здесь мы покажем, что как те, так и другие вращения неустой-
чивы. При доказательстве мы обратимся к прецессии; однако, как
увидим, наши рассуждения сохранят свою силу также и в частном
случае только что упомянутых равномерных вращений.
Поэтому в качестве решения а для невозмущенного движения
примем любую регулярную прецессию. Для а величина $ = cos в
в течение всего движения сохраняет свое начальное значение у0 = cos60
или, как еще можно сказать, представляет собой статическое реше-
ние разрешающего уравнения (48) гироскопической задачи.

Поэтому (п. 30) для многочлена /(у) в правой части этого
уравнения постоянная у0 является двойным корнем, заключенным
между —1 и -}-1; этот корень необходимо лежит внутри этого
интервала, так как если бы он совпадал с одним из концов, то
движение а, вопреки предположению, приводилось бы к перманент-
ному вращению вокруг гироскопической оси (направленной верти-
кально вверх или вниз). Отсюда следует, что для всякого другого
решения а, действительного и вначале близкого к а, многочлен f(s)
вначале в силу действительности положительный или равный нулю
и, как мы знаем (п. 30), отрицательный (возможно, и равный нулю,
если ck = ±k~) при y = ±zl, допускает два корня, не обязательно
различных, но действительных, близких к у0 в силу непрерывности,
если начальное отклонение а от а достаточно мало. Поэтому вели-
чина у для решения а колеблется сколь угодно долго между этими
двумя корнями и, следовательно, всегда остается близкой к у0. Другими
словами, по отношению к одному только параметру s всякая из со4
регулярных прецессий тяжелого гироскопа будет устойчивой.

Но в отличие от того, что мы имели (предыдущий пункт) для
быстрых равномерных вращений вокруг гироскопической оси, направ-
ленной вертикально вверх (и для всех равномерных вращений вокруг
гироскопической оси, направленной вертикально вниз), регулярные
прецессии по отношению к параметрам р и q все неустойчивы.

Действительно, для всякого решения а, близкого к а, в силу
интеграла живых сил

р2 4- <72 = р2 (у h — сХ2),	(45z)

сумма + так же как и у, остается сколь угодно долго близ-
кой к своему начальному значению pt -f- qt и, следовательно, также
и к начальному значению ро + ^о аналогичной суммы, относящейся
к регулярной прецессии а, если, как это предполагается, р0 и q0
выбраны достаточно близкими к начальным постоянным р0 и q0 реше-
ния а. Но, несмотря на это, в любом решении а два отдельных пара-
метра р, q, как бы ни было мало начальное отклонение решения а
от а, в конце концов достигают конечного отклонения от одновре-
менных значений параметров р, q решения а.

Чтобы убедиться в этом, примем за решение а другую регуляр-
ную прецессию, первоначально близкую к а, и, аналогично тому, как

10 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди.
146

гл. vin. Движение около неподвижной точки

это делалось в п. 19, сравним на экваториальной плоскости гиро-
скопа равномерные движения по окружности концов Р(р, q), Р(р, q)
экваториальных составляющих е и е угловых скоростей ю и ю в реше-
ниях а и а.

Радиусы окружностей, описываемых ими, соответственно равные
+ и Уро + ?о, будут также близкими друг к другу; но рас-
стояние между точками Р и Р не сохраняется сколь угодно малым,
если даже в начальный момент оно было сколь угодно мало, лишь
бы оно отличалось от нуляJ).

В силу запаздывания одной из них относительно другой, пери-
одически будет происходить то, что две точки (каждая на своей
собственной окружности) будут находиться в диаметрально противо-
положных положениях. Поэтому во время движения расстояние между
этими двумя точками за постоянные промежутки времени достигает
значений, сколь угодно близких к диаметру 2 ро -j- qo, который
зависит от а и не зависит от начального отклонения двух решений.

Таким образом, неустойчивость регулярных, прецессий гироскопа
по отношению к параметрам р, q и, следовательно, перманентных
вращений, составляющих их частный случай, доказана для осей, не
совпадающих с осью гироскопа.

44.	Предыдущие замечания относительно поведения экваториаль-
ных составляющих угловой скорости в двух прецессиях а и а, по
существу, можно представить в эквивалентном виде, рассматривая
вместо экваториальных составляющих е и е соответствующие угловые
скорости ia = e-\-rk и ы — е-\- rk. В то время как концы Р, Р
векторов е, е (по предположению, приложенных в О) равномерно
вращаются в экваториальной плоскости вокруг О, два вектора <о, w,
так как гиг остаются постоянными, также равномерно вращаются
внутри тела вокруг гироскопической оси, описывая два. подвижных
конуса вращения Z-, L. Эти два соосных конуса очень близки друг
к другу, т. е. имеют близкие углы раствора.

Однако, как уже было замечено в предыдущем пункте о поведе-
нии экваториальных составляющих е и е, одновременные положения

, Легко можно убедиться, что угловая скорость точки Р есть не что
иное, Как — р, и, следовательно, изменяется, вообще говоря, вместе с рас-
сматриваемой регулярной прецессией. Действительно, введем вспомогатель-
ные оси, неизменно связанные с плоскостью Cz, которая в любой прецессии,
о которой идет речь, будет вращаться вокруг неподвижной оси С с угловой
скоростью *. Относительно этих вспомогательных шеи твердое тело будет
вращаться с угловой скоростью р. вокруг z. Отсюда следует, что, обратно,
вспомогательные оси и, в частности, любой неподвижный относительно них
вектор, какова бы ни была угловая скорость w, б>дут иметь относительно
твердого тела угловую скорость — р вокруг оси z.
векторов ю и w или, что одно и то же, двух осей мгновенного
вращения (описывающих два конуса со скоростями, хотя и близкими,
но неравными) периодически достигают углового отклонения, имею-
щего порядок величины угла 26 при вершине конуса L, и потому
конечного (и не зависящего от начального отклонения двух прецессий).

45.	Замечания об устойчивости регулярных прёцессий с медленным
прецессионным вращением. Речь идет о тех регулярных прецессиях
гироскопа, возможность которых мы доказали в п. 37 при всякой
очень большой угловой скорости собственного вращения р. и при
вполне определенной очень малой угловой скорости прецессии v
порядка J*-1, каков бы ни был угол наклона 6, определяющий поло-
жение оси гироскопа относительно оси прецессии (вертикальной).

Как мы уже знаем, р., v, 6 должны удовлетворять характеристи-
ческому уравнению (74'), и мы имеем

? =	' = (А + Пз-

Для такой прецессии а, поскольку v будет порядка р.-1, одно-
временные значения р, q будут во всякий момент очень малыми по
сравнению с р. и, следовательно, по сравнению с г. Так как соста-
вляющая угловой скорости <о по оси гироскопа значительно больше
экваториальной составляющей, то угол раствора 29 соответствующего
подвижного конуса Пуансо будет почти равен нулю.

Установив это, рассмотрим прежде всего в качестве решения а,
вначале весьма близкого к а, другую регулярную прецессию. В таком
случае остается справедливым утверждение, что, сколь бы малым ни
было выбрано начальное отклонение а от а, угловое отклонение между
мгновенными осями вращения для решений а и а при бесконечном
возрастании времени периодически будет достигать значений порядка
конечной величины 29; поэтому с математической точки зрения это
решение а имеет обычный характер неустойчивости. Но благодаря
крайней малости угла 29 можно считать, что с физической точки
зрения два подвижных конуса Пуансо приблизительно совпадают
с гироскопической осью, так что даже при t-^-oo различие между
двумя регулярными, вначале близкими, прецессиями не будет заметным.

Если далее, как это требуется общим критерием устойчивости, мы
сравним с <з вместо другой регулярной прецессии произвольное реше-
ние а, вначале близкое к с, то в дополнение к регулярной проецессе
встретится только нутация гироскопической оси, которая вследствии
устойчивости, относительно s = cos 9 (п. 43), останется бесконечни
Йалой, если начальное различие между а и а задается достаточно
малым. Поэтому это решение также не отличается заметно от

И*
регулярной прецессии а, так что прецессия дает здесь типичный’ при-
мер практической устойчивости, тогда как теоретически мы имеем
здесь случай неустойчивости.

Это замечание дает теоретическое объяснение одному факту, кото-
рый легко установить экспериментальным путем. Если, приведя волчок
в очень быстрое вращательное движение вокруг оси симметрии, мы
закрепим одну точку этой оси (например, поместим конец оси волчка
на подходящую опору в виде чашечки) и затем предоставим волчок
самому себе в каком-нибудь начальном положении, в котором ось
симметрии образует с вертикалью какой-нибудь угол 9, то движение,
которое получит волчок, будет иметь все признаки регулярной пре-
цессии (с медленным прецессионным вращением), хотя начальные
условия движения не удовлетворяют строго характеристическому усло-
вию (74') регулярной прецессии. Действительно, гироскопическая ско-
рость р. (по предположению, очень большая) и угол нутации 6 заданы
произвольно; а так как в начале движения волчок предоставлен самому
себе, то начальные постоянные р0, q0 обе равны нулю или, точнее
(если мы хотим учесть бесчисленные физические обстоятельства, кото-
рые, ускользая от нашего прямого контроля, неизбежно влияют на
опыт), обе очень малы, но не зависят от произвольного выбора р.
и 6. Такой же будет вначале и угловая скорость v, и нет решительно
никакого основания, чтобы эта угловая скорость, очень малая, если
не прямо равная нулю, и зависящая от случайных причин, была такой,
чтобы при произвольных значениях р. и 6 удовлетворять условию (74х).

Несмотря на это, мы, имеем здесь согласие между теоретическим
предвидением и опытом, поскольку случайное значение v, сколь бы
мало оно ни было, близко к угловой скорости v прецессии (с медлен-
ным прецессионным вращением); поэтому на основании изложенных
выше соображений действительное движение волчка не может заметно
отличаться от этой регулярной прецессии. Мы имеем здесь, таким
образом, псевдорегулярную прецессию (см. п. 34).

§ 8. Стереонодальные и натуральные уравнения и приложения

46.	Система ориентировки с подвижными осями в теле. В преды-
дущих параграфах мы показали с различных точек зрения, насколько
выигрывает в смысле дедуктивной простоты и пригодности к выра-
жению конкретных вопросов уравнение моментов количеств движения
(относительно центра приведения О, закрепленного или совпадающего
с центром тяжести), когда вместо галилеевых осей мы обра-
щаемся к осям Oxyz, неизменно связанным с телом (уравнения Эйлера).

Но в некоторых задачах динамики твердого тела в согласии с тем,
что говорилось в общем случае в п. 3 предыдущей главы, оказы-
вается удобным относить основные уравнения к осям, движущимся
не только в пространстве, но также и в теле. Закон движения
этих осей, смотря по обстоятельствам, выбирается наиболее подхо-
дящим образом к природе задачи, которую требуется разобрать. Мы
рассмотрим здесь два частных выбора такой подвижной системы,
каждый из которых приводит к замечательной форме динамиче-
ских уравнений для всякого твердого тела с гироскопической струк-
турой.

К этим формам мы придем, проектируя на подвижные оси второе
основное уравнение. Если за центр приведения моментов выби-
рается закрепленная точка (или, при движении свободного твердого
тела, центр тяжести), то уравнение это примет (п. 3 предыдущей
главы) вид

Я'+ю'Х К=м,	(81)

где символы имеют обычное значение и, в частности, w' обозначает
угловую скорость (абсолютную) уже не твердого тела, а подвижной
системы осей (в пространстве и в теле). За начало О этой системы
принимается, как обычно, сам центр приведения моментов (закреплен-
ный или совпадающий с центром тяжести).

Далее, ясно, что относительно осей, подвижных внутри тела, ни
моменты, ни произведения инерции, вообще говоря, уже не будут
более постоянными, так что при таком выборе осей теряются те
выгоды формальной простоты выражений для проекций момента К,
которые мы имели в случае осей, неизменно связанных с телом и
представляющих собой главные оси инерции твердого тела. Однако
существуют некоторые замечательные с механической точки зрения
случаи, когда моменты и произведения инерции сохраняются постоян-
ными даже а по отношению к осям, движущимся относительно
тела. Типичный пример этого мы имеем в случае тела, имеющего
гироскопическую структуру относительно его неподвижной точки.

Если за ось z возьмем гироскопическую ось и за начало—точку О,
то всякая пара осей Ох'у', взаимно перпендикулярных и перпенди-
кулярных к z, определяет систему Ox'y'z главных осей инерции,
относительно которых, как бы ни вращались эти оси вокруг Ог,
будут постоянными (главные) моменты инерции А = В и Си оста-
нутся в силе соотношения между проекциями векторов К и ш

^ = Ар, Ky = Aq, K._, = Cr,	(82)

где р, q, г обозначают проекции угловой скорости (абсолютной) w
твердого тела на подвижные оси Ox'y'z (но уже не на подвижные
оси, неизменно связанные с твердым телом, как это было в преды-
дущих параграфах).

В следующем пункте и в п. 51 мы покажем, как следует задать
закон вращения системы отсчета Ox'y'z вокруг оси г (неизменно свя-
занной с телом), чтобы прийти, в случае тела с гироскопической
структурой, к двум упоминавшимся выше формам динамических
уравнений.
47.	Стереонодальные уравнения. К одной из систем подвижных

осей, о которых говорилось в предыдущем пункте, мы придем, если
обратимся к вспомогательным осям, введенным при определении углов
Эйлера у, О, ф (т. I, гл. III, п. 32). Вспомним, что одна из этих
систем осей, которая обозначена через Ox'y'z, имеет третью ось,
совпадающую с осью z, неизменно связанной с телом, и ось х', рас-
положенную вдоль линии узлов (общий перпендикуляр к осям Сиг,

ориентированный таким образом, чтобы

Фиг. 22.

вращение от £ к z на острый
угол было правым) (фиг. 22);
эту систему осей можно
получить из системы Охуг,
неизменно связанной с телом,
одним вращением вокруг
оси г на величину, равную
второму углу Эйлера (или
углу собственного вращения)
с обратным знаком, т. е.—'-о.
Оси Ох'у'г, подвижные как
в пространстве, так и в теле,
можно назвать стереонодаль-
ными, так как ось z непо-
движна в теле, а ось х' в лю-
бой момент совпадает с ли-
нией узлов двух систем
осей, неподвижных в теле
и в пространстве.

Так как нам нужно спроектировать уравнение (81) на оси Ox'y'z,

то мы должны здесь прежде всего получить проекции на эти по-
движные оси двух угловых скоростей w и ю' соответственно твердого
тела и осей Ox'y'z в их движении относительно осей, имеющих
неизменные направления в пространстве. Обозначив проекции век-
торов га и и' на оси Ох'у'г соответственно через р, q, г, р', q', г'
и заметим прежде всего, что разность w — о/ есть угловая скорость
твердого тела относительно стереонодальних осей. Поэтому, вспоминая
только что сделанное замечание о вращении этих последних осей
относительно осей, неподвижных в теле, я обозначая через k еди-
ничный вектор (неподвижный в теле) оси z, будем иметь

ы' = w —	(83)

Отсюда следует, что достаточно дать явную форму одному из двух
векторов ю или о/. Так как стереонодальные оси являются в неко-
тором роде более близкими к осям с неизменными направлениями,
чем оси, неподвижные в теле, то можно предполагать, что выражения
проекций р', q', г' вектора to' будут более простыми, чем аналогичные
проекции р, q, г вектора w. Действительно, стереонодальные оси по
отношению к осям с неизменными направлениями имеют общими с осями,
неподвижными в теле, угол нутации 0 и угол прецессии ф, тогда как
угол собственного вращения ® равен нулю, так что на основании
уравнений (22) из п. 10, упоминавшихся в п. 22 (ср. т. I, гл. III,
п. 32), направляющие косинусы оси С относительно осей Ox'y'z будут
определяться равенствами

11 = 0, Tfs — s’n Тз = cos	(84)

и формулы ^6) (т. I, гл. III, п. 34), упоминавшиеся в п. 1, примут
вид

р' = 0, ^/ = <j>sin0, г' = <pcos0.	(85)

Отсюда и из равенства (83), которое в проекциях на оси Ox'y'z
дает

р' = р, q' = q, r' = r — ср,	(86)

получатся соотношения

р = 0, q — Ф sin 0, г — <р -ф-ф cos 0.	(87)

В большинстве случаев, как мы это уже видели в предыдущих пара-
графах, неудобно с самого начала исключать из основных уравнений
вспомогательные неизвестные, выражая все через основные неизвест-
ные 0, ®, Ф. Вообще говоря, выгоднее оставлять в уравнениях до
тех пор, пока это можно, те величины, которые наиболее наглядно
характеризуют явление; в данном случае это относится к угловой
Скорости w твердого тела. Мы будем придерживаться этого правила
во всех дальнейших рассуждениях, относящихся к твердому телу,
которое имеет гироскопическую структуру относительно какой-нибудь
его точки О, остающейся неподвижной (или совпадающей с центром
тяжести).

Отнесем твердое тело к стереонодальной системе осей Ox'y'z,
соответствующей заданной системе с неизменными направлениями
и заданной системе осей Oxyz, неподвижных в теле, где, как обычно,
О есть неподвижная точка, a z — гироскопическая ось. Хотя оси Ох',
Оу' и вращаются внутри тела, однако стереонодальная система осей
всегда будет состоять из главных осей инерции; поэтому, как это
уже отмечалось в предыдущем пункте, мы будем иметь

Кх.=Ар, K, = Aq, К=Сг,	(82)

или, в более сжатой форме,

К Ae + Crk.

Проектируя основное уравнение '(81) на оси Ox'y'z и имея в виду
при проектировании векторного произведения w' X К формулы (82)
и (86), мы получим уравнения

Ар —(А — С) qr + Ayq = Мх,,
Aq -j- (А — С) рг — A<fp = М ,,
Сг	= мг.

(88^

Эти уравнения и уравнения, которые выводятся из них путем
подстановки вместо р, q, г их выражений (87), мы будем называть
стереонодальныма уравнениями движения тела с гироскопической
структурой.

В случае тяжелого гироскопа, если мы выберем в качестве оси £
вертикаль, направленную вниз, и через х обозначим ее единичный
вектор, то момент

М = РООХ*	(89)

единственной активной силы, т. е. веса, на основании уравнений (84)
будет иметь проекциями

Мх> = — Pz0 sin 6, Му, = Мг = О,

где г0 есть третья стереонодальная координата (постоянная) центра
тяжести, так что первое из уравнений (88) на основании соотноше-
ний (87) примет вид

Аб 4- {Сг — Аф cos 6) ф sin 9 Рг0 sin 6 = 0.	(90)

48.	Мгновенное возмущение регулярной прецессии тяжелого гиро-
скопа. Действие добавочной пары, момент которой направлен по ли-
нии узлов. Чтобы дать непосредственное приложение стереонодальных
уравнений, вернемся к рассуждениям п. 40. Рассмотрим тяжелый
гироскоп, например волчок, совершающий регулярную прецессию,
и представим себе, что в данный момент t0 это движение возмущается
добавлением пары, действующей в плоскости, перпендикулярной
к линии узлов, с моментом N (положительным или отрицательным).
Это вызовет движение волчка общего типа, т. е. движение с нута-
цией (п. 31); мы рассмотрим здесь движение за малый промежуток
времени, непосредственно следующий за моментом t0.

Из стереонодальных уравнений тяжелого гироскопа изменится
только первое, т. е. уравнение (90); оно примет вид

А9-|-(Сг— АфсозО)ф sin 6 -f- P^sin 6 —N= 0.	(90')

Так как в момент t0, когда внезапно начинает действовать доба-
вочная пара, различные характеристические элементы движения имеют
значения, соответствующие регулярной прецессии, в которой 6 = const,
то для них в силу уравнения (90) имеет место условие

(Сг — Аф cos 9) ф sin 9 -ф- Pz0 sin 9 = 0,
которое, если положить в нем = v, г = ц -j- vcos0 и сократить
на sin 6, будет тождественно с уравнением (74'), характерным для
прецессий (п. 37); поэтому на основании уравнения (90') начальное
значение 9, начиная с момента ta, определяется равенством

Таким образом, мы видим, что угловое ускорение 6 сначала при-
нимает знак момента N-, это находится в согласии с обычным пред-
ставлением, что гироскопическая ось как бы подчиняется добавочному
импульсу, поскольку она стремится подняться вверх, если N поло-
жительно, и опуститься вниз, если N отрицательно.

Для пояснения этого заключения предположим, что добавочная
пара осуществляется посредством увеличения или уменьшения веса.
Вслед за увеличением веса, что соответствует отрицательному зна-
чению N, в последующем движении с нутацией произойдет опускание
оси, тогда как уменьшение веса, соответствующее положительному
значению N, вызовет сначала поднятие оси.

49.	Геометрические сведения о сферических кривых. Чтобы прийти
ко второй форме уравнений движения тела с гироскопической струк-
турой, упоминавшейся в п. 46, необходимо обратиться к рассмотрению
траектории, описываемой вершиной (см. п. 31). Речь идет о кривой,
описываемой на сфере, имеющей центр в закрепленной точке и ра-
диус, равный 1. Для того чтобы облегчить вывод уравнений, кото-
рые мы имеем в виду, установим предварительно некоторые геоме-
трические формулы, относящиеся к сферическим кривым. Чтобы остаться
в тех же условиях, в которых нам придется их применять, мы пред-
положим, что радиус сферы равен 1. Заметим, что последнее пред-
положение не нарушает общности того, о чем мы будем говорить.

Рассматривая поэтому любую кривую С, проведенную на сфере
с центром в О и радиусом, равным 1, обозначим через s криво-
линейную абсциссу текущей точки V кривой С и положим

k = OV, t = a£, y = kXt	(91)

в силу этого k представляет собой единичный вектор, нормальный
в точке V к сфере и направленный наружу, t есть единичный вектор,
касательный к кривой С в Точке V и направленный в сторону воз-
растающих дуг s, и v тот единичный вектор, нормальный к С
в точке V, который лежит в касательной плоскости к сфере и на-
правлен влево относительно наблюдателя, стоящего на внешней сто-
роне сферы и смотрящего на кривую С в направлении возрастающих s.
Указанная здесь тройка единичных векторов является ортогональной
и правой, так что, в частности, имеем

vX* = t	(92)

Вектор dtjds, который, как мы знаем (т. I, гл. I, п. 74), дает
направление главной нормали, перпендикулярен к t, так что можно
написать

2 = +	(93)

где составляющие 7, v, 7t£ имеют известное геометрическое значе-
ние, которое мы уточним в ближайшем пункте; но для имеющихся
в виду приложений нам достаточно будет обратить внимание лишь
на то, что 7 есть функция от s, характеризующая в некотором роде
ход сферической кривой.

Для этой цели заметим, что, дифференцируя третье из уравне-
ний (91) и принимая во внимание второе из них, а также уравне-
ния (93) и (92), найдем

Й =	<94)

50.	Чтобы уточнить геометрическое значение только что упомя-
нутых скалярных величин 7 и 7П заметим, что в силу первой фор-
мулы Френе (т. I, гл. I, п. 80) уравнение (93) можно написать в виде

сп — 7V + 7Д	(93')

где п обозначает единичный вектор главной нормали (направленной
к центру кривизны) и с (первую) кривизну кривой С.

Таким образом, мы видим, что величины у, 71 получатся путем
проектирования на направления векторов v и k кривизны кривой С
в точке V, отложенной в направлении вектора п, так что, полагая
kn = и, следовательно, у» = Ф -J- тс/2, получим

7 =— с sin ф, 71 —ccosi.	(95)

Далее, из анализа известно, что 7 есть геодезическая кривизна
такой сферической кривой, a 7j на основании формулы Менье можно
истолковать как кривизну сечения сферы с плоскостью kt. Так
как это сечение представляет собой большой круг, то необходимо

Т1 = — 1;

достаточно вспомнить, что центр кривизны кривой С лежит по отно-
шению к касательной плоскости к сфере с той же самой стороны
-от центра сферы, так что угол kn — с? не может уже быть острым,
чтобы заключить, что

7; = ccosty = — 1.
Поэтому на основании первого из уравнений (95) будем иметь

Т = tg ф,	(96)

и уравнение (93) можно будет написать в виде

^ = tg^.v — k.	(93')

Следует добавить (хотя это и не является необходимым для даль-
нейшего) следующие замечания.

Разлагая единичный вектор бинормали b по направлениям ком-
планарных с ним векторов у и k и принимая во внимание, что
чЬ = Ф -f- it, kb —	ir/2, найдем

b = — cos ф • v — sin Ф • k;

поэтому, дифференцируя по s и принимая во внимание определений
вектора t и (94), (96), мы придем к уравнению

db	, . ,	,., йФ	йФ

-г- — (sin Фу — cos ФЙ) — — п-~,
ds	'	‘	‘ ' ds	ds

которое при сравнении с третьей формулой Френе (т. I, гл. I, п. 80)
дает

где через т, как обычно, обозначено кручение сферической кривой.

51.	Натуральные уравнения. Возвратимся теперь к твердому телу S
гироскопической структуры относительно одной из его точек О,
принимаемой за неподвижную (или совпадающую с центром тяжести).
Мы используем при этом еще раз то положение (ср. п. 5), что для
полного исследования любого движения тела S (около точки О) доста-
точно определить закон, по которому изменяются с временем, с одной
стороны, направление гироскопической оси относительно точки О и,
с другой, — гироскопическая угловая скорость г.

Изменение положения гироскопической оси относительно О будет
определено, если будет указана кривая С, описываемая вершиной V
гироскопа на сфере с центром в О и радиусом, равным 1 (п. 49).

Применим теперь непосредственно к траектории вершины заме-
чания и формулы упомянутого пункта, так что, в частности, k будет
-обозначать, как обычно, единичный вектор гироскопической оси,
направленный от О к G.

Умножая на скорость у точки V обе части второго из уравне-
ний (91) и уравнение (94), получим

dt = st' dt =—4st-	(97)
Легко найти соотношение между скоростью $ вершины и эква-
ториальной составляющей е угловой скорости w. Действительно,
обозначая, как обычно, через г гироскопическую угловую скорость
и через аир составляющие вектора w по ориентированным (эква-
ториальным) взаимно перпендикулярным направлениям t и v, будем
иметь

о = а/—[- Р v —|— rJfe;

достаточно умножить векторно обе части этого равенства на k и при-
нять во внимание формулу Пуассона

rffe . . <

и первое из равенств (97), чтобы получить тождество
st — р/— av,
из которого следует

Р = s, a = 0.

Поэтому для угловой скорости мы имеем выражение

w = sv -f- rk,	(98)

где вместе с осевой составляющей rk выявлена и экваториальная
составляющая e — s'i.

Отсюда для момента К количеств движения (гл. IV, п. 17) полу-
чится формула

К =	-j- Crk,

из которой, дифференцируя по времени (по отношению к осям O^Q
и пользуясь уравнениями (97), получим

= (—	-|- Сг) $/-{-	-|- Crk.

Рассмотрим теперь три оси хг, у', г с началом в О, имеющие
ориентированные направления трех единичных векторов: t (касатель-
ной к траектории вершины в направлении возрастающих s), v (пер-
пендикуляра к t и к оси гироскопа OG, направленного влево для
наблюдателя, который, расположен по OQ и смотрит в направлении f),
k (гироскопической оси OG). Проектируя на них уравнение моментов
количеств движения относительно точки О, мы получим скалярные
уравнения

(— A-(s + Cr)s = Mt, 1

As = М„, j
которые обычно называют натуральными уравнениями движения
гироскопа .

Заметим, что введенная здесь система осей Ox'y'z совпадает
с той, которая была указана в п. 46; в этой системе ось z совпадает
с гироскопической осью и поэтому неподвижна в теле, тогда как
две другие оси, оставаясь взаимно перпендикулярными, движутся
в экваториальной плоскости по закону, однозначно определяемому
движением гироскопа.

52.	В качестве первого и непосредственного следствия из нату-
ральных уравнений мы можем доказать, что если к гироскопу, нахо-
дящемуся в быстром вращении вокруг своей оси, приложить какую-
нибудь силу F в какой-нибудь точке А этой оси, то достаточно,
чтобы движение вершины было строго равномерным, для того чтобы
смещение точки V происходило в направлении, перпендикулярном к
активной силе F. Мы уже знаем (п. 4), что, по крайней мере при-
ближенно, такое свойство существует для всякого гироскопа, находяще-
гося в быстром вращении вокруг собственной оси.

При указанном выше условии, что сила F пересекает гироскопи-
ческую ось, имеем Л4г = 0, а из предположения, что движение вер-
шины равномерное (s = 0), следует в силу второго натурального
уравнения (99), что и Л1, = 0; поэтому момент М имеет направление
единичного вектора t, т. е. скорости и, следовательно, элементарного
перемещения вершины; а так как при О А — I имеем М = Ik X F, то
мы и приходим к заключению, что это перемещение точки V, парал-
лельное М, перпендикулярно к F, а также и к k. Можно также опре-
делить и сторону этого элементарного перемещения. Прежде всего,
так как Мг = 0, то из уравнения (100) видим, что г = const
(как это, в частности, имеет место для тяжелого гироскопа). Далее,
если гироскопическая скорость достаточно велика (по сравнению со
скоростью s вершины, или, точнее, по сравнению с 7s), то из двух
членов левой части первого натурального уравнения (99) преобладаю-
щее значение будет иметь второй, имеющий тот же знак, что и s. Если
касательную к траектории вершины направим в ту сторону, куда
перемещается точка V в данный момент, то, по крайней мере за рас-
сматриваемый элемент времени, $>0 и поэтому проекция Mf момента М
будет положительной. Этот момент имеет, следовательно, одинаковые
с t и со скоростью точки V не только направление, но также и сто-
рону. А тогда на основании выражения М — Ik X F заключаем, что
когда точка А приложения силы F находится на гироскопической
оси с той же стороны от точки О, что и G(Z>0), то скорость

!) Г. Л а м б, Теоретическая механика, т. III, перевод с английского, 1936,
§55; W. F. Osgood, On the gyroscope, Trans, of the Amer. Math. Soc.,
t. XXIII, стр. 240—264.
точки V в любой момент будет направлена перпендикулярно к пло-
скости векторов F и k влево по отношению к наблюдателю, распо-
ложенному вдоль k и обращенному лицом в ту сторону, куда дей-
ствует F (фиг. 23).

53.	Чтобы дать второе приложение натуральных уравнений, тоже
очень простое, представим себе, что активная сила F представляет
собой реакцию, испытываемую щеточкой, укрепленной на гироскопи-
ческой оси в одной из ее точек А со стороны G и вынужденной
скользить по внутренней стороне шерохо-

'1	ватой сферы с центром в точке О.

*	Если через Л обозначим величину нор-

мальной реакции, которую мы будем предпо-
____________ лагать постоянной, и через f—коэффициент
./t'M> трения, то fN будет абсолютной величиной
касательной составляющей реакции (трение),
поэтому в силу законов динамического трения
Фиг. 23.____(поскольку в рассматриваемом интервале

предполагается > 0), проектируя силу F
на ориентированные направления трех единичных векторов t, v, k,
связанных с траекторией вершины, будем иметь

F^—fN, Ft = Q, Fs=—N',

если положим еще О А = / > О, то момент М будет определяться ра-
венством -

м = Ik X ( —fNt— Nk) = If N't.

Поэтому в натуральных уравнениях мы должны положить

Mt — Mz — Q, M4 = —lfN,

в силу чего из уравнения (100) также и в этом случае находим
г = const = г0, а второе из уравнений (99) дает

As— —IfN.	(101)

Так как правая часть есть отрицательная постоянная величина, то
движение будет равнозамедленным и скорость обратится в нуль по
истечении конечного промежутка времени от t = Q до t=f. Начиная
с этого момента 1Ъ вершина V остается неподвижной в достигнутом
таким образом положении Vlt и движение гироскопа сведется к пер-
манентному вращению (с угловой скоростью г0) вокруг гироскопиче-
ской оси, неподвижной в пространстве в положении ОУ).

Поэтому остается определить движение V за промежуток времени
от 1 = 0 до = для чего достаточно применить элементарные фор-
мулы прямолинейного движения тяжелой точки (т. I, гл. II, пп. 29, 30).
Если желательно избежать всяких ссылок, то достаточно заметить, что
за рассматриваемый промежуток времени, вследствие того что s > О,
дуга у постоянно возрастает вместе с t, так что мы можем принять
ее за независимое переменное вместо t. Принимая во внимание обыч-
ное тождество

ds •	1 dv2

S — ~~z— S = -5—3—
ds 2 ds

и обозначая для кратности через h положительную постоянную 2 lfN[Ar
можно будет написать уравнение (101) в виде

из этого уравнения получаем

®2 = ^ —йу,	(102)

где v0 обозначает начальную скорость. Поэтому вершина, прежде чем
остановиться, пробегает дугу длиной

Время /j, необходимое для этого, получится непосредственно из
уравнения

которое, пользуясь соотношением (102) и разделяя переменные, можно»
написать в виде

Vg — hs ’

откуда, интегрируя от 0 до st, получим
,  2г,о

Наконец, для определения траектории, пробегаемой вершиной V,
надо проинтегрировать первое из уравнений (99), которое здесь при-
нимает вид

67гQ

и, так как 7 есть геодезическая кривизна неизвестной траектории,
представляет собой натуральное уравнение.

Уместно отметить, что мы, таким образом, имеем пример движения
вершины гироскопа, происходящего, собственно, в направлении прямо
приложенной силы (хотя и в противоположную сторону). Это, есте-
ственно, не может нас удивить, если мы обратим внимание на то, что
условия здесь далеки от того, чтобы движение вершины было строго
или, по меньшей мере, приблизительно равномерное, как это требуется
для того, чтобы перемещение было перпендикулярным к силе; наобо-
рот, мы имеем здесь дело с замедленным движением.

54.	Гироскоп с осью, вынужденной двигаться по неподвижной
плоскости. В качестве третьего и наиболее замечательного приложе-
ния натуральных уравнений мы рассмотрим здесь механические причины
явления, на котором основано действие так называемой гироскопиче-
ской буссоли. Для этой цели обратимся предварительно к более про-
стой задаче.

Представим себе гироскоп, ось которого Oz (гироскопическая ось,
проходящая через центр тяжести) в силу связей не может выходить
из заданной неподвижной плоскости it, проходящей через О. Если мы
вспомним прибор, описанный в п. 3, то легко поймем, как (по край-
ней мере относительно Земли) можно осуществить такую связь. Доста-
точно закрепить диаметр ВВ' кольца (в котором укреплены подшип-
ники оси АА' гироскопа) вдоль нормали к плоскости it таким образом,
чтобы его средняя точка совпала с той точкой плоскости it, в которой
мы хотим закрепить гироскоп. В этих условиях траектория вершины
сведется к окружности с центром в О и радиусом 1 в плоскости it,
так что ее геодезическая кривизна у будет равна нулю, единичный
вектор t будет постоянно лежать в этой плоскости (в направлении,
перпендикулярном к k), а единичный вектор м останется неподвижным
(в направлении, перпендикулярном к it). Если, далее, допустим, что
связь является связью без трения, то реакции (внешние),, которые
приложены к оси гироскопа, должны быть все нормальными к it,
а потому их результирующий момент относительно точки О будет
необходимо перпендикулярным, как к k, так и к V. Мы видим, таким
образом, что эти реакции ничего не добавляют к двум последним
натуральным уравнениям (п. 51)

As = M,, Cr = Mz.	(103)

Эти уравнения, так как моменты Mz относятся исключительно
к активным силам (внешним) и являются поэтому так же, как и эти
силы, известными, будут достаточны для определения движения системы
(имеющей, очевидно, только две степени свободы).

Интегрируя уравнения (103), мы определим движение. Не рассмо-
тренное еще нами натуральное уравнение, которое здесь при у = 0
принимает вид

Crs = Mt,
позволяет найти по данным задачи и после того, как движение
будет определено, проекцию на направление t результирующего
момента реакций, который входит как слагаемое в правую часть. Из
механической постановки задачи более уже ничего нельзя получить
относительно неизвестных реакций, кроме этой суммарной величины
55.	Случай плоскости, неподвижной относительно Земли. Рассу-
ждения -предыдущего пункта, строго говоря, имеют силу только при
том существенном предположении, что плоскость it неподвижна отно-
сительно инерциальной системы отсчета. Но в тех пределах прибли-
жения, в которых допустимо пренебрегать движением Земли, они
будут приложимы так же и к случаю, когда л будет плоскостью,
неизменно связанной с Землей. Приняв это допущение, предположим
еще, что активные силы сводятся к весу гироскопа (единственная
сила величины mg, приложенная в центре тяжести G).

Приняв за ось 0$ ортогональную проекцию нисходящей вертикали
точки О на плоскость л (линия наибольшего наклона) или произволь-
ную прямую в плоскости it, если эта плоскость горизонтальна, обо-
значим через а угол наклона плоскости it к горизонту (или через it/2— а
угол между осью О? и нисходящей вертикалью) и через 0 угол между
вектором k и осью О? (отсчитываемый в направлении от k к t). Тогда
для проекции силы тяжести на направление t будем иметь выражение
mg sin a cos (j) у} = — mg sin а sin 6,

так что, положив 0G — 1, получим

Л4, ==—mgl sin а sin 0, Мг = 0.

На основании этих значений моментов активных сил относительно
осей второе из уравнений движения (103) дает г == const = г0, а пер-
вое, так как здесь, очевидно, имеем s = 0, сводится к уравнению

ЛО -f- mgl sin a sin 0 — 0.	(104)

Так как, обозначая временно через 1Х положительную постоянную
А
ml sin а ’

предыдущее уравнение можно написать в виде

lt ® 4- S sin 9 = 0,

то мы видим, что, вообще говоря, ось гироскопа при указанных выше
условиях будет сколь угодно долго колебаться около линии наиболь-
шего наклона 0$ по закону маятника; если, в частности, имеем 1 — 0
(т. е. если гироскоп подвешен в центре тяжести) или же а = 0 (т. е.
плоскость it горизонтальна), то правая часть уравнения (104) обра-
щается в нуль и ось гироскопа равномерно вращается в плоскости
вокруг О. При этом гироскоп во всех случаях сохраняет сколь угодно
долго постоянную угловую скорость г0 вращения вокруг своей оси.

56.	Гироскопическая буссоль. Предположим, как и в предыдущем
пункте, что плоскость it неизменно связана с Землей, и добавим еще
дальнейшее условие, что центр подвеса О совпадает с центром тяжести

Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
гироскопа. Но в отличие от того, что говорилось в предыдущем
пункте, мы примем здесь во внимание влияние движения Земли, кото-
рое будем рассматривать, как в § 4 гл. II, т. е. предположим, что
центр тяжести движется равномерно и прямолинейно, а угловая ско-
рость сохраняет постоянные величину и направление.

Уравнение (103) можно применить и в этом случае, лишь бы
в выражения УИ, и Mz было включено слагаемое, происходящее от
центробежных сил (т. е. сил, соответствующих переносным ускоре-
ниям) и сложных центробежных сил (т. е. сил, происходящих от до-
полнительных поворотных ускорений).

Но слагаемое, происходящее от центробежных сил, уже учтено
в силе тяжести, которая в силу своего определения является резуль-
тирующей земного притяжения и центробежной силы (т. I, гл. XVI,
п. 33); с другой стороны, ее момент равен нулю, потому что речь
идет о моменте силы, приложенной в точке О. Что же касается слож-
ных центробежных сил, то они определяются для каждой отдельной
материальной точки Р{ массы гироскопа выражениями

— 2т^сц — — 2т^ X

где R обозначает угловую скорость Земли и — скорость ю X O?i
точки. Вспоминая тогда выражение

ю = sv 4- rk,	(98)

найденное в п. 51 для угловой скорости гироскопа, и обозначая
через xt, координаты точки относительно системы Ox'y'z,
мы легко найдем

— 2пцасц == X{t-]- Yfl+Zik,

где для краткости положено

Xi = 2mi (sR., -J- rRz) ,	|

Yi = 2mt (— sRtXi 4- [ry{ — яг,-] Rz), )	(105)

Zi = 2т{ (— rRtXi — [гуг — szf] R,). J

Проекции Af,, 2Иг результирующего момента внешних сил, кото-
рые, как было сказано, относятся исключительно к только что опре-
деленным сложным центробежным силам, можно вычислить на осно-
вании формул

< = 2 Ы — XiZi), Мг = 2 (XiYi —yiXt),
i	i

где суммирование (заменяемое, если необходимо, интегрированием)
распространяется на все точки или материальные элементы гироскопа.
Если примем во внимание, что, с одной стороны, в силу гироско-
пической структуры тела, ориентировку единичных векторов t, v, k
в любой момент определяют три главные оси инерции, так что исче-
зают три произведения инерции, а с другой стороны, имеем (гл. IV,
п. 17)

2	У miZi ==А—'^С’

г	i	i

то на основании уравнений (105) найдем

М, = CrRt, М, = — CsRt,

и натуральные уравнения (ЮЗ) принимают вид

Лх = CrRt, Cr = — GsRt.	(103')

Складывая почленно эти два уравнения после умножения их со-
ответственно на s и г, мы увидим, что они допускают первый инте-
грал

у (Дх2 4- Cr2) = const.	(106)

Мы имеем здесь, очевидно, интеграл живых сил, наличие которого
всегда можно было предвидеть. Действительно, обращаясь к непо-
движным осям, мы видим, что в настоящей задаче связи (закрепление
центра тяжести и возможность движения гироскопической оси только
в плоскости к) по предположению являются идеальными и не зависят
от времени; поэтому все будет происходить так, как если бы
активные силы сводились для каждой точки к сложным центро-
бежным силам. Всякая такая сила будет перпендикулярна к скорости
v точки приложения; поэтому во всякий элемент времени dt ее
элементарная работа будет равна нулю. Следовательно, нулю же
будет равна и элементарная работа dL активных сил; уравнение живых
сил будет поэтому иметь вид dT = 0, что непосредственно следует
из уравнения (106).

57.	Что касается интегрирования уравнений (103'), то заметим
прежде всего, что одно простое, но очень важное из его частных
решений можно получить, предполагая, что гироскопическая ось, т. е.
единичный вектор k, постоянно направлена по проекции (ориентиро-
ванной) на плоскость к вектора R, который, как обычно говорят,
направлен по оси мира (ось вращения Земли, направленная от южного
полюса к северному). В таком случае, так как вершина остается не-
подвижной в плоскости тс, мы постоянно будем иметь № 0; с дру-
гой стороны, Rt также будет тождественно равна нулю, потому что
единичный вектор t, принадлежащий плоскости тс и перпендикуляр-
ный к k, будет перпендикулярен и к R. Мы видим, таким образом,
что первое из уравнений (103') будет тождественно удовлетворяться,
а второе просто даст г = const = г0; поэтому мы будем иметь
перманентное вращение с угловой скоростью г0 вокруг гироскопи-
ческой оси, расположенной вдоль ортогональной проекции оси мира
на плоскость тс.

Обратно, если для гироскопа, находящегося в быстром вращении
вокруг своей оси (r^feO), требуется определить, как эта ось должна
быть ориентирована в заданной плоскости тс, неизменно связанной
с Землей, для того чтобы, оставаясь свободной для вращения в плос-
кости тс вокруг удерживаемого неподвижным центра тяжести гиро-
скопа, она оставалась неподвижной, то из уравнений (Юб), (103')
следует, что проекция Rt должна обращаться в нуль, т. е. что век-
тор k должен располагаться вдоль проекции оси мира на плоскость тс.

Так, в частности, если плоскость тс горизонтальна или вертикальна,
то положение, неподвижности, или, как обычно говорят, положение
(относительного) равновесия гироскопической оси, приблизительно
совпадает (если отвлечься от небольшого различия между положе-
ниями оси вращения Земли и магнитной оси) с осью магнитной
стрелки буссоли отклонения, или, соответственно, буссоли накло-
нения.

Но из интегрирования уравнений (103'), выполнимого в квадра-
турах, легко также видеть, каково должно быть теоретически (т. е.
при полном отсутствии трения) движение оси в общем случае, т. е.
при каких угодно начальных условиях (конёчно, совместимых со
связями).

Для этой цели, как и в п. 55, выберем в плоскости тс ориентиро-
ванную прямую СЛ, которую мы здесь совместим с проекцией оси
мира; если же R будет нормальна к плоскости тс, то мы возьмем 0$
произвольно. Обозначив через 6 угол k с осью 0$ (отсчитываемый
в направлении от k к /), мы и здесь также можем отождествить s
с 9 и будем иметь

Rt — Rt cos ^0 -f- е= — 7?J sin 9,

где Rt обозначает положительную постоянную, т. е. проекцию угло-
вой скорости Земли на плоскость тс; уравнения (103') принимают
после этого окончательный вид

АЙ = — CRp" sin 9, г — Rfi sin 9.	(103")

Отсюда прежде всего следует, что если плоскость тс перпендикулярна
к R, т. е. параллельна земному экватору, то имеем г = const, 9 = 0,
т. е. гироскоп равномерно вращается вокруг своей оси, а эта ось
в свою очередь равномерно вращается в плоскости тс вокруг О.

Во всяком другом случае второе из уравнений (103") все еще
можно проинтегрировать, и если г0 и 90 суть начальные значения г
и 9, то получим

г~ г0 4~ /?! (cos 9 — cos 0о).

(Ю7)
Подставляя это выражение г в первое из уравнений (103"), для
определения 6 в функции от t мы получим уравнение

до «= — Сг0/?1 (р —cos е0] sin 6 + 4 sin 2б),	(108)

которое можно привести (гл. VII, п. 5) пои помощи одной квадра-
туры к обычному типу

02 = ф(0),

интегрируемому посредством одной квадратуры (гиперэллиптической).

Мы не будем здесь останавливаться на фактическом вычислении.
Вместо этого заметим, что если начальная гироскопическая скорость г0
значительна, точнее, достаточно велика для того, чтобы отноше-
ние /?10/г0 было ничтожным по сравнению с единицей, то уравне-
ния (107), (108) можно будет заменить уравнениями

г = г0, ДО = — Cr0/?j sin 0,

второе из которых совпадает с уравнением движения маятника. Таким
образом, мы видим, что, в любом движении с достаточно быстрым
гироскопическим вращением, если на гироскоп наложены указанные
связи, то он вращается приблизительно с постоянной угловой ско-
ростью вокруг оси симметрии, а ось колеблется приблизительно по
закону маятника, в плоскости те (предполагаемой непараллельной зем-
ному экватору) около проекции оси мира.

Важно добавить, что на практике, вследствие неизбежного дей-
ствия трения, колебательное движение оси при каких угодно началь-
ных условиях затухает значительно быстрее, чем собственное вра-
щение гироскопа, которое предполагается весьма быстрым, так что
ось его после небольшого числа колебаний располагается в положе-
нии равновесия. Этим обстоятельством и замечаниями, сделанными
выше об этом положении равновесия в случае, когда плоскость те
горизонтальна или вертикальна, вполне оправдывается название гиро-
скопической буссоли, которое обычно дают рассмотренному здесь
прибору.

§ 9. Случай С. В. Ковалевской и другие исследования
преимущественно аналитического характера

58.	Случай Ковалевской. В п. 24 уже говорилось, что интегри-
рование уравнений (34'), (35') движения тяжелого твердого тела,
закрепленного в одной своей точке, приводится к квадратурам всякий
раз, когда удается определить еще один интеграл, кроме классиче-
ских интегралов живых сил и момента количеств движения.

С. В, Ковалевская, поставив себе целью определить все слу-
чаи, в которых решения р, ц, г, 7,, "f2> Тз системы (34'), (35'),
рассматриваемые не только на действительной оси, но и на всей плос-
кости комплексного переменного t, представляют собой однозначные
и мероморфные функции, пришла к заключению, что это обстоятель-
ство имеет место, кроме случаев Эйлера (§ 3) и Лагранжа (§ 6),
только в том случае, когда выполняются два следующих условия:

а)	главные моменты инерции относительно неподвижной точки О
удовлетворяют соотношениям

А = В = 2С,

вследствие чего, в частности, твердое тело имеет гироскопическую
структуру относительно точки О;

б)	центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида
инерции относительно точки О, а не на оси симметрии, как это
имеет место в случае Лагранжа *).

Допустив оба этих структурных предположения, мы ограничимся
здесь составлением уравнений движения и получением из них первого
интеграла, который и даст возможность выполнить интегрирование
в квадратурах.

Выбрав за неподвижную ось z в теле ось симметрии эллипсоида
инерции, мы можем предположить, не нарушая общности рассу-
ждений, что положительная полуось х проходит через центр тяже-
сти, так как и здесь безразлична ориентация неподвижных относительно
тела осей Оху (главных осей инерции) в экваториальной плоскости.
В силу этого имеем

х0 >0, Уо = zo = °>

благодаря чему уравнения (34') приводятся к следующим:

2р — qr = 0,
2?+рг = —Х* 8Т3>
г =

(Ю9)

*) Ковалевская Софья Васильевна родилась в Москве в 1850 г.,
умерла в Стокгольме в 1891 г. Математические способности С. В. Ковалев-
ской обнаружились уже во время занятий ее алгеброй и геометрией под
руководством домашнего учителя Малевича; впоследствии она брала уроки
математики в Петербурге, слушала лекции в Гейдельберге и, наконец, рабо-
тала под руководством Вейерштрасса в Берлине.

В 1874 г. С. В. Ковалевская защитила диссертацию в Гёттингене и по-
лучила степень доктора философии; в 1884 г. она заняла кафедру матема-
тики в Стокгольмском университете, а в 1889 г. была избрана членом-корре-
спондентом Петербургской Академии наук.

Работы С. В. Ковалевской относятся к общим вопросам интегрирования
дифференциальных уравнений с частными производными и к прикладной
математике.

Особенной известностью пользуется открытый ею третий случай инте-
грируемости уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвиж-
ной точки; за эту работу она получила первую премию Парижской академии
наук в 1888 г. {Прим, ред.)
где для краткости через А.3 обозначена постоянная (положительная)
PxofC, имеющая размерность квадрата угловой скорости; кинемати-
ческие уравнения Пуассона сохраняют при этом свой вид:

Ti = W—'М>
72 = 7з/> —71/7
7з = 71? — ЪР-

(35')

Прибавляя к первому уравнению (109) второе, умноженное на
i = У—1, мы получим уравнение

2 (р + iq) = — ir (р + iq) — &27з-
которое по умножении на p-\-iq можно написать в виде

-ft (р + ty)a = — ir (.Р + iq? — ^27з (Р + %)

Но из первых двух уравнений (35') непосредственно имеем

ft (7i + Й2) = - ir (71 + Й2) — Из (Р + <?)

так что, вычитая из предыдущего уравнения это последнее, после
умножения обеих его частей на X2, мы придем к уравнению

4 {(Р + iq? — & (71 + «7*)} = — ir {(Р + i4? — (71 + Йа)}
или же

0==-zr0,	(ПО)

где положено

0 = (p + ^)2-^(7i + h2)-	(Hl)

Если же через 0 обозначим комплексную величину, сопряженную
с 0, которая (так как мы имеем в виду действительные решения
наших дифференциальных уравнений) получится путем замены i через
— i в уравнении (111), то к уравнению (ПО) можно присоединить
уравнение

0=zr0;	(110')

поэтому, умножая уравнение (ПО) на 0, уравнение (ПО') на 0 и
складывая почленно, получим

4<её>=0'’
отсюда получается алгебраический интеграл четвертой степени, от-
крытый Ковалевской,

©Н = {(р -j- Z7)2 — A2 (yj 4- /у2)} {(р — iq^—X2 (Т1 — Zys)} = const •

Благодаря ему интегрирование уравнений (109) и (35') сводится
к гиперэллиптическим квадратурам. Мы не будем здесь останавли-
ваться на доказательстве этого и не будем излагать последних иссле-
дований, предметом которых стал этот замечательный случай интегри-
руемости у различных авторов. Напомним только, что для уравнений
(109) и (35') изучены стационарные решения и их устойчивость’) * *)•

59.	Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В слу-
чаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегра-
лов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений
движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24),
является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим
относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что пред-
принимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в ка-
ких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закре-
пленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-
нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р,
q, г> 11> Та> Тз* Однако глубокое исследование Гюссона2), выполнен-
ное в более изящной форме Бургатти8), привело к заключению, что,
помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Кова-
левской, не существует других алгебраических интегралов, кроме
интегралов живых сил и моментов.

Тем не менее делались попытки исследовать случай, когда посред-
ством квадратур удается определить для системы (34'), (35') не об-
щий интеграл, а хотя бы семейство оо4 решений, что, как было
сказано в п. 22, означает оо® решений задачи о движении **).

l) Levi-Civita, Sui moti stazionari di un corpo rigido nel caso della
Kowalevsky, Rend. Acc. Lincei, s. 5a, т, X, 10911, стр. 338—346, 429—434,
461—466.

*) О случае С. В. Ковалевской см.: С. В. Ковалевская, Полное со-
брание математических работ, 1949; Н. Е. Жуковский, Геометрическая
интерпретация рассмотренного С. В. Ковалевской случая движения тяжелого
твердого тела около неподвижной точки, полное собрание сочинений, т. I,
1937, в этой" же статье можно найти указания на другие работы, посвящен-
ные изучению случая С. В. Ковалевской; сборник работ „В память С. В. Кова-
левской*, 1934; Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946, стр. 563—576.
(Прим, ред.)

2) Husson, Recherche des integrates algebriques, и пр., These, Paris,
Gauthier — Villars, 1905.

3) Burgatti, Dimostrazione della non esistenza d’integrali algebripi и пр..
Rend, del Circ. Mat. di Palermo, т. XXIX, 1910, стр. 369—377.

**) Иными словами, определить частное решение, зависящее не от пяти,
а от четырех произвольных постоянных, распоряжаясь пятой из них так»
чтобы получить новый алгебраический интеграл. (Прим, ред.}
Первый и, может быть, наиболее интересный из этих случаев
частной интегрируемости был открыт Гессом *).

Заметим, что на основании той же теоремы Лиувилля, на которую
мы ссылались в п. 24 и которую мы докажем в гл. X (§ 7), доста-
точно знать одно соотношение

ftp, q, г, Т1, у2, *Гз) = °,	(112)

которое остается в силе в течение всего движения всякий раз, как
оно будет удовлетворено вначале, для того чтобы можно было опре-
делить посредством квадратур все оо5 удовлетворяющих ему движе-
ний. Уравнение (112) уже нельзя назвать первым интегралом, по-
скольку оно удовлетворяется только частью решений (теми, которые
ему удовлетворяют вначале), и поэтому чаще называется инвариант-
ным уравнением (по отношению к движению) или, как еще говорят,
первым частным интегралом.

К случаю Гесса мы придем, если будем отыскивать, при каких
условиях может получиться, что момент количеств движения К остается
в течение всего движения перпендикулярным к центральной оси OG,
или, другими словами, что при подходящих структурных предполо-
жениях уравнения движения могут допустить частный интеграл

К-ОО — Ахор ByQq -|- Сгог = 0.	(113)

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы
производная по времени от К • OG обращалась в нуль, когда исче-
зает само К • ОО.

Далее, так как речь идет о скаляре, то производную можно
взять по отношению к любым осям; дифференцируя по отношению
к осям, неподвижным в теле, и принимая во внимание уравнение
моментов количеств движения (п. 22)

OGX	(34)

а также само уравнение (ИЗ), мы получим тождество

~[к-до] = (кх<»)-оо,

так что все сводится к выяснению того, когда произведение
(ЛГХ«) • ОО, содержащее переменные р, q, г во второй степени,

!) См., например, Hess, Ueber die Eulerschen Bewegungsgleichungen und
uber elne пене partikulare Lbsung, и пр., Math. Annalen, t. 37, 1890,
стр. 153—181. Относительно преобразования уравнений, вводящего вместо
проекций векторов «их некоторые их инвариантные комбинации, и о более
углубленном разборе случая Гесса см. Note di О. Lazzarino, Rend. Асе. Lin-
cei, с. 5a, т. XXVIII, 1919i, стр. 325—331,341-346 и 1919,,стр.9—14, 259—263,
329-333, 422-426, 489-493.
делится на произведение К • ОО, линейное по отношению к тем же
переменным. Заметим, кстати, что так как (К X о») • ОО, по крайней
мере с точностью до множителя ю, является не чем иным, как левой
частью уравнения конуса Штауде (п. 25), последнее обстоятельство
равносильно тому, что этот конус распадается на две плоскости,
одна из которых является плоскостью, перпендикулярной к моменту К,
APh + ВЧЪ + Сгуз = 0.

Если обозначим через up-\-vq-\- w неизвестную линейную форму,
то придем к условному тождеству

(#Х ”>) • OG — (up vq wr) К • ОО,
равносильному системе

Дхои == 0, Вууо = 0, CzqW — 0;
х0 (В — С) — vCzQ -р wByQ,
У о {С—A) = rwAxQ-\-uCzQ,
z0 (Д — В) — иВу0 -f- vAx0.

(114)

(115)

Из уравнений (114) следует, что нулями должны быть или все
три величины х0, у0, z0, или все три искомые величины и, v, w, или
же два числа одной из этих двух троек и. одно, не соответствующее
им, другой.

Оба случая, х0 = у0 = г0 = 0 и и — v = w = 0, надо сразу же исклю-
чить, так как первый приводит к движению по Пуансо (случай Эйлера)
тяжелого твердого тела, закрепленного в его центре тяжести, а вто-
рой вследствие соотношений (115) — к твердому телу, имеющему
эллипсоидом инерции относительно неподвижной точки сферу, т. е.
к частному случаю тяжелого гироскопа.

Но каждое из предположений

Уо ~ zo = “ == °- го — хо — v — °, х0 —у0 = w — 0
приводит в силу соотношений (115) к одному из только что исклю-
ченных случаев.

Поэтому остается рассмотреть только -три возможности

х0 = и = ду = 0, yQ = w = a = 0, zo = u — v = O, (116)
в каждой из которых одно из соотношений (115) будет тождественно
удовлетворяться, а другие две путем исключения и, v или w соот-
ветственно дадут

(Л — В)О? = (С— А)Ву1,
(В — С) Лхо = (Л — В) с4,
(С—Л) Ву1 = (В — С) Ах%.
Если исключим гироскопические случаи и для. определенности
предположим

А>В>С,

то увидим, что первое и третье из предположений (116) должны быть
отброшены, поскольку соответствующие соотношения (117) приводят
к мнимым значениям для у01?0 или, соответственно, х0/у0; таким обра-
зом, единственный новый случай, к которому приводит наличие'инва-
риантного уравнения (113), соответствует второму из предположений
(117) и поэтому определяется двумя структурными условиями

_уо = О, (B — C)Axl = (A—B)Czl.	(118)

Следовательно, речь идет о твердом теле, эллипсоид инерции ко-
торого относительно закрепленной точки будет трехосным, но имею-
щим центр тяжести на главной плоскости, проходящей через наиболь-
шую и наименьшую из осей (у0 = 0), при дальнейшем условии, что
ось, проходящая через центр тяжести, направлена в этой плоскости
так, чтобы было удовлетворено второе из условий (118)').

Это и есть случай частной интегрируемости Гесса* *).

60.	Случай Чаплыгина2). Рассмотрим другой случай частной ин-
тегрируемости, который с точки зрения структуры твердого тела
близок к случаю Ковалевской, поскольку он характеризуется соот-
ношением

Д = В = 4С

и добавочным условием, что центр тяжести лежит на экваториальной
плоскости эллипсоида инерции (д0= 0).

Здесь к определению в квадратурах со4 решений системы (344,
(35') и, следовательно, оо® движений тяжелого твердого тела, за-
крепленного в одной своей точке, мы придем уже не путем доба-
вления к интегралам живых сил и моментов нового частного инте-
грала, а, придавая частное значение произвольной постоянной в одном
из этих двух классических первых интегралов, а именно в интеграле
моментов количеств движения, найдем, что посредством полученных

Ч Это уравнение выражает, что ось OG, проходящая через центр тя-
жести, должна быть нормальной к той или другой из двух действительных
плоскостей круговых сечений так называемого взаимного эллипсоида
инерции

х* I У2 । г2 _ 1

А В ‘ С ~ k

См. Жуковский, Jahresb. der Deutschen Math. Ver., т. 3, 1894, стр. 62;
Sommerfeld, QOtt. Nachr., 1898, стр. 83; Klein—S om m e r f e 1 d, Theorie
des Kreisels, стр. 380.,	1

*) Геометрическая интерпретация случая Гесса предложена Н. Е. Жуков-
ским в статье .Локсодромический маятник Гесса“, 1892. См. полное собрание
сочинений, т. I, 1937. (Прим, ред.)

2) См., например, две заметки Колосова и Марколонго в Rend, del Circ
Mat, di Palermo, т. XVI, 1902, стр. 346—357,
таким образом решений, удовлетворяющих инвариантному уравнению,
получается новый первый интеграл.

Если и здесь проведем неподвижную в теле положительную
полуось Ох через центр тяжести, то динамические уравнения (34')
примут вид

4р — 3qr — 0,	|

4?-|-Зрг = — Х2Тз,	[	(119)

г =	)

где через X2, как и в п. 58, обозначена положительная постоянная
Рх0/С.

Естественно, что и в данном случае остается в силе интеграл
моментов количеств движения относительно вертикали, который в этом
случае определяется равенством

= С{ 4 (рт! + q^) + гтз}.

Чаплыгин заметил, что для оо4 решений системы (34'), (35'), для ко-
торых постоянная АГ, моментов равна нулю, существует алгебраиче-
ский интеграл третьей степени

<р = г (р2 Д- q4) _j_ х2рТз == const.

Не исследуя, как Чаплыгин пришел к этому заключению, мы огра-
ничимся его поверкой; для этого достаточно заметить, что в силу
уравнений (119) и третьего из уравнений (35') имеем тождество

| ^Я { < (Л1 + Па) + ГЪ }

или же на основании выражения для К^
d<f Vq

это соотношение, если принять во внимание предположение АГ, = О,
и доказывает утверждение *).

*)’В дополнение к рассмотренным случаям можно указать еще случай
интегрируемости, разобранный Стекловым В. А. (В. А. Стеклов, Новое
частное решение дифференциальных уравнений движения тяжелого твердого
тела, имеющего неподвижную точку. Труды Отделения физических наук
Общества любителей естествознания, т. X, 1899.)

Стеклов Владимир Андреевич родился в 1863 г. в Нижнем Новго-
роде; умер в 1926 г. в Ленинграде.

После окончания Харьковского университета (1887 г-) был оставлен при
нем и назначен ассистентом при кафедре механики (1889 г.).

В 1894 г. защитил магистерскую диссертацию на тему „О движении
твердого тела в жидкости*, в 1902 г.—докторскую диссертацию на тему
„Общие методы решения задач математической физики*.

С 1906 г. занимал кафедру в Петербургском университете, а в 1912 г.
избран действительным членом Академии наук. В работах Стеклова В. А.
рассматриваются различные вопросы движения твердого тела, гидродинамики,
теории упругости, но его главные труды посвящены математической физике—
обоснованию метода фундаментальных функций, (Прим, ред.)
УПРАЖНЕНИЯ

1.	Показать, что если при движении твердого тела вокруг закрепленной
точки О результирующий момент внешних сил остается все время перпен-
дикулярным к угловой скорости, то живая сила постоянна.

Это, в частности, оправдывается, если отсутствуют активные силы, и
твердое тело вынуждено благодаря связям соприкасаться с неподвижной
поверхностью без трения.

2.	Доказать, что в твердом теле, закрепленном в одной из своих точек О,
геометрическое место линий действия момента К, приложенного в точке О,
представляет собой конус второго порядка, уравнение которого относительно
главных осей инерции по отношению к точке О при принятых в тексте обо-
значениях имеет вид



а уравнение

*2

2ЕА

№ \
2ЕС )

У8

1-^

2ЕВ

«2 = 0,

г2

____-____— о

. №

2ЕС

есть уравнение конуса, образующие которого перпендикулярны к векторам ы
и К одновременно.

3.	Для твердого тела, находящегося в движении по Пуансо вокруг одной
из своих точек О и отнесенного к своим главным осям инерции относительно
точки О, эллипсоиды, уравнения которых имеют вид

Д2Х2_(_ В3у2 -f-C2«2=D,

где D обозначает существенно положительную постоянную №/2£, назы-
ваются кинетическими эллипсоидами.

Доказать, что при движении твердого тела по инерции площадь диа-
метрального сечения этого эллипсоида, параллельная неподвижной плоскости т,
с которой согласно представлению Пуансо соприкасается эллипсоид инерции,
остается постоянной.

4.	Из п. 14 следует, что при движении по инерции тела с гироскопи-
ческой структурой относительно неподвижной точки оба конуса Пуансо
будут конусами вращения. Доказать, что ерли эллипсоид инерции будет
сплюснутым, то половина угла при вершине у неподвижного конуса не
может превосходить 19328'.

5.	Параметрические уравнения полодии. При движении
Пуансо мы назвали полюсом точку Q пересечения линии действия угловой
скорости ш, приложенной в закрепленной точке О, с эллипсоидом инерции
относительно этой точки

Ax2 + By2 + Cz2=l.

Из пропорциональности между проекциями р, q, г вектора е* и коорди-
натами х, у, z точки Q и из интеграла живых сил

2Т = Ар2 + Bq2 + Сг2 = 2Е
непосредственно следует
р	а	г

Y 2Е	У2Е	У2Е
Но так как в силу неизменности результирующего момента количеств
движения мы имеем

А ‘-р2 -}- В2д2	C2r2 = const = №,

то полюс Q принадлежит, кроме эллипсоида инерции, еще и кинетическому
эллипсоиду (упражнение 3)

A2x2 + B2y2+C2z2= D,

где D = К212Е, так что полодия, геометрическое место полюсов Q в теле»
есть алгебраическая кривая четвертого порядка, получающаяся при пересе-
чении двух только что указанных эллипсоидов.

Чтобы найти ее параметрические уравнения, мы предположим, как это
можно сделать, не нарушая общности, что А В >- С, и начнем с замечания,
что если речь идет о действительном движении и, следовательно, если поло-
дия действительна, то постоянная D необходимо будет заключена между А
и С. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что D есть величина, обратная ква-
драту расстояния точки О от неподвижной плоскости т, касательной к эллип-
соиду инерции в полюсе Q (п. 11), и потому, наверное, будет, заключена
между величинами, обратными квадратам наименьшей и наибольшей полу-
осей этого эллипсоида, т. е. между А и С.

К пучку поверхностей второго порядка, определяемому эллипсоидом инер-
ции и кинетическим эллипсоидом, принадлежит (единственный) конус, урав-
нение которого есть

А (Д — D) х2 + В (В — D)y2 + С (С — D) z2 = 0;	(1)

этот конус в силу ограничения А D С и того, что он является геоме-
трическим местом осей вращения твердого тела, действителен.

Полодию можно, очевидно, рассматривать как кривую, получающуюся
при пересечении эллипсоида инерции и конуса (1). Далее, при D = В этот
конус распадается на дв^ действительные плоскости (проходящие через сред-
нюю ось и одинаково наклоненные как к большей, так и к меньшей оси),
так что полодия в этом случае состоит из двух эллипсов. При D = А поло-
дия сводится к вершинам, совпадающим с концами наименьшей оси, при
D = С — к вершинам, совпадающим с концами наибольшей оси. Отсюда
в силу непрерывности следует, что, когда D близко к А, полодия будет
образована двумя замкнутыми кривыми вокруг вершин, относящихся к наи-
меньшей оси, когда же D близко к С, мы будем иметь две замкнутые кри-
вые вокруг вершин, соответствующих наибольшей оси. При непрерывном
изменении одна из этих форм полодий переходит в другую через Два эллипса.

Так как полодия лежит целиком на эллипсоиде инерции, то расстояние и
любой ее точки Q от центра О остается, наверное, заключенным между
двумя вполне определенным^ конечными пределами, необходимо заключен-
ными между 1//Д и 1/УС. Для определения расстояния мы обратимся
к параметрическому определению полодии, которое получится, если мы раз-
решим относительно х2, у2, z2 систему уравнений
х2„|__у2_|_г2—и2.

Ах2 By2-f-Cz2 — 1,
Л2Х2 В2у2 -I- C2z- — D.

В результате мы придем к уравнениям

2	ВСи2 — (В + С — D)

х~ {А—С)(А — В) ’

САи2-(С+А-Р)
у	(В—А) (В —С)	’

АВи2 — (А + В — D)
г	(С~В)(С—А)	•
Выражая то обстоятельство, что х2, у2, z2 должны быть положительными,

мы получим для и	ограничения  (3)  н2<-+^~Д-,	(4)  (5)

Из этих неравенств выводится, что два предела иу,	между

которыми должен изменяться параметр и в уравнениях (2), для всех точек
полодии должны быть уточнены следующим образом: прежде всего имеем
во всех случаях

2 C4-A — D

U* СА ’

что же касается «у то эта величина определится правой частью соотноше-
ния (3) или (5), смотря по тому, будет ли D < В или D~y>B (при D = В
оба значения совпадают).

6.	Из определения герполодии, как геометрического места точек Q на
плоскости т, вывести на основании рассуждений предыдущего упражнения, что
эта кривая остается всегда заключенной внутри кругового кольца с центром,
являющимся основанием Ох перпендикуляра из О на т, и с радиусами р1( р2,
определяемыми равенствами

—77 •	= 1.2).

7.	Дифференциальное уравнение герполодии. Отнесем
герполодию в ее плоскости т к полярным координатам р, а, имеющим в ка-
честве полюса ортогональную проекцию Ох точки Она t, и условимся отсчи-
тывать угол а от некоторого ориентированного произвольного неподвижного
направления в плоскости т против часовой стрелки, если смотреть с конца
вектора К (нормального к т).

Формулы упражнения 5 позволяют выразить прежде всего производные
по времени от р2 и а в функциях от самого р2.

  ►'

Начнем с ра = ОД)2. Дифференцируя, получим

^-20^

dt 2°1Q dt '

Но, с одной стороны, имеем (упражнение 5)

0Q =

О)

У2Ё’

заменяя производную dvjdt вектора «, отнесенного к неподвижным осям
в пространстве, производной «, отнесенной к неподвижным осям в теле
(т. I, гл. IV, п. 11)ч получим

dQ ta

dt = 'У2Ё'

С другой стороны, имеем (упражнение 5)

0^ = 0Q — ООх =-£=--------

1 У2Д КУО
в силу тождества

ат „ •_

-5Г = ЛГ-»;

отсюда для движения Пуансо, в котором Т сохраняет постоянную величину Е,
следует К • <а = 0.

Таким образом, мы приходим к уравнению

dp2 1

-4г = Ъ" ®

dt Е

которое после развертывания скалярного произведение на основании урав-
нений_Эйлера [(5') из п. 8] и подстановки вместо р, q, г выражений х V2£,
у V2E, г У2Ё перейдет в следующее:

dp2 oVo*?/-6 —с , С~А , А — В\

-Jt = 2 ^2Е~ + ~в~ + -с~)хУг-

Теперь достаточно принять во внимание равенства (2) ии? = р5-|- 1/.D, чтобы
этому дифференциальному ура .пению придать вид



(6)

где /(р2) означает многочлен третьей степени относительно р2.

Переходя теперь к а, мы выразим аналогично через р2 производную
от а по Гили, что будет более удобно, удвоенную секторную скорость p2da/d/
полюса Q в плоскости х относительно точки Oj. Речь идет о скалярной
величине, которая получится от проектирования вектора

на ориентированное направление К (нормальное к т) так что можно будет
написать

. da 1 dO —

Достаточно принять теперь во внимание выведенные выше выражения
для dQ/dt и OiQ, чтобы получить

p2'SL==W"x*,te-

После этого, развертывая определитель, соответствующий смешанному про-
изведению в правой части, по составляющим вектора К и принимая во вни-
мание первые интегралы движения (20) и (2Е) из п. 9, мы придем к уравнению

.da	1 /. „2ВЛ—/С2	2£В-№ 2ЕС —

р~dt = 2ЁК \АР ~ВС~ +	~СА- + Сг* —АВ~)’

которое, после подстановки вместо р2,	г2 их выражений через р2 = н2— 1/Z)

(упражнение 5), сведется к следующему:

p2-S=-T(p2+^	<7>

где

(А — Р)(В — Р)(С—Р)

~ АВСР
Из уравнений (6), (7) следует, что дифференциальным уравнением гер-
полодии, если положим р2 = С, будет

da_= 2Е С4-Л
Л К	С/7(C)’

Оно приводит в общем случае к одной эллиптической квадратуре.
Показать, что в частном случае D = В квадратура может быть выполнена
в элементарных трансцендентных функциях.

8.	Второе представление Пуансо для движения твер-
дого тела с одной закрепленной точкой. Показать сначала
(гл. IV, п. 18), что проекция угловой скорости ю на направление нормали
к плоскости т (т. е. на направление вектора К) будет постоянной, и если
ориентируем это направление в ту же сторону, что и вектор К, то она будет
равна 2Е/К. Следовательно, составляющую «1 вектора w в плоскости т можно
представить в виде

«1 = « — -д,	(8)

где, как и в упражнении 3, положено D = №/2Е. Заметив это, рассмотреть
вместо неподвижной плоскости т ту плоскость tj, проходящую через О и
параллельную т, которая вращается с угловой скоростью (2Е/К?)К вокруг
неподвижной линии действия вектора К (перпендикулярного к ней). Угловая
скорость твердого тела относительно этой плоскости на основании
теоремы сложения вращений будет, очевидно, представлена вектором w1(
который в силу построения лежит в так что в относительном движении
твердого тела, по отношению к т1( неподвижный конус Л Пуансо сводится
к самой плоскости и движение можно осуществить путем качения без
скольжения по плоскости тд конуса, неподвижного в теле, геометрического
места линий действия вектора о»( (приложенного в О). Доказать, что этот
конус будет конусом второго порядка. Для этой цели заметим, что если мы
обозначим через Xj, _уъ проекции вектора wj, то на основании геометри-
ческого равенства (8) будем иметь

Х1=(1-4У’ л=(1-4)«’’

так как р, q, г, так же как и проекции х, у, z вектора OQ, удовлетворяют
некоторому однородному квадратному уравнению (упражнение 5), то то же
будет иметь место и для xlt у^, г±.

Дарбу1), используя это второе представление Пуансо, предложил прибор,
на котором можно проследить не только последовательность положений,
занимаемых телом, но также и закон движения.

9.	Проверить путем рассуждений, аналогичных приведенным в п. 29, что
тяжелый твердый стержень, закрепленный в одной точке, динамически экви-
валентен (гл. V, п. 38) сферическому маятнику.

10.	Динамическая эквивалентность тяжелого гиро-
скопа сферическому гироскопу (т. е. гироскопу, имею-
щему эллипсоидом инерции относительно неподвиж-
ной точки сферу). Первые интегралы (42), (44), (45) из п. 27 при
обозначениях

2) Заметка Despeyrous, Cours de Mecanique; т. 2, Paris, 1884—1886.

12 Зак. 2368. T. Леви-Чивита и У. Амальди
можно написать в виде
г' = const,

Л CPTi + ЧЪ + г Т3) =

| А (?2 +	+ Г/2) _ р2оТз = £/;

в этой форме они определяют движение тяжелого сферического гироскопа»
имеющего g данным общие структурные параметры А, Р, z0 и значения
аргументов р, q, ух, ?2> Тз» а постоянная г должна быть заменена через

С

А

Это доказывает, что любой тяжелый гироскоп, у которого А и С пред-
ставляют собой экваториальный и осевой моменты инерции, движется как
сферический гироскоп с моментом инерции А, но имеет другую угловую
скорость собственного вращения. Так как

то мы видим, что угловая скорость г' сферического гироскопа должна быть
увеличена на (А — С) r'/С для того, чтобы она сделалась равной угловой
скорости.

11.	Равномерное вращение тяжелого твердого тела,
закрепленного в одной точке, в частных случаях, нерас-
смотренных в пп. 25, 26 (ср. 125). Конус Штауде является неопределен-
ным, т. е. его уравнение (39') или (39") сводится к тождеству, в трех следую-
щих случаях (и только в них):

а)	закрепленная точка совпадает с центром тяжести (х0 = _у0 = г0 = 0);

б)	эллипсоид инерции есть сфера (А = В = С);

в)	эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, а центр тяжести
принадлежит оси симметрии (А = В, хо = _уо = О), если за ось г принимается
ось симметрии (случай Лагранжа; ср. п. 37).

Случай а) входит в случай Эйлера — Пуансо и рассмотрен в п. 12.

В случае б), естественно, остаются в силе рассуждения п. 25, которые
приводят к необходимым условиям: ось вращения направлена вертикально
в пространстве и принадлежит (в теле) конусу Штауде (это последнее усло-
вие должно быть,•'по предположению, автоматически удовлетворено).

Доказательство же достаточности (п. 26), предполагающее неравенство
трех моментов инерции, будет не пригодно.

Дополнить исследование, взяв, например, уравнение (34) из п. 22 и
выведя из него, что ось вращения должна содержать центр тяжести.

Случай в) Лагранжа рассмотрен в п. 35.

Заметив все это, предположить, что уравнение конуса Штауде не при-
водится к тождеству, и рассмотреть дискриминант

Л =

0

(А — В) z0
(С—А)у0

(А —В) z0
0

(В — С) х0

(С — А) _у0
(В —С)х0
0

= 2 (В - С) (С - А) (Л - В) х^й.

Доказать, что соответствующий конус второго порядка может выро-
диться в две различные плоскости (но никогда в одну двойную) и что это
может произойти тогда и только тогда, когда эллипсоид инерции есть эл-
липсоид вращения или же когда центр тяжести принадлежит одной из
главных плоскостей инерции; при этом, конечно, не должны встречаться
дальнейшие особенности (полная неопределенность), как в исключенных слу-
чаях (а), (б) или (в). Частным примером распадения является пример
Гесса (п. 59).

12.	Теорема Якоби о разложении движения тяжелого
гироскопа на два движения по Пуансо. Этот вопрос рассматри-
вался различными авторами. Среди доказательств наиболее простым является
доказательство, данное Падова (Padova, Atti del R. 1st. Veneto, Ser. VII,
т. Ill, 1892, стр. 847—855). В заметке Падова находятся также и библиогра-
фические указания. Изучающий мог бы сделать более легкими формальные
выкладки, пользуясь векторным исчислением.

Более изящным и быстрее ведущим к цели является геометрически
кинематический способ, данный Сен-Жерменом. Ср., например, A. Gray
A treatise on gyrostatics and rotational motion (London, Macmillan, 1918),
стр. 464 *).

13.	Распространить движение твердого тела около закрепленной точки
на случай вязкого сопротивления, происходящего от окружающего воздуха;
ср. гл. V, упражнение 24, или также Е. Padova, Sul moto di rotazione di
un corpo rigido, Atti Accad. di Torino, т. XXI, 1885—1886, стр. 38—47.

14.	Движение гироскопа около точки его оси под
действием консервативной силы, являющейся производ-
ной от потенциала, зависящего только от 6. В этом пред-
положении (гл. IV, п. 5) результирующий момент относительно неподвижной
точки активных сил будет направлен по линии узлов и будет поэтому пер-
пендикулярен к неподвижной оси ОС Следовательно, для задач этого типа,
как и в случае тяжелого гироскопа (О = mg cos 6), имеют место- интеграл
г = const и интегралы живых сил и момента количеств движения относи-
тельно вертикали. Поэтому такие задачи могут приводиться к квадратурам
при помощи способов, рассмотренных в пп. 28, 33; в частности, угол нута-
ции fl будет определяться одним уравнением обычного типа з2 = Ф (з)
при з = cos 6.

Доказать, что при

f/==t?6‘ (* * х = const)

угол 9 можно выразить в функции от времени при помощи элементарных
трансцендентных.

15.	Среди задач, указанных в предыдущем упражнении, заслуживают
особого упоминания в силу их астрономического интереса те, в которых
потенциал U будет вида k cos2 fl или, что по существу одно и то же, к sin2 9
при к = const. Мы будем иметь случай вернуться к ннм в §§ 8, 10 гл. X.

Здесь же отметим только, что речь идет о задачах, приводящихся
к эллиптическим функциям. Ср. Е. Padova, Rend. Lincei, s. IX, т. II, 1886,
стр. 135—140, 168—174, где также изложена механическая иллюстрация
вопроса.

16.	Задача Бруна1). Речь идет о движении твердого тела вокруг
одной его неподвижной точки О в предположении, что каждый мате-
риальный элемент dm тела притягивается пропорционально расстоянию

*) Этот случай рассмотрен в книге: Суслов Г. К., Теоретическая меха-

ника, 1946, стр. 557—563. (Прим, ред.)

х) De Brun, Arkiv for Math., Stoccolma, т. VI, № 9, 1910.
неподвижной плоскостью, проходящей через О (а также, конечно, пропор-
ционально массе).

Если мы примем эту неподвижную плоскость за плоскость С = 0, то сила
притяжения, действующая на элемент dm, будет иметь в качестве проекций
на неподвижные оси 0, 0, — ХС dm, где X обозначает положительную постоян-
ную, а проекции ее иа главные оси инерции тела относительно точки О бу-
дут

— XCti dm, — ХСу2 dm, — X£f3 dm,

где то т2, Тз означают, как обычно, направляющие косинусы неподвижной
оси С относительно осей, неподвижных в теле, и, конечно, С =	-|- у2у + 7зг-

Такая элементарная сила является производной от потенциала

— ~\^dm,

так что, интегрируя и принимая во внимание, что оси Oxyz являются глав-
ными осями инерции, мы найдем для потенциала выражение

У	—Т X GM1 + Мз +Ms)'

где Sj, s2, s3 представляют собой главные моменты инерции относительно
главных плоскостей

$1 = J” х2 dm, s2 = J* _у2 dm, s3 = J*г2 dm-,

достаточно вспомнить, что если мы обозначим через I полярный момент инер-
ции тела относительно точки О, то будем иметь

Л = 4“ $3’ ^ = ®з4~$1> С = £14“ $2,

si 4" s2 4~ 5з=	4" & 4" О = Л

можно написать, по меньшей мере с точностью до несущественной аддитив-
ной постоянной,

U=±-X(Ay2 + By2 + Cy2).

Посредством столь же легкого интегрирования получим выражения для
проекций результирующего момента активных сил

Мв = Х-Щз (В — С), Л4у = Хтзт^С — А), Мг = Ху^ (А — В).

Теперь очевидно, что задача о движении тела при этих условиях, как и
в случае тяжелого тела, допускает интеграл живых сил

Т — U = E,
а также и интеграл моментов количеств движения
— const,

так как элементарная сила параллельна оси С и, следовательно, момент ее
относительно этой оси равен нулю.

Проверить на основании уравнений (5) Эйлера (п. 1) и уравнений (35')
Пуансо (п. 22), что существует также интеграл

Л У + B2q2 +С2г2 + >. (ВСу2 4- САу2 4- АВу2) = const,
после чего будет обеспечена интегрируемость задачи в квадратурах (ср.
п. 24).
17.	Барогироскоп. Барогироскоп представляет собой аппарат, спо-
собный обнаруживать вращение Земли. Как и в случае гироскопической
буссоли, речь идет о гироскопе, закрепленном в одной из точек его оси таким
образом, что эта ось вынуждена оставаться в некоторой плоскости п, неиз-
менно связанной с Землей; но в то время как в гироскопической буссоли,
которая была схематически изучена в пп. 54—57, закрепленная точка О должна
была совпадать с центром тяжести О, в барогироскопе центр тяжести G
надо предполагать отличным от О, но близким к ней. Это может быть осу-
ществлено посредством очень простого приспособления (например, посред-
ством малого перемещения добавочной массы), тогда как экспериментально
гораздо труднее получить строгое совпадение точки О с центром тяжести Q,
как это требуется для гироскопической буссоли.

Для функционирования барогироскопа типичным случаем будет тот, когда
плоскость л вертикальна; мы здесь рассмотрим даже более частный случай,
предполагая, что плоскость л яв-ляется плоскостью меридиана, проходящего
через точку О.

Если при этих условиях мы сообщим барогироскопу быстрое вращение
около собственной оси и предоставим его самому себе, направив ось верти-
кально и поместив центр тяжести G ниже закрепленной точки О, то он не
сохранит этого своего положения, которое было бы положением устойчи-
вого равновесия при отсутствии гироскопического вращения, а примет дру-
гое положение кажущегося устойчивого равновесия, при котором ось будет
отклонена от вертикали. Это отклонение (в направлении, зависящем от
стороны вращения) будет тем более ощутительным, чем больше будет
гироскопическая угловая скорость г и чем меньше расстояние I — OG.
Причину этого явления мы легко найдем, если примем во внимание враще-
ние Земли.

Для этой цели мы возьмем снова обозначения и соглашения, которыми
мы пользовались в пп. 54—57, и начнем с замечания, что барогироскоп дви-
жется под совместным действием веса и сложных центробежных сил в смысле,
уточненном в п. 56. Единственная разница с гироскопической буссолью за-
ключается в том, что момент относительно точки О веса не равен больше
нулю, а имеет в направлении векторов v и k (так как здесь взято <х = л/2)
составляющие —mgl sin в и 0. Если введем, как в п. 55, аргумент 9 = s,
который здесь представляет собой угол отклонения гироскопической оси от
вертикали, то получим уравнения движения в виде (ср. (103') текста)

Дв = CrRf — mgl sin 9, Сг = — C$Rt.	(9)

Эти уравнения, как и уравнения (ЮЗ7), допускают интеграл живых сил, при-
нимающий здесь, при наличии силы тяжести, вид

(Лба Сг2) — mgl cos 9 =£.

Для полной постановки задачи необходимо определить проекцию Rt угло-
вой скорости R Земли. Обозначив через а и w единичные векторы нисхо-
дящей вертикали, в точке О и, соответственно, оси мира, направленной с севера
на юг, условимся за положительное направление вращения в плоскости мери-
диана от и к w считать то, которому соответствует угол, меньший я. Вслед-
ствие этого из равенств

uk — Ъ, kt=^, uw=^—К

где Л есть широта точки О, следует, что wt = 9 X и потому

^£0s(9-J-X).
Подставляя это выражение Rt во второе из уравнений (9) и интегрируя’
получим

г — R sin (6 X) = const;	(10)

достаточно было бы подставить полученное таким образом выражение для г
в интеграл живых сил, чтобы иметь уравнение первого порядка обычного
типа, интегрируемого в квадратурах, для S, б2 — Ф (S) (ср. § 6 гл. I). Мы пре-
доставляем читателю убедиться на этом уравнении в динамической эквива-
лентности настоящей задачи с задачей о движении простого маятника.

Здесь же, имея в виду поставленную вначале цель, заметим, что, так
как угловая скорость R Земли весьма мала по сравнению с начальным зна-
чением г0 гироскопической угловой скорости, таким же будет в силу равен-
ства (10) и разность между любым значением г и его начальным значением.
Поэтому приближенно в первом уравнении.(9) можно подставить г0 вместо г,
после чего, принимая также во внимание выражение для Rt, мы придем
к уравнению

Д’б — — Cr^R cos (6 + X) — mgl sin 6;

отсюда ясно, что задача имеет меростатическое решение 6 — const, в котором
значение 0 угла 0 определяется равенством

,ge_------2Д»

Угловая скорость R (соответствующая одному обороту в 24 часа) на-
столько мала, что при больших значениях г0 (например, '100 оборотов в се-
кунду) произведение г0/? можно принять еще достаточно малым по сравне-
нию с mgljC для того, чтобы знаменатель выражения. для tg 0 имел знак
второго члена. Мы видим, таким образом, что 0 имеет знак, обратный знаку г0,
т. е. отклонение гироскопической оси (направленной вниз) происходит к северу
или к югу, в зависимости от того, будет ли гироскопическое вращение пра-
вым или левым. Отклонение будет тем ощутительней, чем больше будет при
прочих равных условиях г0 и чем меньше I.

18.	Возьмем снова задачу предыдущего упражнения в предположении, что
плоскость it благодаря связям остается вертикальной, но отличной от пло-
скости меридиана. Доказать, что:

1)	какова бы ни была ориентировка вертикальной плоскости я, в ней
для барогироскопа найдется положение кажущегося устойчивого равновесия
(меростатическое решение 0 — const уравнений движения);

2)	соответствующее значение 0 отклонения оси от вертикали, зависящее
от ориентировки плоскости тс, будет наибольшим, когда л совпадает с пло-
скостью меридиана (предыдущее упражнение).

Способ остается тот же, что и в предыдущем упражнении, поэтому все
сводится к определению Rt. Для этой цели, сохраняя обозначения предыду-
щего упражнения, обозначим через 05 нисходящую вертикаль в точке О
(с единичным вектором и) и через Or,— прямую в плоскости aw меридиана,
перпендикулярную к 01 и ориентированную таким образом, чтобы было
$От] =тс/2, при условии, что сохраняется положительное направление вращений
в этой плоскости, принятое в предыдущем упражнении. Обозначив через у
угол, заключенный между 0 и тс, на который надо повернуть в сторону,
соответствующую правому вращению вокруг 04, плоскость меридиана, чтобы
привести ее в совпадение с плоскостью тс, мы обозначив через систему
осей, которая получится в результате такого вращения из системы О$т]С, так
что плоскость O£t]i совпадет с л. Тогда будем иметь

С = Si, т] = т]1 cos х — Хх sin у, С = i)i sin х + (4 cos х-

Далее в плоскости Oi^, содержащей единичные векторы и, k и t, от-
клонение вектора t есть 6 4-п/2, так что его направляющие косинусы отно-
сительно осей O^iCi будут — sin 6, cos 6, 0 и, следовательно, относительно
осей О$т)С будут —sin 6, cos S cos х, cos 0 sin у. Так как направляющие
косинусы вектора w относительно осей О$т)С суть sin X, cos X, О, то заклю-
чаем, что

Rt = — R cos wt = — R (cos 6 cos X cos x — sin 0 sin X).
Глава IX

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ.

СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ВНУТРЕННИМИ ЦИКЛИЧЕСКИМИ
ДВИЖЕНИЯМИ

§ 1.	Биллиардный шар

1.	Рассмотрим движение тяжелого однородного твердого шара
радиуса R по шероховатой горизонтальной плоскости, которую мы
примем за плоскость С = 0 неподвижных осей 2$т]С с осью, напра-
вленной по вертикали вверх (фиг. 24). Очевидно, что речь идет о си-
стеме с пятью степенями свободы.

Обозначим через а, р первые две координаты (переменные) центра О

шара; третья координата остается постоянно равной R. За подвиж-

ную систему осей (как в про-
странстве, так и в теле) мы
возьмем ту, которая имеет на-
чало в точке О, и оси х, у, z,
соответственно параллельные
и одинаково направленные
с осями ц, С. В силу этого
точка С, в которой в любой
момент шар соприкасается с
опорной плоскостью, по отно-
шению к неподвижным осям

имеет координаты а, р, 0, а по отношению к подвижным — коорди-
наты 0, 0, — R.

Для уточнения и пояснения постановки задачи мы предпошлем
несколько замечаний. Во всякий момент в соответствующей точке
соприкосновения С плоскость будет действовать на шар с некоторой
реактивной силой, которую мы, пренебрегая трением качения и вер-
чения (т. I, гл. 13, § 6), будем предполагать представленной в виде
одной силы Ф. Согласно раз навсегда установленным принципам
(гл. I, § 8) мы будем считать действительными законы динамического
или, в частности, статического трения.

При этом необходимо отличать моменты времени, когда точка С,
рассматриваемая как принадлежащая сфере, имеет скорость vG)

отличную от нуля, от моментов, когда эта скорость равна нулю.
Если обозначим через v0 и w характеристические векторы (относи-
тельно точки О) движения шара (скорость точки О и угловую скорость
шара), первый из которых, имея относительно неподвижных осей
составляющие а, £, 0, постоянно остается параллельным опорной
плоскости, то скорость точки С определится, как известно, равенством
va — о) X ОС;

отсюда мы видим, что эта скорость, если она не равна нулю, лежит
в плоскости С = 0. Таким образом, мы должны отличать моменты,
когда шар скользит по плоскости (vo ф 0), от моментов, когда он
находится в состоянии чистого качения вокруг оси, проходящей через С
и лежащей в опорной плоскости (©^ = 0).

В ближайшем пункте мы подтвердим, что всякая фаза движения
со скольжением после некоторого конечного промежутка времени
необходимо оканчивается состоянием чистого качения, т. е. скорость vg
при этом обращается в нуль; если в некоторый момент 4 выполняется
это последнее условие, то дальнейшее движение шара может пред-
ставлять собой только чистое качение.

Поэтому в более общем случае движение шара по плоскости при
принятых условиях будет состоять из двух различных фаз: за началь-
ной фазой движения со скольжением следует фаза чистого качения.

2.	Фаза скольжения. Обозначив для простоты через v скорость
скольжения, которую выше мы обозначали через V& т. е. скорость
точки шара, находящейся в данный момент в соприкосновении с пло-
скостью, возьмем для нее выражение

® w X ОС

через характеристические векторы v0 и ю движения шара, относя-
щиеся к точке О, и спроектируем это равенство на оси В и tj. Обо-
значая, как обычно, через и, х» Р проекции угловой скорости на
оси $,*],£, получим

^=а —	=	(1)

С другой стороны, если в фазе скольжения (т. е. в предположе-
нии обозначим через Л/ нормальную составляющую реакции
опоры ф, а через А — силу трения (т. е. касательную составляющую Ф),
то в силу законов динамического трения получим

V	V

Az = -fN^-, A^-fN-1, А = 0,
где f означает коэффициент трения между плоскостью и шаром, ко-
торый надо считать известным.

Замечая теперь, что внешние силы сводятся в данном случае
к весу и к реакции плоскости, мы можем легко дать явный вид
основным уравнениям движения шара относительно центра тяжести О
d-^ = R,
at ’ at
Обозначая через т массу шара и припоминая, что Q = mv0 (гл. IV, п. 12),
получим после проектирования первого уравнения на неподвижные
оси

та =—fN, ni$=—0 = — mq-\-N (2)
или же, по исключении N,

* =	$ =	— -	(2)

Что же касается второго основного уравнения, то вспомним, что для
шара всякий диаметр есть главная ось инерции и что момент инерции
шара относительно какого-нибудь диаметра определяется равенством

О

Следовательно, на основании известных соотношений между проек-
циями векторов результирующего момента количеств движения К и
угловой скорости w имеем

Кг = | mR4, K.ti = |	| mR^,

а так как путем прямого вычисления находим

Afe = — fmRg~’ M,.=fmRg^, М = 0,

то, проектируя основное уравнение моментов на неподвижные оси,
придем к трем уравнениям

=	р = 0.	(3)

Последнее из них показывает, что во время движения вертикаль-
ная составляющая угловой скорости w остается постоянной. Для
остальных шести неизвестных а, р, те, у, v имеем шесть уравне-
ний (1), (2'), (3).

Интегрирование почти очевидно. Дифференцируя уравнения (1) и
исключая а, р, те, у при помощи уравнений (2), (3), получим

поэтому, вводя угол 0, составляемый в плоскости С=0 вектором v
с осью $, так что имеем

y£==^cos0, ©4 = ©sin0,
и принимая во внимание известные тождества (т. I, гл. И, пп. 20 и 19)

заключаем, что

б=0’ 1=4^-

Отсюда, во-первых, следует, что скорости тех точек шара, которые
последовательно приходят в соприкосновение с плоскостью, имеют
в соответствующие моменты соприкосновения одинаковые направление
и сторону, и, во-вторых, для общей величины этих скоростей мы по-
лучаем выражение

v = V0 — у fgt,

где ifl есть начальное значение v, которое на основании соотноше-
ний (1) можно выразить при помощи начальных значений а, 8, я и у.

Таким образом, как уже указывалось в предыдущем пункте, по
истечении конечного промежутка времени

_ 2 vo

7 fg

скорость v обращается в нуль. Теперь легко убедиться, что в этот
момент кончается первая фаза движения, так как скорость V, начиная
с этого момента, должна быть постоянно равна нулю. Действительно,
если бы v, изменяясь непрерывно, принимала при t >• положитель-
ные значения, то ее производная должна быть положительной при
/==/], а следовательно, и тотчас же после этого момента; но при тех
же самых предположениях были бы справедливы сделанные ранее
выводы для моментов времени, непосредственно следующих за tu и,
в частности, оставалось бы в силе второе из уравнений (4), которое

, dv . п

Здесь показывает, что должно быть < 0.

Поэтому, действительно, в момент t=tx оканчивается фаза сколь-
жения, чтобы уступить место последующей фазе чистого йачения.

Остановимся еще на первой фазе движения для вычисления а и (3
и возьмем одну из осей опорной плоскости, например iq, в направле-
нии (неизменном) скорости <о, благодаря чему, так как = 0,	= v,

уравнения (2) принимают вид

« = 0, P = -/g°.	(5)

Отсюда следует, что движение точки С по опорной плоскости *)
(и, следовательно, центра О сферы в горизонтальной плоскости) со-
ставляется из равномерного движения по оси $ и равнозамедленного

*) Речь идет о движении геометрической точки С, а не о движении точки
тела. (Прим, ред.)
движения по оси т;, так что, вообще говоря, движение происходит по
параболе, ось которой параллельна постоянной скорости скольже-
ния V.

Движение точки С может свестись, в частности, к простому прямо-
линейному равнозамедленному движению; это произойдет тогда и только
тогда, когда будет равно нулю начальное значение а0 величины а;
это можно также (независимо от специального выбора осей, приня-
того выше) выразить условием, что начальная скорость a0, j3°, О
центра должна быть направлена так же, как скорость <о скольжения.
Аналитически это условие, на основании уравнений (1), если написать
их для начального момента, выражается равенством

а°к° -{- 3°‘Х° = О,

так что можно сказать, что центр шара будет двигаться прямо-
линейно только тогда, когда в начале движения скорость этого
центра перпендикулярна к угловой скорости.

Закон, по которому изменяются с временем проекции и и у угло-
вой скорости, определяется во всех случаях уравнениями (3), которые
в предположении, что ось т; идет в направлении (неизменном) скорости
скольжения, принимают вид

из этих уравнений следует, что проекция / (в направлении скорости
скольжения) постоянна, так же как и вертикальная проекция р, а
проекция

•гс = и0 — t

убывает с течением времени, пока к концу фазы скольжения, т. е.
к моменту /j, не достигнет наименьшего значения

3. Фаза качения. При отсутствии скольжения из равенств (1)
можно получить уравнения (неголономных связей чистого качения;
ср. т. I, гл. VI, п. 11)

а — Ду = 0, р + /?гс = 0;	(6)

так как трение об опорную плоскость в этом случае полностью идет
на то, чтобы препятствовать скольжению или, если угодно, чтобы
в. любой момент в силу соотношений (6) ограничивать виртуальные
перемещения системы, то можно применить общее уравнение динамики,
которое здесь, так как речь идет о твердом теле, принимает вид
(гл. V, п. 27)

(/?(“) — 8О + (М(«) — Зю —О,	(7)

\ at /	1 \ at)	’	v '

где, как мы знаем, /?(°> и Af(°) обозначают результирующую силу
и результирующий момент относительно центра тяжести О только одних
активных сил, а 80 и 8ю представляют собой виртуальное поступа-
тельное перемещение и виртуальный бесконечно малый поворот шара.

Заметим теперь, что: 1) момент единственной активной силы, т. е.
веса, относительно точки О равен нулю; 2) как и в предыдущем
пункте имеем

Qj = /да, = mft, Qz — 0;

о

— /л, Кц — I/, & = /р при / = 3- mR2;

3) при любом виртуальном перемещении шара проекции вектора 80
суть 8а, 8р, 0, а проекции вектора 8ю на основании уравнений (6)
и определения виртуальных перемещений неголономной системы (т. I,
гл. XI, п. 17) будут

8тг = — Зр, 8Z = -1 а8, 8р

при произвольных 8а, 80, 8р.

Принимая во внимание все это, можно написать уравнение (7)
в виде

(а + 4 fy) 8а + (₽ - 4	8₽ -1R*? 8р = 0;

это уравнение в силу произвольности 8а, 80, 8р распадается на три
уравнения

2	9

« +	=	р—|^ = 0, р = 0.	(8)

Уравнения (8) вместе с уравнениями (6) дают пять уравнений
между пятью неизвестными а, 0, тг, у, р.

Естественно, что те же уравнения могли бы быть получены путем
исключения неизвестной реакции Ф из основных уравнений.

Из последнего из уравнений (8) следует, что и в этом случае
имеем р = const, а два других на основании уравнений (6) дают

а = 0, 0 = 0,

так что мы заключаем, что в фазе частого качения движение центра
шара будет прямолинейным и равномерным.

После этого из тех же уравнений (6) мы находим, что во время
движения вместе с р остаются постоянными также к и у, т. е. остается
неизменной угловая скорость шара ю; а так как а и р в силу тех же
уравнений (6) пропорциональны уи —it, то центр шара движется
в направлении (параллельном плоскости опоры), перпендикулярном
к угловой скорости ю.

Предыдущее заключение о бесконечной продолжительности чистого
качения существенным образом зависит от условия, что мы пренебре-
гаем трением качения. Если бы мы приняли во внимание трение каче-
ния аналогично тому, как это делалось для диска (гл. VII, п. 19), то
нашли бы, что движение должно прекратиться по истечении конечного
промежутка времени.

4.	Замечание о реакции Ф опорной плоскости. В предыдущем
пункте мы видели, что при уже не может быть скольжения.
Далее мы исследовали движение чистого качения, допуская неявно,
что плоскость в точке опоры С способна развить такую реакцию Ф,
которая обеспечивает условия (6) неголономной связи (и согласуется
с принципом виртуальных работ); теоретически этот способ правилен,
так как, очевидно, выполняется условие, что работа реакции связи
(в силу неподвижности точки С) равна нулю. Однако, физически, нельзя
отвлечься от того факта, что реакция Ф как реакция опоры подчи-
няется закону статического трения, т. е. должна содержаться внутри
конуса трения, имеющего вершиною С. Теперь важно отметить, что
это условие будет, наверное, удовлетворено в нашем случае, потому
что из равномерности горизонтального движения центра тяжести непо-
средственно следует, что реакция Ф будет вертикальной, т. е. нор-
мальной к плоскости опоры.

5.	Заключительные замечания. Проследим за центром шара в общем
случае его движения, чтобы посмотреть, как связываются одна с дру-
гой обе фазы. Для упрощения формул представим себе, как в п. 2,
что ось т] выбрана с самого начала в направлении скорости v сколь-
жения.

Если а0, Р° представляют собой составляющие (произвольные)
скорости (горизонтальной) точки О в начальный момент (Z—0), то
первое из уравнений (1) при нашем выборе осей (ws = 0) для началь-
ного значения у0 составляющей содержит в себе условие

«° = Ry.0,	(9)

а второе дает для величины скорости скольжения v = vri начальное
значение

<ц° = Rifi,
где тг° есть начальное значение it, являющееся произвольным, за
исключением лишь того ограничения (происходящего от выбора осей),
чтобы было

^о=
Центр О шара, как мы видели, исходя из своего начального по-
ложения, описывает, вообще говоря, дугу параболы, в то время как
шар скользит по опорной плоскости, вращаясь вокруг О с некоторой
угловой скоростью, составляющие которой определяются равенствами

к =	t, X = Х°, Р = Р°,

где х°» Р° обозначают начальные значения (произвольные) составляю-
щих х и р. Эти равенства показывают, что две угловые скорости,
с которыми шар, скользя по плоскости, вращается вокруг вертикаль-
ного диаметра и диаметра, параллельного скорости скольжения, остаются
постоянными, тогда как угловая скорость качения в собственном
смысле (вызываемая сопротивлением скольжению), т. е. угловая ско-
рость вращения вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к на-
правлению движения, убывает.

В этой первой фазе, которая продолжается до момента

_ 2 «х>
?1 “' 7 fg ’

проекции скорости точки О в любой момент определяются на основа-
нии равенств (5) уравнениями

а=а°,	₽ = —

и поэтому к концу этой первой фазы достигают значений

ai — а°, ₽1 = -у^о + ро= J_(5po_2^O);	(10)

в то же время при неизменных х = Z°> Р — Р° составляющая и дости-
гает своего наименьшего значения

я0-^ = -7^(5₽°-2/?1т0)-

Это и будут начальные значения величин а, к, у, Р во второй
фазе, в течение которой центр О продолжает двигаться по прямой
линии с постоянной скоростью; составляющие этой скорости опре-
деляются из уравнений (10). Так как эти составляющие совпадают
с составляющими скорости точки О в конце параболической траектории
первой фазы, то мы непосредственно видим, что центр О после про-
бегания дуги параболы движется равномерно вдоль касательной в конце
параболы в ту же сторону. Так как может случиться (это видно из
уравнений (10)), что ориентированное направление этой касательной
образует тупой угол с начальной скоростью, то мы имеем здесь
теоретическое объяснение того факта, хорошо известного игрокам на
биллиарде, что шар при известных условиях может в своем движении
повернуть назад.
Здесь, наконец, удобно обратить внимание на тот случай, когда
движение точки О вместо параболического оказывается прямолинейным
даже в первой фазе. Для того чтобы это произошло, необходимо и
достаточно при принятых здесь осях, чтобы было а0 = 0 (п. 2) и,
следовательно, в силу уравнения (9) /° — 0; при этом предположении
надо принять во внимание только характер изменения составляющей
скорости центра О, которая в любой момент все еще определяется
равенством

Если значение

для которого исчезает это выражение р, не заключено в промежутке
от 0 до

'=-Н?=^+^

то центр О описывает за время равнозамедленным движением прямо-
линейный отрезок, параллельный оси 7], а шар скользит по плоскости,
вращаясь с убывающей угловой скоростью

к = тг° — tnf t

вокруг горизонтального и перпендикулярного к направлению движения
диаметра, с постоянной угловой скоростью (произвольной) р0 вокруг
вертикального диаметра (и с нулевой скоростью вокруг диаметра,
параллельного направлению движения); начиная с момента tx, центр О
движется равномерно по той же прямой и в ту же сторону со ско-
ростью (наименьшей)

(5₽° —2/?тг°),

а сам шар катится по плоскости, вращаясь с угловой скоростью
-^-(5р°—2/?«°)

вокруг горизонтального и перпендикулярного к направлению движения
диаметра, и вертится с постоянной угловой скоростью р° вокруг
вертикального диаметра.

Движение будет происходить иначе, если t* заключено между 0
и tv для чего требуется во всяком случае, чтобы было {3° > 0.
Если t* совпадает с 4, т. е. если имеем

5£° = 2 Rifl,

то фаза скольжения развивается, как и выше, с той особенностью
(связанной с выбором осей), что здесь центр движется в положитель-
ную сторону оси т]; но в конце этой первой фазы, т. е. в момент
обращаются одновременно в нуль и и, а потому центр О, потеряв
всю свою скорость, останавливается в достигнутом положении и шар
продолжает вращаться с постоянной угловой скоростью р° вокруг
вертикального диаметра, если только с самого начала не было р° = 0;
в этом последнем случае шар останавливается совсем.

Если, наоборот, t* будет положительным и меньшим ilt то в мо-
мент t* исчезает £, хотя первая фаза скольжения еще не будет окон-
чена; центр О, описав за интервал от 0 до прямолинейный отре-
зок, параллельный оси ?], в положительную сторону, меняет напра-
вление движения на прямо противоположное, продолжая двигаться
равнозамедленно, в то время как сам шар продолжает скользить
до момента tlt когда начинается фаза равномерного движения для
центра и чистого качения для шара. Таким образом, мы имеем здесь
механическое объяснение того хорошо известного факта, что на шеро-
ховатом полу можно так толкнуть шар, что он, вращаясь и скользя
до определенной точки, останавливается раньше, чем можно было бы
предположить по начальному импульсу, или даже возвращается назад.

Заметим, что все это находится в совершенном согласии с тем,
что было сказано в § 6 гл. VII о движении колеса. По существу,
мы могли бы даже все свести к тем же рассуждениям, уподобляя
| и х количествам, которые ранее обозначались через V и о>.

§ 2. Круговой тяжелый диск, который может катиться по
горизонтальной плоскости. Твердое тело гироскопической
структуры с круговым основанием

6.	Для того чтобы иметь конкретное представление о задаче,
рассматриваемой в этом параграфе, представим себе монету (одно-
родный диск), которая катится по полу; рассуждения, которые мы здесь
изложим, останутся в силе, если мы будем иметь дело с кольцом
(детский игрушечный обруч) или с каким угодно твердым диском,
сплошным или полым, лишь бы выполнялись следующие условия:
1) диск должен оканчиваться острым краем, имеющим форму окруж-
ности С; 2) центр тяжести диска О должен .совпадать с центром
окружности С; 3) диск должен быть гироскопической структуры
относительно оси, проходящей через С. Однако пока мы оставим
в стороне условие 2) и будем рассматривать более общий случай
какого угодно твердого тела, имеющего гироскопическую структуру
относительно какой-нибудь оси и оканчивающегося у основания круго-
вым диском с острым краем, перпендикулярным в своем центре
к гироскопической оси и опирающимся в какой-нибудь точке контура
на горизонтальную шероховатую плоскость {твердое тело гироскопи-
ческой структуры с круглым основанием).

Центр тяжести будет лежать на гироскопической оси на некото-
ром расстоянии от плоскости окружности основания; достаточно

13 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
будет предположить, что это расстояние равно нулю, чтобы вер-
нуться к диску в собственном смысле.

Здесь так же, как и в случае биллиардного шара, движение
может происходить со скольжением или как чистое качение; для
нашей цели больший интерес представляет этот последний случай,
которым мы и ограничимся в нашем исследовании.

Здесь мы " имеем одну из тех задач, в которых, чтобы лучше
представить ход движения, удобнее основные уравнения динамики
относить к осям, движущимся в теле (гл. VII, п. 3; гл. VIII, п. 46).

В качестве основной системы осей мы примем систему Ox'y'z'
(фиг. 25), начало которой совпадает в каждый момент с той точкой О,
в которой окружность С
М диска в этот момент сопри-
касается с плоскостью, и
оси х', у', z' идут соответ-
ственно по касательной к ок-
ружности С в точке О, на-
правленной в сторону каче-
ния, по прямой, идущей от О
к центру С окружности и,
наконец, по перпендикуляру
в точке О к плоскости ди-
ска, направленному таким
s	- образом, чтобы система, как

Фиг. 25	обычно, была правой. Еди-

ничные векторы этих трех
осей обозначим через I, J, k\ заметим также, что в случае диска,
к которому относится прилагаемая фигура, центр тяжести О совпа-
дает с центром окружности С и лежит поэтому на оси у'.

Вместе с этой основной системой примем за вспомогательные две
другие системы осей и Gxyz. Первая из этих систем неподвижна
и ее плоскость С = 0 совпадает с опорной плоскостью, а ось С
(вертикаль) направлена вверх, вторая же неизменно связана с диском
и имеет началом центр тяжести; ось z этой системы совпадает с гиро-
скопической осью диска и направлена в одну и ту же сторону
с параллельной ей осью z'. В силу гироскопической структуры тела
эта последняя система осей, как бы ни были заданы оси х, у, пред-
ставляет собой систему главных осей инерции (относительно центра
тяжести), и потому мы имеем А = В. Кроме того, надо заметить,
что координаты центра тяжести относительно осей Ox'y'z' будут
О, a, z0> где а обозначает радиус окружности С, a z0—расстояние
от плоскости окружности С до центра тяжести; достаточно положить
z0 — 0, чтобы вернуться к случаю диска.

7.	Предварительные замечания кинематического характера. Введен-
ные таким образом три системы осей имеют в действительности раз-
ные начала; но если мы обратим внимание только на их взаимную
ориентировку, то увидим, что система Ох'у'г' является стереоно-
дальной, так как ось Ог' имеет направление гироскопической оси, и
ось Ох' параллельна (или прямо тождественна, если г0 = 0) прямой
пересечения плоскости ху, неподвижной в теле, с неподвижной пло-
скостью {линия узлов). Отсюда следует, что для углов Эйлера,
для угловых скоростей о» твердого тела, ы' основных осей (относи-
тельно неподвижных осей) и для проекций р, q, г и р', q', г' этих
угловых скоростей на стереонодальные оси остаются справедливыми
соотношения

=	— ФЙ;	(11)

о'= b, 9' = tysin0, r' = tycosO;	(12)

р'=р, ч' — Я, г' = г — у,	(13)

взятые из п. 47 предыдущей главы, так как на них не оказывает
никакого влияния положение начала различных систем.

Для дополнения кинематических предпосылок примем во внимание,
что в этой задаче удобно обратиться к основному уравнению момен-
тов в его общей форме (п. 17, гл. V), т. е. к уравнению вида

Л'+ы/ХЛ'+о/ХС = М,	(14)

при составлении которого предполагается, что центр моментов, дви-
жущийся с абсолютной скоростью v', выбран в точке касания О,
а производная К берется относительно стереонодальных осей (имею-
щих угловую скорость w'). Поэтому для дальнейшего полезно опре-
делить абсолютную скорость v' полюса О.

Для этой цели заметим прежде всего, что из того факта (отмечен-
ного в упомянутом п. 47 предыдущей главы), что оси, неподвижные
в теле, вращаются вокруг оси г относительно осей Ох'у'г' с угло-
вой скоростью <р, следует, что всякая материальная точка диска, сов-
падающая в рассматриваемый момент с точкой касания О диска
с плоскостью, имеет относительно осей Ох'у'г' скорость a<oi, так
что, обратно, скорость точки соприкосновения О относительно тела
будет равна —а®1. Но, вводя предположение о чистом качении, легко
понять на основании теоремы сложения скоростей, что это есть также
скорость о' точки О относительно неподвижных осей. Действительно,
эта абсолютная скорость v' определяется геометрической суммой
только что найденной относительной скорости и переносной скорости,
т. е. скорости относительно неподвижных осей той материальной
точки диска, которая в рассматриваемый момент совпадает с точкой
соприкосновения О, а так как эта скорость в силу допущенного
отсутствия скольжения равна нулю, то мы тотчас же заключаем, что

v' = — алл.	(15)
Заметим, что в последующем изложении мы будем принимать, что ф
не равняется тождественно нулю. Это оправдывается тем, что про-
тивоположное предположение привело бы к движению твердого тела
вокруг неподвижной точки, так как при этом скорость точки при-
косновения оставалась бы равной нулю.

8.	Предварительные замечания динамического характера. После
этих предварительных кинематических замечаний мы должны вычи-
слить, имея в виду основное уравнение (14), количество движения Q,
результирующий момент К количеств движения относительно точки О
и, наконец, результирующий момент Л1 внешних сил.

К выражениям векторов Q и К мы быстрее всего придем, если
возьмем производную на основании правил п. 15 гл. IV от живой
силы или, еще проще, применяя прямо формулы (29'), (30') того
же пункта, но для этого необходимо прежде всего отнести тело
к какой-нибудь неподвижной в теле системе осей. Имея в виду
какой-нибудь определенный момент времени, мы примем за непо-
движную в теле ту систему осей, которая в рассматриваемый момент
совпадает с Ox'y'z' и имеет поэтому, как это и требуется для нашей
цели, начало в точке, выбранной за центр приведения моментов.
Вместе с этой системой мы рассмотрим систему Gxyz, имеющую
началом центр тяжести G с координатами 0, a, z0 и оси, соответ-
ственно параллельные и одинаково направленные с осями х', у', z'.
Вследствие гироскопической структуры тела относительно оси г,
совпадающей с осью z, система Gxyz, как бы ни были внутри тела
направлены оси х, у, состоит из главных центральных осей инерции,
а соответствующие главные центральные моменты инерции тела отно-
сительно осей х, у оба равны Л; момент инерции относительно оси z
мы обозначим, как обычно, через С. Отсюда на основании теоремы
Гюйгенса (т. I, гл. X, п. 21) мы выводим, что моменты инерции
относительно осей х', у', z' определяются равенствами

tIj = Л-f-w (а2-}-го), B1 — A-j-mzl, Ct — С та, (16)
где т обозначает полную массу тела; с другой стороны, принимая
во внимание, что между координатами любой точки двух систем,
Ox'y'z' и Gxyz, имеют место соотношения

х' — х, у' =у -j- a, z' = z zQ

и что, так как G есть центр тяжести, статические моменты
относительно трех координатных плоскостей системы Gxyz будут
тождественно равны нулю; находим, что центробежные моменты
относительно системы Ox'y'z'— будут иметь следующие значе-
ния:

Л1 = »шг0, 5^=С1 = 0.	(17)

Здесь важно отметить, что выражения (16), (17) для моментов
инерции и центробежных моментов относительно системы, неподвиж-
ной в теле и совпадающей в какой-нибудь произвольный момент
времени с системой Ox'yfz', не будут зависеть от этого момента,
так что они в любой момент остаются в силе по отношению к тем
осям, которые мы приняли для построения системы Ox'y’z'.

Установив это, применим формулу (29х), (30') п. 15 гл. IV,
принимая во внимание, что так как в качестве осей проекций в ка-
кой-либо произвольный момент времени мы берем оси, связанные
с телом и совпадающие в этот момент с осями Ox'y'z', то проекции
и, v, w скорости поступательного движения тела, совпадающей
со скоростью точки О, при чистом качении тела равны нулю. Таким
образом, для проекций векторов Q и К мы получим выражения

— т (zoq — ar), Qv> — — mzQp, Qz< = тар-,

Кх, = A Ку' = Bpq — mazQr, Kzt = Ср- — mazpq,

где Au Вг, Ct обозначают моменты инерции (16); эти выражения
в силу замечания, сделанного выше, относительно величин (16), (17)
в любой момент остаются в силе по отношению к осям Ox'y'z',
хотя эти оси на самом деле являются подвижными относительно тела.

Наконец, остается определить только результирующий момент
относительно точки Q внешних сил. Эти силы сводятся к силе тя-
жести mg, приложенной в точке G, и к реакции опоры, которая
возникает в О. Реакция ничего не прибавляет к моменту М, благодаря
чему и оказывается удобным выбор центра моментов в точке сопри-
косновения. Поэтому имеем

М = — ОО X mgK,
где х обозначает единичный вектор оси С (для которого имеем
х& = 6).

I (18)

9.	Дифференциальные уравнения движения. Если спроектируем
основное уравнение моментов (14) на стереонодальные оси Ox'y'z'
и примем во внимание выражения (18), а также формулы (11), (12),
(13), (15), то для гироскопического твердого тела с круговым осно-
ванием получим уравнения

AiP4-q {C\r—Bi (г—?)} — mazo {q2—r(r—?)}==

= mg (z0 sin 9 — a cos 6),

Bp]— mazor-\- p {/Ij (r — <p) — Cp-ma3q }maz0 pq = 0,
Cjr — mazoq — (4t — Bt) pq — maz0 (r—<p)p = 0,

(19)
в которых А1В1С1 определяются через центральные моменты инерции
при помощи формул (16).

В случае диска достаточно, как мы знаем, положить za — О,
чтобы прийти к уравнениям

Aj> ~\~Ч {С1Г — Bi(r — <?} = — mag cos 6,
Bi4~\-p{AAr— ?) — Сгг+-та\} =0,
Cjr — (Лх — Bi)p9 = 0,

(19')

где, естественно, вместо формул (16) имеют место равенства

А^ — А-^та2, Br —A, Ct = С-\~ та^\	(16')

если речь идет о диске в собственном смысле (т. е. о диске, тол-
щиной которого можно пренебречь), то при С—2А имеем

А1==~ С-{-та2, ВХ=^С, С^С^та2. (16")

Уравнения (19) или (19') вместе с равенствами

р =9, <7 = ^ sin 6, г = cos 9,	(20)

вытекающими непосредственно из формул (12), (13), представляют
собой полную систему уравнений задачи, так как углы Эйлера 9,
<р, ф .определяются в функциях от времени на основании дифферен-
циальной системы (19), (20) или (19')> (20), а каждый из остальных
параметров, характеризующих положение твердого тела, определится
посредством двух дальнейших квадратур. Угол 9 между восходящей
вертикалью и гироскопической осью дает в любой момент* наклон
плоскости окружности С к плоскости опоры С = 0, а направление
касательной к окружности С в точке соприкосновения О с опорной
плоскостью определяется непосредственно углом ф. Что касается
положения этой точки, то достаточно вспомнить, что ее скорость
определяется формулой (15), чтобы получить соответствующие коор-
динаты а, р посредством двух квадратур из уравнений

а = — a«cosi!>, р=—oxpsinty,

(21)

в которых правые части являются теперь уже известными функциями
времени.

10.	Меростатические решения. В одном из следующих пунктов
(п. 16) мы скажем несколько слов об общем интегрировании диф-
ференциальной системы (19), (20), по крайней мере для случая диска.
В этом же пункте, основываясь на тех же уравнениях, мы изучим более
простой тип движений твердого тела гироскопической структуры
с круглым основанием, к которому мы придем, предполагая постоян-
ным угол наклона 9 плоскости окружности С к плоскости опоры,
т. е. полагая р = 6 == 0. Если обратимся прямо к более общим урав-
нениям (19), то из второго и третьего увидим, что при указанном
предположении останутся постоянными также q и г и что, обратно,
последние два уравнения будут тождественно удовлетворяться при
при р = 0, q — const, г — const. Поэтому речь идет о статических
решениях по отношению к аргументам 6, q и г.

Точнее, если примем во внимание равенства (20), то увидим, что
постоянными останутся также и <р, ф, тогда как первое из уравне-
ний (19) на основании (20) сведется к соотношению между постоян-
ными 6, <р, ф, из которого можно определить какую-нибудь одну
из этих величин, когда будут заданы две другие.

Наконец, если, отвлекаясь от движения точки соприкосновения О
по опорной плоскости, мы сосредоточим внимание только на ориен-
тировке системы Ox'y'z' относительно неподвижной системы, то дви-
жение сведется только к регулярной прецессии вокруг вертикальной
оси. Упомянутое только  что соотношение между 6, ?, ф, характери-
зующее эту регулярную прецессию, аналогично тому соотношению,
которое мы имели в случае регулярной прецессии тяжелого гироскопа,
закрепленного в одной точке (предыдущая глава, п. 37).

11.	Прямолинейное движение (точки соприкосновения). Обращаясь
к еще более частному случаю, посмотрим, возможно ли для нашего
твердого тела такое движение, в котором при постоянном угле 9
точка О на опорной плоскости описывает прямую линию. Для того
чтобы это имело место, необходимо и достаточно на основании
уравнений (21), чтобы, помимо 6 и <р, оставался постоянным также
и угол ф, а это, если возможно, равносильно предположению, что
регулярная прецессия, к которой сводится любое движение с посто-
янным углом нутации, становится просто равномерным вращением,
если отвлечься от движения точки О.

Предполагая постоянным угол ф, можно без ограничения общности
задать направление неподвижной оси 5 так, чтобы было ф — 0.
Далее, соотношение, которое согласно предыдущему пункту должно
быть между постоянными 9, <р, ф = 0 и которое получается из пер-
вого из уравнений (19) посредством подстановки в него значений
р — 0, 9 = 0, г = ?, получающихся при настоящих предположениях
из уравнений (20), приводится здесь к виду

zng (г0 sin 9 — a cos 9) = 0.

Отсюда следует, что неизменный угол наклона 9 определяется из
условия

Ш’Н?	(22)

а постоянная угловая скорость качения <р остается произвольной.
Уравнение (22) выражает то обстоятельство, что при движении
центр тяжести G остается на вертикали, проходящей через точку О,
или, другими словами, что твердое тело сколь угодно долго сохра-
няет то положение, которое было бы положением равновесия, если
бы точка О была неподвиж-
ной (фиг. 26).

Уравнения (21), принимаю-
щие здесь вид

а = — а<р, р = 0,
подтверждают, что точка О
действительно описывает пря-
молинейную траекторию с по-
стоянной скоростью, которую,
располагая величиной <р, мож-
но задать произвольно.

В случае диска (г0 = 0) уравнение (22) дает 6 = тг/2, т. е. диск
остается перпендикулярным к опорной плоскости; таким образом
оправдывается очевидная заранее возможность равномерного качения
диска в вертикальном положении вдоль прямолинейного пути (с про-
извольной угловой скоростью).

12.	Движение точки соприкосновения и центра тяжести в меро-
статических движениях диска. Обратимся к произвольному меро-
статическому движению, т. е. исключим для ф значение нуль и,
следовательно, для 0 значение, определяемое равенством (22).
Из постоянства ф следует, что ф = ф^-}-фо» так что, интегрируя
уравнения (21), получим

« = «о — «у sin (ф/-Но),
Ф

? = ₽о+вт cos (ф/4-Фо),
Ф

(23)

где а0, ро означают две произвольные постоянные. Таким образом,
мы видим, что точка соприкосновения О во время движения твердого
тела описывает на опорной плоскости окружность с центром в О0 (а0, р0)
и радиусом /?0 — а I <р/Ф I с угловой скоростью ф. Отметим, что то же
значение радиуса До можно получить также и более прямым путем,
замечая, что в рассматриваемых меростатических движениях, при
заданном отсутствии скольжения, должны получаться равные абсо-
лютные значения 1ф|, а\ <р| скоростей, с которыми точка сопри-
косновения движется соответственно по опорной плоскости и по
окружности С.

С другой стороны, в предположении постоянства угла наклона 9
очевидно, что гироскопическая ось во время движения описывает
конус вращения вокруг вертикали точки О0, так что центр тяжести Q
твердого тела описывает в свою очередь с той же самой угловой
скоростью ф окружность в горизонтальной плоскости, центр которой
находится на вертикали центра О0 окружности, описанной точкой О.
При определении радиуса R этой круговой траектории точки G
обратим прежде всего внимание на то, что он связан с линейной
скоростью <vG центра тяжести соотношением

г,2 Г 3	2

R ф =»<?;

далее, принимая во внимание, что количество движения Q равно ко-
личеству движения центра тяжести тч>е (гл. IV, п. 12), получаем,
пользуясь первыми тремя из выражений (18) и предполагая, что р = 0,

V& = (ar — zoq)\

Из полученных двух соотношений выводим

ar — zp?

Ф

в частном случае диска (z0 = 0) имеем

г
т

13.	Реакция- опоры. Благодаря выбору центра моментов в точке
соприкосновения О второе основное уравнение (14) оказалось незави-
сящим от неизвестной реакции опоры Ф, и потому из него можно
было определить все неизвестные величины задачи. После того как
найдено какое-нибудь решение уравнения (14), можно приступить
к определению соответствующей реакции, возвращаясь к первому
основному уравнению. Это уравнение, принимая во внимание соотноше-
ние Q — mvG (гл. IV, п. 12), можно написать в виде

т = — mgv. 4- Ф,	(24)

где дифференцирование относится к неподвижным осям.

Обращаясь непосредственно к меростатическому движению (пре-
цессионного характера в отношении ориентации), из уравнения (24)
увидим, что, так как центр тяжести описывает равномерно окруж-
ность (в горизонтальной плоскости), равнодействующая (—mgx-^-Ф')
будет направлена к центру. Поэтому, обозначая через вертикаль-
ную составляющую реакции Ф, направленную обязательно вверх
(N > 0), и через А — горизонтальную составляющую (трение), получим,
проектируя уравнение (24) сначала на вертикаль,

.N — mg;
таким образом, в меростатическом движении, как и в случае равно-
весия, нормальная реакция уравновешивает вес тела. Если затем
спроектируем уравнение (24) на горизонтальную плоскость, то найдем

отсюда, вследствие того, что ц(? = /?|4,|, будем иметь
A = mR^.

С найденным для А выражением mv^R можно связать замечание,
по существу аналогичное замечанию, указанному в п. 4.

В предыдущем исследовании трение входило просто, как касатель-
ная реакция плоскости, что объясняется тем, что здесь достаточно
только, чтобы оно препятствовало скольжению. Но в действитель-
ности, так как при отсутствии скольжения в любой момент скорость
точки окружности С, совпадающей в этот момент с точкою О, будет
равна нулю, требуется также, чтобы удовлетворялся основной
эмпирический закон статического трения A^fmg, так что должно быть

(25)

где / обозначает коэффициент трения опорной плоскости.

Отсюда ясно, что на поверхности с заданным коэффициентом
трения f рассматриваемые здесь меростатические движения физически
возможны только при условии, что Vg/R достаточно мало. Таким
образом, необходимо, чтобы, помимо угла наклона 6, была задана
скорость ve центра тяжести, или радиус R его траектории, причем
или этот радиус должен быть достаточно велик, или скорость vG
должна быть достаточно мала. Так как случай диска, соответствую-
щий предположению z0 — 0, представляет собой схему, хотя и грубую,
велосипеда, то понятно, что и для этого случая имеет силу анало-
гичное правило, которое подтверждается на опыте.

К этому заключению можно прийти даже более простым способом,
обращаясь к теории относительного движения* 2), которая приводит
приближенным путем к так называемому условию динамического
равновесия, принадлежащему Бурле2).

14.	Замечания общего характера. Конечно, в случае любых реше-
ний для физической осуществимости движения чистого качения (как
в случае диска, так и в более общем случае тела с круговым осно-
ванием) требуется, чтобы реакция плоскости подчинялась закону

г) Bisconcini, Esercizi е complement} di Meccanica tazionale, Milano,
Tamburini, 1927, стр. 377—380, 467—471.

2) Bourlet, Traitc des bicycles et bicyclettes, Paris, Gauthier — Villars,
1898, т. I, стр. 49.
статического трения. А это приводит (см. упражнение 6) к неравен-
ству, в которое входит коэффициент трения / и характеристики со-
стояния движения твердого тела.

Некоторые авторы пользуются неточным выражением абсолютно
шероховатая опора для обозначения того абстрактного случая,
в котором всякое скольжение заранее исключается. На самом деле,
сколь бы ни был велик, т. е. близок к единице, коэффициент тре-
ния, всегда существуют такие состояния движения (в примере, который
приводит к соотношению (25), это будут такие состояния движения,
когда VglgR > 1), которые не совместимы с чистым качением, при
условии, что тело просто опирается на горизонтальную плоскость.

15.	Устойчивость прямолинейных движений. Сравнительные заме-
чания. Применим к системе (19) метод малых колебаний (гл. VI, § 6),
рассматривая колебания около меростатического решения а, соответ-
ствующего прямолинейному движению точки соприкосновения и опре-
деляемого (п. 11) постоянными значениями

/7=0 = 0, q = sin 0 = 0, 0 = arc tg — , г,
го

где на основании последнего из соотношений (20) г совпадает
с постоянным значением ср1). В любом решении а, близком к реше-
нию а, мы можем рассматривать р и q, а следовательно, и ф как
количества первого порядка, полагая в то же время

0 = 6 т,

где т рассматривается также как величина первого порядка. При
этих условиях из того же соотношения (20), по крайней мере до
членов второго порядка, получим

г — © = q etg 0.

Последнее из уравнений (19), так как pq и (г — ©)/7 будут вели-
чинами второго порядка, интегрируется непосредственно и для
Любого о, близкого к а, дает

где г0 обозначает постоянную (мало отличающуюся от г).

!) Условие устойчивости, к которому мы придем при помощи метода
малых колебаний, действительно также и в строгом смысле. См. G. V г а п-
ceanu, Sulla stabilita del rotolaraento di un disco, Rend. Acc. Lincei, т. XXXIII,
lOsem. 1924, стр. 383—388.
Полагая теперь в двух первых уравнениях (19) 6 = р = т,
г = r0-\- maz^jC^ и г0 — ® == q ctg9, по крайней мере с точностью
до членов второго порядка, получим два уравнения

А Г- 4- (С -f- mazoctgb)roq = mg (z0 cos®a sinti)?, |

B2q — (C\ — та1) rot = 0,	J

где для краткости положено

В2 = Вг — тРа^ус^.

Второе уравнение интегрируется непосредственно и после инте-
грирования принимает вид

B2q — (С, — та1) гот = е„

где е, обозначает постоянную величину первого порядка.

После этого, исключая q из первого из уравнений (26), придем
к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с постоян-
ными коэффициентами

•t -j~ = с,	(27)

где для краткости положено

(Cj + maz0 ctg 0) (Cj — та2) г2 — mgjB2 (z0 cos 6 -f- a sin 6)

(Ct + maza ctg 6) гоег

Общий интеграл уравнения (27), если предположить, что k ф 0,
выражается, как известно, равенством

где есть общий интеграл соответствующего однородного уравнения

~4-fc = 0;

по хорошо известному виду его (ср. т. I, гл. И, пп. 36, 44) легко
заключить, что мы будем иметь устойчивость или неустойчивость
в зависимости от того, будет ли k положительным или отрицательным.

Если мы хотим обратиться к теории характеристических показа-
телей, то достаточно принять во внимание, что характеристическое
уравнение будет иметь здесь вид

•2-2 4-А; = 0.
Если затем из выражения для k мы исключим г0, вводя в него
квадрат v'* = <z2r2 линейной скорости точки О, то условию устойчи-
вости k > 0 можно будет придать вид

ma2gB^ (z0/:os 6 + a sin 6)

(Q mazo ctg 0) (Ci — ma2)

(28)

В случае диска в собственном смысле (полного или неполного),
при прямолинейном движении будем иметь 0 = к/2. Что касается
структурных постоянных, то имеем

z0 = 0, В2 = В[= у С, = C-J- та?,

где С обозначает осевой момент инерции, так что условие (28)
принимает вид

Этот результат позволяет объяснить причину того эксперимен-
тального факта, что как для гироскопического тела с круговым
основанием, так, в частности, и для диска состояние равновесия,
соответствующее предположению, что центр тяжести находится на
вертикали, проходящей через точку опоры, выше этой точки, будет
неустойчивым, тогда как качение вдоль прямой, которое при малых
скоростях все еще будет неустойчивым, становится устойчивым,
когда скорости достаточно велики [6].

Приложим это правило к конкретному случаю. Заметим прежде
всего, что для полного однородного диска имеем С = та?/2, тогда
как для кольца (обруча) С = та?, так что условие устойчивости
для обоих случаев выражается соответственно неравенствами

/Е .	1	/2 >	1

f >^aS, v >^ag.

Заметим, между прочим, что в случае обруча легче достигнуть
устойчивости, чем в случае полного диска (в том смысле, что для
достижения устойчивости достаточна меньшая скорость). Например,
если радиус а равен 30 см, то приближенно будем иметь

•о' > 1 м/сек, v' > 0,86 м/сек.

Колесо велосипеда можно рассматривать _ как промежуточный слу-
чай между двумя указанными, так что для обеспечения устой-
чивости достаточно скорости около 1 м/сек (3,6 км в час).
Система, составленная из велосипеда и велосипедиста, конечно,
очень далека от простого катящегося диска (или обруча),
тем не менее найденное выше значение может служить для указания
порядка величины минимальной скорости, которая требуется для
того, чтобы устойчиво держаться на велосипеде; как каждому
хорошо известно, мы имеем здесь приближенное согласие с повсе-
дневным опытом [’].

Заметим, что тем же самым приемом, только с более сложными
вычислениями, можно было бы исследовать вопросы устойчивости,
относящиеся к меростатическим решениям, которые соответствуют
равномерному качению вдоль круговой дорожки, обладающему пре-
цессионным характером ’).

Наконец, здесь уместно с целью сравнения добавить некоторые
замечания, в которых для простоты мы будем иметь в виду случаи
диска. Заметим прежде всего, что если бы у диска, катящегося по
горизонтальной плоскости, мы отняли одну степень свободы, а именно
ту, которая соответствует параметру вынуждая точку соприкос-
новения двигаться по заданной прямой, то пришли бы к уже рас-
смотренной в виде примера в п. 52 гл. V голономной системе
с двумя степенями свободы. Как уже тогда отмечалось и как это
ясно из интуитивных соображений, динамически все еще возможно
меростатическое движение, в котором диск равномерно с произвольной
скоростью катится, оставаясь вертикальным, однако такое движение
(как было указано в п. 52 гл. V) существенно неустойчиво так же,
как и аналогичное состояние равновесия.

После этого предварительного замечания сопоставим три следую-
щие динамические задачи, все относящиеся к тяжелому диску,
опирающемуся на горизонтальную плоскость: 1) диск (с одной сте-
пенью свободы), закрепленный в точке его соприкосновения О
с плоскостью и свободно вращающийся вокруг касательной Ох таким
образом, что он может составлять любой угол с горизонтальной
плоскостью; 2) диск (с двумя степенями свободы), который, кроме
вращения вокруг касательной Ох, может свободно катиться вдоль
этой прямой; 3) диск (неголономная система с со3 виртуальными
перемещениями), который может свободно катиться по плоскости.

В случае 1) (сложный маятник) для диска возможно равновесие
в вертикальной плоскости, проходящей через касательную Ох, но
это состояние равновесия существенно неустойчиво; и, как мы только
что напомнили, неустойчивость сохраняется и в случае 2), как бы
ни была велика скорость качения. Наоборот, в случае 3), в котором
без качения мы имели бы неустойчивость по отношению к двум
степеням свободы (т. е. как по отношению к 0, так и по отноше-
нию к ф), достаточно, чтобы качение сделалось достаточно быстрым,
для того чтобы соответствующее меростатическое движение стало
устойчивым.

I) См., например, Routh, Dynamics of a system of rigid bodies, ч. П,
§ 244; Gray, Gyrostatics and rotational motion [London, Macmillan, 1918],
стр. 388—391 или же J. Reveille, Dynamique des solides [Paris Balliere,
1923], стр. 333—338.
Таким образом, мы имеем простой и наглядный пример того
обстоятельства, отмеченного в общем случае в п. 27 гл. VI, что
появление гиростатических членов (в нашем случае это происходит
благодаря качению) может стабилизировать движение только при
четном числе степеней неустойчивости.

16.	Об интегрировании дифференциальных уравнений движения
диска. В п. 9 мы видели, что в общем случае определение движения
тяжелого гироскопического тела с круглым основанием, опираю-
щегося на горизонтальную плоскость, приводится, если не считать
двух дальнейших квадратур, к интегрированию системы дифферен-
циальных уравнений (19). Для диска (zo = O) система (19) должна
быть заменена более простой системой (19'); как было сказано в п. 10,
мы предполагаем здесь исследовать аналитическую природу задачи
интегрирования, к которой приходим в этом последнем случае.

Возьмем снова второе и третье из уравнений (19'), которые, если
принять во внимание тождества (16'), можно написать в виде

А/-}- {(Л — С) г — А<?} р = 0,
(С-{- та2) г — nia2pq = 0.

(29)

Ограничиваясь рассмотрением одной фазы движения, в которой
угол Эйлера 0 (угол наклона диска к плоскости опоры) будет
изменяться всегда в одном и том же направлении, так что произ-
водная 0 остается отличной от нуля, мы можем принять 0 за незави-
симую переменную вместо t, тогда, разделив уравнения (29) на
р — о, что возможно в силу допущенного предположения, и учиты-
вая, что на основании третьего из уравнений (20) имеем

г—® = ф cos в = <7 ctg 0,

мы придем к следующим двум уравнениям:

xg + ^ctgO-Cr = 0, |

dr	1	(29')

(Ста2) — ma2q = 0. I

Отсюда, дифференцируя второе уравнение по 0 и исключая при
Помощи уравнений (29) q и dqfdd, получим для неизвестной проек-
ции г угловой скорости дифференциальное уравнение второго порядка
(при независимой переменной 0)

/. . С \ fd2r . , dr\	С

V + та2) \d№ + ctg 8 йв/	А Г ~ °’

которое, если положить

cos2 0 = и,
принимает вид

,,	, d2r I 1 /, о -.dr Ста?	_	,_л.

«(1 ---«)	+ o' (1---3zz) д-. т ;------77 Г = 0.	(30)

4	7 du2	1 2 v ’ du	4А (C-f- та*)	' 1

Мы пришли, таким образом, к линейному уравнению второго
порядка, представляющему собой известное в анализе гипергеометри-
ческое уравнение Гаусса1).

Интегрирование уравнения (30) дает угловую скорость г диска
в функции от 9, после чего все сводится к определению 0 в функ-
ции от времени, так как, зная 0(£), мы сможем найти аналогичное
выражение для г, а на основании первого из уравнений (20) и вто-
рого из уравнений (29) найдем и выражения для р и q; с другой
стороны, после вычисления р, q и г в функциях от времени, второе
и третье из уравнений (20) дадут © (f) и ф (0 посредством двух
квадратур. Для определения 0 (/) можно было бы обратиться к пер-
вому из уравнений (19'), до сих пор еще не использованному. Вы-
годнее, однако, взять в качестве исходного уравнения хорошо из-
вестный первый интеграл наших уравнений движения, а именно
интеграл живых сил.

Действительно, мы имеем здесь дело с твердым телом, нахо-
дящимся под действием неголономной, но не зависящей от времени
связи, причем активные силы сводятся к силе тяжести, которая при
т — 1 имеет потенциал — gCe, где Се обозначает третью абсолютную
координату центра тяжести, т. е. asinO. Далее, живая сила диска
на основании теоремы Кёнига и известного выражения живой силы
относительно центра тяжести определяется равенством

2 Т =	+ А (р2 + q2) 4- Сг2

или же в силу выражений (18) при z0 — 0

2 Т — (А 4-	Р3 4* Aq2 4- (с+/иа2) г2'»

поэтому интеграл живых сил принимает вид

(4 4- та2) р2 4- Aq2 -ф- (С 4* та2) г2 — 2mag siп 0 = const,

и так как имеем р == 0, а г и q, как это видно из уравнений (29'),
могут быть (в результате интегрирования гипергеометрического урав-
нения) выражены через 0, то последнее уравнение дает t в функции
от 0 посредством одной квадратуры.

§ 3. Тяжелое тело, ограниченное поверхностью вращения,
на горизонтальной плоскости

17.	Геометрические замечания. К другой известной задаче, обоб-
щающей как ту, так и другую из задач, исследованных в §§ 1 и 2,
мы придем, рассматривая твердое тело, ограниченное поверхностью

!) См., например, В. В. С т е п а н о в, Курс дифференциальных уравнений,
1938, стр. 237 — 241. (Прим, ред.)
вращения, которое движется исключительно под действием силы
тяжести, опираясь на горизонтальный твердый пол.

Обратимся сначала к некоторым предварительным геометрическим
соображениям. Пусть мы имеем некоторую плоскую кривую С
(фиг. 27), отнесенную к прямоугольным осям Gyozo, причем за по-
ложительное направление вращения вокруг точки G плоскости _уого
принимается то, которое идет от оси у0 к оси z0 (через прямой угол).«
Обозначим через у0, z0 коорди-
наты произвольной точки О кри-
вой, через QP — перпендикуляр,
опущенный из G на касательную
в точке О, через 0 — угол оси Gz0
относительно направленной пря-
мой GP и через h — расстояние
(положительное) GP. Относя, если
необходимо, наши рассуждения
к надлежащим образом ограничен-
ной дуге кривой С, мы можем при-
нять угол 0 за параметр, пригодный

для определения положения произвольной точки О кривой, благо-
даря чему у0, zQ и h можно рассматривать как однозначные функции
угла 0, определяемые геометрической природой кривой С. Далее,
так как направляющие косинусы касательной в точке О пропорцио-
нальны соответствующим значениям производных у' г'й функцийу0, z0
по 0, а направляющие косинусы полупрямой GP, параллельной нор-
мали, равны sin 0, cos0, мы для произвольной точки О будем иметь
y^sin0 4-^gCOsO = 0.	(31)

С Другой стороны, проектируя вектор GO на направление GP,
получим
у0 sin 0 4- z0 cos 0 = h.	(32)

Отсюда, принимая во внимание равенство (31), в результате диффе-
ренцирования по 0 получим
у0 cos 0 — z0 sin 0 ~ h'.	(32')

Левая часть этого равенства, взятая с обратным знаком, пред-
ставляет собой проекцию вектора GO на направленную прямую, об-
разующую с осью уй угол к — 0. Поэтому — h' есть абсцисса точки Р
относительно точки соприкосновения О, причем положительным на-
правлением абсциссы будет направление, указанное на фигуре.

Решая оба последних уравнения относительно у6, z0, получим

у0 = h sin 0 4- h' cos 0,1

I	)

zQ = h cos 0 — ft sin 0; J

14 Зак. 2368. T. Леви-Чивита и У. Амальди
эти равенства представляют собою, если предполагается известным
выражение h через 6, параметрические уравнения кривой С (или, по
крайней мере, той ее дуги, которую мы условились рассматривать)
в функции параметра 9.

Так, например, если С есть дуга окружности с радиусом г,
имеющей центр Q на оси Gz0 и именно в точке с координатами О, р,
то, проектируя ломаную GQO на GP, получим

h = р cos 0 -j- е,	(34)

откуда следует

h' = — р sin 6;	(35)

достаточно подставить эти значения h. и h! в уравнения (33), чтобы
иметь параметрические уравнения дуги окружности. Необходимо
заметить, что уравнения (33) остаются в силе и в предельном случае,
когда при е, стремящемся к нулю, дуга окружности сводится к точке.
Возвращаясь, наконец, к общему случаю, заметим, что если рас-
сматривается система осей Оу'г', соответственно параллельных
осям Оуо^о и направленных в обратную сторону, то у& zQ можно
истолковать как координаты точки G относительно новой системы.

18.	Случай твердого тела с круглым основанием (и, в частности,
случай диска). Если у0, z0, вместо того чтобы изменяться в зависи-
мости от угла 6, остаются постоянными (положительными) при из-
менении 6, то мы, очевидно, имеем случай твердого тела с круглым
основанием, соприкасающегося с плоскостью в некоторой, вполне
определенной относительно осей Gy^z0 точке; при движении тела
точка касания перемещается вдоль окружности, неподвижной в теле
с радиусом а— у0. Для диска, кроме того, имеем еще го = О. Во
всяком случае всегда остаются в силе уравнения (31), (32) и другие,
установленные ранее, формулы.

19.	Система отсчета для тела вращения. После этих предвари-
тельных замечаний обратимся к телу вращения вокруг оси г, имею-
щему по отношению к этой оси гироскопическую структуру, что
обязательно будет иметь место, если симметрия относительно оси г
будет не только геометрической, но также и материальной; предпо-
ложим, что тело может свободно двигаться, опираясь на горизон-
тальную плоскость я. Если О есть точка, в которой в некоторый
момент происходит соприкосновение между телом и опорной плос-
костью, a G есть центр тяжести твердого тела, необходимо лежащий
на оси симметрии z, то плоскость меридиана Ог, проходящая через
точку соприкосновения, обязательно будет вертикальной, как плос-
кость, перпендикулярная к касательной в точке О к параллели твер-
дого тела, лежащей в плоскости я.

Для постановки задачи о движении рассматриваемого нами тела
вращения введем и здесь три системы осей: систему (неподвижную)
QfyC, плоскость которой совпадает с опорной плоскостью и ось С
(вертикальная) направлена вверх, систему Gxyz, неподвижную в теле,
в которой, ограничивая, если необходимо, наши исследования под-

ходящим промежутком времени, будем предполагать ось г (гироско-
пическую для твердого тела) направленной вверх от опорной плос-
кости, и, наконец, систему Ох'у'г', которую будем называть также
стереонодальной, поскольку мы предполагаем, что ось Ог' парал-
лельна Ог и ось Ох' представляет собой касательную к параллели
твердого тела, проходящей через точку О, и, следовательно, парал-

лельна линии узлов системы Охуг от-
носительно неподвижной системы.
Отсюда следует, что ось Оу' лежит
в вертикальной меридианной плос-
кости OGz и перпендикулярна к Gz.

Пересечение поверхности тела
с этой вертикальной плоскостью OGz
дает как раз кривую, изображенную
на фиг. 28 предыдущего пункта,
которую мы воспроизводим здесь
(фиг. 28), упраздняя оси Оуйг0,

теперь уже бесполезные; заметим, что первую стереонодальную ось
Ох' надо полагать перпендикулярной к плоскости фигуры и напра-
вленной так, чтобы система Ох'у'г' была правой.

Рассмотренный в предыдущем пункте угол 0 является здесь
третьим углом Эйлера (или углом нутации) системы, неподвижной
в теле (й также углом нутации стереонодальной системы), относительно
неподвижной системы; координатами же центра тяжести G относительно

стереонодальных осей будут 0, у0, г0, где у0, г0 суть функции угла
0, определяемые уравнениями (33) (п. 17), если при этом в качестве
функции h (0) берется функция, соответствующий меридианной кривой

рассматриваемого здесь твердого тела вращения.

Заметим, наконец, что гироскопическое тело с круглым основа-
нием (п. 18) представляет собой предельный случай рассмотренного
здесь тела вращения, когда при наличии острого кругового ребра
соприкосновение с опорной плоскостью может происходить только
в точках некоторой окружности. В этом случае у0, гл, очевидно,
будут постоянными (т. е. не зависящими от 0).

20.	Движение тяжелого твердого тела вращения в случае отсут-
ствия трения. Каковы бы ни были силы, действующие на твердое
тело, движение его и в этом случае определяется, как обычно, ос-
новными уравнениями. Ограничиваясь, как было сказано вначале,
случаем, когда приложенной силой является исключительно сила
тяжести, мы покажем прежде всего, что в том случае, когда опорная
плоскость абсолютно гладкая, задача может быть сведена к квад-
ратурам.
Из первого основного уравнения

^==*>	(36)

вследствие того, что результирующая сила R, равно как и ее соста-
вляющие (вес и реакция опоры), вертикальна, мы видим, что гори-
зонтальная составляющая производной dQjdt будет все время равна
нулю; поэтому горизонтальная составляющая количества движения Q
будет постоянна, а следовательно, на основании тождества Q — mvG
(гл. IV, п. 12) будет постоянна и горизонтальная составляющая ско-
рости v(, центра тяжести. Таким образом, при отсутствии трения
горизонтальная проекция Р центра тяжести движется прямолинейно
и равномерно.

Рассмотрим сначала случай, когда эта проекция остается непо-
движной и примем ее за начало 2 неподвижных осей. Если обозна-
чим через N нормальную реакцию ороры. (представляющую собой,
благодаря отсутствию трения, полную реакцию) и вспомним, что
высота центра тяжести есть Л, то, проектируя уравнение (36) на
вертикаль С, мы будем иметь скалярное уравнение

mh — — mg N,	(36')

которое вследствие того, что Л есть известная функция от 0, даст
реакцию для любого момента времени, как только удастся опреде-
лить параметр 6 в функции от времени.

Возьмем для этой цели второе основное уравнение, которое, если
за центр моментов принять центр тяжести, принимает в этой случае
свой наиболее простой вид

=	(37)

обозначим, как обычно, через А и С главные моменты инерции
(экваториальный и осевой) твердого тела относительно центра тяжести
и через р, q, г — проекции угловой скорости <в твердого тела на
стереонодальные оси Ox'y'z' или, что все равно, на оси Gxyz,
с началом в центре тяжести и одинаково направленными с осями х', у', z'
(эта система Gxyz, как бы ни были расположены в теле оси х, у,
всегда состоит из главных осей инерции). Так как линии действия
силы тяжести и реакции пересекают ось г, то уравнение (37) после
проектирования на эту ось, как и в случае тяжелого гороскопа, дает

Сг = О,

откуда и следует постоянство проекции угловой скорости г, т. е.
первый интеграл г = г0.
Далее, вместо того, чтобы проектировать уравнение. (37) на эква-
ториальную плоскость, мы обратимся к интегралам живых сил и мо-
ментов относительно вертикали

T—U = E, Kt = c,	(38)

которые, очевидно, существуют также и в этом случае. Для того
чтобы написать их в явной форме, заметим, что потенциал, если
предположить его равным нулю в опорной плоскости, определяется
равенством

U — — mgh\

с другой стороны, если, как обычно, обозначим через f2, f3
направляющие косинусы вертикальной оси С относительно системы
осей Ox'y'z', то будем иметь

Т = ± mh* +1 (А [р2 + g2J ц_ Сг^,

К^ = А (ръ +	+ Су3г0.

Теперь f1 = 0, f2 — sin в, 73 = cos0 и при заданной гироскопической
структуре твердого тела относительно этой стереонодальной системы
будут иметь место уравнения (20) п. 9, так что, рассматривая h как
функцию от t через посредство 0, обоим первым интегралам (38)
можно придать вид

б2 (Д + mh"*) + A sin2 062 + 2mgh = Е,	(39)

Аф sin2 0 Cr0 cos 6 = с.	(40)

где для краткости положено 2Е — Cr% — Ev Достаточно исключить
из этих уравнений чтобы видеть, что угол нутации 0 опреде-
ляется в функции от времени уравнением известного типа

О2 = ф(0),	(41)

которое, как мы уже знаем, интегрируется в квадратурах; после
этого на основании уравнений (20) посредством квадратур опреде-
ляются все остальные неизвестные величины задачи.

Заметим, без доказательства, что всякий раз, как высота h центра
тяжести будет рациональной функцией от sin 0 и cos 0, квадратура
при интегрировании уравнения (41) сведется к гиперэллиптической,
если за неизвестную функцию примем tg 0/2; таким, в частности,
будет случай, когда h выражено формулой (34), которая справедлива
для обыкновенного волчка как в том предельном случае, когда он
опирается на плоскость в одной точке (е = 0), так и в том случае,
когда его основание представляет собой полусферу.

Как бы то ни было, при всяком движении твердого тела,
Когда проекция Р центра тяжести на опорную плоскость остается
неподвижной, гироскопическая ось z, в то время как проходящая че-
рез нее вертикальная плоскость вращается вокруг вертикали, совершает
периодическое нутационное движение между двумя крайними значе-
ниями углов и 02, представляющими собой простые нули функции
Ф(9) (если бы начальные условия соответствовали двойному нулю
функции Ф (0), то мы имели бы снова движение прецессионного
характера).

21.	Перейдем теперь к случаю, когда проекция Р центра тяжести
на опорную плоскость не остается неподвижной, а движется прямо-
линейно и равномерно. В этом предположении систему PEjUjCi
с началом в Р и осями, параллельными неподвижным осям 5, ц, С и
одинаково направленными с ними, можно рассматривать как галилееву
систему, так что относительно нее остаются в силе основные уравне-
ния в представленной в предыдущем пункте форме. Поэтому можно
сказать, что относительно этих новых осей опорная плоскость на-
ходится в прямолинейном и равномерном поступательном движении,
противоположном действительному движению точки Р; но так как
эта плоскость по предположению абсолютно гладкая, то ее движе-
ние никоим образом не влияет на реакцию в точке О; поэтому отно-
сительно осей	остаются в силе все заключения и рассужде-

ния предыдущего пункта.

22.	Действие трения. После этого первого схематического раз-
бора задачи, имеющего чисто теоретический характер, мы рассмо-
трим ее снова в виде, лучше соответствующем действительности,
принимая во внимание трение.

Чтобы обнаружить наиболее существенные обстоятельства, нет
необходимости давать полную явную форму уравнениям движения.
Достаточно спроектировать основное уравнение моментов на верти-
каль С и на гироскопическую ось z твердого тела. Для того чтобы
сохранить для этого уравнения его более простой вид,(37), удобно
также и здесь принять за центр моментов центр тяжести, благо-
даря чему момент веса будет равен нулю. Поэтому момент М све-
дется к моменту реакции, которая в этом случае наряду с нормаль-
ной составляющей будет иметь и касательную составляющую (сила
трения). Обозначая через 3, Н, Z проекции реакции (полной) Ф на
стереонодальные оси Ox'y'z' и принимая во внимание, что коорди-
наты центра моментов G равны 0, _у0, г0, мы найдем для проекций
момента М = ОО X Ф на оси х', у', г' и на вертикаль С выраже-
ния

AIx’ == ZqH---Му' =	2'оС'> Мгг Уо&1

==	+ foMy' +y3/W«z,
последнее из которых, если принять во внимание предыдущие три
равенства, = О, f3 = sin 0, f3 = cos 6, а также уравнение (32') п. 17,
принимает вид

Af, = (yQ cos 0 — z0 sin 6) 3 = h"S.

После этого, проектируя основное уравнение (37) на вертикаль
(неподвижную) С и на гироскопическую ось г, мы получим уравне-
ния

Х7 = /г'Е, Сг =j/0E;

исключая Е, приходим к уравнению

УдКг — Ch'г —О,	(42)

где, конечно, вместо у0 надо подставить, его выражение через 0,
получающееся из первого из уравнений (33); для остается еще
справедливым выражение, получающееся из левой части уравне-
ния (40), если заменить в нем г0 на г, так что имеем

/<, = sin2 0 -ф- Cr cos 0.	(43)

До тех пор пока не сделано никакого определенного предполо-
жения о форме тела, т. е., по существу, о виде функции Л (0),
уравнение (42) не может быть проинтегрировано непосредственно.
В случае волчка с округленным основанием (ножка, оканчивающаяся
полусферой) имеем (п. 17)

h = р cos 0 + е, h'~ — psinO, yo=ssin0,

так что уравнение (42), если предположить, что sin0>O (т. е.
если исключить случай, когда ось волчка расположена вертикально),
принимает непосредственно интегрируемую форму

е/<, -f- Ср г = 0.

Интегрируя от начального момента /0 до любого момента t и
пользуясь обычным значением символа конечного приращения, мы
получим выражение

sA^+QAr = 0,	(44)

которое приводит к замечательному заключению, когда речь идет
о волчке, приведенном в очень быстрое вращательное движение и
предоставленном самому себе на горизонтальном полу под некото-
рым, не равным нулю, углом 0О, но без прецессионной скорости
(ф0 = 0). Для промежутка времени, в течение которого угловая ско-
рость ф остается ничтожной по сравнению с г, на основании уравне-
ния (43) приблизительно будем иметь

= О cos 9,
так что уравнение (44) приведется к некоторому соотношению между
одновременными конечными приращениями величин г и 9

eA(rcos0) =— р Ал	(44')

Так как мы допустили, что точка соприкосновения ножки волчка
с плоскостью не лежит на оси (0o5gO) и что, с другой стороны,
движение твердого тела мало отличается от простого вращения
с значительной угловой скоростью около оси Gz, то очевидно, что
трение, действуя в любой момент в направлении, прямо противопо-
ложном скорости точки волчка, приходящей в соприкосновение с пло-
скостью, стремится уменьшить величину |г | угловой скорости вра-
щения. Если предположим для определенности г > 0, то будем
иметь Аг < 0 и потому на основании соотношения (44') будет

A(rcos6)>0;	(45)

отсюда, так как произведение г cos 0, как доказано, возрастает,
а первый множитель убывает, мы заключаем, что в моменты, непо-
средственно следующие за начальным, cos 6 возрастает, т. е. угол
нутации 0 начинает убывать. Таким образом, если имеют место ука-
занные выше начальные условия, то влияние трения в начале дви-
жения проявляется в том, что ось ^волчка приближается к вер-
тикали, направленной вверх {стремится выпрямиться).

Для того чтобы иметь представление количественного характера
о соотношении между этим выпрямлением оси и одновременным
замедлением вращения вокруг этой оси, мы применим соотноше-
ние (44') к числовому .случаю. Для этой цели заметим сначала, что
для относительной потери угловой скорости

из формулы (44') мы получим выражение

__е (cos 6 — cos 0О).

~~ е cos 6 -|— р ’

поэтому полное выпрямление оси (0 — 0) сопровождается относитель-
ной потерей скорости

_ г (1 — COS 0п)
е + р

Если, например, предположим е = 3 мм; р — 5 см, 0О = 45°, то
приблизительно найдем

Х = 0,014.

Мы видим, таким образом, что явление, происходящее от трения
об опорную плоскость, будет резко бросаться в глаза, потому что
при выпрямлении волчка угловая скорость испытывает почти неза-
метное уменьшение: немного бодьпщ одной сотой его начальной
величины,
23.	Дифференциальные уравнения движения в случае чистого каче-
ния. В заключение, возвращаясь к случаю твердого тела вращения
с каким угодно меридианным сечением, обладающего гироскопиче-
ской структурой, приведем здесь в явном виде уравнения, опреде-
ляющие его движение, предполагая, что это движение происходит
без скольжения.

В этом случае, так же как и в случае диска или тела гироско-
пической структуры с круглым основанием, закон движения вполне
определяется вторым основным уравнением, если только за центр
приведения в любой момент принимается та точка твердого тела,
которая в этот момент совпадает с точкой соприкосновения тела
с плоскостью. Вследствие этого автоматически исключается неизве-
стная реакция Ф и основное уравнение моментов принимает вид
(гл. V, п. 17)

/Г-f- о»' X X Q — — OQ'X.mgv.,	(46)

где о>' обозначает угловую скорость стереонодальной системы Ox'y’z',
относительно которой взята производная К, а ч>' обозначает скорость
(абсолютную), которую в любой момент имеет точка соприкоснове-
ния О. Если примем во внимание, что координаты центра тяжести
суть 0, у0, г0, то’ для моментов инерции и моментов девиации (центро-
бежных моментов) относительно стереонодальной системы найдем
выражения

Ai = A-}-m(yo-}-Zo), Bj^A-j-mzo, = С-^-туо,

Ai = myoZo, Bi = Ci = 0,

формально аналогичные выражениям (16), (17) п. 18, но с тем суще-
ственным различием, что здесь у0, z0 более уже не являются посто-
янными, а зависят согласно уравнениям (33) от 0 и, следовательно,
от времени.

Отсюда, применяя, как в п. 8, общие формулы (29'), (30')
п. 15 гл. IV, найдем составляющие векторов Q и К в виде

Qx' = т (zoq —уйг), Qy- = — mzop, Qs> — туор,

Кх’ = Atp, КУ' - В fl — myozor, KZ' = Cfl—my^fl.,

С другой стороны, для того чтобы иметь выражение абсолютной
скорости ч)' точки О (центра моментов), заметим прежде всего, что
ее можно рассматривать так же, как скорость самой точки О, отно-
сительно осей, неподвижных в теле. Достаточно вспомнить теорему
сложения скоростей и принять во внимание, что на основании
предположения о чистом качении переносная скорость точки О равна
нулю.	__

Заметив это, введем временно систему О хуг с началом в точке Q
Я С направлениями осей такими же, как и в стереонодальной систем?
Ox'y'z', т. е. с единичными векторами /, J, k, и примем во внима-
ние, что на основании теоремы сложения скоростей скорость v'
точки О относительно осей, неподвижных в теле, можно рассматри-
вать как сумму скорости точки О относительно вспомогательных
осей G х yz vt переносной скорости точки О (предполагаемой
неизменно связанной с этой системой) относительно осей, неподвиж-
ных в теле. Так как координаты точки О относительно Gxyz
равны 0, —_у0, —г0 (где _у0, z0 означают, как обычно, известные
функции от 9), то имеем GO=— (yoj -j- zok), и, следовательно,
если напишем р вместо 0 (в силу первого из равенств (20)), то
получим

< = —

Так как, далее, система, неизменно связанная с телом, вращается
относительно вспомогательной системы с угловой скоростью yk
и, следовательно, вспомогательная система вращается относительно
системы неизменно связанной с телом, с угловой скоростью— 's>k,
то имеем

0- = — <sk X GO — —У&>1',
складывая два последних равенства, получаем

У = — yoii—р (y'Qjzok).

Остается, наконец, рассмотреть момент силы тяжести, приложен-
ной в точке G, относительно центра О; вследствие того, что проек-
ции единичного вектора восходящей вертикали х на стереонодальные
оси равны Yj = 0,	= sin 6, f3 = cos9, этот момент будет равен

— (?о/+ zok) X mg (sin 9j 4* cos 9Л)

или же на основании соотношения (32')
— mgh'i.

После этого, проектируя уравнение (46) на стереонодальные оси,
получим для движения тяжелого твердого тела вращения, катящегося
по горизонтальной плоскости, следующие уравнения:

+	—Bt(r—ф)} — myozo {q* — г(г — ф)} —

— т (уоуо Ц- ZqZq) р2 = — mgh',

{Вi4 — ту^г) 4~ р { (г — ф) — Qr 4- myfo] 4-

+ my^Qpq — mzop (zoq —yQr) = 0,
(С/ — myozoq) — (At —	pq — mynz0 (r — i) p 4~

4" myop (zrf —Уог) = 0,

где, конечно, yQ, zQ означают функции 9, определяемые из уравне-
ний (33).
§ 4. Гиростаты. Установившиеся циклические движения

24.	Определение гиростата. Рассмотрим материальную систему
состоящую из неизменяемой части 5 (ядро, оправа, арматура, обо-
лочка и т. п.) и из других тел S', изменяемых или твердых, но
связанных не неизменно с 5. Такими системами будут, например,
сосуд с твердыми стенками, содержащий жидкость, оправа, в кото-
рую вмонтированы один или больше гироскопов, карманные часы,
велосипед, пароход со всеми его механизмами и т. п.

Ясно, что в этих случаях, предполагая известными внешние силы,
приложенные к системе, нельзя приступить к изучению движения
неизменяемой части S, не рассматривая одновременно движения дру-
гих частей S' системы 2- Хорошо известный случай, когда влияние
этих частей S' на движение тела S можно схематически представить
в довольно простой форме, мы будем иметь, когда движение
частей S' будет циклическим, т. е. будет происходить все время
так, что распределение масс всей системы 2 не будет изменяться.
Это будет иметь место, например, в том случае, когда с твердым
телом S неизменно связаны оси нескольких гироскопов в тесном
смысле слова, т. е. гироскопов, обладающих полной симметрией
(физической и геометрической), так как в этом случае распределе-
ние масс всей системы остается неизменным. То же самое можно
сказать о твердом теле, в котором сделана полость в форме тора,
наполненная однородной жидкостью, находящейся в каком угодно
движении.

Обобщая выражение, применяемое английскими механиками, мы
будем называть такие материальные системы с внутренними цикличе-
скими движениями гиростатами.

Необходимо тотчас же отметить, что в гиростате при заданном
распределении масс в результате внутренних движений не изменятся
ни положение центра тяжести, ни направления главных осей, ни
моменты инерции, отнесенные к центру тяжести или к какой-нибудь
другой точке, неизменно связанной с твердой частью S гиростата.

С другой стороны, заметим, что абсолютную скорость какой-
нибудь точки Р части S' всегда можно представить себе разложен-
ной на геометрическую сумму переносной скорости (которую имела
бы точка Р, если бы вся система 2 была твердой) и ее относитель-
ной скорости по отношению к S. Соответственно этому результи-
рующий вектор и результирующий момент количеств движения можно
разложить каждый на два вектора, первый из которых относится
ко всей системе 2, рассматриваемой как твердое тело, а второй
представляет собой составляющую, происходящую от внутренних
движений.

25.	Основное уравнение моментов для гиростата. В случае гиро-
стата, так как рн не является вполне неизменяемой системой, нельзя
уже сказать, что основные уравнения, оставаясь в силе, будут,
вообще говоря, достаточны для определения движения. Чтобы точнее
указать, в чем заключается недостаточность этих уравнений, приве-
дем пример, показывающий, что ее можно устранить, и рассмотрим
сначала случай, когда неизменяемая часть 5 гиростата 2 закреплена
в одной из своих точек О. Для определения движения твердого тела,
закрепленного таким образом, достаточно основного уравнения момен-
тов. Посмотрим, что может дать это уравнение в случае гиростата.

Представим себе, что (абсолютный) результирующий момент коли-
честв движения гиростата относительно точки О разложен на два
слагаемых, указанных в конце предыдущего пункта: на вектор ЛГ,
происходящий от переносного движения, и на вектор у, появляющийся
благодаря внутренним движениям и называемый гиростатическим момен-
том. В силу этого основное уравнение моментов принимает вид

=	(47)

где дифференцирование надо отнести к неподвижным осям, а М обо-
значает результирующий момент относительно точки О всех внешних
сил, приложенных ко всей системе 2; если обозначить через ь> угло-
вую скорость неизменяемой части 5, то это же уравнение можно
написать в равносильной форме

Л’+х + «’>Х(/С+х) = Л1,	(47Э

где, как обычно, точками, поставленными сверху, обозначаются про-
изводные по времени от К и у, отнесенные к триедру, неизменно
связанному с S.

Если за основные неизвестные принимаются углы Эйлера 0, <р, ф,
определяющие относительно неподвижных осей, проходящих через
точку О, положение неизменяемой части 5, то векторы ь> и К могут
быть выражены в функциях от 0, «, ф и от их первых производных.
То же самое можно сказать и о векторе 7И, если мы ограничимся
случаем (который не является наиболее общим из возможных), когда
внешние силы, предполагающиеся заданными, зависят от положения
и состояния движения одной только твердой части S. Остается еще
гиростатический момент у, который выражает влияние циклических
движений; уравнение (47) или равносильное ему уравнение (47') уже
не будет достаточным для постановки задачи о движении системы £
до тех пор, пока не удастся каким-нибудь способом определить век-
тор у, для чего, вообще говоря, требуется изучение механического
поведения частей 5' системы Рассмотрим пока частный случай,
пригодный для интересных приложений, когда задача упрощается,
поскольку сами предположения позволяют заранее видеть, что гиро-
статический момент х является постоянным, В общем случае, следуя
Вольтерра1 2), мы можем заметить, что если уже определено враща-
тельное движение неизменяемой части S и известен результирующий
момент М внешних сил, то уравнение (47) или (47') определит
момент х, поскольку оно дает систему дифференциальных уравнений
первого порядка относительно соответствующих составляющих.

26.	Движение гиростата вокруг центра тяжести. Понятие о задаче
об изменении широт. Основное уравнение моментов сохраняет, как
известно, для материальной системы свой вид (47') также и в том
случае, когда центр моментов во все время движения совпадает
с центром тяжести системы. Это, в частности, имеет силу также и
для гиростата, центр тяжести G которого в силу самого определения
системы является точкой, неизменно связанной с твердой частью S.
Как уже было отмечено выше (п. 24), то же самое можно сказать
и о главных осях инерции относительно точки G, так что уравне-
ние (47') продолжает оставаться в силе, если оно отнесено к этим
осям. Это уравнение и в данном случае может однозначно опреде-
лить гиростатический момент /, если известно движение S около G
и задан результирующий момент внешних сил.

Эти замечания нашли интересное применение в так называемой
задаче об изменении широт. Эта задача ведет свое начало от того
факта, полученного из наблюдений, что движение Земли около ее
центра тяжести не только не является простым суточным вращением,
рассматриваемым в элементарной космографии, но, строго говоря,
не является даже регулярной прецессией, понятие о которой мы дали
в п. 20 гл. IV т. I, и даже не представляет собой то общее возму-
щенное движение (которым мы будем заниматься в п. 61 следующей
главы), которое могла бы предвидеть механика абсолютно неизменяе-
мых тел, когда принимается во внимание лунно-солнечное притяже-
ние. Остаются необъяснимыми некоторые дальнейшие малые переме-
щения мгновенной оси вращения Земли как относительно полярной
земной оси, так и относительно неподвижных звезд. Именно эти
весьма малые перемещения мгновенной оси относительно неподвижных
звезд и вызывают так называемые изменения широт (на небесной
сфере).

Эти изменения, которые при содействии международной комиссии
в течение многих лет являются предметом аккуратных наблюдений
и систематических исследований на специальных станциях а), с полным
основанием приписываются несовершенной твердости Земли.

Вольтерра на основании указанных выше наблюдений отметил
(см. упомянутую работу), что, не прибегая к предположению о

l) Volterra, Sur la theorie des variations des latitudes, Acta math.
T. 22, 1899, стр. 201—358.

2) Из этих станций, расположенных на одной и той же 39-ой параллели
северной широты, одна находится в Карлофорте в Сардинии, две принадле-
жат Соединенным Штатам, одна Японии и две СССР.
пластических деформациях Земли, эти изменения широт всегда можно
было бы объяснить посредством подходящего гиростатического мо-
мента у, предполагая существование некоторого внутреннего цикли-
ческого движения, что является возможным на основании того факта,
что на самой поверхности Земли можно наблюдать непосредственно
движения, которые, по крайней мере в первом приближении, имеют
циклический характер (морские, речные, атмосферные течения)*).

27.	Установившиеся циклические движения. Уравнения Вольтерра.
Предположим, что внутренние циклические движения гиростата 2
являются установившимися или стационарными; под этим мы понимаем,
что неизменным во времени по отношению к неизменяемой части S гиро-
стата остаются не только распределение масс, но также и распре-
деление скоростей (относительных) отдельных материальных точек
части S'. Если, например, гиростат состоит из ящика, внутри кото-
рого свободно вращаются вокруг осей, неизменно связанных с ним,
гироскопы (в узком смысле), то для стационарности внутренних
движений необходимо и достаточно, чтобы оставалась постоянной
угловая скорость каждого гироскопа, что можно себе представить
осуществленным посредством подходящих электрических приборов.

В случае установившихся внутренних движений результирующий
момент у. (относительных) количеств движения части 5' относительно
какой-нибудь точки О, неизменно связанной с S, очевидно, будет
вектором, постоянным относительно S; это будет иметь место, в част-
ности, как в том случае, когда центр приведения О представляет
собой закрепленную точку части У, так и в том случае, когда он со-
впадает в любой момент с центром тяжести Е. В обоих этих случаях
уравнение (47) или равносильное ему уравнение (47х) при условии,
что результирующий момент М внешних сил можно выразить через
углы Эйлера и их первые производные, становится пригодным для
определения этих главных неизвестных 9, <р, задачи (в функциях
времени, постоянных интегрирования и постоянных составляющих гиро-
статического момента).

Замечательное упрощение, соответствующее тому результату, что
для твердого тела, закрепленного в одной точке, движение при-
водится к движению по Пуансо, мы будем иметь в том случае, когда
внешние силы, действующие на гиростат, будут все равны нулю или,
по крайней мере, будут иметь результирующий момент относительно О,
равный нулю (спонтанное движение гиростата или движение гиро-
стата по инерции).

Уравнение (47х) приведется тогда к виду

k+«X(^+x) = O.	(48)

*) Этот вопрос изложен в работе Н. Е. Жуковского: „Геометрическая
интерпретация теории движения полюсов вращения Земли по ее поверх-
ности", Полное собрание сочинений, т. I, 1937. (Прим, ред.)
Если х, у, z являются главными осями инерции, относящимися
к полюсу О (неподвижному или совпадающему с центром тяжести),
и А, В, С—соответствующие главные моменты инерции гиростата,
то для составляющих вектора К мы будем иметь обычные канони-
ческие выражения

Кя — Ар, Ky = Bq, Кг = Сг.

(49)

Проектируя уравнение (48) на эти оси, получим следующие уравнения
Вольтерра'.

Ар —(В — С) qr + ~ г/.у = °>
Bq — (С — A) rq -ф- г/х — pys = О,
Сг — (A — B)pq-\-pyy —

(4,8')

где, не надо забывать, составляющие ух, у ух гиростатического
момента являются постоянными.

28.	Первые интегралы. Уравнения Вольтерра, или уравнения спон-
танного движения гиростата с внутренними установившимися движе-
ниями, так же как и уравнения Эйлера, допускают два первых инте-
грала: интеграл моментов количеств движения и интеграл живых сил
(ср. гл. VIII, п. 9). Эти интегралы легко получаются формальным путем
из тех же уравнений (48'), но еще проще получить их, если об-
ратиться и здесь к уравнению моментов количеств движения в вектор-
ной форме.

Из уравнения (47), если иметь в виду, что const, Af = O,
непосредственно видно, что (абсолютный) момент количеств движения
остается постоянным относительно неподвижных осей, так что,
в частности, остается постоянной его абсолютная величина К, т. е.,
на основании равенств (49), имеет место уравнение

№ = А2/?2 -ф- В2^2 -ф- С2/2 = const.

С другой стороны, умножая скалярно на w уравнение (48), полу-
чим, пользуясь формулой (13), т. I, гл. VI, п. 10,

к • = о,

а на основании уравнений (49) будем иметь тождественно

к • w — К • w.
Отсюда следует (т. I, гл. IV, и. 10, (13)) соотношение

д(^-») = 0,

интегрируя которое получим

К • w = Др2-|- Bq^-\- Сг2 — const.

Квадратичная форма относительно р, q, г, стоящая в левой части
этого уравнения, представляет собой удвоенную живую силу Т гиро-
стата рассматриваемого как одно твердое тело, поэтому этот вто-
рой интеграл можно написать в виде

Т = const.

Как мы видим, он не зависит от момента /, т. е. от величин
Z»> Za, которые явно входят в уравнение движения (48')> хотя
как раз вектор / и определяет различие в механическом поведении
гиростата S и того твердого тела, которое получится, если рассма-
тривать гиростат как неизменяемую систему. Это обстоятельство и
служит основанием для названия гиростатические члены, принятого
в п. 44 гл. V для обозначения тех членов дифференциальных урав-
нений движения какой угодно системы, которые ничего не приба-
вляют к соответствующему интегралу энергии.

В случае Пуансо мы видели, как, используя два первых интегра-
ла— интеграл моментов количеств движения и интеграл живой силы,
можно прийти к наглядному представлению геометрической картины
движения.

Аналогичные результаты для движения гиростата с внутренними
установившимися движениями и с таким же изяществом получил
Вольтерра ’) из двух указанных выше первых интегралов.

29.	Гиростат с гироскопической структурой. Мы будем говорить,
что гиростат имеет гироскопическую структуру, если; а) неизмен-
ное распределение масс системы Е является гироскопическим отно-
сительно неизменно связанной с телом оси z, проходящей через центр
тяжести; б) гиростатический момент (или результирующий момент
количеств движения в относительном движении) х направлен по
этой оси.

Для оправы, содержащей гироскопы с осями, неизменно свя-
занными с ней, эти два предположения будут, конечно, осуществимы,
если оправа и гироскопы в их совокупности обладают полной гео-
метрической и физической симметрией относительно какой-нибудь
оси, которая будет также осью каждого из гироскопов.

1)Ц	ит. соч.; см. также О. Lazzarino, Teoria sintetica dei ffioti girosco-
pici di sistemi noil completamente rigidi, Esercitazioni matetnatiche (Catania),
Anno Ш, 1923, стр. 153-160.
Представляя себе, что такой гиростат подвергается действию
каких угодно сил, мы рассмотрим его движение вокруг какой-нибудь
точки О оси в предположении, что эта точка удерживается непо-
движной или совпадает в любой момент с центром тяжести системы.
Тогда будут справедливы рассуждения предыдущих пунктов со Сле-
дующими дополнительными условиями (структурными и динамиче-
скими):

А —В, =

первое из которых позволяет, как и в случае Тела с гироскопиче*
ской структурой (гл. IV, п. 17), положить

<о = е -|- rk, К— Ае-\- Crk,

Где k обозначает единичный вектор гироскопической оси гиростата.

Соответственно этому, если обозначим через экваториальную
составляющую результирующего момента внешних сил, то вместо
уравнений (48х) можно подставить два равносильных уравнения.

Ае — {(С — Д) г + х,} k X ё =*= МI,
которые отличаются от уравнений, относящихся к Твердому телу
с гироскопической структурой относительно полюса (уравнения (15),
(16) п. 17 предыдущей главы), только наличием членов (гиростата*
ческих) С /г.

Легко было бы видеть на основании рассуждений § 2 предыду*
щей главы, что если гиростатический момент Хз значителен по срав-
нению с проекциями Ар, Bq, Сг момента К, то можно обнаружить
те же элементарные явления (стремление к параллельности и сохране-
ние направления оси), которые мы видели в случае гироскопа, так что
мы приходим к подтверждению существования гиростатической устой-
чивости, совершенно аналогичной гироскопической устойчивости (пре-
дыдущая глава, п. 42).

Любопытное приложение таких гиростатических явлений можно
иногда видеть в театрах варьетэ. Закрытый цилиндрический сосуд,
радиус основания которого больше высоты, содержит внутри себя
расположенный вдоль оси цилиндра быстро вращающийся гироскоп;
цилиндр опирается на пол одной из своих образующих. Сильный
человек, толкая цилиндр от себя, не может повалить его на одно Из
оснований, тогда как под действием относительно небольшого усилия,
имеющего характер пары с вертикальной осью, цилиндр, благодаря
стремлению его гироскопической оси расположиться вертикально,
в конце концов, хотя и медленно, ложится на пол.

Важное практическое приложение гиростатическая устойчивость
нашла в приборе Шлика, предназначенном для уменьшения качки

15 Зак. 2368. Т. Леаи-ЧиВИта и У. Аиальда-
больших трансатлантических пароходов, в однорельсовой железной до-
роге Бреннана, в искусственном  горизонте Флерье для наблюдений на
секстанте на кораблях, в приборах, предназначенных для поддержания
постоянным направления движения торпед, и т. п. 1)* *)

УПРАЖНЕНИЯ

1. Однородный шар, катящийся и скользящий по на-
клонной шероховатой плоскости. Возьмем снова положения пп. 1
и 2 текста, принимая за плоскость С = О опорную плоскость с осью С, на-
правленной вверх, и осью 6, направленной по линии наибольшего ската вниз.
Обозначим через i угол наклона плоскости, который надо принять суще-
ственно положительным, так как случай горизонтальной плоскости был уже
исчерпан в § 1. Здесь продолжают оставаться в силе кинематические урав-
нения

f$=“ — /?х>	==₽ + /?«	(!)

И основные уравнения движения, которые, если принять во внимание, что
проекции веса суть tngsinl, 0, —mgcosi и проекции реакции Ф плоскости
ФЕ, Фп, ф(. = N, можно написать в виде

а = — Ф; -f- g sin I, В = — Фт, 0 = — g cos i -f- — Н;	(2)

2	•	1	2-1

=----£	ф	,±х=*ф£|	p = 0.	(3)

5	mR	5 K mR 	r	' '

1) Klein-Sommerfeld, Theorie d. Kreisels т. IV; Gray, Gyrostatics
and rotational motion, 1918, гл. VII; J. Reveille, Dynamique des solides,
1923, гл. VI.

*) Гироскопы, предназначенные для стабилизации, связаны с объектом
стабилизации не так, как это изложено в тексте.

Описание и изложение теории гироскопических стабилизаторов можно
найти в книгах: А. Н. Крылов и Ю. А. Крутков, Общая теория гироскопов,
1932; Б. В. Булгаков, Прикладная теория гироскопов, 1938.

Крылов Алексей Николаевич родился в 1863 г. в г. Алатыре Улья-
новской обл.; умер в Ленинграде в 1945 г. В 1890 г. окончил кораблестрои-
тельное отделение Морской академии и был оставлен при ней для усовер-
шенствования; первое время вел практические занятия по математике, а впо-
следствии читал лекции по математике и теории корабля. Одновременно
с плодотворной и разносторонней научной деятельностью вел практическую
и организационную работу в качестве главного инспектора кораблестроения.
В 1916 г. был избран в действительные члены Академии Наук и назначен
директором Главной физической обсерватории.

Научные работы А. Н. Крылова охватывают многие отделы прикладной
математики, механики, аэродинамики, геофизики и разнообразные вопросы
техники. Уже в первых своих работах по теории корабля он зарекомендовал
себя выдающимся и оригинальным исследователем и приобрел мировую
известность. В своих работах по баллистике, по теории компасов, по строи-
тельной механике он сочетал строгий научный подход к решению конкрет-
ных технических проблем с поразительной простотой и ясностью изложения
и всегда доводил анализ решения до практически важных выводов.
{Прим, ред.)
После исключения из уравнений (2) и (3) реакций, т. е. Ф$, ФТ1, У, получим
три уравнения

9	..	2 •

а — -g-7?x = gsin I, £+ —7?л = 0, р = О,	(4)

которые сохраняют силу в течение всего времени движения независимо
от того, будет ли иметь место скольжение шара по плоскости или нет.

Уравнения (4) непосредственно интегрируются:

•	2	•	2

« —-g-/fx = ^sinZ/4-cb £ +-g-/?п = с2, р = с3,	(4')

где сь с2, с8 означают постоянные интегрирования. Но теперь, чтобы идти
дальше в изучении вопроса, надо отличать, как и в § 1, фазу скольжения,
когда v > 0, от фазы чистого качения.

а) Фаза скольжения. В этом случае для реакции Ф имеет место закон
динамического трения, т. е. проекции Ф$, ФГ| касательной реакции имеют
значения—fNv-Jv, —fNvr,lv. Заметив это, мы поступим так же, как в п. 2,
и после исключения из уравнений (1), (2), (3) величин а, 0, n, /, Р, М полу-
чим уравнения

•	7 , .и . .

— "s'cos 1 у + £sln z-

= — cos г-J;

эти уравнения, если ввести в них вместо vr. абсолютную величину и ско-
рости ® скольжения и угол отклонения ее от линии наибольшего ската, заклю-
ченный между —лил, принимают вид

= gsin z (cos 0 — п),

М	• н	(5>

V -Г, = — g Sin I sin о.

где для краткости письма положено

„_7_ X

5 tgz*

(6)

Заметим теперь же что нам придется

различать два случая

а)	п < 1;

₽)	я>1.

Принимая во внимание значение (6) постоянной п, условимся говорить
что случай а) соответствует большим углам наклона, или большим накло-
нам (по сравнению с углом трения), случай {>)— малым углам наклона,
или малым наклонам.

Прежде чем приступить к формальному интегрированию уравнений (5),
надо установить некоторые особенности их поведения для фазы, которая нас
интересует, когда «>0. В этой фазе угол 0 либо равен нулю для любого
значения t, либо сохраняет тот же самый знак, не проходя уже через нуль.
Это вытекает из следующих рассуждений. Во-первых, 0 = 0 при произволь-
ном t составляет вполне определенное решение системы (5) (и удовлетво-
ряет первому из уравнений (5) при 0 = 0, или уравнению

^ = £(1 — «) sinz,	(5')
и равна какому-нибудь наперед заданному значению Vj при t = /1). С другой
стороны, система (5), правильная при о^>0, допускает одно и только одно
решение, если при t = 4 имеем 6 = 0 и v = Поэтому исключается тот
случай, когда, отправляясь от начального состояния движения, для которого
0фО, можно (без того, чтобы v обращалось в нуль) встретить такой момент
времени 4> когда 0 было бы равно 0.

То же самое можно сказать и в случае, когда 6 — ± л, если не считать
того, что тогда v будет определяться уравнением

-Ht = — g(l+n)sini.	(5")

Наконец, если величина sin 6 не обращается в нуль в начальный момент,
то она не может ’обратиться в нуль до тех пор, пока остается »>0. При
этих условиях из второго из уравнений (5) видно, что dft/dt всегда имеет
знак, обратный знаку 6, следовательно, 0 изменяется вместе с t постоянно
в том же самом направлении, возрастая по абсолютной величине. Можно,
следовательно, принять 6 за независимую переменную вместо t в течение
промежутка времени, о котором идет речь. Разделив первое из уравнений (5)
иа второе, благодаря чему t исключится, мы будем иметь дифференциальное
уравнение годографа

1 dv	п.

v	с sin 0 ’

интегрируя которое получим

sin 0 ’

(7)

V = X

где X обозначает постоянную интегрирования. Эту постоянную надо принять,
конечно, отличной от нуля, потому что в противном случае, вопреки пред-
положению, исчезала бы скорость v.

Выражение (7) для v показывает, что величина v/sin 0 при 0 = 0 стано-
вится бесконечно большой порядка (2 — п). Когда речь идет о больших на-
клонах, т. е. для случая а) (п С 1), порядок этот будет > 1.

Обратимся сначала к случаю а).

Интеграл J dft стремится к бесконечности, когда мы будем прибли-
жать к нулю один из концов промежутка интегрирования. Поэтому из вто-
рого из уравнений (5) следует, что если мы заставим 6 изменяться всегда
в одном и том же направлении от его начального значения 60 до нуля, то t
будет безгранично возрастать. Принимая снова t за независимую переменную
и предполагая, что вначале v и sin 0 отличны от нуля, при больших накло-
нах (n < 1) можно сказать, что угол 0, образуемый направлением скорости
скольжения и линией наибольшего ската, асимптотически стремится к нулю,
а абсолютная величина этой скорости возрастает до бесконечности.

Перейдем теперь к малым наклонам (п>1), предполагая, что начальные
значения v и sinb не равны нулю.

Из уравнения (7) теперь следует, что v стремится к нулю вместе с 0,
а второе из уравнений (5) показывает, что t остается конечным при 0 -> 0.
Если затем снова примем t за независимое переменное, то придем к заклю-
чению, что по истечении конечного промежутка времени, т. е. в определен-
ный момент 4, скорость скольжения уменьшится до нуля, стремясь в то же
время принять направление линии наибольшего ската.

Если в начальный момент исчезает sin 0, но не скорость v, то уравне-
ния (5), как было уже замечено, допускают решение sin 0 = 0 для всего про-
межутка времени, в котором v остается отличным от нуля. Далее, если sin
исчезает вместе с начальной скоростью скольжения, направленной вверх
(cos в = —1), то из первого из уравнений (5), в котором надо положить
cos 9 = —1, или же из уравнения

= — £(l + «)sini	(5")

непосредственно будет следовать, что скорость скольжения будет стремиться
к нулю, каково бы ни было п, достигая значения, равного нулю, по истече-
нии конечного промежутка времени. То же произойдет и в случае малого
наклона (л>1), если скорость скольжения вначале направлена вниз (cos 0=1).
Наоборот, для больших наклонов (л < 1), когда имеет место равенство

= £(! — «) sin Л	(5')

скорость скольжения уже не исчезает, а возрастает до бесконечности вместе
с t при и<1 и остается постоянной в частном случае, когда п = 1,

Наконец, если в какой-либо момент имеем о = 0, то, начиная с этого
момента, уравнения (5) теряют силу в случае малого наклона, или при л>1.
Действительно, правая часть первого из них,

Л» • 1 ,

=r — g sin I (n — cos 6),

имеет отрицательное значение, какое бы предположение ни делалось отно-
сительно угла 0. Поэтому о должно было бы убывать, начиная от нулевого
значения, что представляет собой абсурд, так как v есть абсолютная вели-
чина скорости. Следовательно, мы должны сделать вывод, что при п >1,
как только v обращается в нуль, наступает фаза качения.

Наоборот, при больших наклонах (n <С 1) уравнения (5) все еще будут
определять v и 0, даже если в некоторый момент v = 0 (и 0 неопределенно).
Между тем из второго из уравнений (5), в предположении, что названные
функции остаются конечными (вместе с их производными), следует, что если и
исчезает, то должен исчезать также и sin 0. Поэтому начальное значение
угла 0 может быть только равным нулю или л. Но значение я надо исклю-
чить, потому что первое из уравнений (5) в рассматриваемый момент пере-
шло бы в уравнение (5") и дало бы dv/dt<0, что нелепо. Если, далее, 0 = 0,
то вначале будет иметь место уравнение (5') и, следовательно, йо/Л>0, по
крайней мере при п<1. В момент, непосредственно следующий, v>0, и
тогда, как мы это видели выше, 0 будет оставаться нулем, a v будет без-
гранично возрастать. При n = 1, v = 0 = 0 будет решением уравнений (5).

Из всего предшествующего заключаем, что при п < 1 (большие углы
наклона) движение исчерпывается фазой скольжения, за исключением
одного очень частного случая, когда при п=1я исчезает в начальный
момент.

Если исключим этот случай, то о и 0 определятся в функциях от t из
уравнений (5) указанным выше способом с соответствующими изменениями.
Цля того чтобы дополнить определение неизвестных функций, можно, напри-
мер, обратиться к первым двум из уравнений (3) и к интегралам (4), при-
нимая во внимание, что в рассматриваемой фазе &ijm, Ф^/т имеют выраже-
ния, соответствующие динамическому трению

-/ЛГ-Я,

то'

—fN -Я

J то

или же, в силу третьего из уравнений (2),

—fg cos i cos 0, —/£sin i sin в-

Таким образом, мы видим, что все приведено к квадратурам.
Наконец, если п > 1 (малые наклоны), мы необходимо придем, после
возможной фазы скольжения, к моменту ty когда будет v = 0.

Начиная с этого момента, дальнейшее скольжение было бы невозможно,
как мы это уже видели. Следовательно, должна наступить фаза качения.
К этой фазе можно также отнести и частный случай, который мы должны
были выделить из а), когда п = 1 и v в начальный момент равно нулю.

б)	Фаза качения. В этой фазе из уравнений (1) находим

а — Ry = Q, р R- = 0;

(8)

эти уравнения вместе с уравнениями (47) вполне определяют движение. Ни
в одно из этих уравнений не входит f, так что движение при чистом качении
не зависит от трения опорной поверхности; то же, конечно, относится и
к состоянию движения в момент

Дополнить исследование и подтвердить, в частности, что

1)	центр тяжести описывает дугу параболы с осью, параллельной линии
наибольшего ската, и с вогнутостью вниз, или, в частности, прямую, напра-
вленную по линии наибольшего ската вниз;

2)	к = 0;

3)	в течение всей фазы качения (на основании уравнений (2), (3), к ко-
торым надо присоединить уравнения (8), продифференцировав их по t, проек-
ции реакции Ф имеют значения

Ф? = -=- mg sin i,
О

Фч = 0, М = mg cos i.

Речь идет,
ческого трения,
отношение

будет меньше

действительно, о реакциях, удовлетворяющих закону стати-
потому что, при п > 1 или в силу неравенства (6) tg i < 7f)5,

Фе 2 t .

W = -3ts<

2.	Доказать, что если фаза скольжения (см. упражнение 1) действительно
начинается и затем кончается (что предполагает п > 1), то ее продолжитель-
ность 4 выразится в виде

а =	Л— J 1 - fgra-i 0® J__— tgn+i

1 2g sin Z\n — 1 g 2rn+lg 2 f ’

где X есть постоянная, входящая в выражение интеграла (7), а 60— угол
начальной скорости точки соприкосновения с ринией наибольшего ската.

3.	Возьмем в биллиардном шаре радиуса R точку Q, находящуюся на
вертикали над центром на расстоянии 2R/5, считая ее неизменно связанной
с шаром. Пусть эта точка имеет постоянную скорость в течение всего
движения как при скольжении шара, так и при переходе к чистому качению.

Обозначив через а, Ъ проекции этой скорости (непосредственно получаю-
щиеся из начальных данных), показать, что окончательная скорость центра
тяжести будет иметь проекции

4.	Интересные примеры движения (большей частью чистого качения) шара
по заданной поверхности (в частности, по сфере или конусу) могут быть
разобраны с исчерпывающей полнотой элементарными средствами. См. Routh,
Dynamics of a system of rigid bodies, ч. II, гл, V, пп, 215—239,
5.	Реакции опоры при качении диска. Уравнение (24) п. 13,
вообще говоря, определяет реакцию Ф. Ойо было разъяснено применительно
к частному случаю меростатических решений (п. 13). Указать для общего
случая выражения нормальной реакции и трения в функции от состояния
движения, соответствующего любому рассматриваемому моменту.

Можно исходить из уравнения (24),1 проектируя его на стереонодальные
оси х',у', г' и вводя в качестве проекции вектора mvg == Q выражения (18) п. 8,
а затем взять для производных от р, q, г выражения, определяемые уравне-
ниями движения (19') того же пункта.

На основании законов статического трения вывести динамическое условие
чистого качения (аналогичное (25) п. 13).

6.	Показать, что для устойчивости качения окружности (обруча) по прямо-
линейному пути (на плоскости) необходимо, чтобы удовлетворялось неравен-
ство v'2>ga/4 (п, 15); период малых колебаний будет иметь значение

•аа

7.	Рассмотреть снова случай, изложенный в пп. 17—21, движения тяжелого
твердого тела вращения, опирающегося на горизонтальную плоскость без
трения, и доказать приводимость задачи к квадратурам, пользуясь уравне-
ниями Лагранжа.

Надо исходить из замечания п. 20 о том, что горизонтальная составляющая
скорости центра тяжести G постоянна. Не нарушая общности, можно пред-
положить, что эта составляющая равна нулю, относя твердое тело к системе
галилеевых осей, параллельных неподвижным осям, принятым вначале, и имею-
щих как раз эту постоянную скорость. Относительно этих (галилеевых) осей
центр тяжести G может только скользить по вертикальной прямой, что можно
рассматривать как связь (без трения).

Принимая во внимание теорему Кёнига (гл. IV, п. 8) и уравнение (20) п. 9,
показать, что функция Лагранжа в этой задаче имеет вид

2== ТU =(Аmhri) бз-|- 1 Л51п2е-^4-4-СгЗ — т^й,

где h (0), как и в указанном п. 20, представляет собой высоту G над опорной
плоскостью и hr = dh!M, г = <р -|- ф cos 0. Как <р, так и ф являются, очевидно,
игнорируемыми координатами (гл. V, п. 42), так что будут существовать два
первых интеграла

—г = Сго, —г = с (г0, с = const),
ду	дф

первый из которых приводится очевидно к виду г = г0, а второй совпадает,
как это можно проверить непосредственно, с интегралом моментов количеств
движения относительно вертикали. С другой стороны, существует интеграл
живых сил

Т — U = E,

из которого можно вывести при помощи первых двух уравнений (41) п. 20
уравнение для определения 0.

8.	Принимая во внимание геометрические замечания из п. 17 [в частности,
дифференцируя уравнение (32') и принимая во внимание уравнение (32)], по-
казать, что кривизна | dd/ds | плоской кривой С может быть выражена посред-
ством функции h (0) в виде | h' -J- h" |,
9.	Найти меростатические решения задачи о чистом качении твердого тела
вращения, опирающегося на горизонтальную плоскость.

Задача состоит в том, чтобы удовлетворить трем последним уравнениям
п. 23, предполагая постоянными 0, q и г, вследствие чего прежде всего
из уравнений (20) п. 9 будем иметь, Что величина 5 = р равна нулю, а вели-
чины ч и ф будут постоянными; далее, постоянными будут также и вели-
чины z0, h, Л1, В±, Clt зависящие исключительно от 0.,

В этом предположении второе и третье из упомянутых уравнений удовле»
творяются тождественно, а первое приводится к виду

Ч {Cir — Bj (г — <£)} — ту^й {ср — г (г — $)} = — mgh'.

Если вспомним, что

Bj = А + mza, = С mya,

где моменты инерции А и С относятся к центру тяжести, и что на основании
уравнений (20) п. 9

q = ф sin 0, г — ч — Ф cos 8>

и если, кроме того, примем во внимание выражение (32) величины h (п. 17),
то это уравнение можно будет написать в виде

sin 0 (Л cos 0 mzoh) ф2 — г (С sin 0 4- myth) <f — mgh' = 0.

Движение твердого тела, очевидно, сводится к регулярной прецессии,
характеристические постоянные которой 0, ч = р, Ф = 4 связаны предыдущим
уравнением, в котором г стоит вместо 4~ Ф cos 0, а значения h, j/a, z0 надо
рассматривать как известные функции от 0; первая из них прямо определяется
в зависимости от формы поверхности, рассматриваемой в задаче, а остальные
две определены уравнениями (33) п. 17.

Движение, динамическая возможность которого интуитивно очевидна, мы
будем иметь, предполагая, что соприкосновение происходит в вершине (пере-
сечение выпуклой поверхности твердого тела с осью тела) и что твердое
тело равномерно вращается вокруг собственной оси (направленной по вос-
ходящей вертикали), в силу чего центр тяжести G остается неподвижным,
так же как и точка соприкосновения О. При этих условиях будем иметь 0 = 0,
а вследствие неопределенности линии узлов неопределенными будут <? и ф,
но не их сумма ч + Ф« которую можно истолковать здесь как изменяющийся
равномерно с течением времени угол между некоторой осью, неизменно свя-
занной с телом, и неподвижной осью; действительно, из общего выражения
г — ф 4- ф cos 0 получаем в этом случае г = <р 4- ’!'•

Обращаясь к общему меростатическому решению, легко увидим, как и
в п. 12, что как центр тяжести Q, так и точка соприкосновения О движутся
равномерно по окружностям. Чтобы показать это, рассмотрим абсолютные
скорости — Gim точки Q и -о' точки О, для которых в п. 23 были указаны
общие выражения проекций на стереонодальные оси. В случае меростатических
решений, для которых р, уй, z0 обращаются в нуль, отсюда следует, что оба
вектора н v' направлены по линии узлов и имеют, соответственно, в качестве
проекций (постоянных)

V1 — zoq — уйг = ггоф sin 0 — _у0 (4 4- ф cos 0), У2 = —_у0<?.

Следовательно, речь идет о горизонтальных скоростях, имеющих проек-
циями на неподвижные оси

Vj cos ф, Vi sin ф и У2 cos ф, V2 sin ф.
Отсюда, рассуждая как в п. 12 и принимая во внимание, кроме того, уравне-
ние (32) п. 17, находим, что радиусы /?j, /?2 окружностей (горизонтальных),
описываемых центром тяжести G и точкой соприкосновения О, определяются
соответственно равенствами

Z()sin6 — v0cosO— Jo4- == ft' + jo-f-L

I ф I	ф I ф I

n ___Iv ?!

— Jo -j" •
I ф I

10.	Качение по горизонтальной плоскости тяжелого твердого тела, ограни-
ченного какой угодно выпуклой поверхностью. Удобно отнести тело к осям,
неизменно связанным с ним, а именно к главным центральным осям инер-
ции Gxyz, и взять уравнение выпуклой поверхности а в виде

f(x, у, Z)=0.

Обозначив через п единичный вектор нормали к а в точке опоры О, напра-
вленной наружу относительно а (т. е. вниз), введем двенадцать следующих не-
известных функций от h 1) шесть параметров, определяющих положение осей,
неподвижных в теле, относительно неподвижных осей и позволяющих выразить
абсолютную скорость точки G и угловую скорость « тела; 2) три коор-
динаты х, у, 2 точки соприкосновения О, посредством которых можно выра-
зить /г; 3) проекции Фж, Фу, Фг реакции Ф в точке О. Сила тяжести будет
представлена вектором mgn, и задача будет поставлена во всей своей общности,
если составить следующие двенадцать уравнений: 1) шесть основных урав-
нений; 2) три уравнения, характеризующие отсутствие скольжения в точке О;
3) уравнение /=0; 4) два скалярных уравнения, к которым в силу геометри-
ческого тождества и2 = 1 сводится векторное уравнение Пуансо

dn • .	..	„

— = и + « X л = 0,

выражающее то обстоятельство, что единичный вектор всегда направлен по
вертикали.

Как должна быть изменена предыдущая постановка задачи в фазе сколь-
жения и в случае опоры без трения? Ср. Раус, цит. соч., ч. II, §§ 245—248,
или Грей, цит. соч., гл. XVII.

И. Малые колебания тела около перманентного движения, представляю-
щего собой чистое верчение. Чистым верчением (ср. т. I, гл. ХШ, п. 29)
называют всякое вращение твердого тела, опирающегося на поверхность,
вокруг общей нормали к поверхности а твердого тела и к поверхности опоры.
Для того чтобы тяжелое твердое тело, ограниченное произвольной выпук-
лой поверхностью и опирающееся на горизонтальную плоскость, могло совер-
шать перманентное чистое верчение около точки О (т. е. верчение с постоян-
ной угловой скоростью, отличной от нуля), необходимо и достаточно, чтобы
а) нормаль (вертикаль) в точке О к а и к плоскости опоры содержала центр
тяжести G твердого тела; б) эта нормаль была главной осью инерции для
твердого тела относительно точки G и, следовательно, также (см. примечание
в п. 52 гл. V) относительно точки О.

Здесь на основе общих соображений, изложенных в предыдущем упраж-
нении, мы хотим показать, как для тяжелого твердого тела указанного выше
типа изучаются малые колебания вблизи перманентного верчения, предполагая,
естественно, что только что указанные условия выполнены.

Обозначив через Gxyz систему главных центральных осей инерции
Твердого тела, допустим для определенности, что ось Gz есть ось вращения
в невозмущенном движении верчения и направлена от центра тяжести G
К точке опоры О, которая при таком движении остается неподвижной. Относи-
тельно этой неподвижной в теле' системы осей координаты точки О будут
О, 0, z0> 0, проекции угловой скорости « верчения твердого тела — 0, 0, г0 (по-
стоянные); при малых колебаниях около такого движения переменное положе-
ние точки соприкосновения О и угловая скорость ю будут мало отличаться от
неизменного положения точки О и неизменного значения угловой скорости ш,
относящихся к чистому верчению. Поэтому, обозначив через х, у, z0 Zi
координаты точки О и через р, q, r0 + s—проекции вектора «, можно рас-
сматривать величины х, у, z и р, q, е как бесконечно малые. Возьмем урав-
нение поверхности а в виде z — z (х, >) = О и разложим z (х, у) по формуле
Маклорена. Принимая во внимание, что, так как плоскость z = z0 является
касательной к поверхности а в точке О, в этом разложении должны отсут-
ствовать члены первого порядка относительно х, у, и пренебрегая членами
порядка выше второго, уравнение поверхности а можно написать в виде

/=z-zo + ±(^ + ^ + 2^j/) = O;	(9)

£ \ С* U	/

в этом уравнении а, Ь, k обозначают три постоянные, которые вследствие
предположения, что поверхность а является выпуклой и целиком находится
выше плоскости опоры, должны быть такими, чтобы бинарная квадратичная
форма, стоящая в скобках, была определенной положительной.

Из уравнения (9) следует прежде всего, что в порядке принятого прибли-
жения Zi надо прямо положить равным нулю. Далее, направляющие косинусы
нормали п к а в точке О, близкой к О, пропорциональные частным производ-
ным df/dx, df/dy, df/dz, определяются на основании уравнения (9), если
пренебречь членами второго порядка и принять во внимание, что нормаль п
принимается направленной наружу относительно а, равенствами

=	+ K = kx+^, Тз=1.	(10)

Таким образом, из уравнения поверхности а мы получили все, что необ-
ходимо для нашей цели. Аналогичным образом мы воспользуемся другими
уравнениями, которые согласно общим соображениям предыдущего упраж-
нения надо рассмотреть.

Из уравнения dnjdt = и + «Хи = 0, выражающего условие того, что
единичный вектор п остается постоянно вертикальным, вводя проекции р, q,
г0+е вектора <в и принимая во внимание, что 7i и 7г являются величинами
первого порядка, а 7з = 1, получим три уравнения

It = Wo —Я, it = — Wo+P> Тз = 0.	(И)

Условие чистого качения выражается обычно приравниванием нулю
скорости точки соприкосновения О с координатами х, у, Zo, которая рас-
сматривается как неизменно связанная с телом, так что, обозначая через
м, v, w проекции на оси, неподвижные в теле, скорости vG центра тяжести,
которые в' нашем случае должны сами рассматриваться как величины пер-
вого порядка, мы придем к трем уравнениям

и?z0 — г0_у = 0, v + гох—pzo = O, w = 0.	(12)

Наконец, остается еще воспользоваться основными уравнениями движе-
ния твердого тела. В постановке Рауса, принятой в предыдущем упражне-
нии, за центр приведения моментов принимался центр тяжести, вследствие
чего пришлось в виде вспомогательной неизвестной ввести реакцию опоры Ф,
которая исключалась при помощи первого основного уравнения. Но, как и
в § 2 и в п. 23§3, можно избежать введения и последующего исключения
этой реакции, принимая за центр приведения точку соприкосновения О и
пользуясь только вторым основным уравнением, взятым при этом в его
общей форме (14) п. 7; это уравнение, вследствие того, что оси неподвижны
в теле («' = w) и момент М приводится к моменту силы веса, принимает
вид

+	mgn.

Поэтому нам надо получить явные выражения для протекций векто-
ров К, Q, и -о' на оси, неподвижные в теле, на которые мы намерены проек-
тировать предыдущие уравнения. Скорость (абсолютная) о' точки О, в кото-
рой в любой момент происходит соприкосновение, на основании теоремы
сложения скоростей можно рассматривать как сумму относительной скорости
(относительно неподвижных в теле осей) с проекциями х, у, 0 и переносной
скорости; так как, по предположению, речь идет о чистом качении, то пере-
носная скорость во всякий момент равна нулю, поэтому имеем

^'у=У> «г = °-	<В * * * * 13)

Количество движения Q = mvG, вследствие того, что в силу третьего
из уравнений (12) проекция w скорости vG равна нулю, имеет проекции

Qx = mu, Qv = mv, Qs = 0.	(14)

Наконец, для вычисления проекций вектора К удобно применить фор-
мулы п. 15 гл. IV. Для этой цели возьмем, как и в п. 8, произвольный
момент времени и примем за вспомогательную ту систему осей, неподвиж-
ных в теле, которая в этот момент имеет начало в точке О тела, пред-
ставляющей собой точку соприкосновения тела с плоскостью, и оси которой
параллельны осям системы Gxyz и одинаково направлены с ними. В соот-
ветствии с этим необходимо ввести главные моменты инерции А^, В^, Ct и
центробежные моменты At, Bv С1 относительно точки О; так как точка О
относительно системы Gxyz имеет координаты х, у, гй, то на основании
теоремы Гюйгенса, обозначая через А, В, С главные центральные моменты
инерции и пренебрегая членами второго порядка, найдем прежде всего

А± = А -|- mz^, Bt — В + тг%, С1 =э С;	(15)

далее имеем, по определению,

А[ — 2 mi (М —У) C*i~ го).

i

В1 — 2 mi ~~ г<>) (xi ~~х)' C'l — S mi	— Х№< ~ -у)-

i	i

Достаточно принять во внимание, что центробежные моменты и статические
моменты относительно центра тяжести равны нулю, и пренебречь членами
второго порядка, чтобы иметь

At == myz0, = тхг$, Ct — 0.

После этих замечаний, принимая во внимание, что начало вспомога-
тельных осей (центр приведения моментов), как неизменно связанное с телом,
имеет скорость (абсолютную), равную нулю, так что непосредственно можно
применить формулы (30") п. 1о гл. IV, заключаем, что

= Агр — тгйгйх, Ку — Brq — тгйгйу, Кг — С(г0 -|-е).

На основании этих формул и равенств (13) из основного уравне-
ния моментов, в котором еще надо пренебречь членами второго порядка,
получаем три скалярных уравнения

— mzorQx —	— С) roq 4- mzor*y = mg (z0y3 — у),

q — mzoroy — (C — rop — mZgfa = —mg (zo71 — x),

(16)

Ce = 0,

последнее из которых показывает, что и при малых колебаниях угловая
скорость вокруг оси Gz остается постоянной.

Из двух других уравнений, если исключить из них р, q посредством
равенств (11), получим уравнения

Вт — Ог0Ь + mz^y — В171 + mg'x = 0, 1

....	)	(16')

Л1Т2 + Dr^ — тгйгйх —	+ mg'у = О, J

где для краткости положено

о = л1 + в1 — С, ^=g+^

= (Hj — С) г® + mgzv Е% = (Вх — С) fg + mgzj
уравнения (16') в силу уравнений (10) образуют систему двух дифферен-
циальных линейных уравнений с постоянными коэффициентами относительно
одних только х му.

Для того чтобы исследовать устойчивость невозмущенного движения
(чистого верчения), мы должны согласно правилу и. 21 гл. IV положить
в уравнениях (16')

x = \eiQt, у^^'л

и составить характеристическое уравнение относительно 2. Для устойчивости
требуется, чтобы это уравнение, которое в настоящем случае будет урав-
нением четвертой степени, имело только действительные корни.

Остановимся, в частности, на предположении, что в уравнениях (9) по-
верхности a k = 0; геометрически это означает, что главные центральные
оси инерции Gx, Gy параллельны касательным к двум линиям кривизны
поверхности а в точке О. Тогда, как мы знаем из анализа, а и b пред-
ставляют собой главные радиусы кривизны поверхности а в этой точке. При
этом частном предположении уравнение относительно 2 будет биквадратным,
а именно

Ei — mg'а 1гй (D — mzob) 2 I
— ir()(D— mZtfi)Q Л12а-]-£'2—mg'b |

(18)

12.	Случай твердого тела вращения (или более общий слу-
чай тела, ограниченного поверхностью вращения и имеющего гироскопи-
ческую структуру относительно оси). При этом предположении имеем а = b
и А = В и потому Ai = Bi, Е1 — Е4. Следовательно, уравнение (18) распа-
дается на два квадратных уравнения

XjQ® + Ei — mg'azLr0(D — mzfja) 2 = 0,	(18')

из которых для исследования устойчивости достаточно рассмотреть только
одно, например первое, так как второе необходимо будет иметь корни, про-
тивоположные первому по знаку.

Поэтому для того, чтобы корни характеристического уравнения (биква-
дратного) были все действительны, необходимо и достаточно, чтобы дискри-
минант выбранного квадратного уравнения (общий для обоих уравнений (18'))
был положительным. Поэтому критерий устойчивости, даваемый методом
малых колебаний ]), выразится неравенством

r$(D — mzQay — 4Аt (£х — mg'а) >0,	(19)

которому в силу равенств (17) можно придать вид

з 4X1mg(z0 —а)
(C-±maz^ ’
откуда следует, что, если z0<a (центр тяжести не выше центра кривизны
меридианного сечения поверхности а), неравенство будет удовлетворяться
непосредственно, так что будем иметь устойчивость (линейную) при какой
угодно скорости верчения г0.

Если, наоборот, z0 > а (центр тяжести выше центра кривизны меридиан-
ного сечения поверхности о), то мы будем иметь случай гироскопической
стабилизации в том смысле, что движение верчения можно сделать устой-
чивым, придавая телу достаточно большую угловую скорость.

13.	В случае однородного эллипсоида вращения с экваториальной полу-
осью а и полярной полуосью с, опирающегося на горизонтальную плоскость
одним из своих полюсов (в силу чего вместо г0 и радиуса кривизны в по-
люсе должны быть взяты соответственно с и а2/с), условие устойчивости
невозмущеиного движения чистого верчения с угловой скоростью г0 опре-
делится (ср. предыдущее упражнение) неравенством

з. 20 (6с2 + а2) (с2— а2) g
ro>49	at	с

и будет автоматически удовлетворяться для сплюснутого эллипсоида (с<а).

14.	Случай равновесия. Способом, аналогичным указанному
в упражнениях 11, 12, можно исследовать, для тяжелого твердого тела, огра-
ниченного какой-нибудь выпуклой поверхностью а и опирающегося на горизон-
тальную плоскость, малые колебания вокруг состояния равновесия. С первого

*) Как мы уже отмечали в гл. VI (пп. 21, 23), то обстоятельство, что все
характеристические показатели чисто мнимые, недостаточно для обеспечения
устойчивости в строгом смысле; однако оно будет достаточно для линейной
устойчивости, по крайней мере вообще. Эта оговорка учитывает ту воз-
можность, что характеристическое уравнение допускает кратные корни,
наличие которых, как и в элементарном случае движений, определяемых
одним линейным однородным дифференциальным уравнением второго по-
рядка с постоянными коэффициентами (т. I, гл. II, п. 43, в), может поставить
"под сомнение устойчивость. Это наличие кратных корней не' подвергает
сомнению устойчивость в случае голономных систем, как это косвенно сле-
дует из теоремы Дирихле; для более общих систем, таких, например, как
система (16'), требуется, наоборот, дополнительное исследование.

Далее, в частном случае, к которому мы здесь и обращаемся (а = Ь,
= £i = £2), уравнение (19) продолжает обеспечивать устойчивость
(линейную) даже и тогда, когда корни (действительные) характеристического
уравнения относительно Q не являются простыми. Действительно, достаточно
рассматривать это уравнение распавшимся на уравнения (18') (каждое из
которых имеет корни, противоположные по знаку корням другого, и в силу
соотношения (19z) положительный дискриминант), чтобы видеть, что оно имеет
кратные корни тогда, когда D — mzya = 0; при этом предположении оба
уравнения (16') на основании равенства (10) становятся тождественными,
причем одно из них будет содержать только х, другое только у. Для каждой
из этих переменных устойчивость обеспечивается неравенством (IS7).
взгляда можно думать, что достаточно было бы положить г0 = 0 в формулах,
установленных в упражнениях 11, 12, но таким образом мы рассмотрим
только частный случай этого вопроса. Действительно, как было показано
в упражнении 11, движение перманентного верчения динамически возможно
только в том случае, когда будут удовлетворены оба условия а) и б); для
возможности же равновесия достаточным (а также и необходимым) оказывается
только первое из них.

Поэтому необходимо снова начать исследование, предполагая, что точка
соприкосновения О в положении равновесия относительно главных осей
Инерции Gxyz имеет совершенно произвольные координаты xq, У о, Zq. На-
правляющие косинусы единичного вектора п, нормального к_ов точке О, уже
не будут равны 0, 0, 1, а будут иметь значения yj, у2, Тз> получаемые
в функциях от Хд, у0, z0 из уравнения f = 0 поверхности а. Обозначим
в возмущенном движении через хо + хь .У0+.У1» zo + zi переменные коор-
динаты точки соприкосновения О и через fi-f-oi, Та + Ч, Тз+°з—направляю-
щие косинусы единичного вектора нормали к а в этой точке; наравне
с Bj, 82, В3 мы должны рассматривать х1г уь zt как бесконечно малые. По-
дробное вычисление можно найти в упомянутом сочинении Рауса, § 253.

15.	Относительно общей задачи о качении одной поверхности по другой
укажем на исследования Джеббиа (Rend, del Circ. mat. dl Palermo, т. XX,
1905, стр. 265—303) частных случаев, в которых, как и в простейшем примере,
указанном в п. 52 гл. V, присоединение какой-нибудь новой связи к неголо-
номной связи чистого качения позволяет рассматривать систему как голо-
номную.

16.	Перманентные вращения, динамически возможные
при движении по инерции гиростата вокруг закреплен-
ной точки, или центра тяжести. Обозначим, как и в § 4, через х
(относительный) результирующий момент количеств движения относительно
закрепленной точки или центра тяжести, происходящий от внутренних дви-
жений, н предположим, что речь идет об установившихся движениях, так
что вектор х нужно считать постоянным относительно неизменяемой части S
гиростата.

В искомых перманентных вращениях мы, очевидно, будем иметь при
обычных обозначениях K — Q, так что на основании уравнения (48) п. 27
угловая скорость « должна удовлетворять уравнению

(К+х)Х® = 0.

Проверить, что геометрическое место возможных перманентных осей
есть конус второго порядка, уравнение которого относительно главных осей
инерции системы 2 определится в виде

Ах By Cz
х у z
1а-. 1у 1г

= 0.

Вспоминая уравнение конуса Штауде (гл. VIII, п. 25), мы увидим то-
ждественность двух уравнений, за исключением лишь подстановки вместо
координат Хд, Уд, z0 центра тяжести постоянных /д., jy, Поэтому иссле-
дование частных случаев можно вести способом, совершенно аналогичным
способу, указанному в упражнении 11 упомянутой главы.

Более глубокое изучение этих перманентных вращений и их устойчивости
см. Laz zarln о, Rend. Асе. Lincei, с. 5а т. XXVI, 19172, стр. 146—151; АШ
Асе. Torino, т. LIV, 1919, стр. 202—219.
Глава X

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Гамильтонова форма лагранжевых систем

1.	Канонические системы. Возвратимся опять к изучению лагран-
жевых систем (п. 41 гл. V), т. е. систем из п дифференциальных
уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qlt q2, . .., qn
от t, имеющих вид

d__dQ_____dQ_

dt d'qn d9h

(h = 1,2......n),	(1)

где £ обозначает какую угодно функцию (правильную в некоторой
области) от координат q, от их первых производных q и, возможно,
от независимой переменной t. Как мы уже видели, во всякой области п
измерений, в которой гессиан

Э2 8

Д =

лагранжевой функции £ не будет тождественно равен нулю, система (1)
будет нормальной, т. е. разрешимой относительно вторых производ-
ных q от неизвестных функций.

Далее, из анализа известно (и в частных случаях нам приходи-
лось применять этот способ), что всякую нормальную систему второго
порядка с п неизвестными функциями можно заменить бесконечным
множеством способов эквивалентной ей системой первого порядка,
тоже нормальной, с 2л неизвестными функциями или, как мы будем
говорить теперь, порядка 2л. Достаточно взять за новые неизвестные
функции, наряду с q, п их первых производных q, или, вообще,
л каких угодно независимых между собою функций от q, которые
могут содержать также координаты q и время /.

Классическое преобразование Гамильтона, которое мы будем здесь
рассматривать, является только частным применением этого способа
и состоит в том, что за вспомогательные неизвестные принимают
переменные
ап

Л =	(Л = 1, 2, ..., л), (2)

Называемые сопряженными переменными относительно q или, как
мы условились говорить в п. 42 гл. V, моментами (или обобщен-
ными импульсами), вследствие механического истолкования, которое
им можно дать в некоторых типичных случаях динамики голономных
систем. Уравнения (2) при Д^О представляют собой п уравнений
относительно q; поэтому в области, в которой не только функция 2
является правильной, но сохраняет свою силу и это неравенство,
они будут разрешимы относительно q, и мы будем иметь

=	(Л=1, 2,	, я); (2')

с другой стороны, уравнения (1) на основании уравнений (2) и экви-
валентных им уравнений (2) дают

<‘=‘-2........«). О')

так что производные от новых неизвестных р будут выражены через
р, q, t, как это имело место для q в силу уравнений (2').

Мы пришли, таким образом, к нормальной системе первого по-
рядка с 2п неизвестными функциями р, q, состоящей из уравнений
(1)> (2'); эти 2п уравнений можно назвать эквивалентными перво-
начальной лагранжевой системе (1), так как, с одной стороны, они
получаются из уравнений (1) только что указанным однозначным
способом, а с другой стороны, обратно, исходя из соотношений (1'),
(2х), мы возвратимся к уравнениям (1), исключая р посредством
уравнений (2).

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1).
Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, за-
ключающееся в том, что правые части уравнений (Iх), (2х) можно
выразить посредством одной единственной функции от р, q, t, назы-
ваемой функцией Гамильтона * *) или характеристической функ-
цией, так что система первого порядка (Iх), (2х) с формальной точки
зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева
система, зависящая от одной только функции 8 *). Функция Гамиль-

*) В. Р. Гамильтон родился в Дублине в 1805 г., умер в ДунсиИке
В 1865 г., был профессором астрономии в Дублинском университете и прези-
дентом Ирландской академии. Изобрел метод кватернионов, представляю-
щий собой алгоритм полного и систематического геометрического исчисле-
ния. Под влиянием трудов Гамильтона, Грассмана и Беллавитиса возникло
менее полное, но более элементарное понятие о векторах, которое теперь
всюду в употреблении. Классическими являются и вклады Гамильтона в геоме-
трическую оптику, в дифференциальную геометрию систем прямых, в теорию
уравнений с частными производными и в аналитическую механику, на основе
которой он построил теорию распространения света.

*) Гамильтон исследовал более частный случай, когда функция Ла-
гранжа 8 не зависит от t. Излагаемые ниже преобразования принадлежат
М. В. Остроградскому.

Остроградский Михаил Васильевич родился в 1801 г. в деревне
Пашенной, Кобелякскоро уезда, Полтавской губернии, умер в 1861 г. в Москве.
Обучался в Харьковском университете, а затем в Париже, где и началась
его педагогическая и научная деятельность. В 1830/31 гг. вернулся на родину
и был избран сначала адъюнктом, а затем вскоре действительным членом
тона выражается через функцию Лагранжа в виде



(3)

и была уже введена нами в п. 43 гл. V (полная энергия в динами-
ческом случае); только здесь она должна рассматриваться выражен-
ной через р, q, t посредством уравнений (2), (2'); для того чтобы
лучше выявить это обстоятельство, мы можем представить ее в виде

H(p\q\t)= 2 РъЧъ —	(3')

Л=1

истолковывая здесь q как символы соответствующих функций от
р, q, t, определяемых уравнениями (2').

Чтобы убедиться, что правые части как уравнений (Г), так и
уравнений (2') можно выразить очень просто посредством функ-
ции Н, достаточно применить следующий классический способ, при-
надлежащий самому Гамильтону. Будем рассматривать величины р, q, t
как независимые переменные, a q—-как функции от них, выражен-
ные равенствами (2'); считая t постоянным, придадим величинам р, q
произвольные бесконечно малые приращения 8р, Zq, благодаря чему
функция Н получит приращение

Л=1

(<)

С другой стороны, на основании соотношения (3') то же самое
приращение можно написать в виде

л	’л

Петербургской Академии Наук, где занимал кафедру прикладной мате-
матики.

Труды М. В. Остроградского посвящены общим вопросам аналитической
механики и решению ряда частных задач. Он обобщил принцип возможных
перемещений на случай освобождающих связей, а также указал на его при-
менение .к вопросам удара.

Каноническую форму уравнений движения и теорему о характеристи-
ческой функции он распространил на случай механических систем, связи
которых явно зависят от времени.

В своей работе об изопериметрах он изложил начало наименьшего
действия с точки зрения более общей, чем это было сделано до него Гамиль-
тоном.

Хотя направление научного творчества М. В. Остроградского связано
главным образом с общими проблемами механики, но ему принадлежит
также ряд весьма ценных работ по гидродинамике, теории притяжения,
теории упругости и баллистике. Оценка работ М. В. Остроградского, сделан-
ная Н. Е. Жуковским, напечатана в „Математическом сборнике" за 1902 г.,
т. XXII. (Прим, ред.)

16 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
или, принимая во внимание уравнения (2) и подставляя uh вместо qh,

из сравнения двух выражений, полученных таким образом для 8/7,
в силу произвольности приращений 8pft, bqh, получим

МА <М)=аК?
г h

дН

(h = 1, 2, ... , «).

Поэтому системе первого порядка (1'), (2'), эквивалентной лагран-
жевой системе (1), можно придать упомянутую выше гамильтонову
форму

Рь —

дН А
дЧ I
дН (
дРп J

(Й= 1,2,	(5)

Всякая система дифференциальных уравнений первого порядка
этого вида, какова бы ни была функция H(p\q\f), называется кано-
нической или гамильтоновой системой; переменные р и q называются
каноническими переменными, причем величины р называются пере-
менными первой серии (это те функции, производные которых в выра-
жении посредством Н имеют явно знак минус), а величины q — пере-
менными второй серии; ясно, конечно, что речь идет о различии
совершенно несущественном, так как обе серии переменных обме-
няются местами, если изменить знак у функции Гамильтона.

2.	В предыдущем пункте мы видели, что при условии Д ф О
уравнения

=	(Л=1,2, ..., п) (2)

разрешимы относительно q в виде

^=1?	(й=1,2, ... , w),

где Н (р | q 11) означает функцию, определяемую равенством (3'). От-
метим здесь, что и, обратно, эти последние уравнения разрешимы
относительно р и, следовательно, эквивалентны уравнениям (2), если
отличен от нуля гессиан функции Н

△i —

I dW

I дРп дЧ
Если, допустив эту обратимость соотношений, связывающих р
с q, продифференцируем любое из переменных р по любому другому
из них, рассматривая его как сложную функцию через посредство q,
то получим тождество

где, как обычно, 8^ означает единицу, если индексы h. и I равны
между собой, и нуль, если они различны; достаточно принять во вни-
мание выражения для р и q соответственно через Н и 8, чтобы пре-
дыдущим тождествам можно было придать вид

V д*н

i d4hdqk дркдрг

2,

Таким образом, мы видим, что элементы гессиана Дх функции Н
взаимны (т. е. равны алгебраическим дополнениям, деленным на опре-
делитель) с элементами гессиана Д функции 8, откуда, в частности,
имеем тождество

ДД1 = 1;

из этого тождества следует, что если один из гессианов (функции 8
по q или функции Н по р) конечен и отличен от нуля, то то же
можно сказать и о другом.

Отсюда легко вывести, что как при ДфО любую лагранжеву
систему можно преобразовать в каноническую систему, так и, обратно,
любую каноническую систему, характеристическая функция Н которой
имеет отличный от нуля гессиан Д^ можно рассматривать как пре-
образованную из лагранжевой системы.

Это доказывается путем, обратным тому, которым мы от лагран-
жевой системы (1) перешли к канонической системе (5). Именно,
отметив, что в силу предположения ДхфО вторая группа уравне-
ний (5)

(л==1 2’•••’">

разрешима относительно р в виде

=	(Л = 1, 2,

Мы введем функцию
п

2 = ^Ph4h — H>
Л=1
которая, если принять во внимание только что указанные выражения
для р, выразится через q, q, t. Это и есть, как это легко проверить,
лагранжева функция системы, которая порождает заданную канони-
ческую систему.

3.	При изучении канонических систем прибегают к геометрическому
представлению, аналогичному тому представлению, которое дается
пространством А2п состояний движения для решений лагранжевой
системы (гл. VI. п. 2). 2 п канонических переменных р, q истолко-
вываются как декартовы прямоугольные координаты линейного про-
странства Ф2п 2/г измерений, которое, следуя Джиббсу1), называют
фазовым пространством.

В пространстве Ф2п всякое решение p=p(f), q = q(/) канони-
ческой системы изображается кривой (интегральной), которая, ввиду
того, что параметр t представляет собой меру времени, часто назы-
вается траекторией. Соответственно возможному выбору 2и произ-
вольных координат, от которых зависит общий интеграл канонической
системы, имеется со2» траекторий, из которых одна и только одна
проходит через данную точку фазового пространства Ф2п.

4.	Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно,
и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений первого порядка) интегралом называется соотношение вида

/ {Р IЯ 10 = const,
которое тождественно удовлетворяется всяким решением системы.
Само собой разумеется, что постоянной в правой части надо приписать
для всякого отдельного решения подходящее значение, а именно:
если pQ, qQ, /0 являются соответствующими начальными значениями
величин р, q, t, то эта постоянная должна быть положена равной
/(Ро I Яо I А))- Иногда интегралом системы называется также сама функ-
ция f(p[qlt); однако такую функцию точнее называть инвариантом
по той причине, что в фазовом пространстве функция f{p\q\t) сохра-
няет постоянное значение вдоль всякой траектории.

Заметив это, вспомним, что для лагранжевой системы (1), когда
функция 2 не зависит от /, имеет место (гл. V, п. 43) обобщенный

!) Дж. В. Джиб б с (Josian Willard Gibbs) родился в 1839 г. в Ньюгавене
(Коннектикут), умер там же в 1903 г. Получил степень доктора в своем родном
городе, затем некоторое время был в Париже, Берлине и Гейдельберге, где
слушал лекции Гельмгольца и Кирхгоффа. С 1871 г. до конца жизни был про-
фессором математической фи ики в университете в Ньюгавене. Он внес
важный вклад в термодинамику, в аналитическую механику, которой посвятил
специальный том, а также в электромагнитную теорию света и в векторные
методы, которые нашли у него изящное применение к вычислению орбит.

Вскоре после его смерти его мемуары были изданы в двух томах (Лондой,
1906 г.).
интеграл энергии

Н — const.

(6)

Указанная выше эквивалентность между всякой лагранжевой систе-
мой и соответствующей ей канонической системой заставляет нас
предполагать, что если функция Гамильтона не зависит явно от t,
то уравнение (6) в предположении, что Н выражена в функции от р, q,
должно давать интеграл канонической системы.

Полезно дать здесь доказательство этого предложения, потому что
оно является прямым следствием одного общего тождества, которое
само по себе будет необходимо в дальнейшем. Для того чтобы
установить это тождество, заметим, что, какова бы ни была функция Н,
составляя полную. производную этой функции по t, будем иметь

dH v i'dH ’	, дН • \ , дН

-dt~

достаточно принять во внимание каноническую систему (5), чтобы
убедиться, что для всякого ее решения тождественно имеем

d/-/ _ дН
dt ~ dt •

Если мы предположим теперь, что функция Гамильтона не завися',
явно от t, то непосредственно найдем, что для канонической системы
существует интеграл (6), который можно также называть обобщенным
интегралом энергии.

Другой элементарный тип интеграла мы будем иметь в том случае,
когда характеристическая функция Н не будет зависеть от какой-
нибудь из переменных q\ действительно, если имеем dH:dqr = G,
то из соответствующего уравнения (5) будет следовать, что существует
интеграл

pr — const.

Интегралы этого типа можно называть интегралами обобщенных
кинетических моментов или интегралами обобщенных количеств
движения; отметим еще, что только это указанное обстоятельство
совпадает с результатом, полученным в п. 45 гл. V для лагранжевых
систем, когда имеются игнорируемые координаты. Действительно,
если функция 2 (q | q | f) лагранжевой системы не зависит от одной
координаты qr, то от этой координаты не будут также зависеть
обобщенные импульсы

ЭР

=	0 = 1, 2, .... п) (2)

d<h

И производные от обобщенных координат

7ft = “л 0 И О 0 = 1,2,...,»), (2')
получающиеся в результате решения уравнений (2) относительно q.
Отсюда следует, что не будет зависеть от qr и характеристическая
функция Н (р | q 11) соответствующей канонической системы, которая
получается после подстановки в выражение

п

'£рпЯь--%(я\я\ О

Л = 1

вместо величин q их выражений (2').

Обратно, если переменная qr не входит в характеристическую
функцию H(p\q\ t) канонической системы, то она не войдет и в выра-
жения

2....">•

а следовательно, и в выражения

Ри = vh(q I я 10;

поэтому соответствующая лагранжева функция 8 (q | q | /), получаю-
щаяся (п. 2) посредством подстановки только что указанных значе-
ний р в выражение

2 WHO.

Л=1

также не будет зависеть от qr.

5.	Явное выражение функции Гамильтона в динамическом, случае.
Если функция Лагранжа 8 составлена для решения задачи о движении
голономной системы, находящейся под действием консервативных
сил, то, как известно (гл. V, п. 40),

8 = 7’ + U,	(8)

где

Т=Т2+Т1 + 7’о	(9)

при
п	п

7<> = а1лЯнЯк> = анЯь>

Л=1	Л=1

причем То, потенциал U, а также коэффициенты а№,. аь зависят только
от q и, возможно, от времени t.

Для того чтобы перейти к выражению функции Гамильтона И,
определяемой равенством (3), заметим прежде всего, что уравнения (2),
определяющие обобщенные импульсы р, принимают здесь вид

п

Рн^^ЧкЯк+ah (й= 1, 2,..л).	(10)
Если обозначить, как обычно, через величину, взаимную с ahk
в дискриминанте квадратичной формы Т2 (т. е. алгебраическое
дополнение элемента ahk, деленное на определитель), то уравне-
ния (10) после разрешения относительно qh дадут
п

Чп	(рк — ак) (й=1, 2,...,/;).

С другой стороны, по теореме Эйлера имеем

d7\ •
дЧ1ь



так что справедливо тождество

V дй

Чь = 2^2 + Tv

которое в рассматриваемом здесь динамическом случае позволяет
придать уравнению (3) вид

Н = {Т^— т0 — и,	(11)

где (Т2) обозначает функцию от р, q, t, ‘получающуюся из Г2
при помощи подстановки вместо q их выражений (10'). Если, в част-
ности, связи не зависят от времени и, следовательно, живая сила Т
сводится к своей квадратичной части Tit то имеем просто

H = {T)—U,	(11')

т. е. функция Гамильтона есть не что иное, как полная энергия
системы, как это уже отмечалось в п. 43 гл. V.

Теперь остается только выразить явно через р, q, t квадратичную
форму (Тд), а для этой цели заметим, что эту форму можно пред-
ставить в виде
п п

^2 =2 4h d,kkqk,

Л=1 fc=l

выполняя первое частичное исключение при помощи формул (10),
получаем
п

Чh (Ph >
Л = 1

после этого на основании равенств (10') заключаем, что
п

Т2 = 12 (Рь - Ъ) (Рк -	(12)
и, в частности, в случае не зависящих от времени связей,
п

(12')

Л = 1
fc=i

Подставляя это выражение для (7) в равенство (11) или соот-
ветственно в (11'), мы увидим, что функция Гамильтона представляет
собой квадратичную функцию относительно р, вообще говоря, неодно-
родную, с коэффициентами, зависящими от q nt; она становится
однородной с коэффициентами, выражающимися только через q, когда
связи не зависят от времени.

Это новое выражение (12) или (12') в противоположность перво-
начальному, представленному в переменных q, q(u /), называется
канонической формой квадратичной части Г2 живой силы или полной
живой силы Г; в этом последнем случае, когда связи не зависят от
времени, мы имеем следующее практическое правило: чтобы перейти
от выражения Т к выражению (Г), достаточно написать взаимную с Т
квадратичную форму, подставляя в нее вместо каждой qh соответ-
ствующий момент рп.

Далее, если живая сила Т, выраженная через q, имеет ортого-
нальный вид

то, кроме подстановки переменных, все сведется к замене каждого
коэффициента аи его обратным

6. Примеры, а) В случае, когда свободная точка с массой, равной
единице, отнесена к сферическим координатам р, 6, ®, живая сила
определяется равенством

Г == g- (р2	р292 -ф- р2 sin2 6ф2),

так что переменными, сопряженными с р, 9, ф, будут соответственно

Рр=р, Ро = Р2’6 * * 9, Др = р2 sin2 f) ф.

Отсюда непосредственно или замечая, что форма Т является
ортогональной, и применяя только что.высказанное правило, получим

(П = J \Рр +	Р<‘ + р2 sin2 0 Pt) 

Аналогично, в цилиндрических координатах г, ф, г (из которых
две первые представляют собой не что иное, как полярные коорди-
наты в плоскости z — 0) имеем

и, следовательно,

(Л ^-|(/’г + т2 Рф + р*)-

б)	В качестве второго примера рассмотрим систему из /V -]- 1 ’)
свободных точек Pi(i — 0, 1, и примем за лагранжевы пара-
метры 3((V-|-1) соответствующих декартовых прямоугольных коор-
динат Cf относительно системы осей 2$т]С. Обозначив через /я,-
массу точки Рь будем иметь

N

т=4 х+ф,
г —О

так что для сопряженных переменных ir<t -д, pf имеют место выражения

1т<==/иД, Xi = wA, Р< = /«4 (г = 0, 1, .. .,7V);

эти величины, очевидно, представляют собой проекции количеств
движения.

В согласии с последним замечанием предыдущего пункта, кано-
нической формой живой силы будет здесь

N

(Л = у /«7 х* Ч~р*)’
4 = 0

в)	Рассмотрим, наконец, твердое тело, закрепленное в точке О,
и примем за лагранжевы координаты углы Эйлера 9, <р, ф, опреде-
ляющие положение главных осей инерции относительно точки Ot
неподвижных в теле, по отношению к любой неподвижной системе ОЭ|С

Если обозначим, как обычно, через р, q, г проекции (на оси,
неподвижные в теле) угловой скорости ю тела и через А, В, С—
главные моменты инерции, то живая сила, как мы уже знаем (гл. IV,
п. 10), определится равенством

Г = .|(Лр2+В<72+Сг*).	(13)

1) Мы говорим здесь об W-l-l точках (а не об ЛГ, как это могло бы
показаться более естественным), потому что в большей части задач небес-
ной механики обычно одна из точек (так называемое центральное тело Рп)
имеет преобладающее влияние на движение остальных точек (гл. III, п. 22).
Так как р, q, г связаны с лагранжевыми координатами 0, ®, ф
и с их производными известными соотношениями (т. I, гл. III, п. 32, 33)

р = ф sin 9 sin <р -ф- 6 cos ср,

q = ф sin 9 cos ср — 9 sin ®,

r =	9 cos 9 -j- cp,

то мы видим, что квадратичная форма Т относительно 9, ср, ф не
будет, как в случаях (а) и (б), ортогональной; поэтому для перехода
к канонической форме (Т) здесь необходимо обратиться к общему
приему исключения.

Если введем направляющие косинусы

= sin 9 sin ср, у2 = sin 9 cos f3 = cos9

неподвижной оси С относительно осей, неподвижных в теле, то пере-
менные pfl, p,f, сопряженные с 9, <р, ф (на основании уравнения (13)
и только что приведенных выражений для р, q, г), будут определяться
равенствами

дГ	п .

р0 = —г = Ар cos ср — Bq sin ср,

(14)

= = Аръ + Вчъ + СПз’

отсюда, полагая для простоты письма

__Рф—P<pcos 0
sin 0	’

получим

Ар— cos ср-j-a sin ср,
Bq — — p$ sin ср о cos ср,
Сг = рф

(14')

и по не подстановки в выражение (13) найдем

__ 1 ((р0 cos <р + a sin <р)а (р0 sin ср — a cos <р)2 [	)

— у |	Д	Г —	£	И Q- J •

7. Теорема Дирихле. Вернемся на один момент к теореме Дирихле,
имея в виду эту теорему как для динамического (гл. VI, п. 5), так и
для общего (гл. VI, п. 17) случая.

В синтетических доказательствах этой теоремы, в только что
упомянутых пунктах, цы обращались к пространству А^ состояний
движения, т. е. к пространству, в котором переменные Лагранжа q, q
истолковывались как декартовы прямоугольные координаты. Теперь
на основании соотношений (2) или эквивалентных им соотношений (2Г)
мы имеем одно-однозначное соответствие между этим пространством А2п
и фазовым пространством Ф2и; если примем во внимание, что
свойство какой-нибудь функции иметь минимум остается инвариантным
по отношению ко всякому такому соответствию, то увидим, что син-
тетическое доказательство теоремы Дирихле, указанное в пп. 6,17
гл. VI, можно повторить без существенных изменений относительно
координат р, q.

§ 2.	Канонические преобразования

8.	Определение. Пусть задана какая-нибудь система дифферен-
циальных уравнений первого порядка в нормальном виде

^ = Xf(xR) (/= 1, 2, ..., я); (15)

выполним над неизвестными функциями к какое-нибудь преобразова-
ние, возможно, заключающее в себе и t,

Л =	(J==l,2......я),	(16)

подчиненное одному только существенному условию обратимости. Мы
предполагаем, таким образом, что для функций (16) могут быть
однозначно определены, по крайней мере в некоторой области значе-
ний у и t, обратные функции

Xi = xt(y\t),

для чего, как известно, необходимо и достаточно, чтобы в этой
области не был тождественно равен нулю якобиан от у по х.

Так как полная производная от у по t равна

(/ = 12 я)

dt ~ ZldXi dt ' dt V L,*,
j—i

то непосредственно ясно, что система, получившаяся в результате
преобразования системы (15), будет также нормальной.

Так, в частности, если начальная система была канонической, то
преобразованная система будет во всяком случае нормальной. Но,
вообще говоря, эта новая система не будет канонической.

Будем называть каноническим всякое преобразование я пар пере-
менных р и q в новые и пар переменных лих, которое, будучи,
возможно, зависимым от t и обратимым, преобразовывает всякую
(й= 1,2..n\

каноническую систему (5) переменных р, q в каноническую систему

•	ЗФ

•	ЭФ

где новая функция Гамильтона Ф может быть какой угодно (не обя-
зательно равной преобразованной из первоначальной функции Н).

С. Ли1) полностью определил все канонические преобразования
посредством одного дифференциального2) условия, которое мы ука-
жем, пользуясь исследованиями, принадлежащими Морера3), в ближай-
шем п. 10, причем ограничимся лишь, подтверждением достаточности.
Для этого здесь необходимо предпослать некоторые вспомогательные
рассуждения.

9.	О пфаффианах и их союзных системах. Пусть дан любой пфаф-
фиан с переменными х{ (г = 1, 2, . .., п)

п

г = 1

где Х{ обозначают п произвольных функций от х (конечно, правиль-
ных в некоторой области). Как и в п. 57 гл. V, рассмотрим вместе
с дифференциалами dx другую систему независимых дифференциалов 8х

J) Марий Софус Л и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер
в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете
в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г.
был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в тече-
ние двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных
национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью,
приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину
на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете
в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера
с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Но благодаря смелой но-
визне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-
подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории
математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежа-
щей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он
пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и
к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории
конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершен-
ной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности
приложений остается вечным памятником его имени.

’) Die StOrungstheorie tnd die Beruhrungstransformationen, Arch, for Math.,
т. II, 1877, стр. 129—156; Gesamm. Abhardl., t. Ill; Leipzig-Kristiania, Teub-
ner-Aschehoug, 1922, стр. 295—317.

3)	G. Morera, Sulla trasformazione delle equazioni differenziali di H a m! |-
tpn, Rend. Дсс. Lincei, т, XII, Г sem, 1903, стр. 113—122,
и введем билинейный ковариант у пфаффиана ф, определяемый равен-
ством

”	п дХ	дх-

* = 2(8Л< dXi ~ dXi Зх<) = 2 ( ~дГ ~ д/) dXi Ъхг

»=1	<=1 4 3 ‘

/=1

Если, оставляя явными 8х и полагая для краткости

^=2(dr-d^)dx*’

i=l 3

напишем этот билинейный ковариант в виде

п

J=1

то станет ясно, что для того чтобы он был равен нулю тождественно
относительно 8х (т. е. при каких угодно значениях этих дифферен-
циалов), необходимо и достаточно, чтобы dx удовлетворяли N урав-
нениям

% = 0 (у = 1,2, ..., п). (17)

Эта система п уравнений Пфаффа называется союзной с данным
пфаффианом ф; легко видеть, что, как и билинейный ковариант, она
инвариантна по отношению к преобразованию переменных.

Действительно, можно заметить, что если вследствие определен-
ного преобразования переменных в переменные xt пфаффиан ф перей-
дет в пфаффиан

п

<»1

то билинейный ковариант у по выполнении преобразования выразится
суммой

так что если положим

го новая союзная система уравнений, т. е. система уравнений, даю-
щая необходимое и достаточное условие для того, чтобы билинейный
ковариант у обращался тождественно относительно 8х в нуль, будет
иметь вид

W (/ = 1,2, ...,«). (17')

Если примем теперь во внимание, что в силу линейности и обра-
тимости соотношений, связывающих 8х с 8х, произвольность одних
величин влечет за собой произвольность других, то заключим, что
система (17'), по крайней мере с точностью до замены переменных,
эквивалентна системе (17), т. е., как это и утверждалось выше,
система (17') эквивалентна преобразованной из системы (17).

Кроме того, нужно заметить, что если к пфаффиану ф присо-
единить полный дифференциал dQ, то союзная система останется не-
изменной, так как оба пфаффиана 4 и	имеют один и тот же

билинейный ковариант.

10. Достаточное условие для обеспечения каноничвской природы
преобразования. После этого отступления возьмем снова любую кано-
ническую систему

(.%= 1, 2, ..., и) (5)

и заметим прежде всего, что она, по существу, не отличается от си-
стемы, союзной с пфаффианом

Ф= 2 pkdqk—Hdt.

Л = 1

Ph~ dqh

• _ дН
ЧН Ап,.

Действительно, соответствующему билинейному коварианту

Х = 2 (bPhd<lh — dpKlq^ — Wdt-ydHZt,
h =1

развертывая 8/7, можно придать вид

X = 2 { - (dP* +dt) + (dqK

Й = 1

так что, полагая равными нулю коэффициенты при 8р, Zq, 8t и деля
в полученных таким образом уравнениях обе части на dt, мы полу-
чим систему, союзную с пфаффианом 6, в виде

dt ~ dqk’ dt~dpk’ dt ~ dt (	>'
Первые 2и из этих уравнений составляют как раз данную кано-
ническую систему, а последнее, как мы видели в п. 4, является их
необходимым следствием.

После этого можно утверждать, что обратимое преобразование

(й = 12.......л) (18)

<7л = (* I * 10 J

между п парами переменных р, и тс, х будет каноническим, если
будет удовлетворяться тождественно уравнение вида

п	п

'SiPndqh='Si^hd^-{-Hodt-YdQ,	(19)

Л=1	Л=1

где Но и 2 обозначают две функции, a priori какие угодно, от
4/г —1 переменных р, q, тс, х и t.

Действительно, тождество между пфаффианами (19), если из обеих
частей равенства вычесть Hdt, можно написать в виде

п	п

S Pb.dqh — Hdt— 2	—(^—H^dt-\-dQ‘,

Л=1	Л=1

поэтому союзной системой с пфаффианом в левой части будет как
раз каноническая система (5), а союзной системой с пфаффианом
в правой части, так как полный дифференциал dQ ничего к ней не
прибавляет (предыдущий пункт), будет та каноническая система
относительно тс, х, которая имеет характеристической функцией И—Но,
причем эта функция предполагается выраженной при помощи уравне-
ний (18) посредством одних только тс, х, t. Тождественность двух
пфаффианов, по меньшей мере с точностью до преобразования пере-
менных (18), влечет за собой аналогичную тождественность соот-
ветствующих систем, т. е. двух только что названных канонических
систем; поэтому заключаем, что система, получающаяся после пре-
образования посредством формул (18) какой-нибудь канонической
системы (5) с характеристической функцией Н, является не только
нормальной (п. 8), но и канонической, и имеет в качестве характе-
ристической функции Н—Но.

Не будет лишним отметить, [что всякий раз, когда имеет место
тождество (19) в написанной форме, величины тс для преобразо-
ванной системы составляют первый ряд переменных, величины
х — второй.

11. Канонические преобразования, зависящие от произвольной функ-
ции от 2п 1 аргументов. Мы придем к одному классу канонических
преобразований, который, как увидим' ниже (§ 4), находит заме-
чательные применения, если введем какую-нибудь произвольную функ-
цию V, зависящую от нескольких первоначальных переменных и от
такого же числа преобразованных переменных, например от q и от к,
а также, возможно, от t.

Единственным существенным предположением является лишь то,
чтобы смешанный функциональный определитель

V=|| -Э2.К..[	(й, /=1, 2, ..., л)

не был тождественно равен нулю.

При этом предположении легко подтвердить прежде всего, что
равенства

dV	дУ ,,	.	. с,	ч ,опч

—(Л, i—1, 2, ...., л) (20)

действительно определяют преобразование между р, q и тг, -z. В са-
мом деле, вторые п уравнений (20), так как якобиан от
по q, как тождественный с V, будет отличен от нуля, разрешимы
относительно q в виде

(теI х 1 О (Л= 1, 2, ..., л);

достаточно присоединить эти уравнения к уравнениям, которые выво-
дятся из первых л из уравнений (20), чтобы получить преобразова-
ние (18) общего типа.

Нетрудно доказать, что мы имеем здесь каноническое преобра-
зование, для чего достаточно проверить, что уравнения (20) удовле-
творяют (при надлежащем выборе двух функций Но, 2) тождеству (19).

Для этой цели заметим, что из уравнений (20) следует соотно-
шение

п	п	п

Л = 1	Л = 1	А-=1

в то время как правая часть есть не что иное, как

dV— ^dt,
or

вторую сумму в левой части можно написать в виде

п	п

d 2	— 2 dv.h,

Л = 1

так что в качестве следствия из соотношений (20) мы находим
тождество

Л=1	Л = 1	Л —1
Таким образом, утверждение будет доказано, если положим

И dV о т/ V

2 = V— 2 Vh>
А» 1

поэтому заключаем, что всякое преобразование типа (20), в предпо-
ложении V 0, является каноническим, причем вместо характеристи-
ческой функции Н входит в этом случае функция

и , ЗУ

выраженная, естественно, через к, х, t.

12. Вполне канонические преобразования. Если функция V явно
не зависит от t, то преобразование (20), примененное к какой-нибудь
канонической системе, не только сохранит ее типичный вид, но и
оставит неизменной ее характеристическую функцию, в том смысле,
что преобразованная каноническая система будет иметь характери-
стической функцией преобразованную из первоначальной функции Н.

Преобразование, обладающее этим двойным свойством, называется
вполне каноническим.

Из заключения п. 10 следует, что в совокупности определенных
там преобразований вполне каноническими будут только преобразо-
вания, удовлетворяющие тождеству (19) при /7о = О, т. е. тождеству

2 Phdqh = 2 d'.h dQ.	(19')

Л = 1	Л=1

Легко убедиться, что к этому классу (вполне) канонических преобра-
зований мы придем всякий раз, когда будем искать преобразование (18),
не зависящее от t и удовлетворяющее общему тождеству (19).

Действительно, если общее тождество (19) напишем в виде

п	п

S phdqh—^TChd^^Hodt-^-dQ	(21)

Л=1	Л=1

и представим себе, что величины р, q выражены только через тг, х
при помощи предполагаемого преобразования, не зависящего от t, то
увидим, что левая часть не зависит ни от t, ни от dt. Так как
она должна быть тождественна с правой частью по отношению
к 2й —1 аргументам тс, х, t, то заключаем, что прежде всего должно
удовлетворяться тождественно равенство

с "другой стороны, д2/дтсй, д2/дхл должны быть независимыми от /.
Поэтому 2 будет вида -f- Т, где 2j не зависит от t, а Т является

17 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальдн
функцией этого единственного аргумента; равенство (21) примет
тогда вид
п	п

^Phdqb = 2

Л = 1	h=l

т. e. совпадет с равенством (19'), что мы и хотели доказать.

Еще более частным случаем вполне канонических преобразований
являются так называемые однородные преобразования, т. е. обрати-
мые и не зависящие от t преобразования п пар р, q в тс, х, удо-
влетворяющие дифференциальному тождеству

п	п

2pft<tyh= 2	С19")

Л=1	Л=1

мы придем к одному интересному специальному классу таких пре-
образований, задавая произвольно при одном только предположении
обратимости преобразование, не зависящее от t, между п первона-
чальными переменными, принадлежащими одному ряду, и п преобра-
зованными переменными, тоже принадлежащими одному ряду, напри-
мер между q и х

<7л = ?л(у-1, *2>	х»)	(А=1, 2,..., л), (22)

В этом случае все сведется к тому, чтобы найти, какие уравне-
ния типа

Рл = Рл(’с1, те2» • • •>	*i> • ••, хп) (Л = 1, 2, . .., л) (23)

надо присоединить к равенствам (22), чтобы тождественно удовле-
творить (19"); для этого достаточно подставить в него выражения (22)
и приравнять в обеих частях коэффициенты при произвольных диф-
ференциалах </хЛ, чтобы однозначно получить уравнения

п

=	(*=1,2, ..., л). (24)

<=1

Эти уравнения будут линейными относительно тс, р с коэффициен-
тами, зависящими только от х, и однозначно разрешимыми относи-
тельно р, если на основании предполагаемой обратимости уравнений
(22) якобиан ||д^/йхЛ|| не равен тождественно нулю.

С другой стороны, к тому же результату можно прийти, разре-
шая предварительно уравнения (22) относительно х

*л = у-л(?1, <7а> •••, ?л) (А = 1, 2, ..., п) (22')
и подставляя в уравнения (ig"); после этого сравнение коэффициен-
тов при dq однозначно приведет к равенствам

п

(* = 1, 2, ..., л). (24')
Уравнения (24), (24') делают очевидным тот факт, который можно
было предвидеть заранее на основании тождества (19"), что пере-
менные р и и преобразуются одни в другие как частные производные
первого порядка от одной и той же функции переменных q или, соот-
ветственно, переменных х, подвергнутых преобразованию (22) или
(22'), т. е., как говорят, в абсолютном дифференциальном исчи-
слении, преобразуются ковариантно.

13. Линейные вполне канонические преовразования. Если функ-
ция V п. 11 не зависит от t и линейна относительно своих 2я аргу-
ментов q и к, то и соответствующее вполне каноническое преобра-
зование будет линейным (и однородным). В общем случае, если
предположить, что уравнения (20) разрешены относительно новых
переменных л, х, эти последние будут выражаться (линейно) через 2я
первоначальных переменных р, q.

Особого рассмотрения заслуживают те вполне канонические пре-
образования, при помощи которых вместо п переменных одного из
первоначальных рядов, например q, вводятся п наперед заданных их
линейных однородных независимых комбинаций с постоянными коэф-
фициентами
п

4=2	(л=1, 2, ..., я).	(25)

i = 1

Способ предыдущего пункта приводит к однозначному определе-
нию таких п линейных относительно р форм, тоже с постоянными
коэффициентами (которые должны быть приняты за новые перемен-
ные тс), чтобы полученное преобразование было (вполне) каноническим.
Для этого достаточно разрешить уравнения (25) относительно q и
затем применить равенства (24).

Но в этом случае к результату можно прийти быстрее, замечая,
что, так как уравнения (25) имеют постоянные коэффициенты, сущест-
вуют такие же соотношения между дифференциалами dq и dx; по-
этому тождество (19") можно здесь заменить конечным соотношением

п	п

%Ръ<1ъ== 'St Vh,	(26)

ft=l	Л=1

которое выражает, что две системы линейных подстановок (с по-
стоянными коэффициентами), которые надо выполнить над перемен-
ными р, q, должны оставить неизменной так называемую унитарную
билинейную форму. В простых случаях, которые чаще всего прихо-
дится рассматривать в конкретных задачах, равенство (26) позволяет
вывести одну из этих двух систем подстановок, когда задана другая.

Так, например, если при п = 3 требуется выполнить над перемен-
ными q подстановки

4 = ?1> х2 = $1— Ч =	—
то на основании соотношения (26), исключая все q, получим тож-
дество

+ ТС27'2 + *3*3 = № + Pi (71 — *2) + Рз (*1 — Х2 — хз)>
которое непосредственно дает

=Р1 + р2 + Рз> те2 = —Рэ—Рз> "з = ~ Рз-

Аналогично, если в случае какого угодно числа сопряженных пере-
менных р{, q{(i = 0, 1, ..., п) требуется сохранить одну из пере-
менных q неизменной, полагая, например,

7о ~ Яо>

и подставить вместо остальных qh (h > 0) разности

Ч =	— Qo (/z=l, 2, ..., и),

то найдем

тсо=2а> тсл = Рл (Л=1, 2, ..., п).

4 = 0

14.	Вполне канонические бинарные преобразования. В случае вполне
канонического преобразования, производимого только над двумя со-
пряженными переменными р, q, тождество (19'), принимающее здесь
вид

pdq — itdv. -j-dQ,

можно истолковать наглядно. Действительно, развертывая dq, можно
написать это тождество в виде

р ^-d^-\-(p 4^-----iz\dv. = dQ,

r dr. 1 V д-».	)

и условие, необходимое и достаточное для того, чтобы левая часть
была полным дифференциалом, выражается равенством

др др

dr. df.

, = 1-

dq dq

dn д%

Если как первоначальные переменные р, q, так и преобразован-
ные переменные к, х мы будем истолковывать как декартовы орто-
гональные координаты на плоскости, то увидим, что вполне канони-
ческие бинарные преобразования представляют собой так называемые
эквивалентные преобразования, т. е. преобразования плоскости,
оставляющие неизменными площади. В дальнейшем (п. 16) мы увидим,
что и вполне канонические преобразования с 2п переменными тоже
будут эквивалентными в том смысле, что в фазовом пространстве Ф2п,
в котором р, q истолковываются как прямоугольные декартовы
координаты, сохраняется неизменным объем ограниченных фигур 2л
измерений. Однако только в рассмотренном здесь случае, когда п — 1,
имеет место и обратное предложение, в силу которого всякое экви*
валентное преобразование может рассматриваться как вполне канони-
ческое.

Замечательное бинарное преобразование мы получим, если будем
рассматривать р, q как декартовы ортогональные координаты и введем
соответствующие полярные координаты р, 6, связанные с ними извест-
ными соотношениями

р = р cos 9, q = р sin 6.

В этом случае переменные тс = р2/2, х = 9 будут каноническими, так
как якобиан От р = ]/2тг cos х, q = ]Л2тг sin х равен 1.

Это замечание допускает переход от всякой пары сопряженных
переменных, имеющих характер декартовых координат на плоскости,
к какой-нибудь паре, тоже сопряженной, имеющей характер полярных
координат, или обратно.

Другое бинарное вполне каноническое преобразование, еще более
элементарное, состоит в умножении одной из двух сопряженных
переменных на произвольную постоянную пив одновременном деле-
нии на п другой. Ясно, что для такого преобразования определитель
Якоби будет равен 1.

В более общем случае можно поставить вопрос, какова должна
быть функция L от р, q, представляющая собой каноническую пере-
менную, которую надо присоединить к некоторой переменной I вида

I = nq,
где п уже не является более постоянной, а есть какая-нибудь наперед
заданная функция от аргумента р. Имея в виду соотношение (19"),
мы тотчас же заключаем, что для этого достаточно взять какую-нибудь
функцию от одного только р, удовлетворяющую условию

ldL = q dp,

т. е. на основании заданного для I выражения

Если далее будет иметь место то обстоятельство (которое встре-
тится нам в п. 68), что величины р и п выражаются посредством
какого-нибудь параметра а, то определяющее L дифференциальное
соотношение может быть написано в виде

dL = ^-~.	(27)

da п (а)	'

15.	Уравнения вполне канонического преобразования в разрешен-
ном виде. Скобки Лагранжа. Вернемся теперь к общим рассуждениям
п. 12, чтобы вывести из них в явной форме условия, при которых
какое-нибудь преобразование

(р\ч),	=	(А==1, 2, ..., я), (28)

связывающее 2я переменных р, q со столькими же переменными тс, х,
было бы вполне каноническим.

Возьмем снова для этой цели характеристическое условие полной
каноничности
п	п

S Pnd4n = 2 «Л4-^2,	(19')

Л=1	Л=1

которое словами можно выразить так: для того чтобы преобразо-
вание (28) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы
п

пфаффиан 2	выраженный через р, q посредством преобра-

Л = 1
п

зования (28), отличался от пфаффиана 2 Рн d4n только на полный

Л = 1

дифференциал от некоторой функции Q от тех же переменных р, q.
Но мы уже знаем, что полные дифференциалы характеризуются тем,
что для них билинейный ковариант тождественно равен нулю. Таким
образом, мы заключаем непосредственно, что для того, чтобы пре-
образование (28) было вполне каноническим, необходимо и доста-
точно, чтобы равенство между билинейными ковариантами пфаффиа-
п	п

нов 2 Phd4h и 2

й = 1	Л=1

2 $Ph d<lh — аРъРЯп) = 2 (814 d/h —	(29)

Л=1	й=1

обращалось в тождество, когда вместо дифференциалов 8тсЛ, rfz.Zl,
dith, подставляются выражения

(30)

Для того чтобы представить равенство (29) в явном виде, нужно
ввести символ, известный под названием скобок Лагранжа, и от-
нести его к 2я функциям «>, полагая их зависящими от каких-
нибудь двух из 2я аргументов; эти два аргумента могут быть взяты
ИЛИ Оба из р, или оба из q, или, наконец, один из р и другой из q.
Если обозначим их через и, v, то соответствующие скобки [а, •»]
Лагранжа определятся равенством

г„ ^.1 _ V (	d<f{

1 ’	1 —	\ ди dv ди dv )’

4 = 1

откуда непосредственно ясно, что речь идет о таком символе, кото-
рый в силу самого определения его обладает свойством

[и,	-J- [•», и] — 0.

Введя этот символ, выполним указанную выше подстановку выра-
жений (30) в равенство (29) и приравняем в обеих частях равенства
коэффициенты при одинаковых произведениях независимых диффе-
ренциалов op, dq, dp, Zq. Этим способом мы получим эквивалентную
тождеству (29) систему из п (2п—1) дифференциальных уравнений
первого порядка относительно 2п функций ©, Ф (в действительности
число этих уравнений равно 2/г (2/г—1), но оно сводится к поло-
вине в силу альтернативного свойства скобок)

Ьл. 17л. ^1=0, [ph, qk] = hk (h,	2, ri), (31)

где, как обычно, обозначает единицу или нуль, в зависимости от
того, совпадают или не совпадают оба индекса h, k; равенства (31)
и представляют собой требуемые явные условия для полной кано-
ничности преобразования (28).

16.	Геометрическая интерпретация условий полной каноничности.
Рассмотрим функциональный определитель преобразования (28), ко-
торый символически, очевидно, можно представить в виде

D =

dVi
дръ.

дРъ

дуг

(1=1, 2, ..., п\ h—1, 2, .. ., л),

где i обозначает номер строки, h — номер столбца.

Выполним в этом определителе порядка 2п следующие операции:
1) перестановку каждой из п первых строк со строкою, занимающей
то же место между остальными п строками; 2) перестановку каждого
из п первых столбцов со столбцом, занимающим то же место между
остальными п столбцами; 3) перемену знака у всех элементов пер-
вых п строк; 4) перемену знака у всех элементов первых п столб-
цов. Таким образом, мы получим определитель

ддк

d'bj

Эрп

dPh
Но каждая из указанных операций от 1) до 4) (перестановка
двух строк или двух столбцов, перемена знака у всех элементов од-
ной строки или одного столбца) производит только перемену знака
определителя. Все эти операции, вместе взятые, можно сгруппиро-
вать в пары операций одного типа, состоящие из одной операции
над строками и другой — над столбцами, причем последующие перемены
знаков определителя будут происходить в точности четное число раз.
Поэтому имеем D* — D, и, следовательно, квадрат определителя D
можно представить как произведение D на D*. Комбинируя столбцы
со столбцами и принимая во внимание определение скобок Лагранжа,
получим

£>а = £>£>* = | Чк\ I Рк) I (h, k= 1, 2, .. п). (32)
I l<Ih> I - l9h. Рк] \	v ’

Все это остается справедливым, каково бы ни было преобразова-
ние (28).

Но мы предположили, что преобразование является вполне кано-
ническим, так что если будем предполагать выполненными условия (31),
то из соотношения (32) следует

Z)a= 1;

это соотношение, если обратимся к фазовому пространству Ф2п>
в котором р, q так же, как и л, х, истолковываются как декартовы
ортогональные координаты, обнаруживает то замечательное обстоятель-
ство, что вполне канонические преобразования определяют в фазовом
пространстве эквивалентные преобразования, т. е. такие, которые
оставляют неизменным объем.

17.	Другая явная форма условий полной каноничности. Скобки
Пуассона. Из сопоставления двух видов D и D*, которые можно
придать функциональному определителю какого-нибудь преобразования,
в случае полной каноничности вытекают другие важные следствия.

Вйедем прежде всего так называемые скобки Пуассона, относящиеся
к двум каким угодно функциям и, v от 2 п аргументов р, q и опре-
деляемые тождеством
п

.	. _ V1. / ди ди _ ди ди \

V) — 2d \дръ^Чъ~ Wk^PkY
7l = l

Эти новые скобки, которыми мы будем широко пользоваться
в дальнейшем изложении этой главы, так же как и скобки Лагранжа,
являются альтернирующими и представляют собой в известном смысле,
который мы сейчас же выясним, их взаимные символы.

Заметим, что выражение (32), полученное в предыдущем пункте
для произведения по столбцам определителей D и D*, если примем
во внимание равенства (31), показывает, что для вполне канонического
преобразования матрицы этих определителей являются взаимно обрат-
ными в обычном смысле, т. е. что всякий элемент одной равен алгеб-
раическому дополнению элемента, занимающего то же место в другой,
деленному на величину определителя последней. Но в этом случае,
как известно, взаимная обратимость дает место характеристическим
тождествам не только относительно столбцов, но и относительно
строк, т. е. сумма произведений элементов г-й строки определи-
теля D на элементы, занимающие те же места в у-й строке опре-
делителя D*, будет равно 1, если l — j, и нулю, если i zjz j, так что
необходимыми следствиями равенств (31) будут уравнения

(%, ?у) = 0, Oh, %-)=0, (%, %-) = 8/у (z,y = l, 2, ..., п). (31')

Этот вывод обратим: действительно, если квадрат функциональ-
ного определителя (О2) преобразования (28) вычисляется умножением D
на D* по строкам вместо столбцов, то, принимая во внимание только
что данное определение скобок Пуассона, найдем

03 = ° • °' =	(А > = 1. 2. ...,	(32')

Достаточно будет предположить, что имеют место равенства (32'),
чтобы вывести отсюда при помощи тех же самых рассуждений, кото-
рые были применены выше, что справедливы также и соотношения (31).

Поэтому заключаем, что равенства (31') в новой форме дают необ-
ходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование (28)
было вполне каноническим.

18.	КаНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИКОСНОВЕНИЯ.
Хотя это и не имеет прямого интереса для последующего изложения,
все же не бесполезно отметить, кстати, внутреннюю связь между
вполне каноническими преобразованиями и теми преобразованиями,
которые в геометрии носят название преобразований прикосновения.

Для определения последних обратимся к пространству (евклидову)
/г —j— 1 измерений 5п+1, в котором г, qv q2, • .qn обозначают декар-
товы ортогональные координаты. Назовем элементом (гиперплоско-
стным) или элементарной площадкой этого пространства 5п+1 сово-
купность какой-либо точки Ро (центр элементарной площадки) и непо-
средственно прилегающей к ней области какой-нибудь проходящей
через нее гиперплоскости Sn. Если г°, q° суть координаты точки, то
уравнение гиперплоскости будет иметь вид

п

—	(33)

й=1

где р° обозначают п вполне определенных постоянных, определяющих
положение гиперплоскости; поэтому за координаты элемента можно
принять 2 п 1 чисел г°, q°, р°. Таким образом, всякая точка является
центром ооп элементов, а все пространство S„+1 оказывается сово-
купностью оо2 п+1 элементов z, q, р.

Каждая гиперповерхность Vn

z = z(qlt q2, qn)

во всякой своей точке z°, q° имеет, вообще говоря, вполне опре-
деленную касательную гиперплоскость, уравнение которой определяется
равенством (33), если положить в нем

й=(О«.у <4=1-2...................

так что гиперповерхность Vn оказывается совокупностью ооп опреде-
ленных элементов.

В более общем случае, если задается какое-нибудь многообразие Vm
с каким угодно числом измерений т С я, то во всякой его точке Ро
будет определено как касательное какое-нибудь пространство Sm т
измерений, а так как этих касательных многообразий будет оо т и через
каждое из них в пространстве Sn+1 проходитоо'1-”1 гиперплоскостей,
то мы можем сказать, что и многообразие Vm является совокупностью
ооп элементов, каждый из которых состоит из точки Ро гиперповерх-
ности Vm и какой-нибудь из гиперплоскостей, проходящих через Sm
и касательных к Vm в точке Ро. Таким образом, соответственно
значениям т = п, п—1, .. ., 2, 1, 0 мы будем иметь в простран-
стве Sn+1 (я-)-!) категорий многообразий оо ” элементов, последняя
из которых (т — 0) содержит все точки пространства Sn+l, рассмат-
риваемые каждая как связка элементов, имеющая в ней свой центр.

Ясно, что одно какое-нибудь многообразие оо ” элементов, пере-
численных выше, обладает тем свойством, что в нем два каких угодно
бесконечно близких элемента сопряжены в том смысле, что гипер-
плоскость одного проходит через центр другого. Это условие сопря-
женности между двумя бесконечно близкими элементами z, q, р и
z-]-dz, q~\-dq, p-{-dp выражается уравнением Пфаффа

dz — Pi d(h — Рч. d4%— • • • — Рп d4n = О’,	(34)

С. Ли доказал, что в пространстве Sn+1 не существует других много-
образий оо» элементов, сопряженных друг с другой, помимо много-
образий, принадлежащих к п-\- 1 только что определенным категориям,
которые можно поэтому назвать многообразиями я измерений сопря-
женных элементов.

Если над точками пространства Sn+1 мы выполним какое-нибудь
преобразование (обратимое), то оно поставит в соответствие двум
каким угодно касательным друг к другу гиперповерхностям, т. е.
гиперповерхностям, имеющим один общий элемент, две аналогичные ги-
перповерхности, так что это преобразование над точками (точечное пре-
образование) можно рассматривать как преобразование над элементами
(или, как обычно говорят, расширенное точечное преобразование).
Легко видеть, что такое расширенное точечное преобразование пере-
водит всякое многообразие ооп сопряженных элементов в многообра-
зие сопряженных элементов; это аналитически выражается в том, что
всякое расширенное точечное преобразование преобразует условие
сопряженности (34) само в себя.

Не надо, однако, думать, что и, обратно, всякое преобразование,
произведенное надоо2п+1 элементов пространства Sn+1, преобразую-
щее само в себя условие сопряженности (34), будет необходимо рас-
ширенным точечным преобразованием. С. Ли доказал, что существует
бесконечное множество преобразований (зависящих от произвольных
функций от 2 п -|-1 аргументов, вместо п -f- 1 аргументов, как это
имеет место для точечных преобразований), которые, если обозначить
через С, х, к координаты преобразованного элемента, имеют вид

С = С(г|р|7),хй==хй(аг|р|^),кй==и?,(г|р|^)	(Л=1,2, ...,«)

и преобразуют само в себя условие сопряженности (34).

Отсюда следует, что такое преобразование само преобразует одно
в другое многообразия оо п сопряженных элементов; но по сравнению
с расширенными точечными преобразованиями оно обладает суще-
ственно отличными свойствами. В то время как расширенное точеч-
ное преобразование, примененное к какому-нибудь многообразию оо »
сопряженных элементов, оставляет неизменным размерность точечного
многообразия центров этих оо ” элементов, преобразование Ли, вообще
говоря, изменяет эту размерность, как если бы происходило разъеди-
нение многообразия оо п сопряженных элементов и одновременно с этим
объединение их согласно условию (34) вокруг новых центров, состав-
ляющих в своей совокупности точечное многообразие другой размер-
ности. Так, в частности, оо п элементов связки т. е. элементов, имеющих
общий центр в произвольной точке пространства Sn+1, преобразование
Ли ставит в соответствие, в зависимости от случая, оо ” элементов ка-
кого-нибудь Vn, или Vn_j, ..., или или связки. При этом если
всякой связке из оо “ элементов соответствует одна аналогичная связка,
то преобразование сводится к расширенному точечному.

Эти более общие преобразования элементов из Sn+1, удовлетво-
ряющие условию сопряженности (34), как раз и представляют собой,
по определению С. Ли, преобразования прикосновения.

Между преобразованиями такого рода С. Ли изучал, в частности,
преобразования вида

С = г—2(p|?),xA = MP|?)»*b = '?h(/’l?)	(А= 1,2, . ,.,л)(35)

и показал, что эти преобразования определяются дифференциальным
условием

п	п

2 Рь	<19/)

Л=»1	h = i
которое мы уже встречали как характеристическое для вполне кано-
нических преобразований.

Таким образом, мы приходим к. заключению, что вполне канони-
ческие преобразования при присоединении уравнения С = 2*— 2 (р | q)
оказываются тождественными с преобразованиями прикосновения
типа (35). Если, в частности, 2 сводится к постоянной, то дифферен-
циальное тождество (19') принимает вид (19") (п. 12), и мы получаем
так называемые однородные преобразования прикосновения. Эти пре-
образования находят важное применение в оптике, как мы покажем
это в упражнениях.

В аналогичном смысле общие канонические преобразования являются
не чем иным, как преобразованиями прикосновения (35), в которые
в виде параметра входит /; как противоположный крайний случай,
вполне канонические преобразования частного вида, к которым мы
пришли в конце п. 12, заранее произвольно задавая обратимое и не
зависящее от t преобразование между q и х, сводятся к расширенным
точечным преобразованиям.

§ 3. Интегралы системы обыкновенных
дифференциальных уравнений

19.	Линейные дифференциальные операторы и их альтернаты.
Основной задачей в теории канонических систем является, конечно,
задача интегрирования, о чем мы дадим краткое понятие в §§ 6—12.
Но предварительно мы остановимся в этом и в двух следующих
параграфах (§§ 4 и 5) на некоторых вспомогательных понятиях,
которые выясним вообще для систем дифференциальных уравнений
первого порядка произвольного вида, применять же их будем всякий
раз только к случаю канонических систем. Начнем с напоминания
некоторых совсем элементарных понятий.

Введя N независимых переменных г1г z2, .. •, zN, рассмот-
рим совокупность функций / (zlt г2, .... z#), правильных, по край-
ней мере, в некоторой области, т. е. конечных, непрерывных и диффе-
ренцируемых столько раз, сколько будет необходимо. Назовем линейным
оператором (первого порядка) всякую операцию, после применения
которой к какой-нибудь функции f(zY, z2, ..., z#) мы получаем
выражение типа

у
уд/

4 dz, ’

V = 1

где av представляют собою N определенных функций указанной выше
совокупности. Это выражение обозначается символом Af, причем А
(как это ясно само собою) есть не величина, а знак оператора. В соот-
ветствии с этим соглашением можно написать

N

.4=у <. «
’ dz.t

Применяя линейный оператор к сумме двух функций Д, /2, к их
произведению или, вообще, к какой-нибудь сложной функции
F(/1, /2,  • •> /»»)> составленной из т функций Д от N аргументов г,
мы непосредственно можем убедиться, что всякий линейный оператор
ведет себя как символ дифференцирования, т. е. имеют место основ-
ные тождества

A (Л +/2) = ДД + дд, а (Л, /2)=ддд +АЖ

afia, /2. •••, /,и)=£|£-ал.

И=1 и

Если затем, рассматривая второй оператор

N

Р=1

где р так же, как и а, суть функции от г, мы выполним оператор-
ное умножение В на А или А на В, т. е. применим последовательно
оба оператора в том или другом порядке, то придем к двум новым
операторам (второго порядка) АВ и ВА.

Представляя в развернутом виде результат первой операции,
найдем

N	N	N

ABf=	Уж^+ УЧЛ-;

J ZJ	' г йг„	1 Zj lp dza	АЛ	rp dz„	• 1 АЛ	'lp dz., dz9 ’

р=1	г р = 1	г	р=1	г 4=1

Р=1

аналогично-в результате второй операции получим

N	N

р=1	4=1

р=1

мы видим, таким образом, что ABf, BAf, вообще говоря, не совпа-
дают друг с другом или, как обычно говорят, два линейных оператора
А, В, в общем случае, некоммутативны; но операторы АВ, ВА всегда
имеют одинаковую часть второго порядка, так что их разность сводится
к оператору первого порядка. Этот последний оператор называется
альтернатом операторов А и В и обозначается символом (АВ)
т. е. (по определению)

N

(АВ) = АВ — ВА — ^(Арр-В«р)^.

Р=1 ?

Отсюда непосредственно следует, что

(АВ) = -(ВА).

20. Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифферен-
циальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ
с частными производными первого порядка. Рассмотрим систему обык-
новенных дифференциальных уравнений первого порядка и ранга п,
т. е. систему, состоящую из п уравнений с п неизвестными функ-
циями х от одного независимого переменного t-, мы сразу же будем
предполагать, что система приведена к нормальному виду, т. е. раз-
решена относительно производных:

§ = ^(х|0	(/=1, 2, ..., я).	(36)

В дальнейшем для удобства выражения мы часто будем под неза-
висимой переменной t понимать время', в соответствии с этим вместо
решений системы (36) мы будем говорить о движении, определяемом
этой системой в абстрактном пространстве п измерений х, которое,
по аналогии с динамическим случаем, можно называть простран-
ством конфигураций или пространством траекторий. Наряду
с этим пространством иногда удобно рассматривать пространство
я-}- 1 измерений х и t, в котором всякое решение системы (36)
представится кривой (интегральной), называемой графиком *) соответ-
ствующего движения. В этом пространстве, соответственно оо” реше-
ний уравнений (36), имеется столько же графиков движения, из
которых через каждую точку проходит один и только один график.

Известно (см. п. 4), что интегралом системы (36) называется
всякое конечное соотношение между х и t вида

f(x\t) = const,	(37)

которое тождественно удовлетворяется каждым решением системы,
конечно, при подходящем значении постоянной в правой части.
С геометрической точки зрения, всякий интеграл (37) в простран-
стве х, t п -{-1 измерений определяет оо1 гиперповерхностей или
многообразий п измерений, заполняющих пространство в том смысле,
что одна и только одна из гиперповерхностей проходит через каждую

*) В случае п 1 = 2 эта кривая в элементарной кинематике называется
графиком-, мы сохранили для нее такое же название и для случая п -f- 1 >• 2.
Авторы называют рассматриваемую кривую curva oraria. (Прим, перевд
точку; эти гиперповерхности таковы, что на каждой из них лежит
целиком однозначно определенный график движения, проходящий
через какую-нибудь ее точку. Другими словами, каждая из оо1
гиперповерхностей (37) составляется оо”-1 кривых из всех оо” гра-
фиков движения.

Иногда, как уже указывалось в случае канонических систем,
сама функция f(x\t) в левой части уравнения (37) называется инте-
гралом. Эта функция называется также инвариантом системы (36),
так как для всякого решения системы она сохраняет постоянное
значение, как бы ни изменялось время I.

Мы покажем здесь, что интегралы или инварианты f(x\t)
системы (36) можно определить как решения некоторого вполне
определенного линейного уравнения с частными производными первого
порядка относительно х и t.

Для этой цели заметим, что, для того чтобы уравнение (37)
определяло интеграл системы (36), необходимо и достаточно, чтобы
всякий раз, когда в него вместо х подставляются функции от t,
удовлетворяющие уравнениям (36), само уравнение (37), при подхо-
дящем значении постоянной, сводилось к тождеству. Другими словами,
необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось тождественно, как
следствие уравнения (37), уравнение, которое выводится из него
дифференцированием по t,

df , V df dxt	-

dt "T- dxt dt	’

i = l

или, так как x определяются уравнениями (36),

<38)

UL	иЛц

< = 1-

Это и есть то уравнение с частными производными, на которое
мы указывали выше; при этом существенно необходимо добавить
одно замечание.

В действительности процесс дифференцирования, посредством
которого мы вывели уравнение (38) из (37), позволяет лишь утвер-
ждать, что уравнение (38) справедливо только для тех систем значе-
ний х и t, которые удовлетворяют уравнению (37).

Но достаточно принять во внимание, что уравнение (37) тожде-
ственно удовлетворяется (при подходящем значении постоянной)
какими угодно решениями уравнений (36), чтобы видеть, что
уравнение (38) в силу того же самого удовлетворяется тождественно,
т. е. при произвольно выбранных значениях, в некоторой подходящей
области переменных х и t, от которых зависит f. Действительно,
мы уже знаем, что как бы ни задавались (в области, в которой для
системы (36) имеет место теорема существования общего интеграла)
п + 1 значений х®, х®, ..., х„, t0, всегда существует одно и только
одно решение х; (/) уравнений (36), для которого имеем х< ’(/0) = х® •
Далее, уравнение (38) остается справедливым при подстановке в него
этого решения, каково бы ни было t\ таким образом, если мы поло-
жим в этом решении, в частности, t=t0, то уравнение (38) будет
удовлетворяться при заданных выше произвольно значениях х® и t0.

Обратно, легко убедиться, что всякая функция / (х 11), удовле-
творяющая уравнению (38), когда в ней х и t рассматриваются как
независимые переменные, будет интегралом или инвариантом си-
стемы (36). Действительно, если уравнение (38) удовлетворяется
тождественно, оно, в частности, остается справедливым и тогда,
когда вместо х4 подставляются п функций, удовлетворяющих уравне-
ниям (36); а так как при этом левая часть уравнения (38) сводится
к dffdt, то функция / будет такой, что когда х в ней будут рас-
сматриваться как решения уравнений (36), то будет dfjdt= Q, т. е.

/(х 1t) — const.

Таким образом, для того чтобы какая-нибудь функция f(x\t)
была интегралом или инвариантом системы (36), необходимо и
достаточно, чтобы она удовлетворяла линейному уравнению
с частными производными (38) относительно га-)~1 независимых
переменных х и t.

Далее, из анализа известно, что это уравнение имеет п незави-
симых между собой решений fi\x\t) (z = l, 2, ..., п). Из пре-
дыдущего следует, что эти решения определяют (для системы (36))
столько же различных интегралов

Л(х|0 = ^-	0=1, 2, ..., п),	(39)

где Cj, обозначают п произвольных постоянных; эти п уравнений, так
как из них можно определить каждую из переменных х через t и с,
определяют общий интеграл уравнений (36). Обращаясь к геометриче-
ской интерпретации в пространстве га-|-1 измерений графиков дви-
жения, мы можем сказать, что через произвольную точку х®, t0 такого
пространства проходит одна и только одна из оо1 гиперповерхностей
каждого из семейств (39); эти п гиперповерхностей, уравнения кото-
рых имеют вид

Л(х|0=А(х°, t0)	(t=l, 2, ..., га),

пересекаются вдоль графика двих<ения, представляюпГего то решение
уравнений (36), в котором х{ при t—t0 принимают значения х®.

Отметим, наконец, что если рассматривать совместно не все
га интегралов (39), а только некоторое число их гаг < га, то система
Л(х|/) = с4 (г = 1, 2, ..., т)
определит в соответствии с возможным выбором т постоянных
разделение точек пространства на оо“ многообразий п — т измере-
ний, каждое из которых, очевидно, можно рассматривать как образо-
ванное ооп~т~1 графиков движения.

21.	Интегралы и инварианты канонической системы. В случае
канонической системы ранга 2и

«=>.2..........")	0)

уравнение (38) с частными производными, определяющее инварианты
или интегралы f(p\q\t), принимает вид (предыдущий пункт)

й/ . У (дН df	ди р.

d? I"	\dph dqh	dqh dph )

если вспомним определение скобок Пуассона (п. 17), то это уравне-
ние можно написать в виде

^ + (Н,/) = 0.	(40)

Так как в уравнение с частными производными, имеющее очевидную
важность для теории канонических систем, входят скобки Пуассона,
остановимся немного на свойствах этих скобок.

22.	О скобках Пуассона. Если из двух функций и и f от 2га
переменных р и q- будем рассматривать первую как заданную, а вто-
рую как произвольную, то соответствующую скобку Пуассона

I,, fx _ V ( ди	\

' ’ }) \dPh dqh dqh dph)

h = l

можно рассматривать как полученную путем применения к функции
линейного оператора

п

V (	& ди д \

2л\др^ dqn 'dq^'dphJ’

Л = 1

Таким образом, из общих свойств линейных операторов, перечислен-
ных в п. 19, для скобок Пуассона вытекают тождества

t(«, Л -Ь/2) = («, fl)+(«. /2), (и, Ш =fi (“> Л) +/2 («, fl),

второе из которых дает, в частности, если через с обозначим какую-
нибудь постоянную,

(и, с/) = с(и, /).

Подобным же образом, если F(/i, /2, ..fm) есть сложная
функция, зависящая от р и q через посредство т функций fj, то из

18 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
соответствующего тождества п. 19 непосредственно имеем

т

К этому тождеству мы присоединим здесь другое очень важное
тождество, относящееся к каким угодно трем функциям a, ф, w
от р и q (так называемое тождество Пуассона—Якоби),

(«, (•», та))-[-(a, (та, а))-{-(та, (а, а)) — 0.	(41)

Для доказательства этого тождества заметим сначала, что после
выполнения выкладок всякий член в левой части будет состоять
из произведения двух первых производных от двух различных из
трех функций a, ф, -w на одну вторую производную от третьей
функции. Поэтому для подтверждения, что левая часть равна тожде-
ственно нулю, надо показать, что после приведения подобных членов
она не будет более содержать производных второго порядка.

Для этой цели обратим внимание на вторые производные от а.
Очевидно, в первом слагаемом (a, (о, та)) не будет ни одной из
них; что же касается двух других слагаемых, то, вводя временно
два линейных оператора А и В, определяемых равенствами

=	Bf=(w,f),

будем иметь

(ф, (та, а)) = АВи, (та, (а, »)) =— (та, (а, а)) = —ВАи
и, следовательно,

(ф, (та, а)) 4- (та, (а, ф) = АВи — ВАи — (АВ) и.

Далее, мы знаем, что (АВ) есть оператор первого порядка,
т. е. (АВ) и после выполнения выкладок не будет содержать ни одной
производной второго порядка, что и доказывает тождество (41).

Будем говорить, что две функции от р, q, скобки Пуассона
которых равны нулю, находятся в инволюции', из тождества Пуас-
сона—Якоби непосредственно следует, что если две функции ф, та
находятся в инволюции с одной и той же функцией а, то то же
будет иметь место и для их скобок Пуассона (ф, та).

23.	Теорема Пуассона. Если f), /2 суть два интеграла канони-
ческой системы, то и их скобки (f1} f^) также будут интегралом.

Прежде чем доказывать это, заметим, что новый интеграл не будет
обязательно независимым от двух других, предполагаемых извест-
ными; он может даже оказаться иллюзорным, например, постоянной
величиной, и, в частности, нулем (если Д и /2 находятся в инволю-
ции).
Эта теорема является почти непосредственным следствием тожде-
ства Пуассона—Якоби. Действительно, предположение, что функ-
ции Д, /2 являются интегралами канонической системы (5), выра-
жается уравнениями (п. 21)

> + (Н,Л) = 0, ^.+(Н,/а)=0,	(42)

а речь идет о том, чтобы доказать, что отсюда вытекает уравнение
(Л/2)) = 0.	(43)

Из тождества Пуассона—Якоби относительно fu /2, Н

(fi, (А» #))+(А, (н, Л))+(н, (А, /3)) = о

на основании равенства (42) получаем

(Л,	#)+<"’ (А. А)) = 0,	(44)

а так как из равенства, определяющего скобки Пуассона

(f f\  V ( dft д/ь	dfi

Un /21 \dph dqh	dqh dpj’

h=l

путем дифференцирования no t получаем

д(Л,Га) df^lf dfi\
dt v1’ dt)	v2’ dt)’

о мы видим, что уравнение (44) тождественно с уравнением (43).

24.	Примеры, а) Для иллюстрации теоремы Пуассона на некоторых
особенно простых примерах рассмотрим, во-первых, систему из в-J-l
свободных материальных точек, находящихся исключительно под дей-
ствием внутренних сил, как это имеет место в так называемой
задаче п 1 тел (гл. III, п. 22). Для такой системы имеют место
два первых интеграла: интеграл количеств движения и интеграл момен-
тов количеств движения (относительно любой галилеевой системы
осей), т. е. при принятых нами обозначениях,

Q = const, ЛГ = const;

из этих равенств после проектирования на оси галилеевой системы
можно получить шесть скалярных интегралов

Qj — const, Kj = const (/ = 1, 2, 3),

где для удобства обозначений индексы 1, 2, 3 относятся к проекциям
векторов Q и К соответственно на три оси т], С.
Если, как и в п. 6, в качестве лагранжевых параметров q мы
возьмем декартовы координаты	Ц отдельных точек системы,

а в качестве сопряженных параметров р — проекции соответствующих
количеств движения

<'=лгДй = Р« = «Л G = 0, 1, 2, •••> «)>

то явные выражения Qj, Kj определятся равенствами

Qi =	(45')

1=0	< = 0	i = 0

п	п	п

K1 = 2(W-^Z<),	=	(45")

4 = 0	4=0	4 = 0

Вычисляя частные производные по отношению к переменным, рас-
положенным в двух строках, каждая из которых содержит Зл пере-
менных,

Il 14 7< Pf (i = 0, 1, 2, ..., л),
h v

найдем, что скобки Пуассона двух каких угодно функций и, v при-
нимают вид

п

,	.___/ бы ________ди dv	।	ди dv ____ ди dv 

{и> v)	£л\дт^	di.{ di{ di^i	1	dy_( дгц	dvti d/( '*

4 = 0

। du dv du dv\

+	d5~dPi)’

достаточно применить эту формулу к шести первым интегралам,
чтобы убедиться, что для них имеют место тождества

(<2/, <20 = 0	(/,/=1,2,3),	(46')

(^, ^) = -^, (tf8, Ы =	(К., K2) = ~KS-, (46")

(Qj, Л}) = 0	(/ = 1,2,3);	(46'")

(<2Ь TC8) = (/Ci, <2г) = <2s> (Qi> Кз) = (К^, <2з) = Qi> I (46IV)
(<2S, /Q = (KS, Qi) = -Qa.	J

Отсюда прежде всего следует, что в настоящем случае теорема
Пуассона не дает ничего нового, так как скобки от двух каких
угодно из шести первых интегралов или тождественно равны нулю,
или воспроизводят один из тех же самых интегралов; мы видим, таким
образом, что согласно терминологии, введенной С. Ли, эти шесть
интегралов определяют группу функцийт).

Отметим еще, кроме того, что каждое из количеств движения Q
находится в инволюции с остальными двумя и с моментом /С, соот-
ветствующим той же оси; достаточно принять во внимание тожде-
ства (4б"), (46IV), чтобы убедиться, что как всякое количество дви-
жения Q, так и всякий отдельный момент К находятся в инволюции
с квадратом модуля результирующего момента количеств движения

К* = + +Kl-

ty В качестве второго примера рассмотрим одну материальную
точку, которая находится под действием силы F, допускающей один
интеграл количества движения и один интеграл момента количества
движения, с различными индексами, например Qj и К%. Здесь мы
имеем весьма простой пример приложимости теоремы Пуассона, так
как из первого из соотношений (46IV) следует, что будет существо-
вать также и интеграл Qs = const. Заметим, кроме того, что это
заключение с геометрической точки зрения очевидно, так как наличие
двух интегралов Q1 = mt = const, Л’2 = ?и(С;— К) = const означает,
что сила F для любого положения точки должна быть, с одной сто-
роны, параллельна плоскости т]С, а с другой — компланарна (пересе-
кает или параллельна) с осью щ, а отсюда следует, что сила, если
она не равна нулю, будет необходимо параллельна оси т; и, следова-
тельно, перпендикулярна к оси С, что как раз и обеспечивает
справедливость интеграла Q3 = mt = const.

в) Имеет место следующая общая теорема Якобиа), которую мы
здесь только сформулируем: если голономная система находится
под действием таких сил, что существует некоторое число т^2
первых интегралов, то скобки Пуассона для двух каких угодно
из этих интегралов удовлетворяют тем же самым тожде-
ствам (46 ) — (46IV), которые имели бы место в случае системы
свободных точек.

1) Группой функций по С. Ли называется всякая совокупность функций
от двух сопряженных рядов п переменных, обладающая следующими свой-
ствами: 1) она содержит всякую сложную функцию, составленную из функций
той же совокупности; 2) к ней принадлежат скобки Пуассона от двух каких
угодно из ее функций. С. Ли доказал, что во всякой группе функций можно
определить некоторое число т^Чп таких независимых функций Uj, и2,..., zzTO,
что для всякой пары индексов I, J будем иметь

(«(, «^) = фу(1»1, «2> •••- ит),

где фу обозначают определенные функции от соответствующих аргументов,
изменяющие знак при перестановке индексов Z, J. Группа функций состоит
из всех сложных функций (и только из них), составленных из и.

а) J а с о b 1, Werke, т. V, стр. 113. См. также М a th i е u, Dynamique
analytique (Paris, Gauthier — Villars, 1878), стр. 243; A. Mayer, Math. Annalen,
t. 17, 1880, стр. 333.
§ 4. Инвариантные соотношения

25. Определения и характеристические свойства. Конечное соот-
ношение между х и t

f(x\t) = O	(47)

называется инвариантным по отношению к заданной обыкновенной
системе дифференциальных уравнений

^ = ^(х|0	(i=l, 2, ..., п)/ (36)

если все решения системы, которые удовлетворяют этому соотноше-
нию вначале, т. е. при частном значении t, будут удовлетворять ему
также и при всяком другом значении этого переменного.

Такое соотношение, поскольку оно в отличие от интеграла не
содержит произвольных постоянных, определяет некоторое свойство,
принадлежащее только части решений системы, т. е. решениям,
начальные значения которых подчиняются тому же соотношению.
Очень простой пример инвариантного соотношения представляет
собой всякий интеграл / = const, в котором произвольной постоянной
приписывается какое-нибудь частное значение; поэтому, как и в ана-
логичном случае систем дифференциальных уравнений второго по-
рядка (гл. VIII, п. 58), инвариантные соотношения называются также
частными интегралами. Если мы обратимся к представлению в про-
странстве х, t графиков движения, то из самого определения увидим,
что всякое инвариантное соотношение (47) определяет в нем гипер-
поверхность, образованную оо"-1 графиков движения (или интеграль-
ных кривых) системы (36); но в данном случае мы имеем отдельную
гиперповерхность, в то время как первый интеграл определял оо1
таких гиперповерхностей, заполняющих все пространство п -ф-1 изме-
рений.

Далее, подобно тому, как это было сделано в п. 20 для первых
интегралов, укажем прежде всего формальные условия, характери-
зующие уравнение (47) как инвариантное соотношение.

Для того чтобы соотношение было инвариантным, необходимо и
достаточно, чтобы функция f(x\t) оставалась равной нулю при изме-
нении t для всех тех решений системы (36), начальные значения кото-
рых обращают эту функцию в нуль. Это равносильно тому, чтобы
сказать, что для всех этих решений полная производная от f по t,
взятая в предположении, что х удовлетворяют уравнениям (36),

i = 1

должна быть тождественно равна нулю; мы докажем, что для этого
необходимо и достаточно, чтобы f(x\t), рассматриваемая как функ-
ция от п 1 независимых переменных х и t, удовлетворяла линей-
ному дифференциальному уравнению в частных производных вида

где dffdt означает выражение (48), а X есть некоторая функция
от х, t, которая остается правильной в рассматриваемой области.

Действительно, обратимся к области значений для х, t, в которой
вместо одного из х, например вместо хп, можно подставить /. После
выполнения подстановки dfjdt станет функцией от х2, xn_v
/ и /; если предположим, что она разложена по степеням перемен-
ной /, то можем представить ее в виде

< = l + V.

где 7 зависит только от х2,	xn-1, t, ноне от /, и так же,

как и X, остается правильной в рассматриваемой области. Для того
чтобы производная df\dt исчезала вместе с f, необходимо и доста-
точно, чтобы равенство f — 0 влекло за собою 7 = 0, а так как 7
не зависит от /, то мы видим, что 7 может исчезать только тожде-
ственно, т. е. при каком угодно выборе ее аргументов; мы заклю-
чаем отсюда, что, действительно, левая часть какого-нибудь инва-
риантного соотношенбия определяется уравнением вида (49).

Отметим еще, что в обычном случае, когда уравнение (47) полу-
чается из какого-нибудь интеграла путем приписывания частного
значения произвольной постоянной, имеет место (п. 20) уравнение
dfjdt=Q, т. е. функция к тождественно равна нулю.

Определение инвариантного соотношения и соответствующее харак-
теристическое дифференциальное уравнение (49) допускают естествен-
ное обобщение. Какая-нибудь система из	конечных соот-

ношений между х и t

fr(x\f) = G (r = 0, 1, 2, ..., т) (50)

называется инвариантной относительно системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (36), если она будет удовлетворяться при
каком угодно значении t всяким решением xt (t) системы (36), начальные
значения которого (т. е. соответствующие частному значению /0
переменного t) ей удовлетворяют. Мы всегда будем предполагать,
что т -J-1 уравнений (50) являются независимыми между собою
относительно переменных х, для чего, как известно, необходимо и
достаточно, чтобы ранг якобиевой матрицы от/по х был равен т-\- 1;
при этом предположении уравнения (50) определяют в пространстве х, t
п-\-1 измерений некоторое многообразие п — т измерений, обра-
зованное со”-™-1 интегральных кривых системы (36), из которых
одна и только одна проходит через данную точку многообразия.
Предполагая соотношения (50) независимыми, мы найдем только
что указанным для т = 0 способом условие, необходимое и доста-
точное для того, чтобы система (50) была инвариантной; оно заклю-
чается в: том, что функции fr, рассматриваемые как функции от
независимых переменных х, t, должны удовлетворять системе диф-
ференциальных уравнений с частными производными вида

=	(г = 0, 1, ..., /ге)>	(51)

8 = 0

где полные производные в левой части должны быть взяты согласно
уравнению (48) и ХГ8 обозначают правильные функции в рассматри-
ваемой области значений х и t.

26.	Виртуальные перемещения. Когда известно одно соотношение
или одна инвариантная система, то из нее можно получить в некото-
рых случаях новую инвариантную систему. Чтобы объяснить способ,
который при надлежащих условиях приводит к такому результату,
необходимо предпослать одно определение и некоторые вспомогатель-
ные соображения *).

При рассмотрении любого решения xt (/) системы (36) мы будем
называть виртуальным перемещением (совместным с (36)) для этого
решения всякие п бесконечно малых функций ох4 от t, таких, чтобы
Xi -j- удовлетворяли, так же как и xit системе (36). Подставляя
эти функции в уравнения (36), мы увидим, что функции опре-
деляются системой

^-=«*<=2^,4	(-=>. 2. •	(52)

J=1	3

где подразумевается, что в частные производные дХ({дх^ должны
быть подставлены вместо xt функции х{ (t) рассматриваемого решения,
так что коэффициенты при Зх4 в правой части являются функциями
только от t.

Уравнения (52) суть не что иное, как уравнения в вариациях
заданной системы (36), соответствующие заданному решению х<(/)
(гл. VI, п. 19); они могут быть написаны в более сжатой форме

T =	0=1, 2, .... п), (52')

откуда видно, что знаки виртуальных перемещений и знаки произ-
водных по времени можно переставлять.

i) Levi-Civita, Sur la recherche des solutions particulieres des systemes
differentiels et sur les mouvements stationnaires. Prac matematyczno —fizycz-
nych, Warszawa, т. XXII, 1906.
Отсюда следует более общий случай, что для всякбй функции
f(x | f) от х и, возможно, от t имеем

(S3)

где, как обычно, d/dt обозначает полную производную, взятую при-
нимая во внимание уравнения (36); эта производная явно определяется
посредством равенства (48).

Отметим, наконец, что для всякого решения систему (36) суще-
ствует ооп виртуальных перемещений, так йак для соответствующих
уравнений в вариациях можно произвольно задать начальные значе-
ния п функций 8x1} которые им удовлетворяют.

27.	Инвариантность условий стационарности инвариантного соот-
ношения. Предполагая для системы (36) инвариантное соотношение

/(х|/) = 0	(47)

известным, присоединим к нему символическое соотношение

8/ = 0,	(54)

которое получается путем приравнивания нулю вариации, получаемой
функцией /, когда в ней х{ получают некоторые виртуальные при-
ращения, соответствующие любому из решений системы (36) и удовле-
творяющие уравнению (47). Вследствие произвольности начальных
значений величин 8xf это символическое соотношение равносильно
п уравнениям

^ = 0	(/=1, 2, ..., п),	(54')

которые вместе с уравнением (47) образуют систему, в общем случае
несовместную относительно п аргументов х, если t произвольно. Но
если эта система (47), (54) или, в явной форме, система (47), (54')
совместна (мы увидим, что это будет иметь место в некоторых инте-
ресных конкретных случаях), то легко видеть, что речь идет об
инвариантной системе.

Действительно, если будем исходить из тождества (предыдущий
пункт)

(53)

и подставим вместо 8/ его явное выражение

dxi »
t=l
и вместо dffdt тождественное ему произведение X/ (п. 25), то полу-
чим, таким образом, тождество

2	2 й(Их<-тг)+^8х'	(“>

i — 1	»=1

откуда, принимая во внимание уравнения (47), (54'), получим

а это символическое соотношение в силу произвольности начальных
значений 8х; равносильно п уравнениям

= o (i=l, 2, ..., я),
dt dxi	'	’ ’	’

которые и доказывают инвариантный характер системы уравнений (47),
(54').

Мы будем называть уравнения (54'), выведенные из соотношения (54),
условиями стационарности функции / (х | t~).

Если функция f (х 11) действительно есть частный интеграл, то, как
мы знаем, будет X = О, так что на основании тождества (55) условия
стационарности (54') образуют инвариантную систему, если даже ее
рассматривают отдельно, т. е. независимо от соотношения (47); надо
заметить, что так как число этих условий не превосходит п, то
они всегда совместны относительно х при каком угодно значении t, а
с другой стороны, уравнению (47) в этом случае можно всегда удо-
влетворить, распоряжаясь подходящим образом произвольной постоян-
ной, которую можно представить себе включенной в /(х \t).

28.	Распространение на инвариантные системы. Рассмотрим вообще
от -ф-1 соотношений

fr (х |0 = 0 (г = 0, 1, ..., от), (50)

система которых является инвариантной относительно уравнений (36),
для чего, как мы знаем, необходимо и достаточно, чтобы fr удовле-
творяли системе дифференциальных уравнений вида

т

(r = 0, 1, ..., От). (51)
8 = 0

Мы обобщим здесь теорему предыдущего пункта, доказав, что по
отношению к уравнениям (36) инвариантной будет также (в предпо-
ложении совместности) и система, которая получится путем присо-
единения к уравнениям (50) символического условия стационарности
одного из этих уравнений, например

8/о = О,	(56)

для всех виртуальных перемещений, соответствующих любому реше-
нию системы (36) и удовлетворяющих не только уравнению /о = О,
но и остальным т соотношениям

А = 0, /3 = 0,	/т-=0.	(57)

Для этой цели заметим прежде всего, что если, как это соответ-
ствует природе вопроса, мы предположим, что т функций /1; /2, .. .,fm
независимы между собой относительно х, то можно будет, не нару-
шая общности, принять их за новые независимые переменные вместо
стольких же переменных, например хг, х2, ...,хт, в силу чего си-
стема (36) преобразуется в эквивалентную ей систему

=	(«=1, 2, ..., щ),

X	(36,)

=	(» = от+1, ..., л),

где функции Е(/и/2, ..., fm, хт+1, ..., xn\t) по отношению к их
аргументам ведут себя так же, как и X относительно первоначальных
переменных; все сводится к доказательству, что система уравнений (50),
(56) инвариантна относительно этой новой системы дифференциальных
уравнений (36'). Условимся обозначать через F функцию, в которую
обратится какая-нибудь функция F (хь х2, .. ., хп 11), когда она
приводится посредством уравнений (57).

Докажем сначала, что приведенное уравнение

7о = о

является инвариантным относительно частичной приведенной системы

=	(ц = щ+1, ..., п). (58)

Действительно, возьмем снова первое из тождеств (51), которое,
принимая во внимание только последние п — т уравнений (36'), можно
написать в виде

у , у dfa? _У1
dt f Zj dfu dt “г дх„
u=l	e =	8=0

положим в обеих частях /1=/2= ... =fm--=0 и, замечая, с одной
стороны, что на основании равенств (51) имеем

^ = Wo (“=1> 2, ..., т),
а с другой, что, вследствие того, что мы должны переменные

•••• хт принять не зависящими от /2, .... fm, найдем
тождества'

^/о д/р <Уо
dt dt ’ dxv dxv

(v — m -j-1, .... n).

Таким образом, мы получим тождество

d/о I	d/о Д

dt "г"	dxv

т __

= (*оо~ 2 ^fo-

U = 1

Так как левая часть есть не что иное, как полная производная от f0,
вычисленная на основании уравнений (58), а правая имеет вид Х/о,
это тождество показывает, что соотношение ?о=О инвариантно отно-
сительно системы (58).

Но по теореме предыдущего пункта инвариантной будет и система
Л = 0,	8/о = О,

если только выполняются условия совместности; а теперь уже легко
видеть, что именно эта инвариантность влечет за собой то, что мы
хотели доказать, т. е. что система, состоящая из уравнений (50) и
соотношения 8/o=sO, инвариантна относительно системы дифферен-
циальных уравнений (36') и, следовательно, также и относительно
первоначальной системы (36), которой эквивалентна система (36').

В самом деле, рассмотрим п уравнений, получающихся из симво-
лического уравнения 8/0 = О,

В=о </=1’2..........”>

и обозначим для простоты левые части через /0 тогда все сведется
к проверке, что полные производные

^/о | i
dt

(i = 1, 2, ..., п),

вычисленные на основании уравнений (36'), обращаются в нуль в силу
уравнений (50) и соотношений /01»= 0.

Эти полные производные, если принять во внимание только по-
следние п — т уравнений (36'), можно написать в виде

afo | г _ y\dfo\idfu , (dfoii ,	| г Д 1

dt	dfu dt dt £4 dxv

u=l	u = m-f-l

тогда выражения в фигурных скобках в правой части, если положим
/j ==/2 = ... =/то = 0, сведутся к полным производным
вычисленным на основании системы (58); поэтому они обратятся в нуль
вместе с /0, /о|1> • ••, /от в силу только что доказанной инвариант-
ности функций /0 = 0, о/о — 0 относительно этой системы. Далее, что
касается суммы

у

Zrf dfu dt ’

U = 1

то она будет тоже равна нулю, как следствие уравнений (50), так
как в силу уравнений (51) исчезают каждая из dfujdt в отдельности.

Доказав таким образом теорему, мы выведем из нее, как и в пре-
дыдущем пункте, следствие, что если между от-(-‘1 соотношениями
инвариантной системы (50) имеется известное число k действительных
интегралов (частных), то в силу этого система, составленная из осталь-
ных т — k -|- 1 соотношений (50) и условий стационарности этих k
интегралов, будет инвариантной.

29.	Лемма о соотношениях, выражающих инволюцию. Теорема пре-
дыдущего пункта приобретает особый интерес, если ее применить к
канонической системе; для этого необходимо обратить внимание на
одно вспомогательное замечание.

Рассмотрим систему из от<п соотношений

Л(р|9) = 0 (г = 1, 2, ..., т) (59)

между двумя рядами (2л) переменных р и q. Пусть эти соотношения
находятся в инволюции, под чем подразумевается, что для них имеют
место равенства

(fr, /я) = 0	(г, $=1, 2, ..., от),

и предположим, что соотношения (59) разрешимы относительно от из
переменных р, например относительно pt, р2, ..., рт. Как известно,
это равносильно предположению, что якобиан D от Д, /а, ..., /
по ри ра, ..., рт не равен тождественно нулю.

Мы хотим доказать, что если соотношения (59), действительно
разрешенные относительно р1г р2, . .., рт, принимают вид

P« = ?«(Pm+i, • • •> Рп, 41, <h,	9») (а = 1, 2, ..., от), (59х)

то из уравнений (/r, fs) = 0 будут следовать уравнения

(Р« —?«>	— ?₽) = 0	(а, р = 1, 2, ..., от);

другими словами, система, после того как она разрешена, продолжает
оставаться в инволюции.

.Действительно, заметим прежде всего, что если через и обозна-
чить какую-нибудь одну из переменных р, q, которая не была бы
одною из переменных pt, р2, ..., рт, то из уравнений (59) будут
следовать уравнения

tn

= 0	(r=l, 2, ..., m),

ди 1	ди	v

flt«l

которые могут быть написаны в виде

В >»

= У	(г=1, 2,	т);

ди 44 дра ди	4	’	"

«=1

надо заметить, что эти уравнения будут справедливы (они сведутся
при этом к обыкновенным тождествам) даже тогда, когда и обозначает
одну из первых т переменных р.

Тогда непосредственно будем иметь

dfr dfa _ y dfr д/ад(рл — ча)	?р)

dqh dph 44 дрл др? dqh dph	S	m>

“=i	A=l, 2, ..., «);

вычитая почленно аналогичное соотношение, получающееся путем пе-
рестановки г и s, а также а и р, и суммируя по индексу h, получим
тождества

т

(fr.	—2,..., я).

а = 1 Л Р

Поэтому из соотношений (59) или из эквивалентных им соотно-
шений (59') будут следовать тождества вида

т т

2- •••• w)>

а = 1

которые, если для краткости положить

т

^S>=s^^(P» — <?„P? — <P?)	(a,	1, 2, ..., т),

₽=1 ?

примут вид

tn

= 0	(г, s=l, 2, ..., От).

а=1

Если из этих /и2 уравнений, вытекающих из соотношений (59),
рассматривать только те, в которых $ имеет постоянное значение, то
получатся т однородных относительно ^8)(a=l, 2, т) соотно-
шений, определитель которых D, по предположению, отличен от нуля.
Мы заключаем, таким образом, что необходимо должно быть

я»

г«’,=	—	£₽ — ?₽) = О («, *=1, 2, .... т)-,

достаточно провести аналогичное рассуждение относительно т урав-
нений, получающихся, если фиксировать a, a s изменять от 1 до т,
чтобы заключить, что в силу соотношений (59) и для всевозможных
пар индексов а, р от 1 до т будет

р?~ ?₽) = о.

30.	Применение к каноническим системам. Принимая во внимание
общие соображения предыдущих пунктов, обратимся к канонической
системе (5) и будем предполагать при этом, что ее характеристиче-
ская функция Н не зависит от времени /; предположим также, что
нам известна какая-нибудь инвариантная система, тоже не зависящая
от t,

fr(p\q) = O (r=l, 2, ..., m), (59)

состоящая из т соотношений, находящихся между собой в инволю-
ции и отличных от Н (р | q) = const.

Так как H{p\q) представляет для системы (5) первый интеграл (п. 4),
то на основании следствия из теоремы п. 28, присоединяя к соотно-
шениям (59) условия стационарности функции Н, выводимые из соот-
ношения

8/7=0,	(60)

мы получим новую инвариантную систему для канонической системы (5).
Ранее введенные частные предположения о системе дифференциальных
уравнений и об инвариантных соотношениях (каноническая форма и
независимость Н от t для первых и инволюционный характер для вто-
рых) позволяют здесь добавить, что из условия (60) вытекает в этом
случае не более чем 2 (я — tn) различных соотношений между р, q,
тогда как в общем случае оно заключало бы в себе 2 (я — т) таких
соотношений.

Доказательство этого утверждения получится особенно просто,
если допустить несущественное ограничение, что уравнения (59), по
предположению независимые, разрешимы относительно т из величин р,
например относительно р1г р2, рт.

Пусть после выполнения решения уравнения принимают вид

р«—?«(/’»»+1> Рт+2, •••> Рп, qi, Я* •••> qn) = 0	(59')

(a = 1, 2, ..., m);
они и в этой форме будут находиться в инволюции (предыдущий
пункт), а если для каких угодно двух функций «, v положим

п—т

V ( да dv

ди

dv

дрт +j

то условия (ря— ®в, Рр — ?р) = 0, выражающие инволюцию, прини-
мают вид

(«, ₽= 1, 2, ..., от), (61)

где знак = показывает, что речь идет о тождестве. Действительно,
здесь не нужно принимать во внимание равенства (59'), так как
левые части равенств (61) не зависят от ра (а = 1, 2, ..., т).

Заметив это, выразим,- что система (59') инвариантна относи-
тельно системы уравнений (5). Если возьмем полные производные
от уравнений (59') по t и примем во внимание уравнения (5), то
придем к условиям

т

^4-{Н, <ра} + У^“ = 0,	(62)

которые должны удовлетворяться в силу равенств (61).

Если также й здесь через Н обозначить функцию Н, приведен-
ную посредством равенств (59'), то производные от функции
Н(рт+1, ..., pn\q) будут связаны с производными от первоначаль-
ной функции Н равенствами

дН дН ( дН

дРт+j dpmt-j ^Jdp^dpm+j’

(j = 1, 2, ..., п — тр, (63)

дН дН
dqm+j dqm+j

удН

др^ dqm+j

дН дН , хп дНдуй

- =	У—-1Ё-	(а=1, 2, ..., от).	(64)

dqa dq„ { ^4dp^dqa	' ’	v '

Теперь равенства (63) непосредственно дают

[Н, <?„} = {//, ®а} —	{%, <РЭ} (0 = 1, 2, ..., от);
достаточно сложить по частям эти соотношения с соответствующими
соотношениями (64), чтобы получить равенства

(а = 1, 2, ..., т),

сводящиеся, если принять во внимание соотношения (61), (62), к сле-
дующим:

дН
dqa

?«} = 0

(а = 1, 2, ..., т).	(65)

Эти последние соотношения, которые, будучи не зависимыми от
pfJ (а = 1, 2, ..., от), тождественно удовлетворяются по отношению
ко всем аргументам, входящим в них, позволяют доказать наше
утверждение.

Действительно, условие (60), имеющее место для всех виртуаль-
ных перемещений, удовлетворяющих соотношениям (59'), равносильно
уравнению ьН = 0, сохраняющему свое значение при произвольных
бесконечно малых приращениях его аргументов, т. е. в явной форме
равносильно уравнениям

дН Q дН
дРт+j ’ dqm+j
^ = 0
dq«

(j = 1, 2, ..., п — т),

(а = 1, 2, .... т),

О

а эти последние т уравнений в силу равенств (65) являются след-
ствиями первых 2 (я— от) уравнений.

§ 5. Интегральные инварианты

31.	Субстанциальные многообразия. Во многих исследованиях,
в частности в небесной механике, наряду с рассмотрением интегралов
и инвариантных соотношений,. оказывается полезным исследование
других образований инвариантного типа относительно любой системы
дифференциальных уравнений первого порядка (36). Речь идет о так
называемых интегральных инвариантах, о которых здесь уместно
дать некоторое понятие.

Приведем сначала некоторые вспомогательные соображения. Для
обычной системы дифференциальных уравнений я-го порядка

=	(4=1,2, ...,я),	(36)

19 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. АмаЛьди
в которых функции X удовлетворяют, по крайней мере в некоторой
области, обычным условиям правильности, рассмотрим решение

xi = xi (t I Л0)	(« = 1, 2, ..., я), (66)

где функции xt в заданный момент t0 принимают любые п значений Х{.
Обращаясь к обычному кинематическому истолкованию в «-мерном
пространстве Sn переменных х, мы можем сказать, что решения (66)
определяют движение точки Р, которая, подчиняясь закону ско-
рости, выраженному уравнениями (36), в момент t0 выходит из по-
ложения Р0(Х1> х%, ..хп).

Предположим, что это начальное положение движущейся точки
выбирается в некоторой «-мерной области, в которой осуществляются
условия, требуемые теоремой существования и единственности ин-
тегралов системы (36); предположим, кроме того, что промежуток
изменения t выбран так, что указанные только что условия продол-
жают выполняться.

Рассматривая функциональный определитель от х4(/|х°) по х°
®=1й1	ft7=1’2........")>

примем во внимание, что результат дифференцирования по любому х°
и подстановки / = /0 не зависит от порядка выполнения этих опе-
раций, т. е.,

2.....">

Отсюда можно заключить, что определитель © в начальный момент
10 принимает значение 1 и потому остается отличным от нуля и по-
ложительным во всем промежутке времени, начиная с момента t0.
Если условимся ограничить изменение, t этим промежутком, то
в нем будет обеспечена непрерывность и одно-однозначность соот-
ветствия, которое уравнения (66) определяют между начальными
положениями Ро движущейся точки и положениями, достигаемыми ею
в любой момент отсюда почти очевидно (можно было бы доказать
это и вполне строго), что в пределах указанного выше изменения t
всякому многообразию VQ с каким угодно числом измерений (линия,
поверхность и др.) соответствует на основании уравнений (66) в любой
момент времени вполне определенное многообразие V с тем же
числом измерений — геометрическое место соответствующих положений
Р движущейся точки, и обратно.

Многообразие V из Sn, которое рассматривается в этом смысле
зависящим от t, обыкновенно называется субстанциальным много-
образием, так как, если представим | себе точки Sn материализован-
ными, оно будет во всякий момент состоять из одних и тех же частиц,
т. е. из частиц, какие вначале образовывали V0.
32.	Интегральные инварианты порядка, равного порядку системы.
Обратимся к частному случаю, когда начальное многообразие образует
некоторую область (п-мерную) 5° пространства Sn и пусть S есть
соответствующая область в любой момент /.

Если р.- обозначает какую-нибудь правильную функцию от поло-
жения и, возможно, от времени, то интеграл

I=^dS	(67)

8

имеет вполне определенный смысл в любой момент времени и потому
представляет собой вполне определенную функцию от I, принимаю-
щую в начальный момент t0 значение

А)= J* Но
s°

В качестве предварительной формулы найдем производную по t
от интеграла /, принимая при этом во внимание уравнения (36).

Если бы при выполнении этого дифференцирования мы исходили
непосредственно из выражения (67) интеграла /, то надо было бы
принять во внимание, что интегрирование должно быть распростра-
нено на область, изменяющуюся вместе с t\ поэтому для упрощения
вычислений удобно привести область интегрирования к такой области,
которая не зависит от времени, выполняя предварительно замену пе-
ременных, определяемую равенствами (66).

В силу этого, согласно известному правилу преобразования инте-
гралов по области, получим

/=JV®dSO,	(67z)

8"

где вместо | © | можно писать прямо 2), потому что этот определи-
тель, как отмечалось в предыдущем пункте, остается положительным
во всем рассматриваемом промежутке изменения t.

Так как теперь область интегрирования не зависит от t, то можно
применить правило дифференцирования под знаком интеграла, и мы
получим

Ms»1”'®’’

8”

где, конечно, полная производная от р2) должна быть взята, прини-
мая во внимание, что xt зависят от t в силу уравнений (36). Но
прежде чем выполнять это дифференцирование, удобно снова пере-
вести последний интеграл из области 5° в область 5, соответствую-
щую любому моменту t, выполняя преобразование переменных,
обратное преобразованию (66). Так как определитель этого преобра-
зования есть и потому тоже положителен, то искомую произ-
водную можно будет написать в виде

g=J®->^(H®)<fe;	(68)

S

теперь все сведется к нахождению полной производной от опреде-
лителя ©.

Если, положив

(Х.Хо ... х„\

© = .

• • • п'

примем во внимание равенства
дифференцирования определителей

(36), то по известному правилу
будем иметь

где

(i=l, 2, ...,«).

Но так как

п

дХ{_yi dXj дхк

°Х3	*=1* з

(i, 7=1,2,	Л), (69)

то достаточно разложить $)/ в сумму п определителей, соответ-
ственно п слагаемым каждого члена (69) из г-ой строки, чтобы
получить

п /	\

__ yi &Xi I*1  ‘  Xi~lXkXi + l • ' •

* ~ & dxk W ... x°. х°х? ... xPj

(z=l, 2, ...,«),

а так как определитель, который появляется здесь в виде множителя
при дХ^дхк, равен нулю при k ф i и совпадает с © при k — i, то
предыдущая формула приводится к следующей:

®,-®g	(<—1,2......»).

Если обратимся теперь к равенству (68), то найдем

(6S-)

S
где для краткости положено

п	п

dp. , дХ} др. , д ,
V dt + и 2^ dXi ~ dt +	dXi

i=l	4=1

Заметив это, мы назовем интеграл I типа (67) интегральным
инвариантом относительно системы дифференциальных уравнений (36),
если при изменении t он сохраняет постоянное значение, какова бы
ни была область интегрирования в начальный момент /0 и, следова-
тельно, в любой момент t.

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно,
очевидно, чтобы в любой момент было

а при заданной произвольности S легко убедиться на основании
равенства (68'), что это условие будет выполнено только тогда,
когда во всякий момент времени и во всякой точке Р области пра-
вильности, т. е. при всяком выборе переменных х и t, будем иметь

4 = 1	4 = 1

(70)

Действительно, если v = 0, то в силу равенства (68') непосред-
ственно имеем dljdt= 0, каково бы ни было S, и, обратно, если
эта полная производная тождественно равна нулю, то v, как непре-
рывная функция, не может быть отличной от нуля в какой-нибудь
точке Рив какой-нибудь момент t, без того чтобы оставаться
такой же и с тем же знаком в некоторой окрестности S* точки Р
и в некотором промежутке времени, содержащем t‘, но в таком слу-
чае, вопреки предположению, был бы отличен от нуля также и
интеграл

j* vdS*.

8*

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными
производными следует, что для всякой системы дифференциальных
уравнений (36) существует бесконечно много функций р положения и
времени, удовлетворяющих равенству (70). Такие функции называются
множителями системы (36), потому что по отношению К этой системе
они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного
обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий
множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их при-
надлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования
системы (36)^ мы не будем останавливаться здесь на этом и огра-
ничимся лишь, следуя Пуанкаре1), замечанием, что функция под
знаком интегрального инварианта порядка, равного порядку
системы, является якобиевым множителем и обратно.

В виде непосредственного следствия получим, что для системы (36),
для которой имеем

или, как обычно говорят, для системы (36) с нулевой дивергенцией
уравнение (70) множителя удовлетворяется значением р = const,
откуда вытекает инвариантность интеграла

ps,
S

т. е. инвариантность объема произвольной области S. Так, например,
в случае обыкновенного пространства (я = 3), если рассматриваются
внутри области правильности системы все те точки, которые
в момент /0 заключены в некоторой области S° с объемом т»0, то
они во всякий другой момент t будут заполнять некоторую область S,
которая, вообще говоря, будет иметь другую форму, но сохранит
неизменным объем г»0 (движение несжимаемой жидкости).

33.	Замечание Лиувилля. Предыдущее следствие находит интерес-
ное применение в случае канонической системы (5). Мы имеем здесь
систему порядка 2п, в которой неизвестные функции представляются
двумя рядами сопряженных величин ph, qh, а соответствую-
щие X определяются выражениями —dH[dqn, dH/dph, так что
дивергенция при любом Н обращается в нуль. Поэтому при любом
движении, определяемом канонической системой, протяженность
или объем в фазовом пространстве р, q будут инвариантными.

Это свойство канонической системы, замеченное Лиувиллем* 2),
имеет основное значение в статистической механике и в ее при-

*) Анри Пуанкаре родился в Нанси в 1854 г., умер в Париже в 1912 г.

Ограничиваясь здесь механикой (в ее традиционных пределах), отметим,
что его Methodes nouvelles de la mecanique c&este (Париж, т. I (1892), т. II
(1893), т. Ill (1899)) и исследования о фигурах равновесия жидкой вращаю-
щейся массы (Acta Math., т. VII, 1885, и Lemons sur les figures d’equilibre..
Париж, 1902) открыли новые горизонты в астрономии и космогонии, позволяя
пользоваться более высокими методами современного анализа.

А. Пуанкаре был профессором в Парижском университете, в Поли-
технической школе и др. и состоял членом Парижской академии наук, а так-
же членом многих других академий.

2) Жозеф Лиувилль родился близ Кале в 1809 г., умер в Париже
в 1882 г., был профессором в Политехнической школе, в College de Fran-
ce, в Сорбонне и непременным секретарем Академии наук в Париже.
Сильный аналист, он известен, помимо замечательных результатов, достиг-
нутых им в аналитической механике, еще и своими исследованиями по
арифметике и алгебре, а также благодаря теореме о конформных преобразо-
ваниях пространств сп>3 измерениями. В 1836 г. основал „Journal de
mathematiques pures et appliquees* и руководил им до 1874 г.
ложениях к кинетической теории газов, к термодинамике и т. л.1).
Оно имеет Особенное значение еще и потому, что, как мы видели
в п. 16, объем в фазовом пространстве выражает в некотором роде
внутренние свойства канонических переменных, так как он остается
неизменным по отношению ко всякому вполне каноническому пре-
образованию.

34.	Линейные интегральные инварианты. Пуанкаре2) не ограни-
чился введением интегральных инвариантов типа (67), область инте-
грирования которых имеет размерность, равную порядку системы; он
показал, что полезно ввести в рассмотрение более общие инварианты,
определяемые интегралами, распространенными на многообразия с каким
угодно числом измерений, меньшим порядка^ системы (линейные,
поверхностные и другие интегралы).

Чтобы показать особенно простой пример таких инвариантов,
остановимся на случае (в некотором смысле противоположном рас-
смотренному в п. 32), в котором многообразие интегрирования имеет
наименьшее число измерений, т. е. сводится к линии; точнее, обра-
щаясь исключительно к каноническим системам, докажем, что для
всякой такой системы будет инвариантом интеграл

п

f ^Pnd4n,

L Л—1

распространенный на замкнутую линию L фазового пространства и,
конечно, субстанциальный в смысле, разъясненном в п. 31. Обычно
такой интегральный инвариант называют относительным, подчеркивая
этим названием то обстоятельство, что его характер инвариантности,
по существу, подчинен условию, что линия интегрирования замкнута.

Инвариантность интеграла J устанавливается аналогично тому, как
это делалось в случае п. 32, проверкой того, что полная производ-
ная dJjdt будет равна нулю всякий раз, как линия L будет замкну-
той. Для этой цели примем прежде всего во внимание, согласно тому,
что было отмечено в п. 31, что общее решение канонической системы,
которое здесь соответствует уравнениям (66),

Pn = Ph{i\P(>\<f\ Чп = Чп^\Р°\^) (Л= 1,2, .. .,л) (66'),
определяет одно-однозначное соответствие между координатами р, q
фазового пространства, относящимися к произвольному моменту t, и
их начальными значениями р°, q°. При такой одно-однозначности

Ч См. J. Н. Jeans, The dynamicat Theory of gases, 2-ое изд.,Cambridge
Univ. Press, 1921.

’) Poincar6, Les methodes nouvelles de, la Mdcanique celeste, Paris,
1899; t. HI, гл. XXII — XXV. К а рта н, Интегральные инварианты, 1940.
линия L будет получаться из вполне определенной линии Ао, гео-
метрического места начальных значений р0, q0, которая тоже будет
необходимо замкнутой и поэтому доступной для параметрического
представления

Ph^Ph^), = «'»(”)	(А= 1, 2,.. .,n),

где, если а обозначает длину дуги, функции в правых частях будут
периодическими с периодом, равным длине s всей линии Lo.

Параметрические уравнения субстанциальной линии L будут полу-
чены в функциях от t и параметра а, если мы в равенства (66')
вместо р°, q° подставим ^только что указанные их выражения, а ин-
теграл J, который надо распространить на эту линию, по выполне-
нии выкладок представится как вполне определенная функция времени.
Таким образом, для вычисления dJJdt достаточно взять производную
под знаком интеграла, принимая во внимание, что так как дифферен-
циалы от q относятся к параметру а, не зависящему от t, то произ-
водная по t от любого dq будет тождественна с соответствующим dq.
Таким образом, получим

п

зг = f S (p*dq*+Ph dq'^’

L Л=1

или, применяя интегрирование по частям и замечая, что вслЬдствие
замкнутости линии интегрирования проинтегрированная часть обра-
щается в нуль,

п

й / S dq* ~ ^dPh)->
L Л=1

теперь достаточно принять во внимание, что р, q удовлетворяют
канонической системе (5), чтобы убедиться, что выражение под зна-
ком интеграла тождественно с полным дифференциалом от —Н по
р, q, т. е. вычисленным в предположении постоянства t. Таким об-
разом, сохраняя все время предположение о замкнутости линии инте-
грирования, заключаем

§ 6. Метод интегрирования Гамильтона—Якоби

35. Общий случай. Выяснив в предыдущих параграфах 3—5 ос-
новные понятия об интеграле или инварианте, об инвариантном соот-
ношении и инвариантной системе (соотношений) и об интегральном
инварианте, рассмотрим теперь, хотя бы в краткой форме, задачу
действительного интегрирования (общего или частного) канонических
систем; начнем с классического метода Гамильтона — Якоби, который
еще и сегодня дает все, что является наиболее общим в этом во-
просе. Этот метод приводит интегрирование какой угодно канониче-
ской системы порядка 2л к определению так называемого полного
интеграла уравнения с частными производными первого порядка
(общего вида) с п -ф-1 независимыми переменными.

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определе-
нии для этого последнего уравнения только интеграла частного типа,
однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой
шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки
зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными произ-
водными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона — Якоби имеет
большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике,
благодаря той форме, в которой получается общее решение канони-
ческой системьц а с другой стороны, устанавливая совершенную экви-
валентность между указанными выше задачами анализа, он дает воз-
можность решить обратную задачу: привести интегрирование какого-
нибудь уравнения с частными производными первого порядка к ин-
тегрированию соответствующей канонической системы.

Мы, однако, не будем останавливаться здесь на этих, хотя и
важных, вопросах анализа; ограничимся лишь установлением прямого
предложения.

Итак, пусть дана каноническая система

- _ дН )
d<lh I

д„	(й= 1, 2,... ,ге),	(5)

дрд J

где р в функции Н рассматриваются как символы частных производ-
ных некоторой неизвестной функции V от q и t, т. е.

(А=1’2,...,«);	(71)

рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка
(Гамильтона — Якоби) относительно неизвестной функции V

|) + И = 0.	(72)

Как известно, полным интегралом уравнения (72) называется вся-
кая функция V от q, t и от п произвольных постоянных ith(h =
= 1,2, ...,и), которая обладает следующими двумя свойствами:
а) содержит п постоянных ~ существенным образом; этим мы хотим
сказать, что не будет тождественно равен нулю смешанный функ-
циональный определитель

v-|sSI ........................»); >73>
б) тождественно удовлетворяет уравнению (72) относительно q, t, тг,
т. е. при всяком возможном выборе значений этих переменных вну-
три некоторой области.

Мы утверждаем, что знание одного такого полного интеграла V
позволяет построить в конечной форме общее решение данной кано-
нической системы (5): если мы введем п новых аргументов •/.'посред-
ством равенств

«=>.2.......») рч

и будем рассматривать равенства (71), (74) как уравнения для опре-
деления 2п переменных р, q через i и тг, х (что, конечно, можно
сделать в силу предположения V ф 0, ср. п. И), то 2я функций

Ра = Ра ("ИО, |

, । |д i (&= 1, 2, .. .,и),	(75)

I

определенных таким образом, дадут общее решение канонической
системы (5), если только тг, х будут считаться в нем произвольными
постоянными.

Для доказательства этого достаточно вспомнить заключения п. 11,
из которых следует, что равенства (75), если их рассматривать как
формулы преобразования, зависящие от t, переменных р, q в пере-
менные тг, [х, определят каноническое преобразование и что харак-
теристическая функция преобразованной канонической системы урав-
нений (5) определится выражением

Так как здесь на основании предположения, что V есть интеграл
(полный) уравнения (72), эта характеристическая функция тожде-
ственно равна нулю, то преобразованная каноническая система, при-
нимающая в данном случае вид = 0, хЛ = 0, будет иметь общим
интегралом тгй = const, xh = const (h = 1, 2, ..., я), откуда, возвра-
щаясь к первоначальной системе (5), мы и заключаем, что ее общий
интеграл определяется уравнениями (75) или эквивалентными им урав-
нениями (71), (74), если ~, х рассматриваются в них как произволь-
ные постоянные.

Существенное достоинство этого метода интегрирования заклю-
чается в той его особенности, что выражения (71), (74) или (75) для
общего решения автоматически вводят произвольные постоянные ~, х
в канонической форме, в том смысле, что зависимости, которые они
устанавливают между р, q и и, х, образуют каноническое преобра-
зование.

Наконец, нужно добавить, что, каков бы ни был принятый метод
интегрирования, выражения общего решения

Ри = Рн IP01 ?°), ^ = ^(dP°l?°),	(й= 1,2, »..,«), (76)
в которых за постоянные интегрирования приняты координаты р°,
q° начальной фазы, всегда определяют между величинами р°, q° и
р, q преобразование (вполне) каноническое (поскольку t рассматри-
вается в них как произвольный параметр).

Действительно, всегда можно предположить, что предыдущие фор-
мулы получены путем исключения тс, х из уравнений (75) и из урав-
нений того же вида, относящихся к моменту t0.

Ph = Ph (ТС I Z I ^t>)>

о / t i#\	*5 )

4h =	I7-Ho)-

Теперь в силу равенств (75), (75х) имеем
п	п	п

ЕPhdqn = 2 ^h —	d V	’

1ь=Л
n	n	n

E Ph dqn = E ^h d*h~(^r)<=/ dto + d ( Vo —	хйтсй);

h=l	h=l	°	A=1

достаточно рассматривать t и tQ как постоянные параметры и вы-
честь эти равенства почленно, чтобы получить тождество

2 Ph dqh = ^Phdqh + d{V- Уо),
ft=l	h=»l

что и доказывает утверждение, как это следует из п. 11.

36.	О теореме взаимности Гельмгольца1). Из последнего замеча-
ния предыдущего пункта почти непосредственно вытекают некоторые
интересные механические следствия.

!) Герман Гельмгольц родился в Потсдаме в 1821 г., умер в 1894 г.
в Берлине, начал свою карьеру военным врачом. В 1847 г., будучи еще вра-
чом, он прочитал в Берлинском обществе (основанном за два года до этого)
свой знаменитый мемуар Ober die Erhaltung der Kraft, в котором впервые
дается энергетическая формулировка интеграла живых сил с распростране-
нием принципа сохранения энергии на все другие виды явлений природы.
(Попутно заметим, что в 1842 г. эквивалентность между теплотой к ра-
ботой была установлена Р. Майером и экспериментально подтверждена
Джоулем.)

Исключительные заслуги молодого врача были признаны благодаря влия-
нию А. Гумбольдта. В 1849 г. он был приглашен преподавать анатомию к
физиологию в Кенигсберг, затем в Бонн и Гейдельберг, где с 1858 по 1871 г.
его многообразная научная деятельность достигла наивысшего развития. В
1871 г. был приглашен в Берлин, где с 1874 г. состоял президентом Немецкого
физико-технического общества.

В области механики его наиболее известные исследования относятся
к гидро- и аэродинамике (теория вихрей, жидких струй, атмосферной цирку-
ляции, звуковых колебаний в органных трубах). Ученые мемуары были
собраны им самим в три тома (Leipzig, 1882—1885); два других тома содер-
жат публичные лекции и популярные статьи. Заботами его учеников был
опубликован в шести томах целый цикл лекций по математической физике,
читанных им в Берлине.
Возьмем снова для канонической системы (5) уравнения общего
решения (76), которые мы перепишем здесь, выставляя в правых ча-
стях на вид также и начальное значение tQ независимой переменной:
Ръ-Ръ (И/’°1?°1/о)> <Jh = 9h^\^\g°\to)	=	2, ri). (76')

Если в промежутке изменения t, в котором сохраняют свое зна-
чение эти уравнения (76'), мы фиксируем какой-нибудь момент (от-
личный от /0), который обозначим через t и назовем конечным мо-
ментом, то/уравнения (76') при таких значениях t0 и t определят,
по крайней Йере, в некоторой области одно-однозначное соответствие
между координатами р°, q° начальной фазы и р, q конечной фазы.
Это соответствие, как мы только что видели, образует каноническое
преобразование между двумя рядами переменных.

Отвлекаясь временно от этого последнего обстоятельства, заметим,
что характер одно-однозначности соответствия обеспечивает на осно-
вании теоремы о единственности интеграла то, что для определения
решения гамильтоновой системы достаточно будет фиксировать без-
различно или начальные значения р°, </° (т. е. значения в момент /0),
или конечные значения р, q (т. е. значения в момент t).

Установив это, рассмотрим любое частное решение, определенное,
например, путем фиксирования начальных значений р°, q°. Обращаясь
к представлениям решений в фазовом пространстве Ф2п, сравним соот-
ветствующее движение М с двумя другими движениями М', JV", тоже
определяемыми гамильтоновой системой (5) и бесконечно близкими
к М, т. е., как обычно говорят, с двумя варьированными движениями
(по отношению к AZ). Если через р°-ф-8'р0, 9°-j-8'^0 и р-\-Ъ'р,
q-\-^'q обозначим начальные и соответственно конечные импульсы и
координаты в М', а через р° -ф- 8"р°, q° ф- b"q° и р -ф- 8"р, q-\-Z"q—
аналогичные начальные и конечные значения в М", то каждое из
этих двух варьированных движений можно определить независимо от
другого; если фиксировать произвольно бесконечно малые прираще-
ния обобщенных координат q и обобщенных импульсов р для дви-
жения Н, относящиеся к начальному (8q° и 8р°) или к конечному
(8<? и 8р) моменту времени, то на основании уравнений (76') можно
однозначно определить соответствующие бесконечно малые прираще-
ния соответственно для начального или конечного момента.

Теперь вспомним, что уравнения (76') при заданных значениях t0
и t определяют между р°, q° и р, q каноническое преобразование. Это
значит, как это напоминалось также и в конце предыдущего пункта,
что два пфаффиана

п	п

2 Phd4h, 2 Phdql,
Л=1	Л=1

вычисленные для бесконечно малых приращений координат (начальных
и конечных), которые позволяют перейти от любого движения М
к какому-нибудь движению, варьированному по отношению к нему,
различаются между собой в силу уравнений (76') только на полный
дифференциал. Отсюда следует, что соответствующие билинейные
коварианты (п. 9 и гл. V, п. 57), вычисленные для двух независимых
систем бесконечно малых приращений, позволяющих перейти от дви-
жения М к двум каким угодно варьированным движениям, в силу
уравнений (76') будут тождественны между собой; поэтому, вводя
вариации S' и 8", определяющие переход от М к двум варьированным
движениям М' и М", мы получим тождество

п	п

S (W'9h-s>hs"9ft)= 2	(77)

Л = 1	А = 1

Это и есть соотношение взаимности, полученное Гельмгольцем*) и
выведенное здесь при более общих предположениях. Но чтобы извлечь
из него какие-нибудь определенные и наглядные заключения, необхо-
димо выбрать соответствующим образом варьированные движения М'
и М".

Предположим, например, что движение М' определено по отно-
шению к движению М путем приравнивания нулю всех начальных
приращений 8'/?°, 8'^°, кроме одного; пусть таким приращением будет
8'^. Тем самым из уравнений (76') однозначно определятся все конеч-
ные приращения 8'р, o'q. Для движения М", наоборот, положим рав-
ными нулю все конечные приращения 8"/?, o"q, за исключением, при-
ращения о"р7-; и в этом случае из уравнений (76') определятся все 8"/?°,
8"дР. При указанных здесь предположениях тождество (77) примет
вид

K'p^'q^p^'ql

откуда, в частности, следует, что если два произвольных прираще-
ния В'<Д определяющих два варьированных движения М', М",
берутся равными, то такими же будут и определяемые ими вариации 8'<fy,
8"р°. Таким образом, если два варьированных, движения получаются
из одного и того же движения, одно исключительно путем варьи-
рования начального значения одной координаты, другое исключи-
тельно путем варьирования конечного значения одного количества
движения, и если обе эти вариации равны между собой, то будут
также равны и определяемые ими вариации, соответственно
конечная и начальная, координаты, сопряженной с варьированным
количеством движения, и количества движения, сопряженного с
варьированной координатой.

Таким образом мы имеем одну из так называемых теорем вза-
имности Гельмгольца\ ясно, что к другим аналогичным теоремам

*) Это соотношение значительно раньше использовано Остроградским
для вывода всех теорем механики. См. Жуковский Н. Е., Ученые труды
М. В. Остроградского по механике, Полное собрание сочинений, т. IX, 1937.
{Прим, ред.)
(с возможным изменением знака) мы придем, предполагая при пере-
ходе от Л4 к М' и М" варьирование или двух координат, или двух
количеств движения вместо одной координаты и одного количества
движения.

Гельмгольц указал такие физически интересные задачи, в которых
эти теоремы находят применение, и показал, что вариации, о которых
мы говорили выше чисто теоретически, могут быть действительно
осуществлены посредством малых позиционных возмущений, если речь
идет о координатах, или посредством малых импульсов, если речь
идет о количествах движения.

37.	Общий интеграл в динамическом случае. Вернемся временно
к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда
каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из ди-
намической задачи о движении голономной системы, в которой пара-
метры q являются лагранжевыми координатами, основной целью будет
определение изменения координат q в функциях от t и постоянных
интегрирования.

Следует отметить, что для этой цели достаточно той ько п урав-
нений (74) и нет нужды присоединять к ним уравнения (71), харак-
теризующие только закон изменения с временем количеств движения,
имеющих вспомогательный характер в первоначальной постановке задачи.

С этим согласуется положение, заключающееся в том, что, найдя
полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, соответствующий ди-
намической задаче (консервативной), можно найти общее решение
уравнений движения Лагранжа из равенств

.....<и>

38.	СлуЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ функции, не зависящей от времени.
При этом предположении для уравнения Гамильтона—Якоби можно
искать полный интеграл в виде

У = —	(78)

где Е есть постоянная, которую мы будем выбирать надлежащим обра-
зом, и W — неизвестная функция, зависящая только от q и п постоян-
ных itj, тс2, . .., теп и не зависящая от t.

Уравнение (72) принимает вид

Н — Е	(72')

в том предположении, конечно, что в Н вместо р подставлены вы-
ражения (71), которые в данном случае имеют вид

0 = 1.2........Л);	(71')

условие того, чтобы функция была полным интегралом (V ф 0), выра-
зится в том, что смешанный функциональный определитель от
функции W по qh, те,- не должен обращаться в нуль. Если примем
во внимание, что постоянная Е произвольна, то увидим, что, по су-
ществу, все сводится к отысканию интеграла W(q, те) (удовлетворяю-
щего условию Vj 0) дифференциального уравнения с частными про-
изводными

Н= const,	(72")

где правая часть представляет постоянную относительно переменных
q и t, т. е. некоторую функцию от те, которую надо принять за вы-
ражение коэффициента Ё при t в функции V.

После определения такого полного интеграла W уравнения (72")
общее решение (74) канонической системы на основании выраже-
ния (78) функции V можно написать в виде

|Е. = 0)?+х.	0=1, 2,..., л), (74')

где для краткости положено
дЕ

(/=Ь2, ...л).	(79)

Предыдущее приведение задачи, которым пользовался Пуанкаре,
симметрично относительно постоянных те. Якоби, наоборот, выделял
одну из постоянных те, например теп, принимая ее прямо за Е; вслед-
ствие этого функцию W в уравнении (78) надо рассматривать как
неизвестную функцию, которая не зависит от t, а зависит только от
q, Е и остальных л —1 произвольных постоянных тех, те2, ..., теп_г

В этом случае условие того, чтобы функция V была полным ин-
тегралом, может быть упрощено, по крайней мере в предположении,
очевидно, выполняющемся^ всякий раз, когда мы имеем динамическую
задачу, что какое-нубудь р, например рп, действительно входит в Н1).
Положив

V' = л • Il (h, j = 1, 2, ..., л—1),

можно написать смешанный функциональный определитель функции V

в виде

d2W
dqr дЕ

1	V'	d*W

^^dtT	dq^dE

дрп	:

дН d"-W дН d2W дН d^W

 dPn^qn^i dpndqndni'” dpndqndE

!) Частный случай, когда Н не зависит от всех р, не представляет инте-
реса, так как в этом предположении каноническая система (5) непосред-
ственно интегрируется, поскольку из второй группы л уравнений следует
= const, а первая дает р^ = const, так что р будут линейными функциями
с постоянными (произвольными) коэффициентами при t.
прибавляя к элементам последней строки соответствующие элементы
из первых п—1 строк, умноженные соответственно на dHjdp^ ...
..., дН1дрп_1г получим

у дН d*W /	1 о	дН d^-W

Ьдр^д^	I), ^dp^dqJE’

или на основании уравнений (719
п _	п _

iU др~ дл. v ’	7 др. дЕ

й=1 * 3	л—1	"

Далее, уравнение (72'), так как оно тождественно удовлетворяется
по отношению к аргументам тг, Е и потому может быть продиффе-
ренцировано по каждому из них, показывает, что первые п — 1 эле-
ментов этой строки исчезают, а последний- равен 1. Поэтому опре-
делитель V можно написать в виде

V — —— V'
v дН у ’
дРп

и иско.мое условие приводится к неравенству

V'=£0.

В этом предположении общее решение канонической системы, как
и в общем случае, определяется уравнениями (71), (74); полезно пере-
писать эти уравнения, подставляя в них W вместо V и Е вместо тг„.

Что касается уравнений (71), то в них остается только подста-
вить вместо V’ его выражение (78), вследствие чего снова найдем
написанные выше уравнения (71z); первые п — 1 из уравнений (74)
дадут аналогично

=	(7' = 1> 2, ..., (п-1),	(74а)

а последнее, если обозначить в нем через—- /0 произвольную постоян-
ную даст

=	(746)

Как и в общем случае, уравнения (74а), (746), конечно, будут раз-
решимы относительно q (в функциях от t и от тг, Е, х, /0); но здесь
мы можем добавить, что при наличии t только в уравнениях (746)
и — 1 уравнений (74а), рассматриваемые отдельно, определят в изобра-
жающем пространстве лагранжевых координат qu q2, • • • -,qn траек-
тории системы. Так как они тождественно удовлетворяют уравне-
нию (72'), не зависящему от t, то мы видим, что Е есть постоянная
величина, которая для любого решения равна значению Н вдоль соот-
ветствующей траектории; поэтому в динамических случаях постоян-
ная Е истолковывается как полная энергия.

39. Прямая проверка предыдущих результатов. Результаты, отно-
сящиеся к характеристической функции Н, не зависящей от t, были
выведены в предыдущем пункте как следствия из результатов, полу-
ченных в п. 35 при более общем предположении, что функция Н
зависит явно от t\ мы пришли к правилу для определения общего
решения канонической системы, вводя только полный интеграл UZ
(с гессианом, не равным нулю) уравнения Н — Е, в которое t не
входит. Представляет интерес найти снова эти результаты прямым
путем, аналогичным тому, который был использован в п. 35 для общего
случая, т. е. обращаясь к каноническому преобразованию, которое
в этом случае не будет зависеть от t и потому будет вполне кано-
ническим.

Для этой цели возьмем снова уравнение с частными производными

Н — const,

(72")

где в Н вместо ph подставлены dWldqh, а через W обозначен полный
интеграл, зависящий, помимо q, от произвольных постоянных it, таких,
что его функциональный определитель (по q и те) йе обращается
тождественно в нуль в рассматриваемой области. После подстановки
в уравнения (72") производных dW[dqh постоянная, стоящая в правой
части, будет равна определенной функции от произвольных постоян-
ных те, которую мы обозначим через Е.

Далее, предполагая, что Vt -ф 0, найдем, что две системы уравнений

— dW t _dW_

Ph dqh’ h~~

(4=1, 2, ...,л) (80)

определяют на основании п. 12 вполне каноническое преобразование
между двумя парами рядов сопряженных переменных

Р1Р2

для того чтобы иметь прямое доказательство теоремы Гамильтона —
Якоби для нашего случая, остается только выполнить это преобра-
зование над данной канонической системой. Так как речь идет о вполне
каноническом преобразовании, то новая характеристическая функция
получится преобразованием функции Н(р, q), а для того чтобы вычи-
слить эту преобразованную функцию, достаточно принять во внимание
первые п из уравнений (80), так что после выполнения преобразования
мы увидим, как это отмечалось с самого начала, что новая характери-
стическая функция будет как раз равна Е, если ее рассматривать

20 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
как функцию от тех, те2, ..., тея. Таким образом, доказано, что пре-
образованная каноническая система будет иметь вид

дЕ г дЕ
dih ’ s

(А = 1, 2, ...,«)

или, вспоминая, что Е не зависит от ?, и обозначая через про-
изводную dE/dnh (зависящую от одних только те),

-л^О,	=	(Л = 1, 2, ..., п).

Так как общим интегралом этой системы будет

теЛ = const, =	(Л = 1, 2, .. ., л), (81)

где v.h обозначают п новых произвольных постоянных, то заключаем,
точно так же как и в п. 35, что общее решение первоначальной кано-
нической системы определяется равенствами

dW 4 1	dw	1 о „ч

+ = (Л = 1, 2, ..., л)

при условии, что те/4 и хЛ рассматриваются как произвольные постоянные,
а выражены через тей посредством уравнений

(«=.1,2......В).

Все это имеет место в случае симметричного представления
Пуанкаре. Если же, наоборот, мы выделяем один из аргументов те,
например те„, полагая его прямо равным Е (как поступал Якоби),
то величины = dE/thtj, ...,<on_j = dEjd'Kn_1 исчезают, так что на
основании уравнений (81) вместе с те постоянными будут также и
тождественные с х1( .. ., xn_t; последняя сопряженная
пара состоит из Е — vn и = t —10, где через — /0 обозначена
постоянная х„.

Мы имеем, таким образом, полное согласие с предыдущим пунктом.
Здесь мы можем добавить, что вместо последних двух сопряженных
переменных, Е и t —10, можно подставить, как это указывалось
в и. 14, две их канонические комбинации:

где п есть произвольно заданная постоянная; предполагая, что в функ-
цию W введена функция L, и представляя уравнения (80) согласно
постановке Якоби, мы заключаем, что (вполне) каноническое преоб-
разование между р, q и двумя рядами сопряженных переменных

Ttj те2 . .. теп_1 L

Х1 ха • • • xn-i
определяется уравнениями

О W	/г л П	1\

ЭГ	г; 1 о	, dlF

—	(/ = 1,2, ...,п—1), I— -Т7-.

•> dr.j v » ’	dZ,

40.	Вывод ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО ЧАСТНОГО ИНТЕ-
ГРАЛА уравнений Гамильтона—'Якоби. Если для уравнения с частными
производными

дУ
dt

(72)

мы знаем одно частное решение У (q[f), не зависящее от какой-либо
произвольной постоянной (или даже заключающее некоторые такие
постоянные, но не являющееся полным интегралом), то выводы п. 36,
на основании которых было получено общее решение канонической
системы (5), будут, конечно, неприложимы. Однако, как мы это
сейчас докажем, из известного решения V(qtf) можно вывести систему
п инвариантных соотношений относительно системы (5), т. е. п урав-
нений

Л = ^-	(* = 1,2,... ,72).	(71)

Для этого, как мы знаем, необходимо показать, что производные
по t от этих уравнений сводятся к тождествам в силу канонической
системы и самих этих уравнений.

Напомним сначала, что решение V удовлетворяет уравнению (72),
так как в H(p\q\t) вместо каждого ph подставляется соответствующая
производная dV/dqh, так что, дифференцируя уравнение (72) по
отдельным q, мы придем к п тождествам

д2У  ЭЯ , у дН д*У _
~Г 24 дрк dqhdqk~
fc=i

(А= 1,2, ...,/г). (82)

Если теперь продифференцировать уравнения (71) по t и- вместо р, q
подставить их выражения, даваемые канонической системой, то полу-
чатся равенства

дН	д2У	 у дН д2У

dqh “ dtdqh ‘ 24 дрк dqhdqk

fc=i

(й=1,2, . .., ri),

которые в силу равенств (82) удовлетворяются тождественно.
§ 7. Понижение порядка при наличии известных интегралов

41.	общие соображения. Если задана система (нормальная) обыкно-
венных дифференциальных уравнений порядка п

=	(/=1,2.......«), (36)

то наличие некоторого числа интегралов позволяет, как на это уже
указывалось (гл. II, п. 1) в случае уравнений движения одной сво-
бодной точки, понизить порядок системы. Действительно, если изве-
стны т независимых между собой интегралов, то из них можно по-
лучить выражение для т неизвестных, например для х,, х2, ..., хт,
в функциях от остальных неизвестных и от т произвольных постоян-
ных, после чего, подставляя вместо этих хг, х2, .... хт их выраже-
ния в остальные п — т уравнений (36), мы получим приведенную
систему порядка п — т

Где функции X получаются из первоначальных функций X посредством
указанной подстановки и зависят только от хт+1, хт±2, ..., хп и,
конечно, от т произвольных постоянных известных интегралов. Если мы
примем во внимание, что интегрирование приведенной системы введет
п — т произвольных постоянных, то увидим, что, присоединяя к об-
щему интегралу этой системы т известных интегралов системы (36),
мы придем к ее общему решению, так что можно сказать, что нали-
чие т независимых интегралов допускает понижение на т единиц
порядка операций интегрирования.

Необходимо отметить, что если для данной системы известны не
первые интегралы, а только т инвариантных соотношений, независи-
мых между собой, то из них можно получить выражения для т из
неизвестных х и, как и выше, исключить эти т неизвестных из по-
следних п — т уравнений (36); но приведенная система (36), которая
таким образом получится, не будет содержать в себе произвольных
постоянных, так что интегрирование этой системы порядка п — т
даст уже не общий интеграл данной системы, а только некоторый
класс оо»-»» решений, т. е. именно тех решений, которые удовле-
творяют указанным инвариантным соотношениям.

В ближайших пунктах мы будем применять эти соображения
к каноническим системам, главным образом для того, чтобы выявить
наибольшее число приведений, которые допускаются частным видом
таких систем по сравнению с системами общего вида.

42.	Элементарный случай понижения ранга канонических систем.
Предположим, что каноническая система (5) имеет tn игнорируемых
ксординат, т. е. соответствующая характеристическая функция Н
не зависит от т из q координат, например от qu q%, .... qm. Тогда
мы будем иметь т интегралов обобщенных количеств движения

pr — const = рг (г = 1, 2, ..., т) (83)

равносильных т уравнениям рг — 0 канонической системы. Осталь-
ные 2л— т уравнений можно разделить на две группы: первую, со-
стоящую из 2 (п — т) уравнений

дН •	дН	, •	, о	ч ч

Pm+j = —	0=1,2, ...,п—т), (5а)

и вторую — из остальных т уравнений

(r= 1, 2, ..., лг). (5«)

Если примем во внимание уравнения (83) и то обстоятельство, что Н
не зависит от qx, q2..qm, то увидим, что уравнения (5а) составляют

каноническую систему относительно одних только переменных рт+Р
qm+j(J=^^y • ••» п — т\ содержащую в виде параметров т по-
стоянных /7®; после того как для этой системы определится ее общее
решение, зависящее, помимо и от остальных 2 (л — т) произволь-
ных постоянных, правые части уравнений (5б), при помощи подста-
новки этого решения и интегралов (83), приведутся к известным функ-
циям от одного только переменного t (и от 2 л — т введенных
произвольных постоянных), так что остальные неизвестные функции
qr(r = 1, 2, ..., лг) получатся посредством т квадратур, которые
введут т остальных произвольных постоянных.

Таким образом, наличие т интегралов (83) дает возможность по-
низить порядок канонической системы на 2 т единиц, а не на лг,
как это было в общем случае.

43.	Понижение порядка канонической системы при помоши ин-
теграла энергии. Другой замечательный случай приводимости канони-
ческих систем мы будем иметь, когда характеристическая функция Н
не зависит явно от t и поэтому, как мы знаем из п. 4, существует
интеграл энергии

Н = const = Е.	(6)

Таким образом, при наличии интеграла (6) интегрирование
канонической системы (5) порядка 2п можно свести к интегри-
рованию другой системы, тоже канонической, порядка 2 (л — 1)
и к последующей квадратуре.

Действительно, заметим прежде всего, что если исключить воз-
можные статические решения (в которых все р и q остаются постоян-
ными), то для всякого другого решения в заданной канонической
системы, по крайней мере, один из аргументов р и q действительно
зависит от t\ если таким аргументом является, например, qn, то всегда
можно будет для t определить промежуток изменения, в котором
производная qn = dqjdt будет оставаться отличной от нуля.

В таком промежутке времени рассматриваемое решение а опреде-
ляет между t и qn одно-однозначное соответствие, так что за неза-
висимое переменное можно будет принять qn вместо t.

С другой стороны, в силу последнего из уравнений (5) вместе
с производной qn, отличной от нуля в этом промежутке, надо при-
нять отличной от нуля и производную дН/дрп, так что интеграл (6)
можно разрешить относительно рп в виде

Рп=:	• • • > Рп-1> 41* • • • > Яп>	(6 )

Заметив это, разделим почленно первые 2 (л — 1) уравнений (5)
на последнее

принимая во внимание, что на основании уравнения (6)
дН_
ди ди ’ дрп’

где и—-один из аргументов

Р1>Ра> •••> Рп-i’ Яь Я%> •••» Япг

придем к уравнениям

=	(А ~ 1, 2, ..., л —• 1), (85)

dqn dph dqn dqh	” v ’

образующим каноническую систему с 2 (л — 1) неизвестными функ-
циями ръ, qH{h — \, 2, ..., л — 1) от qn, характеристическая функ-
ция которой К, помимо этих 2 (л—-1) аргументов, зависит еще
от нового независимого переменного qn (и от произвольной постоян-
ной £).

Теперь легко убедиться, что, после того как будет проинтегри-
рована система (85) порядка 2 (л—1), достаточно одной квадратуры
для того, чтобы получить решение первоначальной системы (5). Дей-
ствительно, интегралы системы (85) позволят выразить ph, qh при
h= 1, 2, . .., л— 1 в функциях от qn и от 2 (л — 1) постоянных инте-
грирования, кроме Е, которое входит явно в виде параметра' в АГ; с дру-
гой стороны, сама функция К, когда в нее вместо 2 (л — 1) аргумен-
тов ph, qh подставляют только что указанные выражения, на основании
равенств (6') дает рп, так что тем самым в фазовом пространстве Ф2п
будут определены оо2"-1 траекторий любого движения, определяемого
системой (5). Поэтому остается только определить закон движения,
для чего.достаточно обратиться к уравнению (84), которым мы уже
пользовались для исключения t из системы (5). Если напишем это
уравнение в виде

ai дН_
дрп

и заметим, что правую часть можно выразить в функции от qn
(и от 2га — 1 введенных до сих пор произвольных постоянных), то
увидим, что интегрирование задачи дополнится еще одной квадрату-
рой, которая введет последнюю произвольную постоянную.

44.	Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух
предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы
теории канонических систем, которая формулируется следующим
образом (теорема С. Ли): если для канонической системы порядка
2п известны т интегралов, независимых между собой, находя-
щихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же пере-
менных р, то ранг системы, от которого зависит определение
общего решения, понижается на 2т единиц (вместо т) и инте-
грирование данной системы сводится к интегрированию другой
системы, тоже канонической, с га — т парами сопряженных пе-
ременных.

С точки зрения применения к конкретным задачам особую важ-
ность имеет случай, когда т = п, или случай, когда интегрирование
канонической системы может быть сведено к операции нулевого по-
рядка, т. е. к конечным операциям и к квадратурам. Мы ограничимся
здесь доказательством теоремы С. Ли для этого частного случая,
который известен под названием случая Лиувилля * *) *).

При доказательстве существенным образом будем опираться на
метод интегрирования Гамильтона — Якоби, а именно на результат п. 35,
согласно которому, чтобы иметь интеграл канонической системы (5)
в конечном виде, достаточно получить полный интеграл V уравнения
с частными производными

^ + //=0.	(72)

Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что
наличие га интегралов системы (5)

fr (Р I Я10 — const =	(r=l, 2, ..., га), (86)

1) Доказательство теоремы С. Ли в общем случае см., например, Gour-
sat, Lemons sur 1’intcgration des equations aux derivees partielles du premier
ordre; 2-ое изд.; Paris, 1921, гл. VIII.

*) Гюнтер H. M., Интегрирование уравнений в частных производных
первого порядка, 1934 г.; Имшенецкий В. Г., Интегрирование дифферен-
циальных уравнений с частными производными первого и второго порядков,
1916 г. (Прим, ред.)
независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых
относительно п переменных р, позволяет определить посредством
одних только квадратур полный интеграл V (q | те | /) уравнения (72).

Для этой цели напишем уравнения, выражающие предположения
о том, что функции fr являются интегралами уравнений (5) и нахо-
дятся между собой в инволюции. Первое предположение (п. 21)
выразится уравнениями

-^+(Н, А) = 0	(г=1, 2, ..., л), (87)

а инволюционный характер интегралов fr выразится уравнениями

(А.Л) = 0	(г, s= 1, 2, ..., л), (88)

которые здесь, в отличие от того, что мы имеем для инвариантных
соотношений, будут существовать сами по себе, т. е. независимо от
уравнений (86), так как они должны иметь место при всяком выборе
постоянных тег.

Эти две группы условий (87), (88) формально можно выразить
одной схемой, если наряду с ph, qh (k—l, 2, ..., л) мы введем
еще одну пару сопряженных переменных р0, q0 = t, где р0 обозна-
чает вспомогательный аргумент, который не входит ни в 77, ни в одну
из /, и если для какой-нибудь пары функций и, v от двух сопря-
женных рядов переменных

/ Ро Pl Р2 • • . Рп\

\<7о = * 41 42 ••• 4п)	V ’

обозначим через (a, v) скобки Пуассона относительно этих пере-
менных.

Тогда, сохраняя обычное обозначение (и, v) для скобок Пуассона
относительно первоначальных переменных р, q, будем иметь

.	. ди dv ди dv , ,	.

v>>

отсюда следует, в частности, что если обе функции и, v не зави-
сят от /?0, то скобки ( ) будут тождественны с обычными круг-
лыми скобками, и что

(р0 + ^, А) = ^ + (Я,/,) (г = 1, 2, ..., л).

Мы видим, таким образом, что равенства (87), (88) Ложно напи-
сать соответственно в виде

(Po+W, Л) = 0,	(/г>Л) = 0	(г, $ = 1, 2, ..., л),

т. е. наши предположения можно выразить, говоря, что л-f-l функ-
ций fr и р04-Н находятся попарно в инволюции относительно двух
рядов (89) сопряженных переменных.
С другой стороны, лД-1 уравнений fr = кг, р0-^-Н — 0 разре-
шимы относительно р0, рх, ..рп, так как первые п уравнений пред-
полагаются в свою очередь разрешимыми относительно р1г р2, ..., рп,
после чего уравнение р0 -\-Н= 0, если воспользоваться полученными
таким образом выражениями для pv р2, рп, даст выражение
для р0 через q, t и тг.

Если мы напишем найденные таким образом решения в виде

Л-—= О (г=1, 2, .... л), (86')
Ро—?о(?11'|0 = °»

где положено

?о —	(^)р

то (п. 29) функции рг — уг, р0—будут находиться в инволюции,
т. е. будут удовлетворять равенствам

(Рг — %> Ps — ?8) = 0	(г, s = 0, 1,	я);

так как ® не зависят от р, то эти равенства примут вид

fc-as р, »=о, 1, (SO)

так что они выразят необходимые и достаточные условия для суще-
ствования такой функции V от q, q0 = t и от постоянных я, что

=	(г=1, 2, ..., «)	(91а)

^ = % = ~(^=7	(91б)

Определение этой функции V, как известно, требует только
квадратур; покажем сейчас, что эта функция и представляет собою
полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (72).

Что функция V есть интеграл, можно видеть непосредственно
из равенства (91g), если принять во внимание равенства (91а), так
что остается только подтвердить его полноту. Для этой цели доста-
точно проверить, что смешанный функциональный определитель от V
по q и я (п. 35), т. е. в силу уравнений (91а) якобиан от ®j, ®2, ...,
по я, не будет тождественно равен нулю. Но это есть необходимое
и достаточное условие для разрешимости уравнений (86') относи-
тельно я, обеспеченное заранее тем обстоятельством, что эти уравне-
ния эквивалентны первоначальным уравнениям (86), которые как раз
и являются разрешенными относительно я.

45.	Следствия из теоремы Лиувилля для канонических систем
с характеристической функцией, не зависящей от времени. В кон-
кретных задачах, представляющих физический интерес, оправдывается
то обстоятельство, что переменная t не появляется ни в Н, ни в одном
из известных интегралов (86). При таком предположении теорема
Лиувилля позволяет сделать два замечания, которые следует разъяс-
нить.

Прежде всего мы видим, что способ, использованный в преды-
дущем пункте для установления теоремы Лиувилля, приводит к пол-
ному интегралу вида

V=-Et-\-W,

где Е есть постоянная, a W не зависит от t.

Действительно, так как функции <рг не содержат t, уравнениям
(91а) можно удовлетворить некоторой функцией W, зависящей исклю-
чительно от q (и от тс), после чего наиболее общее решение этих
уравнений определится равенством

У = W-^T,

где Т представляет собой некоторую произвольную функцию от t
(и от те). Остается еще удовлетворить уравнению (91g), которое
дает здесь

(Н)рг=чг’	(91g)

надо заметить, что, с одной стороны, так как уравнения (90) при
г = 0, s > 0 дают

=	(S=l, 2, ..., п),

dqs at	v	'

функция не зависит от q и, с другой стороны, что она также
не зависит и от t, потому что такой же, по предположению, является
функция Н, и t не может быть введена в нее подстановкой рг = %..
Поэтому функция <р0 есть постоянная (зависящая от те), которую мы
можем обозначить через — Е, и из соотношения (91g) заключаем,
что, по крайней мере с точностью до несущественной постоянной,
Т = — Et.

Этот результат надо сопоставить с выводами п. 38.

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы
Лиувилля: интегрирование канонической системы с характери-
стической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо
{одними только конечными операциями и квадратурами) всякий
раз, когда известны п — 1 ее интегралов f}, /%, fn-i> кото-
рые находятся в инволюции и не содержат t, и функции /1;
......fn—i, Н независимы между собой.

Действительно, мы замечаем, что а) д-й интеграл определяется
уравнением /7 = const (п. 4) и б) так как все функции / не зависят
от времени, то уравнения (87) приводятся здесь к виду

(Д/,) = 0	(г=1, 2, ..., л-1),
так что я-й интеграл Н будет также находиться в инволюции
с остальными п — 1 интегралами.

После этого достаточно применить теорему Лиувилля.

§ 8.	Примеры

46.	Свободная точка, отнесенная к цилиндрическим координатам.
Каноническое выражение, имеющее место в этом случае для живой
силы

+ />;+/<).

явно не зависит от азимутальной координаты <р, так что если точка
находится в поле консервативной силы, симметричном относительно
оси г, и, следовательно, соответствующий (единичный) потенциал U
тоже не зависит от <а, то эта координата является игнорируемой, и
имеет место интеграл

= г2? = с,

который, естественно, истолковывается как интеграл момента коли-
чества движения относительно оси г или как интеграл площадей
относительно полюса в плоскости г = 0.

Приведенная каноническая система (п. 42), имеющая только две
степени свободы (относительно переменных гиг), имеет в этом
случае характеристическую функцию вида

—	1	1 г2

которую можно истолковать как соответствующую некоторому движе-
нию в меридианной плоскости под действием силы, являющейся про-
изводной от потенциала

1

U(r, г)—

47.	Задача п~]~ 1 тел: каноническая форма Пуанкаре для урав-
нений относительного движения. Значительно более важная иллюстрация
общих рассуждений предыдущего параграфа дается в задаче п Щ- 1
тел (или вообще «Ц-1 свободных точек, находящихся исключительно
под действием внутренних сил), когда стараются получить решение
из интегралов количеств движения (или количества движения центра
тяжести)

Ql = Cj, Q2=C2, Q3 = Cg,

которые, как это отмечалось в п. 24,а, находятся в инволюции.

В случае взаимных ньютонианских притяжений, которыми мы здесь
ограничимся, соответствующий потенциал (гл. V, п. 32) зависит
только от разностей

= —$0, Л = »11 —^о> Ъ = Со (i=l, 2, ...,«) (92)
между абсолютными координатами (т. е. между координатами от-
носительно галилеевой системы отсчета) любой точки Р,- и координа-
тами заданной точки Ро системы (центральное тело).

Это обстоятельство подсказывает, что удобно принять за ла-
гранжевы параметры системы вместо 3(«-f-l) абсолютных коор-
динат п 1 тел Зл относительных координат п из них относительно
центрального тела Ро и абсолютные координаты £0, iq0, этого
последнего; действительно, координаты $0, т]0, Со по отношению
к характеристической функции Н—(Т) — U задачи представляют
собой игнорируемые координаты, и три соответствующих интеграла
количеств движения (п. 4) будут тождественны с Q2, Qg, так
что последующее приведение системы будет сводиться к элементар-
ному случаю п. 42.

Для этой цели заметим сначала, что к указанной замене пере-
менных, когда вместо т]4, Ц подставляются выражения (92) и $0,
iq0, Со, надо присоединить, конечно, и замену сопряженных пере-
менных (п. 24,а)

Щ =	= р* = «Д (/= 0, 1, 2, ..., л),

так что в общей сложности преобразование между двумя парами
рядов из 3(л-|-1) переменных

0 = 0,1,...,л) и	(/=1 2.......п)

будет каноническим. Теперь ясно, что для этого достаточно, чтобы
каноническими были преобразования между парами из л 1 пере-
менных, соответствующих отдельным осям; так что на основании
второго примера из п. 13 мы непосредственно будем иметь, что за
переменные, сопряженные с xit yf, zt, £0, iq0, £0, должны быть со-
ответственно приняты



Pi	4i Xii

п

Ро — S = Qi,

ri — Pi (i= 1, 2, ..., л),
п	я

Яо — 2 ~ ^2> ro== S р<=Qi-
£ = 1	< = 1

(93)

Таким образом (замечание Пуанкаре), в задаче л —J— 1 тел за сопряжен-
ные переменные можно принять, наряду с относительными координа-
тами л тел по отношению к центральному телу и проекциями соот-
ветствующих количеств движения, абсолютные координаты централь-
ного тела и проекции количества движения центра инерции.

Далее, если мы выразим в этих переменных характеристическую
функцию Н=(Т) — U, то $0, т]0, явно в нее не войдут, потому
что они не входят, как это отмечалось с самого начала, ни в потен-
циал U, ни в выражение (Г), которое, как это было отмечено в п. 6, б,
зависит исключительно от п, £, р или на основании равенства (93)
от р, q, г. Соответственно этим трем игнорируемым параметрам
найдем три интеграла

Pq~ci> Яо ~ с2, го~ сз>	(94)

и достаточно принять во внимание равенства (93), чтобы видеть, что
мы имеем дело как раз с первоначальными интегралами количества
движения центра тяжести.

Благодаря наличию этих трех интегралов согласно п. 12 можно
понизить число степеней свободы канонической системы на три или,
что одно и то же, понизить число переменных на шесть. Вследствие
этого мы придем к так называемой канонической форме Пуанкаре для
уравнений относительного движения (относительно центрального тела)
в задаче п 1 тел. Мы знаем (п. 42), что когда проинтегрированы
эти уравнения, то игнорируемые координаты Ео, iq0, Со центрального
тела определяются простыми квадратурами.

Далее, характеристическая функция этих канонических уравнений
относительного движения определится, естественно, уравнением Н —
— (Г) — U, о котором потенциал U предполагается выраженным через
относительные координаты х{, у{, zit и, согласно равенствам (93),
в равенстве п. 6, б

п

г=о

вместо -fa, Pi (i = l, 2, ...,л) подставлены соответственно р{, q{,
г{, а вместо к0, у0, р0—величины

п	п	п

Ci — 2 Pi, %— S яг, сз— 2 ri-
i = l	i=l	i=l

Относительно последней подстановки надо сделать одно важное заме-
чание. Три интеграла (94) в силу их значения выражают постоянство
скорости центра тяжести системы, а так как все предшествующее
имеет силу для произвольной галилеевой системы осей, то мы можем
прямо взять одну такую систему с началом в центре тяжести, благодаря
чему придется положить сг = с^ — с3 — 0. Таким образом, для харак-
теристической функции получаем окончательное выражение

п

«-12£о’?+«1+'Э+

4=1

п	п	п

+^№,+(2W2+(2W!}-^

(=1 1=1
которое в случае п = 2 для трех тел принимает вид

нЧ«+’!+,5 + 8;(Ш+Ф+

+Sf {(р‘++ <? + +<г>+'»>“) - и- <96)

В этом последнем случае явное выражение потенциала, относя-
щегося к взаимному притяжению трех тел, определяется равенством

п___f I । тйтг , т-рпг I	,Q7.

U—J\ Д1 “Г' Д2 -Г д

где //г0, mv т2 суть массы трех тел и

△1 = PqPu ^2 = PqP 2> △ = Pj Pg-

48.	Тело, закрепленное в одной точке. Частный случай тяжелого
твердого тела. В случае движения твердого тела, закрепленного в одной
точке, каноническое выражение живой силы, как мы видели в п. 6, в,
есть

_ 1 ( (Р9 cos ср + a sin ср)2 (Ре sin ср — а cos ?)2	1

~’2 I А	В + С J’

где

/*р~ cos О

G = ————.г---

ЭШ 0

Координата явно в него не входит, так что всякий раз, когда
и потенциал U активных сил окажется не зависящим от ф, эта ко-
ордината будет игнорируемой, а для соответствующей задачи о движе-
нии будет существовать первый интеграл р^ — const, в котором, если
вспомним (п. 6, в), что равно Др-(1	Вд-[2-\- Crys, мы узнаем инте-

грал момента количеств движения относительно неподвижной оси С.

Применяя к этому случаю следствие из теоремы Лиувилля, указан-
ное в п. 45, мы заключаем, что достаточно найти еще один инте-
грал, который не зависел бы от t и был бы отличен от интеграла
Н = const энергии и, кроме того, находился бы в инволюции с р^
(т. е. не содержал явно ф), чтобы задача о движении твердого тела
вокруг закрепленной точки была разрешена только посредством
квадратур.

Чтобы разъяснить важность этого заключения, полезно истолковать
допущенное выше существенное условие dUjdb = 0. Из толкования,
данного в п. 5 гл. IV для обобщенных сил, действующих на твердое
тело и соответствующих эйлеровым углам, следует, что это условие
характеризует тот механический факт, что результирующий момент М
активных сил относительно неподвижной точки О перпендикулярен
к неподвижной оси £. Это обстоятельство по отношению к неподвиж-
ной вертикальной оси имеет место в том случае, когда активная сила
представляет собой вес, как это видно из прямых геометрических
соображений, а также и из известного выражения потенциала (гл. VIII,
п. 21)

V = Р (Ъ*о + ТаУо + Тзго),

где х0, у0, z0 суть координаты центра тяжести и

Yj = sin 9 sin ср, '(2 = sin 9 cos ср, "Гз = cos 9.	(98)

Мы теперь в состоянии доказать утверждение п. 24 гл. VIII, чго
задача о движении тяжелого твердого тела вокруг закрепленной точки
будет разрешима при помощи только квадратур во всех тех случаях,
когда для уравнений Эйлера—Пуассона удается указать один инте-
грал, не зависящий от t и отличный от интегралов моментов количеств
движения (7^ = const) и энергии (Н — const). Действительно, такой
интеграл, поскольку он относится к уравнениям Эйлера—Пуассона,

может зависеть только от аргументов р, q, г, fj, "f2, .f3, выражения
/ РьРчРлЛ

которых через канонические переменные I J у I, даваемые равен-
ствами (14') и. 6 и (98), не содержат ф. Поэтому необходимо будет
иметь место равенство df/dty == 0, так что речь идет об интеграле,

находящемся в инволюции с интегралом р^ = const, и потому не-
посредственно будет применимо следствие из теоремы Лиувилля п. 45.

49.	Тело гироскопической структуры. Если предположить, что
А = В, то выражение живой силы, упомянутое в предыдущем пункте,
получает вид

_ 1 ! /4 +°2 , р?
~ 2 j А "г С

и, как мы видим, не зависит не только от ф, но также и от <р, так
что если то же самое справедливо и для потенциала U (который
в этом предположении будет зависеть только от 9), то наряду с пер-
вым интегралом р^~ const будем иметь еще один первый интеграл
= const, который в силу второго из равенств (14) п. 6 равно-
силен г = const, т. е. выражает постоянство проекции угловой ско-
рости твердого тела на ось симметрии. Так как оба этих интеграла
не зависят от t, отличны от Н и находятся в инволюции, то можно
прямо утверждать на основании следствия из теоремы Лиувилля (п. 45),
что задача разрешима в одних только квадратурах. Классический
пример мы имеем в случае Лагранжа — Пуассона (тяжелый гиро-
скоп, гл. VIII, § 6), когда упомянутое уже выражение потенциала
приводится к виду U= Pzfa = Pz0 cos 9; утверждение п. 27
главы VIII, таким образом, доказано.

Другая важная задача того же типа будет разобрана в следующем
пункте.
50.	Движение Земли вокруг ее центра тяжести под действием
ПРИТЯЖЕНИЯ ОТДАЛЕННЫМ ТЕДОМ. В п. 31 гл. XI т. I мы видели, что
потенциал притяжения V каким-нибудь телом (например, Землею),
масса которого т0, какой-нибудь отдаленной точки Р с массою т
с достаточным приближением можно принять равным

у __ fmam
?



(99)

где / обозначает, как обычно, постоянную всемирного тяготения, р — рас-
стояние точки Р от центра тяжести О Земли, 2)1 — полярный момент
инерции Земли относительно О (полусумма трех главных моментов
инерции) и I—осевой момент инерции относительно ОР. Для нас
существенно отметить, что потенциал V можно истолковать так же,
как потенциал полного притяжения, которое точка Р оказывает на
Землю, поскольку это справедливо относительно отдельных элемен-
тарных потенциалов, суммой которых является V.

Для уточнения постановки задачи уподобим Землю гироскопу,
имеющему осью полярную ось Oz (Л = В), и обозначим через 6, ®, ф
углы Эйлера неподвижной в теле системы осей Oxyz относительно
осей неизменного направления. Если представим себе, что нам из-
вестны как абсолютное движение центра тяжести О Земли, так и
движение отдаленной точки Р, то расстояние р и направляющие
косинусы яг, а9, и3 направленной прямой ОР относительно неподвиж-
ных осей нужно рассматривать как известные функции времени.
С другой стороны, так как 2R = А 0/2 есть постоянная, то из
основного соотношения (16) гл. X т. I мы имеем

I = А (а2 + За) + Cf2 = А + (С—Л) -[2,

где а, р, у обозначают направляющие косинусы полупрямой ОР
относительно осей, неподвижных в теле. Наконец, последний косинус у
зависит от двух троек направляющих косинусов а1( а2, и3 прямой ОР
и <х3, рз, f3 оси Oz (относительно неподвижной системы осей):

Т = а3«1 + р3«3 + 73и3;

принимая во внимание, что

я3 = sin ф sin О, Р3 = — cos ф sin 6, 73 = cos6,
выражение для у можно написать в виде

у == sin в («! sin ф — а2со5ф) Ц- a3cos 6.	(100)

Заметим теперь, что члены потенциала V, не зависящие от обоб-
щенных координат 6, ф (но зависящие все же от времени),
ничего не прибавят в формулах, выражающих канонические уравне-
ния движения.
Поэтому в выражении (99) для потенциала V мы можем пренебречь
как двумя первыми слагаемыми

fmtjm fnt ЯЛ

Р ’ Р3 ’
так и членом

3 fmA
2 р3 ’

входящим на основании выражения для I в третье слагаемое, так
что за потенциал можно принять функцию

(101)
* р

зависящую, кроме времени, еще и от углов Эйлера согласно равен-
ству (100).

Для постановки динамической задачи о движении Земли около ее
центра тяжести под действием притяжения отдаленной точки Р необ-
ходимо, помимо потенциала (фиктивного), еще и выражение для
живой силы. Здесь нам пригодится замечание п. 2 гл. VIII, на осно--
вании которого (поскольку действие силы зависит только от ориенти-
ровки Земли относительно неподвижных осей) вращательное движение
определяется уравнениями (лагранжевыми и, следовательно, канони-
ческими), составляемыми в предположении, что центр тяжести непо-
движен. Следовательно, для живой силы Земли здесь надо принять
выражение (Т) в канонических переменных, приведенное в предыду-
щем пункте. При помощи выражений (Г) для живой силы и (101)
для потенциала U мы можем получить явное представление характе-
ристической функции Н = (Т) — U.

Введем дальнейшее упрощение в задачу, предполагая, что движе-
ние отдаленной точки Р известно; с этой целью ограничимся наиболее
замечательным случаем, в котором движение точки Р можно строго
или, по крайней мере, приближенно рассматривать так, как если бы
эта точка притягивалась только одной Землей. Тогда, если имеются
в виду отдаленные тела, мы приходим к задаче двух тел, одно из
которых есть точка Р, а другое — Земля, масса которой т0 пред-
полагается сосредоточенной в центре тяжести О; в пп. 4 и 21 гл. III
мы видели, что при таких условиях всегда возможны круговые дви-
жения (частный случай так называемого кеплерова движения), угловая
скорость которых п связана с радиусом орбиты соотношением

' Р

откуда получаем
fm л2

Р3 1 1 тд
' т

21 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди

(102)
Предположим, что точка Р совершает именно такое равномерное
движение по окружности.

Если в этом предположении за неподвижную плоскость возьмем
плоскость круговой орбиты и обозначим через га = nt-\-wQ долготу
точки Р, т. е. угол полупрямой ОР с осью $, то будем иметь

= cos w, и2 = sin ий — О,

так что равенство (100) принимает вид

Y == sin 6 sin (<р — w),	(100')

а потенциал (101), если примем во внимание равенство (102), будет
равен

U= — Л—X)sin20[l— cos2(4< — w)].	(ЮГ)

' т

Таким образом, мы видим, что, в то время как живая сила (Т)
зависит (в отношении того, что касается координат) исключи-
тельно от угла нутации 6, потенциал U, даже в схематически про-
стом случае, когда движение точки Р относительно О предполагается
круговым, явно содержит, наряду с 6, угол ф, а также и время,
входящее через посредство долготы w. Поэтому существует один
только первый интеграл p,f = const постоянства угловой гироскопи-
ческой скорости, а поскольку Н зависит через посредство w от
времени, то даже интеграл энергии не будет иметь места.

Но мы ограничимся рассмотрением так называемых вековых дей-
ствий, т. е. изучением движения за большой промежуток времени,
отвлекаясь от возможных малых колебаний. Для этой цели, как это
будет следовать из общих соображений, которые мы изложим в п. 74,
приближенно вместо U (или слагаемого из 17), зависящего от времени
по какому-нибудь периодическому закону, можно подставить его
среднее значение за период Т или, так как пТ — 2w,

Т	2ft

о	о

Далее, в настоящем случае U есть сумма двух членов: одного, не
зависящего от времени, и другого, содержащего cos 2 (ф — щ/); среднее
значение этого последнего члена по отношению к w, очевидно, равно
нулю, так чтр мы пришли к изучению вращательного движения вокруг
точки О при наличии потенциала

Ui = - |	(С - A) sin2 8.	(103)

1 4- ——

1 m
Так как этот потенциал, так же как и живая сила, зависит исклю-
чительно от угла нутации 6 * *), то имеют место оба первых интеграла:

р,* = const, р^ = const;

на основании известного следствия из теоремы Лиувилля мы заклю-
чаем, что вековые действия притяжения отдаленного тела на
движение Земли вокруг ее центра тяжести можно представить
в квадратурах.

Если на движение Земли влияют несколько тел, то потенциал при-
тяжения, зависящий от каждого из них, вычисляется тем же спосо-
бом. Так как речь идет об отдаленных телах, то вместо потен-
циала (101z) надо подставить сумму стольких аналогичных членов,
сколько имеется тел, создающих потенциал; для такой суммы также
будут иметь место высказанные выше заключения, относящиеся к
интегрированию дифференциальных уравнений движения Земли вокруг
центра тяжести, в частности, и то заключение, что для определения
вековых действий мы приходим к квадратурам.

Заметим наконец, что слагаемое, прибавляемое к потенциалу от
каждого из тел, создающих потенциал и предполагаемых отдаленными,
согласно равенству (101) будет прямо пропорционально массе т тела
и обратно пропорционально кубу расстояния р от О\ если принять
это во внимание, то окажется, что в конкретном случае Земли можно
пренебречь действием других планет и рассматривать только два тела:
Солнце — вследствие его большой массы и Луну — вследствие ее отно-
сительно малого расстояния.

§ 9. Определение частных решений, если известны первые
интегралы или инвариантные соотношения а)

51.	Стационарные решения. В двух предыдущих параграфах мы
изучили в соответствии с общими соображениями п. 41 наибольшее
понижение порядка, необходимое для определения общего решения ка-
нонической системы, которое возможно в случае знания некоторого
числа интегралов (произвольных или специального вида).

Здесь мы остановимся на более скромной, но в то же время очень
интересной (в смысле ее широкой приложимости) задаче отыскания
минимальных аналитических средств, достаточных для определения
некоторого класса частных решений, когда эти решения можно
получить на основании знания интегралов или инвариантных соотно-
шений.

При этом существенное значение будут иметь рассуждения пп. 27,
28 об инвариантности условий стационарности; с механической точки

См. с этой целью упражнения 14 и 15 гл. VIII.

*) L е v i-C i v i t а, Мемуар. цитированный на стр. 281: см. также В u г g a t-
t i. Rend. Ясс. Llncel (5), т. 11, 1902lt стр. 309-314.
зрения наиболее важный случай будет тот, когда полная энергия Н
имеет стационарное значение в абсолютном смысле или в зависимости
от инвариантных соотношений или каких-либо интегралов. Решения,
к которым мы таким образом приходим, мы будем называть, следуя
Раусу, стационарными.

52.	Статические решения. Чтобы начать с простого, но не лишен-
ного, однако, интереса случая, возьмем снова каноническую систему,
характеристическая функция которой не зависит от t. В этом случае
существует интеграл Н— const, и, согласно следствию п. 27, соответ-
ствующее условие стационарности ЪН = 0 позволяет написать 2я
инвариантных соотношений

£- = 0, 4^=0	(/г = 1, 2,...,я), (104)

«Ph OQh	v	v ’

которые приводят каноническую систему к виду ph = qh = Q и пока-
зывают, что решения, при которых удовлетворяется условие 8/7 = О,
все являются как раз такими, при которых отдельные р и q сохра-
няют постоянные значения. Следовательно, мы имеем дело со стати-
ческим решением в узком смысле п. 17 гл. VI; так как число 2л
уравнений (104) как раз равно числу постоянных р°, <?°, то эти урав-
нения, за исключением случаев несовместности и неопределенности,
пригодны для определения искомых решений.

На любое из этих решений а распространяется замечание, вы-
текающее из теоремы Дирихле для динамического случая, а именно,
что возможно указать чисто качественное условие устойчивости, т. е.
условие, выражаемое посредством одних только соотношений не-
равенства. Действительно, таким является в силу уравнений (104)
условие, что Н имеет для решения а действительный максимум или
минимум (см. п. 7 и гл. VII, пп. 5—6, 17); замечание о лагранжевых
системах с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени,
в конце упомянутого п. 17, гл. VI, таким образом, будет вполне
оправдано, так как, как это непосредственно следует из п. 1 той же
самой главы, всякая такая лагранжева система определяет канони-
ческую систему с характеристической функцией, не зависящей от t,
и обратно.

53.	Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся
в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям,
докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п
с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны
т < п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции й раз-
решимых относительно т переменных р, то можно определить <х>т
частных решений данной системы посредством интегрирования при-
веденной системы дифференциальных уравнений порядка т.
Действительно, пусть известные инвариантные соотношения даны
в разрешенном виде

Рг = <?г(Рт<л> • • •> Рп, Qi, •,<!»)	(г=1, 2, ..., от); (105)

как мы знаем из п. 30, если наложим на функцию Н условие ста-
ционарности, имея в виду эти от соотношений (т. е. если мы исклю-
чим из Н величины pt, р^,-..,рт посредством равенств (105) и,
обозначив через Н приведенную таким образом функцию, положим
8/7=0), то явные уравнения, эквивалентные этому условию стацио-
нарности, сведутся к 2 (л — от) уравнениям

s^ = 0,	= 0	(7=1, 2,..., в—от), (106)

dpm+j d<lm+j	V

так как из них непосредственно следует, что остальные производные
dH[dqr (г— 1, 2, ...,от) обращаются в нуль.

Если, обращаясь к условиям, образующим нормальный случай,
предположим, что уравнения (106) разрешимы относительно pm+j,
Чт+j (7 = 1,2,..., п — т), то эти уравнения и равенства (105)
позволяют полностью выразить все р и qm+x, • • •, Чп через qlf .qm.

С другой стороны, если первоначальную каноническую систему
представим себе разбитой на две частичные системы

(Л=1’ 2’"” П}>

дН	<5')

=	(г=1, 2,..., от), (5")

то уравнения (5') будут обязательно удовлетворяться только что
указанными 2 (я — от) разрешенными уравнениями; а в силу тех же
явных выражений ph и qm+j равенства (5") сводятся к системе
от уравнений относительно qx, ..., qm, т. е. к системе порядка от.
Интегрирование этой системы введет от произвольных постоянных;
соответствующие уравнения интегралов, присоединенные к равенствам
(105) и (106), как раз дадут искомый класс оо™ решений для задан-
ной канонической системы. Один частный случай, заслуживающий
упоминания, в котором от = п, получен на основании замечания п. 40,
так как форма уравнений (71), позволяет видеть, что речь идет
о системе, находящейся в инволюции.

Естественно, что общность решений, к которой мы приходим
таким способом, возрастает, когда какое-нибудь из известных инвариант-
ных соотношений (105) является истинным интегралом и поэтому
содержит произвольную постоянную; поэтому если при приведении
мы прямо используем от интегралов, находящихся попарно в инволю-
ции, то придем к классу оо2”1 частных решений,
54.	Движение по Раусу. Результат предыдущего пункта находит
важное применение, когда каноническая система имеет т игнорируе-
мых координат qlt q,^..., qm. Как мы уже знаем (п. 42), в этом
случае существуют т интегралов обобщенных количеств движения

Рг— Рг = ° (г = 1, 2, ... , т); (83)

соответствующая приведенная характеристическая функция Н является
не чем иным, как первоначальной функцией Н, в которой вместо
каждого рг подставлено соответствующее постоянное значение р°г.
Если теперь сопоставим условия стационарности (106) с каноническими
уравнениями

Pm+i~ dqm+j’ qm+i~dpm+j —	m), (5a)

то увидим, что искомые стационарные решения будут меростати-
ческими (см. гл. VI, п. 24); точнее, каждое такое решение состоит
из решения уравнений (5а), статического относительно pm+j,
к которому надо присоединить постоянные значения также и для рг,
a qr на основании остальных уравнений

=	(/=!, 2, ... , т) (5б)

будут линейными функциями от t.

Этот тип семейств оо8"* стационарных решений был изучен Рау-
сом в частном предположении динамического случая; и поэтому дви-
жения, которые определяются этими решениями, называются движе-
ниями по Раусу.

55.	Заслуживает внимания то обстоятельство, что с теоретической
точки зрения рассмотренный в п. 53 случай оказывается только
более общим случаем Рауса, разобранным в предыдущем пункте.
Действительно, как это доказывается в теории преобразований при-
косновения, инвариантные соотношения (105), находящиеся в инво-
люции, можно всегда привести надлежащим (вполне) каноническим
преобразованием переменных р, q к простейшему виду

pr = 0	(r=l, 2, ..., т); (105')

эти инвариантные соотношения подразумеваются выполненными в слу-
чае Рауса.

Это замечание приводит к почти непосредственному доказательству
результата п. 30. Достаточно заметить, что, когда выполнено преоб-
разование, приводящее равенства’ (105) к виду (105'), инвариантность
этих последних соотношений в силу канонических уравнений

А—<'=I’2...................">)
влечет за собой то, что т производны^ dH/dqr должны тождественно
обращаться, в нуль в силу равенств (105'), откуда, полагая преобра-
зование выполненным в обратном порядке, мы прямо увидим, что
условия стационарности характеристической функции Н, соответ-
ственно равенствам (105), выражаются только посредством 2 (я—т)
соотношений (106).

Это доказательство оказывается, несомненно, более простым, чем
доказательство п. 30; нужно, однако, заметить, что оно опирается
на теорию преобразований прикосновения, которую мы здесь не
затрагивали. Во всяком случае, даже если мы отвлечемся от этого
несущественного обстоятельства, теоретическая возможность сведения т
инвариантных соотношений, находящихся в инволюции (105), к соот-
ношениям (105') не лишает интереса рассуждения, которые мы раз-
вили в пп. 28, 30, относя систему к совершенно общим коорди-
натам.

Существенная цель нашего исследования состояла в определении
некоторых классов решений простыми средствами, или, по крайней
мере, более простыми, чем полное интегрирование заданной системы
дифференциальных уравнений, каковым является интегрирование при-
веденной системы порядка т < 2га. Далее, определение преобразова-
ния прикосновения, пригодного для приведения случая п. 53 к слу-
чаю Рауса, вообще говоря, требует операций порядка более высокого,
чем гаг, так что его нельзя рассматривать как полезное орудие для
вычисления, хотя совершенно законно и даже удобно пользоваться
им как средством для доказательства.

66.	Замечания о действительном построении стационарных реше-
ний. Чтобы выразить условия стационарности функции /0 соответ-
ственно некоторому числу т соотношений

/г = 0	(г=1, 2, .... да), (107)

инвариантных относительно заданной системы дифференциальных
уравнений, я-го порядка (96), нет нужды строго следовать способу,
указанному в наших теоретических выкладках в п. 30, т. е. прежде
всего разрешать систему (107) относительно п аргументов и после
исключения этих аргументов из /0 приравнивать нулю виртуальную
вариацию приведенной таким образом функции /0. Наоборот, как
известно из анализа, можно избежать предварительного решения
уравнения (107), прибегая к классическому методу множителей.
Этот метод состоит, как известно, в присоединении к уравне-
ниям (107) символического уравнения

п

8/о+2МЛ = О,	(108)

где 8/0, 8/г обозначают виртуальные вариации, а множители р должны
рассматриваться как вспомогательные неизвестные. Исключая эти
множители р. из п уравнений, объединенных в уравнении (108), и
присоединяя уравнения, которые таким образом получатся, к уравне-
ниям (107), мы придем к системе, эквивалентной системе, состоящей
из уравнений (107) и из уравнения 8/о = О.

Другими словами, можно сказать, что уравнения (107), (108), по
существу, содержат две группы уравнений (А) и (В), из которых
уравнения (А) составляют систему, инвариантную относительно задан-
ной системы дифференциальных уравнений с одними только х,
а уравнения (В) дают определение множителей у. в функциях от х.
Отсюда следует, что если продифференцируем по t систему уравне-
ний (107), (108) или эквивалентную ей систему (А), (В) и примем,
конечно, во внимание систему (36), то частичная система (А) в силу
своего инвариантного характера не дает места никакому новому соот-
ношению, тогда как система (В) приведет к такому же числу урав-
нений (В'), которые определят производные от множителей р в функ-
циях от х. Таким образом, можно также сказать, что система (107),
(108), как и эквивалентная ей система (А), (В), инвариантна относи-
тельно расширенной системы дифференциальных уравнений с п-\-т
неизвестными х и р, которая получается путем присоединения к урав-
нениям (36) уравнений (В'), так как, дифференцируя уравнения (А)
и (В) и принимая во внимание уравнения (36), (В')> мы не придем
к какому-нибудь соотношению между х, р, /, отличному от уравне-
ний (107), (108).

Это и есть результат, от которого следует исходить при факти-
ческом приведении системы дифференциальных уравнений и идти
к определению стационарных решений, о которых идет речь.

Необходимо признать, что, с теоретической точки зрения, способ
множителей как способ, преобразующий первоначальную задачу, сво-
дящуюся к системе дифференциальных уравнений с п неизвестными,
в аналогичный вопрос, связанный с системой уравнений с п-\-т
неизвестными, не представляет преимуществ по сравнению с перво-
начальным способом. Однако вместе с указанным выше преимуще-
ством, заключающимся в том, что его применение позволяет избежать
предварительного решения уравнений (107), он соединяет еще досто-
инство особенной алгоритмической ясности, которая, как мы увидим,
будет ценна в механических приложениях, так как допускает прямое
и изящное истолкование природы движения.

§ 10. Примеры

57.	Свободная точка, находящаяся под действием консервативных
сил, обладающих осевой симметрией. Иллюстрируем теперь общие
рассуждения предыдущего параграфа, применяя их к некоторым част-
ным задачам, которые в свою очередь связаны с примерами, изло-
женными в § 8. Рассмотрим прежде всего свободную точку (масса
которой равна 1), находящуюся пол действием такой консервативной
силы, что соответствующий потенциал U, отнесенный к цилиндриче-
ским координатам г, <р, % относительно галилеевой системы, не будет
зависеть от угла <р.

Мы уже знаем (п. 46), что в этом случае существует интеграл
площадей р^ = с, так что на основании п. 54 для точки возможны оо2
движений Рауса.

Для. определения этих движений возьмем прежде всего приведен-
ную характеристическую функцию (п. 46)

н=| (Рг+дЬ+4 J

и согласно п. 54 присоединим к символическому уравнению 8Н = 0
условие, заключающееся в том, что игнорируемая координата <р
должна зависеть линейно от t.

Как было замечено в п. 46, равенство ЪН = 0 можно истолковать
как характеристическое условие возможных положений равновесия
некоторой фиктивной точки, которая имеет одинаковые с заданной
точкой координаты г и г в любой меридианной плоскости и находится
под действием силы, являющейся производной от потенциала

1 г2
u(r,

поэтому значения координат г, г, соответствующих этим положениям
равновесия фиктивной точки и, следовательно, движениям Рауса дей-
ствительной точки, определяются двумя уравнениями

^+^0,	^ = 0.

дг 1 г* ’ дг

Всякое решение r0, z0 этих уравнений определяет окружность
(с осью z, радиусом г0 и высотою г0), так что мы имеем здесь дело
с равномерными круговыми движениями, а именно с оо2 таких дви-
жений, так как они зависят от двух произвольных постоянных
(постоянной с площадей и начального угла %).

58.	Плоская задача трех тел. Обратимся к результатам п. 47,
предполагая, что движение трех тел, Ро, Ръ Р2, происходит в пло-
скости $к]. Полагая равными нулю третьи координаты и соответ-
ствующие проекции количества движения, мы будем иметь для харак-
теристической функции на основании формулы (96) выражение

+	+ и. (96')

где

.	m0m2 . т^т2\
Если речь идет о системе, находящейся под действием только
внутренних сил, то, как уже упоминалось в п. 24, останутся в силе
не только интегралы количеств движения, которые здесь будут
полностью использованы для приведения (согласно п. 47) уравнений
относительного движения к канонической форме Пуанкаре, но и инте-
гралы результирующего момента количеств движения К = const.
Так как движение происходит в плоскости то достаточно
выбрать в ней центр приведения, для того чтобы вектор К был
перпендикулярен к этой плоскости, и нам останется только рассмо-
треть осевой интеграл моментов К —	— const.

Чтобы вычислить осевой кинетический момент К, заметим, что
на самом деле интеграл моментов существует только в том случае,
если центр приведения моментов берется в точке, неизменно связан-
ной с галилеевой системой отсчета (или в центре тяжести); в нашем
случае, когда начало галилеевой системы выбрано в центре тяжести
(находящемся в равномерном и прямолинейном движении), имеем
Qi = Q2 = Qa — поэтому при равенстве нулю результирующей
количеств движения выбор центра моментов является совершенно
безразличным, и если возьмем этот центр в теле Ро, то для инте-
грала моментов найдем явное выражение

а

К = 2 (-ЗД—yiPi) = const,	(ЮЭ)

4=1

где xu yt и х2, у2 обозначают координаты точек Ру и Р2 относи-
тельно точки Ро.

Теперь мы в состоянии изучить наиболее простым образом ооа
установившихся движений, существование которых при этой поста-
новке задачи согласно п. 53 обеспечено существованием интеграла
(109). Эти движения, если ввести множитель ш, который следует
рассматривать как неопределенную пока функцию времени, опреде-
ляются на основании п. 56 символическим уравнением

8Я—<о8К=0,

где <о — неопределенный множитель; если принять во внимание, что
в выражении (96') функции Н координаты xt, yt входят только
в потенциал U, то последнее уравнение эквивалентно восьми урав-
нениям

^ = —Л.	(<=1.2), (НО)

3^ —«Л = 0 (1=1.2). (111)

Далее, на основании канонических уравнений

*1=^,. = Ш	(”2)
уравнения (ПО) преобразуются в уравнения

xt = — <oyif yi = ls>Xi (/= 1, 2),

которые истолковываются непосредственно: обе точки Pt, Ра дви-
жутся по окружностям вокруг точки Ро с одной и той же угловой
скоростью <0.

Отсюда следует, что три расстояния Дп Л2, Д остаются неизмен-
ными, т. е. конфигурация трех тел Ро, Pt, Р2 остается неизменной
во время движения.

Для определения этой конфигурации надо принять во внимание
также и уравнения (111). Если, после того как мы придадим явную
форму уравнениям (110) при помощи уравнения (96'), умножим в них
обе части на ш и исключим <Dpit <од{ при помощи (111), то придем
к уравнениям

dU , mt [dU , dU\ ,	« п	/11ОЧ

?+-(r+r) + fflA=()> (П2б)

ду* 1 ™oWi 1 дУч) 1	* л» »	\	61

где уравнения (112б) выводятся из (112а) посредством замены х
на У', уравнения (112а), выраженные в явной форме на основании
выражения (97) функции U, принимают вид

Г-'	+5)	Ь=°.

\ 1	/	L\2	/

(И2')

т. е. сводятся к двум линейным однородным уравнениям относи-
тельно Xj, х2, которые в силу уравнений (И2б) должны удовлетво-
ряться также и величинами j^, _у2.

Таким образом, мы пришли к необходимости различать два
случая:

I.	Оба решения хп х2 и у1г уа уравнений (112') различны, т. е.
определитель х}у2—x2yt отличен от нуля или, если угодно, неиз-
менная конфигурация P(iPlP2 есть треугольник.

II.	Оба решения совпадают, т. е. три точки Р0РгРа остаются
на одной прямой линии.

Случай I. Так как уравнения (112') допускают два различных
решения, то все четыре коэффициента при неизвестных должны быть
равны нулю, откуда прежде всего имеем

Д| да ’ Д» ~ ДЗ ’
так как Д] = Д2 = Д; после этого остальные два условия, выражаю-
щие равенство коэффициентов нулю, принимают один и тот же вид

о fm
0)2 = дз-’

(ИЗ)

где т = т0 тх -{- т2. Поэтому мы заключаем, что треугольник
Ро Рг Р2, как уже отмечено, неизменный, будет равносторонним
и угловая скорость <о, с которой он вращается, постоянна и свя-
зана с длиной Д стороны треугольника соотношением (ИЗ).

Почти излишне добавлять, что, так как центр тяжести системы
неподвижен (относительно нашей галилеевой системы отсчета), абсо-
лютное движение треугольника Ро Рг Р2 представляет собой равно-
мерное вращение вокруг этого центра (ср. гл. III, пример 16).

Следует, однако, отметить, что это движение на самом деле зави-
сит от двух произвольных постоянных: Д или, если угодно, <в, свя-
занной с Д уравнением (ИЗ), и постоянной, определяющей начальную
ориентацию треугольника в его плоскости относительно некоторого
неподвижного направления.

Случай II. Если в некоторый момент мы примем за ось х пря-
мую, на которой находятся в этот момент три тела, то будем иметь
j/1=j/2 = 0> поэтому нет необходимости более заниматься коорди-
натами у. Для определения х можно предположить, не нарушая
общности, что точка Ро заключена между точками Pt и Р2 и что
положительная сторона оси х направлена от Ро к Pt. Тогда будем
иметь Д( = X], Д2 = — х2, Д = Xj — х2 — Aj Д2, так что уравне-
ния (112') примут вид

Aj<o2 = f

/ mo+mj

\ Д1

[ mn~b

\ Д’

m 2	___m2 \

(Ai-h Д2)2 “" Af 7 ’

ml	ml \

(д14-д2)2~ If) ’

(112")

отсюда мы видим, если оставить пока в стороне вопрос о совмест-
ности этих двух уравнений и о действительности угловой скоро-
сти <о, что эта угловая скорость в силу неизмейности величин Д1;
Д2, Д является и в этом случае постоянной, т. е. и здесь мы имеем
равномерное вращение.

Что же касается вопроса о совместности уравнений (112"), то,
исключая из них <о2, мы получим условие

Дх К«о + mJ Д2 - щ3Д121 [Дх + Д/ + щ2Д2Д|
да К«9+ mJ l^-m^J [Д; +Д/Ч-^Д^
которое будет уравнением пятой степени и однородным относительно
Д1( Д2. Полагая А = найдем уравнение (Лагранжа)

(т0 + mJ А5 + (2т0 4- 3/гаj) Ai 4~ (m0 + Зт^ Аа4~

4~ (т0 + Зт2) А2 — (2m0 -f- 3/га2) А — (т0 4~ т2) = О,

которое, как это следует из расстановки знаков коэффициентов,
допускает один и только один положительный корень (см. гл. Ш,
упражнение 17).

Если отношение расстояний Др Д2 принимается равным этому
корню, то уравнения (112") дают для ш2 одну и ту же величину, и
достаточно сложить их по частям, чтобы получить эту величину
в симметричном виде

о	f	I I 1 । 1 \ , »»i + тч 1.

“	+	др + сЧ + Дг)2}’

из этого соотношения видно, что <о есть действительная величина.

В этом случае мы также имеем оо2 установившихся движений,
так как остаются произвольными одно из двух расстояний Дп Д2 и
начальная ориентировка прямой

59.	Тяжелое твердое тело, закрепленное в одной точке. Общий
случай. Для изучения установившихся движений вернемся к рассуж-
дениям п. 48, но в качестве параметров Лагранжа примем, как это
было сделано в § 5 гл. VIII, проекции р, q, г угловой скорости на
оси, неизменно связанные с телом и являющиеся главными осями
инерции относительно неподвижной точки О, и направляющие коси-
нусы Yt, 72, 73 нисходящей вертикали относительно этих неподвиж-
ных в теле осей.

В силу этого характеристическая функция, при обычных обозна-
чениях, принимает вид

Н = i (Ар2 4- Bq2 4- Сг2)—Р (•№ 4- 7аУ0 4- Ъ^),

и интеграл моментов количеств движения = const в явной форме
будет

K(. = A^14-B?Ta4-C/78 = const.	(114)

Для определения установившихся движений мы должны положить
8/7=0, при условии, что переменные связаны уравнением (114) и,
конечно, геометрическим условием Т2 4“ Тз 4“ Т| — > согласно п. 56
это выразится уравнением

8/7—vS/C, — X (^8Ъ 4- -х2879 4- Та8Тз) = О,

где X и v обозначают два неопределенных множителя.
Раскрывая это уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при
8р, cq, 8г, 8-^, 8f2, 8^3, мы получим две системы уравнений

Р = П1> ? =	'' = Чз>	(115)

Рх0 — уАр — hi = 0, Ру0 — vBq — >q2 = 0, I

J (116)

из первого из них мы найдем, что v есть проекция угловой скоро-
сти твердого тела на вертикаль, направленную вниз; теперь доста-
точно сопоставить уравнения (115) с уравнениями Пуассона

— ЪЧ, =	7з = 71?—

чтобы видеть, что fj, 72, f3 являются постоянными, т. е. что нисхо-
дящая вертикаль неподвижна в теле.

С другой стороны, исключая р, q, г из уравнения (114) посред-
ством уравнений (115), найдем уравнение

v (A~fi 4-	— const,

которое обнаруживает постоянство v; отсюда мы заключаем, что уста-
новившиеся движения сводятся к равномерным вращениям вокруг
вертикали, проходящей через неподвижную точку.

Это —движения по Штауде, которые мы подробно изучили
в пй. 25 и 26 и в упражнении 11 гл. VIII; для нахождения получен-
ных там результатов нужно было бы лишь исследовать уравне-
ния (115), (116).

60.	Гироскоп с потенциалом, зависящим только от угла нутации.
Случай Лагранжа — Пуассона. Здесь, кроме А = В, надо еще поло-
жить х0 =у0 — 0, а потенциал, предполагаемый зависящим только
от 6, можно рассматривать как функцию от единственного аргумента
73 = cos 0. Мы уже знаем, что эти условия выполняются как при изуче-
нии влияния притяжения отдаленным телом Земли на ее вращение вокруг
центра тяжести (п. 50), так и в задаче о движении тяжелого гиро-
скопа (случай Лагранжа — Пуассона), для которого имеем U = PZfffa
(гл. VIII, § 6).

Характеристическая функция И и осевой момент /Q количеств
движения относительно неподвижной оси С определяются во всех этих
случаях уравнениями

1 {А (р* 4- q*) 4- Сг2} - (7(7з),

^ = ^(И1 + н2)+с'"Гз;

вместе с двумя интегралами Н= const, Кг, — const существует третий
интеграл р^ = const или, в силу второго из уравнений (14) п. 5,
интеграл г = const = rQ, который, так как	находится в инво-

люции с интегралом = const.
Отсюда следует на основании п. 53, что для гироскопа возможны
сю4 движений Рауса, которые легко определить, следуя обычному
способу п. 56.

Если, введя два неопределенных множителя X и v, мы развернем
условие стационарности

8/7— v8/C(. — АX (f	+ Тз8Тз) = °,

полагая в нем г = г0 и, следовательно, 8г — 0, то придем к уравне-
ниям

V + x7i — °,	<4 + Ья = °>

Cvr0-h ЛХЪ = —

(П7)

где, в случае тяжелого гироскопа, надо взять

Вторая пара уравнений (117), если исключим из нее р и q при
помощи первых двух, дает

(V2 + X)71 = O, (^ + Х)7а=0,
так что должно быть или

11 = 12 = °,
или

X = — v2.

В первом случае, когда	= 0 и, следовательно, f3 = st 1,

гироскопическая ось z все время сохраняет направление (в ту или
другую сторону) неподвижной оси С и, в частности, вертикальное
направление, если действующие силы сводятся к весу; гироскоп рав-
номерно вращается вокруг этой оси с угловой скоростью, проекции
которой суть р — q = 0, г = г0 (гл. VIII, п. 35). Как известно, это
движение осуществляется (теоретически — строго, практически — с Хо-
рошим приближением) волчком (гл. VIII, п. 42), если позаботиться
о том, чтобы в начальный момент его ось была вертикальна (спящий
волчок).

Во втором случае основные уравнения (117), если исключить X
(и заметить, что X и v не могут исчезать одновременно, если речь
идет о действительном движении), приведутся к виду

Р = П!> ? = П2> Cvr0==Xv2T3 —	(И7/)

подставляя в интеграл момента количеств движения вместо р и q
выражения, определяемые этими уравнениями, мы придем к уравнению
(1 — 7|) + e const>
336

гл. х. Канонические уравнения

Так как теперь можно исключить случай ^ = ±1, уже рассмотрен-
ный выше, то это уравнение будет разрешимо относительно v и опре-
делит эту величину только через у3 (и через структурные и механи-
ческие постоянные). Достаточно тогда это значение v внести в третье
из уравнений (117), чтобы получить одно уравнение с одним только f3,
откуда заключаем, что ч3 есть постоянная величина, а в силу этого
такой же будет и v.

Из неизменности “(3 следует также, что ось гироскопа описывает
круговой конус вокруг неподвижной оси ОС; с другой стороны, при-
нимая во внимание, что также и v является постоянной, и записывая
уравнения (117') в виде

, п	. А	, А —С	1 dU

P = ^i + 0, <7 = Ля + 0> го = Пз + —Лз—

мы найдем, что угловая скорость тела может быть разложена в век-
торную сумму двух постоянных составляющих—одной, направлен-
ной по неподвижной оси С и измеряемой по величине и по знаку
числом v, и другой, направленной по гироскопической оси и изме-
ряемой аналогично числом

А— С	1 dU	/1,01

1* = —•Пз-с7^ = /-о-Пз-	(И8)

Следовательно, мы имеем здесь дело с правильной прецессией
(т. I, гл. IV, п. 15), с угловой скоростью прецессии v и собственной
угловой скоростью тела р, которые в случае тяжелого гироскопа
совпадают с угловыми скоростями, уже изученными подробно в п. 37
гл. VIII; легко проверить, что, полагая в уравнении (118) dUjd-fa — Рг0,
мы снова возвращаемся к характеристическому уравнению (74'), ци-
тированному в п. 37 гл. VIII.

Каковы бы ни были при приняты^ предположениях действующие
силы, эта прецессия в согласии с общим результатом п. 53 зависит
от четырех произвольных постоянных: двух из трех постоянных
Р-, v, Tsi связанных уравнением (118), и начальных величин углов
Эйлера и <р.

Необходимо, наконец, заметить, что когда прецессия оказывается
медленной, т. е. когда угловая скорость прецессии v мала по срав-
нению с гироскопической скоростью г0 (и, следовательно, также
по сравнению с р), то, пренебрегая членами с va в равенстве (117'),
получим

______1_ dU
V Сгй д-(8'

61.	Динамическое объяснение земной прецессии и определение
массы Луны. Уже в кинематике (т. I, гл. IV, п. 19) мы описали регу-
лярную прецессию, к которой в первом приближении приводится
движение Земли вокруг ее центра тяжести О. Здесь на основе рассужде-
ний предыдущего пункта вместе с рассуждениями п. 50 можно дать
этой прецессии динамическое объяснение; легко убедиться, что мы
имеем здесь дело с одной из тех медленных прецессий, которые со-
гласно только что приведенным теоретическим соображениям можно
объяснить в случае Земли лунно-солнечным притяжением, если доволь-
ствоваться оценкой его среднего действия за очень длительный период,
или вековым действием.

Чтобы выполнить эту проверку, начнем с замечания, обращаясь
к соображениям п. 50, что комбинированное притяжение Солнцем и
Луною Земли, как происходящее от отдаленных тел, можно с доста-
точным приближением вывести на основании формулы (103) и доба-
вочного введения ньютонова потенциала из потенциала

U = - А) (1 - 71) / па +	\ ,

*	I 1 1

\	' т' /

где через п, п' обозначены средние движения Солнца и Луны (гл. III,
п. 10), через т0 и т' — массы Земли и Луны и в слагаемом, отно-
сящемся к Солнцу, т. е. в делителе /г2, подставлена 1 вместо дву-
члена 1 т^т вследствие малости земной массы пг0 по сравнению
с солнечной массой т.

Так как этот потенциал зависит исключительно от "(8, то непосред-
ственно приложимы результаты предыдущего пункта; так как земная
прецессия является медленной, то нам придется проверить, будет ли
удовлетворяться уравнение (119), когда в качестве потенциала U берут
только что указанный потенциал лунно-солнечного притяжения и вели-
чинам г0 и v приписывают значения угловых скоростей, которые соот-
ветственно принадлежат суточному вращению Земли и платоническому
году (около 26 000 звездных лет). На самом деле угловая скорость
суточного вращения Земли была бы здесь строго равна величине р,
определенной из уравнения (118); но вследствие малости v no сравне-
нию с р на основании того же уравнения (118) можно принять г0,
как было сказано, совпадающим с р.

Далее, уравнение (119) после подстановки вместо U указанного
выше выражения и деления обеих частей на га принимает вид

го

3 С—А	1 / 9 .	л'2 \

-----Тч • -= I п Ч-1 •

2 С 13 гД \_i_M
\	~ т' /

(И9')

Принимая во внимание, что отношения угловых скоростей можно
Отождествить с обратными отношениями соответствующих периодов и
что продолжительности обращения Солнца и Луны в солнечных днях
равны соответственно Збб’Д и придется положить для зем-
ной прецессии

л _	1 л' 1

г0 365,25 ’ г0 = 27,33 ’ 22

22 Зак. 2368. Т. Леви-Чивята и У. Амальди.
тогда как в п. 19 гл. IV т. I мы видели, что

-тНэЛой’ Ъ = cos 23°30'= 0,917.

При этих численных значениях и, принимая для отвлеченных
чисел	(С—Л)/С значения 82 и 1/305, которые можно вывести

из других астрономо-геодезических соображений, мы установим, что
уравнение (119') будет удовлетворяться с достаточной степенью точ-
ности; мы получили, таким образом, указанное выше доказательство
причинной зависимости между лунно-солнечным притяжением и земной
прецессией.

Заметим, что, так как в действительности между всеми элементами,
входящими в уравнение (119'), элементом наименее доступным для
измерения каким-либо другим путем является отношение т0/т' массы
Земли к массе Луны, то с астрономической точки зрения наибольший
интерес, который представляет формула (119'), будет заключаться
именно в том, чтобы дать хорошую численную оценку этого отноше-
ния, если заранее считается достоверным, что земная прецессия про-
исходит от лунно-солнечного притяжения.

Следует заметить, что аддитивное свойство потенциала отражается
также и на угловой скорости v, которая аналогично может рассматри-
ваться как сумма двух слагаемых v2, происходящих первое от
действия Солнца, второе от действия Луны; из уравнения (119') соот-
ветственно двум слагаемым потенциала получим

___3 С —А п* __ АС~А п'2
г~ 2 С Тз< г~ 2 С Тзг2/1 + ™оу
1 т'}

.так что будем иметь

Так как п'\п есть не что иное, как отношение одного года к одному
лунному месяцу, т. е. приблизительно 13,4, то найдем

откуда следует, что влияние Луны на земную прецессию будет более
чем вдвое интенсивнее влияния Солнца.

§ 11. Интегрирование уравнений Гамильтона — Якоби
посредством разделения переменных

62. Случай интегрируемости Лиувилля. Интегрирование канони-
ческой системы было сведено в § 6 к определению полного интеграла
для соответствующего уравнения в частных производных Гамиль-
тона — Якоби.
Наиболее замечательными случаями, в которых действительно
удается указать такой полный интеграл, являются ‘те, к которым
приложим метод разделения переменных. Этим мы хотим сказать,
что при характеристической функции, не зависящей от t, уравнению
Гамильтона — Якоби (п. 38)

И (р | q) — const — Е	(ph = ^-,	h—1, 2, ..., ri)

можно удовлетворить функцией вида

(120)

Л=1

где, для всякого значения индекса h, Wh означает функцию от одного
только аргумента qh и, конечно, Wh в своей совокупности зависят
от п произвольных постоянных, одна из которых, согласно принимае-
мой здесь постановке Якоби, является самой постоянной энергии Е.

Конечно, такая возможность может встретиться только для частных
видов характеристической функции /7; следует, однако, отметить,
что характеристические функции, обладающие указанным свойством,
непосредственно встречаются в важных динамических задачах.

Первый пример, указанный Лиувиллем и ставший теперь класси-
ческим, дают те динамические консервативные системы, в которых
путем надлежащего выбора обобщенных координат q живая сила
материальной системы и потенциал имеют вид

п	п

Т=±Ь^А^п,	(121)

Ь=1	Ь=1

где положено

А=1

причем каждое из Ah Bh, Uh является функцией одного аргумента qh.
Легко видеть, что достаточно было бы ввести в качестве обобщен-
ных координат новые переменые q*, определяемые равенствами

dq*=VAh-dqb (й= 1, 2, ..., и),

чтобы, не нарушая общности, сделать все Ah равными 1 (т. е. при-
п

вести квадратичную форму ^А^п, которая после умножения на Ь/2
h=l

дает живую силу, к евклидовой форме); но так как в некоторых,
весьма интересных конкретных задачах, когда мы пользуемся пара-
метрами, наиболее естественными для данной задачи, живая сила Т
принимает вид, указанный в первом из равенств (121), то предпочти-
тельнее вести вычисления в этих переменных. Однако, чтобы избежать
исследований, мало пригодных для наших целей, предположим заранее,
что аргументы q заключены в некоторой области, в которой функ-
ции Ah, Вп и b остаются не только правильными, наравне с U, но
также и отличными от нуля.

Заметим теперь, что при наличии первого из равенств (121) на
основании правила п. 5 имеем

1	” п2

Уравнение Гамильтона — Якоби, для которого требуется найти полный
интеграл вида (120), будет здесь иметь вид

4 п , о

022)
Л=1

где на основании равенства (120) надо положить

=	(А=1, 2, ..., л);

если умножим обе части уравнения (122) на b и примем во внимание
явное выражение множителя Ь, то можно написать

Д/1 W?	\

2(тлГ-С,»-£В<.)'=0-	0 22')

Л=1

Таким образом, левая часть уравнения представлена в виде суммы
п слагаемых, каждое из которых зависит от одного только qh. Обозна-
чая эти слагаемые соответственно через itj, тса, ..., тсп, будем иметь

2^ = 0,	(123)

Й=1

а так как это равенство должно удовлетворяться тождественно от-
носительно q, то достаточно взять частные производные по этим пере-
менным, чтобы получить 7^ = 0 (Л= 1, 2, ..., п), т. е. чтобы заклю-
чить, что каждое тг должно сводиться к постоянной и что уравне-
ние (122') равносильно п обыкновенным дифференциальным уравнениям

1

-2-~ — Uh-EBh = ^ (Л = 1, 2, ..., п), (124)
где л обозначают п постоянных, связанных между собой только соот-
ношением (123).

Поэтому мы можем рассматривать как вполне произвольные постоян-
ные п—1 из них, например itj, ла, ..., irn_j, а п-е постоянное
определится соответственно из уравнения

(123')
Й=1
что касается величин 1ГЙ, то определение каждой из них сводится
на основании уравнений (124) к одной квадратуре

Wh=fxhdqn (Й=1, 2, ..., л), (125)

где для простоты положено

ХЛ = /2Дл(^,-|-Е5л+кл)	(й=1, 2, ..., л).

При этих значениях Wn уравнение (120) определит некоторую функ-
цию W от q и п произвольных постоянных itb it2, it„_j, Е,
удовлетворяющую в силу способа, которым она получена, уравнению
Гамильтона — Якоби (122); поэтому остается только проверить, что
мы действительно имеем полный интеграл, т. е. (п. 38) что опре-
делитель

V'H|sSy	»-1) (126)

не равен тождественно нулю.

Для этой цели в соответствии с принятыми уже предположениями
допустим, что q и it выбираются в области, в которой будет отличен
от нуля каждый из трех членов Uh-\- EBh-\-r.h, в силу чего на осно-
ваний уравнений (124) отличным от нуля будет также всякое отдель-
ное а так как любой элемент детерминанта V' определяется выра-
жением

д W'h

(^/ = 1,2,..., л-1),

то достаточно принять во внимание те же уравнения (124), чтобы
установить, что такой элемент при j ф!г тождественно равен нулю,
а при j — h имеет вид

W'h (й = 1, 2, ..., п— 1);

поэтому определитель V', как это и требовалось показать, отличен
от нуля.

63.	Общий интеграл и ход движения. Определив для уравнения
Гамильтона — Якоби Н=Е полный интеграл (120), мы получим
согласно правилу п. 38 общее решение канонической системы, если,
определив значения Wh по формулам (125), подставим полный ин-
теграл в уравнения (74а) п. 38, определяющие траекторию, и в урав-
нение (74б), определяющее закон движения по этой траектории. Таким
образом, принимая во внимание выражение (123') для величины и
дифференцируя под знаком интеграла по каждому (при J —
= 1,2, ..., п — 1) и по Е, мы придем к окончательным уравнениям

*/==	(7=1,2,	п), (126а)

Lj	J Ln

2	(126б)

ft=l

Но если мы хотим быстро составить себе представление о ходе
движения, то вместо этих уравнений удобно обратиться к уравне-
ниям (124). Так как на основании характеристической формы (121),
принятой для Т, моменты связаны с соответствующими q равен-
ствами

Рп = ~ =	(Л = 1, 2, ..., я),

ддп

и, кроме того, тождественны c'W'h, то мы видим, что уравнения (124)
можно написать в одном из двух видов

1 р\

2Tn~~Uh~EB^^	(124)

=	(124")

(Л = 1, 2, ..., я).

Так как уравнения (124'), помимо произвольных постоянных, со-
держат аргументы р, q, то их можно рассматривать как я интегра-
лов канонических уравнений, между тем как уравнения (124") вместе
с q содержат q и потому представляют собой я первых квадра-
тичных интегралов для первоначальных динамических уравнений
Лагранжа, эквивалентных канонической системе.

При качественном изучении движения более удобными оказываются
уравнения (124"), каждое из которых содержит только одну из пе-
ременных q и представляет само по себе дифференциальное уравне-
ние первого порядка уже неоднократно встречавшегося типа

? = Ф(?).

Поэтому на основании результатов исследования § 6 гл. I можно
заключись, что каждая из переменных q представляет собой перио-
дическую функцию времени или асимптотически приближается к пре-
дельному значению. Чтобы точнее определить характер движения,
значительно целесообразнее было бы изучить изменение параметров q
при помощи уравнений (124"), рассматривая их как функции не
только от t, но также й от п—1 аргументов х]( х2,	хл—1;

однако мы не будем останавливаться на этом ’).

64.	Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе
задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно
было бы применить метод разделения переменных 2); в частности, он
искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, огра-
ничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля,
является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким об-
разом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих
пунктов; не воспроизводя соображений, какими руководствовался
Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характе-
ристикой динамических задач, найденных им таким способом.

Рассмотрим па функций (<?й) при v, й = 1, 2, ..., п, таких,
что каждая из них зависит только от одной переменной qh, индекс
которой совпадает со вторым индексом рассматриваемой функции,
и предположим, что определитель

£’ = Ьл11 (Ajv= 1, 2, . .., п)

не равен тождественно нулю. Если обозначим через при
й=1, 2, ..., п величины, взаимные элементам какой-нибудь строки
определителя D, например я-ой, то увидим на основании равенства

h=l

(127)

что <р?( не все равны нулю. Условившись заранее ограничить измене-
ние q некоторой областью, в которой функции <j>h остаются отлич-
ными от нуля, рассмотрим динамическую, консервативную систему,
обладающую живой силой и потенциалом вида

П

— £ V

-2£ <

А=1

С7= S

Л = 1

где каждая из функций Uh, как и в п. 62, зависит только от qH и,
само собой разумеется, является конечной и правильной в рассматри-
ваемой области.

Выражая в Т количества q через ph, будем иметь (п. 5)



Л= 1

9 См., например, Charlier, Die Mechanik des Himmels, Leipzig, Veit,
t. II, 1902, стр. 97-116.

*) Habilitationsschrift, Halle, 1891; Math. Ann., t. XL1I, 1893, стр. 537—563.
См. также: G о u r s a t, Comptes rendus, t. 116,1893, стр. 1050—1051; В u r g a 11 i,
/fend. Circ. Mat. di Palermo, т. IX, 1894, стр. 125—135.
в силу чего уравнение Гамильтона — Якоби Н = Е, полный интеграл
которого W в форме (120) требуется определить, принимает вид

п

^Щр1-^п) = Е =	h^l,2,...,ny (128)

Й- = 1

Теперь легко убедиться, что для того, чтобы получить
полный интеграл этого уравнения, достаточно определить Wh из
п дифференциальных уравнений первого порядка.

± Wh3 = У	+Uh (Л - 1, 2...............п),	(129)

Z	4 = 1

где itj, ..., обозначают п — 1 произвольных постоянных.

В самом деле, функция W — LW^ удовлетворяет уравнению (128),
как это непосредственно можно увидеть, если обратить внимание на
равенства рй = ТГЙ и уравнение (129). Далее, чтобы показать, что W
есть полный интеграл, достаточно заметить, что при качественных
ограничениях, аналогичных ограничениям п. 62, можно принять, что
всякое IFji в рассматриваемой области отлично от нуля; после этого

увидим, что определитель



п — 1),

(А, 7 = 1, 2,

так как он приводится к		виду		
	?и	?12	• • ?1п	
1	?21	<?22	• • ?2п	
*Хз	<-i	?п-11	?П—12	• • • ?п-1п-1	vr'uz' ...

не может тождественно равняться нулю.

Как мы уже знаем (п. 38), общее решение канонической системы
мы найдем из равенств (74а), (74б); что касается аналитической при-
роды переменных q, как функций от t (и от п — 1 постоянных
Xj, ха, ..., 7.те_1), то имеют место соображения, аналогичные тем,
которые были приведены в предыдущем пункте. Здесь, как и раньше,
успех применения способа разделения переменных тесно связан с су-
ществованием п квадратичных интегралов относительно q для ла-
гранжевых уравнений движения; эти интегралы определяются здесь
уравнениями (129), в которые вместо W'n = ph должны быть под-
ставлены

АГ аъ

(А=1, 2, ..., п).
dqh yh	’
Так как рассматриваемый здесь случай, как было сказано вна-
чале, представляет собой обобщение случая Лиувилля, то целесо-
образно указать, какие значения должны быть взяты для функций
'PrtG/b), чтобы снова вернуться к динамической задаче Лиувилля.

Если ограничиться решением этой задачи в предположении, что
все Ah п. 62 равны 1, то достаточно взять vnh соответственно рав-
ными Вн, а остальные <р постоянными, причем все алгебраические
дополнения функций <onlt = Вй, т. е. функций должны быть равны 1,
например

D =	1—1	0	. ..	0  1	0	—1	...	0  1	0	0	...	—1  Bi	B2	Ba	. ..	Bn

Если в этом определителе умножим элементы первого, второ-
го, ..п-го столбца соответственно на 1/At, 1/Аа, .. ., 1/А„, то снова
вернемся к случаю (только формально более общему), который мы
изучали в пп. 62, 63.

65.	Добавим еще, что сам Штеккель и другие указали дальней-
шие случаи интегрируемости способом разделения переменных и что
даже был установлен критерий классификации всех типов возможных
динамических задач, интегрируемых этим методом J). Действительное
определение этих типов впервые и исчерпывающим образом
было выполнено при «=2 Морераl 2), а позднее было дополнено
для н = 3 Даль-Аква (Dall’Acqua) 3).

Было замечено также4 *), что если для консервативной динами-
ческой системы с характеристической функцией Н=(Т)—U задача
может быть сведена к квадратурам, то это справедливо и для случая,
когда (Т) = Е, т. е. для соответствующей задачи о движении при
отсутствии сил (движение по инерции).

С другой стороны, то обстоятельство, что в указанных выше
случаях Лиувилля и Штеккеля приложимость метода разделения пе-
ременных связывается с существованием квадратичных относи-
тельно q первых интегралов, заставляло изучать условия, при
которых динамическая задача допускает первые интегралы указанного
выше вида. Известные типы таких задач были указаны, кроме Штек-
келя, Ди Пирро6) и Пэнлеве6). И для этих динамических задач,

l) Levi-Civita, Math. Annalen, т. LIX, 1904, стр. 383—397.

2) АШ della R. Асе. di Torino, т. XVI, 1881, стр. 276—295.

3) Math. Annalen, т. LXVI, 1908, стр. 398—415.

*) L е v i-C i v i t a, loc. cit.

Б) Ann. di Mat. (2), т. XXIV, 1896, стр. 315—334.

•) Comptes rendus, t. 124, 1897, стр. 221—224.
допускающих квадратичные относительно q интегралы, также имеет
место замечание, что эти интегралы продолжают существовать даже и
в том случае, когда силы отсутствуют; с другой стороны, возможна еще
систематическая классификация, из которой следует, что, наверное,
существуют другие случаи, помимо открытых до сих пор J); однако
задача полного определения таких случаев представляет, повидимому,
большие трудности * *).

§ 12. Движение точки, притягиваемой неподвижным центром
по закону Ньютона. Переменные Кеплера

66.	Уравнения движения. Предполагая, что точка имеет массу,
равную 1, отнесем ее к полярным координатам, с полюсом в центре
притяжения О, и обозначим полярный угол через а, вместо обычного
символа 6, которому мы немного ниже придадим другое значение.
В силу этого каноническое выражение живой силы будет дано фор-
мулой (п. 6)

(0 = 7^ + ^ + ^?’,).

а потенциал ньютонианского притяжения точкой О будет иметь вид

С7= —,

Р

i) L е v i-C i v i t a, Comptes rendus, там же, 1434—1438, стр. 392—395.

*) Метод разделения переменных при интегрировании дифференциальных
уравнений с частными производными первого порядка в более общем виде,
чем это указано в тексте, разработан Имшенецким В. Г. и изложен в его
сочинении „Интегрирование дифференциальных уравнений с частными произ-
водными первого и второго порядков", Москва, 1916. Впервые напечатано
в 1865 г. в „Ученых записках Казанского университета".

Имшенецкий Василий Григорьевич родился в Ижевске в 1832 г.,
умер в Москве в 1892 г. Окончил физико-математический факультет Казан-
ского университета в 1853 г., защитил магистерскую диссертацию в 1865 г.,
а в 1868 г. защитил докторскую диссертацию.

Научно-педагогическая деятельность В. Г. Имшенецкого протекала в Ка-
занском университете и в Харьковском университете, а в 1881 г. он был
избран действительным членом Петербургской Академии наук.

Основные работы В. Г. Имшенецкого охватывают вопросы интегриро-
вания уравнений с частными производными первого и второго порядков,
а также интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших
порядков с одним независимым переменным. Предложенный им метод отде-
ления переменных для интегрирования уравнений с частными производными
первого порядка имеет тем большее значение для аналитической механики,
что доведение задачи до конца Вне рамок применения этого метода является
счастливой случайностью.

Биографический очерк, содержащий характеристику жизни и научной
деятельности В. Г. Имшенецкого, помещен в журнале „Математический
сборник", т. 18, 1896. (Прим, ред.)
где положено k — /тй, причем f, как обычно, есть постоянная все-
мирного тяготения и т0 — масса центрального тела. Легко видеть,
что задача является интегрируемой способом разделения переменных,
как частный случай задачи Штеккеля (п. 64) при п = 3.

В данном случае имеем

= Z7a=t/s = 0;	'{'1 = 1, Ч'а = р2> 'г'з ~ р2 Sjn2 а >

и, следовательно,

— 1 О

—1 •

Sin2 5

О О

Однако, ввиду того интереса, который представляет рассматривае-
мый вопрос для небесной механики, а также чтобы придерживаться
исторического порядка, будем, следуя Пуанкаре ’), непосредственно
искать полный интеграл W соответствующего уравнения Гамильтона —
Якоби, принимающего здесь вид

Н 2" V? “Ь р2 sin2 <7 Pf) р—Е’ (130)
где

„ — dw	„ ,1ЧП

Р?— дР ’	Р<>~ дс ’ P^-fy-	(131)

Постараемся прежде всего удовлетворить этому уравнению функ-
цией W, не зависящей от долготы ® и имеющей вид

Г=Г14-0а,	(132)

где Wr означает функцию только от р, а О есть постоянная.

Нам придется положить в уравнении (130)

рр=Гь p,= G, Pv = 0,	(133)

и мы придем к обыкновенному дифференциальному уравнению

г;2 = 2£ + ^-^2,	(134)

интегрируемому, очевидно, посредством одной квадратуры. Так как
аддитивную постоянную при W\, появляющуюся при интегрировании
уравнения (134), нельзя рассматривать за существенную в формуле
(132), то интеграл W, который получится таким образом для урав-
нения (130), будет зависеть только от двух постоянных Е, G и, сле-
довательно, не будет искомым полным интегралом. Но из него легко

Ч Н. Poincare, Lemons de la Mecaniqtic celeste, т. I, Париж, 1905,
га. III.
вывести на основании геометрических соображений интеграл, обла-
дающий большей общностью и, кроме того, удовлетворяющий всем
требуемым условиям. В самом деле, полярный угол а образован пря-
мой ОР и положительной полуосью Ог, имеющей неизменное напра-
вление в пространстве, которое может быть выбрано произвольно;
поэтому, в конце концов, а есть угол, который полупрямая ОР обра-
зует с некоторой произвольной прямой. Возьмем^произвольную полу-
прямую ON и обозначим через v угол, который она образует с полу-
прямой ОР. Легко видеть, что уравнение (130) удовлетворяется
функцией

117=^ + 011,	(132')

где, как и в формуле (132), G есть постоянная и Wt— функция
только от р, определяемая с точностью до несущественной аддитив-
ной постоянной из уравнения (134). Действительно, представим себе,
что выполнено вращение осей, которое приводит ось г к совпаде-
нию с ON. Относительно новых осей уравнение Гамильтона — Якоби
допускает, конечно, как это говорилось в самом начале, интеграл (132),
причем функция W1 определяется из уравнения (134). Если посред-
ством обратного вращения мы возвратимся к осям Oxyz, то функ-
ция UT’p как зависящая только от расстояния р, которое не меняется
при повороте, останется неизменной, равно как и постоянная G, так
что для уравнения (130) мы как раз получим интеграл (132').

В силу своего геометрического значения v зависит от угловых
координат а и ср полупрямой ОР и от двух аналогичных постоянных,
определяющих направление ON. Но здесь, для того чтобы иметь
полный интеграл уравнения (130), достаточно наряду с £ и О ввести
еще только одну постоянную. Поэтому мы можем отказаться от пол-
ной произвольности полупрямой ON и предположить, что она рас-
положена в плоскости Оху; в силу этого последняя произвольная
постоянная геометрически будет представлена углом 6 между полу-
прямой ON в этой плоскости и осью Ох. Следовательно, угол
•y — NOP будет функцией от этой постоянной 6, а также, как уже
говорилось, функцией полярного угла а и долготы ср точки Р, но не
будет зависеть от р.

Для того чтобы убедиться, что определенный таким образом ин-
теграл уравнения (130) является полным, мы должны согласно пра-
вилу п. 38 проверить, что, по крайней мере, при соответствующих
качественных ограничениях не будет равен нулю тождественно его
смешанный функциональный определитель относительно р, и О, 6,

др? др?
dQ <30
др, др,
да 50
который, если принять во внимание равенство (132') и то обстоятель-
ство, что п не зависит от р, примет вид

dUZ,' d2v Ga d2v
G—1--------= -5—7--------

дС да дО	дадО

Далее, так как v в силу своего определения есть угол, заключен-
ный между направлением ОР с направляющими косинусами sin a cos ср,
sin а sin ср, cos а и направлением ON с направляющими косинусами
cos 6, sin 9, 0, то имеем

cos v = sin a cos (ср — 0),

так что, очевидно, d2v/dadfi не будет тождественно равно нулю.

Поэтому достаточно ограничить выбор значений независимых пе-
ременных и постоянных интеграций некоторой областью, в которой,
помимо этой второй производной, не исчезают также W'v G и р,
чтобы быть уверенным, что определитель V' остается отличным от
нуля.

При этом ограничении уравнения движения получаются непосред-
ственно на основании общего правила из равенств

dW „ dW а dW . .	л,_.

dQ=S' ат = -0’ ^ = Z-Zo.	(135)

где g, 0 и t0 обозначают новые произвольные постоянные.

67.	Истолкование канонических постоянных в случае Кеплера.
Уравнения (135) содержат все, что относится к движению; в част-
ности, на основании этих уравнений можно было бы определить три
типа движения: эллиптическое, параболическое и гиперболическое
(которые мы уже изучали более прямыми элементарными методами
в § 2 гл. III), замечая, что эти движения соответствуют трем слу-
чаям, в которых постоянная Е (полная энергия) будет отрицательной,
нулем или положительной. Здесь мы не будем заниматься этим до-
вольно кропотливым разбором; допуская, что интегралы (135) необ-
ходимо должны совпадать с интегралами, найденными в гл. III, мы
воспользуемся ими для изучения геометрического и кинематического
значений канонических постоянных Е, G, g и 0. Ограничиваясь слу-
чаем, имеющим наибольший интерес для исследования движений пла-
нет, мы обратимся исключительно к предположению Е < 0, т. е.
к кеплерову движению.

Прежде всего мы будем предполагать, что полупрямая ON про-
ходит через восходящий узел и потому 6 будет долготой восходя-
щего узла (гл. III, п. 25); далее обозначим через и угол полупря-
мой ОР с линией (направленной) узлов.

Здесь очень важно хорошо разъяснить одно замечание. Величина »,
равно как и а, в течение движения точки Р по орбите соответствует,
по определению, вогнутому углу между двумя полупрямыми ON,
ОР и поэтому остается всегда заключенной между О и тс. Поэтому
если введем также угол v* полупрямой ОР, отсчитываемый от ON
в сторону движения (который обычно называется аргументом дол-
готы точки Р), то, очевидно, между v и V* будет иметь место соот-
ношение типа

V* __ -+- v	2Л/к,

где попеременно будут иметь место знаки -|~ и — в последователь-
ных полуоборотах полупрямой ОР, и N есть целое число, равное
нулю при первом полуобороте, единице во втором и третьем, двум
в четвертом и пятом и т. д.

Замечая теперь, что уравнение Гамильтона — Якоби (130) остается
неизменным, если положим а* = ± а-[-2№г, мы увидим, что в пол-
ном интеграле (132') v можно истолковывать как действительную ано-
малию.

Принимая теперь это истолкование, найдем прежде всего выра-
жение cto/d0; для этой цели будем рассматривать наряду с осями
координат Oxyz две другие вспомогательные системы Ох^г^ Ох^у^г2,
первая из которых получится из системы Oxyz посредством враще-
ния на угол 0 вокруг оси Oz, после которого новая ось Oxt сов-
падет с линией узлов, а вторую мы получим, поворачивая систему
OxJy1z1 вокруг линии узлов Oxt на угол г наклонения плоскости
орбиты к плоскости ху, благодаря чему уравнение г2 = 0 предста-
вит плоскость орбиты. Соответствующие формулы преобразования
будут иметь вид

X = xt COS 6---У! sin 0,

У — xt sin 0 -f-yt cos 0,
г = zb

xt — x2,

yr =y2 cos i — z2 sin i,
zi = Учsin + z4 cos

Если теперь x2, y2, z2 истолковывать как координаты точки Р,
которые на основании определения угла v выражаются равенствами
х2 = р cos ©, у2 = р sin v, z2 = 0, то из второй тройки уравнений
преобразования мы получим

xt = р cos v, уг = р sin v cos i,

а из первой, разрешая уравнения относительно xt, ylt найдем

Xj = х cos 0 у sin 0, yt = — xsin0-|-j/cos0;

сравнивая этот результат с предыдущими формулами, найдем

cos v = — cos 0 -4- — sin 0, sin v cos i — — — sin 0 -C — cos 0.
P ' P	₽	1 P

Если продифференцируем по 0 первое из этих двух уравнений,
вспоминая, что х, у и р не зависят от этой переменной, и примем
во внимание второе, то получим искомую формулу

— — cos г.	(136)

оо

К тому же результату можно придти путем следующих геометри-
чески-кинематических соображений. Для того чтобы изменить угол
v = N0P, оставим неподвижной полупрямую ОР и повернем полу-
прямую ON на угол <26 в плоскости z = 0, что равносильно тому,
чтобы полупрямая ON осталась неподвижной, а полупрямая ОР по-
вернулась на угол —<29 вокруг оси z\ это последнее элементарное
вращение можно разложить на два: первое —вокруг проекции оси Oz
на плоскость 0PN орбиты и второе — вокруг перпендикуляра к этой
плоскости.

Если через v обозначим единичный вектор этого перпендикуляра,
направленного так, что по отношению к нему движение точки Р ока-
зывается правым, то это второе вращение определится выражением
—<29 cos < • v; достаточно принять это во внимание, чтобы заметить,
что первое элементарное вращение не изменит, по крайней мере до
бесконечно малых порядка вышё первого, угла v *). Отсюда следует,
что изменение dv угла v можно считать соответствующим элемен-
тарному перемещению точки Р

dP= — d'i cos i • v X OP.

Если обозначим временно через t единичный вектор, перпенди-
кулярный к ОР в плоскости орбиты и направленный так, чтобы
1 >

тройка векторов v, OP, t была правой, то будем иметь

, dP <
dv = — • t,

Р

так что на основании только что полученного выражения для dP
заключаем, что

-------►
/	ОР\

dv = — <29 cos 2 ( v X —) • t

\ Р /

9 Это видно из следующего замечания. Если а, Ь, с суть три компла-
нарных вектора, и мы представим себе, что один из них, например а, испы-
тал элементарное вращение вокруг какого-нибудь другого, например 6, то
изменение угла, который первый образует с третьим, будет равно нулю (т. е.
будет бесконечно малым порядка выше первого). Действительно, изменение da,
в предположенных условиях, будет иметь вид da = zb X а> где е есть беско-
нечно малая скалярная величина. Косинус угла между а и с определится
выражением а-с/ас, так что его изменение в результате рассматриваемого
элементарного вращения будет равно, так как а, с остаются неизменными,
da-c/ac; достаточно принять во внимание предыдущее выражение вектора da
и предположение, что три вектора вначале компланарны, чтобы убедиться
что изменение угла между векторами а и с равно нулю.
ИЛИ

dv — —db cos i

в согласии с формулой (136).

После этого предварительного исследования обратимся к упомя-
нутому выше истолкованию канонических постоянных и, чтобы на-
чать с Е и G, возьмем снова уравнение (134), записывая его в виде
< = “(<>a+4p-g)-	(134')

Так как Wi = рр тождественно равно р (п. 6, а), то правая часть
или, точнее, трехчлен второй степени в скобках должен обращаться
в нуль вместе с р, или, если иметь в виду эллиптическое движение,
при всяком прохождении через один из апсидов. Далее, если обо-
значим, как обычно, через а и е большую полуось и эксцентриситет
эллиптической орбиты, притягивающий центр которой занимает один
из фокусов, то, как это известно, значения р в этих апсидах будут
равны а(1—е) для перигелия и а (1 -|- е) для афелия, так что, вы-
числяя сумму и произведение, мы придем к двум соотношениям

2a = —t,

которые будем писать в виде

£ = О2 = £а(1 — е2).	(137)

В первом из них мы узнаем одно из основных соотношений между
механическими постоянными и элементами орбиты, которое мы уже
нашли в п. 8 гл. III; второе, если вспомнить, что а (1—е2) есть
параметр р эллиптической орбиты, дает

G = Уkp-

это объясняет значение постоянной О. Если примем во внимание ра-
венство (14) п. 6, гл. III, то еще яснее увидим, что постоянную G
можно истолковать как удвоенную секторную скорость кеплерова
движения.

Остается выяснить физический смысл постоянных g и 0. Для
выяснения физического смысла постоянной g заметим, что если при
вычислении явного выражения ITj, даваемого формулой (134), при-
мем за нижний предел интеграции расстояние перигелия р0 = а(1—<?),
т. е. если положим

р
Wt = J dp,
pj

то dWpdG обратится в нуль вместе с прир = р0, как это легко
получить дифференцированием под знаком интеграла. Поэтому если
применить (имея в виду выражение W из (132')) первое из равенств
(135), которое, естественно, сохраняет силу в течение всего времени
движения, к прохождению через перигелий, мы получим для этого
момента v = g, откуда видно, что g есть аргумент долготы дви-
жущейся точки Р в перигелии (т. е. угол NOF1 п. 25 гл. III).

Наконец, что касается 0, то достаточно воспользоваться вторым
из равенств (135); так как не зависит от 0, то найдем

или на основании формулы (136)

0 = 0 cos г.

68.	Канонические переменные Кеплера. Из уравнения (135) и из
общего замечания п. 39 следует, что обе тройки аргументов

/ Е G 0\

V —ro g —

сопряжены и что соотношения

гр— др > да ’	v '

dW dW a dW .	.

dG~s’ 56 —	dE~f	(135)

которые связывают их с переменными

(Р? Ро Р<Л
\ Р °	? / ’

представляют вполне каноническое преобразование.

Как уже указывалось в п. 39, переменную t—10 удобно заменить
пропорциональной ей величиной, которая вместе с 0 и g имела бы
размерность угла; в качестве такой величины удобно взять среднюю
аномалию l—n(t—/в) (гл. III, п. 10), где согласно равенству (18')
гл. III среднее движение п выражается через большую полуось
орбиты а при помощи соотношения

Если примем во внимание первое из равенств (137), то из фор-
мул (27) п. 14 непосредственно будет следовать, что новые шесть
«временных сохранят канонический характер, если к средней

23 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
аномалии I присоединить функцию L от Е или, если угодно, от а,

определяемую равенством

dE da

dL =------

da n

У k

2 Va

da,

t. e.

L=y ka.

Мы придем таким образом к новым каноническим переменным

(L G

V g —©)’

но так как I, g, 6 представляют собой углы, то желательно, чтобы
эти три аргумента одного и того же вида входили в одну и ту же
тройку. Это будет выполнено, как это легко проверить (см. также
п. 14), если шесть аргументов будут сгруппированы, как указано
в таблице

/L О 0\

V g 0/’

которую мы и рассмотрим теперь подробнее.

Согласно определению п. 25 гл. III речь идет о шести эллипти-
ческих элементах, из которых первые три, как мы видели- выше,
связаны с полуосью а орбиты, с эксцентриситетом е и с наклонением i
уравнениями

L — Yka, G = yka(l—е2), Q—Gcosi, (139)

а три сопряженных с ними элемента /, g, 0 обозначают соответ-
ственно среднюю аномалию, аргумент долготы перигелия и долготу
восходящего узла. Из этих шести эллиптических элементов I изме-
няется пропорционально времени, а остальные пять остаются постоян-
ными. Постоянное значение характеристической функции Н, или на
основании формулы (130) постоянная Е, имеет следующее выражение
в функции от этих элементов:

Н = Е=~Га—&-	<140>

Если в формулах (50) п. 26 гл. III представим себе, что вместо
классических эллиптических элементов а, е, i, 6, <о вместе с I вве-
дены другие пять элементов из таблицы (138), то будем иметь
вполне каноническое преобразование между переменными х, у, г,
х, у, г (декартовы координаты и проекции скорости точки Р) и
новыми эллиптическими элементами (138). Аналогично тому, что
было сказано в п. 26 гл. III, это преобразование можно рассматри-
вать независимо от предположения, что движение является кепле-
ровым. В этом случае каждому состоянию движения х, у, г, х,
у, z сопоставляются связанные с ним шесть значений переменных (138),
которые могут быть приняты за оскулирующие элементы в смысле,
разъясненном в п. 27 гл. III, и обыкновенно называются кеплеро-
выми каноническими переменными.

Заметим, наконец, что для того, чтобы иметь явные формулы
рассмотренного выше канонического преобразования, нет необходи-
мости начинать с уравнений (131), (135), которые предполагают
интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби; удобнее обратиться
к интегралам кеплерова движения, которые получаются элементарным
путем, и ввести в них, вместо первоначальных эллиптических эле-
ментов, аргументы (139).

69.	В некоторых приложениях небесной механики, вместо того
чтобы относить формулы к единице массы, удобно ввести массу т
движущейся точки. В этом предположении живая сила Т и потен-
циал U вместе с полной энергией Е умножаются на т, а канони-
ческое выражение (Т) Живой силы делится на нее; если мы хотим
непосредственно видеть, какие комбинации постоянных интеграции
должны быть приняты за сопряженные с аргументами /, g, 0, оче-
видно не зависящими от т, то следует исходить вместо равен-
ства (130) из формулы

1 ( з , 1	2 ,	1	km _

2т\Pf +	+ р2sin2 а Pt) — Ет

и повторить способ предыдущего пункта с соответствующими изме-
нениями, которые потребуются вследствие введения т.

Мы быстрее получим результат, заметив, что в любой канони-
ческой системе, если характеристическая функция H(p\q) умножается
на постоянную т, за новые переменные можно взять тр и q.
В нашем случае, когда величина Е, представляющая собой постоян-
ное значение характеристической функции, должна быть умножена
на т, мы придем к новым шести кеплеровым переменным

ImL mG тв\

U g 6 )'	( }

70.	Эксцентрические и облические переменные. Среди шести
переменных (138) аргументом, служащим для определения поло-
жения движущейся точки на орбите (кеплеровой или, вообще, оску-
лирующей), является средняя аномалия /; но иногда оказывается
предпочтительнее вместо / ввести так называемую среднюю долготу,
т. е. угол X = I ш, где ш означает долготу перигелия, определен-
ную в п. 25 гл. III, которая тождественна с Линейное кано-
ническое преобразование (п. 13) позволяет тотчас же от перемен-
ных (138) перейти к новым переменным

/ A = L	_L—G О —0\

\Х =0 —ш = -(§-}-6)	—в )’
в которых угловыми аргументами, помимо искомой средней долготы,
являются долгота перигелия и долгота восходящего узла, обе с об-
ратным знаком. Вспоминая уравнения (139), мы видим, что новые
аргументы L—G — L(A—1—еа), G — 0=0(1 — cosz) при-
годны, в частности, к случаям малого эксцентриситета или малого
наклона, так как они исчезают соответственно при е = 0 и при
1 = 0.

Дальнейшее каноническое преобразование позволяет подставить
вместо пар переменных

(L — G\ /G—0\

\ —® / \ — ® /

которые имеют характер полярных координат, так как один из аргу-
ментов есть угол, пары переменных (канонические переменные Пуан-
каре), тоже сопряженных, но имеющих характер декартовых коорди-
нат (п. 14)

/ = У 2 (L — О) cos <о \	I = У2 (G — 0) cos 6 \

\т]1 = —1^2(2,— G)sin<o /	\т]2= — )^2(G — 0) sin 6/

Сопряженные переменные $j, исчезающие при е = 0 (круговые
орбиты), носят название эксцентрических переменных, а перемен-
ные $2, ^2> исчезающие одновременно при i = 0, называются обличе-
скими переменными.

Заметим, кстати, что найдены и другие типы канонических пере-
менных, имеющие характер кеплеровых переменных, т. е. определен-
ным образом связанные с кеплеровым оскулирующим движением.
Среди них заслуживают упоминания те, в которых единственным пере-
менным аргументом в кеплеровом движении, вместо средней анома-
лии I, является эксцентрическая аномалия и ') или истинная анома-
лия V* 2').

§ 13.	Основная теорема теории возмущений

71.	Введение кеплеровых переменных в возмущенном движении.
Предположим, как в п. 27 гл. III, что точка Р, помимо преобла-
дающего действия ньютонианского притяжения неподвижным цен-
тром О, подвергается действию некоторой возмущающей силы,
являющейся производной от единичного потенциала V. В этом слу-
чае, принимая для простоты массу точки Р равной 1, мы должны

*) Т. L е vi-C i v i t a, Nuovo sistema canonico di element! ellittici, Ann.
di Mat. (3), t. XX, 1913; стр. 153—169.

2) H. An doy er, Sur I’anomalie excentrique et I’anomalie vraie comme-
elefflents canoniques d’apres M. M. T. L e v i-C i v i t a et G.-H. Hill, Bull.
Astronomique, t. XXX, 1913, стр. 425—429.
будем определить движение канонической системы с характеристи-
ческой функцией

H = H0-V,

где Но обозначает характеристическую функцию, которая входит
в уравнение (130) и соответствует невозмущенному движению, а V
есть так называемая пертурбационная функция.

В качестве неизвестных мы прежде всего могли бы взять здесь
те переменные, которые определяют состояние движения (положение
и скорость) точки Р, т. е. переменные х, у, г и х, у, z или пере-
менные jPp, р„, рч и р, а, ®, соответствующие полярным коорди-
натам.

Но в этой задаче лучше ввести согласно указаниям в конце п. 68
кеплеровы переменные (138), относительно которых можно предпо-
ложить, что L, О, Н, g, 6 изменяются, оставаясь близкими к тем
постоянным значениям, которые они имели бы в невозмущенном
движении (кеплеровом), а изменение I, которое в этом последнем
движении было бы пропорционально t—10, будет немного отличаться
от равномерного изменения.

Так как преобразование между первоначальными переменными и
переменными (138) является вполне каноническим, то преобразован-
ные уравнения будут также каноническими, а новая характеристи-
ческая функция получится просто путем выражения первоначальной
функции Н через кеплеровы переменные. Так как на основании
формул (140) имеем

Ь2

<141>

то преобразованные уравнения принимают вид

dt dl dl ’ dt dg~ dg ’

dt d& dt)’	H42)

d£_ dH_ _dV dg__dH__ _

dt~dL~n dt’ dt~dG OG ’

M=dH__ __dV

dt Э0 Э0

72.	Возмущения первого порядка. До тех пор пока не делается
никакого предположения о функции V, преобразованная система (142)
не представляет, конечно, никакого преимущества по сравнению
с первоначальной; дело, однако, будет обстоять иначе, если, как это
предполагается с самого начала, слагаемое V есть простая пертурба-
ционная функция, т. е., по существу, остается малой по сравнению
с первым слагаемым Но. Это, в частности, будет иметь место, если
отдошение V; можно рассматривать как количество первого порядка,
например, если V будет вида —sHv где функция Н1 сравнима с Но,
a s есть очень малая численная постоянная. С обстоятельствами такого
рода мы встречаемся в случае планетной системы, когда, фиксируя
внимание на некоторой планете Р, рассматриваем Солнце как централь-
ное тело, так что потенциал V происходит от притяжения других
планет. Так как взаимные расстояния сравнимы, а масса Солнца,
наоборот, значительно больше массы планеты, то отношение V: Но
в этом случае будет того же порядка величины, что и очень малое
отношение между массой возмущающих планет и массой Солнца.

Обращаясь теперь к канонической системе (142), заметим, что
первое слагаемое Но характеристической функции Н зависит исклю-
чительно от аргумента L. Чтобы выяснить, какую выгоду можно
извлечь из этого обстоятельства в отношении определения возмущен-
ного движения, обобщим постановку задачи, обращаясь к канони-
ческой системе с п степенями свободы и с характеристической функ-
цией H = HQ—V; предполагая функцию V бесконечно малой по
сравнению с /70, допустим еще, что это первое слагаемое зависит
только от переменных одного из двух рядов, например только от р.
Речь, следовательно, будет идти о системе вида

= дд{^д(Нп-У)
dt = dqt ’ dt dpi

(/=1, 2, .... и),	(142')

частным случаем которой являются уравнения (142).

Для невозмущенного движения, когда нет возмущающего воздей-
ствия пертурбационной функции V, законы движения определяются
равенствами

Pi = Pi,	= =	(i = 1, 2, .. ., /г),

где р(, ql суть 2п произвольных постоянных и через /г; для крат-
кости обозначены постоянные

Jpi )р^

(г= 1, 2, ..., /г).

Поэтому в возмущенном движении, если V бесконечно мало по
сравнению с Но, величины pt, qi можно представить в виде

Я=а + 8А> Qi = Qi + ^qt (t=l, 2, ...,п),

где зеличины opi; Sq{ представляют функции от t, бесконечно малые,
как и функция V, и называются возмущениями или неравенствами
первого порядка. Для определения их подставим предыдущие выра-
жения в уравнения (142') и примем во внимание, что pt, qh по опре-
делению, будут удовлетворять уравнениям, которые получатся из
уравнений (142'), если положить в них V — 0, и что, так как V уже
является бесконечно малой, функция V (p\q) отличается от V (p\q)
только на бесконечно малые порядка выше первого, что будет
относиться также и к соответствующим производным. Вводя эти при-
ближения, получим для определения 8р(-, 8^ уравнения в вариациях
(ср. гл. IV, п. 19)

=	=	(i=l, 2, ...,»), (143)

at dq$ dt dpt	’ '	4	'

где черта сверху стоит для указания, что в производных от V
вместо р, q надо подставить их невозмущенные значения р, q.

Так как теперь правые части будут известными функциями от
одного только независимого переменного t, то мы будем иметь сле-
дующую основную теорему:

Если известно невозмущенное движение, то возмущения пер-
вого порядка определяются простыми квадратурами.

73- Возмущения, происходящие от притяжения третьим телом.
Предположим, что точка Р, о которой идет речь, подвергается, по-
мимо притяжения центра О, еще и притяжению третьего тела Р',
и постараемся учесть, как это делается в классической задаче трех
тел, тот факт, что точки О, Р, Р' попарно взаимно притягивают друг
друга. Для движения точки Р относительно точки О попрежнему
будут иметь силу уравнения (142'), но в этом случае возмущающая
функция V будет зависеть не только от Р, но также и от Р'; за-
дача будет определена, как на это уже указывалось в пп. 47, 48,
если к шести уравнениям относительного движения точки Р присое-
динить аналогичные уравнения для относительного движения точки Р'.

Однако, если будем иметь в виду значение возмущений первого
порядка, в смысле, разъясненном в предыдущем пункте, то движение
возмущающего тела Р' можно рассматривать непосредственно как
кеплерово, так как отклонения действительного движения от невоз-
мущенного, которые сами по себе должны приниматься как откло-
нения первого порядка, могут прибавить к возмущениям точки Р
только слагаемые более высокого порядка.

Если в качестве параметров, определяющих состояние движения
(невозмущенного) точек Р, Р', принимаются соответствующие эллип-
тические канонические элементы

/LGQ\ /z/0'ОЛ

V g® /’	\? g' 6' /’

то функция возмущения V в конце концов будет зависеть известным
образом от t через посредство только двух аргументов l=n (t —t0),
I' = п' (t — to), так что остальные десять элементов будут постоян-
ными. То же будет иметь место и для частных производных от V,
появляющихся в правых частях уравнений вида (143), которые опре-
деляют возмущения первого порядка 8Z,, 80, ... , 89; поэтому,
обозначая через / одно какое-нибудь из этих возмущений, мы можем
сказать, что все эти уравнения будут иметь вид

g=F(7; ?).	(144)

Если мы примем во внимание, что переменные I, I' являются ано-
малиями и что если I или I’ возрастает на 2it, точка Р или Р' снова
занимает то же самое положение на соответствующей оскулирующей
орбите, так что функция V и, следовательно, функция F должны
оставаться неизменными, то увидим, что эта последняя функция
должна быть периодической с периодом 2к по отношению к каж-
дому из своих аргументов.

Здесь важно исследовать, как такая периодичность функции F
отражается на характере возмущения /, определяемого равен-
ством (144). Для этой цели достаточно использовать основное свойство
периодических функций, обладающих производной (вообще говоря,
непрерывной), заключающееся в возможности разложения их в ряд
Фурье, абсолютно и равномерно сходящийся.

Принимая во внимание прежде всего периодичность функции от-
носительно аргумента можно написать

= Р7] + S cos ]Т + sin fl'),	(145)

где

2 It

= <146)

0

представляет среднее значение F относительно l' в интервале от О
до 2я и поэтому означает наравне с каждой из функций fy, не-
которую функцию одного только аргумента /, периодическую с перио-
дом 2тс.

Если к обеим функциям применить разложение в ряд Фурье
и принять во внимание хорошо известные гониометрические тожде-
ства, то сумма в правой части равенства (145) преобразуется в двой-
ную сумму членов типа

яу cos (г/ il') bi3 sin (il 4- j7),	(147)

где ay, b{j суть постоянные, и индексы i, j означают числа (положи-
тельные или отрицательные), второе из которых всегда отлично от
нуля, как это видно из равенства (145).

Если мы будем придерживаться более общего предположения, что
средние движения пип' несоизмеримы между собой, то будет исклю-
чена возможность, что бином in-^jn' при каком угодно выборе
целых чисел j при j yt 0 может обратиться в нуль. Поэтому, когда
над F будет выполнена квадратура по t, которая на основании урав-
нения (144) дает возмущение /, суммирование, появляющееся в вы-
ражении (145) для F, приводит к двойной сумме членов вида

которые составят еще столько периодических функций от 7 и 1',
сколько имеется периодов, отличных один от другого.

Таким образом, если разложим в ряд Фурье первый член [F] в пра-
вой части равенства (145), то придем к выражению вида

[Fl = [[f]] + 2 (ai cos il^sinzZ),	(149)

i=l

где [[F]l и а(, обозначают постоянные, причем [[FJ] есть среднее
значение [F] относительно I в интервале от 0 до 2тс, т. е., на осно-
вании равенства (146),

2к	2ге 2я

О	0	0

Интегрируя почленно по t разложение (149) функции [F], заклю-
чаем, что возмущение f складывается из двойной суммы членов
вида (148), суммы функций, тоже периодических относительно
времени,

^sinz7— ^cosZZ	(Z >0)	(150)

и непериодического члена

[[F]J t.	(151)

Слагаемые вида (148), (150), (151) называются неравенствами,
так как в результате наложения их друг на друга они определяют
возмущение; точнее, члены тригонометрического вида (148), (150)
называются периодическими неравенствами, а член (151), который
с течением времени изменяется всегда в одном и том же смысле и
поэтому в конце концов превосходит остальные, называется вековым
неравенством.

Относительно периодических неравенств достаточно заметить,
что для любого из слагаемых (148) период определяется выраже-
нием 2к/(гя -]-jn'), чтобы понять, как в численной теории возмуще-
ний представятся в виде аномалий так называемые случаи квази-
соизмеримости между средними движениями, т. е. случаи, в которых
Отношение n/я' приблизительно равно дроби с малыми числителем
и знаменателем. Действительно, в этом предположении среди первых
членов разложения возмущения, т. е. как раз среди тех членов, которые
надо учитывать в численных выкладках, входят неравенства с очень
большим периодом, и те, которые соответствуют наибольшим возму-
щениям, имеют очень маленький знаменатель (in -\-jn', если — i/j есть
величина, очень близкая к я/я').

74.	Теорема гаусса. Из предшествующего следует, что вековое
неравенство, относящееся к любому элементу, целиком происходит от
среднего значения [F]; поэтому по отношению к этому неравенству
все обстоит так, как если бы вместо потенциала V возмущающей
силы было подставлено его среднее значение

2 тс

О

В случае задачи трех тел потенциал V, так как он происходит
исключительно от ньютонианского притяжения тела Р', можно на-
писать в виде m'Vx, где т' есть масса Р' и Vj обозначает потенциал,
который мы имели бы при прочих равных условиях, если бы тело Р'
имело массу, равную единице.

Представим себе теперь, что вдоль эллиптической (невозмущенной)
орбиты точки Р' будет распределена вся масса т' точки Р' с ли-
нейной плотностью, пропорциональной соответствующим временам
пробега, т. е. таким образом, что на дуге, вдоль которой средняя
аномалия I’ изменяется на di', расположена масса

m'dl’

~&Г’

Так как для кеплерова движения имеет место закон площадей, то
можно также сказать, что эта линейная плотность пропорциональна
площадям секторов, имеющих вершину в центре притяжения.

Так как очевидно, что средняя величина [V] будет не чем иным,
как ньютоновым потенциалом определенного таким образом эллипти-
ческого материального кольца, то имеем следующую теорему Гаусса:

Вековые неравенства, происходящие от возмущающего тела Р',
можно оценивать, представляя себе, что вся масса возмущающего
тела распределена вдоль невозмущенной орбиты этого тела
пропорционально временам пробега или, что то же самое, про-
порционально площадям ‘секторов, имеющих вершину в центре
притяжения.

75.	Неизменность больших осей. Другим важным следствием рас-
суждений п. 73 будет замечание, принадлежащее Лапласу, что в пер-
вом приближении эллиптический элемент L — ~\^kae, а вместе с ним
и большая ось орбиты не имеют векового неравенства.
Чтобы убедиться в этом, возьмем снова то из дифференциальных
уравнений, которое определяет соответствующее возмущение 8Л, т. е.
уравнение

dbL _~дУ

dt ~ дГ

и вспомним, что возможное вековое неравенство происходит исклю-
чительно от среднего значения правой части по отношению к I' в ин-
тервале от 0 до 2тс. Так как это среднее значение можно написать
в виде

и [V] зависит только от t
видно, что неопределенный
написанной производной, по
ной постоянной, равен

-—-И

dl

через посредство l=n{t — f0), то оче-
интеграл относительно t от только что
крайней мере с точностью до аддитив-

и поэтому является периодической функцией времени.

Важно добавить еще, что так как для какой-нибудь функции q
одного только элемента а, каковым, например, является среднее движе-
ние л = возмущение Zq при том же порядке приближения
определяется равенством

4 da ’

то отсутствие векового неравенства для элемента а влечет за собой
аналогичное свойство для всякой такой функции q и, следовательно,
в частности, для среднего движения.

76.	Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям п. 73,
имеют место также и для задачи n-j-1 тел, когда любое тело Р
подвергается, помимо преобладающего действия центрального тела О,
возмущающим притяжениям остальных п— 1 тел Р', Р",... Для каж-
дой из этих возмущающих сил имеется потенциал V типа, рассмот-
ренного в предыдущих пунктах. Если ограничиться, как и выше,
первым приближением, то для дифференциального уравнения вида (143)
будет иметь место распределительное свойство в том смысле, что
возмущение любого эллиптического элемента точки Р будет суммою
возмущений, вызванных каждым отдельным возмущающим телом.
При этом предполагается, что каждое из этих тел, как и рассмот-
ренное выше отдельное тело, имеет эллиптическое движение, кото-
рое оно имело бы, если бы отсутствовали все остальные тела, за
исключением центрального.
УПРАЖНЕНИЯ

1.	Функция Гамильтона для материальной точки (массы 1), движущейся
под действием силы, имеющей потенциал U (который может зависеть также
и от времени) и отнесенной к осям Оххх3х3, равномерно вращающимся во-
круг оси Ох3 с угловой скоростью <о, определяется равенством

Н = у (pl + Ра + pf) — ® (-V1P2 — x?Pi) — U.

2.	Показать, что если функция Лагранжа 8 (q | q | £) является относи-
тельно q однородной степени тф 1, то соответствующая функция Гамиль-
тона Н будет однородной относительно р степени тЦт—1). Проверить это.
Как мы видим, при т = 2 функция Н будет также однородной второй сте-
пени относительно о.

3.	Смешанные уравнения Рауса. Эти уравнения получаются из
уравнений Лагранжа, если выполнить только частично преобразование
Гамильтона (§ 1).

Функция Лагранжа 8 (q | q | f) зависит, как обычно, от п координат и,
конечно, от п их производных q. Положив только для части индексов, на-
пример для первых т<^п,

дй

vh = ~	(ft = l, 2, ... , т),

dqn

предположим, что эти т уравнений разрешимы относительно qb q3,...,qni
в виде

?Л = «л(Л> ••• ,Рт', Чт+Ь  >	(Л = 1, 2, ... ,т),

и введем, следуя Раусу, функцию

= — S;

ft=l

если 71, <j2,... ,qm будем предполагать замененными соответствующими выра-

жениями, то 31 будет функцией от аргументов

q | Pl, • • • > Pm', Чт+1, • • • J Яп 1

Доказать способом, аналогичным способу п. 1, что справедливы тожде-
ства

“й = 5— (Л = 1, 2, ... ,т) — -ч- .	=д~,

" дръ	\ да/ q=u да

где а есть какой-нибудь из аргументов q или qm+i, •••, qm, и вывести от-
сюда, что система п уравнений второго порядка

d д8  d8_
dt dqi dli

(г = 1, 2,..., л)

равносильна системе пф т уравнений (из которых 2т первого порядка и
п — т второго) относительно такого же числа неизвестных функций qb. ..,qn,

Pl, • • >Pm

dph  dfR dqh _ Ж
dt	dqh ’ dt ~ dptk

d_ __	= о

dt dqm+j dqm+j

(ft = 1, 2, ..., m);

(/ = 1, 2, ... ,n — m),
Подобно лагранжевым системам, с одной стороны, и системам Гамиль-
тона— с другой, эта система уравнений зависит тоже от одной-единственной
функции 5ft. Ее можно назвать гамильтоновой относительно переменных
qlt q%, ... ,qm и соответствующих количеств движения р и лагранжевой от-
носительно остальных q.

4.	В виде применения результата предыдущего упражнения рассмотреть
случай, когда координаты qit ... ,qm не входят явно в 8 и являются, сле-
довательно, игнорируемыми; проверить, что:

1)	количества движения plt ...,рт будут постоянными; лагранжева часть
смешанной системы Рауса, в которой надо положить = const, предста-
вляет собой систему, содержащую только неизвестные функции ^т+1, • ••> Чп>

2)	после определения на основании этой последней системы функций
qm^i,.... qn можно получить остальные qit.... qm посредством квадратур.

Ср. гл. V, п. 45.

5.	Положим для краткости

з	з

*2=24 а = -22пЛ

г=1	г=1

и рассмотрим преобразование между двумя рядами переменных

/РА / п< \	(/=1,2,3),

\qt/

определяемое равенствами
qt =	+ йкг-,

(/=1,2,3).

Доказать, что это преобразование является вполне каноническим, по-
скольку из предыдущих формул следует

з	з

2 Pi d4i = 2	+ dQ-

<=i	f=i

Такое преобразование, естественное в задаче двух тел, в случае пара-
болического движения служит для устранения особенностей, которые по-
являются в уравнениях движения, относящихся к задаче трех тел, когда два
из них стремятся бесконечно сблизиться (столкновение двух тел). Геометри-
ческое и кинематическое истолкование таких преобразований см. Т. L е v i-
Civita, Acta math., т. 42, 1918, гл. II, стр. 118—132.

6.	Какие угодно преобразования канонической си-
стемы. Если вместо п сопряженных переменных р и q подставить 2п
каких угодно независимых комбинаций этих же переменных р, q (вообще
говоря, неканонических) zlt z2;..., z2n, полагая

Pft=<Pft(210r 9Л = ФЙ(2|/) (Л = 1, 2,..., л),
то каноническая система

дН • дН „	< «

<й = ''2....">
после преобразования принимает вид

2»

+ lzk. С\ +	[^’	= °	(£= 1, 2, ...,2л),

J=i

где подразумевается, что Н выражена в функции от г, а [ ] означают, как
обычно, скобки Лагранжа, определенные в п. 15. Проверяется непосредственно.
См. также Н. Andoyer, Cours de Mecanique c61este, т. I, Paris, 1923,
стр. 28.

7.	Интегральные инварианты линии. Доказать, что условия,
которым должны удовлетворять л функций (xlt х2........хп | t) для того,

чтобы криволинейный интеграл

распространенный на произвольную линию (субстанциальную), даже не-
замкнутую, был инвариантом относительно системы дифференциальных урав-
нений

d х •

-^- = Xi(x\t)	(Z=l, 2, .... л),

определяются равенствами

(Z=l, 2,..., л).

Эти интегральные инварианты, действительные для каких угодно кривых,
замкнутых или незамкнутых, называются абсолютными, в противополож-
ность относительным, которые имеют инвариантный характер только для
замкнутых линий интегрирования, пример которых мы дали в п. 34.

8.	В виде приложения предыдущего упражнения доказать, что для кано-
нических систем с характеристической функцией, не зависящей от t и одно-
родной первой степени относительно р, криволинейный инвариант

/ 2^4

1 Л=1

есть абсолютный инвариант (тогда как для любой канонической системы
он будет только относительным).

9.	Дана каноническая система с характеристической функцией H(p\q),
не зависящей от /; выберем в фазовом пространстве Ф2п любую изоэнерге-
тическую гиперповерхность Н=Е и, предположив, что Н содержит, по
крайней мере, одно из р, например рп, представим себе уравнение Н—Е
разрешенным относительно рп в виде

Рп = <? (‘11 Ръ Р2.Р„-11£)-

Доказать, что интеграл

° = ,f 1Е d<h - d4ndPidP2    dPn-b
распространенный на какую-нибудь (субстанциальную) область а рассматри-
ваемой изоэнергетической поверхности, является инвариантом (абсолютным).
Достаточно заметить, что

dy _	1

дЕ ~ дН-

и применить к дифференциальной системе, порядок которой после пониже-
ния при помощи интеграла энергии Н=Е равен (2 л— 1).

10.	Гамильтоновы преобразования в случае лагран-
жевой функции, не зависящей от t и однородной пер-
вой степени относительно q. В п. 41 гл. V мы имели случай заме-
тить, что если функция 8 (у 1^10 является однородной первой степени
относительно q, то лагранжева система

d dSj	as

dt d'qh d(ht

(Й = 1, 2,..., n), (1)

наверное, не будет нормальной; если, кроме того, функция 8 не зависит
от Л то справедливо тождество

2	— °-

Л = 1

Если существует эта зависимость, то к системе (1) можно присоединить
какое-нибудь новое уравнение с п неизвестными функциями q (/); как уви-
дим далее (ср. упражнение 13), представляет интерес, в частности, случай,
когда в виде добавочного уравнения принимается соотношение 8 = 1. Если
бы мы приняли функцию 8 равной какой-нибудь постоянной, не равной
нулю, то можно было бы эту постоянную принять за единицу, деля урав-
нения (1) и, следовательно, 8 на 8о- Назовем системой Гюйгенса (оправда-
ние такого названия отложим до упомянутого упражнения 13) систему

8^ = 0, 8 = 1	(Л= 1, 2, ..., п). (2)

Если положим теперь ЭЛ = 82/2 и примем SU за новую функцию Ла-
гранжа, то без труда увидим (проверку предоставляем читателю), что си-
стема

5D(ft=—-^В-—= 0, 2JR=1 (Л=1, 2,..., п) (2')
dt d4h d4h

равносильна системе (2). Необходимо заметить, что, так как 8 является
однородной функцией первой степени относительно q, SU будет однородной
функцией второй степени относительно тех же аргументов и что, вообще
говоря, ее гессиан не будет тождественно равен нулю. В этом последнем
обстоятельстве можно убедиться на примере, который, впрочем, важен сам
по себе, полагая 8='уг27’, где Т означает определенную положительную
квадратичную форму относительно q, каковой является живая сила голоном-
ной системы со связями, не зависящими от времени.

Если гессиан функции SU не равен нулю, то к системе (2') будет при-
менимо гамильтоново преобразование (п. 1), в силу которого п лагранже-
вых уравнений, которые вместе с добавочным уравнением 2SR = 1 образуют
систему (2'), преобразуются в гамильтонову систему. Характеристическая
функция этой системы определяется равенством

п

К(р\д)= 2 Pi4i~9^’

г = 1

где переменные pi определяются из соотношений

или, в силу того, что ЭЛ = 82/2 и 8 = 1, из соотношений

дй

Pi^~	(7 = 1, 2,..., Л). (3)

dqi

Так как ЭЛ есть однородная функция второй степени относительно q,
то уравнение, определяющее К, приводится к виду

К{р I q) = ЭЛ (9 I q);

с другой стороны (упражнение 2), функция К. будет однородной второй
степени относительно р.

В силу этого соотношение 2ЭЛ — 1 преобразуется в другое соотношение
2К= 1, поэтому система (2'), а потому и первоначальная система Гюйгенса (2)
равносильны системе

...."> (2">

чг	г А

Но можно сделать следующий шаг, полагая Н= Y^K, в силу чего
функция Н(р | q) совпадет с первоначальной функцией 8 (q | <?), из которой
исключены q при. помощи соотношений (3) и уравнения 8 = 1, а с другой
стороны, она будет однородной первой степени относительно р. После этого
легко проверить, что система (2"), а следовательно, также и первоначальная
система (2) равносильны системе

«=1 <‘ = 1.2.........<2")

отсюда мы заключаем, что в исключительном случае, когда функция 8 не
зависит от времени и является однородной первой степени относительно q,
достаточно присоединить к соответствующей лагранжевой системе, самой
по себе не являющейся нормальной, уравнение 8=1, чтобы сделать воз-
можным гамильтоново преобразование. Характеристическая функция Н,
к которой мы таким образом приходим, будет не чем иным, как перво-
начальной функцией 8, выраженной посредством р при помощи соотноше-
ний (3) и уравнения 8 = 1. Рассматриваемая система равносильна гамильто-
новой системе, соответствующей функции И, вместе с уравнением 77=1.

Надо заметить, что, в то время как для гамильтоновой системы урав-
нение 77= 1 является первым интегралом, в котором произвольная постоян-
ная имеет частное значение (интеграл обобщенной энергии), равенство 8 = 1,
которое мы присоединили, ие будет первым интегралом для лагранжевой
системы.
Наконец, так как Н является однородной функцией первой степени
относительно р, то уравнение /7=1 можно написать также в биде

п	п

Л=1 ?i Л=1

это равенство нам пригодится, когда мы будем рассматривать упражне-
ние 13.

И. Канонические однородные системы. Этим названием мы
будем обозначать канонические системы с характеристической функцией, не
зависящей от t и однородной первой степени относительно р. К системам
такого типа мы пришли в предыдущем упражнении. Здесь, независимо от
их происхождения, мы укакем на одно их важное свойство.

В п. 35 мы видели, что общее решение

Рн=Р^\Рй\^> 4h = Qh(t\P°\qw} (Л = 1, 2,..., п),
в котором за постоянные интегрирования какой-нибудь канонической си-
стемы приняты количества движения р° и координаты 9°, соответствующие
начальному моменту, определяет каноническое преобразование между со-
пряженными величинами р<>, q° и р, q, т. е. влечет за собой тождество вида
п	п

^Phd4n = 2 PWh + H^dt^dQ,

h = l	Л—1

где Н() и й обозначают две функции от 4n + 1 аргументов р, q, рй, qa и t.
Покажем теперь, что в случае характеристической функции H(p\q), не за-
висящей от t и однородной первой степени относительно р, указанное выше
каноническое преобразование является однородным, т. е. (п. 18) влечет за
собой тождество
п	п

Phd^= Ъ Pld(>h-	<5)

Л=1	Л=1

Для доказательства этого утверждения, вместо того чтобы начинать,
как в п. 35, с интегральных формул, даваемых методом Гамильтона — Якоби,
заметим, что равенство (5) выражает инвариантность пфаффиана

п

^Pnd%

Л = 1

при изменении в нем величин р и q, рассматриваемых как функции t, опре-
деленные гамильтоновой системой. Поэтому достаточно доказать, что в силу
соотношений

дН • дН ..	, „

/Ч- дЧь> dph	....п)

производная по t от указанного пфаффиана будет тождественно равна нулю.
Для этой цели прежде всего удобно сохранить символ d для дифферен-
цирования по времени и обозначить через произвольные приращения
начальных координат до, через — приращения координат q на основании
их интегральных выражений, В силу этого пфаффиан, инвариантность ко-
торого нужно доказать, будет иметь вид

2 P^4w

24 Зак. 2368. Т. Леви-Чивкга и У. Амалыш
с другой стороны, оба оператора d и &, как относящиеся к независимым
переменным, будут обладать свойством переместительности. Таким образом,
мы имеем

п	п

Tt ( 2 р№ь) = 2	+рМ

Л=1	Л=1

или на основании канонической системы
п	п

d /'V * A VV ЙЯ. .	. дН\

dt\MP^q4~ dqh^+p^dp.J'	(6)

Л=1	Л=1	"	"

Но в силу предположенной однородности мы имеем

а отсюда, применяя оператор 8 и делая обычные приведения, мы выводим
соотношение

V ( дН.	. s дН X .

dqh qh+Pn dphJ~ ’

которое при сопоставлении с равенством (6) доказывает утверждение.

Заметим, что это является только иной формой результата, полученного
в упражнении 8.

12.	Доказать, что для однородной канонической системы (предыдущее
упражнение) существенными являются только отношения количеств движе-
ния р в том смысле, что двум начальным фазам, определяемым одними
и теми же координатами q^ и [количествами движения р^, рр^, пропорцио-
нальными между собой, соответствуют решения, для которых в любой мо-
мент координаты совпадают, а моменты остаются пропорциональными между
собой с тем же коэффициентом пропорциональности р.

13.	Геометрическая теория световых волн1), а) Элементы
пространства конфигураций. Будем рассматривать qlt q^,..., qn как орто-
гональные декартовы координаты евклидова пространства Гп п измерений,
как мы делали это в п. 61 гл. V. В уравнении любой гиперплоскости тс

S Pn4h = c

Л = 1

постоянные р^ н С, как известно, пропорциональны соответственно напра-
вляющим косинусам aft нормали v к к и расстоянию w гиперплоскости тс от

х) Lie, Die infinitesimalen Beriihrungstransformationen der Mechanik,
Letpz. Ber., 1889, стр. 277—289. Lie—Schefiers, Geometrie der Beriihrungs-
transformationen, Leipzig, 1896, стр. 16, 97, 102. Vess io t, Sur 1’interpreta-
tion tn^canique des transformations de contact infinitesimales, Bull, de la Soc.
math, de France, т. XXXIV, 1906, стр. 230—269.
начала (коэффициентам нормального уравнения плоскости). Для определен-
ного направления м имеем

постоянные а можно принять за координаты гиперплоскости л (число их
равно (га + 1), но они связаны известным соотношением a* -f- aj + .. a$=l).

Известно также, что для гиперповерхности Vn-i, уравнение которой
имеет вид

/(^.02....?„) = О,	(7)

уравнение касательной гиперплоскости в данной точке будет

так что для направляющих косинусов ah нормали ч к гиперповерхности Ип-1
в точке qh и для расстояния w касательной гиперплоскости от начала будем
иметь выражения

( df\

~	(Л = 1, 2,...» я);	<8>

уда;.

Эти п + 1 уравнений, если q рассматриваются в них как избыточные
параметры, связанные равенством (7), дают параметрическое представление
гиперповерхности Vn-i, как огибающей гиперплоскостей.

Но очевидно также, что (по крайней мере внутри некоторой области
изменения) всякой полупрямой с направляющими косинусами aft, выходящей
из начала, однозначно соответствует на гиперповерхности Vn-i некоторое
значение для точки соприкосновения гиперплоскости, касательной к Vn-i
и перпендикулярной к рассматриваемой прямой; достаточно представить
себе в последнем из равенств (8) все q выраженными через aft для того,
чтобы иметь соотношение между aft и w, которое определяет гиперповерх-
ность Vn-i как огибающую гиперплоскостей и представляет собой так назы-
ваемое тангенциальное уравнение гиперповерхности Уп-г.

После этих предварительных замечаний перенесем в пространство Гп
определение элемента, данное в п. 18 для пространства zz —|— 1 измерений,
т. е. будем называть элементом совокупность точки Р и гиперплоскости к,
проходящей через нее (или, если мы хотим иметь более наглядное геоме-
трическое изображение, области гиперплоскости п (площадки в окрестности
точки Р)). В качестве координат любого элемента F здесь можно принять
Декартовы координаты q его центра Р и направляющие косинусы аЛ нор-
мали э к л, или постоянные ph, пропорциональные направляющим косину-
сам ад.
В координатах q, р условие соединения двух бесконечно близких эле-
ментов q, р и q -j- lq, р Ър (т. е. условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы центр второго элемента лежал на гиперплоскости первого) при-
нимает вид

п

P&h=b	О)

Л=1

в пространстве Ги, по теореме Ли, приведенной в п. 18, наибольшая раз-
мерность многообразий соединенных элементов есть п — 1. Эти многообра-
зия со”-1 соединенных элементов разделяются на п категорий, различаю-
щихся между собой по размерности (точечного) основания или геометриче-
ского места центров соответствующих элементов, которое изменяется от
минимума 0 (соответственно связке элементов с заданным общим центром)
до максимума п— 1 (соответственно многообразиям со”-1 элементов одной
и той же гиперповерхности).

б)	Геометрическая интерпретация решений однородной канониче-
ской системы. Вместо того, чтобы обращаться, как в п. 3, к фазовому про-
странству А2п, мы будем истолковывать переменные q и р (точнее, взаим-
ные отношения этих последних) как координаты элемента F пространства
конфигураций Г„. При таком истолковании, всякое задание переменных q
и р в функции от t определяет в пространстве Ги движение элемента F,
т. е. определяет в любой момент не только положение его центра Р, но
также и положение его гиперплоскости. Конечно, это справедливо для ре-
шения q (t), р (t) произвольной дифференциальной системы относительно пе-
ременных q, р; но если речь идет об однородной канонической системе, то
результат упражнения 12 позволяет добавить, что в этом случае движение
элемента F будет определено его начальным положением F°. Действительно,
когда задано F°, т. е. положение центра Р и положение гиперплоскости п
элемента F в начале движения, то тем самым будут определены начальные
значения направляющих косинусов нормали v гиперплоскости я или, что
то же, взаимные отношения начальных значений р° величин р; в силу
результата упражнения 12 этого достаточно для того, чтобы были последо-
вательно определены в любой момент координаты q и взаимные отношения
величин р, т. е. положение центра элемента F и положение его гиперпло-
скости.

Можно сказать еще, что инвариантный характер, которым по отноше-
нию к однородной канонической системе согласно упражнению 11 обладает
пфаффиан

п

2 Рп^п>

П=1

обеспечивает нам то, что элементы, соединенные вначале, т. е. удовлетво-
ряющие соотношению (9), остаются соединенными в течение всего времени
движения.

Так, в частности, оога-1 элементов, принадлежащих в данный момент,
от которого условимся отсчитывать время, к одной и той же связке с центром Р01
по истечении известного промежутка времени t (достаточно короткого для
того, чтобы не возникли особые обстоятельства, которые мы, по крайней
мере отчасти, будем иметь случай уточнить) будут образовывать много-
образие со»-1 соединенных элементов; к этому можно добавить, что, вообще
говоря, это многообразие будет иметь основание с наибольшим числом изме-
рений, т. е. некоторую гиперповерхность. Легко видеть, что это обстоятельство
обязательно будет иметь место, если предположить, что гессиан характери-
стической функции И (р | q)
д1 = |

который, как мы знаем, здесь тождественно равен нулю, имеет ранг (п — 1).
Предположим для определенности, что гессиан функции Н относительно

Р1, Рч, .... Рц-х не равен тождественно нулю. В силу п канонических уравнений

= (Л = 1’2’(10)

разложения функций q (t) в ряд Тэйлора, начиная от начального момента t ~ О,
имеют, по крайней мере с точностью до членов порядка выше первого, вид



где, конечно, производные от Н подразумеваются вычисленными для рк=рк,
qk = q°k- Эти интегральные выражения для q, если в них q° рассматриваются
постоянными, а отношения величин (от которых они только и зависят) —
изменяющимися, дают параметрические уравнения основания нашего много-
образия из оога-1 соединенных элементов в момент t. Размерность этого
основания определяется рангом якобиевой матрицы от переменных q отно-
сительно отношений переменных pj, ....или, как еще можно сказать,
относительно переменных р°,р°, 	На основании равенств (11) имеем

dqh ( д2Н \

—" = //_______) + • •

дРк \dPhdPkJo

(ft = 1, 2, п; k = 1, 2,..., п — 1),

а отсюда следует, что часть указанной якобиевой матрицы, содержащая t
в наименьшей степени (мы можем ограничиться ею, если t предполагается
достаточно малым), отличается только множителем tn~x от матрицы

II/ д*Н \ II

(Л = 1, 2, ...,п\ *==1, 2, ..., п — 1),

которая при принятом предположении будет ранга п — 1, так как она имеет
отличный от нуля минор, образованный из первых п — 1 строк. Таким образом,
действительно, элементы связки с центром Р° в конце промежутка времени t
будут распределены по гиперповерхности.

Эта гиперповерхность, по соображениям, которые выяснятся из после-
дующего, называется гиперповерхностью или фронтом волны, источником
которой является центр Р$, а продолжительность распространения равна /;
мы будем обозначать эту гиперповерхность а (Рй, t).

Рассмотрим, в частности, элементарное перемещение' ооге~1 элементов
некоторой связки с центром Р от момента t до ближайшего момента t-\-dt.
Легко указать как точечное, так и тангенциальное уравнение гиперповерх-
ности элементарной волны а(Р, dt), которая является одновременно гео-
метрическим местом центров и огибающей гиперплоскостей одних и тех же
элементов к концу элементарного промежутка времени dt, отсчитываемого
от момента t.

Вследствие того, что мы рассматриваем бесконечно малые перемещения,
а (Р, dt) будет близко к Р, так что достаточно принять начало осей в точке Р,
чтобы координаты любой точки Q фронта волны а-(Р, dt) были равны при-
ращениям dq, испытываемым координатами q в заданный элемент времени
Мы легко найдем искомые уравнения, если воспользуемся частным
интегралом Н (р | q) = 1 канонической системы. Действительно, вспомним
прежде всего, что этот частный интеграл, если мы опять введем q вместо р
(упражнение 10), вновь принимает лагранжеву форму

8(?й) = 1;

а так как 8 есть однородная функция первой степени относительно q, то ему
можно придать вид

<t(q\dq) = dt.	(12)

Это и есть точечное уравнение гиперповерхности элементарной волны,
если мы будем рассматривать в нем координаты q центра Р и dt, как постоян-
ные, a dq— как текущие координаты.

С другой стороны, направляющие косинусы аЛ нормали ч к а (Р, dt)
в любой точке dq пропорциональны значениям производных

в этой точке, которые в силу однородности 8 можно написать в виде

(й = 1, 2, ..., п),

<4

и поэтому они тождественны с обобщенными количествами движения
Следовательно,

=...-А—	(Л = 1, 2, ..., я),

V 2^

а потому в силу последнего из равенств (8) расстояние w любой гипер-
плоскости, касательной к а (Р, dt), от начала будет равно

Но в силу п канонических уравнений (10) й вследствие однородности Н
это последнее уравнение можно написать в виде

или, вводя направляющие косинусы ад, в виде

w = Н (а | q) dt.

Это есть тангенциальное уравнение фронта волны а (Р, dt), если, конечно,
мы будем рассматривать здесь q и йЛкак постоянные, а ад и w — как текущие
координаты.
Из точечного уравнения (12) следует в силу однородности 8, что гипер-
поверхности элементарных волн а (Р, d't), s (Р, d"t), относящихся к одному
и тому же центру Р, но отличающихся продолжительностями распространения
d't, d"t, будут между собой гомотетичны; их форма, вообще говоря,
изменяется вместе с центром Р, оставаясь неизменной только в том случае,
когда 8 не зависит от Р, т. е. от q.

Переходя к тангенциальному уравнению (13), необходимо прежде всего
отметить, что функцию Н (а | у), так как она зависит исключительно от коор-
динат q и направляющих косинусов а, можно рассматривать как функцию Ж (А)
произвольного элемента F, связанную с H(p\q) соотношением

Н(РI<?) = Ж(F) Ур{+р1+---+р1-

Если, в частности, эта функция X будучи зависимой от положения центра
элемента Р, не зависит от направления соответствующей нормали ч, т. е. если

Н(р | q) = Ж (Р)/р?+р|+...+/£,

то гиперповерхности элементарных волн будут гиперсферами с центром в Р.

Если, наоборот, Ж зависит от ориентации элемента, но не от положения
центра, что равносильно предположению, что Н зависит только от р, то в силу
первой группы канонических уравнений, которая сведется к уравнениям
рп = 0, все р будут постоянными, т. е. отдельные элементы движутся парал-
лельно самим себе. Еще точнее, так как во второй группе канонических
уравнений

=	(А = 1, 2, ...,„)

дР*

первые части вследствие неизменности р будут постоянными, то центры
отдельных элементов будут двигаться прямолинейно и равномерно в напра-
влении, вообще говоря, наклонном к элементу, а скорость центра будет зависеть
от ориентации элемента, а не от положения, которое центр занимает в про-
странстве.

в)	Элементарный случай распространения сферических волн. Рас-
смотрим несколько ближе случай, когда функция ТС прямо сводится к постоян-
ной, для чего требуется, чтобы характеристическая функция, по крайней
мере до постоянного множителя X была равна

Скорость, с какой перемещаются отдельные элементы, которые, как мы
знаем, остаются параллельными самим себе, имеет составляющие

=	(* = 1, 2..п),

откуда мы видим, что каждый элемент перемещается по направлению своей
нормали и все имеют одну и ту же (постоянную) скорость | Ж |; поверхность
волны а (Р, t) является сферой с центром в Р и радиусом | ЭС 11. При одина-
ковой продолжительности распространения эти сферы будут между собой
равны, каков бы ни был центр излучения.

Тем самым ход распространения за какой-нибудь промежуток времени
становится непосредственно очевидным. Однако в качестве подготовки
к более общим рассуждениям необходимо уточнить понятное само по себе
выражение, которое мы поясним, обращаясь для простоты к обычному про-
странству (п = 3).
Элементы любой связки с центром Р, начиная с момента t = 0, распре-
делятся в конце какого-нибудь промежутка времени t по поверхности сферы
а (Р, t) с центром Р и радиусом | Ж 11. Если в момент t каждая точка Q этой
сферы рассматривается как новый центр излучения, то со2 элементов с цент-
ром Q, начиная с момента t, к концу следующего промежутка времени t'«t)
составят сферу a (Q, t') с центром Q и радиусом | Ж 11'. Эти ооа сфер a (Q, /'),
равных между собой и имеющих центрами различные точки s (Р, t) (поверх-
ность вторичной волны), имеют в качестве огибающей совокупность двух
сфер с общим центром Р и радиусами соответственно | ТС | (/— tr) и | Ж | (/-|- tr),
вторая из этих сфер будет, очевидно, поверхностью волны, на которой будут
распределяться элементы связки с центром в Р к концу полного промежутка
времени t + t'.

г)	Образование гиперповерхностей волн как огибающих вторичных
волн. Возвратимся к общему случаю. Имея в виду распространение только
что рассмотренными сферическими волнами, ограничимся в наших рассужде-
ниях теми случаями, когда функция

Н(р I 7) = Ж (F) Ур1+р*+ ...+р2п.

такова, что Ж (А), не будучи более постоянной, как выше, изменяется вместе
с F так незначительно, что качественное поведение элемента с точки зрения
свойств огибающей остается аналогичным поведению в элементарном слу-
чае „в“. Выражаясь более точно, предположим, по крайней мере для неко-
торого промежутка времени, справедливыми следующие две гипотезы:

1)	Если в любой момент t различные точки Q какой-нибудь гиперповерх-
ности волны ~(Р, t) рассматриваются как новые центры, то оо»-1 гипер-
поверхностей вторичных волн a(Q, t'), которые из нее образуются к концу
следующего промежутка времени t', имеют в качестве огибающей гипер-
поверхность s' с одной или большим числом полостей.

2)	Если обозначим через 1 совокупность oo2/i~2 элементов, которые в мо-
мент t имеют свои центры в различных точках Q фронта а (Р, t), то совокуп-
ность I' стольких же элементов, происходящих от I в последующий промежу-
ток времени t', будет такова, что, кроме указанной огибающей s', не будет
содержать никакого другого многообразия из со»-1 соединенных элементов
с основанием наибольшей размерности п — 11).

Приняв эти две гипотезы, заметим, что к совокупности / принадлежат,
в частности, все элементы гиперповерхности волны а (Р, t), которые к концу
промежутка t', начиная с момента t, пойдут на образование гиперповерх-
ности волны s (Р, t -|- /'). Поэтому элементы этой гиперповерхности будут
принадлежать все к I'. Так как а (Р, если рассматривать ее как сово-
купность элементов, определяет многообразие из со™-’ соединенных эле-
ментов с основанием оога-1, а с другой стороны, по предположению, един-
ственное многообразие, которое содержится в Г, определяется огибающей сЛ,
то мы заключаем, что гиперповерхность волны а (Р, совпадаете оги-
бающей а' или, по крайней мере, с одной из ее полостей.

Таким образом, здесь, как и в элементарном случае, гиперповерхность
волны а(Р, будет образована как огибающая (полная или неполная)
оо”-1 вторичных волн о (Q, t'), которые возникнут в момент времени t

1) Если обратимся к общей теории преобразований прикосновения, и
именно к известной теореме С. Ли (см. Lie — Engel, Theorie der Trans-
formationsgruppen, т. II, стр. 170), и, кроме того, примем во внимание, что
однородная гамильтонова система определяет группу оог преобразований
прикосновения, каноническим параметром которой является t, то Легко
увидим, что предположения „1“, „2* будут непосредственно удовлетворены,
если до момента 1	? включительно гессиан функции Н будет иметь ранг

п — I (ср, стр. 373),
в отдельных точках Q фронта а (Р, t) и распространятся в течение про-
межутка времени t’.

Можно сказать, что в этой возможности образования любой волны как
огибающей вторичных предшествующих волн (которая истолковывает, по
существу, свойство группы простой бесконечности однородных преобразо-
ваний прикосновения) заключается существенный характер распространения
посредством волн.

Если мы обратим внимание на то, что дифференциальные уравнения,
описывающие явление, вполне определяются функцией

Я(р, ?) = Ж(Е)

и вспомним, что функция Ж (Е) = Н(а | q) в свою очередь зависит исклю-
чительно от формы гиперповерхностей элементарных волн, то увидим, что
распространение посредством волн, в течение всего времени распространения,
будет характеризоваться природой гиперповерхностей элементарных волн
(что с точки зрения теории групп соответствует тому, что группа оо1
однородных преобразований прикосновения, указанная выше, может быть
образована путем бесконечного повторения одного и того же бесконечно
малого преобразования прикосновения).

д)	Лучевая скорость и скорость распространения. Траектория центра/3
любого элемента называется лучом распространения волны, а скорость
точки Р, т. е. вектор с проекциями

• _dH(p\q)	th-л 9

qh-----др~~	(й-1, 2, ...,«),

называется лучевой скоростью. Так как Н не зависит от t и, с другой стороны,
является однородной функцией первой степени относительно р, так что
dH/dph будут аналогично однородными функциями нулевой степени, то ясно,
что лучевая скорость является функцией элемента (т. е. функцией положения
и ориентации элемента), но не времени.

Составляющая лучевой скорости в направлении нормали ч к элементу
определяемая соотношением

п	п

будет не чем иным, как функцией Ж(Е), и называется скоростью распро-
странения системы волн.

Это название, данное функции Ж (Е), можно оправдать следующими рас-
суждениями.

Рассмотрим для любого момента t какой-нибудь элемент Е гиперповерх-
ности волны а. По истечении промежутка времени dt, т. е. в момент t-\-dt,
элемент Е принимает некоторое положение Е7, близкое к Е, и весь фронт
волны а смещается в некоторую конфигурацию о', близкую к а, содержащую
в силу основного свойства распространения элемент Е'. При заданных поло-
жениях Р и Р' центров элементов Е и Е7 расстояние по нормали от Р до
нового фронта волны, т. е. отрезок Л нормали ч к Е, заключенный между Р
и точкой пересечения ч с s', будет равен

Лч — РР' cos (РРГ, ч),

так как в непосредственной близости от точек Р и Р' гиперповерхности
S. и / можно заменить гиперплоскостями (касательными) двух элементов;
d.'i будет представлено в виде проекции элементарного перемещения центра Р
(с составляющими dq^ на направление у (с направляющими косинусами аЛ).
Поэтому имеем

п

Л=1

откуда видно, что Ж (F) действительно представляет собой скорость, с кото-
рой перемещается по направлению своей нормали фронт волны, содержащий
элемент F.

Так как канонические уравнения вполне определяются функцией Н(р | q),
или, что то же, функцией Ж (F), то мы приходим к заключению, весьма
наглядному с физической точки зрения, что явление распространения волн
может быть полностью описано, если известна скорость распространения,
выраженная в функции места и ориентации фронта волны.

е) Оптическое истолкование распространения посредством волн.
Принцип Гюйгенса. Понятие распространения посредством волн исторически
ведет свое начало от Гюйгенса, согласно которому свет в любой среде
распространяется посредством волн, в том смысле, что световое возмуще-
ние, испускаемое в данный момент t = 0 центром Р, достигает по истечении
некоторого промежутка времени некоторой вполне определенной поверх-
ности (поверхность волны) а(Р, t). К этому кинематическому представлению
Гюйгенс (считавший среду однородной и изотропной, так что свет распро-
страняется в ней по прямым линиям с постоянной скоростью, и потому
поверхности волн будут равномерно расширяющимися сферами) присоединил
следующий геометрический постулат, формулировка которого приводит к по-
вторению рассуждений, уже вполне разъясненных в предыдущих пунктах.
Рассматривая две последовательные поверхности световых волн а (Р, t),
в (Р, t -|- Г), испускаемых одним и тем же центром Р, он допустил, что по-
верхность s (Р, t + Г) геометрически может быть образована в виде огибаю-
щей со2 поверхностей вторичных волн a (Q, Г), которые получились бы
в момент t -|-Г, если бы они были порождены в момент t различными точ-
ками Q поверхности s (Р, t), т. е. если бы каждая из этих точек стала в этот
момент новым источником света.

Принимая во внимание предыдущие рассуждения, мы можем синтезиро-
вать здесь кинематические представление и геометрический постулат Гюй-
генса следующим образом: распространение света в какой угодно среде
представляет собой процесс, определяемый однородной канонической
системой с подходящей характеристической функцией Н(р | q), конечно,
однородной и первой степени относительно р.

Это и есть аналитическое выражение принципа Гюйгенса.

Для избежания недоразумений отметим, что здесь этот принцип рассма-
тривается в его первоначальном исключительно геометрическом виде. В физи-
ческой оптике, где распространение света связывают с колебательными
явлениями, аналитическая формулировка принципа Гюйгенса в наиболее
полной форме, приданной ему Френелем *), выражается, если рассматривать

!) Огюстен Жан Френель (Fresnel) родился в Нормандии в 1788 г.,
умер в Париже в 1827 г. Вместе с английским физиком Томасом Юнгом он
дал экспериментальные основы волновой теории света. Выдающимися являются
его опыты с явлением диффракции и интерференции поляризованного света.
Согласно его теоретической концепции световые явления порождаются по-
перечными колебаниями некоторой среды (эфира), которую, для того чтобы
иметь бесконечно малую плотность, наделяют свойством упругих твердых
тел. При помощи волновой теории света ему удалось в удивительном согласии
с опытом объяснить не только классические явления геометрической оптики
общий случай, дифференциальным уравнением с частными производ-
ными !).

Возвращаясь к геометрической оптике и обращаясь к характеристиче-
ской функции

#(Р !?)==« (Л'//’i+Pa + •••Рп.

определяющей распространение посредством волн, заметим, что изотропные
среды (в которых все направления должны быть физически эквивалентны)
соответствуют предположению, что Ж не зависит от ориентировки элемента,
т. е. является функцией только от q\ однородные среды (в которых должны
быть физически эквивалентны все точки) характеризуются предположением,
что % а следовательно, также и Н не зависит от q. В этом последнем
случае, как мы это видели в пункте „б“, свет распространяется по прямой
линии со скоростью, зависящей в общем случае от направления (но не от
места).

14.	Доказать, что если закон распространения волны в декартовых
координатах определяется функцией

f(x,y, z\f) = 0,

то скорость распространения будет равна

dt

15.	Рассмотреть распространение посредством волн, соответствующее
характеристической -функции

//(р1?) = 1/££ + 4+...+£д
Г а1 аа ап

при постоянных ар as,... , ап (эллипсоидальные волны).

16.	Геометрическую теорию распространения посредством волн можно
обобщить на случай среды, оптические свойства которой изменяются
с временем, рассматривая для этого характеристическую функцию H(p\q\t),
зсегда однородную первой степени относительно р, но зависящую явно от t.

и аберрации (уже исследованные ранее различными путями), но также и
явления диффракции и поляризации, что и обеспечило превосходство волно-
вой теории над теорией испускания.

1) См. Kirchhoff, Vorlesungen uber math. Physik, т. 2; Leipzig, 1891,
лекция IV. Дальнейшие усовершенствования и обращения см: Maggi, Ann.
di Mat. (2), т. 16, 1888, 21—48. Beltrami, Сочинения, т. IV, стр. 310—319,
525—529. Vo It err a, Rend. Acc. Lincei s. 5a, т. II. 1892ъ 1882, стр. 161—170,
255-277; Nuovo Cimento, s. За, т. XXXI, 1892, стр. 244—255; т. XXXIII, 1893,
стр. 59—61. L e v i - C i v i t a, Nuovo Cimento, s. 4a, т. VI, 1897, стр. 204—209.
В u rga 11i, Nuovo Cimento, s. 5a, т. XVI, 1907, стр. 183—198. Те done,
Rend. A^c. Lincei, s. 5a, т. XXVI, 1917lt стр. 236—289, т. X.XVII, 19181,
стр. 351—360. Kot tier, Ann. der Physik, t. 70, 1923, стр. 405—456. Hada-
mar d, Bull, de la Soc. math, de France, t. LII, 1924, стр. 610—640, а также
там же, стр. 241—278, и Acta math., т. 49,1926, стр. 203—244.
С этой целью См. V е s s i о t, Essai sur la propagation par ondes, Ann. de I’Ec.
Norm. Sup., 3 s, т. XXVI, 1909, стр. 405—448. Sur la propagation pat ondes
etc., Journal de Math., cep. 6, т. IX, 1913, стр. 39—76.

17.	Эллиптические координаты. Рассмотреть в евклидовом
пространстве л (5>2) измерений, в котором xj, х2, ... , хп являются орто-
гональными декартовыми координатами, уравнение

П 2

Т=1 ‘

где X. есть действительный параметр, изменяющийся от —оо до -f-со, и оу
обозначают п действительных и различных постоянных, причем

а2^> • • • ^> ап-

Если положим

/(Х) = (Х — а) (X — а2) ... (X — ап),	(15)

то функцию

П 2

<16>

в левой части (14) можно написать в виде

= (17)

где F(X) есть полином степени п относительно X (и, конечно, зависящий
от х и от а), для которого здесь нет необходимости давать явную форму.
Достаточно отметить, что коэффициент при Xй в F (X) предполагается равным
положительной единице. Функция ср (X), в которой х приписываются любые
значения, обращается в бесконечность (первого порядка), как это следует
из равенства (16), при X = оу, а2,..., ап и только при этих значениях X;
легко также видеть, что она исчезает при некоторых п действительных
значениях

являющихся внутренними для интервалов

(«1, д2), («2, а3),... ,	а„), (ап, — со).	(18)

Действительно, если обратимся к интервалу (а^, а^+1) при j<Zn, то
очевидно, что функция ср (X) будет оставаться в нем, за исключением концов
конечной и непрерывной; если напишем

Л Л

2	п 2

*j+i I V' хз
aj + l *	аг

где в сумме S' должны быть пропущены члены с индексами у и у 4-1, то
обнаружим, что функция ср(Х) стремится к фоо, когда X стремится, возра-
стая, к flj, и к —со, когда X стремится, убывая, к ву+1. Поэтому ср (X) исче-
зает согласно утверждению при некотором значении qj, внутреннем для
интервала (Оу, о^+1); аналогично, записав эту функцию в виде
найдем, что она обратится в нуль при некотором значении qn < ап. Очевидно,
что эти п значений qn, для которых имеем

!Р(?л) = О, /(?й)#-0	(Л = 1,2,... , п),

суть не что иное, как корни полинома Е(Х), который, если иметь в виду,
что коэффициент при \п равен 1, можно написать в виде

F W = (X - 91) (X - fc) ... (X - qn).	(19)

Значения qh, которые при заданных значениях постоянных at будут одно-
значно соответствовать произвольной совокупности п декартовых коорди-
нат Xi, т. е. произвольной точке Р пространства, называются эллиптическими
координатами точки Р.

Но для оправдания названия координат необходимо, обратно, показать,
что всякой совокупности п чисел qh, выбранных соответственно в интер-
валах (18) с исключенными концами, однозначно соответствует точка, по
крайней мере в надлежащим образом ограниченной области пространства.
В действительности легко показать, что соответственно выбранным q/t будут
определены не самые значения декартовых координат Х{, а только значения
их квадратов.

Для этой цели приравняем два выражения (16), (17) функции (X) и,
по умножении их на некоторую определенную разность at-~ X, заставим
стремиться параметр X к аг. Первое в пределе даст непосредственно х*-, что
касается второго, то достаточно применить к отношению (сц — Х)//(Х)
правило Лопиталя (имея при этом в виду, что в силу равенств (19), (15),
и Г («*)-# 0), чтобы заключить, что

(/= 1, 2,... ,л). (?0)

J \иг/

Это и будут искомые выражения для координат х в функциях от q,
если в них под Е(Х) подразумевается выражение (19). Мы имеем, таким
образом, одно-однозначное соответствие между п эллиптическими коорди-
натами и точками пространства со всеми положительными декартовыми
координатами (т. е. из первого квадранта при п = 2, из первого октанта
при и = 3 и т. д.).

Остается оправдать название этих координат эллиптическими. Оно объяс-
няется природой координатных гиперповерхностей qh = const, т. е. геоме-
трических мест точек, в которых одна из координат q, например qh, сохра-
няет одно и то же значение.

В силу самого определения координат q декартово уравнение соответ-
ствующей координатной гиперповерхности имеет вид

Отсюда видно, что при h = п, если все знаменатели положительны, мы
имеем эллипсоид, при h = 1, 2,..., п—1—центральную поверхность второго
порядка иного вида; все эти поверхности второго порядка будут софокус-
ными, так как соответствующие фокальные многообразия зависят исключи-
тельно от разностей знаменателей, которые при изменении q не изменяются.

Если будем рассматривать две различные эллиптические координаты
?й и q^ одной и той же точки х^ то будем иметь
вычитая почленно и деля обе части на разность qh — qk (наверное, не равную
нулю в различных интервалах (18), мы получим

”	а

V ----------<------- = о (h, k = 1, 2,... n\h#k) (21)

Предоставим читателю выполняемую элементарными средствами поверку,
что эти тождества выражают тот геометрический факт, что поверхности
второго порядка qh =s const, qk = const (для всякой пары неравных индек-
сов й, k) будут взаимно ортогональны. Немного позже мы их получим, найдя,
что в выражении линейного элемента

я

rfs3 = У

пространства (которое здесь является необходимым в силу упражнения 19)
отсутствуют члены с произведениями дифференциалов dq, если выразить ds*
в функции от q и dq.

Именно, для вычисления такого выражения ds* необходимо предварительно
выразить в функции от q количество

” ха

=	(22)

к которому приводятся левые части равенств (21) при h = й. Для этой цели
приравняем еще раз два выражения (16), (17) функции (X) и, взяв производ-
ную по X, положим X — qk. Таким способом, принимая во внимание, что на
основании выражений (15), (19) имеем

^(?л) = 0, /(?ft)^0	(й=1, 2....и),

мы получим

(Л = 1> 2,.и),
или в явной форме

q _ (?) —	• (?а-1 — (fe+i —	• • • (Qn — 4h>	>22')

(Й == 1, 2,.... n).

Возьмем теперь логарифмическую производную от обеих частей равен-
ства (20), рассматривая в нем х и q как декартовы и эллиптические координаты
одной и той же текущей точки, и примем во внимание выражение (19) для F.
Таким образом получим

V dqh .
Zdqh—ai’
Л=1

умножая обе части на Х{/2 и возводя в квадрат, получим равенства

1 хх х2

dx? = -т- У •;-------------г dq^dq* , (i — 1, 2,..., л).

Л===1
Теперь достаточно просуммировать это равенство по индексу I и, изменив
порядок суммирований по i и по h, k, принять во внимание уравнения (21),(22),
чтобы прийти к искомому выражению

п

(23)

Л=1

линейного элемента, очевидно, ортогональному.

18.	Эллиптические координаты Эйлера. В случае плоскости
параметрические выражения (20) декартовых координат х, у, если положим
ах = с2, аг = 0, принимают вид

=	у2 = ^^3>	(24)

где, конечно, координата должна рассматриваться положительной и мень-
шей с3, а координата q% — отрицательной.

Поэтому, обозначая, как обычно, через sh и ch гиперболические синус
и косинус, можно положить

qr = с3 sin2 — q2 = с2 sh2 т;,

где $ и т] обозначают два действительных параметра. Отсюда следует

с2 — qi = с2 cos2 5, с2 — q2 = с2 ch2 т;.

и, далее, подставляя в равенства (24) н извлекая квадратные корни (не при-
нимая во внимание двойного знака),

х = с cos 5 ch т;, у = с sin В sh т;.

Проверить прямо, отправляясь от этих формул преобразования коор-
динат х, у и 5, т), что:

1)	линии 5= const, •>) = const (которые не отличаются от ft = const,
q2 = const) представляют соответственно софокусные гиперболы и эллипсы
с фокусами в точках х — ± с, у = 0, причем для главных полуосей при оче-
видных обозначениях имеют место выражения

= с | cos $ bi = с | sin ? |

в случае гиперболы и

а2 = с ch т;, Ьг — с sh т]

в случае эллипса;

2)	для координаты 5, по крайней мере до кратных 2л, имеет место одно-
однозначное соответствие между парами значений 5, 7] и точками всей пло-
скости, вместо одного только квадранта, как это имело место для первоначаль-
ных qb q2,

3)	линейный элемент плоскости в координатах 5, т; определяется равен-
ством

ds2 = с2 (ch2 т] — cos2 $) (d?2	d7]2).

Заметим, что посредством координат z, произвольной точки Р можно
выразить в рациональной форме расстояния Гц г2 этой точки от фокусов.
Действительно, в силу фокальных свойств соответственно гиперболы и эллипса
имеем

I I = а1 = с I COS $ I, ri 4- r2 = с ch 7]

и для заданного значения 6 всегда можно выбрать фокусы таким образом,
чтобы имело место равенство

Г1 — r2 = ccos$,
после чего на основании однозначности и непрерывности соответствия между
точками и парами координат ?, т] можно быть уверенным, что равенство
продолжает существовать при каком угодно положении точки Р. Из преды-
дущих равенств следует

Л = -g- (ch т) + cos i), r2 = (ch т) — cos £).

19.	Геодезические линии эллипсоида. Bn. 44 гл. II мы рас-
сматривали геодезические линии какой угодно поверхности а как траектории
движения по инерции (спонтанное движение) материальной точки, удержи-
ваемой без трения на поверхности а. В случае поверхности общего типа мы
ограничились указанием на основании интеграла живых сил, что движение
происходит с постоянной по величине скоростью, не занимаясь задачей интегри-
рования, которое к тому же, если не вводить частных предположений, мы не
сможем выполнить элементарными средствами. В специальном случае поверх-
ности вращения, мы видели (пп. 45, 46 гл. II), что имеет место также интеграл
площадей в плоскостях, нормальных к оси вращения, и что это обстоятельство
позволяет привести определение движения по инерции, а следовательно, и
геодезических линий к квадратурам. Здесь читатель может убедиться в этом
без вычислений, обращаясь к теореме Лиувилля из п. 44.

Далее, другой известный тип поверхностей, для которых оказывается
возможным определить геодезические линии при помощи квадратур, состав-
ляют поверхности второго порядка. Это определение впервые было выпол-
нено Якоби при помощи эллиптических координат, которые он определил
изящным способом, указанным в упражнении 17.

Останавливаясь на эллипсоиде с каноническим уравнением

2	2	2

х,	х.,	xi

— + — + — — 1 = о
«1	«2	«3

при а1>а2>«3>0, рассмотрим его октант, содержащийся в области точек
со всеми положительными декартовыми координатами, и введем для этих
точек согласно сказанному в упражнении 17 эллиптические координаты
Чи Яг, Яз (в одно-однозначном соответствии с декартовыми координатами), ко-
торые определяются для всякой точки х^ уравнением третьей степени относи-
тельно X

2	2	2

Х7	X,	xi

---Ц 4-----Ц-4-----Ц— 1 =0.

Точки эллипсоида а определяются значением X = 0, и это значение X, как
меньшее as, есть не что иное, как третья эллиптическая координата qs, так что
в эллиптических координатах уравнение эллипсоида сводится к особенно
простому виду: <?3 = 0.

Далее, для того чтобы иметь в эллиптических координатах выражение
для живой силы

Т 1 ,'2 , • 2 , • 2-,	1 (dS\%

т— 2 (*1 + *2+ хз) - 2 \dt)

материальной точки (с массой, равной 1), удерживаемой на поверхности а,
нам остается только применить формулу (23) из упражнения 17, полагая
в нем п = 3, q3 = q3 — 0. Таким образом получим

Г=1(О^ + О2^),

где на основании формулы (22') величины Gj, G2 определяются равенствами
<31 = (Я1 — Яг) Bi (Я1) • <?2 = (?1 — Яг) Вг (^2),
в которых Bi, В2 представляют собой соответственно функции только от qlt q2
и в явной форме, если принять меры к тому, чтобы входили только положи-
тельные разности, имеют вид

_____________91___________ __________________92___________

1	(«1 — 91) (?i — «2) (91 — «з) ’	2	(«1 — 9г) («2 — 9г) (92 — «з) ‘

Форма полученного таким образом выражения для живой силы и пред-
положение отсутствия активных сил позволяют непосредственно видеть, что
определение геодезических линий эллипсоида приводит, как к частному слу-
чаю (л = 2, U = 0, At = qlt = — 92)> к тому типу задач, интегрируемых
посредством разделения переменных, который мы изучили в п. 62 (случай
интегрируемости Лиувилля).

20.	Движение точки, притягиваемой двумя неподвиж-
ными центрами в отношении, обратно пропорциональном
квадрату расстояния. Эта знаменитая задача рассматривалась впервые
Эйлером, который показал, что в случае плоского движения она приводится
к квадратурам. Рассмотренная снова Лагранжей, она была затем решена Якоби
в эллиптических координатах при помощи метода разделения переменных
способом, который мы кратко здесь изложим.

Эта задача не имеет прямого астрономического интереса, так как непод-
вижность двух центров притяжения несовместима с законом Ньютона, однако
она имела и продолжает сохранять довольно большое значение с аналити-
ческой точки зрения потому, что дает поучительный пример применения
плодотворных математических теорий (криволинейные координаты, эллипти-
ческие интегралы, периодические решения). Исчерпывающий разбор ее нахо-
дится в уже’ цитированном сочинении Charlier, Die Mechanik des Himmels,
Leipzig, т. I, 1902, стр. 117—163r).

Пусть Oi, O2 будут два неподвижных центра с массами соответственно
mh т2 и расстоянием между ними OiO2 — 2с; обозначим, как обычно, через /
постоянную ньютонианского притяжения. Положение притягиваемой точки Р,
массу которой будем предполагать равной 1, для любого момента можно
определить, рассматривая прежде всего угол <f, который движущаяся полу-
плоскость OjOaP образует с произвольной стороной неподвижной полупло-
скости, выходящей из OiO2, и затем координаты х, у точки Р в движущейся
плоскости OiO2P по отношению к декартовым осям, имеющим начало в средней
точке О отрезка O1O2, н ось х, совпадающую с прямой центров (ориентиро-
ванной таким образом, чтобы относительно нее казалось правым направление,
в котором условились отсчитывать <?).

При изменении 9 плоскость О\О2Р вращается вокруг оси Ох с угловой
скоростью tp, вообще говоря, переменной; а так как абсолютную скорость
точки Р можно рассматривать как сумму ее относительной скорости по отно-
шению к осям ху и переносной скорости, происходящей от вращения пло-
скости, то для живой силы найдем выражение

С другой стороны, для потенциала, обозначая через rlt rt расстояния О^Р,
О2Р, очевидно, имеем

' \ fi г2 )

i) См. также большую библиографию у А. М. Н111 е b е 11 е 1, The problem
of two fixed centres and certain of its generalisations, Journal of Mathematics,
T. XXXIII, 1911, стр. 337—362.

25 Зак. 2368. T. ЛеВи-Чивита в У. Амальди
Мы видим, таким образом, что <р есть игнорируемая координата, так что
имеется соответствующий интеграл

дТ 2,- А
— =y\=Xk,
d<f

выражающий постоянство момента количества движения относительно осн Ох,
проходящей через центры Oj и О2. Существование этого интеграла можно
было предвидеть apriori, так как линии действия обеих сил пересекают ось Ох.

Далее, наличие такого интеграла позволяет свести задачу только к двум
степеням свободы (гл. V, п. 45). Соответствующую приведенную функцию
Лагранжа

й* = й — k?=T+U — ky

можно написать, принимая во внимание ранее полученное выражение для 7
и выражение самого интеграла, в виде

1	.	1 А2

Поэтому все будет происходить так, как если бы мы имели плоское
движение точки, отнесенной к неподвижным осям Оху и находящейся под
действием сил, имеющих потенциал

U	2y^-f\ri + rJ 2у2’

достаточно перейти, посредством преобразования из упражнения 18, от х, у
к эллиптическим координатам qlt q% или J, tj, имеющим фокусы в центрах
сил 01, 02, чтобы видеть, что и эта задача приводится к типу задач Лиувилля,
интегрируемых посредством разделения переменных (п. 62).

Действительно, если мы будем пользоваться координатами ?, т;, то прежде
всего будем иметь

1	•	• с2	•	.

_ (Х2 д,2) = L. (ch2 _ COS2 5) (52 + ^2);

далее, вспоминая тождество

ch2 т] — cos2 5 == sh2 »] 4- sin2 5,
найдем:

ch2 7] — cos2 5 ’
где

2	Z-2 1

tA G) = 7/(/n2-mi) COS 5,

2	W 1

t/2 (4) = y/(«l +	ch 1	.

21. Несколько более общий случай, когда задача интегрируется в эллипти-
ческих координатах путем разделения переменных, мы будем иметь, если
речь будет идти о материальной точке, которая находится под действием
ньютонианского притяжения двумя неподвижными центрами Oj, 02 н испыты-
вает, кроме того, притяжение, исходящее из центра тяжести точек Oj, 02 и
пропорциональное расстоянию, каков бы ни был при этом множитель пропор-
циональности.
Глава XI

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

1.	В гл. V мы видели, что все законы механики материальных
систем со связями без трения, по существу, синтезируются в прин-
ципе виртуальной работы или, еще лучше, в вытекающем из него
общем соотношении динамики, так что, пользуясь этим единствен-
ным соотношением, мы в состоянии для какой угодно задачи соста-
вить дифференциальные уравнения движения. Тем не менее предста-
вляет интерес и оказывается удобным преобразовать общее соотно-
шение динамики таким образом, чтобы прийти к формулам, в основ-
ном эквивалентным этому соотношению, но имеющим отличную от
него структуру; эти формулы с прикладной и эвристической точек
зрения допускают или возможные обобщения, выходящие за рамки
узко механических задач, или, в некоторых случаях, более быстрый
вывод дифференциальных уравнений движения, а с теоретической
точки зрения они представляют собой интерпретации, обнаруживаю-
щие некоторые общие свойства движения систем, которые, конечно,
логически содержатся в принципе виртуальной работы, однако не
могут быть непосредственно получены из его первоначальной форму-
лировки.

Предложения, к которым мы таким образом приходим, обыкно-
венно называют принципами. В этой главе мы предполагаем устано-
вить некоторые из этих принципов; одни из них справедливы в об-
щем случае, а другие — только для некоторых специальных классов
надлежащим образом определенных систем.

Мы будем предполагать во всех случаях, что речь идет о мате-
риальных системах исключительно с Двусторонними связями, так что
для этих систем будет справедливо общее уравнение динамики. Мы
начнем с изложения принципа наименьшего принуждения или наимень-
шего усилия Гаусса и принципа прямейшего пути Герца; эти прин-
ципы не только равносильны принципу виртуальной работы, но й
прямо могут быть сведены к тому общему уравнению динамики,
для которого они составляют только две новые интерпретации.

§ 1.	Принцип наименьшего принуждения
или наименьшего усилия Гаусса

2.	Принуждение и усилие. Пусть дана какая-нибудь материальная
система из Af точек	с какими угодно связями;
будем рассматривать состояние движения (конфигурацию Со и распре-
деление скоростей г»°), которое она имеет в любой определенный
момент t, находясь под действием заданных сил F1. К концу следую-
щего промежутка времени т, т. е. в момент j—т, система при сов-
местном действии активных сил и реакций связей приходит в неко-
торую новую конфигурацию С; если бы в момент t связи отсутство-
вали и точки системы в течение того же промежутка времени -с
двигались свободно под действием заданных сил Fit то их конфи-
гурация С* к моменту была бы, вообще говоря, отлична
от С.

Различие между конфигурациями С* и С мы можем приписать
принуждению, которое оказывают связи на материальную систему
и которому, в силу принципа равенства действия и противодей-
ствия, должна соответствовать совокупность усилий или давлений,
испытываемых связями или, лучше сказать, реализующими связи мате-
риальными телами (шарниры, направляющие, опоры, подвесы и т. д.).
Здесь необходимо дать физически обоснованное математическое опре-
деление такого принуждения, а следовательно, и совокупности про-
тивоположных усилий или давлений на связи, ограничиваясь хотя
бы выражением их суммарного эффекта.

Заметим прежде всего, что эмпирическое понятие принужде-
ния от связей или соответствующего давления на связи заключает
в себе распределительное свойство в том смысле, что принужде-
ние в целом, необходимое для изменения движения нескольких
материальных точек, можно рассматривать как сумму принуждений,
которые требуются для каждой точки в отдельности. Уточним
прежде всего это понятие для случая только одной материальной
точки Р.

Итак, пусть Q, Q* будут два различных положения, которых
достигает одна и та же точка Р за один и тот же промежуток времени
от t до /-ф-т, исходя из одного и того же состояния движения,
в действительном движении со связями, или, как будем также гово-
рить, в' естественном движении и в воображаемом свободном
движении. Тогда принуждение, вызываемое связями, обнаруживается
в том, что положение Q не совпадает с положением Q*, т. е. прину-
ждение зависит от отрезка QQ* и должно быть принято равным
нулю, если Q будет совпадать с Q*, так как в этом случае все будет
происходить так, как если бы связей не было.

С другой стороны, целесообразно принять это принуждение про-
порциональным массе точки, так как для того, чтобы изменить дви-
жение точки, т. е. для того чтобы сообщить точке ускорение,
необходимо при прочих равных условиях некоторое усилие, тем боль-
шее, чем больше соответствующая масса. В силу этих соображений
оказывается приемлемым соглашение оценивать в этом случае при-
нуждение в виде произведения mQQ*2 массы т точки на квадрат
расстояния от Q до Q*.
В более общем случае, для системы из Л/ материальных точек,
мы назовем принуждением (не отрицательную) скалярную величину,

v

г=	(1)

1=1

где есть масса произвольной точки Pif a Qit Q! обозначают поло-
жения, достигаемые ею к концу заданного промежутка времени, начи-
ная от одного и того же состояния движения, первое — в естествен-
ном движении, а второе — в воображаемом свободном движении.

Важно отметить, что такое принуждение зависит, помимо связей
и действующих на систему сил, от промежутка времени, к которому
оно относится, и от начального состояния движения.

3.	Принцип Гаусса. Для последующего необходимо выражению
принуждения (1) придать явный вид, в предположении, что связи,
наложенные на систему, являются идеальными и двусторонними. Если
в качестве лагранжевых (избыточных) координат N точек Р; системы
примем соответствующие декартовы координаты t)i> относи-
тельно некоторой галилеевой системы отсчета, то связи, будут ли
они голономными или неголономными, могут быть выражены (т. I,
гл. XV, § 7) уравнениями вида

Вк — bk = 0 (k = 1, 2, ..., г), (2)

где каждое Вк обозначает линейную форму относительно проекций
Ег-, Q скоростей отдельных точек Pif а величины Ьк вместе
с коэффициентами только что указанных линейных форм зависят от
конфигурации точек Pit т. е. от координат Ц и, возможно,
от времени.

Для того чтобы выразить зависимость уравнений (2) от скоро-
стей, напишем эти уравнения в виде

Вк(р) — Ьк = О (6 = 1,2............г). (2')

С другой стороны, вспомним, что для всякой связи, не зависящей
от времени, соответствующее Ьк будет тождественно равно нулю, и,
независимо от того, будут или не будут Ьк равными нулю, виртуаль-
ные перемещения системы для любой конфигурации определяются
уравнениями

£?й(8Р) = 0	(6 = 1, 2, ..., г), (3)

где ВЙ(8Р) представляет линейную форму, которая получается из
Вк (©) путем подстановки вместо проекций $<, т]о Ц каждой из ско-
ростей соответствующих проекций 8;,:, 8т^, 8^ рассматриваемого
виртуального перемещения 8Р{.

Установив это, заметим, что так как скорости ф, допускаемые
связями для отдельных точек системы, связаны соотношениями (2'),
то соответствующие ускорения будут связаны уравнениями, которые
получатся из уравнений (2') дифференцированием по времени, т. е.
уравнениями

Вк{а) — ск{ч> |Р|0^0	(6 = 1, 2, ..., г). (4)

В этих уравнениях Вк обозначают все еще те. же линейные формы,
которые входят в равенства (2'), но выражены через i\{, Q вместо
£», Vi’	функции ск в отличие от Ьк зависят от конфигурации

системы и от времени, а также и от скоростей (но не от ускорений).

Представим себе теперь, как и в предыдущем пункте, что система
в момент t0 выходит из заданной конфигурации Со (в которой Q? есть
положение любой точки Р{) и с заданными скоростями ф°, конечно,
совместными со связями. Ускорения отдельных точек Р( в есте-
ственном движении должны удовлетворять уравнениям (4), в которые
вместо v, Р, t подставлены чР, Q°, Р, т. е. уравнениям

ВМ-сй(*°| 0°1^°) =0	(6=1, 2, ...» г). (4')

Но эти уравнения недостаточны для однозначного определения
а{, так как можно указать бесконечное множество систем ускорений,
которые им удовлетворяют; среди этих различных систем ускорений
ускорения ait соответствующие естественному движению, выделяются
тем, чт® они должны удовлетворять, кроме того, общему уравнению
динамики

N

5 (F, — mta^ -8/^ = 0

для всех виртуальных перемещений системы, т. е. для всех 8Pit
определяемых из уравнений (3).

Распределение ускорений, которое для рассмотренного выше
состояния движения Со, ©° будет также совместно со связями, но
не будет совпадать с .только что определенным естественным рас-
пределением а4, можно выразить через аг -]~8о^; эти ускорения должны
удовлетворять уравнениям

Вй(а + 8а) — сй(®°|0°|^) = 0	(6 = 1, 2, ..., г),

которые, если принять во внимание линейность Вк и (4'). приво-
дятся к виду

Вй(8а) = 0	(6=1, 2, ..., г). (5)

Сопоставляя эти уравнения с уравнениями (3), мы видим, что
вариации 8а< системы ускорений для значений ait совместных со
связями, векторно тождественны с виртуальными перемещениями,
благодаря чему мы можем сказать, что естественное движение опре-
деляется, вместо общего уравнения динамики, аналогичным уравне-
нием

— вд) -3^ = 0,	(6)

i=i

так как это уравнение справедливо для всех вариаций ускорений,
удовлетворяющих уравнениям (5).

Из интерпретации этого уравнения (6) и вытекает принцип Гаусса.

Чтобы показать это, сравним две конфигурации Q* и Q{, соот-
ветствующие одному и тому же начальному состоянию движения
с0 и v°. Первая из конфигураций Q* достигается в свободном дви-
жении, а вторая Q,- достигается за тот же промежуток времени т
при ускорениях af, совместных со связями. К концу этого проме-
жутка времени т, который потом мы будем рассматривать достаточно
малым, имеем

•Л

q; = qo+wo+ - F< + (3)>

2‘	(i=l, 2, ... /V),

где символ (3) означает некоторое количество третьего порядка
относительно т; отсюда, обозначая аналогично через (1) количество
первого порядка, получим

поэтому для принуждения, соответствующего переходу от свободного
движения к любому движению, совместному со связями, на основа-
нии равенства (1) получим выражение

Г = ^-(Т+(!)),	(7)

где

N

7 = S	(8)

<=1

После этого возьмем снова общее уравнение динамики (6), кото-
рое определяет среди возможных движений естественное, и покажем
прежде всего, что оно выражает условие минимума количества 7 для
естественного движения по сравнению со всяким другим движением,
для которого начальное состояние одно и то же, а система ускоре-
ний кинематически возможна.

Действительно, уравнение (6), так как F не зависит от а,
является не чем иным, как условием 87 = 0 стационарности 7, и мы
имеем здесь именно минимум функции 7, так как вторая вариация

N

827 — 2 mt ^ai' 8«i
i=i

существенно положительна.

Наконец, можно прямо проверить, что для естественного движе-
ния у принимает значение ?п, меньшее (и неравное) значения,
соответствующего какой-нибудь другой системе ускорений at,
совместных со связями. Для этой цели заметим сначала, что
ускорения естественного движения в любой момент /0 удовле-
творяют соотношениям (4'), которые (в тот же момент и для того
же состояния движения Q0, т>0) будут также удовлетворяться любой
системой ускорений, совместных со связями. Поэтому вариации
Да< = а{ — а<п) удовлетворяют уравнениям (5), а уравнение (6),
в частности, дает

(6')
i=i

Если теперь примем во внимание тождество

= — (F{ — т^) • Ла» + у mt

и уравнение (6'), то придем к равенству

п

I—Tn = S'«i(A®i)2,
i = i

из которого как раз и следует, что 7 больше во всех тех слу-
чаях, когда не исчезают все Да$, т. е. когда у не соответствует
естественному движению.

Заметив это, мы придем к искомому истолкованию уравнения (6),
если докажем, что при достаточно малом т вместе с 7 будет иметь
наименьшее значение и принуждение Г. Прежде всего, если наимень-
шее значение 7 равно нулю, то имеем соответственно = Ft,
т. е. естественное движение, соответствующее наименьшему значе-
нию у, совпадает со свободным движением; но тогда и принужде-
ние Г обращается в нуль, и так как принуждение, по определению,
не может быть отрицательным, то оно действительно имеет в этом
случае наименьшее значение.

Исключив этот случай и обозначив через 7П, Г„ значения, кото-
рые Имеют 7 .и Г в естественном движении, мы увидим, что мини-
мум 7П величины 7 непременно будет положительным. Если бы мини-
мум Г не был равен Г,(, то он был бы равен некоторому значению
< Гп и это последнее значение принуждения соответствовало
бы некоторому движению, совместному со связями, но отличному от
естественного; в этом движении величина 7 имела бы значение
Т1 > 7n- Это приводит, однако, к противоречию, так как, вычитая по-
членно два уравнения

г„=4(ъ.+(1))> г^Съ-НО),

мы придем к соотношению

Гп-г^^ь-ъ+а)).

в котором при допущенных выше условиях левая часть должна была
бы быть положительной, а правая, по крайней мере для т достаточно
малого, имела бы знак разности — 7t, т. е. была бы отрицательной.

Поэтому Г действительно имеет минимум одновременно с 7, что
и доказывает справедливость принципа наименьшего принуждения
или наименьшего давления, который мы можем сформулировать сле-
дующим образом: для материальной системы с двусторонними
связями без трения, находящейся под действием каких угодно
сил, естественное движение отличается от всех остальных,
совместных со связями, тем, что для него принуждение со сто-
роны связей, так же как и давление на связь, имеет наимень-
шее значение, если исключить свободное движение.

§ 2. Принцип ^прямейшего пути Герца

4.	Геометрические предпосылки. Пусть кривая задана в трех-
мерном пространстве, отнесенном к прямоугольным декартовым коор-
динатам, которые для однообразия будем обозначать через х1( х2, х3,
посредством ее параметрических уравнений хч = х, ($), где у, как
обычно, обозначает длину дуги. Как известно (т. I, гл. I, § 11),
кривизна с этой кривой определяется соотношением

з

9 V (d?x,,W
с ~ ’

»=1

к этому определению мы приходим, обращаясь к сферическому изо-
бражению или к индикатрисе касательных и вычисляя предел отно-
шения угла смежности между касательными в двух смежных точках
к длине дуги, заключенной между ними.

Все это распространяется и на пространство с каким угодно
числом измерений п, при существенном условии, что речь идет об
евклидовом пространстве, так как справедливость указанного вывода
зависит от того обстоятельства, что квадрат расстояния между двумя
бесконечно близкими точками х7 и x,-\-dx,t (линейный элемент про-
странства) определяется евклидовой квадратичной формой

п

4 = 1

Таким образом, для квадрата кривизны какой-нибудь кривой
рассматриваемого пространства мы получим выражение

Пусть дана материальная система из N точек Р{‘, будем пред-
ставлять ее конфигурацию в евклидовом пространстве Е, имеющем
п = З/V измерений, полагая

хз«-2 —*3f-i =/"W, Хы = Ут£1

(/=1, 2, ... ,N).	(10)

Последовательность оо1 конфигураций, принимаемых системой
в любом ее движении х7 = х7(/), будет представлена оо1 точек кри-
вой пространства Е, которая называется траекторией системы;
легко видеть, что квадрат элемента дуги такой траектории пропор-
ционален живой силе системы, если допустить предположение, что
пространство является евклидовым. Действительно, равенство

ds2 = dt2 2 x7
»=i

приводится в силу формул (10) к виду

N
ds2 == dt2 £ mt (К- + +1-) = 2 dt2 T.
i = l

5.	Принцип прямейшего пути. Предположим, что связи не зави-
сят от времени и что активных сил нет; следовательно, материальная
система движется исключительно под действием связей (движение по
инерции).

В этом случае можно дать замечательное геометрическое истолко-
вание тому обстоятельству, что принуждение Г (п. 3) имеет минимум
для действительного движения; это истолкование указано Герцем.

Чтобы прийти к этому истолкованию, заметим, что выражение у,
определенное из формулы (8), которое, как мы видим, имеет мини-
мум вместе с Г, приводится при отсутствии активных сил к виду

N

т=2 тА
или в силу формул (10) к виду

7 = 2^

Тождественно имеем

;	(v=i, 2,...,«);

v	ds2 'ds v	"

с другой стороны, из тождества

Ж)-1

V = 1

путем дифференцирования по s получим

п

TCI d2x, dx,,_ .

Zj~d& ds ~U’
4 = 1

поэтому, вспоминая формулу (9), мы придем к новому выражению
для у:

у = c2s4 -ф- s'2.	(8 х)

После этого вернемся к функции 7, которая при заданном состоя-
нии движения имеет минимум в естественном движении по сравнению
со всеми другими, кинематически возможными движениями, и заметим,
что так как речь идет о связях, не зависящих от времени, то соот-
ветствующие уравнения (2х) будут обязательно однородными (Ьк = 0)
и, кроме того, коэффициенты при vj,-, Ц не будут зависеть от t.
Поэтому если эти уравнения умножить на dtlds, то они приведутся
относительно dH^ds, di^jds, d^/ds, т. е., на основании соотноше-
ний (10), относительно dxjds к линейным однородным уравнениям
с коэффициентами, зависящими только от координат х„ т. е. от
положения системы.

Воспользовавшись теперь представлением движения в евклидовом
пространстве Е конфигураций, мы увидим, что связи имеют исклю-
чительно геометрический характер, т. е. накладывают ограничения
только на траектории, но не на закон движения вдоль траектории;
этот последний для каждой из возможных траекторий можно выбрать
произвольно, не нарушая связей. Так как 7 имеет минимум в есте-
ственном движении в сравнении со всеми возможными движениями,
совместными со связями, то выражение (8х) для 7 (в котором s имеет
значение, определяемое рассматриваемым состоянием движения) позво-
ляет сделать следующие заключения:

1°. s = 0, т. е. естественное движение является равномерным,
Как это можно вывести и из интеграла живых сил (гл. V, и, 30),
который при отсутствии активных сил сводится к следующему:

Т = 1 s2 = const;

2°. с2 имеет наименьшую допускаемую связями величину.

Следовательно, мы можем сформулировать упомянутый выше
принцип прямейшего пуши так: для материальной системы
с двухсторонними идеальными и не зависящими от времени свя-
зями, на которую не действуют активные силы, естественное
движение, начиная от какого-нибудь состояния движения, про-
исходит с постоянной скоростью и так, что во всякий момент
кривизна траектории в представляющем пространстве Е имеет
минимум по сравнению со всеми другими траекториями, совмест-
ными со связями. Эта формулировка представляет собою замечатель-
ное распространение принципа инерции (т. I, гл. VII, п. 30) с эле-
ментарного случая свободной точки на движение материальных систем
с какими угодно связями (при отсутствии активных сил и трения).

Важно добавить, что предположение об отсутствии активных сил
с точки зрения Герца не составляет ограничения, так как Герц исхо-
дит из основного взгляда, что из механики должно быть изгнано
понятие о силе, как понятие примитивное, и все должно быть све-
дено к действию связей. Следовательно, по Герцу, силы должны
входить только в виде реакций связей.

§ 3.	Принцип Гамильтона

6.	Синхронно-варьированные движения. Во многих случаях оказы-
вается полезным сравнивать с заданным движением М материальной
системы так называемые синхронно-варьированные движения:), обо-
значая этим названием те воображаемые движения (бесконечно
близкие к сравниваемому движению), в которых во всякий момент t
полржения отдельных точек системы задаются величинами
где Pi соответствует движению М, а 8Л\ означает какое-нибудь
одно из виртуальных перемещений, относящихся к рассматриваемому
моменту (и к конфигурации Р().

Это перемещение 6Р,- в любой момент можно выбрать произ-
вольно, но связи системы при этом, конечно, не должны быть нару-
шены; после того как этот выбор сделан, 8Р4 будут функциями
времени, и потому можно считать определенными также и векторы
dbPildt, если 8Pi — правильные функции.

Итак, предположим, что для материальной системы определены
какое-либо движение М и его синхронно-варьированное движение
и пусть q есть какая-нибудь величина, скалярная или векторная, свя-

г) Мы употребляем терминологию, введенную Маджи в его Principle di
Stereodinamica, Milano, Hoepli, 1903, г. II,
занная с движением системы, например скорость любой точки Pt
или полная живая сила Т и т. д. Обозначим через t>q вариацию или
разность (бесконечно малую), которая в любой момент имеется между
значениями q в варьированном движении Ма и в действительном дви-
жении М.

Для ближайших выводов важно сейчас же заметить, что для скоро-
стей имеем

8^ = 8?==48^	(/=1, 2, ..., 7V). (11)

В справедливости этих соотношений мы можем убедиться или чисто
аналитическим путем, полагая, что в силу самого определения вир-
туального перемещения операция 8 и дифференцирование по времени
суть операции, независимые между собой, и потому обладают свой-
ством переместительности, или менее формальным и более прямым путем,
замечая, что в любой момент t положения одной и той же материаль-
ной точки системы в движениях М и Afs суть Pt и Pt -j- 8/\, так что
для варьированной скорости, дифференцируя Р<-]-8Р4 по времени t,
получим выражение

^+*4=^+^	2,	л?);

вычитая отсюда мы и получим соотношения (11).

Отметим также, что для живой силы

4 = 1

непосредственно находим

N

(12)
4=1

7.	Вариационная формула Гамильтона. Вернемся снова к материаль-
ной системе, подчиненной связям, указанным в п. 3, и возьмем опять
общее уравнение динамики

N

2 (Р4-ад)-8^ = 0,	(13)

i=i

которое напишем в виде

N

L' — 'St • 8Р< = 0;	(13')

i=i

N

здесь для виртуальной работы	активных сил взято обозна-

4 = 1

чение L' вместо прежнего обозначения 8Z,, чтобы сохранить символ 8
для вариаций, испытываемых отдельными механическими величинами
при переходе от естественного движения к какому-нибудь синхронно-
варьированному движению. Важно теперь же отметить, что только
в том случае, когда действующие силы имеют потенциал U, виртуаль-
ная элементарная работа L' может быть представлена в виде прира-
щения некоторой механической величины при переходе от сравнивае-
мого движения к синхронно-варьированному движению: L' ==ZU.

Если при помощи начальных условий выбирается какое-нибудь
движение М системы, то оно, как мы знаем, в любой момент должно
удовлетворять уравнению (13') при всех виртуальных перемещениях ьР(.
В частности, уравнение (13') остается в силе в любой момент для ZPit
соответствующих какому-нибудь синхронно-варьированному движе-
нию М8, во время которого эти 8Рг-, а вместе с ними элементарная
работа L', будут определенными функциями времени. Если теперь
проинтегрировать уравнение (13') между двумя любыми моментами /0
и то получится уравнение

t,	N t,

f L'dt — ^т< J а,-• 8Р< Л = 0.	(14)

ta	4 = 1

Интегрируя по частям и принимая во внимание соотношение
aidt^zdVi и уравнения (11), получим

J at • ZPidt= — J* • 8^ dt-,

на основании соотношения (12) уравнение (14) можно написать в виде

t,	N

J (8Т+Г) dt = J mt • 8₽4.	(14')

ta	4 = 1

Заметим теперь, что, по самому определению виртуальных пере-
мещений, они переводят систему из одной заданной конфигурации,
совместимой со связями, в другую, тоже допускаемую связями в тот
же самый момент-, поэтому нулевое перемещение §Pt = 0 следует
рассматривать как виртуальное, каков бы ни был момент, к которому
оно относится. Можно представлять себе по отношению к естествен-
ному движению М синхронно-варьированное движение Ма таким, что
ЪР, исчезают в крайние моменты времени /0 и tit но остаются совер-
шенно произвольными в любой другой момент рассматриваемого про-
межутка времени, лишь бы они были правильными функциями /.
Иначе говоря, из бесконечно большого числа синхронно-варьирован-
ных движений рассматриваются только те (составляющие также беско-
нечно большое число), которые имеют общие конфигурации
с естественным движением М в начале и конце промежутка вре-
мени.

Для всякого естественного движения, если синхронно-варьирован-
ные движения принадлежат к только что указанному частному классу,
уравнение (14) сводится к более простому виду

J (3T-f-£')<ft=O;	(15)

К

это и есть та вариационная формула, которая выражает так называе-
мый принцип Гамильтона.

До сих пор мы видели только, что уравнение (15) является необ-
ходимым следствием общего уравнения (13) динамики. Для оправда-
ния названия принципа, приписываемого уравнению (15), мы должны
согласно п. 1 доказать и обратное предложение.

Предположим, что для естественного движения М вариационная
формула (15) справедлива по отношению к синхронно-варьированным
движениям, имеющим те же конфигурации в моменты t0 и ft, что
и естественное движение М; нужно доказать, что в этом случае для
естественного движения справедливо общее уравнение динамики, т. е.
что уравнение (15) определяет движение системы.

Мы дадим это доказательство в п. 9, после того как в следую-
щем пункте изложим некоторые вспомогательные соображения.

8.	Аналитические предпосылки. Задав для действительного пере-
менного t промежуток времени (t', t") и взяв внутри него любое
значение t, всегда можно построить многочлен /(/), который при t — t
принимает заданное значение и обращается в нуль любого
даперед заданного порядка п для каждого из значений / и /" на
концах промежутка. Таким, очевидно, будет многочлен

7	7 (t — t')» (t"~t)n‘

Выбрав промежуток [Zo, JJ, заключающий внутри себя [/', t"], так
что	рассмотрим функцию, которая в этом новом про-

межутке будет равна нулю вместе со своими первыми п производными
при и	а в промежутке [f, t"] совпадает с /; таким

образом получим в промежутке [70, функцию, непрерывную вместе
со своими первыми п — 1 производными.

Это простое замечание пригодится нам для построения частного типа
синхронно-варьированных движений по отношению к любому движе-
нию М системы в заданном промежутке времени.
Проекции 8т)4, ЗСг виртуальных перемещений aPi в любой
момент определяются некоторой системой линейных однородных урав-
нений

N ,

— (аы Ч- аш 8т|< ам 8С<) = 0	(1=1,2,..., N)'

й=1

поэтому для любого момента t и для любой соответственно возмож-
ной конфигурации наиболее общие выражения вариаций 8$й Вт]*, 8^
можно представить в виде линейных комбинаций с неопределенными
множителями X. Чтобы ввести синхронно-варьированное движение для
заданного движения М, достаточно указать выражения множителей X
в функции времени t.

Если теперь, выбрав внутри промежутка времени [70, произ-
вольный момент t, включим это t в какой-нибудь частичный проме-
жуток [t', t"\ и из всех виртуальных перемещений, относящихся к мо-
менту t, выберем одно, соответствующее значениям X произвольных
множителей, то мы всегда сможем, как было сказано выше, предпо-
ложить, что эти множители определены как непрерывные функции
времени и притом так, что при t = t они принимают как раз значения X,
и потому дают заданное виртуальное перемещение и, наоборот, будут
постоянно равны нулю при t^>t" (вместе со своими производ-
ными до какого-нибудь наперед установленного порядка).

Синхронно-варьированным движением, которое таким образом опре-
делено, мы воспользуемся в следующем пункте.

9.	Вывод ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИЗ ВАРИАЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ
Гамильтона. Как было сказано в п. 7, мы должны доказать, что если
для определенного движения М системы, по отношению ко всем
синхронно-варьированным движениям, имеющим одни и те же конфи-
гурации на концах промежутка, справедливо (15), то в силу этого,
как необходимое следствие, будет справедливо и общее уравнение
динамики (13).

Для этой цели заметим сначала, что так как виртуальные пере-
мещения предполагаются равными нулю в моменты времени Го и
tu то уравнению (15) можно придать вид (14'), после чего, выполнив
снова в обратном порядке формальные переходы п. 7, мы возвратимся
к уравнению (14), которое можно написать в виде

Ja^=O,	(14")

где для краткости мы обозначили через А левую часть общего урав-
нения динамики (13') или (13). Таким образом, нам надо доказать,
что если имеет место уравнение (14") при каком-нибудь выборе
синхронно-варьированного движения с теми же самыми конфигура-
циями на концах, что и в естественном движении, то А в любой
момент исчезает при каком угодно виртуальном перемещении (отно-
сящемся к рассматриваемому моменту и к конфигурации, принимаемой
системой в движении Ж).

Это есть простое следствие из того обстоятельства, что все аргу-
менты, от которых зависит А (силы, ускорения, виртуальные переме-
щения), суть непрерывные функции времени. Действительно, выбрав
один какой-нибудь момент t в промежутке (/0, /,) (открытый проме-
жуток) и задав какое-нибудь виртуальное перемещение 8Р4 (между
теми, которые относятся к моменту t и к одновременной 'конфигура-
ции системы в движении М), обозначим через А соответствующее
значение А, которое, как мы сейчас покажем, равно нулю. Из преды-
дущего пункта следует, что если заключить момент ? в некоторый
промежуток [/', t"], внутренний для промежутка (t0, ^), то можно
бесконечным множеством способов определить в функции от вре-
мени бесконечное множество виртуальных перемещений сю2 (для
последующих конфигураций системы в прямом движении М) и, сле-
довательно, можно определить синхронно-варьированное движение
так, чтобы для t=t0 и t=tt конфигурация системы совпадала с кон-
фигурацией в движении Ж; виртуальное перемещение при t = t будет
тождественно с заданным и будет исчезать при и t~^f. Соот-
ветственно этому А при t=t принимает значение А, а при
и будет равно нулю, так что уравнение (14") приведется к виду

V

J АЛ = 0.
t'

Так как вследствие непрерывности А к левой части применима фор-
мула о среднем значении, то можно также написать

(f' —Г)А* = 0,

где А* обозначает величину А, относящуюся к некоторому моменту t*,
заключенному между f и f. Поэтому имеем А* = 0, а так как это
имеет место, сколь бы малым ни был промежуток [/', f'j, то заклю-
чаем, переходя к пределу, что вследствие непрерывности А не может
не быть А — 0.

Таким образом установлена полная эквивалентность между об-
щим уравнением динамики (13) и вариационной формулой Гамиль-
тона, которой теперь уже на законном основании можно приписы-
вать название принципа.

Как уже указывалось в общем случае п. 1, формальное различие
между двумя уравнениями (13) и (15) дает возможность использовать
для составления уравнений движения то или другое из них, смотря
по тому, какое является более удобным.

26 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
Следует добавить, что формула (15), хотя и включает, в отличие от
уравнения (13), интегрирование по времени, однако имеет преимущество
благодаря большей краткости, так как помимо виртуальной работы L',
которая входит также и в уравнение (13) или (13'), содержит только
скорости, входящие неявно через посредство вариации 87' живой силы,
тогда как в уравнение (13) входят явно ускорения отдельных точек.

10.	Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает
особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на
материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении,
как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L' не отличается
от вариации (полного дифференциала) 8U, которую испытывает потен-
циал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-
ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство пере-
местительности операций варьирования и дифференцирования (8 и djdt),
а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования
по времени, мы будем тождественно иметь

Ц	б	Л

f (8Т4-£')Л = 8 f (Т+С7)Л=8 [ Qdt,

to	to

где опять появляется кинетический потенциал или функция Лагранжа 8
(гл. V, п. 40). Обозначив через S (главная функция Гамильтона,
см. п. 27) интеграл

t,	t,

J* (T-^U)dt=: f$dt,	(16)

to	to

мы можем придать принципу Гамильтона в этом случае следующий
вид:

8S = 0.	(15')

Для истолкования этого результата заметим, что интеграл S при-
нимает вполне определенное значение при всяком кинематически
возможном движении (естественном или фиктивном), определенном для
заданной системы от момента /0 до момента Заметим, что S есть
функция, зависящая уже не от переменных, а только от не-
которого числа функций и как раз от тех, которые входят в урав-
нения движения.

Далее, уравнение (15') выражает то обстоятельство, что вариация 8 S,
испытываемая этим интегралом при переходе от любого естественного
движения к какому угодно синхронно-варьированному движению
с теми же начальной и конечной конфигурациями, как и в естествен-
ном движении, равна нулю. Подобно тому, как в случае какой-нибудь
функции f от нескольких переменных х мы заключаем, что обращение
в нуль полного дифференциала от f определяет те системы значе-
ний х, для которых функция f принимает стационарное значение»
уравнение (15'), пользуясь основными понятиями вариационного исчи-
сления, можно истолковать следующим образом: для. материальной
системы с двусторонними связями без трения, находящейся под
действием консервативных сил, любое естественное движение можно
рассматривать как движение, для которого интеграл S имеет
стационарное значение по отношению ко всем, синхронно-варьи-
рованным движениям между теми же самыми начальной и конеч-
ной конфигурациями.

Это и есть формулировка принципа Гамильтона для консерватив-
ных систем.

Как в случае функций от многих переменных природа второго
дифференциала dPf позволяет определить, при каких дальнейших
условиях имеет место максимум или минимум, так и в вариационном
исчислении можно рассмотреть аналогичный вопрос, обращаясь ко вто-
рой вариации *).

Далее, в случае принципа Гамильтона можно доказать, что при
достаточно малых промежутках времени интеграл S для естественного
движения не только принимает стационарное значение, но и имеет
минимум* 2).

Мы не будем здесь доказывать этого. Отметим только следующее
обстоятельство: когда при переходе к синхронно-варьированным дви-
жениям начальный и конечный моменты t0 и не изменяются, то
интеграл S в течение рассматриваемого движения отличается только
на постоянный множитель (tx— /0) от среднего значения [8] функции
Лагранжа; написав

(8] = [Л — l~U\,

мы увидим, что принцип Гамильтона в случае консервативных сил
можно высказать также в другой форме: для естественного движе-
ния разность между средними значениями кинетической и потен-
циальной энергии принимает стационарное (именно, минимальное)
значение по сравнению с синхронно-варьированными движениями
с теми же начальной и конечной конфигурациями.

С физической точки зрения, это свойство стационарности (и мини-
мума) содержится как частный случай в том принципе распреде-
ления энергии, который имеет место в статистической механике и,
в частности, в кинетической теории газов3), в том смысле, что
естественное движение, если сравнивать это движение с другими
кинематически возможными и имеющими те же конфигурации для t == t0

Э См., например, Лаврентьев и Люстерник, Курс вариационного
исчисления, 1950.

2) Ср., например, G. D a rb о u х, Theorie des surfaces, т. II, Paris, стр. 246.

3) См. J. Н. J е а и s, The dynamical Theory of gases, 2-е изд., Cambridge,
1921, стр. 359.
и t=tx, определяется как движение, при котором среднее значение
разности между двумя видами энергии, кинетической и потенциальной,
имеет наименьшее значение. В явлениях, в которые входит большое
число элементов, так что оказываются полезными только средние зна-
чения, наблюдается аналогичная тенденция, в некотором смысле даже
более подчеркнутая, в отношении распределения энергии между всеми
различными степенями свободы, которыми обладает система.

Отметим, наконец, как из того же определения (16) следует, что
вычисление S предполагает знание движения, о котором идет речь,
и в общем случае требует одной квадратуры. Не лишено интереса
замечание, что, если известен полный интеграл V (д 111 ж) уравнения
Гамильтона—Якоби, что, как мы знаем, позволяет определить общее
решение уравнений движения (предыдущая глава, п. 35), квадратура
выполняется. Мы отложим доказательство этого положения до п. 26,
где речь будет идти о лагранжевых системах общего вида.

11.	Применение принципа Гамильтона к выводу уравнений движе-
ния. Возьмем снова принцип Гамильтона в его общей форме (15) и
применим его к такой материальной системе, для которой элемен-
тарная работа L' активных сил и вариация кинетической энергии 8Г
при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь
синхронно-варьированному движению между одними и теми же кон-
фигурациями в начале и конце промежутка времени выразятся в виде

п	п

=	=	+	(17)

Л = 1	Л=1

где и. суть бесконечно малые произвольные функции времени, подчи-
ненные только одному условию: они должны обращаться в нуль
в моменты tQ и tv Непосредственно ясно, как эти предположения
подсказываются случаем голономной системы, отнесенной к лагран-
жевым независимым координатам q{, q2, ..., qn, так как для такой
системы имеем (гл. V, п. 36)

L' = 2 Qfa,	(18)

Л = 1

а вариацию 8Г живой силы, выраженную в функции от q и q, на
основании свойства переместительности операторов 8 и djdt можно
написать в виде

<19>

Вариации <>qh обращаются в нуль при t=t0 и t=tt, так как они
соответствуют синхронно-варьированному движению, для которого
начальная и конечная конфигурации совпадают с соответствующими
конфигурациями естественного движения.
Предполагая, что выполняются равенства (17), из принципа Гамиль-
тона можно получить уравнение

ti п

J 2 {(Дй + Вь)	dt = 0.

А> »=i

Так как обращаются в нуль при t=t0 и t=tlt то, интегрируя
по частям, найдем

после чего можно написать

п

А> л=1

Рассуждение, совершенно аналогичное рассуждению п. 9, при-
водит к заключению, что функция под знаком интеграла должна
обращаться в нуль, а так как произвольны, то каждый множитель
при должен обращаться в нуль, т. е.

= (й = 1, 2, .... п) (а)

Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения
движения системы.

Для упомянутого выше случая голономной системы, сравнивая
уравнения (18) и (19) с уравнениями (17), найдем

Ah = Qh, Bh = ^-,Ch = ~	(h—1,2,

dqu dqh

и потому

d IдТ\ дТ	,,	1 о	•.

(6=1, 2, ... , л),
dt	dqh

т. е. уравнения (а) приводятся к уравнениям Лагранжа.

Естественно, что принцип Гамильтона можно применить к выводу
дифференциальных уравнений движения также и в более общих слу-
чаях; такими будут, например, уравнения движения систем с него-
лономными связями, изученные нами в § 8 гл. V, или, чтобы ука-
зать более конкретный случай, уравнения Эйлера для твердого тела,
закрепленного в одной точке и отнесенного, помимо чисто позицион-
йых координат 6, <р, <р, к проекциям р, q, г угловой скорости, т. е.
к трем линейным неинтегрируемым комбинациям производных 0, %
Мы не будем останавливаться на этом и ограничимся ссылкой на
классический трактат Кирхгоффа г), содержащий все, что касается
только что указанных уравнений Эйлера и их обобщений.

§ 4.	Вариационная формула Гёльдера. Принцип
стационарного действия

12.	Асинхронно-варьированные движения. Между естественным
движением М и каким-нибудь синхронно-варьированным движением Afg,
по определению, существует одно-однозначное соответствие положе-
ния s и времени, в силу чего всякой конфигурации Pt, принимаемой
системой в естественном движении М, соответствует одна вполне
определенная конфигурация	в варьированном движении Afg;

при этом предполагается, что обе конфигурации Pf и Р{ -J- 8Р< дости-
гаются системой в соответствующих движениях одновременно.

В более общем случае можно представить себе, что варьируется
также и время, в том смысле, что от синхронно-варьированного
движения Afg переходят к другому движению Ма, в котором кон-
фигурация Pt -f- ЪРЬ соответствующая 7Э1 в естественном движении М,
будет приниматься системой не в тот же момент t, но в варьирован-
ный момент 87, где через 8/ обозначено бесконечно малое прираще-
ние времени, которое изменяется от момента к моменту и, следова-
тельно, является произвольной (но правильной) функцией t. Такое
движение Ма по отношению к естественному движению М называется
асинхронно-варъированным движением.

По самому определению, всякому асинхронно-варьированному дви-
жению Ма однозначно соответствует синхронно-варьированное дви-
жение Ms, имеющее ту же траекторию и отличающееся от него только
законом изменения во времени.

Как и в п. 6 для синхронно-варьированных движений, важно
теперь обозначить специальным символом бесконечно малое прираще-

J) Kirchhoff, Vbrlesungen liber math. Physik; Mechanik; Leipzig, 1903,
лекции VI и XIX. См. также Т. Levi-Civita, Forma mista di equazioni del
moto che conviene ad una particolare categoria di sistemi meccanici, Rend.
Acc. Lencei (5), r. XXIV2, 1925, стр. 235 — 248, где, между прочим, рассуж-
дения Кирхгоффа представлены в векторной форме.

Густав Роберт Кирхгофф родился в Кенигсберге в 1824 г., умер в Бер-
лине в 1887 г. Преподавал последовательно в университетах Бреславля,
Гейдельберга и Берлина и был одним из крупнейших специалистов своего
времени по математической физике. Известен тем; что дал теоретические
основы спектрального анализа и вместе с Бунзеном разделяет заслугу первого
его практического применения. Классическими являются также и его законы
о распределении электрических токов в сетях, исследования, относящиеся
к принципу Гюйгенса, и принадлежащая ему теория упругих стержней и
пластинок. Его лекции по математической физике, собранные в четырех
томах, первый из которых (только что цитированный) был отредактирован
лично им самим и представляет собою полный трактат по механике, еще
и сегодня могут служить примером осторожности и точности изложения.
ние, которое испытывает какая-нибудь величина q, скалярная или
векторная, относящаяся к движению системы, при переходе от есте-
ственного движения М к любому асинхронно-варьированному дви-
жению Ма. Чтобы избежать смешения в обозначениях, используем
здесь символ 8*, отметив, что, по определению, тождественно имеем
8*Pf = 8Pi; поэтому и в более общем случае 8*^ не отличается от 87
всякий раз, когда q будет исключительно позиционной величиной.

Заметим, кроме того, что между dt, дифференциалом времени
в естественном движении Ж, и 8/, бесконечно малым приращением,
характеризующим связь между соответствующими моментами времени
в асинхронно-варьированном движении и в движении М, существует
соотношение переместительности

8<И=Ж

Действительно, соответствующие друг другу моменты времени
в движениях М и Ма равны t и ta = t-\-bt, а их дифференциалы
равны dt и dta = dt-\- dftt; так как, по самому определению, вариа-
ция %dt равна разности dta — dt, то она как раз совпадает с dit.

Но в отличие от того, что имеет место для 8, оператор 8*, вообще
говоря, не обладает свойством переместительности с дифференциро-
ванием по времени, как это можно утверждать, оценивая прираще-
ние 8* скорости чц любой точки Pi системы. Так как в движе-
нии Ма положение	принимается точкой Р{ в момент 8/,

то из самого определения скорости следует

®< + 8*®» =

djPt + bPi).
d(t-\- Ы) ’

разделив числитель и
переменной, найдем

знаменатель на дифференциал dt независимой

/,>+4№‘

+ 8*0,.=

отсюда, если примем во внимание, что dlbP^jdt есть не что иное,
как 8®4 в синхронно-варьированном движении, связанном с движе-
нием Ма, и что с точностью до бесконечно малых порядка выше
первого имеем

——=!—

1 + ~ Ы	dt

at

заключаем, пренебрегая еще одним членом второго порядка, что

8*^ = 8^ — Zt.

(20)
Пользуясь этим тождеством, можно найти для вариации живой силы
Т= у • Vt выражение
4 = 1

8*7’= 8Г—(21)
аг	' '

которое наравне с выражением (20) для 8*^ дает 8*?1 в виде суммы
двух слагаемых, первое из которых есть приращение, которое имела
бы живая сила Т в синхронно-варьированном движении на той же
самой траектории Л4а, а второе появляется благодаря асинхронности.

13.	Принцип стационарного действия. Возьмем снова формулу (15),
выражающую принцип Гамильтона, и подставим в нее вместо вариа-
ции 87' выражение, которое получается для нее из формулы (21).
Таким образом, мы получим уравнение

Л

|(8*7'4-27’-^-8^4-Г)л=О,	(22)

определяющее характеристическое свойство любого естественного
движения по отношению к совокупности всех асинхронно-варьиро-
ванных движений. Это уравнение приобретает особо наглядную
форму, если категория асинхронно-варьированных движений, которую
надлежит рассматривать, ограничивается подходящим выбором беско-
нечно малой функции 8/ от t.

Условимся рассматривать здесь только те асинхронно-варьирован-
ные движения, для которых выполняется условие

8*7'= Г.

(23)

Эти асинхронно-варьированные движения называются изоэнерге-
шическими, так как в случае консервативных сил с потенциалом U
уравнение (23) принимает вид

8* (Г— Ц) = 0

и выражает то обстоятельство, что при переходе от естественного
движения к асинхронно-варьированному полная энергия остается не-
изменной.

С другой стороны, важно отметить, что уравнение (23) не накла-
дывает никаких ограничений на выбор траектории асинхронно-варьи-
рованного движения или, если угодно, соответствующего синхронно-
варьированного движения. Действительно, как бы ни были заданы 8Р(
в функциях от времени, уравнение (23), присоединенное к уравне-
нию (21), определяет в функции от t величину d(bf)ldt и, следова-
тельно, определяет посредством одной квадратуры само 8Z.

Поэтому уравнение (22), если его применять только к асинхронно-
варьированным изоэнергетическим движениям, сохраняет, без ограни-
чения общности, свою эквивалентность принципу Гамильтона, выра-
женному, как мы знаем, уравнением (15), поскольку оно имеет место
для всех синхронно-варьированных движений.

Теперь, сохраняя предположение (23), приводим уравнение (22)
К виду

[ 2^8*7’4-7’-^-8^d/ = O,

*0

а так как количество под знаком интеграла есть не что иное, как
8*(27’^) и оператор 8*, как обладающий свойством распределитель-
ности относительно суммы, необходимо обладает свойством переме-
стительности с операцией интегрирования, то можно написать

8*А = 0,	(24)

где положено* 1)

t,

А = 2 J Т dt.	(25)

Величина А, определяемая формулой (25) для всякого возможного
движения рассматриваемой материальной системы, носит название
действия', уравнение (24) выражает то обстоятельство, что для
любого естественного движения действие имеет стационарный
характер по сравнению со всеми асинхронно-варьированными изо-
энергетическими движениями.

Обратно, если для некоторого движения М справедливо вариацион-
ное условие (24) по отношению ко всем асинхронно-варьированным
изоэнергетическим движениям, то достаточно провести в обратном

9 Чтобы отдать себе Готчет формальным путем в переместительном
свойстве оператора Ь* относительно операции интегрирования, заметим, что
можно бесконечным множеством способов ввести в выражение А, в виде
переменной интеграции, вместо t вспомогательный параметр X, который, в то
время как t изменяется от ta до ZI; будет изменяться, все время возрастая,
от 0 до 1. В силу этого выражение А принимает вид

1

А = 2 f

J ак

о

а так как пределы теперь постоянны, то варьирование применяется исклю-
чительно под знаком интеграла, так что получается

1

8*А = 2 f

J \ d\ 1 dk /

о

теперь достаточно снова взять t за переменную интегрирования, чтобы
получить желаемый результат.
порядке выполненные ранее рассуждения, чтобы убедиться, что для М
имеет место уравнение (22), т. е. справедлив принцип Гамильтона,
так что мы имеем здесь естественное движение рассматриваемой
системы.

Эта двойная формулировка, определяющая естественное движение
по сравнению с асинхронно-варьированными изоэнергетическими дви-
жениями, и составляет так называемый принцип стационарного
действия', в только что указанной общей форме, обнимающей также
и случай неконсервативных сил, формулировка этого принципа при-
надлежит Гёльдеру1).

Что же касается механического истолкования действия А, то за-
метим, что если написать его в виде

А = 2(^-^[Т],

то оно будет равно удвоенному произведению продолжительности
движения на среднюю величину живой силы', если, наоборот, примем
во внимание известное выражение живой силы посредством скоростей,
то найдем

п	п

( ‘OidPi = '^lmi f VidSi,

»=1 /	i=l /

‘о

где dsi означает элемент дуги траектории любой точки Р{.

Необходимо отметить, что впервые Мопертюи2) ввел понятие
действия для случая одной только материальной точки с массой т,
относящееся к любой дуге траектории s в виде mvs. Показав не-
удобство этой оценки действия, Эйлер подставил вместо нее, тоже
для случая одной только точки, вышеуказанный интеграл, который
потом был обобщен на системы какого угодно числа точек Лагранжей.

Заметим, наконец, что вычисление действия А, как это следует
из его определения (25), предполагает знание движения, к которому
оно относится, и, вообще говоря, требует одной квадратуры. Но
аналогично тому, что имеет место для функции S Гамильтона (п. 10),
можно избежать выполнения этой квадратуры, если известен полный
интеграл W (q | ж) соответствующего уравнения Гамильтона Н = Е
(п. 38 предыдущей главы).

Доказательство этого последнего утверждения мы отложим также
до п. 26, когда мы обратимся вообще к какой угодно лагранжевой
системе с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени.

Ч Ueber die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis, GiJtt. Nachr.', 1896,
стр. 122.

?) Пьер Луи Мопертюи родился в С.-Мало в 1698 г., умер в Базеле
в 1759 г. Член Парижской академии наук, он был приглашен Фридрихом II
к руководству Берлинской академией. Занимался астрономией и механикой.
Его сочинения изданы в четырех томах.
14.	Случай голономной системы со связями, не зависящими от
времени и с консервативными силами. В предположении консервативных
сил принцип стационарного действия допускает следующую специаль-
ную формулировку, аналогичную той, которая была указана без дока-
зательства в п. 10 для принципа Гамильтона; для голономной системы
со связями, не зависящими от времени, соответствующее действие
для какого-нибудь естественного движения между двумя доста-
точно близкими конфигурациями будет не только стационарным,
но и минимальным по сравнению с тем, которое имелось бы для
всякого асинхронно-варьированного изоэнергетического движения.
Здесь мы также, чтобы не слишком задерживаться, откажемся от
доказательства этого утверждения1).

15.	Геометрическая интерпретация принципа стационарного дей-
ствия. Обратимся еще раз к голономной системе со связями, не зави-
сящими от времени, для которой величины qit q2, ...,qn составляют
систему независимых лагранжевых координат, и, как это уже не раз
делалось нами ранее, представим соп конфигураций точками
абстрактного пространства п измерений, в котором величины q истол-
ковываются как самые общие координаты. В атом пространстве можно
условно определить линейный элемент или элементарное расстоя-
ние ds между двумя любыми бесконечно близкими точками qh и
+ полагая

ds2= S <hibdqhdqk,	(26)

Л = 1
fc=i

где ahk суть такие функции от q, конечные и непрерывные вместе
со своими первыми и вторыми производными, что квадратичная форма
в правой части будет определенной положительной.

Как известно из элементов дифференциальной геометрии, от выбора
этого линейного элемента зависят определение длины какой угодно
линии (конечной) и остальные основные соотношения (относящиеся
к углам, площадям и т. д.), которые позволяют установить всю
метрику рассматриваемого пространства. Абстрактное пространство,
для которого установлен линейный элемент (26) или, как обычно
принято говорить, в котором установлено мероопределение, называется
метрическим многообразием и будет нами обозначаться через Vn.

В рассматриваемом здесь случае изображающего пространства
конфигураций голономной системы элементарный пример одной един-
ственной точки, свободной или удерживаемой на поверхности или на
кривой, подсказывает особый выбор мероопределения, который ока-
зывается очень удобным также и в общем случае. Если масса точки
предполагается равной единице, то элементарное расстояние ds между

О См., например, D а г b о u х, loc. cit. на стр. 403, п. 545 для элементар-
ного случая двух переменных и п. 568 для какого угодно числа переменных.
двумя бесконечно близкими положениями ее в физическом простран-
стве, где происходит движение, определяется равенством

ds2 = (х2 у2 -|- г2) dP,

или также, если введем живую силу Т, равенством

ds2=2TdP;	(27)

это и есть то мероопределение, которое удобно принять вообще для
изображающего пространства конфигураций какой угодно голономной
системы со связями, не зависящими от времени.

Всякое движение, посредством которого материальная система
переходит от некоторой начальной конфигурации Со к некоторой
конечной конфигурации С1г будет изображаться в определенном таким
образом метрическом многообразии Vn некоторой кривой, соединяю-
щей обе точки, изображающие две конечные конфигурации, и имею-
щей параметрическими уравнениями конечные уравнения, выражающие
закон движения ‘ qh = qh (/). Такая кривая, которая в случае одной
единственной точки, свободной или несвободной, тождественна с со-
ответствующей траекторией в физическом пространстве, в общем
случае называется динамической траекторией системы в том дви-
жении, о котором идет речь.

Рассмотрим динамическую (в этом смысле) траекторию с любого
естественного движения и сравним ее с аналогичной траекторией с„
какого-нибудь синхронно-варьированного движения с теми же конеч-
ными конфигурациями.

Так как виртуальные перемещения для какой угодно конфигурации
получаются путем прибавления к координатам произвольных бес-
конечно малых значений величин 8^, то мы непосредственно видим,
что траектория синхронно-варьированного движения будет произ-
вольной кривой, бесконечно близкой к кривой с и соединяющей
те же начальную и конечную точки. Если далее вспомним, что вся-
кое асинхронно-варьированное движение можно получить из синхронно-
варьированного, оставляя неизменными оо1 конфигураций и изменяя
только момент t прохождения системы через соответствующую этому
моменту конфигурацию в синхронно-варьированном движении на Z-pS/,
то заключаем, что также и для асинхронно-варьированных движений
(изоэнергетических или нет) динамические траектории будут вполне
произвольными кривыми, лишь бы они были бесконечно близкими
к кривой естественного движения и соединяли одни и те же концы.

Обратимся теперь к принципу стационарного действия

8*А = 0	(24)

и предположим, что силы, действующие на систему, консервативны.
При этом предположении имеет место уравнение энергии

T—U = E,	(28)
где, как мы уже знаем, при переходе от некоторого естественного
движения к какому-нибудь из асинхронно-варьированных изоэнерге-
тических движений, по отношению к которым удовлетворяется условие
стационарности действия (24), полная энергия остается неизменной
(8*£ = 0). Отсюда следует, что из выражения действия можно
исключить время и придать ему, таким образом, в метрическом мно-
гообразии Vn исключительно геометрическую форму. Действительно,
подинтегральное выражение (25) можно написать в виде

/2Г/27W

или на основании формул (27), (28) в виде
V2(U-\-E)ds;

в силу этого, подставляя вместо текущего переменного t длину дуги s,
мы должны распространить интеграцию на динамическую траекторию с
движения, к которому относится действие, или, точнее, на ту дугу
ее, которая заключена между начальной и конечной конфигурациями Со
и Ср Таким образом, будем иметь

А — J V2(U-\-E) ds;	(25')

с

а так как теперь исключено всякое влияние закона изменения коор-
динат с временем, то принципу стационарного действия можно при-
дать вид

ЗА = 0.	(24')

Кроме того, если примем во внимание, что, с одной стороны,
полная энергия Е остается неизменной при переходе от естественного
движения к какому-нибудь асинхронно-варьированному изоэнергетиче-
скому движению и что, с другой стороны, этот переход в метрическом
многообразии Vn равносилен замене динамической траектории есте-
ственного движения произвольной бесконечно близкой кривой с теми
же концами C(i, Clt то из принципа стационарного действия (24')
будем иметь, что динамическая траектория естественного движе-
ния между двумя указанными конфигурациями Со, при задан-
ном значении энергии будет некоторой кривой метрического
многообразия Vn, для которой криволинейный интеграл (25') имеет
стационарное (или минимальное, если обе конфигурации достаточно
близки) значение.

Обратно, всякая кривая метрического многообразия Vn, удо-
влетворяющая условию стационарности (24') по отношению ко всем
бесконечно близким кривым с одними и теми же концами, будет
динамической траекторией некоторого естественного движения.

Действительно,'достаточно представить себе, что на этой кривой
определен закон движения на основании уравнения (28), чтобы,
присоединяя к нему уравнение (24') и выполняя в обратном порядке
предыдущий переход, можно было возвратиться к принципу стацио-
нарного действия в его первоначальной форме (24).

Эти два утверждения (прямое и обратное), которые по отноше-
нию к метрическому многообразию Vn имеют исключительно геоме-
трический характер, выражают принцип стационарного действия для
голономных систем со связями, не зависящими от времени, и при
наличии консервативных сил.

16.	Движения по инерции (спонтанные движения) и геодезические
линии. В частном, но очень важном случае движений по инерции
(спонтанных движений), т. е. движений при отсутствии активных сил
U = const, динамические траектории, как было указано в п. 63 гл. V,
называются геодезическими линиями метрического многообразия Vn.
Из предыдущего пункта следует, что они определяются свойством
делать стационарным (или, в частности, минимальным при доста-
точно близких концах) криволинейный интеграл

J ds,	(25")

е

т. е. длину дуги, вычисляемую в согласии с установленной метрикой
для Vn.

Это заключение будет особенно наглядным в случае одной
материальной точки, удерживаемой на некоторой поверхности о
и движущейся без трения при отсутствии активных сил. В этом слу-
чае, как было уже отмечено в предыдущем пункте, метрическое
многообразие V2 будет тождественно с поверхностью а, на которой
удерживается точка, а динамическая траектория совпадает с кривой,
действительно пробегаемой точкой на поверхности о. На основании
соображений п. 44 гл. II динамические траектории движения точки
по инерции, названные геодезическими линиями поверхности, опреде-
ляются тем дифференциальным свойством, что соприкасающаяся пло-
скость в каждой точке траектории нормальна к поверхности а. К тому,
что было известно ранее, мы можем теперь добавить, что геодезиче-
ские линии обладают интегральным свойством, характеризующим их
и заключающимся в том, что всякая дуга геодезической линии имеет
стационарную, а для достаточно близких концов — минимальную
длину по сравнению со всеми кривыми, которые можно провести на
поверхности между теми же концами.

Возвращаясь к случаю какого угодно числа п степеней свободы,
вспомним замечание, сделанное в пп. 62, 63 гл. V, что для голоном-
ной системы со связями, не зависящими от времени, которая нахо-
дится под действием консервативных сил, траектории, вообще говоря,
зависят от 2п—1 постоянных, тогда как в случае движения по инер-
ции, и только в этом случае, число траекторий (геодезические линии
соответствующего метрического многообразия Vn) сводится к оо2™-2.
Это уменьшение числа произвольных постоянных мы можем доказать
иначе, обращаясь к вариационному уравнению (24'), которое, как
мы видели в предыдущем пункте, определяет все динамические траек-
тории. Всякий раз, когда потенциал U является ‘действительно функ-
цией, уравнение (24') содержит в виде параметра постоянную Е энер-
гии, но для движений по инерции, поскольку радикал ]/2 (t/-|- Е)
приводится к постоянной, оно принимает вид

8 J ds — Q,

С
в котором Е исчезает.

Из рассуждений п. 63 гл. V, основанных на теореме существова-
ния интегралов, следует, что 2и— 2 произвольными постоянными
можно воспользоваться для определения геодезической линии, наклады-
вая на нее условие прохождения через произвольно заданную точку
в произвольно заданном направлении. Добавим еще, что можно опре-
делить эти постоянные так, чтобы были удовлетворены какие-нибудь
другие 2п — 2 условий, лишь бы они были совместными между со-
бою; например, можно заставить геодезическую линию пройти через
две различные точки (достаточно близкие).

17.	Связка динамических траекторий. В случае любых консерва-
тивных сил (U ф const), когда совокупность динамических траекторий
зависит от 2/г—1 произвольных постоянных, совокупность тех из
них, для которых полная энергия имеет некоторое заданное значение Е,
зависит от 2я — 2 постоянных и имеет, следовательно, ту же крат-
ность, что и геодезические линии некоторого метрического «-мерного
многообразия Vn.

Такая частичная совокупность динамических траекторий называется
связкой-, при этом имеет место то замечательное обстоятельство, что
всякая связка динамических траекторий какой-нибудь динамиче-
ской задачи с консервативными силами, определяемая некоторым
мероопределением

&s2=2TdP,	(27)

тождественна с совокупностью геодезических линий некоторого
другого метрического многообразия, в котором линейный элемент
определяется равенством

dsX = 2(U-\-E)ds2.	(27')

Это непосредственно следует из равенств (24х), (25х), так как
вариационное уравнение 8А — 0, которое при Е — const определяет
связку траекторий для данной задачи, в силу уравнения (27х) можно
написать в виде

8 J dst = О,
е
и потому оно как раз определяет совокупность оо* 2 * * *»-2 геодезических
линий метрического многообразия с линейным элементом (27''').

18.	Приложение к геометрической оптике. Рефракция и мираж1),
а) Общие соображения. Закон рефракции. Принцип Ферма. В про-
зрачной однородной среде свет, как известно, распространяется по
прямым линиям с. постоянной скоростью. В случае изотропии, кото-
рый мы исключительно и будем иметь в виду, скорость всегда одна
и та же во всех направлениях и является, следовательно, характери-
стической постоянной среды.

,	р/	Для воздуха (приблизительно

!	/	также и для межпланетного

So |	/	пространства) эта постоянная,

как известно, равна в круглых
цифрах

с = 3 • 1010 см')сек,
или 300 000 км в секунду.

Если, наоборот, речь идет
о неоднородной среде, в кото-
рой показатель преломления
п, т. е. величина, обратная ско-
рости распространения света,
изменяется от точки к точке,
лучи света распространяются,

вообще говоря, не прямолинейно, но искривляются по закону, зави-
сящему от закона изменения п с изменением места, т. е. от природы
функции п(х, у, г), где х, у, z обозначают декартовы прямоуголь-
ные координаты любой точки в заданной среде.

Для определения хода лучей отправимся от элементарного случая
неограниченной среды, состоящей из двух частей So, 5 (фиг. 29),
каждая из которых в отдельности однородна, с различными показате-
лями преломления «0, п, и пусть а есть поверхность раздела. Как
в 50, так и в 5 всякий луч распространяется по, прямой линии, так
что при переходе из одной произвольной точки Ро среды So в какую-
нибудь другую, тоже произвольную, точку Р среды 5 луч следует
по пути, составленному из двух последовательных прямолинейных
отрезков P0Q (падающий луч) и QP (преломленный луч), где Q есть
некоторая, заранее неизвестная точка поверхности а. Известно, что
для преломления имеют место два экспериментальных закона Декарта1).

0 Т. L е v i-C i v i t a, Question! di Meccanica classica e relativista, Bologna,
стр. 149 —160.

2) Ренэ Декарт родился в Тюренне в 1596 г., умер в Стокгольме

в 1650 г. Известен не только как философ, но и как математик; пытался

построить чисто кинематическое объяснение физического мира и дал первое

систематическое изложение аналитической геометрии.
1.	Падающий луч P0Q и преломленный QP лежат в одной и той
же плоскости с нормалью г к поверхности а в точке Q.

2.	Положение точки Q на поверхности а таково, что углы i и г
падения и преломления, т. е. углы, образованные с нормалью соответ-
ственно падающим и преломленным лучами, ориентированные одина-
ково с нормалью в сторону распространения света, связаны с показа-
телями преломления уравнением

sin/__ п

sin г «о'

Оба эти закона заключаются в принципе Ферма '), согласно кото-
рому свет распространяется вдоль пути наименьшей продолжитель-
ности.

Действительно, если мы будем искать, каков должен быть путь
между точками Ро и Р, то прежде всего очевидно, что в каждой
из двух сред 50 и S, в которых скорость света постоянна, он
должен быть обязательно прямолинейным, так что все сводится
к определению на поверхности а точки Q таким образом, чтобы
сумма

двух промежутков времени, которые требуются свету для прохождения
отрезка P0Q со скоростью и отрезка QP со скоростью п~1 * * * * * *,
была наименьшей. Условие минимума требует, чтобы было 8/ = 0.
Если обозначим через р0 и р модули векторов PaQ и QP, то можно
будет написать

*== «оРо + «Р>

откуда, дифференцируя и принимая во внимание, что из равенств

P? = P0Qa, pa = Qp2
следует

Ро8Ро = PoQ • 8Q и р8р = — QP • 8Q,
заключаем, что условие-минимума определяется равенством

i) Пьер Ферма родился в 1608 г. близ Тулузы, умер в том же городе

в 1665 г. Был судьей и вел обширную переписку с великими учеными

своего времени. Известен открытиями в .теории чисел, был предшествен-

ником творцов аналитической геометрии и анализа бесконечных малых,

некоторые способы которых он применял к задачам геометрии и физики.

Полное собрание его сочинений издано в недавнее время (Париж, 1891—1922)

в пяти томах.

27 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди.
или также равенством

«о— — » — =Ж	(29)

0 Ро Р	'

где X есть скаляр, а W—единичный вектор нормали к поверхностна,
ориентированный, например, в сторону среды S.

Отсюда непосредственно следует компланарность трех векторов
P0Q, QP, N, т. е. первый закон Декарта.

Далее, если рассмотрим касательную QT к поверхности с в точке
Q на плоскости P0QP, направленную так, чтобы она составляла
острый угол с продолжением QP' падающего луча, то увидим, что
проекция на нее единичного вектора P^Qjp^ равна sin i, а проекция
вектора QP/p равна zt sin г, где знак плюс будет иметь место, если
преломленный луч образует острый угол, и минус — если тупой, т. е.
смотря по тому, находится ли этот луч с той же стороны относи-
тельно нормали ков точке Q, что и продолжение QP' падающего
луча, или нет.

Так как уравнение (29) после проектирования на QT приводится
к равенству

и0 sin i zjz п sin г = О,

то мы видим, что следует принять верхний знак, так как преломлен-
ный луч лежит с одной стороны от нормали с продолжением пада-
ющего луча; и, таким - образом, мы приходим ко второму закону
Декарта

п __sin i

п0 sin г'

б)	Среда., состоящая из многих однородных слоев, и предель-
ный случай. Вариационная формула, получающаяся на основании
принципа Ферма. Предыдущее заключение распространяется и на
случай среды, образованной каким угодно числом т -|- 1 слоев, лишь
бы они были однородными, но с показателями преломления л0,	...

..., пт-к различными между собой, и были разделены каждый от
следующего соответственно поверхностями ар с2, . .., аот. Световой
луч, чтобы пройти от некоторой точки Ро первого слоя до точки Р
последнего, должен будет последовательно пересечь эти поверхности
в т заранее неизвестных точках Qj, Q2, ..., Qm. Принцип Ферма
требует прежде всего, чтобы луч распространялся вдоль ломаной
линии с прямолинейными звеньями Ро Qt, ..., Qm Р; кроме того,
он требует, чтобы была минимальной продолжительность распростра-
нения

HqPqQ^ -f-«iQ1Q2+ • • •	Q®1-1 Qm-VnQmP’

Как и выше, мы также легко находим, что условие 8/ = 0 под-
чиняет последовательные преломления законам Декарта, так что
принцип Ферма или даже толькц та его часть, которая выражает
необходимые дифференциальные условия для минимума, т. е. 8^ = О,
представляется все еще удобным для синтеза явления. Наиболее
интересный случай неоднородной среды будет тот, когда показатель
преломления п непрерывно изменяется от точки к точке, т. е. когда
мы переходим к пределу, отправляясь от только что рассмотрен-
ного случая дискретных слоев. Представим себе в заданной среде
некоторое число поверхностей семейства

п (х, у, z) == const,
достаточно близких для того, чтобы при переходе от каждой из
них к следующей показатель преломления оставался приблизительно
постоянным. В гипотетической среде, в которой п оставалось бы
строго постоянным в отдельных слоях и подвергалось бы внезапным
изменениям при переходе через разделяющие их поверхности, свето-
вой луч пробегал бы ломаную линию, определяемую принципом
Ферма. Можно перейти к пределу, предполагая, что число слоев
неограниченно возрастает, и допуская, что тот же самый принцип
продолжает оставаться в силе даже и в случае показателя прелом-
ления п(х, у, г), изменяющегося непрерывно. Если обозначим через
ds элемент дуги любого светового луча, распространяющегося в этой
среде, то nds, очевидно, представит элемент времени, требующийся
свету для пробега пути ds. Принцип Ферма выражается в том гео-
метрическом условии, что неизвестная кривая, проходимая световым
лучом между двумя заданными точками Ро и Р, соответствует мини-
муму продолжительности распространения, т. е. для нее интеграл
J nds

р„р

имеет наименьшее значение.

Отвлекаясь также и здесь от качественных добавочных условий, ко-
торые требуются для существования действительного минимума, и огра-
ничиваясь выражением того, что обращается в нуль первая вариация,
мы можем заключить, что геометрическая оптика некоторой среды,
в которой показатель преломления есть какая-нибудь функция
п(х, у, г) точки, непрерывная и дифференцируемая столько раз,
сколько необходимо, в основном содержится в вариационной
формуле

8 J nds = 0.	(30)

в)	Тождество между световыми лучами и связками динами-
ческих траекторий консервативных задач. Пользуясь методами
вариационного исчисления, из равенства (30) можно вывести диф-
ференциальные уравнения, эквивалентные этому равенству; интегрируя
эти дифференциальные уравнения, мы получим действительный ход
светового луча между двумя какими угодно точками среды. Но
можно не делать прямого вычисления, если воспользоваться динами-
ческой эквивалентностью, непосредственно подсказываемой изложен-
ными в пп. 15 и 17 рассуждениями о принципе стационарного дей-
ствия.

Сопоставим с формулой (30) формулы (24'), (25/); точнее, рас-
смотрим наряду с вопросом оптики элементарную динамическую
задачу о движении свободной материальной точки (с массой, равной 1),
находящейся под действием консервативной силы, имеющей потенциал
U(yc, у, z). Любая связка динамических траекторий такой задачи
определяется (п. 17) вариационной формулой

8 JУ 2(U-\-Ejds = 0

где ds, как и в формуле (30), есть элемент дуги в обычном смысле,
а Е обозначает произвольно заданную постоянную. Так как эта фор-
мула будет тождественна с формулой (30), как только примем

и=-^па,	Е=0,

то мы видим, что в среде с переменным показателем преломления
п (х, у, z) световые лучи представляют собой динамические тра-
ектории материальной точки, находящейся под действием силы,
являющейся производной от потенциала n2J2, и именно ту связку
траекторий, которая соответствует значению энергии, равному нулю.

Это замечание очень удобно, поскольку оно допускает оптиче-
ское истолкование результатов, полученных непосредственно в меха-
нической форме.

Так, например, рассмотрим случай, который при подходящих
условиях поясняет так называемый мираж МонжаJ), т. е. случай,
когда показатель преломления п изменяется только с высотой; чтобы
иметь дело с гипотезой, имеющей большой физический интерес,
допустим, что речь идет о медленном изменении и.

Тогда мы можем принять в качестве выражения для п формулу
п==йо(1 + т)’

где п0 и h означают две постоянные, из которых вторая, имеющая
размерность длины, такова, что в области значений, которые подлежат
рассмотрению, отношение z/h можно рассматривать как малую вели-
чину первого порядка. Тогда, пренебрегая величиною zajha и обо-
значая через g постоянную n^jh, будем иметь

1 в 1	2(i t пг\ 1	2 I

— == — « о -ф- 2-^-J = по -ф gz.

!) См., например, А. G ar basso, П miraggio, Mem. della R. Асе. delle
Scienze di Torino, т. LVII, 1906, стр. 1 — 57.
Световое лучи совпадают, таким образом, с такими траекториями
динамической задачи, потенциал которых па/2 есть линейная функ-
ция z. Эта линейная зависимость потенциала только от z означает,
что сила параллельна оси z и имеет постоянную величину g. Мы
приходим таким образом, за исключением только численного значе-
ния величины g, к элементарному случаю движения тяжелой точки;
световые лучи, если они не вырождаются в прямые, также будут
параболами с осью, параллельной оси г, и с вогнутостью в направ-
лении силы, т. е. в направлении, в котором возрастает п.

§ 5.	Распространение вариационных принципов
на общие лагранжевы системы

19.	Распространение принципа Гамильтона. Известно, что для
голономной системы, находящейся под действием консервативных
сил, общее уравнение динамики равносильно уравнениям Лагранжа
(гл. V, п. 40).

Д^О.	(Л = 1,2, .. ., п),	(31)

dtdqh dqh	v	v 7

где £—T-\-U. С другой стороны, как мы видели в пп. 10, 11,
то же общее уравнение равносильно принципу Гамильтона. Отсюда
следует, что для голономной системы, находящейся под действием
консервативных сил, мы имеем полную эквивалентность между урав-
нениями Лагранжа (31) и условием исчезновения вариации 8S
интеграла Гамильтона

h

S=^dt	(16)

^0

при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь
синхронно-варьированному движению с теми же конфигурациями на
концах.

Здесь мы хотим показать, что такая эквивалентность существует
и в более общем случае для всевозможных лагранжевых систем (31)
с какой угодно функцией й (q | q | /).

Мы начнем с вычисления явного выражения вариации 85 при
переходе от любого решения а уравнений (31)

=	(Л—1, 2, ..п)

к п бесконечно близким синхронно-варьированным функциям вида

Qh = Qh(t)	(/t = 1, 2, ..., л),

где t>qh обозначают бесконечно малые произвольные функции
переменного t; для удобства выражения условимся пользоваться
механической терминологией, говоря о времени t, о движении а,
о синхронно-варьированном движении ag и т. д. В этой связи мы
будем называть траекториями кривые с, cv, представляющие реше-
ния a, ag в абстрактном пространстве Гв координат q.

Как и в п. 6, имеем

=	(Л==?1, 2, .... я);

поэтому, на основании теоремы о полном дифференциале и так как,

поскольку речь
имеем также

идет о синхронной вариации, время не варьируется,

2 (^Iq^^lqX
Л=1	oqh dt /

(32)

Если теперь

применим к интегралу (16) операцию варьирования 8
(при вычислении вариации нужно учесть, что время не варьируется и

потому знак вариации 8 можно
примем во внимание равенство (32)

внести под знак интеграла) и
и тождество

(^-~lqhdt =

1 dqh dt

*0

£1

| 58 ,	I	r	d	58 .

^~8?	h\ ~

15?ft	I	j	“	dqlt

^0	*0

то придем к соотношению
. ii
n	t,	p	11

=	(33)

h=!	fo	£ Л.=1

где для краткости через Zh обозначены левые части уравнений (31)
и, как обычно, через ph — обобщенные количества движения d%ldqh.
Если конечные конфигурации остаются неизменными, т. е. если Sq
принимаются равными нулю, как при ^ = /0, так и при	то

=0. В таком случае из уравнений (31), т. е. из уравнений

= 0, следует, что 8S = 0.

Обратно, если при переходе от некоторого движения а ко вся-
кому возможному синхронно-варьированному движению с одними и
теми же конфигурациями на концах имеем 8S = 0, то уравнение (33)
дает

dt

#0

отсюда, учитывая произвольность 8^ при всяком t от /0 до tx (за
исключением концов) и рассуждая, как в п. 9, заключаем, что реше-
ние а удовлетворяет лагранжевой системе 2Л = 0.

Поэтому действительно имеется полная эквивалентность, для дви-
жения а, между дифференциальными свойствами, выражаемыми урав-

2	= о;

h=l
нениями (31), и вариационным свойством 85 — 0 по отношению ко всем
возможным синхронно-варьированным движениям с одними и теми же
конфигурациями на концах.

20.	Случай не нормальной лагранжевой системы. Задача о геоде-
зических линиях. Только что доказанная эквивалентность, как это
следует из формального способа, которым она была установлена,
имеет место, какова бы ни была лагранжева система (31). Она,
в частности, будет иметь место также и тогда, когда функцйя 2
не будет зависеть от t и будет однородной первой степени относи-
тельно q. В п. 41 гл. V мы видели, что в этом случае соответству-
ющая система Лагранжа (31) не будет нормальной (т. е. не будет
разрешимой относительно и вторых производных от у), так как
между левыми частями уравнений (31) существует тождественное
линейное соотношение

на лагранжевых системах этого типа и в особенности на эквивалент-
ных им гамильтоновых системах (однородные канонические системы)
мы останавливались в упражнениях предыдущей главы (упражнения
2, 10-15).

Здесь мы покажем, как, пользуясь эквивалентностью между дан-
ной дифференциальной системой и вариационным условием

85 = Sj 2<ft = 0,

можно легко снова доказать, что уравнения (31) в рассматриваемом
здесь случае сводятся только к и — 1 уравнениям, независимым
между собой. Таким образом, мы убедимся в том, что система (31)
в этом случае все еще может быть приведена к лагранжевой системе,
содержащей только и—1 неизвестных функций.

Действительно, так как функция 2(<7|<7Х, ..., q^ однородная пер-
вой степени относительно q, то подинтегральное выражение 2 dt можно
написать в форме 2 (q | dqY, ..., dq^, в силу чего предыдущее вариа-
ционное условие принимает вид

85=8 ^(qidqj, dq2, .. ., dqh) = O,	(34)

е

где с представляет в пространстве конфигураций Гп траекторию лю-
бого движения а, соответствующую промежутку времени от до
Если затем вдоль с мы примем за независимую переменную одну из
переменных, например qn, и обозначим через q^, q„ соответствующие
начальное и конечное значения, то уравнению (34) можно будет
придать вид

«п

8(^ф’ йГ’ •••	(34')

*°п

если, наконец, согласно п. 19, вычислим явно эту вариацию при
условии не варьировать независимое переменное qn, то придем
к п — 1 уравнениям в форме Лагранжа для п—1 неизвестных функ-
ций qx, q*, ..., qn_t от qn, которые определяют траектории движе-
ния первоначальной системы (31). В самом деле, если представим
себе, что варьируется также и независимое переменное qn, то вычис-
ление, совершенно аналогичное тому, которое мы изложим в п. 21,
приводит к введению в явное выражение для 8S добавочного члена,
тождественно равного нулю в силу только что полученных п — 1
лагранжевых уравнений (см. уравнение (40) из п. 22); поэтому утвер-
ждение, что вариационное условие 3S = 0 и, следовательно, эквива-
лентная ему система (31) сводятся в этом случае к п — 1 лагранже-
вым уравнениям, не зависящим от t, оказывается полностью доказан-
ным. Наконец, можно сказать, что особый характер системы (31),
рассмотренной здесь, выражается в том обстоятельстве, что она дает
возможность определить для соответствующих движений траекторию,
но оставляет неопределенным закон движения по ней.

Из предыдущих рассуждений можно получить интересное след-
ствие, если к условию 85 — 0 (способом, аналогичным способу упомя-
нутого упражнения 10 предыдущей главы) присоединить добавочное
уравнение

2 (q | q) = const = С.	(35)

Так как в силу однородности 2 можно написать

2 (д | dq1} dq2, ..., dqn) = Cdt,	(35')

то из этого уравнения можно определить закон движения по траек-
тории, после того как мы будем знать ее уравнение, проинтегрировав
систему дифференциальных уравнений с одними переменными q.

Здесь следует указать наглядную интерпретацию условия стацио-
нарности (34) по отношению к системе дифференциальных уравнений,
к которой мы пришли, присоединяя к системе (31) (не нормальной)
добавочное уравнение (35). Так как в силу эквивалентного уравне-
ния (35') функция 2 (q | dqt, dq%, .. ., dq^) пропорциональна dt, то
вариационное условие (34) равносильно

8jrff = 0,	(34")

С
где интеграл, распространенный на траекторию с, есть не что иное,
как продолжительность движения между двумя указанными концами
траектории, заранее неизвестной. Поэтому вариационное условие (34")
или эквивалентное ему условие (34) выражает, что закон движения,
определяемый из уравнения (35), удовлетворяет принципу Ферма (п. 18),
т. е. делает минимальной (или, выражаясь точнее, стационарной) про-
должительность движения :).

Заметив это, перейдем к выводу того следствия, которое, как
уже указывалось, можно получить тем же способом, каким немного
выше мы сделали определенной систему (31), т. е. путем присоеди-
нения последнего уравнения (35). Ясно, что если через f (2) мы
обозначим какую-нибудь заданную функцию от 2, то система

ti

ZS = l^dt = O, 2= const	(36)

^0

будет равносильна системе

ti

8 J f (%) dt = b, 2 = const;	(36')

поэтому соотношения между координатами q, т. е. уравнения траек-
торий, определяемые из двух различных систем (36) и (36'), должны
быть тождественными.

Мы уже видели, что соотношения, не зависящие от t и- вытека-
ющие из уравнений (36), равным образом определяются вариацион-
ным условием 8S = 0, которое мы можем взять в форме (34); отсюда
следует еще, что это условие равносильно совокупности соотношений,
не зависящих от t, которые выводятся из уравнения (36). Если,
в частности, возьмем /(2) = 22, то лагранжева система, определяемая
из условия

8 J 22 dt == 0,
to

будет, несомненно, нормальной, потому что функция под знаком
интеграла по отношению к q является однородной функцией второй
степени, а не первой. Мы уверены теперь, что траектории, которые
получатся в результате присоединения к только что написанному
вариационному условию уравнения 2 = const и исключения /, будут

1) Закон движения 8 (q | dq) = dt, встретившийся при рассмотрении гео-
метрической оптики, в упражнении 13 предыдущей главы, имеет тот же вид,
что и уравнение (35'); поэтому можно сказать, что распространение посред-
ством волн, изученное в этом упражнении, подчиняется принципу минимума
времени Ферма.
тождественны с теми, которые определены из первоначального соот-
ношения 8S = 0.

Это следствие находит, в частности, применение в задаче об
определении геодезических линий какого-либо метрического много-
образия Vn (п. 15) с заданным линейным элементом

ds* = 2 а^Я^Чк.-
h=l
к=1

Мы уже видели в п. 16, что эти геодезические линии тожде-
ственны с динамическими траекториями движения по инерции голо-
номной системы с живой силой Т — (dsldtfl?,-, но в то время как
ранее мы пришли к этому заключению после очень длинного ряда
выводов, имеющих характер и интерес преимущественно динамиче-
ский, здесь мы можем снова найти тот же результат почти непо-
средственно, отвлекаясь от всякой механической теории.

Действительно, речь идет об определении кривых, удовлетво-
ряющих вариационному условию

8 J" ds = О,
С

а так как ds есть однородная функция первой степени относительно
дифференциалов dq, то эта задача как раз входит в тип, рассмо-
тренный нами выше, и соответствует случаю, в котором в уравне-
нии (34). функции g приписывается значение dsjdt. Если положим

то в силу только что полученного следствия будем иметь, что иско-
мые геодезические линии совпадают с кривыми, определяемыми со-
отношениями

fi

8j'2Td(=O, Т— const;

так как в силу интеграла живых сил уравнение 7 = const влечет за
собой уравнение U = const, то мы имеем дело с динамическими
траекториями движения по инерции голономной системы с живой
силой Т = (dsldt^ft.

21.	Асинхронная вариация интеграла Гамильтона. Возвратимся
к лагранжевой системе (31) общего типа. Выражение (33) вариации 8S
относится к переходу от заданного естественного движения а к лю-
бому его синхронно-варьированному движению ag, даже между
различными конечными конфигурациями, если t>q не предполагаются
равными нулю при Z = /п и t=t1. Мы увидим сейчас, какое при-
ращение следует приписать функции S, если, как в п. 12, введем
асинхронность, сопоставляя с любым моментом t момент t -ф- 8/, где 8/
есть произвольная бесконечно малая функция (правильная) времени.

Это приращение интеграла

S =	(16)

h

поскольку в нем можно рассматривать слагаемые, происходящие от
отдельных элементов 8dt, и затем суммировать их, будет состоять из
слагаемых трех типов: 1) слагаемых (<?8/d/)8Z dt, происходящих от
возможного наличия t в функции 8; 2) слагаемы^ 4Mt, тождествен-
ных (п. 12) с 8й?8/; 3) слагаемых, происходящих от того, что в асин-
хронной вариации приращения 8*^й не совпадают с соответствующими
приращениями bqH, а определяются, как это легко проверить способом,
указанным в п. 12 для приращений vit соотношениями

= 8yft — qnZt (Л = 1,2,..., и).

Поэтому, вводя обычное соотношение

(37)

найдем
ti	А

8*S = 8S+ [ Ztdt— J Hdbt,

А»	А»

если применим к последнему члену интегрирование по частям и при-
мем во внимание выражение (33) для 8S, то увидим, что имеет место

тождество

где положено

8*s= 5	—	4~А,

_Л=1

8/1.

(38)

(39)

t,
А = f





22.	Дальнейшие замечания об обобщении принципа Гамильтона.
Если движение а, к которому относится интеграл Гамильтона S, удо-
влетворяет лагранжевой системе (31), то на основании выражения (39)
имеем Л = 0, потому что, по предположению, биномы 8,( обращаются
в нуль; с другой стороны, как мы видели в п. 43 гл. V, в каче-
стве следствия из лагранжевых уравнений имеет место соотношение

^ + ^=0
dt dt

(40)
Поэтому, если от движения а перейдем к какому-нибудь асин-
хронно-варьированному движению ао с теми же самыми конфигу-
рациями системы для конечных моментов (yqh = В/ = 0 для t = t0
и то будем иметь на основании тождества (38) 8*S = 0, и
интеграл Гамильтона будет стационарным. Обратно, если движение а
таково, что всякий раз, как мы переходим к асинхронно-варьиро-
ванному движению между теми же самыми крайними значениями
времени и крайними конфигурациями, имеет место равенство 8*S = О,
из тождества (38) следует Л = 0; отсюда посредством уже 'несколько
раз применявшегося рассуждения выводится справедливость для а
во всякий момент времени, заключенный между /0 и tx, как лагран-
жевых уравнений gh = 0, так и равенства (40), которое при этом
является следствием первых.

Таким образом, принцип Гамильтона распространяется на общие
лагранжевы системы даже и по отношению к асинхронно-варьиро-
ванным движениям, лишь бы они происходили между одними и
теми же конфигурациями и за один и тот же промежуток времени.

Заметим, что общее тождество (38) остается, конечно, в силе
даже тогда, когда вариация 8/, определяющая асинхронность, пред-
полагается не произвольной, а связанной каким-нибудь образом с 8</,
что приводит к выделению из совокупности асинхронно-варьиро-
ванных движений некоторого класса движений, определяемых част-
ным законом асинхронности. Однако если, желая применить принцип
Гамильтона, положим далее, что крайние конфигурации остаются
неизменными (8<?й = 0 при t = (0 и t — /Д то нельзя требовать, чтобы
в соответствии с уже наложенной связью и вариация 8/ также была
всегда равной нулю при / = /0 и t = tv Мы можем только утвер-
ждать, что когда это последнее условие удовлетворяется в силу
той же самой связи, определяющей асинхронность, то этим самым
будет также обеспечена эквивалентность между лагранжевой системой
и вариационным условием 8*S = 0 по отношению к рассмотренному
частному классу асинхронно-варьированных движений между теми же
самыми конфигурациями и за тот же промежуток времени.

23.	Траектории и связки траекторий. Прежде чем приступить
к распространению принципа стационарного действия на какую-нибудь
лагранжеву систему с кинетическим потенциалом, йе зависящим от
времени, удобно привести здесь некоторые новые соображения о со-
ответствующих траекториях. Эти траектории для случая какой угодно
системы дифференциальных уравнений вида

=	(Л=1,2,..., и) (41)

были определены уже в п. 61 гл. V как такие кривые пространства
конфигураций Г„, уравнения которых получаются путем исключения
независимой переменной t из общего решения уравнений (41). Тогда
мы видели, что совокупность этих траекторий представляет собой
множество, зависящее, по меньшей мере, от 2л—2- произвольных
постоянных и самое большее от 2п; мы отметили уже в упомянутом
пункте, что это, естественно, имеет место, в частности, для лагран-
жевой системы, каков бы ни был кинетический потенциал g (q | q [ £),
лишь бы гессиан этой функции не был тождественно равен нулю.

В том случае, когда 2 не содержит явно t, для лагранжевой си-
стемы существует (гл. V, п. 43) обобщенный интеграл энергии

H(q\q)=E,	(42)

и связкой решений называется совокупность, состоящая из оо2л-1
решений, для которой постоянная Е имеет какое-нибудь заранее за-
данное значение. Далее, связкой траекторий, как и в динамическом
случае (п. 17), называется совокупность соответствующих траекторий.
Рассматривая динамический случай, мы видели в п. 63 гл. V,
что когда речь идет о движении по инерции (силы отсутствуют,
т. е. U = const), то траектории, истолковываемые как геодезические
линии некоторого метрического многообразия Vn (п. 16), составляют
множество из оо2”-2 элементов, а с другой стороны, в п. 17 на-
стоящей главы было отмечено, что всякая связка траекторий какой-
нибудь консервативной динамической системы тождественна с сово-
купностью геодезических линий подходящего метрического много-
образия. Из того, что и прямое и обратное положения справедливы,
следует, что всякая связка динамических траекторий, в случае кон-
сервативных сил, зависит точно от 2л — 2 произвольных постоянных.
Здесь мы хотим доказать, что та же самая степень произвола
продолжает оставаться в силе для всякой связки траекторий какой
угодно лагранжевой системы с кинетическим потенциалом, не зави-
сящим от времени, за исключением случая, который выяснится в по-
следующих рассуждениях.

Для этой цели удобно прежде всего по отношению к нашей ла-
гранжевой системе снова применить способ, которым мы пользовались
в п. 61 гл. V для оценки степени произвола совокупности траекто-
рий любой нормальной системы дифференциальных уравнений второго
порядка (41). Все сводится к тому, что в качестве независимой пере-
менной вместо t выбирается одна из переменных q, которая, конечно,
должна обладать тем свойством, что она не остается постоянной во
время движения (в силу чего мы вынуждены, как мы это видели
в упомянутом выше пункте, исключить возможные статические
решения, которые, очевидно, не представляют интереса для рассма-
триваемого здесь вопроса). Если qh есть новая независимая переменная
и если обозначим штрихами производные по этой переменной, то
преобразованная лагранжева система будет состоять из п.— 1 урав-
нений вида

=	Ч[, ,	(Л=1,2, ..., л—1)	(43)

и из аналогичного л-го уравнения, определяющего t".
Далее, при допущенном здесь предположении, что L не зависит
явно от t и потому существует интеграл (42), только что указан-
ное я-ое уравнение можно заменить уравнением H(q\q) = E, лишь бы
это последнее уравнение было таким, чтобы из него можно было
определить Е — dtjdqn (в функции от q, q'v q\, ..., q'n_1 и от
постоянной £). Если допустить эту возможность и предположить,
что уравнение Н — Е, разрешенное относительно Е, принимает вид

i' = 7.(41<, ?2’ •••><_ 11£),	(42')

ч.

то достаточно подставить в уравнение (43) вместо Е это его вы-
ражение, чтобы иметь для определения траекторий лагранжевой си-
гтемы нормальную систему уравнений второго порядка относительно
п — 1 функций qu ..., qn — i от qn, содержащих в виде параметра
постоянную Е.

Таким образом, мы видим, что всякий раз, как будет возможно
указанное исключение Е посредством уравнения Н = Е, траектории
лагранжевой системы будут зависеть, помимо Е, от других 2 я — 2
произвольных постоянных; это и приводит к заключению, что число
траекторий любой связки (соответствующих какому-нибудь заданному
значению £) будет оо2"-2.

Остается еще рассмотреть исключительный случай, когда уравне-
ние H{q\q)—E неразрешимо в форме (42'). В функцию H(q\q), не
зависящую от t, dt входит только через посредство qh — dqh | dt, так
что указанный исключительный случай представится только тогда,
когда функция Н зависит от dt лишь кажущимся образом в том
смысле, что Н не изменится, если dt умножить на произвольный па-
раметр, т. е. когда существует тождество

Л?2,	Л?„) = Н(?|?1, ^2, ..., qn),

которое выражает, что И по отношению к q является однородной
функцией нулевой степени. Если мы хотим возвратиться к кинети-
ческому потенциалу 2 и вспомним определение (37) функции Н, то
увидим, что для этого необходимо найти наиболее общее выражение
для 8, удовлетворяющее линейному относительно 8 и ее производных
неоднородному уравнению

п

(«>

Л = 1

где Н есть однородная функция нулевой степени относительно пере-
менных q. Известное правило анализа учит, что наиболее общее ре-
шение мы найдем, прибавляя к какому-нибудь частному решению
уравнения (44) общий интеграл соответствующего однородного урав-
нения

которое определяет функцию 81; однородную первой степени отно-
сительно q. Так как функция 2 = —Н, в силу того, что Н есть одно-
родная функция нулевой степени, представляет собой частное реше-
ние уравнения (44), то заключаем, что общий интеграл уравнения
(44) равен —	Таким образом, в интересующем нас исключи-

тельном случае кинетический потенциал 2 (<? q), не зависящий от t,
является по отношению к q суммой двух однородных функций,
одной — нулевой степени и другой — первой степени.

24.	Обобщение принципа стационарного действия. Рассмотрим лю-
бую лагранжеву систему (31) с кинетическим потенциалом 2, не
зависящим от t. В динамическом случае (консервативном), как из-
вестно, имеем

2 = T-\-U

и, следовательно, всегда

если 2 не зависит от времени.

Поэтому в качестве естественного обобщения определения (25)
на случай произвольной лагранжевой системы (31) с функцией 2, не
зависящей от t, назовем действием, относящимся к какому-нибудь
решению а уравнений (31) в течение заданного промежутка времени
от /0 до интеграл

А= f S	<45)

/ h = 1 °4h

который на основании равенств (37) и (16) можно также написать
в виде

A = S4- ^Hdt

Так как 2 не зависит от времени, то для системы (31) имеет
место обобщенный интеграл энергии Н= Е, поэтому

A = S + E(/X —10).	(45')

Допустим, что интеграл энергии действительно содержит dt, т. е.
исключим случай, когда 2 по отношению к q является суммой
однородных функций, одна — нулевой степени, а другая — первой
(предыдущий пункт).

Заметив это, возьмем в качестве решения системы (31) неко-
торое решение а, соответствующее заданному значению постоянной
энергии. Применяя операцию асинхронного варьирования к решению а,
получим
ti

8* JН dt = 8* {Е & — 70)} = [H8f]+ (^ —t0) 8* £;

*0

откуда, прибавляя почленно это тождество к равенству (38) и при-
нимая во внимание уравнение (45'), мы получим для асинхронной
вариации действия при условии Н = Е выражение

(46)

Эта формула позволяет распространить принцип стационарного
действия на общие лагранжевы системы (31) с не зависящим от вре-
мени кинетическим потенциалом.

Действительно, предположим, что на движение, удовлетворяющее
такой системе, накладывается асинхронная вариация, связанная двумя
условиями: она должна быть изоэнергетической, т. е. после варьиро-
вания должно сохранять силу уравнение Н = Е с тем же значением
постоянной энергии, что и в движении о (8*Е = 0), и должна
оставлять неизменными конфигурации на концах (8</ft = 0, при
t—to и t=t^). При таких предположениях мы непосредственно из
выражения (46) выводим уравнение

6*А = 0.	(47)

Отсюда заключаем, что действие, относящееся к движению а, является
стационарным (если варьированные движения определяются только
что указанными асинхронными вариациями). Обратно, если некоторое
движение удовлетворяет уравнению Н = Е и условию стационарности
(47) для всякой асинхронной изоэнергетической вариации с одними
и теми же конфигурациями на концах, то для него имеет место на
основании формулы (46) тождество А — 0, из которого посредством
обычного рассуждения выводится, что движение а удовлетворяет ла-
гранжевой системе (31).

Как и в динамическом случае, когда можно было исключить dt
элементарным путем (п. 15), и здесь можно дать предыдущему ре-
зультату более определенную и наглядную форму, исследуя влияние
зависимости 8*77=0, наложенной на асинхронные вариации.

Так как при введенных с самого начала предположениях от-
носительно функции Лагранжа 2 функция Н действительно зависит
от dt, условие, что асинхронно-варьированное движение ао — изо-
энергетическое, т. е. что 8*77=0, содержит, конечно, условие
§dt = dbt и потому не накладывает никакого ограничения на траек-
торию движения ао; оно определяет только, посредством одной ква-
дратуры, вариации асинхронности 8/, когда заранее (произвольно)
задается соответствующее синхронно-варьированное движение и, сле-
довательно, соответствующая траектория.

Поэтому, обращаясь опять к следствиям, вытекающим из уравне-
ния (46), мы можем заключить, что имеет место полная эквивалент-
ность между лагранжевой системой (31) вместе с уравнением Н=Е
{связка решений) и вариационным условием (47), отнесенным к пе-
реходу от любой траектории рассматриваемой связки к какой-нибудь
бесконечно близкой кривой с теми же концами.

В этом заключении мы имеем обобщение принципа стационарного
действия на лагранжевы системы с кинетическим потенциалом g(<?|<7),
не зависящим от времени, но в остальном произвольного вида.

Естественно, что мы получим снова динамический случай п. 15,
если g будет вида T-f- U, где Т есть квадратичная форма относи-
тельно q и U не зависит от обобщенных скоростей.

В рассмотренном здесь общем случае, как и в динамическом слу-
чае, можно воспользоваться уравнением Н—Е для исключения вре-
мени t из характеристической вариационной формулы траекторий
любой связки с тем, чтобы придать условию 8А = 0 также и фор-
мально чисто геометрический вид.

Но действительное исключение времени можно привести в каж-
дом данном случае только на основании явного определения Н и g.

В ближайшем пункте мы проведем вычисления в одном очень
простом случае, когда g имеет еще, как в динамических задачах, вид
Т-\- U, но Т уже не будет однородной функцией второй степени
относительно q, а будет равна сумме Т2 Тх, где 7'2 и Тх представ-
ляют собой формы соответственно второй и первой степени.

25.	Действие в случае свободной точки, отнесенной к равномерно
вращающимся осям. Рассмотрим свободную точку, которая движется
относительно осей Oxyz, равномерно вращающихся вокруг оси Oz
под действием силы, производной от потенциала, зависящего от
х, у, z, но не от /; это соответствует предположению о поле, неиз-
менном относительно движущихся осей, т. е. симметричном относи-
тельно оси Oz.

Если <о есть угловая скорость (постоянная) вращения осей Oxyz
вокруг Oz, то соответствующие проекции абсолютной скорости дви-
жущейся точки определяются, как известно, выражениями х — шу,
z\ полагая для простоты, что масса точки равна единице,
мы будем иметь для однородных слагаемых живой силы известные
выражения

7'2 = 4(*а+?+*2). Тх = Ъ»{ху— ух), То = ±^2^2). (48)

28 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амалыш
Член То, от которого происходит центробежная сила, можно вклю-
чить в потенциал £7; из равенства

l=t2 + t\ + u

получим

•	I •	I *	\	I «-Т1	/ . л \

(49)
дх ду ог

и, следовательно, на основании определения (37) функции Н
н=т2—и,

так что уравнение, которым мы должны воспользоваться для исклю-
чения dt из выражения действия, т. е. уравнение

T2—U — E,

имеет тот же вид, что и в случае неподвижных осей.

Вводя элемент траектории ds = j/dx2--- «/у2-}-^2 и учитывая
последнее уравнение и выражение для Т2, находим

ds = У2(и-{-Е) dt-,

так как на основании уравнений (45), (49)
fi	t,

А —2 J T2dt-\- J l\dt,
то первое слагаемое правой части можно преобразовать, как это дела-
лось в п. 15, в интеграл от y2(U-\-E) ds, распространенный на
дугу с траектории, заключенной между точками, соответствующими
моментам t0 и а в интеграле второго слагаемого за текущее пере-
менное также можно принять длину дуги s траектории.

Таким образом, для действия получается чисто геометрическое
выражение

А - П |/ТО + 2-(* Я - У Й)1
С

26. Замечания о вычислении S и А. Как мы уже упоминали
в п. 10, при вычислении интеграла Гамильтона

t,

S== J %dt,
At
относящегося к любому решению какой-нибудь лагранжевой системы,
можно избежать выполнения квадратуры, если известен полный инте-
грал V (q 111 от) соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби
(предыдущая глава, п. 35)

^ + Я(р|<7]0 = 0.

Действительно, возьмем тождество (37') и, записывая его в форме

п

2 = 2	—

h = l

(37')

будем иметь в виду, что величинам р, q, Н приписываются значения,
относящиеся к частному решению, для которого нужно вычислить S.
Если аналогично предполагается, что постоянным от приписаны значе-
ния, соответствующие этому же самому решению, то рл будут
равны dV/dqh и —Н равно dV/dt; поэтому

„ V dV • . dV dV

” 2j dqh Qh'dt ~ dt
h = l

и, следовательно,

s= Vj-Vo,

где Vo, Vj представляют собой значения V, соответствующие на-
чальным и конечным конфигурациям и моментам.

Аналогичное упрощение, как уже указывалось в п. 13, мы будем
иметь для действия

когда 2 не зависит от t и предполагается известным полный инте-
грал	тг15 к2, . .. ^„..j) уравнения

H(p\q) = E.

Действительно, по определению имеем

Ръ, ~ ~~г	, 2, ... , п);

дЧъ,

полагая и здесь, что постоянным Е, к в W приписаны значения,
соответствующие решению, для которого мы намерены вычислить
действие, мы видим, что функция под знаком интеграла в выраже-
нии (45) есть не что иное, как dWjdt, так что

А= Wo.

Сделаем последнее замечание. Если иметь в виду случай функции 2,
не зависящей от t, то, не предполагая известным полный интеграл,
достаточно отнести S и А к одному и тому же решению и учесть
тождество (45')

S = A — E(tt —t0),
чтобы видеть, что вычисление S и вычисление А, по существу, оди-
наковы.

§ 6. Варьированные движения между варьированными
пределами

27. Главная функция Гамильтона. В предыдущем параграфе для
асинхронных вариаций интеграла S Гамильтона и действия А мы нашли
два тождества общего вида:

8*S =

2 Pi№b —

Z1 + ('i-^*E + A,
zo

n

8*A = 2

_h— 1

(38)

(46)

(39)

Но для того, чтобы использовать эти тождества для распростра-
нения вариационных принципов на лагранжевы системы какого угодно
вида, мы должны были постоянно предполагать неизменными при
варьировании крайние конфигурации, между которыми нам нужно
было вычислять, вдоль любого решения лагранжевой системы, инте-
грал S или действие А(8^й —0 при t—t0 и t = tx).

Мы рассмотрим здесь другие важные следствия, которые могут
быть выведены из тех же тождеств (38), (46) в более общем слу-
чае, когда при варьировании допускаются произвольные перемещения
также и для крайних конфигураций. Обращаясь к тождеству (38),
заметим, что если принять в качестве естественного движения а дви-
жение, определяемое общим решением лагранжевой системы (31), и
отказаться от всякого ограничительного предположения о перемеще-
ниях крайних конфигураций, то это тождество приведется к виду

п

2

8*S =

io

(50)

Это равенство, характерное для решений системы (31) при всех без
исключения асинхронных вариациях, выражает принцип Гамильтона
и в том случае, когда конечные конфигурации также варьируются.

Мы займемся выводом следствий из этого равенства и их истол-
кованием.
Для этой цели необходимо обратить внимание на некоторые сооб-
ражения о функциональной природе интеграла S и прежде всего об-
щего решения лагранжевой системы1).

Обратимся исключительно к случаю нормальной лагранжевой си-
стемы, для чего, как мы уже знаем, необходимо и достаточно, чтобы,
по крайней мере, в рассматриваемой области не был тождественно
равен нулю гессиан (гл. V, п. 14)

Д= 1-^-1
I dqhdqic I

(ft, k — 1, 2, ... , /г)

лагранжевой функции g по q. В этом случае уравнения =
определяющие общее решение, помимо независимой переменной t,
содержат 2п произвольных постоянных; за такие произвольные постоян-
ные, в силу теоремы о существовании решения, можно принять зна-
чения q°, q° координат и их производных q в момент. t ~ fl, приня-
тый за начальный. Однако здесь будет более удобно в качестве
постоянных интегрирования рассматривать вместе с q° уже не q°,
а начальные значения р° обобщенных количеств движения ph = &Hdqh.
Это соответствует тому, что при ДфО мы имеем одно-однозначное
соответствие между двумя рядами п значений р и q, и потому без-
различно, какие из них будут задаваться произвольно. Следова-
тельно, мы можем написать общее решение системы (31) в виде

=	^о!7°1р°) (Л = 1, 2, ... , п). (51)

Отсюда вытекают аналогичные равенства для q, так что, предпо-
лагая, что в подинтегральное выражение интеграла S вместо q, q
подставлены эти их выражения, мы увидим, что по выполнении
вычислений этот интеграл будет зависеть от 2 я -J- 2 аргументов
/0, ^1» 9°, Р°, которые, по крайней мере в надлежащим образом огра-
ниченной области, можно выбирать произвольно, и, следовательно,
они будут независимыми между собой.

Для нашей цели будет удобна дальнейшая замена произвольных
параметров, заключающаяся в том, что в выражение, полученное та-
ким образом для S, вместо постоянных р° вводятся значения q1, кото-
рые, согласно тем же уравнениям (51), получают координаты q в конеч-
ный момент tt:

=	(Л=1,2, ... , я); (51')

это возможно только в том случае, если эти последние уравнения
будут однозначно разрешимы относительно р°, по крайней мере при ilt
достаточно близком к t0.

х) См. равносильные, но может быть, не так быстро ведущие к цели
соображения в книге Е. V. Weber, Vorlesungen fiber das Pfaff’sche Problem,
Leipzig, 19Q0, стр, 380—382,
Чтобы исследовать, при каких условиях уравнения (51') можно
решить относительно р°, найдем первые члены разложений в ряды
по степеням t—10 функций рассматривая их как решения
лагранжевой системы (31) или, что равносильно при условии ДфО
(гл. X, п. 1), как решения эквивалентной ей гамильтоновой системы
(при начальных значениях q°, р° для /—/0)

’ дН • дН ,,	, Л х

Ph dqh’ qh~ др^	2, ... , п).	(31)

Беря только второй ряд я уравнений, непосредственно находим

Як - 4°h =	+ (2),	(52)

где символом (2) обозначены члены, которые содержат множителями
биномы t—10 с показателем, по меньшей мере, равным 2. Эти урав-
нения будут разрешимы относительно параметров р° (в функции от
/0, Я°> t, я)> если не обратится тождественно в нуль функциональный
определитель правых частей по отношению к р°, равный

('-'о)"

W | <?0| /о) I
dP°hdp°k |

Это выражение при всяком t, отличном от /0 и достаточно
близком к нему, будет только тогда отлично от нуля, когда отличен
от нуля для начальных значений р°, q°, t0 гессиан

4-=hBd л‘=1.2,

функции Н по р. Так как это последнее условие будет, наверное,
выполнено в силу тождества AAj = 1 (гл. X, п. 2) и основного пред-
положения Д ф 0, то заключаем, что при этом последнем условии
уравнения (52) действительно разрешимы относительно />° и опреде-
ляют выражения р° через q1, а также через t0,	q°. Таким образом,

мы видим прежде всего, что q1 не связаны между собой никакими
соотношениями и составляют, следовательно, вместе с t0, flt q°, 2п-\-2
независимых между собой аргументов; далее, если в S вместо р° под-
ставляются только что указанные выражения, то интеграл S будет
функцией от 2и-}-2 только что указанных независимых аргументов.
Именно этот вид интеграла S и был назван Гамильтоном главной функ-
цией (см. п. 10).

После этих предварительных замечаний вернемся к уравнению (50)
и заметим, что в силу самого определения асинхронной вариации
вариация 8* S есть не что иное, как полный дифференциал от S,
рассматриваемый как функция от только что указанных аргументов

п
5S
дЧъ.
as

С другой стороны, из независимости 2п--~2 начальных и конеч-
ных параметров вытекает полная произвольность их приращений
о/0,	8<?°, 871; поэтому, приравнивая в обеих частях равенства (50)

коэффициенты при этих приращениях и опуская для удобства индексы,
получим две системы уравнений:

Л, =	(50')

(Л=1,2, ..., п),

(50")

где Н, Но, согласно первоначальной определяющей формуле (37), суть
функции соответственно от t, qn, qn и от /0, q°n, q„; но если пред-
ставим себе, что в Н вместо q подставлены их выражения через
р, q, t, полученные из уравнений

(4=1,2......

и в Но вместо q° подставлены аналогичные выражения через р°, q°, i0,
то Н, На можно рассматривать как функции соответственно от р, q, t
и от р°, q°, t0.

На основании уравнений (50') путем рассуждений, аналогичных
рассуждениям п. 35 предыдущей главы, мы непосредственно увидим,
что функция S (/1 </; t01 q°), если в ней рассматривать в качестве
независимых переменных аргументы t и q, а в качестве произволь-
ных постоянных — начальные значения «у0, удовлетворяет уравнению
Г амильтона — Якоби

зг+"(’|г|1,)-0:	(53)

с другой стороны, из уравнений (50") аналогично выведем, что та же
самая функция S, если в ней за переменные примем аргументы t0 и q°,
а за произвольные постоянные — аргументы q, удовлетворит урав-
нению

Это можно выразить, говоря, что предыдущее уравнение Гамильтона —
Якоби удовлетворяется по отношению к переменным t0, q° функцией
-S(^k; ШЧ-

Важность этого заключения будет выяснена, когда мы докажем,
что оба интеграла S(/]</; ...) и —S(,,., /0]<?°), которые мы таким
образом получили для уравнения Гамильтона—Якоби из самой функ-
ции S (/1 q; t01 q°), фиксируя в ней различным образом независимые
переменные (а следовательно, и произвольные постоянные), являются
полными.
Речь идет о том, чтобы проверить, согласно определению полного
интеграла (п. 35 гл, X), что смешанный функциональный опреде-
литель

d2S

dqhdq°

(h,j=l, 2, ..., п)

не будет равен нулю. Легко видеть, что это является естественным
следствием из нашего основного предположения: А ф 0. Действи-
тельно, так как при этом предположении для всякого решения а
лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой си-
стемы (31') имеют силу уравнения (50'), (50"), то ясно прежде всего,
что первые п уравнений (50"), которые можно написать в виде

о 3S / 	1 г>	ч

0=112......

суть не что иное, как уравнения, которые получатся путем решения
относительно р° уравнений qh = qh (t | qG | р°) рассматриваемого реше-
ния а, в предположении, что оно определено начальными значе-
ниями q и р (вместо q и q). Отсюда следует, что и, обратно, из
только что написанных уравнений можно получить q как функции
от I, <р, р°, для чего требуется, чтобы не обращался тождественно
в нуль функциональный определитель от —р® по q, т. е. смешан-
ный функциональный определитель



d2S

dqrfq}

(h, j = 1,2, ..., п).

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для
вывода уравнений (50'), (50") является в существенных чертах тем,
которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей
интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования урав-
нений в частных производных, показав, что если известна главная
функция S (t | q\ t01 q°), то можно определить посредством одних
только операций вида (50'), (50") общее решение лагранже-
вой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой
системы (31').

Немного позже Якоби показал, что для достижения той же самой
цели нет необходимости рассматривать совокупность двух уравнений
с частными производными (53'), (53") и еще менее необходимо
определять главную функцию; достаточно, как это было вполне
выяснено в п. 35 предыдущей главы, обратиться только к одному
из этих двух уравнений, например к первому, и найти для него
какой-нибудь полный интеграл.
28. Варьированное действие. Обращаясь к равенству (46), мы
можем повторить по отношению к нему все рассуждения, которые
были развиты в предыдущем пункте по поводу равенства (38). Урав-
нение (46) справедливо в том случае, когда кинетический потенциал 8 и,
следовательно, функция Гамильтона Н явно не зависят от 1; но здесь,
как и в п. 24, мы предположим, что уравнение Н = Е действительно
содержит dt, для чего, как известно (п. 23), необходимо и доста-
точно, чтобы функция 2 не являлась суммой двух однородных от-
носительно q функций соответственно первой и нулевой степени.

При этом предположении уравнение Ъ* Н —Ъ* Е, так как В* Н
явно содержит — не накладывает никаких ограничений ни на
вариацию 8*Е энергии, ни на 8^, но определяет только посредством
квадратуры вариацию 8^, когда произвольно заданы 8* Е, вариации 8</
(как функции от t) и, следовательно, кривая cv, бесконечно близкая
к траектории с решения а лагранжевой системы. Естественно, что
при более общем предположении надо допустить, что при переходе
от траектории с к произвольной бесконечно близкой кривой cv варьи-
руются также и крайние конфигурации.

Если к любому решению а лагранжевой системы (31) или соот-
ветствующей гамильтоновой системы (31') применим совершенно общую
асинхронную вариацию (даже не изоэнергетическую и с произволь-
ными перемещениями конечных конфигураций), то тождество (46)
сведется к тождеству

8*Д = р Рп + & -10) 8* Е,	(54)

где в первом члене правой части, для того чтобы выявить его исклю-
чительно геометрический характер, мы подставили вместо конечных
моментов tQ, tt соответствующие конфигурации Со, .

Тождество (54), как характеристическое для решений лагранжевой
системы, по сравнению со всеми возможными асинхронно-варьиро-
ванными решениями выражает так называемый принцип варьирован-
ного действия.

Для его исследования и истолкования полезно обратить внимание,
подобно тому, как это было сделано по отношению к равенству (50)
предыдущего пункта, на некоторые соображения >) о функциональной
природе действия

п

(45>

’) Т. L е v i - С i v i t а е U. Am al di, Condizioni atte ad assicurare 1’indi-
pendenza degli argomenti nella espressione hamiltoniana dell’azione vanata,
Rend. Acc, Uncei, (6), т. I, 1925, стр. 265— 272,
относящегося к нашему решению а, в промежутке времени от t0
до tu с целью показать, что после выполнения вычислений А можно
рассматривать как некоторую функцию от Е и от координат q° и q1
конечных, конфигураций (величины Е, q° и q1 составляют в своей
совокупности 2 п -f- 1 независимых аргументов).

Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зави-
сеть от t0, и от 2 п произвольных постоянных, которые входят
в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей
гамильтоновой системы (31') и которые мы можем отождествить с на-
чальными значениями q°, р° величин q и р. Наоборот, аргументы t0,
входят в А только в виде бинома —10; действительно, так как
дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное
появится в решении а и, следовательно, в функции под знаком А
только в виде бинома t —t0; отсюда следует, что после выполнения
интегрирования действие А будет зависеть только от 1\ —10 (но не
от Zj или t0 в отдельности).

Установив это, мы покажем теперь, что на основании системы
уравнений, состоящей из уравнения Н=Е и из уравнений (52)
произвольного решения а, отнесенных к конечному моменту и при
надлежащем добавочном качественном условии можно выразить одно-
значно р° и — tQ через q°, q1 и Е-, этим и будет доказано наше
утверждение.

Действительно, уравнения (52) при t = lt, если учесть, что Н не
зависит $т t, и все перенести в одну часть, можно написать в виде

(^-^t) + (2) = 0 (Л= 1,2,...,«); (52')
°Рп

теперь все сводится к тому, чтобы определить, при каких условиях
не будет тождественно равен нулю функциональный определитель
левых частей уравнений (52') и уравнения

Я(р°|?0) — f = О	(55)

по отношению к (/гЦ-1) аргументам р° и —10 при отличном
от t0 и достаточно близком к нему.

Элементы chk этого функционального определителя для первых п
строк и п столбцов (/г, k = 1, 2,. .. ,п) определяются на основании урав-
нений (52') равенствами

Q	+ (2) (A, k = 1, 2,...,«);

°Ph°Pk

для последнего столбца также на основании уравнения (52') имеем

_дЯ(р°|дО) . ,п	„

*7>,n+t л о "Mv (л = х, 2,,.,, и)
dPh
и для последней строки из уравнения (55)

_ д Я(р01 g0)	2	п\- с	— о

Si 4- 1,й---о ~ V* — *> ",... ,11)-, СП + 1, п+1 "•

°Рк

Для нашей цели достаточно оценить в определителе

Ы (/г, fe == 1, 2,...,	1)

члены наинизшей степени относительно бинома — /0; поэтому оче-
видно, что для элементов последнего столбца бесполезно учитывать
вторые слагаемые (1), так как они дали бы место членам порядка
выше того, который в общей сложности дают первые слагае-
мые. Таким образом, останется окаймленный определитель, который,
как известно, сводится к квадратичной форме относительно аргумен-
тов dHjdp\, имеющей коэффициентами алгебраические дополнения
элементов неокаймленного определителя

IIW	(h, k= 1, 2,...,«);

очевидно, что в каждом из этих алгебраических дополнений мы со-
храним член наинизшего порядка, пренебрегая в ch1i вторыми слагае-
мыми (2). Окончательно, если введем еще гессиан функции Гамильтона
по рн, т. е.

M-aSsd	<‘.‘ = 1.2.")

и для краткости положим

ШдН
дргдрг

дН
dpi
дН
др^

дН

______ дРп

о

дрп

увидим, что главная часть рассматриваемого определителя приводится к

где индекс 0 стоит для указания того, что вместо ph, qh надо подставить
их начальные значения. Таким образом, мы заключаем, что искомое
условие разрешимости будет заключаться в том, чтобы для началь-
ных значений, которые мы хотим задать, было

2	0.
Теперь остается только выразить это последнее условие, получен-
ное в „гамильтоновой форме", поскольку в него входят производные
от Н, через функцию Лагранжа.

Для этой цели заметим, что на основании второго ряда п урав-
нений системы (31') элементы dHjdph, находящиеся на кайме опреде-
лителя 2, можно непосредственно заменить через qh; с другой сто-
роны, оба гессиана Д и Дц соответственно от Й и Н, являются опре-
делителями с взаимно обратными элементами (предыдущая глава, п. 2).
Отсюда следует, что

1 v

Д д- д"
fe=i dqhdqh
к=1

4h4k

и для разрешимости системы (52'), (55) относительно ph и t—10
достаточно ввести, наряду с уже допущенными ограничениями, усло-
вие, что для рассматриваемых начальных значений квадратичная от-
носительно q форма

X	. ЯкЧк

дЧьдУк
к=1
не будет равна нулю.

Конечно, если, ограничиваясь анализом в подходящей окрест-
ности произвольного начального положения q^, мы хотим рассмотреть
все траектории, которые выходят из него в каком угодно направле-
нии, то необходимо убедиться, что это условие соблюдается (в соот-
ветствии с заданными значениями при любом выборе q^.

Это, несомненно, выполняется в динамическом случае даже и тогда,
когда живая сила Т не является однородной относительно q, так как
если обозначим, как обычно, через Т% ее квадратичную часть, то
будем иметь
п

X = >  —----- ЯкЧк = 272>

дЯк дЯк
к=1

а Га всегда представляет собой определенную (положительную) форму.

Таким образом, мы уточнили условия, очевидно, довольно широ-
кие, при которых действие А можно рассматривать как функцию
от 2п 1 независимых аргументов q°, q1 и Е. Если обратимся теперь
к тождеству (54), то вариацию 8*А, стоящую в левой части, можно
будет использовать, аналогично вариации 8*S предыдущего пункта,
в качестве полного дифференциала действия А относительно
2n-j-1 указанных выше аргументов; а так как равенство (54) удо-
влетворяется тождественно при каком угодно выборе бесконечно
малых приращений этих 2я -j-1 независимых между собой параме-
тров, то из него выводятся следующие уравнения, в которых, как

это уже делалось щены индексы 1:	в предыдущем пункте, для удобства письма опу-  (5n  (й=1,2,...я)  ^A(.^0Lg) = ^0,	(54'")

Эти уравнения, наравне с вариационным условием (54), из которого
они выводятся, будут тождественно удовлетворены любым решением
о заданной лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамиль-
тоновой системы (31'), которая, как мы уже знаем, имеет интеграл
W1Ч) = Б.

Отсюда легко видеть, что действие A (q |7° [ Е) в рассматриваемом
здесь случае, когда кинетический потенциал и, следовательно, функ-
ция Гамильтона не зависят от t (предыдущая глава, п. 38), приводит
к интегрированию лагранжевой системы или, точнее, соответствующей
гамильтоновой системы по методу Гамильтона — Якоби.

Действительно, если в функции A (q ] q° | Е) величины q будем
рассматривать как независимые переменные, a q°, Е — как параметры,
то равенства (54') в силу самого их происхождения обеспечат нам
то, что функция А будет удовлетворять уравнению

H^\q')=E,	(56)

т. е. уравнению Гамильтона — Якоби, соответствующему нашей диффе-
ренциальной системе (31) или (31').

Легко также видеть, что между п 1 постоянными параметрами
qfj и Е всегда можно выбрать п таких, что по отношению к ним
(и по отношению к п независимым переменным q) функция A (^j?0^)
будет представлять для уравнения Гамильтона—Якоби полный интеграл.

Согласно условию, которому должен удовлетворять полный интеграл
(п. 38, гл. X), все сводится к доказательству того, что функциональный
определитель от ph — dkjdq^ по я из параметров q° и Е не будет тожде-
ственно равен нулю. Заметим теперь, что система (54"), (54"') может
рассматриваться- как результат решения по отношению к р°, t—t0,
я1 уравнений, которые получатся путем присоединения уравнения
Н=Е к интегральным выражениям q через р°, q°, t—10. Отсюда
следует, что, обратно, эта система (54"), (54'") будет разрешима
по отношению к я -f-1 аргументам q и Е, а это обеспечивает, что
соответствующий функциональный определитель я -j-1 порядка
левых частей уравнений (54"), (54"') не будет тождественно равен
нулю.

Поэтому матрица, образованная из первых п столбцов этого функ-
ционального определителя, т. е. матрица

д2А	д2Х
dq^ dqt	dq°i dq2
д2Х	au
dq°2 dqx	dq° dq2
д2Х	д2Х
dqOndqy	dq°„dq2
д2Х	д2А
дЕ dqx	дЕ dq2

д2Х

dqi Qqn

д2Х

д^п

д2Х

дЯп
д2Х
дЕ dqn

будет иметь ранг п, и существование в этой матрице, по крайней
мере, одного определителя я-го порядка, не равного тождественно
нулю, обеспечивает то, что я из я -j-1 параметров q°, Е войдут
существенным образом в выражение A (q | q° | £), которое, таким
образом, действительно дает полный интеграл для уравнения Гамиль-
тона— Якоби.

Но в силу симметрии, которую представляет система (54'), (54"),
(54"') по отношению к q, q° (за исключением разве различных зна-
ков двух первых групп уравнений), предыдущее рассуждение можно
повторить, меняя в нем роль букв q, q°; таким образом, мы видим,
что действие A (q [ <7° ] Е), когда в нем в качестве независимых пере-
менных рассматриваются q°, а в качестве произвольных постоянных
я аргументов, надлежащим образом выбранных из я 1 аргументов
q и Е, дает полный интеграл уравнения

(56')

В том и другом случае уравнение (54"'), так же как уравнение
(746) п. 38 предыдущей главы, определяет закон движения.

В заключение этого исследования не бесполезно кратко изложить
условия, которые мы должны были последовательно вводить для
того, чтобы можно было выразить действие А через q, q° и Е и
чтобы были справедливы изложенные выше выводы. Этих условий
три: 1) лагранжева система должна быть нормальной, т. е. гессиан
кинетического потенциала 8 не должен быть тождественно равен
нулю; 2) функция Гамильтона H(q | q), по предположению, не зависящая
от /, должна явно содержать dt, т. е. не должна быть однородной
нулевой степени относительно q, для чего необходимо и достаточно,
чтобы 8 не была суммой двух однородных относительно q функций,
соответственно степени 0 и 1; 3) квадратичная форма

7.= У ~ЧкЧк

dqh дЧ1с

к=1

не должна быть равной нулю для начальных значений q°, q° вели-
чин q, q; это условие должно быть выполнено при всевозможных
значениях q°, если мы хотим рассматривать совокупность всех траек-
торий, выходящих из точки q°.

Здесь уместно следующее замечание, аналогичное сделанному
в конце предыдущего пункта. Уравнения (56'), (56"), которым
удовлетворяет действие A (q | q° | Е), в зависимости от того, рассматри-
ваются ли в качестве независимых переменных q или 7°, были найДены
Гамильтоном, который показал также, какую пользу можно извлечь
из действия А как для интегрирования соответствующей системы
Гамильтона, так и для обнаружения ее важных свойств. Якоби при-
надлежит также и в этом частном случае кинетического потенциала,
не зависящего от t, более легкий метод интегрирования гамильтоновой
системы, полностью развитый в п. 39 предыдущей главы и основан-
ный на знании какого-нибудь полного интеграла только одного
уравнения (56').

29.	Случай изоэнергетической вариации. Соображения предыду-
щего пункта относятся к совокупности всех траекторий лагранжевой
системы с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени.

Выберем некоторое определенное значение постоянной Е энергии,
чем будет определена система оо2”-2 траекторий или связка траек-
торий (п. 23), и подвергнем любое движение а, соответствующее этой
связке, какой-нибудь асинхронной изоэнергетической вариации, т. е.
вариации, которая оставляет неизменным значение Е энергии (§*£ — 0).
Вытекающее отсюда условие Ъ*Н — 0 при обычном предположении,
что Н действительно зависит от dt, не ограничивает никоим образом
кривую cv, бесконечно близкую к траектории с движения а, поэтому
из условия (54) мы получим в этом случае чисто геометрическое
вариационное условие

[п	'10'1

=0	(57)

Л=1	Jc„

в качестве характеристического для отдельных траекторий связки; это
условие выделяет траектории среди всевозможных бесконечно близких
кривых, которые могут и не иметь общих концов. Так как действие
можно выразить в функции от 2п рядов независимых параметров
q и 9°, то из уравнения (57) выводятся две системы уравнений (54'),
(54") предыдущего пункта.

Но при этом предполагается, что все это имеет место при наличии
трех условий, сформулированных в конце предыдущего пункта, а
так как эти условия будут удовлетворены во всякой консервативной
динамической задаче, то в этом случае соображения, указанные выше,
будут непосредственно применимы.

Мы уже знаем (п. 15), что для траекторий консервативной дина-
мической задачи действие допускает выражение

А = j* [/2(U+Ejds;
С

в частности, для траекторий соответствующих спонтанных движений
{U = 0) или геодезических линий метрического многообразия с ли-
нейным элементом ds2 — ‘ITdfi выражение для А принимает вид

А = \/2Es,

где s обозначает длину дуги геодезической линии, заключенной между
конечными конфигурациями.

Мы можем здесь добавить, что во всех этих случаях для действия
можно указать выражение A {q) q°), зависящее исключительно от
крайних конфигураций. Так, в частности, для длины дуги геодезиче-
ской линии имеем выражение, которое составляет очевидное обобще-
ние евклидовой формулы для расстояния между двумя точками обыкно-
венного пространства как длины соединяющего их отрезка.

Мы не будем останавливаться на доказательстве этого. В п. 30
мы укажем важное следствие из формулы (57). Здесь мы ограничимся
указанием, что это вариационное условие или эквивалентные ему
уравнения (54'), (54") удобны для анализа вида динамической траек-
тории, близкой к заданной, и приводят к установлению между
траекториями, проходящими через две заданные точки, известной сим-
метрии; из этой симметрии, в частности, вытекает важное соотно-
шение взаимности, относящееся к пучкам лучей, испускаемых двумя
световыми центрами в какую-нибудь оптическую среду ’).

30.	Теорема Бельтрами — Липшица. Выберем произвольно какую-
нибудь траекторию С лагранжевой системы (31).

Условие

п

2/Л=о-	(58)

h = l

См. Т. L е v i-C i v i t a, Una proprieta di simmetria delle traiettorie
dinamiche spiccate da due punti, Rend. Acc. Lincei, (5), т. XXVI, 1915j,
стр. 666—674.
в котором ph обозначают обобщенные количества движения d^.fdqh, отно-
сящиеся к с, можно истолковать в пространстве Гп координат q как со-
отношение, которое связывает в любой точке направление элементарного
перемещения ЪР, определяемого приращениями Zq, с обобщенными ко-
личествами движения р траектории с, или, если угодно, с соответ-
ствующими значениями q, или, в конечном счете, с направлением самой
траектории.

В динамическом случае спонтанного движения достаточно обра-
титься к соображениям п. 15 и ввести в пространство Г„ обычное
мероопределение ds2 == 2Т dt2, чтобы точно видеть, что условие (58)
выражает ортогональность перемещения 8Р к траектории или к геоде-
зической линии соответствующего метрического многообразия V„1J.
Если в более общем случае, оставаясь все же в пределах динамиче-
ского случая, мы предположим, что действующие силы консервативны,
но не равны нулю, и выберем некоторое значение для постоянной Е
энергии, то, как мы знаем, соответствующая связка траекторий будет
тождественна с совокупностью геодезических линий метрического мно-
гообразия с линейным элементом

ds2 = 2 (С74- Е) ds2 = 4 (UЕ) Т dP,

так что соотношение (58) будет все еще определять ортогональность
между перемещением 8Р и траекторией, но по отношению к этому
последнему мероопределению, а не к мероопределению, соответствую-
щему простой живой силе. Так, например,«если речь идет о свободной
точке (с массой, равной единице), находящейся под действием силы,
являющейся производной от потенциала U(x,y, г), то следует рас-
сматривать уже не евклидову метрику физического пространства,
определяемую обычным соотношением ds2 — dx2 -|- dy2 dz2, а мет-
рику некоторого воображаемого пространства, линейный элемент кото-
рого ds2 отличается от элемента ds2 на позиционный множитель.

Для удобства выражения мы условимся здесь вообще применять
терминологию, точный геометрический смысл которой был выяснен
в только что указанных случаях; и всякий раз как перемещение 8Р
и траектория, выходящие из одной и той же точки Р, будут удовле-
творять уравнению (58), мы будем называть их ортогональными, даже
если мы не захотим или не Сможем ввести в абстрактное простран-
ство Г„ координат q метрику, которая вносит в этот способ выраже-
ния точное геометрическое содержание. В соответствии с этим согла-
шением мы скажем, что траектория, проходящая через некоторую
точку Р любой гиперповерхности или многообразия с я — 1 измере-
ниями из пространства Гп будет ортогональна к этой гиперповерхности,
если она ортогональна ко всем перемещениям 8Р, которые переводят

2) См. например, Т. L е v i-C i v i t a, Lezioni di Calcolo differenziale assoluto;
Рим, 1925, гл. V, § 22.

29 Зак. 236в. Т. Леви-Чивита и У. Ам а ль ди
точку Р в другую бесконечно близкую точку той же самой гипер-
поверхности а.

Заметив это, вспомним, что когда 8 не зависит от t, траектории
связки составляют многообразие оо* 2”-2 измерений, и потому в про-
странстве Ги конфигураций одна и только одна из них проходит
через заданную точку в заданном направлении. Отсюда следует,
что если дана произвольная гиперповерхность а0, то через всякую ее
точку, по крайней мере в некоторой области, проходит одна и только
одна траектория рассматриваемой связки в направлении, ортогональ-
ном к о0. Можно представить себе, что для каждой из оо”-1 траек-
торий определено действие А, начиная от точки Ро; в геодезическом
случае, как уже не раз указывалось, действие А тождественно с дли-
ной дуги, измеряемой от точки Ро. Если каждой точке Ро сопоставим
на соответствующей траектории ту точку Р, в которой действие
достигает некоторого произвольно заданного значения а, то геоме-
трическим местом таких точек Р будет новая гиперповерхность.
Существует замечательное свойство, что рассматриваемые траекто-
рии будут все ортогональными также и к этой гиперповерхности.

Это является почти непосредственным следствием из формулы (57).
Действительно, на гиперповерхности а действие А в силу самого опре-
деления а имеет постоянное значение а, так что для произвольного
перемещения по поверхности имеем 8А = 0. Так как в силу ортого-
нальности каждой из рассматриваемых траекторий в ее начальной
точке Ро к исходной поверхности а0 справедливо соотношение

Л = 1

то из формулы (57) получим, что на другом конце траектории имеет
место аналогичное тождество

п

Л = 1

которое как раз и выражает утверждаемую ортогональность отдельных
траекторий к гиперповерхности а.

Эта теорема для случая геодезических линий принадлежит Бель-
трами 9, а обобщение ее на связки динамических траекторий при-
надлежит Липшицу3).

Мы получим известное и в то же время важное следствие, рас-
сматривая совокупность траекторий связки, которые выходят из одной
и той же точки Ро в со”-1 возможных направлениях. Мы имеем здесь

2) Сочинения, т. II, стр. 89.

2) Crelle, т. 74 (1871), стр. 116 —149. Рудольф Липшиц родился в
Кёнигсберге в 1832 г., умер в Бонне в 1903 г.; был профессором Боннского

университета. Он прежде всего был аналистом, но внес также важный вклад,
в механику и в теорию чисел.
дело с тем случаем, когда исходная поверхность а0, стягиваясь, сво-
дится к точке Ро, и установленная выше теорема непосредственно
дает, что эти со”-1 траекторий ортогонально пересекаются всякой
поверхностью А = const.

В виде частного приложения мы можем представить себе световые
лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициен-
том преломления п(х,у, г), меняющимся от точки к точке. Как мы
уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими
линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом
dsl = nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического
(евклидова) пространства. Так как элемент dst отличается только
позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные
количества движения р траекторий будут также отличаться только на
локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей
касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58)
приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в эле-
ментарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18,
nds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется
свету, чтобы пройти элемент пути ds; следовательно, действие сво-
дится к времени распространения света. Таким образом, мы на осно-
вании теоремы Бедьтрами— Липшица заключаем, что световые лучи,
которые в заданный момент выходят из заданной поверхности о0
в направлении, ортогональном к а0, или, в частности, из един-
ственного центра, остаются всегда ортогональными к поверх-
ности /= const, каков бы ни был показатель преломления п, т. е.
какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, пред-
ставляющие собой геометрические места точек, к которым свет при-
ходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые
волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13).

Важный предельный случай предыдущего предложения мы будем
иметь, рассматривая среду, в которой показатель изменяется внезапно
при переходе через некоторую поверхность а, оставаясь приблизи-
тельно постоянным (но с разными значениями) с одной и с другой
стороны. Выполнив в обратном порядке рассуждения п. 18 и перейдя
к пределу, мы будем иметь случай лучей с прямолинейным ходом
с обеих сторон от поверхности а, которые испытывают преломление
при пересечении с этой поверхностью. Установленное выше предложение
приводит к известной теореме Малюса—Дюпена’, если пучок свето-
вых лучей, выходящих из некоторого центра или, вообще, нор-
мальных к заданной поверхности, подвергается какому угодно
числу преломлений, то пучок лучей, выходящих из последней
поверхности, будет попрежнему состоять из нормалей к некот
рому семейству поверхностей.

В дополнение к теореме Бельтрами — Липшица укажем еще на
новые исследования, направленные на ее обращение, т. е. на опреде-
ление таких траекторий консервативного пучка и, следовательно
таких геодезических линий подходящего метрического многообразия
из оо2”-2 кривых (пространства Ги координат q), которые обладают
тем свойством, что оо”-1 кривых системы, отрывающихся ортогонально
от одной какой-нибудь гиперповерхности, остаются нормалями со1
гиперповерхностей, т. е. ортогонально пересекаются оо1 гиперповерх-
ностей *).

§ 7. Обобщение принципа Гамильтона, принадлежащее
Гельмгольцу

31.	Принцип Гамильтона, распространенный в п. 19 на нормальные
лагранжевы системы, устанавливает эквивалентность между любой
такой системой (31) и условием стационарности 85 = 0 соответствую-
щего интеграла

*1

S =	(16)

to

по отношению ко всем синхронным и только синхронным вариациям
любого движения а между одними и теми же крайними конфигура-
циями, к которому относится этот интеграл. Такая вариация опреде-
ляется п бесконечно малыми функциями 8<у от t, произвольными в
промежутке от t0 до tx, но исчезающими в моменты, соответствующие
крайним положениям.

Далее, вспоминая, что 8g суть не что иное, как производные по
времени от 8g (п. 6), и принимая во внимание уравнения, определяю-
щие обобщенные количества движения

(Л=1, 2....П),

мы увидим, что вариации 8р не остаются произвольными, а будут
однозначно определены как линейные однородные функции от 8g, 8g;
поэтому, если ввести характеристическую функцию Гамильтона

п	п

и написать интеграл (16) в виде

п

S =	—	(16')

to h— 1

См„ в частности, E. Kasner, The theorem, и т. д., Trans, of the Amer.
Math. Society, t. 11, 1910, стр. 121—140. J. Lipka, On Hamilton’s canonical
equations. Bull, of the Massachusetts Institute of Technology, сер. II, №48,
1923, стр. 31—46. J. A. Schouten, Ueber die Umkehrung eines Satzes von
Lipschitz, Nieuw Archief voor Wiskunde (Groningen, 1926).
то эквивалентность, утверждаемая принципом Гамильтона, будет иметь
место, так как в синхронной вариации 8S вариации 8р рассматриваются
уже не произвольными, а связанными с 8<у, 87, как было сказано
выше.

Гельмгольц заметил, что если интеграл, S берется в виде (16') и
функция Н рассматривается в нем выраженной через р, q и, воз-
можно, через t и если в соответствующей синхронной вариации 8S
вариации рассматриваются как произвольные наравне с Zq (при
%qh = 0 при t = t0 и при t = tj, но без какого бы то ни было огра-
ничения для 8р), то условие 8S — 0 будет все еще эквивалентно
лагранжевой системе (31) или, что одно и то же, в предположении
Д -ф. 0, гамильтоновой системе

л=-^- Ь-f; (* = 1,2,....»). (31')

Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из
8S = 0 следуют уравнения (31'), потому что 8S обращается в нуль
при всяком возможном выборе 8/7 (и 8</), что несомненно оправды-
вается, в частности, когда вариациям Ър приписываются те значения
в виде линейных функций от 6</, 8</, которые выводятся из уравне-
ний, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее,
что в то время как в обычном понимании вариация интеграла S гео-
метрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого,
произвольного изменения изображающей кривой в пространстве Г„
конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение
Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно
малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве Ф2п
(между теми же крайними значениями для q, но не необходимо для р).

Доказательство справедливости обратного свойства, т. е. доказа-
тельство того, что из уравнений (31') следует 6S = 0, может быть
найдено также непосредственно. Прежде всего, вводя в формулу
(16') символ синхронной вариации 8 под знак интеграла, будем иметь

i, п	£, п

8S = J “	" 2	Q.

t„ A=1	t0 Й=1	11	"

после чего, применяя к первому слагаемому интегрирование по частям
и замечая, что члены с пределами интегрирования исчезают вместе
с 8</, получим

#1 п

8S = J dt 2 | — (рп + Zqh 4- [qn —	;

«о А=1	л	>

эта вариация тождественно обращается в нуль в силу гамильтоновой
системы (31')-
Мы не прибавим ничего другого к этому указанию, ограничиваясь
напоминанием, что важные следствия из этого обобщения принципа
Гамильтона были даны Пуанкаре1).

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Проверить, что в случае материальной точки, удерживаемой на поверх-
ности без трения, принцип прямейшего пути (п. 5) определяет траекторию
как такую кривую, которая во всякой своей точке имеет наименьшую кри-
визну по сравнению со всеми другими кривыми, проведенными на поверх-
ности и выходящими из этой точки в том же самом направлении (опреде-
ляемом состоянием движения).

2.	Пусть две динамические консервативные системы определяются одна
живой силой Ги потенциалом U, а другая живой силой ХГи потенциалом
где X обозначает какую-нибудь функцию от лагранжевых координат. Прове-
рить, применяя выводы п. 17, что две соответствующие связи траекторий,
для которых полная энергия равна нулю, совпадают.

Обозначив через V какую-нибудь функцию от q, достаточно положить
чтобы придать предыдущему результату следующую более симметричную
форму: две связки траекторий, принадлежащие двум консервативным дина-
мическим системам,	__

(/Ж и), (Уиг, V),
совпадают.

3.	Изометрические преобразования. Известно, что квадрат
линейного элемента любой поверхности посредством надлежащего выбора
криволинейных координат х, у может быть всегда представлен в виде
ds2 = X (dx2 dj'2), где X есть функция от х, у.

Поэтому геодезические линии поверхности будут тождественны (п. 17)
с пучком траекторий плоского движения материальной точки (единичной
массы), находящейся под действием консервативных сил, производных от
потенциала Х/2, если полная энергия точки равна нулю.

Изометрическим называется всякое преобразование криволинейных
координат поверхности, которое можно представить в виде

£ + й) = w(x + iy),	(1)

где w обозначает моногенную функцию комплексного переменного х -|- iy.
Это название оправдывается тем, что (как это можно проверить непосред-
ственно, дифференцируя уравнение (1) и приравнивая квадраты модулей
в обеих частях)

d?2 + d-G2 = I w' |2 (dx2 + dy^.

Вывести отсюда, что если известно решение плоской динамической задачи,
соответствующей заданному потенциалу U (х, у), то можно прямо указать
пучок траекторий для аналогичной задачи, соответствующей потенциалу

1) Н. Poincare, Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, t. Ill,

.л XXIX.
где С есть произвольная постоянная при условии, что полная энергия точки
равна нулю1).

4.	Брахистохрона. Если в силовом поле, производном от единич-
ного потенциала U (х, у, г), точка (с массой, равной единице) удерживается
без трения на кривой и описывает на ней всегда в одном направлении дугу с,
заключенную между двумя точками, и если через s мы обозначим криволи-
нейную абсциссу на кривой с (отсчитываемую в направлении движения), то
продолжительность t движения определится соотношением

здесь в силу теоремы живых сил (гл. I, п. 12)

^ = ^ + 2(t/-t/x),	(2)

где и — начальные значения абсолютной величины скорости и потен-
циала.

Задача о брахистохроне (для заданного силового поля) формулируется
так: оставляя неизменными два конца А и В, определить дугу кривой с так,
чтобы продолжительность < пробега была наименьшей. Эта задача впервые
была поставлена и решена в 1696 г. Иваном Бернулли для случая силы тяже-
сти (U — gy, если ось у вертикальна и направлена вниз) и послужила исход-
ным пунктом вариационного исчисления.

С аналитической точки зрения эта задача, очевидно, тождественна с за-
дачей об определении, по принципу Ферма, хода световых лучей в оптической
среде с заданным показателем преломления 1/ц (п. 18); как мы уже имели
случай указать (только что упомянутый пункт), кривая с, разрешающая за-
дачу, принадлежит к связке траекторий, удовлетворяющей условию Е — О
и соответствующей свободному движению в силовом поле с единичным по-
тенциалом

1

2о2 ’

где v определяется равенством (2).

Для этого свободного движения абсолютная величина скорости V на
основании интеграла живых сил определяетсся равенством

обозначая через г радиус кривизны дуги с и приравнивая проекции ускоре-
ния и активной силы на главную нормаль п (направленную к центру), будем
иметь

_____1 dv2

г ~ 2 dnv2 ~~	2г»4 dn ’

отсюда, исключая V и имея в виду (2), придем к равенству

i) Gours at (с последующим замечанием Дарбу). Comptes rendus, т. 108,

1889, стр. 446—450.
С другой стороны, при движении со связями, реакция кривой, направлен-
ная по главной нормали, определяется соотношением (гл. I, п. 5)

о2	т>2 dU

Rn =-----Рп —-----~т~-

п г	" г dn

Отсюда, принимая во внимание равенство (3), заключаем (теорема Эйлера),
что при движении по брахистохроне в каком-нибудь силовом поле реак-
ция кривой в любой момент прямо противоположна удвоенной соста-
вляющей активной силы по главной нормали.

5.	Брахистохрона в поле силы тяжести. Как уже было от-
мечено, этот случай входит в задачу предыдущего упражнения при условии
U = gy, если ось у вертикальна и направлена вниз. Если для краткости обозна-
чим через —_у0 постоянную — 2UА, то интеграл, который мы хотим сделать
минимальным, в этом случае принимает вид

f ds

Прямой вывод вида кривой с из условия стационарности этого интеграла
излагается и иллюстрируется во многих курсах механики и вариационного
исчисления 1). Здесь же мы составим себе представление о ней на основании
теоремы об эквивалентности п. 18, в), рассматривая эту кривую как при-
надлежащую к связке траекторий с нулевой полной энергией при движении
свободной точки, находящейся в силовом поле с единичным потенциалом

1

4g (у — УоУ

Обратимся к общему случаю, когда две точки А, В не лежат на одной и
той же вертикали и определяют вертикальную плоскость. Рассматриваемое
движение происходит в этой плоскости, лишь бы, конечно, в ней лежала
начальная скорость; если эту плоскость движения мы примем за плоскость
координат z = 0 (сохраняя постоянно ось у вертикальной и направленной
вниз), то дифференциальные уравнения движения будут иметь вид

х —0, у— — 4£0,_л)2 •

Так как отсюда следует х = const = Хф а, с другой стороны, интеграл
живых сил, в котором, согласно условию нашей задачи, надо положить Е = О,
дает

х2 + _Р2 — -к~,— -г- — О,

J	2(_у— _у0)

то достаточно исключить dt посредством соотношения dx — х0 dt (что можно
сделать, так как х0 в СИЛУ предположения, что А и В не принадлежат одной
вертикали, будет, конечно, отлично от нуля) и положить для краткости

^Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946; Л а в р ен т ь е в М. А.
и ЛюстерникЛ. А., Курс вариационного исчисления, 1950.
чтобы получить уравнение

1 '	2*

^Уах) у-у0>

(4)

которое дает дифференциальное уравнение искомой брахистохроны.

Это уравнение удобнее интегрировать в параметрической форме; для
этого, так как правая часть будет, коцечно, больше или равна единице,
положим

0

у —уа = 2а cos2 -3- = а (1 + cos 0).	(5)

Этим угол в, предполагаемый заключенным между — л и тс, будет опре-
делен, по крайней мере, с точностью до знака, который мы выберем немного'
позже. Из равенств (4), (5) следует

\dx ) g 2 ’

поэтому, извлекая квадратный корень и пользуясь произвольностью выбора
знака б, можем положить

После этого, дифференцируя уравнение (5) и исключая посредством
только что найденного уравнения dy, получим

dx = 2а cos2 ~ d0 = а (1 4- cos 6) d0;

отсюда, обозначая через ха постоянную интеграции, заключаем, что
х — х0 = а (0 4- sin 6).	(6)

Уравнения (5), (6) дают искомое представление брахистохроны; доста-
точно перенести начало в точку с координатами х0, _у0 (полагая с = х—х0,
V] = у — _у0), чтобы видеть, что мы имеем здесь циклоиду, отнесенную к сво-
ему основанию, как оси х, и с вогнутостью вверх (т. I, гл. V, п. 43).

Предоставляем читателю определение постоянных на основе данных во-
проса (координат точек А и В), равно как и проверку того, что если А и В
находятся на одной и той же вертикали, то брахистохрона сводится к соеди-
няющему их отрезку.

6.	В п. 20 мы видели, что даже в случае, когда 8 (д|<?) является однород-
ной функцией первой степени относительно q, условие стационарности инте-
грала

S = /S(£lrf<7)

С

определяет, каков бы ни был параметр t, уравнения Лагранжа

2/,=--------------= 0	(й= 1, 2, ...,й);

dt dqh dqh

как мы уже знаем, эти уравнения не будут независимыми между собой, так
что задача будет определена только тогда, когда прибавляется еще одно-
уравнение (например, (35) в п. 20), которое как раз и служит для определе-
ния параметра t.
Примем, в частности, за 8 (<? | dq) функцию

f(x, у, z)ds=f(x, у, z) /dx2 -{- dy2 + dz2,
где f есть какая-нибудь функция от х, у, z; тогда первое из уравнений
Лагранжа будет иметь вид

d fx	df ;------------—

— ,z-.	. F---------V х3 + у2 + z2 = 0;

dt И х2 -|- _у2 + z2 дх

а два другие будут аналогичны ему; если за параметр t возьмем дугу з,
в силу чего радикал сведется к единице, то три лагранжевых уравнения
можно будет соединить в одно векторное уравнение:

4- F = 0,	(7)

ds	' '

где t обозначает единичный вектор касательной к неизвестной кривой, для
которой интеграл S,принимает стационарное значение, a F—силу, производ-
ную от потенциала—f.

Заметив это, сравним уравнение (7) с уравнением равновесия нити (т. I,
гл. X1V, п. 19)

ds

и вспомним, что между натяжением Т и потенциалом U существует соотно-
шение Т -ф- U = const (там же, п. 37) или прямо Т + U = 0, лишь бы была
выбрана надлежащим образом аддитивная произвольная постоянная потен-
циала.

Таким образом, мы видим, что кривые, для которых интеграл S прини-
мает стационарное значение, допускают, помимо различных уже указанных
истолкований (геодезические траектории связки, световые лучи, брахисто-
хроны), еще и следующее: они могут рассматриваться как конфигурации
равновесия гибкой и нерастяжимой нити в поле силы с единичным потен-
циалом

U = — /(х, у, z).

7.	Из теорем об эквивалентности § 4 следует, что если известно движе-
ние консервативной динамической системы с живой силой Ти потенциалом U,
то мы сможем указать и спонтанное движение, соответствующее живой силе
(U Е) Т при Е = const. Отсюда еще не следует, что если функции Т и U
имеют форму Штеккеля (гл. X, п. 64), то то же справедливо и для функции
(U + Е) Т. Проверить, что это действительно имеет место, установив, что
(t7-|-£) Т входит в тип живой силы Штеккеля, если вместо подставлены
выражения

(h = 1, 2, .... л),
а для v <п сохраняют первоначальные значения.

8.	Замкнутые траектории. Теорем,а Уиттекера. Как мы
уже знаем (п. 15), траектории консервативной динамической системы, при-
надлежащие к определенной связке, дают интегралу

А = J /2(774-£)ds

С

стационарное значение при соответствующем значении энергии Е.
Из этого свойства Уиттекер1) получил очень важный критерий суще-
ствования замкнутых траекторий.

Обратимся для определенности к плоскому движению и предположим,
что S есть двухсвязная область плоскости движения (т. е. такая область,
которая путем непрерывной деформации может быть превращена в круго-
вое кольцо), ограниченная с внутренней стороны замкнутой кривой clt
а с внешней замкнутой кривой с2, причем С{ и с2 представляют собою кри-
вые без двойных точек и с непрерывно вращающейся касательной.

Будем называть кривой. С всякую замкнутую кривую из S (тоже без
двойных точек и с непрерывно вращающейся касательной), которая путем
непрерывной деформации внутри S может быть превращена в cj (и, следо-
вательно, также и в с,).

Предположим теперь, что во всей области S потенциал U остается пра-
вильным и действие А, вычисленное вдоль каждой из кривых cf(z = l, 2),
уменьшается, когда вместо рассматриваемой кривой с4 подставляется какая-
нибудь кривая с, достаточно близкая к с{ (возможно, и совпадающая в неко-
торой части с cit что, конечно, должно быть оговорено) и внутренняя для S.
Это второе условие, как показал Уиттекер, будет, наверное, удовлетворено,
если для каждой кривой С< имеет место неравенство

U+ Е IdU
R 2 dn>V‘

где п обозначает в обоих случаях нормаль к кривой с$, направленную на-
ружу от S, а /? есть радиус кривизны кривой с4-, считаемый положительным
или отрицательным, смотря по тому, будет ли центр кривизны лежать на
положительной полупрямой нормали п или на противоположной ей полу-
прямой. Как мы знаем, такое неравенство можно непосредственно проверить
по данным задачи.

Далее, Уиттекер отметил, что при предыдущих предположениях среди
кривых с из области S наверное имеется траектория рассматриваемой дина-
мической задачи.

Рассуждения Уиттекера, сделанные вполне строгими Синьорини1 2) и от-
личным от него путем Тоннелли 3), просты и ясны и, по существу, сводятся
к следующим замечаниям.

Интеграл А, существенмо положительный, можно рассматривать как
функцию от различных кривых с из области S; среди этого множества кри-
вых, по крайней мере, одна, которую обозначим через с, дает действию
А наименьшее значение 4).

Эта кривая с не может (даже частично)- совпадать с Cj или с с2. Дей-
ствительно, если бы некоторая дуга кривой с составляла часть одной из кри-
вых с^, то достаточно было бы сместить эту дугу немного внутрь S, для
того чтобы уменьшить, согласно допущенным предположениям, соответ-
ствующее значение А; а это противоречит тому, что действие А имеет

1) См. Е. Т. Уиттекер, Аналитическая динамика, перевод Малкина
с 3-го английского изд., ОНТИ, 1937, § 168, стр. 424—427.

5) Rend- Circ. mat. di Palermo, т. XXXIII, 1912, стр. 187—193.

3) Rend. Lincei, сер. 5a, т. XXI, 1912, стр. 251—258, 332—334.

4) Это место доказательства требует дальнейшего критического анализа,
аналогичного тому классическому, который был установлен по поводу прин-
ципа Дирихле. В то время как существование нижнего предела для значе-
ний интеграла А в совокупности кривых с несомненно, заранее неизвестно,
что этот нижний предел действительно может быть достигнут для некото-
рой кривой с совокупности.
минимум для дуги с. К этому можно добавить, что дуга с не может иметь
с дугами Ci или с2 даже изолированных общих точек, так что она будет
целиком внутренней для S.	_

Отсюда следует, что также и всякая кривая с, близкая к с, является
внутренней для S, и свойство минимума А вдоль кривой с обеспечивает
нам, что &А = 0, когда делается переход от с к какой-нибудь бесконечно
близкой кривой с. Но замкнутую кривую с можно рассматривать как дугу,
имеющую концы, совпадающие в произвольной ее точке А. Достаточно
теперь обратиться к кривой с, бесконечно близкой к с и проходящей тоже
через А, чтобы можно было заключить на основании п. 15, что кривая с
есть траектория динамической задачи.

9.	Доказать, что если 2 есть функция не только от qb q2, qn, t и
от q, но также и от вторых производных q, то условие для того, чтобы
интеграл

Л

S = J й dt

^0

был стационарным по отношению ко всем синхронно-варьированным движе-
ниям между теми же конечными конфигурациями п. 6, будет выражаться
дифференциальной системой

d2 ЭЙ d дЯ . ЭЙ „	..	, „	.

-----— —------;---1-----= 0 (Л = 1, 2, ..., п),
df dqh dt dqh dq^

и проверить, что если функция й явно не зависит от t, то эта система допу-
скает интеграл

d Эй \
dr dqhJ

qh — % = const.

10.	В соответствии с рассуждениями п. 20 доказать, что для какой-
нибудь лагранжевой системы с кинетическим потенциалом й, не зависящим
от времени, функция Гамильтона

п

будет постоянной (в силу чего обобщенный интеграл энергии становится
иллюзорным) только тогда, когда Й, по крайней мере с точностью до несу-
щественной аддитивной постоянной, сводится к однородной функции первой
степени относительно q.

11.	Гельмгольц показал, как путем введения подходящих игнорируемых
координат можно построить механическую модель термических явлений, и,
в частности, он получил из варьированного действия конкретное выражение
для энтропии, а также некоторые свойства взаимности, которые находят
многочисленные экспериментальные подтверждения. В отношении этих тер-
модинамических приложений мы отсылаем читателя к Больцману1).

12.	Обобщение принципа Гамильтона, изложенное в п. 31, приводит
к каноническим уравнениям. Гельмгольц указал также новую форму обоб-
щения того принципа Гамильтона, которая, наоборот, приводит к уравне-
ниям Лагранжа. Пусть 8 есть какая-нибудь функция от 2я -j-1 аргументов
?1> Як  > Яп> 21>	•••> zn> * и ПУСТЬ

11

/1=1

Условие стационарности интеграла

t,

§ = J Л dt

относительно приращений t>q, Вг, произвольных в промежуточные моменты
и равных нулю в крайние моменты ta, выражается дифференциальными
уравнениями

d ( д^\	dZ .	„	, n

zh-<lh> dt\dzh)	dqh~°	(h-1, 2,	n),

которые по исключении z, очевидно, сводятся к уравнениям Лагранжа.

К) Boltzmann, Vorlesungen fiber die Prinzipe der Mechanik, Leipzig,
1904; ч. II, стр. 162—209.

Людвиг Больцман родился в Вене в 1844 г., умер в Дуино (Триест)
в 1906 г. С 1876 до 1889 г. был профессором опытной физики в Грацском
университете, а после этого профессором теоретической физики в универси-
тетах Монако, Лейпцига и Вены. Внес важный вклад как экспериментатор,
но удивительных результатов достиг в теоретической области благодаря
своим исследованиям по кинетической теории газов и по термодинамике.
Он был убежденным атомистом в ту эпоху, когда из-за отсутствия реальной
экспериментальной базы для доказательства физической действительности
молекул огромное большинство физиков рассматривало 'атомизм как чисто
абстрактное учение, заменимое во всех его конкретных следствиях феноме-
нологическими взглядами. Имея логический ум и живой темперамент ора-
тора и полемиста, он оставил наряду с систематическими трактатами по тео-
рии газа, по аналитической механике и по теории электромагнитных явлений
(Максвелла) один том публицистических сочинений (2-е изд., Лейпциг, 1919).
Его научные мемуары немного спустя после его смерти были собраны в трех
томах (Лейпциг, 1909).
Глава XII

ТЕОРИЯ УДАРА

§ 1. Основные уравнения. Удар в элементарном случае

1. Общие соображения. В предыдущих главах мы изучали движе-
ние материальных систем за такие промежутки времени, в течение
которых явление представляется непрерывным. Точнее, мы всегда
предполагали, что координаты отдельных точек системы во время
движения суть непрерывные функции времени вместе с их первыми,
а, возможно, и вторыми и т. д. производными. Но может случиться,
что точки материальной системы, начиная с определенного момента,
в течение очень короткого промежутка времени резко изменяют ско-
рости без того, чтобы за то же время система заметно изменила свое
положение.

Мы уже видели (т. I, гл. VIII, § 4), что в случае свободной
точки Р это произойдет всякий , раз, как в точке Р будет приложен
удар, т. е. некоторая сила F, которая, действуя на точку Р в тече-
ние очень короткого промежутка времени и, следующего за данным
моментом /0, достигает за этот промежуток очень большой интенсив-
ности. Уже тогда мы уточнили природу этих ударов, принимая в ка-
честве основного условия требование, чтобы был определенным и
конечным мгновенный импульс

/ = lim f F dt,	(1)

7->0
4)

представляющий собой в силу самого определения динамический эле-
мент, который должен быть введен в постановку задачи механики,
когда имеют место удары.

Из основного уравнения механики ma = F посредством интегри-
рования по времени от /0 до	и перехода к пределу при т,

стремящемся к нулю, мы видели, что удар: а) действительно опреде-
ляет для скорости V точки Р резкое изменение, связанное с импуль-
сом (1) соотношением, основным для этой теории:

mAV = f;	(2)

б) оставляет неизменным положение точки.

В случае свободной точки это и будут характерные обстоятель-
ства так называемого импульсивного движения (движения под дей-
ствием мгновенных сил). С точки зрения кинематической в этом дви-
женин нужно рассматривать, помимо момента t0 и положения точки,
две различные скорости, которые появляются как предельные значе-
ния скорости точки Р в моменты, непосредственно предшествующий
и непосредственно следующий за t0. Мы назовем их соответственно
скоростью до удара и скоростью после удара и обозначим через т>-
и т>+, так что следует положить

Дт> i= т>+ — v~.

Возвращаясь к равенству (2), добавим здесь, что оно остается в силе,
если даже к точке одновременно с ударом приложены другие обыч-
ные силы, т. е. силы, которые сохраняют конечную величину при
стремлении т к нулю. Это прямо следует из того, что для всякой
такой силы мгновенный импульс (1) будет равен нулю. Поэтому
можно сказать, что на внезапное изменение скорости, происходящее
от удара, не влияет совместное действие какого угодно числа обык-
новенных сил.

После этих предварительных замечаний, относящихся к свобод-
ной точке, перейдем к случаю какой угодно материальной системы.
Возьмем в качестве образца физические явления, которые можно на-
блюдать, когда биллиардный шар получает удар кием, когда забивают
в стену гвоздь ударами молотка, или когда два твердых тела
сталкиваются между собой, и обратимся к материальной системе S
из N точек Р4(г=1,2, .. . , N) с какими угодно связями. Если
система S находится под действием каких угодно сил и, начиная
с определенного момента t0, в течение очень короткого промежутка
времени т на нее будут действовать еще и удары, то непосредственно
уже не будут приложимы выводы, которые в случае свободной точки
позволили нам заключить, что происходит только резкое изменение
скорости, а положение точки остается неизменным.

Здесь в силу действия связей (будем иметь в виду, например,
твердое тело) активные удары вызывают в системе S другйе удары
реактивной природы, поведение которых заранее неизвестно. Если
мы хотим рассуждать строго, то должны принять, что полный эф-
фект прямо приложенных ударов и ударов, происходящих от реак-
ций связей, будет тот же самый, который имеет место в случае уда-
ров, приложенных к свободной точке, т. е. что прямо приложенные
удары и удары реакций связей вызывают для отдельных точек Р{
резкие изменения скоростей, но не изменяют заметно их поло-
жений.

Вольтерра показал, как это логическое требование можно удов-
летворить для одного очень общего класса систем со связями, а
именно для тех систем, для которых имеет силу теорема живых сил.
Мы рассмотрим соображения Вольтерра в § 6, а пока согласно
с установившимся изложением этой теории допустим, в качестве ха-
рактеристического постулата для импульсивного движения систем,
что точки, материальной системы с какими угодно связями^
-находящейся под действием прямо приложенных импульсов, могут
испытывать резкие изменения скоростей, но сохраняют прибли-
зительно неизменным свое положение.

Поэтому соответственно каждому моменту, в который происходит
удар, надо различать для системы состояние движения до и после
удара. Задача исследования движения под действием мгновенных сил
будет поэтому состоять в том, чтобы определить состояние движе-
ния после удара, если известно положение системы и кинематическое
состояние ее до удара, а также, конечно, связи и те физические
обстоятельства, которые определяют явление удара и которые, вообще
говоря, можно представить в виде прямо приложенных ударов или,
точнее, в виде соответствующих мгновенных импульсов.

Во всяком случае к каждой точке системы будет приложимо
основное уравнение (2) с тем условием, что I обозначает в нем ре-
зультирующую всех мгновенных импульсов, активных и реактивных,
действующих на точку.

2.	Следствия из принципа реакций. Отнесем данную материальную
систему S к галилеевым осям 2£т]С и рассмотрим очень короткий
промежуток времени т, в течение которого на систему среди прочих
приложенных сил действуют силы, имеющие характер ударов в смысле,
разъясненном в предыдущем пункте; каждая такая сила на основа-
нии уравнения (1) дает импульс I, не равный нулю. Вводя в виде
вспомогательных неизвестных возможные реактивные удары, возни-
кающие в отдельных точках вследствие наличия связей, мы будем
отличать между силами как обыкновенными, так и ударными, дей-
ствующими на любую точку Pi4 силы внешнего происхождения от
сил внутренних и будем обозначать через результирующую пер-
вых сил. Совокупность всех внутренних сил, действующих на систему
в силу равенства действия и противодействия, составляет векторно
уравновешенную систему (т. е. систему с равными нулю результи-
рующей и результирующим моментом); поэтому для любого момента
будут оставаться в силе основные уравнения движения (гл. V, § 2):

(4)

где, как обычно, Q и К обозначают результирующую и результирую-
щий момент количеств движения системы 3 относительно неподвиж-
ной точки или центра тяжести и

1=1

N ---->

г=1

(5)

суть результирующая и результирующий момент всех внешних сил
(активных и реакций), среди которых, конечно, для нас имеют осо-
бенно важное значение силы импульсивного характера. Для опреде-
ления с этой точки зрения этих внешних сил введем соответствую-

щие импульсы

/о-H

Fidt

(г =1,2, АТ), (6)



напомнив еще раз, что в образовании этих импульсов принимают
участие составляющие каждой из сил F,, имеющих характер удара,
но не силы обычного типа (конечные).

Важно заметить теперь же, что в некоторых случаях, среди кото-
рых особенно замечателен случай свободного твердого тела, находя-
щегося под действием указанных активных мгновенных импульсов,
удары, которые могут возникнуть благодаря связям, будут исключи-
тельно внутренними: в этих случаях импульсы Ц, как происходящие
исключительно от прямо приложенных ударов, можно считать вполне
известными.

3.	Первое основное уравнение движения под действием мгновен-
ных сил. Интегрируя уравнение (3) по времени t от /0 до
где т есть очень короткий промежуток времени, в течение которого
действуют мгновенные силы, и переходя к пределу при т, стремя-
щемся к нулю, получим уравнение

AQ = R,	(7)

где при очевидных обозначениях положено
AQ=Q+ — Q-,
А1+•
R = lim f R dt,
»o у

или, на основании первого из равенств (5) и равенства (6),
к

R = £ /(;
>=1

R есть, таким образом, результирующая внешних импульсов. Урав-
нение (7) представляет собой первое основное уравнение движения
под действием мгновенных сил.

Из этого уравнения, в частности, следует, что если, как это
имеет место в случае системы из двух или большего числа сталки-
вающихся тел, система испытывает только импульсы внутреннего
происхождения, так что R будет равно нулю, то имеем AQ = 0.
Таким образом, мы видим, что в явлениях столкновения и в подоб-
ных им мы имеем сохранение результирующего количества

30 Заж. 2368. Т. Лева-Чавята  У. Амалыш
движения, причем, вообще говоря, количества движения отдельных
точек системы могут резко измениться.

Если далее вспомним, что вектор Q совпадает с количеством
движения центра тяжести (гл. IV, п. 12), то придем к заключению,
что импульсивные действия внутренней природы не изменяют ско-
рости центра тяжести (ср. гл. V, п. 7).

4.	Прямой центральный удар двух тел. Для того чтобы тотчас же
применить предыдущие результаты к элементарному случаю, рас-
смотрим удар, происходящий между двумя телами St, S2, находя-
щимися в поступательном движении по одному и тому же напра-
влению Ох, когда оба тела движутся навстречу друг другу и стал-
киваются, или когда одно из них, двигаясь в ту же сторону, что и
другое, но с большей скоростью, догоняет его; предположим, что
даже и после столкновения движение обоих тел сохраняет свой по-
ступательный характер вдоль того же направления, за исключением
возможных резких изменений величины и направления скорости. При
этих условиях удар называется центральным и прямым. Общий
случай будет, изучен в § 3; тогда мы уточним смысл этих двух
названий, данных этому важному частному случаю, которым мы
сейчас будем заниматься. Заметим, что допущенные здесь предполо-
ложения будут приблизительно осуществлены, если взять, например,
два шарика на счетах, скользящие по одной и той же проволоке.

Если через mit т2 обозначим массы двух тел, через tip v2 — их
скорости вдоль оси Ох и через = т>+ — и~, Дц2 = и+ — ц— —
соответствующие резкие изменения в момент толчка, то основное
уравнение (7) в этом случае примет вид

nijAVj-}-т2Д-У2 = 0;	(8)

оно выразит, как это уже было замечено в общем случае в преды-
дущем пункте, неизменность скорости

,,№	(».--», + ».,) О)

центра тяжести при ударе.

Согласно постановке задачи о движении под действием мгновен-
ных сил, сделанной в п. 1, скорости обоих тел v~, до удара
должны рассматриваться известными, а требуется определит^, ско-
рости т»+, ц+ после удара. Но для определения этих двух неизвест-
ных одного соотношения (8), даваемого первым основным уравнением,
не достаточно; поэтому необходимо будет ввести новое условие,
которое может быть получено только из опыта. Для этой цели был бы
необходим подробный анализ сложных явлений, которые происходят
в течение очень короткого промежутка времени т, когда два тела,
пришедшие в соприкосновение, сначала, взаимно сжимая друг друга,
деформируются, а затем, после полного или частичного исчезновения
деформации, отскакивают друг от друга (упругие тела), или, в виде
исключения, остаются соединенными (тела абсолютно неупругие, как
воск, свинец и т. п.), продолжая двигаться с одной и той же ско-
ростью. В этом последнем случае задача непосредственно разрешима,
так как к уравнению (8) можно присоединить уравнение

о+ =«+.

Общая величина этих скоростей после удара будет равна ско-
рости v центра тяжести, которая (см. предыдущий пункт) не изме-
няется при столкновении, и может быть поэтому выражена посред-
ством скоростей от удара. Мы приходим, таким образом, к оконча-
тельной формуле

v+ = v+ =

mJv1 4- m2v2
т

В общем случае двух упругих тел, не входя в подробный анализ,
упоминавшийся выше, можно упростить сложный характер явления.
Введем вслед за Ньютоном кинематическое предположение, что
относительная скорость удаления одного из двух тел по отношению
к другому тотчас же после столкновения является некоторой опре-
деленной дробью е от аналогичной скорости сближения непосред-
ственно до столкновения. Это приводит к тому, что мы присоеди-
няем к уравнению (8) в качестве эмпирического закона, в какую бы
сторону ни была направлена ось Ох, уравнение

—	= — е (у^—-о~\

(Ю)

допуская при этом на основании опыта, что постоянная е заключается
между 0 и 1; эта постоянная называется коэффициентом восстано-
вления и зависит только от физического строения двух тел. Заметим
тотчас же, что при е — 0 мы возвращаемся к рассмотренному уже
предельному случаю двух неупругих тел, а при е = 1 отталкивание
будет полным, т. е. относительные скорости сближения до удара и
удаления после удара будут равны между собой по абсолютной ве-
личине, что соответствует идеальному случаю абсолютной упругости
сталкивающихся тел.

Теперь задача сводится к отысканию двух неизвестных, v+f
из двух линейных уравнений (8), (10); мы придадим этим уравне-
ниям форму, более удобную для механического истолкования, раз-
деляя в уравнении (10) члены, относящиеся к обоим телам, и обо-
значая через w общее значение обеих частей, т. е. записывая

•»+ -ф- еу~ =	-ф- ev~ = w.	(И)
Если в уравнении (8) вместо v+, подставим значения w—ev~ ?
w— ev~, которые получаются из равенств (11), то получим

(1 -~г) -у,

где v обозначает, как обычно, скорость центра тяжести; после этого
из равенств (11) выводятся окончательные формулы

®;+ = (1 -L-е) v-—ev~	(/=1,2),	(12)

которые, естественно, при е = 0 снова дают результат, полученный
выше для неупругих тел. Следует отметить частный случай двух
совершенно упругих тел (е=1) с равными массами (тх = т2), для
которого у = (ф1-[-я2)/‘2.

Тогда будем иметь
= v+ = v~

т. е. два тела после столкновения обмениваются скоростями.

5.	Центральный и прямой удар о стену. В предыдущее изложение
можно ввести в виде предельного случая задачу о центральном прямом
ударе некоторого тела Sj, например шара, о неподвижное препят-
ствие (стена, пол и т. п.). Достаточно уподобить эту стену некото-
рому телу S2 с очень большой массой т2, в пределе бесконечной,
и с нулевой скоростью до удара (v~ = 0). В этом случае из выра-
жения (9) скорости центра тяжести, полагая в нем ц2 = ц— = 0 и
предполагая, что т2 стремится к бесконечности, мы получим в пре-
деле г»==0, так что из первого из уравнений (12) выведем

= —exq-;	(13)

мы пришли, таким образом, опять к эмпирическому закону Ньютона
в той его форме, которая соответствует предельному случаю удара
о неподвижную стену.

Этот результат подсказывает способ опытного определения коэф-
фициента восстановления е упругого шара при помощи удара о горизон-
тальную плоскость с определенными физическими свойствами. Действи-
тельно, предположим, что шар падает вертикально с некоторой заданной
высоты h без начальной скорости, благодаря чему его движение
будет поступательным. На основании элементарных формул, относя-
щихся к движению тяжелого твердого тела, или, если угодно, на
основании теоремы живых сил мы знаем, что шар упадет на пол
со скоростью yigh’, после этого он оттолкнется и будет двигаться
вверх с начальной скоростью, абсолютное значение которой определится
на основании уравнения (13) выражением ey^gh. Высоту hlt на
которую он поднимется, можно определить из наблюдений; на основании
теоремы живых сил, применяемой для конца первого отскакивания
мы будем иметь

2ghx = е2 • 2gh

и, следовательно.

6.	Потеря живой силы при ударе. Формулами (12) п. 4 можно вос-
пользоваться для сравнения значений Т~ и Т+ энергии Т, которой
в общей сложности обладают оба тела непосредственно до и непо-
средственно после удара. Мы увидим, что изменение ДТ=Т+— Т~
может быть только отрицательным, или, в исключительных случаях,
нулем, так что мы должны будем говорить о потере живой силы,
и эта потеря по абсолютной величине будет равной —ДТ.

Если вспомним, что, по теореме Кёнига (гл. IV, п. 8), живая сила Т
какой-нибудь материальной системы равна сумме живой силы То
центра тяжести и живой силы 2 системы в ее относительном движе-
нии по отношению к центру тяжести, то увидим, что в нашем слу-
чае, вследствие неизменности скорости центра тяжести, будем иметь
ДТ = Д£. Далее, по определению, имеем

г=42от*(^—ю2	о4)

или, подставляя вместо скорости центра тяжести ее выражение (9),

(14')

С другой стороны, уравнения (12) можно написать в виде

—v =—e(vi. — v) (7=1, 2),

так что в силу уравнения (14) будем иметь

J+ = e2J-
и, следовательно,

— ДТ=-Дг = (1—е2)2-,	(15)

или в силу (14')

- ЬТ = 1(1 - е2)»(^ - vlr.	(15')

Мы видим, таким образом, что под действием удара в общем
случае, т. е. при е < 1, происходит действительная потеря кинети-
ческой энергии, и эта потеря определяется уравнением (15) в функ-
ции от е и от кинетической энергии до удара которую имеет
система в движении относительно центра тяжести; эта последняя в свою
очередь на основании уравнения (14') может быть вычислена при
помощи прямых данных вопроса (скоростей до удара).

Из равенства (15х) при е = 1, т. е. для совершенно упругих тел,
следует ДТ=О. Таким образом, оказывается, что явления удара между
совершенно упругими телами имеют консервативный характер с чисто
механической точки зрения. Эти сложные явления, которые, как мы
указывали, происходят за очень короткий промежуток времени т,
не сопровождаются преобразованием энергии в теплоту: взаимному
сжатию обоих тел в первой фазе, которая включает в себя преобразо-
вание кинетической энергии в потенциальную, соответствует в фазе
восстановления полное преобразование энергии в обратном смысле.

Все это вполне соответствует только идеальному предположению
е = 1, так как в действительных случаях коэффициент восстановле-
ния будет всегда меньше 1, и всегда будет происходить потеря энер-
гии. Но эта потеря при прочих равных условиях будет тем меньше,
чем ближе к 1 будет этот коэффициент, т. е. чем более упругими
будут тела, которые приходят в столкновение.

Это и является причиной того, что в технике, когда желают сэко-
номить максимум кинетической энергии, а с другой стороны, когда
невозможно избежать ударов, поступают так, чтобы эти удары про-
исходили между телами, имеющими наиболее совершенную упругость.
Так, при прокладке рельсовых путей приходится оставлять между
рельсами надлежащие зазоры, чтобы не мешать расширению рельсов
при нагревании. Эти стыки при прохождении колес вызывают явления
удара, которые ритмично ощущаются даже пассажирами. Чтобы избе-
жать, насколько возможно, рассеяния кинетической энергии, шпалы
размещаются не под рельсовыми стыками, а на некотором расстоянии
от них так, чтобы сохранить для рельсов наибольшую совместную
с требованием устойчивости пути упругость в тех местах, где про-
исходит указанное явление удара.

Формулы (14х), (15х) дают место другим интересным замечаниям,
когда предполагается, что одно из двух тел, например S2, является
неподвижным до удара (t»r = 0), и мы хотим заставить его двигаться,
ударяя его телом Кинетическая энергия, которая требуется для
этой цели и приобретается за счет мускульных усилий человека,
делающего удар молотком, будет, очевидно, тождественна с энергией
до удара т(иГ)72 тела

Принимая во внимание формулы (14х), (15х), мы видим, что отно-
шение г потерянной живой силы к затраченной энергии, измеряю-
щее удельную потерю кинетической энергии, определяется соот-
ношением

r = (l_e2)^
Предположим теперь, что количество энергии, которой распола-
гают, задано, как это и имеет место в только что указанном случае,
когда речь идет о мускульной энергии человека.

Если при заданном теле S2 и при заданном материале, из которого
состоит тело S1; чем определяется коэффициент восстановления е,
мы хотим придать телу S2 наибольшую возможную скорость, то необ-
ходимо сделать наименьшей удельную потерю живой силы; а это,
как следует из предыдущего выражения для г, достигается тем, что
берут по возможности большую массу wij для Так,, в случае
молотка, приводимого в действие руками человека, удобнее употреб-
лять очень тяжелый молоток, сообщая ему, конечно, соответственно
меньшую скорость.

Когда, наоборот, явление удара используется для разрушения
тела S2, а не для сообщения ему скорости, то необходимо сде-
лать значительной потерю живой силы, для того чтобы большая ее
часть шла на работу разрушения. Если в этом случае также предпо-
лагается заданное количество энергии, которая находится в распоряже-
нии, то непосредственно из выражения г следует, что все должно про-
исходить наоборот: удобнее придать Sj небольшую массу и, следова-
тельно, значительную скорость (относительно легкий молоток, ударяю-
щий с большой скоростью).

Возьмем снова общую формулу (15) для того, чтобы придать ей
новую форму, выражающую частный случай общей теоремы, принад-
лежащей Карно, которую мы установим в § 26. Для этой цели введем
так называемую живую силу потерянных или приобретенных скоростей

2

Г==1

Из формулы (12) следует

At)f = — (1 -J- е) — v)	(i = 1, 2),

так что, принимая во внимание выражение (14), будем иметь

0 = (1 -|-e)2J-;

теперь формуле (15) можно придать вид

(15”)

При е = 0 будем иметь упомянутый частный случай теоремы Карно:
при ударе неупругих тел потеря живой силы равна живой силе
потерянных скоростей.

Наоборот, для упругих тел эта потеря будет составлять только
некоторую долю от 0, тем меньшую, чем больше эти тела прибли-
жаются к идеальному случаю совершенной упругости (е = 1), когда,
как уже говорилось, потеря живой силы равна нулю.
7.	Второе основное уравнение движения под действием мгновен-
ных сил. Проинтегрируем по времени второе основное уравнение (4)
непрерывного движения в течение очень короткого промежутка вре-
мени т, когда действуют мгновенные силы, и примем во внимание,
что в силу характеристического постулата о движении под действием
мгновенных сил (§1) отдельные точки Pi системы сохраняют при-
близительно неизменными свои положения.

Учитывая явное выражение (5) момента Af, получим

а отсюда, переходя к пределу при т, стремящемся к нулю, и вспо-
миная формулу (6), придем к уравнению

где положено

— к-
и

У ___ N____________________

м = У OPi х lim f F< dt = У X h-
0 *	**

2 = 1	tQ	2 = 1

(16)

Этот момент M будет поэтому результирующим моментом относительно
точки О внешних импульсов, действующих на систему; уравнение (16)
есть так называемое второе основное уравнение движения под дей-
ствием мгновенных сил.

Для приложений этого уравнения важно отметить, что на самом
деле уравнение (4), из которого мы исходили, действительно
только в предположении, что центр приведения О моментов является
неподвижным (или совпадает с центром тяжести системы). Однако,
так как в силу только что указанного постулата все точки системы
в течение очень короткого промежутка времени т нужно рассматри-
вать неподвижными, уравнение (16) остается справедливым даже и
тогда, когда за полюс принимается одна какая-нибудь из этих точек.

§ 2.	Приложение к твердым телам.
Баллистический маятник

8.	Общие соображения. Свободное твердое тело. Как мы уже
знаем из кинематики (т. I, гл. III, § 6), состояние движения твердого
тела, т. е. распределение скоростей отдельных его точек в любой
момент, определяется двумя векторами: v0 (скорость любой точки О,
неподвижной в теле) и w (угловая скорость). Следовательно, эффект
какого угодно числа ударов, приложенных в заданный момент t0
к этому твердому телу, будет определен, если удастся указать
соответствующие изменения Дф0, До) этих двух характеристических
векторов, или, что то же (и даж$ лучше отвечает общей постановке
задачи, сделанной в § 1), значения Фо~, после удара этих двух
векторов в функциях от их значений до удара.

Задача, по существу, разрешается как для свободных твердых
тел, так и для тел со связями, двумя основными уравнениями им-
пульсивного движения:

AQ = R,	(7)

д^=м.	:i6)

Мы убедимся в этом, изучая последовательно типичные случаи
свободного твердого тела, твердого тела, движущегося параллельно
некоторой плоскости, и твердого тела с одной неподвижной точкой.

Рассмотрим сначала первый случай. Для свободного твердого тела
внешние импульсы, а вместе с ними векторы R и М, можно будет
прямо выразить через данные задачи. С другой стороны, если для
упрощения формул мы примем за центр О моментов центр тяжести,
то будем иметь выражение Q=mv0, где т — полная масса системы,
а вектор К (гл. IV, § 19) будет связан с to известным соотноше-
нием (относящимся к центру тяжести)

Х=з(о)),

которое по отношению к главным центральным осям инерции выра-
зится известными равенствами

Kx = Apt Ку== Bq, Кг=Сг,

где А, В, С, как обычно, обозначают соответствующие главные мо-
менты инерции, а р, q, г — проекции вектора to.

Поэтому уравнениям (7), (16) в случае свободного твердого тела
можно придать вид

zral©0=R,	(17)

Дй)==о-1(М);	(18)

эти два уравнения разрешают задачу о движении под действием мгно-
венных сил, так как они определяют посредством данных задачи
изменения скорости центра тяжести и угловой скорости при ударе..

Полезно обратить внимание на три скалярных уравнения, которые
получаются из уравнения (18) после проектирования на три главные
центральные оси инерции, т. е. на уравнения

Abp = N.x, BAq = M.v, СДг = Мг.	(18')

9.	Изменение живой силы свободного твердого тела под дей-
ствием прямо приложенных импульсов. Для того чтобы вычислить это
изменение ДТ, возьмем известное выражение, которое имеет живая
сила Т твердого тела по отношению к ранее принятым осям (гл. IV,
§ 15),

Т = | mvl + { К • » = 4	+ У (AP* +	+ Сг^'

Введя в это выражение сначала значения vt, ю+ характеристи-
ческих векторов после удара, а затем значения их до удара, и вычтя
полученные равенства почленно, найдем на основании уравнений
(17), (18)

АТ = R • -у (®о" -f- ) ~|~ М • ~2 (ю"*" Н- о> )(19)
достаточно вспомнить общее выражение работы системы сил, прило-
женных к твердому телу (гл. IV, § 3), чтобы убедиться, что в пра-
вой части стоит выражение полной работы, совершенной отдельными
прямо приложенными импульсами на перемещении твердого тела,
определяемом характеристическими векторами

+ ч>~	«+ 4- ®»-

2	’	2	’

которые равны средним арифметическим аналогичных характеристи-
ческих векторов двух состояний движения: до удара и после удара.

Но выражение (19) изменения кинетической энергии нельзя рас-
сматривать как окончательное, так как будут указаны еще и другие
значения характеристических векторов.

Для исключения их достаточно взять снова выражения (17), (18),
записывая их в виде

©o' = ± R -ф-	= °-1 (М) +

и подставить эти выражения в формулу (19).

Положив

1	1	1 / R3 , м* М; М*\

^-^«аНм-’-,<м>=Итг+4+тг+-г( w
мы получим уравнение

Д7’== U74-(R  пГЧ-М •	(19')

где в правой части все может быть выражено посредством данных
задачи, причем первое слагаемое, как это следует из равенства (20),
будет существенно положительно, тогда как второе слагаемое изме-
ряет работу, совершенную прямо приложенными импульсами для
состояния движения до удара [8].

10.	Твердое тело, движущееся параллельно неподвижной пло-
скости. Предположим, что в состоянии движения до удара скорости
отдельных точек все параллельны одной и той же неподвижной пло-
скости г., как это имеет место, в частности, в случае неизменяемой
плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Если прямо прило-
женные импульсы имеют результирующую, параллельную плоскости те,
а результирующий момент относительно какой-нибудь точки этой
плоскости перпендикулярен к ней, то основные уравнения импульсив-
ного движения свободного твердого тела (17), (18) покажут, что и
состояние движения после удара будет также параллельным те. Если
примем эту плоскость за плоскость координат z — 0, то три скаляр-
ные характеристические величины движения после удара (проекции
скорости ф0 центра тяжести на оси х, у и угловая скорость) будут
однозначно определены уравнением (17), рассматриваемым как век-
торное уравнение в плоскости те, и третьим из уравнений (18'), т. е.
двумя уравнениями:

т A Vq = R, С ДО = Мг.

11.	Твердое тело с одной неподвижной точкой. Здесь мы будем
рассматривать, вместе с прямо приложенными вне'шними импульсами,
реактивный импульс! R', который может возникнуть в неподвижной
точке О. Выбрав эту точку за центр приведения моментов, обозначим
через R и М результирующую и результирующий момент одних
только прямо приложенных (внешних) импульсов, благодаря чему R
и М здесь также следует рассматривать как данные задачи. Так как
момент реактивного импульса R' относительно точки О равен нулю, то
второе основное уравнение импульсивного движения сохранит свой
первоначальный вид

Д#=М;	(16)

легко видеть, что как и в случае непрерывного движения, это второе
из основных уравнений одно достаточно для решения задачи о дви-
жении под действием мгновенных сил твердого тела с одной непо-
движной точкой. Достаточно заметить, что если для характеристи-
ческих векторов состояния движения за полюс принимается точка О,
то будем иметь v0 — Q, так что все сводится к определению измене-
ния Aw угловой скорости. Эту величину Aw, принимая во внимание,
что K = a(w), мы получим из уравнения (16) в векторном виде

Aw = e-1(M).	(18)

Эквивалентные уравнения в декартовых координатах здесь все
еще имеют вид (18') п. 8, если только за оси, неподвижные в теле,
были взяты главные оси инерции твердого тела относительно непо-
движной точки О, а через А, В, С были обозначены соответствую-
щие моменты инерции (уже не центральные, как в п. 8).

Важно добавить, что, определив посредством уравнения (18)
состояние движения после удара, для вычисления реактивного
импульса R' можно применить первое основное уравнение (7), которым
мы до сих пор еще не пользовались. Действительно, обозначив
через скорость центра тяжести, можно написать это первое основ-
ное уравнение в виде

вспоминая, что

находим

т A vf, = R -f- R';

"Оо — о) X ОО,

= До) X ОО,

(21)

так как положение центра тяжести за время удара не изменяется.
На основании уравнения (21) мы заключаем, что

R'=/иДw X OG — R,	(22)

где вместо Асо надо подставить его выражение, даваемое уравне-
нием (18).

12.	Случай, когда активный импульс не влияет на связь. Если
на твердое тело, закрепленное в точке О, действует единственный
активный импульс (не равный нулю) I, приложенный в одной из его
точек Р, то R и М нужно положить равными соответственно I и
1 >

OP X I- Обращаясь к этому частному случаю, можно поставить сле-
дующий вопрос: возможно ли и при каких условиях, чтобы заданный
импульс имел своим результатом исключительно изменение в со-
стоянии движения твердого тела и не оказывал никакого влияния
на связь, обеспечивающую неподвижность точки О. Эта задача может,
очевидно, представлять интерес в том случае, когда, например, мы
хотим посредством удара внезапно привести в движение твердое
тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, если при этом нет
уверенности в прочности устройства, осуществляющего связь.

Речь идет о тех случаях, когда R' = 0, или в силу равенства (22),
когда.

Aw X ОО = — 1,
z	т

если, конечна, 'Асо будет выражено в функции от I посредством;
уравнения (18) и соотношения М = OP X I-

Принимая это во внимание, спроектируем предыдущее векторное
уравнение на три главные оси инерции твердого тела относительно
точки О. Если обозначим через х0, у0, z0 известные координаты
центра тяжести G и через х, у, z координаты точки приложения Р
неизвестного импульса /, то получим три уравнения:

% (zlx—xQ - (xfy—ylx) = 4- ;-
(yl-zly)=^ Iv,
(ylz-zly)—^- (г/ж-х7г) = -^ /s.

(23)

Так как эти уравнения являются линейными однородными относи-
тельно неизвестных проекций импульса I, то остается произвольной
величина I этого импульса, о чем можно было догадываться, имея
в виду самую физическую природу задачи. Что касается точки Р,
к которой приложен импульс /, то мы видим, исключая из уравне-
ний (23) /ж, 1у, 1а, что ее координаты х, у, z связаны уравнением

£> =	С	[	«0  1 В  	ух±  С ’	_ 1  т ’		 хУо  С ’		Х2й  В 	 А	= 0
				zz0 , ххп  А ' С	1 т ’		
				2Уч	ххо 1 УУй	1		
		В ’		А ’		1 А	т	

откуда заключаем, что геометрическим местом возможных положений
точки Р внутри тела будет некоторая поверхность третьего порядка.
Для всякой точки этой поверхности уравнения (23) определяют
(в общем случае однозначно) направление (но не величину и не
сторону) соответствующего импульса I. Мы не будем задерживаться
здесь дольше на общем изучении этой задачи и ограничимся замеча-
нием, что если накладываются ограничительные условия на распре-
деление масс в твердом теле, то может случиться, что указанная
здесь поверхность третьего порядка вырождается.

Так, например, если ось ОО, проходящая через точку О и центр
тяжести, является главной осью инерции (как это будет иметь место
в еще более частном случае, когда твердое тело имеет гироскопи-
ческую структуру относительно точки О), то достаточно принять ОО
за ось Ог, чтобы иметь хо=уо = О; тогда уравнение геометриче-
ского места точек Р получит вид

1 (zz0
т \ А

Таким образом, мы видим, что точка Р должна лежать на той
или другой из двух плоскостей, нормальных к главной центральной
оси инерции,

А	В

zz0 == — ,	zzn = ,

и т ’	0	т ’
а из уравнений (23) следует, что импульс /, хотя и может иметь
произвольную величину, должен быть параллелен оси Оу в первом
случае и оси Ох во втором. Поэтому мы заключаем, что для того,
чтобы неподвижная точка не испытывала удара, необходимо и доста-
точно, чтобы импульс был параллелен одной из двух главных осей
инерции относительно точки О, не проходящих через центр тяжести,
и чтобы он был приложен на надлежащем расстоянии от плоскости,
содержащей эти две оси.

Это расстояние допускает истолкование, на которое следует об-
ратить внимание. Если для определенности предположим, что

то точка центральной оси, имеющая координату z, очевидно, совпа-
дает (гл. VII, п. 6) с той точкой, которую мы назвали центром
качаний твердого тела вокруг оси Ох.

Если, в еще более частном случае, твердое тело по отношению

к неподвижной точке О имеет гироскопическую структуру (Л — В),

то все экваториальные направления будут
главными; в этом случае необходимо
и достаточно, чтобы импульс действовал
по одному какому-нибудь из них, коне-
чно, на определенном расстоянии от-
экваториальной плоскости.

13.	Молоток. Выводы, к которым
мы только что пришли, подсказывают
правило, которым можно пользоваться
при изготовлении молотка.

Молоток при ударе можно схемати-
чески представить в виде твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной
точки О (рукоятка) (фиг. 30) и нахо-
дящегося под действием импульса, на-
правленного по некоторой вполне опре-
деленной оси РН, положение которой

зависит от формы молотка и которая приблизительно будет нормальна
к поверхности головки в ее центре Р. Очевидно, удобнее всего мо-

лоток изготовить так, чтобы по возможности меньше чувствовался при
отдаче удар на руку. Это как раз и выражается условием, чтобы прибли-
зительно было равно нулю давление в точке О, а следовательно, были бы
осуществлены определенные выше характеристические соотношения.

Плоскость фигуры, содержащая импульс и центральную ось OG,
для молотка является плоскостью симметрии (геометрической и мате-
риальной). Мы будем предполагать далее, что ось OG для молотка
является главной осью инерции, как это наверное будет иметь место.
если плоскость материальной симметрии перпендикулярна к плоскости
OGP и пересекает ее по прямой OG (случай кузнечного молота).

Если примем плоскость OGP за плоскость yz, принимая полу-
прямую OG за положительную ось z, то при обозначениях преды-
дущего пункта будем иметь х0=у0 — 1Х — /2 = 0, а и z обозна-
чают соответственно длины отрезков OG, ОН, так что условие
отсутствия отдачи в О при ударе определяется соотношением

00-0/7= — .
т

Если, как и в п. 7 гл. VII, введем радиус инерции 8 молотка,
относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости фи-
гуры, в силу чего будем иметь

А = m(82+OG2),
то только что полученное соотношение может быть написано в форме

OG* GH = 82.

14.	Твердое тело, имеющее неподвижную ось. Примем-за ось х
неподвижную ось, ориентированную как угодно, и обозначим, как
в п. 11, через R и М результирующую и результирующий момент
активных импульсов, принимая за центр О приведения моментов
(который в то же время будет и началом координат) какую-нибудь,
пока произвольнуо точку закрепленной оси. Если R', М' будут анало-
гичными векторами, определяющими совокупность реактивных импуль-
сов, возникающих в точках оси Ох, то основное уравнение момен-
тов (16) после проектирования на эту ось не будет зависеть от R'
и М' и примет вид

Д^ = МЖ.	(24)

Отсюда находим решение задачи о движении под действием мгно-
венных сил. Действительно, так как речь идет о твердом теле, вра-
щающемся вокруг оси Ох, то единственной проекцией угловой ско-
рости, не равной нулю, будет р (угловая скорость вокруг неподвижной
оси), и мы будем иметь (гл. IV, п. 20) Кх — Ар, где А обозначает
момент инерции твердого тела относительно Ох. Поэтому уравнение
(24) можно написать в виде

АДр = Мж.	(24')

Это уравнение непосредственно дает изменение угловой скорости р.

В этом случае также легко показать, как после определения из
уравнения (24') состояния движения после удара можно вычислить
векторы R', М', определяющие совокупность реактивных импульсов,
исходя из основных уравнений импульсивного движения в их вектор-
ной форме

AQ=R-f-R',
Ж=М-|-М'.

(25)

(26)
Чтобы выполнить вычисление, возьмем снова из упомянутого
выше п. 20 гл. IV выражения (37), (38) проекций векторов Q и К,
т. е. равенства

Q^ = 0, Qs = — mzop, Qs = myop;

Kx = Ap, Ky = —C'p, K2 = ~B'p-

для упрощения формул примем за плоскость xz плоскость, проходя-
щую через центр тяжести и через ось Ох, благодаря чему вторая
координата центра тяжести у0 будет равна нулю. Тогда, проектируя
уравнения (25), (26) на оси и принимая во внимание уравнение (24'),
найдем

=	Ч=—r>-r2,	<25')

zv	D/

мж = о, м;=-7м,-му, м; = -е-Ма,-мг. (26')

15.	Случай, когда реактивные -импульсы связей представляют
собой систему, эквивалентную нулю. Аналогично тому, что мы де-
лали в случае твердого тела с неподвижной точкой (п. 12), можно
воспользоваться уравнениями (25'), (26') для того, чтобы найти, при
каких условиях единственный импульс /, не равный нулю, приложен-
ный к твердому телу, имеющему неподвижную ось, в одной из его
точек Р, возбуждает реактивные импульсы, которые в своей сово-
купности уравновешиваются (R' = М' = 0).

Так как мы имеем R=7, то первое и третье уравнения си-
стемы (25') показывают, что должно быть 1Х = /г = 0, или что:

а)	Импульс I должен действовать нормально к плоскости, про-
ходящей через центр тяжести и через ось.

Теперь мы можем предположить, что импульс приложен в неко-
торой точке Р плоскости, проходящей через центр тяжести и через
ось, и центр моментов О (начало координат), положение которого
на оси вращения до сих пор не было определено, можно будет
взять в основании перпендикуляра, опущенного на ось из точки Р.
При этих условиях момент М единственного прямо приложенного
импульса I будет чисто осевым и, в частности, равным нулю, если
импульс приложен прямо к оси, т. е. в точке О. Однако эта по-
следняя возможность должна быть исключена, так как в этом случае,
при моменте Мж, равном нулю, на основании уравнения (24') не
было бы никакого резкого изменения состояния движения; кроме
того, в силу уравнения (25') вместе с R = I должен был бы быть
отличным от нуля также и импульс R'. Итак, имея чисто осевой мо-
мент М и принимая во внимание, что должно быть М' = 0, из вто-
рого и третьего из уравнений (26') получим, что В' = С' = 0, т. е.:

б)	Ось вращения должна быть одной из главных осей инерции
для твердого тела по отношению к основанию О перпендикуляра,
опущенного на нее из точки приложения импульса Р.
Остается подтвердить условие R^ = 0 на основании второго из
уравнений (25'). Если обозначим через z третью координату точки Р
(расстояние от закрепленной оси), то будем иметь Мж = — zly и,
следовательно,

А
zz0 — —,
и т’
откуда следует, что:

в)	Точка Р должна лежать на оси качаний твердого тела,
соответствующей неподвижной оси (гл. VII, п. 6).

Таким образом, для того чтобы закрепленная ось не испытывала
дополнительных давлений, необходимы и достаточны условия „а“,
лб“, яв“.

Точка Р, определенная таким образом, называется центром удара
относительно неподвижной оси, а перпендикуляр через точку Р
к плоскости, проходящей через центр тяжести и через ось, т. е.
линия действия импульса, — осью удара.

Предыдущие выводы можно приложить и к случаю молотка, если
рассматривать вопрос более схематично, чем в п. 13, предполагая,
что молоток вращается вокруг некоторой оси, а именно (см. чертеж
на стр. 478) вокруг оси х, перпендикулярной в точке О к плоскости
симметрии молотка, в которой предполагается расположенной линия
действия импульса. В этом предположении условие яа“ непосред-
ственно удовлетворяется, то же справедливо и по отношению к урлЪ-
вию „б“ на основании того, что если материальная система обладает
плоскостью симметрии, всякий перпендикуляр к этой плоскости бу-
дет главной осью инерции относительно своего основания О* 1)-

Наконец, условие „в" принимает ту же самую форму OG • ОН = №,
что и в п. 13, и остается выразить то обстоятельство, что точка Р
должна принадлежать оси качаний, соответствующей оси Ох, вокруг
которой вращается молоток.

Из чертежа видно, что след О оси вращения есть одна из точек
оси рукоятки молотка; в силу этого молоток следует держать так,
чтобы имелась опора вблизи запястья или локтя, или даже плеча,
соответственно размерам и весу молотка: достаточно в этих случаях
представить себе точку О смещенной подходящим образом.

16. Баллистический маятник. Теория импульсивного движения
твердого тела с закрепленной осью находит интересное применение
при измерении скоростей снарядов. Для этой цели употребляется так
называемый баллистический маятник, состоящий в основном из орудия,

!) Действительно, если материальная система имеет плоскость симме-
трии х = 0, то точки системы попарно имеют равные по величине и противо-
положные по знаку первые координаты и одинаковые две другие, так что два
произведения инерции £	£ miX(Zi будут равны нулю.

i	i

31 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
предназначенного для выбрасывания снаряда и неизменно скреплен-
ного с горизонтальной осью подвеса так, что ось канала ствола
орудия, которую мы далее будем называть осью орудия, ортогональна
к плоскости, проходящей через ось подвеса и центр тяжести G си-
стемы. В момент выстрела маятник, под действием реактивного
импульса, которому он подвергается, выходит из положения равно-
весия и начинает качаться. Мы покажем здесь, как можно получить
неизвестную начальную скорость снаряда по наибольшей амплитуде
этого качания, измеряемой непосредственно, если известны полная
масса т, маятника вместе с орудием, но без снаряда, его момент инер-
ции А относительно оси подвеса, масса т снаряда и, наконец, рас-
стояния г и а оси подвеса соответственно от центра тяжести G си-
стемы и от оси орудия.

Если за положительное направление оси х принимается то, от-
носительно которого вращение маятника при отдаче оказывается
правым и вводится обычный угол 0, который плоскость xG образует
с вертикалью, то, как известно, р = 0, так что для импульсивного
движения маятника на основании уравнения (24') и на основании
того, что в момент выстрела маятник находится в покое (6 = 0),
будет иметь место уравнение

А&+ = Ма,,	(27

где Мд. обозначает момент импульса, полученного маятником, отно-
сительно оси подвеса.

Следующая фаза непрерывного колебательного движения, если
отвлечемся от сопротивления воздуха, будет определяться уравнением
(живых сил):

А02 — 2т г cos 0 = 2Е.	(28)

Осевой момент легко выражается через данные задачи и неизвест-
ную начальную скорость v снаряда путем применения принципа равен-
ства действия и противодействия. Действительно, снаряд получает им-
пульс, направленный по оси орудия, в левую сторону относительно на-
правленной оси х; этот импульс измеряется по абсолютной величине
начальным количеством движения mv. Поэтому реактивный импульс,
испытываемый маятником (импульс отдачи), имеет ту же величину
и ту же линию действия на расстоянии а от х, но направлен в про-
тивоположную сторону. Отсюда мы заключаем, что

Мж — mav

и из уравнения (27) получаем

Таким образом, остается вычислить угловую скорость 0+, сооб-
щаемую маятнику снарядом, которую мы не имеем возможности
измерить прямо; можно, однако, наоборот, выразить ее посредством
другой величины, получаемой из опыта, а именно, посредством наиболь-
шего отклонения 0 от вертикали, которое маятник получает при
своих колебаниях, следующих за выстрелом. Действительно, отметив
это значение 6, достаточно воспользоваться уравнением (28) непре-
рывного колебательного движения, чтобы вывести из него для началь-
ного момента движения после выстрела, т. е. при 6 = 6 + и 6 = 0,

А (6+)2 — 2mxgr = 2£,

а для момента наибольшего отклонения от вертикали, т. е. 0 = 0
и 6 = 6,

— 2m1gr cos 6 = 2f,

так что, вычитая последнее равенство из предыдущего почленно и
разрешая относительно 0 + , получим

0+ _ рЛ2т^г(1 — cosО)

и, следовательно,

6~

=	2^(1-cos 6) =

та I/	А	та г

§ 3. Общая теория удара без трения

17. Общий случай. Рассмотрим два тела, S1; S2, которые, нахо-
дясь в каком угодно относительном движении, сталкиваются в задан-
ный момент 10. Каждое из них получает со стороны другого некото-
рую систему импульсов; задача заключается в том, чтобы изучить
последующие резкие изменения скоростей или, другими словами,
определить состояния движения тел после удара, если известны их
состояния движения до удара.

Явление удара оказывается несомненно очень сложным, и относи-
тельно его последовательных фаз, за очень короткий промежуток
времени т, в течение которого оно происходит, можно повторить
рассуждения, уже примененные в п. 4 в элементарном случае централь-
ного и прямого удара. Мы будем придерживаться здесь схемы, пред-
ложенной Пуассоном, и попробуем раскрыть сложный ход явлений,
предположив прежде всего, что оба тела, S]; S2, каждое из которых
до удара находится в каком угодно состоянии движения, в момент t0
сталкиваются только в одной точке Р, правильной для поверхностей
обоих тел; эти поверхности будут поэтому иметь в этой точке в мо-
мент удара одну и ту же касательную плоскость.
Допустив абсолютную гладкость двух поверхностей, мы будем
иметь, как необходимое следствие, что для каждого из тел система
импульсов, испытываемых вследствие удара, сводится к единствен-
ному импульсу, приложенному в точке Р и направленному по
нормали к поверхности, проведенной внутрь тела. В соответствии
с принципом равенства действия и противодействия надо принять, что
величина 1 импульса, заранее неизвестная, будет одной и той же
для обоих тел.

Пусть теперь (фиг. 31)
есть масса, Vj— скорость

для каждого из двух тел Sj (/= 1, 2) т.,
центра тяжести Gj, toy— угловая ско-
рость, Hj — результирующий момент
количеств движения относительно центра
тяжести. Если, далее, обозначим через п,
единичный вектор нормали, внутренней
для поверхности, в точке Р$, в кото-
рой происходит удар, то импульс неиз-
вестной величины I, испытываемый
телом вследствие удара, можно будет
представить в виде In у, с другой сто-

роны, момент Kj связан с угловой
скоростью toy соответствующей гомографией инерции оу, так что
будем иметь

ЛГу = зу(<0у)	(7 = 1,2);

проектируя это векторное равенство на главные оси инерции относи-
тельно центра тяжести и обозначая через Ду, Bj, Cj соответствующие
моменты (главные) инерции, через ру, q., rj аналогичные проекции
вектора toy, будем иметь

Kjix AjPp Kj\y Bflj, Kj\g= CjKj (J —1,2).

При этих обозначениях основные уравнения импульсивного дви-
жения (7), (16), составленные для каждого из двух тел, дадут четыре
векторных уравнения:

Щу Л ©у = /йу,
MS=I Gfj X «у

(7=1,2),

(29)

(30)

которые после разрешения их относительно Д^у, До>у принимают вид

л	1	,

Д®,- — — 1пь

3 т, j’

= /а -1 [GyPy х «у]

(/ = 1,2),

(29')

(30')

где, отмечая, как обычно, знаками — и -{- кинематические характе-
ристики, относящиеся к двум состояниям движения соответственно до
и после удара, мы положили

=	--V~,	=	(/=1,2).

Заметим теперь же, что из уравнений (29'), так как импульс
направлен по общей нормали к поверхностям обоих тел, следует
для каждого из них инвариантность по отношению к удару касатель-
ной составляющей скорости центра тяжести.

Непосредственно видно, что уравнения (29'), (30') не разрешают
еще вполне задачи, так как в выражениях, которые они дают для
изменений характеристических векторов Vj, toj, есть еще неизвестная
величина I .импульса. Для определения этой неизвестной I необходимо
ввести какое-нибудь новое количественное условие, которое, конечно,
может быть получено только из опыта.

Для этой цели будем рассматривать скорость, которую имеет
в любой момент до или после удара точка Pj и которая, как известно,
определяется посредством соответствующих характеристических век-
торов выражением

^ + wjX^°j	(7=1,2),

и, обозначив через Vj ее нормальную составляющую по ориентиро-
ванному направлению единичного вектора ttj, т. е. положив

• пз + ["J X_&?j] • =

= Vj  ttj + wr [ GjPj X ftjl,	(31)

введем скалярную величину

“W = Vj >2-

Если мы примем во внимание, что два единичных вектора в1( «2>
направленных каждый внутрь соответствующего тела, в момент 10 удара
будут прямо противоположны, то увидим, что величина w измеряет не-
посредственно до и непосредственно после t0 составляющую скорости
(относительной) Р2— Рг точки Р2 относительно точки Р2 по ориенти-
рованному направлению п2 (или, что то же, составляющую по п1 ско-
рости точки Рг относительно Р2). Так как характер явления требует,
чтобы непосредственно до удара оба тела стремились сблизиться, то
следует принять w~ < 0. Если теперь, отказываясь от анализа тех слож-
ных явлений деформации и последующего восстановления (частичнбго
или полного), которые сопровождают удар, мы ограничимся совокупной
оценкой их эффекта, то окажется естественным обобщение гипотезы
Ньютона (п. 4), состоящее в допущении, что удар вызывает обра-
щение стороны относительной нормальной скорости двух точек Ри Р2
и, одновременно, уменьшение соответствующей величины. Другими
словами, нам придется положить

да- = — ew~,

(32)
где е обозначает коэффициент восстановления, который, как было
указано в п. 4, заключен между 0 и 1 и зависит исключительно от
физического строения соударяющихся тел. При е = 0 (неупругие
тела) нормальная относительная скорость после удара w+ исчезает
и в этом случае оба тела после удара остаются соединенными; на-
оборот, в случае е — 1 (тела совершенно упругие) нормальная отно-
сительная скорость после удара сохраняет то же самое абсолютное
значение, что и до удара, но с обратным знаком (отталкивание).

Уравнение (32) как раз и есть то новое эмпирическое уравнение,
которое позволяет вполне разрешить задачу. Из него следует

Aw =—(l-j-e)w~.	(32')

С другой стороны, достаточно вспомнить, что при ударе единич-
ные векторы ttj не изменяются и точки Pj, Gj не смещаются, чтобы,
подставляя в равенство

Aw = Avj -j- Av2

вместо Avj, Av2 их выражения, даваемые уравнениями (31), и учи-
тывая уравнения (29'), (30'), получить уравнение

Aw = Z:2/,	(33)

где k- обозначает существенно положительную постоянную

2

*2 = S {i+°’1	х х ”Я};

у=1 J

эта постоянная, если через otj, у{ обозначим составляющие п.] и
через Xj, у-, г,-— координаты точки Pj относительно соответствующей
системы осей инерции с началом в центре тяжести, может быть вы-
ражена через данные задачи в виде

2

г, 2_ V1 ___L G Z3 I (г7 а3 Х3 I (ЛУ $3 Уз gj)2)

Й	Aj Т Bj	Cj Г

Из сравнения уравнений (32'), (33) получим

1	-1- е

/=	(34)

достаточно подставить это значение в уравнения (29'), (30'), чтобы
получить формулы, разрешающие задачу.

Удар тел друг о друга называется прямым, когда скорости цен-
тров тяжести до удара vj имеют направление общей нормали к двум
поверхностям в точке Р. В этом случае из упомянутой выше не-
изменности касательной составляющей скоростей следует, что ско-
рости после удара vf будут направлены параллельно той же прямой,
что и до удара.

Удар называется центральным, если общая нормаль к поверх-
ностям обоих тел в точке Р проходит через центры тяжести; этот
случай только и возможен, если оба соударяющиеся тела предста-
вляют собой однородные шары.

Тогда будем иметь	= так что из уравнения (30)

будет следовать, что До>^ = 0; это значит, что при центральном
ударе угловые скорости tOj обоих тел остаются неизменными, откуда
следует, что скорость любой точки Q каждого из двух тел, опреде-
ляющаяся, как известно, выражением

Vj + Gj Q X	(/ — 1 > 2),

испытывает при ударе такое же приращение, как и скорость соответ-
ствующего центра тяжести. Поэтому, в частности, при центральном
ударе касательная составляющая скорости каждой отдельной точки
(т. е. составляющая, параллельная касательной плоскости, общей
к поверхностям обоих тел) остается неизменной.

18.	Удар о стенку. Как и в случае центрального и прямого удара
(п. 5), общую задачу об ударе какого-нибудь тела о неподвижную
стенку можно рассматривать как предельный случай задачи, разобран-
ной в предыдущем пункте, если предположить, что тело имеет
очень большую массу т2 (в пределе — бесконечно большую), нахо-
дится в покое и закреплено неподвижно (t>2 = to2 = 0). Тогда будут
справедливы уравнения (29'), (30') при j — 1 и сохранят свое зна-
чение также и уравнения (32), (34), если рассматривать ни как со-
ставляющую по «j абсолютной скорости точки Рх.

Из уравнения (32) следует, что тело отталкивается от препятствия,
а из уравнения (34) можно определить значение I, которое необхо-
димо подставить в уравнения (29'), (30') с индексом 1, чтобы полу-
чить окончательные формулы.

Если мы ограничимся рассмотрением центрального удара, который
только и является возможным, когда речь идет об ударе шара
о стенку, то, как и в аналогичном случае удара двух тел, найдем,
что касательная составляющая скорости центра тяжести останется
неизменной, а нормальная составляющая в силу закона Ньютона
изменит свое направление на противоположное и уменьшится по ве-
личине в отношении е: 1. Поэтому отношение касательной соста-
вляющей к нормальной, т. е. тангенс угла между скоростью и нор-
малью к стенке в точке Р, изменится в обратном отношении 1 : е.
Таким образом, мы видим, что для не вполне упругого тела при
центральном ударе о стенку угол отражения будет больше угла
падения, между тем как в идеальном случае совершенно упругих
тел (е = 1) мы будем иметь равенство этих углов.
19.	Потеря кинетической энергии при ударе двух тел. Возьмем
снова разрешающие формулы общей задачи об ударе двух тел S2
(п. 17) для вычисления, как и в элементарном случае (п. 6), изме-
нения полной живой силы, которое происходит при ударе.

Для каждого тела живая сила определяется (гл. IV, п. 5) из
равенства

о ==1,2),

поэтому, принимая во внимание, что Kj • w? = Ц- Bfl2/ -|- Cf], и
применяя тождества

и другие аналогичные, получим

ДТ,- = у т3 • (v++ vj-) -f-y • (»+ +

или на основании уравнений (29), (30), (31)

-ДТ,= —J- /n..(t,+ + v)—1 /[^Х«у]-(®+ + <»7) =
= “4 ^+ + у).

Отсюда, суммируя по индексу J, вводя относительную нормаль-
ную скорость -w и принимая во внимание равенство (32), для потери
полной живой силы Т—	мы получим выражение

— ДТ= —-i- /• (w+-f-w~) == —~ (1 —е) Jw~,
которое, если подставить вместо I его значение, определяемое фор-
мулой (34), принимает окончательный вид:

-ДТ=4-Ц^-2 (w-)2.	(35)

Таким образом, мы видим, что для несовершенно упругих тел мы
имеем действительную потерю живой силы, которая будет тем меньше,
чем больше тела приближаются к идеальному случаю совершенно
упругих тел, когда мы имели бы сохранение кинетической энергии.

В случае центрального и прямого удара, поскольку в силу пер-
вого условия оба векторных произведения X nj обращаются
в нуль, а в силу второго относительная нормальная скорость по абсо-
лютной величине равна j — v21, постоянная k2 принимает значение

1	.	1 _ ffZj -f- zr2

mi ‘ m2 тгт2 ’
и уравнение (35) приводится к виду

—	(1 — е2)	(фт —т/г)2

2	т1-\-т2 v 1	2 '

в согласии с равенством (15'), найденным прямым путем в п. 6.

20. Колесо, ударяющееся о препятствие. В виде приложения по-

лученных результатов рассмотрим колесо, которое, имея центр тя-
жести в своем центре и оставаясь в вертикальной плоскости, катится

без скольжения по горизонтальной плоскости и неожиданно ударяется

некоторой точкой Р своей окруж-
ности о неподвижное препятствие.
Предположим, что удар происхо-
дит без трения и колесо можно
рассматривать как , совершенно
упругое тело (е=1).

Представим себе, что положе-
ние точки Р в момент удара опре-
деляется углом а, который ра-
диус ОР (фиг. 33) образует с вер-
тикальным радиусом ОА, идущим
к точке касания колеса с плоско-
стью. Заметим прежде всего, что
в силу допущенного отсутствия
трения импульс, испытываемый

Фиг. 32.

колесом в точке Р, будет напра-

влен по нормали к его окружности, т. е. по прямой РО. Таким обра-

зом, удар будет центральным и потому мы можем принять, что

угловая скорость ш колеса не подвергнется при этом никакому изме-

нению.

С другой стороны, так как в движении до удара, которое, по
предположению, является чистым качением, мгновенный центр враще-
ния совпадает с точкой соприкосновения А колеса с плоскостью, то-
скорость до удара <v~ точки Р будет перпендикулярна к АР-
Скорость же после удара которая на основании правила п. 17
должна иметь касательную составляющую, равную касательной соста-
вляющей скорости до удара V, и в силу закона Ньютона (при е— 1)
нормальную составляющую, прямо противоположную нормальной со-
ставляющей скорости Ф~, необходимо будет представляться вектором,
симметричным с относительно касательной в точке Р к окруж-
ности колеса. Поэтому мгновенный центр вращения в движении после
удара, по теореме Шаля (т. I, гл. V, п. 4), попадет на хорду РВ,
симметричную с РА относительно ОР, на расстоянии от Р, равном
v+jw =	— АР, т. е. совпадет как раз с концом В хорды РВ.

В этом заключается все, что можно извлечь для нашей задачи
из общей теории пп. 17—18. Но интересно рассмотреть, как
действительно будет происходить движение колеса после удара, начи-
ная от только что описанного состояния движения.

Заметим прежде всего, что в силу неизменности при ударе угловой
скорости ш и, следовательно, в частности, ее направления, достаточно,
чтобы точка В оказалась с той же стороны от вертикального диа-
метра ОА, что и точка Р, для того чтобы при элементарном вращении
вокруг В, с которого начинается движение после удара, колесо от-
скакивало как от плоскости, так и от препятствия. В таком случае
колесо в своем движении после удара будет следовать законам движе-.
ния свободного тяжелого тела, так что его центр тяжести будет
описывать некоторую параболу ф
(фиг. 33) с вертикальной осью и
с вогнутостью, направленной вниз,
причем касательная к параболе
в начальном положении О будет
перпендикулярна к ОВ.

Тогда, ограничиваясь рассмотре-
нием случая а < 90° (препятствие
ниже центра колеса), и вспоминая,
что АО В = 2а, мы увидим прежде
всего, что если угол а заключен
между 45° и 90° (включая концы),
то скорость после удара точки О
направлена назад; это значит, что
колесо не преодолело препятствия и
отскочило назад.

Наоборот, при а < 45° скорость после удара точки О обращена
вперед и вверх, и колесо может преодолеть препятствие, не ударяясь
более о него. Для того чтобы это произошло, очевидно, необходимо
и достаточно, чтобы центр О в своем параболическом движении
находился на некотором расстоянии от препятствия, не меньшем ра-
диуса колеса г, или, другими словами, чтобы дуга OL параболы ф,
находящаяся над горизонталью Ох', не пересекала над этой гори-
зонталью х' аналогичную дугу ОН окружности С с центром в Р и
радиусом г. Теперь легко видеть, что это последнее условие выра-
жается соотношением

OL^OH	(36)

между двумя хордами, отсекаемыми соответственно параболой ф и
окружностью С на горизонтали Ох'.

Для доказательства этого заметим сначала, что в то время
как касательная t в точке О к дуге круга С, как перпендикуляр
к РО, составляет с Ох’ угол а, аналогичный угол, образованный
с той же самой прямой Ох' касательной t' в точке О к параболе ф,
как перпендикуляр к ВО, будет равен 2а; поэтому в начале движе-
ния после удара парабола ф будет, конечно, расположена над С.
Мы видим, таким образом, что, если бы, вопреки ^условию (36),
было OL<JOH, то дуга параболы пересекла бы дугу круга над пря-
мой Ох' и колесо в своем параболическом движении вперед ударилось
бы еще раз о препятствие.

Поэтому остается только подтвердить, что соотношение (36) яв-
ляется также и достаточным условием для того, чтобы этого не
произошлоJ).

Для этой цели, предположив выполненным равенство (36), вспом-
ним, что если временно за декартовы оси примем Ох' и вертикаль
в точке О, направленную вверх, и введем составляющие v ~ cos 2а,
sin 2а скорости точки О после удара, то координаты вершины V
параболы определятся (т. I, гл. II, п. 31) выражениями

(»“)2 sin 2а cos 2а (v-)2 sin2 2а
q ’ 2g ’
так что будем иметь

tgmL = -ltg2a = TJ^,
и, следовательно, так как a <45°,

tg a < tg VOL < tg 2a.

Полупрямая OV будет поэтому внутренней для угла tf двух ка-
сательных; прямая НК, параллельная к LV, пересечет отрезок OV
в какой-нибудь точке К (самое большее совпадающей с V).

Так как дуга круга остается ниже ломаной с двумя сторонами
О КН, а эта ломаная в свою очередь будет ниже аналогичной лома-
ной OVH, полностью лежащей ниже дуги параболы, то заключаем,
что, действительно, две дуги не пересекаются над горизонталью Ох'.

Подставляя в уравнение (36) вместо OL (дальность боосания)
и ОН (хорда круга с центральным углом 2a) их выражения через
данные задачи, мы получим соотношение

sin 4a 2r sin a.	(36')

1) Заключение о дальнейшем движении можно получить прямым геомет-
рическим путем, посредством следующего способа, указанного проф. Бис-
кончини.

Наряду с дугой окружности ОН рассматривают окружность С' (не ука-
занную на чертеже), касательную в точке О к. параболе и имеющую центр
на вертикали точки U (оси параболы, тоже не указанной на чертеже). Бу-
дучи вполне симметричной по отношению к такой прямой, окружность С'
коснется параболы также и в L, и, так как она не может иметь с параболой
других общих точек (потому что две точки касания уже исчерпывают четыре
точки пересечения), то будет вся целиком внутренней по отношению к той же
параболе. С другой стороны, дуга круга ОН = С будет в свою очередь
внутренней по отношению к С', так что она не сможет пересечь дугу пара
болы О V7. =•
Если препятствие сводится к маленькому выступу в полу, т. е.
если а очень мало, так что вместо синусов можно подставить без
ощутительной погрешности соответствующие углы, то соотноше-
ние (36') получит вид

(^-)2 > 4rg-

Отсюда заключаем: для того чтобы колесо не ударилось вторично
о препятствие, необходимо и достаточно, чтобы скорость до удара
точки обода, ударяющегося о препятствие, была не меньше скорости
тяжелого тела, падающего на пол с высоты, равной четверти радиуса
колеса.

§ 4# Понятие об ударе с трением

21. Удар неизменяемой плоской фигуры о неподвижное препятствие.
В предыдущем пункте мы пренебрегали трением, допуская, что
в точке, в которой соударяются два тела, они испытывают два прямо
противоположных импульса, по общей нормали к двум поверхностям,
направленной для каждого из них внутрь. Задача усложняется, если
мы хотим учесть трение скольжения и качения, причем это последнее
схематически представляет тот физический факт, что соприкосновение
происходит не в геометрической точке, а по некоторой конечной
площадке.

Не входя здесь в рассмотрение вопроса в общем виде, мы
исследуем только тот случай, когда, отвлекаясь от трения качения,
можно довольно простым способом учесть трение скольжения. Это
можно сделать в случае двух плоских неизменяемых фигур, движу-
щихся в своей плоскости. Мы рассмотрим, однако, более частный
случай — удар плоского неизменямого профиля S о неподвижную
преграду представленную схематически в виде некоторой кривой
в плоскости; эту кривую в рамках нашего исследования всегда можно
заменить ее касательной в точке, в которой происходит удар. Случай
двух фигур, движущихся в их плоскости, можно было бы рассмо-
треть аналогичным образом. Заметим, что обстоятельства, установ-
ленные нами выше, осуществляются при ударе биллиардного шара
о борт, если предположить, что вращение шара происходит исклю-
чительно вокруг вертикали.

Обозначим через Р (фиг. 34) точку, в которой в момент t0 удара
происходит соприкосновение между профилем S и препятствием, и
возьмем систему неподвижных осей с началом в Р, с осью у, напра-
вленной вдоль общей нормали к профилю и к преграде и обращенной
в сторону S, и с осью х, направленной вдоль преграды и обращен-
ной в ту сторону, где лежит центр тяжести G профиля 5 (или про-
извольно, если центр тяжести лежит на оси у). Из этих соглашений
следует, что если х0, уй обозначают координаты точки G, то имеем
С другой стороны, необходимо принять во внимание, что импульс I,
который в момент удара возникает в Р, действует в ту сторону
от оси Рх, где лежит S, так что, если XY суть соответствующие
составляющие, до необходимо имеем Y > 0. Кроме того, этот импульс,
по определению, равен

1= lim f Ф dt,
т->0 J

^0

где Ф в любой момент очень короткого промежутка времени т пред-

ставляет собой реакцию, которая
всегда принадлежит углу g^g^
если есть соответствующий
что то же самое произойдет и
с только что написанным интегра-
лом и, следовательно, в пределе
и с самим импульсом I.

Заметив это, обратимся к
основным уравнениям движения
под действием мгновенных сил
в плоском случае (п. 10), учиты-
вая, что результирующая импуль-
сов R сводится к I и что, так как
—>•

м = GP'XI, будем иметь

мг = ^о^ — хо Y-

согласно законам трения скольжения
величины 2ф с биссектрисой Оу,
угол трения. Отсюда мы видим,

Поэтому уравнения п. 10, если через w, v обозначим проекции
скорости центра тяжести f0, а вместо С напишем /п82, где 5 есть
центральный радиус инерции фигуры S, принимают вид

Ди = — X, Дг/ = -1-Y, Дё= -L (у0Х— х0У).	(37)

т ’	т	то2 -'О	0 ’ v >

В эти выражения для изменений, испытываемых при ударе тремя
характеристическими величинами и, v, t), входят две неизвестные про-
екции X, Y реактивного импульса, а потому, чтобы сделать задачу
определенной, необходимо ввести еще два условия. Заметим теперь
же, что к одному из них мы придем, допуская применимость также
и в этом случае эмпирического закона Ньютона, а другое будет
получено из исследования влияния трения.

Заметим сначала, что точка профиля, которая в момент /0 нахо-
дится в Р, как неизменно связанная с S, имеет скорость

®о+юХ GP,
а проекции о и v этой скорости на оси Ох, Оу, ввиду того что
пространственные проекции вектора «о суть 0, 0, 0, имеют выражения

° = “+лМ	(зз)

V = v — x06J

Касательная составляющая определяет скольжение профиля S по
препятствию. Что же касается нормальной составляющей v, то надо
заметить, что при сближении до удара и удалении тотчас же после
удара (если исключить случай совершенно неупругих тел) значение
этой составляющей до удара (v_) существенно отрицательно, а зна-
чение ее после удара (v+) существенно положительно. Как уже было
указано, мы допустим здесь еще раз применимость закона Ньютона

'>+ = — e't-,	(39)

где е обозначает коэффициент восстановления сталкивающихся тел.

Чтобы с выгодой использовать равенство (39), заметим, что из
равенств (38) на основании уравнений (37) непосредственно следуют
два уравнения:

i’=^{(i+4)^-T4-	I	(40,

2	J	' '

если положить в этих уравнениях

2	2

a = _Lfi + M d==J_A+M
т \	о2/ т \	1 о2/’ т о2

и исключить из второго v+ при помощи равенства (39), то они
преобразуются в следующие:

а+=а~-\-ЬХ—cY.	(41)

— (i+e)v- = — cX+aY.	(42)

Важно отметить, что постоянные а, Ь, с, введенные таким образом
в качестве структурных данных профиля S, все три положительны:
первые две по существу, а третья в силу наших допущений (так как
с — 0 только тогда, когда G лежит на Оу); кроме того, имеем

ab > с2.	(43)

Уравнение (42), левая часть которого так же, как а и с, является
известной постоянной, дает в более удобной для нашей цели форме
одно из искомых уравнений, связывающих вспомогательные неизвест-
ные X, Y.

Уравнение (41), наоборот, вместе с неизвестными X, Y, содержит
еще неизвестную а+; для того чтобы довести задачу до конца, мы
должны рассмотреть при помощи законов Кулона, относящихся
к трению скольжения (статического и динамического), поведение реак-
ции Ф за очень короткий промежуток времени т, в течение которого
действительно происходит явление удара.

Для облегчения этого анализа и последующих рассуждений обра-
тимся к геометрическому представлению. Следуя Раусу, введем точку R
с координатами X, У, т. е. свободный конец вектора /, приложен-
ного в точке Р, и заметим прежде всего, что он должен находиться
на прямой г, определяемой уравнением (42). По знакам коэффициен-
тов мы видим, что прямая г пересекает ось х в точке с отрицательной
абсциссой (или бесконечно удаленной) и ось у в точке с положи-
тельной ординатой, так что она имеет некоторую общую точку А
(см. фиг. на стр. 497—499) с той стороной qt двойного угла тре-
ния q^q^—4's, относящегося к преграде в Р, которая лежит во вто-
ром квадранте осей. Обозначая через ф угол (положительный и острый),
который эта прямая образует с осью у, будем иметь

<44)

прямая г пересечет также полупрямую g2 в некоторой точке В или
будет лежать, начиная от точки А, вся внутри угла glf g%, в зави-
симости от того, будет ли ф > ф или ф ф.

Напишем теперь снова уравнение (41), полагая

а+	_

р+= —==, р =	;

У ь2 + с2	У ь2 4- с»

Ь .	с

cos х п —-----г . sm х п =

У Ь2 + с2	Уь2 у-с2

В силу этого уравнение (41) принимает вид

р+ =— (^Ycos х п~У У sin х п—р~)	(41z)

и позволяет истолковать неизвестную р + как расстояние точки R от
прямой s, нормальное уравнение которой есть

х cos х п~-у sin х п—р~ = 0.	(45)

Эту прямую можно назвать прямой нулевого скольжения, так как
скорость скольжения а+ после удара обращается в нуль только тогда,
когда точка R лежит на ней.

Направленная нормаль п к s, проходящая через начало, как это
следует из выражений ее направляющих косинусов, принадлежит ко
второму квадранту осей. Естественно, что прямая $ пересекает эту
нормаль с той или другой стороны от начала, смотря по знаку вели-
чины р~ или, что то же, по знаку скорости скольжения до удара.
В обоих случаях прямая у согласно обычным соглашениям аналитиче-
ской геометрии будет направлена вверх (т. е. в сторону возрастаю-
щих у), и угол х (положительный и острый), который она образует
с осью у, определяется соотношением tg у = с/Ь^, так что, принимая
во внимание равенства (44) и (43), мы видим, что ф > у.

Обращаясь теперь к исследованию явления удара в последователь-
ные моменты очень краткого промежутка времени т, в течение кото-
рого он происходит, обозначим через t какой-нибудь один из этих
моментов и рассмотрим соответствующее значение импульса

t

It = f<S>dt

с проекциями Xt, Yt и скорость скольжения at для того же момента.
В этот момент t изменения, испытываемые характеристическими вели-
чинами и, v, 6, будут определяться теми же уравнениями (37), в ко-
торых вместо X, Y надо подставить Xt, Yt. Вместо уравнения (41)
или эквивалентного ему уравнения (41') будет иметь место уравнение

pt —— (Xt cosхпYt sinхп—р~),	(46)

где положено

п —	°*

Обозначим через Rt точку с координатами Xt, Yt, которая пред-
ставляет в любой момент соответствующее значение It импульса.
Задача заключается в том, чтобы определить, каков будет путь, опи-
сываемый точкой Rt, за промежуток времени от t0 до г‘о + г> начиная
от положения Р, из которого она выходит в момент t0, и каково
будет конечное положение R, которого достигает Rt в момент
на прямой г.

Для этой цели, как уже указывалось, нам надо только принять
во внимание эмпирические законы трения скольжения. Прежде всего,
заметим, что, по определению, имеем dRt = dIt — ^dt‘, вспоми-
ная, что импульс Ф всегда будет обращен наружу от преграды,
мы видим, что на чертеже путь точки Rt от Р до Р должен быть
направлен вверх. Кроме того, в силу законов динамического трения,
направление движения точки Rt, совпадающее с направлением реак-
тивного импульса Ф, который должен быть противоположным сколь-
жению, будет совпадать с направлением g. или g2, смотря по тому,
будет ли	или az<0; если же в некоторый момент / <st

исчезает, то Rt будет находиться на прямой s нулевого скольжения
и элементарное перемещение точки Rt будет подчинено только
условию лежать внутри угла gt, g2; оно будет оставаться внутри
этого угла, пока скорость, скольжения остается равной нулю, а это
требует, чтобы угол у=у$ был меньше угла трения ©.

Предыдущие рассуждения легко приводят к определению конечного
положения R точки Rt на прямой г, если будем рассматривать отдельно
два общих случая: I. а- О, II. а- < о и различные частные слу-
чаи, которые в них входят.

Надо тотчас же отметить, что так как р- имеет тот же самый
знак, что и <з- (и исчезает вместе с а-), прямая $ нулевого сколь-
жения, определяемая равенством (45), в случае I имеет общую
точку Н с полупрямой (Н совпадает с Р при а- = 0), а в слу-
чае II — с продолжением этой полу-
прямой; важно помнить, что во всех
случаях прямая s, начиная от точки /7,
идет вправо и вверх.

I.	о- 0. Рассмотрим сначала
общий случай, когда имеет место
неравенство. Так как перемещение
dRt — Qdt должно быть противопо-
ложно скольжению, то точка Rt начи-
нает подниматься от Р вдоль полу-

прямой gn которая встречается	Р	я

в. точке А с прямой г; теперь необ-	Фиг. 35.

холимо рассмотреть отдельно два
случая: когда точка Н, в которой в этом случае прямая у пересе-
кается с полупрямой gp будет внешней для отрезка РА и когда
она будет лежать на этом отрезке.

1Г Н есть точка, внешняя для отрезка АР. Точка Rt движется
из Р вдоль gj до точки А, которая составляет для нее конечное
положение R (фиг. 35).

Если, далее, точка Н, в которой $ пересекает g1; лежит на
отрезке РА, то необходимо различать два частных случая, смотря
по тому, будет ли х-С® или у > ©.

12.	Точка Н лежит на отрезке РА (фиг. 36) и у ©. Так как
во всех случаях имеем ф > у и, следовательно, ф © > у -ф- ©, то
достаточно применить постулат Евклида к двум прямым г и $ и
к прямой g1( чтобы видеть, что г к s пересекаются в некоторой
точке справа от gn а так как, далее, $ образует с осью у угол у,
меньший или самое большее равный ©, то эта точка будет лежать
необходимо внутри угла gpg2. Точка Rt, пробежав отрезок РН
прямой gp переходит на прямую $ и движется по ней вверх до тех
пор, пока не достигнет точки пересечения ее с г, которая и будет
ее конечным положением.

13.	Точка Н лежит на отрезке РА (фиг. 37) и у > ©. Точка Rt,
придя из Р вдоль gj в Н, не может идти вдоль s, потому что пря-
мая s образует с осью у угол у, больший угла трения; а так как

32 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
по ту сторону от прямой s pt и, следовательно, скорость скольже-
ния <st становятся отрицательными, то точка продолжает двигаться,
начиная от Н, вдоль прямой g', параллельной g2, вверх.

Так как имеем ф > у > со, то угол	который г образует

с gj, будет больше аналогичного угла 2 ф, образованного с той же
трансверсалью прямой §•'; поэтому, как и выше для г, s, мы заклю-
чаем, что г, g'9 пересекаются в некоторой точке угла g1g2, кото-
рая и есть конечное положение R точки Rt.

Исключавшееся до сих пор частное предположение <з~ = 0 соот-
ветствует тем частным случаям из 12, 13, когда Н совпадает с Р.

II. о- < О. Так как дифференциал dRt должен быть противополо-
жен скорости скольжения, которая вначале отрицательна, то точка Rt
начинает подниматься из Р вдоль g2 и идет вверх, по крайней
мере, до тех пор, пока не встретит прямую г или s. Не может слу-
читься, чтобы никакая из этих двух прямых не пересекала полу-
прямую g2, так как такое предположение влекло бы за собой (как
это можно видеть, рассматривая ось у, которая при условии II пере-
секается прямой у ниже начала) два соотношения ф <р -С Х> проти-
воречащие неравенству ср > у. Поэтому будем различать два следу-
ющих частных случая:

IIj. Прямая г пересекает g2 в такой точке В (фиг. 38), что отре-
зок РВ не имеет общих точек с s. Точка Rt пробегает отрезок РВ
и в точке В имеет свое конечное положение R.

Па. Прямая у пересекает ga в такой точке К (фиг. 39), что
отрезок РК не имеет общих точек с г. В этом случае мы имеем
у < ср; с другой стороны, прямые г, s, которые справа от оси у
образуют с ней два соответствующих угла ф,' у, таких, что 4» > у,
пересекаются с той же стороны от у в некоторой точке, которая в
силу предположения, что точка К находится под прямой г, . будет вну-
тренней для угла glg^,. Точка Rt, выходя из точки Р, идет по пря-
мой g2 до точки К, затем идет вдоль прямой у, которая образует
с осью у угол у, меньший угла' трения ®, и приходит в точку пере-
сечения R прямых у и г.

После того как мы исчерпали таким образом все возможные случаи,
едва ли необходимо прибавлять, что в любом случае, когда будет

определена точка R и, следовательно, будут определены ее коорди-
наты X, У, первоначальные уравнения (40) дадут полное решение
задачи.

Не входя в дальнейшее развитие этой теории, мы отсылаем чита-
теля за большими подробностями к трактату Рауса Ч и к оригиналь-
ным работам Дарбу * 2 3), А. Майераа) и Пере4).

§ 5.	Общие теоремы импульсивного движения

22.	Общее уравнение импульсивного движения. Рассмотрим какую-
нибудь материальную систему, состоящую из //точек Р{ (i= 1, 2,... ,Х),
на которую наложены связи без трения, и ограничимся предположе-
нием, что все связи являются двусторонними (неосвобождающими);
обращаем внимание на то, что в теории импульсивного движения и,
в частности, в случаях столкновений односторонние связи имеют совсем

J) Routh, Treatise on the Dynamics of a system of rigid bodies, т. 1, 4-e
изд., London, 1897, гл. IV, §§ 187—197, 315—330.

® G. Darboux, Etudes geometriques sur les percussions et le choc des
corps, Bull, des sc. math., сер. 2-я, т. IV, 1880, § IV, стр. 126—160.

3) A. Mayer, Ueber den Zusammenstoss ...., Leipz. Berichte, 1902,
стр. 201—243.

4) Peres, Choc en tenant compte du frottement. Choc de deux solides
avec frottement, Nouv. Ann. de math., сер. 5-я, т. II, стр. 98—108, 216—231.
особый интерес. Случаев, когда входят связи этого последнего типа,
мы коснемся слегка в конце этого параграфа ,(п. 13).

Как уже говорилось в п. 1, даже и в те очень короткие проме-
жутки времени т, когда на систему действуют мгновенные силы,
остаются в силе основные постулаты динамики и, следовательно,
остается в силе также и общее уравнение движения, которое все их
объединяет (гл. V, п. 20), т. е. уравнение

N
2(Л-—
г = 1

(47)

где, конечно, в результирующую силу F{, прямо приложенную к лю-
бой точке Р{, должны быть включены в любой момент также и воз-
можные активные ударные силы или удары.

Обращаясь как раз к промежутку времени от tQ до когда
действуют такие удары, введем N результирующих активных импульсов

io + т

ft = lim
т-> О

ffidt
to

(Z=l,2,

и проинтегрируем уравнение (47) по времени от t0 до t0 -f- т, допуская,
что в этот очень короткий промежуток времени виртуальные пере-
мещения 8/^ можно рассматривать как не зависящие от времени.
Если после этого интегрирования заставим т стремиться к нулю и

заметим, что

io + т

lim
т-> О

J* a^dt
^0



дает обычное изменение Д^ скорости любой точки Pt, то придем
к уравнению

N

^(Ц-т^-ЬР^О,	(48)

1 = 1

представляющему собой общее уравнение импульсивного движения.

Это уравнение справедливо для системы бесконечно малых пере-
мещений bPt, совместимых со связями при явно выраженном в пре-
дыдущем интегрировании предположении, что за очень короткий про-
межуток времени, в течение которого действуют мгновенные силы,
связи остаются (приблизительно) неизменными.

Обратим внимание на то, что это не исключает возможности рез-
ких изменений связей одновременно с действием импульсов. Мы до-
пустим только, что в согласии с предположением о неизменности
связей в течение очень короткого промежутка времени -г, когда дей-
ствуют удары, во всех случаях каждое из возможных резких изменений
связей можно рассматривать как происходящее или непосредственно
до или непосредственно после этого весьма короткого промежутка,
в течение которого происходит импульсивное движение.

Так, например, если у свободно падающего тела закрепляются
неожиданно одна или две точки, то вводятся связи (закрепление в
точке, или вдоль оси), под действием которых, по крайней мере в
общем случае, должны возникнуть резкие изменения скоростей, потому
что движение тела до удара в общем случае не было таким, которое
характерно для твердого тела с неподвижной точкой или осью. В этом
случае надо принять, что резкое изменение связей произошло до
момента, начиная с которого рассматривается импульсивное движение,
и уравнение (48) должно применяться только к тем виртуальным пе-
ремещениям, которые совместимы со связями, вводимыми внезапно,
причем нужно иметь в виду, что в этом специальном случае не войдут
активные импульсы (4 = 0).

Подобным же образом, если в твердом теле происходит взрыв,
который можно схематически представить системой импульсов вну-
тренней природы, то наступает внезапное резкое уничтожение связи,
так как после взрыва вместо 6 получится 6N степеней свободы, если
7V есть число осколков; виртуальные перемещения, которые нужно
ввести в уравнение (48), должны соответствовать связям системы после
их внезапного резкого изменения.

Наоборот, в явлениях столкновений, которыми мы занимались в
двух предыдущих пунктах, условие соприкосновения между двумя
твердыми телами или между твердым телом и стенкой перестает вы-
полняться, когда удар уже произошел, так что имеется внезапное
резкое уничтожение связи, следующее за явлением удара.

Если связи, которые должны быть приняты во внимание при
изучении импульсивного движения и, следовательно, при использова-
нии уравнения (48), сохраняются неизменными при движении, происхо-
дящем после удара, в течение некоторого промежутка времени, хотя
и короткого, но конечного, следующего за моментом	то они

называются устойчивыми. Так, обращаясь к примерам, взятым выше,
мы должны считать устойчивой связь, возникающую при внезапном
закреплении точки или оси падающего твердого тела, в то время как
условие соприкосновения между двумя телами при столкновении не
является устойчивой связью.

В дальнейшем (п. 29) мы увидим, как, по крайней мере в случае
голономных систем, общее уравнение (48) приводит к однозначному
определению движения системы после удара, если известны движение
до удара и система прямо приложенных импульсов 1{. Но сначала мы
получим из уравнения (48) некоторые следствия общего характера, а
для этой цели мы должны прежде всего уточнить, с формальной точки
зрения, условия, определяющие виртуальные перемещения 8Р4.

Вспомним (т. I, гл. XV, п. 7), что, как это уже отмечалось и
в п. 3 предыдущей главы, при изложении принципа наименьшего при-
нуждения Гаусса, двусторонние связи, голономные или неголономные,
наложенные на состояние движения какой-нибудь системы, всегда
могут быть выражены посредством уравнений вида

Вй(®) = ^	(&=1, 2, ...,/•), (49)

где Вк (®) символически представляют линейные однородные функции
от проекций скоростей v{ точек системы, коэффициенты которых,
так же как и скалярные величины Ьк в правых частях, суть известные
функции координат, а возможно, и времени; поэтому за очень короткий
интересующий нас промежуток времени т они должны рассматриваться
как постоянные.

На основании определения виртуальных перемещений связи, которым
должны удовлетворять 8Р£, выражаются соответствующими линейными
и однородными уравнениями

Вк(ЪР) = 0	(£=1,2, . ,.,г);	(50)

для некоторых выводов, которые мы имеем в виду, важно отметить,
что, в то время как значения v~ скоростей до удара могут и не
удовлетворять уравнениям (49), так как эти уравнения относятся к
промежутку времени т, в течение которого связи могут не быть теми
же самыми, что и до удара, скорости vt, в известном смысле отра-
жающие действие всего того, что происходило в элемент времени т,
необходимо должны удовлетворять уравнениям (49).

Если затем рассмотрим отвлеченно какое-нибудь движение vt,
совместимое с уравнениями (49) (совпадающее или несовпадающее
с движением после удара), и припишем скоростям изменения 8®г,
которые соответствовали бы условиям (49), то 8®f вследствие линей-
ности уравнений (49) будут удовлетворять в свою очередь соответ-
ствующим однородным уравнениям

Вй(8®) = 0	(£=1,2,...,/-),	(50')

которые будут тождественны с уравнениями (50), если не считать
того, что в уравнениях (50') вместо неизвестных 8Pi стоят вели-
чины 8г^.

23.	Теорема Робена1). Пусть скорости определяют какое-нибудь
состояние движения, совместимое со связями (49); введем квадратич-
ную функцию, вообще говоря, неоднородную относительно

(5|)

*) Густав Робен (Gustave Robin) родился в Париже в 1855 г., умер
там же в 1897 г. Оригинальный и проницательный мыслитель, внес важный
вклад по результатам и по методу не только в теорию импульсов, но также
и в термодинамику, в электростатику и в критическое направление теории
функций. Его сочинения собраны в трех томах (Париж, 1899—1903).
предполагая, что представляют собой какое угодно решение урав-
нений (49). Полный дифференциал этой функции, так как в ней им-
пульсы /г и скорости до удара рассматриваются как заданные,
определится равенством

=	(52)

«=1

он обратится в нуль, если вместо будут подставлены скорости
после удара удовлетворяющие не только уравнениям (43), но
также и общему уравнению (48).

Это означает, что соответствующее значение G+ величины G
является стационарным. Но легко видеть, что мы имеем здесь дело
с минимумом, если раскрыть смысл разности G-—-G+. Для этой цели
будет исходить из тождества

тД- (/. — т.(у. — ®г)12 — тД- II. — т (уt — vr)l2 =

2т. I г 4 ' г I	2т{ I »	* ' «	» 'I

= Л • « —	+ У mi [(®/ — ®Г)2 —	)2] =

= « — mAvi) • « —+4 mi [2Д^+Ч"~	О.] • «”^)=

= (Л — miД®,-) • з®,- + 4 mi W2-

в первой части которого принято обозначение Во,- для разности
гЛ —Если просуммируем по индексу I от 1 до N, то левая часть
на основании определения (51) функции G даст G — G+, а первый
член правой части будет равен нулю в силу заключительного замеча-
ния предыдущего пункта. Вследствие этого останется

N

G=G++4S^(M2-	(53)

2 — 1

Отсюда видно (теорема Робена), что: неизвестное состояние дви-
жения после удара будет таким, для которого функция G имеет
наименьшее значение по сравнению со всеми состояниями дви-
жения, совместимыми со связями (49).

24. Сопоставление теоремы Робена с принципом наименьшего
принуждения. Прежде чем идти дальше, остановимся немного на функ-
ции О предыдущего параграфа и упростим ее выражение путем
введения в нее воображаемых скоростей ч>*., которые приняли бы
точки системы под действием заданных импульсов, если бы от-
сутствовали связи. Для таких скоростей имеем

mi —	=	(/ = 1, 2,. . ., А?)
и, следовательно, функция Q принимает вид

N

G^^m.^ — v??.
f = i

Рассмотрим теперь промежуток времени s, также очень короткий,
следующий за моментом /0, когда система подверглась действию'
импульсов, и для любой точки Pf обозначим через Q{ то положение,
которое она действительно займет в момент Z0-f-s ПРИ каком-нибудь
движении, совместимой со связями, существующими в то время,
когда действуют удары, а через Q*— положение, которое она при-
няла бы в тот же самый момент, если бы она двигалась свободно
под действием тех'^ке самых импульсов 1{.

Как и в д 2 предыдущей главы, принуждение, происходящее от
связей, будет определяться равенством

N

Ъ==1
и так как имеем

Q< = Pl + e^+...,	=	+	(f=l,2,..., N),

где опущенные члены будут относительно г порядка выше первого,
то, пренебрегая членами третьего и более высокого порядка отно-
сительно е, получим

Г = 2е3 G-f- ...

Так как было доказано, что для состояния движения после удара
функция G имеет наименьшее значение, то достаточно применить
к предыдущему выражению Г рассуждения, аналогичные рассужде-
ниям п. 3 предыдущей главы, чтобы заключить, что принцип наи-
меньшего [принуждения сохраняет свое значение также и для
импульсивного движения.

26. Следствие из теоремы Робена. Теорема Кельвина. Вернемся
к теореме Робена и предположим, в частности, что прямо приложен-
ных импульсов нет, т. е. что явление происходит исключительно от
внезапного введения связей (отвердение, закрепление точки или оси,
наложение заданных скоростей на некоторые точки и т. д.). Выраже-
ние для функции G сведется в этом случае к виду

<=1

так что среди всех движений, совместимых со связями, состояние
движения после удара будет отличаться тем, что для этого движения
живая сила, происходящая от резких изменений скорости (живая
сила приобретенных скоростей) будет иметь наименьшее значение.

Еще более частное, но более наглядное предложение мы имеем
в так называемой теореме Кельвина. Мы придем к этой теореме, пред-
полагая, что при отсутствии прямо приложенных импульсов система
находится первоначально в покое = 0), а вводимые внезапно
добавочные связи состоят в наложении на некоторое число точек
известных заданных скоростей (у* = Vi), конечно, совместимых
с другими связями (49), которые надо учитывать.

В этом случае функция G будет равна живой силе, которую
система будет иметь в результате указанного наложения скоростей,
и мы приходим таким образом к теореме: живая сила для дей-
ствительного состояния движения, следующего за наложением
связей, будет наименьшей по сравнению с живой силой во всяком
другом состоянии движения, совместимом со связями (в число
которых включены и связи, вызывающие внезапное резкое изменение
скоростей).

26. Обратимые связи. Теорема Карно t). В более общем предпо-
ложении линейные уравнения (49) связей не являются однородными;
типичный пример этого мы имели в связях, соответствующих нало-
жению скоростей и рассмотренных в теореме Кельвина (предыдущий
параграф). Но и в случаях более обыкновенных и, в частности, когда
речь идет о голономных или неголономных связях, не зависящих от
времени, уравнения (49) не будут иметь правой части, так что вместе
со всяким состоянием движения, совместимым с указанными связями,
связи допускают и прямо противоположное движение. По этой при-
чине связи, выражаемые линейными и однородными уравнениями, на-
зываются обратимыми.

Если все связи, которым подчинена система, обратимы, то
оправдывается известное обстоятельство, что уравнения (49) будут
тождественны, за исключением обозначения неизвестных, с уравне-
ниями (50), так что всякое состояние движения, совместимое со
связями, соответствует некоторому виртуальному перемещению и об-
ратно; общее уравнение импульсивного движения можно написать
в виде

N

2 (4 — «iД®/) • = о,	(48')

4=1

t) Лазарь Карно родился в Нолей (Кот-д’Ор) в 1753 г., умер в Маг-
дебурге в 1823 г. Был организатором войск Французской республики во
время Конвента; пользовался большим почетом и занимал высшие должности
также и в наполеоновский период; умер в изгнании. Был одним из первых
ученых, занимавшихся приложениями механики к машинам, а также проектив-
ной геометрией. Широкую известность получили также и его Reflexions sur la
metaphysique du Calcul infinitesimal, первое издание которых вышло в 1797 г.
где через обозначены скорости в любом состоянии движения, со-
вместимом со связями.

Если, в частности, мы припишем скоростям v. значения соот-
ветствующие действительному состоянию движения после удара, и,
предполагая прямо приложенные импульсы равными нулю, примем во
внимание тождество

Д^ ‘	= (vt)2 —	< = у «)2 •— у («7)3 + у (д®?2’

то из уравнения (48') получим

У	N	n

42 mi (®+)2+42 mi =2 mt w2
i = l	i = l	i = l

или, обозначая через Т живую силу системы и через 0 живую силу,
соответствующую внезапным изменениям скоростей,

— ДТ=0.

Это равенство выражает следующую теорему Карно (см. и. 6):
для всякой материальной системы, подчиненной связям без трения
и обратимым, в которой без наличия прямо приложенных импуль-
сов происходят резкие изменения скоростей, всегда будет иметься
общая потеря живой силы, равная живой силе, соответствующей
этим изменениям скоростей.

27г Случай взрыва. В этом случае, по крайней мере, на некото-
рые материальные элементы системы действуют импульсы внутренней
природы, попарно взаимнопротивоположные; эти импульсы вызывают
большей частью разрушение элементов, на которые они действуют.
Но так как в состоянии движения до взрыва разрушение еще не
имело места, то соответствующая работа импульсов

х

г = 1

необходимо будет равна нулю, так как она состоит из слагаемых
попарно равных по абсолютной величине и с противоположными зна-
ками; может быть, не бесполезно заметить, что того же нельзя
сказать об аналогичной работе, соответствующей состоянию после-
дующего движения, так как элементы, разорванные разрушением,
к которым будут приложены два любых прямо противоположных
импульса, будут (вообще говоря) иметь различные скорости.

Если уравнение (48') относится к состоянию движения до взрыва,
то, полагая в нем о,-мы можем в силу только что сказанного
привести его к виду

N

2 m^Vi • <о~ — 0;

г=1
этому уравнению, посредством преобразования, совершенно аналогич-
ного преобразованию из предыдущего параграфа (за исключением
разве замены V* через ®7), можно придать вид

ДТ= ©.

Поэтому заключаем, что: в материальной системе с обрати-
мыми связями без трения взрыв производит выигрыш в живой
силе, равный живой силе, происходящей от резкого изменения
скоростей элементов системы.

28.	Теорема Лагранжа—Бертрана. Закончим эти общие рассужде-
ния одним предложением, которое носит название теоремы Бертрана,
хотя в одном частном случае оно было известно еще Лагранжу.

В этой теореме сравнивается живая сила Т+, с которой действи-
тельно начинается движение после удара системы с обратимыми свя-
зями и при наличии каких угодно активных импульсов, с живой
силой Т', которую имела бы та же самая система под действием тех
же самых импульсов, если бы на нее были внезапно наложены еще
новые связи, тоже обратимые, и утверждается, что Т+ будет наиболь-
шей по сравнению со всеми возможными Т'.

Для доказательства этой теоремы достаточно снова взять общее
уравнение в форме (48'), действительной для систем с обрати-
мыми связями, и применить его сначала к системе, на самом деле
заданной, а потом к системе, которая получилась бы после вообра-
жаемого наложения новых связей. Обозначая через ч>'. скорости после
удара в этом втором случае, в силу чего надо положить Д®г = ©'—
и отмечая, что в о^оих случаях можно принять u. = v’., так как со-
стояние движения v'{ наверное будет совместимо как с существо-
вавшими связями, так и с добавочными, будем иметь

N

2 К-—mt — *7)1 • v'i = °>
i=i

2 (7. — m. « — о7)]-У. = °.
г = 1

Вычитая почленно первое равенство из второго и принимая во
внимание тождество

—v.) •	= -L (®+)2 —L

получим уравнение
я
которое показывает, что живая сила будет не больше живой силы Т+
и будет равна ей только в том случае, когда любое состояние дви-
жения совместимое со связями, первоначальными и добавочными,
совпадает с действительным состоянием движения после удара.

29.	Голономные системы. Вернемся к общему уравнению импуль-
сивного движения в его первоначальной форме (48) для того, чтобы
приложить его к любой голономной системе, число степеней свободы
которой пусть будет п. Естественно, что голономность связей должна
существовать и в течение промежутка времени т, когда действуют
ударные силы, так что, если обратимся прямо к обозначениям п. 22,
уравнения (49), число г которых надо принять связанным с числом
степеней свободы п и числом W точек системы известным соотноше-
нием r-|- п — 3N, должны получаться при помощи дифференцирова-
ния по времени такого же числа соотношений между координатами.
Эти соотношения, как мы уже знаем, можно представить себе напи-
санными в виде параметрических выражений

^ = Л(<71> <72, •• •> <7™ I 0	(7=1,2,...,//) (54)

точек системы в функциях от п лагранжевых независимых параме-
тров и, возможно, времени. В интересующем нас промежутке времени
виртуальные перемещения системы будут определяться равенствами

п

(7=1, 2, ..., N),	(55)

h=l

где §qh представляют собой п бесконечно малых вполне произвольных
приращений.

На основании уравнений (55) для элементарной работы

8L=54-8Pi;	(56)

/=1

совершаемой прямо приложенными импульсами на любом виртуальном
перемещении системы, мы получим выражение

bL = ^Jhiqh,	(56')

/г=1
где положено

л/ зр

(7= 1, 2, ... ,я).	(57)

Эти п скалярных количеств Jh, которые надо считать заданными
вместе с активными импульсами и со связями, соответствуют соста-
вляющим обыкновенных обобщенных сил по отдельным лагранжевым
координатам qh и потому могут быть названы лагранжевыми соста-
вляющими импульсов (обобщенными импульсами).
Возьмем снова хорошо известные выражения

(-=>.2......м. (58)

которые для скоростей получаются из уравнений (54) и которые
можно рассматривать как полученные в результате решения уравнений
связей (49).

Наряду с равенствами (58) примем во внимание еще тождества,
которые вытекают из них

(4-1,2.......„).

д'яъ, dqh

Наконец, введем живую силу системы

1 N
Г = -,- У
z i=l

которая, как известно, может быть представлена на основании урав-
нений (58), как функция второй степени, вообще говоря, неодно-
родная, от лагранжевых скоростей q\ вспомним далее линейные отно-
сительно этих скоростей q выражения, которые выводятся для обоб-
щенных количеств движения ph путем дифференцирования Т по вре-
мени, и, принимая во внимание указанные выше тождества, напишем

ят N	ЛР.

=	= 2	(ft= 1, 2, .. . , л). (59)

Заметим теперь, что состояние движения голономной системы бу-
дет, конечно, определено в любой момент значениями q и q, так что
задача импульсивного движения в любой момент Zo, поскольку q как
параметры положения не испытывают никаких изменений, сводится
к определению изменений лагранжевых скоростей &qh. Но, если
вспомним, что (гл. X, п. 5) обобщенные количества движения (59)
суть (линейные) независимые между собой функции от q с коэффи-
циентами, зависящими от координат q и, возможно, от времени t и
потому- имеющими постоянное значение за время удара, то увидим,
что достаточно определить изменения обобщенных количеств движе-
ния Дрл, после чего Д<?а. получатся посредством простого решения
линейных уравнений.

Эти Дрй теперь легко найти из общего уравнения импульсивного
движения (48). Подставляя в него вместо ^Pi их выражения (55),
приравнивая нулю коэффициенты при отдельных и учитывая
уравнения, определяющие лагранжевы составляющие импульсов (57),
мы придем к уравнениям

2 ‘Wh = Jh (h==1’2’> пУ>

достаточно применить уравнения (59) последовательно к состоянию
движения до и после удара, учитывая неизменяемость q при явлении
удара, чтобы в левых частях этих уравнений иметь выражения
Для

Поэтому будут иметь место уравнения

= A	(Л = 1,2, ... , «),

которые в случае голономных систем дают однозначное решение за-
дачи импульсивного движения, уже упоминавшееся в п. 22 [9].

30.	Пример. Обратимся снова к двойному маятнику, который был
определен и изучен в п. 11 гл. VII, и, сохраняя введенные там обо-
значения, приложим в произвольный момент t0 к центру тяжести Gj
главного маятника импульс величиной /, лежащий в (вертикальной)
плоскости качаний центров тяжести G, Gx и направленный перпенди-
кулярно к OjGt.

Виртуальная работа 8Z. этого импульса определяется выраже-
нием /-SGj и, так как 8Gj имеет одно и то же направление (линию
действия) с I, то достаточно за положительную сторону на общей
линии действия векторов I к принять ту сторону, которая соот-
ветствует возрастанию угла срх; поэтому имеем

= ±7/-! 8?1,

где надо взять знак 4* или — в зависимости от того, стремится ли
импульс I в тот момент, когда он действует, увеличить или умень-
шить угол cpj.

Отсюда, вспоминая, что на основании уравнения (56') предыду-
щего параграфа, лагранжевы составляющие импульсов будут не чем
иным, как коэффициентами при (в нашем случае при 8», 2^)
в выражении виртуальной работы, получим

J ~ о, А =

подразумевая при этом, что составляющие J, относятся соответ-
ственно к ср,

С другой стороны, из выражения (12), найденного в упомянутом
и. 11 гл. VII для живой силы Т двойного маятника, принимая также
во внимание равенство (11), в качестве уравнений для определения
обобщенных количеств движения получим

р = — = Aw тг [rw X®! cos (w — tojj,
dtp
dZ •	•

Pi = “ —	№1 +	cos (? — 'Pi)!;

d<p\

(60)

уравнения импульсивного движения двойного маятника примут после
этого вид

Др = 0, Дрх = ±1г1.

Подставляя в эти уравнения вместо Др, Дрх их линейные относи-
тельно Д®, Д<рх выражения, которые выводятся из формул (60), можно
получить явные выражения для изменений угловых скоростей двух
маятников.

Даже не выполняя этого решения, из. уравнений (60) можно ви-
деть, что До имеет значение, не равное нулю, хотя импульс прило-
жен к другому маятнику, что, конечно, зависит от наличия связи
между маятниками. Далее из Др = 0 следует

Д<р__ mrK cos (<р — <pj)

Др(	А тг'2

так что действие импульса на второй маятник при прочих равных
условиях будет максимальным, когда центры тяжести обоих маятни-
ков будут расположены на одной прямой.

31.	Замечание о случае односторонней связи. Предположим, нако-
нец, что связи, наложенные на систему, за очень короткий промежу-
ток времени т, в течение которого прилагаются ударные силы, будут
частично односторонними, или, точнее, связи, по отношению к лю-
бому состоянию движения, представляются одни г уравнениями вида

В*(«0 = ^	(*=1,2, ... , г), (49)

другие у неравенствами

(7=1,2,..., у),	(61)

где Ц(ц), так же, как и Bk(v), символически означают линейные
однородные функции от составляющих скоростей ро коэффициенты
которых, такие как bk, Cj, зависят от координат и, возможно, еще
и времени.

Мы уже знаем, что при наличии односторонних связей непрерыв-
ное движение определяется уже не общим уравнением динамики, а
соответствующим общим соотношением. Поэтому, поступая с этим
соотношением так же, как в п. 22 с общим уравнением, и переходя
к пределу при т, стремящемся к нулю, придем к общему соотно-
шению импульсивного движения.

л

2	—	(62)

<=1

Задача об импульсивном движении состоит и здесь в определении
состояния движения после удара, если известны прямо приложенные
импульсы и состояние движения до удара. Но условия (49), (61), (62)
сами по себе не являются еще достаточными для определения ско-
ростей Для этой цели необходимо ввести некоторое дальнейшее
условие, которое должно быть получено в любом случае или из фи-
зической природы вопроса, или же из некоторого критерия общего
характера.

Такой критерий был действительно сформулирован А. Майером *)
после переписки с Е. Стю ди (неизданной). Здесь мы дадим о нем
краткое понятие.

В случае исключительно двусторонних связей в п. 23 мы видели,
что общее уравнение импульсивного движения (48), в котором при-
няты во внимание заранее заданные связи (49), равносильно условию
минимума, совместимому со связями, для функции О Робена. Если
обратим внимание на интерпретацию этого свойства как выражаю-
щего принцип наименьшего принуждения (п. 24), то естественно
ожидать, что тот же самый принцип минимума, совместимый со свя-
зями, для функции G справедлив и для задачи импульсивного движе-
ния также и в более общем случае, когда система имеет, помимо
двусторонних связей (49), еще и односторонние связи (61). Не рас-
сматривая вопроса во всей его общности, Майер показал, что в бо-
лее простых случаях указанный принцип не только влечет за собой
общее соотношение (62), но содержат и другие условия, позволяю-
щие однозначно определить состояние движения после удара.

Мы не будем здесь развивать дальше соображений Майера. Точно
так же, не излагая, мы ограничимся лишь напоминанием, что Аль-
манси* 2), рассматривая, в частности, случай однородных связей
(бк = Cj = 0), вывел различные важные свойства импульсивного дви-
жения из одного только символического соотношения (62), незави-
симо от всяких дальнейших предположений.

§ 6. Теорема Вольтерра

32.	Закончим изложением одного существенного с математической
точки зрения дополнения, которое можно внести в теорию импуль-
сивного движения в случае систем со связями, для которых имеет

1) A. Mayer, Zur Regulirung der Stosse и т. д., Leipzig. Berichte, 1899,
стр. 245—264.

2) Almansi, Sulla teoria degli impulsi, Rend., Lincei, cep. 5“, t. 25, 19162;
стр. 410—416.
место теорема живых сил. Речь идет о той теореме Вольтерра, кото-
рую мы уже упоминали в п. 1 этой главы !).

Обозначив, как обычно, через Ft силу, прямо приложенную к лю-
бой точке Pt (/ = 1, 2, ..., N) заданной материальной системы б',
предположим, что связи (как это бывает, когда речь идет о связях
без трения и не зависящих от времени) таковы, что имеет место тео-
рема живых сил

dT = dL,	(63)

где dL обозначает работу, совершенную за элемент времени dt только
активными силами (гл. V, п. 30), т. е.

N

dL^^Fi- dP<.

i—i

Рассматривая лишь очень короткий промежуток времени от t0
до в течение которого некоторые или даже все силы Fi имеют
характер ударных сил, обозначим через



(/=1, 2, ..., /V) (64)

соответствующие импульсы. Помимо существования этих пределов,
допустим, что во всякий момент t, заключенный между iQ и /0-[-т,
даже при стремлении -с к нулю, остаются конечными интегралы

t

(z=1, 2, ..., N). (65)

Следует заметить, что это обстоятельство будет наверное выте-
кать, как необходимое следствие, из предположения существования
пределов (64) всякий раз, когда ударные силы F) при стремлении -с
к нулю неограниченно возрастают без колебаний, т. е. в конце кон-
цов при т, достаточно малом, образуют со всяким неизменным на-
правлением всегда острые или всегда тупые углы (включая в обоих
случаях предельный случай прямого угла). Удары, удовлетворяющие
этому дополнительному условию, мы"будем называть неколебатель-
ными.

Из допущенного предположения следует существование некоторого
конечного и определенного числа С такого, что в любой момент t
между tQ и £04-т будем иметь

!) Рассуждения, которые мы здесь воспроизводим, были изложены Воль-
терра в его Lezioni di Meccanica razionale, читанных в Пизанском универси-
тете (1893), которые были изданы только в литографированном виде.

33 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита в У. Амальди
Заметив это, проинтегрируем уравнение (63) от tQ до t, по'сле
чего получим

T—T0 = L,	(63')

где
N *	N f

£ = 2 1^=2	(67)

*“4

и обозначим через Л максимум абсолютной величины, достигаемой
функцией L при изменении t от ta до

Этот максимум Д на основании наших предположений есть неко-
торая функция от т, необходимо конечная, пока т остается отличным
от нуля; покажем прежде всего, что эта функция остается меньше
некоторого постоянного количества, а потому остается конечной и
тогда, когда t стремится к нулю.

Из уравнения (63) мы имеем

Т<Т0 + А,

и так как живая сила Т определяется из соотношения

1 N
г = 7 2
i—i

то и каждое из составляющих ее существенно положительных слагае-
мых т$1% будет оставаться меньше, чем T^-j-A.

Поэтому для каждой точки Pt будем иметь

(/=1,2, .... Л/)

и, Следовательно, обозначая через т полную массу системы, и подавно

< /~2-V4- -	<68)

Теперь из выражения (67) для L, замечая, что абсолютная величина
скалярного произведения двух векторов всегда меньше или, самое
большее, равна произведению абсолютных величин сомножителей, тот-
час же выводим

и, следовательно, в силу соотношений (66), (68),

V2(Го+-^ .
Это неравенство справедливо для всякого момента, заключенного
между ^ои	а потому, в частности, и тогда, когда | L | дости-

гает своего максимального значения А; отсюда имеем

л;С1/у^
или же
да	2С2

То + А	т ‘

Если к обеим частям этого соотношения прибавим по 2Т0 и заме-
тим, что количество, которое таким образом получится в левой
части, т. е.

А2 + 2Т0(А-|-Т0)	(A+T0)2+Tg

А То	А То ’

будет больше, чем Д То, то придем к соотношению

Л +	(69)

или к соотношению

Л<^±7’о>	(69')

которое показывает, что при каком угодно значении т (лишь бы,
конечно, оно было достаточно мало) Д остается меньше некоторой
постоянной величины.

С другой стороны, соотношение (69) позволяет подставить
вместо (68) соотношение

+	(70)

и если обозначим через ДР.г перемещение, которое испытывает
точка Pt от момента t0 до момента t между /0 и ^0 + т, т. е. если
положим

t

APi== ^dt (i=l, 2, ..., N)

h

и обозначим через верхний предел длины этого перемещения ДР,,
при изменении t от t0 до то будем иметь

< J dt	'(i = 1, 2, ..., TV)

и, следовательно, на основании уравнений (70)

+ (i = 1,2, ...,2V). (71)
Мы видим, таким образом, что стремятся к нулю вместе с т.

Собирая в одну общую формулировку результаты, последовательно
полученные в предыдущих рассуждениях, мы придем к упомянутой
выше теореме:

Если на материальную систему наложены, такие связи, что
имеет место теорема живых сил, и если в течение чрезвычайно
короткого промежутка времени т система находится под дей-
ствием ударных (неколебательных) сил, то при т -> 0:

а)	работа сил остается меньшей некоторой конечной величины
[соотношение (69')1;

б)	скорости точек системы, остаются также меньшими некото-
рых конечных величин [соотношения (70)];

в)	перемещения, испытываемые отдельными точками системы,
стремятся к нулю вместе с -с [соотношения (71)].

В пределе можно сказать, что под действием какого угодно
числа прямо приложенных импульсов конфигурация системы
остается неизменной, тогда как для скоростей отдельных то-
чек, вообще говоря, возможны, резкие изменения.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Из формул (12) п. 4, относящихся к прямому центральному удару,
непосредственно следует, что для того, чтобы одно из двух тел, например $2,
после удара остановилось (v^~ = 0), необходимо и достаточно, чтобы между
массами, скоростями до удара и коэффициентом восстановления имело место
соотношение

(1 4- е) mjvf + (m2 — emp	= 0.

Отсюда, в частности, следует, что:

а)	если до удара тело было в покое, то отношение должно
быть равно коэффициенту восстановления;

б)	если до удара скорости двух тел были прямо противоположны, то
отношение должно быть равно 14-2е и, следовательно, в идеальном
случае совершенно упругих тел, должно быть равно 3.

2.	Для того чтобы при центральном и прямом ударе скорость после
удара одного из двух тел, например S2, была прямо противоположна скорости
до удара, необходимо и достаточно, чтобы отношение t’lT/t']- скоростей до
удара равнялось

(1 + е) z»i

2m2 + (1 — е) т1'

3.	Проверить, что при центральном и прямом ударе скорости обоих
тел могут обратиться, сохраняя каждая собственную абсолютную величину,
только в том случае, Гкогда скорость центра тяжести равна нулю, и под-
твердить, что, за исключением, конечно, случая покоя, необходимо и доста-
точно выполнение дальнейшего условия е ~ 1.

4.	Имеются три шара Sj, S2, S3 с центрами на одной прямой; первый
из них движется, остальные два неподвижны. Происходит центральный и
прямой удар сначала между Si и S2, затем между S2 и S3. Для того чтобы
для некоторой заданной скорости до. удара шара Sj и при заданных массах
шаров St и S3 получилась максимальная скорость шара $3, необходимо и
достаточно, чтобы масса шара $2 была средней геометрической между мас-
сами шаров St и $3 (Гюйгенс).

5.	Шар наталкивается на другой шар с двойной массой, находящийся
в покое. Проверить, что если е = Vs, то кинетическая энергия системы
после удара сведется к половине.

6.	Порядок величины продолжительности удара. Для
того чтобы иметь понятие об этой продолжительности, рассмотрим один
частный случай (центрального и прямого удара), в котором сложные явле-
ния деформации и последующего восстановления, на которые мы указывали
в п. 4, можно схематически представить элементарным путем.

Рассмотрим горизонтальную платформу, поддерживаемую снизу мощной
пружиной с вертикальной осью, и пустим падать на нее с некоторой высоты
большой груз с массой т. Этот груз после падения будет находиться под
действием силы тяжести и под противоположным действием пружины, имею-
щим характер восстанавливающей силы, направленной к естественному поло-
жению платформы, а также под действием совокупности пассивных сопро-
тивлений. Если отвлечемся от этих последних и обозначим через г высоту
по вертикали платформы, измеряемую вниз от естественного положения, то
уравнением движения, очевидно, будет

mz = mg — \z,

где X — положительный коэффициент (ср. гл. I, п. 18), который мы примем
в форме X = тш2. Это уравнение, как мы уже знаем, определяет гармони-
ческое колебание около положения равновесия г » g/ш2, тогда как в дей-
ствительности, если речь идет Об ударе между двумя телами, за первой
фазой сжатия последует одна единственная фаза восстановления. Если огра-
ничиться только этими двумя фазами, то явление удара можно уподобить
колебаниям тела и платформы. Мы получим, таким образом, способ для
оценки как продолжительности удара, так и величины сжатия.

Для этой цели рассмотрим общий интеграл полученного выше уравнения,
который, как известно, определяется равенством

? = -^- + rcos (ф/-|~0о),

где г > 0 и 0о суть постоянные интегрирования, зависящие от начальных
условий; заметим, что если р0 'есть скорость, с которой груз ударяется
о платформу, то в первый момент t — 0 удара должно быть z = 0,
z = Vq или

СГ

= — г cos 0О, va = — гф sin 0О.	(1)

Согласно установленной выше схеме продолжительность т удара соот-
ветствует полупериоду Гармонического колебания, т. е. величине я/ф, а взаим-
ное проникновение двух тел соответствует наибольшему опусканию плат-
формы

Теперь важно отметить, что величина g/u>2 есть высота, на которую
опустилась бы платформа, если бы груз был положен на нее без удара,
и потому представляет собой величину, которая может быть непосредственно
измерена. Обозначая ее через 6, мы будем иметь <о = Уg/Ъ и, следовательно,

Если предположим 6 равным небольшому числу миллиметров, то т будет
порядка немногих сотых долей секунды.

Что же касается величины г, которая на основании выражения 6 г
измеряет динамический эффект, происходящий от удара, то в силу равенств (1)
имеем

таким образом выявлено влияние скорости v0 груза.

7.	П е р ио дич ес к и повторяющиеся импульсы. Случай
часов. Вынужденные (малые) колебания системы с одной степенью сво-
боды определяются (гл. I, п. 59, и гл. IV, пример 19) уравнением вида

s + 2Лк + (и® 4- й!) s = Q (t),

где h есть постоянная затухания, Т = 2к/ш — период собственных колеба-
ний, и Q (/)— добавочная сила.

Как мы уже знаем, общее решение однородного уравнения можно на-
писать в виде (гл. I, п. 60)

a (/) = re~M cos (со/ 0О)	(г, 0О постоянные);

оно стремится к нулю при /->оо. Обозначим через aj то частное решение а,
которое соответствует г = !/«>, 0q =— я/2:

ах (/) = е~м sin ш/;

оно отвечает, следовательно, начальным условиям

*1(0) = о, 4(0) = 1.

Из анализа известно и к тому же можно проверить непосредственно,
что общее решение полного уравнения [т. е. уравнения с правой частью
Q (О (Q (0 — произвольная функция от /)] можно представить в виде

s(0 = ’(0 + ^(0.

где

t

J(t) = J Q (и) (/—и)da.

to

В цитированной гл. I (пп. 62 и 66) было отмечено, что если сила Q(t)
является периодической с каким-нибудь периодом У) (не обязательно совпа-
дающим с Г), то в конце концов вынужденные колебания системы будут
иметь в качестве периода период возмущающей силы. Это происходит потому,
что из двух слагаемых а (/) и J (t), составляющих в сумме s (t), первое
стремится к нулю при бесконечном возрастании I, а второе является строго
периодическим. Понятно, что аналогичное поведение будет иметь место, по
крайней мере приближенно, также и в предельном случае, когда сила Q (/),
хотя и остается периодической, но от времени до времени становится очень
большой, т. е. переходит в класс ударных сил. Мы будем предполагать, что
сила Q (/) почти все время равна нулю, и, наоборот, становится очень значи-
тельной в течение очень коротких промежутков времени т, следующих друг
за другом с периодом 1\, начиная с момента

Такой тип периодически повторяющихся импульсивных действий имеет
большое значение в часовом деле, где посредством ходовых колес или дру-
гих приспособлений как раз осуществляются повторные удары для поддер-
жания и регулирования движения, которое иначе прекратилось бы вследствие
пассивных сопротивлений *).

Обозначим через I импульс, соответствующий первому удару,

В силу предположенной периодичности ударов, равным образом будет

/= lira f Q(u)du (n = 1, 2, 3,
т-> о J

A>+b—1) 7,

Если мы примем во внимание, что за очень короткие интервалы т функ-
цию (непрерывную) aj (t—и) можно рассматривать приблизительно как
постоянную (со значением, которое она имела к началу интервала), то пре-
дыдущее выражение J при переходе к пределу при -с -> О будет иметь вид

здесь сумма распространяется на все целые значения ч (от нуля и далее),
которые соответствуют моментам (приложения импульсов)	принад-

лежащим интервалу (/0, t).

Полагая

^ = « + 9
и

при целом п и 9, заключенном между 0 и 1 (0 < 9 < 1), мы должны распро-
странить указанную выше(сумму на значения индекса ч от 0 до п.

Аргумент функции а1( если подставим (п -|- 9) вместо t—10, примет,
вид 971 + («— т) Tj, после чего, вводя в виде индекса суммирования i—n—ч
вместо n, мы можем представить выражение J в виде

г —О

Если заменим / на 14- 7], то целое число п увеличится на единицу, а
9 останется неизменным.

Следовательно, будем иметь

J(t + Л) -/(0 = I97t + (n + 1) 71] = М (/ - /о + Г1).

Если теперь вспомним, что (/) (как и всякий другой интеграл однород-
ного уравнения) стремится к нулю, когда его аргумент неопределенно

!) См., например, Е. Garuffa, Orologeria moderna, 3-е изд., Милан,
1920, или: J. Andrade, Chronometrie, Paris, 1908; Horlogerie et chronometrie,
Paris, 1924; H. Bouasse, сочинение, цитированное на стр. 20; J. et,
H. Grossma ii, Horlogerie theoricjue (два тома), Paris, 1911—19)2,
возрастает, то увидим, что правая часть только что написанного уравнения
будет приближенно равна нулю при достаточно большом t, т. е. функция J (t)
будет приближенно периодической и с тем большим приближением, чем
больше будет t.

8.	Если, обозначая, как обычно, через Q результирующую, через Д' —
результирующий момент количеств движения твердого тела, мы имеем
QK=0при Q^rO, то можно мгновенно остановить твердое тело, сообщив
ему единственный импульс. Какова будет его величина и линия действия Ь?

Предположить, в частности, что движение до удара твердого тела было
вращением вокруг некоторой оси а, в силу чего w • ®о = 0.

Линия действия единственного импульса, способного остановить тело
в этом случае, совпадает с осью удара (пп. 12 и 15) относительно оси а.
Изящное систематическое исследование о распределении осей а и b и о
соотношении между ними было выполнено (в 1881г.) Бельтрами, (В. Belt-
rami, Sulla teoria degli assi di rotazione, сочинения, т. Ill, стр. 323—344).

9.	Если у свободного твердого тела, находящегося в каком-нибудь дви-
жении, внезапно остановить одну точку О, то последующее движение может
быть только вращением вокруг О, так что скорости отдельных точек должны,
вообще говоря, испытать резкие изменения. С точки зрения теории движе-
ния под действием мгновенных сил важно представлять явление, как про-
исходящее от одного-единственно го импульса, приложенного в точке О.
Прямой способ для определения угловых скоростей после удара будет
состоять в приравнивании результирующих моментов количеств движения
до удара и после удара, взятых относительно точки О. Предоставляя чита-
телю идти этим путем, укажем здесь другой путь, который, может быть,
более удобен, когда представляет интерес определить также и импульс I,
а с другой стороны, желательно ввести только характеристики, относящиеся
к центру тяжести (массу и кинематические характеристики). Если мы вве-
дем этот неизвестный импульс I в виде вспомогательного элемента, то легко
видеть, что состояние движения после удара можно определить, присоеди-
няя к основным уравнениям кинематическое условие, что скорость точки О
после удара равна нулю, и применяя при этом обозначения п. 8; мы будем
иметь тогда

т Д®0 = /, ДАТ = GO !,

а кинематическому условию V+=0, выражая V+ посредством основной
формулы кинематики неизменяемых систем, можно придать вид

 >

Д®0 = — оо” — GO.

Исключая I и Д®0 из трех полученных таким образом уравнений, мы при-
дем к равенству

ДАТН- твО  [Яо + »+ -~СО\ = 0..

Если вместо К подставить его выражение а (») посредством гомографии
инерции относительно центра тяжести и применить формулу двойного век-
торного произведения, то это равенство примет вид

а (Д«) mQO •	-|-

4-	/nGO2»+ — т [GO •«+] GO = 0;	(2)

это уравнение однозначно определяет вектор »+ на основании данных задачи-
К одному интересному следствию мы придем, предполагая, что состояние
движения до удара представляет собой вращение вокруг певыанентной оси,
проходящей через центр тяжести тела (гл. VIII, п. 12) и что точка О при-
надлежит соответствующей главной плоскости, перпендикулярной к оси, или,

*

другими словами, что вектор GO перпендикулярен к о»-.

В этом случае оправдывается известное положение, что новая ось враще-
ния будет параллельна первоначальной, т. е. вектору Для того чтобы убе-
диться в этом, достаточно заметить, что если k есть единичный вектор, направ-
ленный по вектору то уравнение (2), если положить о»+ =rk, сведется
к скалярному уравнению, пригодному для определения неизвестной проекции г
вектора о»+ на направление единичного вектора k (т. е. на направление в-).
Действительно, если С есть главный центральный момент инерции относительно
первоначальной перманентной оси вращения, то имеем о (Де») = С (г—со-) k,
______________________________ >

а так как, по предположению, Со =0, GO -w+ =0, то уравнение (2) при-
водится к виду

[С (г — со-) -f- тг СОг\к = 0,
откуда

Сш~
Г = С-\-т002'

10.	Свободная однородная квадратная пластинка равномерно вращается
вокруг своей диагонали АС. Показать, что если внезапно закрепить одну из
двух других ее вершин В или D, то пластинка (ср. предыдущее упражнение)
начнет вращаться вокруг оси, параллельной первоначальной и проходящей
через эту вершину, с угловой скоростью, равной одной седьмой части угло-
вой скорости до удара.

И. Применить уравнения п. 10 к однородному стержню ОА длины I и
массы т (С = от/2/12), к которому в точке А приложен импульс I, перпен-
дикулярный к ОА, и проверить, что сама точка А испытывает изменение
скорости, геометрически равное 4//и. Найти для стержня положение центра
удара (ср. пп. 14, 15).

12.	В свободном твердом теле, находящемся в каком-нибудь движении
внезапно закрепляется ось а (приспособлениями, уточнять которые здесь нет
необходимости, потому что их можно заменить импульсами, приложенными
в точках оси а). Для того чтобы найти угловую скорость ш+ вращения во-
круг оси а после удара (на оси нужно выбрать по желанию положитель-
ное направление), достаточно выразить, что момент количеств движения
твердого тела относительно этой оси не изменяется. До удара он имеет
величину

|ла = {АГ+GPX <?}•«,

где через а обозначен единичный вектор оси а, через Р— произвольная
точка этой прямой, через Q — результирующая и через К— результирующий
момент количеств движения относительно центра тяжести G до удара. Имеем,
следовательно,

где 3 есть момент инерции твердого тела относительно оси а, т. е.

3 = Ла2 4- Bf + Су» + [GPX«12;

здесь А, В, С и а, р, у (направляющие косинусы а) относятся к главным
центральным осям инерции,
13.	Твердое тело вращается вокруг некоторой точки О. В некоторый
заданный момент, когда угловая скорость твердого тела равна внезапно
закрепляется некоторая прямая тела, проходящая через О (посредством им-
пульсов, приложенных в одной или нескольких точках этой прямой), в силу
чего, естественно, движение после удара сведется к вращению вокруг оси а.
Проверить, что угловая скорость около оси а, ориентированной в произволь-
ную сторону, будет

Аар- Bfiq- + С-[Г~

Ла2 + В^ + Ст2 ’

где А, В, С суть главные моменты инерции, относящиеся к точке О, закре-
пленной с самого начала, р-, q~, г~ — проекции вектора w~ на главные оси
инерции Oxyz и а, {3, -j — направляющие косинусы прямой а, ориентирован-
ной наперед выбранным способом.

14.	Рассмотреть однородную колонну, призматическую или в пределе
цилиндрическую, просто опертую на горизонтальный пол.

Пусть t есть сторона основания, или касательная, 8 — радиус инерции
относительно t. Обозначим еще через а высоту колонны и, следовательно,
через а/2 высоту центра тяжести G, через <f0 угол (необходимо острый),
который образует перпендикуляр GO, опущенный из G на t, с вертикалью,
направленной вниз.

Центр удара колонны относительно оси t, поскольку эта ось (например,
при возможном опрокидывании) служит осью вращения, находится на прямой
OG на высоте hi от пола, определяемой (п. 15) равенством

hi _	82

cos <р0 ~ а/(2 cos <р0) ’
откуда

Б2

hi = 2 cos2®n—.

то а

Для колонны с прямоугольным основанием, у которого длина стороны
перпендикулярной к t, есть Ь, имеем (т. I, гл. X, пп. 21 и 29)

й2+&2| , fl2 + 62	& + #>

0»=__+—

а также tg = b/а, следовательно,

.	2

Для колонны с круговым основанием и с радиусом основания R тотчас
же находим

К	1

O2=|.£2 + _Lfl2>

и, очевидно, tg <р0 = 27?/а.

Отсюда следует

hi = Т а (1—4 + а2/7?2^

из этого равенства видно, что высота центра удара остается заключен-
ной между а/2 и 2а/3; ее отношение к а будет возрастать вместе с а/7?.

15.	Дана колонна, как в предыдущем упражнении. Определить вели-
чину I наименьшего импульса, приложенного на некоторой заданной вы-
соте h, перпендикулярно к /, которым можно было бы опрокинуть колонну,
Заметим прежде всего, что угловая скорость ш около оси i, сообщаемая
импульсом твердому телу, определяется соотношением (п. 14)

пЛгил — hl,
где т — масса колонны.

После действия импульса колонна начнет вращаться вокруг t, и, если
отвлечемся от трения, движение определится (гл. VII, п. 6 и гл. I, п. 35) из
уравнения живых сил (деленного на т)

X gr cos (р = const = X 65o>s + gr cos <p0,

где <p0 имеет то же значение, что и в предыдущем упражнении,
г = GO = а/2 cos <р0,

а величина <р представляет собой угол, который (при любом наклонном
положении колонны) прямая GO образует с нисходящей вертикалью.

Для того чтобы вращательное движение, начавшееся под действием
импульса, привело к опрокидыванию колонны, очевидно, необходимо и доста-
точно, чтобы центр тяжести G перешел наиболее высокое положение, или
чтобы угловая скорость <р не исчезла в интервале (<р0, -0) угла <?. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы было <р2>0 при <р = 0, или чтобы

5?О>2 — 2gr (1 — cos <р0) > 0.

Принимая во внимание предыдущее выражение ш, получить из него для
минимального импульса I предельное значение

2gr (1 — cos у0) S2
\ т)	А2	’

где(повторнм это) h есть высота линии действия импульса и r=GO=a/(2 cos <р0)
причем а есть высота колонны.

Для колонны с квадратным основанием при

«2+&2 , _
о2 =----g— и b = й tg<?0,

(см. предыдущее упражнение^ будем иметь

/XV —	1 ~ cos То

\т)	3h? cos3 % ’

где, естественно, должно быть положено h = а/2, если импульс действует на
высоте центра тяжести.

Вообще заметим, что Цт имеет размерность скорости v. Установить,
что «можно истолковывать как скорость, которая была бы приобретена точками
колонны, расположенными на расстоянии Sa//x от оси t, если бы колонна,
вращаясь вокруг оси t из состояния покоя при наибольшей высоте центра
тяжести (tp = 0), упала на пол (<р = tp0). Такое истолкование, очевидно, не
особенно наглядно. Более интересным будет истолкование, которое можно
дать величине 11т в частном случае, когда импульс приложен по оси
удара. В этом случае (п. 15) вдоль оси t реактивных импульсов не будет и
можно в виде единственного внешнего импульса рассматривать прямо при-
ложенный импульс. Тогда в силу первого основного уравнения Ijm будет
скоростью «0, внезапно приданной центру тяжести. С другой стороны, при
расстоянии Л/cos <р0 центра удара от О будем иметь А — cos ?0, а для
предельной скорости центра по отношению к опрокидыванию будем иметь
выражение

= 2£ {I 0 — cos ?о) cos’ <р0>
или, заменяя г через а,
v3__gai 1 —cosyn
°	482 cos <ро

Более полное изложение этих вопросов, специально в отношении сей-
смических явлений, см., например, L. De Marchi, I. terremoti; Cause ed
effetti; Atti del Collegia Padovano degli Ingegneri (Padova, 1909); а также
F. Omori, Seismic experiments on the fracturing and overturning of columns,
Publications of the Earthquake investigations Commitee (Япония), № 4 (Токио,
1899) и т. IV, № 1 (Токио, 1910).

16.	Два твердых тела Si, S2 вращаются вокруг одной и той же оси а
с угловыми скоростями соответственно со, и ш2. Между этими двумя телами
внезапно вводится жесткая связь. Их общая угловая скорость ш (как это
непосредственно следует из основного уравнения моментов, примененного по
отношению к оси а и к совокупности двух тел) имеет значение

_ Л1<»1 -f- Л2а>2

41 + ^2	’

где Ai, At— моменты инерции тел относительно оси. Потеря живой силы
(сравнить с потерей, которая имеет место при центральном и прямом ударе
совершенно упругих тел и вычислена в п. 6) будет равна

17.	Гибкая и нерастяжимая нить имеет один неподвижный конец А,
а другой конец привязан к некоторой точке О поверхности твердого тела S.

Предположим, что нить не натянута и что твердое тело падает с на-
чальной скоростью или из состояния покоя.

В момент, когда нить натянется, произойдет внезапное изменение в со-
стоянии движения тела S и последующая потеря живой силы, выражению
которой можно придать простой вид.

Для этой цели удобно исходить из общей формулы (19) п. 9, дающей
потерю живой силы —ДГ в функции прямо приложенных импульсов. Для
настоящего случая надо заметить, что в момент, когда нить натягивается,
твердое тело испытывает в точке О импульс с заранее неизвестной величи-
ной I, но направленный, очевидно, по нити от О к. А.

Такой импульс выражается вектором In, где п есть единичный вектор,
направленный пр ОА.

Система внешних импульсов, которой подвергается твердое тело, сво-
дится к единственному импульсу fa, приложенному в О. Благодаря этому
упомянутая формула (19) дает

- Д7 = —1- 1 {п  (ф0+ + о~) + [ООХ«] • («+ + «“)}•

Но в силу основной формулы кинематики неизменяемых систем, ско-
рость V точки О в любой момент выражается в виде

у = яг0 + «хоо.
Отсюда естественно, как в п. 17 (формула 31), следует
_дГ=__р(у+ + у-),
где Vn= V-n есть проекция V на направление нити.

В силу нерастяжимости нити эта проекция будет уничтожена ударом,
так как У+ = 0. Естественно, что V~ , как обычно, нужно считать данной
величиной; можно добавить, что она необходимо будет отрицательной, так
как в момент, когда нить становится натянутой, скорость (до удара) точки О
должна соответствовать некоторому удалению точки А и, следовательно,
образовывать тупой угол с вектором ОА или с я.

Остается вычислить I, для чего достаточно присоединить условие Vj = 0
к основным уравнениям

A®0=— п, Ав = h~l(OO • я).

т

Составляя из этих выражений величину

АУ= Дф04-Ди-дб

и затем умножая скалярно на я и принимая во внимание, что V+ = 0, найдем

где для краткости положено

i а-i (бб • Л) • a"1 (OG • я).

Коэффициент l/р. при I полезно вырдзить в явной форме способом, анало-
гичным тому, которым мы пользовались в п. 17.

Если отнести к главным центральным осям инерции Gxyz и обозначить
через х, у, z координаты точки О, через а, р, у направляющие косинусы
единичного вектора я, то получим

1 _ 1 , (УТ~ *?)* I (га — ху)2 (xfi—ya)2

[Л zn-r А	В * С

При этом значении коэффициента для потери живой силы мы найдем
окончательное выражение

-дг=1|*(У-)2.

18.	Импульсивное движение двух тел, соединенных
шарниром в некоторойточкеО. Пусть S, S' — два твердых тела,
G, G' — их центры тяжести и т, т' — соответствующие массы. Изменения
кинематических характеристик движения данных тел под действием прило-
женных импульсов можно определить, прибегая для каждого из тел к основ-
ным уравнениям (с полюсом в соответствующем центре тяжести) и вводя
в виде вспомогательного неизвестного реактивный импульс / тела S' на S,
которому, естественно, соответствует импульс — / тела S на S'. В силу
этого будем иметь пятнадцать неизвестных (т. е. изменения проекций двух
пар характеристических векторов данных твердых тел и три проекции
импульса /); для того чтобы сделать определенной задачу, достаточно при-
соединить к двум парам основных уравнений, относящихся к S и S' (кото-
рые дают двенадцать скалярных уравнений), три дальнейших уравнения, вы-
ражающих то, что внезапное изменение вектора скорости точки О будет
одним и тем же, будет ли эта точка отнесена к S или к S'. Можно избе-
жать введения и последующего^ исключения вспомогательной величины I,
прямо принимая за полюс в обоих телах точку О. В силу этого подлежащие
определению неизвестные можно свести к изменениям Де», Де' угловых ско-
ростей тел S, S' и к изменению Д® скорости © точки О. Эти три неизвест-
ных вектора будут связаны такими же векторными уравнениями, не завися-
щими от /, к которым мбжно придти следующим образом.

Прежде всего, применяя первое основное уравнение (17) к системе двух
твердых тел S и S', получим уравнение

тД©0 + тДСц = R + R',	(3)

где ©0, ©0 обозначают скорости двух центров тяжести G, G', a R, R'— ре-
зультирующие импульсов, прямо приложенных к двум телам (за исключением,
конечно, реактивных импульсов / тела S' на S и — / тела S на S'). В силу
основной формулы кинематики неизменяемой системы имеем

®о=® — «»ХОО, Vq — v—o> XG'O	(4)

откуда, исключая ©0 и с0 из уравнения (3), мы получим первое из упомяну-
тых уравнений в виде

(т 4* т') Д® — тДо» X GO — т'кы' X G'O = R -f- R'.	(3')

Два других уравнения получатся из второго основного уравнения, напи-
санного для каждого тела отдельно. Выбрав за полюс моментов для обоих
тел точку О и обозначив через К, К' моменты количеств движения обоих
тел относительно О, через М, М' результирующие моменты относительно
той же точки импульсов, прямо приложенных соответственно к S и S',
будем иметь

ДЯ=М, j Д'К = М';

при этом предполагается, что в выражениях векторов К, К' через проекции
характеристических векторов (формулы (30) гл. IV, которые для простоты
удобно спроектировать прямо на главные оси инерции относительно точки О)
скорости ©0, ©0 должны быть исключены при помощи уравнений (4).

19.	Плоская задача. Применим общие рассуждения предыдущего
упражнения к случаю двух твердых плоских фигур, связанных шарниром
в некоторой точке О и находящихся под действием импульсов, лежащих
в плоскости фигуры.

Примем систему неподвижных осей х, у, имеющих началом положение
занимаемое шарниром в момент, когда будут приложены импульсы. Обозна-
чая через х, у и х', у' координаты центров тяжести G, G' обеих фигур и
имея в виду скорости точек G, G', которые мы обозначим здесь через с, с',
на основании равенства (3), спроектированного на обе оси, будем иметь
йрежде всего

m^vx + т = Rx. + R^, mbvy + т Д^ = Ry + Ry;	(5)

приравнивая проекции изменения скорости точки О, которые мы получим,
рассматривая эту точку как принадлежащую один раз телу S, а другой раз
телу S', придем к уравнениям

ДОд. + д/Дш == До^+УДш', lxvy— хДш = До^ — х'Дсо',	(6)

где скалярные величины со и со', как и в случае непрерывного плоского дви-
жения (гл. VII, п. 14), представляют собой угловые скорости с надлежащим
знаком.
Что касается уравнений моментов, то они здесь принимают вид

СДш + т (хДп — З'ДПд,) = С'Ьш' + т' (x'bvy —j/До^) =	(7)

где СС обозначают центральные моменты инерции двух тел (относительно
перпендикуляра к плоскости) и, естественно, Мг, Мг — моменты относительно
точки О импульсов, прямо приложенных к S и S'.

20.	Предположим, что S, S' (предыдущее упражнение) суть два одно-
родных стержня ОА, ОА', равной длины I и равной массы т. В некоторый
заданный момент, когда они перпендикулярны между собой и находятся
в покое, на точку А' действует импульс величиной I, перпендикулярный
к ОА' и направленный в сторону ОА. В таком случае, если совместим оси
х, у с направленными прямыми, на которых в момент действия импульса на-
ходятся соответственно ОА, ОА', уравнения (5), (6), (7) предыдущего упраж-
нения примут вид

4 + <+ = ^-,	4 + <+ = 0;	(5Л)

4-4m+=t4+;	(6'>

4-1 lmv+ = 0, с'о>'+ — 4- lmv'+ = — II.	(7')

Z У	л

Принимая во внимание, что С — ml2/12, доказать, что импульс не сооб-
щит стержню ОА никакой угловой скорости и скорости центров тяжести
в направлении, нормальном к самому импульсу, не изменятся: скорости же
центров тяжести в направлении импульса будут направлены в противопо-
ложные стороны и будут находиться в отношении 2/7 между собой, а угло-
вая скорость стержня ОА' будет равна —18//(5/т).

21.	Наряду со случаем предыдущего упражнения рассмотреть и те слу
чаи, когда стержень ОА' свободен или же закреплен в О, и проверить, что-
а) скорость центра тяжести ОА' в направлении и в сторону импульса
равна Цт для свободного стержня, 3//(2т) для стержня, закрепленного
в точке О, 7//(5пг) в случае шарнирного соединения с ОА-, б) значения угло-
вой скорости стержня соответственно будут —67/(Im), Sl/ilm), —18//(5/т);
в) скорости точки приложения импульса соответственно равны 4//и, 31/т,
167/(5/и).

22.	Рассмотрим центральный удар между двумя телами, н притом не обяза-
тельно прямой (как это всегда имеет место в случае двухшаров). Значения после
удара нормальных составляющих двух скоростей центров тяжести во всяком
случае можно представить элементарными формулами п. 4, так что, в частно-
сти, для удара двух равных и совершенно упругих шаров останется в силе
правило, что шары обменяются нормальными составляющими скоростей соот-
ветствующих центров тяжести (а касательные составляющие останутся неиз-
менными).

23.	Интересные задачи об ударе между шарами, большей частью рав-
ными, или между шарами и плоскостью относятся к игре на биллиарде!
в частности, к игре в карамболь. Ср. G. Coriolis, Theorie mathematiqur,
des effets du jeu du billard, Paris, 1835, H. Re sal, Commentaire i la theoeei
mathematique du jeu du billard, Journ. de math. (3), t. 9, 1883, стр. 65—98-
G. W, Hemming, Blllards mathematically treated, London, 1899; nd тех
нике игры и по историческим и библиографическим замечаниям см. J. Gell i,
Bigliardo, bagatelle e gioco delle bocce, Milano, Hoepli (4-е издание), 1924.
528

гл. хи. Теория удара

24.	На материальную систему с какими угодно связями действуют две
различные системы Е, £' активных импульсов.

Из символического уравнения (48) движения под действием мгновенных
сил (п. 22) в предположении, что скорости удара удовлетворяют урав-
нению (49) (в силу чего входят в число виртуальных перемеще-
ний оРД следует, что при внезапных изменениях скоростей, происходя-
щих от импульсов £', импульсы 2 совершают полную работу, равную той,
которую .импульсы £' совершают при внезапных изменениях скоростей, вызван-
ных импульсами £. См. N. Seiliger. Comptes rendus, т. 117, 1893,
стр. 578—579. Аналогичное предложение, относящееся к обыкновенным силам
(гл. V, упражнение 7), было впоследствии установлено Морера.

25.	Применить теорему взаимности, о которой говорилось в предыду-
щем упражнении, к случаю твердого тела, свободного или со связями.

Задача для случая свободного твердого тела может быть сформулирована
следующим образом.

Для двух систем импульсов S, £', прямо приложенных к твердому телу,
пусть будут R, R' результирующие, М, М' результирующие моменты, взятые,
первый относительно любой точки О, второй относительно точки О', вообще
говоря, отличной от О. Обозначим через Д®0 и Дю изменения, вызываемые
импульсами £ в скорости точки О’ и в угловой скорости твердого тела>
через Д'©0 и Д'» аналогичные изменения, вызываемые импульсами £' в ско-
рости точки О и в угловой скорости.

Общая теорема взаимности, высказанная в предыдущем упражнении,
выражается здесь равенством

R • Дф0 + М - Д'» = R' • До' + М' • Д».

Предполагая, что твердое тело находилось первоначально в покое, исследо-
вать частные случаи, когда:

а)	Ё сводится к единственному импульсу, приложенному в точке О;
2' — к единственному импульсу, приложенному в О';

б)	Е и Ё' сводятся вместе к одной паре.

Сделать аналогичное применение теоремы взаимности к твердому телу
со связями (с одной неподвижной точкой или с одной неподвижной прямой).

26.	Дальнейшее применение теоремы взаимности (упражнение 24)
можно сделать к голономным системам (п. 29). Если Jh и суть лагран-
жевы составляющие двух различных систем импульсов, прямо приложенных
к заданной голономной системе, и Д^й, Д'?й— изменения лагранжевых ско-
ростей, вызванных ими, то (по общей теореме взаимности) будем иметь

2	4 = 2 Ад9а-

Л=1	h=i

Это соотношение может быть и прямо проверено на основании формул
относящихся к голономным системам. Действительно, имеем (п. 29 предыду-
щей главы и гл. X, п. 5)
п

4 =	д4ь (й = 1, 2,..., я)

h=i

и аналогично для букв со штрихами.

Фактическая подстановка в обе части предыдущей формулы покажет
тождество их, если принять во внимание, что	так как речь идет

о коэффициентах квадратичной формы (квадратичная часть Т% живой Силы
системы, или прямо живая сила, если связи не зависят от времени).
Предположим, в частности, что равны нулю все импульсы J, за исклю-
чением импульса Ja, и все импульсы J', за исключением импульса = J а
Тогда будем иметь

что можно высказать так: два равных импульса, действующих по двум раз-
личным координатам, определяют каждый равные изменения скорости, соот-
ветствующей другому импульсу.

27.	Рассмотрим в неподвижной плоскости четыре однородных стержня
равной длины I и равной массы т, соединенных попарно так, что они состав-
ляют ромб ABCD. Обозначив через О центр ромба, примем за вспомога-
тельные оси Ох, Оу соответственно диагонали ОА, ОВ. Система в своей
плоскости будет иметь четыре степени свободы. За лагранжевы координаты
примем прежде всего три параметра, определяющие положение осей Оху
относительно двух неподвижных осей, т. е. координаты а, J3 точки О и
угол в оси Ох с неподвижной осью, и, кроме того, угол, определяющий
конфигурацию ромба относительно его диагоналей, например, угол ф напра-
вленного стержня СВ с осью Ох, который будет точно таким же, как
и угол OGi с осью Ох, если через Gt обозначим среднюю точку (центр
тяжести) стержня АВ. Рассматривая вместе с Gj средние точки G%, G3, G4
соответственно стержней ВС, СА, AD и обозначая через aj, bj координаты от-
носительно осей Оху точки Gy и через фу угол OGj с осью Ox (Z = 1,2,3,4),
очевидно будем иметь

Ф1 = ф. Фа = — ф, ф3 = л -|- ф, ф4 — — ф,

aj = 4’cos^'' ^ = 7sin^	(/ = 1.2,3,4),

откуда непосредственно следует

2^ = 2^=°;	с8)

y=i j=i

дифференцируя эти равенства по времени, найдем

S aj^j = 2	= о*

j=i j=i

Для стержня с центром тяжести Gy угловая скорость относительно
осей Оху, очевидно, будет фу, а относительно неподвижных осей 6 -ф- у
так как проекции относительной скорости точки Gj на оси Оху равны
соответственно — буфу, вуфу. а аналогичные' проекции переносной скорости
равны а — bfl, р-|-аув’, то живая сила рассматриваемого стержня на осно-
вании теоремы Кёнига имеет выражение

1	т {[;у-6у(в + фу)Р+ [р+ ау(б + фу)]2} +|с(в + фуП

где C = mPj\2 есть момент инерции каждого из четырех стержней относи-
тельно своего центра тяжести. Суммируя по j от 1 до 4 и принимая во вни-
мание значения фу, а также тождества (8), (9) и равенства

*у + *у = -£	0 = 1,2, 3,4),

34 Зак. 2368. Т. Леви-Чивкта и У. Амальдм
мы получим для живой силы Т системы выражение

1 I	4	•

г=Тт{4(а2+?3) + У/2(03 +

Ф2)}-

Заметив это, предположим, что к ромбу в некоторых N его точках Р{
(i = 1, 2,..., N) приложено столько же активных импульсов Ц, лежащих
в плоскости ромба. Согласно п. 29 уравнениями импульсивного движения
ромба будут

.	.	4

4mAa = Ja, 4m^ = Ja, -%-Рт&Л —
о

4

v /2тДф = А,
О	”

где лагранжевы, составляющие J импульсов (обобщенные импульсы) будут
не чем иным, как коэффициентами при бесконечно малых приращениях соот-
ветствующих координат в выражении виртуальной работы прямо приложен-
ных импульсов

i = l

В нашем случае каждое отдельно взятое ZPt (абсолютное виртуальное
перемещение) можно представить себе разложенным на два слагаемых VP{,
Ъ"Р{, первое из которых есть перемещение относительно системы Оху,
а второе — переносное перемещение, т. е. перемещение, которое имела бы
точка Р{, если бы ромб был недеформируемым. Вследствие этого совокуп-
ность членов в ВЛ, зависящих от В"Д-, соответствует перемещению неизме-
няемой системы (плоской), так что если мы выберем неподвижные оси в по-
ложении, занимаемом осями Оху в момент, когда действуют импульсы, то
эта совокупность может быть представлена в виде (гл. IV, п. 5)

R^Ba + R^ + МВв,

где Ra,, R^ — суть проекции на оси Оху результирующей прямо приложенных
к системе импульсов и М — их результирующий момент (скалярный) относи-
тельно точки О.

Для вычисления той части ВЛ, которая зависит от В'Р,-, рассмотрим стер-
жень с центром тяжести Gj. Относительное виртуальное перемещение стержня
получается при скольжении его концов по двум осям Оху, так что мгновен-
ный центр вращения (т. I, гл. V, пп. 12, 15) совпадает с вершиной Oj, противо-
положной О, в прямоугольнике, имеющем второй диагональю стержень, и
поэтому имеет координаты 2aj, 2bj.

Так как относительное виртуальное вращение равно Зфу, то часть в ВЛ,
которая зависит от а'Р{ и соответствует рассматриваемому стержню, будет
равна МуВфу, где Му есть результирующий момент (скалярный) относительно
точки Oj импульсов, прямо приложенных к стержню.

Поэтому, имея в виду значение углов фу, заключаем, что

ВЛ = R^Ba 4- R^B₽ + MBS + (Мх — M2 4- MS— M4) Вф
и, следовательно,

= Л = М, ^ = Mt— м2 + м3-м4.

Принимая во внимание все предшествующее (нли, если угодно, применяя
прямо основные уравнения и вводя в виде вспомогательных неизвестных
реактивные импульсы, действующие между стержнями в шарнирах), дока-
зать, что:
а)	импульсивная пара, приложенная к одному из стержней, вызывает
резкое изменение его угловой скорости, равное одной восьмой части от угло-
вой скорости, которую стержень имел бы, если бы он был свободным, а два
другие стержня не подвергались действию импульсов;

б)	если к четырем стержням ромба приложить столько же равных
импульсивных пар, то отдельные стержни испытают резкое изменение
угловой скорости, равное четвертой части от того изменения скорости, кото-
рое испытал бы каждый стержень, если бы он был свободным.

28. Кинетическое объяснение давления газа. Взгляд, что
материя состоит из мельчайших неделимых частиц (атомов, согласно эти-
мологическому значению слова), восходит, как известно, к древности (Левкипп
и Демокрит, V—IV века до нашей эры). Но только в эпоху Возрождения
у Петра Гассенди (1592—1655) этот взгляд принимает впервые характер
научной гипотезы, т. е. гипотезы, способной привести к количественному
или, по крайней мере, к качественному предвидению физических фактов.
Если выражаться современным языком, то можно сказать, что Гассенди,
предполагая, что всякое тело состоит из огромного числа частиц (молекул),
тождественных между собой для всякого химически определенного вещества
и уподобляемых совершенно упругим телам, искал в движении этих мель-
чайших частиц объяснение тепловых явлений и рассматривал теплоту как
макроскопическое проявление таких внутренних движений.

Всякое тело оказывается тем теплее, чем более интенсивно его молеку-
лярное движение. В этом или, лучше, в соответствующей живой силе, заклю-
чается возможная абсолютная мера температуры, абсолютный нуль которой
характеризовал бы отсутствие всякого молекулярного движения.

С этой точки зрения три аггрегатных состояния материи соответствуют
трем типам движения, которые, смотря по обстоятельствам, могут совершать
молекулы. Если речь идет о простом колебательном движении вокруг сред-
них неподвижных положений, для чего, конечно, требуется, чтобы различные
молекулы действовали друг на друга с некоторыми силами, то мы имеем
дело с состоянием, характерным для твердого тела. При возрастании темпе-
ратуры растут точно так же амплитуды и интенсивность молекулярных дви-
жений, которые могут сделаться такими, что уже нельзя более говорить
о колебаниях; каждая частица участвует в общем хаотическом движении,
однако движения всех частиц еще достаточно стеснены, чтобы были невоз-
можны их свободные движения. Динамические действия и удары беспре-
станно изменяют прямолинейное и равномерное движение, в котором нахо-
дилась бы каждая частица, если бы не было других; мы имеем жидкое
состояние. При дальнейшем увеличении температуры, а вместе с ней
и скоростей частиц, частицы делаются все более и более свободными, и
прямолинейное и равномерное движение их становится правилом, а причины,
нарушающие это движение (силы взаимодействия и удары) оказываются
теперь только исключением. Таким образом мы приходим к кинетической
модели газообразного состояния.

Такими интуитивными соображениями руководствовался Даниил Бернулли,
который в своей знаменитой „Гидродинамике* (1736) дал, между прочим, пер-
вое и замечательное количественное приложение этих соображений, получив
из них объяснение давления и, следовательно, закона Бойля.

Мы дадим здесь краткое изложение этого вывода.

Рассмотрим однородную массу газа, заключенную в сосуде и нахо-
дящуюся в покое в механическом смысле слова. Допустим, что эта масса,
кажущаяся неподвижной в макроскопическом смысле, состоит из огром-
ного числа молекул, которые быстро двигаются, не подвергаясь дей-
ствию ни внешних, ни внутренних сил. При этих условиях центр
тяжести каждой частицы движется прямолинейно и равномерно до тех пор,
пока не произойдет удар о другую частицу или о стенку сосуда. Эти удары
определяют резкие изменения скоростей, так что траектория каждой частицы
будет ломаной.

Для таких ударов допустима пригодность законов центрального удара
между совершенно упругими телами. Мы имели бы модель такого движения,
воображая молекулы в виде совершенно упругих шариков; но мы отвлечемся
от всякого предположения об их строении, довольствуясь возможностью рас-
сматривать их в виде таких материальных точек, что всякое столкновение
изменяет скорость их так же, как и центральный удар.

Наконец, предположим, что для всякого химически определенного газа
все молекулы тождественны между собой и, в частности, имеют одну и ту
же массу т.

К этим чисто механическим гипотезам надо добавить специфические
постулаты, уточняющие интуитивные соображения, основанные на числе
частиц, которое предполагается огромным. Допустим, что во всяком элементе
объема AS, доступном для обычного опыта (например, имеющем размеры по-
рядка величины доли миллиметра) благодаря огромному числу молекул, содер-
жащихся в нем, возможны статистические замены, так что если мы выберем
момент t и положение Р объема, занимаемого массой газа, то можно будет
принять, что для всех объемов AS, окружающих в этот момент t положение
точки Р, средняя величина какой-нибудь характеристики молекулярного дви-
жения, зависящая от Р и t, но не от частной формы элемента AS, приблизи-
тельно будет одна и та же.

Основываясь на этом соображении, обратим внимание на число моле-
кул в единице объема (в заданном месте Рив заданный момент t), т. е. на
отношение между полным числом молекул, находящихся в момент t внутри
любого объема AS, окружающего Р, и объемом этой элементарной области,
который будем обозначать также через AS. Это отношение, которое мы обо-
значим через N, вообще говоря, будет функцией от Р и t. Но если речь
идет о явлениях (макроскопически) стационарных и однородных, то оно ока-
зывается постоянным и называется числом Авогадро, впервые заметившим,
что речь идет о постоянной, общей для всех газов, находящихся в одина-
ковых условиях температуры и давления. Значение этой постоянной имеет
порядок величины 2,7 • 1019 на кубический сантиметр (при давлении в одну
атмосферу и при температуре 0°).

Аналогично определится и плотность р. (в точке Рив момент /) как
отношение полной массы молекул, содержащихся в момент t внутри любого
объема AS, окружающего Р, к объему AS. А так как N AS равно числу этих
молекул и каждая из них, когда речь идет о химически определенном газе,
имеет одну и ту же массу т, то будем иметь

zntfAS

(Ю)

Добавим, что если q есть какая-нибудь величина, скалярная или вектор-
ная, вполне определенная для каждой молекулы газа, взятой отдельно, то мы
назовем средним значением [<?] величины q в точке Рив заданный момент t
отношение

WAS ’

где предполагается, что AS имеет обычный порядок величины (указанный
выше), а сумма должна быть распространена на все молекулы, содержащиеся
в Момент t внутри AS.

Так, средняя скорость (в векторном смысле) определится отношением

WAS ’
и в случае изотропии вокруг Р, которая наверное будет иметь место для
стационарных явлений при отсутствии сил, ни одно из направлений не должно
рассматриваться предпочтительным, более точно, скорости должны быть рас-
пределены почти равномерно во всех направлениях вокруг Р, так что ука-
занная выше средняя скорость [®] необходимо будет равна нулю и таковыми
же будут ее составляющие [о.т], 1»^], [vz] по любым трем осям (неподвиж-
ным), неизменно связанным с сосудом (или, что то же, по всякому возмож-
ному направлению).

Но этого не может случиться со средней величиной квадрата скорости

#45 ’

которую мы будем обозначать здесь просто через С2. Эта постоянная С,
которая, очевидно, имеет размерность скорости, так как #45 есть отвлечен-
ное число, называется эффективным значением скорости.

В предположении совершенной изотропии вокруг Р естественно, что для
эффективных значений составляющих скорости по направлениям трех осей
(как и по всякому возможному направлению) имеем

= [^],
откуда следует

3[^] = [®2]=<Л	(11)

таким образом, эффективное значение любой составляющей скорости выра-
жается весьма просто через С2.

После всех этих предварительных замечаний мы можем дать точную
форму кинетическому объяснению давления и доказательству закона Бойля,
которые, как было сказано выше, восходят к Бернулли.

Мы придем к этому, рассматривая давление на стенку сосуда (которое
экспериментально может быть измерено, например, посредством манометра)
как эффект среднего числа бесчисленных и беспрестанных ударов, которые
молекулы газа в их движении производят на стенку; выражаясь точнее, мы
введем понятие удельного давления как некоторой величины (векторной),
которая имеет размерность силы, деленной на площадь, и определяется сле-
дующим образом. Рассмотрим произвольный элемент 4а стенки и результи-
рующую импульсов, которые она испытывает со стороны молекул газа в те-
чение элемента времени 4?, следующего за произвольным моментом t. Удельным
давлением называется отношение названной результирующей к произведе-
нию 4а 4г?. Обозначим через п нормаль, направленную наружу по отношению
к сосуду.

Все, очевидно, сведется к оценке совокупности импульсов, которые
испытывает элемент 4а со стороны молекул, ударяющихся об него в течение
заданного элемента времени 4?. Так как, по предположению, мы имеем здесь
дело все время с центральными ударами между совершенно упругими телами,
то каждая молекула, которая прибывает к стенке с нормальной скоростью
(до удара) vn, оттолкнется с нормальной скоростью—vn (а касательная
скорость останется неизменной), так что импульс, испытываемый молекулой,
будет целиком направлен по п и равен —2mvn, а противоположный импульс,
испытываемый площадкой 4а, будет тоже направлен нормально и равен 2mvn.
Поэтому мы должны вычислить

2'£mvn,

где сумма должна быть распространена на все молекулы, которые за эле-
мент времени 4? ударяются о 4а.

Для того чтобы оценить эту сумму, рассмотрим отдельно ту ее долю,
которую привносят молекулы, ударяющиеся об элемент 4а за выбранный
элемент времени, приходя изнутри массы газа со скоростью v', заданной по
величине и направлению. В момент времени t все эти молекулы находятся
в том цилиндре с основанием Да, который имеет образующие, определенные
по длине и направлению вектором •o' ДЛ В совокупности всех молекул газа,
содержащихся в момент t внутри этого цилиндра, будут (если не обращать
внимание на возможные взаимные удары в последующий элемент времени Д/)
все те, которые имеют скорость v , мы будем называть их для определен-
ности молекулами со скоростью о'. Объем цилиндра равен ДаД/. и, если
представим себе, что Да и ДГ выбраны достаточно малыми, для того чтобы
такой объем был порядка величины наших объемов AS, то мы можем гово-
рить о числе (в среднем) молекул со скоростью v', содержащихся в цилин-
дре в момент t. Если обозначим это число через N' Да Д/  vn, в силу чего N'
представляет собой значение (в среднем) числа молекул со скоростью v',
содержащихся в единице объема, то доля молекул со скоростью v' в полном
импульсе 2VJmvn, относящемся к Да и к элементу времени Д/, будет равна

2N' Да М vn • mv'n = 2mN' Да ДГ  v„ ;

мы получим искомую сумму, если просуммируем различные слагаемые этого
типа, соответствующие уже не всевозможным значениям v', а только поло-
вине их, т. е. как раз всем значениям v', которые с ориентированной нор-
малью п образуют острый и самое большее прямой угол. В этом смысле можно
написать

22>mvn — mte&t 'LN'v*,

где сумма теперь должна быть распространена на все значения Рассма-
тривая, в частности, единицу объема, будем иметь

N N ’
откуда следует

= zn Да ДГ • N [v$ ],

или на основании формул (10), (11)

2"£mvn — 4- Да ДГ • р.С2.

О

Разделив на Да ДГ, заключаем, что сила на единицу площади поверхности,
направленная нормально наружу по отношению к области, занимаемой
газом, равна н-С2/3. Это и есть величина удельного давления р, которая вы-
текает из принятой кинетической модели, а полученное таким образом урав-
нение

Р = 4 нС2,	(12)

выражает пропорциональность между давлением и плотностью, т. е.
закон Бойля.

Так как р и р. могут быть измерены, то из уравнения (12) мы можем
получить некоторую оценку порядка величины эффективной скоро сти С при
обыкновенном давлении в одну атмосферу и при температуре 0э.

Например, написав уравнение (12) в виде

С2=-^£
и принимая во внимание, что для воздуха, кислорода и водорода вес 1 л
в граммах (или, что то же, вес I л3 в килограммах) соответственно опре-
деляется числами

1,293, 1,42, 0,09,

и атмосферное давление приближенно равно 1 кг на квадратный сантиметр,
мы увидим, что соответствующие эффективные скорости в метрах в секунду
приблизительно будут равны

485, 461, 1839.

Таким образом, мы видим, что для воздуха и для кислорода эффектив-
ные скорости будут порядка скоростей пуль современных винтовок, для
водорода же они значительно выше.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА

[1] В связи с последними заключениями авторов следует заметить, что
реакции связей в общем случае всегда можно представить только в функции
обобщенных сил, координат и скоростей, но не ускорений.

Это обстоятельство представляет тем больший интерес, что в случае
систем с реальными связями необходимо уметь определять нормальные реак-
ции по заданному кинематическому состоянию системы и приложенным актив-
ным силам, чтобы ответить на вопрос, имеет ли место, начиная с данного
момента, скольжение или нет.

Предположим для простоты, что некоторая точка системы опирается на
шероховатую поверхность, и обозначим через N, Т' и Т" нормальную реак-
цию связи и составляющие касательной реакции.

Освободим систему от данной связи, добавив к приложенным силам реак-
ции N, Т', Т"; пусть теперь система имеет п степеней свободы и qlt qit ...
..., qn — ее координаты.

Обозначим через vn, v', v" составляющие скорости точки приложения
реакции в направлении составляющих N, Г, Т"; конечно, всегда можно вы-
разить vn, v', v" через qk и qk:

Vn =	+ ®12?2 + • • • + а1пЧп’

v> = “21?! + “2202 + • • • + а1пЯп<
v" — “31^1 + a32?2 + • • • + “3n?n-

(a)

Отсюда легко определить виртуальные перемещения 6/г, Ът/, от" и элемен-
тарную работу реакции

SA = N 8„ + Г6V 4- Т'Ъ." = 2 (Mzlfc + Га№ + Т"азк) iqk. (б)

Пусть кинетическая энергия системы Т есть однородная квадратичная форма
обобщенных скоростей:

Г =2- ^akkqhqk,

обозначим еще через Qit ..., Qk обобщенные силы (активные).

Воспользовавшись второй формой уравнений Лагранжа, запишем их
в следующем виде:

at\Qi + ••• -\~аппЯп—au.N—а217л—а317’" =

_ , дТ • •

— VI 4~	— й11<71--й12?2 — • • • — апЧп’

ап141 + >  • 4- аппЧп- anN-- а2ПТ'--a‘dn^" —

п , дТ  •

ЧПТ fig	#n2^2	аппЧп’

(В)
Добавим сюда уравнения связей vn = v' = Q, v" =0, предполагая, что точка
опоры не скользит (идеальная связь)

an<h + • • • + аппЯп—	“11?!	а1п1п>

“2171 + • • • + а1пЯп — — “2171

(П

а2п Чп>

“3171 + • • • + “з»7а = — “3171 — • •  — “зп7«-

Из уравнений (в) и (г) можно определить q^, qw N, Т', Т" через Q^q^,
q^, причем правые части уравнений содержат только квадраты или произве-
дения q^, если Qjc не зависят от скоростей точек.

Даже не разрешая этих уравнений, можно высказать следующие утвер-
ждения.

(1)	Мгновенные значения реакций связей зависят только от приложенных
активных сил и кинематического состояния системы, т. е. определение их не
требует знания движения системы.

(2)	Реакции идеальных связей не меняют своего значения, если все обоб-
щенные скорости одновременно изменяют знак, сохраняя величину, т. е. если
обратить движение системы в данном положении.

(З)'Если скорости qx = a>t, q^ = со,, ..., q^ = <оА— циклические и во много
раз превосходят обобщенные скорости^..., qn, то, ограничиваясь малыми
первого порядка, найдем, что реакции N, Т', Т" зависят линейно от ?4+i-..?n.
Если coj,..., со& остаются постоянными, то составляющие реакций, зависящие
от q, изменят свой знак с изменением знака скоростей.

Все предложения остаются справедливыми и в том случае, когда рассма-
триваемая связь внутренняя.

Предположим, что мы нашли Т', Т" и N-

Д’	Д’	Д’

где Д, Д', Д", Д„ — соответствующие определители. Всегда можно выбрать
Т'± Т", так что касательная реакция равна

Условие, при котором скольжение отсутствует, выразится неравенством

(д)

это последнее определяет совокупность значений координат q8 и скоро-
стей qs, при которых уравнения (в) и (г) остаются еще в силе.

Предположим теперь, что условие (в) не выполняется, точка скользит
по шероховатой поверхности и сила трения равна ±/|У| = в/|7V [. Тогда

eV	у//

(е)

где

v = -f- Vv'* + о"2.
Теперь уравнения Лагранжа можно представить в следующем виде:

d / дТ\
dt \ difa )

дТ

dqt

Qi+1ЛГ| («н-/ —“si
\	V	V .

d (дТ\ дТ _	.	7	.v'	,v"	\

— ( —) a— —	I I (“1И —/— “2n—/ “3n I,

dt \dqn/ dqn	\ v	v /

“11?! + “12^2 + • • • + “ln?n — 0-

Исключая реакцию | ЛГ|, получим (я — 1) уравнений движения, приравняв нулю
определители второго порядка матрицы

d / ЭТ\
dt \ dq^ /

dT

d?i

Qi>........

- V	J? v

E“ll — /	“21 — / — “31.

d ( dT\ dT

' I • j '
dt \dqn! dqn

, v' .v"

£“ln / a2n / ain

последнее, n-oe, уравнение есть уравнение связи

“1191 + “12?2 +...+ “1п9п — 0-

Из уравнений (ж) можно найти реакцию |ЛГ|; как видно из этих урав-
нений, реакция | л/| не всегда определяется однозначно, так как она зависит
от s = ± 1, что характерно для задач, в которых учитывается кулоновское
трение.

То или иное значение е выбирают, сообразуясь с неравенствам |ЛП>0.
Если это неравенство удовлетворяется при каком-либо одном из значений е,
то задача вполне определенна, и ускорения qk определяются однозначно, что,
однако, встречается не всегда. Если неравенство не удовлетворяется ни при
одном из значений е = zt 1, то решение невозможно, а если оно удовлетво-
ряется при любом из значений е = ± 1, то решение неопределенно. В этом
случае и уравнения, получаемые из матрицы (з), обладают тем же свойством
неопределенности.

Легко видеть, что число уравнений (ж) на единицу меньше числа не-
известных qk, N, |У|, и для полной определенности необходимо еще одно
уравнение, которое можно получить, только вводя новые физические пред-
посылки.

В § 9 гл. VIII, стр. 56 и сл., авторы книги рассматривают пример, в ко-
тором уравнения задачи приводят к противоречивым выводам, что в конце
концов сводится к невозможности удовлетворить неравенству | N | > 0.
К сожалению, выбранный ими пример не удачен, так как в процессе реше-
ния допущена ошибка в знаке, и все заключения авторов покоятся на недо-
разумении. Уравнение (63), получающееся в результате исключения вели-
чины со из уравнений (61) и (62), в действительности должно иметь вид

®Уош2—{(r+Jo) А — хйЫ}-\- N—p = 0,

откуда для начального момента, когда A=fN> вместо уравнения (64), при-
веденного авторами, получается уравнение

(р + /о} = р-
Читатель может найти более удачные примеры в указанной в тексте
литературе или в книге П. Аппел ль, „Руководство теоретической механики",
т. 2, 1941 г., стр. 129—132.

[2] Гироскоп (указатель поворота) — название прибора, который демон-
стрйровался французским физиком Фуко в 1852 г. в Парижской Академии
наук. Прибор представлял собой „свободный гироскоп", т. е. быстро вращаю-
щийся маховичок, укрепленный в кардановом подвесе; ось маховичка сохра-
няла неизменное направление в пространстве и потому меняла положение
относительно окружающих предметов, что и подтверждало вращение Земли
вокруг своей оси.

|8] В основу элементарной теории гироскопа авторы положили два прин-
ципа: принцип сохранения направления гироскопической оси и принцип
стремления осей к параллельности. Оба принципа являются, конечно, след-
ствием уравнения (11) стр. 78, применение которого в каждом частном случае
позволяет предсказать движение гироскопа и найти реакции наложенных на
него связей, если гироскоп совершает вынужденное движение.

В современной теории гироскопических приборов считают более удобным
записывать уравнение (И) в иной форме, а именно так, чтобы угловая ско-
рость собственного вращения совсем не входила в левую часть уравнения
движения:

dp

А^ = М* + Сг&Хе.	(а)

Этому уравнению можно придать очень простое и наглядное истолкование,
если иметь в виду случаи, когда угловая скорость г0 по абсолютной вели-
чине во много раз превосходит экваториальную составляющую е абсолютной
угловой скорости w и если, как это часто бывает, ее можно считать постоянной

Представим себе еще, что гироскоп заключен в кожух, и его абсолютная
угловая скорость w складывается из относительной угловой скорости г' и
переносной угловой скорости е’ кожуха, причем

е 4- г ok = е' 4- г'.

Без большой погрешности можно положить

г0 = г',

— = е + е''Аехе,

где е — производная от угловой скорости е, вычисленная по отношению
к осям, связанным с кожухом, т. е. так, как если бы они были неподвижны.

Теперь уравнение (а) можно переписать в следующем виде:

Аё = М 4- Crofe X е.	(б)

Кинетический момент гироскопа „почти" совпадает с направлением оси г;
мы положим

Н = Сгой

и будем называть вектор Н просто кинетическим моментом гироскопа,
записывая уравнение (б) в окончательном виде:

Ле = М4-ЯХ е’,	(в)

так как

НХе'^НХе.
Уравнение (в) имеет такой вид, как если бы гироскоп вращался только
вместе с кожухом под действием заданных сил с моментом М и, кроме того,
добавочной пары, момент которой равен Н X е'.

Этот последний момент

Г =	(г)

называют гироскопическим моментом; он направлен всегда так, что стремится
повернуть угловую скорость собственного вращения г'^Л) (или вектор Н)
на вогнутый угол до совпадения с угловой скоростью е' кожуха.

Физический смысл уравнения (г) формулируют в разных, но по существу
эквивалентных формах:

а)	можно отвлечься от собственного вращения гироскопа и учесть динами-
ческий эффект вращения, добавив к приложенным силам пару сил, момент
которой равен гироскопическому моменту Г;

б)	видимое движение гироскопа (вращение с угловой скоростью е) проис-
ходит так, как если бы скрытое движение (вращение с угловой скоростью
гп = г') отсутствовало, а к приложенным силам с моментом М была бы прило-
жена пара сил с моментом, равным гироскопическому моменту Г;

в)	при повороте быстро вращающегося около собственной оси гироскопа,
появляется пара сил, момент которой равен гироскопическому моменту
Г = Не = Не' sin а; эта пара стремится повернуть угловую скорость собствен-
ного вращения гироскопа (r^k) на вогнутый угол до совпадения с угловой
скоростью сообщаемого вращения е'. (См., например, Н. Е. Жуковский,
„Элементарная теория гироскопа", Полное собрание сочинений, т. I).

Если угловая скорость е изменяется очень медленно, т. е. если угловое
ускорение е невелико, то уравнение (в) записывают еще проще

ЛГ + ЯХе' = 0, или ЛГ4-Г = 0,	(д)

т. е. принимают, что при движении гироскопа приложенные силы и гироскопи-
ческая пара уравновешиваются. Именно в такой упрощенной форме пишут
уравнения движения для очень точных и ответственных приборов (гирокомпас,
гировертикали).

[4] Задача, которой намерен далее заняться автор, разрешена впервые
Эйлером за 100 лет до Пуансо, и потому рассматриваемый в ней случай
движения твердого тела около неподвижной точки обычно называют случаем
Эйлера. Аналитическое исследование этого случая можно найти в книге:
Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946.

[6]	Вращение твердого тела около главной центральной оси инерции
устойчиво, если ось вращения не совпадает с осью среднего из моментов
инерции (или не является экваториальной в случае гироскопа); в противном
случае вращение неустойчиво.

Можно было бы на этом основании ожидать, что достаточно сообщить
небольшой толчок гироскопу, вращающемуся около экваториальной оси, чтобы
отклонить мгновенную ось вращения на конечный угол от своего первоначаль-
ного положения. Если бы мы выполнили такой опыт, то не получили бы ожи-
даемого эффекта: отклонение оси вращения было бы при этом едва замет-
ным, а угловая скорость осталась бы почти без изменения. И все же нет
никакого противоречия между опытом и заключением теоретического исследо-
вания, так как речь идет о различных оценках устойчивости. В теории иссле-
дуется устойчивость по отношению к проекциям р, q, г угловой скорости
на оси, связанные с телом, а на опыте проверяется устойчивость по отношению
к проекциям той же угловой скорости на неподвижные оси. По отношению
к первым движение неустойчиво, а по отношению ко вторым оно устойчиво.
Это следует из того, что после толчка неподвижный аксоид будет конусом
с очень острым углом при вершине, а угол при вершине подвижного аксоида
будет близок к я.
Этот пример иллюстрирует относительность понятия устойчивости: одно
и то же движение может быть устойчивым и неустойчивым в зависимости
от того, по отношению к каким величинам рассматривается устойчивость.

[6]	Здесь речь идет только об условной устойчивости по отношению
к углу 0. Что же касается „направления" движения, определяемого углом ф,
то из уравнений

В.д — (О — та2) г0о = 14

И

не следует, что угол ф будет сколь угодно долго оставаться малым, а из этого
следует, что „направление" прямолинейного движения диска изменится с тече-
нием времени.

Если выполнить указанный автором опыт (с монетой или колесом), то мы
увидим, что точка прикосновения не будет описывать на плоскости прямо-
линейную траекторию, как это требуется условием задачи. Только при соблю-
дении особо подобранных начальных условий можно осуществить указанное
авторами движение. Заметим, что функция ф совсем не входит в уравнения
движения, и потому говорить об устойчивости по отношению к этой функции
нельзя.

[7]	Устойчивость движения неуправляемого велосипеда определяется,
главным образом, конструкцией вилки переднего колеса; если эта конструкция
не удовлетворяет необходимым условиям, то никаким увеличением скорости
нельзя добиться устойчивости движения.

Что касается движения управляемого велосипеда, то устойчивость его
зависит от искусства велосипедиста, который может сохранить положение
равновесия и при скоростях, значительно меньших указанных в тексте.

[8]	В тексте встречаются различные выражения, называемые авторами
работой приложенных импульсов. Чтобы избежать путаницы, заметим, что из
уравнения

т vf — т = /

8 3	8 8	3

следует

после суммирования найдем

Sv+3 xi VT3 xi vs~ v.s
ms~2 z”s ~2~ = 2Is Г ’

т. e. приращение живой силы системы равно сумме работ импульсов. Именно
это выражение

V, ^ + *7
s 2

и будет в дальнейшем называться работой импульсов. Что же касается таких
выражений, как

2'# или Sfc

то они также имеют размерность работы, но называются соответственно
работой для состояния движения после удара и работой для состояния дви-
жения до удара. Следует помнить, что ни та, ни другая работа не равна
изменению живой силы.
[9] Уравнения Лагранжа, относящиеся к импульсивному движению, при-
меняются автором только для голономных систем, и в этом случае они имеют
вид (стр. 510)

Д?й = Jh	U1 — 1> 2, .... п),

где Jjf — обобщенные импульсы.

Эта форма уравнений может быть сохранена и для неголономных систем,
если под Jh, подразумевать не только приложенные импульсы, но и импульсы
реакций связей, как голономных так и неголономных.

Будем рассматривать удар как результат внезапного наложения новых
связей на систему и предположим, что до удара система имела п степеней
свободы. Пусть в момент наложения связей два каких-либо тела системы
приходят в соприкосновение и две точки Р\ и Р2 этих тел, совпадающие
в момент удара и имевшие различные скорости и до удара, получают
после удара одну и ту же скорость я —	— v2.

Так как скорости точек Р, и Р2 можно выразить линейно через qh, то
можно предположить, что и составляющие этих скоростей по направлениям
общей нормали к поверхностям тел (и,ц и vn2) и составляющие в касательной
плоскости (vp vv v± и v'3) также выражены через qh, а виртуальные пере-
мещения этих же точек — через

Обозначая через =	= N, 7\ = — Т-,= Т , т[ = —• Т2 = — Т"

составляющие импульса реакции при ударе, найдем для виртуальной работы
следующее выражение:

8Л = { N(vnl - vn2) - f (< - vj - T" (< - v"2) } Ы =

= 2	(«1» -	~ T' - b2h) - T" (a3h - &зй)]8 qh.

Так как множители при как раз и являются обобщенными импульсами, то
уравнения движения принимают вид

д (4^) = N {alh - b}h) - Т' (a2h - *2Й) - 7" (a3h-b3h) (Л = 1, 2......п).	(а)

К этим уравнениям надо добавить три уравнения связей:
&п1 — vn2 = (ац — &ц) q± («12 — &12) q2 -|- ... -|- («in — qn = 0,
V1 p2=(a31	^21^1 + ^22	b22^2~^~	+ (й2п b2n)^n ~

V1 v2=(a31	+	^32^2+ " + (a3n	=

(6)

Раскрывая уравнения (а) и решая их совместно с уравнениями (б) относи-
тельно неизвестных qi... qw N, Т', 1", найдем, что обобщенные скорости
в момент наложения связей qh и импульс реакции наложенной связи опре-
деляются линейно через обобщенные скорости до удара и, в частности,

N=^, Т' = ^, Т" = ^,

А	Д	Д’

где Д„, Д', Д", Д — соответствующие определители.

Если касательные реакции возникают только благодаря трению между
соприкасающимися поверхностями и если остаются верными законы трения
Кулона при ударе, то связь будет обеспечена только в том случае, если

772_|_ p'/i

или

д'2 + д"2</2д2.
Так как Д', Д", Дя определяются только через начальные обобщенные ско-
рости, то можно проверить, будет ли это условие соблюдаться на самом деле.

Если окажется, что оно не соблюдается, то следует положить

я/?

F =	г" = —Т/|ЛГ|-

после чего уравнения (а) изменят свой вид, а из уравнений (б) следует сохра-
нить только первое. Уравнения (а) и (б) позволяют определить скорости qh
в момент, когда наложенная связь осуществлена, и изменение скоростей
4Й— q°h за первую фазу удара.

Во второй фазе происходит восстановление формы деформированных тел
и разрушение наложенной связи; при этом импульсы реакций или сохраняют

свое значение, или уменьшаются.			
Обозначая через k_ коэффициент восстановления, получим уравнения для			
второй фазы			
дТ	дТ ,(дТ	дТ \	.	, _	
		;— = R 1 				--ПГ )	(^ = Ь 2,..	и).
дЯь			
Отсюда			
дТ		, дТ	_	
	= (! + *) Д--	k ——	(/z = 1, 2, ..	«);
tin	%	Ч	

если ft =4 (абсолютно упругий удар),
то

дГ	дТ	дТ

дЯи	dqh	d<f>

и, следовательно,

^ = 4 + ^0’

причем qh определяются из уравнений (а) и (б)-
ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютные координаты 316

Авогадро число 532

Агрегатные состояния материи 531

Альманси 512

Альтернат операторов 270

Ампер 107

Ампера конус 107

Аргумент долготы точки 350, 353

Атмосферное давление 535

Атом 531

Балка цилиндрическая однородная 62

Барогироскоп 181

Бельтрами 450, 5120

Бельтрами—Липшица теорема 448—
451

Бененбергер 74

Бернулли Д. 531

Бернулли И. 455

Билинейная форма унитарная 259

Билинейный ковариант пфаффиана
253

Биллиардный шар 184, 463, 492

----фаза качения 188

-------скольжения 185, 189

Бискончини 491

Бойля закон 531—534

Больцман 461

Брахистохрона 455

—	в поле силы тяжести 456

Бреннан 226

Бруна задача 179

Бургатти 168

Бурле условие динамического равно-
весия ‘Хй

Буссоль наклонения 1.64

—	отклонения 164

Вариационная формула Гамильтона
399

----Гельдера 409, 410

Вековые действия 322

Вельтман 23

Вершина гироскопа 112, 117—119

Взаимный эллипсоид инерции 171

Взрыв 506, 507

Винтомоторная группа самолета 49

Виртуальные перемещения 280

Возмущения первого порядка 358
— происходящие от притяжения
третьим телом 359

Волновые поверхности 451

Волчок 141

— с округленным основанием 215

— спящий 141

Вольтерра 221,224, 463

— теорема 512—516

— уравнения спонтанного движения
гиростата 222, 223

Вращение быстрое твердого тела 73
— перманентное 88, 89, 238
— равномерное тяжелого гироскопа
128, 129, 131

—-------твердого тела 178

— тяжелого твердого тела, вектор-
ные уравнения 101

Гамильтон 240, 241, 447

Гамильтона вариационная формула
399

—• интеграл, асинхронная вариация
426

— преобразование 239, 240

— принцип 402—404, 421, 423, 427,
452

— функция 240, 245—248, 364

----- главная 402

— — явное выражение в динамиче-
ском случае 246

Гамильтона — Якоби метод интегри-
рования канонических систем урав-
нений 296

-----уравнение 297, 302, 338

Гамильтонова система уравнений 242

Гассенди 531

Гаусса гипергеометрическое уравне-
ние 208

— принцип наименьшего принужде-
ния 389—393

-------- усилия 389—393

— теорема 362
Гёльдер 410

Гёльдера вариационная формула
409, 410

Гельмгольц 299, 301, 302, 453, 460,
461

Гельмгольца теорема взаимности 299

Геодезическая кривизна 154

Геодезическая линия 414, 426

-----эллипсоида 384

Геометрическая теория световых
волн 370

Герполодия 87, 176, 177

Герц 394, 396

Герца принцип прямейшего пу-
ти 394—396

Гесс 169

Гесса случай частной интегрируе-
мости уравнений движения 169

Гипергеометрическое уравнение Га-
усса 208

Гиперплоскостный элемент 265

Гиперплоскость 265

Гиперповерхность 266, 373

— волн как огибающая вторичных
волн 376

— элементарной волны 373

Гироскоп 93, 111, 538

— с осью, вынужденной двигаться
по неподвижной плоскости 160

— с потенциалом, зависящим толь-
ко от угла нутации 334

— сферический 177

— тяжелый 122, 128, 1129, 131—133,
177

---необходимое и достаточное
условие регулярной прецессии 134,
135

---полное определение движе-
ния 122

-----уравнения движения 111, 112

---устойчивость быстрых враще-
ний 144

Гироскопическая буссоль 161, 165

— стабилизация 141

— — угловая скорость 77, 92, 112

Гироскопические весы 136

—	явления 74

Гироскопический компас 160

—	момент 539

Гиростат 219

—	движение вокруг центра тяже-
сти 221

•	по инерции 222

— основное уравнение моментов
219, 220

Гиростатические члены 224

Гиростатический момент 220

Группа функций 277

Гумбольдт 299

Гюйгенс 517

Гюйгенса принцип 378

— система уравнений 367

—	теорема 15, 16

Гюссон 168

Давление газа, кинетическое объяс-
нение 531

Даль-Аква 345

Дарбу 177, 499

Движение асинхронно-варьированное
406

---- изоэнергетическое 408

—	варьированное 300

—	возникающее 74

----цилиндра 44, 45, 48

—	гироскопа вокруг точки его оси
179

----при больших угловых ско-
ростях собственного вращения 124,
128

— диска установившееся (меро-
статическое) 200

— естественное 388

— Земли вокруг ее центра тяжести
320

— импульсивное 462

----двух тел, соединенных шар-
ниром 525—527

----общее уравнение 499, 500

— круговое 321

— на шероховатой плоскости, за-
висимость от угла наклона 45—47

— невозмущенное 357

— относительно центра тяжести
93

— плоское, динамические и струк-
турные условия 25

----основные уравнения 28

---- твердого тела 24

— по гладкой плоскости, зависи-
мость от угла наклона 48

— по инерции 84, 394, 414

Движение по инерции относительно
закрепленной точки 91, 92

— по Пуансо 89, 94

---------геометрические предста-
вления 86—88, 177

-------первые интегралы 84

-------уравнения движения 82,
84

— по Раусу 326

—^поступательное	установившееся

— по Штауде 334
Движение под действием мгновенных
сил 465, 472

— прямолинейное точки соприко-
сновения 199

— равномерное, условия чистого
качения 32

— свободного твердого тела вокруг
центра тяжести 73

— свободное 388

— синхронно-варьированное 396

— спонтанное 84, 394, 414

-----гиростата, уравнения Воль-
терра 222, 223

— твердого тела вокруг неподвиж-
ной оси 12

-------------точки 70, 71

-------динамические уравнения 7,
8

-------по инерции, интегрирова-
ние уравнений 85

— точки, притягиваемой двумя не-
подвижными центрами 385

— тяжелого гироскопа 111, 114,
129

------- исследование резольвенты
115

-----твердого тела вращения 211,
214, 217

-------— случай Гесса частной
интегрируемости 169

-----—-------Ковалевской 165,166,
168, 171

-------------Лагранжа—Пуассона

111, 166, 168, 334

------------- Стеклова частной
интегрируемости 172

-------------Чаплыгина частной

интегрируемости 171

-------------Эйлера 84, 166, 168,
539

— тяжелого твердого тела с непо-
движной точкой, первые интегралы
98—100

— установившееся 120

-----самолета, дифференциальные
уравнения 49, 50

-------уравнения в вариациях 53,
54

— циклическое 219

-----установившееся (стационар-
ное) 222

— цилиндра, возникающее из со-
стояния покоя 44, 45, 48

Действие 409

Декарт 416

Декарта законы 417

Демокрит 531

Джеббиа 88, 238

Джиббс 244

Динамическая траектория системы
412

Динамические давления 9, 17

— задачи, случай интегрируемости
Штеккеля 343

— реакции 17

— уравнения движения твердого те-
ла 7, 8

Динамическое равновесие, условие

Бурле 202

— трение 227

Дипирро 345

Дйрихле теорема 1250

Диск 194, 200, 201, 205, 210

— интегрирование уравнений дви-
жения 207 .

— круглый на горизонтальной пло-
скости 31

---тяжелый, качение по гори-
зонтальной плоскости 193

---------- по произвольной кри-
вой 64

-------неоднородный 56, 57

--------- — вращение вокруг гори-
зонтальной оси 59

— основные уравнения плоского
движения 29

Диск плоский 25

Долгота точки 322

Живая сила Земли 321

Жуковский Н. Е. 55, 1 , 539

Задача Бруна 179

—	n+ 1 тел 315

-------замечание Пуанкаре 316

—	об изменении широт 221

—	плоская трех тел 329

Закон Бойля 531—534

Игнорируемые координаты 308

Изменение широт 2121

Изотермические преобразования 454

Изоэнергетическая вариация 447

Импульс мгновенный 462

—	отдачи 482

—	обобщенный 508

— периодически повторяющийся 518

Имшенецкий В. Г. 346

Инвариант системы уравнений 271,

279

Инвариантное уравнение 169

Инвариантные соотношения 278

Инварианты канонической системы
уравнений 273
Инволюторные соотношения 285

Инволюция 274

Интеграл Гамильтона, асинхронная
вариация 426
— живых сил 84

—	инвариантный относительно си-
стемы уравнений 293

—	моментов количеств движения
83, 84

—	обобщенных кинетических мо-
ментов 245

—	площадей 83, 84

—	полный уравнения с частными
производными 297

— системы уравнений 270

Интегралы канонической системы

уравнений 244, 273

Интегральные инварианты 289

---линейные 295

--- линии 366

---относительные 295

— — порядка, равного порядку си-
стемы 291

Интегрирующий множитель Эйлера
293

Каноническая переменная 242

— система уравнений 240

-------замечание Лиувилля 294

-------метод интегрирования Га-

мильтона — Якоби 296

------- однородная 369

-------понижение порядка при по-

мощи интеграла энергии 309

----------- ранга	308

—------произвольные преобразова-

ния 365

-------статические решения 324

-------стационарные решения 323,
326, 327

— форма 248

Канонические переменные Кеплера
346, 353, 355

•— постоянные, истолкование в слу-
чае Кеплера 349

Каноническое преобразование 251,255

Каноничность полная, характеристи-
ческое условие 262—264

Карно Л. 505

— теорема 471, 505, 506

Качение диска, реакция опоры 231

Качение спонтанное 38

— твердого тела по горизонтальной
плоскости 233

Кельвина теорема 504, 505

Кеплера канонические переменные

346, 353, 355

Кинетический эллипсоид 173

Кинетостатика неизменяемой среды 9,
62

Кирхгофф 406

Клейн 59

Ковалевская С. В. 165, 168

Ковалевской случай интегрируемости
уравнений движения 165, 166, 168,
171

Колесный скат 30

Колесо на горизонтальной плоскости,
уравнения движения 30

—	ударяющееся о препятствие 489

Конус Ампера 107

—	- Штауде 106, 107, 129

Косвенные переменные 355

Коэффициент восстановления 467, 470,
486

—	— опытное определение 468

—	динамического трения 36

—	статического трения 36

Критическая скорость 144

Крылов А. Н. 226

Лагранж 111, 385

Лагранжа — Бертрана теорема 507

Лагранжа — Пуассона случай интегри-
руемости движения 111, 166, 168,334

Лагранжа система уравнений 239
— скобки 262—265

Лагранжа составляющие импульсов
508

—	уравнения 538, 541

—	функция 239, 244, 364

Лаплас 362

Левкипп 531

Лемма об инволюторных соотношени-
ях 285

Лемнискатный интеграл 60

Ли 252, 266, 267, 277

—	теорема 311

Линейный вектор 268

—	элемент пространства 382

Линия узлов 150, 195

Липшиц 450

Лиувилль 294

Лиувилля замечание о канонической
системе уравнений 294

—	случай интегрируемости уравне-
ний Гамильтона—Якоби 338

— теоремы 85, 104, 311, 313

Лобовое сопротивление 51

Луч 377

Лучевая скорость 377

Майер А. 499, 512

Мак-Куллах 88
Малюса—Дюпена теорема 451

Масса Луны, определение 336

Маятник баллистический 481

— двойной 20, 23, 510

----вертикальный 20

----тяжелый 22—24

— уравнения малых колебаний
65

—	математический 14

Маятник оборотный 16

—	сложный 206

— сферический 114, 115

— физический 13, 16

— — ось качаний 14, 15

— — — подвеса 13, 15

---- приведенная длина 14, 15

----уравнение движения 14

---- центр качаний 14

------- подвеса 14

Мероопределение 411

Меростатические решения 198, 206

Метод множителей 327

— разделения переменных 339

Метрическое многообразие 411

Мираж Монжа 420

Многообразие п измерений сопряжен-
ных элементов 266

—	субетанциальное 290

Множители системы обыкновенных
дифференциальных уравнений 293

Множитель Якоби 294

Молоток 478

Момент девиации 90, 91

— инерции твердого тела, экспери-
ментальное определение 16

—	конечный 300

—	(обобщенный импульс) 239

—	трения верчения 30

		качения 30

Монжа мираж 420

Мопертюи 410

Морера 252, 345

Натуральные уравнения движения ги-

роскопа 157, 158, 160

Неравенства 361

—	вековые 361

—	периодические 361

Несущая поверхность самолета 49

Неустойчивое равновесие 106

Неустойчивость перманентных вра-
щений 94, 95

Нутация гироскопической оси 117

Обобщенный интеграл энергии 245

Обратимые связи 505

Общее уравнение динамики 387
-------- вывод из вариационной

формулы Гамильтона 400, 401

Объем в фазовом пространстве 294

Определитель окаймленный 443

Ортогональные траектории 449

Осевой интеграл моментов 330

Оскулирующие элементы 355

Остроградский М. В. 240, 301

Ось мира 162

— удара 481, 520

Падающий луч 416

Падова 179

Пара восстанавливающая 53

— демпфирующая 53

Параметры Эйлера 72

Пере 499

Переменные сопряженные 239

Период остановки 34

Перманентная ось вращения 89, 111

Перманентное вращение 89

------ вокруг гироскопической оси 97,
98

----вокруг оси, не совпадающей с
осью гироскопа 144, 146

------- вокруг экваториальной	оси
98

----в пространстве 104, 105

---неустойчивое 96

— — тяжелого гироскопа 122, 132

-------- тела с закрепленной точкой
104

----устойчивое 95

Платонический год 337

Показатель преломления 416

Полет нормальный 49

—	установившийся 49

Полодия 87, 174

—	параметрические уравнения 173,
174

Полюс 86, 173

Полярный момент инерции Земли
320

Потенциал полного притяжения 320

Преломленный луч 416

Преобразование вполне каноническое

257, 258, 261, 265

---- _ бинарное 260

— — — линейное 259

— Гамильтона 239, 240

— каноническое 251, 255

— ковариантное 259

— однородное 258

— прикосновения 265, 267

---- однородное 268

— точечное 266
Преобразование точечное расширен-
ное 266

— эквивалентное 260

Прецессия земная, динамическое объ-
яснение 366

— мгновенное возмущение 137

— псевдорегулярная 128, 137, 148

— регулярная 92, 97, 137

----с быстрым прецессионным вра-

щением 136

-----с медленным прецессионным
вращением 136

•----тяжелого гироскопа 135, 144,

146

----------мгновенное возмущение
152

----------с медленным прецесси-
онным вращением 147

Прибор Шлика 225

Принуждение 388

Принцип варьированного действия

441

—	виртуальной работы 387

—	Гамильтона 399

-----обобщения 427, 452

-----применение к выводу уравне-
ний движения 404

—	— распространение на общие ла-
гранжевы системы 421

-----случай консервативных сил
402, 403

-------ненормальной лагранжевой
системы 423

—	Гюйгенса 378

—	наименьшего принуждения Гаусса
389—393

-----усилия Гаусса 389—393

—	прямейшего пути Герца 394—396

—	распределения энергии 403

—	реакций, следствия 464

—	сохранения направления оси ги-
роскопа 75, 77, 78

— сохранение энергии 412

— стационарного действия 408—410

— — — геометрическая интерпрета-
ция 411

•------обобщение 431

-------случай голономной системы
411

— стремление оси гироскопа к па-
раллельности 75, 76

— Ферма 417, 418

Произведение инерции 90

Пространство конфигурации 270

— траекторий 270

Протяженность в фазовом простран-
стве 294

Пуанкаре 294, 295, 303, 347, 454
— замечание к задаче п. + 1 тел
316

—	каноническая форма уравнений
относительного движения 317

Пуансо 84, 86, 88, 539

Пуассон 111, 483

Пуассона скобки 264, 265, 273,
276

—	теорема 274—277

—	уравнения 27

Пуассона — Якоби тождество 274

Пфаффа союзная система уравнений
253

Пфаффиан 252

Пэнлеве 55, 345

Работа приложенных импульсов 540

Разность сил 34

Распространение посредством волн,
оптическое истолкование 378

— сферических волн, элементарный
случай 375

Раус 324, 499

Рауса уравнения смешанные 364

Реакция опоры 201

Резольвента задачи о движении тяже-

лого гироскопа 113—115, 117, 120

Рефракция 416

Решения однородной канонической си-
стемы уравнений, геометрическая
интерпретация 372

Робей 502

Робена теорема 502, 503

Рули самолета 49

Самоторможение 36

Свободная точка, находящаяся пол
действием консервативных сил 328

Связка решений лагранжевой системы
уравнений 429

— траекторий 429

----динамических 415

Связь односторонняя, общее соотно-
шение импульсивного движения 511,
512

Сен-Жермен 179

Сиаччи 88

Сила подъемная 51

Сила тяги винта 52

----при качении, предельное зна-
чение 33

Сильвестр 88

Синьорини 459

Система ориентировки с подвижными
осями в теле 148

— отсчета для тела вращения 210
Система союзная уравнений Пфаффа
253

— уравнений Гюйгенса 367

----- приведенная 308

-----расширенная 328

----- с нулевой дивергенцией 294

Скобки Лагранжа 262—265

— Пуассона 264, 266, 273, 276

Скорость молекул газа средняя 532

-------эффективное значение 533

— распространения системы волн 377

Солнце, продолжительность обраще-
ния 337

Средняя аномалия 355

— долгота 355

Статистическая механика 294

Статические решения канонической
системы уравнений 324

Стационарность инвариантного соот-
ношения, инвариантность условий
281, 323

Стационарные решения канонической
системы уравнений 323, 327

----- меростатические канонической
системы уравнений 326

Стеклов В. А. 172

Стеклова случай частной интегрируе-
мости уравнений движения 172

Стереонодальная ось 150
— система осей 151

Стереонодальпые уравнения движения
тела гироскопической структуры 150,
152

Стюди 512

Сферические кривые 153

Тангенциальное -уравнение гиперпо-
верхности 371

Твердое тело гироскопической струк-
туры 74, 79, 81

----------с круглым основанием
193, 197—199

-----движущееся параллельно не-
подвижной плоскости 474

-----динамические уравнения дви-
жения 7, 8

----- свободное 472

-----изменение живой силы 474

— — с закрепленной главной цен-
тральной осью инерции 19

-----с круглым основанием 210, 211

-----с неподвижной осью 12, 479

Твердое тело с неподвижной точкой
318, 475

-----абсолютно неупругое 467
-----гироскопической структуры 97,
319

Теорема Бельтрами — Липшица 448—
450

--------приложения к оптике 451

—	взаимности Гельмгольца 299

—	Вольтерра 512—516

—	Гаусса 362

—	Гюйгенса 15, 16

— Дирихле 250

— Карно 505, 506

---частный случай 471

— Кельвина 504, 505

— Лагранжа — Бертрана 507

— Ли 311

— Лиувилля 85, 104, 311

--- следствия 313

— Малюса — Дюпена 451

— Пуассона 274

---приложения 275—277

— Робена 502, 503

---сопоставление с принципом
наименьшего принуждения 503

—	Уиттекера 459

—	Эйлера 456

—	Якоби 179, 277

Теория удара, приложение к твердым
телам 472—483

—	— свободное твердое тело 472

Теплота 531

Тождество Пуассона — Якоби 274

Тоннелли 459

Торможение 34

Торможение наиболее эффективное
35, 36

—	правильное 36

—	слишком сильное 36

Траектория материльной системы то-
чек 394

Трение качения 30

— скольжения 30

Трогание с места, условия чистого
качения 32

Тяга предельная при качении 33

Тяжелое твердое тело, закрепленное
в точке 100, 141, 333

—	тело вращения на горизонтальной
плоскости 208

Угловая скорость прецессии 92, 135,
137

---собственная 135

Угол атаки 50

—	носовой качки 50

—	нутации 113

—	тангажа 50

Удар 462

—	без трения, общая теория 483—
492
Удар двух тел, потеря кинетической
энергии 488

—	неизменяемой плоской фигуры о
неподвижное препятствие 492

—	неколебательиый 613

— о стенку 487

— потеря живой силы 469

— прямой 486

-----и центральный двух тел 466

----------о стену 468

— с трением 492—499

— центральный 487

Удара продолжительность, порядок ве-
личины 517

Удельное давление 533

Уиттекер 469

Уиттекера теорема 459

Упругие тела 467

Уравнение Гамильтона — Якоби 297,
302

-------случай интегрируемости

Лиувилля 338

— импульсивного движения, прило-
жение к голономиым системам 508

Уравнения в вариациях 280

Лаграйжа 538

----относящиеся к импульсивному
движению 541

— относительного движения, канони-
ческая форма Пуанкаре 317

— Пуассона 27

— Рауса смешанные 364

— Эйлера 27, 70—72, 83, 148

----для твердого тела гироскопи-
ческой структуры 81

Ускорение силы тяжести, эксперимен-
тальное определение 16

Условие соединения двух бесконечно
близких элементов 372

—	сопряженности двух бесконечно
близких элементов 266

Устойчивое равновесие 106

Устойчивость гироскопическая 225

—	гиростатическая 225

— движение по Пуансо 94

----тяжелого гироскопа 140

— перманентных вращений 94, 95

— приведенная перманентных вра-
щений гироскопа вокруг гироскопи-
ческой оси 140

— продольная самолета 49, 54

----установившегося полета 52

— прямолинейных движений 203

— чистого верчения 236, 237

Фаза остановки 34

— чистого качения 38

Фазовое пространство 244

Ферма 417

— принцип 417, 418

Форма Штеккеля 458

Френель 378

Фронт волны 373

Фуко 74, 538

Функция Гамильтона 240, 245—248,
364

----главная 402, 438

— Лагранжа 239, 244, 364

—	пертурбационная 357

—	условия стационарности 282

—	характеристическая 240

Фюзеляж 49

Центр давления 50

—	качаний 478

— удара 481

Центробежные силы 162

----сложные 162

Центробежный момент 90

Цилиндр круглый, качение по гори-
зонтальной плоскости 67

— очень малого радиуса, опертый на
гладкую наклонную плоскость 48

— тяжелый на шероховатой наклон-
ной плоскости, уравнения движения
42, 45, 46

Чаплыгин С. А. 171

Чаплыгина случай частной интегри-
руемости уравнений движения 171

Частный интеграл уравнений Гамиль-
тона— Якоби, вывод инвариантных
соотношений 307

---- уравнения второго порядка
278

Часы 518

Число Авогадро 532

Чистое верчение 233

---- перманентное 233

Чистое качение 234

Шарнирный антипараллелограмм 63

Шар однородный, катящийся и сколь-
зящий по наклонной шероховатой
плоскости 67, 226, 227, 230

Шлика прибор 225

Штауде конус 106, 107, 129

Штеккель 343, 345

Штеккеля случай интегрируемости ди-
намических задач 343

Эйлер Л. 539

Эйлера интегрирующий множитель
293
Эйлера случай интегрируемости ура-
внений движения 84, 166, 168, 539
— теорема 456

— уравнения 27, 70—72, 81, 83, 148

—	эллиптические координаты 383

Эксцентрические переменные 355

Элементы пространства конфигураций
370

Эллиптические координаты 380

---Эйлера 383

—	элементы 354

Энергия полная 305

Юнг 378

Якоби 293, 303, 384, 385, 447

—	множитель 294

—	теорема 179, 277
ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава VII

Динамика твердого тела. Общие соображения
Элементарные задачи

Предисловие..................................................... 5

§ 1.	Основные уравнения......................................... 7

§ 2.	Понятие о кинетостатике неизменяемой	системы............... 9

§ 3.	Движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический
маятник и его применения..........................'............ 12

§ 4.	Двойной маятник........................................... 20

§ 5.	Движение, параллельное плоскости. Трение скольжения и ка-
чения ........................................................  24

§ 6.	Колесо на горизонтальной	плоскости........................ 30

§ 7.	Тяжелый цилиндр	на	шероховатой	наклонной плоскости......	42

§ 8.	Установившееся поступательное движение и продольная устой-
чивость самолета............................................... 49

§ 9.	Критические замечания относительно эмпирических законов
трения......................................................... 55

Упражнения..................................................... 59

Глава VIII

Динамика твердого тела. Движение около
неподвижной точки. Гироскопические явления

§ 1.	Общие соображения о движении твердого тела около неподвиж-
ной точки или около центра тяжести............................. 70

§ 2.	Быстрое вращение твердого тела и элементарные гироскопиче-
ские явления .................................................. 73

§ 3.	Движение по Пуансо........................................ 82

§ 4.	Вопросы устойчивости движения по Пуансо................... 94

§ 5.	Движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки . .	98

§ 6.	Тяжелый гироскоп........................................ 111

§ 7.	Вопросы устойчивости движения тяжелого гироскопа......... 140

§ 8.	Стереонодальные и натуральные уравнения и приложения ....	148

§ 9.	Случай С. В. Ковалевской и другие исследования преимуще-
ственно аналитического характера ............................. 165
Глава IX

Динамика твердого тела. Движения с качением
Системы твердых тел с внутренними
циклическими движениями

§ 1.	Биллиардный шар........................................................................................................ 184

§ 2.	Круговой тяжелый диск, который может катиться по горизон-
тальной плоскости. Твердое тело гироскопической структуры
с круговым	основанием.................................... 193

§ 3.	Тяжелое тело, ограниченное поверхностью вращения, на гори-
зонтальной	плоскости..................................... 208

§ 4.	Гиростаты.	Установившиеся циклические движения........................................................................  219

Упражнения.................................................................................................................. 226

Глава X

Канонические уравнения

§ 1.	Гамильтонова’форма лагранжевых систем................................................................................. 239

§ 2.	Канонические преобразования........................................................................................  251

§ 3.	Интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений 268

§ 4.	Инвариантные соотношения.............................................................................................. 278

§ 5.	Интегральные инварианты............................................................................................... 289

§ 6.	Метод интегрирования Гамильтона — Якоби............................................................................. 296

§	7.	Понижение	порядка	при	наличии известных интегралов...	308

§	8.	Примеры............................................................................................................. 315

§ 9.	Определение частных решений, если известны первые интегралы
или инвариантные	соотношения................................. 323

§ 10.	Примеры............................................................................................................... 328

§11.	Интегрирование уравнений Гамильтона — Якоби посредством раз-
деления переменных........................................... 338

§ 12.	Движение точки, притягиваемой неподвижным центром по
закону Ньютона. Переменные	Кеплера....................... 346

§ 13.	Основная теорема теории возмущений.................................................................................... 356

Упражнения.................................................................................................................. 364

Глава XI

Общие принципы

§	1.	Принцип наименьшего принуждения или наименьшего усилия

Г аусса................................................................................................................ 387

§	2.	Принцип прямейшего пути Герца’. 393

§	3.	Принцип Гамильтона. 396

§ 4.	Вариационная формула Гёльдера. Принцип стационарного дей-
ствия ....................................................... 406

§	5.	Распространение вариационных принципов на общие лагранжевы

системы................................................................................................................ 421

§	6.	Варьированные движения между варьированными пределами . .	436

§	7.	Обобщение принципа Гамильтона, принадлежащее Гельмгольцу	452

Упражнения.................................................................................................................  454
Гл ава XII

Теория удара

§ 1.	Основные уравнения. Удар в элементарном случае........... 462

§ 2.	Приложение к твердым телам. Баллистический маятник ....	472

§ 3.	Общая теория удара без трения........................... 483

§ 4.	Понятие об ударе с трением.............................   492

§ 5.	Общие теоремы импульсивного движения..................... 499

§ 6.	Теорема Вольтерра........................................ 512

Упражнения................................'.................... 516

Примечания редактора........................................... 536

Именной и предметный указатель................................  544
Редактор Д. В. Гермогенов
Технический редактор Е. С, Герасимова
Корректор Д. Ф. Рыбалъченко

Сдано в производство 7/Ш 1951 г.

Подписано к печати 10/V 1951 г.

А04231. Бумага 60 х 92Vie — 17,4 бум. л.

34«8 печ. л. Уч.-издат. л. 42,4.

Изд. >6 1/1160. Цена 34 р. 80 к.

Зак. 2368.

4-я типография им. Евг. Соколовой
Главполиграфиздата при Совете
Министров СССР,
Ленинград, Измайловский пр., 29.