Text
                    SUPERSONIC FLOW and SHOCK WAVES
R. COURANT AND К. О. FRIEDRICHS
NEW YORK
1948


Р. КУРАНТ и К. ФРИДРИХС СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ и УДАРНЫЕ ВОЛНЫ Перевод с английского А. С. КОМПАНЕЙЦА 1950 ИЗДАТ ЕЛ ЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва
АННОТАЦИЯ В книге рассматриваются основные вопросы дина- динамики сжимаемой жидкости. Главным содержанием кни- книги является теория нелинейного распространения волн вообще и применительно к задачам газовой динамики в частности. Книга содержит как классические, так и некоторые современные результаты, полученные в этой области за рубежом и особенно в США. Книга рассчитана на механиков — специалистов по газовой динамике, студентов старших курсов универ- университетов и аспирантов, специализирующихся в данной области, а также на физиков, химиков и инженеров, занимающихся теоретическими и прикладными вопро- вопросами, связанными с проблемами, рассматриваемыми в книге (теория горения, взрывы и т. д.).
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Книга Р. Куранта и К. Фридрихса „Сверхзвуковое течение и ударные волны" представляет собой одну из многих книг> вышедших после войны, в которых делается попытка изложе- изложения, с единой точки зрения, если не всего, то во всяком случае более или менее значительной части накопившегося в последнее время материала по газовой динамике. Авторы книги — математики, привлеченные во время войны военными организациями США к исследовательской работе по газовой динамике. Это накладывает свой отпечаток на весь стиль из- изложения, а также на подбор материала в книге. При рассмот- рассмотрении того или иного вопроса тщательно оговариваются все математические ограничения, приводящие к данной постановке задачи, в то время как существо физических гипотез, позво- позволяющих делать эти математические упрощения, подчас не разъясняется совсем или упоминается лишь вскользь. Кроме того в книге рассмотрены главным образом задачи, решение которых может быть сведено к решению систем диф- дифференциальных уравнений в частных производных гиперболи- гиперболического типа. Другие вопросы или не излагаются вовсе, или излагаются очень кратко, лишь качественно, без серьезного анализа возможности и методов решения. По признанию самих авторов, при написании книги они использовали главным обра- образом работы ученых, с которыми они находились в непосред- непосредственном контакте. Большая часть цитируемой литературы при- принадлежит английским и американским авторам. Большое число ссылок относится к неопубликованным отчетам, выполненным по заказам различных военных ведомств США. В то же время даже фундаментальные работы советских ученых освещены в книге совершенно недостаточно. К вопросам приоритета в решении тех или иных задач газовой динамики авторы книги подходят крайне тенденциозно. Приоритет советских научных работни- работников в разрешении важнейших вопросов или просто замалчи- замалчивается, или несправедливо приписывается иностранным ученым (в особенности сотрудникам, с которыми авторы непосредст- непосредственно соприкасались при своей работе; им приписывается под- подчас приоритет даже в вопросах, решение которых было дано
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ еще в классических работах конца прошлого столетия). В связи с такой односторонностью книги как в области выбора мате- материала, так и в области освещения истории решения тех или иных проблем газовой динамики необходимо сделать хотя бы краткие предварительные замечания. В газовой динамике, как и во всякой области науки, имею- имеющей прикладной характер, математический аппарат не позво- позволяет решить любую задачу в наиболее общей ее постановке. Невозможность решения общей задачи о движении сжимае- сжимаемой жидкости или газа, как всегда, привела к тому, что ис- исследования начали проводиться в более частных случаях, выделяемых дополнительными предположениями. Эти дополни- дополнительные предположения обычно вытекали из самой постановки необходимых для практики задач. Таким образом, газовая дина- динамика разбилась на ряд отделов, для каждого из которых харак- характерны свои задачи, свои особые предположения, свои методы качественного и численного исследования. Наиболее близкими к аэромеханике несжимаемой жидкости являются вопросы движения газа и обтекания тел при боль* ших дозвуковых скоростях. Общие закономерности течения еще близки к закономерностям в соответствующих задачах для несжимаемой жидкости. Однако методы исследования, приме- няемые к движению несжимаемой жидкости, здесь теряют свою силу. Заслуга создания новых методов исследования принад- принадлежит выдающемуся русскому аэромеханику С. А. Чаплыгину, который еще в 1902 г. в своем классическом труде „О газовых струях" впервые решил ряд задач о движении сжимаемого газа. Разработанные Чаплыгиным методы и до сих пор не по- потеряли своего значения. На них опирается большое количество исследований, проводящихся как в Советском Союзе, так и за границей. Следует отметить, что ведущая роль в дальнейшей разработке метода Чаплыгина и в решении задач о движении газа с большими дозвуковыми скоростями принадлежит совет- советским ученым. Исходя из метода Чаплыгина, С. А. Христиано- вич решил в 1940 г. задачу обтекания (как с циркуляцией, так и без нее) произвольного контура потенциальным потоком газа, движущимся с дозвуковой скоростью. Первое приближение, даваемое методом Христиановича, пригодное в том случае, когда скорости газа на профиле нигде не подходят вплотную к скорости звука, позволяет быстрее делать необходимые расчеты; второе приближение дает воз- возможность уточнять расчеты, если скорости на профиле вплот- вплотную подходят к скорости звука. Многие работы, появившиеся позднее за границей, посвященные развитию метода Чаплыгина, по существу ограничивались исследованиями в объеме первого приближения по методу Христиановича.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ В книге вопрос о движении газа с дозвуковыми скоростями почти не освещается, так как уравнения движения газа в этом случае относятся к уравнениям эллиптического типа. А как уже было отмечено выше, такие уравнения авторами совер- совершенно не рассматриваются. Но их следовало бы рассмотреть, так как в книге имеются упоминания об этом вопросе, причем не делается должных ссылок на работы русских и советских ученых. Качественно отличным от обтекания тел несжимаемой жидкостью является обтекание тел сжимаемой жидкостью или газом со скоростью, превышающей скорость звука. При пере- переходе через скорость звука сами дифференциальные уравнения, описывающие движение газа, меняют свой характер, преобра- преобразуясь из уравнений эллиптического типа в дозвуковой области к уравнениям гиперболического типа в сверхзвуковой. Естест- Естественно поэтому, что методы исследования таких течений тесно связаны с характеристиками. В книге Куранта и Фридрихса подробно разобрано, как самое понятие характеристик и харак- характеристических уравнений, так и исследование при помощи характеристик ряда простейших задач на плоские сверхзвуко- сверхзвуковые течения сжимаемой жидкости. Хорошо изложен вопрос об области единственности решения. Рассматривается проблема существования решения без ударных волн, т. е. решения, при котором не пересекаются характеристики одного семейства {нет предельных линий). Но при рассмотрении вопроса о воз- возникновении предельных линий авторы не излагают результа- результатов важной работы Христиановича. В этой работе, исследуя плоские безвихревые движения газа, он изучает характеристики в плоскости потенциала скоростей и функции тока и выясняет условия разрушения потенциального движения, т. е. условия, при выполнении которых могут появляться в потоке предель- предельные линии. С этой точки зрения дается классификация сверхзвуковых движений газа. В книге не достаточно ясно указано, что излагаемый метод решения задач применим только для безвихревых потоков. Но известно, что при сверхзвуковом обтекании крыльев перед крылом образуется криволинейная ударная волна, за кото- которой течение оказывается вихревым. Таким образом, излагае- излагаемый метод оказывается непригодным в наиболее интересных случаях. К сожалению, авторы не дают метода численного рас- расчета с помощью характеристик, впервые разработанного совет- советским ученым Ф. И. Франклем еще в тридцатых годах, кото- который пригоден для изучения вихревого движения. Другой метод решения задач о сверхзвуковом обтекании тел основан на разложении искомых функций в ряды по ма- малым параметрам. В книге подробно изложен вывод первого
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ приближения, получаемого этим способом. Но и здесь авторы только упоминают исследование А. Е. Донова по этому вопросу. Между тем третье и четвертое приближения, данные До- новым, не просто уточняют известные до этого результаты, а являются принципиально новыми, поскольку только эти при- приближения учитывают криволинейность ударной волны, обра- образующейся перед обтекаемым телом, и завихренность потока после ударной волны. Наконец, Христианович предложил в 1947 г. новый метод решения всех основных задач сверхзву- сверхзвуковой газовой динамики. Принимая в качестве независимых переменных угол наклона скорости и некоторую функцию от величины скорости, а в качестве искомых функций — потенциал скорости и функцию тока, Христианович с большой степенью точности сводит общие уравнения безвихревой плоской сверх- сверхзвуковой задачи газовой динамики к уравнению Дарбу и ин- интегрирует его в замкнутом виде. Эта интересная работа Хри- стиановича в книге даже не упоминается. Совершенно не разобраны в книге методы решения задач о пространственном (не осесимметричном) обтекании тонких тел, хотя пространственное обтекание тел сверхзвуковым по- потоком непосредственно связано с разбираемыми задачами. Не- Необходимо указать поэтому хотя бы на работы Е. А. Красиль- щиковой, которой принадлежат наиболее общие результаты в решении пространственной задачи. Ею исследован до конца как случай стационарного движения, так и случай колеблю- колеблющегося и меняющего свою форму крыла. Результаты Кра- сильщиковой следовало осветить, тем более что ей удалось получить строгое решение задачи в замкнутом виде - в квадра- квадратурах. Из пространственных сверхзвуковых движений газа в книге рассматривается только обтекание осесимметричных тел. Каса- Касаясь истории вопроса об обтекании осесимметричных тел, отме- отметим, что первое решение сверхзвуковой осесимметричной задачи с помощью метода характеристик принадлежит Франклю A934). Им были построены принципиально новые графические методы исследования, в частности изобретен графический метод построе- построения характеристик в плоскости годографа, так как при осесим- метричйом обтекании тел даже в безвихревом случае не существует интегрируемой комбинации для характеристик. В работе Франкля дан простой и эффективный способ расчета распределения давления по телу. В 1934 г. чл.-корр. АН СССР И. А. Кибель обобщил осесимметрическое решение на случай вихревого движения. Более поздний метод Буземана .точного решения некоторых задач о конических течениях является фактически примене- применением к этому типу задач преобразования Чаплыгина. Фунда-
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ ментальная разработка математических методов, применяемых к решению задач о конических течениях, была проделана советскими математиками акад. С. Л. Соболевым и акад. В, И. Смирновым. Наиболее интересные газодинамические при- приложения получены в задачах о конических течениях советским механиком М. И. Гуревичем, который первым решил задачу о сверхзвуковом движении стреловидного крыла. Из работ со- советских авторов следует упомянуть еще о работе С. В. Фаль- ковича. В ней решение задачи о сверхзвуковом обтекании трапецевидного крыла сведено к интегральному уравнению, решение которого получено в элементарных функциях. К задачам о сверхзвуковых двумерных течениях относятся также вопросы взаимодействия косых ударных волн. В послед- последнее время этим вопросам посвящено много работ. Один из наи- наиболее ранних и полных качественных анализов всех возможных вариантов движения, возникающего в результате взаимодейст- вия ударных волн, имеется в книге Л. Д. ЛанДау и Е. М. Лиф- шица „Механика сплошных сред" (Гостехиздат, М., 1944). В книге Куранта и Фридрихса дается, кроме того, подробный анализ течения при образовании около стенки так называемых „вилкообразного*4 и „мостообразного" скачков. Однако авторы, ограничились только качественным анализом этих случаев, не дав изложения возможных методов точного расчета подобных конфигураций. Совершенно не разобран вопрос о том, какая* конфигурация возникнет в том или ином конкретном случае. Возможно, что с той точки зрения, с которой подходят авторы к решению — с точки зрения анализа уже готовых уравне- уравнений, — этот вопрос и не может быть решен. Для его решения необходимы дополнительные условия, которые могут быть взяты лишь из анализа физических условий, при которых возникает тот или иной тип пересечения ударных волн. Между тем, как уже отмечалось выше, авторы совершенно не рассматривают физических гипотез, приводящих к постановке задачи. К задачам о сверхзвуковом обтекании тел тесно примыкают вопросы течения газа в соплах и струях. В книге эти вопросы кратко рассмотрены в пятой главе. По существу, авторы дают только самые элементарные сведения, относящиеся к этой интересной проблеме. К сожалению, совершенно не освещаются фундаментальные работы советских ученых Франкля, Христиа- новича, Фальковича и других, посвященные теории сопел (хотя на работу Франкля и имеется косвенная ссылка). Вопрос об околозвуковых течениях и переходе через ско- скорость звука только затрагивается. В книге лишь упоминается, но, к сожалению, не дается изложение интересных работ Франкля по околозвуковым течениям. Франкль использовал ряды, аналогичные тем, которые применял Чаплыгин при
10 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ решении задачи о струе, вытекающей в пространство, в кото- котором давление меньше критического. Он не только исследовал уравнения, но и дал практический способ построения решения. Им же решена задача об обтекании клина сверхзвуковым по- потоком в том случае, когда после ударной волны, возникающей перед клином, образуется дозвуковая зона. Нет также изложения результатов Христиановича, кото- который первым рассмотрел вопрос о переходе через скорость звука с точки зрения общих решений уравнений газовой ди- динамики и дал приближенные уравнения, годные для околозву- околозвуковых (как до-, так и сверхзвуковых) течений. В результате рассмотрение вопросов о соплах и струях не представляет сколько нибудь значительного интереса. Следующим крупным разделом газовой динамики является вопрос об изучении неустановившихся движений сжимаемой жидкости. Вопрос этот —один из наиболее сложных, и имею- имеющиеся решения относятся пока главным образом к одномерным неустановившимся движениям. Сюда относится прежде всего изучение простейших неустановившихся движений, взаимодей- взаимодействия волн разрежения и ударных волн, вопросы распростра- распространения фронта пламени, волн детонации, взрывных волн и т. п. В книге этим задачам посвящена вся третья глава. Изло- Изложение является достаточно полным. Несомненным достоин- достоинством этой книги является собрание воедино материалов по газовой динамике горения и детонации. Разработка этих во- вопросов была начата еще в конце прошлого века. Авторы дают краткую историю развития представлений об ударных волнах и делают ссылки в тексте на работы, в которых уточнялись основные понятия, относящиеся к рассматриваемым задачам. Однако в этой главе совершенно замалчиваются общеизвестные работы советских ученых, а приоритет в разработке многих вопросов совершенно неосновательно приписывается сотрудни- сотрудникам авторов. По истории рассматриваемых задач следует от- отметить прежде всего, что условия возможности ударной волны впервые были изучены еще Жуге в начале этого столетия, а не Бете и Вейлем в их работах 1941—1945 гг., как утверждают авторы. Далее Нейману приписывается приоритет в детальном изучении движения, возникающего при распадении произволь- произвольного разрыва в начальных условиях. При этом опять де- делается ссылка на его работы, выполненные в 1941—1945 гг. Между тем еще в 1924 г. на всемирном конгрессе по при- прикладной механике в Дельфте выдающимся советским ученым Н. Е. Кочиным была доложена работа, посвященная теории рас- распадения произвольного разрыва (эта работа была опублико- опубликована в 1926 г.). В этой работе Кочиным был детально и до конца изучен вопрос о движении, возникающем в том случае,
ПРЕДИСЛОВИЕ К ' РУССКОМУ ИЗДАНИЮ \ \ когда в начальном распределении параметров газа имеется раз- разрыв, причем параметры по обе стороны разрыва не подчиняются условиям сохранения массы, количества движения и энергии. В работе дан также метод расчета возникающего движения, который не раз впоследствии излагался в литературе (напри- (например, в „Механике сплошных сред" Ландау и Лифшица). В этой же работе Кочиным решена и более общая задача. Им впер- впервые исследованы условия динамической совместности движе- движений с произвольным разрывом в вязкой и теплопроводной сжимаемой жидкости, а также найдено уравнение, из которого может быть определена скорость распространения разрыва и исследовано поведение корней этого уравнения. Все эти цен- ценные результаты не только не излагаются в книге, но нет даже ссылки на эту фундаментальную работу Кочина. Отсутствуют также ссылки на работы советских ученых Л. Д. Ландау и К. П. Станюковича, которым принадлежит при- приоритет в решении многих задач о взаимодействии элементарных волн в различных случаях. Не приходится и говорить о том, что как полнота, так и глубина изложения значительно теряют от того, что не приведены многие интересные результаты этих авторов. Еще несколько замечаний следует сделать о развитии пред- представлений о детонационной волне и скорости ее распростране- распространения. Еще Чепменом было экспериментально установлено, что детонационная волна распространяется в обычных условиях с вполне определенной скоростью, зависящей только от началь- начального состояния и состава смеси. (При этом скорость волны детонации относительно продуктов реакции равна местной ско- скорости звука.) В работах ряда ученых было показано, что в условиях реального опыта не может быть режимов детона- детонации, при которых скорость фронта относительно продуктов детонации была бы дозвуковой. Однако попытки доказать, что не могут осуществляться также режимы детонации, при кото- которых скорость фронта относительно продуктов детонации сверх- сверхзвуковая, долгое время не могли увенчаться успехом. Этот вопрос получил свое разрешение только в 1940 г. в работах Я. Б. Зельдовича. Им была глубоко и всесторонне развита теория детонацион- детонационной волны. Детально рассмотрев структуру фронта детона- детонационной волны и процессы, происходящие в нем, Зельдо- Зельдович впервые объяснил и строго доказал определенность* ско- скорости детонации в условиях обычного опыта. Авторы книги не только не делают ссылки на работу Зельдовича, но совер- совершенно необоснованно приписывают приоритет в развитии тео- теории детонации Нейману, ссылаясь при этом на его отчеты, выполненные в 1941—-1945 гг. по заказам военных организаций.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Следует также отметить отсутствие ссылок на известного рус- русского физика В. А. Михельсона, который в своих работах детально изучил процессы горения и детонации и, в част- частности, один из первых показал, что при установившемся процессе горения или детонации различные состояния, в кото- которых может находиться частица газа, проходя через зону реак- реакции,- должна изображаться на диаграмме давление — удельный объем определенной прямой. Не освещаются в книге и много- многочисленные работы по одномерным движениям с горением,, детонацией и произвольным подводом тепла советских ученых Абрамовича, Вулиса, Гриба, Гухмана и других. Нет изложе- изложения весьма интересных работ по детонации Ландау, Станю- Станюковича, Баума и др. (в частности, по детонации жидких и твер- твердых веществ). Из пространственных задач имеются лишь решения задач о неустановившемся движении со сферической и цилиндрической симметрией. В последнее десятилетие советскими учеными полу- получен ряд интересных решений в этой области. Прежде всего сле- следует отметить работу Л. И. Седова. Им в 1945 г. были впервые исследованы в общем виде все возможные автомодельные дви- движения со сферической и цилиндрической симметрией и дано решение многих конкретных задач (о сферическом и цилин- цилиндрическом поршне, о сходящихся и расходящихся потоках и других). Ряд задач об автомодельных движениях был решен Ландау и Станюковичем. Совершенно неверно авторы книги указывают, что задача о сферическом поршне была решена Тэйлором, якобы впервые, в 1947 г. Следует также заме- заметить, чта изложение вопроса об автомодельных движениях носит в книге несколько абстрактный математический харак- характер, т. е. просто ищется решение уравнений газовой динамики в определенном виде, в то время как в работах Седова на основании физических соображений строго показано, что реше- решение рассматриваемых задач обязательно должно иметь такой вид, и даны строгие критерии, по которым заранее можно определить, будет ли решение задачи автомодельным или нет. При изложении сферической детонации нет ссылки на ра- работу Зельдовича, который одним из первых дал в .1942 г. строгое решение этой задачи. Также нет ссылок на работы советских ученых при изложении задачи о сильном взрыве. В разное время был сделан ряд опытов численного решения этой задачи. Но точное решение было получено только в 1946 г. Седовым. В книге не излагается решение Седова (оно было дано им в виде конечных формул) и не делается ссылки на его работу. Кроме газовой динамики, в книге кратко излагается вопрос об упругопластических волнах в твердых телах, описываемых
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 13 уравнениями того же вида, что и уравнения газовой динамики. Как и в других отделах, совершенно отсутствуют ссылки даже на крупные работы советских ученых (X. А. Рахматулина и др.). В целом книга Р. Куранта и К- Фридрихса „Сверхзвуковое течение и ударные волны" несомненно представляет известный интерес для советского читателя, так как в ней собран и ме- методически хорошо изложен обширный материал по ряду во- вопросов газовой динамики. Однако при чтении книги следует иметь в виду указанную выше односторонность в освещении как научных работ, так и истории решения тех или иных задач. В связи с этим редакция сочла необходимым в конце данной авторами библиографии привести список хотя бы основных учебных и монографических книг по газовой динамике, при- принадлежащих советским авторам, в которых читатель может найти более полное изложение отдельных вопросов, а также необходимые подробные библиографические ссылки на работы советских ученых. Редакция.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ Настоящая книга возникла из доклада, изданного в 1944 г. при поддержке Службы научных исследований. Много мате- материала было прибавлено, и первоначальный текст был почти целиком переписан заново. В книге рассматриваются основные понятия динамики сжимаемой жидкости в математической форме; она является попыткой систематического построения теории нелинейного распространения волн, в частности приме- применительно к газовой динамике. Написанная в виде учебника повышенного типа, она касается как классических, так и неко- некоторых современных результатов и, как надеются авторы, отражает известный прогресс в рассматриваемой области знания. С другой стороны, не делалось попыток охватить все, что известно о нелинейном распространении волн, или дать сводку результатов в таком виде, чтобы можно было пользоваться ими как рецептами при решении конкретных технических задач. Книга написана математиками, пытавшимися рационально подойти к увлекательному миру физической действительности и стремившимися к компромиссу с эмпирическим подходом. Авторы полагают, что она будет полезна инженерам, физикам, а также и математикам и что последним она не будет казаться слишком перегруженной физическими предположениями, а пер- первым— слишком математической. Динамика сжимаемой жидкости, как и другие предметы, где решающую роль играет нелинейность основных уравне- уравнений, далека от того совершенства, которое было указана Лапласом как цель физической теории. Классическая механика и математическая физика предсказывают явления на основе общих дифференциальных уравнений и специальных граничных и начальных условий. В противоположность этому, предмет настоящей книги весьма далек от таких требований. Важные области газовой динамики сосредоточены около задач частного типа, и общие черты связанной с ними теории не всегда ясно различимы. Тем не менее, авторы пытались развивать и под- подчеркивать, насколько возможно, такие общие точки зрения,. й они надеются, что их усилия будут способствовать дальней- яшм успехам в этом направлении.
16 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ В области, привлекавшей в последнее время так много ис- исследователей и где столь много интересного с практической и теоретической точки зрения, авторы не сочли возможным дать всесторонний обзор; вместо этого они следовали по пути, указанному во многом их личными интересами и опытом. Имена ученых, с которыми им пришлось быть в тесном кон- контакте, встречаются часто; имена других могут быть и пропу- пропущены. Не могли быть справедливо оценены достоинства многих современных работ. Это, в частности, касается большого числа изданных во время войны различными учреждениями отчетов, к которым еще нет свободного доступа. Чтобы избежать дальнейшей задержки, авторы решили выпустить книгу без лолного обзора литературы.
Глава I СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Сильные возмущения, какие возникают, например, при де- детонации взрывчатых веществ, при истечении через сопла ракет, при сверхзвуковом полете снарядов или при соударении твер- твердых тел, значительно отличаются от „линейных" явлений звука, света или электромагнитных сигналов. В противоположность этим' последним, распространение сильных возмущений под- подчиняется нелинейным дифференциальным уравнениям, и поэтому привычные законы суперпозиции, отражения и преломления те- теряют силу; больше того, возникают новые особенности, из ко- которых наиболее замечательно появление ударных волн. Во фронте ударной волны вещество претерпевает внезапное и часто очень значительное изменение скорости, давления и темпера- температуры. Если даже движение вначале совершенно непрерывно, впоследствии автоматически могут возникнуть ударные раз- разрывы. При других условиях может произойти противополож- противоположное явление: начальный разрыв может немедленно сгладиться. Обе эти возможности существенно связаны с нелинейностью уравнений. В природе встречается множество нелинейных волновых явлений не только при течении сжимаемых жидкостей, но и во многих других практически интересных случаях. Одним при- примером, весьма отличным от только что упоминавшихся, является катастрофическое нарастание давки в охваченной паникой толпе, протискивающейся через узкий выход или другое пре- препятствие. Если скорость толпы больше, чем скорость передачи пре- предостережения назад, то возникает волна давления, во многом подобная той, которая получается в отраженной от стенки ударной волне. Родственные явления, такие, как затор на транспорте, вызываются сходными причинами. В этой книге, однако, мы будем заниматься прежде всего теорией сжимае- сжимаемых жидкостей. Важность изучения нелинейных волновых движений совер- совершенно очевидна. В течение периода, начавшегося почти сто лет назад, Стоке, Ирншоу, Риман, Рэнкин, Гюгонио, Рэлей и позднее Адамар сомгшьп^няхяжде труды, относящиеся
18 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ к этой области исследований*). Ею занималась в основном не- небольшая группа талантливых людей: инженеров и механиков. В течение последних немногих лет, однако, когда барьер между чистым и прикладным знанием был преодолен, возник широ- широкий интерес к нелинейным волновым движениям, в частности к ударным волнам и волнам расширения. Цель настоящей книги — сделать более доступной ма+ема- тическую теорию нелинейных волн, уделяя особое внимание некоторым современным достижениям1^ § 1. Качественные различия между линейными и нелинейными волнами Свойства нелинейного волнового движения характеризуются несколькими отличительными чертами. В линейном волновом движении, как, например, в распространении звука, возмуще- возмущения всегда передаются с определенной скоростью (относительно среды), которая может меняться внутри среды. Эта скорость звука является локальным свойством самой среды и остается одинаковой для любого возможного линейного волнового дви- движения в среде. Такая скорость звука имеет значение и для нелинейного волнового движения. Слабые возмущения или „не- „небольшие волны", слегка изменяющие данное первичное вол- волновое движение, распространяются с определенной скоростью, которая тоже называется скоростью звука, хотя в этом слу- случае скорость звука зависит не только от положения в среде, но и от состояния, в которое среда приведена первичным дви- движением. Отличительной чертой нелинейных волн, однако, являются возмущения и разрывы, которые не обязательно малы. В ли- линейном волновом движении каждая начальная поверхность разрыва сохраняется как разрыв и распространяется со ско- скоростью звука. Нелинейное волновое движение выглядит иначе. Предположим, что имеется начальный разрыв между двумя областями различного давления, плотности и скорости течения. Тогда имеются две взаимно исключающиеся возможности: или начальный разрыв немедленно распадается и возмущение, распространяясь, станет непрерывным, или начальный разрыв будет распространяться в виде одной или двух ударных волн, *) Материал, изложенный в книге, гораздо шире тех вопросов, которыми занимались указываемые авторы. В этой связи следует указать, что Курант и Фридрихе обходят имя С. А. Чаплыгина, который своим классическим трудом „О газовых струях" заложил основы целому ряду разделов газовой динамики. (Прим. ред.) !) Теория движения сжимаемых жидкостей изложена в [3, 4, 5], другой подход дан у Зауэра [6] и Липм$2а й-Пэккета J7J.
§ 2. СРЕДА )9 движущихся не со звуковой, а со сверхзвуковой скоростью относительно среды, расположенной впереди них. Как уже упоминалось, ударные волны суть наиболее замечательные явления, возникающие при нелинейном распространении волн; они могут возникнуть и распространяться даже не будучи вызваны начальным разрывом. Это отвечает тому математиче- математическому факту, что в отличие от линейных дифференциальных уравнений нелинейные часто не допускают решений, которые могут быть непрерывно продолжены в те области, где сами уравнения остаются регулярными. Другое резкое различие между линейными и нелинейными волнами состоит в явлении взаимодействия: принцип супер- суперпозиции справедлив для линейных волн и несправедлив для нелинейных. Например, избыточные давления при интерфе- интерференции звуковых волн получаются путем сложения, в проти- противоположность этому взаимодействие и отражение нелинейных волн может повести к огромному возрастанию давления. А. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ § 2. Среда Вначале мы будем заниматься движущейся жидкостью, хотя многое из того, что получится, относится и к другим движу- движущимся средам (например, к твердой пластинке в продольном волновом движении). В этом параграфе мы охарактеризуем те свойства, которые будут приписываться среде во всей книге, и опишем некоторые идеализированные среды, представляющие особый интерес. Кроме того, так как газовая динамика тесно переплетается с термодинамическими понятиями, естественно привести здесь основные термодинамические обозначения в со- соответствующей математической форме 1\ За исключением тех случаев, когда движение разрывно, вяз- вязкостью, теплопроводностью и отклонением среды от термодина- термодинамического равновесия (в каждый момент и в каждой точке) можно пренебречь. В последующих главах будут сделаны неко- некоторые критические замечания по этому поводу. В частности, будет показано, что вязкость и теплопроводность играют важ- важную роль в образовании и поддержании ударных разрывов. В каждый момент и в каждой точке жидкость находится в некотором состоянии термодинамического равновесия, опре- определяемого давлением р, температурой Г, удельным объе- 1) Из руководств по термодинамике см. Земанский [21] и Э п- 1тейн [201.
20 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ t мом 1 (т. е. объемом единицы массы), плотностью р, причем рт = 1» удельной энтропией S, удельной (внутренней) энергией е и удельной энтальпией ix), определяемой как ? = ?~}-Рт- Из термодинамики известно, что для каждой данной среды неза- независимы только два из параметров р, Т, х, е и S. Величины р, Т и е можно рассматривать как функции % и S. Внутренняя энергия, приобретенная средой при переходе из одного состояния в другое, равна сумме переданного ей коли- количества тепла и работы, произведенной над ней силами давле- давления. Таким образом, при переходе в бесконечно близкое со- состояние имеет место соотношение de^TdS — pdi. B.01) При обратимом процессе TdS есть тепло, сообщенное тепло- теплопроводностью; при необратимом процессе TdS больше, чем переданное таким путем тепло. Если необратимый процесс можно рассматривать как действие вязкости, то избыток TdS над количеством тепла, переданным теплопроводностью, удобно интерпретировать как тепло, произведенное вязкими силами. Предположим, что для некоторой среды нам известно, как удельная энергия е зависит от х и 5. Тогда давление р и тем- температура Т могут быть непосредственно найдены из соотно- соотношения B.01). Именно Р = — ех, T^es, B.02) где индексы означают частные производные 2). Функции, дающие р в зависимости от р или т и 5, часто встречающиеся в теории течения жидкостей, соответственно будут обозначаться: р=/(р, s); p = g(*> S)- B.оз) Несколько обобщая принятую терминологию, мы назовем каж- каждое из этих уравнений калорическим уравнением состояния среды. Пренебречь вязкостью и теплопроводностью — все равно, что предположить удельную энтропию частицы жидкости постоян- постоянной при движении, т. е. считать изменение состояния жидкости адиабатическим. Поэтому нас часто будут интересовать функ- функции /(р, S) и ?(т, 5), рассматриваемые в зависимости только от р и : соответственно, при фиксированной удельной этропии; в некоторых случаях мы будем их обозначать сокращенно ]) Понятие энтальпии будет обсуждено в § 9. У Почти везде в этой книге частные производные будут обозначаться индексом.
§ 2. СРЕДА 21 /(р) и ё(х)- Уравнение р=/(р) — g(*) будет тогда называться адиабатическим уравнением. Слово изэнтропическое, быть может, точнее, чем адиаба- адиабатическое. Если, например, нет теплопроводности, но есть вязкость, изменение состояния будет адиабатическим, так как частица не обменивается теплом, но не изэнтропическим, так как энтропия частицы, вообще говоря, возрастает. Но мы бу- будем употреблять термин изэнтропияеский в другом смысле, считая энтропию постоянной по всей среде. Фундаментальным свойством всех действительно существую- существующих сред является то, что при постоянной энтропии давлений возрастает при возрастании плотности (или уменьшении удель^ ного объема), т. е. /р(Р, S)>0; #х(т, 5)<0, B.04) кроме предельного случая р = 0, когда и / = 0. Благодаря неравенствам B.04) мы можем определить положительную ве-г личину с, имеющую размерность скорости, как с* = 3? =/р О»' S>> 9*с* = - g, (x, S). ¦ B.05), Величина с называется скоростью звука; смысл этого назва- названия будет ясен из § 35, гл. II; величина рс часто называется, акустическим импеданцем. Для каждого заданного значения S функция ^(т, S) вообще выпукла книзу. Поэтому мы примем во всей этой книге, если не оговорено противоположное, что ?«(*. S)>0. B.06) Полезно заметить, что вместе с B.04) неравенство / (р, S) > 0 заключает в себе B.06). Мы сделаем дополнительное предположение, что при по- постоянном удельном объеме давление возрастает с энтропией, так что gs(*> S)>0. B.07) Из уравнения B.02) видно, что это предположение равнозначно тому, что при постоянной энтропии температура возрастает при возрастании плотности. Для газов, плотность которых может приблизиться к нулю, мы сделаем дополнительное предположение е->0, т/?->0, Т->0, с-+0 при р->0. B.08)
22 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Теорию нелинейных волновых движений можно продол- продолжить без дальнейших предположений о среде. Есть, однако, различные среды, представляющие специальный физический интерес, которые будут описаны в § 3—6 (несколько более де- детально, чем это необходимо для дальнейшей математической трактовки). § 3. Идеальные газы, политропические газы и среды с разделяемой энергией Практически во всех приложениях теории к газам можно считать, что наша среда есть идеальный газ, подчиняющийся законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, т. е. имеет место следующее уравнение состояния: pz = RT. C.01) Постоянная R здесь равна универсальной газовой постоян- постоянной /?0, деленной на эффективный молекулярный вес данного газа. Внутренняя энергия идеального газа зйвисит только от температуры (см. § 4). Если, в частности, внутренняя энер- энергия просто пропорциональна температуре Г, то газ называется политропическим. Для таких газов можно написать e-cvT9 C.02) где постоянная cv есть удельная теплоемкость при постоянном объеме. Предположение, что газ политропичен, делается в боль- большинстве приложений теории; вместе с C.01) оно приводит к энтропическому уравнению состояния Р-/(Р, S) = i4pT. C.03) где коэффициент А зависит от энтропии S, а показатель ади- адиабаты f — постоянная, заключенная между 1 и 6/з для наибо- наиболее часто встречающихся сред. При умеренных температурах воздух можно считать политропическим с ^ = 1#4. Равнозначность C.02) и C.03) будет показгша w § 4; Здесь /? /? мы упомянем, что cv равно , так e=s I p% C.04) ?(S-S0) C.05) с надлежащей постоявши 50.
§ X ПОЛИТРОПИЧЕСКИЕ ГАЗЫ И СРЕДЫ С РАЗДЕЛЯЕМОЙ ЭНЕРГИЕЙ 23 Согласно B.05) и C.03) скорость звука в политропическом |азе удовлетворяет простым соотношениям ^ = Т24рТ-1 = ТР': = т/?7. C.06) Для дальнейших ссылок мы отметим, что для политропиче- политропических газов имеют место равенства: ^ ^- о^1), C.07) 1* \ C.08) р==Лр1 = Лт^. C.09) Из C.09) непосредственно следует, что политропический газ удовлетворяет условиям монотонности и выпуклости B.04) и B.06). Выраженная через рит энергия дается равенством C.04), температура — C.01), а энтропия находится из равенства (ЗЛО) которое следует из C.05) и C.09). Следует отметить зависимость давления газов от удельной энтропии. Однако в некоторых случаях, в частности, если среда жидкая, влиянием изменений энтропии можно пренебречь, рас- рассматривая р только как функцию объема (или плотности). Тогда энтропическое уравнение состояния принимает вид р=/(р) или p=g(*) C.11) и, как следствие B.01) и B.02), {1) ®(8). C.12) И наоборот, если энергия разделяется на сумму двух таких функций, как в уравнении C.12), то выполняется C.11). Следовательно, условие, что Т зависит только от S, равно- равнозначно раздедяемости, энергии. Важнейшим примером сред с разделяемой в первом при- приближении энергией является вода. Калорическое уравнение состояния воды имеет сходство с уравнением для идеального газа:
24 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ где р0 —плотность при 0°С, а Л, В и y практически не зави- зависят от энтропии. Значения основных величин для воДы: 7 = 7, В == 3000 а/тш, Л = 3001 аяш. § 4. Математическое рассмотрение идеальных газов Имеет смысл показать в общем виде, хотя это не суще- существенно для дальнейших разделов, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, и уста- установить соотношение между этой функцией и энтропическим уравнением состояния. Подставив из C.01) значение Г== — в B.02), мы получим для любого идеального газа уравнение в частных производных для е Res+te^ = 0, D.01) общее решение которого есть е = *(тН), D.02) где /г — произвольная функция, а Н = ехр(—S/#). D.03) Поэтому энтропическое уравнение состояния имеет вид р = - е= _ w (т Н) Н = —А' ( p-'H) H, D.04) где h! — производная от А. Из D.04) следует, Что условия монотонности и выпуклости B.04) и B.06) для идеального газа соответственно эквивалентны условиям, что вторая про- производная h положительна и третья производная /г отрица- отрицательна: ; А"'(*Н)<0. D.05) Температура идеального газа дается равенством Г = ^ = --1-А'(*Н)<сН. D.06) Уравнение D.06) показывает, что Г, как и е, зависит только от т Н. Для каждой действительной среды Т есть монотонно убывающая функция этой переменной. Поэтому из D.06) можно выразить т Н через Т однозначно и согласно D.02) определить е как функцию Г. Другими -сло- -словами, удельная энергия идеального газа зависит только от температуры.
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 2S Согласно B.05) и D.04) скорость звука в идеальном газе выражается через -с и S как ?2(т, S) = A"(tH)t2H2, D.07) так что скорость звука, как и удельная энергия, зависит только от температуры. Связь скорости звука с энергией и температурой дается уравнением D.08> в котором безразмерная величина ^(Т) введена как удобное сокращенное обозначение для 1 + /?^- Уравнение D.08) легка вывести из D.07), заметив из D.04) и D.06), что ег + /?Гх== = — А"(тН)тН2 и #Г= —?ех. Отметим, что есть „удельная теплоемкость при постоянном объеме" (см. § 9). У политропического газа, т. е. такого газа, у которого е просто пропорциональна Т, как это видно из формулы C.02), функция -[(Г) постоянна. Действительно, по D.08) и C.02) ^l-f-ЯгГ1 D.10) или ^ —/?/(т — 1), как упоминалось выше. Так как cv и R положительны, то 1>1", D.11) а там, где применима элементарная кинетическая теория газовг 1<~. D.12) Подставив D.02) и D.06) в C.02), мы. получим по D.10) D.13) !) Часто, например в теории дозвукового потока (см. [12]), адиабатиче- адиабатическое уравнение р = g (x) апроксимируется уравнением которое не удовлетворяет условию B.06). Помимо аддитивной постоянной, это соотношение между р и т отвечало бы политропическому газу с
26 гл.. i. сжимлс.мьш жидкости Следовательно, присутствие в D.14) постоянной Но связано с тем, что удель- удельная энтропия определена с точностью до произвольной посто- постоянной. Тогда из уравнения D.04) имеем p^A(S)^\ D.15) где A (S) дается выражением А = A (S) = (т - 1) g-J*- (т- 1) ехр [с;1 (S-~S0)} в согласии с D.02) и C.05). Соотношение D.15) эквивалентно C.03). Таким образом, эта форма калорического уравнения состояния выведена из основного предположения C.02). § 5. Твердые тела, не подчиняющиеся закону Гука В противоположность жидкостям, твердые тела сопротив- сопротивляются сдвигу, так что термодинамическое описание твердого тела (включающее многочисленные компоненты напряжений и давления) гораздо сложнее, чем описание жидкости. Но в продольных волнах, движущихся нормально к поверхности пластинки, скалывающие напряжения не возникают. Здесь мы имеем достаточно хорошую аналогию между упругим телом и жидкостью. Если пренебречь влиянием изменений энтропии, то состояние в некотором сечении пластинки характеризуется двумя переменными р и ~, аналогичными давлению и удельному объему жидкости. Здесь р означает взятое с обратным знаком „техническое напряжение", т. е. проекцию силы на отрицатель- отрицательное направление нормали к сечению пластинки, деленную на начальную площадь сечения недеформированной пластинки, и где т0 — удельный объем нерастянутой пластинки и s— отно- относительное всестороннее растяжение. Для твердых пластинок обычно употребляется энтропическое уравнение состояния, выра- выражаемое законом Гука, который в наших обозначениях выгля- выглядит так: Р = (*.-*)%, E.01) где Е — модуль Юнга. Если применим закон Гука, то движение линейно, или, забегая вперед, в терминах гл. II, можно сказать, что это движение линейно в лагранжевых координатах и нелинейно
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 27 в эйлеровых. Но мы будем специально заниматься твердыми телами, к которым закон Гука неприменим, т. е. телами, под- подчиняющимися более общему калорическому уравнению состоя- состояния, чем уравнение E.01): P = g(*). E.02) Так же как и для жидкостей, мы предположим, что р умень- уменьшается при возрастании т. Предположим, что р как функция % никогда не бывает выпукла в сторону от оси р и что р об- обращается в нуль при т~т0. Эти предположения выражаются формулами ?0 < 0 длят<то, E.03) g" (х) > 0 для т > т0. Согласно этим условиям, твердое тело подчиняется закону Гука вблизи точки т0 с точностью до членов второго порядка. Заметим также различие между последним равенством E.03) и B.06). Не будучи сами пластичными, твердые тела, к которым неприменим закон Гука, сыграли известную роль в изучении пластичности. Это изложено более подробно в приложении к гл. III, часть которого посвящена типичному „негуковскому" уравнению состояния. § 6. Дискретные среды Можно изучать волновое движение в средах, которые состоят из цепочек масс, соединенных связями, не подчиняю- подчиняющимися, вообще говоря, закону Гука. Существует определен- определенная аналогия между такими дискретными средами и сплошными средами, являющимися непосредственным объектом нашего изу- изучения. Эту аналогию можно использовать двояко: в некоторых вычислениях выгодно приближенно заменять сплошную среду дискретной и наоборот, см., например, [58]. § 7. Дифференциальные уравнения движения11 Вопрос, который изучается в этой книге, тесно связан с общей системой дифференциальных уравнений динамики жидкостей, которым подчиняется движение среды везде, кроме точек разрыва. Эта система уравнений выражает: а) закон сохранения массы; ^ По этому параграфу см. [17] и [18].
28 гд. \. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ б) закон сохранения импульса; в) условие, что состояние изменяется адиабатически; г) частный вид уравнения состояния. Дифференциальные уравнения вместе с соответствующими начальными и граничными условиями определяют данное явление. В дальнейших разделах этой главы классические резуль- результаты, получаемые из уравнений гидродинамики, представлены в удобной для нас форме. Уравнения динамики жидкостей могут быть выражены в двух различных формах — лагранжевоп и эйлеровой. Уравне- Уравнения в форме Лагранжа описывают движение индивидуальной частицы газа, т. е. координаты ху у, z частицы считаются функциями времени и трех параметров а, й, с, которые харак- характеризуют индивидуальную частицу; в качестве а, 6, с часто выбираются координаты частицы при ?=0. В лагранжевом представлении дифференцирование по времени будет обозна- обозначаться точкой (•). В большинстве случаев, однако, и с физической, и с мате- математической точки зрения предпочтительнее представление Эй- Эйлера. Здесь мы следим за тем, что происходит в некоторой определенной точке (х, у, z) в течение некоторого отрезка времени. Движение описывается составляющими скорости и, v, w в точке х, j/, z в момент времени t в зависимости от х, yf z и t. В представлении Эйлера дифференцирование по независимым переменным х, у, z, t будет обозначаться индек- индексами, поставленными снизу. Переход от представления Эйлера к представлению Лагранжа достигается путем решения си- системы обыкновенных дифференциальных уравнений х = и (х, у, z, t), y = v(x, у, z, t), G.01) z = w (x, yy zy t), причем в качестве постоянных интегрирования можно взять параметры а, Ь, с. Исключив а, Ьу с из уравнений G.01) и из тех, которые получаются из них после дифференцирования, можно выполнить обратное преобразование. Уравнения динамики жидкости в форме Лагранжа таковы: О G.02) (сохранение массы),
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 29 где А — д(Уи < означает якобиан функций л' (a, b, ct t), у (а, Ь, с, t), z(a, by cy t), рх + Рх = °> =*О, G.03) (сохранение импульса). (Предполагается, что нет другой силы, кроме градиента дав- давления. Точнее говоря, внешняя сила тяжести всегда присут- присутствует, но в большинстве приложений ею либо можно вообще пренебречь, либо рассмотреть ее отдельно, см. Милн-Том- сон [18].) 5=0 G.04) (состояние меняется адиабатически), P = f(?,S) - G.05) (калорическое уравнение состояния). За независимые переменные при нахождении производных дав- давления в уравнениях G.03) принимаются х, у, z, t. Явное вы- выражение в переменных а, 6, с, t, при Px=paav-\-pbbx-\-pccx и т. д. приводит к нелинейным членам, так как ах, Ъх,... должны выражаться через производные обратных функций х (а, Ь, с, t),... Поэтому обычно представление Лагранжа слишком громоздко. Этот недостаток не имеет места для движений столь симметричных, что их можно характеризовать только одной пространственной координатой; мы увидим, что в этих случаях представление Лагранжа часто бывает удобнее. Если участвуют больше чем одна пространственная коор- координата, то вообще выгоднее писать уравнения в форме Эйлера. Каждое из уравнений Эйлера выводится из соответствующего уравнения Лагранжа с помощью тождества yV f Fgw, G.06) й для G.07) которое применимо к любой функции F, определенной для частиц среды. Отметим далее тождество которое легко проверить. При отсутствии внешних сил уравнения Эйлера таковы: Р/ + и ?* + v Pv + w Pz + P К + vv "Ь ™2) = 0 G.08a)
30 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Р, + (? и)х + (р v)y + (р да), = 0 G.086) (сохранение массы), Ut + 1ШХ + OBj, + ®Иг + f^ = °» \-jpy = 0, G.09а) + 7 или по G.086) (о v)t + (р иг»)Л + (р v% + (р wv\ + ^ = 0, G.096) (? ау)< + (Р uw)x + (Р ^w).v + (Р вд2)г +^г = ° (сохранение импульса), P = f(p,S) G.10) (калорическое уравнение состояния), St+uSx + vSy + wS2 = 0 G.11) (состояние меняется адиабатически). Отметим, что число уравнений (шесть) как в эйлеровом, так и в лагранжевом представлении равно числу неизвестных. Мы можем ожидать поэтому, что при соответствующих гра- граничных и начальных условиях поведение системы определится однозначно (в области непрерывного движения) без привлече- привлечения каких-либо дополнительных физических принципов. Обычно более удобно рассматривать другую систему с пятью неизве- неизвестными, потому что с помощью B.05) легко исключить из уравнений сохранения импульса р, так как ^2(Р, S)=/p(P, S), G.12) »х = с" (Р> $) ?х ; РУ ^ с2 (Р, 5) р„; р2 = с* (р, S) 92 • § 8, Сохранение энергии Условие G.11) адиабатичности может быть выведено из предположения, что изменение полной энергии частицы газа производится только за счет сил давления путем сжатия или
§ 8. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 31 ускорения (см. § 2) при отсутствии внешних сил. Полная энергия на единицу массы равна еП0ЛНа— — (х2~гУ2 + г2) -f- e\ работа, производимая силами давления за единицу времени над единицей массы, есть — I(рх3^-j- (ду)v + (Я^)J • Итак, наше предположение приводит к равенству (сохранение энергии). Выполняя дифференцирования и пользуясь соотношением B.01) в виде de = -z2pdp-f- TdS и соотношениями G.01) и G.07), приводим (8.01) к виду согласно G.02) и G.03) это равенство приводится к соотноше- соотношению G.04), 5 = 0, которое выражает тот факт, что состояние меняется адиабатически. В представлении Эйлера закон сохранения энергии можно записать в сжатом виде с помощью скорости течения q = у^И2_|_^2_^^2 и удельной энтальпии i = e-\-p*, о кото- которой будет сказано подробнее в § 9. С помощью G.08) равен- равенство (8.01) приводится к виду -О (8 02а) или по G.086) ? v [{ ф+. i]} + (р-W [} Я2+ i\}= 0. (8.02б> Ни полная энергия на единицу массы еП01И =— (u1Jrv<1-\- + ^2) + ^> ни работа, совершаемая над единицей объема за единицу времени {p^)xJr{Pv)yJr{Pw)z не инвариантны относи- относительно переноса, т. е. их выражения меняются, если рассматри- рассматривать их в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью* (и0, Vq, wq). Однако левая часть равенства Г8.02) при переходе
,32 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ к подвижным осям отличается от исходного выражения только членами, пропорциональными левой части G.09), и поэтому система уравнений G.08), G.09), (8.02) остается инвариантной. § 9. Энтальпия Основное уравнение B.01), записанное через энтальпию, определенную равенством i^e+p*, (9.01) выглядит так: (9.02) При адиабатических процессах dS^O мы имеем (по 2.05) <Л = Л<*р. (9,03) Наше предположение B.08) о газах приводит к соотно- соотношению i-*0 при р -> 0. (9.04) В идеальном газе /, очевидно, есть функция температуры. Из D.09), C.01) и (9.01) получается ^ ? (9.05) dT 7-1 Эта величина называется „удельной теплоемкостью при постоян- постоянном давлении". Сравнивая формулы (9.05) и D.09), мы видим, что ^ есть отношение удельных теплоемкостей. Специально для политропического газа из C.07), C.08), C.09) и (9.01) получается —L-рт = -?!-. (9.06) Tl 7l V } Введение удельной энтальпии оказывается полезным, на- например, тогда, когда энтропия остается постоянной для дан- данной частицы или вдоль линии установившегося потока, или повсюду в среде с изэнтропическим потоком (см. § 14). В других случаях энтальпию вводят потому что прираще- приращение энтальпии di=TdS равно количеству тепла, переданному частице при постоянном давлении. Этим объясняется, почему энтальпия часто называется теплосодержанием^. *) Иногда энтальпия называется также тепловой функцией. {Прим. оед.)
§11. АКУСТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 33 § 10. Изэнтропическое течение. Установившееся течение. Дозвуковое и сверхзвуковое течение Часто можно сделать следующее важное упрощающее допущение: в накале процесса удельная энтропия постоянна по всей среде. Тогда, если нет разрывов, на которых нару- нарушается равенство G.04), из него непосредственно следует, что удельная энтропия остается постоянной по всей среде в тече- течение всего времени движения. Предполагая энтропию 5 заданной постоянной, мы можем опустить уравнение G.04) или соответ- соответственно G.11) и оставить пять уравнений с пятью неизвест- неизвестными или, исключая давление, четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Такой поток, в котором удельная энтропия повсюду одинакова, называется изэнтропическим. Хотя утвер- утверждение, что изэнтропическое течение встречается часто и яв- является правильным, однако во многих важных случаях тече- течение носит неизэнтропический характер. Очень интересен другой специальный вид течения —уста- —установившееся течение, в котором скорость, давление, плот- плотность и удельная энтропия в каждой точке не меняются со временем, т. е. зависят только от х, у, г, но не от t. При таком течении члены в дифференциальных уравне- уравнениях Эйлера, содержащие ur vt, wt, pt и St, выпадают. В уста- установившемся течении все частицы, проходящие через данную точку, имеют одинаковые скорость, давление, плотность и энт- энтропию и следуют по одному и тому же пути, называемому линией тока. Поэтому среда заполнена не меняющимися со временем линиями тока. Установившееся течение называется дозвуковым, звуковым или сверхзвуковым, если скорость течения q = Yu2-{-v*-\-w2 в данной токке соответственно меньше, равна или больше, чем скорость звука в ней (см. B.05) и § 3), или, если число Маха М = ± A0.01) меньше, равно или больше единицы. §11. Акустическое приближение Система линейных дифференциальных уравнений, применяе- применяемая для описания обычных акустикеских возмущений, сле- следует из общих эйлеровских уравнений движения жидкости G.08—7.11), как предельный случар. Рассмотрим небольшое изэнтропическое возмущение, т. е. изэнтропическое движение 3 Р. Курант и К. Фридрихе
34 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ среды с S = S0 и р = р0 -f- 8p, такое, чтобы можно было пре- пренебречь членами порядка выше первого в величинах 8р, и, v, w и их производных. Пренебрегая этими членами выс- высшего порядка и исключая р, приводим уравнения Эйлера к виду bPt + Po{Ux + Vy+Wz)=O> A1.01) И/ + ^о^ = 0, ^ + V20SPy==0, w* + *o$P, = O, A1.02) где cl = c2(p0, So). Легко видеть, что система A1.01 — 11.02) равносильна одному уравнению второго порядка, обычному волновому уравнению для малых возмущений 8р. § 12. Векторная форма уравнений течения Иногда бывает удобно переписать дифференциальные урав- уравнения G.09) в векторной форме, обозначая вектор скорости буквой q. Тогда q-fxgradp = O A2.01) или, применяя (9.02), q+grad i'=rgradS. A2.02) Раскрывая и перегруппировывая члены, получаем q, +1grad(<?2)-qXrotq+grad/-ГgradS, A2.03) где q есть абсолютная величина скорости течения q = | q j = Yu* + v* + w*. A2.04) Символ X означает векторное умножение. Если течение изэн- тропическое, правые части уравнений A2.02) и A2.03) обраща- обращаются в нуль. § 13. Сохранение циркуляции. Безвихревое течение. Потенциал При различных весьма общих допущениях уравнения газо- газовой динамики допускают важные „интегралы*4 или законы сохранения, которые легко выводятся. Рассмотрим сначала сохранение циркуляции.
§ 13. СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. БЕЗВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ 35 Пусть А — произвольная замкнутая кривая, движущаяся вместе с жидкостью („жидкий контур"). Рассмотрим циркуля- циркуляцию С вокруг А =O)( A3.01) как функцию времени. Для различных важных случаев движе- движения циркуляция остается постоянной, т. е. С = 0, когда зам- замкнутая кривая движется. Чтобы получить условия сохранения циркуляции, мы вычислим С, что легко сделать, если задать А переменным радиусом-вектором х (a, t), где о—параметр для Л такой, что А определено для 0<а<1 и х@, t) = x (I, f). Тогда имеем a. A3.02) По A2.02) и учтя, что xff = qa, мы найдем c=?\TS,-ie+\D*)a] da. Aз.оз) J L J Наконец, интегрируя последние два члена в A3.03), приходим к A3.04) •Г i Поэтому, по теореме Стокса, С равна нулю для всех кривых если вектор rot (Г grad S) = grad ГХ grad 5 A3.05) тождественно обращается в нуль. Это может случиться, если: A) течение изэнтропично, и grad5 обращается в. нуль; Б) энергия разделима, тогда Т зависит только от S и grad T поэтому параллелен gradS; B) течение столь симметрично, что Т я S зависят только от одной пространственной координаты (наиболее важные слу- случаи, когда это имеет место — одномерное течение, двумерное течение с цилиндрической симметрией и центрально симметрич- симметричное течение), при этом grad T и gradS должны иметь одно на- направление в каждой точке. Течение, у которого циркуляция вдоль каждой кривой все время остается равной нулю, т. е. тождественно равен нулю rotq, называется безвихревым течением. Безвихревое течение
36 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ встречается часто, потому что многие течения начинаются из состояния покоя и происходят при перечисленных выше условиях. Относительная математическая простота изучения безвихре- безвихревого течения заключается в том (и этим часто пользуются), что уравнениям vz — wy = °> ™х — их = °> ay~vx = 0 A3.06) или rotq = 0 можно удовлетворить с помощью потенциала скорости, т. е. такой функции о(х, у, z, t), для которой и = ух, v = vy, w = oz A3.07) или q =grado. Из A3.05) следует, что поле TgradS имеет потенциал 2, rgrad S = grad Q, A3.08) если сохраняется циркуляция, в частности для безвихревого течения. Если течение изэнтропическое, Q можно взять рав- равным нулю. Если удельная энергия среды разделима, то 2 можно отождествить с энтропическим слагаемым удельной энергии (см. C.12)), Q(x, у, z) = e&[S(x, у, z)]. § 14. Закон Бернулли В этом разделе мы выведем три закона сохранения, тесно связанные между собой. Каждый из них иногда называют законом Бернулли. Первая форма этого закона относится к установившемуся потоку (см. § 10). Из дифференциальных уравнений A2.02) и из векторной формы уравнения G.04), выражающего адиабатический характер изменений состояния, следует, что S,~fqgradS = O. A4.01) Отсюда мы можем немедленно заключить, что на каждой линии тока в случае установившегося течения откуда = \q\ A4.02)
§ 14. ЗАКОН БЕРНУЛЛИ 37 Л где q постоянно вдоль каждой линии тока. Соотношение A4.02) есть закон Бернулли для установившегося течения. л Я2 Постоянная Бернулли - может, конечно, иметь различное значение для различных линий тока. То же относится и к энтропии S, которая тоже постоянна вдоль линии тока со- согласно A4.01). Скорость изменения постоянной Бернулли и энтропии поперек линий тока связана с вихревым характером движения. Действительно, из уравнения A2.03) можно с по- помощью A4.02) получить равенство grad -jS2 — rgradS = qXrotq. A4.03) Отсюда непосредственно следует, что в стационарном без- безвихревом течении, т. е. при rotq = 0, и при постоянной 1 Л энтропии, т. е. grad 5 = 0, постоянная Бернулли - q2 одна и та же для всех линий тока. Это — сильная форма закона Бернулли. Замечательно, что для безвихревого, даже неустановив- неустановившегося, потока справедлива другая форма закона Бернулли. Если воспользоваться потенциалом скорости у и потенциалом 2 величины TgradS, введенными в конце § 13, то закон Бер- Бернулли для безвихревого течения выразится соотношением {\ )®=\я2> A4.04) л где величина q, могущая зависеть от времени, одна и та же по всей жидкости. Это соотношение непосредственно следует из уравнений движения в форме A2.03) с помощью A3.07) и A3.08). В важном случае изэнтропического течения &, конечно, выпадает. Для установившегося безвихревого, изэнтропического тече- течения соотношение A4.04) приводится к сильной форме закона Бернулли. Иногда применяется еще и другой вариант закона Бернулли, играющий фундаментальную роль в теории ударных разрывов (см. гл. III, § 55). При установившемся течении политропического газа закон Бернулли принимает согласно (9.06) и A4.02) особо простую форму ?Ч ^-c2 = q2. A4.05) 7 — 1
38 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Вводя вместо y постоянную ^ = 1^1 A4.06) и величину c:i: с размерностью скорости с* = М, A4.07) мы можем переписать закон Бернулли в форме Iх v ~г(' —Iх ) с =с . A4.08) Величина г*, которая играет важную роль в теории устано- установившегося течения политропических газов, называется крити- критической скоростью; ее значение будет выяснено в следующем разделе. § 15. Предельная и критическая скорости В этом разделе мы рассмотрим установившееся течение газа. Соотношения (9.03) и (9.04) действуют вдоль каждой линии тока; входящая в них удельная энтальпия i всегда положительна и стремится к нулю, когда стремится к нулю плотность вдоль линии тока. Из закона Бернулли A4.02) в форме Л <72 + 2/(т, S)=q2 A5.01) (справедливой также вдоль каждой линии тока) следует, что Л скорость q не может превзойти значения q и приближается к нему, когда р стремится к нулю. Итак, q<q, A5.02 } причем равенство имеет место только в предельном случае плотности, равной нулю, р = 0. Поэтому естественно назвать л величину q предельной скоростью. Подобно этому из A5.01) следует, что *<~?2, A5.03) причем равенство имеет место только в том случае, если газ покоится, q = 0. Смысл названия критическая скорость, которое дается величине, определяемой для политропических газов соотноше- соотношением A4.07), станет ясным, если записать уравнение Бер- Бернулли A4.08) в виде
§ 15. ПРЕДЕЛЬНАЯ И КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ 39 Тогда сразу получится, что q > г #, если q> с и наоборот, Я<СС*> если q<c и наоборот. A5.04) Другими словами, дозвуковой или сверхзвуковой характер те- течения (см. § 10) можно определить путем сравнения ско- скорости течения q с критической скоростью с#, которая остается постоянной вдоль линии тока, тогда как скорость звука, вообще говоря, меняется. Если в какой-либо точке линии тока совпадают скорость звука и скорость течения, то они совпадают и с критиче- критической скоростью с*. Это обстоятельство также является ха- характерным для критической скорости. Понятие критической скорости не обязательно связано л с политропическим газом. При данных значениях S и q су- существует как раз одно значение т^ величины т, такое, что из A5.01) получается q = c при ъ = ъ#. Тогда значение ст = с (т., S) =Yw - i (Ч, S) A5.05) является критической скоростью. Больше того, утверждение A5.04) остается справедливым и при этом обобщенном опре- л делении критической скорости. Очевидно, с* зависит от q и S. Чтобы доказать это утверждение, достаточно проверить, л что разность с2 — q2 монотонно возрастает от значения — q2 до некоторого положительного числа, когда т убывает от беско- бесконечности до некоторого определенного значения, при котором 0 = 0. Из A5.01) имеем с2 - q2 = с2 + 2i - ?\ A5.06) пользуясь B.05) и B.02) получаем, что с2 = р? = — т?рх = z2exx; следовательно, согласно (9.01) г- + 1с2 = ^_х^ + 1^. A5.07) Дифференцируя это по т, получаем Так как рх_ положительно по основному предположению B.06), то мы заключаем согласно A5.08) и A5.06), что разность с2 — q2 возрастает монотонно при уменьшении т. Так как эта величина
40 ГЛ. I. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ отрицательна при т= со и, следовательно, с = 0, и положительна, л когда 21 (т, S) — д2 и # = 0, то видно, что есть только одно значение т, для которого с= q. Если на линии тока, к которой применим закон Бернулли A5.01), существует точка, в которой q равно ?#, то она раз- разделяет эту линию тока на интервалы дозвукового и сверхзву- сверхзвукового течения. Конечно, может случиться, что q < с* или q>c* вдоль всей линии тока, тогда и все течение вдоль нее будет соответственно дозвуковым или сверхзвуковым. Замечательно, что в случае политропического газа крити- л ческая скорость c^ = \iq не зависит от 5 [см. A4.07)]. В дей- действительности это верно для всякого идеального газа. Если газ идеальный, то с [см. D.08)] и i = e-\-RT согласно D.09) являются возрастающими функциями температуры. Поэтому с является функцией i, и с* есть то значение с, для которого имеет место равенство Л2 c2 — q* = c*(i) + 2i—q = 09 л так что с% определяется посредством одного только q. Б.|ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ВИДОВ ТЕЧЕНИЯ Математические трудности, связанные с решением общих дифференциальных уравнений течения в трехмерном простран- пространстве, сформулированных в § 7, столь велики, что современный анализ не в силах их преодолеть. Однако во многих весьма интересных случаях возможны упрощения, в частности, если число независимых переменных сводится к двум/ Это имеет место в случае одномерного неустановившегося течения, уста- установившегося течения в двух измерениях и установившегося те- течения с осевой и центральной симметрией. § 16. Установившиеся течения Установившееся плоское, или двумерное, течение описы- описывается с помощью двух составляющих скорости и и v, каж- каждая из которых есть функция двух координат х и у. Третья составляющая скорости w равна нулю. Все величины, характе- характеризующие течение, не зависят от z и t. Плотность и давление могут рассматриваться как функции скорости течения 0 = 1Л**+г>2 A6.01)
§ 16. УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ 41 вдоль каждой линии тока согласно закону Бернулли q* + 2i = J2 A6.02) [см. A4.02)] и адиабатическому уравнению P=f(p, S) A6.03) [см. B.03)], которые справедливы вдоль каждой линии тока л с постоянной предельной скоростью q и энтропией S (см. § 14 и 10). Скорость звука входит через соотношение udu-\-vdv = — c2^9 A6.04) справедливое вдоль каждой динии тока, как это следует из уравнений A6.02), A6.03) и того, что di = c& A6.05) л л [см (9.03)]. Если известны значения q и 5 на каждой линии тока, то две из четырех величин щ v, р, S можно выразить через остальные и остаются только два исходных дифферен- дифференциальных уравнения G.02—7.05). Если течение безвихревое, то имеет место уравнение vx—uy = 0 A6.06) [см. A3.06)], и если, кроме того, движение изэнтропическое (S = const), то предельная скорость q согласно сильной форме закона Бернулли постоянна вдоль всего течения, как указыва- указывалось в § 14. Тогда соотношение A6.04), которое справедливо те- теперь для любого направления во всем потоке, а не только вдоль линии тока, может служить для исключения плотности из уравнения непрерывности 0 A6.07) [см. G.08)]. В результате получается уравнение (с* -u*)ux — uv(uy + vx) + (c*--v*)vy = 0, A6.08) где с2 надо рассматривать в соответствии с законом Бернулли и адиабатическим уравнением A6.03) как функцию скорости течения qy т. е. и и v. В случае политропического газа эта функция, по A4.05) и A4.07), такова: () A6.09)
42 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Уравнения A6.08) и A6.06) (которые выражают безвихревой характер движения) образуют систему из двух уравнений с двумя неизвестными и, v и двумя независимыми перемен- переменными х, у. Уравнению A6.06) можно удовлетворить, введя потенциал скорости <р(л;, у) [см. A3.07)], так чтобы <?x = uf <?v = v. A6.10) Тогда уравнение A6.08) сведется к одному дифференциаль- дифференциальному уравнению второго порядка -<b*)<tyy = 0. A6.11) В некоторых случаях и трехмерный установившийся без- безвихревой поток можно характеризовать подобным дифферен- дифференциальным уравнением второго порядка для потенциала ско- скоростей. Можно удовлетворить уравнению A6.06), введя функцию тока ф (х, у), так чтобы ^= — pv, <^ = рн. A6.12) Тогда A6.06) перейдет в уравнение второго порядка для ф, в котором надо рассматривать р как функцию *i? + 4y Линии, вдоль которых ty постоянна, суть линии тока, а разность значений ty на двух линиях тока равна потоку массы через цилиндрическую поверхность (с высотой, равной еди- единице), образованную движением направляющей, параллельной оси z, вдоль произвольной кривой, соединяющей две точки на этих линиях тока; это следует из соотношения где s — элемент длины дуги кривой и [хп, у^ — единичный вектор нормали к кривой. Установившееся движение с осевой (цилиндрической) сим- симметрией тоже можно описать двумя составляющими скорости и к v, как функциями двух переменных хну. Здесь х — абсцисса вдоль оси, а у — расстояние от нее; и есть компо-. нента в осевом, a v — в радиальном направлении. Поэтому каждый вектор скорости лежит в плоскости, проходящей через ось, и может быть получен из вектора в одной из таких пло- плоскостей путем поворота вокруг оси. Требуется также, чтобы р и р зависели только от х и у. Безвихревой характер снова
§ 17. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ 43 выражается уравнением A6.06), и если, кроме того, течение изэнтропическое, то соотношение A6.04) справедливо во всем потоке. Единственное отличие от плоского течения состоит в урав- уравнении неразрывности, которое теперь принимает вид У = 0 A6-13) или, после исключения р согласно A6.04), Конечно, и это уравнение можно привести к одному урав- уравнению второго порядка для потенциала <р, определенного в со- соответствии с A6.10). Позднее мы будем пользоваться функцией тока, введен- введенной Стоксом, которая теперь определяется соотношениями A6.15) для того чтобы удовлетворить уравнению неразрывности A6.13). Поверхности ф = const, образованные вращением линии тока, суть поверхности тока. Величина 2тсф (х, у) равна потоку через кольцо, вырезанное из круга радиуса у с абсциссой х поверхностью тока 6 = 0. При установившемся вихревом потоке политропического Л газа, в котором предельная скорость q (но в общем случае не энтропия S) постоянна по всему течению, Крокко [22] ввел видоизмененную функцию тока. Она определяется уравне- уравнениями, получающимися из соотношений A6.12) или A6.15), 2 где фактор р заменяется величиной ст~~\ которая по закону л Бернулли зависит только от q и q, но не зависит от энтропии. § 17. Неустановившиеся потоки Одномерный поток имеет место тогда, когда все величины, характеризующие поток, зависят, кроме времени t, только от одной координаты х и когда составляющие скорости в двух направлениях v и w обращаются в нуль. Тогда уравнения G.08 — 7.11) сводятся к виду O, A7.01) = 0, A7.02) = 0, A7.03)
44 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ где последнее уравнение выражает обратимость и адиабатич- ность изменения состояния каждой частицы. Давление р здесь —- функция от р и 5. Пользуясь тем, что д-? = с* A7.04) а? (см. 7.12), можно заменить A7.01) следующим уравнением: + f*4 = 0, A7.05) так что три уравнения A7.02), A7.05) и A7.03) будут содер- содержать только производные от и, р и S. Для политропических газов уравнение A7.03) можно заменить на =ъ, О7-06) так как /?р~т будет в этом случае функцией энтропии. При изэнтропшеском течении можно выразить р в зависимости от р, и наоборот. Тогда уравнения A7.02) и A7.01) или A7.05) будут представлять собой два уравнения с двумя функциями от двух переменных х и t. Течение называется сферическим, когда все величины зависят только от расстояния до одной точки, выбираемой за начало координат, и от времени и когда скорость направлена к этой точке (или от нее). Обозначив, как обычно, расстояние от начала буквой х и радиальную составляющую скорости буквой и, получим урав- уравнения G.08 — 7.11) в виде ^ = О, A7.07) = 0> A7.08) A7.09) Заметим, что единственное отличие этих уравнений от одномер- ных заключается в члене -~, входящем в уравнение нераз- неразрывности A7.07). Видоизменения и упрощения уравнений, только что рассматривавшиеся в связи с одномерным потоком, так же применимы к сферическому течению, как и к одно- одномерному. То же справедливо и по отношению к цилиндрическому течению, т. е. такому двумерному течению, в котором все величины зависят только от расстояния от оси, и скорость направлена от оси или к оси. Разница только в том, что до- дополнительный член в уравнении неразрывности содержит мно- множитель 1 вместо 2.
§ 18. ОДНОМЕРНОЕ И СФЕРИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 45 § 18. Уравнения движения Лагранжа в одномерном и сферическом течениях Уравнения Лагранжа для одномерного течения не ослож- осложнены функциональными определителями, и в этом частном случае они иногда удобнее эйлеровских. В представлении Лагранжа надо сопоставить число h с каждой плоскостью, перпендикулярной к оси х, так, чтобы считать изменяющееся положение частиц, связанных с этой плоскостью, функцией x(h, t). Величины р, р, 5 тоже рассмат- рассматриваются как функции hut. Число h можно выбрать разными способами, так как в нашем распоряжении всегда имеется про- произвольная функция. Обычно h отождествляют с абсциссой частицы в некоторый начальный момент, например при ? = 0. Но начальное положе- положение для всех частиц задается не всегда. Напрашивается другой естественный выбор А, основанный на законе сохранения массы. Без всякой потери общности можно рассматривать течение происходящим в трубе единич- единичного сечения, направленной вдоль оси х. Дадим теперь значе- значение h = 0 некоторому определенному „нулевому сечению" (движущемуся, конечно, вместе со средой) и пусть для каж- каждого другого сечения h равно массе вещества между этим сечением и нулевым, причем знак h выбирается положитель- положительным или отрицательным, смотря по тому, находится ли сече- сечение справа или слева от нулевого. Аналитически h удовлетворяет соотношению \ pdx, A8.01) X (О, t) где р — плотность в точке х в момент t; другими словами, здесь плотность рассматривается с эйлеровской точки зрения как функция независимых переменных х и t. Дифференциро- Дифференцирование A8.01) по h приводит к соотношению Р(А, t)xh(h, t)=\ A8.02a) или xk(h, t) = z(h, t), A8.026) где р (A, t) и т (h, t) — соответственно плотность и удельный объем и h — функция времени. Уравнения движения Лагранжа G.02—7.05) для одномер- одномерного потока получают вид (Р*л)< = 0 A8.03) (сохранение массы),
46 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ 9*tt = -Px=-PJxH A8-04) (сохранение импульса), 5, = о A8.05) (изменения состояния — адиабатические), Р=/(Р, S) = g(y, S) (калорическое уравнение состояния). (Мы здесь не пользовались точкой, как знаком дифференциро- дифференцирования, применяя, как обычно, нижний индекс t, чтобы избе- избежать путаницы между эйлеровым и лагранжевым представле- представлениями.) Уравнения Лагранжа A8.03—18.06) можно заметно упро- упростить. Во-первых, из A8.02) следует, что A8.03) излишне и что A8.04) можно заменить на *„—/V A8.07) Согласно A8.05) 5 зависит только от А; в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что S = S(h). Функция S(h) рас- рассматривается как заданная начальными условиями задачи. С помощью A8.02) и A8.04—18.06) можно исключить р, т и р и вся система сведется к одному дифференциальному урав- уравнению в частных производных относительно х: — gsSh, A8.08) в которое мы ввели величину -gAz> s)> A8.09) так называемый акустический импеданц среды. Рассматривая уравнение A8.08), надо, конечно, помнить, что -k2 и gs суть заданные функции t = xh и 5 (А). Если скорость и удельный объем u = xtt ^~хн взять за зависимые переменные, то одно уравнение второго порядка заменится на два уравнения первого порядка: ** = V «/ = *\-^(A)f A8.10) где k2 к gs— функции от т и 5 (А). Если движение изэнтропично, т. е. если 5 (А) = So есть по- постоянная, то уравнения A8.08) и A8.10) упростятся и при- примут вид *«=*'*«. 08.11) иЛ = у, ut*=k\. A8.12)
§ 19. ТЕОРИЯ «МЕЛКОЙ ВОДЫ» 47 Отметим, что если k2 = —р^ постоянно, как это имеет место у твердых тел, подчиняющихся закону Гука, то уравнения A8.11) и A8.12) линейны. Формулировки этого раздела можно распространить на сферическое и цилиндрическое течение (см. § 17). Пусть 4тс/г означает массу, заключенную в сферу радиуса у (h, t) относи- относительно центра сферического течения. Тогда имеем Для плоского течения с цилиндрической симметрией в соот- соответствующих обозначениях получим ПРИЛОЖЕНИЕ ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ В МЕЛКОМ ВОДОЕМЕ § 19. Теория „мелкой воды" Аналогией нелинейного волнового движения газов является движение воды или другой несжимаемой жидкости со свобод- свободной поверхностью, если расстояние от поверхности до дна водоема (глубина) достаточно мало. В этом случае говорят о „мелкой воде". Точнее это выражается условием, что глу- глубина мала по сравнению с определенной характеристической длиной, такой, например, как максимальный радиус кривизны поверхности. Дифференциальные уравнения, управляющие движением этой мелкой воды, можно заменить уравнениями, вполне экви- эквивалентными уравнениям движения политропического газа с по- показателем 7 = 2. Все волновые движения, которые мы будем рассматривать в последующих главах, подобны движению мел- мелкой воды. Поместим прямоугольную координатную систему в простран- пространстве, наполненном водой, так, чтобы дно было плоскостью 2 = 0, а поверхность будем считать функцией z — Z(x, у, t). Обозначим составляющие скорости в направлениях х, у, z через и, v, w; соответственно они зависят от х, уу z. В этом случае справедливы уравнение неразрывности ttx+Vy + Wz = 0 A9.01) и закон Ньютона
48 ГЛ. 1. СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ где g— ускорение силы тяжести, р — плотность воды и р — из- избыток давления над атмосферным, так что /7 = 0 на поверхности, 2 = Z. A9.03) Граничные условия для скорости суть ^-0 на дне, z = 0] A9.04) и Zt-\-uZx-\-vZy~w на поверхности, z = Z. A9.05) Эти уравнения с достаточной степенью точности можно заменить другими, содержащими только высоту z и скорости и и v на поверхности. Для этого проинтегрируем сначала уравнение неразрывности A9.01) от 2 = 0 до z = Z; в резуль- результате будем иметь z = Z Z 2=0 0 отсюда с помощью граничных условий A9.04) и A9.05) получим dz) =0. A9.06) Далее введем основное предположение, что давление ме- меняется вдоль вертикального столба гидростатически p = gP{Z-z). A9.07) Согласно A9.02) и A9.03) это предположение эквивалентно dW тт условию, что вертикальная составляющая — исчезает. Допу- dt щение A9.07) не произвольно; можно показать с помощью разложения в ряд по степеням глубины, что оно верно с точно- точностью до членов первого порядка малости. (См. Стокер [27], Приложение.) Отметим, что предположение A9.07) равносильно тому, что градиент давления (рх, ру, р^ не зависит от t\ согласно A9.02) (du dv dw\ r^ —, —, —). Отсюда следует, что и скорость (и, v, w) не будет зависеть от z, если только это имело место в какой-либо момент времени. Предположим те- теперь, что в некоторый момент времени скорость была постоянна в каждом вертикальном столбе. Это предположение, видимо, не является серьезным ограничением; оно выполняется, напри- например, в случае, если вода в начальный момент покоилась. Сле-
§ 19. ТЕОРИЯ «МЕЛКОЙ ВОДЫ* 49 довательно, и и v зависят только от х, у и Z; в дальнейшем вертикальной составляющей w мы будем пренебрегать. Тогда уравнения A9.06) и A9.02) принимают простую форму: A9.08) A9.09) Чтобы показать, что эти уравнения таковы же, как и для по- политропического газа с 7 = 2, введем „плотность" pT=pZ, A9.10) которая является, очевидно, массой на единицу площади, и „давление" p = ±-g9Z2= \pdz, A9.11) Тогда уравнения A9.08—19.09) приобретут форму уравнений для газов [см. G.08 — 7.09)] "Р/ + (ЯтЦ, = 0, A9.12) _ ' Л , -*' A9.13) Соотношение между „давлением" р и „плотностью" р, которое следует из A9.10) и A9.11), очевидно, соответствует зависимости реального давления от плотности для политропического газа с 7 = 2. 4 р. Курант и К. Фридрихе
Глава II МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТЕЧЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В предыдущих параграфах мы показали, что во многих частных случаях дифференциальные уравнения течения сво- сводятся к системе квазилинейных уравнений в частных про- производных первого порядка для функций двух независимых переменных. Для такой системы можно развить довольно пол- полную математическую теорию, если уравнения принадлежат к ги- гиперболическому типу. В этом случае основную роль играет понятие характеристик. Теория особенно упрощается, если число функций и уравнений равно двум. Чтобы подготовить читателя к более глубокому пониманию специальных задач о течении, которые будут рассматриваться в последующих главах, мы даем здесь детальную теорию системы двух дифференциальных уравнений; в дополнение будут приведены также сведения о системах, состоящих более чем из двух уравнений, которые встречаются, например, в тео- теории неиззнтропического течения. § 20. Уравнения течения для двух функций с двумя переменными Перечислим прежде всего специальные виды, течений, ко- которые управляются системой из двух уравнений для двух функ- функций с двумя переменными: а) одномерное изэнтропическое течение — B0.01) см. A7.01), A7.02), A7.04); б) сферическое изэнтропическое течение — Р(и,-|-шд + с*р, = 0. см. A7.04), A7.07), A7.08);
§ 21. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 31 в) одномерное изэнтропическое течение в лагранжевом пред- представлении — Т<аВКИ*' B0.03) см. A8.12); здесь k — заданная функция т; г) одномерный неизэнтропический поток в лагранжевом представлении — " ~~ " B0.04) см. A8.10); здесь распределение энтропии по частицам пред- предполагается заданным, S = S(h), k2 и gs — заданные функции -с и S; д) стационарный двумерный безвихревой изэнтропический поток — "*-Ь-°> B0.05) (с* - «2) и, — uv (иу + vx) + (с"- — v*) vy = 0, см. A6.06) и A6.08); здесь с2 — заданная функция u*-j-v2; е) установившийся изэнтропический безвихревой поток в трех измерениях с осевой симметрией — v — и »0, v B0.06) см. A6.06) и A6.14); здесь с2 — снова заданная функция u2-{-v2. § 21. Дифференциальные уравнения второго порядка В общей теории мы обозначаем зависимые переменные буквами и, v и независимые переменные буквами х, у. Они будут впоследствии отождествлены с переменными в уравне- уравнениях газовой динамики, перечисленными в предыдущем разделе. В этом случае общая форма системы дифференциальных урав- уравнений имеет вид ^ + B^ + C^+D^ + E^O, 09 [ ' ^ где А19 Л2, Ви .. ., Е2 — известные функции х,у, и, v. Пред- Предположим, что все функции, рассматриваемые в настоящей главе, 4*
52 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ непрерывны и имеют столько производных, сколько потребуется. Без ограничения общности мы будем считать, что нигде не имеет место пропорциональность Аг: А2 = В\ : В2 = Сх: С2 = = D1 :D2. Если ?\ —/?2 = 0, то система однородна. Если коэф- коэффициенты А, В, С, D, ?* не зависят от и и *v, то уравнение линейно и, следовательно, много легче в обращении. В другом важном случае система может быть приведена к линейной: если система однородна, Ех~ Е2 = 0, и коэффи- коэффициенты Аи А2, ..., D2 суть функции только от и, v, то уравнения называются приводимыми. В этом случае в каж- каждой области, где якобиан j^-uxvy — uyvx B1.02) не равен нулю, система B1.01) может быть преобразована в эквивалентную линейную систему путем перемены ролей зависимых и независимых переменных. Если ] Ф 0 для неко- некоторого решения и(х, у), v(x,y) B1.01), то можно рассматри- рассматривать х и у как функции и и v. Из того, что мы видим, что х (и, v) и у (a, v) удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям Наоборот, каждое решение х, у уравнений B1.03) дает ре- решение B1.01), если не равен нулю якобиан J-^yv-Ww B1.04) Описанное преобразование плоскости (х, у) в плоскость (и, v) часто называют преобразованием годографа. Приводимые уравнения описывают одномерное течение и установившееся двумерное [см. B0.01), B0.03) и B0.05)]. Так как возможность приведения существенно зависит от предположения j Ф 0, то решения, для которых ] = 0, не могут быть получены преобразованием годографа. Но, как мы уви- увидим в § 29, эти решения, названные там простыми волнами, являются наиболее важным средством для решения задач о течении; простые волны и их обобщения до сих пор, пови- димому, не привлекали к себе должного внимания при изуче- изучении гиперболических дифференциальных уравнений.
§ 22. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И УРАВНЕНИЯ 53 § 22. Характеристические кривые и характеристические уравнения Ключом к общей теории систем квазилинейных дифферен- дифференциальных уравнений в частных производных вида B1.01) является установление различия между эллиптическими и ги- гиперболическими уравнениями и для последних, являющихся главным объектом нашего рассмотрения, — введение понятия характеристик, которые будут главным объектом нашего изу- изучения. Эти понятия естественно вытекают из следующего рас- рассмотрения. Линейная комбинация afх-\- bfy двух производных функции двух переменных f(x, у) имеет смысл производной / в данном направлении dx :dy = a:b. Если х (а), у (о) представляет кри- кривую с ха :уо = а :ЬУ то afx -f- bfy есть производная / вдоль этой кривой. Рассмотрим такие функции и(х, у), v(x, у), для которых коэффициенты дифференциальных уравнений B1.01) зависят только от х, у. В каждом из дифференциальных уравнений функции и, v дифференцируются, вообще говоря, в двух на- направлениях. Будем искать такую линейную комбинацию L = >ч Lx~\~^L2y чтобы в дифференциальном выражении L были производные только по одному направлению. Такое направление, завися- зависящее как от точки х, у, так и от значений и, v в этой точке, называется характеристическим. Предположим, что направле- направление задается отношением ха :уа, тогда, как указано выше, условие, что в L величины и, v дифференцируются в этом направлении, есть просто ХИ1 + М2 :^i+^2 = XiCi+^C2 :\D{+\D2 = xa :^f B2.01) потому что коэффициенты при производных их, иу и vxf vy в L даются соответствующими членами в пропорциях B2.01). После умножения на ха или уа выражение L может быть за- записано в виде ^ K C^<v, + (klEl+\E2)xa=xQL B2.02) или (Х151 + \В2) и, + ( \DX+\D2) vQ+{ \E, + \E2)y=yaL. B2.03) Если в точках хну функции и и v удовлетворяют диф-
ГА ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ференциальным уравнениям B1.01), то мы получим четыре линейных однородных уравнения для 1Х и Х2: Если все они удовлетворяются, то все определители второго порядка в матрицах, составленных из коэффициентов при \и Х2, равны нулю. Так получается ряд характеристических со- соотношений. В частности, из первых двух уравнений получаем или Здесь Л С, = 0. B2.06) а = [АС], 2Ь = [AD] + [ВС], с = [BD]. B2.07) В уравнении B2.07) используется следующая сокращенная запись: Если ас — Ь2 > 0, то B2.06) не может быть удовлетворено ни аля какого действительного направления. В этом случае характеристических направлений не существует и дифферен- дифференциальные уравнения называются эллиптическими. Мы не будем рассматривать случай, когда в каждой точке есть одно харак- характеристическое направление (тогда ас — Ь2=0). Если ас — — Ь2 < 0, то мы имеем дза характеристических направления уа:хав каждой точке; такая система называется гиперболиче- гиперболической. В задачах о течении, рассматриваемых в этой книге, большинство дифференциальных уравнений — гиперболические. Теперь мы будем предполагать, что уравнения B1.01) гипер- гиперболические1) и что, следовательно, ас — Ь2<0. B2.08) Это предположение исключает особый случай, когда все три коэффициента равны нулю. Больше того, мы предположим для удобства, что а=[АС]ф0. B2.09) 3) Можно трактовать подобным образом и эллиптические уравнения, чего мы здесь, однако, делать не будем. См. Курант и Гильберт, [32]. стр. 381—387.
§ 22. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И УРАВНЕНИЯ 55 Последнему условию всегда можно удовлетворить, введя в слу- случае необходимости вместо хну новые координаты. Следо- Следовательно, хя Ф 0 для характеристического направления (х^ уа}, как это видно из B2.05). Таким образом, мы располагаем свободой в выборе наклона С=Л'Ч- B2Л°) Уравнение B2.06) превращается в квадратное уравнение для С: a'Q — 2К + с = 0. B2.11) Это уравнение имеет два действительных решения, С+ и С_, С+?=С__ B2.12) согласно B2.08). Следовательно, в точке {х, у) мы имеем два различных характеристических направления: dy/dx = ^ и dy/dx = С_. Так как корни С+ и С„ B2.11), вообще го- говоря,— функции х9 у, и, v, то следует отметить, что гипер- гиперболический характер системы B1.01) зависит от самих рас- рассматриваемых функций и (х, у), v (х, у). Когда в уравнения dy/dx-=^(ху уt и, v) и dy/dx = С_(л:, уУ и, v) подставлено определенное фиксированное решение системы B1.01), они являются двумя раздельными обыкновенными дифференциаль- дифференциальными уравнениями первого порядка, которые определяют два однопараметрических семейства характеристик (или харак- характеристических кривых) С+ и С_, в плоскости (х, у), отно- относящихся к решению B1.01) и(х,у), v (х, у). Эти два семейства могут быть представлены в виде а(х>У) = const n${x, у)— const, соответственно, и определяют криволинейную сетку. Естественно ввести новые параметры а, C вместо х, у, такие, что C — постоянно вдоль С+кривых и а — постоянно вдоль С__. Чтобы выбрать такие характеристиче- характеристические параметры, мы можем, например, взять любую кривую /, заданную уравнениями x = x(s), y:=y(s), нигде не имеющую характеристического направления, т. е. такую, что на / ау) - 2bxsys + сх] Ф 0. B2.13) Через каждые две точки s = а и s = p на /мы проводим две кривые С__ и С+до точки {х,у)> где они пересекаются. (Такое пересечение существует, если |а — р| достаточно мало, потому что направления С+ и С_ различны согласно B2.12).) Тогда криволинейные координаты а, р точки (х, у) суть характери- характеристические параметры.
56 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Конечно, вместо параметров а и ^, введенных таким обра- образом, можно ввести в качестве характеристических параметров любые монотонные функции a' = l/(a), $'=W($). Такое пре- преобразование оставляет инвариантными уравнения характери- характеристик и поэтому не изменяет кривые. В области, где введены характеристические параметры, мы имеем Ур = -_ х$ вдоль С_ . В согласии с нашей начальной целью мы теперь должны определить множители \и Х2, чтобы образовать комбинацию \1L1-\-)s2L2 — L = 0; вместо этого мы получим соотношение Z, —0 более изящным способом, исключив Хх и Х2 из первого и третьего уравнений B2.04). В результате будем иметь: Введя j;a = Cxa, мы получим после сокращения на множитель хо уравнение Tu9-\-(af: — S)tfe + (K — Я)ха = 0 вдоль С+> B2.15) где Т - [ЛВ], S = [ВС], К = [АЕ], Н == [В?]. B2.16) Это соотношение останется справедливым, если заменить С на ; + и а на а или С на С_ и а на р. Итак, мы пришли к следующим четырем характеристиче- характеристическим уравнениям: 1+ Л-?+-*. = 0, L J>p —С_*р = О, И+ Ггга + (аС+-5)^+(^С1-Я)л;а = 0, B2Л7) Н_ Г которые верны для каждого решения и(х, у), v(x,y) и отно- относятся к его характеристическим направлениям. Хотя до сих пор мы рассматривали фиксированное решение и, v, уравнения B2.17) не зависят явно от этого решения, так как все коэффициенты суть известные функции х, у, и, i>. Теперь мы будем интерпретировать нашу систему несколько иначе. Система B2.17) может и будет далее рассматриваться как система четырех дифференциальных уравнений в частных
§ 22. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И УРАВНЕНИЯ 57 производных для четырех величин х, у, иу v как функций а, [3. Замена исходной системы B1.01) этой характеристической системой является основой последующей теории. Дифференциальные уравнения B2.17) имеют особенно про- простой вид, так как каждое из уравнений содержит производные только по одному независимому параметру, кроме того, коэф- коэффициенты не зависят от этих параметров. (Такая система назы- называется канонической гиперболической; см. [32], стр. 367.) Из предыдущего видно, что каждое решение исходной си- системы B1.01) удовлетворяет характеристической системе. Легко проверить, что справедливо и обратное. Каждое решение ха- характеристической системы B2.17) удовлетворяет исходной си- системе BГ.01), если не обращается в нуль якобиан хау„— Отметим два упоминавшихся выше частных случая. Если дифференциальные уравнения B1.01) линейны, то С, и С_ — известные функции х, у. Уравнения I B2.17) не связаны с уравнениями И, и поэтому уравнения I определяют два се- семейства характеристик, С+ и С_, независимо от решения и, v. Подобную же картину мы наблюдаем в том случае, когда диф- дифференциальные уравнения приводимы, т. е. когда Et = E2 = 0 и Аи. . ., D2 зависят только от и, v. Тогда С+ и С_ — известные функции от и и v и дифференциальные уравнения II не зави- зависят от х и у. (Это верно и в том случае, когда Ех и Е2 не равны нулю, но зависят только от и, v.) У приводимых уравнений характеристики Г в плоскости (и, v) суть изображения С - характеристик в плоскости {х, у) и не зависят от вида решения и (х, у), v (x, у). Они опре- определяются дифференциальными уравнениями II, которые можно записать в виде г , г* _s_.< . B2J8) ~~ dv ~~ В то время как уравнения B2.^7) образуют полную систему, следует упомянуть, что можно вывести другое соотношение, полезное специально для рассмотрения характеристик Г,, Г__ в плоскости (и, v); оно объединяет уравнения II точно так же,, как B2.06) объединяет уравнения I. Исключая Хх и Х2 из по- последних двух уравнений B2.04), мы получаем
58 ГЛ. П. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Это уравнение аналогично B2.05). Предположим, что не Бее коэффициенты [ЛБ]=Г, [AD] + [CB], [CD] при и], uava и v\ в уравнении B2.19) равны нулю, в частности, что ТФО; B2.20) последнему условию всегда можно удовлетворить, введя, если это необходимо, новые функции вместо и и v. В случае приводимости уравнение B2.19) становится прос- простым квадратным дифференциальным уравнением для отношения —!_, которое можно использовать вместо B2.18) для отыс- Vc кания двух семейств Г-характеристик. § 23. Характеристические уравнения для специальных задач Для уравнений течения, перечисленных в разделе 20, легко получить характеристические уравнения либо пряхмо, либо путем подстановки в общие формулы. Применим наш метод прямо к случаю одномерного из- энтропического течения, образовав линейную комбинацию из двух уравнений B0.01) и потребовав, чтобы она содержала про- производные только в одном направлении #а, ра от и и р, заданном через (t^ x9y Напишем эту комбинацию в виде = 0. B3.01) Тогда условие для (t9, xff), очевидно, будет хз — (м ~\~ ^Р) ^, ^Xa = U*ll-\ )t_ откуда B3.02) Следовательно, существуют два характеристических направ- направления: xu = (u + c)ta9 x^{u-c)tr B3.03) Из B3.01—23.03) получаются характеристические уравнения для и и р: К + ^К = 0, и,—fPp = 0. B3.04)
§ 23. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 59 Как мы увидим в гл. III, смысл уравнений B3.03) заключается в том, что характеристики в плоскости (х, t) представляют дви- движение возможных возмущений (позднее названных „звуко- „звуковыми волнами"), скорость которых — = tt + c или *L = u — с B3.05) отличается от скорости частиц и на скорость звука ± с. Дифференциальные уравнения трехмерного сферического потока B0.02) отличаются от уравнений одномерного потока членом —Р", не содержащим производных и и р. Отсюда ясно, что характеристические уравнения для х и t такие же, как для одномерного потока, а именно B3.03) (конечно, отсюда совсем не следует, что характеристики те же, потому что вид этих кривых зависит от решения). Характеристические уравнения для и и р отличаются от уравнений B3.04); они имеют вид Для установившегося двумерного безвихревого изэнтро- пического потока мы будем несколько ближе следовать методу общей теории. Образуем линейную комбинацию уравнений B0.05): Х2 (с- — и2) их + ( X, — К uv) иу — (X, -{- '«a wo) vx-\- Для того чтобы эта комбинация содержала производные иа, vs только в одном направлении (хв, у^ согласно B2.04) тре- требуется, чтобы (X, - Х2 uv) хв — Х2 [с* — и2) уа = 0, Х2 (Сз - ««) ив - (X, + Х2 uv) vz = 0, Исключая /ч и Х2 из первых двух уравнений, мы получаем (с2 - J) х\ + 2 woxey. + (с' - и")у] =0, B3.07) из последних двух уравнений подобным же образом получаем ( г — и2) и] - 2 ш,«, + ( с2 - v2) vl = 0, B3.08)
60 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ тогда как из первого и третьего уравнений мы имеем [(*• _ и%) иа - uvva] х, - [uvx9 + (с* - и2)ув] v, = 0. B3.09) Уравнение B3.07), записанное в виде (с2 — t/2) + 2 ^С + (с2 - и2) С2 = 0, B3.10) у где С = -~ , имеет два действительных корня, С+> С_, так что Л = г--*.> -УР = С_*в, B3.11) если только (c2 — v2){:\— u*) — u2v2 отрицательно или 0<с2 < u2Jrv2. Это условие, определяющее сверхзвуковой характер течения, обеспечивает гиперболичность дифференциальных уравнений B0.05). Характеристики, определенные из B3.11), позднее будут называться „линиями Маха" (см* § 31). Уравнения B3.08) определяют два характеристических на- направления в плоскости (и, v) независимо от рассматриваемого решения и (х, y)f v (x, у). Такие характеристические направ- направления в плоскости (и, v) существуют, потому что согласно общей теории система B0.05) приводима. Сравнивая B3.08) и B3.07), мы видим, что корни— B3.08) -суть — С+и — С__. Правильное сопоставление получается с помощью уравнения B3.09), которое дает (с2 - и») иа + [2wv + (с2 - и») С+] va = 0 или, так как по B3.07) (с2 — и2)(Сч+С_) = - 2uv, B3.12а) и. = — <.-*>*. Подобным же способом находим ир = -С+^. B3.126) Конечно, уравнение B3.08) является следствием двух уравне- уравнений B3.12) и определения ?+ л ?_ как двух корней B3.10). Значение выведенных таким образом характеристических уравнений будет детально разъяснено в гл. IV. Упомянем только, что при установившемся трехмерном течении с цилин- цилиндрической симметрией, подчиняющемся уравнению B0.06), характеристическими уравнениями для ха и yz вновь яв-
§ 24. ЗАДАЧА О НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ляются уравнения B3.07), выведенные для двумерного тече- течения. Однако характеристические уравнения для аа и v9 вы- выглядят иначе: вместо уравнения B3.08) мы имеем B3.13) что легко проверить. § 24, Задача о начальных значениях. Область зависимости. Область распространения Задача о начальных значениях является основной в теории гиперболических дифференциальных уравнений. Пусть задана в параметрической форме' кривая 7 в плоскости (х, у) в зави- зависимости от параметра s: х = х (s), у =у (s). (Мы предположим, что производные xs (s), ys (s)— кусочно-гладкие вдоль /и что x;2s-\-y2s Ф0.) Тогда задача о начальных значениях такова: определить в окрестности / решение а(х, у), v(xf у) уравне- уравнений B1.01), которое принимает на / заданные значения u(s), v (s). Предположим, что кривая / при заданных значениях и и v нигде не имеет характеристического направления; дру- другими словами, что повсюду на кривой / С помощью характеристической формы дифференциальных уравнений B2.17) эта задача может быть изучена с той же полнотой, как и в теории обыкновенных дифференциальных уравненийг\ В плоскости характеристических параметров а и C можно рас- рассматривать / как изображение линии А: а-|-|$ = 0. Характери- Характеристические параметры а и (J были введены в § 22 для кривой /, на которой а = C; мы должны только заменить р на — р. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением только односто- односторонней окрестности /. Теперь задача о начальны^ значениях может быть сформу- сформулирована для дифференциальных уравнений B2.17) в плоскости (а, р). На линии А значения л\ у, и, v заданы как непрерыв- непрерывные дифференцируемые функции а== — p = s, и мы ищем ]) Открытием этого важного факта мы обязаны Г. Леви [29].
62 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ в односторонней окрестности А решение характеристических уравнений I и II B2.17), которое принимает эти заданные зна- значения на А. (Предполагаем, что коэффициенты в B2Л 7) имеют две непрерывные производные по своим аргументам.) Чтобы построить решение, продифференцируем уравнения 1+ и Н+ по р и уравнения 1_ и Н__ по а, и получим таким обра- образом четыре уравнения, линейные относительно xa?t д/а[5, иа?, vor Определитель этих линейных уравнений согласно B2.9), B2.12)> B2.20) отличен от нуля и равен аТ (С+— СJ. Можно поэтому разрешить их относительно ха^ у^ иа^ va? и получить систему уравнений вида X«^fv Л?=/2. U*=*U ^аЭ=Л> B4'01) где функции / имеют непрерывные первые производные по любой из величин х, у, и, v, ха, уа, л:р| у^ иа9 ир, va9 t>p. По заданным начальным значениям и уравнениям B2.17) можно определить эти 12 величин на линии А. Тогда задача о на- начальных значениях для уравнений B4.01) может быть решена методом итераций *> в окрестности начальной линии А. Процесс итераций, дающий значения и, v, х, у в точке а, р, основан только на интегрировании функций f. по треугольнику АВР> как это показано на рис. 1. Предположив, например, что на- начальные значения равны нулю, мы определим последователь- последовательность функций х{п\ у{п\ и{п\ v{n) от а и 3 по рекуррентным формулам: АВР и так же для у, и и v. Можно* показать, что эта последователь- последовательность сходится к решению уравнений B4.01). Решение урав- уравнений B4.01) дает решение характеристической системы B2.17). Решение характеристической системы B2.17) эквивалентно ре- решению исходной системы B1.01), если якобиан хау^~- х^уа не равен нулю. Детальное доказательство есть в цитированной выше лите- литературе. (Несколько иной и более общий способ изложен в раз- разделе 32.) Из процесса итераций становится ясным, что значения и9 vy х, у в точке Р = (а, Р) зависят только от начальных значений на отрезке между точками Л = (—р, р) и В = (а, — а), указан- ') См. [32], гл. V, раздел 5.
§ 24. ЗАДАЧА О НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 63 ними на чертеже. Пусть мы имеем на треугольнике АВР два решения дифференциальных уравнений с одинаковыми на- начальными значениями на отрезке АВ (но могущими различаться вне его). Тогда эти два решения совпадут на всем треуголь- треугольнике АВР. Наш результат имеет следующее важное значение для плоскости (х, у). Пусть решение и {х, у), v {х, у) с непрерыв- непрерывными вторыми производными дано в окрестности исходной кривой /. Из рассмотрения, проведенного в § 22, мы знаем. Л а Рис. 1. Треугольник в пло- плоскости (а, р), к которому при- применяется процесс итерации. af 0 = Const .= Const Рис» 2. Треугольная область в плоскости (х, у), в которой может быть получено решение задачи о начальных значениях. что можно ввести характеристические параметры. Поэтому наше решение приводит к решению B4.01). Так как кривые а = const и р = const являются характеристиками в плоскости (х, у), то численное значение решений и> v в точке Р не за- зависит от всей совокупности значений на /, а зависит только от начальных значений на отрезке /, заключенном между двумя характеристиками, проходящими через Р. Участок линии / между двумя характеристиками называется областью зависи- зависимости для точки Р. Смысл этого названия заключается в сле- следующем. Теорема единственности. Рассмотрим решение {обладающее непрерывными вторыми производными) уравне- уравнения B1.01) в области АВР, ограниченной двумя характери- характеристиками, проходящими через точку Р, и отрезком АВ, отсе- отсекаемым этими характеристиками на исходной кривой I. Предположим, что другое решение принимает на АВ те же значения, что и первое {второе решение тоже непрерывно
¦ы ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ на I со своими вторыми производными). Тогда оба реше- решения тождественны во всей области АВР. Важный частный случай имеет место тогда, когда Е1 и Е2 s B1.01) обращаются в нуль всюду, где & = i> = 0. Тогда u = v = 0 в АВР есть единственное решение, равное нулю в области зависимости АВ точки Р. Областью распространения точки Q на начальной линии / называется совокупность всех точек плоскости [х,у), на кото- которые влияет начальное значение в Q. Область распространения точки Q определяется всеми точками Р, области зависимости Область зависимости Рас, 3. Область зависимости точки. Рис. 4. Область распростране- распространения точки на начальной кри- кривой. которых содержат точку Q; все точки Q находятся в углу между .двумя характеристиками, проведенными через Q. Мы будем применять эти понятия как в том случае, когда одна из неза- независимых переменных, скажем у, имеет смысл времени (см. § 35), так и в случае установившегося сверхзвукового потока, когда хну—- пространственные координаты и и и v — компоненты скорости. Существование областей зависимости и распространения характерно для распространения волн, в противоположность состояниям равновесия, у которых состояния всех точек среды взаимно связаны, причем дифференциальные уравнения, соот- соответствующие последнему случаю, эллиптические; как изве- известно из общей теории дифференциальных уравнений в част- частных производных, их решения суть аналитические функции, -определяемые во всей области по их значениям в какой- либо, даже малой, области. С другой стороны, в задачах, связанных с распространением волн, решения дифференциаль- дифференциальных уравнений не обязательно аналитические. Они могут
§ 25. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАЗРЫВОВ ВДОЛЬ ХАРАКТЕРИСТИК 65 быть составлены из аналитически различных кусков в раз- различных областях плоскости (х, у), что значительно облегчает решение гиперболических уравнений. Смысл понятий области зависимости и области распро- распространения неявно заключен в таких выражениях, как „среда в точке Р не знает о состоянии в точке Qa, т. е. не принадлежит к области зависимости Q. В наших построениях не выделена определенная сторона кривой /. Предыдущие рассуждения применимы к обеим сто- сторонам / для решения задачи о начальных значениях. В то время как для существования и единственности по- построенного выше решения исходные значения должны иметь непрерывные иу v и их первые и вторые производные вдоль /, могут существовать и решения, которые имеют разрывы пер- первых или вторых производных (или высших) в начальных зна- значениях. Пусть мы имеем непрерывные решения и {х, у), <о (х, у) с разрывами производных на каких-либо кривых; предположим, кроме того, что и и v имеют непрерывные вторые производ- производные всюду, кроме этих кривых. В тех точках Р, области зави- зависимости которых не содержат разрывов первой или высших производных в начальных данных, решения и, v имеют непре- непрерывные" первую и высшие производные. Из предыдущего по- построения можно заключить, что разрывы производных распро- распространяются только вдоль характеристик через точки раз- разрыва на начальной кривой I (см. [32], гл. V, § 7). До сих пор характеристики служили нам для теоретического рассмотрения задачи о начальных значениях. Однако харак- характеристическая форма дифференциальных уравнений оказы- оказывается особенно полезной для их численного решения. Чис- Численные решения часто удается получить со сравнительно не- небольшой затратой труда, если дифференциальные уравнения заменяются уравнениями в конечных разностях, как это будет далее подробно описано в гл. III, § 83. § 25, Распространение разрывов вдоль характеристик Мы сделаем дополнительные замечания о характеристиках, как возможных геометрических местах разрывов: если в точке Л, на /, какая-либо производная от начальных значений терпит разрыв, то согласно вышесказанному этот разрыв будет рас- распространяться вдоль одной или двух характеристик, прове- проведенных через Д. Больше того, как мы сейчас увидим, закон распространения таков, что разрывы производных никогда не могут исчезнуть. 5 Р. Курант и К. Фридрихе
66 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В случае, когда за переменную у выбирается время t, разрыв распространяется в одномерной области со скоростями ~зт~, определяемыми по наклонам двух характеристик, проведенных через соответствующую точку разрыва в плоскости (х, t). В двумерном установившемся потоке малые возмущения, произведенные небольшой шероховатостью границы, указы- указываются характеристиками — линиями Мала, исходящими от границы потока. Такие характеристические кривые в потоке часто действительно наблюдаются при обтекании слегка ше- шероховатой поверхности. Математически распространение разрыва вдоль характери- характеристики может быть описано следующим способом. Предполо- Предположим, что можно ввести характеристические параметры и что разрыв происходит на линии а = const, так что касательная производная остается непрерывной (вдоль а = const, т. е. по Р). Рассмотрим теперь следующие четыре скачка, задающие вели- величину разрыва: Здесь х, у, и, v считаются функциями а и C. Теперь можно вывести два однородных дифференциальных уравнения для величин разрывов вдоль а = const. Рассмотрим сначала уравнения 1+ и П+ B2.17) в точках Рх и Р2 вблизи Р по обе стороны от характеристики а = const; вычтем эти уравнения друг -из друга и заставим Рг и Р2 стре- стремиться к Р. Так как коэффициенты и производные непрерывны относительно р, мы заключаем, что B5.01) где С+, G+ (?) = (* С+ - S)/Tf и R+ =- (КС+ - Н)/Т суть из- вестные функции р вдоль а = const [см. B2.16)]. Чтобы иссле- исследовать 1_ и И_, мы сначала продифференцируем их по а и опять проведем вышеуказанный процесс вычитания. В резуль- результате получим следующие дифференциальные уравнения: Y, U, V) = 0,
§ 26. ХАРАКТЕРИСТИКИ КАК ЛИНИИ РАЗДЕЛА67 где !L, C_=(aC-S)/T, R = (Kl+—H)/T и коэффициенты линейных форм М я N суть известные функции р вдоль a = const. Уравнения B5.01—25.02) определяют величины разрывов в виде решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Поэтому эти разрывы однозначно определены и не равны нулю вдоль всей характеристики, если известно, что они от- отличны от нуля в какой-либо ее точке. Следует подчеркнуть, что рассмотрение разрывов первых производных *) в таком виде, как оно произведено в этом раз- разделе, неприменимо, когда разрыв претерпевают сами функции а и v. Мы увидим позднее, в гл. III, что характер распростра- распространения разрывов самих функций совсем иной, а именно, они распространяются как „ударные волны". § 26, Характеристики как линии раздела между областями различного типа Напомним важное обстоятельство: если течение в двух со- соприкасающихся областях описывается двумя аналитически раз- различными выражениями (например, если одна область является областью покоя или постоянства всех величин, а в другой области они не постоянны), то эти две области с необходи- необходимостью разделены характеристикой. Вообще переход из одной области в другую приводит к разрыву какой-либо производ- производной; поэтому только что высказанное утверждение прямо сле- следует из того, что производные и и v могут иметь скачки только на характеристиках. Но если даже производные и не имеют разрывов, приведенный выше результат легко получить из другого рассуждения, основанного на единственности реше- решения задачи о начальных значениях для треугольника, образо- образованного двумя характеристиками и отрезком начальной линии (см. [32], стр. 335). Если система B1.01) дифференциальных уравнений эллип- эллиптическая, то не существует действительных характеристик (см. [32], гл. III, § 2), и, соответственно, непрерывные реше- решения не имеют разрывов производных. Если коэффициенты дифференциальных уравнений являются аналитическими функ- функциями, то и решения — аналитические функции х и у и поэтому должны быть постоянны везде, если они постоянны в какой-либо области. ^ Более подробное рассмотрение распространения разрыва см. в [32], гл. V.
68 ГЛ. И. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ § 27. Начальные значения заданы на характеристике Как мы уже видели, если начальные значения и, v заданы на кривой /, не являющейся характеристикой, то с помощью наших дифференциальных уравнений можно вычислить произ- производные и и v (и соответственно все высшие производные) и найти таким образом однозначное решение по обе стороны. Что можно узнать из дифференциального уравнения в том случае, если линия /—характеристика? Ответ на этот вопрос получается сразу из рассмотрения характеристической формы уравнений B2.17). Пусть / есть (^-характеристика, на кото- которой р = const. Уравнение И+ показывает, что вдоль /значе- /значения йи^не могут быть заданы произвольно, точнее, П+ уста- устанавливает соотношение между ними, так как оно является обыкновенным дифференциальным уравнением для и и v вдоль / = С+. Поэтому можно задать произвольное значение вдоль всей кривой только для одной функции, например для и, и ве- величину v в одной точке. Во многих важных приложениях задача о начальных зна- значениях ставится не для нехарактеристической кривой /, а для двух пересекающихся характеристик. Эта характеристиче- характеристическая задача начальных значений формулируется для харак- характеристических дифференциальных уравнений таким образом. Заданы совместимые значения и и v вдоль характеристических отрезков а = а0, P = j3o (рис. 5); найти решения уравнений I и II B2.17) с этими начальными значениями для точек а, {3 в одной из четырех угловых областей, например а > а0, р > р0. Решение снова определено однозначно и может быть получено методом итераций, описанным в § 24. Для этой задачи метод конеч- конечных разностей снова оказывается подходящим средством для численного решения. § 28. Дополнительные замечания о граничных условиях Впоследствии в связи с теорией горения и детонации (см. гл. III, раздел Е) мы вновь встретим задачи, в которых исход- исходные данные для решения дифференциальных уравнений B1.01) заданы на двух нехарактеристических кривых / и 7, встречаю- встречающихся в точке О и замыкающих угловую область R в пло- плоскости (х, у) (рис. 6). Имея в виду такие приложения, мы сделаем здесь несколько замечаний. Выбирая направление для каждого из двух семейств характеристик, мы предположим, что обе характеристики, выходящие из /, входят в область /?, но только одна характеристика, выходящая из /, входит в R.
§ 28. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ 69 Удобно назвать дугу / пространственно-подобной, a У—вре- У—временно-подобной (см. [32], стр. 403)*) по причинам, разъясняе- разъясняемым в гл. Ill, разделе А. Тогда мы можем утверждать, что зада- задание двух величин на I и одной на У определяет решение в R. Точнее это можно формулировать так: проведем из некото- некоторой точки Р в R две характеристики в отрицательном направ- направлении до пересечения с /или У в точках В и А. Пусть суще- существует второе решение в /?, принимающее на отрезке ОВ на / Рас. 5. Прямоугольная область в плоскости (Ху у), в которой может быть получено реше- решение характеристической задачи о начальных значениях. Рис. 6. Область зависимости на пространственно-подобной и временно подобной дуге. те же значения и и v, а на отрезке О А на У то же значение одной из величин, например и, как и исходное решение. Тогда оба решения совпадают в области АВР и, в частности, в точке Р. Это важное утверждение выражает единственность. Оно оправдывает термин „область зависимости" для линии АВ, отсекаемой от / и У характеристиками. При формулировке теоремы единственности мы наталки- наталкиваемся на ту трудность, что она определяется двумя величи- величинами и и i>, независимо от того, является дуга У временно- подобной, в то время как там можно задать лишь одну величину. Но две величины, заданные на У, определяют временно-подоб- временно-подобный характер У в точке О в предположении, что решение непрерывно и временно-подобность сохраняется и на У. В этом *) Или пространственной и временной (термины заимствованы из спе- специальной теории относительности. (Прим. перев).
70 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ случае можно утверждать, что решение существует по край- крайней мере в той окрестности /, где J временно-подобно. Другая задача естественно возникает тогда, когда на двух временно-подобных дугах J и К задано по одной величине и две заданы в точке их пересечения О. Пусть существует решение, для которого J и К временно-подобны (рис. 7). Тогда область зависимости О А на J, ОВ на К снова отсекается двумя характеристиками, проведенными через Р в отрицатель- отрицательном направлении. Пусть суще- существует другое решение, для которого одна из величин, на- например и на ОА, и другая вели- величина, например и или v на ОВ9 и обе величины и и v в точке О такие же, как для исходного решения. Тогда оба решения со- совпадают в подобласти АВР. Эта теорема единственности, пови- димому, никогда не доказыва- доказывалась, хотя вряд ли можно сомне- сомневаться в ее справедливости при надлежащих условиях. То же можно сказать и о тео- теореме существования, согласно которой, если два направления J и К временно-подобны в точке О, то решение существует в окрестности О в том случае, когда одна величина задана на /, одна на К и две в О таким образом, что данные непре- непрерывны в точке О. Предыдущие утверждения составляют основу для полного рассмотрения уравнений газовой динамики в случаях, охарак- охарактеризованных в § 20. Во всех этих случаях приведение урав- уравнений к характеристическому виду открывает путь для теоре- теоретического и численного изучения, что будет показано в гл. III и IV. Теперь же мы продолжим общую теорию, рассмотрев вопрос большой важности — простые волны. § 29. Простые волны. Течение, примыкающее к области постоянных значений Очень часто мы встречаемся с таким положением: в области (I) плоскости (х,у) решение дифференциальных уравнений B1.01) или, как мы будем говорить проще, „поток" постоя- постоянен. С этим потоком граничит другая область (II), в которой и я v меняются. Тогда, как мы видели в § 26, эти области разделены характеристикой С. Мы покажем в этом разделе, х Рис. 7. Область зависимости на двух временно-подобных дугах.
§ 29. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ. ТЕЧЕНИЕ У ОБЛАСТИ ПОСТОЯННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 71 что поток в области (II), граничащей с областью постоянного потока (I), имеет особенно простой вид, если дифференциаль- дифференциальные уравнения B1.01) приводимы, т. е. если коэффициенты Л, В, С, D при производных их, uv, vx, v зависят от и и v и не зависят от хиу, а свободные члены Е равны нулю (см. § 21). В этом разделе мы будем иметь дело только с приводи- приводимыми дифференциальными уравнениями, которые мы предпо- предположим гиперболическими. Такие уравнения обладают двумя фиксированными семействами характеристик в плоскости (и, v) Г+: р (и, v) = const и Г_ : а (и, v) = const. Как было по- показано в § 21, приводимое дифференциальное уравнение может быть приведено к линейному, если не равен нулю якобиан J — uxvv — uyvx. Теперь мы займемся решениями и (х, у) и v (х, у), у которых якобиан j равен нулю во всей области и которые поэтому нельзя выразить через решения соответствующих линейных уравнений. Такие решения или те- течения называются простыми волнами. Простые волны играют основную роль при построении решений в задачах газовой ди- динамики. В частности, мы покажем, что решение в области, соседней с постоянным потоком, всегда является простой волной. В области (I) постоянного потока оба семейства характе- характеристик суть прямые линии, так как постоянные значения и и v приводят к постоянным значениям р и а. Мы покажем, что в области простой волны по крайней мере одно семейство С-характеристик состоит из прямых линий. Начнем с математического определения простой волны как течения со следующими свойствами: область течения заполнена семейством С-характеристик одного рода, на- например С_, изображения которых в плоскости (и, v) все попадают на одну и ту же Т-характеристику, например Т°_. Иными словами, изображение (и, v) всей области простой волны лежит на одной характеристике Т\ Ясно, что изображение каждой дуги характеристики С^ в области простой волны лежит на какой-либо характери- характеристике Г^_. С другой стороны, это изображение целиком лежит на Г_, потому что изображение всей области простой волны целиком лежит на т\ Поэтому изображение каждой характе- характеристики второго рода С^ состоит из одной точки, являющейся пересечением Г, и rV Но это значит, что величины и и v постоянны на каждой характеристике второго рода С+, В част-
72 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ности, наклон -~^ = С+ {и, v) этой характеристики постоянен, и поэтому она является прямой линией. Иными словами, область простои волны заполнена отрезками характеристик С+> несущих постоянные значения и и v и поэтому прямыми. Из этого непосредственно следует Основная лемма. Если в некоторой области течение про- происходит при постоянных значениях и и v9 то в соседних областях оно либо тоже постоянно, либо является простой волной. Рассмотрим область R, в которой и и v — непрерыв- непрерывные функции х и у и которая содержит область S, где uvlv постоянны на (^-характери- (^-характеристиках. Через каждую точку области R проходит (^-харак- (^-характеристика. Рассмотрим под- подобласть R' области /?, состоя- состоящую из таких точек R, для которых С_ -характеристика пересекает область 5. Тогда точная формулировка основ- основной леммы состоит в том, что течение в подобласти R' яв- является простой волной. Дока- Доказательство следует немедлен- немедленно: изображение S в плоско- плоскости (и, v) есть точка. Поэ- Поэтому изображение всех характеристик С_ в R' лежат на характеристике Г, проходящей через эту точку. Но через точку проходит только одна особая характеристика. Поэтому все изображения лежат на одной и той же характеристике Г _. Тогда но определению течение в R' является простой волной. Из основной леммы следует основная теорема: течение в области, соседней с постоянными значениями и, v, есть простая волна. В самом деле, линия, разделяющая области постоянных и непостоянных значений, есть отрезок характеристики, и эта характеристика, граничащая с постоянной областью, несет тоже постоянные значения и и v, как и все характеристики в посто- постоянной области. Отсюда ясно, что в соседней области R' тече- течение является простой волной. Приводимые дифференциальные уравнения B1.01) обладают множеством различных решений вида простой волны и инте- интересно выяснить, по каким признакам можно установить частный Рис. 8. Область простой волны, гра- граничащая с постоянным течением.
§ 29. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ. ТЕЧЕНИЕ У ОБЛАСТИ ПОСТОЯННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 73 тип простой волны. Естественная возможность, соответствую- соответствующая типичным физическим задачам, такова: заданы значения а = и (s), v = v (s) вдоль кривой В: х = х (s), у =у (s) так, что изображение в плоскости (и, v) лежит на определенной Г-харак- теристике, например на Г_. Тогда наклоны прямых ^-харак- ^-характеристик, выходящих из каждой точки [x(s), y(s)] кривой В, равны -^- = С+ [u(s), v(s)] и значения и и v на этих ^-харак- ^-характеристиках постоянны вдоль них: a=r/(s), ^ — ^E). Поэтому х Рис. 9. Область простой волны, граничащая с произвольной кривой. Рис. 10. Центрированная простая волна. течение может быть описано равенствами x~x(s)-\~o, j/~ =j/(s) + aC+, u = u(s), v==v(s), содержащими два параметра s и а. Мы предположим, что кривая В нигде не касается С+-направления: Тогда якобиан д(х,уIд(а, 5)—Л + а(^+Х^~ ^+хз не Равен нулю на В. Поэтому в окрестности В х и у могут служить независимыми параметрами Легко проверить, что функции ti(x,y) и v(x9 у), полученные таким способом, являются простыми волнами и удовлетворяют дифференциальным урав- уравнениям. В частном случае, когда кривая В вырождается в точку О и все прямые характеристики С+ исходят из этой точки, волна называется центрированной с центром О. Такая цент- центрированная простая волна, очевидно, определена, если задан соответствующий участок Г -характеристики.
74 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ § 30. Преобразование годографа и его особые точки. Предельные линии Мы прибавим несколько замечаний относительно „преоб- „преобразования годографа44, описанного в § 21, в качестве метода введения приводимого уравнения B1.01) для (и, v) как функ- функций (х,у) к линейному уравнению B1.03) для (х,у) как функций (и, v). В § 29 мы изучали простые волны в области течения, где j:=^x^y — uvvx = 0> и поэтому преобразование годографа невозможно. Рассмотрим теперь случай, когда У = 0 только вдоль гладкой кривой. Мы будем интересоваться также тем случаем, когда якобиан J = xuyv— xvyu Равен нулю вдоль кривой в плоскости {и, v) в области, где преобразованное диф- дифференциальное уравнение B1.03) обладает гладким решением. Как мы увидим в гл. IV (см. § 105), оба эти случая важны в теории установившегося двумерного потока. Займемся здесь математическими фактами, относящимися к особым точкам от- отображений. Рассмотрим отображение плоскости (?, г\) на плоскость (;', V) и предположим, что в точке О(? = т] =0) J = St\-tft = O, C0.01) в то время как не все производные ^, 5 , y\[t V равны нулю. Этим предположением мы исключаем особенности типа точек разветвления, такие, какие встречаются в теории потенциала и вообще у решений эллиптических дифференциальных урав- уравнений вида B1.01). Если мы, например, предположим, что *>}: 7^= 0, то из условия ~Жч) = ^ ~ V* ^ ° C0.02) следует, что геометрическое место точек у = 0 есть гладкая кривая, проходящая через О, или так называемая „критиче- „критическая" кривая. Ответ на вопрос, как выглядит отображение окрестности О в окрестности точки О' (?' = г\' = 0), следующий: Изображение всей окрестности О в (?, ^-плоскости не является полной окрестностью Ог в (V, т/)-плоскости, но только частью окрестности, получившейся как бы от того, что оригинал сложен вдвое и накрывает сам себя. Область изображения состоит из двух листов, соеди- соединяющихся вдоль края. Этот край является изображением критической кривой j = 0. Имеется одно „исключительное"
§ 30. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА И ЕГО ОСОБЫЕ ТОЧКИ 75 направление, проходящее через точку О, такое, что изо- изображения любых кривых С, проходящих через О в этом исключительном направлении, имеют углы в точке О'; их Рис. 11. Отображение окрестности критической кри- кривой (жирная сплошная линия). На рисунке изображены три кривые, пересекающие критическую кривую в исключительном направлении и имеющие на отобра- отображении углы (тонкие сплошные линии), и три кривые, проходящие в неисключительном направлении, кото- которые в отображении касательны к краю (тонкие пунк- пунктирные линии). направления в этих углах зависят от кривизны критической кривой в точке О. Это исключительное направление (i, т}) задается условием \'=#+ф - о, v = -пЛ+rfi - о. (зо.оз) Все „неисключительные^ направления, проходящие через О, отображаются в одном и том же направлении, именно в „направлении края". Иначе говоря, изображение любой
76 ГЛ. И. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ кривой, проходящей через точку О в неисключительном напра- направлении, касается края в точке О' и не имеет в ней угла, т. е. из- излома, и, вообще говоря, переходит с одного листа на другой. Эти утверждения легче всего проверить, подвергая пло- плоскости (?, т]) и (?' V) двум линейным или аффинным преобра- а' Рис. 12. Отображение в окрестности критической кривой в специальных координатах. зованиям, таким, чтобы отображение можно было после этого записать в виде C0.04) где а, : и с/, т' обозначают новые координаты, а многоточия стоят вместо членов порядка выше второго. В этих перемен- переменных якобиан равен > + ..., C0.05) где точки снова стоят вместо членов более высокого порядка по сравнению с а2. Тогда условие C0.02) в точке О сводится
§ 30. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА И ЕГО ОСОБЫЕ ТОЧКИ 77 к тому, чтобы ЫфО. Критическая кривая с уравнением у = 0 в отображении дает уравнение края: ^L0'2-f... C0.06) Поэтому направление края в плоскости (з', i') определяется условием rfx' = 0. Как видно из C0.04), каждая кривая в пло- плоскости (а, т), проходящая через точку О и имеющая уравнение т = ?а + ..., C0.07) отображается в кривую с уравнением т' = (L + 2М р + N Р) (УУ +..., * C0.08) которая таким образом касается края. Соответственно каждое направление с d-z ф0 в точке О не исключительно. Каждая кривая, уравнение которой вблизи точки О а = ат2 +..., C0.09) отображается согласно C0.04) кривой, задаваемой в пара- параметрической форме a' = (a + //)^-[-..., t'-=Wt2 + ... C0.10) Так как Ыф0, то эта кривая имеет угол при О', т. е. в точке т = 0. Очевидно поэтому, что исключительное направление через точку О дается условием da--=0. Заметим, что в изломе кривая изображения имеет вообще бесконечную кривизну. В том частном случае, когда C0.02) несправедливо и по- поэтому N = 0, критическая кривая сама имеет исключительное направление в точке О; поэтому ее изображение, т. е. край, образует тогда, как легко убедиться, две ветви, сходящиеся в углу в точке О'. Изображение всей окрестности точки О в плоскости (?, 7]) образует складку из трех слоев. Один из этих слоев покрывает „область угла" между двумя краями и со- соединяется на каждом из этих краев с одним из двух других слоев, которые смыкаются по ту сторону угла. Вышеизложенное поясняет возможности, возникающие при отображении плоскости (х, у) на плоскость {иу v)y и, наобо- наоборот, те свойства, которыми обладает решение и(х, у), v{x,y) приводимого дифференциального уравнения B1.01). Рассмот- Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение B1.01) для (и, v) как функций (х, у), соответствующие линейные уравнения B1.03) для (х,у) как функций (и, v) и характеристические уравнения B2.17) 1 * = ^ ^'^ C0.11) И 7«e«-(aC+-S)i»e, Tu^~(a:_~S)v?,
78 ГЛ. П..ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ?-4_> k_> a> T, S зависят только от (и, v). Предположим, что координаты выбраны так, что С+ и С_ конечны и ТфО и афО [см. B2.09) и B2.20)]. Далее предположим, что в рас- рассматриваемой области ?_#С+ [см. B2.12)], так что через каждую точку проходят две различные характеристики. Рассмотрим прежде всего решение (х, у) линейных урав- уравнений B1.03) и соответствующее отображение плоскости (и, v) на плоскость (х,у), предполагая, что якобиан C0.12) Исключительные С Предельная линия Иск/пошивепьная Г Неисключительная Г Рис. 13. Отображение, даваемое решением приводимого диф- дифференциального уравнения, включающее предельную линию, на отображении которой J = 0. (но не каждая из входящих в него четырех производных в отдельности) равен нулю на критической кривой плоскости (и, v). Изображение этой критической кривой в плоскости (•*> У)> т* е- кРай складки, называется преоельной линией. Так как мы имеем два фиксированных семейства Г характеристик в плоскости (и, v), то можно ввести такие два параметра (а, р), что Тогда из равенства нулю J следует, что ЗД —*еЛ = 0 C0ЛЗ> или согласно уравнению I в C0.11) A--1+)х<*1 = 0. C0.14) Но так как по предположению С_ ф С+, мы заключаем, что вдоль критической кривой либо ха — 0, либо х~ = 0. Предпо-
§ 30. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА И ЕГО ОСОБЫЕ ТОЧКИ 79" ложим, что ха = 0, тогда по уравнению 1и j/a = 0. Из условия C0.03) тогда следует, что одно характеристическое направ- направление, в нашем случае d р = 0, исключительное. Соответст- Соответствующая „исключительная" С-характеристика имеет излом на предельной линии. Изображения всех кривых в плоскости (ut v), пересекающих критическую кривую в направлении, отличном от исключительного, касаются предельной линии. Это относится, в частности, к другой, не исключительной С-характеристике. Итак, предельная линия является огибаю- огибающей семейства неисключительных С-характеристик. Исключительная Г fipau- X U Рис. 14. Отображение решения приводимого дифференциаль- дифференциального уравнения, включающее переходную характеристику, на которой J = 0. Рассмотрим далее отображение плоскости (х, у) на пло- плоскость (и, v), даваемое решением (и, ^исходного квазилиней- квазилинейного уравнения B1.01), в предположении, что якобиан Л' fit as \ 1] tjt /Qf| 1 Ц\ Jt—I xv — ух \O\J. 1 Of (но не образующие его четыре производные) обращается в нуль на критической кривой в плоскости (х, у). Такую кривую мы назовем линией перехода. Здесь также линия перехода является С-характеристи- С-характеристикой, а ее изображение, край складки в плоскости (и, <v)p есть Т-характеристика. С-характеристика другого рода — исключительная; ее изображение пробегает все точки одного отрезка V-характеристики до края в одном направлении и потом те же точки в обратном направлении. Изображе- Изображения всех кривых в плоскости (х, у), пересекающие линию перехода в неисключительном направлении, касаются угла^
;80 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Чтобы доказать эти утверждения, мы введем в окрестности линии перехода характеристические параметры (а, р) так, чтобы Тогда из J = 0 следует, что uv^ — u?va — 0, или согласно урав- уравнению II в C0.11) я(С_~С+)г^р —0; так как а^О и С_^С+, то либо va = 0, либо v^ — O вдоль линии перехода. Предположим, что ^а = 0. Тогда по уравне- уравнению II и wa = 0. Согласно C0.03) отсюда следует, что характе- характеристическое направление, даваемое d$ = 0} исключительное. Изображение исключительной (^-характеристики имеет угол на краю складки. Так как это изображение лежит на Г-харак- теристике, а Г+-характеристики суть фиксированные *> кривые, то ясно, что угол на изображении С+ получается при прохож- прохождении одних и тех же точек в прямом и обратном направле- направлениях. Из общей теории следует, что изображения всех кривых, пересекающих линию перехода в неисключительном направле- направлении, касаются края. В частности, край, имея характеристическое направление в каждой из своих точек, является огибающей ^„-характеристик. Но через каждую точку проходит только одна кривая с таким свойством; очевидно, это и есть сама характеристика. Другими словами, край сам является ^-ха- ^-характеристикой. Соответственно линия перехода есть (^-харак- (^-характеристика. § 31. Системы, состоящие более чем из двух дифференциальных уравнений До сих пор мы занимались в этой главе системами из двух дифференциальных уравнений, получающимися при изэнтропи- ческом течении с достаточной симметрией. Однако требования изэнтропичности и безвихревого характера течения не всегда выполняются и течение управляется системой из трех или че- четырех дифференциальных уравнений. Для таких систем из бо- более чем двух дифференциальных уравнений справедливы мно- многие положения теории, изложенной в этой главе. Характеристические направления можно определять тем же способом, как и в § 22. Надо снова искать линейные комби- комбинации дифференциальных уравнений, содержащие производные *) Как характеристики линейного уравнения. (Прим. перев.)
§ 31. СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩИЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ИЗ ДВУХ УРАВНЕНИЙ 8] неизвестных функций только в одном направлении. Такое на- направление называется характеристическим. Система из п урав- уравнений с п неизвестными функциями двух переменных приводит к алгебраическому уравнению я-ой степени для характеристи- яеских направлений в каждой точке. Если все они действи- действительны и различны, то система называется вполне гипербо- гиперболической. Упомянем о нескольких частных случаях. Для трех уравнений одномерного неизэнтропического по- потока A7.01 — 17.03) три характеристические направления нахо- находятся по следующим формулам: С.:—= Я + ?, С :4* = и-<г, Со: — = и, C1.01) -г dt ' dt > о dt > V / что будет подробно выведено в § 34. Три характеристики, проходящие через точку, имеют следующий смысл: С+, С_— пути двух „звуковых волн", как в § 23 [см. B3.05)], и Со — путь частицы (см. рис. 15). Задача о начальных значениях, однако, может быть при- приведена к задаче только с двумя функциями путем перехода к представлению Лагранжа [см. A8.10)] в предположении, что энтропия является заданной функцией параметра Лагранжа А. Установившийся неизэнтропический двумерный поток управ- управляется четырьмя дифференциальными уравнениями для четырех величин иу v, т и S как функций х и у [см. G.08 — 7.11)]. Четыре характеристики, проходящие через точку, суть две „линии Махаа, найденные в § 23 [см. B3.11)], и линия тока, сосчитанная дважды. Задачу о начальных значениях для этих уравнений опять можно свести к задаче, содержащей только две функции, введя функцию тока ф [см. A6.12)] и какую-нибудь другую вели- величину, например скорость q, как неизвестные функции и рас- 1 л сматривая энтропию 5 и постоянную Бернулли — q2 как задан- заданные функции ф. Существуют, однако, задачи, где приведение к случаю двух неизвестных функций невозможно; поэтому изучение общей системы квазилинейных дифференциальных уравнений с п не- неизвестными функциями и} ,..., ип, п > 2 имеет не только тео- теоретический интерес, но важно и для приложений. Замеча- Замечательно, что теория интегрирования, развитая в предыдущих разделах этой главы, может быть видоизменена и обобщена так, что возникает возможность доказать существование и един- единственность решения и развить надлежащие численные методы интегрирования. 6 P. KVnOUT IT V <hnUTT<VT*V,.
82 ГЛ. П. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Метод рассмотрения, намеченный в настоящем разделе, не- несколько проще, чем указанный ранее [см. C3.34)]; он получит дальнейшее развитие в работе, которая должна появиться в печати. Рассмотрим п дифференциальных уравнений (/=1 п) (з с коэффициентами а, Ь, с, зависящими от ху уу и1,..., ипГ). Снова, как и в § 22, мы возьмем какое-нибудь решение и1, ...,uw и будем искать кривые С: х(о),у(о) такие, что ли- линейные комбинации X.L. дифференциальных уравнений, долж- должным образом подобранные, будут содержать производные только по параметру кривой о: = 0. C1.03) Точно так же, как в § 22, мы най- найдем, что необходимым и достаточ- достаточным условием существования таких характеристических направлений является совместность следующих линейных однородных уравнений для X,: C1.04) Это условие равносильно обращению в нуль всех определите- определителей /1-го порядка, содержащихся в матрице, из которых пер- первым является Рис. 15. Область зависимости АВ точки Р для решения си- системы с тремя характеристи- характеристиками. т. е. алгебраическое уравнение я-ой степени для отношения ¦р. C1.06) dy_ ' dx J) Знак суммирования, как обычно, опущен; в членах, где какой-нибудь индекс встречается дважды, по нему производится суммирование.
§ 31. СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩИЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ИЗ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ^3 Мы предположим, что имеются п различных действительных корней Clf C2, ...,СЛ или что система вполне гиперболическая. Тогда существуют п семейств характеристик Cv, удовлетворяю- удовлетворяющих обыкновенным дифференциальным уравнениям ?-'_. C1.07, причем каждое семейство заполняет рассматриваемую область плоскости (л:, у). Как в § 22, мы положим равным нулю опре- определитель из любых пу кроме первых п уравнений C1.04), и найдем, что исходные дифференциальные уравнения объеди- объединяются в линейные комбинации вида y = 0 на Cv, v = l,...fn, C1.08) где d означает дифференцирование вдоль кривой Cv и где коэффициенты Afv/ и iVv суть известные функции Ш\ х, у и неисчезающего определителя \MyJ\. Вместе с C1.05) эти урав- уравнения C1.08) образуют характеристические уравнения по отно- отношению к исходным. Для п>2 эти уравнения уже нельзя интерпретировать, как каноническую систему дифференциальных уравнений в ча- частных производных, так как п характеристик содержат п па- параметров, тогда как мы имеем только две независимые пере- переменные. Тем не менее, характеристическая форма C1.05) и C1.08) дифференциальных уравнений C1.02) удобна для теоретиче- теоретического изучения, а кроме того, позволяет развить много раз- различных численных методов, основанных на конечных разно- разностях. В результате мы имеем доказательство существования и единственности решения задачи начальных значений; анало- аналогично предыдущему непосредственно из теории получается об- область зависимости для точки Р в плоскости в виде наиболь- наибольшего отрезка начальной кривой /, отсекаемого характеристи- характеристиками, проведенными назад из Р. Линейные уравнения. Предположим сначала, что ис- исходная система линейна, т. е. что коэффициенты зависят только от х и у. Тогда п семейств характеристик являются заданными кривыми в плоскости (х, у), определяемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями C1.07). Рассмотрим сначала задачу о начальных значениях: задана кривая /, нигде не совпадающая с характеристикой, на ней заданы начальные значения W\ найти решения для всех точек Р с координатами х, у в достаточно малой области /?, прилегающей к /. Пред- Предполагается, что область такова, что п характеристик, прохо- 6*
84 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ дящих через точку Р, имеют в ней различные направления и пересекают / в различных точках Pv. Тогда, после интегри- интегрирования по частям, уравнения C1.08) могут быть записаны в виде р где интегрирование распространено по дуге Р.Р линии С. и где первые два члена в правой части — известные функции. Это соотношение сразу наводит на мысль о следующей схеме по- последовательных приближений: подставим в правую часть вместо W любое первое приближение, и{ удовлетворяющее началь- начальным условиям. Отождествив uJ в правой части со следующим приближением и1, мы получим систему из п линейных урав- уравнений для значений W в Р. Предположено, что определитель этой системы не равен нулю. Найденные значения #у как функ- функции х, у снова подставляют в правую часть, чтобы получить следующее приближение, и так далее. Нетрудно доказать, что найденное таким способом решение единственно и сходится к искомому решению исходной системы. В то же время видно, что область зависимости Р есть отрезок /, отсекаемый двумя внешними характеристиками. В общем случае нелинейной системы C1.02) представ- представляются возможными различные способы итерации. Прежде всего, можно исходить из первого приближения и^у подстав- подставляя его в коэффициенты дифференциального уравнения и по- получая таким образом линейную систему. Эта система дает вышеуказанным способом решение, являющееся вторым при- приближением и*; повторяя эту процедуру, мы получаем, как можно показать, искомое решение, сходящееся в достаточно малой области (см. [34]). Другой метод, которым можно воспользоваться, состоит в прямом употреблении уравнений C1.02), с учетом того, что с каждым шагом происходит изменение характеристик. Однако для численных расчетов кажется возможным и даже предпочтительным поступать следующим образом: рассмотрим последовательность кривых /, зависящую от параметра t, в то время как каждая кривая задается с помощью параметра s. Когда параметр t увеличивается, начиная от нуля, кривые I(t) должны плотно заполнить область /?; кроме того, мы предпо- предположим, что для заданных начальных значений и в достаточно малой их окрестности кривые / нигде не совпадают с харак- характеристиками. Выберем теперь малую величину х и рассмотрим
§ 32. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 85 кривые /=/@), lx = I(t)y /2 = /Bт) и так далее, определяя таким способом узкие полоски ?0?i > • • • Решим затем по ме- методу линейных уравнений задачу для узкой полоски 20- С этой целью построим первое приближение и/ в предположении, что заданное начальное значение остается постоянным вдоль неха- нехарактеристического семейства трансверсалей к кривым I(t), т. е. вдоль линий s = const. Подставив эти функции в коэф- коэффициенты дифференциальных уравнений, мы получим систему линейных уравнений, решение которых дает значения W на Л. С этими значениями мы решим тем же способом задачу на- начальных значений для Si и так далее. Так мы получим в области R функцию, которая, как это можно показать, при т -> 0 схо- сходится к решению исходного не- нелинейного уравнения. Изложенный метод приводит к значительному упрощению вы- вычислений. Делая шаг т малым, можно вообще избежать реше- решения задачи начальных значений внутри полосок Б, строя вместо этого просто значения W на кривой /л+1 по значениям на 1п следующим способом: из точки Р на /л+1 мы проводим п коротких прямых отрезков назад в п характеристических направлениях до пересечения с 1п в точках Pv с наклоном, определяемым значением sv вели- величины s в точке Pv. Потом мы просто заменяем дифферен- дифференциальные уравнения C1.05—31.08) разностными. Из этих урав- уравнений (линейных и содержащих только значения и) на / ) не- непосредственно получаются значения и/ на /я+1 в Р. Рис. 76. Полоски и характери- характеристические векторы в схеме ко- конечных разностей ПРИЛОЖЕНИЕ § 32. Общие замечания относительно дифференциальных уравнений для функций более чем двух независимых переменных. Характеристические поверхности Понятие характеристики может быть обобщено весьма есте- естественным образом на дифференциальные уравнения, в которых число независимых переменных п > 2. Разберем вкратце во- вопрос о характеристиках и характеристических уравнениях и выясним, почему полезность этих понятий ограничена.
86 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Немного изменяя обозначения, рассмотрим в общем случае систему из k уравнений для k функций их, х = 1 ,...,& от п переменных xv, v = 1,.. ., п, Ь^(и) = cl хихх -\-f =0, |i=l,...,A, C2.01) где avx и/ суть функции от #={#Х1 и х = /л;1 . Через каждую точку х проводим элементы <р (п—1)-мерных поверх- поверхностей, характеризуемых вектором нормали ? = { ?v}. Будем называть такой элемент поверхности характеристическим, если надлежащая линейная комбинация L = X L дифферен- дифференциальных выражений содержит производные „функции" и^= = { их) только в направлении этих элементов поверхности. Свойство элемента поверхности о быть характеристическим в данной точке зависит, конечно, только от значения и в этой точке, но не от значений производных в ней. Направление, по которому ищется производная функции иА в дифференциальном выражении Ly есть направление вектора с составляющими Х{х а^х; условие, что его направление лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору с составляющими ?\ есть поэтому Х|1а;хГ = 0. C2.02) Так как оно должно удовлетворяться для р = 1, 2,..., k, мы имеем линейную однородную систему k уравнений для Хх,..., \k, и поэтому условие существования множителей X будет иметь вид = 0. C2.03) Это — характеристическое уравнение, однородное &-го порядка для ?\ ?2,..., ?п или, если характеристический элемент принадлежит поверхности ч(хъ х2,..., хл) = 0 с $'=?г ,— уравнение в частных производных ух . Предположим, что 5= {Г} представляет характеристиче- характеристический элемент поверхности. Тогда можно найти множители X, удовлетворяющие уравнению C2.02). В этом случае дифферен- дифференциальное уравнение 1=0 будет содержать производные всех функций их только по какому-нибудь направлению, лежащему на этом элементе поверхности.
§ 32. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 87 Выразим 1=0 в такой форме, чтобы это последнее утвер- утверждение стало очевидным, для этого введем нормальную производную g^ функции g по формуле а- =0- Р предполагая, что | ? |2 == 1. Тогда g = ?' g» представляет диф- дифференцирование g по поверхности <р = 0 и может быть истол- истолковано как дифференцирование вдоль проекции х{ на элемент поверхности, а 1 = 0 запишется в виде L = \ <к ( «; - V и]) + \J,- 0 C2.04) потому что член с минусом в скобках равен нулю согласно C2.04). Очевидно, что C2.04) содержит производные только вдоль поверхностей <р = 0. Предположим теперь, что возможно построить k характе- характеристических элементов поверхности, зависящих непрерывным образом от х и и так, что соответствующие k систем множи- множителей X все линейно независимы. (Тогда система уравнений C2.01) будет вполне гиперболической [32].) Результирующие к диф- дифференциальных уравнений C2.04; равнозначны с системой C2.01). Если бы каждое из этих „характеристических уравне- уравнений" содержало производные только в одном направлении, то система C2.01) значительно упростилась бы. Но в общем слу- случае, однако, система C2.04) содержит производные по различ- различным направлениям в каждом уравнении, причем число этих направлений определено следующими неравенствами: оно <k и <я— 1. Поэтому, если k>2 и #>3, приведение к харак- характеристической форме не упрощает существенным образом наши дифференциальные уравнения. Естественно спросить, полезно ли обобщение понятия про- простых волн для функций нескольких независимых переменных. Предположим, что в области D определены k функций и1 , и2 ,..., uk , от п переменных xlt..., хп. Мы говорим, что „функция" u={uk) представляет простую волну, если об- область D пересечена семейством однопараметрических (п—1)- мерных гиперплоскостей, на которых и постоянно. Будем го- говорить, что область и занята двойной волной, если ее покры- покрывают (п — 2)-мерные двупараметрические гиперплоскости, на которых и постоянно. Отсюда ясно определение п-кратной волны. В связи с такими волнами возникают различные вопросы. Как связано свойство функции и представляться п-кратной
88 ГЛ. II. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ волной с обращением в нуль определителя матрицы iukx \ из производных и? Решением каких дифференциальных уравне- уравнений является я-кратная волна? В частности, надо знать, справедливо ли то, что решение, постоянное на одной (п — 1)-мерной гиперплоскости, является простой волной в соседней области и что решение, постоянное на однопараметрической последовательности (п — 2)-мерных гиперплоскостей, является двойной волной в прилегающей области. В ряде случаях можно ответить на некоторые из этих во- вопросов. В частности, легко показать, что каждое безвихревое векторное поле и= {&1,... >ип\ есть простая волна, если ранг матрицы iux^ \ равен единице. Ибо, если он равен единице, имеются такая функция s(x) и „функция" U(s), что и(х) = = U(s(x)). Пусть <р —потенциал, так что их = ух , и пусть Ф = ххи* — ср. Тогда ds Поэтому градиент Ф пропорционален градиенту s; отсюда сле- следует, что Ф является функцией s так что dF ds Из этого соотношения вытекает, что поверхности s = const dF dUW суть плоскости, потому что — и -^- зависят только от s. Тем же способом доказывается, что безвихревое поле есть r-кратная волна, если ранг матрицы /и* | равен г. Исходя в своих выводах из этого факта, Гизе [35] подроб- подробно исследовал геометрию простых или двойных волн, представ- представляющих изэнтропическое течение в трех измерениях.
Глава III ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ § 33. Задачи на одномерное течение Иззнтропическое течение сжимаемой жидкости допускает исчерпывающую математическую трактовку, если состояние среды зависит только от времени t и от одной декартовой координаты. Тогда дифференциальные уравнения движения приводятся к простым системам того типа, который изучался Поршень Поршень Газ X (а) Рис. 17. (а) — путь поршня (сжимающее действие); (б) — путь поршня (разрежающее действие). в предыдущей главе. Рассмотрим теперь задачу о течении, зависящем только от двух переменных, не обращаясь при этом к общим теориям. Прежде всего рассмотрим одномерное те* чение. В качестве модели одномерного течения мы обычно будем рассматривать поток газа вдоль длинной трубы, направленной по оси х. Труба может быть бесконечной, полубесконечной илк конечной, т. е. открытой с двух концов, закрытой с одного конца поршнем или стенкой или закрытой с двух концов поршнями или стенками. Если не утверждается противное, то мы будем всегда предполагать заданными постоянную началь- начальную скорость и0, давление газа р0 и плотность газа р0. Тогда движение газа обусловливается действием поршней у концов. Удобно представлять движение в координатной системе (х, t) и называть кривую в плоскости (х, t), определяющую движение частицы, „путем". Пусть координата х поршня
90 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ с левой стороны трубки, заполненной газом, равна нулю при ? = о. Тогда движение поршня представляется в плоскости (х, t) кривой Р—путем поршня, которая на рис. 17 показана для сжатия и для разрежения газа. В разделе А мы будем рассматривать общие методы реше- решения дифференциальных уравнений движения; в разделе Б изучим простейшие типы непрерывного течения газов и, в частности, волны разрежения, производимые выдвижением поршня. Раздел В посвящен разрывным движениям, приводя- приводящим к ударным волнам, которые получаются от сжатия. С некоторым ущербом для краткости изложения мы попы- попытаемся рассмотреть ударные волны с различных точек зрения. В разделе Г будет показано, как более сложные движения по- получаются от взаимодействия простых движений, изученных в разделах Б и В. В разделе Д рассмотрим разрывы, возни- возникающие при детонации и горении, которые тесно связаны с ударными волнами. А. НЕПРЕРЫВНОЕ ТЕЧЕНИЕ § 34. Характеристики В этом параграфе мы будем заниматься характеристиче- характеристическими направлениями и кривыми дифференциальных уравнений C4.01) изэнтропического одномерного течения [см. A7.01 — 17.02)], где р = /(р) — заданная функция. Характеристические уравне- уравнения, выведенные в гл. II. § 23 [см. B3.03—23.04)], таковы: + C4.02) C4.03) де c2=/(f>) [см. B.05)].
§ 34. ХАРАКТЕРИСТИКИ 91 Если ввести давление р вместо плотности р как зависимую переменную, то уравнения II принимают вид И : «=_.*?-, н :и =lL C4.04) где надо рассматривать ампеданц ос как функцию р. Из уравнений C4.03—34.04) следует соотношение (du)* + dpdx = 0 C4.05) между скоростью, давлением и удельным объемом в обоих характеристических направлениях; в этом уравнении нет коэф- коэффициентов, зависящих от решения. Можно вывести характеристические уравнения, не обра- обращаясь к формулам гл. II. При этом мы не будем предполагать течение изэнтропическим. Тогда оно характеризуется тремя дифференциальными уравнениями: C4.06) [см. A7.01 — 17.03)J, где р — заданная функция о и удельной энтропии S. Характеристические уравнения приобретают более простую и сжатую форму, если вместо р в качестве зависимой переменной выбрать р\ тогда р становится функцией р и S, что возможно согласно B.04). Соотношение между этими величинами, даваемое p=f(p, S) или позволяет исключить do из уравнения неразрывности и заме- заменить это уравнение на [см. A7.05)]. Прибавляя и вычитая из этого уравнения второе из уравнений C4.06), умноженное на с, мы находим pt+(u - c)px - р с {ut+(u - с) ах\ = 0. Эти два уравнения вместе с уравнением St-{-uSx = 0 равно- равносильны исходным уравнениям. Новый вид этих трех уравнений
92 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ подсказывает, что надо ввести три направления в плоскости (х, t), которые мы обозначим через (+), (—), @), Io: dx^udt C4.07) Отнесенные к этим трем направлениям три уравнения соответ- соответственно примут вид Н : dp = C4.08) II0: dS = 0. Так как уравнения C4.07—34.08) содержат производные только по соответствующим направлениям, то эти направления суть характеристические (в смысле гл. II, § 22) и уравнения II яв- являются характеристическими. Третье характеристическое на- направление отвечает скорости частицы. При изэнтропическом течении, когда заранее делается предположение, что S = const, характеристические уравнения приводятся к выведенным выше I и II. В следующем разделе мы покажем, что характеристики С в плоскости (х, ?) представляют пути звуковых волн. Скорость волн, идущих вперед и назад и соответствующих характери- характеристикам С+ и С__, равна по C4.02) — = и+с и— = и — с. C4.09) § 35. Область зависимости. Область распространения Характеристические направления, помимо их значения для аналитического и численного интегрирования дифференциаль- дифференциальных уравнений, играют решающую роль при рассмотрении зависимости решения от исходных данных. Ограничимся сна- сначала случаем изэнтропического течения. Пусть в момент времени t = 0 заданы значения и и р (или р) как функции х и предположим, что при t>0 существует решение, удовле- удовлетворяющее этим начальным условиям. Рассмотрим какую- нибудь точку Р в плоскости (х, f) и проведем через Р две характеристики С+, С_ до пересечения с осью х в двух точ- точках Р+ и Р__ (рис. 18). Мы напоминаем, что характеристики С+, С_ представляют решения дифференциальных уравнений /+ и /_ соответственно, применительно к решению и(х, t), р(х, t) задачи о течении. Тогда область Р+Р_ на оси х есть область зависимости точки Р (см. § 24). Это значит, что если существует второе решение задачи о течении (с не-
§ 35. ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ. ОБЛАСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 93 прерывными производными и и р по отношению к х и t), опре- определенное по крайней мере в треугольной области РР+Р_ и имеющее те же начальные значения на отрезке Р+Р__, что и первое решение, то это решение тождественно с первым в области РРР В этом смысле любое возмущение начальных значений вне отрезка Р+Р_ не влияет на значение в Р. Возмущение вне отрезка Р+Р^. в начальных значениях отнюдь не считается ^бесконечно малым"; единственное ограничение, которое здесь Рас. 18. Область зави- зависимости Р+Р- точки Я Рас. 19. Область распро странения отрезка Р^} Р&) накладывается, состоит в том, что в РР+Р_ должно существо- существовать решение с непрерывными производными, удовлетворяю- удовлетворяющее возмущенным начальным условиям. (Мы увидим далее, в § 48, что возможны возмущения, нарушающие условия не- непрерывности.) Это обстоятельство можно истолковать еще и так. Пусть начальные данные видоизменены на участке Р(^ Р+ оси х. Тогда две характеристики С^ и С®9 выходящие из точек Р^ и Р^} соответственно, заключают область, вне которой решение не видоизменяется (рис. 19). Эта область была названа областью распространения отрезка №р№ (см. § 24). То, что решение действительно меняется между границами С^ и С^ этой области, не следует из общей тео- теории, но оно может быть доказано для рассматриваемых здесь уравнений. Кривые С^ и С+ представляют движение „головы" „волны возмущения". Скорость этого движения для С+ равна и-\-с и для С_ равна и —с; относительно газа в данной точке она равна + с. Следовательно, „голова" „волны возмущения" дви- движется со скоростью звука относительно газа, чем подтвер- подтверждается название скорость звука для с. Поэтому мы и назвали С-характеристику путем „звуковой волны".
94 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ § 36. Более общие начальные данные В некоторых случаях (см., например, раздел Д этой главы) встречаются задачи, в которых заданные значения находятся не на оси х, t = 0. В настоящем параграфе мы рассмот- рассмотрим эти задачи, хотя большая часть главы не связана с ними. Прежде чем характеризовать такие задачи с един- единственным решением, мы должны ввести понятия простран- пространственно-подобных и временно-подобных направлений (назы- (называемых еще пространственными и временными). Направление (dx, dt) называется пространственно-подобным, если оба t временно -подобн, jadana одна величина с. р подобная, одно виличина\ Пространственно- подобная, заданы две величины Ьре свино- свиноподобная, одна величина Рис. 20. Пространственно-подобные и временно-подобные дуги. Рис. 21. Две временно- подобные дуги. характеристические направления с dt > 0 лежат по одну сто- сторону от него; направление (dx, dt) называется временно- подобным, если оно разделяет характеристические направле- направления с dt>0. Пространственно-подобное направление отвечает сверхзвуковой скорости движения относительно газа ; dx временно-подобное- дозвуковой скорости \ и dt < с. Пусть заданы непрерывно дифференцируемые значения на кривой в плоскости (л:, t) так, что эта кривая является пространственно- подобной (заметим, что последнее свойство связано с этими данными). Тогда, согласно теории, развитой в § 24 и 35, в окрестности кривой существует единственное решение, и область зависимости каждой точки вырезается из начальной кривой двумя характеристиками, проходящими через эту точку. Рассмотрим теперь две дуги А и В (рис. 20), заданные двумя функциями x(s), t(s) с непрерывными производными, так что Х1~^~ ?ф0. Этими кривыми, исходящими из точки О, выре- вырезается область угла R. Пусть исходные данные на А пред-
§ 36. БОЛЕЕ ОБЩИЕ НАЧАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 95 писаны следующим образом: на ней известны две величины (и и р) такие, что А является пространственно-подобной и оба направления характеристик с dt > 0 указывают внутрь угла /?. Далее, направление В временно-подобно в точке О и на ней задана только одна величина, и или р, причем все исходные данные непрерывно дифференцируемы. В точке О заданная на t Пространст- Пространственно-подобная, три величины Прсстранст- eeriHO-подобнаЯ) три величины 3; х Рис. 22. Пространственно-подобная дуга с тремя начальными данными для неизэнтропического течения. В величина непрерывно переходит в заданную на А. ^Тогда в окрестности А существует единственное решение (см. § 24). Задание таких исходных значений имеет место, например, при определении течения газа, первоначально покоившегося* if а Временно подобная, две вели чины t JB" Временно подобная, две вели ¦ чины Р Рис. 23. Временно-подобная дута с двумя начальными данными для неизэнтропического течения. когда в него вдвигается поршень, имевший начальную ско- скорость, равную нулю. На пути поршня в плоскости (х, t) ве- величина и считается равной скорости поршня, поэтому ясно, что путь поршня везде временно-подобен. Пусть, наконец, на двух дугах, исходящих из точки О, за- задано по одной величине; пусть, например, на А дано и, а на В дано р. Пусть значения и и р в точке О такие, что обе дуги временно-подобны в ней; тогда согласно § 24 в угловой области в окрестности О снова существует единственное ре- решение.
96 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ И в случае неизэнтропического потока, когда через каждую точку Р проходят три характеристики Со, С+, С_, число на- начальных данных, которые можно предписать на дугах А или В, зависит от числа характеристик, проведенных через точку Р вблизи дуги в направлении убывающего t и пересекающих дугу. Рис. 22, 23, 24 иллюстрируют различные возможные при этом случаи. t Временно! подобная,! однавели-1 \q t в Временно- подобная, l одна вели/ . чина 1/С- X X Рис. 24. Временно-подобная дуга с одним начальным условием для неизэнтропического течения. Вообще говоря, число необходимых данных и определен- определенность решения без труда выявляются при численном интегриро- интегрировании по методу конечных разностей. § 37. Инварианты Римана Если принять, что течение изэнтропическое, то можно про- проинтегрировать уравнения II C4.02) для и и р в следующем виде: C7.01) и — /(р)= — 2 5 (а), где г(р) и s (а) надо рассматривать как произвольные функ- функции а и р и где величина /(р) дается равенством I cdp I dp C7.02) p' здесь р' или рг — произвольные постоянные. Для газов всегда можно положить 1 = 0 для р = 0, поэтому />0 при р > 0. Величины г и s, введенные Ирншоу и Риманом, часто на- называются инвариантами Римана. Уравнения C7.01) выражают тот факт, что изображения 3\ и Г- характеристик С+ и С _ в плоскости (и, р) являются
§ 37. ИНВАРИАНТЫ РИМАНА 97 двумя семействами кривых, не зависящими от рассматривае- рассматриваемого решения. Это согласуется с тем, что уравнения приво- приводимы (см. § 21). 7-1 Для политропических газов с— -^д^р 2 [см. C.06)], и, таким образом, (Т-1) (считая р' = 0) или = —^2~ с. C7.04) т — 1 ' Поэтому инварианты Римана равны г = — -\—^_? -_5__^-_?_, C7.05) 2 ' -у— 1 2 7 — 1 и мы приходим к следующим основным утверждениям: dx 1 и , с ^у =ll-\-C, 1 ПОСТОЯННО ВДОЛЬ С, , dt 2 y — ^ dx и с ^ — и — с, постоянно вдоль С_ . C7.06) dt 2 7 — Интересно, что в частном случае -[ = 3 характеристические скорости суть и-\-с-=2г для С+ и и— с —2s для С_; по- поэтому скорости постоянны вдоль характеристик. Иными словами, характеристики в плоскости (х, t) — прямые линии при 7=3*. Характеристики Г+ и Г_ — фиксированные кривые в пло- плоскости (и, р), именно 7^_1 и А L Lp 2 ПОСТОЯННО ВДОЛЬ Г, , 7 — 1 C7.07) 2 I-i ^ 11 Lp 2 ПОСТОЯННО ВДОЛЬ Г_. 71 *) Этот случай был независимо найден и подробно изучен К. П. Станю- Станюковичем. Он весьма важен в приложениях. (Прим. персе.) ~ Р. Курант и К. Фридрихе
98 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Если вместо и и р выбрать и и скорость звука с в качестве зависимых переменных, то характеристики в плоскости (щ с) станут прямыми линиями (рис. 25): JLj—(L— — постоянной вдоль Г 2 f— 1 — — = постоянной вдоль Г_, 2 7- 1 C7.08) где с > 0. § 38. Интегрирование дифференциальных уравнений для изэнтропического потока Мы должны различать три типа решений [в области R плоскости (x,t)]. Во-первых, р = const, и и = const в /?; тогда мы будем говорить о постоянном потоке; правильно было бы назвать течение также и „равномерным". Во-вторых, либо а = const либо [3 = const в R. Тогда изображение области R в плоскости (и, р) целиком лежит на кривой г = const или s = const, т. е. на характеристике. Согластно § 29 мы имеем тогда в области R простую волну. Такие простые волны будут подробно рассмотрены в § 40. Наконец, возможно, что в R не постоянно ни г, ни 5. Точ- Точнее, каждой паре значений г и 5, встречающейся в /?, отве- отвечает только одна точка в R. Тогда и только тогда s и г могут быть введены как независимые переменные вместо и и р. Заме- Заметим, что ввиду того, что — > 0, р, а следовательно, и с могут dp рассматриваться как функции /. По уравнениям C7.01) / = r + 5, u = r — s, C8.01) и мы видим, что и-\-с и и — с — известные функции г и s. Поэтому характеристические уравнения I х*в(и + с)*з> xr = (u>~~c)tr C8.02) [см. C4.02)] можно рассматривать как систему из Двух линей- линейных дифференциальных уравнений для х и t как функций от г и s. Исключив х, мы получим одно линейное дифференци- дифференциальное уравнение второго порядка для t(r, s) 2ctn^(u + c)rts-(u-c)str = 0. C8.03) Если найдена функция t(r, s), являющаяся решением этого дифференциального уравнения, то из предыдущих уравнений
§ 38. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ИЗЭНТРОПИЧЕСК- ПОТОКА 99 непосредственно находится функция x(r, s). В случае поли- тропического газа, с= ^— (r-\-s), u = r—s [см. C7.04) и C8.01)], уравнение C8.03) приводится к виду где согласно A4.06) 7+1 Уравнение, эквивалентное этому, было впервые получено Риманом [38], причем именно задача об одномерном течении газа привела Римана к его знаменитой теории гиперболиче- Рис. 25. Характеристики в плоскости (о. с). ских линейных дифференциальных уравнений. В частном слу- случае политропических газов, рассматриваемом здесь, можно найти явное решение задачи о начальных значениях с по- помощью гипергеометрических функций (см. § 82). Для частных значений т. е. для ~ N=0, 1,2, 3,... C8.05) 3, 5/3, 7/5,... уравнение C8.04) интегрируется в элементарных функциях. При N = 09 f = —1 (см. § 4) мы имеем 2у2 = со, и урав- уравнение C8.04) приводится к линейному волновому уравнению trs — 0 с общим решением t = f(r)-\-g(s), где/ и g*—про- g*—произвольные функции. 7*
100 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ При 7 = 3 мы имеем 2 jj.2 = 1, и уравнение C8.04) приво- приводится к виду (r + s)tn + ts + tr = O или ttr + s)t)n=O, которое имеет общее решение с произвольными функциями fug. Легко проверить, что общее решение уравнения C8.04) для частных значений т C8.05) (с N>\) есть drN~l ( с произвольными функциями / и g и произвольной постоян- постоянной к. При надлежащем выборе /(г), g(s) и к можно удо- удовлетворить начальным условиям задачи. Надо отметить, что значение 1,4 = 7/5, которое имеет т для воздуха, входит в число специальных значений C8.05); значе- значение т= 11/9^ 1,2 подходит для газообразных продуктов го- горения или других химических реакций *). Как мы увидим в § 82, предшествующие замечания имеют важные приложения в теории взаимодействия волн. § 39. Замечания относительно представления Лагранжа Переход к представлению Лагранжа (см. гл. I, § 18) не вносит никаких существенно новых идей. Независимые пере- переX менные A=fp(?)d? и ? связаны с зависимыми переменными и \\ 1 соотношением dx = i dh -f- и dt, C9.01) которое следует из A8.026) и того, что xt = u. Подставляя соотношение C9.01) в характеристические уравнения C4.02-— 34.03), мы получаем характеристическую форму дифференци- *) Значение -у = 5/3 имеет место для одноатомных газов, a y — 3, как это показали Ландау и Станюкович, хорошо подходит для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ. (Прим. перев.)
§ 40. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ \Q\ альных уравнений A8.12) изэнтропического течения в коорди- координатах Лагранжа: I II C9.02) С_: fip = — k(i)tp, Г : и? = — *С0> где &(т)= - есть импеданц [см. A8.09)]. Характеристики Г+ и Г_ в плоскости (и, т) снова можно записать в явном виде и= ±]k(z)dz = const C9.03) о При неизэнтропическом течении импеданц зависит, кроме удельного объема х, еще и от удельной энтропии «S. Третье характеристическое уравнение тогда будет иметь вид Io Co: dh = O, и соответствующая характеристика представляет путь частицы. Соответствующее уравнение II есть Ио Го: dS = 0, и может быть проинтегрировано в виде S = S(h). Поэтому если известна энтропия 5 как функция Л, то остается решить только два уравнения I (см. гл. I, § 18). Б. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ И СЖАТИЯ § 40. Простые волны В § 38 мы рассмотрели три типа решений для изэнтропи- изэнтропического течения: 1) поток, в котором и п р постоянны; 2) простые волны, в которых постоянны г или s; 3) общий случай течения, в котором непостоянны ни г, ни s. Простые волны часто применяются для построения решений задач об одномерном изэнтропическом течении. В этом пара- параграфе мы рассмотрим такие простые волны в общих чертах; в дальнейшем мы применим их для решения конкретных задач. В § 29 было установлено следующее основное свойство про- простой волны: характеристики С одного рода являются прямыми
102 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ линиями в плоскости (х, t). Другими словами, эти характери- характеристики представляют распространение с постоянной скоростью. В частности, если инвариант — 2s = и — 1(р) постоянен в об- области волны, то прямыми будут С+-характеристики, r= const. Скорость соответствующих звуковых волн, и-\-с, больше, чем скорость частиц и; следовательно, путь частиц подходит к ха- характеристике, справа, т. е. со стороны больших значений х. it Путь Путь Рис. 26. Обращенная вперед волна разрежения. Рис. 27. Обращенная назад волна разрежения. Поэтому такие волны называют обращенными вперед. Если, с другой стороны, 2r~u-\-b(р) постоянна в области течения, то С_ - характеристики — прямые, и волна называется обра- обращенной назад. Согласно основной теореме § 29 решение в области, смеж- смежной с постоянным потоком, есть простая волна. Ясно, что переход из зоны постоянного течения в зону простой волны происходит по характеристике. Рассмотрим простую волну, обращенную вперед. Переход из области волны в область по- постоянства потока происходит через прямую характеристику С°+, называемую головой волны, если газ втекает через нее в волну, или хвостом волны, если газ вытекает через нее из волны. Пусть и и р суть скорость и плотность в области постоянного потока, тогда везде в области простой волны а — 1=щ — 10, /о = /(Ро). D0.01) В частности, если начальная характеристика ограничивает об- область покоя, то и-1= — 10. D0.02) Из неравенств dl/d р > 0 и dpjd р > 0 следует, что в волне, обращенной вперед, плотность и давление изменяются в том
§ 40. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 103 же направлении, как и скорость газа (и в обратном напра- направлении в волне, обращенной назад). Простая волна называется волной расширения или разре- разрежения, если давление и плотность газовой частицы в ней уменьшаются; если же они увеличиваются, то говорят о волне сгущения или сжатия. Путь Рис. 28. Обращенная вперед волна сжатия Рис. 29. Обращенная назад волна сжатия Скорость распространения „звуковых волн" dx/dt, представ- представленных прямыми характеристиками С+, равна согласно C4.09) и D0.01) - /0 + Щ. D0.03) Быстрота из\1енения этой скорости относительно газа, для частиц которого и==^ /(р) — 10-{~и0, равна dc + dl ___ pdc + cdp __ d(pc) _ _^ *&- dl cdp cdp 2 gx >0 D0.04) согласно B.04), B.05) и основному предположению B.06). По- Поэтому для обращенной вперед простой волны d(u-hc) du D0.05а) Подобным же образом для волны, обращенной назад, в кото- которой и-\-1 = 10, мы имеем согласно D0.04) d(u — c) п du D0.056) Другими словами, если в зоне простой волны, скорость звука увеличивается, то скорость распространения звуковых волн и + с или и — с тоже увеличивается.
104 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Для политропических газов мы находим согласно C7.04), что / (р) == с'р' . Поэтому основное соотношение в простой волне, обращенной вперед [см. D0.01)], есть и--2-с~и0 2—cQf D0.06) 7-1 7—1 или, в частности, если начальное состояние @) есть состояние покоя, 2 2 U С —— ?q, ^"tvJ.U/ / где с0 — скорость звука в покоящемся газе. Если ввести со- сокращенное обозначение [см. A4.06)] ^ = 2—-, 1—^ :=-!-, D0.08) 7+1 Y+1 то соотношение D0.06) может быть записано в виде ^ (и - и,) = A - it*) (с —с0). D0.09) В этом случае (т. е. для политропических газов) рассмотрен- рассмотренное уравнение совпадает с уравнением единственной характе- характеристики Г_ в плоскости (и, с), относящейся к простой волне, в согласии с общей теорией гл. II, § 37. Она оказывается тоже прямой линией (рис. 29). Величины ру р и с в обращенной вперед простой волне можно легко выразить через скорость и при помощи D0.06) и того, что -?- = /-?-) у S- = (-L-\ [см. C.03), C.06)]. Тогда будем иметь "(« — «о)-
§ 41. ИСКАЖЕНИЕ ФОРМЫ ВОЛНЫ В ПРОСТОЙ ВОЛНЕ Ю5 Для дальнейших приложений мы выпишем члены разложений Р—Ро> т"~ то и Р — Ро п0 степеням и— и0 до второго порядка включительно: и — ио) + 1~ --- D0Л1> где положено, что y/^о === Р со* Эти формулы полезны для сла- слабых или умеренно сильных простых волн, т. е. таких, в ко- которых имеют место сравнительно слабые изменения (см. § 74). § 41, Искажение формы волны в простой волне Чтобы проиллюстрировать течение газа в простой волне, мы покажем, как меняется со временем распределение величин и> с, р, р в зависимости от t. Пусть простая волна обращена вперед и распределение и и с в момент времени t = 0 за- задано двумя функциями u = F(x)y c = G(x), удовлетворяющими соотношению и — / = const [см. D0.01)], где / есть задан- заданная функция с. Звуковая волна, исходящая вперед из точки л; = 5 в момент ? = 0, распространяется с постоянной скоростью и-\-с и несет постоянные значения и и с. Ее путь предста- представляется в виде + c)t, u = F($), c = G(S). D1.01) Постоянство и и с на этом пути выражается соотношениями u = F(x—(u + c)t), c = G(x-(u + c)t). D1.02) Эти уравнения не представляют и и с как функции х и t\ чтобы получить эти функции в явном виде, надо разрешить D1.01) относительно и я с. Их смысл выявляется при сопостав- сопоставлении с равенствами, имеющими место для линейного волно- волнового движения, u = F(x — cot), с = с0 = const, D1.03) которые отвечают начальному распределению u = F(x). В то время как в линейной волне форма волны перемещается, не меняясь, в нелинейной простой волне форма искажается, ибо значения и и с передаются звуковыми волнами, исходящими из различных точек х = ? с различными, вообще говоря, ско- скоростями и-\-с.
10*0 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Чтобы описать это искажение, мы исследуем, как меняется со временем крутизна фронта волны, описываемая производной их(х, t). Из D1.01) мы имеем Если волна есть волна разрежения, то мы имеем Ff (?) > 0, и по- поэтому F' (Ь)-\-G' (Ь) > 0 согласно DO.Q5a); следовательно, зна- знаменатель в правой части D1.04) возрастает со временем. Это Рис. 30. Увеличение крутизны в сжи- сжимающей части и сглаживание в разре- разрежающей части обращенной вперед про- простой волны, входящей в покоящийся газ. значит, что профиль скорости в простой волне разрежения с течением времени сглаживается. С другой стороны, в волне сжатия профиль скорости постепенно становится круче. Действительно, знаменатель в D1.04) для волны сжатия может стремиться к нулю. Значение этого обстоятельства будет рас- рассмотрено в § 48 и 50. На рис. 30 показано, как профиль ско- скорости делается глаже и круче. § 42, Пути частиц и пересекающие характеристики в простой волне Прямые характеристики в обращенной вперед простой волне могут быть описаны формулой + с)Ь D2.01)
§ 42. ПУТИ ЧАСТИЦ И ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Ю7 & 5 = ?(?), и = и($), с — с (|3) — заданные функции, удовле- удовлетворяющие условию гг —j— / = const и /—заданная функция с [см. D0.01) и § 41]. Тогда согласно D2.01) каждый путь можно описать ^параметрическими уравнениями, задавая t и х как функции р. Для пути частиц функция х (р) должна удо- удовлетворять равенству dx/dt^ и или хр = и^, откуда по D2.01) следует условие в виде линейного дифференциального уравнения относительно t. Для пересекающих, поперечных характеристик, в данном случае С_, мы находим подобным же способом из — = и— <: -ер. D2.03) В частности, для политропических газов, предполагая, что и0 =0, имеем v.*)c0, D2.04) где \>.2 = (ч—1)/(Y+1) [cm. D0.09)]. Тогда линейное диффе- дифференциальное уравнение имеет решение t = - с~^~2 { j ^ ~2~1 %d$} + const D2.05) для пути частиц и * - -у с ~^~2 {J c^~2~l %d$\ + const D2.06) для пересекающих С_ - характеристик. Рис. 35 и 36 иллюстри- иллюстрируют частный случай. Эти формулы легко применить к случаю, когда простая волна производится действием поршня в трубе с газом, ко- который при t = 0 покоился и имел постоянное давление и по- постоянную скорость звука. Пусть поршень сначала находился в точке х = 0, а газ находился правее поршня, х>0, и имел скорость звука, равную с0. Если движение поршня задано уравнением X(t) D2.07) то вместо уравнения D2.01) мы для простой волны в газе бу- будем иметь t). D2.08)
108 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Здесь и = Х($), тогда как с может быть выражено через и, потому что и + / = Iq = const, в частности, для политропических газов по D2.04). Путь частицы и пересекающие характеристики могут быть найдены заданием t в зависимости от р. Применяя формулу D2.05) или выводя аналогичную формулу из D2.08), мы получаем особенно простое выражение для политропиче- политропических газов r*, D2.09) определяющее путь частиц, в котором t0 есть тот момент, когда рассматриваемая частица проходит через голову волны, xo — cQt. Подобное же, но не столь простое выражение может быть выведено для пересекающих характеристик. § 43. Волны разрежения В этом и последующих параграфах мы будем главным обра- образом рассматривать движение, производимое поршнем в газе, который в начальный момент времени находился в состоянии покоя. Независимо от того, движется ли поршень в сторону газа или от него, не все частицы газа придут в движение од- одновременно. От поршня в газе отходит „волна", и только те частицы, до которых дошел ее фронт, выйдут из первоначаль- первоначального состояния покоя. Если движение в волне непрерывно, что имеет место всегда, когда поршень выдвигается из газа, фронт волны перемещается со скоростью звука с0 в неподвижном газе. Если поршень вдвигается в газ, то, как мы увидим в раз- разделе В, положение может оказаться более сложным из-за возникновения сверхзвуковых разрывов или ударных волн. Здесь мы будем заниматься только непрерывным волновым движением, производимым поршнем; такое движение, как мы видели, всегда есть простая волна (рис. 31). Будем различать сжимающее и разрежающее действие и рас- рассмотрим сначала разрежающее действие выдвигаемого поршня, считая, что газ вначале покоился и имел начальную плотность р0 и начальную скорость звука с0. Далее предположим, что пор- поршень, покоившийся вначале, выдвигался с возрастающей ско- скоростью, пока не была достигнута окончательная, постоянная скорость ив < 0. Тогда „путь" Р в плоскости (х, t)y представ- представляющий движение поршня, будет загибаться назад от начала О до точки В, где наклон по отношению к оси t становится равным ив, и затем продолжаться в виде прямой линии в том же направлении, как показано на рис. 31, 32, 33.
§ 44. СКОРОСТЬ ИСТЕЧЕНИЯ 109 Возмущение в газе, происходящее от движения поршня^ распространяется в невозмущенный газ со скоростью звука с0, отвечающей состоянию (р0, р0) невозмущенного газа. Это сле- следует из того основного факта, что область зависимости зоны х > cot есть положительная часть (х > 0) оси х, так что здесь из начального состояния покоя получается дальнейшее состоя- состояние покоя, как единственное решение дифференциальных урав- уравнений (см. § 28). (Область зависимости для точки в этой зоне получается проведением характе- характеристик С+ и С_ через эту точку до пересечения с осью х). По- Поэтому поток газа, произведенный движением поршня, заключен в области х < cot. Так как этот поток граничит с постоянным потоком, он является простой волной (см. § 40). Очевидно, что это—волна, обращенная вперед, так как газ втекает в этот уча- участок справа. Поэтому в области волны и — I = — /0 [см. D0.02)]. Так как вдоль пути поршня х = Рис 31 Область простой В0ШЫу == Л (Г) СКОрОСТЬ газа равна СКО- //, соединяющая две области, / и рОСТИ ПОрШНЯ, X = X(t) = np(t)j ш> постоянного течения плотность р, давление р и ско- \ив<10). рость звука с определятся из / —/0_|-W;7(?), потому что dl/dp>0 и dpjdp>0. Наклон и-\-с прямых характеристик, исходящих из пути поршня, тоже определен; таким образом, определена простая волна в целом. Так как поршень выдвигается и относительная вели- величина его скорости ир уменьшается, плотность и давление в вол- волне тоже уменьшаются согласно сказанному в § 40. Поэтому волна и называется волной разрежения. Скорость звуковых волн, идущих вперед — = и-\-с, меняется в том же направле- dt нии, что и скорость газа, тоже согласно § 40, поэтому умень- уменьшаются скорости и и и-\-с и прямые характеристики расхо- расходятся веером от кривой пути поршня. § 44. Скорость истечения. Полные и неполные волны разрежения Развитое выше построение должно быть видоизменено, если скорость поршня превосходит некоторый предел. Это связано в тем, что закон разрежения, выражаемый равенством и — / — /0,
ПО ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ теряет смысл, если j ив | < /0, так как />0 (см. § 37). По- Поэтому величина /0 называется скоростью истечения первона- первоначально покоившегося газа в пустоту. Для политропического газа мы имеем по C7.04) 4 Когда — ир достигает скорости истечения, разрежение дово- доводит газ до нулевой плотности; давление и скорость звука тоже уменьшаются до нуля. Если волна разрежения доходит до этой стадии, она называется полной волной разрежения и кончается вакуумом. Хвост волны разрежения может иметь два различных вида, смотря по тому, больше или меньше скорость поршня — ив, чем скорость истечения в пустоту 10. Если — ив < /0, то предыдущее построение простой волны дает прямые характеристики С+, проходящие через каждую точку пути поршня от О до В. Волна разрежения, заполняю- заполняющая область II, неполная и кончается характеристикой С^_, проходящей через В с и = мл. За ней следует область III по- постоянного течения ив, рв, рв, св между хвостом неполной волны разрежения и поршнем, в которой характеристики С, параллельны (так же как и в области I постоянного течения впереди фронта простой волны). Если — ив — lQt то характеристика С*, проходящая через точку В = Ве есть касательная к кривой поршня, ибо в точ- точке В наклон этой кривой равен /' (t) = ив, тогда как на- наклон характеристики С* есть — =ив -\~св =ив =— /0> так как ?g —0. Другими словами, волна кончается именно на поршне. Если — ив> lQf то волна заканчивается раньше, чем пор- поршень достигнет предельной скорости. Имеется точка Ве на кривой поршня L между О и 5, для которой характеристика С * есть касательная к кривой поршня и дает значение нуль для давления, плотности и скорости звука. В этом случае раз- разрежение кончается на линии С *, и за ней получается об- область ПГ кавитации (т. е. пустоты) между выдвигаемым порш- поршнем и хвостом волны разрежения. Физически скорость истечения /0 означает ту скорость, ко- которую выдвигаемый поршень не может превзойти без того,
§ 45. ЦЕНТРИРОВАННАЯ ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ lit чтобы не отделиться от разрежаемого газа. Если скорость поршня превосходит /0, то, поскольку движение газа сохра- сохраняется, не существенно, какое именно значение имеет ив. Можно с тем же основанием считать — ив бесконечной и представить себе поршень как внезапно убранную стенку, после чего газ вытекает в вакуум; из этой интерпретации и происходит тер- термин „скорость истечения". Вывод. Наши результаты можно обобщить качественно следующим образом. Поршень, выдвигаемый с неубывающей скоростью из газа, первоначально покоившегося, производит Пути частиц X Рис. 32. Волна разрежения, кончающаяся в зоне кавита- кавитации (~ив = 10). Рис. 33. Волна разрежения, кончаю- кончающаяся в зоне /// кавитации волну разрежения из частиц, движущихся в сторону поршня. В голове волны, движущейся по газу со скоростью звука, скорость газа равна нулю. Газ ускоряется в волне. Если ско- скорость поршня — ив меньше /0, т. е. скорости истечения, то газ расширяется, пока не достигнет скорости поршня, и затем движется с постоянной скоростью, плотностью и давлением. Если, однако, скорость поршня превосходит скорость истече- истечения, то расширение — полное, и волна кончается в зоне кавита- кавитации между поршнем и хвостом волны. В любом случае волна движется в спокойный газ, тогда как частицы газа движутся с возрастающей скоростью от головы волны к хвосту, т. е. от зоны большего давления и плотности к меньшему давлению и плотности. § 45. Центрированная волна разрежения Особый интерес представляет случай, когда ускорение поршня из состояния покоя до конечной скорости происходит за бесконечно малый промежуток времени, т. е. мгновенно.
112 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Тогда семейство характеристик С+, образующих простую волну, вырождается в пучок линий, проходящих через начало О : х = 0; /-^0 (рис. 34). Другими словами, простая волна вырождается в центрированную простую вол- волну. Ясно, что такая центрирован- центрированная простая волна есть волна раз- разрежения. Действительно, и умень- уменьшается, проходя через волну, если волна обращена вперед, и увели- увеличивается, если она обращена назад; в обоих случаях р и р уменьшаются в волне, как это было показано в § 40; поэтому мы имеем здесь случай волны разрежения. В центре О величины" и, р и р Рис. 34. Центрированная волна как функции х и t разрывны, но разрежения (—«р — *0). эта разрывность немедленно сгла- сглаживается в последующем движе- движении. Здесь мы встречаемся с первым типичным примером раз- разрыва, который немедленно переходит в непрерывное течение. § 46. Формулы для центрированной волны разрежения Центрированная простая волна может быть описана урав- уравнением x = (u + c)t, D6.01) Пути частиц Рис. 35. Пути частиц в цен- центрированной волне разре- разрежения. 0 Рис. 36. Поперечные характе- характеристики С_ в центрированной волне разрежения. где D6.02) — заданная функция с. И наоборот, мы можем выразить и и с через и~\-с или через x't. Для политропических газов мы
§ 46. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЦЕНТРИРОВАННОЙ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ имеем согласно D2.04) соотношения D6<03) дающие в явном виде распределения и и с в центрированной простой волне. Сравнивая D6.01) с D2.01), мы видим, что линейные диф- дифференциальные уравнения D2.02) и D2.03) Аля пути частиц и пересекающих характеристик стали однородными. Решения D2.05) и D2.06) для политропического газа есть просто [см. D2.09)] (^)"~2 D6.04) *=*о(тг) " D6-°5) соответственно, где t0 — тот момент времени, когда начи- начинается путь частицы или начинается пересекающая характе- характеристика на линии х = cot. Применяя соотношение D2.04) в виде и выражая с через t согласно D6.04) или D6.05), мы получаем из D6.01) ) * D6.06) для пути частиц и 2 D6.07) для пересекающих характеристик. Эти формулы справедливы в зоне разрежения. В случае полной волны разрежения, кончающейся нулевой плотностью,— ив> /0, формула D6.07) справедлива для сколь угодно больших значений t, и для больших t мы имеем асимп* тотическое представление л- (р-8-1)^ о Р. Курант и К- Фридрихе
114 ГЛ. ПГ. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ пути частицы. Как было замечено раньше, газ остается в зоне II разрежения, а путь частиц на диаграмме (х, f) принимает асимптотически направление характеристики Се+, на которой достигается скорость истечения /0 (рис. 37). Для — tiB<l0 волна разрежения кончается на характери- характеристике С+, на которой скорость имеет значение а = ив, и все пути частиц выходят из области II параллельно конечному на- направлению пути поршня Р и остаются параллельными в об- области III. Пути частиц кавитация Рис. 37. Пути частиц в центриро- центрированной волне разрежения, кончаю- кончающейся кавитацией. Рис. 38. Поперечные характери- характеристики С„ в центрированной волне разрежения, кончающейся кавита- кавитацией. Пересекающие характеристики С_, выйдя из области непол- неполного разрежения, продолжаются как прямые линии до встречи с линией поршня P:x = uBt Для — ив>10 = (уГ2 —\)с0 харак- характеристики С__ остаются внутри „области полного разрежения" и, так как л:~ —(u~2 — l)cQt, асимптотически приближаются к пути частиц (см. рис. 37 и 38). Очевидно, что эти рассуждения можно обобщить на иепо- литропическое уравнение состояния. § 47. Замечание о простых волнах в лагранжевом представлении Мы'могли бы так же полно развить теорию простых волн в координатах Лагранжа, пользуясь уравнениями C9.02), приве- приведенными в разделе А гл. III. Характеристики С+ даются равен- равенством dh dt D7.01)
§ 48. ВОЛНЫ СЖАТИЯ 115 а характеристики С_ dh ~dt —- q /у —— h D7.02) Пути частиц Для простой волны, направленной вперед, линии С+. на (h,t)- плоскости суть прямые линии, так как наклон k на них по- постоянен. В частности, поэтому и для центрированной волны h/t — k постоянно. Другими словами, им- педанц всегда равен просто k =. h/t, независимо от адиабатического уравнения состояния. Следователь- Следовательно, кривые С_ удовлетворяют урав- уравнению dhjdt = — h/tt которое может быть немедленно проинтегрировано в виде ht= const. D7.03) Рис. 39. Характеристики в ла- гранжевых координатах для центрированной простой волны. Итак, при изэнтропическом тече- течении любой жидкости поперечные характеристики д гя центриро- центрированных волн разрежения в лагранжевом представлении яв- являются равнобочными гиперболами. § 48. Волны сжатия Если поршень не выдвигается, а вдвигается внутрь цилин- цилиндра с газом или если выдвигаемый поршень замедляется, или останавливается, то возникает простая волна сгущения или сжатия. Качественные утверждения и формулы, относящиеся к волнам разрежения, применимы и к волнам сжатия, за ис- исключением того, что плотность, давление и скорость звука на поршне теперь увеличиваются и что идущие вперед характе- характеристики С+ не расходятся от кривой поршня. Поэтому простая волна не существует неопределенно долгое время, так как если бы прямые характеристики С+, каждая из которых несет частное значение и, были достаточно продолжены внутрь по- потока, они бы сошлись и образовали огибающую, на которой значения и противоречат друг другу. В первый же момент t=tc, когда такая огибающая возни- возникает, она образует угол в некоторой точке х = хс (см. § 49). Две ветви огибающей, встречающиеся в углу, охватывают угловую область, трижды покрытую С^-характеристиками. 8*
116 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Поэтому однозначное продолжение потока в простой волне за момент t в точке хс невозможно. Это явление, впервые заме- замеченное, вероятно, Стоксом в 1848 г. [40], мы можем истолко- истолковать еще и следующим образом. Влияние движения поршня распространяется через газ в виде звуковых волн со скоростью с относительно газа. Большей скорости поршя отвечает большая скорость звука с; поэтому более позднее влияние действия поршня движется быстрее и перегоняет более ранние действия. Форма волны, заданная скоростью в зависимости от х (см. § 41), становится круче и стремится стать вертикальной в некоторой точке. Характер возникающего разрыва подобен тому, кото- который возникает в прибое, когда волны становятся все круче, по мере того как более медлен- медленные части перегоняются более быстрыми (см. [27]), Особенно простой пример неизбежного возникновения разрыва дается поршнем, вдви- вдвигаемым в газ со скоростью, превосходящей скорость звука в покоящемся газе, с0. Если бы течение оставалось непре- непрерывным, то газ должен был бы оставаться в покое в обла- области, где х> cot и которая не может быть достигнута из на- начального положения поршня со скоростью, меньшей чем ско- скорость звука. Но так как поршень движется быстрее звука, он должен попасть в эту область. Следовательно, движение не может остаться непрерывным. Итак, мы видели, что не суще- существует простой волны, допускающей единственное продолже- продолжение за момент времени t=tc. Из нашей теоремы, согласно которой каждое непрерывное течение, граничащее с постоян- постоянным течением, есть простая волна (см. гл. И, § 29), следует, что не существует другого везде непрерывного решения. Этот факт надо особо отметить в связи с некоторой дискуссией, которая имела место по этому вопросу [см. C9)]. Итак, невозможно, чтобы течение при всех обстоятель- обстоятельствах оставалось непрерывным, изэнтропическим и управ- управляемым только силами давления. Замечательно, что такая, казалось бы, весьма вероятная гипотеза о возможном меха- механизме, управляющем течением, отвергается по чисто мате- математическим причинам. О гипотезе, которую следует принять, Рас. 40. Образование огибающей пря- прямолинейных характеристик в простой волне сжатия.
§ 49. ПОЛОЖЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ И ЕЕ УГОЛ В ВОЛНЕ СЖАТИЯ Ц7 мы будем говорить в разделе В этой главы, где рассматри- рассматриваются „ударные разрывы". Возможность появления огибающей в задаче о течении позволяет дать замечательную иллюстрацию теоремы § 28 о единственности решения дифференциального уравнения B1.01) при заданных значениях на линии ^ = ?с = const. Пусть эти заданные значения как раз такие, какие принимает решение с огибающей, имеющей угол в точке х = хс, t = tc. To, что нет единственного решения с такими начальными данными, на первый взгляд кажется противоречащим упомянутой здесь те- теореме. Разрешение этого парадокса состоит в том, что по те- теореме требуются начальные данные с непрерывными производи ными по х. Решение на линии t~tc, имеющее угол в точке х = хс, t=tc, хотя само и непрерывно при х = хс, но имеет бесконечные производные по ху как это видно из рассмотре- рассмотрения в § 41. ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ Б § 49. Положение огибающей и ее угол в волне сжатия Здесь будут добавлены некоторые замечания о геометрии огибающих волны сжатия, образованных прямыми характери- характеристиками С+ (см., например, у Адамара [28]). Запишем аналитическое представление простой волны, обра- обращенной вперед D2.01), в виде ¦*-Ш + °(РК «(Р)«(Р) + *(Р)- D9.01) На огибающей производные х по р равны нулю, так что урав- уравнения **=-¦?-, x = ?-«4L D9.02) являются параметрическим представлением огибающей. Мы вы- выбрали в качестве параметра о вместо р, что можно сделать, если в рассматриваемой области о>р ф 0. Если при каком-либо • *" значении C = р производная —- имеет экстремум, то, считая, d о) что вторая производная ? (Р) непрерывна, мы видим, что —- = tf 2 = — —меняет знак при р = В а поэтому и-^- = — о— тоже «со е d <о tfa>2 меняет знак, если только а>0 Ф 0, что мы предположили для простоты. Следовательно, такой экстремум t имеет место в углу
118 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ огибающей, и условие возникновения угла есть ^ 0. D9.03) Полезно рассмотреть образование огибающей более детально. Предположим, что угол возникает при t = 0, х = 0 со значе- значением ш=гоH. Так как при x = t = 0 производная —~ =0 d o> и —- = 0, то мы имеем разложение вида \ (со) = k (ш0 -— шK -j-... d to3 Условие того, что имеет место волна сжатия или что оги- огибающая образуется при t > 0, выражается в том, что k>0. Удобно сначала описывать простую волну и огибающую в пло- плоскости (<о0 — (D, t). В этой плоскости (^-характеристики суть прямые линии щ — «> = const, и согласно D9.02) огибающая может быть представлена в виде * = **(©) = —^! = ЗА(ю0 — о)J + . . . D9.04) d о) Две ветви огибающей в плоскости (х, t)> отвечающие нера- неравенствам оH — о) > 0 и ш0 — ш < 0, являются в то же время краями складки в отображении плоскости (©0 — о>, t) на пло- плоскость (ху t) (см. § 30). Это становится очевидным, если рас- рассмотреть изображение линии t=tl = const. Из того что dxjd (оH — a)) =s —. ^ , мы видим, что х увеличивается, d о когда увеличивается ш0 —о>, пока <о0 — со не достигнет отрица- dt v тельного значения % — со = ш0 — со_1, при котором = гх; потом х уменьшается, пока о>0 — со не достигнет положитель- положительного значения ш0—ш = оH — ©+р где — = V, затем х снова увеличивается. Отсюда ясно, что область угла между двумя ветвями огибающей, т. е. изображение области t > tE(o))t трижды покрыто в плоскости (х, t). Рассмотрим теперь частный случай образования огибающей в волне сжатия, произведенной поршнем, движение которого задано уравнением x = X(t). D9.05) Мы покажем, что огибающая всегда образуется, если про- простая волна вызвана движением поршня слева с положитель- положительным ускорением и что в области волны огибающая всегда имеет угловую точку, если ускоренная фаза движения поршня начинается с нулевого ускорения. Без ограничения общности
49. ПОЛОЖЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ И ЕЕ УГОЛ В ВОЛНЕ СЖАТИЯ 119 положим, что *@) = *(()) = О, Х($)>0 для ?>0 и и = 0, с = с0 на характеристике л: = cot. Для результирующей простой волны мы можем взять в качестве параметра р тот момент, когда С+-характеристика, проходящая через точку (х, t)y нача- началась на поршне. Тогда простая волна опишется соотношением D2.08) Р). D9.06) Здесь ? — Х(?) — Р«>(р) [см. D9.01)]. Представление огибающей D9.02) имеет вид 42. Изображение проме- промежуточного слоя, отвечающего угловой области простой волны t сжатия в плоскости (со, t). Ряс. 4/. Область угла в простой волне сжатия, трижды покрытая прямыми характеристиками. Ясно, что скорость поршня есть Х($) = а($). Так как а> = = и-\~с = с-\-1 — /0 есть заданная функция 1 = и-{-10, то со (Р) тоже определено [см. D0.05а)]. Используя du dl D9.08) [см. D0.05а)], мы имеем Тогда мы получаем для огибающей из уравнений D9.07) . D9.09)
120 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Но с(р) и Цр) положительны и Х($) > 0 для р > 0 по пред- предположению. Поэтому ?я (Р) > р для р > 0. Далее, Поэтому огибающая образуется в области течения. Из формулы D9.09) следует, что если ^@) = 0, то tE@) = oo. Если X (t) > 0 для всех ?>0, то tE ($) неограни- неограниченно возрастает, когда р~>оо. Если X(t)=*Q для времени t == tx > 0, то tE ($) -> со, когда р -> tv В любом случае tE($) Поршень Рис. 43. Огибающая с углом, обра- образованная прямыми характеристи- характеристиками волны сжатия, произведен- произведенной ускоряющимся поршнем. Рис. 44. Невозможное положе- положение, когда прямая характери- характеристика, выходящая из одной точки пути поршня, пересекает его еще раз в другой точке. сперва уменьшается и потом возрастает. Следовательно, tE (Р) имеет минимум tc для некоторого значения р, и поэтому оги- огибающая имеет угол при t = tc. Для замедляемого поршня положение иное, X (Р) < 0; не существует точек огибающей в области х > А'(Р), отвечающей внутренней области (х, t) по отношению к течению. Могут возникнуть сомнения относительно нашего утверж- утверждения, что С+-характеристики всегда образуют огибающую, если поршень ускоряется в прямом » замедляется в обратном движении в течение какого-то промежутка времени. Ибо, глядя на рис. 29, можно подумать, что огибающая может образо- образоваться вне области течения или, другими словами, что поршень сам срежет на своем пути огибающую. Простой анализ пока- показывает, что это не так.
8 50. УДАРНАЯ ВОЛНА КАК НЕОБРАТИМЫЙ ПРОЦЕСС 12Г Предположим, что характеристика, выходящая из точки А пути поршня, пересекается с ним в другой точке А', тогда ха- характеристика, выходящая из точки вблизи Аг на дуге ААГ пути поршня, пересечет характеристику АА\ Поэтому огибающая характеристик входит в сегмент между дугой А А' пути поршня и отрезком ААГ характеристики. Всегда, когда начальное ускорение поршня положительно, огибающая начинается в точке t=tc, x = cQtc прямой характе- характеристики С+, выходящей из начала. При C = 0 мы имеем из D9.09) D9.10) В этом случае часть характе- характеристики x=^cot за точкой t = tc можно считать второй ветвью огибающей, так что снова образуется угол. Это иллюстрируется на рис. 45. Огибающие могут иметь весьма разнообразные формы, отвечающие различному дви- движению поршня. Например, можно двигать поршень таким образом, что характеристики сходятся в точку/ Но так как тонкие геометрические свой - ства огибающей зависят от поведения второй и высших произ- производных функции X(t), можно ожидать, что действительный вид течения не будет существенно меняться .от различных геометрических усложнений огибающей. Рис. 45. Огибающая прямых харак- характеристик волны сжатия, произве- произведенной равномерно ускоряющимся поршнем. В. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ § 50. Ударная волна как необратимый процесс Как мы видели, начальные разрывы иногда сглаживаются,, как в случае центрированной волны разрежения, в то время как другие движения, начинающиеся как совершенно гладкие волны, не могут поддерживаться без разрыва. Действительно, любое ускорение в прямом или замедление в обратном дви- движении поршня, как бы оно ни было мало, непременно приводит к разрыву скорости, давления, плотности, удельной энтропии, и температуры.
122 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Следовательно, для математического описания движения, произведенного движущимся вперед поршнем, и для многих других движений мы должны отказаться от сделанных ранее физических предположений или, вернее, дополнить их (на что мы указывали в § 48). Одна возможность видна непосредственно. Мы можем пытаться получить необходимое обобщение прямо из диффе- дифференциальных уравнений движения. В § 24 гл. II мы видели, что эти дифференциальные уравнения допускают разрывы пер- первой и высших производных и и р по характеристикам в пло- плоскости (х, t). Эти „звуковые разрывы" *> являются естествен- естественным обобщением дифференциальных уравнений; они могут, например, возникнуть в задаче о начальных значениях при переходе к пределу от начальных значений с непрерывными производными к начальным значениям с местным скачком про- производной. В случае линейных дифференциальных уравнений тот же тип предельного перехода приводит к „звуковому распространению" разрывов даже самих искомых функций (см. [32], стр. 425). Но для нелинейных дифференциальных уравнений нельзя вывести такого звукового распространения разрывов р и и путем предельного перехода от непрерывного решения. Следовательно, для того чтобы прийти к правильной теории, мы должны отказаться от описания физической картины явле- явления с помощью наших слишком упрощенных первоначальных предположений и, принимая во внимание физические факты, которыми мы при составлении исходных дифференциальных уравнений пренебрегли, получить более тесное приближение к действительности. Мы предполагали до сих пор, что силы, действующие в газе, обусловлены только изменениями давления р=р(р, S), а не трением, и что энтропия частицы остается неизменной. Эти предположения оправдываются только тогда, когда градиенты температуры и скорости малы. В противном случае математи- математическое описание физического поведения системы должно учиты- учитывать необратимые термодинамические процессы, вызываемые тре- трением и теплопроводностью, которые присутствуют всегда, если скорость и температура непостоянны. Такая теория была бы связана с почти непреодолимыми математическими усложне- усложнениями, если бы не одно счастливое обстоятельство: действи- действительные явления всегда таковы, что необратимые процессы в газах происходят только в узких зонах, где градиенты ско- скорости и температуры очень велики, в то время как вне этих переходных зон течение подчиняется установленным выше *) Или по обычной терминологии „слабые разрывы". (Прим. перев.)
§ 50. УДАРНАЯ ВОЛНА КАК НЕОБРАТИМЫЙ ПРОЦЕСС 123 законам обратимых адиабатических процессов, т. е. известным нам дифференциальным уравнениям. Поэтому эмпирические факты подсказывают дальнейшую математическую идеализацию, которая и будет основой нашего анализа. Необратимые процессы будут описываться резкими разры- разрывами, происходящими на определенных поверхностях в жидко- жидкости. Такие разрывы с бесконечными градиентами некоторых величин заменяют в математической идеализации узкие зоны с заметной необратимостью. В действительности на таких поверхностях происходят очень большие скачки скорости и температуры, поэтому пред- предположение о разрывности, хотя и является идеализацией, гораздо лучше согласуется с фактами, чем можно было бы ожидать. Конечно, мы требуем, чтобы три закона сохранения — энер- энергии, массы и импульса — выполнялись и в этих необратимых процессах. Вне разрыва единственной действующей силой является, по нашим предположениям, градиент давления, и единственный выигрыш или потеря в энергии происхо- происходит за счет работы этих сил давления. Поэтому в обла- областях непрерывного течения справедливы наши основные урав- уравнения. Как мы помним из § 8, постоянство удельной энтропии для каждой частицы газа, т. е. обратимость, следует для непре- непрерывных процессов из закона сохранения энергии. Для разрыв- разрывных процессов, подчиненных тем же законам сохранения, это уже не имеет места. Термодинамическое условие, выра- выражающее необратимый характер процесса, состоит в том, что энтропия не должна уменьшаться в разрывном процессе, и это условие, налагаемое на энтропию, должно быть добавлено к за- законам сохранения. Хотя это, конечно, и не очевидно, но можно с уверенностью считать, что течение с такой разрывностью полностью опреде- определяется тремя законами сохранения и условием для энтропии. Исходные дифференциальные уравнения, справедливые в области непрерывного течения, вместе с условиями, выражающими за- законы сохранения, и с условием для энтропии на поверхности разрыва достаточны для определения течения без подробного описания необратимого процесса на разрыве. Чтобы разъяснить положение, мы рассмотрим в § 63 зави- зависимость необратимых процессов от вязкости и теплопровод- теплопроводности, принимая во внимание конечную протяженность зон разрыва. Однако в ближайших параграфах мы будем строго следовать нашим мотивированным выше математическим пред- предположениям.
124 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ § 51. Исторические замечания о нелинейных течениях Сделаем здесь несколько замечаний исторического характера. Пуассон A808) [36] получил решение дифференциального уравнения течения изотермического газа в виде простой волны u = F[x — (u-{-c)t] , где F—произвольная функция (см. § 41). Чэллис A848) [41] заметил, что это уравнение не всегда имеет единственное решение для скорости и. Чтобы получить единственное решение, Стоке A848) [40] предложил считать, что ди разрыв в скорости начинается тогда, когда производная -^ становится бесконечной (см. § 41). Применив законы сохранения массы и количества движения, он вывел два условия на раз- разрыве для изотермического газа. Стоке утверждал, что разрыв никогда не возникает физически, потому что тенденция к раз- разрывности сглаживается вязкими силами. Далее он указал, что потоки, обладающие разрывами, должны заключать в себе не- некоторые явления отражения. Ирншоу A858) [37] получил решение в виде простой волны для газов, удовлетворяющих любому соотношению р = р(р). Он установил, что увеличение местной скорости распростра- распространения в волне сжатия ведет к тому, что такая волна будет все время „нарастать" на фронте и возникнет разрывность вида „приливной волны" (см. § 41). Риман A860) [38] независимо развил теорию простой волны и общего решения задачи о течении с помощью „инвариантов Римана" (см. § 37). Он снова открыл и разработал теорию разрывов, но неявно сделал неправильное предположение, что переход через разрыв происходит обратимо и адиабатически. Рэнкин A869) [42] показал, что установившийся адиаба- адиабатический процесс, в котором только силами давления осуще- осуществляется переход в узкой области из одного постоянного со- состояния в другое, невозможен. Вместо этого он предположил, что в этой области происходит неадиабатический процесс, подчиненный условию, согласно которому тепло может сооб- сообщаться от одной частицы другой, но не приносится извне. Условие Рэнкина согласуется с законом сохранения энер- энергии. Однако Рэлей A910) [39] и Гюгонио A887) [43] ясно ука- указали на то, что обратимый адиабатический переход в ударной волне нарушает принцип сохранения энергии. Действительно, Гюгонио показал, что при отсутствии вязкости и теплопровод- теплопроводности (вне разрыва) из сохранения энергии следует сохранение
§ 53. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ РАЗРЫВНОГО ДВИЖЕНИЯ 125 энтропии в непрерывном течении и изменение ее в разрыве. Из сохранения энергии он вывел также и третье условие на разрыве в обычной форме [см. E4.10)], которой следует отдать предпочтение по сравнению с формой, полученной Рэнкином, хотя в случае идеального газа три условия Рэнкина равно- равносильны условиям Гюгонио. Рэлей [39] указал, что энтропия должна возрастать, проходя через фронт ударной волны, и что поэтому в идеальном газе не может возникнуть ударная волна разрежения. § 52. Поверхности разрыва Мы различаем два типа поверхностей разрыва: контактные поверхности и ударные волны. Контактные поверхности разделяют две части среды без того, чтобы газ тек из одной части в другую через поверхность; ударные волны — это по- поверхности разрыва, через которые газ течет. Сторона фронта, в которую газ втекает, будет называться передней стороной разрыва или его головной стороной, а другая сторона — зад- задней стороной. Как мы увидим в § 65, разрыв всегда движется со сверхзвуковой скоростью, если его рассматривать с перед- передней стороны, и с дозвуковой скоростью, если смотреть с зад- задней стороны. Вся зона течения за фронтом разрыва часто тоже называется ударной волной. В этой главе мы будем заниматься одномерным течением, для которого ударные фронты и кон- контактные поверхности будут поверхностями, перпендикулярными оси х. Следовательно, они будут представляться точками на оси х или линиями на плоскости (х, t), которые соответственно называются ударными или контактными линиями. § 53. Основная модель разрывного движения. Ударная волна в трубе Рассмотрим сначала простейший случай движения, вклю- включающего ударный фронт. В качестве основного типа движения мы изучали центрированную волну разрежения, производимую поршнем, выдвигаемым с постоянной скоростью. Таким же основным и типичным является движение, вызываемое порш- поршнем, который сначала покоился, а затем начал внезапно вдви- вдвигаться с постоянной скоростью в покоящийся газ. Как бы ни было мало ирУ результирующее движение не может быть непрерывным, потому что непрерывное движение сведется к простой волне, обращенной вперед, в данном случае к цен- центрированной простой волне, отвечающей прерывному изменению скорости вначале. Но скорость газа в центрированной простой
126 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ t волне становится отрицательной, если она равна нулю в голове волны. Поэтому непрерывное движение нельзя соединить с по- положительной скоростью поршня. Что произойдет? Сразу же возникнет ударный фронт, дви- движущийся от поршня с постоянной и, как мы увидим, сверх- сверхзвуковой скоростью U, однозначно определенной начальной плотностью га- газа, скоростью звука в нем и скоростью поршня. Впереди ударного фронта газ покоится, а позади движется со скоростью поршня ир. Это очень простое движение пред- представлено в плоскости (х, t) (рис. 46). При умень- уменьшении величины ир удар- ударная линия приближается к характеристике х = cQt, а скачок скорости, давле- давления и плотности стре- стремится к нулю. Скачок становится слабым и при- „ ,„ w ближается к „звуковому Рис. 4о. Ударная волна, произведенная В03МУшениюа поршнем, вдвигаемым с постоянной ско- ou^jincnmu . ^ ростью в покоящийся газ. Перед тем как оо- основать его качествен- качественное описание, мы должны рассмотреть условие на ударном разрыве. иеньш jeHb —JJ Ш ш i i X 44 Ударный фронт Покоящийся газ -< шжж / \ Ударный Афронт § 54. Условия на скачке Мы выведем условия на скачке из „калорического уравне- уравнения состояния" (см. § 2) и следующих основных законов физики: 1) сохранения массы, 2) сохранения импульса, 3) сохранения энергии, 4) возрастания или сохранения энтропии. Если, далее, предположить непрерывность движения, т. е. непрерывность скорости, давления и плотности, то первые два закона приведут к уравнениям Эйлера (или Лагранжа) для изэнтропического движения (см. § 7). Применение этих прин- принципов к разрывному движению приведет к соответствующим двум условиям на скачке. Закон сохранения энергии учиты-
§ 54. УСЛОВИЯ НА СКАЧКЕ 127" вает более тонкое обстоятельство. Наша исходная система дифференциальных уравнений [см. G.08 — 7.11)] была допол- дополнена калорическим уравнением состояния, где энтропия пред- предполагалась постоянной, а процесс — адиабатическим и обра- обратимым, и, таким образом, достигалось согласие с законом сохра- сохранения энергии. Но, как мы сейчас покажем, из третьего закона сохранения следует, что на фронте ударной волны энтропия меняется и получается „термодинамическое" условие на фронте, сформулированное Рэнкином и Гюгонио, заменяющее предполо- предположение об адиабатичности движения в непрерывном случае. Выведем теперь условия на разрыве, применяя три общих принципа к столбу газа в трубе. В момент t столб всего газа заключен в интервале длины а0 (t) < х < а^ (t)f где а0 (t) и ах (t) суть положения движущихся частиц, образующих концы столба, на которых мы предполагаем движение непрерывным. Обозна- Обозначим через е внутреннюю энергию, приходящуюся на единицу массы, так что полная энергия на единицу массы есть е-\--~ и2. Поэтому четыре основных принципа для столба выражаются так: МО = 0 (сохранение массы), — I p udx=p (<z0, t) — p (a{) t) ao(t) (сохранение импульса), - it1 -f- e)dx = E4.01) E4.02) ' (a0> ^ и (a0, 0 ^ /7 (au t) и (alf t) E4.03) (сохранение энергии), а,{1) — f dt J ЛО Sdx > 0 (сохранение или возрастание энтропии). E4.04) Уравнение E4.01) не нуждается в пояснениях» Равенство E4.02) выражает предположение, что на газ как целое дей-
128 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ствуют только силы давления, и поэтому изменение импульса столба производится результирующей силой от обоих концов. Равенство E4.03) выражает предположение, что приращение энергии происходит только за счет сил давления; другими словами, скорость возрастания энергии, заключенной в столбе, равна „подводимой мощности", т. е. работе, производимой в единицу времени давлением на конечные поверхности столба, скорости которых равны а0 = и (а0, t) и dx=u(aly t). Соотно- Соотношение E4.01) означает, что энтропия столба сохраняется или увеличивается. Пока мы считаем и9 р, р и S непрерывными и диффе- дифференцируемыми во всем столбе, мы можем легко вывести диффе- дифференциальные уравнения движения из первых трех уравне- уравнений E4.01—54.03) (см. §§ 7 и 8), причем сохранение энтропии получится как следствие. Теперь, однако, мы предположим, что в движущемся столбе есть точка разрыза, координата которой x = l(t) движется со скоростью t(t) = U(t), и вы- выведем из уравнений E4.01—54.04) соотношения между ука- указанными выше величинами по обе стороны этой точки. Все наши интегралы имеют вид d С dt J = J Wt (x, t) dx + W0((t) — W (a0, 0 и (a0, 0 + J= J W(x9t)dx, ao{t) где подинтегральная функция разрывна в точке х = ?. Диффе- Дифференцирование дает dt dt atf) ao{t) + W (au t) a (alf 0 ~ W,t(O- E4.05) Величины *F0 и xi\ суть пределы ЧГ (а:, ^), когда л' приближается к ? со стороны л: < 5 и х>^ соответственно. Эта формула не зависит от длины столба, поскольку х = ? есть внутренняя точка. Произведем предельный переход, заставив длину столба стремиться к нулю. Так как первый интеграл в правой части E4.05) стремится тогда к нулю, х? (аи t) -> xi\ и W (a0, t) -^ WOi мы получим lim — 7 = Т, vx — Wo^o, E4.06)
§ 54. УСЛОВИЯ НА СКАЧКЕ ] 29 где v^-Piit-U, /=-0, 1, E4.07) есть скорость течения относительно разрыва. Итак, мы получаем из четырех основных уравнений четыре условия на скачке. Сохранение массы: Pi*i-Po*\> = 0 E4.08а) или Ро^о = Р1^1=--^, E4.086) т — есть поток массы через поверхность. Сохранение импульса: (Pi «i) vi — (Ро Щ) *>о =Ро —Pi5 E4.09а) по E4.07) и E4.08) это условие равносильно следующему: тщ + Ро = mih + fh E4.096) или Ро *>о +Ро - Pi v\ + px = Р, E4.09в) которое включает только относительные скорости v. Величина Р, определенная по E4.09в), иногда называется полным потоком импульса. Сохранение энергии: PlLLu^ei )vl — p9ljU-6-{-e9)va=p0u<i-plul E4.10a) или m(\ul-j-eo)-]-uop<> = m(-j-u[ + el) + u,p1. E4.106) По E4.07—54.09) это соотношение эквивалентно следующему: ¦*! + *i-r/»i*i). E4.1 Ов) Возрастание энтропии: рх S1vl — p0 Sovo > 0 E4.11 а) или по E4.08) mS0< mSv E4Л16) Все эти соотношения справедливы как для ударных волн, так и для контактных поверхностей. Эти два типа поверхностей 9 Р. Курант и К. Фридрихе
130 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ разрыва различаются тем, что газ течет через фронт удар- ударной волны, тФО, но не течет через контактную поверх- поверхность, т~0. Мы рассмотрим ударные разрывы в § 55 и отложим рас- рассмотрение контактных поверхностей до § 56. § 55. Ударные волны Для ударных волн (т Ф 0) соотношение E4.10в) приво- приводится к виду — ^о + ^0+Рото= - *>J+?i+/>i'ri = -r?2> E5.01) где q есть предельная скорость, введенная в § 14 и 15. Вспо- Вспоминая определение энтальпии i — e-\-px из § 9, мы запишем E5.01) в виде \< + h= \ v\ + ix = | q\ E5.02) Итак, мы видим, что третье условие для ударной волны имеет в точности такую же форму, как и закон Бернулли, но отличается от тех трех форм, которые были рассмотрены в § 14, тем, что функция, представляющая энтальпию i в ее зависимости от р, теперь прерывна на фронте, потому что значения ix и ц отвечают различным значениям энтропии 5t и 50> как мы далее увидим. Другими словами, изменение энтальпии (О ix — i0 на разрыве не равно i —, а равно @) (О @) В каждое из трех условий на разрыве E4.08—54.10) входят только относительные скорости v = и — ?/, а не скорости и и U отдельно. Поэтому ясно, что условия на разрыве инвари- инвариантны относительно переноса с постоянной скоростью, в согла- согласии с принципом относительности Галилея. Из уравнений E4.096) и E4.086) мы получаем (To + Ti)(/7i - Ро) = т(^Q-i-^i) (v0 ~- vj^ vl~ v2±. E5.03) Применяя это соотношение, чтобы исключить vd и vx из E5.02), мы находим
§ 56. КОНТАКТНЫЕ РАЗРЫВЫ или, так как i---e-\-p~*y (То - ^)lML^ = eA — eQ. E5.05) Второе из этих важных соотношений может быть истол- истолковано в том смысле, что возрастание внутренней энергии во фронте ударной волны равно работе, производимой средним давлением во время сжатия. Первое соотношение показывает, что приращение энтальпии равно работе, производимой раз- разностью давлений над средним объемом. Равенства E5.04) и E5.05) особенно замечательны тем, что в них входят только термодинамические величины. Они были впервые введены Гюгонио, поэтому E5.05) называют соот- соотношением Гюгонио. § 56. Контактные разрывы Условия на разрыве E4.08—54.10) допускают „тривиальное", или вырожденное, решение. Если поток через поверхность разрыва равен нулю, т. е. газ через нее не проходит, то мы имеем vo = vl = O; тогда и ио = их = О, и из E4.09) мы заключаем, что Ро = р1, в то время как E4.10а) удовлетворено автомати- автоматически. Но E5.01) больше не может быть выведено из E4.Юв). Такая поверхность разрыва называется контактной поверх- поверхностью. Контактная поверхность движется вместе с газом и разделяет две области с различной плотностью (и температу- температурой); но давление и скорость течения по обе стороны от нее одинаковы. Контактный разрыв может разделять не только две части одного газа, но и два различных газа. Очевидно, что в действительности такая контактная поверх- поверхность не может поддерживаться неопределенно долгое время; теплопроводность между двумя постоянно соприкасающимися частицами по обе стороны разрыва скоро сделает идеализиро- идеализированное представление весьма далеким от действительности. В то время как частицы, пересекающие ударный фронт, уча- участвуют в процессе теплопроводности только в течение очень короткого времени, те, которые соприкасаются по обе стороны от контактной поверхности, непрерывно подвергаются действию теплопроводности. Поэтому ясно, что контактный слой будет постепенно расплываться. В одномерном течении скорость потока непрерывна на контактной поверхности. Но в течениях с большим числом измерений, как мы покажем в гл. IV (§ 118),.касательная со- составляющая скорости может иметь на контактной поверх- 9*
132 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ности разрыв, тогда как нормальная составляющая всегда равна нулю, как и в рассматриваемом случае. § 57. Описание ударных волн Мы напомним следующие определения, данные в § 52. Та сторона фронта ударной волны, через которую газ втекает в нее, называется стороной фронта, или передней стороной. Другая сторона называется задней стороной. Иными словами, частицы проходят через фронт от передней стороны к задней. Путь чашпицы dt Задняя сторона Путь частицы U) Ударный фронт ?Р- \ r Задняя Ц Фрснт^ сторона г и, Фронт Рис. 47. Ударный фронт. Рис. 48. Ударный фронт, прихо- приходящий в область покоя. Это определение не зависит от выбора координатной системы. Обычно мы будем обозначать переднюю сторону индексом @), а заднюю — индексом (t). Мы будем говорить, что ударная волна обращена стороной фронта или направлена в сторону фронта. Следует ясно себе представить, что направление, в котором движется фронт волны, определяемое знаком U, не имеет ни- ничего общего с той стороной, к которой волна обращена, т. е. определение передней и задней сторон зависит только от от- относительной скорости v. Движется ли фронт вперед, покоится или движется назад,— это зависит от абсолютной скорости. Давление, плотность, температура и энтропия, как мы уви- увидим в § 65 и 67, всегда больше позади фронта волны, чем впе- впереди него, и степень их возрастания может быть различными способами использована для измерения интенсивности разрыва (см. § 71).
§ 57. ОПИСАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН 133 В § 65 и 67 мы увидим, далее, что скорость газа относи- относительно ударного фронта \и— U\ всегда меньше позади фронта, чем впереди него. Отсюда следует, что скорость по левую сторону от фронта всегда больше, чем по правую сторону от него, независимо от того, какая из них передняя и какая задняя: ИЛИ VCAe8a>VcnDasa- E7«01) с права Рассмотрим теперь три различные интерпретации удар- ударного фронта, которые согласно принципу относительности Галилея равносильны друг другу. Пути частиц Пути dx _ dt " чпстии, \ Ударный Т.' уШ^> фронт <з?' ~ 0 " — ^ _ Задняя ц сторона |-~ - -— ¦ иг-0 * Фронт Задняя сторона и, и--о и0 Фронт Рис. 49. Отступающий ударный фронт. Рис. 50. Стационарный ударный фронт. Предположим, во-первых, что скорость и0 со стороны фронта равна нулю. Тогда ударная волна движется в сторону зоны @), которая покоится, со скоростью U, если смотреть со сто- стороны фронта, и является сверхзвуковой, как это будет пока- показано, тогда как скорость U—щ — — vt ударного фронта, рас- рассматриваемая со стороны зоны высокого давления или с задней стороны, дозвуковая. Ударный фронт быстро движется в зону покоя, захватывая все больше и больше газа, который, будучи захвачен, движется медленнее ударного фронта. В то же самое время его давление и плотность внезапно увеличиваются. Мы уже объясняли, что такая ударная волна возникает от поршня, вдвигаемого в покоящийся газ. Во-вторых, пусть скорость с задней стороны равна нулю, их = 0. Тогда можно считать, что ударный фронт движется попятно со скоростью U, оставляя позади покоящуюся зону высокого давления. Такие отступающие ударные волны встре- встречаются при отражении ударных волн от стенки (см. § 70).
134 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Предположим, наконец, что скорость разрыва равна нулю, другими словами, что фронт стационарен. (Каждый ударный фронт стационарен, если рассматривать его в координатной системе, движущейся с мгновенной скоростью фронта U.) Та- Такой стационарный ударный фронт описывается просто фикси- фиксированной точкой л; = ? в трубе, в которой газ течет со сверх- сверхзвуковой скоростью и позади которой он замедляется до до- дозвуковой скорости, в то время как его давление и плотность возрастают. Условия на разрыве для стационарных разрывов ([/=0) могут быть найдены непосредственно, если положить v. = ui в E4.08—54.10): Potto = Pi"i^'"> E7.02) Ро и20 + />о = Pi ll\ +A = Л E7.03) 7и2+^™7и!+/1-т22- E7-04) § 58. Модели ударного движения Для пояснения трех различных способов интерпретации ударных волн воспользуемся аналогией с движением тел, например таким, как движение автомобилей по дороге. Там может возникнуть ударная волна. Предположим, что имеется установившееся движение транспорта с большой скоростью. В таком потоке есть своя „скорость звука", т. е. скорость, с которой распространяются малые нарушения правильности движения. Если скорость движущихся автомобилей превосхо- превосходит эту скорость звука, то ударная волна возникнет при вне- внезапном уменьшении скорости, например, если один из водите- водителей увидит сигнал замедления. Водитель следующей за ним машины внезапно увидит, что скорость передней машины уменьшилась. Он не может послать предостерегающий сигнал едущему сзади него водителю раньше, чем он сам не понизит скорость. Возникающая ударная волна обращена назад. Оче- Очевидно, что произойдет увеличение плотности; увеличение дав- давления можно представить себе, если условно считать, что машины в этой модели соединены связями или буферами с нелинейным законом отталкивания. Увеличение температуры, быть может, представляется такой моделью, если интерпрети- интерпретировать энергию малых „возмущений" как тепло. Сильная волна, движущаяся назад, может рассматриваться как крайний случай. Предположим, например, что движется длинный поток равноудаленных автомобилей, имеющих „сверх- „сверхзвуковую" скорость и встречающих неожиданное препятствие,
ё 59. ОБСУЖДЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ НА РАЗРЫВЕ 135 которое полностью останавливает первую машину. Вторая ма- машина налетит на первую и тоже остановится; третья будет внезапно остановлена второй и так далее. Очевидно, что точка, разделяющая остановленные автомобили от движущихся, и представляет отступающую ударную волну. Ударный фронт, движущийся вперед и проникающий в зону покоя, можно представить себе по аналогии с тем, что полу- получится, если колонна движущихся автомобилей будет налетать на ряд автомобилей, стоящих далеко друг от друга, и приводить их этим в движение. Модели одномерного волнового движения, основанные на аналогии с индивидуальными частицами, связанными нелиней- нелинейным законом отталкивания, не только наглядны, но могут быть иногда использованы как приближения к действительному по- положению вещей и положены в основу численных расчетов (см. [58]) в тех случаях, когда надо рассматривать только пер- первые два условия на разрыве (см. § 61). § 59. Обсуждение механических условий на разрыве Только третье условие явно учитывает термодинамическую природу вещества, представленную энергией или энтальпией е и / в их зависимости от р и р. Поэтому все следствия из „механических условий", т. е. первых двух условий на разрыве E4.08-54.09) справедливы для любой среды безотносительно к ее уравнению состояния. Это верно для соотношений m(v1 — v0)=p0 — pv E9.01) т"- == _ -^l1 , E9.02) Соотношение E9.01) прямо следует из E4.09). Соотношение E9.02) следует из E9.01), если подставить в него v1=mrzi и ^0 = /йт0; E9.03) получается из E9.01) подстановкой mvx---- Скорости vQ, vl и поток массы т, очевидно, имеют один и тот же знак. Соотношение E9.01) показывает поэтому, что давление р меняется в сторону, обратную относительной
136 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ что скорости \v\. Соотношение E9.02) показывает, что плот- плотность меняется в ту же сторону, что и давление. Предвосхищая то обстоятельство, что в ударной волне всегда происходит сжатие, т. е. рг > р0 (общее доказательство будет дано в § 65; для политропических газов это ясно видно из формулы, полученной в § 67), мы видим, что когда газ проходит через ударный фронт, его давление увеличивается, а относительная скорость \v\ уменьшается. Другой симметричный вид механических условий на удар ном фронте таков: ч (Po — Pi) = vi (vi - ^о)> E9.04) откуда получаются равносильные с ними соотношения (*о - *i) (Pi - Ро) - К - vx)\ E9.05) (чЛ~^) (Pi -Ро) = *02 - v\. E9.06) Все уравнения E9.03—59.06), очевидно, выражают скорости через термодинамические величины. § 60. Звуковые волны как предел слабых ударных волн Рассмотрим последовательность ударных волн с заданным начальным состоянием @), в которой сила разрыва, измеряемая разностью рх—р0, стремится к нулю. Забегая вперед, мы поло- положим, что изменение энтропии в ударном фронте является вели- величиной третьего порядка по сравнению с разностью рх — /?0> как будет показано в § 65, а поэтому из E9.03) следует, что когда Pi-*Po> т0 и ^o^i -*Р9 = С~- Так как из E9.01) следует, что v\ ~у г'о> то мы видим, что предельная скорость течения отно- относительно ударной волны равна скорости звука. Так как мы выяснили в конце § 34, что этот факт является условием распро- распространения звуковых волн, заданных характеристиками в плос- плоскости (х, t), то отсюда следует, что звуковую волну можно считать бесконечно слабой ударной волной. § 61 ¦ Случаи, в которых механические условия на разрыве достаточны, чтобы определить ударную волну Надо сделать еще несколько замечаний о роли первых двух условий на ударной волне, условий механических в отличие от третьего—- термодинамического. Есть случаи большой практиче- практической важности, в которых первые два условия достаточны для
§ 62. УСЛОВИЯ В УДАРНОЙ ВОЛНЕ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА 137 определения ударного процесса, это — течение жидкостей, дав- давление которых зависит только от плотности и не зави- зависит, или несущественно зависит, от энтропии. Вода, например, приближенно является такой жидкостью, потому что для нее соотношение между давлением и плот- плотностью имеет вид /7 = Л pv— В, причем коэффициенты А и В могут приближенно считаться не зависящими от энтропии (см. § 3). То же относится к рассмотрению разрывов или, вер- вернее, приливных волн в мелкой воде, которая характеризуется соотношением р =Ар2 [см. A9. 14)]. Третье условие, конечно, остается в силе во всех этих случаях, но его следует рассматривать как способ подведения баланса энергии после того, как задача решена. Внутренняя энергия таких жидкостей расщепляется на две части: e = e(l) (р) + еB)(S), одна из которых зависит только от плотности, а другая только от энтропии (см. § 3). Тогда третье условие на разрыве может быть записано в виде = ~ Г1 v2 -1 v 21 2 Г1 v2 -1 v2 l е0) - е{1) + Л *, - р0 то1 Так как первая часть уже определена из первых двух усло- условий, то можно вычислить прирост е{2\ который можно ис- истолковать как энергию, превращенную в тепло (или энергию турбулентности в мелкой воде). Эти замечания относятся к слабым ударным волнам, т. е. к таким разрывам, в которых относительное измене- изменение давления /7l~~/7° мало. Как мы увидим, для таких раз- Ро рывов относительное изменение энтропии невелико, оно является величиной третьего порядка по сравнению с р]~~Ро f a по- этому им спокойно можно пренебречь (см. § 72). § 62. Условия в ударной волне в представлении Лагранжа В дальнейшем нам понадобятся некоторые сведения о лаг- ранжевой форме ударных соотношений. Если х (t) есть ко- координата движущейся частицы и xo(t) относится к специ- специальной „нулевой частице" (см. § 18), то любая частица (без- (безотносительно ко времени) задается лагранжевой координатой х —1 h= fpdx. Считая !г и t независимыми, а и и т = р зависи-
138 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ мыми переменными, мы запишем дифференциальные уравне- уравнения A8.09—18.10) в виде ^=«Л, Щ = к2^ где k — <~xc^oc и хл = т, xt = u. Рассмотрим теперь ударный фронт S, дви- движущийся в газе и захватывающий в момент t частицу с ла- гранжевой координатой h = h(t). Так как x(h,t) есть положе- положение частицы с координатами h и t, то положение ударного фронта дается равенством откуда скорость фронта равна пользуясь символом [/] для /i—/о, мы немедленно получаем „кинематическое" условие на разрыве /г[1]л-[и) =0, F2.01) которое заменяет условие сохране- сохранения массы, удовлетворяющееся авто- автоматически. Отметим, что — к есть масса, проходящая через ударный фронт в единицу времени по направ- направлению от передней стороны к задней (поперечное сечение выбрано равным единице). Сохранение импульса выра- выражается соотношением F2.02) Рис. 51. Движение ударного - фронта в представлении [Р\ — " [Щ — 0> Лагранжа. которое можно с помощью F2.01) переписать в форме, инвариантной относительно переносного движения F2.03) Пользуясь тем, что v = u — U сохранения энергии в виде = — -z h, мы можем выразить закон = 0 или F2.04) F2.05)
§ 63. ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ НА УДАРНОМ ФРОНТП 139 § 63. Вывод соотношений на ударном фронте из дифференциальных уравнений для вязкой и теплопроводящей жидкости Уместно дополнить вводные замечания § 50 кратким и не- несколько более тонким анализом того, как можно получить условия на ударной волне, устремляя к нулю коэффициент вязкости [х и коэффициент теплопроводности X. (Обозначения «. и X клп этих коэффициентов применяются только в этом раз- разделе; множитель ^ в — раза больше, чем применяемый обычно.) о Дифференциальные уравнения, учитывающие эти факторы1} (обобщающие A7.01—17.03), суть * = 0 F3.01) (сохранение массы), (р и), + (Р ^+р - |i их)х — 0 F3.02) (сохранение импульса с учетом вязких сил), = 0 F3.03) (сохранение энергии), о TSt + 9 uTSx -= [x ul + (>• ^), F3.04) (тепловой баланс). Тепловой баланс F3.04) может бить получен из трех за- законов сохранения. Левая сторона уравнения F3.04) выражает собой тепло, получаемое единицей объема за единицу вре- времени. Второй член в правой части измеряет тепло, переданное теплопроводностью, тогда как первый член определяет долю, вносимую силами вязкости; этот член существенно положи- телен в согласии со вторым началом термодинамики. Выдвигались возражения против пользования понятиями вязкости и теплопроводности при описании внутреннего меха- механизма ударного процесса, потому что изменения всех величин в узкой ударной зоне так велики, что эти понятия теряют смысл. Вместо этого предлагалось пользоваться уравнением Больцмана из кинетической теории газов. Повидимому, не ре- решено даже, могут ли применяться понятия вязкости и теп- теплопроводности, хотя бы для слабых ударных волн. Но во всяком случае можно ожидать, что применение этих понятий Выводы их см. у Гольдштенна [19], т. II, гл. 14.
140 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ дает качественно правильную картину положения на ударном фронте. Мы должны, пользуясь вязкостью и теплопроводностью, показать, что при начальных и граничных условиях, отвечаю- отвечающих физическим условиям, система F3.01—63.03) обладает единственным и непрерывным решением, которое при X и ц, стремящихся к нулю, сходится к решению невязкого и нете- плопроводящего потока везде, кроме дискретных линий на плоскости (х, t). Вблизи этих линий сходимость неравномерна, и предельное решение имеет на них разрыв. Более того, следовало бы показать, что на этих линиях должны выпол- выполняться условия для ударных разрывов или для контактных поверхностей. Доказательство этих положений явилось бы подтверждением того, что предыдущая теория, будучи при- приближением к действительности, правильно описывает физические явления, однако такое доказательство еще не дано. Тем не менее, упрощая задачу, можно рассмотреть этот предельный переход по частям. Предположим, что наше утверждение о сходимости точного решения к решению обыч- обычных уравнений газодинамики правильно и выведем отсюда условия на разрыве. Рассмотрим внезапный переход в окрестности точки х = 0 в момент t = 0; не ограничивая общности, мы можем отнести этот процесс к движущейся координатной системе, так что эта точка будет покоиться при ? = 0. Предположим для простоты, что вблизи х = 0, t = 0 процесс можно считать установив- установившимся, полагая ut = r>t = St-=0 при ? = 0 вблизи х=0и пи- писать v вместо п. Тогда четыре закона F3.01—63.04) будут сводиться к сле- следующим: (р*>), = 0, F3.05) (Р & + P — V- vx)x = 0, F3.06) v" +') — ? vvx - х тх] = °> F3.07) о vTSx = [х v\ + (к Тх)х F3.08) Три закона сохранения F3.05—63.07), очевидно, можно про- проинтегрировать. Тогда они будут выражать постоянство массы, импульса и энергии в процессе течения. К условиям на раз- разрыве мы придем следующим образом. Проинтегрировав урав- уравнения F3.05—63.07) между — г и s, где г произвольно малая величина, получим [р^Г_г-О, F3.09)
§ 63. ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ Н\ УДАРНОМ ФРОНТЕ 141 °- - f р — |i vx]г_~ 0, F3.10) р V (| *>2+') ~ !А ™, - '* ^,] == °> F3.11) здесь скобка [/]1е означает разность/(г)—/(—е). Устремляя ui [а к пределу X -> 0, ^ -> 0, мы рассмотрим последовательность течений, о которой предположим, что она сходится к предель- предельному течению везде, кроме, может быть, точки х = 0. Соотно- Соотношения F3.09—63.11), не содержащие точки х = 0, остаются при этом предельном переходе справедливыми. Поэтому мы получаем для предельного течения [p^]L,= O, F3.12) И2+ />]!. = 0, F3.13) O. F3.14) Устремляя теперь г к нулю, мы получаем те же условия для предельного течения, которые были найдены раньше. Четвертое -условие возрастания энтропии на фронте удар- ударной волны тоже получается из нашего предельного процесса. Полагая pv = m = const в согласии с F3.05) и интегрируя уравнение F3.08) между — s и е, мы находим Для заданного значения е последний член справа стремится к нулю вместе с ;а -> 0, X -> 0, но это не обязательно для двух других членов. Действительно, эти члены являются интегралами в таком интервале, в котором Т2Х и vlx сильно воз- возрастают. Поэтому положительные слагаемые в правой части могут только преобладать, и мы имеем в пределе [$]•_.> о, что является четвертым условием на разрыве. (Мы только что видели, что для действительного разрыва знак равенства исклю- исключается.) Замечательно то, что это четвертое условие на раз- разрыве, не зависящее от трех законов сохранения, получается из теплового баланса, как предельное следствие уравнении
142 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ непрерывного течения, вытекающее из трех законов сохра- сохранения. Надо еще раз подчеркнуть, что приближенное описание течения жидкостей почти без вязкости и теплопроводности с помощью идеализированного течения, содержащего ударный фронт, но не обладающего ни вязкостью, ни теплопроводностью, очевидно, не пригодно в области вблизи ударного фронта, где становятся большими производные ^, р и Г. Поэтому же- желателен более подробный анализ резкого перехода для очень малых, но не исчезающих значений X и ^. В частности, при помощи такого анализа следует определить ширину ударного фронта. Рассмотрим величины р0, т0, р0 и ро тх, рх по обеим сторо- сторонам ударной зоны — е<л:<8, считая их постоянными и рав- равными тому, чему они равны в предельном случае для ударной волны. Требуется найти решения (р, т, р) трех уравнений (E3.05—63.07), принимающие эти предельные значения. Ши- Ширина 2s ударной зоны определяется из того условия, что суще- существуют такие решения, у которых производные pxi px, vx обращаются в нуль на обоих концах, х = ±г. Сомнительно, существуют ли такие решения. Вместо этого можно применить иной способ, которым успешно пользуются в других случаях, например в теории Прандтля пограничного слоя течения вязкой жидкости [19]. Тогда пограничные усло- условия налагаются на х —— оо и х=оо вместо х —— ей х —s. Ударная зона при этом определяется несколько произвольно, как интервал, в котором происходит заметное изменение р, р и v. Эта задача с граничными значениями рассматривалась раз- различными авторами (см. [4, 17, 45]) в предположении о посто- постоянстве коэффициентов ц. и \, а также Томсоном [46], приняв- принявшим во внимание изменение mU температурой. Результаты этой теории таковы: ударная зона так узка, что ее ширина соиз- соизмерима с длиной пробега газовой молекулы. Это показывает, что для изучения переходной зоны теория, рассматривающая газ как континуум, становится непригодной и необходимо обра- обращаться к понятиям кинетической теории газов. § 64, Соотношение Гюгонио, Определенность условий на ударной волне Для дальнейших рассмотрений оказывается удобным ввести ^ и р как независимые переменные вместо т и S и рассматри- рассматривать энергию как функцию е(у, р) от т и р. Это возможно, так как мы предположили, что gs > 0 [см. B.07)] для функ- функции /? = g(*z, S). Пользуясь функцией Гюгонио, равной нулю при
$ 64. СООТНОШЕНИЕ ГЮГОНИО. УСЛОВИЯ НА УДАРНОЙ ВОЛНЕ 143^ : = т0, р==р0, мы можем записать соотношение Гюгонио в простом виде Я(т, р) —^(т,р) — е С=о» А>) + (* - ч>)¦Ij~ > F4.01) Н(^р) = 0. F4.02) Оно характеризует все возможные состояния (т, р) по одну сторону ударного фронта, которые совместны с тремя усло- условиями на разрыве E4.08—54.10), если заданы значения (~о>Ро) на другой стороне. График соотношения Гюгонио на плоскости (т, р) называется кривой Гюгонио (рис. 52). Для политропических газов, у которых е= ^Р'-^Р" F4.03) [см. C.04) и A4.06)], функция Гюгонио имеет вид 2^2Я(т, р)==(,_1хЧ0)р-(т0-1хЧ)р0, F4.04) т. е. кривая Гюгонио — равнобочная гипербола. Функция Гюгонио очень полезна для выяснения вопроса о том, какие данные определяют ударный переход. Три соот- соотношения на ударной волне E4.08—54.10} представляют три уравнения между семью величинами т0, т1э /?0, ри щ, щ и U, потому что е можно считать заданной функцией тир. По- Поэтому, если три из этих величин заданы, остается только одно- параметрическое семейство разрывов. Ударные соотношения между семью величинами нелинейны и поэтому, в том случае, когда, кроме начального состояния, задана еще одна величина, не обязательно описывают разрыв; но все же при довольно общих условиях справедливы сле- следующие теоремы: (A) Состояние @) на одной стороне фронта и скорость фронта U полностью определяют состояние A) на другой стороне фронта. (Б) Состояние @) и давление рг определяют скорость ударного фронта и все состояние A). (B) Состояние @) и скорость их определяют скорость фронта и состояние A), если указано, находится ли состо- состояние @) впереди или позади фронта. Отметим, что в случаях (А) и (Б) данные полностью опре- определяют, находится ли @) позади или впереди фронта. Усло- Условие для последнего, как мы увидим, есть \и0— U\ > с0 в слу- случае (А) и р1 > р0 в случае (Б). С другой стороны, в случае (В) данные определяют, какое состояние находится справа и какое
144 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ справа 1) слева от ударного фронта согласно тому, что ислева -[см. E7.01)]. Условия, при которых эти теоремы могут быть доказаны можно выразить по отношению к адиабате Гюгонио #(х, р) =0 с началом в точке (х0, р0). Эти условия таковы: 1. Давление меняется вдоль кривой Гюгонио от нуля до бесконечности. Значения х могут меняться между конечными пределами хмин и тмакс. Это имеет место, например, для политропических газов, у которых х меняется вдоль кривой Гюгонио между ъмин=р\ Состояние во фронте, ''имеющее @) позади Состояние позади с состоянием @) во фронте и \акСт=р "х0> как это видно из F4.04). 2. Вдоль кривой Гю- Гюгонио dp/d* < 0. 3. Каждый луч, про- проведенный из центра (х0, р0), пересекает кривую Гюгонио в одной точке, если он пересекает ось х в точке т<тмакс. Условие 3 удовлетво- удовлетворяется в весьма общем случае, как будет пока- показано в ближайшем пара- параграфе. Для политропиче- политропических газов все три усло- условия следуют из выраже- выражения F4.04). Если даны состояние @) и ри то условия 1 и 2 обеспечи- обеспечивают единственность значения х1? удовлетворяющего Н (уи рг) = = 0. Тогда значения г;0 = /гат0 и vx = m^l находятся из E9.02). Знак т зависит от того, обращен ли фронт вправо, /и<0, или влево, /п>0. Скорость разрыва тогда равна (J*=stio~-vo. Этим доказана теорема (Б). Для справедливости теорем (А) и (В) надо наложить даль- дальнейшие условия, а именно: Ро < ?lVl (Тмакс.~ То) ДЛЯ (А)> F4.05) (»1-»оJ<РоЫс-\) Д^ (В). F4.06) Эти условия относятся, однако, только к тому случаю, когда состояние @) находится позади фронта. Рис. 52. Кривая Гюгонио и решение задачи (С). * Другой способ будет дан для политропнческих газов в § 68.
§ 65. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНОГО ПЕРЕХОДА 145 Чтобы доказать теорему (А), мы заметим, что величина — т? <= — PqVq, определяемая по исходным данным, равна отно- отношению (рх— Po)/(Ti~-xo) по E9.02). Поэтому, чтобы найти ^ и рХу мы должны только пересечь кривую Гюгонио лучом, проходящим через (*с0, р0) и имеющим наклон — т2. По усло- условию 3 и согласно соотношению F4.05) существует только одна точка пересечения. Значение vx тогда находится из vl-=mxl. Чтобы доказать теорему (В), мы применим соотношение E9.05), пользуясь которым найдем член (щ — и0J. Таким образом, чтобы определить ^ и pv мы должны только пере- пересечь гиперболу (? — io)(p—р0) = — {их — и0J кривой Гюгонио. Так как наклон гиперболы положителен, то из условия 2 и неравенства F4.06) следует, что есть два таких пересече- пересечения, отвечающих двум возможным случаям, когда состояние @) находится позади и впереди фронта. Величина т находится потом из E9.02); она положительна, если фронт обращен налево, и отрицательна, если фронт обращен направо. Скорость фронта определится из ?/= н0 — тот==и1 — хх т. § 65. Основные свойства ударного перехода В настоящем разделе мы установим четыре основных свой- свойства газа по обе стороны от ударного фронта. Силой разрыва мы будем называть любую из разностей рг — р0, рх — р0 или K — ^ol- L Возрастание энтропии в ударном фронте является вели- величиной третьего порядка по сравнению с силой разрыва. II. Возрастание давления, плотности и температуры в удар- ударном фронте отличается от обратимого, адиабатического воз- возрастания этих величин, начиная с членов третьего порядка, по сравнению с силой разрыва. При этом предполагается, что начальное состояние и одна из величин конечного состояния одинаковы для обоих процессов. III. Ударные волны ведут только к сжатию. Точнее, плот- плотность и давление на ударном фронте возрастают. IV. Скорость течения относительно ударного фронта сверх- сверхзвуковая перед фронтом и дозвуковая за фронтом. Для политропических газов эти свойства легко усмотреть из формул для переходов, которые мы обсудим в § 67. Заме- Замечательно, что в общем случае идеальных газов эти свойства существенно зависят только от основных предположений B.04—2.07) о функции р^- g{*,S)9 а именно: g <0, gx = — ??-, F5.01) g?.. < °> F5.02) gs > 0. F5.03) ю Р. Курант и К. Фридрихе
146 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Прежде чем установить эти факты с полной общностью1}, мы отметим, что первая часть свойства IV непосредственно следует из III, если предположить вместо неравенства F5.02) несколько более строгое условие j-jr>0. Ибо, так как SX > So и g^>0, из уравнения E0.03) следует соотношение о) -^ Р (Pi. $O) > So) > p? (Po> SQ) = t'2 (po> So) = 4 где р есть надлежащим образом выбранное значение, проме- промежуточное между о0 и р1# Поэтому vovx > 4 (G5.04) Из того, что po^o — Pi^i» Pi>Po и п0 утверждению III, полу- получается |г>0| > \vL\. Тогда из F5.04) мы имеем желаемое соот- соотношение ! i^o i > съ* Заметим, что в этом доказательстве не использовалось третье термодинамическое соотношение для ударных волн. Докажем теперь наши четыре утверждения в общем случае 2). Мы очень просто установим то важное обстоятельство, что различие между ударным и адиабатическим переходами имеет место только в членах третьего порядка относительно силы разрыва и поэтому становится заметным только для „сильных*' разрывов. Точнее, мы докажем, что: I. Увеличение энтропии в ударном разрыве является вели- величиной третьего порядка малости относительно разности "i — "о удельных объемов, или, что равносильно, разности давлений. II. Пусть рассматриваются ударный и адиабатический пере- переходы из одного и того же начального состояния в состояния с одинаковым удельным объемом. Тогда возрастание давления в обоих случаях различается на члены второго порядка малости относительно разности удельных объемов тх — т0. То же справедливо и для увеличения температуры, которая является функцией р и т. Мы придем к тому же результату, если вместо xt — ?0 будем измерять силу разрыва разностями Рх-Ро> ^i — ^o или \vQ — tfj. 1) Это сделано Бете [47] и Вейлем [48]. 2) Прандтль и Буземан дали весьма ясную геометрическую интерпрета- интерпретацию соотношений для ударного разрыва, пользуясь плоскостью (v, /;), откуда может быть получено свойство IV для общего случая жидкости (см. [4*8)).
§ 65. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНОГО ПЕРЕХОДА 147 Чтобы доказать эти два утверждения, рассмотрим функцию Гюгонио ± F5.05) |см. F4.01)] и кривую Гюгонио Н(т, р) = 0 с „центром" (хоро) в плоскости (т, р). Она характеризует однопараметрический ряд состояний (х, р)у которые могут быть достигнуты в удар- ударной волне из (?0, р0). Предположим, что эта кривая может быть представлена в виде р = О (х) и что G (х) -> оо для х -> хмшь (см. условия 1 и 2 в § 64). Вдоль кривой Гюгонио мы имеем в начальной точке dH=0 и поэтому из B.01) получаем 2TdS- (р - Л>) я? х -f (x ~- т0) dp = 0, F5.06) следовательно, TdS — О или tfS = 0 в(т0>р0). F5.07) Дифференцируя F5.06) еще раз вдоль кривой Гюгонио и рас- рассматривая х как независимую переменную, мы находим откуда в „центре" d (TdS) - dTdS -f 7Y#S == 0, следовательно и d*S = 0 в (хоро). F5.08) Соотношения F5.07) и F5.08) показывают, что изменения энт- энтропии являются величинами по крайней мере третьего порядка. Дифференцируя еще раз и подставляя р = р0, х = х0, по- получаем 2ffl(TdS) + dd* 0 в или, согласно соотношениям F5.06—65.07), 2Td*S + dzd2p = 0 в (х0, р0). Так как g__ > 0 [см. F5.02)], это соотношение дает , если rfx<0 в (хо, ро). F5.09) Поэтому увеличение энтропии есть величина в точности треть- третьего порядка. Этим доказано утверждение I. Утверждение II, касающееся давления, доказывается как непосредственное следствие I. Энтропия 5 есть функция х вдоль кривой Гюгонио; поэтому мы имеем р«=О(т)=?(т, ЗД). 10*
148 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Следовательно, согласно соотношениям F5.07—65.08) или, говоря геометрически, кривая Гюгонио /? = G(t) и адиа- адиабатическая кривая p = g(i, So) имеют в центре касание второго порядка. Это и доказывает утверждение II. Из F5.07—65.09) следует, что энтропия есть монотонная функция S(x) вблизи центра. Покажем, что это верно и в боль- большом интервале. III. Вдоль всей кривой Гюгонио энтропия увеличивается при уменьшении удельного объема. Чтобы доказать это, мы применим изящное рассуждение Г. Вейля [48]. Перепишем условия F5.01—65.03), введя в них функцию S = S (т, р). Из тождества 5=5 (т, g (?, 5)) следует, что 5^=1, поэтому по F5.03) 5р>0. F5.10) Далее, из ?_-{-5^ = 0 и F5.01) следует, что 5х>0. F5.11) Условие выпуклости F5.02) g\_. < 0 приводит, кроме того, к не- неравенству SzxS2p - 2SvSpS^ + SppSl < 0, F5.12) которое можно получить, дифференцируя тождество 4- Sz — 0 еще раз по т. Для того чтобы доказать теперь монотонность 5 вдоль кри- кривой Гюгонио Н (т, р) = 0, достаточно показать, что на ней йЗфО везде, кроме центра @), (то,/>о). Если бы 5 было ста- стационарно вдоль кривой Гюгонио в точке A), (^ рг), это зна- значило бы, что в этой точке, где dS и dH одновременно равны нулю, хорда @—1) должна была бы касаться кривой Гюгонио согласно уравнению F5.06). Но такое касание невозможно, как показывает следующее рассуждение. На луче R, проведен- проведенном в плоскости (т, р) и представленном в параметрическом виде как где мы имеем dp = ads и d~ = bds; следовательно, по F5.06) dH = =s Гс/5. Таким образом, если мы рассматриваем 5 и Н как
§ 65. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНОГО ПЕРЕХОДА 149 функции 5 вдоль /?, S(s) и H(s) должны быть стационарны одновременно, если одна из них где-либо стационарна. Луч R не может совпадать с кривой Гюгонио, потому что при этом возникнет противоречие с условием выпуклости в центре @). Из того, что H(s) обращается в нуль в центре @) и в конце хорды A), следует, что между @) и A) имеется по крайней мере один экстремум. В точке экстремума S(s) тоже стацио- стационарна. Это стационарное значение является максимумом, по- потому что в этой точке или SJSp — — ajb, и вторая производная Sw с точностью до положительного множителя равна величине которая отрицательна по F5.12). Поэтому S, а значит и Н имеют одну, и только одну, стационарную точку на R между @) и A). Из того что S имеет только один максимум между @) и A), мы выводим неравенства — >0 в @), F5.13а) (IS -~<0 в A). F5.136) CIS Второе неравенство исключает возможность стационарности S в точке A), потому что, как мы видели, луч R касался бы кривой Гюгонио в такой точке. Соотношение d// = 0 в этой точке давало бы —^- = 0 в противоречии с F5.136). Итак, ds мы доказали, что энтропия возрастает вдоль кривой Гюгонио при уменьшении удельного объема. Так как по условию E4.11) энтропия в ударной волне уве- увеличивается, мы теперь видим, что то же справедливо и для плотности т, и согласно F5.01) и F5.03) для давления. Этим доказано утверждение III. Четвертое утверждение непосредственно следует из F5.13). Так как SJSp = — g,-=?2c\ d'z/ds = x1 — xQ9 dp/ds^pl—povi на основании F5.10) неравенства F5.13) принимают вид
150 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Предположим теперь, что ^<х0; тогда два последних нера- неравенства можно объединить следующим образом: 2 2 Р±-Ро ^ 2 а Согласно E9.02) и E4.08) это соотношение равносильно сле- следующему : vl>4, v\<c\. F5.14) Это доказывает утверждение IV. § 66. Критическая скорость и соотношение Прандтля для политропическнх газов В этом' и следующих параграфах мы будем исследовать ударные переходы в политропических газах. В этом случае термодинамическое условие для ударного перехода становится особенно простым. Энтальпия политропического газа есть Р _ 1 ~ р* Р 2;л2 где 1 7 + 1 [см. (9.06), A4.06)], поэтому условие E5.02) получает вид и'^+О-^^-^+О-р8)^-^. F6.01) Это соотношение полностью согласуется с законом Бернулли в виде A4.08) (здесь с* есть критическая скорость, см. § 15). Благодаря алгебраическому виду этого третьего условия, все соотношения между различными величинами по обе стороны ударного фронта и скоростью U имеют чисто алгебраиче- алгебраический вид. Соотношения между относительными скоростями v0, vl no обе стороны ударного фронта можно написать в очень изящной и удобной для пользования форме, предложенной Прандтлем, а именно Vi = С • F6.02) Это основное соотношение содержит только скорости и не связано явно с такими термодинамическими величинами, как давление или плотность.
ё 07. УДАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИТРОПИЧЕСКИХ ГАЗОВ 151 Чтобы доказать соотношение Прандтля, мы можем, напри- например, исходя из E4.09), F6.01) и чр^=рс2 [см. C.06)], написать следующие равенства: Вычя нижнее равенство из верхнего, получим пли с2 = El ~P± Теперь равенство F6.02) сразу получается из E9.03). Соотношение Прандтля, очевидно, равносильно формуле перехода ?* + ?± = е*Л-?* F6.03) если vx Ф 0 и v0 Ф 0. Соотношение Прандтля показывает, между прочим, что в пределе, когда сала разрыва стремится к нулю, ударный фронт переходит в звуковую волну. Ибо, если vo = vx, то из F6.02) следует, что обе скорости vQ и vx имеют одинаковое значение с:]:; а так как тогда ? = ?*, слабый разрыв движется приблизительно со скоростью звука. Этот факт согласуется, конечно, с тем, что разрывы не в величинах и и р, но в их производных распространяются вдоль характеристик. Из соотношения Прандтля непосредственно следует, что скорость газа относительно ударного фронта — сверхзвуко- сверхзвуковая впереди фронта и дозвуковая позади него, в согласии с общими результатами § 65. Из формулы F6.02) следует, что из | ч^ ¦ > | т^ | получим l^il < с* и 'l^ol > ?*, и тогда наше утверждение будет выте- вытекать из основного свойства критической скорости с*, которое в настоящем случае может быть выведено из F6.01), если на- написать это равенство в виде § 67. Ударные соотношения для политропических газов На основании трех основных ударных соотношений мы свяжем значения рассматриваемых нами величин по обе сто- стороны фронта.
152 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Согласно F4.04) соотношение Гюгоиио Н (?и Pi) — ^ политропических газов имеет вид (т2 — \^\)р1 — (^0 — Н^ОРо— О и дает поэтому важную формулу El — т° ~~ ^2ti _ Pi ~ Л /^7 on Обратив ее, получим — =—!. = ?— о . E7.U2) Tj p0 /7q -|- {Л^ Pi к ' Равенство F7.02) показывает, что сжатие —, как уже упоми- упоминалось в § 64, всегда ограничено интервалом !l3<^<-^. F7.03) о так что оно не более чем [х -кратно. Для -[-=1,4 плотность всегда увеличивается не более чем в 6 раз, а для 7= 1,2 пре- предельное сжатие равно 11. Изменение температуры и энтропии в ударной волне немед- немедленно определяется из F7.02), если подставить T1/To=pix1jpozo и S{ — S0-=-cvlnp1fzyp0^l [см. C.01) и C.23)]. Легко проверить, что и S и Т увеличиваются в разрыве. Из механических условий § 59 можно получить соотноше- соотношения между скоростями, давлениями и плотностью по одну сто- сторону разрыва. Из E9.02), пользуясь F7.01), находим Pi F7e04) A-^то A-^L - ' тогда как из E9.01) (и, - »оJ - (Pi -PoJ ^gj - (Л -Po)e fe^ • F7.05) Особенно простое соотношение существует между отношением давлений — и числом Маха Ро M0 = L^I F7.06) для течения газа [см. A0.01)]. Из равенств F7.04) и роСо~Т/\> имеем Рг + ^2Ро = A — Iх2) Ро ^о = 7A- Г) Ро^о или g = (l+li2)Af02-,.*. F7.07)
§ 68. УДАРНЫЙ ФРОНТ И СОСТОЯНИЕ ПОЛИТРОПИЧЕСКОГО ГАЗА 15& Ударные соотношения, которые включают только скорости частиц и звука, легче всего получаются из соотношения Прандтля F6.02). Подставляя vr~u.— U в F6.02) и пользуясь F6.01), находим (и0 - U) (и, - U) = ц2 (и0 - Uy + A - (х2) с2, = Таким образом, мы получаем равенство A - ц2) (/7- О2 - (цг - щ) (U - и0) = A -г) г30, F7.09> которое представляет квадратное уравнение для U — и^ если даны и1 и с0; оно равносильно следующему равенству: ^-^), F7.10). которое иногда бывает полезно. § 68, Состояние по одну сторону ударного фронта в политропическом газе, определенное состоянием по другую сторону фронта Различные формулы, которые мы только что вывели, по- позволяют полностью определить ударный переход, если дана< состояние по одну сторону фронта, и, кроме того, такая вели- величина, как скорость фронта U или давление, или скорость—по другую сторону. Так мы получаем для политропических газов подтверждение теорем (А), (Б) и (В), высказанных в§ 64. Вместо того чтобы точно следовать § 64, мы выберем другой способ, в котором используются скорости звука взамен плотности. А, Даны /?0, ро> #о> U. Вычислим сначала vQ = u0 — U% затем Мо = | vo\/co и затем ру из F7.07). Определим, далее, с2 = |«.2^-}- -}- A — |а2) с\ и отсюда Найдем, наконец, с\ из Равенство F7.10) «1 —"о _/i ..2ч/^/—"о Со ^ послужит нам проверкой.
154 1'Л. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Б. Даны р0, р0, щ на фронте, обращенном назад (откуда следует, что г>0 > 0), к р± > р0. Найдем сначала М20 из F7.07), затем v0 = Мосо, U=u0— v{), с* = ц2^-f A — Г)^о и продол- продолжим, как в случае А. В. Даны р0, р0, и0 со стороны фронта ударной волны, обра- обращенной назад, и их < и0. Находим сначала U, решая квадрат- квадратное уравнение F7.09) для *г;0 = и0 — U > 0. Затем продолжаем, с2 как в А. Для проверки служит равенство их — U = —-. § 69, Ударная волна, происходящая от равномерного сжатия поршнем Мы уже видели в § 45, что Течение, производимое в трубе поршнем, который внезапно стали выдвигать с постоянной скоростью, может быть описано как центрированная простая волна разрежения. Если, с другой стороны, поршень стали внезапно вдвигать в трубу с постоянной скоростью, то резуль- результирующее движение приводит к ударной волне (см. § 48.) Выражаясь математически, мы имеем здесь дело со смешан- смешанной задачей о начальных значениях (см. § 38): и = 0у p = pOf Р = Ро заданы на оси х>0 при t=^0, тогда как на линии х = upty представляющей движение поршня, наложено условие и — ир, где ир — скорость поршня. Надо найти решение диф- дифференциальных уравнений течения C4.01), удовлетворяющее этим условиям; но при и >0 такие решения не существуют, если не допустить существования разрывов. Течение с удар- ударным разрывом находится' как в § 53 (рис. 46). Ударная волна постоянной амплитуды движется с постоян- постоянной скоростью в покоящемся газе, а газ позади фронта нахо- находится в стационарном состоянии. Скорость газа позади удар- ударного фронта равна тогда заданной скорости поршня и = ир. Теорема (В) (см. § 64 и 68) показывает, что при этих обстоя- обстоятельствах ударный фронт и состояние позади него полностью определены для произвольного значения скорости поршня ир > 0. То же верно для неполятропического газа при весьма общих условиях. То, что найденное таким образом решение есть единственное, требует математического доказательства, которое здесь будет опущено. Так как иг = и у ио = О9 то мы находим U для политропи- политропических газов из уравнения F7.09): 2 1-V- F9.01)
§ 70. ОТРАЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ЖЕСТКОЙ СТЕНКИ |55 Ясно, что скорость разрыва U больше, чем ир!A — ц2) и скорость звука с0. Например, для воздуха (v —1,4, [х- = 1,6) ударная волна движется по крайней мере на 20% быстрее поршня. Определив таким образом скорость ударной волны, мы будем иметь последовательное описание движения, произведенного сжимающим действием поршня. Хотя мы и не дали доказатель- доказательства единственности, т. е. не показали математическим путем, что • другие виды движения невозможны, мы будем считать, что нами получена удовлетворительная теория для интерпре- интерпретации действительных явлений, к которым применима при из- известных обстоятельствах наша идеализированная модель. По- Получив U, мы находим по способу (А) § 64 и 68 давление ри скорость звука сх и плотность р, в зоне, граничащей с поршнем. При больших- скоростях ир вдвигаемого поршня, т. е. при* ир/с0^>\, мы имеем по F9.01), F7.07) и F7.02) U~-^?—y F9.02) о ¦?-¦1. F9.04) § 70. Отражение ударной волны от жесткой стенки Рассмотрим теперь очень важный вопрос —отражение удар- ударной волны от стенки. Пусть столб газа движется с постоянной скоростью позади ударного фронта, наталкиваясь на зону не- неподвижного газа, ограниченную жесткой стенкой. Возникающее физическое явление может быть описано как отражение удар- ударной волны от стенки и представлено математически кусочно- гладкими решениями дифференциальных уравнений, удовлет- удовлетворяющими условиям на падающей и на отраженной ударной волне. При ударе падающей волны зона @) покоящегося газа между волной и стенкой сокращается до нуля, скажем в мо- момент ? = 0; потом возникает отраженная ударная волна в про- противоположном направлении, которая, в свою очередь, оста- оставляет растущую зону покоящегося газа между своим фронтом и стенкой. Положение лучше всего представляется диаграм- диаграммой на плоскости (х, t). Зона @) относится к покоящемуся газу и характеризуется величинами #0 = 0, р0, /?0, с0. В состоя- состоянии G), следующем за падающей ударной волной, и = щ\ в состоянии B), граничащем со стенкой, вновь наступает покой,
156 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ u = u2 = 0, но с другими значениями р2, р2, .с2. Наша цель — найти" состояние B) из данных р0> р0, ио = О, uv Для этого мы заметим, что предполагаемое решение, изо- изображенное на рис. 53, показывает, что состояние (/) со ско- скоростью течения uv и скоростью звука сх связано ударными условиями на падающей волне с зоной покоя @) и на отра- ?) и 2). женной волне—с другим состоянием покоя —B). U+ есть скорость падающей, a U__ — скорость отраженной волны, по- поэтому согласно уравнению F7.08) обе эти скорости удовлет- удовлетворяют одному и тому же Отраженный ударный фронт: Ut О) I Падающий L ударный фронт: /\ I квадратному уравнению 2 = (их Стенка (х-0) или два числа -?/+)/^i<0 и ЛО-^ — — U_j/cl > 0 суть корни квад- квадратного уравнения Рас. 53. Отражение ударной волны так ЧТО от жесткой стенки. - 1=0, G0,01) М+М_ = 1. G0.02) Далее, соотношения для скорости, вытекающие из F7.07), таковы: Pi Г2_ — ц2; G0.03) пользуясь G0.02), мы получаем отношение давлений при от- отражении G0-04) или отношение избыточных давлений G0.05) Это и есть основное соотношение для важного явления от- отражения. При „звуковом отражении", получающемся в ли- линейном волновом движении, это отношение равно 2, т. е. избы-
§ 71. АМПЛИТУДА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ПОЛИТРОПИЧЕСКИХ ГАЗАХ 157 точное давление после отражения просто удваивается. Здесь мы встречаемся с совершенно другим положением; если па- падающая волна сальная, т. е. при большом отношении у, получаем v v 1 [ 8 для т — ! ,4, 123 для 7=1,1. Итак, при отражении сильной ударной волны от стенки давление возрастает во много раз, — факт, имеющий, оче- очевидно, большое значение. Для слабых ударных волн, где — — 1 мало, мы находим из равенства G0.05) 2 Pi - Ро в соответствии со случаем звукового отражения. §71. Амплитуда ударной волны в политропических газах Для дальнейшего удобно ввести понятие силы или ампли- ч ту ды ударной волны. Для измерения последней можно выбрать различные параметры: отношение избытка давления (рх—Pq)IPq9 сжатие (pi — ро)/ро, параметры ' Ul~jllv. или УИ^ — 1. Жо = |^о |/^о — число Маха для приходящего потока по отно- отношению к ударной волне [см. A0.01)]. Мы запишем соотноше- соотношения между этими величинами для политропических газов. Правила для вывода соотношений между этими различными интерпретациями амплитуды разрыва содержатся в формулах § 67. В частности, мы имеем из F7.01) ?P 1 + I*2 PP I1 0П 7 G1-02) G1.03) Jo и из и Ро F7.02) Pi — Ро Ро 1 + !^Pl,'Po 0 Pi — Ро Ро е 7 / Ро , Рг — j )-- 1 2 1 — 1 9
158 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Из F7.07) следует особенно простая формула Pt-Ro ==A+,12)(ж2_1)> G1.04) а из F7.05) и F7.07) I «I — «oi _ ' ~1л2 Pi -J>±. I Po _ Л12-1 = (l-!lS)--rr- • G1-05) Случаи слабых и сильных ударных волн имеют особенно большое значение. Сильные ударные волны можно характе- характеризовать тем условием, что рх/р0 или /Ио очень велики. Из F7.02) и G1.02) мы видим, что отношение плотностей р,/р0 стремится к конечному пределу, когда pjpo-*co, т. е. Pi/Po -> 1/У = 6 для т - 1,4. G1.06) Отношение давлений p1ip0 возрастает как квадрат числа Маха 'по формуле F7.07) или G1.04), т. е. G1.07) Тогда для отношения скоростей звука мы находим G1.08) так как Cj/1Cy = p1'p0//70p1. Для разности скоростей и1-~и0 мы находим из G1.05) JtLzJbl/м, ->(]- ^). G1.09) § 72. Слабые ударные волны. Сравнение ударного перехода с изменением состояния в простой волне Здесь уместно сформулировать важную теорему о сравнении ударного перехода с непрерывным изменением состояния в простой волне. Пусть ударный переход и простая волна переводят газ соответственно из состояний (т0, /?0, и0) в (т, /?, и) и в (т*, /?*, и*). Мы измеряем амплитуду ударной волны по одной из трех раз- разностей z — т0, р—Ро или и — и0 и соответственно говорим, что ударная и простая волны имеют одинаковую силу, если ?* —?,
§72. СЛАБЫЕ УД\Р11Ы1? ВОЛНЫ 159 или р*=ру или и'* = и. Тогда теорема может быть сформули- сформулирована так: для ударного перехода и перехода в простой волне одинаковой силы величины т* и т, или р* и р, или и* и и совпадают до членов второго порядка включительно и раз- различаются в членах третьего порядка. Очевидно, что доста- достаточно доказать эту теорему для одного из трех определений силы разрыва. Мы выберем для этого разность т — т0. Из этой теоремы вытекают два факта: как изменение энтро- энтропии, так и изменение инвариантов Римана во фронте удар- ударной волны являются величинами третьего порядка малости, потому что обе эти величины постоянны в простой волне (инвариант, отвечающий волне, обращенной вперед, есть s и г — для обращенной назад). Первый из этих фактов уже доказан в § 65, и мы можем использовать его, чтобы непосредственно доказать часть теоремы, относящуюся к давлениям. Но часть нашей теоремы, относящаяся к скоростям, не следует непо- непосредственно из условия для энтропии и нуждается в более тонком доказательстве. Чтобы определить изменение давления, мы подставим в разложение соответствующее разложение S-— 50 по степеням z — т0; члены первого и второго порядка в т т0 не изменятся и поэтому будут такими же, как в простой волне, где S = S0 = const. Поэтому давления совпадают до членов второго порядка вклю- включительно (см. утверждение И в § 65). Часть теоремы, относящаяся к скоростям, доказывается по механическому соотношению для ударных волн E9.05) Дифференцируя его три раза по т и подставляя затем z =¦- т0> р=р0, u = uOf мы получаем равенства dpd~ — (duy, G2.01) d2pdz =--= 2d2udu, G2.02) где значения дифференциалов надо взять при ~ = ~0. Так как dp = gz(~Q9 S0)y d*=-$f\d>z и d*p = j g^ (v S0)df уже определены, то du и d-u могут быть вычислены из G2.01) и G2.02). Знак зависит от того, обращена ли волна вперед или назад (в первом случае dud- положительно, а во втором- отрицательно).
160 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Рассмотрим теперь последовательность простых волн с од- одним и тем же состоянием (х0, р0, и0) впереди волны и значе- значением х после сжатия. Такая последовательность дается частями одной простой волны между прямой головной характеристикой, несущей значения х0, А» ио> и характеристикой, несущей зна- значение х. Зависимость р и и от х тогда будет такая же, как и вдоль пересекающей характеристики. Следовательно, спра- справедливо соотношение dpd х = (аиJ [см. C4.05)], и после диф- дифференцирования по х получаем d^pd-z = 2d2udu. Эти два соотно- соотношения, взятые при х = т0, согласуются с соотношениями G2.01— 72.02) для ударных волн. Поэтому du и d2u при т~т0 для простых волн такие же, как для ударных волн. Другими сло- словами, разложения и по степеням х — т0 для ударной волны и для простой волны одинаковы до членов второго порядка включительно. Легко проверить вычислением, что изменения давления и скорости в простой и ударной волнах действи- действительно различаются в членах третьего порядка. Конечно, наша теорема остается в силе, если сравнивать ударный переход и изменение состояния в простой волне, имеющие одинаковые конечные значения давления или ско- скорости, вместо х (см. рис. 54). Разложения всех перечисленных величин по степеням р—р0 или и~~щ согласуются соответ- соответственно до членов второго порядка. Рассмотрим теперь разложения по степеням и — и0 вместо х — х0. Для ударной волны они одинаковы, вплоть до членов второго порядка, с соответствующими разложениями для про- простых волн, полученными в § 40 [см. D0.10—40.11)]; в частно- частности, для обращенного вперед ударного фронта в политропи- политропическом газе имеем и 4- с = щ + с0 + -Ц^- (и - щ) + ..., где точки означают члены третьего порядка.
§ 72. СЛАБЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 161 Есть одна важная величина, связанная с ударной волной, к которой не относится наша теорема, — это скорость волны U. Легко получить разложение U по степеням т — т0, подставляя разложение р в механическое условие для разрыва E9.02), записанное в виде («,-</)« =- ? G2.04) Но вместо этого мы дадим только разложение U для политро- политропических газов по степеням и — н0. Член первого порядка Ударный фронт Lx Путь Рис. 64. Ударная волна и простая волна сжатия, имеющие впереди себя одинаковые состояния и производящие одинаковое увеличение скорости. можно получить, подставляя последние два разложения G2.03) в G2.04). Чтобы вывести все разложение, более удобно пользоваться соотношением F7.10), которое дает. со-\ ... G2.05) для ударного фронта, обращенного вперед. Для дальнейших целей полезно разложение U по степеням и-\-с — и0 — с0; пользуясь G2.03), получим си -1- 1 (ll + С — Щ — СрJ 8 ^о G2.06) Из этой формулы мы видим, что скорость ударного фронта, обращенного вперед, в первом порядке равна как раз сред- Р. Курант и К- Фридрлхс
162 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ нему значению — (^0 + ^о + и + 0 скоростей обращенных впе- вперед звуковых волн позади и впереди фронта. Неточность, возникающая при подстановке в уравнения для ударной волны соотношений для простой волны, очень мала даже для ударйых волн с отношением давлений Р} ~~р0, рав- равным 1,5 (см. [54]). В политропическом газе с ч=1,4 для удар- ударных волн такой силы Y— Co 2 co тогда как для простой волны той же амплитуды iii^L = 0,70, --^^ = 0,14, 1 Со 2 со Скорость ударной волны U равна ^ j t-» I 1 ,О 1 , тогда как формула G2.06) дает U— Uo 1 г-о = 1,52. Это показывает, что даже для ударных волн, сила которых несколько больше, чем р[-~ р0 = 1,5, соотношения для простых волн и формула G2.06) для скорости ударной волны достаточно точны для большинства целей. § 73. Нестационарные ударные волны Для ударных волн, рассмотренных в § 53 и 57, положение довольно просто, потому что состояния по обе стороны фронта отвечают постоянному потоку. Отсюда получаются постоянная скорость и сила ударного фронта. Такой ударный фронт пред- представляется в плоскости (х} t) прямой линией, „путем фронта", наклон которого по отношению к оси t есть постоянная ско- скорость фронта U. Часто, однако, состояния по обе стороны фронта не являются оба постоянными, а должны описываться
§ 74. РАССМОТРЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН 163 нестационарными решениями уравнений газовой динамики. Тогда и ударный фронт не имеет постоянной скорости, т. е. путь его в плоскости (х, t) искривлен. В общем случае изме- изменение энтропии в таком разрыве тоже меняется. Поэтому, если даже состояние впереди фронта имеет постоянную энтропию, позади него энтропия непостоянна, и мы вынуждены описывать его с помощью дифференциальных уравнений C4.06) неизэн- тропического течения. Это математическое усложнение пре- препятствует созданию общей теории такого течения, хотя в част- частных задачах вычисления выполняются сравнительно легко. К счастью, во многих практически важных случаях ударная волна слаба или умеренно сильна, так что изменениями энтропии можно пренебречь на законном основании; это очень облегчает численные расчеты. В таких случаях мы можем пользоваться более простыми дифференциальными уравнениями изэнтропического течения, обращаясь только к первым двум механическим условиям на ударной волне и пренебрегая третьим. Несколько более простая приближенная трактовка будет рассмотрена в следующем разделе. § 74. Приближенное рассмотрение нестационарных ударных волн умеренной силы Если ударные волны — слабые или имеют умеренную силу, то результаты § 72 подсказывают замену ударного перехода переходом к соответствующей простой волне сжатия. Другими словами, мы можем предположить, что в ударной волне энтро- энтропия и надлежащий инвариант Римана не меняются. Прибли- Приближенный метод, основанный на этом предположении, был впер- впервые применен Чандрасекаром [54] и позже развит очень по- подробно (см. [55]). Он особенно удобен, если течение перед нестационарным фронтом постоянное (например, имеет место состояни^покоя). В основном мы и посвятим свое изложение этому случ&о. Нестационарный ударный фронт чаще всего возникает в том случае, когда обращенный вперед ударный фронт с постоян- постоянным состоянием по обе стороны перегоняет идущая сзади простая волна и соответственно изменяет его (рис. 55). (Это одна из за*дач о взаимодействии волн, которая будет рассмот- рассмотрена с другой точки зрения в разделе Г.) Предполагая, что ударная волна имеет умеренную силу, и принимая указанную здесь процедуру, мы приписываем течению позади измененного таким образом разрыва постоянную энтропию и постоянный инвариант Римана s. Течение с постоянной энтропией и посто- постоянным s есть простая волна, обращенная вперед, согласно И*
164 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ теории гл. II (см. § 29). ^-характеристики, вдоль которых и г также постоянно, — прямые. Следовательно, такая про- простая волна является продолжением падающей простой волны. Поэтому в таком приближении ударная волна не влияет на простую волну. По этой причине, как мы увидим, влияние простой волны на ударную легко определяется. Для того чтобы описать состояние газа, достаточно задать скорость течения и скорость звука с. Предположим, что впереди ударного фронта и=ио = О, с = = с0 и что простая волна пере- перегоняет его в момент ^ = 0 в точ- точке л: = 0. Тогда простая волна позади фронта может быть опи- описана уравнениями x = 5 + <i>E)*f G4.01) E) G4.02) Непостоянный ударный фронт X для 5 < 0, где u(V) я с (?) должны удовлетворять условию иF) —/F)=^ —/о [см. D0.01)] и [D9.01)]. Здесь / есть известная функция с0У потому что энтропия предполагается одинаковой по обе стороны ударного фронта (см. § 40 и 49). Из той простой формы D0.09), которую это соот- приобретает для политропических г?зов, мы и E) == A — р*) (со E) — с0), G4.08) ^Постоянный ударный фронт Рис. 55. Ударная волна, изменен- измененная догоняющей ее простой волной. ношение выводим [см. D0.06;]. Путь ударного фронта теперь может быть описан параметрически—заданием t как функции $ и подстановкой этой функции в G4.01). Дифференцируя G4.01) по Е вдоль пути фронта и пользуясь тем, что dx = Udt вдоль этого пути, мы врриходим к соотношению G4.04) являющемуся линейным дифференциальным уравнением, отно- относительно функции t=t(i), если известна функция U(%). Но скорость ударного фронта известна, если даны оба состояния —
§ 74. РАССМОТРЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН 165 до и после фронта. Мы воспользуемся формулой G2.06), записав ее в виде ±±[<»(i)-co)\ G4.05) Подстановка этого соотношения в G4.04) приводит к диф- дифференциальному уравнению _*-L —* = —1, G4.06) которое можно решить при начальном условии ? = 0 при ? = 0. Подставляя (о(?) = ?0 + г0а(?), G4.07) мы находим решение в явном виде - ¦ G4.08) ! р a (rt) d Y) 1 [4 — а (yj)]3 Г Условие того, что скорость ударного фронта—сверхзвуковая по отношению к находящемуся впереди газу, можно выра- выразить следующим образом: 0 < U — с0 = — (о—с0) D +о), откуда 8 видно, что а>0 или ш > с0 позади фронта. С другой стороны, условие того, что скорость фронта относительно газа позади него — дозвуковая, выражается так: 0<со-/У=±(со-<;0)D-а), о отсюда о < 4, т. е. о> — с0 < 4^0. (В действительности | о j мало по сравнению с 4 везде, где можно пользоваться нашим при- приближением; потому что иначе член второго порядка в G4.05) не будет малым по сравнению с членом первого порядка.) Функция t(l)f определенная для <з>0, и функция х(Ъ), получающаяся из G4.Q1), описывают путь ударного фронта, проходящего через область простой волны. Если простая волна есть волна сжатия, фронт уско- ускоряется и соответственно усиливается; если простая волна есть волна разрежения, фронт замедляется и ослабляется. Чтобы доказать это, мы заметим прежде всего, что rfco(?)/dE > 0 в волн5, обращенной вперед, как это следует из § 40; следовательно, dU(l),dl > 0 согласно G4.05). Заметим, далее, что d?!dt<0, как это следует из G4.06) и того, что 0 < о < 4 (для волны сжатия d I/dt может стать бесконечным и переменить знак, но тогда нельзя больше пользоваться нашим приближением).
166 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ § 75. Затухающая ударная волна. TV-волна Особенно важен случай затухания ударной волны, когда фронт ее, распространяющийся по зоне покоя, перегоняется волной разрежения, остающейся с ним в соприкосновении в течение неопределенно долгого времени. Это, как мы уви- увидим, происходит в том случае, когда скорость позади волны разрежения обращается в нуль. Из нашего предположения, что газ в волне разрежения имеет ту же самую энтропию и тот же инвариант Римана s, что и перед фронтом ударной волны, следует, что скорость звука и давление позади волны разрежения такие же, как и перед фронтом ударной волны. Весьма интересно изучить асимптотические поведение ударного фронта и распределение и, с и р в волне разреже- разрежения, т. е. их поведение при больших t. Совсем не очевидно, что будет при этом с шириной ударной волны, т. е. расстоя- расстоянием между ударным фронтом и хвостом волны разрежения: будет ли оно с течением времени неограниченно возрастать, убывать или стремиться к конечному пределу. Мы покажем, что ширина ударной волны возрастает как квадратный корень из времени t. Из G4.08) мы видим, что t стремится к бесконечности, когда а приближается к нулю или w стремится к с0. Поэтому ударный фронт постепенно проходит через часть простой волны, где давление и плотность больше, чем перед фронтом. Он не про- проникнет в те части простой волны, где давление и плотность меньше, чем перед ним. Следовательно, если давление в хвосте волны разрежения больше, чем давление перед ударным фронтом, он пройдет через всю волну и затем будет снова двигаться прямолинейно в плоскости (х, t). В этом случае ширина ударной волны обра- обращается в нуль за конечное время. Чтобы исследовать асимптотическое поведение разрыва, мы рассмотрим тот случай, когда давление в хвосте волны разрежения точно равно давлению перед ударным фронтом. Тогда в пределах нашего приближения можно считать, что позади волны разрежения газ покоится, так как он покоится перед фронтом. Хвост волны, заданный звуковой волной S = ?0 < 0, в этом случае характеризуется условием' со (?0) = = с0 или о E0) = 0. Вводя обозначение о А =32 С g(T')rfY1 , G5.01) J [4-«00I» V '
§75. ЗАТУХАЮЩАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА. Ат-ВОЛНА 167 мы получаем из G4.08) асимптотическое разложение Y^t = A -\у*А +... , G5.02) откуда Подставляя это выражение в G4.01), мы находим -t-A G5.04) как асимптотическое представление пути ударного фронта. Так как хвост волны разрежения задается уравнением х = = %o-\-cot, мы находим для ширины ударной волны асимпто- асимптотическое разложение d(t) = 2VA^t — A. G5.05) Это разложение ни в коем случае не следует понимать в том смысле, что отклонение истинной ширины от выраже- выражения d (t) стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности. Формулу G5.05) следует истолковывать в том смысле, что коэффициент при j/Y и постоянный член в асимптотическом разложении точной формулы мало отличаются от членов 2 ]^Ас0 и —Л в G5.05). Чтобы получить распределение и я с в зоне волны, мы выразим а через х при заданном t. Полагая (?-^ + ... G5.06) и подставляя в G4.01), мы находим асимптотически и, следовательно, 0 ^со/ + 1 ° (tfC(/JrlK G5.08) и, снова пользуясь G5.06), получаем e=a*7i+irf"+*~(i!lo+i?)a * G5-°9) Подставляя G5.09) в выражения G4.02) и G4.03) для и и с, написанные в виде // =3 П а2^ г о Г = г4-а2го ^7^ 1 (Yl
168 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ мы получаем асимптотическое распределение иксе волновой зоне, распространяющееся от х = g0-j-cot до x = to-\-cot + d(t). /л \ 9 v/v - 1 Распределение давления находится из /?=/?0( —J и G5.10) G5.11) Непосредственно позади 'ударного фронта мы имеем из G5.09) d(t) , , tP(t) G = Ct ¦ *—— О /'7C 1 ОЧ acot+\ ' (асо^+1)з' k/0-iZ) tli Ударный фронт t Ударный ршень I < // j-»-c/; {f )-+\*.—— d(V *»i // / / // f / / / / / / Зочс волны / / // / // 1///У Рис. 56. Затухающая ударная волна, произведенная останов- остановкой движущегося поршня. Рис. 57. Затухающая N-волна с головным и хвостовым ударными фронтами, произведенная обрат- обратным выдвижением поршня. что согласно G5.05) равносильно G5. 03) r / I ' * # Подставляя G5.03) в G5.11), мы сразу видим, что скачок давления в ударном фронте или амплитуда ударной волны убивает обратно пропорционально корню квадратному из времени. Затухание ударной волны такого рода, происходящее от перегоняющей ее волны разрежения, имеет место в трубе, когда поршень, создавший ударную волну постоянной силы, внезапно останавливается, так как голова центрированной волны разрежения, высланной в тот момент, когда поршень остановился, следует за ударным фронтом со скоростью звука и нагоняет его. Для этого случая легко вычислить функцию
§ 75. ЗАТУХАЮЩАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА. N-ВОЛНА 169 со == ш(|) и постоянные А, а и b (см. [55]). Пример получающе- получающегося течения показан на рис. 56. Если поршень не остановлен внезапно, а приведен в обрат- обратное движение с постоянной скоростью и уже потом останов- остановлен (тоже внезапно) в своем прежнем положении, то в этот момент будет послана вторая ударная волна. Тогда образец такой волны, показанный на рис. 57, будет состоять из „го- „головного ударного фронта", в котором газ ускоряется и сжи- сжимается, волны разрежения, в которой газ замедляется до отрица- отрицательной скорости и расширяется до давления ниже начального, и „хвостового ударного фронта", где газ снова приходит в состояние покоя и начального давления. Рас. 58. Распределение давления в зату- затухающей //-волне с головным и хвостовым ударными фронтами. Волна такого типа называется „iV-волной". Хвостовую удар- ударную волну в такой N-воляе можно рассматривать так же, как и головную, и ее асимптотическое поведение предста- представляется такими же формулами. Волну разрежения можно разде- разделить на две части, разделенные звуковой волной I = Ео, несу- несущей скорость газа и==0 и скорость звука с = с0. Головной ударный фронт пересекает переднюю часть волны разрежения, хвостовой фронт — заднюю. Если начало хвостового фронта расположено у с = Ьи то мы находим, что ширина N-волны асимптотически равна t-{A+ АО, G5.13) где (*)) [4-о(т))]з G5.14) Ширина снова возрастает, как квадратный корень из t. Асимптотическое распределение и, с, р дается формулами
170 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ G5.09—75.11), как и раньше. Асимптотическое распределение давления в iV-волне, происходящей от выдвигания поршня, по- показано на рис. 58. § 76. Образование ударной волны Как мы показали в разделе Б, разрыв может возникнуть в волне сжатия. Форма волны может постепенно становиться круче до тех пор, пока в некоторой точке не возникнет бес- бесконечный наклон (см. § 41), и отсюда разовьется ударный фронт. С+-характеристика волны сжатия, обращенной вперед, описанная на диаграмме (х, t), образует огибающую, начинаю- начинающуюся с угла (см. § 48). Из этого угла начнется путь разрыва. Огибающая (если она не вырождается целиком в одну точку) имеет две ветви с одинаковым направлением в вершине угла, и сами величины иу с, р еще непрерывны в ней (только их про- производные становятся бесконечными). Следовательно, разрыв начинается с нулевой силы и остается слабым на ранних сте- степенях своего образования. Поэтому при описании образования разрыва могут быть сделаны упрощающие предположения § 74. Мы рассмотрим случай, когда ударная волна начинается в голове простой волны, обращенной вперед и вступающей в зону покоя. Этот случай возникает, например, если волна сжатия образована постепенно ускоряемым поршнем (см. ко- конец § 49). Положение поэтому практически то же самое, как и тогда, когда простая волна перегоняет разрыв (см. § 75), за исключением того, что теперь начальный разрыв исчезает. Предполагая, что ударная волна начинается в момент ? = 0 в точке х = 0 и зона х>0 при ?=0 находится в покое, мы требуем, чтобы со (?0) = с09 d &\d \ < 0 для $-<0 и для того, чтобы ударный фронт возник при х = 0, t = 0, d®\d\ = — со при ? = 0. В данном случае мы предположим, что о==1/"=Т(а + а1? + ... ), а>0 G6.01) с со = со(\ -{-<*) [см. G4.08)]. Тогда мы можем пользоваться формулами G4.08) и G4.01). Разлагая правые части этих фор- формул по степеням ?, мы находим представление пути разрыва G6.02) или G6.03)
§ 76. ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 171 Поэтому ударная волна начинает двигаться со скоростью с0, как и ожидалось, и с ускорением За2^/8. Рост силы разрыва виден из формул которые следуют из G4.03) и G6.02). Можно легко получить те же формулы специально для случая образования ударной волны в волне сжатия, произве- произведенной равномерно ускоряемым поршнем, движущимся по закону х = — bt2. Волна сжатия дается формулой ^-Р) G6.05) [см. D9.06)]. Угол образуется при t=te = i\-l?)cjbf x=xc = (\-^)c20/b G6.06) [см. D9. 10)]. Смещая начало координат в эту точку и полагая ^-JJ^b'f — lW, G6.07) мы записываем G6.05) в виде x-xe-l+c0(l+a)(t-te). G6.08) Тогда коэффициент в G6.01) равен 2 2 2Ь Т^Г~A-,4)^ • G6-09) После замены х и t на х — хс и t—tc и подстановки формул G6.08) и G6.09) в G6.02—76.04) мы получим описание развития разрыва. Более детальное рассмотрение, в частности тех слу- случаев, когда разрыв возникает внутри зоны волны, дано в [55]. Надо еще раз подчеркнуть, что все предыдущие резуль- результаты и их численное применение к специальным случаям спра- справедливы только тогда, когда сила разрыва еще достаточно
172 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ мала. Коль скоро это предположение становится недопусти- недопустимым, мы должны не только рассматривать неизэнтропические потоки, но и учитывать то, что разрыв видоизменяет простую волну позади себя. Этот эффект взаимодействия можно истол- истолковать как „отраженную волну", тогда как слабый ударный фронт не отражает заметным образом течения позади себя. В разделе Г мы будем изучать взаимодействия волн без всяких предположений о слабости ударного разрыва. § 77. Замечания о сильных нестационарных ударных волнах Вопрос о том, как развивается ударная волна, неизбежно возникающая в волне сжатия, после того как она перестает быть слабой или умеренно сильной, является сложной анали- аналитической задачей. Область R в плоскости (ху t), в которой раз- разрыв влияет на течение, очевид- очевидно, ограничена линией фронта, начинающейся в углу А, отрез- отрезком пересекающей характери- характеристики от точки А до точки В на линии поршня и дугой пути поршня за В (рис. 59). Если бы были известны линия раз- разрыва 5 и его сила, то мы могли бы получить определенные начальные значения и, р и Ударный фронт ?> Рис, 69. Область R, на которую влияет ударная волна, происходящая из волны сжатия. энтропии с помощью ударных соотношений. С этими началь- начальными значениями мы могли бы решить дифференциальные уравнения C4.06) и определить а, р и 5 в R. Но на самом деле линия пути разрыва должна быть выбрана таким образом, чтобы на пути поршня за точкой В решение имело значения и, предписанные движением поршня. Это задача о начальных значениях с неизвестной границей, и прямой теоретический подход кажется невозможным. Реше- Решение каждой частной задачи может быть найдено численным методом, например с помощью способа конечных разностей. Может быть выполнена и обратная процедура. Зададимся какой-нибудь линией пути разрыва 5 и определим начальные значения на ней по условиям на ударном фронте. Затем решим задачу о начальных значениях и найдем соответствующее движение поршня по течению в В. Выполняя эти вычисления для подходящей совокупности линий S, мы найдем набор
§ 78. ТИПИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 173 течений, из которого выберем одно, наиболее близко пред- представляющее заданное движение поршня. Чтобы выяснить основные вопросы, надо поставить в об- общем виде математическую задачу о движении газа в полу- полубесконечной трубе под влиянием поршня, действующего на закрытом конце; надо найти решение дифференциальных урав- уравнений C4.06) в области плоскости (х, t), ограниченной поло- положительной частью оси х и линией поршня на закрытом конце Р, заданной произвольно: x = X(t)t 0<?<оо. Для ? = 0 состо- состояние р, р, 5, и задано, а вдоль Р задано значение up(t) = X(t). Мы знаем, что задача о начальных значениях в общем случае не имеет решения. Возникает вопрос: если допустимы ударные разрывы на некоторых заранее не заданных линиях, то всегда ли разрешима задача и однозначно ли определено решение? Ответ на столь общие вопросы выходит за рамки совре- современных знаний. Это тем более относится к соответствующим вопросам течения в двух и трех измерениях. Г. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ § 78. Типичные взаимодействия Как мы уже упоминали, получить общее решение задачи о течении невозможно. Но если начало движения сравнительно простое, то можно произвести весьма полный анализ последу- последующих фаз движения, рассматривая их как „взаимодействия" начальных „элементарных волн", т. е. волн расширения, сжа- сжатия и ударных волн, начинающихся из начального состояния покоя, и контактных разрывов. Во многих случаях, имеющих большой интерес, газ движется вначале в виде разделенных друг от друга элементарных волн. Вскоре после этого волны будут отражаться (см. § 70), встречаться или перегонять одна другую, так что в результате взаимодействия возникнет более общее движение. Такое движение и будет теперь рассматри- рассматриваться. В отличие от линейного волнового движения в этом слу- случае принцип суперпозиции (наложения) не имеет места. Здесь возникают явления, совершенно отличные от тех, которые на- наблюдаются при линейном волновом движении. Как классический пример мы укажем лагранжеву задачу внутренней балли- баллистики, подробно рассмотренную Лявом и Пиддуком [50]. Труба закрыта в фиксированной точке О жесткой стенкой, а с другой стороны закрыта подвижным поршнем заданной массы в переменном положении В. До момента t== 0 в трубе — атмосферное давление. При ? = 0 взрыв, происходящий в трубе,
174 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Газ под высоким давлением \Газ под апшос- I фериым дав- создает покоящийся газ с постоянной энтропией 50, плот- плотностью р0 и очень высоким давлением р0. Движение поршня ускоряется разностью давлений по обе его стороны; соответ- соответственно ускоряется движение газа в трубе позади поршня и тем самым газ разрежается. Это расширение рас- распространяется внутрь трубы, как вол- волна разрежения, которая движется от поршня до точки О, отражается от стенки, встречается с волной, еще идущей от поршня по трубе, и прохо- проходит через нее, отражается от поршня и так далее. Задача состоит в описа- описании движения газа и поршня. Рис. 60. Исходное положе- Другая типичная задача внутрен- внутренние в задаче Лагранжа. ней баллистики, включающая взаимо- взаимодействия, возникает тогда, когда при тех же условиях, что и в предыдущей задаче, вместо поршня имеется перегородка, отделяющая продукты взрыва от атмо- Ударный фронт Нестатый воздух Рис. 61. Волновое движение, произведенное внезапным удалением перегородки между га- газом при высоком давлении и атмосферным воздухом. сферного воздуха; эта перегородка внезапно убирается. На- Начальный разрыв между продуктами взрыва и воздухом рас- расщепляется на две волны: ударную волну, бегущую в покоя-
§ 78. ТИПИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 175 щийся воздух и сжимающую его, и волну разрежения, иду- идущую назад по продуктам взрыва. Волна разрежения отра- отражается на закрытом конце. Отраженная волна разрежения догоняет сначала поверхность раздела между воздухом 'и продуктами взрыва, которая уже продвинулась от стенки при расширении газа. Наконец, она догоняет ударный фронт. Рис. 62. Одна ударная волна обгоняет другую. Рис. 63. Ударная волна, пере- перегоняющая волну разрежения. При этом каждый раз возникает сложный процесс взаимо- взаимодействия, включающий все большее количество отраженных волн. Некоторое указание на ход этого процесса дано на рис. 61. Как уже говорилось, мы удовлетворимся изучением эле- элементарного взаимодействия между двумя волнами, сталки- Рис. 64. Волна разрежения перегоняет ударную волну. Рис. 65. Две волны разрежения, обращенные в одну сторону. вающимися или перегоняющими одна другую, или между волной и разрывом. Мы увидим, что конечным результатом таких взаимодействий являются две волны, движущиеся от места встречи. Сделаем общее указание о задачах, в которых одна волна перегоняет другую. Любые две волны, обращенные в одну и ту же сторону, за исключением двух волн разрежения, в конце
176 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ концов догоняют друг друга. Чтобы доказать этот важный факт, мы рассмотрим четыре возможных случая. (Все ско- скорости измеряются по отношению к газу в области A) между двумя волнами.) 1) Ударный фронт Sx движется позади ударного фронта S2, обращенного в ту же сторону (рис. 62). Тогда первый фронт Si движется с дозвуковой скоростью, а второй S2 — со сверхзвуковой (см. § 65). Поэтому 52 догонит Sv 2) За волной разрежения R движется ударный фронт S (рис. 63). Хвост R движется со звуковой скоростью си тогда как ударный фронт со скоростью, большей чем сх. 3) За ударной волной 5 следует волна разрежения R (рис. 64). Голова волны разрежения имеет скорость звука си а ударная волна — дозвуковую скорость. Поэтому R перего- перегонит S. 4) Две волны разрежения, обращенные в одну и ту же сторону, никогда не встретятся (рис. 65). Хвост одной волны движется с той же скоростью, что и голова другой. Из того, что две ударные волны или ударная волна и волна разрежения, обращенные в одну сторону, всегда догоняют друг друга, следует, что два ударные фронта или ударный фронт и центрированная волна разрежения никогда не могут выйти из одной и той же точки в один и тот же момент вре- времени, если они обращены в одну сторону. § 79. Обзор результатов Удобно описать результаты взаимодействия символическими уравнениями. Мы обозначим ударный фронт, обращенный в сторону положительной оси х, символом 5 , а в обратную сторону S^_ и аналогично волны разрежения R или R в зависимости от того, движется ли газ в волне направо или налево г\ Контактные разрывы (см. § 56), которые часто воз- возникают от взаимодействий, будут обозначаться символом Т. Символы Т> и Т< будут означать, что скорость звука по правую сторону Т соответственно больше или меньше, чем по левую сторону; для политропических газов с одинаковым значением ? большая скорость звука отвечает большей плот- плотности. Символом ТТ мы будем обозначать зону, в которой давление и скорость течения постоянны, но плотность, энтро- энтропия и температура меняются от одной траектории частицы к другой. *) Мы еще раз подчеркиваем, что направление, в котором обращена элементарная волна, не имеет ничего общего с тем, куда движется фронт.
§ 79. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ 177 При лобовом столкновении двух ударных волн различной интенсивности возникает следующая картина. После того как две ударные волны проникли друг в друга (и соответственно f / /. Лугт/ ' частиц ' i i / t Рис. 66. Лобовое столкновение двух ударных волн неодинаковой силы (слева). Лобовое столкновение двух волн одинаковой силы (справа). ослабили и задержали одна другую), они оставляют позади себя расширяющуюся зону постоянного давления и скорости, в ко- которой плотность, однако, не по- постоянна, а имеется некая точка, движущаяся со скоростью тече- течения и разделяющая две области различной плотности и температу- температуры, причем внутри каждой из них эти величины постоянны. Иными словами, возникает контактный разрыв такого типа, как описывался в § 56 (этот факт, цовидимому, ускользнул от многих, работавших в этой области, к нему привлек общее внимание Нейман [51]). Это обстоятельство, хорошо подтверж- подтвержденное на опыте, показывает, что Рис. 67. Одна ударная волна контактные разрывы надо рассма- обгоняет другую, тривать вместе с ударными вол- волнами и волнами разрежения, находящимися во взаимодействии. Поэтому эффект столкновения двух ударных волн можно записать символической формулой S S S TS Другими словами, лобовое столкновение ударных волн дает две ударные волны, разделенные контактным разрывом * ^ Р. Курант и К. Фридрихе
178 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ и движущиеся попрежнему в разные стороны. В случае двух волн одинаковой силы или, что то же самое, отражения удар- ударной волны от жесткой стенки, проходящей по линии симметрии, контактный разрыв исчезает, и мы имеем выраженные в явном виде результаты § 70. При обгоне ударных волн в газе с показателем адиабаты 7 < — получается ударная волна, идущая дальше, отраженная з (обычно слабая) волна разрежения и контактный разрыв между ними S-+S.+ -> R^ TS^ для ^ < — з t / \ У / Пути V / . частиц А / >^ >>1—- • i Рис, 68. Взаимодействие ударной волны и контактной поверхности Т< (слева). Взаимодействие ударной волны и контактной поверх- поверхности Т> (справа). (результат, впервые полученный Нейманом [51]). Для'*[> — з (для идеальных газов такое неравенство не имеет места) может иметь место то же самое, но бывают случаи, когда ударная волна отражается: RTS_ S S или для Т > — • О Отражение и преломление ударных волн на контактных поверхностях (или между различными средами) происходят по двум формулам: 5 Т ~ Т<5^
§ 79. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ 179 Это означает, что если ударная волна в одном газе встречает другой газ с большей скоростью звука, то на поверхности раз- разрыва возникают прошедшая и отраженная ударные волны. В случае, когда во второй среде скорость звука меньше, возникают две возможности. Во-первых, если величина с/A— f*2) во второй среде меньше или если ударная волна достаточно слаба, проходит ударная волна и отражается волна разреже- разрежения. Во-вторых, если во второй среде с I A—ц2) больше и удар- ударная волна достаточно сильна, проходит волна разрежения и отражается ударная волна (см. § 83). V ^Пути частиц •Л V Рас. 69. Лобовое столкновение двух волн разрежения. /Jymu частиц Рис. 70. Взаимодействие волны разрежения и контактной поверхности Т<. В тех взаимодействиях, в которых не принимают участия волны разрежения, отраженная и прошедшая волны возникают непосредственно после столкновения. Взаимодействие с волнами разрежения, однако, приводит сначала к периоду проникнове- проникновения, в течение которого движение не может быть описано с помощью простых волн. Волны, исходящие из зоны проникновения, согласно нашей основной теореме, являются простыми, так как они граничат с постоянным течением. Если это проникновение завершается за конечное время, то зона между двумя исходящими простыми волнами тоже находится в постоянном конечном состоянии по сходным причинам (см. основную лемму гл. II, § 29). Дальней- Дальнейшее описание относится только к этому конечному состоянию. Пусть процесс начинается с двух простых волн, разделяющих зоны постоянного давления и постоянной скорости течения. Тогда лобовое столкновение двух волн разрежения (в случае симметрии это равносильно отражению волны разрежения от 12*
180 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ стенки) снова дает в конечном состоянии две волны разре- разрежения: Аналогично результат столкновения волны разрежения с зо- зоной большей скорости звука описывается так: тогда как взаимодействие R_T> производит волну сжатия, в которой в конце концов образуется ударная волна [52]. Если ударная волна перегоняет волну разрежения или волна разрежения перегоняет ударную волну, то процесс взаимодействия может продолжаться неопределенно долго. С такой возможностью мы встретились, рассматривая прибли- приближенно взаимодействие слабой ударной волны и простой волны (см. § 75). Возможно, однако, что взаимодействие произойдет и за конечное время, если сила перегоняющей волны значительно больше, чем сила перегоняемой. При таких обстоятельствах мы придем к следующим результатам: То, что здесь обозначено как отраженная ударная волна, есть на самом деле волна сжатия, которая приводит к удар- ударной волне; надо отметить, что нашим основным допущением при приближенном решении было пренебрежение отраженными волнами. Надо сделать еще одно поясняющее замечание относительно этого описания взаимодействий и фигур. Зоны ТТ получаются от проникновения ударных волн в волны разрежения (с эф- эффектом взаимного ослабления); линия разрыва изгибается, и час- частицы, проходящие через разрыв, получают различные измене- изменения энтропии. Одинаковая скорость всех этих частиц является упрощающим предположением, справедливым только в первом приближении. § 80. Задача Римана. Разрыв в начальных условиях Взаимодействия, включающие две ударные волны, относятся к более общему типу явлений, изученных Риманом в его классическом труде. В задаче Римана требуется найти движе- движение газа, происходящее из начального состояния, в котором
§ 80. ЗАДАЧА РИМАНА. РАЗРЫВ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ 181 справа, л'> 0, газ находится в состоянии (г), определенном по- постоянными и0, р0, р0/ и, слева, л;<0,— в постоянном состоя- состоянии (/): иири ри *v Разница между задачей Римана и разобран- разобранными выше задачами заключается в том, что оба состояния в ней рассматриваются независимо, тогда как раньше только пять величин из шести могли быть заданы произвольно, так как тогда оба состояния были связаны ударными соотношениями с предыдущим промежуточным состоянием (которое сошлось в точку .к — О при ?=0). Риман дал следующий ответ: возможны четыре типа после- последующего течения, поскольку в обоих направлениях от начала Стигпыи ииздух Ударный фронт Нестатыи воздух Рис. 11. Волновое движение в трубе с внезапно убирающейся заслонкой. могут пойти ударная волна или центрированная волна разре- разрежения, смотря по неравенствам, которым подчинены начальные условия. Анализ процесса взаимодействия, рассмотренного в следующем разделе, тоже относится к задаче Римана. Нас будет специально интересовать тот случай, когда в на- начальном состоянии газ покоится, ul — ur = Q, и когда pt>pr, Pi > Pr- Такие условия осуществляются в установке, служащей для получения постоянных ударных волн в длинных трубах. Пусть газ со стороны х < 0 находится при более высоком дав- давлении и плотности, чем со стороны х^>0, и перегородка, сначала разделявшая обе части трубы, внезапно удаляется в момент ? = 0. Тогда возникает движение, показанное на рис. 71 (в окрестности начала), которое описывается ударной волной, распространяющейся в покоящемся газе низкого давления и поднимающей его начальное давление р до значения рт*9 за- заключенного между р{ и рг За ударной волной следует столб расширяющегося газа, движущийся с постоянной скоростью ит вправо. Другой конец этого столба газа движется влево с ме- местной скоростью звука по газу высокого давления, за ним
182 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ следует волна разрежения, обращенная влево, поднимающая дав- давление от рт* до рп где газ остается в покое впереди расши- расширяющейся зоны разрежения. Схемы такого рода, введенные Пэйманом [62], часто приме- применяются в экспериментальных исследованиях. § 81. Аналитический метод Подобное доказательство утверждений § 79 дано в [52J, тогда как здесь мы разовьем общий метод для случая поли- тропического газа. Он опирается на алгебраическое рассмотре- рассмотрение условий на ударных волнах и волнах разрежения и ил- иллюстрируется графически на (и, /?)-плоскости. Рис. 72. Давление позади и впереди ударного фронта в зависимости от изменения скорости. p — \ б cmopai ЯП Шу/ /SLe сторону (а) и Рис. 73. Геометрические места всех состояний, в ко- которые можно перейти из за- заданного состояния (а) на ударных волнах S^uS^, об- обращенных вперед и назад. Индексы a, b, m, I, r, k означают зоны с постоянными значениями р и и, причем буквы /иг означают „правую" и „левую" стороны или большие и меньшие значения х соот- соответственно. Вспомним результаты, полученные нами для ударных раз- разрывов. Для всех ударных волн мы имеем иг<Щ [см. E7.01)]; далее, для волн, обращенных вперед, рг<р19 а для обра- обращенных назад—Рг> Pi (см- §65). Если состояние (а) газа с и—иау р=Ра, * = *а связано ударным переходом с состоя- состоянием (Ь) со значениями ub, pb, *b, то по F7.04), F7.05) мы имеем т Рь—Ра = 4- (81.01)'
§ 81. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД 183 Отсюда заключаем, что где (81.02) (81.03) П и о и Рис. 74. 1) Геометрическое место всех возможных состояний {[) по левую сторону от ударного фронта, если задано состоя- состояние (г) справа. 2) Геометрическое место возможных состоя- состояний (г) справа от ударного фронта, если задано» состояние (/) слева. причем знак плюс берется для ударных фронтов S^9 а минус — для фронтов S^. Монотонная функция уа (р) имеет следующие простые свойства: ?а(Р)—*°° ДЛЯ Р—+СО, ®ц(р)—"О ДЛЯ Р—* ос и кривая о» = »л (/>) встречает ось tpa в точке Са' (81.04) (81.05) (81.06) где са есть скорость звука в области (а). Соотношения (81.02) показаны графически на рис. 73; различные ветви кривых от- отвечают ударным волнам, обращенным в сторону состояния (а) или от него, и определяются из иг < иг На рис. 74 показаны геометрические места всех состояний, которые могут быть связаны ударными волнами S^ и S^ с за- заданным состоянием (г) справа и с (/) слева.
184 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Подобную же картину можно получить для однопараме- трического семейства постоянных течений, которые можно связать с заданным состоянием волной разрежения. в сторону (а) Ф Рис. 75. Давление позади и впе- впереди простой волны в зави- зависимости от изменения ско- скорости. Рас. 76. Геометрическое место всех состояний, которые могут быть связаны с состоянием (а) волнами разрежения /?^ и /?„,, обращенными в сторону (а) и в обратную сторону, как показано. Мы видели в разделе 40, что в волне разрежения о 2 всегда ^+ или R^_ Но так как при 2 = # + VT^P =const. Рис. 77. 1) Геометрическое место всех возможных состояний (г) справа от волны разрежения, если задано состояние (/) сле- слева. 2) Геометрическое место всех возможных состояний слева (/) от волны разрежения, если задано состояние (г) справа. этом состояние меняется только адиабатически, мы имеем гb ИЛИ
§ 81. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД 185- Поэтому VJEJt т|/2 D1/2( ( так что аналогично соотношению (81.02) будет где (81.07) (81.08) (81.09) О и и Рис. 78. 1) Геометрическое место Gr всех состояний, которых можно достичь из заданного состояния (г) справа от обращенных вперед волн S^ или R^. 2) Геометрическое место Gi всех состояний, которых можно достичь из заданного состояния (/) слева от обра* щеншы* наад.тиволн S^ или R^m знак плюс берется для волн R^ и знак- минус — д,ля волн R^ потому что теперь их меньше, чем иг> и поэтому рг^>рг для волн, обращенных вперед, а Рг<р? для волн, обращенных на- назад. Монотонная функция ф (р) имеет свойства (81.10) АЛЯ а кривая ^ = ^ касается оси «!» при (81.12)
186 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Как и в случае ударных волн и по тем же причинам, мы представили графически на рис. 76 возможные состояния (Ь), даваемые (81.08), которые могут быть связаны с заданным со- состоянием (а) волной разрежения, обращенной либо в сторону состояния (а), либо от него. Рис. 77 показывает геометриче- геометрические места всех состояний, которые могут быть связаны с за- заданным состоянием (/) или (г), справа или слева от волны, соответственно волнами разрежения R^ и /?^. о X Рис. 79. Различные зоны в газе до и после столкновения двух ударных волн. Рас. 80, Лобовое столкно- столкновение двух ударных волн. Отметим теперь, что все состояния, которые могут быть достигнуты из состояния (г) волной, обращенной вперед, пред- представляются на шюс1?рсти (и, р) кривой Gr, выражаемой анали- аналитически следующим образом: О р>рг, (81.13) {см. рис. 78), тогда как все точки, представляющие состояния, связанные с (/) волной, обращенной назад, лежат на кривой р>р1У р<р1У (81.14) Теперь можно приступить к решению задачи о взаимодей- взаимодействии. Пусть до взаимодействия мы имели состояния (/) слева и (г) справа, оба связанные со средней зоной (т) постоянной скорости а0 и постоянного давления р0 через определенные заданные волны. В тот момент, когда начинается взаимодей- взаимодействие, средняя зона (т) исчезает, и либо сразу, либо после
§ 81. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД 187 периода проникновения волна, идущая вперед, движется в зоне состояния (г), а идущая назад— в зоне состояния (/). Эти волны разделены теперь новой средней зоной (т?) с постоянной ско- скоростью и* и постоянным давлением р* (рис. 79). Мы должны найти только состояние (т*) и волны, связывающие (г) и (/) с (т*). Если известны состояния (/) и (г), мы должны только про- бести через них кривые О. Тогда точка пересечения их опре- определит состояние (/я*) и волны, связывающие (т*) с (/) и (г). Рис. 81. Столкновение двух волн разрежения. Рис. 82. Одна ударная волна перегоняет другую. На практике графическое построение часто не дает достаточ- достаточной точности, но оно показывает, как надо вести численные расчеты. Для иллюстрации этого метода рассмотрим несколько слу- случаев более подробно. Чтобы изучить столкновение двух ударных волн S^ и S^f мы заметим, что наши состояния (/) и (г) должны быть пред- представлены на диаграмме (а, р) так, как на рис. 80, потому что они связаны с (т) соответственно волнами, обращенными вперед и назад (и поэтому не вполне независимы, что не существенно для нашего метода). Кривые Gr и Gt согласно нашей диаграмме должны пересекаться в точке т*, и /и* лежит в верхней части как Gti так и Gr. Поэтому оба перехода, как мы и утверждали, являются ударными (рис. 66). В состоянии (т*) мы имеем постоянные значения р и а. Но ударный переход из (г) в (т*) определяет в общем случае значение р*, отличающееся от значения pj, получаемого удар- ударным переходом из (/). Поэтому в зоне (/и*) плоскости (х, t) есть линия контактного разрыва, совпадающая с путем частицы, выходящим из точки столкновения. Столкновение двух волн разрежения приводит к конеч- конечному состоянию, которое может быть определено так же легко.
188 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Здесь относительные положения (т), (/) и (г) и, следова- следовательно, (т*) непосредственно видны на рис. 81 (см, также рис. 69). Мы убеждаемся, что (т*) лежит на тех частях Gr и G/? которым отвечают волны разрежения. Это подтверж- подтверждает, что R_>R+.-*R^R_+, как и указывалось ранее. (Контакт- (Контактные разрывы конечно, не возникают, потому что энтропия не меняется.) Бывают случаи, когда кривые не пересекаются. Тогда процесс проникновения длится неопреде- неопределенно долго (см. [52]). Несколько тоньше задача об одной ударной волне, перегоняющей другую. Здесь все начальные состояния (/), (т), (г) разделены ударными фронтами, обра- обращенными вправо; мы имеем Pl>Pm>Pr> L Волна разрешения Ударный гг* / ч фронт Точка т на диаграмме (и, р) лежит, оче- очевидно, на Gr, потому что т связано с г ударной волной; на той же кривой Gr дол- должна лежать и точка т*. С другой сторо- стороны, /га* лежит на Gn связывающей ее с /, и так что возникает картина, представленная Рис. S3. Диаграмма на рис. 82, если Gr проходит справа от /. (и, р) для ударной Можно показать, что это имеет место, волны и волн, получа- 5 ющихся в трубе со если ? <—, воспользовавшись формулами внезапно убираю- 3 щейся заслонкой. кривых ф и ф (см. [51 и 52, A3]). Поэтому наша диаграмма показывает, что возни- возникает усиленная ударная волна S^, бегущая вперед (между г и яг*), и слабая волна разрежения, бегущая назад. По тем же причинам, как и для встречных волн, здесь можно ожидать контактного разрыва в зоне (/га*). Если, однако, ? > —, то возможны положения, когда Gr о проходит слева от /, так что получается (слабая) ударная волна вместо слабой отраженной волны разрежения. Развитый здесь метод рассмотрения элементарных взаимо- взаимодействий, очевидно, применим и к общей задаче Римана (см. § 80). В задаче о разрыве в начальных условиях, поставленной в § 80, начальные состояния (/) и (г) представляются двумя точками @, рг), @, рг) на диаграмме (и, р), показанной на
§ 82. ПРОЦЕСС ВЗАИМНОГО ПРОНИКНОВЕНИЯ ВОЛН 189 рис. 83, где непосредственно видно, как возникают промежу- промежуточное состояние (т*) и другие величины, относящиеся к этой задаче. § 82. Процесс взаимного проникновения волн разрежения Как уже подчеркивалось, приведенный в § 81 анализ отно- относится только к элементарным волнам, возникающим в резуль- результате элементарных взаимодействий. Но если во взаимодей- взаимодействие включаются волны разрежения или контактные поверх- поверхности, то создается более сложное течение, прежде чем Рис. 84. Взаимодействие двух волн разрежения. отойдут элементарные волны. (Иногда конечное состояние такого движения вообще не достигается.) Этот процесс про- проникновения требует решения задачи с краевыми условиями для дифференциальных уравнений течения. Как было указано выше, в общем случае мы должны рассматривать уравнения A7.01 — 17.03) с непостоянными разрывами и поэтому непостоян- непостоянной энтропией. К счастью, в случае столкновения двух простых волн задача проникновения содержит только дифференциальные уравнения изэнтропического течения и может быть явно ре- решена для политропических газов на основе теории Римана (см. § 38). Пусть сталкиваются Две волны разрежения, R^ — Rx и R^ «a R2 (см. § 68). После первой встречи в точке Р (х0, t0) обе волны /?! и /?2, состоящие из семейств прямолинейных ха- характеристик С_ и С+ соответственно, вдоль которых постоянны и и с, вступают во взаимодействие и образуют область проник-
190 ГЛ. ill. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ новения Q, ограниченную характеристиками С\, С\, Сг_ и Cl- Попадая в Q, прямолинейные характеристики искривляются, я и и с изменяются вдоль них. Но \i2u-\-(l—ц2) с и у? и — — (Х-—а2)с остаются постоянными вдоль С+- и С_-характе- ристик соответственно. Наконец, после выхода из Q характе- характеристики снова становятся прямыми линиями и представляют две „прошедшие" волны разрежения: Rx и /?2. 5, Рис. 85. Область D в плоско- плоскости инвариантов Римана, отве- отвечающая области проникновения Q (см. фиг. 84). Рис. 86. Взаимодействие двух центрированных волн разрежения. Если инварианты Римана г ks введены как характеристиче- характеристические параметры с помощью уравнения C7.05), то задача сво- сводится к решению дифференциального уравнения (82.01) где Х== -9- 2-. Эту задачу следует решить в прямоугольнике, так как область Q взаимно однозначно отображается на прямо- прямоугольник Д стороны которого параллельны осям на (г, s)- плоскости. Здесь линии С°+ и С°__ представляются следующим образом: 1 / Г» \ (82.02) (82.03)
§ 82. ПРОЦЕСС ВЗАИМНОГО ПРОНИКНОВЕНИЯ ВОЛН 191 соответственно, тогда как характеристики С* и С°_^ изобра- изображаются так (рис. 85): г - гг «= 4" f и2 + -^т с2) (82.04) 2 V 7 — 1 / (82-05> Далее, так как характеристики С9+ п С°__, так же -как и распределение и и с вдоль них, даны явно, поскольку известны волны /?t и /?2, то можно вычислить ?(г, 50) и t(rOf s). Итак, задача определения области проникновения Q двух простых волн равносильна задаче о „характеристической задаче началь- начальных значений" для уравнения (82.01). Она может быть решена в явном виде для некоторых частных случаев. Для примера* мы рассмотрим тот частный случай, когда волны Rx и R2 центрированы в точках (хи 0) и (х2, 0), так что они встречаются в @, tQ) (рис. 86). Далее, мы можем предположить, что #0 = 0; тогда формулы (82.02—82.03) можно привести к более простому виду ro = So = 7Zico- (82.06) Распределение х и t вдоль г==г0 определяется подстановкой (82.01) в C8.02) а из уравнения прямолинейных характеристик, покрывающих Rlr получаем Если исключить из этих двух уравнений xs, то для г = г(>> будем иметь ^Нг^гг = 0- (82.08> Подобным же образом для s = Sq
192 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Итак, мы получаем начальные условия ro<r<ru (82.10) so<s^Sl. (82.11) ro + s I Как показал Риман [38], решение (82.01), удовлетворяющее начальным условиям (82.08—82.11), может быть записано при помощи гипергеометрической функции F(a, bf с, z) в виде Из (82.12) можно вывести интересные формулы. Например, продолжительность взаимодействия двух волн равна (82.13) В согласии с нашими предыдущими замечаниями (см. § 38) функция F(\—X, X, 1, z) приводится к конечному многочлену степени X— 1, если Х= —Lit— равна целому положительному числу N или если л(= —=^-~ ; в таких случаях решение за- задачи дается в конечном виде. Для произвольных значений X представляет математический интерес следующее замечание, принадлежащее де Прима (в не- бпубликованной заметке). Как известно из теории гиперболи- гиперболических дифференциальных уравнений (см., например, [32], гл.5), решение задачи о начальных значениях всегда может быть выражено посредством_функции Римана R(Ft s; r, s) от г к s и двух параметров г, s, удовлетворяющей как функция от г и s дифференциальному уравнению (82.01) и как функция от Г и s— -сопряженному дифференциальному уравнению -0 <82Л4>
§ 82. ПРОЦЕСС ВЗАИМНОГО ПРОНИКНОВЕНИЯ ВОЛН 193 и дополнительным условиям R- — =—= R = 0 для ~s = s, г Г + S /?_— =Д-=/? = 0 для 7= г, (82.15) S Г + S Л = 1 для г —г, s = s. Соотношения (82.14-—82.15) характеризуют функцию Римана. Кроме того, функция Римана R* (r, s; r, 5) дифференциального уравнения, сопряженного с (82.01), удовлетворяет тождеству #* (г, F; r, s) = R(r, s; 7y 1) (82.16) и, конечно, удовлетворяет как (82.01), так и соответствующим граничным условиям. Из этих свойств следует, что решение характеристической задачи начальных значений для взаимного проникновения двух центрированных волн разрежения дается функцией Римана t(r, s) = t0R(r0, s0; r, s). (82.17) Другое решение где а = -?-, Р^т" и ^Д0) означает функцию Лежандра по- порядка [х, было выведено Шоу (тезисы к диссертации, пред- представленной в Нью Йоркский университет). Оно может быть приведено к предыдущему виду по известной формуле, связы- связывающей функции Лежандра с гипергеометрическими функциями. Эти решения, в частности, в том случае, когда они сво- сводятся к многочленам, очень удобны для числовых расчетов и в этом смысле выгодно отличаются от приближенного метода конечных разностей, рассматриваемого в следующем разделе. Однако если волны разрежения не центрированы или если среда — не политропический газ, или, в особенности, если рас- рассматривается взаимодействие волн разрежения с контактными поверхностями или ударными волнами, то метод конечных разностей, повидимому, более удобен, чем любое решение в явном виде. 13 р. Курант и К. Фридрихе
194 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ t § 83. Изучение взаимодействий методом конечных разностей В общем случае наиболее подходящим методом для нахо- нахождения течения в зоне проникновения двух элементарных волн является метод конечных разностей. В этом разделе мы даем его изложение (см. [53]). Применение этого метода к случаю проникновения двух простых волн совершенно очевидно. Сле- Следующая по простоте задача — это встреча волны разрежения с „контактным разрывом" или „линией раздела" D (представ- (представленной на плоскости (х, t)). Контактный разрыв сначала разделяет два постоянных течения @) и A) (см. рис. 87) с различными значения- значениями энтропии, температуры и плотности, но с одина- одинаковыми давлениями и ско- скоростями частиц. Линия раздела D в плоскости (л:, t) — прямая, пока она не встретится с волной разре- разрежения. Эффект взаимодей- взаимодействия состоит в перемеще- перемещении точки разрыва влево (т. е. ее замедлении) или, на плоскости (х, f)t в изгибании линии Д пока она не пере- пересечет всю область волны, после чего она снова становится прямой. Задача состоит в опре- определении положения D в произвольный момент времени по исходным данным и, тем самым, в определении результирую- результирующего течения во время и после проникновения волны разре- разрежения. Для простоты предположим, что газ политропический. Течение изэнтропично по обе стороны Д и поэтому диф- дифференциальные уравнения могут быть записаны в характери- характеристической форме [см. C4.02—34.03)] следующим образом: Рис. 87. Взаимодействие волны разрежения с контактным разрывом (83.01)
§ 83. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ где х, ty ti, с суть координата, время, скорость частиц и мест- местная скорость звука соответственно, a j- показатель адиабаты, тогда как линии а = а (х, t) = const и р = р (х, ?) = const суть характеристики. Начальные данные для „зоны проникновения" (рис. 87), где течение — не простая волна, получаются так: благодаря тому, что задана приходящая волна разрежения с прямыми характеристиками р = const, первая „отраженная" характеристика Lo, встречающая D, известна, так же как и рас- распределение и и с вдоль Z,o. Хотя положение D надо опреде- определить, некоторые данные на ней известны: во-первых, D есть путь частиц, т. е. вдоль D мы имеем —^- = и; во-вторых, часть волны разрежения, прошедшая через D, есть снова простая волна, так что для каждой точки по правую сторону от D 2 2 имеет место равенство ti(P#) 7c{Pr)~u\ cv где индекс 1 означает величины в постоянном состоянии A). Поэтому, так как p(PR^=p(PL ){PL есть точка, противопо- противоположная PR на левой стороне D) и и (PR} = u(PL), мы можем выразить и (Pz) как функцию с (PL) вдоль D. В явном виде это соотношение есть ToCTi—1) Эти начальные данные вместе с уравнениями (83.01) доста- достаточны, как указывалось, для однозначного определения D и течения. На рис. 87 показаны область проникновения, про- прошедшая волна и волна, отраженная от D. Более сложный характер имеют задачи, в которых течение не остается изэнтропическим. Рассмотрим, в качестве примера, волну разрежения, перегоняющую ударную волну, методом, от- отличным от метода, применявшегося в § 78. Во время проник- проникновения волн ударный разрыв постепенно уменьшается ^по амплитуде и скорости и в конце концов переходит в более слабый постоянный разрыв. Ослабление разрыва нарушает из- энтропический характер течения. Поэтому надо рассматривать уравнения A7.01 — 17.03) одномерного нестационарного тече- течения с переменной энтропией. Мы имеем теперь три семейства характеристик, определяемых следующими уравнениями: xf — (u — с) tp (83.03) ¦*„ = «*„. 13*
196 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Первые два соотношения формально эквивалентны уравнениям изэнтропического случая, а третье относится к движению ча- частиц. Введя параметры а = а (х, у) = const и $ = $(х,у) = const в качестве независимых переменных в дифференциальные урав- уравнения, мы получим (см. § 3 и 4) T-l е т(т — где 7j = (T—l)^S. Мы формулируем краевую задачу для системы (83.04) сле- следующим образом (см. рис. 88). По заданной волне разреже- разрежения мы определяем первую „отраженную" характеристику Lo так же, как и распределение и, с, т] вдоль Lo. Другие условия даны на ударной линии S, положение которой само должно быть найдено. Эти условия имеют вид условий на разрыве, связывающих известное состояние @) впереди фронта с состоя- состоянием позади него. В них мы выразим скорость фронта —^- че- dt рез скорость частиц и, скорость звука с и энтропию ч/ (т "" О с* как раз позади фронта, т. е. dx dt dx dt dx dt (83.05) Функции A, g, к даются соотношениями Гюгонио. По этим дан- данным можно определить течение в области проникновения, по- показанной на рис. 88, и положение ударной линии 5. Вычисления показали, что метод приближенного решения, основанный на конечных разностях, дает с помощью уравне- уравнений (83.01) и (83.04) хорошие результаты для обеих постав-
§ 83. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 197 ленных здесь задач с относительно небольшой затратой вычи- вычислительного труда. При этом применяется следующая проце- процедура: в случае волны разрежения, перегоняющей контактный разрыв, мы рассматриваем в (а, р)-плоскости сетку прямых характеристик а = const и р = const. Тогда характеристика Z,o становится прямой линией а = const, a характеристики в волне становятся прямыми линиями р = const. Линия разрыва D отоб- отображается в кривую на плоскбсти (a, J3), которую надо опре- определить; соответствующие характеристики начерчены на рис. 89. На пересечении каждых двух таких харак- характеристик мы можем опре- определить значения и и с, потому что вдоль а = const и р = const имеют место два соотношения: и с — „ 7-1 с = const Приходящая волна разрешения = const ик-f- 7 — 1 [по (83.01)] соответственно. Постоянные определяются по начальному распределе- распределению на LQ и по соотноше- соотношению (83.02) между и и с на D. Рассмотрим теперь пер- Рис. 88. Волна разрежения перегоняет вые два уравнения (83.01), записанные в виде постоянную ударную волну. ;=(tl-\-c)\t ВДОЛЬ Р = Const, ; == (и — с) A. t вдоль а = const, (83.06) где Аа или Ар означает разность между двумя последователь- последовательными точками пересечения на р = const или на а = const соот- соответственно; и-\-с или и—с означает среднее между и-\-с или и — с в двух последовательных точках сетки. Если из- известны значения х и t в двух соседних с внутренней точкой Р точках Рх и Р2> т0 с помощью (83.05) определяются х и t в Р (рис. 73). Теперь остается только определить х и t вдоль D. Это осуществляется с помощью разностного соотношения = uAt ш D и равенства -^- = и на D. С их помощью и dt
198 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ из первого уравнения (83.05) определяется положение D. Этим заканчивается процедура. В случае, когда волна разрежения обгоняет постоянный ударный фронт, метод конечных разностей несколько сложнее. Строится снова такая же сетка на плоскости (а, р), где должна быть определена линия 5. Теперь, однако, распределение и, с в точках сетки не определяется сразу, как раньше. Вместо p p Рг P, P 02 Р, Рас. 89. Область в "плоско- "плоскости (а, C), представляющая взаимодействие волны раз- разрежения с фронтом раз- разрыва D. Рис. 90. Область в пло- плоскости (а, р), представляю- представляющая взаимодействие волны разрежения и ударной волны. этого, зная величины х, t, и, с, yj на Z,o, надо записать систему (83.04) как систему разностных уравнений: kax = {u-\-c)kat вдоль р = const, = (а—[с) вдоль а = const, вдоль p = const, (83.07) 2 с вдоль а = const> Разностные уравнения (83.07) вместе с начальными значениями х, t, и, с9 7) вдоль LQ и соотношения (83.05) вдоль S служат для определения течения во всех точках сетки (рис. 88) и для нахождения 5. В частности, предположим, что Р есть внутрен- внутренняя точка сетки и что известны значения х, t, и, с, г\ в двух
§ 84. ПРОЦЕССЫ РЕАКЦИИ 199 соседних точках Рх и Р2 (рис. 90). Пользуясь первым и третьим уравнениями (83.07) между Рг и Р, вторым и четвертым между Р2 и Р и пятым уравнением для трех точек Рь Р, Р2, мы опре- определим х, t, и, с, т) в Р. Если, однако, Q есть точка на 5 и если решение уже определено в соседних точках Qo (на S) и Q2, то второе и четвертое из разностных уравнений (83.07) берутся между Q2 и Q, а три соотношения (83.05) (записанные как разностные соотношения) — вдоль S, между Qx и Q. Эти соотношения достаточны для определения Q [на плоскости (х, t)] так же, как и и, с, и ?) в Q. Для решения разностных уравнений (83.07) вместе с (83.05) можно применять процесс итерации. Предполагаем сначала, ЧТо Ay] = 0 в рассматриваемой точке, и находим из первых че- четырех уравнений (83.07) х> t, и, с в первом приближении. Тогда пятое уравнение (83.07) определяет новое значение v\, которое можно применить для нахождения х, t, и, с в следую- следующем приближении. Этот процесс итерации сходится очень быстро. Удобно иметь численную таблицу функций h, g, k в соотношениях (83.05). Следует упомянуть об интересном конкретном результате таких вычислений. Когда волна разрежения перегоняет удар- ударную волну, „время ослабления" вообще очень продолжительно. Для примера рассмотрим ударный фронт, движущийся со ско- скоростью в 2,6 раза большей, чем скорость звука, в атмосфере с давлением 7,3 атм позади фронта; его перегоняет волна разрежения, которой требуется единица времени для того, чтобы пройти через точку на оси х, где волна разрежения впервые встречается с ударной волной. Вычисление показывает, что в этом случае требуются 230 единиц времени, чтобы ско- скорость ослабленного ударного фронта уменьшилась до 1,5 от скорости звука, а давление в нем упало до 2,4 атм. Надо заметить, что удовлетворительное теоретическое рас- рассмотрение проблем, подобных только что сформулированным, кажется вполне доступным, но еще не выполнено. Д. ВОЛНЫ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ *) § 84. Процессы реакции Около 1880 г. ряд французских физиков, главным образом Вьей, Малляр, Ле Ша?елье и Вертело, начали производить опыты над распространением пламени. Они нашли, что при *) Излагаемая здесь теория распространения детонации и горения была создана еще до 1941 г. чл.-корр. АН СССР Я. Б. Зельдовичем (ЖЭТФ, 10, 542, 1940). (Прим. ред.)
200 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ обычных условиях пламя в трубе, которая наполнена горючей газообразной смесью, поджигаемой в конце, распространяется с небольшой скоростью, порядка нескольких метров в секунду. Но при некоторых обстоятельствах медленный процесс горения переходит в очень быстрый процесс, распространяющийся с огромной скоростью, около 2000 м/сек или больше. Этот быстрый процесс сгорания был назван детонацией. Естественно, что странный факт наличия двух скоростей распространения горения (часто встречающийся не только у газов, но и у твер- твердых взрывчатых веществ) требует теоретического объяснения. Очень простое и убедительное объяснение было дано в 1899 г. Чэпменом и независимо от него в 1905 г. Жуге. Они предпо- предположили что химическая реакция происходит мгновенно, дру- другими словами, что имеется резкий фронт, бегущий по несго- ревшему газу и сразу превращающий его в сгоревший. Оче- Очевидно, что переход через такой фронт аналогичен переходу от несжатого газа к сжатому во фронте ударной волны. Един- Единственная разница между ударным и детонационным переходом состоит в том, что химическая природа сгоревшего газа отли- отличается от природы несгоревшего и что реакция влияет на энер- энергетический баланс. На самом деле предположение о резком фронте пламени является крайней идеализацией, применимой, вообще говоря, к детонации, но редко выполняющейся в процессах горения. На горение обычно сильно влияет вязкий пограничный слой, образующийся на стенках трубы. Оно зависит также от силы тяжести, и часто результирующее течение оказывается тур- турбулентным. Тем не менее на основе сделанного допущения можно получить далеко идущие выводы общего характера. В этой части мы будем рассматривать течение газа, в ко- котором происходит химическая реакция, причем, согласно предположению, она имеет место только на резко определен- определенном фронте. Мы увидим, что такая реакция цмеет много общего с ударным фронтом, но что есть и большие отличия, в ча- частности то, что процесс течения определен теперь однозначно. Тем не менее на основе очень простых рассуждений можно объяснить, почему, несмотря на очень большое сходство с удар- ударными процессами, горение и детонация распространяются иначе. Одно из различий между ударным процессом и процессом с реакцией состоит в том, что функция внутренней энергии сгоревшего газа не такая, как у несгоревшего газа. Кроме того, надо принимать во внимание энергию, выделенную во время химической реакции и превращенную частично в кине- кинетическую энергию, а частично во внутреннюю энергию сгорев- сгоревшего газа. Освобожденная энергия возникает за счет энергии связи молекул несгоревшего газа. Мы называем здесь моле-
§ 84. ПРОЦЕССЫ РЕАКЦИИ 201 кулярной энергией связи потенциальную энергию атомов в мо- молекуле, вопреки обычно принятому названию. Мы предполо- предположим, что процесс экзотермичен, т. е. что энергия, необходи- необходимая для образования новых молекул путем рекомбинации атомов в сгоревшем газе, меньше, чем энергия связи в несго- ревшем. Обозначим энергию связи или „энергию образования11 на единицу массы через g и введем полную энергию Предположим, что полная энергия есть известная функция Е = Е{0)(х9р) удельного объема т и давления р несгоревшего газа и Е = ?A) (т, р) — сгоревшего газа, хотя на самом деле химический состав последнего может меняться с температурой и удельным объемом. Допустив это, можно вывести условия перехода от несгоревшего газа к сгоревшему с помощью за- законов сохранения массы, импульса и энергии тем же способом, как это делается для ударных переходов. Пусть течение сгоревшего и несгоревшего газов происходит в цилиндрической трубе и пусть в каждом ее сечении состоя- состояние газа, характеризуемое удельным объемом т, давлением р и скоростью uf постоянно по всей плоскости сечения. Как и раньше, мы обозначим скорость фронта реакции через U и скорость газа относительно фронта через v — и — U. Если рас- рассматривать процесс в системе отсчета, движущейся вместе с фронтом реакции, и обозначить состояние несгоревшего газа индексом 0, а сгоревшего газа индексом 1, то законы сохранения массы и импульса будут такими же, как для удар- ударного фронта: piv1 = m, (84.01) (84.02) Закон сохранения энергии принимает вид i + ^i- (84.03) Последняя формула существенно отличается от соответствую- соответствующей формулы для ударных переходов, потому что вместо внут- внутренней энергии мы имеем полную энергию, которая, помимо того, различно зависит от т и р по обе стороны фронта. Мы покажем, что это различие ведет к важным следствиям. Из первых двух (механических) законов сохранения (84.01) и (84.02), так же как для ударных волн [см. E4.08—54.09)], следует соотношение (84.04)
202 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Из формулы (84.04) следует, что знак/?! — р0 противоположен знаку хх — т0; другими словами, что давление и удельный объем изменяются в противоположных направлениях или, что равно- равносильно, плотность и давление изменяются в одном направ- направлении. Поэтому с законами сохранения совместимы два типа процессов: такие, где плотность и давление вместе возрастают, и такие, где они вместе уменьшаются. Процесс первого рода называется детонацией, процессам второго рода отвечает мед- медленное горение. Последнее иногда называется дефлаграцией Сгоревший газ Путь частицы >v, Путь частицы Сгоревший газ Несгоревший I газ Детонация X Дефлаграция и, ш | U . ш т и, | Um U 0-0 ио-0 Рис. 91. Изменение скорости газа в детонации (?>) и в дефлаграции (С). в противоположность детонации. Процессов, удовлетворяющих ударным соотношениям, в которых давление и плотность умень- уменьшаются, в нереагирующем газе быть не может, потому что это повело бы к уменьшению энтропии. Но процессы горения, как мы увидим, не могут быть исключены на таком основании. Характерное различие между детонацией и дефлаграцией за- заключено в формуле Pi—Po р v «_ . иг — и0 го о (84.05) которая следует из сохранения импульса (84.02). Для простоты рассмотрим частный случай, когда фронт реакции обращен назад, и поэтому v0 и v1 положительны; несгоревший газ @) на- находится слева от фронта и сгоревший газ A) — справа. Тогда (84.05) показывает, что при детонации, если давление возра- возрастает, скорость газа уменьшается, когда через него проходит фронт реакции. Иными словами, детонация замедляет сго- сгоревший газ относительно фронта. С другой стороны, при
§ 85. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ 203 дефлаграции, когда давление уменьшается, газ ускоряется по направлению от фронта реакции, когда фронт проходит по еще несгоревшему газу. § 85. Предположения Для дальнейшего мы сделаем некоторые предположения относительно функции энергии ?(т, /?), обычно выполняю- выполняющиеся в действительности. Мы предположим прежде всего, что частная производная Е по отношению кри производная энтальпии по т положительны, т. е. что при I^E+pz (85.01) Ер>09 /х>0. (85.02) Второе предположение состоит в том, что считается выполнен- выполненным равенство dE=de = —pdT:-+- TdS. (85.03) Это верно, если энергия химического превращения #не зави- зависит от р и т. Предположения (85.02) будут следовать из (85.03), если сделать основные допущения, что gz<0, g*5>0 [см. B.04) и B.07)] для функции р = g'Cc> S). В этом случае из epgs — 7>0 получаем, что ер > 0 или Ер > 0; далее, ix = ех -\-р = — epgx тогда положительно, и потому Ix = ix>0. Дальнейшее требование, выражающее экзотермический ха- характер реакции, состоит в том, что при одинаковых давлении и плотности полная энергия и энтальпия несгоревшего газа всегда больше, чем полная энергия и энтальпия сгоревшего газа. В частности, мы требуем этого для значений (т0, /?0) и (Ti> Pi) несгоревшего и сгоревшего газа как раз до и после горения, т. е. то> Ро)>
204 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ § 86. Различные типы процессов Полезно исключить скорости из трех соотношений (84.01— 84.03), как это было сделано для ударных волн в § 64. Тогда получится соотношение Гюгонио &1) {O) (*)(P+P), (86.01) которое согласно (85.01) эквивалентно равенству 1(х1 + т0) (рг-р0). (86.02) Предположим, что рассматривается процесс, в котором не меняется удельный объем, так что *! = *<)• Тогда из (86.01) следует, что ^Ч^ (86.03) Из предположений (85.04) и (85.02) сразу получается не- неравенство Pi>pQ. Другими словами, мы имеем процесс дето- детонации, называемой „детонацией при постоянном объеме". Из соотношения (84.04) видно, что скорость \vo\ фронта такой детонации относительно несгоревшего газа бесконечно велика. Это показывает, что такой процесс должен рассматриваться только как предельный случай детонаций с малым изменением объема, распространяющихся с огромной скоростью. Рассмотрим, с другой стороны, процесс, в котором давле- давление не меняется, рх =р0. По соотношению (86.02) отсюда по- получается, что {1){О) (86.04) Тогда из предположений (85.04) и (85.02) видно, что ъг > т0. Поэтому такой процесс является дефлаграцией, называемой „дефлаграцией при постоянном давлении". Из равенства (84.04) видно, что скорость фронта пламени этой дефлаграции равна нулю по отношению к несгоревшему газу. Поэтому та- такой процесс должен считаться предельным случаем дефлагра- дефлаграции с малым изменением давления и распространяющимся очень медленно. При изучении процессов реакции полезно применять функ- функцию Гюгонио для сгоревшего газа (см. § 64) Н®(х, р) = ^(х, /0-?A)(*0, Ро) + \(*-*о)(Р+Ро)- (86.05) Опуская индекс 1 для сгоревшего газа, можно переписать соотношение (86.01) в виде ЯA) (х, р) = ?<0) (т0, р0) - Е%0, р0), (86.06)
§ 86. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ПРОЦЕССОВ 205 где член, стоящий справа, положителен по предположению (85.04). Пусть заданы удельный объем т0 и давление/?0 несго- ревшего газа, но не задана скорость фронта реакции. Тогда давление и удельный объем сгоревшего газа удовлетворяют равенству (86.06) для всех процессов реакции, совместимых с тремя законами сохранения (84.01—84.03). Однако не все значения т и р, удовлетворяющие этому равенству, могут на i Сильная детонаций ^Детонация Чзпмена-Жугв ?^^0па6пп дефлаграция Дефлаграция 4а - Щге С Детонация при постоянном объеме Дефлагра'ция при постоянном давлении Сильная дефлаграция Рис. 92. Кривая Гюгонио для детонации и дефлаграции. самом деле соответствовать процессам реакции, совместимым с (84.01—84.03), из-за условия I, (86.07) Р\ —Ро вытекающего из (84.04). График тех точек плоскости (т, р), которые удовлетворяют уравнению (86.06) и неравенству (86.07), называется кривой Гюгонио (рис. 92). Замечательно, что этот график состоит из двух отдельных ветвей в согласии с тем фактом, что с за- законами сохранения совместимы два совершенно различных типа процессов. Обе ветви соо гветственно называются „детонацион- „детонационной" и „дефлаграционной", в зависимости от того, какое из неравенств на ней выполняется: т<т0 или р<р0- Среди детонаций и дефлаграции мы тоже будем различать несколько типов. Для этого мы дополнительно предположим, что вдоль детонационной ветви кривой Гюгонио давление воз- возрастает до бесконечности. Рассмотрим в плоскости (т, р) прямую линию, проходящую через точку (т0, /?0), и точки ее пересечения с кривой Гюгонио.
206 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Если наклон прямой Рх^/° — большое отрицательное число, то должна быть точка пересечения вблизи точки Л, отвечающей детонации при постоянном объеме. Из предположения, что давление неограниченно возрастает вдоль детонационной ветви кривой Гюгонио, следует, что прямая имеет другую точку пересечения с этой ветвью. Мы покажем далее, в § 88, что могут существовать только эти две точки пересечения, по край- крайней мере, если справедливо предположение (85.03). Если мы увеличим наклон (р—/?0)/(т — то)> то °бе точки пересечения сольются в точку D, потому что если р стремится к р0, то, как мы уже показали, пересечение возможно только с дефла- грационной ветвью. Поэтому на детонационной ветви имеется точка D, разделяющая ее на две части. Другими словами (это важно отметить для дальнейшего применения), любой луч, проходящий через (т0, р0) с наклоном, несколько большим, чем луч, проведенный через D, пересекает кривую Гюгонио в двух точках. Детонации, представляемые точками на нижней части детонационной ветви, отвечающей меньшим значениям р, мы будем называть слабыми детонациями, на верхней части — сильными детонациями. Детонация, отвечающая точке D, разделяющей обе точки пересечения, будет называться дето- детонацией Чэпмена—Жуге. Подобным же образом, если наклон прямой (р—/?о)/(т—то) есть малое отрицательное число, она пересечет дефлаграцион- ную ветвь вблизи точки В, отвечающей дефлаграции при по- постоянном давлении. При увеличении этого наклона, в большин- большинстве случаев, возникает, как мы увидим, еще одно пересече- пересечение. Дефлаграции, представляемые первым пересечением* будут'называться слабыми, представляемые вторым пересече- пересечением— сильными. Слабые и сильные дефлаграции разделяются так называемой дефлаграцией Чэпмена—Жуге, представляе- представляемой точкой С. Для дальнейшего применения мы заметим, что всякий луч, проходящий через (т0, р0) с наклоном, несколько меньшим, чем луч, идущий через (т0, р0), пересекает кривую Гюгонио в двух точках. § 87. Процессы Чэпмена — Жуге Процессы Чэпмена — Жуге имеют много особых свойств, которые мы рассмотрим, применяя везде предположение (85.03). По определению точек D и С, прямая линия, проходящая че- через (т0, р0) и D или С, касается кривой Гюгонио. Другими словами, реакции Чэпмена —Жуге удовлетворяют соотношению ^ = РЩо (87.01)
§ 87. ПРОЦЕССЫ ЧЭПМЕНА — ЖУГЕ 207 где дифференцирование происходит вдоль кривой Гюгонио. Из (87.01) и из тождества dH{1)(*> p)=TdS+±{(x—zo)dp-(p-po)d*)t (87.02) которое следует из (86.05) в предположении (85.03), мы полу- получаем равенство dS = 0 в D и С. (87.03) Другими словами, если задано состояние несгоревшего газа, то энтропия сгоревшего газа принимает стационарное зна- значение в процессах Чэпмена—Жуге. Далее, так как адиаба- адиабатические процессы характеризуются тем, что dS = 0, произ- производная вдоль кривой Гюгонио dpjdi совпадает с производной dpjdi вдоль адиабат, проходящих через D или С. Скорость звука с в сгоревшем газе удовлетворяет равенству Р2'2 = ^, (87.04) где дифференцирование dp/dt относится к адиабатической кри- кривой; поэтому то же равенство справедливо для точек D и С, где дифференцирование отнесено к кривой Гюгонио. Сопоста- Сопоставляя равенства (87.04), (87.01) и (84.04), мы получаем c = \v\ в D или С. (87.05) Это значит, что в процессах Чэпмена — Жуге скорость сгорев- сгоревшего газа относительно фронта равна скорости звука в сгорев- сгоревшем газе или фронт реакции Чэпмена—Жуге движется относительно сгоревшего газа, расположенного позади него, со скоростью звука в сгоревшем газе. Это есть знаменитое утверждение, высказанное Жуге в 1905 г. Дальнейшее свой- свойство выводится из соотношения («0-?/)' = < =-,^, (87.06) которое следует из (84.04). Дифференцируя это равенство вдоль кривой Гюгонио и беря т0 и pQ фиксированными, мы приходим к соотношению oTW (87.07) откуда d К - U) = dv0 = 0 в D и С. (87.08) Из равенства (87.08) следует, что среди всех возможных про- цессов реакции, начинающихся из заданного состояния @),
208 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ только процессы Чэпмена—Жуге дают стационарное зна- значение скорости фронта реакции относительно несгоревисего газа. Это свойство было сформулировано Чэпменом в 1899 г. Более точно можно сформулировать характер стационарных значений энтропии и скорости фронта реакции следующим образом: при детонации Чэпмена—Жуге скорость \vQ\ и энтропия сгоревшего газа имеют относительный минимум, а для дефлаграций Чэпмена — Жуге скорость | v01 и энтро- энтропия имеют относительный максимум. Имеет значение то обстоятельство, что при детонации Чэп- Чэпмена — Жуге, которая, как мы увидим, происходит при обыч- обычных обстоятельствах, энтропия имеет минимум. Можно было бы, наоборот, ожидать детонации, при которой энтропия имеет максимум. (Это и привело некоторых авторов к ошибочному утверждению, что 5 имеет максимум в D.) Интересно также, что детонация Чэпмена — Жуге является самой медленной из возможных. Мы начнем доказательство этих утверждений с вывода не- неравенства где дифференцирование происходит вдоль кривой Гюгонио. Это непосредственно следует из утверждения, сделанного в конце § 86, что луч, проходящий через (т0, р0) с наклоном, несколько большим или меньшим, чем касательный луч через D или С, соответственно пересекает кривую Гюгонио в двух точках вблизи D или С. Дифференцируя далее равенство вдоль кривой Гюгонио [см. (87.02)], получаем 2Г^^2DC потому что — = 0 в этих точках. Следовательно, ах (87-09)
§ 88. ПРАВИЛО ЖУГЕ . 209- Мы исключим теперь знак равенства из следующих сообра- соображений. Дифференцируя соотношение р = g (т, S) вдоль кривой Гюгонио, мы находим, что ~~ = gxz ~f~ gs S_ в D или С, потому что в них 5т = 0. По основному предположению g*TX>0 последнее равенство показывает, что рхх и SXT не могут одно- одновременно обратиться в нуль в D или С. Поэтому мы имеем ~~>0 в D или С, (87.10) ^>0вД -^<0вС. (87.11) Последнее соотношение показывает, что S имеет минимум в D и максимум в С. Дифференцируя равенство (87.07) вдоль кривой Гюгонио, мы получаем с помощью (87.01) откуда по (87.10) ^>0вД ^<0вС. (87.12) dx2 dz2 Отсюда следует, что | v0 \ имеет минимум в D и максимум в С. § 88. Правило Жуге Мы даем теперь формулировку тех характерных свойств, по которым можно отличать сильные процессы от слабых. Эти свойства заключены в следующих утверждениях, которые мы будем называть правилом Жуге. Течение газа относительно фронта реакции — сверхзву- сверхзвуковое впереди фронта детонации, сверхзвуковое — позади фронта слабой детонации, дозвуковое — позади фронта силь- сильной детонации, дозвуковое — впереди фронта дефлаграции, дозвуковое — позади фронта слабой дефлаграции, сверхзву- сверхзвуковое — позади фронта сильной дефлаграции. Правило Жуге лучше всего выводится на основе пред- предложенного Г. Вейлем метода рассмотрения ударных волн, * 4 P. Куоант и К. Фоилгжхс
210 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ изложенного в § 65 (см. также [73]). Приводимые ниже факты, как будет показано, справедливы для каждого идеального газа, а поэтому и для газа, сгоревшего в процессе реакции. На каждом прямолинейном луче, проведенном в плоскости (т,/?) через точку (vA>)> энтропия имеет максимум там, где ее значение стационарно. Следовательно, она не может иметь больше одного максимума. Далее, благодаря соотношению (88.01) которое по (87.02) справедливо вдоль любого луча, функция Гюгонио ЯA) имеет тоже не больше одного стационарного зна- значения на луче, и это значение — тоже максимум. Из этого непосредственно следует важное утверждение, сделанное раньше, в § 87: прямая линия, проходящая через точку (ъо,ро), пересекает кривую Гюгонио не более чем в двух точках. Иначе функция ЯA) имела бы по крайней мере два стационарных значения на этой линии. Рассмотрим теперь два пересечения, которые прямая линия, проходящая через точку (т0, р0), имеет с какой-либо из двух ветвей кривой Гюгонио, описываемой уравнением (86.06) и неравенством (86.07). „Первая" точка пересечения отвечает слабым, а „вторая"—сильным процессам. В обеих точках функция Гюгонио НA) имеет одно и то же значение, а поэтому она имеет максимум в некоторой промежуточной точке. Сле- Следовательно, энтропия 5 тоже имеет максимум в этой точке, и, так как энтропия не имеет других стационарных значений вдоль луча, она возрастает в первой точке пересечения и убы- убывает во второй точке. Если луч пересекает детонационную ветвь, т убывает вдоль него от точки (т0> /?0), и поэтому последнее утверждение выра- выражается так: — < 0 и > 0 (88.02) dz в первой и второй точках пересечения с детонационной ветвью соответственно. Аналогично — > 0 и < 0 (88.03) dz соответственно в первой и второй точках пересечения с деф- лаграционной ветвью. Вдоль прямой линии — т0);
§ 88. ПРАВИЛО ЖУГЕ 211 следовательно, dpjdfz = — p2i>2 no (84.04). Далее, вдоль*адиабаты S,/Sp = — dpldfz, поэтому Sx/Sp = p2c2 по B.05). Следовательно, Ш = р^ (с2 - v2) Sp, (88.04) потому что Sp = \/ps>0 по B.07). Итак, условия (88.02) и (88.03) равносильны следующему: с <\v\ и c>\v\ (88.05) кДефлаграция р,- [етонация Рис. 93. Кривая Гюгонио для состояния впереди фронта реакции, если задано состояние (тф /7t) позади него. соответственно в первой и второй точках пересечения с дето- детонационной ветвью и с > | v | и с < | v | (88.06) в точках пересечения с дефлаграционной ветвью. Этим доказана часть правила Жуге, относящаяся к со- состоянию позади фронта детонации и Оефлаграции. Чтобы доказать правило Жуге для состояния впереди фронта реакции, мы будем считать состояние позади фронта заданным и будем менять состояние впереди него. Тогда уравнения (86.01) или (86.06) принимают вид Я@) (,, р) = ^ (хи Pl) - Е@) (тх, Pl), (88.07) где член в правой части отрицателен по предположению (85.05). Снова Я@) и 5 имеют не более одного стационарного значения на луче, и это значение — максимум. В противоположность 14*
212 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ кривой Гюгонио, даваемой (86.06), каждый луч, проходящий через точку (^ltpi)t может пересечь кривую Гюгонио не более чем в одной точке. Действительно, предположим, что имеется более чем одна точка пересечения; тогда величина И^°\ равная нулю в точке {^vpL) и принимающая то же значение в точках пересечения, должна иметь между ними минимум чего не может быть. Из тех же соображений ясно, что Я@) умень- уменьшается вдоль луча в точке пересечения. Это же имеет место согласно соотношению (88.01) для энтропии. В точке пересече- пересечения с детонационной ветвью мы имеем 1>1Х; поэтому там dS/dz<iO, что согласно (88.04) равносильно тому, что v2 > с2. Таким образом, течение впереди детонационной волны — сверхзвуковое. Тем же способом мы находим, что течение впереди дефлаграционной волны — дозвуковое, v2 < с2. Этим полностью доказано правило Жуге. Надо подчеркнуть, что это правило просто перечисляет разные комбинации, математически совместимые с законами сохранения на фронте разрыва. Однако в действительности все эти математически возможные течения не осуществляются. Как покажет дальнейшее рассмотрение в § 93 и 94, сильная дефла- грация никогда не может осуществиться, а слабая дето- детонация возможна только при исключительных обстоятель- обстоятельствах. Откладывая пока этот более глубокий анализ, вы- выведем сначала некоторые следствия из наших математических построений. § 89. Определенность течения газа, включающего фронт реакции Предположим, что в начальный момент времени, t = 0, ци- цилиндрическая труба, простирающаяся от х — 0 до х = оо, на- наполнена горючей газовой смесью и что в этот момент в сечении х — 0 началась реакция распространяющаяся вперед. Обычно рассматриваются случаи, когда конец х=0 закрыт или совер- совершенно открыт. Мы, однако, проанализируем несколько более общий случай, когда в конце х = 0 в момент ? = 0 начинает двигаться поршень с постоянной скоростью ир. Рассмотрение этого случая поможет не только выяснению вопроса об опре- определенности течения, но будет полезно и для понимания более сложных явлений. Нашей целью является решение следующей задачи: на- насколько течение газа определено начальным состоянием и движением поршня, если имеется резкий фронт реакции, движущийся с постоянной скоростью в горячей смеси газов? Конечно, разрыв должен удовлетворять законам сохранения (84.01-84.03).
§89. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА, ВКЛЮЧАЮЩЕЕ ФРОНТ РЕАКЦИИ 213 Учитывая это условие, мы можем рассмотреть существова- существование и единственность решения для течения. Если нет хими- химической реакции, то задача о течении имеет однозначно опре- определенное решение. Это решение содержит однозначно опре- определенную ударную волну для положительной скорости поршня и центрированную простую волну разрежения для отрица- отрицательной скорости поршня. Возникает вопрос, такова ли степень определенности, если имеет место химическая реакция? Дру- Другими словами, дано состояние покоя при х > О, реакция, начи- начинающаяся при ? = 0 в х = 0, и постоянная скорость поршня и = ир. Спрашивается, существует ли одно и только одно ре- решение задачи о течении в трубе? Как мы увидим, это не обя- обязательно так. Различие объясняется правилом Жуге. Согласно принципам, сформулированным в § 36, определен- определенность течения зависит от того, являются ли кривые в (х, ^-пло- ^-плоскости, на которых заданы исходные значения, пространст- пространственно- или временно-подобными. Когда рассматриваются такие кривые, временной характер отвечает дозвуковой, а простран- пространственный характер — сверхзвуковой скорости относительно те- течения газа. Временно- или пространственно-подобный характер в представлении (х, t) означает, что два характеристических направления с dt > 0 указывают соответственно в разные или в одну сторону от кривой. Предположим для простоты, что течение несгоревшего и сгоревшего газов изэнтропично, так что имеются только два характеристических направления. Тогда из утверждений § 36 следует, что решение задачи о течении в области между двумя кривыми единственно определено в двух случаях: I. Обе кривые временно-подобны и на каждой из них задана одна величина, а в точке пересечения заданы две величины. II. Одна кривая пространственно-подобна и на ней заданы две величины, а другая — временно-подобна и на ней задана одна величина. Мы утверждаем далее без доказательства: Если в случае I данные непрерывны на пересечении двух линий и здесь эти линии временно-подобны, то решение суще- существует, пока эти линии временно-подобны. В случае II решение существует, если допускаются, как часть его, ударные волны. В нашем настоящем случае путь поршня всегда временно- подобен, потому что он тождественен с путем прилегающих к нему частиц; на нем известна одна величина — скорость ир. Ось х, очевидно, пространственно-подобна; на ней заданы две величины: скорость и = 0 и скорость звука с = с0 (или р0,
214 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ или т0), согласно предположению, что несгоревший газ сначала покоился. Но утверждение о единственности не может прямо применяться к этим двум линиям из-за влияния неизвестного пути фронта реакции. Поэтому утверждение должно приме- применяться отдельно к сектору между осью и линией пути реакции W и сектору между этой линией и линией пути поршня Р. Сверхзвуковая область Случай А А Фронт Дозвуковая^" Реакции область Случай Л В Фронт реакции Сверх звуковая область Случаи В А Случай ВВ Рис. 94. Возможные соотношения между характеристически- характеристическими направлениями и фронтом реакции. Будем различать четыре случая: АА,АВ9 ВА, ВВ> соответ- соответственно тому, является ли течение относительно линии пути реакции сверхзвуковым (А) или дозвуковым E), впереди и позади фронта. Определяющими элементами являются отно- относительные положения характеристик С+> С_ и путь частиц Со и, следовательно, имеются четыре возможности, представленные на рис. 94.
§ 89. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА, ВКЛЮЧАЮЩЕЕ ФРОНТ РЕАКЦИИ 215 Пусть наклон W, т. е. скорость фронта реакции, задан произвольно. Когда реакция —сверхзвуковая относительно газа впереди фронта, путь реакции пространственно-подобен, если рассматривать его из области впереди него. Начальные зна- значения ио = О и с0 вдоль оси х при ? = 0 определяют течение однозначно вплоть до W, причем везде и = и09 с = с0. По условиям для перехода (84.01—84.03) определены и значения и и с непосредственно за линией фронта реакции. Теперь для продолжения течения имеются две возможности. В первом случае, ААУ течение позади IF тоже сверхзвуко- сверхзвуковое относительно W. Тогда путь W пространственно-подобен для области позади него и несет две величины: пи с. Эта реакция по правилу Жуге является слабой детонацией. Так как путь поршня Р всегда временно-подобен, то течение в области между W и Р определено однозначно согласно общим прин- принципам (см. § 28). Так как скорость фронта реакции может быть выбрана произвольно (оставаясь только сверхзвуковой), остается одна степень неопределенности. Во втором случае, АВ, путь W временно-подобен относи- относительно области позади него. Следовательно, непосредственно позади W, рассматриваемого как начальная кривая для области между W и Р, можно произвольно задать одну величину, чтобы существовало единственное решение. Тогда определится другая величина позади W. Но так как эта величина тоже определена наклоном W, ясно, что этот наклон, т. е. скорость фронта реакции, не может быть выбран произвольно, а должен быть соответствующим образом определен. (Мы покажем в § 90, что это может быть сделано, если скорость поршня постоянна и достаточно велика.) Тогда как в случае АА фронт волны может быть выбран произвольно, в случае АВ такой свободы в выборе W нет; по правилу Жуге —это сильная детонация. Положение здесь такое же, как при течении химически инертной жидкости, включающем ударную волну, когда скорость фронта определяется так, чтобы находиться в соответствии с заданным движением поршня. Подобным образом в случае АВ течение определяется начальными условиями и скоростью поршня. Степень неопределенности при этом равна нулю. В случае ВА путь реакции W, рассматриваемый со стороны газа, находящегося впереди фронта, временно-подобен, так что впереди W можно произвольно наложить одно граничное условие. Тогда состояние позади фронта может быть определено но условиям перехода; относительно этого состояния W про- пространственно-подобен, а путь поршня Р временно-подобен, и, следовательно, течение между W и Р по общим принципам определено однозначно. Поэтому в случае ВА есть две степени неопределенности, ВА отвечает сильной дефлаграции. Чтобы
216 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ определить течение, надо, помимо начального состояния и дви- движения поршня, задать две величины — путь реакции и одну величину впереди фронта. В случае ВВ путь реакции временно-подобен по отношению к обеим соседним зонам. Величина, заданная впереди фронта W, должна быть выбрана так, чтобы три результирующие величины позади W были совместимы с граничным условием на поршне. Следовательно, в этом случае есть одна степень неопределен- неопределенности; этот случай отвечает слабой дефлаграции; одна вели- величина, такая, например, как скорость фронта реакции, может и должна быть задана, чтобы определить течение. * Надо подчеркнуть, что в случаях ВА и ВВ состояние впереди фронта реакции не обязательно стационарно; другими словами, реакция влияет на состояние впереди фронта. Большая степень неопределенности течений, содержащих детонации и дефлаграции, по сравнению с течениями, имеющими только ударные разрывы, связана с тем, что для процесса реакции все четыре случая АА> АВ, ВА, ВВ совместимы с законами сохранения, в то время как ударные волны всегда относятся к случаю АВ. § 90. Решение задачи о течении, включающем процесс детонации Мы дополним теперь общие замечания тем, что покажем для случая постоянной скорости поршня ир, как подчинить течение граничным условиям на поршне. Рассмотрим сначала детонацию, начинающуюся в точке х = 0 в момент t = 0, впереди которой газ покоится, и0 = 0. Как мы видели в конце § 84, скорость и позади фронта поло- положительна. В этом случае скорость фронта реакции опреде- определяется из трех законов сохранения. Через uD = cD мы обозна- обозначим то частное значение скорости газа позади фронта де- детонации, которое удовлетворяет условию Чэпмена — Жуге [см. (87.05)]. Начнем со случая up>uD (90.01) и докажем, что здесь возможно единственное течение, а имен- именно — сильная детонация. Состояние позади фронта этого течения — установившееся, в частности скорость и равна и р. Положение подобно тому, которое имеет место для ударного фронта. Так как фронт сильной детонации, если рассматривать его сзади, временно-подобен, то замечания, сделанные в начале § 89, показывают, что другого решения, вероятно, нет.
§ 90. ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ, ВКЛЮЧАЮЩЕМ ПРОЦЕСС ДЕТОНАЦИИ 217 Далее мы покажем, что если (90.02) то всегда возможна детонация Чэпмена —Жуге. Скорость газа и — щ непосредственно позади фронта, удовлетворяющего усло- условию Чэпмена—Жуге, не должна быть равна скорости поршня ир. Поставленным условиям можно удовлетворить с помощью центрированной простой волны, непосредственно следующей за фронтом детонации, так как и фронт, и первая звуковая волна в простой волне движутся со скоростью звука относи- Рис. 95. Сильная детонация, поддерживаемая поршнем, име- имеющим постоянную скорость ар > iiD. детонации Несгоревшип газ Рис. 96. Детонация Чэпмена — Жуге. Сгоревший газ приходит в состояние покоя в центри- центрированной волне разрежения. тельно газа позади фронта (см. рис. 96). Эта волна разреже- разрежения исчезает, только если up=uD. Если конец трубы закрыт неподвижной стенкой, ир—0, или если поршень выдвигается, и = ир < 0, то осуществляется рассматриваемый случай. Здесь возможна детонация Чэпмена— }Куге. В утверждении, что может осуществиться только эта детонация, и заключается знаменитая гипотеза Чэпмена—- Жуге. Предыдущий анализ показывает, что возможно и течение, включающее слабую детонацию для каждой скорости поршня. Если скорость и непосредственно позади фронта заключена между ир и uDi то течение тоже будет содержать центриро- центрированную волну разрежения, которая, однако, отстанет от фронта. Эта волна исчезнет, если и~ир. Если и<С.ир, то можно по- построить решение с ударной волной, которая тоже будет отста- отставать от детонации. В последнем случае и ограничено значе- значением, меньшим некоторого и <^ир. Для и —и фронты удар- ударной и детонационной волн сольются и дадут тот же эффект,
ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ что и сильная детонация. Мы не рассматриваем этого более подробно по той простой причине, что слабая детонация не существует, как мы покажем в § 94; мы упомянули о ней только потому, что хотели разъяснить невозможность исклю- исключения слабой детонации на основе одних только законов сохранения. t Путь частицы > Фронт пламени Сгоревший газу пна предвари- предварительного сжатия § 91. Решение задач о течении, включающем дефлаграции Процессы дефлаграции во многом существенно отличаются от тех, с которыми мы встречались при изучении детонации. Пусть слабая волна дефлаграции начинается на поршне, х = 0, и движется в несгоревший газ внутрь трубки, х > 0. Тогда согласно (84.05) скорость и сгоревшего газа позади фронта дефлаграции отрицательна, и < 0. Это совместимо с условиями задачи, если только поршень выдви- выдвигается со скоростью, по крайней мере равной и. Иначе фронт дефлаграции не может двигаться в покоящемся горячем газе. Мы имеем здесь слу- случай ВВ, линия W временно-подобна относительно области позади нее; со- сопоставление с прямым движением поршня невозможно. Поэтому должно иметь место течение, непременно отли- ция'с уда?нойбаволЙЛп7ед- чаюи^ся °J только что Рассмотрен- варительного сжатия при за- ного- в действительности в горючую крытом конце трубы, ир=о. смесь посылается волна предвари- предварительного сжатия. Она двигает горя- горячий газ вперед с такой скоростью, которая как раз достаточна для того, чтобы после сгорания на фронте дефлаградии газ пришел в состояние покоя. Появление предварительной волны сжатия находится в пол- полном согласии с теоретическим рассмотрением (§ 88) или, скорее, является следствием, выводимым из него. На самом деле, течение впереди дефлаграции дозвуковое (случай В), и поэтому дефлаграция влияет на газ впереди себя. Если скорость поршня постоянна, например если он покоится, ир = 0, то существует решение, состоящее из постоянной волны дефлаграции и центрированной волны предварительного сжатия. (Возможно, что это единственное решение задачи.) Центриро- Центрированная волна сжатия есть не что иное, как постоянная ударная волна. Следовательно, решение задачи включает постоянную
§ 91. ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ, ВКЛЮЧАЮЩЕМ ДЕФЛАГРАЦИИ 219 ударную волну предварительного сжатия, ускоряющую и сжимающую несгоревший газ так, что постоянная волна дефлаграции, следующая за ударной волной, сжимает его и приводит в состояние покоя или движения с заданной скоростью поршня (рис. 97). Каждому заданному предварительному сжатию в ударной волне отвечает много различных возможных видов сгорания: либо слабая дефлаграция (случай ВВ), определенная однозначно, либо сильная дефлаграция (случай В А), которая может быть произвольно выбрана из однопараметрической последователь- последовательности и влечет за собой дальнейшие волны разрежения или ударные волны. Эти возможности, конечно, ограничены только тем условием, что скорость каждой волны должна быть меньше, чем скорость предыдущей волны. Основное в вопросе о дефлаграциях состоит в том, что они имеют большую степень неопределенности, чем детонации. Но прежде всего следует исключить некоторые процессы дефлаг- дефлаграции на основе рассмотрения их внутреннего механизма, хотя эти процессы и совместимы с законами сохранения. Мы это сделаем ниже, в § 93 и 94. Будет показано, что сильные дефлаграции невозможны, а слабые дефлаграции возможны только с вполне опреде- определенной скоростью, зависящей от состояния несгоревшего газа и от теплопроводности газов. Но в таком случае, исходя из нашего предыдущего рассмотрения, можно показать, что каждой скорости поршня ир отвечает течение с посто- постоянной предварительной ударной волной сжатия и постоян- постоянной волной дефлаграции при известных ограничениях, нала- налагаемых на ир. В предельном случае предварительная ударная волна совпадает с дефлаграционной. § 92. Детонация как дефлаграция, введенная ударной волной Волна дефлаграции, слившаяся с предваряющей ее удар- ударной волной сжатия, эквивалентна детонационной волне (см. Жуге [64], Нейман [71]). Так, увеличивая силу предвари- предварительной волны сжатия настолько, что ее скорость станет равна скорости возможной детонации, можно получить непрерывный переход от процесса дефлаграции к процессу детонации. Мы увидим в § 94, что истолкование детонации как ударной волны, за которой следует дефлаграция, описывает в известном смысле внутренний механизм процесса детонации. Легко проверить формальную равносильность этих двух про- процессов. Рассмотрим ударную волну, скорость которой равна U и которая вызывает увеличение давления р0 и плотности ра
220 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ до р^ и р^ и производит поток яг = ро(ио— U) = 9* {п^~иУ Пусть вслед за этой ударной волной идет дефлаграция со ско- скоростью U 9 уменьшающая давление р и плотность р^ до зна- значений рх и pt таким образом, чтобы относительный поток был таким же, как в ударной волне, Тогда оба процесса имеют одинаковую скорость, U = Uy и поэтому'сливаются, если они сливались в какой-либо момент времени. Из механических условий (84.01—84.02) следует соотношение —Щ{1) Сильная = — т* Р\ —Ро A) Слабая Так как закон сохранения энер- энергии принимает вид v20-\-E0=vl-\- + Е^ =v\-\-Ev то ясно, что пере- переход из состояния @) в состояние (/) равносилен простому процессу реакции. То, что этот процесс есть детонация, показано на рис. 98, где изображены кривые Гюгонио для ударного сжатия и для процесса реакции. Есть два процесса, начи- начинающиеся в (т0, р0) и имеющие оди- одинаковый поток массы т. Так как уменьшение давления в слабой де- флаграции меньше, чем в сильной, то мы видим, что сильная детонация эквивалентна ударной волне, за которой следует слабая дефлаг- рация, а слабая детонация эквивалентна ударной волне, за которой следует сильная дефлаграция. § 93. Зоны дефлаграции конечной ширины Мы видели, что процессы реакции, в отличие от ударных волн, не определены законами сохранения. Чтобы определить процесс реакции, надо рассмотреть ее внутренний механизм. Первый шаг в этом направлении состоит в том, чтобы предполо- предположить химический состав меняющимся не внезапно, как мы это делали до сих пор, а считать его изменение постепенным Рас. 98. Детонация как дефлаграция, сливающаяся с волной предварительного сжатия. Кривые суть кри- кривые Гюгонио с реакцией и без реакции.
§ 93. ЗОНЫ ДЕФЛАГРАЦИИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ 221 и происходящим по зоне конечной ширины. Таким путем Нейман [71] получил подтверждение гипотезы Чэпмена —Жуге для детонации (см. также [68]). Прежде чем излагать его рас- рассуждения, мы исключим сначала сильную дефлаграцию путем аналогичных доводов. Предположим, что в конечной зоне х0 < х < хх происходит стационарный процесс дефлаграции, так что несгоревший @) газ находится слева, х < х0$ а сгоревший G) газ —справа, х>хг. Промежуточный состав газа предполагается смесью сгоревшего и несгоревшего. Обозначим через е и A — &) части сгоревшего и несгоревшего газов в этой смеси соответственно. Термоди- Термодинамическая природа смеси может характеризоваться полной энергией Е® как функцией т и р. Предположим, что она является суммой полных энергий сгоревшего и несгоревшего газа, содержащихся в смеси при том же давлении р и удель- удельном объеме т: (^)+в?A)(х,р). (93.01) Это предположение справедливо для идеальных газов, и, сле- следовательно, энергия зависит, кроме Е^\ только от температуры или, пренебрегая изменением молекулярного веса, только от произведения тр. Реакция происходит с определенной скоростью /С, завися- зависящей от температуры T=Rpzy p и е следующим образом: % = К(Т,р,*). (93.02) На скорость реакции налагается только то условие, что она неотрицательна: К(Т,р,г)>0. (93.03) (Далее мы допустим, что К обращается в нуль на концах зоны реакции.) Так как мы имеем дело со стационарным про- процессом, уравнение реакции (93.02) принимает вид v~d^ = K> (93.04) где v — скорость течения — положительна, так как имеет место течение со стороны несгоревшего газа к сгоревшему. Поэтому имеем ^~>и- (93.05) Теперь очевидно, что законы сохранения должны иметь
222 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ место во всем процессе (см. [70]), и поэтому должны выпол- выполняться три закона в следующей форме: = Р. *.="». (93-06) здесь индекс е означает величину, взятую в точке хе, где состав смеси имеет значение s. Из (93.06) вытекают соотноше- соотношения, отвечающие E9.02) и E5.05), Рл~Ро = — т\ (93.07) &\\> Р.) - *>о> Ро) = - у (\ ~ -о) (Р. + Л,)- (93.08) Уравнение (93.07) означает, что в плоскости (х, р) процесс представляется прямой линией, или *¦.= '¦-*> . (93.09) Дифференцируя соотношение (93.08), мы получаем с помощью (93.01), (93.09) и (85.03) равенство Применим это равенство, в частности, к случаю е = 1. Тогда член с правой стороны положителен благодаря (93.05) и (85.05). Так как мы имеем дело с дефлаграцией, то ~- > 0. Поэтому из (93.10) следует ^>0 для 8=1. (93.11) Из неравенства (87.11) мы видим теперь, что точка (ть рх) является „первой" точкой пересечения луча, проведенного через (т0, /70), с кривой Гюгонио при е=1 (см. § 88). Поэтому процесс является слабой дефлаграцией. Этим показано, что сильная дефлаграцая невозможна* Основа этого рассуждения становится яснее, если рассмотреть ряд кривых Гюгонио, выра- выражаемых согласно (86.06) следующим образом: (т, р) = ?<°> (т0, р0) - ?(s) (х0, Ро) = Если семейство кривых такое, как показано на рис. 99, то переход из (т0, р0) во „вторую*4 точку пересечения (ть )
§ 94. ЗОНЫ ДЕТОНАЦИИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ 223 невозможен без того, чтобы прямой луч прошел через область, отвечающую з>1, что не имеет смысла. Переход в положе- положение, показанное на рис. 100, был бы возможным (см. [72]), но он исключается условием (85.05), потому что по определению И{0) и по (85.05) мы имеем #@)(Ti> Pi) > #A)(Ti> Рг) — О, тогда как на рис. 84 Я(о)(^, Рг)<0. Предположения, сделанные в этом рассуждении, в некото- некотором отношении не могут отвечать действительности. Мы пола- полагали, что реакция не начинается, пока газ не достигнет сечения х = х0, где скорость реакции внезапно принимает положитель- положительное значение. Более близкое к действительности описание Р, Рис. 99. Невозможность сильной дефлаграции. Рас. 100. Положение, допускающее сильную дефлаграцию, но исключенное условиями для функции Гюгонио. выглядело бы так: после того как произошло воспламенение, несгоревший газ нагревается благодаря теплопроводности от сгоревших частей; только после того как несгоревший газ по- получит достаточно высокую температуру, скорость реакции приобретет заметное значение, быстро возрастающее вместе с температурой. Поэтому описание процесса дефлаграции* должно учитывать теплопроводность. Только учитывая тепло- теплопроводность, можно понять, почему из ряда слабых дефлаг- раций, совместимых с законами сохранения, возможна только одна, с определенным значением скорости. Этот вопрос будет разобран в § 96. § 94. Зоны детонации конечной ширины. Гипотеза Чэпмена — Жуге Изучая начало реакции, можно показать, что нельзя описать детонацию тем способом, которым мы описали дефлаграцию, т. е. как постепенное изменение состояния,
224 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ зависящее от скорости реакции. (Иначе, вопреки фактам, на основании предыдущего рассуждения пришлось бы исклю- исключить не только сильные дефлаграции, но и сильные детонации.) Правильное описание детонации таково: детонация есть про- процесс горения, вызванный ударной волной. В ударной волне резко повышаются плотность, температура, давление и энтро- энтропия; в дальнейшем процессе горения давление и плотность уменьшаются, а энтропия и температура возрастают. Ясно, что процессы горения при детонации имеют тот же характер, что и при дефлаграции, но возникают они по-разному. Так как сильные дефлаграции невозможны, мы видим, что невозможны такие детонации, которые соответствуют сильным дефлагра- циям, а это по § 92 суть слабые детонации. Следовательно, слабые детонации невозможны, а возможны только сильные детонации и детонации Чэпмена — Жуге; в § 90 мы видели, что процесс течения, повидимому, определен единственным образом. Рассмотрим течение, при котором детонация начинается в конце трубки и поршень движется со скоростью up<CuD [см. (90.02)]; для примера предположим, что конец просто закрыт, Ир=0, или что поршень вытягивается, ир <0. Мы нашли, что в этих случаях сильная детонация невозможна. Теперь мы видим, что здесь возможна только детонация Чэпмена — Жуге. Итак, мы подтвердили гипотезу Чэпменг — Жуге (см. § 90). Этим подтверждением мы обязаны главным образом Нейману [71]. § 95. Ширина зоны реакции Ширина зоны детонации или дефлаграции / может быть вычислена, если известна скорость реакции К, по формуле 1 '~*i-*o = J/rWf, (9501) о где К есть заданная функция от /?, х и б, a v, p, х — известные из формул (93.06) функции е. Если, как это обычно при- принято предполагать, скорость реакции обращается в нуль при е=1, то ширина / становится бесконечной. В этом случае надо видоизменить определение ширины /. Она может быть определена несколько произвольным образом, как ширина той зоны, в которой происходят заметные изменения Т и е. Часто скорость реакции берется в виде А К^{\-г)К00{р)ё~^Г. (95.02)
§ 96. ВНУТРЕННИЙ МЕХАНИЗМ ПРОЦЕССА РЕАКЦИИ Применялись и другие полуэмпирические выражения скорости химической реакции, зависящие от типа реакции. Оказывается, что величина / исключительно сильно зави- зависит от изменения величины А в показателе экспоненты в (95.02). Но величина А не особенно точно известна. Поэтому формула (95.01) применялась для того, чтобы определить, наоборот, значение А по экспериментально измеренной ширине зоны реакции. § 96. Внутренний механизм процесса реакции. Скорость горения Предположение о том, что химическая реакция происходит в зоне конечной ширины есть только первый шаг в анализе механизма процесса реакции. Более тонкое описание должно учесть, каким образом меняется состояние газа вместе с его химическим составом. Естественно поступать так же, как при рассмотрении ударных волн (см. § 63), и ввести эффекты вязкости и теплопроводности. Те же возражения, которые вы- выдвигались тогда против пользования этими понятиями, могут быть выдвинуты и теперь. Но и здесь возможно, что кар- картина, развитая на основе этих представлений, будет качест- качественно верной*). Дифференциальные уравнения установившегося одномер- одномерного процесса имеют вид р v = т = const, (96.01) р^2+р — [i^ = P = const, (96.02) Р v (~ v2 + /(е)) - [г тх — X Тх = Q = const, (96.03) vsx = K. (96.04) Первые три уравнения отличаются от уравнений F3.05—63.07) только присутствием полной энтальпии /^, зависящей от со- состава смеси s и включающей энергию образования [см. § 84 и (93.01)]. Предполагая, что смесь является идеальным газом, мы имеем Т=Яръ. Последнее уравнение (96.04) такое же, как (93.04); К зависит от Т, р и е. Если три постоянные m9 P, Q известны, то уравнения (96.02— 96.04) являются тремя дифференциальными уравнениями пер- *) Надо заметить, что химическая реакция происходит на расстоянии многих длин свободного пробега, так что пользование величинами вязкости и теплопроводности в этом случае более оправдано, чем для ударных волн, ширина которых имеет порядок одного пробега. (Прим. перев.) 1Э р. Курант и К. Фридрихе
226 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ вого порядка для трех величин v, T и е, через которые выра- выражаются все другие величины. Как и в случае ударной волны, мы налагаем граничные условия при л: =— оо ил: = 4"со- Предположим, что процесс обращен назад, так что величины v==vOi т = т0, р=Ро, е —0 для несгоревшего газа заданы на х = — оо. Тогда величины v — vu * = ъи р=ри е= 1 отно- относятся к сгоревшему газу при x = -f-°°- Мы ищем такое реше- решение, существующее во всей области — оо <х<оо и прини- принимающее нужные значения на ± оо, у которого производные vx, Tx, ех при этом стремятся к нулю. Чтобы сделать это возможным, мы требуем, чтобы скорость реакции К равнялась нулю при е= 1 и при * = *с09 р==р0> е = 0. Тогда постоянные m, P, Q могут быть выражены через граничные значения. Требование, чтобы эти выражения имели одинаковые значения в состояниях @) и G), налагает на граничные условия три связи, которые являются просто законами сохранения (84.01— 84.03). Мы предположим, что эти три условия удовлетво- удовлетворены. Возникает вопрос, могут ли любые два состояния @) и A), подчиняющиеся законам сохранения, быть связанными решением дифференциальных уравнений (96.02—96.04J, или исходные величины должны подчиняться дополнительным усло- условиям? Предварительное исследование показывает, что число этих условий зависит от того, является ли течение в состоя- состояниях @) или A) дозвуковым или сверхзвуковым; другими словами, оно зависит от того, является ли процесс сильной или слабой детонацией или дефлаграцией (см. [72]). Точнее, оказывается, что число условий, которым надо удовлетво- удовлетворить во всех четырех случаях, как раз совпадает со сте- степенью неопределенности, найденной в § 89 для течений, содержащих эти четыре процесса. Иначе говоря, „неопреде- „неопределенность*4 того, что можно назвать „внешней задачей о тече- течении", найденная на основании только законов сохранения, ком- компенсируется „переопределенностью44 „внутренней задачи44. Более точный анализ решений уравнений (96.01—96.04) дает следующие результаты (см. [72]). На сильную детона- детонацию не надо налагать условий; на слабую детонацию надо наложить одно условие, именно то, что она в предельном случае переходит в детонацию Чэпмена — Жуге (если только скорость реакции К не принимает слишком больших значе- значений, которые, вероятно, исключены физическими условиями). Наш анализ приводит к тому, что сильные дефлаграции должны быть подчинены двум условиям. Однако более тонкое иссле- исследование показывает, что сильные дефлаграции вообще не суще- существуют, в согласии с результатами § 93.
§ 96. ВНУТРЕННИЙ МЕХАНИЗМ ПРОЦЕССА РЕАКЦИИ 227 Для слабых дефлагрсщий оказывается, что данные на двух концах подчинены одному условию, существенно зави- зависящему от коэффициента теплопроводности X. Другими словами, возможна только одна точка на дефлаграционной ветви кривой Гюгонио (рис. 92). Это принципиально новый результат, который не мог быть выведен из рассуждений § 93.^ Однако он неприменим к процессу сгорания, происходящему при детонации, потому что последний вызывается другим спо- способом— ударной волной. Чтобы проиллюстрировать эти утверждения, мы рассмотрим предельный случай „дефлаграции при почти постоянном дав- давлении" (см. § 86). Предположим, что скорость v есть малая величина того же порядка, что и теплопроводность X и скорость реакции К; далее, предположим, что изменение давления и вязкое напря- напряжение р fvx — того же порядка, что и v2, в согласии с (96.02). Введем е и T=Rpt как независимые переменные. Тогда урав- уравнения (96.03—96.04) принимают вид X Тх - ml(e) = - mI{0) = — ml{1) = const, (95.05) p, е)/Г, (96.06) где давление р есть заданная постоянная. Из этих соотноше- соотношений приходим к равенству dT m* №(Т, /?)-/@) Т Надо найти решение этого уравнения, удовлетворяющее сле- следующим условиям: Т=Т0 для s = 0 и Т=Тг для е = 1. Значения То и Тг связаны условием Если m приблизительно равно нулю, то решение Т= Г(е), начинающееся с Г@) = Г0, остается приблизительно постоян- постоянным. Если m очень велико, то это решение достигает зна- значения Тг раньше, чем е станет равным 1. Следовательно, есть только одно частное значение т, при котором решение принимает значение Тх для е=1 и на исходные данные надо наложить условие, выбрав m равным этому значению. Этим определена относительная скорость горения 1;0 = ^гт0 в зависимости от X, р, Го, т0 и функций 1{е)(Т,р)иК(Т,р,е)< 15*
228 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ § 97. Среда Твердое вещество способно при одних условиях к упругим деформациям, а при других — к пластическим изменениям формы. Свойство вещества, характеризующее его как упругое или пластическое, может быть математически выражено соот- соотношением между напряжением и деформацией и будет опре- определено в следующих параграфах (см. также § 5). В таких упруго-пластических материалах волны распро- распространяются во многих отношениях иначе, нежели в газах. Основное новое свойство (см. библиографию по этому вопросу) состоит в том, что возможны ударные волны и непрерывные простые волны разрежения и сжатия. Интересно также, что в голове волны разрежения, входящей в область, где мате- материал не напряжен, всегда есть звуковой разрыв. В противо- противоположность газу, неограниченно расширяющемуся при нулевом давлении, упруго-пластический материал, будучи свободным от напряжений, приходит во вполне определенное начальное состояние. Представление Лагранжа является наиболее естественным для описания движений в таком материале. Рассмотрим упруго- пластический цилиндрический стержень с постоянным попе- поперечным сечением в его исходном (ненапряженном) состоянии. Если стержень деформируется в осевом направлении, то осе- осевая координата х зависит от „начальной" абсциссы а и вре- времени t: x = x(a, f). Тогда деформация определяется по бы- быстроте изменения ха — -^ так: * = ха-1. (97.01) Если р есть плотность массы, а р0 — „начальная44 плотность, то мы, очевидно, имеем poda = p dx или f—0+s). (97.02) Напряжение есть сила, действующая на единицу площади в перпендикулярном направлении, но в дальнейших рассужде- рассуждениях мы воспользуемся несколько другой величиной. В действи- действительности движение стержня происходит не только в осевом направлении, потому что осевое удлинение всегда связано со сжатием в перпендикулярном направлении. Поэтому для одномерной задачи имеет значение не величина напряже-
§ 97. СРЕДА 229 ния, а полная сила, действующая на сечение в перпен- перпендикулярном направлении. Эта полная сила, деленная на посто- постоянную первоначальную площадь, есть так называемое техни- техническое напряжение. В дальнейшем она обозначается буквой а и называется просто напряжением. Напряжение предпола- предполагается известной функцией деформации a = a(s), ' (97.03) которая зависит только от природы материала. Мы имеем всегда a 5^0 ДЛЯ е^О, (97.04) т. е. напряжение положительно в растяжении и отрицательно в сжатии (о = 0 для е = 0 по определению). Для большинства материалов всегда выполняется неравенство ^Т>°> (97.05) т. е. возрастание деформации требует возрастания напряжения. В дальнейшем мы будем предполагать, что соотношение (97.05) выполнено. Материал называется упругим, если напряжение линейно зависит от деформации. Большинство материалов упруги, если деформация не превосходит известного предела или крити- критической деформации е^. Тогда соотношение между напряже- напряжением и деформацией такое: а = Ее, |e|<e<f (97.06) где постоянная Е есть модуль Юнга. Материал будет нами называться пластическим, если на- напряжение нелинейно зависит от деформации, которая прево- превосходит критическую деформацию. Для пластической области мы предположим * > (97.07) Надо отметить, что для некоторых материалов есть известная область значений деформации, где напряжение зависит не от *) Обычно пластическими называются необратимые деформации, оста- остающиеся после снятия напряжений. То, что авторы называют здесь пласти- пластическими деформациями, правильнее было бы называть нелинейно-упругими. (Остаточные деформации вводятся дополнительно в § 100.) (Прим. перев.)
230 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ деформации, а от скорости деформирования. Некоторые авторы такие материалы называют „пластическими". Мы исключили их согласно условию (97.05). Типичный вид функции o = o(s) представлен на графике рис. 101. Интересно сравнить соотношение между напряжением и де- деформацией для упруго-пластического материала с адиабати- адиабатическим уравнением для политропического газа. Для этого мы сопоставим давление с напряжением, взятым с обратным зна- знаком (что не совсем точно, так как о есть „техническое на- напряжение"). Тогда адиабатическое уравнение для газа полу- получит вид: а = Ро его график представлен на рис. 102. Мы видим, что для. растяжений s > 0 общий ход обеих кривых (е, а) одинаков, -s» Рас. 101. График соотноше- соотношений между напряжением и де- деформацией для упруго-пласти- упруго-пластического материала. I Рис. 102. График соотноше- соотношения „напряжение — деформа- деформация" для газа, а = — р. так как do/dz уменьшается с возрастанием г; для сжатий, однако, е < 0, наклон —^ у пластических материалов умень- уменьшается вместе с уменьшением е, а у газов он увеличивается, когда s уменьшается. Значение этого факта выяснится в сле- следующих параграфах. § 98. Уравнения движения Движение частицы с начальной абсциссой а дается функ- функцией х — х(а, f)\ поэтому ее скорость равна дх a = xt = -W- (98.01) Тогда уравнение движения р*^ —^/Ч* по (97,01) и (97.02) при- приобретает вид ut = g2ea, (98.02)
§ 98. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 231 где g= V "ir/p0- (98.03) В качестве второго уравнения мы имеем из (97.01) и (98.01) е,=- иа. (98.04) Разница между этими уравнениями и тем видом уравнений Лагранжа, которым мы пользовались для газов (см. § 18), состоит в том, что вместо т =— применено s и вместо h = р0 а — просто а. -г* Рис. 103. График соотноше- соотношения между скоростью смеще- смещения g и деформацией в для упруго-пластического мате- материала. Рис. 104. График соотноше- соотношения между „скоростью сме- смещения* и „деформацией" для газа. da Величина g есть, очевидно, скорость -^-, с которой возму- возмущение передается от частицы к частице. Мы назовем скорость изменения —^ скоростью смещения и, в частности, g(e) бу- будет называться характеристической скоростью смещения. Скорость смещения g связана со скоростью звука с и с импе- данцем k~pc, определенным выше для газов, соотношениями _ k — Р г~"ЙГ ""*"*' (98.05) где с определено как Скорость смещения в упругой области Ро (98.06) (98.07) Ро постоянна, тогда как скорость звука ?= ^ go не постоянна. Ниже приводится график характеристической скорости смещения g*(e).
232 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Согласно предположению (97.08), g(e) уменьшается во время растяжения, когда е становится больше, чем s^, и также во время сжатия, когда е меньше, чем — е^. § 99. Ударная нагрузка Основная задача о распространении волн в упруго-пласти- упруго-пластическом материале — это задача о движении стержня под влия- влиянием ударной нагрузки, когда скорость внезапно сообщается одному концу стержня и там под- поддерживается постоянной. Толкающая или тянущая нагрузки, приложенные к стержню, отвечают вдвиганию или выдвиганию поршня в трубе, напол- наполненной газом. От выдвигаемого порш- поршня в трубе распространяется центри- центрированная волна разрежения. Мы будем рассматривать движение, которое воз- возникает, когда один из концов стержня начинают тянуть. Сообщение постоянной скорости щ концевому сечению равносильно, как мы увидим, постоянной деформа- деформации е0. Если эта деформация е0 мень- меньше, чем критическая деформация е ^, то деформация, возникающая в стержне при распространении вол- волны, тоже остается меньше критиче- критической. Распространение волны управ- управляется при этом линейным диффе- дифференциальным уравнением с постоян- постоянными коэффициентами. В таком случае начальный разрыв будет рас- распространяться как разрыв с постоян- постоянной скоростью смещения. Как только начальная деформация станет больше, чем кри- критическая, дифференциальные уравнения распространения ста- станут нелинейными, а из нелинейности следует, что распро- распространение начального разрыва в виде ударного скачка или его сглаживание в виде волны разрежения зависит от того, воз- возрастает %или уменьшается скорость g(z) смещения с s. Согласно сделанным нами предположениям [см. (97.08)], g(s) уменьшает- уменьшается, когда е возрастает, при е > в . Поэтому влияние больших значений в распространяется с меньшей скоростью. Отсюда следует, что сообщенная внезапно начальная деформация е0, t, 0 a A// о i a 1 \t=tj- Const 1 i flffeo)t; у 'у ... 9o a t, a Рис. 105. Центрированная простая волна разрежения в упруго-пластическом ма- материале. Кривая в плоскости (а, е) показывает распреде- распределение деформаций в упру- упруго-пластическом материале в момент ti после прило- приложения растягивающего им- импульса.
§ 99. УДАРНАЯ НАГРУЗКА 233 превосходящая критическую, распространяется как волна раз- разрежения. Для того чтобы определить результирующее движение, полезно записать уравнения движения в характеристической форме по методам § 32: da=±gdt, (99.01) du + gd г = 0. (99.02) Вводя функцию def (99.03) мы можем переписать уравнение (99.02) в виде d(»q:<p) = O. (99.04) Пусть теперь стержень расположен вдоль положительной оси х>0, и удар сообщает концевому сечению х = 0 скорость и0 < 0. Тогда центрированная простая волна побежит вперед. В ней # + <р(е) постоянно, и так как и = 0, <р(е) = О, при ?=0 х > 0, мы имеем по всей волне й + ср(г) = О. (99.05) В частности, деформация, произведенная ударом в конце- концевом сечении, такова, что ио = — ?(е0). (99.06) Величина <р (е) называется скоростью удара, так как — ср (&) есть та скорость и, которую надо сообщить концу стержня, чтобы произвести в нем деформацию г. Влияние удара распространяется со скоростью смещения gOr откуда мы имеем s = 0, и = 0 для^0<^<^. (99О7) Если ?o^s*> т0 деформация испытывает скачок от г = 0 до е = е0 в момент t=— (у частицы с начальным положением а), тогда как скорость меняется скачкообразно от и = 0 до »== — ?(е0). После этого состояние больше не изменяется: s = s0, tt = -cp(s0) для t>-j-. (9908) Если, однако, е0 > г%> то деформация испытывает скачок от
234 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ г = 0 до s = е^ в момент t = -~f а скорость — от и = 0 до и = — ?(%)• После этого проходит центрированная простая волна разрежения, которую можно описать в параметрическом представлении так: Следовательно, для каждого момента в интервале однозначно определены значения зи й, потому что g (е) умень- уменьшается при возрастании е по предположению (97.08). После того как достигнута деформация, полученная при ударе, €0 = — ?(#о)> состояние не изменяется: е = г0, и = _?(в0) дЛЯ t>-^. Движение, конечно, можно описать, задавая его и для фикси- фиксированного момента времени t*=tv Такому описанию отвечает рис. 89. Особенно интересен разрыв в голове волны. Мы не дали ему имени „ударная волна", так как он „звуковой" и дви- движется с характеристической скоростью смещения. Его можно рассматривать как вырожденный участок простой волны, про- происходящий от того, что все характеристики a = g(e)t для 0 < г < е^ имеют одинаковый наклон и поэтому совпадают. Рассмотрим теперь начальный удар, сообщающий положи- положительную скорость и0 и поэтому деформацию сжатия е0 < 0. Этот случай соответствует поршню, внезапно вдвигаемому в трубку, наполненную газом. В газе, как мы знаем, полу- получается ударная волна% В упруго-пластическом материале сжатие распространяется в виде простой волны с разрывом в голове, т. е. так же, как распространяется и растяже- растяжение. Описание волны сжатия можно получить из описания волны растяжения, подставив — и вместо и в формулы (99.05— 99.10). Простая волна, выведенная из (99.09), такова, что зна- значения s и и однозначно определены для каждого момента в промежутке времени ,_^? . < t < а • это снова следует из того, что g (г) уменьшается, когда е уменьшается от — е^ до е0 по предположению (97.08). В весьма общем случае начальный разрыв, как указыва* лось, распространяется в виде простой волны тогда и только
§ 100. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ 235 тогда, когда характеристическая скорость смещения g впе- впереди разрыва больше, чем скорость смещения в состоянии позади разрыва. Для рассматриваемого материала мы видели, что в случае растягивающего и сжимающего ударов это соот- соотношение между скоростями смещения имеет место, потому что g(s) уменьшается, когда |е| увеличивается, начиная се^, В газе, однако, g*(e) увеличивается при уменьшении г (рис. 104), поэтому внезапно приложенное сжатие распространяется в газе, как ударная волна. Надо упомянуть, что существуют материалы, для которых предположение (97.07) не выполняется и при достаточно боль- больших деформациях dg/de меняет знак. Тогда, если удар до- достаточно силен, смещение распространяется в виде простей волны, за которой следует ударная волна; состояние перед ударной волной определяется так, что характеристическая ско- скорость его смещения совпадает со скоростью перемещения ударной волны. § 100. Ударные волны разгрузки Есть еще один интересный случай распространения удар- ударных волн в упруго-пластическом веществе. До сих пор мы предполагали, что скорость, сообщенная одному концу, поддер- поддерживается неопределенно долго благодаря сохранению дефор- деформации и надлежащего напряжения о = о(е0). Важно, конечно, выяснить, что произойдет, если это напряжение будет внезапно снято. Влияние этого нового разрыва, конечно, не может рас- распространяться в виде простой волны, потому что характе- характеристическая скорость смещения меньше до разгрузки, чем после нее. Поэтому надо ожидать, что влияние разгрузки будет распространяться в виде ударной волны. Ударная волна будет иметь особенно простой вид из-за явления гистерезиса: если пластический материал разгружен из напряженного состо- состояния, он не будет после разгрузки подчиняться тому же соот- соотношению между напряжением и деформацией, какое имело место до момента приложения нагрузки. Опыт показывает, что при разгрузке напряжение линейно зависит от деформации и что do/ds = E, как в упругом состоянии (рис. 106). По- Поэтому, когда напряжение возвращается к нулю, в веществе сохраняется „остаточная" деформация. То же справедливо для перехода при ударной разгрузке. Пусть [с] и [е] — разности значений а и г впереди и позади ударного фронта. Тогда со- согласно сформулированному свойству разгрузки dGjde = E И=?[е]. A00.01)
236 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Условия на ударном разрыве в представлении Лагранжа были выведены в § 62. Первые два из них можно записать так: [»]--*[•], Н = -Роа[й], A00.02) где а есть скорость смещения в разрыве, р0 а — поток массы через единицу площади, проходящий через разрыв спереди назад. Исключая [и], находим [о)=Ро'а*[г]. A00.03) Следовательно, а2 = Е/р0 или а = g0. Таким образом, скорость смещения а разрыва совпадает с характеристической ско- скоростью смещения упругого состоя- состояния gQ. Третье условие на разрыве, выра- выражающее сохранение энергии, может быть применено для определения энергетического баланса; но сама ударная волна определена первыми ~tl ? *g~ двумя условиями. В этом смысле Рис. 106. График напряже- »УДаРная волна разгрузки" по харак- ние- деформация, показы- теру^ проще, чем ударные волны в га- вающий явление гистере- ЗОВОЙ динамике. зиса при разгрузке. Основное свойство газодинамиче- газодинамических ударных волн состоит в том, что они непрерывно изменяют условия в газе, увеличивая энтро- энтропию. Можно пытаться рассматривать изменения энтропии по аналогии с деформациями, остающимися после процесса раз- разгрузки. Но эта аналогия не ведет особенно далеко. Изменения, остающиеся в упруго-пластическом материале, связаны с нели- нелинейной фазой процесса; в отличие от газов, они происходят и при постепенной разгрузке. Поэтому остаточную деформа- деформацию нельзя приписывать ударному переходу как таковому. § 101. Взаимодействия и отражения Ударная волна разгрузки может нагнать бегущую впереди простую волну, и тогда произойдет более сложный процесс взаимодействия. Благодаря простой природе ударной волны это взаимодействие можно рассмотреть подробно. Это было сделано, но мы воздержимся здесь от сообщения результатов, заметив только, что остающееся конечное изменение состояния материала может быть полностью определено. Волновое движение в упруго-пластическом материале изуча- изучалось еще и в другом направлении. Движение в стержне ко-
§ 101. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 237 нечной длины можно рассматривать как последовательность отражений. Удобно ввести в качестве новых независимых пере- переменных скорость и и скорость удара ср = ср (s). Тогда уравнения (98.02) и (98.04) преобразуются к линейным уравнениям a =gt , a =gt , A01.01) где g может рассматриваться как функция ср. Если фиксирован другой конец стержня, х = 1, то на нем скорость # = 0, по- поэтому область в плоскости {и, ср) есть заданняя полоса щ < и < 0, 0 < ср. Рис. 107. Графическое представление движения стержня как после- последовательность отраженных волн в плоскости (и, ср) и в плоскости (я, *). Надо помнить, что в плоскости (и, ср) изображение посто- постоянного состояния есть точка, а изображение простой волны есть линия. Изображение области взаимодействия между при- приходящей и отраженной волнами есть треугольник. Движение, отвечающее этому треугольнику, может быть определено при- приближенным методом с помощью характеристик. Доказано, что при последовательных отражениях деформация возрастает. Следовательно, характеристики, которые в первой простой волне совпадают, образуя упругий фронт разрыва, будут, про- продолжаясь при отражении, попадать в нелинейную область и рас- расходиться. Поэтому отраженная волна имеет непрерывный фронт. Характеристика, получающаяся при отражении из одной линии с е = е^, показана пунктиром на рис. 107. В заключение надо сделать еще одно замечание. Характер соотношения между напряжениями и деформациями в дей- действительности установлен не так хорошо, как для газов, и ме- меняется от вещества к веществу. Можно сделать различные
238 ГЛ. III. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ приближенные допущения. В частности, соотношение о = о (s) можно выбрать так, чтобы сделать возможным явное интегри- интегрирование дифференциальных уравнений. Предположение, что оказалось, например, очень подходящим для этой цели. В ча- частности, при этом допущении задачу об отражении можно ре- решить в явном виде и, определить конечное состояние, к кото- которому стремится материал при неограниченном возрастании времени.
Глава IV ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ § 102. Аналитические основы Следующим по простоте после одномерного является дву- двумерное, или плоское, установившееся безвихревое и изэнтро- пическое течение (см. § 10, 13 и 16). Его теория развивается параллельно теории, разработанной в гл. III. Напомним аналитические основы, развитые в § 16. При на- наших предположениях течение характеризуется двумя состав- составляющими и, v скорости q как функциями декартовых коор- координат х, у на плоскости; р, р, с тоже зависят только от х и у. От z и t они не зависят и связаны с q2 = u2-\-v2 уравнением Бернулли д2 _|_ 21 = д2= const A02.01) [см. A6.02)], что для политропических газов может быть пере- переписано в виде р* (и2 -f v2) + 0 - ^2) с2 = с\ = t*V (Ю2.02) [см. A4.07-14.08)]. Как мы видели в § 16 [см. A6.06-16.07)], дифференциальные уравнения движения выглядят так: vx—Uy = 0, A02.03) Дифференциал р, как функция и и v, выведенный из A02.01), дается следующим выражением: т d р = — с~2 qdq = — с (udit + vdv) A02.05) [см. A6.04)]. Уравнения A02.04) с помощью A02.05) можно переписать в виде (с2 - и2) их - wo (иу + vx ) + (с2 - v2) vy = 0 A02.06) [см. A6.08)], где с2 есть заданная функция ^==^21^2 п0 A02.01) или A02.02).
240 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Вводя потенциал скорости ср (х, у) по формулам ?* = »¦ ?у = *> A02.07) [см. A6.10), A6.11)], приводим A02.06) к уравнению второго порядка yy-0. A02.08) Если ввести функцию тока ф (х, у) так, что Ф,= -р^ ФУ = Р" A02.09) [см. A6.12)), то уравнение A02.03) станет уравнением второго порядка для ф. Общая математическая теория должна исследовать тече- течение, ставя и решая надлежащие краевые задачи для диффе- дифференциального уравнения A02.08). Мы произведем исследование с этой общей точки зрения в конце главы, в разделе Е. Но до сих пор реальные результаты получались главным обра- образом при изучении частных видов течения. Поэтому основной предмет этой главы составляет нахождение частных решений; эти решения полезны, так как их можно приспособить к срав- сравнительно простым граничным условиям. А. МЕТОД ГОДОГРАФА § 103. Преобразование годографа Прежде чем обратиться к нашему основному предмету, дадим краткое изложение метода преобразования годографа, уже упоминавшегося в гл. II, § 21. Большая работа, произве- произведенная на основе этого метода, предложенного Чаплыгиным [74,75], первоначально относилась к дозвуковому течению и не может быть описана здесь сколько-нибудь подробно. Дифференциальные уравнения A02.03), A02.06) линейны и однородны относительно производных и и v; их коэффициенты зависят только от и и v. Поэтому эти уравнения можно приве- привести к двум линейным дифференциальным уравнениям, в кото- которые х и у входят как функции составляющих скорости и и v9 если не обращается в нуль якобиан J = llxivy-~uyvx A03.01) (см. § 21). С помощью соотношений
§ 103. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА 241 уравнения A02.03) и A02.06) преобразуются к двум линейным дифференциальным уравнениям: uv (xv +yu ) + (c>- *«) ха = 0. A03.02) Из первого уравнения следует, что существует функция Ф= Ф(и, v), определяемая соотношениями При подстановке Ф во второе уравнение имеем (с2 — и2) Фст + 2иг1 Фиу + (с2 - v2) Фии = 0. A03.04) Попутно заметим, что функция Ф (uf v) получается из потен- потенциала <р преобразованием Лежандра (см., например, [32], стр. 39) Ф = их + vy — ср, A03.05) и так как производные от ср (х, у) равны и = <fx, v = cpy > это равенство можно записать еще и так: Стоит упомянуть также, что можно ввести функцию ?(ри, pv), связанную преобразованием Лежандра с функцией тока ф (х, у), W(pu, pv)=puy — pvx — ty(x> у). A03.06) Соотношениям tyx = — р v, ф = р и отвечают обратные w?u=y> «;*=--*. (Ю3.07) Уравнение A03.04) является линейным дифференциальным уравнением для Ф(и, v), поэтому если найдено несколько его решений, то множество других решений получается путем сложения. Каждое решение, определенное в некоторой обла- области плоскости (и, v), отвечает течению, в котором и и v за- заданы как функции х и у, если не равен нулю якобиан у_ф ф __ ф2 ===х у —х у , A03.08) и х и у могут быть поэтому введены как новые переменные по A03.03). Уравнение A03.04) эллиптическое для дозвукового течения и гиперболическое для сверхзвукового течения. Якобиан J для дозвукового течения не обращается в нуль никогда, если только не равны нулю все производные Фии — 0, 16 р. Куоант и К. Фоидоихг
242 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Ф =0, Ф =0. Ибо по A03.04) мы имеем (с*-и*)Ф*+2иъФиуФи иг1 Фиа и потому, что и2 -\-v2 = q2 < с2; левая сторона является здесь положительно определенной квадратичной формой в Фиг/ и Фии. Подобным же образом доказывается, что для дозвукового те- течения не равен нулю якобиан J. Поэтому задача о дозвуковом течении по существу равносильна решению дифференциального уравнения A03.04). Выгода, достигаемая при этом за счет линей- линейности, возмещается усложнением граничных условий; границы в плоскости (a, v), отвечающие заданным стенкам в плоскости (х, у), сами зависят от решения задачи. С другой стороны, задача о сверхзвуковом течении не вполне эквивалентна решению уравнения A03.04), потому что якобианы /и J могут менять знаки, как мы это видели в § 30 и снова покажем в § 105. Как мы разъяснили в § 30, годограф тече- течения не прост, если j меняет знак; в этом случае картина течения в плоскости (a, v) перекрывает некоторые области течения два или три раза. Если J меняет знак, то функции х (a, v), у (и, v) не представляют течения во всей плоскости (х} у), потому что изображение в плоскости (х, у) обладает складкой, покрывающей некоторые части два или три раза. Край такой складки называется „предельной линией". Эти осо- особенности мы обсудим более подробно в § 105. Несмотря на возможность таких особенностей, методом го- годографа можно изучить много специальных важных видов течения, дозвуковых и сверхзвуковых. Для этого удобно пользоваться как потенциалом <р, так и функцией тока ф вместе с функциями Фи?. Рассматриваемые как функции и и v, они удовлетворяют линейным дифферен- дифференциальным уравнениям, получающимся из равенств вместе с A02.03) и A02.06) путем исключения их, и , vx, v В результате получается линейная система Если ввести в плоскости (at v) полярные координаты q, О по формулам Q, v = qsinb, A03.10)
§ 103. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА 243 то уравнения A03.09) получат вид A03.11) д A03.12) которую легко вывести из A03.03), A03.07), A03.10) и соот- соотношения (?) A03.13) которое непосредственно следует из A02.05). Связь между величинами <р и Ф, выраженная по A03.05), принимает по A03.03) вид ФФ ф- О03-14) Уравнение A03.04) преобразуется к виду ) = 0, A03.15) что может быть получено и путем исключения W из A03.12). Связь между величинами ф и ЧГ, выраженная по A03.06), при- принимает по A03.07) и A03.13) вид qWq-W. A03.16) Часто более удобно применять соотношения которые следуют из A03.11), A03.14) и A03.15) и определяют функцию течения ф, если найдено решение Ф. Для дальнейшего отметим, что якобцан У, даваемый A03.08), принимает в полярных координатах вид „ [Я % + Tee) -(?*-?"' ЪJ] , A03.18) что легко проверить. 16*
244 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ § 104. Частные виды течения, получаемые методом годографа Рассмотрим теперь частные виды течения: 1. Простое решение уравнения A03.15) есть Ф == k 6 = k arctg v/u. По A03.03) мы имеем х = —- kvq~2, у =з kuq~2, так что q = kr~l, и = kyf~2, v = — kxf~2. Эти соотношения представляют круговое течение (циркуля- (циркуляцию) с угловой скоростью kr~2. Соответствующая функция тока находится по A03.17) q 2. Другое простое течение находится по так как в этом случае может быть определена функция © = 9 (q), удовлетворяющая уравнению A03.11). Предполагая, что Ф за- зависит только от q, Ф = Ф(<7), мы выводим из A03.17) * 1 = к J ^ q -1 ~-l. Из A03.03) имеем p lq 2u, y = ko xq 2v и Беря k > 0, мы можем получить q как функцию k l r Эти формулы представляют чисто радиальное течение. Важ- Важно х) то, что обращение равенства r = kp~1q~] можно произве- произвести однозначно, только если q> с* или # < ?*> потому что про- производная (р?) =р~1 (с~2 — q~2) [см. A03.13)] обращается 1) См. ниже дискуссию по вопросу истечений из сопла, § 144.
§ 104. ТЕЧЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ МЕТОДОМ ГОДОГРАФА 245 в нуль при q === с и, следовательно, при q = c#. Здесь с# есть кри- критическая скорость, введенная в § 15. Следовательно, рассматри- рассматриваемый поток или чисто дозвуковой, или чисто сверхзвуковой. Очевидно, что величина р^, рассматриваемая как функция q, имеет минимум при q = с#9 поэтому для обоих течений г> r*~kflq~x. Другими словами, и дозвуковое, и сверхзву- сверхзвуковое течения могут находиться во внешней области круга r = r*f где скорость становится звуковой, тогда как ускоре- ускорение qdqjdr — pc2qd(q2— с2) обращается в бесконечность. Та- Таким образом, окружность г = г# есть предельная линия для течения (см. §§30 и 105). 3. Складывая функции Ф для чисто радиального и для чисто вращательного течений, получаем функцию и функцию тока J flq~l Яо Далее, и Якобиан J [см. A03.08)] согласно A03.18) и A03.13—103.14) равен у- k\ г*ч-\г*я-* - *о<г4 = - ^<г4+ * W2( с-2 - <г2). Так как это выражение изменяется от конечного отрицатель- отрицательного значения до бесконечности, когда q меняется от скорости л звука с% до предельной скорости q, то ясно, что 7 = 0 для некоторого значения qx > c#. Отсюда следует, что решение представляет две ветви течения, из которых одно чисто сверхзвуковое, а другое частью дозвуковое и частью сверх- сверхзвуковое. То и другое имеют место вне круга г=г/, который служит предельной линией (рис. 108). Линии тока ф = const для обоих течений, очевидно, пред- представляют собой спирали, встречающие предельную окруж- окружность под углом arc sin —. Это можно проверить прямым вы- вычислением выражения для функции тока.
246 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ- БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 4. Только что рассмотренное спиральное течение показы- показывает возможность перехода течения газа из области, где оно дозвуковое, в область, где оно сверхзвуковое, и наоборот. Простой пример течения, которое является сначала дозвуковым, потом сверхзвуковым и, наконец, опять дозвуковым, был дан Ринглебом [78]. Такие течения получаются из решений Ф, ЧГ Дозвуковое Рас. 108. Линии тока спирального течения, показы- показывающие переход от дозвукового течения к сверх- сверхзвуковому на круге г = г* и предельный круг г = гг. или ср, ф, являющихся произведениями функций от q на функ- функции от 6. Простейший случай описывается функциями ф =/jg' sin в, ср = kp~lq~l cos 6, удовлетворяющими уравнениям A03.11). Из A03,17) находим Ф = откуда по A03.03) 4о cos 6, ч х = k J p" q~zdq + k p q~2 cos2 6. <7o z=kp q cos 6 sin 6.
¦ § 104. ТЕЧЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ МЕТОДОМ ГОДОГРАФА 247 Для малы^ значений q мы имеем и поэтому х ~ г cos 26, j/~rsin26, ф ~ У k^{r — x). Таким образом, на больших расстояниях линии тока прибли- приближенно являются параболами, г — х = const. Далее, положитель- положительная часть оси х оказывается линией тока, потому что у = 0 Рис. /00. Линии тока течения Ринглеба с пре-. дельной линией L и кругом /С, на котором про- происходит переход от дозвукового течения к сверхзвуковому. х = 0 и <Ь = 0 при 6 = 0 и 6 = тт. Поэтому может показаться, что газ течет вокруг отрезка положительной оси х. Но это неверно, потому что течение достигает предельной линии раньше, чем оно поворачивает около края (фиг. 109). Якобиан J находится из A03.18) Следовательно, предельная линия находится из условия, что | cos 61 = q~l с. Эта линия состоит из четырех ветвей. Две ветви подходят к оси х перпендикулярно, две другие стремятся к бесконечности, когда л;->оо. Эти ветви встречаются в углу, где q2 = 2с2 — qc ~. Для политропического газа мы находим, l что в углу # = 1^2 с*, с = ]/C—т)/2?*, поэтому там | cos 01 == = cq~l = —- УЪ — f. Простое рассмотрение показывает, что
248 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ существуют линии тока, проходящие вблизи угла, цо не пере- пересекающие предельной линии, вдоль которой течение — сначала дозвуковое, потом сверхзвуковое и, наконец, опять дозвуковое (рис. 109). Можно получить много других частных случаев из частных решений уравнения A03.15). За деталями мы отсылаем к ли- литературе, приведенной в библиографии. § 105. Роль предельных линий и линий перехода Метод преобразования годографа для получения решений уравнений газовой динамики применим только тогда, когда ни один из якобианов, ни Критическая кривая Рис. ПО. Предельная линия в плоскости (х, у) и критическая линия в плоскости {и, v). для искомого течения и(х9 у), v(x, у), ни для решения х (uf v), у (af v) линейного уравнения годографа, не обращается в нуль. В § 30 мы описали, как ведет себя отображение годогра- годографом, если либо /=0, либо у = 0 вдоль „критической" кривой. Описание установившегося двумерного течения можно допол- дополнить, изучив ход линий тока и потенциальных линий вблизи критической кривой. Пусть якобиан J обращается в нуль для решения х (и, v), У {щ v) линейных уравнений годографа вдоль критической кривой в плоскости (и, v). Тогда отображение плоскости (и, v)
§ 105. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ И ЛИНИИ ПЕРЕХОДА 249 на плоскость (х, у) образует складку в плоскости (х,у). Край складки, предельная линия, является, как было показано, оги- огибающей одного семейства С-характеристик, в то время как характеристики другого семейства имеют на ней угол. Линии тока и потенциальные линии делят пополам углы между двумя С-характеристиками, как будет показано в§ 106. Поэтому они не касаются края и являются, следовательно, изображениями кривых, пересекающих критическую линию в плоскости (и, v) в исключительном направлении. Следовательно, согласно ут-. верждениям § 30 линии тока и потенциальные линии в пло- <р - Const X U Рис. 111. Маховская линия перехода С+ в плоскости (х, у) и крайняя характеристика Г+ в плоскости (и, v). скости (х9 у) тоже имеют углы на предельной линии. Так как исключительное направление в плоскости (и, v) есть харак- характеристика, то отсюда следует, что особенностью критической кривой в плоскости {и, v) является то, что изображения линий тока и потенциальных линий проходят через нее в характеристическом направлении, причем именно в исклю- исключительном направлении. Иногда это свойство может помочь определению критиче- критической кривой: если замечено, .что изображения потенциальных линий и линий тока в плоскости {и, v) касаются характеристики или друг друга, то присутствие критической кривой в пло- плоскости {и, v) или предельной линии в плоскости (х9 у) гаран- гарантировано. Так как потенциальные линии и линии тока имеют на предельной линии углы, то их кривизна там бесконечна. В действительном течении предельная линия никогда не может встретиться, так как на ней течение должно было бы менять направление на обратное, что физически невозможно.
250 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ На самом деле, раньше чем будет достигнута предельная ли- линия, образуется ударная волна. Рассмотрим теперь другой случай, когда вдоль „кривой перехода" обращается в нуль якобиан у в плоскости (х9у) для решения (uf v) уравнений течения. Эта кривая перехода, как было показано в § 30, есть С-характеристика. Соответствующая Г-характеристика есть край складки отображения плоскости (х, у) на плоскость (uf v). Другая С-характеристика есть ли- линия перехода и имеет исключительное направление. Поэтому линии тока и потенциальные линии пересекают линию перехода в неисключительных направлениях. Следовательно, изображе- изображения линий перехода и потенциальных линий в плоскости (и, v) касательны кГ-характеристике, образующей край складки. Линии перехода встречаются в действительном течении, напри- например при истечении из сопла, как будет показано в гл. V, § 146. Б. ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ § 106. Характеристики. Линии Маха и угол Маха Отныне мы будем прежде всего заниматься сверхзвуковым течением, предполагая, что <72>?2>?2>0. Для этого случая теория основывается главным образом на характеристическом преобразовании дифференциальных уравнений. Напомним сле- следующие факты из § 23. С-характеристики уравнений A02.03) и A02.06) удовлетво- удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению [см. B3.07)]: (с2 - и2) dy2 + 2uvdydx + (c2 — v2) dx2 = 0 A06.01) или с2 (dx2 + фу2) = {udy - vdxf, которые дают два корня С+, С_ для частного dyjdx. Г-харак- теристики суть кривые в плоскости (и, v), удовлетворяющие уравнению [см. B3.08)], (с2 - и2) du2 — 2uvdudv + (с2 - v2) dv2 = 0 A06.02) или с* {du2 + dv2) = (udu + vdvJ. Уравнения A06.01) для С-характеристик зависят от частного вида течения, тогда как Г-характеристики суть два фиксиро- фиксированных семейства кривых в плоскости (у, v); мы опишем их подробно в § 107 и 108. Когда определены корни уравнения A06.01), С+, С_, это уравнение можно расщепить на два: С+:Л = С+*в1 С_:у^ = ^х^ A06.03)
§ 106. ХАРАКТЕРИСТИКИ. ЛИНИИ И УГОЛ МАХА 251 Как показано в § 23, уравнение A06.02) расщепляется на два: Г+:«в = -С_*в, Г_:ир=-С+*р. A06.04) Из этих четырех характеристических уравнений немедленно получаются равенства = °> 006.05) выражающие тот важный факт, что если (uf v) и (х, у) представляются на одной координатной плоскости, то направления С-характеристик одного рода перпендикулярны к V-характеристикам другого рода. Или, то- точнее, направления С+ и Г_ и С_ и Г+, проведенные через соот- соответствующие точки (х,у) и (и, v), взаимно перпендикулярны. Мы истолкуем уравнения A06.03—106.04) геометрически, введя угол Л между направлением скорости течения {щ v) и С-характеристикой (dxf ay) в точке {х, у) и угол Л' между направлением течения и соответствующей Г-характеристикой (du, dv) в точке (и, v). Тогда, имея в виду, что q2 = u2-\-v2f мы можем переписать A06.01) в виде A06.06) и A06.02) в виде <?2 = 0»cosM', A06.07) следовательно, Л' = 90°-Л. A06.08) Соотношение A06.06) справедливо для обеих характеристик, проходящих через точку. Следовательно, обе характеристики образуют одинаковый угол, угол Маха с линиями тока. Из равенства A06.06 — 106.08) получается также, что соста- составляющая скорости течения, перпендикулярная к направле- направлению С-характеристик, и ее составляющая в направлении Y-характеристик равны скорости звука. Пусть С+ есть та С-характеристика, которая образует с на- направлением течения положительный угол Л, тогда соответствую- соответствующая Г-характеристика Г+ образует с направлением течения угол А' = 90° — Л, потому что ее направление перпендикулярно к С_. Конечно, С_ образует тогда угол — Л с направлением течения и Г__ — угол — А' = Л — 90° (рис. 112). Наиболее удобно записать уравнения характеристик, введя угол 6 между направлением течения и положительной осью х9 тогда u = q cosb, v = qsinb. A06.09)
252 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Корни С+ и С_, будучи наклонами характеристических направ- направлений, даются тогда соотношениями C_ = tgF —Л), A06.10) где знак перед А соответствует только что принятому нами условию для характеристик. В этих обозначениях характери- характеристические уравнения A06.03—106.04) принимают вид уа cos F + А) = ха sin (8 + Л), Ур cos (8 — А) = хр sin (О - Л), A06.11) v Рис. 112. Углы между направлением течения и характеристи- характеристиками С и Г. va sin F - Л) = — иа cos F — Л), *>р sin F + А) = — и^ cos (8 + Л). A06.12) Надо отметить, что в этих уравнениях как 8 = arctg v/u, так и угол Маха А известны как функции и и v по A06.06) и закону Бернулли A02.01). Для политропического газа мы имеем из A02.02) соотношение 2-— 1 A06.13) где q = c%[\L есть предельная скорость (см. гл. I, § 15). Величина Mqjc A06.14) называется числом Маха для течения. Для сверхзвукового течения оно больше единицы. Для звукового течения, когда
§ 107. ХАРАКТЕРИСТИКИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА 253 д = с или М=1, мы имеем А = 90°; тогда маховские направ- направления совпадают с перпендикулярами к направлению течения. Когда М—+ОО, мы имеем А—+ 0, т.е. направления Маха при- приближаются к направлению течения. В частности, это имеет место л при стремлении к кавитации, с—^0и q—>q. Характеристики С часто называются линиями Маха. § 107. Характеристики в плоскости годографа как эпициклоиды Если газ политропический, то дифференциальные уравне- уравнения A06.02) для Г-характеристик могут быть решены в явном виде. В геометрическом выражении ^характеристики для политропических газов в плоскости (и, v) суть эпициклоиды, описываемые точкой окружности диаметра с* ( 1J = л = q— с%, которая катится по „звуковой окружности" и2-\- + v2 = c2. Простое доказательство этого утверждения вытекает из пре- предыдущей геометрической интерпретации. Во-первых, пользуясь уравнением Бернулли в виде A02.02), мы запишем уравнение A06.06) в форме ?2{^2+(l-^2)sinM}=^. A07.01) Во-вторых, мы отметим, что Г-характеристика есть кривая, образующая угол А' = 90° — А с направлением вектора q = = (и, v). Рассмотрим теперь рис. ИЗ, на котором изобра- изображена окружность радиуса г = —( О^*, которая касается в точке Т „звуковой" окружности, описанной вокруг центра О радиусом с*. OQ представляет вектор q. Если внешний круг ка- катится по звуковому кругу, то точка Т является мгновенным центром вращения; поэтому траектория Q перпендикулярна к отрезку TQ. Чтобы отождествить Г с траекторией Q, т. е. с описанной здесь гипоциклоидой, достаточно показать, что угол OQT, который мы временно назовем о, равен углу Маха Л. Обозначая угол ORQ через W, так что < OTQ = 90°-\—, мы получим из треугольника ORQ соотношение или
254 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ИЛИ q* I f\ л\ ^ ¦? = ?-(?-Vе08 У По* соотношению W q . COS — = f- Sin a, 2 c# получаемому из треугольника OQT, мы находим, что Г-характеристики как эпициклоиды. Сравнение этого результата с A07.01) дает а = А. Через каждую точку кольца с2 < и2 -{- ч? < q2= - с2 в пло- скости (гг, i;) проходят две эпициклоиды, так что кольцо по- покрыто сетью из двух семейств Г-характеристик, в соответствии с общей теорией гл. II, § 22. § 108. Характеристики в плоскости (и, v). Продолжение Определим теперь Г-характеристики аналитически, как ин- интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравне- уравнений A06.02). Естественно ввести для этой цели полярные координаты q и 6 вместо и uv, пользуясь формулами A03.10), и попытаться про- проинтегрировать дифференциальное уравнение Ц- =±gctgA'=±qtgA, A08.01)
§ 108. ХАРАКТЕРИСТИКИ В ПЛОСКОСТИ {и, v) 255 равносильное A06.12). Проще, однако, установить систему диф- дифференциальных уравнений для составляющих с и g вектора (и, v) в направлении Г-характеристики и перпендикулярно к ней. Угол, который образует направление Г-характеристики с положительной осью и, очевидно, равен со = 8 + Аг =* 6 - А + 90° для Г+, A08.02) со = 0 _ А' = 6 + А - 90° для Г__. В согласии с этим du sin w — dv cos со = 0 A08.03) Рис. 114. Соотношение между углами 8, о>, А и А'. вдоль Г. Из A06.07) и A08.02) мы имеем С = п COS ы -f- V Sin со; вводя составляющую g* по формуле g* = V COS (О — tt Sin со, получаем И = ? COS со — g- Sin со, v = с sin со -|- g cos со. A08.04) A08.05) A08.06) Будем теперь рассматривать со как параметр вдоль Г и опре- определим с и g как функции со. Дифференцируя уравнение A08.06) по со, мы получаем уравнения = с^ cos со — gm sin со — (с sin со -j- g cos со), ¦ = сш sin со -]- g*w cos со -\- (с cos со — g sin со), A08.07)
256 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ которые дают при подстановке в A08.03) ?„ = -*. A08.08) Из уравнения Бернулли для политропических газов мы имеем «J-c'-W-^-pV. (Ю8.09) откуда, дифференцируя по со и пользуясь A08.08), имеем cm=v?g. A08.10) Решение уравнений A08.08) и A08.10), очевидно, есть g = ~fl с* sin [х (со — ш*), A08.11) С = С% COS [А ((О — (О*) с произвольной постоянной со^. Подставляя этот результат в A08.06), мы находим параметрическое представление состав- составляющих скорости — = cos [а (о) — со^) cos со -f- [а~~! sin [а (со — ш^) sin со, с* с A08.12) — = COS [A (a) — (Ojj.) Sin со — [х Sin [А (а) — оО COS со, угол со — (Ojj. изменяется от до —, так как с > о. Из A08.02) и A08.05) мы имеем g*= ~ <ysin А'= — qcos А для Г+, A08.13) g = qsinA'= qcosA для Г_. Следовательно, g < 0 для Г+ и ^ > 0 для Г_, или а> > со^ от- отвечает Г -ветви и со < <о^ отвечает Г__-ветви. Из нашего по- построения очевидно, что все кривые, представляемые уравне- уравнениями A08.12), получаются путем . вращения одной из них вокруг начала О. Характеристики Г снова легко отождествляются с эпици- эпициклоидами между окружностями Рис. 115 показывает различные геометрические величины, входившие в построение.
§ 109. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 257 Для дальнейших приложений мы отметим равенство tg А = [х! ctg [х (о> — ш*) |, A08.14) которое по уравнению A06.06) следует из A08.11) и соотно- соотношения \g\ = ]/У2 — с2, вытекающего из A08.06). § 109. Простые волны Теория простых волн имеет основное значение для нахож- нахождения решений задач о течении, получающихся из элементар- элементарных решений. В § 29 простая волна была определена математи- Рис. 115. Построение пары эпициклоидаль- ных характеристик. чески как течение в плоскости (х, у), изображение которого в плоскости (и, v) является отрезком одной Г-характеристики. Выло показано, что область простой волны покрыта однопараме- трическим семейством С-характеристик, линий Маха, вдоль каж- каждой из которых и, v и соответственно с, р, р, т остаются посто- постоянными. Простые волны (см. § 29) обладают следующим важным свойством: непостоянное течение, граничащее с постоянным те- течением, есть всегда простая волна. Установившиеся двумерные простые волны были открыты Прандтлем, а их теория была развита Майером [100]. Непрямые линии Маха в простой волне могут быть на- названы поперечными линиями Маха. Изображение каждой из них в плоскости {и, v) есть одна и та же Г-характеристика. 17 р. Курант и К. Фридрихе
258 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ О. (Иногда мы будем называть простую волну Г+-волной или Г_-волной в зависимости от того, отображается ли она на Г - или на Г_-характеристику.) Каждая прямая линия Маха отображается на одну точку этой Г-характеристики, и ее на- направление перпендикулярно к направлению этой Г-характери- Г-характеристики в соответствующей точке. Угол между этим последним направлением и положительным направлением оси и есть в то же самое время угол между прямой линией Маха и поло- положительной осью v (рис. 115). Семейство прямых характе- характеристик может быть задано в виде х = а (а) — г sin а) (а), у = b (а) + Г COS ш (а) A09.01) с произвольными функциями а(а), &(а) и со(а) от параметра а. Здесь г есть абсцисса вдоль прямой линии а = const, и о согласно § 108 есть угол меж- между прямой характеристикой и положительным направле- направлением оси у. Значения и и v на каждой из этих линий определяются соотношениями, представляющими Г-характе- ристику, отвечающую простой волне, в частности для политро- политропических газов соотношениями A08.12). Тогда значения i и, следовательно, с, р и р на этих линиях находятся по уравнению Бернулли A02.01). То, что течение, построенное таким образом, действительно удовлетворяет дифференциальным уравнениям A02.03) и A02.06), следует из общей теории гл. II, § 29, но может быть, конечно, проверено и непосредственно. Если все прямые характеристики проходят через одну точку, называемую центром (т. е. если а (а) и &(а) по- постоянны), то волна называется центрированной простои вол- волной (рис. 116). Если пересекать простую волну, монотонно изменяя пара- параметр а, то изображение точки в плоскости (и, v) не должно монотонно пробегать соответствующий отрезок Г-характерис- Г-характеристики. Более того, изображение точки может коснуться звуко- звуковой окружности q = c% я перейти с Г+ -ветви на Г__-ветвь, и на- наоборот. В таких переходах С+ и С_ меняются ролями, как прямые линии Маха. речная характеристика С_ в центри- центрированной простой волне, отвечающей отрезку Г_-характеристики.
§ 109. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 259 В дальнейшем мы рассматриваем простые волны, для кото- которых соответствующий отрезок Г-характеристики проходится Огибающая Рис. 117. Три прямые линии Маха С+ @, 1, 2) в про- простой волне, отвечающие участку @—1—2) Г__-харак- теристики. Рис. 118. Простая волна, переводящая одно сверхзвуковое течение в другое через зву- звуковую линию. монотонно, или угол (о прямых линий Маха с осью у моно- монотонно изменяется с а. Здесь параметр а можно отождествить с углом со. Если скорость частицы газа q увеличивается при прохождении простой волны и, следовательно, давление /?, а также с ир уменьшаются, то волна называется волной расши- 17*
260 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ рения или разрежения; если скорость уменьшается* то волна называется волной сжатия. Рассмотрим отрезки простых волн, ограниченные двумя пря- прямыми линиями Маха и простирающиеся неограниченно в одном X Рис. 119. Волна сжатия. направлении. Такие отрезки содержатся в качестве составных частей в более общих видах течения. На рис. 117 представлена волна разрежения, отвечающая отрезку ^-характеристики; волна, показанная на рис. 118, Рас. 120. Полная простая волна, покрытая С+-ли- ниями Маха, отвечающими полной Г-дуге. превращается из волны сжатия в волну разрежения и отвечает отрезкам кривых Г+ и Г_. Течение на рис. 119 есть волна сжатия, отвечающая отрезку ^-характеристики. Во всех этих случаях угол со убывает в направлении течения. На рис. 120 показана полная простая волна, отвечающая всей дуге Г_#
§ ПО. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЛИНИИ ТОКА И ПОПЕРЕЧНЫХ ЛИНИЙ МАХА 261 В полной простой волне течение на одном конце — звуко- звуковое, а направление течения перпендикулярно к линии Маха С*. л На другом конце скорость q—предельная, а давление, плотность и скорость звука равны нулю; граничащая с этим концом зона есть поэтому зона кавитации. Так как на этом конце угол Маха равен нулю, то каждая из линий Маха С+ и С_ стре- стремится к линии тока. Приближение к кавитации в Г_-волне происходит в по- политропическом газе, когда w — о^ приближается к —, по- потому что тогда угол Маха А согласно равенству A08.14) обра- обращается в нуль. Угол Ь для направления течения, даваемый для Г_-волны равенством Ь = и>-{-А' [см. A08.02)], меняется от значения 0* = о>* до Ь = <*># п- + —. Поэтому полное из- менение угла равно ^)^-. A09.02) 1 л тс Так как р < — , то мы имеем | Ь —• 6^ | Значения 2 у 2 I 1 ]— для равных 7 даются в табл. II, § 116. § 110. Формулы для линий тока и поперечных линий Маха в простой волне Уравнение каждой линии тока или поперечной линии Маха можно найти в том случае, когда задана одна из линий тока или одна из поперечных линий Маха соответственно. Мы воспользуемся представлением A09.01) и положим, что х=а{?), у = Ь(о) задает начальную линию тока или поперечную линию Маха;тогда параметр г будет измерять расстояние точки от этой начальной кривой вдоль прямой линии Маха, проходящей через точку. Вдоль линии тока мы имеем по определению 6 -^—tge, A10.01) а вдоль поперечной линии Маха в Г+- или Г_- волне согласно A06.11) имеем 42A). A10.02)
262 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Распределение 0 и Л вдоль начальной кривой х — а(а), у=Ь{р) мы выбираем так, чтобы выполнялось соотношение A10.01) или A10.02). Удобно пользоваться углом <о, определенным соотношениями A08.02), и рассматривать А как заданную функцию о>, которая для политропического газа дается равенством A08.14). Пред- Предположим, что со = со (а) дано на начальной кривой. Тогда A10.01) и A10.02) могут быть записаны в виде ~0, A10.03) где k= ± 1 для линии тока и k— ± 2 для поперечной линии Маха, причем верхний знак относится к Г+-волне, а ниж- нижний—к Г_-волне. Подставим в равенство A10.03) выражения ха = аа — г о>а cos со — rg sin а>, g A10.04) которые получаются из A09.01) путем дифференцирования. Замечая, что функции x = a(a), j/ = &(a), представляющие на- начальную кривую, удовлетворяют равенствам A10.03), мы по- получаем t&Aa>a A10.05) и, интегрируя,- получаем id(j) r = r0 exp J ctg kAda A10.06) с произвольными значениями r0 и <*>0. Отметим, что А есть из- известная функция ш, а <о(а) задается. Для политропических га- газов согласно A08.14) получаем + Ctg А = уГ1 tg |а (ш — о)*), A10.07) ±ctg2A = ±— (ctg A — tgi4) — . ^ [^eip^-p ctg p («- Поэтому из A10.06) можно получить уравнение линий тока Г = RQos^~\ (со-со^) A10.08) и ~Т^~2 , ч . —г , ч AЮ.09) p(a> —o)sm p(co —ш) у
§ 111. ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ИЗГИБА ИЛИ УГЛА 263 т. е. уравнение поперечных линий Маха, с соответствующей постоянной R. Из равенств A10.08) и A10.09) можно сделать интересный вывод, а именно, что при стремлении к кавитации, <о—(о^ —> — JL 9 Как расстояние между линиями тока, так и рас- расстояния между поперечными линиями Маха неограниченно возрастают. Для линий тока в центрированной простой волне, где а = = 6 = 0, соотношения A10.05) допускают простое физическое истолкование. Мы отождествим параметр а вдоль линии тока с временем t. Тогда г = г есть радиальная скорость и а)а = а)— угловая скорость. Сравнивая A10.04) с A08.06), имеем в согласии со смыслом g и с — составляющих скорости в на- направлении прямой линии Маха в перпендикулярном напра- направлении. § 111. Течение вокруг изгиба или угла. Построение простых волн Одним из важнейших простых течений, которые могут быть представлены простой волной, является сверхзвуковое тече- течение вокруг изогнутой стенки или острого угла. Предположим (см. рис. 121), что течение приходит с постоянной скоростью д0 вдоль стенки, которая прямолинейна до точки Л, затем плавно изгибается вдоль отрезка К и продолжается прямоли- прямолинейно после точки В. Предположим далее, что в области, при- примыкающей к прямому участку стенки до А все величины в те- течении постоянны. Тогда возникает вопрос: как течение огибает угол? Или как течение продолжается вдоль изгиба К и вдоль прямой стенки после В? Если приходящее течение дозвуковое, то течение в задаче — потенциальное и управляется эллиптическим дифференциальным уравнением, решение которого в каждой точке зависит от граничных условий, даже в отдаленных точках границы. Но мы занимаемся случаем сверхзвукового течения. Тогда решение гораздо проще. Оно может быть получено соедине- соединением решений в трех областях, где оно имеет существенно различный аналитический характер. Имеются зона / постоянных значений в приходящем течении, простая волна, следуя кото- которой в зоне // течение поворачивает, и, наконец, зона /// тоже с постоянным течением, которое может быть или параллельно прямой стенке после В (если в простой волне осуществляется полный поворот, предписываемый стенкой), или может быть
264 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ зоной кавитации (если течение привело к расширению до ну- нулевой плотности прежде, чем осуществился поворот). Построим решение во всех подробностях. Во-первых, зона / постоянного течения оканчивается на линии Маха, являющейся характеристикой С^ или С^, образующей угол Ло, определен- определенный по sin Лп = A11.01) с направлением приходящего течения, т. е. с прямой частью стенки. Этот угол 'Ао известен, потому что задана скорость звука с0 в состоянии /. Течение начинает изменяться на одной Рис. 121. Обтекание изгиба, происходящее в простой волне разрежения. из двух возможных линий Маха, из которых одна наклонена вверх, а другая — вниз по течению. Сначала рассмотрим первую возможность, когда переход происходит по линии Маха С^ . Тогда прямые линии Маха суть С+- линии, и простая волна, прилегающая к постоянному течению, отвечает отрезку Г_ - волны, если, как это показано на рис. 122, угол Ь в направ- направлении течения уменьшается. При этом скорость течения, оче- очевидно, возрастает (см. рис. 122), а волна является волной разре- разрежения. Чтобы построить простую волну, мы должны только использовать то обстоятельство, что изогнутая часть стенки есть линия тока и в каждой точке Р на изгибе направление стенки совпадает с направлением течения. Известная скорость течения (ио> ^о) на маховской линии перехода С^ представляется точ- точкой в плоскости (и, v), через которую проходит Г_- характе- характеристика, отвечающая простой волне. Вдоль этой Г_- характе- характеристики и, v, q суть известные функции 6, следовательно, из- известны и с, Ау р и р на ней. Для политропических газов угол
§ 111. ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ИЗГИБА ИЛИ УГЛА 265- о) как функцию 6 можно определить, обратив формулы A08.02), в которых А есть заданная функция «> по A08.14), если за- задано (о*. Об этом будет сказано более подробно в § 116. Опишем здесь геометрическое построение для политропи- политропического газа. Проводим полную эпициклоидальную дугу Г_ Рис. 122. Построение простой волны раз- разрежения для обтекания изогнутой стенки. через точку (uOf vo) = (qo, 0) в плоскости (и, v), отвечающую* заданному начальному состоянию. Точка Аи расположенная на расстоянии q0 от О, отмечает начало А изгиба. Угол в точке О, стягиваемый дугой эпициклоиды SAU есть 6Ф = а^. Каждой точке Р на изгибе К соответствует точка Рг на Г_, лежащая на пересечении прямой ОРг, параллельной касательной к К в Р, т. е. направлению стенки, с линией Г_. Тогда прямая ли- линия Маха С+, проходящая через Р, будет перпендикулярна к направлению Г _ в Р{, т. е. параллельна к линии TPV где Т есть точка касания катящейся и неподвижной окружностей.
266 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Скорость q вдоль С+ параллельна линии ОРи и ее величина дается длиной ОРг. Если каждой точке Р на изгибе отвечает изображение Рх ша Г, то дуга А1В1 линии Г_ представляет неполную простую Рис. 123. Неполная центрированная простая волна (воздух, 7 = 1,4). волну, из которой течение идет после В параллельно прямой -стенке со скоростью, равной длине отрезка ОВг. Если, однако, изгиб слишком велик, т. е. если конец Вг А Луги Г, где Г касается предельной окружности д = д9 отвечает Рис. 124. Полная центрированная простая волна (воздух, f = 1,4). точке изгиба между Л и В, то простая волна заканчивается на линии Маха С+, проходящей через В, которая в этом слу- случае касается изгиба в В; после этой линии Маха следует кави- кавитация (см. § 109), и течение в зоне волны // асимптотически .принимает направление предельной линии Маха.
§ 112. ВОЛНЫ СЖАТИЯ 267 Применяя безразмерные величины—, —, ~~, ц, можно выполнить наше построение при помощи одной дуги эпицикло- эпициклоиды Г, зависящей только от ц. Графически выполнение этого построения (например, при помощи дуги Г, начерченной на прозрачной бумаге) совершенно очевидно. ^Все предшествующее рассмотрение относится к изгибу К, имеющему непрерывно поворачивающуюся касательную. Но все результаты можно перенести и на тот идеализированный случай, когда постепенный изгиб заменяется углом (рис. 123). Тогда течение идет вдоль стенки до К, а в К внезапно поворачивает в новом направлении. Поворот, разрывный в самой точке /С, в течении сглаживается в непрерывный поворот, происходя- происходящий плавно; его производит центрированная простая волна через которую проходит семейство характеристик С+, выходя- выходящих из общего центра К. Предыдущий анализ остается в силе, за исключением того, что угол, показывающий направление те- течения вдоль изгиба, теряет смысл. На рис. 124 показана пол- полная центрированная простая волна, в которую входит постоян- постоянный поток в направлении оси х через звуковую линию Маха, проходящую в направлении у, где в* ^= «^ = 0. На этом же рисунке показаны линии тока, прямые характеристики С+, вы- выходящие из центра, и криволинейные характеристики С_. Пол- Полная простая волна граничит с двух сторон с постоянными со- состояниями: одним — звукового течения и другим — кавитации. На рис. 123 показана неполная простая волна, граничащая с двумя постоянными течениями. Неполная волна отвечает сектору, начерченному жирными линиями, который вырезан из полной волны; состояния по обе стороны неполной волны — постоянные. В областях постоянного течения прямые линии Маха С+ параллельны, а продолженные поперечные линии Маха С_ являются параллельными прямыми, выходящими из области простой волны; те и другие пересекают линии тока под постоянным углом Маха. § 112. Волны сжатия. Течение в вогнутом углу и около выступа Простая волна, рассмотренная в предыдущем разделе, была волной разрежения вокруг изгиба стенки, направленного вы- пуклостью наружу. Но возможны и волны сжатия, тоже во- вокруг выпуклого угла или изгиба стенки, как это сразу видно, если, например, рассмотреть течение, получающееся при об- обращении волны разрежения (рис. 125). В предыдущих разде- разделах мы выбрали те решения дифференциальных уравнений,
268 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ которые дают волны разрежения вокруг К, и рассматривали ту ветвь эпициклоиды, исходящую из точки Ах в плоскости (и, v)y которая дает большие значения q1 = и2 + v2 и поэтому меньшие значения р и р. Но для заданного изгиба или угла мы с! Рис. 125. Простая волна разрежения (верх) и простая волна сжатия (середина), которые могут повернуть течение, имеющее ско- скорость q0 вокруг изгиба стенки /С могли с таким же успехом выбрать Г+-ветвь эпициклоиды, про- проходящую через точку в плоскости (#0, t>0) годографа, что от- отвечает уменьшению скорости q при уменьшении угла течения 6, а поэтому и возрастанию давления и плотности. Все наши рас- рассуждения и формулы остаются существенно теми же при вы- выборе дуги характеристики Г+, представляющей сжатие.
§ 112. ВОЛНЫ СЖАТИЯ 269 Для волн сжатия характеристики С_, вдоль которых остаются постоянными и, v, р, с, р, являются линиями Маха, наклонен- наклоненными не по течению, но против течения, как показано на рис. 125 (центр). Что произойдет в действительности при обтекании угла или изгиба стенки — возникнет волна сжатия или волна разреже- разрежения,— зависит, как будет объяснено в следующем разделе, от условий на других частях границы. До сих пор мы предполагали, что течение поворачивает вокруг выпуклого изгиба. Тем же способом можно рассмотреть случай, когда течение поворачивает в вогну- вогнутом изгибе. В я нормаль- нормальном и случае, когда пря- прямые линии Маха, исходя- исходящие из стенки, наклонены по течению, мы имеем волну сжатия; в „исклю- „исключительнома случае, когда прямые линии Маха, вы- выходящие из стенки, на- наклонены против течения, получается волна разре- разрежения. Такая исключи- исключительная волна разрежения рассматривается как обра- обраРис. 126. Простая волна сжатия (верх) и простая волна разрежения (низ), кото- которые поворачивают течение в вогнутом изгибе. щение некоторого „нор- „нормального* течения. От- Отметим, что в обоих слу- случаях прямые линии Маха в конце концов образуют огибающую, так что течение может описываться простой вол- волной только в окрестности стенки, тем меньшей, чем больше кривизна изгиба. Поэтому в предельном случае острого угла эта окрестность стягивается в самую вершину; и в любой, самой малой окрестности угла непрерывное течение невозможно. В общем случае появление огибающей или пересечение ха- характеристик показывает, что на некотором расстоянии от угла должен возникнуть разрыв. Мы рассмотрим течения в вогну- вогнутых углах или изгибах стенок в следующей части с помощью теории ударных волн. Весьма интересно течение около волнистой стенки, или вдоль стенки, прямой всюду, кроме одного „выступа". В нор- нормальном случае, как мы покажем в следующем параграфе, прямые линии Маха, исходящие из начала выступа, наклонены
270 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ вниз по течению. Если выступ имеет вид, показанный на рис. 127, то получающаяся простая волна есть сначала волна сжатия, потом волна разрежения и, наконец, опять волна^сжатия. Конечная скорость течения совпадает с начальной. § 113. Сверхзвуковое течение в двумерном канале Причины, по которым течение вокруг или внутри изгиба является при нормальных обстоятельствах простой волной, у которой прямые линии Маха наклонены вниз по течению (если смотреть от изгиба) становятся ясными, если рассматри- рассматривать такое течение, как предельный случай течения в канале, одна стенка которого отодвинута в бесконечность. Рассмотрим Рис. 127. Течение в простой волне около выступа прямой стенки. двумерный канал, ограниченный двумя- стенками, начинающи- начинающимися в виде прямых и параллельных линий, между которыми проходит постоянный сверхзвуковой поток со скоростью q0. Когда поток проходит мимо точек Р+ и Р__ на стенках, где на- начинается изгиб, он отклоняется от прямого направления. Чтобы определить, где каждая частица газа меняет свою скорость, надо начертить линии Маха, исходящие из точек Р+ и Р_, на- наклоненные по течению, т. е. С+-линию из точки Р, на правой стенке и С__-линию из точки Р__ на левой стенке. Каждая частица движется со скоростью q0, пока не встретит одну из этих двух линий „перехода"; это следует из единственности решения ги- гиперболических дифференциальных уравнений (см. § 24). После маховской линии перехода течение является простой волной по основной теореме гл. II, § 24. Поэтому должен возникнуть вполне определенный тип волны. Пусть теперь одна из стенок удаляется в бесконечность, тогда линия Маха на остающейся стенке будет наклонена по течению. Это и происходит при обычных условиях. Покажем ниже, при каких особых обстоятельствах прямые линии Маха наклонены против течения.
§ 113. СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ В ДВУМЕРНОМ КАНАЛЕ 271 На рис. 128 показано течение, в котором две маховские ли- линии перехода пересекаются внутри канала в точке Q. При этом возникают две простые волны W_ и W+. Продолжения линий Маха С+ и С_ внутри волн W__ и W+ соответственно являются поперечными линиями Маха для этих волн и пересе- пересекают стенки (если вообще пересекают) в точках R+ и /?_. Эта продолжение линии Маха ограничивает области простых волн. После них начинается процесс взаимодействия, который уже не приводит к простым волнам. Мы скажем больше о таких, процессах взаимодействия в следующем параграфе. Рас. 128. Сверхзвуковое течение Рис. 129. Сверхзвуковое течение в канале, в котором возникают про- простая волна разрежения и простая волна сжатия, граничащие с постоян- постоянным течением и имеющие прямые линии Маха, наклоненные по течению. в канале с одной простой волной разрежения и ее „отраженной" волной. Несколько иное течение происходит в том случае, когда одна из линий Маха, скажем С+, исходящая из точки Р+ в на. чале изгиба, встречает противоположную стенку в точке R, у где эта стенка еще прямая. Тогда эта линия Маха является единственной маховской линией перехода и возникает только одна зона простой волны (рис. 129). Эта область простой волны ограничена поперечной линией Маха, т. е. „отраженной" ли- линией перехода Маха, исходящей из точки R+, где линия пере- перехода Маха встречает противоположную стенку. Течение ниже „отраженной" линии Маха носит удобное, но не особенно пра- правильное название—„наложение приходящей и отраженной про- простых волн". Существует частный случай, когда отраженная волна исче- исчезает и течение ниже „отраженной" маховской линии остается простой волной. Это происходит, если в точке #+ на пересече- пересечении линии перехода Маха с противоположной стенкой эта по- последняя изгибается таким образом, что совпадает с линией тока в простой волне W,, продолжающейся в этом случае ниже
272 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ отраженной маховской линии перехода. Тогда продолжение течения является продолжением этой простой волны (рис. 130). Заметим, что это течение в простой волне, если рассматривать его с противоположной стен- стенки, имеет линии Маха, на- наклоненные против течения. Итак, мы видим, что такое течение возможно, но только при весьма особых усло- условиях. Руководствуясь свойст- свойствами простых волн, можно построить канал, который так изменит направление по- постоянного плоскопараллель- плоскопараллельного потока, что он преоб- преобразуется в другой поток с такими же свойствами, но при этом сожмется в поперечном сечении. Направление плоской стенки в точке R просто должно перейти в новое, нужное направление, а противоположная Рас. 130. Сверхзвуковое течение в ка- канале с одной простой волной разре- разрежения, для которой „отраженная" вол- волна исчезает. Рас. 131. Каналы, в которых сверх- сверхзвуковое параллельное течение, про- проходя через простые центрированные волны, становится звуковым тече- течением с другим направлением. Рис. 132. Конструкция выход- выходной ''секции канала, в котором спрямляется течение. стенка строится таким образом, чтобы образовывать линию тока наклоненной назад центрированной простой волны с цент- центром R (рис. 131). (Это построение играет решающую роль в сопле, предложенном Осватичем [146].)
§ 114. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОСТЫХ ВОЛН 273 Исключительно интересно построить такой конечный уча- участок двумерного канала, чтобы течение, входящее в него с надлежащим числом Маха, выходило в виде параллель- параллельного потока с постоянной скоростью. Решение этой за- задачи может быть найдено с помощью простых волн. Пусть канал подходит к точкам Л+ и Л_ соответственно на верх- верхней и нижней стенках. Число Маха на входе и форма сте- стенок выше этих точек определяют течение в области, огра- ограниченной линией Маха С_, проходящей через Л+, и линией Маха С+, проходящей через Л_, до их пересечения в точке О, как показано на рис. 132. Построим продолжение канала за А, и Л_ таким образом, чтобы конечная скорость тече- течения везде равнялась скорости течения q в точке О. Точнее, линии Маха С^ и Cl, проходящие через точку О, должны быть линиями перехода к постоянному параллельному потоку. Следовательно, эти линии Маха должны быть прямыми, и при- примыкающий к ним поток должен быть простой волной. Две по- поперечные линии Маха этих простых волн С_ известны вместе с распределением скорости течения, скорости звука, плотности и давления на них. Как было показано выше, в § 110, эти данные определяют простую волну. В частности, определяются линии тока, проходящие через точки Л+ и Л_. Вдоль них следует расположить стенки выходной части канала до точек В+ или ?__, где они пересекают прямые линии Маха С°+ и С°_, исходящие из точки О. Отсюда канал продолжается прямо, в направлении конечной скорости. Направление рассмотренного течения может быть обращено, и тем самым конструкция, служащая для спрямления двумер- двумерного потока, может служить для того, чтобы постепенно пре- превратить плоско-параллельный поток в поток другой формы без разрывов (см. также § 150). § 114. Взаимодействие простых волн. Отражение от твердой стенки Если взаимодействуют две простые волны / и //, например такие, которые исходят от противоположных стенок канала, то по аналогии с взаимодействием двух нестационарных волн раз- разрежения следует ожидать положения, подобного тому, которое показано на рис. 133 (см. §82 гл. III). Здесь должна существовать ^область взаимодействия ///, ограниченная характеристическим ^четырехугольником. Пусть две стороны канала имеют два корот- коротких изгиба и потом продолжаются прямолинейно; тогда из зоны 18 Р. Курант и К. Фридрихе
274 ГЛ. IV. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ проникновения исходят опять две простые волны: /' и //'. Если известны две взаимодействующие волны / и //, то исходящие волны /' и //' могут быть легко найдены без решения диффе- дифференциальных уравнений в зоне проникновения, т. е. мы можем Рис. 133. Взаимодействие двух центрированных про- простых волн, показывающее область проникновения III. определить волны /' и IV по рис. 133 (или по соответствующим аналитическим соотношениям), найдя характеристические дуги Г или и и v как функции угла 6 направления прямых линий Маха. Пусть в области 0 мы имеем постоянную сверхзвуковую скорость и0, и0, например uo = qo> c%, vQ = 0. Тогда волны / и // представляются в плоскости годографа дугами эпициклоид ¦0—7 и 0—2. Волны /' и //' тоже представляются дугами эпи-
§ 115. СТРУИ 275 циклоид, 2—3 и 2—3, пересечение которых определяет точку <?, представляющую конечное состояние газа после того, как частицы прошли через обе волны. Результат отражения от твердой стенки просто отве- отвечает взаимодействию двух симметрич