МГУ
им.
М.В.Ломоносова
институт
МЕХАНИКИ
НАУЧНЫК ТРУДЫ
№ 25
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
В. Я. Ш К АДОВ
Издательство Московского университета - 1973

(С)- Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова, 1973
НАУЧНЫЕ ТРУДЫ № 25
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Шкадов Виктор Яковлевич
Корректор Л.Н. Победоносцева
Подписано к печати 8/Х 1973 г. Л - 56315
Формат 70x108 1/16 Объем 16,8 усл.п.л. Тираж ЗОО экз.
Заказ 928 Цена 1р.55к.
Печатается по решению Редакционного совета института
Отпечатано на ротапринте Института механики МГУ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Методы и результаты теории гидродинамической устойчивости часто
применяются в технических приложениях и научных исследованиях для
объяснения и описания ряда важных явлений в потоках. Научная
литература, затрагивающая эти вопросы, обширна, однако работ с изложением
методов решения задач и систематическим изложением результатов
имеется немного. Особенно мало отражены задачи нелинейной теории
гидродинамической устойчивости.
В данной работе излагаются некоторые задачи, связанные, главным
образом, с нелинейной теорией устойчивости. Работа не претендует на
исчерпывающую полноту в этой области, она ограничивается вопросами,
которыми занимался автор. По большей части рассмотренные задачи
связаны с теми идеями, которые высказывались академиком Г.И.
Петровым и обсуждались на семинарах кафедры и отдела аэромеханики
механико-математического факультета МГУ.
Решение нелинейных задач вызывает принципиальные и технические
трудности. Как правило, в точной постановке они поддаются лишь
численному решению с использованием' ЭВМ. Однако численные результаты
трудно представить конечными соотношениями, удобными для применения.
Поэтому наряду с численными решениями в заданной работе автор
стремился получить решения в конечном виде, применяя приближенные
методы. В этом отношении большие возможности открывают прямые методы,
которые в задачах устойчивости впервые применил и обосновал
Г.И. Петров. Расчеты на ЭВМ применяются для уточнения и проверки
результатов, а также в тех случаях, когда не удается получить простое
решение в конечной форме.
В первой главе изложены основные методы решения задачи на
собственные значения для уравнения Орра-Зоммерфельда. Здесь
рассмотрены основные факты линейной теории устойчивости течений с
поверхностью раздела и внутренних течений. Главы вторая - четвертая посвящены
нелинейной теории. В этих главах исследуется образование нелинейных
волн в тонких слоях вязкой жидкости, нелинейное развитие волн и
образование капель в тонких струях, а также развитие возмущений в
течениях Пуазейля и Куэтта.
Значительное внимание уделяется нелинейному взаимодействию
возмущений и определению преимущественных частот и длин волн. Некоторые
результаты являются новыми и публикуются впервые.
j.btop выражает глубокую благодарность Г.И. Петрову за внимание
к работе и ценные советы. При прочтении рукописи и обсуждении
отдельных вопросов ряд ценных замечаний высказали А.Г. Куликовский,
А.А. Зайцев. В решении некоторых задач участвовали С.Я. Герценштейн,
Л.П. Холпанов, Л.В. Филянд, М.П. Маркова. Всем этим товарищам
автор выражает большую признательность и благодарность.
3

ГЛАВА 1
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Основные уравнения и постановка задач об устойчивости
стационарного течения
Течение вязкой несжимаемой жидкости описывается системой
уравнений Новье-Стокса и уравнением неразрывности
3v + (vV)v = - grad р + —д\/, d i v v = 0.
Bt Re (i.i)
Уравнения (1.1) записаны в ортогональной декартовой системе
координат х , у , z ; V. - вектор скорости жидкости с проекциями и ,
v, w, p - давление, t - время. Все переменные в (1.1)
приведены к безразмерному виду, в качестве масштаба скорости выбрана
характерная скорость UQ , а в качестве масштаба длины -
характерная длина < . Уравнения (1.1) содержат один безразмерный
параметр - число Рейнольдса
U 1
Re = _°_ .
V
Каждое конкретное течение определяется еще соответствующими
граничными и начальными условиями. Если течение стационарное, то
должны быть заданы только граничные условия. Пусть V ( X , у , z ) ,
Р ( х,у , z ) обозначает некоторое стационарное решение системы (1.1).
Это решение соответствует динамически возможному ламинарному
течению жидкости. Однако в действительности при заданных граничных
условиях такое течение необязательно будет наблюдаться в эксперименте
или в природе . Более того, если число Рейнольдса Re достаточно
велико, то стационарное течение вообще не может реализоваться ; опыт
показывает, что в этом случае будет иметь место более сложное
турбулентное течение, которое характеризуется беспорядочными пульсациями
всех характеристик потока. Для того, чтобы стационарное течение могло
реализоваться, оно должно обладать свойством устойчивости к малым
возмущениям, которые всегда имеются в реальных условиях в любом
потоке. Опыт показывает, что течение может быть устойчивым только
4

при достаточно малых значениях числа Рейнольдса. Оно теряет это
свойство и становится неустойчивым при достижении критического
значения Re, . Определение Re, составляет одну из основных задач
теории гидродинамической устойчивости.
Рассмотрим решение системы (1.1), представляющее сумму
стационарного решения и малой нестационарной части;
v = V(x,y,z) + v'(x,y,z,t),
р = P(x,y,z) + р1 (x,y,z,t) (1.2)
Величины v , p будем считать возмущениями исходного
стационарного решения. Зададим эти величины в начальный момент времени. Если
-> i i
с возрастанием времени v , р уменьшаются во всем поле течения, то
исходное течение устойчиво, в противном случае будем называть его
неустойчивым. Предположим, что можно пренебречь произведениями
величин со штрихами. Подставляя (1.2) в уравнения (1.1) и отбрасывая
нелинейные члены, получим следующие уравнения:
—» t .
°1 +(VV)v+(vV)V = - grad р + --ду-
at Re '
d i v v = 0 .
(1.3)
(штрихи опускаем).
Граничные условия для возмущений v , p можно получить
линеаризацией соответствующих исходных граничных условий задачи. В
частности, на твердых неподвижных поверхностях из условий прилипания полу-
—>
чаем v = 0.
1. Баланс энергии возмущений. Умножим первое уравнение (1.3)
—»
на v и преобразуем получающееся выражение с помощью уравнения
неразрывное та
1 di|l_ + v(vV)v _[( ^+( ^+(__^
2 dt Re Эх Эу Ъг
—• 1 ~*, —* 2 1 1 -* 2i
= div(-pv- - V v + - — gradlvl )
2 2 Re ' '
5

Предположим, что течение ограничено твердыми стенками или его
можно считать периодическим по тем координатам, относительно
которых оно является неограниченным. Проинтегрируем полученное
соотношение по всей области течения, причем в случае периодичности
интегрирование по соответствующей переменной распространим на один период.
По формуле Остроградского-Гаусса интеграл от правой части можно
свести к интегралу по поверхности. В обоих рассматриваемых случаях этот
интеграл обратится в нуль ; в результате получим уравнение для
кинетической энергии возмущения
Д. -Э / |V|2dQ = - J v(vV)Vdn--f Л(^)2+(^)2 +
1 3t П П Re Q Эх Эу
+(--]2]dQ.
(1.4)
Если в уравнениях (1.3) сохранить нелинейные члены, то также
получится соотношение (1.4), и в этом смысле это соотношение является
точным. Полная энергия возмущения изменяется только в результате
взаимодействия возмущений с основным течением и вследствие действия
вязкости. Возрастание этой энергии может быть обусловлено лишь
первым членом в правой части (1.4), который связан с обменом энергией
между основным течением и полем возмущений. Второй член в правой
части (1.4), характеризующий диссипацию энергии возмущений силами
вязкости, всегда отрицателен. Полная энергия возмущений может
возрастать, если в основном течении имеются достаточно большие
градиенты скорости и число Рейнольдса настолько велико, чтобы вязкая
диссипация энергии оставалась малой.
Уравнение (1.4) отчетливо показывает основные физические причины,
обусловливающие неустойчивость течения.
Задача с начальными данными о развитии во времени произвольного
малого начального возмущения наиболее соответствует по постановке
рассматриваемой физической проблеме. О неустойчивости течения можно
было бы судить по характеру изменения полной энергии возмущений
2
J I v I d П . Однако получение решений этой задачи связано с боль-
а *
шими трудностями, и методов решения ее в общем случае не
существует Г б] .С другой стороны, как показал Г.И. Петров [8] , если
рассматривать произвольные поля возмущений и определять знак
производной от энергии по времени на основе формулы (1.4), то
определяемые таким образом значения Re в принципе не могут быть доста-
k
точно точными. Поэтому при исследовании устойчивости обычно ограни-
6

чиваются рассмотрением частных решений уравнений (1.3),
соответствующих возмущениям конкретного вида. В случае плоскопараллельных
течений наибольшее распространение получил метод малых колебаний.
2. Метод малых колебаний. Предположим, что основное течение
имеет только одну ненулевую компоненту скорости, которая зависит от
переменной У, U = U ( у ) , V = О, W ~" 0 . В этом случае
коэффициенты уравнения для возмущений (1.3) будут зависеть только от
У , поэтому можно искать частное решение;
v --- v(y)exp i£,
р = р (у)ехр i<f , (1.5)
£ - ах + /?z - ait .
Подставляя (1.5) в (1.3), получим следующие уравнения для
амплитудных функций:
i a ( LI-С ) U+U.' V =-iap+J- (и " -у и)
Re
1 2
ia(U-c)v =-p'+~ (V'.-y V) ,
ia(U-c)w =-i/3p + -1-(w"-y2w) ,
Re
iau+ i/3w + v' = 0 f
(1.6)
2 _ 2 2
в которых принято обозначение у - а +/3 , ш = a • С
Введем новую переменную и соотношением
U - aU + /?W .
Тогда уравнение неразрывности примет вид
I U + V
I
(1.7)

Умножая первое уравнение на а , третье на /3 , складывая,
получим
1
!a(U-c)u +aU'v =-iy2p + --(ii'-'-y2u - )
I Re | I
(1.8)
Продифференцируем (1.8) по у и подставим и из (1.7) и р' из
второго уравнения (1.6), тогда придем к следующему уравнение»
(vlv- 2yZv"+y%) = ia Re[(U-c) (v"-y2v)-u"v]
(1.9)
Формально можно рассмотреть в (1.9) любую функцию U(y) , однако,
по смыслу вывода U ( у ) должна удовлетворять исходным
уравнениям (1.1). Это ограничивает применимость уравнения (1.9). Имеется
несколько важных частных случаев, в которых U (у ) удовлетворяет
(1.1) точно или приближенно. В случае внутренних течений в плоском
канале, стенки которого расположены при у =±1 , имеем течение
Пуазейля
U(y) = 1 - у2 (1ЛО)
или течение Куэтта
U(y) = у. (1Л1)
Из условий прилипания получаем граничные условия для v
v = 0, *' = 0, (у =±1).
(1.12)
Течение в пограничном слое на плоской пластине не является строго
параллельным, однако зависимость от продольной координаты х
оказывается слабой [ 4 ] . Если характерный масштаб возмущения по х
(длина волны) порядка толщины слоя, то этой зависимостью можно
пренебречь. Профиль скорости в пограничном слое имеет вид
И," = U^f (77),
где U - скорость во внешнем течении, т? - у. ^ гт~
СО I V Л '
8

f (rj) определяется из уравнения Блазиуса
f»' + | ff". = 0 (1.13)
и удовлетворяет условиям
ПО) = 0, f'(0) = 0, f'-l, у- -о» .
I
(1.14)
Здесь U , у - размерные физические величины. Вместо
асимптотического условия (1.13) можно приближенно поставить условие на
конечном расстоянии от стенки
f" = 1, (У- = S) . (1.14')
I
Толщина пограничного слоя S является до определенной степени
величиной условной ; если принять 8 = 8,8 li* , то f ' (v) можно
и,
рассчитать с семью верными знаками.
Выберем в качестве масштабных величин толщину пограничного слоя
1 = 8 и скорость во внешнем течении (J = U Тогда для скорости
основного течения получаем
U(y) = f (yS J Uco ) ^ (1.15)
VX
С приближением к внешней границе слоя U" .-* 0 , поэтому уравнение
(1.9) переходит в уравнение с постоянными коэффициентами, затухающее
решение которого имеет вид:
v = Аехр(-8у)+Вехр(-уу),
о-2 = r2+ia Re(U-c) ,
а > 0
г
Если число Рейнольде а велико, можно принять е X р ( а у ) = п
и граничные условия для v ( у ) примут вид
v = о, ■ v *= о, (у = о);
(Lie)
V +av- = 0 , (у =11.
9

Второе условие (1.16), строго говоря, должно выполняться при
у ~* °° .
Подобным образом можно рассмотреть и другие профили скорости в
пограничном слое, например, автомодельные профили или приближенные
профили в виде многочленов, применяемые в интегральном методе
решения [ 4 ] .
Обычно в выражениях (1.5) а > Р считаются заданными
действительными величинами. Этими выражениями вводятся периодические по
х и z решения (1.9), удовлетворяющие соответствующим граничным
условиям. Поскольку уравнение и граничные условия для возмущений
однородные, нетривиальные решения v (у ) могут существовать только
при определенных значениях (собственных значениях) числа с = с + i с
г
Если С . > 0 , то амплитуда возмущения (1.5) будет возрастать с
течением времени как е X р С , t , и течение оказывается неустойчивым.
Если с . < 0 возмущения затухают, а при с . =0 получаем случай
нейтральных возмущений, который разделяет области устойчивости и
неустойчивости. Критическим числом Рейнольдса называется наименьшее
число Re , при котором с обращается в нуль,
k i
Положим /3=0, что соответствует двумерным возмущениям.
Тогда (1.9) перейдет в уравнение Орра-Зоммерфельда
V-2a у"+аЦу-!а Re ( ( U-C ) ( V " -a2 v ) + у " v] = g. ^'^
При /3/0 возмущения являются трехмерными, однако легко показать,
что этот случай можно свести к , двумерному, в самом деле, введем
новое число Рейнольдса в (1.9)
у Re = a Re
I
Тогда уравнение (1.9) полностью совпадает с уравнением Орра-Зоммер-
фельда, если заменить в (1.17) Re на Re ■ и а на у .
Таким образом, собственные значения с t вычисленные для двумерных
возмущений при значениях параметров Re , у можно применить и к
трехмерному случаю, но соответствовать они будут другому волновому
числу и другому числу Рейнольдса. Так как всегда у > а ПРИ ,в / 0,
то Re > Rе " поэтому критическое число Рейнольдса для трехмерных
возмущений (1.5^ будет больше, чем для двумерных. В этом состоит
теорема Сквайра [ 12 ] , позволяющая при исследовании устойчивости в ряде
случаев ограничивать класс рассматриваемых возмущений.
Возмущения, которые определяются при заданных действительных
значениях a , /3, . оказываются растущими или затухающими по времени.
Возможен также другой подход, при котором разыскиваются
пространственно растущие возмущения. Зададим действительную величину со »
тогда выражения (1.5) будут периодическими функциями времени. В
уравнении (1.17) будем считать а неизвестным параметром. Собственные
IO

значения а , при которых существует нетривиальное решение
однородной краевой задачи для v (у) , в общем случае будут комплексными
% - а + i а . . Действительная часть а определяет длину
волны возмущения по X , а мнимая часть показывает, затухает или
увеличивается амплитуда возмущения с ростом X .
Если при некотором числе Рейнольдса получаются малые значения
I ' а | то оба подхода оказываются эквивалентными, и
пространственно растущие и временно растущие возмущения можно связать
простыми соотношениями [13] . Предположим, что в (1.5) fi ~ 0, а,
со - комплексные величины, связанные зависимостью
F(a,co) = О, (1.19)
Если (1.19) определяет аналитическую функцию со - со ( а) , то
будут выполняться уравнения Коши-Римана.*
(1.20)
О , индексом 2
- значения а , со при со. = о и рассмотрим состояния, для
которых а - const, а В ~ малые величины одинакового порядка:
г . i i
, , _ ^ 1 Интегрируя (1.20) по а. ,
а. а ^со. /со - со << I. ' i '
i r i ' r m
получим
со ~ со
г| и « ""' ' (1.21)
7 Ъсо
со
Ъсо 3&>. Ъсо
__т_ - 1 £
За Ъа. Ъа,
Г 1 1
индексом 1 значения со,
-
а
Ъсо
- L
Ъа
г
при а.
о
Л
а-г
I
0
u,j2
+ /
0
Ъсо
с
Ъа „
г
Ъсо.
i
За
da .
da
Из первого равенства (1.21) с учетом принятых допущений следует
и учитывая (1.20), найдем
Ъсо
— 2 г
«„. - со + о(а> ) . Разлагая в ряд Тэйлера
Г| ri m 3a „
Э^„ Эа> Э а).
__1 = (__!) - ( 1
Эа Эа Эа2
г г * г
a -a J +
i L
(1.22)
где а - некоторое промежуточное значение a . , 0<a <a
i
Подставляя (1.22) во второе равенство (1.21), получим
12
^ + о (о,2) (1-23)
a .„ Эа «л
i2 r
11

Значение производной в правой части (1.23) можно взять в любой точке
интервала [ 0 , а ■ „ ] с ошибкой порядка 0 ( &>2 ) ■
Подобным образом в случае, когда (1.19) определяет аналитическую
функцию а - а. [со) , можно рассмотреть состояния ш r~ const
о
и получить формулу, отличающуюся от (1.23) членами О [ш )
Формула (1.23) дает соотношение между коэффициентами усиления
пространственно растущих и растущих по времени возмущений. По опре—
делению w . =<х с . , ——— = U ж есть групповая ско -
I г i Э а г г р
рость волн, поэтому (1.23) можно записать, опуская индексы в виде
ас. = а U (1.24)
r i i гр •
Это соотношение выполняется лишь вблизи нейтральной кривой при
малых а . , С . .
Возмущения, определяемые формулами (1.5), соответствуют частным
решениям краевой задачи. Течение можно считать неустойчивым, если
обнаруживается хотя бы одно такое пространственно растущее иди расту-»-
щее по времени решение. Устойчивость течения доказать труднее, так
для этого надо рассмотреть все возможные решения. Строгое
обоснование метода линеаризации в задаче об устойчивости стационарного
течения дано в [ 14 ] . Течение устойчиво, если все собственные числа
q = с r + i с соответствующей линейной задачи лежат в нижней
полуплоскости.
Течение, устойчивое в линейной постановке, может оказаться
неустойчивым к возмущениям с конечной амплитудой. В таких случаях
неустойчивость можно обнаружить только в нелинейной постановке.
§ 2. Методы решения линейной задачи
Исследование вопроса об устойчивости стационарного
плоскопараллельного течения относительно возмущений частного вида (1.5) сводится к
нахождению нетривиальных решений однородного уравнения Орра-Зоммер-
фельда (1.17) или более общего уравнения (1.9) с однородными
краевыми условиями. Решение этой задачи представляет определенные
трудности, которые в течение длительного времени не позволяли получать
надежные результаты, несмотря на усилия многих исследователей (см.
обзор в [ 5] ). Эти трудности связаны с наличием малого параметра при
старшей производной, так как обычно приходится рассматривать числа
Рейнольдса порядка Ю'3 и выше, а также с тем, что необходимо
решать краевую задачу на собственные значения для уравнения высокого
порядка. Их удается преодолеть только при использовании численных
методов и современной вычислительной техники.
1. Прямой метод. Прямой метод Бубнова-Галеркина в задаче о
гидродинамической устойчивости был применен в работе Г.И. Петрова
Ю , в которой дано обобщение и обоснование этого метода.
Перепишем уравнение (1.17) в виде;
12

L(v) + cM(v) = 0
L(v) = (iaRe) ' (v'V-2a2v' '+аЦу)-и(у"-а2у) + .и".у,
II 2
(2.1)
M(v) = (v" -a\)
Выберем полную систему координатных функций У ( ( У ) > Tj'У ^ ' •""
и представим решение уравнения (2.1) в форме суммы
N
vM(y) = 2 a.yjy) (2.2)
N k=, к k
с неизвестными коэффициентами а, . Суммирование распространяется
здесь на N первых координатных функций,, поэтому v обозначает
решение в N -м приближении. Для получения точного решения требуется,
чтобы N — оо , однако практически достаточно хорошее решение можно
получить при конечных, часто небольших значениях N . Для удобства
будем предполагать, что функции у (у ) удовлетворяют граничным
условиям задачи, - этого всегда можно добиться без ограничения
общности. Подставим (2.2) в (2.1) и потребуем, чтобы левая часть уравнения
(2.1) после подстановки в нее у была ортогональна первым N
функциям некоторой полной системы ф ~ (у) , ф (у),... В частном
случае можно принять ф (у) = у ( у ^Условия ортогональности
Ь
/ [L(v) + cM(v )]ф dy = О
N N к
о
дают N уравнений для коэффициентов а.
(2.3)
N
2-{А, +сВ }а = о , , %
k=| k, n к, п к ' (2.4)
к, п = 1,2, ... , N.
Здесь д f В обозначают интегралы
к,п к,п
Ь Ь
А = / L(9 )Ф dy, В = J M(y )Ф dy
к,п а к п к,п а к п •
Интегрирование распространяется по всему отрезку, на котором ищется
решение задачи. Теперь задача сведена к решению линейной однородной
системы уравнений (2.4) с матрицей коэффициентов Д + сВ
k,n k,n
Такая система либо не имеет ни одного решения, либо имеет
бесконечное множество решений. Для того, чтобы существовали ненулевые решвг
13

ния, определитель матрицы должен обращаться в нуль. Таким образом,
для определения с получаем
|А +сВ | = о
k,n k,n
- уравнение N -й степени относительно с , из которого можно
определить N собственных значений с k . При каждом с к можно
разрешить систему (2.4) и выразить все а через один коэффициент,
например, а , значение которого можно задать произвольно. После
этого по формуле (2.2) определяем соответствующую собственную
функцию v . . Определение собственных чисел матрицы и коэффициентов
разложения (2.2) может быть проведено любым подходящим методом
теории систем линейных алгебраических уравнений. Наиболее важный вопрос
при использовании прямого метода заключается в оценке ошибки. Если с
ростом N разность между точным и приближенным решением
стремится к нулю, то важно установить, какое минимальное число N
должно быть взято, чтобы была обеспечена нужная точность. В ряде
случаев можно найти теоретические оценки ошибки [ 11] .
При конкретном расчете скорость сходимости, а следовательно, и
величину ошибки решения, можно оценить путем сравнения нескольких
последовательных приближений. В связи с этим большое значение имеет
выбор базисных функций. При удачном выборе у достаточную точность
можно получить уже в 1-м, 2-м приближении (как, например, в задаче
об устойчивости течения в слое вязкой жидкости). Для этого у (у)
должны учитывать определенные характерные особенности задачи.
Применим прямой метод к исследованию устойчивости
плоскопараллельного течения Пуазейля. В этом случае уравнение (1.17) должно быть
решено с граничными условиями (1.12), профиль скорости основного
течения задается формулой (1.Ю). Уравнение и граничные условия
позволяют рассмотреть два независимых случая - симметричное и
несимметричное решение относительно оси уг0 -В первом из них для
представления решения следует использовать только четные координатные
функции, во втором только нечетные.
Базисные функции построим с помощью многочленов Чебышева [15] ,
определяемых соотношением
Т (у) = cos(n arc Cos у) (2.5)
при целых неотрицательных п . Многочлены Т„(у)
соотношению ортогональности
( 0, m / п
I Т.(У)Т (у)(1-у2) *dy = {-U, m = n
_! п m 2
77 ГП = П
На отрезке (-1,1) они образуют полную систему. Положим:
удовлетворяют
/ 0 <2-6)
= О
14

\ = Т2(к+,)-(к+1)2 Т2+(к2+2к)Т<
К = т2к + 3- i (к2+3к + 2)тз+ 1 (к2+3к)т(; <2-7>
к = 1,2,3, ■•■
Б силу того, что для Тп выполняются равенства Тп (+ 1 ) - ( ±1 ) ,
Т (±1)~(±1) п при всех п , функции срк , cuk ,
определенные соотношениями (2.7), удовлетворяют граничным условиям (1.12),
причем ф четные, ср* - нечетные на отрезке (-1,1). Поэтому функ-
к к
ции ф ( у ) , со * 1 ч можно принять в качестве базисных для по-
строения симметричного и несимметричного решения соответственно.
В качестве системы функций ф ( у ) удобно взять (1 - у z ) г ф (у),
п п '
чтобы при вычислении интегралов в уравнениях (2.3) использовать
соотношение ортогональности (2.6).
Более удобным в данном случае оказывается разложение
непосредственно по полиномам Чебышева, Будем искать симметричное решение
задачи в форме
2N
ум(У) = s anTJ^, (2-8)
N п = о n n '
где суммирование распространяется по четным значениям индекса .
Подставим (2.8) в (2.1) и проведем разложение левой части уравнения
по полиномам Чебышева. Приравнивая нулю выражения при различных
Т , получим уравнения для определения а . Процедура
разложения эквивалентна вычислению интегралов (2.3), в которых
ф ~(1-у* ) Т, однако технически ее легче осуществить
[15] .В результате получаются следующие уравнения:
2N
-'- Z [p3 (p2-4)2-3n2p5^3n%3~pn2 (n-4)2]a -
г» Р---Н» р
пи
Г ■ §{ [2aV+4(4-4c-b -b )]p(p2-n2)
P^n+2 h n-'
15

-Ь p[p2-(n + 2)2]-d p[pz-(n-2)N>a +
n-2
+4(n-l)a +{a^+4S[(l-c)a2-2]}b a -
n n n
■a28[b -a - +b (b +b ,)a +b a ] = 0.
n-2 n-2 n n n-l n n. n + 2
(2.9)
Здесь s = ,M iaRe> bk = 0( если k<0, bQ = 2,
b =1 если к>0, dk = 0
, если к<о, d =1 t
к > 0, n = 0,2,4, 2(N-2) •
Граничные условия (1.12) дают;
2N 2N
2 а,
n = 0
2 п'аг
n= 0
0 .
если
(2.9' )
Для определения N + 1 коэффициентов разложения (2.8) имеем
систему из N + 1 уравнений, которая включает N~l уравнений (2.9)
и 2 уравнения (2.9').
Рассмотрение несимметричного решения проводится аналогично. В
выражениях (2.8), (2.9), (2.9') сумма должна быть взята по нечетным
значениям индекса от п = 1 ДО п = 2 N +1. в системе уравнений
(2,9), (2.9') п также принимает нечетные значения п = 1,3, ... ,
2 N - 3-
Рассмотрим некоторые результаты численного исследования спектра
собственных чисел системы (2.9), (2.9') в различных приближениях. В
таблице (1.1)"даны значения первого собственного числа для
симметричной моды при a = 1, Re - 10 000.
Таблица 1.1
N+1
14
20
26
50
0.23713751
0.23752676
0.23752648
0.23752649
с
+
+
+
+
0,00563644 i
0,00373427 i
0,00373967 i j
0,00373967 i
16

Собственное число не меняется, начиная с 26 приближения. Это число
можно считать собственным значением краевой задачи (1.17), (1.12) с
точностью до 8 десятичных знаков. Как показывает численный
эксперимент, чтобы добиться такой точности, решение системы (2.9) надо
проводить с точностью до Ю для уменьшения ошибок округления. При
эасчете следующих собственных чисел спектра ошибки возрастают,
поэтому важно вычислить первые собственные числа с определенным за-
гасом по точности. В таблице 1.2 даются первые 7 собственных чисел,
расположенных в порядке уменьшения с j . , вычисленные для
симметричных и несимметричных мод при а ~ I - Re = Ю 000.
Таблица 1.2
:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
мода
сим.
несим.
сим.
несим.
несим.
сим.
несим.
0.23752649
0.96463092
0.96464251
0.27720434
0.93631654
0.93635178
0.9079830В
с
+
—
-
-
-
-
в
О.СЮ373967 1
0.03516728 |
0.03518658 |
0.05089873 |
0.063201Ю I
0,06326157 |
0.09122274 1
Неустойчивой является лишь первая симметричная мода, которой
соответствует первое собственное число. Все остальные собственные
числа имеют отрицательные мнимые части, поэтому соответствующие им
возмущения со временем затухают. Отметим две особенности спектра
собственных чисел. Возмущенна можно разделить на быстрые и
медленные. Для быстрых фазовая скорость порядка максимальной скорости
жидкости, для медленных - порядка 1/3 от этой скорости. Быстрые
моды частью оказываются почти вырожденными: их собственные числа
мало различаются, например, несимметричная вторая и симметричная
третья мода, несимметричная пятая и симметричная шестая.
Перебирая Re, а, можно найти точку Re, a , в которой
' к к *
с . = о °РИ наименьшем возможном числе Рейнольдса. Эти критические
значения параметров равны:
Rek = 5772,22;
a = I , 02 056 ;
Ck = 0,2 64 00 174.
17

В разложения (2.8) координатные функции были выбраны без вязкой
свази с уравнением (1.5), поэтому сходимость достигается при
достаточно большом N . Если при выборе координатных функций учесть
заранее некоторые свойства решения, сходимость можно ускорить.
В рассмотренном примере коэффициенты системы уравнения (2.4)
удалось выразить в конечном виде. В общем случае, особенно для более
сложных профилей скорости U (у ) это оказывается не всегда
возможным, поэтому интегралы, входящие в коэффициенты (2.4), приходится
определять численным методом. Примеры применения прямого метода к
исследованию устойчивости содержатся в. 117] , [16] , [41]
2. Метод конечных разностей. Метод конечных разностей к
исследованию гидродинамической устойчивости применил Томас [ 18 ]
В его работе рассматривалась краевая задача (1.17), (1.Ю), (1.12),
которую удобно записать в следующем виде;-,
(D2-a2)l = ia Re[(U-c)(D2-a2 )2v-D2U]v
v = о, Dv = о, (2.Ю)
(У = ±D-
Полученные в [18] результаты внесли ясность в решение вопроса
о неустойчивости течения Пуазейля относительно возмущений в форме
бегущих волн (1.5). Точные численные решения (с точностью до
ошибок аппроксимации и округления, которые можно оценить) подтвердили
вывод приближенной асимптотической теории [ 23] о наличии
неустойчивых возмущений и позволили оценить критическое число Рейнольде а.
Достоинством метода является возможность получить не только
собственные числа, но и собственные функции.
Рассмотрим на отрезке (-1,1) 2 N + 1 расчетных точек у 0 ,
v у равноудаленных друг от друга, так что расстояние
''''''2ГГ
между двумя соседними точками будет составлять h - I / N ■
Заменим дифференциальную задачу (2ЛО) конечноразностной, в которой
решение сводится к расчету значений функции v ( у ) в расчетных
точках. Для замены производных конечными разностями применим
формулы повышенной точности.
Операторы дифференцирования D , D2 , \)3 , D4 можно ВЬ1Разить
[ 22 ] посредством рядов :
D = l/h[^4 s2^S,+P 8"Ь8)-...].
п2 _ /h2r82-J_ 8И-'- §6+...] ,
D - 1/h L* 12 90 (2.Ц)
D3 = l/h3[S2U8)-4 SM^Sl+.-.l ,
D* = (DM •
18

Представим также v в виде ряда
v = (1 + К 82 + К 8Ц+. ..)д. (2.12)
I. 2
с неизвестными коэффициентами К , которые подберем так, чтобы
сделать ошибку аппроксимации наименьшей. В выражениях (2.11), (2.12)
приняты обозначения;
S2f(y) = f(y+h)-2f(y)+f(y-h),
/i8f(y) =-~[f(y+h)-f(y-hJ].
1 (2.13)
Соотношением (2.12) ьместо v вводится новая искомая функция g .
Выразим с помощью (2.12) производные функции v через
производные функции g ;
(2.14)
Dv = l/h[MS-(k -i)Ms3+(_l_ . I (k +k jj^sB
1 6 3 0 6 12
D2v = l/h2[S2+(k --'- )^+(-- " — k- +
112 90121
k2)^6+...]g
D4v -- l/h4[S4 + (k,- -)se+...]g#
1 6
Выберем в (2.14) k и k так, чтобы коэффициенты при S6
обращались в нуль в выражениях для [)2у Q^v , Легко видеть, что
к = - к " - Отбросим в (2.14) все степени 8 и
I 6 ' 2 3 60"
21 с. ПРИ m > 2 ' К1 > включающие более пяти точек ; теперь
окончательные формулы для у » производных v будут иметь вид ;
1 -. 2 1
1' b 360 19 *
Dv ■- (l/h)/i8gfO(h4) , (2Л5)
D2v (1 h2)(s2+ -'- S*)g + 0(h6) ,
I 2
19

D\ = (l/hMsVolhM.
Все производные в (2.15) выражены через центральные разности
значений функции g в пяти точках с точностью до величин порядка
О ( h I f a D g с точностью 0 ( h ) . Если применить центральные
разности непосредственно к v , то точность аппроксимации по пяти
точкам составляла бы 0(h^ ) Для дифференциальных операторов D,D
и 0 ( h ) для D^ , D^ .♦ В этом заключается основное преимущество
перехода к функции g с помощью соотношения (2.12). Пользуясь
конечно-разностными представлениями (2.15), запишем исходные
уравнения (2>Ю) в каждой расчетной точке, в результате получим 2N + 1
алгебраических уравнений вида
(Ao+V2+V4)9 = ° • {2Л6)
Здесь приняты обозначения .'
А0 = 2-(l-y2)a2+ca2+ieat/
А2 = l-y2-C+ie2(-2a2), (2.17)
Ац =. 'е , е~2 = aRe
Граничные условия на стенках (приУ~±1 ) в соответствии с (2.15)
примут вид: ,. -,
'6 8 + 360
<1+i §2+ 360 S4)9 = 0,
(2.18)
AtSg = 0.
Эти условия записаны с точностью до членов 0 ( h^ ) .
Ограничимся рассмотрением симметричных возмущений. Тогда на
оси симметрии у = 0 будем иметь условия :
/^Sg = 0, Д§3д = 0, (2.19)
Эти условия являются точными в силу предположения о симметричности.
Теперь расчет можно проводить в N + 1 точках у , у ",..., у .
Для того чтобы составить центральные разности в точках у у
и У и _ 11 , Ум требуется ввести еще 4 расчетные точки вне
интервала интегрирования У, , у ." и у и . , у и . Поэтому общее
число неизвестных v (у. ) составит N + 5. Для определения их
получаем систему N + 5 линейных алгебраических однородных уравнений
(2.16), (2.18)* заменяя 82д^ /xSg, S ^ д по формулам (2.13)
N + 5
kf, Akivk = 0. 1 ■= 1,2,..., N + 5. {2<20)
Матрица системы (2.20) является пятидиагональной. Каждый элемент ее
можно представить в виде A|<l=akl+C':)|<i
20

где
1 к I и b к | не зависят от с . Собственное число с надо
подобрать так, чтобы однородная задача имела ненулевое решение. Для
k I
О
этого должен обращаться в нуль определитель системы А |А
Поиск собственного числа и расчет vk удобно проводить методом
прогонки. Прямой прогонкой исходная пятидиагональная матрица
приводится к виду
1 Р Q
о Yo
0 р, о,
1 Р У
N"2 YN 2
! PN ,
м
Здесь константа Л' / о -Задавшись некоторым начальным значением
с ,. вычисляем коэффициенты прогонки Р. , Q и получаем /->'Л,
после чего подбираем С
Со,С
так, чтобы выполнялось
равенство /'Д о • Подбор С можно проводить автоматически по
формулам линейной интерполяции. Собственная функция находится по
формулам обратной прогонки; она определяется с точностью до постоянного
множителя.
В работе I 18 | решение задачи проводилось с наименьшим шагом
h 0,01. В таблице 1.3 показано, как завис:ит точность первого
собственного числа С от количества шагов при ,, | t f^e \q Q00.
Таблица 1.3
25
50
75
ICO
0,2376559
0,2375006
0,2375196
0,2375243
О,ОО16981
0,0035925
0,0037115
0,0037312
Как показывает сравнение с таблицей 1.1, при ЮО расчетных точках
получается решение с 5 десятичными верными знаками. В таблице 1.4
представлена собственная функция, соответствующая этому собственному
21

числу, вычисленная с шагом h = 0,01.
Таблица 1.4
- У
о
од
02
о,з
0,4
0,5
V
О
0,99187 + 0,000064
0,967255 + 0.000268
0,925497 + 0.000584
0,865417 +0,001050
0,785190 + 0.001662
-У
О.б
0,7
0.8
0,9
0,93
0,95
0.682046
0,551578
0,384105
0,166567
0,099519
0,058235
V
+
+
+
+
+
+
0.002430
0.003346
0,004017
0,018982
0,022424
0,019744
Критические значения параметров, вычисленные в [18]
интерполяцией» составляют R © |< ~ 5780, а ^ - 1.026.
Точность определения собственного числа с определяется
ошибками аппроксимации и ошибками округления при численном решении
системы (2.20). Ошибка аппроксимации уменьшается с увеличением N ,
однако, при этом возрастает порядок системы (2.20) и увеличивается
количество операций, необходимых для ее решения.
Так же, как в прямом методе, можно повысить точность при
заданном числе расчетных точек, если ввести переменную сетку. Собственная
функция наиболее сильно изменяется вблизи стенки у = ~1, поэтому
шаг интегрирования должен быть здесь меньше, чем вблизи оси у = О
Введем локальное растяжение координат
у = f (s) . (2.21)
Функция f (s) должна растягивать окрестность точки у = -Г . Если в
уравнении и в граничных условиях перейти к новой независимой
переменной s , то можно ввести равномерную по s сетку и обобщить
формулы перехода к конечно-разностной системе (2.20), как это сделано в
[ 19 ] . Рассмотрим функцию f(s) = as + bs3 + ds5,
коэффициенты а , b , d определим из условий f ( -1) - 1, f ' ( -1) = е ,
f' (0)=а. Если принять е=0,25, а = 1,53 , то в новой
переменной окрестность у = -1 растягивается примерно в два раза. Как
показывает сравнение расчетов с данными [ 18 ] , можно получить
собственные числа с четырьмя совпадающими знаками, если счет по S вести
с 25 точками, а счет по У со lOO точками. На рис. 1.1. показаны
кривые постоянных значений с, в плоскости a.., R е 1/3, вычисленные
с 25 расчетными точками. На рис. 1.2, 1.3 даются собственные
функции в нескольких случаях.
22

ев
as
ач
02.
i 1 i 1_
V« 2S 35 MS
65 fii'U
Рис. 1Л
10
V
as
(\&L
iCVi
f-
Vx^^
Rt*fOOOO
-10
-as
Рис. 1.2
23

i.0
V
as
Л,*ь
J L_
за и j/
-/--
VlyS
- -
4.0
-as
Рис. 1.3
Применим метод конечных разностей к исследованию устойчивости
пограничного слоя на плоской пластине. Пользуясь асимптотическим
представлением решения v В ехр (-ау ) вдали от стенки, запишем
дополнительно к (1.16) условие
V +a°V
О,
(2.22)
У
Перенесем начало отсчета у на внешнюю границу слоя.
Предположим, что на этой границе выполняются (2.22) и второе условие (1.16) >.
Тогда полная система граничных условий принимает вид;
О, v О, (у -1)
I a V
О,
(2.23)
v I a v
О,
Таким образом, необходимо найти решение уравнения (2.Ю) с
граничными условиями (2.23). Эта задача вполне аналогична рассмотренной
задаче о вычислении первого неустойчивого симметричного возмущения
в плоском канале. Различие в том , что в граничных уело -
виях при У 0 добавляются члены <>v и a^v . При переходе
к конечным разностям получим вместо (2.19)
fihg ! nh (l i
1
360
ч4
о
(2.23 )
24

2 3 3
Ь jj. 8 g t a h ( H
1
360
Кроме этого, отличается также профиль основной скорости. Из (1.15)
получаем
(2.24)
U (у) - f L (у '1)Ч,Х] '
Решение начинаем с интегрирования уравнения (1.13) с граничными
условиями (1.14) и определения U(y) по формуле (2.24). После^этого
вычисляем коэффициенты уравнений (2.16) по формулам (2.17) и
составляем систему (2.16), (2.18), (2.23). Решение системы и подбор с<6бствен-
ного числа проводится так же, как в случае течения Пуазейля.
На рис. 1.4 дается пример
расчета собственной функции при
Re 42 0, а -"0.36
(
характерный масштаб длины
Ь 1,72 ^
'-'ии ).
Собственное число в этом случае равно
0.42017
0.00656 i
3. Асимптотический метод.
Асимптотический метод применяется
в теории гидродинамической
устойчивости давно. С его помощью Гейзен-
берг | 24] впервые показал, что
плоское течение Пуазейля
неустойчиво, а Толлмин [ 25] провел
расчеты неустойчивых возмущений для
течения в пограничном слое.
Математическая теория метода содержит
ряд тонкостей, разъяснение которых было дано в книге Линя [ 23 ] .
Многочисленные примеры применения метода содержатся в [ 26 ] .
Так как уравнение (1.17) линейное, общее решение его можно
представить в виде суммы четырех линейно-независимых частных решений
Рис. 1.4
Av
lv +Cv i Dv
2 3 1
(2.24)
с произвольными константами
А,
С , D из которых одну можно
задать произвольно. Для того чтобы найти фундаментальную систему
решений v >vo'Vo'Vn < воспользуемся тем, что уравнение (1.17)
содержит малый параметр ь ( xRe ) (предполагаем, что aRe>>l ).
Будем искать решения в виде рядов:
25

и ■ .2
i " Ф Г В '<' ' ь Ф ~
к Yo ■ | Y2
(2.25)
\ " (fo+--&f +. . . )exp[i,^Q(y
у
О (У) "- J ■ М (U-c)]J'dy .
Ус
(2.26)
Коэффициенты разложений (2.25) ц, , f являются функциями у
Ограничимся в (2.25) первым членом разложения, допуская ошибку
порядка е . Из (1.17) получаем уравнение Релея
(U--c) (ф"~а ф) ~ U\ "- 0 (2.27)
(индекс ° опущен). Уравнение (2.27) определяет развитие возмущений
в идеальной жидкости. Роль вязкости проявляется в этом уравнении
неявно через профиль основной скорости U ( у ) , который формируется
под действием вязкости. Решим уравнение (2.27) разложением в ряд по
степеням а , в результате получим два решения уравнения (1.17)."
V, - (U- C)(h0fa2h^a4^+ . ..) ,
(2.28)
v
(U-C ) (k +а2к +а1+[< i '.-. . ) .
2 13 5
(2.29)
Здесь приняты обозначения :
h = 1, h = I (U-c)2[ J (U-x)2h (y)dyldy,
2n+2 0 0 2n
У dy у "о У
K. -{IU-"c|' ' k— ^ i 1U"C' ' I 'U
-c )2k (У )dy]dy .
' 2 n + I
Ограничимся в (2.26) также первым членом разложения, допуская
ошибку порядка , . Подставляя (2.27) в (1.17) и отбрасывания члены
порядка ;. найдем
26

5 М
f (U- с]
о
Таким образом, получаем еще два частных решения уравнения (1.17)
5 /1 - I / 2 У I / 2 ,
у (U- с) ехр{ !-к. ' j [ i (U- с) 1 dy) . (2.Ю)
3 .4
До сих пор выкладки имели формальный характер, однако, теперь можно
отметить, что решения (2.28), (2.30) имеют особую точку у , в ко-
с
торой
U (у ) - с 0 (2.31)
с
, так как можно показать ' 23^ , что при достаточно большом п
При каждом фиксированном У . У с ряды в (2.28) сходятся при любом
. так как можно показать ' 23J . ..
А
их члены мажорируются членами ряда 2 п I При у "-" у второе
решение (2.28) имеет логарифмическую особенность, а решения (2.30)
имеют алгебраическую точку ветвления. В связи с этим возникает
вопрос о выборе пути интегрирования при переходе через точку У ~ У
Чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим более подробно решение
уравнения ( 1.17) в окрестности у .
Введем новую независимую переменную
v ~ Y У° , , (U-aRe) ,/3 (2-32)
1 i I с
и представим решение уравнения (1.17) в виде ряда
v
х.ш-.-х; <-)'> Jx;(4
(2.33)
Предположим, что U с , U " также можно представить в виде
разложений по степеням > | . Ограничимся в (2.33) первым членом,
допуская ошибку порядка ( . Подставляя (2.32), (2.33) в (1.17) и
учитывая (2.31), получим уравнение (индекс о опускаем)
iy. ' V,: 0 - (2.34)
27

Четыре линейно независимых решения уравнения (2.34) имеют вид '
(2.35)
7,1 Х2
г r- (l) 2 3/2
\ ~- f <*v .1 М Н Г - ( i77) ]<*v
00 m ' Ч 3
ш. .... (2) 2 3/,
Хц " J eh _Н ,7 Н ; [ - ( iii) 2]d^
- m -co '33
и (I) H(2)
Здесь |/о ' | А - функции Бесселя порядка 1/3 первого и второго
рода. Для представления поведения этих решений с удалением от точки
У У можно воспользоваться асимптотическими представлениями
функций Бесселя при больших г) . В [ 23] показано, что первые
члены разложений для х совпадают с решениями v v *. при
этом аргумент тт. должен удовлетворять условию
' 7 77- / 6 < а г g 77 < 7f / 6 .
В окрестности у а г g v совпадает с arg (у- у t поэтому
с с J >
при интегрировании вдоль вещественной оси комплексной у плоскости
в (2.28), (2.30) точку у надо обходить в нижней полуплоскости.
Так как хч ' X 4?и возрастании -q переходят в v , v то
в качестве системы фундаментальных решений можно использовать
также функции v , , v„ ,y , Хн ■ Последние две из них лучше учитывают
влияние вязкости, чем v3 . va .
Обратимся теперь к расчету собственных чисел, используя
фундаментальную систему частных решений. В качестве примера рассмотрим
пограничный слой. В этом случае решение (2.24) должно удовлетворять
условиям (1.16). Так как v - ™ при У ~* «> , a v(y) должно
быть ограничено, то [>N^. • Для А , В, С получаем из (1.16)"
Av;(0)fAv (O)fCv (0)
1 2 з
Av' (0) +-BV (OhCV (0) - О -
1 2 з (2.36)
AL(Vj )(BL(v2)fCL(v3) 0
28

L(vk ) ~- v^ (lj+av (1) . <2-36>
Функция v (у ) быстро убывает с ростом у , поэтому в (2.36) можно
принять L ( v ) = 0 . Необходимым и достаточным условием
существования нетривиального решения системы (2.36) является обращение в нуль
определителя. Из этого условия получаем
v3(o) = v, (o)L.(v2 )-v2 (o)L(v, ) (2 3?)
v'(o) v'"("o)"l("v ):v'(o)L(v-| "
3 12 2 1
Пользуясь выражениями (2.28) для v| ' v2 > найдем
v- (о) = -с, vj (о) -" U' (о) , v2 (о) о .
V (о) --с" ' .
2
Введем обозначение z r U'cl_(v )/L(v ), U' = U ■ (о) ипе-
0 2 I о
репишем уравнение (2.37)
(2.37')
1 V3 (о) С 2
Левая часть уравнения (2.37 ) может быть представлена в виде
F J: F (w) + i F. (w) , w - у в"1
r i с
X, I"*) (2.38)
F(w) - - - s
w x'(-w) .
3
Для функции F(w) составлены подробные таблицы [26]. Чтобы
вычислить правую часть (2.37), предположим, что а2<<1 , поэтому в
решениях (2.28) можно отбросить члены порядка а2 . Тогда будем иметь
-I -2 ' 2
z --- 1Гс[а (1-е) + / (U-c) Zdy]. (2.39)
о
Интеграл вычислим с помощью разложения в окрестности критической
точки
29

U-сГ2 = (U'^ny-yJ-2.,,»,,,, ,-«,„_„ .-"l n (2.40)
с
с
и (UM (у-у )-'+...] ,
С С J с
Интеграл от второго слагаемого имеет при у = у логарифмическую
особенность. В соответствии с правилом обхода этой точки aig(y-y )
при переходе от положительных значений У~УС к отрицательным
изменится от О до - 7Т . Следовательно, этот интеграл дает 1 п (у-у )
при у > у и 1 п ( у - у ) - i 7г ПРИ У У • Учитывая два первых
с
с
члена в (2.40), получим
U"
z = U'c[- ---— - -го + % ( 1 п —с_ -77-J }J2.39')
0 а(1-с)2 и/ (1-ус)ус UJ3 1-ус
Запишем правую часть (2.37 ) в виде Е - Е + i E . . Если
рассматривать действительные значения с , соответствующие
нейтральной кривой, то для заданного профиля скорости Е будет функцией
параметров с , а . Уравнение (2.38) сводится к двум уравнениям для
с • а
Ег(с,а) = Fr, Е. (с,а) = F. .
Метод графического решения этих уравнений и построения нейтральной
кривой был разработан Толлмином i 25 j .В результате расчетов
были получены следующие значения критических параметров *.
Re = 420, а = 0,37, с = 0,42, ш = 0,15 .
к
г
Масштабные величины здесь 1 = S и =11* Вычисления асимптотическим
, и 0 *
методом являются приближенными, так как на разных этапах вывода
уравнений (2.40) делается целый ряд допущений. Общая схема расчета
по этому методу не позволяет получить точное решение, но допускает
возможность определенных уточнений. В частности, в некоторых работах
получены поправки к результатам Толлмина, однако, различие оказывается
не принципиальным.
Асимптотическим методом в [ 20 ] дано также строгое
доказательство неустойчивости течения Пуазейля.
4. Методы сведения к задаче Коши. Отыскание собственных
чисел в методе малых колебаний сводится к краевой задаче для уравнения
Орра-Зоммерфельда. В рассмотренных примерах течения в плоском
канале и пограничном слое по два краевых условия задавались при у - о
и у = 1 .
Рассмотрим следующую схему решения краевой задачи сведением ее
к задаче с начальными условиями (задаче Коши).
ЗО

Выберем 4 линейно-независимых комбинации начальных данных i,o! .
v ' (о ) , v " ( о ) , v'" ( о ) и путем численного интегрирования уравнения
получим соответствующие им 4 линейно-независимых частных решения
v (У ) . Тогда можно составить общее решение с произвольными по-
k
стоянными
k= | k k . (2.41)
Для определения ak составим 4 однородных уравнения на основе
граничных условий. Приравнивая нулю определитель этой системы,
найдем собственное число с , затем выразим 3 константы через
одну и по (2.41) определим собственную функцию с точностью до
постоянного множителя. Такая схема решения наиболее соответствует
использованию ЭВМ. Для численного решения задачи с начальными условиями
имеются стандартные методы, в первую очередь, метод Рунге-Кутта и
соответствующие стандартные программы.
Формально так действовать можно, однако реализовать эту схему при
больших значениях °е практически трудно. Причина заключается в
том, что фундаментальная система решений (2.25), (2.26) в числе
других включает быстрорастущее решение. Сильное различие решений по
степени роста приводит к тому, что при достаточно большом Re это
частное решение подавляет остальные, например, из-за неизбежных
ошибок округления.
Было предложено несколько алгоритмов, позволяющих обходить эту
трудность. Рассмотрим здесь два из них.
В методе Каплана [ 27 ] быстрорастущее решение находится
численно заранее, а затем используется для того, что подправить решение.
Рассмотрим для определенности задачу об устойчивости пограничного
слоя. Необходимо найти решение уравнения Орра-Зоммерфельда
v
IV ? » 4
2а V fa v-iaRe[ (U-c) ( V "-a2 v ) - U" V ] = 0 , (2.42)
затухающее при у -со и удовлетворяющее при у = 0 условиям
v =■ 0, v ' = 0 - (2.43)
Решение будем строить на отрезке от О до 1 (в качестве масштаба
длины применяется толщина пограничного слоя). Интегрирование
уравнения (2.42) будем вести от точки у = 1 с шагом S у < 0 постоянным
или переменным. Разобьем отрезок (l.O) на п + 1 частей точками
1 » У > У 0 > • • ■ • У -В точках у будем проводить корректировку
решения.
Представим решение (2.42) как сумму четырех решений
v - I A.ep i y
i
(2.44)
3?

Так как коэффициенты исходного уравнения (2.42) являются функциями
у , то А . , р . будут также функциями У . Приближенно эти
функции можно заменить кусочно-постоянными на интервалах (У, , У, ] •
Действительно, если на интервале А, от у, до У,
к к к + I
величины U, U" изменяются слабо, то (2.42) аппроксимируется
уравнением с постоянными коэффициентами. Тогда показатели экспонент р .
находятся как корни уравнения
(U-c) (p2-a2)-U" ---i (aRe)4(p2-a2)2. (2.45)
При больших числах Re корни имеют следующее приближенное
выражение
U" I / I /
P." ? = ±(a2 + U:c) 2> Р = [l*Re(U-c)] 2 (2-46)
1 > 2 и 3 Д
Коэффициенты А; легко выразить через значения функции и ее
производных, полученные численным интегрированием. Для этого надо
приравнять численные значения v , v , v " , v'" и выражения для этих
величин, которые следуют из (2.44), в некоторой точке интервала А к ■
Это дает четыре уравнения для четырех величин A i . От интервала к
интервалу величины Aj > Р| будут изменяться. Как следует из (2.46),
быстрорастущая часть решения (2.44) при перемещении от точки у-1
к точке у г 0 связана с Рц , поэтому, если требуется исключить
быстрорастущую часть, надо положить А = 0.
Предположим, что мы строим численно интегральную кривую
уравнения (2.42) от произвольно заданных начальных данных. Тогда в
некоторой точке у можно пренебречь членами с д - i д в выражениях
для старших производных; 2
[V
V
v3V3y+v*eV
V" =-■ Aopde d +А р е ц
з з ч ч
Исключая отсюда А , получим выражение для А
А^ = 2~ (v'-p3v ) (р^ ) e . (2.47)
Обратимся теперь к построению частных решений. Так как условиям
затухания при у— °° удовлетворяют лишь решения, соответствующие
р и р , то следует найти два частных решения уравнения (2.42).
Первое из них построить очень легко. Положим А -А ~Д О,
I 2 3
Д = р при у - 1 , тогда численным интегрированием от у - \ к
У - дполучим быстрорастущее решение v . Для того/чтобы не про-
32

исходило переполнения при счете, величину р можно выбрать
достаточно малой.
Для построения второго частного решения применим корректировку
в точках у , цель которой заключается в том, чтобы исключить
быстрорастущую часть. По существу это решение v составим из
отдельных кусков v„ на интервалах А^ . На каждом интервале
решение будем строить численно методом Рунге-Кутта. Положим на
первом интервале А 2 = 1 , A( ~A3 = A,,=0 и найдем v ' ( у ) .
Теперь составим комбинацию
v ~ v' f a v - (2.48)
2 11
и коэффициент а , подберем так, чтобы А для решения v было
нулем в точке v - . Тогда должно быть
у I
a =-(A)v-/(A)v'
I ц 1 14 2 •
где А определяется по формулам (2.47) для решений v и v
4 I 2
в точке у .По формуле (2.48) вычислим начальные данные v
v ', v" , v'" в точке у " и построим решение v на
отрезке от У | до У £ , а затем повторим процедуру исключения Д на
этом интервале. Продолжая этот процесс от интервала к интервалу,
получим решение v (у ) , состоящее из частей v , v , vn
2 2 2 ' " " ' 2 "
Построенное решение, вообще говоря, терпит разрывы в точках у
Однако вследствие того, что обычно а невелики, эти разрывы
также невелики.
После того как найдены два частных решения, можно обратиться к
граничным условиям на стенке (2.43). Составим линейную комбинацию
v = v + av которая также является решением исходного
уравнения. Подберем а так, чтобы удовлетворялось первое условие
(2.43), тогда для производной на стенке получим
V - (V',"V|V2/V2) I У = 0 . (2.49)
Теперь остается так подобрать с , чтобы выражение (2.49)
обращалось в нуль. Этот подбор осуществляется многократным
интегрированием от У = 1 ДО у -: 0 .
На рис. 1.5 показаны кривые равных значений с , с . ■
рассчитанные для профиля Блазиуса улучшенным методом ортоганализации, в
котором также используется основная идея изложенного метода.
Метод работы [ 28 ] также основан на умении находить
быстрорастущее решение и последующем исключении этого быстрорастущего
решения. Это исключение проводится аналитически, при этом порядок
уравнения понижается,и оно становится нелинейным, что,однако,не
играет существенной роли при численном интегрировании.
33

QJO
/<?' 2
W 2
5 Re 10я
Рис 1.5
Рассмотрим задачу (1.17), (1ЛО), (1.12) об устойчивости к
симметричным возмущениям течения Пуазейля в плоском канале, записав
ее в виде;
v " -a v
(2.50)
0".-a2£/-iaRe(U-c)0f iaRelPv - 0;
0, V" - 0 , (у -• 0) ;
v = 0, V = 0, (у = 1
(2.51)
Введем вместо v и в две новые функции q ( f ;
vq = v' , vf = 0 , (2-52)
Проводя дифференцирование (2.52) и подставляя в (2.50), получим
уравнения для q i т :
f-q2+a2
(2.53)
2 .
f " + 2f 'q +f - iaRe(U-c) f t ia.ReU" " 0,
34

Будем интегрировать эту систему от у 0 • Из (2,51), (2.52)
следует, что
q = О, f -" 0, (у "-О). (2-54)
Начальное значение f ( 0) можно, вообще говоря, выбрать
произвольно. Система (2.53) при больших значениях a Re в окрестности
у - 0 имеет решение f - iaRe(U~c) с точностью до членов
порядка (aRe)~'.OHo соответствует быстрорастущему решению исходных
уравнений (2.50). Для этого решения начальным условием будет
f(0) - i «.Re (1-е). (2.54')
Таким образом, интегрируя систему (2.53) с начальными условиями
(2.54), (2.54' ), получим быстрорастущее решение. Решения с другими
начальными данными, отличными от (2.54'), являются неустойчивыми,
поэтому при интегрировании от таких данных также происходит переход
на это решение.
Обозначим получаемое таким образом решение через у •
Используем его, чтобы понизить порядок системы (2.50), для этого положим
у w у w
V =v,{ v; 6У' в - (\ ( V,- dy + *- (2.55)
Соотношениями (2.55) вводятся две новые искомые функции W, ф.
Дифференцируя (2.55) и подставляя в уравнения (2.50), получим для
них уравнения :
w'+ wq = ф
г (2.56)
ф'ч-2 wf' + [ f-iaRe(U-c J-а ]<р -- 0.
В окрестности у 0Решение второго уравнения (2.56) будет близко
выражению С exp(iy)+C exp(-ay) которое содержит
быстрорастущую часть при больших a • Сделаем еще одну замену переменных,
после чего получим систему уравнений первого порядка. Положив
W' w, фф - ф'^ (2.57)
найдем из (2.56) следующие уравнения*
Ф' - 1-0 (q + ф),
(2.58)
• ф' = -<i»2-20f+a2 + f+iaRe(u-c).
Для функций Ф , 1' легко получаем из (2.51) с учетом формул
перехода (2.52), (2.57) следующие начальные условия
Ф = 0, ф = 0, (у = 0), (2.59)
а также условия на стенке
35

ф
(2.60)
Теперь задача сводится к многократному интегрированию уравнений
(2.53), (2.58) с начальными условиями (2.54), (2.54' ), (2.59) от оси
у = 0 к стенке у = О И подбору с = у + i с . таким образом, чтобы
удовлетворялось условие (2.60). '
Этот метод может быть легко запрограммирован. Он позволяет
достаточно быстро вычислять собственные значения, хотя вычисление
собственных функций наталкивается на определенные трудности.
В работе [30| для расчета собственных функций проводился
переход к исходной системе (2.50), которая интегрировалась при
вычисленном собственном числе. Критические значения параметров ^е =
= 5772,221,ck = 0,2640003,ak = i,020548, .
полученные в этой работе изложенным методом, с точностью до 5 знаков
совпадают с результатами расчета прямым методом.
О QZ ОМ
Of6
-OZ J
Сс
о Ч -
-Об.
-о,8-
%
2-3
,-*•*
Л
&
&
S3
7\
с,
г 1,0
Обобщение метода на другие
течения с симметричным и
несимметричным профилем
скорости содержится в [ 29 ] , [30 ]
На рис. 1.8 даны некоторые
результаты расчетов устойчивости
плоскопараллельнрго течения
Куэтта. Они подтверждают
общий вывод об устойчивости
этого течения к бесконечно
малым возмущениям
рассматриваемого вида. Строгое
доказательство этого факта дано в
[ 42 ] .
Рис. 1.8
§ 3. Неустойчивость течений в следах и струях
В задачах об устойчивости течений в каналах и в пограничном слое,
которые рассматривались в § 2, существенную роль играли вязкие
члены уравнения Орра-Зоммерфельда. Сложность расчета собственных
чисел и собственных функций в значительной степени связана с
необходимостью правильного учета этих членов, которые будучи малыми,
играют тем не менее существенную роль в окрестности критического
слоя У = у и вблизи стенки. В этих случаях механизм
неустойчивости связан с действием вязкости. Волновые возмущения в таких
задачах иногда называют волнами Толлмина-Шлихтинга.
Существуют также течения, в которых неустойчивость создается
действием других физических механизмов. Рассмотрим здесь более
подробно неустойчивость течений однородной жидкости в следах и
струях и неустойчивость в течениях с поверхностью раздела, связанную с
образованием поверхностных волн. На рис. 1.7 показаны типичные
профили основной скорости U ( у ) в струе, вытекающей из отверстия в
36

неподвижную жидкость, в следе за обтекаемым телом и в слое
смешения, разделяющем два равномерных потока. Из экспериментов хорошо
известно, что такие течения неустойчивы, причем развитие возмущений
может вызывать явления двух типов. Прежде всего, при достаточно
больших значениях Re осуществляется переход от ламинарной формы
течения к турбулентной. Этот переход связан с порождением поля беспоря -
дочных пульсационных составляющих скорости и давления, заимствующих
энергии среднего течения, и проявляется он в заметном изменении
основных характеристик потока - профиля средней скорости и ширины
струи или следа. Кроме того, могут развиваться мощные упорядоченные
колебания, которые в следе за обтекаемым телом проявляются в
образовании вихревой дорожки с чередующимися вихрями. Модель перехода
малых неустойчивых колебаний к крупномасштабным вихрям была впервые
предложена Г. И. Петровым [ 7 ] . Крупномасштабные упорядоченные
вихри могут существовать также и в области турбулентного течения
Изображенные на рис. 1.7
профили обладают одним общим
свойством - каждый из них
имеет одну или две точки перегиба.
Это обстоятельство является
существенным для проявления
в таких течениях механизма
невязкой неустойчивости.
1. Невязкая неустойчивость.
Отбросим в (1.17) вязкие члены
порядка 1 /aRe, тогда получим
уравнение Релея:
Рис. 1.7
L(v
U-с
-а2 V
-U"v
О
(3.1)
Релей доказал [ 31 ] для этого уравнения два общих утверждения,
которые' имеют большое значение при исследовании устойчивости. Рассмотрим
решение (3.1) на полупрямой 0<у<°° с условиями
(3.2)
v = 0, (у = 0, у-<ю).
Предположим, что при у— оо скорость U(y) стремится-к постоянной
величине, тогда U"-0 i поэтому из (3.1) найдем v~Ae~ay,
А = const, а >0•
L(v)
Введем наряду с L^i v ) =уГ~~ комплексно-сопряженный оператор
1..М, который получается заменой всех комплексных величин в (3.1)
на комплексно-сопряженные, составим выражения Ч ( ~VL ( v ) +
+ vL " (v ) , q - vL (v )-vL (v)
I 2 I | и
проинтегрируем q , q в пределах от О до <» . Так как v
экспоненциально убывает, то интегрирование законно. В силу (3.1) будем
иметь q " 0, q ~ 0 Учитывая условие (3.2), получим следующие
37

соотношения
03
U"(U-cr) _
/ q.dy = -2 / [У'7'На2-а2+--Т~---Г2-)^^У
о
• (3.3)
I
U"c
Г q dy = - 2i / [2a a , vv + -.;—-,--- vv]dy .
Первое утверждение заключается в том, что если вторая производная
скорости основного течения U " не меняет знак, то в случае
нейтральных колебаний ( с . = о , a . = 0 ) внутри слоя жидкости имеется точка,
в которой скорость распространения волн нейтрального колебания
совпадает со скоростью основного течения. Действительно, предположим, что
cr>llXJ тогда U"(U-cr) >Q поэтому под знаком первого
интеграла (3.3) будет стоять положительная величина, и он не может
обратится в нуль. Следовательно, должна существовать критическая точка
ус , в которой 1)-с~0. Решение (3.1) в окрестности УГУС
имеет особенность
v ~ UJMU;) ln(y-yc)
которую удается устранить только после того, как в уравнении
учитывается вязкость. Существование вязкой неустойчивости было связано
именно с наличием этой особенности.
Второе утверждение состоит в том, что если (3.1) имеет решение с
нарастающими по времени колебаниями (а ■ ~ о , с . > о ) , то профиль
скорости имеет точку перегиба (J " - о .
В самом деле, если a j о , то под знаком второго интеграла
(3.3) будет стоять величина U" [ (U~C ) 2 + с? ]"^знак которой совпадает
со знаком U" . Поэтому интеграл может обратиться в нуль, если (J"
меняет в некоторой точке знак и внутри области интегрирования
принимает положительные и отрицательные значения. Этим утверждением
устанавливается, что наличие точки перегиба профиля скорости является
необходимым условием для существования неустойчивости. Как показал
Толлмин [ 25 ] , в ряде случаев это условие является также
достаточным. В частности, это справедливо для профилей в следах и струях,
показанных на рис. 1.7.
Если профиль скорости основного течения симметричный, то могут
существовать два решения уравнения (3.1), затухающие при y-^l00
- симметричное и антисимметричное. Для этих решений должны
выполняться условия соответственно j
у = о), v-o (у-«>), (3,4)
38

О (у::0) , v - 0 (у-*) - (3.4')
Легко показать, что если v решение задачи (3.1), (3.4) или (3.4 ),
а с - собственное значение, то решением будет так же и у~ , a q -
собственным значением. Поэтому признаком невязкой неустойчивости
является с j J о . Рассмотрим несколько примеров.
Пусть профиль скорости задан формулой
U -" (ch у)
2. (3.5)
Для того, чтобы исследовать задачу при произвольных « ,
необходимо применить численный метод. Запишем (3.1) в виде системы двух
уравнений первого порядка :
2 -',.. (3.6)
ГаМ1Г (U-C) ]V.
Численное интегрирование начнем от точки у у . в которой скорость
U близка, к постоянной и можно принять асимптотическое выражение
v А ехр(-ау) « Начальные значения для системы (3.6) будут;
v - А ехр (-ау ) , w ---«.v
О 0 0 0
(3.7)
Интегрирование проводим в направлении к точке у - о методом Рунге
Кутта или другим численным методом . Собственное число с
подбирается таким образом, чтобы при у - о удовлетворялись условия
^3.4) или (3.4'). Если с ./о , то знаменатель в (3.6) не обращается
в нуль, и интегрирование легко выполняется. В таблице 1.5 даются
результаты расчетов, проведенных для этого случая [ 43 ] .
Два первых и два последних столбца с , с ■ соответствуют
симметричным решениям, промежуточные столбцы - несимметричным
решениям. Видно, что симметричные возмущения существуют при ска<2 ,
несимметричные - при 0_< а< 1 .
Краевая задача (3.4), (3.4 ) для профиля скорости (3.5) имеет два
точных решения, соответствующих нейтральным колебаниям :
1 2
V ch2y ' " " 2' С ' 3» (3.8)
39

thy
, 9 , о, - ± , u -
cn^y 3
1, с = -. (3-8')
Таблица 1.5
a
O.l
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
l.O
cr
0.086
0.166
0.229
0.280
0.923
0.362
0.424
0.475
ci
0.216
0.257
0.267
0.263
0.252
0.236
O.l 98
O.l 59
с
r
0.889
0.826
0.780
0.745
0.729
О.ЮО
0.66
с .
i
О.Ю4
0.121
О.И9
О.Ю8
0.092
0.074
О
a
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Cr
0.520
0.559
0.597
0.632
0.667
ci
ОЛ21
0.085
0.053
0.024
О
Эти решения получаются в крайних точках интервалов неустойчивости
по а • Формулы (3.8), (3.8' ) можно обобщить и получить целый класс
подобных решений. Пусть профиль скорости задан выражением
U-c = А0(1 + А 772 + А т/+. . .}, т, = (chy)""1- (з.9)
Тогда уравнение (3.1) имеет два следующих точных решения
п" ' 2к
v - = I В г] , а = 2,
' к=| 2 к ' (зло)
п
v = thy( 1 с v2n~l), а = 1 ;
2 к=| 2 к-|
коэффициенты в (3.9), (ЗЛО) определяются формулами;
1
А2 = - 2 n (2п + 1 ) ,
40

А = (1/4к2)[(2к-2)(2к-1)-2п(2п+1)]Аоь
2к 2 к -2 з»
!2 = 1'
В = 1/4(к2-1)~' [(2k-2J(2k-l)-2n(2n^l)]B
D2k 2 к-2 »
С, = 1, (3.11)
С = [(2к-1)2-1]-1 [(2к-2)(2к-1)-2п(2п + 1)]с
2 к-I Z к d ,
к = 2,3. • • • . n + 1 -
В выражении (3.8) п >.0 - любое целое положительное число, А -
произвольный постоянный множитель, поэтому это выражение дает
семейство профилей, для которых (ЗЛО) являются частными решениями
задачи об устойчивости. Так как U действительная величина, то
должно быть с =0 следовательно, решения (ЗЛО) соответствуют
нейтральным колебаниям. Легко показать, что
U" = 4A2(U-c),
поэтому критическая точка в данном случае совпадает с точкой пере-г
гиба профиля скорости. Это приводит к тому, что особенность в
решении отсутствует. Решения (ЗЛО) существуют лишь при частных
значениях волнового числа а. . В общем случае профили, задаваемые
соотношением (3.9), будут неустойчивы.
Пусть и-thy t что соответствует течению в слое сдвига. Так как
профиль скорости несимметричный, то одно из граничных условий
нельзя перенести в точку У = 0 , поэтому интегрирование следует
проводить на интервале -у01 У ± У0. В точках ±у примем
условия v ' =±av . Поиск собственного числа можно проводить численным
методом, интегрируя многократно систему от у до -у .В
работе [ 34 ] для этой цели был применен несколько иной метод. Введем
переменную ф=у' /у» тогда уравнение (3.1) приведется к виду
Ф
= a2V+U"/(U-c). (з.П)
Граничными условиями будут ф ( ± У 0 ) = ± a . Теперь задача
сводится к интегрированию одного уравнения (З.П'Ь На рис. 1.8 показаны
результаты расчета собственных чисел для этого случая.
Как показывает сравнение рис. 1.2, 1.5, 1,8, а. также таблицы 1.2, 1.5,
невязкий механизм неустойчивости является более мощным ,чем вязкий.
Коэффициент нарастания возмущений с, имеет порядок ОЛ для струй и
41

следов,в то время как для течения в плоском канале и пограничном слое
значения его на одия-два порядка меньше.
2. Метод Релея. При исследовании невязкой неустойчивости оказыва
вается полезным метод Релея, который в ряде случаев позволяет получить
решение задачи в конечном виде. Если профиль основной скорости
состоит из прямолинейных участков, то этот метод приводит к точному
решению. Если профиль скорости гладкий , то можно приближенно заменить
его кусочно-линейным.при этом метод Релея дает приближенное решение.
-of/.
О 01 02 05 ОМ 0.5
i i i i
QA 02 0.3 ОМ 05
Л
Рис. 1.8
этот метод приводит к точному решению. Если профиль скорости
гладкий, то можно приближенно заменить его кусочно-линейным, при этом
метод Релея дает приближенное решение.
Пусть профиль U (у ) состоит из отрезков прямых, пересекающих
друг друга под конечными углами. В точках пересечения скорость
непрерывна, а производная скорости U ' терпит разрыв. На каждом
прямолинейном участке имеем и" - 0, и уравнение (3.1) переходит
в следующее
a/v - 0,
(3.12)
Решение уравнения (3.12) легко выписывается
v A exp(ay)iВ exp(-ay ) .
(3.13)
Это решение содержит две произвольные константы, которые
подбираются так, чтобы выполнялись граничные условия. Первым из этих условий
является непрерывность v в каждой точке излома профиля
[V >]
v.-v°
(3.14)
Другое необходимое условие получим, интегрируя уравнение (3.1) по
поверхности перехода
(и - c)[v'
v[U'] 0.
(3.15)
42

На этой поверхности производная V ' терпит разрыв, определяемый
соотношением (3.15). Решения на всех прямолинейных участках должны
быть скомбинированы так, чтобы выполнялись условия в местах излома
профиля U (у) (3.14), (3.15) и заданные граничные условия.
В качестве примера предположим, что имеется слой 0<у<Д
толщиной b - 1 t B котором скорость возрастает линейно от
значения - (J до + U 0 . Вне слоя скорость постоянна и равна _ U 0 при
у < 0 i U при у > 1 . Так как возмущения должны затухать при
о
у-±оо , то решая (3.12), получим;
с( ехр (ау), (-оэ<у<0) f
v = \A ехр (ау) + В ехр [-a(y-l)]/ (0< у< 1) # (ЗЛ6)
\р2 ехр [-a(y-l)] , (у>1).
Для определения постоянных С( , Cg , А составим уравнения (3.14),
(3.15):
С -А+Вехра,
a(-U -с)(С;-А+В ехр a)-2U С" = о.
о I
С = А ехр а + В , (ЗЛ7)
a(U -с)(А ехр а-В+С )+2U С = 0.
о 2 о 2
Приравнивая нулю определитель однородной системы (3.17), найдем
с2 - cT2U2 f (a-i)2 - expl-2«)]. (ЗЛ8)
Если длина волны велика по сравнению с 1, то а-- <1 , поэтому из
(3.18) следует
2 2
с "-U . (3.19)
о
43

Течение оказывается всегда неустойчивым к возмущениям с достаточно
большой длиной волны. В другом предельном случае для коротких волн
а > > 11 поэтому
U
(3.19)
и течение оказывается устойчивым. Расчеты по формуле (3.16)
показывают, что максимальное значение величины -(ас/J )2равное 0.162,
достигается при волновом числе а == 0,8, что соответствует длине
волны к ~ 8 . Переход от неустойчивости к ус гойчивости
происходит при а Z 0,3 или ^~5- Фазовая скорость неустойчивых
возмущений в соответствии с формулой (3.18) равна нулю. Если метод Релея
применить к гладкому профилю U = thy, то получится определенное
отличие от точных численных результатов, особенно по фазовой скорости,
однако,качественный вывод о неустойчивости является правильным.
В качестве второго примера рассмотрим струйное течение с
профилем скорости;
Г,
и
1 + У) ,
■1<у<0
_w >
u0U~y),
o<y<i ;
у|>1
(3.20)
В этом случае имеется 3 точки разрыва U' . Решение уравнения
(3.12) имеет вид;
А ехр [-a(y-l) J ,
(y>D ;
ехр (ay)+K exp [-a(y-i)] t (о<у<1);
/ -
D ехр а(у+1)+Еехр (-ау), (-1<у<р);
F ехр [а(у+1П
у<-1
(3.21)
44

Здесь А , В, К, D, Е , F _ произвольные константы.
Это решение удовлетворяет условию затухания при у^+со. Легко
показать, что, составляя уравнения (3.14), (3.15) в каждой из трех точек
разрыва U и приравнивая нулю определитель системы, получим
уравнение для определения с , которое распадается на два уравнения: в
случае возмущений, симметричных относительно у о , имеем
2а2С2+а[1-2а-ехр(-2а)]с+
(3.22)
+а[1+ехр(-2а)]-1+ехр(-2а) - О
и для антисимметричных возмущений
С = (2а) [1-ехр(-2а)] (3.23)
Антисимметричные возмущения, для которых v ( у ) " - v ( у )
оказываются устойчивыми при всех волновых числах. Симметричные возмущения
устойчивы, если детерминант уравнения (3.22) положителен,и
неустойчивы в противоположном случае. Область неустойчивости для таких
возмущений будет 0<а<1,8. Критическая длина волны составляет
примерно \ = я, ^(ширина струи Ь = 2 )• Наиболее растущее возмущение
получается при а - 1 . 2 или ^ ~ 5 . О.Качественно эти результаты
согласуются с точными численными расчетами для гладких струйных
профилей скорости.
3. Вязкая неустойчивость слоя смешения. Во всех примерах
данного параграфа профиля основной скорости имеют точку перегиба, и
поэтому оказывались неустойчивыми в невязкой постановке. Влияние
вязкости в таких задачах рассмотрим на примере течения в слое смешения
при малых числах Re . Это течение оказывается неустойчивым при
достаточно малых значениях а . Введем параметр у
соотношением <ху = Re ,тогда уравнение Орра-Зоммерфельда примет вид-
У-2а2у" + ацу+1уа2[и"у-(и-с)(у"-а2У
(3.24)
Необходимо построить решение этого уравнения при условиях
v - о, (у-'+»). (3.25)
Профиль скорости U (у ) представляется гладкой кривой такого типа,
который показан на рис. 1.7. Предположим, что нормировка длины и
скорости проведена так, что можно приближенно принять
45

v 1 при у > 1 ,*
(3.26)
-1 при у <-1 -
Решение поставленной задачи будем строить разложением по малому
параметру ° . Прежде всего найдем четыре линейно независимых
решения уравнения (3.24)
Vk :vko + a2vkl+ к " 0,1,2,3, (3.27)
для которых v00-l, v|Q у, v20--y2. v30-y3#
Подставляя (3.27) в (3.24) и приравнивая нулю выражения при
различных степенях а2 , получим
v|v -2v"f i7[U"v -(U-c)v" ] = 0 (3,28)
k I ko ко ко
и аналогичные уравнения для v , v Из (3.28) получаем, в
частности, 3
v" - -\у\),
о I
v'" = - i у ( U ' у " U -1 •
02
(3.29)
Общее решение уравнения (3.28) представим суммой
v = S А ф (З.ЗО)
к : о К к
с произвольными константами Д . При | у | 1 в силу
предположения (3.26) уравнение (3.24) переходит в уравнение с постоянными
коэффициентами, решение которого легко выписывается ;
v -■ е- expf-ay ) + F -expl-a/3-y) , (у>1)'
v - Е exp(ay) + F exp(a/3 у), (y<-l)J
(3.31)
i ' ■
ВИЯМ
. F , h - произвольные константы, с , л„ удовлетворяют усло-
1 + i- (1-е) . /^ - l-i^llicl,
2
46

действительные части и -•. положительны.
Теперь допустим, что на отрезке 1 у 1 решение
рассматриваемой краевой задачи представляется формулой (З.ЗО), а при : /
формулами (3.31). В точках у J и у :--1 должны быть
выполнены условия согласования решений, которые заключаются в том, что в
этих точках должны равняться значения функции и ее первых трех
производных. Это дает 8- уравнений для определения 8 произвольных констант
в (З.ЗО), (3.31).
Будем рассматривать только случай •? < < 1 , это позволяет заметно
упростить задачу. Из (3.31) следует, что производная v' '( j_l )
имеет порядок а. к" 0,1.2,... -^ля того» чтобы такой же порядок
имели производные, вычисленные по (З.ЗО), необходимо положить
А |< 'А * Теперь легко показать, что если в каждом из
восьми уравнений пренебречь величинами порядка , и выше по
сравнению с членами порядка , к , то система для определения
констант примет следующий вид;
А1 ' 4+F"i,
а:
'V/^iM-D ,
(3.32)
2A*+v" А ■- е f/32F
3 ol I i i i >
6А fv'" a , (t-.+/-?3F. )(-l) '
4- Oxi iii
Здесь i 1,2, причем, первое значение соответствует точке У 1 а
второе точке у ~ -1 - Величины v " , v "■' определяем из
соотношений (3.29). ' '
Нетривиальные решения однородной системы (3.32) существуют при
тех значениях с , при которых обращается в нуль определитель этой
системы .*
Л ^ -(l^|)(l^2)(^|^2)^i,i-2 о J -- 0, (3.33)
47

Уравнение (3.33) определяет зависимость с от У . Приу-4\ГЗ~
■з (3.33) находим с = 0, dc /6j- \ /20 . Таким образом, при
у - 4^J~3 значения с>0 » поэтому рассматриваемое течение
неустойчиво.
Решение задачи о неустойчивости слоя смешения двух вязких
параллельных потоков при малых числах Re свелось в окончательном виде
к системе (3.32), Эта система не зависит от детального распределения
скорости U (у ) при | у | <_ 1а определяется полностью лишь
асимптотическими значениями U. , LL . при у-*±<» и шириной
слоя, которые входят в число Рейнольдса. Этот факт можно
использовать так же для сведения задачи при а - о к исследованию
устойчивости ступенчатого профиля.
§ 4. Неустойчивость в течениях с поверхностью раздела
Рассмотрим течение двух вязких тяжелых жидкостей с непроницаемой
поверхностью раздела, уравнение которой можно записать в виде
У ^ h(t,x,z). (4.1)
Движение каждой из жидкостей (будем обозначать их индексами 1 и 2)
описывается системой уравнений Навье- Стокса и неразрывности
d i vv = о ,
Bv _ 1 (4.2)
Л + (v'v)v = - -p grad р + д + гМ7.
Здесь х , у , z - ортогональная декартова система координат;
v - вектор скорости с проекциями u , v , w,' g - вектор силы
тяжести. На поверхности раздела должны выполняться условия двух
типов - кинематические и динамические. Так как в каждый момент
времени через поверхнос,ть отсутствует поток жидкости, то, дифференцируя
(4.1), получаем — = v , откуда
dt
Bh Bh Bh , , _ . , (4.3)
Bt+uBx+wBz = v> (У " h)'
Кроме (4.3) кинематическими условиями являются также условия
непрерывности скоростей ;
[v]2 = о, (у = h). (4>4)
Динамические условия выражают равенство нормальных и касательных
напряжений, действующих со стороны каждой жидкости.
Пусть сг . обозначают компоненты тензора вязких напряжений, а
48

n . — косинусы нормали к поверхности, направленной в сторону
первой жидкости. Тогда эти условия будут I 2 ]
fP.-Pz^'^R^Vi = CTik\. (4.5)
В левую часть равенства (4.5) добавлена сила поверхностного
натяжении, которая девствует по нормали к поверхности! °" есть
коэффициент поверхностного натяжения; R ( > R 2 " главные радиусы
кривизны. Если жидкость покоится, а уравнение поверхности не зависит от
z , то из (4.5) получим
Р: - Р, = crh (1 + h2) .
3/2
I 2
х х
В правой части (4.5) принимается тензорная запись. Координатным осям
х, у, z соответствуют значения индексов 1, 2, 3j по одинаковым
индексам должно проводиться суммирование.
Ограничимся рассмотрением двумерных движений жидкости. В этом
случае w ~~ °» ^^3z ~0' R7 = °* Из (4.4) легко получаем
проекции на нормаль и касательную к поверхности;
P.-p„-°-/R: - [о-.-п'+о- п2 + 2о- n n ]
12 I || | J2 2 12 I 2
[ (о- --а- )п - п +сг (п -п2 )] = 0 •-
II 22 12 12 2 I
Подставляя сюда компоненты тензора напряжений
(4.5)
Эй _ 3v
II Эх 22 ^
«" '" Ъ'у ■ \ - ^\~)
и косинусы нормали к поверхности
п-=(1+Ь2)" >г , п = h (1+b2)" '2 b = h
1 2 х '
приведем (4.3) в еледувдему виду;
С-р+2м г=ьг ly ] s -e-h U + Ь1) f
[ 5м + 3v + 4__b__ Эу_ ] = Q
Эу Эх 1-П Эу
(4.7)
49

Наличие свободной поверхности создает специфические трудности при
исследовании возмущений. Допустим, что имеется стационарное течение,
в котором поверхность раздела остается плоской h - const. В
возмущенном течении эта поверхность примет форму
У --- h ( х , t ) . (4.8)
При этом изменяются области, занятые жидкостями. Если первая
жидкость занимала область у>0 » то теперь отдельные объемы этой
жидкости могут быть расположены при у<д (подошвы волн), в
которых для нее не определено основное решение. Кроме того, линеаризация
выражения U + и становится незаконной там, где [) мало, a $'
велико. Чтобы обойти эти трудности, в работе [ 35 ] вводились
криволинейные координаты.
Перейдем к новым независимым переменным т , ;f , г/ ;
t ~ г, X = £, у = Tj+efU.T,^). И«8)
Здесь е малый параметр, функция f выбирается так, чтобы в
новой системе координат уравнение поверхности раздела было т]~ о.
С точностью до членов порядка е > будем иметь выражения для
производных :
_э = __э+ _Э_ ъ_ _ э э_
Эх Ъ£ 71*Ът] ' 3t ,Эт Vtdr]
Э а -,2 _,„ „ £ , Ъ1
;i-ef
Л- =(l-2ef
(4ЛО)
ъу кх ь\' ъv ' ъу2 " эт
^ ЭХ2 3<f2 ^Э^Э-т] ^Эт? .
Рассмотрим теперь решение системы (4.2) с граничными условиями
(4.3), (4.4), (4.7), имеющее вид :
U = U(-Tj,^) + eU- , V = V(tj,^) + bV-, p = Р(т},£ ) + ер-, (4.Ц)
60

Здесь U (7?, £ ) , V (77, ^ ) , Р (77, ^ ) соответствуют основному
невозмущенному течению и удовлетворяют уравнениям задачи при в"о •
и.(т7,£,т), v(7/,f,r), р:[т},£,т)
1 — малые возмущения.
Подставим (4.11) а (4.2) и отбросим члены порядка е2 . Учитывая
формулы перехода к новым переменным (4.Ю), получим уравнения Для
возмущений ;
u _f U'+uU +U(u -f U')+vU'+Vu =
r r gig V
•/p(p +f P')+^(u +u -2f U".-f U'-f U')
v -f v'+uV +|)fv _f v') + vV' + Vv =
' У ' ' v (4.12)
•l/p(P -f P') + ^(v +v.,-2f V"-f V'-f-.V)
u -f U'+v = 0 .
£ £ V
В системе (4.12) индекс 1 отброшен, штрихи обозначают
дифференцирование но ?7 • Следующий шаг заключается в том, чтобы считать
основное течение локально плоскопараллельным;
U = U(t7) , V = О, Р = Po-gp(cos UJ77 ,
(4.12 )
При таком предложении (4.12) переходит в систему уравнений,
коэффициенты которых зависят только от переменной п . В соответствии с
методом малых колебаний можно искать частные решения
и = и(т7)ехр( |£- ) , v = v(77)exp( | <f - ) ,
(4.13)
Р = р(т7)ехр( i^-), h = h exp(l<f:),
1 * 1
U- - ia(^-CT').
51

Дня f' примем выражение f=f[rj)exp'\g~ а для h -
выражение (4.8). Подставляя (4.13) в (4.12), получим уравнения для
амплитудных функций:
i/(V.-a2v)-f'g cos v-l/p p' = ia(U-c)v ,
iap/p = ^(u"-a2U-2f U".-f U'+a2U' f )
iafg cos u-ia(u-fU') (U-c)-vU',
ia(u-flT ) + V = 0 .
Исключая р и u , получим уравнение
IV 2 И <
Iv[v -2a V".+ a V-ia(fU'") ]-a[U"V-
(U-c)(v"-a2V)] = 0,
(4.14)
(4.15)
которое отличается от уравнения Орра-Зоммерфельда (1.17) наличием
дополнительного члена в левой части.
Обратимся теперь к граничным условиям на поверхности раздела. В
новых переменных эти условия выполняются при ?] = 0 • Так как
основное течение удовлетворяет соотношениям (4.4), (4.7), то условия
на поверхности раздела для возмущений получим линеаризацией этих
соотношений. Выразим u из уравнения неразрывности, тогда из
(4.4) найдем
[v] ' ~ 0, [v'-lafU'] ' "" 0,
2 2 (4Л8)
52

Выразим р из второго уравнения (4.14). Подставляя и , р в
линеаризованные динамические условия (4.7), получим следующие два
условия;
[^(v"+a2V-iafU")]' = О
MV"-3a2v'-iafU"')+ iapfvU'-v' (U-c) )] ' = (4Л7)
2
a (p-~p ) f g COS u-cra4h
I 2 о *
Наконец, рассмотрим уравнение (4.3) для формы поверхности. В
линейном приближении из него находим
a
h (U-c) = v, (т? = 0). (4.18)
К условиям (4.16) - (4.18) должны быть добавлены также условия
вдали от поверхности раздела - на твердых стенках, ограничивающих
ноток, или на бесконечности. Кроме того, следует также задать
конкретный вид преобразования (4,9), переводящего возмущенную поверхность
раздела в плоскость -q - 0.
1, Поверхность раздела двух равномерных потоков. В качестве
первого примера рассмотрим устойчивость горизонтальной поверхности,
разделяющей два безграничных равномерных потока. В этом случае
можно принять f = h , отсюда следует, что в соотношениях (4.15)
- (4.18) будет f - h Допустим, что основное и возмущенное тече~
ние можно рассматривать как невязкое.
Тогда основное течение имеет профиль скорости u = U ~ const,
(у > 0), ,u = U2 = const, (у < 0). Возмущения в не»
вязкой постановке удовлетворяют уравнению v" - a^v = q
откуда v = С. exp(-ay), y>0, v = С ехр(ау), у < 0.
1 2
Для этого решения выполняется естественное условие затухания при
У ~* ± °° . В невязкой постановке не могут быть удовлетворены
условия непрерывности скоростей (4.16) на поверхности V ~~ 0 .Из
динамических соотношений (4.17) остается только второе, выражающее
непрерывность нормальных сил. Применяя соотношение (4.18) при
у > 0 и У < 0 найдем;
53

С," = !a(U--c)h,, C2 = la(U2-c)h. (4J9)
Теперь из (4.17) получаем
■a[p.- (U-c)2+p (U -с)2] = [Р -P7)Q-v°-2,
| 1 2 2 х
откуда находим формулу Кельвина-Гельмгольца для фазовой скорости
P'lU|^2U2 2 Р-;Р, , ,2
2 . _1_1 i_£ z 1112
а с -
(U;-uj
I 2 (а:+/о. И *
I 2
P|~/°, era
3 (4.20)
р\+рг р\*рг
Возмущения будут возрастать только в тех случаях, когда правая часть
(4.20) отрицательна. Разность скоростей потоков U. - IL всегда
играет дестабилизирующую роль, ускорение может как усиливать
неустойчивость, так и ослаблять ее в зависимости от направления, а
поверхностное натяжение всегда оказывает стабилизирующее воздействие,
которое сильнее проявляется на коротких волнах. В классическом случае
волн на свободной поверхности жидкости [32] р - О,
2
( с - с „ ) X), поэтому такие волны всегда устойчивы.
Из (4.20) находим фазовую скорость распростоанения таких волн
(C-U )2 = (g/a) + (o-a/p.).
2
Максимальное значение фазовой скорости достигается при a = (2р/а)2
и равно Стах2 *■ \° у/ Р > • В случае волн на поверхности
воды, граничащей с воздухом, критические значения длины волны и
фазовой скорости составляют 1,78 см и 23,5 см/сек соответственно.
Неустойчивость, создаваемая разностью тангенциальных составляющих
скорости | U ~U2 I / называется неустойчивостью по Гельмгольпу. Она
может проявиться только при достаточно большой величине
относительной скорости. Критическое значение С определяется из условия
с - с * ".Интересные результаты дает применение формулы (4.20) к
проблеме образования волн на ровной неподвижной поверхности воды
под действием ветра. Согласно (4.20) критическое значение I U j — U 2 I
получается равным 646 см/сек, в то время как в действительности
волны наблюдаются уже при 120 см/сек. Парадоксальность этого
результата заключается в том, что в идеализированной постановке без учета
вязкости получается завышенное значение | (J -[] (.Это показывает,
что действие вязкости в данном случае может быть более сложным, чем
простая диссипация энергии. В частности, в результате действия вяз-
54

кости получается непрерывный профиль основной скорости, для которого
U' 7 0 при г) = Q. Неустойчивость течения с таким профилем
заметно отличается от неустойчивости равномерного потока.
В формуле (4.20) под g можно понимать сумму g + a r^e
g есть собственно ускорение силы тяжести, а - ускорение
поверхности раздела, перемещающейся в направления, перпендикулярном к ней.
Если (р•.~Р7) д>0 , то за счет ускорения может возникать
неустойчивость поверхности раздела, называемая неустойчивостью по Тэйлору
[ 32 ] . Пусть относительное перемещение жидкостей отсутствует
U = U . Тогда максимальная скорость нарастания возмущения по
времени достигается при а2= {р -р )д/зсг и равна
-V2 2 V 1
a2(c-U )2= 2/3(3<т) Kp^-pjg] 2{P^P2) . (4J21)
Неустойчивость Тэйлора проявляется в тех случаях, когда легкая
жидкость вытесняет более тяжелую.
2. Течение с градиентом средней скорости. Рассмотрим теперь
пример неустойчивости течения с градиентом скорости при наличии
поверхности раздела [3?3 . Пусть жидкость занимает область x^0f
У^О ■ На поверхности жидкости действует касательная силат = т(х)
и постоянное давление р0 . Под действием касательной силы слои
жидкости» прилегающие к поверхности, приходят в движение. Будем
считать, что область, занятая движущейся жидкостью, достаточно тонкая,
так что основное течение можно описать уравнениями пограничного
слоя:
эи эи э?и
и— + v— = v , ,
Эх Эу Эу2
(4.22)
3U ЪУ 1 Эр
+■ - -
Эх Эу
О' р Эу
Граничными условиями будут;
эи -
V т 0- мзу ~ г (у = 0), U - 0, (у - -со). (4.23)
Предположим, что распределение основных параметров вдоль
поверхности степенное, в частности, условная толщина пограничного слоя
8 z k х ■ Тогда можно построить автомодельное решение задачи
(4.22), (4.23):
55

Ф = AS f (77) ,
v - y/s.
(4.24)
Здесь т] - переменная подобия, к , г - произвольные константы *
(4.25)
m = (l-r)r~\ A = Mrmf V1_m.
Подставляя (4.24) в уравнения (4.22) и учитывая соотношения (4.25)
между константами, получим уравнение
1-2г
f'" + ff". - ----- fz = о .
(4.26)
Положим f".( о ) =1тогда будет т = /xASm 2
с тема граничных условий (4.23) примет вид".
f = 0, f" = 1, (т? = 0), f - 0, '(77
и поллая си—
(4.27)
Профиль скорости основного течения выражается через f следующим
образом:
U = Umf{v
и„
ть /и.
- 1
(4.28)
На рис. 1.9 показаны функции f ' (ту)
при трех различных значениях
_ 2 1 1
Г ~ Ц ' Я ' 4 » полученные
численным интегрированием уравнения
(4.26). Интегрирование проводилось от
точки
V
0 граничное условие при
-q — -00 удовлетворялось подбором
величины f ' ( 0 ) • В первом из этих
случаев трение вдоль поверхности убывает
как х_1/?,во- втором - остается
постоянным, в третьем - возрастает как
Xl'4.
Исследуем невязкую неустойчивость
течения (4.28), применяя обычный под-
Рис. 1.9 ход, который используется при
исследовании пограничного слоя на теле. Он
заключается в том, что течение считается плоскопараллельным и
характеризуется локальными значениями § , ^са , взятыми при
фиксированном х , Для амплитуды поперечной составляющей скорости
возмущений v (у
из (4.15) получаем уравнение Релея
U-c
,v"-a v
-U".v = 0.
(4.29)
56

Из всех граничных условии может быть удовлетворено лишь второе
условие (4.17) для нормальных сия. Полагая так же, как в случае
равномерных потоков f = h и исключая h с помощью (4.18),
приведем это условие к виду
(U-c)2v'-[(U-c)U'-F]v - 0, iv = 0). ,„_
Другим краевым условием является условие затухания возмущения с
удалением от поверхности
v - 0, [-о ■* -оо). (4.31)
Здесь все переменные в (4.28), (4.30), (4.31) приведены к
безразмерному виду и введено обозначение
F = gSU;2+cra2U;2(/>S)"\ (4.32)
Однородная краевая задача (4.28), (4.30), (4.31) на собственные
значения решалась численно. Удобно перейти к новой переменной w = v ' / v ,
тогда будем иметь;
W = a2-W2+U"(U-C)"1f
w(o) = (U-c)2[F+U' (U-c)]
(4.33)
W (-oo) = a ,
Численное решение задачи (4.33) при заданном a > о проводим
численно от точки т) = т]1. Значение т? должно быть достаточно большим
по модулю, чтобы распределение скорости основного течения вышло на
асимптоту. На рис. 1.10 показана форма собственных функций в
нескольких конкретных вариантах при г = 1 /3» кривые *» 2, 3 соответствуют
значениям a = 1 fO ; 0,7 ;' 0,45.
Основное взаимодействие возмущения со средним течением
происходит вблизи г] = -1,5, где Wj имеет острый максимум. Результаты
вычисления собственных чисел приведены на рис. 1.11. При всех
значениях а и F существуют неустойчивые волновые возмущения, для
которых с { f 0 . Таким образом, при учете среднего течения,
вызываемого действием вязкости, поверхность раздела оказывается неустойчивой.
Существует механизм передачи энергии от газового потока к среднему
течению и от среднего течения к волнам. Кривые равных значений С \
в зависимости от а и F показаны на рис. 1.12. Наибольшее
значение с j = 0.243 достигается при F = О, a = OJ2S, а
максимальной скоростью нарастания а с j = 0,131 обладает волновое возмущение
с а ~ 1 . Скорость перемещения такой волны составляет 0,514 Uoo .
57

т
S
it
</гц.
щ л\ \
■ч/
г з
-н-
\ * '"j
Рис. 1.Ю
Поток газа над поверхностью
жидкости, например, ветер над
водой, обычно является
неоднородным. Связанные с этим
механизмы неустойчивости также
рассматривались теоретически в
ряде работ [36]
0.2$
1 \г
am
Рис. 1.11
0 25
0.375
го
W
л
^•аов
-"~"й**
005 F 0.1
Рис. 1.12
3. Слой жидкости на наклонной поверхности. В случае шюскопа-
раллельного стационарного течения вязкой жидкости в слое на
наклонной поверхности(рис.1.13) уравнения (4.2) имеют решение, которое
удовлетворяет условию прилипания на стенке и условию отсутствия
касательного напряжения на поверхности:
1 2 _ j
U = ^ 1 g [v\] ) sin и (2у-у2 ) .
о
2
Р
1 gu
(4.34)
о C°S "(1-У).
Решение (4.34) записано в безразмерной форме. В качестве характерной
длины 1 здесь выбрана толщина слоя, поэтому уравнение поверхности
будет у = 1 . Характерную скорость у можно выбрать равными
способами. Положим U
• g| 2v~is in„
мет вади
U = 2 (2У-У2). Р = 3Re_1ctg и(1-у).
тогда решение при-
(4.34 ')
58

Расход жидкости в таком течении в размерном виде равен
q = U01 / Udy - U01.
о
Отсюда находим выражения для толщины
слоя и числа Рейнодьдса через расход
I3 ^q^g"1
Re = U0b-1 = qy"1.
(4.35)
Рис. 1.13
Преобразование у = Т7+ е-?7h переводит слой в полосу постоянной
толщины о < г] <_ 1 .Поэтому в уравнении (4.15) можно принять
f = 7jh, а в граничных условиях (4.16), (4.17) при т? = 1 положить
f = h* . Допустим, что поверхность слоя свободная, т.е. воздействием
внешней среды на течение можно пренебречь. Тогда уравнение и
граничные условия задачи о неустойчивоста течения в слое с профилем
скорости (4.34 ) приводятся к безразмерному виду;
v|V- 2a2v".+ a*v-iaRe[(U-c) ( v " ~a 2 v )-U" v] = OJ
v"+[a2-U".(U-c) ]v = 0, (77 = 1);
v'"-[3a2+iaRe(U-c)] v' +ia(3 ctg и + a2ReW
(4.38)
U-c)_iv = 0.
Два другие условия задаются на твердой поверхности;
v = 0, V = 0, (tj = 0).
(4.37)
59

В граничное условие (4.36) входит безразмерное число Вебера W ,
которое выражается через Re и физические характеристики
жидкости
W = риМст'1 = y-'Re5 ^ 3'1'3 (4.38)
Через у обозначена комбинация параметров, включающая силу
тяжести Or, p., V
1/3 4/
7 = а™ V • (4.38)
Угод наклона " может быть достаточно произвольным. Отметим два
важных частных случая: слой на поверхности, мало отклоненной от
горизонтального положения ( и мало), и слой на поверхности,
расположенной почти вертикально ( и-77/2 мало). Типичными примерами
являются течения в открытом канале и отекание тонких жидких пленок
под действием силы тяжести.
Рассматриваемая задача по своей формулировке напоминает задачу
об устойчивости плоскопараллельного течения Пуазейля. Различие
состоит в том, что возмущается граница слоя. Это создает новый более
мощный механизм неустойчивости, связанный с образованием
поверхностных волн. В то время как неустойчивость, вызываемая волнами
Голлмина-Шлихтинга, наступает лишь при достаточно больших значениях
Ке , неустойчивость, вызываемая поверхностными волнами,
начинается уже при Re = 0 1 поэтому существует большой интервал чисел
Рейнольдса, когда течение в слое может быть ламинарным, но
волновым.
При малых значениях числа Re прежде всего возникают длинные
волны, для которых а<<1 » а короткие волны гасятся поверхностным
натяжением. Для длинных волн можно получить простые решения в
конечном виде. Это не только облегчает истолкование результатов, но
помогает также в выборе методов исследования нелинейной задачи.
Итак, предположим, что а < < 1. Используя это неравенство, следует
проявить определенную осторожность при оценке члена, учитывающего
поверхностное натяжение. Согласно (4.38) имеем
a2W-i = a2yRe-5 'г^'з
Для многих жидкостей величина у велика, поэтому при умеренных
значениях aRs это выражение оказывается конечным даже при
малых a • Для воды при t = 15°C имеем у = 2850 и если,
например, R е = 2 7, a = B,l TO a2W_1 = 0,165 В силу
этого, отбрасывая величины порядка a2 , будем сохранять член,
характеризующий поверхностное натяжение.
Если в (4.36), (4.37) отбросить величины порядка а2 , то
полученное уравнение допускает однократное интегрирование, которое с
учетом второго условия (4.36) приводит к следующей краевой задаче:
бО

■Re) ~ ' v"'~ U ' v i (U c)v' i (3 ctg „ Re"V<'V'
0, V 0,
i U " h <4.40)
v i(U-c)hti (r/ i).
Так как на основе (4.14) v порядка « , то из уравнения (4.2),
спроектированного на ось У , следует, что при умеренных значениях
и Re градиент давления по У пропорционален " ? . Поэтому
физический смысл проведенного упрощения заключается в том, что
давление принято постоянным поперек слоя и равным значению его на
поверхности слоя.
Будем искать приближенное решение ' 4.40 ) в виде
•V -■ ih+ (а?/ + Ьг)* ). (4.41)
Чтобы удовлетворялись граничные условия, следует принять
а ' Лч-Г"б(и-с) - U"] , Ь - ,;,|| 2 (IJ-c ) 1 U"] .
Здесь и далее U и _|_|" берутся при т/т-1 . Подставляя (4.41 ) в
(4.40) и интегрируя уравнение от ^ - Q до -п'! получим после
отделения действительной и мнимой частей ;
3(aRe) ' (3 с)-3/5 c.+2(U-c )с.
' i г i
61

■3(aRe)_1c. + (U-c )2-3',5(U-c )-c2-3/20 -
1 (4.42)
3Re~1ctg 6+а2Щ~ 1
Если предположить, что с j мало, то с точностью до членов порядка
с 2 из (4.42) найдем ;
с = 3-6/3 aRe с
г i '
(4.43)
с = aRe(3-aV 1-3Re"1ctg и ) [3 + Ю8/25 ( aRe ) 2 ]
Для нейтральных возмущений с j = 0 , и из первого уравнения (4.43)
находим сг = 0. Так как согласно (4.Я4) скорость основного
течения на поверхности слоя равна з /2 » то следовательно,
нейтральные возмущения распространяются с фазовой скоростью, которая в 2
раза превышает скорость жидкости на поверхности слоя. Для растущих
возмущений при малых aRe фазовая скорость меньше 3. Из выраже-
1ШЯ (4.43) для с получаем уравнение нейтральной кривой в
плоскости a , Re
a2yRe-5/3 + 3 ctg u Re~ : ■= 3. (4.44)
Несколько кривых нейтральной устойчивости при различных и
показаны на рис. 1.14. На вертикальной твеппой поверхности (0=77/2) слой
неустойчив, если a <J>y Re 3 Нейтральная кривая выходит из
начала координат, поэтому при любом расходе жидкости слой
неустойчив к бесконечно малым возмущениям с достаточно большой длиной
волны. Короткие волны гасятся поверхностным натяжением. С
уменьшением поверхностью натяжения уменьшается У и, следовательно,
интервал неустойчивых волн расширяется в сторону более коротких волн.
С отклонением поверхности от вертикали (и<7г/г)
соответствующая нейтральная кривая сдвигается от начала координат. При малых
значениях агщ~1ъ критическое значение числа Re|< _ Ctg и,
поэтому слой может стать неустойчивым, если расход достаточно велик
62

2S 3 fie so
Рис. 1.14
При малых а. и Re можно
найти решение задачи разложением
в ряд по а , как это было
сделано в работах [38] , [39 ] ,
[ 35 ] и некоторых других.
Разлагая уравнение и граничные
условия (4.40) в ряд по а и„
решая соответствующие краевые
задачи, можно показать после
длинных выкладок, что с точностью до
членов порядка а 2I
С - [ 6 / 5 aRe-1/за х
(3 ctg u + a2ReW_ X)] i.
(4.45)
Это совладает с решением (4.43) если в последнем отбросить члены
порядка a ив выражении для с j заменить 3 на 18/5. Таким
образом, погрешность в решении (4.43) оказывается небольшой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая
гидромеханика, ФМ, М., 1963.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. ГИТТЛ,
М., 1954.
3. Ламб. Гидродинамика. М.-Л., Гостехиздат, 1947.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Наука, 1969.
5. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика, ч. 1,
М., Наука, 1965.
6. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости. М., Наука, 1970.
7. Петров Г.И. Об устойчивости вихревых слоев. Труды ЦАГИ,
вып. 304, 1937.
8. Петров Г.И. О распространении колебаний в вязкой жидкости и
возникновении турбулентности. Труды ЦАГИ, вып. 345, 1938.
9. Петров Г.И., Штейнберг Р.И. Исследование потока за плохообте-
каемыми телами. Труды ЦАГИ, вып. 482, 1940.
Ю. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об
устойчивости течения вязкой жидкости. ПММ, 4, вып. 3, 1940.
11. Петров Г.И. Опенка точности приближенного вычисления
собственного значения методом Галеркина. ПММ, 21, вып. 2, 1957.
12. Squire Н.Б. On the stability of three - dimensionsL
disturbances of viscous flow between parallels walls.
Proc. Roy. Soc. ( London ), A 142, 621 - 628,1933
63

13. Gaster M. A note on a relation between temporally
increasing and spatially increasing disturbances
in bydrodynamic stability. J» Fluid Mech., v. 14,
p. 222-224, 1963.
14. Юдович В.И. °б устойчивости,стационарных течений вязкой
несжимаемой жидкости. ДАН СССР, т.161, №5, Ю37 - 1040, 1965.
15- Orszag S.A. Accurate solution of the Огг - Sommerfela
stability equation. J.Fluid Mech. v. 5, p.4, 689-703,
1971
16. Медведев В.А. О применении метода Бубнова-Галеркина в
теории гидродинамической устойчивости. ПММ 28, вып. 4, 1964..
1-7. Харин В.Г. О вычислении собственных значений методом Бубно-
ва-Галеркина и применение его в теории гидродинамической устойчивости.
ПММ, т. 29, в. 4, 1965.
18. Thomas L.H. The stability of plane Poiseuill flow,
Phys.Rev., 91, 780 - 783, 1953.
19. Крылов А.Л., Малыхина И.Д. Решение задачи о собственных
значениях для уравнения Орра-Зоммерфельда разностным методом.
Сб. работ ВЦ МГУ, XI, 44 - 54, 1968.
20. Крылов А.Л. Об устойчивости течения Пуазейля в плоском
канале. ПМт, ЗО, вып. 4, 679 - 687, 1966.
21. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 11, М.,
Физматгиз, I960.
22. Бут Э.Д. Численные методы, М., ИЛ, 1959.
23. Линь Цзя-Цяо. Теория гидродинамической устойчивости. ИЛ.,
М., 1958.
24. Heisenberg W. Uber stabilitat und Turbulenz von
Flussigkeit-stromen, Ann.Phys. Lpz., Bd. 74, H15,
1924.
25. Tollmien . Ober die liintstehung der Turbulenz,
Gottingen Nachrichten, H I, p.24, 1929
64

26. Баеин А.И., Короткий А.И., Козлов Л.Ф. Управление погранич"
ным слоем судна. Л.» судостроение, 1968.
27. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической
устойчивости. М., "Мир", 1971.
28. М.А. Гольдштик, В.А. Сапожников. Устойчивость ламинарного
потока в присутствии поля массовых сил. МЖГ, № 5, 91 ~ 95, 1969.
29. Штерн В.Н. Спектр малых возмущений плоского течения Куэт-
та. Ж., №1, 189-190, 1970.
30. ИЛ. Андрейчиков, 8.М. Юдович. Об автоколебательных
режимах, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале. ДАН
СССР, т. 202, № 9, 791 - 794, 1972.
31. Релей. Теория звука. т. 2, М., Гостехиздат, 1955.
32. Биркгоф Г., Сарантонелдо Э. Струи, следы и каверны. М.,
Мир*, 1964.
33- Sato H., KuriJci К. Mechanism of transition in the wake
of a thin flat plate placed parallel to a uniform flow.
J.Fluid Mech., 11, 321 - 352, 1961.
34. Michalke A. On the inviscid instability of the
hyperbolic tangent velocity profile. J. Fluid Mech., 19,
543 - 556, 1964.
33. Brooke Benjamin V/ave formation in laminar flow down
on inclined plane. J.Fluid Mech. 2, 55'4 - 575, 1957
36. Джон В. Майлс. Генерация поверхностных волн потоками с
градиентом скорости. Сб. Гидродинамическая неустойчивость. 'Мир*,
М., 1964.
37. Шкадов В.Я. К образованию волн на поверхности вязкой
тяжелой жидкости под действием касательного напряжения. МЖГ, № 3,
133 - 137, 1970.
38. Иванилов Ю.П. Об устойчивости плоскопараллельного течения
вязкой жидкости над наклонным дном. ПММ, т. 24, в. 2, 380-381,
I960.
39. lib. CS. Stability of liquid down an inclined plane.
Phys. Fluids,6, 1963, 321-334 (Русский перевод:
сб."Механика", № 5, 1963, 77 - 100).
65

39. Jib C.S. Stability of liquid down an inclined plane,
Phys.Fluids, 6, 1963, 321 - 334
40. Зайцев АЛ. К вопросу об устойчивости вязкой пленки на
твердом теле в потоке газа. ДАН СССР, 130, 66, 1228-1231, I960.
41. Комаров A.M. Применение метода типа Галеркина для
исследования развития возмущений течения вязкой жидкости в плоском канале.
Вестник МГУ", Серия мат.-мех., № 2, 1959.
42. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэт-
та. ИПМ АН СССР, препринт №1, 1971.
43. Dryzin P.G., Howard L.N. Hydrodynamic stability of
parallel flow of inviscid fluid. Advances in applied
mechanics. v.9, 1966, 1-89
66

ГЛАВА П
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВО ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЯХ
Ограничимся в этой главе исследованием частного вида возмущений
плоскопараллельных течений. Предположим, что возмущения являются
периодическими по координате х , направленной по потоку, и что
каждое такое возмущение можно представить, в виде разложения Фурье по
гармоникам exp(llibcx) , Ь/, 2,.. Волновое число ос будем
считать заданным. В главе I изложены результаты исследования
поведения таких возмущений в линейном приближении. Было принято
предположение о малости амплитуды возмущения, в силу чего можно было
пренебрегать произведениями членов разложения по гармоникам и каждую
гармонику исследовать независимо от другой. Ближайшей целью будет
расширение этих результатов на нелинейный случай. В силу
нелинейности исходных уравнений движения жидкости происходит взаимодействие
отдельных гармоник. Это взаимодействие усиливается с ростом
характерной амплитуды начального возмущения.
§ 1. Нелинейное развитие возмущений в плоскопараллельном течении
Пуазейля
1. равнения нелинейного развития возмущений.
Плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости описывается следующими
уравнениями для функции тока У (х, у) и вихря со (х, у)'.
дь>
Jt
згя>
1
' Те
агч>
/<92cj
(<?~2
-
+
со =
Эгсо
Эу*
(1.1)
)
<?у дао дх «Эу
В этих уравнениях t - время, х. t у - прямолинейная
ортогональная система координат, ось х направлена вдоль потока. Все
переменные в уравнениях (1.1) приведены к безразмерному виду, в
качестве масштабов используется характерный размер области течения t
и скорость С„ ; единственным параметром, определяющим течение,
является число Рейнольдса
Пусть основное стационарное течение имеет скорость U (у J ,
которой соответствует функция тока У (у) .
Введем систему координат уь | , перемещающуюся со скоростью
С в направлении средней скорости :
67

5 - d зс - в i , 0 ■•= с d ,
(1.2)
и представим решение уравнений (1Л) в виде
(1 3)
Функция у удовлетворяет однородным граничным условиям.
Подставляя (1.3) в систему (1.1), получим j
at </ J at, эё, Re[ayz
(1.4)
л2 j*
cj= - + <х L
Допустим, что решение этих уравнений, периодическое по | ,
можно представить в виде ряда Фурье для функции тока
со
(1.8)
к.1 *°
и аналогичного ряда для вихря. Рассмотрим два способа вывода
уравнений для коэффициентов f ке разложения (1.5). В одном из них
[ 12 J применяется преобразование ряда (1.5) в степенное разложение
по степеням s = s^ £ } с = cos Е, . Такое преобразование легко
осуществить, пользуясь формулами для тригонометрических функций кратных
углов. Пусть LJ Q обозначают линейную и нелинейную части
первого уравнения (1.4), a LKe f Qн£ - коэффициенты разложений L ,
Q в ряды, которые получаются после подстановки в них (1.5)
Преобразуем степенные разложения (1.6) в ряды Фурье. Приравнивая
нулю выражения при sin к £, t со% к % в уравнении L + G/ - О ,
получим уравнения для определения у ^g . Если в разложении (1.5)
учитывать только Две первые гармоники, эти уравнения будут иметь
вид [П]:
68

L*'9.+l(4»* О >
L,r9n*i('n*5*» ) '
Ln'*« + { ('«***»> '
i * L (q , a ) l =■ a
го 2 ** ^ гг I » г/ гг
Подставляя сюда выражения £, к 4 , Ф „; через у ^ , о) ^
и их производные, получим следующую систему уравнений :
<?«о 1 II 1 , I I \ a
dt Re ° Z l <o » *о " ' »
at Re Ki Kl ' L{ ' V
(1.7)
^"*"/>w M*'«
/' 2
Ki ' ni к Ki
(1.8)
Здесь k = Г, 2 , * « 0t ^ /: ^ если i = ; , ^ = 1 }
если * - <? , «K - кос , u.o = ^o'
В первом уравнении проведено однократное интегрирование по У ,
B(t) - постоянная интегрирования. Первые части F к^ имеют
следующий вид;
_ / ii
to 'w го го ю т it ti

^г» п тг» и т»» и го ю т'« го '
F =Z<f' ал -2 ф со -2ф а> + 2ф со' - <* 'со, +
^ю Zl ^го и тц W2C * (1.9)
i it .
F «-u> а) + *p cJ -up со - sp cJ
го to ro io io it и и it i
i 'i i
f =-u> cO + \p cJ - «/> cJ + \f cJ
it 11 10 10 и 10 11 ' 11 ig
Штрихи в этих уравнениях обозначают производные по у . В
дальнейшем этот способ будет применяться для вывода уравнений развития
возмущений в задаче о неустойчивости течений между вращающимися
цилиндрами и в слое жидкости. В рассматриваемом случае уравнения удобно
получить также вторым способом, который применялся в работах [ 3 J ,
£4 J и некоторых других. Перепишем решение (1.6) в виде
* "Го* i E [*K**P(-ik*)* V* ехр ;**7 , (1.Ю)
где
*
ip=y> +1 кР </» = и> - I \р к = 1,2 ...
т к ' к 1 ко * к *1 *-о 1
Подставим разложение (1.Ю) в (1.4) и приравняем нулю выражения при
различных степенях ехр I к с; ^ в результате получим следующую
систему уравнений;
-т— U, ■= — ОС f + ОС О
at Re ° 2
70

Bu>K i г к 2 7. /V ч
-= /cJ - оС О) / + Lot „(С- U -U )cJ„ +
at Re L « K «J «L o) *
'(V**.)'**]*?1*^ .
* т к к К
Если ограничиться в (1ЛО) первыми двумя гармониками, то правые
части Жн будут иметь вид *
_ *'„*■' / * «' (1 1о\
Здесь J^ обозначает мнимую часть.
Если в каждом из уравнений (1.11), (1.12) выделить действительную и
мнимую части, то получим уравнения (1.8), (1.9). Единственное различие
состоит в том, что в первое уравнение (1.8) не входят члены с у } «а'.
При выводе (1.8) с использованием степенных разложений (1.6) эти
члены появляются в более высоких приближениях. Обычно они являются
малыми и в расчетах не учитываются.
Из уравнений (1.11), (1.12,) или эквивалентных им уравнений (1.8),
(1.9) легко получить уравнение Орра-Зоммерфельда линейной теории. Для
этого надо приравнять нулю и0 , if г . Таким образом, выведенные
уравнения обобщают линейную задачу на нелинейный случай в двух
отношениях: в них учитывается возбуждение второй гармоники у>г и
искажение среднего течения и , создаваемое взаимодействием периодических
членов. Введем амплитуду первой гармоники € , положив у = £ V" .
Структура уравнений (1.11) такова, что амплитуда второй гармоники
будет пропорциональна £ . Легко показать, что для каждой следующей
гармоники i> к амплитуда будет пропорциональна £ " , поэтому
решение (1ЛО) можно записать в виде
Y -- fo+ |? e*[yKexp(-Lkt)* 4>*к exp(Ck$)] , (1.13)
71

Часть ряда (1.13), включающая п первых гармоник, будет
удовлетворять исходным уравнениям (1.4) с точностью до членов порядка
0(i ) . Так как с увеличением номера л трудности вычисления
f'к быстро возрастают, то практически приходится ограничиваться
несколькими членами ряда. Всюду дальше рассматриваются лишь первые
две гармоники. В таком случае вопрос о сходимости ряда практически
не имеет большого значения. Применимость укороченных сумм (1.13)
определяется не сходимостью ряда, а их асимптотическими свойствами
при £ —> О . Такое решение будет достаточно точным, по крайней
мере, при малом £ . Таким образом, в соответствии с основной
идеей асимптотического метода [ 25 ] f здесь ставится задача о
нахождении таких функций <рн , чтобы укороченное выражение
(1.10), содержащее п первых гармоник, удовлетворяло исходным
уравнениям (1,4) с точностью до величин порядка 0(t"*1 ) .
Основная задача, которая будет рассматриваться для системы
(1.11) - это задача с начальными условиями. Предположим, что в
момент t * О функции и , ц> Kg известны, т.е. задано некоторое
начальное возмущение ламинарного течения. В частности, оно может
быть взято в соответствии с линейной теорией, если задать некоторую
начальную амплитуду. Тогда уравнения (1.11) позволяют рассчитать
каким-либо численным методом развитие начального возмущения в
последующие моменты времени. Таким образом можно установить, затухает
ли начальное возмущение или переходит в предельный режим, а также
получить промежуточные состояния,,
Применим уравнения (1.11) или (1.8) к исследованию нелинейной
неустойчивости плоскопараллельного течения Пуазейля [26] .
В экспериментальных работах £"/ J , £ 2 J и других установлено,
что в той или иной форме неустойчивость течения Пуазейля может
наступить при числе Рейнольдса Ren , которое существенно меньше
критического числа Re K линейной теории ( Re п ж 1000, Reк* 5780 ) .
Заметное влияние на неустойчивость оказывает величина характерной
амплитуды возмущений на входе в канал, что указывает на возможность
проявления нелинейных эффектов. Первый метод исследования нелинейной
неустойчивости плоскопараллельного течения предложен в [ 3 ] .
Конкретные расчеты предельных режимов, которые могут существовать при
R е <■ Re к , проведены в работах [ ^, 5>&] . Расчеты показывают
принципиальную возможность нелинейной неустойчивости в докритической
области, по крайней мере, при малых отклонениях Re от ReK .
Вопросам развития и стабилизации возмущений посвящены также работы
С г 2 .
Основное течение задается формулами ;
Y»y-f У3 , V-1-,2 . (1Л4)
Функция тока возмущения должна удовлетворять граничным условиям
ЗУ Эц, . (Ы5)
Эх <?у » I * / >
72

откуда следует;
Г« « » i У ' (1.16)
к -- 1,2 ...
Для и0 из (1.15) получаем
"о = 0 , (У") . П-16)
Система уравнений (1.11) с граничными условиями (1.16), (1.16 )
допускает решения двух типов, отличающиеся условиями симметрии
относительно у = О : 1) 4>гк - несимметричные, </>гк^.1 -
симметричные функции у ,2) ¥г* -I Угк + i ~
несимметричные функции у .Ограничимся рассмотрением возмущений первого
типа, так как согласно линейной теории эти возмущения наиболее
неустойчивы. Для таких возмущений можно поставить краевую задачу на
отрезке -1 £ у 4 О ■'
(1.17)
ф' = 0 и> "' = О ( Ч - О )
V, = ° > <Л' = ° , к = 1 ,г ...
1 гк ' т гк ' ' у
Функция и,0 в любом из этих случаев является симметричной,
поэтому для ic 0 будем иметь два условия :
» (1.17')
Так как уравнения для и0 второго порядка по у , то для
определения S(t) требуется дополнительное условие.
Задачу о развитии возмущений можно рассмотреть в предположении,
что в потоке сохраняется постоянный расход, либо сохраняется
постоянный градиент давления. Это соответствует двум возможностям
реализации течения в канале. Для безразмерного среднего градиента давления
Рх. и Рясх°Да 9. легко вывести следующие выражения;
р = ^- (В - 2 )
х *е 0 ' ' (1.18)
ч - | * 21 и* dy
-;
Если предположить, что сохраняется постоянный градиент давления
р = - -г , то следует принять . B(t) = О . Если предположить, что
сохраняется расход <^= -— , то величину Sft) в каждый момент
следует подбирать так, чтобы обращался в нуль интеграл Г и du = О .
-1
73

В первом нз этих случаев развитие возмущений будет вызывать
изменение расхода, во втором будет изменяться градиент давления.
2. Частные решения уравнении для возмущений. Рассмотрим
частные решения системы (1.11). Введем действительную величину A(t)
соотношением
— «б А + б А3 + б V * ■• ■ (МО)
dt ' 3 5
н представим коэффициенты решения (1.Ю), а также с в виде
разложений ;
(1.20)
и. - А (и. + А и. *••').
CrC +AZC +•• К = 1,2 ...
Подставляя (1.20) в (1.11) и приравнивая нулю выражения при
степенях Аг , получим для о. „ , и. 0£ уравнения j
(1.21)
/' г
Граничные условия для у.ке , "-ое сохранят вид (1.17), (1.17)
Правые части Фк1 , н выражаются через функции а 5
а от с меньшими номерами и производные от этих функций по У . В
частности,
74

Ф = о
to
Ф = г Ф ° * (I с + -3 ) со
» и 1 г ос I ю *
' =-o со - о cJ + - g
*/ а Ю го d го го 2d
ю го
1 1 *
го ю оо </ ю °° ю
4 со + и, а - со со
«го 1о оо d1
Ф - — " / '" ' " )
го 2 '</ ,„ dto d to d"> / *
оо H ^<?io d io 7 io " 10 '
Систему (1.21) можно решать последовательно. При к-1 ,t-Q
имеем Ф,0 - О , поэтому для о получается однородная краевая
задача Орра-Зоммерфельда, из которой можно найти а с точностью
до числового множителя и собственное число С0 -б,/ i ■
(Получающееся уравнение является комплексно-сопряженным к уравнению (1.17)
главы 1).
Если число Рейнольдса и волновое число ае таковы, что точка
Re , <* расположена на нейтральной кривой, то 6i - О ■ В случае
<о, * 0 краевые задачи для а „ не разрешимы при произвольных
®Kf c ас • Действительно, уравнения для коэффициентов о
разложения </»f будут иметь одинаковый оператор в левой части, при этом
соответствующая однородная краевая задача имеет нетривиальное
решение. Поэтому краевые задачи для а будут разрешимы, если правые
части удовлетворяют условию ортогональности
-1
где а есть ортогонально сопряженная к Q10 функция,
удовлетворяющая таким же граничным условиям. Условие (1.22) может быть
выполнено, если выбрать соответствующим образом 6 , С . В
частности, при 6=1 получаем
75

(*rl6,/«)'(\Kj,.d!')(\"nhdy) ■ (Ь23)
Хотя при 6f * 0 выполнение (1.22) не является необходимым условием,
можно и при произвольном б 1 рассматривать частное решение, для
которого коэффициенты 6К , с к определяются из соотношений (1.22).
Это частное решение предложено в [ 3 J , а конкретные расчеты по
формулам, подобным (1.23), проведены в С ^ 5 J.. Наибольший
интерес представляет поведение этого решения в окрестности
критической точки ReK > °*-* линейной теории. Так как согласно расчетам
<о >0 при Re и , <* * * то из (1 -19) заключаем, что, по крайней
мере, при малых отклонениях в докритическую область, в которой Re <Re ?
<d 1 < 0 7 может существовать предельный режим с амплитудой 4 =
= а2 =- 6,/<33 . Если А(о)< Ах, то частное решение должно
затухать ; амплитуда может возрастать, если А (о) > А . В
окрестности Re , ос к в закритической области решение не имеет предельного
режима.
Другой метод построения частных решений применен к
рассматриваемому течению в работе £ 8 3 • Этим методом удобно получить
предельные режимы в окрестности Re ~ Re л. Введем малый параметр
'/г
t.[(ReK-Re)/ReJ .
Примем для \f> , с J Re разложения;
г г( > , (1-24)
Л Лл /1* / "
с = Со - £г с^ - -• • К * 1,2
Подставляя (1.24) в (1.11) и приравнивая нулю выражения при разных
степенях £ , получим уравнения для коэффициентов разложений. Из
условия (1.22) разрешимости задачи для о , получаем уравнение
для а , Сг ;
О, - <> ^ )/>> ,
а2 = (У - с, Л )/У. 1-25)
76

-1
о о (1.25)
У - со 5. du , У ---[ Ф° d
У
В работах [ Ч ] , [ 8 J расчеты выполнены при условии
постоянства расхода и получено, соответственно,
аа = 0,044 , ^а = 0,035 ,
где £> = 11/> Г° )[ • При условии постоянства градиента давления в
[5] получено ра - 0,0кц . Так как j f | имеет максимум при
и=0, то максимальное значение амплитуды первой гармоники
возмущения для предельного режима будет (<^>i )та% = бар . При Re - 5000
предельный режим имеет следующие характеристики: (*Pt) = (7,076,
ио (о) = -а,огч При Рх = const } и0(о) = о,оо77
при о - с о n^t . Соответствующие значения при Re - 4000 (если
допустить, что разложение (1.24) сохраняет силу) будут 0,024,
-0.055, 0.018. Действительная и мнимая части собственной функции
линейной задачи в критической точке R в к f <х к даны на рис. 2.1. Функция
о и показанная на рис. 2.1 функция *pt связаны соотношением
а = «f . Ha рис. 2.2 показана средняя скорость возмущения
о го 1о
и. = [1Ы. Re ]'''(Sap)'2 и о в случае Рх * const (I) и
о, = const [ll) . Во втором случае кривая смещена вниз на д/ =-0,005.
3. Численное исследование нелинейного развития возмущений.
Обратимся теперь к точному исследованию задачи с начальными
данными для системы (1.11) численным методом. Цель таких расчетов
заключается в том, чтобы проследить поведение начальных возмущений
достаточно произвольной формы и связь их с явлением потери
устойчивости.
Начальное возмущение определяется заданием функций *рк ( о ,t )
в момент времени t = О ■ Естественно предположить, что в начальный
момент возбуждена только первая гармоника ьр1фО if = о к* 1 .
В частном случае <f (о, у) можно взять в соответствии с линейной
теорией, задав некоторую начальную амплитуду А (о) . Тогда уравнения
(1.11) вместе с граничными условиями позволяют рассчитать
каким-либо численным методом развитие такого возмущения в последующие
моменты времени. Таким образом, можно установить, затухает или воз-
77

растает начальное возмущение и, тем самым, показать, насколько
сильным является рассматриваемый механизм неустойчивости.
Рис. 2.1
Для того, чтобы понизить порядок
производных по у в системе
(1.11), выразим *рк через и>к .
Обращая оператор ^"-«'^^ ,
получим
У
(1.26)
у
-'*Р(-«М9)\ ехр(«к y)tiK dy = Ци>к)
о
Рис. 12
Применяя теперь оператор L к уравнениям (1.П) при к <= 1,1}
будем иметь
■0005
■mil
78

Ti "Те (*'<"** *><) + Lcl*[(U' C M
'ZLjv'tp^J+itifoLf.pJ+LjOj + Rj* (1.27)
+ DM **P («**)* B**P (- «H V) ',
здесь оператор Lf совпадает с L , если заменить знак перед
вторым членом и
- *' ' 3 * г 1 ,i
Л 5
' 2
^'Л*!^ *,' , V**>, .
Уравнение (1.27) для »/> ^ имеет второй порядок по у ,
поэтому можно задать два из четырех граничных условий, а именно,
4>к ■ О , fy-/j,
Два других граничных условия удовлетворяются подбором двух
произвольных функций времени 2> (t) } В к (t ) . Учитыг.ая симметрию функций
ф относительно точки у= о , находим связь между J) В
Величина В в каждый момент времени подбирается так, чтобы вы-
полнялось условие \f> - О при у—7 . Функция tte определяется яз
19

первого уравнения (1.11) с граничными условиями (1.17 ). Так как
функции *рк (t 5 у J сильно изменяются только вблизи стенки у = - 1
то можно сделать их более гладкими с помощью замены у - Ч (3 )
при которой растягивается окрестность точки у - - 1 . Будем
учитывать только первые члены разложения (1.10) У, , У,, У2 . Система
уравнений включает два уравнения (1.27) для <р } у> и первое
уравнение (1.11) для llо . Введем N+ 7 расчетных точек $ п на
отрезке - f s S s О и пусть кр ft < ) = tf> „ .Тогда исходная систе-
ма, записанная в расчетных точках, принимает вид
^xn - j (1.28)
dt ' к-п
В правых частях производные по у заменяются конечноразностными
выражениями
ч,п L т *,л* 1 ' к( п- 1 ' 1 *
(1.29)
•f
" * /V - 2 <*> + *> )(ьй)
Система (1.28) является системой 5N обьпшовенных
дифференциальных уравнений. Она интегрировалась методом Рунге-Кутта с максималь-*
ным шагом, обеспечивающим достаточную точность, при N = 25 .
Фазовую скорость с в уравнениях (1.8), (1.11) можно задавать,
вообще говоря, произвольно. Без ограничения общности можно принять
с=0, так как соответствующие члены можно включить под зяак
производной по времени, однако в данном случае наиболее естественно
определить с по линейной теории. Решение линейной задачи для </> ,
и определение с * с. + I с . проводилось независимо от решения
нелинейных уравнений при каждом наборе Re г « . Применялась разно -
стная схема с центральными разностями повышенной точности,
изложенная в главе 1.
В момент времени t =■ О задаем коэффициенты первой гармоники
А0 %Р10 (ifi О) 7 Лд v^ (y^O) . Возбуждение второй гармоники *рг
стационарной части решения и 0 происходит автоматически вследствие
нелинейности уравнений (1.28). Рассмотрим два основных варианта: в
варианте 1 *и + ° , Ч>10- О , в варианте П - </>„ = <? , <fro ф О .
Функции f> f f w показаны на рис. 2.1 (линии 1 и 2). Начальная
амплитуда U^t изменялась так, что максимальное отношение возмущения
скорости к значению скорости основного течения на оси (и.9)та„/и
охватывало интервал примерно от O.Ol до О.1. Результаты удобно
представить, если наряду с амплитудной функцией A (t) ввести фазу в (t)
соотношением
V, • A (t ) у° Су, t) exp f- l в) ,
где
80

Решение линейной задачи с точностью до постоянного множителя имеет
вид
*, = "Р,° е*р (- ctc^)
Таким образом, в линейном приближении .'
A(t) = А0ехр(-ы с . t ) в - const
В нелинейном случае функция A(t) определяется как своим начальным
значением, гак и формой возмущения Ф° (j/, о) . Если с течением
времени влияние нелинейности уменьшается, то в будет стремиться к
(С - С ) t , где с есть величина, принятая в разложении (1.Ю), а
с% - действительная часть собственного значения линейной задачи.
Поэтому если принять с = с % , то в коэффициентах первой гармоники
будут уменьшены колебания по времени.
Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 2.3 - 2.6.
Прежде всего отметим, что принципиальное различие между случаями
рх = canst и а, - const отсутствует. Наиболее интересный вывод из
анализа расчетов заключается в том, что независимо от формы
возмущения в начальный момент коэффициенты первой гармоники с течением
времени приближаются к соответствующим функциям линейной теории.
На рис. 2.3 показано, как происходит изменение начального возмущения
в варианте П при Re = ЬООО , <*» г , А {о) = о, г , Рк = const .
Линии 1-5 относятся соответственно к моментам времени t = 1,6 ;
11,2 ; 30,4 ; 44,8 ; 70,4. На рис. 2.4 приведена функция «/> ° при
Re = 100DO , of = ; в варианте I в моменты времени t = J6(l)
25,4 (2) ; 72(3). Уже при t * 70 решения мало отличаются от решений
линейной задачи. На этом начальном участке развития среднее
возмущение и,о и вторая гармоника <Рг , которые возбуждаются нелинейным
взаимодействием, не воздействуют существенным образом на основную
гармонику у . Характер развития и. 0 , Ч> z сильно зависит от
начальных данных, однако значения и. 0 7<Рг при начальных возмущениях
до Ю % основной скорости остаются малыми.
O.0S
0.02S
го
а*
м
ом
02
0
-п?
//
\2
Ъ,
у£/
\я&
X
3 ^
_ _..-
у
№5
/ \ /
d_ _L t
-w -as -йб -ач -02 о
Рис. 2.3
■W -075 -OS 025
Рис. 2.4
81

Характер проявления
нелинейности в докритической и закрнтнческой
области существенно различный. На
рис. 2.5 линия 1 изображает
зависимость от времени амплитуды пер -
вой гармоники о - 10 г I «Р, (о, * ) I ,
а линия 2 - зависимость от времени
величины ог ■*■ tO ч | f 2' ( О , t) | в
варианте I при Re = 10000 ,
d * f и о * const . Отчетливо
виден начальный участок примерно
до t» 70, после которого
устанавливается асимптотический характер
Рис. 2.5 развития, когда j>f (t ) и j>2 б* )
возрастают соответственно как
е*р (& , *j и exp f2fi^t). Каждая последующая гармоника ^ будет
возрастать как ехр(к 6. Ь). Даже в том случае, когда в начальный
момент равны нулю все коэффициенты >р к кроме у», t и амплитуда
f мала, в результате нелинейного взаимодействия возбуждаются
более высокие гармоники у»2 , у3 ... , при этом с течением времени
более высокие гармоники нарастают быстрее. Поэтому наступит момент,
когда в решении (1ЛО) станут существенными высокие частоты, что
приведет к быстрому разрушению основного течения. Этот результат
соответствует экспериментальным данным о характере неустойчивости
при Re > Re K Г / J
На рис. 2.6 показано развитие
амплитуд первой и второй гармоники
в варианте П при Re - 4000 ,
« = f , Pjc ' COn&t . На этом
рис. приведены о г 10 J f1 (o71)\
н j3z= 50 j f't (0,t)\ . Здесь
1.4
S
to
as
OS
Ш
1 1 1
№
i2
48
6*
Рис. 2.6
амплитуда второй гармоники с
течением времени медленно убывает,
поэтому влияние ее на развитие
первой гармоники уменьшается. После
начального участка развития, на котором происходят значительные кале»,
бания, устанавливается асимптотический режим, когда возмущение
изменяется медленно. В начальный момент амплитуда р, равнялась
l.O, что почти на порядок больше амплитуды предельного режима, однако,
отчетливые проявления сильной неустойчивости отсутствуют.
В работе [ jb J численное исследование задачи с начальными
данными для системы (1.11) проводилось методом конечных разностей.
Расчеты показывают, что в докритической области нарастание возмущений
может начинаться только после значительного интервала времени
О <, t £ Т в течение которого поток перестраивается. Это
нарастание происходит медленно. На рис. 2.7 показаны критические значения
амплитуды возмущения в начальный момент t = О при различных
числах Рейнольдса и <* = 1 . Линии 1-5 соответствуют работам [ 6 ]
82

Г5-, 4 J , С ib ] . В первых четырех работах применялись полу
аналитические методы исследования. Сильное различие их результатов является
следствием упрощений при постановке и.решении задачи.
.I i i i ,i , i i i i i_
О оо/ оог aoi m от аов шл ао$ от
Рис. 2.7
Рассмотренные возмущения частного вида налагают определенные
ограничения на основное течение, так как не учитывается влияние
концов канала. Потеря устойчивости ламинарного течения может
вызываться также возмущениями более общей формы. В частности, заметную
роль могут играть пространственно растущие возмущения, на развитие
которых оказывают влияние условия на концах [ -/О J .
Развивающееся возмущение принимает сложные промежуточные формы (рис. 2.3,
2.4). Это создает возможность проявления другого механизма,
связанного со вторичной неустойчивостью [ б J . Как будет видно в
дальнейшем, при численном исследовании нелинейного развития простых
периодических по х возмущений в илоскопараллельном течении
Куэтта получаются во многих отношениях аналогичные результаты.
§ 2. Образование вихрей Тейлора в течении между вращающимися
цилиндрами
Движение вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами
представляет наиболее известный случай, когда после потери устойчивости
развивается и устанавливается вторичное течение. Это течение,
состоящее из периодических вдоль оси вращения вихрей, обнаружено
экспериментально Тейлором, который провел также первое исследование
устойчивости движущейся между цилиндрами жидкости к бесконечно
малым возмущениям. В настоящее время этой задаче посвящена обширная
литература. Расчет вихрей приближенными аналитическими методами
проводился в работах [ 15 , -j 6 , 17 J , а прямое численное
интегрирование применялось в [ 18 , 19] ив некоторых других. Для этой
задачи в работах С 21 ,Z2< ] получен также ряд строгих
математических результатов о неустойчивости основного течения, существовании и
единственности вторичного режима. Линейная теория устойчивости
83

подробно рассматривается в [ g_L{ ] , а обзор результатов и
некоторых нерешенных вопросов дается в [ Яб ]
1. Уравнения для возмущений в случае малого зазора между
цилиндрами. Пусть г, , Zг - радиусы, J2f , Л г - характерные
скорости вращения внутреннего и внешнего цилиндров. В цилиндрической
системе координат *,'2, V состояние жидкости описывается
составляющими скорости V-z у V- 7 V и давлением Р . Введем
новые безразмерные независимые переменные £ , £, г х и искомые
функции и . иг р соотношениями :
7 1 Г
2 ч (2.1)
V- - ZoiRe&V ll , ir = Zol ReBVvj- v *V(v+V) ,
p--ZlVZop V = ь SI S : (г -t )г" .
i i r •> 1 1 1 ' *" 2 J ' / '
В новых переменных уравнения поверхностей внутреннего и внешнего
цилиндров будут £ = о , <? = » •
Предположим, что движение жидкости является осесимметричным,
тогда уравнения движения и неразрывности приводятся к виду Г 77 7
о
д U, _ 2 / <?«• <?И- v «ЭР <3 «,
— + гТос Iw — -*• и — ) = + +
г 3 ll - ди,
+ ОС ; + ЬЕ »
— + 1Ты (V + — )Ю- + и,— +
(2.2)
э21г , aV о 3v „г
+ 5E.w(V + v ) J = + ы ■ + Ъ £ — - Ь £ v
Это- г , дго- dw \ 1 -г г г \
+ 2 Ты I TV — + u. — - - <* ifv + 2vV) =
84

-г ЭР 3zw i 3zvf *r div ,2p2
o( + + & + о к - о £ то-
г я*г л„ »
дч дчг at,1 дч
— + + д Ew * О £ = (/+$!?)
Здесь введены обозначения :
Re - SI i Zf (гг - 11) i - число Рейнольдса,
T - Re о - число Тейлора,
— длина волны по переменной г
Функция V(ч) описывает распределение скорости в стационарном
течении Куэтта между вращающимися цилиндрами. Она удовлетворяет
уравнению
V"+ SEV'-b*£2V - 0
с граничными условиями
V(0)-1 , Y(t)=cJ--zzsii(liSli)~[
Отсюда находим
У-Ф***7Гр-*(*•**>]
Составляющие скорости и., V-, W являются добавками к решению
Куэтта, возникающими вследствие неустойчивости течения (2.3). Они
удовлетворяют однородным граничным условиям
(2.4)
и-
= О , v = О f ал= О f ( ч = О , *1-- 1 ) .
Задача (2,2), (2.4) для возмущений определяется в общем случае
четырьмя параметрами Т , 8, ос, и) . Ограничимся рассмотрением
узкого зазора между цилиндрами, когда величину о можно считать
малой и предположим, что вращается только внутренний цилиндр.
Отбрасывая в (1.2), (1.3), (1.4) члены, содержащие $ и cJ , вводя
функцию тока соотношениями
<?* <>*
85

придем к следующей задаче для определения f t v
— +2T<x I—- — -V ) <* —- =0
дЛ т г/дч> ЭЛ Вц/ дЛ \ . 4tSdv дгЛ г a SI
эг 1а* эк эц д) I 'at. а*2 а?2 • (2.5)
«.О , У=0 , — 'О t (>,. О t 7* f ) (2.6)
В уравнениях (2.5) сохранены члены, содержащие основной параметр
задачи Т . При малых 5 величина -Л г.* I'1 должна быть
настолько большой, чтобы Т оставалось конечным.
Будем искать периодическое по 1» решение однородной краевой
задачи (2.5), (2.6). Учитывая определенную симметрию уравнений (2.5),
такое решение можно представить в виде I
2 Т<х г У * у sin £ + V tin It + ...
i ' г
(2.7)
v = v + *
о
cos £ + V cos 2 К + ■■ '
Коэффициенты разложений (2.7) V , v^ зависят от t y ip .
Подставим (2.7) в уравнения (2.5) и преобразуем получающиеся
выражения так, чтобы они содержали только суммы тригонометрических
функций кратных углов sin m Г, ,cos m*, с коэффициентами,
зависящими от ъл т Ч* к и их производных. Такое преобразование можно
провести непосредственным перемножением выражений типа f д Ч* \ f£j^_ )
\ а* I \ а X, I
и применением формул тригонометрии, выражающих произведение двух
тригонометрических функций через сумму. По методу, изложенному в
§ 1, составим уравнения (1.7), в результате будем иметь следующую
систему уравнений :
3v
ах
- г V + - (v Y )
86

т-' *г' -ыг* +(v'+v')W, * ~[v! f -с
Эх * t \ ■ © ? » 2 L г '
(2.8)
ат
17
{Сл^/.^л/} .
Для il получаем из (2.5) разложение, подобное разложению %
Связь между У и SLK легко получается в виде
(2-8)
Я * УГК • кг«г *„ .
Из (2.6) находим граничные условия для коэффициентов разложений
(2.7):
■О- = О ш = О f ' - О ( 4 = 0 . ? ш 1)
(2ЛО)
В (2.8) - (2.Ю) штрихи обозначают дифференцирование по £ .
Введем амплитудный множитель £ для V , ¥, • Для этого
положим
v=ev* . У * € Y*
где v и f, имеют порядок единицы. Легко видеть, что чг = о(е *)
У * О С £*) . Ограничимся рассмотрением первых двух
членов в разложениях (2.7). Тогда решение (2.7) будет удовлетворять
уравнениям (2.5) с точностью до членов порядка £3 . При d -» О
оно асимптотически переходит в точное решение.
87

2. Приближенное решение. Прежде чем исследовать систему
(2.8), рассмотрим приближенное решение, позволяющее
продемонстрировать некоторые основные свойства возмущений в рассматриваемом
течении. Поместим начало координат в плоскости, разделяющей зазор на
равные части, положив у «- - + $ . Тогда скорость основного течения
разделится на симметричную и несимметричную составляющую
У * ^ ~ У • Численные решения показывают, что влияние
несимметричной составляющей ^s у на V, , У. невелико, по крайней
мере, при малых £ . Положим V - 1* V'--1 : для v г*,
V примем выражения
f
(2.11)
и отбросим v-j , Y2) считая их малыми. Легко видеть, что выражения
(2.11) удовлетворяют граничным условиям (2ЛО).
Функцию <Р (у) выберем так, чтобы первое уравнение (2.8)
выполнялось точно при dv0/3z - О . В этом случае имеем
G? = т vV (<j. ;, отсюда находим с учетом условий ^~a(t -z )* О
<Р'*1-1Ч0^ G--+-VY . (2Л2)
г » 280
Вихрь -ft.f вьфазим через У по формуле (2.9)
Умножая каждое из ураи
<г в пределах (- | ? + i )
Умножая каждое из уравнений для -о-% ч Y на ^ и интегрируя по
r/+2l"2}f7+f60+2o'%re"V)y' = "I7<"V • <2ЛЗ>
Для вычисления интегралов здесь удобно воспользоваться соотношением
Уг '/г
Г * г /■ \-т f *"' (2.14)
J » *У; *^*2*) J f *у . ^Л4>
-'Л -'/«
В правой части первого уравнения (2.13) отброшена несимметричная
составляющая средней скорости V0 - у .
Система (2.13) описывает поведение первой основной гармоники
возмущений. В ней учитывается лишь один нелинейный эффект, а именно,
искажение основного течения в результате взаимодействия периодических
возмущений. Это искажение определяется величиной Q . Если
амплитуды возмущений ■»-, , У, малы, то в линейном приближении можно в
(2.13) положить Q- О . Частное решение линейной системы имеет вид;
88

V = Аекр бг i T = В е%р 6т
(2.15)
Подставляя (2.15) в (2.13) и исключая А , в , получим характери-
ческое уравнение для б
150 28 l15 ТОО ТОО ' (2.16)
-г/^^^^-м .♦;
1400 W 15 то
В соответствии с (2.15) возмущение будет расти, если <Ь >0 .
Уравнение (2.16) имеет решение 6 >0 , если правая часть этого уравнения
положительна. На нейтральной кривой 6-0 правая часть обращается в
нуль. Отсюда получаем уравнение нейтральной кривой
т .5soa«~*(i+ -£ «'У'*1 *2 + i- «« ) . (2.17)
При каждом значении of из интервала О < ос < оо по формуле (2.17)
можем найти критическое значение числа Тейлора Тн . Область
неустойчивых возмущений отмечена на рис. 2.8 цифрой 1. На этом рисунке
видно, что при каждом заданном числе Тейлора Т > Т * имеется це-
лый интервал длин волн, для которых основное течение неустойчиво. При
каждом значении ос из этого интервала возмущение вида (2.7) с
бесконечно малой амплитудой, наложенное в момент t * О на основное
течение, будет возрастать. Как впервые установлено экспериментально в
работе Г 14 ] , имеется большой диапазон значений Т , при
которых эти возмущения стабилизируются,и течение переходит в новое
течение, показанное схематически на рис. 2.9 В жидкости возникает ряд
тороидальных вихрей (вихри Тейлора), расположенных периодически вдоль
оси 2 . При больших Т в течении могут возникать также новые
возмущения. Рассмотрим предельные стационарные течения. Полагая в (2.13)
д/дт - °| исключая V , получим
6 = 1,52(1- Тн («)/Т ) . (2.18)
Подставляя сюда вместо ф его выражение через У в соответствии
с (2.12) и (2.13), найдем амплитуду У2 стационарного течения
Установим физический смысл величины б . Момент сил трения /Л ,
действующих на цилиндр, равен
/И -б
■ llfzz
1
t-.z,
89

где
«■•Р ~"^<Эг
^
компонента тензора напряжений.
Отсюда с точностью до членов порядка
8
получаем
*--2^,2*>^r'(>--o'L0)
(2.19)
где
Л1
М = М (1 -КЬ )
- момент сил трения в течении Куэтта.
Таким образом, /Л б представляет добавку к моменту сил трения,
которая связана с образованием вихрей. Согласно формулам (2.16),
(2.18) эта величина при любом фиксированном Т . равна нулю на
нейтральной кривой и достигает максимума при ос ж 0,32 .
/
оС
Ш
г
/500
#№0
Рис. 2.8
6500
Рис. 2.9
Выкладки, которые привели к системе
(2.13), можно рассматривать как первый
шаг в применении прямого метода. Решение
можно уточнить, если v-f , Y-i представить
в виде разложений по системе функций о *.
Тогда в А/ -м приближении для вычисления
коэффициентов разложений получим системы
уравнений, приравнивая нулю интегралы от
произведений левых частей уравнений на
при
',2
N
Как это обычно бывает при применении
прямого метода, решение можно улучшить
уже в первом приближении, если удачно
выбрать приближающие функции.
Например, если применять
а для Yf
сохранить выражение (2.И), то в
точках
У--* у
уравнение для
будет удовлетворяться точно. Проводя
указанные выкладки, получим в формуле
(2.18) коэффициент 1,51 , который
лучше соответствует численным
решениям.
3. Развитие вихрей из малых
возмущений. Обратимся теперь к
исследованию полной системы (2.8). В силу ее
нелинейности решение можно провести
лишь численно. Поставим для нее задачу
Коши. Пусть в момент t » О задано
начальное возмущение ir (4 ) , У (t) .
Требуется определить поведение этого возмущения в последующие
моменты времени. В системе (2.8) учитываются два нелинейных эффекта :
90

возбуждение вторых гармоник №, (^ , r j , ^г f' 1 г ) > а также
непериодической добавки V0 (ц,ъ), искажающей основное течение. Для
численного решения этой задачи введем на отрезке о & ? * / N
расчетных точек и аппроксимируем производные по ^ конечными
разностями через значения функций vK . (х ) у ■ (т ) в этих точках. В
расчетах, результаты которых будут приводиться, применялись формулы
центральных разностей (1.29). Уравнения (2.8) запишем в расчетных
точках. Тогда для г?- . [v ) SI . (х) получим систему 5(N'- г)
i J
обыкновенных дифференциальных уравнений. Значения у/ . (т)
получаем из (2.9)
У
Ч> *(zkoc)~1(exj exSl dr-e-*le*Sl d,, ) , (2.20)
K О К о К /
Для toi о чтобы выполнялись граничные условия (2.Ю) для Ч>'к , на
J2. следует наложить условия j e J2 df -О t J e SI d % = 0 .
о о
Начальные возмущения можно задавать достаточно произвольно.
Как показывают расчеты, при всех значениях Т ? ос из области
неустойчивости происходит достаточно быстрый выход к равновесному
решению при произвольных начальных возмущениях. Характер выхода
можно видеть на рис. 2.Ю в одном частном случае. В работе [23]
вывод о том, что начальное возмущение должно переходить в
предельное стационарное решение, получен методами функционального анализа.
-?
-\
0.
г~
4
JUs*^-
14 Q.
Т-Ы50
Ijc'-0.57S
2.й'=0.М9
0% г ai,
-vj
аоо&
■ом
Рис. 2.Ю
0.0 S
tfl/2
На рис. 2.11 показана зависимость амплитудных функций равновесного
режима vK 7 УГк от •? при <* = 0,379 , 7 = 2 2 50 . Расчет
проведен при N- 41 . функции нормированы с помощью величин v = о,731
г*2 = 0</33 • ю'' , ^--110 , ¥z*f2,6 . функции и-1 t Vf мало
отклоняются от симметричной формы по у , которая принималась в
приближенном решении. Несимметричность 1>г , уг более заметна. На рис.
2.12 показана зависимость от of наиболее важной характеристики те-
91

чешгя б (2) и показаны результаты приближенного
решення(1).Максимальное значение G достигается при <х = 0,Ъ1Э ■ Наконец, на рис.
2.13Даетсп зависимость G от Т при &. = 0,319 . Для сравнения
нанесены также результаты работ [ /$ 26 ]
0 075
0.025
-«с
/Ах
"\.
05
075
G
o.so
0.25
Г=2&0
-/
-*
0#
Рис. 2.11 is
&
1.0
а 32
0.52
0.5
О
т
Рис. 2.12
1S00 Ч0ОО 6SOO
Рис. 2.13
ЭОоо
§ 3. Нелинейные возмущения в плоскопараллельном течении Куэтта
Плоскопараллельное течение Куэтта не обладает свойством
неустойчивости к бесконечно малым возмущениям, имеющим форму бегущих волн
типа (1ЛО). Особый интерес для этого течения приобретает
исследование возмущений с начальной амплитудой, имеющей конечную величину.
Как показывают эксперименты, при достаточно большом числе Рейнольд-
са в течении Куэтта возникают и развиваются неустойчивые возмущения.
Одной из возможных причин этого может быть нелинейная неустойчивость
к волновым возмущениям с достаточно большой начальной амплитудой.
Отсутствие неустойчивых возмущений в линейной постановке
затрудняет исследование задачи в нелинейном приближении, поскольку нельзя
применить методы разложения по малому параметру от нейтральной
кривой.
В работах [17 , Z7 ] задача о развитии волновых возмущений,
периодических относительно продольной переменной х. , сводилась
приближенно к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе
С Я8 1 применялся метод Стюарта , однако, применение этого
метода в данной задаче недостаточно обосновано. В последнее время
получен также ряд строгих математических результатов о существовании
решения и асимптотическом поведении его при малых отклонениях от
линейного приближения Г 42, гл. 1 J.
92

1. Уравнения для амплитуд. Поместим начало координат в
плоскости, параллельной стенкам и делящей расстояние между ними
пополам. Тогда уравнения граничных поверхностей будут у = t — , а
основное течение Куэтта дается формулами
17-у у в 1. цг (3.1)
' 2
Ограничимся рассмотрением двумерных волн, поведение которых
описывается системой (1.8). Поставим для этой системы задачу с
начальными данными: пусть в момент t = О задано распределение
коэффициентов *рк (0,1/) разложения функции тока (1.5). Требуется определить
поведение ipK (t t у) в последующие моменты времени, Форма
начальных возмущений в целом является произвольной: чем более широкий
класс начальных состояний рассмотрен, тем более общий характер могут
иметь выводы об их нелинейном развитии. Так как здесь изучается
проблема устойчивости или неустойчивости течения, то общее ограничение
заключается в том, что возмущения должны быть достаточно малыми.
Основная трудность численного решения полных уравнений при
больших числах Re , при которых можно ожидать проявления нелинейной
неустойчивости, связана с большим объемом необходимых вычислений.
Рассмотрим приближенное решение этой задачи, а именно, заменим
уравнения (1.8) приближенными уравнениями в интегральной форме
относительно переменной у , как это делалось в § 2 для течения Куэтта
между цилиндрами. Так как средний продольный градиент давления
отсутствует, положим /5 = 0 . Без ограничения общности примем ft о .
Из (1.8), (3.1) следует, что можно #принять следующее разделение
искомых функций по условию симметрии: Yt0 , Ф г1 - симметричные
функции у ; и,в , У , 'f го - несимметричные. Учитывая, что на
границе области течения должны выполняться условия
f... , ibi-o , fjr-t У, ) (3-2)
положим для симметричной и несимметричной функции, соответственно
и> а г to л г 1 г (3.3)
Здесь 4 = A (t) обозначает соответствующую амплитуду.
Подставляя (3.3) в уравнения (1.8), умножая на ^ или у е. , и проводя
интегрирование от у s - I до y = *-j, получим следующие
обыкновенные дифференциальные уравнения для амплитуд ;
с/А.
а,
2 с/,
— = а»Ап + — (-а+е)А Л ,
,t Re з о 2 1 2 ' ю » '
(3.4)
, 2\ ^Af0 i j , ч F10
93

(ег.ву} lii: . «(U-Sh )Afo-l (вз + 2вз«г +
i ' и Z it '
a. A
(в + 4в«г)—^ =-г<х(г -U«Zr )А -L (6 *
2 1 ' dt I 3 I 1 ' 21 Re к S
(3.4)
*&Во1г+1бвос")А + i <*F
2 i го 1 го »
(****а*Ы')7Г -'го1(Гг-«"гГ,)Аго
-— (а + 8а ос* + Гба м11) А * ^ « F
Re 3 а * ' 21 2 и
Нелинейные правые части уравнений (3.4) имеют следующий вид I
F *-(Ца * 2е -ел1) А А *(1а*е-
11 I с 10 1
(3.5)
_1ва1ПА A '^dA A
2 / ю zi 2 it го »
F=4(Za +е - гвасг)А А - (2л * е ) А * + | dA *
20 I ' о if l / го 2 п '
F ---Ц(^а -Z6<xl)A A -(^а^е)А A
ц L 2 ' о го к 2 ' w 11
Значения коэффициентов а , 6 ... даны в таблице 2.1. Уравнения
(3.4) записаны в неподвижной системе координат, в которой с = о .
Переход к системе уравнений (3.4) по существу представляет первый
шаг в применении прямого метода. Решение можно уточнить, если в
формулах (3.3) взять разложения по полной системе четных функций
у, . Ограничимся системой (3.4), рассматривая ее как определенную
модель при исследовании устойчивости плоскопараллельного течения .
94

Таблица 2.1
а, =0.15873-10~2 gf =0.36075-10-4 ^ =0.36075-10-4
аг =0.19048-10~1 вг =0.15873-10~2 ^ = 0.15873-10~2
а3 =0-8 в3 =0.14286 f3 =0
а = 0.28857-10"3 6 =0.5556'Ю~2 е =0.12987-10"2
d =0.1666-1 О-4
Основному течению соответствует тривиальное решение А 0 = О t
A Ki= О . Чтобы исследовать устойчивость этого течения, проведем
линеаризацию системы (3.4), тогда для А А „ получим линейную
задачу с постоянными коэффициентами, которые очевидным образом
выражаются через коэффициенты (3.4)1
= — а А * а А ,
dt Re «г «> *> "
(3.7)
ЫА 1
= А, Л - h A
dt Не 2 " * ,0
Легко видеть с помощью табл. 2.1, что Q ,9 t h1 J h > О
Будем искать решение в виде
А = А ехр 6t A = const
(3.6)
Подставляя (3.6) в линеаризованную систему (3.7), получим из условия
обращения в нуль определителя системы для А
*
KV
*-'гТ.Ь*ь.)^к^)Ъг-ь*)Л*Ьк<
(3.8)
I I Q. -п~) + 4 h.
2Re
Выражение (3.8) при всех Re имеет отрицательную действительную
часть, поэтому возмущения (3.6) с течением времени будут затухать.
Таким образом, основное течение всегда устойчиво. При
95

Re >^2-AJY<7,*J
С имеет также мнимую часть, поэтому решение (3.6) будет иметь
колебательный по времени характер с убывающей амплитудой колебаний.
Вопрос о развитии решения (3.4) с достаточно малой начальной
амплитудой имеет простой ответ: это решение будет затухать при i-*•«>,
2. Предельные состояния и их устойчивость. Прежде чем
рассматривать точные численные решения системы (3.4) при начальных
условиях конечной величины, исследуем приближенными методами вопрос
о существовании неубывающих решений этой системы. Предположим, что
такое решение, если оно существует, устанавливается в результате
нелинейного взаимодействия первой гармоники со средним возмущением
Ae i а образованием второй гармоники можно пренебречь. Отбрасывая
^го'^а» в (3.4), получим упрощенную систему
of A„ t
—" + J_ е 4 - е А А = 0
dt Re ' ° г to v
d A / (3'9)
±1» + ± а А - а А + « А А = О ,
dt Rg *Z К «1 11 ■ *3 «» "
—V + _1 h д + h а - А А А_ -- О .
dt Яе 2 " ' " ' °
Стационарное решение (3.9) имеет вид
V* А^Л^Г * Al *Re'leih*o<(frhA<>y1 , (зло)
Выясним условия, при которых величины, выражаемые этими формулами,
являются действительными и, следовательно, это решение представляет
возможное физическое состояние. Прежде всего, коэффициенты уравнений
(3.9) е- , 91 , h -k выражаются через величины, заданные таблицей
2.1 ; все они являются положительными при всех ос , кроме hi »
для которого имеем h^ > О при оС > ос ^ f hf < О при ос < ос ^ f
где оС^ % 5Ч0Ч. Из выражения (ЗЛО) для Аи следует, что должно
выполняться неравенство
96

,-r
Отсюда получаем ;
< О
A > О
о
(3.11)
Условие того, что А - действительное число, есть
*hh*bh>*'~*< ^Sb 'hih'*]
(3.12)
Таким образом, одновременно должны выполняться три неравенства
(3.11), (3.12). Легко видеть, что подходит только тот интервал
значений о* , для которого h > О . Действительно, пусть h < О .
Тогда
(*,£' *t h3,)Z- "}г Нг$ь h~'*«"* > (},1
1 (ГЗ
t \ г
i
h h")
поэтому в выражении (ЗЛО) перед корнем следует взять знак плюс,
чтобы было положительным А , Но при этом нарушится первое из
неравенств (З.П), так как
Пусть h > О . Тогда необходимым и достаточным условием того,
что неравенства (3.11) выполняются одновременно, является
hfh3f ~hh * °
(3.13)
Отсюда следует, что oi ^ 11,8
Неравенство (3.12) представляет условие, которое налагается на
число Рейнольдса. На рис. 2.14 показана область в плоскости (ос , Re''),
в которой выполняются условия (3.12), (3.13). Эта область ограничена
осью Re'1 = О и сплошной кривой, уравнение которой при больших ее t
Re'1 = 0,18 5 оС* ■ Re''
Для каждой пары значений
<* 1 Re из этой области име- 2Ю*
ется 4 различных решения,
которые отличаются значениями
А „ и знаками Д„ , А „. .
О 10 1 11 .fit
В таблице 2.2 представлены
решения для некоторых точек
из области существования.
Первые столбцы А о t А 10 , А и о
Рис Z.14

соответствуют решению со знаком плюс в выражении для
следние - решению со знаком минус.
, по-
Таблица 2.2
от
35
45
55
25
йе" го6
2.53
0.281
0.150
l.OO
^0
1.327
1.316
1.3Ю
1.355
А0'ГО*
4.81
4.35
3.04
8.05
А„'°3
27.6
1.86
1.63
9.33
Ао
1.328
1.317
1.311
V*
43.5
2.88
2.30
А,-гаг
З.Об
2.81
1.98
Средняя по времени амплитуда возмущения А е достаточно велика,
поэтому течение, соответствующее этому решению, в целом заметно
отличается от течения Куэтта. В частности, выражение для
непериодической по х части решения будет и, ■.
оценки для максимальных значений:
9}
Отсюда получаем
[Ы-и)/и]то*о,о* , |
и, - и'\ ~ 0705
таг
где V- у соответствует течению Куэтта. Эти результаты согласуются
с работой С 2.7 J , в которой применялся другой метод сведения к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Таким образом, наряду с тривиальным решением имеется еще одно
стационарное решение. Наличие стационарного состояния, в котором
может находиться система, показывает на принципиальную возможность
нелинейной неустойчивости. Основной вопрос заключается в том, к
какому из предельных состояний будет развиваться некоторое начальное
состояние (начальное возмущение) с течением времени. Так как система
может находиться только в устойчивых положениях, то прежде всего,
необходимо исследовать это решение на устойчивость. Положим
А - А + А е*р 6t А = А + А е*р
* • ° ' ** Ki Ki
6t
(3.14)
где величины с прямой чертой обозначают основное состояние, а с
волной - амплитуды соответствующего возмущения. Подставляя (3.14) в
линеаризованные уравнения (3.9), получим из условия обращения в
нуль определителя системы характеристическое уравнение
б3 + ^бг * кгб + кз-- о
(3.15)
98

Здесь ;
Корни характеристического уравнения (3.15) могут иметь
положительную и отрицательную действительную часть. Ниже приведено несколько
типичных значений.
Таблица 2.3
-1 g
Re- 10
2.53
0.5
Q.76
0.15
<*
35
35
55
55
6,70*
1ЛО
3.34
1.90
2.52
€г- 10*
-54,0
-12.4
-45.9
-9.11
V0*
-1,21
-3.34
-1.91
-2.52
V"*
-69.9
-12.7
-46.8
-9.21
«««•»*
2.68 ±Ю1
-0.02 ± 330
0.048 t 189
-0.007 t 250
Первые три значения в каждой строке соответствуют первому решению
(ЗЛО), в котором берется знак плюс в выражении для Ар , а вторые
три — решению со знаком минус.
Решения (ЗЛО) стационарных уравнений по характеру неустойчивости
делятся на две группы в зависимости от знака в выражении для Ав .
Состояния системы, в которых берется знак плюс в этом выражении,
всегда являются неустойчивыми. Состояния системы со знаком минус
могут быть неустойчивыми или устойчивыми. Устойчивость имеет место
лишь при малых значениях Re"' . (на рис. 2.14 ниже пунктирной
кривой). С уменьшением Re эти состояния также становятся
неустойчивыми. Действительные части показателя экспоненты, определяющие
скорость роста или затухания возмущения, являются малыми и имеют зна-
99

чения порядка Ю~ .
Всегда устойчивым в рассматриваемой задаче является состояние с
нулевыми значениями А0 } А ^н (соответствующее исходному течению
Куэтта). Для того чтобы система (3.4) вышла из него, следует создать,
возмущение с конечной амплитудой. Другое возможное устойчивое
состояние, описываемое формулами (ЗЛО), существует при больших числах
Рейнольдса. Показатели нарастания или затухания возмущений дли него
малы, поэтому выход на такое состояние, если он происходит', должен
быть- очень медленным.
Обратимся теперь к некоторым результатам численного решения.
3. Численное исследование развития возмущений. Прямое
исследование развития возмущений проводилось путем численного
интегрирования системы (3.4) - (3.5) с различными начальными условиями. Для
интегрирования применялся метод Рунге-Кутта с постоянным шагом. В
отдельных вариантах размер шага выбирался обычно в пределах
0,ОЗ > &t ь О, 01
Общим свойством всех исследованных вариантов является наличие
двух процессов, каждый из которых имеет свой характерный масштаб
времени. Первый процесс - колебания функций около средних значений,
второй - сравнительно медленное изменение этих средних значений.
Период колебаний т с достаточной точностью определяется линейной
теорией, он слабо зависит от вязкости. Из формулы (3.8) получаем
Г* z7T(hh^Vl ' Re >> 1 •
Изменение средних значений определяется, главным образом, вязкими
членами и его характерное время растет с ростом Re . При больших
числах Рейнольдса различие между этими временами может быть очень
значительным.
Численные результаты подтверждают основные выводы приближенного
аналитического исследования.
На рис, 2.15 - 2.17 показаны некоторые результаты прямого
численного исследования развития возмущений начального состояния А0= О у
А к £ - О . в момент t = О задавалось некоторое значение А ,
остальные амплитуды принимались равными нулю. Система очень быстро
переходит в режим колебаний с медленно убывающей амплитудой.
Величина А и имеет одинаковый порядок с А , зависимость от времени
представляет почти простую гармоническую волну, которая сдвинута на
четверть периода по сравнению с А ,0 . Характер убывания амплитуды
первой гармоники можно видеть на рис. 2.15. С уменьшением Re'1
скорость убывания становится меньше - она уменьшается вместе с
Е = (Re of ) , Амплитуда второй гармоники вначале возрастает,
затем также уменьшается, будучи на 1 - 2 порядка меньше амплитуды
первой гармоники.
ЮО

Начальное возмущение А
Рис. 2.15
ю
приводит к появлению
непериодического (по продольной
координате) возмущения А 0 ,
которое искажает основное
течение. Характер изменения А0
виден на рис. 2.17. Значения
А0 всегда отрицательны,
т.е. средняя скорость течения
уменьшается за счет колебаний
в потоке. Максимальное
значение J A e | достигается очень
быстро, а убывание | A e | и
переход к невозмущенному
состоянию
А. = О
XI,
происходит медленно. Расчеты
я
а/-
0
0.1
02
\я»
\5^й W
Iй \
\ 1 Щ \
\ г6
\ V
£40 , <£*ьо
А,
-V
-1
ЫО
Рис. 2.16
о а гм з.б i-tm
показывают, что переход к
решению (3.10) происходит
только при условии, что
начальны^ данные выбраны
очень близко к этому
решению.
Таким образом, в
развитии по времени малого
начального возмущения
проявляются два процесса:
колебания около среднего состояния
и медленное изменение
параметров среднего состояния.
Рис. 2.17
Ю1

X ."pa к тарное время первого процесса слабо зависит от числа
Рейне пьдеа, второго - определяется этим числом. В нелинейной постановке
i;;:oc непараллельное течение Куэтта обладает предельными режимами.
При больших числах Рейнольде а и определенном выборе начальных
значении может происходить переход течения к новому предельному состоянию.
Произвольно заданные начальные возмущения затухают.
ЛИТЕРАТУР.\
1» Davies S. J.,White С. К. An experimental study of the
flow of water in pipes of rectangular section.
Proc. Roy. Soc. Lond. A 110,92-107,1928.
2. Timothy W. Kao, Park C. Experimental investigation of
the stability of channel flows. P 1. Flow of a single
liquid in a rectangular channel, J. Fluid Mechanics, v43 ,
P 1, 145, 1970.
3. Stuart J. T, On the non-linear mechanics of wave
disturbances in stable and unstable parallel flow.
J. Fluid Mechanics, v9, P3, 333-370, 1960.
4. Reynolds W. C., Potter M. S. Finite-amplitude instability
of parallel shar flows. J. Fluid Mechanics, v 27, p 3,
465-492, 1967.
5. Chaim L. Pekeris, B. Shkoller. The neutral curves for
periodic perturbations of amplitude for plane Poiseuille
flow. J5 Piuic Mechanics, v 39, P 3, 629-639,1969; v 39, p 3,
611-627, 1969,
6. Stuart J, Т., Meksyn D. Stability of viscous motioh
between parallel planes for finite disturbances.
Proc, Roy. Soc Lond., A 208, 317, 1951.

7. Струминскнй В.В. О законах развития и стабилизации
аэродинамических возмущений. ДАН СССР, т. 161, № 1, 1965 ; т, 151, д 3,
1063 ; т. 153, № 3, 1963.
8. А.чдрейччков И.А., Юдович В.М. Об .татоколэбательи ,гх р-?жлм.1Х,
ответвляющихся от течэния Пуазейля з плоском хачалэ. ДАН СССР,
т.202, N9, 791-794, 1972,
9. Dowell E. H. Non-linear theory of unstable plane
Poiseuille flow.
J.Fluid Mechanics, v 38, p 2, 401-414, 1969.
Ю. Куликовский А.Г. Об устойчивости течения Пуазейля и
некоторых других течений в плоской трубе большой, но конечной длины при
больших числах Рейнольдса. ПММ, т. ЗО, в. 5, 822 - 335, 1066.
11. Комаров A.M. О развитии возмущений течения вязкой жидкости
в плоском канале. Изв. АН СССР, мех. и мат.,' № 6, 1964.
12. Шкадов В.Я. О нелинейном развитии возмущений в плоско-
параллельных течениях вязкой жидкости. Научные труды Института
механики МГУ, № 9, 4-28, 1971.
13. George W. D., Heliums J. D. Kydrodynamic stability in
plane Poiseuille flow with finite amplitude disturbances.
J. Fluid Mechanics, v 51, p 4, 687, 1972.
14. Taylor G. Stability of a viscous liquid contained
between two rotating cylinders.
Proc. Roy. Soc, A 223, 289, 1923.
15. Davey A. The growth of Taylor vortices in flow
between rotating cylinders,
J. Fluid Mechanics, v 14, p 3, 336-368, 1962.
16. Овчинникова С.Н., Юдович В.И. Расчет вторичного
стационарного течения между вращающимися цилиндрами. ПММ, т.32, вы:;, 5,
858-868, 1968.
17. Шкадов В.Я. Стационарные течения вязкой жидкости между
коаксиальными вращающимися цилиндрами после потери устойчивости.
МЖГ, № 3, 81-86, 1969.
18. Крылов А.Л., Произволова Е.К. Численное изучение течения
жидкости между вращающимися цилиндрами. Сб. работ ВЦ МГУ,
№ 2, 174, 1963.
ЮЗ

19» Capriz G.,Chelardon C.,Lombardi G. Numerical stu-
di of the stability problem for Goutte flow.
Phys. Fluids 9,1966,1954-1936.
20. Крылов А.Л. Доказательство неустойчивости одного течения
вязкой несжимаемой жидкости. ДАН СССР» т. 153, № 4, 787 -
790, 1963.
21. Юдович В.И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости
между вращающимися цилиндрами. ПММ, т. ЗО, вып. 4, 688 -
698, 1966.
22. Иванилов Ю.П., Яковлев Г.Н. О бифуркации течений жидкости
между вращающимися цилиндрами. ПММ, т. 30, вып. 4, 768 -
773, 1986,
23.Gooss G. Theorie non lineaire de la stabilite des
ecoulements laminaire dans le cas de l'echange des
stabilites. Arch. Rat. Mech. Anal.4o,3,166-208,1971.
24. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic
stability,Oxford,1961.
25. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. ФМ, М., 1963.
26. Шкадов В.Я. О нелинейном развитии возмущений в
плоскопараллельном течении Пуазейля. МЖГ, № 2, 1973.

ГЛАВА Ш
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛОЯХ ЖИДКОСТИ
§ 1. Волны в слое идеальной жидкости
В § 4 главы 1 даны уравнения (4.2) плоского движения вязкой
несжимаемой жидкости с поверхностью раздела и условия (4.7) на этой
поверхности. Запишем эти уравнения и граничные условия для слоя на твердой
поверхности» наклоненной под углом в к горизонту. Полная система в
этом случае включает также условия прилипания на твердой поверхности
и = О , V» О , (у ж о ) 0.1)
Введем безразмерные переменные соотношениями
tt = a(Ut' , Ex, » «*»' f у г £у' г I/ и, * a,' t V v-жгг' (1.2)
А*. А' , P?U] *p'- pj
Здесь размерные величины обозначены штрихами, t - характерная
толщина слоя, U9 — характерная скорость. Допустим, что со стороны
окружающей среды не действуют никакие внешние силы, кроме
постоянного давления рщ , и перепишем в новых переменных основную
систему уравнении '
а * и.о. *vu> *-p *(oiRe) (и, •* ас. и, ) + <*'' F~* sin в
t ж. у Г ж. * УУ дсх ' »
V+u.v +irv =-<* р * (atRt) (г *<х v )-ы F cos 8 . (1-3)
* ж у У l l W *«' '
и, + v = О
Ж. У
граничные условия при у « А (ж. t t)
*-
и. * oC (v- *lfeh v- ) * 0 (1.4)
у tx*y/ » vi.i/
p- Z*Re~4u#lh * )Sv ,-0ciW',h ВЩ
? L ж / V xx ■>
Ю5

В - (Г *oc*hZ )
Наряду с числами Re ? W , определенными соотношениями (4.35),
(4.39) главы 1, в уравнения (1.3) входит число Фруда, которое
определяется следующим образом
' -<(}П
- I
(1.5)
Для плоскопараллельного течения слоя постоянной толщины профиль
средней скорости имеет выражение (4.34) главы I.
Из первого уравнения (1.3) получаем связь между числами Рейнольд-
са и Фруда в этом случае
Рг, </3 tin В Re . d-6*
Параметр Ы. в системе (1.3), (1.4) представляет отношение
характерного масштаба по у к масштабу по ж . Если характеристики
течения слабо изменяются вдоль поверхности, то <* мало. В задачах,
которые рассматрнпаются далее в настоящей главе, предполагается, чтс
& является малой величиной.
1. Метод разложения для слоя идеальной жидкости. Рассмотрим
прежде всего нелинейные волны в слое идеальной жидкости на
горизонтальной поверхности. Теории этих волн посвящены многочисленные
исследования. Наиболее законченные результаты в задаче о потенциальных
волнах конечной амплитуды даны в [ 1 J . Задача об одиночных волнах
рассмотрена в С 2 , 3 J и некоторых других работах. Подробный
перечень литературы содержится в [ Ч г 5 г В J . Применим здесь
метод разложения по координате у , который позволяет исследовать
как периодические, так и одиночные волны.
Предположим, что движение жидкости можно считать потенциальным,
тогда в переменных у , xf = х - ct в случае установившихся
волн будем иметь уравнение для потенциала скоростей
У , + ы. г ф » О
и уравнение для определения давления
(1.7)
(1.8)
р * '/г Ы-о)г + 1/г «2г>г --ра *t-y + t/г сг
(индекс при х, опускаем).
В уравнении (1.8), которое получается из интеграла Коши-Лагранжа,
принято F » / . В соответствии с (1.5) это означает, что в качестве
характерной скорости принимается величина Uo =(_aC)" Произвольная
константа в этом уравнении подобрана так, что для слоя покоящейся
жидкости, в котором и.* О , v О , получаем формулу
гидростатического давления.
На поверхности слоя y-shfx.) получаем из (1.4) уравнения
р*ро-«г""Ь^ (f* oczh^ ) l {lQ)
h
- с h + J u>dy - const
о
Ю6

На твердой поверхности должно выполняться условие непроницаемости
\р ж о t /'уг О) . Составляющие скорости будут
, (1ЛО)
Я? пишем решение уравнения (1.7) в виде разложения по у . Легко
показать, что такое решение имеет вид
г « г 1 i, ,у <, (1.11)
+ ■ •
Определяя it i^ по формулам (1.10) и подставляя в (1.8), найдем
давление
Р-Р.--У+* с*о -г« (С**У +Г0 )* (1 ]2)
1 6/ f v i i« i ч г \
Неизвестная функция ф0 fx) , форма поверхности А/xJ и скорость волн
с должны быть определены таким образом, чтобы удовлетворялись
условия на границе (1.9). Представим у»' А и с в виде
разложений по ое г;
h*U<xzho (ж) * * *А (*) * •••
(1.13)
° 1 г
*о " Y0 (*)+ «г Ч>, {х)"** Уг Iх) *
Если подставить решение (1.11), (1.13) в условия (1.9), провести
разложение в ряды по ос всех выражений, входящих в эти условия н
приравнять нулю выражения при различных степенях <* , то,
ограничиваясь первыми тремя членами разложений, получим следующую систему
уравнений;
с /? = у - W Л + А » с «/
C.V«\\ - *.h.+ *, -1-6< ,
W h * п - С Ф * с w ( ш * с ш )
t 1 в т, 1 тр 2 I в о ~ о / »
Ю7

с h + с h *■ с h - Ф h 4 h ш + Ф - ~ ф* h -
о г it го та 1 « "? гг $ % о
е т 1 ft е * * • г » 1 * То
(1.14)
1 IV 1 II t II
Щ ° • 2 го ^ о 2 г»
Разложения (1.13) и систему (1.14) можно продолжить, хотя выкладки
быстро становятся громоздкими.
В системе (1.14) попарно выпишем уравнения, полученные из двух
условий (1.9), приравниванием нулю коэффициентов при «* <** f <* *
В первом приближении имеем
"~'К"+('-С.1)>>Г0 , *.« Со*о • (1ЛЗ)
Если W * О , то возможно периодическое решение
ho = A*inkx , k--[(c* -t)w] г , (1.16)
Скорость такой волны (размерная) согласно (1.18) равна
c'zft+k'Tfft)-' .
Здесь I -невозмущенная толщина слоя. Если к мало, что
соответствует длинным волнам, то св* * а С - волна является гравитационной.
Если к велико, то можно пренебречь величиной at и
со - к Т (р£) - капиллярная волна.
Если влияние капиллярных сил мало, так что величиной W можно
пренебречь, то уравнения (1.16) имеют решение, в котором <=„**/
и ha - произвольная функция.
Этот случай соответствует уединенной волне, форма ее определяется
следующими приближениями», Скорость такой волны (размерная) равна
2. Периодические волны. Во втором приближений в случае
периодических волн система приводится к виду
-"\m+('-*l)bri '*< 'Ч^+ъ'У)*.™** * (Km
+ т А с cos с к х-
•7 0 9
108

V« = с„ ^ ' X A c« + A (с - £ kZ с. )sin kx, ■*
* г А с COS I kx
Для того, чтобы существовало периодическое решение, следует
выбрать cf так, чтобы обратился в нуль коэффициент при sin к х
в правой части уравнения для А ; с, - ' 1/& к с с • Отсюда
получаем решение для hf
b,^ '! (С*-! )" А* + ± A*(<k*w'r + f-co* )" с*, cos 2kx
(1.18)
Этот процесс можно продолжить, определяя в каждом следующем прит
бЛижении амплитуду hK , 4/ К и коэффициент разложения сК .
Как видно из (1.18), в решении для hf появляется
непериодическая добавка, пропорциональная квадрату амплитуды, за счет которой
средняя толщина слоя увеличивается. Расход жидкости в некотором
сечении равен f ас/у = с^-г) отсюда следует, что волновое течение создаст
средний расход в направлении движения волны. Построенное решение Для
периодических волн образует двухпараметрическое семейство, так как
амплитуда А и волновое число of можно задавать произвольно.
Единственное ограничение состоит в том, чтобы эти величины были
достаточно малыми1.
3. Одиночные волны. В потенциальном течении одиночные вошйы
существуют при W~'-~0 . Во втором приближении для этого случай
имеем
L 1 »
h с + с h - Ф h + <р - - <f
or 01 о о т f £ т о >
/ 12 1
п = с а/ + с ш - — ш - — с и/
, о Г, ,Т"в 2 г О 2. ° <
(1.19)
Согласно (1.15) сд = 1 , величины ф0 и h связаны соотношением
^о' Vo • Уравнения (1.19) содержат только комбинацию неизвестных
функций Л,- у, , поэтому одна из функций h t ш в этом
приближении остается неопределенной. Положим h - ф * А *> + В *р 2
и подберем коэффициенты A t В; таким образом, чтобы оба уравнения
(1.19) совпали. Легко видеть, что если взять
А, =-2с, , 6, «7Д ,
то каждое из уравнений приводится к виду
и 9 г
h + - h -6ch-0
о 2 ° 1 о
Решение этого уравнения типа уединенной волны (затухающее при
х -* t 00 ) будет
Ю9

г Г/3 1*г 7
h --2 c sech /(7 с ) х /
' 2 1' J (1.20)
Величина с? произвольна, она определяет длину волны и амплитуду.
Так как должно быть с > О , то уединенная волна выше среднего
уровня поверхности жидкости, т.е. уединенная волна является волной
возвышения.
Уравнения (1.14) следующего приближения содержат только
комбинацию Ьг - у г , поэтому одна из функций Ьг , yf остается
произвольной. Положим Ьг-^г-АФ1*В2_Ф , тогда эти уравнения
приводятся к виду;
(1.21)
-1/г rf" + (~ho *ct- At)rr гг* +
Если взять
A2 = 7/2f7Ae-4cJ , <P*t/2(-3F,*Fz) ,
то оба уравнения (1.21) приводятся к виду
Правая часть этого уравнения представляет сумму
известным образом вы—
а, > 6t > сг у Р*"
2 я v
ц> =а sech hx +6 sech Лх
Аналогично можно рассмотреть следующие приближения.
Хотя уравнения идеальной жидкости получаются при Re -»« из
(1.3), рассмотренные волновые решения имеют больше общего с
вязкими решениями при малых Re .В частности, механизм
неустойчивости связан с образованием поперечного градиента давления,
пропорционального о( , как и в случае вязких волн при малых d Re .
ПО
a sechzXx+& tech %x + с sec А Ах
* * *
'/г
в которой У-'Ci с,) , а * > в* ♦ с *
ражаются через cf . Подбирая коэффициенты
шение этого уравнения получим в виде

fi 2. Длинные волны при ww-'x *ич пв-< Рогчопьлс л
р.оптты, которые наблюдаются, п слоях ттазкой жидкости, обьгтно "чр ••
"~.т бопьпр/ю длину, Для таких ВОЛН «f <■-- / . до?!Т>му **• упрр.тс^ттэтг "
-пячя'тных условиях ^г.-^ес таенным обг^з^м nosrwn^e—ci мя^ыА параметр.,
который можно использовать для сознания определенного алгоритма
решения. Наиболее простой путь заключается в том, чтобы разложить
решение в отц по ос „ Однако, как видно из уравнений 0,3), {7.4).
наряду с «г в эти уравнения входит произведение or &e , поэтому
помимо степеней ос в такое разложение войдут и степени ос Ре .
Следовательно, для того, чтобы обеспечить сходимость разложения,
необходимо предположить, что Re « 1 . Это условие по существу
ограничивает возможности метода разложения в ряд по е* . В общем
случае можно рассмотреть три области в зависимости от величины Re :
Re<X« I , Red. z 1 f Red » 1 f которые соответствуют малым, средним и
большим расходам жидкости. Итак, рассмотрим длинные волны при
малых расходах. Предположим, что Re ~ 1 , W ~ / . Некоторые
экспериментальные факты о таких течениях приведены в £ 7 ] , а вопросам
теории посвящены работы С В - 10 ] ■
Используя выражения (4.34) главы 1 для основного стационарного
течения, запишем систему (1.3), (1.4) в следующем виде :
уравнения движения и неразрывности -
{2.V
v +(ll+a.)v ■+ vv =- ос~ р +(Reot) (v + ыг v )
IX 4 V = 0 '
X у »
граничные условия на твердой поверхности и на поверхности слоя —
а « 0 , * = 0 , ( У ~- 0) ,
и, +«г(» +4h 6v )--- 3(l-h) (У-Ь)' fo_,
у l * х ч ' ' KJ ' ) [2.2)
р-2«г(Кеас)''в(г+<*'/,* )v ,--yV"'A в * - 3 Re"(f- h)cU в (2.3)
условия непроницаемости поверхности слоя
111

h
где
(2.3')
1. Вывод уравнения поверхности. Представим скорости и v
и давление р в виде следующих разложений „*
z
и - и, + ос и, + <х и. *•■•■)
« 1 г
г (2 4)
ccRep -. ро+ <xpf +" рг + ■•
Коэффициенты этих разложений являются неизвестными функциями
Х,у,-6. Подставляя (2.4) в уравнения и граничные условия (2.1) -
(2.3) и приравнивая нулю выражения при различных степенях ос
получим уравнения для коэффициентов первых трех приближений:
и - р ж
°УЧ ° 1
и,
'•/у
= р х * Re Iи +(и + и )и. * (lf'+ и, ) v I
rt l ot I o I ox I oy / о J f
и - о +Re[u +(u * u. )u i-fu'i-u )ir +
Zf/t/ r2x L >t l •' /i ' o</ I i
* и и * v и. I
ox 1 о ly J f
p - 0 p * 0 p = v
и граничные условия : и. * 0 f (/ • О ) ,
и, --3ff-h) и- = О и, =-/V +t/h v )
-.0 tPi-5(l-h)ctsB , pz'Z* ,
(2.5)
(2.6)
112

(y= h (X, *J).
Коэффициенты Т?к легко находятся из уравнения неразрывности с
учетом граничного условия v= О при у=0 . Система уравнений
(2.5) с условиями (2.6) интегрируется последовательно, в результате
получаем;
Ра"0 , Pt-3('-»)ctf6 , pt-3*x(9**) ,
(2.7)
* к 8
uo*3(h-t)<, , и *£ N у , * -Г * у"
<«г " * к*/ *
Коэффициенты Л^ , Af^ в (2.7) выражаются через h(xyt) и
производные Лж , hi . Они приведены в приложении I. При выводе формул
(2.7) никаких предположений о форме свободней поверхности
у = А (ж , Ь ) яе делалось. Функция Н ( х , i) неизвестна, и так
как решение и, 7 v , р выражено через эту функцию формулами
(2,7), то задача сводится теперь к определению h (х t ) .
Подставляя и, , V в уравнение (2.4), получим следующее уравнение для h fxt)
h^+mh +oc(k h **.A^ *kh * k h Нж ) +
t x K i xx г ** jjc * x t /
(2.8)
Выражения для коэффициентов k i , £,• через коэффициенты решения
(2.7) и производные от них по ж , t даны в приложении I. В
уравнении (2.8) при &г выписаны лишь члены^линейяые по А .
Используем малость ос , чтобы выразить h( f h.. , стоящее в круглых
скобках уравнения (2.9), через производные по х . Для этого
представим А, А.. в виде
ht - (л, )# * oc(ht I *«*(ht )a * о (ос») t hu. ^ ;о .0(«)
и подставив в (2.9), приравняем нулю выражения при разных степенях
ос . В результате получим
fh ) * тг h
xx
(2.10)
113

Здесь в выражениях для f Л J и ( ^ tt ) 0 сохранены лишь
члены, линейные по h . Заменим смешанные производные в (2.9) с
помощью выражений (2.Ю), в результате получим;
\ *3h*h* + <*■[(% R*h * - b3cty Q)hx]
х
xZ(Q h + Qh h +Q h 3 )* 0(<х*) = О t
l4» XXX ^Z X XX j X ' ' У >
Qf* ЭЙ*1* j Re^"- ~ Reh'ctpd , (2.Ц)
1299 98
Q * 26h3 - -—- • Re*h9 - —■ Reh £eta в
i 56 5 о
О * 21 h * Яе2А - — Rehc
чз g 5
Уравнение (2.11) выполняется с точностью до членов порядка ас3 . В
нем выписаны все нелинейные по А ж члены при ос . Соотношения
(2.Ю) позволяют найти лишь Q, , а ^г , ^ находятся с помощью
более громоздких выкладок [9]
Как видно из (1.7), при стационарном течении жидкости в слое имеем
/j х / . Представим теперь h в виде суммы А - 1 + € у , где
<Р(*,Дописывает форму возмущенной поверхности, а € характеризует
амплитуду возмущения. Если принять предположение, что величина €
по порядку не превосходит «■ , то получим из (2.11) уравнение для
Ч> С*-, t):
*t 4В*х * Л<?урхх + Ы ®i fxxx'tfcWx *
\ 7 * ' п ' (2Л2)
+ Ы. Qq (ур 4>к )л J + 3 £ ^ fx = О t
Q г 1 Re - СЦ 9 , qf = 3 * j QRe , ^ = ~ Re - ЗсЦ В .
2. Частные случаи нелинейных волн в слое. Предположим, что
число Рейнольдса мало Re « 1. Тогда, отбрасывая в (2.11) члены
порядка ос г , получим уравнение для волн, которое относится к типу
кинематичес ких
г г з, ч (2.13)
t X / * ' X
Введем переменную \ - х. - ct , где с обозначает фазовую скорость
114

перемещения волны. Для стационарных волн будет с -■. cnret ? --■„
уравнения (2.13) получаем после интегрирования га? £
«ct}e/,3f,rft,-f)(h-t,t)(/,.*2)f Ш4)
h^i/z[i-f^7i) , Аг * t/г (' * ike - з ) .
Здесь при интегрировании использовано условие А? - О япи h * f .
Высота волны А будет изменяться от величины А = / до h * Л, .
при этом во всем интервале изменения А производная h
сохраняет знак. Такая волна называется моноклинной.
Рассмотрим волны в предположении, что Q •* #г f £ ~ а
Отбрасывая в (2.12) члены порядка ос , получим уравнение Кортевега
де Фриза
и> + 5 & + Зосги> + 6е и>и> ? О , (2.15)
~ t ~X ~JCXX Т ' X
Уравнение (2.15) часто используется для исследования волновых
движений в горизонтальных слоях или в слоях, близких к горизонтальным
[ 11 ] в качестве хорошей модели. Для установившихся волн этого
типа получаем, переходя к переменной Щ и интегрируя уравнение
(2.15),
Зосг<р" * Зе<рг * (3- с)<р = В'= const . (2.16)
Положим € - 1 , ot - 1 , что эквивалентно переходу от ур к € <р
и от $ к 1/ы Ь . Умножая (2.16) на f и интегрируя по 5 ,
придем к уравнению
0 9г = -г/з (г-+<)(*- гг )(г-*3 ) ,
(2.17)
где «ff , у>г , </>3 - константы, занумерованные в порядке
уменьшения, которые являются корнями уравнения
, , . . (2.18)
Ф+1/г(3-с)<рг*дьр.+А*0 t A - const
i ' '
Периодическое решение уравнения (2.17) соответствует кноидальным
волнам С ъ ] ■ Положим
Ч> • ?, * Сч>г- У, ) ,»*л*0
и подставим в уравнение (2.17). Тогда получим
•и'
L r,- 4>3J i ft
de
•p,- 4>3J i (t-k2sinle)r/2
о
115

кг. *'-*'
По определению эллиптического синуса можно записать
v^ + CVt-rJ^^f'/sf*,-**)'^*-*.).*]- <2Л8>
Так как период if по 9 равен 7Г , то длина волны выражается
формулой
л/г
Чг
А- 2 '
Решение (2.18) содержит три константы Ч>, ■, 4>г , Ч>$ но , по
существу, является двухпараметрическим, так как должно выполняться условие
я
J tpe/t? * 0 . с увеличением к длина волны увеличивается. В
пределе при к ■* 1 кнондальная волна переходит в уединенную волну
Это легко показать, если рассмотреть предельную форму уравнения
(2.19) яри к - / .
Установившиеся волны в двух рассмотренных случаях получаются из
уравнений движения вязкой жидкости в слое только при определенных
предположениях. В первом случае-это невязкие длинные водны, во втором
случае с точностью до членов порядка of г должно выполняться условие
| Re - ct(j в - О .
Если предположить, что у Re - da О = 0(1) и € - ot , то,
отбрасывая члены порядка of* , получим уравнение Бюргерса [Ю ]
у + 3 у + а(Я*р +6eif>fx*0 (2.21)
Для стационарной волны из этого уравнения получаем
(3- с) <р +<*<?<f>'*3£«fz e S = const
Отсюда интегрированием легко получить
(V-VJ^V-Y>J~'= **p[3c(ofQ)~'(jc-jc,)] ,
(2.22)
что представляет уравнение моноклинной волны. Толщина слоя меняется
П6

от ff+f,) До (t* уг), где <р1 > ч>г и
v2 = *,-(3еУ'(с-3) , ** 3si>,fz
3. Нелинейная теория периодических волн. Обратимся теперь к
исследованию периодических нелинейных волн и связи их с неустойчивыми
бесконечно малыми возмущениями.
Положив в (2.14) £ г о , получим уравнение для линейных волн с
бесконечно малой амплитудой. К этому уравнению сводится задача об
устойчивости плоскопараллельного течения (2.3)
*« .„ , П (2.23)
** + 3У* ****** * а ^ *
XXX
(2.25)
Частное решение уравнения (2.23), соответствующее бегущей волне,
периодической по х имеет вид
. , j. , . (2.24)
Из (2.23) получаем уравнение для с
откуда находим
ct = 3 - (3 * у 9 ) ос г * 0(<х ") ; сг -. <* Q * О (* 3 ) .
Условие неустойчивости возмущения (2.24) с^. >0 дает
б . (2.26)
J Re - eta в > О .
На нейтральной кривой неравенство (2.26) переходит в равенство.
Условие (2.26) получено в [ 8 ] , в нем не учитывается
поверхностное натяжение жидкости. Как отмечалось в § 1 настоящей
главы, во многих случаях влияние поверхностного натяжения является
значительным настолько, что ы W' нельзя считать малой величиной
порядка о(г , Допустим, что порядок этой величины равен 1, как это
может иметь место в течении пленки жидкости по вертикальной
поверхности. Тогда в условие (2,26) должна быть внесена поправка. В
граничное условие (2.3) на поверхности слоя справа входит сумма сил
давления и поверхностного натяжения. После дифференцирования по х правая
часть (2.3) имеет вид с точностью до <*г
to (U?e*x ~\осг Re *"' *> j
XXX
Следовательно, чтобы учесть поправку на влияние поверхностного
натяжения в решении (2.24), в полученных формулах следует eta в заменить
на cto в * j Не <x W _ Тогда условие неустойчивости примет вид
117

J Re - ctp в - j <Хг Re W"' > 0 t (2.27)
а вьфажения для ct,c^ будут (2.25).
Согласно линейной теории, периодические волны оказываются
неустойчивыми в том смысле, что если волновое число удовлетворяет условию
(2.27)* то амплитуда волны будет возрастать как е*р (с Л) . Формально
она может превзойти любую заданную величину, но в действительности
этого не происходит, так как с увеличением амплитуды усиливаются
нелинейные взаимодействия возмущений, возбуждаются более короткие
волны, изменяется среднее течение. В результате перераспределения
энергия волновое возмущение может стабилизироваться во времени и в
слое установится квазистационарное периодическое течение с постоянной
характерной амплитудой. Предположим, что имеется установившаяся вол-
на. Полагая Jt ~ С Эх и производя однократное интегрирование по
х , из (2.12) находим
(3-е)? + <*<?у> + <х Q а> * £ (ъ хр1 +
J ' хх (2.28)
+ <Х G} \р кр ) * С у> = О = const
Подобное уравнение применялось в [ 8 J для катящихся периодических
волн на наклонной поверхности.
Введем новые обозначения для коэффициентов и перепишем уравнение
(2.28) в следующем виде
h * cj2h =- Vh*-ehh -6h *S-Fh3 (2,29>
Здесь
A=£«p , cj2r (3 -c)$~' t D = 3£ f
£«c(^", J -s" f в = <*<?£"' , 8*lt a" t Z--«2Q, .
Будем искать периодическое по х решение этого уравнения с
периодом Z 7F . Величину oi считаем заданной - она определяет длину волны
относительно исходной переменной лг , а величина фазовой скорости с
неизвестна и должна определяться так, чтобы периодическое решение
существовало. В уравнении (2.28) предполагается, что (3-c)S > О .
Это неравенство выполняется для линейных периодических волн вблизи
нейтральной кривой, как это видно из (2.25) ; оно выполняется также и
для нелинейных волн, что будет видно из решения. Периодическое
решение уравнения (2.29) получим двумя методами, что позволит провести
сравнение. Прежде всего, применим асимптотический метод
Крылова-Боголюбова.
Величину В будем считать малой порядка € и о - порядка £г.
Решение ищем в виде:
118

А= Еасоъ в * £г!,г(аг& ) + € */>^ (а, 0) * ••• $
da
2
EAt(a) f £ Лг (а) + -• ,
= cJ + ЕВ. (а) * 8 &, (а) + ...
Подставляем (2.Э0) в (2.28) и приравниваем нулю выражения яря
разных степенях € , в результате получаем уравнения для hK (a 7 9) ,
Функции А (а) , &к (а) определяем так, чтобы каждое из этих
уравнений имело чисто периодическое решение. Для этого должны обращаться
в нуль коэффициенты при sin в , cos в в правой части каждого из
этих уравнений. Ограничиваясь только членом И (а , в) получаем
h •- ~ £агоо~'з1п 20 + ^ Da*cJ~Zco% гв
ВГ О f Bz* ^ [(гЛг-£гсог)*/гаг + 9fal- ЗВ* ]
Для строго периодического решения амплитуда и фаза не зависят от х ,
поэтому должны выполняться следующие условия
da d9
dx ' dx
Предполагая, что о мало, из (2.30), (2.31) получим
.*..*aWS , «'./.ifl,'-f*'.f^.' , {ял)
h -a cos ас + — i>ei»" a cos 2jc £ a) a sin 2 ж
6 6
Решение (2.32) выписано с точностью до членов о(£л).В принципе
решение (2.32) можно продолжить и получить формально бесконечный ряд»
Однако, поскольку связанные с этим выкладки быстро становятся очень
громоздкими, то практически можно рассмотреть лишь несколько первых
членов. Поэтому вопрос о сходимости такого ряда в данном методе не
ставится , а рассматривается более практический вопрос: об
асимптотическом поведении этого куска ряда при е —■ О . Легко видеть,
что решение (2.31) с k членами будет удовлетворять уравнению
(2.29) с точностью до членов порядка € "* . Эта невязка обращает!-я
119

в нуль при с >• 0 . Из (2.32) видно, что можно принять £ = а , а
амплитуду а сделать как угодно малой, если рассматривать при заданном
Re значения of , лежащие вблизи нейтральной кривой. Поэтому по
крайней мере в окрестности нейтральной кривой решение (2.30) будет
удовлетворять уравнению (2.29) с достаточной точностью. Эти рассуждения
можно применить и к методу разложения по гармоникам.
Полученное решение (2.32) является однопараметрическим. При
заданном числе Рейнольдса можно менять лишь волновое число ос , а
формулы (2.32) дают форму соответствующей волны, фазовую скорость и
амплитуду. Семейство периодических кноидальных волн (2.19) в
невязкой жидкости было двухпараметрическим.
4, Разложение по гармоникам. Рассмотрим нестационарное
уравнение (2.12), записав его в виде
\*"^x^h^*$htcxx*Zdh/,x*e(hhJte*3/f>\-0 . (2.33)
Легко видеть, что имеется следующая связь с коэффициентами уравнения
(2.29)
WJ=aS"' « = **",£ -etf'' J» tfS*' ?- JS
Будем строить периодическое по х решение с периодом Zlf ,
зависящее также от времени. Такое решение позволяет исследовать не
только стационарные волны, которые получаются при h = О , но также и
развитие этих волн во времени.
Решение (2.33) ищем в виде
t г з
(2.34)
Каждое из выражений И к обозначает соответствующую к
гармонику. В частности, первые два выражения имеют вид;
// - ht(t)exp(ix)* h*(t)etp(-ix.)^
(2.35)
Н - ho ft) * h2 ft) e*p(zix) + h*(t) екр (-Zlx) .
Здесь * обозначены комплексно-сойряженные величины, поэтому
каждое из выражений Ик является действительной величиной. Функция
bt 1ч представляет возможное изменение средней толщины слоя за счет
нелинейного взаимодействия волн. Величина е - малый параметр.
Как будет видно из решения, каждый коэффициент Н К оказывается
пропорциональным Af (0)t где ^(о) некоторое характерное значение
амплитуды первой гармоники. Если bt(o) мало, то можно принять
просто £ = 1 , а малым параметром будет h( (о) ■
Подставляя (2.34), (2.35) в (2.33) и приравнивая нулю выражения
при различных экспонентах ехр ( L kx) t получим систему уравнений
для А к ft) . Так же, как в методе Крылова-Боголюбова, решение будет
120

рассматриваться в асимптотическом смысле при & -~ О . Если
отбросить члены при k > 3, будем иметь
hj+[(a-S)i-8]h *(2eti- e)h h* *3/ih*h * -- 0
(2.36)
h'i + z[(a-ti&)l-2B]hl +(Zc/ir2e)h* -- 0
При этом уравнение (2.33) удовлетворяется с точностью до членов
порядка 0(С>).
Предельный стационарный волновой режим получаем, полагая hf ~ О
Ьг - 0 . Исключая из остающихся уравнений А2 , получим два
уравнения для определения амплитуды А и фазовой скорости с
гег-(а-с)(а-4,с)-(тг-гЫг*ЗУ(а-<,с))\Н,\**Ч) ,
-3(a- 2c)8 +(3de -6/B)\h\ -- 0 .
Так как решение определено только с точностью до сдвига по ас , то
можно считать, что А, — действительная величина. Для волны
бесконечно малой амплитуды А, «О ? поэтому в-0 , откуда с = а . Это
есть выражение для фазовой скорости на нейтральной кривой (2.25).
Вблизи нейтральной кривой при малых h (h « <х ) из этих
уравнений получаем
А72 = - бв(Ые)'1 , a-$ = tfi"(el-Zctz-9JS)h*
(О 37)
h * 2h cos x. + Zh cos Zx- 2h sin 2 x. \ • i
» го zi
v j &~'ы* ;«;**
Формулы (2.37) легко преобразовать в формулы (2.32), если
соответствующим образом поменять обозначения. Таким образом, оба метода при
малых А дают одинаковые результаты.
Рассмотрим вопрос о связи стационарных вязких волн с кноидальны-
ми волнами в невязкой жидкости при малых амплитудах. Уравнение
(2.29) для вязких волн переходит в уравнение (2.16) кноидальных волн
при £ -* О , S —■ О . Так как амплитуда кноидальной волны
пропорциональна <pf - flf то для волн малой амплитуды кг *.<. 1 . Проводя
разложение по к1 в формулах (2.18), (2.19), получим:
%f> - — (<f - <Р ) cos x. + — (<Р - у>г )кг cos 2 х. + ... (2.38)
121

3 ,г . г , ,г 9 г , *
' :Т1У * J-C-i«=-— ОС к
2 2 > 32 (2.38)
Здесь о( , ^ - произвольные,достаточно малые величины. С другой
стороны, уравнение (2.29) для вязких волн переходит в уравнение (2.16)
при Е -+0у в -~ О . Полагая в решении (2.32) формально в/^ = С f
6z const f получим решение, которое с точностью до обозначений
совпадает с (2.38). Таким образом, если £ — О и В — О так, что отношение
В/е остается конечным, то вязкие периодические волны переходят в
кноидальные волны малой амплитуды. При этом отношение B/g
становится вторым произвольным параметром наряду с ос .
5. Устойчивость периодических волн. Область неустойчивости
ламинарного течения в слое к периодическим по х. волнам бесконечно
малой амплитуды согласно (2.25) определяется неравенством д > О .
Так как при Q > О имеем также Щ1 > О , ^ > О , то в области
линейной неустойчивости коэффициенты уравнения (2.29) 81 £ Л будут
положительны. Из выражения (2.32) для амплитуды предельного режима
аг следует, что действительное значение амплитуды при £ > О ^ D > О
существует только, если В < О . Таким образом, предельные нелинейные
режимы с периодическими стационарными волнами могут существовать
только в области, в которой имеет место устойчивость к бесконечно
малым возмущениям. Поэтому возбуждение таких волн может произойти
только при жестких возмущениях с конечной амплитудой. Бесконечно
малые неустойчивые волновые возмущения при Q > О не
стабилизируются в процессе нарастания и не переходят в стационарный предельный
режим. В то же время амплитуда таких возмущений не может расти
беспредельно, В процессе нелинейного взаимодействия должна происходить
перестройка всего потока и переход к более сложным формам течения.
Указанные выше решения для моноклинных и одиночных волн
представляют примеры других волновых течений, отличающихся от чисто
периодических. Для точного описания процесса развития малого неустойчивого
возмущения следует рассматривать задачу с начальными условиями.
Существование предельных волновых режимов в области, где
бесконечно малые возмущения устойчивы, имеет место также и в некоторых
других течениях. Наиболее известный случай представляет
рассмотренное в главе I течение Пуазейля в плоском канале. Для того, чтобы
такой волновой режим мог реализоваться, он должен обладать
определенной устойчивостью. Рассмотрим вопрос об устойчивости предельных
волновых режимов в следующей постановке.
Пусть имеется периодическое решение, в котором амплитуды первых
двух гармоник удовлетворяют уравнениям (2.36). Стационарное решение
этого уравнения Hf и Нг , которое при малых h определяется по
формулам (2.37)» соответствует волновому течению. Пусть далее в
момент t - U возникло малое возмущение этого решения, так что оно
приняло вид Hi* h, , Нг + h г . Требуется исследовать, как будет
вести себя возмущение А, , Аг в последующие моменты времени. Если
это возмущение затухнет, рассматриваемый волновой режим будет
устойчив, в противном случае его следует считать неустойчивым к
возмущениям рассматриваемого вида. Подставляя в уравнения (2.36)
122

h> =■ Иi + h ft J f h г - H + h ,{t) и проводя линеаризацию
относительно h^ft) , hz(i-) получим систему уравнений для возмущений
h,'*ktf,i * k2h7* + кз hr- О , (2.39)
Здесь
ks-(zdi-e)HZi } k -. z[(a.-bc)i-2i] ,* - k(di-t) .
Расчеты показывают, что предельный волновой режим обладает
колебательными по времени возмущениями, поэтому его следует считать
асимптотически неустойчивым, но устойчивым по Ляпунову.
6. Одиночные волны в слое вязкой жидкости. Уравнение (2.14)
формы поверхности при Re — О , сХя в -» О переходит в уравнение Корте-
вега-де Фриза для слоя идеальной жидкости. Это уравнение имеет
периодическое решение, описывающее кноидальные периодические волны. Если
в этом решении длина волны неограниченно возрастает, то в пределе
получается одиночная волна. Выше было построено решение для
периодических волн в вязкой жидкости, которое переходит в периодическое
решение уравнения Кортевега-де Фриза при уменьшении числа Рейнольдса.
Естественно поставить вопрос, могут ли существовать и в вязкой
жидкости одиночные стационарные волны.
Предположим, что в одиночной волне (если она существует)
изменения по -эс являются малыми по сравнению с изменениями по у ,
тогда «* в уравнениях (2.1) можно считать малым параметром. Пусть
с есть скорость перемещения волны. Свяжем начало отсчета по х с
волной, тогда для стационарной волны решение будет зависеть от у
Xf= эс-ct . Представим скорости и , v и давление р в виде
следующих разложений:
Re р = <* ра * <* Р1 * <* Рг * •■■
и, = <**"„ *■ <*3и.1 + ос4и^ * •• • (2.40)
г з *
V : &. V- + Ы. V + О/ V * •••
Oil
Каждая из величин рК ,* <t ^ зависит от у, х f. Форму, волны
h (x.f ) и фазовую скорость с также представим в виде разложений
(2.40). Коэффициенты разложения h к будут функциями -г, , а с,.-
константами. Подставляя (2.40) в уравнения (2.1) и приравнивая нулю
123

выражения при различных степенях ос , получим следующие уравнения
для первых трех коэффициентов каждого из разложений (2.40).'
— и = О
Re °Уч '
- (и -р )-(и-са)и. * V'v-
— (и. --р * и, )-{U-cAu, -си * V'v
Re » гуу г ix oxx.' ' о ' ix 10-х. , t
(2.41)
1
Ке ' оу >
1 (Р -V- ) -- О ,
Re L 'У <»уу '
Здесь индекс при jcf опущен для краткости.
Теперь разложения для динамических параметров течения р , и. , v- }
формы поверхности h и скорости волны с надо подставить в
граничные условия (2.3) на поверхности слоя. Легко видеть, что условия можно
записать на невозмущенной поверхности у = 1 . Для этого надо функции
р t и., v при у = h представить в виде разложений Тэйлора по у
относительно у= 1 , например,
и(х,/> ) = <xZ<c0 * и i(ui + и. о^ (h-1)) ♦
L г Z oyy l iy
Тогда в каждом приближении по d получим соответствующие условия.
В первом приближении получаем при у= /
(1 U -с.Н' = v , ic =V h ,p =U ah О -eta в .
*■ 2 со о ' о о > о j со « ° ао Г о, <Г J
(2.42)
Решая уравнения (2.41) для первого приближения, будем иметь
выражения :
*.»Af*Jy , VI ^V , Р.'Л*{*), (2ЛЗ)
содержащие произвольную функцию А(х.) . Подставляя (2.43) в граничные
условия (2.42), придем к двум соотношениям
А -- U h (V -c)h' = 0
Первое из них дает связь между Afx.) и h0(x),a из второго следует,
что если возмущение h 0 отлично от нуля, то с0 = у , Решим теперь
уравнения второго приближения для «,, 7 v- . С учетом граничных
условий и. - О , ■» : О у ( i ~ О) это решение имеет вид :
124

(2.44)
Здесь Л(х-) - произвольная функция х
Граничные условия во втором приближении имеют вид
-1 V h' - с h * V , а, = U h , р = U & h * 2 v
2 во I i о 1 ' ,у ов f » rf "„ f t вУ
Подставляя сюда решение для «•,,#,, найдем
^''^.Yf/-,^-*^'0 •
Первое из этих соотношений определяет А , а из второго следует,
что нетривиал
ются условия
что нетривиальное решение Н0* О может существовать, если выполня-
Интегрируя уравнение для р и учитывая граничное условие для pt
при у в f , получим
/>, »-*7V* О *uooJiht .
Подобным образом в третьем приближении получаем;
4 2 *>S , ? (2.47)
Q'-Zy-t-V^ReJiCj if1'-j S+^V*)
4-
,4
Отсюда легко найти V = - | и- dtf . В выражении (2.47) функция
£ (ж,) является произвольной. Граничные условия для третьего
приближения и.г t vz будут
- { U А '+ /и * а ) А ' - v + A v
а, = - ir + U h
iff ex со 2
Отсюда получаем после подстановки (2.47) выражение для А,
£Г A =E + U ph'-jU ReD'+fQ1- \ )А "
со г и^ i 3 и l d '
и уравнение
125

(A-cjAe»-A4 , (2.48)
в котором
Х-+ + 1,-$9 *j-5U«,«<S'ff
Уравнение (2.48) представляет условие сушествования решения. Оно
имеет решение в виде одиночной волны
. 3 с0 Lzr с. ч'/г (2.49)
В выражении для > выражения Ф,, Q представляют значения интеграла
и производной от <? при у = / . Проделав громоздкие вычисления,
можем получить
Л - / * kU^ Re2
Так как Л > 0 f то решение (2.49) существует при с0> О . Таким
образом, одиночная волна является волной возвышения ; она перемешается
со скоростью, превышающей се ж з .
§ 3. Длинные волны в слое при умеренных числах Рейнольде а
Для того, чтобы построить решение разложением по степеням «с ,
в § 2 предполагалось, что Re » Off) , W * Off).Эта предположения
ограничивают применимость такого решения. Наиболее подходящим примером,
в котором эти предположения могут выполняться с достаточной
точностью, является течение в тонком слое вязкой жидкости, слегка
отклоненном от горизонтального положения. Однако во многих других
случаях, в которых явление неустойчивости и последующее образование волн
существенным образом изменяет характеристики течения в слое, числа
Рейнольдса настолько велики, что произведение Ы Re нельзя считать
малой величиной» если мало о( . Тогда разложение по с* становится
незаконным. Кроме того, может быть большой величина W'' ,
связанная с поверхностным натяжением. Наиболее типичным примером
такого типа течений является течение в тонком слое на вертикальной или
почти вертикальной поверхности. Такого рода течения широко
применяются в различных приложениях, например, в устройствах химической
технологии и в качестве охладителей^ 2,2,J.
Рассмотрим здесь случай, когда образующиеся волны оказываются
длинными оСг« 1 , число Рейнольдса умеренно большое, так что
oCRe = 0(f) , поверхностное натяжение удовлетворяет условию <tf W *0(t).
Отбрасывая в уравнениях (1.3) и .граничных условиях (1.4) члены
порядка of2 , обозначая через и полную скорость U + и. , получим:
"' -г -/
^'"«-х+ *«■!, =-Рх +(*ео<) "„У + f <* , (3.1)
U + V- г б
* ч ■>
126

ишО , V-*0 f (у* О ) ,
(3.2)
и, = 0 , ht + uhx--v f (;/*h(x,t)) . (3.3)
Уравнения (3.1) - (3.3) выписаны для течения на вертикальной
поверхности. Из второго уравнения (1.3) с точностью до членов порядка осг
следует
Ру-0 .
Таким образом, давление поперек текущего сдоя не меняется и равно
давлению на поверхности слоя
Теперь уравнения (3.1) с граничными условиями (3.2), (3.3) образуют
замкнутую систему для определения и (х, y,t) , V(x,i/f t) , A (*f t) .
Она совладает с системой уравнений пограничного слоя с единственным
отличием, которое заключается в том, что давление р заранее
неизвестно и должно определяться в процессе решения по форме поверхности
слоя, которая также неизвестна.
В рассматриваемом здесь случае можно выписать также уравнения
для следующих приближений по of2 , как это было сделано в 8 2. Тогда
система (3.1) - (3.3) будет нулевым приближением в таком процессе
решения. Как будет видно далее, это нулевое приближение имеет помимо
стационарного решения также и волновое решение, для которого можно
определить значения всех параметров волн - скорость, амплитуду,
расход. Следующие члены разложений по ы. будут давать добавки к
этим значениям. При малых о( * , естественно, добавки будут малы.
Для этого решения существенным является условие otlW~'* 0(1) .
Механизм неустойчивости здесь связан с действием поверхностного
натяжения, которое согласно (3.4) создает конечный продольный градиент
давления. Поэтому эти водны можно назвать капиллярно-гравитационными.
Рассмотренные в § 2 гравитационные волны не существуют в
нулевом приближении по <* 2 . В основном уравнении (2.12) для формы
поверхности слоя необходимо было удержать члены порядка ос * . Это
отражает тот факт, что единственным механизмом неустойчивости в этом
случае является поперечный перепад давления, который пропорционален
осг . В этом заключается принципиальное различие между двумя
типами волн.
1. Аналитическое решение. Система уравнений (3.1) - (3.3)
нелинейная, поэтому решение ее представляет определенные трудности.
Имеются две возможности: либо применить приближенный метод,
основанный на разложении в ряд, либо применить численный метод, который
позволяет получать решение, не прибегая к дальнейшим упрощениям.
Рассмотрим сначала прямой метод, который позволяет почти до конца
получить решение в замкнутом виде. Выберем полную систему функций
W Су) , удовлетворяющую граничным условиям, и представим скорость
в виде
127

ия Е 8i^x,t)w'if^^ • (3.5)
i = r
Скорость if можно найти из уравнения неразрывности
У
со Jg 1
В вьфажении (3.5) коэффициенты в4- fx.,i) являются неизвестными
функциями времени, которые следует цодобрать так, чтобы первое
уравнение (3.1) удовлетворялось с наибольшей точностью. Выберем
некоторую другую полную систему функций v-^ С У) и потребуем, чтобы
выражение, получающееся после подстановки (3.5) в новое уравнение (3.1)
на отрезке [ О , h J при каждом х f t было ортогонально if- ( у ) .
Из условий ортогональности получим систему уравнений для 6^ ( х,, t ) .
В такой формулировке метод решения был предложен в [ /S "] .
Количество членов, которое следует рассматривать в (3.5), существенно зависит
от того, насколько удачно выбраны функции W- (у) . В тех случаях,
когда и. на исследуемом отрезке по у меняется плавно, бывает
достаточно использовать несколько первых членов. Исследуемая задача
обладает особенностью, благоприятной для применения этого метода. Как
оказывается, профили скорости по у близки к параболическим, что
будет видно при точном численном решении. Это позволяет получить
хорошие результаты уже в первом приближении. Ограничиваясь первым
приближением, тем самым отказываемся от проверки быстроты сходимости
такого процесса и о получаемой точности можем судить лишь по
сравнению с точным решением и с экспериментальными данными. Положим
и,
**(*.*)[.т'-±Су/ь)г] .
что совпадает с точным решением при ламинарном режиме течения в
слое. Введем независимую переменную jc -x.-ct безразмерный расход
Я-t^J) \ис1У • Интегрируя оба уравнения (3.1) по у от О до h ,
получим систему уравнений для а (х, t ) , А (х., t ) ;
*V^7bx'7^«-6A,L-^£rfl.
Здесь введены обозначения (индекс при х опущен)
G - of *W ' ,H= F~loC , E~3(Re<x)
(3.6)
(3.7)
Величина с связана с фазовой скоростью волн Uy соотношением
U s с U0 . Величины I , U0 в качестве масштабов длины и скорости
здесь можно выбрать достаточно произвольно. Будем считать, что t
всегда обозначает среднюю по х толщину слоя, поэтому среднее
значение h будет всегда равно единице. Если за 17а принять среднюю
скорость при ламинарном безволновом течении слоя толщиной I , то
128

средний расход волнового течения £в будет отличен от единицы. Но пр*
этом должно выполняться соотношение и - £ , которое следует из
(3.6) при у, = 1 , А = 1 . Если за Ue принять среднюю по у скоросхь
в том сечении, где толщина слоя равна В , то средний расход также
будет равен единице о = 1 , но И * Е .
Система уравнений (3.6) содержит четыре параметра Re , Гг, с ,<* .
По физическому смыслу и из условия однозначной разрешимости задачи
для периодического решения два из них можно считать заданными, а два
другие должны определяться в процессе решения.
Наиболее естественно задать число Рейнольдса Re и волновое число
ос > тогда в пронессе решения должны быть найдены средняя толщина и
скорость волны. При фиксированном расходе или фиксированном числе Re
получаем однопараметрическое семейство волн с параметром ы. так
же, как в случае малых чисел Рейнольдса в § 2.
Рассмотрим режим установившихся бегущих золн. Полагая в
уравнениях (3.6) 2/dt » О t найдем
ch+a. -с <3'7>
Будем подбирать F при заданном Re так, чтобы было о = 1. Это
соответствует второму способу выбора U0 . Положим А = 1 + \р ,
где ^pfx-j — часто перирдическая функция, тогда из второго уравнения
(3.6) получим;
(1 * Я>) Ч>'"+\К ' S 4>(2+4>)]у>'+ А у г(з * у)+Т) у * г -. О ?
A-HG'1 Br~czG'r V (зн-с E)G~' .
7 5 ' l '
(3.8)
(3.9)
Для построения периодического решения уравнения (3.8) применим
разложение по гармоникам
г . (ЗЛО)
tp-^sinx. + a (if sen ZS, *4>Z1 cos 2 5 ) * -••
В этом разложении без ограничения общности можно опустить член,
содержащий cos х . В соответствии с методом, изложенным в § 1 главы
2, подставим (3.9) в уравнение (3.8) и преобразуем получающееся
нелинейное выражение так, чтобы представить его в виде разложения по
гармоникам. Пусть Q i - коэффициенты этого разложения. Будем
учитывать в решении первые две гармоники. Составляя уравнения (1.7)
главы 2, будем иметь систему;
3 2 (3.11)
129

^i?ja"2 + 34 ^ +Ь(13+в)ч>г =0 , (3.11)
Система (3.11) позволяет определить а , «fJo , уг1 , а также две
величины из четырех Re , £ , с , о< . Решение ее удобно провести
параметрически. Примем в качестве неизвестных А и
•иг = (з - с )(£ - И ) Н t а с ж К будем считать заданными.
Тогда из четырех последних уравнений получим уравнения для vr и
для А , исключая \рго , у»г, ;
б(3*Ьо)(г -К* 1)го-г-[бЗ+18В +6К-6 +(3+В)(3-с)-6$1 *
* St (5*1 )(Z-K-l)-(zUld)$ liv-c(3'c)(3*e)-- 0 ,
' °' ' l 2j ' (3.12)
6{3-\-(3-c)(e-v)ur-,[{r+b)(c.„).l]JA*_(2t,ze)p.2B-S1) +
* 2(3- К * r)(3f в) -lf(i- К * l)(i t Se )(K -l) v -(з - с)" - О .
Здесь величины ie,S,,ij введены для следующего приближения. В
рассматриваемом сейчас первом приближении они равны нулю. Уравнения
(3.12) легко решаются, и это позволяет получить полное решение задачи
в конечном виде. Рассмотрим все возможные волновые течения в слое
при заданном расходе. В соответствии с принятым определением 1Г0
расход жидкости равен Re- ) . Итак, пусть для жидкости с физическими
параметрами ) б р задано число Re . Зададим также пару величин
с , К f по которым надо определить р , у> го } у г f , среднюю
толщину t и волновое число <х . Используя взятые значения с г
К , определяем в из (3.9), и решая уравнения (3.12), находим А
мг. Вспоминая определение -иг , находим связь между числом Рейнольд-
са и числом Фруда
3FlRe'1 * 1 +(3-c)-v~1 = 1 * | f
(3.13)
Второй член в правой части (3.13) связан с образованием волн и
отражает влияние волнообразования на соотношение между расходом и средней
толщиной. Для волн бесконечно малой амплитуды, для которых согласно
8 1 с = з формула (3.13) переходит в формулу (1.6) для ламинарного
130

течения. Из (3.13) находим среднюю толщину слоя
e3*3Xef'i'[j+(3-с )*■■'] (3.14)
Число Вебера определяем по формуле (4.39) главы 1
Теперь из (3.9) на основе определения К находим волновое число <*
<x2*+(5cz-f2c+6)WK~' . (3.16)
Зная Re , F t , W , с , К f можно вычислить все коэффициенты
уравнения (3.14) по формулам (3.7), (3.9) и определить коэффициенты
разложений р , уго , «p2f . В частности, для амплитуды первой гармоники
£> будем иметь
рг*§-Гз-с)^-' . (зле)
Формулу (3.14) для средней толщины можно записать через амплитуду
первой гармоники р
''•''.О-if1 У ■
Отсюда следует, что средняя толщина уменьшается вследствие
волнообразования.
Рассмотренные решения существуют не всегда. Из (3.16) следует,
что действительные решения рассматриваемой задачи существуют при
(3-е) w > О . Если с , К не слишком велики по абсолютной
величине, то в силу (3.12) будет w > О,поэтому должно быть с < 3 .
Для линейных волн с = з, нелинейные волны в слое со свободной
поверхностью распространяются со скоростью с , меньшей 3. Полностью
область существования волновых режимов в плоскости с , К
определим, если учтем, что всегда должны выполняться неравенства
со > А » О . Предельные значения А согласно (3.12) достигаются на
линиях
3 -(3-*)(с- т*)( 1 "3 + с - и?) иг'1 = О у
(3.17)
(11 + гв.)(ъ*гв)+ 2{1,-к)(з + в) -
-12(ч-К)(К-1)(3-сУТ т* -- О
На рис. 3.1 показана область существования предельных волновых
режимов рассматриваемой задачи при произвольных расходах для слоя воды
при Г * 15°С .
Каждая точка с , К , лежащая в области, ограниченной кривыми
(3.17), является допустимой, т.е. при этих значениях с , К
существует предельный волновой режим, который можно рассчитать по формулам,
указанным выше. Вся область существования состоит из двух частей,
имеющих общую точку с координатами с ж г, 68 99 , К * О , в
которой пересекаются граничные кривые. Умеренным значениям чисел Re
соответствует левая часть этой области. На рис. 3.1 проведены также
линии постоянных расходов ; множество точек с , К , лежащих на
131

этих пиниях, представляют однопараметрическое множество волновых
режимов, которые могут существовать в слое при постоянном расходе.
С ростом расстояния JS от
точки О вдоль каждой из
этих линий амплитуда ^>
монотонно возрастает и уменьшается
волновое число а . Средняя
толщина вначале уменьшается,
а затем растет. В точке, где
6 достигает минимума,
обращается в нуль производная
ds
Так как на плоскости
с , К величины t, Re будут
функциями с , К , то это
условие можно в точке
минимума записать так
Рис. 3.1
дК
эе
a Re
^ о
Введем вместо
примет вид
и Re величины vr и
(3.18)
А , тогда условие (3.18)
, -г Г <?А з г/ЭЬ
L эъ г J I at
3 2/<ЗА2 dw диг ЗА'
д&
ЭЬ дй
)]
(3.18')
-ТР
г дглг
It
9/К
5"с-
5сг-
6
12с*
6
3iV
<Э*
= 3
Присоединив (3.18') к (3.12), можно провести расчет значений А и
■цт соответствующих минимуму £ пои разных числах £е .
Соответствующие точки лежат на линии W • Эта линия соответствует
оптимальным периодическим решениям. Вдоль нее от точки О число Re
монотонно возрастает: Re * О при с: 3 у3 Re = 95 при с:Тг7/8.
Таким образом, для того, чтобы рассчитать то волновое течение при
заданном расходе, в котором текущий слой имеет наименьшую среднюю
толщину, следует взять значения А2 и Ю- , лежащие на линии IAN
при заданном значении Не .
Более наглядно можно представить область существования волновых
решений в плоскости йе , <* f так как эти параметры имеют ясный
физический смысл. Полагая в (3.15) с - 3 и K-f,, что
выполняется для волн с бесконечно малой амплитудой, имеющих период Z7F ,
получаем
*% 3 W
(3.19)
132

При фиксированном числе Re значение <* г уменьшается от
величины, определяемой формулой (3.19), с удалением от точки с г 3 ,
К = 1 В § 4 главы 1 установлено, что при в ' z °*~
ласть неустойчивости к бесконечно малым возмущениям располагается
ниже линии, уравнение которой <хг- 3W. Следовательно, область
существования стационарных волновых решений и область линейной
неустойчивости к бесконечно малым возмущениям в рассматриваемой задаче
совпадают, по крайней мере, при умеренных расходах.
Обратимся теперь к вопросу о точности построенного решения.
Разложение (ЗЛО) в тригонометрический ряд можно представить в виде
у= 2 ?"**со .
где fK ($) - суть к - я гармоника. При малых амплитудах а
влияние более высоких гармоник быстро убывает с ростом номера.
Рассмотренное выше решение удовлетворяет исходному уравнению с
точностью до членов порядка 0(рл) .Если учесть в разложении члены
третьей гармонике, то уравнение (3.8) будет удовлетворяться с
точностью до величин порядка <>($>'') • После громоздких выкладок
получаем полное решение задачи во втором приближений в следующем виде.'
l ip = L / А1- з(а- к *i)l
t i/> -- ifs- К * l)L * /L
Здесь приняты обозначения;
(3.21)
133

Величины А и кг получаются из уравнений (3.12) ; для ie,Sf,S2
получаем следующие выражения :
Выписать следующие члены разложения практически не
представляется возможным, поэтому ограничимся тем, что будем рассматривать
решение как асимптотическое. При подстановке этого решения в *■
приближении в уравнении (3.8) оно будет удовлетворяться с точностью
до 0(^р )» и при jd -* 0 уравнение удовлетворяется в точности.
Различие между решениями в первом и втором приближении оказывается
небольшим. При расчете параметров оптимальных режимов для чисел
Рейнольдса до 3Re = 55 оно заключено в пределах Ю %.
Другой способ проверить точность построенного решения заключается
в том, чтобы проинтегрировать численно исходную систему уравнений
(3.6). Численное решение можно считать точным с заданной заранее
погрешностью. Задача об установившихся волнах сводится к
интегрированию одного обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения
третьего порядка (3.8). Для интегрирования его на длине волны
fx0,xo+2tfJ удобно применить метод Рунге-Кутта.Если начальную
точку хс выбрать на гребне волны, где *р'(хо) = 0 г то функция f(x)
должна удовлетворять условиям периодичности;
При заданном Re и <* подбираются параметры F и с и
начальные данные ^(к. ), i> "/•*,} так, чтобы эти условия выполнялись. Для
сравнения аналитического решения (в первом приближении) и численного
в таблице 3.1 показаны 3 близкие точки, лежащие на линии оптимальных
волновых режимов, которые были получены при аналитическом (1) и
численном (2) решении волнового течения водяной пленки.
Таблица 3.1
Не
1 2
25 25,17
ЗО 31,08
40 40,56
ее
1 2
О.Ю1 0,109
О.Ю9 0,121
0,120 0,139
с
1 2
2,401 2,460
2,268 2,316
2,078 2,148
we (с*)
1 2
0,143 0,145
0,150 0,154
0,163 0,167
134

2. Подобие и сравнение с экспериментами. В коэффициенты
уравнения (3.8) входят параметры Re, f ,<* , <■ Физические свойства
жидкости представлены одним параметром
Op 1
'/з
Зафиксируем расход (или число Не ). Тогда множество возможных
волновых режимов получим при фиксированном г , перебирая значения of.
Оказывается, можно провести расчет лишь для одной жидкости, а
соответствующие результаты для любой другой жидкости получить простым
пересчетом. Введем следующую систему параметров
"/з
Г-Ты ,Нчк .Тогда можно коэффициент 6 в уравнениях (3.6) выра-
« ,'' -Ф '/з
зить через них, учитывая, что W - f Re • 3
-Чъ Ф
G = 3 Г£
Видно, что физические характеристики жидкости и волновое число
объединены в один параметр Г . При заданном £ можно исследовать все
возможные волновые режимы для любых жидкостей, меняя только
величину Г . Каждой паре чисел £ , Г в процессе решения будет
поставлена в соответствие пара чисел Н f С .В таблице 3.2 даются
параметры оптимальных режимов. Каждый из них соответствует лри
фиксированном расходе тому значению Г , при котором стекающий с
волнообразованием слой имеет наименьшую среднюю толщину.
Рис. 3.2 построен по данным
таблицы 3.2. Оптимальные режимы
соответствуют точкам, лежащим на линии 1.
Здесь же показаны линии постоянных
значений НЕ '' •
Применим таблицу 3.2 к расчету
волнового режима в слое, стекающем
по вертикальной поверхности, для
конкретной жидкости с физическими
характеристиками р , 6 , ^ . Пусть задан
расход жидкости. Вычислим прежде
всего Re и г , а затем перестроим
таблицу 3.2. Из первого столбца
получаем столбец <х , пользуясь
формулой ск - г 'Г , а по формулам
находим столбцы Re и F . Теперь в
строке, соответствующей заданному Re , находим ос f с , f и
коэффициенты разложения Р,Уго, f t1 ■ Средняя толщина вычисляется по формуле
6 г 9 J 1$°^' "£ , а форма волны рассчитывается по (ЗЛО).
При промежуточных значениях Re расчет проводится интерполяцией по
двум соседним строчкам.
Применимость решения ограничивается предположением of « < 1 ,
принятым при выводе. Оно легко проверяется при расчете ос г в
зависимости от Г и J • Например, в случае слоя воды с температурой
15 "С интервал значений, получаемых по таблице 3.2, составляет
О $ of * 0,154 . Число Рейнольдса 3Re меняется при этом от О до
85. Зависимость ct(Re) показана линией 4 на рис. 1.14.
Г=Ч«"А
2/
_ т
/ /
1 ИЛ
/ / '
/ /
—1—1—
/ /
/0 / с
/
/
oCffe
flueb
5
Рис. 3.2
135

Таблица 3.2
Г
0.069
0,259
0,471
0,637
0,842
1,025
1,198
1,392
1,562
1,747
1,948
2,164
2,338
2,585
2,991
£
6,091
2,532
1,613
1,188
,917
,745
,625
; 533
,465
,4Ю
,365
, 327
,298
,270
,229
Н
18,198
7,911
5,454
4,041
3,240
2,682
2,295
2,007
1,782
1,593
1,440
1,341
1,188
1,089
0,936
С
2,945
2,760
2,569
2,401
2,268
2,161
. 2,078
2,ОЮ
1,955
1,909
1,871
1,839
1,8Ю
1,786
1,746
J3
0.080
0,174
0,241
0,294
0,334
0.365
0,390
0,410
0,427
0,441
0,452
0,462
0,471
0,478
0,490
-10fy0
0,159
0,328
0,4 35
0,520
0,561
0,601
0,618
0,626
0,628
0,62 6
0,620
0.611
0,605
0,598
0,575
-fqp2(f2,
О.ОЗб
0,159
0,292
0,424
0,529
О, 627
0,705
0,773
0,832
0,885
0,931
0,972
1,014
1,053
1,116
136

Сравним построенное решение с экспериментальными данными.
Теоретически при заданном расходе существует бесконечное множество
волновых режимов, которые различаются длинами волн, и заранее нет
указаний на то, какой из них будет наблюдаться в эксперименте. В опытах
ярко выраженное периодическое движение осуществляется в том случае,
если на течение накладывать периодические возмущения с малой
амплитудой, вполне определенной для заданного расхода частоты. При этом
каждому расходу можно поставить в соответствие свою
преимущественную длину волны. Если не принимать специальных мер, эти волны будут
в определенной степени искажаться возмущениями с другими длинами,
обычно более короткими» Эксперимент не показывает, чем отличается
эта длина волны от других и почему из бесконечного множества режимов
имеется преимущественный. Теоретическое же рассмотрение приводит к
выводу, что среди всех возможных режимов действительно существуют в
определенном смысле исключительные — это оптимальные режимы.
Естественно предположить, что именно эти режимы наблюдаются в
эксперименте. На рис. 3.2 нанесены кружками результаты опытов П.Л. Капицы
с водой и точками - со спиртом С?* ] • Они действительно
располагаются вблизи линии оптимальных режимов. На рис. 3.3 сплошной кривой
показана теоретическая зависимость длины волны от расхода для воды,
построенная по результатам таблицы 3.2. Близкое соответствие
теоретических и опытных данных свидетельствует о том, что из всех
теоретически возможных волновых режимов реализуются оптимальные или режимы,
близкие к ним. На рис. 3.4, 3.5 дается сравнение теоретических и
опытных значений средней толщины и фазовой скорости для воды и спирта.
,sfc—I Г
N
ал.
ЦТ
a,5sr
аг
Рис. 3.3
20
to
W се*
0
1
0
Oi.ce<
г
Профили волн в слое воды при
Re. * 14,41 показаны на
рис. 3.6. Они определялись прямым
численным интегрированием
уравнения (3.8) на длине волны
О £ х £ 2.7» . Пунктиром показан Рис. 3.5
профиль волны, рассчитанный по
формуле (3.10) точного решения при ос = 0,W7 . Для значений «* ,
лежащих вблизи кривой нейтральной устойчивости, профили почти
синусоидальные. С увеличением <* возрастает влияние нелинейных членов
уравнения, и профили заметно деформируются.
3. Точное численное решение. Построенное решение хорошо
согласуется с экспериментами при умеренных числах Рейнольдса. При выводе
его было принято предположение, что профиль скорости в слое является
параболическим по и . Это позволило заменить нелинейную систему
уравнений в частных производных системой обыкновенных
дифференциальных уравнений. Обратимся теперь к точному решению системы (3.1) -
137

(3.3), которое позволит установить, насколько выполняется принятое
предположение о профиле скоростей. Такое решение можно получить лишь
численно,
де. . I . Проинтегрируем уравнение
неразрывности, вводя функцию
тока
и>
д v
Рис. 3".6
а3/,
ду ' дх
?£■ Введем безразмерные
независимые переменные
xr»x-ct , у,- уА"' ,
тогда для искомых функций
Г(х,>!/, ) , Л (х,)
приведем задачу (3.1) - (3.3)
к следующему виду
<?V
^v
Э3 ф г ° п \ 3 ап Г "V
£ ^ "<«3?'"> frJc% "AV
\ду J J l ЗуЭх. Эх. 3y* J
(индексы при *,,УГ опускаем);
(3.22)
У = О
Эгу
в if/
77
о J у- о);
(Y-ch)*0 t (</*f) .
(3.23)
Требуется построить решение уравнения (3.22) с граничными условиями
(3.23), периодическое по ж . Применим разложение в ряд Фурье но
х . Будем искать решение в виде
А = А + £ / h sink х 4 А . «?s Лх /
00 . с ко *1 J '
(3.24)
Коэффициенты разложения у зависят от у , а коэффициенты
разложения А - константы. Выберем начало отсчета х таким образом,
что А г О . Толщину слоя относим к среднему значению, поэтому
hog- 1 . Второе уравнение на поверхности (3.23) легко интегрируется
ш - с h = В = const
Пользуясь определением функции тока, получаем для расхода
(размерного) жидкости в слое выражение
138

$sJ«/y. VJ*„,
Пусть Ua t обозначает расход в слое, что Соответствует второму
способу выбора U0 . Тогда среднее по л значение у/ при у г 1
должно равняться единице. Легко видеть, что должно быть В - 1 - с
Таким образом, получаем условие:
„/./-<•♦«/. , о/; . <здв>
Следуя методу § 1 главы 2 подставим разложения (3.24) в
уравнение (3.22) и представим правую часть в виде степенного разложения по
степеням $ = sin ж c=eos x, . Обозначим эту правую часть через
<? ; будем иметь
* к ' * f-0 kt
Тогда уравнения для у будут иметь вид:
(3.26)
«з.
- v •*
<?у3 о 2 ^ го гг
± Q + - [Q * Q )
ГГ»
■««*г^«+30
У (3.27)
^3 .„
-^ = 0 + - (О i 3 0 )
f!^i-> ., 1 fl IS . J- (9 . Q )
Эу* г *" ' Эу3 2 LV" ^to/ •
Правые части (3.25) можно выразить явным образом через коэффициенты
разложений (3.24) и их производные. Для этого следует провести все
указанные разложения, как это было сделано выше в процессе решения
обыкновенного дифференцированного уравнения (3.8). Так как это
связано с громоздкими выкладками, то вычисление коэффициентов Q сК
можно включить в единый численный алгоритм, при котором не
требуется их явное задание. Выражения для <? через *•- гармоники &■
и h K разложений (3.24) даны в приложении 2.^_Выберем теперь 4
последовательных значения ж - О £ . Ж ёЛ
■ i: . ' ч ' г ' м
Пусть 9=9 ^x.j,тогда легко показать, пользуясь (3.26), что
q -- Q1 Q - q' Q = ?3 Q ~-ZQZ -Q -Q
^to *, , y„ *, , vlo f, , ilt чг ч1о *u , ^328^
139

v_ г/г ft/, ?/)-<?; t Q3i-.9ii
Теперь нахождение Qik сводится к вычислению Q к по формулам
приложения 2.
Для каждой из пяти функций ч* ск имеем краевую задачу с тремя
условиями. Два из них заданы при у.- О и имеют вид :
Эфы
fcl > ду
и одно при у г / ; а именно ^ ^w/ гг 0. Дополнительно к ним еще
имеем пять условий при и г / . которые получаем из (3.25)
гоо > *г* го ' Гг; ' "го го ' ^г» tt
Уравнение (3.27) решалось численно методом Рунге-Кутта от у= О .
Десять уравнений при у- 1 , которые имеют вид J - О ,
удовлетворялись подбором десяти величин zk
Подбор этих десяти величин осуществляется автоматически по методу
Ньютона. Построение матрицы производных производится путем
многократного решения задачи Кошй от точки у = О •
Пусть / £о суть значения J-^ при выбранных начальных
значениях н • Разлагая каждую из величин /• в ряд Тэйлора
относительно точки i k и ограничиваясь линейными членами, получаем
уравнения для поправок Д Z k
£.£>.-'.. .'-'.* 'о ■ (3-30)
Поправки Л г k находятся численным решением линейной системы
десятого порядка (З.ЗО).
Чтобы вычислить производные , параметры г следует
варьировать относительно выбранных начальных значений. Возьмем
некоторый набор % + % г и проведем численное интегрирование системы
(3.27) от у* 0 до у=/,в результате получаем величины J. + 2/^ .
Если принять §2. Ф О , где £ один из номеров от 1 до Ю, а осталь-
ные 8г(=0} то будем иметь •'* д, -^ *
Если после вычисления новых значений 2 к0 * Д2 ^ точность выполнения
условий /. = 0 оказывается недостаточной, то процесс расчета
повторяется.
Рассмотрим результаты расчетов, которые проводились для слоя во-
НО

ды. В каждой серии расчетов фиксировалась средняя толщина £ и
изменялись значения волнового числа ос . Значение средней толщины
определялось заданием параметра & а = %£ т)" (параметр Галилея).
Так как при ламинарном течении G a =3Re , что легко видеть из (1.8),
то серия расчетов при постоянном бе и переменных ос
ствует перемещению на рис. 1.14 параллельно оси Re = О .
соответ—
Прежде всего, если оС лежит вне области неустойчивости, то
ненулевого решения системы (3.27) не существует. В области
неустойчивости каждому значению of соответствует свой волновой режим.
Характерная амплитуда волнового течения равла нулю на линии 1 нейтральной
устойчивости, возрастает с уменьшением с* и достигает максимума
на линии 2 оптимальных режимов, а затем уменьшается. На рис. 3.7
показан средний расход жидкости в слое. Как уже отмечалось,
образование волн вызывает увеличенкэ расхода, которое тем больше, чем
больше средняя толщина слоя. Изменение отношения фазовой скорости
с к средней скорости в зависимости от волнового числа показано на
рис. 3.8. На кривой нейтральной устойчивости с г 3 с увеличением
амплитуды волны это отношение падает и достигает минимума на линии
оптимальных режимов, а затем несколько возрастает.
На основные характеристики течения
(расход жидкости, фазовую скорость,
форму волны) детальное распределение
скоростей, которое учитывается в
данном методе решения, оказывает
небольшое влияние. По этим характеристикам
более простое аналитическое решение,
изложенное выше, дает достаточно
точные результаты. Причина заключается
в том, что профиль скорости
действительно близок к параболическому,
особенно при небольших расходах. На
~агб рис. 3.9 дается пример распределения
скоростей в поперечном сечении слоя.
С ростом толщины слоя отличие
профилей от параболы несколько
увеличивается.
оС 0.26
Рис. 3.8
Рис. 3.9
141

4. Развитие возмущений. Исследуем теперь вопрос о развитии
стационарных волновых течений из бесконечно малых неустойчивых
возмущений. Будем рассматривать систему уравнений (3.6), которая
получена в первом приближении прямым методом, примененным к системе (3.2),
(3.3). равнения (3.6) достаточно точно описывают стационарные
волновые течения в слое. Имеются стационарные решения двух типов:
h: 1 , ff (? = Н)\ (3.31)
h - 1 * Q sin jc + h iCn Zx + h cos Z x + .• • ■ г
J (3.32)
£= 1+ c(h-f) ( E * H) .
Первое из них соответствует ламинарному течению в слое, а второе -
чисто периодическому волновому течению. Переход от одного
стационарного течения к другому может происходить вследствие потери
устойчивости. Неустойчивость ламинарного течения рассмотрена в § 4 главы 1,
где показано, что при каждом расходе это течение неустойчиво к
волновым возмущениям с волновыми числами ос , заключенными в
интервале О £ « < or к . Точка о/ к ? JPe расположена на нейтральной
кривой. Пусть в момент t- О возникло периодическое возмущение решения
(3.31). Как ~dO будет развиваться в последующие моменты времени ?
Применим метод разложения в ряд Фурье, с помощью которого были
исследованы стационарные волновые течения.
Представим нестационарное решение в виде;
о k * » * Ъ к *, . (3зз)
h = h sin ж + h cos ж . Ч - Я, Stnjc у- о соб X
к ю и ' '* г1в гн >
где А0 , ^0 > ^и » %-К в общем случае могут зависеть от t и х.
Приравнивая нулю коэффициенты гармоник, из второго линейного уравнения
(3.6) получим
в - СЯ -с h' ) -- О ,
3t
аь
ео
U'-et*re(k'*-eh«ti"0 ' (3-34)
— "/V + tl -c(h' *thf )}-0
3t
Ограничиваясь первыми двумя гармониками в разложении (3.33),
составляем согласно § 1 главы 2 следующие нелинейные уравнения;
I гl ю ii >J at '« л " н ° г lo "' *
142

В этих уравнениях штрихи обозначают частные производные по «J
индекс £ может принимать значения нуля и единицы, а индекс соот-
А*-А2
ветственно этому, единицы и нуля, &*(-l) ,Jf '^„hu ,/г' " — .
^г» = ^м ' *м г ^» • В360*8111"16 в правые части (3.3S) величины Q
сложным образом выражаются через А . , £.; и их производные по jc .
Если они не зависят от зс , то для проведения расчетов их можно не
выписывать явно, а включить вычисление <?к- в единый численный
алгоритм, как это было сделано при полном расчете волновых режимов,
по формулам (3.28) . Через Q обозначена правая часть нелинейного
уравнения (3.6), не содержащая производную по времени. Подставляя
разложения (3.33) в выражение для Q , найдем <tj k .
Можно применить также другой способ исследования развития
некоторого начального возмущения. Введем на отрезке О < х < г JF
расчетные точки х в к их. и пусть Ак - А (т txк) , у - <j, (г t XK).
Запишем уравнения (3.6) в расчетных точках, причем производные по X
в точке Х.К заменим конечноразностными выражениями по формулам
центральных разностей. Тогда будем иметь систему уравнений
dh -р (h п ) *±± - ф (h 0 ) (3.37)
Для этой системы решаем задачу Коши с начальными данными, которые
определяются по начальному возмущению А о (х) г о (х.) в момент t - О .
При таком способе точность расчета зависит от шага л х и ее можно
улучшить, уменьшая Дэс . Этот способ расчета можно применить для
проверки точности, достигаемой методом разложения в ряд Фурье,
который приводит к уравнениям (3.34), (3.35). Преимущество уравнений
(3.34), (3.35) заключается в том, что эти уравнения можно применить
также для исследования устойчивости волнового режима к возмущениям
с бесконечно малой амплитудой и произвольной длиной волны. Однако для
такого исследования надо выписать в явном виде Q. [ 19J . Формулы
для Q. даны в приложении 3.
1г К
Проанализируем некоторые результаты расчетов.
Зададим начальное возмущение в виде (3.32), полагая Аад - /> а ,
А(г -Ог h-k* О при к > 1 , т.е. оставим в разложении лишь первую
гармонику. При любом ро возмущения (3.33) возрастают и приводят к
переходу стационарного решения (3.31) в волновое решение (3.32). Это
показывает, что волновое течение является более устойчивым, чем
исходное ламинарное. Характер развития показан на рис. ЗЛО. Кривые на-
143

растания возмущений по времени имеют два участка. До некоторого
значения t возмущение мало, а затем резко возрастает и выходит на
волновой режим. С изменением начальной амплитуды р0 меняется лишь
участок медленного роста, но в целом характер развития сохраняется.
Поведение кривых нарастания таково, что можно достаточно определенно
указать время установления. Зависимость времени установления
оптимальных режимов от начальной толщины изображена на рис. 3.11. Оно мало
изменяется с изменением & а при больших значениях G а и резко
возрастает при значениях Ga <75. Вследствие этого при малых расходах
в течение длительного времени не будет наблюдаться заметных изменений,
связанных с развитием возникшего возмущения. Так как нарастающее
возмущение сносится вниз по течению со скоростью с U0 , то в этом
случае будет большая длина участка, на котором развивается волновой
режим из малого возмущения. Этим объясняется тот факт, что хотя
неустойчивые возмущения существуют при всех &а , в экспериментах развитые
волны наблюдаются лишь при &а * /5 и выше. Кривые нарастания
показывают еще одну интересную особенность нелинейного развития. На
нелинейном участке нарастания кривые роста, соответствующие разным ос ,
могут пересекаться. Те возмущения, которые в линейном приближении
нарастают быстрее других, могут не обладать этим свойством в
нелинейной постановке.
ол
0.3
0.1
0.1
Ьч
«•
_р*Ш
3fi.-6iM<i
1 1/*
-U--
J> ~°»
W.0001
Л2.56
а?.<з
01
18.^9
«С = <Л*
«.35
io-
?*
'
У
"'-I
7х-
1—1
г
3*е
г:
SO 75
Рис. ЗЛО
t too
30 SO
Рис. 3.11
§ 4. Волны в слое вязкой жидкости на вращающемся диске
Рассмотрим задачу о нелинейных волнах в осесимметричном течении.
В качестве примера будет взято течение слоя вязкой жидкости на
поверхности диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью со . В этом
случае можно применить результаты, полученные для плоского слоя.
Введем цилиндрическую систему координат, в которой ось г
направлена вдоль оси симметрии; t — радиус и в - угол в плоскости
г = const . Пусть ^£ , 1ГЪ , Vy - составляющие вектора скорости
на соответствующие оси, р * - давление.
Запишем уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности в
безразмерном виде. Для этого введем новые функции и , f, иг 7 р с помощью
соотношений
^„з
V - 8cj<S и, т> = гсо(1 * ЪгЦ>), vf = ()bj) S иг t p -р - aia)8 p
(4.1)
144

и независимые переменные
,en(te-')t f-ifai-'r1' , t-*>r*t* , 0
(4.2)
Здесь Р , ■> - плотность и коэффициент кинематической вязкости жид-
кости, которые считаем постоянными величинами, С - время, г9 -
наименьшее значение радиуса, ра - внешнее постоянное давление.
Смысл безразмерной величины S г будет ясен из дальнейшего. В
новых переменных уравнения движения и неразрывности будут иметь вид ."
X ft'
-и. + и * 1 -Ьг(и - Z v) -h (и,1+ии, +wu +VU. -VZ)m
V »> l# ' 1 X If 9 '
■ 18 ггы~'(-р * и, +г« *<* -Zv-)*0 ,
v гк хх ж. ее *' '
-V * V -li(Zu.*V )-%Ц(u-V- i*V * Wl\ ) *
tit1 9 ' \ x в i J
i *x ев 9 x r в ' *
-vf * w - p -8г nf- - 3 Yu ur * vvr * lO-nr } +
* )8г «-*cj'1 (V t v )- 0 .
(4.3)
Сила тяжести в уравнениях не учитывается.
Пусть поверхность слоя задана уравнением г «• h *(t t , в ) .
If
Так как поверхность непроницаемая, то будем иметь для Л уравнение
h**u,h* * к'1 vh* .*> , {г. А*) (4.4)
Перейдем к переменным t t x, в, h » h fh (t t x,ff) и выразим тлУ
из уравнения неразрывности, тогда уравнение (4.4) можем записать в
следующей форме
Здесь «j, - J u.d*f t h - характерная толщина слоя. На твердой
поверхности ^ = О выполняются условия прилипания иг = О г «- = о , * = о t
которые учитываются при выводе (4.4).
145

Обратимся теперь к граничным условиям на поверхности раздела.
Предположим, что на поверхности действуют постоянное внешнее
давление ра и сила поверхностного натяжения N - Т(Rt * Ч~г ) .
Через Я, ,#г обозначены главные радиусы кривизны в некоторой точке.
Суммарная сила N = ра - T(R f * *г ) в каждой точке поверхности
действует по нормали к ней. Пусть 6 „ есть напряжение, действующее на
площадке с нормалью п . Тогда в векторном виде условие на
поверхности будет иметь вид
6n*-N*n I4.6)
Обозначим через л ,ntt n косинусы нормали гГ с осями координат,
а через 6 6 6 - проекции напряжения на оси.
Нетрудно видеть, что "2- й , пг --h% д f л --h^ *''л f дг= 1 + h\ + h* г~*.
Из условия (4.5) получаем 3 условия, из которых одно включает
давление и нормальные составляющие вязких напряжений, а два другие —
действующие в касательной плоскости напряжения
щ
in 2 %п * вп в ' \*.?)
6 п - 6 п = О б п -6 /1, = О ,
in Z гя г » in 0 вп *
Проекции напряжения на оси выражаем через компоненты тензора
напряжений, например, Tin » ТЪ1 п£ ■♦ Т1г "г + Тie п , Две другие
проекции получаются аналогично. В переменных (4.1), (4.2) компоненты
тензора напряжений имеют вид;
Т = u.u>ll(-p*Zu + Zw ) , Т ^wu)&*(-p *г& *l v )
гг ■" l r х ' » ев * Г 0
гг
(4.7)
Г = *«.cJzSeJ ''^"'Yo,„*•№*" со"' w, ) .
xi s i x.
"Подставляя (4.7) в (4.6), получим следующие граничные условия при
1 *Z[P<J(«"< * 0Ло/ Z "V % Л* -*% V (4.8)
146

(t-ezhl )(ц, *e&w )-zel(u. *u-w-k)h
t4v+£*tv )h h -ег(+ fa. )A *0
(f-ezh* )(v * £гг* )+ 1€г(га- - V -и,)h
1 i *■ ' к e к в J x.
(4.8)
где введены обозначение £ = А0 г"' ,
Величину S определим соотношением 8= Л,/<*)■>"' Если диск
вращается в безграничном объеме, занятом вязкой жидкостью, то у его
поверхности развивается пограничный слой, толщина которого порядка
. Поэтому о характеризует отношение толщины слоя к толщине
возмущенной области, которая существовала бы у поверхности диска,
вращающегося в безграничном объеме. Пользуясь этим определением 2
получаем о )t" со» А г . Таким образом, в систему уравнений (4.3),
(4.4) и граничные условия (4.8) входят безразмерные параметры S ,
"сх t' ?ь> "ох * > р U "о • Последний из них представляет
число Вебера, вычисленное по характерной толщине и местной линейной
скорости диска.
Пусть жидкость непрерывно подается на вращающийся диск вблизи
оси вращения и растекается по нему. Тогда с удалением от оси
вращения толщина слоя будет уменьшаться. Будем рассматривать ту область
течения * >г6 , в которой h0 r~'«f, Ь«1 . Конкретное значение
г , начиная с которого будут выполняться эти неравенства, зависит от
О
расхода, скорости вращения и вязкости жидкости.
Рассмотрим прежде всего стационарное осесимметричное течеьие в
слое. В этом случае все параметры потока, которые обозначим
соответствующими большими буквами, зависят от х. ч <? . Члены, содержащие
множители h0 г" , будем считать малыми и отбросим. Решение найдем
разложением в ряды по $ . Запишем для V у S V, W f Р 7 Н
разложения вида ;
V -- О * 1ч V + ••• (4.9)
И ■«= н + S*н + •• •
о f
147

Подставляя (4.9) в уравнения, получим, приравнивая нулю выражения
при разных степенях 3 : в нулевом приближении —
£/■ ♦ Г = О, V --ZV л ,
О ? О О »
W •- U - ZU'
О ОХ • »
(4.Ю)
в первом приближения —
£7= 1Гг * W и' * U V - ZV
10 О о О ОХ в »
1 ев о о о ох ' *
(4.П)
w'=-v -ги
1 IX »
Граничные условия в рассматриваемых приближениях имеют вид .*
(4 12)
Отсюда следует
W.h0. ^ч>в°. v.'M-v.'cWf ■ (4Л2}
Получаем решение в нулевом приближении, удовлетворяющее уравнениям
(4.10) и граничным условиям (4.12), (4.12 )'
о 2 ' «о »
v-£*.W».»'-,!*' . (4ЛЗ»
".■J»*-it*'. .
Уравнение (4.4 ) приводится для стационарного осесимметричного
течения к виду
%1 * Ч* * о;
отсюда следует, что
9*-».*ew-«*> ' »•/ ^* • (4Л4)
о
Разложим У и А/ в (4.14) в ряды по Ь *f тогда
*M#V л* «YJ4*» ♦*.(».*)-"J*"-
о в
Отсюда находим J
148

"о
о
(4.15)
Примем И0 г / при t* 10 и положим о = -г . Выражение для толщины
слоя принимает вид
Но= exp(-j х) . <4-16>
Вспоминая определение х, , эту зависимость можно записать щ виде
В первом приближении находим решение для Ut , удовлетворяющее
условиям (4.12), (4.12');
и,-ЯоС''6'6нЛ*~'0Н'',***о«**1)*с1 .
22 5
С , Н- — Нл
1 45 •
Из (4.15) определяем
62 г (4.17)
До сих пор давление не рассматривалось. Из последнего уравнения
(4.3) получаем
р = с * w с =■ const
о о '
Если пренебречь влиянием поверхностного натяжения на основное
течение, то Ро а 2 w'0 при Ч- н0 , поэтому
Толщина слоя (размерная) выражается следующим образом
aW..^*./^',/'-) • (4-19'
Расход жидкости, проходящий через кольцо г • * о г получаем с помощью
интеграла
h*
о
откуда
'49

J 3» 3
2 7Г* г а)
ho = ,^_ ~г • (4.20)
Выражение (4-.20) можно сравнить с формулой (1.8) главы Г для толщины
слоя в плоском случае с = , в которой расход отнесен к единице
ширины слоя. Видно, что имеется аналогия, если вместо о. поставить
гей
Рассмотрим теперь осесимметричные длинные волны в слое на
вращающемся диске.
Пусть
х=хАй ц, = TJ + и
1 » 1 »
ty
IV + <S и^ . v -V + v- . р - Р * S
1 »
f , р « ^ + О pf ,
где величины и.^, Vf, «^ э р^ являются функциями *f , xt ■ Подставляя эти
выражения в уравнения (4.3) и отбрасывая члены, содержащие 3 *
Л г " получим систему уравнений (индекс I опущен):
и * х& (и -Ър„ )= us„ * \~ (V + и.) и, * vrfl/^ * и-ь )
vf- -о + ж то- = W + X(V * и,) ил +urvr^
(4.21)
ту + ЭГ ьс - О
tf X. 7
Г О
Из граничных условий (4.8) найдем с такой же точностью при *) - h
-г -l . г ч-*/г
Если волны осесимметричные, то /? =0 , £f ~™хх *' х/
Разделим давление на две части, одна из которых связана с
поверхностным натяжением и не зависит от V "'Р'Рц-Т^ * ''х* •
Будем искать решение периодическое по ж с периодом Z7i. Длина
волны в таком решении равна Л х - 27i X S f откуда >г = гг"г* * ггг»' ^
Используя это определение Я , можно записать
Преобразуем теперь выражения, содержащие производные по х. , еле—
150

дующим образом
эе У6(и. - xPx)-JL(27r±° fh .(zf^ff* -л)Рх .
Величину of будем считать величиной малой. Теперь уравнения для и
W можно отделить от уравнения для р , если опустить члены по-
рядка а . Окончательно получим;
ТоС 3
"• + ч г, " ^ ="' +л (U + и,) ьсг+ ти- (Un * и- „ )
ft oil/ *•** т 1 ^ д: I? <?/»
h -t ТС а -- О
г. Ух. '
(4.23)
и.*0 f го- - О ? при >f - О f
и = О при f - h
Здесь 17в = о}3 * . В уравнениях (4.23) производные по * от u-7 w 7 h
много больше, чем производные от U , поэтому можно рассматривать
волны в некоторой окрестности фиксированного значения х и считать,
что
и * Veth-jl*). Теперь задача (4.23) в точности совпадает с задачей
(3.1) - (3.3) о волнах в плоском слое вязкой жидкости, если положить
Л «■ (Не ы ) , t - А"' г , w- - У1 v .
Поэтому можно применить полученные в § 3 результаты о волновом
течении слоя. Экспериментально волны рассмотренного вида наблюдались
в работе [ 21 ] . Жидкость подавалась вблизи оси вращения, волны
возникали на некотором расстоянии от места подачи жидкости в тонком
растекающемся слое и имели форму концентрических окружностей. По своим
свойствам они действительно напоминают плоские волны на вертикальной
поверхности. В частности, как и в плоском слое, волны становятся
отчетливо заметными только в том случае, если расход превышает некоторое
критическое значение Re * 15 .С увеличением расхода растет амплитуда
волн. Применим решение, данное в § 3, для оценки характерных толщин
слоя жидкости при фиксированном расходе. В соответствии с этим
решением толщина 8Л при ламинарном течении связана со средней толщиной
S при волновом течении соотношением
где ]Э - амплитуда первой гармоники решения. Максимальная толщина
слоя определяется из соотношения
max о J *v
151

Вычисление величин р,^, hг1 для оптимальных режимов можно
провести по таблице 3.2. Ниже в таблице 3.3 даются некоторые результаты
расчета для воды при Т е /5°С .
Таблица 3.3
Re
8.70 с*,
«.А
mat,/ о
8
О.Ю6
0.891
1.076
20
0.134
0.878
1.212
ЗО
0.150
0.858
1.282
40
0.163
0.848
1.320
50
0.173
0.836
1.344
бО
0.182
0.828
1.362
85
0.202
0.82Q
1.380
Здесь для числа Re принято определение Re ^jfc^,/) . В
рассмотренном интервале значений Re величины 80/£ ,'me,i Л( примерно
соответствуют измерениям [ *Н 7
ЛИТЕРАТУРА
1. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на
поверхности тяжелой жидкости. Изд-во АН СССР, 1951.
2. Лаврентьев М.А. До теории довгих хвиль.
|нст. матем. АН УССР, № 8, 1946.
36. працв.
3. Моисеев Н.Н., Тер. Крикоров А.М. О волновых движениях при
скоростях, близких к критической. Труды МФТИ, № 3, 1959.
4. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.-Л.,
Гостех. издат, 1936.
5. Стокер Дж. Волны на воде, И., Л., 1959.
6. Шуляк Б.А. Физика волн на поверхности сыпучей среды и
жидкости. Изд-во 'Наука,* 1971.
7. Birmie A.M. Instability in a slightly inclined water cham-
mels. J. Fluid Mech., v.5, P.4, 561 - 570, 1959.
8. Иванилов Ю.П. Катящиеся волны в наклонном канале.
МФ, т. 1, № 6, 1061-1076, 1961.
ЖВМ
9. Benney B.J. Long waves on liquid films. J.Mathematic and
Physics, v. 45, N 2, 1966
152

10. Mei С.С. Nonlinear gravity waves in a thin sheet of
viscous fluid. J.of Mathematic and Physics, v. 45, N 2, 2ЬЬ -
288, 1966.
11. Нелинейная теория распространения волн. Перевод под ред.
Г.И. Баренблатта, М., 'Мир', 1970.
12. Пашинина Л.В. Установившиеся течения в тонких пленках.
Изв. АН СССР, МЖГ, № 3, 1966.
13. Tanner D.A. On the solitary wave in a viscous fluid. The
Quarterly J. of mechanics and applied mathematics,
v. XXIY, p. 2, 207, 1971.
14. Капица П.Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости.
Ж. экспер. и теорет. физ., т. 18, 1948.
15. Капица П.Л., Капица СП. Волновое течение тонких слоев
вязкой жидкости. Ж. экспер. и теорет. физ., т.19, в.2, 105, 1949,
16. Bennie «A.M. Experiments on the onset of wave formation
on a film of water flowing down a vertical plane. J.
Fluid Mech., v.2, 551, 1957.
17. Маурин Л.Н., Сорокин B.C. О волновом течении тонких слоев
вязкой жидкости.. ПМТФ, № 4, 1962.
18. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой
жидкости под действием силы тяжести. МЖГ, № lf 43-51, 1967.
19. Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой
жидкости. МЖГ, № 2, 2СХ-25, 1968.
20. Шкадов В.Я., Холпанов Л.П., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М.
К нелинейной теории волновых течений пленки жидкости. ТОХТ,
т.1У, № 6, 856-867, 1970.
21. Espig H., Hoyle К. Waves in a thin liquid layer on a
rotating disk. J.Fluid Mech., v.22, p.4, 1965, 671-677.
22. Накоряков В.Е. и др. Исследование турбулентных течений
двухфазных сред. Под ред. Кутателадзе С.С., Новосибирск, 1973.
153

ГЛАВА 1У
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И РАСПАД КАПИЛЛЯРНЫХ СТРУЙ
В капиллярных струях сила поверхностного натяжения, действующая
на жидкую частицу, сравнима с другими действующими силами (вязкими,
гравитационными). С поверхностным натяжением связан сильный
механизм неустойчивости, который всегда вызывает распад струи на капли.
Зарождающиеся неустойчивые волновые возмущения проявляются в виде
симметричных относительно оси утолщений и сжатий струи. При
увеличении скорости истечения существенную роль начинают играть вязкие
взаимодействия с окружающей средой. В результате возникает
неустойчивость другого типа, когда ось струи совершает волновые движения,
амплитуда которых возрастает с удалением >т выходного >таеретия. В
этом случае распад струи наступает быстреа ; носит менее регулярный
характер. В зависимости от толщины струи, скорости истечения, свойств
жидкости и внешних условий могут наблюдаться и другие виды
неустойчивости, например, образование коротких поверхностных волн.
Первый из указанных механизмов неустойчивости был рассмотрен
Релеем [ 2 9 ] , работы которого положили начало теоретическому
исследованию этой задачи в линейном приближении. Задача влияния
окружающей среды на устойчивость бесконечно длинного цилиндра
рассмотрена в работе Г.И. Петрова С 1 1 • Линейная теория получила
дальнейшее развитие в целом ряде последующих работ. Изложение
результатов некоторых из них дано в i Z J С 14-/7] . Хотя линейная теория
предсказывает появление неустойчивости, она не может описать деление
струи на капли, когда существенную роль играют нелинейные стадии
развития возмущений, которыми в значительной степени определяется,
например, однородность образующихся капель. Так как распыление
жидкости на капли имеет важные приложения, были сделаны попытки построить
теорию нелинейной неустойчивости. Вопросам нелинейной теории
посвящены работы [ Зг ч, 5 ] . Некоторые экспериментальные
результаты даны в С 2 , 6 , 7 , 9 ] . Обширная литература посвящена
также распылению жидкости в условиях сильного взаимодействия с
окружающим воздухом, однако эти вопросы не будут рассматриваться в данной
главе.
§ 1. Нелинейное развитие волн в капиллярной струе кругового сечения
Рассмотрим струю вязкой жидкости, вытекающую из отверстия
радиуса йв с некоторой характерной скоростью V 0 . Введем
цилиндрическую систему координат 2 , t, в с началом в центре
выходного отверстия и бсь ъ направим по линии действия силы тяжести.
Обозначим компоненты скорости и давление через у , vr 7 V- , р .
Пусть г = R [z , б, t ) есть поверхность струи. Уравнение,
которому удовлетворяет ^(2, ^, V,получаем из условия непротекання
; , 0-1)
154

Если на поверхности струи вклад вязких нормальных напряжений можно
считать малым, то должно выполняться следующее равенство Лапласа
(см.главу l) для давлений
V ~ Ра = Тж г (г° *)
(1.2)
Здесь р - давление на поверхности внутри струи, р - давление
в окружающей среде, Т — коэффициент поверхностного натяжения.
Величина X связана с главными радиусами кривизны поверхности
^«? ^ г соотношением
х = *;' * /?"/ .
В цилиндрической системе координат эе выражается следующим обра-т
зом
-Vi
*'Ь'С-т)<<) иы*)'-*:]-
/+Rj г . *. ?т *. Я-.
(1.3)
к .[1+(1<L)]R #2Il1« * }
во L l R Я гг pi вг J
£г ев i к /j *» „г
1. Стационарное течение вязкой жидкости в струе. Если в
начальном сечении 2=0 радиальная составляющая скорости мала V- « г^,
то можно предположить, что ц в развивающейся струе будет выполняться
это неравенство. Тогда давление (p/pv? ) с точностью до членов
порядка (р- /у )г можно считать постоянным в каждом сечении и
равным давлению на поверхности. Справедливость предположения
v-f « V-2 легко проверяется после того, как получено решение.
В силу этого предположения движение жидкости будет описываться
уравнениями пограничного слоя. Введем безразмерные величины
t*= RoV't , ... *ey , н. ИоХ ,
(1.4)
«=«J г\ = If ьь t V = 0 v
о 1 i о 'го
Тогда уравнения осеснмметричного движения жидкости в струе будут
иметь вид
t *■ У *L **С х J J1 *J 4(1.5)
+ *e~'(4y + У"'% ) у
-1 _
и. + г» + </ if- = О
ж. У
155

Уравнение поверхности получаем из (1.1)
Л
Hht+k 1 "У*?'0 • ( У* h) (1'6)
В начальном сечении *: О должны быть Зслданы условия
a-.^f^t) , h-h°(t) . (L7>
Величина A (ZjJ- 7 отлична от нуля только в том случае, когда радиус
выходного отверстия изменяется со временем. Будем пренебрегать
вязким воздействием окружающей среды. Тогда граничное условие на
поверхности струи выражает отсутствие касательных напряжений
иу= О , ( y*h(x,t)) . (1-8)
Кроме того, из соображений симметрии получаем два граничных условия
на оси
V О , Uv: О , ( V-0) . (L9)
Краевая задача (1.5) - (1.9) содержит безразмерные параметры
Рейнольдса, Фруда, Вебера
*••*.*.*" • F*Vl(}*S f *-'?RoVoT"-«
в которых а - плотность жидкости, ^ -коэффициент
кинематической вязкости. Развитие течения и возникающих неустойчивых
возмущений будет зависеть от значений этих параметров. Во многих случаях
число б мало. Например, если струя воды вытекает из отверстия
диаметром Ra * 4 «м под напором Н г 2 м при температуре 15еС
то 6 - 0tOO75 . При этом скорость истечения равна Ue * 6$0 см/сек.
В экспериментах Бора [ 9 ] скорость истечения составляла
440 см/сек при среднем диаметре отверстия R«, = 1,35 мм , что
дает 6 = 0,0015 • Будем предполагать в дальнейшем, что €« 1 .
Прежде, чем исследовать задачу об устойчивости, рассмотрим
основное стационарное течение. Необходимо решить стационарную задачу
(1.5), (1.6) с начальными условиями (1.7) и граничными условиями
(1.8), (1.9). Для решения этой задачи применим метод коллокаций.
Выберем полную систему функций Uk (у) , удовлетворяющих граничным
условиям, и представим профиль скорости и, (л г у) в виде
« (1.Ю)
u,= Z « (x)V (у) .
k-.l
156

Зд<ть N - номер приближения. Далее рассмотрим Л/ поверхно-
стеи у (х/« через каждую из которых отсутствует поток жидкости.
Пусть о." (х.) f v ( х) обозначают компоненты скорости на
поверхности у"/х) , тогда
„ dy" Эу" „ Эу" (1.11)
dt Л Jx.
Запишем первое уравнение (1.5) на линиях у"/х) . Применяя (1.11),
получим
а" и" =F~'-6(h-'-h ) **е%" ty-'u" ) П-12)
Величина И считается малой по сравнению с единицей, поэтому
принято f * fj'* х f .
Из уравнения неразрывности с помощью (1.11) получаем
у"
3 ( u.ydy - О (1.13)
Заменим интегралы в (1.13) конечноразностными выражениями по
формуле трапеций
п
Ч
■ 1 , п п-1 \/ п п п-1 п-1 ) (1.14)
Г
Тогда уравнения (1.12), (1.13) составят систему обыкновенных
дифференциальных уравнений для определения у "(х-) , и," f х. ) .
Чтобы вычислить производные по у в правой части (1.12),
воспользуемся представлением для профиля скоростей через U' (у) .
Потребуем, чтобы значения скорости, определяемые по формуле (1.Ю),
совпадали с ип(х) на линиях y"fx)Tora& для определения
коэффициентов a (xj получим систему линейных алгебраических уравнений
. 4 к к ' ' '
*./
Определив ак (х) из (1.15), можем воспользоваться выражением
(1.10) для вычисления производных zJt " ^ на линиях
Эу ' ду1
у"(х), Решение системы (1.15) проводится одновременно с расчетом
и,п(») , !/"(*) ■
Для интегрирования системы (1.12), (1.13) применяется численный
метод Рунге-Кутта. В начальном сечении х = О должны быть заданы
начальные условия. Удобно задать у" (О) о (О) , а величины
и "(о) определить из (1.Ю). Если при х* О сетка расчетных линий
равномерная, то у"(о) = л ( л/ - / ) . Значения ак(о) можно ме-
157

нять достаточно произвольно, получая каждый раз новый начальный
профиль * (if) .
Как показывают расчеты, по мере удаления от сечения ян о в
струе происходит выравнивание профиля по сечению. Длина участка
развития зависит, главным образом, от того, насколько начальный профиль
отклоняется от равномерного, а также от значений числа Re и Ft .
Если при х - О профиль равномерный, то он остается равномерным и
при всех х > О . Выравнивание произвольного профиля при умеренных
значениях числа Рейнольдса заканчивается на расстоянии L от
ж » О, составляющем несколько радиусов выходного отверстия. Пример
развития при Рг ■ ео , Re % МО показан на рис. 4.1.
и
и
с»
06
ач
02
м
2. Неустойчивость круговой струи
в линейном приближении. Рас -
смотрим потенциальные движения
жидкости в струе. В этом случае
компоненты скорости выражаются через
потенциал «р (ж , у , в , i ) по
формулам
>■'*.
*г
вг м <м"вГ~~~щ
Рис. 4.1
Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
1 '
ггг г тг 1ъ -г тее
9 t Y e
(1.16)
Условия (1.1), (1.2) на поверхности r« h приводятся к следующей
форме
К **г- *%Нг ~7 *'Н* > С%"Ь) '
С% ^Cf' * < * f, *1 )]'£*• * 1 Сч>г * *г
(1.17)
+ -: tP- ) / * "^* * р - с
„2 ' в IJ у Г a 1
Здесь координаты отнесены к Re , составляющие скорости к V0 . В
уравнении (1.2) давление выражено через потенциал с помощью интеграла
Коши
0 а - о? - — / \oZ t у + _ и> * ) + С С = СОП% t
158

Исследуем прежде всего линейную неустойчивость круговой струи к
осесимметричным возмущениям в наиболее простой постановке, чтобы
составить представление об основном механизме ее дробления. Допустим,
что имеется неограниченная жидкая цилиндрическая струя постоянной
толщины, окруженная другой жидкостью. Обозначим через U' , pt , р
постоянную скорость, давление, плотность в струе. Соответствующие
величины для окружающей среды обозначим индексом 2.
Потенциалы возмущений *Pf и уг в данном случае удовлетворяют
уравнению ( 1.16), в котором <рв0 * О , а составляющие скорости
выражаются по формулам
U + и, - у , v * f г , uf » О
Рассмотрим малые возмущения основного однородного состояния,
периодические по z , с волновым числом <*
Легко видеть, что амплитудная функция Ф (г ) удовлетворяет
уравнению
ф+-ф-ы<р*0 ,
которое имеет два линейно независимых решения - модифицированные
функции Бесселя Je (**), К0(о(ъ). Первое из этих решений являетси
регулярным при t г О , и неограниченно растет при г. -»ев . Второе
стремится к нулю при г •* «о . Следовательно, можно принять
ФуМ = АТо(Ыг) , */»;-- ВК,(Ы *)
(1.19)
с произвольными константами А . в .
Так как возмущения по предположению малые, можно провести
линеаризацию уравнения поверхности струи и граничного условия на этой
поверхности, в результате из (1.17) получим для возмущений Ъ * h-1 tf1t фг
уравнения :
.ф - ф + 1з(ф + Ь ф ),_£/>,- ч
С помощью первого из этих уравнений находим Айв
AJ.'C«0»*£/ -с)* , ВК\(ы)*1(^-с)Н f с*сооГ'
(1.20)
188

Подставляя выражения для потёЬциалов и возмущения h во
второе уравнение, получим уравнение для с
(7- с f*-6J±c«)-'[r-«'] f
(1.21)
Л. к'т { v, )
которое аналогично соотношению (4.20) главы I для двух равномерных
плоскопараллельных потоков. В этом уравнении модифицированные
функции Бесселя берутся при * = 1 . Первый член в правой части этого
уравнения связан с поверхностным натяжением, второй член дает
влияние окружающей среды на возмущение в струе. Это влияние связано с
взаимодействием через давление ; вязкое взаимодействие здесь не
учитывается. Если отношение плотностей мало fi/p, « t , то вторым
членом можно пренебречь. Тогда из (1.21) получаем.'
tff -ct.(7
(1.22)
о)' = *^ «A/-**/ t1-23*
Следовательно, фазовая скорость периодических по г возмущений равна
скорости жидкости. Возмущение растет по экспоненциальному закону
exftbij^t t Где oi . определяется по формуле (1.23). Эта формула была
выведена Релеем С 17} . Неустойчивыми оказываются возмущения с
волновыми числами О % « * 1 , а максимально растущим - возмущение
с волновым числом <х * 0,697 .
функция I (at *) имеет следующее разложение
У-
В решении (1.7) аргумент х = ос х в случае неустойчивых
возмущений заключен в пределах 0«<Xt«<*Ro,<*ffes / . Отсюда
следует, что внутри струи решение мало изменяется по t , особенно при
длинноволновых возмущениях. В частности, для максимально растущего
возмущения х = 0,7 поэтому второй член разложения I 0
составляет лишь около 12 % по сравнению с первым. Это обстоятельство
позволяет существенно упростить исследование задачи в нелинейной
постановке.
1бО

3. Связь между ременно и пространственно растущими
возмущениями. Будем рассматривать струи, для которых б << 1 . Тогда
на основании (1.23) можно считать, что выравнивание профиля по у
происходит намного быстрее, чем развитие волн. Так как длинные
неустойчивые волны незначительно изменяют зависимость параметров от
1 , то задачу об устойчивости можно исследовать, полагая
к,» ц, (х, i ) , h - h (x ,t) . Система (1.5), (1.8) упрощается и
приводится к виду [ 8 ]
XX J Ж. '
(1.24)
\ * *"* = р'1-б(*~7' hXK )
At+ uhx + ±Ь*х*0 , V*-1- *жу .
Стационарным решением системы будет и, * h t где А (л J
находится из уравнения :
Значением параметра F определяется скорость сужения струи. Бели
F »«о ' то получаем струю постоянной толщины А * / - случай,
который обычно рассматривается при исследовании устойчивости. Если F
конечное, то при достаточно больших ж будем иметь
а г)'
У* - и
Л ж ( -к Г х
поэтому изменения но х оказываются слабыми. Положим F * О •
физически это означает, что скорость истечения достаточно велика,
чтобы не учитывать сужение, но не настолько велика, чтобы следовало
учитывать взаимодействие струи с окружающей средой.
Рассмотрим периодические по х волновые возмущения, амплитуда
которых с течением времени может меняться (возрастать или затухать).
Строго говоря, такие волны могли бы наблюдаться только в струе,
неограниченной при х •*■ J со . Для рассматриваемой здесь
полуограниченной струи более естественными являются периодические по времени
волны, амплитуда которых меняется с удалением от х * О . Если
возмущения возникают вдали от сечения х * О , то влияние начальных
условий будет в действительности мало. Кроме того, как будет показано, при
некоторых условиях временно растущие и пространственно растущие
возмущения можно связать определенными соотношениями.
Введем независимые переменные ^ * • и Функции и • /4,/J,
161

к - at jc-cjt t.,«6'ht и:1+б'/га: . (1.26)
Тогда система уравнений (1.24) примет вид;
U_ * [с + и ) и . = h h „ + <* А
(1.27)
-;
В этих уравнениях индекс / опущен, с > cJoi есть фазовая
скорость волн
с^7-с)б''/г . (1-28)
Прежде всего, обратимся к линейной задаче об устойчивости течения
Ле ~ 1 •> ио' f ■ Полагая h - f * hi e%p (- is, ) f и. = u,f е*р (- IB,)
и отбрасывая в (1.24) члены второго порядка, получим
h - L ( ~ и. + с Л ) = 0
Cl.29)
Для периодических по х возмущений oi должна быть заданной
действительной величиной. Решение уравнений (1.29) имеет вид-
(1.30)
где 8f , вг находятся из соотношений
1,г * ,/2К 1 ' L J ' (1.31)
162

Постоянные интегрирования А и А определяем по начальным
условиям hi(0)-€i , it^o)* £г :
Как видно из (1.30) при О < а * / возмущения с волновым
числом оС будут с течением времени t возрастать за счет члена,
содержащего ехр [в i) . Коэффициент усиления равен exp ft ,
Тг-{быг(1-*а) . (К32)
Численные значения г незначительно отличаются от строгого
результата (1.23) '
Действительно, применяя разложения для модифишфованных функций
Бесселя, получим
В соответствии с этими формулами максимальное значение г
достигается при оС = О, 707 и <х = О, 5 97, соответственно. Таким образом,
предположение о постоянстве давления по сечению струи не приводит к
большим неточностям и в то же время позволяет существенно упростить
исследование.
Если в (1.27) положить сщ = о J то амплитуда волны не будет
иметь колебаний по времени ; по определению (1.28) с = О в
системе координат, перемещающейся с фазовой скоростью волны. Таким
образом, линейные волны распространяются со средней скоростью жидкости.
Рассмотрим два частных случая: £ f О £ * О и £ 4 О ,
€1 = О . В первом из них в начальный момент возмущается толщина
струи, а во втором - скорость (или расход). В качестве характеристики
амплитуды удобно взять величину Q - (_ Л г + Иг ) h ~'
в первом случае и ®г * (Ч * * Я- * ) Я~' -во втором.
На основании (1.30) получим
Q, *Le%p(*t) + e,p(-St)] . 0.33)
При малых t , когда эта формула линейной теории применима, будем
иметь
163

Иг
it.**'"9** *?(H)Z » Ъ'ЦО'"')] • (L34)
Для периодических по t возмущений должна быть задана
действительная величина а . В этом случае частное решение (1.24) можно
искать в виде
= 1+Ue%p (вх + t< ) t h = / * Ие>./> ($х +Щ) f
(1.35)
где U , И - амплитуды возмущений. Подставляя (1.35) в исходные
уравнения (1.14) и отбрасывая члены, содержащие произведения амплитуд,
получим линейную однородную систему для U f H f условие
разрешимости которой приводит к уравнению
(1.36)
+ 63+ L(at-«3+ 3«82)]
Величины U , И связаны соотношением
, 7/ Г' (1'37)
Из (1.36) можно определить волновое число о( и коэффициент
нарастания в в зависимости от частоты колебаний <*> . Отделяя в (1.36)
действительную и мнимую части, находим
«--.-f^/-*-'*^-;* , (138)
Если 6« 1, то ы-^ГчО , в1 « ~6<хг (1 - oi) с
точностью до членов порядка б , т.е. при малых значениях 6 волна
перемещается со средней скоростью жидкости, а скорость нарастания по
ж совпадает со скоростью нарастания по времени.
Введем независимые переменные £ т х • и функции и: (£ х -)
h • fx: , 4 ) соотношениями
x.oTVV, «»7*6**. ,*-*«*-a>t}t-c-,ct* . (1.38)
Подставляя (1.39) в (1.24) и отбрасывая члены порядка 6 и выше,
получим уравнения;
164

(1.40)
hx * (cm + *)b%* ? A% * О
(индекс J, опущен). Уравнения (1.40) совпадают с уравнениями (1.27)
развитая волн по -времени* если t заменить на д: »
4. Нелинейное развитие возмущений. Рассмотрим нелинейные
волновые решения системы (1.27) или эквивалентной ей системы (1.40),
периодические по М, . Такие решения имеют вид;
2Л*гЛв* htttp(-H}+ к? ехр(Н)*
+ иге*р[-га,) + h* егр(ги) + ■■• {14])
2 и * 2 и,й * u.f •1р(-ц)*и.*ш*рСьЬ)*чге*р (-tit,) * ■-
Здесь Л,« hK0*ihK, г «-«' и*о+ l*«i » А* , **
-комплексно-сопряженные величины. Коэффициенты разложений (1.41)
являются функциями времени. Решение (1.41) можно записать также в виде
, , , , . . С1-42)
h » h 0 * А((|е« { * А **я А * *>ta сев 2 $ * h s«? 2 4 * " '
и аналогично доя «< .
Уравнения для У»^ , и л получим, подставляя (1.42) в уравнения
(1.27) и приравнивая выражения при одинаковых степенях exp (i $) .
Если оставить в решении члены до второго порядка включительно, то
эти уравнения будут иметь вид;
"- - О
о
h =- — (л h -Л h ) ,
' О if t 1f to 10 11 I '
oh * с n + -r h и., + -г и- /> = 0
i * 1 Z о ' if 1 * *
(1.43)
165

Как следует из первого уравнения (1.43), средняя скорость в
рассматриваемом нестационарном решении не меняется, поэтому можно
положить u-e а О . Каждое из уравнений системы является обыкновенным
дифференциальным уравнением первого порядка, поэтому должны быть
заданы начальные значения всех функций h к (о), чк(о) . Этими
значениями определяется начальное волновое возмущение. Волновое число ос ,
определяющее длину волны по х. , считается заданным. Параметр с
можно, вообще говоря, задавать произвольно, так как заранее частота
колебаний по времени неизвестна.
Интегрирование системы (1.43) проводилось численно методом Рунге-
Кутта с постоянным шагом по времени при различных начальных
возмущениях. При t в О на течение накладывались гармонические
возмущения либо формы струи A i * £ , либо скорости tcf« £ . Развитие
волн в- этих двух случаях качественно не отличается. При любом
О « * * 1 амплитуда каждого из этих начальных возмущений
возрастает. Естественно считать, что в тот момент, когда на длине волны
впервые появляется точка $f , в которой А ($ ) * О ,
происходит разрушение струи. '
nj»)maii «<*»' e<v» 0vo1
as io is
«с * а Ш; azi; аь?$; as; aets;
0.7S; O.VfS
Рис. 4.2
Рис. 4.3
На рис. 4.2 показано, как изменяется о,, при различных значениях
амплитуды £ начального возмущения А, . Линия 4 соответствует
линейному приближению при € -*■ О ф уравнение ее (1.34) • При
конечных значениях £, кривые возрастания а имеют с линией 4. лишь
166

общий начальный участок. С ростом времени развитие отклоняется от
линейного, а соответствующая кривая ответвляется от линии 4. Чем
больше £ , тем раньше происходит ответвление. Однако до момента
разрушения развитие основной гармоники близко к линейному.
На рис, 4.3 изображены кривые развития возмущений с одинаковой
начальной амплитудой при различных длинах волн. Линия 4
соответствует возмущению, максимально растущему по линейной теории. Хотя в
характере развитие возмущений при разных ас имеются определенные
различия, общим свойством является непрерывное возрастание
первоначального возмущения, приводящее к разрушению струи.
Безразмерное время развития т до момента разрушения струи для
нескольких случаев дано в таблице 4.1.
Таблица 4.1
ОС
0,5
0,5
0,8
0,8
е
0,1
0,05
0,01
0,001
X
S
6,2
8,8
12,6
%
2,49
3,22
5,01
7,17
«
0.5
0.625
0,75
0,875
£
0,1
0,1
0,1
0,1
г
4,7
6,2
5,8
7,4
*г
1,95
2,04
2,18
22
Здесь приведены также волновое число ос , амплитуда начального
возмущения € , а также значения <f,f , о,а , по которым можно
судить, насколько увеличилась амплитуда основной гармоники до момента
разрушения. Основное влияние на г оказывает величина начального
возмущения е ". С ростом € х заметно падает. В определенной
степени т зависит также от того, возмущается ли форма струи (3-4
столбец таблицы 4.1) или расход (7-й столбец).
На рис. 4.4, 4.5 показано, как изменяется форма волны в процессе
развития возмущения. При малых временах форма волны близка к
гармонической, однако с ростом t она существенно изменяется. На
поздней стадии развития заметное влияние начинает оказывать
возбуждение второй гармоники, вызываемое нелинейным взаимодействием. На
рис. 4.4 можно видеть образование второго максимума в распределении
толщины струи на длине волны. Хотя этот максимум много меньше
основного, он может играть заметную роль, вызывая образование капелек
меньшего размера. Этот факт экспериментально исследовался в работе
С 6 7 в которой показано, что нарушение однородности капель может
быть связано с возбуждением кратных частот колебаний. Образование
второго максимума происходит лишь в случае длинноволновых
возмущений при 0 ( <х £ ос к . Возмущения коротковолновые) для которых
& к < <* * 1 , развиваются более гладко, ярко выраженный второй
максимум не наблюдается. Пример такого развития дается на рис. 4.5.
Критическое значение ос к соответствует, примерно длине волны наиболее
растущего возмущения.
167

и
А
— ^•^^
д
^
t
1 a-
h
^
^
K-
x tz
Рис. 4.4
Рис. 4.5
В. Нелинейное взаимодействие волн. Предположим, что
амплитуда основной гармоники мала, тогда задачу о нелинейном развитии волн
мокн» решить в конечном виде. Рассмотрим систему уравнений для
u(Ktt) , h(x,i)
и * и. и
4 X
w-^o-irio->:)'*}. ,
(1.44)
А •* u.h + -г Ни, * О
Уравнения (1.44) получатся на (ЦБ) , если иредпояожить, что и
и» зависят от у . Они отличаются от уравнений (1.24) наличием
членов» содержащих А гк , которые сохранены здесь, чтобы в дальнейшем
вявкить вившие этой величины на решение.
Запишем решение в. форме разложений
и * £ и. t £ги, * £3 и,+
' г з
h « t + € h. * £zh. *■•••
(1.45)
Легхо видеть, что в случае периодического по х. решения члены раз-
шжяшё. (1.4S) и,к представляются в следующем виде
и1 * иг, ехР С-'**)* »* expfiotx.) f
ut * и, е*р (- ZLofx) + и> е*р(а*х.) + и, ^
168

u-3 s ч- exp (- Ыых) + и,* е.*р (ЗйЫх.) +
(1.46)
*■ и, е%р (- ttix ) + и * exp (lux)
и аналогично h к ■
В выражениях (1.46) коэффициенты и. Ki являются комплексными
функциями временя, звездочкой отмечены комплексно-сопряженные
величины. В каждом из этих коэффициентов первый индекс обозначает
номер гармоники ; второй индекс показывает, в каком приближении
по £ соответствующий член возникает. Подставим (1.45), (1.46) в
уравнения (1.44), разложим их по £ и приравниваем нулю
коэффициенты при степенях exp (i&x,) . В результате получим систему
уравнений;
и'. * i or //-or ) h - f .
Kl
A'. - ~ i<* u, . * <P . , *« Г,2,3 ,
го i ю 2 I » ' ' f '
P = 0 <P = О Г * lot [*l + (Z+«Z)h'] ,
a
*Zh h -ah* h* ] . Ф = 7 1«(ЗЬ,"* ' h ,„",) ,
го i a 1 1 J у 13 2 >- г / го//'
(1.47)
5
7 г -3 . *
Уравнения (1.47) объединены попарно. Если заданы начальные
условия при Ь = О, можно последовательно определить а/о , "- „ , А ,
"■и 'Urza>itii > Ь, ■ Предположим, что в начальный момент возбуждается
только первая гармоника uf . Пусть «*, * а г а все остальные
коэффициенты разложений (1.45) равны нулю. Тогда решение системы (1.47)
можно записать в следующем виде
А = * — a /sh6t * — |а|г[ A sft 36t
1 Z6 L <*
itch<6t * в} s/i (6t +6Z )t]J f
+ /7J
1 v J e. ■ J j •
169

h *i a*(£chZ6t +Tch6 t +3)
A «-~ la I (chl<ot - 1 ) it -- 0 ,
го gg г I I V / » го '
icf = aj[l-~-\a\ (Nr „)]ch6t +\a\Z[bch56t * (1-48)
+ Bch(6i *6г )t + — ntsh6t]} ,
u. * i- ia*(A s/i Z6t + С sA б £ )
2 Z *• » /
a <tw с и. . В решении
Для краткости Л, объединено с h
It 13
(1.48) имеется набор достоянных величин <о , 6f , б2 , А , 8 ? J)i... f
которые выражаются с помощью определенных формул через
единственный параметр задачи - волновое число <* . В частности, имеем
6К1осг(1-ос*) 1 в* .г«г(1-ч«г)
Зависимость других величин от <Х показана на рис. 4.6 - 4.8. Так как
действительное значение <э f существует только при Ы « О, 5 , то те
слагаемые в (1.48), которые содержат 6, , при of > 0,5 должны быть
заменены некоторыми тригонометрическими функциями времени. Такие
функции не будут вносить растущих по времени добавок в (1.48),
поэтому они не выписаны здесь.
г.5
-25
\ 2
5~V Я
J
S fl;
i
Г
1 1
•5 Л
\
«
\^\ а
5 л
«
s «4
Рис. 4.8
Рис. 4.7
170

ч
о
02 АО.
1^т~*=^
6 ^
0.
$ <х
Рис. 4.8
Первое уравнение (1.48)
позволяет проследить влия-t
ние нелинейных членов на
нарастании основной
гармоники ht . На
рис. 4.6 показана
зависимость А ( , В,, п от Ы
(линии 1, 2, 3), а на
рис. 4.7 представлены А
В • Коэффициент А
обращается в нуль при
<х * * О, 6 , поэтому при
волновых числах о" ,
близких к этой величине,
влияние соответствующего нелинейного члена на развитие основной
гармоники наименьшее. С удалением от
ос
влияние нелинейных членов на
развитие fy возрастает. При or «of скорость нарастания амплитуды
основной гармоники за счет нелинейности уменьшается. При о( > а *
величины A f и п влияют по-разному, однако вблизи Ы «= 1
нарастание амплитуды первой гармоники будет также уменьшаться.
Развитие второй гармоники Аг определяется коэффициентами Е
F , показанными на рис. 4.8, на котором / « £ (1 ) ( р (г ) , А (5) С(0).
При малых ос (длинные волны) £ , F велики, поэтому вторая
гармоника нарастает быстро. Минимум скорости нарастания второй
гармоники приходится, примерно, на оС » 0,7, что соответствует наиболее
растущему возмущению линейной теории.
При волновых числах 0,6 & <* & 0,75 получаются самые
подходящие условия для развития "чистого тона* - когда форма струи
представляет почти простую гармоническую волну, а капли образуются с
постоянной частотой. Влияние дополнительных членов в (1.44), связанных
с h х , не превышает нескольких процентов в значениях
коэффициентов решения (1.48), поэтому различия между решениями систем
(1.24) и (1.44) мало.
§ 2. Течение и неустойчивость в струях некругового сечения
Интерес к исследованию некруглых струй объясняется тем, что
такие струи могут распадаться на капли быстрее, чем симметричные.
Кроме того, в струе, вытекающей из неосесимметричного отверстия,
развиваются волны нового вида, заслуживающие специального
рассмотрения^; .
Предположим, что действием силы тяжести и вязкостью можно
пренебречь. В цилиндрической системе координат будем иметь уравнения
движения
и * и-и, * vu * — wu =- р
* х. у у в г х. ■>
V * U-V * V V + — V? It - — Uf - - О
ь х. V V в у *У '
(2.1)
1 Г Г
у* + u-Uf * гАИА + -- vr и? + - V itr ~ р _
■« ж. У У в У у г д
171

Уравнения записаны здесь в переменных, которые определяются по
формулам (1.4). На поверхности струи у = h (х. , в , t ) должны
выполняться уравнения (1.1), (1.2).
1. Стационарное течение в струе некругового сечения.
Рассмотрим прежде всего случав малых отклонений формы струи от осесиммет-
ричиой. Ьсли течение в выходном отверстии равномерное о, = /
v - О , iv- = О то, как показано в § 1, можно рассмотреть малые
возмущения цилиндрического столба идеальной жидкости. Положим
«•г ; * "", > """ г* • ^ * *% » Р* Pa,*?, t h* J*h,
и отбросим в уравнениях (2.1), (1.1 - (1.3) нелинейные члены ;
тогда для возмущений получим линейную систему с постоянными
коэффициентами
П ^х-'Ру . V Л» "r . (*") . <2-2>
w
Индекс 1 в уравнениях (2.2) отброшен, условия с поверхности у- /+лг
перенесены на поверхность у г / , что можно сделать с принятой
точностью.
Частное решение этой системы, удовлетворяющее условиям на
поверхности у ' 1 , имеет вид
и, »-*<*(*> * iat)~ р t v*-(u> + i«)~ р' f ^23^
Vt- * - * Ji (cj * i «) — J7 j P ' 1 л (Ы У) e*P(<*t + loLX. * Cjlff J .
Здесь !*(<* у) - модифицированная функция Бесселя ; величины <*>,<*,
а связаны соотношением
(o + nf.ep-/-*')*!'^* )[iA(*)]" , (2-4>
которое получается приравниваем нулю, определяются системы (2.2).
Так как на длине окружности должно помещаться целое число волн,
то Ji может принимать целочисленные значения ^в = 2,3, к,...
Из (2.4) получаем
*>%.Q , (»..«)*-6рЬ*-,) . (2'5)
Если положить оь = О , то получим стационарное возмущение с
пространственно периодическими волнами, имеющими постоянную амплитуду.
172

Длины этих вопи в соответствии с (2.5) имеют порядок 0(б'1/г)
и могут в несколько десятков раз превышать средний диаметр струи.
Такая периодическая структура наблюдается, например, ври истечении
струи из эллиптического отверстия. В этом случае / г 2 ,
поэтому
(cJL t Ы)1 = 6 6 (2.6)
В системе координат, переметающейся со средней скоростью жидкости,
такое возмущение будет периодическим также по времени.
Введем малый параметр £ '= б , тогда, как следует из формул
(2.3), в линейном приближении имеем следующие опенки порядка
величин
U: Г *■ £г U. V- ' € V, , W = CUT ,
' ' ' ' (2.7)
Р*Р**г?, , x = e"xf , i^£-'t>
Примем эти оценки для расчета в нелинейном приближении
стационарного течения в струе, вытекающей с постоянной'скоростью из
отверстия. Течение при этом можно считать безвихревым. Система
уравнений (2.2), (2.3) с учетом бцеиок (2.7) с точностью до величин
порядка £2 для безвихревого течения приводится к виду;
и {и и, ) t to * О
г
v - и, -О . W - - и. -О
(23;
р-р
(индекс 1 отброшен).
Для системы (2.8) можно поставить задачу с начальными условиями
при х*0 « Пусть в этом сечении заданы периодические по в
функции и, (у% в ), f[y, в) , ivYy", &) и h(ift 9)f причем возмущение
"•(Vt^) удовлетворяет первому уравнению (2.8). Тогда система (2.8)
позволяет рассчитать форму струи н распределение скоростей в каждом
последующем сечении х
Будем искать периодическое по в решение системы (2.8) в виде
и * "• *и, etp I вв + и,* exp (^ь&В) *
° ' Г ' (2.9)
♦ иг e*p.(2ij3B) * U * е*р (г 2£j90) +■-■
173

Аналогичные выражения примем для v- , то- , И ■ Здесь и, у v , щу ■
- комплексные функции х, у ; h м - комплексные функции ж ;
звездочкой отмечены комплексно—сопряженные величины. Решение (2.9)
можно записать также в виде
h = ho (x)+ Z(hle cosjaff - hf s^nfS)*Z(h cos Zf& - h ^ &inZfi$)+ ■■■
учитывая, что h =A *ih . и~.,-л. +'***—-'*•«-.
Как легко видеть, решений уравнений (2.8) для скоростей и, t v7 и/-
имеет вид;
«-. -*J*) , V ЛкМу** , *0*о ,
*к = Вк(х)* ' Ur>"° > "^"C«f*^'
1 » » Ч «С V
Коэффициенты А^ ,вк,с« связаны уравнениями
, , (2.Ю)
5 = к вА , С * *ха-Д ,
к ■г к * к J К
Функции А к (х) и hK (*) должны быть определены из двух
уравнений, выполняющихся на поверхности струн. Эти уравнения являются
нелинейными. Подставим разложения (2.9) в уравнение (2.8) и проведем
разложения по степеням б%р (I лб ) . Отбрасывая в этих
разложениях члены, содержащие степени, начиная с 3-й, приравнивая нулю
выражения при оставшихся степенях экспоненты, получим системы уравнений
для hK , А . Из уравнения непротекания получаем :
Л'« V - iah~* (W* h - К АГ ) >
о а J л \ ' t 1 1 г ' г
h ' -.V -iflh'' (W ht 2W h~h''h*W*-h*W9 ) , (2.11)
1 1 J о V о 1 J 1 о 1 t t 2 ' »
h ' * V - i e h "' W h
2 2 J а I 1
Величины И определяются следующим образом
к
(2.12)
174

(2.12)
v,- h- [7(/-f)6t'l)(*!3' + 2hth**e,)
*Cfi-Ohphte* f(z^i)hf вгн* + hi bJ ,
"ш'ЬГЧ*'! ***(/">*,*,] ■
Величины W определяются из подобных соотношений с заменой В
на С, .
Из интеграла Бернулля находим выражение для давления с точностью
да S1
Р ' Ро~ * - | (^ + * V •
Подставляя р в граничное условие (2.8) и приравнивая члены при
степенях e*p(iji6) , получаем;
*ь:ъ»х*>в;«,<:н*;>с>:], (2ЛЗ)
где
-к
о
Система дифференциальных уравнений (2ЛО), (2.11) вместе с
алгебраическими соотношениями (2.12), (2.13) решалась численно от точки
х - О .В начальном сечении х * О задавались значения всех
вычисляемых функций h , В , С к ■ Эти значения определяют началь-
175

ное возмущение.
Наиболее просто предетавитьвозмущение, которое создается
изменением формы выходного отверстия в случае равномерного вытекающего
потока. В простейшем случае имеем при х = О h 0 (О) *■ О и
все Л • = 0 , в • ■ О С. ' 0. Расчеты с такими начальными данны-
ми были проведены при разных значениях ^,0(о),^ . На рис. 4.9
показана форма струи в сечениях, перпендикулярных оси, на расстояниях
от выходного отверстия х » О ; Зг9 , 7, 8 при в - 2 f
h -0,25. На рис. 4.Ю форма струи дана на расстояниях х г 0,7,8; 19,5
при fi~ 3
скостью 9 - О
ю
О, г 5 • Изменение поверхности струи в сечении пло—
проходящей через ось симметрии в зависимости от
.10
0,25 на
х*дв /
7.1 \ /
/в\ 1 J \
расстояния от выходного отверстия, дается при
рис. 4.11 (jB = 2 ) и на рис. 4.12 tfi ■ Ъ) . Мо'жно видеть, что в
струе развиваются пространственно-периодические волны.
Длина этих волн слабо
меняется по * и близка
к значению, определяемому
формулой линейной теории
(2.5). В целом, влияние
нелинейных членов
проявляется мало на расстояниях
порядка 6 длин волн. Как
видно на рве. 4.11, 4.12,
боля* заметно нелинейность
проявляется в точках
поверхности, наименее
удаленных от оси.
Расчеты показывают, что
такой характер течения
сохраняется при значениях
ню ( О ) > примерно до
0,3. Изменение характера
начальных условий при
ос * О вызывает
количественные изменения в
решении, не меняя общей
картины. С ростом р от-
клонение решения от
линейного становится более
заметным. Например, при
; i/ значение
чя
ю
Рис. 4.9
10 t
/ф\ (
>
""vX «
1/ /'*
1Л
г
Рис. 4ЛО
ю
OS
ШШ
25
Рис.
50
4.11
7.5
X Ю
ню (О) * 0,135
приводит к быстрому разрушению струи, что
проявляется в переполнении при счете
с таким начальным возмущением.
Если отклонения от осесимметрично-
сти малые» то можно получить частное
решение уравнений (2.Ю) - (2.13) в
конечном виде. Запишем h - 1 * h
Будем считать А.
и
«о
величина-
176

ми первого порядка, И , к
и.г - величинами второго порядка
малости. Сохраним в каждом из
уравнений (2.11), (2.12), (2.13)
только наибольшие по порядку
величины члены и исключим uf , иг f
тогда получим следующую систему
уравнений для h1 , hz . h
Of,
*>,"*-/fa - f)hf , ~"o is ' so is x ю
Рис. 4.12
(2.14)
h =- 2 h h
OO 1 '
Первое уравнение (2.14) допускает периодическое решение
П,~ —г- COS Q.X.
Используя его, можно построить периодическое решение всей системы.
Как следует из (2.8), в данном случае можно ввести потенциал
скоростей ф fy7 ж t в ) соотношениями и, =• / - Фл , v = - Ф ч , ip---i- ф
В аналогичном виде разложения для формы поверхности и потенциала
скоростей будут следующие.'
Здесь
h * 1 * А//, * А Я + ••
Ф = АФг + А Ф +
Mf = соь^х cos рв
(2.15)
И. =- г - 4г cosZyx * {[(5У*5/г-г^' 2)(^г-0" +
Г 1_
* 8 " 8
(7в + 2y3Z- 2ji3)(Z&2 + 1 ) cos 2ax jcos 2jne ,
«+. -г fi
™ = о л у son ax cos jse
177

Фг = -J 9- Г6./3"* " ^fiZ- 5Jb ' f)(Zfii+ ' ) sin 2^ac C<7S 2/e
Для периодических по времени и по координате -х волн решение
такого типа получено в работе С 9 ] методом разложения по малому
параметру исходных уравнений (2.1), (1.1), (1.2).
2. Устойчивость струи некругового сечения. Исследуем теперь
устойчивость капиллярной струи, вытекающей из отверстия некруговой
формы.
Введем подвижную систему координат х i , г г 6 t
Xf-Z-t t tt = £t (2.16)
и определим потенциал *Р(Ж,> г , 0, ^j соотношениями
Эф д ф 1 & ф
Зх, Эх * Эв
В новых переменных уравнения нестационарного потенциального
струйного течения (1.16), (1.17) приводятся к следующему виду
1 1
t тг х. X. Аг в О
t '* х X, /2 в то 7 l /
V - — (Ф * Ч> + ~ Ч> } - х - i , (г - h ) .
Постоянная интегрирования во втором уравнении (1.17) выбрана так, что
для равномерного течения в струе постоянной толщины левая и правая
части второго уравнения (2.17) обращаются в нуль.
Решение (2.15), которое соответствует основному стационарному
течению в некруговой струе, в новых переменных сохраняет свою форму,
только вместо ж. следует поставить е эе, ■*• t , . Действительно,
из (2.16) находим z = *, *t , а в соответствии с (2.7) в решении (2.15)
применяется сжатая координата £Z'£x1 + et-ex-fttf .
Рассмотренный для случая круглых струй релеевский механизм
неустойчивости связан с образованием капиллярных волн с волновыми
числами порядка 1. Например, волновое число наиболее растущего
возмущения круглой струи в соответствии с формулой ]1.23) равно 0,697.
Зависимость от х, основного решения (2.15) вызывается длинными
пространственно-периодическими волнами, для которых волновые числа по
формуле (2.5) имеют порядок £ . Следовательно, на длинах порядка
диаметра струи, основное состояние по *( будет изменяться мало, а
178

именно, на величины порядка £ . Поэтому при исследовании
устойчивости неравномерного течения можно пренебречь зависимостью основного
решения от ж и заменить х. в (2.15) на t, . Влияние
неоднородности основного состояния по jc( может быть значительным только
для длинных волн (<х ~ £ ) .
Таким образом, необходимо исследовать устойчивость течения,
которое является периодическим по углу в и по времени t, . В
переменных (2.16) представим основное состояние (2.15) следующими
формулами
А= U АН , ./> = /\Ф ,
Н' Hf + АНг , Ф =Ф^ Афг
(2.18)
И 'cosjiff cos o.t , Н = S + S cosZptr +8 cos 2q,t7 cos 2ji0 r
Ф = § с05/ в sin at f Ф = 8 cos 2 в 0 s in Z a t
Константы 8^ легко находятся при сравнении с формулами (2.15). Для
краткости индекс 1 при обозначении независимых переменных будем
далее опускать.
Будем искать решение уравнений (2.17) в виде
<Р = А<*>(г,в,*) + f, , h,r*AH(e,t)*h , ,
где ц>1 (г,9^Ь), hi (в Ь х ) - возмущения. Подставим (2.19) в
(2.17) и проведем линеаризацию относительно возмущений. Сохраняя в
уравнениях только те члены, порядок которых по Д не выше второго,
получим для возмущений при х= 1 следующие уравнения:
■И - а> = А(Ф h f Нф - Ф h - И ф )
7 г . _ . .. (2.20)
+ А (ф Hh + - Hf +гФпньл*ги н>ра
к хгг 2 т ггг В в в тв
Ф Hh - Ф И h-HH if * 2Ф Н h ) ,
вг 0 в г о а т в г вв '
170

ч> + ft * h + h = ге + А(Ф h + H<p + Ф a> +
(2.20)
+ Ф V ) + кг[Ф Hh + ~HZif + Ф (Hv *
в T9 ' L tii 2 rttr t l тit
+ Ф И) + Ф^ Ня> +Ф (Ну -t Ф Ь + Ф H<p )]
С принятой точностью находим as1 из (1.3)
Потенциал возмущения if удовлетворяет уравнению Лапласа (1.16).
Примем для возмущений выражения
Ф - etpf^S) Ч>(*, 9,t); h :e*p(it)h(e,t) , (2.21)
$ = с* 2 + со t
Если положить А = О , то уравнения (2.17), (2.20) сведутся к
уравнениям для возмущений струи кругового сечения, рассмотренные в
§ 1. Решение (2.21) соответствует релеевскому механизму
неустойчивости. Здесь ставится задача рассмотреть влияние неравномерности
основного течения на эту неустойчивость. Метод исследования состоит
в том, чтобы разложить последовательно в ряды по параметру А
основное решение и возмущения. Амплитудные функции у , h ищем
в виде разложений
Ч> - Ф0 * А * * А * f * ■••
1 г (2.22)
h = h + A/j+AZ /?+••
el t
Коэффициенты разложений (2.22) будут периодическими функциями
t , в с тем же периодом, что и основное решение (2.15). Частота
колебаний со также заранее неизвестна ; примем для нее
разложение
со -- со + А со + Аги) +■•■ (2-23)
or г
Одним из важнейших вопросов является определение со , что позво-
180

лит судить о том, как влияют колебания в основном потоке на
коэффициент нарастания возмущений в струе.
Подставим (2.21) в уравнения (2.20), (2.17), разложим по А
получающиеся выражения и приравняем выражения при одинаковых степенях
А в левой и правой части каждого из уравнений. В результате получим
из (2.20) системы попарных уравнений для *рк , h л
Г<г +h«t *<"*оН* - F«, » (2.24)
V? + L cj ц> + Л * h - at h * F
Kt О 7 к Х К дв к KZ
В правые части F 7 Г входят функции ym , h m с меньшими
номерами (т < к ) и производные от этих функций. Поэтому системы
(2.24) можно решать последовательно.
В нулевом приближении f 01 = о , Рог = О . Полагая </? = о , hgg = о
из (2.17) находим решение Релея
(2.25)
Для констант а и 6 из (2.24) нолучаем однородную систему
уравнений;
IcjJ * ы1'лГ«)я.О , (2ш28)
(1 -<*г)г- icjo io(<*)-- о
Условие обращения в нуль определителя этой системы приводит к
уравнению (1.23) для 6JC . Так как решение определяется с точностью до
произвольного множителя, положим а - 1 .
В первом приближении находим
F *-ф А - Н <р - icj Л
и 1гг ° ' °** ' °
Подставляя сюда (2.15), (2.25), приведем правые части к виду
F„-r,costtcosf0* J,™ ft «>* f *-**>,* , (22?)
F =rcosy,tcos0e+ri/sir>atcosj3ei-icJtfg
181

(2.29)
Постоянные величины г легко выражаются через коэффициенты & „
решения (2.15) и волновое число о( . Решение в первом приближении
получаем в виде;
"Р, *lfi («t)cosj3e[xti cosyt f ae^ son a,t J f
(2.28)
h = cps fid [as cpsyt + £ sin ft J
Для констант &iK находим из уравнений на поверхности (2.24)
следующую систему:
осi' (ot)x + iu> <e f лае - т
ji у ' it о zi у гг в 1 '
"Величину й); в этом приближении следует, положить равной нулю
oJt- О . Действительно, частное решение системы (2.24) с ненулевыми
правыми частями Fu~ Leo f h0 f Fn- i и>, ч>0 не существует, так
как операторы в левой части (2.24) будут полностью совпадать с
операторами нулевого приближения (2.26), а система в нулевом
приближении вырожденная.
Во втором приближении выражения для правых частей F и , F г,
получаются достаточно громоздкими. Основной интерес в этом
приближения представляет определение ь)г . После подстановки <f> , \р0 ,
\р1 в правые части второго приближения приведём F , F ,, к
виду
F = зе^ cos ZfiB -» ее cos Zyt + зг.1 cos Zp0cos 2$t * X ' (2.ЭО)
i-i, г
Частные решения для <рг , соответствующие первым трем членам в
(2.ЭО), могут быть легко выписаны. Операторы в левых частях
уравнений для этих частных решений будут отличаться от операторов
нулевого приближения (2.26). Следовательно система уравнений будет
невырожденной, поэтому решение существует. Трудности возникают с частным
решением, соответствующим ае * .В этом случае система оказывается
вырожденной, поэтому решение может существовать только в том
случае, если правые части ае* у авг удовлетворяют определенному
условию. Это условие заключается в том, что коэффициенты первого и
182

второго уравнений (2.24) должны быть пропорциональны. Так как левые
части уравнений для этого частного решения в точности совпадают с
левыми частями системы (2.26), то отсюда получаем
LCi>.
!-«•
(2.31)
Уравнение (2.31) служит для определения неизвестной величины сд г ,
входящей в эе^ и & ^ . Выражения для аг ^ у зе * даются в
приложении.
По приведенным выше формулам были проведены расчеты в частном
случае р = 2 , соответствующем эллиптическому отверстию. В таблице
4.2 приведены некоторые результаты расчетов.
Таблица 4.2
о(
1 «„
L СОг
О.б
0,332
1,852
0,7
0,343
2,592
0,8
0.327
3,837
0,9
0,265
6,608
0,99
0.09
25,45
Как видно из этой таблицы, отклонение формы выходного отверстия
от круговой может заметно усиливать неустойчивость капиллярной струи,
особенно, если А не слишком мало. Этот механизм усиления
представляет эффект второго порядка относительно амплитуды А .
Кроме данного механизма усиления, имеется также механизм
неравномерного усиления возмущений, представляющий эффект первого порядка
по А . Форму возмущенной поверхности по формулам (2.18), (2.22)
можно представить в виде
Л= f + АН +(Г+ Ahf + Аг/гг)ехр(1о(г)erp(i&j0 +A* icOt)t
К основному симметричному возмущению добавляется несимметричная
часть, пропорциональная А , что увеличивает эффективную амплитуду
возмущения. При J3' 2 и о/ - 0,7 для несимметричной добавки
получаем
h = cos 2 в (5,6 cos у t + 6,7 sin у t )
Таким образом, несимметричная часть в отдельных местах на
поверхности струи имеет порядок ~ 10 А .
183

ЛИТЕРАТУРА
1. Петров Г.И., Калинина Т.Д. Применение метода малых
колебаний к исследованию распада струи топлива в воздухе. Технические
заметки МАП, в. 4, 1947.
2. Бородин В.А., Дитякин Ю.Ф., Клячко Л.А., Ягодкин В.И.
Распиливание жидкостей. Изд. 'Машиностроение*, 1967.
3. Juen Man - Chnen. *;on-linear capillary instability
of a liquid jet. J.Fluid Mech., v.33, p.1, 151-163,
1968.
4. Wang D.P. Finite amplitude effect on the stability
of a set of circular cross section. J.Fluid Mech.,
v.34, 299 - 313, 1968
5. Ali Hasan Nayfeh. Non-linear stability of a liquid
jet. Phys.of fluids, v. 13, p.4, 831, 1970
6. Ruthland D.F., Jameson G.J. A non-linear effect in
the capillary instability of liquid jets. J.Fluid Mech.,
v. 46, p.2, 267 - 271, 1971.
7. Холин Ь.Г. О влиянии формы регулярных возмущений поверхности
жидкой струи на ее распад на капли. ДАН СССР, т.194, № 2, 1970.
8. Шкадов В.Я., Маркова М.М. Нелинейное развитие капиллярных
волн в струе жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1972.
9. I.ohr H. Determination of the surface tension of water
by method of jet vibration. Phyll. Trans, Koy.Soc. Lond.
ser.A, N 209, 281, 1909.

10. Дитякик Ю.Ф. , Об устойчивости и распаде на капли жидкой
струи эллиптического сечения. Изв. АН СССР ОТН, Ю, 124-130,1УЪ4.
11. Иванов В.А. О дроблении жидкой струи. ЖПМТФ. № 8,
1966.
12. Шкадов В.Я., Герценщтейн С.Я. Устойчивость неосесимметрич-
ных жидких струй. МЖГ, № 1, 1У73.
13. Мелкие И.Г. Теория устойчивости движения. Иэд> 'Наука*,
1966.
14. Витман Л.А., Кацнельсон Б.Д., Палеев И.И. Распыливание
жидкостей форсунками. 'Энергоиздат*, 1962.
15. Лышевский А.С. Распыливание топлива в судовых дизелях.
"Судостроение*, 1971.
16. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. Изд.
'Мир', 1964.
17. Релей. Теория звука, т. 2, М., Гостехиздат, 1955.
1Г5

Приложение 1
Ni = -3hh>£ctg^-3 / 2 Re h2 ( ht +h2 h J ,
N2 = 3/^ ctg£ hx, N3 = x/2 Re ht,
N = з/8 Rehh , M = -з/2 (hh ) ,
4 x 2 x ' x
M = !'б (Re N - 6h ),
3 It xx
M = l7i2 Re[N +3/2(N h) ] ,
2 t 1 t x
M5 = ^20 Re[N3 +2hN2x] ,
M = 1/30 Re[N +9/4 hN -3/2N h -i/2N ]
6 4t 3 x 3x2 к
M = 1/42 Re[-3/4 N +12/5 hN -4h N ]
7 3 x 4X^X4J'
M = -9 /560 Re N
8 4X
M = 3h(hh ) - 2 nM-hn+3/2 h h2+12 hh2,
1 x K n xx x
Л n = 1
m = 3h2;
k = _ \l Re h*-h3ctg£,
5
k = - - Re h\
2
k = - \\ Re h5 - 3h2ctg^,

- Reh3
2 '
3h4+ Hi Reh7ctg0 + ii±l Reh10,
'ЯП ЦЦ80 '
2 8 0
24 0 7
12 = 7 ctg^Reh* +■ --- Re3he,
]з - ill Re2h6>
187

Приложение 2
Qo = -н,
q, - -(знн1+ Gh>h;ic 0oy + Cy фоуу-ф?оу)-
0, - - (3Hh„+ G h") + h' (c 0 +cy 0 -0? J-
- i Gh.fT-^Hh?» h (cf + 0„ 0, -
1 1 ^ 1 l1 rlyx royriyx
oyy7 1x ' lL iroy rly' M У у
+ l"-,0„ )-?Фп Ф, ]-( ("С 0, +0 0
lroyy' rOyrlyJ v r2yx ^Oyr?yx
-0 0 )+(~ch 0 +0 0 -0 0 )
royy' ?x' * 1' lxy rlyriyic * Urlyy i
03 - -G [3h1h%(3hp3h2)h'1"]-H(h^6h1h2) +
f
+h[c(0 t h 0 +h0 )+cy(0 +h0 +
1 ? у 1 1 У ? о у 2 У у 1 1 у у
+ л 0 )-(«/»7 ^-20 0 ) ] * h ' fc (0 * h 0 „ )■»
?^Oyy My УиуУ2уМ 2 1 У Г °У
fzy(0 4h 0 )-20 0 ]fh [-c(0 t
rlyy loyy 7Oyrly 1 ?ку
1- Ь 0 ) * ( 0 0 t" 0 0 ) - 0 0 ,
Fiyx1 '"oy' ?ук rUy lxy ' ' U4 yy
-0 0 ] 4 h [- с 0 -0 0 -0 0 I
r?X' Oyy 2 1УК О у 1 у )i 1КОУ»
- с ( h 0 <- h , 0 ) M 0 , 0 , * 0, 0 , }
.1 x ,'yy :■' x 1 у у

Приложение 3
S0 = -Eq0 + Lh0q;^/sq?h; + Mh3o<
Qik = (2Fhlk-1?/5h0qlk>q0 + Lh0(q;k-,qi J-Eq.lk +
+3Mh^hlk+G h3fh;v3*h;ro-3h;k+ehlm) +
+ 6/ьЧо[Чо(ь;к-еь1гл)+2Ч1кк;],
Q2k = (Plkhlk-2^b21^^S Bhoq21)q;-
-eLbo(q;i+.2q2.0}^2Fhlk-12/b h'0qlk)-
•(q;K-^lm)+3Mh0(h^-eh0h21) +
+ 6/5 [2q q (h' -eh ;-e.q2(h' +2'h } +
м О Ч k 1 k 'lm ^ 0 2 1 20
/ I't H
+ (q2 -2sq q )h ]+3-G b?h (h -3eh -
lk 0 ? 1 0 01k Ik l m
-3hlk+Bhlm) + eEq?1-e.G ho(h;/6h;0-i2h;r8h2,).
Q = (P h +P h +4Fh -2Ц/г, h q )q' +
Y 2 2 1011 1110 20 0^20 0
+ 2(Fh10-^,h0q0)-(q;^qi0)+(2Fh11-i2/l) h0 q., j
•<q' -q )+2Ll. (q' -2q )-2Eq f12/b[qz(h' ■ ?u
1011 020 M2! 20 0 ?(
+6Mh0(h10h11ih0h20)+3Gh^hl0(h';>3h;0-3h;1-hi,
+8h2i),

k= 4[-eN]0h2m + N11h2k + 6/s (eh10q2m-hliq2k)]qo
+(p1oh11+p11h1o+4Fh2o-24/5h0q2o)(q;m+eqlk)+
+(Plmhlm-4eFh21+^W5ehoq2i+3P]kh]k)(q;k-eqim)
+ 4(Fh11-6/5qiih0)(q;k-2bq2J+4e(-Fh10 + 6/5hoqio).
(Ч2т + 2еЧ?к) + 6/5[-4еЧоЧю(Ь2т + 2еЬ2к) +
+ 4ЧоЧц(^к-2вЬ2т)-4(еЧ1оЧ2т^11Ч2к)Ь; +
+ 2(h;m^hlk)(qi0qil + 2q0q20)+(h;k-ehiffl)(q^ + 3q^k-
-4eq0q21)]+M(3h3k + 3hlkh^-12eh0h10h2m + 12h0h11h2k)
+ 3G h0[2(h10h11 + hoh2O)(h';'m + 3Bh';-k-3h'1(n-ehlk)-
-2eh0hlk(h;v6h;'0-i2h;1-8h20)+2h0hlm(h;0-6h;-1-
-i2h;0+sh21).
F = cho-6/5q0, L = ch0-i^/5q0,
M '- G h%H, Nlk = chik-"5qik,
P = ch -1?/!>q t, B ^ (-Dk, к - 0,1.
Ik Ik Ik
Штрях означает частное дифференцирование по f
190

Приложение 4
191

СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Предисловие з
ГЛАВА I. Некоторые задачи и методы линейной теории
гидродинамической устойчивости , 4
§ 1. Основные уравнения и постановки, задач об
устойчивости стационарных течений 4
§ 2. Методы решения линейной задачи 11
§ 3. Неустойчивость течений в следах и струях .... 36
§ 4. Неустойчивость течений с поверхностью раздела 48
ГЛАВА II. Нелинейные возмущения во внутренних
течениях 67
§ 1. Нелинейное развитие возмущений в
плоскопараллельном течении Пуазейля 67
§ 2. Образование вихрей Тейлора в течении между
вращающимися цилиндрами 83
§ 3. Нелинейные возмущения в плоскопараллельном
течении Куэтта 92
ГЛАВА III. Нелинейные волны в слоях вязкой жидкости 105
§ 1. Волны в слое идеальной жидкости 105
§ 2. Длинные волны при малых числах Рейнольдса 111
§ 3. Длинные волны в слое при умеренных числах
Рейнольдса 144
ГЛАВА IV. Неустойчивость и распад капиллярных струй 154
§ 1. Нелинейное развитие волн в капиллярной струе
кругового сечения 154
§ 2. Трехмерная неустойчивость неосесимметричных
СТруЙ 171
Приложение 1 186
Приложение 2 187
Приложение 3 189
Приложение 4 191
192