Г Г РЕКУС
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
И ЭЛЕКТРОНИКИ
В ЗАДАЧАХ С РЕШЕНИЯМИ

Г Г РЕКУС
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
И ЭЛЕКТРОНИКИ
В ЗАДАЧАХ С РЕШЕНИЯМИ
Допущено Министерством образования
Российской Федерации в качестве
учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по неэлектротехническим
специальностям направлений подготовки
дипломированных специалистов
в области техники и технологии
Москва
«Высшая школа»
2005

ПРЕДИСЛОВИЕ
В данном учебном пособии каждый раздел оптимально сочетает
теоретическую и практическую части курса основ электротехники
и электроники. Изложенные теоретические положения дополняются
примерами уже решенных задач, что позволяет укрепить
необходимые знания в процессе изучения каждого из разделов курса.
Предлагаемое учебное пособие преследует цель оказать
действенную помощь студентам в овладении теорией и методикой решения
задач по всем разделам курса основ электротехники и электроники.
Оно особенно полезно студентам вечернего и заочного отделений,
самостоятельно изучающим курс основ электротехники и
электроники.
Каждый раздел пособия включает в себя теоретическую часть
и примеры решения типовых задач, относящихся к определенной
теме курса, в котором методически последовательно и достаточно
подробно изложены решения конкретных задач. Приведенные
задачи подобраны по разной степени сложности, начиная от простых,
до значительно более сложных. При этом во многих случаях одна
и та же задача решена различными способами. По каждому разделу
курса приведены основные формулы и даются методические
указания по их использованию.
Автор выражает благодарность коллективам кафедры
электротехники и компьютеризированных электромеханических систем
Московского государственного технического университета (МАМИ) (зав.
кафедрой — д-р техн. наук, проф. Б. И. Петленко) и кафедры
электротехники и электропривода Московского государственного
строительного университета (МИСИ) (зав. кафедрой —д-р техн. наук,
проф. Г. Е. Иванченко), сделавшим при рецензировании книги ряд
ценных замечаний и рекомендаций, способствовавших ее улучшению.
Автор

Глава 1
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 1.1. Источники и потребители электрической
энергии постоянного тока
Электрическая цепь представляет собой совокупность
электротехнических устройств, создающих путь для электрического тока,
электромагнитные процессы в которых описываются уравнениями
с учетом понятий об электродвижущей силе, электрическом токе
и электрическом напряжении.
Основными элементами электрической цепи (рис. 1.1.1)
являются источники и потребители электрической энергии.
В качестве источников электрической энергии постоянного тока
широко распространены генераторы постоянного тока и
гальванические элементы.
Источники электрической энергии характеризуются ЭДС Е,
которую они развивают, и внутренним сопротивлением К0.
Потребителями электрической энергии являются резисторы,
электрические двигатели, электролизные ванны, электрические
лампы и т. д. В них электрическая энергия преобразуется в
механическую, тепловую, световую и др. В электрической цепи за
положительное направление ЭДС Е принимается направление,
совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т.е. от «-»
источника к «+» источника питания. За положительное направление
напряжения II принято направление, совпадающее с направлением
действия электрического поля, т. е. от «+» к «-» источника. За
положительное направление тока / принято направление,
совпадающее с перемещением положительных зарядов, т. е. от «+» к «-»
источника (см. рис. 1.1.1).
В электрической цепи электродвижущая
сила ЭДС источника может иметь одинаковое
и противоположное направление с током.
В первом случае источник ЭДС работает в
режиме генератора, т.е. является источником
электрической энергии. При этом ЭДС Е
оказывается большей напряжения на его
зажимах (Е > II). При направлении ЭДС Е в це-
Р и с. 1.1.1 пи противоположно току источник становится
4
1 +
ф_

потребителем электрической энергии, т. е. он работает в режиме
потребителя и при этом ЭДС Е оказывается меньше напряжения I/
на зажимах источника (Е< II) на величину внутреннего падения
напряжения К01. При расчетах электрических цепей реальные
источники электрической энергии заменяются схемами замещения.
Схема замещения источника ЭДС содержит ЭДС Е и внутреннее
сопротивление К0 источника, которое много меньше
сопротивления Д, потребителя электроэнергии (ЛН»Л0)- Часто при расчетах
приходится внутреннее сопротивление источника ЭДС приравнивать нулю.
В идеализированном источнике ЭДС Е падение напряжения на
внутреннем сопротивлении К01=0, при этом напряжение на
зажимах источника 11= соп81 не зависит от тока / и равно ЭДС Е
источника (1/=Е). В этом случае источник электроэнергии работает в
режиме, близком к режиму холостого хода.
В источниках тока внутреннее сопротивление во много раз
превосходит сопротивление потребителя электроэнергии Л0»ЛН, при
этом в идеальном источнике тока ток является величиной
практически постоянной, не зависящей от нагрузки (/=соп81).
Реальный источник электрической энергии можно представить в
схемах последовательным соединением идеального источника ЭДС и
внутреннего сопротивления К0 или параллельным соединением
идеального источника тока и внутренней проводимости О0 = 1/Л0. При расчетах
электрических цепей источник тока может быть заменен
эквивалентным источником напряжения, что в ряде случаев упрощает расчет.
Для участка цепи, не содержащего источник энергии
(например, для схемы рис. 1.1.2), связь между током /и напряжением 1/п
определяется законом Ома для участка цепи:
_ ф! - ф2 _ Ц\2
где ф1 и ф2 — потенциалы точек 1 и 2 цепи (ср, > ср2); 11и = Ф1 — Фг —
напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2 цепи; ЪК —
арифметическая сумма сопротивлений на участке цепи; Я} и Я2 —
сопротивления участков цепи. Для участка цепи, содержащей
источник энергии (рис. 1.1.3), закон Ома записывают в виде выражения
1 = Е+Цп
1А + Ко '
где Е— ЭДС источника энергии; ЕЛ = Л, + К2 — арифметическая сумма
сопротивлений Л, и К2 участков цепи; До — внутреннее
сопротивление источника энергии.
ф|>ф2 Ф|>Ф2
/7*1*2 2 /7*1^*0*2 2
5

Взаимосвязь между всеми видами мощностей в электрической
цепи (баланс мощностей) определяется из уравнения:
2^ = 2*2 +ЕЛ,
где 1Р, — алгебраическая сумма мощностей источников энергии
(ХР, = 1.Е1); ЕР2 — алгебраическая сумма мощностей потребителей
электроэнергии; ЕР„ — суммарная мощность, обусловленная
потерями в сопротивлениях источника (ЕРЯ = Е/2Л0).
Резисторы, а также сопротивления других электротехнических
устройств являются потребителями электрической энергии. Баланс
мощностей определяется законом сохранения энергии, при этом
в любой замкнутой электрической цепи алгебраическая сумма
мощностей источников энергии равна алгебраической сумме
мощностей, расходуемых потребителями электрической энергии.
Коэффициент полезного действия установки определяется
отношением ц = Р2/Рх.
Литература. [1] § 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.11, 1.13; [2] § 1.1-1.7; [3] § 1.1.
Примеры решения задач
1.1. Составить схему электрической цепи постоянного тока с
источником ЭДС Е с внутренним сопротивлением К^ при наличии
последовательно включенных потребителей электроэнергии —
фоторезистора ФД, резистора с сопротивлением К, лампы
накаливания Л и коммутационного аппарата В.
Решение. При составлении схемы должны быть учтены
установленные стандартом условные графические обозначения
элементов электрической цепи.
При этом каждый элемент цепи изображается условным
обозначением, имеющим определенные размеры. Над каждым элементом
указывается соответствующее буквенное обозначение, а также знак
полярности: «+» — положительная полярность, «-» — отрицательная
полярность источника питания. Условные обозначения определяют
функциональное назначение элементов схемы. В обозначении
источника питания стрелка указывает направление действия ЭДС, т.е.
направление возрастания потенциала внутри источника. При
составлении электрической схемы элементы электрической цепи
изображают с интервалом друг от друга и соединяют линиями тока
(проводами). На схемах указывают положительные направления тока,
напряжения или падения напряжения (11]2).
Электрическая схема, составленная в соответствии с заданием,
приведена на рис. 1.1.
1.2. Определить ток в электрической цепи постоянного тока
(рис. 1.2). ЭДС источников питания: Е} = 40 В, Е2 = 20Ъ,
внутренние сопротивления: Р01 = 3 Ом, К02 = 2 Ом, потенциалы точек 1 и 2
6

^ ФЛ в
с <8>Ч—■
Ф1
Рис. 1.1
цепи: ф, = 80 В; ср2 = 60 В, сопротивления резисторов: Л, = 10 Ом; К2 =
= 10 Ом.
Решение. Напряжение на зажимах электрической цепи в
соответствии со вторым законом Кирхгофа: 1/п = (р]-(р2 = Е2 + К021+К21-
-Е} + К0]1+К}1.
Ток в электрической цепи
Ех - Е2 + (ф! - ф2) 40 - 20 + (80 - 60)
/ =
/*1 + К2 + Дм + ^02 10 + 10 + 3 + 2
= 1,6 А.
*о
г
ц
Пд.
1.3. Определить напряжение I/ на зажимах аккумулятора с ЭДС
Е-2В и внутренним сопротивлением К^-0,0\ Ом, мощность,
отдаваемую нагрузочному резистору Ки при разрядке, и мощность,
потребляемую им при зарядке при токе /= 10 А.
Решение. Схема электрической цепи с аккумулятором при
разрядке приведена на рис. 1.3. При разрядке аккумулятор является
источником электрической энергии, при
этом направление ЭДС Е совпадает с
направлением тока / (сплошная стрелка).
Напряжение на зажимах аккумулятора
при разрядке определяется из уравнения,
составленного для этой цепи по второму
закону Кирхгофа: 1/= Кн1= Е-К01 =2-0,01 х
х 10 =1,9 В. Мощность, отдаваемая
аккумулятором при разрядке, Рр = Е1= 2 • 10 = 20 Вт.
При зарядке аккумулятор переходит в ре- Рис. 1.3
жим потребителя электроэнергии. При этом
ток / аккумулятора направлен встречно ЭДС Е (пунктирная
стрелка). Напряжение на зажимах аккумулятора при зарядке в
соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа:
#=Я+До/=2 + 0,01. Ю = 2,1 В.
Мощность, потребляемая аккумулятором при его зарядке, Р3 = Е1=
= 210 = 20 Вт.
1.4. Составить электрическую схему источника ЭДС и схему
эквивалентного ему источника тока, соединенного с нагрузочным
сопротивлением Яи. Определить ток / и проводимость О0 источника
7

1
V \\К
а) "" б)
Рис. 1.4
тока. ЭДС источника Е=6 В, его внутреннее сопротивление /?о =
= 0,1 Ом.
Решение. Электрическая схема с источником ЭДС и
нагрузочным сопротивлением приведена на рис. 1.4, а. Источник ЭДС
(ограничен пунктиром) характеризуется величиной ЭДС Е и
внутренним сопротивлением В^. ЭДС Е источника изображены на схеме
включенными последовательно с внутренним сопротивлением К0.
Схема источника тока приведена на рис. 1.4, б. Двойная стрелка на
схеме показывает направление тока источника и указывает на
разрыв электрической цепи, обусловленный бесконечно большим
внутренним сопротивлением источника тока, который характеризуется
значением тока / и внутренней проводимостью С0, включенными
на схеме параллельно. При замене источника ЭДС эквивалентным
источником тока мощность, потребляемая нагрузкой, принимается
неизменной.
Условием эквивалентности двух источников является равенство
напряжений в режиме холостого хода и токов в режиме короткого
замыкания.
При холостом ходе источника ЭДС ток в цепи 1Х = 1=10 = 0, при
этом {/= 10/О0 = //(70 (источник тока), а напряжение холостого хода
1/х = 11= Е. При коротком замыкании источника ЭДС напряжение
{/к=г/=0. При этом 1К = 1=Е/К0, /=/. Отсюда /=Я/До, (С0=1/До);
Е=//С0.
Ток и проводимость эквивалентного источника тока: /=^/Ло =
= 6/0,1 = 60А, С0=1/Л0=1/0,1 = 10См.
1.5. Построить внешнюю характеристику 1/(1) реального
источника энергии с ЭДС Е и внутренним сопротивлением 1^, а
также внешние характеристики идеальных источника ЭДС и источника
тока; сопротивление потребителя электроэнергии (нагрузки) Кц.
Решение. Напряжение на зажимах реального источника
определяется в соответствии с уравнением, составленным по второму
закону Кирхгофа: 11= Л„/= Е- К01. При постоянных значениях Е и К0
уравнение, связывающее напряжение II и ток /, представляется
в виде прямой линии.
8
--4—/
Е
ф
г и*-

<Ином А
I ТО
Рис. 1.5
Предельные значения I/ и I определяются из режима холостого
хода и режима короткого замыкания.
При холостом ходе Кн = <*>, при этом ток /х = 1= О, а ЫХ = Е (точка 1
характеристики). При коротком замыкании ЯН = 0Ь ток 1К = 1=Е/Я0,
при этом 11к = 11= 0.
Внешняя характеристика реального источника питания (рис. 1.5, а)
представляет график изменения напряжения источника V при
изменении сопротивления нагрузки Ян. Она может быть построена по
значениям напряжения и тока при холостом ходе и коротком
замыкании (7Х = 0, 1/х = Е, точка 1) и (1К = Е/К09 1/к = 0) в виде прямой
линии.
Вторая точка характеристики (точка 2) обычно определяется
координатами номинального режима (7ном, #ном), 11ИОМ = Е-Я01НОМ.
Внешняя характеристика идеального источника ЭДС
представлена на рис. 1.5,6 (линия 1). При Д> = 0 напряжение 1/=1/х = Е.
Внешняя характеристика источника тока представлена на
рис. 1.5, б (линия 2). При этом ток источника равен току короткого
замыкания: 1К = 1=Е/К0.
Внутреннее сопротивление К0 источника тока настолько велико
по сравнению с сопротивлением нагрузки (Ло»Лн), что изменение
его (соответственно изменение напряжения на зажимах нагрузки)
практически не влияет на величину тока в электрической цепи
с источником тока.
1.6. Определить внутреннее сопротивление К0 и ЭДС Е
источника питания (рис. 1.6), если при разомкнутых выключателях ВА и В2
ток, протекающий в цепи амперметра, /=/, = 2 А, а при замкнутом
выключателе Ъ} и разомкнутом выключателе В2 ток /=/2 = 2,5А.
Сопротивления резисторов Л1 = Л2 = ЯЪ = 3 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление ветви цепи с
параллельно включенными сопротивлениями К2 и К3:
Я* =
К2Я3
3-3
Я2+Я3 3 + 3
= 1,5 Ом.

Ри-с. 1.6
Рис. 1.7
Ток в цепи при разомкнутых выключателях В] и В2 определяется
уравнением, составленным по закону Ома для всей цепи:
/,-—-—•
Ток в цепи при замкнутом выключателе Д и разомкнутом
выключателе В2 определяется по уравнению
Е
/2 =
+ Д2з
Внутреннее сопротивление источника ЭДС определяется при
совместном решении полученных уравнений:
= (Ц + К2Ъ)1Х - Л23/2 = (3,0 4-1,5)2-1,5-2,5 = ^ 0м
/2 - 1\ 2,5-2
ЭДС источника питания Е=(К0 + К23)12 = (10,5 + 1,5)2,5 = 30 В.
1.7. Для электрической цепи рис. 1.7, а определить ток /,
напряжение на зажимах потребителя {/, мощность источника питания Ри
мощность Р2 внешней цепи, КПД ц установки, если ЭДС
источника питания 2?= 10 В, его внутреннее сопротивление Л0=1Ом,
сопротивление нагрузки Ян = 4 Ом. Сопротивлением питающих
приводов пренебречь. Построить внешнюю характеристику I/ (I)
источника питания.
Решение. Ток в электрической цепи по закону Ома для всей
цепи:
Е ю
/ =
2 А.
Яо + Ян 1 + 4
Напряжение на зажимах источника питания: 11= Л„/= 4 • 2 = 8 В.
Мощность источника питания: Р, = Е1= 10 • 2 = 20 Вт. Мощность
внешней цепи (мощность потребителя): Р2 = 1Л= 8 • 2 = 16 Вт. Потери
мощности внутри источника />0 = /2Д) = 221=4Вт, КПД равен
л = Р2/Р, = Р2/{Р2 + Р0) = 16/20 = 0,8, т. е. т] = 80%.
Внешняя характеристика источника питания 1/(1) при
постоянных значениях Е и Р0: а) при холостом ходе (выключатель В
10

разомкнут): /=/х = 0, 1/=1/х = Е= 10 В; б) при коротком замыкании
(выключатель В замкнут) Ки = 0: /= /к = Е/Яр = 10/1 = 10 А; 11к = Д,^ = 0.
Зависимость 11(1) является линейной, поэтому данные режимов
холостого хода и короткого замыкания определяют внешнюю
характеристику источника питания (рис. 1.7, б). По ней и значению тока /
нагрузки можно определить соответствующее напряжение V
источника. Например, для точки 1 при /= 6 А напряжение 11= 10 - 6 = 4 В,
так как по второму закону Кирхгофа 17= Е- Д>/.
Уравнение баланса мощностей (мощность источника питания
равна мощности, выделяемой в виде теплоты в сопротивлениях Яр
и Ян): Е1=РЯ0 + РЯИ; 102 = 22- 1 + 2М; 20 = 20 Вт.
1.8. Для электрической цепи рис. 1.7, а определить, при каком
сопротивлении нагрузки Ян в условиях предыдущей задачи источник
питания отдает наибольшую мощность и каков при этом КПД т\
установки? Построить график изменения полезной мощности в
зависимости от сопротивления нагрузки Р2(ЯН). Задачу решить в общем виде.
Решение. Мощность, выделяемая в нагрузочном сопротивлении:
Е2
(/%>+*„)2
Для определения наибольшей мощности, отдаваемой
источником электроэнергии, берется первая производная мощности по
нагрузочному сопротивлению и приравнивается нулю:
ёР2 = (Я0 + Яи)2 - 2(Лр + ЯН)ЯИ Е2 =()
адн (Ло + Д„)4
После преобразования получим ЯИ = Я0, т.е. источник отдает
наибольшую мощность при равенстве сопротивлений нагрузки и его
внутреннего сопротивления. Максимальная мощность, отдаваемая
источником электроэнергии во внешнюю цепь потребителю при
ЯН = Я0:
Б2ЯН Е2
/>2шах=-- *-Г = — ВТ.
Р2 = 12ЯН = - — Лн.
(Я0 + Ян)2 4До
КПД источника
А= 12яи =_^ = ^=1=0,5,
Л 12(Я0 + ЯИ) Яо+Ян 2/2Д<> 2
т.е. т] = 50%. Можно показать, что при Л„ = 0 (короткое замыкание)
т| = 0; при ЯН = К0 КПД Т1 = 0,5; при Лн = оо КПД л = 0.
При изменении нагрузочного сопротивления /{„ полезная
мощность изменяется в соответствии с уравнением
р = Е2^ Е2
(а + I)2
(Ло + *„)2 Ло
где #=а/(д + 1)2; д = Д0/Л„. При К0 = КН, а=1, Р2 = 0,25Е2/Я0.
и

Принимая Е и Ко постоянными,
задаваясь различными значениями /?о/Л„,
можно получить график, показывающий
(в относительных единицах) изменение
полезной мощности Р2 = КЕ2/Кц в
функции сопротивления нагрузки Лн (т. е.
в функции а) (рис. 1.8).
О 0,5 1 1,5 а
Рис. 1.8
§ 1.2. Метод эквивалентных преобразований
Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем, что
на всех ее участках протекает один и тот же ток, а разветвленная
содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках
цепи протекают разные токи.
При расчетах неразветвленных и разветвленных линейных
электрических цепей постоянного тока могут быть использованы
различные методы, выбор которых зависит от вида электрической
цепи.
При расчетах сложных электрических цепей во многих случаях
целесообразно производить их упрощение путем свертывания,
заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным
и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным
сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований
(метода трансфигураций) электрических цепей. Электрическая цепь
с последовательным соединением сопротивлений (рис. 1.2.1)
заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением Яэк
(рис. 1.2.2), равным сумме всех сопротивлений цепи:
к = \
где Кь К2> ^3, ..., Кп — сопротивления отдельных участков цепи. При
этом ток / в электрической цепи сохраняет неизменным свое
значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током.
Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их
последовательном соединении распределяются пропорционально
сопротивлениям отдельных участков:
хяул„
0,3
0,2
0,1
12
Рис. 1.2.1
Рис. 1.2.2

1
\ц\ Л-П
Рис. 1.2.3
Рис. 1.2.4
При параллельном соединении сопротивлений все
сопротивления находятся под одним и тем же напряжением I/ (рис. 1.2.3).
Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных
сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным
сопротивлением Кэк (см. рис. 1.2.2), которое определяется из
выражения
^г=Хт'где Хт=Сэк = ^е*
сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллельных
ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи);
^ — сопротивление параллельного участка цепи; Ож — эквивалентная
проводимость параллельного участка цепи, ОЭК= —. Эквивалентное
сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых
параллельно соединенных сопротивлений, Кэк = Кк/п9 где п — число
параллельных ветвей цепи. При параллельном соединении двух сопро-
я я
тивлений Л, и К2 эквивалентное сопротивление Д,к = р 1 \ , а токи
К\ + К2
распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, при
этом 11= К}^ = К212 - &/з =... = ДЛ- При смешанном соединении
сопротивлений (рис. 1.2.4), т. е. при наличии участков электрической
цепи с последовательным и параллельным соединением
сопротивлений, эквивалентное сопротивление (см. рис. 1.2.2) цепи
определяется в соответствии с выражением
"1 п 1
* = 1 У— * = 1 эк
Во многих случаях оказывается целесообразным также
преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рис. 1.2.5),
эквивалентной звездой (рис. 1.2.6). При этом сопротивления лучей
эквивалентной звезды определяют по формулам:
^12^31 . п ^12^23 . о _ ^23^31
я =
я7 =
& =
^2 + ^23 + Ди К\2 + ^23 + ^31 ^12 + ^23 + ^31
где Ки Къ Я2 — сопротивления лучей эквивалентной звезды
сопротивлений; Кп, К23, Ди — сопротивления сторон эквивалентного
13

Рис. 1.2.5 Рис. 1.2.6
треугольника сопротивлений. При замене звезды сопротивлений
эквивалентным треугольником сопротивлений сопротивления его
сторон рассчитывают по формулам:
Я3] = Я3 + /С| + К^К\/ 1x2, л\\2 — -К\ "+" Я2 ~^~ ЯуЯ^ К3\ 1*23 = **2 "*" -**3 ~^~ Я2Я3/ л\\.
Литература. [1] § 1.10.2-1.10.5; [2] § 1.8-1.12.
Примеры решения задач
<~
1.9. Для электрической цепи постоянного тока с параллельным
соединением резисторов Яъ Я2, Я3 (рис. 1.9) определить ток / в не-
разветвленной ее части и токи в отдельных ветвях: /,, 12, 13.
Сопротивления резисторов: Л, = 5 Ом; Я2 = 10 Ом; Я3 = 15 Ом, напряжение
питающей сети 11= ПО В.
Решение. Эквивалентное сопротивление Яж всей
электрической цепи находят исходя из формулы для ее эквивалентной
проводимости:
„ 1 1 1 1 1 1 1 11
Оэк = — = — + — + — = - + — + — = —
Яэк Яг К2 Я3 5 10 15 30
или Яэк = 1/<7эк= 30/11 = 2,73 Ом. Ток в неразветвленной части
электрической цепи: /= 1//Яэк = 110/2,73 = 40,3 А. Ток в ветви резистора /?,:
/, = 1//Я} = 110/5 = 22 А. Ток в ветви резистора Я2: 12 = II/Я2 = 110/10 =
= 11 А.
Ток в ветви резистора Я3: /3 = II/Я3 = 110/15 = 7,33 А. Проверка по
первому закону Кирхгофа для узла разветвления рассматриваемой
цепи: /=/, + /2 + 73 или 40,ЗА = 22 + И + 7,33 = 40,3 А.
1.10. В условиях задачи 1.9 ток в неразветвленной части цепи
7=22 А. Определить токи /,, /2, /3 в ветвях резисторов Кь Я2, Я3.
Задачу решить методом проводимостей.
Решение. Проводимости отдельных участков электрической
цепи:
Ох = — = - = 0,2 См; 02 = — = — = 0,1 См; 03 = — = - = 0,0667 См.
1 Кх 5 ' 2 Я2 10 ' 3 К3 15
14

Рис. 1.9
Эквивалентная проводимость цепи: Ож = С, + С2 + Оъ = 0,2 + 0,1 +
+ 0,067 = 0,367 См. Напряжение между узловыми точками: 1/=1/Сэк =
= 22/0,367 = 60 В. Токи в ветвях резисторов: /, = 1//Я} = 60/5 = 12 А;
/2= ВД = 60/10 = 6 А; /3=ад = 60/15 = 4А.
1.11. Определить общее сопротивление Л0 и распределение
токов в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.11).
Сопротивления резисторов: Л, = К2 = 1 Ом; К3 = 6Ом; К5 = Я6=1 Ом; К4 = К7 = 6Ом;
Л8 = 10 Ом; К9 = 5 Ом; Л10 = 10 Ом. Напряжение питающей сети
17= 120 В.
Решение. Сопротивление участка цепи между узлами 1 и 4:
Ли =
(*9 + Дю)Д8 (5 + 10)10
= 6 Ом.
Щ + Я10+Яъ 5 + 10 + 10
Сопротивление участка между узлами 1 и 3 цепи:
Я> =
(Д14+Д7)Д4 (6 + 6)6
= 4 Ом.
^4 + ^7+^4 6 + 6 + 6
Сопротивление участка между узлами 1 и 2 цепи:
Дг -
(Яи + Дб + К5)К3 _ (4 + 1 + 1)6
= ЗОм.
Л13 + Дб + /?5 + Л3 4 + 1 + 1 + 6
Общее сопротивление всей электрической цепи:
К0 = Л, + Кп + К2 = 1 + 3 + 1 = 5 Ом.
Ток в неразветвленной электрической части цепи: /, = II/% = 120/5 =
= 24 А. Напряжение между узлами 1 и 2 цепи в соответствии со
вторым законом Кирхгофа: 11п = V- Л,/, - К21} = 120 - 1 • 24 - 1 • 24 = 72 В.
15

Напряжение между узлами 1 и 3 цепи: 1/и = 1/п - #32 = Уп - Л№ + ^б) =
= 72-12.(1 + 1) = 72-24 = 48В.
По первому закону Кирхгофа ток в ветви резистора Ку /2 = {712/Л3 =
= 72/6 = 12 А.
Токи в ветвях резисторов К5, К6: /6 = /, -12 = 24 - 12 = 12 А;
КА: /3 = С/,3/Л4 = 48/6 = 8А; Л7: /7 = /6-/3= 12-8 = 4 А. Напряжение
между узлами 1 и 4 цепи: С/14 = Л8/7 = 10-4 = 40 В. Токи в ветвях
резисторов Л8: /4=У,4/Л8 = 40/10 = 4А; К9 и Д10: /5 = {/,4/СК9 + Д10) =
= 40/(5+ 10) = 2,66 А.
1.12. Для цепи постоянного тока, приведенной на рис. 1.12,
определить общий ток / и токи /,, /2, 1Ъ 1А в ветвях резисторов 1?, -Л4.
К цепи подведено напряжение 11= 240 В, сопротивления резисторов
Л, = 20Ом; Л2=15 0м; Л3 = ЮОм; Л4 = 50м.
Решение. Эквивалентная проводимость участка электрической
цепи с резисторами Д, и Л2: 1/^=1/^4-1/^2=1/20 + 1/15 = 7/60,
откуда ЛэК = 60/7Ом. Эквивалентная проводимость участка цепи
с резисторами К3 и Л4: \/К"ж = 1/Л3 +1/^ = 1/Ю +1/5 = 2/10, откуда
/Гэк=10/ЗОм. Общее сопротивление 7? = Л'эк + Д';к = 60/7 + 10/3 =
= 11,9 Ом. Общий ток^в цепи: /= #/Л= 240/11,9 = 20,2 А. Падения
напряжений на параллельных участках цепи:
Цг = %КГ = — 20,2 = 173 В; И2 = /&/ = — 20,2 = 673 В.
Токи в ветвях соответствующих резисторов:
/= ^1 = 121 = 8,7 А; /2=^- = — = 11,5 А;
^1
*2
173
15
/з=^ = ^ = 6,7А; /4=^ = ^ = 13,5А.
Проверка. По первому закону Кирхгофа для узлов разветвлений цепи: 1=1х + 12
или 20,2А =8,7+11,5 = 20,2А. /=/3 + /4 или 20,2А = 6,7+ 13,5 = 20,2А
1.13. Определить токи 1\ — Ц на участках электрической цепи
постоянного тока (рис. 1.13). Сопротивления резисторов: Л = 30Ом;
/2 *2 ц Ь
1Х К, /3 Къ
Рис. 1.12
Рис. 1.13
16

К] = К2 = 2 Ом; К3 = 15 Ом; К4 = 10 Ом; Л5 = 4 Ом; Л6 = 5 Ом.
Напряжение питающей сети С/ = 100 В.
Решение. Эквивалентные сопротивления отдельных участков
электрической цепи между соответствующими узлами:
К35 = К/3 = 30/3 = 10 Ом; Кж] = (К35 + Л6) = Ю + 5 = 15 Ом;
Л»^эк1 Ю-15 ,- . Я3(Я5+Я23) 15.(4 + 6)
Лг
(Я4+Яэк1) (10 + 15)
60м; Д^:
(Я3+Я5 + Я23) (15 + 4 + 6)
= 60м.
Общее сопротивление цепи: Л0 = 2Л, + Д,^ = 2-2 + 6= 10 Ом. Ток
в резисторах Л, и К2: 1\ = 12= II/К0 = 100/10 = 10А. Ток в ветви
резистора К3:13 = 1/]4/К3 = 60/15 = 4 А. Напряжение между узлами 1—4 цепи:
#14 = Дмс2^=6-10 = 60В. Ток в ветви резистора Л5 по первому закону
Кирхгофа для узла 5 цепи: /5 = /- /3 = 10 - 4 = 6 А. Напряжение между
узлами 2 и 3 цепи: И23 - 1/]4 - К515 = 60 - 4 • 6 = 36 В. Ток в ветви
резистора К4: 14 = 1/23/К4 = 36/Ю = 3,6А. Ток в ветви резистора К6 по
первому закону Кирхгофа для узла разветвления 2: Д = /- (13 +14) = 10 -
- (4 + 3,6) = 2,4 А. Напряжение между узлами 3 и 5 цепи: 1/35 = 1/23- В+Ъ -
= 36-5-2,4 = 24 В. Токи в цепях резисторов Л7 —Л^ /7 = /8 = /9= С/35/К =
= 24/30 = 0,8 А.
1.14. Для электрической цепи постоянного тока рис. 1.14
определить эквивалентное сопротивление Лэк и общий ток / в цепи,
а также падения напряжения А {/на резисторах Кь К2, К%.
Сопротивления резисторов: ^ = 5 Ом; Л2 = 40м; Л3 = 20Ом; Л4 = 30Ом; д5 =
= 50 Ом; К6 = 100 Ом; Л7 = 5 Ом; Л8 = 1,8 Ом. ЭДС источника питания
Е=50В. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Решение. В результате
преобразования треугольника сопротивлений
К3, К4, К5 в эквивалентную звезду
определяем сопротивления:
Л4 —
ъ =
як =
ЯзЯ4
*з
*з
+ А, +
+ А, +
л$
Ъ
20-30
20 + 30 + 50
30-50
20 + 30 + 50
20-50
= 6 Ом;
= 15 Ом;
Я3 + Я4 + Я5 20 + 30 + 50
= 10 Ом.
Рис. 1.14
Суммарное (эквивалентное)
сопротивление последовательно включенных
резисторов К45 и К7: Кэк] = Л45 + Л7 = 15 + 5 = 20 Ом. Суммарное
(эквивалентное) сопротивление последовательно включенных
резисторов К35 и К6: Кэк2 = К35 + Л6 = 10 + 10 = 20 Ом. Эквивалентное
сопротивление ветвей цепи с резистором /?эк1 и Л34 и Л^:
Л« А«2 ^ . 20-20
ДжЗ - ^34 +
(Дэк1 + ^эк2)
= 6 + -
(20 + 20)
16 Ом.
17

Общее сопротивление всей цепи:
Л2ЛэкЗ
Ко = К\ + щ +
(*2 + Лэкз)
5 + 1,8 +
4*16 "\
4 -I-16 ^ ~
5+ 1,8+ 3,2 = 10 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи: /= Е/К0 = 50/10 = 5 А.
Падение напряжений на резисторах К]9 К2 и Я8:
Д{/, = Д1/=55 = 25В; Щ = Кг1= 1,8-5 = 9В;
. д^2=/_?1^ = 5.^^ = 5-3,2 = 16 В.
^2 + ^эк2
20 + 20
Проверка. На основании второго закона Кирхгофа имеем: Е- {/, +1/2 +1/8 или
50В = 25 + 9+16 = 50В.
1.15. Для условий задачи 1.14 преобразовать соединение звезды
резисторов К39 К5, К6 в эквивалентный треугольник и вычислить
сопротивления его сторон.
Решение. Сопротивления резисторов эквивалентного
треугольника:
Лз5 = Лз + Л5+4^ = 20 + 50 + ^^ = 20 + 50 + 100 = 170Ом;
*б
ю
Дзб = Д3 + ^+^ = 20 + 10 + ^^ = 20 + 10 + 4 = 34Ом;
^5
50
К56 = Я5 + Кб +— = 50 + 10 + ^-^ = 50 + 10 + 25 = 85 Ом.
д3 20
1.16. Определить ЭДС Е источника питания электрической цепи
постоянного тока (рис. 1.16), если сопротивления каждого из
резисторов Я = 0,ЗкОм; а токи в параллельных ветвях 7=0,3 А.
Сопротивлением источника питания пренебречь.
Решение. Эквивалентное сопротивление всей электрической цепи
(^^=(од_±^ = М= 0м = 2(Ю
2(Лэк1 + К) 2(0,1 + 0,3) 0,8
ЪаК 0,15 • 0,3 0,045
где Д^ =
Кэк2 + Я 0,15 + 0,3 0,45
=0,1 кОм,
Рис. 1.16
п Я2 К 0,3 л 1С ~
&К2 = — = — = — =0,15 кОм.
2К 2 2
Ток в цепи источника питания:
/0 = 21= 2 0,3 = 0,6 А. ЭДС источника
питания в соответствии с законом Ома
для всей цепи: ^=ЛЭ1С/0 = 200-0,6 =
= 120 В.
18

§ 1.3. Метод применения законов Кирхгофа
В любой электрической цепи в соответствии с первым законом
Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу
разветвления, равна нулю:
* = 1
где Д —ток в &-й ветви. В соответствии со вторым законом Кирх-
л
гофа алгебраическая сумма ЭДС ^Ек в любом замкнутом контуре
* = 1
л
электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений ]^1/\
* = 1
л
и алгебраической сумме падений напряжений ^Як1к в этом контуре:
* = 1
где Кк — сопротивление участка цепи рассматриваемого контура; 1к —
ток в цепи сопротивления Кк.
При расчете электрических цепей методом применения законов
Кирхгофа выбирают условные положительные направления токов,
ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают
стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и задаются
положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства
расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется
выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для
электрических цепей, содержащих источники тока, выбирают
замкнутые контуры без источников тока. Для получения независимых
уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы
одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для
которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа,
необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи,
равно числу неизвестных N
В большинстве случаев параметры источников ЭДС или напряжения,
источников тока, сопротивлений участков электрической цепи
известны, при этом число неизвестных равно разности между числом
ветвей и числом источников тока N= (^ - кт). Для упрощения расчетов
сначала записывают более простые уравнения, составленные по
первому закону Кирхгофа, а недостающие — по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа,
берется на единицу меньше числа узлов #у в цепи: Л^ = Л^- 1. При
этом токи, направленные к узлу, условно принимаются
положительными, а направленные от узла — отрицательными.
2* 19

Остальное число уравнений ЛГП = ТУ- ТУ, составляется по второму
закону Кирхгофа: Ыи = Ыл
■ЛГу-М+1.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа ЭДС
источников принимаются положительными, если направления их
действия совпадают с выбранным направлением обхода контура,
независимо от направления тока в них. При несовпадении их
записывают со знаком «-». Падения напряжений в ветвях, в которых
положительное направление тока совпадает с направлением обхода,
независимо от направления ЭДС в этих ветвях — со знаком «+». При
несовпадении с направлением обхода падения напряжений
записываются со знаком «-».
В результате решения полученной системы из N уравнений
находят действительные направления определяемых величин с учетом
их знака. При этом величины, имеющие отрицательный знак, в
действительности имеют направление, противоположное условно
принятому. Направления величин, имеющих положительный знак,
совпадают с условно принятым направлением.
Во многих случаях электрические цепи содержат только
источники ЭДС и источники напряжения и не имеют источников тока.
При этом расчет электрических цепей значительно проще, так как
запись уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа,
упрощается:
Для схемы рис.
неизвестных N=3,
1.3.1, содержащей два узла (^ = 2), при числе
подлежащих определению, число уравнений,
составленных по первому закону Кирхгофа, ТУ, = ^у-1 = 2-1 = 1.
Число недостающих уравнений, составленных по второму закону
Кирхгофа, А/п = Л"- //, = 3-1 = 2. При заданных условных
положительных направлениях токов уравнение, составленное по первому
закону Кирхгофа для узла 1 электрической цепи (рис. 1.3.1) с
учетом того, что токам, направленным к узлу, приписывается знак «+»,
а токам, направленным от узла,— знак «-», имеет вид: /, +12 - 1Ъ = 0.
В соответствии с выбранным условным положительным
направлением обхода контура, показанным на рис. 1.3.1 пунктирными
стрелками, уравнение, составленное по
второму закону Кирхгофа для левого
замкнутого контура с учетом положительных
направлений токов и ЭДС, записывают
в следующем виде: Ех-Е2-КХ1Х -К212.
Аналогично составляют уравнение по
второму закону Кирхгофа для правого
замкнутого контура схемы рис. 1.3.1: Е2 = Я212 +
+ К313+и
Решение полученной системы трех
уравнений позволяет определить неизвест-
20

ные величины. При этом величины со знаком «+» в
действительности имеют направление, совпадающее с соответствующим
первоначально заданным на схеме условным направлением. Величины со
знаком «-» в действительности имеют направление,
противоположное первоначально заданному условному направлению,
показанному на схеме рис. 1.3.1.
Литература. [1] § 1.7, 1.14; [2] § 1.8-1.10.
Примеры решения задач
1.17. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.17)
определить токи /, — /3 в ветвях. ЭДС Ех = 1,8 В; Е2 = 1,2 В;
сопротивления резисторов: Л, = 0,2 Ом; К2 = 0,3 Ом; Л3 = 0,8 Ом; ^ = 0,6 Ом;
До2 = 0,4 0м.
Решение. Для узла разветвления в соответствии с принятым
на схеме условным положительным направлением составляют
уравнение для токов по первому закону Кирхгофа: /, + /> = /3- Для
внешнего замкнутого контура составляют уравнение по второму закону
Кирхгофа:
Ех = К0]1Х + Я,/, + Д3/3 = (К + ВД + К3139
т.е. 1,8 = (0,6 + 0,2)/,+0,8/3; 1,8 = 0,8/,+0,8/3.
Аналогично, для нижнего замкнутого контура по второму
закону Кирхгофа:
Е2 = (К02 + К2)12 + К312; 1,2 = 0,7/2 + 0,8/3.
В результате совместного решения полученной системы трех
уравнений определяют ток /, в первой ветви:
1,8 = 0,8/1-ь0,8(/1 + /2); 1,8 = 1,6/, + 0,8/2; 1,2 = 0,7/2 + 0,8(7, + /2);
1,2=1,5/2 + 0,8/, или /, = (1,2-1,5/2)/0,8.
Рис. 1.17 Рис. 1.18
21

Ток второй ветви 12 находят по значению тока /, из уравнений
для ЭДС Ех и 2^ в соответствии с выражением:
1,8 = 1,6 1,2"1,5/2 + 0,8/2; 1,8 = 2,4 - 3/2 + 0,8/2,
0,0
откуда /2 = 0,6/2,2 = 0,272 А.
Ток в первой ветви 7, определяют по значению тока 12 из
уравнения для ЭДС Еи откуда 1,8 = 1,6/, +0,8-0,27 или /,= Щ- =0,99 А,
1,6
а ток третьей ветви /3 — из уравнения для токов: 1\ + 12 = 0,99 + 0,27 = /3,
откуда /3= 1,26 А.
1.18. В электрической цепи постоянного тока (рис. 1.18)
показание амперметра А: /5 = 5А. Определить токи /, —/4 во всех ветвях
цепи, пользуясь законами Кирхгофа. Сопротивления резисторов:
Д, = 10м; Л2=10Ом; Л3=10Ом; Д4 = 40м; Л5 = 30м; Л6=10м;
Л7=10м; Л8 = 6 0м; Л9 = 7 0м; ЭДС Я, = 162В; Я2 = 50В; Я3 = 30В.
Внутренним сопротивлением источников питания пренебречь.
Решить задачу также для случая, когда показание амперметра
неизвестно.
Решение. При заданном включении источников питания за
положительные направления токов принимаем направления,
указанные на схеме рис. 1.18. Схема содержит три узла и пять ветвей.
Следовательно, необходимо определить пять неизвестных токов.
В соответствии с этим составляют два уравнения по первому
закону Кирхгофа и три — по второму закону Кирхгофа. Для узлов 1
и 2 цепи составляют уравнения для токов по первому закону Кирхгофа:
/, = /2 + /3; /3 = /4 + /5,
а по второму закону Кирхгофа уравнение для левого замкнутого
контура с ЭДС Ех и Е2\
Е]-Е2 = (К1 + К6 + К7)1] + К212.
Для среднего замкнутого контура с ЭДС Е2 и Е3 имеем:
е,- е3=-к212+д3/3+(/?4+ад,
а для правого замкнутого контура с амперметром А в ветви
Е3 = -(Я4 + Къ)1А + (К5 + К9)15.
Ток в цепи резистора Л4 определяют из последнего уравнения:
30 = -(4 + 6)/4 + (3 + 7)5 = -10/4 + 50,
откуда /4 = 20/10 = 2 А,
а ток /3 в ветви резистора Я3 — из уравнения, составленного для
узла 2 цепи:
/3 = /4 + /5 = 2 + 5 = 7А,
22

а ток в ветви резистора К2 — из уравнения, записанного для
среднего замкнутого контура:
Е2-Е2 = -Ш2+ 10 7 + (4 + 6)2; 50-30 = -10/2 + 70 + 20,
откуда 12 = 70/10 = 7 А. Токи в ветви резисторов: Яи К6, К1 находят
из уравнения для токов:
/1 = /2 + /3 = 7 + 7 = 14А.
Ток /, можно определить из уравнения
Е2-Е3 = 162-50 = (1 + 1 + 1)/, + 7-10,
откуда /1 = (112-70)/3 = 42/3=14А.
Если ток в ветви резисторов К5 и К9 не задан, искомые токи
и их направления в других ветвях определяют в результате решения
системы пяти составляемых по законам Кирхгофа уравнениям.
Положительные значения токов свидетельстЁуют о том, что
действительные направления токов в соответствующих ветвях
совпадают с условными направлениями.
1.19. Рассчитать и построить потенциальную диаграмму для
электрической цепи постоянного тока (рис. 1.19, а), если дано: ЭДС
источников питания Ех = 16В; Е2= 14В, внутреннее сопротивление
К0] = 3 Ом; К02 = 2 Ом, сопротивления резисторов К} = 20 Ом; К2 =
= 15 Ом; К2 = 10 Ом. Определить положение движка потенциометра,
в котором вольтметр V покажет нуль, составить баланс мощностей
для цепи. Как повлияет на вид потенциальной диаграммы выбор
другой точки с нулевым потенциалом?
Решение. Ток в цепи определяют по уравнению,
составленному по второму закону Кирхгофа, приведенному к виду:
г Ег + Е2 16 + 14 30 л, А
I = : = = — = 0,6 А.
Ях+ Я01+Я2+Ко2+ Я3 20 + 3 + 15 + 2 + 10 50
Потенциальную диаграмму строят в прямоугольной системе
координат. При этом по оси абсцисс откладывают в
соответствующем масштабе сопротивления всех участков цепи, а по оси
ординат—потенциалы соответствующих точек. При построении
потенциальной диаграммы одна из точек цепи условно заземляется, т. е.
принимается, что потенциал ее ср = 0. На диаграмме эта точка
помещается в начале координат.
В соответствии с условием задачи определяют потенциалы
точек 1—5 электрической цепи, при этом принимают потенциал ф,
точки 1 цепи равным нулю.
Потенциал ф2 точки 2 находят из выражения, записанного по
второму закону Кирхгофа для участка 1—2 цепи:
откуда ф2 = <р,-/{,/, = 0 -20-0,6 =-12 В.
23

б)
Рис. 1.19
Координаты точки 2: Л = 20 Ом; ф2 = -12В.
По второму закону Кирхгофа для участка цепи 1—3 справедливо
уравнение:
Ех = Цп + К0]1= (ф3 - ф2) + К0]1,
откуда потенциал точки 3 цепи: ф3 = <р2 + Ех - ^1- -12 + 16 - 3 • 0,6 =
= 2,2 В.
Координаты точки 3 цепи: К = 20 + 3 = 23 Ом; ф3 = 2,2 В.
Аналогично определяют потенциал точки 4 цепи:
#4з = Фз-ф4 = Л2/,
откуда ф4 = ф3-Л2/=2,2-15-0,6 = -6,8В.
Координаты точки 4 цепи: Л= 23 +15 = 38 Ом; ф4 = -6,8В.
Потенциал ф5 точки 5 цепи находят из уравнения, записанного
по второму закону Кирхгофа для участка 4—5 цепи:
24

Е2=Ц54 + К021= ф5 - ф4 + К021,
откуда ф5 = <р4 + Е2 - Ло2/= -0,8 + 14 - 2 • 0,6 = 6 В.
Координаты точки 5 цепи: К = 38 + 2 = 40 Ом; ф5 = 6 В.
Потенциал ф! точки 1 цепи находят из уравнения, составленного по второму
закону Кирхгофа для участка 4—5 цепи: 1/5] = ф5 - ф, = Къ1\ ф, = ф6 -
- Къ1= 6 - 10-0,6 = 0. Координаты точки 1 цепи: Л = 40 + 10 = 50 Ом;
Ф1=0.
Для рассматриваемой электрической цепи по результатам
расчетов на рис. 1.19, б приведена потенциальная диаграмма.
Из этой диаграммы следует, что положение движка
потенциометра в точке 6 цепи соответствует показанию вольтметра, равному
нулю, так как потенциалы точек 1 и 6 цепи равны.
При выборе другой точки электрической цепи с нулевым
потенциалом разности потенциалов на соответствующих участках цепи не
изменяются, так как они определяются величиной тока и
величиной сопротивления. Если принять потенциал точки 3 цепи ф3 = 0, то
ось абсцисс переместится в точку 3 потенциальной диаграммы
(пунктирная линия), т. е. потенциалы всех точек цепи уменьшаются на
величину потенциала ф, равного отрезку 0^= 2,3 В.
Баланс мощностей соответствует следующему уравнению:
Е}1+ Е21= РК, + /% + РК2 + /2До2 + /2Л3 = /2№ + К0] + К2 + ^ + К2);
16 ■ 0,6 + 14 • 0,6 = 0,62(20 + 3 + 15 + 2 + 10).
18Вт=18Вт.
1.20. Составить схему электрической цепи постоянного тока
исходя из данных потенциальной диаграммы, приведенной на
рис. 1.20, а.
Решение. Построение электрической цепи целесообразно
начать с точки 7, которая совпадает с началом координат и,
следовательно, имеет потенциал ф = 0 (точка заземлена).
Так как на потенциальной диаграмме сопротивления отдельных
участков цепи откладываются в определенном масштабе по оси
абсцисс, а по оси ординат — потенциалы, то каждой точке цепи
соответствует точка на потенциальной диаграмме.
Из приведенной потенциальной диаграммы следует, что при
переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал линейно возрастает.
При этом тангенс угла а, наклона прямой 0—2 к оси абсцисс
пропорционален потенциалу точки 2 Следовательно, согласно
диаграмме, на участке цепи 1—2 должен быть включен резистор с
сопротивлением Л, = 2 Ом.
Так как при переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал
увеличивается, то ток цепи направлен от точки 2 к точке 1 цепи:
/= г/зо/Л, = Ю/2 = 5А, где (/20 = ф2-Фо= 10-0= 10В.
На участке 2—3 диаграммы потенциал растет скачком. Это
свидетельствует о том, что между соответствующими точками цепи
25

Рис. 1.20
включен источник ЭДС, направление которой встречно току
(источник работает в режиме потребителя электроэнергии).
Согласно потенциальной диаграмме ЭДС, 2?23 = 40В.
На участке 3—4 цепи, согласно диаграмме, должен быть
включен резистор, имеющий сопротивление Л2 = 1 Ом. На этом участке
Фз = ф2 + #23 = 10 + 40 = 50В. При этом ф4 = (р3 + /Л2 = 50 + 5-2 = 60В.
На участке 4—5 цепи, согласно диаграмме, должен быть
включен источник ЭДС Е45 = 75 В. Так как при переходе от точки 4 к
точке 5 цепи потенциал понижается, то ЭДС должна быть направлена
от точки 5 к точке 4 цепи.
На участке 5—6 цепи потенциал повышается на величину
К31= 1 • 5 = 5 В, поэтому здесь должен быть включен резистор с
сопротивлением К3 = 1 Ом.
На участке 6— 7 цепи потенциал резко возрастает. Здесь, согласно
диаграмме, должен быть включен источник ЭДС Е67 = 45 В, который
работает в схеме в режиме потребителя.
26

При переходе от точки 7 к точке 8 цепи потенциал возрастает
на величину, равную произведению К41- 3 • 5 = 15 В, так как здесь
должен быть включен резистор с сопротивлением К4 = 3 Ом.
На участке 8—9 цепи потенциал уменьшается скачком
вследствие того, что источник ЭДС Е%9 = 55 В подключен положительным
полюсом к точке 8, а отрицательным — к точке Р. В данном случае
источник ЭДС ЕВ9 работает в цепи в качестве источника питания.
На участке 9—1 цепи потенциал повышается на величину,
равную произведению К51= 2 • 5 = 10 В. Поэтому здесь должен быть
включен резистор с сопротивлением Л5 = 2 0м.
Результаты определения потенциалов рассматриваемой
электрической цепи приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Участок
электрической
цепи
—
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-1
Сопротивление
участка,
Ом
—
2
0
1
0
1
0
3
0
2
Потенциалы точек, В
Ф^О
ф2 = Ф, + Л17 = 2-5=10
93 = 92 + ^23=10 + 40 = 50
<р4 = Фз + Л2/=50+1*5 = 55
<р5 = ср4-Я45 = 55-75 = -20
фб = ф5 + Л3/=-20+1-5 = -15
ф7 = фб + Яб7 = -15+45 = 30
ф8 = ф7 + Л4/= 30 +3-5 = 45
Ф9 = Ф8-^89 = 45-55 = -Ю
ф1 = ф9 + Л5/=-10 + 2-5 = 0
По результатам анализа представленной потенциальной
диаграммы составлена схема неразветвленной электрической цепи
постоянного тока (рис. 1.20, б).
Проверка. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, составляем
уравнение электрического равновесия для полученной в результате
расчета электрической цепи:
Е45-Е23-Е67 = (К] + К2 + К3 + К4 + К5)1,
Е%9 + Ел<
откуда ток в цепи
/ =
^89 + &45 ~ ^23 ~ Е&
55+75-40-45 45 с .
= — = 5 А.
9
Я{ + К2+Я3+Л4 +Я5 2 + 1 + 1 + 3 + 2
На всех участках цепи углы а одинаковы, следовательно:
1§ <Х! = 1в а2 = *2 аз = *8 «4 = *8 <х5 = 77^
или 7=10/2 = 5/1 = 5/1 = 15/3 = 10/2 = 5 А.
Уравнение баланса мощностей:
Е&91+ Е451- Е231- Е611= РК, + РК2 + РК3 + РК4 + РК5 = 55-5 + 75-5
-40.5-45-5 = 52-2 + 5М + 5М + 52.3 + 52.2; 225Вт = 225Вт.
Баланс мощностей соблюдается.
27

§ 1.4. Метод контурных токов
Для расчета сложных электрических цепей широко используют
метод контурных токов, в основу которого положены расчетные
(условные) контурные токи, замыкающиеся по смежным контурам
разветвленных электрических цепей.
Метод контурных токов позволяет при составлении системы
уравнений для расчета электрических цепей не записывать
уравнения по первому закону Кирхгофа и тем самым уменьшить общее
количество уравнений, необходимых для расчета. Истинные
значения токов в ветвях электрической цепи определяются по значениям
контурных токов.
В процессе расчета по этому методу определяют независимые
замкнутые контуры и задаются условными положительными
направлениями контурных токов. При этом во всех замкнутых контурах
для упрощения процесса расчета целесообразно задавать контурным
токам одинаковые положительные направления. Число уравнений
при расчете по методу контурных токов равно числу контурных
токов.
При составлении контурных уравнений по второму закону
Кирхгофа для замкнутых контуров ЭДС источников питания
принимаются положительными, если их направления совпадают с
направлениями контурных токов, при несовпадении с контурным током
их записывают со знаком «-». Со знаком «-» записывают
напряжения, а также падения напряжений, направленные против
контурного тока, а со знаком «+», если они совпадают с ним.
При этом величины контурных токов во внешних (не смежных)
ветвях оказываются равными по значению токам в ветвях, которые
нанесены на электрическую схему. Токи смежных ветвей равны
разности контурных токов соседних контуров. При этом со знаком
«+» записывается контурный ток, совпадающий с направлением
тока в смежной ветви.
Применительно к электрической цепи (рис. 1.4.1) в соответствии
с заданным направлением ЭДС, напряжения, токов в ветвях и
контурных токов уравнения, составленные по второму закону
Кирхгофа для замкнутых контуров, записывают в следующем виде:
ХЕ | _ ■ _ Ехл-Е2- (Л01 + Лю + К\ + Л2)1и - (Я^ + Л2)122,
-Е2 = (Л02 + К2 + К3)122 - (К02 + К2)1и + К
В результате решения полученной
системы уравнений и определяют контурные
токи 1и и 122.
При этом токи во внешних
(несмежных) ветвях электрической цепи
оказываются численно равными соответствующим
Рис. 1.4.1 КОНТУРНЫМ ТОКаМ! 7^/ц; /з = /22-
28

Ток в смежной ветви определяют из уравнения, составленного
по первому закону Кирхгофа для точки разветвления электрической
цепи: /,-/2-/3 = 0, откуда /2 = /1-/з = /11-/22.
Литература. [1] § 1.14.2; [2] § 1.14; [3] § 3.5.
10
гЗ.
Примеры решения задач
1.21. В электрической цепи постоянного тока, представленной
на рис. 1.21 определить токи /, — /5 в ветвях, напряжения 11п и С/^
между точками 1—2 и 3—4 цепи. Составить уравнение баланса
мощностей. ЭДС источника питания Е- 30 В (внутренним
сопротивлением источника пренебречь), ток источника тока /=25мА,
сопротивления резисторов: Л, = 1 кОм; К2 = К3 = К4 = 2 кОм; К5 = 3 кОм.
Решение. Условные положительные направления контурных
токов в электрической цепи принимаем соответствующими рис. 1.21
(показаны пунктирными стрелками).
По второму закону Кирхгофа составляют уравнение для правого
верхнего контура электрической цепи (обход контура по ходу
часовой стрелки):
-Е= (Л, + К2 + К5)1и + К5122 - Л,/.
После подстановки цифровых значений имеем:
-30 = (1 н- 2 + 3) 103/п + 3 • 103/22 - 1 • 103 - 25 -
или -5 = 6103/п + 3-103/22.
То же, для правого нижнего контура:
0 = К51и + (Л3 + К4 + Л5)/22 + Къ1\
0 = 3-103/п + (2 + 2 + 3)103/22 + 2-103.25.
или -50 = 3-103/п + 7-103/22.
В результате решения уравнения получают
95 = -1Ы03/22.
Откуда находят контурный ток
1ц = (-95)/(11 • 103) = -8,636 • 103 А=
= -8,636 мА.
Контурный ток 1и находят из
уравнения, составленного для
правого нижнего контура:
/,, = (-5 + 3 - 8,636)/(6 • 103) = 3,4848 мА.
Ток в общей ветви смежных
контуров является результатом
наложения токов / и /„: /, = /-/„ =
29
10"
<&')
Рис. 1.21

= 25 - 3,4848 = 21,5152 мА. (Ток /, совпадает с направлением
большего тока /.)
Ток в ветви резистора К2\ 12 = /ц = 3,4848 мА. Ток в ветви
резистора Л3 находится в результате наложения контурных токов /
и /22:
13 = /+ /22 = 25 + (-8,636) = 25 - 8,636) = 16,364 мА.
Ток в ветви резистора К4:
/4 = -/22 = -(-8,636) = 8,636 мА.
Знак х<-» в выражении для тока 14 показывает, что в
действительности этот ток имеет направление, обратное первоначально
заданному направлению. Ток в ветви резистора К5, т.е. в общей ветви
смежных контуров, находится в результате наложения контурных
токов 1и и /22:
15 = -(/„ + /22) = -[3,4848 + (-8,636)] = 5,1512 мА.
Напряжение между узлами 3 и 4 цепи находят из уравнения,
составленного в соответствии со вторым законом Кирхгофа для
контура 2342:
откуда #34 = 30 + 2 -103 • 8,636 • 103 + 2 • 103 - 3,4848 -103 = 54,24 В.
Напряжение между узлами 1 и 2 цепи:
#12=д5/5 = 3.103^ = 15,45В.
103
Уравнение баланса мощностей:
-Е1+ #34/= -Е12 + (Л,/, + ВД/= № + ЛЛ2 + 1]КЪ + РАК< + Р5К5,
откуда после подстановки числовых данных получим тождество:
1,25 Вт =1,25 Вт.
1.22. Определить ток в цепи резистора Л, =21 Ом электрической
цепи постоянного тока (рис. 1.22). Питающее напряжение 1/= 142 В,
ток источника тока /=4А, сопротивление резисторов Л = 4 0м,
выключатель В находится в замкнутом положении.
Решение. Заменяем источник тока эквивалентным
источником ЭДС Е= Л/= 4- 4 = 16 В. При этом электрическая цепь (рис. 1.22)
заменяется эквивалентной электрической цепью без пунктирной ветви
(выключатель В разомкнут). При принятом на схеме направлении
контурных токов в соответствии со вторым законом Кирхгофа
записываем уравнения электрического равновесия для
соответствующих замкнутых контуров:
0 = ЗК1и-К133-К122; Е=(2К + К})122-Ши-К,1ъъ\
о=(2к+к^- к,122- Я1п + а
30

Подставляя в полученные выражения соответствующие
известные значения, получаем систему уравнений:
12/п - 4/22 - 4/33 = 0; -4/п + 29/22 - 21/33 = 16;
-4/п-21/22-29/33 = -142.
Решение этой системы уравнений осуществляется с помощью
определителей.
Составляем определитель А из коэффициентов в уравнениях при
неизвестных (с добавлением двух первых столбцов):
А =
12 -4
-4 29
-4 -21
-4
-21
-29
12 -4
-4 29
-4 -21
= 12 - 29(-29) +
= 12 16(-29) +
+ (-4)(-21)(-4) + (-4)(-4)(-21) - (-4)29(-4) -
- (-21)(-21)12 - (-29)(-4)(-4) = -5472. .
Составляем определители для соответствующих контурных токов:
112 0 -4 12 0
д22 = -4 16 -21 -4 16
|-4 -142 -29 -4 -1421
+ (-4)(-4)(-142) - (-4)16(-4) -12(-142)(-21) = -43 888.
112-4 0 12 -4|
Д33= -4 29 16 -4 29 = 12 • 29(-142) +
|-4 -21 -142 -4 -2\
+ (-4)16(-4) - (-4)(-4)(-142) -12(-21)16 = -42 856.
Откуда контурные токи:
/22 = А22/Д = -43 888/-5472 = 8,02 А;
/33 = Азз/А = -42 856/-5472 = 7,83 А.
Ток в ветви резистора Л,: 1\ = 1гг-1ц = 8,02-7,83 = 0,19А.
Яг Ь
Рис. 1.22
Рис. 1.23
31

1.23. Определить общий ток / и токи /, — /5 в ветвях
электрической цепи постоянного тока (рис. 1.23). ЭДС источников питания:
Ех = 32 В; Е2 = 120 В; Е2 = 10 В, внутреннее сопротивление
источника Ех\ Д) = 2 0м (внутренним сопротивлением других источников
пренебречь). Сопротивления резисторов: Кх = 10 Ом; К2 = 4 Ом; Къ = 6 Ом;
^4 = 5 0м; Л5 = 8 0м.
Решение. Условные положительные направления токов
принимаем по схеме рис. 1.23. Она содержит шесть ветвей (Л/в = 6)
и четыре узла (^ = 4). Для узлов 7, 3 и 4 цепи составляем уравнения
ДЛ5Г токов по первому закону Кирхгофа (N,= ^-1=4-1 = 3; Л/,—
число уравнений по первому закону Кирхгофа): /= /, + /2; 12 +15 = /4;
/з + /4 = /5.
Недостающее число уравнений (7^-^=6-3 = 3) составляем по
второму закону Кирхгофа.
Для замкнутых контуров:
левого Ех = К01+К]11;
среднего: Еъ = -К212 -КА14 + К313 + Кх1х;
правого: Е2 = К515 + К41А.
Ток в ветви резистора К4 определяем из последнего уравнения
с учетом уравнения, записанного для узла 3 цепи:
г Е7 + ^5^2
-м — •
я5+яА
При совместном решении уравнения для тока / и ЭДС Ех
определяем ток в цепи резистора Кх\
г _ Е\ - ^0^2
1 я0 + я{
Решение уравнений, записанных для узлов 3 и 4, позволяет
определить ток в цепи резистора К2: 12--1у
Подставляя значения входящих в полученное уравнение
известных величин, получаем:
1Л АТ 120 + 8/2с ,. 32-2/2 1Л
-10 = 4/2+-Т7Г-5 + 6/2-^7^'10'
откуда 12 = -—^- = -2 А.
14,75
Токи в ветвях резисторов:
К2: /3 = 2А.
А-^=32_^-2) = 36=ЗА.
Ло + Л, 2 + 10 12
Л0: /=/, + /2 = 3-2 = 1А.
К. /4 = *1±М. = 1^±^ = 1^ = 10)47А.
Я5+Я4 8 + 5 13
К5: /5 = /4-/2= 10,46 + 2= 12,46 А.
32

1.24. В условиях задачи 1.23 определить общий ток / и токи /, — /5
в ветвях электрической цепи (рис. 1.23), положив ЭДС источника
питания Е2 = 0.
Решение. В этом случае уравнение, записанное по второму
закону Кирхгофа для среднего замкнутого контура, примет вид:
0 = -К212 - ЯА14 + Кг1ъ + Л,/,.
Подставляя известные величины, с учетом полученных выше
выражений, имеем:
5 + 8 2 + 10
откуда 12 = -—17 = ~1,28 А.
14,75
Токи в ветвях цепи резисторов:
Л3: /3 = 1,28А.
Д| - ^2 = Л - 2(-1,28) = 32+^ = ^ = 88 А>
К4:
-ЯрГ2
+ Л1
Я0: I
Д =
_ 32 - 2(-1,28) _
2 + 10
= /, + /2 = 2,88-
Е2 + Л5/2 _ 120
32 + 2,56 _ 34,56 _
12 12
-1,28 =
- 8 • 1,28
1,6 А.
= 8,47 А.
:2,1
Я5 + 1Ц 8 + 5
К5: /5 = /4-/2 = 8,47+1,28 = 9,75 А.
1.25. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 1.25, а)
содержит источники питания: Ех = 50 В; Е2 = 20 В; Еъ = 45 В и резисторы
с сопротивлениями: Л, = 10 Ом; К2 = 30 Ом; К3 = 50 Ом; К4 = 20 Ом;
Л5=1,0Ом; Л6 = 20Ом; Л7=10Ом. Напряжение, приложенное к
цепи, #=80 В. Внутренние сопротивления источников К0 = 0.
Определить токи /, — /6 в ветвях электрической цепи и напряжение Ц14,
действующее между точками 1 и 4 цепи. Составить уравнение
баланса мощностей для всей цепи и построить потенциальную диаграмму
для внешнего контура цепи.
Решение. По второму закону Кирхгофа составляем
уравнения электрического равновесия соответственно для левого верхнего,
правого верхнего и нижнего замкнутых контуров:
(К2 + Кг + Кл)1и - К^ъ - КЪ1ЪЪ = 0;
(КА + К5 + К6)122 - КА1и - К6133 = 2Г2 + Еъ\
(Я7 + Л, + К6 + Л3)/зз - Я21и - Я6122 - 11= Ех - Е2.
Подставл5ы в полученные уравнения известные величины, имеем:
(30 + 50 + 20)/п - 20/22 - 50/33 = 0;
(20 + 1 + 20)4 ~ 20/п - 20/33 = 20 + 45;
(10 + 50 + 20 + 10)/33 - 50/„ - 20/33 - 80 = 50 - 20,
зз

Ф,В]
40
30
20
10
-10
-20
-30
-40
1
" у
/
0
-
А
А
/\
Щ
<
6
а)
7
>
5
/
/
/
/
/
20
Г3
зо/
' 1
40
2
■ | „
50 Д,Ом
б)
Рис. 1.25
откуда получаем три уравнения:
100/п- 204 -50/33 = 0;
-20/п + 41/22 -20/33 = 65;
-50/п-20/22 + 90/33=110.
Решая совместно первое и третье уравнения, получаем: -607*2 +
+ 13/33 = 220, отсюда определяем значение тока:
/« =
220 + 60/22 22 + 6/22
130 13
Решая совместно второе и третье уравнения, имеем: -122,5/22 +
+ 140/33 = -52,5.
34

Контурный ток 122 получаем, решая совместно последние два
уравнения:
-122,5/22 +14022 + 6/22 = -52,5,
13
откуда 122 = 5 А. С учетом значения тока 122 определяем контурный ток:
г 22 + 6-5 22 + 30 52 . к
/33 = = = — = 4 А.
13 13 13
Контурный ток /„ определяем из первого уравнения: 100/,, -20х
х5-50-4 = 0, откуда /,, = ЗА.
Токи в ветвях электрической цепи определяем с учетом первого
закона Кирхгофа для соответствующих узловых точек:
/2 = /„ = ЗА; /з = /33-/п=4-3 = 1А; /, =/2 +/3 = 3 + 1 =4А;
/4 = /22-/„ = 5-3 = 2А; /5 = /22 = 5А; /6 = /22-/зз = 5-4= 1 А.
Напряжение между точками 1 и 4 цепи находят из
соответствующего уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа:
Е\ = К212 + К515 - (7И,
откуда (714 = -50 + 30-3 + 1-55 = 45 В.
Уравнение баланса мощностей всей цепи записывают в
соответствии с выражением
ЬЕ1+Ь Ш= ЪРК.
При этом 50-4+ 20-1 + 45-54^0-4 = 765 Вт = 0,765кВт; 42-10 +32х
х30 + 12-50 + 22-20 + 52-1 + Р-20 + 42-10 = 765 Вт = 0,765кВт, т.е.
соблюдается баланс мощностей: 0,765 кВт = 0,765 кВт.
При построении потенциальной диаграммы (рис. 1.25, б)
условно принимаем потенциал точки 1 равным нулю (ф, =0). Потенциал
точки 7 цепи при заданной полярности напряжения: ф7 = Я,/,-ф, =
= 10-4-0 = 40В. Координаты точки 7 потенциальной диаграммы:
Д7 = 10Ом; ф7 = 40В.
Потенциалы и координаты других точек находят аналогично:
ф6 = ф7-#=40-80 = -40В; ф5 = ф6 + Д7/,=-40+10-4 = 0;
ф4 = ф5-Я3 = 0-45 = -45В; ф3 = ф4 +Д5/5 = -45 + 1-5 = -40 В;
ф2 = фз + Д2Л = -40 + 30-3 = 50В.
Потенциальная диаграмма, построенная по данным расчетов,
приведена на рис. 1.25, б.
§ 1.5. Метод узлового напряжения
Метод узлового напряжения целесообразно использовать для
расчета электрических цепей, содержащих несколько параллельных
ветвей, присоединенных к паре узлов.
з* 35

Преимущество этого метода перед другими возрастает с
увеличением числа параллельных ветвей электрических цепей. При этом
определяется узловое напряжение, что позволяет достаточно просто
определять токи в параллельных ветвях и другие величины,
характеризующие подобные электрические цепи.
Узловое напряжение между двумя точками разветвлений (узлами)
определяют в соответствии с выражением
п п п
гт _ к = \ * = 1 * = 1
* = 1
п
где X ЕКСК— алгебраическая сумма произведений ЭДС и проюдимосгей
л
соответствующих ветвей; X 1ГКСК — алгебраическая сумма произве-
дений напряжений и проводимостей соответствующих ветвей; ХЛ —
алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях; 0К = ——
Як
проводимость к-й ветви цепи, равная величине, обратной ее сопро-
п
тивлению; ^СК — сумма проводимостей всех ветвей.
При расчете электрических цепей по методу узлового
напряжения задаются условным положительным направлением указанного
напряжения, рассчитывая его по соответствующей формуле. При
этом определяют проводимости всех ветвей, выбирая условные
положительные направления токов в ветвях.
При определении токов в параллельных ветвях для
соответствующих замкнутых контуров выбирают направления обхода контура
и составляют уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом
ЭДС, напряжения и токи источников тока принимаются
положительными, если они направлены по направлению обхода контура,
и отрицательными, если они направлены против направления его
обхода.
При отсутствии в электрической цепи источников тока процесс
расчета существенно упрощается. При этом выражение для
определения напряжения, действующего между двумя узлами, приводится
к виду
Х^к + Х^А
При заданном условном положительном направлении
напряжения 1/П9 действующего между узлами 1 и 2 (рис. 1.5.1, а), ЭДС
36

а) б)
Рис. 1.5.1
в замкнутом контуре, образованном из соответствующей ветви и
замыкающего напряжения 11п, при обходе контура по заданному
положительному направлению принимается со знаком «+», если
совпадает с направлением обхода, а если не совпадает —со знаком
«-». Напряжения, не совпадающие при обходе соответствующего
контура с направлением напряжения между узлами 1/п,
принимаются со знаком «-», а совпадающие — со знаком «+».
Знаки в расчетной формуле не зависят от направления токов
в ветвях электрической цепи.
С учетом этого выражение для напряжений между узлами 1 и 2
цепи записываем в следующем виде:
ц _ ЕХС\ - Е2Ог + ^з^з
12 Ох + 02 + Съ + (?4
Для расчета токов в ветвях электрической цепи составляют
замкнутый контур, состоящий из рассматриваемой ветви цепи,
замыкаемой напряжением 1/п между узлами, с учетом действительного
его направления. Расчетная схема ветви с резистором Л, и ЭДС Е}
приведена на рис. 1.5.1, б. Задавшись условным положительным
направлением обхода полученного таким образом контура, например,
по часовой стрелке (направление обхода показано пунктирной
стрелкой), записывается с учетом знаков уравнение, составленное по
второму закону Кирхгофа; Ех = Я]1}+ 1/п, отсюда определяется
величина тока /, в данной ветви цепи. Аналогичным образом
определяются токи в других ветвях электрической цепи.
Литература. [1] § 1.14, [2] § 1.13.
Примеры решения задач
1.26. Для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.26)
определить, при какой величине ЭДС Еъ ток /3 ветви резистора Л3
уменьшится в 3 раза по сравнению с его первоначальным значением?
37

А 1
П*01 4»Г|\
Ф ,<а
\*П И72»
2
Рис. 1.27
ЭДС источников питания Я, = 100 В; Е2 = 120 В; Е3 = 150 В,
сопротивления резисторов: Л, = 20 Ом; К3 = 100 Ом; К4 = 60 Ом,
внутренними сопротивлениями источников питания пренебречь.
Решение. В соответствии со вторым законом Кирхгофа
напряжение, действующее между узлами 1 и 2 электрической цепи,
1/п = Е2 = 120 В. Ток /, в ветви резистора К3 для первоначальных
условий определяется из выражения, записанного для данной ветви по
второму закону Кирхгофа: Е3 = (7,2 + К313, откуда 1Ъ = (2^ - И\2)/К3 =
= (150-120)/100 = 0,ЗА.
Величина ЭДС Е3, при которой ток Г3 в цепи резистора К3
уменьшается в 3 раза, определяется из полученного ранее
преобразованного выражения для ЭДС Е3: Е3 = 1/п + К3Г3 = 120 - Ю0Г3.
В соответствии с условием Г3 = 13/Ъ = 0,3/3 = 0,1 А, откуда Е3 = 120 +
+ 100 • 0,1 = 120 + 10 = 130 В.
1.27. Два источника постоянного тока с ЭДС ^, = ^2= 115 В
и внутренними сопротивлениями К0] = 0,2 Ом и К02 = 0,4 Ом
включены параллельно на нагрузку Л„ = 5 Ом (рис. 1.27). Определить токи
7, /,, 12 в ветвях электрической цепи и составить баланс мощностей.
Решение. Проводимости ветвей электрической цепи:
0} = 1/К0] = 1/0,2 = 5 См; Он = 1/Лн = 1/5 = 0,2 См;
С2=1/До2 = 1/0,4 = 2,5 См.
Узловое напряжение, действующее между узлами 1 и 2 цепи:
ЕхОх +Е2С2 115.5 + 115.2,5
#12 =■
112 В.
Ои + Сх + 02 0,2 + 5 + 2,5
Принимаем положительные направления токов в ветвях в
соответствии с рис. 1.27. По второму закону Кирхгофа для ветви
генератора с ЭДС Ех можно записать следующее уравнение
электрического равновесия: 1/п + Л01/, = Еь откуда
/1
• щ2
^01
= (Ех - (/„)(?! = (115-112)5 = 15 А.
38

Аналогично записывают уравнение для ветви с ЭДС Е2 для
определения тока:
г Ег-11п
Л>2
• = (Е2 - #12)(72 = (115 -112)2,5 = 7,5 А.
Ток в цепи резистора Л„ в соответствии с законом Ома: /3 = 11]2/Рн =
= 112/5 = 22,4 А. Сумма мощностей Р} и Р2, развиваемых
источниками питания, принята равной сумме мощностей нагрузки Д, и
потерь мощностей Р0] и Р02 в источниках:
Рт + Р<>2 + Рн = Рх + Ръ т.е. ДК0^Р2К(П^Р2КН = Е11} + Е2129
152-0,2 + 7,52-0,4 + 22,42-5 = 115-15 + 1152-7,5,
откуда 2587,5 Вт = 2587,5 Вт (баланс мощностей соблюдается).
1.28. Электромашины постоянного тока (рис. 1.28), работающие
в режиме генератора, включены параллельно и работают на сеть
с нагрузкой Лн = 0,1Ом. Один генератор развивает ЭДС ^ = 206
и имеет внутреннее сопротивление К0} = 0,01 Ом, второй генератор —
ЭДС Е2 = 22 В и внутреннее сопротивление Ло2 = 0,01 Ом. Определить
значения и направление токов /, — /3 в ветвях, а также напряжение V
на зажимах генераторов.
Решение. Напряжение на зажимах генераторов, включенных
параллельно:
„1 ^ 1 ,п 1 лл 1
Е\ — +Е2— 20тт7 + 22-
ц =*ЕС = ЕхОх + Е202 _ ^ д01 2 Др2 = 0,01 0,01 _ 4200
ЪО Ох + 02 + Он _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _!_
210
= 20 В.
1111
Кох + Дог + *н 0,01 ' 0,01 0,1
Определяем токи в ветвях исходя из уравнений, составленных по
второму закону Кирхгофа: Ех = 11-ьК0Х1ь откуда
Л =
Ег-Ц 20-20
^01
откуда 12 =
= 0; ^=#+1^2,
0,01
Е2 - V 22-20
Лог 0»01
При заданном соотношении ЭДС 2Г, и Е2
вся нагрузка приходится на второй
генератор, так как первый генератор при этом
работает в режиме холостого хода (/, = 0).
Исходя из уравнения, записанного по
первому закону Кирхгофа для узла 1 цепи,
находим ток в цепи нагрузки: /3 = /, + /2 =
= 0 + 200 = 200 А. Из условия обеспечения
равенства ЭДС генераторов при
одинаковой нагрузке: /1 = /2 = /3/2 = 200/2= 100 А
находим: Ех = 17+ ^7, = 20 + 0,01 -100 = 21 В;
Е2=Ц+ До2/2 = 20 + 0,01 • 100 = 21 В. При этом
Е, = Е2 = 21В.
= 200 А.
%
Ф*1
П*
%[]
-ф
Рис. 1.28
39

/,А
16
12
8
4
О
-2
Рис. 1.29
Иг
\\д
1 2
3
ЯН90м
б)
Следовательно, для обеспечения одинаковой нагрузки
генераторов необходимо изменить токи их возбуждения, с тем, чтобы ЭДС
первого из них повысилась, а другого — понизилась на 1 В.
1.29. Определить, при каком сопротивлении нагрузочного
резистора Кн и токе нагруз!си /, аккумуляторной батареи, включенной
в электрическую цепь рис. 1.29, а, батарея начнет разряжаться, если
ее ЭДС Е} = 8 В? ЭДС источника питания Е2 = 10 В, его внутреннее
сопротивление Л02 = 0,5Ом, сопротивление резистора Л, =0,5 Ом.
Решение. Напряжение между узлами электрической цепи
11 =
п 1 ^ 1
Е\ — + Е2 -г—
^1 ^02
1 1
80,5+1°0,5 _ 36ЛН
Ши
1
_1_ _1_ _1_ _[_ 4Д„ +1
*1 Я02 Ян 0,5 0,5 Ян
2ЯИ + 0,5
По закону Ома для участка цепи ток в ветви нагрузочного резистора Д,:
т _ У _ 18
Ян 2ЯЦ + 0,5 "
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для
узла разветвления цепи, ток в ветви источника питания: 12 = 1-Ц.
Токи аккумуляторной батареи /, и источника питания 12 с ЭДС Е^
связаны между собой уравнением, составленным по второму закону
Кирхгофа для левого замкнутого контура цепи: Е2-Е} = -К^ + Л^Л»
отсюда 12 = (Е2- ЕХ-^КХ1Х)/К02.
Ток /, в ветви аккумуляторной батареи находят в результате
совместного решения представленных выше уравнений для токов:
или / =
/ =
18
_18
2ЯН + 0,5
= /1 +
Е2 - Ех + К\1Х
^02
= /1 + /2
2ЯН + 0,5
= /,+
10 - 8 + 0,5/!
0,5
отсюда 1Х =
2ЯН + 0,5
-2.
40

По данным полученных расчетов на рис. 1.29, б построены кривые
зависимостей /, /„ 12 (Лн), из которых видно, что при сопротивлении
нагрузочного резистора Лн<2 0м ток /, имеет направление,
совпадающее с его направлением на схеме (аккумулятор разряжается). При
сопротивлении резистора Кн>2 0м ток изменяет свое направление
(аккумулятор заряжается). При токе 1> 12 аккумулятор разряжается.
§ 1.6. Метод наложения токов
Метод наложения токов (метод суперпозиции) применяется для
расчета сложных электрических цепей постоянного тока с
несколькими источниками энергии. Наиболее целесообразно применять его
при небольшом числе источников. По сравнению с другими
методами он имеет преимущества в тех случаях, когда не требуется полный
расчет цепи, а можно ограничиться, например, только определением
токов на участках электрической цепи с источником питания. Метод
наложения заключается в том, что воздействие нескольких
источников питания (ЭДС и напряжений) на электрическую цепь можно
рассматривать как результат воздействия на нее каждого из
источников независимо от воздействия других источников, имеющихся в
данной электрической цепи. При этом в каждой из ветвей
электрической цепи ток определяется как алгебраическая сумма токов,
вызываемых в ней действием каждого из источников. В процессе
расчета по методу наложения рассматриваемая электрическая цепь
с несколькими источниками ЭДС и напряжений заменяется
расчетными электрическими цепями с одним источником, число которых
равно числу источников, действующих в электрической цепи.
Другие источники питания, кроме рассматриваемого, при этом
закорачиваются, т. е. удаляются из цепи. В результате расчета каждой из
этих преобразованных цепей определяются частичные токи от
действия данного источника. Значение действительных токов ветвей
определяется алгебраическим суммированием частичных токов в этих
ветвях. Применительно к исходной электрической цепи (рис. 1.6.1, а),
а) б) в)
Рис. 1.6.1
41

на которой предварительно нанесены положительные направления
токов в ветвях, на рис. 1.6Л,б, в приведены расчетные
электрические цепи для частичных токов от действия ЭДС Е} и Е2. При расчете
этих цепей определяются частичные токи во всех ветвях. С учетом
направления частичных токов и токов в ветвях исходной
электрической цепи определяют действительные токи в ветвях
рассматриваемой цепи путем наложения (алгебраического суммирования)
частичных токов в ветвях: /] = /(-1"\ 12 = Г2- Г2\ Ъ = 1'ъ +/?.
Литература. [1] § 1.14; [2] § 1.15; [3] § 3.2-3.6.
Примеры решения задач
1.30. Определить ток / в электрической цепи постоянного тока
(рис. 1.30, а), а также диапазон изменения сопротивления резистора К
для зарядки аккумуляторной батареи до ЭДС Е2 = 16 В в конце
зарядки при неизменном токе нагрузки цепей. Сопротивление
резистора К = 4 Ом, ЭДС генератора ^ = 36 В, внутреннее сопротивление
До, = 0,3 Ом, ЭДС аккумуляторной батареи в начале зарядки Е2 = 12 В,
внутреннее ее сопротивление ^02 = 0,01 Ом. Задачу решить методом
наложения.
Решение. Ток в цепи резистора Л при ЭДС Е2 = 0 (рис. 1.30, б)
по закону Ома для всей цепи:
Г = Ех = 36 = — = 8 35 А
Я01+Я + Я02 0,3 + 4 + 0,01 4,31
Ток в ветви резистора К при ЭДС 2^ = 0 (рис. 1.30, в):
Е2
/" =
_1^_ = Л. = 2,09А.
03 + 4 + 0,01 4,31
Кц\ + Я + Яо2
Ток в электрической цепи при наличии обоих источников
питания: /=/'- /" = 8,35 -2,09 = 6,26 А.
Сопротивление электрической цепи в начале зарядки
аккумуляторной батареи при токе 7=6,26 А:
к =
1 6,26 6,26
Сопротивление нагрузочного резистора в начале зарядки
батареи: К' = К'п - (К0] + Д02) = 3,85 - (0,3 + 0,01) = 3,85 - 0,31 = 3,75 Ом.
42
Рис. 1.30

Сопротивление электрической цепи в конце зарядки
аккумуляторной батареи при токе 7=6,26 А:
ЛГ =
Ех -Е2 36 - 16
20
= 3,2 Ом.
/ 6,26 6,26
Сопротивление нагрузочного резистора в конце зарядки
аккумуляторной батареи при токе 7 = 6,26 А: Л" = К^- (Л^ + К02) = 3,2 - (0,3 +
+ 0,01) = 2,89 Ом.
Диапазон изменения сопротивления нагрузочного резистора при
заданных условиях: КЯ=К'/К" = 3,75/2,89= 1,3.
§ 1.7. Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора (метод активного
двухполюсника, или метод холостого хода и короткого замыкания) применяют
при определении тока, напряжения или мощности в одной из
ветвей сложной электрической цепи, так как он значительно
сокращает вычисления, связанные с решением системы уравнений со
многими неизвестными, что характерно для некоторых других методов.
Сущность метода эквивалентного генератора заключается в том,
что любая электрическая цепь с одним или несколькими
источниками питания может быть представлена в виде активного
двухполюсника АД с этими источниками питания и ветви электрической
цепи с сопротивлением К, подключенной к его зажимам,
напряжение V и ток / в которой нужно определить (рис. 1.7.1, а).
Нетрудно видеть, что включение в цепь этого двухполюсника
последовательно с сопротивлением К двух одинаковых источников
Е0 = Е,0 противоположной полярности с одинаковыми внутренними
сопротивлениями /?о = 0 (рис. 1.7.1,5) не нарушит режима работы
электрической цепи (рис. 1.7.1, д), при этом ток / в этой цепи
остается равным току исходной цепи, так как в этом случае Е$ и Е'0
О"
АД
о-
1 ^Л 1
\ «т^
а)
■е-
Рис. 1.7.1
43

взаимно компенсируют друг друга. Электрической цепи (рис. 1.7.1, б)
можно дать и несколько иное обоснование. Каждая из ЭДС Е0 и Е'0
обусловливает наличие тока /0 и Г0 в ветви с сопротивлением Л Так
как Е0 и Е'0 включены последовательно в электрическую цепь с
противоположной полярностью, обусловленные ими токи /0 и Г0
направлены встречно и компенсируют друг друга.
При этом результирующий ток в цепи К (рис. 1.7.1,5) в
соответствии с принципом наложения окажется равным: 1=1+10-Г0.
В этом уравнении ток /обусловлен результирующим действием всех
источников ЭДС и напряжений, имеющихся в активном
двухполюснике. Ток 10 обусловлен действием только ЭДС Е0, включенной
согласно с током /, поэтому в полученном уравнении для тока он имеет
знак «+», а ток — Г0 обусловлен действием ЭДС Е'0, включенной
встречно с током I, поэтому в уравнении для тока он имеет знак «-».
Значение тока /0 зависит от ЭДС источников Е0 = Е'0. При
некотором значении Е0 ток /0 численно равен току /. Значения обеих ЭДС
Е0 = Е,0 принимаются равными тому их значению, при котором /0 = /.
В соответствии с изложенным от результирующего воздействия
всех источников, входящих в состав активного двухполюсника АД,
совместно с источником-ЭДС Е0, включенным встречно току /, ток
в ветви сопротивления К окажется равным (/-/0) = 0, так как
согласно условию 10 = 1.
Таким образом, все источники активного двухполюсника АД
(рис. 1.7.1, б) оказываются полностью скомпенсированными ЭДС Е'0,
включенной встречно с током / в ветвь, и активный двухполюсник
при этом может уже рассматриваться как пассивный двухполюсник
ПД (рис. 1.7.1, в) с удаленными из активного двухполюсника
источниками, на входе которого действует только ЭДС Е0, включенная
согласно с током /. В результате эту реальную электрическую цепь
(рис. 1.7.1, а) можно заменить эквивалентной ей электрической цепью
(рис. 1.7.1,г). При этом ток /в ветви с сопротивлением К,
обусловленный этой ЭДС Е0, равной эквивалентной ЭДС Еэк,
определится в соответствии с законом Ома для всей электрической цепи
(рис. 1.7.1, в):
/ = / = Е° = ^эк = ^°
Я + Яэк Я + Яэк Я + Лэк
а напряжение I/ для участка этой цепи: 11= Ш,
где 110 = Еэк — напряжение холостого хода эквивалентного
генератора, равное эквивалентной ЭДС ЕЭК9 определяется из исходной
электрической цепи (см. рис. 1.7.1, в) в режиме холостого хода при
отключенном сопротивлении ветви К (рис. 1.7.1, г); Л,к —
эквивалентное сопротивление двухполюсника, равное входному его
сопротивлению (определяется из электрической цепи пассивного
двухполюсника в режиме короткого замыкания при закороченных источниках
питания активного двухполюсника).
44

а> б) в)
Рис. 1.7.2
Для электрической цепи (рис. 1.7.2, а) напряжение 1/п,
действующее между узлами 1 и 2 цепи (рис. 1.7.2, б), определяют в режиме
холостого хода при отключенном резисторе К как разность
потенциалов соответствующих точек 1/п = ф] - ф- Условно принимая
потенциал точки 0 цепи <ро = 0, потенциал точки 1 определится как падение
напряжения ср, = Л,/,. Аналогично находят и потенциал точки 2 цепи:
Фг = К212. Отсюда напряжение Ц2, равное эквивалентной ЭДС: 11п = Я}1Х -
- К212 = Еж. Входящие в это выражение токи определяют из равенств:
/д= Е ; 1а= Е
К\ + /?з Я2 + Я^
так как сопротивления Кх и К3, так же, как и сопротивления К2
и Л4, в схеме рис. 1.7.2, б включены последовательно. Принимая
внутреннее сопротивление источника ЭДС Е равным нулю, из
схемы рис. 1.7.2, в находят эквивалентное сопротивление электрической
цепи относительно узлов 1 и 2 цепи. При этом цепь состоит из двух
участков, каждый из которых имеет два параллельно включенных
резистора. Поэтому
К\ + /?з ^2 + /?4
Ток в цепи резистора Л определяют из уравнения,
составленного по закону Ома для всей цепи: /= Дж/Дж + &
Литература. [1] § 1.14; [2] § 1.17.
Примеры решения задач
1.31. Методом эквивалентного генератора определить показание
вольтметра V в электрической цепи с активным двухполюсником АД
(рис. 1.31, а), если переключатель П находится в положении 3.
Показания приборов (вольтметра К и амперметра А) для различных
положений переключателя П приведены в табл. 1.3.
Решение. Положение 1 переключателя соответствует режиму
холостого хода активного двухполюсника АД, который заменяем
45

й
Дж
Ф"
б)
ф
в)
Рис. 1.31
Таблица 1.3
Положение
переключателя П
1
2
3
Показания приборов
17, В
500
0
ЛА
0
250
100
эквивалентной электрической цепью (рис. 1.31, б). При этом
напряжение холостого хода равно эквивалентной ЭДС генератора: Еэк =
= {У0 = 500 В.
Положение 2 переключателя П соответствует режиму короткого
замыкания эквивалентного генератора (рис. 1.31,*). При этом ток
короткого замыкания 1К = ЕЖ/КЖ9 откуда Лэк = Е^1К = 500/250 = 2 Ом.
Положение 3 переключателя П соответствует режиму нагрузки
электрической цепи (рис. 1.31, г).
При этом ток в цепи:
/ =
кэк + к
п Яэк-Дэк/ 500-2-100 „
откуда К = ——— = = 3 Ом.
* / 100
Показание вольтметра в положении 3 переключателя П: 1/=К1=
= 3-100 = 300 В.
1.32. Определить показание вольтметра V в электрической цепи
(рис. 1.32, а) в положении 1 переключателя П. Сопротивление рези-
46

®^1
Рис. 1.32
Таблица 1.4
Положение
переключателя П
1
2
3
Показания приборов
17, В
0
162
/,А
0
18
4,5
стора Л=36 0м, показания амперметра А и вольтметра К для
положений 2 и 3 переключателя приведены в табл. 1.4.
Решение. Положение 1 переключателя П соответствует
режиму холостого хода эквивалентного двухполюсника АД (рис. 1.32, б).
При этом напряжение холостого хода равно ЭДС эквивалентного
генератора: Еэк= 110. Положение 2 переключателя соответствует
режиму короткого замыкания двухполюсника (рис. 1.32, в). При этом
ток короткого замыкания по закону Ома для всей цепи:
/К = ЯЭ1/КЭК=18А, откуда Дэк=Яэк/18.
Положение 3 переключателя соответствует рабочему режиму
электрической цепи (рис. 1.32, г).
В соответствии со вторым законом Кирхгофа:
Дж - ^Э|/+ Я/, /{« =
Еж - Д/
или с учетом выражения для тока короткого замыкания:
^эк = *эк - *4,5
18 4,5
-, откуда ЯЭК = ЗД= 3-36 = 216В.
47

1
1
Рис. 1.33
1.33. Методом эквивалентного генератора определить ток /5 в
диагонали моста рис. 1.33, а. Сопротивление резисторов: Л, = 20 Ом;
К2 = 40 Ом; /?3 = 30 Ом; К4 = 10 Ом; Л5 = 50 Ом, ЭДС источника
питания #=120 В.
Решение. Токи в плечах моста (рис. 1.33, б) при разомкнутой
ветви 1—2 цепи по закону Ома для всей цепи:
1\ =
/2 =
Ях + Я2
Е 120
120 120 - А
= — = 2 А;
20 + 40 60
Д3 + Л| 30 + 10
= И = ЗА.
40
Напряжение холостого хода при разомкнутой ветви 1—2 цепи
(принимаем потенциал точки 3 цепи равным нулю (ср3 = 0): [70= {/12 =
= Ф, - ф2 = 80 - 30 = 50 В, где ф, и ф2 — потенциалы точек 1 и 2 цепи:
ф1 = ОД = 40 • 2 = 80 В; фз = К412 = 10 • 3 = 30 В.
Для определения сопротивления Кэк эквивалентного генератора
вводим в схему источника питания ЭДС Е0, равную по величине
и противоположную по знаку напряжению холостого хода Ц0 = Е0= 1/п
(рис. 1.33, в), и приводим ее к виду рис. 1.33, г. При этом:
Дмс -
я{я2
*3*4
Я1+Я2 Яз+Яа 20 + 40 30 +10
20 • 40 30 • 10 1,, 0 - с ™ 0 Л
+ = 13,3 + 7,5 = 20,8 Ом.
48

Ток в диагонали моста:
-Е0
/5 =
50
= -0,71 А.
Кэк + К5 20,8 + 50
Этот ток направлен от точки 1 к точке 2 цепи, так как у} > ф2.
1.34. Методом эквивалентного генератора определить показания
амперметра А в электрической цепи (рис. 1.34, а). Сопротивления
резисторов: Д, = 10м; Л2=10м; Л3 = 2 0м; Л4 = 3 0м; Д5=1,25 0м,
ЭДС источника питания 1?=120В, внутреннее сопротивление
источника До = 2 Ом.
Решение. Напряжение между узлами 1 и 2 при разомкнутой
ветви 3—4 цепи (рис. 1.34, б):
Е_ 1
Еб0 Кр 120Т 60
#12 =
1
1
С0 + С1 + Съ ±_ + ш
Ко (К{ + К2) (К2 + Ка)
2_=™=50В;
1.1.1 1,2
— + — +
2 2 5
токи в ветвях цепи
^12
/1 =
= ^ = 25А;/2=-^- = ^-
К{+К2 1 + 1 К3 + Л| 2 + 3
= 10 А.
Напряжение холостого хода при разомкнутой ветви 3—4 цепи:
1/0= {7з4 = Фз-ф4 = 25-30 = -5В, где ф3 и ф4 — соответственно
потенциалы точек 3 и 4 цепи: ф3 = Л2/, = 1 • 25 = 25 В; ф4 = КА12 = 3 • 10 = 30 В.
Вводим в схему источник питания с ЭДС Е0, равной по величине,
но противоположной по знаку напряжению холостого хода 1109
в)
Рис. 1.34
49

*о
До
+ я{ + л2
*&
+ 7?! + К2
ЯоЯ2
2 + 1 + 1
Ы
2 + 1 + 1
2-1
и приводим ее к виду (рис. 1.34, в). Сопротивление лучей
эквивалентной звезды:
^1=_Мо—= _Ь2_=2=0,5Ом;
Д,2 = —^— = _1_^_ = 1 = о,25 Ом;
****** " ' * ' * 4
1мм2 = ^^_ = А = 0,5Ом.
Ло + *1 + Л2 2 + 1 + 1 4
Эквивалентные сопротивления участков электрической цепи
(рис. 1.34, г): К6 = КЭ} + Л3 = 0,5 + 2 = 2,5 Ом; Л7 = Лэ2 + Л5 = 0,25 +
+1,25 = 1,5 Ом; Л8 = Лэ3 + К* = 0,5 + 3 = 3,5 Ом; Л, = ЛбЛ8/(Лб + Д8) = 2,5 х
х 3,5/(2,5 + 3,5) = 8,75/6 = 1,46 Ом. Отсюда Л*=Л7 + Л, = 1,5 +1,46 =2,96 Ом.
Ток в цепи амперметра:
^ = _*р_ = _^_ = _2_ 69 д
Дэк Д7 + *8 ^ + *>46 2»96
Здесь: 1?0 = Ц0 = 2^.

Глава 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 2.1. Основные сведения о нелинейных
электрических цепях
К нелинейным электрическим цепям постоянного тока
относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления,
обладающие нелинейными вольт-амперными характеристиками 1(11),
т. е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нелинейному
сопротивлению напряжения.
Различают неуправляемые нелинейные сопротивления (лампы
накаливания, газотроны, бареттеры, полупроводниковые диоды и т. д.),
которые характеризуются одной вольт-амперной характеристикой,
и управляемые (многоэлектродные лампы, транзисторы, тиристоры
и др.), которые характеризуются семейством вольт-амперных
характеристик.
Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока обычно
осуществляют графоаналитическим методом. При этом можно
использовать и аналитический метод расчета, который, однако,
достаточно сложен. Для выполнения расчета нелинейных
электрических цепей должна быть известна вольт-амперная характеристика
соответствующего нелинейного сопротивления, представленная в виде
графика или таблицы.
При расчете электрических цепей с последовательным включением
нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений К] и К2
(рис. 2.1.1) вольт-амперные характеристики соответствующих
сопротивлений 1у(Щ и 12(Щ представляются в общей координатной
системе и по ним строится общая вольт-амперная характеристика
1(11) всей нелинейной электрической цепи (рис. 2.1.2), абсцисса
каждой из точек которой при заданном токе / (заданной ординате)
находится как сумма соответствующих падений напряжения
(1/= I/, + Щ на этих сопротивлениях .К, и Къ поскольку при
последовательном соединении по сопротивлениям протекает один и тот же
ток / цепи. Таким образом, по общей вольт-амперной
характеристике 1(1/) нелинейной цепи при заданном значении напряжения I/
и последовательном соединении сопротивлений легко определяют
ток / в нелинейной цепи, а по заданному току / находят
напряжение [/, подводимое к нелинейной цепи, и напряжения С/, и 1/2 на
каждом из последовательно соединенных сопротивлений.
4* 51

к(Ц)
Рис. 2.1.1
Рис. 2.1.2
При параллельном соединении нелинейных (или линейных и
нелинейных) сопротивлений Л, и К2 (рис. 2.1.3) также строят общую
вольт-амперную характеристику 1(11) нелинейной электрической
цепи (рис. 2.1.4). При этом ординату каждой из точек общей вольт-
амперной характеристики при заданном подводимом к цепи
напряжении I/ (заданной абсциссе) определяют как сумму токов в цепях
соответствующих сопротивлений (/=/1 + /2), так как при
параллельном соединении на всех сопротивлениях действует одно и то же
напряжение К Следовательно, при параллельном включении
сопротивлений по общей вольт-амперной характеристике 1(1/) и
заданном значении напряжения I/ нетрудно определить и ток / в
нелинейной электрической цепи. При заданном общем токе / также
легко определить и напряжение I/, подводимое к данной
нелинейной электрической цепи, и токи /, и /2, протекающие в цепи
каждого из параллельно соединенных сопротивлений.
/
т
1 1
Т
(
А
,«Ц)
1 / /Н13)
1 ~/ ~т /л
Ч[у^
^ ►
Ж / 2
{
<Г
^
\/
\
V
Рис. 2.1.3
Рис. 2.1.4
52

Следует отметить, что изложенная
методика расчета нелинейных
электрических цепей при последовательном
и параллельном соединении
сопротивлений справедлива для любого числа
сопротивлений, включенных в цепь
последовательно или параллельно.
При расчете нелинейных
электрических цепей со смешанным (последователь- Рис. 2.1.5
но-параллельным) соединением
нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений (рис. 2.1.5) строят
вольт-амперную характеристику 1(1/х) параллельного участка цепи; при
этом образуется нелинейная электрическая цепь с последовательным
соединением сопротивлений, для которой строится общая
вольт-амперная характеристика 1(11) с учетом того, что подводимое к цепи
напряжение II при данном токе цепи / равно сумме напряжений на
параллельном (7, и на последовательном Ь2 участках цепи ((7= I/, + Щ.
Литература. [1] § 1.16; [2] § 1.20, 1.21; [3] § 6.2.
Примеры решения задач
2.1. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 2.1, а) содержит
источник ЭДС .#=100 В, сопротивления: Л, = 80 Ом; Д2=160Ом;
Л3 = 40Ом; Д, = 80Ом и нелинейное сопротивление Л5>
вольт-амперная характеристика которого 15(112Ъ) приведена на рис. 2.1,6.
Определить ток 15 в ветви нелинейного сопротивления Л5-
Решение. В соответствии с методом эквивалентного генератора
рассматриваем данную электрическую цепь в режиме холостого хода
при разомкнутой цепи нелинейного сопротивления Л5 (Рис- 2.1, в).
По методу контурных токов определяем контурные токи 1и и 1п
в электрической цепи (рис. 2.1, в). При этом, задавшись условным
положительным направлением контурных токов, в соответствии
с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа для правого
замкнутого контура цепи рис. 2.1, в, имеем: (Л, + К2 + Л*)/п - Л2/22 = 0>
или (80+ 160 + 80)/п- 160/22 = 0. То же самое для левого замкнутого
контура: Е=(К2 + К3)122-К21и, или 100 = (160 + 40)/22- 160/,,.
В результате совместного решения полученных уравнений
определяют контурные токи: /П = 5/12А; 1^ = 5/6 А.
ЭДС эквивалентного генератора при отключенном нелинейном
сопротивлении Л5, равную напряжению холостого хода (Еэк = Щ,
находят из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа
для соответствующего замкнутого контура цепи рис. 2.1, в:
К - Д3/22 - ***" = ° или и* = К*1* + ^7» = 4°- + 80~ = 66>7 в>
6 12
т.е. ЯЭК=(7Х = 66,7В.
53

/,А
2,0
1,0
1
к
\
Ы
у
У
%&к\
40
80
б)
Я2
Я.
120 К,В
ОЗ
А
4
Цз»Ц|
■Ю2
г;
*
Рис. 2.1
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Лэк
относительно точек 2 и 3 цепи при отключенном нелинейном
сопротивлении К5 и закороченном источнике ЭДС Е (рис. 2.1, г):
Дэк =
^0^1 =
Во + Я{ 112+80
112-80 112-80
192
= 46,7 Ом,
п Я2Я3 п 160-40 ОЛ 11Л~
где Во =—^- + /?4= ——- + 80 = 112 Ом.
Д2 + Я3
160 + 40
Записав уравнение, составленное по второму закону
Кирхгофа для электрической цепи с эквивалентным генератором
(рис. 2.1, д), получим выражение, связывающее ток 15 в цепи
нелинейного сопротивления К5 с напряжением {/2з> действующим
на его зажимах:
Еж = К, + Л«/< или /5 =
эк*5
#23
, т.е./,<%).
54

Вместе с тем зависимость тока /5 от напряжения 1/^ выражается
и вольт-амперной характеристикой /5(^2з) нелинейного
сопротивления К5 (рис. 2Л,б).
С учетом того, что при постоянном значении эквивалентной
ЭДС Еэк и эквивалентного сопротивления Лэк, что имеет место в
данном случае, зависимость, представленная приведенным выше
уравнением для тока, является линейной, ее можно построить по
двум точкам, соответствующим режиму холостого хода и режиму
короткого замыкания, эквивалентного генератора, так как в режиме
холостого хода ток 15 = 0 и напряжение 1/23 = Еж (точка 2 на рис. 2.1, б).
В режиме короткого замыкания Ц^ = 0, а ток /5 = Дж/Дис = 66,7/46,7 =
= 1,43 А (точка 1). Построив указанную линейную зависимость /5(^з)
в общей координатной системе с вольт-амперной характеристикой
Л(^гз) (Рис- 2.1, б)у получим искомые напряжение 1/23 и ток 15 в
цепи нелинейного сопротивления К5 как соответствующие координаты
точки пересечения указанных зависимостей: /5 = 0,27А; *723 = 54В.
2.2. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.2, а)
включено нелинейное сопротивление К5. Определить ток 15 в нелинейном
сопротивлении и напряжение 1/]Ъ действующие между точками 1
и 2 цепи. Вольт-амперная характеристика нелинейного
сопротивления К5 (кривая 3) приведена на рис. 2.2, б. ЭДС источника питания
Е= 90 В, сопротивления резисторов: Л, = 15 Ом; К2 = 45 Ом; К2 = 43 Ом;
Л4 = 45 0м.
Решение. Используя метод эквивалентного генератора,
определяем напряжение 1/]Ъ действующее между точками 1 и 2
электрической цепи в режиме холостого хода при отключенном
нелинейном сопротивлении Л5 (Рис- 2.2, а).
Ток в ветви резистора К} при отключенном нелинейном
сопротивлении Л5 (выключатель В выключен):
/, = Е/(КХ + К,) = 90/(15 + 45) = 1,5 А.
Ток в ветви резистора К2 при отключенном нелинейном
сопротивлении Л5:
/2 = Е/(К2 + КА) = 90/(45.+ 45) = 90/90 = 1 А.
I
а)
0,5 1 1,5 /,А
б)
в)
Рис. 2.2
55

ЭДС эквивалентного генератора Еж определяют при
отключенном нелинейном сопротивлении К5. По второму закону Кирхгофа из
уравнения электрического равновесия, составленного для внешнего
замкнутого контура электрической цепи (рис. 2.2, а):
11Х = К212-КХ1Х = 0 или #х = 45-1 - 15-1,5 = 22,5 В,
откуда Еэк = 1/х = 22,5 В.
Внутреннее сопротивление Кэк эквивалентного генератора
относительно точек 7 и 2 электрической цепи рис. 2.2, а, при
закороченном источнике ЭДС Е:
_ад_ + _М5_=_15:41 + Л5:41 = зз750м
Л, + Д3 К2+Я4 15 + 45 45 + 45
В соответствии со схемой замещения рассматриваемой
нелинейной электрической цепи (рис. 2.2, в) исходя из уравнения,
составленного по второму закону Кирхгофа, имеем: \}Х2 + 7?эк75 = Еэк,
отсюда 15 = (Еэк-1/п)/Кэк.
Полученное уравнение представляет аналитическое выражение
зависимости 15(11п)- Поскольку ЭДС Еэк = сот1 и 7?эк = соп81:,
последнее уравнение является уравнением прямой в системе координат /5
и (712 (рис. 2.2, б, точка 7), проходящей через точки с
координатами, которые определяются в режиме холостого хода (при /5 = 0; 1/х = Еж =
= 22,5 В) и в режиме короткого замыкания (1/х = 0), ток /5 = 7?ЭК/7?Э1С =
= 22,5/33,75 = 0,666 А (точка 2).
Ток 15 в цепи нелинейного сопротивления К5 и напряжение 11п
на его зажимах определяют графическим способом как координаты
точек пересечения вольт-амперной характеристики нелинейного
элемента К5 (рис. 2.2, б) с полученной прямолинейной
зависимостью 15(1/\2)' При этом /5=0,45А; {712 = 6,75В.
2.3. Нелинейные сопротивления Кх и 7?2, включенные
последовательно в электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.3, а), имеют
вольт-амперные характеристики I и 77, приведенные на рис. 2.3, б'.
Определить ток I в цепи и напряжения Ьх и 112 на этих
сопротивлениях, если приложенное к цепи напряжение 11= 60 В. В каких
пределах изменится напряжение А11 цепи при изменении тока I от
/1 = 25мА до 72=175 мА?
Решение. Строят общую вольт-амперную характеристику III
указанных двух последовательно соединенных нелинейных
элементов (рис. 2.3, б) исходя из условия, что подводимое к цепи
напряжение II при данном токе I нагрузки равно сумме напряжений на
сопротивлениях 7?, и К2, т. е. 11= 17, + 02,
Ток в цепи при напряжении 11= 60 В согласно зависимости III
определяется ординатой 0—5, соответствующей 12 = 175 мА.
Напряжение на участках цепи находят из графических
зависимостей. При токе 72=175мА /7, = 19 В (абсцисса 5—4), 112 = 41Ъ
(абсцисса 5—3). При токе /, = 25 мА напряжение, подводимое к цепи,
56

ч
и>
V
/,мА
«;
10 20304050 60 70 17, В
Рис. 2.3
в)
11= 22 В. Следовательно, изменение подводимого к цепи
напряжения при изменении тока в заданных пределах согласно рис. 2.3, б
составляет: Д*/=66-22 = 38В.
2.4. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 2.3, в) при
напряжении 11= 30 В включены параллельно нелинейные
сопротивления Л, и К2, вольт-амперные характеристики 1и II которых
представлены на рис. 2.3, б. Определить общий ток / в цепи, токи /, и 12
в ветвях.
Решение. Общая вольт-амперная характеристика IV (рис. 2.3, б)
при параллельном соединении нелинейных сопротивлений
построена сложением токов (ординат) зависимостей I и II при
соответствующем напряжении. Ток нелинейного сопротивления К}
(рис. 23, а) при заданном напряжении 11= 30 В равен ординате 6—7:
/, = 205 мА. Ток нелинейного сопротивления К2 при том же
напряжении 11= 30 В равен ординате 6—8: /2 = 100 мА. Общий ток в нераз-
ветвленной части цепи равен ординате 6—9: /=/, + /2 = 205 + 100 =
= 305 мА.
2.5. Определить токи /, —13 и напряжения I/, и 1/23 на
нелинейных сопротивлениях Кь К2 и Л3 ПРИ смешанном соединении их
в электрической цепи постоянного тока (рис. 2.5, а), если
приложенное напряжение 11= 40 В. Вольт-амперные характеристики /,
// и III нелинейных сопротивлений даны на рис. 2.5, б.
V*
1,мА
01
Г*Г
г
о
^^кГ
ц
*- 6
а)
10 20 30 40 50 60 70 ЦВ
б)
Рис. 2.5
57

Решение. Общая вольт-амперная характеристика IV
нелинейных параллельно включенных сопротивлений К2 — К3 (рис. 2.5,5)
строится сложением токов при одинаковых напряжениях. Затем
строится общая вольт-амперная характеристика V всей цепи для
последовательного соединения нелинейных сопротивлений по
характеристикам I и IV Ток в неразветвленной части цепи: 7, = 165 мА
при напряжении (7= 40 В определяет ордината 4—5, напряжение
1723 = 11,5 В — абсцисса 6—7, а напряжение Цх = 28,5 В —
абсцисса 6—8.
Для определения токов в ветвях проводим через точку 7,
соответствующую напряжению 1/23, прямую параллельно оси ординат.
Пересечение этой прямой с вольт-амперными характеристиками 77
и /// и определяет токи в соответствующих ветвях: 12 = 65 мА;
/3=100мА.
2.6. Определить ток 7а и напряжение 1/л анодной цепи
лампового триода в электрической цепи (рис. 2.6, а) при различных
значениях напряжения 1/с на сетке. Семейство анодных
характеристик триода 7а( 1/а) представлено на рис. 2.6, б. Сопротивление
резистора в анодной цепи КА = 10 кОм, ЭДС источника питания Еа =
= 300 В.
Решение. Анодная цепь триода состоит из последовательного
соединенного нелинейного внутреннего сопротивления Л, и
линейного анодного сопротивления Ла. Поэтому схема замещения цепи
рис. 2.6, а приводится к виду рис. 2.6, в. Анодная характеристика
нелинейного сопротивления К, лампового триода задана.
Необходимо определить зависимость анодного тока 7а от линейного Кл и
нелинейного Л, сопротивлений. Пересечение этих характеристик
позволяет определить параметры анодной цепи.
Для схемы рис. 2.6, а на основании второго закона Кирхгофа
справедливо уравнение электрического равновесия:
^= 14 + ^.7.= (/.+ % или С4 = Яа-Да7а,
откуда 7а =
я*
а)
Уа,мА
30
1
та
'О/й
ч/Л
^
80 160 240 *7а,В
б)
Рис. 2.6
*;
58

Зависимость анодного тока 1а(11а) при #а = соп81 и Ла = соп81
определяют из уравнения:
ял яа
являющегося уравнением прямой в системе координат 1а и 1/а. При
/а = 0: Еа = 1/а = 300В (точка 1 на рис. 2.6,5). При «7а = 0: 1а = Ей/Ка =
= 300/(10 • 103) = 30 мА (точка 5).
На рис. 2.6, 5 нанесена прямолинейная зависимость 1—2, т. е.
нагрузочная характеристика 1а(1/а). Ток в анодной цепи при
напряжении Ц. = -4 В /а=12,2мА (ордината 2—6). Напряжение на
нелинейном сопротивлении при #С=-4В 14=178 В (абсцисса 0—6).
Напряжение на линейном сопротивлении при Ц. = -4В: ^я = ^а-^4 =
= 300 - 178 = 122 В или Ия = Ка1а = 10 • 103 -12,2-10"3 = 122 В.
Аналогично определяют параметры при других значениях
напряжения 1/с на сетке лампового триода.
2.7. Определить внутреннее сопротивление К„ крутизну 5 анод-
но-сеточной характеристики 1а(1/с) и коэффициент усиления \1
лампового триода для точки А прямолинейного участка анодной
характеристики 1а(1/а), приведенной на рис. 2.6,6.
Решение. Внутреннее сопротивление триода,
соответствующее точке А:
я = -д"а
-А/а
; К,=—— = 8-103 Ом = 8кОм.
-5 • 10~3
!#с=сопа •* 1и
Ординаты АВиАС определяют приращение соответственно
анодного тока и анодного напряжения А/а и А1/а. Приращение анодного
напряжения АС= А(7а = -40 В при напряжении на сетке #С = -2В =
= СОП81.
Это обусловливает изменение анодного тока на величину А/а =
= -5мА.
Крутизна анодно-сеточной характеристики лампового триода
5=Л/'
ДУ,
= - = 2,5 мА/В.
1|/а =сопЛ
Изменение анодного тока А/а = 5мА=Аб (рис. 2.6,6)
обусловлено изменением напряжения на сетке А1/с =-2 - (-4) = 2 В при 0а = сога*.
Коэффициент усиления лампового триода:
\1= -
•^ = 20.
/а = сопи
Коэффициент усиления триода можно найти также из
внутреннего уравнения лампы: р, = 57^=2,5-8 = 20.
59

/, мА
6
4
2
О'
к
Г Ру
*"^^Г/
г
А^>
~\в
1
1
_1с
/
20 30 40 и$в
Рис. 2.8
Рис. 2.9
2.8. Для точки ^4 вольт-амперной характеристики 1(Ц)
нелинейного элемента (рис. 2.8) определить статическое К^ и
дифференциальное Лд сопротивления.
Решение. Статическое сопротивление, соответствующее
точке А вольт-амперной характеристики: Лст = II/7= ОС/АС =35/5-10"3 =
= 7-103 = 7кОм. Статическое сопротивление пропорционально
тангенсу угла р, т.е. /?ст = 1§Р/иг, где /иг— масштаб сопротивлений.
Дифференциальное сопротивление, соответствующее точке Л
вольт-амперной характеристики: Ка = тг \% а = ОС/АВ=35/1,75 • 10"3 =
= 20-103Ом = 20кОм. Дифференциальное сопротивление
пропорционально тангенсу угла а.
2.9. На рис. 2.9 приведена электрическая схема газового
стабилизатора напряжения с газоразрядным стабилитроном типа СГ4С.
Определить сопротивление балластного резистора Кб и мощность Рб,
выделяемую на нем, если ток на прямолинейном участке вольт-
амперной характеристики стабилитрона изменяется от
минимального значения 1т]п = 5 мА до максимального /тах = 40 мА. Значение
стабилизированного выходного напряжения 17ВЫХ=150В, а
напряжение на входе <7ВХ = 240В, сопротивление нагрузочного резистора
Лн = 10 кОм.
Решение. Среднее значение тока стабилитрона,
соответствующее рабочей точке:
/Ср = </« + 4ш)/2 = (40 + 5)/2 = 22,5 мА.
Ток в цепи нагрузочного резистора:
/н = #вых/Д„ = 150/10 • 103 = 15 мА.
Напряжение на балластном резисторе исходя из уравнения
электрического равновесия напряжений, составленного по второму
закону Кирхгофа:
откуда #в = ^/=17.-#„ = 240-150 = 90 В.
60

Ток на входе стабилизатора исходя из первого закона Кирхгофа
для точки разветвления:
/= /ст + /н = 22,5 + 15 = 37,5 мА = 0,0375 А.
Сопротивление К6 балластного резистора определяется по
падению напряжения на нем: А/7б = Лб/, откуда
Кб = Д{/б//= 90/37,5 = 2,4 кОм.
Мощность, выделяемая в балластном резисторе: Р6 = РЯ6 =
= 0,03752-2,4-103 = 3,4Вт.

Глава 3
ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
§ 3.1. Способы изображения синусоидальных
функций времени
Синусоидальные функции времени могут быть представлены
тригонометрической формой записи, линейными диаграммами
изменения синусоидальной величины во времени, вращающимися
векторами и комплексными числами.
Тригонометрическая форма записи синусоидально
изменяющейся во времени величины в общем виде представляется выражением
а = Ат&т(Ш+у) = Ат8т'а, где а —мгновенное значение
синусоидальной функции времени; Ат — амплитудное значение
синусоидальной функции времени; со —угловая или круговая частота,
характеризующая скорость изменения фазового угла; / — текущее
значение времени; а = (со/+у) —фаза или фазовый угол (аргумент
синусоидальной функции времени); \|/— начальная фаза (начальный
фазовый угол) (рис. 3.1.1, а).
В соответствии с выражением для мгновенного значения
синусоидальная функция времени во многих случаях изображается в
виде линейной диаграммы — графика изменения соответствующей
синусоидальной функции от времени (от угла со/) .(рис. 3.1.1,5).
Период изменяющейся во времени синусоидальной величины
Т= I// [/— частота синусоидально изменяющейся во времени
величины (число периодов в секунду)]. В электротехнике кроме мгновенных
62
Рис. 3.1.1

и максимальных значений переменных синусоидальных величин
используются действующие и средние значения.
Действующие значения синусоидально изменяющейся ЭДС
напряжений и токов записывают соответственно в виде выражений:
Е = Ет/Л = 0,7072?и; V = Цм/Л = 0,70747.; / = 1т/Л = 0,707/„.
Соответственно, средние значения синусоидально
изменяющихся ЭДС, напряжений и токов:
Еср = 2Ет/п = 0,637Ет; <7ср = 2^/тс = 0,63747т;
/ср = 2/т/тс = 0,637/т.
Синусоидальная функция времени изображается также
вращающимся вектором (см. рис. 3.1.1, а). Длина вращающегося радиуса-
вектора равна амплитуде Ат синусоидальной функции времени, угол
между вращающимся вектором и осью абсцисс для момента
времени /=0 представляет начальную фазу \|/ синусоидальной величины.
Проекция вращающегося радиуса-вектора на ось ординат определяет
мгновенное значение синусоидальной величины.
В электротехнике за положительное направление вращения
векторов принято направление против хода часовых стрелок.
Синусоидальные функции времени а=Атзт(м?1+у)
изображаются также комплексными числами. При этом на плоскости
комплексных чисел (рис. 3.1.2) из начала координат под углом \|/ к оси
действительных чисел (вещественной оси) проводят вектор Ат концу
которого соответствует определенное комплексное число.
Комплексная амплитуда синусоидальных величин определяется выражением
Ат = А„е]* (где е — основание натурального логарифма). Для
действующих значений синусоидальных величин это выражение
преобразуется к виду: 4 = ЛеУу.
С увеличением времени фаза ос=(и>/+\|/) синусоидальной
величины возрастает, при этом угол между радиусом-вектором и осью
действительных величин увеличивается, радиус-вектор
поворачивается на соответствующий угол против хода часовых стрелок. Для
момента времени /, (см. рис. 3.1.1,0) комплексная амплитуда
а действующее значение
Комплексное число представляет
собой сумму действительной и мнимой
частей:
Л = Л'+./Л" = КеА+ДтА,
где Л'— вещественная (действительная)
часть комплексного числа; }А" — мнимая
63
Рис. 3.1.2

часть комплексного числа; Ке и 1т — символы, обозначающие
действительную и мнимую части комплексного числа (КеА=А'; 1тА = А").
Комплексные числа А' +}А" и А\ ±}А'[ считаются равными, если
их действительные и мнимые части равны (А' = А\\ ±}А" = ±}А'[).
В выражении комплексного числа фигурирует также символ
] = 7-1 — мнимая единица, с помощью которого из комплексного
числа выделяется его мнимая составляющая. Умножение вектора А
на множитель у соответствует повороту его на угол, равный я/2
в положительном направлении (против хода часовой стрелки), а
умножение, на -у—повороту в отрицательном направлении (по ходу
часовой стрелки).
Модуль комплексного числа: А = \А | = у/(А')2 + (А")2, а его аргу-
А"
мент \|г = агс1§ -р.
Таблица 3.1
Математические выражения
Мгновенное значение
синусоидальной функции
времени
1. е = Ет 81П со/= 84,6 $ш со/ В
2. е=Етсо& м'/ =
= 84,б8т со/ + | В
( А
3. е = Ет$т\ СО/ ± -Г =
= 84,6 яп со/ ± -| В
4. е= Ем 81П со/ ± -г- =
= 84,б8т[со/±^]в
Формы записи комплексных величин
'«-показательная
Я=Яе* = 60е* =
= 60 В,
здесь у = 0
Я=Яе'2=б0е'2В
Е=Ес±]\=
=60е^ В
Е = Ее* з =
=60^ з В
тригонометрическая
Е = ДС08 \|/ +у ЯП \|/) =
= 60(со8 0+уяп0) =
= 60 В
Е=е1сО&^ +
+ У8Ш^ =
= 60(0+у1)=у60В
^ = ^[008^1
± У 81П — 1 =
= 30(>/з±у)В
Я=я(с08^±
=Ч4*#
=-зо±узо7з =
= (-30 ±./51,9) В
алгебраическая
^ = ^'+^" = 60 В,
Я' = ЯсО8у = 60В,
Е" = Евту = 0
д=Д'+уд*=/бОВ,
Я' = ЯС08-|=0,
Д" = Я81п-|=60В
Е = Е'±}Е" =
= 30(73±У)В,
Д' = ЯС08^ =
о
= зо7зв,
^=^81П-5-=30В
о
Е=Е'±]Ет =
= (-30±у51,9)В,
Я' = Ясо8^-=30В,
3
^=^8Шу-=51,9В
64

Используют три формы записи комплексных чисел.
Алгебраическая (координатная) форма записи комплексного числа:
А=А'+М*.
Сопряженное ему комплексное число имеет противоположный
знак при мнимой части:
А* = А'-]А*.
При этом произведение сопряженных комплексных чисел ААГ =А2
оказывается равным квадрату модуля комплексного числа. При
отсутствии мнимой части комплексного числа: Л=у4'+у'0=Л'. При
отсутствии действительной части комплексного числа: Л = 01/4" =
= ±]А".
Следует заметить, что алгебраическая форма —более
удобная форма записи комплексных чисел при их сложении и
вычитании.
Тригонометрическая форма записи комплексных'чисел является
производной алгебраической формы с учетом того, что
соъу=А'/А, $ту=А"/А; Л=Л(со8\|/+у81п\|0.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел наиболее
удобна при переходе к алгебраической форме записи от
показательной.
Показательная форма записи комплексных чисел является
производной от тригонометрической с учетом того, что в соответствии
с формулой Эйлера
(со8\|/+у*81п\|/) = е/у, А = Аър*,
где еУу — поворотный множитель (показывает, что вектор повернут
относительно вещественной оси в положительном направлении на
угол \|/).
Поворотные множители у и е^ могут быть записаны в
следующем виде:
У = л/1!; И = Р = -1; 1/У = -У/Л-Л = -7; V-] = I
При у = ±я/2 в соответствии с формулой Эйлера
е^ = (с08 | ± ] 81П |) = (0± у!) = ±У,
7х -У*
поэтому е т = у; е т = -у.
Показательная форма записи комплексных чисел оказывается
более удобной формой записи при умножении, делении,
извлечении корней, логарифмировании комплексных чисел.
В табл. 3.1 показан переход от записи мгновенных значений
синусоидальных функций времени к показательной,
тригонометрической и алгебраической формам записи комплексных чисел
5-4359 65

(максимальное значение ЭДС ^т = 84,6В, действующее ее значение
Е= Ет/у/2 = 84,6/Л = 60 В).
Примечание. Содержание § 3.1 ограничено изложением сведений,
необходимых для решения последующих задач.
Литература. [1] § 2.3; [2] § 2.7.
§ 3.2. Метод комплексных чисел
При расчетах электрических цепей переменного тока широко
применяется метод комплексных чисел, позволяющий графические
операции над векторами заменить алгебраическими действиями над
комплексными числами.
При использовании комплексных чисел методы расчета
электрических цепей переменного тока аналогичны методам расчета
электрических цепей постоянного тока. Записи соответствующих
уравнений, составленных по законам Ома и законам Кирхгофа,
одинаковы по форме для электрических цепей однофазного переменного
и постоянного токов.
При этом в уравнениях, записанных для электрических цепей
переменного тока, токи /, напряжения Ц, ЭДС Е, сопротивления 2,
проводимости У, мощности »У записывают в комплексной форме.
С учетом этого математическое выражение закона Ома в
комплексной форме приводят к виду: /= Ц/2 или /= УЦ
Математическое выражение первого закона Кирхгофа в комплекс-
п
ной форме: Х/* = 0. В соответствии с этим алгебраическая сумма
комплексных токов, сходящихся в узле разветвления электрической
цепи, равна нулю.
Математическое выражение второго закона Кирхгофа в
комплексной форме:
п п п
к=\ *=1 *=1
Согласно этому уравнению, алгебраическая сумма комплексных
ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна
алгебраической сумме комплексных напряжений и алгебраической сумме
комплексных падений напряжений в этом контуре.
При расчете электрических цепей по методу комплексных чисел
оперируют с этими числами. Алгебраические действия над
комплексными числами сводятся к сложению, вычитанию, умножению
и делению комплексных чисел:
А1=А{ + ]А?=А1е*1 и А2 = А'2 +]А'{ = А2е*2.
Сложение комплексных чисел осуществляется следующим образом:
А, + А2 = (А{ + ]АГ) + (А2 + /А!) = <А\ + А2) + ](А?+ А?).
66

Вычитание комплексных чисел производится аналогично:
Ах - А2 = (А[ + ]А{') - (А'2 + /Аг) = (А[ - АО + }{А>{- А?).
Умножение комплексных чисел производится по схеме:
АХА2 = (А{ + ]А[%А2 + МП = >«4 + /4* +
+/4МГ " Л[М2" = (^2 " ^1^0 + УЧ^1^2 + А?А{) ИЛИ
Л,Л2 = ЛеуМ2е^2 = АхА2еН*+ъ\
Деление комплексных чисел осуществляется следующим
образом:
Ах ^ А{ + /4Г _ (А{ + /40(4 - МО _ А[АЬ + Лр*У + КММ. ~ ММ) _
А2 ц + мг (Л2 + ММЛ1 - № (М)2 + (402
(^)2+(^)2 (^)2+(^)2 42 Л2еМ. А2
При делении комплексных чисел для исключения в знаменателе
мнимого числа числитель и знаменатель умножают на сопряженное
со знаменателем комплексное число.
Литература. [1] § 2.16-2.20; [2] § 2.10; [3] § 2.5-2.10.
Примеры решения задач
3.1. Определить угловую частоту вращения &р ротора генератора
переменного тока при частоте питающего напряжения /=50 Гц
и угловую частоту со ЭДС, если ротор вращается с частотой
щ = 1000 об/мин.
Решение. Число пар полюсов генератора:
60/ 60-50 ~
р = —— = = 3.
и щ 1000
Угловая частота вращения ротора:
^ ял 3,14-1000 ЛГ.А - ,
О, = — = = 104,5 с-1.
р 30 30
Угловая частота переменного тока:
ю = Пр/>=104,5.3 = 314с-] или (о = 2тс/=2-3,14-50 = 314с-1.
3.2. Определить среднее значение синусоидального тока /ср по
мгновенному его значению / = 31,4 зт \ш + -| .
Решение. Среднее значение синусоидального тока
/ср=-/т=-31,4 = -^31,4 = 20А.
71 7С 3,14
5* 67

1,А и,В
2
1
1 )
Г '
\*т
1-
и*—
п
Г
—►
2тг ®*>
2пш, рад
Рис. 3.3
Рис. 3.4
3.3. Определить коэффициенты амплитуды Кл и формы Кф
периодически изменяющегося тока, форма которого приведена на
рис. 3.3.
Решение. Максимальное значение тока в данном случае
равно действующему его значению, т. е. 1т = 7 = 2 А. Коэффициент
амплитуды тока: Ка = 1т/1=2/2=1. При этом среднее значение тока
равно действующему его значению, т.е. /ср = /=2А. Коэффициент
формы тока: Кф = 1/1ср = 2/2 = 1.
3.4. Для синусоидального напряжения и тока (рис. 3.4) записать
выражения для мгновенных их значений. Определить период Т
и время /о, соответствующее начальной фазе тока щ а также
мгновенные значения напряжений щ и и2 для моментов времени
^ = 0,00167 с и /2 = 0>005с, если частота тока/=50 Гц.
Решение. Мгновенные значения напряжения и тока имеют
вид:
и = 1/я 8Ш со/= 100 8Ш 314/В,
1[о1Г + |1 = 15яп[з14/ + -|У
где <Ут, 1т — амплитудные значения напряжения и тока.
Начальная фаза тока (в радианах):
90° • 2тс п
360°
Период переменного напряжения и тока: Г= 1//*= 1/50 = 0,02 с.
Время начала отсчета, т. е. время, соответствующее начальной фазе
тока:
,0 = ^ = ^! = _^_ = 1. = 0,005с.
со 2к/Т 2-2п 4
68

В моменты времени: /,: ос, = со^ = тс/6 = 30°, г/| = 100 81П со/, =
= 1008ш30о = 50В; /2: а2 = Ш2 = к/2 = 90°, щ = 100 зш Ш2 = 100 8ш 90° =
= 100 В.
3.5. В условиях задачи 3.4 записать выражения для мгновенных
значений напряжения н, соответствующих моментам времени /, и /2.
Решение. Мгновенное значение напряжения,
соответствующее моменту времени /,: и = И„ 8ш (со/, + к/6).
Мгновенное значение напряжения, соответствующее моменту
времени /2: и = 11т 8т (Ш2 + к/2).
3.6. В однородном магнитном поле (рис. 3.6) равномерно
вращается вокруг оси ОО замкнутая накоротко рамка, в которой
индуцируется периодическая ЭДС с максимальным значением Ет = 10 В.
Определить линейную скорость V
перемещения рамки, частоту вращения л,
частоту/ЭДС и ее мгновенное значение е в
момент времени /=0,00166 с, если размеры
сторон рамки ас-Ъй-0,16м, аЬ = с(1=
= 0,2м. Магнитная индукция поля
ЫВ-с/м2.
Решение. Линейная скорость
перемещения рамки V = Ет/Ве = 10/(1 • 2 • 0,2) =
= 25 м/с. Частота вращения рамки:
п =
60у _ 60у _ 60-25
ти/ пас 3,14 • 0,16
= 3000 об/мин.
Частота индуцированной ЭДС/= л/60 =
= 3000/60 = 50 Гц. Мгновенное значение ЭДС
в момент времени /=0,00166 с:
е = Ет 8Ш со/ = 10яп2я// = 10 яп • 100я • 0,00166 =
= 1081П-7С
о
108шЗО°=5В.
3.7. Определить максимальное Ет и действующее Е значения
ЭДС, наводимой в прямоугольной катушке с числом витков и>=200,
вращающейся в однородном магнитном поле с постоянной
частотой вращения п = 1500 об/мин. Размеры витка катушки 3x3
(площадь витка 5В = 3-З = 9см2). Индукция магнитного поля Д=0,8Г=
= 8000 Гс. Построить кривые изменения магнитного потока и ЭДС
во времени е(/), Ф(0> а также векторную диаграмму цепи.
Решение. Частота индуцированной в катушке ЭДС: /= л/60 =
= 1500/60 = 25 Гц. Максимальное значение магнитного потока: Фда =
= 8ШВ= 3-3-8000-10"8 = 0,00072Вб. Амплитудное значение ЭДС,
наводимой в катушке, находят исходя из мгновенного ее
значения:
69

ф>ек ф
ф
Ь
б)
е -
</Ф
-IV--=
Рис. 3.7
<](Фт 81П (О/)
-И> -
= -^(ОФт С08 СО/ =
= -и>юФ„8т ©/ + ■- = м>2л/Ф|Я8т(со/-я/2) = Ят 8т(со/ - я/2) =
= 200 • 2 • 3,14 • 25 • 0,00072 8т (а>/ - я/2) = 22,5 8т (со/ - л/2),
откуда Ет = 22,5 В. Действующее значение ЭДС катушки Е- Ет/Л =
= 22,5/72 = 16 В. Изменение потока и ЭДС во времени и векторная
диаграмма приведены на рис. 3.7, а, б.
3.8. Представить комплексный ток /= (4 +/?) А в
тригонометрической и показательной формах записи.
Решение. Действующее значение тока (модуль комплексного
тока): /= у/42 + З2 = 5 А. Аргумент комплексного тока: *§ У/= 3/4 = 0,75,
откуда \|/у = 36°5С. Тригонометрическая форма записи комплексного тока
/= (4 +/3) = 7(со8 у, +у 8Ш у,) = 5(со8 36°50' +] 8т 36°50').
Показательная форма записи комплексного тока
/=(4+уЗ) = /е^ = 5езбО50'А.
3.9. Записать выражение для комплексной амплитуды тока 1т
исходя из выражения для мгновенного его значения /=10 81п(со/+
+ 30°) А.
Решение. Амплитудное значение тока: 1т = 10 А Начальная фаза
тока: \|/,= 30°. Комплексная амплитуда тока:
/да = /те*<=10е'30°А.
3.10. Представить комплексный ток /= 10еуз°в А в алгебраической
(координатной) форме записи.
Решение. Действительная часть комплексного тока Ке/=
= 10 соз 30° = 10-865 = 8,65 А. Мнимая часть комплексного тока 1т/=
= 10 8т 30° = 5 А. Алгебраическая форма записи комплексного
тока /= (8,65 +у*5) А.
70

3.11. На комплексной плоскости (рис. 3.11) приведена
векторная диаграмма токов и напряжений. Представить токи /, и /2 и
напряжение I/ в алгебраической форме записи и найти их аргументы.
Решение. Комплексные токи и напряжение в алгебраической
форме записи: /, = (2+у2)А; /2 = (-2-у2) А; ^=(3-уЗ)В. Аргумент
комплексного тока /,: 1§ уп = 2/2=1. В общем случае этому условию
удовлетворяют углы 45 и 225°. Но угол 225° в данном случае не
является аргументом числа (2+у'2). Правильный ответ -\|/л=45°(-315°)
или 405° и т.д., так как аргументами комплексного числа (2+у2)
являются все углы вида 45° ± 360°^ (где К— любое целое число). Этот
результат получится, если учесть, что действительная и мнимая части
комплексного тока 1Х положительны. Аргумент комплексного тока /,
найден из выражения для соответствующего коэффициента мощности:
С08\|/п = г/л/^Тг1 = 2/2>/2 = 1/72 = 72/2,
откуда аргумент комплексного тока ул=45°, или чррез синус
соответствующего угла:
Так как значения косинуса и синуса положительны, то угол щ
находится в первой четверти плоскости комплексных чисел.
Аргумент комплексного тока /2:
*8 У/2 = ^ = !•
Так как абсцисса и ордината комплексного тока отрицательны,
то \|//2 = 225° или -135°, или 585° и т.д. Следовательно, вектор тока
/2 находится в третьей четверти плоскости комплексных чисел.
Аргумент комплексного напряжения /72:
-з 1
Т-1 40 30 20 10 0 10 20
Рис. 3.11 Рис. 3.12
71

Здесь абсцисса положительна, а ордината отрицательна,
поэтому вектор напряжения Ц расположен в четвертой
четверти плоскости комплексных чисел \|/„= 315° (или -45°, или 675°
и т.д.).
3.12. На плоскости комплексных чисел (рис. 3.12) заданы
комплексные напряжение Ц и токи /, и /2 электрической цепи.
Представить их в алгебраической и показательной формах записи.
Решение. Выражения для напряжения и токов в
алгебраической форме записи:
*7=(25+./25)В; /, = (-35+у35) А; /2 = -45А.
То же, в показательной форме записи:
Ц= 35,25е*« = 35,25е'45° В; /, = 49,35е*« = 49,35еу,35° А;
/2 = 45еЛ'- = 45е--/,85вА.
3.13. В условиях задачи 3.12 записать аналитические выражения
для мгновенных значений напряжения и и токов /, и /2, считая, что
положения векторов токов /, и /2 и напряжения Ц на плоскости
комплексных чисел даны для момента времени /=0.
Решение. Мгновенные значения:
напряжения и = лр2 • 35,25 8т (со/+я/4) В;
токов /, = 72 • 49,35 81П (со/ + Зя/4) А; /2 = VI • 45 8т (Ш + п) А.
3.14. Определить действующие значения напряжений 17,, Иъ \]ъ
и токов /,, /2, /3, комплексные сопротивления _Г,, 2Ъ _Т3,
активные Ки Я2, Л3 и реактивные сопротивления Хи Хъ Х3, комплексные
проводимости Уи У2, У3, а также комплексные мощности 5,, 8Ъ *У3,
если для соответствующих электрических цепей в различных формах
записи даны комплексные напряжения и токи: 17, = 220 В; Ц2 = (60 +
+У80)В; ^3 = 50еу60°В; /, = (8,8-./6,6) А; /2=10А; /3 = 10е'15вА.
Решение. Действующие значения напряжений и токов:
#,=220В; #2=7б02+802 =100В; #3=50В;
/, = Д82 + 6,62 = 11 А; 12 = 10 А; /3 = 10 А.
Комплексные сопротивления:
2 _ Щ = 220 = 220(8,8 + уб.6) = 220(8,8 + у6,6) = д6 | д ^
_1 I, 8,8-у6,6 (8,8 - уб,6)(8,8 + у'6,6) (8,82 + 6,62) У
&=60±У80 6
"2 22 10 V •/ ' »
^з_ = 50е^ = 5еУ(60о.15в) = 5еУ45. 0м
-3 13 10е'15°
72

Активные и реактивные сопротивления:
Л1 = 16 0м; Л2 = 6 0м; ^, = 12 Ом; Х12 = 8 0м; Л3 = 3,535 Ом;
Хи = 3,535 Ом; 2Ъ = 5(сов 45° +/ зт 45°) = 5(0,707 +у 0,707) = (3,535 +/ 3,535) Ом.
Комплексные проводимости:
У, = — = —?— = ^Л? = (0,04 -./0,03) См;
- 2Х 16 + у12 (16 + у12)(16 - у12)
У2 = — = —— = ^ = (0,06 -у0,08) См;
~2 72 6 + 8У (6 + у8)(6-у8) Ч ' * '
У3= — =-^=0,2-^ См
"~3 73 5е'45
или Уз = 0,2(соз 45° -у зш 45°) = (0,1414 -у'0,1414) См.
Комплексные, активные и реактивные мощности:
Зх = Й/Г= 220(8,8 +у6,6) = (1936 +у1452) В А;
5; = л/19362 +14522 = 2400В• А; Р, = 1936Вт; б, = 1452вар;
& = Ы1 = (60 4-у80)10 = (600 +у800) В • А; $ = 7б002+8002 = 1000 В -А;
Р2 = 600Вт; 02 = 8ООвар; 53= У3/з*=50е^60°10е^5О =
= 500еЛ60°-15О) = 500е'45° = 500(со8 45° ^'^т 45°) = 500(0,707 +/0,707) =
= (353,5+у353,5) В-А; Я3 = 500В-А; Р3 = 353,5 Вт; бз = 353,5 вар.
§ 3.3. Линейные однофазные синусоидальные
электрические цепи с последовательным соединением
элементов цепи
В электрической цепи синусоидального тока с активным
сопротивлением К (табл. 3.2) под действием синусоидального
напряжения и=11т&тш возникает синусоидальный ток 1=1т&тШ,
совпадающий по фазе с напряжением, так как начальные фазы
напряжения 17 и тока /равны нулю (\|/„ = 0; У/=0). При этом угол
сдвига фаз между напряжением и током ф = у„-у,=0, что
свидетельствует о том, что для этой цепи зависимости изменения
напряжения и тока совпадают между собой на линейной диаграмме во
времени.
Векторная диаграмма напряжения Ц и тока / на плоскости
комплексных чисел для данной электрической цепи приведена
в табл. 3.2.
На векторной диаграмме ток в цепи направлен по оси
действительных чисел, поэтому выражение для комплексного тока
записывают в следующем виде:
/=/е^ = /е'° = /.
73

Таблица 3.2
Элементы цепи
Резистор
Катушка индуктивности
Конденсатор (Д< = 0)
Условное изображение
на схемах
!
~и
~и
1"
[}
=С
Сопротивление, Ом
Я
Х^пЬ
Комплексное
сопротивление, Ом
2= Я
2=&1=№ = Х#Ъ
2Гс = -уТс=-у-^=ЛГсе-у2
соС
Проводимость, См
о-1
к
со!
Вс=а>С

Резистор и катушка
индуктивности
Резистор и конденсатор
Резистор, катушка
индуктивности и
конденсатор
С
~и
(
~и
С
~м
г^""Ч^— '1 I"11
[
Л -■■ '
I,
^ 1 ГА^
т
-с
с
\ II
9 II
2 = 7# + Х\
2 = ^Л2 + Хс
2 = у/Л2 + (Хь - Хс)2
2= Л ч-Д^а*
2=К-)Хс=2ъ-*
г=л+х^-Лс)=ге^
с л
1 л2**!'
У = у]о2 + д2
с л
Вс ' #*ху
У = ,/<?2 + д2
с л
"1- К2 + (ЛГХ - Хс)2 '
Хс
В
"с Л2 + №. - Хс)г

Продолжение табл. 3.2
Элементы цепе
Резистор
Катушка
индуктивности
Конденсатор
Комплексная
проводимость,
См
К
Л—74
ХсЧВс
Угол сдвига фаз
между напряжением
и током,рад
ф = 0
ф = 7С/2
ф = —тс/2
Комплексная
мощность
+Л0*- Ос)
8=Р=Р2=РК,
ЗЧОьЧРХь,
Р=0; бс=0
3=Ч0с=-Л2Хс\
Р=0; & = 0
Векторные диаграммы на плоскости
комплексных чисел
тока и напряжений
+7*
А
01
и^
\<р=0 / 1Г
* +1
*1\
0
к*-? /,
' +1
о
-]
К* ,
Кф—2
Тй
▼
проводимостей

Резистор и
катушка
индуктивности
Г=0-;Вь
Ф = агс*§-
♦ *1
Ф = агс1е
О
+1\ А&
0
/\
А*>«.
\\ ь
^
■■■^
+1
О
|\А>о
\
г
...^^
ш^1
^
+1
\Ы
Резистор и
конденсатор
У=0+]Вс
Ф = -агс*§ —,
К
-ф = агс1§ —
С
(2С = 0
й I
Резистор, катушка
индуктивности и
конденсатор
УшО-Ж-Вс)
Ф = агс1§
Хь-Хс
Вь - Вс
+/
0
1УТ
УУк\\
0
Т+Г
-А 1т-у^
Примечание. Угол сдвига фаз <рйп/2 для цепи ЯЬ и С зависит от параметров и может быть положительным (при активно-индуктивной нагрузке
^а ХС>ХС', ВС>В,) и отрицательным (при активно-емкостной нагрузке ХС>Х1; 2^> Вс).

Комплексное напряжение совпадает по фазе с током, поэтому
{/={/е^«=#е'0=К
Комплексное сопротивление цепи по закону Ома: 2= 17//= 4/1= Л
Комплексная проводимость цепи:
У= 1/2= 1/Я или С=1/К,
где К и О—активные сопротивление и проводимость цепи.
В электрической цепи синусоидального тока, содержащей
активное сопротивление К и катушку с индуктивностью Ь, под
действием изменяющегося по синусоидальному закону напряжения
и = ит$т(Ш+к/2) возникает синусоидальный ток /=/т8ико*,
отстающий по фазе от напряжения на угол я/2.
При этом начальная фаза напряжения \|/и = я/2, а начальная фаза
тока \|/, = 0. Угол сдвига фаз между напряжением и током <р = (у„ - \|/,) = я/2.
Векторная диаграмма напряжения Ц и тока / на плоскости
комплексных чисел для данного случая приведена в табл. 3.2.
Комплексный ток и комплексное напряжение в этой цепи:
/= /е* = /е* = /; Ць = 1/^»- = 11$** =№,
так как еУл/2 = со8 7с/2+/8тя/2 = 0+у1=/.
Комплексное сопротивление цепи по закону Ома:
~1 / I у / ' 1
где Хь — индуктивное сопротивление катушки индуктивности.
Модуль комплексного сопротивления катушки индуктивности:
2Ь=У[Х1=Х1(К = 0).
Комплексная проводимость цепи с катушкой:
У=± = ^ = -^- = ^± = ^Вь,
о 1 1 Т
где /^ = — = — — индуктивная реактивная проводимость; ь — ин-
XI СОХ,
дуктивность катушки.
В электрической цепи синусоидального тока с конденсатором,
обладающим емкостью С (табл. 3.2), под действием напряжения
и= 11т$т(Ш-к/2) возникает ток / = /да81по>7, опережающий
напряжение на конденсаторе на угол л/2.
Начальный фазовый угол тока \|// = 0, а напряжения \|/и = -я/2.
Угол сдвига фаз между напряжением I/и током/: у = \\ги-у,=-к/2.
Векторная диаграмма напряжения V и тока / на плоскости
комплексных чисел для этой цепи приведена в табл. 3.3.
Комплексный ток в цепи конденсатора:
/=/е^ = /.
78

Комплексное напряжение на конденсаторе:
цс = д^еЛ. = Це-*п = ^цСш
Комплексное сопротивление конденсатора:
2с=ус/1=-№/1=-]Хс,
где Хс — емкостное сопротивление конденсатора. Модуль
комплексного сопротивления цепи с конденсатором:
2С— уХс ~Х&
Комплексная электрическая проводимость конденсатора:
Гс=1/гс=1НХс=]Вс,
где Вс=1/Хс=(йС— емкостная проводимость конденсатора.
Электрическая цепь синусоидального тока в общем случае содержит
активное сопротивление К, индуктивность Ь и емкость С (табл. 3.2).
В электрической цепи с последовательным соединением
активного сопротивления К и индуктивностью Ь ток отстает от напряжения
на угол ф > 0. При этом комплексное сопротивление цепи и его модуль:
г=к^хь=г^; 2=4к2 + х\.
Комплексная проводимость цепи и ее модуль:
-г я+]хь (я + ]хь)(я -]хь) я2 + х2ь г2 г2 у г2'
У=0-]Вь; У=л1с2 + В1,
где О = К/22 — активная проводимость цепи: Вь = Хь/22 —
индуктивная реактивная проводимость цепи; 22 = В} + Х\.
Угол сдвига фаз между напряжением и током:
Ф = агс1Б-^ = агс1§-^.
Аналогично можно получить соответствующие расчетные
формулы для электрических цепей синусоидального тока с различным
сочетанием элементов К, Ь и С, которые даны в табл. 3.3.
Комплексная мощность цепи с активным, индуктивным и
емкостным сопротивлениями (Л, Ь, С):
5 = Р+уе = Р+у((21-0с),
где Р=РК — активная мощность, 0Ь = РХЬ — индуктивная
составляющая реактивной мощности, 0С=12ХС— емкостная составляющая
реактивной мощности.
Выражение для комплексной мощности может быть записано
в развернутом виде:
где 2=К+ЛХЬ-ХС) — комплексное сопротивление цепи.
79

Так как квадрат модуля тока Р = 1*1, то 3=Р2= 1*12= 1*1/, где
/—комплексный ток; /* — сопряженный комплексный ток;
/—действующее значение (модуль) тока.
В неразветвленной электрической цепи синусоидального тока
с индуктивностью Ьу емкостью С и активным сопротивлением К
при определенных условиях может возникнуть резонанс
напряжений (особое состояние электрической цепи, при котором ее
реактивное индуктивное сопротивление Хь оказывается равным
реактивному емкостному Хс сопротивлению цепи). Таким образом, резонанс
напряжений наступает при равенстве реактивных сопротивлений
цепи, т.е. при ХЬ = ХС или оо/,= 1/а>С.
Комплексное сопротивление цепи при резонансе: 2=К+](ХЬ-ХС);
2= Я, т.е. полное сопротивление цепи при резонансе напряжений
имеет минимальное значение, равное активному сопротивлению Я
цепи.
Угол сдвига фаз между напряжением и током при резонансе
напряжений:
©I ——
Ф = V* - V/ = агс1§ —^- = О,
при этом ток / и напряжение V совпадают по фазе. Коэффициент
мощности цепи имеет максимальное значение: созф = Л/2г= 1.
Комплексный ток в цепи:
/=^ = ^ = /еУ(ув_ф) =
" 2 2&
его модуль /= 11/2= II/К. При этом ток в цепи приобретает
максимальное значение.
Реактивная мощность цепи при резонансе напряжений:
0=<2ь-Ос=12Хь-12Хс=Р(Х1-Хс) = 0.
Активная мощность цепи при резонансе приобретает
наибольшее значение, равное полной мощности:
Р= Шсо$ ф = 5со8 ф = 8.
На рис. 3.3.1 приведена векторная диаграмма напряжений и тока
при резонансе напряжений.
При построении векторной диаграммы для электрической цепи
с последовательным включением сопротивлений исходным
является ток /, так как в этом случае значение тока на всех участках цепи
одинаково.
Ток / откладывают в соответствующем масштабе (тг=п, А/см),
затем относительно тока в принятом масштабе (ти=к, В/см)
откладывают напряжение Ц и падения напряжения АЦ на
соответствующих сопротивлениях в последовательности их расположения в цепи.
При этом падение напряжения ЦК на активном сопротивлении Я
строится от начала тока /, совпадающим с ним по фазе (по направ-
80

+/'♦
ы
0
-у
У
У\\
и*
Рис.
1ш
|<Иг&>
1Ьц*
"+1
3.3.2
Рис. 3.3.1
лению). Напряжение С^ на индуктивном сопротивлении
пристраивается к концу Ця под углом я/2 относительно тока / в направлении
против движения часовой стрелки.
Напряжение Цс на емкости С конденсатора пристраивается к
концу вектора Ць под углом л/2 относительно тока по направлению
движения часовой стрелки, т.е. в противофазе с Ц_ь.
Напряжение Ц, приложенное к цепи (рис. 3.3.2), находят как
сумму: Ц= Цк+ Ць + Цс. При этом угол сдвига фаз ф между током /
и приложенным напряжением Ц принимается положительным, если
он направлен от тока к напряжению в направлении против
движения стрелок часов, в противном случае — угол сдвига фаз ф
принимается отрицательным.
Литература. [1] § 2.1-2.12; [2] § 2.1-2.14; [3] § 2.1-2.7.
Примеры решения задач
3.15. В сеть переменного тока при напряжении С/=120В и
частоте /= 50 Гц включена катушка с индуктивностью Ь = 0,009 Г (Кк = 0).
Определить реактивную мощность О, катушки и энергию №Ьт
запасаемую в магнитном поле катушки, записать выражения для
мгновенных значений напряжения к, тока /, ЭДС самоиндукции еь,
мгновенной мощности р и средней мощности Р за период, если
начальная фаза напряжения \|/и = л;/2. Построить векторную и
временную диаграммы.
Решение. Индуктивное сопротивление катушки: Хь = (оЬ =
= 2к/Ь=2 • 3,14 • 50 • 0,009 = 3 Ом. Действующее значение тока: 7= 17/Хь=
= 120/3 = 40 А. Реактивная мощность цепи: (? = 07= 120-40 = 4800 вар =
= 4,8квар. Максимальная энергия, запасаемая в магнитном поле
катушки: И^т = 772 = 0,009 • 402 = 14,4 Дж. Амплитудные значения
напряжения и тока: 0да = Л*/=1,4Ы2О=169,2В; 7т = Л7= Л-40 =
= 1,41-40 = 56,4 А.
Мгновенные значения:
напряжения и= иь=[/я&т (со/+я/2) = 169,281п (3,14/+я/2) В;
6-4359
81

V,
1\
еЛ
^^N40
-5
а)
Ос, вар
2400 Ь
Н О
-2400 Н I
-4800 I-
б)
Рис. 3.15
тока /=48тсо/=56,48т314А;
ЭДС самоиндукции катушки ^ = -1^=169,2 8111 (314/-л/2)В;
мощности цепи р = ш= 1/т&т(Ш + к/2)1т&тШ= 11тсозсо/х
х/ж8тсо/= Ит1т , так как 8Ш (со/ + тс/2) = со8(о/, а 8т 2со/ =
= 2 81П0)/СО8С0/.
Для действующих значений напряжения и тока:
/?=17/81п2со/=120-40 8т2-314/=4800 8т628/В-А.
Средняя мощность за период:
г г
р = 11 рА = 1 |ет 8ш 2ю/ Л = 0.
о о
Векторная диаграмма для действующих значений напряжений
и тока приведена на рис. 3.15, а (для цепи с X, Дк = 0).
График изменения мгновенной мощности (рис. 3.15, (?)
представляет собой синусоиду с двойной частотой и амплитудой 01т.
При этом реактивная мощность
\]т1т 421/421
<2ь =
= Ш = 120 -40 = 4800 вар.
3.16. К сети переменного тока при напряжении 17= 220 В и
частоте/=50 Гц подключен конденсатор с емкостью С=20мкФ.
Определить его реактивное сопротивление Хс, ток /, реактивную
мощность Ос, максимальную энергию \УСпп запасаемую в электрическом
поле конденсатора. Построить векторную диаграмму для данной цепи.
Решение. Реактивное сопротивление конденсатора:
Хс = 1/<оС = — = 1—-г = 160Ом.
2%/С 2 • 3,14 - 50 • 20 • 1<Н
82

1Л-*
1Ъ
Рис. 3.16
/
Оовар|
300^
225 [
1501
751
л!
1/Г
-75 [
-150 [
-225 [
-300 [
А
и,1
' \ш^р
ш№\
Го \
"м
Г?
|к я И
Со»
/7 ^
Г 2я
1 м^|[ 11111
'г ч
\г-
ю/,рад
Рис. 3.17
Ток в цепи конденсатора: /= 1//Хс= 220/160= 1,37 А.
Реактивная мощность цепи: бс= 177=220-1,37 = 302 вар.
Максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле
конденсатора: \УСт = С1Р = 20 • Ю-6 • 2202 = 968 -10"3 Дж.
Векторная диаграмма тока и напряжения приведена на рис. 3.16.
3.17. Для электрической цепи синусоидального тока с
конденсатором, обладающим емкостью С, построить временную
диаграмму мгновенных значений мощности /?(/), если мгновенное значение
напряжения и = 31081п314/ В, емкостное сопротивление
конденсатора Хс- 160 Ом.
Решение. Мгновенное значение тока в цепи:
/ = — = = — = С11т(0 81П (о)/ + 7С/2) = 1т С08 (О/.
Л й1 й1
Мгновенная мощность цепи:
р = ш = Цт 8Ш ю/ 1т соз со/ = 11т1т
8ш2со/
или ддя действующих значений напряжения и тока:
р = Ш 8Ш 2(0/ = 220 - — 8Ш 2 - 314/ = 302 зт 628/.
160
График изменения мгновенной мощности во времени (рис. 3.17)
представляет собой синусоиду с двойной частотой и амплитудой,
равной реактивной мощности:
<2ст =
ит1т
л/21/72/
= {// = 220-137 = 302 вар.
83

3.18. В электрической цепи переменного тока напряжение II
и ток / изменяются во времени в соответствии с выражениями
и = 28,2§т(628/+4я/9)В; /=2,82 8ш (628/+5л/18) А. Определить
активную Р, реактивную О и полную 5 мощности цепи.
Решение. С учетом формул приведения мгновенное значение
мощности цепи:
р = ш = 28,2 8Ш (628/ + 4я/9) • 2,82 8Ш (628/ + 5я/18) = 28,2 • 2,82х
хи[со8(628/ + 47с/9-628/~57с/18)-со8(628/ + 47с/9 + 628/ + 5тс/18)]| =
= 79,5|-[со8я/6 - соз (1226/ + 13тг/18)]
или для действующих значений тока и напряжения:
р = 2*?-'2р • -[созтс/б-С08 (1226/ + 13я/18)] =
= 19,8 соз те/6 -19,8 соз (1226/ + Ш/18).
Мощности цепи:
активная Р= 19,8 соз тс/6 = 19,8^ = 17,1 Вт;
реактивная: (?= 19,8 зт те/6 = 19,8 • ^ = 9,9 вар;
полная: 5= ^Р2 + О2 = ^/17Д2 + 9,92 = 19,8 В А.
3.19. Определить показания ваттметра IV в электрической цепи
переменного тока (рис. 3.19) при замкнутом и разомкнутом
выключателе В. Напряжение источника питания 11= 100 В, активное и
реактивное ч сопротивления: К=Х1 = Хс=5 Ом.
Решение. Полное сопротивление электрической цепи при
разомкнутом выключателе В:
гр = у/к2 + (хь - Хс)2 = 4ю = у[у = 5 ом,
так, как ХЬ = ХС, в цепи имеет место резонанс напряжений.
Ток в цепи при разомкнутом выключателе:
/ = ^ = М = 20А.
2, 5
Показания ваттметра при разомкнутом выключателе:
Р= КР = 5 • 202 = 2000 Вт=2 кВт.
Полное сопротивление цепи при замкнутом выключателе:
2, = V*2 + Ч = ^/52 + 52 = 5л/2 Ом.
84

а)
Рис. 3.19
Рис. 3.20
Ток в цепи при замкнутом выключателе:
I = Ц/гз = 100/5Л = 14,2 А.
Показания ваттметра при замкнутом выключателе:
Р=Ш2 = 5-14,22 = 1000 Вт = 1 кВт.
3.20. При дуговой электросварке на переменном токе дуга
развивает мощность Рд = 600Вт при потребляемом токе 7=20 А
(рис. 3.20, а). Напряжение источника питания 1/= 120 В, частота тока
/= 50 Гц. Для уменьшения напряжения дуги включена катушка
индуктивности, активное сопротивление которой Кк=1 Ом. Найти
индуктивность Ь катушки, величину активного К сопротивления,
которое могло бы эту катушку заменить, коэффициент мощности
соз ф, а также КПД т] установки при наличии активного
сопротивления, заменяющего катушку. Построить векторную диаграмму тока
и напряжений.
Решение. Сопротивление электрической дуги:
Кд = Ра/Р = 600/202 = 1,5 Ом.
Активная мощность электрической цепи: Р= Ра + РКК = 600 + 202 • 1 =
= 1000 Вт;
коэффициент мощности: соз <р = Р/Ш= 1000/(20 • 120) = 0,417;
полное сопротивление: 2= 11/1= 120/20 = 6 Ом;
индуктивное сопротивление: Хь=Хк=^22 - (К* + Ка )2 = ^62 - (1 +1,5)2 =
= 5,46 Ом.
Индуктивность катушки:
!*=■
2п/
5,46
2 • ЗД4 • 50
Напряжение дуги: 1/а = 1/КА = 20/1,5 = 30 В
= 0,0173 Гн = 17,3 мГн.
85

Значение эквивалентного активного сопротивления,
заменяющего катушку:
^-^= 120-30 =м
/ 20
КПД установки при наличии катушки: ц = Рд/Р= 600/1000 = 0,6
(при созф = 0,417); то же, установки при наличии эквивалентного
активного сопротивления:
Рд 600 600 Л~1С/ 1Ч
Лэк = г^ = ; = = 0,215 (при соз ф = 1).
1 Рд +../2(ДЭк + Яа) 600 + 202(4,5 + 1) 2800 чк г
Падение напряжения на активном сопротивлении катушки:
1/Лк = Кк1= 1-20 = 20 В;
на индуктивном сопротивлении катушки: 1/ь =ЛГк/=5,46-20 =
= 109,2 В; '_
на всей катушке: #к = ^К+^1К = л/202 +109,22 = 111 В.
Напряжение источника питания: I]-^Щ~+Щ=VI112 + 302 = 120 В.
Векторная диаграмма тока и напряжений приведена на рис. 3.20, б.
3.21. Для неразветвленной электрической цепи переменного тока
с катушкой индуктивности Ь и конденсатором С определить частоту /,
ток / в цепи, напряжения на зажимах индуктивности 1/ь и на
зажимах конденсатора 1/с при резонансе напряжений. Рассчитать эти
же значения при частоте /', равной 0,8 от резонансной / построить
векторную диаграмму тока / и напряжений: 1/к; 1/ь; 1/с; I/ при этой
частоте, если индуктивность катушки //=1,5 Гн, емкость
конденсатора С=42мкФ, активное сопротивление катушки Л=50Ом,
напряжение, действующее в цепи, 11= 100 В.
Решение. Резонансная частота цепи:
1 1 /ю6
/ = -4= = г= ■ = 0,1595. — = 20 Гц.
2тс71с 2 . 3,14^1,5 • 42 • 10-6 ^ 63
При резонансе ток в цепи: /= II/К= 100/50 = 2А.
Напряжение на зажимах катушки при резонансе:
1/к = гк1 = 1^ЮТХ1 = ЦЮ + ^Ь)2 = 2л/502 + (6,28-20-1^)2 =
= 27502+1892 = 2 • 195,3 = 390 В;
то же, активная составляющая напряжения: 1/^. = К1= 50 • 2 = 100 В,
реактивная составляющая напряжения: IIь = Хь1= ©/,/= 6,28 • 20 х
х1,5-2 = 378В;
напряжение на конденсаторе: 1/с = I— = 2 = 378 В.
©С 6,28-42-Ю-6
Согласно условию, значение пониженной частоты: /' = 0,8/= 0,8 х
х 20 =16 Гц.
86

При пониженной частоте: реактивное
сопротивление катушки индуктивности: Х[ = о/Ь = 2п/,Ь =
= 6,28 -16-1,5 = 150,72 Ом; реактивное сопротивление
конденсатора:
Х'с = 1/ю'С = 1- = — = 237 Ом;
6,28 • 16 . 42 • 10-6 4220
полное сопротивление катушки индуктивности:
2'х = у1К2 + ((о'Ь)2 = д/502 + (150/72)2 = 1бгЪм;
полное сопротивление цепи:
= 7502 + (150,72 - 237)2 = 100 Ом;
ток в цепи: /= Ц/2' = 100/100 = 1 А;
напряжение на катушке: 1/к = 2'к1= 162 • 1 = 162 В;
напряжение на конденсаторе: С/с=Л^/=237-1 = 237В;
полная мощность цепи: 5= Ш= 100-1 = 100 В-А;
активная мощность цепи: Р=Л/2 = 50-/2 = 50Вт;
реактивная мощность цепи: (? = V»?2 - Р2 = >/Ю02 - 502 = 77500 =
= 87 вар;
коэффициент мощности установки: С08ф = Р/5 = 50/100 = 0,5.
Векторная диаграмма для рассматриваемой неразветвленной
цепи К, Ь и С при частоте /= 16 Гц приведена на рис. 3.21.
3.22. Катушка индуктивности Ь и конденсатор с емкостью С
включены последовательно в сеть переменного тока с частотой
/= 50 Гц (рис. 3.22, а). Для определения параметров цепи накоротко
замкнули катушку проводником и сняли показания приборов. Затем
проводник, закорачивающий катушку, отсоединили, закоротили им
конденсатор и сняли показания приборов, далее при отсутствии
закорачивающего проводника, изменяя значение емкости
конденсатора, сняли показания приборов до и после резонанса и при
резонансе напряжений (табл. 3.3).
Определить параметры катушки индуктивности и конденсатора,
построить векторную диаграмму тока / и напряжений I/ для
резонанса напряжений, а также зависимости изменения тока /,
коэффициента мощности цепи созф и со8фк катушки, напряжения на
катушке 1/К9 напряжения на конденсаторе 1/с и полного
сопротивления цепи 2 от емкостного сопротивления Хс конденсатора, т. е. /,
со8ф, созфк, 1/К9 11С9 2(ХС).
Решение. Полное сопротивление цепи при закороченной
катушке индуктивности (14 = 0, по данным табл. 3.4): 2= 11/1=50/2 =
= 25 Ом.
87
11Уис
Рис. 3.21

а)
б)
7,0м созф /,А
50
40
30
20
Ю
Рис. 3.22
* 1
0,8
0,6
0,4
"0,2
ЦВ
ч^и|
//'
11\
/Л/ >
'/у 1
со*
\|
1
У
^с~^ь
120
105
90
75
60
45
30
15
0 20 40 60 80 100 120 Ха Ом
в)
Измерения
0,
В
50
48
26
30
30
33
26
V»
в
0
48
30
116
130
88
57
0о
в
50
0
55
130
125
60
15
Л
А
2
0,8
0,5
1,95
2,16
1,47
0,93
Л
Вт
0
8,35
3
50
65
30
12
.-
Таблица 3.3
Вычисления
2*
Ом
25
60
52
15,4
13,9
22,4
28
Хс*
Ом
25
—
ПО
66
58
41
16,1
2»
Ом
60
60
59,5
60,2
60
16,2
хш,
Ом
59,5
59
59
58
58,5
60
*„
Ом
13
12
13,2
13,9
13,8
13,8
и
Гн
0,185
0,19
0,19
0,19
0,186
0,196
с,
мкФ
127
—
29
47,7
54,7
77,8
197
СОЗ фк
0,217
0,2
0,22
0,23
0,23
0,25
0,25
0,23
0,86
1
0,617
0,565
Емкостное сопротивление конденсатора:
/2
емкость конденсатора:
1
С =
= 0,000127 Ф = 127 мкФ.
(йХс 314 • 25
Полное сопротивление цепи при закороченном конденсаторе
(<7С=0, по данным табл. 3.4):
2= 17/7=48/0,8 = 60 Ом.
Сопротивления катушки индуктивности:
полное 2ъ = 1/к/1= 48/0,8 = 60 Ом;
активное ЕК = Р/Р = 8,35/0,82 = 13 Ом;
индуктивное Хк = ^21-Е^ = <Уб02-132 = 59,5 Ом.
88

Индуктивность катушки: Ь = Хк/со = 59,5/314 = 0,185 Гн.
Коэффициент мощности катушки: со8<рк = ЯК/2К =13/60 = 0,217.
Полное сопротивление цепи при наличии конденсатора с
измененной емкостью С и катушкой индуктивности (см. табл. 3.4): 2= [//1=
= 26/0,5 = 52 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хс= 11с/1= 55/0,5 = 110 Ом.
Емкость конденсатора: С = = = 29 мкФ.
соЛГс 314-110
Полное сопротивление катушки индуктивности: 2К = 11к/1= 30/0,5 =
= 60 Ом.
Сопротивление катушки индуктивности:
активное Д, = Р/Р = 3/0,52 = 12 Ом;
индуктивное Хк = ^21 - Л2 = л/602 -122 = 59 Ом.
Индуктивность катушки: Хк = ^/0) = 59/314 = 0,19 Гн.
Коэффициенты мощности: катушки соз <рк = КК/2К = 12/60 = 0,2;
цепи со8ф = ДУ^= 12/52 = 0,23.
Полные сопротивления цепи при резонансе 2=11/1=30/2,16 =
= 13,9Ом, катушки 2К= Щ1= 130/2,16 = 60,2Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора: Хс= 1/с/1= 125/2,16 = 58 Ом.
Емкость конденсатора: С= 1/((йХс) = 1/(314 • 58) = 54,7 мкФ.
Активное сопротивление катушки: Кк = Р/Р = 65/2,16 = 13,9 Ом.
Индуктивное сопротивление катушки: Хх = ^21 - В% = ^/60Д2 -13,92 =
= 58 Ом или ХЬ=ХС (точка резонанса).
X 58 4
Индуктивность катушки: Ь = —- = —— = 0,19 Гн.
со 314
Падение напряжения на индуктивном сопротивлении: 11Ь = ХК1=
= 58-2,16 = 125 В, т.е. 11^11с.
Падение напряжения на активном сопротивлении катушки
(7Л = ЛК/=13,9-2,16 = 30В.
К 13 9
Коэффициент мощности цепи со8ф = -1 = —'— = 1.
Следует заметить, что некоторый разброс полученных расчетных
данных обусловлен погрешностью эксперимента.
Векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе
представлена на рис. 3.22, б, а резонансные кривые на рис. 3.22, е.
3.23. Вольтметр V, включенный в схему рис. 3.23, а, показывает
напряжение 11= 50 В. Определить показания всех других приборов,
если сопротивления: Л=ЗОм; Хь = 4 Ом; ЛГс=8 0м. Каковы будут
показания амперметра А и вольтметров Ук и Ус, если индуктивные
сопротивления катушки конденсатора приобретут значения Х[ =
= 1004 Ом и Х'с= 1008 Ом. Построить векторную диаграмму тока /
и напряжений: 1/я, 1/к и 1/с.
Решение. Полное сопротивление катушки индуктивности:
2К = ,1Я2+Х1 = л/32+42 = 5 Ом.
89

""с
а) б)
Рис. 3.23
Полное сопротивление цепи:
2 = ^К2+{ХЬ-ХС)2 = 732+(4-8)2 = 5 Ом.
Показание амперметра А (ток в цепи):
1=11/2= 50/5 =10 А.
Показания вольтметра \]с (напряжение на конденсаторе):
г/с=/ЛГс=10-8 = 80В.
Показание вольтметра 1/к (напряжение на катушке
индуктивности):
14 = ^7=510 = 50 В.
Полное сопротивление катушки с индуктивным сопротивлением
XI = 1004 Ом: 2'к = у[ЖТЩу = >/32+10042 = 1005 Ом.
При индуктивном Х[ и емкостном Хс сопротивлениях: полное
сопротивление
2' = 4К2+(Х'Ь-ХС)2 = л/32 + (Ю04 -1008)2 = 5 Ом,
ток в цепи /= 11/2' = 50/5 = 10 А,
показание вольтметра конденсатора ЦС=ХС1= 1008-10= 10 080 В,
показание вольтметра катушки 1/к = 2%1= 1005 • 10 = 10 050 В.
Векторная диаграмма напряжений 17, Ця, Цс, Ц, и тока / для
рассматриваемой цепи приведена на рис. 3.23, б.
90

§ 3.4. Линейные однофазные синусоидальные
электрические цепи с параллельным и смешанным
соединением элементов цепи
Во многих случаях приходится встречаться с расчетом сложных
электрических цепей синусоидального тока, которые в общем
случае являются цепями со смешанным соединением сопротивлений
(рис. 3.4.1). Эти электрические цепи могут быть разделены на
участки с последовательным и участки с параллельным соединением
сопротивлений.
При параллельном соединении сопротивлений (участок 7—2,
рис. 3.4.1) параллельные ветви электрической цепи находятся под
одним и тем же напряжением С/, = 1/п, поэтому для каждой из этих
ветвей определение всех расчетных величин производится по
формулам, справедливым для отдельных сопротивлений электрических
цепей с последовательным соединением сопротивлений. Для участка
цепи с параллельным соединением сопротивлений' ток на
разветвленном участке определяется в соответствии с первым законом
Кирхгофа, записанным для узла разветвления в векторной форме:
1=1] + 12 + 1з- Этот ток можно определить графически с помощью
векторной диаграммы как сумму составляющих векторов токов,
а также с помощью комплексных чисел, так как комплексный ток
/=/1+/2 + /3, т.е. равен сумме комплексных составляющих токов.
Токи в отдельных ветвях электрической цепи могут быть
определены через комплексные сопротивления или комплексные
проводимости соответствующих ветвей:
^^ = Ц/й = й(1/й) = ШХи к = Ц/&= Ц<1/&> = ЙЬ;
/э=й/2э=йй,
где в общем случае 2Х = Я}±]Х1; 22 = К2±]Х2; 2Ъ-КЪ±]ХУ
При этом ток в неразветвленной части цепи равен
произведению напряжения 17, на параллельном участке цепи на сумму
комплексных проводимостей параллельно включенных сопротивлений
/1 = Ц(Г1 +Гг + Гз)- Сопротивления отдельных ветвей могут носить
активно-реактивный характер при наличии индуктивных Хь и
емкостных Хс сопротивлений, поэтому в общем случае комплексные
/ & 1
о—о-
1л
Рис. 3.4.2
91

сопротивления могут быть определены через активные О и
реактивные В проводимости:
1х = ^ ±]ВХ; У2 = 02 ±]В1\ Уз = Ъ ±]ВУ
Модули полных проводимостей ветвей:
У!=^12+Д2; Г2=^ТЩ; у3=у1с[Тв2
С учетом этого полная проводимость участка электрической цепи
с параллельным соединением сопротивлений:
где Вх = (Ви - ВС]); В2 = (Вп - ВС2); Въ = (Вьъ - 2?сз);
Я /л л
При этом активные и реактивные проводимости:
2\ ,. 2\ 2\ 2\
При параллельном соединении индуктивного и емкостного
сопротивлений (рис. 3.4.2) в электрической цепи возможен резонанс
токов (особое состояние электрической цепи, в простейшем случае
при параллельном соединении индуктивности Ь и емкости С, при
котором реактивная индуктивная проводимость равна реактивной
емкостной проводимости, т.е. ВЬ = ВС).
Полная проводимость электрической цепи при резонансе токов
Г = У1С2 + (Вь-Вс)2 = 0
оказывается минимальной, равной активной проводимости цепи.
Векторная диаграмма токов и напряжения при резонансе токов
приведена на рис. 3.4.3. Коэффициент мощности в электрической
цепи созф= 0/У= 0/0= 1 принимает максимальное значение, а угол
сдвига фаз между током и напряжением <р = 0, поэтому при
резонансе токов напряжение 1/и общий ток /совпадают по фазе (хР/ = 4/|/).
При наличии в цепи идеальной катушки индуктивности с
активным сопротивлением Лк = 0 при резонансе энергия из питающей
сети не потребляется.
Реактивная мощность цепи: 0= (2Ь - 0С= 1РВЬ - 1РВС= Ц2(ВЬ - Вс) = 0.
При смешанном соединении сопротивлений (см. рис. 3.4.1)
электрическая цепь при расчете приводится к виду рис. 3.4.4. Полное
сопротивление 2п участка цепи 7—2 может быть определено через
ее полную проводимость 2п = 1/Уп. При этом расчет электрической
92

щ
1]у.
\Шп
—С=1
Рис. 3.4.4
цепи со смешанным соединением сопротивлений сводится к
расчету простейшей электрической цепи с последовательным
соединением сопротивлений.
Если при последовательном соединении сопротивлений
векторная диаграмма строится начиная с комплексного тока /, который
является общим для всех сопротивлений, то при параллельном
и смешанном соединении сопротивлений векторную диаграмму
строят, начиная с вектора напряжения Цп на параллельном участке
электрической цепи.
Литература. [1] § 2.13-2.15; [2] § 2.17-2.19; [3] § 2.8-2.11.
Примеры решения задач
3.24. Определить полное 2, активное К, реактивное X
сопротивления, коэффициент мощности совф, индуктивность Ь и полную
мощность 1? катушки магнитного пускателя и потери мощности Ри
на перемагничивание его сердечника, если при напряжении V- 220 В
ток катушки 1=3 А, потребляемая катушкой мощность Р=36Вт,
активное сопротивление провода катушки /{, = 3,2 Ом.
Решение. Полная мощность катушки: *У= Ш= 220 • 3 = 660 В • А.
Сопротивления
полное: 2= 11/1= 220/3 = 73,5 Ом;
активное: К = Р/Р = 36/32 = 4 0м;
индуктивное: Хь = у/22 - К2 = ^З^2 - 42 = >/5390 -16 = 73 Ом.
Индуктивность: I = Хь/2к/= 73/(2-3,14-50) = 73/314 = 0,232Гн.
Коэффициент мощности: со$<р=Р/5= 36/660 = 0,0545.
Электрические потери мощности в проводе катушки: РЭ = 12К] =
= 32- 3,2 = 9 -3,2 = 28,8 Вт.
Потери мощности на перемагничивание сердечника (магнитные
потери мощности): />м = />-Рэ=36-28,8 = 7,2Вт.
93

3.25. В сеть переменного тока параллельно катушке
индуктивности включены конденсатор и резистор Кь соединенные между
собой последовательно (рис. 3.25, а). Определить ток /, в ветви
конденсатора, ток /2 в ветви катушки и общий ток в цепи /, построить
векторную диаграмму напряжений и токов, если напряжение
источника питания {/= 1/= 200В, а активные и реактивные
сопротивления: Д, = ЗОм; Л2 = 80м; ЛГ,=40м; Аг2 = 60м.
Решение. Полное сопротивление параллельных ветвей цепи:
2, = Я, -уХ, = (3 -у4) Ом; 22 = К2 +]Х2 = (8 +у6) Ом.
Проводимости параллельных ветвей:
1 1 3 + У4
Г, = -
1
1х з-я
1
(3 - у'4)(3 + уЧ)
8 - уб 8
= (0,12+уО,16)См;
уб
= (0,08 -у0,06) См;
у = _ _ _
-2 72 8 + уб (8 + ]6)(8 - уб) 82 + б2
где У, = (?, +у5, иГ2=С2 +7^; С, = 0,12; С2 = 0,08; Я, = 0,16; ^ = 0,06 —
активные и реактивные проводимости ветвей, См.
Полная проводимость цепи:
Г= 1\ + Г2 = 0,12 +7'0Д6 + 0,08 -./0,06 = (0,2 +у0,1) См,
где У- (У+уЯ; С, 5—активная и реактивная проюдимости цепи, См.
Комплексный ток в неразветвленной части цепи:
1=ЦУ= 200(0,2 +у0,1) = (40 +./20); С= 0,2 См; 5=0,1 См.
Ток в цепи: / = 7402 + 202 = 45 А.
Угол сдвига между общим током и напряжением: 1§ф = 2?/С=
= 0,1/0,2 = 0,5; ф = 26°33'.
Комплексный ток в ветви конденсатора:
1 = ЦУ, = 200(0,12 +у0,16) = (24 +у32) А.
Ток ветви конденсатора /, = >/242 + 322 = 40 А.
1 1
^ Т ^34
40 -+==-
й\т-к'\
а)
б)
Рис. 3.25
94

Угол сдвига между напряжением и током в ветви с
конденсатором: 1§ Ч>1 = В\1&\ = 0,16/0,12 = 1,33; ф! = 53°5' (угол отрицательный).
Комплексный ток в ветви катушки индуктивности:
12=ЦГ2 = 200(0,08 - 0,06) = (16 -у 12) А,
где С2 = 0,08 См — активная проводимость и В2 = 0,06 См —
реактивная проводимость ветви с катушкой. Ток в ветви катушки: /2 =
= л/162 +122 =20 А.
Угол сдвига фаз между током и напряжением в ветви катушки:
*8 ф2 = В2/С2 = 0,06/0,08 = 0,75; щ = 36°55'.
Проверка: /=/1 + /2 = 24 +у 32 + 16 -] 12 = (40 +у 20) А.
На рис. 3.25, б приведена векторная диаграмма напряжений и
токов для рассматриваемой цепи.
3.26. В условиях задачи 3.25 определить напряжение 1/^ между
точками 3 и 4 электрической цепи рис. 3.25, а, угол между вектором
приложенного напряжения Ц и вектором напряжения Ц24. Построить
топографическую диаграмму и определить графически напряжение
#34» а также это напряжение, если вместо индуктивного
сопротивления Х2 в цепь включено емкостное сопротивление Хс.
Решение. Комплексное напряжение Ц^ определяют из
уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для верхнего
замкнутого контура цепи:
Ых- ^з4-Д2/2 = 0 или 3(24 +./32)- ^34-8(16-у 12) = 0,
откуда 17з4 = (-56+у192)В.
Напряжение между точками 3 и 4 цепи: Ц^ = л/562 +1922 = 200 В.
Комплексные падения напряжения и напряжения на
резисторах /?! и К2:
Ц = Л,/, = 3(24 +./32) = (72 +у96) В,
откуда I/, = >/722+962 = 120 В; Ц2 = К^ = 8(16 -./12) = (128 -./96) В,
откуда И2= л/1282 + 962 =160В.
Комплексы напряжений на конденсаторах:
Цъ = -]ХС1} = -74(24 +./32) = (128 -у96) В,
откуда П3 = л/1282 + 962 = 160 В; Щ =-/й/2 =-у6(16 -у 12) = (-96 +./72) В,
откуда ^=>/962 + 722 =120 В.
Уравнение комплексных напряжений, составленное по второму
закону Кирхгофа:
Ц=Ц2+Ц< или ^=^ + ^3=[(72+у96) + (128-у96)]В,
откуда И^^Ш =200 В.
95

<г»Щ%&т
ч
и_ш
Рис. 3.27
На рис. 3.26 приведена топографическая диаграмма напряжений
для рассматриваемой электрической цепи.
Аргумент комплексного напряжения {/34:
-192
*8Фз4= -тт- =-3,43, откуда угол ф^ = -73°45'.
56
Угол между приложенным напряжением Ц и напряжением Цм:
поскольку вектор [/направлен по вещественной оси, ф= 180°-фз4 =
= 180°-73о45'=106°15', так как *§(180-а)=-1§а. Из приведенной
топографической диаграммы имеем: 17^ = 60 В.
3.27. В электрическую сеть переменного тока включена катушка
индуктивности с активным К и индуктивным Хь сопротивлениями,
параллельно которой для повышения коэффициента мощности со8 ф
включен конденсатор с емкостью С (рис. 3.27). Определить
показания вольтметра V, амперметра А и ваттметра IV, включенных в цепь,
если до включения выключателя В коэффициент мощности
установки соз ф] = 0,6, а после его включения соз щ = 0,92. Емкость
конденсатора, необходимая для улучшения коэффициента мощности в
указанных пределах, С=200мкФ (реактивная мощность конденсатора
(?с=3,2квар).
Решение. Так как емкость конденсатора С= Сс/(ео{72), то
показание вольтметра, включенного в цепь:
= 220В.
1314-200
Реактивная мощность конденсатора: Сс^^ЕФ^^Фг)» откуда
активная мощность катушки (показание ваттметра):
Ос Ос 3200
Р =
*8 Ф1 - *8 ф2 51П<Р1 _ «Пф2
СОЗ ф1 СОв ф2
где 81Пф,=0,8; 8Шф2 = 0,317.
96
М
0,6
0,317
0,92
= 3200 Вт = 3,2 кВт,

Ток в цепи до включения выключателя:
Р 3200
1Х = —-— = -^°_ = 24,3 А.
Ц сое ф] 220 • 0,6
Ток в цепи после включения выключателя:
со1ф1= ^ =
С08 ф2 0,92
Активная составляющая общего тока / остается неизменной до
и после замыкания выключателя, поэтому: 1Л = 1} созср, = /,' соз ч^.
3.28. В электрической цепи синусоидального тока с
напряжением питания 1/= 100 В (рис. 3.28) возможны два соединения
элементов: последовательное соединение резистора К с конденсатором С,
обладающим емкостным сопротивлением Хс (сплошные линии), и
параллельное соединение резистора К' с конденсатором С,
обладающим емкостным сопротивлением Хс (пунктирная линия).
Определить токи I и Г для каждой из цепей и
соотношение Кг между этими токами, если
сопротивления: Л = Л' = ЗОм; ХС = ХС=
= 4 Ом.
Решение. Полное сопротивление
последовательной цепи (сплошные линии):
г = у!к2 + хс = 4Т+# = 5 ом.
Ток в последовательной цепи:
1=Ц/г= 100/5 = 20 А.
Рис. 3.28
Активная проводимость первой ветви при параллельном
соединении (пунктирные линии): С'= 1/Л' = 1/3 См. Реактивная
проводимость второй ветви при параллельном соединении: Вс = 1/Хс= 1/4 См.
Составляющие тока первой параллельной ветви:
активная /; = 110' = 100 -1/3 = 33,3 А,
реактивная Гс = 11ВС = 100 • 1/4 = 25 А.
Ток в неразветвленной части параллельной цепи:
/' = у1(1'я)2 + (1с)2 = л/3332 + 252 = л/1099 + 625 = 41,5 А.
Соотношение между токами при параллельном и
последовательном соединении сопротивлений: АГ7 =/'//= 41,5/20 = 2,07.
3.29. В электрическую цепь переменного тока включены два
электродвигателя АГ, и М2 (рис. 3.29, а). Определить ток /в цепи и общий
коэффициент мощности со8 ф, построить векторную диаграмму
токов /„• /2, / и напряжения Ц9 если электродвигатели имеют
номинальные данные: Р1ном = 7,35 кВт; #1шш = (72ном = 110 В; л1ном = 0,8;
со8ф1ном = 0,75; Р2жш= 14,6 кВт; тЪж,м = 0,85; со8 ф2Н0М = 0,9.
7-4359 97

о—О-
ч5Н Ч§Н
а)
Рис. 3.29
Решение. Мощность, потребляемая электродвигателями при
номинальной нагрузке:
7,35 • 103
*д1 ■* 1 ном/ 41 ном ~~
0,8
: 9200 Вт;
^д2 = ^„омЛЪном = ^щ^- = 17 318 Вт.
Номинальные токи электродвигателей:
/1„ом = ^1/(^„омСО8ф1ном) = 9200/(110.0,75) = 111,52А;
Л„ом = А2/(^2номС08ф2ном) = 17 318/(110.0,9)= 174,85 А.
Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи приведена на
рис. 3.29, б.
Общий ток в цепи находим исходя из векторной диаграммы:
I - л/Лном + Лион ~ 2/1„ом^2ном С08 (фЫом "" ф2ном) ~
= Л/(Ш,522) + (174,852)-2.111,52-174,85 •со8(41о20'-25о50') =285 А.
По со8 ф1ном = 0,75 и со8 ф2„ом = 0,9 находим соответствующие углы:
ф1ном = 4Г21' и ф2ном = 25°50'.
Общий коэффициент мощности цепи:
Рд1+Рд2 9200 + 17 318
совфо = ——— = = 0,845,
#1ном/ 110-285
откуда ф0 = 32°20/. Аналогичный результат получается, если со8ф0
определить через токи:
С08 ф0
Лном С08ф1ном + /2ном С08ф2н
111,52 «0,75+ 174,18» 0,9
285
= 0,845.
3.30. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.30, а)
определить показания амперметров А, А„ А2, углы сдвига фаз ф,
Ф, и фг между соответствующими токами /, /, и /2 и напряжением II,
построить векторную диаграмму токов и напряжения, если
питающее напряжение 11= 120 В, а активные и реактивные сопротивления
цепи: Л, =2 Ом; Д2=Юм; Хь = 6 Ом; ЛГс = 9,95 0м.
98

<0 б)
Рис. 3.30
Решение. Полные сопротивления ветвей цепи:
2Х = ЩТХ\ = >/22+62 = 6,23 Ом;
2г = 4% + XI = VI2 + 9,952 = ЮОм.
Углы сдвига фаз между токами и напряжениями
соответствующих параллельных ветвей:
со8ф1=А™ = о,316; Ф, = 71°35';
/>\ 6,32
С08ф2 = А = 1 = 0,1; ф2 = -84°15'.
Г2 22 ю " Г2
Показания амперметров А} и А2 в параллельных ветвях:
/, = 0/21 = 120/6,32 = 19 А; /2 = 0/^ = 120/10 = 12 А.
Активные составляющие токов в параллельных ветвях:
/т1 = /,со8ф, = 19-0,316 = 6,01 А, /а2 = /2со8ф2= 12-0,1 = 1,2А
Реактивные составляющие токов в параллельных ветвях:
/р1 = /, Ш1ф1 = Л ^ = 19-*- = 18,01 А;
2*1 0,32
/р2 =/28Шф2 = /2^- = 12^ = 11,93А.
р Т 2 22 10
Активные и реактивные составляющие общего тока:
/а = /а1 + /а2 = 6,01 + 1,2 = 7,21А; /р = /р1 + /р2= 18,01- 11,93 = 6,8А.
Общий ток в цепи:
/ = 4Н + 11 ±л/7,212+6,082 = 9,43 А.
Угол сдвига фаз между током / и приложенным напряжением Ц\
соз ф = Д//= 7,21/9,43 = 0,765; ф = 40°10/.
Векторная диаграмма токов и напряжения для данной
электрической цепи дана на рис. 3.30, б.
?* 99

3.31. Задачу 3.30 решить методом проводимостей.
Решение. Значения величин полных сопротивлений 2Ь 2^,
токов /„ 12 и коэффициентов мощности созф,, со8ф2 определяются
методом, изложенным выше.
Активные и реактивные проводимости параллельных ветвей:
0=0} + С2 = Кх/2] + Кг/2% = 2/6,322 + 1/102 = 0,06 См;
В=В] + В2 = Хь/22 - Хс/2\ = 6/6,322 = 9,95/102 = 0,05 См;
Полная проводимость всей цепи:
У = у№2+В2 + Д062+0,052 = 0,0784 См.
Общий ток в цепи:
/=#У= 120-0,0784 = 9,4 А.
Угол сдвига фаз между общим током / и приложенным
напряжением II:
соз ф = С/У= 0,06/0,0724 = 0,765; ф = 40°10'.
3.32. Задачу 3.30 решить графическим методом.
Решение. Значения величин полных сопротивлений, токов
и коэффициентов мощности 2Ь 22, /,, /2с°8Фъ созф2 определяют
методом, изложенным выше.
Общий ток определяют из векторной диаграммы напряжений
и токов для данной электрической цепи (рис. 3.30) исходя из
обобщенной теоремы Пифагора:
/ = ^1\ + 1\ - 2/1/2 соз (ф! - ф2) =
= 7192 +122 - 2 -19 • 12 соз (71°35' - (-84°15')) =
= 7361+ 144-456 соз 155°50' = 9,43 А,
так как соз 155°50' = соз (180° - 155°50') = соз 24°10' = -0,912.
Коэффициент мощности всей цепи:
.Л соз ф! + 12 соз фг 19 • 0,316 + 12 • 0,1 Л _ , _
СОЗ ф = — - - — = ■ = 0,765.
^ / 9,43
Угол сдвига фаз: ф = 40°10/.
3.33. Определить резонансную частоту /0, полное сопротивление
2 и токи /, /,, /2, построить векторную диаграмму для резонансной
частоты в электрической цепи рис. 3.33, а. Индуктивность катушки
/, = 0,5 Гн, активное сопротивление резистора Л = 30 Ом, емкость
конденсатора С=50мкФ, напряжение питающей сети # = 60 В.
Определить те же величины при частотах / равных 0,5; 0,75; 1,25;
1,5 резонансной частоты /0, построить графики зависимости токов
и проводимостей от относительной частоты переменного тока, т. е. /,
/„ /2(/с>, в19 вС9 у, а//).
100

о)
В,Г,См;1Л
1<Г2хГ
1,5К
1
0,5)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
■°о.
/1Ч
к>
7>
Уу
&
Г%с
,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 /<//
е)
Рис. 3.33
Решение. Резонансная частота:
/. = ^-^Щ = '1-1^-221 ='зо,4 Гц.
У 2к\ЬС I? 2-3,14^0,5.50 0,52
Проводимости первой параллельной ветви:
я я зо
активная (/!= — = -
х/0Ь = 2- 3,14 -30,4 -0,5 = 95,2 Ом;
*1 = 95,2
2} 302 + 95,22
реактивная Вь = т
302 + 95,2
= 0,00952 См.
г = 0,003 См, где Хь = 2% х
Реактивная проводимость второй параллельной ветви:
хс хс 1 1
^2 ^С
где Хс = — = ——
юС 2я/0С
*с 104,5
= 0,00952 См,
1
2 • 3,14 • 30,4 • 50 • 10"6
= 104,5 Ом.
Полная проводимость цепи:
У = ^^(В^Вс)2 = д/0,0032 + (0,00952 - 0,00952)2 = 0,003 См.
Полное сопротивление всей цепи:
= 334 Ом.
У 0,003
Общий ток в цепи: /= 117= 60 • 0,003 = 0,18 А.
Токи:
в первой ветви 1Х = ЦУХ =1/ — = 60 , = 0,6 А,
* 2Х ^ЗО2 + 95Д2
во второй ветви /2 = 1С = 11У2 = 60/ЛГс=60/104,5 = 0,574 А.
Составляющие тока первой ветви:
активная /а1 = <7С, = 7=60 0,003 = 0,18 А;
реактивная: 1Ь = 1/В1 = 60 • 0,00952 = 0,574 А.
101

Хс = ~^— = — — = 209 Ом.
Реактивный ток второй ветви: 1С= 1/Вс= 60 -0,00952 = 0,574А.
Векторная диаграмма при резонансе токов приведена на рис. 3.33, б.
Определение указанных величин при других частотах
производится так же, как это сделано выше для частоты/=0,5^ = 0,5-30,4 =
= 15,2 Гц.
Индуктивное сопротивление катушки: Хь = 2я/Х = 2 • 3,14 • 15,2 • 0,5 =
= 47,6 Ом.
Емкостное сопротивление конденсатора:
1 1_
2п/С ~ 2 • 3,14 • 15,2 • 10"6
Активная проводимость первой параллельной ветви:
О, = А = — = 0,0095 См, где 2} = К2 + Х\ = 302 + 47,62 = 3132 Ом;
2\ 3132
реактивная проводимость первой параллельной ветви:
Вь = Ц = —1^_ = 0,0166 См.
72 302+47,62
Реактивная проводимость второй параллельной ветви:
Вс=^т = — = — = 0,00475 См, где Хс= — = ! = 209Ом.
722 Хс 209 соС 2я/50-106
Полная проводимость цепи:
У = т1С2+(Вь-Вс)2 = 70,00952 + (0,0166 - 0,00475)2 = 0,0107 См.
Общий ток в цепи: /= 1/7= 60 -0,0107 = 0,64 А.
Ток в первой параллельной ветви:
/, = цу, = Ц± = 60-=!== = 10,4 А.
2Х у/302 + 47,62
Ток во второй параллельной ветви:
12 = /с= 11У2 = 60/2с=60/209 = 0,287 А.
Результаты расчетов сведены в табл. 3.4, по данным которой на
рис. 3.33, в построены графики /, /,, /с, Вь, Вс, У у , т. е.
зависимости токов и проводимостей данной электрической цепи от
относительной частоты переменного тока.
3.34. Разветвленная электрическая цепь однофазного тока,
питающаяся напряжением 1/= 124 В (рис. 3.34, а), состоит из трех
ветвей, соединенных параллельно, измерительных приборов и
выключателей Вх — Ву Для определения параметров цепи вначале: а)
включили резистор Я и произвели замер тока / и мощности Р при
отключенных катушке индуктивности Ь и конденсаторе С. Затем
произвели аналогичные замеры при включении только: б) катушки;
102

Таблица 3.4
Хи Ом
Хс, Ом
<?„ См
Ви См
Вс, См
Г, См
/, А
/„А
/с, А
/=0,5/0 =
= 15,2 Гц
47,6
209
0,0095
0,0166
0,00475
0,0107
0,64
1,04
0,287
/=0,75/,=
= 22,8 Гц
71,5
139,4
0,005
0,0119
0,00718
0,00685
0,41
0,784
0,43
/=!/• =
= 30,4 Гц
95,2
104,5
0,003
0,00952
0,00952
0,003
0,18
0,6
0,574
/=1,25/в =
= 38 Гц
119,4
83,5
0,00197
0,00785
0,012
0,0047
0,282
0,487
0,72
/=1,5/.=
= 45,5 Гц
142,8
69,7
0,0014
0,0067
0,01436
0,0077
0,462
0,41
0,86
Таблица 3.5
Измерения
Пункты
задания
а)
б)
в)
г)
д)
е) |
1 7*
1 А
1,21
2,25
0,98
2,75
1,61
2,48
0,68
0,55
0,52
2,13
А.
А
1,21
0
0
1,21
1,21
0
0
0
0
0
А
0
2,25
0
2,25
—
2,28
2,28
2,28
2,28
2,28
А
0
0
0,98
0
1
0,39
1,7
215
2,25
4,12
Л
Вт
150
56,2
0
209
150
65
65
65
65
65
Результаты вычислений
Ом
102
55,1
126,3
45
77
50
182,3
225,5
236
58,3
А,
Ом
102
—
102
102
_
_
—
Ом
55,1
—
55,1
—
55
55
55
55
55
Ом
11,1
11,1
11
и
11
11
11
Ом
54
—
54
—
54
54
54
54
54
Хс>
Ом
—
126,3
124
320
73
57,7
55
3,01
с,
мкФ
—
25
25,6
10
43,6
55,3
57,8
106
С08 9к
0,2
—
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
С08ф
—
_
—
—
0,212
0,66
0,946
1
0,247
в) конденсатора; г) резистора и катушки; д) резистора и
конденсатора. После этих замеров: е) включили катушку и конденсатор и,
изменяя величину емкости С конденсаторов, записали показания
приборов с таким расчетом, чтобы получить токи до и после
резонанса, а также при резонансе, который определялся по
наименьшему общему току / цепи (табл. 3.5).
Определить параметры катушки индуктивности и конденсатора
цепи, построить векторную диаграмму токов и напряжения и
кривые изменения тока /, общего коэффициента мощности созср,
полного сопротивления 2 цепи в зависимости от емкости С
конденсатора.
103

б)
ДОм воз ф 1,А
240
200
160
120
80
40
1
0,9
0,8
0,7
кб
Г0,5
гол
- 2
"1,6
"1,2
-0,8
-0,4
\
\
у
/
/
V/
\
/
Со
л
' 1
А
м
!
\
л
\
-/
у
л
\
■У
/
г
\сОУф
2
О 20 40 60 80
д)
Рис. 3.34
100 С, мкФ

Решение. По данным п. б) табл. 3.5 полное сопротивление
цепи: 2= 11/1= 124/2,25 = 55,1 Ом (полное сопротивление катушки).
Сопротивление катушки:
активное Лк = -г- = —Цг = 11,1 Ом;
1\ 2,252
индуктивное ^ = 4%\ - Лк2 = 755,12-11,12 = 54 Ом.
Коэффициент мощности катушки: со8фк = Д/2* = 11,1/55,1 =0,2.
По данным п. г) табл. 3.5 полное сопротивление цепи: 2= 11/1=
= 124/2,75 = 45 Ом. Активное сопротивление первой ветви: Л = Ц/1Х =
= 124/1,21 = 102 Ом.
Активная проводимость:
первой ветви: Ох = — = — = 0,0098 См;
* Я 102
второй ветви: С2 = 1и21 = 11,1/55,12 = 0,0037 См.
Активная мощность:
первой ветви: Р, = «72С, = 1242 • 0,0098 = 150 Вт; '
второй ветви: Р2 = 1/2в2 = 1242• 0,0037 = 57,5Вт;
всей цепи: Р= Рх + Р2 = 150 + 57,5 = 207,5 Вт, что близко к
показанию ваттметра Р= 209 Вт (см. п. г) табл. 3.5).
По данным п. д) табл. 3.5 полное сопротивление всей цепи:
2= #//=124/1,61 = 77 Ом.
Емкостное сопротивление третьей ветви:
ЛГс=г///3= 124/1 = 1240м.
Емкость конденсатора:
С = — = —5— = = 0,0000256 Ф = 25,6 мкФ.
тХс 2п/Хс 2-3,14.50.124
Активная мощность цепи: показание ваттметра Нравно
активной мощности первой ветви Р, = Р= 150 Вт.
По данным п. е) табл. 3.5 (последний замер):
Полные сопротивления:
цепи: 2= С//= 124/2,13 = 58,3 Ом;
катушки: 2К = 1//12 = 124/2,28 = 55 Ом.
Емкостное сопротивление третьей ветви: А^= II/13 = 124/4,12 = 30,1 Ом.
Емкость конденсатора:
С = — = —1-— = 0,000106 Ф = 106 мкФ.
(оХс 314-30,1
Коэффициент мощности всей цепи:
соз ф = Р/Ш= 65/(124 - 2,13) = 0,247.
Для построения векторной диаграммы при резонансе
определяют проводимости и токи катушки.
Проводимости второй ветви:
активная 02 = 0,0037 См;
реактивная Вь=Ц-= *1 , = ,54 , = 0,0179 См.
2\ К\ + Х\ 112+542
105

Токи катушки:
активный: /ак= 1/0= 124 -0,0037 = 0,46 А, что близко к значению
/0 = 0,525 А, так как при резонансе /=/ак;
реактивный: 1Ь = 1/Вь = 124 • 0,0179 = 2,22 А.
На рис. 3.34, б— г приведены векторные диаграммы токов при
резонансе и после резонанса.
Емкость конденсатора при резонансе:
ыХс 314-55
= 0,0000578 Ф = 57,8 мкФ.
На рис. 3.34, д приведены кривые изменения общего тока /,
общего коэффициента мощности созф, полного сопротивления 2
от емкости С конденсаторов (см. п. е) табл. 3.5).
3.35. Определить активную Р, реактивную 0 и полную *У
мощности электрической цепи (рис. 3.35), если токи: ^ = 5 А, 12 = ЗА,
/, = 4 А, а активные и реактивные сопротивления: К} = 10 Ом, К2 = 6 Ом,
Л3 = 5 0м, А1 = 8 0м, *с=5,6 0м.
Решение. Активная мощность цепи:
Р= Ъ + Р2 + Р3 = 1^ + ЦК2 + ЦК3 =
= 52-10 + 32.6 + 42-5 = 250 + 54 + 80 = 384Вт.
Мощности цепи:
реактивная: 0 = <2Ь- ес=/2Х1-/^с=32-8-42-5,6 = 72-89,6 =
= -17,6 вар;
полная 5 = у1Р2 + <22 = 73842 + (-17,62) = 385 В - А.
3.36. Определить показания ваттметра Ж в электрической цепи
(рис. 3.36) при замкнутом и разомкнутом выключателе В, если
напряжение источника питания 47= 100 В, активное и реактивное
сопротивления: К = Хи = Х12 = Хс = 5 Ом.
Решение. В данном случае в электрической цепи имеет место
резонанс напряжений. Полное сопротивление цепи при
разомкнутом выключателе:
2 = у1К2+(ХЬ1-Хс)2 = ^/52+(5-5)2 = 5 Ом.
/?1
Рис. 3.35
Рис. 3.36
106

Ток в цепи при разомкнутом выключателе: /= 11/2= 100/5 = 20 А.
При этом показание ваттметра Р=Л/2 = 5-202 = 2000Вт = 2кВт.
Показание ваттметра при замкнутом выключателе: Р=КР =
= 5-0 = 0 Вт, так как на параллельном участке цепи имеет место
резонанс токов и ток в цепи резистора К не протекает.
3.37. В электрической цепи переменного тока (рис. 3.37) найти
распределение токов и показание вольтметра К при замкнутом и
разомкнутом выключателе В. Сопротивления резисторов: К} = К2 =
= К3 = ХЬ = 5 Ом, приложенное напряжение V-100 В. Задачу решить
методом комплексных чисел.
Решение. Сопротивления ветвей цепи при замкнутом
выключателе: 2; = Д1 + Л3 = 5 + 5 = 10Ом; 2г2 = Л2 = 50м.
Токи в ветвях: /, = И/2, = 100/10 = 10А; /2= Ц/22 = 100/5 = 20А.
Ток на неразветвленном участке цепи в соответствии с
уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа для узловой
точки цепи: /=/, + /2 = 10 + 20 = 30 А. Показание вольтметра: 1/3 = Л3^ =
= 5-10 = 50 В.
Комплексные сопротивления ветвей при разомкнутом
выключателе:
2Х = К] + К2 = 5 + 5 = 10 Ом; 22 = К2 ^'Хь = (5 +у5) Ом.
Токи в ветвях при разомкнутом выключателе:
/1 = Ш2Х = ЮО/10 = 10 А; /2 = 1Ц22 = 100/(5 +у5) =
100(5 - у'5) 100(5 - у5)
(5 + У5)(5 - ]5) 52 + 52
= (10-УЮ) А,
откуда 12 = л/102 +102 = 14,1 А,
Ток в неразветвленной части цепи:
/=/1+/2 = Ю + (10-Л0) = (20-Л0)А,
откуда / = л/202 +102 =1075 А.
В соответствии с уравнением электрического равновесия,
составленным по второму закону Кирхгофа для нижнего замкнутого
контура:
Л3/,-уАг1/2+С/в = 0, отсюда ЦЬ = -К31]+]ХЬ12 =
= -5 10+у5(10-./10)=/50В,
откуда {/В = 50В.
3.38. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.38)
определить напряжение 1/]2 между ее точками 1 и 2, а также режимы
работы источников питания, если ЭДС Я, = 50еу60В; 2^ = 100еуз° В,
активное и реактивное сопротивления: Л = 5 0м; ^ = 5 Ом.
107

К 1 &ь
Ф-
Мп Ф&
Рис. 3.37
2
Рис. 3.38
Решение. ЭДС, действующие в цепи, представлены в
тригонометрической форме записи:
Е, = 50еу60° = 50 (соз 60° +у зш 60°) = 50
Е2 = ЮОе'30" = 100 (соз 30° +у з1п 30°) = 100
0,5 +У — ] = (25 + у25Л)В;
—+ у0^] = (50л/3 + у50)В.
Комплексный ток в цепи в соответствии с уравнением
электрического равновесия напряжений, записанным по второму закону
Кирхгофа:
Е^Е2 = (К^ХЬ)1 откуда /=|^ =
(25 + 725^3) - (50Л + у50) 5 + у5 • -Л - 107з - у!0
5 + У5
(5 + }Ъ Л - 10Л - }Ю)(1 - ])
1 + У
= (-6,84 + у5,46)А.
(1 + 7X1-Л
Комплексное напряжение Ц_хъ действующее между точками 1
и 2 цепи, находим исходя из уравнения электрического равновесия
напряжений, составленного по второму закону Кирхгофа для
левого замкнутого контура цепи:
Е, = К1+Цп,
откуда Цп = Ех - К1 = 25 +У25Л - 5(-6,84 +у5,46) =
= (59,2+у 15,9) В,
откуда напряжение \]п = 759,22 + 15,9* = 61,1 В.
Комплексные мощности источников питания цепи:
& = Е\Г = (25 +У25Л )(-6,84 -у5,46) = 171 -у296 -у137 + 236 = (407 -
-у433)ВА (источник ЭДС Ех работает в режиме генератора
электрической энергии, так как активная мощность имеет
положительное значение (Р>0));
108

52 = -Ы* = -(50Л +у 50)(-6,84 -у 5,46) = -590 -у 343 -7473 + 273 =
= (-317-у816) В-А (источник ЭДС Е^ работает в режиме
потребителя электрической энергии, так как активная мощность имеет
отрицательное значение (Р<0)).
3.39. Определить токи /, и 12 в ветвях, напряжения 1/} — 1/4 на
резисторах К^ — К3 и на индуктивном сопротивлении Хь, а также
напряжение 1/и, действующее между точками 1 и 2 электрической
цепи рис. 3.39, а. Напряжение источника питания 11= 100 В,
сопротивления резисторов: Л, = 3 Ом; К2 = 8 Ом; Л3 = 2 Ом, индуктивное
сопротивление Хь = 6 Ом. Построить векторную диаграмму напряжений.
Решение. Комплексные сопротивления параллельных ветвей:
21 = К} + Л3 = 3 + 2 = 5 Ом; 22 = Л2 +7*1. = (8 +76) Ом.
Ток в ветви с резисторами К] — К2:
/1 = -^=Ш^ = 20А, откуда /=72^ = 20 А.
Комплексный ток в ветви резистора К2:
г _ И. _ ЮР _ 100(8-76) _ ,« -ч д
-2"1;-"^7б-(8 + уб)(8-у6)-(8 УЬ,Ав
отсюда /2 = 782+62 = 10 А.
Комплексное напряжение, действующее между точками 1 и 2
цепи, определяем из уравнения, составленного по второму закону
Кирхгофа для верхнего правого контура:
212-^1/1 + ^2/2 = 0 или Ц2 = 3-20-8(8-76) = (-4+748) В,
отсюда 1/,2=л/42+482 =48,1 В.
Напряжение на резисторах Кь К3 и Л2 17, = /{,/, = 3-20 = 60В,
откуда 17, = 60В; <73 = Д3/1 = 2-20 = 40 В, отсюда 173 = 40В; Ц2 = К212 =
= 8(8-76) = (64-748) В, откуда С/2 = 7б42+482 =80 В.
«; б)
Рис. 3.39
109

Напряжение на индуктивности Ь:
Ц* =У'^/2 =7 6(8 -76) = (36 +У48) В,
4 '1%. I 'I) О*
откуда 1/4=л/362+482=60В.
Векторная диаграмма напряжений для рассматриваемой цепи
приведена на рис. 3.39, б.
3.40. Определить токи /, — /3 в ветвях электрической цепи
переменного тока (рис. 3.40), если ЭДС источников питания е,=
= 60-У2 -зтЬ/; Е2 = 60 В; активное и реактивные сопротивления:
Л3 = 20Ом; ЛГ,=ЛГ2 = 30 Ом, ЛГ3 = 20Ом.
Задачу решить методом контурных
токов.
Решение. Амплитудное и
действующее значения ЭДС источника пи-
ГЬ ^'''А\г™'; ±Р3 тания Ех: Е]т = 60^Ъ, Е, = Еы/42 =
Ц)ЕХ _Ч^_Т =60л/2/Л = 60В.
* В соответствии с принятыми на схе-
Рис. 3.40 ,„ ме рис. 3.40 положительными
направлениями контурных токов составляют
по числу контурных токов уравнения в соответствии со
вторым законом Кирхгофа. При этом для левого замкнутого контура
имеем:
% + &=](%-Х2)1и-(-]Х2)122
или 60-60=у(30-30)/п-(-у30)/22, отсюда у30/22 = 0.
Для правого замкнутого контура:
-Ег = Я3122 -](Х2 + *3)/22 - ПХ2)1и
или 60 = 20/22-у(30 + 20)/22-(-у30)/11, откуда уЗО/,, = 60.
В результате решения полученных уравнений определяют
контурные токи: /22 = 0; /п=у'24, откуда /„=2 А; /,=/„ = 2 А; /3=/22 = 0.
Ток в общей ветви смежных контуров находят в соответствии
с уравнением для токов, составленным в соответствии с первым
законом Кирхгофа для узла разветвления цепи: /2 = /22-/п = 0-у2 =
= -у'2А, отсюда /2 = 2А.
3.41. Для последовательно-параллельной электрической цепи
переменного тока (рис. 3.41, л) определить токи /, /,, 12 на всех
участках цепи, активную Р, реактивную 0 и полную 5 мощности цепи.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов. Напряжение
питания 11= 127 В, активные и реактивные сопротивления цепи:
Л=2 Ом; Л, = 15 Ом; Л2=10Ом; ^=10 Ом; ^, = 10 Ом; ХЬ2 = 20 Ом;
Хс=2 0м; *С1 = 20Ом; *С2 = 30Ом,
по

а)
Уп/ф^Р*
Рис. 3.41
Решение. Полные сопротивления:
первой параллельной ветви:
2Х = ^Я2х+(Хи-Хсх)2 = л/152 +(10-20)2 = 7^25 = 18 Ом;
второй параллельной ветви:
22 = ^К\ + (ХЬ2-ХС2)2 = 7Ю2 + (20-30)2 = Лоо = 14,1 Ом.
Активные проводимости:
первой параллельной ветви: Ох = Кх/2х = 15/182 = 0,046 См;
второй параллельной ветви: 02 = К2/22 = 10/14,12 = 0,05См.
Суммарная активная проводимость параллельного участка цепи:
Оп = 6Х + С2 = 0,046 + 0,05 = 0,096 См.
Реактивные проводимости:
первой параллельной ветви: Вх =
второй параллельной ветви: В2 =
Хц - Хсх 10 - 20
Хы ~ Хс2
(>/325)2
20-30
А
= -0,0308 См;
= -0,05 См.
(7200)2
Общая реактивная проводимость параллельного участка цепи:
Вп = ВХ + В2 = -0,0308 - 0,05 = -0,081 См.
Полная проводимость параллельного участка цепи:
Уп = 73Г+Ж = л/(0,096)2 + (-0,081)2 = 0,125 См.
Полное сопротивление этого участка цепи: ^12= 1/1^=1/0,125 =
= 8 Ом. Сопротивления параллельного участка цепи:
—— = 6,1 Ом;
активное К12 = -у
^12
0,125'
0,081
реактивное XХ2 = -^- = г = -5,16 Ом.
Р 12 У^ 0Д252
Активное и реактивное сопротивления всей цепи:
Лц = Д + Кп = 2 + 6,1 = 8,1 Ом;
Л; = ЛГ1 + (-ЛГ12) + (-Агс) = 10-5,1б-2 = 2,84Ом.
111

Полное сопротивление всей цепи:
2ГЦ = ЩТХ1 = д/8Д2 + (2,84)2 = 8,5 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи:
1=1//2ц = 127/8,5 = 15 А.
Напряжения на отдельных участках цепи:
0г3| = 12ъх = 1^Ю+Х1 = 15л/22+12 = 33,7 В;
Д2 = /2|2= 15-8= 120 В;- <724 = /ДГс= 15-2 = 30 В.
Токи:
в первой параллельной ветви: /, = 11Х2/2Х = 120/18 = 6,66 А;
во второй параллельной ветви: 12 = 11Х2/22 = 120/14,1 = 8,5А.
Коэффициенты мощности всей цепи:
соз Ф = Кп/2Ц = 8,1/8,5 = 0,96; [апф = ^ = -— = -0,725
^ 2ГЦ 8,5
Коэффициент мощности участка 3—1 цепи:
соз фз1 = КЗХ/2ЗХ = 2/75 = 0,9
8Шфз1 = — = ■]= = 0,448, откуда ф31 = 26°4<У
Коэффициент мощности участка 1—2 цепи:
для первого параллельного участка: соз ф{2 = РХ/2Х = 15/18 = 0,83
I 8Шф{2 = — = —^— = -0,54; ф[2 = -33 I;
для второго параллельного участка: соз ф12 = Лз/^ = 10/14,1=0,7
(шхрй = ^*3. = ^ = -0,7; ФГ2 = -45°];
для всего участка 1—2 цепи: соз ф12 = РХ2/2Х2 = 6,1/8 = 0,76; зт ф12 =
= *12/712=-5,16/8 =-0,642; ф12 = -40°.
Коэффициент мощности участка 2—4 цепи: соз ф^ = Р2л/22Л = 0/Хс=0
(зтф24 = -1).
Активная мощность отдельных участков цепи: Рзх = Шъх соз фз1 =
= 15-33,7-0,9 = 505 Вт; Р12 = Ш12созф12 = 15-120-0,76 = 1370 Вт; Р24 =
= Л724созф24=15-300 = 0.
Суммарная активная мощность всей цепи: Р=РЗХ + РХ2 +Р24 =
= 505 +1370 + 0 = 1875 Вт.
Реактивная мощность отдельных участков цепи: 0ЪХ = Шъх зт срз] =
= 15 - 33,7 • 0,448 = 227 вар; (?12 = Шх2 зт ф12 = 15 ■ 120(-0,642) =-1150 вар;
(?24 = ^^24 зт Ф24 = 15 • 30(-1) = -450 вар.
Суммарная реактивная мощность всей цепи: (?= С/,4/зтф =
= 127 ■ 15(-0,725) = -1380 вар.
Векторная диаграмма для электрической цепи дана на рис. 3.41, б.
112

3.42. Определить напряжение 11хъ
действующее между узлами 1—2
электрической цепи переменного тока (рис. 3.42).
ЭДС источников питания: _?! = 200е~72 В;
2?2 = -100еу2, активные и реактивные
сопротивления: Кх = 3 Ом; Хх = 4 Ом; К2 = 6 Ом;
Х2 = 8 0м; Л3 = 5 0м, ЛГ3 = 3,3 0м. Задачу
решить методом узлового напряжения.
Решение. Комплексные значения
ЭДС, действующих в цепи:
Ех = 200е"у ^ = 200(со8 я/2 -у яп п/2) =
= 200(0~у1)=-у200В,
Е2 = - 100еу * = - 100(со8 п/2 +у 8Ш п/2) =
= -100(0+у1) =-7100 В.
Комплексные сопротивления ветвей цепи: 2Х = Кх +}ХХ = (3 +у4) Ом;
2г = К2 +}Х2 = (6 +у*8) Ом; 2Ъ = Л3 +.Дз = (5 +У3,3) Ом.
Комплексные проводимости ветвей цепи:
= (0,12-уО,16)См;
= (0,06 -у0,08) См;
(0,138-0,092) См.
Комплексные токи в ветвях цепи в соответствии с уравнениями
электрического равновесия, составленными по второму закону
Кирхгофа для замкнутых контуров цепи:
ЕХ = (КХ+]ХХ)ГХ- уХ2 = 2х1х- ЦХ2;
Е2 = (Д2 + А)/2 - ЦХ2 = 2212 - ЦХ2\ ЦХ2 + 2313 = 0,
откуда 1Х = -'^-" =1,1?, + ^ й2 = (0,12 -у0,16)(-у200) +
+ (0,12 -УЙ6)Й2 = (-32 -У24) + (0,12 -У0,16)#12;
/, = ~2*~12 = У2=^ + У2#12 = (0,06 -у0,08)(-у 100) + (0,06 -у0,08)(/12 =
1г =
I
Ь
I
I
~ 5
1
3 + у4
1
~ 6 + у8
1
+ ЛЗ
3-У4
(3 + ,4)(3 -
6-У8
(6 + у8)(6 -
5-АЗ
(5 + уЗ,3)(5 -
У4)
•У8)
У'3,3)
3-
= 32
6-
= 62
5
~52
У4
*-42
-У8
+ 82
-АЗ
+ зз2
ь
= (-8-у6) + (0,06-у0,08)ЬГ12;
/з= ^ =-Гз^,2 = -(0,138-У0,092)^12;
~з
Комплексное напряжение #12, действующее между узлами 1 и 2
цепи, находим с помощью уравнения, составленного по первому
8-4359 113

закону Кирхгофа для узла / цепи: /, + /2 — /3 = 0. отсюда, подставляя
значения комплексных токов, получим:
откуда Цп= у1+1л+1з ■
Подставляя числовые значения токов, имеем:
и 40 + уЗО = (40 + у30)(0,32 + у0,33) = -2,9 + У22,8 _ д | д
~12 0,32-АЗЗ (0,32 - у0,33)(0,32 + у0,33) 0,322 + 0,332 "
откуда (712 = Д52+1142=114,9В.
3.43. Найти распределение токов для электрической цепи
переменного тока (рис. 3.43). ЭДС источников питания 2^ = 22^ =100 В,
активные и реактивные сопротивления: 2?, = К4 = Х2 = Х3 = А^ = 10 Ом.
Внутренним сопротивлением источников питания пренебречь.
Решение. Комплексные проводимости ветвей цепи:
Г, = 1/^ = ^ = 0,10*; У2=1/уТ2=1/у10=-^=-уО,1См;
Уз= — = -Ц = -тг- =./0,1 См;
-3 -У*3 "У10 -ЯОУ
У - 1 - 1 - (10-УЮ) _ Ю-УЮ _ /0 05 - /0 05^ См
14 " *< + у*4 " Ю + У10 " (10 + У10)(10 - уЮ) ~ 102 + 102 " <0'05 ^'05> СМ'
Комплексное напряжение, действующее между узлами 1 и 2
цепи:
ц ЖгЬ+^зЛз = ЮО(-УОД)-ь 100(У0Д) = -УЮ + УЮ =р
"12 II + И2 + Ь+14 °Д - У0Д + У0Д + 0,05 - у0,05 ОД5 - у0,005
Ток в ветви с сопротивлением Х2 находят из уравнения,
составленного по второму закону Кирхгофа:
Е2=Ип+]Х21л; /2=^^ = ^ =-уЮА или /2=10А.
Ток в ветви сопротивления Хъ:
Еъ = -]Хъ1г + Цп\ /з= ^#11 = -^г =-Д0 ™и 7з= 10А'
-А -у ю
Ток в ветви с сопротивлениями К} и 2?4: ^=0 и /4 = 0, так как
Ц2 = 0.
3.44. Найти распределение токов /,, /2, /3 в электрической цепи
переменного тока (рис. 3.44). ЭДС источников питания 2?, = (60 +у*80) В;
Е2 = (-60 -у80) В, реактивные сопротивления: Аг1=Аг4 = 20Ом; Х2 =
= ЛГ3 = 40 Ом. Задачу решить методом контурных токов.
114

А
е
'^ф Ф5
Рис. 3.43
Рис. 3.44
Решение. В соответствии с уравнением электрического
равновесия, составленным для левого замкнутого контура цепи по
второму закону Кирхгофа с учетом принятых положительных
направлений контурных токов, имеем:
^ = (УЛГ1-уЛЭ/11-(-УДЭ/вили '
60 +у80 = /(20 - 20)/„ - (-У20)/22(60 +./80) =у20/22.
То же для правого замкнутого контура:
-Е2=Л-^-Х2 + Х2)122-(-]Х4)1и или 60+у80=Д-20-40 + 40)х
х /22 - Н20)/22; (60 +У80) =-у20/22 + 20/п.
Из полученных уравнений определяют контурные токи:
, _з + у4_О + У4)Ь0=(4.уз)А, схгкуда 172=ЛГ7У=5А;
/„ =
7 7(-7)
(6 + 78) _ (6 + у8)(-у)
= (8-у6)А, откуда /11=>/62+82=10А.
7 7(-7)
Ток в смежной ветви:
/з = /п-/22 = (8-7б)-(4^3) = (4-уЗ)А, откуда /3= 744^ = 5 А
Токи в ветвях источников питания с учетом принятого
направления контурных токов: 1\=-1и =-10А; /2 = /22 = 5А.
3.45. Найти распределение токов /, /,, /2, /3 электрической цепи
переменного тока (рис. 3.45, а) и построить векторную диаграмму токов
и напряжений, если напряжение источника питания 17= 220 В, а
сопротивления резисторов: ^ = 5 Ом; Д2=16,60м; Л3 = 6 0м,
емкостные сопротивления конденсаторов: Хс=2 Ом; Хсх = 12,5 Ом; Хсъ = 8 Ом.
Решение. Активная и реактивная проводимости первой
параллельной ветви: Ох = 0, так как здесь конденсатор, который
активным сопротивлением не обладает: Ва = 1/^ = 1/12,5 = 0,08 См.
Активная и реактивная проводимости второй параллельной
ветви: С2= 1/Д2= 1/16,6 = 0,06 См; при этом 2?2 = 0, так как здесь
реактивное сопротивление отсутствует.
8* 115

Рис. 3.45
Активная и реактивная проводимости третьей параллельной
ветви:
03 = К3/223 = К3/(К2 + Х2СЗ) = 6/(62 + 82) = 6/100 = 0,06 См;
ВСЗ=ХСЗ/232= 8/100 = 0,08 См.
Полная проводимости параллельного участка 1—2 цепи:
У = у1(ЪО)2 + аВ)2 = л/(С2 + <?з)2 + (2?с1 + 5СЗ)2 =
= 7(0,06 + 0,06)2 + (0,08 + 0,08)2 = Л/0Д22 + 0,162 = ОД См.
Эквивалентные проводимости параллельного участка 1—2 цепи:
активная Е<7= (С2 + <73) = (0,06 + 0,06) = 0,12 См;
реактивная ЪВ = (5С1 + Всз) = (0,08 + 0,08) = 0,16 См.
Полное сопротивление параллельного участка 1—2 цепи:
^12= 1/7= 1/0,2 = 5 Ом или 2п=т}К\2 + Х22 = >/32+42 =50м,
где Хп = 15^ = 0,16 • 52 = 4 Ом; Кп = Ъ02\2 = 0Д2 - 52 = 3 Ом.
Полное сопротивление всей цепи:
2=Л1(К1 + Кп)2+(ХС + Х12)2 = 7(5 + 3)2+(2 + 4)2 = ^82+62 = 10 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи: /= 11/2= 220/10 = 22 А.
Напряжения:
на резисторе Д,: 1/я = /{,/= 5 • 22 = ПО В;
на конденсаторе с сопротивлением Хс: 11хс=ХС1=2-22 = 44В;
на параллельном участке 1—2 цепи: {712 = 712/=5-22 = 110В.
Токи:
в первой параллельной ветви цепи: /,= 1/п/ХС] = 110/12,5 = 8,8 А;
в ветви резистора К2: 12 = 1/]2/В2 = 110/16,6 = 6,64 А;
в ветви резистора К3: 13 = 1/]2/23 = 1 Юл/62 +82 = 110/10 = 11 А.
Коэффициент мощности третьей параллельной ветви: со8<р3 =
= К3/23 = 6/10 = 0,6, откуда угол ф3 = -53°10/.
116

Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматриваемой
электрической цепи дана на рис. 3.45, б.
3.46. Для электрической цепи переменного тока (рис. 3.46)
определить общий ток /0, показания вольтметров Ух — У2, а также
активные Р, реактивные 0 и полные 5 мощности для всех участков
цепи, если питающее напряжение 1/= 60 В, а активные и
реактивные сопротивления: Л, = 15 Ом; К2 = 30 Ом; К3 = 10 Ом; КА = 70 Ом;
К7= 16 Ом; ^ = 20Ом; Хьз = 5 Ом; Хсз = 10 Ом; ЛГС5 = 40 Ом; ХС6= 12 Ом.
Задачу решить методом проводимостей.
Решение. Активные проводимости:
первой параллельной ветви участка 1—2 цепи: (?, = К}/22= \/Кх =
= 1/15 = 0,0667 См, так как Кх = 2{у
второй параллельной ветви участка 1—2: 02 = К2/22- К2/(К1+Х12) =
= 30/(303 + 202) = 0,023 См.
Реактивные проводимости:
первой параллельной ветви участка 1—2 цепи: ВЬ] = Хи/22=0/Л, = 0;
второй параллельной ветви участка 1—2 цепи: Вп = Х12/21 =
= 20/(30Ч202) = 0,0154 См.
Полная проводимость участка 1—2 цепи:
Уп = №+С2)2+{Вп+В12)2 =
= 7(0,0667 + 0,023)2 + (0 + 0,0154)2 = 0,091 См.
Сопротивления участка 1—2 цепи:
полное 2п = \/Уп = 1/0,091 = 10,98 Ом;
активное Кп = 222Оп = ^(С, + С2) = 10,982(0,0667 + 0,023) = 10,83 Ом;
индуктивное Хп = 222В]2 = 2?2Я112 = 10,982 • 0,0154 = 1,85 Ом.
Активная проводимость:
первой параллельной ветви участка 2—3 цепи:
С3=4 =
10
10
125
= 0,08 См;
2} К\ + (Хи - ХСз)2 Ю2 + (5 - 10)2
второй параллельной ветви участка 2—3 цепи: С4 = 1/Л4 = 1/70 =
= 0,0143 См.
°з Хп Ха Л{05
©—'
Рис. 3.46
117

Емкостная проводимость первой параллельной ветви участка
2-3 цепи: Всъ = Щ- = —— = — = 0,08 См.
2\ 102+(5-10)2 125
Индуктивная проводимость первой параллельной ветви участка
2-3 цепи: Ви = Хи/22= 5/125 = 0,04 См.
Емкостная проводимость третьей параллельной ветви участка
2-3 цепи: ВС5 = Хсь/225 = 1/ХС5 = 1/40 = 0,025 См.
Полная проводимость участка 2—3 цепи:
Ъ- 7(Сз + С4)2+[(Д13-(5сз+5С5)]2 =
= 7(0,08 + 0,0143)2 + [0,04 - (0,08 + 0,025)]2 = 0,1145 См.
Полное сопротивление участка 2—3 цепи: 223 = 1/1^,= 1/0,1145 =
= 8,76 Ом.
Сопротивления участка 2—3 цепи:
активное К2Ъ = 02Ъ222г = (0,08 + 0,0143)8,762 = 7,26 Ом;
индуктивное Хп = (Вьз - Всъ - ВС5)2Ъ = (0,04 - 0,08 - 0,025)8,762 =-5 Ом.
Активная проводимость второй параллельной ветви участка
3-4 цепи: 07 = К7/22= \/К7 = 1/16 = 0,0625 См.
Емкостная проводимость первой параллельной ветви участка
3-4 цепи: ВС6 = ХС6/Х2С6 = 1/Хс6 = 1/12 = 0,083 См.
Полная проводимость участка 3—4 цепи: У^ = ^С2 + В\ь =
= Л/0,06252 + 0,0832 = 0,103 См.
Полное сопротивление участка 3—4 цепи: 2^- 1/У^- 1/0,103 =
= 9,73 Ом.
Активное сопротивление участка 3—4 цепи: Лз4= С^м = 0,0625 х
х9,732 = 5,9 0м.
Индуктивное сопротивление участка 5—4 цепи: Х^ = -ВС6224 =
=-0,083 -9,732 = -7,8 Ом.
Полное сопротивление всей цепи:
20 = 7(Лп + Л23 + Лм)2 + (*12 + *23 + ^34)2 =
= 7(10,8 + 7,26 + 5,9)2 + [1,85 + (-5) + (-7,8)]2 = 26,4 Ом.
Общий ток в цепи: 10 = И/20 = 60/26,4 = 2,26 А.
Показания вольтметров в цепи: С/, = 2п10 = 10,98 • 2,26 = 24,8 В;
\]г = г2310 = 8,76 • 2,26 = 19,7 В; Цъ = 2М10 = 9,73 - 2,26 = 22 В.
Активная, реактивная и полная мощности и коэффициент
мощности участка 1—2 цепи: Р, = ^/0 соз <р, = 24,8 • 2,26 ■ 10,83/10,98 = 51 Вт,
где со8ф, = Л12/2Г12= 10,83/10,98 = 0,99; (?,= 1Г}10 8т<р, = 24,8 -2,26 х
х 1,85/10,98 = 9,45 вар, где 8т <р, =ЛГ,2/7,2= 1,85/10,98 = 0,168;
5, = у1Р{2 +0? = ад = 24,8 -2,26 = 56 В- А.
Активная, реактивная и полная мощности участка 2—3 цепи:
Р2 = СУо соз <р2 = 19,7 • 2,26 • 7,26/8,76 = 36,8 Вт; 02 = Ц210 $т <р0 =
= 19,7 ■ 2,26 • 5,0/8,76 = 25,4 вар; Я2 = <У2/0 = 19,7 • 2,26 = 42,4 В -А.
118

Активная, реактивная и полная мощности участка 3—4
цепи: Ръ = Ц310 С08 ф3 = 22 • 2,26 • — = 30 Вт; С3 = ^Уо з*п Фз = 22 х
х2,26-— = -39,8вар; Я3 = #3/о = 22-2,26 = 49,7 В-А.
3.47. Задачу 3.46 решить методом применения комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления ветвей и участка
1—2 электрической цепи:
гх = Кх = 15 Ом; ^ = Я2 +]ХЬ2 = (30 +у*20) Ом;
2п=4тУ- = Т™]21 = <10'8 +-/'1'85> 0м' К»=10'8 0м' '»= ^85 Ом.
±х+±2 15 + 30 + /20
Комплексные сопротивления ветвей и участка 2—3 цепи:
2, = К3 +ДХа - Хсз) = 10 +у(5 -10) = (10 -у5) Ом; 74 = КА = 70 Ом;
2, = -]ХС5 = -у40 Ом; 245 = ф^±- = ~^=^- = (17,2 -у30,15) Ом;
2Ъ^ЩГ = а^-УЗОД5)(10-75) =(7д4_у5)ОМ)
^45+^з 17.2-У30.15 + 10-У5 У '
откуда Л35 = 7,14 0м; Х35 = 5 Ом.
Комплексные сопротивления ветвей на участке 5—4 цепи:
& = -А* = -] 12 Ом; 2, = К7 = 16 Ом;
^ = Ш- = тгт, = <5>79 ->7>68>0м-
±.6+*7 16-712
откуда Л67 = 5,79 0м; ЛГ67 = -7,68 0м.
Общее сопротивление цепи:
?о = ^12 + & + Й4 = Ю,8 -у 1,85 + 7,14 -у*5 + 5,79 -у'7,68 = (23,96 -у 10,95) Ом.
Общий ток в цепи:
/, = Ж. . « „ 60(23,96 + ,10.95) = (2,08 +,0,95) А;
"° 20 23,96-уЮ,95 (23,96 - Л0,95)(23,96 + 7*10,95)
отсюда /0 = >/2,082+0,952 =2,25 А.
Показания вольтметров в цепи:
й = г]210 = (10,8 +у1,85)(2,08+у0,95) = (20,74 +у 14,1) В,
откуда #, = 720,742 + 14Д2 =25 В;
й = ^2з/о = (7,14 -у 5)(2,08 +у0,95) = (19,64 -у'3,6) В,
опсуца и2 = д/19,642 + 3,62 = 20,35 В, Ц = 2^ = (5,79 -у7,68)(2,08 +у0,95) =
= (19,3.-уЮ,5)В, откуда Цг = 719,32 + Ю,52 = 22 В.
Векторная диаграмма напряжений для рассматриваемой
электрической цепи приведена на рис. 3.47.
119

*1 Я
Рис. 3.47
Рис. 3.48
3.48. Для электрической цепи переменного тока со смешанным
соединением сопротивлений (рис. 3.48) определить токи /, /, — 1А,
напряжения 1/ь 1/2 на участках цепи, активную Р, реактивную О
и полную 5 мощности, если питающее напряжения 11= 300 В,
сопротивления резисторов и реактивные сопротивления
конденсаторов: К} = ДГ, = К2 = Хс2 = Хсъ = КА = ХС5 = 10 Ом. Задачу решить методом
применения комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления отдельных ветвей:
2Х = К, +/Г, = (10 +у 10) Ом; 22 = К2 -}Х2 = (10 -у 10) Ом;
2Ъ = -}ХСЪ = -у 10Ом; 2Л = КА = 10Ом; 25 = -]ХС5 = -у 10Ом.
Комплексное сопротивление всей цепи:
7*03^4
-3"4 + 2 = <*+^>Ц»-■**«> + _
*3+*4
(10 + уЮ)(10 - уЮ)
(К1+]Х1+Я2-]Х2)
-УЮ -10
^4 " Ас4
-у10 = (15-у15)Ом,
-/*« =
10 + 710 +10-УЮ 10-УЮ
отсюда 2= >/152 + 152 = Л -15 = 21,2 Ом.
Общий ток цепи:
/-4
300
= (10+710) А, отсюда /=ЛЮ2 + 102 = Л-10 = 14,1 А.
^ 15-У15
Напряжение на участке 1—2 цепи
(10 + уЮ)(10 - УЮ)
4x1 - 2\21 -
(10 н-у 10) = (100 +у 100) В,
(10 + УЮ) + (10 - УЮ)
отсюда 1Г12 = >/1002 +1002 = ЮОЛ = 141 В.
Токи в параллельных ветвях 1—2:
И„ 141
-1 гх ю + ую
= (7,05-у 7,05) А,
откуда /, = 77,052 + 7,052 = ^2 • 7,05 * 10 А;
120

У.,, 141
/а = ^ = -ПГ^ = <7>05 " ^'7'05)> откУДа 4 = >/7,052+7,052 = 10 А.
Напряжение на участке 3—4 цепи:
^34 = ^/= ^^(10+у10) = (5-у5)(10-Л0) = 100 В,
Ю- ^\^
откуда {/и =Ю0 В.
Токи в параллельных ветвях на участке 3—4 цепи:
1,= Е»=^ = 100^10=У1оА>
г3 -до -ую-ую
откуда /3 = 10 А; /4 = С/*/^* = ЮО/10 = 10 А, откуда 14 = 10 А.
Полная, активная и реактивная мощности всей цепи:
5= ЦТ = 300(10 -у 10) = (3000 -уЗООО) В -А,
откуда Р= 3000 Вт = 3 кВт; О=-у3000вар = Зквар,
тогда 5= ^Р2 + О2 = у/32 + З2 = ЗЛ = 4,23 кВ - А.
Коэффициент мощности всей цепи: со8ф = />/1У= 3000/4230 = 0,71.
Баланс мощностей: Р= /?Л1 + 1\К2 + 1\КА = 102 • 10 + 102 • 10 +102 • 10 =
= 3000 Вт = 3 кВт; 0=12Х} - ЦХ^-ЦХ^-12ХС5 = 102-10 -102-10-102х
хЮ-14,12-10 = -3000вар = -Зквар.
3.49. В электрическую цепь переменного тока с частотой
питающего напряжения /=50 Гц включена катушка индуктивности,
имеющая активное сопротивление Л=4 Ом и индуктивное
сопротивление Хь = ЗОы. Определить полное сопротивление 2 катушки,
ток / в цепи, а также угол сдвига фаз <р между током и
напряжением (7=110еу52\ Записать комплексные сопротивления и
проводимости цепи в алгебраической и показательной формах записи.
Решение. Сопротивления катушки индуктивности:
комплексное: 2- К +]ХЬ = (4 +у*3) Ом; полное 2- ^К2 + Х\ -
= >/42Тзг = 50м.
Угол сдвига фаз между током и напряжением: \% 9 = ^//? =3/4 =
= 0,75, откуда <р - 37°.
Комплексное сопротивление катушки в показательной форме
записи: 2=2е» = 5&*7\
Комплексный ток в цепи в показательной форме записи: /=
= ^= 112^ = 22е'15° А.
Комплексный ток в цепи в алгебраической форме записи:
/ = Усо8 15° +у/8Ш 15° = (22 • 0,965 +у22 ■ 0,258) = (21,2 +у5,68) А.
Ток в цепи: /= д/21,22 + 5,682 = ^482 =22А.
121

Проводимость цепи:
комплексная: У= У—г = У -г = (0,16 - /0,12) См;
~ 21 2Г2 52 52
полная: У= ^(ОДб)2 + (0Д2)2 = 0,2 См.
Комплексная проводимость цепи в показательной форме записи:
У=1/^=0,2е-'37°См.
Ток в цепи в показательной форме записи: /= ЦУ= 110еу52° • 0,2еузг =
= 22е',5°А.
3.50. Вычислить токи в ветвях электрической цепи
переменного тока (рис. 3.50). Напряжение питающей сети 17= 25 В,
сопротивления резисторов: К} = К2 = 1 Ом, индуктивное и емкостное
сопротивления: ХЬ2 = Хи = Хс=10м. Решить задачу методом законов
Кирхгофа.
Решение. Составляем уравнение по
второму закону Кирхгофа для левого
замкнутого контура цепи:
А Л
0 = -Ц+ Д,/, + (Л2 +]Хп -уТс)/2;
0 = -25 + 1/1 + (1+у1-у1)/2 = /14-/2-25.
Аналогично для правого замкнутого
контура:
о=-2+Д,/|+у*1а/э;
0 = -25 + 1/, +у 1/3 = /, +Яз - 25.
В результате совместного решения
полученных уравнений с учетом
уравнения для токов, составленного по первому закону Кирхгофа для
узла 2 цепи: /, = /2 + /3, находим:
ь
25
25(1 - Я)
1 + & (1 + У2)(1 - у2)
= (5-у10)А или /з = <У52+102=11,15А.
Ток в неразветвленной части цепи находим из уравнения,
записанного для правого контура цепи с учетом выражения для
комплексного тока /3:
и=К111+;Хи1>, 25 = 1/,+71(5-710),
откуда /, = (15-7*5) А; /, = л/152 +52 =15,8 А.
Ток во второй (параллельной) ветви согласно уравнению для
узла 2 цепи, составленному по первому закону Кирхгофа:
/.=/2 + /3; 15-7-15 = /2 + 5-7'10; /2 = ( 10+7*5) А
или /2 = -Л02+52 =11,15 А.
122

3.51. Задачу 3.50 решить методом контурных токов.
Решение. Составляем уравнение электрического равновесия
напряжений для левого замкнутого контура цепи в соответствии со
вторым законом Кирхгофа:
0 = -#+ [Л, + К2 + ДЪа" ХсЖп - № +Л*12 - *с)]/2;
25 = [1 + 1+Л1-1)1/ц- [1+Л1-1)]/22 или 25 = 2711-/22.
То же, для правого замкнутого контура цепи:
0 = [К2 +7(^2 + Хи - Хс)]122 - [К2 +](Хп - Хс)]1и;
0 = [1+7(1 +1-1)1/22-[1+7(1-1)]/п или 0 = 1+7/22-/„.
В результате совместного решения полученных уравнений
имеем:
25 = 2722+72722-722, откуда 722 = -^= 25<(1"у2) =(5-710)А
_22 3 _22 _22> *« _22 { + ]2 (1 + у2)(1 - ;2) Ч ' '
ИЛИ
722 = 73 = >/52 + 102=11,15А.
Ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения:
25 = 2/п - 722, подставляя в него значение /22: 25 = 27п - (5 -7Ю)>
получим 7, =/„ = (15-75) А, 71 = 711 = 715ГТ5Г = 15,8А.
Ток в первой параллельной ветви: 72 = /п - 722 = 15 -75 - (5 -710) =
= (10+75)А или 72 = 7Ю2+52 =11,15А.
3.52. Задачу 3.50 решить методом проводимостей.
Решение. Комплексные сопротивления участков
электрической цепи:
2, = Я, = 10м; 22 = К2+ЛХп-Хс) = 1+7(1-1) = Юм;
Комплексные проводимости участков цепи:
Г2= 1/2^=1/1 = 1 См; У3= 1/й= 1/7=-7См; Г23 = Г2 + Гз = (1-7)См.
Комплексное сопротивление параллельного участка цепи:
*° 123 1-У 0-УХ1 + У) 2
Общее сопротивление цепи:
^=^1 + ^-з= 1 + 0,5 +у"0,5 = (1,5 +у'0,5) Ом.
Ток в неразветвленной части цепи:
/ = = 25 25(1,5 - А5) (15 5) л
"' г (1.5+ /0,5) (и + у0Л(и-у0Л
или
/, = «Л52+52=15,8А.
123

Падение напряжения в неразветвленной части цепи:
й = Ы\ = Н15 -у'5) = (15 -у5) В или 1Гг = <Л52+52 = 15,8 В.
Падение напряжения на параллельном участке цепи в
соответствии со вторым законом Кирхгофа:
Йэ = #-Й = 25-15+У5 = (10+У5) В или ^23 = 7102 + 52 =11,15 В.
Ток в первой параллельной ветви:
/2=йз1Г2 = (Ю+у5)1 = (10+у5)А или /2 = л/Ю2+52 =11,15А.
Ток во второй параллельной ветви: /3 = йзГз = (Ю+У5) (-у) =
= (5-./10) А или /3 = 752 + 102 =11,15 А.
3.53. Задачу 3.50 решить методом узлового напряжения.
Решение. Комплексные сопротивления участков
электрической цепи:
2^ = 7^ = 1 Ом; ^ = Л2+Л^12-^) = 1+Л1-1) = 10м;
=*з =7*1з=У1=./Ом.
Комплексные проводимости участков цепи:
У, = 1/2, = 1/Л, = 1/1=1См; У2=1См; У3=-у См.
Комплексное напряжение, действующее между узлами 2—3 цепи:
2Д =^1_ = ^= 25(2 + 7)
-23 А+Иа+^з 1 + 1"^ 2-у (2-7X2 + 7) 1 У '
Ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения,
составленного по второму закону Кирхгофа для левого замкнутого
контура цепи:
0 = -Ог+Л,/, + йз; 25 = 1 /, + 10+75; /, = (15-у5)А
или /1 = ^152+52=15,8А.
Ток в первой параллельной ветви в соответствии со вторым
законом Кирхгофа:
0 = [К2 +ЛХп - ХЖ - Ц,; 10 +у5 = [1+Л1 - 1)]/2,
откуда /2 = (10+у5)А или /2 = л/Ю2 + 52 =11,5А.
Ток во второй параллельной ветви в соответствии с уравнением,
составленным для узла 2 по первому закону Кирхгофа:
1\ = Ь + /з; 15 -7*5 = Ю +у'5 + /3,
откуда /3 = (5-уЮ)А или 73 = 752 + 102 =11,5 А.

Глава 4
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
§ 4.1. Основные сведения о периодических
несинусоидальных токах
Наличие нелинейных элементов, содержащихся в источниках
питания и потребителях электрической энергии, является
причиной появления периодических несинусоидальных'ЭДС,
напряжений и токов в электрических цепях. Периодические
несинусоидальные токи способны оказывать неблагоприятное воздействие
на работу измерительной аппаратуры, создавать добавочные
потери в электрических машинах и аппаратах, вследствие чего
возникает дополнительный нагрев и соответствующее снижение их
КПД, появляется мешающее воздействие на линии связи. Вместе
с тем в системах автоматического управления, вычислительной
технике, телевидении, радиотехники и т. д. широко используются
устройства, предназначенные для получения периодических
несинусоидальных напряжений и токов. Несинусоидальные токи
возникают и при выпрямлении синусоидального тока в
постоянный.
В процессе анализа электрической цепи с периодическими
несинусоидальными токами кривые несинусоидальных ЭДС,
напряжений и токов, удовлетворяющие условиям Дирихле, представляется
возможным разложить в гармонический ряд Фурье.
Кривая периодического несинусоидального напряжения,
действующего на зажимах электрической цепи, может быть описана
следующим тригонометрическим радом:
и= (70+ (/,т8т(о)^+ф1м)+ /72т8Ш (2о)/ + ф2|/) + ...+ ^зт^гоГ+фь,).
Аналогичным рядом может быть описана и кривая
периодической несинусоидальной ЭДС в электрической цепи
е = Е0 + Еы 8Ш (со*+ ф1е) + ^ 81П (2соГ+ ф2е) + ... + 1]кт 81П (&СО/+ф*в).
Под действием периодического несинусоидального напряжения
или несинусоидальной ЭДС в электрической цепи возникает
соответствующий периодический несинусоидальный ток:
/ = /0 + 1Ы 8Ш (со/+ ф„) + 12т 8ш (2со/+ фа) +... + 1кт зш (Ь)/+ ф*,),
125

где 1/]т, Е}т, 1Хт — амплитудные значения основной (первой)
гармоники несинусоидального напряжения, ЭДС и тока; И^, ..., 11кт,
Е^т ... Еы и 1^ ... 1Ы — амплитудные значения высших гармоник
периодических несинусоидальных напряжений, ЭДС и тока;
Фи,, Ф2„> -.., Ф**; Ф1«, Фг*, •», Ф*г1 Фи, Фа, -, ф« - начальные фазы
первой и высших гармоник напряжения, ЭДС и токов.
Постоянные составляющие несинусоидального напряжения, ЭДС
и тока равны их средним значениям за период Т:
т т т
О 0 0
При расчете и анализе электрических цепей периодического
несинусоидального тока используют принцип наложения, в
соответствии с которым периодическое несинусоидальное напряжение
или ЭДС источника питания можно представить в виде
совокупного воздействия нескольких последовательно соединенных
источников. Периодический несинусоидальный ток определяется как
сумма токов, обусловленных постоянной составляющей и
гармоническими составляющими периодических несинусоидальных
напряжений или ЭДС в данной электрической цепи. Причем
переменные составляющие тока, соответствующие каждой из
гармоник, определяют по методам расчета цепей переменного тока,
а постоянную составляющую тока — по методам расчета цепей
постоянного тока.
При этом должно быть принято во внимание, что реактивное
индуктивное сопротивление электрической цепи Х1к для данной
гармоники тока с возрастанием порядка высших гармоник
увеличивается по сравнению с его значением ^, = 00,/,, соответствующим
первой гармонике тока, пропорционально номеру высшей
гармоники, т. е. Х1к = к(д}Ь. В это же время реактивное емкостное
сопротивление электрической цепи ХСк для данной гармоники тока с
возрастанием порядка к высших гармоник уменьшается по сравнению
с его значением Ха = 1/(щС), соответствующим первой гармонике
тока, обратно пропорционально номеру высшей гармоники, т.е.
ХСк=1/(к(охС). Активное сопротивление электрической цепи Кк для
данной гармоники тока вследствие относительно небольших частот
высших гармонических составляющих тока, имеющих место на
практике, принимается равным его значению, соответствующему
основной гармонике тока, т.е. Кк = К\.
Действующие значения периодических несинусоидальных
напряжения, ЭДС и тока приняты равными среднеквадратичным их
значениям за период Т:
126

В результате интегрирования полученных выражений формулы
для определения действующих значений периодических
несинусоидальных напряжения, ЭДС и тока приводятся к виду
Действующие значения периодических несинусоидальных
напряжений, ЭДС и токов в электрических цепях несинусоидального тока
измеряются с помощью электрических приборов электромагнитной,
электростатической и электродинамической систем. Активная
мощность электрической цепи периодического несинусоидального тока
определяется как среднее значение мгновенной мощности за
период Т:
о о
С учетом приведенных выше выражений для мгновенных
значений периодических несинусоидальных тока / и напряжений и после
их подстановки и интегрирования получим выражение для активной
мощности цепи как сумму мощности постоянной составляющей
и мощностей гармонических составляющих:
л
Р = X ^Л С08 Ф* = ^0 + ^1 С08Ф1 + ^2^2 С08 ф2 + ... + Ь\1к С08 ф*.
* = 0
Здесь углы сдвига фаз между соответствующими
гармоническими составляющими напряжений и токов: <Р\ = Ч\„-Щ1 Ъ^Уъ-Уу'*
Ф* = Ч>*„-Ч>*/.
При этом реактивная мощность может быть рассчитана как
сумма реактивных мощностей гармонических составляющих:
п
б = X ^^1к 81П Ф* = 11\1\ зт ф1 + (72/2 зт ф2 + ... •+ Цк1к вш ф*.
* = 0
Полная мощность электрической цепи периодического
несинусоидального тока определяется как произведение действующих
значений несинусоидального тока и несинусоидального напряжения:
\к=0 к=0
127

Среднюю мощность несинусоидального тока за период можно
определить по действующим значениям несинусоидальных
напряжения V и тока / при замене их равнозначными синусоидальными
напряжением и током с одинаковыми действующими значениями
напряжения I/ и тока 7, при этом Р= {//соз фу, откуда можно
определить условный коэффициент мощности созфу = Р/(К0, который
не является тригонометрическим косинусом угла сдвига фаз между
действующими значениями несинусоидальных напряжения I/ и тока
/, а представляет собой некоторое условное его значение.
При-анализе формы зависимостей периодических
несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов во времени используются
коэффициенты, характеризующие несинусоидальные величины и
степень их отличия от синусоидальных величин. Коэффициенты:
г
формы А^ = ///ср.мод., где /Ср.Мод.= -р(0Л;
о
амплитуды А^= —;
среднего значения А^р = —;
пульсаций Кп = —;
Л)
искажений Ки = —;
гармоник лг = —,
где /г = ^1\ +1] + ... — действующие значения высших гармонических
составляющих периодического несинусоидального тока.
Аналогичным образом определяют и коэффициенты,
характеризующие периодические несинусоидальные ЭДС и напряжения. Для
синусоидальных величин ЭДС, напряжения и тока указанные
коэффициенты имеют значения: 7^=1,11; А^= 1,41; А„=1; А^ = 0.
Литература. [1] § 5.1-5.8; [2] § 4.1-4.4; [3] § 7.1-7.5.
Примеры решения задач
4.1. К зажимам неразветвленной электрической цепи
переменного тока (рис. 4.1), содержащей резистор с активным
сопротивлением Л=10Ом, конденсатор С, имеющий емкостное
сопротивление Хс=5 0м, и индуктивности Ьх и Ь2 с индуктивными
сопротивлениями Хц = Ю Ом и А^2= 10 Ом, приложено периодическое
несинусоидальное напряжение, мгновенное значение которого и = (20 +
+ 2072 81псо0, В, с угловой частотой переменной составляющей
со =314 рад/с. Определить действующие значения переменных
составляющих тока / и напряжения I/, выражение для мгновенного
128

значения тока /, а также максимальное
и минимальное значения
несинусоидального тока в электрической цепи.
Решение. В соответствии со
структурой заданного выражения для
мгновенного значения напряжения последнее
может быть представлено в следующем виде: Рис. 4.1
н = ({70+#1,г,31па>ОВ,
где /70 = 20 В — постоянная составляющая; 1/]т = 20-У2 В —
амплитудное значение первой гармонической составляющей периодического
несинусоидального напряжения.
Действующее значение переменной составляющей напряжения:
17, = И]т/у12 = 20Л/л/2 = 20 В. Полное сопротивление электрической
цепи для переменной составляющей (первой гармоники)
несинусоидального тока в соответствии со структурой цепи:
21 = К+]Хи+ (-]ХсУХ12 = 5+ /10 + "У5У1° = 10+ /10-/10 = 10 Ом,
-]ХС + }ХЬ1 -;5 + У10
откуда 2Х = 10 Ом.
Значения переменной составляющей тока:
действующее /, = 17,/2^ = 20/10 = 2 А, откуда /, = 2 А;
амплитудное /,„ = /,72=272 А.
Выражение для мгновенного значения переменной
составляющей тока: /, = /1т8то)/=(2л/2 зтсо^А.
Величина постоянной составляющей тока в цепи: ^ = ЩК-20/10 =
= 2А.
Выражение для мгновенного значения периодического
несинусоидального тока: г = /0 + /, = (2 + 2л/2 зш со/) А.
Значение мгновенного тока в цепи: максимальное: /тах = /0 + /,т =
= 2 + 2л/2=4,84А; минимальное: /т1п = /0-/1т = 2-272 =-0,82А.
4.2. Неразветвленная электрическая цепь переменного тока
содержит катушку индуктивности с активным сопротивлением Л = 5 Ом
и индуктивностью //=31,9мГн и конденсатор, емкость которого
С=91мкФ. Определить действующие значения тока / и
напряжения II, активную Р, реактивную 0 и полную 5 мощности
электрической цепи, находящейся под действием периодического
несинусоидального напряжения, мгновенное значение которого к = (100 +
+ 100л/2 81п со/+ 76 зш Зш) В, а угловая частота со = 314 с-1.
Решение. Структура мгновенного значения данного
периодического несинусоидального напряжения может быть представлена
в общем виде: и- 170 + 11]т$тШ+ 113т8шЗю/) В, из которой следует,
что 1/0 = 100 В — постоянная составляющая напряжения, 17,/и = 100^2 В
9-4359 129

и ИЪт -16^2 В — амплитудные значения соответственно первой и
третьей гармоник несинусоидального напряжения.
Так как в электрической цепи имеется конденсатор С,
сопротивление которого для постоянного тока (частота /= 0) составляет
хс=1 1
©С 2п/С 2-3,14-0-С
то постоянная составляющая периодического несинусоидального тока
/о = 0.
Реактивные сопротивления катушки индуктивности и
конденсатора при частоте для основной угловой частоты со = 314"1
переменной составляющей тока (/= 50 Гц):
^11 = а)1 = 2тс/1 = 2-3,14-50-0,0319 = 10Ом;
Ххс = — = —— = -^— = 35 Ом.
соС 2п/С 3,14-91
Полное сопротивление электрической цепи, соответствующее
основной частоте со = 314 с"1 тока:
2Х = у1Я2+(Хи-Х1С)2 = Л/52+(10~35)2 = 34,5 Ом.
Значения первой гармоники тока:
амплитудное: 1Хт = 1/Хт/2х = 100^2/34,5 = 4,1 А;
действующее: 1Х = 1Хт/42 = 4,1/1,41 = 2,9 А.
Условный коэффициент мощности электрической цепи
соответствующий первой гармонике тока: созф^Л/^ = 5/34,5 = 0,145,
откуда угол сдвига фаз ух = %%°54' = 0,48871.
Так как для основной частоты тока в электрической цепи
преобладает емкостное сопротивление (ХС>Х[), т.е. нагрузка имеет
активно-емкостный характер, ток 1Х опережает соответствующее
напряжение на угол <р1в
Реактивные сопротивления катушки индуктивности и
конденсатора для третьей гармоники тока:
Хи = 3(*Ь = 3-271/1 = 3-2-3,14-50-0,0319 = 30 Ом,
*зС = -!- = —1_ = !* = ^ = ^ = 11,66 Ом.
ЗшС 3-2я/С 3-2.3,14-50-91 3 3
Полное сопротивление цепи для третьей гармоники тока:
2г = у1К2+(Хзь-Хзс)2 = л/52 +(30~11,66)2 = Л/36135 = 190м.
Коэффициент мощности электрической цепи, соответствующий
третьей гармонике тока: со$ ф3 = К/23 = 5/19 = 0,263, откуда угол сдвига
фаз между соответствующим напряжением и током: ф3 = агссо8 0,263 =
= 74°40' = 0,416тс.
Полное сопротивление электрической цепи для третьей
гармоники тока носит активно-индуктивный характер, т.е. ток третьей
130

гармонической составляющей отстает от соответствующей
составляющей напряжения на угол ф3 = 74°40/ = 0,416л.
Значение третьей гармоники тока:
амплитудное: 1Ът = 11Ът/2ъ = 76/19 = 4 А;
действующее: /3 = 1Ът/42 = 472 = 2,836 А.
Действующее значение периодического несинусоидального тока
цепи: / = 7/02 + 1х + Ц = V» + 2,922 + 2,8362 = 4,84 А.
Выражение для мгновенного значения несинусоидального тока
в цепи:
/=5,53 81П (ю/+ ф,) + 4 81П (Зоо/- ф3) =
= [5,53 8ш (3,14/+ 0,488л) + 4 8Ш (942/- 0,416л;)].
Действующее значение напряжения источника питания:
Активная составляющая мощности электрической цепи,
обусловленная постоянной составляющей несинусоидального тока: Р0 =
= ад= 100-0 = 0.
Активная мощность, обусловленная токами первой и третьей
гармоник несинусоидального тока:
Р, = Р,К = #,7, соз ф1 = КЮЛ/Л • 2,92 • 0,196 = 76,83 Вт,
где ^=^ = 1^ = 100 В;
л/2 л/2
Р3 = ЦЯ = г/3/3 со8ф3 = 76/72-2,836-0,263 = 40,2 Вт,
Мощности электрической цепи несинусоидального тока:
активная: Р= Р0 + Р, + Ръ = 0 + 76,83 + 40,2 = 117,03 Вт;
100л/2
реактивная: О, = (?, + 02 = Щх зш ф, + 11Ъ1Ъ зш ф3 = г • 2,92 • 0,98 +
+ -^ - 2,836 • 0,964 = 384 + 147,5 = 531,5 вар;
полная: 5= Ш= 142,44 • 4,84 = 689,4 В • А.
Условный коэффициент мощности электрической цепи
несинусоидального тока:
соз фн = Р/( Ш) = 117,03/(142,44 • 4,84) = 0,17.
4.3. По данным задачи 4.2 определить мгновенное и и
действующее I/ напряжение на зажимах катушки индуктивности.
9* 131

Решение. Полное сопротивление катушки индуктивности для
первой и третьей гармоник несинусоидального тока:
2Х = у1К2+Х?ь = л/52 +102 = 11Д8 Ом;
23 = Л2 + ^ = л/52 + 302 = 30,41 Ом.
Коэффициенты мощности катушки индуктивности,
соответствующие первой и третьей гармоникам несинусоидального тока:
со8ф, = Л/^, = 5/11,18 = 0,447; С08ф3 = Л/2з = 5/30,41 = 0,164, откуда
углы сдвига фаз ф^ 0,35л; ф3 = 0,494л.
Значения первой и третьей гармоник напряжения на катушке
индуктивности:
амплитудные: 1/]т = г}1]т= 11,18-4,1 =45,84В; \}Ът = 2^1^ = 30,41 х
х4= 121,64 В;
действующие: \]х = %- = Щ- = 31,83В; 173 = % = ^-= 86,26В.
Действующее значение периодического несинусоидального
напряжения на катушке индуктивности:
V = у[ц[ТЩ = 731,832+86,262 = 91,94 В.
Выражение для мгновенного периодического несинусоидального
напряжения на катушке индуктивности:
и= 1/\т 81П (С0/ + ф, + ф3) + #3*1 81П (3(0/- ф! + ф3) =
= 45,84 яп (314/+ 0,838л) + 121,64 зт (942/- 0,078л).
4.4. В электрической цепи переменного тока соединены
параллельно катушка индуктивности с активным сопротивлением Л = 5 Ом
и индуктивностью //=31,9 мГн и конденсатор с емкостью С= 91 мкФ.
Определить составляющие тока и активные мощности катушки
индуктивности и всей цепи, находящиеся под действием
периодического несинусоидального напряжения, мгновенное значение
которого представлено выражением и = (100 + 100-У2 • зт ю/+ 76 8т ЗсоО В.
Решение. Полные сопротивления параллельных ветвей для тока
первой гармоники:
г]Ь = Л +]Х^ = (5 +УШ) Ом, 71С = -уТ1С= -у35 Ом,
откуда 2^ = л/52+102 =11,2 Ом и 2^ = 35 Ом.
Постоянная составляющая несинусоидального тока цепи
катушки: /01 = /0= 1/0/К= 100/5 = 20А, так как индуктивность катушки не
влияет на значение постоянного тока.
Действующее значение тока первой гармоники в цепи катушки
индуктивности:
_ Ц±_ _ 100V? _ 100(5 - уЮ) _ 500 - ;1000 _ . .-
-11 ~ 1^" ~ Л(5 + ]Щ ~ (5 + у10)(5 - У10) ~ 52 + 102 ~]
откуда ток /и = >/42 +82 =8,94 А.
132

—8
Аргумент комплексного тока: фи = агс1§ — = агс1§ (-2), откуда
Ф11 = 296°30,= 1,64т1.
Комплексный ток первой гармоники: 1ц = 111е*11 = й994сАМ*А.
Действующее значение тока первой гармоники в цепи
конденсатора
г тт У7 100^ 100 .00._ А
Лс= У\/21с= -т= = = У 2,857 А,
_1С _1/ 1С Т2(-У35) -у35 '
откуда ток /1С = 2,857А.
Амплитудное значение первой гармоники тока катушки
индуктивности 1x^=1^42 = 8,94л/2 = 12,61 А.
Амплитудное значение первой гармоники тока в цепи
конденсатора: /1тС= 11СУ[2 = 2,857л/2 = 4 А.
Действующее значение тока первой гармоники в неразветвлен-
ной части электрической цепи в соответствии с первым законом
Кирхгофа:
/1 = 1и + 1хс = 4 -у 8 +у 2,857 = (4 -у 5,14) А,
откуда ток 1Х = д/42 + 5Д42 = 6,51 А. Аргумент комплексного тока 1Х
неразветвленной части цепи первой гармоники:
514
Ф^агс^-1—, откуда фх = 0,288я.
4
Амплитудное значение первой гармоники тока в
неразветвленной части электрической цепи:
/1т = 72/1 = Л-6,51 = 9,18А.
Полные сопротивления параллельных ветвей электрической цепи
для третьей гармоники тока
2>ь = К+]Хи = (5 +у30) Ом; ^с = -У*зс = -УП,66 Ом,
откуда 2и = у/52 + 302 = 30,41 Ом; 2ЪС= 11,66 Ом.
Токи третьей гармоники в параллельных ветвях электрической
цепи:
/ц=Д».в-* — 53'9(5-'-30) ,*»?-"«" =(0,29-71,75) А,
-31 231 72(5 + У30) (5 + у30)(5 - уЗО) 52 + 302
откуда /з, = л/0,292+1,752= 1,77А; Ьс=^- = д(*т =^>74А>
откуда /ЗС = 4,74А.
Аргумент комплексного тока /31 третьей гармоники:
-1 75
ф31 = агс1§ -^-, откуда ф31 = 280° = 1,55тс.
133

Амплитудные значения токов третьей гармоники в параллельных
ветвях электрической цепи:
1ш = /з!^2 = 1,77Л = 2,495 А; /3/яС = /зсл/2 = 4,74Л = 6,68 А.
Действующее значение третьей гармоники тока в неразветвлен-
ной части электрической цепи:
/з = Ьь + Ьс = 0,29 -Л,75+у4,74 = (0,29 +; 3) А,
откуда /3=>/0,292+32 =3,01 А.
Аргумент комплексного тока третьей гармоники /3 в неразветв-
ленной части цепи:
з
ф3 = агс1§ -—, откуда ф3 = 84°20/ = 0,466л:.
Амплитудное значение тока третьей гармоники /3 в неразветв-
ленной части цепи:
/3т = л/2/3= 1,41-3,01 = 4,25 А.
Мгновенное значение тока катушки индуктивности:
к = Л + /и + «и = к + /ц* 8Ш (314/- фи) + /^8Ш (3 -314/- ф,31) =
= 20 + 12,61 зш (314/- 1,64те) + 2,494 8Ш (942/- 1,55л).
Мгновенное значение тока конденсатора:
'с = *1 с + 'зс = 1\тс яп (314/ + те/2) + /3тС зш (Зю/+те/2) =
= [4 яп (314/+те/2) + 6,68 (942/+те/2)] А.
Выражение для мгновенного значения тока в неразветвленной
части электрической цепи:
I = /0 + I, + /3 = /0 + 1\т 81П (314/+ ф,) + /Зт 81П (3 • 314 + ф3) =
= 20 + 9,18 зш (314/+0,228те) + 4,25 ял (942/+ 0,466те).
Действующее значение тока цепи катушки индуктивности:
1ь = 4Н + 12м + Нь = >/202 + 8,942+1,772 = 22,03 А.
Действующее значение тока цепи конденсатора:
/с = №с + 1х = л/2,8572+4,742 = 5,53 А.
Действующее значение тока в неразветвленной части
электрической цепи:
/ = 4П + 1\ + 1ъ = л/202+6^12+3,012 = 21,25 А.
Активная мощность, потребляемая конденсатором, Рс=0, так
как активное сопротивление конденсатора практически равно нулю
134

(Лс=0). Активная мощность, потребляемая катушкой
индуктивности:
Рь = ад + Щи. со8 ф^ + Щи С08 ф31 = 100 - 20 + ^Д - 8,94 • 0,447 +
+ 76/Л-1,77 -0,164 = 2415,25 Вт = 2,415 кВт.
Активная мощность всей цепи: Р=РЬ + РС= 2,415 + 0 = 2,415 кВт.
4.5. В условиях задачи 4.4 определить коэффициенты КИ, Кг, Кп,
характеризующие периодический несинусоидальный ток на нераз-
ветвленном участке электрической цепи.
Решение. Коэффициент искажения, равный отношению
действующего значения основной гармоники тока к действующему
значению несинусоидального тока, КИ = 1х/1= 6,51/21,25 = 0,306.
Коэффициент гармоники, равный отношению действующего
значения высшей гармоники несинусоидального тока к
действующему значению основной его гармоники,
Кт = 1г/1} = 3,01/6,51 =0,462,
где /г= ^1] + /? + ••• = чЩ = л/35012 = 3,01 А (четных гармоник кривая
несинусоидального тока не содержит (72 = 0).
Коэффициент пульсаций, равный отношению амплитудного
значения основной гармоники тока к постоянной составляющей
несинусоидального тока, Кп = 1]т/10 = 9,18/20 = 0,459.

Глава 5
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 5.1. Основные сведения о переходных процессах
В линейных электрических цепях наряду с установившимися
режимами работы имеют место переходные электромагнитные
процессы, происходящие при переходе от одного установившегося
режима цепи к другому.
Переходные процессы в линейных электрических цепях
описываются линейными дифференциальными уравнениями. При этом ток
или напряжение определяются общим интегралом
соответствующего дифференциального уравнения со свободным членом. Общий
интеграл уравнения представляет собой сумму частного решения
этого уравнения и решения того же уравнения без свободного члена.
Переходящие, или свободные, составляющие тока /св и
напряжения исв9 определяемые решением дифференциального уравнения
без свободного члена, с течением времени стремятся к нулю.
В результате частного решения дифференциального уравнения
можно получить установившиеся, или принужденные составляющие
тока и напряжения /у, иу, имеющие место при установившемся
режиме, т. е. при законченном переходном процессе.
При этом ток и напряжение переходного процесса в
электрической цепи могут быть записаны как суммы: ^ = ^ + 1^', итр=иу + иСв-
В общий интеграл дифференциального уравнения входят
постоянные интегрирования, число которых определяется порядком
соответствующего уравнения. Переходные процессы в неразветвленной
электрической цепи с параметрами К, Ь и С описываются
дифференциальным уравнением для мгновенных значений напряжений,
составленным по второму закону Кирхгофа:
и(0 = Л' + 1лИ/Л+ -1 /Л.
После дифференцирования имеем уравнение вида
г (Р-1 __ сИ / Ли
Ь — + К — + — = —.
(И2 (И С их
Для определения принужденной (установившейся)
составляющей /у тока переходного процесса, когда воздействующая
функция и(/) постоянная или является периодической, необходимо найти
его значение в установившемся режиме.
136

Переходную (свободную) составляющую
/св тока находят в результате решения
дифференциального уравнения без свободного
члена:
Ь — + К— + — = 0.
Л2 л с
При этом соответствующее
характеристическое уравнение приводится к виду:
Ьр2 = Кр+1/С=0. Корни этого уравнения:
Свободная составляющая тока переходного процесса: /св(/) =АХ&'+
+ А?.
Ток переходного процесса: /пер(0 = /у(0 + /св(0-
Аналогичным образом можно определить напряжение и другие
электрические и магнитные величины на любом участке линейной
электрической цепи в переходном режиме.
При включении электрической цепи с Л и Ь под постоянное
напряжение (рис. 5.1.1) переходный процесс описывается
дифференциальным уравнением, записанным по второму закону Кирхгофа для
цепи при установке переключателя П из положения 7 в положение 2:
л
Характеристическое уравнение, соответствующее полученному
дифференциальному уравнению, имеет вид: К + Ьр = 0, где р = -К/Ь —
корень характеристического уравнения.
С учетом этого выражение для свободной составляющей тока
переходного процесса приводят к виду:
где Л —постоянная интегрирования; е —основание натурального
логарифма.
Так как воздействующее на электрическую цепь напряжение и(1)
постоянно, значение принужденной составляющей тока цепи в
переходном режиме оказывается равным его установившемуся
значению: /у = II/К. Ток в цепи при переходном процессе:
Постоянную интегрирования А определяют из начальных
условий. Так как в цепи с индуктивностью ток не может измениться
скачком, то при Г=0 ток в цепи равен нулю: /(0)= 11/К+А = 0.
Отсюда А --IIIК, тогда
Рис. 5.1.1
137

С учетом этого выражение для тока переходного процесса
приобретает вид:
/„еР = /у + /с. = ^ - ^е-Л" =4(1 - е-*'/') = ^(1 - с"/'),
К К к к
где т = /,/Т? — постоянная времени цепи, равная промежутку
времени, по истечении которого свободная составляющая тока в цепи
изменяется в е раз по сравнению со своим исходным значением.
Напряжение переходного процесса на индуктивности Ь,
уравновешивающее ЭДС самоиндукции, определяют из уравнения
а
иьЦ) = 1- = Ы
(И
-(1-е-^)1/* = 1—
я ]/ Кх
е-'/х = С/е-,/х.
При коротком замыкании Л^-цепи, присоединенной к
источнику постоянного напряжения (7, переключатель П из положения 2
устанавливается в положение 3, в цепи возникает переходный
процесс, обусловленный наличием запаса энергии в магнитном поле
катушки с индуктивностью Ь. Происходящий переходный процесс
характеризуется свободным током, так как /у = 0; в результате
Постоянную интегрирования А определяют исходя из условия,
что до момента короткого замыкания ток в цепи: /(0) = /= 11/К = А.
С учетом этого ток переходного процесса:
/ — I — р
'пер *св п
Я
Аналогично изменяется в данной цепи и напряжение:
При включении ЛС-цепи (рис. 5.1.2) под постоянное
напряжение и(1) = V переключатель П устанавливается в положение 2
(принято, что к моменту включения (/=0) конденсатор С не был
заряжен (иС(0) = 0). В соответствии с этим, исходя из уравнения
электрического равновесия для мгновенных напряжений, записанного по
второму закону Кирхгофа для рассматриваемой ЛС-цепи при />0,
имеем: Ю+ис=и{1).
В рассматриваемой цепи ток /= С—.
В результате дифференциальное
уравнение приводится к виду:
^С КС^- + ис = */(/) = гл
<//
Ему соответствует характеристическое
уравнение: КСр +1=0, где корень харак-
Рис. 5.1.2 теристического уравнения р = -\/КС.
11Ср
п.
V
П
-о-
138

Решение дифференциального уравнения без свободного члена
относительно напряжения на конденсаторе позволяет определить
свободную составляющую этого напряжения:
иСсв = Ае» = Ае-»«с,
где Л — постоянная интегрирования, определяемая исходя из
принятых начальных условий нс(0) = 0.
Напряжение иСу на обкладках конденсатора в установившемся
режиме определяют в результате частного решения
соответствующего дифференциального уравнения цепи. В установившемся режиме
ток в цепи *у = 0, следовательно, иСу = и({) = I/ и напряжение на
конденсаторе во время переходного процесса:
"с(0 = «су + «сев = 1?+ Аеч/лс.
Постоянную интегрирования А находят из начальных условий.
Напряжение на конденсаторе до включения ис(0) = 0, так как
к моменту включения цепи конденсатор С не был заряжен.
При этом ис(0) = 17+А = 09 откуда
А = -11и иСсь = -№ч/кс.
Временная зависимость напряжения на обкладках конденсатора
во время переходного процесса описывается уравнением
ис(0 = V- #е"//ЛС= «7(1 - еч/к) = Щ1 - е"'/г),
где т = КС— постоянная времени.
Ток в цепи при переходном процессе:
пер у св йг <Н йг Я
= ^е-//ЛС=~е-//% где и = О, /св=-е-'/*с, и / = -е-'/*с.
я я у св я я
Короткое замыкание неразветвленной ЛС-цепи, ранее
находившейся под постоянным напряжением 1/=соп$1, осуществляется
установкой переключателя П (в момент времени /=0) из
положения 2 в положение 3 (в положении 1 схема отключена).
Электромагнитные процессы в цепи с момента ее замыкания происходят за
счет энергии, равной ^С112, сосредоточенной к этому моменту
времени в электрическом поле конденсатора, которая в течение
переходного процесса преобразуется в теплоту, рассеиваемую
резистором К.
Для установившихся значений тока в ЛС-цепи и напряжения на
обкладках конденсатора С при переходном процессе имеем: ^ = 0, а 1/^ = 0-
При этом свободные составляющие тока в цепи и напряжения
на конденсаторе:
/св=-^е-'/*с, иСсл = Ае-«"с.
139

Ток в цепи и напряжение на обкладках конденсатора в
переходном режиме:
/пер = /у + /ев = --е-'/*с; ис = иСу + иСсъ = Ле-"ЛС.
Постоянную интегрирования Л определяют из начальных
условий. При 1=0 напряжение на обкладках конденсатора равно (/, т.е.
ис(0) = 1/=А. При этом для переходных значений тока и напряжения
на конденсаторе справедливы уравнения:
/ = - — е-"лс =-/е-'/АС: ис = Ш-*,кс.
я
При расчете переходных процессов в линейных разветвленных
электрических цепях для определения токов в отдельных ветвях
и напряжений на участках цепи записывают соответствующее число
уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
При получении характеристического уравнения необязательно
приводить полученную систему уравнений к одному уравнению
относительно одной неизвестной функции.
Система однородных дифференциальных уравнений, записанных
для свободных составляющих токов в ветвях разветвленной цепи,
записывается в виде соответствующей системы алгебраических
уравнений и в отличие от исходной системы не содержит производных
интегралов. В этой системе уравнений производные свободной
составляющей тока (На/Л заменяют символом ргсв, а интеграл от этого
тока Г/С1А —символом /св/р (где р — корень характеристического
уравнения — показатель затухания, одинаковый для всех свободных
составляющих токов цепи). Действительно, если 1ев = Аер', то
производная от свободного тока Асв/А= й{МР{')/Л=рАър'=р1св, а интеграл
|/свЛ = |Ле"А = Аер*/р = 1сь/р.
Постоянная интегрирования при этом оказывается равной нулю,
так как свободные составляющие не содержат не зависящих от
времени слагаемых. Подобный переход от системы линейных
дифференциальных уравнений к системе алгебраических, называемый
алгебраизацией системы дифференциальных уравнений,
для свободных токов значительно упрощает составление
характеристического уравнения. Из полученной системы алгебраических
уравнений составляется затем определитель А(р), который должен
равняться нулю, так как данная система уравнений имеет решение,
отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю.
Выражение для А(р) = 0 и является характеристическим
уравнением, в котором единственным неизвестным является его корень р.
Составить характеристическое уравнение системы однородных
дифференциальных уравнений (уравнение без свободного члена) можно
и другим путем. Для этого записывают выражение комплексного
входного сопротивления Дусо) для соответствующей цепи, в кото-
140

ром у со заменяют символ р. Полученное обобщенное сопротивление
приравнивают к нулю. Уравнение 2{р) = 0 и будет
характеристическим уравнением данной цепи.
Число корней характеристического уравнения определяется его
степенью. Если это уравнение имеет п корней, общее решение
системы однородных дифференциальных уравнений имеет вид:
/св(0=1Ле^,
где рк — корни уравнения, Лк — постоянные интегрирования.
Для нахождения постоянных интегрирования необходимо решить
систему уравнений для искомого свободного тока /св(0>
соответствующих моменту времени /=0. В качестве недостающих (п- 1)
уравнений используются уравнения, полученные путем (л-1)-кратного
дифференцирования уравнения для свободного тока /св(0-
Литература. [1] § 4.1-4.10; [2] § 5.1-5.8; [3] § 5.1-5.6.
Примеры решения задач
5.1. Катушка индуктивности с активным сопротивлением К = 5 Ом
и индуктивностью Ь = 50 мГн = 0,05 Гн включается в сеть
постоянного тока с напряжением {/=110 В (рис. 5.1, а). Установить
зависимость изменения переходных тока /пер(0 в катушке и
напряжения ипер(0 на катушке при переходном процессе. Определить
энергию магнитного поля Аь катушки для момента времени, равного
постоянной времени электрической цепи (7=т), после включения
выключателя В.
Решение. После замыкания выключателя В происходит
нарастание тока в катушке индуктивности, при этом создается ЭДС
самоиндукции е = /,—^, которую преодолевает приложенное
напрягу/
жение II. Постоянная времени электрической цепи: т = Ь/К = 0,05/5 =
= 0,01 с.
0 0,01 0,020,030,040,05 0,06 /,с
б)
Рис. 5.1
141

Переходный ток в электрической цепи находят как сумму
установившейся /у и свободной /св составляющих тока:
/пер=/у+/св=Т + >,е"//Х=^е",/0,01'
К
где 1у = 1=и/К= 110/5 = 22А; /св = Ле-'/т = Ле-'/0'01.
Постоянную интегрирования А находят из начальных условий.
При /=0 ток в цепи /(0) = 0, отсюда >4 = -{//Л = -110/5 = -22А.
Переходный ток в цепи определяют в соответствии с уравнением
'/пер = -(I - е~'/х) = 22(1 - е-"0-01) = 22(1 - е"100') А.
к
Переходное напряжение на катушке индуктивности: мпер= {/е~'/т =
= 110е~100'В. Результаты подсчета переходных тока /пер(/) и
напряжения ипер(0 на катушке во времени приведены в табл. 5.1, а
соответствующие зависимости — на рис. 5.1, б.
Таблица 5.1
>,с
е"100'
1-е-100'
*пер» А
"пер, В
0
1
0
0
ПО
0,005
0,606
0,394
8,64
67
0,01
0,368
0,632
13,9
40,5
0,02
0,135
0,865
19,04
14,9
0,03
0,05
0,95
20,9
5,5
0,04
0,018
0,982
21,6
1,98
0,05
0,0067
0,993
21,8
0,74
Энергия магнитного поля катушки индуктивности:
й^пер = ^ = °,05(^9)2 = 438 Дж, где /пер = 13,9 А при /=т = 0,01 с.
5.2. Измерение напряжения на зажимах обмотки
электромагнита, обладающей активным сопротивлением 7? = 2 Ом и
индуктивностью Х= 1 Гн=1000мГн, осуществляется вольтметром V,
включенным в сеть постоянного тока с напряжением 1/= ПО В, в
соответствии со схемой рис 5.2. Определить ток в обмотке электромагнита
в момент отключения ее от питающей сети с помощью
выключателя В.
Решение. Установившееся значение тока в цепи обмотки
электромагнита: /у = II/К = /= 110/2 = 55 А.
После размыкания выключателя значение свободного тока
определится в соответствии с уравнением:
/св = Ле-Л//1 = Ле-'/т = Ле-'/0'5,
так как постоянная времени электрической цепи т = Ь/К = 1/2 = 0,5 с.
Переходный ток в обмотке электромагнита при переходном процессе:
/пер = /у + <св = 55 +Ае~«'/Ь = 55 ^Ле^Ч
Постоянная интегрирования А определится из начальных условий.
142

в в
В момент размыкания
выключателя /=0, свободная
составляющая тока:
/св = Ле-'/0'5 = Ле°=А,
при этом /пер = /у+/св = 55 + у4е"//0'5 =
= 55-(/пер-55)е-^5 = 55А,
т. е. в первый момент (/=0)
отключения выключателя в цепи
вольтметра пройдет ток /= 55 А,
вследствие чего прибор выйдет из строя.
Поэтому при отключении
катушки электромагнита, так же, как
и других катушек
электротехнических устройств, обладающих
индуктивностью, следует цепь
вольтметра сначала отключить.
5.3. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 5.3, а),
содержащая резисторы с сопротивлениями К} = К2 = 10Ом и индуктивность
/, = 0,15 Гн, находится под постоянным напряжением 11= 60 В.
Определить ток в цепи до замыкания и после замыкания
выключателя В, а также зависимость переходного /пер(0 и свободного /св(0
токов во времени при замкнутом выключателе.
Решение. В соответствии с законом Ома ток в электрической
цепи в установившемся режиме при разомкнутом выключателе:
/1у = /, = 1//(К} + К2) = 60/(10 +10) = 3 А.
Постоянная времени электрической цепи до замыкания
выключателя:
т, = !/(/{, + Я2) = 0,15/(10 + 10) = 0,15/20 = 0,0075 с.
Установившийся ток в цепи после замыкания выключателя:
12у = 12=1Г/К] = 60/10 = 6А. Постоянная времени электрической цепи
при замкнутом выключателе: Х2 = Х//?1 = 0,15/10 = 0,015 с.
143
ми
/,А;
6
5
4
ТГ"
2
1
1
Т
0
-1
-2
-3
1
^0*** 1
^ 'пер
'
0,015 0,030,0450,06 0,0751
/
' /ев
"/
/
г
1
к
'
/,С
б)
Рис. 5.3

В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение
электрического равновесия для электрической цепи при замкнутом
выключателе: «пер = ^/г+м1 = Л1/пер-е1, откуда переходный ток в цепи
/пер = /2у + /ев = — + -± = — + Ле-"Ч,
К\ К\ К\
где свободная составляющая тока переходного процесса /св = е^/Л, =Аъ~ф\
Постоянную интегрирования определяют из начальных условий.
В первый момент после замыкания выключателя при (= 0 ток в цепи
'пер(О) = #/Л, + Ае° = О/Л, + А или /1у = О/Л, +А = 12у + А,
так как ток в цепи при этом будет таким же, как перед замыканием
выключателя, т. е. /пер(0) = /1у. Отсюда постоянная интегрирования:
А = 1]у-12у = 3-6 = -ЗА.
В электрической цепи при переходном режиме при заданных
условиях ток
/пер = /2у+Ае~"ъ = 6 - Зе-//Т> = 6 - Зе-//0'015 = 6 - Зе"*6'66'.
Задаваясь значениями времени переходного процесса,
определяют зависимость переходного тока /пер(0-
На рис. 5.3, б приведены зависимости переходного тока ^ и
свободной /св составляющих тока во времени.
5.4. Электрическая цепь (рис. 5.4) содержит катушку,
индуктивность которой Ь= 10 Гн и активное сопротивление Л = 5 0м;
параллельно катушке подключен резистор с сопротивлением Л, = 10 Ом.
Цепь включена под постоянное напряжение И= 220 В с помощью
переключателя П. Определить энергию магнитного поля И^ катушки
индуктивности, записать выражение для переходного тока /пер(/)
и найти напряжение на резисторе Л, в момент переключения
переключателя П из положения 1 в положение 2.
Решение. Ток в цепи катушки индуктивности в
установившемся режиме (положение 1 переключателя): /= II/Л = 220/5 = 44 А.
Постоянная времени электрической цепи при том же положении
переключателя: т, = 1/Л= 10/5 = 2 с. Энергия магнитного поля
катушки индуктивности:
1Я=10^41 = 9680Дж
2 2
Дифференциальное уравнение
переходного режима, составленное по второму
закону Кирхгофа для электрической цепи
(положение 2 переключателя):
Рис. 5.4 Л Р
144

или
Л
+ /пер(Л + К1) = О,
отсюда ^^ч-/пеР(/? + /?1)=0, т.е. ^- + ^ = 0.
йг I йг т2
Постоянная времени электрической цепи в том же положении
переключателя т2 = /,/(/{+ Л,) = 10/(5 + 10) = 0,67 с.
В этом случае ток переходного режима, равный свободной
составляющей, определяют в результате решения полученного
уравнения: /пер=/св = у4е-'/Т2.
В соответствии с первым законом коммутации ток в катушке
индуктивности в момент переключения (/=0) переключателя из
положения 1 в положение 2 не может изменяться скачком. Поэтому
постоянная интегрирования А = II/К = 44 А. При этом получим
уравнение для переходного тока
/пер=^е-^ = 44е-//0'67.
Напряжение на резисторе Л, в начальный момент после
переключения переключателя из положения 1 в положение 2: 1/К1 = Л,/=
= 10-44 = 440 В. Из этого следует, что в процессе коммутации
электрических цепей, содержащих индуктивности, могут возникнуть
опасные для соответствующего электрооборудования перенапряжения.
5.5. Электрическая цепь составлена из конденсатора, емкость
которого С=200мкФ, соединенного последовательно с резистором
Л =50 Ом (рис. 5.5, а), подключается к источнику постоянного
напряжения {/= 100 В. Установить зависимость тока /пер(/) в цепи и
напряжения нСпер(0 на обкладках конденсатора в функции времени.
Решение. Постоянная времени электрической цепи: % = КС=
= 50-200-10"* = 0,01 с.
Переходное напряжение на зажимах конденсатора при
включении электрической цепи в питающую сеть равно сумме
установившейся и свободной его составляющих: иСтр=иСу + иСсъ.
Щ
-о-
10-4359
а)
Л ислсо,В
1,6
1,2
0,8
0,4
0
80
60
40
20
1т/
1 1_
Г И Спер
^^^ 'пер
1
0И
1
Рис. 5.5
0,01 0,02 0,03 0,04 /,с
б)
145

В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение
электрического равновесия для цепи, рассматриваемой в переходном
режиме:
Л/пер+«Спер=ЛС^+«Спер=[/.
Установившееся напряжение на конденсаторе определяют при
*=оо. При этом иСу=1/= 100 В, так как при ^=0 ток /пер= *^пер =0.
Решение однородного дифференциального уравнения КС ^пер +
+ Кссв = 0 позволяет найти свободную составляющую переходного
напряжения иСсв=./4е~'/т.
Отсюда переходное напряжение
"спер = "су + "сев = #+Ле-'*= 100+Ле-"0'01.
Постоянная интефирования А находится из условия, что до
включения под напряжение (/ = 0) конденсатор не был заряжен и
напряжение на нем
"спер = Ю0+ Ле-'/0«01 = 100+Л = 0, откуда А = -100 В.
В результате изменение переходного напряжения на
конденсаторе во времени будет происходить по экспоненциальному закону:
^спер = Щ1 ~ е-*1) = 100(1 - е-"0'01) В.
При этом зависимость переходного тока в цепи во времени
определяется уравнением:
. = с^спер_ = С[/1е-/л =К.е-ф = 1^е-'/°'01 = 2е-'/°'01 А.
р сН т я 50
По полученным уравнениям рассчитаны и построены на рис. 5.5, б
графики изменения тока /пер и напряжения иСпер переходного
процесса во времени.
Процесс нарастания иСпер до установившегося значения 11= 100 В
и снижение тока /пер до нуля теоретически длится бесконечно долго,
однако практически его можно считать законченным за время
*=(4-*-5)т или в данных условиях за время /=40мс (0,04 с).
5.6. Электрическая цепь постоянного тока (рис. 5.6) содержит
конденсатор с емкостью С= 100 мкФ, включенный
последовательно с резистором, активное сопротивление которого Л =20 Ом
включается под напряжение {/= 100 В. Определить энергию
электрического поля Ц^с конденсатора в конце процесса зарядки и установить
зависимость напряжения на обкладках конденсатора иСпср(1) и тока
в цепи /Пер(0 от времени в переходном режиме при зарядке
конденсатора (переключатель П —в положении 1).
146

Решение. Энергия электрического поля
заряженного конденсатора:
^с =
си2 юо. ю-*. 1002
= 0,5 Дж.
2 2
Уравнение, составленное по второму
закону Кирхгофа для электрической цепи при
зарядке конденсатора:
Л/пер + "спер = И или КС^- + ис = (7,
'пер
гО
#
——V*
т
-о
1
I
2
1.
А 1
<н
Рис. 5.6
— переходный ток цепи.
где /пер=С
Переходное напряжение на конденсаторе складывается из
установившейся и свободной его составляющих: иСпср = "су + "сев-
Свободную составляющую переходного напряжения находят в результате
решения однородного дифференциального уравнения без
свободного члена:
КС^- + иСсъ = 0, отсюда иСсъ = Аеч/\
Постоянная времени рассматриваемой цепи т = КС= 20 • 100 • 10"6 =
= 0,002 с.
Выражение для переходного напряжения на обкладках
конденсатора приводят к виду:
4 Спер ■
ис, + "с» = иСч + Ле-"0'002 = иСу + Ле"500'.
*Су-
*Су
Су"
После окончания процесса зарядки ток в цепи /Пер = 0> поэтому
в установившемся режиме напряжение на конденсаторе становится
равным напряжению питающей сети: иСпер = иСу = II. Постоянную
интегрирования определяют исходя из начальных условий: при 7=0
"спер = 0 и иСу=1/, отсюда в соответствии с уравнением для
переходного напряжения А = -11.
В результате при переходном режиме зарядки конденсатора
зависимость напряжения (в В) на обкладках конденсатора во времени
определяется уравнением
"спер = "су + "сев = V - ОТ* = 17(1 - е"*) = 100(1 - е^) = 100(1 - е500').
Переходный ток в цепи
'пер = 'у + 'ев = 'у "* Т~~ = 'у + "Т е >
К К
так как нСсв = Ле~'Л.
Постоянную интегрирования А, входящую в полученное
выражение, находят из начальных условий.
После окончания зарядки переходное напряжение на
конденсаторе иСтр=11, а в установившемся режиме ^ = 0, поэтому А = -11.
ю* 147

При этом переходный ток зарядки конденсатора изменяется в
соответствии с выражением
/ - _-_е-//т - —• Р-'/0,002 - ^е-500/
'пер"*е 20 е "Ь6 •
В начальный момент при /=0 переходный ток /пер= 1//К=5А. Как
следует из полученных выражений, переходное напряжение при
зарядке конденсатора возрастает, а переходный ток убывает по
экспоненциальному закону.
По полученным формулам можно построить зависимости
переходных напряжения иСпср(1) и тока /пер(0 при зарядке конденсатора
С в цепи с резистором &
5.7. В условиях задачи 5.6 определить энергию электрического
поля конденсатора \УС и установить зависимость переходных
напряжения на обкладках конденсатора «СпеР(0 и тока в его цепи (рис. 5.6)
/пер(0 от времени при переходном режиме разрядки предварительно
заряженного до напряжения 1/= 100 В конденсатора с емкостью
С=100мкФ.
Решение. При включении переключателя П в положение 2
(рис. 5.6) энергия элекфического поля конденсатора С,
расходуемая на нагревание резистора:
„, СИ2 100 • ю-6. юо2 л с _
»с = —- = - = 0,5 Дж.
2 2
При этом переходное напряжение на конденсаторе в переходном
режиме разрядки имеет такой же вид, как и при зарядке: мСпер = иСу +
+Аеч/\ После окончания процесса разрядки, когда конденсатор будет
полностью разряжен, напряжение на обкладках и ток в его цепи:
"спер = 0 и /Спер = 0. Постоянную интегрирования А находят из
начальных условий при /=0 и Нсу = 0. При этом иСсъ=Ае°= I/. Переходное
напряжение на конденсаторе иСпер = {/е"//т = ЮОе"500'.
Уравнение, описывающее переходный ток при разрядке
конденсатора, имеет тот же вид, что и при его зарядке: /пер = ^—е"//х.
к
Однако в первоначальный момент разрядки конденсатора (при
/=0) ток разрядки ^ = 0. С учетом этого переходной ток разрядки
конденсатора:
/ = _~е-'А = -—е-'а = -—е-1/от = -5е-500/.
Р Я К 20
Из полученных уравнений следует, что переходные напряжение
мСпер и ток /пер убывают во времени по экспоненциальному закону. Знак
«-» в выражении для переходного тока /пер свидетельствует о том, что
ток разрядки конденсатора имеет направление, обратное току зарядки.
По полученным формулам можно построить зависимости
переходных напряжения иСпср(() и тока /пер(0 при разрядке
конденсатора С в цепи с резистором К.

Глава 6
ПРОМЫШЛЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
§ 6.1. Основные сведения об электровакуумных
и полупроводниковых приборах
Промышленная электроника базируется в основном на
использовании полупроводниковых приборов: диодов, транзисторов,
тиристоров и др. Кроме того, в специальных областях техники
используются электронные лампы, выпрямительные, усилительные,
генераторные и др. Миниатюрные вакуумные лампы (с холодным
катодом) широко применяются в вычислительной технике вследствие
того, что скорость перемещения электронов в лампах значительно
быстрее, чем в кремнии или арсениде галлия [5].
Электровакуумные диоды обладают односторонней
проводимостью, поэтому широко используются для преобразования
переменного тока в постоянный в установках малой мощности.
В электровакуумных триодах посредством незначительного
изменения разности потенциалов 1/с между управляющей сеткой и
катодом можно получить значительное изменение потока электронов
между катодом и анодом (анодного тока).
Режим электровакуумного триода задается двумя не зависящими
друг от друга напряжениями: анодным 1/л и сеточным <7С. При
аналитических расчетах как статических, так и динамических
характеристик триода пользуются статическими параметрами триода,
которые определяются по статической анодно-сеточной и статической
анодной характеристикам (рис. 6.1.1, а, б).
Рис. 6.1.1
149

Внутреннее сопротивление электронной лампы: К; = дЩд1а или
Я, = <Щ/<1/. = ДС4/ДД = (Щ- С/аО/А/а ПРИ Цс = СОПИ.
Крутизна анодно-сеточной характеристики обусловливает
управляющие свойства лампы: 5=д1а/д1/с при 5=й1а/й1/с = А1а/А1/с = Га-
~К/Щ- Щ при С4 = соп81. Коэффициент усиления,
характеризующий усилительные свойства электронной лампы: \1 = -д1/а/д1/с или
|11 = -д^с1(/с==-А<7а/А(7с = -^-^а7^-^ при /0 = соп81. Параметры
электронной лампы связаны между собой внутренним уравнением:
\1 = К;5. При наличии линейных статических характеристик
параметры лампы К„ 3 и \1 остаются постоянными при изменении (7а, 1/с
и анодного тока /а. Так как анодный ток триода зависит от
напряжения на аноде (7а и напряжения на сетке 1/с, то полный
дифференциал анодного тока:
а/а=-^-<ша+-^-сшс
э#а э^с
или с учетом того, что й1а = -Ка1а, имеем:
Крутизна динамической анодно-сеточной характеристики
триода /а(17а) при Ла>0:
^_ = _^
Э<УС Д/ + Да
откуда видно, что она меньше крутизны статической
характеристики (5>5Д). Уравнение динамической характеристики приводится
к виду:
Л/ + яа
Статическую характеристику триода 1а(Щ при Ла = 0 получают
из выражения для анодного тока с учетом того, что Еа = 11а при
1/с = сопз!:
/. = 1/./^+ад-
Динамическую анодную характеристику триода /а(<7а) при Яа>0
можно получить из уравнения 11а = Еа-Ка1а, записанного для цепи
анодного тока:
1а = ЕЖ-1/а/Яа,
откуда видно, что она не зависит от параметров К„ 5 и \1 триода.
Электронные полупроводниковые приборы основаны на явлениях
электропроводимости, свойственных полупроводниковым
материалам, которые определяются валентными электронами, не прочно
связанными с ядрами и не участвующими в создании
электропроводности электронами.
150

Электронно-дырочная проводимость возникает в результате
разрыва валентных связей, являясь собственной проводимостью,
которая обычно невелика. Воздействие на полупроводники
электрического поля, температуры и других внешних факторов оказывает
большее влияние на их свойства, чем на проводники и изоляторы.
Введение незначительного количества инородных примесей
значительно увеличивает электрическую проводимость полупроводника,
при этом оказывается, что в зависимости от рода примеси можно
получить как полупроводник л-типа, так и полупроводник /7-типа.
При сплавлении полупроводников различных типов создается
область по обе стороны от границы раздела, называемая
электронно-дырочным или р-п-переходом. При включении
/ьл-перехода под прямое напряжение полярность приложенного
напряжения 1/т будет обратна полярности напряжения 11^
запирающего слоя. С возрастанием внешнего напряжения сопротивление
^-«-перехода снижается, а ток возрастает. При обратном включении /ьл-пе-
рехода полярность внешнего напряжения 1/т соответствует
полярности напряжения (4т запирающего слоя. Обратный ток, обусловленный
неосйовными носителями заряда, оказывается во много сотен или
тысяч раз меньше прямого тока. В полупроводниковых диодах
используется односторонняя проводимость электронно-дырочного
перехода, так как из вольт-амперной характеристики /ьл-перехода
следует, что он обладает неодинаковыми сопротивлениями в
прямом и обратном направлениях. Поэтому полупроводниковые диоды
используются для выпрямления переменного тока. Транзистор
(полупроводниковый триод) является электронным прибором,
основанным на свойствах двух, расположенных весьма близко друг от
друга электронно-дырочных /ьл-переходов. Наличие трех слоев с
различной проводимостью обусловливает на границах их раздела два
/>-л-перехода, характеризующихся динамическим равновесием. Чтобы
вывести /?-л-переход из состояния равновесия, к нему подводится
внешнее напряжение 11вн. При этом значение тока /к в цепи
закрытого коллекторного перехода зависит от значения тока /э открытого
эмиттерного перехода. Связь между токами коллекторной и эмиттер-
ной цепей транзистора характеризуется коэффициентом передачи
тока: ос = /к//э, а = 0,92...0,99. Число рекомбинирующих в базе
основных носителей заряда эмиттера определяет ток базы: /б = /э-/к. При
рассмотрении усилительных свойств транзисторов для переменных
сигналов схемы их включения рассматривают без источников
питания, так как по сравнению с другими сопротивлениями внутренние
сопротивления источников питания весьма малы. Наиболее часто
используют схему транзистора с общим эмиттером (ОЭ) (рис. 6.1.2),
с помощью которой осуществляют усиление по току, напряжению
и мощности. Для этой схемы коэффициенты усиления по току,
напряжению и мощности определяют из выражений
к>- _ 'вых __ 'к а _ П ^ 1. V мвых __ 'к-^н __ -. ^н ,.1.
Л/ - - — - - Р > 1, Л„ - - —— - (X— > 1,
'вх 'б 1-<Х «вх 'б^вх Дэб
151

'вх-'б
&=
УТ
«эб
*эб
Л»П
Ьи
Рис. 6.1.2
'вх 'э 'к 'вых
Т
0 <
Рис. 6.1.3
КР = К,Ки=-?—^>1,
(1-а)/гэб
где Лэб — сопротивление перехода эмиттер — база.
При этом выходное напряжение ивых находится в противофазе
с входным напряжением и^. Для схемы транзистора с общей
базой ОБ (рис. 6.1.3) коэффициенты усиления по напряжению, току
и мощности находят из выражений
'вх 'э "вх 'э^вх ^эб
КР = К1Ки = а>-^->1.
Включение транзистора по схеме с общей базой применяется
обычно на более высоких частотах, однако эта схема
характеризуется коэффициентом усиления по току меньшим единицы К,<1.
При этом выходное напряжение к^ оказывается в фазе с входным
напряжением квх. Для схемы включения транзистора с общим
коллектором (ОК) (рис. 6.1.4) коэффициенты усиления по току,
напряжению и мощности определяют из выражений
К>
!2.
'к+'б
'б
= Р + 1 = -^- + 1 = -^->1;
1-а 1-а
Т( _ **вых
«вх
+ «эб *'э(Ян + /?эб) ^н + ^эб
1
<1;
КР = К{Ки = К,=$ + 1 =
1-а
>1,
Рис. 6.1.4
где р = - .
1-а
При этом выходное напряжение щых
находится в фазе с входным
напряженных нием и^. Рассматривая основные
усилительные схемы включения, исходят
из того, что работа транзистора
происходит на линейных участках его
характеристик, что соответствует малым вход-
152

и—г в
/б=С0П51
/б =С0П51
/б'=С0П51
Рис. 6.1.5
Рис. 6.1.6
ным сигналам, и при расчете коэффициентов усиления транзистор-
но-резисторных усилителей схемы, учитывая условия работы на
средних частотах, влиянием входных, переходных и выходных
емкостей пренебрегают. Основными характеристиками транзистора,
включенного по схеме с общим эмиттером являются статическая
входная характеристика 1б(1/6) при 11к = соп$1 (Рис- 6.1.5) и
статическая выходная характеристика 1^1/^ при /б = соп$1 (рис. 6.1.6). В
схеме транзистора с ОЭ к эмиттерному переходу транзистора
приложено прямое напряжение (7пр, поэтому при напряжении на коллекторе
11к = 0 входная характеристика соответствует прямой ветви вольт-
амперной характеристики />-л-перехода.
Таблица 6.1
Параметры усилителя
Коэффициенты усиления:
потоку К(
по напряжению Ки
по мощности Кр
Входное сопротивление Кш6
Выходное сопротивление /{вых
Схема включения транзистора
с общей
базой (ОБ)
Р
а = ;
1 + Р
(10 - 200)
^н Р ^н
Явхб 1 + РЛвхб
(1000-10000)
2 *«
а2 =
^вхб
Р2*н
0+Р)2Лвхб'
(1000-10000)
10-100 Ом
0,1-1 МОм
с общим
эмиттером (ОЭ)
а
-—-Р;
1 - а
(10 - 200)
Яна Лнр
^вхэ О + Р^вхэ'
(30 -100)
аЧи
а-а)/гвхэ
Р2*н .
а + Р)Двхэ'
(1000-20 000)
100-1000 Ом
10—100 кОм
с общим
коллектором (ОК)
а
-—-1 + Р;
1 -а
(10 -100)
1
1
-— = 1 + Р;
1-а
(10 -100)
0,5-1 МОм
10-100 Ом
153

Свойства транзисторов в рабочем (динамическом) режиме
оцениваются по их характеристическим параметрам, представляющим
собой величины, которые устанавливают связь между малыми
изменениями токов и напряжений. Наиболее распространена система
Л-параметров, выражающая функциональную зависимость между
входными напряжением и током и выходным напряжением.
Основные А-параметры транзистора для схемы включения с общим
эмиттером можно определить с помощью характеристических
треугольников, построенных на семействе входных и выходных
характеристик (см..рис. 6.1.5 и 6.1.6). Параметры, найденные по
характеристическому треугольнику, являются малосигнальными, так как они
справедливы только для прямолинейных участков характеристик. Из
характеристического треугольника определяют входное
сопротивление транзистора А11=АС4/А/б|^=сопЛ и коэффициент обратной связи
А,2 = А{7б/А{/к|/в=СОП!Л. Из семейства статических выходных
характеристик определяют коэффициенты усиления по току А21 = А/к/А/б|^=СОП51
и выходную проводимость транзистора А22 = А/к/А<7к|/б=СОП51.
Параметры транзисторов зависят от схемы включения (табл. 6.1). На рис. 6.1.7
представлены зависимости коэффициентов усиления К„ Ки9 Кр от
сопротивления Кн нагрузочного резистора. Характер изменения
коэффициента усиления по мощности Кр для различных схем
включения транзистора иллюстрирует рис. 6.1.8. На рис. 6.1.9, а
представлена зависимость входного Л^ сопротивления от сопротивления Кю
а на рис. 6.1.9, б— зависимость выходного сопротивления Д,^
транзистора от внутреннего сопротивления Лг генератора входного
сигнала при различных схемах включения транзистора. Для низких частот
(ю<-7сЛкСк1
приведена табл. 6.2, связывающая А-параметры схемы
замещения транзистора для различных схем включения.
Приближенные формулы для пересчета А-параметров
транзистора при включении его по данной схеме, если известны
А-параметры, соответствующие другой схеме его включения, приводятся к
следующему виду.
Схемы включения транзистора:
с общим эмиттером (ОЭ): А11э = -*!!*-; А12э = ^™ _й12б; А21э =
1 + Л21б 1 + Л21б
Л21б . и ^226 .
Ат>ч =
1+Л21б 1+Л21б
^ИэЛ22э и . и Л21э
с общей базой (ОБ): Нт =-^-\ Н12б =^-22-А12э; Нш = -
1+Л21э 1 + Л21э 1+Л21э
и Лг2э .
«226 = "
1 + Л21э
с общим коллектором (ОК): АП|С = —^— =А11э; Л12к = 1; А2и =-
+ Л21б 1+Л21б
= -(Агь +1); А22к = --—-— = А22э.
1+Л21б
154

I кОм 1 МОм Лн
Рис. 6.1.8
лэ+лб
Лэ+Л6(1-а)
1
ОК/
ОБ "
| ц_
ОЭ
1
►
л,
Лк(1-а)
Лз+Л6(1-а)
ОБ
|—<[оэ
0К' У
1 1 1
—►
О
1 кОм 1 МОм Ян
а
Рис. 6.1.9
О
1 кОм I МОм Яг
б
Транзистор при определенных допущениях можно рассматривать
как линейный активный четырехполюсник, для которого
справедливы зависимости: иб = Ап/б +А^; /к = А21/б + А22нк. Учитывая, что
безразмерный параметр А12 для транзистора, включенного по схеме
с общим эмиттером, мал, на практике принимают А12 = 0. В
соответствии с представленными выше уравнениями схему замещения
транзистора с ОЭ приводят к виду (рис. 6.1.10, а), а А-параметры
определяют по семейству входных и выходных характеристик. При
этом коэффициенты усиления по напряжению Ки, току К, и
мощности Кр определяют через А-параметры транзистора и параметры
элементов электрической цепи:
Ки =
Л21^к
(1+Л22Дк)'бЛц Л„(1+Л22ЛК)
Як
где /к - /вых; /б - /вх; Лвх - Ап; /свых - ,
\+н22як
Г _ *'вых _ 'к _ и ля V - V V - ^21 ^к
Л/ — — — — Пу\ И Л» - Л/Л. ы — .
/вх /б Ац(1+Л22Дк)
Схема усилительного каскада на транзисторе с общим
эмиттером (ОЭ) приведена на рис. 6.1.10, #. Она составлена на основе
схемы замещения транзистора с введением в нее резистивных
К[ = К]К(К] + К2)Ки и емкостных элементов С„ Сс, С0 = (СВЫХ+ См),
где Свых —емкость участка коллектор — эмиттер; См —монтажная
емкость. При этом коэффициент усиления каскада по напряжению:
155

Таблица 6.2
Схема замещения транзистора
с общей базой (ОБ)
с общим эмиттером (ОЭ)
с общим коллектором (ОК)
Ъ + ЯЩ+а)
Д?+*(1 + Р>
Д?+*(1 + Р>
Дб _ Лб
Як + Я& ^к
*э (1 + Р)
2 Як
ДК + ДЭЦ + Р)
а
-<1 + Р) = -Р
1 1
Як + /?б &к
1 + р 1+Р
Лк+Дб(1+Р) * Як
1 + Р
Л12
Примечание. В таблице /^ = Л;+Л^=—; ^6 = 2^ 7ГТТ' ^ = 1ТЛ 7Г~"; а = "Л21» ^» жЛп ~ ~(* + А21>; ^к81"

"вх=«б
Рис. 6.1.10
Ки = А^Д/1 + (сотв - 1/о^н), где Ао — коэффициент усиления по
напряжению каскада на средних частотах К[» Л„, А^ = й^ ДДДДс + Д, + А^ДЛ),
где тв — постоянная времени усилительного каскада на верхних
частотах (тв = Со/^ых = С^Д,/^ + Л„ + й22ДД); тн — постоянная
времени усилительного каскада на нижних частотах без учета влияния
емкости С,тн= СДи^ СсКъК/К +К +ЪггКК- На практике
используется схема с общим эмиттером, так как она позволяет усиливать
не только напряжение, но также ток и мощность.
Типовая схема усилительного каскада с общим эмиттером
показана на рис. 6.1.11. Резисторы Яи К2, Кк в схеме обеспечивают
необходимые значения постоянных напряжений на коллекторном
и эмиттерных переходах при питании всех цепей транзистора от
одного общего источника питания Ел. Резистор Кэ обеспечивает
температурную стабилизацию рабочей точки, что для транзисторных
усилительных схем очень существенно. С ростом температуры
постоянная составляющая тока эмиттера 1^ возрастает, вследствие чего
*-Еш
СОи СО
Рис. 6.1.11
Рис. 6.1.12
157

увеличивается падение напряжения Д^ на резисторе Лэ, при этом
потенциал эмиттера относительно базы снижается, что уменьшает
постоянную составляющую тока базы и ограничивает степень
нарастания тока покоя в цепи коллектора. Для устранения этого
воздействия при прохождении по цепям транзистора переменных
составляющих резистор Яэ шунтируется конденсатором Сэ.
Конденсаторы С, и Сс предназначены для предотвращения попадания
постоянной составляющей тока от источника питания и сигнала на выход
и вход усилительного каскада. Одним из важнейших показателей,
характеризующих свойства усилителей, является его комплексный
коэффициент усиления, который в общем случае можно
представить как отношение комплексного напряжения на выходе усилителя
к комплексному напряжению на его входе:
^ Нвых/ Нвх ц еууи ^^ Л^ >
— вх
где К = —^ — модуль коэффициента усиления усилителя, Ф = \|/вых-Увх —
^ вх
разность фазовых углов сигнала. Усилители неизбежно содержат
комбинации активных "и реактивных элементов, поэтому модуль
коэффициента усиления и разность фазовых углов на выходе и
входе усилителя являются частотно-зависимыми. Зависимость
комплексного коэффициента усиления от частоты К((й) является частотно-
фазовой характеристикой усилителя (рис. 6.1.12). В процессе
изучения усилителя зависимость модуля коэффициента от частоты К((6)
амплитудно-частотной характеристики усилителя и зависимость
изменения фазового угла от частоты обычно рассматривают
отдельно. Области частот от 0 до со„ и от сов до со = °о характеризуются
значительным изменением коэффициента усиления, а область от он
до юв (полоса пропускания) характеризуется незначительным
изменением коэффициента усиления от частоты. Особенность работы
усилителя в области низких, средних и высоких частот частотной
характеристики (рис. 6.1.12) может быть установлена при анализе этой
характеристики с использованием схемы замещения (см. рис. 6.1.10, б)
усилительного каскада с общим эмиттером (см. рис. 6.1.11).
При анализе частотной характеристики усилительного каскада
в области средних частот (©„<со<оов) в эквивалентной схеме можно
не учитывать внешние (С, и Сс) и внутренние (С*) емкости
каскада, а рассматривать эквивалентную схему усилительного каскада
как частотно-независимую. Зависимости коэффициентов усиления
тока и напряжения от частоты в точном аналитическом выражении
описываются гиперболическими функциями комплексного аргумента.
Их непосредственное использование значительно усложняет анализ
работы усилителя. В малосигнальных усилителях низкой частоты при
известных значениях сопротивления нагрузки Кн и генератора
сигналов Кг и известных значениях А-параметров транзистора в избран-
158

ной схеме включения в соответствующей рабочей точке основные
параметры одиночного каскада могут быть рассчитаны по
следующим формулам.
Коэффициенты усиления:
по току К, = -^ = *21 ;
'вх 1+Л22Лн
гу Иных "21"н
по напряжению Ки = -^ = ^—^ ;
"вх Ли0 +Л22^н)~Л12Л21^н
ПО МОЩНОСТИ Кр^К^.
Сопротивления:
ВХОДНОе Лвх = Л11^2+1/Лн)-Л22Л21.
выходное Лвых =
А22 + 1/Дн
Л11+Дг
А22(Лц +ДГ)-Л12Л21
В приведенные формулы входят значения й-параметров,
соответствующие способу включения транзистора. Полное согласование
нагрузки затруднительно, так как в усилительных каскадах при
включении транзисторов по схемам с общей базой и общим
эмиттером Кн <& Кж (где Кт — согласованная нагрузка), при этом Лн можно
определить исходя из выражения
Л12^21)
тогда для расчетов параметров усилительного каскада справедливы
приближенные формулы:
К1-Н2\\ Ки -
Ьц&н ,
л„ - ——, авх —/1ц.
Л11 Лц
В усилительных каскадах при включении транзистора по схеме
с общим коллектором обычно КН = КНС, при этом можно
пользоваться следующими приближенными формулами: К1 = Н2ь Ки=1; К^К;У
Лвых = Лг/А21. Процесс расчета многокаскадных усилителей (рис. 6.1.13)
Лсв1
^св2
*свЗ
^св(и+1)
,кп1-
,кп]—1[-
,1 Лэ11. г"э1 X X I э2Л Л I
1 каскад
2 каскад
Рис. 6.1.13
п каскад
159

осуществляется покаскадно от последнего каскада к первому. В
связи с наличием в сопротивлениях резисторов связи потерь
мощности, передаваемой от одного транзистора к другому, коэффициенты
усиления каскадов по току и мощности оказываются меньше
рассчитываемых по формулам для однокаскадного усилителя.
Коэффициенты усиления по напряжению остаются практически
неизменными при правильно выбранном сопротивлении Кн и
сопротивлении генератора сигнала Кт для каждого каскада.
Литература. [2] § 10.1—10.17.
Примеры решения задач
6.1. Определить внутреннее сопротивление Я„ крутизну
динамической анодно-сеточной характеристики 5Д и динамический
коэффициент усиления Ад лампового триода типа 6Н7С, если его
статический коэффициент усиления ц, = 40, крутизна статической
характеристики 5= 2,5 мА/В = 2,5 • 10"3 А/В, сопротивление
нагрузочного резистора Ла = 20кОм.
Решение. Определяют внутреннее сопротивление исходя из
внутреннего уравнения триода: Л,=ц,/У= 40/(2,5 • 10"3) = 16 000 Ом = 16 кОМ.
Крутизна динамической анодно-сеточной характеристики:
5Д = 5—^- = 2,5-^- = - = 1,11 мА/В.
ЯЛ + К, 20 + 16 36
Динамический коэффициент усиления:
Кй ЛЛ 20 800
*д=И
Да + Д/
= 40-
го +16 36
= 22,2.
6.2. По анодным характеристикам, приведенным на рис. 6.2,
определить параметры лампового триода типа 6Н7С для точки А.
Решение. Крутизна статической анодно-сеточной
характеристики триода
5 =
Э/а
А/а
\(/л =СОП51
АЦС
1/л = СОП81
2
Внутреннее сопротивление триода
# =
э/.
Э/а
\(/с = СОП51
А/.
Шл =СОП$1
-73
= 1,65^.
в
I/с = СОП81
-3,3 - ю-3
\[/с = СОП51
= 22120 Ом = 22,12 кОм.
Коэффициент усиления триода
Ц =
Э^а
Ы1С
А^а
/, =СОП51
д#с
/а = СОП81
-73
2
= 36,5
/, =СОП81
или \1 = 5К, = 1,65 • 22,12 = 36,5.
160

Л, мА
40 120 200 280 Са, В
Рис. 6.2
Рис. 6.3
6.3. Определить действующее значение напряжения 112 на
вторичной обмотке и коэффициент трансформации п трансформатора,
амплитудные значения Ц^ напряжения и тока /^ на вторичной его
обмотке, показание магнитоэлектрического миллиамперметра А,
включенного в цепь однополупериодного выпрямления (рис. 6.3),
собранного на кенотроне. Напряжение питающей сети (А, = 220 В,
вольтметр V магнитоэлектрической системы показывает
постоянную составляющую напряжения Л70=170В, нагрузочное
сопротивление Лн = 10,7кОм.
Решение. Действующее значение напряжения вторичной
обмотки трансформатора:
ц2=И^ = <7„/0,45 = 170/0,45 = 378 В.
л/2
Амплитудное значение вторичного напряжения /72л| =
х 378 = 534 В. Коэффициент трансформации трансформатора: п=11]/Ц2 =
= 220/378 = 0,58. Амплитудное значение тока в цепи вторичной
обмотки трансформатора
/2и=^1=*1^1 = 50мА.
Яи 10700
Значение выпрямленного тока (постоянной составляющей тока),
соответствующее показанию миллиамперметра магнитоэлектрической
системы: /0 = 1т2/п = 50/3,14 =15,9 мА.
6.4. Определить средние значения выпрямленных тока /0 и
напряжения 1/0, а также мощность Р, выделяемую в нагрузочном
резисторе Кн, обусловленную этим током, для однополупериодного
выпрямителя, собранного на полупроводниковом диоде (рис. 6.4, а),
если его сопротивление в проводящем прямом направлении
/?пр = 5 0м, а в непроводящем (обратном) направлении 7^= 1000 Ом,
сопротивление нагрузочного резистора Лн = 400Ом, напряжение
питающей сети {7= 220 В. Вольт-амперная характеристика
электрической цепи приведена на рис. 6.4, б, нелинейностью
характеристики пренебречь.
И-4359 161

.;_ 100 200 300 400 ..^ 0
I
а)
Рис. 6.4
Решение. Сопротивление электрической цепи:
в проводящий (прямой) полупериод К} = Кпр + Лн = 5 + 400 = 405 Ом,
в непроводящий (обратный) полупериод К2 = Кобр + Ки = 1000 +
+ 400 = 1400 Ом.
Амплитудное значение напряжения питающей сети: 1/т = ^211=
= Л -200 = 310,2 В.
Амплитудное значение тока цепи:
в проводящий полупериод Гт- 1/т/К} = 310,2/405 = 0,766А,
в непроводящий полупериод /^= 1/т/К2 = 310,2/1400 = 0,222 А.
Постоянные составляющие:
прямого тока Ц = Гт/п = 0,766/3,14 = 0,244 А;
К 0,222
обратного тока /0":
= 0,071 А.
к 3,14
Средние значения:
выпрямленного тока /0 = Ц - Ц= 0,244 - 0,071 = 0,173 А;
выпрямленного напряжения 1/0 = Кн10 = 400 -0,173 = 69,2 В.
Мощность, выделяемая в сопротивлении резистора,
обусловленная постоянной составляющей выпрямленного тока: Р=ЦК„ =
= (0,173)2400= 11,972 Вт.
6.5. Определить действующее 1/2 и амплитудное 1/^ значения
напряжения на вторичной обмотке трансформатора, его
коэффициент трансформации п, постоянную составляющую выпрямленного
тока /0; выбрать полупроводниковые вентили для двухполупери-
одного выпрямителя, выполненного по мостовой схеме рис. 6.5.
162

Выпрямленное напряжение /70 = 350В на
нагрузочном резисторе Кн = 1400 Ом,
напряжение питающей сети 1/} = 127 В.
Решение. Действующее значение
напряжения на вторичной обмотке
трансформатора в данной схеме
выпрямления:
0,-%Г.
<70/0,9 = 350/0,9 = 390 В.
Рис. 6.5
Коэффициент трансформации трансформатора: п = ЩИ2 = 127/390 =
= 0,333.
Амплитудное значение напряжения на вторичной обмотке
трансформатора: 1/т2 = 42 Ц2 = 1,41 • 390 = 549,9 В.
Значение максимального обратного напряжения, вентиля в
данной мостовой схеме: <70бртах = 1/т2 = 549,9 = 550 В.
Постоянная составляющая выпрямленного тока: ^ = 1/0/Ян = 350/1400 =
= 0,25 А.
По справочнику, исходя из расчетного значения тока /0 и
значения обратного напряжения ^ртах» выбираем вентили типа Д7Ж
с номинальными данными: током /0 = 0,ЗА и максимальным
допустимым обратным напряжением вентиля #Обртахв = 400В.
Число последовательно включенных вентилей в плече мостовой
схемы: Л^> (70бртах/<70бртахв = 550/400= 1,38. Принимаем N=2.
6.6. По условию задачи 6.5 определить максимальные значения 1^,
выпрямленного тока, напряжения 1/^ и мощность Р, выделяемую
в сопротивлении нагрузочного резистора Кн.
Решение. Значение выпрямленного тока: /0 = 1/0/Кн = 350/1400 =
= 0,25 А.
Амплитудные значения:
выпрямленного тока 12т = к10 = 3,14-0,25 = 0,785 А,
выпрямленного напряжения V\т - п110 = 3,14 • 350 = 1100 В или
Уъп = К1ъп = 1400 • 0,785 = 1100 В.
Мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузочного
резистора:
Р= ад = 350-0,25 = 87,5 Вт или Р=/02ДН = 0,252.1400 = 87,5 Вт.
6.7. Пользуясь входными и выходными характеристиками
транзистора типа П210Б — П210В (рис. 6.7, а, б), включенными по схеме
с общим эмиттером (ОЭ), определить А-параметры для точки 1
с координатами С/к1=-4,5В, /б1 = 47мА. Нелинейностью
характеристик на рассматриваемом участке пренебречь.
и* 163

450 мА
350 мА
300 мА
250 мА
200 мА
150 мА
8 12 16 */ю, В
б)
Рис. 6.7
Решение. Входное сопротивление транзистора:
Ац =
Цб2 - Ц61 Д#бэ 0,38 - 036
0,02
= 1,54 Ом,
/б2-/б1 А/б 60-47 13-Ю-3
где в соответствии с входной характеристикой (рис. 6.7, а), для
точек 1 и 2: Иб] = 0,36 В; Иб2 = 0,38 В; % =-4,5 В и *7к2 =-2 В; /б1 = 47 мА;
/б2 = 60 мА.
Коэффициент обратной связи по напряжению
Ап =
0,38-0,36 = 0,02 =840_з
Д^к #к2 - ^к1 "2 - (-4,5) 2,5
здесь
Л^к=Цс2-Цс1 = -2-(-4,5) = 2,5В;
д{/б=#б2-#б1 = 0,38 -0,36 = 0,02 В,
где в соответствии с входными характеристиками транзистора
(рис. 6.7, а) для точек 1 и 2 1/к2=-2 В и (7к1 =-4,5 В при неизменном
токе базы /б2 = 60мА.
Коэффициент передачи тока:
Л/б 0,05
где А/;'=1А; А/б = /б2-/б1 = 100-50 = 50 мА = 0,05 А, где в
соответствии с выходной характеристикой (рис. 6.7, б) транзистора при
неизменном значении напряжения коллектора 1/к] =-4,5 В; /б2 = 100 мА,
/б1 = 50 мА.
164

Выходная проводимость транзистора:
А22 = -^- = М = 0,0615- = 61,5 мА/В,
Д#к 6,5 в '
где А/к, =0,4 А; А(7К = #к2- #к1 =-4,5-(-11) = 6,5 В; здесь в
соответствии с выходной характеристикой транзистора (рис. 6.7, б) при
неизменном токе базы /б = 50мА при <7к2 = -4,5В и {/к1=-11В.
6.8. Для схемы рис. 6.8, а полупроводникового стабилизатора
напряжения с кремниевым опорным диодом УО определить
пределы изменения напряжения 1/н = 7,85 В на нагрузочном резисторе
Кн= 12,5кОм, если напряжение источника питания {/= 12 В
изменяется в пределах ± 10%. Сопротивление балластного резистора
Кб = 1000 Ом, вольт-амперная характеристика диода представлена на
рис. 6.8, б. Нелинейностью вольт-амперной характеристики на
рабочем участке пренебречь.
Решение. Дифференциальное сопротивление диода на
рабочем участке характеристики Л, = А17/А/= 0,3/(3 -10~3) = 100 Ом.
Нижний предел напряжения источника питания, соответствующий
изменению напряжения (-10%): V = 0,91/= 0,9 12= 10,8 В. Верхний
предел напряжения источника питания, соответствующий
изменению напряжения (+10%): #"= 1,11/= 1,112= 13,2 В. Изменение
напряжения источника питания: А11= Ц" - (/'= 13,2- 10,8 = 2,4 В.
Предел изменения напряжения на нагрузочном резисторе:
д#н = ^ = 2А = 2Л =±0,218 В.
\+Кб/Яи+Я6/Я, 1 + 1000Д2,5 -103 + 1000/100 1 + 0,001 + 10
Процентное изменение напряжения на нагрузочном резисторе:
Д#н % = ±^100% = ^100% = ±2,78%.
#н 7,85
6.9. В условиях задачи 6.8 определить среднее значение тока /ср
стабилитрона, соответствующее рабочей точке вольт-амперной
характеристики, ток 1Н в цепи нагрузочного резистора Кю а также ток
и
*б
га ж
а)
и*
[К
Ц*. В 8 6 4 2
ч
■*тах (
.. ,
1 ;
]
1 \^л
А/
'
Рис. 6.8
б)
0
1
2
3
Н4
4>б> мА
165

стабилитрона 1„ и напряжение 1/б на балластном резисторе при
нормальном (номинальном) режиме работы стабилизатора.
Решение. Среднее значение тока стабилитрона,
соответствующее рабочей точке характеристики:
г = Лиах + Лит = 4+Ц = 3 мД>
2 2
где /тах и 1т]п — соответственно максимальное и минимальное
значения токов стабилитрона (рис. 6.8, б). Ток в цепи нагрузочного
резистора: /н = *7Н/ЛН = 7,85/12,5 • 103 = 0,625 мА.
Напряжение на балластном резисторе при номинальном режиме
в соответствии с уравнением электрического равновесия
напряжений, составленным по второму закону Кирхгофа для замкнутого
контура: <Уб = V- *7Н = 12-7,85 = 4,15 В.
Ток стабилитрона при номинальном режиме работы в
соответствии с уравнением, составленным на основе закона Кирхгофа для
рассматриваемой схемы: {/б = Лб/=Лб(/СТН0М + /н), откуда
Т иб- Яб1н _ 4,15 - 12,5 -103 . 0,625 -10
12,5 • 10
= 0,29 мА.
6.10. Для полупроводникового стабилизатора напряжения на
кремниевом диоде, схема которого представлена на рис. 6.8, а,
определить допустимые пределы изменения напряжения ±Д{/ на
входе, а также коэффициент стабилизации К„, если напряжение
питающей сети С/= 12 В, сопротивление балластного резистора
Лб = 1000 Ом, напряжение на нагрузочном резисторе 11н = 7,6 В,
отклонение напряжения на нагрузке А<7Н = ±0,4В, а сопротивление
нагрузочного резистора Кн = 10 кОм.
Решение. Ток в цепи нагрузочного резистора при
отклонении напряжения:
ДЦ.-0.4В: /н=^ = ^±^ = ^1М = -1- = 0)8мА.
Я» Д„ 10 -103 10-Ю3
Из вольт-амперной характеристики стабилитрона (рис. 6.8, б)
следует, что при напряжении 1/'н = 1/н + А 1/н = 7,6 + 0,4 = 8 В, 1„ = 4 мА.
Напряжение питающей сети (входное напряжение) для заданных
условий в соответствии с уравнением, составленным по второму закону
Кирхгофа: Ц' = Дб/+ 1ГИ = Л^ + /н) + 0^ = 103(4 + 0,8) 10"3 + 8 = 12,8 В.
Значения отклонения питающего входного напряжения: А1Г=11-1/,=
= 12- 12,8 = -0,8 В. Значение отклонения напряжения на
нагрузочном резисторе (выходного напряжения) ДС/^ = (7Н - Щ = 7,6 - 8 =-0,4 В.
Коэффициент стабилизации стабилизатора напряжения:
„ А1/' . Д^ -0,8 . -0,4 л -,
Лет = . = . = 1,20.
Ц 1/н 12 7,6
Аналогично производится расчет при отклонении напряжения
на нагрузке Д*7Н = -0,4В, т.е. при Щ= {/„-Д^7,6-0,4 = 7,2В.
166

6.11. Рассчитать значения й-параметров транзистора типа П 416,
включенного по схеме с общей базой, если известны значения этих
параметров при включении транзистора по схеме с общим
эмиттером: й11э = 650Ом; й12э = 32-10-3; й21э = 40; й22э = 1,5-Ю"4 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при
включении его по схеме с общей базой:
Аиб = _^ = ^2_ = 15,8 0м.
1+Л21э 1 + 40
То же, коэффициент обратной связи транзистора:
= ^223 _А = 650-1,5-НИ _ 32 • Ю-3 = -30,62 • Ю-3.
1 + Л21э 1 + 40
Коэффициент усиления по току:
А21б = _^^ = _^^-=_о,975. •
1+Л21э 1 + 40
Выходная проводимость:
Нш = -*й_ = 1*^*1 = 3,67. Ю-6 См.
1 + Л21э 1 + 40
6.12. Рассчитать значения й-параметров транзистора типа П 416,
включенного по схеме с общим коллектором, если известны
значения указанных параметров при включении транзистора по схеме
с общей базой: й11б=15,8 0м; й12б = -30,62• ИГ3; й21б = -0,975; й22б =
= 3,67-10"* См.
Решение. Входное сопротивление транзистора, включенного
по схеме с общим коллектором: й11к = й11б/(1 + й21б) = 15,8/(1 - 0,975) =
= 632 Ом. Коэффициент обратной связи при включении транзистора
по схеме с общим коллектором: й12к=1.
То же, коэффициент усиления по току транзистора: й21к = 1/(1 - й^) =
= 1/(1 -0,975) = 40. Выходная проводимость транзистора:
Й22к = _^"1_ = *Щ°± = 146,8 • Ю-6 См.
1-Л21б 1-0,975
6.13. Рассчитать значения й-параметров транзистора типа П 416,
включенного по схеме с общим коллектором, если известны
значения этих параметров при включении его по схеме с общим
эмиттером: йПэ = 650Ом; й12э = 32-10"4; й21э = 40; й22э = 1,5-К)"4См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при
включении его по схеме с общим коллектором: йПк = й11э = 650Ом.
То же, коэффициент обратной связи транзистора: й12к=1.
Коэффициент усиления по току транзистора: й21к = -(й21э +1) =
= -(40 + 1) =-41. Выходная проводимость транзистора: й22к = й22э = 1,5 х
хЮ^См.
167

6.14. Рассчитать значения й-параметров транзистора типа ГТ322А,
включенного по схеме с общей базой, если известны значения этих
параметров транзистора при включении его по схеме с общим
эмиттером: й11э = 330Ом; й12э= 1,6-ДО"4; й21э = 56, й^ = 62,5 • Ю-6 См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при
включении его по схеме с общей базой:
Аив = _*1!2_ = _*»_:= 5,790м.
1 + Й21Э 1 + 56
Коэффициент обратной связи транзистора:
= АпэЛ22э _ н = 330 • 62,5 ■ 10^ 6 ^ = ^^ ^
1+А21, 1+56
Коэффициент усиления по току:
А216 = __^ = __*_ = _0,9825.
+А21э 1 + 56
Выходная проводимость:
Нш = -***- = 62'5'1(Н = 1Д • Ю-6 См.
1 + А21э 1 + 56
6.15. Рассчитать значения й-параметров транзистора типа ГТ322А,
включенного по схеме с общим коллектором, если известны значения
этих параметров транзистора при включении его по схеме с общей
базой: й11б = 5,79 0м; й12б = 0,202 -10"3; й21б = -0,985; й22б = М-К^См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при
включении его по схеме с общим коллектором:
Аик = ^1111_ = ^1!9_ = 3310м.
1 + Л21б 1+0,9825
То же, коэффициент обратной связи транзистора: й12к=1.
Коэффициент усиления по току:
А21К = = = —57.
1+Л21б 1-0,9825
Выходная проводимость:
Й22к = _!^б_ = 1>1'10"6 = 62,7 • Ю-6 См.
1 + Л21б 1 - 0,9825
6.16. Рассчитать значения й-параметров транзистора типа ГТ322А,
включенного по схеме с общим эмиттером, если известны значения
этих параметров при включении его по схеме с общей базой:
й11б = 5,79 0м; й12б = 0,202-Ю'3; й21б =-0,9825; й22б= 1,1-Ю^См.
Решение. Входное сопротивление транзистора, включенного
по схеме с общим эмиттером:
Апэ = _^_ = 5»79 = 331 Ом.
1 + Л21б 1 - 0,9825
168

То же, коэффициент обратной связи транзистора:
н = ^226 _ н = 5,79-1,1-НИ _ 0 202 .10.3 = 1 62 . ш_4
1 + Л21б 1-0,9825
Коэффициент усиления по току:
, Л21б -0,9825
1 + Л21б 1 - 0,9825
Выходная проводимость:
= -56,1.
= -^ = -Н^±- = 63.10-<См.
^22э :
1 + Л21б 1 - 0,9825
6.17. Рассчитать значения А-параметров транзистора типа ГТ322А,
включенного по схеме с общей базой, если известны значения этих
параметров при включении его по схеме с общим коллектором:
А11к = 3310м; А21к = -57; А^^бг^-Ю^См.
Решение. Коэффициент усиления по току транзистора при
включении его по схеме с общей базой:
й216 = -^ = -Ц^ =-0,9825.
Л21к -57
То же, входное сопротивление транзистора:
Лпб = Апк(1 + й21б) = 331(1 - 0,9825) = 5,79 Ом.
Выходная проводимость транзистора:
й22б = А22к(1 + й21б) = 62,7 • 10-*(1 - 0,9825) = 1,1-10* См.
6.18. Рассчитать значения й-параметров транзистора типа ГТ322А,
включенного по схеме с общим эмиттером, если известны значения
этих параметров при включении его по схеме с общим
коллектором: А11к = 3310м; А12к=1; А21к = -57; Нш= ^ЫО^См.
Решение. Входное сопротивление транзистора при
включении его по схеме с общим эмиттером: А11э = А11к = 331 Ом.
Коэффициент усиления по току транзистора: А21э =-(1 + А21к) =-1 +
+ 57 = 56.
Выходная проводимость транзистора: А22э = А22к = 62,7 10"6См.
6.19. Определить коэффициент усиления К0 на средних частотах
двухкаскадного усилителя на транзисторах типа р-п-р, включенных
по схеме с общим эмиттером, а также нижнюю сон и верхнюю сов
граничные частоты (рис. 6.19, а). Схема замещения приведена на
рис. 6.19, б. Коэффициент усиления по напряжению усилителя в
режиме холостого хода 7^0 = 200, выходное сопротивление первого
каскада Днлс1 = 1,5кОм, входное сопротивление второго каскада К^-
= 500 Ом, емкость конденсатора связи СС1 = 4 мкФ, входная емкость
второго каскада с учетом монтажной емкости С02 = 0,015 мкФ.
169

^с1
П Лвых1
Ф,
-с2'
%
л,
лвх2
б)
Рис. 6.19
Решение. Коэффициенты усиления усилителя по
напряжению: на средних частотах схемы замещения усилительного каскада
*!/<Ах2 _ 200-400
^ср - '
= 40;
Явых1 + Лвх2 1500 + 500
с учетом допустимых частотных искажений Ки = К^/Л = 40/1,41 = 25,5.
Граничные частоты долосы пропускания частотной
характеристики усилителя:
нижняя: /„ = = = 19,9 Гц, отку-
2яСС1(ДВЫХ1 + Двх2) 2 • 3,14 • 4(1500 + 500)
да (он = 2тс/н = 2-3,14-19,9=125с-1;
1 106
верхняя: /в =
2яС(
02'
<Квых1^вх2
2 • 3,14 • 0,015 - Ю-6
^вых1 + ^вх2
откуда (ов = 2я;/в = 2-3,14-28,3 • 1000 = 177-103 с"1.
1500 ■ 500
1500 + 500
=28,3 кГц,
6.20. Определить коэффициент усиления по току К{ и
напряжению Ки катодного повторителя на ламповом триоде, коэффициент
усиления которого |х= 100, а крутизна анодно-сеточной
характеристики 5= 10 мА/В. Сопротивление резистора в цепи катода Лк= 1,5 кОм,
сопротивление резистора смещения на сетке Лс = 1,2мОм.
Решение. Внутреннее сопротивление триода исходя из
внутреннего уравнения лампы: К{ = \1/5= 100/(10 -10-3) = 10 000 Ом = 10 кОм.
Коэффициенты усиления:
=^=0,94;
по напряжению: Ки=-^^- = \1 = 100-
"вх Д/ + Дк(ц + 1)
1,5
10+1,5(100 + 1) 160
по току: К, = ^^ = Ки Ь. = 0,94-^11^ = 755.
иьх/Яс Кк 1,5
6.21. Определить коэффициент усиления по напряжению Ки
и току Кь а также входное Къх и выходное Лвых сопротивления
каскада, выполненного на транзисторе типа р-п-р по схеме с общим
170

эмиттером. Сопротивление эмитгерного резистора Яэ= 1,1 кОм,
входное сопротивление транзистора А,, = 350Ом, коэффициент
усиления по току транзистора А21 = 50, выходная проводимость
транзистора й22 = 60 • 10"* См.
Решение. Коэффициент усиления усилительного каскада:
по напряжению: Ки = -
1 1
1 + Лц
1+Л22^э
Лэ(1+*21)
1 + 350
1 + 60.10-б.Ц-Ю3
п=0,99;
1,1 • 103(1 + 50)
по току: К, = Ки —^ = 0,98 — = 31.
Яэ(1-Ки) 1,Ы03(1 - 0,99)
Сопротивления усилительного каскада:
входное К,,, = Л„/(1 - Ки) = 350/(1 - 0,99) = 35 кОм,
выходное: Лвых = А„/(1 + й21) = 350/(1 + 50) = 6,85 Ом.
6.22. Определить коэффициенты усиления по току К„
напряжению Ки и мощности КР, а также входное Л^ сопротивление
усилителя, выполненного на транзисторе по схеме с общим эмиттером.
В рабочей точке транзистор имеет входное сопротивление й„ =
= 1,1кОм, коэффициент усиления по току й21 = 32, выходную
проводимость Н^- 18,5 - Ю-6 См, коэффициент обратной связи по
напряжению й12 = 2,8- Ю-4, нагрузочное сопротивление Дн = 2кОм.
Расчеты выполнить по точным и приближенным формулам, результаты
сравнить.
Решение. Коэффициенты усиления усилителя по току,
напряжению, мощности и значения входного сопротивления
усилителя, рассчитанные по точным формулам:
V _ Ьг\ = 32 = 31*
' 1+А22Д„ 1 + 18,5 • Ю-6 . 2000
к _ Н21КН _ 32 ■ 2000 = 5-
" кхх{\+Н21К}{)-НпН1ХКн 1100(1 +18,5 • 10"6 - 2000) - 2,8 .10"4 . 32 • 2000
^ = №=31-57 = 1770;
к _ *и(*12 + УЛц)-к12к21 = 11000(18,5 > Ю-6+ 1/2000)-2,8> Ю-4» 32 _ ццр рм
вх Л22 + 1/Д„ 18,5 -10"6 +1/2000
Коэффициенты усиления и значения входного сопротивления
усилителя, рассчитанные по приближенным формулам:
V -и ао. V ^21^н 32 - 2000 _0
Л/ - "21 - -ЗА Л„ = — = ——— = Эо,
Нп 1100
^=^,^ = 32-58=1850; Л^ = 1100 Ом.
Сравнение полученных результатов показывает, что по
приближенным формулам погрешность расчета К, составляет +3%,
Ки-(+2%), КР-(+4,5%), Кт-(+2%), т.е. погрешность весьма
незначительна.
171

6.23. Определить коэффициент усиления по мощности трехкаскад-
ного усилителя, аналогично схеме рис. 6.1.13, выполненного на
транзисторах по схеме с общим эмиттером с параметрами: ки = 1 кОм;
А12 = 5 • 10"4; Л2, = 25; А22 = 10 • 10"* См. Сопротивление нагрузочных
резисторов в каскадах Л, = 5 кОм; К2 = 20 кОм; Л3 = 2 кОм; Яи = 600 Ом.
Расчет произвести по приближенным формулам.
Решение. Выходное сопротивление трехкаскадного
усилителя:
п Л„Д3 600-2000 Ас1\г\
Явыхз = —*-*- = = 460 Ом.
Кн +К3 600 + 2000
Коэффициент усиления по напряжению третьего каскада
усиления:
к =*21Днз = 25-460 =115
м3 Ли 1000
Сопротивление связи второго и третьего каскадов усилителя:
Лсв2 = Дс.3 = —- = ; г- = 133 КОМ.
\/Кх + \/К2 + 1/*з ! . * I
5 20 2
Нагрузочные сопротивления первого и второго каскадов
усилителя:
Лн1 = Кк2 ш ^^- = ™^™ = 570Ом.
Дсв3 + Двх3 1330 + 1000
Коэффициенты усиления первого и второго каскадов усилителя:
Ки1 = Ки2 = ^-Дн2 = —570 = 14,2.
Л„ н2 1000
Коэффициент усиления трехкаскадного усилителя:
Ки = Ки1Ки2Ки3 =14,2 14,2 11,5 = 2320.
Сопротивление связи первого каскада усилителя:
Лсв1 = = = 4 кОм.
\/Кх + \/К2 1/5 + 1/20
Входное сопротивление усилителя:
^ ^^^=4Ш-1000=80()Ом
Лсв1 + Кьх1 4000 + 1000
Коэффициент усиления по мощности усилителя:
КР = К^ = 23202 — = 9,3 • ДО6.
Яи 460

Глава 7
ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
§ 7.1. Трехфазная система питания потребителей
электроэнергии
Трехфазная система питания электрических цепей представляет
собой совокупность трех синусоидальных ЭДС или напряжений,
одинаковых по частоте и амплитудному значению, сдвинутых по
фазе относительно друг друга на угол 2я/3, т. е. на 120° (рис. 7.1.1):
еА = ЕЛт 81П со/; ев = ЕВт $т (со/ - 2/Зя); ес = Ест &т (со/ - 4/Зп).
В симметричных источниках питания максимальные значения
ЭДС равны ЕАт = ЕВт = Ест, соответственно равны и действующие
значения ЭДС ЕА = ЕВ=ЕС. Пренебрегая внутренним сопротивлением
источника, можно принять соответствующие ЭДС источника
равными напряжениям, действующим на его зажимах: ЕА=ЦА; Ев=11в;
Ес=1/С.
Комплексные ЭДС симметричного источника питания могут быть
представлены системой уравнений
ЕА = ЕА^ = ЕА^ = ЕА'
ЕВ = ЕВ&] з = Ев\ со8
Ес=Есе
= Ес\ С08у - Узи1у = Ес\ - 0,
1,5 + у
При симметричной нагрузке ЕА = ЕВ = ЕС=ЕФ. При этом
алгебраическая сумма комплексных значений ЭДС источника: ^ + ^ +
+ ДС = 0.
Электрическая цепь, в которой действует трехфазная система
ЭДС или напряжений, называется
трехфазной.
В качестве трехфазного источника
электрической энергии в основном
используются трехфазные синхронные генераторы,
преобразующие механическую энергию в
электрическую, каждая из трех обмоток
якоря которого является источником
однофазной синусоидальной ЭДС.
К трехфазным потребителям
электрической энергии относятся трехфазные СИН- Рис. 7.1.1
173

хронные и асинхронные двигатели и трансформаторы (с
нагрузкой), электрические печи, приборы электрического освещения и др.
Существуют различные способы соединения фаз трехфазных
источников питания и трехфазных потребителей электроэнергии.
Наиболее распространенными являются соединения «звезда» и
«треугольник». При этом способы соединения фаз источников и фаз
потребителей в трехфазных системах могут быть различными. Фазы
источника обычно соединены «звездой», фазы потребителей
соединяются либо «звездой», либо «треугольником».
Несвязанная трехфазная система питания электрических цепей
объединяет три однофазных источника питания, к каждому из
которых может быть подключен однофазный потребитель
электроэнергии. При этом для создания электрических цепей всех трех
однофазных потребителей электроэнергии требуется шесть питающих
проводов. При наличии связанной трехфазной системы питания, в
зависимости от схемы соединения фаз потребителей и источников,
необходимо иметь всего четыре, а в симметричной системе —три
провода вместо шести, что обеспечивает значительную экономию
дефицитных цветных металлов и соответствующее снижение потерь
мощности в питающих проводах при передаче электрической
энергии от источников к пбтребителям электроэнергии.
§ 7.2. Трехфазные трехпроводные электрические цепи
при соединении фаз трехфазных потребителей
электроэнергии «звездой»
При использовании связанных трехфазных систем питания
трехфазных потребителей электроэнергии соединение фаз
источника и потребителя выполняется обычно по схемам «звезда» или
«треугольник».
При соединении фаз трехфазного источника питания или
потребителя электроэнергии «звездой» (рис. 7.2.1) концы фаз источника
X, У, 2 объединены в общую нейтральную точку Ы, а начала фаз
А, В, С подключаются к соответствующим линейным проводам А а,
ВЬ, Сс. Аналогичным образом при соединении трехфазных
потребителей объединяются в нейтральную точку п концы его фаз х, у, г,
при этом начала фаз а, Ь, с подключаются к линейным проводам.
Напряжения 11А, 1/в, 1/с, действующие между началами и
концами фаз источника питания, являются его фазными
напряжениями, а напряжения 1/а9 1/ь, 1/с9 действующие между началами
и концами фаз потребителя, его фазными напряжениями.
Напряжения 1/АВ, 11вс, 1/СА, действующие между началами фаз источника
и напряжения 1/аЬ, 1/Ьс; 1/са, действующие между началами фаз
потребителя, являются линейными напряжениями.
На схеме рис. 7.2.1 приведены условные положительные
направления фазных и линейных напряжений. Линейные токи /л в
питающих линиях (1А, 1В, 1С) при соединении трехфазного источника
174

питания и трехфазного потребителя электроэнергии «звездой»,
условное положительное направление которых приведено на схеме
рис. 7.2.1, одновременно являются и фазными токами /ф,
протекающими по фазам потребителя (1А, 1В, 1С). Поэтому в
рассматриваемом случае при наличии симметричной трехфазной системы при
соединении фаз потребителя «звездой» линейные токи оказываются
равными фазными токам (7Ф = /Л).
Трехфазные источники питания практически всегда
выполняются симметричными. В этом случае действующие значения фазных
ЭДС Ел = Ев = Ес= Еф и фазных напряжений ЦА= 1/в= 1/с= 1/ф
оказываются соответственно равными и сдвинутыми относительно друг друга
по фазе на угол -у-. При этом комплексные, активные и
индуктивные сопротивления фаз 2л = 2в = 2с = %ъ1 Ка = Кв = Кс=Кф; Ха = Хв =
= Хс=Хф] значения фазных коэффициентов мощности соз уА = соз срд =
= со8фс=созфф также оказываются равными.
Трехфазные потребители электроэнергии могут быть
симметричными и несимметричными. Для симметричных потребителей
справедливы соотношения, полученные для трехфазных симметричных
источников питания. При этом 1/а=11ь=1/с= *7Ф, IIАВ- IIвс- 6^= 1/Л9
2а = 2ь = 2с = 2ф>Яа = Кь = Кс = Кф, Ха = Хь = Хе=Хф9 соз сра = соз ср6 = соз срс =
= созфф. Соотношение между фазными и линейными напряжениями
определяется выражением ц,=ЛеГф. Для несимметричных
трехфазных потребителей не все эти соотношения соблюдаются.
При анализе трехфазных электрических цепей широко
используется метод комплексных чисел. С его помощью можно
осуществлять расчеты, которые невозможно выполнить другими
методами.
На рис. 7.2.2 на плоскости комплексных чисел приведена
векторная диаграмма фазных Ца9 ЦЬ9 Цс и линейных напряжений ЦАВ9
Цвсу Пса потребителя электроэнергии, при этом вектор фазного
напряжения Ьа направлен по вещественной оси в положительном
направлении. С учетом этого фазные напряжения трехфазного
175

симметричного потребителя могут быть представлены в
комплексной форме записи:
Иа= 4=^=^1
_1_Д
2 У 2
+4
В соответствии с принятыми условными положительными
направлениями фазных и линейных напряжений (см. рис. 7.2.1)
линейные напряжения потребителя электроэнергии определяются
по уравнениям, составленным в комплексной форме записи для
соответствующих замкнутых контуров по второму закону
Кирхгофа:
Цлм=Н.-Ш Пвс=Пь-ис; ЦсА=Цс-Ца.
Из векторной диаграммы (рис. 7.2.2) следует, что линейные
напряжения, так же, ка*; и фазные напряжения, сдвинуты
относительно друг друга по фазе на угол 2л/3. При этом для симметричной
трехфазной системы векторная сумма фазных напряжений Уа+ Ць +
+ 17с = 0 и сумма линейных напряжений ЦАВ+Цвс+Цас = ®-
С учетом приведенных выше выражений линейные напряжения
потребителя для симметричной системы могут быть представлены
следующими соотношениями:
^Ав=^я{^ + ^{У Ивс=-М; 2«=^(-^ + У0
Аналогичные выражения можно записать и для симметричного
трехфазного источника питания при соединении его фаз «звездой».
Пренебрегая сопротивлениями линейных проводов,
соединяющих трехфазный источник питания с трехфазным потребителем
электроэнергии, линейные напряжения потребителей оказываются
равными соответствующим линейным напряжениям источника
питания: 1и=1/АВ; 17*= %с; #с=0а!-
При соединении фаз потребителя «звездой» и симметричной
нагрузке комплексные фазные токи определяют исходя из
выражений, записанных по закону Ома для участка цепи:
Ь=иа/2а; 1в=Иь/2ь; 1с=Ус/2,
Так как фазные напряжения и полные сопротивления всех фаз
потребителей равны, фазные и линейные токи также будут равны:
/, = /,= /с=/ф=/л.
Активная Р, реактивная 0 и полная 15 мощности
потребителя электроэнергии при симметричной нагрузке (2а = 2ь = 2с = 2ф)
176

и соединении фаз «звездой» определяют как сумму
соответствующих фазных мощностей
Р= Ра + Р„ + Рс = ЗРФ = 3 ^4 соз <рф = 3^/ф = ЗД„/Л2= Л #л/л соз срф;
0. = 0. + <2ь + & = 3<2ф = 3 Ц„/ф зт фф = 3 ВД = 3/-% = Л ЦГЯ зт Фф;
5 = & + & + & = 3^ = 3 ^ф/ф = 32ф/ф = 32ф/л2,
^ф ^ф
где со8фф = -■=-; 8Шфф = —2-.
При этом 5 = 7^2+(32 = л/3«7л/л.
В приведенных формулах перед реактивным индуктивным
сопротивлением ставится знак «+» (+ХфЬ), а перед емкостным
сопротивлением знак «-» (-ХфС). В комплексной форме записи полная
мощность трехфазной электрической цепи: 3=Р±]0. Полную мощность
каждой из фаз потребителя можно определить по .формулам:
&=Р.±Уй=а«; &=Л±ЛЬ=й«; &=Рс±№=ЦД.
где ГА, Гв, 1С — соответственно сопряженные комплексные токи
в фазах.
§ 7.3. Трехфазные электрические цепи
при соединении фаз трехфазных потребителей
электроэнергии «треугольником»
В связанных трехфазных системах наряду с соединением
трехфазных потребителей «звездой» применяется соединение фаз
«треугольником». При этом не имеет значения как соединены фазы
источника — «звездой» или «треугольником».
Соединение, при котором начало одной фазы потребителя
электроэнергии (или источника питания) соединяются с концом другой
его фазы, начало которой соединено с концом третьей фазы, а
начало третьей —с концом первой фазы (при этом начала всех фаз
подключаются к соответствующим линейным проводам),
называется треугольником.
При соединении «треугольником», как видно из схемы рис. 7.3.1,
фазные напряжения оказываются равными линейным напряжениям
(Цф=1/Л): Иоь=11ав'> Ньс=Ивс, Пса = Пса- При симметричной системе
питания: \]аЬ = ИЬс = \]са = ИАВ = 11вс = 1]СА = <7Ф = 1/я.
Векторная диаграмма напряжений на комплексной плоскости
при симметричном питании для активно-индуктивной нагрузки
(ср>0) представлена на рис. 7.3.2. Здесь комплексное линейное
напряжение ЦаЬ направлено по положительной вещественной оси
комплексной плоскости. При этом комплексные линейные напряжения
записывают в следующем виде:
12-4359 177

Ьв^-аЬ
Чвс=Цьс
Рис. 7.3.1
Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, линейные
напряжения потребителя-можно приравнять линейным
напряжениям источника питания: ЦаЬ=Цлв\ 11ьс=11вс9 Ис<,= Уса-
Аналогичные выражения могут быть записаны и для линейных
напряжений источника питания независимо от схемы соединения его фаз.
Соотношение между линейными и фазными токами при
соединении потребителя электроэнергии «треугольником» и
симметричной нагрузке определяют из уравнений, составленных для токов
в соответствии с первым законом Кирхгофа для узлов а, Ь, с
разветвления электрической цепи (см. рис. 7.3.1):
1л+1са-1аь=0; Ь+Ьь-Ьс=Ь /с+/*с-/св=о.
При симметричной нагрузке линейные токи 1А = 1в=1си фазные
1аъ = Лс = 4г При этом угол сдвига фаз между фазными токами и
напряжениями фв* = ФбС = фсв, так как в
данном случае коэффициент мощности
СОЗ <раЬ = С08 ф6с = С08 фсв.
В соответствии с этими
уравнениями на рис. 7.3.2 построена векторная
диаграмма фазных и линейных токов
потребителя, из которой следует, что
при соединении фаз симметричного
трехфазного потребителя
электроэнергии «треугольником» между линейными
и фазными токами имеет место
соотношение
При симметричной системе питания
и симметричном потребителе
электроне

энергии с соединением его фаз «треугольником» полную 5,
активную Р и реактивную (? мощности отдельных фаз потребителя
определяют по формулам, полученным для соединения его фаз
«звездой».
§ 7.4. Трехфазные четырехпроводные
электрические цепи
Трехфазная четырехпроводная система питания потребителей
электроэнергии, широко распространенная в низковольтных сетях,
позволяет получить для питания потребителей два напряжения —
линейное 1/л и фазное Щ.
При смешанной силовой и осветительной нагрузках силовые
низковольтные потребители электроэнергии питаются линейными
напряжениями (Ул = 660; 380; 220 В. Для осветительной нагрузки
используются фазные напряжения (/ф = 220; 127 В.
В трехфазных четырехпроводных электрических цепях при
наличии линейных проводов, соединяющих начала фаз источника
питания и потребителя электроэнергии, имеется также нейтральный
провод, соединяющий нейтральную точку N источника с
нейтральной точкой п потребителя (рис. 7.4.1), что обеспечивает симметрию
фазных напряжений источника и потребителя, так как нейтральный
провод уравнивает потенциалы нейтральных точек N и п.
В четырехпроводных электрических цепях фазы источника и фазы
потребителя соединяются всегда «звездой».
При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления фаз
потребителя не одинаковы {20ф2ьф2с), при этом комплексное
напряжение Цп„, действующее между нейтральными точками N и п
системы, определяют по методу двух узлов
Е ,
Ц.ы =
~ А У + ЕЙУ.+ ЕГУ
—А —а —В —Ь —С —с
у + у + у + у
1-а ±-Ъ ±-с 1-й
где ЕА, Ев, Ес — комплексные ЭДС источника питания; Уа =
Рис. 7.4.1
179

Уь= —; Уе =-=-', Уы- -~ комплексные проводимости фаз потре-
1±Ь ~.с
2„
бителя и нейтрального провода.
При симметричной нагрузке 2а = 2ь = 2С сумма комплексных
токов в точке п разветвления цепи, записанная в соответствии с
первым законом Кирхгофа: 1а + 1в + 1с = 1м=®> так как ток в
нейтральном проводе 7^=0. При этом напряжение, действующее между
нейтральными точками: Цпы = 2ы1и=Ъ.
Пренебрегая внутренним сопротивлением симметричного
источника питания и учитывая, что ЭДС ЕА = Ев = Ес= Еф= 1/лл139
комплексное напряжение, действующее между нейтральными точками
системы, определяют исходя из выражения
&г.=
У.Ып
Ша+1ь+Хс+ХмУ
где а-е1 з
{ \ ,4ъ\ 2 -,-25. ( 1 .УГ\
= 1~2+УТ15 =1---уу1-поворотные

множители (операторы).
Комплексные фазные^ напряжения потребителя электроэнергии
находят из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа
для соответствующих замкнутых контуров системы (рис. 7.4.2):
Иа = ЕА-Цп„; ЦЬ = ЕВ-Цп„; ЦС = ЕС-Цп„.
При этом комплексные фазные токи потребителя определяют по
закону Ома для соответствующих участков цепи: 1А= Ца/2а\ 1В=ЦЬ/2Ь;
Комплексный ток в нейтральном проводе находят в
соответствии с уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа
для нейтральной точки п цепи: /лг = /^ + /л + /с-
При симметричной нагрузке фазные напряжения: Иа- \}ъ- \]с- 1/ф,
при этом *7ф=#лЛ/3; 1А = 1в=1с=1ф= Щ/2Ф= 11Л/Л2Ф. ПРИ обРыве
нейтрального провода его полное сопротивление 2^=°°, а полная
проводимость У= 0. При несимметричной нагрузке потребителя
электроэнергии (2аф2ъф2с) на векторной диаграмме происходит
смещение нейтральной точки п
потребителя относительно нейтральной
точки N источника, что приводит
к перекосу фазных напряжений
потребителя. В результате на одних
фазах потребителя напряжение
будет больше, чем на других, что
во многих случаях недопустимо,
в частности при питании
осветительной нагрузки, когда одни
осветительные приборы находятся под
Рис. 7.4.2 напряжением, меньшим
номинально

ного, а другие —под напряжением, большим номинального, что
приводит к преждевременному выходу приборов из строя. Поэтому
в цепи нейтрального провода недопустимо наличие различного рода
предохранителей и выключателей.
Трехфазная четырехпроводная система обеспечивает
потребителя электроэнергии симметричным питанием. При этом активная,
реактивная и полная мощности могут быть определены по
следующим формулам с учетом знака реактивных сопротивлений:
Р = 1\Ка + 1%КЬ + 1%КС = 1А11а созф, + 1ВЦЬ созф6 + 1С11С созфс;
О = 1}Ха + 11ХЬ + 1%ХС = 1А1/а 81П <рв + 1В1/Ь зт <рА + 1С11С зт фс;
5 = Л//>2+(22,
где созф^Д/г,; со$<рь = Кь/2ь; созфс = КС/2С; &туа = Ха/2а; зшфЛ =
= ХЬ/2Ь; $тус = Хс/2с.
При симметричной нагрузке эти формулы природятся к виду:
Р = ЗОД=^317я/лсовфф;
е = 3/2^ф=Л17л/л81Пфф;
где С08фф = Лф/2:ф; зтфф = ЛГф/2Гф.
Литература. [1] § 7.1; [2] § 7.2-7.5; § 8.1.
Примеры решения задач
7.1. Маркировка вторичной обмотки трехфазного
трансформатора с номинальным напряжением ^ом = 220/380 В указана на
рис. 7.1, а. Определить показания вольтметров V, включенных между
зажимами 1—2 и 2—6 обмотки после соединения зажимов 3, 4 и 5
в общую точку #, если при правильном соединении обмоток
«звездой» фазное напряжение Щ = 220 В. Указать правильное соединение
обмотки трансформатора «звездой».
Решение. Показание вольтметра, включенного между
зажимами 1—2 обмотки трансформатора из векторной диаграммы
а) б) в) г)
Рис. 7.1
181

рис. 7.1, б: Цп = Ех - Е2 = 1/я >/3 Щ = 7з • 220 = 380 В. Линейное
напряжение 1/п представляет собой геометрическую разность
соответствующих фазных ЭДС и отличается от них в раз.
Показание вольтметра, включенного между зажимами 2—6
обмоток трансформатора (рис. 7.1,*), определяется из векторной
диаграммы рис. 7.1, г: Ц26 = Е2 +Е3 = 220 В. Вольтметр покажет фазное
напряжение 17Ф = 220В.
Правильное соединение обмотки трансформатора «звездой»
соответствует включению зажимов 4, 5 и 6 в общую точку N.
7.2. Трехфазный симметричный
потребитель электроэнергии с
сопротивлением фаз 2а = 2ь = 2с = 2ф = К =
= 10 Ом соединен «звездой» и включен
в трехфазную сеть с симметричным
линейным напряжением 11л = 220 В
(рис. 7.2). Определить показания
амперметра А при отключении линейного
провода ЬВ (выключатель В разомкнут).
Решение. Суммарное
сопротивление между точками а и с цепи при
разомкнутом выключателе: Кас-2ал-2с-
= 10 + 10 = 20 Ом. Показание
амперметра при отключении линейного
провода ЬВ: 1А = 1С= 11Л/Вас = 220/20 = 11 А.
7.3. Для условий задачи 7.2 построить векторную диаграмму
напряжений и токов при симметричной нагрузке фаз и при обрыве
линейного провода ЬВ.
Решение. Фазные напряжения при симметричной нагрузке:
ц=14=[7с=(7ф = (/ЛЛ/3=22<Ь/3 = 127 В.
Фазные токи при этой нагрузке: /ф = —* = — = 12,7 А.
Яф 10
Линейные токи при симметричной нагрузке: 1А = 1с = 1л = 1ф= 12,7 А,
так как симметричный трехфазный потребитель электроэнергии
соединен «звездой».
Активная мощность трехфазного симметричного потребителя:
Р=ЗРф = 3#ф/фсо8фф = 3-127-12,7-1 =4850Вт = 4,85 кВт
или Р = Л ЦЛ1Л С08 фф = 73 - 220 -12,7 -1 = 4850 Вт = 4,85 кВт,
где со8фф=1 при 2ф = Дф.
Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на
рис. 7.3, а.
Токи в линейных проводах а А и с С при обрыве линейного
провода ЬВ (выключатель В разомкнут) равны, так как сопротивление
182

б)
фазы 2^ = оо (1В = 0), а 2а = К и 2С = К включены последовательно на
линейное напряжение ЬСА=11Л = 220В;
/у4 = /с=/==^/(Л+Л) = 220/(10+10) = 11А.
Напряжение на фазах потребителя при обрыве линейного
провода ЬВ (нейтральная точка п в этом случае соответствует середине
вектора линейного напряжения 1/СА):
1/а=Цс= Цсл/2 = 220/2 = 110 В.
Напряжение между проводом фазы В и нейтральной точкой п
определяют из векторной диаграммы (рис. 7.3, б):
\]с = Пя сое ^ = 220 - 0,866 = 190,5 В.
6
Активная мощность потребителя при обрыве линейного
провода ЬВ:
Р=Рв + Рс = 2/2Дф = 2. И2-10 = 2420 Вт = 2,42 кВт.
7.4. Для условий задачи 7.3 определить фазные напряжения 1/ф
и токи /ф, активную мощность Рк потребителя при коротком
замыкании фазы 2Ь, построить векторную диаграмму для этого случая.
Решение. В данном случае 2Ь = 0 и 14 = 0, нейтральная
точка п переместится в точку Ь, при этом фазные напряжения Цс= Цвс\
Ца-Цлв> те- фазные напряжения равны линейным напряжениям
(Цъ=[/Л). При этом фазные токи: 1А = 1С= #Л/Д=220/10 = 22А.
Ток 1В при коротком замыкании в соответствии с первым
законом Кирхгофа для нейтральной точки п: 1А+1в+1с=® или -/*=
183
-й
Рис. 7.3

у.=илв
Чс -Час
Рис. 7.4
Рис. 7.5
Из треугольника на векторной диаграмме рис. 7.4 имеем:
1В = 21Асо$30°=21А^, откуда 1В = у[31А = Л-22 = 38А.
При этом 1Л = Ця/2а = /с = Ц/2; = Ц/Л = 220/10 = 22 А.
Активная мощность цепи при коротком замыкании:
Рк = Ра + Рс = 211К = 2222-10 = 9680 Вт = 9,68 кВт.
Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 7.4.
7.5. Для трехфазной электрической цепи рис. 7.5 определить ток 1И
в нейтральном проводе при разомкнутом выключателе В. Линейное
симметричное напряжение питающей сети 11л = 220 В;
сопротивление резисторов К1 = К2 = К3 = 10 Ом.
Решение. Комплексные фазные напряжения:
у,= 1/йе»=Цве»= 17. = Щ^ = ^ = 127 В;
Цл _ 220
гг г, -,2* гг [ 2я . . 2я) _
й=#*е'3 =С4 со8у-у81Пу В;
й= #се"у4г = (//сое—-уяп—1 В.
Так как в соответствии с формулами приведения:
2я (я | . .я лс
со8— = соз — + а = ~8та = -81П— = -0,5;
* \г ) б "
. 2я . (п Л я 7з ло/г^г
8ш— = 8Ш - + а = соза = С08- = — = 0,866;
3 ^2 ) 6 2
С08— = со8(я + а) = -С08а = -соз- = -0,5;
3 3
• 4я . , ч . . я >/з л 0^/-
81П— = 81П(7С + а) = -81Па = -81П- = = -0,866,
3 У ' 3 2
184

то представленные выше формулы комплексных фазных
напряжений при этом приводятся к виду:
й=#ф=127В;
Ць= Ц^-0,5 - У у] = 127^-0,5 - У у] = (-63,5 - уПО) В;
Цс = Ц^-0,5 + У у] = 127^-0,5 + У у] = (-63,5 + /110) В.
Комплексные фазные токи:
1а = =т- = 0, так как выключатель В разомкнут;
Ь=
Ць= (-63,5 -П10)
Кг Ю
= (-6,35 -у 11) А;
7 ^Н^/ПО)
"С К 10
Ток в нейтральном проводе: 1ы=Ь + Ь+1с =-6,35 —у 11— 6,35 +у 11 =
= -12,7 А или 4= 12,7 А.
7.6. В трехфазную питающую сеть с симметричным
напряжением включен симметричный потребитель электроэнергии, фазы
которого соединены «звездой» (рис. 7.6, а). Комплексные сопротивле-
ния фаз 2а = 2ь = 2с = 22е 6 Ом (угол <рф = -г = 30°). Определить
линейные токи /л, показание ваттметра И^ и построить векторную
диаграмму напряжений и токов при замкнутом выключателе В, если
фазное напряжение [7Ф = 220 В.
Решение. Комплексные фазные напряжения потребителя
электроэнергии определяем, направляя вектор Ца по оси
действительных чисел в положительном направлении:
ца = 17леу'° = I/. = 220 В; Ць = Ц^ = 220е^ В;
.Яг
-Яг
цс = цсе'-т = 220еу~ В или 1/с= «7се"^ = 220е"у~ В
а)
Рис. 7.6
б)
185

Комплексные линейные (фазные) токи потребителя:
220 ,Л.-у|
ь-ь.
^« 22еу?
ИЛИ /с=
= 10е~'« А;
±В- 7 .я
^* 22еУ*
_/2я
220е =10е"уТА
220еуз
22еУ<Г
= 10еу2 А;
-«,4 — 1Я ~ -« Г — Л ~ -Ан
Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 7.6, б.
Показание ваттметра: Рь= #ф/фсо8<рф = адсоз^ = 220-100,866= 1905 Вт =
= 1,905 кВт.
Комплексная мощность фазы А потребителя: 8а = Ца1\ = 220 • 10еу*=
= 220 • юГсоз - + у 8Ш -1 = 220(8,66 +у5) = 1905 +Л100.
Действительная часть комплексной мощности и является
активной, измеряемой ваттметром (Р= 1905 Вт). Активная мощность
потребителя электроэнергии: Р = ЗРФ = 3 (7Ф/Ф соз Фф = 3 • 220 • 10 • 0,866 =
= 5715 Вт = 5,715 кВт.
7.7. Трехфазный потребитель электроэнергии с активными
и реактивными сопротивлениями: Кх = 10 Ом, К2= К3 = 5 Ом и
Х1 = Хс=5 0м фаз соединен «треугольником» (рис. 7.7) и включен
в трехфазную сеть с линейным напряжением 17я= 100 В при
симметричном питании. Определить показания амперметра А при
отключении (обрыве) линейного провода с С (выключатель В
разомкнут).
Решение. Полное сопротивление параллельного участка цепи
при обрыве линейного провода:
2Х = 7(Д2 + Дз)2 + (*1-*с)2 = >/(5 + 5)2 + (5-5)2 = л/Ш2" = 10 Ом.
Так как реактивные сопротивления ХЬ = ХС, то в цепи имеет
место резонанс напряжений, и она
ведет себя как активное
сопротивление (2Х = Л, = 10 Ом).
Общее сопротивление цепи при
обрыве линейного провода:
2ХЯХ 10.10 100
Ал—
к
Усл\
ВоА
1а
\!!лш
1 1.'
^-
\ивс 1
.(л\
■ '1 Л Т
*з
#1./
А.
**в
*2
1—Г
• а
Vе*
\л,
-1ХС \
II гз. \
II *". "Т
ЛЬе I
2а='
20
= 5 Ом.
Рис. 7.7
гх + ЯХ 10 + 10
Показание амперметра при
обрыве линейного провода: 1А = 1В= Щ2^ =
= 100/5 = 20 А, так как 11АВ=11ВС =
= ^=*7л=100В.
7.8. По условию задачи 7.7
определить фазные /ф и линейные /л
токи, а также активную Р, реак-
186

тивную 0 и полную 5 мощности каждой фазы и всей электрической
цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Решение. Фазные токи потребителя:
7 ^ = ^=шо=10
2Л Щ 10
Т -ЦЬс _
1Ьг — —
иьс
100
2ьс Щ+Х1 1?7? 5./2
^ 100
^ = 14,2 А;
Цсс
2«
Щ7х\
Т^т?
= 14,2 А.
Векторная диаграмма токов и напряжений с учетом характера
нагрузки представлена на рис. 7.8.
Составляющие фазных токов:
активные 4а=ЮА; 4а = 4созфьг = 4^2- = 14,2-^= = 10 А; /И| =
^- = 14,2-=^== = 14,2-=== = 10 А;
2 со (ЩТХ1 Т^ТЗ^
= 4 со§ фм = 4^- = 14,2
X 5
реактивные: 4Р = 4 зт ф6с = 1^—^- = 14,2—= = 10 А; 4 р = 4 зт фм =
= 4^ = 14,2-4-= 10 А; 7^р = 0' так как 2аЬ = КаЬ = Кх.
Линейные токи потребителя электроэнергии определяют исходя
из векторной диаграммы рис. 7.8:1А= 15,9 А; 4 = 15,9 А; /с=27,32 А.
Мощности фаз потребителя:
активные: РаЬ= 1^4.= 100-10 = 1000 Вт= 1 кВт; Р^= 17*4.=
= 100 • 10 = 1000 Вт = 1 кВт; Р„ = С44. = 100 -10 = 1000 Вт = 1 кВт.
реактивные: 0аЬ= *44Р = 100-0 = 0; 0*= 1/^ = 100 10 = -1000 вар =
= -1 квар; 0*= <44Р= 100* 10 = 1000 вар= 1 квар (знак «-»
указывает на емкостный характер мощности).
Полные мощности фаз потребителя: 8аЬ = РаЬ = 11аЬ1аЬ = 100 • 10 =
= 1000 В-А= 1 кВА; 5Ьс= 17*4 = 100-14,2= 1420 В-А= 1,42 кВА; 8Л =
= 144 = Ю0-14,2 = 1420 ВА = 1,42 кВ-А.
Рис. 7.8
187

Мощности всей цепи:
активная: Р= РаЬ + Р^ + Рса = 1 + 1 + 1 = 3 кВт;
реактивная: 0= (^+(^+Ссв = 0-1 + 1 =0;
полная: 3 = у1Р2 + <22 =^/32+02 = ЗкВА.
7.9. Для трехфазной электрической цепи (рис. 7.9) определить
фазные напряжения (7Ф, линейные токи /л и показание
амперметра А при замкнутом выключателе В. Линейное симметричное
напряжение питающей сети 1/л = 380 В, сопротивления резисторов
потребителя электроэнергии: Л1 = Л2 = Л3 = Л = 20Ом.
Решение. Комплексные фазные напряжения (направляя
вектор Ца по оси действительных положительных чисел комплексной
плоскости):
&={7ле*=^°=^ = % = ^ = 220В;
-/-22. гт( 2я . . 2я
й= С^е^т = 17,1 сову - У8Шу I = (-110-у190) В;
& = ^т1 = (/1сову - у япу1 = (-110 + у"190) В.
так как в соответствии с формулами приведения:
со8— = со8 — + а = -8та = -81П- = -0,5;
8Ш— = 8ш - + а = соза = со8- = — = 0,866;
Ъ \2 ) 6 2
4 71 71
соз— = со8(я + а) = -соза = -С08- = -0,5;
з з
81П — = 81П(7Г + а) = -8та = -81П- = = -0,866.
3 3 2
Общее сопротивление фазы А потребителя электроэнергии:
и ЯХЯ 20-20 400 1Л~
Ка = —-— = = — = 10 Ом.
Л, + Я 20 + 20 40
Линейные токи, так как резисторы соединены «звездой»:
-а = и° = 220
/Л = /Ф; /^=Т1=^ = 17Г = 22А или /, = 22А;
ь= |^= -но-Л90 = (_5>5_у9>5) А? иди 1в= Дз2 + 9,52 =11 А;
/с=§^-= "1002;Л9° = (-5,5 +У9Д А или /С=Д52 + 9,52=11А.
Показание амперметра определяется по уравнению,
составленному для токов в соответствии с первым законом Кирхгофа для ней-
188

Рис. 7.9
тральной точки п: 1м=1А + 1в + 1с=22 + (-5,5-у9,5) + (-5,5 +./9,5) = 11А
или 7^= 11 А.
7.10. По условию задачи 7.7 определить фазные /ф и линейные 1Л
токи с применением метода комплексных чисел.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя
электроэнергии: 2Х = ^=10 Ом; ^ = Л2-Дс=(5-./5)Ом; 23 = Л3+/^ =
= (5 +у*5) Ом.
Комплексные фазные (линейные) напряжения потребителей
электроэнергии, принимая, что вектор ЦАВ направлен по оси
действительных величин (рис. 7.10):
йи=Ци=100В;
Шс= ^е^ = *Цсо8у - у йп у! = 100(-0,5-у 0,866) = (-50-у86,6) В;
Пса= ^е"7^ = 17с/со8—-78Ш —] = 100(-0,5+у0,866) = (-50+у86,6)В,
так как в соответствии с формулами приведения:
соз— = со8 — + а = -81па = -81П- = -0,5;
з и ) 6
8Ш— = 8Ш — + а = соза = соз— = — = 0,866;
Ъ \2 ) 6 2
соз— = со8(я + а) = -соза = -со8— = -0,5;
3 3
8Ш— = $т(п + а) = -зта = -$т- = = -0,866.
3 Ч ' 3 2
Из рис. 7.10 видно, что вектор Цвс отстает по фазе от вектора ЦЛВ
на угол -у и с отрицательной частью вещественной оси образует
189

угол -|, а с осью мнимых чисел — угол -|. С учетом этого
комплексное напряжение:
йс= ^с(-соз- -уяп-] = 100(-0,5-у0,866) = (-50-у86,6) В.
При этом комплексное напряжение ЦСА является зеркальным
изображением комплексного напряжения Цвс на оси вещественных
чисел, поэтому выражение для него записывают в виде: |Ус4 = (-0>5 +
+У86,6) В, т. е. это напряжение является сопряженным по отношению
к напряжению Цвс с противоположным знаком перед мнимой частью.
Фазные токи потребителя:
1аЬ~ 2Х " 10 "ША>
Ц_вс -50-у86,6 (-50-у86,6)(5ч-у5) п„ Ппы\а
1ьс = ^= 5-;5 5*+5* = (3,66-у13,66) А
или 4 = л/3,662+(13,66)2 = 14,2 А;
1,^^; (-50,У86,6)(5-У5)=^^
или 4=л/3,662+13,662 =14,2 А.
Линейные токи потребителя:
/л = /«6 - 1са = Ю - (3,66 +у 13,66) = (6,34 -у 13,66) А
или ^=7б342 + (13,бб)2 =15,9 А;
/* = /*с - /^ = (3,66 -У 13,66) - 10 = (-6,34 -у 13,66) А
или 1В= 7(634)2 + (13,66)2 = 15,9 А;
/с = /сД-/бс = (3>66+у13 66)-(3,66-у13,66) = 27,32А
или /с=л/27,322 =27,32 А.
7.11. Обмотки фаз трехфазного асинхронного электродвигателя
с номинальной мощностью на валу />2ном = 4кВт включены в
трехфазную питающую сеть с линейным напряжением 1/л = 220 В
«треугольником». Коэффициент мощности двигателя соз срф = 0,8; (<р = 37°);
КПД т| = 0,85. Определить линейные 1Л и фазные /ф токи
электродвигателя и построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение. Мощность, подводимая к электродвигателю:
р = Ь™ = ±1121 = 4700 Вт = 4,7 кВт.
Л 0,85
Токи двигателя:
линейный: /л = ■
фазный: 4 = 7/73 = 15/1,73 = 9 А.
линейный: 7Л = г- '* = ~р = 15 А;
Лб/со8фф Л-220-0,8
190

Сопротивления фазы двигателя 1с
при заданной нагрузке на валу: _^
„ #ф 1/л 220 ~1
полное 2Г6 = -Я- = —- = — =
= 24,45 Ом; ф
активное Лф = 2Ф со8 срф = 24,45 х
х 0,8 = 19,55 Ом.
Векторная диаграмма токов и
напряжений для рассматриваемой цепи
приведена на рис. 7.11.
7.12. Для трехфазной
электрической цепи (рис. 7.12, а) определить
линейные токи 1Л и активную
мощность Р, потребляемую цепью, если линейное симметричное
напряжение питающей сети 11л = 220 В, а активные и реактивные
сопротивления: К= 5 Ом, Хс= 5 Ом, Хь = 5 Ом. Построить векторную
диаграмму напряжений и токов.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя:
2>Д = 5 Ом; 2^ = -;^ = -у5 Ом; 2са^Х^]5 0и.
Комплексные напряжения фаз (направляем вектор
комплексного напряжения ЦАВ по оси действительных чисел):
^=^ = 220 В;
йс=^се"у^=22оГсо8—-уяп—1=220(-0,5-уО,866)=(-110-у190,5)В;
^ = ^е^=220[со8—-У8Ш—]=220(-0^+у0,866)=(-110+у190^)В.
Фазные токи потребителя электроэнергии
/в» = %^ = ^? = 44А или /д4 = л/44г = 44А;
2аЬ 5
а)
б)
Рис. 7.12
191

Т -У-ВС
1ьс-~5—•
±-Ьс
110-у 190,5 (-110-у190,5)у5
-У5
-У5-У5
= (38,1-у 22) А
кса~ 2~
или 4= ТзёД^Тг? =44А;
-110 4-7190,5 =(38д+у22)А или 4=738,12 + 222 =44 А.
Линейные токи потребителя:
^ = /^-/св = 44-(38,1ч-у72) = (5,9+у22)Аили^ = 75^
/*=/*-/,» = (38,1-у22)-44^^^
/с=/«-/*с = (38Д+У22)-(38,1-У22)=1/44А или /С=744Г = 44А;
Векторная диаграмма токов и напряжений для рассматриваемой
электрической цепи приведена на рис. 7.12,6.
7.13. Для схемы рис. 7.13, а определить показание амперметра А,
а также показание вольтметра V при разомкнутом выключателе В
и обрыве линейного провода А, если линейное напряжение 11л = 220 В,
а сопротивления резисторов Л=10Ом.
Решение. Комплексное фазное напряжение при разомкнутом
выключателе (направляем вектор Ца по оси действительных положи-
220
тельных чисел): Ца = 1/ае* = Ц,еу0 = Ца = ^ = 127 В.
4ъ
\11
10
12,7 А или /ф = 1Л -
Показание амперметра: /ф= Уа/2а= Ц/К =
= 12,7 А.
При обрыве линейного провода А к двум не поврежденным
фазам подводится линейное напряжение 1/вс=220В, которое
распределится на равные части, так как сопротивления фаз одинаковы:
Щ= Щ= Пвс/2 = 220/2 = ПО В.
Напряжение при смещении нейтральной точки п находят из
векторной диаграммы (рис. 7.13,5) Ь^л= {4/2= 127/2 = 63,5 В.
Показание вольтметра при замкнутом выключателе находят из
векторной диаграммы (рис. 7.13, б): У'а=Ца + Ими = 127 + 63,5 = 190,5 В.
а)
б)
Рис. 7.13
192

Рис. 7.14
7.14. Для электрической цепи рис. 7.14, а определить фазные /ф
и линейные /л токи, если при симметричном питании линейное
напряжение 1}л = 220 В, а комплексные сопротивления фаз: 2аЬ = (12 +./16) Ом;
2^= 12 Ом; ^=(8+7*6) Ом. Построить векторную диаграмму токов
и напряжений.
Решение. Комплексные линейные напряжения (направляя
вектор линейного напряжения ЦАВ по оси действительных чисел):
2.1=4* = 220 В;
&с= Ъс^ = ^1™*^-] 8ту1=220(-0,5-уО,866) = (~110-у190)В;
&< = ^е-^ = ^^
Комплексные токи
фазные: 1аЬ
_ Пав _
220
г _ И вс _
1ьс - -«
4-Ъс
-110
^&
220(12-у 16)
12 +у 16 ~ (12 + у16)(12-у16)
= (6,6-у8,8) А;
^ = (-9,17-./15,8) А; /«, = §^ =
-110 +у 190
8 + У6
(-110+у190)(8-у6)
82+62
линейные:
= (2,6+у21,8) А.
/л = /дЛ-/м = 6,6-у8,8-2,6-у21,8 = (4-уЗО,6)А или
/у4 = У42 + 30,62" = 30,8А;/д=/йс-/а,=-9,17-у15,8-6,6+у8,8 = (15,8-у7)А
или 1В= 715,82+72 = 17,3А; /с=/с,-/* = 2,6 +у21,8 + 9,17 +у15,8 =
= (11,8-/37,6) А или /с = ^11,82 + 37,6* =39,4А.
13-4359 193

1а Построение векторной диаграм-
* ' мы напряжений и токов для
рассматриваемой цепи представлено
на рис. 7.14,(1
Уса
"ав
~]Хс% \^| 7.15. Для схемы рис. 7.15 оп-
1са/я .у \аЬ ределить фазные токи 1аЬ, 1к9 1са
1с ^ с/^4-К*ш!Ъ& ь и Фазные напряжения 11АВ, 11вс,
V \\ 1ьс I &сл потребителя электроэнергии,
,. -д I соединенного «треугольником». Ли-
*° г нейные напряжения симметричной
Рис. 7.15 системы питания иАв=11вс= Уса =
= С/„ = 110 В, активные и
реактивные сопротивления фаз потребителя: Кг = 40 Ом; К2 = 35 Ом; К3 =
= 25 Ом; Хп = 20 Ом; Хп = 25 Ом; Хс = 30 Ом.
Решение. Комплексные сопротивления фаз потребителя:
г.ь = Л! +]Хп = (40 +у20) Ом; 2Ы = К2 +}Х1г = (35 +у25) Ом; 2;. = К3 -]ХС=
= (25-у30)Ом.
Комплексные фазные (в данном случае и линейные)
напряжения определяют, считая, что вектор Ц^в направлен по оси
действительных величин, тогда:"
&,= [/„= ПО В;
йс= ивс*^= ^/созу-у 81пу1 = 110(-0,5-уО,866) = (-55-у95)В;
^ = ^е'у^=^(со8—-]Ъ\ъ—] = 110(-0,5+./0,866) = (-55+./95)В.
Фазные ™« и.Ь.-»в.!&т.ы-Мь „
-у1,05)А или /4С=ДЗГТТ^5Г = 2,53А; /м = |^=^±^.=
= (~"*^&*т = (2,78 +У0.475) А или /„ = ,/2,782 + 0.4752 = 2,82 А.
Линейные токи: [л -1*-/м=2,2 -у1,1 +2,78 -у'0,475 = (4,98 -у* 1,575) А
или 7^4,98'+1,575* = 5,22 А; /д = /^-/а> = -2,3-;1,05-2,2+Л,1 =
= (-4,5-у0,05)А или 1В = д/4,52 + 0,052 =4,50 А; /с=/«,-/* = -2,78 +
+у0,475 + 2,3 +./1,05 = (-0,48 +у1,48) А или /с= Д482 +1,482 = 1,56 А.
7.16. Для условий задачи 7.15 определить линейные токи /л и
построить векторную диаграмму напряжений и токов при обрыве
фазы Ьс (см. рис. 7.15).
194

б)
Рис. 7.16
Решение. Комплексные напряжения фаз: ЦАВ = 11АВ= 110 В;
Ивс= (-55 -./95) В; ^ = (~55+у95) В.
Фазные токи потребителя (при обрыве фазы Ьс схема
преобразуется в открытый треугольник, рис. 7.16, а):
110
1с1 =
*з
40 +У 20
-55+у 95
110(40-720)
402 + 202
(-55+у95)(25+у30)
= (-2,2-./1,1) А; /^ = 0;
(-2,78+у0,475) А.
25-У30 252+302
Линейные токи при обрыве фазы Ьс:
/^ = /^-/о, = 2,2-у1,1 + 2,78-;0,475 = (4,98-у1,575)А
или 1А= у/4,%2 + 1,5752 =5,2 А;
/д = /^-/а. = 0-/о. = -(2,2-у1,1) = (-2,2+у1,1)А
или 1В = л/2,22 + 1,12 = 2,45 А;
/с=/а,-/.с = /а;-0 = /а1 = ("2,78+у0,475)А
или /с=л/2,872+0,4752 =2,83 А.
Векторная диаграмма токов и
напряжений для рассматриваемой
электрической цепи, построенная
топографическим методом, приведена на
рис. 7.16, б.
Из диаграммы видно, что
линейный ток 1Л протекает только в
линейном проводе А, В линейных
проводах В и С: 1Л = /ф. В линейном
проводе В ток изменяет направление.
7.17» Найти распределение токов
в электрической цепи (рис. 7.17) при
13*
Рис. 7.17
195

замкнутом и разомкнутом выключателе В. Линейное симметричное
напряжение Ця = 220 В, сопротивления резисторов: КХ = К2 = К3 = 20 Ом.
Решение. При замкнутом выключателе комплексные фазные
напряжения (направляем вектор ЦАВ по оси действительных чисел
комплексной плоскости):
^=^е^=^е^=^ = 220В;
йс= ^се"У^= ^с[со8у-у 81пу1 = 22о(-0,5-у ^1 = (-110-у 190) В;
Полиса***** ^«(сову-уяпу!= 22оГ-0,5 + у^1 = (-110+у190)В.
Комплексные токи:
фазные: 1аЬ = ЦАВ/К1 = 220/20 = 11 А или /0*=11А; 7^ = %^ =
= -1Ю-Л90 = (5>5_у95)А шш 4 = Д5ГТ93Г = 11А; /м==^ =
= -ио + Л90 =(_5)5+у95)А. ,„„ /и = Д51Т93Г = 11А.
линейные: 1А = /„»-/„= 11 -(-5,5 +у'9,5) = (16,5 -у9,5) А или
/^ = д/16^ + 9,52 = 19 А; //= /* - /„, = (-5,5 -;9,5) -11 = (-16,5 -у9,5) А
или 1В = №?+9? = 19 А; /с=/„ - /* = (-5,5 +/9,5) - (-5,5 -у9,5) =
=./'19 А или /С=19А.
При разомкнутом выключателе комплексные фазные токи: 1^ =
= ^=|^ПАили /-«П* 1^ = ^т = (-5,5^95)А
или /4с=Д5тТ93Г = 11А; /„==^ = 0;
линейные: Хв = /в6-/вв = /в4-0= 11А иди /л= 11 А;/д = /бс-/дд =
= (-5,5 -у9,5)- 11 = (-16,5-у9,5) А или 1В= у116$2+9$2 = 19 А; /с=/св-
-/* = 0-/^ = -(-5,5-у9,5) = (5,5+у9,5)А или /с = л/5,52 + 9,52 =11 А.
7.18. В трехфазную трехпроводную питающую сеть с
линейным симметричным напряжением 1/л = 380 В включена
активная симметричная нагрузка с сопротивлениями фаз /?,=
= 10 Ом и соединением фаз «звездой», а также трехфазный
симметричный потребитель электроэнергии с активным и
реактивным индуктивным сопротивлением фаз: К2 = 3 Ом и Хь = 4 Ом
(рис. 7.18, д).
Пренебрегая сопротивлением питающих проводов,
определить коэффициент мощности со$<р и линейные токи 1Я в
электрической цепи. Построить векторную диаграмму напряжений и
токов.
Решение. Ток в цепи активной нагрузки: /, = 11^КХ = 11л/4ъ х
х^ = 380/73-10 = 22А, так как *7л = л/3#ф.
196

УЗДВД^
Рис. 7.18
б)
Фазный ток трехфазного потребителя, содержащего
индуктивное сопротивление:
У* - ,220 -11 Л'
к?+*2 >/32+42
Составляющие фазных токов потребителей:
активные: /1а = 22 А; /2а = /2 соз ф2 = 12К2/2= 44 • ^ = 26,4 А;
\ 4
реактивные: 7^ = 0; /2р = /28тф2 = /2— = 44-- = 35,2А.
Составляющие токов в линейном проводе:
активная: /а = /1а + /2а = 22 + 26,4 = 48,4А;
реактивная: /р = /1р + /^ = 0 + 35 = 35,2 А.
Линейные токи: 1А = 1в=1с=1л = у1^ + /р2 =>/48,42 + 35,22 =59,5А
Коэффициент мощности всей цепи: соз ф = /а//л = 48,4/59,5 = 0,815.
Векторная диаграмма напряжений и токов для одной фазы
потребителя приведена на рис. 7.18, б.
7.19. В четырехпроводную трехфазную электрическую цепь
(рис. 7.19, а) с линейным симметричным напряжением 17Л = 380В
включены «звездой» три активных сопротивления, активная
мощность которых РА = 0,55 кВт; Рв = 1,1 Вт; Рс = 2,64 кВт и трехфазный
симметричный потребитель с мощностью Р= 3630 Вт, имеющий
коэффициент мощности со8 ф = 0,8, включенный «треугольником».
Пренебрегая сопротивлением питающих проводов, определить токи 1Л
в линии и ток 1Ы в нейтральном проводе.
Решение. Фазные напряжения потребителя электроэнергии,
соединенного «звездой»: Щ = 1/л = \]ь = \]с = 1/я/^3 = 380/>/3 = 220 В.
Фазные токи потребителя, соединенного «звездой»:
/^_^_ = ^ = 2,5А; /,._^в-2?!!-.10А;
#0со8фа 220-1
Рс
2640
#ссо8<рс 220-1
1/ь соз щ 220 • 1
= 12 А.
197

а) б)
Рис. 7.19
Ток в нейтральном проводе определяем графическим путем.
В соответствии с первым законом Кирхгофа для нейтральной
точки п имеем: 1н=1А + 1в + 1с\ 7^= 9 А.
На рис. 7.19, # приведена векторная диаграмма напряжений и
токов потребителя, соединенного «звездой».
Токи потребителя, соединенного «треугольником»:
Л. Т Г Г Ж Р 3630 Л А .
фазные: у. = /^=/=4= = = 4А;
^ -» * « Ф 3#лсо8фф 3-380-0,8
линейные: 1А = 1В=1С= 4Ъ1аЬ = Л4 = Л4 = л/3 • 4 = 6,92 А.
Составляющие токов потребителя, соединенного «звездой»:
активная: 1Лл = 2,5 А; 1Ва = 10 А; 7Са = 12 А;
реактивная: 1Ар = 1Вр = 1Ср = 0.
Составляющие токов потребителя, соединенного
«треугольником»:
активные: 1аЬа = 7^а = 1са& = 1аЬ соз срф = 4 соз срф = 4 соз <рф = 4 • 0,8 =
= 3,2 А;
реактивные: 1аЬр = 1ьсР = 1сар = Ъь $*п <рф = 4 з*п ФФ = 4 ып фф = 4 • 0,6 =
= 2,4 А.
Суммарные составляющие тока в линейных проводах:
активные: 4'а = 4а + 4ба = 2,5 + 3,2 = 5,7А; 7^ = 7^ + 7*.= 10 + 3,2 =
= 13,2 А; /^а = /Са + 4а=12 + 3,2=15,2А;
реактивные: 7^ = 7^ + 7^ = 0 + 2,4 = 2,4 А; 7^ = 7^ + 7^ = 0 + 2,4 =
= 2,4А; 7^р = 7Ср + 7а|р = 0 + 2,4 = 2,4А.
Линейные токи:
1л = л/(Яа)2+(7;р)2 = л/5,72+ 2,42 = 6,2 А;
1в = л/^а)2 + №Р)2 = л/13,22 + 2,42 = 13,4 А;
1с = ч/(/са)2+(7^р)2 = л/15Д2+2,42 = 15,45 А.
Векторная диаграмма потребителя, соединенного «звездой»,
приведена на рис. 7.19,5.
198

Рис. 7.20
7.20. Три группы осветительных ламп мощностью Р= 100 Вт
каждая с номинальным напряжением 1/тм = 220 В соединены по схеме
«звезда» с нейтральным проводом (рис. 7.20, а). При этом в фазе А
включено параллельно /^ = 6 ламп, в фазе В — п1 = \ лампы, в фазе
С— л3 = 2лампы. Линейное симметричное напряжение источника
питания 1/л = 380 В.
Определить фазные сопротивления 2$ и фазные токи /ф
потребителя электроэнергии. Построить векторную диаграмму токов и
напряжений, определить ток 1Ы в нейтральном проводе.
Решение. Активные сопротивления фаз потребителя:
ка = ^- =
2202
и1
2202
п{Р
= 810м; Кь= — =
6-100 п2Р 100
= 120 Ом;
220
пъР 100
Фазные токи:
- = 242 Ом; здесь Цф = Ц = ^ = 220 В.
2 ф Л 7з
Лв 81 Кь 120
1,82А; /с =^>=^20
Дс 242
Ток в нейтральном проводе определяем графическим путем. На
рис. 7.20, б приведена векторная диаграмма напряжений и токов, из
которой находим ток в нейтральном проводе 7^= 1,57 А.
7.21. Трехфазный несимметричный потребитель электроэнергии,
фазы которого соединены «звездой» с нейтральным проводом и
питаются от симметричного источника питания с фазными ЭДС:
ЕА= Ев= Ес= Еф. Определить ток 1Н в нейтральном проводе, а также
фазные токи /ф и фазные напряжения 1/ф при отключении (или
обрыве) нейтрального провода, если линейные токи: 1А=2,7А;
1В= 1,82 А; /с=0,9 А, фазные сопротивления: Лв = 81 Ом; Кь= 120 Ом;
Дс = 242 0м (рис. 7.21, а).
199

+/
-.' -,с\
ц
-г
\
0
1л +1
б)
Рис. 7.21
Решение. Направляем вектор 1А по оси действительных чисел
(рис. 7.21, #), тогда комплексные линейные токи и ток в
нейтральном проводе:
Ь = 1АеР = 1А; /* = /*е'у^ = /Л сов-у - узту 1;
4я . . 4я
С08 /81П —
3 ' 3
=2,7 + 1,82(-0,5 -/0,866) + 0,9(-0,5 +/0,866) = (1,34 -у0,8) А.
Из векторной диаграммы (рис. 7.21,6) следует, что
комплексный ток 1В отстает по фазе от комплексного тока 1А и с
отрицательной частью вещественной оси образует угол я/3, а с осью мнимых
чисел — угол я/6. Отсюда выражение для комплексного тока
1В = //сое—-у яп—1 = 1,82(-0,5 -у 0,866) А.
Аналогично для комплексного тока
1С = /с(соз Ап/Ъ +у яп 4л/3) = 0,9(-0,5 +у 0,866) А.
Ток в нейтральном проводе
/^=>/и42+0,82 =1,56 А.
Полные проводимости фаз потребителя:
Ув = 1/ЛЛ = 1/81См; Уь= 1/Яь= 1/120См; Ус = \/Кс = 1/242См.
Комплексные фазные ЭДС источника питания:
ЕА = ЕА = 220 В;
200

-121. „ 2л . . 2я
Ев=Еве'-=Ем\са&—-уяп— | = 220(-0,5-уО,866) = (-110-у190)В;
' 4я . . 4я
^с=^се";~ = ^ со8—-У81П— =220(-0,5+уО,866) = (-110+у190)В.
V 3 3
Комплексное узловое напряжение с учетом того, что при
обрыве нейтрального провода между нейтральными точками
источника N и потребителя п будет действовать напряжение смещения
нейтрали 1/яМ9 равное геометрической разности между напряжениями
генератора и потребителя:
п _*А1й+*й1>+*сге_
-""" ТТТТг ~
—а —Ь —с
^1в+^[сов|я-уяп|я|1:ь !с^еовуя-уяпуя|1е
~ У + Ук+У + У + У+'У "
— а —Ь —с —а —Ь —с
_ 220^7 + 220(-0,5-у0,866) ]^0 + 220(-0,5 + у0,866)— ^
~ 1 1 Г + 1 1 Г ~
81 + 120 + 242 81 + 120 + 242
= (68,5 -) 34,3) В.
Фазные напряжения потребителя:
Ц. = Ел ~ &»=220 - (68,5 -у34,3) = (151,5 +у34,3) В
или г/а=>ДЯ5Т+343г = 154В;
Ць = Е,- ЦпЫ=(-110 -у190)-(68,5-;34,3) = (-178,5 -;155,7) В
или Ць = ^/178^2 +155,72 = 236,5 В;
& = ^с- Цш = (-1Ю +у 190) - (68,5 -у34,3) = (-178,5 +у224,3) В
или Цс= у/ПЪё2 + (224.3)2 = 286 В.
Фазные токи при обрыве нейтрального провода:
Гл= % = 15',5В+/34'3 = (!.87 + У0.424) А или Гл = т/1,872 + 0,424* = 1,87 А;
#Л -178,5-у 155,7
^=^7= 120 =("М9-У1ДА или /^1,492+1,32 = 1,97А;
Гс= ^ = ~т*н2т* = ("°>74 + У °)93) А "" Гс = ^1>?42 + °'932 = 1Д8 А
7.22. Фазы трехфазного потребителя электроэнергии соединены
«звездой» с нейтральным проводом (рис. 7.22, а). Активные и
реактивные сопротивления фаз соответственно равны: К = 25,4 Ом;
Аг1 = Агс = 44 0м. Фазное напряжение симметричной системы питания
#Ф = 220В.
201

А
о-
В
зл.
и.
1'ч
*23"
4=ь
Рис. 7.22
Рис. 7.23
Определить ток 1Ы в нейтральном проводе с помощью векторной
диаграммы токов и напряжений. При каком условии ток в
нейтральном проводе /#=0?
Решение. Токи по фазам:
1Л = Щ/К = 220/25,4 = 8,56 А; 1В = Щ/Хс=220/44 = 5 А;
/с =^ф/^ = 220/44 = 5 А.
Суммарный ток
*ДС
■*•
+ /с -21в1ссо$
Н-*
+ 52 + 2-5-5-(-0,5)=8,56А.
Ток в нейтральном проводе (рис. 7.22,6): /лг=/ас+/л = 8,56 +
+ 8,56 = 17,12 А. Если поменять местами конденсатор и катушку, то
1„=0.
7.23. Для трехфазной электрической цепи, представленной
сплошными линиями на рис. 7.23, определить показание
амперметра А при замкнутом и разомкнутом положениях вьпслючателя В.
Линейное симметричное напряжение питающей сети #Л = 380В,
сопротивления резисторов: Кх = К2 = К3 = КА = 3% Ом.
Решение. При замкнутом выключателе фазные
сопротивления цепи (рис. 7.23), преобразованной в «треугольник»
сопротивлений:
*з
38
Так как Л1 = Л2 = Л3, то Л12 = Л23 = Я3] = 114 Ом.
Сопротивление параллельных ветвей, включенное между
узлами Ь и с:
ЯЬе =
^23^4
114-38
Я2г + ЯА 114 + 38
= 28,5 Ом.
202

Комплексные фазные токи:
/ _^_Н-ЗЗА-
(—#;
/4с=^ = !!!Г1^11 = 1^1^ = (_6;8-у1и)А.
~Ьс ЯЬс 28,5 28,5 Ч ' ' '
Показание амперметра:
/. = /.с-/о^(-М-711?5)-3,3 = (-10,1-у11)5)А
или 1В = 7ЮД2 + 11,52 = 15,4 А.
При разомкнутом выключателе общее сопротивление
параллельной ветви:
к _ (Яп+КпЖьс = (114 + 114)28,5 = 76 ^ 25 3 Ом
° Д12+Лз1+Лас 114 + 114 + 28,5 3
Показание амперметра: 1В = 1/л/К0 = 380/25,3 = 15 А.

Глава 8
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 8.1. Основные сведения об электроизмерительных
приборах и погрешностях измерений
В современных условиях контроль за технологическими
процессами, потреблением электрической энергии, режимом работы
электрооборудования, измерением неэлектрических величин
осуществляется с помощью различных электроизмерительных приборов.
Различают электроизмерительные приборы непосредственной оценки
и приборы сравнения. На шкалах приборов указывается род тока,
система прибора, его наименование, рабочее положение шкалы
(вертикальное, горизонтальное, наклонное, например под углом 60°),
испытательное напряжение изоляции.
По принципу действия различают магнитоэлектрические,
электромагнитные, электродинамические, а также тепловые,
индукционные, электрохимические, электронно-лучевые и другие
электроизмерительные приборы.
Приборы магнитоэлектрической системы применяют для
измерений в электрических цепях постоянного тока. Они имеют
равномерную шкалу, высокую точность, весьма малую чувствительность
к внешним магнитным полям, характеризуются малым
собственным потреблением электрической энергии.
Приборы электромагнитной системы используют для измерений
в электрических цепях постоянного и переменного токов. Имеется
возможность изготовить эти приборы на большие токи, что
избавляет от необходимости применения шунтов и трансформаторов.
Однако они имеют неравномерную шкалу, относительно
невысокую точность, на показание приборов существенное влияние
оказывают внешние магнитные поля.
Приборы электродинамической системы применяются в
электрических цепях постоянного и переменного токов.
Электроизмерительные приборы этой системы характеризуются наибольшей точностью
и чувствительностью в сравнении с другими приборами,
применяемыми в цепях переменного тока, их изготовляют главным образом
в виде приборов класса точности 0,2 и 0,5. Вместе с тем на
показания приборов электродинамической системы значительно влияют
внешние магнитные поля, они имеют большой собственный расход
электрической энергии. Разновидностью приборов электродинамиче-
204

ской системы являются приборы ферродинамической системы, в
которых катушки снабжены стальными сердечниками, что делает их
показания практически независимыми от внешних магнитных
полей.
Одной из важнейших характеристик электроизмерительных
приборов является точность. Результаты измерений электрических
величин неизбежно отличаются от истинного их значения вследствие
наличия соответствующих погрешностей (случайных,
систематических, промахов).
Различают основную погрешность, обусловленную
несовершенством конструкции сложного прибора, и дополнительную
погрешность, вызванную влиянием внешних факторов на показания
приборов.
Абсолютная погрешность измерительного прибора представляет
собой расхождение (разность) между измеренным Аи и
действительным (истинным) Ал значениями измеряемой величины АА=АН-Аа.
Истинное значение измеряемой величины находят с учетом
поправки. Поправка —это величина, обратная по знаку абсолютной
погрешности: АР=-АА = АЯ-АЯ. Абсолютная погрешность не дает
представления о точности измерения, которая оценивается по
относительной погрешности измерения, представляющей собой
отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению
измеряемой величины, выраженное в долях или процентах от ее
действительного значения: уат = АА/Аа=Ан-АЛ/АЛЮО%. Абсолютная
погрешность электроизмерительных приборов со стрелочным
показателем практически неизменна в пределах всей шкалы, поэтому
с уменьшением значения измеряемой величины она возрастает. Для
повышения точности измерения измеряемой величины на
показывающих приборах со стрелочным указателем следует выбирать такие
пределы измерения, чтобы отсчитывать показания примерно в
пределах 2/з всей шкалы.
Точность показывающих измерительных приборов определяется
относительной приведенной погрешностью, выраженной в
процентах, т.е. отношением абсолютной погрешности к номинальному
значению АИ0М измеряемой величины (наибольшей величине,
которая может быть измерена прибором):
упр=^-100%.
Электроизмерительные приборы подразделяются на восемь
классов точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0, указываемых на
шкалах. Классы точности приборов определяют по приведенной
погрешности.
Измерение тока в электрических цепях производится
амперметрами, измерение ЭДС и напряжений — вольтметрами. Расширение
пределов измерения амперметров в цепях постоянного тока
осуществляется с помощью шунтов, а в цепях переменного тока — с по-
205

мощью трансформаторов тока. Расширение пределов измерения
вольтметров в цепях постоянного тока достигается применением
добавочных сопротивлений, а в цепях переменного тока
—трансформаторов напряжения.
При измерениях достаточно больших токов, когда
измерительный прибор (амперметр, гальванометр) не рассчитан на такие токи,
параллельно цепи прибора включаются шунты, представляющие
собой сопротивление известной величины, обладающее
относительно малым сопротивлением Кш, по которому пропускается бблыиая
часть измеряемого тока. Распределение токов между прибором и
шунтом 1а и /ш обратно пропорционально сопротивлениям
соответствующих ветвей: /Л//Ш = ЛШ/ЛЛ. При этом измеряемый ток /=/в + /ш.
С учетом этого /= /0(1 + Ка/Кш) = Кш1. Шунтовой коэффициент для
упрощения расчетов принимают равным Кш = 10; 100 или 1000.
Следует заметить, что измерительные шунты используются
только в электрических цепях постоянного тока, так как в цепях
переменного тока при измерениях вносится погрешность, обусловленная
наличием индуктивной составляющей сопротивления шунта, которая
увеличивается с измерением частоты тока, при этом погрешность
измерения может оказаться существенной. При необходимости
измерения весьма больших токов в электрических цепях переменного тока
используются трансформаторы тока, которые, как амперметр,
включаются последовательно с нагрузкой. В цепи первичной обмотки
трансформатора тока с числом витков IV, проходит подлежащий
измерению первичный ток /,, при этом во вторичную обмотку
трансформатора с числом витков и>2 включается амперметр, в цепи которого
протекает вторичный ток 12. Вследствие этого трансформатор тока
работает в режиме короткого замыкания. При этом можно считать
магнитодвижущую силу (ампервитки) первичной обмотки равной
магнитодвижущей силе вторичной обмотки: 1}щ =12щ, откуда с учетом
коэффициента трансформации п1 трансформатора измеряемый ток
/1=/2- = Л//2.
При измерениях достаточно больших напряжений, когда
измерительный прибор (вольтметр, милливольтметр) не рассчитан на
такие напряжения, последовательно с прибором включается
добавочное сопротивление Кд, на котором падает большая часть
измеряемого напряжения. При включении добавочного сопротивления
последовательно с вольтметром по ним протекает один и тот же
ток, при этом отношение подводимого к цепи напряжения I/ к
падению напряжения 1/в на вольтметре равно отношению суммарного
сопротивления цепи к сопротивлению Къ вольтметра:
Ц ^яв + яа
откуда измеряемое напряжение 1/=Цв(1-{-Кд/Кь)-Кл11в.
206

Добавочный коэффициент Ка показывает, во сколько раз
увеличивается предел измерения напряжения вольтметра при
использовании добавочного сопротивления Кд. Во избежание вносимой в
процессе измерения напряжения погрешности добавочное
сопротивление (по той же причине, что и шунт) следует использовать только
в электрических цепях постоянного тока. При измерениях высоких
напряжений в электрических цепях переменного тока используются
трансформаторы напряжения, первичная обмотка которых является
обмоткой высшего напряжения, имеет большее число витков щ
и включается под измеряемое напряжение 17,. Вторичная обмотка
трансформатора с меньшим числом витков и>2 включается на
зажимы вольтметра, показывающего вторичное напряжение 1/2. При этом
коэффициент трансформации трансформатора напряжения: Пц=
= щ/щ=1/х/1/ъ откуда измеряемое высокое напряжение находится
из выражения: С/, = /1^г/2.
Точность измерения измерительных трансформаторов
характеризуется погрешностью коэффициента трансформации,
показывающего, насколько действительное значение вторичной величины
отличается от значения измеряемой первичной величины, деленной
на номинальный коэффициент трансформации Кииом, или К1шт
соответствующего измерительного трансформатора. При этом
погрешность напряжения:
гг _ ""ном ~ПЦ
Аналогично определяется погрешность измерения тока:
а/=(я/н~-"/)/"/•
Схемы включения ваттметров для измерения мощности в
трехфазных цепях зависят от схемы питания потребителя (трехфазной
трехпроводной или трехфазной четырехпроводной питающей сети),
режима нагрузки потребителей (симметричный или
несимметричный), схемы включения трехфазного потребителя («звезда» или
«треугольник»). При симметричной нагрузке трехфазного
потребителя 2а = 2ь = 2с измерение мощности в трехпроводной трехфазной
электрической цепи осуществляется одним ваттметром (рис. 8.1.1),
так как в этом случае мощность трехфазного потребителя равна
утроенному значению мощности одной фазы, замеренной
ваттметром (Р=ЗР„,= ЗРФ).
При этом показания ваттметра в схеме (рис. 8.1.1): Р^-Рл-
= 1/а1А соз <рв, где соз <рЛ — косинус угла сдвига фаз между фазными
током 1А и напряжением 1/а.
Измерение мощности трехфазного симметричного потребителя
электроэнергии, включенного «треугольником», осуществляется по
схеме (рис. 8.1.2).
При этом показания ваттметра: Рцг=РаЬ=11лв1аь^о^^аЬ. Так как
при включении трехфазного симметричного потребителя элект-
207

.№
т? 4г V,
"лв\
'в П
'в »й
-<] О
2",
н
и.
СА
Рис. 8.1.1
Рис. 8.1.2
роэнергии мощности всех трех фаз равны, то его мощность
Следует отметить, что измерение мощности трехфазного
потребителя электроэнергии одним ваттметром возможно только при
наличии доступной нейтральной точки потребителя, соединенного
«звездой», или возможности разрыва фазы потребителя,
соединенного «треугольником». При отсутствии этих возможностей
применяют схему включения ваттметра с искусственной нейтральной
точкой, которая создается включением в трехфазную цепь «звездой»
резисторов, имеющих одинаковые сопротивления. К нейтральной
точке присоединяется затем конец обмотки напряжения ваттметра.
При этом ваттметр покажет мощность одной фазы.
Для измерения мощности трехфазных потребителей широко
распространен способ двух ваттметров, который является универсальным,
так как применяется для измерения мощности трехфазных
потребителей в трехфазных трехпроводных электрических цепях как при
симметричной, так и несимметричной нагрузках, независимо от
способа соединения фаз потребителя («звездой» или «треугольником»).
Как следует из схемы рис. 8.1.3, обмотка напряжения
ваттметра Щ находится под действием линейного напряжения 1/АВ, при
этом в цепи его токовой обмотки действует линейный ток 1А9
поэтому показание этого ваттметра определяется выражением: Рт =
= ИьИав1а- Обмотка напряжения ваттметра Щ включена под линейное
напряжение 1/Св=-^вс9 а в Депи токовой обмотки протекает
линейный ток 1С, в результате ваттметр Ц^ покажет мощность,
определяемую выражением: ^2=Ке(-{/дС)/с (Га и /с сопряженные
значения комплексных токов 1А и /с).
При этом мощность трехфазного
потребителя электроэнергии
определится как алгебраическая сумма
показаний обоих ваттметров: Р=
На практике иногда вместо двух
ваттметров используется один двух-
Рис. 8.1.3 элементный ваттметр.
208
А
о-
и Ы""
"СА о-^
И^'а
|"«с
ф
Щ 'с
П

Следует заметить, что способ двух ваттметров не пригоден для
измерения мощности несимметричных трехфазных потребителей
электроэнергии при включении их «звездой» и наличии
нейтрального провода.
Литература. [1] § 7.1-7.5; [2] § 12.1-12.7; [3] § 11.1-11.11.
Примеры решения задач
8.1. Для измерения напряжения в электрической цепи
используется вольтметр класса точности 1,0 с пределом измерения
^ном = 300В. Показание вольтметра (7Н=100В. Определить
абсолютную ДС^бс и относительную у^ погрешности измерения и
действительную величину измеренного напряжения.
Решение. Так как истинное (действительное) значение
измеряемой величины неизвестно, для определения абсолютной
погрешности измерения используем класс точности прибора:
А^абс = Тпр ном = —— = 3 В (приведенная погрешность прибора
равна его классу точности, т.е. Упр=1%).
Относительная погрешность
Упр^ноы 1,0 ■ 300 -~
Следовательно, измеренное значение напряжения 1/и = 100 В может
отличаться от его действительного значения не более чем на 3%.
8.2. Определить абсолютную Д/^ и относительную т™
погрешности измерения тока амперметром с номинальным предельным
значением тока /„0м = Дред = 5А и классом точности 0,5, если его
показание (измеренное значение) /Н = 2,5А.
Решение. Абсолютная погрешность амперметра:
А/абс = 1]}^Ж = 1ш^!2± = — = 0,025 А,
100% 100% 100
так как класс точности 0,5 прибора соответствует абсолютной
приведенной погрешности упр = 0,5%. Относительная погрешность при
измерении тока амперметром:
_ УпрЛкж _ 0>5'5 _ д,
Уотн" /и " 2,5 ~1/0-
Таким образом, измеренное значение тока /и = 2,5 А может
отличаться от его истинного значения не более чем на ±1%.
8.3. Предельное значение тока, измеряемого миллиамперметром,
/= 4 • 10 3 А, сопротивление которого Яа = 5 Ом. Определить
сопротивление Кш шунта, используемого для расширения предела
измерения тока до 7= 15 А.
14-4359 209

Решение. Падение напряжения на клеммах прибора,
соответствующее номинальному значению тока: А1/а = Ка1Н0М = 5 • 4 • 10"3 =
= 0,02 В.
Ток в цепи шунта, соответствующий наибольшему значению
измеряемого тока: /ш = /- /ном = 15 - 4 • 10"3 = 14,996 А.
Так как шунт подключается параллельно миллиамперметру, то
падение напряжения на клеммах прибора оказывается равным
падению напряжения на шунте, т.е. А1/= А11ш = Кш1ш = 0,02 Ъ, откуда
Лш = АЦШ/1Ш = 0,02/14,996 = 0,00133 Ом.
8.4. Электроизмерительный комплект К-505 снабжен
ваттметром, рассчитанным на пределы тока и напряжения, приведенные
в табл. 8.1, шкала ваттметра имеет 7У= 150 делений. Определить цену
деления ваттметра Си, Для всех пределов напряжения и тока,
соответствующих его показаниям. Стрелка ваттметра при измерении во
всех случаях отклонилась на #, = 100 делений.
Решение. Номинальная мощность ваттметра для предела тока
/Н0М=1,25А и напряжения {/ном = 30В: Лк„ом = #ном4ш = 30-1,25 =
= 37,5 Вт.
Цена деления шкалы ваттметра (постоянная ваттметра) для
указанных пределов тока и напряжения: С1У=Р1Уном/М= 37,5/150 =
= 0,25 Вт/дел. Мощность, показываемая ваттметром при отклонении
стрелки на заданное число делений: Рн,= СиЛУ1=0,25 100 = 25Вт.
Результаты аналогичных расчетов для других пределов тока и
напряжения сведены в табл. 8.1.
8.5. Электроизмерительный комплект К-505 снабжен
вольтметром со шкалой, имеющей 7^ = 150 делений, и намперметром со
Таблица 8.1
Параметры
и постоянные
прибора
/ А
■* ном» "
#ном» В
С*, Вт/дел
Лк>Вт
Значения параметров
0,5
30
0,1
10
75
0,25
25
150
0,5
50
300
1
100
450
1,5
150
600
2
200
1,0
30
0,2
20
75
0,5
50
150
1
100
300
2
200
450
3
300
600
4
400
Продолжение таблицы 8.1
Параметры
и постоянные
прибора
-■ном, *^
#ном, В
С*,, Вт/дел
/V, Вт
Значения параметров
2,5
30
0,5
50
75
1,25
125
150
2,5
250
300
5
500
450
7,5
750
600
10
1000
5,0
30
1
100
75
2,5
250
150
5
500
300
10
1000
450
15
1500
600
20
2000
210

шкалой, имеющей Ы2 = 100 делений. Определить цену деления
шкалы приборов, показания вольтметра, стрелка которого указывает
Щ= 100 делений, а также показания амперметра, стрелка которого
указывает #2' = 50 делений, для пределов измерения токов и
напряжений, номинальные значения которых представлены в табл. 8.2.
Решение. Цена деления шкалы вольтметра с номинальным
напряжением 1/иом = 30 В: Сц= 11нои/Мх = 30/150 = 0,2 В/дел. Показание
вольтметра с номинальным напряжением {/ном = 30В: 11=СЦЩ=
= 0,2-100 = 20 В. Цена деления шкалы амперметра с номинальным
током /НОМ = 0,5А: С7=/Н0М/ЛГ2 = 0,5/100 = 0,005 А/дел.
Показание амперметра с номинальным током /НОМ = 0,5А при
отклонении его стрелки на число делений Щ\ 1= С,^ = 0,005 -50 =
= 0,25 А.
Аналогичные расчеты для других пределов измеряемых
напряжений и токов сведены в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Параметры
прибора
Цюм» ^
Сц, В/дел
« в
/ А
'ном* **•
С„ А/дел
/, А
Значения параметров
30
0,2
20
0,5
0,005
0,25
75
0,5
50
1
0,01
0,5
150
1
100
2,5
0,025
1,25
300
2
200
5
0,05
2,5
450
3
300
10
0,1
5
600
4
400
15*
0,15
7,5
—
-
—
50*
0,5
25
—
-
—
100*
1
50
—
-
—
150*
1,5
75
—
-
—
200*
2
100
* Измерение тока в диапазоне 15—200 А с помощью прибора К-505 осуществляется
трансформатором тока.
8.6. Определить значение сопротивления шунта Кш,
необходимого для расширения пределов измерения тока гальванометра,
имеющего сопротивление Лг=150 Ом, от номинального его
значения тока /ном = 2 • 10"4 А до значения /= 6 • 10"3 А.
Решение. Определяем, во сколько раз необходимо расширить
предел измерения тока: /)=///ном = 6-10"3/2 • 10"4 = 30. Значение
сопротивления шунта: Лш = Дг/(#-1) = 150/(30 - 1) = 5,17 Ом.
8.7. Определить значение добавочного сопротивления Лд,
позволяющего расширить пределы измерения гальванометром, имеющим
сопротивление Лг= 150 Ом, напряжения от его номинального
значения *7ном = 2 • 10"3 В до значения 1/= 10 • 10"2 В.
Решение. Пределы измерения напряжения гальванометра:
/) = _У_=101101 = 5()
"„ом 2-10-3
Значение добавочного сопротивления
Кл = ЯГ(Д- 1) = 150(50 - 1) = 7350 Ом.
14* 211

*» 9
Рис. 8.9
8.8. К питающей сети с напряжением #=120 В присоединены
последовательно два реостата, сопротивления которых Л, = 13 Ом,
К2 = 9 Ом (рис. 8.8). Определить ток в цепи реостатов и напряжение 11ь
между их движками, показываемое вольтметром К, если левый
движок реостата К] находится у правого его конца, а правый —
в середине реостата А2.
Решение. Ток в цепи реостатов по закону Ома: /= 11/(К\ +
+ Л2) = 220/(13 + 9)=10А.
Сопротивление электрической цепи при заданном положении
движков реостатов: Л = 0 + Л2/2 = 0 + 9/2 = 4,5 Ом.
Напряжение между движками реостатов (показание вольтметра):
#=Л/=4,510 = 45В.
8.9. Как изменится ток в электрической цепи (рис. 8.9) и
напряжение 1/ь между движками реостатов, если между ними включить
резистор /?3 = 1,5 0м, при этом Л, = 13 Ом, Л2 = 4,5, Л4 = 4,5 0м.
Решение. Эквивалентное сопротивление параллельного
участка электрической цепи:
я2я3 4>5'1>5
/? =
Я2 + Я3 4,5 + 1,5
Ток в электрической цепи:
V 220
= 1,13 Ом.
/ =
Кх + Я + ЯА 13 + 1,13 + 4,5
= 11,1 А.
Напряжение, показываемое вольтметром на параллельном
участке электрической цепи: 1/ъ = К1= 1,13-11,1 = 12,6В.
8.10. Для электрической цепи (рис. 8.10) определить токи в ветвях
и показание вольтметра К, обладающего внутренним
сопротивлением Лв=300 Ом. Сопротивления резисторов: Л, = 50 Ом; Л2=100Ом;
Л3=150Ом; Д4 = 200Ом, ЭДС источников питания: ^ = 22 8,
Я2 = 22В.
Решение. Для левого замкнутого контура электрической цепи
в соответствии со вторым законом Кирхгофа справедливо
уравнение:
Е^Щ + КМ + К^; 22 = (50+ 200)^ + 300/3 или 250/, + 300/3 = 22.
212

Рис. 8.10
Аналогично для правого замкнутого
контура цепи:
Е2 = (Л3 + Л2)Л + Лв/3 =(150 + 100)/2 +
+ 300/3 = 22 или 250/2 + 300/3 = 22.
В соответствии с первым законом
Кирхгофа для узла разветвления
уравнение для токов имеет вид: /, + /2 = /3. В
результате совместного решения
полученных уравнений имеем:
250/^250/2 = 0, отсюда /, = /2.
Ток /, в цепи резистора Кх находят в результате подстановки
в первое уравнение значения тока /3 из третьего уравнения:
250/, = 2/,200 + 27,300 = 22, откуда /, = 22/850 = 0,026 А.
Ток в цепи резистора К2: 12-1\-0,026А, ток в цепи вольтметра:
/3 = /, + /2 = 0,026 + 0,026 = 0,052 А. Показание вольтметра: {7В = ЛВ/3 =
= 300-0,052 = 15,6 В.
8.11. Трехфазный потребитель электроэнергии, соединенный
треугольником, подключен к трехфазной симметричной системе
питания с линейным напряжением #Л = 220В (рис. 8.11, а),
сопротивления фаз потребителя электроэнергии 2- К = 10 Ом.
Записать комплексные линейные напряжения и фазные токи.
Определить линейные токи /л при замкнутом включателе В и
показание амперметра тока 1са при разомкнутом выключателе.
Решение. При замкнутом выключателе комплексное
напряжение Цдв направляем по оси действительных положительных чисел
комплексной плоскости:
^=^е^=^е>°=^ = 220В.
При этом Цвс~~ Увс&
= (-110 -} 190) В,
2я
2%
3 =&с|С08—-У81П —
= 220
{-*->$-
б -*-
Уве
а)
Рис. 8.11
6)
213

т. е. напряжение Цвс=220 В; Ц^ = Ц^е * = ^ С08 У8"1— =
= 220[ - 0,5 + у — ] = (-110 + у 190) В, т. е. напряжение 1]СА = 220 В.
Токи по фазам электрической цепи при замкнутом выключателе:
г -У-лв _ 220 _ 79 .
/в*-~Г-1о"-22,
/^=^="110,;Л90 = (-11-У19)А или /4,= л/П1ТТ9г = 22А;
К
±Ьс
Аса я
10
-110 +у 190
10
(-11 + у19)А или 1са=Л\2 + 192 =22А.
Так как в данном случае нагрузка чисто активная и
симметричная, токи по фазам следует определять исходя из выражений:
Ъь = 1?ав/К = 220/10 = 22 А; 4 = 1/вс/К = 220/10 = 22 А;
4= ^/Л = 220/10 = 22 А.
Линейные токи в электрической цепи при симметричной нагрузке:
^ = ^ = /с=/л = л/3/ф = >/3.22 = 38А.
При замкнутом выключателе электрическая цепь преобразуется
к виду рис. 8.11,5.
Показание амперметра: 1=1аЬ = 1са =
иве
220
2К 2-10
= 11 А.
8.12. Трехфазный потребитель электроэнергии, соединенный
треугольником (рис. 8.12, а), питается от симметричной трехфазной
сети с линейным напряжением 1/л = 380 В, с частотой /= 50 Гц,
сопротивление фаз потребителя Л = 20 Ом. Определить показания
ваттметра при замкнутом и разомкнутом выключателе В.
Решение. Показание ваттметра при замкнутом выключателе:
/>=1уфсо8Фф=-^^ = ^-1 =7220 Вт = 7,22 кВт
Я 20
(угол сдвига фаз между фазным напряжением 11ф и фазным током /ф:
фф = 0 ПРИ С08фф=1).
<А
ВС
Со-
Ри с. 8.12
214
№4
б)

При размыкании выключателя электрическая цепь рис. 8.12, а
преобразуется к виду рис. 8.12, б.
Ток в цепи токовой обмотки ваттметра: 1Х- 1/вс/2К= 380/2 х
х20 = 9,5А.
Показание ваттметра при разомкнутом выключателе: Р= РХК = 9,52 х
х 20 =1800 Вт =1,8 кВт.
8.13. Трехфазный симметричный потребитель электроэнергии
(рис. 8.13) подключен к источнику питания с линейным напряжением
1/я=ЦАВ=:1/вс^1/СА = 3&0В. Сопротивления фаз потребителя 2аЬ = 2Ьс =
= 2са = Я +У0 = 380 Ом. Определить фазные токи потребителя и
показание ваттметра. Задачу решить с использованием комплексных чисел.
Решение. Направляя {/^ по оси действительных
положительных чисел, определяем напряжения по фазам:
йи= Цце*= 4*©" = ^*= 380 В;
йс= Ц>се~У^= %/сову - у япу!=38оГ~ - у Щ В или Цвс= 380 В;
^ = ^е-^=Цсо8^-у8т^ = 380^ + У^В.
Фазные токи потребителя электроэнергии:
Ьь=Цлв/2аь=Цлв/К = Ш=\К
= |~-7'у)А или Дс=1А;
±Ьс"~ "^
±са 7
4-са
380
1 .Л!
{-1-'Т)
Я 380
„ з8оГ-± + Д]
^С4 12 2;
Л
380
•{+>$
А или 1еа = 1 А.
Линейный ток фазы С:
Линейные токи при симметричной нагрузке: /^ = /в = /с=л/з/ф.
Рис. 8.13
Рис. 8.14
215

Показание ваттметра находим из выражения для комплексной
мощности фазы:
3„= ЦсвГс = -Цвс1с = 38оГ-| - у Щ (-у л/3) = (570 + уЗЗО) В • А
или Р=570Вт;
здесь Цсв = -&с= -380^ - У у) = 380^ + у ^) В.
8.14. Трехфазный потребитель электроэнергии питается от сети
с симметричным линейным напряжением 1/л= 1/Ав = ^вс = Уса = 220 В,
сопротивления фаз К = Хс = 220Ом (рис. 8.14). Определить фазные
токи /ф и показание ваттметра IV.
Решение. Напряжения по фазам определяем, направляя
комплексное напряжение Ц^в по оси действительных положительных чисел:
Пав = Члш** = Яле*» = 220 В, тогда
йс= «4се^ = 0Ьс[сов|я - у япу] = 22оГ-| - у ^П В или Ивс= 220 В;
гг тт -,.12. гг ^ 4я~ . . 4*Л
Иса = Уса^ 3 = 1ЦсОв—уЯП-у-
= 22о(Г-- + у—1в или ^ = 220В.
Фазные токи потребителя электроэнергии:
/ - — ** - _ - 1 А*
и" ХаЬ "220"1А'
^=^,_14—11 = (-1/2-у
у _,_ „л/3/2)А или 4=1 А;
2^ 220
1 Ц^ = 220(-1/2+уУз/2) = (-1/2+У Л/2) = | 1 | Л =
"СЛ *„ "У 220 -у У2 2
1+уЛ <1+уЛ)(-У) Г-У + Л"
У 2 У2(-у)
А или /м = 1 А.
Показание ваттметра (из выражения для комплексной мощности
ветви с емкостью С):
^=^с/;с=(НО-у19о/^4:^1 = --21вар, где Цлс^-Цса, так как
2
#Су, = (-110+у190)В, то ^с= (110-у 190) В или ^С = 220В; /„ = -/« =
= - ^^— = —— А, тогда сопряженный комплексный ток 1*с =
#ь 1
Следовательно, активная мощность, измеряемая ваттметром: Р=0.

Глава 9
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
§ 9.1. Основные сведения о магнитных цепях
и их расчете
Магнитная цепь представляет собой систему последовательно
включенных ферромагнитных и других физических тел, по которым
замыкается магнитный поток. При отсутствии разветвлений
магнитного потока магнитная цепь является неразветвленной (рис. 9.1.1),
а при наличии последних — разветвленной (рис. 9.1.2). Простейшая
магнитная цепь с регулируемым магнитным потоком (см. рис. 9.1.1)
состоит из магнитопровода с поперечным сечением 5С, на котором
равномерно размещена обмотка с числом витков м> проводника
с током 7, под действием которого создается однородное магнитное
поле с напряженностью (при средней длине линии магнитопровода
'сР = Л + /2 + /3 + /0 + ...)^ равной Н=м>1/1ср. Соответственно магнитная
индукция в сердечнике магнитопровода с относительной магнитной
проницаемостью ц составляет В=\зЛ. При этом магнитный поток
в сердечнике Ф = В5С = \юю1/1ср8с или
Ф = .
Произведение м?1= Р называется магнитодвижущей
(намагничивающей) силой катушки, а отношение /ср/мД = Км — м а г -
нитным сопротивлением магнитной цепи. С учетом этого
выражение для магнитного потока приводится к виду: Ф = Р/Ки.
Полученное выражение определяет основной закон магнитной цепи —
закон Ома. В сложных магнитных цепях (см. рис. 9.1.2) магнитный
Рис. 9.1.2
217

поток Ф разветвляется по нескольким направлениям. При этом общий
магнитный поток равен алгебраической сумме магнитных потоков
в ветвях разветвления:
п
Ф = Ф, + Ф2 + ... + Фк или Ф=]Гфк.
к = 1
Это выражение для магнитного потока характеризует первый
закон Кирхгофа для магнитной цепи.
На параллельных ветвях разветвленной магнитной цепи с на-
пряженностями магнитного поля Нх и Н2 и средними длинами /,
и /2 участков параллельных ветвей магнитные напряжения Н]1] = Н212-
При этом магнитный поток распределяется обратно
пропорционально магнитным сопротивлениям параллельных ветвей: Ф1/Ф2 =
При наличии последовательной магнитной цепи с несколькими
источниками магнитодвижущих сил (с несколькими катушками
с током, расположенными на магнитопроводе) в соответствии с
законом Ома для магнитной цепи магнитный поток прямо
пропорционален алгебраической сумме магнитодвижущих сил, действующих
в цепи, и обратно пропорционален сумме магнитных
сопротивлений ее участков:
л
ф = *^_ ^ ф = ».'.+>^ + - .
У д 4/И 1$с1 + '2/И2^с2 + &/И(А
* = 1
Последнее равенство можно привести к виду: Я1/1 + Я2/2 + ...
... = щ1х + щ12 +... .В соответствии с этим второй закон Кирхгофа для
магнитной цепи формулируется следующим образом: алгебраическая
сумма магнитных напряжений в магнитной цепи равна алгебраической
сумме магнитодвижущих сил в этой цепи.
Полученные соотношения по заданному значению магнитного
потока Ф, или соответственно магнитной индукции В, размерам
и магнитным свойствам материала магнитопровода и
соответствующим кривым намагничивания В (Н) позволяют определить
магнитодвижущую силу Р=м>1, необходимую для создания заданного
магнитного потока Ф.
В процессе расчета магнитной цепи с поперечным сечением ее
5С участков по заданному магнитному потоку Ф определяют
значения магнитных индукций В=Ф/5С на соответствующих ее участках.
По кривой намагничивания В(Н) соответствующего
ферромагнитного материала магнитопровода и значениям магнитной индукции В
определяют напряженности Н магнитных полей на участках
магнитной цепи. Затем находят магнитные напряжения Н1 на участках
магнитной цепи и магнитодвижущую силу: Р= НоЪ + Н]^ + Я2/2 + ... .
При отсутствии воздушного зазора в магнитной цепи слагаемое
218

#0/0 = 0, при наличии воздушного зазора напряженность магнитного
поля в зазоре
#0 = Д)/М-о>
где ^ — магнитная постоянная (абсолютная магнитная
проницаемость вакуума); В0 = Ф/5^ — магнитная индукция в воздушном
зазоре с поперечным сечением 5С0.
По расчетному значению магнитодвижущей силы Р- м?1,
задаваясь значением тока /, определяют число витков м> катушки,
необходимое для создания в магнитной цепи заданного магнитного
потока Ф, а задаваясь числом витков, определяют необходимое для
создания его значение тока.
Одним из основных элементов конструкции различного рода
машин и аппаратов, устройств электроавтоматики, промышленной
электроники, вычислительной техники и т. д. является катушка
индуктивности.
Зависимость Ф(7) при м> = сопз1; катушки при отсутствии
ферромагнитного магнитопровода является линейной. При
наличии магнитопровода магнитный поток, создаваемый катушкой
индуктивности при прочих равных условиях, значительно
возрастает, так как при этом магнитный поток создается не только
непосредственно проводниками с током катушки (источником
внешнего магнитного поля), но и соответствующим ферромагнитным
материалом магнитопровода (источником внутреннего магнитного
поля).
С учетом того, что магнитная индукция В = \1Н, определяют
магнитный поток катушки:
Ф = В5С = \1Н5С.
Отсюда следует, что магнитный поток пропорционален
относительной магнитной проницаемости ц среды, которая для
ферромагнитных материалов значительно больше магнитной проницаемости
других материалов и на несколько порядков выше магнитной
проницаемости р,0 воздуха (вакуума). Поэтому с целью уменьшения
магнитодвижущей силы Р, а следовательно, уменьшения тока /,
необходимых для создания заданного магнитного потока Ф,
катушки индуктивности снабжаются магнитопроводом (сердечником) из
ферромагнитного материала, чаще всего из электротехнической стали.
Так как зависимость магнитной проницаемости ферромагнитных
материалов |х(#) является нелинейной, то зависимость Ф(#)
или соответственно В(Н) при наличии магнитопровода оказывается
также нелинейной.
При включении катушки индуктивности с магнитопроводом
(в общем случае с воздушным зазором 8, рис. 9.1.1) под
переменное синусоидальное напряжение и(() = 11т$т \у1 в цепи катушки
появляется переменный ток /(/), под действием которого в магнито-
проводе возникает переменный магнитный поток Ф(0- Основная
219

часть результирующего магнитного потока Фр, создаваемого катушкой
индуктивности (основной магнитный поток—Ф), замыкается по
цепи магнитопровода, так как его магнитная проводимость во много
раз больше магнитной проводимости воздуха, однако
незначительная часть результирующего потока (порядка 3—5%) все же
рассеивается и замыкается вокруг отдельных витков катушки
индуктивности (поток рассеяния Фс).
Результирующий магнитный поток катушки индуктивности с маг-
нитопроводом равен векторной сумме: Фр = Ф+Фа, так как
основной магнитный поток Ф и поток рассеяния Ф0 не совпадают во
времени по фазе.
Значение магнитного потока Ф = В5С определяют по магнитной
индукции магнитного поля, которая зависит от напряженности
магнитного поля (В=\1Н).
Зависимость В (Н) — кривая намагничивания — является одной
из важнейших характеристик ферромагнитных материалов. Кривая,
проходящая через начало координат, является основной кривой
намагничивания, она получается при одностороннем
намагничивании ненамагниченного материала.
При питании катушки индуктивности переменным током
ферромагнитный магнитопровод вследствие наличия переменного
магнитного потока циклически, с частотой тока, перемагничивается
по кривой гистерезиса, обусловленной наличием остаточного
магнетизма (остаточной магнитной индукции) Вг и коэрцитивной
(задерживающей) силы Нс. В процессе циклического перемагничива-
ния за несколько полупериодов переменного тока устанавливается
замкнутая симметричная петля гистерезиса.
На циклическое перемагничивание магнитопровода
затрачивается мощность, выделяемая в нем в виде теплоты, которая относится
к потерям мощности. Потери мощности на перемагничивание
включают в себя потери на гистерезис Рх и потери от вихревых токов Рв,
индуцируемых переменным магнитным потоком в металле
магнитопровода: Рп = Рт+Рв.
Потери мощности на гистерезис, выделяющиеся в единице массы
материала магнитопровода, пропорциональны площади,
ограниченной статической петлей гистерезиса, определяются по формуле:
где Руг — удельные потери мощности на гистерезис; /—частота
питающего тока; Вт — амплитудное значение магнитной индукции;
О—масса магнитопровода.
Под действием изменяющегося во времени магнитного
потока Ф(/) в магнитопроводе наводятся вихревые токи, вызывающие
дополнительные потери мощности и оказывающие
размагничивающее действие на магнитопровод. Эти потери пропорциональны
площади, равной разности между площадями динамической и
статической петли гистерезиса.
220

Потери мощности от вихревых токов рассчитывают по формуле:
р*=руЛ/2с,
где Руд — удельные потери мощности от вихревых токов.
Потери мощности на перемагничивание магнитопровода,
выделяясь в виде теплоты, приводят к нагреву катушки индуктивности
и магнитопровода, что снижает КПД соответствующих
электротехнических устройств.
Для уменьшения потерь мощности на гистерезис в качестве
материала для магнитопровода используются ферромагнитные
металлы, характеризующиеся узкой петлей гистерезиса. Уменьшение
потерь мощности на вихревые токи достигается применением для
магнитопровода металлов с большим удельным электрическим
сопротивлением за счет повышенного содержания кремния, при этом
магнитопровод выполняют из набора тонких электрически
изолированных друг от друга пластин, что способствует уменьшению
индуцированных в каждой пластине вихревых токов, а следовательно,
снижению потерь мощности от них.
Синусоидальное напряжение и = 11т 8т со/, подводимое к катушке
с ферромагнитным магнитопроводом, компенсируется его
составляющими в соответствии с уравнением, записанным по второму
закону Кирхгофа в комплексной форме:
Ц=К1+]Х11 + Е=К1^Х11 + К01+]Х01,
где Е— ЭДС, обусловленная основным магнитным потоком; /—ток
катушки; К — активное сопротивление проводов катушки; Хь = (йЬ —
индуктивное сопротивление катушки (со = 2л/) (где /— частота
питающего напряжения), обусловленное потоком рассеяния; Л0 = РП//2 —
активное сопротивление, обусловленное потерями в магнитопрово-
де на перемагничивание; Х0 — индуктивное сопротивление,
обусловленное основным магнитным потоком Ф.
Пренебрегая влиянием относительно небольших падений
напряжений на сопротивлениях К и Хь катушки и потерями на
перемагничивание, имеем {/= Е и соответственно:
#=Д=4,44/и>Фт.
С учетом этого подводимое к катушке напряжение и = е = 11т $т со/
в каждое мгновение полностью компенсируется ЭДС,
обусловленной основным магнитным потоком катушки индуктивности. Из
полученного выражения следует, что амплитудное значение
магнитного потока катушки определяется действующим значением
синусоидального напряжения, подводимого к катушке, его частотой и числом
витков катушки:
Фт=#/4,44/со = ДА.
Так как напряжение и(1) во времени изменяется по
синусоидальному закону и в данном случае и = е= 1/т$т(о1=Ет$тШ, а сле-
221

довательно, ЭДС и напряжение имеют одинаковую начальную фазу,
то комплексы Ц и Е на векторной диаграмме идеальной катушки
без ферромагнитного сердечника совпадают по фазе. ЭДС е = &Ф/&
изменяется по синусоидальному закону во времени, поэтому
магнитный поток, который ее создает, также должен быть
синусоидальной функцией времени.
Так как зависимость В(Н) является нелинейной, нелинейна
и зависимость Ф(7) как величины, пропорциональной В и Я. Это
означает, что при синусоидальном питающем напряжении ы(0, т. е.
при синусоидальной зависимости Ф(0, зависимость между током
катушки индуктивности и магнитным потоком /(Ф) также
должна быть нелинейной. При этом магнитный поток Ф отстает по
фазе от тока / катушки на гистерезисный угол а в результате
явления гистерезиса. Следовательно, при питании
синусоидальным напряжением и(1) ток /(/) в катушке с ферромагнитным
сердечником искажает свою форму и является несинусоидальным
во времени. При наличии несинусоидальных токов для упрощения
расчетов переходят к эквивалентному синусоидальному току /эк,
имеющему одинаковое с несинусоидальным током действующее
значение при одинаковой частоте и развивающему одинаковую с ним
активную мощность при "одинаковом значении коэффициента
мощности:
1 = 1 ^1/2А = /эк = ^экА/г, созф = р/т = со8Фэк = -1-.
VТ о и1ж
Полное сопротивление катушки индуктивности с магнитопрово-
дом при расчетах находят по закону Ома:
Эквивалентное активное сопротивление Кэк катушки
определяют по значению активной мощности Р, потребляемой
катушкой из питающей сети, и ее току или потерям мощности на
перемагничивание Рп и активному сопротивлению Л проводов
катушки:
КЭК=Р/Р = РП/Р + К.
Эквивалентное индуктивное сопротивление катушки:
При этом индуктивность катушки
1 = ^/00 = ^/2*/.
Принимая во внимание, что 2?=ц#, а Ф = 2?5С выражение для
магнитного потока катушки индуктивности в общем виде может
быть записано в виде закона Ома для магнитной цепи:
222

ф=_ * =±г
где Лм — магнитное сопротивление магнитной цепи; |ак — магнитная
проницаемость, соответствующая напряженности магнитного
поля Як участка магнитопровода длиной /к; ^ — сечение магнитопро-
вода в воздушном зазоре 8; 5^ — сечение магнитопровода.
Магнитная проницаемость материала магнитопровода
несоизмеримо больше магнитной проницаемости воздушного зазора (|1»|1о),
поэтому составляющая 8/ц01У0 является наибольшей величиной,
определяющей магнитное сопротивление магнитной цепи. Вследствие
этого при появлении в магнитной цепи воздушного зазора
значительно увеличивается ее магнитное сопротивление, что в
соответствии с приведенным ранее выражением должно привести к
уменьшению магнитного потока. Однако этого не происходит, так как
при неизменном по значению питающем напряжении 11= Е-
= 4,44/м>Фт = соп81: магнитный поток должен оставаться
неизменным, что обеспечивается возрастанием магнитодвижущей силы Р,
а следовательно, возрастанием тока / катушки индуктивности до
значения, при котором сохраняется постоянство отношения Р/Км
в выражении для магнитного потока Ф.
Катушки индуктивности с магнитопроводом, имеющим
регулируемый воздушный зазор (дроссели), используются в качестве
регулируемых сопротивлений в цепях переменного тока, так как с
увеличением воздушного зазора при неизменном действующем на
зажимах катушки напряжении магнитное сопротивление
магнитопровода и ток дроссели возрастают за счет уменьшения полного
сопротивления катушки вследствие уменьшения ее реактивного
сопротивления, обусловленного индуктивностью. При этом путем
изменения величины воздушного зазора в магнитопроводе можно
регулировать значение тока катушки индуктивности (дросселя) при
включении ее в цепь переменного тока при неизменном значении
подводимого напряжения.
Литература. [1] § 6.1-6.16; [2] § 6.1-6.6, 7.1-7.7; [3] § 8.1-8.7, 9.1-9.6.
Примеры решения задач
9.1. В однородном магнитном поле (рис. 9.1) с индукцией
В= 10 000 Гс= 1 Тл расположен прямолинейный проводник длиной
/=0,5 м с током 7=30 А, в одном случае под углом а, = тс/6 к
направлению поля, а в другом —под углом а2 = к/2 к направлению
магнитного поля. Определить силу Р, действующую на проводник.
Решение. Сила, действующая на проводник, расположенный
под углом а,=7с/6: Р} = 5//81па, = 1-30 0,5 -0,5 = 7,5 Н.
Сила, действующая на проводник, расположенный
перпендикулярно направлению поля, о^ = к/2: Р2 = ВII 8т а2 = 1 • 30 • 0,5 • 1 = 15 Н.
223

Рис. 9.1
9.2. В однородном магнитном поле под действием
электромагнитной силы 1^= 50 Н перемещается перпендикулярно магнитным
силовым линиям на расстояние а = 0,5 м (рис. 9.2) проводник
длиной /=0,5м с током 7=100 А. Определить совершаемую при этом
механическую работу.
Решение. Индукция магнитного поля связана с силой,
действующей на проводник, уравнением: Г=ВПвта, откуда
В = —— = — = 1 Тл = 104 Гс; (1 Гс = 10"4 Тл).
7/йп§ 100.0,5-1
Площадь, охватываемая проводником при перемещении: 8=а1=
= 0,5 0,5 = 0,25 м2. Магнитный поток, пересекаемый проводником:
Ф = В5= 1 - 0,25 = 0,25 Вб или Ф = 104 ■ 2,5 -103 = 0,25 • 108 Мкс = 0,25 Вб
(так как 1 Вб = 108 Мкс).
Работа, совершаемая при перемещении проводника с током
Л = Ф/=0,25-100 = 25Дж или А = Га = 50 0,5 = 25 Дж.
9.3. По проводникам двухпроводной воздушной линии,
расположенным на расстоянии а =30 см друг от друга (рис. 9.3),
протекают равные, но противоположно направленные токи /1 = /2= 100 А.
Определить индукцию магнитного поля В, направления действия
сил Р2\ и Рп равных участков проводников длиной /=5м.
Решение. Индукция магнитного поля, создаваемая током
первого проводника в точке, расположенной по оси второго
проводника (ос = я/2):
На/, _*>Ц/1 _4*10-9100 =6)66.10->Вб/сМ2,
Вх =
2ка 2па 2я • 30
где ^ — абсолютная магнитная проницаемость; щ — магнитная
постоянная, равная в системе единиц СИ: щ = 4я -10~7Гн/м = 1,256 х
х Ю-6 Гн/м = 4я • Ю-9 Гн/см (1 Гн = 1 Ом • с — единица индуктивности);
\1 — относительная магнитная проницаемость воздуха (|1=1),
следовательно, \1Л = ЦоЦ = Но = 4я • 10~7 Гн/м.
224

Рис. 9.3
Рис. 9.4
Сила, действующая на второй проводник с током 12 в результате
взаимодействия с полем первого проводника: Рп = В]121= 6,66 -10~9х
х 100 - 500 = 33,3 - Ю-5 Дж/см = 33,3 • 10"5 -10,2 = 333 • 105 кг.
Аналогичное значение получится и для силы Р2и действующей
на первый проводник с током в поле второго проводника.
Направление сил, действующих на проводник с током, определяется по
правилу левой руки (рис. 9.3).
9.4. На кольцо из литой стали с прямоугольным сечением
(рис. 9.4) равномерно нанесена обмотка с числом витков м>=300.
Внутренний диаметр кольца г/=20см, наружный диаметр /)=24см,
толщина кольца 6 = 6 см, ширина кольца я = (/)-*/)/2 = 2см.
Определить ток /, при котором магнитный поток в сердечнике Ф = 1,0 • 10"3 Вб,
для случаев, когда кольцо замкнуто и имеет разрез шириной 8 = 5 мм,
а также ток /' катушки при наличии сердечника из немагнитного
материала.
Решение. Сечение сердечника магнитопровода
*с = Ь(±^1 = 6^^ = П см2 = 12-10- м2.
2 2
Магнитная индукция в замкнутом сердечнике: Д. = Ф/|Ус=1,0х
х 10"3/12 • 10^ = 0,835 Тл. Напряженность магнитного поля в
замкнутом сердечнике определяется кривой намагничивания В(Н): при
Вс = 0,855 Тл, #с = 5А/см = 500А/м.
Длина средней силовой линии (средняя длина магнитопровода):
I = пп = я <^> = 3,14^-^ = 3,14 • 22 = 69,2 см.
Магнитодвижущая сила замкнутого сердечника: ^ = #с/ср = 5-69,2 =
= 346 А.
15-4359
225

Ток в обмотке находят из уравнения, составленного по закону
полного тока: Яс/ср = м>/, откуда /= #с/ср/м, = 346/300 = 1,15 А.
Если кольцо имеет разрез, магнитную цепь можно
рассматривать состоящей из двух последовательно соединенных участков
(стальной магнитопровод и воздушный зазор). Пренебрегая потоком
рассеяния, можно принять, что магнитная индукция в воздушном зазоре
и стальном магнитопроводе одинакова: В0- 2?с = 0,835Тл.
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре:
Н0 = В0/\10 = °'835 , = ^-. 105 = 6,68 = 105 А/м = 6680 А/см,
4л • 10"7 4л
где магнитная постоянная Цо = 4л • 10"7 Гн/м = 1,256 • Ю-6 Гн/м = 4л х
х 10"* Гн/см (Гн/м = Ом • с/м = В• с/А• м = Вб/А• м).
Напряженность магнитного поля в стальном сердечнике
(определяем по кривой намагничивания для литой стали): для Вс =
= 0,835 Тл, #с = 500 А/м = 5 А/см.
Магнитодвижущая сила при наличии в сердечнике воздушного
зазора:
р2 = к12 = #с/с'р + 8#0 = 500 - 0,687 + 0,5 • 10"3 - 6,68 ■ 105 = 677,5 А,
где /^ = /ср- 8 = 69,2 -0,5 = 68,7 см = 0,687 м — средняя длина магни-
топровода без воздушного зазора.
Ток в катушке при наличии воздушного зазора: /' = /г/м>= 667,5/300 =
= 2,25 А.
Изменение тока в обмотке вследствие наличия воздушного
зазора: Д/=/'- 7=2,25 -1,15 =1,1 А.
Магнитная индукция в сердечнике из немагнитного материала:
ЯС = Д=0,835Т.
Напряженность магнитного поля при наличии сердечника из
немагнитного материала:
Н0 = Д/Мо = 0,835/4тс • 10"7 = 6,68 • 105 А/м = 6680 А/см.
Ток в катушке определяют из уравнения, составленного по
закону полного тока: Я0/ср = Лу, откуда
= Я0/ср = 6,68 -105 ■ 69,2 • Ю-2 = 1535
» 300
9.5. Кольцевой сердечник из литой стали (рис. 9.5) с
равномерно распределенной катушкой имеет размеры: внутренний диаметр
*/=20см, наружный диаметр /) = 24см и воздушный зазор 8 = 2 мм.
Определить магнитодвижущую силу Р, необходимую для создания
в воздушном зазоре магнитной индукции 5=1 Вб/м2.
Решение. Напряженность магнитного поля в сердечнике маг-
нитопровода определяется по кривой намагничивания В(Н) для
литой стали. Пренебрегая потоками рассеяния, принимаем, что
магнитная индукция в воздушном зазоре и в стали одинакова:
Во = Д. = 1 Вб/м2 = 1 Тл, чему соответствует Яс = 700 А/м.
226

Средняя длина магнитной силовой линии
кольцевого магнитопровода:
/ -„И -»<1?+''>-ЧН (24+20),
/ср = лДср = = 3,14 - =
= 3,14-22 = 69,2 см.
Напряженность магнитного поля в
воздушном зазоре:
#о = Д>/И. = В0/\10 = —1— = 0,8.106 А/м
4я • 10"'
(так как абсолютная магнитная проницаемость
р.а = МоЦ., а для воздуха р,= 1, то ца = Цо)-
Определяем магнитодвижущую силу катушки исходя из закона
полного тока:
к1= #с/с'р + #08 = 700 - 0,69 + 0,8 -106 • 2 • 103 = 483 + 1600 = 2083 А,
где /сР = /ср - 8 = 69,2 - 0,2 = 68 см — средняя длина магнитопровода без
воздушного зазора.
1 г*

Глава 10
ТРАНСФОРМАТОРЫ
§ 10.1. Основные сведения о трансформаторах
Трансформатор представляет собой статический
электромагнитный аппарат, предназначенный для преобразования переменного
тока одного напряжения в переменный ток другого по величине
напряжения при той же частоте.
Трансформатор состоит из стального сердечника, собранного из
тонких листов электротехнической стали, изолированных друг от
друга с целью снижения потерь мощности на гистерезис Рг и
вихревые токи Рвх. На сердечнике трансформатора расположены
первичная и одна или несколько вторичных обмоток. К первичной
подводится питающее напряжение {/„ а со вторичной снимается
напряжение 1/2, которое подводится к потребителю электрической
энергии.
Переменный ток, протекая по виткам первичной обмотки
трансформатора, возбуждает в сердечнике магнитопровода переменный
магнитный поток Ф. Изменяясь во времени по синусоидальному
закону Ф = Фт 81П Ш, этот поток пронизывает витки как первичной,
так и вторичной обмоток. При этом в соответствии с законом
электромагнитной индукции в обмотках наводятся ЭДС, выражения
мгновенных значений которых для первичной и вторичной обмоток
имеют вид:
<ю> г* . ( л Л 4Ф с • ( , л
*1 = ^1 — = ЕмХ 8Ш Ш + - ; е2 = щ —- = Ет2 $т сМ + - ,
а/ К 2) а/ У 2)
где щ, м?2 — числа витков первичной и вторичной обмоток
трансформатора; ЕтХ и Ет2 — амплитудные значения ЭДС соответственно
в первичной и вторичной обмотках.
Из полученных уравнений следует, что ЭДС Еи так же, как и
ЭДС Е2 трансформатора, опережает магнитный поток Ф на угол к/2.
Ток первичной обмотки /, трансформатора при отключенном
потребителе является током 10 холостого хода. Пренебрегая
влиянием насыщения, несинусоидальный намагничивающий ток может
быть заменен эквивалентным синусоидальным током: ^ = 10т §ш (со/+ а).
Входящий в уравнение угол магнитных потерь а (угол сдвига по
фазе между током /0 и магнитным потоком Ф трансформатора)
обусловлен потерями мощности в магнитопроводе трансформатора.
228

При синусоидальном изменении магнитного потока, при
отсутствии насыщения магнитной системы, действующие значения ЭДС,
индуцированные в первичной и вторичной обмотках
трансформатора, определяют в соответствии с выражениями:
Я,=4,44*,/Фш; Е2 = 4Мп2/Фт,
где /— частота переменного тока; Фт — амплитудное значение
магнитного потока трансформатора.
Отношение ЭДС Е} первичной обмотки трансформатора к ЭДС 2^
вторичной его обмотки, равное отношению соответствующих чисел
витков обмоток, является коэффициентом трансформации
трансформатора: Е}/Е2 = М\/щ = п- Если Ех < Еъ то трансформатор —
повышающий, при Ех > Е2 — понижающий. Коэффициент
трансформации п, магнитный поток Фот, а также потери мощности Рм в
сердечнике магнитопровода трансформатора при номинальной
нагрузке определяются из опыта холостого хода трансформатора.
При опыте холостого хода к первичной обмотке трансформатора
подводится напряжение, равное его номинальному значению #1ном.
Вторичная обмотка трансформатора при этом разомкнута, так как
в ее цепи отсутствует нагрузка. В результате этого ток во вторичной
обмотке оказывается равным нулю, в то время как в цепи
первичной обмотки трансформатора протекает ток холостого хода /0,
значение которого обычно невелико и составляет 4—10% от
номинального значения тока в первичной обмотке /1ном.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первичной и
вторичной цепей трансформатора в режиме холостого хода можно
получить уравнение электрического равновесия, записанное в
комплексной форме: Е^ = Ц\-2\1о, ^=#2-
Пренебрегая падением напряжения на первичной обмотке
трансформатора 102и равного произведению тока холостого хода на
полное сопротивление первичной обмотки, ввиду его весьма
небольшого значения по сравнению с Еъ коэффициент трансформации
трансформатора приближенно можно определить как отношение
первичного напряжения 1/х ко вторичному 1/2: п = Е1/Е2-11}/Ц2.
Полученные выражения дают возможность вычислить
магнитный поток Фда и магнитную индукцию В„9 если известно сечение
сердечника магнитопровода 5,., так как Вт = Фт/Зс.
Активная мощность, потребляемая трансформатором в режиме
холостого хода Р0, затрачивается на потери мощности в магнито-
проводе и электрические потери мощности в первичной обмотке:
Поскольку активное сопротивление первичной обмотки Л,, так же,
как и ток холостого хода /0 трансформатора, обычно незначительно,
электрические потери мощности в этой обмотке РЭ = ЦЯ]
оказываются весьма небольшими и ими можно пренебречь, при этом Р0 = Ри.
При нагрузке трансформатора к его вторичной обмотке
подключается потребитель электрической энергии. Ток /2 во вторичной
229

обмотке наруженного трансформатора согласно закону Ома
определяется из выражения: 1/2 = 2н12, 12=1/2/2Н9 где 2Н — полное
сопротивление потребителя (нагрузки).
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первичной
и вторичной обмоток нагруженного трансформатора можно
составить уравнения электрического равновесия
й = (Л|+УЛГ1)/| + & Е2 = (К2+]Х2)12+и2,
где /, — ток первичной обмотки нагруженного трансформатора;
К2 и Х2 — активное сопротивление и обусловленное магнитными
потоками рассеяния индуктивное сопротивление вторичной обмотки
трансформатора.
Так как падение напряжения на первичной обмотке 2Х1Х =
= (К} +/Х!)/, в пределах до номинального тока нагрузки /1ном обычно
мало по сравнению с ЭДС Еи им можно пренебречь и
приближенно считать, что У, -Ех =4,44и>,/Фт.
Из этого следует, что при постоянном напряжении питающей
сети \]х = соп81 при нагрузке трансформатора можно считать также
и ЭДС Ех = сопз1. Так как ЭДС в обмотках наводится
результирующим магнитным потоком, то этот поток должен также оставаться
практически постоянным в пределах от холостого хода до
номинальной нагрузки трансформатора (Ф^^сопз!).
Исследование работы трансформатора при нагрузке
производится на основе векторных диаграмм, построенных для приведенного
трансформатора, у которого параметры вторичной обмотки
приведены к напряжению 1/} и числу витков щ первичной обмотки. В
соответствии с этим приведенный трансформатор имеет коэффициент
трансформации п' = Е}/Е2= 1. При замене реального трансформатора
приведенным активные, реактивные и полные мощности, а также
коэффициент мощности вторичной обмотки трансформатора
принимаются неизменными.
Значения приведенных значений ЭДС Е'ъ вторичного
напряжения \]'ъ вторичного тока Гъ реактивного К'ъ индуктивного Х2
и полного 22 сопротивлений вторичной обмотки и полного
сопротивления нагрузки 2'н определяют по действующим их значениям
и коэффициенту трансформации в соответствии с выражениями:
Е^=пЕ2; \]'2=п\]2\ /2'=-/2; К^ = п2К2;
п
Х'2 = п2К2; 2$ = п222\ 2'ц = п22н.
При этом ЭДС Е} = Е2 можно заменить суммой активного и
реактивного индуктивного комплексных падений напряжения в
соответствии с уравнением:
где Хо — индуктивное сопротивление, обусловленное основным
потоком трансформатора; Л0 —активное сопротивление, обусловленное
230

потерями мощности в магнитопроводе трансформатора, т. е.
некоторое условное активное сопротивление, в котором выделяется
мощность Я0Ц=РЫ, равная потерям мощности в магнитопроводе.
С учетом выражений для С/, и Ц\ получим уравнение для
комплексных токов, составленное по первому закону Кирхгофа: 1\ = 10 + Г2,
принимая во внимание которое, может быть составлена полная
(Т-образная) схема замещения трансформатора.
При опыте короткого замыкания трансформатора к первичной
его обмотке подводится такое напряжение 11]к, при котором в
обмотках возникают токи, равные соответствующим номинальным их
значениям /1ном и /2ном, а напряжение на вторичной обмотке
трансформатора Ё^ = 0.
При этом к первичной обмотке трансформатора подводится
напряжение 17,, сниженное (в зависимости от типа и мощности
трансформатора) в 10—20 раз по сравнению с соответствующим
номинальным значением напряжения {/,ном. Так,как напряжение
короткого замыкания, подводимое к первичной обмотке, мало
и равно 1/1к- Е]к = 4,44^]/Фт, то магнитный поток
трансформатора Фт, а следовательно, и магнитная индукция Вт трансформатора
при этом также малы. Вследствие этого потери в
магнитопроводе Ры, пропорциональные квадрату магнитной индукции В2т, при
опыте короткого замыкания ничтожно малы и ими можно
пренебречь (Рм = 0).
Таким образом, при опыте короткого замыкания вся
мощность Рк, потребляемая трансформатором, идет на нагрев его
обмоток, т. е. равна электрическим потерям Рэ в проводах обмоток, так
как Рк = Рэ + Рм = ЛномЛ, + ДНШК2 = (К, + ЛОЛном = ^номДк. ПРИ эт™ рм = 0,
а мощность РК=РН0М, т. е. равна потерям в обмотках трансформатора
при номинальной нагрузке.
При опыте короткого замыкания (2'н = 0) определяют параметры
упрощенной схемы замещения трансформатора при коротком
замыкании
Ас = У\%/1\тн> Дс = -*Ч + °2 = -«кАмном» ХК = Х]+Х2= л/Ас ~ Дс >
где Лк, ХК9 2К — активное, реактивное индуктивное и полное
сопротивления короткого замыкания трансформатора.
К нагрузочным характеристикам трансформатора относятся
зависимости его вторичного напряжения \]ъ коэффициента
мощности соз ф! и КПД т] от тока нагрузки /2 потребителя электроэнергии
при соз фг = СОП81.
Зависимость /72(/2) напряжения на зажимах вторичной обмотки
от тока нагрузки является внешней характеристикой
трансформатора. Уравнение внешней характеристики трансформатора может быть
записано по второму закону Кирхгофа для вторичной его цепи:
& = &-&/2 = &-<Д2+7ЛГ2)/а.
Из полученного выражения следует, что при изменении тока
нагрузки трансформатора изменяется и напряжение на зажимах
231

вторичной обмотки вследствие увеличения падения напряжения на
этой обмотке, т. е. из-за увеличения произведения 221ъ а также за
счет уменьшения ЭДС Е2, имеющего место в реальных условиях
вследствие некоторого уменьшения магнитного потока Ф при
увеличении тока нагрузки трансформатора.
Из векторной диаграммы нагруженного трансформатора можно
установить, что падение напряжения на вторичной обмотке тем
больше, чем больше угол сдвига по фазе \|/2 между ЭДС Е2 и током
нагрузки /2. Таким образом, чем больше выражен индуктивный
характер нагрузки, тем значительнее уменьшается напряжение 1/2
на вторичной обмотке трансформатора с ростом тока /2 нагрузки.
Наоборот, при емкостном характере нагрузки с увеличением тока
нагрузки напряжение на зажимах вторичной обмотки
трансформатора возрастает.
В режиме холостого хода трансформатора при отсутствии
нагрузки во вторичной цепи (2„ = °°) трансформатор потребляет активную
мощность, равную мощности холостого хода: Р0= ^1^о = с08Фо- Так
как мощность, ток и напряжение в режиме холостого хода не равны
нулю, то не может быть равным нулю и созф0*0 при /2 = 0.
С увеличением нагрузки зависимость со8ф,(/2) сначала резко
возрастает, достигает максимального значения при некотором
значении тока 1Ъ а затем несколько уменьшается при дальнейшем
увеличении нагрузки, что можно видеть из векторной диаграммы
нагруженного трансформатора, так как с увеличением тока
нагрузки /2 одновременно происходит увеличение и тока первичной
обмотки трансформатора /,. Поскольку коэффициент мощности
потребителя электроэнергии соз фз = сош!, то с увеличением тока /,
происходит его смещение в сторону напряжения 17,, При этом угол ф,
уменьшается, а со8ф, увеличивается до определенного предела,
равного со8 ф1тах, так как дальнейшее увеличение 12 (а
следовательно, Р2 и /,) приводит к значительному возрастанию реактивного
падения напряжения на первичной обмотке /ЯГ,/,.
При дальнейшем увеличении тока нагрузки /2 коэффициент
мощности созф! уменьшается. КПД трансформатора представляет
собой отношение полезной мощности Р2 к мощности Рь
потребляемой им из сети:
л = А = Рг = Р^2н<щ^2номС05ф2
Л Р2 + Ры + Рэ Р#2„ом/2ном СОв ф2 + Р0 + Р2Лс '
где Рм = Р0 — потери в магнитопроводе трансформатора (находят из
опыта холостого хода); Рэ — электрические потери в обмотках
трансформатора (при номинальной нагрузке определяют из опыта
короткого замыкания); р = 12/12иои — отношение текущего значения тока
нагрузки к номинальному его значению; соз ф2 = Р2/^2/2 —
коэффициент мощности потребителя электроэнергии.
При отсутствии нагрузки, когда мощность не потребляется
нагрузкой (Р2 = 0), КПД равен нулю. При малых значениях тока
232

нагрузки электрическими потерями Рэ в обмотках трансформатора
можно пренебречь вследствие небольшого значения тока нагрузки.
Потери мощности в магнитопроводе Рм при этом оказываются
соизмеримыми с полезной мощностью Р2, а значение КПД
трансформатора оказывается небольшим. С увеличением нагрузки КПД
трансформатора возрастает.
Потери Ры в магнитопроводе трансформатора не зависят от
нагрузки, в то время как с увеличением тока /2 нагрузки
электрические потери Рэ в обмотках трансформатора растут пропорционально
квадрату тока. Анализ приведенной выше формулы показывает, что
КПД трансформатора имеет наибольшее значение при равенстве
электрических потерь мощности в обмотках и потерь мощности
в магнитопроводе трансформатора, т. е. при Рм = Рэ.
При дальнейшем возрастании нагрузки трансформатора
потерями в магнитопроводе Ры можно пренебречь вследствие их
относительно небольшого значения по сравнению с достаточно большими
электрическими потерями мощности в проводах обмоток Рэ.
КПД современных трансформаторов весьма высок. Причем с
увеличением номинальной мощности трансформатора КПД растет, для
мощных трансформаторов он достигает значений порядка 98—99%.
Литература. [1] § 8.1-8.13; [2] § 8.1-8.17; [3] § 10.1-10.11.
Примеры решения задач
10.1. Определить коэффициент трансформации п
трансформатора, число витков м>, первичной обмотки при числе витков
вторичной обмотки и>2 = 40, а также номинальные токи /1ном и /2ном в
обмотках однофазного трансформатора с номинальной мощностью
*У1ном = ЗкВ-А, подключенного к питающей сети с напряжением
(71ном = 127 В, напряжение на зажимах вторичной обмотки при
холостом ходе ^0 = 60 В.
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора: п =
= ^1/^2 = ^1/^2=^1/^20=127/60 = 2,11, так как 1/^ = Еъ при холостом
ходе трансформатора падение напряжения на первичной обмотке
весьма незначительно, поэтому приближенно \]Х-ЕХ. Число витков
первичной обмотки:
^ = /1^2 = 2,11-40 = 84,4.
Номинальный ток первичной обмотки (считая полные
мощности обмоток 5, - 32):
Л ном = *$1номЛчном = ~ = 23,6 А.
Номинальный ток вторичной обмотки трансформатора
(принимая #2ном=#а>):
Лном = $ном/#20 = 3000/60 = 50 А.
233

10.2. Определить коэффициент трансформации и действующие
значения ЭДС Ех и Е2 обмоток однофазного трансформатора при
частоте /= 100 Гц, если площадь поперечного сечения магнитопро-
вода 5С = 4 см2. Амплитудное значение магнитной индукции Вт = 1 Тл,
число витков первичной и вторичной обмоток трансформатора:
IV, = 250 и и>2=1250.
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора:
п = щ/щ = Е}/Е2 = 250/1250 = 0,2.
Амплитудное значение магнитного потока в сердечнике
трансформатора: Фт = ДА=1.4-10-4 = 4-10-4Вб (Вт= 1Тл= 1 Вб/м2); й =
= 4см2 = 4-10"4м2.
Действующие значения ЭДС, наводимых в обмотках
трансформатора:
Е^Щ/щФ^Л-1,11-100-250-4-10^ = 44,4 В;
^2 = 4А^/н'2Фт = 4-1,11.100-1250-4-10^ = 222 В,
где Кф — коэффициент формы кривой напряжения (для
синусоидального напряжения А^=1,11).
10.3. Определить коэффициент трансформации п трехфазного
трансформатора и номинальные действующие значения первичного
и вторичного фазных Ц,фном, С^фном и линейных #,лном, 1/^^
напряжений, при соединении обмоток соответственно по схемам
«звезда — звезда» и «звезда — треугольник»; первичная обмотка имеет число
витков на фазу щ = 2002, вторичная щ = 134. Номинальное линейное
напряжение первичной обмотки {/1лном = 6000В.
Решение. Коэффициент трансформации фазных напряжений
трансформатора п = и>,/и>2 = 2002/134= 15. Номинальное первичное
фазное напряжение трансформатора:
Цфном = ЦлномА/3 = 6000/1,73 = 3470 В.
Номинальные вторичные напряжения трансформатора при
соединении обмоток по схеме «звезда — звезда»:
линейное Ц, ном = #1л иом/п = 6000/15 = 400 В;
фазное (72фном = 1^/Л = 400/1,73 = 230 В.
Коэффициенты трансформации трансформатора при
соединении обмоток по схеме «звезда — звезда»:
линейных пкЛ = Цлном/С^ = 6000/400 = 15 В;
фазных ллф = ^фноы/Чфном = 3470/230 = 15.
Коэффициенты трансформации трансформатора при
соединении обмоток по схеме «звезда — треугольник»:
фазных Лдф=г/,ф„ом/#2фном = 3470/230 = 15;
линейных Лд, = ЦАя „ом/^ ном = 600/230 = 26, так как при этом 11ъном =
— ^2фном*
234

10.4. Трехфазный трансформатор типа
ТМ-50/6 имеет номинальную мощность
^1ном = 50 кВ • А, номинальные напряжения
1У1ном = 6000В и 1^Н0М = 525В, частоту
питающего напряжения /= 50 Гц. Определить
КПД т] трансформатора при
коэффициентах загрузки р= 1; 0,75 и 0,5 от
номинальной (со8ф2 = 1,0), а также
коэффициент нагрузки ртах, при котором КПД
имеет максимальное значение цтях, если
потери холостого хода при номинальном
напряжении Р0 = 350 Вт, а потери
короткого замыкания Рк = 1325 Вт. Построить
зависимость изменения КПД от полезной
мощности Р2.
Решение. КПД трансформатора при номинальной нагрузке:
ВнОМ=1:
0
0,2 0,4 0,6
Рис. 10.4
Л,
Р^1ном С08 ф2
1-50-1
50
№.
Цо,75 -
со8<р2 + Р0 + р2Д 1 • 50 • 1 + 0,35 + I2
или т!ном = 96,7%;
при р = 0,75:
Р^1номС08ф2 0,75-50.1
1,325 51,675
0,967
Р^1н
сек ф2 + Р0 + р2/>к 0,75 - 50 .1 + 0,35 + 0,752 -1,325
или т|о,75 = 97,4%;
при р = 0,5:
Р^1номС08ф2 0,5-50-1
37,5
38,59
= 0,974
Л0,5 =
25
Р^1ном С08 ф2 + Р0 + Р2Лс 0,5 - 50 • 1 + 0,35 + 0,52 • 1,325 25,68
или т|05 = 97,3%.
= 0,973
Нагрузка трансформатора, соответствующая максимальному
значению КПД 'Птах трансформатора
Ртах \РК \1325 ^
Зависимость л(Л*) приведена на рис. 10.4. Здесь Р], —
относительная полезная мощность, равная отношению текущего значения
полезной мощности к полезной номинальной: Рг^Рг/Рг™*- Так как
со8ф2=1, то активная мощность равна полной номинальной
мощности трансформатора: Р2ном = Фном С08 Фг = ^ном-
10.5. Трехфазный трансформатор с номинальной мощностью
^1ном = 50кВ-А работает в течение времени Г= 800 ч/год с полной
нагрузкой (Р = 1). Потери мощности холостого хода Р0 трансформатора
235

составляют 0,7%, а потери короткого замыкания при номинальной
нагрузке Рк составляют 2,65% от полной мощности *У1ном. Определить
КПД Т1Н0М при номинальной нагрузке, а также среднегодовой КПД Лг.
Решение. Потери мощности холостого хода:
Р0 = 0,7%4У1ном/100% = 0,7 ■ 50 = 0,35 кВт.
Потери короткого замыкания:
Рк = 2,65%51ном/100% = 0,0265 - 50 = 1,325 кВт.
Суммарные потери мощности при номинальной нагрузке:
^„ом = Д + Л = °>35 + 1 >325 = 1 >675 кВт
или Т.РИ0М % = 3,35% от 51ном = 50 кВ • А.
Полезная мощность, отдаваемая трансформатором потребителю
электроэнергии при номинальной нагрузке (р = 1), принимая 8Ъюи = 51ном:
Лном = ^ном соз ф2 = 50 • 1 = 50 кВт.
Коэффициент полезного действия трансформатора при
номинальной нагрузке (Р=1):
Лном= ——- = —— = 0,96 или Лном = 96%.
Р2ном+Е/>ном 50+1,675
Энергия, отданная трансформатором за год потребителю
электроэнергии:
Щ = ^>2ном7т= 50 • 800 = 40 000 кВт • ч.
Энергия, потребляемая трансформатором при холостом ходе:
Ж0 = Р0Т, =0,35 -365 -1 = 0,35 -365 = 126 кВтч,
где Г, = 365 • 1 = 365 ч — число часов работы в год трансформатора
в режиме холостого хода (1 час в день).
Энергия, теряемая в проводах обмоток трансформатора при
номинальной нагрузке: 1УК = РКТ= 1,325-800 = 1060 кВт-ч.
Энергия, потребляемая трансформатором из сети в год: Щ=Щ +
+ ^+^ = 40 000+ 126+ 1060 = 41186 кВ-ч.
Среднегодовой КПД трансформатора:
Лг = 2!1100% = ±^100% = 97%.
1 Щ 41186
10.6. Определить параметры упрощенной (Г-образной) схемы
замещения (рис. 10.6) трансформатора с номинальной мощностью
»У1ном = 50кВ-А. Обмотки трансформатора соединены по схеме
«звезда»; номинальные линейные напряжения первичной и вторичной
обмоток: (/1ном = 6000 В, 1/2ном = 525В, частота питающего
напряжения/,ом = 50 Гц, ток холостого хода 10 = 7%1\ИОы9 мощность холостого
хода Р0 = 0>350кВт, напряжение короткого замыкания #к = 5,5%,
236

мощность короткого замыкания Рк =
= 0,325 кВт.
Решение. Номинальные фазные
(линейные) токи трансформатора
(считая О1ном - О2ном):
/1ном=.7^^ = ^^^1_ = 4,82А;
■>/з^1ном 1,73-6000
т = ^ном = ^0'Ю3 ^ 55 Л Рис. 10.6
л/3#2ном 1,73-525
Номинальные фазные напряжения трансформатора:
Цфном = ^иом/л/З = 6000/1,73 = 3460 В;
^фном = ^2номЛ/3 = 525/1,73 = 303 В.
Ток холостого хода трансформатора: 10 = 7%/100%/1ном = 0,07 • 4,82 =
= 0,338 А.
Активное сопротивление намагничивающей цепи Г-образной
схемы замещения:
д0 = 4 = -^- = 1040Ом.
/02 0,3382
Сопротивления намагничивающей цепи:
полное 20 = ^фномДо = 3460/0,338 = 10 250 Ом;
индуктивное ^ = 4 21 - Щ = ^Ю 2502 -10402 = 9800 Ом.
Сопротивления короткого замыкания трансформатора:
полное 2К = ^* ^ = 0,055^21 = 39,6 Ом;
активное К
реактивное
100% «$1ном
к = Кх + К2 =
Хк=Хх+Х:
-Чном
50000
325
4,822 "
= 4 Ом;
= т/39,62 -
-42
39,5 Ом.
10.7. Трехфазный понижающий трансформатор с номинальной
мощностью 51ном = 20кВ-А и номинальными линейными
напряжениями: 1/^ои = 6000 В, 1/2ноы = 400 В при частоте /= 50 Гц имеет потери
мощности холостого хода Р0=180Вт, потери мощности короткого
замыкания Рк = 600 Вт и напряжение короткого замыкания 11к = 5,5%.
Соединение обмоток трансформатора выполнено по схеме «звезда».
Определить коэффициент трансформации п трансформатора,
токи /1ном и 12нои в обмотках, фазные напряжения /1фном и #2фном,
сопротивления короткого замыкания: Лк, Хк, 2К, сопротивления
обмоток: Ли Къ Хи Х2, а также КПД т^ при со8ф2 = 0,8 и нагрузке,
равной 75% от номинальной ф = 0,75).
Решение. Коэффициент трансформации трансформатора при
заданной схеме соединения обмоток л = 1/1ном/1/2ном = 6000/400= 15.
237

Номинальные ТОКИ ПрИ а^ном — *$2ном "~ ^ном*
первичной обмотки: /1ном = г1ном = —'■ = 1,93 А;
■уЗ II 1Ном 1,73 • 6000
« г- г *?1ном 20-1000 ЛЛ А
вторичной обмотки: /2н0м = -р = = 29 А.
^3 ^2ном 1,73 • 400
Номинальные фазные напряжения трансформатора:
^фном = ^р = 6000/1,73 = 3470 В;
^фиом = ^2иом/>/3 = 400/1,73 = 230 В.
Активные сопротивления
короткого замыкания: Лк = К{ + К'г = -^- = —- = 30,9 Ом;
*1ном 1°»3
К 30 9
первичной обмотки Л, = К2 = —- = —— = 15,45 Ом;
вторичной обмотки К2 = К2/п2 = 15,45/152 = 0,069 Ом.
Коэффициент полезного действия трансформатора при соз щ = 0,8
и 0 = 0,75;
р>У1номсо8ф2 0,75-20-0,8 _ п 0-
Ло75 = :;— = :; - и»"->.
Р^1ном соз ф2 + Г0 + Р2РК 0,75 • 20 . 0,8 + 0,18 + 0,752 • 0,6
Сопротивления короткого замыкания:
гг ^к%^1фном 5,5-3470 ЛЛЛЛ
полное 2К = ——^^- = = 99 Ом;
/1ном -100% 1,93 -100 '
индуктивное Хх = Х{ + Х{ = *\2\ -1% = ^/992 - 30,92 - 98,8 Ом.
Индуктивные сопротивления:
первичной обмотки Х{ = Х2 = Хк/2 = 98,8/2 = 49,4 Ом;
вторичной обмотки ЛГ2 = ^/л2 = 49,4/152 = 0,22Ом.
10.8. Определить коэффициент трансформации я, амплитудные
значения магнитного потока Фж и магнитной индукции Вт,
напряженность магнитного поля Ятах, потери мощности в магнитопрово-
де Рм, угол магнитных потерь 8, ток холостого хода /0,
коэффициент мощности со8ф0 холостого хода трансформатора. Номинальные
напряжения трансформатора: <71ном = 220 В, Ц2ном = 127 В, частота
/х = 50 Гц, число витков первичной обмотки IV! = 100, длина витка
провода обмотки /вит = 40 см, сечение провода 5^ = 1 мм. Магнито-
провод трансформатора выполнен из пластин электротехнической
стали марки Э42, толщиной 0,35 мм2, с удельным весом у = 7,8 г/см3,
сечение магнитопровода *УС = 100 см2, средняя длина магнитной
силовой линии /ср=100см, индуктивное сопротивление первичной
обмотки трансформатора принять равным ХХ = 5К19 значение ЭДС
первичной обмотки ^ = 0,97^/1ном. Построить векторную диаграмму
токов и напряжений трансформатора при холостом ходе.
Решение. Коэффициент трансформации: п = {/^м/^ном = 220/127 =
= 1,73.
238

Амплитудное значение магнитного потока:
ф . 0,97^ = 0,97 ■ 220 ■ 10» = . ^ = . ^
4,44^/! 4,44-100-50
Амплитудное значение магнитной индукции в магнитопроводе:
п Фт 9,6-Ю"3 пси:-г п 9,6 -105 п/:лл _
Вт = —^ = — = 0,96 Тл или Вт = - = 9600 Гс.
5С 100-Ю-4 100
Напряженность магнитного поля в сердечнике
трансформатора определяют по кривой намагничивания В(Н). При индукции
В = 9600 Гс = 0,96 Тл напряженность поля для заданной марки стали
#тах = 1,8 А/см.
Значение амплитудной магнитодвижущей силы магнитопровода
с соответствии с законом полного тока для магнитной цепи:
Рт - 1*тЩ = #т4р = 1>8 • 100 = 180 А. Значение намагничивающего тока:
4 = ^/^ = 180/100 Л = 1,27 А. Магнитные потери мощности в
магнитопроводе:
ч1,3
,р(Ь.)'(Г\'с.-19т
где Рму — удельные потери мощности в стали магнитопровода: при
Ят = 0,96Тл и/; = 50Гц, Рму = 0,7Вт/кг; С=8с1ср, у= 100-100-7,8-10"3 =
= 78 кг — масса магнитопровода.
Активная составляющая тока в первичной обмотке,
обусловленная потерями в стали магнитопровода: /1а = Ри/11\нои = 50,2/220 = 0,228 А.
Ток холостого хода в первичной обмотке трансформатора: /0 =
= ^а + Ц = V0»2282 + Ь272 = 1,29 А. Угол магнитных потерь (угол
сдвига тока /ц относительно магнитного потока Фт): 1б8 = /1а//ц =
= 0,228/1,27 = 0,179, откуда 5 = 0°10'.
Омическое сопротивление первичной обмотки, трансформатора:
ц в рк!1, 0,0175 401°-2-100 = 0,7 Ом,
•Упр 1
где р — удельное сопротивление проводов обмотки постоянному току
(для меди р = 0,0175 Ом-мм2/м).
Активное сопротивление проводов первичной обмотки
трансформатора: К[ = К& = 0,7 • 1 = 0,7 Ом, где Кх = 1 — коэффициент,
учитывающий увеличение активного сопротивления проводов
вследствие влияния поверхностного эффекта (в данном случае при
частоте / = 50 Гц, ^=1).
Электрические потери мощности в проводах первичной обмотки
трансформатора: Рэ1 = ЦКХ = 1,292 • 0,7 = 1,17 Вт.
Коэффициент мощности холостого хода трансформатора:
п™,« ^о ри + *>! 50,2 + 1,17
СОЗфп = = = = 0,1о2,
^1ном/0 ^1ноы/0 220-1,29
откуда <р0 = 79°30'.
239

Индуктивное сопротивление первичной
обмотки трансформатора, обусловленное
потоками рассеяния: ЛГ, = 5Л, = 5-0,7 = 3,5Ом.
Падение напряжения на активном
сопротивлении первичной обмотки трансформатора:
<У1а = /?,/„ = 0,7 1,29 = 0,9 В.
Падение напряжения на реактивном
индуктивном сопротивлении первичной обмотки
трансформатора: <7, р = Хх/0 = 1,29 • 3,5 = 4,52 В.
Векторная диаграмма токов и напряжений
трансформатора при холостом ходе приведена
на рис. 10.8 (векторы токов) /1а и /ц, угол
магнитных потерь 8 показаны здесь
увеличенными).
10.9. По данным задачи 10.8 построить векторную диаграмму
токов и напряжений нагруженного трансформатора. Вторичный
номинальный ток 12ном = 10 А, сопротивления вторичной обмотки
трансформатора: Л2 = 0,5Ом, А^=1,5 Ом, нагрузка характеризуется
сопротивлениями: Кн = 4,3 Ом и ]ХН - 3 Ом. Пояснить, почему с
ростом тока нагрузки 12 во'вторичной цепи увеличивается ток /, в
первичной обмотке трансформатора.
Решение. Угол сдвига фаз между вторичным током /2 и
вторичной ЭДС Е2 трансформатора:
. Х2+Хи .1,5 + 3 .4,5 АПОС,
\и2 = агс1§— = агс!б = агс!ё— = 43 5.
У2 Я2 + Лн 0,5 + 4,3 Ь4,8
ЭДС вторичной обмотки трансформатора: Е2=1[2 + ^/2ном» гДе
2з — комлексное сопротивление вторичной обмотки
трансформатора. 2г = (Я2 +у'Аг2)/2ном = К212иом +]Х212иом.
Угол сдвига фаз между вторичным напряжением и вторичным
током трансформатора:
х з
ф2 = агс1§—- = агс1§— = 35°.
лн 4,3
Приведенный вторичный ток трансформатора:
*2ном = Л ном — = 1^777 = 5»8 А.
п 1,73
Ток первичной обмотки трансформатора: 1\ = 10 + 12.
Ток холостого хода трансформатора /0 имеет сравнительно
небольшое значение и обычно не превышает (4—8)% от
номинального тока /|НОМ первичной обмотки. При этом приближенно можно
принять /, - Г2. Поэтому с увеличением тока нагрузки /2, а
следовательно, тока /2 растет и ток /, первичной обмотки трансформатора.
Падение напряжения на сопротивлениях первичной обмотки
трансформатора: на активном {/1а = Л1/1ном = 0,7-6,4 = 4,49В; на
индуктивном 6/,р = ЛГ^ном = 3,5 • 6,4 = 22,5 В.
240
и:
\
3-1
2 '
Г V
Г'\
к=Ч
^о!М
шк
Ц п
Рис. 10.8

Построение векторной диаграммы
следует начать с магнитного потока Фда. Этот
поток наводит в обеих обмотках
трансформатора электродвижущие силы Е} и Еъ Е=Е^
которые в данном случае опережают по- 1 2
ток Фда на угол тс/2. По условию Ех = Н^Ь^^/Аном
= 0,97 (/1ном = 0,97 • 220 = 213 В, отсюда Е2 = Ех/п =
= 213/1,73 = 123 В.
Нагрузка трансформатора носит
активно-индуктивный характер (2И = Кн +уЛГн),
поэтому вторичный ток Г2 отстает от ЭДС Е2
на угол \|/2.
Напряжение вторичной обмотки 1/2
находят исходя из уравнения Н2 = Е2-12ном22. При этом из ЭДС ^
вычитается геометрически падение напряжения на реактивном
сопротивлении Х212ном, которое опережает ток Г2иоы на угол тс/2, и
падение напряжения на активном сопротивлении Я212ном вторичной
обмотки, которое совпадает с направлением тока Г2. Ток холостого
хода /0 опережает поток Фда на угол магнитных потерь 8. Первичный
ток /, находится как векторная сумма токов 10 и приведенного
вторичного тока Г2ноы.
Для определения С/,ном ЭДС Ех суммируют с падением
напряжения на активном сопротивлении Ц\Л = К\[\ и падением напряжения
на индуктивном сопротивлении Ц\Р=]Х]1} согласно уравнению
На рис. 10.9 приведена векторная диаграмма нагруженного
трансформатора.
10.10. Понижающий трехфазный трансформатор типа ТМ-10/6
с номинальной мощностью 5,1„ом= ЮкВ-А и номинальными
линейными напряжениями 17ином = 6кВ и Ц2яиом = 220В, при частоте
у = 50 Гц имеет следующие данные: мощность холостого хода
Р0 = 0,105 кВт, мощность короткого замыкания Рк = 0,335 кВт,
напряжение короткого замыкания <7К = 5,5%. Обмотки трансформатора
соединены по схеме «звезда». Определить при номинальной нагрузке
(р= 1) токи /1ном в первичной и 12иом во вторичной обмотках,
активное А1/а и индуктивное А1/р падения напряжения при коротком
замыкании, вторичное 1/2 напряжение при нагрузке, в 10 раз большей
номинальной ф=10), и созф2 = 0,6, КПД Т1„0М при номинальной
нагрузке и соз ^ = 0,8 при нагрузке, в 10 раз меньшей номинальной
(р = 0,1), и том же коэффициенте мощности. Построить зависимость
Ы!2% (созфз) трансформатора при номинальной нагрузке (/^м)-
Решение. Ток в первичной обмотке трансформатора в
номинальном режиме:
/1ном = *«_ = 1000° = 0,97 А.
л/3^1ном 1,73-6000
16-4359 241

Пренебрегая потерями мощности в трансформаторе, ток во
вторичной обмотке:
г Цноы _ Ю000 _^СЛА
*2ном ~ /г.. — , „ --. — АЭ9А/\.
V3 *72ном 1,73 • 230
Падение напряжения короткого замыкания:
активное 1/а = %^Ю0% =
= 3,35%;
#1ном
Л.
/?««*« . шо% = Л*_ шо% = 335 ■ 100%
" 1ном Л ном
10000
индуктивное 1/р =
#1,
-100% = у/Щ-Щ = ^2-3,352 = 435%.
Процентное изменение напряжения при нагрузке, в 10 раз
большей номинальной:
А 172 = Р(<7асо8ф2+^р8тф2) = 10(3,35-0,6+ 4,35-0,8)-55%,
где Р = 10 — коэффициент нагрузки трансформатора.
Вторичное фазное падение напряжения при заданных условиях:
д^ = ^ноМ-</2ф100% ши 55=Н^1
V-
2фном
133
откуда #2ф = 133 - 55 • 1,33 = 133 - 73 = 60 В, где ^ф„оМ — номинальное
фазное напряжение вторичной обмотки трансформатора: #2фном = #2лном/>/з =
= 220/1,73 = 133 В.
КПД трансформатора для заданных условий при номинальной
нагрузке:
Р^1номСО8<р2100% 1-10 000 -0,8 -100% 0-~
Л ном = \ = ~ = 73/0.
Р^1ном С08 ф2 + Р0 + р2Рк МО 000 • 0,8 + 105 + I2 • 335
КПД при нагрузке, в 10 раз меньшей номинальной (Р = 0,1):
№н<щсозф2-100% 0,1-10 000-0,8-100%
Ло,
= 88,1
Р^ном сое ф2 + />0 + Р2РК 0,1 -10000 - 0,8 + 105 + ОД2 • 335
Вторичное линейное напряжение при заданных условиях: 1/^ =
= 731/2ф = 73-60=104 В.
Для построения зависимости Д(72% (со8<р2) при номинальной
нагрузке Р = 1 определяют процентное изменение напряжения для
различных значений со8ср2. Результаты расчета сведены в табл. 10.1.
Таблица 10.1
Величины
СОЗф2
8Ш фг
ЬЛ]г%
Нагрузка
индуктивная
0
1
4,45
0,2
0,98
4,93
0,4
0,92
5,34
0,6
0,8
5,5
0,8
0,6
5,36

активная
1,0
0
3,35
емкостная
-0,8
0,6
0
-0,6
0,8
-1,5
-0,4
0,92
-2,66
-0,2
0,98
-3,59
0
1
4,35
242

со
-о,
Д{/
4
1
!(-ф2) /
1 1 "/
2 -0,6' 0
2, %
-2
со$ф2
0,6 ОД
Рис. 10.10
Рис. 10.11
По результатам расчета на рис. 10.10 приведена зависимость А112%
(созф2) при Р=1.
10.11. В условиях задачи 10.10 определить параметры схемы
замещения трехфазного трансформатора (рис. 10. Ц). Ток холостого
хода /0 = 0,1/1ном, ЭДС холостого хода Ею = 099$1/]фном, потери
мощности в магнитопроводе Р„ составляют 98% от потерь холостого
хода Ро=Ю5Вт.
Решение. Ток холостого хода трансформатора: 10 = 0,1/1ном = 0,1 х
х 0,97 = 0,097 А.
Номинальное фазное напряжение первичной обмотки: 1/]фнои =
= ЦлномЛ/З = 6000/Л = 3460 В.
Напряжение короткого замыкания:
^к%=-^-100% = 5,5%, откуда Ик = 0,055<71фном = 0,055-3460= 191 В.
"1фном
Полное сопротивление короткого замыкания:
Зс=адном= 191/0,97= 197 Ом.
Составляющие полного сопротивления короткого замыкания:
Р 335
активная Дк = Кх + К'2 = -Vе- = г = И8 0м>
/?нои 3-0.972 ^_^_
индуктивная ХК=ХХ+ Х{ = ^2\ - Д2 = л/1972 -1182 = 158 Ом.
ЭДС холостого хода первичной обмотки: Ехо = 0,981/]фном = 0,98 х
х 3460 = 3400 В.
Сопротивления намагничивающей цепи схемы замещения:
полное 2о = ^юА = 3400/0,097 = 35 000 Ом;
активное К0 = -?■ =
-10* Вт; * °'0972
= 3571 Ом, где Ри = 0.98Д = 0,98 • 105 =
индуктивное Х0 = 421 - Л»2 = р5 0002 - 35712 = 34995 Ом.
Активное сопротивление первичной обмотки трансформатора:
/02 0,0972
-3571 = 60 Ом.
243

Х^Щг-Х^. ""__, - 34995 = 105 Ом,
Активное сопротивление вторичной обмотки трансформатора,
приведенное к виткам и напряжению первичной обмотки:
/^ = ^-/{, = 118-60 = 58 Ом.
Индуктивное сопротивление первичной обмотки трансформатора:
0> V 1000
3/3 3 - 0,0972
где Со = л/^о - Ро = ^10082 -1052 = 1000 вар,
здесь 50 = 31/1ф ном/0 = 3 • 3460 • 0,097 = 1008 В • А.
Индуктивное сопротивление вторичной обмотки
трансформатора: ^ = ЛГК-Х1 = 158-Ю5 = 530м.
Коэффициенты мощности:
короткого замыкания соз <рк = К*/2К = 118/197 = 0,6.
Кх + Д0 60 + 3571
холостого хода соз ф0= , ' и =
^ 7(Л1 + /?о)2+№+^о)2 7(60 + 3571>2+(Ю5+ 34995)2
. ™- = 0Д06.
35 350
Поправочный коэффициент схемы замещения:
-, - 7, , 60 + уЮ5 , (60+у105)(3571-;34995)
(^ = 1 + — =1 + т = 1 + -
г0 3571 + ] 34 995 (3571 + У 34 995)(3571 - у 34 995)
1243 600000-7*20000
1238300000
= 1,004 -у 0,00162,
откуда Сх = 71,0042+0,001622 = 1.
10,12. По условиям задачи 10.10 построить внешнюю
характеристику 11'ъ (Г2) трансформатора при работе на активную нагрузку
(со8ф2 = 1) в пределах Лн = 0-оо и определить первичный ток /,
и активную мощность Р, отдаваемую потребителю
электроэнергии.
Решение. Полное сопротивление схемы замещения
трансформатора при коротком замыкании (Лн = 0):
2 к = >/(Л1 + Ъ + К)2 + № + Х& = 7(60+ 58 + О)2 + (105 + 53)2 = 197 Ом.
При Д, = 0 ток короткого замыкания трансформатора
/^=^1фио±=3460 =
2К 197
Напряжение на нагрузке П'2 = Г]ККН= 17,52-0 = 0.
Полное сопротивление упрощенной схемы замещения
трансформатора при номинальной нагрузке: Книом: 2Г1н= С/,фном//1ном = 3460/0,97 =
= 3560 Ом.
Из упрощенной схемы замещения с учетом данных задачи 10.10,
пренебрегая током холостого хода (70 = 0), так как
244

= 7(60 4-58 + Лном)2 + (105 + 53)2 = 3560 Ом,
откуда сопротивление Лнном = 3442 0м.
Активная мощность, потребляемая нагрузкой при номинальном
режиме работы трансформатора:
Лном = 3/2„омЛ„„ом=3-0,972-3442 = 9700 Вт, так как при этом
Т —Г
•Чном ~~ *2ном#
Линейное номинальное напряжение на нагрузке:
^2лиои = ^3/1номЛнном = 1,73-3442.0,97 = 5770В, где ^ном = Днном/1ном =
= 3442-0,97 = 3338,7 В.
Полное сопротивление схемы замещения трансформатора при
холостом ходе (Дн = <*>):
210=М+Ло)2+(*1+*о)2= .
= л/(60 + 3571)2 + (105 + 34995)2 = 35 350 Ом.
Ток холостого хода трансформатора:
/о = ^±=- = -^- = 0,097 А.
210 35 350
Вторичное напряжение при холостом ходе:
Процентное изменение напряжения на вторичной обмотке
трансформатора:
А ^0 = ро(1/0соз ф0+ #р81П<рь) = 0,105/10 (3,35 -0,106 +
+ 4,35-0,995) = 0,0495%, где р0 = Л0/Р1ном = 0,105/10 = 0,0105.
В табл. 10.2 приведены расчетные данные для различных режимов
нагрузки трансформатора. По данным табл. 10.2 на рис. 10.12
построена внешняя характеристика трансформатора.
Таблица 10.2
Величины
Хи
Ом
0
5
8
10
3442
оо
1'г
А
17,5
17,3
17,2
16,9
0,97
0
#1
А
17,5
17,3
17,2
16,9
0,97
0,97
Ъ
Вт
0
4500
7080
8580
9700
0
Щж
в
0
150
239
292
5750
Режим работы
трансформатора
Опыт короткого замыкания
Нагрузка
»
»
Номинальная нагрузка
Режим холостого хода
245

"2л. В
400
200
1 1 1 1 1 >1
0 3 6 9 12 15 /;, А
Рис. 10.12
Ш«2
Рис. 10.13
10.13. Автотрансформатор (рис. 10.13) с числом витков обмотки
IV, = 800 включен в питающую сеть с номинальным напряжением
#1ном = 2000В. Определить напряжение #вкг, приходящееся на один
виток обмотки, и номинальное напряжение (72ном на нагрузке в
режиме холостого хода, а также коэффициент трансформации п, если
число витков обмотки, подключенной к нагрузке, щ = 300.
Решение. Напряжение, приходящееся на виток обмотки: 1}^ =
= ЦномМ = 2000/800 = 2,5 В.
Номинальное вторичное напряжение в режиме холостого хода:
#2„ом = ^витИЪ = 2,5 • 300 = 750 В.
КоэффиДиент трансформации автотрансформатора:
п = — = ^1ном
*2
800 2000 - сп
— — = = 2,67.
1У2ном 300 750
10.14. Автотрансформатор включен в сеть с номинальным
первичным напряжением 1/1иом = 127 В при наличии активной Кн нагрузки
(соз фг = 1), номинальный ток 12ном = 4 А при напряжении #2ном = 220 В.
Определить номинальный ток /1ном первичной цепи
автотрансформатора и коэффициент трансформации п, если его КПД Лном = 0>95,
а со8ф1ном = 0,9 (рис. 10.14).
Решение. Активная мощность, отдаваемая
автотрансформатором потребителю электроэнергии: Р2ном = ^номЛном С08 Фг = 220 • 4 • 1 =
= 880 Вт.
Активная мощность, потребляемая автотрансформатором из сети:
Рхшт = ^2иом/т1ном = 880/0,95 = 925 Вт.
Номинальный ток в первичной цепи автотрансформатора:
-Чном "~
925
^1номСОвф1ном 127-0,9
= 8,1 А.
Коэффициент трансформации трансформатора: п=1/2ноц/1/]иом =
= 220/127 = Л = 1,73.
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной
к нагрузке (влиянием тока холостого хода пренебрегаем): 1иом = 1\иои-
"~ А2ном — *1ном — /гном = о, 1 — 4 = 4,1 А.
246

10.15. Автотрансформатор с
потребителем электроэнергии (рис. 10.14) включен
в питающую сеть с номинальным
напряжением 11]ном = 127 В при соз ф, = 1. Определить
токи: /,, 12 и 1=1]-12 на участках электри- и
ческой цепи при вторичном напряжении
172 = 220В, ток в цепи нагрузочного резис- о ' д *' '
тора Кн составляет /2= 10А, КПД автотран- Рис 10 14
сформатора *п = 0,95.
Решение. Активная мощность, потребляемая резистором Ян:
Р2 = Щ2 = 220 -10 = 2200 Вт = 2,2 кВт.
Активная мощность, потребляемая из сети: Р, = Р2/п = 2,2/0,95 =
= 2,31 кВт.
Ток, потребляемый из сети: 7, = Р\/Ч\НОи с°8 Ф1 = 2,31/127 • 1 = 18,1 А.
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной
непосредственно к сети: /=/1~/2 = /=/1-/2=18,1г 10 = 8,1 А.
Следовательно, участок обмотки автотрансформатора,
подключенный непосредственно к сети, по сравнению с остальной частью
обмотки можно выполнить из более тонкого провода.
10.16. Автотрансформатор с номинальным напряжением
[/1ном = 220В подключен к активной нагрузке Лн с током /2= 1А при
напряжении #2ном= 127 В и КПД -п = 0,98. Определить сечения ^ и ^
проводов обмотки автотрансформатора, если по условиям нагрева
плотность тока р = 2 А/мм2, число витков обмотки IV, = 78, а соз <р, =
= 0,96. Как изменится расход меди обмоток, если вместо
автотрансформатора использовать обычный однофазный трансформатор с тем
же числом витков обмотки при тех же значениях первичного #,ном
и вторичного 172ти напряжений.
Решение. Активная мощность, отдаваемая потребителю
электроэнергии:
Рг= ^2номЛсозср2= 127-1 • 1 = 127 Вт,
так как при активной нагрузке 00392=1.
Активная мощность, потребляемая из питающей сети:
Р] = р2/ц = 127/0,98 = 129,5 Вт.
Ток, потребляемый из сети:
/, — *_—!»*-= 0*1 А.
^1номС08ф! 220-0,96
Ток на участке обмотки автотрансформатора, подключенной
к потребителю:
/ = /2-/1 = 7=/2- /1 = 1 -0,61 = 0,39 А.
Сечения проводов на участках обмотки автотрансформатора:
подключенной непосредственно к сети: 5, = /,/р = 0,61/2 = 0,305 мм2,
247
>-4>-
[К
Г/=Г/\-М

подключенной параллельно потребителю: я2 = //р = 0,39/2 =
= 0,195 мм2.
Число витков обмотки автотрансформатора, подключенной
параллельно потребителю:
и,2=н*^=-. = 78—= 45.
#1ном 220
Масса меди проводов обмоток автотрансформатора (в единицах у/):
От =М1(щ - щ) + з21щ] =у [0,305/(78 - 45) + 0,195/45)] =
=у/[10,06 + 8,77] = 18,83у7,
где у —удельный вес меди; /—средняя длина витка обмотки.
Ток двухобмоточного трансформатора:
Р 129 5
в первичной цепи 1Х = - = !— = 0,61 А;
^1 ном С06ф! 220-0,96
во вторичной цепи 12 = = = 1 А.
#2ном С08ф2 127-1
Сечение проводов обмоток двухобмоточного трансформатора:
5< = А = М1 = 0^05 мм2; .^ = ^- = 1 = 0,5 мм2.
р 2 р 2
Масса медных проводов обмоток двухобмоточного
трансформатора (в единицах у7) при одинаковой с автотрансформатором
средней длине витка:
С^ = //(*>, + з'2к2) =у/(0,305 - 78 + 0,5 - 45) =у/(26,9 + 22,5) = 49,4у7.
Отношение масс медных проводов обмоток двухобмоточного
трансформатора и автотрансформатора: Ам= 6^/Оав = 49,4у7/18,83у7= 2,62.
Следовательно, при одной и той же мощности масса меди в
автотрансформаторе в 2,62 раза меньше, чем в транформаторе.
10.17. Выбрать трансформатор тока и трансформатор
напряжения для обеспечения контроля работы асинхронного
электродвигателя, питающегося от сети с напряжением 171ном = 6000 В и
потребляющего ток ^ = 90 А.
Решение. Трансформатор тока выбираем с номинальными
значениями первичного и вторичного токов: /1ном= 100 А и /2жш = 5 А
и коэффициентом трансформации птг = 1]ном/12ноы= 100/5 = 20, где
/1ном — номинальный ток первичной обмотки трансформатора тока,
который выбирают ближайшим большим по отношению к току /,
электродвигателя; /2ном — стандартный номинальный ток вторичной
обмотки трансформатора тока (/2ном = 5А).
Трансформатор напряжения выбираем с коэффициентом
трансформации напряжения: лта= #|„0м/^2ном = 6000/100 = 60, где 17]иои —
ближайшее большее или равное номинальному напряжению
электродвигателя номинальное напряжение первичной обмотки трансфор-
248

матора напряжения; 1/2ном — стандартное номинальное напряжение
вторичной обмотки трансформатора напряжения (<72ноМ=100В).
Примечание. Измерительные трансформаторы тока имеют стандартные
номинальные первичные токи /1ном: 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 75, 100, 150, 200, 300,
400, 600, 800, 1000 А и более. Номинальный вторичный ток 12нш для всех
трансформаторов тока принят равным 5 А.
Используются трансформаторы тока при напряжениях:
до 500 В: а) ТКЛ-0,5 на токи от 5 до 300 А (литая изоляция из смолы); б) ТКМ-0,5
на токи от 5 до 800 А (модернизированный);
до 10 кВ: а) ТКЛ-10 на токи от 5 до 400 А; б) ТПЛ-10 на токи от 10 до 100 А
(проходной); в) ТПФ-10 на токи от 5 до 400 А (проходной с фарфоровой изоляцией).
Однафазные и трехфазные трансформаторы напряжения изготовляются на
стандартные номинальные первичные напряжения #1ном: 400, 500, 3000, 6000, 10000 В
и выше. Номинальное вторичное напряжение ^„с у всех трансформаторов
напряжения принято равным 100 В.
Используются трансформаторы напряжения:
однофазные: а) НОМ-0,5, номинальное первичное напряжение 500 В; б) НОМ-6,
номинальное первичное напряжение 3000 и 6000 В; в) НОМ-10, номинальное
первичное напряжение 10000 В;
трехфазные: а) НТС-0,5, номинальное первичное напряжение 500 В; б) НТМИ-6,
НТМИ-10, номинальное первичное напряжение 6000 и 10000 В.

Глава 11
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 11.1. Основные сведения об электрических машинах
постоянного тока
Электрическая машина постоянного тока состоит из индуктора,
якоря и коллектора. Индуктор, предназначенный для создания
магнитного поля полюсов, расположен на неподвижной ее части —
статоре. Якорем машины является ее вращающаяся часть. В
соответствии с законом электромагнитной индукции при вращении якоря
вследствие пересечения его проводниками обмотки магнитного поля
полюсов в ней наводится переменная ЭДС, которая, изменяясь во
времени по величине и направлению, зависит от положения
проводников якоря в междуполюсном пространстве. Для получения на
зажимах генератора постоянной во времени ЭДС предназначен
коллектор, расположенный на вращающемся якоре, с системой
неподвижных щеток, расположенных на статоре машины. Для
обеспечения возможности создания магнитного потока необходимой
величины на полюсах индуктора имеются обмотки возбуждения с
регулируемым постоянным током.
У генераторов с независимым возбуждением обмотки
возбуждения питаются постоянным током, получаемым от постороннего
источника, а у генераторов с самовозбуждением — непосредственно
от зажимов его якоря. В зависимости от способа включения обмоток
возбуждения различают также генераторы с параллельным,
последовательным и смешанным возбуждением.
При вращении якоря в его обмотке возникает ЭДС Е,
направление которой зависит от направления его вращения.
При работе в режиме генератора электрическая машина
выполняет функции источника энергии, поэтому возникающий в цепи
якоря ток 1Я совпадает по направлению с индуцируемой в нем
ЭДС Е. Ток якоря разветвляется по двум параллельным ветвям. По
цепи обмотки возбуждения протекает ток /в возбуждения, для
возможности регулирования которого включено регулировочное
сопротивление 7?р. В цепи нагрузки генератора возникает ток / нагрузки,
при этом в соответствии с первым законом Кирхгофа для точки
разветвления токов: Д = /+/в.
250

ЭДС, возникающую на зажимах якоря, определяют уравнением:
Е= СепФ,
где Се — постоянная, зависящая от конструктивных данных машины;
п — частота вращения якоря; Ф — результирующий магнитный поток.
Магнитный поток зависит от магнитодвижущей
(намагничивающей) силы обмотки возбуждения, а следовательно, от тока
возбуждения /в. При разомкнутой обмотке возбуждения и вращении якоря
создается ЭДС Е^, обусловленная остаточным магнитным
потоком Фа,,.. Значение этой ЭДС обычно незначительно и составляет
3—5% от номинального значения напряжения 1/иш на зажимах якоря.
При подключении цепи обмотки возбуждения к зажимам якоря
под действием ЭДС 2?0 возникает относительно небольшой ток /в
возбуждения, значение которого определяется в соответствии с
законом Ома для цепи обмотки возбуждения
Е0 = 1Ш(ЯЯ + ЯВ + ЯР); /в = ^ ,
где /^ — сопротивление цепи якоря; Яв — сопротивление обмотки
возбуждения.
Уравнение, описывающее внешнюю характеристику генератора
постоянного тока с параллельным возбуждением Щ1)9 т.е.
зависимость напряжения на его зажимах от тока нагрузки при постоянном
сопротивлении цепи обмотки возбуждения /?р = соп81 и постоянной
частоте вращения якоря п = пнои = сош1, равной номинальной, можно
получить исходя из уравнения электрического равновесия,
составленного по второму закону Кирхгофа для цепи якоря: 1/=Е-КяГ
Пренебрегая относительно небольшим значением тока возбуждения /в,
можно считать, что 1=1Я.
Уменьшение напряжения I/ на зажимах генератора с
параллельным возбуждением с увеличением тока / нагрузки обусловлено тем,
что с увеличением его возрастает падение напряжения ЯЯ1Я на
обмотке якоря. При этом вследствие реакции якоря происходит
уменьшение результирующего магнитного потока Ф, а следовательно,
и ЭДС Е якоря. Указанные причины приводят к уменьшению тока /в
возбуждения, а следовательно, к уменьшению магнитного
потока Ф, ЭДС якоря Е и соответственно напряжения I/ на зажимах
генератора.
У машин постоянного тока с независимым возбуждением
обмотка возбуждения питается от постороннего (независимого)
источника, в качестве которого используется другой генератор постоянного
тока, аккумуляторная батарея и другие источники постоянного тока.
Уравнение внешней характеристики генератора с последовательным
возбуждением в соответствии со вторым законом Кирхгофа имеет вид:
<7=Я-/Я(ДЯ + ЛВ),
где Къ — сопротивление обмотки последовательного возбуждения.
251

Особенностью внешней характеристики генератора с
последовательным возбуждением является то, что в пределах относительно
малых токов нагрузки напряжение на его зажимах возрастает, а при
достаточно больших — резко снижается, что обусловливает
значительно меньшие токи короткого замыкания, чем у генератора с
параллельным и независимым возбуждением. Генераторы постоянного
тока со смешанным возбуждением отличаются наличием двух
обмоток возбуждения. Основной обмоткой возбуждения является
обмотка параллельного возбуждения, последовательная обмотка
возбуждения выполняет роль вспомогательной. Уравнение внешней
характеристики генератора со смешанным возбуждением имеет такой же
вид, как и уравнение для генератора с последовательным
возбуждением. Однако входящий в выражение ЭДС якоря магнитный
поток Ф представляет собой сумму магнитного потока Фь
создаваемого параллельной обмоткой возбуждения, и магнитного потока Ф2,
создаваемого последовательной обмоткой возбуждения: Ф = Ф! + Ф2.
Изменение направления тока в обмотке последовательного
возбуждения приводит к созданию встречного по отношению к
основному потоку Ф, потока Ф2. При этом результирующий магнитный
поток Ф = Ф1-Ф2.
Электродвигатели постоянного тока в конструктивном
отношении не отличаются от генераторов постоянного тока, так как
электрические машины постоянного тока обратимы и могут работать
как в генераторном, так и в двигательном режимах.
При подаче на зажимы электрической машины постоянного тока
постоянного напряжения I/ в обмотках возбуждения и обмотках
якоря возникают токи. В результате взаимодействия тока якоря
с магнитным потоком, создаваемым обмоткой возбуждения в маг-
нитопроводе статора, возникает электромагнитный момент М- СМФ/Я,
под действием которого якорь электродвигателя приходит во
вращение.
При вращении якоря в его обмотке в результате пересечения
магнитных силовых линий индуцируется ЭДС Е= СепФ, при работе
электрической машины в режиме двигателя, направленная против
тока якоря.
При пуске электродвигателей постоянного тока путем прямого
включения в питающую сеть возникают значительные пусковые токи,
которые могут привести к выходу их из строя вследствие выделения
значительного количества теплоты в обмотке якоря и последующего
нарушения ее изоляции. Поэтому пуск двигателей постоянного тока
производится с помощью специальных пусковых приспособлений,
в частности пусковых реостатов.
Для якорной цепи электродвигателя постоянного тока с
параллельным возбуждением уравнение электрического равновесия,
составленное в соответствии со вторым законом Кирхгофа
относительно напряжения I/, подводимого от питающей сети, имеет
вид: 1/=Е+Кя1я.
252

С учетом выражения для ЭДС Е= СепФ, записав полученное
выражение относительно частоты вращения, получаем уравнение
частотной (скоростной) характеристики п(1я) электродвигателя
ц - кя1я _ ц _/?я_
сеФ " сеФ " я сеФ'
При отсутствии нагрузки (при токе якоря /я = 0) частота
вращения электродвигателя п = 1//СеФ = л0, т. е. равна частоте вращения Ло
идеального холостого хода, которая зависит от подводимого
напряжения I/ и магнитного потока Ф.
Для электродвигателя постоянного тока с последовательным
возбуждением уравнение электрического равновесия имеет вид:
^=2?+/я(Дя + Лв).
Так как Е= СепФ, уравнение механической характеристики
этого двигателя приводится к виду:
п <У-/Я(ЛЯ+ЛВ)
СеФ
Электродвигатель постоянного тока со смешанным возбуждением
кроме обмотки параллельного возбуждения, магнитный поток
которой Фх = сопз! при постоянном значении напряжения <7= сопз!, имеет
последовательную обмотку возбуждения, магнитный поток Ф2
которой зависит от тока якоря /в, т. е. от его нагрузки.
Уравнение электрического равновесия и уравнение частотной
характеристики электродвигателя постоянного тока со смешанным
возбуждением имеют такой же вид, как и соответствующее
уравнение, записанное для двигателя с последовательным возбуждением.
Однако при этом следует учесть, что результирующий магнитный
поток равен сумме магнитных потоков, создаваемых
последовательной и параллельной обмотками возбуждения: Ф = Ф! + Ф2.
В уравнениях частотных характеристик электромагнитный
момент двигателя можно выразить через ток якоря Л/= СМФ/Я, при
этом уравнение механической характеристики п(М) при 17= сопи
для двигателя с параллельным возбуждением приобретает вид
СеФ СвСмф2
а для двигателей с последовательным и смешанным
возбуждением
сеФ сесыФ2'
Пренебрегая влиянием реакции якоря в процессе изменения
нагрузки на валу, электромагнитный момент можно считать
пропорциональным току якоря. Поэтому механические характеристики
электродвигателей имеют такой же вид, как и соответствующие
частотные характеристики.
253

Для электродвигателей постоянного тока важной является мо-
ментная характеристика М(1Я), т. е. зависимость электромагнитного
момента от тока якоря. Для двигателя с параллельным возбуждением
эта зависимость определяется соотношением: М= СМФ/Я. Пренебрегая
влиянием реакции якоря, для этого двигателя можно принять
Ф = соп81, вследствие чего зависимость М(1Я) при <7=соп81
представится в виде прямой, проходящей через начало координат. Для
двигателя с последовательным возбуждением зависимость М(1Я)
является более сложной, так как входящий в выражение для момента
М= СМФ/Я магнитный поток является функцией тока якоря. При
некоторых допущенных для этих двигателей можно принять, что М~1\.
Рабочие характеристики электродвигателей постоянного тока
представляют собой зависимости частоты вращения п, момента М,
тока якоря 1Я и КПД т| от полезной мощности на его валу Ръ т. е.
л(/у, М(Р2), 1Я(Р2), ц(Рт) ПРИ неизменном значении подводимого
к двигателю напряжения И=соп$1.
Анализ рабочих характеристик электродвигателя постоянного тока
с параллельным возбуждением показывает, что частота вращения
их в соответствии с увеличением нагрузки несколько уменьшается.
Зависимость полезного момента на валу двигателя от нагрузки М(Р2)
представляет собой прямую линию, так как момент двигателя про-
порционален нагрузке на валу: Л/=9550-^-.
При увеличении мощности, развиваемой электродвигателем на
валу, ток якоря изменяется приблизительно по той же
зависимости, что и момент, так как при условии Ф = соп81 ток якоря 1Я
пропорционален моменту М.
КПД электродвигателя определяется отношением полезной
мощности на валу Р2 к мощности Рь потребляемой из сети:
Л Р2 + Рэя + />эв + ры + Рмсх + />д'
где Р, = Ш; Рэя = 1ЯКН — электрические потери мощности в цепи якоря;
Рэв = Шъ = 1^КИ — электрические потери мощности в цепи
возбуждения; Рмех — механические потери; Р2 — добавочные потери; Ри —
потери мощности на гистерезис и вихревые токи в магнитопроводе.
КПД электродвигателей с увеличением мощности на валу
возрастает и достигает своего максимального значения, когда
переменные потери мощности в электродвигателе оказываются равными
постоянным потерям в нем, т.е. при Рм = Рэв + Рзя + Рмех + Ра.
Рабочие характеристики электродвигателя постоянного тока с
последовательным возбуждением имеют несколько другой вид по
сравнению с рабочими характеристиками электродвигателя с
параллельным возбуждением, так как с изменением нагрузки на валу
изменяется магнитный поток.
Рабочие характеристики электродвигателя постоянного тока со
смешанным возбуждением представляют собой зависимости, зани-
254

мающие среднее положение между рабочими характеристиками
двигателя с параллельным и двигателя с последовательным
возбуждением. Анализ показывает, что частоту вращения
электродвигателей постоянного тока можно регулировать включением добавочного
сопротивления Лд в цепь якоря, изменением магнитного потока Ф
и изменением напряжения I/, подводимого к двигателю.
Широко применяется, особенно в системе «генератор —
двигатель», способ регулирования частоты вращения путем изменения
напряжения на зажимах якоря.
Литература. [1] § 9.1-9.21; [2] § 13.1-13.15; [3] § 15.1-15.11.
Примеры решения задач
11.1. Электродвигатель постоянного тока типа П62 с
параллельным возбуждением имеет номинальные данные, указанные на его
щитке: полезная мощность на валу Р2ном = 8 кВт, напряжение #ном =
= 220 В, частота вращения лном = 1000 об/мин, ток, потребляемый из
сети, /ном = 43А. Определить номинальный момент на валу Мном,
номинальные суммарные потери мощности 2РН0М и номинальный
КПД т]ном электродвигателя при номинальном режиме работы.
Решение. Номинальный момент на валу электродвигателя:
Мном = 9550-^- = 9550— = 76,5 Нм.
йном 1000
Номинальная мощность, подведенная к электродвигателю из сети:
Лион = ^ном/ном = 220 - 43 = 9460 Вт = 9,46 кВт.
Номинальные суммарные потери мощности в электродвигателе:
*Р*ш = Лноы - Р*ш = 9,46 - 8,0 = 1,46 кВт.
Номинальный КПД электродвигателя: Лном = Лжш/Лном = 8,0/9,46 =
= 0,85 или Лном = 85%.
11.2. Определить номинальные суммарные 1Рэтм и составляющие
электрические потери мощности в электродвигателе типа МП-82
постоянного тока с параллельным возбуждением, имеющем
номинальные данные: мощность на валу Р2иом = 130 кВт, напряжение
1/нои = 220 В, частоту вращения пном = 600 об/мин, ток, потребляемый
из сети, /НОМ = 640А, суммарное сопротивление якорной цепи,
обмоток якоря и дополнительных полюсов, щеток и щеточных
контактов: К'я = 0,00565 Ом и сопротивление обмотки возбуждения К'в =
= 34,6 Ом при температуре 15° С.
Решение. Сопротивление цепи обмотки якоря при
температуре 75° С:
Кя = Кя ^111 = 0,00565 235 + 75 = 0,007 Ом,
235 + /, 235 + 15
где /, = 15° С — температура, соответствующая холодному состоянию
обмотки якоря; /2 = 75° С — температура, соответствующая
нагретому состоянию обмотки якоря.
255

Сопротивление обмотки возбуждения двигателя при температуре 75° С:
. 235 + 75
= .54.С
235 + /,
Лв = Л; Ш±± = 34,6""" = 43 Ом.
235 + 15
Номинальный ток в обмотке возбуждения электродвигателя при
номинальном режиме работы:
-*вном — '
-Нв5ДА.
43
Номинальный ток якоря электродвигателя: /яном = /ном - /яном = 640 -
-5,1 = 634,9 А.
Электрические потери мощности электродвигателя при
номинальном режиме работы:
в цепи якоря />ЭЯНОМ = ЛЯ/Я2НОМ = 0,007(634,9)2 = 2820 Вт = 2,82 кВт;
в обмотке возбуждения Рэвном = 1/Н0М1ЪН0М = 220 • 5,1 = 1122 Вт =
= 1,122 кВт.
Суммарные номинальные электрические потери мощности:
2Д «ом = Дном + Двном = 2,82 + 1,122 = 3,942 кВт.
11.3. Электродвигатель постоянного тока с параллельным
возбуждением (рис. 11.3) имеет номинальные: полезную мощность на
валу Р2иоы = 4,5 кВт, питающее напряжение #НОМ = 220В, частоту
вращения лном= 1500 об/мин, КПД Лном = 80,5%. Сопротивление цепи
якоря Кя = 0,43 Ом, обмотки возбуждения Лв = 200Ом при
номинальном режиме работы. Определить сопротивление пускового
реостата Яп исходя из условия, что начальный пусковой ток двигателя
равен двукратному номинальному значению тока, потребляемому
из сети: 7^ = 2/^.
Решение. Номинальный ток двигателя, потребляемый из сети:
•■ном
Лном-Ю3 4,5-103
У
НОМ ином
220 - 0,805
= 25,4 А.
Номинальный ток возбуждения электродвигателя: /вном= #Ном/Яв =
= 220/200= 1,1 А.
Номинальный ток якоря двигателя: /яном = 1иои- Лном = 25,4 -
-1,1 = 24,3 А.
Начальный пусковой ток двигателя: 1пуск =
= 2/ном = 2.25,4 = 50,8А.
Ток якоря при пуске двигателя: 1Я = 1ххуск -
-7ВНОМ = 50,8-1,1=49,7А.
Сопротивление пускового реостата,
включенного последовательно в цепь якоря
двигателя при пуске: КП = КЯ-КЯ = 4,43-0,43 =
= 4 Ом.
Сопротивление цепи якоря двигателя при
пуске исходя из заданных условий: ЛЯ = ЛЯ +
Р и с. 11.3 + К„ = <7„оМ//я = 220/49,7 = 4,43 Ом.
256

Максимальный ток в цепи якоря электродвигателя при отсутствии
пускового реостата: /ятах= #„ом/Д1 = 220/0,43 = 510 А. Кратность
пускового тока при прямом пуске (без пускового реостата): А,= Лшях/Лном =
= 510/24,3 = 20,9.
Таким образом, начальный пусковой ток якоря
электродвигателя без пускового реостата оказывается в 20,9 раз больше
номинального его значения, поэтому в данном случае пуск двигателя без
пускового реостата в цепи якоря недопустим.
11.4. Электродвигатель постоянного тока параллельного
возбуждения имеет номинальные: полезную мощность на валу Р]ном = 23 кВт,
питающее напряжение 1/иш = 220 В, частоту вращения А1„ом = 600 об/мин,
ток, потребляемый из сети, /НОМ = 120А, продолжительность
включения ПВном = 25%. Рассчитать и построить естественную
механическую характеристику п{М) и зависимость тока от момента
электродвигателя /(Л/) в пределах нагрузки от М=2МЦШ до А/=-Л/ном.
Определить сопротивление пускового реостата Лр, ограничивающего
тока при пуске двигателя до значения /= 1,2/ном. Рассчитать
добавочное сопротивление Ка в цепи якоря, при котором двигатель в режиме
противовключения при моменте нагрузки М- 1,2АГН0М развивает
частоту вращения лном. Для заданных условий построить искусственную
механическую характеристику электродвигателя, определить его
частоту вращения п при номинальном токе якоря /яном, в цепь которого
включено добавочное сопротивление ЛД = 4ЛЯ. Рассчитать и построить
искусственную механическую характеристику двигателя при
ослабленном потоке возбуждения, если при номинальном моменте
нагрузки на валу он должен развивать частоту вращения л=1,ЗлН0М.
При расчетах током возбуждения /в электродвигателя пренебречь,
сопротивление цепи якоря принять равным Ля = 0,05{/ном//номОм.
Решение. Координаты естественной механической
характеристики электродвигателя при номинальном режиме работы:
Мт« = 9550Р1НОМ//1НОМ = Щ^ = 364,2 Н - м;
600
л„ом = 600 об/мин; /ном = 120 А.
То же, в режиме идеального холостого хода электродвигателя:
/*о=Лном */ном =600 — = 631,5 об/мин; М0 = 0; /0 = 0.
^ном/я^я 220-120-0,0915 ' ° °
(По условию Кя = 0,05 ^ = 0,05 — = 0,0915 Ом.)
/ном 120
Сопротивление пускового реостата, ограничивающего пусковой
ток двигателя до значения /П=1,2/Н0||:
при и = 0; Е=0; /я = /п = #ном/(К + Ю,
откуда Кп = Ц,ом//п - Д. = -2=- _ я. = -^- - 0,0915 = 1,438 Ом.
17-4359 257

Машинные постоянные электродвигателя:
\2 / \2
[0,349)
**-&)
\тг
= 12,2,
так как СеФ =
" НОМ •* !
ном -*яном-*
220 - 120 • 0,0915
лном 600
а отношение Се/См = 0,1.
= 0^49,
Добавочное сопротивление в цепи якоря в режиме
противовключения:
к _ ("ном + Пр)СеСиФ2 р _ (яном + П0)СеСиФ2 р _
м
(600 + 632). 12,2
1,2Л/Н0М
- 0,0915 = 32,3 Ом,
1,2 • 364,2
так как для режима противовключения справедливо уравнение:
п> = и - М(*я+**) = М(КЯ + лд)
се<6 сесиФ2 сесиФ2
Координаты искусственной механической характеристики
электродвигателя при работе в режиме противовключения: пиш = -600 об/мин;
Л/=1,2Л/ном = 1,2-364,2 = 437 Н-м.
То же, при холостом ходе: п0 =
= 632 об/мин; АГ0 = 0.
Частота вращения
электродвигателя при добавочном
сопротивлении Лл = 4Ля:
/, АI /I, об/мин
п = л„,
#,
АтомС^я +ЯЛ)
иом -«ном\-"я
Ун
= 600
ном •'ном^я
220-(0,0915+ 4-0,0915)120
220-120-0,0915
= 473 об/мин.
Относительное значение
ослабленного магнитного потока
электродвигателя:
ф/ = ф^ном. = ф ."ном
П'
Рис. 11.4
600
1,3 - 600
1*Зл„ом
Ф = 0,77Ф.
258

Координаты искусственной механической характеристики при
ослабленном потоке:
при номинальном моменте: п" = 1,Злном = 1,3 • 600 = 780 об/мин;
М=Мном = 364,2 Нм;
Ф Ф
при холостом ходе: п'0 = п0 — = 632 = 822 об/мин.
Ф' 0,77Ф
На рис. 11.4 приведены характеристики электродвигателя п(М)
и 1(М), построенные исходя из условий задачи.
17*

Глава 12
ТРЕХФАЗНЫЕ АСИНХРОННЫЕ
ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ
§ 12.1. Основные сведения о трехфазных
асинхронных электродвигателях
Асинхронные электродвигатели предназначены для
преобразования электрической энергии переменного тока в механическую. В
зависимости от системы переменного тока асинхронные
электродвигатели выполняются трехфазными и однофазными. Ротор
асинхронного электродвигателя изготовляют в двух исполнениях: коротко-
замкнутым и с контактными кольцами.
Наличие контактных" колец и фазной обмотки позволяет
изменять активное сопротивление цепи ротора двигателя в процессе его
вращения, что необходимо для уменьшения значительного пускового
тока, возникаемого при пуске, а также для регулирования частоты
вращения ротора и изменения величины его пускового момента.
При подаче к трехфазной обмотке статора асинхронного
двигателя трехфазного напряжения возникает результирующий
вращающийся магнитный поток. Этот поток вращается в пространстве с
частотой вращения, равной синхронной, которая находится в строгой
зависимости от частоты /х подводимого напряжения и числа пар
полюсов р двигателя: щ = 60/х/р.
Каждый асинхронный электродвигатель характеризуется своими
номинальными данными, на которые он рассчитан. Основные
технические данные электродвигателя указаны в их паспортах и каталогах.
Конструкция обмотки статора дает возможность соединять
обмотки двигателя как «треугольником», так и «звездой». Благодаря
этому каждый трехфазный асинхронный электродвигатель можно
использовать при двух различных (линейном и фазном)
напряжениях питающей сети.
Одной из важнейших величин, характеризующих работу
асинхронного двигателя, является скольжение ротора, под которым
понимается отношение:
,% = 51^1100%,
где п2 — частота вращения ротора двигателя, об/мин; или в
относительных единицах: з = (п]-п2)/п].
260

Для большинства современных типов асинхронных
электродвигателей скольжение ротора $„ом% при номинальной нагрузке
заключено в пределах 2—6%, а при работе в режиме холостого хода,
когда двигатель работает без нагрузки, скольжение ротора
составляет доли процента.
От величины относительной угловой частоты вращения со, и
магнитного потока Фт зависит величина ЭДС ЕЪу индуцируемой в
обмотке ротора, а следовательно, ток 1Ъ ротора и его частота:
Вращающее магнитное поле в обмотках статора и ротора
асинхронного двигателя наводит переменные ЭДС, действующие
значения которых можно определить по формулам, аналогичным
формулам, полученным для ЭДС трансформатора:
Ех=АМЫхщФт\ ^ = 4,441^/Лфш
где Ех — фазное значение ЭДС, индуцируемой в обмотке статора;
Е25 — фазное значение ЭДС, индуцируемой в обмотке ротора при
скольжении я; щщ — число витков в фазе статора и ротора; Фт —
амплитудное значение магнитного потока; Кь К2 — обмоточные
коэффициенты обмоток статора и ротора (у трансформатора #1 =
= ^2=1)- При неподвижном роторе ЭДС ротора — ^.
При вращении ротора асинхронного двигателя в процессе
работы в нем будет индуцироваться переменная ЭДС Еъ, с частотой /ъ,
значение которой можно найти, заменив в выражении для Е^
частоту у; т/2 = з/х; Еъ = 4МК2/2щФт = 4МК2/]Щ5Фт = 5Е2.
При работе асинхронного электродвигателя под действием ЭДС Е^,
наводимой во вращающемся роторе, в цепи ротора возникает ток,
значение которого в соответствии с законом Ома определяется выражением:
г _т __ Е2з _ Е2з
25 2 г25 ЩЩ'
где /2 = 1Ъ — фазный ток ротора при скольжении ,у; 2^ — полное
сопротивление фазы ротора при скольжении з; Л2 — активное
сопротивление фазы ротора (для двигателей нормального исполнения
можно считать постоянным и не зависящим от частоты тока
ротора); Хъ — индуктивное сопротивление фазы ротора при данном
скольжении 5 и частоте /2 тока ротора.
С учетом того, что Еъ = зЕ2 и ХЪ=2%/2Ь2 = 2%/ХЬ28=8ХЪ
выражение для тока ротора приводится к виду:
/ - 8Ег = Ег
При составлении схемы замещения асинхронного
электродвигателя параметры ротора приводят к числу витков и напряжению 1/х
обмотки статора.
261

Распределение потока энергии, потребляемой асинхронным
электродвигателем из сети, соответствует энергетической диаграмме,
которая представляет полную структуру всех составляющих
мощностей и потерь мощности, возникающих при работе в асинхронном
электродвигателе: Рх = >/31/, /, созср, — активная мощность,
подводимая к электродвигателю из сети; Рэ = тхРхКх — электрические потери
мощности в активном сопротивлении обмотки (потери в меди)
статора: тх — число фаз обмотки статора; /, — ток статора; РмХ = (РгХ +
+ РъХ) — потери мощности в магнитопроводе статора, равные сумме
потерь на гистерезис и на вихревые токи (потери в стали статора);
Рэм = 0.ХМ= т2Е212 соз у2 — электромагнитная мощность, передаваемая
ротору вращающимся магнитным полем; т2 — число фаз обмотки
ротора; Е2 — ЭДС неподвижного ротора; /2 —ток ротора; у2 — угол
между током 12 и ЭДС Е2 ротора; 0.х = -^- = — — угловая частота
60 р
вращения поля статора; со, = 2к/х — угловая частота тока ротора; р —
число пар полюсов двигателя; Ры2 = (Рг2 + Рь2) — потери мощности
в магнитопроводе ротора, равные сумме потерь на гистерезис и на
вихревые токи в роторе; Рэ2 = тп21\К2 — электрические потери
мощности в обмотках ротора {потери в меди); потери Ри2« 0; Р^ —
механические потери мощности в двигателе (потери, возникаемые от
трения в подшипниках и трения ротора о воздух); Р'ЭМ = С12М—
мощность, развиваемая электродвигателем на валу с учетом
механических потерь мощности Рмех; Р2 = Мп2/9550 — полезная мощность на
валу электродвигателя*; С12 = 2кп2/60 = а^р — угловая частота
вращения ротора двигателя; сог = 2п/2 — угловая частота тока ротора.
Электромагнитная мощность асинхронного двигателя:
Рэы = т2Е212 со8\|/2 = 4,44К2т2/1м?2Фт12 соз\|/2 = — А/,
р
откуда электромагнитный момент, развиваемый асинхронным
электродвигателем:
Л/=СмФт/2С08\|/2,
где машинная постоянная
г _ 4МК\щрАщ
Вращающий момент асинхронного двигателя можно определить
и исходя из электрических потерь мощности в обмотках фаз ротора:
откуда М =
О)! 5
Р
Рэ2 = т21\К2 = Рэи - Рисх = М —,
р
<й\5 Щ5
* В каталогах и паспортах асинхронных электродвигателей обозначают
номинальную мощность на валу Рном, частоту вращения ротора пНШу потребляемый ток /„о,,.
В расчетных формулах эти величины записываются с индексами Р2ноы, п^^, 11нш.
262

Скольжению ротора 5=1 соответствует выражение для пускового
момента асинхронного двигателя (#2 = 0):
_ ртМ&КЬ
■'"пуск "-
Щ
Приведенный ток ротора Г2 можно выразить через параметры
схемы замещения с учетом того, что полное сопротивление
намагничивающего контура намного больше полного сопротивления
обмотки статора двигателя, т.е.
20 = л/Ло +Х1 » 2Х = ^К\ +Х?, /2' =
и
2
При этом формулу для момента асинхронного электродвигателя
приводят к виду:
ртхК2 #2
м = -
'- "2] + (Х1+х$)2
*3)"
Критическое скольжение 5кр = К'2/(Х1+Х2) ротора соответствует
максимальному моменту асинхронного электродвигателя, поэтому
Мрт\\1\
шах ="
2щ(Х^Х{)
Выражение для момента асинхронного электродвигателя,
записанное через максимальный момент и критическое скольжение
ротора, приводится к виду:
М =
2Л/тах
*Лкр + ^крА
Зависимости момента М, развиваемого двигателем
потребляемой мощности Рь коэффициента мощности совс^, КПД ц,
скольжения ротора ^ и тока статора /„ потребляемого двигателем из
сети, от полезной мощности, т. е. мощности на валу двигателя Р2,
являются рабочими характеристиками асинхронного
электродвигателя. При этом зависимость М(Р2) определяется выражением:
М = 975^-,кГм, или М = 9550^,Н.м.
Зависимость со8ф,(Р2)5 т.е. зависимость коэффициента
мощности асинхронного двигателя от мощности на валу, находят из
выражения соз ф! = Р2/*>/3 {/,/,.
Значение коэффициента мощности для нормальных
асинхронных электродвигателей средней мощности при номинальной
нагрузке созф1ном = 0,83...0,89.
263

Зависимость КПД асинхронного двигателя от нагрузки г\(Р2)
определяется отношением:
Ч = Р2/РХ = Р2/(Р2 + Р^9
где Рх — активная мощность, потребляемая электродвигателем из
питающей сети; Рг = Ри + Рэ1 + Рэ2 + Рмек + Ра — суммарные потери
мощности в двигателе, равные сумме потерь в магнитопроводе Рм9
электрических потерь в обмотках статора и ротора Р9 = (Р9\ + Р9д9
механических Рмсх и добавочных Рд потерь.
Пусковой ток асинхронных электродвигателей с короткозамкну-
тым ротором в 5-—10 раз превышает номинальный ток: /1пуСк =
= (5...10)/1ном. Пусковой момент составляет 0,9—1,8 от номинального
значения момента: Л/пуск = (0,9...1,8)А/|ЮМ.
Снижение напряжения #! на обмотках асинхронного двигателя
при пуске, а следовательно, и пускового тока может быть
достигнуто при использовании автотрансформатора или индукционного
регулятора, переключении обмотки статора со «звезды» на
«треугольник», включении дополнительного сопротивления в обмотку
статора двигателя.
Асинхронный электродвигатель с фазным ротором пускается в ход
с помощью пускового реостата, включенного последовательно с
обмоткой ротора.
Возможные способы регулирования частоты вращения
асинхронных электродвигателей следуют из выражения, записанного
относительно частоты вращения ротора двигателя:
бол п ч
л2 = —41-л).
р
Анализ этой формулы показывает, что частоту вращения
асинхронного двигателя можно изменить, меняя скольжение ротора з,
число пар полюсов р двигателя или частоту /х питающего
напряжения.
Литература. [1] § 10.1-10.18; [2] § 14.1-14.17; [3] § 13.1-13.11.
Примеры решения задач
12.1. Три неподвижные катушки Ах, Ву, Сг (рис. 12.1, а), оси
которых сдвинуты в пространстве на угол 2л/3, обтекаются
трехфазной системой синусоидальных токов с одинаковыми частотами /
и амплитудами 1т, сдвинутых во времени по фазе на угол у/ = —.
Определить положения вектора результирующей магнитной
индукции В0> соответствующие временнбй диаграмме токов (рис. 12.1,5)
в моменты времени (угла Ш): /=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (В}-В6 на
рис. 12.1, ж).
264

ж)
Рис. 12.1
Решение. Выражения для мгновенных значений токов в
катушках имеют вид:
1А = 1т$тШ; /Л = /т8т1юГ--у); /с = /т8ш1о>*-у 1.
Выражения для мгновенных значений магнитной индукции,
создаваемых катушками с током в момент времени 1=0
(рис. 12.1,5):
265

ЬА = Вт8тоо/= Втзтсо-0 = 0; Ъв = Вт 8т со/- — =
= 5да8тГсоО-у1 = -Д.^; 6с = Д„8т(ю/-у1 = Лту.
Можно показать, что для моментов времени /, соответствующих
точкам 7, 2, 5, 49 5, б временнбй диаграммы мгновенные значения
магнитной индукции также имеют аналогичные величины. В
приведенном уравнении знак «-» перед Вт показывает, что в данном
случае направление вектора магнитной индукции противоположно
принятому за положительное направление.
Значение результирующей магнитной _индукции, создаваемой
катушками, в момент времени /= 0: В0 = ВА + Вв + Вс.
Так как при /= 0: ВА = 0, а векторы Вс и Вв образуют между собой
угол я/3, то:
Щ = В2В + В2С- 2ВвВссо$— = В\ + В\ - 2ВвВс(-$т~] =
= В2в + В2с + ВвВс = [вт^ +(д«у) +(^73/2.^73/2) =
= В2^В1^В1^ = В1^ откуда В0 = В±.
4 4 4 4 2
Положения вектора В0 результирующей магнитной индукции,
создаваемой тремя катушками в моменты времени,
соответствующие точкам 7— 6 временнбй диаграммы (рис. 12.1, б), приведены на
рис. 12.1, в — ж.
12.2. Для условий задачи 12.1 определить частоту вращения л0
и угловую частоту вращения Ц, результирующего магнитного поля
при числе пар полюсов р= 1 и частоте переменного тока/=50 Гц.
Решение. Частота вращения результирующего магнитного поля
в секунду: п = 1/= 1 • 50 = 50 об/с, так как за время одного периода Т
поле совершает один оборот. Частота вращения результирующего
магнитного поля в минуту (1 мин = 60 с): п0 =/60 = 50 • 60 = 3000 об/мин.
Угловая (круговая) частота вращения магнитного поля:
_ тсл0 3,14-3000 -лл ,
С10 = —- = — = 314 с-1.
30 30
12.3. Определить значения ЭДС Ех и Е2, индуцируемых в фазах
статора и ротора трехфазного асинхронного электродвигателя, и частоту
тока/ в роторе при номинальной нагрузке и неподвижном его
состоянии. Амплитудное значение магнитного потока двигателя Фт =
= 15 • 105 Мкс, числа витков обмоток статора и ротора: щ = 200 и^2 = 20,
номинальное скольжение ротора ^ом = 0,05, частота напряжения
питающей сети/ = 50 Гц, числа фаз обмотки статора и ротора: /и, = гп2 = 3.
266

Решение. ЭДС, индуцируемые в обмотках статора двигателя:
Ех = АМКх/щФт = 4,44 • 0,94 • 200 -50 15-105 • 10"* = 625 В,
где Кх — обмоточный коэффициент обмотки статора (принимаем
А, = 0,94; 10"8Мкс=1Вб).
ЭДС, индуцируемая в неподвижном роторе двигателя:
Е2 = Е1^^1 = 6252^* =63,8 В,
тхщКх 3 - 200 • 0,94
где К2 — обмоточный коэффициент обмотки ротора асинхронного
двигателя (принимаем #2 = 0,96).
ЭДС, индуцируемая в обмотке ротора асинхронного двигателя
при номинальной нагрузке (при номинальном скольжении
ротора *ном):
Еъ = *номЯ2 = 0,05 -63,8 = 3,19 В.
Частота тока в роторе двигателя:
при номинальной нагрузке (при 5=5„ом): /ъ =/хзноы = 50 • 0,05 = 2,5 Гц;
при неподвижном состоянии ротора (при пуске, т.е. при 5=1):
/2пуск=^пуск=50.1 = 50ГЦ.
12.4. Для привода насоса использован трехфазный асинхронный
электродвигатель с короткозамкнутым ротором (рис. 12.4) с числом
пар полюсов р и частотой вращения ротора л2, приведенными
в табл. 12.1; двигатель питается от трехфазной сети с частотой
напряжения/=50 Гц. Определить частоту вращения л, и Л,
вращающегося магнитного поля, скольжение ^ ротора, частоту /2щск тока в
роторе при пуске и в рабочем режиме /2, а также частоту вращения
ротора п 2, частоту тока /2 в роторе при возрастании нагрузки на
валу двигателя с учетом того, что частота вращения ротора л2 при
этом уменьшилась на 5% и составляет 0,95л2.
Решение. Частота вращения магнитного поля (синхронная
частота вращения) при числе пар полюсов р = 1 (см. строку 1
табл. 12.1):
60Л 60-50 ОЛЛЛ _.
пх = —— = = 3000 об/мин.
Р 1
ЗхЗОО в
л
\\
||фп
_©_
шшпмишш
ишпшпшш
ъ
г
Рис. 12.4
267

Угловая частота вращения магнитного поля:
Л тс/10 3,14-3000 -%А .
&, = —- = = 314 рад/с.
зо зо к^
Скольжение ротора двигателя:
я1-л2 3000-2880 120 л Лу|
5! = — = = = 0,04.
нх 3000 3000
Частота вращения ротора двигателя:
пг = 0,96/1, = 0,96 • 3000 = 2800 об/мин, [п2 = л,(1 - *)].
Частота тока в роторе двигателя при пуске (л2пус!с = 0> Дпуск=1):
/2цас=У|* = 50-1 = 50Гц.
Частота тока ротора при частоте вращения двигателя п2: /2=/,$=
= 50-0,04 = 2 Гц.
Частота вращения ротора при возросшей нагрузке на валу
двигателя: п'г = 0,95л2 = 0,95 • 2880 = 2736 об/мин.
Скольжение ротора при возросшей нагрузке:
= Щ= 3000- 2736 8
пх 3000
Частота тока ротора при возросшей нагрузке: /"=/;$' = 50-0,088 =
= 4,4 Гц.
Результаты расчетов для других чисел пар полюсов р
асинхронного двигателя представлены в табл. 12.1.
Таблица 12.1
Заданные величины
Р
1
2
3
4
5
/., Гц
50
50
50
50
50
«2»
об/мин
0,96/1,
0,965л,
0,965/1,
0,97/1,
0,97/1,
Рассчитанные величины
об/мин
3000
1500
1000
750
600
рад/с
314
157
105
78,5
63
«2»
об/мин
2880
1447,5
965
727,5
582
5
0,04
0,035
0,035
0,03
0,03
/и Гц
2
1,75
1,75
1,5
1,5
4
об/мин
2736,0
1375,12
916,75
691,12
552,9
//. Гц
4,4
4,15
4,16
3,5
3,9
12.5. Определить пусковой Л/пуск и максимальный М^ моменты,
а также пусковой ток /1пуск асинхронного электродвигателя при
напряжении на его зажимах, пониженном на 20% от номинального
линейного напряжения 1/]ты = 380 В. Номинальная мощность
двигателя РЪклл = 13 кВт, номинальная частота вращения л^ = 1450 об/мин,
кратность пускового Мпуск/Мноы= 1,3 и максимального М^/М^^
= 2 моментов, кратность пускового тока при номинальном
напряжении /1пуск//,ном = 7, номинальные значения: КПД т]ном = 0,885 и
коэффициент мощности со8ф1ном = 0,88.
Решение. Номинальный момент на валу асинхронного двигателя:
Л/ном = 9550^^- = 9550— = 85,6 Н - м.
«гном Н50
268

Пусковой момент двигателя: Л/П>ск= 1,ЗАГном = 1,3-85,6= 113,8 Нм.
Максимальный момент двигателя: А^ = 2Мном = 2 • 85,6 = 171,2 Н • м.
Начальный пусковой момент двигателя при пониженном
напряжении (пропорционален квадрату приложенного напряжения 1/}):
Л^ск = | :^^1 Мпуск = 0,64 -113,8 = 88,6 Н. м.
,, __ Годном Г
Максимальный момент асинхронного двигателя при
пониженном напряжении:
М'т„ = Г^1™ 1 Мтах = 0,64 • 171,2 = 109,5 Н - м.
Номинальный ток двигателя:
г ^ном _ 13-Ю3 -25 1 Л
Л. 1 ион —" Г"* "~ — Л*»} • • ДЛ«
Л 1/1нои соз ф1н0мЛном 1,73 .380 . 0,88 . 0,885'
Пусковой ток двигателя при номинальном напряжении: /1пуск =
= 7/1ном = 7.25,4 = 178А.
Пусковой ток асинхронного двигателя при пониженном
напряжении (ток пропорционален приложенному напряжению Цх):
/(пускАпуск = 0,8^1ном/171ном = 0,8, откуда Г]пуск = 0,8/1пуск = 0,8-178 = 143 А.
12.6. В условиях задачи 12.5 определить добавочное активное
сопротивление Кдоб, необходимое для включения в каждую фазу
обмотки статора асинхронного электродвигателя, соединенной
«звездой», для уменьшения пускового тока /1пуск = 178А до значения
^1пуск = 2/ыом = 2 • 25,4 = 50,8 А. Активное сопротивление фазы
двигателя при коротком замыкании Лк = 0,4Ом.
Решение. Полное сопротивление фазы асинхронного
двигателя при пуске (при коротком замыкании):
2к = ЦномЛ/3/1пуск = 380/Л • 178 = 1,23 Ом.
Индуктивное сопротивление фазы асинхронного двигателя при
пуске:
Хк = 42*-К\ = VIДЗ2 - 0,42 = 1Д5 Ом.
Полное сопротивление фазы асинхронного двигателя при
пониженном пусковом токе:
7, = Ц— = 380_ = 4^4 0м
Л/{пуск л/З-50,8
Добавочное активное сопротивление для ограничения пускового
тока асинхронного двигателя в заданных пределах:
Лдоб = 4(21)2-*1-Я* =л/4342-1Д52-0,4 = 4,17-0,4 = 3,77 0м.
269

12.7. Для водозаполненного трехфазного асинхронного
электродвигателя АПД-136/2 с короткозамкнутым ротором, обмотки
статора которого соединены «звездой», определить в режиме холостого
хода коэффициент мощности соз ср^, электрические потери РЭ1 в
обмотках статора, а также суммарные РЕ магнитные Рм и
механические Рмех потери мощности в двигателе при номинальном
напряжении #1ном = 380В. Ток и мощность холостого хода соответственно
составляют /0 = 8,8А, Р0 =1072 Вт, активное сопротивление обмотки
статора К} =0,616 Ом.
Решение. Коэффициент мощности при холостом ходе:
ро 1072 с\л*с
со8ф0 = -т= = -?= = 0,186.
^#1ном/о л/3-5380-8,8
Электрические потери мощности в обмотках статора при
холостом ходе: Рэ1 = 3/$Д, = 3-8,82-0,616 =143 Вт.
Суммарные магнитные и механические потери мощности при
холостом ходе: РЕ = Ри + Рмех = Р0 - Р*\ = Ю72 -143 = 929 Вт.
12.8. Определить суммарные Ръ магнитные Рм и механические Рмех
потери мощности в водозаполненном трехфазном асинхронном
электродвигателе с короткозамкнутым ротором АПД-136/2 с
номинальным линейным напряжением (71||0М = 380 В по данным табл. 12.2,
полученным в процессе проведения опыта холостого хода при
изменении напряжения при номинальной частоте тока / = 50 Гц
питающей сети. В табл. 12.2 110, 10, Р0, со8 % — соответственно
напряжение, ток, мощность и коэффициент мощности при холостом ходе.
Решение. Находим по приведенным в табл. 12.2 данным
суммарные Ръ магнитные и механические потери мощности в режиме
холостого хода двигателя, вычитая из подводимой мощности Р0
электрические потери мощности Рэ1 в обмотке статора: Р1 = Рм + />мвс = Р0-Рэ|.
Механические потери мощности определяют графическим
путем, при этом в одной системе координат строят зависимости
{Ры + Ршш)(Ц>) и (Р« + РЫСХ)(1Я).
Таблица 12.2
Величины
Замеренные
(Г.
В
420
380
360
330
300
270
225
130
/•
А
11,5
8,8
7,75
6,5
5,25
4,75
3,75
2,5
Р.
Вт
1550
1072
1020
895
765
675
525
448
Рассчитанные
т
в
176 400
144 400
129 600
108 900
90 000
72 900
50 625
16 900
С08ф,
-
0,185
0,186
0,212
0,241
0,282
0,303
0,36
0,78
Л,
Вт
246
143
111
78
51
42
26
12
Рг
Вт
1304
929
919
817
714
633
499
436
270

(Л,+Л«х>> Вт
750
500
250
(Л.+Л,.х>(Оо>/ '
У У
- ^*уУ уУ
^У^
'>м+Л,ехКЦ>) '
III!'
1 У^1
Р"
Г 1
1 1
Р
л мех
Г |
0 80 160 240 320 С/0, В
40
80
Рис. 12.8
120 160-Ю3^}, В2
Экстраполяция указанных
зависимостей до пересечения с
осью ординат (рис. 12.8)
позволяет определить механические
потери мощности Рмех в
двигателе, так как магнитные Ры и
электрические Рэ1 потери мощности
при напряжении холостого хода
170 = 0 равны нулю. Среднее
значение отрезка, отсекаемого
зависимостями Р^Щ) и Ръ(Щ) на оси
ординат, и представляет собой
величину механических потерь
мощности Рмех. Из рис. 12.8
видно, что Рмех = 340Вт.
Магнитные потери мощности Ри в асинхронном двигателе при
номинальном напряжении (1/0 = С/,ном = 380 В):
Л = (/>м + Рмех)-Лех = 929-340 = 589Вт,
12.9. При номинальном режиме работы трехфазного
асинхронного электродвигателя АПД-136/2 с короткозамкнутым ротором,
обмотки которого соединены «звездой», определить номинальные
значения: полезной мощности на валу Р2шт и КПД т]ном, построить
рабочие характеристики двигателя. Подводимая к двигателю
мощность Р1иом = 10,29 кВт, номинальный линейный ток /1ном = 19,8 А,
номинальное линейное напряжение 1/]ноы = 380 В, частота вращения
&2ж>м = 298,3 с"1 (л2НОМ = 2850 об/мин), механические потери мощности
Рмех = 340 Вт, суммарные магнитные потери мощности Ры = 589,5 Вт,
активное сопротивление фазы обмотки статора Л, = 0,734 Ом,
частота питающего напряжения /, = 50 Гц.
Решение. Угловая частота вращения магнитного поля
асинхронного двигателя:
П1 =
2п/х 2 • ЗД4 • 50
Р
60/1
Р
1
60-50
= 314с-
или щ = —^ = = 3000 об/мин,
где р — число пар полюсов (р= 1), так как в обозначении типа этого
двигателя в знаменателе указано число полюсов, равное 2, т. е.
число пар полюсов р=1.
Скольжение ротора двигателя при номинальном режиме работы:
^1-Л2н0м 314-298,3 15,7
ИЛИ 5ноы =
•'ном ~~
п\ -л2ном
"1
3000-
314
314
= 0,05,
2850
"I
3000
= 0,05, или яном = 0,05 • 100% = 5%.
271

л2, Ри Мъ
об/мин кВт Н-М Т| С05ф! /,, А
3000
1500
[-
р 24
р ,6
г 8
г
- 12
- 8
- 4
8
- 6
- 4
- 2
_
- 0,9
- 0,6
• 0,3
80
- 60
- 40
- 20
-
/
1 1
1/
Ч
»2
/С05ф1
1 ... 1
■^ .
у/\
/уу^л
1 1
12 16
/V кВт
Рис. 12.9
Номинальные электрические потери мощности в обмотках
статора двигателя:
Рэ1н„м = 3/?номЛ1 = 319)820,734 = 865Вт,
Номинальная электромагнитная мощность двигателя:
Ршшш = Лном - </>« + Рэ 1„ом) = Ю 290 - (589,5 + 865) = 8835,5 Вт,
Номинальные электрические потери мощности в обмотке ротора
двигателя:
Рэ2ном = ^эмном^ном = 8835,5 -0,05 = 441,78 Вт.
Номинальные добавочные потери мощности в асинхронном
двигателе при токе нагрузки /1ном рассчитывают по формуле:
добном шо 1ном^/1но^ 1(Ю ^19^ 1(Ю
Суммарные номинальные потери мощности в асинхронном
двигателе:
ЪР*ш = Л 1ном + Л 2ном + Ри + Л,ех + ^добмех = 865 + 441,78 + 589,5 + 340 +
+ 51 = 2287 Вт (магнитными потерями в роторе асинхронного
двигателя пренебрегаем вследствие незначительной их величины).
Номинальная полезная мощность на валу асинхронного
двигателя: Р2иоы = Р1ном - ЕРН0М = 10 290 - 2287 = 8003 Вт.
Номинальный КПД асинхронного двигателя:
Чном ~~
*2ном
Мном
г2ном
8003
10 290
= 0,776
или п% = 0,776 -100% = 77,6
272

Номинальный коэффициент мощности асинхронного двигателя:
созф1ном = г 1ном = = 0,79.
7з^1ном/1ном 1,73-380.19,8
Аналогично по приведенным ранее формулам ведутся расчеты
и для других нагрузок асинхронного двигателя, которые сведены
в табл. 12.3 его рабочих характеристик.
На рис. 12.9 приведены рабочие характеристики асинхронного
двигателя АПД-136/2: Ри /,, Мъ пъ т], со^^(Р2) при
номинальном питающем напряжении 1/1иом = соп&1.
12.10. По данным опытов холостого хода и короткого
замыкания асинхронного электродвигателя АПД-136/2 определить
приближенное значение его КПД т]ном при номинальной нагрузке.
Потери мощности холостого хода при номинальном (У1ном: Р0=1072Вт,
мощность короткого замыкания при номинальном токе Рк= 1700Вт
(принимается равной суммарным электрическим потерям
мощности), номинальная полезная мощность на валу Р2ноМ = 8003 Вт.
Решение. КПД асинхронного двигателя при номинальной
нагрузке
Р>жшШ>% 8003-100 8003-100 ПА сп/
Лном = —— = = = 74,5%.
- " - " 8003 + 1072 + 1700 10775
12.11. Трехфазный асинхронный электродвигатель с
контактными кольцами с числом пар полюсов р = 4 имеет номинальные:
мощность на валу Р2ном = 75 кВт, линейное напряжение 1/]иом = 380 В,
частоту тока /, = 50 Гц, ток статора /1ном = 148 А, ток ротора /2ном =
= 220 А, частоту вращения л2ном = 720 об/мин, отношение моментов
Мтях/МН<ЯА = 2,4. Обмотки статора и ротора двигателя соединены
«звездой», напряжение холостого хода <720 = 1?20 = 213 В. Определить
номинальное скольжение 5Н0М, номинальный Мнош максимальный Мтяк
и пусковой А/п^к моменты, критическое скольжение ротора з^ и
активное сопротивление К2 фазы ротора электродвигателя при
выведенном реостате в цепи ротора.
Рассчитать значение добавочного активного сопротивления Каоб
фазы ротора при пусковом моменте Л/пуск=2Л/Н0М, определить значение
добавочного сопротивления при пусковом моменте Мпуск = 095Миои
и частоте вращения ротора /12 = 0,5л,. Активным сопротивлением
обмотки статора Ки а также током холостого хода /0 при расчете
пренебречь.
Решение. Частота вращения магнитного поля асинхронного
двигателя:
60/! 60-50 _.п Л/
пх = —^ = = 750 об/мин.
Р 4
273

Ц»о-, В
1
380
380
380
380
380
380
380
380
380
380
380
380
/|, А
2
8,8
10
11,25
12,8
14,5
16,7
19,8
20,2
21,6
25,1
27,3
49
*„Вт
3
1072
2550
4280
5580
6585
8115
10 290
10 520
11550
13650
15105
25 750
тг, об/мин
4
2992
2980
2690
2940
2910
2850
2845
2806
2760
2687
2330
2865
1, %
5
0,267
0,667
1,33
2
3
4,5
5,00
5,17
6,46
8,0
10,46
22,3
СОЗф,
6
0,185
0,388
0,58
0,663
0,69
0,738
0,788
0,79
0,814
0,821
0,844
0,797
Ль Вт
7
143
220
279
362
464
615
865
896
1025
1390
1640
5300
Номинальное скольжение ротора:
''НОМ
Л1-Л2ном 750-720
/I! 750
Номинальный момент двигателя:
= 0,04 или 5ном = 4%.
Мноы = 9550^*- = 9550^ = 996 Н • м.
Л2ном
75
720
Максимальный момент двигателя:
Мтах = 2,4Л/Н0М = 2,4 - 996 = 2390 Н • м.
Критическое скольжение ротора л^ при отсутствии добавочного
активного сопротивления в цепи его обмоток может быть найдено
из упрощенной формулы Клосса. Для номинального режима работы:
-'"ном ~~ '
2Мп
5нои/5кр "*" ^кр/^ном
учитывая, что зкр>зжт9 находим;
, откуда 4> + 4ои = 2
мш
ми
$ка ~~ ^»
Л/п
II АГтах | *
= 0,04 [2,4 + 7(2,4)2-1] = 0,182.
Активное сопротивление фазы ротора асинхронного двигателя
находим из формулы:
М ном = — , откуда К2 =
&1*ном
"4^2»
996 ■ 78,5 .0,04
3 • 2202
= 0,0216 Ом,
где т2 = 3 — число фаз обмотки ротора; &{ — угловая частота враща-
_ ппх 3,14-750 -0. ,
ющегося магнитного поля, &• = —*- = = 78,5 с-1.
30 30
274

Таблица 12.3
Ли. ^
8
340
1740,5
3411,5
4628,5
5531,5
6710,5
8835,5
9034,5
9935,5
11670,5
12 875,5
19 860,5
Л2, ВТ
9
9,1
11,6
44,4
32,6
166
302
441
467
643
934
1345
4430
Лоб, Вт
10
1,05
12,75
21,4
27,9
32,9
40,6
51
52,6
57,6
68,3
75,7
128,5
Л. Вт
11
0
1376,15
3005,7
4168
4992,6
6227,9
8003,5
8174,9
8894,9
10 328,2
11 194,8
14 962
Л, %
12
0
54
70
74,6
75,7
76,7
77,6
77,6
77
75,5
73,6
58,1
М2, Нм
13
0
4,51
9,87
13,8
16,7
21,2
27,3
28,0
31,0
36,4
40,3
,62,6
Режим работы
14
Холостой
ход
Нагрузка
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
Критическое скольжение ротора асинхронного двигателя при
пусковом моменте МЩСК~2М№Ш:
м*
мт
Мп
м„
-1
= 1
ш-
= 1,865,
а ^пуск- !•
так как Мтах = 2,4Мт
Критическое скольжение ротора двигателя при отсутствии
добавочного активного сопротивления в цепи ротора
с{я2
с =
то же, при наличии добавочного сопротивления при
Отношения критических скольжений ротора:
<р _ с1(я2 + я^об)/1]к2+(х1+с1х^2 я2 + Я'ао6 ^ д2 + лдоб
5^ схкуЩ+^7<\х№ я2 *2 '
откуда, принимая поправочный коэффициент Сх = \, имеем: Ялоб =
= Л2(^>Акр - 1) = 0,0216(1,865/0,182 -1) = 0,202 Ом.
Критическое скольжение ротора при пусковом моменте
двигателя А/пуск = 0,5Л/НОМ и частоте вращения п2 = 095п1:
■^кр - -45
мп
мп
ШГ'Н^Ш7'
= 0,5 [4,8 + Дв^Т] = 4,75, где *0,5 =
гц - 0,5/1! _ 750 - 0,5 - 750
п\
750
= 0,5.
275

Добавочное активное сопротивление в цепи ротора двигателя
при Л/пуск = 0,5Л/ном и л2 = 0,5л2ном:
Лдоб ~ &1
-1 = 0,0216
(,0,182 )
Ом.
12.12. Для условий задачи 12.11 определить величину
добавочного активного сопротивления /?доб, которое необходимо включить
в цепь ротора асинхронного двигателя, чтобы при неизменной
частоте напряжения питающей сети /х = 50 Гц и электромагнитом Л/эм
моменте угловая частота вращения ротора &2 = 52,3 с"1 (п2 = 500 об/мин).
Решение. Скольжение ротора при частоте вращения ротора
двигателя &2 = 52,3 с"1:
з =
С1{ - Й2 78,5 - 52,3
= 0,33 или 5 =
п{-п2 750 - 500
= 0^3.
Й! 78,5 щ 750
Величина добавочного активного сопротивления в цепи ротора
двигателя при 02 = 52,3с-1:
(Лдоб + Л2)А = Л2Аном, '
откуда ДДоб = Я2
-11 = 0,0216
(Чзз
0,04
-1
= 0,156 Ом,
где 5ном = 0,04 — номинальное скольжение ротора; К2 = 0,0216 Ом —
активное сопротивление фазы ротора.
12.13. Для условий задачи 12.11 определить величину
добавочного активного сопротивления Лдоб, включенного в цепь ротора
асинхронного электродвигателя в режиме противовключения и в
генераторном режиме, а также ток ротора 12 в режиме
противовключения при частоте вращения пт = 500 об/мин и моменте торможения
МТ = 0,75Л/НОМ. В генераторном режиме электродвигатель развивает
сверхсинхронную скорость, равную пт = 2800 об/мин, и момент на
валу МГ=1,2Л/Н0М.
Решение. Скольжение ротора двигателя в режиме
противовключения:
750-(-500)
*т =
п\
= 1,67.
пх 750
Момент торможения на валу двигателя в режиме
противовключения: Мт = 0,75МНОМ = 0,75 • 996 = 747 Н • м.
Критическое скольжение ротора в режиме противовключения:
м„
мт
= 1,67
2390 \(то}2 .
747
= 1,67 [3,2 + Д22-!] = 1,67 • 6,26 = 10,45.
276

Добавочное активное сопротивление в цепи ротора в режиме
противовключения:
Ядобт = ^Г— - 0 = 0,0216р^ -11 = 0,0216 • 56,5 = 1,22 Ом,
У^ном ) ^0,182 )
Ток ротора в режиме противовключения:
Е20 213
/2т='
л,
Яг + Ядоб
0 ^0,0216 + 1,22 V
+^2 ип{~^~]+0Д452
213
213
= 160,5 А.
1,73 Д58 1,32
Скольжение ротора в генераторном режиме:
*г =
пх-пт
750 - 2800
= -2,73.
пх 750
Момент нагрузки на валу двигателя в генераторном режиме:
Л/г = -1,2Л/ном = -1,2-996 = -1187Н-м.
Максимальное скольжение ротора в генераторном режиме:
•*крг "~ «*г
Мп
м„
мт
м.
-1
= -2,73
-2390
-1187
И 2390
'^1187
У
= -2,73(2,01 + 72,012-1) = -2,73(2,01 +1,73) = -10Д.
Добавочное сопротивление в цепи ротора в генераторном режиме:
12.14. Рассчитать по приближенным формулам и построить
механические характеристики М(з) и п2(М) асинхронного
электродвигателя с короткозамкнутым ротором, с номинальной мощностью
Р2ном = 3,2кВт и номинальным числом оборотов п2иоы= 1440 об/мин.
Кратность пускового момента М„^к/Мнои= 1,1, число пар полюсов
двигателя р = 2, частота питающего напряжения /, = 50 Гц.
Механическими потерями мощности Рыск при расчете пренебречь.
Решение. Синхронная круговая частота вращения
магнитного поля двигателя:
О, =
2к/х 2 • 3,14 • 50
Р 2
Синхронная частота вращения поля:
= 157 с-1.
пх =
60/! 60-50
= 1500 об/мин.
277

л2, об/мин О, с-1
9*=
30 5о1
+А/, Нм
-л2, об/мин О, с-1
Рис. 12.14
Номинальное скольжение ротора:
''НОМ ~~
«1 - Огно* 157 - 150,72
ИЛИ 5„ои =
«1
л1 ~ л2ном
157
1500 -1400
где а2н0|| =
«Л 2 ном
1500
3,14 • 1440
= 0,04
= 0,04,
= 150,72 с-1
30 зо
Номинальный момент нагрузки на валу двигателя:
Мио» = 9550^^ = 9550-^- = 21,2 Н • м.
"гном 1440
Пусковой момент двигателя: М^^ = 1,1Л/ном = 1,1 • 21,2 = 23,4 Н • м.
Критическое скольжение ротора асинхронного двигателя может
быть определено из упрощенного уравнения механической
характеристики при пуске
•*"пуск — ^
пуск
1
+ Д*
с учетом того, что момент на валу при номинальной нагрузке
мты = ■
лкр
Дном Дю
Дкр ^ном
В результате совместного решения указанных уравнений имеем
Дном
1
(м \
т пуск 1
м "5иом
^^ном )
•*"пуск
" . - Дном
/0,04(1,1-0,04) =
V 1-1,1-0,04
Мн
278

Максимальный момент, развиваемый асинхронным двигателем:
Л/пи* =
__ -*"пуск
{Ы="^2|Ин-
М.
Кратность максимального момента асинхронного двигателя по
отношению к номинальному его значению: Мтах/Миом = 58/21,2=-2,72.
Координаты естественной механической характеристики
асинхронного двигателя для различных значений скольжений ротора
рассчитывают по формулам:
Л/ =
2М„
2-58
5К0 5
0,21
И П2 = Л11<1 - 5).
Лкр л 0,21 5
Результаты расчетов сведены в табл. 12.4.
Таблица 12.4
Величины, соответствующие работе
асинхронного электродвигателя в режимах
двигателя ■ вротнвовжлючення
0
0,21
0,4
0,6
0,8
1,0
1,5
2,0
1 0,21
0,21 ' I
-
2,00
2,43
3,20
4,07
4,97
7,28
9,63
МУ
Н*м
0
58,0
48,36
36,78
28,94
23,4
16,19
12,26
Пг,
с-1
157
125,6
94,2
62,8
31,4
0
-78,5
-157
*2.
об/мин
1500
1200
900
600
300
0
-750
-1500
генератора
0
-0,21
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,5
-2,0
м,
Н-м
0
-58,86
-48,36
-36,78
-28,94
-23,54
-16,19
-12,26
«2,
об/мин
1500
1800
2100
2400
2550
3000
3750
4500
работы
двигателя
Идеальный
холостой ход
Тоже
Нагрузки
»
»
Противо-
включения
»
Координаты характерных точек механических характеристик
асинхронного двигателя в двигательном режиме: $ном = 0,04; Мнои = 21,2 Н • м;
5кр = 0,21; Л/тах = 58Н-м; 5^=1; МТкт^ 23,4Н-м.
На рис. 12.14, а, б приведены механические характеристики
асинхронного двигателя з(М) и л2(Л/), рассчитанные по приближенным
формулам.
12.15. Для условий задачи 12.14 построить механическую
характеристику асинхронного электродвигателя в пределах ее линейной
части (в интервале скольжений от 5 = 0 до я*,,).
Решение. Координаты режима идеального холостого хода
асинхронного двигателя: со, = 157 с"1; А/ = 0. Координаты номинального
режима работы асинхронного двигателя:
П2
дя2но1
30
3,14 • 1440
30
= 150,72 с-1; Миом = 21,2 Н • м.
279

со2, с-
150
120
60
^Г
л/
'"ном
_.°>2ном
1 1 "7! 1 1
о
На рис. 12.15 приведена
механическая характеристика асинхронного
двигателя (о2(АО для заданных
условий.
12.16. Построить механическую
характеристику асинхронного
электродвигателя с фазным ротором в
двигательном и генераторном режимах
работы. Номинальные данные
двигателя: мощность на валу Р2ном = 75кВт,
линейное напряжение 11Хном = 380 В, частота вращения ротора л2ном =
= 720 об/мин, ЭДС ротора Е20 = #20 = 213 В, ток ротора /2жш = 220А,
сопротивления обмоток статора и ротора: Кх = 0,04 Ом, Хх = 0,2 Ом,
К2 = 0,0216 Ом, Х2 = 0,145 Ом, число пар полюсов двигателя /> = 4,
частота питающего напряжения /х = 50 Гц.
Решение. Коэффициент трансформации асинхронного
двигателя
8 16 24 Л/, Н м
Рис. 12.15
П =
Ех 0,951/Хтм 0,95 • 380
213
= 1,7
^20 Ею
(учитывая, что тх = т2и принимая обмоточные коэффициенты Кх = К2).
Приведенные сопротивления обмотки ротора и сопротивления
короткого замыкания асинхронного двигателя:
Я; = л2Д2=1,720,0216 = 0,0625 Ом; ^ = л2Х2=1,720,145 = 0,42Ом;
КК = КХ + К'2 = 0,04 + 0,0625 = 0,1025 Ом; Хк = Хх + Х{ = 0,2 + 0,42 = 0,62 Ом.
Критическое скольжение ротора двигателя
*кр=±-
= ±-
0,0625
±0Д.
\1Ц+(ХХ+Х& ^/0,042 + 0,622
Синхронная частота вращения ротора: «! = 60/!//! = 60 • 50/4 =
= 750 об/мин.
Синхронная угловая частота вращения магнитного поля
двигателя:
_ 2п/х 2 • 3,14 - 50
78,5 с-
Р 4
Максимальный момент асинхронного двигателя
з|^=Ч з|
Мтях = ■
Ш
2Й, \кх + № + (Хх + ХЬ)2] 2-78,5 [о,042 + ^/о,22 + 0,4221
144400
157,66
= 915,895Нм = 0,92кНм.
280

Максимальный момент
асинхронного двигателя в генераторном режиме
п2, об/мин П, С"1
7
мт
^1н
Л
2а1\я1-.Щ+{Х1 +Ц)2]
или Мшхг = Мт
Я1-^Я2 + (Х1+Х{)2
0,042-70,042 + 0,622
Механическую характеристику
асинхронного двигателя рассчитывают по
уравнениям:
в двигательном режиме
-М-0,8 -0,4 0 0,4 0,8
М, кНм
Рис. 12.16
м _ 2Мтаха(\ + а5кр) _ 2 - 0,92(1 + 0,641- 0,1)
Мд ~ 5 5^ 5 . 0,1
+ —- + 2<м»
1,958
5 1),1 5 0,1
— + — + 2 • 0,641 -0,1 — + — + 0,128
0,1 5 0,1 5
Нм,
где а = К}/К'2 = 0,04/0,0625 = 0,641;
в генераторном режиме
2А/тахг(1 + Юкр) _ -2-1,05-0,936
А/г =
-1,958
5 Лкр
+ —- + 2азк
зт 5
-0,1 5
■4- + ^»- 0Д28
-0,1 5
Нм.
Частоты вращения:
2кп\
/л V ~ АЛ/11
Л12 = Л11(1 -^); П1 = —.
Результаты расчетов сведены в табл. 12.5.
На рис. 12.16 представлена механическая характеристика
асинхронного электродвигателя в двигательном и генераторном режимах
работы.
Таблица 12.5
Величины
, соответствующие работе асинхронного двигателя в режимах
двигателя
3
0
0,1
0,3
0,5
0,8
1,0
я„ об/мин
750
675
525
375
150
0
П„ с"1
78,5
70,65
54,95
39,25
15,7
0
Млч кН-м
0
0,92
0,57
0,37
0,24
0,19
генератора
5
0
-од
-0,2
-0,6
-0,8
-1,0
яг, об/мин
750
825
900
1200
1350
1500
О., «Г'
78,5
86,35
94,2
125,6
141,3
157,0
Мп кН-м
0
-1,05
-0,83
-0,34
0,25
0,20

Глава 13
ТРЕХФАЗНЫЕ СИНХРОННЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
§ 13.1. Основные сведения о синхронных
электрических машинах и области их применения
Электрические машины переменного тока, у которых между
числом периодов генерируемого или потребляемого тока и частотой
вращения существует жесткая взаимосвязь, называются
синхронными. В конструктивном отношении статор синхронной машины
не отличается от статора асинхронной машины. Ротор выполняют
с магнитами или электромагнитами, обмотки которых питаются
постоянным током и создают необходимое для работы машины
магнитное поле. При вращении ротора возникает вращающееся
магнитное поле, силовые линии которого пересекают проводники обмотки
якоря (статора) и в соответствии с законом электромагнитной
индукции наводят в этой обмотке ЭДС. В трехфазных синхронных
машинах соединение обмотки якоря может быть выполнено либо
«звездой», либо «треугольником». Частота ЭДС, индуцируемой в
каждой фазе обмотки якоря, зависит от числа пар полюсов р и частоты
вращения п0 ротора:
1 60 '
Она находится в зависимости от магнитного потока:
Я=4,44Ао/м;Фда,
где К0 — обмоточный коэффициент; м> — число витков одной фазы
обмотки якоря (статора); Фт — амплитудное значение магнитного
потока одной пары полюсов индуктора.
При подключении потребителя электрической энергии к
обмоткам якоря синхронная машина работает как источник, преобразуя
механическую энергию, получаемую от первичного двигателя,
в электрическую и отдавая ее в сеть потребителю. При
рассмотрении процессов, происходящих при нагрузке, каждую фазу
синхронного генератора можно рассматривать как некоторый условный
однофазный генератор синусоидальной ЭДС, к зажимам которого
подключена нагрузка, имеющая в общем случае комплексный характер.
Внешней характеристикой синхронного генератора является его
зависимость Щ1)9 т. е. зависимость напряжения V на зажимах гене-
282

ратора от тока нагрузки / (тока якоря), при постоянных значениях
тока возбуждения /в = сош1, коэффициента мощности сов ф = соп$1 и
частоты вращения ротора п0 = сопз!. Математическое выражение для
внешней характеристики синхронного генератора можно получить
исходя из уравнения электрического равновесия, записанного
относительно напряжения на его зажимах:
Ц=Е-К1-]Х1
где Е— ЭДС, индуцируемая в обмотке якоря; Ц- 2И1 — напряжение
на зажимах генератора, К, X— соответственно активное и
реактивное сопротивления обмотки якоря. Сопротивление нагрузки
Вектор ЭДС опережает вектор напряжения (7 на угол 8. При этом
с увеличением тока нагрузки этот угол рассогласования (нагрузки)
увеличивается. При активно-индуктивном характере нагрузки, когда
потребитель обладает не только активным Лн, но и цндуктивным ХЬн
сопротивлениями, соз <р < 1 (индуктивный), с увеличением нагрузки
происходит снижение напряжения на зажимах генератора за счет
падения напряжения 21 на обмотке якоря и влияния его реакции. Для
компенсации реакции якоря и падения напряжения в обмотках
якоря генератора используют регулирование тока /в возбуждения
машины. Регулировочная характеристика синхронного генератора
представляет собой зависимость 1(1^, т. е. зависимость между током
возбуждения /в и током нагрузки / при постоянной частоте вращения
л0 = сопз1 и со8ф = соп81 потребителя электроэнергии, при которой
в процессе работы обеспечивается постоянство напряжения 11= сопз*.
В ряде случаев возможна работа синхронного генератора при
постоянной мощности Р=сопз1 и изменении тока возбуждения
полюсов ротора при 1/= соп81 и /= сопз!. Выражение для активной
мощности синхронного генератора имеет вид:
/> = — Яопб,
X
где /я — число фаз; X— синхронное реактивное сопротивление
обмотки статора; 0 — угол нагрузки.
Из этого выражения следует, что при работе генератора с Р= сопз1
должно обеспечиваться условие, при котором произведение 2?81п9 =
= сопз1:. Активная мощность синхронного генератора Р=/и[//со8ф,
откуда следует, что при Р=сош1 и изменении тока возбуждения /в
активная составляющая тока якоря /а = /со8ф=соп81 должна
оставаться постоянной. Вместе с тем изменение ЭДС не должно
нарушать условия электрического равновесия. С изменением тока /якоря
от /в (11-образная кривая) происходит изменение и угла ф, а
следовательно, коэффициента мощности созф генератора. В режимах
перевозбуждения и недовозбуждения происходит снижение созф.
Свойство недовозбужденного синхронного генератора отдавать в сеть
опережающий (емкостной) ток позволяет в ряде случаев использо-
283

вать его и в качестве генератора реактивной (емкостной) мощности
для улучшения созф системы электроснабжения.
Синхронные машины обратимы и могут работать в режимах
генератора и двигателя. По сравнению с асинхронными двигателями
они имеют ряд преимуществ, особенно при незначительных
частотах вращения и больших мощностях, и изготавливаются как
трехфазными, так и однофазными. Работа синхронного
электродвигателя основана на взаимодействии поля постоянных магнитов
(электромагнитов) ротора с вращающимся магнитным полем, создаваемым
обмотками якоря. Частота вращения синхронных электродвигателей
в отличие от асинхронных строго постоянна и зависит только от
частоты / питающего напряжения и числа пар полюсов р двигателя:
щ = 60///?. При включении обмотки статора синхронного двигателя
в трехфазную сеть возникает безынерционное вращающееся
магнитное поле, которое мгновенно приобретает частоту вращения,
равную синхронной частоте вращения л0 = 60 п/р, вращаясь с
которой относительно полюсов неподвижного ротора, создается
знакопеременный момент. Ротор синхронного двигателя под действием
этого момента не в состоянии сдвинуться с места. Поэтому пуск
двигателя осуществляется с применением специальных устройств.
Чаще всего используется так называемый асинхронный пуск
синхронного двигателя, при котором в полюсных наконечниках его ротора
укладывается дополнительная короткозамкнутая обмотка,
выполняющая ту же роль, что и обмотка ротора асинхронного двигателя. При
подаче тока в обмотки ротора двигателя полюса его возбуждаются
и в результате взаимодействия магнитных полей статора и ротора
синхронный электродвигатель входит в синхронизм. При появлении
толчков, возможных при сбросе и нарастании нагрузки, в коротко-
замкнутой обмотке ротора, выполняющей роль демпфера,
возникает ток, который, взаимодействуя с полем статора, создает
тормозной момент, препятствующий изменению частоты вращения.
При изучении электромагнитных процессов, происходящих при
работе трехфазной синхронной машины в режиме
электродвигателя, каждую его фазу можно рассматривать как некоторый условный
однофазный двигатель, к зажимам которого подводится
напряжение К В соответствии с явлением самоиндукции при протекании
тока в обмотках статора индуцируется противоЭДС Е, которая
ограничивает величину тока / статора. Уравнение электрического
равновесия синхронного электродвигателя в комплексной форме в
соответствии со вторым законом Кирхгофа приводится к виду:
Ц=Е+Ы+]Х1. При этом подводимое к двигателю напряжение V
компенсируется противоЭДС Е, индуцируемой в якоре, и
падениями напряжений Я1 и }Х1 в обмотках якоря. В соответствии с этим,
исходя из предположения активно-индуктивного характера
нагрузки, следует, что ток / сети отстает по фазе от напряжения V на
угол ф с учетом того, что падение напряжения на активном
сопротивлении К1 совпадает по фазе с током /, которым оно создается,
284

Рис. 13.1.1
а реактивное падение напряжения ]Х1 находится в квадратуре
с этим током, опережая его на угол я/2. На рис. 13.1.1 представлена
упрощенная векторная диаграмма синхронного электродвигателя.
Можно показать, что в режиме двигателя характер изменения тока
якоря 7(/в) при #=соп81 и Р=сош1 также представляет собой 11-06-
разную кривую. Однако при этом в отличие от синхронного
генератора перевозбужденный синхронный двигатель потребляет из сети
опережающий по фазе напряжение ток, что позволяет использовать
его и для улучшения со$ср установки без применения статических
конденсаторов. К рабочим характеристикам синхронных
электродвигателей относятся зависимости М9 Рь ц, со8ф(Р2), т.е. зависимости
вращающего момента М, потребляемой из сети активной
мощности Рь КПД т\ и коэффициента мощности созф от полезной
мощности на валу Р2 двигателя при постоянном напряжении питающей
сети 11= сопз!, постоянной частоте / = сош1, постоянном токе
возбуждения /в = соп81. Электромагнитный момент, развиваемый
синхронным электродвигателем в процессе работы, находят в
зависимости от угла рассогласования 9:
а0х
где а0 =
2тмо о>о
■ = — — угловая частота вращения ротора. Из этого
уравнения видно, что при #=соп& и /в = соп81, а следовательно, и при
^=сопз1 момент, развиваемый синхронной машиной, является
синусоидальной функцией угла 6. Зависимость Л/(9) называется
угловой характеристикой (рис. 13.1.2).
Полезную мощность на валу синхронного двигателя
рассчитывают по формуле:
Р2 = 0,105 М2п0.
КПД электродвигателя:
где Ръ= {/в/в = /ВЛВ — мощность цепи возбуждения, подведенная к
ротору синхронного двигателя. Синхронные электродвигатели сохраняют
285

неизменной частоту вращения п0 при изменении нагрузки на валу
и позволяют улучшать соз ср потребителей электроэнергии. Они
более устойчивы к колебаниям напряжения питающей сети, чем
асинхронные, так как момент, развиваемый этими двигателями,
пропорционален питающему напряжению II в первой степени, в то
время как момент асинхронного двигателя пропорционален
квадрату напряжения II1 питающей сети.
Литература. [1] § 11.1-11.12; [2] § 15.1-15.18; [3] § 14.1-14.12.
Примеры решения задач
13.1. Для приведения в движение группы исполнительных
механизмов производственного предприятия используют асинхронные
короткозамкнутые электродвигатели серии 4А, работающие в
режиме номинальной нагрузки. Значения номинальных величин:
мощности Р2ном, КПД т]ном и коэффициента мощности соз <р1шш
электродвигателей приведены в табл. 13.1. Пренебрегая потерями мощности
холостого хода Р0, определить мощность 3К=0К синхронной
машины, работающей в режиме синхронного компенсатора,
необходимой для повышения коэффициента мощности установки до
значения соз <р2 = 0,94.
Решение. Номинальная мощность электродвигателя первой
группы: Р,ном = Р2ном/т1ном = 1,5/0,75 = 2 кВт.
Суммарная активная мощность первой группы: Р21 = #Р1ном = 10 • 2 =
= 20 кВт.
Суммарная реактивная мощность первой группы
электродвигателей: &1 = Рп *§ фном = 20 • 0,932 = 18,64 квар.
Аналогичным образом определяют суммарную активную и
реактивную мощности остальных групп электродвигателей. Полученные
расчетные данные сведены в табл. 13.1.
Общая активная мощность всех электродвигателей установки:
2-Ге = Рц + Р12 + *ЕЗ + м* + Дз=
= 20 + 13,75 + 37 + 24,35 + 64,7 = 159,8 кВт.
Таблица 13.1
Электродвигатели

группа
1
2
3
4
5
тип
4А90Ь6
4А100Ь6
4А112М6
4А112МВ6
4А113286
Число


родвигателей
N
10
5
10
5
10

Номинальная
мощность

электродвигателя
Лай»*!*
1,5
2,2
3
4
5,5
код
0,75
0,81
0,81
0,82
0,85

Номинальный
коэффициент
мощности

электродвигателя
С08 Ф1шфм
0,74
0,73
0,76
0,81
0,8
Суммарная
подведенная
мощность
группы
Рг,кВт
20
13,75
37
24,35
64,7
*Ь9шт
0,932
0,901
0,854
0,727
0,701
Суммарная
реактивная
мощность
группы
бг. квар
18,64
12,37
31,6
17,7
45,9
286

Общая реактивная мощность всех электродвигателей установки:
Щ;= 6x1+ (?12+ (?ХЗ + (?Х4 + (?Х5 =
= 18,64 + 12,37 + 31,6 + 17,7 + 45,9 = 126,21 квар.
Среднее значение 1§ <рср установки: 1§ фср = 2(?1/2/х= 126,21/159,8 =
= 0,789.
Исходя из заданного значения коэффициента мощности соз ср2 =
= 0,96 установки, определяют соответствующее значение 1§ ф2 = 0,284.
Реактивная мощность, подлежащая компенсации:
Ос = 2Р2(1§ Фср -1§ ф2) = 159,8(0,789 - 0,284) = 159,8 • 0,505 = 80,7 квар.
Пренебрегая потерями мощности при отсутствии нагрузки на
валу, определяют мощность синхронной машины, необходимую для
компенсации:
^к = л/# + 01 = V0 + 80>72 = 80>7кВ*А> т-е- ^к= 0^ = 80,7квар.
В соответствии с этим выбираем по каталогу синхронную
машину типа СМ с номинальной мощностью *УН0М= 120кВ-А.
13.2. Трехфазный синхронный электродвигатель серии СДН типа
СДН 14-49-6 имеет следующие номинальные данные: активную
мощность на валу Р2ном = 1000 кВт, число пар полюсов /> = 3,
отношение максимального момента к номинальному моменту Мт&х/Миои =
= 2,0, частоту вращения лном = 1000 об/мин, частоту питающего
напряжения /= 50 Гц. Определить номинальные значения угловой
частоты вращения йном, моменты электродвигателя Мнои и А^, угол
рассогласования (нагрузки) 0НОМ.
Решение. Номинальная угловая частота вращения
электродвигателя
0„ом = а/р = 2п//р = 2 • 3,14^ = 104,7 рад/с.
Номинальный момент электродвигателя:
аиои 104,7
Максимальный момент электродвигателя:
Л/тах = 2Л/ном = 2 • 9,55 • 103 = 19,1 Н - м.
Угол рассогласования при номинальной нагрузке
81П 0НОМ = ^=*- = - = 0,5, откуда 9ном = 30° = л/6.
13.3. В электрическую сеть с номинальным напряжением 1/ти =
= 380 В включены параллельно три синхронные трехфазные
электрические машины типа СМ 114-6 с номинальными значениями: полной
мощности *Уном = 80кВ-А, тока якоря /ном=122А, коэффициента
287

мощности со8фном = 0,9, работающие в режиме генератора.
Определить суммарную активную мощность Д„ом, отдаваемую
синхронными генераторами в сеть в номинальном режиме работы, а также
мощности Р\ и Д, отдаваемые в питающую сеть генераторами
в случае, если с изменением тока возбуждения и вращающего
момента первичного двигателя ток якоря 7, одного генератора возрос
на 10% при соз ф! = 0,96, а ток якоря 12 другого генератора снизился
на 10% при со8ф2 = 0,8.
Решение. Мощности, отдаваемые генераторами в питающую
сеть в нормальном режиме работы:
Лном = Д™ = Лном = Л #ном/ном соз Фном = Л • 380 ■ 122 • 0,9 = 72,3 кВт.
Суммарная активная мощность, отдаваемая в питающую сеть
генераторами в нормальном режиме работы:
Дном = Дном + Дном + Дном = 3 • 72,3 = 216,9 кВт.
Ток якоря генераторов в режимах, отличающихся от
номинального:
первого /1 = 1,1/ном=1,1122=134,1А,
второго /2 = 0,9/НОМ = 0,9-122 = 109,8А.
Активная мощность,- отдаваемая в питающую сеть
перегруженным генератором:
Р^Л^ноЛсовф, = Л-380-134,1 -0,96 = 86,8 кВт.
Активная мощность, отдаваемая в питающую сеть
недогруженным генератором:
Д' = Л 1/иом12 соз ф2 = Л • 380 • 109,8 • 0,8 = 57,8 кВт.
13.4. Группа трехфазных асинхронных электродвигателей
потребляет из сети суммарную активную мощность Д„ом= 15 000 кВт
при среднем коэффициенте мощности со8ф2 = со8фср = 0,65.
Определить мощность синхронного компенсатора, с помощью
которого необходимо довести коэффициент мощности установки путем
компенсации реактивной (индуктивной) составляющей до соз ф2 =
= 0,91.
Решение. На диаграмме рис. 13.4 представлена зависимость
соз ф, от соз ф2 и Кс = СУДном. Из точки с координатой соз ф2 =
= соз фср = 0,65 на оси абсцисс проводим вертикаль до пересечения
с горизонталью, проведенной из точки, соответствующей соз <р, = 0,91
на оси ординат. Находят кривую реактивной мощности,
проходящую через точку с координатами соз ф2 = 0,65 и соз ф, = 0,91. Путем
интерполяции определяют А^ = 75 (%) (в относительных единицах
А; = 0,75).
Затем определяют мощность необходимого компенсирующего
устройства (синхронного компенсатора): (?к = Д„0м^ = 15 000 • 0,75 =
= 10 500 квар.
288

С05ф
КС~~ Рг
' 1ном
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120
1,00 0,95 0,85 0,75 0,65
Рис. 13.4
0,55
210
220
0^45 со5ф2
В соответствии с полученным расчетным значением (?к
выбирают по каталогу ближайший по мощности синхронный компенсатор
серии КС типа КС-15 000-6 с номинальной мощностью *Уном =
= 15 000кВА.

Глава 14
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПРИВОД
§ 14.1. Основные сведения об электроприводе
и принципах выбора электродвигателей
Производственные машины и механизмы, как правило,
приводятся в движение с помощью электрического привода, который
включает в себя электрические двигатели, систему передачи и
аппаратуру управления. Выбор рода тока и величины питающего
напряжения приводного электродвигателя зависит от ряда факторов.
Применение электродвигателей постоянного тока в системе
электрического привода обусловливается необходимостью регулирования
частоты вращения производственного механизма. Они
характеризуются сложной технологией изготовления, более дорогие и менее
надежны в эксплуатации по сравнению с электродвигателями
переменного тока. Мощность электродвигателя должна соответствовать
мощности производственного механизма, так как занижение
мощности электродвигателя способствует преждевременному выходу его
из строя, а завышение приводит к снижению КПД т] и
коэффициента мощности созф, повышению стоимости и массогабаритных
показателей установленного электрооборудования. В большинстве
случаев электродвигатель выбирают по нагреву и проверяют по
перегрузочной способности, при этом они должны иметь достаточный
пусковой момент М^к для обеспечения нормального пуска.
При длительном режиме работы электродвигателя и неизменной
нагрузке (рис. 14.1.1, а) превышение температуры двигателя над
температурой окружающей среды определяется уравнением:
т = ту(1-е-'^),
где ту — установившаяся температура электродвигателя, °С;
/—текущее время, с; Тн — постоянная времени нагрева, с.
При длительном режиме (/=«>) значение установившейся
температуры электродвигателя:
1 = ^=6/4
где О —количество теплоты, выделяемой электродвигателем в
единицу времени, Дж/с; А — теплоотдача электродвигателя, Дж/с • град.
Постоянная времени нагрева электродвигателя определяется
отношением: Гн= С/А, где С— его теплоемкость, т. е. количество
теплоты, необходимой для повышения температуры двигателя на Г С.
290

м
1_
\ Рм
/х
Лт
Г
>*
_ т.
А
Р Р
\т
Л.
а) б)
Рис. 14.1.1
Рл
г
1.
0
А
1 Р Р Р
Ш^р
РГ
1Л
Ы—
'о
1
/
Для производственных механизмов, предназначенных для
работы в длительном неизменном режиме, мощность электродвигателя
выбирают по каталогу исходя из значения мощности, необходимой
для приведения в движение механизма при данной частоте его
вращения пм. При этом должно удовлетворяться условие РИ0М>РШ
где Рном и Ри — номинальная мощность электродвигателя и
расчетная мощность механизма.
В данном случае нет необходимости проверки электродвигателя
по нагреву, так как при номинальной нагрузке нагрев его всегда
находится в допустимых для данного класса используемой изоляции
пределах. При этом, поскольку режим работы длительный с
неизменной нагрузкой, выбранный электродвигатель на перегрузочную
способность по максимальному моменту также не проверяется.
При длительной переменной нагрузке выбор мощности
электродвигателя может быть произведен по методу эквивалентного тока,
который основан на замене действительного, изменяющегося во
времени по величине действующего значения тока, потребляемого
электродвигателем, эквивалентным током, при котором потери
мощности при этой нагрузке соответствуют средним потерям в нем
при переменном режиме работы. Исходя из этого, эквивалентное
(среднеквадратичное) значение тока, потребляемого
электродвигателем при переменном режиме работы, определяют по формуле:
1/Зуос 'пуск + Ф\ + Й Н + ~ • +~^Г
V *1<'пу«+'т) + '1+'2+... + *2'0 '
где 1и 12 и т. д.— значения токов электродвигателя в промежутки
времени /,, 12 и Т-Д> соответствующие участкам графика с
неизменной нагрузкой; 7^, /т — средние значения тока электродвигателя
соответственно во время пуска и торможения; Кх — коэффициент,
учитывающий уменьшение теплоотдачи электродвигателя при пуске
и торможении (принимается равным 0,75 для двигателей
постоянного тока и 0,5 — для асинхронных двигателей); К2 — коэффициент,
учитывающий уменьшение теплоотдачи электродвигателя во время
паузы (принимается равным 0,5 для двигателей постоянного тока
и 0,25 для асинхронных двигателей). По значению
эквивалентного тока выбирают по каталогу соответствующий электродвигатель
291

исходя из условия, что /ном > /Э1С, где /ном — номинальный ток
двигателя. Выбранный таким образом электродвигатель удовлетворяет
условиям допустимого нагрева, так как двигатели для продолжительного
режима работы имеют номинальную мощность, указываемую в
каталоге, без ограничения времени его работы. Далее электродвигатель
проверяют по перегрузочной способности исходя из условия: \>1Ы/1Н0М,
где /м — наибольший ток рабочего промежутка времени, который
находят исходя из диаграммы нагрузки двигателя. Если выбранный
по условиям нагрева электродвигатель не удовлетворяет условиям
перегрузки, то следует выбирать по каталогу двигатель большей
мощности, с тем чтобы он проходил и по перегрузочной способности.
Требуемую мощность электродвигателя (на основании
нагрузочной диаграммы при длительной переменной нагрузке, заданной
в виде графика эквивалентного момента в функции времени)
определяют по формуле:
м = \М%ск 'пуск + М\<\ +М%12 + ... + Мт2/Т
ЭК \ *1<'пуск+'т) + '1+'2 + ... + *2>0 '
где Мпуск, МТ9 Ми М2 — текущие значения момента нагрузки на валу
двигателя в соответствующие промежутки времени. При исключении
учета влияния ухудшения условий охлаждения при пуске,
торможении и остановках на нагрев двигателя эквивалентный момент
находят по упрощенной формуле, считая (/„уск + О = О-
Номинальная мощность электродвигателя определяется по
значению эквивалентного момента по формуле: Рном = МЭК/1НОМ/9550, где
Лнои — номинальная частота вращения двигателя.
Проверку электродвигателя по условиям допустимой перегрузки
производят исходя из условия: М^/М^^Хн, где Хи — кратность
максимального момента соответствующего электродвигателя по
каталогу; Л/тах — максимальный момент двигателя. Электродвигатель
проверяется также по достаточности развиваемого им пускового
момента из условия: Мпуск/Мноы < А,^, где Хпуск — кратность
пускового момента двигателя по каталогу; Мпуск — пусковой момент
электродвигателя. Если выбранный электродвигатель не удовлетворяет
условиям перегрузки или пуска, необходимо выбрать другой
электродвигатель—большей мощности. В ряде случаев вместо метода
эквивалентного момента при определении мощности
электродвигателя используется метод эквивалентной мощности РЭ|С, который
возможен при наличии соответствующей нагрузочной диаграммы
механизма, в предположении постоянства КПД т] и коэффициента
мощности со8ф двигателя.
Эквивалентная мощность электродвигателя при этом определяется
по формуле, аналогичной формуле для эквивалентного момента Л/ж:
р = рп2Уск 'пуск + Л2'1 + ?г<г + •. • + Л2'т
ЭК V *1(>пуск+'т) + '1 + '2 + ... + *2>2 '
292

Без учета влияния пуска, торможения и работы без нагрузки
формула соответственно упрощается. По расчетной величине
эквивалентной мощности по каталогу выбирают электродвигатель исходя из
условия: Риом>Рэк.
Электродвигатель проверяется также на перегрузочную
способность и по пусковому моменту М^к в соответствии с приведенными
выше формулами. При кратковременном режиме за время работы
температура электродвигателя не успевает достигнуть
установившегося значения, а время паузы достаточно велико, так что за это
время электродвигатель успевает охладиться до температуры
окружающей среды (рис. 14.1.1, б'). Промышленность изготавливает
электродвигатели для кратковременного режима работы стандартной
длительности 15, 30 и 60 мин. При кратковременном режиме работы
с постоянной неизменной одноступенчатой нагрузочной
диаграммой выбор мощности электродвигателя производится по значению
мощности при кратковременном режиме работы и заданном
времени работы в этом режиме по каталогу. При этом выбирают
двигатель одинаковой или ближайший большей мощности для заданного
времени работы. При ступенчатом кратковременном графике
нагрузки механизма определяют эквивалентные мощность, ток или
момент нагрузки. Затем по соответствующему эквивалентному их
значению для заданной номинальной частоты вращения и
длительности работы электродвигателя по каталогу выбирают мощность
электродвигателя. При этом во всех случаях должно удовлетворяться
условие: РЭК<РН0М; МЖ<МИ0М; /эк</ном. Повторно-кратковременный
режим характеризуется чередованием рабочего периода и периодов
пауз (рис. 14.1.1, в). При этом режиме работы за время /р работы
электродвигатель не успевает нагреться до установившейся
температуры, а за время /0 паузы не успевает охладиться до температуры
окружающей среды.
Повторно-кратковременный режим работы характеризуется
относительной продолжительностью включения:
где Гц = (/р + /0) — длительность цикла.
Для использования в повторно-кратковременном режиме работы
промышленностью изготавливаются специальные электродвигатели
на нормированные продолжительности включения ПВН0М: 15, 25,
40, 60 и 100%. При этом время цикла Гц в
повторно-кратковременном режиме работы двигателя не должно превышать 10 мин.
Выбор мощности электродвигателя при заданной нагрузочной
диаграмме может быть произведен по методам эквивалентного тока,
момента или мощности. При этом, если фактическая
продолжительность включения ПВ при заданном графике нагрузки отличается от
нормированной продолжительности включения ПВН0М
электродвигателя, то фактический эквивалентный ток /эк эквивалентный мо-
293

мент Мэк или эквивалентную мощность Рэк пересчитывают на
ближайшую большую или меньшую нормированную продолжительность
включения ПВН0М по соответствующим формулам
->-№Е--"'-"-№ь--*->-1
пв
ПВноы
где /эК, М'ЭК9 ^эк — соответственно эквивалентный ток,
эквивалентный момент, эквивалентная мощность при данном графике
нагрузки, пересчитанные на ПВном. По этим значениям определяется, как
указано выше, мощность электродвигателя производственного
механизма. При этом также должны выполняться условия: Гэк<1ти,
М'эк<Мном, Р^К<РН0М, где 1ты, Мном, Рнш- соответственно
номинальный ток, номинальный момент и номинальная мощность
электродвигателя по каталогу при данной нормированной
продолжительности включения ПВН0М.
Литература. [1] § 12.1-12.4; [2] § 16.1-16.5; [3] § 17.1-17.7.
Примеры решения задач
14.1. Определить приведенный момент инерции /пр подъемного
механизма (рис. 14.1), если известны следующие данные: частота
вращения вала электродвигателя Л = 75,36 с-1, масса поступательно
движущихся частей (/п = 98 000кг, передаточное число редуктора:
первой ступени /, = 8, второй ступени /2 = 8,7, диаметр барабана
*/=0,5м, момент инерции ротора электродвигателя /д = 0,668 кГ-м2,
момент инерции муфты и тормозного шкива /м = 0,225кГм2, КПД
передачи т|пеР = 0,95.
Решение. Момент инерции электродвигателя и частей
механизма, находящихся в нем на одном валу: /=/д + /м + /реД = 0,668 +
+ 0,225 + 0,2 • 0,668 = 1,08 кг • м2 (момент инерции редуктора принят
равным /редГгОД/д).
Частота вращения вала электродвигателя: п = 30&/я = (30 • 75,36)/3,14 =
= 720 об/мин.
Линейная скорость поступательно движущихся частей:
ъйп 3,14.0,5-720 п, . л л 00 .
V = — = = 11,3 м/мин = 0,188 м/с,
/ 70 '
где /=|,12 = 8 -8,7 = 70 — передаточное число редуктора.
Приведенный к валу электродвигателя момент инерции
подъемного механизма с учетом поступательно движущихся частей:
т т 9,3<7„у2 - ЛО 9,3 • 98 000 • 0Д882 1 АО Л л,0 - - с
ЛР = / + -Чг~ = 1'08 + щ^> лл1 = 1'08 + °>068 = 1Д5 кг - м2.
/|2ЛпеР 7202-0,95
14.2. Определить номинальную угловую частоту вращения &ном,
время пуска Гпуск и торможения *т электродвигателя (рис. 14.2).
Приведенный к валу электродвигателя момент инерции системы
294

По
1
"Вт
Рис. 14.1
Рис. 14.2
/пр = 2,59кг-м2, момент статического сопротивления Мст=10Н-м,
номинальная мощность трехфазного асинхронного короткозамкну-
того электродвигателя Р2ном = 7,5кВт, номинальная частота
вращения л2ном = 980 об/мин.
Решение. Номинальная угловая частота вращения
электродвигателя:
П
ял2„
3,14 • 980
2 ном
= 102,5 с->.
30 зо
Номинальный момент нагрузки на валу электродвигателя:
Миои = 9550^^- = 9550-^1 = 72,8 Н- м.
*2ном 980
Среднее значение момента на валу электродвигателя в период
пуска: А/српуск = аЛ/Н0М= 1,5-72,8 = 109 Н-м, где а — коэффициент,
характеризующий изменение момента при пуске электродвигателя
(принимается а =1,5).
Время пуска (разгона) электродвигателя до номинальной
частоты вращения лном:
'пуск —
•^пр^2н
или /пуск =
*^пря2ном
2,59-102,5
109 - 10
2,59
2,68 с
= 2,68 с.
980
9,55(Л/српуск-Л/ст) 9,55 109-10
Среднее значение тормозного момента: Му = аМнш= 1,5-72,8 =
= 109Н-м.
Время торможения электродвигателя от номинальной частоты
вращения л2ном до полной остановки (при отключении от питающей
сети):
Афоном _ 2,59-980
'т =
9,55(Л/срт - М„) 9,55(109 + 10)
= 2,2 С
14.3. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по каталогу
трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель
общепромышленного назначения защищенного исполнения для
привода вентилятора с подачей (?=9000м3/ч при давлении #=981 Па.
295

КПД вентилятора т]в = 0,35, частота вращения вентилятора пв =
= 1450 об/мин.
Решение. Расчетная мощность приводного электродвигателя
вентилятора:
Р9 = _^_10-> = ""**"•*'10* = 6,94 кВт,
ЛвЛпер 0,35 • 1
где Я—давление (напор), Па (1 мм вод. ст. = 9,81 Н/м2 = 9,81 Па);
Лпер — КПД передачи от двигателя к вентилятору (принимаем т]пер= 1).
Исходя из расчетного значения мощности Рр = 6,94 кВт, по
каталогу выбирают ближайший больший по мощности трехфазный
асинхронный короткозамкнутый электродвигатель с номинальной
частотой вращения, соответствующей частоте вращения вентилятора.
В данном случае этому соответствует асинхронный
короткозамкнутый электродвигатель типа 4А13284 с номинальными данными: Р2ном =
= 7,5 кВт, я, = 1500 об/мин; Т1НОМ = 0,87, соз ср1ном = 0,86, #1ном = 380В.
Выбранный электродвигатель проверять по нагреву и на
перегрузочную способность не требуется, так как он рассчитан на
соответствующую номинальную мощность для продолжительного режима работы и
нагрев его находится в пределах допустимого с учетом полного
использования заложенных в него активных материалов при номинальной
мощности. Нет необходимости проверять электродвигатель и по пусковому
моменту, поскольку вентиляторы (так же, как и центробежные насосы)
характеризуются весьма незначительным моментом трения в момент
трогания. Так как режим работы вентиляторов связан с незначительным
изменением нагрузки, то выбранный электродвигатель на
перегрузочную способность по максимальному моменту также не проверяется.
14.4. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по каталогу
трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель
центробежного насоса, предназначенного для перекачки воды с
подачей О=1000м3/ч. Частота вращения при непосредственном
сочленении насоса с электродвигателем и, = 1500 об/мин, КПД насоса
Лном = 0>72, напор насоса Н- 12 м.
Решение. Расчетная мощность электродвигателя насоса:
рр = *?Я Ш-з = 9810(100<У3600)12 = ^ ^
ЛномЛпер 0,72 • 1
где у— плотность воды (у= 1000 кг/м3 = 9810 Н/м3); т^ — КПД
передачи от электродвигателя к насосу (ппер=1).
Исходя из расчетного значения мощности Рр = 48,6 кВт,
выбираем по каталогу ближайший больший по мощности,
соответствующий частоте вращения лном насоса, трехфазный асинхронный
электродвигатель типа 4А225М4 с номинальными данными:
^2ном = 55кВт; л2ном= 1450 об/мин; 11НОМ = 0,92;
соз <р1ном = 0,9; #1но„ = 380 В.
296

14.5. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по каталогу
трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым
ротором с числом пар полюсов р = 3 для привода механизма,
график нагрузки которого представлен на рис. 14.5. Ухудшения условий
охлаждения в период пауз при расчете не учитывать.
Решение. Синхронная частота вращения электродвигателя:
60/ 60-50 1ЛЛЛ -.
щ = —*- = = 1000 об/мин.
р з
Продолжительность включения электродвигателя:
(/1 + /2)100% (2 + 4)100%
пв = /р100% _ /р100%
'Р + 'о '1 + '2 + 'о 2 + 4 + 10
= 37,4
где /р — время работы механизма (/р = (х + /2), с; /ц — время цикла
работы механизма (*ц=*р + /0)> с1 *о~ время паузы, с.
Эквивалентная мощность электродвигателя за время одного цикла:
"V <1+'2 "V"
122 . 2 + 42 • 4
= 7,65 кВт.
/!+/2 V 2 + 4 V 6
Расчетная мощность электродвигателя при ближайшем к рас-
четному каталожному значению ПВНОМ = 40%: Р40 = Рэк^1Ш/Тш^ =
= 7,65737,4/40 =7,4 кВт.
По данным расчетов выбираем по каталогу ближайший больший
по мощности, соответствующий частоте вращения щ
электродвигатель типа А/7ЖР311-6, с номинальными данными: Р2ном=11кВт;
/|2ном = 910 об/мин; ПВНОМ = 40%; 0^ = 380 6.
14.6. Определить расчетную мощность Рр и выбрать по каталогу
трехфазный асинхронный короткозамкнутый электродвигатель для
привода механизма с циклическим графиком момента нагрузки,
приведенным к валу двигателя (рис. 14.6). Произвести проверку элект-
р
8
4
^
0
кВт
Р*
'|
Ъ
«'2.
* • *
^
2 4 6
'° >
1 П ^
8 "
►
1 |
-^
1 1
и с
Л/, Нм
40
20
0
-Л^
'1
м2
1
1
20
'2 '
~ '-
—1 1
|40 60
1* '° >
* ►
1—
'|
1
1 I
80 1
Ли
\
10
'з
Рис. 14.5
Рис. 14.6
297

родвигателя на перегрузочную способность. Частота вращения
исполнительного механизма лм = 930 об/мин.
Решение. Эквивалентный момент нагрузки на валу:
= К'. * "*'» * **Ь . /»» • " + «» ■ 15 + 35* • 6 д
V *1 + '2 + 'э V 16 + 15 + 6
Продолжительность включения согласно графику (рис. 14.6):
ПВ = /1+'2+/з100% = 15 + 15 + 6100% = ^100% = 60%.
/ц 60 60
Расчегаая мощность при ПВ,^ = 60%: Рр = М^/9550 = (34,2 • 930)/9550 =
= 3,32 кВт.
По данным расчета выбираем по каталогу для нормированной
продолжительности включения ПВНОМ = 60% краново-металлургиче-
ский электродвигатель типа МТКР111-6 с номинальными данными:
Р2иом = 3,5 кВт; /12„ом = 885 об/мин; Мтак = 106 Н • м.
Номинальный момент электродвигателя: Мном = 9550Рном/л2ном = 9550 х
х 3,5/885 = 37,77 Н-м.
Проверку выбранного электродвигателя на перегрузочную
способность производят исходя из обеспечения: Мнт6 < КиМтлх9 где
М«»иб — наибольший момент нагрузки на графике (рис. 14.6) (Мнтб =
= Л/2 = 45Н-м); А^—коэффициент, учитывающий возможное
снижение питающего напряжения (принимается равным Ки=0,9).
Таким образом, Мит6=45 < КуМ^ = 0,9 • 106 = 95,4 Н • м, т. е. в
данном случае условие по обеспечению требуемой перегрузочной
способности электродвигателя выполняется.
14.7. Проверить пригодность краново-металлургического
асинхронного трехфазного электродвигателя типа МТР112-6 с фазным
ротором, предназначенного для привода механизма, работающего
по графику рис. 14.7. Электродвигатель имеет следующие
номинальные данные: Р2ном = 5кВт; т!ном = 75%; со8<р1ном = 0,7; ПВНОМ = 40%;
л2ном = 930 об/мин; С/,ном = 380 В.
Решение. Эквивалентный ток за время работы одного цикла:
1 ■* пус!
1
|16»-
с'1 + /?':
• 2 + б2 •
/!2Н
2+-1—
'1+'2
2+*
- /1/2 + 1\ ,
— Н
+ н + и + 'з
=1ГГ_2
* Чи
+ 22-
+ /?'5
1 + З3 • 1
-^-«
!,9А.
2+2+2+1+1
Продолжительность включения электродвигателя с учетом
поправок на ухудшение условий охлаждения в период пуска,
торможения и паузы
298

ПВ = -^-100% =
'р+'о
</! + /2 + 'з + и + *5)1м%
~~ ^1(/!+/5) + '2+'з+'4 + *2*0
(2 + 2-1-2 + 14-1)100%
" 0,75(2 + 1) + 2 + 2 + 1 + 0,5 - 24
_ 8 • 100%
19,25
где /ц —-время цикла (/ц = *р+/0) К\ =
= 0,75; К2 = 0,5.
Номинальный ток
электродвигателя
Л А
Н°М л/3 ^1„омЛном С08ф!
5 -103
Л-380-0,75-0,7
= 14,48 А.
2
8
4
0
'пуск
-
-
■
'I
А
2
'2
м
4|б
.'3 4
8 М1
Н "'о
Л 'и
А
р
и с. 14.7
—' 1
! \
■ \
\
32
и с
Так как 1]ном>1эк при ПВНОМ = 40%, то электродвигатель проходит
по нагреву и пригоден для привода механизма, работающего в данных
условиях.

Глава 15
ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ПРЕДПРИЯТИЙ
§ 15.1. Основные сведения об электроснабжении
и оплате за пользование электроэнергией
Электрическая энергия от электрических станций с помощью
линий электропередачи (ЛЭП) передается потребителям
электроэнергии. Синхронные генераторы на электростанциях генерируют
электроэнергию переменного тока промышленной частоты /= 50 Гц
при генераторном напряжении У,ном = 6...10кВ. Для уменьшения
токов /л в ЛЭП, а следовательно, потерь мощности в линиях
электропередачи Рэ = 3/л/?л, где Кл — сопротивление линейного провода,
применяют повышенное напряжение путем использования
повышающих трансформаторов, при этом электрическая энергия
передается при минимальных потерях мощности. Так как КОД мощных
силовых трансформаторов достаточно высок (цном = 95—99%),
полная мощность первичной обмотки трансформатора может быть
принята практически равной полной мощности вторичной его
обмотки, т. е. ^ = С/,/, = 1/212 = 52> где 17, и 1/2 — напряжения и токи /, и /2
соответственно первичной и вторичной обмоток трансформатора.
С помощью повышающих трансформаторов на повысительной
подстанции, расположенной вблизи электростанции, генераторное
напряжение 6...10кВ повышают до значений 110, 220, 400, 500, 750
и 1150кВ. При этом токи в линии электропередачи и ее сечение
резко уменьшаются. Далее электрическая энергия при указанном
высоком напряжении подается на районную понизительную
дистанцию (РПС), которая обычно присоединяется к кольцевой
районной сети. На распределительных подстанциях высокое
напряжение понижается до значений 35, 10 и 6кВ, а на центральном
распределительном пункте (ЦРП) производственного предприятия
это напряжение понижается до значений 380/220 или 660 В,
соответствующих номинальному напряжению потребителей
электроэнергии.
В процессе проектирования системы электроснабжения
предприятий приходится определять электрические нагрузки и рассчитывать
электрические сети, предназначенные для передачи и
распределения электрической энергии между ее потребителями. При этом
используется метод установленной мощности и коэффициента спроса,
зоо

Коэффициент спроса К^ является статистической величиной, он
определяется на основании опыта эксплуатации одноименных
потребителей и дается в справочных источниках. Этот метод является
приближенным, так как значение Кс не постоянно и меняется,
например, с изменением числа однородных потребителей
электроэнергии группы. Кроме этого метода определения электрических
нагрузок имеются и другие методы, например метод упорядоченных
диаграмм или показателей графиков нагрузок, удельного расхода
электроэнергии на единицу площади и др.
К сетям внутреннего электроснабжения относятся сети,
размещенные внутри помещения или на территории объектов с
номинальным напряжением до 1000 В. При этом наиболее
распространена четырехпроводная трехфазная система напряжений 380/220
и 660/380 В. Расчет электрических сетей обычно выполняется по
условиям допустимого нагрева проводов и кабелей и условиям
допустимой потери напряжения. Потерю напряжения в электрических
сетях постоянного тока рассчитывают по формулам:
АГТ 200// 1ЛЛО/ А тг 200А/ 1ЛЛЛ,
А11 = 100% или М1 = 1—100%,
У ^пр " ном У ^пр У ном
где Рр — расчетная мощность потребителя электроэнергии, Вт: 1/иоц —
номинальное напряжение потребителя электрической энергии, В;
/—расчетный ток нагрузки, А; /—длина линии, м; у—удельная
проводимость проводов или кабелей, м/Ом • мм2; ^пр — сечение
проводов или жил кабелей, мм2.
Потерю напряжения в трехфазных электрических цепях
определяют исходя из выражения
д# = ^Ы (/}0 С08ф + Хо ап ф)100%,
"л ном
где 1/лном — номинальное линейное выражение, В; /л —линейный
ток, А; К0, Х0 — активное и индуктивное сопротивления километра
провода, Ом/км; С08 <р — коэффициент мощности потребителя
электроэнергии и соответствующий ему зшср.
Сечения проводов, полученные в результате расчетов на нагрев,
механическую прочность и допустимую потерю напряжения в
линии электропередачи сравнивают с табличными (каталожными)
данными и выбирают их ближайшее большее значение.
Элементы электрических сетей и потребители электроэнергии
защищаются от короткого замыкания с помощью плавких
предохранителей и автоматов с максимальной защитой. Электрическая
энергия, отпускаемая энергоснабжающей организацией
потребителю электроэнергии, оплачивается потребителем в соответствии
с действующими одноставочным и двухставочным тарифами на
оплату.
Потребители электрической энергии преобразуют активную
мощность в другие виды энергии и при этом периодически обменива-
301

ются с источником энергии реактивной мощностью, необходимой
для нормальной работы отдельных звеньев цепи передачи
электрической энергии (трансформаторов, реакторов, электродвигателей
и т.д.), которая затрачивается на создание переменных
электромагнитных полей. Наличие реактивных токов потребителей
электрической энергии вызывает дополнительные электрические потери
мощности в проводах питающей сети, которые растут обратно
пропорционально квадрату косинуса угла сдвига фаз (со8ф):
э л л~ и\ ~ 1/2с»V
где /л —ток нагрузки; Р, 5— активная и полная мощности
потребителя; 1/л — линейное напряжение питающей сети; ф — угол сдвига
фаз между напряжением и током.
Коэффициент мощности, являясь важным экономическим
показателем, характеризующим качество использования электроэнергии,
показывает, какую часть потребляемой полной мощности
составляет активная мощность. Контроль качества электроэнергии,
потребляемой предприятием, осуществляется энергоснабжающей
организацией. В связи с этим значение коэффициента мощности не
нормируется, а нормируется количество реактивной энергии, которое
предприятие получает от энергосистемы. С учетом этого энергоснаб-
жающая организация номирует экономически обоснованную
наибольшую величину реактивной мощности, которую предприятие
может получить в период работы энергосистемы в режиме
наибольшей ее активной нагрузки, определенную по техническим
условиям, и наименьшую величину реактивной мощности, которая может
быть передана энергоснабжающей системе в период ее наименьших
активных нагрузок. В связи с этим на производственных
предприятиях осуществляются мероприятия по компенсации реактивной
мощности с использованием соответствующих компенсирующих
устройств.
К таким мероприятиям относится применение статических
конденсаторов, синхронных компенсаторов и синхронизированных
асинхронных электродвигателей. Выбор параметров и режима работы
компенсирующих устройств осуществляется с учетом обеспечения
наибольшей экономичности, критерием которой является минимум
приведенных затрат, при соблюдении всех технических ограничений.
При использовании на предприятиях для компенсации
реактивной мощности косинусных конденсаторов необходимую реактивную
мощность определяют исходя из выражения:
где (?м — фактическая реактивная мощность потребителя в часы
максимума активной нагрузки энергосистемы, квар; 0Э —
оптимальная реактивная мощность потребителя электроэнергии, заданная
энергоснабжающей организацией, в часы максимума активной
302

нагрузки энергосистемы, квар; Ри — заявленная потребителем
активная мощность в часы максимума активной нагрузки
энергосистемы (активная мощность, зафиксированная в приложении к
договору на пользование электроэнергией), кВт; 1§фм, 1в Фэ —
фактический и оптимальный (заданный энергосистемой) «тангенс фи» в
часы максимума нагрузки энергосистемы.
Электрическую емкость трехфазной батареи конденсаторов при
соединении конденсаторов «звездой» и «треугольником» определяют
соответственно по формулам
где /= 50 Гц — частота питающей сети; 1/л — линейное напряжение, кВ;
0К — реактивная мощность конденсаторов, квар.
Наиболее часто косинусные конденсаторы соединяются в батарею
«треугольником», так как при этом емкость ее оказывается в 3 раза
меньшей, чем при соединении «звездой».
Различают централизованную, групповую, индивидуальную
и смешанную схемы компенсации реактивной мощности. Выбор
схемы компенсации осуществляется в результате
технико-экономических сравнений схем, которые в принципе могли бы быть приняты
к использованию на данном предприятии.
Расчеты по оплате за пользование энергией потребители
электроэнергии осуществляют по одноставочному и двухставочному
тарифам. Одноставочный тариф включает в себя только плату за 1 кВт-ч
опущенной потребителю активной электрической энергии,
учтенной расчетным счетчиком. По этому тарифу оплачивают
промышленные и приравненные к ним потребители электроэнергии с
присоединенной мощностью до 750кВ-А включительно. При расчетах
за пользование электрической энергией применяются скидки и
надбавки к тарифу на электроэнергию по результатам компенсации
реактивной мощности в электроустановках. Скидка или надбавка
к тарифу для потребителей электроэнергии с присоединенной
мощностью до 750 кВ-А определяется по шкале (табл. 15.1) в
зависимости от величины коэффициента
* = ^100%,
где Скф и (?кэ — соответственно, фактическая мощность
установленного оборудования и заданная энергоснабжающей организацией
мощность компенсирующего устройства, квар. Шкала скидок и
надбавок к тарифу за отклонение мощности компенсирующего
устройства для потребителей с присоединенной мощностью до 750кВ-А
представлена в табл. 15.1.
Стоимость электроэнергии при оплате по одноставочному
тарифу включает размер основной оплаты за электроэнергию,
потребляемую предприятием: 2?О1 = 6,0^, руб., где А,— плата за 1кВт-ч
303

Таблица 15.1
При значения
коэффициента К9 %
130 и более
От ПО до 130
» 90 » ПО
» 70 » 90
» 50 * 70
» 30 » 50
До 30
Размер скидки (-) и надйааки (+)
К\, %
+50
+10
-5
0
+10
+30
+50
потребляемой электроэнергии (для одноставочного тарифа
определяется по прейскуранту), руб.; И^ —активная энергия,
потребляемая предприятием по счетчику, кВтч.
Размер скидки или надбавки к оплате за отклонение мощности
компенсирующего устройства от заданной электроснабжающей
организацией рассчитывают по формуле:
Вд = с\К или Ва=±^В01,
где с = ±ЬХ —— размер надбавки (+) или скидки (-) к тарифу на
электрическую энергию за 1кВтч.
Общая стоимость оплаты за электроэнергию при работе по од-
ноставочному тарифу рассчитывается по формуле:
Вх = 501 ± Ва = Ьх IV, ± -^- Ьх IV, = ^Ш± ъх IV,.
1 д * " 100 100 *
По двухставочному тарифу рассчитывают промышленные и
приравненные к ним потребители электроэнергии с присоединенной
мощностью выше 750 кВ А. Двухставочный тариф учитывает годовую
стоимость 1кВтч заявленной (абонированной) потребителем
электроэнергии максимальной мощности в период максимума нагрузки
энергосистемы (основная или постоянная плата) и плату за 1 кВт-ч
отпущенной потребителю активной электроэнергии
(дополнительная или переменная плата).
Размер основной стоимости электроэнергии при оплате по
двухставочному тарифу рассчитывают исходя из выражения:
Д>2 = </
0У+Даяв) +
'уст
СОЗффТ1ср_
где 5—заявленная присоединенная или наибольшая получасовая
мощность, отпускаемая потребителям в часы суточного максимума
активной нагрузки энергосистемы, кВ-А; Р^ — заявленная
присоединенная активная мощность в часы «пик» нагрузки
энергосистемы, кВт; Руст — установленная активная мощность потребителей, кВт;
й-— тарифная ставка за 1 кВ-А заявленной присоединенной мощно-
304

сти или за 1 кВт заявленной присоединенной мощности в часы
«пик» нагрузки энергосистемы (плата на 1 кВт максимальной
нагрузки), руб/год; со8 фср — средний коэффициент мощности; г|ср —
средний КПД потребителей электроэнергии.
Дополнительная плата за фактически израсходованную по
счетчику активную энергию рассчитывается по формуле: Вд2 = Ь2}Уа, руб.,
где Ь2 — плата за 1 кВт • ч потребленной электроэнергии, руб. (для
двухставочного тарифа определяется по прейскуранту); И^
—годовая отпущенная потребителю по счетчику активная электрическая
энергия, кВт-ч. При оплате по двухставочному тарифу потребитель
электроэнергии заинтересован более полно использовать
установленную мощность трансформаторов, не завышать их мощность,
выравнивать потребление электроэнергии (график нагрузки). При расчете
с промышленными и приравненными к ним потребителями
электроэнергии для обеспечения заинтересованности предприятий в
мероприятиях по компенсации реактивной мощности предусматривается
поощрение в виде шкалы скидок, а за превышение заданной
величины потребляемой реактивной мощности — надбавок к тарифу на
электрическую энергию. Скидки и надбавки на электрическую
энергию для потребителей с присоединенной мощностью выше 750 кВ-А
включают надбавки за превышение расхода реактивной мощности
электроустановки по сравнению с заданной энергоснабжающей
организацией в часы максимальной активной нагрузки энергосистемы:
н = зо^ФИ^. %,
где (?ф1 — фактическая реактивная мощность, расходуемая
потребителем электроэнергии в часы максимума активных нагрузок
энергосистемы, квар; (?э1 — оптимальная реактивная мощность в часы
максимума активной нагрузки энергосистемы, заданная
энергоснабжающей организацией потребителю, квар; Рф — фактическая
максимальная активная мощность потребителя электроэнергии за
расчетный период, кВт. В том случае, когда (?ф1<0э1, Н} = 0.
Скидки или надбавки (%) к тарифу на электроэнергию за
несоблюдение режима работы компенсирующего устройства,
заданного энергоснабжающей организацией, оцениваются по отклонению
фактически потребленной реактивной мощности от заданной в часы
минимума активной нагрузки энергосистемы:
н 20(Оф2~О,2)-2,
где (?ф2 — фактическая реактивная мощность, расходуемая
потребителем в часы минимума активной нагрузки энергосистемы, квар;
(?э2 — заданная энергоснабжающей организацией оптимальная
реактивная мощность в часы минимума активной нагрузки
энергосистемы, квар (реактивные мощности (?ф2 и (?э2 определяются
энергоснабжающей организацией на каждый квартал текущего года).
20-4359 305

Положительные значения Н2 означают надбавку,
отрицательные—скидку (разность в скобках всегда принимается
положительной независимо от ее знака). Суммарная величина оплаты за
пользование электроэнергией при расчете по двухставочному тарифу:
В^^ + Ц^ (В02 + Вй2) ± Я/100 • (В02 + Ва2),
где Л^ = В02 + Вд2 — величина оплаты за пользование электроэнергией
без скидок и надбавок; Ц2 — скидка «-» или «+» надбавка к тарифу
за отклонение от установленных норм компенсации реактивной
мощности, Д2 = ±#/100-#2 = ±#/100-СВ02 + Яд2), где Я-скидка
и надбавка к тарифу, %;
п юо±#/п п ч 100±#г,/о п . п .
ИЛИ В2 = (В02 + Ва2) = ——— [(1(5 + Даяв) + ^уст/С05 фср Т1ср +
100 11Ю
+ *2И^а-100-81.
Литература. [1] § 3.1-3.8; 12.7-12.9; [2] 3.1-3.7; 17.7.
Примеры решения задач
15.1. Электрооборудование цеха питается от трехфазной
электрической сети с номинальным линейным напряжением 1/]лнои = 220 В.
Суммарная номинальная расчетная мощность потребителей
электроэнергии />]ном = 40кВт при значении коэффициента мощности
со8фном = 0,8. Определить сечение трехжильного кабеля,
проложенного от цеховой подстанции до самого удаленного от подстанции
потребителя. Длина кабеля /=25 м = 0,025 км.
Решение. Расчетный ток кабеля
/р = _—^ = ^1_ = 132А.
>/3 1/1я „ом соз <р1ном >/3 • 220 • 0,8
Данному значению расчетного тока соответствует трехжиль-
ный кабель с алюминиевыми жилами, сечением 3x70 мм2,
марки ААБГ 3 х 70. При прокладке в закрытом помещении кабель
допускает длительную нагрузку по току /доп = 155 А.
Проверка сечения кабеля по плотности тока производится
исходя из условия: 1йОП > /р. В данном случае это условие удовлетворяется,
так как /доп = 155 А > /р = 132 А.
Проверка кабеля по допустимой потере напряжения
осуществляется по формуле:
А1/ = — *-(Д0 С08фном + Х0 31ПфН0М) =
*Лл ном
>/3.100-132.0,025/л- ло л-. л ,ч л сло/
:—(0,5 • 0,8 + 0,35 • 0,6) = 1,61%,
220
где К0 — активное сопротивление 1 км кабеля, Ом/км; Х0 —
индуктивное сопротивление 1 км жилы кабеля, Ом/км. Для принятого
сечения кабельных линий напряжение до 1000 В приближенно можно
306

принять /?0 = 0,5; Л^ = 0,350 Ом/км, потеря напряжения в кабеле
А<7= 1,61% < 1/аоп = 5%, что допустимо.
15.2. Трехфазный асинхронный электродвигатель типа А62-6 имеет
номинальные данные: Р2ном = 10 кВт; <71л ном = 380 В; л2ном = 970 об/мин;
"Ином = 86,5%; созф1ном = 0,82; кратность пускового тока А/=4,5.
Определить сечение ^пр алюминиевых проводов марки АПР-500 при
прокладке их в газовых трубах, выбрать предохранители с
соответствующими плавкими вставками.
Решение. Номинальный ток электродвигателя:
/,,«,—г Р2-'103 = __^ = 21,5 А.
Л Ц1я ном со5 ф1ном Лном Л • 380 • 0,82 • 0,865
Исходя из значения тока /1ном = 21,5 А,по соответствующей таблице
находят стандартное сечение алюминиевого провода дпр = 4мм2,
которому соответствует длительно допустимый' расчетный ток
/доп = 28А.
Выбор плавких вставок предохранителей для защиты
электродвигателей от токов короткого замыкания производят исходя из
условия:
/пвст>^^!- =±^1^. 39,7 А.
2,5 2,5
Выбираем предохранитель типа ПР-2 на номинальный ток
Лом = 60 А с током плавкой вставки /ПВСТ = 45А. Проверку производят
исходя из условия: /пвсг//доп = 45/28 = 1,6 <3. Следовательно, плавкая
вставка обеспечивает защиту установки от действия токов
короткого замыкания.
15.3. В трехфазную трехпроводную питающую сеть с линейным
напряжением 6г1лном = 660 В включен асинхронный электродвигатель М
с номинальными данными: Р2ном = 110 кВт; соз ф1ном = 0,9; Т1НОМ = 0,92.
Определить коэффициент мощности со8 <р установки после
подключения батареи конденсаторов с емкостью С=635мкФ в каждой
фазе, соединенных треугольником (рис. 15.3), и линейный ток /л
в питающей сети.
Р е ш е н и е. Активная мощность, потребляемая асинхронным
электродвигателем при номинальной нагрузке: Дном = Аюм/Пном = 110/0,92 =
= 119,56 кВт.
Реактивная мощность, потребляемая при этом двигателем:
ином = Лиом*ЕФ1ном= П9,56 -0,484 = 57,87 квар, где 1ёф1ном = 0,484,
соответствующий номинальному значению со$ ф1ном = 0,9; угол ср = 25о50'.
Реактивное сопротивление конденсаторов: Хс= 1/соС= 107(314 х
х 635) = 5 Ом.
Полная мощность, потребляемая двигателем при номинальной
нагрузке: Я1ном= ^ном+СС = л/И9,562 +57,872 = 121 кВА.
20* 307

Двигатель
1

Номинальная
мощность
Лшом» кВт
2
10
28
40
55

Номинальный кпд
Ли©*» %
3
86,5
90
90,5
91

Номинальный
коэффициент
мощности
С05 Ф1И0М
4
0,82
0,88
0,89
0,89
Кратность
пускового
тока К1
5
4,5
5,5
6,0
6,0

Номинальный ток
б
21,5
54
76
103
Рабочий
ток
/,,А
7
20,4
5,13
72,1
98
Пусковой
ток
Лпуск»А
8
97
297
456
618
Реактивная мощность конденсаторов: (?с=31/2/Хс=3—г-=261,36 квар.
Реактивная мощность, потребляемая установкой при включении
конденсаторов: (?= (?с- (?1ном = 261,36 - 57,87 = 203,49 квар.
Полная мощность, потребляемая установкой при включении
конденсаторов: 5= ^Р^ты + О2 = ^119,56* + 203,492 =236 кВ • А.
Линейный ток, потребляемый установкой при включении кон-
Т 51 236 - 103 ОА, - .
денсаторов: /л = -р— = -т= = 206,7 А.
к л 4з(/л Тз-ббо
Коэффициент мощности установки с конденсаторами соз<р =
= Лном/^= 119,56/236 = 0,59 (опережающий).
15.4. Радиальная система распределения электроэнергии
силовой питающей сети при номинальном напряжении {/1ном = 380В
(рис. 15.4) обеспечивает питание четырех асинхронных короткозам-
кнутых электродвигателей, номинальные данные которых
приведены в табл. 15.2. Исходя из номинальных токов электродвигателей,
выбрать автоматические выключатели и сечения ^пр алюминиевых
6/0,4 кВ
-3x380 В
Рис. 15.3
Рис. 15.4
308

Таблица 15.2
Тип
автомата
9
А3163
АЗ 114/1
АЗ 114/1
АЗ 114/1
Тип
расцепителя
автомата
10
Тепловой

Комбинированный
»
Номинальный ток
автомята
'мои »» ^
11
50
100
100
100

расцепителя
•«■ом р» ^
12
20
60
85
100
Кратность токов
срабатывания расцепителя
теплового
13
1 2 /
1 25/
1.25 /ноир
1.25/„.,

электромагнитного
14
Ю /номр
Ю /Номр
Ю /„омр
Ток
плавкой
вставки
/пвст

предохранителя, А
15
45
Сечение
провода
марки АПР,
мм2
16
3x4
Зх 16
3x25
3x50
проводов для питания отдельных асинхронных электродвигателей;
прокладка проводов осуществляется в газовых трубах в помещении
нормального типа при температуре окружающей среды /=25° С.
Решение. Номинальный ток электродвигателя М] (табл. 15.2).
г ^ном-Ю3 _ Ю-103 -?ма
V? иХя ном Лном соз ф1ном 73-380- 0,865 . 0,82
Рабочий ток электродвигателя: 1Р = К31Н0М = 0,95 -21,5 =20,4 А, где
К3 — коэффициент загрузки двигателя по току (АГ3 = 0,95). Пусковой ток
электродвигателя: /1пуск = А>/1ном = 4,5 -21,5 =97 А, где А> = /1п^1С//1ном =
= 4,5 — кратность пускового тока электродвигателя.
Автоматический выключатель для электродвигателя А/,
выбирают с тепловым расцепителем. Номинальный ток автомата выбирают
из условия: 1Н0Ма^1р, а номинальный ток расцепителя — из условия:
*номр — -*р*
Исходя из расчетных данных, выбираем автоматический
выключатель типа А 3163. Номинальный ток автомата /нома = 50А,
номинальный ток теплового расцепителя /номр = 20А. Так как выбранный
автомат типа А 3163 имеет только тепловой расцепитель и не
обеспечивает защиту от токов короткого замыкания, при этом
предусматривается дополнительно установка предохранителей. Выбираем
предохранители типа ПР-2 на ток 60 А; ток плавкой ставки /пвст=45 А.
Расчеты для других электродвигателей производятся аналогично. Типы
автоматических выключателей и сечения выбранных проводов для
всех электродвигателей приведены в табл. 15.2.
15.5. Привод насосов насосно-фильтровальной станции
осуществляется асинхронными электродвигателями с короткозамкнутым
ротором при номинальном напряжении {/1ном = 380 В. Определить
мощность аУ1ном трансформатора, если электродвигатели насосов
имеют номинальные данные, приведенные в табл. 15.3, при этом учесть
мощность осветительного оборудования. Общая площадь станции
5; = 300 м2.
309

Таблица 15.3
Наименование групп
потребителей
электроэнергии
Электродвигатель насоса
12НДс типа А103-4М,
Лно* = 200 кВт;
Л2ио«= 1475 об/мин
Электродвигатель насоса
16НДв типа А102 -8М,
Лном= 100 кВт;
«2ном = 740 об/мин
Электродвигатель насоса
КВН-4 типа А02-22-4,
/>2нох.= 1,5 кВт;
я2ном = 450 об/мин
Электродвигатель
дозировочного насоса ПР-5/6,
Л— = 2,8 кВт;
л2ном = 2900 об/мин
Электродвигатель насоса
1,5Х-6п перекачки
раствора коагулянта типа А02-31 -2,
Р2ном = 2,8 кВт;
л2ном = 2900 об/мин
Электродвигатель насоса
6К-12а повторного
пользования воды типа А02-
52-4, Р2ном= 10 кВт;
л2ном = 1450 об/мин
Электродвигатель
воздуходувки ВВН-12 типа
А02-82-6, Р2ном = 25кВт;
л2ном = 975 об/мин
Электродвигатели известе-
мешалки
Электродвигатели
вентиляторов
Нагрузки котельной
Прочие нагрузки
Итого
Осветительная нагрузка
Суммарная нагрузка

Количество


приемников
ТУ, шт.
2
1
1
2
-
1
1
2
1
1
1
2
1


новленная

мощность
Ру, кВт
400
100
1,5
5,6
2,8
10
50
10
30
25
40
3


фициент
спроса
Кс
0,8
0,6
0,5
0,8
0,8
0,4
0,8
0,8
0,8
0,8
0,6
0,8
С08ф1я0|-
0,91
0,86
0,81
0,85
0,38
0,88
0,82
0,82
0,82
0,8
0,8
0,89
сов фср
0,89
*8 Ф1вои
0,445
0,59
0,72
0,62
0,54
0,54
0,7
0,7
0,7
0,75
0,75
0,507
Ъ Фср
0,507
Мощности

активная
Р9, кВт
320
60
0,75
4,48
1,76
4
40
28
24
20
24
ГР9
527
2,4
2/Ь
529,4

реактивная
бр» «ар
142,5
35,4
0,539
2,78
0,95
2,08
28
5,5
16,8
15
18
268
2#р
268
полная
89.
кВ*А
352
69,8
0,93
7,23
2
4,5
48,7
9,76
29,4
25
20
600
2,4
—
Решение. Установленная мощность осветительной нагрузки
станции определяется по методу удельной мощности: Р0С = Руа^с =
- 10 • 300 = 3000 Вт = 3 кВт, где Руа — удельная установленная мощ-
310

Таблица 15.4
Электроприемники и обслуживающие их
механизмы
Металлообрабатывающие станки с
индивидуальным приводом в цехах холодной
обработки металлов
Краны ремонтных, механических и других
подобных цехов
Механизмы непрерывного транспорта:
сблокированные
несблокированные
Вентиляторы:
производственные
сантехнические
Насосы, поршневые компрессоры и
газовоздуходувки, двигатели-генераторы,
дымососы и т. п.
Турбогазовоздуходувки
Дробилки, грохоты, бегуны и т. д.
Мельницы
Мешалки, центрифуги, сгустители,
классификаторы и т. п.
Индукционные электропечи (без
компенсации коэффициента мощности):
высокой частоты
низкой частоты
Печи сопротивления с нагрузкой:
автоматической
неавтоматической
Трансформаторы дуговых печей
Агрегаты электрофильтров для газов
Расчетные коэффициенты
*с
0,14-0,16
0,06
0,65
0,60
0,75-0,75
0,65-0,70
0,75-0,35
0,85
0,75-0,80
0,80-0,85
0,75
0,80
0,80
0,70-0,80
0,60-0,70
0,90
0,80
С08ф,
0,50
0,50
0,75
0,75
0,80-0,85
0,80
0,80
0,85
0,80
0,80-0,85
0,75
0,10
0,35
0,98
0,98
0,87
0,78
*8ФР
1,732
1,732
0,882
0,882
0,75-0,62
0,75
0,75
0,62
0,75
0,75-0,62
0,882
10,05
2,677
0,203
0,203
0,567
0,802
ность, Вт/м2 (при освещении помещения лампами накаливания
принимаем по справочнику Руа=Ю Вт/м2).
Суммарная активная мощность электродвигателей типа А103-4М *
насосов 12НДс: Рг = РуА; = 4(Ю-0,8 = 320кВт, где ^ — коэффициент
спроса, для насосов #с = 0,8 (табл. 15.4).
Мощности электродвигателей А103-4М насосов типа 12НДс:
суммарная реактивная бг = Р11§ф1ном = 320-0,445 = 142,5 квар, где
1ё Ф — величина, соответствующая заданному созф1ном = 0,91;
суммарная полная ^ = ^[рГТШ = >/3202+142,52 = 352 кВ • А.
Аналогичным образом производят расчеты и для других групп
потребителей электроэнергии.
Средневзвешенное значение коэффициента мощности силовых
потребителей электроэнергии станции без учета осветительной
нагрузки определяется отношением: (см. табл. 15.3)
Ч Ф = 1^р/1,Рр = 268/527 = 0,507, откуда созф = 0,89.
* Электродвигатели серии А в настоящее время не изготовляются, но имеются
в эксплуатации.
311

Средневзвешенное значение коэффициента мощности установки
с учетом осветительной нагрузки Ррос = КсРос станции определяется
из выражения:
Щ Фср = Щ/1РР = 268/(527 + 2,4) = 0,507,
откуда соз фср = 0,89.
Суммарная полная мощность потребителей электроэнергии с
учетом осветительной нагрузки:
23, = ^Рр)2 + (Юр)2 = л/(529,4)2 + 2682 = 593 кВ • А.
С учетом обеспечения резерва бесперебойного электроснабжения
для питания насосной станции выбираем два трансформатора типа
ТМ-630/6—10 с номинальной мощностью 15'1ном = 630кВ-А.
Результаты расчетов сведены в табл. 15.3.
15.6. Для повышения коэффициента мощности и уменьшения
потребляемой из питающей сети реактивной мощности
предусмотрена ее компенсация с применением косинусных конденсаторов.
Среднее расчетное значение фактического соз фм = соз фср = 0,76
установки. Средняя суммарная активная мощность потребителей
электроэнергии предприятия Рср = ГР1 = 311,14 кВт, линейное напряжение
питающей сети Ц]п = 380 В. Определить емкость С и тип
конденсаторов, необходимых для подключения к питающей сети с целью
повышения коэффициента мощности до оптимального значения,
заданного энергосистемой: соз фэ = 0,92 (18фэ = 0>43). Составить
электрическую схему включения конденсаторов С и разрядных
сопротивлений Лр.
Решение. Фактическая реактивная мощность потребителей
электроэнергии установки: (?м = Рср \% фм = 311,14 • 0,842 = 262 квар, где
1& фм — фактический «тангенс фи», соответствующий соз фм = 0,76
(18 Фм = 0,845).
Оптимальная реактивная мощность потребителей
электроэнергии исходя из значения 1§ фэ, заданного энергосистемой: 0Э = Рср \% фэ =
= 311,14-0,43 = 133,9 = 134 квар.
Реактивная мощность косинусных конденсаторов, необходимая
для повышения коэффициента мощности до заданных пределов:
<2к = <2и - <2э = 262 - 134 = 128 квар.
Для компенсации реактивной мощности целесообразно
устанавливать конденсаторы, которые в трехфазной системе соединяются
«треугольником», так как при этом напряжение на каждой фазе
емкости оказывается в 7з раза больше, чем при соединении
«звездой», а требуемая при этом емкость конденсаторов — в 3 раза
меньше, чем при соединении их «звездой».
Емкость батареи конденсаторов на три фазы при соединении
«треугольником»
312

сА =
Ю30к
103 • 128
= 2810мкФ,
2п/и?л 2 • 3,14 • 50 - 0,382
где /— частота (/= 50 Гц); <71л — линейное напряжение на
конденсаторе, кВ; бк — реактивная мощность конденсаторов, квар.
По данным расчета и справочнику выбирают косинусные
конденсаторы типа КТМ 5/0,38 емкостью Ск= 110 мкФ (технические
данные приведены в табл. 15.5).
Таблица 15.5
Тип
косинусных

конденсаторов
КТМ
5/0,38
Мощность
реактивная
6ММ> »ар
5

Номинальное
напряжение
380
Емкость
Ск,мкФ
ПО
Потери

мощности, Вт
20
Масса

конденсатора,
кг
27,9
Размеры конденсатора, мм
высота
430
длина
315
ширина
165
Количество конденсаторов в батарее: #к = СА/СК = 2810/110 =
= 25,54 = 26 шт., где Ск — емкость одного конденсатора (Ск =110 мкФ).
Количество конденсаторов в батарее (на три фазы) должно быть
кратно 3, поэтому фактическое их количество округляется до
#4, = 27 шт.
Фактическая мощность батареи конденсаторов: 0кф = #ф(?ном =
= 27-5 = 135квар, где (?ном — номинальная реактивная мощность
одного конденсатора, квар ((?ном = 5квар) (табл. 15.6).
Значение разрядного сопротивления конденсаторов на одну фазу
при включении сопротивлений «звездой»
■ 106 • 0,222
*р =
■106У?Ф _5-
Окф 135
где #1ф — фазное напряжение
сети, кВ (П]ф= Ци/43 = 0,38/1,73 =
= 0,22кВ).
На рис. 15.6 приведена схема
включения в сеть косинусных
конденсаторов С «треугольником»
при напряжении сети 0,4 кВ и
схема включения разрядных
сопротивлений /?р «звездой»,
предохранителей П и
автоматического выключателя АВ.
Разрядное сопротивление
может быть включено и
«треугольником», при этом значение его,
определенное по приведенной выше
формуле, оказывается в -Уз раз
больше.
= 17,926 -102 Ом,
Рис. 15.6
21-4359
313

В процессе эксплуатации разрядное сопротивление подключается
к конденсаторам после отключения их от сети.
15.7. На предприятии привод механизмов оборудован
трехфазными асинхронными электродвигателями с короткозамкнутым
ротором общепромышленного применения с номинальным линейным
напряжением С/,ном = 380 В при частоте/^ = 50 Гц. Суммарная активная
мощность электродвигателей ЕРГ = 311,14 кВт, оптимальное
значение реактивной мощности потребителей при заданном
энергосистемой значении «тангенса фи» 0Э= 134 квар. Мощность осветительных
приборов Рос = 86,80 кВт.
Предприятие снабжается электрической энергией от питающей
сети высокого напряжения #,Н0М = 6кВ. Определить расчетную
мощность и выбрать по каталогу трансформаторы для питания
асинхронных двигателей и осветительной нагрузки, составить схему
электроснабжения потребителей электроэнергии предприятия, которое
по условиям обеспечения бесперебойного электроснабжения
относится к первой категории.
Решение. Полная мощность трансформатора, необходимая для
питания потребителей электроэнергии с учетом компенсации
реактивной мощности:
5' = 7№Я:)2+(Й = л/ЗПД42+1342 = 338,7 кВ- А.
Для обеспечения надежного резервирования электроснабжения
потребителей предприятия, относящегося к первой категории,
принимаем к установке два трансформатора одинаковой мощности,
с тем, чтобы любой из них при аварийной ситуации с учетом
допустимой его перегрузки мог бы питать всю нагрузку предприятия,
а в нормальном режиме —60—70% нагрузки предприятия.
Мощность трансформаторов с учетом допустимой перегрузки
и обеспечения бесперебойности электроснабжения:
5= 8'№Кп = 338,7/(2 - 0,65) = 242 кВ - А,
где Кп = 0,6 * 0,7; ТУ, — число силовых трансформаторов (с учетом
категории потребителей электроэнергии по бесперебойности
электроснабжения, #т = 2).
По значению расчетной мощности 5=242кВ-А и мощности
осветительных приборов Рос = 86,8 кВт выбираем по каталогу
соответствующие трансформаторы.
Технические данные выбранных силового и осветительного
трансформаторов приведены в табл. 15.6.
Схема электроснабжения производственного предприятия
приведена на рис. 15.7. Здесь АВР — устройство автоматического
включения резерва; 1А — 11А — автоматические выключатели
трансформаторов; ЗА— 15А — автоматические выключатели отходящих к
потребителям питающих линий; ТМ-250/6—10 —трансформатор силовой
314

Таблица 15.6
Тип
трансформатора
ТМ-250/6-10
ТМ-100/6-10

Количество
ЛГт,шт.
2
1

Номинальная

мощность
кВА
250
100
Напряжение
обмоток, кВ
вн
6-10
6-10
нн
0,23
0,4
0,23
0,4
Потери
мощности, кВт

холостого
хода,
0,82
0,74
0,365
0,33

короткого

замыкания,
4,2
1,97
2,27
Ток

холостого
хода,
2,3
2,6

Напряжение
короткого

замыкания,
4,7
6,5
6,8
мощностью 51ном = 250 кВ • А; ВМ — выключатель масляный; Р —
разъединитель на 10 кВ; Ш — шины низкого напряжения, 0,4 кВ;
ТМ-100/6—10 —трансформатор для осветительных приборов
мощностью *У1ном = 100 кВ • А.
Указанная схема позволяет обеспечить бесперебойное
электроснабжение потребителей электроэнергии предприятия, при этом
в нормальном режиме оба трансформатора находятся в работе. В
аварийной ситуации при снятии напряжения с ввода 1, если не будет
восстановлено напряжение в течение 3—5 с, включается устройство
автоматического резерва АВР, которое обеспечивает снабжение
электрической энергией потребителей, ранее питавшихся от ввода 7,
через ввод 2 (от одного трансформатора).
При этом обесточенные электродвигатели, подключенные к
трансформатору ввода 1, с помощью релейно-контакторной аппаратуры
подключаются к трансформатору ввода 2, самозапускаются и
восстанавливают частоту вращения.
Продолжительность работы электродвигателей по схеме с одним
трансформатором определяется временем, необходимым для
устранения причины возникновения аварийной ситуации. При выборе
Ввод /(6-ю кВ)
~~^\
' р
Ввод 2(6-10 кВ) Ввод .7(6-10 кВ)
Г
ТМ-250/6-10
0,4кВ
За)4а) 5а)6а1 7а) | 9а) I
8 А 10А
(ТМ-100/6-10
,1АЧ 0.4КВ
I I М#1
10А
Рис. 15.7
.*Ь *1 *1 *1
13А НА
15А
21*
315

типа трансформатора следует учитывать, что его вторичное
напряжение должно соответствовать номинальному напряжению
потребителей электрической энергии. Приводные двигатели
производственных механизмов предприятия, как указано выше, рассчитаны на
стандартное напряжение 220/380 В, поэтому принимаем
напряжение трансформатора на вторичной обмотке 0,23—0,4 кВ. Исходя из
этого выбираем по каталогу трансформатор типа ТМ—250/6—10
с номинальной мощностью 51ном = 250кВ-А; номинальное
напряжение обмоток: (высокого напряжения) ВН — 6—10 кВ; (низкого
напряжения) НН —0,23—0,4 кВ.
Для обеспечения питания осветительной нагрузки по суммарной
мощности, потребляемой осветительным оборудованием, равной
Дном = 86,8 кВт, выбираем осветительный трансформатор.
Номинальное напряжение вторичной обмотки осветительного трансформатора
также должно соответствовать номинальному напряжению
осветительных приборов, равному 220 В. Поэтому принимаем напряжение
низковольтной обмотки трансформатора равным 0,23—0,4 кВ. Исходя
из этого, выбираем осветительный трансформатор типа ТМ-100/6—10.
15.8. Производственное предприятие оборудовано пятью
однотипными асинхронными электродвигателями с номинальными
значениями: мощности Р2ном= ПО кВт; КПД т|ноМ = 0,92 и коэффициента
мощности соз ф1ном = 0,9. Электродвигатели работают с номинальной
нагрузкой время /=10ч/сут в течение 40сут. Предприятие платит
надбавку к тарифу на электрическую энергию за отклонение
мощности компенсирующего устройства от заданной энергоснабжаю-
щей организацией (Горэнерго), определяемой по коэффициенту
К= 115% (см. табл. 15.1), равному отношению фактической
мощности установленного компенсирующего устройства бкф к мощности
компенсирующего устройства (?кз, заданной энергоснабжающей
организацией. Определить размер оплаты за пользование
электроэнергией.
Решение. Присоединенная активная мощность группы
электродвигателей (ЛГ= 5):
р = Щ™ = 5^110 = 59?3 кВт
Лном 0,92
Полная мощность, потребляемая группой электродвигателей:
5, = Р,/соз ф1ном = 597,8/0,9 = 664,22 кВ • А.
Время работы электродвигателей в течение 40 сут: Т= 40 • 10 =
= 400ч.
Активная энергия, потребляемая электродвигателями за 40
суток 1УЯ = />, Г= 597,8 -400 = 239 120 кВт -ч.
В соответствии со шкалой скидок и надбавок к тарифу за
компенсацию реактивной мощности для потребителей электроэнергии
с присоединенной мощностью до 750 кВ-А (см. табл. 15.1) значе-
316

нию коэффициента К=115% соответствует надбавка К} =+10%. Так
как присоединенная мощность находится в пределах до 750 кВ- А,
расчет за пользование электрической энергией производится по
одноставочному тарифу.
Размер основной стоимости электрической энергии в системе
Горэнерго, потребляемой асинхронными электродвигателями в
течение 40 суток 501 = ^1^ = 0,5-239 120 = 119 500 руб., где 6,- плата
за 1 кВт-ч потребленной энергии (й, =0,5руб./кВт-ч). Тарифная
стоимость 1 кВт-ч потребляемой электроэнергии приведена в табл. 15.7*.
Таблица 15.7
Наименование
энергосистемы
Архэнерго
Брянскэнерго
Белгородэнерго
Волгоградэнерго
Воронежэнерго
Грозэнерго
Горэнерго
Ивэнерго
Калининэнерго
Костромаэнерго
Куйбышевэнерго
Калининградэнерго
Карелэнерго
Колэнерго
Комиэнерго
Липецкэнерго
Ленэнерго
Мордовэнерго
Мосэнерго
Орелэнерго
Пензаэнерго
Рязаньэнерго
Саратоюнерго
Смоленскэнерго
Тамбовэнерго
Татэнерго
Тулаэнерго
Ульяновскэнерго
Чувашэнерго
Ярэнерго
Двухставочные тарифы
промышленные и приравненные а ним
ППТПРбиТРЛН Г ППиГПЙЛННЙННПй аШППШПСТЫА
■IV 1 |1Сип 1 ч*41И V шшфшШЪчМщё/МршШШЪШшЖШчМп ЯПМшм^ПчМЪ 1 ВИДУ
750 кВ-А и выше (группа 1)
плата за 1 кВт
максимальной
нагрузки </, руб./год
45
42
39
36
36
36
36
39
39
36
36
42
39
39
45
36
36
39
36
39
39
39
36
42
39
36
39
39
39
39
плата за 1 кВт-ч
потребленной
электроэнергии
Ьг9 руб./кВт*ч
0,70
0,70
0,60
0,45
0,45
0,45
0,50
0,60
0,55
0,50
0,45
0,70
0,45
0,45
0,70
0,50
0,50
0,60
0,50
0,60
0,60
0,60
0,45
0,70
0,60
0,45
0,55
0,60
0,60
0,60
Одноставочные тарифы
по группе потребителей,
Ам руб./кВт-ч
промышленные
и приравненные к ним
, потребители
с присоединенной
мощностью
до 750 кВ • А (группа 2)
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
* Приведенные данные могут быть использованы только для учебного процесса, так
как являются приближенными и быстроизменяющимися в условиях рыночной экономики.
317

Размер надбавки к тарифу на электрическую энергию за 1 кВт-ч:
К* 10
0 = 6,-^1 = 0,5— = 0,05 руб.
100 100
Размер дополнительной оплаты (надбавки) за отклонение
мощности компенсирующего устройства от мощности, заданной
энергосистемой:
Вй] = с№л = 0,05 • 239 120 = 11 950 руб.
или Ва1 = + — В01 = — . 119 500 = 11 950 руб.
д 100 100
Суммарная стоимость оплаты за отпущенную энергосистемой
электроэнергию: Вх = В0] + Ва] = 119 500 +11 950 = 131 450 руб.
15.9. Производственное предприятие снабжается электрической
энергией от энергосистемы Ленэнерго с оплатой за 1 кВт максимум
абонированной (заявленной) мощности Рм = 800кВт.
Энергосистемой задана потребителю оптимальная величина «тангенс фи»
*8Фэ = 0>20, фактическая величина «тангенса фи» по приборам
расчета составила 1§ срм = 0,60, при этом показания счетчиков
потребления активной энергии за полугодие Ж, = 75 000 кВт -ч. Определить
стоимость электрической энергии, потребляемой производственным
предприятием за полугодие по двухставочному тарифу.
Решение. Размер основной оплаты (постоянной части
оплаты) за пользование электрической энергией за полугодие:
В02 = -8 = -Д = ^800 = 14 400 руб.,
2 2 2
где й— тарифная ставка оплаты за 1 кВт заявленной мощности
(максимальной нагрузки) в часы «пик» нагрузки энергосистемы за
год в энергосистеме Ленэнерго а?=36 (табл. 15.7); *У— заявленная
(абонированная мощность), т. е. наибольшая получасовая мощность,
отпускаемая потребителю электроэнергии в часы суточного
максимума активной нагрузки энергосистемы. В данном случае принимается
полная мощность, равная активной мощности, т. е. 8- (Рм = 800 кВт) =
= 800кВ-А.
Размер дополнительной оплаты (переменной части оплаты) за
фактически израсходованную активную энергию по счетчику:
^2 = ^^ = 0,5-75 000 = 37 500 руб., где Ь2 — оплата за 1кВт-ч
потребленной электроэнергии в системе Ленэнерго (табл. 15.7,
Ь2 = 0,5 руб./кВт • ч); й^ — активная энергия, потребленная
предприятием за полугодие, И^ = 75 000 кВт-ч. Скидка и надбавка (ТН)
к тарифу за компенсацию реактивной мощности определяется по
табл. 15.8; значению \% срэ = 0,20 и фактическому значению Х% <рм = 0,60
соответствует надбавка к сумме оплаты Н- 5% или в относительных
единицах Я=+0,05.
Суммарная стоимость электрической энергии за полугодие при
и
расчете по двухставочному тарифу: В2 = (В02 + Вл2) +—(В02 + Ва2) + Ц2 =
318

Таблица 15.8
*8Ф«
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
Ф»п»ад
6
9
12
14
17
19
22
24
27
29
31
33
35
37
39
40
42
*8Фэ
0
0,05| 0,м| 0Д5| 0,20| 0,25| 0,30| 0,35| 0,4010,45| 0,50| 0,5510,6010,6510,7010,7510,80
Фэ»п»ад
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
8
10
13
16
20
23
26
3
-6
-4
-3
-1
0
1
2
3
4
6
8
10
13
16
20
23
26
б
-7
-5
-4
-2
-1
0
1
2
3
4
6
8
11
14
17
21
25
9
-5
-7
-5
-3
-1
0
1
2
3
4
6
8
11
14
17
21
25
12
-4
-5
-6
-4
-2
-1
0
1
2
4
5
7
10
13
16
20
24
14
-3
-3
-4
-6
-4
-2
0
1
2
3
5
7
9
12
14
18
22
17
-1
-1
-2
-3
-5
-3
-1
0
1
2
3
5
7
10
12
15
19
19
-1
-2
-3
-5
-3
-1
0
1
2
4
6
8
11
14
17
22
-1
-3
-5
-3
-1
0
1
2
4
7
9
13
16
24
-1
-3
-5
-3
-1
0
1
3
5
7
9
12
27
-1
-2
-4
-2
0
1
2
3
5
8
И
29
-1
-2
-4
-2,
0
1
2
3
5
8
31
-1
-3
-1
0
1
2
3
5
33
-1
-3
-1
0
1
2
4
35
-1
-2
-1
0
1
2
37
-1
-2
-1
0
1
39
-1
0
1
= (14 400 + 37 500) + —(14 400 + 37 500) + 757,5 = 51 900 + 0,05 - 51 900 +
+ 757,5 = 54 495 руб., где Ц2 — размер надбавки за превышение норм
расхода реактивной мощности (Ц2 = 757,5 руб.).
15.10. В однофазную электрическую сеть переменного тока
включена осветительная нагрузка и однофазные асинхронные
электродвигатели М} и М2 (рис. 15.10, а). Определить токи в ветвях
электрической цепи и емкость С батареи конденсаторов, которую следует
включить, чтобы довести коэффициент мощности всей установки
до со8 ф2 = 0,92. Номинальная мощность одной лампы Рл = 60 Вт; число
а) б) в)
Рис. 15.10
319

ламп N„ = 10; номинальные данные двигателя: Р2ном = 0,75 кВт; Лном =
= 0,75; со8ф1ном = 0,6; <71ном = 220В. Построить векторную диаграмму
токов и напряжения для рассматриваемой электрической цепи.
Решение. Суммарная активная мощность, потребляемая
электрической цепью:
Л = 2Р2ном — + 10Рл = ^-^ +10 • 0,06 = 2600 Вт = 2,6 кВт.
Лном 0,75
Мощность цепи до включения батареи конденсаторов:
суммарная реактивная: <2} = 2()1ном = 2*У1ном §т ф1ном = ———^^ =
с°Зф1ном Л ном
2 • 0 75 • 0 8
=—т-г^г- = 2 • 1,33 = 2,66 квар, где яп ф1ном = 0,8; откуда ф1ном = 53°10';
0,6 • 0,75
полная: 5, = ^Рх2 +0? = л/2,62 + 2,662 = д/13,87 = 3,73 кВ-А = 3730В-А.
Коэффициент мощности установки до включения батареи
конденсаторов: соъух = РХ/8Х = 2,6/3,73 = 0,69; зтф, = 0,71.
Суммарная реактивная мощность цепи после включения батареи
конденсаторов:
02 = $! япф2 = ^^ = 2600— = 2600 • 034 = 890 вар,
соз <р2 0,92
где 8Шф2 = 0,317, откуда ф2=18о30/.
Реактивная мощность конденсаторов: (?с= 0Х - (?2 = 2660 - 890 =
= 1770 вар =1,77 квар или ес=Р1(1§ф1-1ёф2) = 2600(1,03-0,34) =
= 1770 вар =1,77 квар.
Требуемая для компенсации емкость батареи конденсаторов:
С= СсМ#?ном= 1770/314-2202 = 0,0001165 = 116,5 мкФ.
Ток в цепи до включения батареи конденсаторов: 1\ = 8х/11Хнои^
= 3730/220 =17,0 А.
Ток в цепи после включения батареи конденсаторов: 12 = Р,/соз ф2 х
х */,«<», = 2600/220 - 0,92 = 13 А.
Полная мощность установки при со&ф2: 52= 1/Шм12 = 220-13 =
= 2890В-А = 2,89кВА.
Ток в цепи батареи конденсаторов: /с= (?с/{7,ном= 1770/220 =
= 8,05 А.
Активная составляющая тока, потребляемого цепью: /а = /2 соз ф2 =
= 13-0,92 =11,96 А.
На рис. 15.10, б приведена векторная диаграмма токов и
напряжений, а на рис. 15.10, в диаграмма мощностей для
рассматриваемой электрической цепи.

Глава 16
ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТЬ
§ 16.1. Основные сведения об электробезопасности
и оказанию первой помощи
Широкое применение электроэнергии увеличивает количество
людей, соприкасающихся с электроустановками, которые могут
представлять для них потенциальную опасность, »так как при
аварийных режимах, вследствие повреждения изоляции отдельные
части электроустановки могут оказаться под напряжением, а
прикосновение к ним человека может привести к несчастным
случаям.
При этом человек, оказавшийся под напряжением, создает
дополнительную электрическую цепь, вследствие чего по его телу
протекает опасный для жизни электрический ток, который
вызывает поражение сердечно-сосудистой и нервной систем, органов
дыхания, кожного покрова и т.д. Степень поражения человека
электрическим током зависит от пути и длительности протекания
тока, величины сопротивления тела человека, условий
окружающей среды и других факторов. Сопротивление тела человека
изменяется в довольно широких пределах, оно зависит от
состояния его здоровья, кожного покрова, одежды и пр. Согласно ПУЭ
(Правила устройств электроустановок), оно принимается равным
1000 Ом.
Условия окружающей среды также влияют на величину
сопротивления тела человека (при высокой температуре окружающей среды
оно может быть покрыто потом и в сыром запыленном помещении
будет иметь минимальное сопротивление).
ПУЭ, Правила технической эксплуатации электроустановок
потребителей электроэнергии (ПТЭ) и Правила техники безопасности
при эксплуатации электроустановок потребителей (ПТБ)
предусматривают ряд защитных мероприятий по снижению поражений
электрическим током: устройство рабочего и защитного заземлений
электроустановок, применение в процессе эксплуатации
электроустановок средств защиты от поражения электрическим током
(ограждение токоведущих частей для исключения прикосновения к ним,
применение резиновых перчаток, бот, ковриков, изолирующих штанг
и т. д.). Согласно ПУЭ, помещения по степени опасности поражения
человека электрическим током делятся на три категории. К помеще-
321

ниям без повышенной опасности относятся сухие, безпыльные
отапливаемые помещения с нормальной температурой воздуха, с
влажностью не выше 60%, без токопроводящей пыли.
К помещениям повышенной опасности относятся сырые, с
влажностью свыше 75%, жаркие с температурой постоянной или
периодической 35° С, пыльные с токопроводящей пылью (угольной,
металлической и др.).
К особо опасным относятся помещения, в которых относительная
влажность близка к 100%, и помещения, содержащие агрессивные
пары, газы, жидкости, неблагоприятно действующие на изоляцию
и токоведущие части электрооборудования.
Электрифицированный инструмент и переносные лампы в
помещениях без повышенной опасности должны быть рассчитаны на
напряжение 40 В, а в помещениях особо опасных и с повышенной
опасностью — на 12 В.
Условиям безопасности способствует также использование
технических мероприятий, обеспечивающих безопасность ремонтных
работ с частичным или полным снятием напряжения: производство
необходимых отключений и принятие мер, препятствующих подаче
напряжения к объекту работы, ограждение рабочего места и
вывешивание плакатов «Не включать — работают люди», «Не включать —
работа на линии» и др., наложение заземлений.
Рабочее заземление (преднамеренное соединение с землей
какой-либо точки электроустановки (рис. 16.1.1) предназначено для
обеспечения работы ее в нормальном и аварийном режимах. Оно
обеспечивает соединение с землей нейтральных точек N силовых
трансформаторов или генераторов, т.е. при непосредственном
соединении их с заземлителем 3 или через малое активное
сопротивление Ло (в несколько Ом) нейтрали либо соединение
нейтралей через трансформатор тока. В электроустановках с рабочим
напряжением до 1000 В широко распространена трехфазная четы-
рехпроводная сеть с глухозаземленной нейтралью; стандартными
напряжениями в этих сетях являются
напряжения 220/127, 380/220 и 660/380 В.
Защитное заземление применяется для
защиты обслуживающего персонала от
опасного напряжения при прикосновении
к электроустановке, оно начинает
действовать с момента повреждения ее
изоляции.
Подобное заземление необходимо для
электроустановок при напряжении 500 В
и выше переменного и постоянного
токов, при напряжениях 36 В и выше
переменного и ПО В постоянного токов в
помещениях с повышенной опасностью,
Рис. 16.1.1 особо опасных и в наружных электро-
322

N
ЦК ЦК
-о А
С
I—I—I ос
ли /// /// Лу /// /// /// ж /// /// ;// /// ///
И)
Рис. 16.1.2
Рис. 16.1.3
установках, при всех напряжениях переменного и постоянного
токов во взрывоопасных помещениях.
Части электроустановок (корпуса электрических машин,
трансформаторов, электрических аппаратов, вторичные обмотки
измерительных трансформаторов и т.д.) во время аварийных режимов
электроустановки могут оказаться под напряжением и в случаях
прикосновения к ним вызвать поражение электрическим током,
поэтому они подлежат заземлению. Заземление электроустановок не
требуется при номинальных напряжениях 36 В и ниже переменного
и НОВ и ниже постоянного тока во всех случаях, за исключением
взрывоопасных установок.
Защитное заземление зависит от системы электроснабжающей
сети и значения питающего напряжения электроустановки. При
напряжениях до 1000 В оно выполняется как с глухозаземленной,
так и изолированной нейтралью (рис. 16.1.2 и 16.1.3).
Защитное заземление в установках с глухозаземленной
нейтралью (зануление) предусматривает присоединение металлических
нетоковедущих частей электрооборудования, могущих оказаться под
напряжением, к неоднократно заземленному нейтральному проводу
питающей линии. При пробое на корпус происходит однофазное
короткое замыкание, вызывающее срабатывание защиты и
отключение поврежденной установки от питающей сети. Структура
защитного заземления представлена на рис. 16.1.2 (К0 — сопротивление
заземляющего устройства; /{„ — сопротивление повторного
заземления нейтрального провода; /к = /лг+/з —т°к короткого замыкания,
где 7^— составляющая тока короткого замыкания в цепи
нейтрального провода; /3 — составляющая тока короткого замыкания в цепи
земли).
Повторное заземление нейтрального провода в трехфазных четы-
рехпроводных сетях при замыкании фазы на корпус снижает напря-
323

жение прикосновения к зануленному электрооборудованию при
исправной схеме и в случае обрыва нейтрального провода.
Электроустановки с изолированной нейтралью применяются при
повышенных требованиях к безопасности работ. Защитное
заземление электроустановок в сетях с изолированной нейтралью (рис. 16.1.3)
ограничивает до безопасного значения напряжение прикосновения
на корпусе при повреждениях изоляции электроустановки. Для
электроустановок с изолированной нейтралью в качестве защитного
заземления 3 используется местное заземляющее устройство с
небольшим сопротивлением (рис. 16.1.3), к которому присоединяются
заземляемые части электроустановки.
В электроустановках с номинальным напряжением до 1000 В
сопротивление заземляющего устройства должно быть не более 4 Ом.
При номинальной мощности трансформатора или генератора до
100 кВ-А это сопротивление может составлять 10 Ом.
При оказании первой помощи пострадавшему от действия
электрического тока условием успеха являются быстрота действия,
находчивость, квалифицированное оказание помощи. Промедление или
неоправданная длительность подготовки помощи могут привести
к тяжелым последствиям.
Пострадавшего прежде всего необходимо отделить от
токоведущих частей, если нельзя быстро отключить от питающей сети
участок электрической цепи, на котором произошел несчастный
случай. При этом необходимо пользоваться диэлектрическими
перчатками, сухой одеждой, палкой, доской или какими-либо другими
предметами, не проводящими электрический ток. При затруднении
отделения пострадавшего от токоведущих частей следует перерубить
или перерезать провода инструментов с сухой деревянной
рукояткой.
После отделения пострадавшего от токоведущих частей
необходимо выполнить следующие мероприятия: уложить пострадавшего
на спину на твердую поверхность; проверить наличие у
пострадавшего дыхания, которое определяется по подъему грудной клетки,
прикладыванию ко рту пострадавшего зеркала или куска стекла;
проверить наличие у пострадавшего пульса на лучевой артерии у
запястья или на сонной артерии, на переднебоковой поверхности
груди; выяснить состояние зрачка глаза (широкий зрачок указывает
на резкое ухудшение кровоснабжения мозга). Во всех случаях
поражения электрическим током вызов врача является обязательным.
Если пострадавший находится в сознательном состоянии, его
следует уложить в удобное положение и до прибытия врача
обеспечить полный покой и наблюдение за пульсом и дыханием.
Если пострадавший находится в бессознательном состоянии, но
с сохранившимся устойчивым дыханием и пульсом, его следует
удобно уложить, расстегнуть одежду, создать приток свежего воздуха,
давать нюхать нашатырный спирт, обрызгивать его водой и после
прихода в сознание обеспечить полный покой.
324

При отсутствии у пострадавшего дыхания и пульса необходимо
оказать помощь в виде искусственного дыхания и наружного
массажа сердца. Наиболее эффективным способом искусственного
дыхания является способ, называемый «рот в рот», проводимый
одновременно с наружным массажем сердца.
Литература. [1] § 12.10-12.11.
Примеры решения задач
16.1. Трехфазный асинхронный электродвигатель типа 4А16084
с короткозамкнутым ротором с номинальными данными:
мощностью Р2ном = 15кВт; КПД т]ном = 0,88, коэффициентом мощности
со$ф1ном = 0,88, значением отношения пускового тока к
номинальному К1=1]пуск/1]ном = 7 включен в трехфазную четырехпроводную
питающую сеть с глухозаземленной нейтралью на вторичную обмотку
силового трансформатора. Номинальное линейное напряжение
питающей сети 1/,ном = 380 В. Ответвление к электродвигателю длиной
/=100м выполнено в газовых трубах проводом марки ПР-500. Для
защиты обслуживающего персонала корпус электродвигателя имеет
металлическое соединение с нейтралью трансформатора (зануление).
Определить сечение нейтрального провода, при котором плавкая
вставка защитных предохранителей в случае замыкания одной из
фаз электродвигателя на корпус должна сработать и отключить
двигатель от питающей сети.
Решение. Номинальный ток электродвигателя:
г Р2ном.1(Р 15.103
Л #1ном соз ф1номЛном Л • 380 • 0,88 . 0,88
По справочнику находим, что указанной величине тока
соответствует сечение медного провода 5= 6 мм2. Максимально допустимый
длительный ток для этого сечения /Д0П = 37А.
Ток плавкой вставки предохранителя для защиты от короткого
замыкания электродвигателя механизма с легкими условиями пуска
в соответствии с ПТЭ выбирают из условия:
Л > ^ = 1^3 82
2,5 2,5
Стандартная плавкая вставка предохранителя рассчитана на ток
/ВНОМ=100А.
Проверку плавкой вставки осуществляют исходя из условия
необходимости обеспечения соотношения: /в//доп<3.
В данном случае 1в/1лоп = 100/37 = 2,7 < 3, следовательно, плавкая
вставка, рассчитанная на ток /ВНОМ=100А, защищает медные
провода сечением 3x6мм2, продолженные в газовой трубе, от
действия токов короткого замыкания.
Расчетный ток короткого замыкания определяют исходя из
номинального значения тока плавкой вставки предохранителя, при
325

котором при замыкании фазы электродвигателя на зануленный
корпус предохранитель надежно срабатывает и двигатель
отключается при обеспечении условия: 1к>Кп1ънои> где Кп = 3 —
коэффициент кратности номинального тока плавкой вставки предохранителя:
Л^З/вном = 3-100>300А.
Активное сопротивление одного провода
0 I 0,018-100 л„
ДФ = Р-г = = 0,3 Ом,
о О
где р = 0,018 Ом-^ удельное сопротивление медного провода.
Активное сопротивление нейтрального провода:
&м= #1Фном//к - ЛФ = 220/300 - 0,3 = 0,733 - 0,3 = 0,433 Ом,
где П1фном = ^лномЛ/З = 380Д/3 = 220 В — номинальное фазное
напряжение трехфазной четырехпроводной сети.
Сечение нейтрального медного провода:
0 р/ 0,018-100 АЛС 2
8Ы = — = — = 4,15 мм2,
Л„ 0,433
Принимаем стандартное сечение нейтрального провода 5^=4 мм2,
которое должно быть не меньшим 50% сечения фазного провода,
изготовленного из одного и того же материала. В данном случае
условие 5М=4 мм > 0,5*5 = 0,5 • 6 = 3 мм выполняется.
16.2. Оператор, стоя на бетонном полу, коснулся линейного
провода А трехфазной четырехпроводной питающей сети (рис. 16.2, а)
с симметричным линейным напряжением 1/АВ= 1/вс= 1/АС= {/1лном = 380 В
с заземленной нейтралью N и сопротивлением заземления К0 = 4 Ом.
Сопротивление тела человека принято равным Кн = 103 Ом,
сопротивления изоляции проводов относительно земли (без учета
реактивной составляющей сопротивления) К = К1 = К2 = К3 = Кп= 104Ом
(рис. 16.2, а). Определить ток /л, протекающий в цепи тела человека,
и напряжение прикосновения (7пр. Емкостью проводов относительно
земли пренебречь.
Решение. Электрическая схема (рис. 16.2, а) заменяется
эквивалентной схемой (рис. 16.2, б). Определяем комплексные фазные
напряжения, направляя вектор напряжения Ц^ по оси
положительных действительных чисел. При симметричном источнике питания:
&= ^а©*= ^°= 1№= 17А = Цфном; й= 11^=а>и2 = № = а>1/ф;
Ус= 1/^т = Цфноме-^ =дЦ = аС/з = *Цф„ом, где а = с^ = (ч),5 + у^)
и а2= -0,5-у— —поворотные множители, учитывающие сдвиг
по фазе напряжений.
326

Проводимость тела человека и ветви цепи заземления нейтрали:
ГЛ = 1/ДА = 1/103См; У0 = 1/Л0 = 1/4 См.
Проводимости ветвей эквивалентной схемы: У, = У2 = Хъ = У„ = 1/К=
= 1/104См, так как сопротивления Л, = К2 = Я3 = К„»К0; У<к. У0х
х — «- . Поэтому принимаем: У, = Хг - Хъ = Хп = О-
С учетом этого напряжение между узловыми точками N и № цепи:
Г,+ Г2+Гу+Г,.+ Уп+Гг,
где Ц^^фиом
или ^дг-ЛГ=г/1фном:
= #,
л*
1ф НОМ 1 1
^о &Н
= #,
1фном
Лл+^о
= 220-
1000 + 4
= 0,876 В.
Напряжение соприкосновения находят из уравнения,
составленного по второму закону Кирхгофа для соответствующего замкнутого
контура: ЦпИ- Ца + Упр = 0, откуда
^„„=^Л-^=^„ом-^
1фном '
'Чфном
** + *<>
= 220-220-
1000+4
= 219,1 В.
327

Ток, протекающий по телу человека:
1И=Ц УЛ = 219,1 — = 219,1 мА = 0,219 А.
_л _пр_й > 1(Ю0
п
Так как Я0«КН, то * = 1, а #пр = #,фном, откуда следует, что
при соприкосновении к одной из фаз трехфазной четырехпровод-
ной сети с глухозаземленной нейтралью человек оказывается
практически под фазным напряжением 1/]фНОм-
16.3. При ревизии электрооборудования электромонтер,
находясь на земле, коснулся линейного провода с линейным
напряжением 1}лв= 1/вс= 1/СА= #1лном = 380В (рис. 16.3, а). Сопротивление
изоляции проводов Л, = К2 = Къ = 10 кОм. Определить ток, протекающий
по телу человека, сопротивление которого Ки = 1000 Ом. Емкостью
проводов относительно земли пренебречь ввиду их малой протяженности.
Решение. Электрическая схема (рис. 16.3,а) может быть
заменена эквивалентными схемами (рис. 16.3, б, в).
ЭДС Еэ эквивалентного генератора (рис. 16.3, б): Еэ=1/А= #1ф„ом =
= #1л номЛ/З = 380/73 = 220 В.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора находят
из соотношения: 1/Кэ = 1/К} + 1/К2 + 1/К3. Так как Л, = К2 = К3 = Л, то
/?з = Д/3 = 10~ 103 = 3,33 • 103 Ом.
Рис. 16.3
328

Ток, протекающий по телу человека, определяется в
соответствии со схемой рис. 16.3, в:
Д =
220
= 0,0508 = 0,051 А = 51 мА.
яэ + ян з,зз • ю3 + 1000
Для жизни человека опасен ток, превышающий 50—100 мА.
16.4. Задачу 16.3 решить методом узлового напряжения.
Решение. Проводимости ветвей для схемы (рис. 16.3, б):
У, = 1/Л, = 1/(10 -103) = 0,0001 См; Ук = \/Кк = 1/103 = 0,001 См;
у2 = 1/К2 = 1/(10 -103) = 0,0001 См; Уъ = 1/Л3 = 1/(10 • 103) = 0,0001 См.
Напряжение между узлами п и N (напряжение смещения
нейтрали):
й*=
В.л(11+ 1и) + Иь 12+ ИЛъ Ш.+ Иь+ «У + ИЛк
1х+Уг+Уъ+1н
380 • 0,001
Л (3.0,0001 + 0,001)
(31,+ !*)
= 169В.
Определяем ток, протекающий по телу человека, исходя из
уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для
соответствующего замкнутого контура: 1Н = Ун(Ул - Члм) = 0,001(380/^3 - 169) =
= 0,001-51 = 0,051 А=51мА.
В табл. 16.1 и на рис. 16.4 приведены значения токов /А,
рассчитанные по приведенной выше формуле при различных
сопротивлениях изоляции проводов относительно земли при К} = К2 =
= К2 = К и принятом значении сопротивления тела человека
Лл=1000Ом.
Таблица 16.1
Я • 103, Ом
Д, мА
5
83
10
50,8
20
28,72
30
20
40
15,35
50
12,45
. 60
10,4
90
7,09
20 40 60 Л, кОм
Рис. 16.4
Рис. 16.5
22-4359
329

16.5. В условиях задачи 16.3 определить ток 1Н, протекающий по
телу человека в аварийном режиме в трехфазной симметричной
трехпроводной электрической цепи с изолированной нейтралью при
замыкании фазы С на землю через небольшое активное
сопротивление заземления Лзм = 1000м (Рис- 165) и прикосновении человека
к исправной фазе А с фазным напряжением {71фн(Ш = 220В.
Решение. При замыкании фазы С на землю
проводимости двух других изолированных фаз можно принять равными нулю,
тогда ток, протекающий в аварийном режиме по телу человека:
Л= #,лном/СКЛ + Дэм) = 380/(1000 + 100) = 380/1100 = 0,345 А = 345 мА, где
01 л ном — линейное напряжение симметричной трехфазной
трехпроводной электрической сети с изолированной от земли нейтралью
01лном ^3 #1ф„ом = 380 В.
Напряжение прикосновения в аварийном режиме:
тт п г тт Яи 380-1000 3800 -АС лс _
#пр = Кк1к = С/,лном — = = = 345,45 В.
пр ин 1яноыЛл + л^ 1000 + 100 И
При Яэм = 0 1/пр = Л#фном = Цлном = 380 В.
В аварийном режиме при замыкании фазы С на землю через
малое сопротивление Изм и касании человека к исправной фазе
трехфазной трехпроводной электрической сети с изолированной от
земли нейтралью человек окажется под напряжением, большим
фазного и меньшим линейного напряжения питающей сети, т.е.
^1фном< ^пр< "1л ном-
16.6. При производстве работ электромонтер повредил кабель
трехфазной электрической сети с изолированной нейтралью с
линейным напряжением 1/АВ= 11вс= IIСА = 1/л = 380 В при частоте/= 50 Гц
и коснулся инструментом одной из фаз (рис. 16.6, а). Емкость
каждой фазы кабеля относительно земли С=0,1мкФ. Определить ток,
протекающий по телу электромонтера, приняв сопротивление его
тела Дл=1000Ом.
Решение. Решаем задачу методом эквивалентного генератора.
Электродвижущая сила эквивалентного генератора равна
напряжению при отключении внешнего участка цепи:
Ъ = Цф„ом = Цл ном/Л = 380/Л = 220 В.
Емкостное сопротивление жилы кабельной линии (рис. 16.6, б):
Хс= — = - г = 31 800 Ом.
©С 314-0,1 -Ю-6
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно
общему сопротивлению внутренней части электрической цепи
относительно точек 3 и 1 (рис. 16.6, в):
330

**к
б)
в)
Рис. 16.6
Ток, протекающий по телу попавшего под напряжение
электромонтера (рис. 16.6, в):
Ь =
220
±и
или А =
2,2
2э+Кн -уШ 600+1000
2,2(10 +у 106) 22+у 2332
11336
10 - ] 106 (10 - ] 106) (10 + ] 106)
= (0,0022+у 0,205) А.
Ток 1к = д/0,00222 + 0,2052 = 0,205 А = 205 мА оказывается опасным
для жизни человека. При равенстве емкостей проводов относительно
земли и весьма больших сопротивлениях изоляции токоведущих
частей относительно земли (при С] = С2=С2 и К} = К2 = К3 = °°), что
может иметь место в кабельных электрических сетях, ток,
протекающий по телу человека, попавшего под напряжение, определяется*
в соответствии с выражением
ь*
ьМфном __ ЬМфном __ ЗУ1фН0М
*н+2э
*н
]ХС ЪКн-]Хс
16.7. Укажите назначение защитного заземления
электроустановок в сетях с глухозаземленной нейтралью.
Ответ. Автоматическое отключение поврежденной электроустановки от сети при
замыкании на корпус. >
16.8. Укажите назначение защитного заземления
электроустановок в сетях с изолированной нейтралью.
Ответ. Снижение напряжения прикосновения до безопасной величины.
22* 331

16.9. Разрешается ли питание электроинструмента и переносных
светильников от автотрансформаторов?
Ответ. Запрещается.
16.10. Разрешается ли лицам, пользующимся
электроинструментом, держаться за питающие провода и вносить электроинструмент
внутрь барабанов, котлов и т.д.?
Ответ. Во всех случаях запрещается.
16.11. Допускается ли в помещениях с повышенной опасностью
и в особо опасных помещениях применение ручного
электроинструмента с номинальным напряжением (7НОМ<220В при наличии
устройств защитного отключения или надежно заземленного
корпуса инструмента при обязательном использовании защитных средств
(диэлектрических перчаток и пр.)?
Ответ. Допускается, если невозможно обеспечить работу электроинструмента при
напряжении 17Н0М = 36В.
16.12. Опишите последствия остановок сердца человека,
попавшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и
кровообращения.
Ответ. В обычных условиях после остановки сердца или дыхания клетки
головного мозга человека гибнут через 5 мин. Охлаждение тела удлиняет, а перегревание
и кислородная недостаточность укорачивают период клинической смерти и ведут
к биологической смерти человека. Характер изменения дыхания (/), работы
сердца (2) и деятельности мозга (3) при остановке сердца (4) характеризуют графики
на рис. 16.12. !
\
16.13. Укажите признаки остановки дыхания человека,
попавшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и
кровообращения.
Ответ. Отсутствие экскурсии грудной клетки 1 и потока воздуха возле рта и носа 2
(рис. 16.13).
*<
/ \ЛЛЛЛЛ
зчттнь
КлллН 11111 1/^14-1—I
НЧ № ' ЯП
[*\лллл
„^Г"" ^с_
71л
5< •)
Кллл/Ч
г^*-Л*-Лг
1яиЛЛЛЙ0УУ1ИЛЛ*|^ | I
012345678 мин
Рис. 16.12
332

Рис. 16.13
16.14. Перечислите признаки остановки сердца человека,
попавшего под напряжение, при острых нарушениях дыхания и
кровообращения.
Ответ. Отсутствие пульса и дыхания (рис. 16.14, а), расширенные зрачки, не
реагирующие на свет (рис. 16.14, б).
16.15. Опишите действия оказывающего помощь человеку,
попавшему под напряжение, при сердечно-легочной реанимации, если
оживляет один.
Ответ. Искусственное дыхание осуществляют способом «изо рта в рот» или «изо
рта в нос» через сложенную вдвое марлю (рис. 16.15). Вначале делают четыре вдоха,
затем чередуют два вдоха (7) и 15 надавливаний на грудину (2) с частотой 60—
80 раз/мин. Реанимации проводится до появления у пострадавшего самостоятельного
дыхания и пульса или до прибытия «скорой помощи».
16.16. Опишите действия оказывающих помощь человеку,
попавшему под напряжение, при сердечно-легочной реанимации, если
оживляют двое.
Ответ. Искусственное дыхание осуществляют способом «изо рта в рот» или «изо
рта в нос» через сложенную вдвое марлю (рис. 16.16). Вначале делают четыре вдоха,
затем чередуют один вдох (7) и пять надавливаний на грудину (2) с частотой 60—
80 раз/мин. Реанимация проводится до появления у пострадавшего самостоятельного
дыхания и пульса или до прибытия «скорой помощи».
16.17. Опишите способ искусственного дыхания человека,
попавшего под напряжение, методом сдавливания грудной клетки.
Ответ. Способ применяют при опасности заражения или отравления
оказывающего первую помощь. При этом следует надавливать на боковые стороны грудной
Рис. 16.15
Рис. 16.16
333

а) б)
Рис. 16.17
клетки пострадавшего в момент его выдоха, а на вдохе ослабить силу рук.
Искусственное дыхание пострадавшему осуществляют в соответствии с рис. 16.17, а или б
и продолжают до прибытия врача.
16.18. Опишите способ искусственного дыхания человеку,
попавшему под напряжение, по методу Хольгера — Нильсона.
Ответ. По этому методу искусственное дыхание производят в соответствии с
рис. 16.18, а (выдох) и б (вдох), когда пострадавший находится без сознания. Частота
надавливания на грудину составляет 16—20 раз/мин и производится до появления
самостоятельного дыхания или до прибытия врача.
16.19. Опишите способ искусственного дыхания человеку,
попавшему под напряжение, по методу Сильвестра.
Ответ. Этот метод, так же, как и метод Хольгера — Нильсона, применяют в том
случае, когда пострадавший находится без сознания, в соответствии с рис. 16.19, л
а) б)
Рис. 16.18

(выдох) и б (вдох). Частота надавливания на грудину составляет 16—20 раз/мин
и производится до появления самостоятельного дыхания или до прибытия врача.
16.20. Укажите предельное максимальное 11тяк значение
напряжения потребителей электроэнергии исходя из условий
электробезопасности при эксплуатации и ремонте.
Ответ. Ц,^ 1000 В.
16.21. Укажите значение максимально допустимого
сопротивления К0 защитного заземления, принятого в электрических сетях
с напряжением до 1000 В.
Ответ. Я0 не превышает 4 Ом.
16.22. На какие значения напряжений I/ распространяются
правила технической эксплуатации электроустановок (ПТЭ) и правила
техники безопасности (ПТБ) при эксплуатации электроустановок
потребителей электроэнергии независимо от их ведомственной
принадлежности?
Ответ. Напряжение Ц% 1000 В.
16.23. Укажите предельное максимальное значение
напряжения С4шх5 допустимого для стационарного искусственного освещения
с лампами накаливания в помещениях без повышенной опасности.
Ответ. 1/^ = 220 3.
16.24. Укажите допустимые значения напряжения 1/аоп для
переносных электрических светильников, присоединяемых к питающему
трансформатору наглухо или с помощью штепсельной вилки.
Ответ. (1аоа = 12 В или 36 В.
16.25. При каком предельном максимальном допустимом
значении напряжения 1/так в соответствии с правилами ПТБ разрешается
производить работы с электроинструментом в помещениях без
повышенной опасности?
Ответ. ЦМ1Х = 220 В.
16.26. При каком предельном максимальном значении
напряжения 11так в соответствии с ПТБ разрешается производить работы
с электроинструментом в помещениях с повышенной опасностью,
вне помещений и в особо опасных помещениях (с обязательным
применением индивидуальных защитных средств)?
Ответ. (7ПИХ = 36В.
16.27. Какое допустимое значение С^ напряжения
соответствует переносным электрическим светильникам в помещениях с
повышенной опасностью?
Ответ. Ц^ЗбВ.
16.28. Какое допустимое значение напряжения 11тах
соответствует переносным электрическим светильникам в помещениях особо
опасных и вне помещений?
Ответ. Ц^^ПВ.
335

16.29. Укажите максимальное значение напряжения Цпт9 в
пределах которого в качестве защитных средств используются
изолирующие штанги, указатели напряжения с дополнительным
сопротивлением для фазировки, изолирующие клещи, инструмент с
изолированными рукоятками, резиновые диэлектрические перчатки, боты,
галоши, коврики, изолирующие подставки, переносные
заземления, защитные очки.
Ответ. #тах = 1 кВ.
16.30. Укажите максимальное значение напряжения С^, в
пределах которого в качестве защитных средств используются
измерительные изолирующие штанги, изолирующие колпаки и накладки.
Ответ. (7тах= 1кВ.
16.31. Приведите выражение для расчетного значения тока /пвст
плавкой вставки предохранителей от многофазных коротких
замыканий электродвигателей с легкими условиями пуска, исходя из их
значений пускового тока 7^.
Ответ. /пвст = 7^/2,5.
16.32. Приведите выражение для расчетного значения тока /пвст
плавкой вставки предохранителей от многофазных коротких
замыканий с тяжелыми условиями пуска (например,-при большой
длительности разгона двигателя, с частыми пусками).
Ответ. 1пю = 1^/(2 + 1,6).

ПРИЛОЖЕНИЕ
1Г.1ШИН11Ц измерения а обозначения некоторых физико-технических величин
Величина

Обозначение
величины *
Единица измерения в Международной системе
единиц (СИ)
название

сокращенное
обозначение
размер единицы
I. Общетехнические величины
Время
Давление
Длина
Количество теплоты
Масса
Момент силы; момент
пары сил
Мощность
Объем
Плотность
Площадь
Работа
Сила
Сила света
Скорость:
линейная
угловая
Термодинамическая
температура
Угол плоский
Угол телесный
Удельный вес
Ускорение:
линейное
угловое
/(х)
Р
1
0
т
М
Р
V
Р(8)
51
А, ЩЬ
*/, Р
/
V
СО
Т
-
а
У
а
е
секунда
ньютон на
квадратный метр
(паскаль)
метр
джоуль
килограмм
ньютон-метр
ватт
кубический метр
килограмм на
кубический метр
квадратный метр
джоуль
ньютон
кандела
метр в секунду
радиан в секунду
Кельвин
радиан
стерадиан
ньютон на
кубический метр
метр на секунду
в квадрате
радиан на
секунду в квадрате
с
Н/м2 (Па)
м
Дж
кг
Нм
Вт
м3
кг/м3
м2
Дж
Н
кд
м/с
рад/с
К
рад
ср
Н/м3
м/с2
рад/с2
(1с)
(1Н):(1м2)
(1м)
(1Н)-(1м)
(1кг)
(1Н)-(1м)
(1Дж)-(1с)
(1м)-(1м)* (1м)
(1кг):(1м3)
(1м)-(1м)
(1Н)-(1м)
(1кг) -(1м/с2)
ОВД)
(1м):(1с)
(1 рад): (1с)
(1К)
(1рад)
Оср)
(1Н):(1м3)
(1м/с): (1с)
(1рад/с):(1с)
* В скобках указаны запасные обозначения.
337

Продолжение приложения
Величин»

Обозначение
величины *
Единица измерения в Международной системе
единиц (СИ)
название

совращенное
обозначение
размер единицы
II. Электротехнические величины
Емкость электрическая
Заряд электрический
Индуктивность
собственная
Индуктивность взаимная
Индукция магнитная
Коэффициент:
мощности
связи
трансформации
Мощность; мощность
активная
Мощность полная
Мощность реактивная
Напряжение
электрическое
Напряженность поля:
электрического
магнитного
Период колебаний
электрической или
магнитной величины
Плотность электрического
заряда:
линейная
поверхностная
объемная
Плотность электрического
тока
Потенциал электрический
Поток магнитный
Потокосцепление
Проводимость магнитная
Проводимость
электрическая активная
Проводимость
электрическая полная
С
С
Ь
М
В
СОЗф
к
п
Р
8(*5)
<2(Р0)
и
Е
И
Т
1
а
Р
/
V
Ф
У
А
О
У
фарад
кулон
генри
генри
тесла
-
ватт
вольт-ампер
вольт-ампер
реактивный
вольт
вольт на метр
ампер на метр
секунда
кулон на метр
кулон на
квадратный метр
кулон на
кубический метр
ампер на
квадратный метр
вольт
вебер
вебер
вебер на ампер
(генри)
сименс
сименс
Ф
Кл
Гн
Гн
Тл
-
Вт
В-А
вар
В
В/м
А/м
с
Кл/м
Кл/м2
Кл/м3
А/м2
В
Вб
Вб
Вб/А(Гн)
См
См
(1Кл):(1В)
(1А)-(1с)
(1Вб):(1А)
(1Вб):(1А)
(1Вб):(1м2)
-
<1Дж):(1с)
<1А)-(1В)
(1А)-(1В)
(1Вт):(1А)
(1В):(1м)
(1А):(1м)
(1с)
(1Кл):(1м)
(1Кл):(1м2)
(1Кл):(1м3)
(1А):(1м2)
(1Вт):(1А)
(1В)-(1с)
(1В)-(1с)
(1Вб):(1А)
(1 А) : (1 В)
(1 А) : (1 В)
338

Продолжение приложения
Величина
Проводимость реактивная
Проводимость
электрическая удельная
Проницаемость
абсолютная:
диэлектрическая
магнитная
Проницаемость
относительная:
диэлектрическая
магнитная
Сдвиг фаз между
напряжением и током
Сила коэрцитивная
Сила магнитодвижущая
вдоль замкнутого
контура
Сила электродвижущая
Скольжение
Смещение
электрическое
Сопротивление
магнитное
Сопротивление
электрическое, сопротивление
электрическое
постоянному току
Сопротивление
электрическое активное
Сопротивление
электрическое реактивное
Сопротивление
электрическое полное
Сопротивление
электрическое удельное
Ток
Частота колебаний
электрической или
магнитной величины
Частота колебаний
угловая электрической или
магнитной величины

Обозначение
величины *
В
У
Ф
не
Р
Е
8
В
*М
К(г)
К(г)
Х(х)
2
Р
/
/(V)
ю(П)
Единица измерения в Международной системе
единиц (СИ)
название
сименс
сименс на метр
фарад на метр
генри на метр
—
—
ампер на метр
ампер
вольт
—
кулон на
квадратный метр
ампер на вебер
ом
ом
ом
ом
ом-метр
ампер
герц
радиан в секунду

сокращенное
обозначение
См
См/м
Ф/м
Гн/м
—
—
А/м
А
В
—
Кл/м2
А/Вб
(1/Гн)
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом-м
А
Гц
рад/с
размер единицы
(1А) :(1В)
(1См)-(1м):(1м2)
(1Кл/м2):(1В/м)
(1Тл):(1А/м)
—
—
(1А):(1м)
0 А)
(1Вт):(1А)
(1Кл):(1м2)
(1А):(1Вб)
(1В):(1А)
(1В):(1А)
(1В):(1А)
(1В):(1А)
(10м)-(1м2): (1м)
(1А)
(1):(1с)
0 рад): Ос)
339

Продолжение приложения
Величина
Число:
витков
пар полюсов
фаз многофазной
системы
Энергия
электромагнитная

Обозначение
величины *
т \
IV
Единица измерения в Международной снстеме
единиц (СИ)
название
джоуль

сокращенное
обозначение
Дж
размер единицы
ОН)-(1м)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю. Н. Электротехника.—М.: Энерго-
атомиздат, 1985.—552 с.
2. Касаткин А. С, Немцов М. В. Электротехника.— М: Высшая школа, 2000.—
542 с.
3. Электротехника/Под ред. В. Г. Герасимова.— М.: Высшая школа, 1985.— 480 с.
4. Рекус Г. Г., Белоусов А. И. Сборник задач и упражнений по электротехнике
и основам электроники.— М.: Высшая школа, 2002.— 416 с.
Дополнительная
5. Волынский Б. А., Зейн В. Е., Шатерников В. Г. Электротехника.— М.: Энерго-
атомиздат, 1987.—528 с.
6. Морозов А. Г. Электротехника, электроника, импульсная техника.— М.:
Высшая школа, 1987.—448 с.
7. Основы промышленной электроники/Под ред В. Г. Герасимова.—М.: Высшая
школа, 1969 — 160 с.
8. Сборник задач по электротехнике и основам электроники/Под ред. В. Г.
Герасимова.— М.: Высшая школа, 1987.—288 с.
9. «1)е818П N6*8» (США). 1988, № 12. Т. 44. С. 15.
10. Данилов И. А., Иванов П. М. Общая электротехника с основами
электроники.— М.: Высшая школа, 1998.—752 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Линейные электрические цепи постоянного тока 4
§ 1.1. Источники и потребители электрической энергии постоянного тока . 4
§ 1.2. Метод эквивалентных преобразований 12
§ 1.3. Метод применения законов Кирхгофа 19
§ 1.4. Метод контурных токов 28
§ 1.5. Метод узлового напряжения 35
§ 1.6. Метод наложения токов 41
§ 1.7. Метод эквивалентного генератора 43
Глава 2. Нелинейные электрические цепи постоянного тока 51
§ 2.1. Основные сведения о нелинейных электрических цепях 51
Глава 3. Однофазные электрические цепи синусоидального тока 62
§ 3.1. Способы изображения синусоидальных функций времени 62
§ 3.2. Метод комплексных чисел 66
§ 3.3. Линейные однофазные синусоидальные электрические цепи с
последовательным соединением элементов цепи 73
§ 3.4. Линейные однофазные синусоидальные электрические цепи с
параллельным и смешанным соединением элементов цепи 91
Глава 4. Электрические цепи периодического несинусоидального тока 125
§ 4.1. Основные сведения о периодических несинусоидальных токах ... 125
Глава 5. Переходные процессы в линейных электрических цепях 136
§ 5.1. Основные сведения о переходных процессах 136
Глава 6. Промышленная электроника 149
§ 6.1. Основные сведения об электровакуумных и полупроводниковых
приборах 149
Глава 7. Трехфазные электрические цепи 173
§ 7.1. Трехфазная система питания потребителей электроэнергии 173
§ 7.2. Трехфазные трехпроводные электрические цепи при соединении
фаз трехфазных потребителей электроэнергии «звездой» 174
§ 7.3. Трехфазные электрические цепи при соединении фаз трехфазных
потребителей электроэнергии «треугольником» 177
§ 7.4. Трехфазные четырехпроводные электрические цепи 179
Глава 8. Электрические измерения 204
§ 8.1. Основные сведения об электроизмерительных приборах и
погрешностях измерений 204
Глава 9. Магнитные цепи 217
§ 9.1. Основные сведения о магнитных цепях и их расчете 217
Глава 10. Трансформаторы 228
§ 10.1. Основные сведения о трансформаторах 228
342

Глава 11. Электрические машины постоянного тока 250
§ 11.1. Основные сведения об электрических машинах постоянного тока .. 250
Глава 12. Трехфазные асинхронные электродвигатели 260
§ 12.1. Основные сведения о трехфазных асинхронных электродвигателях . 260
Глава 13. Трехфазные синхронные электрические машины 282
§ 13.1. Основные сведения о синхронных электрических машинах и
области их применения 282
Глава 14. Электрический привод 290
§ 14.1. Основные сведения об электроприводе и принципах выбора
электродвигателей 290
Глава 15. Электроснабжение производственных предприятий 300
§ 15.1. Основные сведения об электроснабжении и оплате за пользование
электроэнергией 300
Глава 16. Электробезопасность 321
§ 16.1. Основные сведения об электробезопасности и оказанию первой
помощи 321
Приложение 337
Список литературы 341

Учебное издание
Рекус Григорий Гаврилович
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ
В ЗАДАЧАХ С РЕШЕНИЯМИ
Редактор Е.Н. Рожкова
Художественный редактор А.Ю. Войткевин
Технический редактор Н. И. Тростянская
Корректоры Т. А. Вавилова, О. Н. Шебашова
Лицензия ИД № 06236 от 09.11.01.
Изд. № РЕНТ-16. Сдано в набор 08.09.04. Подп. в печать 11.02.05. Формат 60х88У,б.
Бум. офсетная. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная.
Объем 21,07 усл. печ. л., 21,32 усл. кр.-отт. Тираж 3000 экз. Заказ № 4359.
ФГУП «Издательство «Высшая школа»,
127994, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14.
Тел.: (095) 200-04-56. п«р://>оту\у.у-8пко1а.ги. Е-таИ: тГо@у-8пко1а.ш
Отдел реализации: (095) 200-07-69, 200-59-39, факс: (095) 200-03-01.
Е-тай: $а1е8@у-8пко1а.га
Отпечатано на ФГУП ордена «Знак Почета»
Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова.
214000, г. Смоленск, пр-т им. Ю. Гагарина, 2.
I8ВN 5-06-004413-0