RENE GUENON

LA SCIENCE
DES NOMBRES
РЕНЕ ГЕНОН

НАУКА ЧИСЕЛ

Перевод с французского

В. Ю. Быстрова

1^1

Санкт-Петербург
«Владимир Даль»
2013
УДК1(091):27-1.28; 061.236

ББК86.2

Г 34

Рене Генон

Г34 Наука чисел. — СПб.: Владимир Даль, 2013. — 271 с.

ISBN 978-5-93615-128-6

В данную книгу вошло несколько работ известного мыслителя
и исследователя религиозных традиций Рене Генопа (1886—1951), в
том числе книга «Принципы исчисления бесконечно малых», посвя-
щенная связи математического символизма с традициционной «нау-
кой чисел». Речь идет об отрасли знаний, нашедшей свои отражения
в нумерологии пифагорейцев, в древнееврейской Каббале, в уче-
нии о числе александрийского неоплатонизма, в иных религиозно-
философских учениях древности, широко использовавших число-
вой и геометрический символизм. Знакомство с книгой может стать
весомым подспорьем для более глубокого изучения древней тради-
ционной «науки чисел», для нового прочтения александрийцев, Ибн
Араби, Платона и многих других, кого волновала тайна числа.

УДК 1(091 ):27-1.28; 061.236

ББК 86.2

© Издательство «Владимир Даль», 2013

© В. Ю. Быстров, перевод, предисловие 2013

ISBN 978-5-93615-128-6	© П. П. Лосев, оформление, 2013
ПРЕДИСЛОВИЕ

В эту книгу вошли несколько работ Рене Генона, специ-
ально посвященных применению метафизических прин-
ципов к области математики или, наоборот, той символи-
ческой функции, которую может выполнять математика.
В книгу вошла работа «Принципы исчисления бесконеч-
но малых», одна из наименее читаемых книг этого автора
и по своему значению далеко выходящая за пределы чи-
стой математики. Предмет ее исследования уходит далеко
в прошлое, по крайней мере, если остановиться на хорошо
известных именах, к Пифагору и Платону, которые, судя
по имеющимся данным, были прекрасно знакомы с от-
раслью традиционных знаний, называемой иногда «наукой
чисел». Следы существования этой науки Геной обнару-
живает не только в классической и архаической Греции,
но и в исламской традиции, в Каббале и в александрий-
ской школе. Генон констатирует: «Математики в совре-
менную эпоху дошли, кажется, до того, что уже не знают,
чем на самом деле является число; мы не слышим, чтобы
они говорили не только о числе, взятом в символическом
и аналогическом смысле, как его понимали пифагорейцы
и каббалисты, что в целом вполне объяснимо, но мы, что
может показаться более странным и даже парадоксальным,
не слышим даже и того, что они говорят о числе в его про-
стом количественном значении. На самом деле они любую
науку сводят к калькуляции, которая для них представляет
собой простую совокупность более или менее поверхност-
ных процедур, что в конечном счете означает, что они за-
меняют число цифрой; кроме того, это смешение числа с
цифрой настолько в наши дни распространено, что его в
любое мгновение можно обнаружить даже в выражениях
разговорного языка».1

Уже древние греки делали ясное различие между «ариф-
метикой», которая была наукой о числах, рассматриваемых
«философским» способом и в связи с иными науками, так-
же способными рассматривать свой предмет с точки зрения
традиционного знания, какими были геометрия, музыка
или астрономия, и «логистикой», представлявшей собой не
более чем науку о вычислениях, в том числе и календарных,
предназначенных для чисто утилитарных целей. Посколь-
ку арифметика распространяется па область количества,
посредством применения обратной аналогии она способна
к символическому преобразованию, которое может предо-
ставить опору для постижения истин совершенно иного
порядка. Действительно, фундаментальный вопрос, воз-
никший перед греками еще во времена элеатов, вопрос о 1

1 См: с. 35,81.
сосуществовании Единого и Многого, неслучайно находит
( ное выражение в порождении последовательности целых
чисел, берущей свое начало в единице. Речь идет о вещах,
которые кажутся настолько элементарными, что над ними,
кажется, едва ли стоит и размышлять, но тем не менее стоит
напомнить, что для Парменида и Зенона вся тайна мира за-
ключалась в переходе от единицы к двойке, который в заро-
дыше содержал в себе переход к бесконечному множеству
целых чисел. У неоплатоников единица (и последователь-
ность нечетных чисел, сохраняющих се своеобразие) рас-
сматривается как символ «Того же самого», а двойка (и по-
следовательность четных чисел) как символ «Иного». Тот
же смысл, очевидно, имеет и хадис «Бог — Единственный и
любит нечетное».

Генон постоянно подчеркивает, что на самом деле мно-
жество целых чисел является не бесконечным, а неопре-
деленным, поскольку каким бы ни было целое число, оно
существует в силу закона образования чисел, согласно ко-
торому большее целое число получается путем добавления
единицы к тому числу, что уже было дано. Вновь процити-
руем по этому поводу самого Генона: «В связи с этим было
бы уместно поставить некоторые довольно любопытные
вопросы: так, можно было бы спросить, почему китайский
язык символически изображает неопределенное числом
десять тысяч; выражение «десять тысяч существ» означа-
ет, например, всех существ, которые реально имеются в не-
определенном или «неисчислимом» множестве. Весьма за-
мечательно, что в точности то же самое происходит также и
в греческом языке, где одно-единственное слово, с простым
различием в диакритике, которая, очевидно, является со-
вершенно второстепенной деталью и которая, несомненно,
вызвана лишь потребностью различить использование двух
значений, служит в равной мере выражению одновременно
и той, и другой идеи: цврюг, десять тысяч; pupioi, неопреде-
ленное. Истинная причина этого факта в следующем: это
число десять тысяч есть четвертая степень десяти; следуя
формуле Дао дэ цзин, «одно порождает два, два порождает
три, три порождает все числа», что подразумевает, что четы-
ре, непосредственно порожденное числом три, некоторым
образом равно всей совокупности чисел, и это так, потому
что, как только мы получаем четверицу, то получаем также
посредством добавления четырех первых чисел и десятери-
цу, которая изображает полный числовой цикл: 1+2+3+4=
= 10; это, как мы уже говорили по другому поводу, и есть пи-
фагорейский Тетраксис») Иными словами, не только греки,
но и древние китайцы прекрасно понимали фундаменталь-
ное различие между бесконечностью и неопределенностью,
тогда как математика Нового времени начинается как раз
с бесповоротного забвения этого различия, что порождает
грандиозную путаницу.

Отметим что тот факт, что пифагорейский Тетраксис
изображает полный числовой цикл, находит закономерно
отражение и в «естественном языке», где числа распределе-
ны на четыре «степени», а именно единицы, десятки, сотни и

1 См.: с. 48.
। ысячи; для десятков тысяч уже не существует специально-
। (> термина, и поэтому отождествление pupioi (десяти тысяч)
и pDpioi (неопределенности) выглядит несколько странным
цинь для нашего современника. Кроме того, общсприня-
। ым для традиционной науки чисел является соответствие
единицы и Творца, двойки и Божественного Интеллекта,
тройки и Мировой Души, четверки и Первой Материи.
Четверка также рассматривается и с космологической точ-
ки зрения, где она связывается с четырьмя направлениями
пространства и с четырьмя первоэлементами.

Другой интересный момент касается дробей. Вопреки
тому, что обычно думают наши современники, неверно рас-
сматривать дробное число как «часть» единицы. Половина,
например, несмотря на запись 1/2, не означает, что единица
разделена на две части, так как «истинная арифметическая
единица неделима и пе имеет частей. В данном случае еди-
ница рассматривается как совокупность двух «единиц»,
что вовсе не одно и то же. Аналогичным образом, хотя и
в довольно далекой от элементарной арифметики области,
в современной алгебре определяется то, что называется
«корнями единицы». За этим неподходящим обозначени-
ем (так как очевидно, что единица является корнем всех
чисел, какой бы ни была их природа; в данном случае речь
идет о комплексных числах) скрывается алгебраическое
преобразование геометрического понятия правильного
многоугольника, вписанного в круг. И если, например, го-
ворят о «корнях единицы шестой степени», то на самом
деле речь идет о числе шесть и о правильном шестиуголь-
нике, которые образуют пространственную модальность,
то есть «тело».

Эти несколько примеров уже дают почувствовать, что
математика может служить опорой для медитации и обо-
гащаться символическими возможностями. И это вовсе не
значит, что данные символические возможности сегодня
далеки от своей истинной природы, наоборот, дело в том,
что способ, каким они практикуются и изображаются в
нашу эпоху, почти полностью маскирует этот аспект до та-
кой степени, что некоторые из них становятся синонима-
ми оскудения разума, тогда как на самом деле они могут
стать источником его неисчерпаемого развития, если будут
рассматриваться с традиционной точки зрения. Любая соз-
данная вещь получает свое существование из Единого, от
которого она всегда отделена лишь иллюзорно; кроме того,
в мире количества числа являются лишь манифестациями
Единого, которое суть их источник и их начало. Такое по-
стоянное утверждение Единого представляет собой, как
известно, фундамент веры в исламе, и хотя и можно гово-
рить, что так должно быть в любой аутентичной традиции,
очевидно, что в исламской традиции, с которой, напомним,
связал свою судьбу Генон, такое утверждение достигает бо-
лее значительной степени, чем в любой иной. Достаточно
напомнить о «Трактате о Едином», который долгое время
приписывался Ибн Араби. Точка зрения автора представ-
ленных в данной книге работ, это, скорее, точка зрения
«философии» или, если угодно, герметизма, корни которо-
го погружены в метафизические принципы, и знакомство с
н ими работами может стать предпосылкой для перехода к
следующей стадии изучения древней традиционной «Нау-
1, и чисел», для перехода к новому прочтению александрий-
цев, Ибн Араби, Платона и многих других, кого волновала
гайна числа.

В. Ю. Быстров
ДЕМИУРГ

I

Имеется некоторое число проблем, которые постоянно
волнуют людей, но которые, оказывается, может быть, труд-
нее решить, чем проблему происхождения Зла, с которой,
как с непреодолимым препятствием, сталкивается большин-
ство философов и особенно теологов: «Если Бог есть, то от-
куда Зло? Если Бога нет, то откуда Добро?» Эта дилемма
действительно неразрешима для тех, кто рассматривает Тво-
рение как прямое произведение Бога и кто, как следствие,
обязан сделать его в равной мере ответственным и за Добро,
и за Зло. Скажут, разумеется, что такая ответственность в из-
вестной мере смягчается свободой сотворенных существ; но
если сотворенные существа могут выбирать между Добром и
Злом, то потому, что и то и другое уже существует, по крайней
мере в принципе, и если они способны иногда делать выбор
в пользу Зла, вместо того чтобы всегда склоняться к Добру,
то дело в том, что они несовершенны; следовательно, как Бог,
если он совершенен, мог создать несовершенные создания?
Очевидно, что Совершенное не могло породить несовер-
шенное, так как, если бы это было возможно, Совершенное
должно было бы содержать в себе несовершенное в состоянии
принципа, и тогда оно уже не было бы Совершенным. Несо-
вершенное, следовательно, не могло произойти от Совершен-
ного путем эманации; оно могло бы тогда быть лишь след-
ствием творения ex nihilo; но как допустить, что какая-то вещь
может произойти из ничего, или, другими словами, что могло
бы существовать нечто, что не имело бы никакого отношения
к принципу? Впрочем, допустить творение ex nihilo значило
бы допустить тем самым окончательное уничтожение соз-
данных существ, так как то, что имеет начало, должно также
иметь и конец, и нет ничего более нелогичного, чем говорить
о бессмертии в рамках такой гипотезы; но понимаемое таким
образом творение есть лишь нелепость, поскольку оно проти-
воречит принципу причинности, который никакой разумный
человек не может искренне отрицать, и мы можем сказать вме-
сте с Лукрецием: Ex nihilo nihil, ad nihilum nil posse reverti.

He может быть ничего, чего не было бы в принципе;
но каков этот принцип? И имеется ли на самом деле лишь
единственный Принцип всех вещей? Если рассматривать
Вселенную в целом, то вполне очевидно, что она содержит
в себе все вещи, так как все части содержатся в Целом; с
другой стороны, Целое неизбежно безгранично, так как,
если бы оно имело границу, то, что находилось бы за преде-
лами этой границы, не было бы включено в Целое, и такое
предположение абсурдно. То, что не имеет границы, может
быть названо Бесконечностью, и, поскольку она содержит
в себе все, эта Бесконечность и есть принцип всех вещей.
Впрочем, Бесконечность неизбежно одна, так как две Бес-
конечности, которые были бы тождественны друг другу,
друг друга бы исключали; отсюда следует, что имеет лишь
один-единственный Принцип всех вещей, и этот Принцип
есть Совершенство, так как Бесконечность может быть та-
ковой лишь в том случае, если есть Совершенство.

Таким образом, Совершенство есть высший Принцип,
первая Причина; она содержит в себе все вещи в потенции, и
она порождает все вещи; но тогда, поскольку есть лишь один-
единственный Принцип, чем становятся все противополож-
ности, которые обычно усматриваются во Вселенной: Бытие
и Небытие, Дух и Материя, Добро и Зло? Мы оказываемся,
следовательно, здесь перед лицом вопроса, поставленного с
самого начала, и мы можем теперь сформулировать его следу-
ющим образом: как Единое может произвести Двойственное?

Некоторые полагали, что должны допустить два различ-
ных принципа, противоположных друг другу; но такая ги-
потеза отвергается тем, о чем мы говорили ранее. Действи-
тельно, эти два принципа не могут быть оба бесконечными,
так как тогда бы они исключали друг друга или друг с дру-
гом смешивались бы; если один был бы бесконечным, то он
был бы принципом другого; наконец, если бы оба были ко-
нечными, они не были бы истинными принципами, так как
утверждать, что то, что конечно, может существовать само
по себе, значит утверждать, что что-то может происходить
из ничто, поскольку все то, что конечно, имеет начало, хотя
вы югическое, если не хронологическое. В этом последнем
< чучас, следовательно, и тот и другой, будучи конечными,
in 1.1.ПЫ происходить из общего принципа, который беско-
н< 'к-н, и мы таким образом возвращаемся к рассмотрению
 i и ветвенного Принципа. Между прочим, многие доктри-
ны которые обычно рассматриваются как дуалистические,
। >ы in гаковыми лишь по видимости; в Манихействе, как и в
I к пи и и Зороастра, дуализм был лишь ч исто экзотерической
юк1 риной, скрывающей истинное эзотерическое учение
<> Едином: Ормузд и Ариман оба порождаются Зерваном-
Акарана, и они должны соединиться в нем в конце времен.

Двойственное, следовательно, неизбежно порождается
I 11111 ым, поскольку оно не может существовать само по себе;
но как оно может быть произведено? Чтобы понять это, мы
(Олжны в первую очередь рассматривать Двойственное в
его наименее обособленном аспекте, каким является проти-
воположность Бытия и Небытия; впрочем, поскольку и то
и другое обязательно содержится в Совершенстве целого,
го очевидно, что эта противоположность может быть лишь
видимой. Следовательно, лучше было бы говорить только о
различии; но в чем заключается это различие? Существует
in оно в реальности независимо от нас, или же оно просто
является результатом нашего способа рассмотрения вещей?

Если под Небытием понимается лишь чистое Ничто, то
было бы бесполезно о нем говорить, так как что можно сказать
о том, что ничем не является? Но дело обстоит совершенно
иначе, если рассматривать Небытие как возможность бытия;
Бытие — это проявление Небытия, понятого таким образом, и
оно содержится в потенциальном состоянии в этом Небытии.
Отношение Небытия к Бытию — это тогда отношение непро-
явленного к проявленному, и можно сказать, что непроявлен-
ное выше проявленного, принципом которого оно является,
поскольку оно содержит в себе в потенции все проявленное, а
также то, что нс является, никогда не было и никогда нс будет
проявленным. В то же самое время очевидно, что невозможно
говорить здесь о реальном различии, поскольку проявленное
содержится в принципе в непроявлеииом; тем не менее мы
не можем представить испроявленное непосредственно, но
только через проявленное; это различие существует, следова-
тельно, для нас, но оно существует только для нас.

Если так обстоит дело для Двойственного в аспекте раз-
личия Бытия и Небытия, то так же должно обстоять дело, по
той же самой причине, и для всех иных аспектов Двойствен-
ного. Уже тем самым очевидно, насколько иллюзорно раз-
личие Духа и Материи, на котором, однако, как на непоколе-
бимой основе, зиждется, особенно в наши времена, огромное
количество философских систем; если бы это различие ис-
чезло, от всех этих систем ничего бы не осталось. Кроме того,
мы можем мимоходом отметить, что Двойственное не может
существовать без Троичного, так как если высший Принцип,
дифференцируясь, дает рождение двум элементам, которые,
впрочем, различаются лишь постольку, поскольку мы их
таковыми рассматриваем, то эти два элемента и их общий
Принцип образуют Троичное, так что в реальности именно
Троичное, а не Двойственное, непосредственно производит-
ся первой дифференциацией изначального Единого.
I Приемся теперь к различию Добра и Зла, которое также
пи ।яс гея лишь частным аспектом Двойственного. Когда про-
। иноиоставляются Добро и Зло, то обычно Добро связывают
< ( овершенством, или по крайней мере в низшей степени, со
< Iремлением к Совершенству, и тогда Зло есть не что иное,
|.ак несовершенство; но как несовершенное можно противо-
поставлять Совершенству? Мы видели, что Совершенство
се гь Принцип всех вещей и что, с другой стороны, оно не
может произвести несовершенное, из чего следует, что в ре-
альности несовершенного не существует или что по крайне
мере оно может существовать лишь как элемент, состоящий
в Совершенстве в целом; но тогда оно не может быть реально
несовершенным, и то, что мы называем несовершенным, есть
лишь нечто относительное. Таким образом, то, что мы назы-
ваем заблуждением, является лишь относительной истиной,
так как все заблуждения должны быть включены в Истину в
целом, без чего она, будучи ограниченной чем-то таким, что
находится вне ее, не была бы совершенной, что равноценно
утверждению, что она не была бы Истиной. Заблуждения
или, скорее, относительные истины, — это лишь фрагменты
Истины в целом; следовательно, именно фрагментация по-
рождает относительность, и поэтому можно сказать, что она
является причиной Зла, если относительность на самом деле
является синонимом несовершенства; но Зло является тако-
вым лишь в том случае, если его отличают от Блага.

Если Добром называют Совершенство, то относитель-
ное от него ни в коей мере не отличается, поскольку оно
содержится в нем в принципе; следовательно, с точки зре-

2 Р. Генов. Наука чисел
ния универсального, Зла не существует. Оно будет суще-
ствовать лишь в том случае, если все вещи рассматривать
во фрагментарном и аналитическом аспекте, отделяя их от
их общего Принципа, вместо того чтобы рассматривать их
синтетически, как содержащиеся в этом Принципе, кото-
рым является Совершенство. Именно так и создается не-
совершенное; отличая Зло от Добра, и то и другое создают
посредством самого этого различия, так как Добро и Зло яв-
ляются таковыми лишь потому, что их противопоставляют
друг другу, и, если нет Зла, то нет необходимости говорить
и о Добре в обычном смысле этого слова, но следует гово-
рить только о Совершенстве. Следовательно, именно роко-
вая иллюзия Дуализма и реализует Добро и Зло, иллюзия,
которая, рассматривая вещи с обособленной точки зрения,
заменяет Единое Множественным и заключает таким обра-
зом существа, над которыми она властна, в области смеше-
ния и разделения; эта область и есть Империя Демиурга.

II

То, что мы говорили по поводу различия Добра и Зла, по-
зволяет понять символику изначального Падения хотя бы в
той мере, в какой эти вещи могут быть выражены. Фрагмен-
тация Истины в целом, или Слова, так как это, в сущности,
то же самое, фрагментация, порождающая относительность,
тождественна расчленению Адама Кадмона, разделенные ча-
тицы которого образуют Адама Первопредка, то есть первого
co:inдателя; причина такого расчленения — это Змей, эгоизм
или желание индивидуального существования. Этот Змей ни
и коей мере не является внешней для человека причиной, но
oi 111 а ходится в нем вначале в потенциальном состоянии, и он
становится внешним для него лишь в той мере, в какой сам
человек становится внешним; этот инстинкт разделенности,
и силу своей природы состоящей в том, чтобы провоцировать
разделение, подталкивает человека вкусить плод с Древа По-
лна и ия Добра и Зла, то есть созидать само различие Добра и
Зла. Тогда глаза человека раскрываются, потому что то, что
для пего было внутренним, становится внешним вследствие
разделения, которое совершается между созданиями; они
теперь облачены формами, которые ограничивают и опреде-
ляют их индивидуальное существование, и таким образом
человек и был первым созидателем. Но он также теперь ока-
зывается подчиненным условиям такого индивидуального
существования, и он также облачен формой или, согласно
библейскому выражению, кожаной одеждой; он замкнут в
области Добра и Зла, в Империи Демиурга.

Благодаря этим доводам, весьма, впрочем, кратким и
весьма неполным, очевидно, что в реальности Демиург ни в
коей мере не является внешней для человека силой; в прин-
ципе он является лишь желанием человека, поскольку оно
осуществляет различие Добра и Зла. Но затем человек, огра-
ниченный в качестве индивидуального существа этим свой-
ственным ему желанием, рассматривает его как нечто ему
внешнее, и таким образом оно становится чем-то отличным
от него; более того, поскольку оно противится усилиям, ко-
торые он предпринимает, чтобы выйти из той области, где
он теперь замкнут, он рассматривает его как враждебную
силу и называет ее Сатаной или Врагом. Отметим, впрочем,
что этот Враг, которого мы сами и создали и которого мы
создаем каждое мгновение, так как это созидание не следу-
ет рассматривать как имеющее место в определенное время,
что этот Враг сам по себе непорочен, но он является лишь
совокупностью всего того, что нам противостоит.

С более общей точки зрения Демиург, ставший особой
силой и в качестве таковой и рассматриваемый, есть Князь
этого Мира, о котором говорится в Евангелии Иоанна; здесь
он также еще не является ни добрым, ии злым, или, скорее,
он является и тем и другим, поскольку он содержит в себе
и Добро и Зло. Его владения рассматриваются как низший
Мир, противопоставляемый высшему Миру или Вселенной
принципов, от которой он отделен, но необходимо отметить,
что такое разделение никогда не является абсолютно реаль-
ным; оно реально лишь в той мере, в какой мы его осущест-
вляем, так как этот низший Мир в потенциальном состоянии
содержится во Вселенной принципов, и очевидно, что ника-
кая часть не может на самом деле выйти из Целого. Именно
это, между прочим, и препятствует тому, чтобы падение про-
должалось бесконечно; но это в целом лишь символическое
выражение, и глубина падения измеряется просто степенью,
в которой разделение осуществлено. Этой ограниченностью
Демиург противопоставляется Адаму Кадмону или Челове-
честву принципов, проявлению Слова, но только как отра-
жение, так как он ни в коей мере не есть эманация, и сам по
Гебе он не существует; именно это и изображается фигурой
। нvx старцев Зогара, а также двумя противоположными тре-
угольниками Печати Соломона.

Мы, следовательно, вынуждены рассматривать Демиур-
1.1 как теневое и перевернутое отражение Бытия, так как в
реальности он и не может быть ничем иным. Он, следова-
тельно, — это не существо; но согласно тому, что мы ранее
говорили, он может рассматриваться как общность существ
и гой мере, в какой они различны, или, если угодно, в той
мере, в какой они обладают индивидуальным существова-
нием. Мы являемся различными существами, поскольку
мы сами создаем различие, которое существует лишь в той
мере, в какой мы его создаем; поскольку мы создаем это раз-
личие, мы есть элементы Демиурга, и поскольку мы различ-
ные существа, мы принадлежим владениям самого этого
Демиурга, который и есть то, что называют Творением.

Все элементы Творения, то есть созданные существа, со-
держатся, следовательно, в самом Демиурге, и на самом деле
он может получить их только из самого себя, поскольку тво-
рение ex nihilo невозможно. Рассматриваемый как Творец,
Демиург вначале порождает разделение, и он реально от него
ни в коей мере не отличен, поскольку он существует только в
том случае, если само разделение существует; затем, посколь-
ку разделение есть источник индивидуального существова-
ния и поскольку оно определяется формой, Демиурга следу-
ет рассматривать как созидателя, и тогда он, как очевидно,
тождествен Адаму Первопредку. Можно также сказать, что
Демиург создает Материю, понимая под этим словом тот из-
начальный хаос, который является общим резервуаром всех
форм; затем он организует эту темную и хаотическую Мате-
рию, где царствует смешение, извлекая из нее множествен-
ные формы, совокупность которых и образует Творение.

Следует ли теперь сказать, что такое Творение будет не-
совершенным? Разумеется, его нельзя рассматривать как со-
вершенное; но, если встать на точку зрения универсального,
оно является лишь одним из элементов, образующих Совер-
шенство в целом. Оно является несовершенным, если рассма-
тривать его аналитически, как отделенное от его Принципа,
и именно в этой мере оно и является владением Демиурга;
но, если несовершенное есть лишь элемент Совершенного,
оно не является подлинно несовершенным, и из этого следу-
ет, что в реальности Демиург и его владения не существуют с
точки зрения универсального, так же как и различие Добра и
Зла. Из этого также следует, с той же самой точки зрения, что
Материи не существует: видимость материального является
лишь иллюзией, из чего, впрочем, не следует делать вывод,
что существа, имеющие такую видимость, не существуют,
так как это значило бы впасть в другую иллюзию — иллюзию
плохо понятого и преувеличенного идеализма.

Если Материя не существует, различие между Духом и
Материей тем самым исчезает; все должно быть в реальности
Духом, но понимать это слово следует в совершенно ином
смысле, отличном от того, что ему приписывает большинство
современных философов. Они на самом деле, полностью про-
тивопоставляя Дух и Материю, ни в коей мере не рассматри-
вают Дух как не зависящий от любой формы, и тогда спранги-
и.н’тся, чем же он отличается от Материи; если утверждают,
•I го он непротяжен, тогда как Материя протяженна, то как то,
что непротяженно, может быть облачено формой? Впрочем,
почему желают дать определение Духу? Делается ли это по-
(। >< 71CTBOM мышления или иначе, его всегда стремятся опреде-
111ты юсредством формы, и тогда это уже не Дух. В реальности
универсальный Дух — это Бытие, но не то или иное частное
( утество; он есть Принцип всех существ, и таким образом он
все их в себе содержит; именно поэтому все есть Дух.

Когла человек доходит до реального познания этой ис-
гины, он отождествляет себя самого и все вещи с универ-
< альным Духом, и тогда любое различие для него исчезает
। аким образом, что он созерцает все вещи как пребывающие
в нем самом, но уже ие как внешние, так как иллюзия исче-
зает перед Истиной, как тьма перед солнцем.

III

Из этого следует, что человек может в своем земном
существовании освободиться от власти Демиурга или от
мира материи, и это освобождение совершается посред-
ством Гнозиса, то есть всеобъемлющего Познания. Отме-
тим, впрочем, что такое Познание не имеет ничего общего с
аналитической наукой и ни в коей мере ее не предполагает;
весьма распространенной иллюзией наших дней является
вера, что можно достичь общего синтеза посредством ана-
П1за; наоборот, обычная наука полностью относительна, и
будучи ограниченной миром материи, она, как наука, уже
не существует с универсальной точки зрения.

С другой стороны, мы должны также заметить, что раз-
личные миры, или, согласно общепринятому выражению,
различные уровни Вселенной, ни в коей мере не являются
какими-то местностями или регионами, но представляют со-
бой модальности существования или состояния бытия. Это
позволяет понять, как человек, живущий на земле, может в
реальности принадлежать не миру материи, но миру психи-
ческому или даже миру пневматическому. Именно в этом и
состоит второе рождение; тем не менее оно, собственно го-
воря, является лишь рождением в психическом мире, бла-
годаря которому человек становится сознательным на двух
уровнях, но еще не достигающим пневматического мира, то
есть еще не отождествляющим себя е универсальным Ду-
хом. Этот последний результат достигается лишь тем, кто
полностью владеет тройным Знанием, посредством кото-
рого он полностью освобождается от смертных рождений;
именно это и выражатся в словах, что спасаются лишь люди
Духа. Психическое состояние — это в конечном счете лишь
переходное состояние; это состояние существа, которое уже
готово вопринять Свет, но которое его еще не видит, кото-
рое еще не осознало единую и неизменную Истину.

Когда мы говорим о смертных рождениях, мы понимаем
под этим модификации бытия, его прохождение через мно-
жественные и меняющиеся формы; здесь нет ничего, что
было бы похоже на учение о реинкарнации, каким его прини-
мают спириты и теософы, учение, по поводу которого мы уже
имели возможность объясниться. Человек Духа освобожда-
с гся от смертных рождений, то есть освобождается от фор-
мы, следовательно, от мира Демиурга; ои более не подвержен
изменениям и, следовательно, он бездеятелен; к этому по-
ложению мы еще вернемся. Человек Психики, наоборот, не
преодолел Мир Формообразования, который символически
обозначается как первое Небо или как сфера Луны; отсюда
он возвращается в земной мир, что не означает, что на самом
челе он приобретает на Земле новое тело, но означает, что он
просто должен облачаться в новые формы, какими бы они ни
(были, прежде чем достигнет особождения.

То, что мы только что сказали, демонстрирует соответствие,
мы сказали бы даже, реальное тождество, несмотря на некото-
рые различия в выражениях, между гностическими учениями
и учениями Востока, особенно Ведантой, самой ортодоксаль-
ной из всех метафизических систем, основанных на Брахма-
низме. Поэтому мы можем дополнить то, на что мы указывали
по поводу различных состояний бытия, заимствуя некоторые
цитаты из «Трактата о Познании Духа» Шанкарачарьи.

«Нет никакого иного средства достичь полного и окон-
чательного освобождения, кроме Познания; это единствен-
ный инструмент, который разрывает узы страстей; без По-
знания не может быть достигнуто Блаженство.

Когда деяние не противостоит невежеству, от него нель-
зя избавиться; но Познание рассеивает невежество, как Свет
рассеивает тьму».

Невежество здесь — это состояние существа, замкну-
того во мраке мира материи, привязанного к иллюзорной
видимости Материи и к индивидуальным различиям; по-
средством Познания, которое ни в коей мере не является
областью действия, но превосходит ее, все эти иллюзии ис-
чезают, как мы об этом ранее и говорили.

«Когда невежество, порождающее земные привязанно-
сти, исчезает, Дух, в силу своего собственного сияния, свер-
кает в неразделимом состоянии, подобно тому как Солнце
распространяет свой свет, когда облако рассеивается».

Но прежде, чем дойти до этой ступени, существо прохо-
дит через промежуочную стадию, соответствующую психи-
ческому миру; тогда оно полагает, что является уже не ма-
териальным телом, но индивидуальной душой, так как все
различия не исчезли для него, поскольку оно еще не вышло
из владений Демиурга.

«Воображая, что он является индивидуальной душой,
человек становится испуганным, как тот, кто по ошибке
принял обрывок веревки за змею; но его страх исчезает бла-
годаря пониманию, что он есть не индивидуальная душа, но
универсальный Дух».

Тот, кто осознал наличие двух проявленных миров, то
есть мира материи, совокупности грубых или материаль-
ных проявлений, и мира психического, совокупности тон-
ких проявлений, является дважды рожденным, двидъещ но
тот, кто осознает непроявлениую Вселенную или бесфор-
менный мир, то есть пневматический мир, и кто достиг ото-
ждествления себя самого с универсальным Духом, с Атама-
ном, тот единственный может быть назван Йогом, то есть
соединившимся с универсальным Духом.
«Йог, интеллект которого совершенен, созерцает все
in UU4 как пребывающие в нем самом, и таким образом оком
I [оэнания, он видит, что любая вещь есть Дух».

Заметим мимоходом, что материальный мир сравнивает-
ся с состоянием бодрствования, психический мир — с состоя-
нием сновидения, а мир духа — с глубоким сном; мы должны
напомнить в связи с этим, что непроявленное выше прояв-
ленного, поскольку оно является его принципом. Над пнев-
матической Вселенной, согласно гностическому учению, на-
ходится лишь Плерома, которая может рассматриваться как
образованная совокупностью атрибутов Божества. Она явля-
ется не четвертым миром, но самим универсальным Духом,
высшим принципом трех миров, и не проявленным и прояв-
ленным, неопределимым, непостижимым и необъяснимым.

Йог, или человек Духа, как и любая вещь в своей сущ-
ности, воспринимается уже не как грубая форма и не как
'гонкая форма, но как существо без формы; он отождествля-
ется с универсальным Духом, и вот в каких терминах опи-
сывается это состояние Шанкарачарьей.

«Он есть Брама, после обладания, в котором нечем обла-
дать; после наслаждения счастьем, в котором нет никакого
счастья, которого можно было бы желать; и после получе-
ния знания, в котором нет никакого знания, которое можно
было бы получить.

Он есть Брама, увидев которого, ничто иное он уже не
созерцает; отождествляясь с которым, он не испытывает
никакого рождения; восприняв которого, он уже ничего не
воспринимает.
Он есть Брама, который пребывает везде, во всем: в
среднем мире, в том, что выше него и в том, что ниже его;
истинный, живой, блаженный, лишенный двойственности,
неразделимый, вечный и единый.

Он есть Брама, лишенный величины, непротяженный,
несотворенный, неразрушимый, бесформенный, лишенный
свойств и признаков.

Он есть Брама, которым освещаются все вещи, чей свет
заставляет сверкать Солнце и все светоносные тела, ио ко-
торый не оказывается проявленным в их свете.

Он сам насыщает свою вечную сущность, и он созерцает
весь мир, являющийся перед ним как Брама.

Брама нисколько не похож на мир, и вне Брамы ничего
нет; все, что, как кажется, существует вне его, — это иллюзия.

Во всем том, что мы видим, во всем том, что мы слышим,
не существует ничего, кроме Брамы, и благодаря познанию
принципа Брама созерцается как истинное, живое, блажен-
ное, лишенное двойственности Бытие.

Око Познания созерцает истинное, живое, блаженное
Бытие, проникающее во все; но око невежества его совсем
не обнаруживает, как слепой человек совсем не видит света.

Когда Солнце духовного Познания поднимается в небе
сердца, оно настигает мрак, оно все пронизывает, все охва-
тывает и все освещает».

Отметим, что Брама, о котором здесь идет речь, — это
верховный Брама; необходимо отличать его от низшего
Брамы, так как тот и есть не кто иной, как Демиург, рас-
сматриваемый как отражение Бытия. Для Йога существует
।ишь высший Брама, который содержит в себе все вещи, и
ш к? которого ничего нет; Демиурга и его работы по разделе-
нию больше не существует.

«Тот, кто совершил странствие своего собственного разу-
ма, странствие, в котором нет ничего, имеющего отношение к
< 1нунции, месту и времени, которое совершается везде, в кото-
ром не чувствуют ни тепла, ни холода, которое дает ему вечное
счастье и освобождение от всякого страдания; он бездеятелен;
он знает все вещи и он достиг вечного Блаженства».

IV

Охарактеризовав три мира и состояния бытия, им соответ-
ствующие, и указав, насколько это возможно, чем является су-
щество, освободившееся от власти демиурга, мы должны еще
раз вернуться к вопросу о различии Добра и Зла, чтобы из-
влечь некоторые следствия из предшествующего изложения.

Прежде всего можно попытаться сделать следующее
утверждение: если различие Добра и Зла полностью иллю-
зорно, если на самом деле его не существует, то так же долж-
но обстоять дело и с моралью, так как очевидно, что мораль
основывается на этом различии, что она его, в сущности,
предполагает. Это завело бы нас слишком далеко; мораль
существует, но в той же мере, что и различие Добра и Зла,
то есть для всего, что принадлежит к владениям Демиур-
га; с точки зрения универсального, она не имеет никакого
основания. На самом деле мораль может применяться лишь
к действию; действие предполагает изменение, которое воз-
можно лишь в области формального или проявленного; мир
без форм неизменен, он выше изменения, а следовательно,
и выше действия, именно поэтому существо, не принадле-
жащее более к Империи Демиурга, бездеятельно.

Это доказывает, что необходимо никогда не смешивать
различные уровни Вселенной, так как то, что утверждается
об одном из них, может не быть истинным для другого. Так,
мораль с необходимостью существует па социальном уров-
не, который в своей сущности является областью действия;
но о ней не может быть и речи, когда рассматривается ме-
тафизический или универсальный уровень, поскольку там
уже нет действия.

Установив это, мы должны отметить, что существо,
которое выше действия, обладает тем не менее полнотой
деятельности; но это потенциальная деятельность, то есть
деятельность, которая не действует. Это существо ни в коей
мере не неподвижное, как о нем можно было бы ошибочно
говорить, но неизменное, то есть превосходящее изменение;
на самом деле оно тождественно Бытию, которое всегда
тождественно самому себе: согласно библейской формуле
«Бытие есть Бытие». Все это следует сблизить с доктриной
даосизма, согласно которой Деяние Неба — это бездеятель-
ный Мудрец, в котором отражается Деяние Неба, и соблю-
дающий недеяние. Тем не менее этот Мудрец, которого мы
обозначили как человека духа или Йога, может иметь ви-
димость действия, как Луна имеет видимость движения,
когда перед ней проходят облака; но ветер, преследующий
облака, не имеет никакого влияния на Луну. Точно так же
н'я гелыюсть мира Демиурга не имеет никакого влияния на
человека Духа; по этому поводу мы можем еще раз проци-
। ировать то, что горит Шанкарачарья.

«Йог, преодолевший море страстей, един с Покоем и ра-
дуется в Духе.

Отказавшись от тех удовольствий, которые порождают
внешние переходящие объекты, и испытывая духовное на-
слаждение, он тих и спокоен как факел под стеклом и раду-
ется своей сущности.

На время своего пребывания в теле он не зависит от его
свойств, как небесный свод не зависит от того, что движется
в его глубинах; познав все вещи, он остается независим от
случайностей».

Мы тем самым можем понять истинный смысл слова
Нирвана, которому дают множество ложных истолкова-
ний; буквально это слово обозначает угасание дыхания или
деятельности, следовательно, состояние существа, которое
уже не подвержено никакому воздействию, которое оконча-
гельно освободилось от формы. Весьма распространенной
ошибкой, по крайней мере на Западе, является утвержде-
ние, что уже нет ничего, когда нет формы, тогда как на са-
мом деле именно форма — это ничто, а бесформенное — это
все; следовательно, Нирвана, вовсе не являясь уничтоже-
нием, как утверждали некоторые философы, представляет
собой, наоборот, полноту Бытия.

Из всего предшествующего можно сделать вывод, что
нет никакой необходимости действовать; это был бы ие-
точный вывод, если не в принципе, то по крайней мере в его
применении, которое можно было бы совершить. На самом
деле действие — это условие существования индивидуаль-
ных существ, принадлежащих Империи Демиурга; чело-
век Духа, или Мудрец, на самом деле бездеятелен, но по-
скольку он пребывает в теле, он имеет видимость действия;
внешним образом он полностью схож с другими людьми,
ио он знает, что это лишь иллюзорная видимость, и этого
достаточно, чтобы он был реально освобожден от действия,
поскольку именно через Познание достигается освобожде-
ние. Поскольку он освобожден от действия, он не являет-
ся больше и носителем страдания, так как страдание есть
лишь результат усилия, то есть действия, и именно в этом
и заключается то, что мы называем несовершенством, хотя
в реальности нет ничего несовершенного.

Очевидно, что действие не может существовать для того,
кто созерцает все вещи в себе самом, как существующем в
универсальном Духе, без какого-либо различия индиви-
дуальных объектов, как это выражают следующие слова
из Вед: «Объекты отличаются просто по обозначению, по
случайному имени, подобно тому как инструменты для об-
работки земли приобретают раличные имена, хотя разными
являются лишь формы земли». Земля, принцип всех этих
форм, сама бесформенна, но все эти формы содержит в себе
в возможности бытия; таков и универсальный Дух.

Действие подразумевает изменение, то есть постоянное
разрушение форм, которые исчезают, чтобы на их место
пришли другие; это модификации, которые мы называем
рождением и смертью, множественные изменения состоя-
ния, через которые должно пройти существо, еще не до-
< । nt шее освобождения или окончательного преображения,
если использовать это слово преображение в его этимологи-
ческом смысле, в смысле выхода за пределы формы. Привя-
мипость к индивидуальным вещам, или к переходным и, в
сущности, преходящим формам — это признак невежества;
формы — это ничто для существа, свободного от формы, и
именно поэтому, даже во время своего пребывания в теле,
оно не зависит от воздействия его свойств.

«Поэтому он свободен как ветер, так как его движениям
не препятствуют страсти.

Когда формы уничтожены, Йог и все существа входят в
область сущности, которая пронизывает собой все.

Он лишен качеств и бездеятелен; неуничтожим, безво-
лен; счастлив, неизменен, лишен образа; он навеки чист и
свободен.

Он подобен эфиру, который распространяется повсюду
и в одно и то же время пронизывает вещи и извне, и изну-
три; он неразрушим, нетленен; он один и тот же во всех ве-
щах, чист, бесстрастен, бесформен, неизменен.

Он — это великий Брама, который вечен, чист, свободен,
един, бесконечно счастлив, лишен двойственности, суще-
ствующий, воспринимающий и бесконечный».

Таково состояние, которого существо достигает посред-
ством духовного Познания; следовательно, оно навсегда
освобождается от условий индивидуального существова-
ния, он освобождается от Империи Демиурга.
ЗАМЕТКИ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ОБОЗНАЧЕНИИ

Мы нередко имели возможность заметить, что большин-
ство профанных наук, единственных, которые известны на-
шим современникам и которые они полагают возможными,
представляют собой в реальности лишь простые искажен-
ные останки древних традиционных наук в том смысле, что
их самая низшая сторона, переставшая поддерживать свою
связь с принципами и утратившая тем самым свое истинное
изначальное значение, приобрела независимое развитие и
стала рассматриваться как самодостаточное знание. Совре-
менная математика в этом отношении не составляет исклю-
чения, если сравнивать ее с тем, чем была для древних пау-
ка чисел и геометрия; и когда мы говорим здесь о древних,
следует понимать под этим «классическую» древность, по-
скольку самого поверхностного изучения пифагорейских и
платоновских теорий достаточно, чтобы это доказать или,
по крайней мере, этого должно было бы быть достаточно,
если не принимать в расчет необычайную непонятливость
тех, кто стремится сегодня эти науки интерпретировать;
если бы эта непонятливость не была столь законченной,
к) как можно было бы поддерживать, например, мнение об
«Эмпирическом» происхождении тех наук, о которых идет
речь, тогда как на самом деле они, наоборот, оказываются
1см более далекими от всякого «эмпиризма», чем в более
глубокую древность мы погружаемся, и так же, между про-
чим, обстоит дело с любой отраслью познания?

Математики в современную эпоху дошли, кажется, до
юго, что уже не знают, чем на самом деле является число,
нп< как они любую науку сводят к калькуляции, которая
для них представляет собой простую совокупность более
пли менее поверхностных процедур, что в конечном сче-
те означает, что они заменяют число цифрой; кроме того,
ЭТО смешение числа с цифрой настолько в наши дни рас-
пространено, что его в любое мгновение можно обнару-
жить даже в выражениях разговорного языка. Но цифра,
собственно говоря, — это не более чем оболочка числа; мы
даже не говорим, что это его тело, так как, скорее, геометри-
ческая форма может, в некоторых отношениях, правомерно
рассматриваться как истинное тело числа, как это доказы-
вают теории древних о многоугольниках и многогранниках,
имевшие прямую связь с символизмом чисел. Мы тем не
менее не желаем сказать, что сами цифры являются полно-
стью произвольными знаками, форма которых определя-
лась бы лишь фантазией одного или нескольких индиви-
дов; они должны быть числовыми знаками, а также знаками
алфавита, от которых они, впрочем, в некоторых языках не
отличаются, и можно как к первым, так и ко вторым приме-
пить понятие иероглифического, то есть идеографического
или символического происхождения, которое подходит для
всех письменностей без исключения.

В чем можно быть уверенным, так это в том, что матема-
тики в своем обозначении используют символы, смысла ко-
торых сами они не понимают и которые явлются чем-то вро-
де следов забытых традиций; более серьезным является тот
факт, что они не только не спрашивают себя, каким может
быть этот смысл, но, кажется, даже и не желают, чтобы он
вообще был. В действительности они все больше и больше
склоняются к тому, чтобы рассматривать всякое обозначение
как простую «конвенцию», под которой они понимают нечто
такое, что устанавливается полностью случайным образом,
что, в сущности, совершенно невозможно, так как конвенция
никогда не устанавливается, если для этого нет причины, и
причины именно такой-то, а не любой другой; только тем,
кто не знает об этой причине, конвенция может показаться
произвольной, и именно это здесь и происходит. В подобном
случае слишком легко перейти от правомерного и приемле-
мого использования обозначения к использованию неправо-
мерному, которое уже не соответствует ничему реальному и
которое может быть даже иногда совершенно нелогичным;
это может показаться странным, когда речь идет о такой нау-
ке, как математика, которая должна иметь с логикой особен-
но тесные связи, и тем не менее, не погрешив против истины,
можно отметить немало нелогичного в математических по-
нятиях, какими они обычно рассматриваются.

Один из наиболее поразительных примеров — это так
называемая математическая бесконечность, которая, как
мы это уже объясняли по другому поводу, является и может
। >ыть в реальности лишь неопределенностью; не следует по-
li гать, что такое смешение бесконечного и неопределенного
< водится к простой проблеме употребления слов. То, что ма-
гематики изображают знаком оо, никоим образом не может
быть Бесконечностью, понятой в ее истинном смысле; сам
• гот знак оо является замкнутой, то есть очевидно конеч-
ной фигурой, так же как и круг, который некоторые желают
сделать символом вечности, тогда как он может быть лишь
изображением временного цикла, Неопределенности лишь
на своем уровне, то есть того, что, собственно говоря, и на-
зывают непрерывностью; легко увидеть, что такое смешение
вечности и непрерывности тесно связано со смешением бес-
конечного и неопределенного. На деле неопределенное есть
лишь раскрытие конечного; но из этого нельзя вывести Бес-
конечное, которое, между прочим, не могло бы быть количе-
ственным, и тем более не могло бы быть чем-то таким, что
было бы определенным, так как количество, будучи лишь
особым модусом реальности, тем самым, в сущности, и огра-
ничивается. С другой стороны, идея бесконечного числа, то
есть согласно определению, которое ему дают математики,
числа, которое было бы больше, чем любое иное число, это
идея сама по себе противоречивая, так как, каким бы ни было
число N, число N + 1 будет всегда больше в силу самого за-
кона образования бесконечного ряда чисел; и из этого про-
тиворечия вытекает множество иных, как отмечали многие
философы, которые тем не менее не видели истинного зна-
чения этой аргументации, так как тот, кто считает, что может
применить к метафизической Бесконечности то, что направ-
лено лишь против ложной математической бесконечности,
совершает тем самым, хотя и в противоположном смысле,
то же самое смешение, что и его противники. Очевидно, что
было бы абсурдно стремиться определить Бесконечное, так
как любое определение неизбежно является ограничением,
как об этом явно говорят и сами слова, и Бесконечное — это
то, что не имеет границ; стремиться ввести его в какую-то
формулу, то есть в итоге облачить формой, — значит пытать-
ся ввести универсальное Целое в один из самых бесконечно
малых элементов, который в это целое включен, что, очевид-
но, невозможно; наконец, представлять Бесконечное как ко-
личество — значит не только, как мы только что говорили,
ограничивать его, но еще и представлять его, помимо проче-
го, как способное к увеличению или уменьшению, что не ме-
нее абсурдно. С подобными рассуждениями мы очень скоро
дойдем до рассмотрения множества бесконечных величин,
которые сосуществуют, не смешиваясь друг с другом и не
исключая друг друга, бесконечных величин, которые явля-
ются большими или меньшими, чем другие бесконечные
величины, и даже, не удовлетворяясь бесконечностью, мы
могли бы придумать «трансфинитивное», то есть область
чисел больших, чем бесконечное: сколько слов, столько и
нелепостей, даже в отношении простой элементарной ло-
гики. Мы намеренно говорим здесь о «придумывании», так
как если реальности математического порядка могут быть,
как и все остальные реальности, лишь открыты, а не приду-
маны, то ясно, что и речи не может быть об открытии, когда,
увлекаясь «игрой» обозначения, мы вступаем в область чи-
< гой фантазии; но насколько можно надеяться разъяснить
> го различие математикам, которые охотно воображают, что
вся их наука не является и не должна являться чем-то иным,
кроме «конструкции человеческого разума», что, разум еет-
< я, сводило бы ее, если бы в эго пришлось поверить, к тому,
чем на самом деле она не является?

То, что мы сказали о бесконечно больших величинах, или
тех, что таковыми считаются, в равной мере истинно и для
того, что столь же неправильно называют бесконечно малы-
ми: каким бы малым ни было число, будет еще более малое
число; мы впоследствии еще вернемся к тому смыслу, кото-
рый как раз и необходимо приписывать такому обозначению.
Следовательно, в реальности нет ни бесконечно больших,
ни бесконечно малых величин, но можно рассматривать по-
следовательность чисел как бесконечно возрастающую или
бесконечно уменьшающуюся, и поэтому мнимая математи-
ческая бесконечность есть лишь неопределенность, которая,
повторим, происходит от конечного и всегда, следовательно,
к нему сводится. Таким образом, неопределенное — это еще
конечное, то есть ограниченное; даже если мы не знаем о его
границах, или если мы неспособны их определить, мы знаем
тем не менее что эти границы существуют, так как любое не-
определенное есть л ишь некоторый порядок вещей, который
ограничивается самим существованием других вещей вне
его. Очевидно, тем же самым способом можно рассматривать
и множество неопределенностей: можно даже добавлять их
друг к другу, или умножать их друг на друга, что естествен -
но приводит к рассмотрению неопределенностей неравной
величины и даже к различным порядкам неопределенности
либо возрастающим, либо уменьшающимся. В силу этого
легко понять, что на самом деле означают те нелепости, на
которые мы только что указали и которые перестают быть
нелепостями, когда мнимую математическую бесконечность
заменяют неопределенностью; однако, попятно, что все, что
таким образом можно получить, так же, как и обычное конеч-
ное, лишь расширением которого всегда является неопреде-
ленность, не имеет никакого отношения к Бесконечности и,
строго говоря, всегда ничтожно рядом с ней. В то же самое
время эти рассуждения демонстрируют довольно точным об-
разом невозможность достичь синтеза посредством анализа:
было бы напрасно последовательно добавлять друг к другу
бесконечное число элементов, так как мы никогда не полу-
чим Целого, потому что это Целое является бесконечным, а
не неопределенным; нельзя представлять его как-то иначе,
чем бесконечным, так как оно могло бы быть ограниченным
лишь чем-то таким, что было бы для него внешним, и тогда
оно уже не было бы больше Целым; если можно сказать, что
оно является суммой всех его элементов, то только при усло-
вии, что это слово «сумма» мы понимаем в смысле интеграла,
а интеграл не рассчитывается путем сложения его элементов
один за одним; если даже можно было бы предположить, что
мы сможем аналитически дойти до одного или до множества
неопределенностей, то с точки зрения универсального мы не
продвинемся ни на шаг и всегда будем оставаться в том же
самом положении но отношению к Бесконечности. Все это
аналогичным образом можно применить и к иным областям,
нежели область количества; и вывод, который из этого не-
посредственно следует, заключается в том, что профанная
наука, точка зрения которой и методы являются исключи-
тельно аналитическими, в силу этого неспособна преодолеть
некоторые ограничения; несовершенство здесь несвойствен-
но просто ее сегодняшнему состоянию, как хотели бы верить
некоторые, но присуще самой ее природе, то есть в конечном
счете ущербности ее принципов.

Мы говорили, что ряд чисел может рассматриваться как
неопределенный в двух смыслах, как возрастающий и как
уменьшающийся; но это еще требует некоторого объясне-
ния, так как сразу же может быть представлено возраже-
ние: истинное число, то, что можно назвать чистым числом,
в сущности, является целым числом; и ряд целых чисел,
исходящий из единицы, возрастает до неопределенности,
но полностью он разворачивается в одном-единственном
смысле, и поэтому другой противоположный смысл, где
этот ряд уменьшается до неопределенности, не может най-
ти своего соответствующего представления. Тем не менее
приходится рассматривать различные виды чисел, иных,
нежели целые числа; это является, как обычно говорят, рас-
ширением идеи числа, и в определенном отношении это
верно; но в то же самое время эти расширения являются
также изменениями, и именно об этом математики забыва-
ют, кажется, слишком легко, потому что их «конвенциона-
лизм» вынуждает их недооценивать происхождение этих
расширений и их смысл. Фактически иные числа, нежели
числа целые, всегда представляются прежде всего как изо-
бражения результатов операций, которые невозможны, ког-
да придерживаются чисто арифметической точки зрения,
той, что во всей строгости принадлежит лишь арифметике
целых чисел; но не случайно, что именно от этого прихо-
дят к рассмотрению результата таких-то операций, вместо
того чтобы ограничиться взглядом на них как на просто не-
возможные; вообще говоря, это происходит, когда число,
которое является дискретной величиной, применяется к
величинам, которые, как например пространственные ве-
личины, принадлежат к порядку непрерывного количества.
Между этими модальностями количества существует та-
кое различие в их природе, что соответствие одной из них
другой нельзя в полной мере установить; чтобы в какой-то
мере это устранить, стремятся сократить интервалы этого
дискретного ряда, образованного рядом целых чисел, вводя
между его членами другие числа, такие как числа дробные
и несоизмеримые, которые не имели бы никакого смысла за
пределами такого рассмотрения. Следует, впрочем, сказать,
что, несмотря на это всегда неизбежно будет существовать
нечто такое в дискретной природе числа, что не позволит
получить совершенный эквивалент непрерывного; можно
сокращать интервалы, насколько это угодно, то есть со-
кращать их до неопределенности, ио нельзя их устранить;
следовательно, приходится и здесь усматривать некоторый
аспект неопределенности, и э го сможет найти свое приме-
нение при изучении принципов исчисления бесконечно ма-
лых величин, но в настоящий момент нас заботит не это.
С такими оговорками и ири таких условиях можно до-
пустить некоторые из тех расширений идеи числа, на ко-
торые мы только что ссылались, и придать им или, скорее,
восстановить их правомерное значение; таким образом, мы
можем, в частности, рассматривать обратные величины це-
лых чисел, изображаемые формальными символами и обра-
зующие уменьшающийся до неопределенности ряд, симме-
тричный возрастающему до неопределенности ряду целых
чисел. Необходимо также отметить, что хотя символ и мо-
жет напоминать об идее дробных чисел, числа, о которых
идет речь, не определены здесь как таковые; нам достаточ-
но рассмотреть два ряда, как образованные соответственно
числами большими и меньшими, чем единица, то есть как
два порядка величин, которые имеют в ней свой общий
предел, и в то же время они могут рассматриваться как в
равной мере исходящие из этой единицы, которая действи-
тельно является первичным истоком всех чисел. Поскольку
мы говорили о дробных числах, мы добавим по этому по-
воду, что определение, которое обычно им дают, также яв-
ляется абсурдным: дробите могут быть, как утверждается,
«частями единицы», так как истинная единица неизбежно
неделима и лишена частей; арифметически дробное число
не представляет собой ничего иного, кроме коэффициен-
та невозможного деления; но такая нелепость происходит
от смешения между арифметической единицей и тем, что
называют «единицами измерения», которые являются та-
ковыми лишь конвенционально и которые на самом деле
относятся к величинам иного рода, нежели число. Единица
длины, например, есть лишь определенная длина, выбран-
ная по причинам, чуждым арифметике, длина, которой при-
водится в соответствие с числом 1 с целью суметь измерить
с ее помощью иные длины; но в силу самой природы дис-
кретной величины всякая длина, нусть даже она и изобра-
жается нумерически единицей, всегда тем не менее делима,
и делима до неопределенности; можно, следовательно, срав-
нивая с ней другие длины, рассматривать части этой едини-
цы измерения, но они ни в коей мере не станут из-за этого
частями арифметической единицы; и только так на самом
деле и вводится рассмотрение дробных чисел, как изобра-
жение отношений между величинами, которые как раз и не
делимы друг на друга. Измерение величины не является на
самом деле чем-то иным, нежели числовым выражением
ее отношения к другой величине того же вида, взятой как
единица измерения, то есть, в сущности, как граница срав-
нения; тем самым очевидно, что всякое измерение, в сущ-
ности, основано на делении, что могло бы дать повод для
других важных наблюдений, которые, однако, находятся за
пределами нашей темы.

После этого мы можем вернуться к двойной числовой
неопределенности, образованной в возрастающем направ-
лении рядом целых чисел, а в уменьшающемся направле-
нии — рядом обратных чисел; эти два ряда, и тот и другой,
исходят из единицы, которая одна лишь сама по себе яв-
ляется и своим собственным обратным числом, посколь-
ку 1/1 = 1. Между прочим, сколько чисел имеется в одном
ряду, столько и в другом, поэтому, если рассматривать эти
две неопределенные совокупности как образующие единую
последовательность, то можно сказать, что единица зани-
мает точно середину в этой последовательности чисел; на
самом деле, любому числу п из одного ряда соответствует
в другом ряду число 1/лг, так что п* \/п = 1; совокупность
двух обратных чисел, умноженных друг на друга, произво-
дит единицу. Если бы захотелось, чтобы еще больше обоб-
щить, ввести дробные числа вместо того, чтобы рассматри-
вать только ряд целых чисел и ряд обратных им чисел, как
мы только что это делали, то ничего бы в этом отношении
не изменилось: у нас были бы, с одной стороны, все числа,
большие, чем единица, а с другой — все числа, меньшие, чем
единица; здесь также любому числу а/b > 1 соответствует
в другой группе обратное число b/а < 1, и наоборот, таким
образом, что а/b х Ь/а = 1, и таким образом всегда имелось
бы ровно столько же чисел и в одной и в другой из этих двух
неопределенных групп, разделенных единицей. Можно
сказать также, что единица, занимающая середину, соответ-
ствует состоянию совершенного равновесия, и что она со-
держит в себе все числа, которые исходят из нее парами об-
ратных или дополняющих друг друга чисел, причем каждая
из этих пар образует, в силу самого факта этой взаимной
дополнительности, относительную единицу в ее нераздели-
мой двойственности; мы впоследствии раскроем те выводы,
которые подразумевают эти различные рассуждения.

Если в соответствии с тем, что было ранее сказано, рас-
матривать ряд целых чисел и ряд обратных им чисел, то
первый является возрастающим до неопределенности, а
второй — до неопределенности уменьшающимся; можно
сказать, что таким образом числа стремятся, с одной сторо-
ны, к неопределенно большому, а с другой — к неопределен-
но малому, подразумевая под этим сами пределы области,
в которой рассматриваются эти числа, так как меняющееся
количество может стремиться лишь к пределу. Область, о
которой идет речь, является в итоге областью числового
количества, рассматриваемого во всем том расширении, на
которое оно способно; это значит, что пределы не опреде-
ляются тем или иным частным числом, каким бы большим
или малым оно не предполагалось, но только самой приро-
дой числа как такового. В силу этого число, как и всякая
другая вещь определенной природы, исключает все то, что
им не является, и поэтому здесь не может быть и речи о бес-
конечном; впрочем, мы только что говорили о том, что не-
определенно большое неизбежно должно быть понято как
предел, и можно заметить но этому поводу, что выражение
«склоняется к бесконечному», используемое математиками
в смысле «возрастает до неопределенности», — это еще одна
нелепость, поскольку бесконечное очевидно подразумевает
отсутствие всякого предела, и что, следовательно, нет ниче-
го, к чему было бы возможно склоняться. Само собой разу-
меется, что те же самые рассуждения в равной мере приме-
нимы и к модусам количества, отличным от числа, то есть
к различным видам непрерывного количества, в частности
пространственного или временного; каждое из иих, на сво-
ем уровне, одинаково способно к неопределенному расши-
рению, но в сущности ограниченному самой своей приро-
дой, как обстоит дело и с самим количеством во всей его
всеобщности; одного лишь факта, что существуют вещи, к
которым количество неприменимо, достаточно, чтобы уста-
новить, что мнимое понятие «количественной бесконечно-
сти» противоречиво.

С другой стороны, ввиду того, что область является не-
определенной, мы не имеем отчетливого знания о ее грани-
цах и, следовательно, мы не можем их точно установить; в
этом, в конечном счете, и заключается все различие с обыч-
ным конечным. Существует, следовательно, разновидность
неопределенности, которая, однако, является таковой лишь
с нашей точки зрения, а не в самой реальности, поскольку
границы ее все же существуют; видим мы их или не видим,
это ничего не меняет в природе вещей. Можно также ска-
зать: в том, что касается числа, что эта видимая неопреде-
ленность является следствием того, что последовательность
чисел в своей совокупности не «заканчивается» определен-
ным числом, как это всегда имеет место в любом отрезке
этой последовательности, который можно рассматривать
отдельно; таким образом, нет числа, каким бы большим оно
ни было, которое можно было бы отождествить с неопреде-
ленно большим в том смысле, который мы только что име-
ли в виду, и, естественно, что симметричные рассуждения
применимы также и к неопределенно малому. Тем не менее
можно по крайней мере рассматривать практически неопре-
деленное число, если дозволительно так выразиться, когда
оно уже не может быть ни выражено в языке, ни изображе-
но письменно, что фактически неизбежно и происходит в
данный момент, когда рассматриваются числа, всегда воз-
растающие или уменьшающиеся; это, если угодно, простой
вопрос «вйдения», но само это видение согласуется с харак-
тером неопределенного, которое в конечном счете есть не
что иное, как то, чьи границы могут быть не устранены, что
невозможно, поскольку конечное может происходить лишь
от конечного, но просто отодвинуты до такой степени, что
они полностью исчезают из виду

В связи с этим было бы уместно поставить некоторые до-
вольно любопытные вопросы: так, можно спросить, почему
китайский язык символически изображает неопределенное
числом десять тысяч; выражение «десять тысяч существ»,
например, означает все существа, которых на самом деле
неопределенное множество. Весьма замечательно, что в точ-
ности то же самое происходит и в греческом языке, где одио-
единственное слово, с простым различием в диакритике,
который, очевидно, является совершенно второстепенной
деталью, служит для выражения двух идей: |тирю1, десять ты-
сяч; pnpioi, неопределенное. Истинная причина этого факта
в следующем: это число десять тысяч есть четвертая степень
десяти; следуя формуле Дао дэ цзин, «одно порождает два,
два порождает три, три порождает все числа», что подра-
зумевает, что четыре, непосредственно порожденное числом
три, некоторым образом равно всей совокупности чисел, и
это так, потому что как только мы получаем четверицу, то
получаем также посредством добавления четырех первых
чисел и десятерицу, которая изображает полный числовой
цикл: 1 + 2 + 3 + 4=10; это пифагорейский Тетраксис, к зна-
чей ню которого мы, возможно, вернемся более специально в
другом случае. Можно также добавить, что такое изображе-
ние числовой неопределенности имеет свое соответствие в
пространственном порядке: известно, что возведение в выс-
шую степень представляет собой на этом уровне добавление
одного измерения; наше пространство, имевшее лишь три
измерения, его границы преодолеваются, когда выходим за
пределы третьей степени, что, иными словами, означает, что
возведение в четвертую степень знаменует саму границу его
неопределенности, поскольку, как только оно осуществляет-
ся, то мы тем самым выходим из этого пространства.

Какими бы ни были эти последние рассуждения, нео-
пределенно большое — это в реальности то, что математики
изображают, как мы уже говорили, знаком оо; если бы он не
имел этого смысла, он не имел бы никакого значения; и со-
гласно предшествующему то, что так изображается, являет-
ся не определенным числом, а чем-то вроде целой области,
что, впрочем, неизбежно для того, кто был бы в состоянии
рассмотреть, следуя тому, на что мы уже указывали, не-
равенства и даже различные уровни величин в неопреде-
ленности. Что же касается неопределенно малого, которое
сходным образом может рассматриваться как все то, что в
уменьшающемся порядке оказывается за пределами границ
наших средств оценки и что, как следствие, мы вынуждены
рассматривать как практически несуществующее по отно-
шению к нам количество, то можно, не вводя здесь диффе-
ренциального обозначения, или обозначения, связанного
с исчислением бесконечно малых, лежащего, по сути дела,

4 Р. Геной. Наука чисел
лишь в основе изучения непрерывных изменений, изобра-
зить это неопределенно малое в его совокупности символом
О, хотя это было бы, правду сказать, лишь одно из значе-
ний символа нуля; необходимо понимать, что этот символ
по тем же самым причинам, что и символ неопределенного
большого, не представляет уже собой определенного числа.

Ряд чисел, тот, что мы рассматривали как распростра-
няющийся до неопределенности, посредством целых чисел
и чисел обратных, в двух направлениях — возрастающем и
уменьшающемся, предстает в следующей форме:

0... 1/4, 1/3, 1/2, 1,2, 3,4,... оо;

два числа, эквидестальных центральной единице, являют-
ся обратными или дополняющими друг друга, и, следова-
тельно, как мы объяснили ранее, воспроизводят единицу их
умножением: 1/п х п = 1, так что для двух крайних точек
ряда мы вынуждены также написать: 0 х оо = 1. Тем не менее
из того факта, что знаки 0 и оо, являющиеся двумя множи-
телями этого последнего произведения, не изображаются
в действительности определенными числами, следует, что
само выражение 0 х со образует то, что называют неопреде-
ленной формой, и тогда следует записать: 0 х со = п, где п
является каким-то числом; но любым образом мы возвра-
щаемся к обычному конечному, а две противоположные
неопределенности нейтрализуются друг другом.

Здесь мы весьма ясно видим, что символ оо ни в коей
мере не изображает Бесконечное, так как Бесконечное не
может быть ни противостоящим чему-то, ни что-либо до-
полняющим, и его нельзя поставить с чем-либо в соответ-
ствие как с нулем, так и с единицей или с каким-то числом;
будучи абсолютным Целым, оно включает в себя как Не-
бытие, так и Бытие, поэтому сам нуль ввиду того, что он не
является чистым ничто, неизбежно должен рассматривать-
ся как включенный в Бесконечное.

Обращаясь здесь к Небытию, мы прикасаемся к иному
значению нуля, отличному от того, что мы только что рас-
сматривали, и которое является даже более важным с точки
зрения его метафизического символизма; но в этом отноше-
нии важно, чтобы избежать любого смешения между сим-
волом и тем, что он изображает, прямо уточнить, что мета-
физический Нуль, который и есть Небытие, ни в коей мере
не является нулем количества, и тем более метафизическая
Единица, которая есть Бытие, не является единицей ариф-
метической; то, что обозначается этими терминами, может
быть обозначено так лишь посредством перестановки по
аналогии, поскольку, как только мы оказываемся в области
Универсального, то мы, очевидно, пребываем за пределами
любой специальной области, такой, как область количе-
ства. Не в той мере, в какой он изображает неопределенно
малое, нуль может быть взят как символ Небытия, но в той
мере, в какой, согласно другому из своих математических
значений, он изображает отсутствие количества, которое в
действительности символизирует па своем уровне возмож-
ность непроявления, подобно тому как единица символи-
зирует возможность проявления, будучи точкой отсчета
неопределенного множества чисел, так как Бытие является
принципом всякого проявления.

Как бы ни рассматривать нуль, он в любом случае не
может быть чистым ничто: это весьма очевидно, когда речь
идет о неопределенно малом; верно, что здесь, если угодно,
мы имеем дело лишь с производным смыслом, порожден-
ным чем-то вроде приблизительного уподобления незначи-
тельного для нас количества отсутствию всякого количе-
ства; но, в том, что касается самого отсутствия количества,
то, чем в этом отношении является нуль, может не быть им
в других отношениях, как это ясно видно на таком примере,
как пример с точкой, которая не является протяженной, то
есть является пространственным нулем, но которая тем не
менее, как мы уже объяснили в другом месте, представляет
собой сам принцип всякой протяженности. Впрочем, дей-
ствительно странно, что математики имеют привычку рас-
сматривать нуль как чистое ничто и что тем не менее для
них было бы невозможно не рассматривать его в то же са-
мое время как наделенный неопределенной возможностью,
поскольку, помещенный справа от другой цифры, считаю-
щейся значительной, он содействует формированию пред-
ставления о числе, которое благодаря повторению этого же
самого нуля, может возрастать до неопределенности, как
это происходит, например, в случае числа десять и его по-
следовательных степеней; если бы на самом деле нуль был
лишь чистым ничто, то это было бы невозможно, и сам он
был бы тогда лишь бесполезным знаком, полностью лишен-
ным всякой действительной ценности; это еще одна негю-
(’ледовательность, которую следует добавить к тем, на кото-
рые мы уже указывали.

Если мы вернемся к нулю, рассматриваемому как изо-
бражение неопределенно малого, то важно прежде всего
остановиться на том, что эта область включает в себя в
двойной неопределенной последовательности все то, что
находится за пределами наших средств оценки, подобно
тому как и область неопределенно большого включает в
себя в той же самой последовательности все то, что нахо-
дится за пределами тех самых средств оценки, но в ином
направлении. При таком положении дел, очевидно, не-
уместно говорить о числах, меньших, чем нуль, а также о
числах, больших, чем неопределенное; и это еще более не-
приемлемо, если возможно, когда нуль просто изображает
отсутствие всякого количества, так как количество, кото-
рое было бы меньшим, чем ничто, собственно говоря, не-
мыслимо; именно это и желают сказать, хотя и в смысле,
несколько отличном от того, на что мы указывали, когда
вводят в математике рассмотрение чисел, называемых от-
рицательными, и забывают, что эти числа с самого начала
являются не более чем обозначением результата действи-
тельно невозможного вычитания, посредством которого
большее число должно было быть вычтено из меньшего
числа; но такое рассмотрение отрицательных чисел и ло-
гически спорных следствий, которые оно за собой влечет,
требует иных объяснений.

Рассмотрение отрицательных чисел берет свое начало,
по сути дела, только в том факте, что когда вычитание ариф-
метически невозможно, его результат тем не менее доступен
интерпретации в случае, когда это вычитание соотносится
с величинами, которые могут учитываться в двух противо-
положных направлениях, как например расстояние и время.
Отсюда геометрическое изображение, которое обычно сооб-
щают этим отрицательным числам: рассчитываются на пря-
мой как положительные, так и отрицательные расстояния, в
зависимости от чего они проходят в том или ином направ-
лении, и устанавливается на этой прямой точка, взятая как
начало, отталкиваясь от которой расстояния, называемые
положительными, располагаются с одной стороны, а отри-
цательные — с другой, само же начало наделяется коэффи-
циентом нуля; коэффициент каждой точки прямой будет,
следовательно, числом, изображающим расстояние до на-
чала, а его знак (+) или (—) будет просто указывать, с какой
стороны эта точка располагается по отношению к началу;
па окружности можно даже различить положительное или
отрицательное направление вращения, что дает повод для
аналогичных замечаний. Кроме того, прямую, являющуюся
неопределенной в двух направлениях, приходится рассма-
тривать как неопределенно положительную и неопределен-
но отрицательную, что изображается знаками +оо и -оо, и что
обычно обозначается абсурдными выражениями «плюс бес-
конечность» и «минус бесконечность»; спрашивается, чем
могла бы быть отрицательная бесконечность, или еще — что
могло бы существовать, если бы от чего-то или от ничто (по-
скольку математики рассматривают нуль как ничто) отняли
бы бесконечность; здесь перед нами те вещи, которые до-
статочно выразить ясным языком, чтобы сразу же увидеть,
что они лишены всякого значения. Необходимо также до-
бавить, что впоследствии приходится, в частности при изу-
чении изменения функций, рассматривать отрицательную
неопределенность как смешивающуюся с положительной
неопределенностью таким образом, что движущееся тело,
начинающее двигаться с исходной точки и постоянно уда-
ляющееся в положительном направлении, возвращалось бы
к ней с отрицательной стороны, если бы его движение про-
должалось неопределенное время, или наоборот, из чего сле-
дует, что прямая, или то, что в качестве таковой рассматри-
вается, должна быть в реальности замкнутой линией, хотя и
неопределенной. Можно было бы, между прочим, показать,
что свойства прямой на плоскости полностью аналогичны
свойствам большого круга на поверхности сферы, и что пло-
скость и прямая могут быть уподоблены сфере и большому
кругу с неопределенно большим радиусом (обычные круги
на плоскости тогда являются малыми кругами этой же са-
мой сферы); не настаивая более на этом, мы только заметим,
что здесь прямо проявляются сами пределы пространствен-
ной неопределенности; следовательно, как же можно, если
желают сохранить некоторую видимость логики, говорить
при всем этом о бесконечности?

Если рассматривать положительные и отрицательные
числа так, как мы это только что делали, то ряд чисел при-
обретает следующую форму:

-оо ... -4, -3, -2, -1,0,1, 2, 3, 4 ... +оо,
порядок этих чисел будет тот же самый, что и порядок соот-
ветствующих точек на прямой, то есть точек, которые име-
ют те же самые числа в качестве соответствующих коэффи-
циентов. Этот ряд, хотя он также является неопределенным
в двух направлениях, совершенно отличается от того, что
мы рассматривали ранее: он симметричен, но уже не по от-
ношению к 1, а по отношению к 0, который соответствует
началу расстояний; и два числа, равноудаленных от этого
центрального члена 0, также его воспроизводят, но посред-
ством «алгебраического» сложения (то есть осуществляе-
мого при учитывании их знаков, что арифметически яв-
ляется здесь вычитанием), а не умножения. Можно сразу
же заметить неудобство, которое неизбежно следует из ис-
кусственного (мы не говорим случайного) характера этого
обозначения: если поставить единицу в исходную точку,
вся последовательность чисел из нее естественным образом
вытекает; по если поставить туда нуль, то из него, наобо-
рот, невозможно вывести никакое число; причина в том, что
образование ряда основывается тогда на представлениях,
скорее, геометрического, чем арифметического порядка, а
также в том, что вследствие различия природы типов коли-
чества, с которыми соответственно соотносятся эти две от-
расли математики, никогда нельзя иметь, как мы уже гово-
рили, строго законченное соответствие между арифметикой
и геометрией. С другой стороны, этот новый ряд ни в коей
мере не является, как предыдущий, неопределенно возрас-
тающим в одном смысле и неопределенно уменьшающимся
в другом, или по крайней мере если намерены рассматри-
вать его таким образом, то это лишь один из наиболее не-
корректных «способов выражения»; на самом деле он яв-
ляется неопределенно возрастающим в равной мере в двух
направлениях, поскольку то, что он включает в себя с одной
и с другой стороны от центрального нуля, и есть та же самая
последовательность целых чисел; то, что называют «абсо-
лютным значением» (еще одно по меньшей мере странное
выражение, так как то, о чем идет речь, всегда, по сути дела,
является лишь относительным порядком), должно одно
лишь приниматься во внимание в чисто количественном
отношении, и положительные или отрицательные знаки
ничего в этой связи не меняют, так как они не выражают
ничего иного, кроме отношений «положения», которые мы
только что объясняли. Неопределенно отрицательное, сле-
довательно, нисколько не уподобляется неопределенно ма-
лому, наоборот, оно так же, как неопределенно положитель-
ное, уподобляется неопределенно большому; единственное
различие в том, что оно разворачивается в другом направ-
лении, что совершенно допустимо, когда речь идет о про-
странственных или временных величинах, но полностью
лишено смысла для арифметических величин, для которых
такое развертывание неизбежно является единственно воз-
можным и не может быть иным, чем развертывание самой
последовательности целых чисел. Отрицательные числа ни
в коей мере не являются числами «меньшими, чем нуль»,
что, по сути дела, есть лишь чистая невозможность, и знак,
которым они обозначаются, не переворачивает порядок, в
котором они располагаются в соответствии с их величиной;
впрочем, достаточно, чтобы убедиться в этом настолько
ясно, насколько это возможно, заметить, что точка коэффи-
циента -2, например, более далека от начала, чем точка ко-
эффициента -1, и не менее далека, как это неизбежно было
бы, если бы число -2 было бы на самом деле меньше, чем
число -1; правду сказать, не сами расстояния в той мере,
в какой они являются объектом измерения, могут квали-
фицироваться как отрицательные, по только направление,
в котором они простираются; это две совершенно различ-
ные вещи, и их смешение лежит у истоков большей части
логических трудностей, которые вызывает это обозначение
отрицательных чисел.

Среди других странных или нелогичных следствий это-
го же самого обозначения мы отметим введенное решением
алгебраических уравнений рассмотрение так называемых
«воображаемых» количеств; они изображаются как корни
отрицательных чисел, что соответствует лишь невозмож-
ности; тем не менее возможно, если понимать их в дру-
гом смысле, что они соответствуют и чему-то реальному;
но в любом случае их теория и их применение в аналити-
ческой геометрии в том виде, в каком они излагаются со-
временными математиками, являются на самом деле лишь
переплетением путан ицы и нелепостей, а также чем-то
вроде продукта потребности в чрезмерных и искусствен-
ных обобщениях, потребности, которая не отступает даже
перед высказыванием очевидно нелепых предположений;
нескольких теорем «асимптот круга», например, было бы
достаточно, чтобы доказать, что мы нисколько не преуве-
дичиваем. Можно, правда, сказать, что здесь перед нами не
геометрия, собственно говоря, а только алгебра, переведен-
ная на язык геометрии; но серьезно как раз то, почему такой
перевод, так же как и перевод в обратном направлении, в
некоторой мере возможен и распространен в тех случаях,
когда он уже не может иметь никакого значения, так как это
одновременно и симптом чрезмерного смешения идей, и
крайнее выражение «конвенционализма», который в конце
концов утрачивает чувство любой реальности.

Это еще не все, и мы будем в последнюю очередь гово-
рить о следствиях, также весьма спорных, использования
отрицательных чисел с точки зрения механики; она, между
прочим, является на самом деле, в силу своего предмета, фи-
зической наукой, и сам факт, что ее считают неотъемлемой
частью математики, уже привносит в нее некоторые дефор-
мации. Скажем только в связи с этим, что так называемые
«принципы», на которых современные математики осно-
вывают эту науку, как они ее понимают (и среди различных
злоупотреблений, которым подвергается слово «принци-
пы», это одно из наименее достойных упоминания), — это,
собственно говоря, только более или менее обоснованные
гипотезы, или же, в самом благоприятном случае, более или
менее общие простые законы, возможно, более общие, чем
остальные, ио которые, самое большее, могут быть лишь
применением к весьма специальной области истинных
универсальных принципов. Не желая входить в слишком
долгие рассуждения, мы обратимся, как к примеру первого
случая, к так называемому «принципу инерции», который
ничто не обосновывает, ни опыт, наоборот, доказывающий,
что в природе нет никакой инерции, ни рассудок, который
не может мыслить эту мнимую инерцию, так как она может
заключаться лишь в полном отстутствии любых свойств;
но крайней мере можно было бы применить такое слово к
чистой потенциальности, но она, безусловно, представляет
собой нечто иное, чем количественная и качественная «ма-
терия», которую рассматривают физики. Пример второго
случая — это то, что называют «принципом равенства дей-
ствия и противодействия», который очень мало похож на
«принцип», так как он непосредственно выводится из обще-
го закона равновесия природных сил: всякий раз, когда это
равновесие каким-либо образом нарушено, оно стремится
сразу же восстановиться, откуда противодействие, интен-
сивность которого эквивалентна интенсивности действия,
которое его вызывало; следовательно, здесь перед нами про-
стой частный случай «действий и соответствующих проти-
водействий», который касается не одного только телесного
мира, но и всей совокупности проявления во всех его мо-
дальностях и всех его состояниях; и именно на этом вопросе
о равновесии мы должны еще какое-то время задержаться.

Обычно две силы, которые создают равновесие, изо-
бражают двумя противоположными «векторами», то есть
двумя отрезками прямой равной длины, но направленными
в противоположные стороны: если две силы, приложимые
к одной и той же точке, имеют одну и ту же интенсив-
ность и одно и то же направление, но в противоположные
стороны, они создают равновесие; поскольку они тогда ли-
шены воздействия на точку приложения, говорят даже, что
они уничтожаются, не остерегаясь, что если упраздняется
одна из этих сил, то другая сразу действует, что доказывает,
что она ни в коей мере не была уничтожена на самом деле.
Характеризуются силы коэффициентами, пропорциональ-
ными их соответствующей напряженности, и две силы про-
тивоположных направлений отмечаются коэффициентами
различных знаков, одна — положительным, а другая — от-
рицательным: одна будет/, другая -f'. В том случае, кото-
рый мы только что рассматривали, две силы имели одну и
ту же интенсивность, а коэффициенты, которые их харак-
теризовали, должны были быть равными «в абсолютном
значении», и мы имели: f = откуда выводится в качестве
условия равновесия f - /' = 0, то есть что сумма двух сил
или двух «векторов», которые их изображают, равна нулю,
и поэтому равновесие также определяется нулем. Посколь-
ку математики ошибочно рассматривают нуль как разно-
видность символа ничто (как если бы ничто могло быть
чем-то символизировано), из этого, кажется, следует, что
равновесие является состоянием несуществования, что яв-
ляется довольно странным выводом; несомненно, именно
по этой причине, вместо того чтобы говорить, что две силы,
создающие равновесие, нейтрализуют друг друга, что было
бы точным, говорят, что они друг друга уничтожают, что
противоречит реальности, как мы это тол ько что показали в
одном из самых простых замечаний.

Истинное понятие равновесия совершенно иное: что-
бы осмыслить его, достаточно заметить, что все природные
силы (и не только механические, которые, повторим, есть
нс что иное, как частный случай) являются либо притяга-
тельными, либо отталкивающими; первые могут рассма-
триваться как силы сжимающие или как силы сжатия, вто-
рые — как силы расширяющие или как силы расширения.
Легко понять, что в изначально однородной среде любому
сжатию, производимому в одной точке, будет неизбежно
соответствовать в другой точке эквивалентное расшире-
ние, и наоборот, так что всегда следует рассматривать со-
ответственно два центра сил, один из которых не может
существовать без другого; здесь перед нами то, что можно
назвать законом полярности, который применим ко всем
природным феноменам, потому что он исходит из двой-
ственности самих принципов, руководящих любым прояв-
лением, принципов, которые в той области, которой зани-
маются физики, прежде всего очевидны в электрических и
магнетических феноменах. Если теперь две силы, одна сжи-
мающая, а другая расширяющая, воздействуют на одну и ту
же точку, то условием, при котором они создают равновесие
или нейтрализуют друг друга, то есть при котором в этой
точке не происходит ни сжатия, ни расширения, является
то, что интенсивности этих двух сил будут, мы не скажем
равными, поскольку это силы различного вида, но эквива-
лентными. Можно характеризовать эти силы коэффициен-
тами, пропорциональными тому сжатию или расширению,
которые они производят, и поэтому, если рассматривать
сжимающую силу и силу расширяющую, то первая будет
отмечена коэффициентом 1, а вторая — коэффициентом
п' < 1; каждый из этих коэффициентов может быть отноше-
нием плотности, которую приобретает окружающая среда в
рассматриваемой точке под воздействием соответствующей
силы, к изначальной плотности той же самой среды, пред-
полагаемой однородной, когда она не подвержена воздей-
ствию иной силы, в силу простого применения принципа
достаточного основания. Когда не происходит ни сжатия,
ни расширения, это отношение является неизбежно равным
единице, поскольку плотность среды не меняется; чтобы
две силы, действующие в одной точке, создали равновесие,
необходимо, следовательно, чтобы их равнодействующая
имела коэффициент, равный единице. Легко увидеть, что
коэффициент этой равнодействующей является произ-
ведением (а уже не суммой, как в «классической» концеп-
ции) коэффициентов двух рассмтариваемых сил; эти два
коэффициента п и ri должны быть, следовательно, двумя
числами, обратными друг другу: ri = 1/п и у нас будет усло-
вие равновесия: nri = 1; таким образом, равновесие будет
определяться уже не нулем, но единицей.

Очевидно, что такое определение равновесия посред-
ством единицы, являющееся единственным реальным,
соответствует тому факту, что единица занимает середи-
ну в двойной неопределенной последовательности целых
чисел и чисел, обратных им, тогда как это центральное
место в каком-то отношении узурпировано нулем в ис-
кусственно созданной последовательности положитель-
ных и отрицательных чисел. Далеко не будучи состояни-
ем несуществования, равновесие, наоборот, представляет
собой существование, рассматриваемое само по себе, не-
зависимо от его вторичных множественных проявлений;
подразумевается, впрочем, что это не точка Небытия в ме-
тафизическом смысле этого слова, так как существование,
даже в изначальном и недифференцированном состоянии,
является еще лишь исходной точкой всех дифференциро-
ванных проявлений, подобно тому как единица есть ис-
ходная точка всего множества чисел. Эта единица, какой
мы ее только что рассматривали, и в которой коренится
равновесие, представляет собой то, что дальневосточная
традиция называет «Неизменной Серединой»; и согласно
той же самой традиции это равновесие или эта гармония в
центре каждого состояния и каждой модальности бытия,
является «Деянием Неба».

Завершая здесь это исследование, которое нисколько не
претендует на полноту, мы сделаем вывод «практического»
порядка; оно довольно ясно показывает, почему концеп-
ции современных математиков могут нам внушать столько
же уважения, сколько и концепции представителей любой
другой профанной науки; их мнения и их суждения не име-
ют, следовательно, никакого веса в наших глазах, и мы ни в
коей мере не должны принимать их в расчет в тех оценках,
которые мы можем иметь возможность сформулировать
относительно той или иной теории, оценках, которые как
в этой области, так и в любой иной, могут для нас основы-
ваться только на данных традиционного знания.
ЗАМЕЧАНИЯ

О ПРОИСХОЖДЕНИИ ЧИСЕЛ1

«В начале, до происхождения всех вещей, было Еди-
ное», — говорят самые возвышенные теогонии Запада, те,
что стремятся достичь Бытия за пределами его троичной
манифестации и которые не останавливаются на универ-
сальной видимости Двойственного. Но теогонии Востока и
Дальнего Востока говорят: «До начала, даже до изначально-
го Единого, был Нуль», — так как они знают, что за преде-
лами Бытия имеется Небытие, за пределами проявленного
имеется непроявленное, которое суть его принцип, и что
Небытие не есть Ничто, но что оно наоборот есть неопре-
деленная Возможность, тождественная универсальному
Целому, которое в то же самое время является абсолютным
Совершенством и всеобъемлющей Истиной.

Согласно Каббале Абсолют, чтобы проявить себя, кон-
центрируется в бесконечной световой точке, оставляющей
вокруг себя тьму; этот свет во тьме, эта точка в метафизи- * 5

1 Melanges, Rene Guenon, ed. Gallimard, 1976. Работа вышла в свет
в «Гнозисе» в июне-июле-августе 1910 г.

5 Р. Генон. Наука чисел
ческой протяженности без границ, это ничто, которое есть
все, во всем, которое есть ничто, если можно так выразить-
ся — и есть Бытие внутри Небытия, активное Совершенство
в пассивном Совершенстве. Световая точка — это Единое,
утверждение метафизического нуля, который изображается
безграничной протяженностью, образом бесконечного.

Универсальная возможность, Единое, как только оно
утверждается, чтобы сделаться центром, из которого подоб-
но множественным лучам распространяются неопределен-
ные манифестации Бытия, соединяется с Нулем, который
в принципе оно в себе содержит, с состоянием непроявлен-
ности; здесь уже потенциально проявляется Двойственное,
которое будет совершенным числом, законченным раскры-
тием изначального Единого.

Возможность в целом — это в то же самое время уни-
версальная Пассивность, так как она содержит все частные
возможности, некоторые из них станут проявленными,
перейдут от возможности к действительности под воздей-
ствием Единого Бытия. Каждая манифестация — это радиус
окружности, которая изображает манифестацию в целом; и
такая окружность, имеющая бесконечное количество точек,
также является Нулем по отношению к своему центру, ко-
торый есть Единое. Но окружность не была прочерчена в
Бездне Небытия, и она отмечает только предел манифеста-
ции, области Бытия внутри Небытия; она, следовательно,
есть реализованный Нуль, и, благодаря своей манифеста-
ции в целом, соответствующей этой бесконечной окружно-
сти, Единое завершает свое раскрытие в Двойственном.
С другой стороны, начиная с утверждения Единого, до
самой манифестации в целом, если бы это Единое проти-
востояло Нулю, который в принципе его содержит, то мы
увидели бы, как возникает двойственное внутри самого
Абсолюта, в первой дифференциации, которая приходит
к различию Небытия и Бытия; но мы видели в нашем ис-
следовании о Демиурге чем является это различие. Мы до-
казали тогда, что бытие или активное Совершенство, Ян,
на самом деле не отличается от Небытия, или пассивного
(Совершенства, Инъ, что это различие, исходный пункт лю-
бой манифестации, существует лишь в той мере, в какой мы
его создаем сами, потому что мы можем мыслить Небытие
лишь через Бытие, непроявленное лишь через проявленное;
дифференциация Абсолюта в Бытие и Небытие выражает,
следовательно, лишь способ, каким мы представляем вещи,
и ничего более.

Кроме того, если рассматривать вещи в таком аспекте,
то можно сказать, что Абсолют есть общий принцип Бытия
и Небытия, проявленного и непроявленного, хотя на самом
деле он смешивается с Небытием, поскольку оно является
принципом Бытия, которое само в свою очередь является
первым принципом всякой манифестации. Следовательно,
если мы желаем рассматривать здесь Двойственное, то ока-
зываемся непосредственно перед лицом Троичного; но что-
бы действительно было Троичное, то есть уже проявление,
необходимо, чтобы Абсолют был изначальным Единством,
а мы видим, что Единое изображает только Бытие, утверж-
дение Абсолюта. И именно это Единое Бытие проявляется
в бесконечном множестве чисел, которые оно все содержит
в возможности бытия, и которые оно эманирует как множе-
ство подмножеств самого себя; все числа включены в Двой-
ственное, реализованное прохождением через цикл мани-
фестации бытия в целом, и происхождение этих чисел мы
намерены рассмотреть на основе изначального Единого.

В предшествующем исследовании мы видели, что все
числа могут рассматриваться как Единое, эманирующее
себя парами; эти пары противоположных или дополняю-
щих друг друга чисел, которые можно рассматривать как
символизирующие сизигии Эонов внутри Плеромы, суще-
ствуют в Едином в недифференцированном или непрояв-
ленном состоянии:

1 = 1/2 х 2 = 1/3 х 3 = 1/4 х 4 = 1/5 х 5 = ... « 0 х оо.

Каждая из этих групп, 1/п х п, не отличается ни от Единого,
ни от других групп в Едином, и она становится особой груп-
пой лишь постольку, поскольку ее рассматривают отдельно
от тех двух элементов, которые ее образуют; тогда и рождает-
ся Двойственное, разделяющее друг от друга два принципа,
не противоположных, как о них обычно ошибочно говорят, но
дополняющих друг друга; активный и пассивный, позитив-
ный и негативный, мужской и женский. Но эти два принципа
сосуществуют в Едином, и их неразделимая двойственность
сама является вторичным единством, отражением изначаль-
ного Единого; таким образом, вместе с Единым, которое их
содержит, два дополняющих друг друга элемента образуют
Троичное, которое является первым проявлением Единого,
гак как два, исходящие из одного, не могут существовать без
того, чтобы сразу же тем самым не возникло и три:

1 + 2 = 3.

И так же как мы можем мыслить Небытие только че-
рез Бытие, мы можем мыслить Единое Бытие только через
его троичное появление, необходимое и непосредственное
следствие дифференциации и поляризации, которые наш
интеллект создает в Едином. Такое троичное проявление,
каким бы ни был аспект, в котором его рассматривают,
всегда является неразделимой Троицей (Trinite), то есть
Три-Единством (Tri-Unite), поскольку эти три термина на
самом деле неразделимы, поскольку они являются одним и
тем же Единым, понимаемым как содержащее в себе самом
два полюса, через которые происходит любое проявление.
Такая поляризация сразу же встречается в Троичности, так
как, если рассматривать ее три термина как обладающие не-
зависимым существованием, то тем самым будет получено
гексагональное число, подразумевающее новую троичность,
которая является отражением первой:

1 + 2 + 3 = 6.

Эта вторая троичность сама по себе не обладает реаль-
ным существованием; она по отношению к первой является
тем, чем является Демиург по отношению к эманирующе-
му Логосу, сумрачным и перевернутым образом, и мы дей-
ствительно увидим впоследствии, что Шесть — это число
творения. Ограничимся на данный момент замечанием, что
это число получено нами, поскольку мы различаем между
собой три термина Триединого, вместо того чтобы синтети-
чески рассматривать принципиальное Единое, независимо
от всякого разделения, то есть всякого проявления.

Если рассматривать Троичность как проявление Едино-
го, то необходимо в то же время рассматривать Единое и как
непроявленное, и тогда это Единое, соединенное с Троично-
стью, порождает Четверицу, которая может быть здесь изо-
бражена центром и тремя вершинами треугольника. Можно
также сказать, что Троичность, символизируемая треуголь-
ником, три вершины которого соответствуют трем первым
числам, неизбежно предполагает Четверицу, первый тер-
мин которой, невыраженный, — это тогда Нуль, который
на самом деле не может быть изображен. Таким образом,
можно в Четверице рассматривать первый термин либо как
Нуль, либо как изначальное Единое; в первом случае вто-
рым термином будет Единое, поскольку оно проявляется,
а два других создадут его двойственное проявление; наобо-
рот, во втором случае эти два термина, два дополняющих
друг друга элемента, о которых мы выше говорили, должны
будут логически предшествовать четвертому термину, ко-
торые есть не что иное, как их союз, реализующий их рав-
новесие, в котором отражается принципиальное Единое.
Наконец, если рассматривать Троичность в ее самом низ-
тем аспекте, как образованную двумя дополняющими друг
ipyra элементами и уравновешивающим термином, то этот
последний, будучи соединением двух других, причастен и
тому и другому таким образом, что можно рассматривать
его как двойственный, и здесь также Троичность непосред-
( । венно подразумевает Четверицу, которая является ее про-
должением.

Каким бы ни был способ, которым рассматривается
Четверица, можно сказать, что она содержит все числа,
так как, если рассматривать эти четыре термина как раз-
дельные, то очевидно, что она содержит в себе Денарий:

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Именно поэтому все традиции говорят: одно порождает
два, два порождает три, три порождает все числа; расшире-
ние Единого до Четверицы непосредственно осуществляет
его проявление, которое и есть Денарий.

Геометрически Четверица изображается квадратом, если
рассматривать ее в статическом состоянии, и крестом, если
рассматривать ее в состоянии динамическом; когда крест
оборачивается вокруг своего центра, он порождает окруж-
ность, которая вместе с центром изображает Денарий. Это
и есть то, что называют окружностью квадранта и именно
геометрическое изображение арифметического факта мы
только что и выразили; наоборот, герметическая пробле-
ма квадратуры круга будет изображаться делением круга
на четыре равные части посредством двух прямоугольных
диаметров, а численно она выражается уравнением, запи-
санным в обратном направлении:

10 = 1+ 2 + 3 + 4.

Денарий, рассматриваемый как образованный совокуп-
ностью четырех первых чисел, — это то, что Пифагор на-
зывал Тетраксисом; символ, который его изображал, имел в
целом форму треугольника, каждая из внешних сторон ко-
торого включала четыре элемента, а в целом он состоял из
десяти элементов; мы приводили его изображение в приме-
чаниях, в переводе главы из «Philosophumena», касающейся
Пифагора.

Если Троица — это число, которое изображает первое
проявление принципиального Единого, то Четверица изо-
бражает его общее расширение, символизируемое крестом,
четыре стороны которого образованы двумя бесконечны-
ми прямыми линиями; таким образом, они простираются
до бесконечности, направленные к четырем кардинальным
точкам бесконечной окружности плеромы Бытия, точкам,
которые Каббала изображает четырьмя буквами Тетраграм-
матона 1Л1П. Четверица — это число проявленного Слова,
Адама Кадмона, и можно сказать, что в сущности это число
Эманации, так как Эманация является проявлением Сло-
ва; от него берут начало другие ступени проявления Бытия
в логической последовательности посредством раскрытия
чисел, которые содержатся в нем самом, и совокупность ко-
торых образует Денарий.
Если рассматривать четверичное расширение Единого
как отделенное от самого этого Единого, то оно порождает,
присоединяясь к нему, число пять; именно это и символизи-
рует крест с его центром и четырьмя сторонами. Впрочем,
гак будет обстоять дело и с каждым новым числом, когда
оно будет рассматриваться отдельно от Единого, хотя на
самом деле это совершенно не так, поскольку оно являет-
ся лишь его проявлением; это число, добавленное к изна-
чальному Единому, даст рождение следующему числу; раз и
навсегда обозначив такой способ последовательного проис-
хождения чисел, мы больше не будем к нему возвращаться.

Если центр креста рассматривается как исходная точка
четырех его сторон, то он изображает изначальное Единое;
если он, наоборот, рассматривается только как точка их пе-
ресечения, то он изображает лишь равновесие, отражение
этого Единого. В рамках этой второй точки зрения он каб-
балистически отмечается буквой W, помещаемой в центре
Тетраграммы vnn, четыре буквы которой изображаются на
четырех сторонах креста, а сама пентаграмма образует имя
’’ГПЬПЛ, о значении которого мы не будем здесь распростра-
няться и укажем лишь мимоходом на этот факт. Пять букв
Пентаграммы располагаются на пяти вершинах Пылающей
Звезды, фигуры Квинария, которая символизирует, в част-
ности, Микрокосм или индивидуального человека. Причи-
на этого в следующем: если рассматривать четверицу как
Эманацию или проявление Слова в целом, то каждое суще-
ство, появившееся в результате Эманации, подмножество
этой Эманации, будет также характеризоваться числом че-
тыре; оно станет индивидуальным существом в той мере, в
какой оно отделится от Единого или эмалирующего центра,
и мы только что видели, что это отделение четверицы от
Единого и есть генезис Квинария.

Мы говорили в нашем исследовании о Демиурге, что
разделение, дающее рождение индивидуальному существо-
ванию, — это исходная точка Творения; на самом деле оно
существует в той мере, в какой совокупность индивидуаль-
ных существ, характеризуемых числом пять, рассматрива-
ется как отделенное от Единого, что дает рождение числу
шесть. Это число, как мы ранее видели, может рассматри-
ваться как образованное двумя тройками, одна из которых
является обратным отражением другой; именно это и изо-
бражают два треугольника Печати Соломона, символа Ма-
крокосма или сотворенного мира.

Вещи различаются от нас в той мере, в какой мы их раз-
личаем; в той же самой мере они для нас становятся внеш-
ними, и в то же самое время они становятся различными
между собой; они проявляются тогда как облаченные фор-
мой, и такое Формирование, являющееся непосредствен-
ным следствием Творения, характеризуется числом, кото-
рое следует за гексагональным числом, то есть Седмицей.
Мы только укажем на соответствие всего предшествующего
первой главе книги Бытия: шесть букв слова TTNvrri, шесть
(раз Творения и формирующую роль семи Элохимов, пред-
ставляющих собой совокупность природных сил, символи-
зируемых семью планетарными сферами, где самая низшая
сфера, сфера Луны, обозначается как Мир Формирования.
Седмица, какой мы ее только что рассматривали, может
изображаться или двойным треугольником с его центром,
шбо звездой с семью вершинами, вокруг которой надписа-
ны знаки семи планет; это символ природных сил, то есть
Седмица в динамическом состоянии. Если рассматривать
ее в статическом состоянии, то можно видеть в ней форму
соединения Троицы и Четверицы, и она тогда изображается
квадратом, возвышающимся над треугольником; следова-
ло бы немало сказать о значении всех этих геометрических
форм, но такие рассуждения уведут нас слишком далеко от
темы настоящего исследования. Формирование приводит
к тому, что можно назвать материальной реализацией, ко-
торая знаменует для нас предел проявления Бытия и кото-
рая будет тогда характеризоваться числом восемь. Оно со-
ответствует земному миру, включая внутренний мир семи
планетарных сфер, который следует рассматривать здесь
как символизирующий совокупность материального мира
в целом; впрочем, подразумевается, что каждый мир яв-
ляется не местом, а состоянием или модальностью бытия.
Число восемь соответствует также идее равновесия, пото-
му что материальная реализация является, как мы только
что сказали, пределом, ограничением, точкой остановки в
различии, которое мы создаем в вещах, а степень этого раз-
личия измеряет то, что символически обозначается как
глубина падения; мы уже говорили, что падение есть не что
иное, как способ выражения самого этого различия, кото-
рое создает индивидуальное существование, отделяя нас от
принципиального Единого.
Число восемь изображается в статическом состоянии
двумя квадратами, один из которых вписан в другой таким
образом, что его вершины являются серединой сторон этого
другого квадрата. В динамическом состоянии оно изобра-
жается двумя крестами, имеющими один и тот же центр та-
ким образом, что стороны одного являются биссектрисами
прямых углов, образованных сторонами другого.

Если число восемь добавляется к Единому, оно обра-
зует число девять, которое, ограничивая таким образом
для нас проявление Бытия, поскольку оно соответствует
материальной реализации, отделенной от Единого, бу-
дет изображаться окружностью и будет обозначать Мно-
жество. Мы уже, с другой стороны, говорили, что такая
окружность, бесконечное число точек которой — это все
формальные проявления Бытия (мы говорим здесь уже не
о всех проявлениях, ио только о формальных проявлени-
ях) может рассматриваться как реализованный Нуль. На
самом деле число девять, добавленное к Единому, образует
число десять, которое также является результатом соеди-
нения Нуля и Единицы и которое изображается окруж-
ностью с центром. С другой стороны, Девятерица может
еще рассматриваться как тройная Троица; с этой точки
зрения, которая является статической точкой зрения, она
изображается тремя треугольниками, наложенными друг
на друга таким образом, что каждый будет отражением
того, который над ним непосредственно возвышается, из
чего следует, что промежуточный треугольник является
перевернутым. Такая фигура есть символ трех миров и их
( вязей; именно поэтому Девятерица часто рассматривает-
ся как число иерархии.

Наконец, Денарий, соответствующий окружности с ее
центром, — это проявление Бытия в целом, завершенное
раскрытие Единого; можно, следовательно, рассматривать
(‘го именно как Единое, реализованное во Множестве.

Исходя из этого ряд чисел возобновляется, чтобы обра-
зовать новый цикл:

И = 10 + 1,12 = 10 + 2,... 20 = 10 + 10;

затем идет третий цикл, и так до бесконечности. Каждый
из этих циклов может рассматриваться как воспроизве-
дение первого, но на другой стадии, или, если угодно, в
другой модальности; их будет, следовательно, символи-
зировать множество кругов, расположенных параллель-
но друг над другом, на различных уровнях; но, поскольку
в реальности между ними не существует точки разрыва,
необходимо, чтобы эти круги не были замкнуты, так, что-
бы конец каждого из них был в то же время началом сле-
дующего. Это тогда будут не круги, но последовательные
витки одной спирали, начерченной на цилиндре, и этих
витков бесконечное число, и сам цилиндр также бесконе-
чен; каждый из этих витков проецируется на плоскость,
перпендикулярную оси цилиндра, и образует круг, но на
самом деле его точка отсчета и точка завершения не нахо-
дятся на одной и той же плоскости. Мы, впрочем, должны
будем вернуться к этой теме, когда в рамках иного иссле-
дования будем рассматривать геометрическое изображе-
ние эволюции.

Теперь необходимо рассмотреть иной способ происхо-
ждения чисел, происхождение через умножение и, в част-
ности, умножение числа на самого себя, последовательно
порождающее различные степени этого числа. Но здесь гео-
метрическое изображение привело бы нас к рассуждениям
об измерениях пространства, которые было бы желательно
изучать отдельно; мы должны тогда рассмотреть, в частно-
сти, последовательные степени Денария, что нас заставит
рассмотреть под новым аспектом вопрос о пределе беско-
нечности и о переходе от беспредельного к бесконечному.

В предшествующих замечаниях мы просто стремились
показать, как происхождение чисел из Единого символизи-
рует различные фазы проявления Бытия в их логической
последовательности на основе принципа, то есть самого
Бытия, которое тождественно Единому; и точно так же,
если ввести Нуль как предшествующий изначальному Еди-
ному, можно таким образом выйти за пределы Бытия, дойти
до Небытия, то есть до Абсолюта.
ПРИНЦИПЫ ИСЧИСЛЕНИЯ
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Хотя настоящее исследование может показаться, по край-
ней мере на первый взгляд, лишь в незначительной степени
имеющим «специальный» характер, нам представлялось по-
лезным предпринять его, чтобы уточнить и более полно объ-
яснить некоторые понятия, к которым нам по различным
поводам приходилось обращаться, когда мы использовали
математический символизм, и этого довода в конечном счете
достаточно, чтобы это исследование оправдать и чтобы более
на этом не останавливаться. Тем не менее мы должны сказать,
что к этому могут быть добавлены еще и иные второстепенные
причины, касающиеся главным образом того, что можно на-
зывать «исторической» стороной вопроса; она и на самом деле
не лишена, с нашей точки зрения, интереса в том смысле, что
все дискуссии, возникающие по поводу природы и ценности
исчисления бесконечно малых, представляют собой порази-
тельный пример того отсутствия принципов, которое харак-
теризует профанные науки, то есть те единственные науки,
которые наши современники знают и которые они считают
возможными. Мы уже нередко отмечали, что большинство
этих наук, даже в той мере, в какой они еще соответствуют
некоторой реальности, не представляют собой ничего, кроме
простых выродившихся останков некоторых из древних тра-
диционных наук; когда они перестали поддерживать связь с
принципами и утратили тем самым свое истинное изначаль-
ное значение, их низшая сторона в конце концов обрела не-
зависимое развитие и стала рассматриваться как достаточное
само по себе знание, хотя, по сути дела, его собственная цен-
ность как знания как раз и оказывается доведенной почти до
полной ничтожности. Главным образом это проявляется, ког-
да речь идет о физических науках, но, как мы уже объясняли в
ином месте,1 и сама современная математика не представляет
собой в этом отношении исключения, если сравнить ее с тем,
чем была для древних наука чисел и геометрия; когда мы здесь
говорим о древних, то следует под этим понимать «классиче-
скую» древность, так как самого незначительного изучения
пифагорейских теорий и теорий платонизма достаточно, что-
бы это доказать, или по крайней мере должно быть достаточно,
если не принимать в расчет необычайную непонятливость тех,
кто стремится сегодня эти науки интерпретировать; если бы
эта непонятливость не была столь законченной, то как можно
было бы поддерживать, например, мнение об «эмпирическом»
происхождении тех наук, о которых идет речь, тогда как на са-
мом деле они, наоборот, оказываются тем более далекими от 1

1 См.: Генон Р, Царство количества и знамения времени. М., 1994.
всякого «эмпиризма», чем в более глубокую древность мы no-
ri мужаемся, и так же, между прочим, обстоит дело с любой от-
раслью научного познания?

Математики в современную эпоху дошли, кажется, до
того, что уже не знают, чем на самом деле является число; мы
не слышим, чтобы они говорили нс только о числе, взятом в
символическом и аналогическом смысле, как его понимали
пифагорейцы и каббалисты, что в целом вполне объяснимо,
ио мы, что может показаться более странным и даже парадок-
сальным, не слышим даже и того, что они говорят о числе в
его простом количественном значении. На самом деле они
любую науку сводят к калькуляции, которая для них пред-
ставляет собой простую совокупность более или менее по-
верхностных процедур, что в конечном счете означает, что
они заменяют число цифрой; кроме того, это смешение числа
с цифрой настолько в наши дни распространено, что его в лю-
бое мгновение можно обнаружить даже в выражениях разго-
ворного языка.1 Но цифра, собственно говоря, — это не более
чем оболочка числа; мы даже не говорим, что это его тело, так
как, скорее, геометрическая форма может в некоторых отно-
шениях правомерно рассматриваться как истинное тело чис-
ла, как это доказывают теории древних о многоугольниках и
многогранниках, имевшие прямую связь с символизмом чи- * 6

1 Есть даже «псевдо-эзотерики», которые столь мало знают о том,
о чем желают говорить, что они никогда не упускают случая допу-
стить это самое смешение в тех фантастических разглагольствовани-
ях, которыми они стремятся заменить традиционную науку чисел!

6 Р. Гено и. Наука чисел
сел; и это, между прочим, согласуется с тем фактом, что лю-
бое «воплощение» неизбежно подразумевает «перенесение в
пространство». Мы тем не менее не желаем сказать, что сами
цифры являются полностью произвольными знаками, форма
которых определялась бы лишь фантазией одного или не-
скольких индивидов; они должны быть числовыми знаками,
а также знаками алфавита, от которых они, впрочем, в неко-
торых языках1 не отличаются, и можно как к первым, так и ко
вторым применить понятие иероглифического, то есть идео-
графического или символического происхождения, которое
подходит для всех письменностей без исключения, каким бы
туманным не могло быть в некоторых случаях их происхожде-
ние в силу более или мепее поздних искажений и изменений.

В чем можно быть уверенным, так это в том, что мате-
матики в своем обозначении используют символы, смысла
которых сами они не понимают, и которые являются чем-то 1

1 Такими были древнееврейский и древнегреческий языки, а также
и арабский до введения использования цифр индийского происхожде-
ния, которые впоследствии, в той или иной мере видоизменяясь, при-
ходят оттуда и в средневековую Европу; можно заметить по этому по-
воду, что само слово «цифра» есть не что иное, как арабское ф/г, хотя
это слово было на самом деле лишь обозначением нуля. Верно, что в
древнееврейском, с другой стороны, saphar означает «считать» или
«перечислять», а также «писать», откуда sepher, «письмо» или «книга»
(на арабском sifr, слово, которое, в частности, обозначает священную
книгу), и sephar, «перечисление» или «расчет»; от этого последнего
слова идет также обозначение сефирот в Каббале, которые были пере-
числением принципов, уподобляемых божественным атрибутам.
вроде следов забытых традиций; более серьезным является
гот факт, что они не только не спрашивают себя, каким мо-
жет быть этот смысл, но, кажется, даже и не желают, чтобы
он вообще был. В действительности они все больше и больше
склоняются к тому, чтобы рассматривать всякое обозначение
как простую «конвенцию», под которой они понимают нечто
такое, что устанавливается полностью случайным образом,
что, в сущности, совершенно невозможно, так как конвенция
никогда не устанавливается, если для этого нет причины, и
причины именно такой-то, а не любой другой; только для
тех, кто этой причины не знает, конвенция может быть про-
извольной, так же как для тех, кто не знает причины события,
оно может показаться «непредвиденным»; именно это здесь
и происходит, и мы можем видеть в этом одно из самых край-
них последствий отсутствия принципа, доходящего даже до
утраты наукой, или тем, что так называют, так как тогда она
больше ни в каком отношении не заслуживает этого назва-
ния, всякого правдоподобия. Между прочим, в силу самого
факта существования сегодня концепции исключительно
количественной науки, этот «конвенционализм» распро-
страняется постепенно из математики в физику, в ее самые
последние теории, тем самым все больше и больше удаляю-
щиеся от гой реальности, которую они стремятся объяснить;
мы достаточно останавливались на этом в другой работе,
чтобы избавиться от необходимости говорить об этом что-то
еще, тем более что теперь нас более частным образом зани-
мает одна лишь математика. Мы добавим только, что когда
полностью утрачивается смысл обозначения, то слишком
легко перейти от правомерного и обоснованного его исполь-
зования к использованию неправомерному, которое больше
в действительности ничему не соответствует и которое мо-
жет быть даже иногда совершенно нелогичным; это может
показаться странным, когда речь идет о такой науке, как ма-
тематика, которая должна иметь с логикой особенно тесные
связи, и тем не менее, не погрешив против истины, можно
отметить немало нелогичного в математических понятиях,
какими они обычно рассматриваются в нашу эпоху Один
из наиболее замечательных примеров таких нелогичных по-
нятий, тот, что мы прежде всего должны здесь рассмотреть,
хотя он будет и не единственным, с которым мы столкнемся
в ходе нашего изложения, — это пример с так называемой
математической или количественной бесконечностью, кото-
рая является источником почти всех затруднений, встающих
на пути исчисления бесконечно малых или, может быть точ-
нее, на пути метода исчисления бесконечно малых, так как
что бы об этом ни думали «копвеиционалисты», есть в этом
нечто такое, что превосходит значение простого «расчета» в
обычном смысле этого слова; есть исключение, которое надо
сделать для тех из этих затруднений, которые происходят от
ошибочной или неудовлетворительной концепции понятия
«предела», необходимого для обоснования строгости этого
метода исчисления бесконечно малых и для того, чтобы сде-
лать из него нечто иное, нежели простой метод аппроксима-
ции. Впрочем, как мы увидим, необходимо делать различие
между тем случаем, где так называемое бесконечное выража-
ет лишь простой абсурд, то есть идеей, которая сама по себе
противоречива как идея «бесконечного числа», и тем случа-
ями, где бесконечное неправомерным образом используется
в смысле неопределенного; однако не следовало бы полагать,
что само смешение бесконечного и неопределенного сводит-
ся к простой проблеме употребления слов, так как на самом
деле оно распространяется и на сами идеи. Странно, что та-
кое смешение, которое было бы достаточно рассеять, чтобы
в корне пресечь многие дискуссии, было совершено и самим
Лейбницем, который обычно рассматривается как изобрета-
тель исчисления бесконечно малых и которого мы назовем,
скорее, автором его «формулы», так как этот метод соответ-
ствует некоторым реальностям, которые как таковые обла-
дают существованием, не зависящим о того, кто их мыслит
и кто их с большим или меньшим совершенством выражает;
реальности математического порядка могут быть, как и все
остальные, лишь открыты, а не изобретены, тогда как, наобо-
рот, именно об «изобретении» идет речь, когда, увлекаясь
«игрой» обозначений, оказываются в царстве чистой фанта-
зии; но насколько трудно разъяснить это различие математи-
кам, которые охотно воображают, что вся их наука не являет-
ся и не должна являться чем-то иным, кроме «конструкции
человеческого разума», что, разумеется, сводило бы ее, если
бы в это пришлось поверить, к тому, чем на самом деле она
не является! Как бы то ни было, Лейбниц никогда так и не
смог ясно объясниться по поводу принципов своего исчис-
ления, и именно это и доказывает, что здесь есть нечто такое,
что было выше его понимания и что привлекало его к себе,
хотя он этого и не осознавал; если бы он отдавал себе в этом
отчет, он бы, разумеется, не вступил по этому поводу в спор
о «приоритете» с Ньютоном, и, между прочим, такие споры
всегда являются совершенно напрасными, так как идеи в той
мере, в какой они истинны, не могут быть личной собствен-
ностью, несмотря на современный «индивидуализм», и было
бы ошибкой приписывать эту собственность человеческим
индивидам. Мы не будем более распространяться по пово-
ду этого вопроса, который мог бы увести нас довольно дале-
ко от предмета нашего исследования, хотя было бы, может
быть, небесполезно в некоторых отношениях разъяснить,
что роль тех, кого называют «великими людьми», часто, в
большинстве случаев, является ролью «приемника», хотя
сами они обычно первые и строят иллюзии по поводу своей
«оригинальности».

В данный момент нас непосредственно более заботит
следующее: если мы должны констатировать такие недо-
статки у Лейбница, и тем более серьезные недостатки, по-
скольку они касаются принципиальных вопросов, то как
может обстоять дело с другими современными философа-
ми и математиками, которых он, разумеется, несмотря ни на
что, превосходит? Это превосходство ему, с одной стороны,
обеспечивает предпринятое им изучение средневековых
схоластических учений, хотя он и не всегда их полностью
понимал, а с другой — некоторые эзотерические сведения,
полученные главным образом от розенкрейцеров,1 сведе- 1

1 Бесспорный знак такого влияния обнаруживается в гермети-
ческой фигуре, размещенной Лейбницем на титульном листе своего
ния, очевидно, весьма неполные и даже фрагментарные, ко-
торые, впрочем, ему довольно плохо удавалось применять,
и мы еще увидим здесь несколько примеров такого при-
менения; с этими двумя «источниками», если выражаться
гак, как выражаются историки, необходимо связывать в
конечном счете все то, что имеется действительно ценного
н его теориях, и именно это и позволяло ему, пусть и несо-
вершенно, выступать против картезианства, которое пред-
ставляло собой тогда, в области науки и философии, всю
совокупность наиболее специфичных для Нового времени
концепций и тенденций. Этого замечания в конечном счете
достаточно, чтобы несколькими словами объяснить все то,
чем был Лейбниц, и если мы хотим его понять, то никогда
не следует упускать из виду эти общие указания, которые
мы по этой причине и сочли нужным с самого начала сфор-
мулировать; но пора оставить эти предварительные рас-
суждения, чтобы приступить к изучению тех самых вопро-
сов, которые позволят нам определить истинное значение
исчисления бесконечно малых величин.

трактата «De Arte combinatorial»: это изображение Rota Mundi, «миро-
вого колеса», на котором в центре двойной креста стихий (огня и воды,
воздуха и земли) и качеств (тепла и холода, сухости и влажности),
quinta essentia символизирует роза с пятью лепестками (соответствую-
щая эфиру, рассматриваемому и как сам эфир, и как принцип четырех
остальных элементов); естественно, эта «сигнатура» осталась полно-
стью незамеченной всеми университетскими комментаторами!
ГЛABA I

БЕСКОНЕЧНОЕ И НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ

Двигаясь в каком-то отношении в противоположном
профанной науке направлении, мы должны, следуя свой-
ственной традиционной науке точке зрения, в первую оче-
редь обосновать здесь принцип, который позволит нам впо-
следствии почти прямым образом разрешить затруднения,
вызываемые методом исчисления бесконечно малых, не
позволяя себе вдаваться в дискуссии, рискующие быть бес-
конечными, какими они и являются на самом деле для со-
временных философов и математиков, которым в силу того
самого принципа, которого им недостает, никогда не уда-
валось найти для этих затруднений удовлетворительное и
окончательное решение. Этот принцип — это сама идея Бес-
конечного, понимаемая в ее истинном смысле, который яв-
ляется чисто метафизическим, и нам в связи с эти следует
лишь кратко напомнить о том, что мы уже изложили ранее:1
Бесконечное — это, собственно говоря, то, что не имеет
пределов, так как конечное является, очевидно, синонимом
предела; нельзя, следовательно, без злоупотреблений при-
менять это слово к чему-то иному, нежели то, что не имеет
абсолютно никакого предела, то есть к чему-то иному, неже-
ли универсальное Целое, которое включает в себя все воз- 1

1 Генон Р. Множественные состояния бытия. Глава 1 // Волшеб-
ная гора. 2007. № XIV.
можности и которое, как следствие, не может быть никоим
образом чем бы то ни было ограниченным; Бесконечное, та-
ким образом понятое, является метафизически и логически
необходимым, так как оно не только не может подразумевать
никакого противоречия, не заключая в себе ничего отрица-
тельного, но, наоборот, его отрицание и было бы противоре-
чивым. Кроме того, очевидно, что может существовать лишь
()дно Бесконечное, так как два бесконечных, предполагаемых
различными, ограничивали бы друг друга, и, следовательно,
неизбежно бы друг друга исключали; следовательно, всякий
раз, когда слово «бесконечное» используется в ином смысле,
чем тот, о котором мы только что говорили, мы можем быть
a priori уверены, что такое использование неизбежно явля-
ется неправомерным, так как в конечном счете оно означает,
что метафизическое Бесконечное либо просто игнорируют,
либо предполагают рядом с ним другое бесконечное.

Схоласты, правда, допускали то, что они называли infi-
nitum secundum quid, которое они строго отличали от infini-
tum absolutum, единственного, являвшегося метафизической
Бесконечностью; но мы можем увидеть здесь лишь несовер-
шенство терминологии, так как если это разл ичие и позво-
ляло им избегать противоречия множества бесконечностей,
понятых в собственном смысле слова, то тем не менее верно,
что такое двойное использование слова infinitum рискует вы-
звать большую путаницу и что, между прочим, один из двух
смыслов, которым они его наделяли, был ему совершенно
несвойствен, так как сказать, что что-то бесконечно только в
некотором отношении, что и является точным значением вы-
ражения infinitum secundum quid, значит сказать, что на самом
деле оно ни в коей мере не является бесконечным.1 В дей-
ствительности, не потому что какая-то вещь не ограничена в
определенном смысле или в определенном отношении, мож-
но было бы сделать вывод, что она вообще не ограничена, что
было бы необходимо для того, чтобы она была действительно
бесконечной; она не только могла бы быть в то же самое вре-
мя ограниченной в других отношениях, но мы можем даже
сказать, что она неизбежно такой и является ввиду того, что
она есть некоторая определенная вещь, которая благодаря
самому своему определению, не включает в себя любую воз-
можность, так как это означает, что она ограничена тем, что
оставляет вне себя; если, наоборот, универсальное Целое бес-
конечно, то именно потому, что оно ничего не оставляет вне
себя.1 2 Любое определение, каким бы обидим его ни полагали,
и какое расширение оно ни могло бы получить, неизбежно,
следовательно, исключает истинное понятие бесконечного;3

1 В довольно близком к этому смысле Спиноза использовал поз-
же выражение «бесконечное в своем роде», что, естественно, дает по-
вод тем же самым возражениям.

2 Можно также сказать, что оно оставляет вне себя лишь невоз-
можное, которое, будучи чистым ничто, не могло бы его никоим об-
разом ограничивать.

3 Это в равной мере истинно и для определений универсального
порядка, а не только общего, включая само Бытие, которое является
первым из всех определений; но само собой разумеется, что такое за-
мечание не должно иметь отношения только к космологическим при-
ложениям, с которыми мы имеем дело в настоящем исследовании.
определение, каким бы оно ни было, всегда является ограни-
чением, поскольку его существенной чертой является то, что
оно определяет некоторую область возможностей по отноше-
нию ко всему остальному и тем самым это остальное исклю-
чает. Таким образом, совершенно бессмысленно применять
идею бесконечного к какому-либо определению, например в
случае, который мы здесь рассматриваем более специально,
к количеству или к той или иной из его модальностей; идея
«определенной бесконечности» слишком явно противоре-
чива, чтобы на ней было бы уместно более останавливать-
ся, хотя это противоречие часто ускользает от профанного
мышления современников, и даже те, кого можно назвать
«полу профанам и», не могли, как Лейбниц, его заметить.1
Чтобы сделать это противоречие еще более явным, мы могли
бы сказать в других терминах которые, по сути, эквивалент-
ны, что очевидным абсурдом является желание дать дефи-
ницию Бесконечному: дефиниция на самом деле есть не что
иное, как выражение определения, и сами слова достаточно
ясно говорят, что то, что способно быть определенным, мо-
жет быть лишь конечным или ограниченным; стремление
вместить Бесконечное в формулу или, если угодно, наделить
его какой бы то ни было формой — это сознательная ил и бес- 1

1 Если вызывает удивление выражение «пол у профан», которое
мы здесь используем, мы скажем, что оно может быть оправданным
и даже весьма точным благодаря различию эффективной инициации
и инициации виртуальной, по поводу которого нам предстоит объ-
ясниться в другом случае.
сознательная попытка ввести универсальное Целое в один
из самых ничтожных элементов, который в него включен,
что, очевидно, явно невозможно.

Того, что мы только что сказали, достаточно, чтобы устано-
вить, не оставляя места ни малейшему сомнению и не испыты-
вая потребности входить в какие-либо иные соображения, что
не может быть математической или количественной бесконеч-
ности, что само это выражение не имеет никакого смысла, по-
тому что само количество является определением; число, про-
странство, время, к которым можно применить понятие этой
мнимой бесконечности, являются определенными условиями,
которые, как таковые, могут быть лишь конечными; здесь перед
нами некоторые возможности, или некоторые совокупности
возможностей, рядом с которыми или вне которых существу-
ют другие, что, очевидно, подразумевает их ограничение. Кро-
ме того, в этом случае есть еще нечто большее: мыслить Бес-
конечное количественно — значит не только его ограничивать,
но еще мыслить его как способное к увеличению или уменьше-
нию, что не менее абсурдно; с подобными рассуждениями мы
не только скорее придем к множеству бесконечностей, которые
сосуществовали бы, не смешиваясь друг с другом, не исключая
друг друга, но также и к бесконечностям, которые являются
большими или меньшими, чем иные бесконечности, и даже к
бесконечности, становящейся при таких условиях столь от-
носительной, что изобретается некое «трансфинитивное», то
есть область величин, больших, чем бесконечность; и именно
об «изобретении» речь тогда и идет, поскольку такие концеп-
ции не могут соответствовать ничему реальному: сколько слов,
( только и нелепостей, даже в отношении простой элементар-
ной логики, что не мешает тем, кто эти концепции поддержи-
вает, обладать претензией быть «специалистами» в логике, на-
столько велика интеллектуальная путаница нашей эпохи!

Мы должны заметить, что мы только что сказали не
। олько «мыслить количественное бесконечное», но и «мыс-
лить Бесконечность количественно», и это требует некото-
рого объяснения: мы этим желали особо обратиться к тем,
кого на современном философском жаргоне называют «ин-
финитистами»; на самом деле все дискуссии между «фи-
нитистами» и «инфинитистами» ясно показывают, что и
те и другие имеют по меньшей мере ту общую и полностью
ложную идею, что метафизическая Бесконечность тесно
связана с математической бесконечностью, даже если она
просто с ней не отождествляется.1 Все они в равной мере
игнорируют самые элементарные принципы, поскольку,
наоборот, как раз сама концепция истинной метафизиче-
ской Бесконечности одна только и может отвергать безу-
словным образом любую «частную бесконечность», если
можно так выразиться, такую, как мнимая количественная
бесконечность, и быть заранее уверенной, что повсюду, где 1

1 Мы здесь приведем в пример весьма характерный случай Л. Ку-
тюра, завершившего свою диссертацию «О математической беско-
нечности», в которой он попытался доказать бесконечность числа и
величины заявлением, что его намерением было доказать, что, «не-
смотря на неокритицизм (то есть, на теории Ренувье и его школы),
инфинитистская метафизика возможна».
мы ее встретим, она может быть лишь иллюзией, по поводу
которой будет уместно лишь задать вопрос о том, что ее по-
родило, чтобы суметь заменить ее иным понятием, более со-
ответствующим истине. В итоге всякий раз, когда речь идет
о чем-то частном, об определенной возможности, мы благо-
даря этому a priori уверены, что она ограничена и, можно
сказать, ограничена самой своей природой, и это в равной
мере истинно и в том случае, когда по какой-либо причине
мы сегодня не можем достичь ее границ; но именно эта не-
возможность достичь границ некоторых вещей и даже ино-
гда ясно их представлять, вызывает по крайней мере у тех,
кому недостает метафизического принципа, иллюзию, что
эти вещи не имеют границ и, повторим еще раз, именно эта
иллюзия, и ничего более, сформулирована в противоречи-
вом утверждении об «определенной бесконечности».

Именно здесь, чтобы исправить это ложное понятие или,
скорее, чтобы заменить его истинной концепцией вещей,1 идея 1

1 Уместно со всей логической строгостью сделать различие между
«лже-понятием» (или, если угодно, «псевдо-нонятием») и «ложным
понятием»: «ложное понятие» — это понятие, которое адекватао не со-
ответствует реальности, хотя оно и соответствует ей в некоторой мере;
наоборот, «лже-нонятие» — эго понятие, которое подразумевает проти-
воречие, так как здесь перед нами именно этот случай, и это понятие не
является на самом деле понятием, даже ложным, хотя оно и имеет види-
мость такового для тех, кто не воспринимает противоречие, так как оно
выражает лишь невозможное, которое суть то же самое, что и ничто, оно
абсолютно ничему не соответствует; «ложное понятие» способно быть
исправленным, но «лже-понятие» может быть лишь просто отвергнуто.
бесконечности, которая как раз и есть идея раскрытия возмож-
। юстей, границ которых мы не можем сейчас достичь; и поэтому
мы рассматриваем как фундаментальное, во всех вопросах, где
возникает мнимая математическая бесконечность, различие
бесконечного и неопределенного. Несомненно, именно этому
соответствовало, по замыслу его авторов, схоластическое раз-
личие infinitum ahsolutum и infinitum secundum quid; разумеется,
досадно, что Лейбниц, который, между прочим, многое заим-
ствовал из схоластики, пренебрегал этим различием или игно-
рировал его, так как какой бы несовершенной ни была форма,
в которой оно было выражено, оно могло бы ему помочь легко
ответить на некоторые из возражений, выдвигаемых против
его метода. Декарт, кажется, наоборот, пытался установить то
различие, о котором идет речь, но он был весьма далек от того,
чтобы выразить и даже понять его с достаточной ясностью, по-
скольку, согласно его мнению, неопределенное — это то, границ
чего мы не видим, и что в реальности могло бы быть бесконеч-
ным, хотя мы и не можем утверждать, что оно таковым являет-
ся, тогда как истина в том, что мы, наоборот, можем утверждать,
что оно не является таковым, и что нет никакой надобности ви-
деть его границы, чтобы быть уверенным, что их не существу-
ет; мы видим, насколько все это туманно и затруднительно для
восприятия, и всегда по причине одного и того же отсутствия
принципа. Декарт на самом деле говорит: «Мы же все то, для
чего не можем установить в каком-то смысле1 границы, не будем 1

1 Эти слова, кажется, напоминают о схоластическом secundum
quid и, следовательно, возможно, что первым замыслом фразы, ко-
рассматривать как бесконечное, но лишь как беспредельное».1
И он приводит в качестве примеров протяженность и дели-
мость тел; он не утверждает, что вещи являются бесконечны-
ми, но тем не менее, кажется, он не желает формально этого и
отрицать, тем более, что он только что заявлял, что он не хочет
«утруждать себя рассуждениями о бесконечном», что является
слишком простым способом избавиться от затруднений, не-
смотря на то что немного далее он скажет, что мы «не можем
позитивно постичь отсутствие в каком-то отношении границ
также у некоторых других вещей, но вынуждены признать, что
мы не способны даже негативно приписать этим вещам какие-
либо границы, пусть они ими и обладают»1 2. В итоге он желает,
и вполне обоснованно, сохранить название бесконечного для
того, что не может иметь никакой границы; ио, с одной сторо-
ны, он, кажется, не знает с той абсолютной уверенностью, ка-
кую подразумевает любое метафизическое знание, что то, что
не имеет никакой границы, не может быть чем-то иным, кроме
универсального Целого, а с другой стороны, само понятие не-
определенного нуждается в еще больших уточнениях, нежели
делает он; если бы они были сделаны, то большое число более
поздних смешений не появилось бы па свет так легко.3

торую мы цитируем, было намерение косвенной кратки выражения
infinitum secundum quid.

1 Декарт Р. Первоначала философии. I, 26 // Декарт Р. Соч. В 2 т.
Т. 1.М., 1989. С. 324.

2 Там же. I, 27. С. 325.

3 Это Вариньон в его переписке с Лейбницем по поводу исчисления
бесконечно малых использует, не различая, слова «бесконечное» и «не-
Скажем, что неопределенное не может быть бесконеч-
ным, потому что его понятие всегда предполагает некоторое
< и । ределение, идет ли речь о протяженности, о длительности,
пли о какой-либо иной возможности; одним словом, неопре-
деленное, каким бы оно ни было и под каким бы аспектом
его ни рассматривали, является еще конечным и может быть
гол ько конечным. Разумеется, его границы отодвинуты до
того, что находятся вне нашей досягаемости, по крайней
мере пока мы их стремимся достичь определенным спосо-
бом, который мы можем назвать «аналитическим», что мы
объясним более полно впоследствии; но они тем самым ни
в коей мере не упраздняются, и в любом случае, если огра-
ничения определенного уровня и могут быть упразднены,
на смену им приходят другие, основанные на самой приро-
де того, что рассматривается, так как именно в силу своей
природы, а не просто какого-то случайного и более или ме-
нее внешнего обстоятельства любая частная вещь конечна,
до какой степени нельзя было бы довести на самом деле то
расширение, на которое она способна. Можно по этому по-
воду заметить, что знак оо, которым математики изображают
свою мнимую бесконечность, сам является замкнутой, то
есть очевидно конечной фигурой, так же как и круг, который
некоторые желали бы сделать символом вечности, тогда как

определенное», как если бы они были почти синонимами, или но крайней
мере как если бы он был в каком-то отношении равнодушен, принимая
одно за другое, тогда как, наоборот, именно различие их значе) i ий долж-
но было во всех дискуссиях рассматриваться как ключевой пункт.

7 Р. Геном. Наука чисел
он может быть лишь изображением временного цикла, не-
определенного только на своем уровне, то есть символом
того, что называется, собственно говоря, непрерывностью;1
легко увидеть, что такое смешение вечности и непрерывно-
сти, столь привычное для современных людей Запада, тесно
связано со смешением Бесконечности и неопределенности.

Чтобы лучше понять идею неопределенного и тот спо-
соб, которым она формируется на основе конечного, пони-
маемого в его изначальном значении, можно рассмотреть
пример с последовательностью чисел: в этой последователь-
ности никогда нельзя остановиться на определенной точке,
поскольку за любым числом всегда имеется другое, которое
достигается путем добавления к нему единицы; следователь-
но, нужно, чтобы ограничение этой неопределенной после-
довательности было иного рода, чем то, что применяется к
определенной совокупности чисел, взятой между какими-то
двумя определенными числами; необходимо, следовательно,
чтобы такое ограничение опиралось не на частные свойства
некоторых чисел, но на саму природу числа во всей ее все-
общности, то есть на определение, которое, образуя, по сути
дела, эту природу, заставляет число быть тем, что оно есть, и 1

1 Необходимо также отметить, что, как мы уже объяснял и в ином
месте, такой цикл никогда на самом деле не является замкнутым, но
только кажется таковым, поскольку размещается в перспективе, ко-
торая не позволяет воспринимать реально существующее расстояние
между его крайними точками, подобно тому резьба винта на верти-
кальной оси предстает как круг, когда он проецируется на горизон-
тальную плоскость.
не быть чем-то иным. Можно в точности повторить тот же
с амый довод, если бы речь шла не о числе, но о пространстве
или о времени, также рассматриваемом во всем том расши-
рении, на какое они способны;1 такое расширение, каким бы
неопределенным его ни мыслили и каким бы неопределен-
ным оно ни было на самом деле, никогда в действительности
не сможет никоим образом вывести нас из конечного. Дело
в том, что поскольку конечное неизбежно предполагает Бес-
конечное, поскольку Бесконечное — это то, что исключает в
себя и охватывает собой все возможности, неопределенное,
наоборот, происходит от конечного, оно в действительности
является лишь его раскрытием, и поэтому его всегда мож-
но к нему свести, так как очевидно, что из конечного нельзя
каким бы то ни было процессом извлечь ничего, кроме того,
что в нем уже потенциально содержалось. Вновь обращаясь
к тому же самому примеру с последовательностью чисел,
мы можем сказать, что эта последовательность со всей не-
определенностью, которую она предполагает, дана нам по-
средством закона ее формирования, поскольку именно сам
этот закон непосредственно и следует из ее неопределен-
ности; этот закон заключается в том, что если дано какое-то 1

1 Было бы, следовательно, бесполезно говорить, что простран-
ство, например, может быть ограничено лишь этой последователь-
ностью со всей неопределенностью которую она предполагает, и
поэтому пространство вообще не могло бы быть ограничено ничем;
наоборот, оно ограничено самим определением, которое образует его
собственную природу пространства и которое оставляет место вне
его всем непространственным возможностям.
число, то следующее число образуется путем добавления к
нему единицы. Последовательность чисел образуется, сле-
довательно, последовательными и бесконечно повторяемы-
ми добавлениями единицы к ней самой, что, в сущности,
является лишь неопределенным расширением какой-либо
арифметической суммы; здесь ясно видно, как неопреде-
ленное образуется на основе конечного. Этот пример обя-
зан, между прочим, своей особой ясностью дискретному
характеру числовой величины; но если брать вещи более
общим и применимым ко всем случаям способом, то было
бы достаточно в этом отношении остановиться на идее «ста-
новления», которая подразумевается термином «неопреде-
ленное» и которую мы выше выразили, сказав о раскрытии
возможностей, раскрытии, которое само по себе и во всем
своем течении, всегда предполагает нечто незавершенное;1
важность рассмотрения «переменных» в том, что касается
исчисления бесконечно малых, сообщает этому последнему
все его значение. 1

1 См.: замечание А. К. Кумарасвами о платоновском понятии
«меры», которое мы приводили в другом месте («Царство количе-
ства и знамения времени». Глава III); «неизмеримое» — это то, что
еще не было определено, то есть в итоге неопределенное, и оно в то
же самое время и благодаря этому является тем, что лишь неполно-
стью осуществлено в проявлении.
ГЛАВА II

ПРОТИВОРЕЧИЕ «БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА»

Есть случай, где, как мы впоследствии ясно увидим, до-
статочно заменить идею мнимой бесконечности идеей нео-
пределенности, чтобы незамедлительно устранить любые
трудности; но есть и иные, где сделать это невозможно, по-
тому что речь идет о чем-то ясно определенном, об «уста-
новленном» в каком-то отношении гипотезой, что как тако-
вое не может быть названо неопределенным в соответствии
с замечанием, сделанным нами в последнюю очередь: так,
например, можно сказать, что последовательность чисел
является неопределенной, но нельзя сказать, что некото-
рое число, каким бы большим его ни предполагали и какой
бы ранг оно ни занимало в этой последовательности, пред-
ставляет собой нечто неопределенное. Идея «бесконечного
числа», понимаемого как «самое большое из всех чисел» или
как «число всех чисел», или еще как «число всех единиц»
это идея, на самом деле сама по себе противоречивая, невоз-
можная даже тогда, когда мы откажемся от неоправданного
использования слова «бесконечность»: не может быть числа,
которое было бы больше, чем все остальные, так как каким
бы большим ни было число, всегда можно образовать еще
большее, добавив к нему единицу в соответствии с законом
образования чисел, который мы сформулировали выше. Это
означает, что последовательность чисел не может иметь по-
следнего члена, и именно потому, что она не «завершается»,
она на самом деле и является неопределенной; поскольку
число всех ее членов может быть лишь последним из них,
можно также сказать, что она не «исчисляема», и именно к
этой идее нам впоследствии еще предстоит вернуться.

Невозможность «бесконечного числа» может быть уста-
новлена с помощью различных аргументов; Лейбниц, кото-
рый по крайней мере ясно это осознавал,1 использовал тот,
что заключается в сравнении последовательности четных
чисел с последовательностью всех целых чисел: любому
числу соответствует другое число, равное его двойному
значению, и поэтому можно установить соответствие всех
членов одной последовательности всем членам другой, из
чего следует, что число членов должно быть одним и тем
же и в той и в другой последовательности; но, с другой сто-
роны, очевидно, имеется в два раза больше целых чисел,
чем чисел четных, поскольку четные числа размещают-
ся одно к двум в последовательности целых чисел; таким
образом, мы приходим к явному противоречию. Можно
обобщить этот аргумент, взяв вместо последовательности
четных чисел, то есть умноженных на два, последователь-
ность чисел, умноженных на какое-то число, и доказатель-
ство будет идентичным; можно также взять тем же самым 1

1 «Вопреки моему исчислению бесконечно малых, — писал он в
частности, — я не допускаю истинное бесконечное число, хотя я при-
знаю, что множество вещей превосходит любое конечное число или,
скорее, любое число».
способом последовательность квадратов целых чисел1 или,
более общим образом, последовательность их степеней лю-
бой величины. Во всех случаях вывод, к которому прихо-
дят, один и тот же: последовательность, которая включает
лишь часть целых чисел, должна иметь то же самое число
членов, что и последовательность, которая включает их
все, что означает, что целое не может быть больше, чем его
часть; и виду того, что мы допускаем, что есть число всех
чисел, невозможно избежать этого противоречия. Однако
некоторые считали, что сумели его избежать, допустив в то
же самое время, что есть числа, начиная с которых умно-
жение на определенное число или возведение в некоторую
степень более невозможно, потому что оно дает результат,
который превосходит мнимое «бесконечное число»; так же
обстоит дело и с теми, кто вынужден на деле рассматривать
числа, называемые «большими, чем бесконечность», отку-
да теории, подобные теории «трансфинитного» у Кантора,
которые могут быть весьма изобретательными, но которые
логически несостоятельны:1 2 укладывается ли в голове, что

1 Именно это делал Каши, который, впрочем, приписывал этот
аргумент Галилею («Семь лекций по общей физике»).

2 Уже в эпоху Лейбница Валлис рассматривал spatia plus quam in-
finite, такое мнение, отвергнутое Вариньоном как подразумевающее
противоречие, было поддержано также Гвидо Гранди в его книге «De
Infinitis infinitorum». С другой стороны, Жан Бернулли в ходе своих
дискуссий с Лейбницем, писал: «Si dantur termini infiniti, dabitur etiam
terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eurn sequuntur*, что хотя
и не было объяснено выше, все же, кажется, указывает, что он допу-
можно называть «бесконечным» число, которое, наоборот,
является настолько «конечным», что оно даже не является
самым большим из всех?

Между прочим, в подобных теориях могли бы быть чис-
ла, к которым никакие правила обычного исчисления уже
неприменимы, то есть в итоге числа, которые на самом деле
уже не являются числами и которые могут быть названы
числами лишь в силу конвенции;1 это неизбежно и проис-
ходит, когда, стремясь мыслить «бесконечное число» иначе,
как самое большое число, рассматривают различные «бес-
конечные числа», предполагаемые между собой неравными,
и им приписываются свойства, не имеющие больше ничего
общего со свойствами обычных чисел; таким образом, избе-
гают одного противоречия, чтобы впасть в другие, и, по сути
дела, все это лишь продукт «конвенционализма», настолько
лишенного смысла, насколько это можно представить.

Так, идея мнимого «бесконечного числа», каким бы
образом ее ни представляли и каким бы названием ее ни
желали обозначать, всегда содержит в себе противоречи-
вые элементы; впрочем, нет никакой надобности в этом
абсурдном предположении, как только мы создаем точную 1

скал, что в числовой серии членов может быть такой, что находится
«за пределами бесконечного».

1 Нельзя никоим образом утверждать, что речь здесь идет об
аналогичном использовании идеи числа, так как это предполагало
бы переход к иной области, нежели область количества, и, наоборот,
именно к количеству, понимаемому в его самом буквальном смысле,
все рассуждения такого рода исключительно и относятся.
концепцию того, чем реально является неопределенность
числа, и признаем, кроме этого, что число, несмотря на его
неопределенность, ни в коей мере не применимо ко всему,
что существует. Нам не следует здесь останавливаться на
этом последнем положении, поскольку мы его в достаточ-
ной мере объяснили в другом месте: число есть лишь мо-
дус количества, а само количество — это только категория
или особый модус бытия, несоразмерный ему, или, точнее,
оно является лишь условием, свойственным некоторому
состоянию существования в совокупности универсального
существования; но именно это большинство наших совре-
менников понимают с трудом, привыкнув, что им следует
стремиться все свести к количеству и даже все измерить
числами.1 Тем не менее в самой области количества есть
вещи, которые ускользают от числа, как мы это еще увидим
в случае с непрерывностью; и даже не выходя за пределы
рассмотрения одной лишь дискретной величины, мы уже
вынуждены допустить, по крайней мере имплицитно, что
число неприменимо ко всему, когда мы признаем, что мно-
жество всех чисел не может образовать число, что, впрочем,
в конечном счете является лишь применением той неоспо- 1

1 Так, Ренувье считал, что число применимо ко всему по меньшей
мере идеально, то есть что все само по себе «исчислимо» даже тогда,
когда мы на деле это не можем «вычислить»; кроме того, он был це-
ликом неправ относительно того смысла, который Лейбниц прида-
вал понятию «множества», и никогда не мог понять, как его отличие
от числа позволяло избежать противоречия «бесконечного числа».
римой истины, что то, что ограничивает определенный по-
рядок возможностей, должно неизбежно быть вне его и за
его пределами.1 Только должно подразумеваться, что такое
множество, рассматриваемое либо как дискретное, как в
случае, когда речь идет о последовательности чисел, либо
как непрерывное, к которому нам еще предстоит далее вер-
нуться, ни в коей мере не может быть названо бесконечным,
и здесь перед нами всегда лишь неопределенное; впрочем,
именно это понятие множества мы и намерены теперь изу-
чить более тщательно. 1

1 Мы тем не менее говорили, что частная или определенная вещь,
какой бы она ни была, ограничена самой своей природой, но в этом
нет никакого противоречия; на самом деле, именно благодаря отри-
цательной стороне этой природы она и ограничена (так как, как го-
ворил Спиноза, omnis determinate) negatio est), то есть поскольку она
исключает другие вещи и оставляет их вне себя, поэтому в конечном
счете именно сосуществование этих других вещей и ограничивает
рассматриваемую вещь; именно поэтому, между прочим, универсаль-
ное Целое, и только оно одно, не может быть ничем ограничено.
ГЛАВА III

НЕИСЧИСЛИМОЕ МНОЖЕСТВО

Лейбниц, как мы видели, ни в коей мере не допускает
«бесконечное число», поскольку он, наоборот, явно заяв-
ляет, что оно, в каком бы смысле мы его ни желали пони-
мать, подразумевает противоречие; но вопреки этому он
допускает то, что он называет «бесконечным множеством»,
даже не уточняя, что по крайней мере сделали бы схола-
сты, что здесь в любом случае может быть лишь infinitum
secundum quid, и последовательность чисел для него — это
пример такого множества. Однако, с другой стороны, в
количественной области и даже в том, что касается непре-
рывной величины, идея бесконечного казалась ему всегда
подозрительной в силу по меньшей мере возможного про-
тиворечия, так как, далеко не будучи адекватной идеей, она
неизбежно включает в себя определенную долю путаницы,
и мы можем быть уверены, что идея не предполагает ника-
кого противоречия лишь тогда, когда мы отчетливо пред-
ставляем все ее элементы;1 это почти не позволяет признать 1

1 Декарт говорит только об идеях «ясных и отчетливых»; Лейбниц
уточняет, что идея может быть ясной, не будучи отчетливой, в том,
что она позволяет только узнать свой предмет и отличить его от всех
остальных вещей, тогда как отчетливая идея - это та, которая являет-
ся не только «отличающей» в данном смысле, но и «отличительной»
в ее элементах; идея может быть, впрочем, более или менее отчетли-
за этой идеей «символический», мы бы сказали даже «изо-
бразительный» характер, и именно поэтому он никогда не
осмеливался, как мы увидим далее, ясно высказываться о
реальности «бесконечно малых»; но само это затруднение и
такая выражающая сомнение позиция еще лучше выявля-
ют отсутствие того принципа, который позволял бы ему до-
пустить, что можно говорить о «бесконечном множестве».
Можно также после этого задать вопрос о том, не считал ли
он, что такое множество, чтобы быть «бесконечным», как он
о нем говорит, должно быть не только «неисчислимым», что
очевидно, но что само оно ни в коей мере не должно быть
количественным, если брать количество во всей его широте
и во всех его модальностях — это может быть истинным в
некотором случае, но не во всех; как бы то ни было, это еще
один пункт, по которому он никогда явно не объяснялся.

Идея множества, которое превосходит любое число и ко-
торое, как следствие, не является числом, кажется, удивила
большинство тех, кто обсуждал концепции Лейбница, как
«финитистов», так и «инфинитистов»; она, впрочем, вовсе

вой, а адекватная идея - это та, что является отчетливой полностью
и во всех своих элементах; но в то время, когда Декарт полагает, что
можно иметь «ясные и отчетливые идеи» обо всех вещах, Лейбниц,
напротив, считает, что одни лишь математические идеи могут быть
адекватными, поскольку их элементы являются в некотором отноше-
нии определенным числом, тогда как все остальные идеи охватывают
собой множество элементов, анализ которых никогда не может быть
завершен, и поэтому они всегда остаются частично неясными.
не присуща Лейбницу, как, кажется, все верили, и это была
даже, наоборот, идея, совершенно обычная у схоластов.1
Под этой идеей понималось, собственно говоря, все то, что
не является ни числом, ни «исчислимым», то есть все то,
что не зависит от дискретной величины, идет ли речь о ве-
щах, принадлежащих другим модальностям количества или
о том, что полностью находится вне количественной обла-
сти, так как речь здесь идет об идее «трансцендентального»
порядка, то есть об общих модальностях бытия, которые, в
противоположность его специальным модальностям, ему
соразмерны.1 2 Именно это позволяет говорить, например, о
множестве божественных атрибутов, или также о множе-
стве ангелов, то есть существ, принадлежащих состояниям,
которые не подчинены количеству и где, как следствие, не
может быть и речи о числе; это также позволяет нам рас-
сматривать состояния бытия или степени существования
как наделенные множественностью или пребывающие в

1 Мы процитируем только один текст из множества других, ко-
торый особенно ясен на этот счет: «Qui diceret aliquam miiltitudinem
esse infinitam, non diceret earn esse mimerum, cel mimerum habere; addit
etiam numerus super multitudinem rationem mensurationis. Estenim nume-
rus multitudo mensurata per unum, ...et propter hoc numerus ponitur species
quantitatis discretae, non autem multitudo, sed est de transcendentibus»
(Фома Аквинский //III Phys. 1.8).

2 Известно, что схоласты даже, собственно говоря, в метафизи-
ческой части своих доктрин, никогда не выходили за пределы рас-
смотрения Бытия, и поэтому их метафизика фактически сводится к
одной лишь онтологии.
неопределенном множестве, тогда как количество — это
лишь особое условие одного из них. С другой стороны,
идея множества, будучи, в противоположность идее числа,
применимой ко всему, что существует, должна неизбежно
иметь множества количественного порядка, особенно в том,
что касается непрерывной величины, и именно поэтому мы
сейчас сказали, что не будет верным во всех случаях рас-
сматривать так называемое «бесконечное множество», то
есть то, которое превосходит любое число, как полностью
выходящее за пределы области количества. Более того,
само число может рассматриваться как разновидность мно-
жества, но при условии, что мы добавим, что это, согласно
выражению Фомы Аквинского, «множество, измеряемое
единицей»; любой иной вид множества, не будучи «исчис-
лимым», является и «неизмеримым», то есть он является не
бесконечным, но, собственно говоря, неопределенным.

Необходимо по этому поводу отметить одно странное
обстоятельство; для Лейбница это множество, которое не
образует собой числа, является тем не менее «результатом
единиц»;1 что следует под этим понимать и о каких единицах
может идти речь? Это слово «единица» может быть взято в
двух совершенно различных смыслах: есть, с одной стороны,
арифметическая или количественная единица, которая явля-
ется первым элементом и исходным пунктом числа, а с дру- 1

1 Лейбниц Г. В. Новая система природы и общения между суб-
станциями, а также о связи, существующей между душой и телом //
Г. В. Лейбниц. Соч. В 4 т. Т. 1. М. 1982.
гой стороны, то, что по аналогии обозначается как метафи-
зическая Единица, которая отождествляется с самим чистым
бытием; мы не видим, что возможно какое-то иное значение,
кроме этих; но, между прочим, когда говорят об «единицах»,
используя это слово во множественном числе, это, очевидно,
может быть лишь количественный смысл. Однако, если эго
гак, то сумма единиц не может быть чем-то иным, кроме числа,
и она нив коей мере не может превосходить число; верно, что
Лейбниц говорит о «результате», а не о «сумме», но это раз-
личие, даже если оно сделано намеренно, оставляет место для
досадной неясности. Впрочем, он заявляет, что множество, нс
будучи числом, мыслится все же по аналогии с числом: «Ког-
да имеется больше вещей, — говорит он, — чем может быть
понято под каким-то числом, то мы по аналогам наделяем
их числом, которое мы называем бесконечным», хотя здесь
перед нами лишь способ выражения, modus loquendi' и даже
в такой форме весьма неправильный способ выражения, по-
скольку в реальности это ни в коей мере не число; но каким
бы несовершенным ни было выражение и какой бы глубокой
ни была путаница, для которой оно дает повод, мы должны
в любом случае допустить, что отождествление множества с
числом, разумеется, не лежало в основе его мысли.

Другой момент, которому, кажется, Лейбниц придает
огромное значение, заключается в том, что «бесконечное»,

1 Ohservatio quod rationes sice proportiones non habeant locum circa
quantitates nihil о m mores, et de vero sensu Methodi infinitesimalis / / Acta
Eruditorum. Leipzig, 1712.
каким он его мыслит, не образует собой целого;1 именно это
условие он считает необходимым для того, чтобы эта идея
избежала противоречия, но здесь есть и иной пункт, который
остается еще изрядно туманным. Уместно спросить, о како-
го рода «целом» здесь идет речь, и необходимо прежде всего
полностью отбросить идею универсального Целого, которое,
наоборот, как мы уже говорили с самого начала, является са-
мой метафизической Бесконечностью, то есть единственно
истинной Бесконечностью, и которая здесь ни в коей мере
не затрагивается; действительно, идет ли речь о дискретном
или о непрерывном, «бесконечное множество», которое рас-
сматривает Лейбниц, в любом случае относится к ограничен-
ной и случайной области космологического, а не метафизи-
ческого порядка. Речь, очевидно, идет о целом, мыслимом
как состоящее из частей, тогда как, как мы уже объясняли
в ином месте,1 2 универсальное Целое, собственно говоря, ли-
шено частей, в силу самой своей бесконечности, так как, по-
скольку эти части неизбежно должны быть относительными
и конечными, то они не могли иметь с ним никакой реальной
связи, что означает, что они для него не существуют. Мы, сле-

1 См.: в частности там же: «Infinitum continuum vel discretumproprie
пес unum, пес totum, пес quantum est», — где выражение пес quantum, ка-
жется, означает, что для него, как мы выше указывали, «бесконечное
множество» не следует понимать количественно, по крайней мере,
под quantum он понимает здесь только определенное количество, как
это было и в случае с мнимым «бесконечным числом», противоречи-
вость которого он доказал.

2 Об этом см.: также «Множественные состояния бытия». Гл. I.
довательно, должны ограничиться относительно поставлен-
। юго вопроса рассмотрением частного целого; ио здесь также,
и особенно в том, что касается способа составления такого
целого и его связи со своими частями, необходимо рассма-
тривать два случая, соответствующие двум весьма различ-
ным значениям одного и того же слова «целое».

Прежде всего речь идет о целом, которое не является ни
чем-то большим, ни чем-то иным, кроме простой суммы сво-
их частей, из которых оно складывается по способу арифме-
тической суммы, и то, о чем говорит Лейбниц, по сути дела,
очевидно, так как такой способ образования и есть тот, что
свойствен числу, и он не позволяет нам превзойти число; но,
правду говоря, такое понятие, вместо того чтобы представлять
собой единственный способ, как им целое может мыслиться,
не является тем же самым понятием истинного целого в наи-
более строгом смысле этого слова. На само деле целое, которое
является лишь суммой или результатом своих частей и кото-
рое, как следствие, логически за ними следует, есть, как целое,
не что иное, как ens rationis, так как оно представляет собой
«единое» и «целое» лишь в той мере, в какой мы его таковым
мыслим; само по себе это, собственно говоря, лишь «собра-
ние», и именно мы тем способом, каким мы его рассматриваем,
наделяем его в некотором относительном смысле признаками
единства и целостности. Наоборот, истинное целое, обладаю-
щее этими признаками в силу самой своей природы, должно
быть логически предшествующим своим частям и быть от
них независимым: таков случай непрерывной совокупности,
которую мы можем разделить на произвольные части, то есть

8 Р. Ген он. Наука чисел
на части любой величины, но которая ни в коей мере не пред-
полагает действительного существования этих частей; здесь
именно мы придаем частям как таковым определенную ре-
альность посредством идеального или действительного деле-
ния, и таким образом этот случай в точности противоположен
предыдущему Теперь весь вопрос в конечном счете состоит в
том, чтобы знать, исключает ли Лейбниц, когда он говорит,
что «бесконечное не является целым», этот второй смысл так
же, как и первый; кажется, и даже с большой вероятностью,
что исключает, поскольку это единственный случай, где целое
было бы действительно «единым», и поскольку бесконечное,
согласно его убеждению, не является пес ипит, пес totum. Он
также утверждает, что именно этот случай, а не первый, есть
тот, что применим к живому существу или к организму, ког-
да его рассматривают с точки зрения целостности; Лейбниц
говорит: «Даже Вселенная не является чем-то целым, и ее не
следует представлять как живое существо, душой которого
является Бог, как это делали древние».1 Тем не менее, если это
так, то не совсем ясно, как идеи бесконечного и непрерывного
могут быть связанными, какими они чаще всего для него ока- 1

1 Письмо Жану Бернулли. — Лейбниц здесь довольно голословно
приписывает древним вообще мнение, которое на самом деле было
лишь мнением некоторых из них; очевидно, он имел в виду теорию
стоиков, которые представляли Бога только как имманентного Бога
и отождествляли его с Anima Mundi. Само собой разумеется, что речь
здесь идет лишь о проявленной Вселенной, то есть о «космосе», а не
об универсальном Целом, которое включает в себя все возможности,
как непроявленные, так и проявленные.
зываются, так как идея непрерывного как раз и связывается,
। ю крайней мере в некотором смысле, с этой второй концепци-
ей целостности; но этот пункт может быть лучше понят впо-
следствии. В любом случае верно, что если Лейбниц и имел
в виду третий смысл слова «целое», смысл чисто метафизи-
ческий и превосходящий оба остальных, то есть имел в виду
ту идею универсального Целого, которую мы выдвинули с са-
мого начала, то он не смог бы сказать, что идея бесконечного
исключает целостность, так как в другом месте он заявляет:
«Реальное бесконечное — это, может быть, само абсолютное,
которое не состоит из частей, но которое, имея части, включа-
ет их в себя по высшей причине, как ступень совершенства».1
Здесь есть, по меньшей мере можно сказать, «свечение», так
как на этот раз, словно в порядке исключения, он берет слово
«бесконечное» в его истинном смысле, хотя было бы ошибкой
утверждать, что это бесконечное «имеет части», как бы это ни
желали понимать; но странно, что тогда он еще выражал свою
мысль лишь в вызывающей сомнения и затруднения форме,
словно точное значение этой идеи еще не было для него уста-
новлено; возможно, оно никогда и не было на самом деле уста-
новлено, так как иначе не объяснить, почему оно столь часто
отклоняется от своего собственного смысла и почему иногда
было так трудно, когда он говорил о бесконечном, узнать, был
ли он намерен брать этот термин «в строгом смысле», пусть
даже и тщетно, или же видел в нем лишь простой «способ вы-
ражения». 1

1 «Письмо Жану Бернулли». 7 июня 1698 г.
ГЛАВА IV

ИЗМЕРЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО

До сих пор, когда мы говорили о числе, мы имели в
виду исключительно целое число, и так логически и долж-
но было быть, поскольку мы рассматривали числовую
величину как, собственно говоря, дискретную величину:
в последовательности целых чисел всегда между двумя
следующими друг за другом членами имеется совершенно
определенный интервал, отмеченный разностью в единицу,
существующую между этими двумя числами, который, ког-
да мы придерживаемся рассмотрения целых чисел, не мо-
жет быть никоим образом устранен. Впрочем, в реальности
одно только целое число и является истинным числом, тем,
что можно было бы назвать чистым числом; и ряд целых
чисел, начинающийся с единицы, возрастает до неопреде-
ленности, никогда не доходя до последнего члена, пред-
положение о котором, как мы видели, противоречиво; но
само собой разумеется, что он полностью разворачивается
в одном-единствеином направлении, и поэтому противо-
положное направление, которое было бы уменьшающимся
до неопределенности направлением, не могло бы быть его
изображением, хотя с другой точки зрения имеется, как мы
это покажем далее, некоторое соответствие и что-то вроде
симметрии между рассмотрением неопределенно возрас-
тающих величин и величин, до неопределенности умень-
шающихся. Тем не менее на этом мы здесь не останавли-
ваемся, и нам приходится рассматривать различные виды
чисел, иных, нежели числа целые; это, как обычно говорят,
расширения или обобщения идеи числа, и это в определен-
ном отношении верно; но в то же самое время эти расшире-
ния являются также и изменениями, и именно об этом со-
временные математики слишком легко забывают, потому
что их «конвенционализм» вынуждает их недооценивать
происхождение этих расширений и их смысл. Фактически
иные числа, нежели числа целые, всегда представляются
прежде всего как изображения результатов операций, ко-
торые невозможны, когда придерживаются чисто ариф-
метической точки зрения, той, что во всей строгости при-
надлежит лишь арифметике целых чисел: так, например,
дробное число есть не что иное, как изображение результа-
та деления, которое не осуществляется с точностью, то есть
в реальности деления, которое следует назвать арифмети-
чески невозможным, что, впрочем, имплицитно признает-
ся, когда говорят, следуя терминологии обычной матема-
тики, что одно из двух рассматриваемых чисел не делимо
на другое. Уместно теперь заметить, что определение, ко-
торое обычно дают дробному числу, абсурдно: дроби ни в
коей мере не могут быть «частями единицы», как об этом
говорят, так как истинная арифметическая единица неиз-
бежно неделима и лишена частей; между прочим, именно
из этого следует дискретность, характеризующая сущность
числа, которое на ее основе и формируется; но мы намере-
ны увидеть, откуда происходит эта абсурдность.
На самом деле, совершенно неслучайно, что нам прихо-
дится таким образом рассматривать результат тех операций,
о которых мы только что говорили, вместо того чтобы про-
сто ограничиться утверждением об их невозможности; вооб-
ще говоря, это происходит именно вследствие применения
числа, дискретной величины, к измерению величин, кото-
рые, как например пространственные величины, относятся
к порядку непрерывного количества. Между этими модаль-
ностями количества существует такое различие в их приро-
де, что соответствие одной из них другой нельзя в полной
мере установить; чтобы в какой-то степени это устранить,
стремятся сократить интервалы этого дискретного ряда, об-
разованного рядом целых чисел, вводя между его членами
другие числа, в первую очередь числа дробные, которые не
имели бы никакого смысла за пределами такого рассмотре-
ния. Теперь легко понять, что абсурдность, на которую мы
только что указывали, та, что касается дефиниции дробей,
берет свое начало в смешении арифметической единицы и
того, что называют «единицами измерения», единицами,
которые являются таковыми лишь конвенционально и ко-
торые в реальности представляют собой величины иного
рода, чем число, а именно геометрические величины. Еди-
ница длины, например, есть лишь определенная длина, вы-
бранная по причинам, чуждым арифметике, длина, которой
приводится в соответствие число 1 с целью суметь измерить
с ее помощью иные длины; но в силу самой природы дис-
кретной величины всякая длина, пусть даже она и изобра-
жается нумерически единицей, всегда тем не менее делима
п делима до неопределенности; можно, следовательно, срав-
нивая с ней другие длины, рассматривать части этой едини-
цы измерения, но они ни в коей мере не станут из-за этого
частями арифметической единицы; и только так на самом
деле и вводится рассмотрение дробных чисел, как изобра-
жение отношений между величинами, которые как раз и не
делимы друг на друга. Измерение величины не является на
самом деле чем-то иным, нежели числовым выражением ее
отношения к другой величине того же вида, взятой как еди-
ница измерения, то есть, в сущности, как предел сравнения;
именно поэтому обычный метод измерения геометрических
величин основан, по сути дела, на делении.

Следует, впрочем, сказать, что в природе дискретного числа
всегда неизбежно существует нечто такое, что не позволяет та-
ким образом получить полный эквивалент непрерывного; мож-
но как угодно сокращать интервалы, то есть в конечном счете
сокращать их до неопределенности и делать их меньшими, чем
любая величина, которая будет дана заранее, но мы никогда не
устраним их полностью. Чтобы лучше это понять, мы возьмем
самый простой пример геометрической непрерывности, то есть
прямую линию: рассмотрим полупрямую, простирающуюся
до неопределенности в некотором: направлении1 и условимся 1

1 Мы увидим впоследствии в связи с геометрическим изображе-
нием отрицательных чисел, почему нам пришлось здесь рассматри-
вать лишь полупрямую; впрочем, того факта, что ряд чисел разво-
рачивается лишь в единственном направлении, уже, как мы выше
говорили, достаточно, чтобы указать на причину.
установить соответствие каждой ее точки числу, которое вы-
ражает расстояние от этой точки до начала; последняя будет
изображаться нулем, ее расстояние до себя самой будет, оче-
видно, нулевым; исходя из этого начала целые числа будут
соответствовать последовательным краям любых сегмен-
тов, равных между собой и равных единице длины; точки,
установленные между ними, будут изображаться только
дробными числами, поскольку их расстояние до начала
не является точным произведением единицы длины. Само
собой разумеется, что по мере того, как мы будем брать
дробные числа, знаменатель которых будет все больше и
больше, а разность, следовательно, все меньше и меньше,
интервалы между точками, которым будут соответствовать
эти числа, окажутся сокращенными в той же пропорции;
можно таким образом уменьшать эти интервалы до не-
определенности, но крайней мере теоретически, поскольку
возможные знаменатели дробных чисел все являются це-
лыми числами, последовательность которых возрастает до
неопределенности.1 Мы говорим «теоретически», потому
что на самом деле множество дробных чисел является не-
определенным, и мы никогда не сможем дойти до того, что-
бы использовать его в целом; но предположим тем не менее,
что все возможные дробные числа будут в идеале приведе-
ны в соответствие точкам рассматриваемой полупрямой:
несмотря на неопределенное возрастание интервалов, на 1

1 Это еще будет уточнено, когда мы будем вести речь об обратных
числах.
этой линии останется еще множество точек, которым не бу-
дет соответствовать никакое число. Это может на первый
взгляд показаться странным и парадоксальным, и однако в
этом легко убедиться, так как такая точка может быть по-
лучена посредством весьма простой геометрической кон-
струкции: построим квадрат, имеющий стороной сегмент
прямой, крайними точками которого являются ноль и 1, и
начертим ту из диагоналей этого квадрата, которая отходит
от начала, затем окружность, центром которой будет нача-
ло, а радиусом диагональ; точка, где эту окружность раз-
рывает полупрямая, не может быть изображена никаким
целым или дробным числом, поскольку ее расстояние до
начала равно диагонали квадрата, а она несоизмерима с его
стороной, то есть здесь с единицей длины. Таким образом,
множества дробных чисел, несмотря на неопределенное
возрастание их разностей, не может быть достаточно, чтобы
заполнить, если можно так сказать, интервалы между точ-
ками, находящимися на линии,1 что означает, что это мно-
жество не является реальным и адекватным эквивалентом
линейной непрерывности; следовательно, мы вынуждены,
чтобы выразить меру некоторых длин, вводить еще иные
разновидности числа, которые и есть то, что называют не-
соизмеримыми числами, то есть теми, что не имеют общей 1

1 Важно отметить, что мы не говорим о точках, которые составля-
ют или образуют линию, что соответствовало бы ложной концепции
непрерывного, как это доказывают размышления, которые мы изло-
жим выше.
меры с единицей. Таковы иррациональные числа, то есть те,
что изображают результат извлечения невозможного ариф-
метического корня, например квадратного корня из числа,
которое не является полным квадратом; таким образом, в
предшествующем примере отношение диагонали квадрата
к его стороне и, как следствие, точка, расстояние которой
до начала равно этой диагонали, может быть изображено
лишь иррациональным числом V2, которое действительно
несоизмеримо, так как не существует никакого целого или
дробного числа, квадрат которого был бы равен 2; и помимо
этих иррациональных чисел существуют еще и иные несо-
измеримые числа, геометрическое происхождение кото-
рых очевидно, как например число л, которое изображает
отношение окружности к ее диаметру. Даже не вдаваясь
в вопрос о «составе непрерывного», очевидно, что число,
какой бы широтой ни наделяли его понятие, никогда к не-
прерывному полностью неприменимо: такое применение в
конечном счете всегда означает подмену непрерывного дис-
кретным, интервалы которого могут быть весьма малыми,
и даже превращение его все больше и больше в неопреде-
ленный ряд последовательных делений без того, чтобы они
когда-либо могли бы быть устранены, так как в реальности
нет «последних элементов», к которым такое деление могло
бы привести, и непрерывная величина, какой бы малой она
ни была, всегда останется до неопределенности делимой.
Именно этим делениям непрерывного, собственно говоря,
и соответствует рассмотрение дробных чисел; но -- и здесь
это особенно важно отметить — дробь, какой бы ничтожно
малой она ни была, всегда является определенной величи-
ной, а между двух дробей, каким бы малым ни предполага-
лось между ними различие, всегда существует также опре-
деленный интервал. Свойство неопределенной делимости,
характеризующее непрерывные величины, очевидно, тре-
бует, чтобы можно было всегда брать элементы сколь угод-
но малые, и чтобы интервалы, существующие между эти-
ми элементами, могли также становиться меньшими, чем
любая данная величина; но помимо этого — и именно здесь
обнаруживается недостаточность дробных чисел и, мы мо-
жем даже сказать, любого числа, каким бы оно ни было, —
эти элементы и эти интервалы, чтобы действительно перед
нами была непрерывность, не должны мыслиться как нечто
определенное. Как следствие, самое совершенное изобра-
жение непрерывной величины будет получено рассмотре-
нием величии уже не застывших и определенных, как те, о
которых мы только что говорили, но наоборот, переменных,
потому что тогда и само их изменение можно будет рас-
сматривать как осуществляющееся непрерывным образом;
и такие величины должны быть способны до неопределен-
ности уменьшаться, в силу их изменения, никогда не уни-
чтожаясь и не доходя до «минимума», который был бы не
менее противоречивым, чем «последние элементы» непре-
рывного: здесь, как мы увидим, перед нами как раз и обна-
руживается истинное понятие бесконечно малых величин.
ГЛABA V

ВОПРОСЫ, КОТОРЫЕ ВЫЗЫВАЕТ МЕТОД
ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Когда Лейбниц впервые изложил метод исчисления
бесконечно малых,1 а также во многих других трудах, кото-
рые за этим последовали,1 2 он главным образом настаивал
на использовании и применении новых исчислений, что
вполне соответствовало новейшей тенденции приписывать
большее значение практическим применениям науки, чем
самой науке как таковой; было бы, впрочем, трудно сказать,
существовала ли на самом деле такая тенденция у Лейбни-
ца, или же это было в рамках такого способа представить
свой метод, что-то вроде уступки с его стороны. Как бы то
ни было, чтобы обосновать метод, конечно же, недостаточ-
но показать те преимущества, которые он мог иметь над
иными ранее принятыми методами, и удобства, которые он
может предоставить на практике для исчислений, а также
результаты, которые он может дать фактически; именно это
противники метода исчисления бесконечно малых не упу-

1 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae
nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis cal-
culi genus //Acta Eruditorum. Leipzig, 1684.

2 De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinito-
rum. 1686. Последующие работы все относятся к решению частных
проблем.
скали возможности подчеркивать, и именно их возражения
побудили Лейбница объясниться по поводу принципов и
даже истоков его метода. По поводу последнего пункта он,
возможно, никогда всего не рассказывал, но это, по сути
дела, и неважно, так как гораздо чаще случайные причины
открытия сами по себе являются лишь весьма незначитель-
ными обстоятельствами; в любом случае самое интересное,
что нам следует выделить из данных им по этому поводу
указаний,1 заключается в том, что он начинал с рассмотре-
ния «точно определимых» различий, существующих между
числами, а затем переходил к различиям «точно не опреде-
лимым», которые можно было представить между геоме-
трическими величинами в силу их непрерывности, и даже
придавал большое значение такому порядку, как в каком-
то отношении «востребованному самой природой вещей».
Отсюда следует, что бесконечно малые величины у него,
естественно, не предстают перед нами непосредственным
образом, ио только как результат перехода от изменений
дискретной величины к изменениям величины непрерыв-
ной и от применения первой к измерению второй.

Теперь, каково же точное значение этих бесконечно ма-
лых величин, которые, как упрекали Лейбница, он исполь-
зовал, предварительно не определив, что же он под этим по-
нимает, и позволяло ли ему это значение рассматривать свое
исчисление как абсолютно строгое, или, наоборот, только как 1

1 Вначале в его переписке, а затем в «Historia et origo Calculi dif-
ferent iali>>, 1714.
простой метод приблизительного расчета? Ответить на эти
два вопроса значило бы тем самым и разрешить те наиболее
важные возражения, которые были ему адресованы; но, к не-
счастью, он никогда этого с достаточной ясностью не делал,
и даже его разнообразные ответы никогда не кажутся вполне
примиримыми между собой. В связи с этим уместно будет
заметить, что Лейбниц, помимо прочего, имел привычку раз-
личным образом объяснять одни и те же вещи в зависимости
от того, к кому он обращался; разумеется, не нам его упрекать
за такой образ действий, раздражающий лишь систематиче-
ские умы, так как в принципе он всего лишь следовал ини-
циатическим и, в частности, розенкрейцеровским предписа-
ниям, следуя которым необходимо с каждым разговаривать
на его собственном языке; однако иногда это у него довольно
плохо получалось. На самом деле, если, очевидно, возможно
облачить одну и ту же истину различными выражениями, то
подразумевается, что это должно делаться без ее искажений
и сокращений и что следует всегда строго воздерживаться
от любого способа высказываться, который мог бы дать по-
вод для ложных концепций; именно этого Лейбниц и не мог
делать в большинстве случаев.1 Таким образом, он доводит
«приспособление» до того, что иногда, кажется, соглашается 1

1 На языке розенкрейцеров сказали бы, что это даже еще больше,
чем провал его проектов «characteristica universalism, доказывает, что
если он и имел какое-либо теоретическое представление о том, чем
является «дар языков», он был все же далек от того, чтобы обладать
им в действительности.
с теми, кто желал видеть в его исчислениях лишь метод при-
близительного расчета, так как ему приходится представ-
лять его как что-то вроде аннотации «метода исчерпания»
древних, способного облегчить открытия, но их результаты
должны затем еще быть проверены этим методом, если мы
желаем дать им строгое доказательство; и тем не менее со-
вершенно верно, что не в этом была основа его мысли, и что в
реальности он видел в нем нечто большее, чем простое ухищ-
рение, предназначенное сократить расчеты.

Лейбниц нередко заявлял, что бесконечно малые вели-
чины являются лишь «несравнимыми», но относительно
точного смысла, в котором это слово следует понимать, ему
приходилось давать объяснение не только едва ли удовлет-
ворительное, но даже и весьма досадное, так как оно могло
лишь дать оружие в руки его противникам, которые, между
прочим, не упускали возможности его использовать; здесь
он так же, разумеется, не выразил свою истинную мысль, и
мы можем увидеть в этом другой пример, еще более серьез-
ный, чем предыдущий, того чрезмерного «приспособления»,
которое вынуждает заменять ошибочные взгляды «адап-
тированным» выражением истины. Лейбниц писал: «Нет
нужды брать здесь бесконечное в строгом смысле, но только
таким образом, как в оптике, где лучи сол пца исходят из бес-
конечно удаленной точки и поэтому считаются параллель-
ными. И когда имеется множество степеней бесконечного
ил и бесконечно малого, то это подобно тому, как земной шар
считается точкой по отношению к расстоянию до неподвиж-
ных звезд, а шар, который мы держим в руках, также явля-
ется точкой в сравнении с полудиаметром земного шара, и
поэтому расстояние до неподвижных звезд подобно беско-
нечному бесконечного по отношению к диаметру шара. Так
как вместо бесконечного или бесконечно малого берутся
величины настолько большие или настолько малые, что не-
обходимо, чтобы ошибка была меньше, чем данная ошибка,
и поэтому от стиля Архимеда отличие лишь в выражениях,
которые являются более прямыми, чем наш метод, и более
подходящими для искусства изобретать».1 Лейбницу не пре-
минули заметить, что каким бы малым ни был земной шар
по отношению к небосводу, или песчинка по отношению к
земному шару, это тем не менее установленные и опреде-
ленные величины, и что если одна из этих величии может
рассматриваться как практически ничтожная в сравнении с
другой, то это все же лишь простой приблизительный рас-
чет, и он ответил, что желал только «избежать тонкостей» и
«предоставить всему миру осязаемое доказательство»,1 2 что
вполне подтверждает нашу интерпретацию и что, сверх того,
уже является проявлением «вульгаризаторской» тенденции
современных ученых. Что довольно необычно, так это то,
что он впоследствии писал: «По крайней мере нет ничего,
что вынуждало бы считать, что я имел в виду на самом деле
весьма малую величину, по всегда установленную и опреде-
ленную», к чему он добавляет: «Впрочем, я писал уже не-

1 Memoire de М. G. G. Leibniz touchant son sentiment sur le Calcul
differentiel //Journal de Trevoux, 1701.

2 Письмо Вариньону от 3 февраля 1702 г.
сколько лет назад г-ну Бернулли, что бесконечные или бес-
конечно малые могут быть приняты за фикции, подобные
воображаемым корням,1 без того, чтобы это нанесло ущерб
нашим исчислениям, и такие фикции будут полезными и
обоснованными в реальности».1 2 Впрочем, на самом деле ка-
жется, что он никогда точно не видел, в чем сравнение, им
использованное, было ошибочным, так как он воспроизво-
дит его в тех же самых терминах десятью годами позднее;3
но, поскольку он явно заявляет, что его намерением было
представить бесконечно малые величины как определен-
ные, мы должны из этого сделать вывод, что для него смысл
такого сравнения сводится к следующему: песчинка, хотя и
не являясь бесконечно малой, может, тем не менее не буду-
чи ощутимой, рассматриваться как таковая по отношению
к земле, и поэтому нет нужды рассматривать бесконечно
малые «во всей строгости», а можно даже, если угодно, рас-
сматривать их лишь как фикции; но как бы его ни понимали,
такое рассмотрение тем не менее очевидно непригодно для
того, чтобы сообщить исчислению бесконечно малых иную
идею, чем представление, разумеется, недостаточное и для
самого Лейбница, о простом приблизительном расчете.

1 Воображаемые корни были корнями отрицательных чисел; мы
далее будем говорить о проблеме отрицательных чисел и о логиче-
ских затруднениях, которые она вызывает.

2 Письмо Вариньону от 14 апреля 1702.

3 Цитированные выше воспоминания в «Acta Eruditorum».
Leipzig, 1712.

9 Р. Генон. Наука чисел
ГЛ AB A VI

«ОБОСНОВАННЫЕ ФИКЦИИ»

Мысль, которую постоянно выражает Лейбниц, хотя и
не утверждает ее всегда с одной и той же силой, и которую
иногда даже, но в исключительных случаях, он, кажется, ка-
тегорически не желает произносить, заключается в том, что
бесконечные и бесконечно малые величины представляют
собой всего лишь фикции; но, добавляет он, это «обоснован-
ные фикции», и под этим он не просто понимает то, что они
используются для расчета1 или даже для того, чтобы «найти
реальные истины», хотя ему в равной мере приходится на-
стаивать и на такой полезности; но он постоянно повторяет,
что эти фикции «обоснованы в реальности», что они имеют
fundamentum in re, что, очевидно, подразумевает нечто боль-
шее, чем чисто утилитарную ценность; и в конечном счете
сама такая ценность должна у него объясняться тем осно-
ванием, которое эти фикции имеют в реальности. В любом
случае он считает, что достаточно, чтобы метод был точ-
ным, рассматривать не бесконечные и бесконечно малые ве-
личины в строгом смысле этих выражений, поскольку этот
строгий смысл не соответствует реальности, но величины
насколько угодно большие и насколько угодно малые, или 1

1 В таком рассмотрении практической полезности Карно считал,
что нашел достаточное обоснование; очевидно, что от Лейбница и до
него «прагматическая» тенденция науки значительно усилилась.
что необходимо, чтобы ошибка была меньшей, чем любая
данная величина; необходимо было бы еще изучить, верно
ли, что, как оп заявляет, такая ошибка тем самым оказыва-
ется ничтожной, то есть дает ли ему такой способ рассма-
тривать исчисление бесконечно малых совершенно строгое
обоснование, но нам придется к этому вопросу вернуться
позже. Каким бы ни был этот последний пункт, выражения,
где фигурируют бесконечные и бесконечно малые вели-
чины, выделяются у него в категорию утверждений, кото-
рые, говорит он, являются лишь toleranter verae, или теми,
которые можно было бы назвать «терпимыми» и которые
нуждаются в том, чтобы быть «исправленными» в объясне-
нии, которое им дается, подобно тому как рассматривают
отрицательные величины как «меньшие, чем ноль», и во
множестве иных случаев, где язык геометра подразумевает
«определенный способ образного и тайного выражения»;1
слово «тайное» было, кажется, намеком на глубокий симво-
лический смысл геометрии, но Лейбниц имеет в виду нечто
совершенно иное, и возможно здесь перед нами, как это ча-
сто у него случается, воспоминание о неких эзотерических
данных, в той или иной мере плохо понятых.

Что касается смысла, в каком следует понимать, что бес-
конечно малые величины являются «обоснованными фик-
циями», Лейбниц заявляет, что «бесконечное и бесконечно
малое настолько обосновано, насколько это делается в гео- 1

1 Уже цитированные воспоминания в «Acta Eruditorum». Leipzig,
1712.
метрик, и даже в природе, как если бы они были полностью
реальными»;1 для него на самом деле все, что существует в
природе, некоторым образом подразумевает рассмотрение
бесконечного или по крайней мере того, что он считает, что
может назвать таковым: «Совершенство анализа трансцен-
дентных или геометрии, куда он вводит рассмотрение не-
которой бесконечности, было бы несомненно более важным
в силу применения, которое можно совершить к действиям
природы, вводящей бесконечность во все, что она делает»;1 2
но возможно это так, потому что мы не можем иметь о ней
адекватного представления и потому что в ней всегда име-
ются элементы, которые мы не воспринимаем все отчетли-
во. Если это так, то не следовало бы слишком буквально
принимать такие утверждения, как например это: «Наш ме-
тод, бывший, собственно говоря, частью общей математики,
рассматривающей бесконечное, — это то, в чем нуждаются,
применяя математику к физике, потому что признак бес-
конечного Творца обычно входит в действия природы».3 Но
если даже Лейбниц понимает под этим лишь то, что слож-
ность природных вещей несоизмеримо превосходит гра-
ницы нашего реального восприятия, то бесконечные и бес-
конечно малые величины должны иметь свой fundamentum
in re; и это основание, которое обнаруживается в природе

1 Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702.

2 Письмо маркизу Лопиталю. 1693.

3 Considerations sur la differente qu’il у a entre Г Analyse ordinaire et
le nouveau Calcul des transcendantes //Journal des S^avans. 1694.
вещей, по крайней мере тем способом, каким он его пони-
мает, есть не что иное, как то, что он называет «законом не-
прерывности», который нам еще предстоит далее изучить, и
который он рассматривает, ошибочно или правомерно, как
в конечном счете частный случай некоторого «закона спра-
ведливости», который сам связан с рассмотрением порядка
и гармонии и который всякий раз находит свое применение,
когда должна соблюдаться некоторая симметрия, как это
происходит, например, при сочетаниях и перестановках.

Теперь, если бесконечные и бесконечно малые величи-
ны являются лишь фикциями, и даже допуская, что они
реально «обоснованы», можно спросить следующее: зачем
использовать такие выражения, которые, даже если они и
могут рассматриваться как toleranter verae, тем не менее не-
правильны? Здесь есть нечто, что уже, можно сказать, пред-
сказывает «конвенционализм» сегодняшней науки, хотя и
с тем существенным различием, что последняя более ни-
сколько не заботится о том, чтобы узнать, являются ли фик-
ции, к которым она обращается, обоснованными или нет,
или, согласно другому выражению Лейбница, могут ли они
интерпретироваться sano sensu, и даже имеют ли они какое-
то значение? Поскольку можно обойтись без этих фиктив-
ных величин и довольствоваться рассмотрением вместо
них тех величин, которые просто можно сделать сколь угод-
но большими или сколь угодно малыми и которые по этой
причине могут быть названы неопред елейно большими или
неопределенно малыми, было бы, несомненно, лучше на-
чать с этого и таким образом избежать введения фикций,
которые, каким бы ни могло быть их fundamentum in re,
не имеют в конечном счете никакого действительного ис-
пользования не только при расчетах, но также и для само-
го метода бесконечно малых. Выражения «неопределенно
большие» и «неопределенно малые», или, что то же самое,
но может быть еще точнее, «неопределенно возрастающие»
или «неопределенно уменьшающиеся», обладают не только
тем преимуществом, что они — единственные, являющиеся
строго точными; они еще и ясно показывают, что величины,
к которым они применимы, могут быть лишь переменными
и неопределенными величинами. Как об этом справедливо
сказал один математик, «бесконечно малые — это не очень
маленькие величины, имеющие актуальную ценность, до-
ступные для определения; их признак — быть в высшей сте-
пени переменными и быть в состоянии принять меньшее
значение, чем все те, которые можно уточнить; было бы го-
раздо лучше назвать их неопределенно малыми».1

Использование этих терминов помогло бы избежать
множества затруднений и множества дискуссий, и в этом
нет ничего удивительного, так как проблема не просто в 1

1 См.: De Freycinet. De I’Analyse infinitesimale. P. 21—22. — Автор
добавляет: «Но первая анпеляция (бесконечно малые) преобладает в
языке, и мы считаем, что должны ее сохранить». Здесь, безусловно,
излишняя скрупулезность, так как использования не может быть до-
статочно, чтобы оправдать некорректность и непригодность языка, и
если никогда не осмеливались выступить против злоупотреблений
такого рода, то нельзя даже и стремиться ввести в термины больше
точности и ясности, чем предполагает их обычное использолвание.
словах, но в замене ложной идеи идеей истинной, в замене
фикции реальностью; оно не позволило бы, в частности,
принимать бесконечно малые величины за величины неиз-
менные и определенные, так как слово «неопределенное»
само по себе всегда предполагает идею «становления», как
мы уже говорили выше, и, как следствие, изменение, или,
когда речь идет о величинах, о переменных величинах; и
если бы Лейбниц обычно им пользовался, он, несомненно,
не позволил бы себе так легко увлечься сравнением с пес-
чинкой. Более того, свести infinite parva ad indefinite parva
было бы в любом случае более ясным, чем свести их к ad
incomparabiliterparva\ уточнение здесь только выиграло бы,
точность не была бы утрачена, скорее наоборот. Бесконеч-
но малые величины, разумеется, «несравнимы» с обычны-
ми величинами, но это можно понимать еще и по-другому,
и это действительно часто понимают в ином смысле, чем в
том, в каком следовало бы; лучше сказать, что они не «под-
лежат точному определению», согласно другому выраже-
нию Лейбница, так как под этим термином, кажется, дей-
ствительно можно было бы понимать лишь те величины,
которые способны становиться насколько угодно малыми,
то есть меньшими, чем любая данная величина, и которые,
как следствие», нельзя «наделить» никаким определенным
значением, каким бы малым оно ни было, и именно в этом
и заключается на самом деле смысл indefiniteparva. К несча-
стью, почти невозможно узнать, являлись ли в мышлении
Лейбница выражения «несравнимое» и «не подлежащее
точному определению» синонимами; но в любом случае
по крайней мере верно, что собственно «не подлежащая
точному определению» величина в силу возможности
неопределенного возрастания, которое она предполагает,
является тем самым и «несравнимой» с любой другой дан-
ной величиной и даже, если распространить эту идею на
различные уровни бесконечно малых с любой величиной,
по отношению к которой оно может до неопределенности
возрастать, и в то же время та же самая величина рассма-
тривается как обладающая по меньшей мере относитель-
ной неизменностью.

Если и есть пункт, с которым все могут в конечном счете
легко согласиться, даже не углубляясь в принципиальные
вопросы, так это то, что понятия неопределенно малого,
по крайней мере с математической точки зрения, совер-
шенно достаточно для анализа бесконечно малых, и даже
сами «инфинитисты» без труда это признают.1 В этом от-
ношении можно придерживаться такого определения, как у
Карно: «Что такое величина, называемая бесконечно малой
в математике? Не что иное, как величина, которую можно
сделать насколько угодно малой, и для этого мы не обязаны 1

1 См., в частности, Л. Кутура «О математической бесконечности»,
с. 265, примечание: «Можно логически обосновать исчисление бес-
конечно малых одним лишь понятием неопределенного...» — правда,
использование слова «логически» подразумевает здесь оговорку, так
как для автора оно противопоставляется слову «рационально», что,
впрочем, представляет собой довольно странную терминологию; к
этому мнению все же было бы интересно вернуться.
изменять те величины, соотношение которых мы ищем».1
Но что касается истинного значения бесконечно малых ве-
личин, вся проблема этим не ограничивается: для расчетов
не имеет значения, что бесконечно малые являются лишь
фикциями, поскольку можно удовлетвориться рассмотре-
нием бесконечно малых, которые не вызывают никаких
логических трудностей; и между прочим, ввиду того, что
в силу метафизических доводов, которые мы изложили в
начале, мы не можем допустить количественную бесконеч-
ность как бесконечность больших величин, так и бесконеч-
ность величин малых,1 2 а также бесконечность какого-либо
относительного и определенного порядка, мы можем быть
уверены, что они могут быть на самом деле только фикция-
ми и ничем иным; но если эти фикции были введены оши-
бочно или верно, с самого начета исчисления бесконечно
малых, то по замыслу Лейбница они должны были чему-то
по меньшей мере соответствовать, каким бы искаженным
ни был способ, каким они это выражали. Поскольку здесь
мы занимаемся принципами, а не процедурой расчета, све-
денного в каком-то отношении к себе самому, что было бы

1 «Рассуждения о метафизике исчисления бесконечно малых», с. 7,
примечание; см. там же, с. 20. Заглавие этого труда едва ли оправда-
но, так как в действительности там не обнаруживается ни малейшей
идеи метафизического уровня.

2 Весьма знаменитая концепция «двух бесконечностей» Паскаля
метафизически абсурдна, и она является также результатом смешения
бесконечного с неопределенным, которое при этом взято в двух проти-
воположных смыслах величин возрастающих и уменьшающихся.
нам неинтересно, мы должны, следовательно, задать во-
прос, каково в точности значение этих фикций не только с
логической точки зрения, но еще и с точки зрения онтоло-
гической, если они настолько «обоснованы», как полагает
Лейбниц, и если даже мы можем вместе с ним сказать, что
они являются toleranter verae, и принять их в качестве та-
ковых, modo sano sensu intelligantur, чтобы ответить на эти
вопросы, нам придется тщательно изучить его концепцию
«закона непрерывности», поскольку именно в нем он счита-
ет, что обнаруживает fundamentum in re бесконечно малых.
ГЛАВА VII

«СТЕПЕНИ БЕСКОНЕЧНОСТИ»

Мы еще не имели возможности увидеть во всем пред-
шествующем все смешения, неизбежно возникающие, когда
допускают идею бесконечного в значениях, отличных от его
единственного истинного и, собственного говоря, метафизи-
ческого смысла; не один пример такого смешения обнаружи-
вается, в частности, в той долгой дискуссии, которую имел
Лейбниц с Жаном Бернулли по поводу реальности бесконеч-
ных и бесконечно малых величин, дискуссии, которая, впро-
чем, так и не пришла к какому-л ибо окончательному заключе-
нию и которая и не могла к нему прийти в силу той путаницы,
допускаемой в каждое мгновение как одним, так и другим, и
в силу отсутствия принципов, которые эту путаницу порож-
дали; впрочем, на каком бы уровне идей э го ни происходило,
всегда в конечном счете именно отсутствие принципов дела-
ет вопросы неразрешимыми. Можно, помимо всего прочего,
удивляться, что Лейбниц делал различие между «бесконеч-
ным» и «незавершенным», и что поэтому он безусловным об-
разом не отвергал идею, очевидно противоречивую, «завер-
шенного бесконечного», доходя даже до вопроса «возможно
ли, что существует, например, бесконечная и тем не менее за-
вершенная и с той и с другой стороны прямая линия».1 Разу- 1

1 Письмо Жаиу Бернулли от 18 ноября 1698 г.
меется, он пренебрежительно отвергает такую возможность,
«тем более, что мне кажется, — говорит он, — что бесконечное,
взятое в строгом смысле, должно иметь свой исток в незавер-
шенном, без чего я не вижу средства найти основание, способ-
ное отличить его от конечного».1 Но даже если говорят более
утвердительным образом, чем это делает он, что «бесконеч-
ное имеет свой исток в незавершенном», то именно потому,
что оно еще не рассматривается как абсолютно ему идентич-
ное, оно от него в какой-то мере отличается; и в той мере, в ка-
кой это так, мы рискуем оказаться в плену у сонма странных
и противоречивых идей. Эти идеи, как заявляет Лейбниц, он
не принимает добровольно, и было бы необходимо, чтобы он
был «принужден к этому неоспоримыми доказательствами»;
но он уже вполне серьезно приписывает им определенное зна-
чение и даже может рассматривать их иначе, чем как просто
невозможные; что, например, касается идеи вроде «завершен-
ной вечности», которая имеется среди тех, что он выражает в
этой связи, мы можем видеть в ней лишь продукт смешения
между понятием вечности и понятием дл ительности, что абсо-
лютно необоснованно с точки зрения метафизики. Мы впол-
не допускаем, что время, в котором протекает наша телесная
жизнь, действительно является неопределенным, что никоим
образом не исключает, что оно является «завершенным и с
той и с другой стороны», то есть что оно имеет одновременно
и начало и конец, в соответствии с традиционной цикличе-
ской концепцией; мы допускаем также, что существуют дру- 1

1 Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702 г.
гие модальности длительности наподобие той, что схоласты
называли aevum, неопределенность которого является, если
можно так выразиться, более неопределенной, чем неопреде-
ленность этого времени; но все эти модальности во всей их
возможной широте являются тем не менее только неопреде-
ленными, поскольку речь всегда идет о частных условиях
существования, свойственных тому или иному состоянию, и
ни одна из них в силу того, что она является длительностью,
то есть подразумевает последовательность, не может быть
отождествлена или уподоблена вечности, с которой реально
она имеет не больше связей, чем конечное в любом его виде
имеет с истинным Бесконечным, так как концепция относи-
тельной вечности имеет не больше смысла, чем концепция
относительной бесконечности. Во всем этом уместно видеть
лишь различные уровни неопределенности, как мы это еще
увидим впоследствии; но Лейбниц, неспособный сделать не-
обходимые и существенные различия, неспособный прежде
всего установить принцип, который один лишь позволил бы
ему никогда не заблуждаться, оказывается в весьма затрудни-
тельном положении, опровергая Бернулли, который считает
его даже — настолько его ответы были двусмысленными и не-
решительными — менее отдалившимся, чем это было в реаль-
ности, от его же собственных идей «бесконечности миров» и
различных «степеней бесконечности».

Такая концепция мнимых «степеней бесконечности»
означает в конечном счете предположение, что могут су-
ществовать миры, несравнимо более великие и более ма-
лые, чем наш, причем соответствующие части каждого из
них сохраняют между собой эквивалентные пропорции, и
поэтому обитатели какого-либо одного из этих миров могут
рассматривать его как бесконечный с тем же основанием,
что и мы рассматриваем как бесконечный наш мир; мы бы
сказали даже, что у нас оснований меньше. Такой способ
рассматривать вещи не имел бы a priori ничего абсурдного
без введения идеи бесконечного, которая, разумеется, здесь
не усматривается: не является ли каждый из этих миров,
каким бы большим он ни предполагался, все же ограничен-
ным, и тогда как можно назвать его бесконечным? Истина
в том, что ни один из них не может быть бесконечным в
действительности, и только потому, что они мыслятся как
множественные, так как мы здесь возвращаемся к противо-
речию множества бесконечностей; и если некоторым, даже
многим, и приходится рассматривать наш мир как один из
миров, тем не менее истинно, что такое утверждение не мо-
жет дать нам никакого приемлемого смысла. Впрочем, мож-
но задать вопрос, являются ли эти миры различными или
же они, скорее, представляют собой лишь в той или иной
мере протяженные части одного и того же мира, поскольку,
согласно гипотезе, они должны быть все подчинены одним
и тем же условиям существования и особенно условию в
виде пространства, раскрывающегося просто либо в уве-
личенном либо в уменьшенном масштабе. В любом ином
смысле, нежели этот, можно в действительности говорить
не о бесконечности, но о неопределенности миров, и толь-
ко потому, что за пределами условий существований, таких
как пространство и время, которые присущи нашему миру,
рассматриваемому во всей широте, на которую он способен,
есть неопределенное количество других равно возможных
миров; мир, то есть в конечном счете состояние существова-
ния, определяется, таким образом, совокупностью условий,
которым он подчинен; но уже в силу того, что он будет всег-
да обусловлен, то есть определен и ограничен, и посколь-
ку он не включает в себя все возможности, его никогда бу-
дет нельзя рассматривать как бесконечный, ио только как
неопределенный.1

В сущности, рассмотрение миров в том смысле, в каком
это понимает Бернулли, несравнимо более великих и более
малых по отношению друг к другу, не отличается чрезвычай-
но от того, к которому обращается Лейбниц, когда он рас-
сматривает «небесный свод по отношению к земле, а землю
по отношению к песчинке», а последнюю по отношению «к
частице магнетической материи, которая проходит сквозь
стекло». Однако Лейбниц не имеет здесь намерения гово-
рить о gradus infinitatis в собственном смысле; он, напротив,
даже намерен доказать тем самым, что «нет нужды здесь
брать бесконечное в строгом смысле», и он ограничивается
рассмотрением «несравнимого», против чего невозможны
никакие логические возражения. Недостаток его сравнения
относится к совершенно иному порядку, и он заключается,
как мы уже говорили, в том, что оно может дать лишь неточ-
ное представление, даже абсолютное неверное, о бесконеч-
но малых величинах, какими они вводятся в расчеты. Мы 1

1 Письмо от 23 июля 1608 г.
еще будем впоследствии иметь возможность заменить это
рассмотрение выводами о множестве истинных степеней
неопределенности, взятых как в возрастающем порядке, так
и в порядке уменьшающемся; в данный момент мы больше
не будем на этом задерживаться.

В конечном счете различие между Бернулли и Лейбни-
цем заключается в том, что для первого речь действитель-
но идет о «степенях бесконечности», хотя он и наделяет
их лишь предположительной вероятностью, тогда как вто-
рой, сомневаясь в их вероятности и даже в их возможно-
сти, ограничивается заменой их тем, что можно было бы
назвать «степенями несравнимости». Исходящая из этого
различия, впрочем, весьма важного, концепция ряда миров,
сходных между собой, но в различных масштабах является
для них общей; эта концепция не лишена некоторой связи,
по меньшей мере случайной, с открытиями, вызванными
использованием микроскопа в ту же эпоху, и с некоторыми
воззрениями, которые они тогда вызвали к жизни, но кото-
рые ни в коей мере не были подтверждены дальнейшими
наблюдениями, как например теория «соединения зароды-
шей»: неверно, что в зародыше живое существо было ак-
туально и телесно «предварительно сформированное» во
всех своих частях, и организация клетки не имела никако-
го сходства с организацией всего тела, элементом которого
она является. Что касается по крайней мере Бернулли, не
вызывает сомнений, что это фактически и было происхо-
ждением его концепции; он на самом деле говорит, помимо
иных весьма значительных в этом отношении вещей, что
частицы тела сосуществуют в целом, «как, согласно Гарвею
и другим, но вопреки Левенгуку, в животном имеются бес-
численные яйцеклетки, в каждой яйцеклетке имеется одна
или множество анималкул, в каждой анималкуле также
бесчисленные яйцеклетки, и так до бесконечности».1 Что
касается Лейбница, то у него на самом деле исходным пун-
ктом является нечто совершенно иное: так, идея, что все
звезды, которые мы видим, могут быть лишь элементами
несравненно более великого существа, идея напоминает
нам концепцию «Великого Человека» Каббалы, но стран-
ным образом материализованную и перенесенную в про-
странство в силу какого-то неведения истинного аналоги-
ческого значения традиционного символизма; точно так же
и идея «животного», то есть живого существа, существу-
ющего телесно после смерти, но «сведенного к миниатю-
ре», очевидно, инспирирована концепцией луз или «ядра
бессмертия» согласно иудейской традиции,1 2 концепцией,
которую Лейбниц в равной мере искажает, связывая ее с
концепцией миров, несравнимо более малых, чем наш, так
как, говорит он, «ничто не мешает тому, чтобы животные,
умирая, переносились бы в такие миры; я на самом деле
думаю, что смерть есть не что иное, как сокращение, сжа-
тие животного, так же как зарождение есть не что иное, как
эволюция»,3 причем это последнее слово взято здесь в сво-

1 Письмо от 23 июля 1608 г.

2 См.: Генон Р. Царь мира // Геной Р. Символика креста. М., 2004.

3 Уже цитированное письмо Жану Бернулли от 18 ноября 1698 г.

ЮР. Генон. Наука чисел
ем этимологическом значении «развития». Все это, по сути
дела, лишь пример опасности, которую представляет со-
бой желание согласовать традиционные понятия с воззре-
ниями профанной науки, что можно сделать лишь в ущерб
первым; они, разумеется, совершенно независимы от тео-
рий, вызванных наблюдениями в микроскоп, и Лейбниц,
сближая и смешивая и те и другие, действовал уже так, как
должны были позже действовать оккультисты, которым
особенно нравились такие неоправданные сближения. С дру-
гой стороны, наложение друг на друга «несравнимых» ве-
личин различного порядка казалось ему соответствующим
его концепции «наилучшего из миров», как предоставляю-
щей средство разместить там, согласно определению, ко-
торое он ему дает, «столько бытия и реальности, сколько
возможно»; и эта идея «наилучшего из миров» также про-
исходит из иных плохо примененных традиционных сведе-
ний, заимствованных из символической геометрии пифа-
горейцев, как мы уже указывали в ином месте:1 окружность
является из всех линий равной длины той, что охватывает
максимальную поверхность, и также сфера представляет
собой из всех тел с равной поверхностью телом, которое
содержит максимальный объем, и это одна из причин, по
которым эти фигуры рассматривались как самые совер-
шенные; но, если в этом отношении имеется максимум, то
нет минимума, то есть не существует фигур, включающих в 1

1 Множественные состояния бытия. Глава II // Волшебная гора.
2007. № XIV.
себя поверхность или объем, меньший, чем все остальные, и
именно поэтому Лейбниц был вынужден считать, что если
есть «наилучший из миров», то нет «худшего из миров», то
есть мира, содержащего в себе меньше бытия, чем любой
другой возможный мир. Известно, впрочем, что именно с
этой концепцией «наилучшего из миров», в то же время,
как и с концепцией «несравнимых» величин, связывают-
ся те прекрасно известные сравнения «сада, заполненного
растениями», и «пруда, наполненного рыбами», где «каж-
дая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля
его соков есть опять такой же сад или такой же пруд»;1 и
это естественным образом вынуждает нас затронуть дру-
гой, связанный с этим вопрос, который является вопросом
о «делимости материи до бесконечности». 1

1 Лейбниц Г. В. Ф. Монадология // Лейбниц Г. В. Ф. Соч. В 4-х т.
Т. 1.С. 413-429.
ГЛАВА VIII

«ДЕЛЕНИЕ ДО БЕСКОНЕЧНОСТИ»
ИЛИ НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ ДЕЛИМОСТЬ

Для Лейбница материя не только делима, но «действи-
тельно подразделена без конца» во всех своих частях, «каж-
дая часть на части, из которых каждая имеет свое собствен-
ное движение»;1 и на таком вйдении он настаивает, чтобы
теоретически поддержать концепцию, изложенную нами в
последнюю очередь: «Из действительного деления следу-
ет, что в одной части материи, какой бы малой она пи была,
имеется что-то вроде мира, состоящего из бесчисленных
созданий».1 2 Бернулли также допускает такое деление мате-
рии in partes numero infinitas, но он извлекает из этого след-
ствия, которые Лейбниц не принимает: «Если конечное
тело, — говорит он, — имеет бесконечное число частей, то я
всегда считал и еще считаю, что самая малая из этих частей
должна иметь с целым связь, не подлежащую измерению,
или бесконечно малую»;3 на что Лейбниц отвечает: «Даже
если согласиться, что нет ни одной части материи, которая
не была бы действительно делима, мы тем не менее не дой-
дем до неделимых элементов или до частей, меньших, чем
все остальные, или до бесконечно малых, но только до ча-

1 Лейбниц Г. В. Ф. Монадология. Т. 1. С. 413—429.

2 Письмо Жану Бернулли от 12—22 июля 1698 г.

3 Уже цитированное письмо от 23 июля 1698 г.
стей, всегда еще меньших, которые все же являются обыч-
ными величинами, а при увеличении мы дойдем до величин,
всегда еще больших».1 Следовательно, именно существова-
ние minimaeportiones, или «последних элементов» Лейбниц и
оспаривает; наоборот, для Бернулли кажется ясным, что дей-
ствительное деление подразумевает одновременное суще-
ствование всех элементов подобно тому, как если дан «бес-
конечный» ряд, то все члены, которые его образуют, должны
быть даны одновременно, что подразумевает существование
terminus infinitesimus. Но для Лейбница существование тако-
го члена является не менее противоречивым, чем существо-
вание «бесконечного числа», а понятие самого малого из чи-
сел, или fractio omnium infima — не менее, чем понятие самого
большого из чисел; то, что он рассматривает как «бесконеч-
ность» ряда, характеризуется невозможностью дойти до по-
следнего члена, и также и материя не могла бы делиться до
«бесконечности», если такое деление могло бы когда-нибудь
завершиться и дойти до «последних элементов»; и дело не
только в том, что мы не сможем фактически дойти до этих
последних элементов, как допускает Бернулли, но в том, что
они не должны существовать в природе. Нет далее недели-
мых телесных элементов, или «атомов» в собственном смыс-
ле слова, как нет в порядке чисел неделимой дроби, которая
ис*могла бы породить всегда еще более малые дроби, или как
пет в геометрическом порядке линейного элемента, который
нельзя было бы разделить на более малые элементы. 1

1 Письмо от 29 июля 1698 г.
По сути дела, смысл, в котором здесь везде Лейбниц при-
нимает «бесконечное», — это именно тот смысл, в котором он
говорит, как мы видели, о «бесконечном множестве»: для него
говорить о каком-либо ряде, так же как и о последовательно-
сти целых чисел, которая является бесконечной, значит гово-
рить не то, что она должна завершиться terminus infiniteslrnus
или «бесконечным числом», но наоборот, что она не должна
обладать последним членом, потому что члены, которые она в
себя включает, являются p/zzs quam numero designan possint или
создающими множество, которое превосходит любое число.
Кроме того, если можно сказать, что материя делима до бес-
конечности, то потому, что любая из ее частей, какой бы малой
она пи была, всегда охватывает собой какое-то множество;
другими словами, материя не обладает partes minimae или про-
стыми элементами, она, в сущности, есть нечто сложное, со-
ставное: «Верно, что простые субстанции, то есть которые не
являются сложными, действительно являются неделимыми,
но они нематериальны и представляют собой лишь принци-
пы действия».1 Именно в смысле неисчислимого множества,
которое, впрочем, является самым обыкновенным у Лейбни-
ца, идея так называемого бесконечного и может применять к
материи, к геометрической протяженности и вообще к непре-
рывному рассматриваемому в связи с его составом; кроме того,
этот смысл не свойствен исключительно infinitum continuum, он
распространяется также и на infinitum discretum, как мы видели
в примере с множеством всех чисел и с «бесконечными ряда- 1

1 Письмо Вариньону от 20 июня 1702 г.
ми». Именно поэтому Лейбниц мог сказать, что величина бес-
конечна в том, что в пей есть «неисчерпаемого», из чего следует,
что «всегда можно взять насколько угодно малую величину»; и
«остается истинным, например, что 2 — это столько же, сколь-
ко 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... и т. д., что является
бесконечным рядом, в котором все дроби, числители которых
равны 1, а знаменатели — членам двойной геометрической про-
грессии, взятым одновременно, при условии, что мы использу-
ем всегда лишь обычные числа и что нам не приходится вво-
дить никакой бесконечно малой дроби или той, знаменатель
которой был бы бесконечным числом».1 Кроме того, только
что сказанное позволяет понять, как Лейбниц, утверждая, что
бесконечное в том смысле, в каком он его понимал:, не является
целым, мог тем не менее применять эту идею к непрерывному:
в своей совокупности непрерывное подобно какому-либо телу
образует целое, и даже то, что мы называли выше истинным
целым, логически предшествующим своим частям и незави-
симым от них, но оно, очевидно, всегда как таковое конечно;
следовательно, не в связи с целым Лейбниц может говорить о
бесконечном, но только в связи с частями, на которые оно раз-
делено или может быть разделено, и в той мере, в какой мно-
жество этих частей действительно превосходит всякое допу-
скающее точное определение число: это то, что можно назвать
аналитической концепцией бесконечного, вызванной тем, что
на самом деле лишь аналитически множество, о котором идет
речь, неисчерпаемо, как мы это далее объясним. 1

1 Там же.
Если теперь мы спросим, чего стоит идея «деления до бес-
конечности», то необходимо признать, что, как и идея «бес-
конечного множества», она содержит в себе некоторую часть
истины, а также что способ, каким она выражена, далеко не
защищен от любого вида критики: прежде всего само собой
разумеется, согласно тому, что до сих пор излагали, не может
быть и речи о каком-либо делении до бесконечности, по толь-
ко о неопределенном делении; с другой стороны, следует при-
менять эту идею нс к материи вообще, что, возможно, не имеет
никакого смысла, ио только к телам или к телесной материи,
если оставаться здесь в рамках рассуждений о «материи», не-
смотря на крайнюю темноту этого понятия и множественные
двусмысленности, которым она дает место.1 На самом деле
именно протяженности, а не материи, в каком бы значении ее
ни понимать, и принадлежит, собственно говоря, делимость, и
здесь можно смешивать и то и другое лишь при условии, что
мы принимаем картезианскую концепцию, которая, в сущ-
ности, связывает природу тел исключительно с протяжен-
ностью, концепцию, которую, между прочим, сам Лейбниц
уже не принимал; если, следовательно, любое тело неизбежно
делимо, то потому, что оно протяженно, а не потому, что оно
материально. Напомним также, что протяженность, будучи
чем-то определенным, не может быть бесконечной и, в силу
этого, она, очевидно, не может подразумевать никакой воз-
можности, которая была бы бесконечной в большей мере, чем
является она сама; но поскольку делимость — это качество, 1

1 См.: по этому поводу «Царство количества и знамения времени».
внутренне свойственное природе протяженности, ее ограни-
ченность может исходить лишь из самой этой природы: по-
скольку имеется протяженность, эта протяженность всегда
делима, и поэтому можно рассматривать эту делимость как
реально неопределенную, причем эта неопределенность будет
обусловлена неопределенностью протяженности. Как след-
ствие, протяженность как таковая не может быть составлена
из неделимых элементов, так как эти элементы, чтобы быть
действительно неделимыми, должны быть непротяженными,
а сумма непротяженных элементов никогда не сможет образо-
вать протяженность, так же, как сумма нулей не может образо-
вать число; именно поэтому, как мы объяснили в ином месте,1
точки не являются элементами или частями линии, а истин-
ными линейными элементами всегда являются расстояния
между точками, которые представляют собой лишь их края.

Между прочим, таким образом сам Лейбниц и рассма-
тривал данный вопрос, и то, что, согласно ему, как раз и со-
ставляет фундаментальное различие между его методом бес-
конечно малых и «методом неделимых» Кавальери, так это
тот факт, что он не рассматривает ни линию, как состоящую
из точек, ни поверхность как состоящую из линий, ни объем
как состоящий из поверхностей: точки, линии и поверхности
здесь лишь пределы или крайности, а не образующие элемен-
ты. Очевидно, на самом деле, что точки, умноженные на ка-
кую бы то ни было величину, никогда не смогут произвести 1

1 Символизм креста. Глава XVI.
длину, поскольку, строго говоря, они равны нулю по отноше-
нию к длине; истинные элементы величины должны всегда
быть той же природы, что и сама величина, пусть даже и не-
сравнимо меньшими: как раз это и не имеет места в случае
с «неделимыми», а с другой стороны, именно это позволяет
соблюдать в исчислении бесконечно малых определенный
закон однородности, который предполагает, что обычные ве-
личины и бесконечно малые величины различных порядков
являются тем не менее величинами одного и того же вида.

С этой точки зрения можно еще сказать, что часть, ка-
кой бы она ни была, должна всегда сохранять определен-
ную «однородность» с целым или соответствие его природе,
по крайней мере поскольку это целое рассматривается как
способное к восстановлению посредством его частей спосо-
бом, сравнимым с тем, что служит образованию арифмети-
ческой суммы. Это, впрочем, не означает, что в реальности
нет ничего простого, так как сложное может быть сформи-
ровано па основе элементов совершенно иным способом
нежели этот; но тогда, правда, эти элементы не являются,
собственно говоря, «частями» и, как это признает Лейбниц,
они ни в коей мере не могут быть элементами телесного
порядка. В чем можно на самом деле быть уверенным, так
это в том, что нельзя дойти до простых, то есть неделимых
элементов, не выйдя за пределы того особого условия, ка-
ким является протяженность, и поэтому протяженность
не может быть разложена на такие элементы, не перестав
быть протяженностью. Из этого непосредственно следует,
что не могут существовать неделимые телесные элемеиты,
и что такое понятие подразумевает противоречие; на самом
деле, подобные элементы должны быть непротяженными,
и тогда они уже не будут телесными, так как в силу самого
определения тот, кто говорит о телесном, неизбежно гово-
рит о протяженном, хотя, между прочим, дело и не обсто-
ит так со всей природой вещей; и таким образом, несмотря
на все оговорки, которые мы должны сделать, Лейбниц по
крайней мере полностью прав в своем споре с атомизмом.

Однако до сих пор мы говорили только о делимости, то
есть о возможности деления; следует ли идти далее и допу-
стить вместе с Лейбницем «действительное деление»? Эта
идея еще не свободна от противоречий, так как опа означа-
ет предположение полностью реализованного деления и тем
самым противоречит самой природе бесконечного, которая,
как мы об этом говорили, всегда является возможностью
дальнейшего развития, то есть подразумевает, в сущности,
нечто незавершенное, нечто еще полностью нереализованное.
Впрочем, на самом деле нет никаких оснований делать такое
предположение, так как, когда перед нами совокупность не-
прерывного, то это целое, которое нам дано, но части, на ко-
торые оно может быть разделено, нам не даны, и мы только
представляем, что нам можно разделить это целое на части,
которые могут оказываться все более и более малыми, стано-
вясь таким образом меньшими, чем любая данная величина,
если деление заходит слишком далеко; фактически именно
мы и наделяем реальностью эти части по мере того, как осу-
ществляем такое деление. Таким образом, от предположения
о «действительном делении» нас избавляет различие, которое
мы ранее установили относительно разных способов, какими
может рассматриваться целое: совокупность непрерывного не
является результатом сложения частей, на которые оно дели-
мо, но, наоборот, от них независима и, как следствие, тот факт,
что эта совокупность дана нам как целое, ни в коей мере не
предполагает действительного существования этих частей.

Кроме того, с иной точки зрения, и переходя к рассмо-
трению дискретного, мы можем сказать, что если неопреде-
ленный числовой ряд нам дан, это никоим образом не под-
разумевает, что все члены, которые он в себя включает, даны
нам раздельно, что настолько же невозможно, насколько он
является неопределенным; в действительности задавать та-
кой ряд — значит просто задавать закон, который позволяет
рассчитать член, занимающий в ряду определенное место.1 1

1 См.: Кутюра Л. О математической бесконечности. С. 467: «На-
туральная последовательность чисел полностью задается законом ее
образования, так же, между прочим, как и все иные последователь-
ности и бесконечные ряды, где формулы возобновления, вообще
говоря, достаточно, чтобы полностью определить их таким образом,
что их предел или их сумма (когда она существует) оказываются тем
самым полностью определенными... Как раз благодаря закону об-
разования натуральной последовательности мы и обладаем идеей
всех целых чисел, в том смысле, что они даны полностью в этом
законе». — Можно на самом деле сказать, что общая формула, вы-
ражающая член п ряда, содержит потенциально и имплицитно, но не
актуально и раздельно, все члены этого ряда, поскольку можно по-
лучить какой-то один из них, придав п значение, соответствующее
тому месту, которое этот член должен занимать в ряду; но, вопреки
тому, что думает Л. Кутюра, разумеется, вовсе не это желал сказать
Если бы Лейбниц дал такой ответ Бернулли, их дискуссия
о существовании terminus infinitesimus сразу же тем самым и
завершилась; но он не смог бы ответить таким образом, не
придя логически к отрицанию своей идеи «действительно-
го деления» и не отрицая всякую связь между непрерывной
модальностью количества и его дискретной модальностью.

Как бы то ни было, что касается по меньшей мере непре-
рывного, то как раз в «неразличимости» частей мы и можем
увидеть корень идеи бесконечного, как ее понимает Лейб-
ниц, поскольку, как мы уже сказали выше, эта идея всегда у
него содержит некоторую долю путаницы; но такая «нераз-
личимость», вместо того чтобы предполагать осуществляе-
мое деление, склонялась бы, наоборот, к ее исключению
даже при отсутствии имеющих решающее значение осно-
ваний, на которые мы только что указали. Следовательно,
если теория Лейбница верна в той мере, в какой она проти-
востоит атомизму, то следует, для того чтобы она соответ-
ствовала истине, ее исправить, заменив «деление материи
до бесконечности» «неопределенной делимостью протя-
женности»: это в его наиболее краткой и наиболее точной
форме тот результат, к которому окончательно приводят
все только что изложенные нами рассуждения. Как раз бла-
годаря закону образования натуральной последовательно-
сти мы и обладаем идеей всех целых чисел в том смысле,
что они даны полностью в этом законе.

Лейбниц, «когда он поддерживал действительную бесконечность на-
туральной последовательности чисел».
ГЛ AB A IX

НЕОПРЕДЕЛЕННО ВОЗРАСТАЮЩЕЕ
И НЕОПРЕДЕЛЕННО УМЕНЬШАЮЩЕЕСЯ

Прежде чем продолжить изучение вопросов, относящих-
ся собственно к непрерывному, мы должны вернуться к тому,
что говорили выше о несуществовании fractio omnium infima,
что нам позволит увидеть, как соответствие или симметрия,
существующая в некоторых отношениях между неопреде-
ленно возрастающими величинами и величинами, неопреде-
ленно уменьшающимися, может быть изображена в числах.
Мы видели, что в области дискретных величин, пока их рас-
сматривают лишь как последовательность целых чисел, эти
числа должны рассматриваться как неопределенно возрас-
тающие от единицы, но поскольку единица в сущности не-
делима, то и речи не может быть о неопределенно уменьша-
ющихся; если взять числа в уменьшающемся направлении,
то мы неизбежно оказались бы остановившимися на самой
единице, и поэтому изображение неопределенного посред-
ством чисел ограничено в одном направлении — в направ-
лении неопределенно возрастающего. Наоборот, когда речь
идет о непрерывных величинах, можно рассматривать как
неопределенно возрастающие величины, так и неопреде-
ленно уменьшающиеся; и то же самое происходит с самими
дискретными величинами, как только, чтобы передать эту
возможность, туда вводится рассмотрение дробных чисел.
Действительно, можно рассматривать последовательность
дробей, идущих в неопределенно уменьшающемся направле-
нии, то есть какой бы маленькой ни была дробь, всегда можно
образовать еще более маленькую, и такое уменьшение никог-
да не сможет завершиться fractio minima, так же как возрас-
тание целых чисел не сможет завершиться numerus maximus.

Чтобы сделать очевидным посредством изображения в чис-
лах соответствие неопределенно возрастающего и неопреде-
ленно уменьшающегося, достаточно рассмотреть одновремен-
но с последовательностью целых чисел последовательность
чисел, им обратных: число называется обратным другому, ког-
да его произведение на это первое число равно единице, и по
этой причине число, обратное п, изображается обозначением
\/п. В то время как последовательность целых чисел идет от
единицы в неопределенно возрастающем направлении, после-
довательность обратных чисел идет в неопределенно умень-
шающемся направлении от той же самой единицы, которая
является числом, обратным себе самому, и которая поэтому
есть точка отсчета, общая для двух рядов; каждому числу
одной из последовательностей, соответствует одно число из
другой, и наоборот, так что эти две последовательности явля-
ются одинаково неопределенными, и они являются неопреде-
ленными одним и тем же способом, хотя и в обратном направ-
лении. Число, обратное какому-то числу, очевидно, является
настолько же меньшим, насколько само это число велико, по-
скольку их произведение всегда остается постоянным; каким
бы большим ни было число N, число N + 1 будет еще больше в
силу самого закона образования неопределенного ряда целых
чисел, и точно так же, каким бы малым ни было число 1/N,
число 1/(N+1) уменьшается. Следовательно, уместно, когда
непрерывные величины рассматриваются как способные ста-
новиться насколько угодно большими и насколько угодно ма-
лыми, то есть большими и меньшими, чем любая определенная
величина, всегда соблюдать симметрию и, можно в каком-то
отношении сказать, параллелизм, который представляют со-
бой эти две обратные друг другу переменные; это замечание
поможет нам лучше попять впоследствии возможность раз-
личных порядков бесконечно малых величин.

Справедливо будет заметить, что хотя символ \./п на-
поминает об идее дробных чисел и что на деле он от них и
берет свое начало, тем не менее необходимо, чтобы числа,
обратные целым числам, были бы здесь определены, и это
необходимо для того, чтобы избежать неудобства, которое
представляет собой обычное понятие дробных чисел с соб-
ственно арифметической точки зрения, то есть концепция
дробей как «частей единицы». На самом деле достаточно
рассматривать два ряда как образованные соответственно
числами большими или меньшими, чем единица, то есть как
два порядка величин, которые имеют в ней свой общий пре-
дел, и в то же время и тот и другой могут также рассматри-
ваться как исходящие из этой единицы, которая на самом
деле является первичным истоком всех чисел; кроме того,
если мы желаем рассматривать эти две неопределенные со-
вокупности, как образующие одну-единственную последо-
вательность, то можно сказать, что единица занимает как раз
середину в этой последовательности чисел, поскольку, как
мы видели, в одной из этих совокупностей имеется ровно
столько же чисел, сколько и в другой. С другой стороны, если
бы мы желали с целью еще больше обобщить, ввести, соб-
ственно говоря, дробные числа, вместо того чтобы рассма-
тривать ряд целых чисел и ряд чисел, им обратных, то ничто
не изменилось бы в отношении симметрии возрастающих и
убывающих величин; с одной стороны, у нас были бы числа,
большие, чем единица, а с другой — все числа, меньшие, чем
единица; здесь также любому числу а/b > 1 соответствует
в другой группе число b/а < 1, и наоборот, таким образом,
что а/b х b/а = 1, так же как это было в случае с п х \/п = 1,
и таким образом всегда будет одно и то же количество чи-
сел и в той и в другой из этих двух неопределенных групп,
разделенных единицей; должно, впрочем, быть понятно,
что когда мы говорим «столько же чисел», это означает, что
имеются два множества, все члены которых соответствуют
друг другу, но сами эти множества ни в коей мере не могут
рассматриваться как «исчислимые». В любом случае сумма
двух обратных чисел, умноженных друг на друга, всегда по-
рождает единицу, из которой они и происходят; можно так-
же сказать, что единица, занимающая середину между дву-
мя группами и являющаяся единственным числом, которое
может рассматриваться как принадлежащее одновременно
и той и другой,1 11 хотя на самом деле более точно было бы

1 Согласно определению обратных чисел единица изображается,
с одной стороны, в форме 1, а с другой - в форме 1/1, так что 1 х 1/1 = 1;
но, поскольку, с другой стороны, 1/1 = 1, это одна и та же единица,

11 Р. Геной. Наука чисел
сказать, что она их скорее объединяет, чем разделяет, — эта
единица соответствует состоянию совершенного равнове-
сия — и что она содержит в себе самой все числа, которые
исходят из нее нарами обратных друг другу или друг друга
дополняющих чисел; каждая из этих пар образует в силу
этой взаимодополнительности относительную единицу в
своей неразделимой двойственности;1 но мы чуть позже вер-
немся к этому последнему доводу и к тем следствиям, кото-
рые он подразумевает. Вместо того чтобы утверждать, что
ряд целых чисел является неопределенно возрастающим,
а ряд обратных им чисел неопределенно уменьшающимся,
можно также говорить в том же самом смысле, что числа
стремятся, с одной стороны, к неопределенно большому, а
с другой — к неопределенно малому при условии, что мы
понимаем под этим сами пределы области, в которой эти
числа рассматриваются, так как переменная величина мо-
жет стремиться только к пределу. Область, о которой идет
речь, является в конечном счете областью числовой вели-
чины, рассматриваемой во всей широте, на которую она
способна;* 1 2 это также означает, что пределы определяются

которая рассматривается в двух различных формах и которая, следо-
вательно, как мы выше говорили, сама является себе обратной.

1 Мы говорим неразделимой, потому что, если одно из этих двух
чисел, образующих такую пару, существует, то тем самым неизбежно
существует и другое.

2 Само собой разумеется, что несоизмеримые числа в отношении
величины неизбежно размещаются между обычными числами, целы-
ми или дробными в зависимости от того, являются ли они большими
не тем или иным частным числом, каким бы большим или
каким бы малым оно ни предполагалось, но самой приро-
дой числа как такового. Именно поэтому число, как и любая
иная вещь определенной природы, исключает все то, что им
не является, и здесь и речи быть не может о бесконечности;
впрочем, мы только что говорили, что неопределенно боль-
шое должно неизбежно мыслиться как предел, хотя оно ни
в коей мере не является terminus ultimus ряда чисел, и мож-
но по этому поводу заметить, что выражение «стремиться к
бесконечности», часто используемое математиками в смыс-
ле «возрастать до неопределенности», также является аб-
сурдным, поскольку бесконечное, очевидно, подразумевает
отсутствие любого предела, и что, следовательно, здесь нет
ничего, к чему можно было бы стремиться. Также довольно
странно, что некоторые, полностью признавая некоррект-
ность и излишний характер выражения «стремиться к бес-
конечности», не испытывают, с другой стороны, никаких
сомнений, принимая выражение «стремиться к нулю» в
смысле «уменьшаться до неопределенности»; тем не менее
нуль, или «нулевая величина», в точности симметрична по
отношению к уменьшающимся величинам тому, чем явля-
ется мнимая «бесконечная величина» по отношению к воз-

или менылими, чем единица; именно это и доказывает, между про-
чим, геометрическое соответствие, на которое мы ранее указывали,
а также возможность определить такое число двумя совпадающими
совокупностями соизмеримых чисел, для которых оно является об-
щим пределом.
растающим величинам; но нам впоследствии еще предстоит
вернуться к вопросам, которые, в частности, возникают по
поводу нуля и его различных значений.

Поскольку последовательность чисел в своей совокуп-
ности не «завершается» определенным числом, из этого
следует, что нет числа, каким бы большим оно ни было,
которое могло бы быть отождествлено с неопределенно
большим в том смысле, в каком мы его понимаем; и, разу-
меется, то же самое также истинно и для того, чем является
неопределенно малое. Можно лишь рассматривать число
как практически неопределенное, если позволительно так
выразиться, когда его уже нельзя ни выразить в языке, ни
изобразить письменно, что фактически неизбежно и про-
исходит в данный момент, когда рассматриваются числа,
всегда возрастающие или всегда уменьшающиеся; здесь,
если угодно, вопрос просто «видения», но само это соот-
ветствует в итоге характеру неопределенности в той мере,
в какой она в конечном счете есть не что иное, как то, чьи
пределы могут быть не устранены, поскольку это противо-
речило бы самой природе вещей, но просто отодвинуты до
такой степени, что они полностью теряются из виду. В свя-
зи с этим было бы уместно поставить некоторые довольно
любопытные вопросы: так, можно было бы спросить, по-
чему китайский язык символически изображает неопреде-
ленное числом десять тысяч; выражение «десять тысяч су-
ществ» означает, например, всех существ, которые реально
имеются в неопределенном или «неисчислимом» множе-
стве. Весьма замечательно, что в точности то же самое про-
исходит также и в греческом языке, где одно-единственное
слово с простым различием в диакритике, которое, очевид-
но, является совершенно второстепенной деталью и кото-
рое, несомненно, вызвано лишь потребностью различить
использование двух значений, служит в равной мере вы-
ражению одновременно и той, и другой идеи: цврил, десять
тысяч; цирки, неопределенное. Истинная причина этого
факта в следующем: это число десять тысяч есть четвертая
степень десяти; следуя формуле Дао дэ цзин, «одно порож-
дает два, два порождает три, три порождает все числа», что
подразумевает, что четыре, непосредственно порожденное
числом три, некоторым образом равно всей совокупности
чисел, и это так, потому что как только мы получаем четве-
рицу, то получаем также посредством добавления четырех
первых чисел, и десятерицу, которая изображает полный
числовой цикл: 1 + 2 + 3 + 4 = 10; это, как мы уже гово-
рили по другому поводу, и есть пифагорейский Тетраксис.
Можно также добавить, что такое изображение числовой
неопределенности имеет свое соответствие в простран-
ственном порядке: известно, что возведение в высшую сте-
пень представляет собой на этом уровне добавление одного
измерения; наше пространство, имеет лишь три измерения;
его границы преодолеваются, когда выходим за пределы
третьей степени, что, иными словами, означает, что возве-
дение в четвертую степень знаменует саму границу его нео-
пределенности, поскольку, как только оно осуществляется,
мы тем самым выходим из этого пространства и переходим
на другой уровень возможностей.
ГЛАВАХ

БЕСКОНЕЧНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ

Идея бесконечности, как ее чаще всего понимает Лейб-
ниц, и которая, что никогда нельзя упускать из виду, явля-
ется лишь идеей множества, которое превосходит любое
число, изображается иногда в аспекте «дискретной беско-
нечности», как в случае числовых рядов, называемых бес-
конечными; но самый ее обычный аспект, а также самый
важный в том, что касается значения исчисления бесконеч-
но малых, — это аспект «непрерывной бесконечности». Не-
обходимо по этому поводу напомнить, что когда Лейбниц,
начиная исследования, которые должны были бы по мень-
ше мере согласно тому, что он сам говорит, привести его к
открытию своего метода, работал над рядами чисел, он рас-
сматривал лишь конечные разности в обычном смысле сло-
ва; разности бесконечно малых возникали перед ним лишь
тогда, когда речь шла о применении числовой дискретно-
сти к пространственной непрерывности. Введение диффе-
ренциалов обосновывалось, следовательно, наблюдением
некоторой аналогии между изменениями, соответствующи-
ми этим двум видам количества; но их признак бесконечно
малых величин происходил от непрерывности величин, к
которым они должны были применяться, и таким образом
рассмотрение «бесконечно малых» оказывалось у Лейбни-
ца тесно связанным с вопросом о «составе непрерывного».
«Бесконечно малые», взятые «в строгом смысле», мог-
ли бы быть, как считал Бернулли, partes minimae непрерыв-
ного; но именно непрерывное, поскольку оно как таковое
существует, всегда делимо и, как следствие, оно не могло
бы иметь partes minimae. «Неделимые» не являются даже
частями того, по отношению к чему они неделимы, и ми-
нимум может быть здесь понят лишь как предел или гра-
ница, но не как элемент: «Линия не только не меньше, чем
любая поверхность, — говорит Лейбниц, — ио она не яв-
ляется даже и частью поверхности, и представляет собой
лишь минимум или предел»;1 и подобие между extremum и
minimum может быть здесь обосновано, с его точки зрения,
«законом непрерывности» в той мере, в какой он допускает,
согласно ему, «переход к пределу», как мы далее это уви-
дим. Так же, как мы уже говорили, обстоит дело и с точкой
по отношению к линии, и кроме того, с поверхностью по
отношению к объему; но бесконечно малые элементы, на-
против, должны быть частями непрерывного, без чего они
не были бы даже величинами; и они могли бы быть тако-
выми лишь при условии, что они не являются истинными
«бесконечно малыми» или теми «последними элементами»,
само существование которых по отношению к непрерыв-
ному подразумевает противоречие. Таким образом, состав
непрерывного не допускает, чтобы бесконечно малые были 1

1 Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, horumque nsu
in practita Mathesi ad figures faciliores succedancas difficilioribus substi-
tuendas//Acta Eruditorum. Leipzig, 1686.
чем-то большим, чем простые фикции; но, с другой сторо-
ны, именно существование этого непрерывного делает эти
фикции, по меныпей мере в глазах Лейбница, «прочно обо-
снованными»: если «в геометрии все делается так, как если
бы это были совершенно реальные сущности», то потому,
что протяженность, являющаяся объектом геометрии, не-
прерывна; и если точно так же обстоит дело в природе, то
потому, что тела также являются непрерывными, и потому,
что имеется непрерывность во всех феноменах, таких как
движение, местонахождением которого являются тела, и
которые являются объектом механики и физики. Между
прочим, если тела являются непрерывными, то потому, что
они являются протяженными и потому что они причастны
природе протяженности; и кроме того, непрерывность дви-
жения и различных феноменов, которые могли быть к нему
в той или иной мере непосредственно сведены, происходит,
в сущности, из их пространственного характера. Следова-
тельно, в конечном счете непрерывность протяженности и
есть истинное основание всех иных непрерывностей, кото-
рые наблюдаются в телесной природе; и именно поэтому,
вводя в этой связи важнейшее различие, которого Лейбниц
не делал, мы уточняем, что не «материи» как таковой, но
протяженности должно на самом деле приписываться свой-
ство «неопределенной делимости».

Мы не должны здесь рассматривать вопрос о других
возможных формах непрерывности, независимых от ее про-
странственной формы; на самом деле всегда обращаются
именно к ней, когда рассматривают величины, и таким об-
разом ее рассмотрения достаточно для всего того, что имеет
отношение к бесконечно малым величинам. Тем не менее
мы должны к этому добавить непрерывность времени, так
как, вопреки странному мнению Декарта по этому поводу
время на само деле является само по себе непрерывным, а не
только в пространственном изображении посредством дви-
жения, которое служит его мерой.1 По этому поводу можно
было бы сказать, что движение является в некотором отно-
шении вдвойне непрерывным, так как оно является таковым
одновременно и в силу своего пространственного условия,
и в силу условия времени; и таким образом сочетание вре-
мени и пространства, из которого следует движение, было
бы невозможно, если бы одно было дискретным, а другое
непрерывным. Такой подход позволяет, помимо прочего,
ввести непрерывность в некоторые категории природных
феноменов, связанные более непосредственно с временем,
чем с пространством, хотя и происходящие и в равной мере
и в том и в другом, как, например, процесс какого-либо ор-
ганического развития. Впрочем, можно было бы в отноше-
нии состава непрерывного времени повторить все то, что
мы говорили о составе непрерывности пространства, и, в
силу такого рода симметрии, которая в некоторых отноше-
ния существует, как мы уже объясняли, между простран-
ством и временем, прийти к строго аналогичным заклю-
чениям: мгновения, понятые как неделимые, не являются
частицами длительности, как и точки не являются частями 1

1 См.: Генон Р. Царство количества и знамения времени. Глава. V.
протяженности, что признает и сам Лейбниц, и здесь перед
нами еще один тезис, совершенно обычный у схоластов; в
конечном счете общим признаком непрерывного целого яв-
ляется то, что его природа не предполагает существования
«последних элементов».

Все то, о чем мы до сих пор здесь говорили, в достаточ-
ной мере показывает, в каком смысле можно понимать,
что, с той точки зрения, на которой располагается Лейб-
ниц, непрерывное неизбежно включает в себя бесконечное;
но, разумеется, мы не могли бы допустить, что речь здесь
могла бы идти об «актуальной бесконечности», как если
бы все возможные части должны были бы действительно
быть данными, когда дано целое, или, помимо прочего, об
истинной бесконечности, которая исключает любое опреде-
ление, каким бы оно ни было, и которая, как следствие, не
может подразумеваться ни при каком рассмотрении какой-
либо частной вещи. Однако здесь, как и в любом случае,
где изображается идея мнимой бесконечности, отличная
от истинной метафизической бесконечности и представ-
ляющая собой не что иное, как простую абсурдность, любое
противоречие исчезает, а вместе с ним любое логическое
затруднение, если заменить эту так называемую бесконеч-
ность неопределенностью и если просто сказать, что любое
непрерывное содержит в себе некоторую неопределенность,
когда его рассматривают в связи с его элементами. Как раз
в силу неспособности сделать такое фундаментальное раз-
личие бесконечного и неопределенного некоторые ошибоч-
но и полагают, что избежать противоречия определенной
бесконечности можно, только полностью отвергнув непре-
рывное и заменив его дискретным; в частности, Ренувье,
справедливо отрицавший математическую бесконечность,
но в равной мере чуждый и идее метафизической бесконеч-
ности, считал себя обязанным, в силу логики своего «фи-
нитизма», допускать даже атомизм, обращаясь тем самым к
другой концепции, которая, как мы видели ранее, не менее
противоречива, чем та, что он желал отвергнуть.
ГЛ AB A XI

«ЗАКОН НЕПРЕРЫВНОСТИ»

Поскольку существует непрерывное, мы можем вместе с
Лейбницем сказать, что в природе имеется непрерывность
или, если угодно, что должен быть некий «закон непрерыв-
ности», применимый ко всему, что имеет признаки непре-
рывного; это в конечном счете очевидно, но из этого ни в
коей мере не следует, что такой закон должен быть приме-
ним, как он утверждает, ко всему, так как, если существует
непрерывное, то существует также и дискретное, в том чис-
ле и в области количества:1 на самом деле число по своей
сути дискретно, и как раз эта самая дискретная величина, а
не величина непрерывная, и является в реальности, как мы
об этом уже говорили, первой и фундаментальной формой
количества или того, что можно было бы назвать, собствен- 1

1 См.: Кутюра Л. О математической бесконечности. «Вообще,
принцип непрерывности не имеет места в алгебре, и не может упоми-
наться для обоснования алгебраического обобщения числа. Не только
непрерывность ни в коей мере не необходима для спекуляций общей
арифметики, но она претит самому духу этой науки и самой природе
числа. На самом деле число по своей сути является дискретным, как и
почти все его арифметические свойства... Нельзя, следовательно, на-
делять непрерывность алгебраическими функциями, какими бы слож-
ными они ни были, поскольку целое число, которое составляет все ее
элементы, является дискретным и в каком-то отношении «перескаки-
вает» от одного значения к другому без возможного перехода».
но говоря, чистым количеством.1 С другой стороны, ничто
не позволяет предположить a priori, что вне количества мог-
ла бы рассматриваться какая-либо непрерывность, и даже,
правду сказать, было бы удивительно, что одно только число
из всех возможных вещей обладает свойством быть исклю-
чительно дискретным; но наше намерение не заключается
в том, чтобы исследовать здесь, в каких границах «закон
непрерывности» на самом деле применим и какие ограни-
чения были бы необходимы, чтобы распространить его на
все то, что превосходит область количества, понятого в его
самом общем смысле. Мы ограничимся тем, что приведем
в том, что касается природных феноменов, весьма простой
пример дискретности: если необходима некоторая сила,
чтобы разорвать веревку, и если применить к этой веревке
силу, интенсивность которой будет меньше, чем требует-
ся, то мы не получим частичного разрыва, то есть разрыва
одной части нитей, которые составляют веревку, но полу-
чим лишь напряжение, что разумеется, совершенно не то,
что нужно; если увеличивать силу непрерывным образом,
напряжение также будет вначале непрерывно возрастать,
но наступит момент, когда разрыв произойдет, и тогда, вне-
запно и в каком-то роде мгновенно, возникнет эффект со-
вершенно иной природы, чем предшествующий, что явным
образом и предполагает дискретность; и поэтому было бы
неверно утверждать, в совершенно общих терминах и без
какого-либо рода ограничений, что natura non facit saltus. 1

1 См.: Генон Р. Царство количества и знамения времени. Глава II.
Как бы то ни было, в любом случае достаточно, чтобы
геометрические величины были непрерывными, какими на
самом деле они и являются, чтобы можно было всегда брать
оттуда элементы насколько угодно малые, то есть способ-
ные становиться меньшими, чем любая значимая величи-
на; и как об этом говорит Лейбниц, «несомненно, именно
в этом и заключается строгое доказательство исчисления
бесконечно малых», которое как раз и применимо к гео-
метрическим величинам. «Закон непрерывности» может,
следовательно, быть fondamentum in re тех фикций, какими
являются бесконечно малые величины, а также, между про-
чим, и тех иных фикций, какими являются воображаемые
корни, поскольку Лейбниц в этой связи сближает их друг
с другом, не усматривая в этом, как он, возможно, желал,
«камень преткновения для всякой истины».1 С другой сто-
роны, если допустить «закон непрерывности», накладывая
некоторые ограничения на его значение, и даже если при-
знать, что такой закон мог служить обоснованием исчис-
ления бесконечно малых, mode sano sensu intelligantur, из
этого ни в коей мере не следует, что необходимо его пони-
мать именно так, как это делал Лейбниц, и принимать все
последствия, которые сам он стремился из него вывести;
именно эту концепцию и эти следствия нам теперь и пред-
стоит изучить более внимательно.

В самом общем виде этот закон сводится в итоге к тому,
что Лейбниц неоднократно высказывал в различных тер- 1

1 Кутюра Л. О математической бесконечности. С. 266.
минах, но смысл чего всегда, в сущности, оставался тем же
самым: поскольку имеется определенный порядок принци-
пов, понимаемых здесь в относительном смысле данных,
которые принимаются в качестве исходного пункта, то
должен быть всегда и соответствующий порядок в тех след-
ствиях, которые из них будут извлечены. Это, как мы уже
указывали, частный случай «закона справедливости», то
есть порядка, который постулирует «универсальная интсл-
лигибельность»; для Лейбница это, в сущности, следствие
или применение «принципа достаточного основания», если
не сам этот принцип, применяемый более специально к ком-
бинациям или к изменениям количества: «непрерывность
есть нечто идеальное», говорит он, что, впрочем, далеко не
столь ясно, как того хотелось бы, «но реальность не допу-
скает, чтобы ею управлял идеал или абстракция, ...потому
что все управляется разумом».1 Разумеется, есть определен-
ный порядок вещей, и это здесь не ставится под сомнение,
но можно мыслить этот порядок совершенно иначе, чем это
делает Лейбниц, идеи которого в этом отношении всегда на-
ходились под более или менее непосредственным влиянием
его так называемого «принципа наилучшего», которые те-
ряет все свое значение, как только мы понимаем метафизи-
ческое тождество возможного и реального;1 2 более того, хотя
он и был явным противником картезианского рационализ-
ма, можно, что касается его концепции «универсальной ин-

1 Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702 г.

2 См.: Множественные состояния бытия. Глава II.
теллигибельности», упрекнуть его в том что он слишком
легко смешивал «интеллигибельное» и «рациональное»;
но мы не будем более задерживаться на этих рассуждениях
общего порядка, так как они нас увели бы слишком далеко
от нашей темы. Мы только добавим по этому поводу, что
вызывает удивление, что после того, как он утверждал, что
«нет нужды ставить математический анализ в зависимость
от метафизических споров», что, между прочим, вовсе не
бесспорно, поскольку это значило бы сделать из математи-
ки, следуя чисто профанной точке зрения, науку, полностью
игнорирующую свои собственные принципы, и что, впро-
чем, одно лишь непонимание могло породить споры в мета-
физической области, Лейбницу в конце концов приходится
в подтверждение своего «закона причинности», с которым
он связывает сам этот математический анализ, обратиться к
аргументу уже на самом деле не метафизическому, а теоло-
гическому, который мог бы вызвать и множество иных спо-
ров: «Именно поэтому все управляется разумом, говорит он,
и поэтому в ином случае не было бы ни науки, ни правила,
что не соответствовало бы природе высшего принципа»,1
на что можно было бы ответить, что разум на самом деле 1

1 То же самое письмо Вариньону. - Первое изложение «закона не-
прерывности» появилось в «Nouvelles de la Republique des Lettres»,
в июле 1687 г., под этим весьма значительным с той же самой точки
зрения заголовком: «Principium quoddam generate non in Mathematicis
tantum sed et Physicis utile, cujus ope ex consideratione Sapientiae Divinas
examinantur Naturae Leges, qua oecasione nata cum R. P. Mallebranchio
controversia explicatur, et quidam Cartesianorum errores notantur».
является только человеческой способностью индивидуаль-
ного уровня, и что, даже не поднимаясь до «высшего прин-
ципа», умозрение, понимаемое в универсальном смысле, то
есть как чистый и трансцендентный интеллект, есть нечто
совершенно иное, чем разум, и не может быть никоим обра-
зом ему подобным, так что, если верно, что нет ничего «ир-
рационального», то тем не менее существует много вещей,
которые являются «сверхрациональными», но которые,
между прочим, не становятся от этого менее «интеллиги-
бельными».

Мы перейдем теперь к другому, более точному выраже-
нию «закона непрерывности», выражению, которое более
непосредственно, чем предшествующее, связано с принци-
пами исчисления бесконечно малых: «Если один случай не-
прерывно связывается в данных с другим случаем и в конце
концов в нем растворяется, то необходимо, чтобы следствия
этих случаев так же непрерывно связывались в искомых ре-
шениях и чтобы в конечном счете они взаимно завершались
друг в друге».1 Здесь есть две вещи, которые необходимо раз-
личать: прежде всего, если различие двух случаев уменьша-
ется до того, что становится меньшим, чем любая значимая
величина in datis, то оно также должно быть in quaesitis\ это в
конечном счете лишь применение более общего выражения,
и вовсе не эта сторона закона способна вызвать возражения, 1

1 Specimen Dynamicum pro admirandis Naturae Legibus circa cor-
porum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revocandis.
Pars II.

12 P. Генон. Наука чисел
поскольку допускается, что существуют непрерывные из-
менения и что именно к той области, где осуществляются
такие изменения, то есть к геометрической области, и отно-
сится, собственно говоря, исчисление бесконечно малых; но
следует ли помимо этого допустить, что casus in casum tan-
dem evanescat, и что, как следствие, eventus casuum tandem
in se invicem desinant? Иными словами, должно ли различие
двух случаев быть всегда строго нулевым вследствие его не-
прерывного и неопределенного уменьшения, или же, если
угодно, такое уменьшение, хотя и неопределенное, сумеет
достичь своего завершения? Здесь, по сути дела, вопрос в
том, чтобы знать, может ли в непрерывном изменении быть
достигнут предел; и вслед за этим мы прежде всего отметим
следующее: поскольку неопределенное, каким оно подра-
зумевается в непрерывном, всегда содержит в себе нечто в
некотором отношении «неисчерпаемое», и поскольку Лейб-
ниц, между прочим, не допускает, что деление непрерывно-
го может дойти до конечного завершения, и даже что такое
завершение действительно существует, то не является ли
совершенно логичным и последовательным с его стороны в
то же самое время допустить, что непрерывное изменение,
которое осуществляется perinfinitosgradus intermedios? мо-
жет дойти до своего завершения? Это не означает, разуме-
ется, что предел не может быть достигнут никоим образом,
что привело бы исчисление бесконечно малых к тому, что
оно уже не могло бы быть чем-то иным, кроме простого ме-

1 Письмо Шуленбургу от 29 марта 1698 г.
тода приближения; но если он на самом деле достижим, это
не должно быть ни в самом непрерывном изменении, ни
как окончательное завершение неопределенного ряда gra-
dus mutationis. Тем не менее именно посредством «закона
непрерывности» Лейбниц стремится обосновать «переход
к пределу», который не является самым меньшим из тех
затруднений, что вызывает его метод с логической точки
зрения, и именно здесь его выводы становятся совершенно
неприемлемыми; но чтобы эта сторона вопроса могла быть
полностью понята, нам необходимо начать с уточнения ма-
тематического понятия самого предела.
ГЛАВА XII

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА

Понятие предела является одним из наиболее важных
понятий, которые мы здесь должны изучить, так как именно
от него зависит все значение метода исчисления бесконеч-
но малых в его строгом соблюдении; можно даже дойти до
утверждения, что в конечном счете «весь алгоритм исчисле-
ния бесконечно малых основывается на одном лишь понятии
предела, так как именно это строгое понятие используется
для определения и обоснования всех символов и всех формул
исчисления бесконечно малых».1 На самом деле цель этого
исчисления «сводится к исчислению пределов соотношений
и пределов сумм, то есть к поиску постоянных значений, к
которым сводятся соотношения или суммы переменных ве-
личин, по мере того как они до неопределенности возрастают,
следуя данному закону».1 2 Для еще большей точности мы ска-
жем, что из двух отраслей, на которые разделяется исчисление
бесконечно малых, дифференциальное исчисление состоит в
вычислении пределов соотношений, два члена которых одно-
временно возрастают до неопределенности в соответствии с
определенным законом таким образом, что само отношение
всегда сохраняет конечное и определенное значение; а иите-

1 Кутюра Л. О математической бесконечности. Введение. С. XXIII.

2 Фрейсине Ш. де. Об анализе бесконечно малых. Предисловие.
С. VIII.
гральное исчисление состоит в вычислении пределов сумм
элементов, множество которых возрастает до неопределен-
ности в то же самое время, когда значение каждого из них до
неопределенности уменьшается, так как необходимо, чтобы
эти два условия были соединены, чтобы сама сумма всег-
да оставалась определенной и конечной величиной. Когда
это установлено, то можно, вообще говоря, утверждать, что
предел переменной величины представляет собой другую
величину, рассматриваемую как постоянная, и к которой, как
предполагается, эта переменная величина приближается по-
средством значений, которые она последовательно принима-
ет в ходе своего изменения, пока не будет от нее отличаться
насколько угодно мало, или, иными словами, пока различие
этих двух величин не станет меньше, чем любая определен-
ная величина. Пункт, на котором мы должны особенно на-
стаивать, по причинам, которые будут более понятными
впоследствии, — то, что предел, в сущности, понимается как
постоянная и определенная величина; даже когда она не была
задана условиями задачи, следует всегда начинать с того, что-
бы задавать ей определенное значение и продолжать рассма-
тривать ее как постоянную до конца вычислений.

Ио совсем иное — это концепция предела самого по себе,
и совсем иное — логическое обоснование «перехода к преде-
лу»; Лейбниц считал, что «то, что вообще обосновывает этот
„переход к пределу” — это тот факт, что то же самое отно-
шение, которое существует между множеством переменных
величин, существует и между их постоянными пределами,
когда их изменения непрерывны, так как тогда они на самом
деле достигают соответствующих им пределов; это иное вы-
ражение принципа непрерывности».1 Но вопрос как раз в
том, чтобы знать, может ли переменная величина, которая
до неопределенности приближается к своему постоянному
пределу и которая, как следствие, согласно самому опреде-
лению предела, может отличаться от него насколько угодно
мало, — может ли эта переменная величина действительно
достичь этого предела вследствие самого своего изменения,
то есть может ли предел быть понят как последний член не-
прерывного изменения. Мы увидим, что в реальности такое
решение неприемлемо; в данный момент скажем только, обе-
щая вернуться к этому немного позже, что истинное поня-
тие непрерывности не позволяет рассматривать бесконечно
малые количества как способные когда-либо стать равными
нулю, так как они перестали бы тогда быть величинами; для
самого же Лейбница они должны всегда сохранять характер
настоящих величин, и даже тогда, когда их рассматривают
как «исчезающие». Бесконечно малая разность никогда не
сможет быть строго нулевой; как следствие, переменная, по-
скольку она будет рассматриваться как таковая, будет всегда
реально отличаться от своего предела, и она не сможет до-
стичь его, не утратив тем самым свой характер переменной.

Вслед за этим мы сможем полностью принять, за исклю-
чением одной малозначащей оговорки, те рассуждения, ко- 1

1 Кутюра Л. О математической бесконечности. С. 268, примеча-
ние. — Это точка зрения, которая, в частности, излагается в «Обоснова-
нии исчисления бесконечно малых исчислением обычной алгебры».
торые один математик, уже нами цитированный, изложил в
таких выражениях: «То, что характеризует предел, как мы его
определили, так это одновременно и то, что переменная мо-
жет насколько угодно приближаться к нему, и то, что она тем
не менее никогда не сможет его в строгом смысле достичь,
так как, чтобы она его действительно достигла, необходимо
осуществление некоторой бесконечности, которая для нас
неизбежно запрещена... Кроме того, следует придерживаться
идеи неопределенной приблизительности, то есть все более
и более значительной».1 Вместо того чтобы говорить об «осу-
ществлении некоторой бесконечности», что не имело бы для
нас никакого смысла, мы просто скажем, что необходимой,
чтобы некоторая неопределенность была исчерпана в том,
что в ней как раз и имеется неисчерпаемое, но чтобы в то же
самое время возможности развития, которые включает в себя
сама эта неопределенность, позволяли бы достичь насколько
угодно большого приближения, ut error fiat minor dato, соглас-
но выражению Лейбница, для которого «метод надежен»,
как только результат достигнут. «Свойство предела, в силу
которого переменная никогда его точно не достигает, имеет
иное определение, нежели определение переменной; а пере-
менная, со своей стороны, все больше и больше прибл ижаясь
к своему пределу, не достигает его, потому что она никогда не
перестает соответствовать своему первоначальному опреде-
лению, которое, скажем мы, является иным. Необходимое
различие между двумя определениями предела и перемен- 1

1 См.: Фрейсине III. де. Об анализе бесконечно малых. С. 18.
ной встречается везде... Тот факт, что два определения явля-
ются логически различными и что тем менее такие опреде-
ленные объекты могут все больше и больше сближаться друг
с другом,1 обеспечивает то, что может, на первый взгляд, по-
казаться страпным, — невозможность совпадения двух вели-
чин, различие между которыми имеет полную возможность
сокращаться за пределы любого выражения».1 2

Едва ли есть нужда говорить, что в силу современной тен-
денции все сводить исключительно к количественному, эту
концепцию предела не упускают возможности упрекнуть за
то, что она вводит качественное различие в науку о самом ко-
личестве; но если бы требовалось отвергнуть ее по этой причи-
не, то требовалось бы также, чтобы геометрия себе полностью
запретила, наряду с другими вещами, рассмотрение подобия,
которое также, как мы уже объясняли, является чисто каче-
ственным, поскольку оно касается лишь формы фигур, абстра-
гируясь от их величины, следовательно, от всякого собственно
количественного элемента. Впрочем, было справедливо по
этому поводу заметить, что одно из главных использований
дифференциального исчисления заключается в том, чтобы

1 Было бы точнее сказать, что одна из них может все больше и
больше приближаться к другой, поскольку только один из этих объ-
ектов переменный, тогда как другой является, в сущности, постоян-
ным, и что поэтому, в силу самого определения предела, их сближение
ни в коей мере не может рассматриваться как образующее взаимное
отношение, две формы которого были бы в некотором роде взаимоза-
меняемыми; эта невзаимность подразумевает, между прочим, что их
различие принадлежит, собственно, к количественному порядку.

2 Там же. С. 19.
определить направления касательных в каждой точке кривой,
направления, совокупность которых определяет саму фор-
му кривой, и что направление и форма как раз и являются в
пространственном порядке элементами, характер которых, в
сущности, количественный.1 Кроме того, это решение не стре-
мится просто-напросто упразднить «переход к пределу» под
предлогом, что математик может уклониться о того, чтобы
на самом деле к нему переходить, и что это ни в коей мере не
затруднит ему довести свои вычисления до конца; это может
быть верным, но важно следующее: до какой степени при та-
ких условиях он вправе рассматривать вычисление как осно-
вывающееся на строгом доказательстве, и даже если «метод
надежен^, не будет ли этот метод всего лишь простым мето-
дом приближения? Можно было бы возразить, что концепция,
которую мы только что изложили, также делает невозможным
«переход к пределу», поскольку этот предел как раз и облада-
ет тем признаком, что он никогда не может быть достигнут;
но это верно лишь в некотором смысле, и только в той мере,
в какой рассматриваются переменные величины как таковые,
так как мы не говорили, что предел никоим образом не может
быть достигнут, но, и это здесь весьма важно уточнить, этого не
может произойти при изменении и в качестве его завершения.
Что действительно невозможно, гак это одна лишь концепция
«перехода к пределу» как образующая завершение непрерыв-
ного изменения; мы должны, следовательно, заменить ее дру-
гой концепцией, и именно это мы и сделаем впоследствии. 1

1 См.: Генон Р. Царство количества и знамения времени. Глава IV.
ГЛАВА XIII

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ

Мы можем теперь вернуться к изучению «закона непре-
рывности» или, точнее, того аспекта этого закона, который
мы на мгновение оставили в покое и который является тем
аспектом, посредством которого, как полагал Лейбниц, ему
удалось обосновать «переход к пределу», потому что для
него из этого закона следует, «что в непрерывных величинах
крайний исключительный случай может рассматриваться
как подтверждающий правило, и поэтому этот последний
случай, хотя и совершенно иной по природе, подобен не-
прерывному в латентном состоянии в общем законе других
случаев».1 Именно в этом коренится, хотя, кажется, он об
этом и не подозревает, главный логический изъян его кон-
цепции непрерывности, как довольно легко убедиться в
этом по последствиям, которые он из пего извлекает, и по
применениям, которые он делает; вот несколько примеров:
«В силу моего закона непрерывности позволительно рас-
сматривать покой как бесконечно малое движение, то есть
как эквивалент разновидности его противоречия, а совпа-
дение — как бесконечно малую дистанцию, равенство — как
последнее из неравенств и т. д.»1 2 И еще: «В согласии с этим

1 Epistola ad V. Cl. Christianum Wolfium, Professorein Matheseos
Halensem, circa Scientiam Infiniti //Acta Eruditorum. Leipzig, 1713.

2 Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702 г.
законом непрерывности, который исключает любой скачок
в изменении, случай покоя может рассматриваться как осо-
бый случай движения, а именно как движение исчезающее
или минимальное, а случай равенства — как случай исче-
зающего неравенства. Из этого следует, что законы движе-
ния должны быть установлены таким образом, чтобы не
было нужды в частных правилах для тел в равновесии и в
покое, но чтобы эти последние состояния сами рождались
из правил, касающихся тел в неравновесии и в движении;
или, если мы желаем высказать особые правила для по-
коя и равновесия, необходимо остерегаться, чтобы они не
были такими, что они не смогут согласоваться с гипоте-
зой, принимающей покой за зарождающееся движение,
а равенство — за последнее неравенство».1 Добавим так-
же следующую последнюю цитату по данному поводу, где
мы обнаружим пример нового рода, несколько отличный
от предыдущего, но не менее спорный с логической точки
зрения: «Хотя по крайней мере не совсем верно, что покой
есть разновидность движения, или что равенство есть раз-
новидность неравенства, как неверно и то, что круг есть
разновидность правильного многоугольника, тем не менее
можно сказать, что покой, равенство и круг завершают дви-
жение, неравенство и правильный многоугольник, которые
посредством непрерывных изменений доходят до этого и
исчезают. И хотя эти завершения являются исключениями,
то есть они, строго говоря, не включены в те разновидности, 1

1 «Specimen Dynamicum», уже цитированное выше.
которые они ограничивают, тем не менее они обладают их
свойствами, как если бы они были в них включены, в соот-
ветствии с языком бесконечных или бесконечно малых ве-
личин, который принимает, например, круг за правильный
многоугольник, число сторон которого бесконечно. Иначе
закон непрерывности был бы нарушен, то есть поскольку
мы переходим от многоугольников к кругу посредством не-
прерывного изменения и не совершая скачка, то необходи-
мо также, чтобы не было никакого скачка и при переходе от
свойств многоугольника к свойствам круга».1

Необходимо сказать, что, как указывает начало послед-
него отрывка, который мы только что цитировали, Лейб-
ниц рассматривает эти утверждения как разновидность
тех, что являются лишь toleranter verae, и которые, говорит
он, с другой стороны, «служат главным образом искусству
изобретения, хотя, по моему мнению, они содержат в себе
нечто фиктивное и вымышленное, что может быть тем не
менее легко исправлено посредством приведения к обыч-
ным выражениям, чтобы не смогла возникнуть ошибка»;1 2
но являются ли они даже таковыми, и не содержат ли они
в себе на самом деле просто-напросто противоречия? Несо-

1 «Обоснование исчисления бесконечно малых исчислениями
обычной алгебры», примечание, приложенное к письму Вариньона
Лейбницу от 23 мая 1702 г., в котором упоминается, что это письмо
было отправлено Лейбницем, чтобы быть помещенным в «Journal de
Trevoux». — Лейбниц берет слово «постоянный» в значении «непре-
рывный».

2 «Epistola ad V. Cl. Christianum Wolfium», уже цитированное выше.
мненно, Лейбниц признает, что крайний случай, или ultimus
casus, является exclusivus, что явно предполагает, что он на-
ходится за пределами ряда случаев, которые естественным
образом включаются в общий закон; тогда по какому пра-
ву его включают в этот же самый закон и трактуют его как
ut inclusivum, то есть как если бы это был простой частный
случай, включенный в этот ряд? Верно, что круг является
пределом правильного многоугольника, число сторон кото-
рого увеличивается до неопределенности, но его определе-
ние, в сущности, иное, чем определение многоугольников;
и мы ясно видим на таком примере, как этот, качественное
различие, которое существует, как мы говорили, между са-
мим пределом и тем, для чего он пределом является. Покой
никоим образом не является частным случаем движения, а
равенство — частным случаем неравенства, совпадение не
является частным случаем расстояния, а параллельность —
частным случаем совпадения; Лейбниц, между прочим, не
допускает, что они являются такими частными случаями в
строгом смысле, но он тем не менее утверждает, что в каком-
то отношении они могут таковыми рассматриваться таким
образом, что «род завершается в мнимой противоположной
разновидности»,1 и что нечто может быть эквивалентом раз- 1

1 «Initia Rerum Mathematicarum Metaphysics». Лейбниц бук-
вально но тексту говорит: genus in quasi-speciem oppositam desinit, и
использование такого странного выражения quasi-speciem, кажется,
указывает по меньшей мере на некоторое затруднение придать види-
мость правдоподобия этому выражению.
новидности своего противоречия». Заметим мимоходом, что
это, кажется, относится к тому же порядку идей, с которым
связано понятие «виртуальности», понимаемое Лейбницем
в том особом смысле, какой он ему дает, как возможность,
которая была бы действием, начинающим осуществляться,1
что не менее противоречиво, чем иные примеры, которые
мы только что процитировали.

С какой бы точки зрения мы все это ни рассматривали,
мы совершенно не видим, как некоторая разновидность мо-
жет быть «предельным случаем» противоположного вида
или рода, так как противоположности взаимно ограничива-
ют друг друга вовсе не в этом смысле, по, наоборот, в том,
что они исключают друг друга, и невозможно, чтобы проти-
воположности были сводимы друг к другу; и может ли, на-
пример, неравенство сохранять значение иначе, чем по мере
того, как оно противопоставляется равенству и является
его отрицанием? Мы, конечно, не можем сказать, что такие
утверждения, как это, являются toleranter verae\ даже когда
не допускается существование абсолютно раздельных ро-
дов, тем не менее верно, что какой-либо род, определяемый
в качестве такового, никогда не может стать неотъемлемой
частью другой в равной мере определенного рода, опреде-
ление которого не включает его собственного свойства, и
если даже оно его формально и не исключает, как в случае с
противоречиями, и что если связь может быть установлена 1

1 Подразумевается, что слова «действие» и «возможность» взяты
здесь в их аристотелевском и схоластическом смысле.
между различными родами, это не может произойти там, где
они действительно различны, но только посредством выс-
шего рода, в который они оба в равной мере входят. Такая
концепция непрерывности, приводящая к упразднению не
только всякого разделения, но также и любого действитель-
ного различия, допуская прямой переход от одного рода к
другому без сведения к высшему или более общему роду,
является, собственно говоря, самим отрицанием всяко-
го истинно логического принципа; отсюда до гегелевского
утверждения о «тождестве противоречий» только один шаг,
который едва ли затруднительно преодолеть.
ГЛАВА XIV

«ИСЧЕЗАЮЩИЕ ВЕЛИЧИНЫ»

Обоснование «перехода к пределу» состоит в итоге для
Лейбница в том, что частный случай «исчезающих величин»,
как он говорит, должен в силу непрерывности быть в неко-
тором смысле включен в общее правило; и, между прочим,
эти исчезающие величины не могут рассматриваться как «аб-
солютно ничтожные» или как чистые нули, так как всегда в
силу той же самой непрерывности они сохраняют между со-
бой определенное отношение, обычно отличающееся от еди-
ницы, в то самое мгновение, когда они исчезают, что предпо-
лагает, что они еще являются настоящими величинами, хотя
и незначительными по отношению к обычным величинам.1
Тем не менее, если исчезающие величины, или, что имеет то
же самое значение, величины бесконечно малые не являются
«абсолютно ничтожными», даже когда речь идет о дифферен-
циалах порядка выше первого, они должны рассматриваться
как «относительно ничтожные», то есть если они полностью
сохраняют характер переменных величин, ими можно и долж-
но пренебречь даже в отношении обычных величин, с кото- 1

1 Для Лейбница 0/0 = 1, потому что, говорит он, «ничто означает
другое»; но, поскольку имеем 0 х п = 0, и это так, каким бы ни было
число п, то очевидно, что можно также записать 0/0 = п, и именно
поэтому это выражение 0/0 обычно рассматривается как изображаю-
щее то, что называют «неопределенной формой».
рыми они «несравнимы»;1 но умноженные на «бесконечные»
величины или на несоизмеримо большие, чем обычные вели-
чины, они воспроизводят обычные величины, чего не могло
бы быть, если бы они были абсолютно ничтожными. Можно
видеть благодаря тем определениям, которые мы дали ранее,
что рассмотрение отношения между исчезающими величи-
нами, оставаясь определенным, соотносится с дифференци-
альным исчислением, и что рассмотрение произведения тех
же самых исчезающих величин па «бесконечные» величины,
дающего обычные величины, соотносится с интегральным
исчислением. Трудность во всем этом заключается в том, что-
бы допустить, что величины, не являющиеся абсолютно ну-
левыми, должны тем не менее рассматриваться как нулевые в
исчислениях, что рискует создать впечатление, что речь идет
лишь о простом приближении; в связи с этим Лейбниц также
иногда вспоминает о «законе непрерывности», посредством
которого «предельный случай» оказывается сведенным к
общему правилу, как единственному постулату, которого тре-
бует его метод; но этот аргумент, впрочем, весьма неясен, и
необходимо, скорее, вернуться к понятию «несравнимых»,
как он это чаще всего и делает, чтобы обосновать устранение
бесконечно малых величин в результатах вычислений. 1

1 Различие между этим и сравнением с песчинкой заключается
в том, что как только речь идет об «исчезающих величинах», это не-
избежно предполагает, что речь идет о переменных величинах, а не о
величинах постоянных и определенных, какими бы малыми они не
предполагались.
Лейбниц действительно рассматривает как равные не
только величины, разность которых является нулевой, но
еще и величины, разность которых несравнима с самими эти-
ми величинами; и именно на этом понятии «несравнимых»
основывается для него не только устранение бесконечно ма-
лых величин, которые исчезают перед обычными величина-
ми, но также и различие различных порядков бесконечно ма-
лых величин или дифференциалов, где величины каждого из
этих порядков несравнимы с величинами предыдущего, как
величины первого порядка несравнимы с обычными величи-
нами, но никогда не доходят до «абсолютно ничтожных».

«Я называю несравнимыми величинами, — говорит Лейб-
ниц, — те, одна из которых, умноженная на некоторое ко-
нечное число, каким бы оно ни было, не могла бы превысить
другую, подобно тому как Евклид брал их в своем пятом
определении пятой книги».1 В этом, между прочим, нет ниче-
го, что указывает, должно ли такое определение распростра-
няться на определенные и постоянные величины или на ве-
личины переменные; ио можно допустить, что при всей своей
всеобщности оно должно без различий применяться и в том
и в другом случае: весь вопрос тогда бы состоял в том, чтобы
знать, могут ли когда-либо две постоянные величины, каки-
ми бы различными они ни были в масштабе величин, рассма-
триваться как реально «несравнимые», или же они являются
таковыми лишь относительно средств измерения, которыми
мы располагаем. Но здесь на этом неуместно настаивать, по- 1

1 Письмо маркизу Лопиталю от 14—24 июня 1695 г.
скольку сам Лейбниц заявлял, между прочим, что этот слу-
чай не является случаем дифференциалов,1 из чего необхо-
димо сделать вывод не только, что сравнение с песчинкой
было само но себе ошибочным, но что оно, в сущности, не
соответствовало в его собственной мысли истинному поня-
тию «несравнимых», по крайней мере в том, что это понятие
должно применяться к бесконечно малым величинам.

Некоторые тем не менее считали, что исчисление бес-
конечно малых может стать совершенно строгим лишь при
условии, что бесконечно малые величины рассматриваются
как нулевые, и в то же самое время они напрасно думали,
что ошибка может предполагаться нулевой, как тол ько она
предполагается насколько угодно малой; напрасно, скажем
мы, так как это означает то же самое, что допустить, что пе-
ременная, как таковая, может достичь своего предела. Меж-
ду прочим, вот что говорит по этому поводу Карно: «Есть
люди, которые думают, что в достаточной мере устанавли-
вают принцип анализа бесконечно малых, когда выдвигают
следующий довод: очевидно, говорят они, и это весь мир
признает, что ошибки, которым процедуры анализа беско-
нечно малых дают место, если они имеются, могут всегда
предполагаться насколько угодно малыми; очевидно также,
что любую ошибку мы вправе предполагать настолько ма-
лой, что можно считать ее ничтожной, так как, поскольку
можно предположить ее насколько угодно малой, то можно
предположить ее и равной нулю; следовательно, результа- 1

1 Уже цитированное письмо Вариньону от 2 февраля 1702 г.
ты анализа бесконечно малых являются строгими и точны-
ми. Такой довод, на первый взгляд правдоподобный, тем не
менее не является справедливым, так как неверно утверж-
дать, что поскольку мы вправе сделать ошибку насколько
угодно малой, то можно ради этого сделать ее ничтожной...
Мы оказываемся перед неизбежной альтернативой — или
совершить ошибку, какой бы малой мы ни желали ее пред-
полагать, или натолкнуться на формулу, которая ничему не
учит, и именно в этом и заключается центральный пункт
трудностей в анализе бесконечно малых».1

Верно, что формула, в которую вводится отношение, пред-
стающее в виде 0/0, «ничему не учит», и можно даже сказать,
что сама она не имеет никакого смысла; только в силу конвен-
ции, между прочим, обоснованной, можно придать смысл этой
форме 0/0, рассматривая ее как символ неопределенности;1 2
но сама эта неопределенность служит причиной, что отно-
шение, взятое в таком виде, может быть равным чему угод-
но, тогда как оно должно, наоборот, в каждом частном случае,
сохранять определенное значение: на существование такого
определенного значения и ссылается Лейбниц,3 и сам по себе
этот аргумент совершенно неотразим.4 Однако, необходимо

1 Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. С. 36.

2 См. предыдущее замечание по этому поводу.

3 С тем различием, что для него отношение 0/0 является не не-
определенным, но всегда равным 1, как мы об этом выше говорили,
тогда как значение, о котором идет речь, отличается в каждом случае.

4 См.: Фрейсине Ш. де. «Об анализе бесконечно малых», с. 45—46:
«Если возрастание сводится к состоянию чистого нуля, то оно не
признать, что понятие «исчезающих величин» имеет, соглас-
но выражению Лагранжа, «большое неудобство в том, что
рассматривает величины в состоянии, в котором они, образно
выражаясь, перестают быть величинами»; по вопреки тому,
что думал Лейцбниц, нет нужды рассматривать их именно
в то мгновение, когда они исчезают, ни даже допускать, что
они могут действительно исчезнуть, так как в этом случае они
действительно перестают быть величинами. Это, по сути дела,
предполагает, что нет «бесконечно малого» в строгом смысле
слова, так как это «бесконечно малое», или по крайней мере
то, что так называют, принимая язык Лейбница, может быть
лишь нулем так же, как «бесконечно большое», понимаемое
в том же самом смысле, могло быть лишь «бесконечным чис-
лом»; но на самом деле пуль — это не число, и нет никакой
«нулевой величины, как и «бесконечной величины». Матема-
тический нуль в его прямом и строгом значении есть лишь
отрицание, по крайней мере в количественном отношении, и
нельзя сказать, что отсутствие величины образует еще одну
величину; это пункт, к которому мы намерены вскоре вер-
нуться, чтобы более полно изложить различные следствия,
которые из него вытекают.

В конечном счете выражение «исчезающие величи-
ны» ошибочно главным образом в том, что дает повод для

имеет никакого значения. Его свойство состоит в том, что оно явля-
ется не строго нулевым, но до неопределенности уменьшающимся,
не могущим никогда смешаться с нулем в силу того общего принци-
па, что переменная никогда не сможет совпасть со своим пределом».
двусмысленности и вынуждает считать, что бесконечно ма-
лые величины рассматриваются как величины, которые на
самом деле аннулируются, так как, если только не менять
смысл слова, трудно понять, что «исчезать», когда речь идет
о величинах, могло бы означать нечто иное, чем аннулиро-
ваться. В действительности эти бесконечно малые величи-
ны, понимаемые как до неопределенности уменьшающиеся
величины, что и является их истинным значением, никогда
не могут быть названы «исчезающими» в собственном смыс-
ле этого слова, и было бы, разумеется, предпочтительнее ни-
когда не вводить такое понятие, которое, в сущности, опи-
рается па созданную Лейбницем концепцию непрерывности
и которое, как таковое, неизбежно включает в себя элемент
противоречия, свойственного нелогичности самой этой кон-
цепции. Теперь, если какая-то ошибка, способная сделаться
насколько угодно малой, никогда не сможет стать абсолютно
нулевой, то как исчисление бесконечно малых сможет стать
действительно строгим, и, если возникает ошибка, которой
можно пренебречь лишь практически, то не следует ли из
этого сделать вывод, что вычисление сводится к простому
методу приближения, или по меныпей мере, как говорил
Карно, методу «компенсации»? Этот вопрос нам еще пред-
стоит впоследствии решить; но поскольку нам пришлось
говорить здесь о нуле и о мнимой «пулевой величине», то
лучше вначале обсудить другую тему, значение которой, как
мы увидим, вовсе не является незначительным.
ГЛABA XV

НУЛЬ - ЭТО НЕ ЧИСЛО

Уменьшение чисел до неопределенности не может боль-
ше доходить до «нулевого числа», как и их возрастание до не-
определенности не может доходить до «бесконечного числа»,
и не может по той же причине, поскольку одно из этих чисел
должно быть обратным другому; действительно, согласно
тому, что мы ранее говорили по поводу обратных чисел, кото-
рые были в равной мере удалены от единицы в двух последо-
вательностях, одной возрастающей, а другой уменьшающей-
ся, имеющих эту единицу в качестве общей точки отсчета, и
поскольку в одной из этих последовательностей столько же
членов, сколько и в другой, то последние члены, которыми
могли бы быть «бесконечное число» и «число нуль», долж-
ны были бы сами, если бы они существовали, быть в равной
мере удаленными от единицы, то есть обратными друг другу1 1

1 Это могло бы изображаться, согласно обычному обозначению,
формулой 0 х оо = 1; но фактически форма 0 х оо, так же как и 0/0, ес:ть
«неопределенная форма», и можно записать О х оо = и, обозначая под
п некоторое число, что, между прочим, уже доказывает, что в реаль-
ности 0 и оо не могут рассматриваться как изображающие определен-
ные числа; мы, впрочем, еще вернемся к этому. Следует отметить, с
другой стороны, что 0 х оо соответствует в отношении к «пределам
сумм» интегрального исчисления тому, чем является 0/0 в отноше-
нии «пределов соотношений» дифференциального исчисления.
При таких условиях, если знак со является в реальности лишь
символом до неопределенности возрастающих величин, то
знак 0 должен логически быть принят так же, как символ
до неопределенности уменьшающихся величин, чтобы вы-
разить в обозначении симметрию, которая, как мы уже го-
ворили, существует между теми и другими; но, к несчастью,
этот знак 0 уже имеет совершенно иное значение, так как он
изначально служит обозначению отсутствия всякой величи-
ны, тогда как знак оо не имеет никакого реального смысла, ко-
торый такому иному значению соответствует. Здесь новый
источник путаницы наподобие той, что возникает по поводу
«исчезающих величин», и следовало бы, чтобы ее избежать,
создать для неопределенно уменьшающихся величин иной
символ, отличный от нуля, поскольку эти величины облада-
ют тем признаком, что никогда не могут аннулироваться в
своем изменении; в любом случае при обозначении, на самом
деле используемом математиками, кажется почти невозмож-
ным, чтобы такого рода путаница не возникла.

Если мы настаиваем на том замечании, что нуль, по-
скольку он изображает отсутствие всякой величины, не
является числом и не может рассматриваться как тако-
вое, хотя это и могло казаться довольно очевидным тем,
кто никогда не имел случая познакомиться с некоторыми
дискуссиями, то дело в том, что как только мы допускаем
существование «нулевого числа», которое должно быть
«наименьшим из чисел», мы неизбежно вынуждены пред-
положить в качестве обратного ему числа «бесконечное
число» в смысле «наибольшего из чисел». Если, следова-
тельно, принять тот постулат, что нуль — это число, аргу-
ментация в пользу «бесконечного числа» может быть затем
вполне логичной;1 но именно этот постулат мы и должны
отвергнуть, так как, если следствия, которые из пего выте-
кают, являются противоречивыми, а мы видели, что суще-
ствование «бесконечного числа» таковым на самом деле и
является, то и сам он уже подразумевает противоречие. На
самом деле, отрицание величины ни в коей мере не может
быть подобно какой-то величине; отрицание числа или ве-
личины не может ни в каком смысле и в никакой степени
образовать разновидность числа или величины; утверждать
противоположное — значит утверждать, что нечто может
быть, согласно выражению Лейбница, «эквивалентом раз-
новидности своей противоположности», и стоило бы сразу
же сказать, что отрицание логики — это тоже логика.

Поэтому противоречиво говорить о нуле как о числе,
или предполагать «нуль величины», который еще был бы
величиной, из чего неизбежно следовало бы рассмотрение
такого же количества нулей, сколько имеется разновидно-
стей различных величин; в реальности может быть лишь
чистый нуль, который есть не что иное, как отрицание вели-
чины, в каком бы виде оно ни рассматривалось.1 2 Ввиду того,

1 Фактически именно на этом постулате основывается по боль-
шей части аргументация Л. Кутюра в его диссертации «О математи-
ческой бесконечности».

2 Отсюда также следует, что нуль не может рассматриваться как
предел в математическом смысле этого слова, так как настоящий пре-
что таким и является истинный смысл арифметического
нуля, взятого в строгом смысле, очевидно, что этот смысл
не имеет ничего общего с понятием неопределенно умень-
шающихся величин, которые всегда являются величинами,
а не отсутствием величины, и тем более не чем-то таким, что
было бы в некотором роде промежуточным между нулем и
величиной, что означало бы еще одну совершенно непонят-
ную концепцию, которая на своем уровне весьма близко на-
поминала бы концепцию лейбницевской «виртуальности»,
о которой мы ранее уже сказали несколько слов.

Мы можем теперь вернуться к другому значению, кото-
рое сообщают нулю при обычном обозначении, чтобы уви-
деть, как могла появиться путаница, о которой мы говорили:
мы ранее утверждали, что число может рассматриваться в
некотором роде как практически неопределенное, поскольку
мы больше не имеем возможности выразить его или отчетли-
во изобразить каким-либо способом; такое число, каким бы

дел всегда, по определению, является величиной; впрочем, очевидно,
что величина, уменьшающаяся до неопределенности, не имеет более
предела, как и величина, которая до неопределенности возрастает,
или что по крайней мере и та и другая не могут иметь иных пределов,
кроме тех, что неизбежно следуют из самой природы количества как
такового, что представляет собой совершенно иное значение того же
самого слова «предел», хотя между этими двумя смыслами имеется
определенная связь, на которую мы далее еще укажем; математиче-
ски можно говорить лишь о пределе соотношения двух до неопреде-
ленности возрастающих величин или двух величин, до неопределен-
ности уменьшающихся, а не о пределе этих самих величин.
оно ни было, можно будет в возрастающем порядке символи-
зировать знаком оо, поскольку он изображает неопределенно
большое; речь, следовательно, не идет здесь об определенном
числе, но о целой области, что, между прочим, необходимо
для того, чтобы было можно рассматривать в неопределен-
ном неравенства и даже различные порядки величины.

В математическом обозначении недостает и другого сим-
вола — для обозначения области, соответствующей этой
первой области в уменьшающемся порядке, то есть того, что
можно назвать область неопределенно малого; но поскольку
число, принадлежащее этой области, фактически является
незначительным при вычислениях, то его привыкли рас-
сматривать как практически нулевое, хотя здесь перед нами
лишь простое приближение, вытекающее из неизбежного
несовершенства наших средств выражения и измерения, и
несомненно именно по этой причине его приходится симво-
лизировать тем же самым знаком 0, который изображает с
иной стороны строгое отсутствие всякой величины. Только
в этом смысле этот знак 0 становится в каком-то роде симме-
тричным знаку оо, и они могут размещаться взаимно на двух
крайних точках ряда чисел, того, который мы ранее рассма-
тривали как расширяющийся до неопределенности посред-
ством целых чисел и посредством чисел, им обратных, в двух
направлениях, возрастающем и уменьшающемся. Этот ряд
изображается тогда в следующем виде:...1/4, 1/3, 1/2, 1, 2,

3, 4...оо; но необходимо предостеречь, что 0 и оо изобража-

ют не два определенных числа, которые завершали бы ряд в
двух направлениях, но две неопределенные области, в кото-
рых, наоборот, не могло бы быть последних членов по причи-
не самой их неопределенности; впрочем, очевидно, что нуль
не мог бы быть здесь ни «нулевым числом», которое было бы
последним членом в уменьшающемся направлении, ни отри-
цанием или отсутствием всякой величины, которое не может
иметь никакого места в этом ряду величин.

В том же самом ряду, как мы ранее объясняли, два чис-
ла, равноудаленных от центральной единицы, являются об-
ратными друг другу или друг друга взаимодополняющими,
поэтому воспроизводящими единицу посредством их умно-
жения: \/п х п = 1, так что и для двух крайних точек ряда
нам пришлось бы также записать 0 х оо = 1; но в силу того,
что знаки 0 и оо, являющиеся двумя множителями этого
последнего произведения, не представляют собой опреде-
ленных чисел, из этого следует, что само выражение 0 х оо
образует символ неопределенности или того, что называют
«неопределенной формой», и тогда следует записать 0 х оо =
= zz, где п является любым числом;1 тем не менее верно, что
в любом случае мы приходим к обычному конечному, и две
противоположные неопределенности нейтрализуют друг
друга. Здесь мы весьма ясно видим еще раз, что символ оо
ни в коем случае не изображает Бесконечность, так как Бес-
конечность в своем истинном смысле, не может иметь ни-
чего противоположного и ничего взаимодополнителыюго,
и она не может войти в соотношение с чем бы то ни было,
тем более с нулем, в каком бы смысле его ни понимали, или 1

1 См.: предыдущее замечание по этому поводу.
с единицей, или с каким-либо числом, или с частной вещью
какого-либо рода, количественного или нет; будучи уни-
версальным и абсолютным Целым, она содержит в себе как
Бытие, так и Небытие, и поэтому сам ноль, поскольку он не
рассматривается как чистое ничто, должен неизбежно рас-
сматриваться так же как включенный в Бесконечность.

Делая здесь ссылку на Небытие, мы прикасаемся к
другому значению нуля, совершенно отличному от тех,
что мы только что рассматривали, и которое, между про-
чим, является более важным с точки зрения его метафизи-
ческого символизма; но в связи с этим необходимо, чтобы
избежать любой путаницы между символом и тем, что он
изображает, уточнить, что метафизический Нуль, кото-
рый и есть Небытие, не является более нулем величины,
как и метафизическая Единица, которая и есть Бытие, не
является единицей арифметической; то, что обозначается
этими терминами, может быть лишь преобразованием по
аналогии, поскольку, как только мы располагаемся в Уни-
версальном, то мы оказываемся, очевидно, за пределами
любой специальной области, такой, как область количе-
ства. Впрочем, не в той мере, в какой он изображает не-
определенно малое, нуль может благодаря такому перено-
су быть принят за символ Небытия, но в той мере, в какой,
согласно его более строгому математическому значению,
он изображает отсутствие величины, которое на самом
деле символизирует на своем уровне возможность иепро-
явления, так же как единица символизирует возможность
проявления, будучи точкой отсчета неопределенного мно-
жества чисел, подобно тому как Единица является прин-
ципом всякого проявления.1

Это вынуждает нас также заметить, что каким бы об-
разом ни рассматривать нуль, он ни в коем случае не мо-
жет быть принят за чистое ничто, которое метафизически
соответствует лишь невозможности, и которое, между
прочим, логически ничем не может быть изображено.
Это слишком очевидно, когда речь идет о неопределен-
но малом; верно, что здесь перед нами, если угодно, лишь
производный смысл, порожденный, как мы только что го-
ворили, чем-то вроде приблизительного уподобления не-
значительной для нас величины отсутствию всякой вели-
чины; ио в том, что касается самого отсутствия величины,
то, что является ничтожным в этом отношении, может не
быть таковым в других отношениях, как это ясно видно
на таком примере, как пример с точкой, которая, будучи
неделимой, является тем самым и непротяженной, то есть
пространственно нулевой,1 2 но которая тем не менее, как
мы уже объясняли, представляет собой сам принцип вся-
кой протяженности.3 Впрочем, действительно странно,
что математики вообще имеют привычку рассматривать

1 По этому поводу см.: «Множественные состояния бытия», гла-
ва III.

2 Поэтому, как мы выше сказали, точка не может никоим образом
рассматриваться как образующая какой-то элемент или часть протя-
женности.

3 См.: Генон Р. Символизм креста. Глава XVI.
нуль как чистое ничто, и что тем не менее для них невоз-
можно в то же самое время не рассматривать нуль, как
наделяющий неопределенной степенью, поскольку раз-
мещенный справа от другой цифры, называемой «значи-
тельной», он способствует формированию представления
о числе, которая благодаря повторению этого самого нуля
может возрастать до неопределенности, как это происхо-
дит, например, в случае числа десять и его последователь-
ных степеней. Если бы действительно нуль был чистым
ничто, он не мог бы иметь такие свойства, и даже, прав-
ду сказать, он был бы тогда лишь бесполезным знаком,
полностью лишенным всякого действительного значения;
следовательно, здесь перед нами в современных матема-
тических концепциях еще одна непоследовательность, ко-
торую следует добавить ко всем тем, на которые мы уже
имели здесь случай указать.
ГЛАВА XVI

ОБОЗНАЧЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Если мы иа секунду вернемся к двум математическим
значениям нуля, то есть нуля, рассматриваемого как изо-
бражение неопределенно малого, то, на чем важно прежде
всего остановиться, так это на том, что область неопреде-
ленно малого включает в себя в двойной неопределен-
ной последовательности чисел все то, что в определенном
смысле находится за пределами средств нашей оценки, так
же как область неопределенного большого включает в себя
в той же самой последовательности все то, что находится
за пределами средств нашей оценки в ином направлении.
При таком положении дел, очевидно, уместно говорить о
«числах, меньших, чем нуль», а также о числах, «больших,
чем неопределенность»; и это еще более неприемлемо, если
это возможно, когда нуль в своем другом значении просто
изображает отсутствие всякой величины, так как величина,
которая была бы меньше, чем ничто, собственно говоря, не-
мыслима. Тем не менее именно это в определенном смыс-
ле и желают сделать, вводя в математику рассмотрение так
называемых отрицательных чисел и забывая при помощи
современного «конвенционализма», что эти числа с само-
го начала не являются чем-то большим, чем обозначением
результата вычитания, реально невозможного, посредством
которого большее число должно было быть вычтено из
меньшего числа; мы уже отметили, между прочим, что все
обобщения или расширения идеи числа фактически про-
исходят лишь при рассмотрении операций, невозможных с
точки зрения чистой арифметики; но такая концепция от-
рицательных чисел и следствия, которые она за собою вле-
чет, требует некоторых других пояснений.

Мы ранее говорили, что последовательность целых чи-
сел формируется исходя из единицы, а не исходя из нуля;
действительно, когда установлена единица, то вся после-
довательность чисел выводится из нее таким образом, что
можно сказать, что оиа уже подразумевается и содержится
в принципе в этой изначальной единице,1 в то время как из
нуля, очевидно, нельзя вывести никакое число. Переход от
нуля к единице не может происходить тем же способом, что
и переход от единицы к другим числам, или от какого-либо
числа к следующему числу, и, в сущности, предполагать воз-
можным переход от нуля к единице — значит уже импли-
цитно эту единицу устанавливать.1 2 Наконец, устанавливать
нуль в начале последовательности чисел, как если бы он был
первым в этой последовательности, допустимо лишь в двух
значениях: либо действительно допуская, что нуль — это

1 Точно так же в силу аналогии все неопределенное множество
возможностей проявления содержится в принципе и «в высшей сте-
пени» в чистом Бытии или в метафизической Единице.

2 Это оказывается совершенно очевидным, если в соответствии
с общим законом формирования последовательности чисел изобра-
зить такой переход формулой 0+1 = 1.

14 Р. Генон. Наука чисел
число вопреки тому, что мы установили, и, как следствие,
что он может иметь с другими числами отношения того
же порядка, что и отношения этих чисел между собой, что
не так, поскольку нуль, умноженный или разделенный на
какое-либо число, всегда дает нуль; либо это простой при-
ем обозначения, который может повлечь за собой безвыход-
ную путаницу Фактически использование такого приема
оправдано лишь тем, что позволяет ввести обозначение от-
рицательных чисел, и если использование такого обозначе-
ния открывает, несомненно, некоторые преимущества для
удобства вычислений, то полностью «прагматический» под-
ход, который здесь не затрагивается и который даже лишен
подлинного значения с нашей точки зрения, представляет
собой, с другой стороны, как легко в этом убедиться, немало
серьезных логических неудобств. Первое из всех затрудне-
ний, которым он дает в этой связи место, — это и есть кон-
цепция отрицательных величин как «меньших, чем нуль»,
которую Лейбниц ставил рядом с утверждениями, являю-
щимися лишь toleranter verae, но которая в реальности, как
мы только что сказали, полностью лишена всякого значения.
«Выдвигать утверждение, что отдельная отрицательная ве-
личина меньше, чем нуль, — говорил Карно, — значит об-
волакивать науку математики, которая должна быть наукой
очевидного, непроницаемым туманом и входить в лабиринт
все более и более странных парадоксов».1 Вслед за этим мы 1

1 «Замечание об отрицательных числах», размещенное в конце
«Размышлений о метафизике исчисления бесконечно малых».
можем обратиться к суждению, которое не вызывает подо-
зрений и не содержит в себе никаких преувеличений; впро-
чем, никогда не следует забывать при использовании такого
обозначения отрицательных чисел, что речь не идет о чем-то
большем, чем простая конвенция.

Причина такой конвенции в следующем: когда вычита-
ние арифметически невозможно, его результат тем не ме-
нее доступен интерпретации в случае, когда это вычитание
соотносится с величинами, которые могут учитываться в
двух противоположных направлениях, как например рас-
стояния, измеряемые на линии, или углы вращения вокруг
неподвижной точки, или еще время, считающееся движу-
щимся исходя из определенного мгновения к будущему или
к прошлому. Отсюда геометрическое изображение, которое
обычно сообщают этим отрицательным числам: рассчиты-
ваются на прямой как положительные, так и отрицательные
расстояния, в зависимости от чего они проходят в том или
ином направлении, и устанавливается на этой прямой точ-
ка, взятая как начало, отталкиваясь от которой, расстояния,
называемые положительными, располагаются с одной сто-
роны, а отрицательные — с другой. Каждой точке прямой
будет соответствовать число, которое будет мерой своего
расстояния до начала, и мы можем, чтобы упростить язык,
назвать его коэффициентом; само начало в этом же случае
будет, естественно, иметь коэффициент ноль, а коэффици-
ент любой другой точки будет числом, наделенным знаком
(+) или (—), знаком, который в реальности будет просто
указывать, с какой стороны эта точка располагается по от-
ношению к началу. На окружности можно даже различить
положительное или отрицательное направление вращения,
и отсчитывать исходя из изначальной позиции радиуса как
положительные, так и отрицательные углы, в зависимости
от того, будут ли они вписываться в то или иное из этих
двух направлений, что дает повод для аналогичных замеча-
ний. Если продолжать рассматривать прямую, то две точки,
равноудаленные от начала, с одной и с другой от него сто-
роны будут иметь коэффициентом одно и то же число, но
с противоположными знаками, а точка, более удаленная от
начала, чем другая, будет, естественно, иметь коэффициен-
том большее число; тем самым очевидно, что если число п
больше, чем другое число т, то будет абсурдным утверждать,
как это обычно делается, что -п больше, чем -т, посколь-
ку оно, наоборот, изображает большую дистанцию. Между
прочим, знак, размещаемый таким образом перед числом,
не может никоим образом изменить его с точки зрения ве-
личины, поскольку он не изображает ничего, что относит-
ся к измерению самих дистанций, но только направление,
в котором эти дистанции просматриваются, направление,
являющееся, собственно говоря, элементом качественного,
а не количественного порядка.1 1

1 См.: «Царство количества и знамения времени», глава IV. —
Можно было бы поставить вопрос, нет ли чего-то вроде бессозна-
тельного воспоминания об этом качественном характере в том факте,
что математики иногда обозначают числа, взятые «со своим знаком»,
то есть рассматриваемые как положительные или отрицательные под
С другой стороны, прямую, являющуюся неопределен-
ной в двух направлениях, приходится рассматривать как
неопределенно положительную и неопределенно отрица-
тельную, что изображается знаками +оо и -оо, и что обычно
обозначается абсурдными выражениями «плюс бесконеч-
ность» и «минус бесконечность»; спрашивается, чем могла
бы быть отрицательная бесконечность, или еще — что мог-
ло бы существовать, если бы от чего-то или от ничто (по-
скольку математики рассматривают ноль как ничто) отняли
бесконечность; здесь перед нами те вещи, которые доста-
точно выразить ясным языком, чтобы сразу же увидеть,
что они лишены всякого значения. Необходимо также до-
бавить, что впоследствии приходится, в частности при изу-
чении изменения функций, рассматривать отрицательную
неопределенность как смешивающуюся с положительной
неопределенностью таким образом, что движущееся тело,
начинающее двигаться с исходной точки и постоянно уда-
ляющееся в положительном направлении, возвращалось бы
к ней с отрицательной стороны, если бы его движение про-
должалось неопределенное время, или наоборот, из чего сле-
дует, что прямая, или то, что в качестве таковой рассматри-
вается, должна быть в реальности замкнутой линией, хотя и
неопределенной. Можно было бы, между прочим, показать,
что свойства прямой на плоскости полностью аналогичны
свойствам большого круга на поверхности сферы, и что пло-

названием «квалифицированные числа», хотя, кажется, они не при-
дают никакого ясного смысла этому выражению.
скость и прямая могут быть уподоблены сфере и большому
кругу с неопределенно большим радиусом (обычные круги
на плоскости тогда являются малыми кругами этой же са-
мой сферы); такое уподобление, чтобы стать строгим, пред-
полагает, между прочим, «переход к пределу», так как оче-
видно, что, каким бы большим ни становился радиус в своем
неопределенном возрастании, мы всегда имеем сферу, а не
плоскость, и что такая сфера только стремится к тому, чтобы
слиться с плоскостью, а ее большие круги — с прямой, таким
образом, что плоскость и прямая являются здесь пределами
подобно тому, как круг представляет собой предел правиль-
ного многоугольника, число сторон которого возрастает до
неопределенности. Не настаивая более на этом, мы только
заметим, что здесь прямо проявляются сами пределы про-
странственной неопределенности; следовательно, как же
можно, если желают сохранить некоторую видимость логи-
ки, говорить при всем этом о бесконечности?

Если рассматривать положительные и отрицательные
числа так, как мы это только что делали, то ряд чисел при-
обретает следующую форму:

-оо... -4, -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, 4 ... +оо,

порядок этих чисел будет тот же самый, что и порядок соот-
ветствующих точек на прямой, то есть точек, которые имеют
те же самые числа в качестве соответствующих коэффици-
ентов, чем, между прочим, и отличается реальное проис-
хождение таким образом сформированного ряда. Этот ряд,
хотя он также является неопределенным в двух направле-
ниях, совершенно отличается от того, что мы рассматрива-
ли ранее и который включал в себя целые числа и числа, им
обратные: он симметричен, но уже не по отношению к 1, а по
отношению к 0, который соответствует началу расстояний;
и два числа, равноудаленных от этого центрального члена
О, также его воспроизводят, но не посредством умножения,
как это было в случае обратных чисел, а посредством «ал-
гебраического» сложения (то есть осуществляемого при
учитывании их знаков, что арифметически является здесь
вычитанием). С другой стороны, этот новый ряд ни в коей
мере не является, как предыдущий, неопределенно воз-
растающим в одном направлении и неопределенно умень-
шающимся в другом, или по крайней мере, если намерены
рассматривать его таким образом, то это лишь один из наи-
более некорректных способов выражения, который и явля-
ется тем самым способом, каким рассматриваются числа,
«меньшие, чем ноль»; на самом деле он является неопреде-
ленно возрастающим в равной мере в двух направлениях,
поскольку то, что он включает в себя с одной и с другой сто-
роны от центрального нуля, и есть та же самая последова-
тельность целых чисел; то, что называют «абсолютным зна-
чением» (еще одно по меньшей мере странное выражение,
так как то, о чем идет речь, всегда, по сути дела, является
лишь относительным порядком), должно одно лишь при-
ниматься во внимание в чисто количественном отношении,
и положительные или отрицательные знаки ничего в этой
связи не меняют, так как они не выражают ничего иного,
кроме отношений «положения», которые мы только что
объясняли. Неопределенно отрицательное, следовательно,
нисколько не уподобляется неопределенно малому; наобо-
рот, оно так же, как неопределенно положительное, уподо-
бляется неопределенно большому; единственное различие в
том, что оно разворачивается в другом направлении, что со-
вершенно допустимо, когда речь идет о пространственных
или временных величинах, но полностью лишено смысла
для арифметических величин, для которых такое развер-
тывание неизбежно является единственно возможным и
не может быть иным, чем развертывание самой последова-
тельности целых чисел.

Среди других странных или нелогичных следствий обо-
значения отрицательных чисел мы отметим введенное ре-
шением алгебраических уравнений рассмотрение так назы-
ваемых «воображаемых» величин, которые Лейбниц, как мы
видели, располагает на тех же основаниях, что и бесконечно
малые величины, рядом с тем, что он называет «обоснован-
ными фикциями»; эти величины, или называемые таковыми,
изображаются как корни отрицательных чисел, что в реаль-
ности соответствует лишь чистой невозможности, посколь-
ку будет число положительным или отрицательным, его
квадрат всегда неизбежно является положительным в силу
правил алгебраического умножения. Даже если можно было
бы, придав этим «воображаемым» величинам иной смысл,
суметь привести их к соответствию чему-то реальному, что
мы здесь не рассматриваем, в любом случае можно быть уве-
ренным, что их теория и их применение в аналитической ге-
ометрии в том виде, в каком они излагаются современными
математиками, является на самом деле лишь переплетени-
ем путаницы и нелепостей, а также чем-то вроде продукта
потребности в чрезмерных и искусственных обобщениях,
потребности, которая не отступает даже перед высказы-
ванием очевидно нелепых предположений; нескольких
теорем «асимптот круга», например, было бы достаточ-
но, чтобы доказать, что мы нисколько не преувеличиваем.
Можно, правда, сказать, что здесь перед нами не геометрия,
собственно говоря, но только, как и при рассмотрении «чет-
вертого измерения» пространства,1 алгебра, переведенная
на геометрический язык; но серьезно как раз то, почему та-
кой перевод, так же как и перевод в обратном направлении,
в некоторой мере возможен и распространен в тех случаях,
когда он уже не может иметь никакого значения, так как
это одновременно и симптом чрезмерного смешения идей и
крайнее выражение «конвенционализма», который в конце
концов утрачивает чувство любой реальности. 1

1 См.: «Царство количества и знамения времени», главы XVIII и
XXIII.
ГЛАВА XVII

ИЗОБРАЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ СИЛ

Что касается отрицательных чисел, то хотя это и будет
отступление от главной темы нашего исследования, мы
поговорим еще о последствиях, также весьма спорных, ис-
пользования отрицательных чисел с точки зрения механи-
ки; она, между прочим, является на самом деле в силу свое-
го предмета физической наукой, и сам факт, что ее считают
неотъемлемой частью математики, уже привносит в нее не-
которые деформации. Скажем только в связи с этим, что так
называемые «принципы», на которых современные матема-
тики основывают эту науку, как они ее понимают, и кото-
рую они совершенно ошибочно называют механикой, — это,
собственно говоря, только более или менее обоснованные
гипотезы, или же в самом благоприятном случае более или
менее общие простые законы, возможно, если угодно, более
общие, чем остальные, но которые в любом случае не имеют
ничего общего с истинными универсальными принципами
и которые в науке, образованной в соответствии с традици-
онной точкой зрения, самое большее могут быть лишь при-
менением этих принципов к весьма специальной области.
Не желая входить в слишком долгие рассуждения, мы об-
ратимся, как к примеру первого случая, к так называемому
«принципу инерции», который ничто не обосновывает, ни
опыт, наоборот, доказывающий, что в природе нет ника-
кой инерции, ни рассудок, который не может мыслить эту
мнимую инерцию, так как она может заключаться лишь в
полном отсутствии любых свойств; можно было бы право-
мерно применить такое слово к чистой потенциальности
универсальной субстанции, или materia prima схоластов,
которая, между прочим, именно по этой причине является,
собственно говоря, «непостижимой»; но эта materia prima,
безусловно, представляет собой нечто иное, чем «материя»
физиков.1 Пример второго случая — это то, что называют
«принципом равенства действия и противодействия», кото-
рый очень мало похож на «принцип», так как он непосред-
ственно выводится из общего закона равновесия природных
сил: всякий раз, когда это равновесие каким-либо образом
нарушено, оно стремится сразу же восстановиться, откуда
противодействие, интенсивность которого эквивалентна
интенсивности действия, которое его вызывало; следова-
тельно, здесь перед нами простой частный случай «действий
и соответствующих противодействий», который касается не
одного только телесного мира, но и всей совокупности про-
явления во всех его модальностях и всех его состояниях; и
именно на этом вопросе о равновесии и его математических
изображениях мы предполагаем какое-то время задержать-
ся, так как он сам по себе весьма важен и заслуживает того,
чтобы мы на нем в данный момент остановились.

Обычно две силы, которые создают равновесие, изобра-
жают двумя противоположными «векторами», то есть дву- 1

1 См.: «Царство количества и знамения времени», глава II.
мя отрезками прямой равной длины, но направленными в
противоположные стороны: если две силы, приложимые
к одной и той же точке, имеют одну и ту же интенсивность
и одно и то же направление, но в противоположные сторо-
ны, они создают равновесие; поскольку они тогда лишены
воздействия на точку приложения, обычно говорят даже,
что они уничтожаются, не остерегаясь, что если упраздня-
ется одна из этих сил, то другая сразу действует, что дока-
зывает, что она ни в коей мере не была уничтожена на самом
деле. Характеризуются силы числовыми коэффициентами,
пропорциональными их соответствующей напряженности,
и две силы противоположных направлений отмечаются ко-
эффициентами различных знаков, одна — положительным,
а другая — отрицательным: одна будет /, другая -f. В том
случае, который мы только что рассматривали, две силы
имели одну и ту же интенсивность, а коэффициенты, кото-
рые их характеризовали, должны были быть равными «в аб-
солютном значении», и мы имели: f = откуда выводится
в качестве условия равновесия f - f = 0, то есть что алгебра-
ическая сумма двух сил или двух «векторов», которые их
изображают, равна нулю, и поэтому равновесие также опре-
деляется нулем. Поскольку математики, как мы уже выше
говорили, имеют манеру ошибочно рассматривать нуль как
разновидность символа ничто (как если бы ничто могло
быть чем-то символизировано), из этого, кажется, следует,
что равновесие является состоянием несуществования, что
является довольно странным выводом; несомненно, именно
по этой причине, вместо того чтобы говорить, что две силы,
создающие равновесие, нейтрализуют друг друга, что было
бы точным, говорят, что они друг друга уничтожают, что
противоречит реальности, как мы это только что показали в
одном из самых простых замечаний.

Истинное понятие равновесия совершенно иное: чтобы
осмыслить его, достаточно заметить, что все природные силы
(и не только механические, которые, повторим, есть не что
иное, как частный случай, но и как силы тонкого порядка, так
и силы порядка телесного) являются либо притягательны-
ми либо отталкивающими; первые могут рассматриваться
как силы сжимающие или как силы сжатия, вторые — как
силы расширяющие или как силы расширения;1 и в сущ-
ности, здесь перед нами не что иное, как выражение, в этой
области, самой фундаментальной космической двойствен-
ности. Легко понять, что в изначально однородной среде
любому сжатию, производимому в одной точке, будет неиз-
бежно соответствовать в другой точке эквивалентное рас- 1

1 Если рассматривать обычное понятие центробежных и центро-
стремительных сил, то можно без труда убедиться, что первые сво-
дятся к силам расширения, а вторые — к силам сжатия; кроме того,
сила тяготения подобна силе расширения, поскольку она проявля-
ется исходя из своей точки приложения, а сила импульса или удара
подобна силе сжатия, поскольку она, наоборот, применяется будучи
направленной к той же самой точке приложения; но если бы они рас-
сматривались по отношению к точке их эмиссии, то было бы верно
обратное, чего, между прочим, и требует закон полярности. — В дру-
гой области герметические «свертывание» и «растворение» также со-
ответствуют сжатию и расширению.
ширение, и наоборот, так что всегда следует рассматривать
соответственно два центра сил, один из которых не может
существовать без другого; здесь перед нами то, что можно на-
звать законом полярности, который применим ко всем при-
родным феноменам, потому что он исходит из двойствен-
ности самих принципов, руководящих любым проявлением;
этот закон в той специальной области, которой занимают-
ся физики, прежде всего очевиден в электрических и маг-
нетических феноменах, но ими он не ограничивается. Если
теперь две силы, одна сжимающая, а другая расширяющая,
воздействуют на одну и ту же точку, то условием, при кото-
ром они создают равновесие или нейтрализуют друг друга,
то есть при котором в этой точке не происходит ни сжатия,
ни расширения, является то, что интенсивности этих двух
сил будут эквивалентными; мы не говорим равными, так как
это силы различных видов, и речь, между прочим, идет на
самом деле о качественном, а не о простом количественном
различии. Можно характеризовать эти силы коэффициен-
тами, пропорциональными тому сжатию или расширению,
которые они производят, и поэтому, если рассматривать
сжимающую силу и силу расширяющую, то первая будет
отмечена коэффициентом 1, а вторая — коэффициентом
ri < 1; каждый из этих коэффициентов может быть отноше-
нием плотности, которую приобретает окружающая среда в
рассматриваемой точке, под воздействием соответствующей
силы, к изначальной плотности той же самой среды, предпо-
лагаемой однородной, когда она не подвержена воздействию
иной силы, в силу простого применения принципа достаточ-
кого основания'. Когда не происходит ни сжатия, ни расши-
рения, это отношение является неизбежно равным единице,
поскольку плотность среды не меняется; чтобы две силы,
действующие в одной точке, создали равновесие, необходи-
мо, следовательно, чтобы их равнодействующая имела коэф-
фициент, равный единице. Легко увидеть, что коэффициент
этой равнодействующей является произведением (а уже не
суммой как в обычной «классической» концепции) коэффи-
циентов двух рассматриваемых сил; эти два коэффициента
п и п' должны быть, следовательно, двумя числами, обрат-
ными друг другу: п' = 1/п и у нас будет условие равновесия:
пп' = 1; таким образом, равновесие будет определяться уже
не нулем, но единицей.1 2

Очевидно, что такое определение равновесия посред-
ством единицы, являющееся единственным реальным, со-
ответствует тому факту, что единица занимает середину в
двойной неопределенной последовательности целых чисел
и чисел, обратных им, тогда как это центральное место в
каком-то отношении узурпировано нулем в искусственно
созданной последовательности положительных и отрица-
тельных чисел. Вовсе не являясь состоянием несущество-

1 Подразумевается, что когда мы говорим о принципе достаточ-
ного основания, мы рассматриваем его только сам по себе, вне всех
тех специализированных и более-менее спорных форм, которые
Лейбниц или другие желали ему придать.

2 Такая формулировка точно соответствует концепции равнове-
сия двух взаимодополнительных принципов Ян и Инь в дальнево-
сточной космологии.
вания, равновесие, наоборот, представляет собой существо-
вание, рассматриваемое само по себе, независимо от его
вторичных множественных проявлений; подразумевается,
впрочем, что это не точка Небытия в метафизическом смыс-
ле этого слова, так как существование, даже в изначальном
и недифференцированном состоянии, является еще лишь
исходной точкой всех дифференцированных проявлений,
подобно тому как единица есть исходная точка всего мно-
жества чисел. Эта единица, какой мы ее только что рассма-
тривали, и в которой коренится равновесие, представляет
собой то, что дальневосточная традиция называет «Неиз-
менной Серединой»; и согласно той же самой традиции это
равновесие или эта гармония в центре каждого состояния и
каждой модальности бытия является «Деянием Неба».
ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Вернемся теперь к вопросу об обосновании строгости
исчисления бесконечно малых: мы уже видели, что Лейб-
ниц рассматривает как равные те величины, разность ко-
торых, не будучи пулевой, несравнима с самими этими ве-
личинами; иными словами, бесконечно малые величины,
которые не являются nihila absoluta, являются тем не менее
nihila respective, и ими, как таковыми, следует пренебрегать
с точки зрения обычных величин. К несчастью, понятие
«несравнимых» остается слишком неточным, чтобы дока-
зательство, опирающееся лишь на это понятие, могло быть
полностью достаточным, чтобы установить строгий харак-
тер исчисления бесконечно малых; в этом аспекте исчисле-
ние предстает в конечном счете лишь как метод неопреде-
ленного приближения, и мы не можем вместе с Лейбницем
сказать, что «когда это установлено, следует не только, что
ошибка является бесконечно малой, но что она полностью
ничтожна»;1 но не было ли иного более строгого средства,
чтобы прийти к такому заключению? Мы должны допу-
стить в любом случае, что ошибка, допущенная в расчетах,
может стать насколько угодно малой, чего уже немало; но
разве устраняет ее полностью, или как раз этот бесконечно 1

1 Фрагмент, датированный 26 марта 1676 г.

15 Р. Генон. Наука чисел
малый характер ошибки, когда она рассматривается уже не
в ходе самих вычислений, но в результатах, к которым они
позволяют в конечном счете прийти?

Бесконечно малая разность, то есть до неопределен-
ности уменьшающаяся, может быть лишь разностью двух
переменных величин, так как очевидно, что разность двух
постоянных величин может быть сама только постоян-
ной величиной; рассмотрение бесконечно малой разности
между двумя постоянными величинами не имеет, следова-
тельно, никакого смысла. Теперь мы имеем право сказать,
что две постоянные величины «являются строго равными
между собой, если только их так называемая разность мо-
жет предполагаться насколько угодно малой»;1 «исчисле-
ние бесконечно малых, как и обычное вычисление, реально
имеет в виду лишь постоянные и определенные величины»;1 2
оно в конечном счете вводит переменные величины лишь в
ранге вспомогательных, в их чисто переходном характере,
и эти переменные должны исчезнуть из результатов, кото-
рые могут выражать лишь отношения между постоянными
величинами. Необходимо, следовательно, чтобы получить
эти результаты, перейти от рассмотрения переменных вели-
чин, к рассмотрению величин постоянных; и этот переход
как раз и имеет следствием устранение бесконечно малых

1 Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно
малых. С. 29.

2 Фрейсине III. де. Об анализе бесконечно малых. Предисловие.
С. VIII.
величин, которые, по сути дела, являются переменными и
которые могут изображаться лишь как разности между пе-
ременными величинами.

Легко понять теперь, почему Карно в том определении,
которое мы ранее цитировали, настаивает на свойстве, кото-
рое имеют бесконечно малые величины, какими они исполь-
зуются в вычислении, — считаться насколько угодно малыми
«без того, чтобы мы были для этого обязаны изменять ве-
личины, отношение которых мы ищем». Дело в том, что эти
последние должны быть в реальности постоянными величи-
нами; верно, что они рассматриваются при вычислении как
пределы переменных величин, но эти последние играют лишь
простую вспомогательную роль так же, как и бесконечно ма-
лые величины, которые они вводят вместе с собой. Ключевой
момент для обоснования строгости исчисления бесконечно
малых заключается в том, что в результатах должны фигури-
ровать лишь постоянные величины; в конечном счете необ-
ходимо при завершении вычислений перейти от переменных
величин к величинам постоянным, и это и есть «переход к
пределу», но понимаемый совершенно иначе, чем это делает
Лейбниц, поскольку он не является следствием или «оконча-
тельным завершением» самого изменения; таким образом, и
это здесь важно, бесконечно малые величины при этом пере-
ходе сами собой устраняются, и происходит это просто в силу
замены переменных величин величинами постоянными.1 1

1 См.: Фрейсине Ш. де. Там же. «Уравнения, называемые Карно
„несовершенными“, являются, собственно говоря, уравнениями от-
Следует ли видеть в таком устранении, как того желал
Карно, лишь следствие простой «компенсации ошибки»?
Мы так не думаем, и кажется, в реальности можно было
бы увидеть в этом нечто большее ввиду того, что делается
различие переменных величин и величин постоянных, как
образующих в каком-то отношении две отдельные области,
между которыми существует, несомненно, соответствие и
аналогия, что, впрочем, необходимо для того, чтобы мож-
но было действительно перейти от одного к другому, каким
бы способом ни осуществлялся этот переход, ио без того,
чтобы их реальные отношения могли когда-нибудь уста-
новить между ними взаимопроникновение или даже неко-
торую непрерывность; это, между прочим, подразумевает
между этими двумя видами величин различие исключи-
тельно качественного порядка в соответствии с тем, что мы
говорили выше но поводу понятия предела. Именно этого
различия Лейбниц никогда отчетливо не делал, и здесь так
же, несомненно, ему помешала его концепция универсаль-
но применимой непрерывности. Однако как раз одно лишь

ложенными или переходными, которые являются строгими лишь по-
стольку, поскольку их будут использовать при вычислении пределов,
и которые были бы, наоборот, абсолютно неточными, если пределы
не должны быть приняты в действительности. Достаточно иметь
представленное уму действительное предназначение вычислений,
чтобы не испытывать никаких сомнений в значении отношений, че-
рез которые переходят, и необходимо видеть в каждом из них не то,
что оно могло бы действительно выражать, но то, что оно будет вы-
ражать позже, когда будут приняты пределы».
это различие позволяет нам сформулировать следующее
предположение: если разность двух переменных величин
может сделаться насколько угодно малой, то постоянные
величины, которые соответствуют этим переменным и ко-
торые рассматриваются как их соответствующие преде-
лы, являются строго равными. Таким образом, бесконечно
малая разность никогда не может стать нулевой, но она
может существовать лишь между переменными, а между
соответствующими постоянными величинами разность
должна быть нулевой; отсюда непосредственно следует, что
ошибке, которая может сделаться насколько угодно малой
в области переменных величин, где действительно, в силу
самого характера этих величин, не может быть и речи ни о
чем, кроме неопределенного приближения, — этой ошибке
неизбежно соответствует строго нулевая ошибка в области
постоянных величин; и только в одном этом, а не в других
доводах, которые, какими бы они ни были, всегда в той или
иной мере находятся вне или в стороне от вопроса, и заклю-
чается, в сущности, истинное обоснование строгости исчис-
ления бесконечно малых.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Все предшествующее еще сохраняет одно затруднение,
касающееся различных порядков бесконечно малых вели-
чин: как можно понять величины, которые являются бес-
конечно малыми не только по отношению к обычным вели-
чинам, но и по отношению к другим величинам, которые и
сами являются бесконечно малыми? Здесь Лейбниц также
прибегает к понятию «несравнимых», но это понятие до-
вольно туманное для того, чтобы мы могли им удовлетво-
риться, и оно не объясняет в достаточной мере возможность
последовательных дифференциаций. Несомненно, эту воз-
можность можно лучше понять благодаря одному сравне-
нию или примеру, взятому из механики: «Что касается
d d х , они относятся к d х, как conatus силы тяготения или
центробежные силы к скорости».1 И Лейбниц развивает эту
идею в своем ответе на возражения голландского математи-
ка Ныовентейта, который, полностью допуская дифферен-
циалы первого порядка, утверждал, что дифференциалы
высших порядков могут быть лишь нулевыми: «Обычная
величина, первичная или дифференциальная бесконечно
малая величина, и дифферентно-дифференциальная или 1

1 Письмо Гюйгенсу от 1—2 октября 1693 г.
вторичная бесконечно малая величина, соотносятся между
собой как движение, скорость и напряжение, которое яв-
ляется элементом скорости.1 Движение описывает линию,
скорость элемент линии, а ускорение — элемент элемента».1 2
Но это лишь пример или частный случай, который в итоге
может служить лишь простой «иллюстрацией», а не аргу-
ментом, и необходимо предоставить обоснование общего
порядка, которое этот пример в каком-то смысле, содержит
в себе имплицитно.

На самом деле дифференциалы первого порядка изо-
бражают возрастания, или лучше изменения, поскольку
они также могут относиться, в зависимости от случая, как
к возрастающему, так и к уменьшающемуся направлению,
которые в каждый момент приобретают обычные величи-
ны: такова скорость по отношению к пространству, прео-
долеваемому в каком-либо движении. Таким же образом
дифференциалы определенного порядка изображают мгно-
венные изменения дифференциалов предшествующего по-
рядка, взятые в свою очередь как величины, существующие
в некотором интервале: таково ускорение по отношению к
скорости. Именно на этом рассмотрении различных степе-
ней изменения, а не величин, несравнимых между собой, и

1 Это «напряжение» — это то, что обычно обозначается названи-
ем «ускорение».

2 Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Nieuwentijt
circa Methodum differentiate™ sen infinites! malem motas // Acta Ern-
ditorum. Leipzig, 1695.
основывается на самом деле различие различных порядков
бесконечно малых величин.

Чтобы уточнить способ, каким это следует понимать, мы
просто сделаем следующее замечание: можно установить,
наряду с самими переменными, различия, аналогичные
тем, что мы установили ранее между постоянными и пере-
менными величинами; при таких условиях, если вновь об-
ратиться к определению Карно, величина будет называться
бесконечно малой по отношению к другим, когда можно бу-
дет сделать ее насколько угодно малой, «без необходимости
для этого изменять эти другие величины». Дело в том, что
величина, которая не является абсолютно неизменной, или
даже которая, в сущности, является переменной, что мы и
имеем в случае с бесконечно малыми, к какому бы порядку
они ни относились, может тем не менее рассматриваться как
относительно постоянная и определенная, то есть как спо-
собная играть роль постоянной величины по отношению к
некоторым другим переменным. Только при таких условиях
одна переменная величина может рассматриваться как пре-
дел другой переменной, что, согласно самому определению
предела, предполагает, что она рассматривается как посто-
янная по меньше мере в некотором отношении, то есть от-
носительно величины, для которой она является пределом;
наоборот, величина может быть переменной не только сама
по себе или, что то же самое, по отношению к абсолютно по-
стоянным величинам, но также и по отношению к другим
переменным, поскольку эти последние могут рассматри-

ваться как относительно постоянные.
Вместо того чтобы говорить в этой связи о степенях из-
менения, как мы только что это делали, можно также го-
ворить и о степенях неопределенности, что, по сути дела,
будет в точности то же самое, рассматриваемое только с
несколько иной точки зрения: величина, хотя и неопреде-
ленная по своей природе, может тем не менее быть опреде-
ленной в относительном смысле благодаря введению не-
которых гипотез, которые допускают в то же самое время
существование неопределенности других величин; эти по-
следние поэтому, если можно так сказать, являются более
неопределенными, чем другие, или неопределенными в
высшей степени, и таким образом они имеют к ним отно-
шение, сравнимое с тем, которое неопределенные величины
имеют с подлинно определенными величинами. Мы огра-
ничимся этими несколькими указаниями по данному пово-
ду, так как какими бы краткими они ни были, мы считаем,
что их по меньшей мере достаточно, чтобы понять возмож-
ность существования дифференциалов различных после-
довательных порядков; но нам остается еще в связи с тем
же самым вопросом показать более ясно, что на самом деле
нет никакого логического затруднения для того, чтобы рас-
сматривать множественные степени неопределенности, как
в порядке уменьшающихся величин, к которым и относят-
ся бесконечно малые или дифференциалы, так и в поряд-
ке возрастающих величин, где можно рассматривать также
интегралы различных порядков, симметричные в некото-
ром роде последовательным дифференциалам, что, между
прочим, соответствует взаимосвязи, существующей, как мы
объясняли, между неопределенно возрастающим и неопре-
деленно уменьшающимся. Разумеется, именно о степенях
неопределенности здесь речь и идет, а не «степенях бес-
конечности», как их понимает Жан Бернулли, концепцию
которого в этом отношении Лейбниц так и не осмелился ни
принять, ни полностью отвергнуть; и этот случай также из
числа тех, где оказывается, что затруднения непосредствен-
но разрешаются заменой понятия мнимой бесконечности
понятием неопределенности.
ГЛABA XX

РАЗЛИЧНЫЕ ПОРЯДКИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Логические трудности и даже противоречия, с которыми
сталкиваются математики, когда рассматривают «бесконеч-
но большие» или «бесконечно малые» величины, различаю-
щиеся между собой и даже принадлежащие к различным
порядкам, происходят исключительно от того, что они рас-
сматривают как бесконечное то, что является просто неопре-
деленным: верно, что вообще говоря, они довольно мало за-
нимаются этими трудностями, но эти трудности тем не менее
существуют и являются поэтому серьезными, они создают
представление об этой науке как о наполненной скоплением
нелогичностей, или, если угодно, «паралогизмами», лишаю-
щими ее всякой ценности и всякого значения в глазах тех,
кто не позволяет вводить себя в заблуждение словами. Вог
несколько примеров противоречий, порождаемых теми, кто
допускает существование бесконечных величин, когда речь
идет о применении этого понятия к геометрическим величи-
нам: если рассматривается линия, например, прямая, как бес-
конечная, то эта бесконечность должна быть меньшей и даже
бесконечно меньшей, чем та, что образована площадью, такой,
как плоскость, в которой эта линия содержится вместе с бес-
конечным числом других, и эта вторая бесконечность в свою
очередь будет бесконечно меньшей, чем бесконечность трех-
мерного пространства. Самой возможности сосуществова-
ния всех этих мнимых бесконечностей, часть которых имеют
одну и ту же степень, а другие — различные степени, должно
быть достаточно, чтобы доказать, что ни одна из них не может
быть истинной бесконечностью даже без обращения к чисто
метафизическому порядку; на самом деле, повторим еще раз,
так как это истины, на которых никогда не помешает лишний
раз остановиться, очевидно, что если предполагается множе-
ство различных бесконечностей, каждая из них оказывается
ограниченной другими, что значит, что они исключают друг
друга. Правду сказать, «инфинитисты», у которых это чисто
словесное накопление «бесконечности бесконечностей» про-
исходит как разновидность «умственной интоксикации»,
если позволено так выразиться, ни в коей мерс не отступают
перед подобными противоречиями, поскольку, как мы уже го-
ворили, они не испытывают никакого затруднения допустить,
что имеются различные бесконечные числа, и что, как след-
ствие, одна бесконечность может быть большей или меньшей,
чем другая бесконечность; но абсурдность таких выражений
является слишком очевидной, и тот факт, что довольно ча-
сто используются у современных математиков, ничего не
меняет, но только доказывает, до какой степени самый эле-
ментарный логический смысл утрачен в нашу эпоху. Другое
противоречие, не менее явное, чем предшествующие, — это
противоречие, возникающее в случае замкнутой площади, то
есть очевидно и явно конечной, которая тем не менее должна
содержать в себе бесконечность линий, как например сфера
содержит в себе бесконечность кругов; перед нами здесь ко-
печное содержание, содержимое которого является бесконеч-
ным, что, впрочем, имеет место, когда выдвигают, как это де-
лает Лейбниц, утверждение об «актуальной бесконечности»
непрерывной совокупности элементов.

Напротив, нет никакого противоречия в допущении со-
существования неопределенных множеств различных по-
рядков: таким образом, линия, неопределенная в одном-
единственном измерении, может рассматриваться в этой
связи как образующая простую неопределенность или не-
определенность первого порядка; площадь, неопределенная
в двух измерениях, будет тогда неопределенностью второго
порядка, а трехмерное пространство, которое может включать
в себя неопределенность неопределенных площадей, будет
уже неопределенностью третьего порядка. Важно здесь еще
отметить, что мы утверждаем, что площадь включает в себя
неопределенность линий, а не то, что она образована неопре-
деленностью линий, так же как линия не состоит из точек, но
включает в себя их неопределенное множество; таким же об-
разом дело обстоит и с объемом по отношению к площадям,
так как само трехмерное пространство есть не что иное, как
неопределенный объем. Здесь, между прочим, перед нами, по
сути дела, то о чем мы уже говорили выше по поводу «неде-
лимых» и «состава непрерывности»; вопросы такого рода в
силу самой их сложности относятся к числу тех, что застав-
ляют лучше почувствовать необходимость строгого языка.
Добавим также в связи с этим, что если с определенной точки
зрения правомерно рассматривать линию как порожденную
точкой, площадь как порожденную линией, а объем как по-
рожденный площадью, то это, в сущности, предполагает, что
такая точка, такая линия или такая площадь перемещаются
посредством непрерывного движения, включающего в себя
неопределенность последовательных позиций; и совершен-
но другое дело рассматривать эти позиции, взятые отдельно,
друг за другом, то есть точки, линии и площади, рассматри-
ваемые как постоянные и определенные, как образующие
соответственно стороны или элементы линии, площади или
объема. Кроме того, когда в обратном направлении рассма-
тривают площадь как пересечение двух объемов, линию как
пересечение двух площадей и точку как пересечение двух
линий, то очевидно, что такие пересечения ни в коей мере
не следует понимать как общие стороны этих объемов, этих
площадей или этих линий; они, как говорит об этом Лейб-
ниц, являются только или пределами, или границами.

Согласно тому, что мы только что сказали, каждое изме-
рение вводит в каком-то роде новую степень неопределенно-
сти в протяженность, то есть в пространственную непрерыв-
ность, рассматриваемую как способную до неопределенности
возрастать в широту, и поэтому получается то, что можно
назвать последовательными степенями неопределенного;1 и
можно сказать также, что неопределенность некоторого по-
рядка или некоторой степени содержит неопределенное мно-
жество неопределенностей низшего порядка или меньшей
степени. Пока имеется в виду только неопределенность, все
эти рассуждения и рассуждения такого же рода остаются, 1

1 См.: «Символизм креста», глава XII.
собственно говоря, совершенно приемлемыми, так как нет
никакой логической несовместимости между множествен-
ными различными неопределенностями, которые, будучи не-
определенными, имеют тем не менее конечную, в сущности,
природу и поэтому вполне способны сосуществовать, как та-
кие же частные и определенные возможности внутри общей
Возможности, которая одна только и является бесконечной,
потому что она тождественна универсальному Целому1 Те же
самые рассуждения принимают невозможную и абсурдную
форму благодаря одному лишь смешению неопределенного с
бесконечным; таким образом это еще один из тех случаев, где,
как и когда речь шла о «бесконечном множестве», противоре-
чие, внутренне присущее так называемой определенной бес-
конечности, скрывает, искажая ее до неузнаваемости, другую
идею, которая сама по себе совершенно не противоречива.

Мы только что говорили о различных степенях неопре-
деленности величин в возрастающем направлении; посред-
ством того же самого понятия, рассматриваемого в убываю-
щем направлении, мы уже обосновали выше рассмотрение
различных порядков бесконечно малых величин, возмож-
ность которых еще легче понять, наблюдая уже указанное
нами соответствие между неопределенно возрастающим и
неопределенно уменьшающимся. Среди неопределенных
величии различных порядков величины иного порядка, не-
жели первый, всегда являются неопределенными по отно-
шению к величинам предшествующих порядков, как и по 1

1 См.: «Множественные состояния бытия», глава I.
отношению к обычным величинам; столь же правомерно
рассматривать в обратном направлении бесконечно малые
величины различных порядков, причем величины каждого
порядка будут бесконечно малыми не только по отношению
к обычным величинам, но также и по отношению к беско-
нечно малым величинам предшествующих порядков.1 Нет
абсолютной разнородности между неопределенными вели-
чинами и величинами обычными, и уж тем более ее нет меж-
ду ними и бесконечно малыми; в конечном счете здесь есть
лишь различия в степени, а не различия в природе, посколь-
ку в реальности рассмотрение неопределенного, какого бы
порядка или какой бы степени оно ни было, никогда не вы-
водит нас за пределы конечного; как раз ложная концепция 1

1 Мы сохраняем, как это обычно и делают, наименован не «беско-
нечно малые» для величин, уменьшающихся до неонределенности, за
исключением величин, до неопределенности возрастающих, которые
ради краткости мы можем называть просто «неопределенными»; до-
вольно странно, что Карно объединил и то и другое под одним и тем
же названием «бесконечно малых», что противоречит не только ис-
пользованию, но и самому смыслу, который этот термин получает при
своем образовании. Полностью сохраняя слово «бесконечно малые»,
определив его значение так, как мы это сделали, мы не можем, впро-
чем, не заметить, что этот термин имеет тот серьезный недостаток, что
он происходит, очевидно, от слова «бесконечность», что очень мало со-
ответствует той идее, которую он реально выражает; чтобы суметь ис-
пользовать его без неудобств, необходимо в некотором роде позабыть
о его происхождении, или по крайней мере приписывать ему один
только «исторический» характер, как фактически вытекающий из той
концепции «обоснованных фикций», которую создал Лейбниц.
бесконечности и вводит, по видимости, между этими раз-
личными порядками величин радикальную разнородность,
которая, по сути дела, совершенно непостижима. Упраздняя
эту разнородность, мы устанавливаем здесь разновидность
непрерывности, но совершенно отличную от той, которую
Лейбниц усматривал между переменными и их пределами,
и гораздо лучше обоснованную в реальности, так как разли-
чие переменных величин и величин постоянных, наоборот,
подразумевает одно лишь истинное различие в природе.

При таких условиях и сами обычные величины могут,
по крайней мере когда речь идет о переменных, рассматри-
ваться в каком-то отношении как бесконечно малые по от-
ношению к неопределенно возрастающим величинам, так
как если одна величина может стать сколь угодно большой
по отношению к другой, то последняя, наоборот, тем самым
становится насколько угодно малой по отношению к пер-
вой. Мы вводим такое ограничение, что речь здесь должна
идти о переменных, потому что бесконечно малую величи-
ну следует всегда понимать в сущности, как переменную и
потому, что здесь перед нами нечто действительно прису-
щее самой ее природе; впрочем, величины, принадлежащие
двум различным порядкам неопределенности, неизбежно
являются переменными по отношению друг к другу, и это
свойство относительной и взаимной переменности совер-
шенно симметрично, так как согласно тому, что мы толь-
ко что сказали, одно и го же значение имеет рассмотрение
одной величины как до неопределенности возрастающей по
отношению к другой, или этой последней как до неопреде-

16 Р. Генов. Наука чисел
ленности уменьшающейся по отношению к первой; без
этой относительной переменности нет ни неопределенного
возрастания, ни неопределенного уменьшения, но только
определенные отношения между двумя величинами.

Точно так же, когда имеет место изменение положения
между двумя телами А и В, одно и то же значение, по край-
ней мере поскольку рассматривается лишь само это измене-
ние, имеет утверждение, что тело А находится в движении
по отношению к телу В, или, наоборот, тело В находится в
движении по отношению к телу А; понятие относительно-
го движения симметрично в этом отношении не меньше,
чем относительная изменчивость, которую мы здесь рас-
сматривали. Именно поэтому, следуя Лейбницу, который
тем самым доказывал недостаточность картезианского
механицизма как физической теории, стремящейся предо-
ставить объяснение природных феноменов, нельзя устано-
вить различие между состоянием движения и состоянием
покоя, если ограничиваться одним лишь рассмотрением
изменений положения; для этого необходимо вмешатель-
ство какой-то вещи иного порядка, а именно понятия силы,
которая является ближайшей причиной этих изменений и
которая одна лишь может быть приписана, скорее, одному
телу, чем другому, как позволяющая обнаружить в этом теле
и только в нем одном истинную причину изменения.1 1

1 См.: Лейбниц Г. В. Ф. Рассуждения о метафизике. Т. 1. Глава XVIII.
С. 125—163; Генон Р. Царство количества и знамения времени. М.,
1994. Глава XIV.
ГЛАВА XXI

НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ ЯВЛЯЕТСЯ
АНАЛИТИЧЕСКИ НЕИСЧЕРПАЕМЫМ

В двух случаях, которые мы только что рассматривали,
в случае с неопределенно возрастающим и неопределенно
уменьшающимся одна величина определенного норядка
может рассматриваться как сумма неопределенного числа
элементов, каждый из которых является бесконечно малой
величиной по отношению к этой сумме. Чтобы было можно
говорить о бесконечно малых величинах, необходимо, что-
бы речь шла об элементах, не определенных по отношению
к их сумме, и так же обстоит дело, когда эта сумма являет-
ся неопределенной по отношению к элементам, о которых
идет речь; это непосредственно следует из сущности харак-
тера самого неопределенного, поскольку оно неизбежно
подразумевает, как мы об этом говорили, идею «становле-
ния» и, следовательно, некоторой неопределенности. Меж-
ду прочим, подразумевается, что такая неопределенность
может быть лишь относительной и существующей лишь с
определенной точки зрения или по отношению к какой-то
определенной вещи: таков, например, случай суммы, кото-
рая, будучи обычной величиной, является неопределенной
не сама по себе, а только по отношению к своим бесконечно
малым элементам; но в любом случае, если бы это было ина-
че и если бы мы не вводили эго понятие неопределенности,
то мы просто вернулись бы к концепции «несравнимых»,
истолковываемой в грубом смысле песчинки по отноше-
нию к земле, и земли по отношению к небосводу

Сумма, о которой мы здесь говорим, ни в коей мере не мо-
жет быть получена по способу арифметической суммы, по-
тому что для этого было бы необходимо, чтобы неопределен-
ный ряд последовательных добавлений был бы завершен,
что является противоречивым; в случае, когда сумма явля-
ется обычной величиной, определенной в качестве таковой,
очевидно, необходимо, как мы уже говорили, формулируя
определение интегрального числепия, чтобы число, или,
скорее, множество элементов возрастало до неопределенно-
сти в то же самое время, когда величина каждого из них до
неопределенности уменьшается, и в этом смысле неопреде-
ленность этих элементов действительно является неисчер-
паемой. Но если эта сумма не может быть получена таким
способом, как окончательный результат множества различ-
ных и последовательных операций, она может быть наобо-
рот, получена сразу же и посредством одной-единственной
операцией, которой является интегрирование;1 это опера- 1

1 Термины «интеграл» и «интегрирование», использование кото-
рых было преобладающим, принадлежат не Лейбницу, а Жану Бер-
нулли; Лейбниц в этом смысле пользовался лишь словами «сумма»
и «суммирование», которые имеют то неудобство, что они, кажется,
указывают на подобие между операцией, о которой идет речь, и обра-
зованием арифметической суммы; мы, впрочем, говорим только «ка-
жется», так как верно, что существенное различие этих двух опера-
ций не могло на самым деле остаться незамеченным для Лейбница.
ция, обратная дифференцированию, поскольку она восста-
навливает сумму исходя из ее бесконечно малых элементов,
тогда как дифференцирование, наоборот, идет от суммы к
элементам, обеспечивая средство сформулировать закон
мгновенных изменений величины, выражение которой за-
ранее дано.

Таким образом, как только речь идет о неопределенно-
сти, понятие арифметической суммы более неприменимо, и
необходимо прибегнуть к понятию интегрирования, чтобы
восполнить невозможность «вычислить» бесконечно малые
элементы, невозможность, которая, разумеется, следует из
самой их природы, а не из какого-то несовершенства с на-
шей стороны. Мы можем мимоходом отметить, что в этом и
заключается, что касается применения геометрических ве-
личин, которые, между прочим, по сути дела, являются ис-
тинным основанием любого исчисления бесконечно малых,
метод измерения, полностью отличный от обычного мето-
да, основанного на разделении величины на определенные
доли, о котором ранее мы говорили в связи с «единицами
измерения». Этот последний всегда в итоге означает замену
каким-либо образом дискретного на непрерывное, посред-
ством того «разрезания» на доли, равные величине того же
вида, принятой за единицу,1 с целью суметь применить иепо- 1

1 Или дроби этой величины, ио незначительной, так как эта дробь
образует тогда вторичную меньшую единицу, которая заменяется на
первую, в случае, когда деление на нее не получается точным, с целью
достичь точного или по меньшей мере более близкого результата.
срсдственно число к измерению непрерывных величин, что
может на самом деле произойти лишь при таком изменении
их природы, которое сделает их подобными природе числа.
Наоборот, другой метод следует, насколько это возможно,
характеру, свойственному непрерывному, рассматривая его
как сумму элементов, уже не постоянных и определенных,
но, в сущности, переменных и способных уменьшаться в
своем изменении ниже всякой значимой величины, и позво-
ляя тем самым изменять пространственную величину между
сколь угодно сближаемыми пределами, что является, прини-
мая в расчет природу числа, которая, несмотря ни на что, не
может меняться, наименее несовершенным представлением,
которое можно составить о непрерывном изменении.

Эти наблюдения позволяют понять более точным спосо-
бом, в каком смысле можно говорить, как мы это уже дела-
ли вначале, что пределы неопределенного никогда не могут
быть достигнуты посредством аналитической процедуры,
или, другими словами, что неопределенное является не аб-
солютно и никоим образом неисчерпаемым, но по меньшей
мере неисчерпаемым аналитически. Мы, естественно, долж-
ны в этой связи рассматривать как аналитическую ту проце-
дуру, которая, чтобы восстановить целое, заключалась бы в
том, чтобы брать его элементы раздельно и последовательно:
такова процедура образования арифметической суммы, и
именно в этом от нее интегрирование, в сущности, и отлича-
ется. Это особенно интересно с нашей точки зрения, так как
очевидно благодаря весьма ясному примеру, чем являются
истинные отношения анализа и синтеза: вопреки обычному
мнению, согласно которому анализ был в каком-то роде под-
готовкой к синтезу и приводил бы к нему, так что всегда сле-
довало бы начинать с анализа, даже когда мы не намерены к
нему обращаться, истина в том, что мы никогда не сможем
на самом деле дойти до синтеза, исходя из анализа; всякий
синтез в истинном смысле этого слова является, так сказать,
чем-то непосредственным, чему не предшествует никакой
анализ и от которого он полностью независим, как и инте-
грирование является операцией, которая осуществляется
сразу же и которая ни в коей мере не предполагает рассмо-
трения элементов, сравнимых с элементами арифметиче-
ской суммы; и подобно тому, как арифметическая сумма не
может дать средство достичь и исчерпать неопределенное,
так и во всех областях есть вещи, которые в силу своей при-
роды сопротивляются всякому анализу и познание которых
возможно лишь благодаря одному только синтезу.1 1

1 Здесь и в том, что последует, должно быть понятно, что мы при-
нимаем термины «анализ» и «синтез» в их истинном и оригинальном
значении, что необходимо позаботиться о том, чтобы отличать от того
совершенно отличного и несвойственного им значения, в котором
обычно говорят о «математическом анализе», и согласно которому
само интегрирование, несмотря на свой, в сущности, синтетический
характер, рассматривается как являющееся частью того, что называ-
ется «анализом бесконечно малых»; между прочим, именно по этой
причине мы предпочитаем избегать использования этого последнего
выражения, и мы используем только выражения «исчисление бес-
конечно малых» и «метод бесконечно малых», которые по крайней
мере не дают повода никакой двусмысленности такого рода.
ГЛАВА XXII

СИНТЕТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР
ИНТЕГРИРОВАНИЯ

В противоположность образованию арифметической
суммы, которая, как мы только что сказали, имела, собствен-
но говоря, аналитический характер, интегрирование долж-
но рассматриваться как операция, в сущности, синтетиче-
ская, в том, что она одновременно охватывает все элементы
суммы, которые следует сосчитать, сохраняя между ними
ту «безразличность», которая соответствует частям содер-
жания, поскольку эти части, вследствие самой природы со-
держания, не могут быть чем-то неизменным и определен-
ным. Та же самая «безразличность» должна, между прочим,
в равной мере поддерживаться, хотя и по несколько иной
причине, в отношении дискретных элементов, которые об-
разуют неопределенный ряд, когда желают подсчитать его
сумму, так как, если величина каждого из этих элементов
мыслится тогда как определенная, их число таковым не яв-
ляется, и мы можем даже сказать точнее, что их множество
превосходит всякое число; и тем не менее имеется случай,
когда сумма элементов такого ряда стремится к некоторому
определенному пределу, когда их множество возрастает до
неопределенности. Можно было бы сказать, хотя такой спо-
соб высказываться покажется, возможно, немного стран-
ным на первый взгляд, что такой дискретный ряд является
неопределенпым в силу «экстраполяции», тогда как непре-
рывная совокупность — в силу «интерполяции»; то, что мы
хотим этим сказать, так это то, что если взять в дискретном
ряду один отрезок, расположенный между двумя какими-
либо членами, то в нем нет ничего неопределенного, и такой

отрезок является определенным одновременно и в целом,
и в своих элементах, но как раз в силу того, что, выходя за
пределы этого отрезка, мы никогда не дойдем до последнего
члена, этот ряд является неопределенным; напротив, в не-
прерывной совокупности, определенной в качестве таковой,
именно внутрь самой этой совокупности неопределенное
оказывается включенным, потому что элементы не явля-
ются определенными и потому что, поскольку непрерывное
всегда делимо, в нем нет последних элементов; таким об-
разом, в этом отношении, эти два случая в каком-то роде
являются обратными друг другу Суммирование неопреде-
ленного числового ряда никогда не завершается, если все
члены следует брать по одному, поскольку нет последнего
члена, которым этот ряд мог бы завершиться; в случае, ког-
да такое суммирование возможно, оно, следовательно, мо-
жет быть получено лишь посредством синтетической про-
цедуры, которая заставляет нас в каком-то роде улавливать
сразу же всю неопределенность, рассматриваемую в целом,
и это ни в коей мере не предполагает отдельного рассмо-
трения ее элементов, которое, между прочим, невозможно
в силу того, что их неопределенное множество. Более того,
когда неопределенный ряд дан нам имплицитно, в силу за-
кона его образования, пример чего мы видели в случае по-
следовательности целых чисел, мы можем сказать, что он
нам дан в целом синтетически, и он не может быть дан ина-
че; на самом деле задать такой ряд аналитически значило бы
задать отдельно все его члены, что является невозможным.

Следовательно, когда нам приходится рассматривать
какую-либо неопределенность, будь это неопределенность
дискретной совокупности или неопределенность дискретно-
го ряда, следует во всех случаях прибегать к синтетической
операции, чтобы суметь достичь пределов; постепенная про-
грессия была бы здесь безрезультатной и никогда не смогла
бы для нас завершиться, так как такая прогрессия может за-
вершиться последним членом лишь при двойном условии,
что этот член и число степеней, необходимых для его дости-
жения, были бы оба определенными. Именно поэтому мы не
говорили, что пределы неопределенного не могут быть ни-
коим образом достигнуты, и эта невозможность была бы не-
обоснованной ввиду того, что такие пределы существуют, но
только они не могут быть достигнуты аналитически; неопре-
деленность не может быть исчерпана степенями, но она мо-
жет быть включена в свою совокупность посредством одной
из тех трансцендентных операций, интегрирование которых
дает нам образец в математическом порядке. Можно заме-
тить, что прогрессия степеней соответствовала бы здесь са-
мому изменению величины, непосредственно в случае дис-
кретных рядов, а что касается непрерывного изменения, то
оно следует ей в той мере, в какой это позволяет дискретная
природа числа; наоборот, посредством синтетической опе-
рации, мы располагаемся непосредствен по вне и за предела-
ми изменения, как это неизбежно и должно быть, согласно
тому, что мы уже говорили выше, чтобы «переход к преде-
лу» мог быть действительно осуществлен; другими словами,
анализ достигает лишь переменных, взятых в самом ходе их
изменения, и только один синтез достигает их пределов, что
здесь является единственным в своем роде окончательным и
реально значительным результатом, поскольку необходимо,
чтобы можно было говорить о результате, прийти к чему-то
такому, что было бы связано исключительно с определенны-
ми и постоянными величинами.

Подразумевается, между прочим, что можно обнаружить
аналогию этих синтетических операций и в иных областях,
чем область количества, так как ясно, что идея неопределен-
ного развития возможностей применима также и к чему-то
совершенно иному, чем количество, например к какому-
либо состоянию проявленного существования и к условиям,
какими бы они ни были, которым это существование подчи-
нено, рассматривается ли при этом весь космос в целом или
какое-то существо в частности, то есть располагаемся ли мы
на «макрокосмической» точке зрения или на точке зрения
«микрокосмической».1 Можно сказать, что здесь «переход
к пределу» соответствует окончательной фиксации резуль-
татов проявления в порядке принципов; только благодаря
этому на самом деле существо окончательно избегает изме-
нения или «становления», которое неизбежно присуще вся- 1

1 Об аналогичном применении понятия интегрирования см.:
«Символизм креста», главы XVIII и XX.
кому проявлению как таковому; очевидно, потому, что такая
фиксация никоим образом не является «последним членом»
развития проявления, но что она, в сущности, располагает-
ся вне и за пределами этого развития, потому что она при-
надлежит другому порядку реальности, трансцендентному
по отношению к проявлению и «становлению»; различие
проявленного порядка и порядка принципов соответствует
по аналогии различию, которое мы установили между обла-
стью переменных величин и областью величии постоянных.
Кроме того, поскольку речь идет о постоянных величинах,
то очевидно, что никакое изменение не может быть сюда
введено посредством какой-либо операции, и что, как след-
ствие, «переход к пределу» имеет следствием не произвести
что-то в этой области, по только дать нам об этом знание;
кроме того, порядок принципов неизменен, и, чтобы до него
дойти, речь не идет о том, чтобы «осуществить» что-то, что
еще не существовало, но осознать на самом деле то, что есть,
постоянным и абсолютным образом. Мы, естественно, долж-
ны были, учитывая тему этого исследования, рассматривать
более частным образом и прежде всего то, что, собственно
говоря, соотносится с количественной областью, в которой
идея развития возможностей передается, как мы видели,
понятием изменения либо в направлении неопределенно
возрастающего, либо в направлении неопределенно умень-
шающегося; но эти несколько указаний доказывают, что все
вещи способны приобретать благодаря соответствующе-
му преобразованию по аналогии несравнимо более важное
значение, чем то, что они, казалось бы, имели сами по себе,
поскольку в силу такого переноса интегрирование и другие
операции того же рода на самом деле оказываются чем-то
вроде символа самой метафизической «реализации».

Очевидна тем самым распространенность различия, кото-
рое существует между традиционной наукой, допускающей
такие доводы, и профанной наукой наших современников; и
по этому поводу мы добавим еще одно замечание, которое не-
посредственно связано с различием аналитического познания
и познания синтетического. Профанная паука на самом деле
является, по существу, исключительно аналитической: она
никогда не рассматривает принципы и она теряется в деталях
феноменов, неопределенное и до неопределенности измен-
чивое множество которых для нее на самом деле неисчерпае-
мо, и поэтому она никогда не может дойти, как познание, до
какого-либо реального и окончательного результата; она опи-
рается только на сами феномены, то есть на внешние явления,
и она неспособна достичь основы вещей, за что уже Лейбниц
упрекал картезианский механицизм. В этом, между прочим,
одна из причин, которыми объясняется современный «агно-
стицизм», гак как, поскольку имеются вещи, которые могут
быть познаны лишь синтетически, тому, кто использует один
лишь анализ, приходится тем самым объявлять их «непозна-
ваемыми», потому что они на самом деле для него являются
таковыми, так же, как тот, кто опирается на аналитическое
видение неопределенности, может верить, что эта неопреде-
ленность абсолютно неисчерпаема, тогда как в реальности
она является таковой лишь аналитически. Верно, что синте-
тическое познание, в сущности, является тем, что можно на-
звать «всеобъемлющим» познанием, каким является позна-
ние непрерывной совокупности или неопределенного ряда,
элементы которого не даны и не могут быть даны раздельно;
но помимо того, что именно в этом и заключается все самое
важное, можно всегда, поскольку все содержится в принципе,
вповь спуститься отсюда к рассмотрению каких угодно част-
ных вещей, так же как, если, например, неопределенный ряд
дается синтетически благодаря знанию закона его образова-
ния, всегда можно, когда это необходимо, вычислить, в част-
ности, любой из его членов, тогда как, исходя, наоборот, из
тех же самых частных вещей, рассматриваемых сами по себе
и в их неопределенных деталях, никогда нельзя возвыситься
до принципов; и именно в этом, как мы уже говорили в на-
чале, точка зрения и подход традиционной науки является
в некотором роде обратным подходу профанной науки, по-
добно тому как сам синтез является обратным анализу Это,
между прочим, применение той очевидной истины, что если
и можно получить «минус» из «плюса», то, наоборот, никог-
да нельзя вывести «плюс» из «минуса»; тем не менее имен-
но это и стремится сделать современная наука, со всеми ее
механистическими и материалистическими концепциями и
ее исключительно количественной точкой зрения; но как раз
потому, что это невозможно, она в реальности и неспособна
дать истинное объяснение чему бы то ни было.1 1

1 Что касается этого последнего пункта, то можно еще раз обра-
титься к рассуждениям, которые мы изложили в «Царстве количе-
ства и знамениях времени».
ГЛАВА XXIII

АРГУМЕНТЫ ЗЕНОНА ЭЛЕЙСКОГО

Предшествующие рассуждения имплицитно содержат в
себе решение всех трудностей наподобие тех, которые Зе-
нон Элейский посредством своих знаменитых аргументов
противопоставлял возможности движения, по меньшей
мере по видимости, и если судить о них по той форме, в ка-
кой обычно эти аргументы представляются, так как можно
сомневаться, что их истинное значение было именно тако-
вым. Маловероятно на самом деле, что Зенон действитель-
но имел намерение отрицать движение; кажется более веро-
ятным, что он желал доказать только его несовместимость
с предположением, допускаемым, в частности, атомистами,
о реальном и неустранимом многообразии, существующем
в природе вещей. Поэтому именно против самого этого
многообразия, таким образом понимаемого, эти аргументы
с самого начала и должны были быть направлены на самом
деле; мы не говорим, что против всякого многообразия, так
как само собой разумеется, что многообразие существует
на своем уровне, так же, как и движение, которое, между
прочим, как и всякое изменение какого-либо рода его не-
избежно предполагает; но так же, как и самого движения, в
силу его характера переходного и мимолетного видоизме-
нения, было бы недостаточно, и оно было бы лишь чистой
иллюзией, если бы не соединялось с высшим принципом,
трансцендентным по отношению к нему, таким, как «непо-
движный двигатель» Аристотеля, так и многообразие было
бы на самом деле несуществующим, если бы оно сводилось
к себе самому и если бы оно не происходило от единства, и
поэтому мы имеем его математический образ, как мы виде-
ли, в образовании ряда чисел. Кроме того, предположение о
неустранимом многообразии неизбежно исключает любую
реальную связь между элементами вещей и, как следствие,
любую непрерывность, так как непрерывность представляет
собой лишь частный случай или особую форму такой связи;
как раз атомизм, как мы об этом уже ранее сказали, неиз-
бежно и подразумевает дискретность всех вещей; и именно
с этой дискретностью в конечном счете движение реально
несовместимо, и мы увидим, что именно это на самом деле
аргументы Зенона и доказывают.

Приведем, например, следующий довод: движущееся
тело никогда не сможет перейти от одного положения к
другому, потому что между двумя положениями, насколько
бы сближенными они ни были, всегда существует, скажем,
бесконечное число других, которые необходимо последова-
тельно пройти в ходе движения, и такая бесконечность ни-
когда не сможет быть исчерпанной. Разумеется, речь здесь
не может идти о бесконечности так, как о ней говорится, что
не имеет на самом деле никакого смысла; но тем не менее
верно, что необходимо рассматривать в каждом интервале
истинную неопределенность положений движущегося тела,
неопределенность, которая на самом деле не может быть ис-
черпана таким аналитическим, состоящим в том, чтобы за-
нимать эти положения отдельно друг за другом, как берутся
друг за другом члены дискретного ряда. Однако именно сама
эта концепция движения и является ошибочной, так как она
в итоге означает рассмотрение непрерывного как состояще-
го из точек, так же, как и концепция тел как состоящих из
атомов; и это означает, что в реальности нет непрерывного,
так как идет ли речь об атомах или о точках, эти последние
элементы могут быть лишь дискретными; между прочим,
верно, что без непрерывности не существует и возможного
движения, и как раз все это этот аргумент на самом деле и
доказывает. Так же обстоит дело и с аргументом стрелы, ко-
торая летит и которая тем не менее остается неподвижной,
потому что в каждое мгновение мы видим ее лишь в одном-
единственном положении, что сводится к предположению,
что каждое положение само по себе может рассматривать-
ся как устойчивое и определенное и что поэтому последо-
вательные положения образуют что-то вроде дискретного
ряда. Необходимо, между прочим, заметить, что на самом
деле не верно, что движущееся тело мы всегда видим так,
как если бы оно занимает одно неизменное положение, даже
наоборот, когда движение является довольно быстрым, нам
не приходится отчетливо видеть само движущееся тело, по
только что-то вроде следа его непрерывного перемещения:
так, например, если быстро вращать горящую головню, то
мы видим уже не форму этой головни, но только круг огня;
то, что этот факт объясняется сопротивлением ретиналь-
ных, связанных с сетчаткой глаза, впечатлении, как это де-
лают психологи, или каким угодно иным способом, это не

17 Р. Генон. Наука чисел
имеет значения, так как тем не менее очевидно, что в по-
добных случаях в каком-то отношении непосредственно и
осязаемым образом улавливается сама непрерывность дви-
жения. Кроме того, когда, сформулировав такой аргумент,
говорят «в каждое мгновение», то предполагают тем самым,
что время образовано рядом неделимых моментов, каждо-
му из которых соответствует определенное положение дви-
жущегося тела; но в реальности временная непрерывность
так же не состоит из мгновений, как и пространственная не-
прерывность не состоит из точек, и, как мы уже указывали,
необходимо объединение или, скорее, сочетание этих двух
непрерывностей, чтобы учитывать возможность движения.

Говорят также, что чтобы пройти некоторое расстояние,
необходимо сначала пройти половину этого расстояния, за-
тем половину другой половины, затем половину того, что
осталось, и так далее, до неопределенности, таким образом,
что мы всегда оказываемся перед неопределенностью,1 ко-
торая, таким образом рассматриваемая, будет на самом деле
неисчерпаемой. Другим почти эквивалентным аргументом
является следующий: если предположить два движущихся
тела, разделенных некоторым расстоянием, то одно из них,
хотя и движущееся быстрее, чем другое, никогда не сможет
с ним соединиться, так как, когда оно прибудет в ту точку,
где находилось второе тело, то это второе тело будет уже 1

1 Это соответствует последовательным членам неопределенного
ряда 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2, приводимого в качестве примера
Лейбницем в отрывке, который мы выше уже цитировали.
в другом положении, отделенном от первого расстоянием,
меньшим, чем начальное расстояние; когда оно прибудет в
это второе положение, другое будет уже в третьем, отделен-
ном от второго еще меньшим расстоянием, и так далее до
неопределенности, так что расстояние между этими двумя
движущимися телами, пусть и всегда уменьшающееся, ни-
когда не станет нулевым. Существенный недостаток этих
аргументов, так же, как и предыдущего, заключается в том,
что они предполагают, что чтобы достичь некоторого чле-
на, все промежуточные степени должны быть пройдены по
отдельности и последовательно. Итак, из двух приходится
выбирать одно: или рассматриваемое движение действи-
тельно является непрерывным, и тогда оно не может быть
расчленено таким образом, поскольку непрерывное не име-
ет последних элементов; или оно составляется, или по край-
ней мере может рассматриваться состоящим из дискретной
последовательности интервалов, каждый из которых имеет
определенную величину, как шаг идущего человека,1 и тогда
рассмотрение этих интервалов очевидно устраняет все воз-
можные промежуточные положения, которые не следует в
действительности проходить в качестве отдельных этапов. 1

1 В реальности, движение, из которого состоит ходьба, является
таким же непрерывным, как и любое другое движение, но точки, где
человек касается почвы, образуют дискретную последовательность
таким образом, что каждый шаг отмечает определенный интервал, и
поэтому пройденное расстояние может быть разложено на такие ин-
тервалы, где к почве прикасаются в каждой промежуточной точке.
Кроме того, в первом случае, который, собственно говоря, и
является случаем непрерывного изменения, член такого из-
менения, предполагаемый по определению неизменным, не
может быть достигнут в самом изменении, и тот факт, что
на самом деле его достигают, требует введения качествен-
ной разнородности, которая на этот раз образует истинную
дискретность и которая передается здесь переходом от со-
стояния движения к состоянию покоя; это возвращает пас к
вопросу о «переходе к пределу», истинное понятие которо-
го мы еще должны окончательно уточнить.
ГЛАВА XXIV

ИСТИННАЯ КОНЦЕПЦИЯ ПЕРЕХОДА
К ПРЕДЕЛУ

Рассмотрение «перехода к пределу» необходимо, как
говорили мы выше, если не при практических применени-
ях метода бесконечно малых, то по крайней мере при его
теоретическом обосновании, и такое обоснование как раз и
есть то единственное, что для нас здесь важно, так как про-
стые практические правила вычисления, имеющие в каком-
то роде «эмпирический» успех по не очень понятным при-
чинам, не представляют, очевидно, никакого интереса с
нашей точки зрения. Несомненно, чтобы осуществлять вы-
числения и чтобы даже доводить их до конца, нет нужды
задаваться вопросом: достигает ли переменная предела и
как она его может достичь; однако если она его не дости-
гает, то эти вычисления всегда могут иметь лишь значение
простых приблизительных расчетов. Верно, что речь здесь
идет о неопределенном приближении, поскольку сама при-
рода бесконечно малых величин позволяет получать сколь
угодно малую ошибку, которую все же невозможно полно-
стью устранить, поскольку эти самые бесконечно малые
величины при их неопределенном уменьшении никогда не
становятся нулевыми. Возможно, скажут, что здесь перед
нами практический эквивалент совершенно строгих вы-
числений; но помимо того, что речь у нас идет не об этом,
может ли само такое неопределенное приближение сохра-
нить смысл, если в результатах, к которым следует прий-
ти, необходимо рассматривать уже не переменные, но одни
только постоянные и определенные величины? При таких
условиях нельзя, с точки зрения результатов, избавиться от
такой альтернативы: или предел не достигается, и тогда вы-
числение бесконечно малых является лишь менее грубым
из методов приближения; или предел достигается, и тогда
мы имеем дело с методом, который действительно являет-
ся строгим. Но мы видели, что предел в силу самого своего
определения никогда точно не может быть достигнут пере-
менной; какое тогда право имеем мы говорить, что он тем
не менее может быть достигнут? Он может быть достигнут,
но не в ходе вычислений, а в результатах, потому что в них
должны фигурировать лишь постоянные и определенные
величины, такие как сам предел, а не переменные; следова-
тельно, именно различие переменных величин и величин
постоянных, различие, впрочем, чисто качественное, и яв-
ляется, как мы уже говорили, единственным истинным обо-
снованием строгости вычисления бесконечно малых.

Таким образом, еще раз повторим, предел не может быть
достигнут в изменении и в качестве его завершения; он не
является последним из значений, которое должна принять
переменная, и концепция непрерывного изменения, до-
ходящего до «последнего значения» или до «последнего
состояния», была бы такой же непостижимой и противо-
речивой, как и концепция неопределенного ряда, заверша-
ющегося «последним членом», или как концепция деления
непрерывной совокупности, доходящего до «последних
элементов». Предел не принадлежит, следовательно, к ряду
последовательных значений переменной; он находится вне
этого ряда, и именно поэтому мы говорим, что «переход к
пределу» подразумевает, в сущности, дискретность. Если
бы было иначе, перед нами была бы неопределенность, ко-
торая могла бы быть исчерпана аналитически, и именно это
и не может иметь места; но как раз здесь различие, которое
мы в этой связи установили, приобретает все свое значе-
ние, так как мы оказываемся перед одним из тех случаев,
где речь идет о достижении, согласно выражению, которое
мы уже использовали, пределов некоторой неопределен-
ности; следовательно, не без оснований одно и то же сло-
во «предел» вновь обнаруживается вместе с другим более
специальным значением в том частном случае, который
мы теперь рассматриваем. Предел переменной должен дей-
ствительно ограничивать в общем смысле этого слова, нео-
пределенность состояний или возможных видоизменений,
которые включает в себя определение этой переменной; и
именно для этого необходимо, чтобы он обнаруживался вне
того, что он должен таким образом ограничивать. Fie может
быть и речи об исчерпании этой неопределенности в ходе
самого того изменения, которое его образует; о чем на са-
мом деле идет речь, так это о том, чтобы выйти за пределы
области гакого изменения, в которую предел не оказывает-
ся включенным, и именно такой результат и достигается, не
аналитически и постепенно, но синтетически и сразу, «вне-
запным» в некотором роде способом, посредством которого
выражается дискретность, которая тогда возникает, нри пе-
реходе от переменных величин к величинам постоянным.1

Предел принадлежит исключительно к области посто-
янных величин: именно поэтому «переход к пределу» ло-
гически требует одновременного рассмотрения в величи-
не двух различных модальностей, в каком-то отношении
накладывающихся друг на друга; он есть не что иное, как
переход к высшей модальности, в которой полностью реа-
лизуется то, что в низшей модальности существует лишь в
состоянии простой тенденции, и именно в этом и состоит,
если использовать аристотелевскую терминологию, истин-
ный переход от потенции к акту, от возможности к действи-
тельности, что, разумеется, не имеет ничего общего с про-
стой «компенсацией ошибок», которую усматривает Карно.
Математическое понятие предела подразумевает, в силу
самого своего определения, признак стабильности и равно-
весия, признак чего-то постоянного и определенного, ко-
торый, очевидно, не может быть осуществлен величинами,
поскольку их рассматривают в низшей модальности как пе-
ременные по своей сущности; он, следовательно, никогда не
может быть достигнут постепенно, но он достигается непо- 1

1 Можно было бы в связи с этим «внезапным» или «мгновен-
ным» характером напомнить здесь, под видом сравнения с порядком
естественных феноменов, пример с разрывом веревки, который мы
приводили выше: этот разрыв также является пределом напряжения,
но он ни в коей мере не подобен напряжению какой бы то ни было
степени.
средственно, посредством перехода от одной модальности
к другой, перехода, который один только позволяет устра-
нить все промежуточные стадии, потому что он включает в
себя и синтетически охватывает всю их неопределенность,
и благодаря которому то, что было и могло быть лишь тен-
денцией в переменных, подтверждается и устанавливается
в реальном и определенном результате. Иначе «переход к
пределу» был бы всегда просто нелогичным, так как оче-
видно, что поскольку мы остаемся в области переменных,
то нельзя достичь того постоянства, которое свойственно
пределу, где величины, которые ранее рассматривались
как переменные, как раз и утрачивают этот переходный и
случайный характер. Состояние переменных величин яв-
ляется на самом деле в высшей степени переходным и в
каком-то роде несовершенным состоянием, поскольку оно
представляет собой лишь выражение «становления», идею
которого мы также обнаруживаем и в основе понятия самой
неопределенности, которое, между прочим, тесно связано с
этим состоянием изменения. Кроме того, вычисления могут
совершенными, в смысле действительно завершенными,
лишь когда они доходя г до результатов, в которые они уже
не вводят ничего ни переменного, ни неопределенного, но
только постоянные и определенные величины; и мы уже ви-
дели, насколько это может применяться посредством преоб-
разования по аналогии даже за пределами количественного
порядка, который тогда имеет лишь значение символа даже
в том, что непосредственно относится к метафизической
«реализации» существа.
ГЛАВА XXV

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нет нужды настаивать на важности, которую изложен-
ные нами в ходе этого исследования доводы представляют
с собственно математической точки зрения, в том, что они
приносят решение всех трудностей, возникающих в связи
с методом бесконечно малых либо в том, что касается его
истинного значения, либо в том, что касается его строго-
сти. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
такое решение могло быть дано, — это не что иное, как стро-
гое применение истинных принципов. Но именно об этих
принципах современные математики, так же как и другие
профанные ученые, совершенно ничего не знают, и такое
невежество является, по сути дела, единственной причиной
множества дискуссий, которые при таких условиях могут
продолжаться бесконечно, никогда не завершаясь никаким
серьезным выводом и только, наоборот, еще больше запу-
тывая вопрос и увеличивая путаницу, как слишком хоро-
шо показывает это спор «финитистов» и «инфинитистов»;
было бы тем не менее весьма легко все это в корне пресечь,
если бы сумели прежде всего ясно установить истинное по-
нятие метафизической Бесконечности и фундаментальное
различие Бесконечного и неопределенного. Сам Лейбниц,
если у него и была заслуга смело затрагивать некоторые
вопросы, чего не делали даже те, кто появился после него,
часто высказывал по этому поводу лишь нечто едва ли ме-
тафизическое, а иногда даже и почти явно антиметафизи-
ческое, как и обычные рассуждения общего характера со-
временных философов; это, следовательно, тот же самый
недостаток принципов, который мешал ему ответить своим
оппонентам удовлетворительным и в некотором роде окон-
чательным способом, и который тем самым открыл дверь
всем более поздним дискуссиям. Разумеется, можно вместе
с Карно сказать, что «если Лейбниц ошибался, то только
формулируя сомнения относительно точности своего ана-
лиза, если только он реально имел такие сомнения»;1 но
даже если он их, по сути дела, и не имел, он в любом случае
не мог строго доказать такую точность, потому что его кон-
цепция непрерывности, которая, конечно же, не является ни
метафизической, ни даже логической, мешала ему сделать
необходимые в этом отношении различия и, как следствие,
сформулировать точное понятие предела, которое, как мы
показали, имеет главное значение для обоснования метода
бесконечно малых.

Благодаря всему этому очевидно, какой интерес может
представлять рассмотрение принципов даже для самой спе-
циальной науки, здесь рассматриваемой, и не намереваясь
заходить, опираясь на эту пауку, дальше той относительной
и случайной области, к которой она применима непосред-
ственно; именно этого, разумеется, совершенно не понима-
ют наши современники, которые охотно хвалятся тем, что 1

1 Карно Л. Рассуждения о метафизике бесконечно малых. С. 33.
посредством своей профанной концепции науки сделали ее
независимой от метафизики, даже от теологии,1 тогда как
истина в том, что они тем самым лишь лишили ее всякой
реальной ценности познания. Более того, если бы была по-
нята необходимость соединить науку с принципами, тогда,
разумеется, не было бы никакой причины ее придерживать-
ся, и мы вполне естественно вернулись бы к традиционной
концепции, согласно которой частная наука, какой бы она
ни была, имеет значение не сама по себе, а благодаря воз-
можности использовать ее как «опору» для восхождения к
познанию высшего порядка.1 2 Мы как раз и желали здесь по-
средством характерного примера дать представление о том,
что можно было бы сделать, по крайней мере в некоторых
случаях, чтобы вернуть науке, изуродованной и искажен-
ной профанными концепциями, ее ценность и ее реальное
значение, одновременно и с точки зрения того относитель-
ного знания, которое она непосредственно предоставляет, и
с точки зрения высшего знания, к которому она способна
привести благодаря преобразованию по аналогии; мы су-
мели, в частности, увидеть, что можио извлечь в этом по-

1 Нам вспоминается, как один современный «сциентист» возму-
щался, что, например, в Средние века, могли находить возможность
говорить о Троице в связи с геометрией треугольника; впрочем, он,
вероятно, и не подозревал, что и сегодня так же обстоит дело в сим-
волизме Компаньонажа.

2 См., например, по этому поводу об эзотерическом и инициатиче-
ском аспекте «свободных искусств» в Средние века, «Эзотеризм Дан-
те» {Генон Р. Эзотеризм Данте // Философские науки. 1991. № 8).
следнем отношении из таких понятий, как интегрирование
и «переход к пределу». Необходимо, впрочем, сказать, что
математика больше, чем любая другая наука, предоставля-
ет символизм, особенно пригодный для выражения мета-
физических истин в той мере, в какой они выразимы, как
в этом могли убедиться тем, кто прочел некоторые из на-
ших предыдущих трудов; именно поэтому этот математи-
ческий символизм используется столь часто либо вообще с
традиционной точки зрения, либо с инициатической точки
зрения, в частности.1 Однако подразумевается, что для того
чтобы он был таковым, необходимо, чтобы эти науки были
освобождены от ошибок и разнообразной путаницы, кото-
рая внедрена в них ложными воззрениями современников,
и мы были бы счастливы, если настоящий труд мог бы по
крайней мере некоторым образом способствовать такому
результату. 1

1 Относительно причин такой совершенно особой ценности, ко-
торую в этом отношении имеет математический символизм как чис-
ловой, так и геометрический, можно обратиться к пояснениям, кото-
рые мы давали в «Царстве количества и знамениях времени».
СОДЕРЖАНИЕ

В. Ю. Быстров. Предисловие.............................. 5

Демиург ............................................... 12

Заметки о математическом обозначении................... 34

Замечания о происхождении чисел........................ 65

Принципы исчисления бесконечно малых................... 79

Предисловие.......................................... 79

Глава I. Бесконечное и неопределенное ............... 88

Глава II. Противоречие «бесконечного числа»......... 101

Глава III. Неисчислимое множество................... 107

Глава IV. Измерение непрерывного.................... 116

Глава V. Вопросы, которые вызывает метод исчисления
бесконечно малых.............................. 124

Глава VI. «Обоснованные фикции»..................... 130

Глава VII. «Степени бесконечности».................. 139

Глава VIII. «Деление до бесконечности», или неопределен-
ная делимость....................................... 148

Глава IX. Неопределенно возрастающее и неопределенно
уменьшающееся................................. 158
Глава X. Бесконечное и непрерывное.................... 166

Глава XI. «Закон непрерывности» ...................... 172

Глава XII. Понятие предела............................ 180

Глава XIII. Непрерывность и переход к пределу......... 186

Глава XIV. «Исчезающие величины»...................... 192

Глава XV. Нуль — это не число......................... 199

Глава XVI. Обозначение отрицательных чисел............ 208

Глава XVII. Изображение равновесия сил................ 218

Глава XVIII. Переменные и постоянные величины ........ 225

Глава XIX. Последовательные дифференцирования ........ 230

Глава XX. Различные порядки неопределенности ......... 235

Глава XXI. Неопределенное является аналитически
неисчерпаемым................................. 243

Глава XXII. Синтетический характер интегрирования ....	248

Глава XXIII. Аргументы Зенона Элейского............... 255

Глава XXIV. Истинная концепция перехода к пределу ....	261

Глава XXV. Заключение................................. 266
В данную книгу вошло нес-
колько работ известного мысли-
теля и исследователя религиоз-
ных традиций Рене Генона
(1886-1951), в том числе книга
«Принципы исчисления беско-
нечно малых», посвященная
связи математического симво-
лизма с традиционной наукой
чисел. Речь идет об отрасли
знаний, нашедшей свои отраже-
ния в нумерологии пифагорей-
цев, в древнееврейской Каббале,
в учении о числе александрий-
ского неоплатонизма, в иных
религиозно-философских сис-
темах древности, широко исполь-
зовавших числовой и геометри-
ческий символизм. Знакомство
с этой книгой может стать
весомым подспорьем для более
глубокого изучения древней
традиционной науки чисел, для
нового прочтения алексан-
дрийцев, Ибн Араби, Платона
и многих других, кого волновала
тайна числа.