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Author: Kerle H. Pittschellis R.
Tags: mechanik maschinenbau kinematik getriebelehre
ISBN: 978-3-322-96738-1
Year: 1998
Text
Kerle/Pittschellis
Einführung in die Getriebelehre
Einführung in
die Getriebelehre
Von Akad. Oberrat Dr.-Ing. Hanfried Kerle
Lehrbeauftragter für Getriebelehre an der
Technischen Universität Braunschweig
und Dipl.-Ing. Dipl.-Wirtsch.-Ing.
Reinhard Pittschellis
Technische Universität Braunschweig
Mit 180 Bildern und 14 Tafeln
B. G. Teubner Stuttgart 1998
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Kerle, Hanfried:
Einführung in die Getriebelehre I von Hanfried Kerle und Reinhard
Pittschellis. - Stuttgart : Teubner, 1998
ISBN 978-3-519-06362-9
ISBN 978-3-322-96738-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96738-1
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb
der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ()hne Zustimmung des Verlages unzulässig und
strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeich::rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
Gesamtherstellung: Präzis-Druck GmbH, Karlsruhe
Umschlaggestaltung: Peter Pfitz. Stuttgart
Vorwort
Als mit dem raschen Fortschreiten der Elektronik und der Datenverarbeitung das Zeitalter der Automatisierung anbrach, glaubten viele Ingenieure in der ersten Euphorie, daß
der gesteuerte Antrieb und die Leistungen der Rechentechnik die Getriebelehre und ihre
Grundlagen überflüssig machen würden wie die mechanische Uhr oder Schreibmaschine. Inzwischen ist man zu einer nüchternen Betrachtung der Dinge zurückgekehrt und
hat erkannt, daß der Getriebelehre ein gleichrangiger Platz zwischen der Antriebstechnik
und der Konstruktion gebührt. Dies wird auch häufig mit dem Begriff Mechatronik umschrieben.
Der Begriff Getriebelehre mag manchem erneuerungsbedürftig erscheinen. Wir haben
uns jedoch bewußt an diesen Begriff gehalten, weil er in einer langen Braunschweiger
Tradition steht, die eng verknüpft ist mit den Namen Bekir Dizioglu und Kurt Hain und
ihren Lehrbüchern "Getriebelehre" und "Angewandte Getriebelehre" .
Genau genommen existiert zum Fach "Getriebelehre" bereits eine Reihe guter Lehrbücher. Wir sind dennoch der Meinung, daß für das vorliegende Buch ein Bedarf besteht.
Im Zuge der allgemeinen Entwicklung von Rechnern, Rechnerleistung und Rechenprogrammen hat es in den letzten Jahren einen starken Wandel von den zeichnerischrechnerischen Methoden und Hilfsmitteln zur vorwiegend rechnergestützten Auswertung
mit zusätzlicher grafischer Visualisierung der theoretischen Aussagen und Gleichungen
der Getriebelehre gegeben. Diesem Wandel wurde in deutschen Lehrbüchern nur ansatzweise entsprochen. Wir haben deshalb ein ganzes Kapitel dieses Buches den numerischen Methoden gewidmet und begleitend zum Buch ein Programm für die kinematische Analyse ebener Getriebe entwickelt, das gegen eine geringe Versandgebühr auf
dem Postweg oder kostenlos über das Internet zu beziehen ist.
Es genügt für ein Lehrbuch aber nicht, nur auf die Produktion numerischer Ergebnisse in
Form von Tabellen oder Grafiken hinzuwirken; der Student oder die Studentin müssen
erkennen und beurteilen können, ob ihre erreichten Ergebnisse nicht nur plausibel sind,
sondern auch mit den Gesetzen der Mechanik übereinstimmen. Daher werden auch in
diesem Buch die theoretischen Grundlagen ausführlich dargestellt, jedoch mußten wir
einige klassische Verfahren der Getriebelehre auslassen, die heute weitestgehend durch
numerische Verfahren abgelöst werden können.
Diese Beschränkung ermöglicht eine kompakte Darstellung der wichtigsten Grundlagen
der Getriebelehre zu einem günstigen Preis. Der Inhalt dieses Buches bildet unserer
VI
Meinung nach den Grundstock für die Ausbildung im Fach "Getriebelehre" an Fachhochschulen und Universitäten.
Das Buch ist in 7 Kapitel gegliedert; jedes Kapitel enthält am Anfang eine Übersicht,
die den Leser oder die Leserin auf den zu erwartenden Lernstoff vorbereiten soll. Die
Kapitel 2 bis 6 enden mit einer Reihe von Übungsaufgaben, die der Lernkontrolle dienen. Die Lösungen zu den Übungsaufgaben finden sich im Anhang; dabei ist der erläuternde Text bewußt knapp gehalten, da die entsprechenden Lösungswege durch eingestreute Lehrbeispiele pro Kapitel bereits ausführlich beschrieben werden.
Das Buch ist nach einigen Jahren Lehr- und Übungserfahrung am Institut für Fertigungsautomatisierung und Handhabungstechnik (lFH) der TU Braunschweig aus einem
Vorlesungs skript entstanden. Wir danken dem Leiter des Instituts, Herrn Prof. DrAng.
1. Hesselbach, für seine wohlwollende Unterstützung und Förderung.
Eine engagierte Schar von Studenten hat die Bürde der Arbeit beim Schreiben und
Zeichnen sowie bei der Entwicklung des Rechenprogramms mitgetragen: Yannick Bastian, Peter Bohnenstengel, Christoph Herrmann, Nikolai Hille, Uwe Jürgens, Stefan
Scholz, Sven Dlaf Siems und Gerald Männer als Koordinator. Ihnen allen gilt unser
herzlicher Dank für ihre Motivation und Ausdauer.
Dem Teubner-Verlag, vertreten durch Herrn Dr. rer. nato J. Schlembach, gebührt unser
besonderer Dank für die angenehme Zusammenarbeit und gute Ausstattung des Buches.
Braunschweig, im November 1997
Hanfried Kerle
Reinhard Pittschellis
Inhalt
1 Einführung...................................................................•............................................... 1
1.1 Aufgaben und Inhalt der Getriebe1ehre .................................................................. 1
1.2 Anwendungsgebiete der Getriebelehre ................................................................... 3
1.3 Beispiel einer getriebetechnischen Aufgabe ......................................................... 10
1.4 Hilfsmittel ............................................................................................................ 11
1.4.1 VDI-Richtlinien ............................................................................................. 11
1.4.2 Arbeitsblätter (Kurzrichtlinien) ..................................................................... 12
1.4.3 Getriebeprogramme ....................................................................................... 12
2 Getriebesystematik ...................•.......................................•.....•..........••••........•.......•.•. 13
2.1 Grundbegriffe ....................................................................................................... 13
2.1.1 Übertragungs getriebe .................................................................................... 14
2.1.2 Führungsgetriebe ........................................................................................... 16
2.1.3 Lage der Drehachsen ..................................................................................... 16
2.2 Aufbau der Getriebe ............................................................................................. 18
2.2.1 Getriebeglieder .............................................................................................. 18
2.2.2 Gelenke ......................................................................................................... 19
2.3 Getriebefreiheitsgrad (Laufgrad) .......................................................................... 23
2.4 Struktursystematik ................................................................................................ 29
2.4.1 Kinematische Ketten ..................................................................................... 30
2.4.2 Ebene Getriebe .............................................................................................. 35
2.4.2.1 Getriebe der Viergelenkkette ................................................................. 35
2.4.2.2 Kurvengetriebe ....................................................................................... 44
2.4.2.3 Räumliche Getriebe ................................................................................ 47
2.5 Übungsaufgaben ................................................................................................... 50
VIII
Inhalt
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe ............................................. 55
3.1 Grundlagen der Kinematik ................................................................................... 56
3.1.1 Bewegung eines Punktes ............................................................................... 56
3.1.2 Bewegung einer Ebene .................................................................................. 58
3.1.2.1 Geschwindigkeitszustand ....................................................................... 59
3.1.2.2 Momentan- oder Geschwindigkeitspol.. ................................................. 61
3.1.2.3 Beschleunigungszustand ........................................................................ 62
3.1.2.4 Beschleunigungspol ............................................................................... 64
3.1.3 Graphische Getriebeanalyse .......................................................................... 66
3.1.3.1 Maßstäbe ................................................................................................ 66
3.1.3.2 Geschwindigkeitsermittlung ................................................................... 68
3.1.3.3 Beschleunigungsermittlung .................................................................... 71
3.1.3.4 Rastpolbahn und Gangpolbahn .............................................................. 72
3.2 Relativkinematik .................................................................................................. 74
3.2.1 Geschwindigkeitszustand .............................................................................. 75
3.2.2 Beschleunigungszustand ............................................................................... 78
3.3 Übungsaufgaben ................................................................................................... 82
4 Numerische Getriebeanalyse .................................................................................... 85
4.1 Analytisch-vektorielle Methode ........................................................................... 86
4.1.1 Iterative Lösung der Lagegleichungen .......................................................... 88
4.1.2 Erweiterung auf den mehrdimensionalen Fall ............................................... 89
4.1.3 Berechnung der Geschwindigkeiten .............................................................. 90
4.1.4 Berechnung der Beschleunigungen ............................................................... 92
4.1.5 Berechnung von Koppel- und Vektorkurven ................................................. 95
4.1.6 Die Bedeutung der JACOBI-Matrix .............................................................. 96
4.2 Modulmethode ..................................................................................................... 98
4.3 Übungsaufgaben ................................................................................................. 106
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe .............................................................. 110
5.1 Einteilung der Kräfte .......................................................................................... 110
5.1.1 Trägheitskräfte ............................................................................................ 112
Inhalt
IX
5.1.2 Gelenk- und Reibungskräfte ........................................................................ 113
5.2 Grundlagen der Kinetostatik .............................................................................. 116
5.2.1 Gelenkkraftverfahren .................................................................................. 117
5.2.1.1 Kraft- und Seileckverfahren ................................................................. 119
5.2.1.2 CULMANN-Verfahren ........................................................................ 120
5.2.1.3 Kräftegleichgewicht an der Elementargruppe 11. Klasse ..................... 121
5.2.1.4 Kräftegleichgewicht an der Elementargruppe III. Klasse ..................... 122
5.2.2 Synthetische Methode (Schniuprinzip) ....................................................... 127
5.2.3 Prinzip der virtuellen Leistungen (Leistungssatz) ....................................... 131
5.2.3.1 JOUKOWSKY-Hebel .......................................................................... 132
5.3 Übungsaufgaben ................................................................................................. 135
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe ........................ 139
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT ........................................................................ 139
6.1.1 Kurbelschwinge ........................................................................................... 142
6.1.2 Schubkurbel ................................................................................................ 145
6.1.3 Auswahlkriterien ......................................................................................... 147
6.1.3.1 Übertragungswinkel ............................................................................. 147
6.1.3.2 Beschleunigungsgrad ........................................................................... 151
6.2 Lagensynthese .................................................................................................... 154
6.2.1 Wertigkeitsbilanz ........................................................................................ 154
6.2.2 Zwei-Lagen-Synthese .................................................................................. 156
6.2.2.1 Beispiel eines Führungsgetriebes ......................................................... 156
6.2.2.2 Beispiel eines Übertragungsgetriebes ................................................... 157
6.2.3 Drei-Lagen-Synthese ................................................................................... 158
6.2.3.1 Beispiel eines Drehgelenkgetriebes als Übertragungsgetriebe ............. 159
6.2.3.2 Beispiel eines Schubkurbelgetriebes als Übertragungsgetriebe ........... 159
6.3 Übungsaufgaben ................................................................................................. 161
7 Räumliche Getriebe ................................................................................................ 163
7.1 Der räumliche Geschwindigkeitszustand eines starren Körpers ......................... 164
7.2 Der relative Geschwindigkeitszustand dreier starrer Körper. ............................. 167
x
Inhalt
7.3 Vektorielle Iterationsmethode ............................................................................ 171
7.4 Koordinatentransformationen ............................................................................. 176
7.4.1 Elementardrehungen .................................................................................... 176
7.4.2 Verschiebungen ........................................................................................... 180
7.4.3 Kombination mehrerer Drehungen .............................................................. 180
7.4.4 Homogene Koordinaten .............................................................................. 185
7.4.5 HARTENBERG-DENAVIT-Formalismus (HD-Notation) ......................... 186
Anhang ........................................................................................................................ 193
Lösungen zu den Übungsaufgaben ........................................................................... 193
Lösungen zu Kapitel 2 ............................................................................................. 194
Lösungen zu Kapitel 3 ............................................................................................. 201
Lösungen zu Kapitel 4 ............................................................................................. 208
Lösungen zu Kapitel 5 ............................................................................................. 216
Lösungen zu Kapitel 6 ............................................................................................. 226
Literaturverzeichnis ................................................................................................... 232
Sachverzeichnis .......................................................................................................... 236
Formelzeichen und Einheiten
In diesem Buch werden Vektoren als gerichtete Größen, wie z.B. Kräfte F, Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen ä, mit einem oben liegenden Pfeil gekennzeichnet;
gelegentlich verbindet ein solcher Pfeil zwei Punkte A und B und gibt dadurch Anfangs-4
und Endpunkt des Vektors an: AB. Mit AB ist dann der Betrag dieses Vektors (Strecke
zwischen A und B) gemeint. Matrizen werden durch Fettdruck hervorgehoben. Für Matrizen und Vektoren bedeutet ein "T" als Hochindex, z.B J T , die transponierte oder
Zeilenform; mit J- 1 wird die Inverse (Kehrmatrix) von J bezeichnet.
Die Maßeinheiten richten sich nach dem SI-Einheitensystem mit den Grundeinheiten m
für die Länge, kg für die Masse und s für die Zeit; abgeleitete kohärente Einheiten sind
dann z.B. 1 N = 1 kgmls 2 für die Kraft, 1 Pa = 1 N/m2 für den Druck und 1 W = 1 Nmls
für die Leistung.
Rechenprogramm "MGA"
Das unter WINDOWS lauffähige Rechenprogramm "MGA" (Modulare Getriebeanalyse) wurde als Begleitprogramm zum Buch für die kinematische Analyse ebener Getriebe
mit Dreh- und Schub gelenken entwickelt und umfaßt sowohl die Modulmethode entsprechend der Richtlinie VDI 2729 für Getriebe auf der Grundlage von "Zweischlägen"
als auch die Iterationsmethode für Getriebe komplexerer Struktur.
Das Programm kann für eine nicht kommerzielle Nutzung vom erstgenannten Autor über
den Postweg (Institut für Fertigungsautomatisierung und Handhabungstechnik, TU
Braunschweig, Postfach 3329, 38023 Braunschweig) als Diskette gegen eine Gebühr
von DM 5,00 (in Briefmarken) oder über die Internet-Adresse http://www.ith.ing.tubs.de kostenfrei bezogen werden. Eine Weitergabe in vollständiger bzw. unveränderter
Form ist zulässig, solange die Copyright-Vermerke nicht entfernt werden. Die Autoren
übernehmen keine Garantie für Fehlerfreiheit des Programms und haften nicht für
eventuelle Schäden, die durch die Anwendung des Programms entstehen.
1 Einführung
Dieses Kapitel grenzt die gleichmäßig übersetzenden Getriebe, z.B. Zahnradgetriebe,
von den ungleichmäßig übersetzenden Getrieben ab, die Thema dieses Buches sind. Die
Getriebelehre wird in drei Hauptgebiete unterteilt: Getriebesystematik, Getriebeanalyse
und Getriebesynthese. Der Leser erhält anhand von Bildern einen Einblick in Technikbereiche, in denen Getriebe als Bewegungs- und Kraftübertragungsbaugruppen eine
große Rolle spielen. Am Beispiel einer getriebetechnischen Aufgabe werden grundlegende Fragen erörtert und für die Antworten auf die entsprechenden Kapitel des Buches
verwiesen. Hinweise auf weitere Hilfsmittel schließen das Kapitel ab.
1.1 Aufgaben und Inhalt der Getriebelehre
Die Getriebelehre oder Getriebetechnik ist eine grundlegende Ingenieurwissenschaft, die
eine breite Anwendung im Maschinen- und Gerätebau findet. Sie ist einerseits eine
Querschnittswissenschaft für viele Ingenieurzweige, andererseits ordnet sie sich noch am
besten zwischen der Mechanik und der Konstruktion ein: Mit Hilfe getriebetechnischer
Methoden werden technologische Aufgabenstellungen - z.B. in der Produktionstechnik - im Bereich der Bewegungs- und Kraftübertragungen in Konstruktionen umgesetzt,
d.h. es werden Getriebe analysiert und entwickelt und das Zusammenwirken einzelner,
miteinander beweglich verbundener Funktionsteile von Maschinen und Geräten erforscht. Die Getriebelehre hat die Aufgabe, die vielfaltigen Erscheinungsformen der
Getriebe zusammenzufassen, systematisch zu ordnen und Gesetzmäßigkeiten herauszuarbeiten. Sie bietet Methoden und Verfahren zur Analyse der Eigenschaften und des
Verhaltens der Getriebe, verallgemeinert dabei die gewonnenen Erkenntnisse und gibt
wissenschaftlich begründete Anleitungen für die Verbesserung und die Neuentwicklung
von Getrieben [10].
Grundsätzlich wird unterschieden zwischen gleichförmig oder gleichmäßig übersetzenden Getrieben (G-Getriebe), z.B. Zahnrad-, Schnecken- oder Riemengetriebe, und
ungleichförmig oder ungleichmäßig übersetzenden oder periodischen Getrieben (UGetriebe), z.B. Schubkurbelgetriebe oder Kurvengetriebe. Die Gruppe der U-Getriebe
soll hier vorrangig behandelt werden.
H. Kerle et al., Einführung in die Getriebelehre
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
1 Einführung
2
Der Zweck von Getrieben ist die Umwandlung einer gegebenen in eine gewünschte
Bewegung und die Übertragung bestimmter Kräfte und (Dreh-) Momente (Kräftepaare).
So wird z.B. bei einem Schubkurbelgetriebe eine Drehung (Rotation) in eine Schiebung
(Translation) umgewandelt oder umgekehrt.
Entsprechend den zu lösenden Aufgaben läßt sich die Getriebelehre in drei Hauptgebiete
unterteilen (Bild 1.1).
Die Getriebesystematik als Autbaulehre behandelt den strukturellen Autbau und die
Autbauelemente der Getriebe. Gegenstand der Getriebeanalyse ist es, Getriebe, deren
Autbau und Abmessungen bekannt sind, zu untersuchen, d.h. zu berechnen, wobei entweder die Bewegungen oder die wirkenden Kräfte im Vordergrund stehen: Getriebekinematik oder Getriebedynamik. In der Lehre vermittelt die Getriebeanalyse eine geordnete Menge von Gesetzmäßigkeiten, die als Grundlage für die Getriebesynthese
benutzt werden [6].
GETRIEBELEHRE
G - Getriebe
I
I
I
Getriebesystem atik
I
Getriebekinematik
l
I
U - Getriebe
Getriebeanalyse
Getrie besyn these
I
I
Getriebedyn am ik
I
I
Bild 1.1
Einteilung der Getriebelehre
Die Getriebesynthese urnfaßt die Entwicklung von Getrieben aus bekannten Autbauelementen für vorgegebene Forderungen. Hierzu gehören z.B. die Festlegung der Getriebestruktur (Typensynthese ), die Bestimmung kinematischer Abmessungen
(Maßsynthese) und die konstruktive Gestaltung der Getriebeglieder und Gelenke unter
Berücksichtigung statischer und dynamischer Beanspruchungen. Da die Getriebesynthese insofern Kenntnisse in Technischer Mechanik, Maschinendynamik, Werkstoffkunde, Konstruktions- und Fertigungstechnik voraussetzt, ist sie im allgemeinen
schwieriger zu handhaben als die Getriebeanalyse.
1.2 Anwendungsgebiete der Getriebelehre
3
Im Zuge einer ständig wachsenden Rechnerleistung und der damit gekoppelten Entwicklung von Programmen konnten die numerischen Schwierigkeiten relativiert, wenn
nicht sogar erst durch den Rechnereinsatz bewältigt werden. Eine Reihe von Syntheseverfahren beruhen auf der wiederholten Analyse mit systematisch geänderten Abmessungen von Getriebegliedern. Aus einer Vielzahl von Lösungen wird automatisch oder
manuell das beste Getriebe anhand der vorgegebenen Forderungen ausgewählt. Man
bezeichnet diese Verfahrensweise als Synthese durch iterative (systematisch wiederholte) Analyse [10].
1.2 Anwendungsgebiete der Getriebelehre
Die Getriebelehre umfaßt viele Bereiche des Maschinenbaus wie Feingerätetechnik,
Fahrzeugtechnik, Textiltechnik, Verpackungsmaschinen, Land-, Druck-, Schneid-,
Stanz- und Handhabungstechnik.
Mechanische Robustheit, Zuverlässigkeit und Wirtschaftlichkeit sprechen dafür, Baugruppen und komplette Maschinen für die vorgenannten Bereiche mit den Mitteln der
Getriebelehre zu entwerfen und auszulegen. Die wachsende Bedeutung elektrischer,
elektronischer und anderer Bauelemente steht dazu nicht im Gegensatz, sondern erweitert und ergänzt die Palette der Lösungsmöglichkeiten für den Ingenieur im Maschinenund Gerätebau. Durch den Einsatz zusätzlicher elektrischer, hydraulischer, pneumatischer und anderer Antriebselemente (z.B. Formgedächtnisaktoren) bei der Lösung von
Bewegungsaufgaben entsteht oft erst die gewünschte Flexibilität. Ein von einem Rechner gesteuerter Antrieb kann sensorgeführt als Hauptantrieb unterschiedlichen Belastungen angepaßt werden, ein Vorschaltgetriebe ersetzen oder als Nebenantrieb den Bewegungsbereich eines Getriebes verändern. Für gesteuerte (sensorgeführte) Bewegungen
dieser Art wird heute der Begriff Mechatronik verwendet. In der Kombination von
Mechanik, Elektrotechnik, Elektronik, Hydraulik und Pneumatik wird die Getriebelehre
stets einen wichtigen Platz in den Ingenieurwissenschaften einnehmen.
Einen Eindruck von den vielen Anwendungen unterschiedlicher Getriebe im Maschinenbau vermitteln die Bilder 1.2 bis 1.10.
In Bild 1.2 ist ein Pkw-Ottomotor zu sehen. Das Herz dieses Motors bilden drei sechsgliedrige (ebene) Getriebe auf der Basis jeweils zweier gekoppelter Schubkurbelgetriebe, deren Kolbenbahnen V-förmig angeordnet sind (V6-Motor). Die von der Nockenwelle gesteuerten Ein- und Auslaßventile für den Gaswechsel stellen spezielle federkraftschlüssige (ebene) Kurvengetriebe dar.
Ebenfalls einem Verbrennungsmotor zuzuordnen ist der in Bild 1.3 gezeigte Schraubenkompressor zur Verdichtung der Ansaugluft; die sichtbaren beiden "Schrauben"
4
1 Einführung
sind nach einern räumlichen Verzahnungsgesetz konjugiert zueinander gefertigt und
bilden mehrfach im Eingriff stehende räumliche Kurvengelenke, die hochgenau gefertigt
werden müssen.
Bild 1.4 zeigt eine Pkw-Vorderachse, bei der sowohl die Lenkung als auch die beiden
Vorderradaufhängungen räumliche Getriebe darstellen, d.h. Getriebe mit windschiefen
Bewegungsachsen. Im vorliegenden Fall besitzen die Getriebe einen Freiheitsgrad F > 1,
um neben der Hauptbewegung "Lenken" bzw. "Einfedern in vertikaler Richtung" noch
weitere Einstell- oder Ausgleichsbewegungen zu ermöglichen.
Die automatisierte Montage von Automobilen erfolgt heute größtenteils mit Hilfe von
Industrierobotern. Industrieroboter sind ebenfalls räumliche Getriebe, deren Bewegungsachsen vorzugsweise senkrecht oder parallel zueinander liegen oder sich sogar in
einern Punkt schneiden. Sie haben als Basis eine sog. offene kinematische Kette wie
der menschliche Arm, die einzelnen Glieder sind über Dreh- oder Schubgelenke miteinander verbunden. Bild 1.5 zeigt einen Roboter mit sechs Bewegungsachsen
(Freiheitsgrad F =6) Al bis A6, die sämtlich Drehachsen darstellen. Die Achsen Al bis
A3 dienen im wesentlichen der Positionierung, die Achsen A4 bis A6 im wesentlichen
der Orientierung des Endglieds mit dem Greifer oder Werkzeug im x-y-z-Raum. Dadurch, daß die Achsen A2 und A3 parallel sind und sich die Achsen A4 bis A6 in einern
Punkt schneiden, reduziert sich der Rechenaufwand für die Kinematik des Roboters.
Mechanische Greifer für die Mikrornontage, d.h. für die Montage kleiner und kleinster
Teile im 11m-Bereich, verlangen zwar nur geringe Bewegungen der Greifglieder, diese
Bewegungen müssen jedoch synchron und mit höchster Präzision ablaufen. Am Institut
für Fertigungsautomatisierung und Handhabungstechnik (lFH) der TU Braunschweig
wurde ein reinraumtauglicher Mikrogreifer aus Kunststoff oder superelastischem Metall mit abriebfreien stoffschlüssigen Gelenken entwickelt und auf einer CNCPräzisionswerkzeugmaschine gefräst, dessen Greifglieder von neuartigen Aktoren auf
der Basis von Formgedächtnislegierungen (FGL) bewegt werden, Bild 1.6. Die stoffschlüssigen Gelenke entstehen durch gezieltes Schwächen von Materialquerschnitten.
Die Abstände zwischen diesen Gelenken sind mit Rechnerunterstützung so gewählt
worden, daß sich die Greifglieder im Greifbereich synchron gegeneinander bewegen
(Übersetzungsverhältnis i = -1) [1.1]. Insgesamt entstand ein sog. Parallelgreifer mit
zwei alternativ zum Öffnen und Schließen des Greifers wirkenden FGL-Antrieben zwischen den bewegten Gliedern [1.2].
Bei den Kurvengetrieben sind Rundtaktautomaten als Schrittgetriebe in der Handhabungstechnik als Anwendungen zu nennen [1.3], die nach Katalog in verschiedenen
Baugrößen ausgewählt werden können, Bild 1.7. Zwischen den einzelnen Stillständen
(Rasten) des Abtriebsgliedes (hier: Rollenstern) läßt sich durch eine geeignete Formgebung des angetriebenen Kurvenkörpers (hier: Globoid) fast jedes nach kinematischen
und dynamischen Gesichtspunkten günstige Übergangs gesetz verwirklichen. Bei dem
skizzierten sehr kompakt aufgebauten Kurvengetriebe sind die Antriebs- und Abtriebsdrehachse räumlich zueinander mit einern Kreuzungswinkel von 90° versetzt.
1.2 Anwendungsgebiete der Getriebelehre
5
Derartige Getriebe dienen entweder mit Wulstkurve und Rollenstern oder Nutkurve
und Einzelrolle als Bausteine für zusammengesetzte mechanische Mehrachsensysteme
(Bild 1.8), die im Unterschied zu frei programmierbaren Industrierobotern durch die
Bewegungsgesetze der Kurvenkörper festprograrnrniert sind. Es ist nur noch eine Ablaufsteuerung zwischen den einzelnen Antrieben erforderlich. Bei dem im Bild skizzierten System werden mindestens drei Tischbewegungen kurvengesteuert: die beiden
Schiebungen in horizontaler und vertikaler Richtung und die Drehung um die vertikale
Achse.
In Bild 1.9 ist eine Kniehebelpresse auf der Grundlage eines sechsgliedrigen Getriebes
dargestellt. Die vertikal arbeitende Baugruppe enthält den "Kniehebel" mit dem Druckkörper als Gleitstein wie bei einem Schubkurbelgetriebe; horizontal ist der Drehantrieb
mit Zwischenglied für den Kniehebel angeordnet. Die Kniehebelwirkung entsteht in der
oberen Stillstandslage ("Totlage") des Druckkörpers bei gleichmäßig rotierendem Antrieb. Ein Niederhalter beim Preßvorgang kann ebenfalls über den Hauptantrieb gesteuert werden.
Bild 1.10 zeigt einen Schaufellader mit zwei Hubzylindern zum Heben und Schwenken
der Schaufel. Die Grundlage dieses Getriebes ist eine kinematische Kette (s. Abschnitt
2.4.1), die aus neun Gliedern besteht, einschließlich des Fahrzeugs als Gestell.
Bild 1.2
V6-Motor mit Ventilsteuerung (Werkbild: Mercedes-Benz AG, Stuttgart)
6
1 Einführung
Bild 1.3
Schraubenkompressor mit räumlicher Verzahnung (Werkbild: Mercedes-Benz AG,
Stuttgart)
Bild 1.4
Pkw-Vorderachse (Werkbild: Mercedes-Benz AG, Stuttgart)
1.2 Anwendungsgebiete der Getriebelehre
7
...·...·L).A3
+
+ ' - -.........
'-'~"
Al
Bild 1.5
Industrieroboter mit sechs Bewegungsachsen (Werkbild: KUKA Roboter GmbH,
Augsburg)
Bild 1.6
Mikrogreifer mit acht Gliedern und stoffschlüssigen Gelenken (Werkbild: IFH der TU
Braunschweig)
1 Einführung
8
Bild 1.7
Kurvenschrittgetriebe
für
Rundtaktautomat (Werkbild:
MANIFOLD Erich Erler
GmbH & Co., Düsseldorf)
Bild 1.8
Mechanisches Mehrachsensystem (Werkbild: SOPAP
GmbH, Ravensburg)
9
1.2 Anwendungsgebiete der Getriebelehre
Bild 1.9
Kniehebelpresse ry.t erkbild: Gräbener
Pressensysteme GmbH & Co KG,
Netphen-Werthenbach)
Bild 1.10
Schaufellader (Werkbild: LiebherrInternational AG, BullelFR, Schweiz)
1 Einführung
10
1.3 Beispiel einer getriebetechnischen Aufgabe
Am IFH der TU Braunschweig wurde ein neuartiger Roboter mit sechs Bewegungsfreiheiten entwickelt, der sich von herkömmlichen Industrierobotern grundlegend unterscheidet.
Bei diesem HEXA genannten Prototypen wird die Arbeitsplattform (Endeffektorträger)
über sechs Arme geführt (Bild 1.11). Dadurch sind alle Antriebe gestellfest und müssen
nicht mitbewegt werden.
Solche Roboter werden Parallelroboter genannt, weil die Arbeitsplattform stets durch
mehrere Gelenkketten gleichzeitig (parallel) geführt wird. Parallelroboter zeichnen sich
durch große Nutzlasten, hohe Verfahrgeschwindigkeiten und -beschleunigungen aus,
weil die bewegten Massen im Vergleich zu seriellen Robotern (z.B. Bild 1.5) sehr gering sind [1.4,1.5].
Endeffe ktorträger
Bild 1.11
HEXA -Parallel roboter
Bei der Entwicklung, Konstruktion und beim Einsatz eines solchen Roboters, der ein
räumliches Getriebe darstellt, tauchen sofort folgende Fragen auf:
1. Welcher Getriebetyp liegt dem HEXA-Parallelroboter zugrunde? (Abschnitt 2.1)
2. Aus welchen Elementen setzt sich das Getriebe strukturell zusammen ? Welche Gelenke sind zu wählen? (Abschnitt 2.2)
3. Welche Gleichungen beschreiben - zumindest im Ansatz - die Geometrie und somit
auch den Arbeitsraum des Roboters? (Kapitel 3,4)
11
1.4 Hilfsmittel
4. Welche Gliedlängen sind für einen vorgegebenen Arbeitsraum zu wählen?
(Kapitel 6)
5. Wie sind die Antriebe auszulegen, wenn die Abmessungen der Glieder und deren
Material, die Kinematik und die Belastung der Arbeitsplattform durch Nutz- und
Trägheitskräfte vorgegeben werden? (KapitelS)
6. Welchen Beanspruchungen (Belastungen) unterliegen dabei die einzelnen Glieder
bzw. Gelenke des Roboters? (KapitelS)
Diese Fragen werden in den genannten Abschnitten/Kapiteln ausführlich behandelt.
Dabei werden die Darstellungen aber im wesentlichen auf ebene Getriebe beschränkt
bleiben; nur Abschnitt 2.4.2.3 und Kapitel 7 handeln von räumlichen Getrieben.
1.4 Hilfsmittel
1.4.1 VDI-Richtlinien
Sehr hilfreich für die Auslegung von Getrieben sind eine Reihe von Richtlinien des
Vereins Deutscher Ingenieure (VDI), z.B.:
VDI-Richtlinie
Ausgabe
Titel/Seitenzahl
2127
02.93
Getriebetechnische Grundlagen; Begriffsbestimmungen
der Getriebe /48 S.
2130
04.84
Getriebe für Hub- und Schwingbewegungen; Konstruktion und Berechnung viergliedriger ebener Gelenkgetriebe für gegebene Totlagen /26 S.
2142Bl.1
10.94
Auslegung ebener Kurvengetriebe; Grundlagen, Profilberechnung und Konstruktion /51 S.
2145
12.80
Ebene viergliedrige Getriebe mit Dreh- und Schubgelenken; Begriffserklärungen und Systematik /58 S.
2148
06.83
Getriebedynamik; Begriffe und Grundlagen /8 S.
2156
09.75
Einfache räumliche Kurbelgetriebe; Systematik und
Begriffsbestimmungen /11 S.
2721
03.80
Schrittgetriebe; Begriffsbestimmungen, Systematik,
Bauarten /16 S.
1 Einführung
12
2723
06.82
Vektorielle Methode zur Berechnung der Kinematik
räumlicher Getriebe /14 S.
2724
06.86
Berechnung der Kinematik viergliedriger Getriebe; Ein
Rechenprogramm /28 S.
2727 Bl.l
05.91
Konstruktionskataloge; Lösung von Bewegungsaufgaben mit Getrieben; Grundlagen /19 S.
2727 Bl.2
05.91
Konstruktionskataloge; Lösung von Bewegungsaufgaben mit Getrieben; Erzeugung hin- und hergehender
Schubbewegungen; Antrieb gleichsinnig drehend /23 S.
2729
04.95
Modulare kinematische Analyse ebener Gelenkgetriebe
mit Dreh- und Schubgelenken /36 S.
1.4.2 Arbeitsblätter (Kurzrichtlinien)
In einigen Zeitschriften sind in loser Reihenfolge Arbeitsblätter zur Analyse und Synthese von Getrieben zu finden, die von namhaften Autoren erarbeitet worden sind, z.B. in
den Zeitschriften "Maschinenbautechnik" von 1963 bis 1991, "Konstruktion" und "Der
Konstrukteur" .
1.4.3 Getriebeprogramme
Im Zeitalter der Computertechnik gibt es selbstverständlich eine Fülle von Software für
die Lösung getriebetechnischer Probleme. Die Programme reichen von Insellösungen bis
zur Integration sog. Getriebe- oder Kinematikmodule in CAD-Pakete und können hier
nicht alle aufgelistet werden; beispielsweise seien genannt:
-
KAMOS und Cam Design System (CDS) vom Institut für Getriebetechnik im Maschinenbau der Universität Hannover;
-
OPTIMUS MOTUS von Nolte NC-Kurventechnik in Bielefeld;
-
SAM von ARTAS Engineering Software in RJ Nuenen, Niederlande;
-
LINKAGE DESIGN und CAM DESIGN von ES DU International pIe in London,
England;
-
WORKING MODEL von Bytics Technologie AG in Uster, Schweiz.
Einen interessanten Einblick gibt der VDI-Bericht Nr. 736 über Computer Aided Kinematics von 1989 des VDI-Verlags in Düsseldorf.
2 Getriebesystematik
Dieses Kapitel erläutert zunächst die wichtigsten Begriffe der Getriebelehre und leitet so
über zur Aufbaulehre der Getriebe oder Getriebesystematik mit Gliedern und Gelenken.
Der Leser lernt die Unterschiede zwischen Übertragungs- und Führungsgetrieben einerseits und zwischen ebenen, sphärischen und räumlichen Getrieben andererseits kennen.
Ausgehend vom Freiheitsgrad f einzelner Gelenke wird der Getriebefreiheitsgrad oder
-laufgrad als Abzählformel
L
g
F = ben -1) -
(b - f i )
i=l
hergeleitet und an zahlreichen Beispielen erläutert. Da sich jedes Getriebe mit festgelegtem Gestellglied, An- und Abtriebsglied(ern) auf eine kinematische Kette zurückführen läßt, werden die wesentlichen kinematischen Ketten vorgestellt, aus denen sich
zwangläufige ebene und räumliche Getriebe mit F = I entwickeln lassen.
2.1 Grundbegriffe
Die Definition eines Getriebes lautet [6]:
Ein Getriebe ist eine mechanische Einrichtung zum Übertragen (Wandeln oder
Umformen) von Bewegungen und Kräften oder zum Führen von Punkten eines
Körpers auf bestimmten Bahnen. Es besteht aus beweglich miteinander verbundenen Teilen (Gliedern), wobei deren gegenseitige Bewegungsmöglichkeiten
durch die Art der Verbindung (Gelenke) bestimmt sind. Ein Glied ist stets Bezugskörper (Gestell), die Mindestanzahl der Glieder und Gelenke beträgt jeweils
drei.
Nach dieser Definition gibt es Getriebe zum Übertragen von Bewegungen bzw. Leistungen - sie werden Übertragungsgetriebe genannt - und Getriebe zum Führen von Glie-
H. Kerle et al., Einführung in die Getriebelehre
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
2 Getriebesvstematik
14
dern oder Körpern, die Führungsgetriebe heißen. Im Rückblick auf das Kapitel zuvor
handelt es sich bei den Getrieben der Bilder 1.2, 1.3, 1.7 und 1.9 um Übertragungsgetriebe, bei den Getrieben der Bilder 1.4 bis 1.6, 1.8, 1.10 und 1.11 um Führungsgetriebe.
2.1.1 Übertragungsgetriebe
In Übertragungs- oder auch Funktionsgetrieben erfolgt die Bewegungsübertragung nach
einer Übertragungsfunktion (auch Getriebefunktion) und zwar ohne oder mit einer
Änderung der Bewegungsform (z.B. Drehen, Schieben, Schrauben). Die Bewegungsoder Abtriebsfunktion q des Getriebes setzt sich aus der zeitabhängigen Antriebsfunktion p(t) und der Übertragungsfunktion q(p) zusammen: q(t) = q [p(t)], Tafel 2.1.
Entsprechend der Ableitungsstufe gibt es mehrere Übertragungsfunktionen (ÜF):
q = q[p(t)]
~ ÜF
O. Ordnung (ÜF 0) q(p)
(2.1)
Die Antriebsfunktion p(t) ist vorgegeben.
Einmaliges Differenzieren nach der Zeit t liefert die Abtriebsgeschwindigkeit:
,.
. dq dq dp
q:=-=_._=q 'p
dt dp dt
~
ÜF 1. Ordnung (ÜF
1)
q':= dq
dp
(2.2)
Entsprechend erhält man für die Abtriebsbeschleunigung:
q:=d 2q =qll.p2+ q '.p
dt 2
~ ÜF 2. Ordnung (ÜF 2)
qll:=d 2q
dp2
(2.3)
Für die gleichmäßig übersetzenden G-Getriebe gilt:
q = K . p( t), K = konst.
(reziprokes Übersetzungs verhältnis )
...
1
P P
i
~ .9.=.9.=.9.=K=q'=_
p
(2.4)
15
2.1 Grundbegriffe
Tafel 2.1 Einteilung der Übertragungs getriebe (periodendauer T) [2.1]
G • Getriebe
U . Getriebe
Übersetzungsverhältnis i =konst.
Übersetzungsverhältnis i :t:konst.
Beispiel: Reibradgetriebe
Beispiel: Schubkurbelgetriebe
Übertragungsverhalten
t
Zeit
t
/
Winkel
Weg
q
/
1\
\
Winkel
Weg
q
-~
Zeit t ---. (T)
Bewegungsfunktion q =q[p(t)]
r
Zeit
t
.-J---
"'l
Antrieb sfunktion
p =p(t)
t[2Ej
P
/
/
-;
Getriebefunktion
q =q(p)
Winkel
Weg
P
~
t --....(T)
P --.
Getriebe
Antrieb
q
i =dp/dq
=konst.
~
![i[j]
Winkel
Weg
~q
p
q
~
i =dp/dq :t:konst.
~
p
2 Getriebesystematik
16
2.1.2 Führungsgetriebe
Führungsgetriebe sind Getriebe, bei denen ein Glied so geführt wird, daß es bestimmte
Lagen einnimmt bzw. daß Punkte des Gliedes bestimmte Bahnen (Führungsbahnen)
beschreiben. Die beweglichen Glieder eines Führungsgetriebes werden entsprechend
ihrer Funktion als führende oder geführte Getriebeglieder bezeichnet, d.h. die Begriffe An- und Abtriebsglied werden nicht benutzt, auch nicht der Begriff Übertragungsfunktion. Die Einleitung einer Bewegung kann meist an beliebiger Stelle erfolgen.
Man unterscheidet drei Arten von Führung:
a) Eindimensionale Führung = Positionierung eines Gliedpunktes auf vorgeschriebener Bahnkurve; in der Ebene: f(x,y) =0
b) Zweidimensionale Führung =Positionierung und Orientierung in der Ebene: Führen zweier Gliedpunkte auf vorgeschriebenen Bahnkurven; in der Ebene ist damit die
Lage des Getriebeglieds vollständig definiert.
c) Dreidimensionale Führung = Positionierung und Orientierung im Raum: Führen
dreier Gliedpunkte auf vorgeschriebenen Bahnkurven f(x,y,z) =0
2.1.3 Lage der Drehachsen
Die Betrachtung der Bahnkurven leitet über zu einem Ordnungsmerkmal aller Getriebe
anhand der Lage (Raumanordnung) der Drehachsen in den Gelenken.
Hinweis 1:
Für ein Schubgelenk liegt die zugeordnete Drehachse im Unendlichen
mit dem Kreuzungswinkel 90° zur Schubrichtung (Bewegungsachse).
a) Ebene Getriebe (Bild 2.1):
-
Alle Drehachsen sind parallel,
-
die Bewegungsbahnen von Gliedpunkten liegen in parallelen Ebenen.
b) Sphärische Getriebe (Bild 2.2):
-
Alle Drehachsen schneiden sich in einem Punkt,
-
die Bewegungsbahnen von Gliedpunkten liegen auf konzentrischen Kugelschalen.
17
2.1 Grundbegriffe
I
(
\
Bild 2.1
Bild 2.2
Ebenes Getriebe
Sphärisches Getriebe (2 Kegelräder)
c) Räumliche Getriebe (Bild 2.3):
-
Die Drehachsen kreuzen sich, d.h. es gibt zwischen ihnen einen Kreuzungsabstand und einen Kreuzungswinkel (s. Kapitel 7),
-
die Bewegungsbahnen von Gliedpunkten liegen in nichtparallelen Ebenen oder
auf allgemeinen räumlichen Flächen.
./
/
{
\
Bild 2.3
Räumliches Getriebe [2.2]
Hinweis 2:
Bei räum lichen Getrieben gibt es im allgemei nen momentane Schraubachsen statt rei ne Drehachsen .
18
2 Getriebesystematik
2.2 Aufbau der Getriebe
Ein Getriebe besteht definitionsgemäß aus mehreren Getriebegliedern, die so miteinander verbunden sind, daß sie dauernd in gegenseitiger Berührung gehalten werden und
dabei relativ gegeneinander beweglich bleiben. Die beweglichen Verbindungen werden
als Gelenke bezeichnet.
Um also ein Getriebe in eine bestimmte Systematik einzuordnen, ist es notwendig, einige Gesetzmäßigkeiten und Definitionen von Gelenken und der Gliederanordnungen zu
kennen.
Daneben gibt es noch Hilfsglieder oder Getriebeorgane, die Sonderfunktionen in einem
Getriebe erfüllen, z. B. Riemen, Ketten, Seile als Zugmittel, Federn und Dämpfer, Anschläge und Ausgleichsrnassen. Entfernt man diese Hilfsglieder, so fällt lediglich die
Sonderfunktion aus, entfernt man ein Getriebeglied oder ein Gelenk, so wird das Getriebe im allgemeinen funktionsunfähig.
2.2.1 Getriebeglieder
Die Getriebeglieder müssen eine ausreichende Widerstandsfähigkeit gegenüber den
auftretenden Kräften und Momenten aufweisen. Sie können dann als starr angesehen
werden.
Die Getriebeglieder werden entsprechend ihrer Funktion bezeichnet; folgende Benennungen sind üblich [6]:
Das feste Glied oder Bezugsglied eines Getriebes heißt Gestell; mit ihm wird das ebenenfeste oder raumfeste Bezugskoordinatensystem x-y bzw. x-y-z verbunden. Die beweglichen Glieder eines Übertragungsgetriebes heißen Antriebsglieder, Abtriebsglieder und Übertragungsglieder; dagegen nennt man die beweglichen Glieder eines Führungsgetriebes Führungsglieder, wobei noch zwischen führenden und geführten Getriebegliedern unterschieden wird. Koppelglieder oder Koppeln verbinden sowohl bei
Ubertragungs- als auch bei Führungsgetrieben bewegliche Glieder, ohne selbst mit dem
Gestell verbunden zu sein.
Die Anschlußstellen für Gelenke zu benachbarten Gliedern heißen Gelenkelemente.
Man klassifiziert die Glieder daher sehr oft nach der Anzahl der Gelenkelernente, TafeI2.2.
Die hier aufgeführten Getriebeglieder sind stark vereinfacht dargestellt und dienen in
dieser Form als Bausteine der kinematischen Ketten von Getrieben, s. Abschnitt 2.4.1.
19
2.2 Aufbau der Getriebe
Tafel 2.2 Einteilung der Getriebeglieder nach Gelenkelementen
00---0
Eingelenkglied
Anzahl n l
Zweigelenk- oder
binäres Glied
Dreigelenk- oder
ternäres Glied
Viergelenk- oder
quaternäres Glied
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2.2.2 Gelenke
Zu einem Gelenk gehören stets zwei Gelenkelemente als Elementenpaar, die zueinander passende Formen haben müssen. Eine Ordnung der Gelenke kann nach verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen, Tafel 2.3.
2 Getriebesystematik
20
Tafe12.3 Ordnung der Gelenke [10]
Ordnende Gesichtspunkte
Beispiele für Gelenkbezeichnungen
1
Form der Relativbewegung der Gelenkelemente
Drehgelenk, Schubgelenk, Schraubgelenk
2
Bewegungsverhalten an der Berührstelle Gleitgelenk, Wälz- oder Rollgelenk,
Gleitwälz- oder Gleitrollgelenk
der Gelenkelemente
3
Anzahl der möglichen relativen Einzelbewegungen (Gelenkfreiheitsgrad f)
Gelenk mit f = 1, mit f =2, usw.
4
Gegenseitige Lage der Drehachsen am
Gelenk
ebenes oder räumliches Gelenk
5
Berührungsart der Gelenkelemente
Gelenk mit Flächen-, Linien- oder
Punktberührung der Gelenkelemente
6
Art und Paarung der Gelenkelemente
Gelenk mit Kraft- oder Formpaarung
der Gelenkelemente
7
Statische Bestimmtheit, Grad der Überbestimmung
statisch bestimmtes oder statisch unbestimmtes (überbestimmtes) Gelenk
Nachstehend sind einige Erläuterungen zu den sieben Gesichtspunkten genannt.
1) Bewegungsformen der Elemente relativ zueinander sind beispielsweise:
•
Drehen (D)
~
Drehgelenk
•
Schieben (S)
~
Schubgelenk
•
Schrauben (Sch)
Schieben)
~
Schraubgelenk (Drehen und gesetzmäßig überlagertes
2) Außerdem kann das Bewegungsverhalten an der Berührstelle der Gelenkelemente
beschrieben werden durch:
•
Gleiten
•
Wälzen oder Rollen
•
Gleitwälzen (Schroten)
21
2.2 Aufbau der Getriebe
3) und 4) Die Definition des Gelenkfreiheitsgrads lautet [6]:
Der Gelenkfreiheitsgrad f ist die Anzahl der in einem Gelenk unabhängig voneinander möglichen Einzelbewegungen (Elementarbewegungen) der beiden
Gelenkelemente bzw. die Anzahl der vorhandenen Drehachsen des Gelenks. Die
durch das Gelenk verhinderten Einzelbewegungen heißen Unfreiheiten; ihre
Anzahl ist u.
Es gilt mit b als Bewegungsgrad
(2.5)
f+u=b.
Für ebene Gelenke ist der Bewegungsgrad b = 3 und I
b = 6 und 1 ~ f ~ 5.
~
f ~ 2, für räumliche Gelenke
5) Die Art der Berührung der Gelenkelemente kann erfolgen in:
•
Flächen
~
niedere Elementenpaare (NEP)
•
Linien
~
höhere Elementenpaare (HEP)
•
Punkten
~
höhere Elementenpaare (HEP)
6) Die Art der Paarung der Gelenkelemente kann formschlüssig, kraftschlüssig oder
stoffschlüssig sein.
7) Ein Gelenk ist statisch überbestimmt, wenn sich zwei Gelenkelemente an mehr als
einer Stelle berühren und somit k Teilgelenke bilden, deren Summe der Unfreiheiten
größer ist als die theoretisch notwendige Unfreiheit u des Gelenks. Der Grad der
Überbestimmtheit ist
LUi
k
ü=
-u.
(2.6)
i=l
Die Herstellung statisch überbestimmter Gelenke erfolgt aus Gründen der Spielfreiheit
und verlangt höchste Fertigungsgenauigkeit, um ein Klemmen zu vermeiden.
Tafel 2.4 zeigt einige häufig auftretende Grundformen von Gelenken in räumlichen und
ebenen Getrieben.
22
2 Getriebesystematik
Tafel 2.4 Grundformen von Gelenken [2.3]
Symbol
Gelenk
räumlich
-~.
Drehgelenk
S,hubgolonk
Kurvengelenk
~
W
S,OOmb- _.
gelenk
Kugelgelenk
?
~
tpr
~
A
?
einfach: 1
doppelt: 2
~
1
---L-
--
~ ~
w . (!!fr
r«
1\
r
lli'h"hubU
gelenk
~
eben
Freiheitsgradf
räumlich: 5
eben:
2
1
2
3
23
2.3 Getriebefreiheitsgrad (Laufgrad)
2.3 Getriebefreiheitsgrad (Laufgrad)
Die Definition des Getriebefreiheitsgrads lautet [10]:
Der Getriebefreiheitsgrad F stimmt mit der Anzahl relativer Bewegungen überein, die verhindert werden müßten, um alle Glieder des Getriebes bewegungsunfähig zu machen. Er bestimmt im allgemeinen die Anzahl der Getriebeglieder, die
in einern Getriebe unabhängig voneinander angetrieben werden können.
Der Getriebefreiheitsgrad oder auch Laufgrad F ist im allgemeinen nicht abhängig von
-
den Abmessungen der Getriebeglieder,
-
der Funktion der Getriebeglieder,
-
der Art der Gelenke,
sondern ist eine Funktion von der
-
Anzahl n der Glieder, dabei gilt (s. Tafel 2.2)
(2.7)
-
Anzahl g der Gelenke,
-
Anzahl f j der Freiheiten des i-ten Gelenks,
und abhängig von der Getriebestruktur, s. Abschnitt 2.4.
Früher nannte man nur Getriebe vorn Freiheitsgrad F = 1 zwangläufig; heute spricht man
ebenfalls von Zwanglauf, wenn entsprechend dem Freiheitsgrad F des Getriebes F Antriebsfunktionen pet) definiert sind, so daß sich die Lage eines Getriebegliedes eindeutig
ermitteln läßt.
Das Viergelenkgetriebe (kurz: Gelenkviereck) in Bild 2.4 hat den Getriebefreiheitsgrad
F = 1, denn es genügt ein Antriebsglied (hier: Glied 2 mit der Antriebsfunktion <pet»~, um
die Bewegungen aller Glieder zwangläufig zu gestalten. Behindert man eine relative
Bewegung zwischen zwei Gliedern, z.B. durch Blockade des Drehgelenks 23 zwischen
den Gliedern 2 und 3, so wird das Getriebe unbeweglich (F = 0). Zwanglauf heißt hier
also, daß die Abtriebsbewegung des Gliedes 4 gegenüber dem Gestell 1 berechenbar ist:
'V = 'V [<p(t)] .
2 Getriebesystematik
24
a)
b)
<Ps ( t)
Bild 2.4
Vier- (a) und Fünfgelenkgetriebe (b) mit F = 1 bzw. F = 2
Das Fünfgelenkgetriebe (kurz: Gelenkfünfeck) in Bild 2.4 hat F = 2; es ist bei einem
Antrieb nicht zwangläufig. Um z.B. die Lage des Getriebegliedes 4 gegenüber dem
Gestell 1 eindeutig festzulegen, müssen sowohl die Antriebsfunktion <P2(t) des Glieds 2
als auch die Antriebsfunktion <Ps (t) des Glieds 5 vorgegeben werden.
In einem Getriebe als Gliedergruppe mit insgesamt n Gliedern kann jedes einzelne Getriebeglied b Einzelbewegungen ausführen, sofern es nicht mit anderen Gliedern gelenkig verbunden, sondern in einem Gedankenmodell frei beweglich ist. Da das Gestell sich
nicht bewegt, bleiben allen n-l beweglichen Gliedern insgesamt b (n-l) Einzelbewegungen oder Freiheiten.
Das Verbinden der Glieder durch Gelenke schränkt die Anzahl der Einzelbewegungen
ein. Die Anzahl der eingeschränkten Einzelbewegungen oder Unfreiheiten Uj errechnet
sich aus GI. (2.5) zu
Uj = b-fj, i= 1,2, ... , g.
(2.8)
Aufsummiert über alle Gelenke ergibt sich
(2.9)
Im Umkehrschluß ist der Getriebefreiheitsgrad gleich der Anzahl der verbleibenden
nicht eingeschränkten Freiheiten, also
g
g
F=b(n-l)- LUi =b(n-l)- L(b-fi ).
j=!
i=!
(2.10)
25
2.3 Getriebefreiheitsgrad (Laufgrad)
Die vorstehende Gleichung heißt Zwanglaufgleichung. Für räumliche Getriebe mit
b = 6 wird daraus
g
F= 6(n-l)-6g+
I/i
(2.11)
i=!
und für ebene und sphärische Getriebe mit b = 3 gilt
g
F=3(n-l)-3g+
I/i =3(n-l)-2g
j
(2.12)
-g 2 ·
i=!
Hierbei ist
gl die Anzahl der Gelenke mit f = 1 und
g2 die Anzahl der Gelenke mit f = 2.
Beispiele zur Bestimmung von F
Mit EP ist das Elementenpaar als Gelenk bezeichnet; es wird durchweg Gi. (2.10) verwendet.
a) ebenes Viergelenkgetriebe
l~3j
n=4
g=4
b=3
12
EP
12
23
34
14
u·1
2
2
2
2
7777777 1
F=3·(4-1)-4·2=1
=> Das ebene Viergelenkgetriebe ist bei einem Antrieb zwangläufig.
14
2 Getriebesystematik
26
b) ebenes Fünfgelenkgetriebe
n=5
23
g=5
b=3
EP
12
23
34
45
15
u·1
2
2
2
2
2
1
F=3·(5-1)-5.2=2
=> Zwei Antriebe sind notwendig.
c) ebenes Kurvengetriebe
3
n=3
g=3
b=3
EP
u·1
12
2
23
1
13
2
't-'"
f
13
°o
F=3·(3-1)-2-1-2=1
Das Elementenpaar 23 hat zwei Freiheiten (Gleiten und Rollen = Gleitwälzen).
Die Zwanglaufgleichung ist eine reine Abzählformel bezüglich n, g und fj, sie berücksichtigt keine strukturellen Besonderheiten, wie sie z.B. bei übergeschlossenen Getrieben durch sog~ passive Bindungen vorhanden sind, so daß diese Getriebe einen höheren Freiheitsgrad aufweisen als er sich rechnerisch ergibt. Auch bei Getrieben mit mehr
als einem Schub gelenk gibt es Einschränkungen für den Anwendungsbereich der
GIn. (2.10) bis (2.12) [10]. Der rechnerische Nachweis des Getriebefreiheitsgrads ist
deswegen nicht als hinreichend anzusehen.
Passive Bindungen treten auf bei
•
besonderen Lagen von Gelenkdrehachsen,
•
überflüssigen Starrheitsbedingungen,
•
besonderen Gliedabmessungen
und sind nicht immer leicht identifizierbar.
27
2.3 Getriebefreiheitsgrad (Laufgrad)
Während passive Bindungen den Getriebefreiheitsgrad erhöhen, verringern ihn sog.
identische Freiheiten fid. Identische Freiheiten sind mögliche Einzelbewegungen von
Getriebegliedern oder Getriebeorganen, die eingeleitet werden können, ohne daß das
Getriebe als Ganzes bewegt werden muß.
Die Gleichung (2.10) läßt sich damit auf einfache Weise um zwei Summenausdrücke
erweitern:
F=b(n-l)- ~>i - L(fid)j + LSj
(2.13)
i=!
Beispiele für Getriebe mit passiven Bindungen:
d) Reibradgetriebe mit Wälz- oder RoUgelenk 23 (f = 1)
EP
F
112
= 3· (3 -1) -
23
2
13
2
3 ·2 + 1 = 1
Der Achsabstand d = r2 + r3 ist exakt einzuhalten, d.h. s = 1.
Für eine auch denkbare Zahnradpaarung im Gelenk 23 gibt es zwei Möglichkeiten:
I. Ein Berührpunkt als Normalfall, f = 2 (Gleitwälzen), s = 0;
EP
23
1
13
2
F =3· (3 -1) - 2·2 -1 =1
2 Getriebesystematik
28
11. zwei Berührpunkte mit den zugeordneten Normalen nl und n2 sowie Tangenten
tl und t2, nur Drehung um sog. Momentanpol P23 als Schnittpunkt der Normalen
möglich, f = 1, Wälzen oder Rollen
EP
23
2
12
2
F
= 3· (3 -1) -
13
2
3·2 + 1 = 1
Der Achsabstand d (nicht gezeichnet) der beiden Zahnräder ist exakt einzuhalten,
sonst existieren keine zwei Berührpunkte, d.h. s = 1.
e) dreigliedriges Keilgetriebe
EP
12
23
13
2
2
2
Stets ist die Bedingung a = 'Y + ß einzuhalten, d.h. s = 1.
F = 3· (3 - 1) - 3 . 2 + 1 = 1
f) übergeschlossenes Parallelkurbelgetriebe
23
3
34
1P-----..:..5- - -__1P 45
__E_P~I__12____2~3__~34____4~5____1_4__~2~5_
ui
2
2
2
2
2
2
Glied 3 muß ebenso lang sein wie Glied 5 (oder
Glied 1), d.h. S =1.
F = 3· (5 - 1) - 6 . 2 + 1 = 1
29
2.4 Struktursystematik
g) ebenes Viergelenkgetriebe, räumlich betrachtet
3
~E~P-+t~I~2___2=3~~34~__1~4_
34
Uj
5
5
5
5
Die Achsen der Gelenke 23, 34, 14 müssen jeweils parallel zu der Achse des
Gelenkes 12 sein, d.h. s =3.
F=6·(4-1)-4 ·5+3=1
Beispiel für ein Getriebe mit identischem Freiheitsgrad:
h) ebenes Kurvengetriebe mit Abtastrolle
34
EP
112
23
34
2
14
2
Die Abtastrolle 3 ist drehbar, ohne daß das
Kurvenglied 2 bewegt werden muß, d.h.
f id = 1.
F= 3·(4-1)-(3 ·2+ 1)-1 = 1
2.4 Struktursystematik
Die Strukturmerkmale eines Getriebes sind die Anzahl der Getriebeglieder, die Anzahl
der Gelenke, die Art der Gelenke, die Gelenkfreiheiten, die Anzahl der Gelenkelemente
an den einzelnen Getriebegliedern und die gegenseitige Anordnung der Getriebeglieder
und Gelenke.
Aus den Strukturmerkmalen baut sich die Grundform eines Getriebes auf, die kinematische Kette, die im wesentlichen die Funktion eines Getriebes darstellt, ohne konstruktive Einschränkungen zu berücksichtigen.
2 Getriebesystematik
30
2.4.1 Kinematische Ketten
Definition [10]:
Die kinematische Kette ist das vereinfachte Strukturmodell eines Getriebes. Es
zeigt, wieviele Glieder und Gelenke ein Getriebe besitzt, welche Getriebeglieder
miteinander verbunden sind und welche Gelenkfreiheiten auftreten. Die Angabe
geometrisch-kinematischer Abmessungen und der Gelenkart ist hier unüblich.
Mit der kinematischen Kette hat man sowohl eine wichtige Grundlage für die systematische Untersuchung von Getrieben als auch einen Ausgangspunkt für die planmäßige Getriebeentwicklung geschaffen. Aus der kinematischen Kette wird ein Mechanismus, wenn ein Glied als Gestell festgelegt ist. Aus dem Mechanismus wird ein
Getriebe, in dem weiterhin ein oder mehrere Glieder je nach Freiheitsgrad als Antriebsglieder und Abtriebsglieder, führende oder geführte Glieder bestimmt werden.
Erst durch diese Festlegung entstehen also Mechanismen bzw. Getriebe. Es ist offensichtlich, daß aus einer Kette viele verschiedene Getriebe entwickelt werden können.
Es gibt ebene und räumliche kinematische Ketten für ebene und räumliche Getriebe.
In räumlichen kinematischen Ketten können ebene und räumliche Gelenke - letztere
mit einem Gelenkfreiheitsgrad f> 2 - vorkommen bzw. gekennzeichnet sein.
Man unterscheidet zwischen geschlossenen und offenen kinematischen Ketten und
deren Kombinationen (Hybridstrukturen), Bild 2.5.
a)
b)
f "- 1
L
f =2
f= 3
f=2
f= 1
f= 1
D
d)
Bild 2.5
Kinematische Ketten:
a) ebene, b) räumliche, c) (ebene) geschlossene, d) (ebene) offene, e) (ebene) geschlossen-offene kinematische Kette
31
2.4 Struktursystematik
In kinematischen Ketten treten also gelenkig verbundene binäre, ternäre, quaternäre
usw. Getriebeglieder auf; alle Gelenke sind symbolisch durch kleine Kreise dargestellt.
Die Relativbewegung der Glieder von zwangläufigen geschlossenen
kinematischen Ketten ist identisch mit der Relativbewegung der aus
diesen Ketten entwickelten Mechanismen oder Getriebe.
Hinweis:
In kinematischen Ketten können auch Glieder mit Mehrfachgelenken auftreten. Ein
Mehrfachgelenk entsteht, wenn an einem Glied der Abstand zwischen zwei oder mehreren Gelenkelementen zu null wird, Bild 2.6.
Bild 2.6
Entstehung eines Mehrfachgelenks, hier: Doppeldrehgelenk
b)
a)
[=1
1= 1
[=1
( '} -_ _ _ _~r~))
1= 1
1=1
} - - - - ---<:)
~l
~I
f= 1
[=
1
Bild 2.7
Vier- und fünfgliedrige kinematische Ketten a) bzw. b)
Die einfachste ebene kinematische Kette besteht aus drei Gliedern entsprechend
Bild 2.5a. Daraus entsteht das in Bild 2.7a skizzierte Gelenkviereck mit vier NEP
(Dreh- oder Schubgelenke), aus dem sich bereits eine Vielzahl von Getrieben entwikkeIn läßt, s. Abschnitt 2.4.2.1. Alle diese Getriebe haben den Laufgrad F = 1.
Die hinsichtlich der Gliederanzahl nächsthöhere Gruppe für Getriebe mit dem Laufgrad F = 1 sind die sechsgliedrigen kinematischen Ketten, von denen es nur zwei
2 Getriebesystematik
32
Grundformen gibt: die WATTsehe Kette (I) und die STEPHENSONsche Kette (11),
Tafel 2.5. Nach Einführung von Doppelgelenken entstehen hieraus abgeleitete Ketten
III und N.
Die Gruppe der achtgliedrigen kinematischen Ketten bietet eine noch größere Vielfalt,
insbesondere wenn man (nicht gezeichnet) Doppel- und Dreifachgelenke miteinbezieht, Tafel 2.6.
Geht man zu den kinematischen Ketten für Getriebe mit dem Laufgrad F = 2 (2 Antriebe) über, so bildet das in Bild 2.7b abgebildete Gelenkfünfeck die Grundform der
einfachsten kinematischen Kette dieser Art. Die nächsthöhere Gruppe sind die siebengliedrigen kinematischen Ketten, Tafel 2.7. Bei einigen dieser Ketten lassen sich
Teilketten oder Teilpolygone mit dem partiellen Laufgrad F = 1 unterscheiden.
Durch Gestellwechsel entstehen daraus die ableitbaren Getriebe (letzte Spalte in TafeI2.7), wobei symmetrisch bedingte Mehrfachlösungen nur einfach zu zählen sind.
Neun Grundformen führen auf 34 verschiedene Getriebe.
Tafel 2.5 Sechsgliedrige kinematische Ketten I bis IV und daraus abgeleitete Getriebe
1 bis 10 mit dem Laufgrad F = 1 [2.4]
I
<I> m
1
2
6
1-4
1
2-3-S e 6
I
2~
3
1
2' D3 = 6
4 ' D2 = 8
I
6
2
2
~ mR
4
3
4
1
A
14
2 ' D3 - 6
4 .n2 - 8
6
14
4
4
R
9~l
Wm ~
~N
I
1
1=3 2-4 5-6
m
1
2-6
3-5
1
4
1
1
6
1
6
1"'2=3"'4=5=6
2
2
5
5
7
10
IV
2
1
6
2
1-4
1
1
1
3
2
41
5
2
4
3
2
3
2.4 Struktursystematik
33
Tafel 2.6 Achtgliedrige kinematische Ketten für Getriebe mit dem Laufgrad F = 1
[2.4]
~@
2 · n4 = 8
6 . n2 = 12
8
20
1 · n4 = 4
2 · n3 = 6
5 · n 2 = 10
20
8
~ ® ~ ~ r1JJ
3
rm
8
4
S
9~ l~
6
~
7
4 ·n 3 = 12
4 · n2 = 8
20
8
f!!) ~ ~ LW ~
12
13
14
IS
16
2 Getriebesystematik
34
Tafel2.7 Siebengliedrige kinematische Ketten I bis IX [2.4]
Art der
Gele, ke
Kette
II
Ttilkette,
mit F = I
Z.hl d. • bleitb.... Getriebe
I -2- 3- 4
4
I -2-3-4
4
I -2-3-4
I -5-6-7
3
Einfach Gelenke
III
3
IV
V
VI
~
~
4
I -2-3-4
7
o
I -2-3-4
I -5- 6-7
4
2~7
I DoppelGelenk
2~7
1
3
VII
VIII
2 DoppelGelenke
~
~
(} ~
I -2 -3- 4
I -5-6-7
3
2-3- 4 - 5
3
~
34
35
2.4 Struktursystematik
2.4.2 Ebene Getriebe
2.4.2.1 Getriebe der Viergelenkkette
Die aus dem Gelenkviereck ableitbaren Getriebe heißen Viergelenkgetriebe und sind
die am häufigsten angewendeten V-Getriebe i.m Maschinen- und Vorrichtungs bau. Aus
der viergliedrigen kinematischen Kette entstehen, wenn unterschiedliche Gelenktypen
eingesetzt werden, verschiedene Viergelenkketten. Es gibt generell drei Gelenktypen:
Drehgelenk, Schub gelenk und Kurvengelenk. Fügt man in die viergliedrige kinematische
Kette systematisch alle diese Gelenktypen ein, so erhält man z.B. folgende Viergelenkketten: Drehgelenkkette (Bild 2.8), Schubkurbelkette (Bild 2.9), Kreuzschubkurbelund Schubschleifenkette.
b
3
4
12
0--------------------0
d
Bild 2.8
Viergliedrige Drehgelenkkette
mit Abmessungen a, b, c, d
Aus der viergliedrigen Drehgelenkkette entsteht beispielsweise durch Festlegen des
Glieds 1 und Zuweisen der Länge d (Gestellänge) ein viergliedriges Drehgelenkgetriebe
(Viergelenkgetriebe ).
Das Aussehen der Übertragungsfunktion dieses Viergelenkgetriebes, bzw. die Form der
Führungsbewegung, ist dann durch die Längenverhältnisse ald, b/d, eid der Getriebeglieder zueinander bestimmt. Damit ist die Übertragungsfunktion und die Führungsbewegung von der Geometrie des Viergelenkgetriebes abhängig.
Die verschiedenen Bewegungsmöglichkeiten des Viergelenkgetriebes werden unterschieden nach den Bewegungen, die dem Gestell benachbarte Getriebeglieder ausführen:
Man unterscheidet umlaufende Glieder (Kurbeln) von zwischen zwei Grenzlagen
schwingenden Gliedern, die als Schwingen bezeichnet werden. Die übrigen Glieder
heißen im allgemeinen Koppelglieder (Koppeln).
2 Getriebesystematik
36
34
12
14
00
Bild 2.9
Viergliedrige Schubkurbelkette
Nun sind beim viergliedrigen Drehgelenkgetriebe drei verschiedene Fälle möglich (a, b,
c beziehen sich auf Bild 2.8):
1. Glied a oder c läuft um ~ Kurbelschwingen, Imin = a bzw. c
2. Glieder a und c laufen um
~
Doppelkurbeln, Imin =d
3. Glieder a und c nicht umlauffähig, b umlauffähig
gen, Imin = b
~
umlauffähige Doppelschwin-
Welcher Typ von Viergelenkgetriebe im einzelnen vorliegt, kann mit dem nachfolgenden Satz und der Kenntnis, welches Glied Gestell ist, unterschieden werden [2.5].
Satz von GRASHOF:
Ein Viergelenkgetriebe hat mindestens ein umlauffähiges Glied, wenn
Imin + Imax < I' + I"
(2.14
gilt, dabei sind Imin und Imax die Längen des kürzesten bzw. längsten Getriebeglieds
und I', I" die Längen der zwei restlichen Glieder.
Bei einem Viergelenkgetriebe ist kein Glied umlauffähig, wenn
Imin + Imax > l' + I"
(2.15)
gilt. Solche Viergelenkgetriebe werden als Totalschwingen bezeichnet.
Mit
Imin + Imax = I' + 1"
(2.16)
sind durchschlagende Getriebe mit sog. Verzweigungslagen gekennzeichnet, bei
denen in mindestens einer Stellung alle Glieder und Gelenke auf einer Geraden liegen,
z.B. beim Parallelkurbelgetriebe nach Bild 2.10. In einer Verzweigungslage kann das
Parallelkurbelgetriebe zum Antiparallel- bzw. Zwillingskurbelgetriebe durchschlagen.
37
2.4 Struktursystematik
I
I
I
,,
~'
A
B
,,'---_~--------~b=~d~--~~~~~~
",,',
,
-0-------Ao
I
I
I
""
"
d
\
\
\
-------6--
Bo
Bild 2.10
Parallelkurbelgetriebe mit den beiden gestrichelt gezeichneten Verzweigungslagen auf
der Gestellgeraden
Anhand der Tafel 2.8 läßt sich entscheiden, welcher Typ eines viergliedrigen Drehgelenkgetriebes bei gegebenen Abmessungen und nach Wahl des Gestellgliedes vorliegt.
Einige dieser Viergelenkgetriebe sind in Tafel 2.9 zusammengestellt [10].
Aus der viergliedrigen Schubkurbelkette nach Bild 2.9 ist zunächst einmal das bekannte
Schubkurbelgetriebe (Schubkurbel) ableitbar, sofern Glied 1 zum Gestell erklärt wird,
Bild 2.11.
A
Bild 2.11
Schubkurbelgetriebe mit Bezeichnungen
Das Schubkurbelgetriebe mit Schubgelenk entsteht aus dem Viergelenkgetriebe mit
Drehgelenken, wenn der Punkt BQ ins Unendliche rückt (Drehachse 14 im Unendlichen).
Ferner lassen sich zwei Arten von Versetzungen (Exzentrizitäten) unterscheiden:
- kinematische Exzentrizität ek == e,
- statische Exzentrizität es.
Nur die kinematische Exzentrizität beeinfIußt die Übertragungsfunktionen. Beide Exzentrizitäten sind v-orzeichenbehaftet.
2 Getriebesystematik
38
Tafel 2.8 Programmablaufplan zur Bestimmung von viergliedrigen Drehgelenkgetrieben (j = ja, n = nein)
c. ._---r---"'r-+
LI> 21 m"
+i
n
Kinematische Kette
nicht schließbar
1.-==---1
Doppelkurbel
Doppelschwinge
(umlauffähig)
Kurbelschwinge
Doppelschwinge
(Totalschw inge)
Durchschlagende
Doppelkurbel
Parallelkurbelgetriebe
Durchschlagende
Doppelschwinge
Gleichläufiges Zw ilIingskurbelgetriebe
Durchschlagende
Kurbelschwinge
Gegenläufiges Zwillingskurbelgetriebe
Gleichsehen klig e
Doppelkurbel
Gleichsehen klig e
Kurbelschwinge
39
2.4 Struktursystematik
Tafel 2.9 Getriebe der viergliedrigen Drehgelenkkeue
Viergelen kkette
Imin+ Imax < 1'+ I"
Imin + Imox 1'+ I"
Imin + Imox > 1'+ I"
=
Funktion
um lauffähig
durchschlagend
nicht um lauffähig
Getriebeschem a
von Imin
Kurbelsch winge
B
Zentrische Kurbelschwinge
B
_'-'0
Kurbel 2
/
I
/
/
/
/
/
ö--
-
.+
v
x
Doppelkurbel
E
Doppelschwinge
:!:
_E
Gestell I
bzw.
Koppel3
Gegenläufiges Zwillingskurbelgetriebe
Parallelkurbelgetriebe
-,+
Kurbel 2
und
Kurbel 4
bzw.
Koppel3
E
Gestell I
und
Koppel3
bzw.
Kurbel 2
,+
1\:1 beliebig
E
I"
Parallelkurbel·
getriebe
A
~
l
'B
B0
"I
E
:!:
i::l
Ao
Gleichschenklige Kurbelschwinge
B
Gleichläufiges Zwillingskurbelgetriebe
B
Gleichschenklige Doppelkurbel
B
A
Doppelschwinge
(Totalsch winge)
~
Glied läuft um
~
Glied schwingt
2 Getriebesystematik
40
Wie stellt sich hier der Satz von GRASHOF dar?
12 = a = AoA, 13 = b = AB ,
so daß die GRAS HOF-Ungleichung für Umlauffähigkeit folgendermaßen definiert werden kann:
Imin + Imax< l' + I" oder
Imax - I" < l' - Imin bzw. d - c < b - a,
d.h. alle Getriebe aus der Schubkurbelkette sind umlauffähig, sofern die Ungleichung
(2.17)
e< l' - Imin
eingehalten wird. Es entstehen dann die Getriebe durch Gestellwechsel:
- Schubkurbel:
Gestell = d
- umlaufende Kurbelschleife:
Gestell = a
- schwingende Kurbelschleife:
Gestell = b
- Schubschwinge:
Gestell = c
Für e = 0 erhält man die zentrischen Ausführungen der obengenannten Getriebe.
Hinweis: Bei konstanter Schubrichtung liegt ein Schubgelenk, bei variabler Schubrichtung ein Schleifengelenk vor.
Die wichtigsten Getriebe der Schubkurbelkette sind in Tafel 2.10 aufgeführt [10]. Es ist
durchweg ek = es = e gesetzt worden.
Die Getriebe der Kreuzschubkurbel- und Schub schleifen kette haben zwei Schub- oder
Schleifengelenke. Bei ersteren gibt es eine endliche Gliedlänge und den Kreuzungswinkel der beiden Schubrichtungen, Tafel 2.11 [10]; bei letzteren ist charakteristisch, daß
zwei Exzentrizitäten existieren und jedes Getriebeglied je ein Dreh- und ein Schubgelenkelement aufweist. Die Getriebe der Schubschleifenkette lassen keine Umlaufbewegung eines Glieds zu.
41
2.4 Struktursystematik
Tafel 2.10 Getriebe der viergliedrigen Schubkurbelkette
Sch ubkurbelkette
e< 111- al
e=O (a;tob)
e;toO
e = Ib - al
e = 0 (b = a)
e> Ib - al
Funktion
von a und b
umlauffähig
--" --. zen trisch
--"--. exzentrisch
durchschlagend
--"--. gleichschenklig
nicht um lauffähig
Getriebeschem a
Zentrische Schubkurbel
• = 12
Kurbel 2
A
b = I)
Koppel3
4
--"--8-
-f!-.-
mrrnHrRrrrr#H'HY",m
Umlaufende
Kurbelschleife
'"
"
a Gestell I
bzw.
Kurbel 2
Schw ingende Kurbelschleife
b Kurbel 2
bzw.
Gestell I
Schubschwinge (mit umlauffähiger Koppel)
a Koppel 3
b Schwinge 2
8 o-----+---:--~-I~
a= b
~
Kurbel 2 und
Koppel3
0,
bzw.
"
Kurbel2 und
Gestell I
Gleichschenklige Schubkurbel
\
~
Ao
4
8
'I'
I
.
I
+-+
B oo
0
Sc hwin gschleife
<ü
0:
"
• Schwinge 2
oder Koppel 3
bzw.
Schwinge 2
oder Gestell I
,
,
A
8 00
2 Getriebesystematik
42
Tafel 2.11 Getriebe der viergliedrigen Kreuzschubkurbel- und Schubschleifenkette
Kre u zsc hub k u rb e lke tte
Struk- Funktion
tur
von a
Sch ubsc h leifenkette
Getriebeschem a
Kreuzschubkurbel
oa-
a = 12
Kurbel 2
11
C!l.
"
"
~
~-r-----+----------------------------,-----------~------~------~
...;;
Doppelschleife
.<>
~
"
Koppel 3
..:
bzw .
e
Gestell I
Schubschleife
Koppelkurven
Die Koppelkurven der Viergelenkgetriebe sind vielgestaltig und werden für Führungsaufgaben herangezogen. Unter Koppelkurve versteht man definitionsgemäß entsprechend Abschnitt 2.1.2 die Bahnkurve eines beliebigen Punktes (oft mit C bezeichnet)
f(x,y) = 0 in der x-y-Ebene des Getriebes. Einige Beispiele zeigen die Bilder 2.12
bis 2.17, wobei die Koppelkurven nicht unbedingt maßstäblich gezeichnet sind.
43
2.4 Struktursystematik
B
,.. - -
....
,---~~ =,
Bild 2.12
Bild 2.13
Koppelkurven der Kurbelschwinge
Sechsgliedriges Getriebe: Koppelkurvengesteuertes Malteserkreuzgetriebe (Stillstandssicherung nicht eingezeichnet)
h
"
I
a" \ d
J._ .
'-'r '-'-'-'
\ A ~'
I
~!...~-"
Bild 2.14
Bild 2.15
Schwingende Kurbelschleife mit angenäherter Geradführung des Punktes C
(Konchoidenlenker)
Angenäherte Geradführung nach
HOECKEN [1]: a = 1; b =c = e =2,5 ;
d =2; h =4 Längeneinheiten
44
2 Getriebesystematik
B
Bild 2.16
Bild 2.17
Exakte Geradführung mit einem Schubkurbelgetriebe für a = b = e
Sechsgliedriges Rastgetriebe
In Bild 2.17 ist ein sechsgliedriges sog. Rastgetriebe dargestellt (Rast = Stillstand). Die
Rast der Schwinge DoD wird durch Ausnutzen eines Teils der Koppelkurve des Punktes
C (stark ausgezogener Teil) des Viergelenkgetriebes AoABB o erzeugt. Beim Durchlaufen dieses Teils kommt der Punkt D des Zweischlags DoDC zum Stillstand, weil die
Länge CD mit dem Krümmungsradius weitgehend übereinstimmt. Da D mit dem
Krümmungsmittelpunkt Co von C zusammenfällt, wird die Drehung des Glieds CD um
Co erzwungen, während die Schwinge DoD angenähert in Ruhe bleibt.
2.4.2.2 Kurvengetriebe
Kurvengetriebe haben mindestens ein Kurvengelenk (HEP mit f =2) und bestehen aus
mindestens drei Gliedern. In Bild 2.18 ist die aus der einfachsten kinematischen Kette
mit drei Gliedern (Bild 2.5a) ableitbare Grundform (Kurvenkette) eines dreigliedrigen
Kurvengetriebes mit Kurvenglied, Eingriffsglied und Steg skizziert, aus dem sich
durch die Wahl des Stegs zum Gestell 1 die beiden Standardfälle des KurvenÜbertragungsgetriebes ergeben: Kurvengetriebe mit Abtriebs(schwing)hebel und Kurvengetriebe mit Abtriebsschieber. Im Eingriffsglied 3 ist sehr oft eine drehbar gelagerte
Rolle (fid = 1) als unmittelbares Abtastorgan des Kurvenprofils gelagert, um die Übertragungseigenschaften im Kurvengelenk zu verbessern. Die Rolle erhält dann meistens
eine eigene Gliednummer.
45
2.4 Struktursystematik
Kurvenglied
Bild 2.18
Grundform und Standardfälle des dreigliedrigen Kurvengetriebes [8]
Durch Variation der beiden verbleibenden NEP (Dreh- und Schubgelenke) und durch
Gestellwechsel erhält man systematisch alle Bauformen dreigliedriger Kurvengetriebe,
Tafel 2.12.
Tafel 2.12 Systematik der dreigliedrigen Kurvengetriebe [8]
cu
;::
=~
:..:~
u
..c
.;:
Ö
c
""
u
;::
:..:
=
5
&
~
A ~ A r;I ~ c{
~ ~ ~ ~ ~ ES
"""""""""
h
n 1> ~ ~
","''''',''
l~
a~ ~
Jedem Punkt K des Kurvenprofils, der momentan das Kurvengelenk mit der Abtastrolle
bildet, ist ein Krümmungsmittelpunkt Ko auf der Normalen n zugeordnet, Bild 2.19.
46
2 Getriebesystematik
Verbindet man Ko mit dem Rollenmittelpunkt B durch ein fiktives binäres Glied, so
erhält man das für die skizzierte Lage gültige Ersatzgelenkgetriebe. Für das Getriebe
mit Rollenhebel ergibt sich ein viergliedriges Drehgelenkgetriebe AoKo(A)BB o, für das
Getriebe mit Rollenstößel ein viergliedriges Schubkurbelgetriebe AoKo(A)BBo~. Die
Abmessungen des Ersatzgelenkgetriebes ändern sich mit jeder neuen Stellung des Kurvengetriebes, die jeweiligen Kinematik-Gleichungen sind jedoch bis zur Beschleunigungsstufe äquivalent.
Bild 2.19
Kurvengetriebe und zugeordnete Ersatzgelenkgetriebe
Durch eine geeignete Profilgebung des Kurvengliedes kann fast jede gewünschte Getriebefunktion \jI(<p) (Rollenhebel) bzw. s(<p) (Rollenstößel) verwirklicht werden. Eine
komplette Auslegung von Kurvengetrieben ist mit Hilfe von [2.6] bis [2.8] möglich.
Der Kontakt im Kurvengelenk zwischen Kurven- und Eingriffsglied (Zwanglaufsicherung) wird entweder kraftschlüssig oder formschlüssig aufrechterhalten. Bild 2.20.
a)
Bild 2.20
Zwanglaufsicherung durch Kraftschluß a) oder Formschluß b) [2.6]
47
2.4 Struktursystematik
2.4.2.3 Räumliche Getriebe
Räumliche Getriebe oder ßaumgetriebe sind dadurch gekennzeichnet, daß sie Drehachsen haben, die sich kreuzen und denen auch eine Schubbewegung überlagert sein kann,
s. Kapitel 7. Sonderfälle sind die sphärischen Getriebe, deren Drehachsen sich in einem
Punkt schneiden.
Ein wichtiges technisches Anwendungsgebiet der Raumgetriebe und ihrer Sonderfälle
tut sich für Wellenkupplungen auf als Übertragungsgetriebe zur Weiterleitung von
Drehungen zwischen zwei im Gestell gelagerten Wellen, Bild 2.21. An- und Abtriebswelle dürfen dabei eine beliebige Lage im Raum zueinander einnehmen, d.h. sie dürfen
sich .kreuzen. Normalerweise sind räumliche Wellenkupplungen ungleichmäßig übersetzend, sie können jedoch auch mit konstanter Übersetzung ausgelegt werden
(Gleichgangkupplungen) [2.9].
a)
b)
Bild 2.21
Zwei Wellenkupplungen als viergliedrige Raumgetriebe mit fid = 1 (Glied 3) [11]
Beträgt beispielsweise der Getriebefreiheitsgrad F = 1, so liefert die Zwanglaufgieichung (2.11)
g
I/i =6{g- n)+7.
(2.18)
i=l
Für Getriebe mit gleicher Glieder- und Gelenkzahl, z.B. g = n =4, läßt sich die Summe
7 der Gelenkfreiheiten auf verschiedene Weise aufteilen, z.B. entsprechend Bild 2.22:
2 Getriebesystematik
48
a)
Bild 2.22
Drei Raumgetriebe mit vier Gliedern und vier Gelenken [10]
a)
Fall 1:
Lf = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
b)
Fall 2:
Lf=I+3+2(+I)+I=7mitfid=I
c)
Fall 3:
Lf = 1 + 3 + 1 + 2 = 7
Während Fall 2 der Wellenkupplung des Bildes 2.2Ia entspricht, zeigt Bild 2.23 das
konstruktiv ausgeführte Getriebe im Fall 3 mit einer Dreh-Schub-Abtriebsbewegung.
Bild 2.23
Viergliedriges Raumkurbelgetriebe [11]: Kurbel 2, Koppel 3, Drehschieber 4, Gestell 1,
Bewegungsachsen kij
Ein Beispiel eines sphärischen Getriebes als Sonderfall stellt das Kreuzgelenk oder
Kardangelenk mit f = 2 dar (Bild 2.24).
49
2.4 Struktursystematik
Bild 2.24
Kreuz- oder Kardangelenk [10]
Die Übertragungsfunktion der Drehung von Welle 2 auf Welle 4 lautet
tan<p
tanw:--·
COSA
(2.19)
Dies bedeutet also eine ungleichmäßige Übersetzung. Hierbei ist A der Kreuzungswinkel zwischen An- und Abtriebswelle.
Die Ungleichmäßigkeit der Drehung kann durch eine passende Hintereinanderschaltung
zweier Kreuzgelenke eliminiert werden [10].
50
2 Getriebesystematik
2.5 Übungsaufgaben
Aufgabe 2.1:
Ermitteln Sie den Freiheitsgrad der unten skizzierten Gelenke! Überlegen Sie, welche
Bewegungen gesperrt und welche erlaubt sind! Dabei ist darauf zu achten, daß die Elementenpaare nie den Kontakt zueinander verlieren.
51
2.5 Übungsaufgaben
Aufgabe 2.2:
Ermitteln Sie den Freiheitsgrad der folgenden räumlichen Getriebe:
:
b){~
",1
I"
""
' ,,;
c)
~
I
3
",1_
I
1"
I
Für die nachfolgend dargestellten Wellenkupplungen ist der Freiheitsgrad zu ermitteln.
Aufgabe 2.3:
3 Drehschiebehülse
Aufgabe 2.4:
4 Abtriebsdrehschieber
52
2 Getriebesystematik
Aufgabe 2.5:
Aufgabe 2.6:
Zu dem in Vorder- und Seitenansicht dargestellten Surnmen- bzw. Differentialgetriebe
sind folgende Aufgabenstellungen zu lösen:
a) Sämtliche Glieder und Gelenke sind zu bezeichnen.
b) Die Elementenpaare sind nach ihrem Freiheitsgrad einzuordnen.
c) Der Freiheitsgrad des Getriebes ist zu ermitteln.
d) Die kinematische Kette mit entsprechender Bezeichnung der Glieder und Gelenke ist
abzuleiten.
e) Ausgehend von d) ist die kinematische Kette mit reinen Drehgelenken zu skizzieren.
53
2.5 Übungsaufgaben
Aufgabe 2.7:
Parallel versetzte Wellen mit konstantem oder in gewissen Grenzen variablem Achsabstand lassen sich mit der sog. OLDHAM-Kupplung verbinden, wobei die Übertragung
einer winkeltreuen Drehung gewährleistet ist. Die beiden Glieder 2 und 4 sind gleichartig als Scheiben mit je einem Hohlprisma ausgebildet, jeweils fest mit einer Welle verbunden und im Gestell 1 gelagert. Die Mittelscheibe 3 hat zwei den Hohlprismen der
anderen Scheibe entsprechende Vollprismen, die um 900 gegeneinander versetzt sind.
Sie stellt die Verbindung der Scheiben 2 und 4 her. Folgende Aufgaben sind zu bearbeiten:
2
~
1I
I
~
1
I
3
4
I
a) Es ist die Kupplung als viergliedriges Getriebe zu skizzieren.
b) Im Getriebe sind in der für ein Viergelenk üblichen Art die Gelenkpunkte Ao, A, Bo,
B einzuzeichnen.
c) Gegenüber Getriebe a) ist die gestaltliche Umkehrung an den Schleifengelenken
(Schiebepaaren) durchzuführen.
d) Es sind diejenigen Getriebe darzustellen, die nach einer kinematischen Umkehrung
der Elemente an den Schleifengelenken der Bauform a) und c) entstehen.
54
2 Getriebesystematik
Aufgabe 2.8:
Für den abgebildeten 2-Zylinder-V-Kompressor sind anzugeben bzw. zu ermitteln:
a) eine Getriebedarstellung, wobei die Zapfenerweiterung Glied 2 in Glied 3 rückgängig zu machen ist,
b) die zugrundeliegende kinematische Kette,
c) der Freiheitsgrad des Getriebes und der
kinematischen Kette,
d) alle weiteren kinematischen Ketten mit
gleicher Gliederzahl.
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
In diesem Kapitel sind die wichtigsten Grundlagen für die kinematische Analyse ebener
Getriebe zusammengefaßt, sowohl in graphisch-differentialgeometrischer als auch in
vektorieller Hinsicht.
Die "einfache Kinematik" des Punktes und der Ebene als Abstraktionsform eines eben
bewegten Getriebegliedes mit der EULER-Formel
VB
=
VA
+ V BA = VA + Öl x rBA
und unter Berücksichtigung der Starrheitsbedingung(en) führt zum Projektionssatz und
zu den Ähnlichkeitssätzen von MEHMKE und BURMESTER für die Geschwindigkeitsund Beschleunigungsermittlung. Mit diesen Sätzen läßt sich ebenfalls die Existenz eines
Geschwindigkeits- und Beschleunigungspols beweisen, so daß jede ebene Bewegung
jeweils als eine momentane relative Drehung um diese beiden Punkte aufgefaßt werden
kann.
Den Abschluß bilden die Vektorgleichungen der Relativkinematik bei der Bewegung
dreier beliebiger miteinander gekoppelter oder nicht gekoppelter Getriebeglieder i, j, k.
Bei der geometrisch-kinematischen Analyse eines Getriebes wird der Bewegungszustand
einzelner Getriebeglieder gegenüber dem Gestell, d.h. gegenüber einem absoluten
(inertialen) Koordinatensystem untersucht. Der Bewegungszustand eines Getriebegliedes ist nur dann eindeutig bestimmt, wenn bei gegebenen Abmessungen des Getriebes
und der Antriebsfunktion(en)
die Lage,
die Geschwindigkeit und
die Beschleunigung
für jeden Punkt auf dem Getriebeglied ermittelbar sind.
H. Kerle et al., Einführung in die Getriebelehre
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
56
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
x
Bild 3.1
Zur Kinematik der Koppel eines Viergelenkgetriebes
Mit Bezug auf Bild 3.1 heißt das beispielsweise: Gesucht sind die zeitabhängigen Koordinaten xc(t), yc(t) des Koppelpunktes C und die Winkelgeschwindigkeit (Ob (t) der
Koppel bei gegebener Lage <p = <pet) der Antriebskurbel AoA und zugeordneter Antriebswinkelgeschwindigkeit q, == (0 a. Die Abmessungen a, b, c, d des Getriebes sind
bekannt.
Für die Getriebeanalyse werden zeichnerische und rechnerische Verfahren angewendet.
Die zeichnerischen Verfahren haben den Vorteil der Anschaulichkeit und schnellen
Anwendbarkeit. Mittels der rechnerischen Analyse können wesentlich genauere Ergebnisse erreicht werden. Sie ist jedoch schon bei einfachen Getrieben meist derart umfangreich, daß der Einsatz von Rechnern unerläßlich ist.
3.1 Grundlagen der Kinematik
3.1.1 Bewegung eines Punktes
Vorgegeben sei die Bahnkurve eines Punktes A auf einem eben bewegten Getriebeglied,
Bild 3.2.
57
3.1 Grundlagen der Kinematik
y
Bild 3.2
Bahnkurve eines Punktes A in der x-y-Ebene
x
0=°1
Dann sind folgende Bezeichnungen üblich:
Bahntangente t
Orts vektor f A(t)
Bahnnormale n
Krümmungskreis k A
Geschwindigkeitsvektor VA
Krümmungsradius PA = KAA
Beschleunigungsvektor ä A
Krümmungsmittelpunkt K A
Tangentialbeschleunigungsvektor ä ~
Normalbeschleunigungsvektor ä~
Der Geschwindigkeitsvektor VA ist stets tangential zur Bahnkurve ausgerichtet und
hängt mit der ersten zeitlichen Ableitung des Weges SA folgendermaßen zusammen:
i _
_
. : . . -t
, VA = drA/dt rA =SA e .
(3.1)
=
Hierbei ist
e
t
der Tangenteneinheitsvektor auf t. Der Beschleunigungsvektor
äA
setzt sich aus zwei Teilen zusammen:
(3.2)
Der Tangentialbeschleunigungsvektor ä~ liegt auf t, der Normalbeschleunigungs-
vektor ä~ auf n und zeigt stets zum Krümmungsmittelpunkt KA hin. Der Punkt K A liegt
wiederum stets auf der Innenseite (konkaven Seite) der Bahnkurve von A. Ferner gilt:
58
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
(3.3)
Hinweis: Der Krümmungskreis kAdurchsetzt im allgemeinen als Grenzfall dreier auf
der Bahnkurve zusammenfallender Punkte die Bahnkurve im Punkt A.
Die bekanntesten kinematischen Diagramme für Punktbewegungen sind
a) Skalarkurven:
SA(t), SA(t), SA(t)
SA(SA)' SA(SA)' SA(SA)
b) Vektorkurven: Betrachtet werden die Vektorspitzen der nachfolgend aufgelisteten
Vektoren, die - ausgehend von jeweils einem gemeinsamen Ursprung
- zu zeichnen sind:
- Babnkurve TA (t)
- Hodografenkurve
vA (t)
- Tachografenkurve ä A (t)
3.1.2 Bewegung einer Ebene
Die Bewegung eines Getriebegliedes, d.h. einer Ebene Ek> gegenüber dem Gestell, d.h.
der festen Ebene Ej, wird durch die Bewegung zweier auf Ek liegender Punkte, z.B. A
und B, eindeutig beschrieben; in Kurzform EklE!. Sie setzt sich im allgemeinen aus einer
Schiebung (Translation), z.B. des Bezugspunkts oder Aufpunkts A in x- und y-Richtung
der Ebene Ej, und aus einer Drehung (Rotation), z.B. um den Aufpunkt A, zusammen.
59
3.1 Grundlagen der Kinematik
3.1.2.1 Geschwindigkeitszustand
Bild 3.3
x
Orts vektoren zweier Punkte A
und B einer bewegten Ebene E k
Dem Bild 3.3 entnimmt man
(3.4)
Wegen des unveränderlichen Abstands der Punkte A und B ist folgende Starrheitsbedingung erfüllt:
IrBAI=lrB-rAI=rBA =konst.,
(3.5)
-rBA
2
(3.6)
d.h.
2 = (-rB - _)2
= rBA
rA = (konst. )2 .
Leitet man vorstehende Gleichung einmal nach der Zeit ab, folgt daraus
driA /dt = 2(rB - r A )cfB
-
fA) = 0
bzw.
(3.7a)
(3.7b)
VB . r BA ist ein Skalarprodukt, d.h. die Projektion von vB auf den Differenzvektor r BA .
Projektionssatz:
Die Projektionen der Geschwindigkeitsvektoren vA und VB zweier Punkte A und B
eines starren Getriebeglieds (Ebene E k) auf die Verbindungsgerade AB sind gleich
groß, Bild 3.4.
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
60
»---
A
Bild 3.4
Zur Veranschaulichung des
Projektionssatzes
Die Ableitung der GI. (3.4) nach der Zeit ergibt
(3.8)
Da die Projektionen von VA und VB auf AB gleich lang und gleichgerichtet sind, kann
VBA
= VB -
VA nur senkrecht auf AB stehen, vgl. GI. (3.7b). Daher läßt sich formal aus
der GI. (3.8) ein Winkelgeschwindigkeitsvektor ffi für die Ebene E k herleiten
(EULER-Formel):
(3.9)
Hinweis:
Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ffi gilt nicht für einen einzelnen
Punkt, sondern für die gesamte Ebene E k .
Die Ebene Ek führt eine Schiebung in Richtung VA aus, gleichzeitig rotieren alle Ebenenpunkte mit der Winkelgeschwindigkeit ffi um A.
GI. (3.9) lautet in Komponentenscoceibweise mit W = ffiz (die z-Achse steht senkrecht auf
der Zeichenebene und bildet mit der x-y-Ebene ein rechtshändig orientiertes Dreibein)
(3.10)
Statt des Vektors ffi kann auch die schiefsymmetrische Matrix Ö eingeführt werden:
- Wz
o
o
(3.11 )
61
3.1 Grundlagen der Kinematik
so daß gilt:
(3.12)
VBA =roXfBA =Ö fBA'
3.1.2.2 Momentan- oder Geschwindigkeitspol
Es gibt einen speziellen Punkt P der bewegten Ebene, der momentan ruht, für den also
vp = Ö gilt.
Falls der Punkt P als Aufpunkt gewählt wird, geht GI. (3.9) über in
(3.13)
Damit gilt die gleiche Formel wie bei der alleinigen Drehung des Punktes B um den
Punkt P. Dieser Punkt P heißt Momentanpol oder Geschwindigkeitspol der Ebene Ek
bei der Bewegung gegenüber dem Gestell EI (genauer: P = Pik). Die Kenntnis der Lage
dieses Punktes kann bei der GeschwindigkeitsermittIung von Nutzen sein.
Der Momentanpol eines eben bewegten Getriebegliedes läßt sich sowohl zeichnerisch anschaulich als auch rechnerisch bestimmen.
a) Zeichnerische Lösung
Die GI. (3.13) gilt für jeden Punkt der Ebene Ek , d.h. die hier über ein Kreuzprodukt
gekoppelten Vektoren stehen (rechtshändig orientiert) senkrecht aufeinander bzw. die
Geschwindigkeitsvektoren zweier zu Ek gehörigen Punkte A und B stehen stets senkrecht auf den zugehörigen Polstrahlen AP bzw. BP, Bild 3.5.
Zeichnet man die um 90° im gleichen Sinn gedrehten Geschwindigkeitsvektoren rv,
erhält man als Schnittpunkt dieser Vektoren den Momentanpol Pik- Die Beträge der
Geschwindigkeiten lassen sich unmittelbar ablesen:
(3.14)
Bild 3.5
Geschwindigkeitszustand
einer Ebene E k
62
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
Hinweis:
Der Geschwindigkeitszustand einer Ebene ist eindeutig festgelegt, wenn
die Geschwindigkeit eines Punktes A dieser Ebene bekannt ist sowie von
einem Punkt B dieser Ebene die Richtung der Geschwindigkeit oder wenn
der Momentanpol P und die dazugehörige Winkelgeschwindigkeit bekannt sind.
b) Rechnerische Lösung
Aus GI. (3.9) folgt für B
=P
Vp =Ö=v A +OOXfpA ;
multipliziert man die vorstehende Gleichung von rechts vektoriell mit
00 , so ergibt sich
VA XOO+(OOXfPA)XOO=Ö.
Nach dem Entwicklungssatz wird daraus
VA xOO+(OO·OO)· fpA -(00' fpA)'OO= Ö.
Der letzte Tenn verschwindet, da
00 und fpA senkrecht zueinander stehen (00' [PA = 0),
d.h.
(3.15)
Satz:
Jede beliebige Elementarbewegung eines eben bewegten Getriebeglieds
(einer Ebene Ek) ist eine Drehung um einen eindeutig bestimmten Punkt, den
momentanen Drehpol (Momentanpol oder Geschwindigkeitspol). Der Momentanpol gilt folglich für die gesamte Ebene, d.h. für jeden Punkt des Getriebeglieds.
Bei einer Translationsbewegung gilt
00 = Ö, d.h. vA = VB und r vA = r VB' Daraus folgt:
Der Momentanpol liegt bei einer Translation als Schnittpunkt der um 90° gedrehten
Geschwindigkeitsvektoren rVA und
rVB
im Unendlichen.
3.1.2.3 Beschleunigungszustand
Um auf die Beschleunigungsstufe zu gelangen, leiten wir GI. (3.9) nach der Zeit ab und
erhalten
63
3.1 Grundlagen der Kinematik
(3.16)
Es gilt
00 X"fBA = &
mit &. f BA
=0
Gl. (3.16) mit
x (& XfBA ) = (w· f BA ) .&_00 2 . f BA
- beide Vektoren stehen senkrecht zueinander. Folglich wird aus
VA
== ä A
(3.17a)
(3.17b)
(3.17c)
(3.17d)
Der Beschleunigungsanteil
aBA
kann in eine Tangentialkomponente ä~A und in eine
Normalkomponente ä~A bzgl. der Bahnkurve des Punktes B gegenüber dem Punkt A
mit
(3.18)
aufgeteilt werden; dabei stellt der Punkt A den Krümmungsmittelpunkt bei der Bewegung B gegenüber A dar, auf den die Normalkomponente ä~A gerichtet ist, Bild 3.6.
Bild 3.6
Zur Orientierung des Beschleunigungsanteils aBA einer Ebene E k mit zwei
Punkten A und B
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
64
Für den Punkt A gilt selbstverständlich GI. (3.2). Falls auch die Bahnkurve des Punktes B bekannt bzw. der zugeordnete Krümmungsmittelpunkt K B bekannt ist, gibt es noch
eine weitere Schreibweise der GI. (3.17), nämlich
(3.l7e)
Die Normalbeschleunigung ä~ weist auf KB hin, es ist analog zu GI. (3.3)
lä~1 =a~ = v~ / KBB = v~ / PB·
(3.19)
Genau so erhält man für einen beliebigen dritten Punkt C der Ebene Ek
äc
=ä A + ä CA =ä B + ä CB •
(3.20)
3.1.2.4 Beschleunigungspol
Es gibt einen speziellen Punkt G der bewegten Ebene, der momentan unbeschleunigt ist,
für den mithin ä G
= Ö gilt.
Dieser Punkt G heißt Beschleunigungspol der Ebene ~ bei der Bewegung gegenüber
dem Gestell EI (genauer: G = G lk).
Hinweis:
Im allgemeinen gilt für den Beschleunigungspol G
vG:;t: Ö
und auch die
Beschleunigung des Momentanpols P (Polbeschleunigung) verschwindet
nicht automatisch, d.h. äp
:;t: Ö.
Wenn der Beschleunigungspol G = G lk bekannt ist, läßt sich die Bewegung EklE l hinsichtlich der Beschleunigung momentan als Drehung von E k um G mit Tangential- und
Normalbeschleunigung auffassen, Bild 3.7.
Die Beziehung zwischen den Beschleunigungen der Punkte A und G lautet
(3.21)
Da äG
=Ö ist, läßt sich die Beschleunigung
ä A in die Komponenten von äAG zerlegen,
nämlich in die Normalbeschleunigung ä~G und die Tangentialbeschleunigung ä~G. Die
Tangentialbeschleunigung von A ergibt sich über die Winkelbeschleunigung
pliziert mit dem Abstand vom Beschleunigungspol:
ö>, multi(3.22)
65
3.1 Grundlagen der Kinematik
B
Bild 3.7
Zur Lage des Beschleunigungs-
G
pols G einer bewegten Ebene
Ek=ABC
Die Normalbeschleunigung folgt aus
n
-
2
aAG =AG·O) .
(3.23)
Der Betrag von äA hat die Größe
a A =~(a;'G)2
+(a~G)2 =AG·~oo2 +0)4 .
(3.24)
Es gilt die Beziehung
t
a AG
0)•
tanß=-=-·
an
AG r.,2
UJ
(3.25)
In GI. (3.25) ist ß der Winkel zwischen der resultierenden Beschleunigung und der
Verbindungslinie von dem betrachteten Punkt zum Beschleunigungspol, er ist für alle
Punkte der Ebene Ek gleich groß, da er nur von 00 und 0)2 abhängt und diese Größen
von der Lage des Punktes auf der Ebene unabhängig sind.
Hinweis:
Sind von einer Ebene die Beschleunigungen zweier Punkte bekannt, so
ist der Beschleunigungspol der Schnittpunkt der Verlängerungen der um
den Winkel ß = arctan(00/0)2) in Richtung 00 gedrehten Beschleunigungen.
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
66
3.1.3 Graphische Getriebeanalyse
3.1.3.1 Maßstäbe
Zur zeichnerischen Darstellung und Auswertung von Bewegungsabläufen sind Maßstäbe
erforderlich. Der Maßstab läßt sich definieren als Quotient:
Maßsmb =
wirkliche Größe
darstellende Größe
.
Es werden folgende Maßstäbe unterschieden:
•
Längenmaßstab:
wirkliche Größe s in m, darstellende Größe (s) in mm
m ]
s[m]
M z [ mm = (s)[mm]-7S=M z '(S)
•
(3.26)
Zeitmaßstab:
wirkliche Größe t in s, darstellende Größe (t) in mm
(3.27)
•
Geschwindigkeitsmaßstab:
wirkliche Größe v in mls, darstellende Größe (v) in mril
(3.28)
•
Beschleunigungsmaßstab:
wirkliche Größe a in mls2 ,
darstellende Größe (a) in mm
(3.29)
Nicht alle Maßstäbe sind unabhängig voneinander wählbar. Der Beschleunigungsmaßstab M a ist abhängig von Mv und M z; es gilt
67
3.1 Grundlagen der Kinematik
(3.30)
Für die anschauliche graphische Getriebeanalyse haben sich einige Verfahren bewährt,
die die zuvor beschriebenen vektoriellen Beziehungen in entsprechende geometrische
Konstruktionen umsetzen. Beispielsweise läßt sich die Beziehung a ~ = vi / PA nach
Gi. (3.3) mit Hilfe des Kathetensatzes graphisch auswerten, Bild 3.8.
Bild 3.8
Geometrischer Zusammenhang zwischen Normalbeschleunigung und Geschwindigkeit des
Punktes A
Mit Hilfe der zu Beginn dieses Abschnitts eingeführten Zeichenmaßstäbe wird aus obiger Beziehung
M a < a~ >
2
2
My< VA>
=--'--_,!,!,-M z <PA>
(3.31)
Hierin sind die in eckige Klammern gesetzten Größen die zu (zeichnenden) darstellenden Größen.
Werden die darstellenden Größen entsprechend Bild 3.8 über den Kathetensatz b2 = c q
verknüpft, ergibt sich
(AAl
=AKA ·AAn
-4
<VA >2 = <PA > <a~ >.
Wenn a~ = M a < a~ > gültig sein soll, ist die Gi. (3.30) einzuhalten.
68
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
Hinweis:
Für den Fall, daß wegen AA n =< a~ > > PA der Kathetensatz zunächst
versagt,
ist der
Geschwindigkeitsmaßstab
Mv=Mz·(vA/PA)·
neu
zu
wählen:
3.1.3.2 Geschwindigkeitsermittlung
Es gibt zwei grundlegende Verfahren, um z.B. die Gleichungen
VB =V A +VBA =VA +WXfBA und
VC = vA + VCA = VA + Wx fCA oder
Vc =VB +VCB =VB +00 X fcB
graphisch auszuwerten, nämlich mit Hilfe des
a) Geschwindigkeitsplans oder des
b) Plans der (um 90°) gedrehten Geschwindigkeiten.
Von großer Bedeutung sind dabei die Ähnlichkeitssätze von BURMESTER und
MEHMKE, Bild 3.9.
Satz von BURMESTER:
Die Endpunkte der Geschwindigkeiten bzw. Beschleunigungen eines starren Systems bilden eine dem starren System gleichsinnig ähnliche Figur.
Satz von MEHMKE:
Der Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsplan ist eine dem gegebenen starren
System gleichsinnig ähnliche Figur.
a) Geschwindigkeitsplan (v-Plan)
Der v-Plan beruht im wesentlichen auf dem Satz von MEHMKE. Im frei wählbaren
Ursprung (Pol) 0 wird die bekannte Geschwindigkeit eines Punktes der Ebene Ek> z.B.
A, angetragen und das Dreieck abc konstruiert. Dabei gilt (Reihenfolge der Punkte beachten!):
Ll abc im Geschwindigkeitsplan - Ll ABC im Lageplan.
69
3.1 Grundlagen der Kinematik
b)
a)
p
c
Bild 3.9
Ähnlichkeitssätze nach BURMESTER (a) im Lageplan und MEHMKE (b) im Gesch windigkeitsplan
Die Strecken ab, ac, bc entsprechen den Differenzgeschwindigkeiten VBA ' VCA und
v CB . Weiterhin gilt: Die Geschwindigkeiten vBA' v CA und v CB stehen senkrecht zu
-
-
-
-
den jeweiligen Differenzvektoren f BA , fCA und fCB' d.h. ab 1. AB, ac 1. AC und
bc 1. BC.
Im PolO des v-Plans werden alle Momentanpole der gegenüber dem Gestell bewegten
Getriebeglieder abgebildet; deswegen läßt sich der v-Plan auch dazu verwenden, den
Momentanpol P eines Getriebeglieds im Lageplan zu konstruieren:
~
acO-
~
ACP.
b) Plan der (um 90°) gedrehten Geschwindigkeiten
Wegen
r-VB = r-vA +r-VBA
un d
r-VC= r-v A+r-VCA
0 der
(rv-Plan)
70
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
folgt:
Satz 1:
Die Endpunkte der um 90° gedrehten Geschwindigkeiten zweier Punkte der Ebene E k
liegen auf einer Parallelen zur Verbindungs geraden der beiden Punkte, Bild 3.10.
Satz 2:
Die Sätze von BURMESTER und MEHMKE gelten sinngemäß, Bild 3.11 .
Bild 3.10
r
Zu Satz 1 des v-Plans
B
c
Bild 3.11
r
Zu Satz 2 des v-Plans: Satz
von BURMESTER
71
3.1 Grundlagen der Kinematik
3.1.3.3 Beschleunigungsermittlung
Die Ermittlung der Beschleunigungen entsprechend GI. (3.20) kann graphisch im sog.
Beschleunigungsplan (a-Plan) mit frei wählbarem Ursprung (Pol)
Bild 3.12.
1t
erfolgen,
c
B
n
B
~
,
",
~ - ,,/
'
~/'/
,
8G
c
b
rv -Plan
a-Plan
Bild 3.12
BeschleunigungsermittIung im Viergelenkgetriebe
Von dem in Bild 3.12 dargestellten Viergelenkgetriebe mit Koppelpunkt C ist die
Antriebsbeschleunigung äA bekannt. Die Beschleunigung des Punktes C soll bestimmt
werden.
Zuerst ist der Geschwindigkeitszustand der Koppelebene zu ermitteln. Punkt A beschreibt eine Kreisbahn um Ao. Aus der Normalbeschleunigung ä~ (Projektion von
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
72
aA auf die Gerade AoA) läßt sich der Betrag von vA oder der gedrehten Geschwindigkeit r vA bestimmen.
Es gilt
und
r-vB=r-VA +r-VBA'
wobei von r VB und r v BA jeweils nur die Richtungen bekannt sind.
Jetzt wird r VA im Punkt r 0 angetragen und dann durch ra (Endpunkt von r vA) eine
Gerade mit Richtung von r v BA und durch r 0 eine Gerade mit Richtung von r v B gezeichnet. Die zwei Geraden schneiden sich in rb. Über den Satz von MEHMKE kann im
r v-Plan nun der Punkt r c eingezeichnet werden:
L1 ra rb r c - L1 ABC.
Aus v B und v BA können nun ebenso die Normalbeschleunigungen mit Hilfe der
GIn. (3.19) und (3.18) bestimmt werden. Anschließend wird die Beschleunigungsgleichung
im a-Plan ausgewertet.
Der Ablauf ist analog zu dem Vorgehen im Geschwindigkeitsplan. Erst werden alle
Vektoren in den Plan eingetragen, die von Betrag und Richtung her bekannt sind, anschließend die Vektoren, von denen nur die Richtung bekannt ist. Der entstehende
Schnittpunkt ist dann b. Über den Satz von MEHMKE (Ähnlichkeit der Dreiecke) wird
ac ermittelt.
Der Punkt 1t im a-Plan ist Abbild aller Beschleunigungspole der gegenüber dem Gestell
bewegten Getriebeglieder; deswegen läßt sich der a-Plan auch dazu verwenden, den
Beschleunigungspol G eines Getriebeglieds im Lageplan zu konstruieren:
L1 ab1t - L1 ABG.
3.1.3.4 Rastpolbahn und Gangpolbahn
Wir betrachten zunächst zwei endlich benachbarte Lagen EI (AIBIC I) und E 2 (A 2B2C 2)
einer Ebene E, die aus einer Drehung um den endlichen Drehpol P I2 hervorgegangen
sind, Bild 3.13.
73
3.1 Grundlagen der Kinematik
a)
b )
2
b
p
Bild 3.13
Zwei benachbarte Lagen einer Ebene: a) endlich, b) unendlich benachbart
P 12 ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Strecken A IA2 und B IB2 bzw.
C IC2. Der zugehörige Drehwinkel <j)12 ist für jeden Punkt auf E gleich:
<j)12
= LA 1P12 A 2 = LB 1Pl2 B2 =...
Beim Grenzübergang <j)12 ~ 0 wird aus dem Drehpol P 12 der Momentanpol P, der zwei
unendlich benachbarte Lagen der Ebene charakterisiert. Die Strecken A IA2 und BIB2
gehen in die Tangenten ta und tb über, der Schnittpunkt der zugeordneten Normalen n a
und nb führt auf den Momentanpol P.
Für jede Stellung i der Ebene, repräsentiert durch die Punkte A und B, läßt sich ein
Momentanpol Pi angeben. Die Punktfolge Pi liefert in der Gestellebene EI die Rastpolbahn p und in der bewegten Ebene eine Bahnkurve q - die Gangpolbahn - als
Punktfolge Qi.
Satz:
Eine allgemeine ebene Bewegung kann als das Abrollen zweier Polbahnen p
und q aufgefaßt werden.
Zwei Beispiele sollen dies verdeutlichen. Beim Abrollen zweier Kreise beschreibt der
Punkt A eine Epizykloide mit der Spitze in P, die Kreise stellen selbst die Polbahrien p
und q dar, Bild 3.14. Die Polbahnen des rechtwinkligen Doppelschiebers sind in Bild
3.15 eingezeichnet; sie sind aus der Geometrie des Getriebes leicht angebbar.
74
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
Gangpolbahn q
R astpo lba hn p
Bild 3.14
Bild 3.15
Abrollen zweier Kreise als Gang- und
Rastpolbahn
Polbahnen des rechtwinkligen Doppelschiebers
Polbahnen werden beispielsweise bei der Herstellung von Verzahnungen genutzt; die
Evolventenverzahnung fußt auf dem Abrollen einer Geraden auf einem Kreis, die
Zykloidenverzahnung auf dem Abrollen eines Kreises auf einer Geraden.
3.2 Relativkinematik
Während die "einfache Kinematik" für eine sukzessive Betrachtung der Bewegung
benachbarter Getriebeglieder, die über Drehgelenke miteinander verbunden sind, sehr
oft ausreicht, ist dies bei der Kopplung über Schleifen- und Kurvengelenke schon nicht
mehr der Fall. Auch der Übergang von einem Getriebeglied mit der Nummer k auf ein
nicht benachbartes mit der Nummer k+n (k, n: ganze Zahlen) ist nur mit den Regeln
der Relativkinematik zu bewältigen.
Dazu werden die Bewegungen dreier Ebenen Eh Ej , Ek (dreier eben bewegter Getriebeglieder) betrachtet, die nicht miteinander gelenkig gekoppelt sein müssen. Jede Ebene
hat ein eigenes (körperfestes) Koordinatensystem x., y., z. mit Ursprung 0* (* = i, j,
°
k). Im speziellen Fall i, j, k = 1, 2, 3 ist EI gewöhnlich die feste Bezugsebene (Gestell)
mit dem Inertialkoordinatensystem XI == X, YI == y, Zl == z und Ursprung
1 == 0,
Bild 3.16.
75
3.2 Relativkinematik
Bild 3.16
Drei bewegte Ebenen mit momentan gemeinsamem Punkt A
Der Punkt A kann momentan allen drei Ebenen zugeordnet werden; eine im Punkt A
angesetzte Nadel hinterläßt drei Löcher in den Ebenen EJ, E 2 und E 3 : A = AI = A 2 = A 3 !
Der Punkt A3 als Punkt der Ebene E 3 bewegt sich gegenüber der Ebene E 2 , die sich
wiederum gegenüber der Ebene EI bewegt. Diese Bewegungen werden
- Relativbewegung EJiE 2 ,
- Führungsbewegung E21EJ,
- Absolutbewegung E 31E 1
genannt.
3.2.1 Geschwindigkeitszustand
Für die Geschwindigkeit des Punktes A erhält man
(3.32)
oder
VA31 = VA21 + VA32
.
Bild 3.17 veranschaulicht diese Gleichung.
(3.33)
76
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
Man nennt
VA3l
die Absolutgeschwindigkeit,
VA2l
die Führungsgeschwindigkeit,
VA32
die Relativgeschwindigkeit
des Punktes A.
3
I
I
1'y~
I
Al:
,(////
Hr-
1I 1
A 2.:
A3:
~
2
3
Bild 3.17
Geschwindigkeitsverhältnisse bei der Bewegung der drei Ebenen EJ, E 2 und E 3
Allgemein gilt bei der Bewegung dreier Ebenen Ej, Ej , E k für einen beliebigen Punkt:
(3.34)
Dabei ist die Indexreihenfolge wichtig, es gilt z.B.
(3.35)
Analog gilt für die Winkelgeschwindigkeiten dreier Ebenen Ej, Ej , E k :
roij +rojk + roki
=Ö
(3.36)
77
3.2 Relativkinematik
mit z.B.
00 1J.. =-00··J1
(3.37)
und im speziellen Fall i, j, k = 1,2,3
00 31 = ro21 + ro32 .
(3.38)
Der Momentanpol Pik = Pki der Relativbewegung EklEi bzw EilEk hat keine Geschwindigkeit:
( VPik ) ki -- Ö.
(3.39)
Dazu liefert GI. (3.34) die Identität
( VPik ) ij =
(v )kj
Pik
bzw .
(v )ji = (v )jk'
Pik
(3.40a)
Pik
die mit Hilfe des Kreuzproduktes auch in der Form
ro··1J
x p··p·
1J 1k = ookJ X PkJ P1k
(3.40b)
geschrieben werden kann I.
Daraus folgt der
Satz von KENNEDY/ARONHOLD:
Die drei Momentanpole Pij' Pik und Pjk dreier bewegter Ebenen (Getriebeglieder) Ei, Ej
und Ek liegen stets auf einer Geraden.
Dieser Satz heißt einfach auch Dreipolsatz.
Im Rückblick auf Bild 3.17 liefert GI. (3.40)
Die skalare Auswertung der GI. (3.40b) führt auf
Übersetzungsverhältnisse zwischen den bewegten Ebenen:
oder
allgemeine
Momentan-
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
78
ü) kj
Pij Pik
ü) jk
(3.42)
Die Indizes i, j, k sind beliebig kombinierbar. Besonders wichtig sind die Übersetzungsverhältnisse gegenüber dem Gestell i = 1:
.
Ijk
_ 1 _ ü) jl _ Pik Pjk
--.-----=.
lkj
ü)kl
P1ljk
(3.43)
3.2.2 Beschleunigungszustand
Durch Ableiten von GI. (3.34) nach der Zeit erhält man formal
ä ij + ä jk + ä ki = Ö
(3.44a)
bzw.
(3.44b)
Die Beschleunigungen ä ki und ä ji können - sofern die Bahnkurven des betrachteten
Punktes A bei den relativen Ebenenbewegungen EklE i und EjlEi bekannt sind - in ihre
Normal- und Tangentialanteile zerlegt werden. Das gleiche gilt für EklEj , allerdings
kommt in diesem Fall die sog. Coriolisbeschleunigung ä~j hinzu:
(3.45)
mit
(3.46)
bzw.
(3.47)
Die drei Vektoren ä~j' Wji und Vkj bilden entsprechend GI. (3.46) ein rechtshändiges
Dreibein, Bild 3.18.
79
3.2 Relativkinematik
Bild 3.18
Orientierung der Coriolisbeschleunigung
Für den speziellen Fall i, j, k = 1, 2, 3 nennt man
aA3!
die Absolutbeschleunigung,
aA2!
die Führungsbeschleunigung,
a A32
die Relativbeschleunigung
des Punktes A.
Die Coriolisbeschleunigung tritt stets dann auf, wenn
1. beide Bewegungen EklEj und EjlEi existieren,
2. die Bewegung EjlE i keine alleinige Translation darstellt (& ji -:I- Ö!),
3. der Punkt A nicht mit dem Momentanpol Pjk zusammenfallt (Vkj -:I- Ö!).
Lehrbeispiel Nr. 3.1: Kinematik der zentrischen Kurbelschleife
Bild 3.19
Bezeichnungen an der zentrischen Kurbelschleife
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
80
AufgabensteIlung:
Die in Bild 3.19 skizzierte zentrische Kurbelschleife wird mit der Winkelgeschwindigkeit
=W21
wan
und der Winkelbeschleunigung
ä an =ä 21 == 0>21 angetrieben. Für gege-
bene Abmessungen sind in der gezeichneten Lage die Abtriebswinkelgeschwindigkeit
w =W
ab
41
sowie die Beschleunigung ä A41 des Punktes A als Punkt des Abtriebsglieds 4
.
zu bestImmen (Maßstäbe: M z
=1 -cm- ,
cm z
Mv
cm/s
=1 cm z
Ma
2
M
=__
V).
Mz
Lösung:
a)
b)
c)
Bild 3.20
Graphische
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsermittlung für die zentrische
Kurbelschleife: a) Lageplan
(vgl. Bild 3.19), b) v-Plan, c)
a-Plan
81
3.2 Relativkinematik
Mit Hilfe von GI. (3.34) erhält man für i, j, k = 1, 3,4
VA41 = VA31 + VA43 '
v
wobei stets A31 == VA21 =00 21 X AoA gilt, da der Punkt A das verbindende Drehgelenk
23 zwischen den Gliedern 2 und 3 darstellt. Da die Richtung der Relativgeschwindigkeit
~
v
v
A43 mit der Richtung des Schleifenhebels BoA übereinstimmt und A41 senkrecht
darauf steht, läßt sich das Geschwindigkeitsdreieck vektoriell-analytisch oder graphisch
auswerten, Bild 3.20b. Danach errechnet sich die Winkelgeschwindigkeit 0)41 aus der
GI. (3.14) zu
0)41 = V A41 I BoA.
Der Richtungssinn (Vorzeichen) stimmt mit demjenigen von VA41 überein.
Satz:
Die Gleichungen der "einfachen Kinematik" gelten für einen Summanden in der Vektorgleichung (3.34) für die Geschwindigkeit oder (3.44) für die Beschleunigung nur
dann, wenn einer seiner Doppelindizes mit der Zahl 1 das Gestell kennzeichnet.
Auf der Beschleunigungsstufe ergibt sich nach GI. (3.45)
~
~
wobei a A31 = a A21 = aA21 + aA21 = (X21 x AoA - 0)21 AoA
(GI. (3.17a) für A ~ A o und B ~ A).
-
_ -
-t
-n
-
2
gültig und gegeben ist
Im folgenden werden die Vektoren links und rechts vom letzten Gleichheitszeichen der
vorstehenden Gleichung zum Schnitt gebracht, Bild 3.20c.
Vom Vektor ä~41 ist die Richtung bekannt, nämlich senkrecht zum Schleifenhebel BoA
(Drehung um Bo), vom Vektor ä~41 sowohl die Richtung (von A auf Bo weisend) als
auch der Betrag a~41
=(v A41)2 I BoA
(GI. (3.3)).
Auf der Geraden des Schleifenhebels verschwindet die relative Normalbeschleunigung
ä~43 und somit auch
(GI. (3.46))
ro 34 ' so daß der relative Beschleunigungsvektor aA43
übergeht in
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
82
Der Beschleunigungsanteil ä~43 hat die gleiche Richtung wie die schon ermittelte Relativgeschwindigkeit vA43 ' nämlich die des Schleifenhebels BoA. Der Term ganz rechts
in der vorstehenden Gleichung repräsentiert die Coriolisbeschleunigung, die sich aus der
GI. (3.36) hinsichtlich 0)31 == 0)41 (0)34 = Öl) und aus der bereits ermittelten Geschwindigkeit
vA43
zusammengesetzt.
3.3 Übungsaufgaben
Aufgabe 3.1:
Ein Viergelenkgetriebe habe die Abmessungen
AoA = 32mm, AB = 48mm, BoB = 56mm, AoB o =50mm.
B
Die Antriebswinkelgeschwindigkeit
(0 == <p sei konstant.
a) Ermitteln Sie das Übersetzungsverhältnis von Antrieb zu Abtrieb
und den Momentanpol der Koppel
AB, wenn der Antriebswinkel in der
gezeichneten Stellung <p = 60° beträgt.
1
1
b) Das Übersetzungsverhältnis sowie
der Momentanpol der Koppel sind
zu ermitteln, wenn sich das Getriebe
in der äußeren Totlage befindet (Ao,
A, B liegen auf einer Geraden, A
liegt zwischen Ao und B).
Aufgabe 3.2:
Ein Planetengetriebe besteht aus Sonnenrad (2), Hohlrad (3), drei Planetenrädern (4)
und dem die Planetenräder verbindenden Radträger (5), alle drehbar um die Achse 12
gelagert. Unter anderem sind folgende Fälle möglich:
83
3.3 Übungsaufgaben
I) Antrieb am Sonnenrad 2, Hohlrad 3 steht still, Abtrieb am Glied 5
11) Antrieb am Hohlrad 3, Sonnenrad 2 steht still, Abtrieb am Glied 5
Gegeben sind die Radien r2, r3, r4, rs.
Ermitteln Sie für beide Fälle:
a) den Momentanpol P14 der Planetenräder 4,
b) die Winkelgeschwindigkeit 0)41 der
Planetenräder 4,
c) die Geschwindigkeit VM des Mittelpunktes der Planetenräder 4,
d) das Übersetzungsverhältnis i zwischen dem antreibenden Rad und dem
Abtriebsglied 5.
Aufgabe 3.3:
1
/"'
1
Das abgebildete Schubkurbelgetriebe dient zur Umwandlung einer Drehung- in eine
Schiebung und wird z.B in Verbrennungsmotoren eingesetzt. Die Kurbel AoA drehe
sich mit cP21 == 0)21
= 1rad I sund ro 2l == a 2l =0,5 rad I S2 .
Ermitteln Sie zeichnerisch für die skizzierte Lage:
a) die Geschwindigkeiten aller Systempunkte im v-Plan,
r
b) die Geschwindigkeiten aller Systempunkte im v-Plan,
e) die Beschleunigungen aller Systempunkte im a-Plan.
84
Aufgabe 3.4:
3 Geometrisch-kinematische Analyse ebener Getriebe
c
~
1
o
1t.
1
Das abgebildete sechsgliedrige Getriebe dient als Antrieb einer HorizontalStoßmaschine. Das Antriebsglied 2 dreht mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit
0)21·
Für die gezeichnete Stellung (CP2
mitteln:
= 45°) und das über
a) die Geschwindigkeiten aller Systempunkte,
b) die Beschleunigungen aller Systempunkte.
cm
crnjs
(Maßstäbe: M z = 1--, Mv = 1 - - )
cm z
cm z
0)21
gegebene v A21 sind zu er-
4 Numerische Getriebeanalyse
Mit den bisher angesprochenen Berechnungsmethoden lassen sich die jeweils interessierenden kinematischen Größen wie Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Getriebe glieder nur für eine einzelne Stellung des Getriebes berechnen. Die Analyse eines
Getriebes für eine Bewegungsperiode ist somit sehr zeitaufwendig, zumal die zeichnerisch-anschaulichen Verfahren komplizierter zu programmieren sind. Für die Berechnung mit dem Computer sind daher andere Ansätze notwendig.
In diesem Kapitel werden zwei Methoden vorgestellt, die sich besonders für die numerische Getriebeanalyse eignen, da sie einfach zu programmierende Algorithmen benutzen:
•
Analvtisch-vektorielle Methode
•
Modulmethode
Die erste Methode setzt die Formulierung der vektoriellen Geschlossenheitsbedingung(en) für ein Getriebe voraus, aus denen sich die für ein Getriebe typische Funktionalmatrix aufbauen läßt, nämlich die JACOBI-Matrix oder Matrix der partiellen
Übertragungsfunktionen 1. Ordnung. Da die meisten ebenen (und auch räumlichen)
Getriebe eine oder mehrere geschlossene kinematischen Ketten zur Grundlage haben,
ergeben sich die Geschlossenheitsbedingungen fast automatisch. Die Gleichungen für
die Lage eines Getriebes sind wegen der auftretenden trigonometrischen Funktionen in
den x- und y-Komponenten der vektoriellen Geschlossenheitsbedingungen allerdings
fast immer nur iterativ zu lösen. Die Erweiterung der analytisch-vektoriellen Methode
auf die Berechnung von Koppelkurven (Bahnen einzelner Getriebepunkte) ist wiederum
sehr einfach, ebenso wie die Ermittlung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.
Die zweite Methode zerlegt ein Getriebe in einfachere Bauformen (Elementargruppen),
die für sich kinematisch (und kinetostatisch) bestimmt sind, d.h. deren kinematische
Ausgangsgrößen sich bei bekannten kinematischen Eingangsgrößen eindeutig berechnen
lassen. Diese Modulmethode bleibt für exakte, geschlossen-analytische Lösungen allerdings auf Zweischläge als Elementargruppen beschränkt und ist in der Richtlinie VDI
2729 umfassend beschrieben.
Beide Methoden werden im Programm MGA (Modulare Getriebeanalyse) zur kinematischen Analyse von ebenen Getrieben mit Dreh- und Schubgelenken benutzt, auf das im
Vorwort bereits hingewiesen wurde.
H. Kerle et al., Einführung in die Getriebelehre
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
4 Numerische Getriebeanalyse
86
4.1 Analytisch-vektorielle Methode
Von einem Getriebe seien alle geometrischen Abmessungen sowie die Antriebsgrößen,
d.h. deren Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung, bekannt. Gesucht sind die kinematischen Größen (Winkel und Wege sowie deren zeitliche Ableitungen) aller bewegten
Getriebeglieder .
Bei der analytisch-vektoriellen Methode werden Gleichungen erstellt, die das Getriebe
vollständig geometrisch beschreiben und alle bekannten und unbekannten Größen
(<Pi' CPi ,<Pi' si' Si' Si) enthalten. Die Nullstellen dieser Gleichungen und damit die unbekannten kinematischen Größen werden dann numerisch ermittelt.
Die entsprechenden Gleichungen erhält man durch die Formulierung von Geschlossenheitsbedingungen bzw. Zwangsbedingungen. Als Beispiel sei eine einfache Schubkurbel betrachtet (Bild 4.1).
y
Bild 4.1
A
o-~"'--------IV
f-L--P--X
Bezeichnungen an einer zentrischen Schubkurbel für die
analytisch-vektorielle Methode.
Mit
sind die Einheitsvektoren auf den Verbindungsgeraden der Gelenke bezeichnet.
e
Von dieser Schubkurbel seien die folgenden Abmessungen gegeben:
=a = r 2
AB = b = r3
AoA
Gesucht sind zunächst die unbekannten Größen <P3 und
SI.
Die Geschlossenheitsbedingung fordert anschaulich, daß das Getriebe nicht auseinanderfällt, da die Getriebeglieder gelenkig miteinander verbunden sind. Ordnet man den Getriebegliedern Vektoren in der x-y-Ebene zu, so bedeutet die Geschlossenheitsbedingung, daß diese Vektoren sich zum Nullvektor ergänzen müssen:
87
4.1 Analytisch-vektorielle Methode
AoA· e 2 - AB· e3 - SI . e x
=Ö
(4.1)
oder
Die letzten Terme der Gi. (4.1) sind negativ, weil Glied 3 und die Gestellgerade AoB
entgegen der positiven Richtung der Einheitsvektoren e3 und e x durchlaufen werden.
Drückt man die Einheitsvektoren mit Hilfe der Winkel aus, erhält man die Vektorform
4> = r 2 . [:~:::] -
r3 -[
:~:::] - [ ~ ] = [~] .
(4.2)
Gi. (4.2) kann aufgespalten werden in zwei Gleichungen; dies entspricht der Projektion
der Vektoren auf die x- bzw. y-Achse:
= r2 . COSCj>2 <1>2 = r2 . sin Cj>2 <1>1
r3 . cosCj>3 - SI = 0
r3 . sin Cj>3
(4.3)
=0
In diesen beiden Gleichungen sind alle bekannten und unbekannten Winkel und Wege
enthalten. Alle Kombinationen von Sb Cj>2 und Cj>3, die Gi. (4.3) zu null werden lassen,
sind mögliche Lagen des Getriebes. Da Cj>2 als Antriebswinkel bekannt ist, reichen zwei
Gleichungen zur Berechnung der Unbekannten SI und Cj>3 aus. Jede Zwangsbedingung in
der Form der Gi. (4.1) liefert zwei Gleichungen zur Bestimmung der Unbekannten. Für
die Berechnung von jeweils zwei Unbekannten des Getriebes benötigt man also eine
Zwangsbedingung bzw. Schleifengleichung. Bei ebenen Getrieben mit n Gliedern und g
Gelenken vom Freiheitsgrad f = 1 beträgt die Anzahl p der notwendigen Zwangsbedingungen
(4.4)
p = g- (n -1).
Höhere Elementenpaare mit f = 2 (Kurvengelenke ) müssen jeweils durch binäre Glieder
mit zwei Gelenken mit f = 1 ersetzt werden, um die Gi. (4.4) anwenden zu können.
Die Zwangsbedingungen liefern also ein System von 2 p nichtlinearen Gleichungen mit
2 p Unbekannten, das in allgemeiner Form lautet:
4>(q) = Ö.
<I> ist der Vektor der 2 p Zwangsbedingungen,
(4.5)
q
der Vektor der 2 p Unbekannten.
Dieses Gleichungssystem kann fast immer nur iterativ gelöst werden. Im Fall der Schubkurbel ist eine geschlossen-analytische Lösung der Gi. (4.3) angebbar, die somit zum
Vergleich mit der iterativen Lösung herangezogen werden kann.
4 Numerische Getriebeanalyse
88
4.1.1 Iterative Lösung der Lagegleichungen
Die Nullstellen nichtlinearer Gleichungssysteme lassen sich in der Regel nicht direkt
ermitteln. Eine Möglichkeit zur numerischen Lösung solcher Gleichungssysteme ist die
Iterationsmethode nach NEWTON-RAPHSON, die anhand eines einfachen, zweidimensionalen Beispiels erläutert werden soll [4.1].
In Bild 4.2 ist eine Funktion f(x) dargestellt, deren Nullstelle gesucht ist. Ausgehend
vom Startwert Xi' für den also der Funktionswert f(xi) und die Ableitung f'(xi) bekannt sind, ist eine Näherung für die Nullstelle gegeben durch
f(Xi)+f'(Xi)·ilx=O.
(4.6)
Daraus erhält man
ilx=_f(Xi) .
f'(xi)
(4.7)
x
'..
I
~x
I
." I
Bild 4.2
Nullstellensuche bei einer VariabIen
Formal kommt man auf dasselbe Ergebnis, wenn man die Funktion f um den Startwert
Xi in eine TAYLOR-Reihe entwickelt, d.h.
A) = f( Xi ) + f'( xi)·ilx----·ilx
f"(Xi)
2
f( Xi +L1X
+ ... =0,
2!
und nach dem linearen Glied abbricht. Aufgelöst nach ilx erhält man
(4.8)
89
4.1 Analytisch-vektorielle Methode
(4.9)
Einen verbesserten Wert für die Nullstelle x erhält man durch die Iterationsvorschrift
(4.10)
Mit diesem Xj+1 berechnet man erneut Ax und verbessert so die Näherung der Nullstelle schrittweise. Die Iteration wird abgebrochen, wenn Ax betragsmäßig eine bestimmte vorgegebene Grenze f. unterschreitet(4.11)
- oder wenn f(x) betragsmäßig gegen null konvergiert(4.12)
If(xj+I)I< f.
- oder eine bestimmte Anzahl von Iterationen erreicht ist.
4.1.2 Erweiterung auf den mehrdimensionalen Fall
Ebenso wie die Funktion f mit einer Variablen kann die n-dimensionale Vektorfunktion
cl> = (<1>1' <1>2'"'' <I> n) T in eine TAYLOR-Reihe entwickelt werden, die nach den linearen Gliedern abgebrochen wird:
rl.(A rl. -vqj+uq)=-v(qj)+
Der Term
acl>(q.)
aqj
1
acl>«L)
rl. J(-)
... _ uq- ... =-v(qj)+
qj uq+... = -0 .
A -
A -
uqj
.
(4.13)
.
Wird JACOBI-Matrlx J genannt. Für das Beispielgetriebe aus
Bild 4.1 lautet die JACOBI-Matrix
(4.14)
Den Vektor Aq = (Aq I ,Aq 2 , .•• ,Aq n ) T errechnet man aus
(4.15)
und den neuen Vektor qj+1 aus
4 Numerische Getriebeanalyse
90
(4.16)
Die Iteration wird abgebrochen, wenn eine der Bedingungen (4.11) oder (4.12) für alle
n Komponenten erfüllt ist, d.h.:
ILlql < e
oder
(4.17)
1<I>(qi+l)1 < e .
(4.18)
In Bild 4.3 ist der gesamte Ablauf zusammengefaßt.
Kennzeichnend für das NEWTON-RAPHSON-Verfahren ist eine schnelle Konvergenz
in der Nähe der Nullstellen. Da aber gleichsam mit Hilfe des Gradienten auf die Nullstelle "gezielt" wird, ist ein guter Startwert, d.h. ein qo in der Nähe der Lösung, notwendig. Diesen kann man z.B. einer maßstäblichen Zeichnung des Getriebes entnehmen.
Ist der Startwert dagegen zu weit von der Lösung entfernt, besteht die Gefahr, daß das
Iterationsverfahren versagt.
4.1.3 Berechnung der Geschwindigkeiten
Durch Differentiation der GI. (4.5) nach der Zeit erhält man allgemein die Bestimmungsgleichung für die Geschwindigkeiten. Für das Beispielgetriebe aus Bild 4.1 gilt
für die Ableitung der GI. (4.3):
eil l
== - r2 . <P2 . sin <1>2
<1>2 ==
+ r3 . <P3 . sin <1>3 -
r2' <P2 . COS<l>2 - r3 . <P3 . COS<l>3
s, =0
=0
(4.19)
Ordnet man die Gleichung nach BekanntenlUnbekannten, ergibt sich (<P2 ist ebenso wie
<1>2 gegeben)
- I] [<P3]
o . s,
[r2 ' <P2 . sin <1>2 ]
= - r2 . <P2 . COSCP2 .
(4.20)
91
4.1 Analytisch-vektorielle Methode
nein
ja
i > i max ? >----,
Bild 4.3
Ablaufplan der NEWTON-RAPHSONIteration
Offensichtlich liegt hier ein lineares Gleichungssystem für die Geschwindigkeiten <P3
und sJ vor, das sich z.B. mit Hilfe des GAUSS-Verfahrens lösen läßt [4.1]. Die Koeffizientenmatrix in GI. (4.20) stimmt mit der JACOBI-Matrix aus GI. (4.14) überein, so
daß diese nur einmal berechnet werden muß. Einzig die rechte Seite des Gleichungssystems ist neu zu berechnen. Sind die unbekannten Lagevariablen bekannt (durch die Iteration der Lagegleichungen), ist auf der Geschwindigkeitsstufe keine Iteration mehr
notwendig.
4 Numerische Getriebeanalyse
92
4.1.4 Berechnung der Beschleunigungen
Nochmaliges Differenzieren von Gl. (4.19) nach der Zeit führt zu den Gleichungen der
Beschleunigungsstufe:
<D 1 ;: -r2<P2 sin<j>2 - r2<i>/ COS<j>2 + r3<P3 sin<j>3 + r3<i>/ COS<j>3 - SI
= 0
<1>2 ;: r2<P2 COS<j>2 - r2CP2 2 sin<j>2 - r3<P3 COS<j>3 + r3CP3 2 sin<j>3 = 0
(4.21)
Bei bekannten Antriebsgrößen <j>2' CP2' <P2 kommt durch Ordnen das Gleichungssystem
(4.22)
zustande. Gl. (4.22) unterscheidet sich nur in der rechten Seite von Gl. (4.20). Analog
zu Gl. (4.20) können durch Inversion der JACOBI-Matrix die unbekannten Beschleunigungen errechnet werden.
Lehrbeispiel Nr. 4.1: Sechsgliedriges Getriebe mit Abtriebsschieber
Bild 4.4
1
X
16
Bezeichnungen am
sechsgliedrigen Getriebe
Das Getriebe besteht aus 6 Gliedern und 7 Gelenken mit f = 1. Folglich sind
p = g - (n -1) = 7 - (6 -1) = 2
4.1 Analytisch-vektorielle Methode
93
Zwangs bedingungen (= Schleifengleichungen) notwendig. Der Freiheitsgrad des Getriebes ist aber
F = b· (n -1) -
Hinweis:
I
Uj
= 3· (6 -1) -
(7·2)
= 15 -14 = 1
Man kann nicht vom Freiheitsgrad auf die Anzahl der für die Iteration
notwendigen Gleichungen schließen.
Die beiden Schleifen ergeben sich durch zwei unterschiedliche Durchläufe durch das
Getriebe:
Schleife 1: r2 e2 + r3e3 - rses - r, e y
-
r6ex = Ö
Schleife 2: r7 e 7 + rses - r4e 4 - r, e y
-
r6ex = Ö
(4.23)
Projiziert man diese Schleifengleichungen auf die x- und y-Achse, erhält man die vier
Lagegleichungen:
<1>, ;: r2 COS<l'2 + r3 cos<l'3 - rs cos<l's - f6 = 0,
<1>2 ;: r2 sin <1'2 + r3 sin <1'3 - rs sin <l's - r,
= 0,
<1>3 ;: r7 COS<l'7 + rs cos<l's - r4 COS<l'4 - r6
<I> 4 ;: r7 sin <1'7 + rs sin <1'5 - r4 sin <1'4 - r,
=0,
(4.24)
=O.
Mit <1'2 als (bekanntem) Antriebswinkel enthält GI. (4.24) insgesamt sechs Unbekannte
(<I'3,<I'4,<I's,<I'7,<I's,r6). Weil die Getriebeglieder 2 und 4 starr sind, gelten zwischen
den Winkeln <1'2 und <1'7 sowie <1'4 und <l's folgende Beziehungen:
<1'7 = <1'2 + ß2
<l's
= <1'4 + ß4
(4.25)
mit ß2 und ß4 als konstanten Winkeln.
Durch Einsetzen von GI. (4.25) in GI. (4.24) lauten die Geschlossenheitsbedingungen
des Getriebes:
(4.26)
4 Numerische Getriebeanalyse
94
Die Anzahl der Unbekannten beträgt nun vier ( <P3' <P4' <Ps, r6 ), so daß GI. (4.26) mit Hilfe des NEWTON-RAPHSON-Verfahrens iterativ lösbar ist.
Die für die Iteration notwendige JACOBI-Matrix lautet
-r3 sin<P3
J = a~((D = [ r3 COS<P3
aq
0
o
r8sin(<P4+ß4)
- r8 COS(<P4 + ß4)
r4 sin<P4
- r4 cos<P4
o
o
- r5 sin <Ps
rs cos<ps
-1]
~1
(4.27)
Die Gleichungen der Geschwindigkeitsstufe sind jetzt:
-r2<P2 sin <P2 - r3<P3 sin <P3 + r8<P4 sin( <P4 + ß4) - [6 = 0
r2<P2 COS<P2 + r3<P3 COS<P3 - r8<P4 COS(<P4 + ß4) = 0
- r7 <P2 sin( <P2 + ß2) - r5<PS sin <Ps + r4<P4 sin <P4 - [6 = 0
(4.28)
r7 <P2 cos( <P2 + ß2) + r5<P5 cos<P5 - r4<P4 cos<P4 = 0
Alle Terme in GI. (4.28), die nur bekannte Größen enthalten, werden auf die rechte Seite
der Gleichung gebracht:
(4.29)
Differenziert man GI. (4.28) ein weiteres Mal nach der Zeit, erhält man die Gleichungen
der Beschleunigungsstufe:
95
4.1 Analytisch-vektorielle Methode
...
.
2
...
.
2
- r2«>2 sm «>2 - r2«>2 cos«>2 - r3«>3 sm «>3 - r3«>3 cos«>3 +
+rg(P4 sin( «>4 + ß4) + rg<p/ COS(<(>4 + ß4) - (6
..
.
2
.
..
=0
. 2 .
r2«>2 COS«>2 - r2«>2 sm«>2 + r3«>3 CO~«>3 - r3«>3 sm«>3- rg(p4 cos( «>4 + ß4) + rg<p/ sin( «>4 + ß4) = 0
(4.30)
- r7(P2 sin( «>2 + ß2) - r7<P2 2 cos( «>2 + ß2) - rs(ps sin «>5 - rs<ps 2 cos«>s + r4(P4 sin«>4 + r4<p4 2 COS«>4 - (6 = 0
r7 (P2 COS(<(>2 + ß2) - r7<P2 2 sin(<(>2 +ß2) +rs(ps cos«>s- rs<p/ sin «>5 - r4(P4 COS«>4 + r4<p/ sin «>4 = 0
Durch Ordnen nach bekannten und unbekannten Größen ergibt sich
Jr~}
r2(P2 sin«>2 + r2<P2 2 COS«>2 + r3<P3 2 COS«>3 - rg<p/ COS(<(>4 + ß4)
(4.31)
- r2(P2 COS«>2 + r2<P2 2 sin «>2 + r3<P/ sin «>3 - rg<p/ sin( «>4 + ß4)
r7 (P2 sin( «>2 + ß2) + r7 <p/ cos( «>2 + ß2) + rs<p/ cos«>s - r4<p4 2 COS«>4
- r7 (P2 cos( «>2 + ß2) + r7<p/ sin( «>2 +ß2) + rs<p/ sin «>5 - r4<p/ sin «>4
Durch iteratives Lösen der GI.(4.24) errechnet man im ersten Schritt alle unbekannten
Winkel, um danach durch Inversion von GI. (4.29) die unbekannten Geschwindigkeiten,
durch Inversion von GI. (4.31) die unbekannten Beschleunigungen zu errechnen.
4.1.5 Berechnung von Koppel- und Vektorkurven
Die Iterationsmethode liefert nicht direkt die kinematischen Größen einzelner Getriebepunkte. Diese können aber leicht in einer Nachlaufrechnung ermittelt werden. Für das
Lehrbeispiel Nr. 4.1 soll die Bahn, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Gelenkpunktes B" berechnet werden.
96
4 Numerische Getriebeanalyse
Für die Koordinaten x B'" YB" in Bild 4.4 gilt
XB"
= r7 COS(<I>2
YB" = r7 sin(<I>2
+ ß2) + r5 COS<l>5'
+ ß2) + r5 sin<l>5
(4.32)
oder
XB"
YB"
+ r4 COS<l>4 ,
= rl + r4 sin<l>4'
= r6
(4.33)
Die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes B" erhält man durch Differenzieren von z.B. GI. (4.33):
XB" = f6 -r4<;>4 sin<l>4
YB"
(4.34)
= r4<;>4 COS<l>4
..
..
".
. 2
XB" =r6-r4<1>4sm<l>4-r4<1>4
....
. 2 .
COS<l>4
YB" = r4<1>4 COS<l>4 - r4<1>4 sm<l>4
4.1.6 Die Bedeutung der JACOBI-Matrix
Für die kinematische Beschreibung von Getrieben hat die JACOBI-Matrix eine zentrale
Bedeutung.
Mathematisch gesehen beschreibt die JACOBI-Matrix die partiellen Steigungen der Getriebegliedlagen, d.h. partielle Übertragungsfunktionen 1. Ordnung. Die Schleifengleichungen sind für jede Kombination von Unbekannten (Winkel und Wege) erfüllt, die zu
einer zulässigen Lage des den Gleichungen zugrunde liegenden Getriebes gehören. Bei
einem Getriebe mit einem Freiheitsgrad F = 1 entspricht dies einer Kurve, bei F = 2
einer Fläche im Raum. Jede Lage des Getriebes liegt auf dieser Kurve. Die JACOBIMatrix gibt nun in jedem Punkt der Kurve die Steigung an. Parameter dieser Kurve ist
die Antriebskoordinate, d.h. sinngemäß, die Antriebskoordinate bestimmt, auf welchem
Punkt der Kurve man sich befindet. Bei umlauffähigen Getrieben sind die Kurven geschlossen. Bei dem in Bild 4.5 skizzierten sog. Phasendiagramm handelt es sich um die
Darstellung "Schubweg SI über Koppelwinkel <1>3" der zentrischen Schubkurbel, vgI.
Bild 4.1.
97
4.1 Analytisch-vektorielle Methode
o ,3
t
S
<1>2
o ,3 0
o ,2 S
S
'"""::. 0,2 0
'"
o ,I
S
o ,I
0
1 SO
1 60
17 0
18 0
1 90
200
2 10
Bild 4.5
"Phasendiagramm" einer Schubkurbel (Antrieb durch Kurbel)
Die JACOBI-Matrix enthält somit alle notwendigen Informationen über das Bewegungsverhalten des Getriebes. Sie stellt einen eindeutigen Zusammenhang zwischen den
Antriebs- und Abtriebskoordinaten her.
Immer dann, wenn dieser eindeutige Zusammenhang verlorengeht, z.B. wenn das Getriebe sperrt oder zusätzliche Bewegungsfreiheiten gewinnt, ist die Determinante der
JACOBI-Matrix null. Man nennt dies eine singuläre Stellung des Getriebes. Das soll
am Beispiel der Schubkurbel gezeigt werden.
Die Schleifengleichungen der Schubkurbel werden hier nochmals angegeben:
<1>1 == r2 . COS(j>2 - r3 . cos(j> 3 - SI
<1>2 == r2 . sin (j>2 - r3 . sin (j>3
=0,
=O.
(4.35)
Wenn der Antrieb am Schieber erfolgt, lautet die JACOBI-Matrix:
Js = [
- r2 . sin (j>2
(4.36)
r2 . COS(j>2
Für die Determinante gilt
=r2r3 sin (j>2 cos(j>3 - r2 r3 cos(j>2 sin (j>3'
In den Totlagen (VB = 0) der zentrischen Schubkurbel ist
(4.37)
det(J s)
damit wird die Determinante in diesen Stellungen
(j>2
=(j>3 =0
bzw. 1t, und
4 Numerische Getriebeanalyse
98
(4.38)
Anschaulich bedeutet dies, daß vom Schieber aus die Kurbel nicht bewegt werden kann;
das Getriebe sperrt! Andererseits kann man die Antriebskurbel (differentiell) verdrehen,
ohne daß sich der Schieber bewegt. Dieser Effekt wird in Kniehebelgetrieben ausgenutzt.
Bildet man die JACOBI-Matrix für den Fall, daß der Antrieb an der Kurbel erfolgt, so
erhält man für die Determinante (vgl. GI. (4.14»
(4.39)
Die Determinante wird für <1>3 = rr/2 null. Dieser Fall kann nur dann eintreten, wenn r2 =
r3 ist. Für den Normalfall r2 < r3 erreicht die Schubkurbel niemals eine singuläre Stellung, wenn an der Kurbel angetrieben wird.
4.2 Modulmethode
Ply\
Ps
P6
6
~
ls
EG Zweischlag
EG Drehantrieb
P4
Pg
EG Zweischlag
EG Abtriebsschieber
Bild 4.6
Zerlegung eines ebenen Getriebes in Elementargruppen (EG)
Ebene Getriebe bestehen gewöhnlich aus einer Reihe von einfachen Baugruppen, die
kinematische Elementargruppen [4.2] genannt werden. Die Elementargruppen sind ki-
99
4.2 Modulmethode
nematisch bestimmt, d.h. es existiert ein eindeutiger Zusammenhang zwischen den kinematischen Eingangs- und Ausgangsgrößen. In Bild 4.6 sind die Elementargruppen eines achtgliedrigen Getriebes dargestellt.
Die Eingangs- und Ausgangsgrößen jeder Elementargruppe, z.B. die x-y-Koordinaten
eines Punktes P sowie deren Ableitungen nach der Zeit oder ein Winkel w oder ein
Weg s mit zeitlichen Ableitungen werden im Vektor P bzw. W oder S zusammengefaßt. Die Ausgangsgrößen einer EG sind die Eingangsgrößen einer anderen EG. Dadurch kann das Getriebe durch sukzessives Abarbeiten der EG vollständig berechnet
werden, ohne daß weitere Zwischenrechnungen notwendig sind. Die Rechenreihenfolge
für das Getriebe in Bild 4.6 ist beispielsweise:
Ausgangsgrößen
Elementargruppe
Eingangsgrößen
Drehantrieb DAN
11'p1,Wan
P2
Abtriebsschieber DDS
12'p2,P7 'p8
P3
Zweischlag DDD
13,14'p3,P8
P4
Zwei schlag DDD
Is,16,P4'p6
Ps
Diese Vorgehensweise wird Modulare Getriebeanalyse oder kurz Modulmethode
nach Richtlinie VDI 2729 genannt. Die Methode ist immer dann anwendbar, wenn
-
sich das gesamte Getriebe auf Zweischläge zurückführen läßt,
-
die Anzahl der Freiheiten gleich der Anzahl der Antriebe ist,
-
bei der betrachteten Getriebestellung alle Antriebsgrößen (Lage, Geschwindigkeit,
Beschleunigung) bekannt sind,
-
alle Getriebeglieder als starr und alle Gelenke als spielfrei betrachtet werden können.
Diese Voraussetzungen sind bei dem Beispielgetriebe in Bild 4.6 gegeben. Für die computergestützte Getriebeanalyse können die Gleichungen für jede Elementargruppe zu
einem Unterprogramm zusammengefaßt werden. Das Hauptprogramm enthält dann nur
noch die Deklaration der Variablen und die Aufrufe der Unterprogramme (Module). Die
Unterprogramme können leicht innerhalb einer Schleife für die Antriebsgröße(n) aufgerufen werden, so daß jede Stellung des Getriebes berechnet wird.
Im Gegensatz zur Iterationsmethode, bei der zunächst nur Winkel und Wege berechnet
werden, erhält man bei der Modulmethode alle kinematischen Größen der Gelenkpunkte, d.h. ihre Koordinaten, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Winkel und Wege
sowie deren zeitliche Ableitungen können mit Hilfsmodulen berechnet werden. Ein
4 Numerische Getriebeanalyse
100
wichtiger Unterschied zur Iterationsmethode ist weiterhin, daß die Modulmethode die
exakte und nicht nur eine Näherungslösung liefert. Ein Nachteil der Modulmethode ist
die Beschränkung auf Zweischläge. Getriebe wie in Bild 4.7 lassen sich nicht mit der
Modulmethode berechnen, weil
- entweder die Lage eines Bezugsgliedes nicht unabhängig ist von dem Antrieb, der
relativ zu diesem Bezugsglied eingeleitet wird, oder
-
das vom Antrieb befreite ,,Restgetriebe" sich nicht in Zweischläge zerlegen läßt,
sondern selbst eine Elementargruppe höherer Baufonn darstellt (Kontrollgleichung: 3n - 2g = 0, s. Abschnitt 5.2.1).
Eine Übersicht über alle in der Richtlinie VDI 2729 vorhandenen Module gibt TafeI4.1. In der Richtlinie sind sämtliche Berechnungsgleichungen in besonders effizienter Fonn aufgeführt.
Anlrieb wirkt auf zwei
bewegte Glieder
Viergliedrige
Ansch luB gruppen
Bild 4.7
Mit der Modulmethode nicht berechenbare Getriebe (nach VDI 2729)
DDD Zweischlag mit drei
Drehgelenken
y
~----------------~ x
11,12, K
Bild 4.8
Elementargruppe ,,zweischlag" (DDD)
101
4.2 Modulmethode
Tafel 4.1 Module nach Richtlinie VDI 2729 (Anschlußgelenke: ® )
SAN Schubantrieb
DAN Drebantrieb
y
A:
I
Q
FGP
P,
~
P,
P,
x
+S
P
V
P,
tt-
y
y
W
Führung eines
Glicdpunlctes
S
'
_
~
x
x
P
PI P2 VI
Zwei schlag mit Schub gelenk als Kopplung
Zwei schlag mit drei
DDD Drehgelenken
y
y
L-------------~~ x
L-------------~~ x
1l , I2,K
p
y
~--~--------~~
x
L-______--=____
RPO
®
'\
P
I--:P
:I -:P:2-:P, - - - ---1
x
S,W
X
P,
L-____________
~~
X
~~--~---------4\J ~,vp
k"
Skizze
.
'--------------~~
PI
~® u
P,
y . .•
'--------------~~
@
~
~~
2J
. ....
vl , v2, Vi
V
x
Konstante Eingang.größen
Variable Eingangsgrößen
4 Numerische Getriebeanalyse
102
Für einige Elementargruppen ist neben der Eingabe von Punktkoordinaten und Längen
auch die Eingabe von Lageparametern notwendig, mit denen die Lage der Getriebeglieder zu einer Bezugsachse angegeben wird . Ein Beispiel dafür ist das Modul "DDD",
bei dem der Parameter K angibt, ob der Punkt P ober- oder unterhalb der Bezugsgeraden P\P2 liegt. Das ist notwendig, weil die entsprechenden Abstände des Punktes P von
dieser Bezugsgeraden sich mathematisch nur durch das Vorzeichen einer Quadratwurzel
unterscheiden, Bild 4.8.
Drehantrieb
DAN
y
~-----,~--------~
~
~
-
PI , P2 , W
X
Bild 4.9
~
P
Elementargruppe "Drehantrieb" (DAN)
mit Zusatzgrößen a und I'
Für die Elementargruppe "Drehantrieb" (DAN) seien nun beispielhaft die Gleichungen
hergeleitet, Bild 4.9.
Eingangsgrößen sind alle kinematischen Größen der Punkte
PI
und
P2 , d.h
xpl,yPl, XPI'YPI,X pI 'YPI,X p2 ,YP2,XP2'YP2,XP2'YP2' des Winkels W (w,w,w) und
die Länge I der Kurbel. Ausgangsgrößen sind alle kinematischen Größen des Punktes P
(xp,yp,xP'YP,xP,Yp) ·
Der Abstand zwischen PI und P2 ist
(4.40)
Für den Winkel a, den die Gerade PI P2 mit der x-Achse einschließt, gilt
sina = YP2 - YPI oder cos a = x p2 - Xpl .
I'
I'
(4.41)
4.2 Modulmethode
103
Die Koordinaten des Punktes P lauten:
x P = XPI + I . cos (<X + W )
= XPI + I . (cos <X cos
=x
PI
W -
sin<x sin w)
+ I . ( XP2 - XPI cos
I'
W _
YP2 - YPI sin w)
I"
YP = YPI + I . sin(<X + w)
=YPI + I . (Y P2 I'- YPI cos W + XP2 I'- XPI sin w).
(4.43)
Ausgehend von GI. (4.42) und (4.43) gilt für die Geschwindigkeiten:
x P = XPI -I· (ä + w) . sin(<X + w),
(4.44)
YP
=YPI + I· (ä+ w)·cos(<x+ w).
Die Größen xPI' YPI' w sind bekannt, ä erhält man aus GI. (4.41):
d(. ) .
(YP2-YPI)·I'-(YP2-Ypd· i '
- sm<X = <X . cos <X =
2
'
I'
dt
i'= (XP2 -x PI )(XP2 -xpd+(YP2 -YPd(YP2 -YPI).
~(XP2 -
XPI)2 + (YP2 - ypd 2
(4.45)
(4.46)
Löst man GI. (4.45) nach ä auf, ergibt sich:
. (YP2 -}'pd (YP2 - YPI) i'
<X =
.(X P2 - xPI ) (x P2 - XPI) I'
(4.47)
Einsetzen von GI. (4.47) in GI. (4.44) und Anwenden der Additionstheoreme liefert die
gewünschten Gleichungen für die Geschwindigkeiten. Zur Ermittlung der Beschleu~
nigungen leitet man GI. (4.44) ein zweites Mal nach der Zeit ab. Als neue Unbekannte
erscheint ä:, die durch Ableiten von GI. (4.47) bestimmt wird.
4 Numerische Getriebeanalyse
104
Lehrbeispiel Nr. 4.2: Achtgliedriges Getriebe mit zwei Abtriebsschiebern
y
Bild 4.10
Bezeichnungen am achtgliedrigen Getriebe (nicht maßstäblich gezeichnet)
AufgabensteIlung:
Vorgelegt ist das in Bild 4.10 dargestellte achtgliedrige Getriebe. Gegeben sind die Koordinaten (x,y) einiger Festpunkte sowie folgende Längen (die Schreibweise entspricht
derjenigen im Analyseprogramrn MGA):
11 = PIP4 = 10mm,
15 = P4P6 = 65mrn,
el=5mm,
e2 =5mm,
12 = PIP3 = 20mm,
16 = P7P8 = 35mm,
PI (0,0),
PlO (0,10),
13 = P3P5 = 50mm,
17 = P8P9 = 40mm,
P2 (30,0),
PlI (200/10),
14 = P6P7 = 20mm,
ßl = 30° , ß2 = 90° ,
P7 (70,-3).
Gesucht sind die kinematischen Größen aller Systempunkte, die z.B. mit Hilfe der Modulmethode im Programm MGA zu errechnen sind.
Lösung:
Zunächst werden alle Variablen definiert und den Konstanten feste Werte zugewiesen,
z.B.:
105
4.2 Modulmethode
Plx = 0,
Ply =0 ,
W2 = ßl.
P2x = 30, P2y = 0, W3 = ß2.
Dann werden durch sukzessives Aufrufen einzelner Module die kinematischen Größen
der Systempunkte berechnet. Da der Antrieb am Glied 2 erfolgt, wird als erstes das Modul DAN aufgerufen:
DAN (11, PI'p2,WI, P4),
wobei dem Winkel WI die entsprechenden Antriebsgrößen (Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung) zugeordnet sein müssen. Dieses Modul berechnet alle
interessierenden Größen des Punktes P4. Die Gerade PIP3 ist gegenüber PIP4 stets um
den festen Winkel ßI gegen den Uhrzeigersinn weitergedreht und kann daher mit dem
Modul FGP berechnet werden:
FGP (W2, 12, PI, PI, P4, P3).
Dem Winkel W2 wurde vor Aufruf des Moduls der Wert ßI zugewiesen. Anschaulich
bedeutet der Aufruf, daß der Punkt P3 um den Winkel W2 um den Punkt PI gedreht
wird. Bezugsgerade für den Winkel ist die Gerade PIP4 Der Abstand zwischen PI und
P3 ist 12.
Danach kann mit dem Modul DDD der Punkt P6 berechnet werden, da nun die Punkte
P4 und P7 (als Auflager) bekannt sind:
DDD (15, 14, - 1, P4, P7, P6) .
Der Parameter -1 bedeutet, daß der Punkt P6 rechts der Bezugsgeraden liegt, die
durch P4 und P7 gebildet wird. Der Punkt P8 kann durch nochmaliges Anwenden des
Moduls FGP berechnet werden:
FGP (W3, 16, P7, P7, P6, P8).
Die Schieber 8 und 4 werden durch das Modul DDS abgebildet:
DDS (17, - 5, - 1, P8, PIO, PlI, P9) ,
DDS(13,5,+ I,P3,PlO,PII,P5).
Dabei sind P8 bzw. P3 die Anlenkpunkte, während PIO und PlI die Schubgerade
definieren. Das Vorzeichen von K ist jeweils unterschiedlich, weil der Anlenkpunkt
einmal nach links, zum anderen nach rechts geklappt ist. Als letztes sind noch die
Schub größen sI und s2 als eigentliche Abtriebswege gesucht. Das Modul RPO ist hier
nicht anwendbar, weil kein zentrischer Schieber vorliegt. Man benutzt daher das Modul
RKA, das Koordinaten in ein anderes Koordinatensystem umrechnet. Das neue Koordinatensystem wird jeweils durch die Schubgerade festgelegt:
4 Numerische Getriebeanalyse
106
RKA(PlO,Pll,P5,PI2) .
Der NuIIpunkt dieses neuen Koordinatensystems liegt in PlO. Der Punkt P5 wird vom
inertialen Koordinatensystem mit NuIIpunkt in PI umgerechnet in den Punkt PI2, der
auf das neue Koordinatensystem bezogen ist. Die Koordinatensysteme dürfen auch gegeneinander verdreht sein. Da dies hier nicht der FaII ist, ist PI2y stets gleich der Exzentrizität eI, während PI2x dem Schubweg sI entspricht (PI2x, PI2x enthalten die
Geschwindigkeit sI und Beschleunigung sI). Analog wird der Schubweg s2 errechnet:
RKA(PII,PlO,P9,PI3).
4.3 Übungsaufgaben
Aufgabe 4.1:
Das dargesteIIte gleichschenklige Viergelenkgetriebe dient zur Umsetzung einer umlaufenden Dreh- in eine Schwingbewegung. Mit Hilfe der Iterationsmethode soII das Getriebe analysiert werden. Der Antrieb erfolgt an Glied 2, Abtrieb ist Glied 4.
B
AoA = 50 mm
a=IOOmm
BoB = 100 mm
b= 10mm
AB = 100 mm
I<
a) Welche Variablen benötigen Sie? Weisen Sie den Variablen Startwerte zu!
b) Wieviele Schleifengleichungen werden benötigt?
c) Geben Sie einen Satz Schleifengleichungen an!
d) Ermitteln Sie mit Hilfe des Programms MGA den Totlagenwinkel 'V 0 zwischen den
beiden Grenzlagen der Schwinge 4 sowie den Maximalwert (unabhängig vom Vorzeichen) der Abtriebswinkelgeschwindigkeit für ffi2 = I radis = konst.!
107
4.3 Übungsaufgaben
Aufgabe 4.2:
Das dargestellte Schubkurbelgetriebe dient zur Geradführung z.B. von Werkstücken auf
dem Koppelpunkt C. Das Getriebe soll mit Hilfe der Modulmethode analysiert werden ..
a) Der Antrieb erfolgt am Glied 2
mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
(02
= 2 rad
nung nur für
s
(Hinweis: Rech-
Oo~ <1>2 ~
900
).
1) Welche Variablen werden benötigt?
2) Stellen Sie die Modulaufrufreihenfolge zur Berechnung der Koppelkurve des Punktes C auf!
Bö
I~
3) Berechnen Sie mit Hilfe des Programms MGA die Koppelkurve sowie die Maximalwerte von Geschwindigkeit und Beschleunigung
des Punktes C! Handelt es sich um
eine exakte Geradführung?
AoA = 100 mm
AB = 100 mm
AC=\OOmm
b) Der Antrieb erfolgt am Glied 4 (Schubglied).
1) Definieren Sie alle Variablen!
2) Bestimmen Sie die Modulaufrufreihenfolge!
3) Der Schieber startet bei
s =1mm,
bei
v =0 ~
s
und beschleunigt mit
a = 50 m~ ; die Bremsbeschleunigung beträgt ebenfalls 50 m~ . Wann tritt dann die
s
s
größte Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes C auf? Vergleichen Sie das
Ergebnis mit dem aus Teil a)!
4 Numerische Getriebeanalyse
108
Aufgabe 4.3:
Das skizzierte Getriebe (Konchoidenlenker) dient zur angenäherten Geradführung des
Punktes C, vgl. Bild 2.14. Es soll mit Hilfe der Modulmethode analysiert werden.
,J- ..
\
I \
A
II
-'-'-'-'-'-1-'-'
I'
I
I
Cl
AoA = 23,3341 mm
AC = 161,9516 mm
-'
,I
AoBo = 38,6378 mm
a) Welcher Getriebetyp liegt vor?
b) Der Antrieb erfolgt am Glied 2 mit
=I ra d =konst.
Definieren Sie alle notwens
digen Variablen und die Modulaufrufreihenfolge zur Ermittlung der Koppelkurve des
Punktes C! Stellen Sie diese Koppelkurve mit dem Programm MGA dar! Wie groß ist
die "Dicke" h der brotähnlichen Koppelkurve? In welchem Bereich des Antriebswinkels gewährleistet der Konchoidenlenker eine angenäherte Geradführung?
0)2
c) Zusätzlich soll nun auch die maximale Schubgeschwindigkeit und -beschleunigung
des Schleifenglieds 3 ermittelt werden. Welche zusätzlichen Variablen und Module
benötigt man? Wie groß sind diese Maximalwerte für die in b) gegebene Antriebswinkelgesch windigkeit?
109
4.3 Übungsaufgaben
Aufgabe 4.4:
Das dargestellte sechsgliedrige Getriebe setzt eine Dreh- in eine Schleifenbewegung um
und könnte z.B. als Antrieb einer Kolbenpumpe dienen.
AvA= 49,5mm
a= 64mm
BoB = 71 mm
b=200mm
AB= 71 mm
c= 90mm
Be= 7lmm
v= IOmm
EF =400mm
a) Der Antrieb erfolgt am Glied 2,
=1 rad = konst.
Berechnen Sie die Koppelkurve
s
des Punktes C, den Schleifenweg s sowie den Abtriebswinkel <l'6 numerisch! Welche
0) 2
Methode wählen Sie?
b) Der Antrieb erfolgt nun am Glied 5 (Schleifenglied), Abtrieb ist Glied 2. Errechnen
Sie die Funktion <l'2(S) numerisch! Welche Methode wählen Sie (100 mm ~ s~
200 rnrn, S =10 mm )?
s
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die gebräuchlichsten Verfahren für die Ermittlung von Kräften in Getrieben und stellt die dafür notwendigen grundlegenden Gleichungen zur Verfügung, die allesamt auf Prinzipien der (technischen) Mechanik aufbauen.
Man unterscheidet zwischen der statischen Analyse und der kinetostatischen Analyse
von Getrieben, je nachdem, ob die Trägheitswirkungen nach dem d ALEMBERTschen
Prinzip ausgeklammert oder als eine besondere Gruppe von Kräften berücksichtigt werden. Um den Rahmen des Buches nicht zu sprengen, werden keine Bewegungsdifferentialgleichungen gelöst, sondern der Beschleunigungszustand eines Getriebes als determiniert und bekannt vorausgesetzt (2. WITTENBAUERsche Grundaufgabe).
Nach einer Definition der in einem Getriebe wirkenden Kräfte werden das Gelenkkraftverfahren, die synthetische Methode und das Prinzip der virtuellen Leistungen vorgestellt und eingehend anhand von Lehrbeispielen erläutert. Das Gelenkkraftverfahren ist
dabei besonders anschaulich und leicht nachvollziehbar.
5.1 Einteilung der Kräfte
Die Kräftebestimmung in Getrieben setzt die Kenntnis aller am Getriebe als mechanischem System wirksamen Kräfte und Momente (= Kräftepaare) voraus. Dabei ist zwischen inneren, äußeren und Trägheitskräften zu unterscheiden.
Bild 5.1a zeigt ein viergliedriges Getriebe, bestehend aus einem Verband starrer Scheiben, die mittels Federn und von außen angreifenden Kräften und Momenten gegeneinander verspannt sind. Wird der Scheibenverband an den Verbindungsstellen (z.B. Drehgelenke) aufgetrennt und werden die Federn durch ihre wirksamen Federkräfte ersetzt,
ist das Getriebe in einzelne Glieder zerlegt (Bild 5.1b), die für sich jeweils im Kräfteund Momentengleichgewicht sein müssen.
H. Kerle et al., Einführung in die Getriebelehre
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
5.1 Einteilung der Kräfte
111
a)
b)
Bild 5.1
a) Viergliedriges Getriebe als Verband starrer Scheiben, b) mit freigeschnittenen Gliedern
Wie schon erwähnt, lassen sich die nicht zu den Trägheitskräften zählenden Kräfte in
innere und äußere Kräfte unterteilen:
•
Innere Kräfte treten stets paarweise auf, ergänzen sich zum Nullvektor und erhalten
einen Doppelindex, z.B.
- Gelenkkräfte
- Federkräfte
0 ij = -0 ji
Fk1
=-
F1k
Dabei gibt der erste Index an, von welchem Getriebeglied die Kraft kommt, und der
zweite Index, an welchem Getriebeglied die Kraft wirkt.
•
Äußere Kräfte sind meist physikalischen Ursprungs, d.h. vorgegebene, sog. eingeprägte Kräfte. Sie erhalten einen Einfachindex, der angibt, an welchem Getriebeglied
die Kraft wirkt, z.B.
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
112
- Antriebskräfte
Fi ,
- Abtriebsmomente (= Abtriebskräftepaare ) M j ,
- Gewichtskräfte
Gk .
Die Unterteilung in "innere" Kräfte und "äußere" Kräfte hängt ab vom Systembegriff,
d.h. von den betrachteten Systemgrenzen. Wir unterscheiden zwischen
•
einem einzelnen Getriebeglied mit F = 3 in der Ebene,
•
einer Gruppe von Getriebegliedern, die für sich (kineto-)statisch bestimmt ist, d.h für
die F = 0 gilt und
•
dem Gesamtgetriebe mit F ;?: 1.
5.1.1 Trägheitskräfte
Trägheitskräfte sind als kinetische Reaktion oder Rückwirkung auf eine erzwungene
Bewegung eines Getriebegliedes zu verstehen. Sie lassen sich aus den kinetischen
Grundgleichungen (lmpuls- und Drallsatz) ermitteln. Trägheitskräfte sind abhängig von
•
der Masse,
•
der Massenverteilung und
•
dem Beschleunigungszustand
eines Getriebegliedes. Sie belasten zusätzlich jedes massebehaftete Glied und somit
auch die Verbindungsgelenke zwischen den Gliedern. In Bild 5.2 sind die Trägheitswirkungen einer in der x-y-Ebene beschleunigten Scheibe mit dem polaren Massenträgheitsmoment (Drehmasse) J s
=
f
r 2 dm um die z-Achse senkrecht zur x-y-Ebene
durch den Schwerpunkt S mit der Masse m dargestellt.
113
5.1 Einteilung der Kräfte
m,Js
y
\
-. -.
) 0),
a
x
Bild 5.2
In der x-y-Ebene bewegte starre Scheibe
Bei einer Winkel beschleunigung der Scheibe
.
dro
..
d 2 <p
a == 0) == dt = <p == dt 2
und einer Linearbeschleunigung ä s = [x s'
ysr
des Schwerpunkts lassen sich die Träg-
heitswirkungen nach dem d' ALEMBERTschen Prinzip als äußere Kräfte/Momente
darstellen; nämlich als
- Trägheitskraft:
T= -m· ä s
und als
- Drehmoment infolge der Trägheitswirkung (Massendrehmoment):
MT
=-Js·ä.
5.1.2 Gelenk- und Reibungskräfte
Die Gelenkkräfte zwischen den Getriebegliedern werden an den Berührstellen der Gelenkelemente übertragen. In Bild 5.3 sind drei verschiedene Bauformen von Gelenken
dargestellt: Kurvengelenk, Drehgelenk, und Schubgelenk. Die am j-ten Element auftretende Gelenkkraft Öij , aufgebracht vom i-ten Element, läßt sich zerlegen in eine Nor-
malkraft
Nij
und in eine Reibungskraft
Rij.
Die Normalkraft weist in Richtung der
Berührungsnormalen n der beiden zugeordneten Glieder. Die Richtung der Reibungskraft ist durch die zugehörige Tangente t an der Berührstelle vorgegeben. Eine Verformung der Berührstelle soll vernachlässigt werden. Damit kann eine relative Bewegung
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
114
des Gliedes j gegenüber dem Glied i mit der Geschwindigkeit
vji
nur in Richtung dieser
Tangente t stattfinden. Es gilt
G ij
=
N ij
+R
ij
und
IGijl
=
INil
+lRl
(5.1)
Mit Einführung einer Reibungszahl IlR kann die Reibungskraft wie folgt formuliert
werden:
(5.2)
Die Reibungskraft
Rij
ist stets der Relativgeschwindigkeit
vji = Vjl -
Vii entgegenge-
richtet. Aus Bild 5.3 läßt sich ablesen:
(5.3)
mit PR als Reibungswinkel.
Für IlR = 0 (Vernachlässigung der Reibung) ist
Gij
=
N ij .
Bei Berührungen von zwei
Körpern gibt es nicht nur die Reibungskraft, sondern auch eine Haftkraft. Dieser Haftkraft ist - wie IlR bei der Reibungskraft - eine HaftzahlllH zugeordnet. Es gilt
IlR < IlH·
(5.4)
Erst nach Überwinden der Haftkraft kann eine Relativbewegung (Gleiten) eintreten.
Dies bedeutet einen Sprung in den Kräfteverhältnissen (stick-slip-Effekte).
Es werden verschiedene Arten von Reibungskräften unterschieden, die alle immer der
Bewegung entgegenwirken.
Allgemein läßt sich schreiben
(5.5)
dabei liegt mit
•
p=O
COULOMBsche Reibung,
•
p=1
NEWTONsche Reibung und
•
p=2
Strömungsreibung
vor. Der Proportionalitätsfaktor für GI. (5.5) hängt von den physikalischen Bedingungen
an der Berührstelle der Gelenkelemente ab. Bei einem Drehgelenk (Bild 5.3b) mit dem
Zapfenradius r kommt im Fall der COULOMBschen Reibung ein weiterer Begriff hinzu,
5.1 Einteihing der Kräfte
115
der Reibungskreis mit dem Radius rR' Dieser Kreis wird von der Gelenkkraft
ä ji
tan-
giert.
a)
b)
c)
Bild 5.3
Gelenkkräfte mit Reibungsanteil:
a) Kurvengelenk, b) Drehgelenk, c)
Schubgelenk
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
116
Es gilt:
.
rR=r'smPR=
I
r· J..lR
,,1 + J..lR 2
(5.6)
Das am Drehgelenk auftretende Reibmoment hat die Größe
M Rji = r . R ji = r R . G ji .
(5.7)
Das Reibmoment MRji ist stets der Relativwinkelgeschwindigkeit roij = roil - ro jl
entgegengerichtet.
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
Es gibt zwei Hauptaufgaben der Kinetostatik:
1. Ermittlung der Beanspruchung von Gliedern und Gelenken infolge der äußeren
Kräfte, einschließlich der Trägheitskräfte,
2. Ermittlung der Leistungsbilanz eines Getriebes als Gesamtsystem durch Gleichgewicht der äußeren Kräfte, einschließlich der Trägheitskräfte.
Nach dem d' ALEMBERTschen Prinzip sind die Trägheitswirkungen erst zu ermitteln,
wenn die kinematischen Größen bekannt sind; die kinematische Analyse stellt also die
Vorstufe der kinetostatischen Analyse dar.
Zur Lösung der beiden Hauptaufgaben gibt es verschiedene Methoden:
1. Gelenkkraftverfahren: ein überwiegend graphisches Verfahren mit großer An-
schaulichkeit; hierzu gehören auch das Kraft- und Seileckverfahren.
2. Synthetische Methode: ein rechnerisches Verfahren nach dem Schnittprinzip
(Freischneiden der Getriebeglieder); hierzu gehört der Aufbau eines linearen Gleichungssystems mit unbekannten Kraftkomponenten und Momenten.
3. Prinzip der virtuellen Leistungen: ein sowohl rechnerisches als auch graphisches
Verfahren für das Getriebe als Gesamtsystem, bei dem Reibungseinflüsse global betrachtet werden können, um zu Abschätzungen hinsichtlich der Auswirkungen zu
gelangen [19]. Das entsprechende graphische Verfahren ist auch unter dem Begriff
"JOUKOWSKY:Hebel" bekannt.
117
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
5.2.1 Gelenkkraftverfahren
Das Gelenkkraftverfahren läßt sich auf die Lösung der Elementar-Gleichgewichtsaufgabe für drei Kräfte im Dreieck zurückführen, Bild 5.4.
Satz:
Drei an einem starren Getriebegl ied angreifende Kräfte sind dann und nur
dann im Gleichgewicht, wenn
a) sich ihre Wirkungslinien im Lageplan (Bild 5.4a) in einem Punkt schneiden (Schnittpunkt SP j ) und
b) ihre Vektorsumme im Kräfteplan (Bild 5Ab) einem Nullvektor entspricht,
d.h.
Gi +G j i +G i - I .i =Ö.
~
G I·
a)
b)
Bild 5.4
Drei Kräfte an einem Getriebeglied i: a) Lageplan, b) Kräfteplan (Gewichtskraft Gi im
Schwerpunkt Si)
Eine Ausnahme bildet der masse lose Stab mit G i = Ö; in diesem Fall ist
0 ji = -Oi-I,i'
d.h. der Stab überträgt nur Zug- oder Druckkräfte,
Um ein Kräftedreieck im Kräfteplan zeichnen zu können, müssen Richtung
(Wirkungslinie), Richtungssinn und Betrag einer Kraft bekannt sein, von einer zweiten
Kraft nur die Richtung,
Glieder und Gliedergruppen, die sich durch ein- oder mehrmalige Lösung der Elementar-Gleichgewichtsaufgabe hinsichtlich der Kräfte analysieren lassen, sind (kineto)-
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
118
statisch bestimmt. Sie lassen sich nach ASSUR in Klassen einteilen [6] . Bild 5.5 zeigt
einige Beispiele. Wenn die Anschlußgelenke dieser Gruppen als gestellfest aufgefaßt
werden, haben sie den Getriebefreiheitsgrad F =0, d.h. sie sind Fachwerke oder
(kineto)statische Blementargruppen (BG). Für eine BG der Klasse 11 und höher mit nur
Dreh- und Schubgelenken gilt 3n - 2g = 0 (n: Anzahl der Glieder, g: Anzahl der Gelenke). Die Klasse I umfaßt vornehmlich einfache Antriebsglieder und verlangt außer
der durch einen Pfeil gekennzeichneten gegebenen Binzelkraft noch die weitere Vorgabe der Richtung einer Gelenkkraft, symbolisch dargestellt durch eine gestrichelte
Linie. Damit sind Glieder dieser Gruppe mit belasteten Balken vergleichbar.
f '"
Schema.....
Klasse
LVv~
II
III
IV
Bild 5.5
Elementargruppen der Klassen I - IV mit angreifenden äußeren Kräften
Die in Bild 5.5 gezeichneten Drehgelenke sind mit Schubgelenken austauschbar, wobei
bei fehlender Reibung die entsprechende Gelenkkraft senkrecht auf der Schub- oder
Schleifenrichtung steht, Bild 5.6.
b)
a)
LL
LL
Bild 5.6
Zwei Blementargruppen 11. und III. Klasse - a) bzw. b) - mit Dreh- und Schubgelenken
Die BG sind mit den bereits in Abschnitt 4.2 eingeführten Modulen (kinematische BG)
direkt vergleichbar.
119
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
Satz:
Vor der Kraftanalyse eines Getriebes auf der Grundlage des Gelenkkraftverfahrens ist das Getriebe in die entsprechenden Elementargruppen zu zerlegen.
Es ist zweckmäßig, an jedem einzelnen Glied des Getriebes alle (eingeprägten) äußeren
Kräfte - wie Gewichtskräfte, Feder-, Abtriebs- und Antriebskräfte - und die Trägheitskräfte zu einer resultierenden Kraft zusammenzufassen. Momente sind durch Kräftepaare zu ersetzen.
5.2.1.1 Kraft- und Seileckverfahren
Das Kraft- und Seileckverfahren mit Lage- und Kräfteplan leistet bei der Zusammenfassung von Kräften gute Dienste, insbesondere wenn es um die Ermittlung der Wirkungslinie der resultierenden Kraft geht, Bild 5.7.
p
,,
a)
b)
Bild 5.7
Kraft- und Seileckverfahren mit drei gegebenen Kräften
Die im Lageplan (Bild 5.7a) skizzierten Kräfte
FI , F2
und
F3 greifen z.B. alle an einem
Glied an. Die resultierende Kräftesumme FR ist im Kräfteplan (Bild 5.7b) sofort zu
ermitteln. Nach Wahl eines beliebigen Punktes P als "Kraftpol" werden vier "Seilkräfte"
Obis 3 so gezeichnet, daß jede Kraft Fi mit zwei Seilkräften ein Dreieck bildet. Jedem
Dreieck im Kräfteplan entspricht ein Schnittpunkt von sich entsprechenden parallelen
"Seilstrahlen" im Lageplan; der erste und letzte Seilstrahl schneiden sich auf der Wirkungslinie von FR.
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
120
Satz 1:
Eine Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn Krafteck
Seileck
kraft
Satz 2:
(I M = Ö)
j
Po =- i\
(I F; = ö) und
geschlossen sind, d.h. die Gleichgewichts-
liegt auf derselben Wirkungslinie wie
i\ im Lageplan.
Das Kraft- und Seileckverfahren ist sinngemäß auch auf Elementargruppen mit F =0 anwendbar.
5.2.1.2 CULMANN-Verfahren
Greifen an einem Getriebeglied oder an einer Elementargruppe mit F =0 vier betragsmäßig bekannte oder unbekannte Kräfte an, so können die Kräfte paarweise zu
zwei resultierenden CULMANN-Kräften zusammengefaßt werden, die entgegengesetzt gerichtet und gleich groß auf einer gemeinsamen Wirkungslinie liegen, der
CULMANN-Geraden, Bild 5.8 .
CULM A
K fäfte
a)
Bild 5.8
CULMANN-Verfahren für vier Kräfte an einem Glied: a) Lageplan, b) Kräfteplan
Das paarweise Zusammenfassen der Kräfte ist willkürlich:
PI + P2 + P3 + P4
~~
-Fc
=
Ö
+Fc
Die Richtung der CULMANN-Geraden kann aus dem Lageplan ermittelt werden; sie
ist durch die Schnittpunkte SP und TP der paarweise zusammengefaßten Kräfte bestimmt. Das CULMANN-Verfahren führt das Gleichgewichtsproblem mit vier Kräften
121
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
auf die zweimalige Lösung der Elementar-Gleichgewichtsaufgabe mit drei Kräften
(zwei Kraftdreiecke) zurück:
FI + F2 + Fe = Ö und
- Fe + F3 + F4 = Ö.
5.2.1.3
Kräftegleichgewicht an der Elementargruppe 11. Klasse
Die Ermittlung der Gelenkreaktionen am belasteten Dreigelenkbogen (Zweischlag)
(Bild 5.9) kann entweder mit Hilfe des Kraft- und Seileckverfahrens oder nach dem
Superpositionsprinzip vorgenommen werden.
A
Bild 5.9
Dreigelenkbogen mit zwei äußeren
Einzelkräften
\ 2
\
Zunächst denkt man sich
F4 = Ö, d.h.
der Stab 4 überträgt nur Zug- oder Druckkräfte
in Richtung seiner Achse BC (Bild 5.10). Entsprechend Bild 5.4 erhält man 0'23 als
Gelenkkraft im Punkt A und 0'43 = 0'53 als Gelenkkraft im Punkt C infolge der Kraft
F3 . In
einem zweiten Schritt denkt man sich
F3 = Ö und erhält analog
0"54 als Ge-
lenkkraft im Punkt Bund 0"34 = 0"23 als Gelenkkraft im Punkt C infolge der Kraft
F4 . Die Gesamt-Gelenkreaktionen ergeben sich aus der Vektoraddition der Teilkräfte,
d.h.
in A:
0 23 = 0'23+0"23'
in B:
0 54 = 0'54 +0"54'
. C
m:
G- 34
= G-' 34 +G-" 34 =- G-' 43 +G-" 23 •
122
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
Bild 5.10
Kräfteennittlung am Dreigelenkbogen nach dem Superpositionsprinzip
5.2.1.4 Kräftegleichgewicht an der Elementargruppe III. Klasse
Hier sind zwei verschiedene Fälle zu diskutieren.
1. Fall: Eine Kraft greift am Dreigelenkglied an (Bild 5.11), d.h.
Bild 5.11
Kraftangriff am Dreigelenkglied
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
123
am Glied 5 greifen vier Kräfte an, von denen eine vollständig bekannt ist (P5)' von
den anderen sind nur die Richtungen bekannt. Die unbekannten Gelenkreaktionen
können mit Hilfe des CULMANN-Verfahrens bestimmt werden; die Glieder 2,3 und 4
gelten als Zug- oder Druckstäbe.
2. Fall: Eine Kraft greift an einern Zweigelenkglied an (Bild 5.12).
Bild 5.12
Kraftangriff am Zweigelenkglied
Jetzt greift z.B. am Glied 2 die äußere Kraft P2 an, die vollständig bekannt ist. Damit
gelten nur noch die Glieder 3 und 4 als Zug- oder Druckstäbe. Die Gelenkkraft
G25 = - G52 bestimmt die CULMANN-Gerade durch das Gelenk 25, beide Kräfte
sorgen einzeln für das Gleichgewicht an den Gliedern 2 und 5 und zusammen für das
Gleichgewicht an der EG 2-3-4-5.
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
124
Lehrbeispiel Nr. 5.1: Kreuzschubkurbel als VersteUgetriebe
11 - --
D,
~
C,
4
~
,
1'
Bild 5.13
Bezeichnungen an der Kreuzschubkurbel
AufgabensteIlung:
An einem viergliedrigen Verstell getriebe (Kreuzschubkurbel) greifen die beiden äußeren
Kräfte F2 (Handkraft) und F4 (Preßkraft) an (Bild 5.13). Zwischen den Gliedern 3 und
4 tritt COULOMBsehe Gleitreibung mit der ReibungszahlllR auf. Die Abmessungen des
Gleitsteins 3 sind bei der Kräfteermittlung zu berücksichtigen.
Für die gegebenen Werte F4 = 60 N, IlR = 0,306 und die Maßstäbe Mz = 1crn/cmz,
MF = 10 N/cm z sollen in der gezeichneten Lage bestimmt werden:
1. die am Glied 4 (Schieber) angreifenden Lagerkräfte in C und D;
2. die zwischen den Gliedern 3 und 4 auftretenden Kantenkräfte G'34 (obere Kante)
und G" 34 (untere Kante);
3. die am Glied 2 (Winkelhebel) erforderliche Handkraft F2 bei vorgeschriebener Wirkungslinie und die Auflagerkraft in 0 (Gelenk 12);
4. die Normalkraft N 34 und Reibungskraft R34 zwischen den Gliedern 3 und 4;
5. das Antriebsmoment M2 am Winkelhebel;
6. der momentan gültige Wirkungsgrad 11 als Quotient "Abtriebsleistung Pab / Antriebsleistung Pan" des Verstellgetriebes.
125
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
Lösung:
Die Glieder 3 und 4 stellen eine EG dar, zwei der drei Drehgelenke des Dreigelenkbogens (Elementargruppe 11. Klasse) sind durch Schub- bzw. Schleifengelenke ersetzt;
die Lagerstellen C und D zählen für die Systematik als ein Gelenk 14.
1. Gleichgewicht am Glied 4:
F4 + 6 DI4 + 6 C14 + 6'34 +6"34 = Ö
- -'----.r----'
634
Zwei Unterstriche bedeuten "Betrag und Richtung bekannt",
ein Unterstrich bedeutet "nur Richtung bekannt".
= arctan (R34 / N34) = arctan (IlR) = 17°. Die Reibungskraft R34 wirkt der Relativgeschwindigkeit v A43 = V A41 - VA31 = VA41 - V A21 = vE - VA entgegen bzw. in
Es ist
PR
gleicher Richtung wie
v A34
=-v A43 = vA -
vE'
Wegen gleicher Reibverhältnisse an
der oberen und unteren Kante des Gleitsteins sind die beiden Kantenkräfte
6'34
und
parallel und können zur Resultierenden 6 34 zusammengefaßt werden, die durch
den Punkt A gehen muß. Jetzt greifen 4 Kräfte am Glied 4 an; d.h. das CULMANNVerfahren liefert (Bild 5.14a)
6"34
F4 + 6
D14 + 6 C14 + 6 34
'-----v-------'
Fc
'----.r-----'
=
Ö mit
-Fc
FC +6
+6 34 =Ö ~ TP4
-C14
- --
und
Satz 1:
Eine unbekannte Wirkungslinie (Richtung) läßt sich ermitteln, wenn im
Gleichgewichtssystem dreier Kräfte (Vektorsumme) zwei Wirkungslinien
(zwei Unterstriche) bekannt sind (Schnittpunkt im Lageplan).
Satz 2:
Zwei unbekannte Kräfte lassen sich vollständig ermitteln, wenn im Gleichgewichtssystem dreier Kräfte Betrag und Richtungssinn einer Kraft bekannt
sind (doppelter Unterstrich) und bei den restlichen zwei Kräften in der
Summe drei Unterstriche fehlen (Dreieck im Kräfteplan).
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
126
2. Die Aufteilung der Gelenkkraftresultierenden G34 = G34 +G 34 in die beiden parallelen Kantenkräfte G34 und G34 erfolgt mit Hilfe des Kraft- und Seileckverfahrens
(Bild 5.14a/b). Der erste und letzte Seilstrahll bzw. 3, ausgehend von einem beliebig zu
wählenden Kraftpol P, schneiden sich auf der Wirkungslinie der Gelenkkraft
A (vgl. Abschnitt 5.2.1.1).
G34
durch
3. Gleichgewicht am Glied 2 (Bild 5.14b):
F2 +G 12 +G 32 = Ö ~ SP2; G12 ,F2
Die Gelenkkraft G23 ist vollständig bekannt (zwei Unterstriche), weil folgende Gleichungen gültig sind:
G'43+G"43+G23 =Ö
bzw.
G23 =G'34+G"34=G34 (aus Teilaufgabe2)
4. G34 =N 34 +R 34 =G 23
= F2 ·OB = 230 Ncm
11 = P ab / Pan = (F4 / F2 )(vE / VB) =0,65
5. M 2
6.
127
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
-+
2
~
a)
_
3 ~ ~~
~ ~ tt
~ ~
~~~~
"
I
I
---
\
"I" \\
Sfl
2_ -_
~.: ~ ~
\~
~ ~ \~ "3"
"2"
-
B
Sp,.
b)
..l1li..,,~:::::~------:pf,~"3"
p\
\
"2"
Bild 5.14
Graphische Lösungen zum Lehrbeispiel "Verstellgetriebe": a) Lageplan, b) Kräftepläne
"1"
5.2.2 Synthetische Methode (Schnittprinzip)
Die synthetische Methode gliedert sich in folgende Lösungsschritte:
•
Jedes bewegte Getriebeglied wird durch Gelenkschnitte von seinen Bindungen zu
Nachbargliedern befreit.
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
128
•
Gelenk- und Auflagerreaktionen werden unter Berücksichtigung des Prinzips
"Aktion = Reaktion"
(G ij
=-
Gji und :M: ij = - :M: ji)
zwischen benachbarten Glie-
dern eingeführt.
•
Eingeprägte Kräfte und Momente sowie Trägheitskräfte und -drehmomente nach
dem d' ALEMBERTschen Prinzip vervollständigen die Kräftebilanz für jedes bewegte Getriebeglied.
•
Für jedes bewegte Getriebeglied sind drei Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen:
die Kräftesumme in x- und y-Richtung
(5.8)
und die Momentensumme
(5.9)
Die Bezugspunkte Bi für die Momente sind für jedes Glied frei wählbar.
Die Anzahl k l der Gleichungen für ein Getriebe mit n-l bewegten Getriebegliedern ist
somit
k, = 3(n -1) ;
(5.10)
die Anzahl k 2 der Gelenkkräfte ergibt sich aus
(5.11)
k 2 =2g, +g2.
hierbei ist
g, die Anzahl der Gelenke mit f = 1 und
g2 die Anzahl der Gelenke mit f = 2.
Wird nun für jedes Teilsystem Gleichgewicht gefordert, und somit auch für das Gesamtsystem, so können alle unbekannten Kräfte aus dem sich ergebenden linearen Gleichungssystem ermittelt werden. Deshalb muß gelten k l = k2; dies bedeutet, die F freien
Bewegungen werden durch Zwangsbewegungen (Antriebszeitfunktionen) vorgegeben,
vgl. GI. (2.12).
Lehrbeispiel Nr. 5.2: Massebehaftete Kurbelschwinge im Schwerkraftfeld
AufgabensteIlung:
An einer Kurbelschwinge mit den Gliedern 1 bis 4 im Schwerkraftfeld (Fallbeschleunigung g = 9,81 rnJs 2 ) greifen das Antriebsmoment
:M: 2
und das Abtriebsmoment
129
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
M4 an, Bild 5.15. Die Kurbel AoA rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
=<l> =.n . Für jede Stellung <P2 = <p der Antriebskurbel sind die Gelenkkräfte in
A =23 und B =34, die Auflagerkräfte in Ä{) = 12 und Bo = 14 sowie das Moment M 2
0)21
bei gegebenem Moment ~ zu berechnen.
y
B
Bo
x
b)
Bild 5.15
Massebehaftete Kurbelschwinge mit freigeschnittenen bewegten Getriebegliedern (a)
sowie Gelenkreaktionen (b)
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
130
Mit Si sind die Schwerpunkte, mit ISi die Schwerpunktabstände und mit ßi (i = 2,3,4)
die Schwerpunktwinkel der bewegten Getriebeglieder bezeichnet; m2 bis ll4 sind die
Massen der Glieder 2 bis 4, JS3 und JS4 die polaren Massenträgheitsmomente der Glieder
3 und 4 bezüglich ihrer Schwerpunkte, li die Gliedlängen. Da Glied 2 mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit rotiert, ist die Größe von JS2 ohne Belang.
Lösung:
Gleichgewicht am Glied 2:
G~2 -G~2 +m2 IS2 0. 2 cOS(<P+ß2)=0
Gi2 -G~2 -m2 g+ m21s2 0. 2 sin(<p+ß2)=0
12(G~2 sin<p - G~2 cos<p)- m 2 g IS2 cos(<p + ß2)+ M 2 = L,.M i (A o) = 0
Gleichgewicht am Glied 3:
G~3 -G~3 -
ffi 3
xS3 = 0
G~3 - G~3 - m 3 (g + YS3) = 0
m 3 I S3 [X S3 sin( <P3 + ß3) - (YS3 + g)COS(<P3 + ß3)]
- JS3 4'3 + 13 (G;3 sin<P3 -
G~3 COS<P3)
= L,.M i (A) = 0
Gleichgewicht am Glied 4:
G ~4 + G ~4 + m 4 IS4
[<p~ cos (<P4 + ß4) + 4'4 sin (<P4 + ß4)] = 0
Gi4 + G~4 - m 4 g+ m 4 1s4
[<p~ sin(<p4 + ß4)- 4'4 COS(<P4 + ß4)]=0
14 (- G~4 sin <P4 + G~4 COS<P4) - m4 g IS4 cos( <P4 + ß4) -
(J S4 + m4 1~4 )4'4
-M 4 = L,.Mi(Bo)=O
Das entgegengesetzte Vorzeichen der Gelenkkräfte an benachbarten Gliedern ist sowohl
in Bild 5.15b als auch in den vorstehenden Gleichungen bereits berücksichtigt worden,
so daß z.B. Gij und Gj; nur eine Unbekannte darstellen. Die Auflösung der linearen
Gleichungen nach den neun Unbekannten liefert:
131
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
(1)
G~4 =G~ =
[m 4 g IS4 COS(<{>4 + ß4) +
+
(J S4 + m4 1§4 ) Ci> 4 + M 4] / [1 4(tan<{>3 - tan<{>4 )COS<{>4]
{J S3 Ci>3 - m3 Is3 [XS3 sin(<(>3 + ß3) - (g + YS3 ) cos(<{> 3 + ß3)]}
/ [1 3(tan <{>3 - tan <{>4 )COS<{>3]
(2)
G~4=G~=
G~ tan<{>4 + [m4 g IS4 cos( <(>4 + ß4) + (J S4 + m4 1§4 )Ci>4 + M 4]/(14 COS<{>4)
(3)
G~4 = G~o = -G~ - m4 1s4 [<p~ cos( <(>4 + ß4) + Ci>4 sin(<(>4 + ß4)]
(4)
Gi4 =
(8)
Gi2 =GÄo =GÄ. +m2g-m2Is2n2sin(<{>+ß2)
(9)
M 2 = 12 (GÄ. cos<{> - G~ sin «»+ m2 gls2 cos( <(> + ß2)
G~o = -G~ + m4 g - m4 1s4 [<p~ sin(<{>4 + ß4) - Ci>4 COS(<{>4 + ß4)]
Die Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten mit Hilfe der Gleichungen
G IJ-- = (G,,)2
+ (G IJY. )2
IJ
und
cr-IJ = ATAN2 (G"IJ ' Gy.)
liefert Betrag, Richtung und
IJ
Richtungssinn der Gelenkkräfte.
5.2.3 Prinzip der virtuellen Leistungen (Leistungssatz)
Die Ermittlung einzelner Kräfte nach dem Leistungsprinzip ist mit relativ geringem
Aufwand verbunden.
Satz:
Ein System (ein freigeschnittenes Teilsystem) befindet sich im Gleichgewicht,
wenn die Summe aller Leistungen der angreifenden Kräfte / Momente gleich
null ist.
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
132
(5.12)
Die ersten beiden Summanden in GI. (5.12) stellen Skalarprodukte dar, es ist also z.B.
(5.13)
Da Mi und ü)i bei ebenen Getrieben stets senkrecht auf der x-y-Ebene (Zeichenebene)
stehen, kann auf eine Vektorschreibweise verzichtet werden.
Es bedeuten
am Glied 1
(Massenkraft)
angreifende
äußere
Kraft,
einschließlich
Trägheitskraft
Vi:
Geschwindigkeit des Angriffspunktes von Fi
(Xi :
von Fi und vi eingeschlossener Winkel
ü)i:
Winkelgeschwindigkeit des Gliedes i, an dem Mi angreift
Mi:
am Glied i angreifendes äußeres Moment, einschließlich Massendrehmoment
PRi : Verlustleistungen durch Reibung
Die GI. (5.12) kann sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch ausgewertet werden. Die
auftretenden Geschwindigkeiten können real oder auch nur mit dem System verträglich,
also virtuell sein.
5.2.3.1 JOUKOWSKY -Hebel
Die zeichnerische Auswertung ist unter dem Namen "JOUKOWSKY-Hebel" bekannt
und eignet sich besonders dann, wenn an einem Getriebe nur Kräfte angreifen.
133
5.2 Grundlagen der Kinetostatik
-+
WLvonFan
\
a)
D
a
-+
WLvonFan
~ '.
./ 0
:/
,..
".
/"
han
b)
I
I
I
I
I
I
c
Bild 5.16
Beispiel zum JOUKOWSKY-Hebel: a) Lageplan, b) ["v-Plan
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
134
Die Skalarprodukte
Ili vi
können mit Hilfe eines auf der x-y-Ebene (Zeichenebene)
senkrecht stehenden Einheitsvektors
e
(in Richtung der z-Achse) auf Spatprodukte
umgeformt werden. Es ist dann mit den zu
ren
rvi
-Vi =-e x rVi
-
Vi um 90° gedrehten Geschwindigkeitsvekto-
und
(5.14)
Ili vi =I/i (e x rVi)= Le (r Vi XFi)=O,
i
i
(5.15)
i
d.h.
(5.16)
In einem Plan der um 90° gedrehten Geschwindigkeiten ( r V -Plan) mit einem
willkürlich gewählten Ursprung rObedeutet der Leistungssatz das
Satz:
"Drehgleichgewicht" der Kräfte
F; um r O.
Lehrbeispiel Nr. 5.3: Sechsgliedriges Dreistandgetriebe
AufgabensteIlung:
An dem in Bild 5.16 skizzierten sechsgliedrigen Dreistandgetriebe greifen an den
Punkten A 2 bis A6 auf den entsprechenden Gliedern mit gleicher Nummer die äußeren
Kräfte
F2
bis
F6
an. Gesucht ist der Betrag und der Richtungssinn der Antriebskraft
Fan auf vorgegebener Wirkungslinie (WL) im Punkt A des Glieds 2.
Lösung:
Nach der Wahl von r 0 und einer beliebigen Geschwindigkeit VA des Punktes A, die
der Strecke
r0 a entspricht, kann der r v -Plan gezeichnet werden (meistens denkt man
sich die Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren r Vi im Punkt r 0). Danach werden die
Kräfte
F;
angetragen, ihre im r v -Plan abgebildeten Angriffspunkte teilen die entspre-
chenden Geschwindigkeitsstrecken im gleichen Maß wie im Lageplan. GI. (5.16) liefert
unter Berücksichtigung der Vorzeichen für Links- und Rechtsdrehung um r 0
135
5.3 Übungsaufgaben
L h F = Fan h an - F h
j
j
2
2
+ F3 h 3 - F4 h 4 + Fs h s + F6 h 6 = 0
j
mit h an
= .r 0 a. Ist das Ergebnis Fan > 0, so dreht Fan um r0
in mathematisch positiver
Richtung (Gegenuhrzeigersinn).
5.3 Übungsaufgaben
Aufgabe 5.1:
Das abgebildete Schubkurbelgetriebe ist Teil eines Kompressors. Im Zylinder herrscht der Druck p =106 Pa. Welches Antriebsmoment ist erforderlich, um den Kolben in der
angegebenen Stellung zu halten? Es ist das Gelenkkraftverfahren anzuwenden.
Kolbenfläche A =10 cm2 ; r = 10 cm, 1= 20 cm
<p = 1200
N
(Maßstab MF =333,33 - )
cm z
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
136
Aufgabe 5.2:
Für den im Bild dargestellten Wagenheber soll das Antriebsmoment in der Stellung <p = 45° berechnet werden. Die Gewichtskraft beträgt Fab =5000 N, die
Länge der Glieder ist einheitlich 20 cm.
1. Berechnen Sie die Spindelkraft
a) nach dem Gelenkkraftverfahren,
b) graphisch mit dem JOUKOWSKYHebel,
c) rechnerisch mit dem Leistungssatz,
indem Sie die Geschwindigkeiten mit der
Modulmethode bestimmen!
2. Berechnen Sie das Antriebsmoment an der Handkurbel, wenn die Spindelsteigung
15° und der Spindeldurchmesser 10 mm betragen.
Aufgabe 5.3:
Bei der Entwicklung von Greifern für Industrieroboter sind die wirksamen Greif- und
Antriebskräfte von besonderer Bedeutung.
An dem skizzierten symmetrisch aufgebauten zwangläufigen Zangengreifer wirken die
beiden Greifkräfte
Fb und die Antriebskraft FA .
1) Gesucht sind für die gezeichnete Stellung
a) das Kraftverhältnis FdFA mit Hilfe des JOUKOWSKY-Hebels (die um 90°
gedrehte Antriebsgeschwindigkeit
keitsplan
r vA
ist im entsprechenden Geschwindig-
(rv-Plan) vorgegeben, gedachte Pfeilspitze im Punkt a),
=
b) sämtliche Lager- und Gelenkkräfte für FG 100 N bei einem Kraftrnaßstab
Mp =50 N/cm z mit Hilfe des Gelenkkraftverfahrens; dabei sind die Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen und die Kräfte vereinbarungsgemäß zu unterstreichen.
2) Vergleichen Sie das Ergebnis für FA aus a) mit dem aus b) !
Hinweis: Wegen der Symmetrie genügt die Betrachtung einer Greiferhälfte.
137
5.3 Übungsaufgaben
~
- - - \- - - - - -.
Greifobjekt
-+
Fa
-+
~G
c
C'
1
1
10 ...- - - - - - - - -... a
Aufgabe 5.4:
Die skizzierte Kniehebelpresse dient zur Erzeugung großer Kräfte, z.B. beim Tiefziehen
von Blechen. Das Antriebsglied AoA rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. In
der gezeichneten Lage greifen an der Presse die Pressenkraft F ab sowie die Gewichtskraft
Fa = mK g im Schwerpunkt S des Kolbens an.
138
5 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe
Berechnen Sie für die gegebenen Werte unter Berücksichtigung der vorgewählten
Maßstäbe für Abmessungen, Geschwindigkeiten und Kräfte
a) das Antriebsmoment Man mit Hilfe des JOUKOWSKY-Hebels,
b) die Lagerbelastung im Drehgelenk Ba und im Schubgelenk (Kolben/Zylinderwand, ohne
Reibung) nach dem Gelenkkraftverfahren,
c) die Kantenkräfte an der linken (1) und rechten (r) Kolbenseite mit Hilfe des Kraft- und
Seileckverfahrens !
Gegebene Werte: FG = 2,4 kN, Fab = 6,4 kN
Maßstäbe: M z = 8,4 ern/ern" M F = 1,28 kNlem z
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
Zur Getriebesynthese gehört im wesentlichen
•
die Festlegung der Getriebestruktur (Typensynthese)
•
die Bestimmung kinematischer Abmessungen (Maßsynthese) und die
•
konstruktive Gestaltung der Getriebeglieder und Gelenke unter Berücksichtigung der
Belastung und des Materials.
Dieses Kapitel stellt einige leicht nachvollziehbare Verfahren der Maßsynthese vor, um
die Abmessungen von Getrieben zu ermitteln, so daß sie anfangs gestellte Forderungen
beim Übertragen von Bewegungen oder Führen von Gliedern erfüllen können. Mit Hilfe
der Wertigkeitsbilanz lassen sich die Ansprüche an ein Getriebe mit den erreichbaren
Möglichkeiten abgleichen.
Entsprechend den Zielvorgaben des vorliegenden Buches werden die Problematik für
die viergliedrigen Getriebe aufbereitet und Lösungen aufgezeigt: Die ALTsche Totlagenkonstruktion für viergliedrige umlauffähige Übertragungsgetriebe steht am Anfang
und die nachfolgende Darstellung der exakten Zwei- und Drei- Lagen-Synthese für Führungs- und Übertragungsgetriebe dient als Einstieg in die klassische Mehrlagensynthese
nach BURMESTER [6.1].
Schließlich ist jede gefundene Lösung hinsichtlich ihrer Bewegungs- und Kraftübertragungsgüte zu beurteilen; dazu dienen die Kriterien Übertragungswinkel und Beschleunigungsgrad.
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
Die Totlagen eines viergliedrigen umlauffähigen Getriebes zählen zu den Sonderlagen
des Getriebes. Die Tot- oder Umkehrlage ist gekennzeichnet durch den Nullwert der
Geschwindigkeit des Abtriebglieds bei kontinuierlich rotierendem Antriebsglied, Bild
6.1.
H. Kerle et al., Einführung in die Getriebelehre
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
140
Sie tritt innerhalb einer Bewegungsperiode des Getriebes zweimal auf und wird mit
innere (Index i) und äußere (Index a) Totlage bezeichnet.
Die wichtigsten viergliedrigen Getriebe, die eine umlaufende Antriebsdrehung in eine
schwingende Abtriebsdrehung oder -schiebung umwandeln, sind
a) Kurbelschwinge,
b) Kurbelschleife,
c) Schubkurbelund
d) Kreuzschubkurbel
[6.2]. Im Hinblick auf die beiden TotlagensteIlungen läßt sich sowohl am Antriebsglied
(Kurbel) als auch am Abtriebsglied ein Totlagenwinkel definieren:
•
Abtriebstotlagenwinkel (Winkelhub) '1'0'
•
Antriebstotlagenwinkel (j)o.
Die Zuordnung von (j)o zu '1'0 erfolgt im Bereich der Gleichlaufphase, d.h. positiver
Übertragungsfunktion 1. Ordnung ( '1" > 0). Zur Gegenlaufphase gehört dann der Winkel 360 0
-
(j)o. In den Fällen der Schubkurbel und Kreuzschubkurbel tritt an die Stelle
des Abtriebstotlagenwinkels der Hub so. Die Zeiten für Hin- und Rückgang (Index H
bzw. R) stehen im Verhältnis
tH
tR
für <p ==
(j)
(j)o
3600 - (j)o
= n = konst.
(6.1)
141
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
-.a
b) i//
i
;
j ,_._. _. _. _. _. _.- _._ .
;
(flo
,
\
Kurbelschwinge
.'.
-.Kurbelschleife
d)
c)
Ai'"- -_.-..Kreuzschubkurbel
Scbubkurbel
Bild 6.1
Innere und äußere Totlagen einiger viergliedriger Getriebe (nach Richtlinie VDI 2130)
Eingehende Untersuchungen haben zu Grenzen geführt, in denen alle Kombinationen
von Totlagenwinkeln liegen müssen, wenn diese durch viergliedrige umlauffähige Getriebe realisierbar sein sollen:
(90 + ~o ) < <Po< (270 + ~o ),
(6.2a)
0°:::; '1'0< 180° .
(6.2b)
0
0
Bild 6.2 gibt einen Überblick mit den zulässigen (schraffierten) Bereichen. Auf den
Linien B, D, F, G und im Punkt H liegen die Sonderfälle der allgemeinen Kurbelschwinge. Für Schubkurbeln und Kreuzschubkurbeln gilt hier und für alle folgenden
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
142
Diagramme generell 'V 0 = 0° . Außerhalb der schraffierten Bereiche ist der Übertragungswinkel !! = 0° , s. Abschnitt 6.1 .3.1.
<Po
Bereich A:
%
+ 90 ° < <Po < 180 °
2
K urbelschw ingen
Linie B:
<Po = 180 °
zen trisc he Kurbelschwin gen
Bereich C:
180 ° <
Linie D:
<Po -
Bereich E:
'Va
Linie F:
90 ° < <Po < 180 °, 'Vo = 0°
Schubkurb eln
Linie G:
180 ° < <Po < 270 °, 'Vo = 0°
Schubkurbeln
PunktH :
<Po = 180° ,
%
'Va
<
'Va + 180 °
K urbelschw ingen
= 180 °
+ 180 ° < <Po <
'Va
Kurbel schwingen und Kurb elschleifen
~
=0 °
+ 270 ° Kurbel schwingen
Zentrisch e Schubkurbeln und Kreuzschubkurbeln
Bild 6.2
Zulässige Bereiche für Totlagenwinkel viergliedriger Getriebe (nach Richtlinie
VDI 2130)
6.1.1 Kurbelschwinge
Gegeben sind die kinematischen Größen
143
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
gesucht sind
a == r
= AoA, b = AB, c = BoB.
Die vorbezeichneten Gliedlängen müssen die GRASHOFsche Umlaufbedingung
(Abschnitt 2.4.2.1) erfüllen, d.h.
a + lmax < l' + I" ,
außerdem sind die Ungleichungen (6.2a, b) einzuhalten.
In der äußeren Totlage AOAaBaB O befinden sich Kurbel und Koppel in Strecklage, in
der inneren Totlage AoAjBjB o in Decklage, vgl. Bild 6.1 . Die nachfolgend beschriebene
Totlagenkonstruktion nach ALT [6.3] liefert die gesuchten Gliedabmessungen einer
Kurbelschwinge in der Strecklage, Bild 6.3.
Die freien Schenkel der in Ao und B o im Uhrzeigersinn von AoB o aus angetragenen
Winkel
~r/2
bzw. 'l'r/2 schneiden sich in R. Die Mittelsenkrechte auf A.oR (Fußpunkt
M kA ) schneidet BoR in M kB • Die Kreise kA und kB durch Rund Ao mit den Mittelpunkten
M kA und M kB sind die geometrischen Orte für die Gelenkpunktlagen Aa und Ba. Der
Winkel ß ist nach anderen Kriterien, s. Abschnitt 6.1.3.1, innerhalb der Grenzwinkel ßI
(Punkt E auf kB) und ßn (Punkt Lauf kB) frei wählbar. Die Punkte E und L findet man
mit Hilfe des in B o angetragenen Winkels 'l'o.
e - --...,
Bild 6.3
Totlagenkonstruktion der Kurbelschwinge (nach Richtlinie VDI 2130)
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
144
Die aus der Totlagenkonstruktion ableitbaren geometrischen Beziehungen lassen sich in
einem Ablaufplan zusammenfassen und für ein Programm vorbereiten, Bild 6.4,
~
"-
'.
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~e
~
~
.~
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0
<=>
a11
0.
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u
~
+
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'"11
u
Bild 6.4
Ablaufplan zur Berechnung von Kurbelschwingen (nach Richtlinie VDI 2130)
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
145
6.1.2 Schubkurbel
Gegeben sind die kinematischen Größen
gesucht sind
a == r = AoA, b = AB, e .
Die Schubkurbel geht aus der Kurbelschwinge durch den Grenzübergang Bo ~ 00 hervor, d.h. c ~ 00, d ~ 0 0 . Die verbleibenden endlichen Abmessungen müssen die
GRASHOFsche Umlaufbedingung erfüllen, d.h.
a+e< b,
außerdem gilt '1'0 = 0° und die Ungleichung (6.2a).
Da '1'0/2 und '1'0 nicht existieren, werden stattdessen Parallelen zur Gestellgeraden
AoB ü mit den Abständen s0/2 und So gezogen, Bild 6.5.
Bild 6.5
Totlagenkonstruktion der
Schubkurbel (nach Richtlinie VDI 2130)
Ba kann auf dem Kreis kB zwischen den Punkten E und L gewählt werden (Auswahlwinkel ß). Die Schubrichtung mit der vorzeichenbehafteten Versetzung e steht senkrecht auf der Gestellgeraden. Für R = H (<Po = 180°) entartet der Kreis kB zu einer Gera-
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
146
den, und es entstehen zentrische Schubkurbeln (e = 0). Der zugeordnete Ablaufplan
für die geometrischen Beziehungen ist Bild 6.6 zu entnehmen.
<Po =
So =
nein
ja
Bild 6.6
Ablaufplan zur Berechnung von Schubkurbeln (nach Richtlinie VDI 2130)
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
147
6.1.3 Auswahlkriterien
Zur Auswahl eines Getriebes aus der unendlichen Vielfalt möglicher Getriebe wird man
den Winkel ß variieren. Bewährt haben sich die Kriterien
•
Größtwert des minimalen Übertragungswinkels Ilmin (übertragungsgünstigstes
Getriebe) für langsam laufende Getriebe oder Getriebe mit geringen bewegten Massen und
•
minimaler Beschleunigungsgrad Omin (beschleunigungsgünstigstes Getriebe) für
schnell laufende Getriebe oder Getriebe mit großen bewegten Massen, um eine gute
Kraft- und Bewegungsübertragung zu gewährleisten, s. auch [6.4].
6.1.3.1 Übertragungswinkel
Der Übertragungswinkel Il ist beim viergliedrigen Drehgelenkgetriebe der Winkel zwischen der Koppel AB und dem Abtriebsglied BoB, Bild 6.7.
Bild 6.7
Übertragungswinkel beim viergliedrigen Drehgelenkgetriebe
Wenn außer dem Abtriebsmoment keine weiteren Belastungen hinzukommen, gilt mit
der Stab kraft F
(6.3a)
I
M
an
= F. la = M ab · a
BoB.sinll
(6.3b)
148
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
Im Fallll = 0° ist keine Kraftübertragung vom Abtriebs- auf das Antriebsglied möglich.
Der Bestwert ist Il =90° .
Allgemein ist derjenige Winkel zwischen Koppel und Abtriebsglied als Übertragungswinkel zu wählen, der ~ 90° ist. Wird der Winkel > 90°, gilt der Supplementwinkel
(Ergänzung zu 180°). Bei der Auslegung von Getrieben ist der minimale Übertragungswinkeillmin zu beachten und die Ungleichung
(6.4)
einzuhalten (Erfahrungswert Ilert).
Bild 6.8
Zur Definition des Übertragungswinkels nach ALT
ALT [6.3] hat den Übertragungswinkel aus geometrisch-kinematischen Betrachtungen
heraus festgelegt:
Satz: Der Übertragungswinkelll kennzeichnet den Richtungsunterschied der Absolutgeschwindigkeit in B (Tangente t. senkrecht auf c) und der relativen Geschwindigkeit gegenüber dem Antriebsglied a (Tangente tr senkrecht auf b), Bild 6.8.
Die Extremwerte von Il treten in den Gestellagen oder Steglagen der viergliedrigen
Getriebe auf, Bild 6.9. Der kleinere der beiden Extremwerte ist Ilmin. Als Steglage eines
Getriebes wird die Lage bezeichnet, bei der der Gelenkpunkt A auf die Gestellgerade
AoB o fällt. Man unterscheidet zwischen innerer und äußerer Steglage, je nachdem, ob
A innerhalb AoB o oder außerhalb AoB o zu liegen kommt. Die Steglagen gehören neben
den Totlagen zur zweiten Gruppe von Sonderlagen der viergliedrigen Getriebe. Für die
Kurbelschwinge gilt
149
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
111 = arccos
b 2 +c2 -(d-a)2
I
Iln = arccos
2bc
(6.5a)
,
b 2 +c 2 -(d+a)21
,
2bc
(6.5b)
(6.5c)
und für die Schubkurbel
111
a+e) = Ilmin'
=arccos ( -b-
(6.6a)
a-e) .
Iln = arccos ( -b-
(6.6b}
a)
./
'"
.. . - .
c
b
d
An '
r
,
BQ
All
Bild 6.9
Steglagen der Kurbelschwinge a) und Schubkurbel b)
Der optimale Auswahlwinkel ß ist ebenso wie der erreichbare Größtwert des Übertragungswinkels maX(llmin) im Auswahldiagramm 1 (Bild 6.10) für alle Typen viergliedriger Getriebe und für alle möglichen Kombinationen von <Po und '1'0 (so) zu entnehmen.
Der Aufbau des Diagramms entspricht dem Bild 6.2. Mit Hilfe von ß ist das Getriebe
gemäß den Ablaufplänen (Bild 6.4 und 6.6) zu zeichnen oder zu berechnen.
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
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360 '
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30'
60 '
90 '
"'0
120'
150 '
180'
Bild 6.10
Auswahldiagramm 1 für übertragungsgünstigste Getriebe (nach Richtlinie VDI 2130)
151
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
6.1.3.2 Beschleunigungsgrad
Die sich maximal einstellende Winkelbeschleunigung \jI max
schleunigung smax
= s~ .02 während
= "'~ax . 0 2 bzw. Linearbe-
des durchlaufenen Totlagenwmkels "'0 bzw.
Hubs So wird mit der kleinstmöglichen (konstanten) Beschleunigung (Verzögerung) \jI v
bzw. Sv verglichen, die während der Gleichlaufphase (",' > 0 bzw. s' > 0, Index H)
und der Gegenlaufphase ('l" < 0 bzw. s' < 0, Index R) durch das Bewegungsgesetz
"Quadratische Parabel" (v gl. Richtlinie VDI 2143, Blatt 1) erreichbar ist.
Der Quotient
S
\Ir
o a =..:!:J!!M..
bzw. 0a
=~
'l' v
Sv
(6.7)
heißt Beschleunigungsgrad; der Bestwert ist Oa, Oa = 1.
Mit
=4. 'l'o[rad] .0 2 =720°. "'0.0 2 == " .0 2
2[ d2]
.
2
"'vH
'l'vH
<Po ra
1t
<Po
(6.8a)
und
_720°.
'l'o
.02=" .02
'l' vR - 1t (360 0-<PO)2
- '" vR
(6.8b)
erhält man den Beschleunigungsgrad für den Gleich- und Gegenlauf:
o
"
2
- 'l'maxH -~.~. "
aH - \Ir"
7200 \Ir 'l' max H ,
'Y vH
'Y 0
(6.9a)
(6.9b)
Bei schiebendem Abtrieb erhält man stattdessen (keine Umrechnung von 'l'o von Bogenmaß auf Grad notwendig):
o
"
- SmaxH aH - S~H -
(~ )2 . <Po2.s"
360°
So
maxH'
(6.l0a)
(6.1 Ob)
In den Auswahldiagrammen 2 und 3 (Bilder 6.11 und 6.12) sind die Beschleunigungsgrade oa, oa für die Gleich- und Gegenlaufphase neben dem Winkel ß als Auswahlkriterien angegeben. Die Arbeitsweise mit diesen Diagrammen entspricht derjenigen mit
Auswahldiagramm 1.
152
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
Hinweis:
Stehen quasistatische Belastungen im Vordergrund, wird man Diagramm 1 wählen, bei überwiegend dynamischen Gesichtspunkten
(Trägheitswirkungen) die Diagramme 2 und/oder 3,
360'
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Gleich lauf
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180 '
Bild 6.11
Auswahldiagramm 2 für beschleunigungsgünstigste Getriebe in der Gleichlaufphase
(nach Richtlinie VDI 2130)
153
6.1 Totlagenkonstruktion nach ALT
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Auswahldiagramm 3 für beschleunigungsgünstigste Getriebe in der Gegenlaufphase
(nach Richtlinie VDI 2130)
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
154
6.2 Lagensynthese
Unter dem Begriff der Lagensynthese versteht man die Bestimmung von Gliedabmessungen eines Getriebes bekannter Struktur, das während des Bewegungsablaufs vorgegebene Lagen einnimmt.
Bei den vorgegebenen Lagen kann es sich um
a) Punktlagen (Lagen von Koppelpunkten mit jeweils zwei Koordinaten x, y),
b) Gliedlagen (Lagen von Koppelgliedern, beschrieben durch jeweils zwei Punkte),
c) Relativlagen (Zuordnungen von Winkeln und Wegen) zwischen An- und Abtriebsglied
handeln. Die Fälle a) und b) charakterisieren Führungsgetriebe, der Fall c) ist typisch für
die Synthese eines Übertragungsgetriebes. Alle drei Fälle lassen sich auf Punktlagen und
somit auf die durch drei Sätze charakterisierte Grundaufgabe der Getriebesynthese
ebener viergliedriger Getriebe zurückführen [1: Bd. 2, 14].
Grundaufgabe:
•
Gegeben sind verschiedene Lagen einer bewegten Ebene E, etwa EI. E2 , E3 , ••• ,
gegenüber der (ruhenden) Bezugsebene Eo; die Lagen können endlich oder unendlich benachbart sein.
•
Gesucht sind diejenigen Punkte von E, die bei der Bewegung von E gegenüber Eo
(ElEo) auf einem Kreis liegen.
•
Diese Punkte beschreiben eine homologe Punktreihenfolge bzw. man nennt EI.
E2 , EJ , ... homologe Lagen der Ebene E gegenüber Eo.
Die mit Hilfe der Lagensynthese in den nachfolgenden Abschnitten gefundenen Lösungsgetriebe sind allesamt noch den Auswahlkriterien des Abschnitts 6.1.3 zu unterwerfen und - falls erforderlich - auf Umlauffähigkeit mit Hilfe des Satzes von
GRASHOF zu prüfen.
6.2.1 Wertigkeitsbilanz
Die Beschreibung von Lagen erfolgt mit Hilfe geometrischer Größen wie Koordinaten,
Längen (Strecken), Winkel, usw., die eine unterschiedliche Wertigkeit aufweisen; beispielsweise ist die Angabe der ersten Lage eines Koppelpunktes C mit den Koordinaten
155
6.2 Lagensynthese
Xc, Yc zweiwertig, die Angabe jeder weiteren Lage von C nur noch jeweils einwertig, da
die Gleichung fex, y) = 0 der Koppelkurve erfüllt werden muß. Wenn im Fall a) neun
Punktlagen vorgeschrieben werden, muß die erforderliche Wertigkeit W erf = 10 mit der
durch das Getriebe zur Verfügung gestellten vorhandenen Wertigkeit W vorb zumindest
übereinstimmen. Bei der Auswertung der Gleichung
(6.11)
gibt es für W frei < 0 keine, für W frei = 0 eine eindeutige und für W frei > 0 mehrere Lösungen, wobei W frei geometrische Größen noch frei gewählt werden können.
Wenn das Getriebe g = 4 einfache Gelenke (Dreh- und Schubgelenke ) besitzt und stets p
Punkte zu führen sind, errechnet sich W vorh im allgemeinen aus der Gleichung
(6.12)
Wvorh =2(g+p)=8+2p.
Demnach ist bei
a) Punktlagen:
W vorh = 10
b) Gliedlagen:
W vorh = 12
c) Relativ-Winkellagen: W vorh = 8
Andererseits kann sich die vorhandene Wertigkeit W vorh eines Getriebes durch typ- oder
maßbedingte Sonderformen verringern. Jedes Schub- oder Schleifengelenk beispielsweise läßt einen der Gelenkpunkte ins Unendliche wandern, und es resultiert eine
(kinematische) Versetzung oder Exzentrizität e mit der Folge, daß sich W vorh jeweils um
die abhängige Wertigkeit W abh = 1 verringert; W vorh verringert sich nochmals um die
unwirksame Wertigkeit W unw = 1, falls e = 0 gewählt wird, folglich ergibt sich die effektiv vorhandene Wertigkeit zu
Weff = W vorb
-
Wabb
-
Wunw
.
(6.13)
W abh = 1 entsteht ebenfalls bei Längengleichheit zweier Glieder. In Tafel 6.1 sind einige
oft wiederkehrende Wertigkeiten zusammengestellt, die sowohl W vorh als auch W abh als
auch W unw betreffen.
Der Abgleich zwischen der erforderlichen und der vorhandenen Wertigkeit des Getriebes entsprechend GI. (6.11) wird Wertigkeitsbilanz genannt.
Satz:
Die Wertigkeitsbilanz entscheidet darüber, wieviel Lagen von einem Getriebe
erfüllt werden können.
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
156
Hinweis: Die Überlegungen dieses Abschnitts gelten im wesentlichen auch für Getriebe mit mehr als vier Gliedern.
TafeI6.1: Annahmen und zugeordnete Wertigkeiten
Annahme
Wertigkeit
Wahl eines Koppelpunktes
2
Bahnpunkt zum Koppelpunkt
Länge (Strecke, Abstand, Radius)
1
Winkel (einer Geraden)
1
Winkelschenkel (geometrischer Ort für ein Gelenk)
Winkelzuordnung
1
Tangente oder Normale im Bahnpunkt
1
Wahl eines Drehgelenks
2
Wahl eines Schub- oder Schleifengelenks mit e::l- 0
Wahl eines Schub- oder Schleifengelenks mit e = 0
2
6.2.2 Zwei-Lagen-Synthese
6.2.2.1 Beispiel eines Führungsgetriebes
In Bild 6.13a sind zwei Lagen EI und E 2 einer Ebene E durch die Punktpaare C h D I und
C2 , D 2 in der Gestellebene E o mit dem x-y-Koordinatensystem gegeben. Gesucht sind
die Gestelldrehpunkte Ao und B o eines Drehgelenkgetriebes, das die Koppelpunkte C
und D und damit die Ebene E durch beide Lagen führt.
Lösung:
Annahme
2
Die Wertigkeitsbilanz ergibt entsprechend den GIn. (6.11), (6.12) und Tafel 6.1
Wfrei =Wvorh -Werf =12-(2+2+1+1)=6,
157
6.2 Lagensynthese
d.h es gibt letztendlich 006 Möglichkeiten, ein passendes Getriebe zu finden.
Wir wählen für die Lage 1 (EI) zwei beliebige weitere Punkte AI und BI (und vergeben
damit vier Wertigkeiten). Die Punkte AI und BI dürfen auch mit den gegebenen Punkten
CI und D I zusammenfallen. Danach wird die Lage 2 (E2 ) um die Punkte A 2 und B 2 ergänzt (kongruentes Trapez zu EI). Die Mittelsenkrechten mA und mB der Strecken
--
--
A IA 2 bzw. B IB 2 schneiden sich im Drehpol
P12
(s. auch Abschnitt 3.1.3.4). Um den
Drehpol P 12 rotiert jeder Punkt der Koppel mit dem Winkel <P12 bei der Bewegung von
Lage 1 in Lage 2. Der Winkel <P12 ist entweder mathematisch positiv (Gegenuhrzeigersinn) oder mathematisch negativ (Uhrzeigersinn) orientiert und stets gilt <P21 =360 0 - <P12.
Der Drehpol fällt nur für den Fall mit dem Momentanpol der Koppel CD bzw. AB zusammen, daß die Lagen EI und E 2 unendlich benachbart sind, d.h. ebenfalls zusammenfallen. Mit der Wahl von Ao auf mA und von B o auf mB werden die restlichen beiden
Wertigkeiten vergeben und das Drehgelenkgetriebe AoABB o läßt sich in der Lage 1 oder
2 zeichnen, Bild 6.13b.
o
Eo
x
o
EO
x
Bild 6.13
Viergliedriges Drehgelenkgetriebe AoABB o als Führungsgetriebe: a) AufgabensteIlung,
b) Lösung in Lage 1
6.2.2.2 Beispiel eines Übertragungsgetriebes
In Bild 6.l4a sind zwei Winkellagen 1 und 2 des Antriebsglieds einerseits und relativ
dazu zwei Winkellagen I' und 2' des Abtriebsglieds andererseits eines Drehgelenkgetriebes um die noch endgültig festzulegenden Gestelldrehpunkte Ao und Bo gegeben.
Gesucht sind die Punkte A und B als Gelenke der Koppel des Getriebes in einer der
beiden Lagen und damit die restlichen Getriebeabmessungen.
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
158
Lösung:
Für die Wertigkeitsbilanz ist mit der Zuordnung <P12hV12 sofort Werf = 1 anzugeben. Den
GIn . (6.11) und (6.12) zufolge ist
Wfrei = Wvorh - Werf =8 - 1=7,
d.h. es gibt 007 Möglichkeiten, ein passendes Getriebe zu finden.
Wir legen Ao und Bo in der Ebene Eo fest und vergeben damit lt. Tafel 6.1 vier Wertigkeiten; die verbleibenden drei Wertigkeiten nutzen wir, um die Anfangswinkel a und ß
sowie die Länge BoB=BoB I =B oB 2 zu wählen. B bewegt sich für einen Beobachter im
Punkt A auf dem Antriebsglied AoA auf einem Kreis um A; bei der Rückdrehung mit
-<P12 um Ao in die Bezugslage 1 wandert der Punkt B2 in die Lage B 2 1. Da alle in der
Lage 1 bekannten Punkte B auf einem Kreis um AI liegen, liefert folglich der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mB 1 mit dem Antriebsglied in der Lage 1 den Punkt AI. Mit
- - -AIB I =AB liegt auch die Länge der Koppel fest, Bild 6.14b.
b) Y
a) Y
I'
~,
o
x
0
x
Bild 6.14
Viergliedriges Drehgelenkgetriebe AoABB o als Übertragungsgetriebe: a) AufgabensteIlung b) Lösung in Lage I
6.2.3 Drei-Lagen-Synthese
Die Vorgehensweise des letzten Abschnitts kann mühelos um eine zusätzliche Relativlagenzuordnung für viergliedrige Übertragungsgetriebe erweitert werden. Die Drei-Lagen-
159
6.2 Lagensynthese
Synthese für Führungsgetriebe würde den gesetzten Rahmen des Buches überschreiten;
hier wird auf die Literatur [1, 6, 14, 15] verwiesen.
6.2.3.1 Beispiel eines Drehgelenkgetriebes als Übertragungsgetriebe
Zu zwei gegebenen Relativ-Winkelzuordnungen <P1:zI"'12 und <j)z~"'23 für drei Lagen des
Antriebsglieds M und drei Lagen 1', 2', 3' des Abtriebsglieds BoB eines Drehgelenkgetriebes sind die Abmessungen zu finden.
Lösung:
Die mit Hilfe von GI. (6.12) ermittelte vorhandene Wertigkeit W vorh = 8 teilt sich für die
erforderliche Wertigkeit Werf hinsichtlich der getroffenen Annahmen folgendermaßen
auf:
Annahme
Ao
Bo
2
2
ß
1
1
Mit der Wahl von ß und mit den Winkeln "'12 und "'23 liegen die Punkte B}, B 2, B 3 in
den drei Lagen des Abtriebsgliedes als Punkte eines Kreises um Bo mit dem Radius
BoB fest. Bei der Rückdrehung dieser Punkte mit den Winkeln -<P12. -<P13 = -( <P12 + <j)z3)
um Ao wandern die Punkte B 2 und B 3 für einen Beobachter in A in der Bezugslage 1 an
die Stellen B 2 l bzw. B 31. Da alle Punkte B in der Lage 1 auf Kreisen um A liegen müssen, liefert der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten mBl l und mB21 den Punkt A in
- - -der Lage 1 und damit die Koppellänge AlB l =AB, Bild 6.15.
6.2.3.2 Beispiel eines Schubkurbelgetriebes als Übertragungsgetriebe
Zu zwei gegebenen Relativlagenzuordnungen <P12/S12 und <P13/S13 für drei Lagen des Antriebsgliedes (Kurbel) AoA und drei Lagen des Abtriebsgliedes (Schiebers) eines zentrischen Schubkurbelgetriebes sind die Abmessungen zu finden.
Lösung:
Wegen der Versetzung e = 0 verringert sich W vorh = 8 um zwei Wertigkeiten auf Weff =
6, vgl. GI. (6.13).
Die Wertigkeitsbilanz sieht dann folgendermaßen aus:
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
160
Annahme
Ao
2
2
-~--
---- ------
,,
,,
--~-
,.
,
I
\
,.'
.
,, ,
,,
,:r
I
\ ./- mBJ
,,
,,,
I '
,
Bild 6.15
Drei-Lagen-Synthese für ein Drehgelenkgetriebe AoABB o als Übertragungsgetriebe
Die Konstruktion des Punkts A in der Lage 1 erfolgt analog zu derjenigen im Abschnitt
zuvor, Bild 6.16.
.- - - f\
---"--F '\
/B1 \.!ll
Bild 6.16
Drei-Lagen-Synthese für ein Schubkurbelgetriebe AoABB ö als Übertragungs getriebe
6.3 Übungsaufgaben
161
6.3 Übungsaufgaben
Aufgabe 6.1:
Es soll eine Maschine zum Verschließen von Dosen entwickelt werden. Dazu müssen
die Dosen linear um 100 mm angehoben werden. Da die Dosen mit einer Flüssigkeit
befüllt sind, soll der Aufwärtshub möglichst stoßfrei erfolgen, der Abwärtshub darf
wesentlich schneller sein, weil die Dosen dann bereits verschlossen sind.
Es sind folgende Aufgaben zu lösen:
a) Welcher Getriebetyp sollte gewählt werden? Sollte ein übertragungs- oder beschleunigungsgünstigstes Getriebe entworfen werden?
b) Ermitteln Sie die Getriebeabmessungen nach Richtlinie VDI 2130, wenn der Abwärtshub 2,6 mal schneller erfolgen darf als der Aufwärtshub.
c) Wie viele Dosen können pro Minute geschlossen werden, wenn die maximal zulässige
Beschleunigung der offenen Dosen 1 g =9,81 mJs 2 beträgt?
Aufgabe 6.2:
Ein Scheibenwischer wird gewöhnlich durch einen mit konstanter Drehzahl laufenden
Elektromotor angetrieben. Durch ein Getriebe soll die rotatorische Bewegung in eine
schwingende Bewegung umgesetzt werden. Dieses Getriebe soll die folgenden Eigenschaften aufweisen:
•
Antrieb durch einen Elektromotor geringstrnöglicher Größe und mit konstanter
Drehzahl.
•
Rückhub erfolgt doppelt so schnell wie der Wischhub.
•
Der Wischer soll einen Winkelbereich von 80' überstreichen.
Der Entwurf soll nach Richtlinie VDI 2130 vorgenommen werden. Dazu sind folgende
Teilaufgaben zu lösen:
a) Welcher Getriebetyp ist geeignet?
b) Ist das Getriebe übertragungs- oder beschleunigungsgünstigst auszulegen?
c) Der Gestellabstand soll aus konstruktiven Gründen 200 mm betragen. Ermitteln Sie die
restlichen Abmessungen!
d) Fertigen Sie eine Skizze des Getriebes in den Totlagen an!
6 Grundlagen der Synthese ebener viergliedriger Gelenkgetriebe
162
Aufgabe 6.3:
Mit Hilfe eines versetzten Schubkurbelgetriebes AoABB ö soll eine Koppelstrecke
CD durch zwei vorgeschriebene Lagen CID I und C2D2 geführt werden. Zur Ermittlung
der Getriebeabmessungen werden gruppenweise weitere kinematische Größen vorgegeben, die jeweils in einer Wertigkeitsbilanz auf Vollständigkeit bzw. Überbestimmtheit
zu untersuchen sind. Diejenigen Getriebe sind in der Lage 1 zu konstruieren, deren Abmessungen sich aufgrund der gemachten Angaben eindeutig bestimmen lassen.
Gegebene x-y-Koordinaten (in mm):
CI (35/75); C 2 (0/0); D I (85/75); D2 (32/38)
Al
C
Y
c2
I
Cl
DI
D2
V
X
Alternative weitere Größen:
a) AI (20/75); B2 (85/24);
b) AI (20/75); B2 (85/24); Ao auf der Geraden durch AI und A2
c) Ao in der Mitte zwischen CI und C 2 ; Schubrichtung parallel zu CID}. e = 0 mm;
Kurbellänge AoA minimal
d) A o
=CI;
AI (20/75); B2 (85/24); e = 10 mm
e) B2 (85/24); Schubrichtung parallel zu CID}. e =0 mm; Ao in der Mitte zwischen CI
undC 2
7 Räumliche Getriebe
Die Beschäftigung mit räumlichen Getrieben erfordert ein beträchtliches Maß an Abstraktionsvermögen, denn wer kann sich schon Bewegungen von Getriebegliedern um
und längs windschiefer Achsen vorstellen. Während die Analyse räumlicher Getriebe
schon recht weit fortgeschritten ist, steht die Synthese räumlicher Getriebe - mit Ausnahme der Kurvengetriebe - noch in den Anfängen. Vom Standpunkt des Ingenieurs
lohnt sich die Beschäftigung mit räumlichen Getrieben allemal: Sie sind in der Regel
kompakter und benötigen deshalb weniger Bauraum als ebene Getriebe.
Wir lernen in diesem Kapitel die Grundbewegungen eines räumlichen Getriebes kennen,
erfahren etwas über momentane Schraubachsen als dem Pendant der Momentanpole und
über die Erweiterung der NEWTON-RAPHSON-Iterationsmethode auf räumliche Getriebe. Den Abschluß bilden Kinematik-Transformationsmatrizen, die sich bei Industrierobotern - den bekanntesten Anwendungen räumlicher Getriebe mit sehr einfach
aufgebauten Gelenken - bereits durchgesetzt haben.
Räumliche Getriebe (Raumgetriebe ) sind u.a. dadurch gekennzeichnet, daß sie sehr oft
Drehachsen haben, die sich kreuzen, vgl. Abschnitt 2.1.3. Zwei sich kreuzende Achsen
(Geraden) haben i.a. einen sich zeitlich ändernden Kreuzungsabstand (Lot) d = d(t)
und einen sich zeitlich ändernden Kreuzungswinkel A= A( t) , Bild 7.1.
Punkte von Gliedern räumlicher Getriebe beschreiben i.a. Raumkurven, d.h. Kurven
mit doppelter Krümmung.
Räumlichen Getrieben ist eine Raumkinematik zugeordnet, d.h. für die kinematische
Analyse solcher Getriebe haben sich spezielle mathematische Verfahren der Vektor- und
Matrizenrechnung bewährt, die mit Rechnerunterstützung durchgeführt werden. Am
anschaulichsten dabei ist die Vektorrechnung, die sowohl geschlossen-analytische als
auch nur iterativ zu erlangende Lösungen liefert.
H. Kerle et al., Einführung in die Getriebelehre
© B. G. Teubner Stuttgart 1998
164
7 Räumliche Getriebe
Bild 7.1
Zwei im Raum liegende sich kreuzende
(windschiefe) Geraden g, und g2
7.1 Der räumliche Geschwindigkeitszustand eines
starren Körpers
Drei Punkte (p, G, H) eines starren Körpers, die nicht alle auf einer geraden Linie
liegen, bestimmen dessen Lage (und Kinematik) im Raum, Bild 7.2 [7.1].
Bild 7.2
x
y
Starrer Körper im Raum
165
7.1 Der räumliche Geschwindigkeitszustand eines starren Körpers
rF' ra
und
(ra - rF)2 = konst.
und
Die drei Ortsvektoren
rH
müssen die Starrheitsbedingungen erfüllen, d.h.
(rH - rF)2 = konst.
Analog zu Abschnitt 3.1.2.1 läßt sich daraus nach einmaliger zeitlicher Ableitung ein
räumlicher Winkelgeschwindigkeitsvektor Cl) herleiten, so daß mit F als Bezugspunkt,
Translationspunkt oder Aufpunkt gilt:
VF und
V0 = VF+ 00 x raF' rOF = ra - rF,
(7.1a)
vH= VF +ooxrHF ' rHF =rH -rF·
(7.1b)
00 bilden zusammen die sog. Kinemate des starren Körpers bezüglich F. Der
00 bestimmt sich folgender-
vom Punkt Funabhängige Winkelgeschwindigkeitsvektor
maßen aus GI. (7.1a):
va -VF = 00 x (ra -rF);
Linksmultiplikation mit
vH -
VF ergibt
(VH -VF)X(Va -VF)::::(VH -vF)xoox(ra -rF)=
=(VH -vF)(ra -rF)oo-(vH -vF)oo(rO -rF)'
Der letzte Term verschwindet, weil nach GI. (7.1b) der Differenzvektor
senkrecht steht; somit verbleibt
VH - VF
auf
_ (VH-VF)X(Va-v F)
(v H -vF)(ro -rF)
(7.2)
Cl) :::: ~:':""'--':"":"""'+-=---::-:-
Multipliziert man GI. (7.1a) oder GI. (7.1b) skalar mit
Summand, daraus folgt:
Satz 1:
00 und
00
vF . 00 =V0 . 00 :::: VH . 00
00, verschwindet stets der zweite
sind zwei von drei Invarianten des
räumlichen Geschwindigkeitsfeldes eines starren Körpers.
Für alle parallel zueinander verschobenen
Punkte auf einer
Satz 2:
00 -Achsen gilt dann immer noch VF' 00 :::: 0;
00 -Achse hätten auf jeden Fall noch die Geschwindigkeit
vF ' d.h.
Bei der allgemeinen räumlichen Bewegung eines starren Körpers gibt es La.
keinen momentan ruhenden Punkt, also auch keine einfache Drehachse.
166
Satz 3:
7 Räumliche Getriebe
Die allgemeine räumliche Bewegung eines starren Körpers setzt sich aus
aufeinanderfolgenden Elementarschraubungen zusammen, die jeweils
parallel zu Öl ausgerichtet sind.
Jeder Punkt der momentanen Schraubachse (MSA) hat die Geschwindigkeit
v CI) = p Öl, dabei ist p die momentane Steigung der Elementarschraubung, Bild 7.3
(s. auch Richtlinie VDI 2723).
Bild 7.3
F-Kinemate und momentane
Schraubachse (MSA)
Bei gegebener F-Kinemate gilt für einen beliebigen Punkt S der MSA
Vs == vCI) = PÖl = v F +Ölxp
(7.3)
Die vorstehende Gleichung wird zunächst skalar mit Öl multipliziert, wobei der Term
Öl' (Öl x p) verschwindet; übrig bleibt eine Gleichung für p:
Öl' YF
P=--2-'
ro
Satz 4:
(7.4)
YCI) = p Öl ist die dritte Invariante des räumlichen Geschwindigkeitsfeldes
eines starren Körpers.
Wegen Öl'YF =Öl'YG =Öl'vH = ... hängt die dritte Invariante nicht vom gewählten
Translationspunkt F ab.
167
7.2 Der relative Geschwindigkeitszustand dreier starrer Körper
Um den Vektor Pn zu ermitteln, der senkrecht auf der MSA und & steht, schreibt man
in einem zweiten Schritt in GI. (7.3) P =Pn + u& (u: beliebige reelle Zahl) und bildet
das Kreuzprodukt durch Linksmultiplikation mit &:
&x p& =&x
0= & X
vp +&x&xPn, d.h.
vp + (&Pn)& -
0)2 Pn .
Hier verschwindet der vorletzte Term, so daß sich
(7.5)
ergibt.
Die gemeinsame Normale Pn des Winkelgeschwindigkeitsvektors & in F und der MSA
steht also auch senkrecht zu
vp .
7.2 Der relative Geschwindigkeitszustand dreier
starrer Körper
Zu drei relativ zueinander beweglichen Körpern (Getriebegliedern) 1, 2, 3 (allgemein
i, j, k) gehören drei MSA k 12 , k 13 und k23 mit den jeweiligen Invarianten &21' &31 und
&32 sowie
v0)21' V0)31
und
v0)32. Alle drei MSA besitzen eine gemeinsame Normale
n123' so daß z.B. die Lage der MSA k 13 sowie die zugeordneten Invarianten &31 und
v0)31
aus den gegebenen Größen für k 12 und k23 eindeutig zu ermitteln sind, Bild 7.4.
7 Räumliche Getriebe
168
z
Bild 7.4
Momentane Schraubachsen bei der Relativbewegung dreier
Körper 1, 2, 3
Die folgenden Bestimmungsgleichungen sind ohne Beweis angegeben [7.2]:
(7.6)
V ro13
=
[v ro21
0)21
+ V ro32 0)32 + (v ro21 0)32 + V ro32 0)21 )coSA 23 + 0)21 0)32 d 23 sin 1.,23 ]
(7.7)
1&311
(7.8)
~ =arccos [ 0) 21 + 0)1_32 COS
I., 23 )
I
.
1\,13
(7.9)
0)31
Lehrbeispiel Nr. 7.1: Räumliches Schubkurbelgetriebe
AufgabensteIlung:
Das in Bild 7.5 skizzierte viergliedrige Schubkurbelgetriebe ABCD besitzt in A ein
Drehschubgelenk (f = 2), in Bein Drehgelenk (f = 1), in C ein Kugelgelenk (f = 3) und
7.2 Der relative Geschwindigkeitszustand dreier starrer Körper
169
in D wiederum ein Drehschubgelenk (f = 2). Abgesehen von fid
Getriebe den Freiheitsgrad F = 1.
= 1 des Glieds 4 hat das
x
Bild 7.5
z
Räumliches Schubkurbelgetriebe
Für die skizzierte Lage des Getriebes, bei der der Einheitsvektor ii senkrecht auf der
Flächendiagonalen BH die relative Drehachse von Glied 3 gegenüber Glied 2 und die
Koppel BC die Raumdiagonale eines Würfels der Kantenlänge a darstellen, sollen die
MSA mit den zugeordneten Winkelgeschwindigkeiten sowie die Geschwindigkeit des
Punktes C bzw. D auf Glied 4 ermittelt werden. Außer den Abmessungen ist die Geschwindigkeit v des Punktes B in negativer y-Richtung gegeben.
Lösung:
Es ist
Die MSA k 12 ist mit AB, d.h. mit der y-Achse gegeben, der Einheitsvektor ii gibt zugleich die MSA k23 an, die Flächendiagonale BH stellt die gemeinsame Normale dieser
beiden MSA dar, folglich muß k\3 mit 0)13 auch senkrecht auf BH stehen.
7 Räumliche Getriebe
170
Die Starrheitsbedingung für die Koppel 3 liefert
Nach dem Additionsgesetz für die drei Winkelgeschwindigkeiten gilt
<0 31 = <0 32 + <0 21 , d.h.
Ferner ist
V
c = VB +<0 31 XfCB
=
VB
+<0 31 xii, d.h.
Dies ist ein lineares Gleichungssystem für
0)21
und
0)32 ;
folglich wird
und auch
Die Lage der MSA k\3 ist z.B. über
31
-n
Pn
-- PC\3
-_ <0
X
2
0)31
Vc -- 2a [ °1
3
1
-1
genau zu bestimmen, P~\3 ist der Lotvektor von C auf k\3; der Steigungsparameter dazu
beträgt momentan
P13 =
<0 31 Vc
2
0)31
=
2a
3
171
7.3 Vektorielle Iterationsmethode
7.3 Vektorielle Iterationsmethode
Die im Abschnitt 4.1 für ebene Getriebe vorgestellte analytisch-vektorielle Methode läßt
sich problemlos auf räumliche Getriebe übertragen [7.3].
Die Geschlossenheits- und weitere Zwangsbedingungen werden sinngemäß mit Kugelkoordinaten formuliert, Bild 7.6:
Bild 7.6
x
Kugelkoordinaten eines Getriebegliedvektors fj
cosa . . COS ß.]
fj = rj ej = rj [ cosa:. sin
ß:
(7.10)
sin aj
Als Beispiel soll die federgeführte Vorderradaufhängung eines Pkw betrachtet werden,
Bild 7.7a. Das zugrundeliegende Getriebe ist mit einem Drehgelenk 15, einem Schubgelenk 12, einem Drehschubgelenk 46 und vier Kugelgelenken ausgestattet, Bild 7.7b.
Aus der Anzahl g = 7 der Gelenke, der Anzahl n = 6 der Glieder läßt sich entsprechend
GI. (4.4) die Anzahl der aufzustellenden unabhängigen Polygonzüge (Schleifengleichungen oder Geschlossenheitsbedingungen) ermitteln:
p=g-(n-l)=2.
Höhere Elementenpaare wären in der vorstehenden Gleichung nicht so einfach zu berücksichtigen, kommen bei räumlichen Getrieben allerdings auch nur selten vor.
Die Anwendung der Freiheitsgradgleichung (2.11) liefert
7 Räumliche Getriebe
172
g
F=6{n-l)-6g+
I/i
i=\
= 6{6-1)-6·7 +2 · 1+ 1·2+4 · 3
zunächst F =4 und nach Abzug der beiden identischen Freiheitsgrade der Glieder 3
und 6 F = 2: Der Antrieb des Getriebes erfolgt durch die beiden Zug-lDruckfedern in
den Gelenken 12 und 46.
Mit Hilfe der Vektoren fi wird das vektorielle Ersatzsystem aufgebaut; da hier auch
sehr oft noch systembedingte feste Vektorzuordnungen zu berücksichtigen sind, kann
die Numerierung der Vektoren von den Gliednummern abweichen, Bild 7.7c.
a)
b)
M
I Y
E
G
c)
__-+-=-~M
Bild 7.7
Beispiel einer Pkw-Vorderradaufhängung als räumliches Führungsgetriebe mit F = 2
Darüber hinaus ist es vorteilhaft, das vektorielle Ersatzsystem zu wählen, bevor das
räumliche x-y-z-Koordinatensystem festgelegt wird, weil man so die Zahl der variablen
Bewegungsgrößen nachträglich verringern kann.
173
7.3 Vektorielle Iterations methode
Als Bezugspunkt für die Lenkbewegung des Gleitsteins 2 gegenüber dem Gestell 1 (z.B.
mit Hilfe einer Zahnstange) wurde der Punkt M auf 1 willkürlich gewählt. Die Vektoren
f7, f8 und flO legen den Gestellrahmen fest, mit f8 ist zudem die Lage der Drehachse 15 fixiert.
Die heiden Geschlossenheitsbedingungen für die 10 Vektoren lauten:
I/i =Ö,d.h.
(7.11a)
p,i
p = 1:
f\ + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 = Ö,
p = 2:
f\ + f2 + f3 + f9 + flO
(7.llb)
=Ö.
(7.llc)
Dies führt über GI. (7.10) auf 3p =6 skalare trigonometrische Gleichungen in der Form
(7. 12a)
p,i
p,i
p,i
p,i
(7.12b)
(7.12c)
p,i
p,i
In der Tabelle 7.1 sind alle Kugelkoordinaten ri' (Xi und ßi zusammengestellt worden,
konstante Koordinaten (stellungsunabhängige Baugrößen) sind mit c, variable
(stellungsabhängige) Bewegungsgrößen und damit auch alle unbekannten Koordinaten
mit v gekennzeichnet.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r'\
v
c
c
c
c
c
c
c
v
C
<Xi
c
v
v
v
v
v
c
c
v
c
ßi
c
v
v
v
v
v
c
c
v
c
Tab. 7.1
Übersicht über alle Koordinaten des vektoriellen Ersatzsystems für die Vorderradaufhängung in Bild 7.7
7 Räumliche Getriebe
174
Den 14 v-Größen stehen zunächst einmal nur die 6 Gleichungen (7.11b) und (7.11c)
gegenüber. Weitere Zwangsbedingungen lassen sich aus dauernd einzuhaltenden Vektorzuordnungen zwischen den Einheitsvektoren ci ableiten. Mit Hilfe solcher Vektorzuordnungen werden meistens die durch die Art der Gelenke auferlegten Zwangsbedingungen berücksichtigt (relative Lage der Gelenkachsen). Im wesentlichen betrifft dies
das Skalarprodukt
(7.13)
zweier oder das Vektorprodukt
(7.14)
Ci x Ck = Cj sinA ik
dreier Vektoren, Bild 7.8 (Kreuzungswinkel 4).
Bild 7.8
Vektorzuordnungen
Da beide Bedingungen bezüglich des Winkels Aik zweideutig sind, kann die gemeinsame
Verwendung, die diese Zweideutigkeit ausschließt, vorteilhaft sein.
Hinweis:
Falls einer von zwei Einheitsvektoren eine konstante Richtung besitzt oder
falls zwei Einheitsvektoren ci und Ck demselben Getriebeglied zugeordnet sind, reicht i.a. das Skalarprodukt.
Jedes Skalarprodukt in der Form
COSUi COSßi cosu k COSßk +cosu i sinßi cosu k sinßk +
+ sinu i sinu k - COSA ik == CC i .CC k +CS i .CS k +
+SA i ·SA k -COSAik =0
liefert eine, jedes Vektorprodukt in der Form
(7.15)
175
7.3 Vektorielle Iterations methode
cos<X.j sinßj sin<X.k - sin<x'j COS<x'k sinßk -cos<x'j cosßj sinA.jk ==
==CS j ·SA k -CS k ·SA j -CCjSinA.jk =0,
sin<X.j cos<x'k COSßk -cos<X.j cosßj sin<X.k -cos<X.j sinßj SinA.jk ==
==CC K ·SA j -CC j ·SA k -CSjSinA.jk =0,
cos<X.j COS ßj cos<x'k sin ßk - cos<X. j sin ßj cos<x'k COSßk - sin<X. j SinA.jk == CC j . CS k - CS j . CCk - SA j SinA.jk
=
°
(7. 16a)
(7.16b)
(7.16c)
liefert drei Zwangsbedingungen. Im Fall unseres Beispiels stehen die Vektoren [6 und
[8 einerseits und die Vektoren [3' [4 und [5 andererseits stets senkrecht zueinander;
außerdem sind [4 und [9 entgegengesetzt gerichtet:
(7.17a)
(7.17b)
(7.17c)
In der Tab. 7.1 sind neben den Baugrößen C noch die Antriebsfunktionen (Federwege) rl
und r9 vorzugeben; die übrigen 12 v-Werte werden endgültig im Vektor
(7.18)
der Unbekannten zusammengefaßt. Andererseits bilden die Kugelkoordinaten rj, <X.j
und ßj der GIn. (7. llb), (7.11c), (7.17a) bis (7.17c) die Komponenten <l>j (j
= 1, ... ,12)
des Vektors <i> der Zwangsbedingungen in der Form der GIn. (7.12a) bis (7.12c) (für
p = 2 !), (7.15), (7.16a) bis (7.16c) und (7.17c).
Daraus läßt sich analog zum Abschnitt 4.1.2 eine Iterationsrechnung
mit der JACOBI-Matrix J =
a<i>(Ci)/aCi
aufbauen.
Dieselbe JACOBI-Matrix dient als Koeffizientenmatrix zum Aufbau zweier linearer
Gleichungssysteme
(7.19)
auf der Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsstufe für die unbekannten Geschwindigkeiten <L und unbekannten Beschleunigungen qj .
7 Räumliche Getriebe
176
7.4 Koordinatentransformationen
Bisher wurden hauptsächlich Getriebe aus geschlossenen kinematischen Ketten betrachtet. Bei der kinematischen Beschreibung von Getrieben aus offenen kinematischen
Ketten werden oft Koordinatentransformationen benutzt. Diese erlauben, gleiche Vektoren in gegeneinander verschobenen und gedrehten Koordinatensystemen darzustellen.
Während diese Aufgabe bei ebenen Problemen durch "Hinsehen" erledigt werden kann,
benötigt man bei räumlichen Getrieben (beispielsweise Industrieroboter) Transformationsmatrizen.
Komplexe Transformationen, die eine Drehung um mehrere Achsen darstellen, werden
aus Elementardrehungen um eine Achse durch Multiplikation zusammengesetzt. Im
folgenden werden zuerst die Elementardrehungen beschrieben.
7.4.1 Elementardrehungen
Gesucht ist eine Transformation, mit der ein Vektor in einem um die z-Achse gedrehten
Koordinatensystem dargestellt werden kann.
j~y
j~e - i~e
z-
Bild 7.9
Drehung um die z-Achse
z
7.4 Koordinatentransformationen
177
Das Koordinatensystem i wird gebildet aus den Einheitsvektoren
(7.20)
Das Koordinatensystem j ist um den Winkel <p um i e z gedreht, so daß i e z=i ez gilt. Für
die Basisvektoren i e x und i e y läßt sich dann schreiben
(7.21)
Betrachtet man nun den Vektor f p , so lauten seine Koordinaten im Koordinatensystem i
(7.22)
Die Koordinaten sind nichts anderes als die Projektionen des Vektors auf die Einheitsvektoren, die das Koordinatensystem aufspannen (Man gehe i r px Schritte in Richtung
i
e x ' i rpy Schritte in Richtung i e y , usw.).
Durch Projektion lassen sich auch die Koordinaten des Vektors f p im Koordinatensystem j errechnen. Die Projektion erhält man durch Bildung des Skalarprodukts. Für die
i rpx -Koordinate gilt daher
(7.23)
Die i rpy - und i rpz -Koordinaten erhält man analog durch Projektion auf die i ey - und
i ez -Achse:
(7.24)
7 Räumliche Getriebe
178
ir
pz
__ i -e
°0] . [irpx]
i
i
i ::: = r pz ·
=[1
iz· r p
(7.25)
Wie zu erwarten ist, bleibt die z-Koordinate unverändert. Die drei Skalarprodukte lassen
sich auch durch Multiplikation einer Matrix, deren Zeilenvektoren gleich den Einheitsvektoren des gedrehten Koordinatensystems sind, mit dem Vektor i Cp darstellen:
l
i
=-
r px coscp + .rpy sm cp
1
i·
1
(7.26)
r px sm cp + rpy coscp
•
1
i
r pz
Diese Transformationsmatrix nennt man die Drehmatrix für die Drehung (Rotation) um
die z-Achse. Offensichtlich ist es die Transformationsmatrix, mit der ein Vektor vom
Koordinatensystem i auf das Koordinatensystem j transformiert wird:
i-rp
= iR i ( Z, cp ) . i-rp
(7.27)
Die Transformationsmatrix, die umgekehrt einen Vektor vom Koordinatensystem j ins
Koordinatensystem i transformiert, muß die Inverse von iR i sein, wie man durch Multiplikation mit der Inversen iRil leicht zeigt (E = Einheitsmatrix):
iR-I.
i i-rp -- iR-i1· iR i· i-rp -- E . i-rp ,
i
R j . j-rp
(7.28)
= i-rp .
(7.29)
Da die Matrix jR i orthogonal ist, ist die Inverse gerade die Transponierte, die sich
durch Zeilen- und Spaltentausch ergibt:
jR:-1 1 = jR T1
[
co,~
(7.30)
sin cp
jR i = - s~ncp coscp
0
0]~ ~
[CO'~
jRil = Si~CP
- sin cp
coscp
°
~]:;Rj
(7.31 )
179
7.4 Koordinatentransformationen
Die Transformationsmatrizen für Drehungen des Koordinatensystems um die anderen
Achsen erhält man analog zum Vorgehen bei der Drehung um die z-Achse (vgl.
Bild 7.10, 7.11).
-
s~n<P)
cos<p
i"'""'ey- i"'""'ey
i~
Bild 7.10
Drehung um die y-Achse
o
cos<p
- sin<p
ie;
Bild 7.11
Drehung um die x-Achse
7 Räumliche Getriebe
180
7.4.2 Verschiebungen
Ist das Koordinatensystem j gegenüber dem Koordinatensystem i verschoben, muß nur
der Verschiebungsvektor i rij' der vom Ursprung des Koordinatensystems i zum Ursprung des Koordinatensystemsj zeigt, hinzuaddiert werden, Bild 7.12:
i-
rp
=. i-rij + j-rp
(7.32)
p
i~
je;
jo~~__~__________-+
.~
I
rp
iO~------------------'
i~
Bild 7.12
Verschiebung eines Koordinatensystems
7.4.3 Kombination mehrerer Drehungen
Natürlich können Transformationen miteinander kombiniert werden. Man betrachte als
Beispiel die offene kinematische Kette in Bild 7.13 als vereinfachtes Strukturmodell
eines Industrieroboters. Zwei gelenkig verbundene Getriebeglieder der Länge L sind
jeweils um die Winkel q>1 und C{>2 gegenüber dem vorhergehenden Glied verdreht. Gesucht ist der Ortsvektor °rp im ortsfesten Koordinatensystem O.
181
7.4 Koordinatentransformationen
Bild 7.13
Kombination mehrerer Drehungen
°fp
besteht aus zwei Teilvektoren
If12
und
2 f 2P '
deren Koordinaten in den jeweiligen
körperfesten Koordinatensystemen leicht angegeben werden können:
(7.33)
Um sie addieren zu können, müssen sie erst in eine gemeinsame Basis überführt werden, in diesem Fall das Koordinatensystem O.
Zuerst wird der Vektor
2 f2P
in die Basis 1 transformiert, d.h.
(7.34)
dann durch eine weitere Transformation in die Basis 0:
7 Räumliche Getriebe
182
- sin <PI
COS<PI
o
(7.35)
Der Vektor I ih wird ebenfalls in die Basis 0 transformiert:
- sin <PI
COS<PI
o
0] [L]
~
. ~ =[LCOS<PI]
LSi~<PI .
(7.36)
(7.37)
Allgemein läßt sich schreiben:
°fp = °RI(z,<PI)' Ifl2 + °RI(z,<pd· IR 2 (z,<P2)' 2f2P '
(7.38)
Koordinatentransformationen werden also durch Multiplikation verknüpft; so lassen sich
komplexe Drehungen, auch um verschiedene Achsen, darstellen.
Lehrbeispiel Nr. 7.2: Kinematische Analyse des viergliedrigen Drehgelenkgetriebes
in Matrizenschreibweise [7.4]
AufgabensteIlung:
Für das vorgelegte ebene Problem werden analog zu Bild 7.13 zunächst geeignete Bezeichnungen entsprechend Bild 7.14 gewählt.
183
7.4 Koordinatentransformationen
c
B
°0
= A° =10
0ex
°x
=X
Bild 7.14
Bezeichnungen am viergliedrigen Drehgelenkgetriebe mit Einheitsvektoren in den verschiedenen Basen
= AoA, 12 = AB, 13 = BoB, 14 = AoB o und die
gegebenen Koordinaten Xc, Yc des Koppelpunkts C im gliedfesten 2 ex _2 ey - Koordi-
Für die gegebenen Abmessungen 1,
natensystem sind bei bekannten Antriebsgrößen cp, cj> ==
0),
Ci>
== a die Gleichungen für
CP2, CP3, Xc, Yc und die zugeordneten zeitlichen Ableitungen für Geschwindigkeit und
Beschleunigung ansatzweise anzugeben.
Lösung:
Um die Einfachheit zu wahren, wird nur eine Drehmatrix angegeben, die für alle bewegten Glieder gegenüber dem Gestell (Glied 0) gültig ist:
o
R·=
I
[cosCPj
.
smcpj
-sincp.]
I
,i = 1,2,3.
coscpj
(7.39)
Für den Punkt B lassen sich dann zwei Gleichungen in der Form der GI. (7.38) aufstellen, nämlich
7 Räumliche Getriebe
184
(7.40)
Die Vektoren °r12 und °r13 weisen vom Ursprung 10 zu den jeweiligen Ursprüngen
2 0 und 3 0 . Auch sie lassen sich mit Hilfe einer Drehmatrix darstellen; gleichzeitig kann
man beide Vektorgleichungen für den Punkt B zur Geschlossenheitsbedingung zusammenfassen (E = Einheitsmatrix):
(7.41)
Diese Gleichung stellt den Vektor <D der Zwangsbedingungen dar, entsprechend GI.
(4.5).
Für den Koppelpunkt C ergibt sich analog
[~~] = °r12+o R 2 '[~:l
(7.42)
Bei der Bildung der zeitlichen Ableitungen 1. und 2. Ordnung für die GIn. (7.41) und
(7.42) verschwinden diejenigen für die gliedfesten Koordinaten, da die einzelnen Glieder starre Körper sind, es ist also z.B. dl/dt = dxcfdt = dycfdt = O. Für die Ableitungen
der Drehmatrizen °R j entsprechend GI. (7.39) gilt
(7.43)
und
(7.44)
185
7.4 Koordinatentransformationen
7.4.4 Homogene Koordinaten
Die eingeführten Transformationen unterscheiden zwischen Drehungen und Verschiebungen. Eine Verschiebung wird durch Addition eines Verschiebungsvektors dargestellt,
d.h.
(7.45)
während eine Drehung des Koordinatensystems durch Multiplikation mit einer Drehmatrix ausgeführt wird:
(7.46)
°r
°R\
die OrienDer Verschiebungsvektor Ol zeigt also die Lage und die Drehmatrix
tierung des Koordinatensystem 1 gegenüber dem Koordinatensystem 0 an, Bild 7.15.
p
Bild 7.15
Zwei Basen 0 und 1
Beide Transformationen können mit sog. homogenen Koordinaten in einer besonderen
Transformationsmatrix zusammengefaßt werden.
7 Räumliche Getriebe
186
Es handelt sich dabei um eine 4x4-Matrix mit folgendem Aufbau:
(7.47)
Die Matrix °T1 enthält sowohl die Drehmatrix °RI und den Verschiebungsvektor
0;01'
jeweils bezogen auf das Koordinatensystem O. Die ersten drei Elemente der 4. Zeile sind
Nullen, das 4. Element dieser Zeile enthält den sog. Maßstabsfaktor t 44 , der üblicherweise auf den Wert ,,1" gesetzt wird.
Wird der Maßstabsfaktor ungleich ,,1" gewählt, so besteht zwischen den kartesischen
Koordinaten x, y, z des Ursprungs vom Koordinatensystem 1 und den Elementen des
Vektors
0;01
folgender Zusammenhang:
o
rolx
x=--,
t 44
Satz:
or
01y
y=--,
t 44
o
rOlz
z=--.
t 44
(7.48)
Werden mehrere Transformationen hintereinander ausgeführt, so errechnet
sich die Gesamttransformation durch Multiplikation der EinzelTransformationsmatrizen. Auch hier muß die Reihenfolge der Drehungen
beachtet werden.
Der Vorteil der homogenen Koordinaten besteht in der einheitlichen Darstellung der
Drehung und Verschiebung, was sehr "programmierfreundlich" ist. Dafür müssen jeweils einige Koordinaten gespeichert werden, die stets null sind; dies erhöht den Speicherbedarf.
7.4.5 HARTENBERG-DENAVIT-Formalismus
tion)
(HD-Nota-
Der HD-Formalismus legt eine spezielle Abfolge von Transformationen fest, die besonders für Getriebe auf der Grundlage offener kinematischer Ketten und mit Gelenken
vom Freiheitsgrad f = 1 geeignet ist. Bei Industrierobotern ist er weit verbreitet. Der
Formalismus nutzt aus, daß die Bewegungsachsen (Gelenkachsen) immer eine gemeinsame Normale haben [7.5].
187
7.4 Koordinatentransformationen
Bei der Festlegung der gliedfesten Koordinatensysteme gelten folgende Konventionen:
•
Die j e z -Achse liegt in der Bewegungsachse j.
•
Die je x -Achse liegt in Richtung der gemeinsamen Normalen Dj der Bewegungsachsen von Gelenk i und j.
•
Die je y -Achse wird so gelegt, daß jex
'
je y
,
jez ein Rechtssystem bilden.
Im allgemeinen Fall sind beim Übergang vom Koordinatensystem i zum Koordinatensystemj folgende Teiltransformationen durchzuführen, Bild 7.16:
•
Rotation um die i e z -Achse mit dem Winkel Öij' so daß j e x schließlich parallel ist
zur Normalen Dj ,
•
Verschiebung um d ij in Richtung der i ez -Achse (sind die Bewegungsachsen i und
j parallel, wird das Koordinatensystemj so gelegt, daß d ij = 0 ist).
•
Verschiebung um lij in Richtung der (gedrehten) jex -Achse.
•
Rotation um die (gedrehte) je x -Achse mit dem Winkel
Aij , so daß je z in Rich-
tung der Drehachse j zu liegen kommt.
~\ und djj sind der Winkel und Abstand zwischen den Normalen Dj und Dj' wäh-
rend
Aij und lij der (Kreuzungs-)Winkel und (Kreuzungs-)Abstand der Bewegungs-
achsen i und j sind.
j\.
,J
/
,
i
i
dj
r-----------~------------.
Bild 7.16
Winkel und Strecken bei der HD-Notation
7 Räumliche Getriebe
188
Der Verschiebungsvektor i f ij vom Ursprung i 0 der Basis i zum Ursprung j0 der Basis
j, bezogen auf das Koordinatensystem i, ist nach einer Drehung um die i e z -Achse mit
oif
- sin Oij
(7.49)
COS Oij
o
Die Dreh- oder Orientierungsmatrix lautet nach zwei Drehungen um die je x -Achse mit
"'j und um die i e z -Achse mit Oij:
[ co,15;j
i Rj = sinoij
0
l
=
co,15;j
sinoij
0
- sinoij
COS Oij
0
nl~
- COSA ij sinoij
COSOij COSA ij
sin Aij
0
COSA ij
sin Aij
-'i~A+
j
COSA ij
,inA;j ,in15;j
- COSOij sin Aij
(7.50)
cos Aij
Somit ergibt sich als Transformationsmatrix von der Basis j zur Basis i in der HDNotation:
r
co,15;j
.
sino
IT. =
I)
)
0
0
- COS Aij sin 0ij
COSOij COSA ij
sin Aij
sin Aij sin 0 ij
- COSOij sin Aij
COSA ij
0
0
l;j co,15;j
lij sinoij
d ij
1
1
(7.51)
In Bild 7.16 ist der Winkel Öij variabel (z.B. mit einem Antrieb versehen). Der Winkel
"'ij und die Längen d ij und lij sind dagegen konstant. In der Robotertechnik nennt man
die konstanten Größen Maschinenparameter.
Ist ein Winkel Öij variabel, hat man es mit einem Drehgelenk zu tun. Bei einer variablen
Länge dij handelt es sich um ein Schubgelenk.
Lehrbeispiel Nr. 7.3: Vertikalknickarmroboter
Der Industrieroboter in Bild 7.17 ist ein Vertikalknickarrnroboter mit dem Freiheitsgrad
F = 6, der ausschließlich Drehgelenke besitzt.
189
7.4 Koordinatentransformationen
Die ersten drei Achsen ab Grundgestell sind für die Positionierung, die anderen drei für
die Orientierung des Endeffektors (meist ein Greifer) vorgesehen.
o
}
1
Bild 7.17
Industrieroboter "RX90" (Werkbild: Stäubli Unimation Deutschland, Bayreuth)
Im folgenden werden nur die drei Positionierungsachsen 0, 1, 2 des Roboters betrachtet.
Die kinematische Struktur mit den notwendigen Koordinatensystemen für den HDFormalismus zeigt Bild 7.18.
7 Räumliche Getriebe
190
Drehachse 2 , - _
"'01
= 270
0
Drehachse 1 _.-- .-.-.-
dol
Drehachse 0
Bild 7.18
Kinematisches Schema des Lehrbeispiels "Industrieroboter RX90"
Das Koordinatensystem 0 muß um den Winkel 001 verdreht werden, um die °x-Achse
mit der Normalen Öl auszurichten. Danach dreht man mit dem festen Winkel
AOI = 270 0 um die lx-Achse. Für die Drehtransformation gilt daher
[ oosB"
°R I = sin~ol
°
- sin 01
COSOOI
0
[ oosB"
=
sin~ol
0
0
-1
nr~
-'inBOI]
cosOO Ol
.
o
cos 2700
sin 2700
-
0]
sin 2700 =
cos 2700
(7.52)
191
7.4 Koordinatentransformationen
Der Verschiebungsvektor °rOl ist
COSÖOl
[
°rOI = sinö oI
°
- sin ÖOI
COSÖ OI
°
0][0]° =[0]° ,
0·
1 d Ol
(7.53)
d OI
so daß die Gesamttransformation
o
°
°
-1
°
° °
COSÖOI
[ sinö oI
TI =
lautet.
- sinö oI
COSÖ OI
(7.54)
°
°
Da die Achsen 2 und 3 parallel sind, ist bei I R 2 kein Maschinenparameter A. zu berück·
sichtigen. Für I R 2 gilt daher
(7.55)
Der Verschiebungsvektor von Basis 1 zu Basis 2 ist
I r12
COSÖ 12
[
= Sin~\2
- sinö 12
COS;\2
0] [112]
~. ~
[112 COSÖI 2]
= 1\2 s:Ö\2 .
(7.56)
Die Transformationsmatrix I T2 lautet daher
I
T2
COSÖI2
_ [ sinÖ 12
-
°
°
-sinö\2
COSÖ\2
° 112COSÖ12]
° 112 sinö I2
° 1
° °
d\2 =0
.
1
Analog gelangt man zur Transformationsmatrix 2T3:
(7.57)
7 Räumliche Getriebe
192
- sin <>23
COS<>23
(7.58)
o
o
Die Multiplikation der drei Matrizen ergibt die Gesamttransformationsmatrix °T3 :
(7.59)
In der Robotertechnik sind nun zwei Fragen interessant:
1) Zu einem gegebenen Satz Antriebskoordinaten (im Beispiel 801> <>12, ~3) ist die zugehörige Position und Orientierung des Endeffektors (genauer: des Koordinatensystems 3) gesucht. Dies nennt man das Direkte Kinematische Problem (DKP),
das durch Einsetzen der Winkel
801> <>12, ~3 in die Matrix °T3 gelöst wird.
2) Zu einer gegebenen Position und Orientierung des Endeffektors ist der zugehörige
Satz Antriebskoordinaten gesucht. Dies wird als Inverses Kinematisches Problem
(IKP) bezeichnet und ist oft schwieriger lösbar als das DKP. Jede Robotersteuerung
muß das IKP in Echtzeit lösen, um den Roboter eine programmierte Bahn verfahren
zu lassen. Dazu müssen die Komponenten der Matrix T3 nach den Antriebskoordi-
°
naten aufgelöst werden, was nur für wenige Roboterstrukturen analytisch möglich ist.
Ist die analytische Lösung nicht möglich, bieten sich numerische Lösungsverfahren
an, wie das in Abschnitt 4.1 beschriebene NEWTON-RAPHSON-Verfahren.
Anhang
Lösungen zu den Übungsaufgaben
Der erläuternde Text zu den Lösungen ist mit Ausnahme der Aufgabe 6.3 bewußt knapp
gehalten, da in den Lehrbeispielen die entsprechenden Lösungswege bereits ausführlich
dargestellt wurden.
Folgende Abkürzungen werden verwendet:
Gerade durch die Punkte Ao und A
Abstand zwischen den Punkten A o und A (Strecke)
~
AoA
Vektor vom Punkt Ao zum Punkt A (Betrag: AoA)
A~B
Vektor, gerichtet vom Punkt A zum Punkt B
vA 1.. AoA
Der Vektor
ä~ IIA oA
Der Vektor ä~ ist parallel zur Geraden AoA .
WL (Fan)
Wirkungslinie des Vektors Fan
vA
steht senkrecht auf der Geraden AoA .
Vektor Fan im Zeichnungsmaßstab
Anhang
194
Lösungen zu Kapitel 2
Aufgabe 2.1:
Si = Schubbewegung in Richtung i
z
D i = Drehbewegung um Achse i
z
~---At--.x
SxSyDxDyDz
f= 5
z
z
SyDy f= 2
z
Schrauben f = 1
195
Lösungen zu Kapitel 2
Aufgabe 2.2:
a)
EP
12
23
31
L
b= 6, n = 3
Ui
5
4
3
12
F=6(3-1)-12=O
EP: Elementenpaar (Gelenk)
b)
EP
12
23
34
41
L
b =6, n =4
Ui
5
4
3
5
17
F= 6(4-1)-17 = 1
EP
12
23
34
41
L
b = 6, n = 4, f id = 1
Ui
5
3
3
5
16
F = 6(4-1)-16-1 = 1
c)
(fid
= 1, Glied 3 kann gedreht werden, ohne gesamtes Getriebe zu bewegen.)
Aufgabe 2.3:
EP
12
23
34
41
L
b = 6, n = 4, s = 1
Ui
5
5
4
4
18
F = 6(4-1)-18 + 1 = I
(s =1, Glieder 2 und 4 müssen parallel sein.)
Aufgabe 2.4:
EP
12
23
34
41
L
b =6, n =4
Ui
5
5
2
5
17
F =6(4-1) - 17 = 1
Aufgabe 2.5:
EP
12
23
31
L
b =6, n =3
Ui
5
1
5
11
F =6(3-1) - 11
=1
Anhang
196
Aufgabe 2.6:
a)
45
5
b)
EP
12
13
24
15
34
45
I.
Ui
2
2
1
2
2
1
10
NEP
NEP
HEP
NEP
NEP
HEP
NEP: Niederes Elementenpaar - Flächenberührung
HEP: Höheres Elementenpaar - Linien- oder Punktberührung
c)
F = 3(5-1)-10 = 12-10 =2
d)
ohne Dreifachgelenk
Kinematische Kette mit
Dreifachgelenk
197
Lösungen zu Kapitel 2
e)
Kurvengelenk kann ersetzt werden durch ein binäres Glied mit Drehgelenken, die in
den momentanen Krümmungsmittelpunkten der sich berührenden Kurvenglieder liegen.
1
ohne Dreifachgelenk
mit Dreifachgelenk
Aufgabe 2.7:
a), b)
2
A«J
3
4
1
~,Bo:
Drehgelenke 12, 14
A "', B"':
Schleifengelenke 23,34
Geradenbewegung -+ Drehachse
im Unendlichen, senkrecht zur
Geraden
Anhang
198
c)
1
3
1
Gestaltliche Umkehrung'" Glied
3 wird zum Hohlelement.
d)
Kinematische Umkehrung: Gleiten in 3 statt in 2, 4
2
1
1
4
4
1
3 wird Doppel-Schiebehülse;
3 wird Doppel-Schieber;
2,4 werden Stangen
2, 4 werden Schiebehülsen
199
Lösungen zu Kapitel 2
Aufgabe 2.8:
a)
b)
1
6 Glieder (STEPHENSONsche Kette)
c)
EP
Uj
Kette:
12
23
34
14
35
56
61
L
FG =b (n-I) - L Uj
2
2
2
2
2
2
2
14
F G = 3 (6-1) - 14 = 1 (Getriebe)
L
Uj
FK =b · n-
= 7·2 = 14
LU
j
=3 · 6-14=4
(weil kein Gestell vorhanden!)
Ohne Gestell besitzt die kinematische Kette von vornherein drei Freiheiten in der Ebene - wie eine starre Scheibe.
200
Anhang
d)
WATIsche Kette
4
4
1
1
mit 1 Doppelgelenk
mit 2 Doppelgelenken
201
Lösungen zu Kapitel 3
Lösungen zu Kapitel 3
Aufgabe 3.1:
a)
P13l
,,",,
,, ,
v-Plan
Lageplan
VA beliebig wählen !
vA.l AoA, vBA.l AB
vB.l BoB
=:}
Vektorzug im v-Plan schließen
Pol P 13 als Schnittpunkt von I VA' I VB
Anhang
202
b)
äußere Totlage
.
=>124
=
VA /
AOA
VB /
BoB
=00
=> Getriebe in "Kniehebelstellung"
Pl3 = B
Aufgabe 3.2:
Fall I:
!K2
3
4
Kl
5
203
Lösungen zu Kapitel 3
FaIln:
3
4
2
_._-_. --_..__.._-_._-------- -------_.__
.--=~-
15'
Anhang
204
Aufgabe 3.3:
a)
Iv AI=<021"A oA,
vAl-AoA
VB = VA +V~A
VB 11 Schubrichtung
vBAl-AB
r VB l-
Schubrichtung
c)
a~
= 0 (geradlinige Bewegung)
äk
11
Schubrichtung
2
n
VBA
aBA
= -=-,
AB
ä~A
11
AB, B~A
Lösungen zu Kapitel 3
Lageplan
Gewählter Längenmaßstab: M z = 1 ~:z
1
v-Plan
Gewählter Geschwindigkeitsmaßstab: Mv = 1 ~~:
a-Plan
(Beschleunigungsmaßstab: M a = M ~ IM z)
205
Anhang
206
Aufgabe 3.4:
c
1
1
a)
VA31
=
VA21 + VA32
VA21 ist gegeben,
VA41
=
vA32 = 6 (Drehgelenk)
VA31 + VA43
VA41 .lBoA,
vA43
11
Schleifenrichtung
BoB_
_
YB41 = = o Y A41
BoA
VB61
11
Schubrichtung
mit
vB54 =6
(Drehgelenk)
207
Lösungen zu Kapitel 3
VB65 11 Schubrichtung
b)
M =M v 2 =1 Crn/ s 2
a
Mz
cm z
IaA21 1_- (v A21)2 ,
-n
AoA
a~21 = 00 21 . AoA = 0
ä A31
=ä A21
n
a A41 =
(00 21 = 0)
(Drehgelenk)
(v A41)
2
BoA
ä ~43 = Ö (geradlinige Bewegung)
ä~43 11 Schleifenrichtung
c
ä A43
= 2· (031
xv A43
ä~43 .1
ä B51
.
mlt (031
==VA31
AoA
00 31 ,.1 VA43 (rechtwinkliges Dreibein)
=ä B41
(Drehgelenk)
ä~61 = Ö (geradlinige Bewegung)
Anhang
208
äk61
11
Schubrichtung
ä~65 = Ö (geradlinige Bewegung)
äk65
11
Schubrichtung
Lösungen zu Kapitel 4
Aufgabe 4.1:
a)
Variable gemäß Zeichnung, Startwerte in Variablendatei
b)
2 Unbekannte (W2, W3) ::::} 1 Schleife
c)
Dateien und Programm zur Berechnung des Getriebes mit MGA (Schleifengleichungen:
s. Gleichungsdatei)
'Steuerungsdatei - aufg1.str
'Variablendatei - aufg 1. var
• Antriebsgroesse:
'Variablendeklaration mit Startwerten:
'WI laeuft von 0 bis 360 Grad mit omega2 = 1 radis
WI = 0 0 0
DO WI(0,360,1,0,0)
W2=4500
209
Lösungen zu Kapitel 4
*Fortsetzung Steuerungsdatei
*Fortsetzung Variablendatei
* Aufruf des Iterationsmoduls mit Antriebskoordinate WI
W3 =9000
IGA(WI)
*Laengen:
n = 50
*AoA
12 = 100
* BoB
\3
= 100
14= 100
*a
15 = 10
*b
*Gleichungsdatei - aufgl.glg
*Schleife AoABBoAo
fl = n *cos(WI) + 12*cos(W2) - \3*cos(W3) -14
f2 = n*sin(Wl) + 12*sin(W2) -13*sin(W3) + 15
d)
'1'0 =145,40 -77,40 =68 0
rad
'I'. max =W3'=-102
,
S
Aufgabe 4.2:
a)
1) Variable gemäß Zeichnung und Variablendatei
P5
~4
PI
sI
*AB
Anhang
210
2) Für Antrieb an Kurbel ergibt sich folgendes Programm (Modulaufrufe s. Steuerungsdatei):
*Steuerungsdatei - aufg2.str
*Variablendatei - aufg2. var
*Teilaufgabe a.) - Antrieb an Glied 2
*Punktvariablen:
*Defintion des Antriebs:
PI = 0 0 0 0 0 0
*Ao
*Wl laeuft von 0 bis 90 Grad mit omega = 2 radis
P2
*A
DO Wl(0,90,2,0,0)
P3
*B
dt
=0.01
*Bezugspunkt fuer DAN
*Antriebskurbel AoA
P4 = 500 0 0 0 0 0
DAN(ll,Pl,P4,Wl,P2)
PS
*Abtriebsschieber B
*Winkel:
DDS(l2,0,+ I ,P2,Pl ,P4,P3)
WI
DAN(13,P2,P3,W2,P5)
*Koppelpunkt C
*C
W2= 18000
*oder
*Längen
*FGP(W2,L3,P2,P2,P3,P5)
* Koppelpunkt C
11 = 100
*AoA
12 = 100
*AB
13 = 100
*AC
3)
XC=XP5=0
Xc = XP5 = 0
YP5 max
= Y. cma, = 400
mm
s
Es liegt eine exakte Geradführung vor, da Xc = 0 und Xc = O!
b)
1) siehe Variablendatei
2) Modulaufrufreihenfolge: s. Steuerungsdatei
*Steuerungsdatei - aufg2.str
*Variablendatei - aufg2. var
*Teilaufgabe b.) - Antrieb am Schieber
*Punktvariablen:
*Definition des Antriebs:
PI = 0 00000
*Ao
*S I laeuft von I bis 199 mm mit Antriebsbeschl. 50
P2
*A
211
Lösungen zu Kapitel 4
*Fortsetzung Variablendatei
*Fortsetzung Steuerungsdatei
*mm/s2
und Bremsbeschl. 50
mm/s 2
*B
P3
DO SI(1,199,500,50,-50)
*Bezugspunkt fuer SAN
*Zeitschritt
P4 = 500 0 0 0 0 0
dt=O.OI
PS
*Antriebsschieber B
*Winkel:
SAN(0,PI,P4,SI,P3)
WI =000
*Zweischlag AoAB
W2 = 18000
*DDD(ll ,12,+ I ,PI,P3,P2)
*Schubwege:
*Koppelpunkt C
SI
*DAN(l3,P2,P3,WI,P5)
*Längen:
*C
II = 100
*AoA
12= 100
*AB
13 = 100
*AC
3)
· C max -- y' P5 max
Y
= -91,4
mrn (bei SI = 187,8mm)
.. C max -- y" P5 max
Y
= 497,5
m2m (bei SI = 199 mm)
S
S
Aufgabe 4.3:
a) Zentrische Kurbelschleife
b)
P2
P4
Anhang
212
Programm zur Ermittlung der Koppelkurve (Variablen gemäß Zeichnung und Variablendatei, Modulaufrufreihenfolge gemäß Steuerungsdatei)
*Steuerungsdatei - aufg3.str
*Variablendatei - aufg3.var
*Definition des Antriebs:
*Punktvariablen:
*Wllaeuft von 0 bis 360 Grad mit omega=1 radis
PI =000000
*Ao
DO Wl(0,360,1,0,ü)
P2
*A
*Modulaufrufe
P3 = 38.6378 000 0 0
*B
*Antriebskurbel AoA
*Bezugspunkt fuer Antriebswinkel
DAN(Il,Pl,P4,Wl,P2)
P4 = 500 0 0 0 0 0
*SchieberB
P5
FGP(W2,12,P2,P2,P3,P5)
*Winkel:
*C
*Antriebswinkel
Wl
*Hilfswinkel fuer FGP-Modul
W2=000
*Längen:
AUFG3.PRJ
90 .000
P,~ '\'"
*AoA
12 = 161.9516
*AC
13 = 38.6378
*AoB
P4x,P4y
Ausgangsgrößen:
80.000
70.000
60.000
11 = 23.3341
': -., ':" - ':'" ':'" -':'" ":"-
._._~-~--~-.--~_._-"-
'-r'-,- .,_....-':-!
,.-"-:-._--:-'---~'---
----f----t-·--~-·_- I----~-----:
----:-----f---- ----!
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----~
50.000
,.,+.,-(-.,+.,
~"'+"-':""':-'
40.000
...... -~_ ... -~_ .... -~_.-
~_.- -~---
30.000
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I
20.000
10.000
0.000
I
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I
I
I
I
I
I
·90.000
100.000 120.000
140.000
160.000 180.000
I
I
I
I
• ___
~
I
._--~
I
P4 X
200.000
213
Lösungen zu Kapitel 4
h=40mm
Geradführung im Bereich
800 < Wl < 280 0
c)
Programmänderungen:
*Steuerungsdatei - aufg3.str
*Variablendatei - aufg3.var
*Definition des Antriebs:
*Punktvariablen:
*WIlaeuft von 0 bis 360 Grad mit omega=1 radis
PI =000000
DO WI(0,360,1,0,0)
n
*A
*Modulaufrufe:
P3 = 38.6378 00000
*B
*Antriebskurbel AoA
*Bezugspunkt fuer Antriebswinkel
DAN(Il,Pl,P4,Wl,P2)
P4 = 500 0 0 0 0 0
*SchieberB
P5
FGP(W2,12,P2,P2,P3,P5)
*WinkeJ:
*Schubweg SI
Wl
RPO(P2,P5,P3,S 1,W3)
*Hilfswinkel fuer FGP-Modul
*Ao
*C
W2=000
*Hilfswinkel fuer RPO (nur Teil c.)
W3
*Schubwege:
SI
*Längen:
Ausgabegrößen:
SI' , SI"
SI < 23 mmls
-15 mm/s 2 < SI < 59 mmls2
-23 mm/s<
Aufgabe 4.4:
a)
Modulmethode, da Koppelkurve gewünscht
11 = 23.3341
*AoA
12 = 161.9516
*AC
Anhang
214
W3
~P9
Programm:
*Steuerungsdatei - aufg4a.str
*Variablendatei - aufg4a.var
*Antriebskurbel
PI = 0 0 0 0 0 0
*Ao
DAN(ll,Pl,P4,Wl,P2)
P2
*A
*Zweischlag A-B-Bo
P3
*B
DDD(l2,13,+ 1,P2,P4,P3)
P4 = 64 0 0 0 0 0
*Bo
*Koppelpunkt C
PS
*C
FGP(W2,14,P3,P2,P3,PS)
P6 = 264 0 0 90 0 0
*E
*PunktF
P7
*F
DSD(lS,IO,+ I,P6,PS,P7)
*D in Tel. Koordinaten
*Punkt F in Tel. Koordinaten
P8
RKA(P6,P7,PS,P8)
*Bezugspunkt fuer RPO
*Abtriebswinkel phi6
P9 = 500 0 0 90 0 0
RPO(P6,P9,P7,Sl,W3)
*Antriebswinkel phi 2
WI
*Dummy-Winkel fuer FGP
W2=000
*Abtriebswinkel phi 6
W3=000
*Dummy-Schubweg fuer RPO
SI
11 = 49.5
*AoA
12=71
*AB
215
Lösungen zu Kapitel 4
*Fortsetzung Variablendatei
13 = 71
*BoB
14=71
*BC
15 =400
*EF
b)
Iterationsmethode, da Antrieb nicht an Gestell und keine Koppelkurve gefragt
Programm:
*Steuerungsdatei - aufg4b.str
*Variablendatei - aufg4b.var
*Schieber ist Antrieb
WI=4500
*phi2
DO SI(100,200,20,0,0)
W2= 1500
*phi3
*Aufruf Iterationsmodul
W3 = 8000
*phi4
IGA(sl)
W4= 19000
*phi6
SI=IOO00
*Schubweg
11 = 49.5
*AoA
12=71
*AB
13=71
*BoB
14 = 71
*BC
15 =64
*AoBo
16 = 200
*b
17=90
*c
18= 10
*v
19 = 142
*AC
*Gleichungsdatei - aufg4b.glg
*Schleife Ao-A-B-Bo-Ao
fI = 11 *cos(wl)+12*cos(w2)-13*cos(w3)-15
f2 = 11 *sin(wl)+12*sin(w2)-13*sin(w3)
*Schleife Ao-B-C-D-E-Ao
f3 = 11 *cos(w1)+19*cos(w2)+18*cos(w2+90)-s1 *cos(w4)-16-15
f4 = 11 *sin(w 1)+19*sin(w2)+18*sin(w2+90)-sl *sin(w4)-I7
216
200.000
Anhang
AUFG4B.PRJ
Wl
----r----r----r----T----T----T---"
,,
,,
,
,
.
.
---+----+----
100.000
0.000
100.000
120.000
_._-,_._-,_._-~
140.000 160.000
,,
,
_._-~_._-~_._-~
180.000
200.000
Lösungen zu KapitelS
Aufgabe 5.1:
Fp =p·A=10 6 Pa·lOcm 2 = 106-;.O,OOlm 2 =lOOON
m
(F )=~=
p
MF
lOOON
= 3cm
333,33 ~
z
cm z
Gelenkkraftverfahren: Gleichgewicht am Glied 4:
0 14 +0 34 +1\ =0
0 14 J.. Schubrichtung (Lagerkraft)
Fp 11 Schubrichtung
217
Lösungen zu Kapitel 5
Gleichgewicht am Glied 3:
0 43 =0 32
(masseloser Stab)
Gleichgewicht am Glied 2:
0 32 +0\2 + Fan
0\2 11 AoA
=
Ö
(als Stabkraft)
Gewählt: Fan 1. AoA (Antriebskraft)
=2,2 cmz
Abgelesen: (Fan)
~
Fan = M F . (Fan) = 733N
Man = 733N ·lOcm = 7330Ncm
A
WL(Fan ) X)( "" ""I
"" ""
12
I
-
Kräfteplan
I -r'r.-~
WL(CJ 32)/
1
Lageplan
Aufgabe 5.2:
la)
Gleichgewicht am Glied 3:
Fab +0 43 +0 23 + Fan = Ö
4 Kräfte an einem Glied
Fab + 0 43 + R=Ö
~
CULMANN-Verfahren
(I)
Anhang
218
(2)
=> F ab , G43' R und Fan' G23' bzw. T, ~ CULMANN-Gerade
R
haben jeweils einen gemeinsamen Schnittpunkt S
=> 2 Gleichgewichtsbedingungen: (1), (2)
Abgelesen: Fan =F ab =5000 N
CULMANN/
R
/ Gerade
-R
1
Lageplan
Ib)
Fab
Lageplan
Kräfteplan
219
Lösungen zu Kapitel 5
r vA
beliebig wählen:
Eintragen der JOUKOWSKY-Hebelarme:
Fan·hC+Fan·hA =Fab·h ab
c)
*Steuerungsdatei - aufg2c.str
*Variablendatei - aufg2c.var
*Festlegung Antrieb
*Punkte
DO Wl (45,44,-1,0,0)
PI
=0 0 0 00 0 0
*Ao
*Antriebskurbel - Errechnet A
P2
*A
DAN (LI,Pl,P5,Wl,P2)
P3
*B
*Errechnet B
P4
*C
DDS (LI,0,+I,P2,Pl,P5,P3)
*Hilfspunkt für DAN
*Errechnet C
P5
DDD (LI,LI,+I,P3,Pl,P4)
*Winkel
=0 0 010000
*Antriebswinkwinkel
Wl
*Strecken
*Schubweg des Punktes B
SI
*Längen
*Länge beliebig wählen
LI =2
Ausgabedatei
Zeit
P2X'
P3 Y'
P4X'
Wl
0.0000
1.4142
2.8284
-1.4142
45.0000
0.1000
1.5483
2.5319
-1.5483
39.2704
Anhang
220
2)
d
d
Man=F ·-=F ·tana·u 2
an
2
= 5000N ·O,005m· tan15°= 6,7 Nm
Aufgabe 5.3:
Es reicht, die rechte Greiferhälfte zu betrachten.
la)
fffvB = vA + vBA
11
BA
f vc über den Satz von MEHMKE:
f-
VD
=
f-
Vc
~oBC -Ll f Obc
+ f-Voc
11
DC
f va über den Satz von MEHMKE:
LlDoDG _Ll f Odg
r
Kräfte und JOUKOWSKY-Hebelarme eintragen lt. v-Plan
1
-·FA ·h a =Fa ·h g
2
Fa
1 ha
1 4cm z
~-=_._=_.
FA
2 hg
2
5,8cm z
=0,35
221
Lösungen zu Kapitel 5
Ib)
Gleichgewicht am Glied 6:
FG +0. 16 +0. 56 = Ö
0. 16
11 DoD,
0. 56 11 CD, da gemeinsamer Schnittpunkt in D
Gleichgewicht am Glied 4:
0. 34 + 0. 14 + 0. 54 = Ö (gemeinsamer Schnittpunkt
0. 54 = -0. 56
S4 )
(masseloser Stab)
Gleichgewicht am Glied 2:
0. 32 +0. 12 + FA
0. 32
=
-0. 34
= Ö (gemeinsamer Schnittpunkt A)
(masseloserStab);
0. 12
1. Schubrichtung
2)
Abgelesen:
(FA) = 2,8 cm z
N
FA =2·2,8 cm z ·50-=280N
cm z
F
A
= FG = 100 N =285 7 N
0,35
0,35
'
(Gelenkkraftverfahren)
(JOUKOWSKY - Hebel)
Abweichung ist durch Zeichenungenauigkeiten bedingt.
222
Anhang
~ -=
Fa
C'
Greifobjekt
- - \- - - - ~ -,
Fa 'G
c
223
Lösungen zu Kapitel 5
Aufgabe 5.4:
1
19
Lageplan
,
y
b
-+
R
rv-Plan
Anhang
224
a)
f VA beliebig wählen (in Lösungsblatt vorgegeben)
fv B= f-vA + f-VBA
mit f VB 1t BoB; f VBA 11 BA; f VA 11 AoA
fffVC= VB + VCB
v
v
mit f C 11 BoC (Schubrichtung); f CB 11 BC
Kräfte und JOUKOWSKY-Hebelarme eintragen und ablesen:
Fan' h
an
Man =
=F ab . hab
---
Fan' AoA
cm
= 3,55 kN ·1,2 cm z ·8,4--- = 35,784 kNcm
cm z
b)
Gleichgewicht am Glied 6:
Fab +FG +0 16 +0 56
=Ö
Fab ' FG bekannt
0 56 11 BC, 0 16 .lBOC (Schubrichtung)
Angriffspunkt der Kraft 0 16 mit CULMANN-Verfahren:
Fab + FG = R =-0 16 - 0 56 (WL(R) durch S)
WL(016) geht durch den Schnittpunkt T von Rund 0 56
Gleichgewicht am Glied 4:
0 14 +0 34 +0 54 = Ö
0 14 11 BoB; 0 34 11 AB; 0 54 =-0 56 (masseloserStab)
=5,76 kN
G 16 = 3,97 kN
Abgelesen: G 14
225
Lösungen zu Kapitel 5
c)
Kantenkräfte sind die Lagerkräfte, die am linken und rechten Rand des Kolbens wirken.
Es gilt:
Bekannt:
Ol6 ,Or6 .l Schubrichtung, Angriffspunkte linker bzw. rechter Kolbenrand
WL(016) aus Teil b)
Anwendung des Kraft- und Seileckverfahrens:
Wahl eines beliebigen "Kraftpols" P sowie zweier Seilkräfte 8 1 und 8 3 im Kräfteplan.
Es soll gelten 8 1 +8 3 +0 16
d.h. 8 1, 8 3 und
°
=Ö,
16 haben gemeinsamen Schnittpunkt auf WL(
°
16 ); im Lageplan
Einführen einer neuen Seilkraft 8 2 , so daß 8 2 und 8 1 mit Ol6 sowie 8 2 und 8 3 mit
Or6 jeweils einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Dann gilt
-
-
-I
-
SI +S2 +G 16 =0 und
8 2 +8 3 +Or6 =Ö,
wenn die Kraftecke im Kräfteplan geschlossen sind. Damit erhält man die Beträge von
-
-I
Gr6 und G 16 .
Abgelesen:
Gr6 = 1,1 cm z . M F = 1,408 kN
Gl 6 =2 cm z ·M F =2,65 kN
Es ist:
Gr6 + Gl 6 =G I6
= 3,968 kN
Anhang
226
Lösungen zu Kapitel 6
Aufgabe 6.1:
a)
Schubkurbel, beschleunigungsgünstigst (Trägheitswirkungen!)
b)
<Po
3600 -<po
= tauf = 2,6
tab
~
9360
<Po = - - = 2600 (für
3,6
CI)
= const.)
SO= 100mm
Auslegung nach VDI 2130 (Bild 6.6)
rA =
So
.
= 32,635mm
4·smy
rA
r B = - - = -50,77 mm
cosy
ß = 95
0
(Aus Bild 6.11 für <Po = 2600 , 'I' 0 = 00 )
r = 2· r A . cost} = 46,153mm
b = 2·rB ·cos(t}-y)-r =55mm
e = (r + b)· cosß = -8,82mm (siehe Skizze, nicht maßstabsgerecht)
227
Lösungen zu Kapitel 6
"
1
,
,,
A
,
"
............
:"..
~
~
/ '» "'\
Cl) / /
/
/
:
c)
" . (J) 2
Es gl'I"
t: Smax = Smax
2
1t
(für
(J)
= konst.)
2
<Po"
und OaH = ( - - ) '--'smaxH
3600
So
'
"
smax,H =
(mit OaH
Cl)
f
=
(für Hingang = Aufwärtshub, GI. (6.1 Oa»)
oaH 2,so . (360
)2 =87,41mm
-0
<Po
=4,5
=
1t
aus Bild 6.11 für <Po
= 260
0
,
\jI 0
=0
0
)
9,81m/ s 2 = 10,59 rad
S
0,08741 m
=~= 1,685~
21t
S
=> ~ 1,7 Dosen pro Sekunde können geschlossen werden ,
Anhang
228
Aufgabe 6.2:
a)
Kurbelschwinge: rotierender Antrieb, schwingender Abtrieb
b)
Übertragungsgünstigst, da kleiner Motor und nur langsame Bewegung
c)
Auslegung nach VDI 2130 (Bild 6.4)
'V 0 = 80" (Wischhub )
<Po
= 2 (Rückgang doppelt so schnell wie Hingang)
3600-<po
<Po = 720° = 2400
3
d
=200 nun
Vorgehen nach VDI 2130:
1
Yo ="2(<Po-'Vo) =80°
rA =
d·sin('Vo /2)
2·siny
65
,27 nun
rA
rB = - - = 375,877 nun
cosy
(Ablesen aus Bild 6.10)
r = 2·rA ·cos1} = 125,483 nun
b = 2·rB ·cos(1}-y) -r = 204,117 nun
e = (r+ b) ·cosß = 237,094 nun
c=~d2 +(r+b)2 -2·d·e = 231,94 nun
229
Lösungen zu Kapitel 6
d)
Skizze des Getriebes (nicht maßstabsgerecht)
Aufgabe 6.3:
Ein versetztes Schubkurbelgetriebe besitzt entsprechend den GIn. (6.12) und (6.13) W eff
= W vorh - W abh = 2 (g + p) -1 = 2 (4 + 2) -1 = 11 Wertigkeiten. Über sechs Wertigkeiten
ist von vornherein durch die Vorgabe der beiden Koppellagen CID I (W = 4) und C2D2
(W = 2) verfügt worden. Die restlichen fünfWertigkeiten (W rest =5) können dann alternativ vergeben werden, vgl. auch Tafel 6.1.
a)
A I:W=2, B2:W=2, d.h. IWj =4 <Wrest =5
Die Aufgabenstellung ist einfach unterbestimmt und ermöglicht
00
1
Lösungen.
b)
AI: W = 2, B2 : W = 2,
W = 1, d.h. I
Ao auf einer durch die Punkte AI und A2 festgelegten Geraden:
Wj = 5 = Wrest
j
Die Aufgabe ist eindeutig lösbar:
Anhang
230
Die beiden Mittelsenkrechten mc zu C 1C 2 und mD zu D 1D 2 schneiden sich im
Drehpol P 12 • Alle Koppelpunkte A, B, C, D drehen sich bei der Bewegung des Getriebes von Lage 1 in Lage 2 um P 12 mit dem Winkel <P12, der z.B. als Winkel LC 1P12 C 2
sofort bestimmbar ist. Mit Hilfe von <P12 bzw. -<P12 sind dann die weiteren Punkte A 2
bzw. BI anzugeben (Schubrichtung parallel zur x-Achse). Die Wahl des Gestelldrehpunktes A; auf der Geraden durch Al und A2 legt die Kurbellänge AoA l und die
Exzentrizität e fest.
c)
Ao: W = 2, Schubrichtung: W = 1, e = 0 mm: W = 1, Kurbellänge: W = 1, d.h.
L W =5
i
= Wrest
Die Aufgabe ist eindeutig lösbar:
Die beiden Mittelsenkrechten mc und mD schneiden sich im Drehpol P 12 , der Drehwinkel <P12 ist wie bei der Teilaufgabe b) sofort anzugeben. Mit der Wahl von Ao in der
Mitte der Strecke C l C 2 und der Schubrichtung durch diesen Punkt (e = 0) parallel zu
231
Lösungen zu Kapitel 6
CID I (parallel zur x-Achse) liegen mit Hilfe des Winkels <\>12 auch die Punkte BI und
B2 fest, da BI und B2 mit P 12 den Winkel <\>12 einschließen müssen. Die minimale Kur-
--
--
beHänge AoA ergibt sich als Lotabstand AOA J = A oA 2 auf die Schenkel P12Cj bzw.
P 12C2 .
Bij
d)
Ao: W
= 2,
AI: W
= 2,
B2: W
= 2, e = 10 mm: W = 1, d .h . L W =7 > Wrest =5
j
Die Aufgabenstellung ist zweifach überbestimmt und damit nicht lösbar.
e)
B2: W = 2, Schubrichtung: W = 1, e = 0 mm: W = 1,
L
Wj
Ao:
W = 2, d.h.
= 6 > W rest = 5
Die AufgabensteHung ist einfach überbestimmt und damit nicht lösbar (e = 0 mm ist
unverträglich) .
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Sachverzeichnis
Absolutbeschleunigung ............................ 79
Differentialgetriebe .................................. 52
Absolutbewegung ..................................... 75
Direktes Kinematisches Problem ........... 192
Absolutgeschwindigkeit ........................... 76
Doppeldrehgelenk .................................... 31
Abtriebsfunktion ...................................... 14
Doppelkurbel ........................................... 36
Abtriebsglied ............................................ 18
Doppelschieber .................................. 42; 73
Antiparallelkurbelgetriebe ........................ 36
Doppelschleife ......................................... 42
Antriebsfunktion ...................................... 14
Doppelschwinge ...................................... 36
Antriebsglied ............................................ 18
Drehachse ................................ 4; 16; 17; 47
Bahnkurve ................................................ 58
Drehgelenk ............................................ 113
Beschleunigungsgrad ............ 139; 147; 151
Drehmatrix ............................. 178; 183; 185
Beschleunigungsmaßstab ......................... 66
Drehpol .................................................. 157
Beschleunigungsplan ............................... 71
endlicher .............................................. 72
Beschleunigungspol .......................... 64; 72
momentaner ......................................... 62
Besch1eunigungsvektor ............................ 57
Drehschieber ............................................ 48
Bewegungsachse .................... .4; 7; 16; 186
Dreigelenkbogen .................................... 121
Bewegungsfunktion .................................. 14
Drei-Lagen-Synthese ............................. 158
Bewegungsgrad ........................................ 21
Dreipolsatz ............................................... 77
Bindung
Dreistandgetriebe ................................... 134
passive .......................................... 26; 27
Elementarbewegung ................................ 62
Coriolisbeschleunigung ..................... 78; 82
Elementardrehung .................................. 176
COULOMBsche Reibung ............. 114; 124
Elementargruppe ...... 98; 118; 119; 121; 122
CULMANN-Verfahren .......... 120; 123; 125
Elementarschraubung ............................ 166
d' ALEMBERTsches Prinzip. 113; 116; 128
Elementenpaar ....................... 19; 25; 50; 52
Decklage................................................. 143
höheres ................................................ 21
Diagramm
kinematisches ....................................... 58
niederes ............................................... 21
Epizykloide .............................................. 73
237
Sachverzeichnis
Ersatzgelenkgetriebe ................................ 46
Geschlossenheitsbedingung .... 86; 171; 173;
Ersatzsystem
184
vektorielles ......................................... 172
Geschwindigkeitsmaßstab ........................ 66
EULER-Forme1 ................................. 55; 60
Geschwindigkeitsplan .............................. 68
Evolventenverzahnung ............................. 74
Geschwindigkeitspol ............................... 61
Exzentrizität .................................... 37; 155
Geschwindigkeitsvektor. .......................... 57
kinematische ........................................ 37
gedrehter ............................................. 61
statische ............................................... 37
GestelL .................................................... 18
Fachwerk ................................................ 118
Gestellage .............................................. 148
Formschluß ............................................. .46
Gestellwechsel ................................... 32; 45
Freiheit
Getriebe
identische ............................................. 27
Freiheitsgrad
beschleunigungsgünstigstes ..... 147; 152;
153; 161
identischer ............................................ 29
durchschlagendes ................................ 36
Führungsbesch1eunigung ......................... 79
übergeschlossenes ............................... 26
Führungsbewegung .................................. 75
übertragungsgünstigstes ............ 147; 150
Führungsgeschwindigkeit. ........................ 76
Getriebeanalyse ......................................... 2
Führungsgetriebe ...... 14; 16; 139; 154; 156;
Getriebedynamik .................................. 2; 11
172
Getriebefreiheitsgrad ............................... 23
Führungsglied .......................................... 18
Getriebefunktion ...................................... 14
Fünfgelenkgetriebe ................................... 24
Getriebekinematik ...................................... 2
Gangpolbahn ............................................ 72
Getriebeorgan .......................................... 18
Gegenlaufphase ..................... 140; 151; 153
Getriebesynthese ........................ 2; 139; 154
Gelenk
Getriebesystematik. .................................... 2
stoffschlüssiges ..................................... .4
G-Getriebe ........................................... 1; 14
Ge1enke1ement.. ................. 18; 19; 113; 114
Gleichgangkupplung ................................ 47
Gelenkfreiheitsgrad .................................. 21
G1eich1aufphase ..................... 140; 151; 152
Gelenkfünfeck .......................................... 24
Gleiten ............................................... 20; 26
Gelenkkette .............................................. 10
Gleitwälzen ........................................ 20; 26
Gelenkkraftverfahren ............. 117; 135; 136
Gliedlage ....................................... 154; 155
Gelenkviereck .......................................... 23
Globoid ...................................................... 4
Geradführung .......................... 43; 107; 108
GRASHOFsche Umlaufbedingung 143; 145
Sachverzeichnis
238
Greifer ....................................................... .4
137
Haftkraft ................................................. 114
Krafteck ................................................. 120
Haftzahl .................................................. 114
Kräfteplan ...................... 117; 119; 120; 125
HARTENBERG-DENAVIT-Formalismus
Kraftschluß .............................................. 46
186
Kreuzgelenk ............................................. 48
Hodografenkurve ...................................... 58
Kreuzschubkurbel.. .......... 42; 124; 140; 142
Homogene Koordinaten ......................... 185
Kreuzungsabstand .................... 17; 163; 187
Hub ............................................... 140; 151
Kreuzungswinkel...4; 17; 49; 163; 187; 174
Industrieroboter ....... 4; 7; 10; 176; 186; 188
Krümmungskreis ..................................... 57
Inverses Kinematisches Prob1em ............ 192
Krümmungsmittelpunkt.. ...... 44; 45; 57; 63;
Iterationsmethode .................... 88; 106; 171
64;101
JACOBI-Matrix .............. 89; 91; 92; 94; 96;
Krümmungsradius ............................ .44; 57
97; 175
Kugelkoordinaten .................................. 171
JOUKOWSKY-Hebel... 116; 132; 136; 137
Kurbelschleife .......................... 79; 140; 142
Kardangelenk ........................................... 48
schwingende .................................. 40; 41
Keilgetriebe .............................................. 28
umlaufende .................................... 40; 41
Kette
Kurbelschwinge ....... 36; 140; 142; 144; 148
kinematische ......................... 4; 5; 18; 30
Kurvengelenk ........................................ 113
offene kinematische .................. 176; 180
Kurvengetriebe .......................... 3; 4; 11; 44
STEPHENSONsche ............................. 32
Kurvenschrittgetriebe ................................ 8
W ATIsche ........................................... 32
Lage
Kinemate ................................................ 165
homologe ........................................... 154
Kniehebelgetriebe .................................... 98
Lagegleichung ............................. 88; 91; 93
Kniehebelpresse ............................ 5; 9; 137
Lagensynthese ....................................... 154
Konchoidenlenker.. ......................... 43; 108
Lageplan ... 68; 80; 117; 119; 120; 125; 133
Koppelglied .............................................. 18
Längenmaßstab ........................................ 66
Koppelkurve .............. 42; 95; 107; 108; 109
Laufgrad .................................................. 23
Kraft
partieller .............................................. 32
äußere ....................................... 111; 116
Leistungssatz ......................... 131; 134; 136
eingeprägte ........................ 111; 119; 128
Malteserkreuzgetriebe .............................. 43
innere ................................................. 111
Massendrehmoment.. ..................... 113; 132
Kraft- und Seileckverfahren. 119; 121; 126;
Massenträgheitsmoment ................ 112; 130
239
Sachverzeichnis
Maßsynthese ...................................... 2; 139
homologe ........................................... 154
Mechanismus ........................................... 30
Rastgetriebe ., ........................................... 44
Mechatronik ............................................... 3
Rastpolbahn ............................................. 72
Mehrachsensystem ................................ 5; 8
Raumgetriebe ......................................... 163
Mehrfachgelenk. ....................................... 31
Reibmoment .......................................... 116
Modulmethode ........ 98; 104; 107; 108; 136
Reibungskraft ........................ 113; 124; 125
Momentanpol.. ... 61; 69; 73; 77; 79; 82; 83;
Reibungskreis ........................................ 115
157
Reibungszahl ................................. 114; 124
Nachlaufrechnung .................................... 95
Relativbeschleunigung ............................. 79
NEWTON-RAPHSON-Verfahren ... 88; 91;
Relativbewegung ..................................... 75
94; 192
Relativgeschwindigkeit.. .......... 76; 114; 125
NEWTONsche Reibung ......................... 114
Relativlage ............................. 154; 158; 159
Normalbeschleunigungsvektor ................. 57
Relativwinkelgeschwindigkeit.. ............. 116
Normalkraft... ................................ 113; 124
Rollen .......................................... 20; 26;28
Nutkurve .................................................... 5
Rollenhebel... ........................................... 46
OLDHAM- Kupplung ............................... 53
Rollenstößel ............................................. 46
Orientierung ................................ 4; 16; 189
Rundtaktautomat.. ...................................... 4
Orientierungs matrix ............................... 188
Satz von BURMESTER .......................... 68
Ortsvektor ....................................... 57; 165
Satz von GRASHOF ................................ 36
Parallelgreifer ............................................ .4
Satz von KENNEDY/ARONHOLD ........ 77
Parallelkurbelgetriebe ....................... 28; 36
Satz von MEHMKE .......................... 68; 72
Parallel roboter .......................................... 10
Schleifengelenk ....................... 40; 155; 156
Phasendiagramm ...................................... 96
Schleifengleichung .................... 87; 93; 171
Plan der gedrehten Geschwindigkeiten .. 69;
Schleifenglied ................................ 108; 109
134
Schraubachse ........................................... 17
Planetengetriebe ....................................... 82
momentane ................................ 166; 168
Polbeschleunigung ................................... 64
Schrauben ................................................ 20
Positionierung ............................. 4; 16; 189
Schrittgetriebe ..................................... 4; II
Prinzip der virtuellen Leistungen ........... 131
Schroten ................................................... 20
Projektionssatz ......................................... 59
Schubgelenk .......................................... 113
Punktlage ...................................... 154; 155
Schubkurbel. ............. 86; 96; 140; 142; 145;
Punktreihenfolge
146; 149
Sachverzeichnis
240
zentrische .................................... 41; 146
partielle ............................................... 96
Schubkurbelgetriebe ....... 3; 5; 37; 135; 162;
Übertragungsgetriebe ...... 13; 139; 154; 157;
168
158; 159
Schubschleife .......................................... .42
Übertragungs glied ................................... 18
Schubschwinge .................................. 40; 41
Übertragungswinkel... ... 139; 142; 144; 147;
Schwingschleife ...................................... .41
148; 149
Seileck .................................................... 120
U-Getriebe ................................................. 1
Starrheitsbedingung ................ 59; 165; 170
Umkehrlage ........................................... 139
Steglage .................................................. 148
Umkehrung
Steigung
momentane ......................................... 166
Stellung
gestaltliche .......................................... 53
kinematische ........................................ 53
Unfreiheit.. ............................................... 21
singuläre .............................................. 97
Verschiebung ......................................... 180
Strecklage ............................................... 143
Versetzung ............................. 145; 155; 159
Strömungsreibung .................................. 114
Viergelenkgetriebe ............................. 23; 35
Synthese durch iterative Analyse ............... 3
Wälzen ............................................... 20; 28
Synthetische Methode ............................ 127
Wellenkupplung .......................... 47; 48; 51
Tachografenkurve ..................................... 58
Wertigkeitsbilanz .. 139; 154; 155; 156; 158;
Tangenteneinheitsvektor .......................... 57
159; 162
Tangentialbeschleunigungsvektor ............ 57
Winkelgeschwindigkeitsvektor ........ 60; 165
Totalschwinge .......................................... 36
Wirkungsgrad ........................................ 124
Totlage .................... 5; 11; 82; 97; 139; 161
Zangengreifer ........................................ 136
Totlagenkonstruktion ............ 139; 144; 145
Zapfenerweiterung ................................... 54
Totlagenwinkel... ................... 141; 142; 151
Zeitmaßstab ............................................. 66
Trägheitskraft ........ 110; 112; 116; 128; 132
Zwanglauf................................................ 23
Transformationsmatrix .......... 178; 185; 188
Zwanglaufgleichung .......................... 25; 47
Translationspunkt. .................................. 165
Zwangsbedingung ............ 86; 171; 174; 184
Typensynthese ................................... 2; 139
Zwei-Lagen-Synthese ............................ 156
Überbestimmtheit ................................... 162
Zweischlag ................ .44; 99; 100; 101; 121
Übersetzungsverhältnis ..... 4; 14; 77; 82; 83
Zwillingskurbelgetriebe ........................... 36
Übertragungsfunktion .............................. 14
Zykloidenverzahnung .............................. 74