t •<.;•.:-
МЫЙМЙМ
-

КОМРАКОВ
Борис Борисович
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры высшей математики
факультета прикладной математики и информатики БГУ.
Сфера научных интересов: геометрия однородных
пространств, алгебры Ли, уравнения Эйнштейна
и Эйнштейна — Максвелла.
Большое внимание уделяет работе со школьниками.
Его ученики неоднократно побеждали на республиканских
и международных математических олимпиадах.

1
к
Ф. № 10
Контрольный листок сроков возврата
Книга должна быть возвращена
не позже указанного здесь срока
Количество предыдущих выдач
МГПТК полиграфии им. В. 3. Хоружей, Зак. 827. Тир. 200 000
МЧ
К
Б. Б. Ком ра ко в
МАТРИЧНЫЙ
А Н А А И 3
КУРС ЛЕКЦИЙ
Фундамен iальная библиотека
0000 6925
МИНСК
БГУ
2006
УДК 512.643(075.8)
ББК 22.143я73
К63
Печатается по решению
Редакционно-издателъского совета
Белорусского государственного университета
Рецензент
доктор физико-математических наук,
профессор И. В. Белъко
Комраков, Б. Б.
К63 Матричный анализ : курс лекций / Б. Б. Комраков. - Мн. : БГУ,
2006. - 102 с.
ISBN 985-485-554-6.
Курс лекций по матричному анализу состоит из шести разделов: псевдо-
обратная матрица, функции от матриц, матричные уравнения, сопряженное
отображение, нормированные пространства, локализация собственных значе-
ний. Приводятся примеры типовых задач с решениями.
Адресуется студентам естественнонаучных специальностей БГУ.
ISBN .985-485-554-6
УДК. 512.643(075.8)
ББК 22.143я73
© Комраков Б. Б., 2006
© БГУ, 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время теория матриц находит широкое применение
в любой области современной математики и во многих приложениях.
Учебное пособие составлено на основе курса лекций по матрично-
му анализу, который автор читал несколько лет студентам специаль-
ности “ Прикладная математика” факультета прикладной математи-
ки и информатики Белорусского государственного университета.
Пособие позволит студентам подготовиться к сдаче экзамена по
матричному анализу и снимет необходимость испол ьзования большо-
го количества дополнительной литературы.
Следует отметить, что кроме теоретического материала пособие
содержит также и большое количество примеров решения типовых
задач и может использоваться для подготовки к практическим заня-
тиям.
Для успешного усвоения материала пособия необходимо знание
линейной алгебры в объеме программы первого курса ФПМИ БГУ.
Пособие может быть полезно также студентам любых, естествен-
нонаучных специальностей, требующих навыков в решении практи-
ческих задач матричного анализа.
При написании пособия были использованы некоторые материа-
лы из книг [1], [2], [3].
1. ПСЕВДООВРАТНАЯ МАТРИЦА
1.1. Скелетное разложение матрицы
Лемма 1. Для любой матрицы A t Рт.п (Лт,п или Rmt„) верно
rank А* А — rank А.
I
rank А А* — rank А,
где А* — Аг.
Доказательство. Напомним, что матрицей Грама системы векторов
{сд..... дД называется следующая матрица:
01,<71)	01,.<7п)
Ас =
(ffn, .91 )  •  \9п', 9п)
причем rank А<д ~ rank G.
Рассмотрим (А1;. .. , АД — систему столбцов матрицы А. Пусть
М — А* А, тогда — А.Т • А; = ДДАД, то есть А* А — матрица
Грама системы векторов (Ац ..., АД, следовательно.
rank А* А = ran.k(Ai,..
АД — rank А = rank А.
Аналогично доказывается второе утверждение.	□
Теорема 1. (0 скелетном разложении матрицы.) Пусть А Е Pmjl)
rank А — г > 0; тогда существуют В £ Fm,r. С G РГ]П, такие, что
А — В  С и rank В = rank С — г.
Доказательство. Выберем произвольные г линейно независимых
столбцов матрицы А и объявим их столбцами матрицы
в - (В1;..., В,.)
Bi,... ,ВГ линейно независимы и образуют базис системы столбцов
матрицы А — (Ai,.... Ап).
4
Тогда
Ai — с1г^1 + ‘ ‘ + ОГ{В,
i = 1, n.
Значит,
Си C12 •  . Cin
• 5	-- (В]
Щг1 &г2    ^тп
Таким образом, мы получили А — В - Су где С — матрица перехода
от базиса (Bi,, Вг) к системе векторов (Ai,.... А„_).
Значит.
rank С — rank(Ap..., Ап) — rank Л = г.
Замечание. Скелетное разложение матрицы определено в общем
случае неоднозначно.
Замечание. Если матрица А £ Рт.п имеет ранг, равный п (или т), то
в качестве матрицы В удобно взять саму матрицу А (матрицу Sm),
а в качестве матрицы С — - матрицу Еп (матрицу А).
1.2.	Определение псевдообратной матрицы
Пусть А £ Рш.ти тогда псевдообратной для матрицы А называ-
ется матрица А+ G Рщт, такая, что будут выполняться следующие
равенства:
АА+А = А, АНАА+ = А+,
(А1 А)* = А+А, (АА+)* - АА+.
Теорема 2. Для любой матрицы А € Рт>п существует псевдообрат-
ная матрица А+.
Доказательство. Рассмотрим произвольное скелетное разложение
матрицы А: А = ВС.
Заметим, что
В*В С rankB*B — гапкВ = ^(согласно лемме 1) => Е(В*В)-1,
С  СЗ Е РГ]Г, rank СС^ — rank С — г => ДСС"Д[.
5
Покажем, что матрица А+ — С*(СС*)“т(В*В)’’‘1 В* является псев-
дообратной матрицей для матрицы А. Для этого проверим условия
псевдообратной матрицы:
АА']'А - ВСС^СС^ДЦВ^В^ВДС = ВС = А,
А+АА+ - С^СС^Д^В^В^В^ВСС^СС^^ВДД^ =
-	= А+,
(А* А)* (С^ССД'^ВДДД'^ВСД -
=	- C*(CC*)~LC -
= СуССД-ЦВ'ВДД'ВС = а+а.
Аналогично (АА+)* — АА+.	□
Следствие. Если столбцы матрицы A Е Рт>п линейно независи-
мы, то А+ ~ (А*А)-1А*; если строки матрицы А Е Рт.п линейно
независимы,, то А+ = A*(AA*)~j.
Доказательство. Пусть столбцы матрицы А линейно независимы,
значит, rank А = п
В = А, С = Еп (см. замечание 2 к теореме 1). А = В • Еп — А • Еп.
Тогда
= ЕДЕДД)^ 1(А*А)-1А* = (А*А)-1А*.
Утверждение про строки доказывается аналогично.
Заметим, что теорема 2 дает нам способ вычисления псевдообрат-
ной матрицы А+ для любой ненулевой матртщы А, но не отвечает на
вопрос о единственности А4" (напомним, что скелетное разложение
матрицы определено неоднозначно).
Теорема 3. Для любой матрицы А Е Рт^п псевдообратнаяматрица
/Н определена, однозначно.
Доказательство. Пусть для некоторой матрицы А существуют две
псевдообратные матрицы: A J" и AJ.
Тогда верны следующие равенства:
AAf А = AAJA - А.
= А^АА^ = АПАА^У = АЦАр*А.
Ai = Ai (At)*A*,
Л.	Zj \ Zi /	'
6
Af = A^AAf = (A-fAyAt = A*(Ap*Af,
д-1- __ Д*( Д-г\* д +
л2 “ к.-'СЗ ) У12 ’
Введем новые матрицы:
Тогда
(ВЛ)*(ВЛ) - А*В*ВА = A*(A*D)*BA = A*D*ABA = 0.
Согласно лемме 1
£ылЦВА)*(ВА) - 0 =Ф- гапк(ВЛ) = 0	В А - 0.
Рассмотрим
В В* - В(СА*) - ВАС* = 0	rank ВБ* - rank В - о => В = 0 =>
л+ - Д+ = 0 =» Aj = А+,
следовательно, псевдообратная матрица определена однозначно. □
Следствие. Если матрица А квадратная и невырожденная, то
псевдообратная матрица, А+ совпадает с обратной матрицей А-1.
Доказательство. Пусть A G Р„:„ и dei, А 0. Тогда
А+ = (A*A)-1A* = А-1(А*)~1Л* = -4“S
причем А1 определена однозначно.	I I
Укажем некоторые свойства псевдообратной матрицы:
1)	(А+)* - (л*)+;
2)	(А+)+ - А;
3)	(А+А)2 = А+А;
4)	(АА1 )2 = АА+.
7
Пример. Найдем исевдообратную матрицу А*" для матрицы
О
Найдем rank Л:
В качестве столбцов матрицы В возьмем первые два. столбца матри-
цы /1:
О
2
Найдем матрицу С. Для этого решим уравнение ВС
(В*ВС1 =
8
Нормальное псевдорешение системы
линейных уравнений
Пусть есть система т линейных уравнений с п неизвестными,
которой соответствует матричное уравнение
АА — В, где А е Рт>п, X ЕРВ (Е
Столбец Y = В — АА называется невязкой столбце! А. Если А — ре-
шение системы, невязка равна нулю, если система несовместна, попы-
таемся найти столбец А, длина невязки которого минимальна. Такой
столбец называется псевдорешением системы АА = В. Псевдореше-
пие минимальной длины называется нормальным псевдорешепием
системы АА' ~ В.
Георема 4. Нормальное псевдорешение системы А А — В всегда
существует, единственно и вычисляется по формуле Х$ = А+В.
Доказательство. Нужно показать, что В — AXq\ < |.В — АА|? VA 6
Вп,ъ тогда Ао — псевдорешение, кроме того, |Aq| < |А|, VX Е Р}1.д,
такого, что \В — ААо| = \В — АА|.
Рассмотрим произвольный столбец А.
В - АХ = В- АА0 А АА0 - АХ -
— В — AAq А А (Ад — А) — Т А 5.
еде
Т = В - АА0} S - А(А - Ао).
Рассмотрим
\В - А Х|2 - (ТА S)* • (Т A S) -
= ГТ + T*S + S*T + S^S = |Т|2 + T*s + S*T + |S|2.
rs = (B- AX0/A{X0 = АА+вуА(Х0 - X) =
9
- ((Bm - AA+)ByA(XQ - X) -
^В\Ет-АА+уА(Х.-Х) =
= В*(Ет - AA+)A(Xq - X) -
= В* (А - АА+А)(Х^ - X) -
= В*(А-А)(Хъ-Х) = 0.
Доказали, что T*S = 0. Но тогда S*T — ((S*TY)* — (T*S)* =
0* = 0. Таким образом, S*T — Т* S = 0.
Получили, что |В —АХр = |Т|24-|5|2 = \В~ АХор + |А(Хо-Х)р-.
Значит, IB — АХщ < В — АХ|, VX G РП;1- Мы показали, что Xq—
псевдорешение системы .АХ = В.
Докажем, что псевдорешение Xq — нормальное.
Пусть X — столбец, такой, что \В -- АХо| — \В — AXL Тогда.
А(Х0  - X) = 0.
Пусть Z = X — Хд-
Тогда
X = Хо Т Z.
Заметим, что AZ = 0.
Тогда
(Xq + Z'} ’ (Xg -Т Z) — ХД¥0 T XqX -]- Z"Xq T Z^Z ~
= |Xo|2 + Xo*Z + Z*Xo
2
X^Z = (A+B)*Z - (A+AA+B):;:Z - (A+B)ДА+А)*В =
- (A+ByA+AZ = 0 (так как AZ 0) => X^Z “ 0.
Аналогично: Z"X0 = (i/X0)7 =
Получили, что (X|2 = |Xop j |Zp |Xo| < |X| -> Xq — нормаль-
ное псевдорешение системы AX = В.	□
Пример. Найдем нормальное псевдорешение системы линейных
уравнений:
{Т1 - 2х2 -I-	— 1
— 2т 1 + 4.Т9 — 2#з = 1
Ж1 - 5;3	1.
10
о
о
система несовместна, rank А = 2.
/ 1 -2 1 \
-2 4 -2 1,
\ 1
Найдем /1!. Для
этого найдем скелетное разложение /1 — В*С:
1 0 i 1 0 -11	Г1010-1
0 2J0 2 -2 ~ 0 10 1-1
I	J
и

2. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ
2.1. Функции от матричного аргумента
Пусть имеется матрица A G Спл и функция f : С -4 С. Требу-
ется определить /(А).
В частном случае, когда /(х) = атхт +	-|----Ьсця-Ьао
многочлен относительно т, /(А) мы находим непосредственной
। годстановкой:
f (А) = схтАт + am-i Ат 1 + • • • + од А + о^оЕп.
Пусть ^(А)— минимальный много член матрицы А.
0(A) - (А - Ax)mi(A - А2Р ... (А - А£)шЦ + т2 +  • • А пц ~ т,
где m = deg Ар..., As — вСе различные собственные значения
матрицы А.
Пусть имеются два многочлена ^(А) и Л (А), такие, что д (А) “
Л (А), тогда
d(A) = р(А) - Л(А)
аннулирующий многочлен матрицы А (так как d(A) = д(А) —
1г(А) — 0) и, значит, делится на VXA) без остатка.
Отсюда следует, что
d(Xk) = 0, <f(Xk) = 0,...,	= о, к = 1Д.
Значит.
J
,9(ЛС = КХк\ fl'(Aft) = h'(Xk),= ^-^(А/Т к = Щ.
Множество, состоящее из т чисел
/(Ла) = {/(Afc),Г(Аа), ... /^-^(АС | к = 1Щ,
будем называть значениями функции / на спектре матрицы А. Если
все они существуют, то будем говорить, что функция / определена
13
на спектре матрицы А. Если функция f не определена на спектре
матрицы А, то не определено и /(А).
Мы показали, что если #(А) — Л(А), то .ДЛд) — Л(Лд). Нетрудно
заметить, что верно и обратное, то есть если (фЛд) = Л-(Лд), то р(А) =

Отсюда следует, что значения многочлена д на спектре матрицы
А однозначно определяют матрицу д(Л\ то есть все многочлены,
значения которых на спектре матрицы А совпадают с р(Ад), будут
иметь матричное значение д(А).
Таким же образом определим и произвольную функцию матрич-
ного аргумента: значения функции /(А) па спектре матрицы А долж-
ны полностью определять /(А), то есть все функции, значения кото-
рых на спектре матрицы А совпадают, должны иметь одно и то же
матричное значение /(А). Но тогда, для того чтобы найти /(А), до-
статочно найти любой многочлен р(А), который на спектре матрицы
Л принимал бы те же значения, что и функция f. Тогда /(А) — .ДА).
Определение 1. Пусть функция f определена па спектре матри-
цы А, тогда /(А) = ДА), где ДА) — любой многочлен, такой, что
/(Ля) = ДАд).
По всегда можно добиться того, что степень многочлена, с помо-
щью которого мы определяем /(А), будет меньше т. Действительно,
р аз делим д (А) на (А);
ДА) = Д(А)ДА) + г (А), где deg г < m
Тогда
ДА) = ?ДА) ДА) + ДА), но Д’(А) = О,
следовательно, ДА) = 'ДА), значит, /(А) = г (А).
Существует ровно один многочлен, такой, что /(Ад) — ДЛд) и
deg г < т, который определяется интерполяционными условиями:
Ш - г(АД /'(Afc) = r'(Afc),...,	= /ТО‘ЩАД к = 1, s.
Этот многочлен называется интерполяционный многочлен Лагран-
жа ~ Сильвестера. Тогда мы можем дать новое определение /(А).
Определение 2. Пусть функция f определена на спектре матри-
цы А, тогда /(А) — г (А), где г (А) — интерполяционный многочлен
Лагранжа - Сильвестра.
14
Пример. Рассмотрим матрицу
О 1 о ... о
О О 1 ... о
п
о о
11есложно проверить, что
О ... О
о
и
о
о
о
о
О
о
о
1 п
пуп •
о ...
о
о
о
О
О ... о
-2
77
... о
)
1
П
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о ... о
о ... о
о ... о
О ... 00
о
//’(А) = Ап — минимальный многочлен матрицы Пп.
Исиользуя ин терполяционные услови я:
г(О) = 7(0), 7(0) = /'(0),... .^(О) = /(
находим многочлен Лагранжа~Сильвестра:
Ф) = /(0) + фА + фАЧ • • • +
11	I IЬ X j 
Тогда
/(Я„) = г(Яп) = /(0)Е„ + ® Я„ +
Д"(0)„2^	, /^(О)	!
+-5Гяп + --- + рдуг^ =
Ыгл гт гт
J W	1!	2!	’ ' '	(п-2)!	(п-1)!
и	J V-0	1!	' • '	(п-3)!	(п-2)!
о	о	О	...	/(0)	ф
о	о	о	... о	/(о)
15
В частном случае, при п — 4:
/№) =
17(0)
о
о
о
/'(о)
/(0)
о
о
1/"(о) Ц"'(0)1
/'(о) |Г(0)
/(о)	/'(о)
о	/(о)
Найдем cos Н\
/(А) — cos А.
/(А) — — sin А,
f/z(A) = — cos А,
/„(А) = sin А,
’1 0 О
тт 0 10
cos Н = г
0 0 1 О
_0 О О 1
Найдем
0 11
О О 1
о о о
Свойства функции от матрицы,
1.	Пусть А1?..., Ап — все собственные значения матрицы А е Спп,
тогда
/(Ai),..., /(Ап) — собственные значения /(А).
Доказательство. Сначала докажем это свойство для многочле-
на. Запишем характеристический многочлен матрицы А:
Д(А) - det(A - ХЕД (А - Ai)... (А - Ап).
Пусть дан многочлен д(дД. Разложим его на неприводимые мно-
' жители над С:
- цД ... (д - ц.Д
Подставим в д матрицу А:
д(А) = а;(Л -	... (Л - щЕп).
16
Для удобства вычислений будем, считать, что многочлены
определены с точностью до знака, то есть <?(//) = — $(д) (на их
корни это не влияет). Тогда
let; <j(A) = a? det (Л - ^Еп),.... det(A - щЕп) = о^Д(Д1)... Д(//;) =
I п	71 I
= Д Д(м» - Aft) = а? Д Д (т - Ай) - 5(А1)^(А2)... s(An).
i=l &=1	к=1 i=l
Мы показали, что
det^(A) = <?(Ai)(/(A2) .. .g(A„).
Заменив в этом равенстве <?(//) на д(ц) — А, получаем, что
det(#(A) - АВП) = 0(Ах) - А)(р(А2) - А)... (р(А„) - А).
Отсюда следует, что если А],..., Ап — собственные значения
/1, то $(Ai),..., #(АП) — собственные значения $(А).
Пусть теперь f — произвольная функция, определенная на
Лд.
Тогда
/(Л)=г(Л), /(А,:) = г(А<). г = 1,п,
где г (А) — многочлен -Лагранжа-* Сильвестра.
Если А[,..., Ап — собственные значения А, то г (Ах),..., r(An)
собственные значения г(А), но r(Ai) = /(АД... .г(Ап) =
/(АД
Следовательно, /(АД.... /(Ап) — собственные значения ма-
трицы /(А).	□
2.	Пусть матрицы А и В подобны, причем В — S~} AS. тогда f(B) —
З^ДАД.
Доказательство. Подобные матрицы имеют одинаковые мини-
мальные многочлены, следовательно, /(Ад) — /(A/у). Значит, су-
ществует г(А), такой, что /(А) ~ ?’(А), /(В) = г(В).
Заметим, что если В — S-1AS, то Bk = 5~] A/cS. Отсюда
следует, что для любого многочлена д: д(В) — З^дД^З. Значит,
г (В) = 3~Д{А)3, следовательно, /(В) ~ В~1/(-А)В.	□
3.	Если А — diag{Ai,..., А&}, то /(А) — diag{/(Ai),..., /(A/J}.
БИБЛИОТЕКА
БГУ
17
Доказательство. Пусть /(А) = г (А), где г (А) — интерполяцион-
ный многочлен Лагранжа— Сильвестра для функции f на спек-
тре матрицы А. Легко заметить, что
J (А) = г (А) = diag{r(A1),..., г(А^}.
Так как /(Ад) = г (Ад). а Ад. С Ад, i T^fc, то
У(А^) = г(Аг-), i = l.k.
2.2. Интерполяционный многочлен
Лагранжа — Сильвестра
1.	Матрица А 6 СДп не имеет кратных собственных значений, то
есть А?; Aj, 1Д — 1,п, (г j). Тогда
^(А) = (А-А1)(А~А2)...(А- Ап)
и интерполяционные условия имеют вид:
= Г(Л)> * =
В этом случае в качестве г (А) можно взять обычный много-
член Лагранжа:
Тогда
/(А) = г(А) =
2.	Пусть характеристический многочлен имеет кратные корпи, а
минимальный не имеет:
Этот случай аналогичен предыдущему
т	, ч	-.к	/ ч	,	ч/.
f (А) = г(И) =
18
3. Минимальный многочлен имеет кратные корни:
'ф(Х) = (А - Ai)mi (А - А?)™2... (А - A5)m% т-( + • • • + ms = т.
Представим выражение в виде суммы простых дробей. Это
возможно, так как deg г < dcg^.
(Aj __ К Л f___________| __	A Oj \
'0(A) “ h - ^mk 1 (A - A^-1 ‘ ‘ (A - A,)J 5 U
fx>— X
где akl G С, к — 1, s, i = 1, m*.
Умножим (1) слева и справа на (Л — А*)т‘ и введем повое обо-
значение:
	V’(A)
’’‘w = (ГДЛ”*'
Получаем:
- .—/А = o-'fci + а^(А - А*) Ч---1- о* (А - A/C)mfc_| +
П(Л)
+ (A - At)"4(A),
где /z(Afe) сю, к = 1, s.
Отсюда следует, что
х^хк
^'^2
Таким образом мы можем найти все а^.:
_	1	/ г(А) \ (г 15
f (г - 1)! 0*0)/
, г ~'\.тк к = 1, я.
A=Afci
Отсюда следует, что все коэффициенты выражаются через
значения многочлена г(А) па спектре матрицы /1. которые нам
известны:
/(А.) = r(A,)f f'(Аа) = г\Хк),..., f^~l\Xk) = /—^(А.), к = ТУ.
19
Используя это. мы можем заменить значения многочлена
г (Л) и его производных на соответствующие значения функции
/(А) и ее производных в точках А&, к ~ 177.
Тогда
1 ( (i-1)
(г -1) A W О) J
7=1.?7Ц k—l,s.
Умножив обе части равенства (1) пай(А), получаем форму-
лу для вычисления интерполяционного многочлена Лагранжа -
Сильвестра для функции /(А) на спектре матрицы А.
S
г(А) = ^{ак1 + afe(A - Хк) +  + а^(Х - Хк)т^к(Х),
А—1
W
i — l,m& к = 1, s.
Пример. Пусть некоторая матрица А имеет минимальный много-
член
ti’(A) = (A-/\1)2(A-A2)3,
функция /(А) определена па спектре матрицы А. Необходимо за-
писать интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра для
вычисления /(А).
^i(A) - (А - А2)3,
^(А) ~ (А — Ai)\
Значит.
7
г (А) = (а + ЦА - А!)) (А - А2)3 +
+ (7 + ЛА — А2) + s(A — А2)2)(А -- Aj)2.
Найдем коэ ф фициенты:
а = «лз> .
(А1 -М3
Чтобы найти (3, необходимо найти производную функции f
( /(А) У _ Г(А)(А -А2)3-ЗДА)(А-А2)2
ЦА-А2)з; л=А1	(А-АгТ	Л=Л1-
20
< Следовательно,
/,(Ai)(A1-A2)-3/(A1)
(Ai - A2)4
Аналогично	z ч
/(a2)
7	(Ai-A2)2’
Г(А2)(А2 - Ai) - 2/(A2)	_1/ /(A) A
a~ (A2-A!)3	’ c 2рА-Аг)р
A=z\2
Пример. Найдем a/A для матрицы
Характеристический многочлен матрицы А:
'Га.к как гапк(А — 4Ез) = 1, минимальный многочлен матрицы А.:
V>(A) - (А - 4)2.
Тогда Интерпол я ционный многочлен Лагранжа - Сильвестра име-
ет вид:
11 а. идем а и /3:
1 (яда
()1сюда мы получаем, что
1
4
hi ачит,
1
2
О О
3.	МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1.	Решение уравнения АХ = ХВ
Рассмотрим матричное уравнение АХ ~ ХВ,
где В £ Сщп А е X е ст>п
Рассмотрим элементарные делители матрицы А : (А — Ai)Pi,
(А - А2/% ... ? (А - Аи)*\ где pi 4------\-рп = т.
Рассмотрим элементарные делители матрицы В : (А — Ц1)91,
(А - /z2)Q2, - - ЛА - /Mvyiv у где g-i 4-1- qv = п.
Через А и В обозначим жорданоны нормальные формы матриц
А и В, а через V и V соответствующие матрицы перехода:
Тогда
А = diag{A]Epi + Яр1, А2Яр2 + Нр2>... ? ХиЕри 4- Яр^}.
В - diag{mEgi 4- Ядь •  -, P-vEqv + Яд.,}.
Здесь
XiEpi + Hpi =	А 0	1 А,	0 1	... 0 ... 0	0^ 0	
	0 \°	0 0	0 0	... Xi ... 0	1 Xi)	
’ жорданоны клетки матрицы		?	i	= 1, и,		
		1.	0	... 0		
PiEqi + Ндг =	0	№	1	... 0	0	G С
	0	0	0	• • • Цг	1	
						
	\	0	0	... 0	Дг У	
— жордановы клетки матрицы		В,	г	= 1, V.		
22
Подставив в уравнение АХ — ХВ матрицы Ли В, получаем:
или~гх - XVBV~\
Домножив слева на В-1, а справа па V, получаем:
AU^XV = U^XVB.
I I водя новые обозначения X = U~l XV, получаем уравнение АХ — ХВ.
Исли нам удастся решить уравнение АХ = ХВ, то мы легко сможем
найти решение и уравнения Л_¥ = ХВ, используя формулу X —
//XV"1.
Матрица X разбивается на блоки: X —	где Хар Е
<а — 1,	/? = 1, г (в соответствии с блочно-диагональным ви-
дом матриц А и В). Тогда уравнение АХ — ХВ распадается на и • v
м атричных уравнений:
(^су.Вра Т Нрп^Ха0 —	Т flqp)) ®	— 1, V
ИЛИ
(/^3	“ В.рпХ(ДЗ Xa^Hq^, (У. — 1,^5 /3 — l.f. (1)
Возможны два случая:
1 • IV 7^ Аа.
Умножая обе части равенства на дз — Aft и заменяя — Х^Х^
на НРаХаз — ХарНдр, получаем:
(ЛД	^-а;3 “ Вр&(д/3	X^X^Hq^ —
~	~	— (J^PaXa0 — XafiHg^Hqp =
^$pa-^-a0-H-qe “Ь
= 52	где kij е С.
i 1 j^-2
Проделывая эту операцию г раз. получаем:
- хаухар = 52 (-1)-'ця;да.аяу
i+j=r
Напомним, что
(H.rAPa = Q, (FLAqf3 = 0.
х Pct 7	' \ У,о 7
Если г > ра + qp, то выполняется хотя бы одно из условий
i > Pa; j > Qp- Отсюда (ре - 'ХаУХар = 0, значит, хар = 0.
23
2.	~ Л£г.
Тогда
^Ра^СХ'З —	(2)
Мы опять получили уравнение вида ЛХ — ХВ, ио с матри-
цами специального вида. Напомним, что в матрицах НРп и Hqp
элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные
нулю. Учитывая это. в зависимости от значений ра и полу-
чаем:
2.1.	= q0.
Тогда
	a-i	а2	а3	...	аУа_, аРа 0	аг	а2	...	аРа_2	aPa_s	= Tv ,
	ООО...	<21	«2 ООО...	0	ai	
то есть решением уравнения является квадратная матрица., в
которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю,
элементы главной диагонали — некоторому произвольному
параметру п15 элементы первой поддиагонали — параметру
(.1'2 и Т. Д.
2.2. ра < q3.
Тогда
Хав —	>	(4)
где нулевой блок имеет размер ра х (дд — ра).
2-3. ра > q$.
Тогда
/7’ \
V   I J-Qfi I	/г\
-АаД — I q I ,	(Ь)
где нулевой блок имеет размер (ра ~ qв) X 7/н
Про матрицы (3), (4), (5) говорят, что они имеют правильную
верхнюю треугольную форму. Количество произвольных параметров
в них равно niin{pa, qp}.
24
11 ример.
I • Pa = Q/3 = 4.
bed
a b c
0 a b
0 0a
2. pa = 3, Qe = 5.
0	0	a	b	c
0	0	0	a,	b
0	0	0	0	a
3. pn = 5, да — 3.
	а b с
	0 а b
Хщз —	0 0 а
	0 0 0
	0 0 0
Итак, уравнение HPaXai} — ХарН^ в качестве решения имеет иро-
н вольную правильную верхнюю треугольную матрицу.
Введем новые обозначения:
Йда(А) = НОД ((Л-АаУ%
о-да = degda3(A).

’ иТМСТИМ, что
__ f 0) ''А 7^
ар |ппп{ра,да}, Ай = рд.
Тогда, число произвольных параметров в X (а значит, и в X) равно
и V
N =	O-gfj’
a=l /3=4
Обозначив через Х^р решение уравнения АХ = ХВ, сформули-
руем полученные результаты в виде следующей теоремы:
Теорема 1. Общее решение уравнения АХ = ХВ> где
Лестдп В C7i;?iJ
Л — UAU^1 = U diag(AiFpi Ч- HPl,..., ХиЕри 4* HpjU"1
25
Pi + • • • -I- pu == m,
В = VBV-1 = Vdiag(MiE71 + Hg,,... ,^Eqv + H^V~\
V1 +----h Qv = n,
может быть найдено no формуле X = UX^V"-1.
Здесь X^p — общее решение уравнения
АХ — ХЕ, Хдр — (Хад), СУ, — 1, Щ /3	1, V, Ха>0 G
Если Ха ру, то Хау = 0. если Ха — ру, то Хау — произвольная
правильная верхняя, треугольная матрица.
Матрица X зависит от N произвольных параметров:
N	и v
о-ар = deg НОД {(А - АД“, (А - р/Щ}, « = 1,/? = 1, V-
Замечание. Частные решения Хх,...	(Х{ получается из X, если
параметру q присвоить значение единица, а остальным — нуль) ли-
нейно независимы и образуют фундаментальную систему решений.
Действительно, если это не так, тогда существует нетривиальная ли-
Аг
нейная комбинация У\с?Хг — 0, то есть при ненулевых значениях
^1
некоторых параметров Cj матрица X, а значит, и Х^& равны нулю,
что невозможно.
Следствие. Если матрицы А и В не имеют одинаковых собствен-
ных значений, то уравнение АХ — ХВ имеет только нулевое ре-
шение, то есть X — 0.
Пример. Найти общее решение уравнения:
Найдем жорданову нормальную форму для матрицы А и матрицу
перехода U. Характеристическое уравнение имеет вид
(А + 1)3 = 0.
26
‘ lih’i.’ii-iTj единственное собственное значение А = — 1. Подставляем соб-
• । ионное значение в характеристическую матрицу:
3 6 -15
12-5
1 2 -5
(12-5).
Пространство собственных векторов, соответствующих А = 1, имеет
ппд:
{5/3 — 2а, а, /3 | а, /3 Е С}.
Ищем. условие, при котором у собственного вектора существует при-
ми 'hi псиный:
3 6 -15 5/5 -2а
(Следовательно, если а = /3, то система будет иметь решение.
Возьмем а — 1, тогда собственный вектор ei “ (3,1,1), в качестве
присоединенного к нему можно взять вектор е? ~ (1,0,0), в качестве
пторого собственного вектора возьмем <?з = (—2,1,0). Получаем жор-
и.нов базис:
ei = (3,1,1),
е2 —(1,0,0),
е3- (—2,1,0).
< )тсюда следует, что
-1 1 о
0 -1 о
0	0 -1
/3 1
и = 1 0 1
\1 о о
( 'нстема элементарных делителей матрицы Л:
(А + 1)2, (А + 1).
Находим В и V:
det (В — А В-2) —
-3-А 2
1	-2 - А
— (3-4- А) (2 Я- А) — 2 — А -г 5А -4-4 — С, Ai —	, А2 — 4.
()тсюда
27
В качестве жорданова базиса можно взять собственные векторы ei =
(1,1), е2 = (-2,1).
Система элементарных делителей матрицы В:
В качестве базиса пространства решений можно взять матрицы:
3,2. Решение уравнения ЛХ = ХА
Пусть дана- матрица A 6 Будем решать следующую задачу:
найти все матрицы X G Cz„,jTO) перестановочные с матрицей А. Для
этого нам необходимо найти общее решение уравнения АХ = ХА.
Так как уравнение АХ — ХА является частным случаем уравнения
АХ = ХВ, то для его решения воспользуемся теоремой 1 и сформу-
лируем новую теорему:
28
’!<•(>рома 2. Общее решение уравнения АХ = ХА, A G Ст^т,
А = UAU"1 = Lzdiag{AiEpi + НР1
• 1 НЕРи 4" •Нри)'^ >
Pi 4-------h Ри = та,
может быть найдено по формуле X — UXAJ 1
Здесь Х^ — общее решение уравнения
fl — 1) Щ Xag G ^ра.рр-
Нели Ха Xq} то Хар — О, если Ха — Х$, то Ха@ — произвольная
правильная верхняя треугольная матрица. Матрица X зависит от
N произвольных параметров:
и
<В/3=1
сав = deg НОД((Х - АаД(А - А/,)»),
Q, fl = Y.U
11 ример.
А : (А — Ai)\ (А — Аг)3, (А — Ai)2. (А — Аг).
Гогда общее решение уравнения АХ — ХА имеет следующий, вид:
а Ь с
0 а b
0 0а
ООО
0 0
0 0
0 0
О 0
е /
О е
О О
О О
О
О
о
о
d 0
О	0	0	0	д	h	i
О	О	О	О	0	д	h
0	0	0	0	0	0	^
О 0 7
ООО
ООО
OOfcZOOOmnO
OOOfeOOOOmO
0 0 0 0|00pi0 0 [ су
Рассмотрим инвариантные множители матрицы А:
^х(^), МА)> • • • , ДА). ita.] — • • • — im — 1.
29
Пусть
nj — degij(A), тогда щ > n2 > • • • > nt >	— • • • = nm — 0.
Так как каждый нетривиальный инвариантный множитель явля-
ется произведением нескольких попарно взаимно простых элемен-
тарных делителей, то количество параметров в решении уравнения
ЛАГ = ХА может быть найдено по следующей формуле:
t
«ГГ—1
где
Sjk = deg НОД (г, (А), ?А(Л)) = шт{п^.п*}.
Отсюда мы получаем, что
N ~ щ + Зп2 Н- 5пз Н---h (2t - l)nt.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Число линейно независимых матриц, перестановоч-
ны,х с матрицей Л Е Сп>п. определяется формулой
X — п\ + Зп2 +----г (2t — 1)щ.
где ?’i(A),..., ^(А) — непостоянные инвариантные множители ма-
трицы A, nj = deg^(A). j — 1Л.
Замечание. Ясно, что т — щ + п2 Д- • • • д- Отсюда следует, что
N > тц причем N — п о t — 1, то есть все элементарные делители
матрицы А попарно взаимно просты.
Пример, Пусть матрица имеет следующие элементарные делители:
Значит, нетривиальные инвариантные множители матрицы А имеют
вид:
7*i(A) — (А -- Ai)'3(A — А2)3, ni — 8;
г2(А) ~ (А -- Ai)3(A — А2)2, п2 = 5;
^з(^) — А — Ai, п-з — 1.
Тогда, согласно теореме 3, количество линейно независимых ма-
триц, перестановочных с матрицей А, равно
2V 8 + 3 * 5 + 5 • 1 = 28.
Теорема 4. Пусть
АВ = ВА, где А = А ?),
\ V Ау
Al G СП}П1 ^2 Р ^ту/тм
причем. матрицы Aj и А2 не имеют одинаковых собственных зна-
41 ii.ii.iL Тогда
В- (В^ °
\ о B2J ’
В± G <Вп,П)	^т.т-
'Ьжазательство. Разобьем матрицу В на. блоки в соответствии с
о Юками матрицы А:
1 Р |Р?г;7и В-2 С ^т,т-> X £ ХПуггы Р ^-'т,п •
11ропсряя условие АВ — В А. получаем, что
и к как Ai и А 2 не имеют одинаковых собственных значений (см.
। 1сдствие к теореме 1).	□
3.3. Решение уравнения ЛА" — ХВ ~ С
1 Тусть дано уравнение АХ — XВ — С, где
A G (Ьттцт) В G •, б/ G А (Е ^т.П'
Это матричное уравнение эквивалентно системе т • п линейных
У|j.'uii 1СПИЙ относительно элементов матрицы X.
I ^хссмотрим соответствующее однородное уравнение
АХ - ХВ - 0.
31
Если матрицы А и В не имеют одинаковых собственных значе-
ний, то уравнение /IX — ХВ = С имеет единственное решение; если
же матрицы А и В имеют одинаковые собственные значения, то в
зависимости от С возможны два варианта: -
1. Уравнение не имеет решения.
2. X — Хо + Х^, где Xq — произвольное частное решение урав-.
пения АХ ~ XВ — С. а Х^ — общее решение уравнения
АХ - ХВ = 0.
СОПРЯЖЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
4.1. Сопряженное пространство
Пусть К?. — векторное пространство над полем R, п — dim 14, / :
I „ > IK — вещественная функция, определенная над R. Напомним,
чи» функция / называется линейной, если выполняются следующие
у» ниши:
I) /'(" I <>) - f(u) + f(v), Vu, v е Vn;
’’) I (aw) — af(u). Yu G Vn. a G Ж.
11 \ ( it.
E = {e-L,.... en} — базис Vn. и G Vn.
liH/i.a
U = пцщ ч------h anen.
f(v) =	+ • • • + anen) = ci'if(e-i) + •• • + anf(en) =
= api'i 4----1- anan.
W Щ = /(ei), i — l,n-
Отсюда видно, что при фиксированном базисе Е любому набо-
ру из п чисел «I,..., ап соответствует линейная флшкция /, причем
।и.)и.ко одна.
Обозначим через
(аЛ
: I — а
^п/
координатный столбец вектора и в базисе Е. Тогда f(u) — аа. где а =
(ci,..., ап). На множестве линейных функций мы можем определить
операции сложения функций и умножения функции на число:
(У + ff)O) = f (О + д(и), Vu е Vn.
(af)(u) — af(u), Vts G Vn. Va C R.
Если функция f в базисе Е определяется числами (сц,... ,ап), а
функция д в базисе Е определяется числами (&i,.,., bn), то функция
f -h д определяется числами (ср + 6ц.... ап + Ьп), а функция af —
числами (сшц..., аап) в том же базисе Е.
Нетрудно проверить, что множество линейных функций образует
векторное пространство.
Определение. Пространство линейных функций, определенных на
векторном пространстве Vn, называется сопряженным пространст-
вом к Vn и обозначается V*-
Понятно, что V* изоморфно n-мерному арифметическому про-
странству, значит.
dimv* = n,v**- vn.
tl	'71,	ч-
Действие функции на вектор — это отображение из V* х Vn в М,
(») Ди).
В дальнейшем вместо f(u) мы будем использовать обозначение
(У, и), чтобы показать “равноправие” векторов из Vn и ТД, причем
(У,^ =
Получаем, что каждой паре / G V,* и и Е V* ставится в соответствие
число (У, и}, причем выполняются следующие условия:
1)	(Л + У2,^> =
2)	(af.u) = a(f.u}'.
3)	(Л + иД — (У, Щ) + (У, ^2);
4)	(У, от) = о:(У?и) ';
^У,УьУ2 е ИД \Дщ,и2 Е Vn, Уаел.
Свойства 3 и 4 — это определение линейной функции, а 1 и 2
— переформулированные определения суммы линейных функций и
произведения, линейной функции на число.
Функцию У G V* и вектор и Е К назовем ортогональными, если
(У, и} = 0.
Пусть
Е = {ei,..., еп}— базис Vn,
р = {Л,  ’ •, Уп}— базис V*.
liii nicbi Е и F называются биортогоналъными (обозначаются Е ±
1, i = k
0, г к ’
Теорема 1. Для любого базиса Е пространства Vn существует, и
аратом только один, базис F пространства V*, такой, что Е _L F.
Екизательсгпво. Условие биортогональности базисов Е и F означа-
• I *1'1’0
{fi, ei) = 1, {f1, е2) = 0,..., (А, еп) = 0;
{fz, ex) — О, (А, е2) = 1, • • •, (А> еп) — 0;
(A, ex) = о, (А, е2) = о,..., (А, 6,0 = 1.
По любому набору из п чисел, которые определяют действия функ-
ции па векторы базиса, можно построить функцию, причем только
< »,’П iy. Таким образом, набор (1,0,... 0) однозначно определяет функ-
цию Уь набор (0,1,... 0) ~ функцию у2,..., (0,0,... 1) — функцию
Функции У],..., fn линейно независимы, так как линейно незави-
симы соответствующие им наборы из п чисел, следовательно, обра-
зуют базис пространства 1^*.	□
11 ример.
Рассмотрим пространство R2.
Пусть
Е = {(2,3), (1,5)}, (2,3) = С1, (1,5) = е2.
Найдем базис
F = {A, All такой, что F 1 Е.
11роизвольная линейная функция / действует на вектор (ж, у):
/(ж, у) = аж + Ъу.
4>упкция У1 определяется следующими условиями:
34
Аналогично определяем /г:
(/2,61)
(/г, ег)
= 0
= 1,
Решаем системы линейных уравнений
2 3 10
15 0 1
-
Записываем ответ:
Пусть
Е = {еь.... е„} — базис Vn,
F = {/1, •  • > fn} ~ базис УД
причем
Е EF
Рассмотрим вектор и Е Vn.
и — ci'iei + ...
Тогда
(Л? (.fiy Т • • •	— &i(fij 6^ — Q7. i — 1, 7'1.
Значит, 07 “ (Л?^)> i — 1,'п.
Пусть f Е ?;*, тогда f = А1Л +... Bnfn.
(Л&ь). ~ (А1Л +.....V	~ i~ l,n.
Отсюда следует, что (/, e.j) = Д.
Выразим (/, и) через координаты векторов f в базисе F и и в
базисе Е:
(f BL) " (Ai Л + • • * + 0nfn> Qiiei + • • • + апеп) —
п	п
°'7'Ас(Л? ^-i} ~ О^гАг-
i.k—L	i=l
Если базисы биортогональиы, то
п
(Ли) ~ У^^гАг-
5Н1
36
I « in 11.1 ihci.i no являются ортогональными? TO
n
(/,«) = ^2
ijk—l
i'li 1,1!и что ь биортогоналы-тых базисах значение (/, и) вычисляется
о  riel < । проще.
1Ь рпсмся к предыдущему примеру. Найдем координаты вектора
(10) в базисе Е, используя базис F:
и ~ aei + 6е-2?
5	1 ш 25
® = {fi,U) = у 7 - -  10 - у,
/з = а«)--|-7+|.ю=-|.
и	I >	1 Дб\
I hniy4,i.(!M, ЧТО Te\U) — у I I .
Найдем координаты, функции f в базисе {/1J2}, используя ба-
нк* /'J:
Ж у) = х - 2г/,
/ = afi + Л/г-
а = (/> 61) = 2 - 6 = -4;
V = {f, е2) = 1 - 10 = -9.
/_ А
I Случаем, что Tp(f) —	.
4.2.	Ортогональное дополнение
< )п ределение. Пусть 14 — подпространство векторного простран-
< гит 14, Множество векторов из 144 которые ортогональны всем век-
шрам из 14? называется ортогональным дополнением к простран-
r’liiy 14 и обозначается Vj^
Таким образом,
Щ = {/ G v; I {f, и) = о, е и}.
'Теорема 2. Ортогональное дополнение подпространства яеля-
< нк'л подпространством пространства Vny dim = п — k.
37
Доказательство. Пусть Е ~ {е-[...,еД — базис 14, тогда и =
«1Щ -F  • • + Покажем, что ортогональность функции / всем
векторам из 14 равносильна ортогональности f векторам базиса Е
пространства 14- Заметим, что
{f,u) = on{f,ei) +----^ak(f,ek).
Отсюда следует, что
(/. и) = 0, Vu €Vt # {f, е{) - о, i = 17Г
Пусть
е1 = («И, ^1.2? • • 
*
&k (Щ;1? Щ‘2?   - &An)*
Тогда
Числа ад,..., тп, определяющие функцию /, являются решениями
следующей системы уравнений:
Г'^1^11 4“ * ' ‘ Т ^n^'ln ~ б
+ • •  4“ ^nakn ~ О*
Общее решение однородной системы образует подпространство в про-
странстве всех векторов (ж1;..., хп).
так как векторы ei,..., е;- линейно независимы (образуют базис 14)-
Отсюда следует, что общее решение этой системы образует подпро-
странство в пространстве всех функций: Vm С К*, и
f V	/Д'
dim Ц = п — rank А — п - к. 
Следствие.
УЛ1 = к.
38
Доказательство. По определению
(Их)х = {« 6 vn I (и, f) = о, V/ e Ц}.
Следовательно, если и 6 14? то и £ (^4±)±- Получаем, что
14 с (I41)J“; dim 14 = k. dim(I4±)J’ = п - (п - к) к.
Значит, 14 — 04^)J •
4.3.	Определение сопряженного отображения
Пусть даны два векторных пространства Vn и Vm и линейное ото-
бражение р : 14 -> Кг- Пусть f Е V£, f ; Vm -> R — линейная
функция.
Тогда можно определить новую функцию f елр : К К? которая
является линейной, как композиция линейных отображений. Полу-
чим новое отображение, которое каждой линейной функции / ’ Ki
ставит в соответствие линейную функцию f о е V*. Обозначим
<то </?*.
Итак, </(/) = / о <{>.
Подействовав функцией на вектор и Е Vn, получаем
(</(/)> Р ~ (/>9=(u))> Vu е К-
Докажем, что отображение <р* — линейно. Проверим следующие
0 9=4/1 + А) = 9=4/1) + У’ЧА), v/i, А € v,n>
2)	= a^4f), W 6 Vm, Vcv € R.
/(оказателъство.
1)	(^ЧЛ + h): V) (fl + h: ф(и)} =
+ (h, 'r’W) = (^*(/1),u) + (^ЧА), О =
• “(^4/1) + 9=4/2),0> Vu G Vn.
11 оказали, что
9=4/1 + A) = <^4/1) +	
2)	(<p*(af), u) = (af, ip(u)) = a(f, </>(«)) =
— a(9?”(/),w) — (афЧ/),u), V?x G Vn, Va 6 R.
Отсюда следует, что
Определение. Линейное отображение
формулой
П 5
определяемое
называется сопряженным линейному отображению : Vm —> Vn.
Рассмотрим отображение
¥> : vn -> Vm , или
A-Vn^Vm.
По определению сопряженного отображения:
т
**(и
Р), w е 14
Пусть Е-{съ ..., еп}— базис пространства Vn. Н{ф,..., hm} —
базис пространства Vm. Отображение в базисах Е и Н имеет ма-
трицу
Лч М -= А
Рассмотрим
П)
±
Тй(ДО) =
\Нт/
Координатные столбцы векторов и и уфа) связаны формулой —
Аа. Рассмотрим функцию f Е РД. Если зафиксировать базис Я, то

>
функцию заменим на соответствующую строку из чисел:
11 огда
(ЛД«)) = 6^-
Аналогично
£ У„*, ^*(/) ~ (щ,...ап) = а,
{<P*(f),u)=aa.
Сопряженное отображение определяется формулой
(р* (/),и) = (/,¥>(-«.)), Vu € К,
Переходя к координатной записи, получаем
• аа — 6/3,
или
аа — ЬАа. Va Е Rn.
значит.
f
а = ЪА.
или
аТ = АТЬТ.
Напомним, что bj =	г — 1, т, то есть , bnl} — это
координаты функции f в базисе II1 пространства	который би-
ортогонален базису Я.
Получаем, что
Ът TH-t(f)-
А.налогично получаем
1'де /?J- — базис пространстве! ЕД биортогональный базису Fa следо-
вательно,
-4Т =
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 3. Если линейное отобраокение сд :	—> Vm в базисах Е
пространства Vn и Я пространства Vm имев7п матрицу
г% (</?) = А, то Тдг = А2 • .
' 41
40
Следствие.
rank<p ~ ranker*.
Доказательство. Это следует из того, что
rank А = rank АТ.
Укажем некоторые свойства сопряженного отображения:
1)	(у? о-0)* =-0* о 9?*;
2)	(^Д* -
3)	+ V0* — Д + “0*5
4)	= аД, Va G R.
Доказательство. Все свойства доказываются при помощи коорди-
натной записи отображений и Д- Для примера докажем первое
свойство.
Пусть т('д) — /1, r(w) ~ Ву тогда т(^о^) = А-В,
т((Д о ^>)*) ~ (АВ)Т = ВА А’ — тДДДД).
Отсюда следует, что
о у;) ~ В о р .
4.4.	Сопряженное преобразование
Пусть (р : Vn —> Vn — линейное преобразование пространства УД
тогда Д : 1ф* —> 14* — преобразование пространства УД определяе-
мое формулой
¥>*(/) = /° v, Vfev;,
называется сопряэюенным преобразованию
Теорема 4. Если преобразование (р : Vn —> Уп в базисе Е простран-
ства Vn имеет матрицу те(<р) — -А, то сопряженное преобразование
Д в базисе Е1- пространства УД биортогопалъном базису Е, имеет,
матрицу те{Д) ~ Ат.
Эта теорема является частным случаем, теоремы 3.
Теорема 5. Собственние значения преобразования/, р и Д совпа-
дают, при этом равные собственные значения имеют одинаковую
42
кратность. Если собственному значению А преобразования <р соот-
ветствует к линейно независимых собственных векторов, то к ли-
нейно независимых собственных векторов будет соответствовать
тпому собственному значению и для Д.
Доказательство. Пусть Е — базис Vnf тогда те(^) — /1, а гЕ±(ср*) —
= Ат.
det (Л — ХЕ) = det(A — ХЕ)1 — det (Аг — ХЕ).
Так как характеристические уравнения для <р и <р* совпадают, то,
значит, совпадают собственные значения и их кратности.
Так как rank(/l - ХЕ) = rank(AT - ХЕ). то количество линейно
независимых векторов, соответствующих одному и тому же собствен-
ному значению для <р и р>*. будет совпадать.	□
Теорема 6. Если подпространство С 14 инвариантно относи-
тельно преобразования ср. то его ортогональное дополнение VjX ин-
вариантно относительно ср*: <P*(Vk) С VkL.
Доказательство. Так как Vk инвариантно относительно ру £
Vk) Vu Е Vfc. По определению ортогонального дополнения
= e V/еЩ
ОНГ), 0 = (/,	= о, Vw е И => е Щ,
=> АТТ с УД
то есть инвариантно относительно <Д
Теорема 7. Пусть </?(«) — Хи,<р(Г) — д(/)- Тогда, если А / у,то
(J, и) = 0.
Доказательство. Воспользуемся формулой
= {f,vO')}, yfeV*,VueVn.
' f огда
Of, и) = (f,Xu),
Hf,u) = X(J,u},
О- лЖЛО = 0-
Получаем, что (/, и) — 0, так как А Д р.
Теорема 8. Если базис Е пространства Vn состоит из собствен-
ных векторов преобразования р : Vn —> Vn, то его биортогопальный
базис Е^ состоит из собственных векторов преобразования р*.
43
Доказательство. Матрица преобразования у> в базисе Е, состоящем
из собственных векторов, диагональна:
/А1 ... О
Т-вЫ = ............
\0 ... Ап
где Ai,..., Хп — собственные значения.
Матрица сопряженного преобразования 99* в базисе Е1- т$>.. (^*) —
= А тоже диагональна, значит, базис Е1 состоит из собственных
векторов преобразования 99*.	□
4.5о Сопряженное отображение евклидовых
пространств
Пусть £п и £т — евклидовы пространства, ср : £п -> £т — линей-
ное отображение. Пусть Е — {еъ..., ете}— базис £п.
Тогда скалярное произведение (щ г) векторов и € £п. может быть
определено следующим образом: (и, г’) = а1 где
Теорема 9. Евклидово пространство изоморфно своему сопряжен-
ному пространству. То есть существует, изоморфизм is : £* -у £п,
который каждой функции f 6 £* ставит в соответствие вектор
v Е £п и такой, что (и, и) — (фи), \/и Е £п-
Доказательство. Выберем какой-нибудь базис Е — {ст,..., еп} про-
странства £п. Тогда функции f Е 8* соответствует единственный
набор из п чисел
/. Е (	.
J ‘
Равенство (г, и) = (Фи) можно заменить на его координатную за-
пись:
аа — [3хСДо'.,
где Ge — матрица Грама базиса Е,
44
(ол	//зл
:	= СЦ те(Е) ~ I : I = £•
&п)	\Рп/
(Исхода следует, что а — /3rGE.
Значит, /3 ~ G^aJ (матрица Грама невырождена, так как Е —
оазис 8п).
Напомним, что ar = rE±(f) — координатный столбец функции f
в базисе Е1, биортогональном базису Е. Отсюда следует, что про-
странства 8п и 8* — изоморфны, причем Gg1 — Тд^з) — матрица
изоморфизма is в базисах Е~[- и Е.	□
Замечание. Можно ввести в 5* скалярное произведение следующим
< >бразом:
(/,<?) = Gs(/),?s(<7)); \f,g 6 £*,
тогда is — изоморфизм евклидовых пространств 8п и £*.
Итак, евклидово пространство изоморфно своему сопряженному,
следовательно, в дальнейшем мы можем отождествить евклидово
пространство 8п с сопряженным ему пространством 8*.
Тогда определение сопряженного отображения будет выглядеть
сл едуЮ11хим обр азом:
Определение. Отображение : 8п —> 8т, определяемое, равен-
(:твом
(^(?;),п) - (щ<д(и)), Vu Е 8п. \/v Е 8т,

называется сопряженным отображению р : 8п —> 8т.
Заметим, что в левой части равенства стоит скалярное произве-
дение в пространстве 8п. а в правой — в пространстве 8т.
Рассмотрим координатную запись формулы (1).
Пусть Е == {ei,..., еп} — базис £n, Н — {hi,..., hm} — базис 8т.
(СГ]\
: I = О',
^п/
45
Th(v) - I : I = (3.
\Рт/
Отображения p и p* имеют в базисах Е и Н следующие матрицы:
Л М = А, = В.
Тогда
= Вр, тя(^(?г)) = Аа.
Получаем координатную запись формулы (1):
где Ge и Gr — матрицы Грама базисов Е и Н соответственно.
,бтВуGe^ — р1 GffAa. Vo? € lRn, V/3 e R^.
Отсюда следует, что
В Ge = GrA.
В = G^AtGr. ,
Таким образом, мы получили формулу, связывающую матрицы
отображений (р и у?*. Она значительно сложнее, чем раньше (если
т(^) = Л, то т (</?*) — Л1), так как, отождествив пространства £п и
мы выбираем один и тот же базис, а не два биортогональных друг
другу. Чтобы сохранить формулу В = Лт, матрицы Ge и G# должны
быть единичными, то есть базисы Е и II — ортонормированными.
Полученный результат сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 10. Если отображение <д : £п —> £т в ортонормированнъьх
базисах пространств £п и £т имеет матрицу Л, то его сопряжен-
ное отображение в тех же базисах имее?п матрицу Лт.
Пример, Пусть Е~ {ej. ез} и Н — {hi.h^} —базисы пространст-
ва 1^2, причем базис Е — ортонормироваппый. Базисы Е и И связаны
соотношением
Пусть преобразование : IR2 —> JR2 в базисе Н имеет матрицу
46
11айдем тн(ф*).
Сначала найдем матрицу преобразования <р в базисе Е:
т£(^ = 5-Ж
где S — тн(Е) — матрица перехода от базиса Н к базису Е.
'Гак как базис Е ортонормированный.
Тв(^*) = (те(^))т = з ( 4 х
I1аходим т# (<р*).
1/7	5 \ /1	_ 1 / 17 -2\
9 \~26 —7у \2 1/9 \~40 19)
Пользуясь тем, что мы отождествили евклидовы пространства
£п и £т с их сопряженными £* и можно определить два. новых
л инейных преобразования: ср о р* : £т —> £т и о ; £п —> £п.
Свойства этих преобразований похожи. Действительно,
<р о (р* = (<р*)* с Р* “ [Ф ~ Т7*] — V;* 0 Ф-
Изучим некоторые свойства этих преобразований на примере о «р.
'Заметим, что справедливо следующее соотношение:
Д* О Ди), и) = (Ди), Ди)) > О,
причем
с (p(ti)yti) — О О тК71) — 9-
Теорема 11. Преобразование о <р — самосопряженное, его соб-
ственные значения неотрицательны.
47
Доказательство.
(</ о Д* = <р* О (9?*)* = О 9?,
следовательно. р* о — самосопряженное.
Пусть А — собственное значение, а и— собственный вектор пре-
образования Д О (р[
(у>* о р) Д) — Хи.
Тогда
(Д о рДД и) = А(щ и) > 0 А > 0.
Теорема 12. Кег<£>* о р ~ Кег 97, Im 92* о = Im Д.
Доказательство. Пусть
и Е Кег 97 •=>	= 0 => Д о рД) — 0 ->
и Е Кет Д о р зф Ker р с Кег Д о р.
Пусть
и Е Кег 92* о р => р* о рД) = 0 =>
=> (9/ о рД), и) — 0 Ди) = 0 =У
=> и Е Кег р => Кег р* о р с Кег р =>
=> Кег р — Кег Д о р.
Докажем второе утверждение теоремы. Напомним, что для ото-
бражения р : £п —> 8т справедлива следующая формула:
п — rank р + dim Кег ру
причем rank р = dim Im р.
Заметим, что rankр — rank 92* о р} так как Кегр = Кег 97* о р. а
отображаемое пространство 8п одно и то же. Так как р(£Д С £т}
значит, р о рДД Q рА'Дт). то есть Im^ о р с 1т (р*, но dim Im р^' о
р ~ гапкф14 о р — rank р — гапкф5: = dim Im значит. 1m р* о р —
Следствие, rank Д о р — rank р о р*.
Доказательство. Так как rank р*ор ~ rank^. то rank <^092*=: rank^*,
значит, rank р^ о р — rank р с р\ так как rank р — rank р*.	□
48
Теорема 13. Пусть и —собственный вектор преобразования <р*о<р,
t иответствующий собственному значению А О, тогда <р(и)— соб-
I inacnnuu вектор преобразования р о } соответствующий тому
,?/сс собственному значению X. При этом линейно независимым соб-
i таенным, векторам гд,... .ик преобразования 92*092 с собственными
течениями А1?..., А&, А^ О, i = 1, к будут соответствовать ли-
т'йно независимые собственные векторы, 92(7/1),. . -, 92(7//^) преобразо-
пиния <р о 92*.
Доказательство. Пусть (92* о 97)^)— Ап, где А^О. Тогда (92*092)(п) ф О,
шачит, 9?(п) д 0. Подействуем отображением щ:
9?((9?* о 92) (п)) - Хщ(и), .
& о 92*)(9?(п)) = А^(п),
> <р(и) — собственный вектор преобразования 92* о 92. соответствую-
in и й собственному значению А.
Пусть П1?.., yak — линейно независимые векторы:
(92* о 92) (щ) = Х{Щ, i — 1, fc, Аг 0.
11редположим, что векторы 92(1/1),..., 9?(щ) линейно зависимы. За-
пишем их нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю:
«192(7/1) + • • ’ + ajz(p(uk) — 0.
Подействуем отображением 92*:
«192' ° ^(^1) 4---Ь о 9?(п/с) = 0.
Получаем, что
«1А1ПХ Ч----h cxkXkuk z=z 0,
но П17... 7ик — линейно независимы, а так как Xi ^0, i ~ 1, fc, то
гц _ 0, i — 1, fe. Отсюда следует, что 92(^1),92(7/^) — линейно
независимы.	□
4.6. Сингулярные базисы отображения
Пусть дано отображение 92 : £п —> £т^ тогда 92* о 92: £п £п -
преобразование пространства £п. Согласно теореме .11 преобразова-
ние 92* о р — самосопряженное. Напомним, что любое самосопряжен-
ное преобразование обладает ортонормированным базисом, состоя-
щим из собственных векторов.
49
Определение. Первым сингулярным базисом отображения р на-
зывается ортонормированный базис пространства £Пз состоящий из
собственных векторов преобразования р* о р, упорядоченных таким
образом, ито соответствующие собственные значения не возрастают.
Напомним, что собственные значения преобразования <р* о р не-
отрицате льны .
Если г — rank ру то > 0 при i < т и Xi — 0 при г > г.
Пусть Е = {еь ... , ezJ — первый сингулярный базис отображе-
ния <р.
Тогда
(Х- i = '
Отсюда следует, что векторы <р(щ),..., <р>(еп) попарно ортогональны.
Кроме того,
(ДеД Де;)) = Xi =| Де;) |2,
значит, | <р(е7;) |= д/Л7— длина вектора <р(щ). Получаем, что <p(ej щ О
при г < г, <p(cj) — 0 при i > г.
Определение. Числа = рХы где Х{ — собственные значения пре-
образования р" о i — 1. п, называются сингулярными числами ото-
бражения (р.
Тогда
Заметим, что ~-<p(ei),..., ~<р(ст)— ортонормированная система век-
торов.
Определение. Вторым сингулярным базисом отображения <р на-
зывается ортонормированный базис Н — {Дт,... .hm} пространства
£.т. первые т векторов которого имеют вид hi — ~-<p(e^), i — 177,
где г — rankep, ei,..., er — первые т векторов первого сингулярного
базиса, от,..., аг — ненулевые сингулярные числа р.
Из определения следует, что сингулярные базисы определяются
неоднозначно.
50
'Теорема 14. Пусть дано отображение
Е — {в1..... еп} — первый сингулярный базис уц
Н — {Л1з..., hm} — второй сингулярный базис р.
Матрица отображения р в паре сингулярных базисов имеет вид:
где
... О \
Т>г — ............I	, г = rank р}
у О ... arJ
«1,..., аг — сингулярные числа отображения р.
Доказательство. Находим nJ (99). Для этого векторы i l.n
выражаем через базис Н. 92 (щ) выражаем через Н и записываем в
первый столбец, и так далее.
Получаем, что
= о/—= оДц, i “ l,r,
\ Q'j	/
~ 0, i > т.
Отсюда следует утверждение теоремы:
	di б ...	0 ... 0	
	0 0'2 ... 0 - •. 0	
те =	:	•	'•. ат ... 0	•
	0 0 ... 0 ... 0	
	_0 0 ... 0 ... 0_	
Пусть имеется некоторая матрица Л t Rm.,n- Мы можем считать,
что А — тДр) — это матрица некоторого отображения р : £п £ш в
канонических базисах пространств £п и £т.
Согласно теореме 14 tJ(<£>) = Т> — матрица отображения р в син-
гулярных базисах, тогда V ~ T-1AS, где S — тДЕ\ Т — тДН)
соответствующие матрицы перехода. Заметим, что матрицы Т и S
ортогональны, так как и канонические, и сингулярные базисы орто-
нормированные.
Приведем матричную формулировку теоремы 14.
Теорема 15. Для любой матрицы А Е Rmj?l существуют ортого-
нальные матрицы Т и S, такие, что Т> = TAS.
Кроме того, мы показали, что любая матрица А Е может
быть представлена в следующем виде: А — QPP. где Q и Р — орто-
гональные матрицы.
Это разложение называется сингулярным разложением матри-
цы /1.
Теорема 16. Пусть А — QPP, причем QQ[ — ЕтуРР] — ЕП}
причем аа > о2 Р ' * * >	> 0, г = rank<p.
ГР
1огда:
1)	строки матрицы Р образуют первый сингулярный базис;
2)	столбцы матрицы Q — второй сингулярный базис;
3)	первые г сингулярных чисел матрицы А : аь ..., аг, остальные
сишулярные числа равны нулю.
Доказательство. Пусть — г-н столбец матрицы Р1.
Тогда
A*APi (Q2)P)t(QPF)A: =
/о\
52
Показали, что
i
Л' Лр,= J	*Sr
1 0.	i > г.
Отсюда следует, что векторы , ррп полностью удовлетворяют
определению первого сингулярного базиса, a ар,.., ап — сингуляр-
ные числа.
Пусть qi — ?-й столбец матрицы Q.
Тогда
Ap.i = QT>Ppi = QVa “
Значит,
,	f 0,	i > г
Ap-i = < '	.	.
г<г
Таким образом, $ = рг.Арн i < г- Отсюда следует, что {др ..., qn] —
।'.торой сингулярный базис.	□
Теорема 17. Пусть Е — первый сингулярный базис отображения
р, И — второй сингулярный базис отображения р. Тогда Н — пер-
вый сингулярный базис отобрао/сения р*, Е — второй сингулярный
базис отображения <р*. Сингулярные числа р и р* совпадают.
Доказательство. Пусть = А и А — Q"DP — сингулярное раз-
ложение матрицы А, тогда тя(<р*) = А1, А1 — РТТ)' QT.
Отсюда и следует утверждение теоремы.	-	□
Теорема 18. Пусть для отображения р существует p~L, Е
первый сингулярный базис отображения р. Н — второй сингуляр-
ный базис отображения р, ар ..., ап — сингулярные числа отобра-
жения р, тогда первый сингулярный базис отображения р^1 отли-
чен от Н не более чем порядком векторов, а второй сингулярный
базис отличаетоя от Е не более чем порядком векторов. Сингуляр-
ные числа р 1 будут . тд.
Доказательство. Пусть тДД) = А и А ~ QPP — сингулярное
разложение матриц А, тогда А"1 — тйг(^“х) и А-1 — (Q22F)”1 =
р-Д)-^-1 = Р^Р-ДД.
Отсюда и следует утверждение теоремы.	□
Пример. Найти сингулярные числа и сингулярные базисы отобра-
жения <р : IR2 —> R3 такого, что
= (ж Ч- 2т/, —у, к).
Пусть А — матрица отображения в канонических базисах про-
странств И R3.
Сингулярные числа отображения — это квадратные корни из соб-
ственных значений матрицы А.
det(ATA - АЕ2) = А2 - 7А + 6 = (А - 6)(А - 1).
Собственные значения матрицы АТА: Ai = 6 и А2 = 1.
Значит, сингулярные числа матрицы А (отображения <р):
Q1 “ д/б) Q'2 = 1.
Первый сингулярный базис. — это ортонормированный базис про-
странства J&2 > состоящий из собственных векторов матрицы АТА.
Пусть А] = 6, тогда
Пусть А2 — 1, тогда
54
I *• качестве первого сингулярного базиса отображения 7? можно взять
игк'горы 01 и е%:
Й1 = ^(1,2),
(е2
Гак как rank (р = 2, первые два вектора второго сингулярного ба-
шка находятся с помощью векторов первого сингулярного базиса и
( пигулярных чисел:
1
hi = — Ае-т	i = 1. 2.
Дополняем систему векторов {hi. h^} до ортонормированного базиса
пространства. R3. В качестве третьего вектора базиса, можно взять,
например. вектор 2, — 1). Итак, мы нашли второй сингулярный
базис отображения р:
Гакже укажем сингулярное разложение матрицы /1: /1 = QVP.
55
4.7. Сопряженное отображение комплексных
пространств
В случае комплексного векторного пространства мы можем опре-
делить сопряженное пространство и сопряженное отображение так
же, как и в действительном случае, все свойства при этом сохраня-
ются. Но связь сопряженного отображения со скалярным произведе-
нием, которая имела место для евклидова пространства, не обобща-
ется на унитарные пространства, то есть мы не сможем отождествить
унитарное пространство со своим сопряженным. В связи с этим изме-
ним определение сопряженного пространства для комплексного век-
торного пространства Vn.
Функция /: Vn —> С называется полулинейной (эрмитово линей-
ной) , если выполняются следующие условия:
1) f(u + v) = J'(u) -| f(y), Vw, v e K;
2) f^otu) ~ Viz. E Vny VaE C.
Пусть E — {ei,..., en} — некоторый базис К, тогда любой вектор
и можно выразить через базис Е:
и = Ч---------И апеп.
Значит,
f(u) - f («161 +-F Q„en) = tt.i/(ej) + •  • + «„/(en).
Здесь
Если зафиксировать базис Е. функцию f можно заменить строкой а:
f ~ («1,... ,ап) => а, где	i = 1,п.
Тогда jf(tz) — аа.
Мы можем определить сумму полулинейных функций и умноже-
ние полулинейной функции на число:
(Л + Л)(и) = /1(0 + fa(u), Vu,v е Vn;
— af(u), Vm € Vm, VaeC.
Эти операции удовлетворяют аксиомам векторного пространства.
56
Определение* Пространство полулинейных функций, определен-
ных на-векторном пространстве называется сопряженным про-
етртством векторному пространству Vn и обозначается V*.
По-прежнему (/, и) ~ f(u).
Базис F -	пространства называется биортого-
намньм базису Е — {ер ..., еп} пространства Тф, если
|о,
Пусть есть линейное отображение р' Vn -> Vm.
Определение. Линейное отображение р*: V*n —> 1ф* называется со-
пряженным отображению если
Vw е К, V/е	(1)
Отсюда видим, что определение сопряженного отображения ком-
плексных векторных пространств не отличается от определения со-
пряженного отображения действительных пространств. Все рассмо-
। репные нами свойства сопряженного отображения сохраняются с
небольшими изменениями, вызванными заменой линейных функций
на полулинейные.
Пусть р : Vn Vm.
Е =- {еь .. -, еп} — базис Vn,
Н = {hi,..., hm} — базис Vm.
Пусть вектор и £ Vn. Тогда
(Q1 \	/ Д \
. . . j = Q,	~ I ” * I ~
CV72, У	\/^т /
I (р) ~ А — матрица отображения р в базисах Е и Н.
f ~ (Ьь..., 6т) = Ь, <(>*(/) (аъ • • •. «п) = а..
Тогда
57
Перепишем определение (1) сопряженного отображения в коор-
динатной форме:
аа — Ь(3 — ЬАа.
Значит, аа — ЬАа, Получаем, что а — ЬА, Отсюда следует, что
ат = АТЬ\ или а1 = А*Ь1.
Напомним, что
ат = тЩЩ/)),
где СА, Нг — это базисы пространств V* и биортогональные
базисам Е и Н соответственно.
Показано, что А* — т^^р*).
Таким образом, мы доказали следующую теорему
Теорема 19. Пусть линейное отображение р : Vn -> Vm в базисах
Е и Н имеет матрицу (р) = А, тогда сопряженное отображе-
ние в биортогоналъных базисах имеет матрицу т#±(р*) — А*.
Свойства сопряженного отображения комплексных пространств
те же, что и для действительных, за исключением того, что (ар)* —
= ар*.
Пусть р: Un —> Um — линейное отображение унитарных про-
странств.
Рассмотрим Е —	— базис Су, и.и е Un. Напомним,
что скалярное произведение (мд) векторов и,и пространства Un
определяется формулой
(щ г?) = а
где
r©(ti) = а, тд(г’) — Д,
G# — матрица Грама в базисе Е. Аналогично действительному слу-
чаю мы можем показать, что унитарное векторное пространство изо-
морфно своему сопряженному: Un = U*.
Тогда определение сопряженного отображения будет иметь сле-
дующий вид: отображение р*: Um —> Un называется сопряженным
отображению р: Un —> если
— (Ф, 99(71)), \/и е Un) Уи 6 Um.
Пусть Е — {ei,..., еп} — базис Un, Н = {hi,..., hm} — базис Um,
тЕ(и) = a, тн(у) = /3,
rf(^) = A =
«ждавательно,
w) — (B&) 1 GjtQ,
(v, ^>(-u)) — /?тСдЛа.
Запишем условие (2) в координатной форме:
,6TBTGE^ - /3TGHAa.
Отсюда следует, что
Вт GE “ G цА.
11'()гда
ВТ - GnA{GFy\
11 случили, что
В = (G^)TATGJ = (GyfA’Gj.
'Теорема 20. Пусть отображение р: Un —> Um в ортонормирован-
нит базисах Е и Н пространств Un и Um соответственно имеет
матрицу (у?) — А. Тогда ~ А'.
Доказательство. Если базисы Е и Н ортонормированы, то GF —
Впу Сд — Ет.
r^^^y ^Gl = A\ '
4.8.	Экстремальные свойства собственных
значений
Пусть р: £п —> £п — самосопряженное преобразование евклидо-
вого пространс'гва. £п.
Функция р\ Еп\{0} -> R, определяемая формулой
(гц и)
называется отнотением Релея для преобразования р.
р{и)
59
Определим единичную сферу Sn в пространстве £п.
Единичная сфера
Sn = {и е £п | Ы = 1}*
Теорема 21. Множество значений отношения Релея совпадает с
множеством значений квадратичной формы (jp(u).u) на единичной
сфере.
Доказательство. Пусть
и Е Sn => |u| — 1,
|п| — у/(иу и) => (?д и) — 1.
тогда р(и) — [(ДуДи).
Пусть и Е Vn. Тогда
То есть для любого вектора и Е К найдется вектор v Е Sn. такой,
что р(и) =	□
Попробуем найти максимальное и минимальное значения отноше-
ния Релея в пространстве £п. Согласно теореме 21 для этого доста-
точно найти максимальное и минимальное значения квадратичной
формы (^Ди\и) на единичной сфере.
Так как <р — самосопряженное преобразование, существует орто-
нормированный базис Е — {щ,..., еп} пространства Vni состоящий
из собственных векторов преобразования <р: <£>(е») — А^, i — Дп.
Упорядочим собственные значения так, что Ai > А2 > * • • Т Ап.
Пусть и Е Sn. и ~ q'iCi Ч-1- апеп, тогда р(и) = (у? (и), и), так как
и]2 = (и, и) — 1.
= (<H«iei +-------F «теп), aid Н-----F апе„) =
= («1^(е1) "I-----И ап<р(е^- «ifii +-----Ь anen) =
= (ajAid +  • • + anA.n,Cn, aid + • • • + aneB) —
— Ai«i + A2«2 + • • • + Ana^.
60
I Голу ЧИЛИ, что
п
р(и) = ('4«)>P = 52^:аг2-
i=l:
Заметим, что
п
к| -1 => 52 ai =1-
г=1
Тогда
п	п
то есть р(и) < А}.
Если и - еь тогда p(ei) = (<p(ci),ei) = Аь
Кроме того,
п	п
то есть р(и) > Ап.
Если и = еп. тогда
р(еп) —	> ^71) — (Ane.n.,
n*
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 22. Максимальное значение отношения Релея равно наи-
большему собственному значению преобразования р. Минимальное
значение отношения Релея равно наименьшему собственному зна-
чению преобразования р. Достигаются они на соответствующих
<• обетеенных векторах.
4.9.	Полярное разложение линейного
преобразования
'Теорема 23. Для любого преобразования р: £п -> £п сушрслпвуют
ортогональное преобразование р: £п —> £п и салюсопряженное пре-
образование з: £п -ч £п с неотрицательными собственными значе-
ниям;такие7 что р = р о з. Разложение р — р о s называется
полярным разложением преобразования р.
61
Доказательство. Пусть Е — {ei,..., еп} — первый сингулярный ба-
зис (р, Н — {Л1,..., h.n} — второй сингулярный базис ф, Базисы Е
и Н —. ортонормировании причем (p(cj) = i = 1, п, где а-ь —
сингулярные числа преобразования </?. Если г ~ rank 97, то при i < г
— это определение векторов , hr}> если i > г, то оц = 0. сле-
довательно, = 0.
Рассмотрим преобразование р\ 8п —У £п, которое переводит пер-
вый сингулярный базис во второй, то есть р(е«) = /ц, i = 1,п. Оно
ортогонально. Действительно, его матрица в базисе Е — это матрица
перехода от базиса Е к базису Н будет ортогональной, как матри-
ца перехода от ортонормированного базиса к ортонормирова,иному,
а значит, р — ортогональное преобразование.
Пусть s ~ р”1 о (р. Покажем, что s — самосопряженное преобра-
зование с неотрицательными собственными значениями:
= (р-1 ° ^)(ег) = Р"’ (^(е»)) =
= Qip~1(h,) =
= cvi е,;, i — 1, n.
Получили, что s(e«) = i — 1,п, то есть векторы первого сингу-
лярного базиса — это собственные векторы, а сингулярные числа —
собственные значения преобразования з.
Тогда.
/«1 ... 0 \
= I...........1 —5,
\0 ... ап)
следовательно, S — ST.
Получили, что в ортонормированием базисе преобразование 5
имеет симметричную матрицу. Откуда следует: s — самосопряжен-
ное преобразование, причем его собственные значения се7; >0, i = 1, п
(как сингулярные числа).	□
Теорема 23 может быть сформулирована в матричном виде.
Теорема 24. Любую матрицу А 6 можно представить в виде
произведения матриц Р 6 и S Е К„,)Тг, А ~ PS, где Р — орто-
гональная матрица. aS — симметрическая с неотрицательными
собственными значениями (РР^ — ЕГИ S = ST).
62
Следствие. Для любого преобразования р: £п £п существует
ортогональное преобразование рт £п —> £п а самосопряженное пре-
образование 51: £п —> £п с неотрицательными собственными значе-
ниями, такие, что р ~ S\ о р\.
Доказательство. Запишем полярное разложение преобразования р*:
р* = р о тогда р — (р о s)* = S* о р*~ 5 о р*.
Для ортогонального преобразования р* — р'1. Действительно, пусть
/? — ортонормированный базис пространства £п, пусть т#(р) Р,
когда те(р*) = Рт, но так как р — ортонормированный, РР' - Еп,
следовательно, Рт = Р 1 => Те^р"1) = РТ Р* —“ Р-1- А матрица,
обратная к ортогональной, — ортогональна. Значит, р~~ ортого-
нальное преобразование. Тогда, положив $i = я, pi = р \ получим,
что
р — S о Р* ~ Si о Р1.
Пример. Найдем полярное разложение матрицы
Сначала найдем сингулярные числа и. сингулярные базисы матри-
цы Л.
т _ ( i -1W 1	( 2 ~14^
Л Л ~ \-7 7 J ^-1 7 J у—14 98 J '
det(ATA - ЛР2) - А2 - 100А = А(А - 100).
Отсюда следует, что собственные значения матрицы АТЛ — это
числа А] “ 100 и А2 = 0, значит, сингулярные числа матрицы A: ai= Ю
и а2 — 0.
Находим первый сингулярный базис.
63
В качестве векторов первого сингулярного базиса можно взять век-
торы
Так как rank Л — 1, вектор
/ - 1 Г1 ЛЛЛ - 1
1 “ 50V2 k-1 7 Л 7 Л k 1 /
Тогда второй сингулярный базис матрицы А имеет вид:
hi ~ —-=(—1к 1),	ho. = —т=(1,1)- 
х/2	"	-\/2
Найдем матрицу Р. Она удовлетворяет следующим условиям:
Pei — hi. i = 1. 2.
Рассмотрим матрицы Е — (61,62) и Н ~ (ЛрЛг), тогда РЕ — И.
Значит, ЕТРТ — НЕ Решая это матричное уравнение, находим Рт:
Отсюда следует, что
Находим матрицу S.
S = Р~] А = РТА
(так как матрица Р ортогональна).
В результате получаем, что полярное
цы А имеет вид:
__ 1 ( 1 -7\
~ 5 О7 49J '
разложение А -- PS матри-
64
4.10, Единственность полярного разложения
Пусть р — р о s — полярное разложение преобразования (р : £п-^
и, Тогда
о р — (р О $)* О {р о s) = S* о р* О р О s = 80 р-1 О р О s = £2,
го есть р*ор = s2, значит, преобразование 52 определено однозначно.
Теорема 25* Пусть з : £п —> £п. Собственные векторы преобразо-
вания 8 будут собственными векторами преобразования з2. Если
•: — самосопряженное преобразование с неотрицательным,и соб-
(твеннъьми значениями, то верно и обратное, то есть собственные
лекторы s2 будут, собственными и для з. При этом, если з2(и) = Хи,
то я (и) = аи, где а — \/Х
Доказательство. Пусть вектор и — собственный вектор для а, то
(т.ть s(u) = аи, тогда <s2(?i) = s(s(ia)) = s(au) = as(u) ~ a2u.
Получили, что s2(u) = а2и. Значит, собственные векторы пре-
< образования я будут собственными векторами преобразования s2.
Пусть s2(u) = Хи, причем з — самосопряженное преобразова-
ние пространства £п с неотрицательными собственными значениями.
Перем ортонормированный базис Е =	пространства £п,
состоящий из собственных векторов преобразования s:
s(e?) = евд, > 0, г = 1да
I оода
и — хдв\	хпеп.
s2(u) — Хи - A(.Tiei Ч------Ь хпеп) — Хх^.
i=i
С другой стороны,
s2(u) = s2(tiCi Ч------!- хпсп) = Xis2(ei) Ч-----Н жп52(еп) =
п
- TiQ2ei н-----+ Хпа2пеп =
i=l
Получим, что
п	п
S2(u) =	и tS'2(t£) “
3=1	2=1
65
Тогда
п
— 0;
7=1
следовательно ,
(А - af)Xi — 0, i — 1,п.
где Ж] ....} хп — координаты вектора и в базисе Еп. Получаем, что
x-i 0 только в случае, когда А — а? ~ Дд,
Это означает, что вектор и раскладывается только по векторам
базиса Е, которые соответствуют одному собственному значению
Q'i = л/А преобразования s. Значит, и — собственный вектор пре-
образования s.	□
Теорема 26. Самосопряженное преобразование однозначно опреде-
ляется своими собственными векторами и собственными значени-
ями.
Доказательство. Рассмотрим самосопряженное преобразование
s . 8п 8п.
Пусть Ai,, Ар, ,А$ 7= Хр г д J, i.j = 1,р, — все различные соб-
ственные значения преобразования s, И,..., Vp — соответствующие
собственные подпространства. Тогда любой вектор и 6 8п можно
представить в виде и ~ ui 4- • • • + иру щ Е И, причем такое предста-
вление единственно.
Разложение такого вида мы можем получить, объединяя слага-
емые, соответствующие одному и тому же собственному значению
в разложении вектора и по любому базису пространства 8п из соб-
ственных векторов преобразования в.
Докажем единственность. Пусть для некоторого вектора и Е 8п
существует второе представление:
а = г1! Н- • * • 4- Ьр, v-i Е V..
Тогда.
(п-[ — щ) + (^2 — V2) 4--h (ир — Dp) = 0.
Следовательно, система векторов {wi ~ щ,..., ир --- линейно зави-
сима, по это невозможно, так как все векторы соответствуют разным
собственным значениям, следовательно,
Ui - Vi = 0, i = Щ.
66
1 I ’ ~~~
J огда
— s(u± 4" * ’ • 4~ Wp) — s(tz-i) 4"" • * ~h s(iZp) — Auj 4- *  4* АрДр.
Преобразование s2 определено однозначно, а так как собственные
значения s неотрицательны, но согласно теореме 25 собственные век-
торы и собственные значения s однозначно определяю']1 сооственные
векторы и собственные значения s, которые, в свою очередь, одно-
значно определяют само преобразование я.
Ортогональное преобразование р в полярном разложении р ~
1> о s определено неоднозначно. Однако если преобразование р н.е-
г.ырождено, то есть гапкд = п, тогда невырождено и преобразова-
ние в. В этом случае преобразование р однозначно определяется как
i> = °s а
4.11. Сингулярные числа и сингулярные базисы
преобразования
Определим сингулярные числа и сингулярные базисы для ото-
бражений евклидовых пространств.
Рассмотрим некоторые свойства сингулярных чисел и сингуляр-
ных базисов преобразований.
Теорема 27. Для любого линейного преобразования р: S-п —> бп
max -----г- = Qi,
^е£,г\{о}
. ио
mm —;------= од.
?юДг\{о} I?/
где от — максимальное сингулярное число преобразования <р,
(У.п — минимальное сингулярное число преобразования р.
Доказательство.
Таким образом, мы видим, что квадрат отношения равен
отношению Релея для преобразования о р. Согласно теореме 22
67
An < p(u) < Ai, где Ai и An — соответственно максимальное и ми-
нимальное собственные значения преобразования <р* о р, Учитывая,
что — ДД. i — 1, п7 получаем:
Л. ¥>(«)1
С^П >	! I	^1’
|U|
Пример. Пусть р — преобразование пространства Ж2.
Рассмотрим единичную окружность
Линейное преобразование р переводит окружность в некоторый эл-
липс. Согласно теореме 27
max ——— = ci!,
?ieR2\{0} |u|
l^(u)|
mm  , .  = a2,
uei&2\{0} |t/-|
где ai и a2 — сингулярные числа преобразования p7 причем оа > ct2.
Это значит, что от и а2 — полуоси эллипса. То есть
Теорема 28. Для любого линейного преобразования р : £п —> £п
| det = от • а2 • ... • аП7
где CEi..... ап — сингулярные числа преобразования р.
Доказательство. Рассмотрим полярное разложение преобразования
р: р — р о s.
Пусть Е = {ci,..., еп} — первый сингулярный базис преобразо-
вания р.
Тогда
(«1 ... О
О ... ап
где аа,, ап — сингулярные числа, преобразования р.
Используя, что
А = PS, а
68
| det Р\ — 1,
получаем:
| det = | det A] = j det(P • S)| = I det P\  | det S[ = det S' =	, an.
Теорема 29. Для любого линейного преобразования р : £п —> £п
I tr (р| < СЕ1 н---------------------г
где ал?  - ♦; ап — сингулярные числа преобразования р.
Доказательство. Пусть Е = {ei,..., еп} — первый сингулярный ба-
зис преобразования р. Тогда
/о1 ... О \
тДД) = А, Т£?(р) = Р. тДз) = S = .............. ,
\0 ... ап)
где СИ1,..., ап — сингулярные числа преобразования р.
Используя, что А = PS, а |р^| < 1. % j = получаем:
| tr 9?| — | tr А| — | tr(PS) | =
Теорема 30. Образ любого вектора при линейном преобразовании
р: £п —> £п может быть найден, если известны сингулярные числа
и сингулярные базисы, этого преобразования.
Доказательство. Пусть Е = {ci,..., е„,} — первый сингулярный ба-
зис преобразования р, Н — {Е,... ,ЛП} — второй сингулярный ба-
зис преобразования р, {ой, ..., ап} — сингулярные числа преобра-
зования р. Рассмотрим вектор и Е 8п. Пусть и = i-iei +  • • 4- хпеп.
Заметим, что
(и, e-i) — Ti(ci, Ci) + ••••+•	е?:) — i — 1,n,
так как базис Е ортонормированный.
Таким образом,
п
и=^2^’ еОеп
4=1
Тогда
п
— [Ие0 —	* = 1}™] = У^^:(ц? в?;)727;.
2=1
Отсюда следует, что
2=1

4.12* Приведение матрицы линейного
преобразования к треугольному виду
Пусть р ; Vn —> Цг, <ф : Va -> Vn — преобразования векторного
пространстве! . Преобразования р и 0 называются перестановоч-
ными (или коммутативными), если
р о 'ф — О р.
Теорема 31. Подпространства Ker 0,1m 'ф инвариантны, относи-
тельно р, если преобразования р и ib перестановочны.
Доказательство. Пусть и е Im0 => 3?; е К, такой, что и — ^(у).
тогда = Д'ф(уУ) — 0(^(0)), так как и — перестановочны
р(и) 6 Im-0.
Аналогично с ядром:
и е Кег 0	0(и) = 0 => р('Ф(иУ) = О =Ф-
0((^(?z)) = 0 р(и) Е Кег0.
Множество собственных векторов преобразования (р, соответствую-
щих собственному значению А, образует собственное подпростран-
ство
— Кег((д — A id),
70
I
где id : Vn —> Vn — тождественное преобразование, то есть id(w) —
м, \u e Vn.
Теорема 32. Если о -?/; = ф о р, то Ker(^ — Aid) и lm(^ ~ Aid)
инвариантны относительно p для любого числа А.
Доказательство. Полностью следует из теоремы 31. Действительно,
если
р о ф = ф о р.
то
р о (Д — A id) — р о ф — А^, (?/; — A id) о р ~ ф о р — Хр.
то есть преобразования ф — Aid и р — перестановочны.	□
Следствие. Кег(<д — Aid) и 1т(<д — X id) инвариантны относитслъ-
но р.
В дальнейшем будем считать, что Vn — комплексное векторное
пространство.
Теорема 33. Любое линейное преобразование комплексного вектор-
ного пространства Vn обладает собственным вектором. В любом
инвариантном подпространстве содержится собственный вектор.
Доказательство. Собственные значения р — это корпи характери-
стического уравнения, но над С характеристическое уравнение име-
ет хотя бы один корень, а раз есть собственное значение, найдутся и
собственные векторы.
Если Vk С Vn — инвариантное подпространство, то есть
<^(Vfc) С 14, мы можем рассматривать <р| 14- Приметшем первое утвер-
ждение к ограничению <д|Т4*	□
Теорема 34. Если р оф — ф о р, то преобразования риф имеют
об’щий собственный вектор.
Доказательство. Пусть А — собственное значение фу тогда мно-
жество собственных векторов 1Д = Кег('0 — Aid) инвариантно от-
носительно р по утверждению теоремы 32, то есть ср (Кег (Д’ —
Aid)) С Кег(4 - Aid). следовательно, содержит собственный век-
тор р, но все векторы Кег(Д — Aid) — собственные для ф. Значит,
есть общий собственный вектор.	□
Теорема 35. В любом к-мерном инвариантном подпространстве
линейного преобразования р комплексного векторного пространства
14а можно найти (k — 1) -мерное инвариантное подпространство, то
есть существует Vk-i С К; такое, что <^(К-1) С К-1-
Доказательство. Сначала докажем, что для преобразования р про-
странства Vn существует (п — 1)-мерное инвариантное подпростран-
ство К-1-
Пусть А — собственное значение преобразования р. Тогда соб-
ственное подпространство Ker(^ — A id) инвариантно относительно р
и
dimKer(c/? — Aid) > 1,
значит,
dimlm((£> — Aid) < п — 1,
причем Tm(cp — Aid) инвариантно относительно р. Если
dimlni((£ — Aid) = п — 1,
то утверждение доказано: если
dixnlm(^ — Aid) < п — 1,
то покажем, что любое подпространство К-i, такое, что
- Aid) С К-1,
будет инвариантно относительно р.
Берем вектор и Е К-i- Нужно доказать, что р(и) Е К-i- Заме-
тим. что
(</> - A id) (u) е К-1,
(так как Im(<^ — Aid) инвариантно относительно Д Хи € К-1-
Тогда
(р — A id) (и) = р(и) — Хщ
р(и) — (р — Aid)K) + Хи.
Отсюда следует, что %>(w) Е К-i- Значит, мы в любом простран-
стве можем найти (п — 1)-мерное инвариантное подпространство.
Чтобы доказать теорему для любых fe, достаточно применить данное
утверждение к р | К, где К — любое инвариантное относительно р
подпространство.	□
72
О	(7^22 •
о о	.
I [ользуясь теоремой 35, можно получить цепочку вложенных друг в
1, । > у г я инвариантных подпространств:
И С V2 С ...К-1 с к, 9>(К) с Vi, г = 1~п.	(3)
'Теорема 36. Для любого преобразования р- : Vn Vn существует
базис Е = {ец....сп}; в котором его матрица является верхней
треугольной:
Q'lnX
а2п
азп
У 0	0 ... Щт J
Доказательство. Пусть имеется цепочка подпространств (3). Базис
В выбираем следующим образом: ei 6 Vp тогда € T'i, значит,
<д(е1) = Цце1. Пусть 62 6	^(е2) £ Иг ^(ег) выражаем через
базис ву и е2; (р(сз) = ^12е1 Т ^22е2 и так далее. Тогда на А’-м шаге
получаем {ej...., еД — базис Vk,
^(efc) € ^к)
причем
tp(ek) = ап,ег + а2ке2 Ч-+
Отсюда следует, что матрица Tg(<p) — треугольная.	□
Теорема 37. Для любого преобразования р унитарного простран-
ства Un существует ортонормированный базис, в котором его ма-
трица является верхней треугольной.
Доказательство. Берем базис Е из предыдущей теоремы и приме-
ним к нему процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Так как к
любому вектору мы прибавляем слагаемое из линейной оболочки
векторов ei,..., ek-i. то мы не выходим за пределы 14.	□
4.13. Нормальные преобразования
Преобразование р : Vn -У Vn называется нормальным^ если оно
перестановочно со своим сопряженным, то есть о р = р о <р^.
Теорема 38. В унитарном пространстве нормальные преобразова-
ния и только они обладают ортонормированным базисом из соб-
ственных векторов.
Доказательство. Согласно теореме 12
Кег (у/ о р) — Кегу>, Im(yP оу;) — Imy/;
Кег(у> о Д) ~ Кег р*, Im(y> о уУ) = Im р.
Отсюда следует, что для нормального преобразования
Кег р — Кег Д, Im р = Im Д.
Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма. Для любого преобразования р :	Vn (Ьп р) 1 = Кег Д.
Доказательство. Кегу>* - {/ G 1ф* | Д(Д — 0}. Возьмем любую
функцию / е Кег у?, получаем, что < ДДДи >— 0, при любом и G
Vn. Используя
получаем
(Л ДО) = 0> W <= К => f е (Imp)-1-.
Отсюда следует, что
Кег Д С (Imy?)^
Утверждение (Im у?)1 С Кег у)* доказывается аналогично.	□
В нашем случае (Im у)1 — Кег у. Это означает, что Un ~ Кег р ф Im р.
Утверждение теоремы докажем по индукции.
При п = 1 существование ортонормированного базиса простран-
ства U[ очевидно.
Рассмотрим нормальное преобразование р : Un -У Un. Пусть Л
— собственное значение р. Преобразование р — нормальное, значит,
преобразование р — Aid — тоже нормальное.
Действительно,
(у> — A id)* о (у? — A id) — (у?* — A id) о (у? — A id) —
— р* о р — Хр" — Хр + АА id.
(р - X id) о (у?* — A id)* = (у? — A id) о (<Д - z\ id) =
— р о р* — Хр* — Хр 4- АА id.
74
Тогда
Un = Ker(^ — Aid)	— Aid).
Ядро состоит из собственных векторов преобразования причем
dim Кег(99 — A id) > 1 => dim 1.01(99 — A id) < п — 1.
К пространству	— A id) применим предположение индукции, со-
гласно которому в нем существует ортонормированный базис, состо-
ящий из собственных векторов преобразования 9?.
Следовательно, в Un можно выбрать ортонормированный базис
из собственных векторов преобразования <д.
Осталось показать, что если преобразование 9?: Un —> Un облада-
ет ортонормированным базисом Е из собственных векторов, то оно
нормально. Рассмотрим
'Ге(^) = А =
О ... Хп
где Ai,..., Ап — собственные значения 99.
Ясно, что А* А = АА*, тогда 99* о р — ср о р*, следовательно, <р •—
нормально.
4.14. Свойства нормальных преобразований
Важными примерами нормальных преобразований являются са-
мосопряженные и унитарные. Напомним, что собственные значения
самосопряженного преобразования унитарного пространства дей-
ствительны. С другой стороны, любое нормальное преобразование
с действительными собственными значениями является самосопря-
женным.	___
В самом деле, пусть 99^) ~ А?;е?_, г — 1, n, Xi Е R. Тогда
Ai ... О
тер) =
А, т^(9?*) = А* = А.
о ... А„
Следовательно, самосопряженное преобразование есть в точности
нормальное преобразование с действительными собственными зна-
чениями.
75
Рассмотрим унитарное преобразование у: U^_ —-> Un. Пусть у (г/) =
Хи. Тогда, (zoи) =	~ iXu^Xu) = AA(zz,zt) => АА - 1 =>
|А| = 1.	'	' .
Рассмотрим преобразование у : Un —> Un. такое, что
у* о у = у о у*,
у(ег') —	!
где Е — {ei,..., еп} — ортонормированный базис Un, состоящий из
собственных векторов у.
Пусть
	ТЕ (Л =	Ai ...	О'	= л*.
		0 ... Ai ...	А„. О’	
		_0 ...	aJ	
Тогда				
то есть у — унитарное преобразование.
Значит, унитарное преобразование есть в точности нормальное
преобразование с собственными значениями, по модулю равными
единице.
Пусть у : Un —> Unr причем у* о & = у о у*. По теоре-
ме 38 отсюда следует, что существует1 ортонормированный базис
-Е —	пространства Un, такой, что у(щ) = Ащь г — 1,п.
Представим собственные значения у в экспоненциальной форме:
А& ~ к — 1,п. Тогда
где
Пусть S — тДб), Р = тДр). Мы показали, что любое нормальное
преобразование р можно представить в виде композиции <р = р о s =
s op, где р — унитарное преобразование Un. as — самосопряженное
преобразование Un с неотрицательными собственными значениями.
Значит, (4) — полярное разложение р.
Теорема 39. Для того чтобы преобразование р : Un —> Un было
нормальным, необходимо и достаточно, чтобы сомноо/сители в не-
котором полярном разложении р были перестановочны, то есть
р О Р = Р О р" Р ~ Р О s — 5 О р.
Доказательство. Необходимость доказана выше. Проверим доста-
точность, Пусть р — р о s = sop. Заметим, что р* — р"1 (так как
р — унитарное преобразование), Д ~ (р о $)* = (s op)*. Значит,
р* — s о р-1 — р-1 о s.
Тогда
р о Д — (я о р) о (р 1 о. з) = s о р о р 1 О S = s о р 1 о р о $ — Д о р.
Следовательно, р — нормальное преобразование.
Пусть р : С;
трим преобразования ф — | (<р +
Заметим, что р — фг
частью р, преобразование г/ —
Заметим, что
1
2г
п Un — преобразование пространства Un. Рассмо-
(р-~<р*) пространства Un.
rip. Преобразование^’ назовем действительной
мнимой частью р.
*
Я
то есть преобразования ф и у — самосопряженные.
С другой стороны, пусть имеются любые самосопряженные пре-
образования ф и 7] пространства Un. Тогда они являются соответ-
ственно действительной и мнимой частью преобразования -Не-
действительно. Д* — ф* “ i?f — ф — ip- Отсюда следует, что
Теорема 40. Пусть
ф = ф*. у — у\
где фуу : Un —> Un — преобразования пространства, Un. Следующие
утверждения эквива.лентны:
1)	<р = ф 4-7///— нормальное преобразование Un;
2)	преобразования ф и у обладают обгищм ортонормированным ба-
зисом, состоялищм из собственных векторов;
3)	ф о у = у о ф.
Доказательство. Покажем, что 1)	3).
Докажем, что 1) => 2). Пусть преобразование р нормально. Рас-
смотрим Е = {в] ,.,., 62} — ортонормированный базис пространстве!
Unj состоятций из собственных векторов преобразования	=
XiCi, 1,п. Пусть
78
В базисе Е матрицы преобразований д и ф — диагональные. Сле-
довательно, векторы Е являются собственными и для ту, и для ф.
Значит, Г! и обладают общим ортонормированным базисом, состо-
ящим из собственных векторов.
Докажем, что 2) => 3). Пусть Е = {щ,.... 62} — общий ортонор-
мированный базис, состоящий из собственных векторов преобразова-
ний д и ф. Тогда
те(^') =
ТЕ О?) =
А1	...	О
_ 0	...	Ап_
АД	...	О
_ 0	...
Видим, что ВС — СВ. Откуда следует, что г] и ф — перестановочные
преобразования, то есть ф о д = у о ф.
5. НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
5.1, Определение нормированного пространства
Пусть есть векторное пространство Vn (действительное или ком-
плексное). Функция || • || : Vn -Е Ж удовлетворяющая свойствам
1)
2)
3)
||п|| > 0, | п.|| “ О -ФФ и = 0:
| от|| — |а ||n||. Va е Р, Уи Е Vn,
и + n|| < ||n|| -h ||n||, Vn, v e Vn,
Pe{R,C}:
называется нормой.
Пара (Vn< || • ||) называется нормированным пространством. Отме-
тим еще одно свойство нормы:
||п — п||
- ||n|||; Vu,n Е Vn.
Доказ ательство.
и\
и — ?; + п|| — ||п|| <
\и — п|| + ||п|| —
\\и ~ п|

Аналогично доказывается, что ||п|| — ||п|| < ||п — п|
В нормированном пространстве мы можем определить расстоя-
ние между векторами и и v: р(и, п) = ||п — п||.
Свойства расстояния:
1)	р(п.п) > 0; р(п,п) — 0 и ~ п;
2)	p(n,n) — р(п,п);
3)	p(n,n) < p(n, w) + p(w,v) — неравенство треугольника.
Действительно,
p(n. v) — \\и—n|| — ||n—w+w—?;|| < ||n—w||-r||w—n|| = p(n, w)+p(w} п).
Для любого вектора и можно определить его е-окрестность:
O(n,c) = {n G V;jp(n,n) < е}.
80
Пусть есть последовательность векторов (un). Вектор и называется
11 (н. делом последовательности
(ип) : lim ип = и,
п->оо
«'ели Ve > 0 3iV£> Vn > iV£, ип G (||un — n|| < e).
Таким образом, определив предел последовательных векторов,
мы можем перенести на нормированные пространства все понятия
элементарного математического анализа (но в нашу задачу это не
входит).
Рассмотрим наиболее употребительные нормы векторов. Пусть
U — (яД, • ♦ • ) %п) •> G Рп •
1. Октаэдрическая норма:
п
— У" Ы-
i— I
2.	Евклидова норма (в комплексном пространстве — унитарная):
3.	Норма Гельдера:
4.	Кубическая норма:
\и\\^ — шах
Заметим, что в евклидовом (унитарном) векторном пространстве
длина вектора совпадает с его евклидовой (унитарной) нормой.
Несложно проверить, что октаэдрическая и кубическая нормы
удовлетворяют всем аксиомам нормы. Нормой Гельдера мы не бу-
дем пользоваться, поэтому и аксиом проверять не будем.
Пример, и 6 Сз, и = (2д 1 — % —5). Тогда
j 1 и11 о — 2 4- \/2 4~ 5 — 7 4" \^2,
\\и\\Е = л/4 Т 2 + 25 = л/зТ,
1ЫЬ = 5.
Определим единичную сферу в нормированном пространстве 14 :
Sn = (и Е К I ||w|| = 1}.
Теорема 1. Норма любого вектора .может быть вычислена, если
известна единичная сфера.
Доказательство. Рассмотрим Ц. — одномерное подпространство Vn.
Пусть и € V],. Покажем, что любое одномерное подпространство
пересекается с единичной сферой Sn. Вектор wo = Aw Е Vi> но
|w0|| = IIH5	“ Pl|llnll ~ 1’ значит? E Sn. Мы показали, что
wo G Vi Q S4
Берем любой вектор и 6 Бф П пространстве Ц есть вектор
wq е Р1П*5, а так как пространство одномерно, то и = Q'Wq. Отсю-
да следует, что
|w|| = ||qv0|| — |od|W| — |оф
Пример. Рассмотрим плоскость R2- На плоскости единичную сфер}'
можно назвать единичной окружностью.
Рассмотрим единичную окружность для основных векторных
норм:
1.	Евклидова норма: S% = {(ж, у) G Ж2 | %2 + V2 “ 1}-
2.	Октаэдрическая норма: S? — {(х.у) Е 1-2 ' ф| + |?/| = 1}.
3.	Кубическая норма: S% ” {(ж.т/) Е К2 | max{|^|, |у|} — 1.
Заметим, что октаэдрическая и кубическая векторные нормы на-
зываются так потому, что при п — 3 соответствующие единичные
сферы — это октаэдр и куб.
Пусть векторы Е 14, тогда множество векторов
и ~ awi + (1 — а)и2. а Е [0,1]
называется отрезком с концами и [ и и^. -
82
Теорема 2. Если концы отрезка принадлеэтат единичному шару,
то ему ’тгринадлежит и весь отрезок (единичный шар — это мно-
жество векторов
Доказательство, Пусть
{n е vn
М < 1}).
Ы| <х-
1. Тогда
|1Д| ~ ||сШ1 + (1 — а)^!' < ||сш1 || + |(1 — cy)u2 | —
= G'll^lll 4- (1 — О!)||^2|
а + (1 — а) = 1.
Следовательно,
|л.|| < 1? Vti G [^i; U2
5.2. Эквивалентность норм
, такая,
Пусть | • — норма в векторном пространстве Vn, а
несложно проверить, что функция || • |jj = <а|| * р
о:фа||, для любого и Е Vn также является нормой.
Пусть есть две нормы и для любого вектора и 6 Vn : ||tz||i
Тогда говорят, что норма
ЧТО ||WI 1 =
 [| 2 мажорирует норму || • ||1? и записывают:
2-
Пусть 0|.(и, а) есть s-окрестность вектора и Е К относительно
нормы || • |i, то есть v Е ОДи,е), если Цгл — г>||1 < е.
Тогда
О Ди. е) С Oj (и. в).
Действительно, если вектор v Е Оэ^е), то ||zz, — гЦз < £ По
|w " ^|[1 < ||^ “ !12 < £> следовательно, г G 01 (и, е).
Две нормы ||  || 1 и
||2 называются эквивалентными^ если суще-
ствуют такие от > 0 и > 0, что
а1|| •
< I! • 111 < «г|| • I
Покажем, что отношение эквивалентности норм действительно явля-
ется отношением эквивалентности.
1.	Рефлексивность:
' ||1 — | 1 Hi-
Достаточно ВЗЯТЬ Q'l = 0'2 = 1.
2.	Симметричность:
II • 1:1 — II ' 1,2 => || • ||г = I • 111-
ЭТО верно, так как
_1_
«2
3.	Транзитивность:
Пусть
1| • ||1 < || * Ц2 < CV2II * ||ь АП ' 1Ь <
I • ||з < АН • Ih =>
=> <21А||  111 < II • Ц.З < <2'2А|| • ||ъ
то есть
3-
Теорема 3. Пусть нормы || * ||i и || • Ц2 — экеивалеттпны, то есть
существуют числа > О, 0-2 > 0; такие, что
О1|| •
То г да
(Д ( Щ—) С О Ди. Т) С О2
\	^2 /
для любого вектора и Е Vn.
Доказательство. Пусть v Е Oi(iz,-s) => ||u — nj|i < в.
Тогда
Q'1 |iW — и||2 < ||tt — f||l < £.
Отсюда следует., что
значит,
Пусть
Тогда
84
и — V
1 < е => V е Oi(u,e).
Отсюда, следует. что
/ е \	~	.
щ — С СЛЦщс).
\ Q2 /
Теорема 4. Таким образом, последовательность (иД сходится к
вектору и по норме || • Д тогда и только тогда, когда она сходится
к вектору и по любой эквивалентной ей норме || • Д.
Доказательство. Пусть (ип) сходится к и по норме | • ||1? то есть
Vs > 0. 3iVe, \/и > Ns, ||tz.n“w||i < е, ип G 01 (u, s) => ип 6 Оз(^?
(по теореме 3).
Это означает, что
Vs > О, ЗЛ>, Vu > N- ип — и 2
'Таким образом, последовательность (иД сходится к вектору и до нор-
ме || • ||2- Обратное утверждение следует из симметричности отноше-
ния эквивалентности норм.	□
Теорема 5. Октаэдрическая, 'кубическая и., евклидова нормы экви-
валентны в арифметическом пространстве Vn.
Доказательство. Пусть есть произвольный вектор и ~ (ад,..хД Е
Vn, Пусть Е — {ед,..., ел.} -— канонический базис Vn. Выразим вектор
и через базис Е:
и — ад(1.0,..., 0) Т * • • -б а?п(0,0,..., 1) “ 3S'i&i Т  * * ~h хпеп.
Для любой нормы пространства Vn выполняется следующее:
Заменим все ||е?;|| на
max ||б;|| — ci.
1<г<72
Тогда
—	Q.
(1)
85
С другой стороны,
max я л >
1<г<п
2=1
5
где
п
г
2=1
Применив (1) к кубической норме, а (2) к октаэдрической норме,
получаем, что:
1.
следов ате льно,
Заметим, что
П
max ku.?; < А 2 < у/п max жЛ
1<3<71	\	' *	1<г<72
\ 2=1	---
Это означает, что
'w||t — 1Ы|в < V^lkllb следовательно, ||  Ц# = |
Примем следующую теорему без доказательства.
Теорема 6. В конечномерном пространстве все нормы эквива-
лентны.
5.3.
Нормы матриц
Пусть матрица A f lRm,n- Будем говорить, что матричная норма
в пространстве Жт>„ согласована с векторными нормами в простран-
ствах и Rm, если
||АХ|| <
Л||||.Х||, VXeR„„ VAeRm,n
Определим матричную функцию:
. л:	11^1
||А|| = sup ц^-ц
X е Rn,
х 0.
Заметим, что
|АХ|
ИЛ
|-4Хо
, где ||Х0|| = 1.
(3)
86
Это означает, что функция (3) может быть записана в следующем
виде:
ЦАЦ = sup ||АХ|
1|А'|!=1
(4)
Теорема 7. Функция
|А||—sup-——- {или ||Л|| — sup ||АХ||)
Л1.	М-i
определена: и является согласованной нормой в для любых норм
в и ]Rn.
Доказательство. Проверим ограниченность Этим мы докажем
существование точной верхней грани.
г\	Ъ4Х||	NAYII
Откуда следует, что ! S 7? значит, отношение рд ограниче-
но. Покажем, что функция (3) определяет норму. Проверим выпол-
нение аксиом нормы:
1. ||А||>0^Щ^ >0
|Л1| = 0 о sup UpM = 0
||АХ|| = О, VX £ Ж„
4Х = 0 А = 0.
|]ciA||
<1АХ|| = sup (|cv|||АХj|) — ]се| sup
||Х||=1	цх;|=1
|Л + В||= sup
||X[|=1
(A + B)X|| — sup
Wl=i
I AX + BX
|AX|| = H  ||ЛЦ.
Hll=i
87
+||BA'||)< sup ||ЛХ|| + sup ||BX|| = m|| + ||B| .
||x||=i	|M=i
Докажем согласованность. По определению точной верхней грани
^a<sl.P^a=Mi,
следов ате льно ,
||АХ|[ < ||А|| • ||Х||, VX ея.,
значит, норма (3) является согласованной матричной нормой. П
Определение. Матричная норма в ]Rm.n, определяемая формулой
(3), называется индуцированной векторными нормами в простран-
ствах Rn и ]Rm.
Теорема 8. Любая согласованная норма мажорирует индуцирован-
ную.
Доказательство. Заметим, что любая согласованная норма матри-
цы А является верхней границей отношения но верхняя
грань — это наименьшая из верхних границ, то есть
||ЛА||	||АХ||
| 2Д Ь11Р | Y|
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Aj
Пусть А € JR™??.- Говорят, что норма сохраняет единицу, если
!|-М= 1.
Определение. Норма называется кольцевой
если
(или матричной),
[| А - В\\ < ||А|| • ||В||,
для любых матриц А, В Е ЖП1П.
Мы будем придерживаться термина кольцевая норма. В против-
ном случае может возникнуть ситуация, когда норма матрицы не
является матричной нормой.
Рассмотрим некоторые свойства кольцевых норм:
Л-Еп\\ < ЦАН1-М-
Отсюда
ни < ми • им,
следовательно,
R I > 1
88
Ясно, что для кольцевой нормы ||A”'|| < |;Л||”. Кроме того,
значит,
||Л • Л-1|| < ||Л||  ||Л-1||,
тогда
Отсюда следует, что |А-11| > ЦАЦ"1.
Теорема 9. Любая индуцированная норма сохраняет единицу и
является кольцевой.
Доказательство. Заметим, что
|Д?..|Ь ~ SUP ~	ттд ~ 1'
1№1 А 1|	i№1 | X |
Докажем, что индуцированная норма является кольцевой.
||А-В||7 = sup ||(АВ)Х|| = sup ||А(ЯХ)|| <
ЦН	!1*1М'
[так как ||АУ[| < ||АД||У||]
< sup (ЦАЦ/ • ||ВХ||) = ||A||i sup
И1Н	|pq>i
ВХ\\ = ||А|Д||В||ь VA,B еЖп??
15	I I	| -*• >	J	t V J Ь
Пусть A G Rmin, В е К.„Л. Тогда АВ е Ктд
Можно обобщить кольцевое свойство норм и на этот случай. Оно
имеет следующий вид:
W
М • В||з < ||ЛЦ2  Pili, VA е Rm,„, vb е EU,
|1 — норма в к, ||  ||2 — норма в Rm,n, | • |з — норма в К^ь.
J I 1	г *
89
5.4.	Наиболее употребительные нормы матриц
Будем рассматривать два типа норм матриц: векторные (когда
матрицы размеров т X тг отождествляются со строкой (столбцом)
длины 7тг • п) и индуцированные в пространстве матриц наиболее упо-
требительными векторными нормами (октаэдрической, кубической и
евклидовой).
Рассмотрим матричную норму, которая индуцируется евклидо-
вой (унитарной) векторной нормой.
Такая норма называется спектралътьой и обозначается ||А Ц5.
Теорема 10. Спектральная норма матрицы не меняется при умно-
жении этой матрицы на ортогональную (унитарную) матрицу,
то есть

где Р — ортогональная матрица.
Доказательство. Заметим, что умножение столбца X G Рп на орто-
гональную матрицу Р не меняет его длины (евклидовой нормы):
||РХ|Ь - )|Х||в, VX е р„,
тогда
М ' P||s < J-^llsITIIs — Mils,
так как любая индуцированная норма является кольцевой. С другой
стороны,
|s = ЦАР • FT||s < ||APi|s||FT||s = ||AF||s
так как
Отсюда следует:
Утверждение ||FA||s “ доказывается аналогично.
Воспользуемся сингулярным разложением матрицы Л € Рт<п'
Л = QVP, где QQT = Ет, РР' = Еп.
90
значит, ||A||s < nj.
Если мы рассмотрим вектор Xq — (1,0,.... 0), то
IIWIIe
||^о{|е
отсюда, следует, что
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 11. Спектральная норма матрицы равна ее наибольшему
сингулярному числу.
Следствие. Если А 6 IR^n, det_4 0, то ||А 1|| — где ап —
наименьшее сингулярное число .матрицы А (для невырожденной ма-
трицы оно не равно нулю).
Рассмотрим матричную норму, которая индуцируется октаэдри-
ческой векторной нормой.
91
Теорема 12. Для любой матрицы А € Рт.п значение матричной
нормы, индуцируемой октаэдрической векторной нормой, вычисля-
ется по формуле
Mill ”'~
т
Доказательство. По определению значение |М1|ь индуцированное
октаэдрической векторной нормой, вычисляется следующим обра-
зом:
||А||1 = sup ||ААГ||о-
	i|A'||o=l
'fl,
Пусть X £ Рп, |Х0'| = 1, то есть Д' |жу| — 1.
.7=1
Тогда
Рассмотрим
92
Тогда
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 13. Для любой матрицы А Е Рт.п -значение матрицей
нормы f индуцированной кубической векторной нормой, вычислялся
по формуле
п
ЦАЦ2 — max \ |а^|.
Отождествим матрицу А £ Рт,п со строкой (столбцом) длины
и запишем формулы для вычисления векторных норм матрицы А:
т п
т п
Заметим, что норма ЦАЦ^ не является кольцевой, поэтому вместо
нее используется обобщенная кубическая норма:
1|А||/+ — \/тп max |щф
1<г<ш
Пример. Запишем значения наиболее употребительных норм для
матрицы
||A||S = V1+ 1 + 4 + 9 +25 = ДЮ;
Milo - 12;
И111 = 10;
И|2 = б.
Для вычисления спектральной нормы найдем сц — наибольшее син-
гулярное число матрицы /1. Ищем собственные значения матри-
цы
dctf/V Л - ХЕ2) = А2 - 40А + 27 = 0.
Aij2 = 20 ± 0373.
Отсюда следует, что
6. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЙ
6.1.	Оценка модулей собственных значений
Определение. Пусть A.;, i = 1,п — собственные значения матрицы
A 6 Сп,п. Число
А/i = max А2|
1<1<П
называется спектральным радиусом матрицы А.
Теорема 1. Если матричная норма кольцевая, то Ал < il А || для
любой матрицы А Е Сп,п-
Доказательство. Пусть Ал — |AJ, АХ — А-<Х, X Е Спд.
Рассмотрим матрицу В Е СП;П, у которой первый столбец равен
А”, а остальные — нулевые. Тогда АВ — XLB. Отсюда следует, что
NPII = IIAxBIH \\ЛВ\\ < ||А1Н|В||.
Значит, Ад < ||А|д так как
В > 0.
Применяя теорему к различным матричным нормам, получаем
Следствие, Пусть Aj....,An — собственные значения матрицы
А Е Сп>п> тогда для любого к — 1, п:
95
п
>1
где ai — наибольшее сингулярное число матрицы Л.
Теорема 2. Для любой матрицы А Е СП)П ап < | AJ < cvp где
А/с, к — 1,п~~ собственные значения матрицы А, О] и ап — соот-
ветственно наибольшее и наименьшее сингулярные числа матри-
цы А.
Доназ ательств о. IIусть
Тогда.
Получаем:
|ЛА:|2 = |АХ|2 = (АХ)*АХ -
= Х*(А*А)Х - (А*АХ,Х) - р(Х\
где р(Х) — отношение Релея матрицы А.
Согласно теореме 22, глава IV, о2 < р(х) < а2. так как собствен-
ные значения матрицы А* А равны квадратам сингулярных чисел ма-
трицы А. Значит, а2 < |ЛА:|2 < а2, Vk ~ 1,п, Откуда следует, что
ct-p, | А А; о 1, \/к — 1,7 а
6.2.	Оценка действительных и мнимых частей
собственных значений
Пусть матрицы А Е Сп.!И Ар ..., Ап — собственные значения ма-
трицы А.
Рассмотрим матрицы S — |(А + А*) и 7 = ^(А — А*), тогда
А — S ~г iT. Заметим., что 5* = S, Т'‘ Т.
Теоре.ма 3. Пусть матрица S имеет собственные значения
а .матрица, Т — собственные значения	упо-
рядоченные т,аким образом, что
> «2 > • •' > Д > р2 > •  • > /Зп.
Тогда
Cfy} < btc А/ Cl'l;
Аг < 1шА?; < /31.
Доказательство. Пусть
АХ = А.Х, X 6 СП5ь |Х = 1.
Тогда
Х*А* - XhX*.
Возьмем отношение Релея для матрицы S:
р{х) = (SX, X) = X*SX -	+ А*)Х = Д*АХ + Х*А*Х) =
Отсюда следует: од < ReA^ < ay, Vfc = l,n.
Аналогично доказывается, что Д < ImA/c < /?i, Vfc — 1,п.
Пусть матрица A G Сп./2. Рассмотрим унитарную матрицу U G
С^п, такую, что матрица В = U"1 AU = U*AU — верхнетреугольная.
Так как унитарная норма матрицы не меняется при умножении на
унитарную матрицу, то
где Х{. — Ьц, i = 1,п — собственные значения матрицы А.
Мы показали, что
п
En2<ii<-
Равенство возможно тогда и только тогда, когда матрица В — диа-
гональная, следовательно, матрица А — нормальная.
Пусть В — и*А1Д тогда Bv — UAA'U и для матрицы 5 из теоре-
мы 3
Значит, диагональные элементы матрицы |(В-ЬВ+) равны Re А?:, i —
1, п. Отсюда следует:
97
2-1	i=l
Мы показали, что
п
£(ИеАг)2 < j|S||a.
2=1
Аналогично доказывается для матрицы Т из теоремы 3:
П
£|ImAd2<lK.v
4 — 1
Тогда
п max
В результате получаем:
а-;.;
п max
a:ji
| Im Xi | < n max
G'j i
6.3.	Локализационные круги
Пусть матрица А 6 Cnjl. Будем говорить, что матрица А имеет
доминирующую главную диагональ, если
71
|«й| > У |аД для всех г = 1,п,
к=1
то есть каждый диагональный элемент матрицы А по модулю больше
суммы модулей остальных элементов этой строки.
Теорема 4. Если матрица А Е Сп?п имеет доминирующую главную
диагональ, то она невырождена.
98
Доказательство. Пусть det А = 0. Тогда существует ненулевое ре-
шение X € Спд системы линейных уравнений АХ = 0.
Пусть
X = (а?1,.... xnj ,
Ш — max Ixfcl.
Рассматривая г-е уравнение системы АХ = 0, получаем:
ац'х^
Отсюда следует:
п	п
аи\	^’ik^k A |^i
&=1	Л.-1
(Дн)	k^i)
Получаем, что
п
(к^г)
Так как 0,
п
\^ii |
Значит, матрица А не имеет доминирующую главную диагональ. По-
лучили противоречие. Система АХ = 0 имеет только нулевое реше-
ние, следовательно, det А 0.	□
Применяя утверждение теоремы 4 к матрице А', найдем еще од-
но условие невырожденности матрицы А.
Если
, для всех г — 1, ?г.
то матрица А невырождена.
99
Теорема 5. Все собственные значения матрицы Л Е Сп>п находят-
ся в объединении кругов
п
X — ащ < УУ |^|, для всех i = 1,п.
Доказательство. Предположим, что А — собственное значение ма-
трицы А, в эти круги не входит.
Отсюда следует, что
и
А —	|а^|, для всех i — 1, п.
а—1
Это означает, что характеристическая матрица А — ХЕп имеет
доминирующую главную диагональ.
Тогда det (А — ХЕД Д 0, значит, А не может быть собственным
значением, следовательно, наше предположение было неверно. □
. Следующую теорему примем без доказательства.
Теорема 6. Множество из г локализационных кругов, не пересека-
ющихся с остальными п — г кругами, содержит ровно г собствен-
ных значений.
Следствие. Некратный локализационный круг действительной
матрицы, не пересекаюишйся, с остальными кругами, содержит
действительное собственное значение.
Доказательство. Так как некратный локализационный круг не пе-
ресекается с остальными, согласно теореме 6 в нем лежит ровно одно
собственное значение.
Поскольку матрица действительная, центр круга находится на
действительной оси, поэтому если бы собственное значение А матри-
цы А, лежащее , в этом круге, было комплексным, то. кругу принад-
лежало бы и собственно значение А. Значит, А — А, следовательно,
А Е 1.	□
Замечание. Так как собственные значения матриц А и Аг совпадают,
мы можем записать второе множество локализационных кругов:
п
А — ац\ < У |a^J, для всех i = 1, п.
7г—1
(й/Й
ЛИТЕРАТУРА
1.	Беклемишев, Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры / Д. В. Беклемишев.
М.: Наука. 1983.
2.	Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М. : Мир, 1967.
3.	Размыслович, Г. П. Геометрия и алгебра / Г. П. Размыслович, М. М. Феденя,
В. М. Ширяев. Мп. : Университетское, 1987.
4.	Ланкастер, 77. Теория матриц/П. Ланкастер. М.: Наука, 1978.
5.	Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1969.
6.	Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств / М- Маркус,
X. Минк. М. : Наука, 1972.
7.	Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. М.:
Наука, 1984.
8.	Гельфанд, И. М. Лекции по линейной алгебре /11. М. Гельфанд. М.; Наука, 1971.
9.	Мазаник, С. Л. Функции от матриц / С. А. Мазаник, Г. П. Размыслович,
В. М, Ширяев. Мн. : БГУ, 2002.
10.	Хорн, Р. Матричный анализ /Р. Хорн, Ч. Джонсон. М.: Мир, 1989.
11.	Размыслович, Г. П. Сборник задач по геометрии и алгебре / 1. И. Размыслович,
М. М. Феденя, В. М. Ширяев. Мн. : Университетское, 1999.
12.	Милованов, М. В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 2 /
М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. Мн. : Вышэйш. шю, 1987.
13.	Деменчук, А, К. Задачи ио матричному анализу / А. К. Деменчук, Б. Б- Комраков,
I'. П. Размыслович, В. М. Ширяев. Мн. : БГУ, 2004.
14.	Икрамов, X. Д. Задачи по линейной алгебре / X. Д. Икрамов. М.: Наука, 1975.
15.	Проскуряков, 77 В. Сборник задач по линейной алгебре / И.В. Проскуряков. М. :
Наука, 1984.
библиотека]
БГУ
*"	11 ..—	—IIIU.J
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................ 3
1.	ПСЕВДООБРАТНАЯ МАТРИЦА...........................................    4
1.1.	Скелетное разложение матрицы......................................4
1.2.	Определение псевдообратной матрицы................................5
1.3.	Нормальное псевдорешение системы линейных уравнений...............9
2.	ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ...................................................13
2.1.	Функции от матричного аргумента..................................13
2.2.	Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра...................18
3.	МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ.................................................22
3.1.	Решение уравнения АХ=ХВ..........................................22
3.2.	Решение уравнения АХ~ХА..........................................28
3.3.	Решение уравнения АХ-ХВ — С..............................................................................31
4,	СОПРЯЖЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.............................................33
4.1.	Сопряженное пространство.......................................  33
4.2.	Ортогональное дополнение.........................................37
4.3.	Определение сопряженного отображения.............................39
4.4.	Сопряженное преобразование.......................................42
4.5.	Сопряженное отображение евклидовых пространств...................44
4.6.	Сингулярные базисы отображения...................................49
4.7.	Сопряженное отображение комплексных пространств..................56
4.8.	Экстремальные свойства собственных значений.......................59
4.9.	Полярное разложение линейного преобразования...................  61
4.10.	Единственность полярного разложения...............................65
4.11.	Сингулярные числа и сингулярные базисы преобразования............67
4.12.	Приведение матрицы линейного преобразования к треугольному виду...70
4.13.	Нормальные преобразования......................................  73
4.14.	Свойства нормальных преобразований...............................75
5.	НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ.............................................80
5.1.	Определение нормированного пространства..........................80
5.2.	Эквивалентность норм.............................................83
5.3.	Нормы матриц..................................................   86
5.4.	Наиболее употребительные нормы матриц............................90
6.	ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ....................................95
6.1.	Оценка модулей собственных значений............................  95
6.2.	Оценка действительных и мнимых частей собственных значений.......96
6.3.	Локализационные круги............................................98
ЛИТЕРАТУРА.........................................................  101:
Учебное издание
Комраков Борис Борисович
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ
КУРС ЛЕКЦИЙ
В авторской редакции
Технический редактор Г. М. Романчук
Корректор IL И. Мирончик
Ответственный за выпуск Т М. Турчиняк
Подписано в печать 19.01.2006. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Roman.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 6,05. Уч.-изд. л. 3,83. Тираж 150 экз. Зак.825
Белорусский государственный университет.
Лицензия на осуществление издательской деятельности
№ 02330/0056804 от 02.03.2004.
220050, Минск, проспект Независимости, 4.
Отпечатано с оригинала-макета заказчика.
Республиканское унитарное предприятие
«Издательский центр Белорусского государственного университета».
Лицензия на осуществление полиграфической деятельности
№ 02330/0056850 от 30.04.2004.
220030, Минск, ул. Красноармейская, 6.