Билеты 1997
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ за 1997 г. — М.:
Издательство МФТИ, 1998. 48 с.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
абитуриентам Московского физико-технического института в 1997 г. Все задачи
снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными
указаниями к решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось
4,5 часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей
школ с углубленным изучением физики и математики.
Ил. 54
1704010000—006	,	© Коллектив авторов
98 ®ез °°ъявления © Издательство МФТИ, оформление 1998
ISBN 5-89155-026-1
Билет 1
1.	Решить неравенство
1оё|2х + 1| х2>2‘
2.	Решить уравнение
3.	В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основаниям AD
и ВС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между
точками А и В, имеет с отрезком ВС единственную общую точку С,
проходит через точку D и пересекает отрезок AD в точке Е (Е^= D).
Найти расстояние от точки К до прямой CD, если AD = 48, ВС =12.
4.	Графику функции у = х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точки А и
В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому гра-
фику в точке А и В параллельны между собой. Одна из этих касатель-
ных проходит через точку (0; —1), а другая — через точку (0; —5).
Найти значения а, b и с.
5.	Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар радиуса
Зт*
так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности
цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего основа-
ния, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найти ради-
ус основания цилиндра, если его высота равна 4г.
Билет 2
1. Решить неравенство
logx2 | Зх + 11 < ^.
2. Решить уравнение
3. Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках
А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей внутри тре-
угольника, расположена точка К так, что расстояния от нее до сторон
АС и ВС равны 6 и 24 соответственно. Найти расстояние от точки К
до стороны АВ.
3
4. Графику функции у — —х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точки А
и В, симметричные относительно прямой х = —2. Касательные к этому
графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих
касательных проходит через точку (0; —2), а другая — через точку
(0; —6). Найти значения а, Ъ и с.
5- Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар
Г
радиуса так, что каждый шар касается двух других, нижнего
основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус осно-
вания цилиндра.
Билет 3
1.	Решить неравенство
2-	Решить уравнение
1оё|Зх+2| х2>2-
sin х
sin Зх
sin 5х
sin х
= 8 cos х cos Зх.
3.	В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основаниям AD
и ВС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между
точками А и В, проходит через точки С и D, пересекает отрезки AD и
ВС в их внутренних точках. Найти расстояние от точки К до прямой
CD, если AD = 49, ВС = 36.
4.	Графику функции у = х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точки А и
В, симметричные относительно прямой х = —2. Касательные к этому
графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих каса-
тельных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0; 5).
Найти значения а, Ь и с.
5.	Внутри цилиндра лежит шар радиуса г и два равных шара радиуса
Зг
-у так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности
цилиндра, причем шар радиуса г касается нижнего основания цилинд-
ра, а два других шара касаются верхнего основания цилиндра. Найти
радиус основания цилиндра, если его высота равна 4г.
Билет 4
1-	Решить неравенство
4
2.	Решить уравнение
sin Зх cos Зх_	2
sin 2х cos 2х cos Зх’
3.	Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках
А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне тре-
угольника, расположена точка К так, что расстояния от нее до продол-
жений сторон АС и ВС равны 39 и 156 соответственно. Найти рассто-
яние от точки К до прямой АВ.
4.	Графику функции у = — х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точки А
и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому
графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих каса-
тельных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6).
Найти значения а, b и с.
5-	Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар
радиуса 2г так, что каждый шар касается двух других, верхнего
основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус осно-
вания цилиндра.
Билет 5
1. Решить уравнение
log3 (6 sin х + 4) log5 (6 sin x + 4) =
= log3 (6 sin x + 4) + log5 (6 sin x + 4).
2- Решить неравенство _______________
13 — Зх + Vx2 — x — 6
5—x	> L
3.	В треугольнике ABC на сторонах AC и ВС расположены точки D и
Е соответственно так, что BD — биссектриса треугольника АВС,
DC==CE~~, BD~2, A ABC — LADB. Найти ВС и площадь 5 тре-
О
угольника АВС.
9
4.	К графику функции у = — х + проведена касательная, пере-
секающая график функции у = j —- 2 | х + 21 в точках А и В. Найти
*г
радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точ-
Г5\	2
—2; - , если Z-CAB — 2 arccos ту + Z_CBA.
5
5.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро
равно а и равно диагонали основания ABCD. Через точку А па-
раллельно прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой
AD угол, равный arcsin—. Найти площадь сечения пирамиды пло-
скостью Р и радиус шара, касающегося плоскости Р и четырех
прямых, которым принадлежат боковые ребра пирамиды.
Билет 6
1.	Решить уравнение
log2 (4 cos х 4- 3) log6 (4 cos x 4- 3) =
= log2 (4 cos x 4- 3) 4- log6 (4 cos x 4- 3).
2.	Решить неравенство
7 - Зх + Vx2 + Зх-4
-----—з---------<“1-
3.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС расположены точки
и Е соответственно так, что CD — биссектриса треугольника АВС,
DE — биссектриса треугольника ACD, EC = ED = ~, ВС= 1. Найти
CD и площадь S треугольника АВС.
х2 16
4.	К графику функции у — — уу + * —Г проведена касательная, пе-
ресекающая график функции у = 3 | х 4- 61 — j в точках АиВ. Найти
радиус окружности, описанной около треугольника с. вершинами в точ-
ках А, В и С ^—6; —	, если АСАВ= 2 arccos ^== 4- АСВА.
5.	В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром а через точку А параллельно
прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой АВ угол, рав-
ный arcsin 2^2 • Найти площадь сечения куба плоскостью Р и радиус
шара, касающегося плоскости Р и граней ABCD, ВСС1В1 и DCCjD^
Билет 7
1.	Решить уравнение
log3 (5 sin х 4- 6) log7 (5 sin x 4- 6) =
= log3 (5 sin x 4- 6) 4- log7 (5 sin x 4- 6).
6
2.	Решить неравенство
13 — 6х + V4x2—2х —6
3.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены точки Е и
D соответственно так, что СЕ — биссектриса треугольника АВС,
ED=AD = ~, СА=4, ААСВ=АСЕВ. Найти СЕ и площадь S тре-
угольника АВС.
х2 2	4
4.	К графику функции у = j х -Ь j проведена касательная, пе-
ресекающая график функции у = 1 — | х + 11 в точках А и В. Найти
радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точ-
ках А, В и С (—1; 1), если АСАВ= 2 arccos + АСВА.
5.	В треугольной пирамиде SABC все ребра, кроме 5Л, равны а, а
ребро SA равно высоте треугольника АВС. Через точку А параллельно
прямой ВС проведена плоскость Р, образующая с прямой АВ угол, рав-
V3
ный arcsin —. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью Р и ради-
ус шара с центром на прямой, проходящей через точку S перпендику-
лярно плоскости треугольника АВС, касающегося плоскости Р и пло-
скости треугольника SBC.
Билет 8
1.	Решить уравнение
log5 (7 cos х + 8) log9 (7 cos x + 8) =
= log5 (7 cos x + 8) + log9 (7 cos x + 8).
2.	Решить неравенство
26 - Зх 4- Vx2 —2x —24
-------5Гйо-------<-1-
3.	В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС расположены точки
Е и D соответственно так, что AD — биссектриса треугольника АВС
DE — биссектриса треугольника ABD, АЕ = ED = —, CD = Найти
АС и площадь S треугольника АВС.
7
8
4.	К графику функции у = —-—	проведена касательная, пе-
ресекающая график функции у=3 | х — 31 — ~ в точках А и В. Найти
О
радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точ-
ках А, В, и С 3; —	, если АСАВ = 2 arccos + АСВА.
5.	В правильной четырехугольной призме ABCDA{B{C{D{ сторона
основания АВ равна а, боковое ребро АА{ равно Через точку А па-
раллельно прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой АВ
угол, равный р Найти площадь сечения призмы плоскостью Р и радиус
шара, касающегося плоскости Р и граней	АВВ{А{ и ADD{AV
t
Билет 9
1.	Найти все действительные корни уравнения
х —
2.	Решить систему уравнений
J3 cos х cos у + 7 sin х sin у = 4,
15 cos х cos у — 3 sin х sin у = 3.
3,	Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две
стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна
одной из сторон ромба и равна 5. Найти сторону ромба.
4.	Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) та-
ких, что числа х, у и 6 — 2х являются длинами сторон некоторого тре-
угольника. Найти площадь фигуры М.
Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство
t2 + 2tx + 4х — у > 0 выполняется при всех значениях параметра t
Найти площадь фигуры Ф.
5.	В треугольной пирамиде ABCD ребра АВ и CD взаимно перпен-
дикулярны, AD = ВС, расстояние от середины Е ребра АВ до плоскости
ACD равно A, ADAC = 5, AACD = -^, угол между ребром DC и гранью
A*	Q
АВС равен р Найти расстояние от точки Е до плоскости BCD, угол
между ребром АВ и гранью ACD, а также угол между гранями ABD и
АВС.
8
Билет 10
1.	Найти все действительные корни уравнения
12Vx + 1 — х | + | х — 2Vx + 21 =7.
2.	Решить систему уравнений
J6 sin х cos у + 2 cos х sin у = —3,
15 sin x cos у — 3 cos x sin у = 1.
3-	Около окружности описаны ромб со стороной 3 и треугольник, две
стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна
одной из сторон ромба и равна 7. Найти радиус окружности.
4-	Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) та-
ких, что числа Зх, 2у и 9 — у являются длинами сторон некоторого тре-
угольника. Найти площадь фигуры М.
Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство
t2 + 2t(x — 2) + 7 — у > 0 выполняется при всех значениях параметра Л
Найти площадь фигуры Ф.
5.	В треугольной пирамиде ABCD ребра АС и BD взаимно перпенди-
кулярны, АВ = BD = AD = а, середина ребра АС равноудалена от пло-
скостей ABD и BCD, угол между ребром АС и гранью CBD равен
arcsin Найти длину ребра CD, угол CAD и угол между ребром BD и
гранью ACD.
Билет 11
1.	Найти все действительные корни уравнения
2-	Решить систему уравнений
9 cos х cos у — 5 sin х sin у = —6,
7 cos х cos у — 3 sin х sin у = —4.
3.	Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две
стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна
одной из сторон ромба и равна 7. Найти сторону ромба.
4.	Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) та-
ких, что числа 2х, у и 3 — х являются длинами сторон некоторого тре-
угольника. Найти площадь фигуры М.
9
Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство
t2 — 2tx + 2х — у + 3 > О выполняется при всех значениях параметра t.
Найти площадь фигуры Ф.
5-	В треугольной пирамиде ABCD ребра ВС и AD взаимно перпен-
дикулярны, АВ — CD, расстояние от середины О ребра ВС до плоскости
ABD равно h, ACAD — ACDA — ~, угол между ребром AD и гранью
2
АВС равен arccos -7^. Найти расстояние от точки О до плоскости ACD,
угол между ребром ВС и гранью ABD, а также угол между гранями
АВС и BCD.
Билет 12
1.	Найти все действительные корни уравнения
13Vx + 2 — х | + | х — 3Vx + 31 =9.
2.	Решить систему уравнений
{3 sin х cos у — 7 cos х sin у = 6,
7 sin х cos у + 5 cos х sin у — —2.
3.	Около окружности описаны ромб со стороной 4 и треугольник, две
стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна
одной из сторон ромба и равна 9. Найти радиус окружности.
4.	Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) та-
ких, что числа Зх, у и 18 — 2у являются длинами сторон некоторого
треугольника. Найти площадь фигуры М.
Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство
t2 + 2tx + 4х + у — 6>0 выполняется при всех значениях параметра /.
Найти площадь фигуры Ф.
5.	В треугольной пирамиде АВ CD ребра АВ и DC взаимно перпен-
дикулярны, AADB=-^, A ABD = р угол между ребром CD и гранью
ABD равен AD — а, середина ребра CD равноудалена от плоскостей
ABD и АВС. Найти длину ребра ВС, угол CDB и угол между ребром
АВ и гранью BCD,
Билет 1
1. Пуля летит горизонтально со скоростью Уо, пробивает лежащую
на горизонтальной поверхности стола коробку и вылетает в том же
направлении со скоростью втрое меньше. Масса коробки в пять раз
больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между коробкой
и столом ц.
1) Найти скорость коробки сразу после вылета из нее пули.
2) На какое расстояние передвинется коробка?
2. Вода и водяной пар находятся в цилиндре под поршнем при темпе-
ратуре 110 °C. Вода занимает при этом 0,1 % объема цилиндра. При мед-
ленном изотермическом увеличении объема вода на-
чинает испаряться. К моменту, когда когда она вся
испарилась, пар совершил работу величиной
А — 177 Дж, а объем, который он занимал, увели-
чился на ДУ = 1,25 л. Найти давление, при котором
производился опыт. Сколько воды и пара было в ци-
линдре в начальном состоянии?
3. Электрическая цепь состоит из батареи ЭДС
сопротивления R и конденсатора переменной ем-
кости, начальное значение которой равно Со (см. рис.). Через некоторое
время после замыкания ключа К в цепи течет ток /0. Начиная с этого
момента времени, емкость конденсатора изменяется таким образом, что
ток в цепи остается постоянным и равным 7(
1) Определить ток в цепи сразу лосле замы-
кания ключа К.
2) Найти зависимость емкости конденсатора
от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учиты-
вать.
4. Показатель преломления некоторой пло-
ской среды имеет зависимость от координат Y:
при У<0 п = п0 (п0=1,4); при 0<У<Я
п(У) = п0 — kY, тде к — константа (к = 0,2 м'1,
а Н = 2 м); при У > Н п = 1. На плоскость
У = 0 падает узкий пучок света под углом падения
а = 60° (см. рис.). На какую максимальную глуби-
ну h сможет проникнуть световой луч?
5. Положительно заряженная частица движется в
однородных взаимно перпендикулярных электриче-
к задаче 3
о-
Еп
е в
v0
к задаче 5
п
ском и магнитном полях (см. рис.). В некоторый момент времени ско-
рость частицы перпендикулярна векторам Е и В и равна /0. Чему будет
равна скорость этой частицы в те моменты, когда вектор ее скорости
будет составлять 180° с вектором Vo, при условии, что Е= VQB? Поле
тяжести не учитывать.
Билет 2
1. На столе лежит брусок. На легкой нити длиной L висит шарик,
касаясь бруска (см. рис.). Нить вертикальна. Масса бруска в 7 раз боль-
ше массы шарика. Шарик отклоняют в сторону так, что нить занимает
горизонтальное положение, и отпускают. После неупругого удара о бру-
сок шарик останавливается, а брусок смещается по горизонтальной по-
верхности стола на расстояние 5.
1)
2)
2.
вода,
Найти скорость бруска сразу после удара.
Найти коэффициент трения скольжения между бруском и столом.
В цилиндре поршнем с пружиной (см. рис.) заперт водяной пар и
масса которой М = 1 г. Температура в цилиндре поддерживается
постоянной и равной 100 °C. После того, как из цилиндра выпустили
часть пара массой т = 7 г, поршень стал двигаться. После установления
равновесия объем содержимого в цилиндре под поршнем оказался в 2
////'
7777777777777777777777777777
к задаче 2
к задаче 3
к задаче 1
раза меньше первоначального. Какая масса пара была в цилиндре и
какой объем он занимал в начале опыта?
Внешнее давление отсутствует, недеформированная пружина соот-
ветствует положению поршня у дна цилиндра, трением между поршнем
и стенками цилиндра пренебречь.
3. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС , катушки ин-
дуктивности L и переменного сопротивления, начальное значение ко-
торого равно (см. рис.). Через некоторое время после замыкания
ключа К напряжение на катушке равно £/0. Начиная с этого момента
12
времени сопротивление R меняется таким образом, что напряжение на
катушке остается постоянным и равным Uo.
1) Определить напряжение на катушке сразу
ключа К.
2) Найти зависимость сопротивления от вре-
мени.
Внутреннее сопротивление батареи не учи-
тывать.
4. Высокий прямоугольный сосуд разделен вер-
тикальной перегородкой на два отсека (см. рис.).
Первый отсек заполнен жидкостью с показателем
преломления п{ = 1,4, а второй — с показателем
преломления n2 < На дно первого отсека падает
узкий пучок света под углом а = 30°. При каких
значениях показателя преломления п2 луч не смо-
жет проникнуть во второй отсек? Все вертикальные
стенки и дно являются прозрачными плоскопарал-
лельными пластинами.
5. Вакуумный плоский диод, в котором рассто-
яние между катодом К и анодом А равно d, нахо-
дится в однородном магнитном поле, индукция ко-
торого равна В и направлена параллельно плоско-
после замыкания
к задаче 4
к задаче 5
сти электродов (см. рис.). При каком минимальном напряжении на ди-
оде электроны с поверхности катода смогут достичь анода? Электроны
у поверхности катода можно считать неподвижными, а полем тяжести
пренебречь.
Билет 3
1.	На горизонтальной поверхности стола покоится ящик. Пуля мас-
сой в 50 раз меньше массы ящика летит горизонтально со скоростью
Ко, пробивает ящик и продолжает лететь в прежнем направлении со
скоростью вдвое меньше. Коэффициент трения скольжения между ящи-
ком и столом ц.
1)	Какую скорость приобретает ящик сразу после вылета из него
пули?
2)	Найти время движения ящика по столу.
2.	Насыщенный водяной пар находится в цилиндре под поршнем при
температуре 120 °C. При медленном изотермическом уменьшении объе-
13
ма цилиндра пар начинает конденсироваться. К моменту, когда сконден-
сировалось
т = 5 г пара,
объем,
им занимаемый,
ЛК = 4,5 л. Какая по величине работа была совершена вне
уменьшился на
[ней силой в
н
этом процессе? Сколько пара было в цилиндре вначале, если в конце
опыта вода занимала 0,5 % объема цилиндра?
3.	Электрическая цепь состоит из батареи ЭДС <?, конденсатора
емкости С и переменного сопротивления, начальное значение кото-
рого равно Ro. Через некоторое время после замыкания ключа К в
цепи течет ток /0. Начиная с этого момента времени сопротивление
R изменяется таким образом, что ток в цепи остается постоянным
и равным /0.
к задаче 3
еА
к задаче 5
1) Определить ток в цепи сразу после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость сопротивления от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать.
4. Показатель преломления некоторой плоской среды имеет зависи-
мость от координаты У (см. рис.). В области I (У < 0) п = п0 (и0 = 1,4);
в области II (0 < У < Н) n(Y) =	— kY, (k = 0,07 м"1, Я = 2 м); в об-
ласти III (У > Я) п = п(Я) = const. При каких углах падения узкого
светового пучка на границу областей I и II (У = 0) он сможет проник-
нуть в область III?
5. Отрицательно заряженная частица движется в однородных взаим-
но перпендикулярных электрическом и магнитных полях. В некоторый
момент времени скорость частицы перпендикулярна векторам Е и Б и
равна Уо. Чему будет равна скорость этой частицы в те моменты, когда
вектор ее скорости будет перпендикулярен вектору Vo при условии, что
Е = У0В? Поле тяжести не учитывать.
14
Билет 4
1. На легкой нити длиной L висит шар. Пуля летит горизонтально
со скоростью 70, пробивает шар и продолжает лететь в прежнем на-
правлении. В результате максимальный угол отклонения шара на нити
оказался а = 60°. Масса шара в 10 раз больше массы пули.
1) Найти скорость шара сразу после вылета из
него пули.
2) Найти скорость вылетевшей из шара пули.
2. В цилиндре поршнем с пружиной (см. рис.)
заперт водяной пар в объеме = 4 л. Темпера-
тура в цилиндре поддерживается постоянной и
равной 100 °C. В цилиндр вспрыскивается 4 г во-
ды и поршень начинает перемещаться. После ус-
к задаче 2
тановления равновесия часть воды испарилась, а
объем цилиндра увеличился в 2 раза.
1)	Какая масса пара была в цилиндре вначале?
2)	Сколько воды испарилось к концу опыта?
Внешнее давление отсутствует, длина недеформированной пружины
соответствует положению поршня у дна цилиндра.
3.	Электрическая цепь состоит из батареи ЭД С <^, сопротивления
R и катушки переменной индуктивности, начальное значение которой
Lo. Через некоторое время после замыкания клю-
ча К на катушке падает напряжение 170. Начиная
с этого момента времени индуктивность катушки
изменяется таким образом, что напряжение на
катушке остается постоянным и равным Uo.
1) Определить напряжение на катушке сразу
после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость индуктивности катуш-
ки от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учиты-
вать.
4. Высокий прямоугольный сосуд разделен вер-
тикальной перегородкой на два отсека (см. рис.).
Первый отсек заполнен жидкостью с показателем
преломления ^ = 1,5, а второй — жидкостью с
показателем преломления п2=1,22. При каких
углах падения на дно первого отсека узкий све-
товой пучок сможет проникнуть во второй отсек?
к задаче 4
15
ОвО
к задаче 5
Все вертикальные стенки и дно является прозрач-
ными плоскопараллельными пластинами.
5. На вакуумный плоский диод, в котором рас-
стояние между катодом К и анодом А равно d, по-
дано напряжение U. Диод находится в однородном
магнитном поле, индукция которого направлена
параллельно плоскости электродов. При какой ми-
нимальной величине индукции магнитного поля
электроны с поверхности катода не смогут достичь
анода? Электроны у поверхности катода можно считать неподвижными,
а полем тяжести пренебречь.
Билет 5
1.	Два камня брошены из одной точки с одинаковыми скоростями:
один — вертикально вверх, другой — вертикально вниз. Они упали
на землю с интервалом времени т. С какой скоростью были брошены
камни? Сопротивление воздуха не учитывать.
2.	Атмосфера Венеры состоит в основном из углекислого газа СО2,
масса которого по некоторым оценкам составляет Л/=6-1016т. Чему
равна плотность углекислого газа вблизи поверхности Венеры, если его
температура Т = 800 К? Радиус Венеры Ав = 6300 км, а ускорение сво-
бодного падения g = 8,2 м/с2. Толщина атмосферы Венеры много мень-
ше радиуса планеты.
3.	В электрической схеме, показанной на ри-
сунке, в начальный момент ключ К замкнут
(см. рис.). После размыкания ключа на резисторе
/Jj выделяется количество тепла
1) Какое количество тепла выделится на рези-
сторе Т?2?
2) Чему равна ЭДС батареи?
Сопротивления 7?р Т?2, R3 и индуктивность ка-
тушки L известны.
4. Тонкостенный непроводящий цилиндр с
гладкой внутренней поверхностью неподвижно
лежит на горизонтально расположенной непро-
водящей пластине П (см. рис.). Размеры пла-
стины (в горизонтальной плоскости) много
больше радиуса цилиндра. Известно, что отно-
шение периодов колебаний маленького отрица-
16
ц
at
тельно заряженного шарика внутри цилиндра при некоторой положи-
тельной плотности поверхностных зарядов ох пластины к периоду коле-
баний при о = 0 Тx/TQ = а. Определить ах,
считая заданными отношение a, q — заряд
шарика, m — его массу и g — ускорение сво-
бодного падения.
5. Точечный источник света S расположен
на расстоянии а = 40 см от собирающей лин-
зы на ее главной оптической оси. Оптическая
сила линзы D = 5 дптр. При повороте линзы
на некоторый угол а (см. рис.) относительно
оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через оптиче-
ский центр линзы, изображение источника сместилось на А/ = 10 см.
Найти угол поворота линзы а.
¥
n
к задаче 5
Билет 6
1.	Снаряд разорвался на несколько осколков, полетевших во все сто-
роны с одинаковыми скоростями. Осколок, полетевший вертикально
вниз, достиг земли за время tr. Осколок, полетевший вертикально
вверх, упал на землю через время t2. Сколько времени падали осколки,
полетевшие горизонтально? Сопротивление воздуха не учитывать.
2.	По некоторым оценкам масса озона (О3) в атмосфере Венеры со-
ставляет а = 10-5% от массы всей атмосферы. Какой толщины слой об-
разовал бы озон, если бы он собрался вблизи по-
верхности планеты и имел бы при этом температу-
ру и давление, равные температуре и давлению ат-
мосферы у поверхности Венеры? Ускорение сво-
бодного падения у поверхности Венеры
g = 8,2 м/с2, температура атмосферы Т = 800 К.
3.	В электрической схеме (см. рис.) в началь-
ный момент ключ К замкнут.
1) Какое количество тепла выделится в цепи по-	о
7	п	к задаче 3
еле размыкания ключа?
2) Какое количество тепла выделится на резисторах Rv /?2 и
Сопротивления Rv R2, R3, емкость конденсатора С и ЭД С батареи
У считать заданными. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
4. Три маленьких одинаковых шарика, каждый массой m и зарядом
q, расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Шарики свя-
17
к задаче 4
заны друг с другом тремя нерастяжимыми и непроводя-
щими нитями, каждая длиной I (см. рис.). Все три нити
одновременно пережигают. Пренебрегая силой тяжести,
определить:
1) ускорения шариков сразу после пережигания
нитей;
2) импульс каждого шарика после разлета на боль-
шие расстояния друг от друга.
к задаче 5
5. С помощью собирающей линзы с
фокусным расстоянием F на экране Э,
расположенном на расстоянии
L = 4,9F от стены С, получено увели-
ченное изображение мухи, которая
равномерно ползет по стене по
окружности радиуса R = 5 см, совер-
шая один полный оборот за время
Т = 1 мин. Главная оптическая ось
линзы перпендикулярна стене и экра-
ну и проходит через центр окружно-
сти, по которой ползет муха. Чему равна линейная скорость движущего-
ся изображения мухи на экране?
Билет 7
1. Из одной точки на высоте h от поверхности земли брошены с
одинаковыми скоростями камень А вертикально вверх и камень В вер-
тикально вниз. Известно, что камень А достиг верхней точки своей
траектории одновременно с падением камня В на землю. Какой макси-
мальной высоты (считая от поверхности земли) достиг камень Л? Со-
противление воздуха не учитывать.
2. Найти массу кислорода, содержащегося в атмосфере Земли. Изве-
стно, что температура воздуха вблизи поверхности Земли Т = 290 К,
радиус Земли R3 = 6370 км, а ускорение свободного падения
#=9,8м/с2. Масса кислорода, содержащегося в одном литре воздуха,
взятого у поверхности Земли, р = 0,26г/л. Процентное содержание
кислорода (по массе) в атмосфере Земли считать постоянным. Толщина
атцорферы много меньше радиуса планеты.
. v3* В электрической схеме (см. рис.) ключ К в начальный момент зам-
кнут. После размыкания ключа в цепи выделяется количество тепла Q.
1)	Чему равна ЭД С батареи
18
2)	Какое количество тепла выделится на каждом из резисторов R19
r2, я3?
Считать заданными L, Rt, R2, Ry
4.	Маленький шарик массой т с положительным зарядом q висит на
длинной, нерастяжимой нити вблизи поверхности большой непроводя-
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZL
к задаче 4
к задаче 5
*0, fn
*
щей пластины П (см. рис.). Определить период малых колебаний ша-
рика, когда на пластине находится отрицательный заряд с поверх-
ностной плотностью оп если известно, что в отсутствие этого заряда
(ст = 0) период колебаний шарика равен То. Ускорение свободного па-
дения считать заданным и равным g.
5> Точечный источник света 5 расположен на главной оптической оси
рассеивающей линзы в ее фокусе. Оптическая сила линзы D = — 4 дптр.
На какое расстояние сместится изображение источника, если линзу
повернуть на угол а = 30° относительно оси, перпендикулярной пло-
скости рисунка и проходящей через оптический центр линзы?
Билет 8
V1. Осколки от разорвавшегося на некоторой высоте снаряда полетели
во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок А, полетевший вер-
тикально вверх, упал на землю через время tv а горизонтально поле-
тевший осколок В — через время /2. Какое расстояние по горизонтали
пролетел осколок В? Сопротивление воздуха не учитывать.
, 2. Если бы озон (О3), содержащийся в атмосфере Земли, собрался
бы у ее поверхности тонким слоем и имел бы температуру и давление,
равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Земли, то
толщина этого слоя составила бы Л — 3 мм. Найти массу т озона, со-
19
держащегося в атмосфере Земли. Радиус Земли R3 = 6370 км, темпера-
тура атмосферы у поверхности 290 К и давление Р = 1 атм.
3.	В электрической схеме (см. рис.) ключ К в начальный момент зам-
кнут. После размыкания ключа на резисторе Rr выделяется тепло Qv
1)	Какое количество тепла выделится на резисторе R2?
2)	Чему равна ЭДС батареи й?
Сопротивления Rr, R2, R3 и емкость конденсатора С известны.
4.	Три маленьких, одинаковых шарика, каждый массой т и зарядом
расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Шарики свя-
заны друг с другом двумя нерастяжимыми и непроводящими нитями,
к задаче 3
к задаче 4
к задаче 5
каждая длиной I (см. рис.). Обе нити одновременно пережигают. Пре-
небрегая силой тяжести, определить: 1) ускорения шариков сразу после
пережигания нитей; 2) импульс каждого шарика после разлета на
большие расстояния друг от друга.
5.	С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F на эк-
ране Э, расположенном на расстоянии L = 4,9Г от циферблата ручных
часов Ц, получено уменьшенное изображение секундной стрелки часов,
длина которой R =1,5 см (см. рис.). Главная оптическая ось линзы
перпендикулярна экрану и плоскости циферблата часов и проходит че-
рез ось 'вращения секундной стрелки. Чему равна линейная скорость
перемещения кончика изображения стрелки на экране?
Билет 9
1. Два моля гелия при постоянном давлении Ро = 10 Па охлаждают-
ся на АТ = 1 К, так что относительное уменьшение объема газа
АК/У0 составляет а = 0,25%.
1) На сколько литров уменьшился объем газа?
20
2) Найти начальную температуру газа.
2. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка
с двумя вершинами, высоты которых Н и ЗН. На левой вершине
горки находится шайба массой т (см. рис.). Масса горки 5т, ее
поверхность гладкая. От незначительного толчка вправо шайба при-
ходит в движение. Найти скорость шайбы на правой вершине, если:
1) горка закреплена на столе, 2) горка не закреплена. Считать, что
при движении шайба не отрывается от поверхности горки, а посту-
пательно движущаяся горка — от стола.
3. В лунку размером 10 х 10 х 10 см3, целиком заполненную водой,
опускают цилиндрическое тело (ось цилиндра вертикальна). В резуль-
тате часть воды из лунки выливается, а тело начинает плавать в ней
к задаче 2	к задаче 3	к задаче 4
(см. рис.). После этого из лунки отлили еще т = 250 г воды, так что
цилиндр стал плавать, касаясь дна лунки.
1) Какая масса воды М осталась в лунке?
2) Чему равна плотность р материала цилиндра?
Диаметр цилиндра d немного меньше 10 см, высота цилиндра равна
его диаметру.
4. На двух длинных гладких параллельных и горизонтально распо-
ложенных проводящих штангах лежит проводящая перемычка П мас-
сой М. Расстояние между штангами равно I. Через резистор сопротив-
лением R и разомкнутый ключ К к штангам подключена батарея с
некоторой постоянной ЭДС. Штанги расположены в области однород-
ного магнитного поля с вертикально направленной индукцией В. Пре-
небрегая внутренним сопротивлением батареи, сопротивлением штанг
и перемычки, определить ускорение перемычки сразу после замыкания
ключа, если известно, что после замыкания ключа максимально уста-
новившаяся скорость, которую приобретает перемычка равна v0.
5. При некотором максимальном значении задерживающей разности
потенциалов на вакуумном фотоэлементе фототок с поверхности
катода, облучаемого светом с длиной волны Ло, прекращается. Если
21
изменить длину волны света в а = 2 раза, то для прекращения фото-
тока необходимо увеличить задерживающую разность потенциалов
в р = 3 раза. Определить длину волны Ло, если известно, что рабо-
та выхода материала катода Л =1,89 эВ, а постоянная Планка
h = 6,6 • 10~34 Дж-с. Заряд электрона е = 1,6-10-19 Кл.
Билет 10
1. Моль гелия при постоянном объеме Ко = 200 л охладился на
А 7 = 1 К так, что относительное уменьшение его давления АР/Р0 со-
ставило а = 0,2 %.
1) На сколько атмосфер умёньшилось давление газа?
2) Какова была начальная температура газа То?
2. Трубка в форме петли укреплена на бруске, находящемся на глад-
кой горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Нижний конец труб-
ки горизонтален и находится на расстоянии h от стола. Шарик массой
ш, который может скользить по трубке без трения, удерживается на
к задаче 2
высоте Н от стола. Масса платформы с трубкой 3m. Вначале система
покоилась. Шарик отпустили. Найти скорость вылетевшего из трубки
шарика, если:
1)	платформа закреплена на столе;
2)	платформа не закреплена и после вылета шарика движется по-
ступательно.
3.	В лунке размером 10 х 10 х 10 см3, полностью заполненной водой,
лежит шарик (см. рис.), плотность материала которого р = 2 г/см3. Ди-
аметр шарика d немного меньше 10 см. Какую минимальную по вели-
чине работу А надо совершить, чтобы вытащить шарик из воды?
4.	Проволочный контур в виде квадрата со стороной, равной а, и
общим сопротивлением контура R, расположен на гладкой горизонталь-
ной поверхности (см. рис.). Часть контура находится в однородном маг-
нитном поле с индукцией Во, перпендикулярной плоскости контура.
22
Контур неподвижен и входит в область однородного магнитного поля
на глубину Ь. После выключения магнитного поля контур приобретает
некоторый импульс. Определить величину и направление этого импуль-
а
В = 0
Bq © ф ф ф © ф ф ф 1^
Ф Ф Ф Ф ф Ф ф ф
фффффффф
са, полагая, что за время спадания индук-
ции магнитного поля смещение контура
пренебрежимо мало. Самоиндукцией кон-
тура пренебречь.
5.	Неподвижный, находившийся в воз-
бужденном состоянии атом водорода излу-
чает фотон, а сам атом начинает двигаться.
Найти величину скорости атома после из-
лучения фотона. Энергия возбуждения ато-
ма водорода W = 1,63-10-18 Дж, энергия покоя атома водорода
тс1 = 1,49-10-10 Дж, где т — масса покоя атома, ас — скорость света.
При расчете движения атома водорода можно использовать нереляти-
вистские формулы.
Указание. При х «1 можно считать, что (1 + х)“ « 1 + ах.
к задаче 4
Билет 11
1.	Моль гелия нагревается при постоянном давлении Ро = 10 атм,
так что относительное увеличение объема АУ/У0 составил а = 0,5%.
На сколько градусов увеличилась температура
газа АГ, если начальная температура состав-
ляла То = 400 К? На сколько литров увели-
чился объем газа?
2.	На гладкой горизонтальной поверхности
стола покоятся две горки с гладкой поверх-
ностью, плавно переходящей в поверхность
стола (см. рис.). Горка А закреплена на столе, и на ней на высоте Н удер-
живают шайбу массой т. Масса горки В равна 6m. Шайбу отпускают.
Найти максимальную высоту (считая от стола)
подъема шайбы по горке В, если: 1) горка В за-
креплена на столе; 2) горка В не закреплена.
3.	На дне лунки размером 10 х 10 х 10 см3 ле-
жит шар, диаметр которого d немного меньше
10 см. В лунку наливают воду до тех пор, пока шар
не начинает плавать, касаясь дна лунки. После это-
го в лунку пришлось долить еще т = 250 г воды,
23
чтобы она оказалась заполненной водой до верха (см. рис.).
1) Какую массу воды М налили в лунку вначале?
2) Чему равна плотность материала шара?
Указание. Объем шарового сегмента высотой h равен
А У = g лЛ 2 d — h\, где d — диаметр шара.
4. На двух длинных гладких параллельных и горизонтально распо-
ложенных проводящих штангах лежит проводящая перемычка П мас-
сой М (см. рис.). Через резистор сопротивлением R и разомкнутый
ключ К к штангам подключен конденсатор г-------_______________
емкостью С, заряженный до напряжения
Uo. Штанги расположены в области одно- у.	Ов
родного магнитного поля с вертикально на-
правленным вектором индукции. Пренеб- к
регая сопротивлением штанг и перемычки,	к задаче 4
определить ускорение перемычки сразу по-
сле замыкания ключа, если при замкнутом ключе и принудительном
перемещении перемычки вдоль штанг с постоянном скоростью и0 на
конденсаторе устанавливается разность потенциалов, равная U\.
5. Катод вакуумного фотоэлемента облучается световым пучком
с длиной волны Л = 0,5 мкм и мощностью W = 1 Вт. При больших ус-
коряющих напряжениях между катодом и анодом фототок достигает на-
сыщения (все электроны, выбитые из катода в единицу времени, дости-
гают анода) /н = 4 мА (4-10-3 А). Какое количество п фотонов прихо-
дится на один электрон, выбиваемый из катода? Заряд электрона
е = 1,6-10“19 Кл. Постоянная Планка h = 6,6 • 10-34 Дж с.
Билет 12
1. Моль гелия нагревается при постоянном объеме Уо = 400 л так, что
относительное увеличение его давления составило АР/Р0 = а = 0,4%.
1)	На сколько градусов АГ увели-
чилась температура газа, если его на-
чальная температура То = 500 К?
2)	На сколько атмосфер увеличи-
лось давление газа?
2.	Трубка в виде петли жестко ук-
реплена на платформе, находящейся
на гладкой горизонтальной поверх-
24
ности стола. Правый конец трубки горизонтален, его расстояние до сто-
ла Л. В трубке на высоте Н удерживается шарик массой т, который
может скользить по трубке без трения (см. рис.). Масса платформы с
в = о
ФФФФФФФФ во
ФФФФФФФФ
ФФФФФФФФ г
©фффффффх
у, .ФФФФФФФФ
к задаче 4
трубкой 4т. Система покоится. Шарик отпускают. Найти скорость
вылетевшего из трубки шарика, если: 1) платформа закреплена на сто-
ле; 2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется
поступательно.
3.	В лунке размером 10 х 10 х 10 см3, целиком заполненной водой,
лежит на дне металлический цилиндр (см. рис.). Диаметр цилиндра d
немного меньше 10 см. Высота цилиндра равна его диаметру. Для того,
чтобы вытащить цилиндр из воды, необходимо совершить работу не
меньше величины Л = 185 Дж. Чему равна плотность р материала ци-
линдра?
4.	Проволочный контур в виде квадрата со стороной а, массой М и об-
щим сопротивлением контура R расположен на гладкой горизонтальной
поверхности вблизи от границы области однородного магнитного поля
(х > 0) с индукцией Во, перпендикулярной плоскости контура. Контуру
сообщают скорость и0, направленную перпендикулярно границе магнит-
ного поля (ось У). Определить максимальную величину ускорения кон-
тура при его дальнейшем движении, включая область однородного маг-
нитного поля. Самоиндукцией контура пренебречь.
5.	Неподвижный невозбужденный атом водорода поглощает фотон.
В результате атом переходит в возбужденное состояние и начинает дви-
гаться. Найти величину скорости, с которой стал двигаться атом после
поглощения фотона. Энергия возбуждения атома W — 1,63-10-18 Дж.
Энергия покоя атома тс2 = 1,49- Ю-10 Дж, где т — масса атома, с —
скорость света.
Указание. Использовать формулу (1— х)“«1 — ах, где х «1.
25
Билет 1
1.	- | х < 0.
2.	х = лп, х = j п е Z.
3.	24.
4.	а = — 6, b = 11, с = —5.
, 3(17 + 10^3)
Э'	44 Г'
Билет 2
1.	— 1 < х < —	< х < 0, 0 < х < 1.
2.	х = + ”, м е Z.
3.	12.
4.	а = — 6, b = —11, с = — 6.
Билет 3
1.
. х = -z + лп, х = •= + -г> п е Z.
Z	о 4
3. 42.
4. а = 6, b = 11, с = 5.
13 + 5VT
э. 8	•
Билет 4
1. — 1 < х < —	— ^<х<0, 0<х<1.
□ о
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
logx2 15х + 21 < logx2 IXI,
которое равносильно совокупности следующих двух систем неравенств
|х| > 1,
|5х + 2| < |х|,
(1)
26
0< |х| < 1,
|5х + 1| > |х|.
Чтобы решить системы (1) и (2),
у = |х| и у = |5х + 2| (рис. 1).
Эти графики пересекаются в точках
А и В, абсциссы х3 и х2 которых являют-
ся корнями соответственно уравнений
5х + 2 = —х и —5х — 2 = —х, откуда
1 1
находим xi = — х2 = — 2-
1)	Если | х | > 1, то график функции
у = 15х + 21 лежит выше графика
функции у = | х |. Поэтому система (1)
не имеет решений.
2)	Если 0< |х| < 1, то график
функции у = 15х + 21 лежит выше гра-
фика функции у = | х | на интервалах
построим графики функций
Aj = (—1, х2), А2 = (х1; 0) и А3 = (0, 1). Поэтому множество решений
системы (2) — объединение интервалов А1; А2 и А3.
2.	х = ± + пп, п G Z.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
sin х ____	1
sin 4х cos Зх ’
(2)
(1)
а допустимые значения х для уравнения (1) определяются условиями
sin 4х cos Зх * 0.	(2)
При выполнении условия (2) уравнение
sin х cos Зх = sin 4х
является следствием уравнения (1) и равносильно уравнению
sin Зх cos х = 0.	(3)
Корнями уравнения (1) являются все те и только те корни уравне-
ния (3), которые удовлетворяют условиям (2).
Так как sin Зх = sin х (3 — 4 sin2 х) = sin х (1 + 2 cos 2х), а
sin х cos х*0в силу (2), то из (3) следует, что
cos 2х = —	(4)
27
Корни уравнения (4) удовлетворяет ус-
ловиям (2) и являются корнями исходного
уравнения.
3.	78.
Решение. Пусть Е, F та М — основания
перпендикуляров, опущенных из точки К
на прямые ВС, АС, и АВ соответственно
(рис. 2). Так как АКВЕ = АКАВ, то
АКАМ<ъ АКВЕ, откуда следует, что
КМ _ КЕ
КА ~ КВ'
где КЕ = 156.
Аналогично, из подобия треугольников KAF и КВМ следует, что
КМ _ KF
КВ ~ КА’
(1)
(2)
где KF = 39.
Перемножая равенства (1) и (2), получаем
КМ2 = KEKF = 39-156,
откуда КМ = 78.
4.	а = 6, b = —11, с = 6.
Решение. Пусть /(х) = —х3 + ах2 + Ьх + с, Xi и х2 — абсциссы то-
чек А и В. Так как точки А и В симметричны относительно прямой
х = 2, то их ординаты одинаковы, a xY = 2 — t, х2 = 2 + t, где t > 0.
Итак, А (2 — t; у0), В (2 + t; у0).
По условию /'(xi) =/'(х2), т. е. — 3(2 — ?)2 + 2п(2 — ?) + Ь =
= —3(2 + ?)2 + 2п(2 + ?) + />, откуда 24? = 4at, а = 6, так как t > 0.
Следовательно,
/’(Х1) = /'(х2) = -3(2 + ?)2 + 12(2 + ?) + /> = -З?2 + 12 + b. (1)
Но /(xi)=/(x2), т. е. —(2 — ?)3 + 6(2 — ?)2 + Z>(2 — ?) + с =
= —(2 + ?)3 + 6(2 + ?)2 + 5(2 + f) + с. Это неравенство можно запи-
сать в виде 2?3 — 24? — 2bt = 0, откуда
b = t2-12,	(2)
так как ? > 0.
Из (1) и (2) следует, что
f'(xi) =f'(,x2) = -2?2< 0,
28
и поэтому касательная к графику функции у — /(х), проходящая че-
рез точку Л, лежит ниже касательной Z2, проходящей через точку В. По-
этому прямая li проходит через точку С (0; 2) и задается уравнением
У - Уо = —2t2[x — (2 - 0L
а прямая 12 проходит через точку D (0; 6) и задается уравнением
у— Уо — -2tz\x - (2 + 0].
Так как точки С и D принадлежат соответст-
венно прямым li и Z2, то
2 — у0 = 2?2(2 — Z),
6 — у0 = 2t2(2 + t),
(3)
откуда получаем
4 = 4г3, £=1, Xi = 2 — t—1,
а из (2) находим Ь = —11.
Подставляя Z = 1 в уравнение (3), нахо-
дим у0 = 0. Так как /(xj = /(1) = у0 = 0, то
—1 + 6—11+с = 0, откуда с = 6.
Решение. Пусть А, В, С — проекции на
основание цилиндра шаров радиусов г, г и
2г соответственно, О — центр основания ци-
линдра (рис. 3), К — середина АВ, М, N и
Р — проекции на основание точек касания
шаров с боковой поверхностью цилиндра
(рис. 3), Oi и О3 — центры шаров радиусов
(рис. 4). Тогда O1O3 = Зг, ОГА = O3D = г,
= 2>/2г.
Рис. 4
г и 2r, D — середина СО3
OiD = АС = V9r2 — г2 —
Пусть х — радиус основания цилиндра, тогда ОМ — ON = OP = х
(рис. 3), КС — у/АС2 — АК2 = V8r2 — г2 = rV7, т. к. АК = AM = г;
ОС = OP - PC = х - 2г, ОК = КС - ОС = r(V7 + 2) - х, ОА =
= ОМ — AM = х — г.
Из треугольника ОАК по теореме Пифагора получим
ОК2 = ОА2 — АК2, т. е. (r(V7 + 2) — х)2 = (х — г)2 — г2, откуда найдем
х.
29
Билет 5
27/7
20 ’
2
Билет 6
2я
Решение. Преобразуем уравнение к виду t2 log6 2 = t log6 12, где
1	1 2	“
Если t = fo" 2 = log2 12, то 4 cos х + 3 = 12. Это уравнение не имеет
корней.
Решение. Исходное неравенство равносильно неравенству
*
(1)
а неравенство (1) равносильно совокупности следующих двух систем не-
равенств:
(2)
(3)
Множество допустимых значений х для систем (2) и (3) определяется
условием х2 + Зх — 4 > О, откуда х < —4, х > 1.
а) При х > 3 обе части первого неравенства системы (2) положитель-
ны, а система (2) равносильна каждой из систем
С	Л Л (____ Э\2	( v _	1 v —	1 Л
откуда следует, что х > 5.
зо
б) Системе (3) удовлетворяют значения х < — 4, так как при х < —4
левая часть первого неравенства системы (3) определена и неотрица-
тельна, а правая отрицательна; значения х < —4 удовлетворяют и второ-
му неравенству системы (3).
Значения х из отрезка [1, 2] удовлетворяют системе (3), а при х > 2
система (3) равносильна каждой из систем
откуда следует, что 2 < х < 3.
Замечание. Системы (2) и
(3) можно решить, построив графи-
ки функций у = 2х — 4
и
20 ’
Пусть Z. BCD =
тогда Z. CDE =
ABDC = л — 2а,
ААВС = а
AADE = а,
ABAC = л — За
(рис. 6), DC = 2DE cos а — cos а.
Из &BDC по теореме синусов
находим
2	9
cosz а = v
вс DC
— z— = -—,	откуда
sin 2a sin a	J
3	V7"
cos a = sin a = —,
nc = j.
Применив теорему синусов в
треугольнике ADC, получаем
АС _ DC
sin 2а sin За’
где	sin За = sin а (3 — 4 sin 2а) =
 0	0 .	3V7	0
sin 2а = 2 sin а cosa = —,
АС =	=
sin За 5	1
Искомая площадь 5 = ~ ВС* AC sin 2a =
Рис. 6
л —За
А
20 ’
13/10
'•	16 •
31
у.2	jr
Решение. Построим графики функций у = — — + х —— и
1 JLf	О
у = 31 х + 61 — - (рис. 7), заметив, что С (—6; —	— точка минимума
7	'
функции у = 3 | X + 61 —
«2	16
Пусть I — касательная к параболе у = /(х) = — — + х ——,
J. jC	о
D (хо5 Уо) — точка касания прямой I с параболой, к — угловой коэффи-
циент прямой Z. Тогда к = /'(х0) = 1 — а уравнение прямой I можно
записать	в	виде
У~ /Оо) = £(х-х0).
*0	__
точки пересечения прямой I с пря-
о 47	«61
мыми у = Зх + и у = —Зх —г-
соответственно,	Z_C2M=a,
А С АВ = р, АВС А — 2 у (рис. 7).
По условию р = а + 2у. С дру-
гой стороны, р = л — (а + 2у), от-
куда следует, что Р = 5, т. е. пря-
£л
мые АС и I взаимно перпендику-
лярны. Так как угловой коэффи-
циент прямой АС равен 3, то
откуда х0 = 8, /(8) = — - и поэтому
уравнение прямой I примет вид у + у = — у (х — 8), т. е. у = — ~ х.
а	и	о
Найдем координаты точки В, решив систему уравнений
Г «	61
У = “Зх -
гт	61	61
Получим х2 = - Y, у2 = —.
Пусть В — радиус окружности, описанной около треугольника АВС
О вс
тогда R = где
32
г 2а2 ау[2
5- 7Т’ 2+^+V3‘
Решение. Плоскость Р пересечет грань
BB^D куба по прямой EF||jBZ>, где
Е €= DDr, а ребро ССГ — в некоторой точке
К (рис. 8). Пусть Q — середина BD, Ми N —
основания перпендикуляров, опущенных
соответственно из точек D и Q на плоскость
Р. Тогда DM=QN, так как КО||Р, и
№ АК.
По условию ADAM = arcsin AD = а,
Рис. 8
откуда находим DM — AD	— QN.
Из треугольника AQN, в котором
AQ = QN ~ находим Z.QAV = р
и поэтому АК = АС —а.
COS i
о
Пусть S — площадь сечения куба пло-
скостью Р, тогда S = ^AKEF, где
EF = BD — оуП, и поэтому S =	а2.
Найдем радиус R вписанного шара. Заметим, что центр О шара лежит
на биссектрисе угла К АС (рис. 9), а проекция L точки О на грань
ABCD принадлежат АС.
Из треугольника AOL, в котором LOAL = LKAC = OL = R, на-
1 + cos
ходим AL — R ctg где ctg =--------------— = 2 + V3. Так как LC = RV2,
Li	Li	ТС
sin —
о
AC — AL + LC, to = R ^ctg ~	.
Замечание. Искомый радиус можно найти, заметив что он равен
радиусу шара, вписанного в треугольную пирамиду КСЕ^, где Ег —
точка пересечения прямых КЕ и CD, F^ — точка пересечения прямых
KF и СВ, используя формулу R = где V — объем пирамиды
KCEiFr, Sn — ее полная поверхность.
зз
Билет 7
1. х = — + 2лм, п G Z.
2. х «S — 1,|<х<|,х>^-.
СЕ = 3, S
4.
2
5. S = R
16
3.
3275
7 '
а(3 — 73) „ _а(3+73)
--8--’ R2~	8
Билет 8
1.	X = л + лп, П Е.
2.	х < —4, 6 < х < 10, х > 14.
3.	АС=1, S = ^y-.
. 13710"
4‘ ~32^
5.	=
Билет 9
, л	17 + ТЗТ
1. хг = 4, х2 = —.
2. х =	+ лп + лк, у =	+ лп — лк, п GZ, к 6 Z.
о	о
, 25
Л‘ 12’
.	25
4. 6, т.
5. h, arcsin .
Билет 10
1. х = 9.
Решение. Полагая х — 27х = t, получаем уравнение
11 + 21 + | Z — 11 = 7, откуда tY = —4, t2 = 3.
Если t = —4, то х — 27х +4 = 0. Это уравнение не имеет действи-
тельных корней.
34
Если t = 3, то х — 2Vx —3 = 0, откуда х = 9.
2. х=- J+(-1)*^ + ^+л«, у = ~ J + (- l)t+1^-^+ пп,
к GZ, п 6 Z.
Решение. Полагая sin х cos у = и, cos х sin у = и, получаем систему
уравнений
би + 2и = —3,
5 и — 3v = 1,
1	3
откуда zz = - -, и = - -.
Исходная система равносильна каждой из следующих систем:
1
sin х cos у = — -т,
z 4’
3
COS X sin у = — -Т,
z 4’
sin (х + у) = —1,
sin (х - у) = 2-
Решение. Центр О ок-
ружности совпадают с точкой
пересечения диагоналей ромба
ABCD (рис. 10). Так как диа-
гонали ромба взаимно перпен-
дикулярны, то стороны КЕ и
KF треугольника KEF, опи-
санного около окружности,
также перпендикулярны.
Пусть ABDA = AKFE = а,
г — радиус окружности, S и
Si — площади ромба ABCD и треугольника KEF соответственно. Тогда
S = 4 • |• Зг = АС • BD = 2а sin а 2а cos а,
где
а = 3,
т. е.
6г = 9 sin 2а, откуда
г = | sin 2а.
(1)
Аналогично, Sj = KF-КЕ = 7 sin а 7 cos а = sin 2а. С другой
стороны, | г(7 + 7 sin а + 7 cos а), откуда
r( 1 + sin а + cos а) = sin 2а.
Из (1) и (2) следует, что sin а + cos а = 4» откуда 1 + sin 2а = -у,
sin 2а = -, г = 4 sin 2а = т.
У 2	о
35
4.	18,
о
Решение. 1) Так как указанные в условии задачи числа являются
длинами сторон треугольника, то эти числа положительны и удовлетво-
ряют неравенству треугольника, т. е.
О < Зх < 2у + 9 — у,
. О < 2у < Зх + 9 — у, или
О < 9 — у < Зх + 2у,
у- Зх + 9 > О,
у-х-3 < 0,	(1)
у + х — 3 > О,
х > 0, у > 0, у < 9.
Условиям (1) удовлетворяют точки треугольника АВС (рис. 11), где
А (0; 3), В (6; 9), С (3; 0), а площадь S фигуры Мравна Si — S2 — S3, где
Si — площадь трапеции OABD, D (6; 0), S2 — площадь треугольника
ОАС, S3 — площадь треугольника BCD. Так как Si = (3 + 9)6 = 36,
S2 = |,S3 = |-3-9 = ^,toS= 18.
2) Неравенство
Z2 + 2z(x — 2) + 7 — у > 0
является верным при всех t G R тогда и
только	тогда,	когда
(х — 2)2 — (7 — у) < 0, т. е.
у<7 —(х —2)2.	(2)
Условию (2) удовлетворяют все
точки, лежащие под параболой
у = 7 — (х — 2)2 с вершиной Е (2; 7).
Пусть Zi, Z2, Z3 — прямые, заданные
соответственно уравнениями у = Зх — 9, у = 3 - х и у = х + 3. Парабо-
ла пересекает прямую 13 в точке F (4; 3), а прямую Z3 — в точках А и
7С(3; 6).
Если о — площадь фигуры Ф, то о = а1 + а2 + о3, где — площадь
треугольника ACF, а2 — площадь треугольника АКМ, М (3; 3), ст3 —
площадь криволинейного треугольника KMF. Так как oi = ^-4-3 = 6,
с 71
5.	а, -т,
4
it
4‘
36
Решение. 1) Пусть Е и F — середины
ребер АС и BD соответственно (рис. 12). Тог-
да AF ± BD, так как АВ = AD. Кроме того
BD-LAC по условию. Следовательно, BD пер-
пендикулярно к плоскости AFC и поэтому
CFA.BD.
Так как точка Е равноудалена от плоско-
стей ABD и BCD, то плоскость BED делит по-
полам двугранный угол при ребре BD, a EF —
биссектриса угла AFC (AFC — линейный
угол этого двугранного угла, поскольку
AF ±BD и CF-LBD). Итак, EF — биссектриса
и медиана треугольника AFC и поэтому
AF = FC. Из равенства прямоугольных тре-
угольников AFD и CFD следует, что
CD = AD = а.
2) Перпендикуляр, опущенный из точки А
на плоскость CBD, лежит в плоскости AFC, а
Рис. 13
его основание М — на прямой CF (рис. 13).
Поэтому AFCA = AFAC = (3, где sin 0 = ^=. Так как FA = FC = то
АС = 2ЕС = 2FC cos 0 = а>П. Но АС2 = CD2 + AD2 = 2а2 (рис. 12).
Поэтому ДАОС — равнобедренный и прямоугольный, a ACAD =
3) Основание перпендикуляра, опущенного из точки F на плоскость
ACD, лежит на прямой DE. Поэтому угол между ребром BD и гранью
ACD равен углу FDE (на рис. 12 этот угол обозначен у). В треугольнике
EFD имеем ED = fy, FD = ~, EF = CF sin 0 =	= у.
Применяя теорему косинусов для треугольника EFD, получаем
а1 а2 . а2 ~ а а	1 it
т = т + т“2272 cos Y, откуда cosy = ?т, у=<.
Билет 11
। у  л Y  17 + v/33'	_<
1. Xt — и, Х2 —	2	> х3 — !•
2. х=±^ + ^+лп + лк, у= ±т + •? — лп + лк, nSZ, к е Z.
0	2	0	2
37
_ , It	.1
5. h, j, л — arctg 2-
Билет 12
1.	x = 16.
2.	+	y = -7+(-l)n+1^+™
n e z, к e z.
3.
° 8-
4.	18’?-
О
11
5.	av3, arccos arctg y
nk,
38
Билет 1
< n v-^-v 
i.	1) V-l5Vo, ~ 2\ig ~ 225 \ig'
Решение. Считая время взаимодействия пули с коробкой пренебре-
жимо малым, запишем закон сохранения количества движения системы
пуля + коробка
mV0 = j mV0 + 5 mV,
где V — скорость коробки сразу после вылета из нее пули.
Отсюда скорость коробки
2
г = иг0.
2)	После взаимодействия с пулей коробка приобретает кинетическую
энергию которая полностью переходит в работу против силы
трения
5mV2 г „
= 5mgji5.
Таким образом путь, пройденный коробкой до полной остановки,
а V2 = 2 Ур
225 jig ’
2.	1) Рп = 1,5 атм. 2) шп = ^р = 45т = 0,8г.
Решение. Процесс испарения воды происходит при постоянном дав-
лении, так как пар при этом остается насыщенным. Таким образом
работа, совершенная паром к моменту испарения всей воды,
А = PnAV.
Отсюда давление пара во время опыта
Pn = Z7= 1,5 а™'
В этом процессе вся вода испарилась и, следовательно, заняла объем
ДУ. Для определения количества испарившейся воды тв воспользуемся
уравнением Клайперона—Менделеева
РПДУ = RT = А.
ц.
39
Масса испарившейся воды равна
Ли ,
«В — RT — 1 г-
Следовательно, начальный объем цилиндра V = 1 л. Используя урав-
нение газового состояния для пара РП(У ~ Ув) — ~ RT, и полагая, что
Ув « V для массы пара получим т„ = ^Д = ^^Д =	= 0,8 г.
3.	1) / = {; 2)	=	+
0 -J Q2\
Решение. 1) Сразу после замыкания ключа К конденсатор не заря-
жен, и разность потенциалов на нем равна нулю. Тогда, согласно закону
q
Ома для цепи, % + Uc = IR и начальный ток в це-
пи равен
?о--.
/0	t
к задаче 3
I = L
R'
2) В дальнейшем конденсатор начинает заря-
жаться (происходит процесс накопления заряда).
В произвольной момент времени t < 70 напряже-
ние на конденсаторе равно
Uc =	= % - I(t)R.
VQ
К моменту времени t0 ток в цепи достигает значения /0 = ~ и в
дальнейшем остается постоянным. Тогда изменение заряда на конден-
саторе Д<? = 10Д/ и заряд на конденсаторе
<7(0 =Qo + lo(t-to)
где q0 — заряд на конденсаторе Со в момент времени t0.
С другой стороны, q(t) =	— IqR) C(f). Из совместного решения этих
уравнений для зависимости емкости конденсатора от времени получим
4 7 %-IqR %-IqR
При t = t0 емкость конденсатора Со = ———. Окончательно зависи-
— ZqA
мость С(7) имеет вид
С^) = Со + т4~ (^о)-
0 —
40
(1)
4. h = 1 м.
Решение. Легко показать, что при прохождении луча света через
плосконеоднородный слой угол преломления луча р на выходе из среды
связан с углом падения на нее а выражением
sin а_ п(Н)
sin р По ’
где п(Н) — показатель преломления среды на выходе светового луча,
а п0 — на входе в среду, и не зависит от вариаций показателя прелом-
ления в самом слое. В том случае когда световой луч испытывает полное
внутреннее отражение выражение (1) переходит в
sin а0  n(h)
. Л	fin ’
sin — u
здесь h — максимальная глубина проникновения луча в слой.
Следовательно, для угла падения а0 получаем
n(h)
sin ct0 = ——.
п0
Используя зависимость и(Л) = п0 — kh,
na-kh	kh
sin a0 = —— = 1 — —,
По	По
откуда Л = -у (1 — sin a0) = 1 м.
5. Ух = -Уо±^У§ + ЗУ§ = —ЗУ0.
Решение. На заряженную частицу, движу-
щуюся в электрическом и магнитном полях, дей-
ствуют сила Кулона со стороны электрического
поля и сила Лоренца со стороны магнитного по-
ля.
Движение заряженной частицы вдоль оси х
обусловлено действием на нее силы Лоренца.
Уравнение движения имеет вид
m^=-qVyB,	(1)
т. e. ускорение вдоль оси X связано с движением частицы вдоль оси Y.
Из уравнения (1) имеем
= - ^ Vykt = — woryAZ = -ш0Ду,
(2)
41
где <d0 = — называется циклотронной частотой. Решая уравнение (2)
для Vx, получим
Vx = Vo-^oy.	(3)
При движении частица приобретает энергию, обусловленную работой
электрического поля А = qEy. Сила Лоренца работы не совершает. По-
этому закон сохранения энергии дает
+	= (Ру = 0).	(4)
Подставляя (3) в (4) и учитывая, что Е = V0B для Vx получим
уравнение
= О,
решая которое относительно Vx, находим Vx = Vo± VVq + ЗУ§ ~ ~ ЗУ0-
Билет 2
1	п у = '/2gL	7) и = —
J V 7 ’	49gS'
2.	1) mn = | (m-M) = 8 r; 2) V = ^^=13,8 л.
J	(IF n
3.	1) V0L = &, 2) J?(0 =-----
1 +—a--±t
»-K0 L
4.	n2 = ^ni ~ sin2 a — 1,3, свет не проникает во второй отсек при
п< 1,3.
5	У =
2т ‘
Билет 3
1	П у = _К1. 2) t = — = V°
4 v 100’	1	100|ig"
2.	1) A = RT = 907 Дж; 2) mn = m^l +	= 6,1 г, где V —
объем, занимаемый паром в конце опыта V = 1 л.
3.	1) 1 = ^ 2)
л 	П(Н) 1,26 Л n tr	Л
4.	sin a0 = —-— = -j-j- = 0,9, Н — глубина проникновения светового
пучка. При a < а0 луч света сможет проникнуть в среду III.
42
5. V= ±V3V0.
Билет 4
1.	1) Vm = VgL; 2) Vn=Vo-lO^L.
2.	1) mn = ^=l,2r (Рп=105Па),
2)	Испарилось Am =	— mn = 3,6 г.
3.	1) V0L = %; 2) L(t)=L0 + ^j-Rt.
4.	sin a0 = Vn? — n2 = 0,87, a0 60°, a > a0 = 60°.
- R= !2mU\112 = 1
\qd2 J 2 Iq/m'
Билет 5
1.	v0 = 8^2 Г1) = и t2 — времена падения первого и второго
камней).
2.	р =	= 6,6 кг/м3.
4згА|Л7’
з.	1) Q1 = Q1 2) % =	Лз-
2&0(l — a2)mg
4.	сгх =----2-----•
a 9
5.	cos a =	-я- = 0,9, a = arccos 0,9.
a+Д/ Da
Билет 6
1.	t = Viii2-
2.	h = — ^ 1,7 мм.
з.	i) q = c4 <^)2_;
+ R2 +Л3)
ЭЛ п -с^2 ^1<д1+д2) п = С^2 Д2(Д1 +д2)
1	2 (Я1+Я2+Я3)2’	2 (Л1 + Л2+А3)2’
	V3q2 . эх „ _ „ J т
4.	1) а =-----^5—; 2) P = qV~—г.
4:teo/2m	' 2iteoZ
Qr3 = °-
43
5.	v=^R—= 1,3 см/с,
t 0.2
L (1 I Ji	о	L Л E	4F\	. . „
«1=7 1 + 1/1	—г	= 3,5Л	«2 = т 1	— 1/1-г	= 1,4Л
Билет 7
1.
2.
H = lh-
т=4я^рЯТ
__
3.
^,q2
Q
4.
Ту
^бз = О-
Л1
2to«m
11—cos а	1 х ? а _ м m _
5* 1 2D 1 +cos а ~ 2D tg 2 — 0,87 СМ’
Билет 8
2fj •
2 w = i^3^~2,8	1()9 т
Л/
э п л_л Л1.	с^> _ 2?1Я2+А1Л3+Л2лз J22i л1+А2
3.	1) 62-61^, 2)	-----V-1---^•
4.	1) а2 = 0, ау = а3=-^-2- 2) Л = Р3 =	Р2 = 0.
16тС£о7П/	»07ССО«
5.	v = ЛГ 0,063 см/с, Г = ^ = 0,4.
т «1
«1 =	+ ft-T-') = 3’5F’ а2 = f (1 -	= 1,4Л
Билет 9
1.	1) ДУ = 4£ ДТ= 16,6-10~3 л; 2) 7 = — =400 К.
^0	_____ «
2.	1) r1 = 2ViH; 2) V2 = ^H.
3.	1) M=pBd3(l	=160 г;
44
4. a
2) p = рв —	= 0,75 г/см3.
vo(lB)2
MR ’
5. Xo = 1—т	= 0,33 мкм.
p 1/1
Билет 10
1.	1) ДР = ^^4,1510‘4атм; 2) To = — = 500 К.
v0 ’	’  °
2.	1) V1 = V2g(//-A); 2)	=
3.	A = $ (1 -^gdVp-^l =0,37 Дж.
o l о} I 1	2 1
A	R2
4-	P - 2R B9-
- [Ji 2ly 1
5. v = c 1/1 4------у — 1
' me
W 00/
— с —у — 3,3 м/с.
тс
Билет 11
1.
2.
3.
4.
5.
1)
1)
1)
2)
Д7, = 7,0а-2о; 2) ДУ- „
-^0
h = H; 2) Л2 = |Я.
mi3 59 т^
6 64	рв
2 
М = рв d3
Р = Рв 1-
; L
MRvq'
АДТ- 16,6 10~3
= 268
т
Рв^2
= Рв = 0,84 г/см3.
Число фотонов, падающих на катод в единицу времени, /Уф = =—.
Число электронов, вылетающих в единицу времени, Ne = р Количество
,	N& W\e	л пл
фотонов, приходящихся на один электрон, п = -тт- = -т-у- = 100.
Билет 12
1.	1) Д7’ = 7’оа = 2К; 2) Др = ^ = 4-10“4 атм.
'О
45
2.	1) Vl = V2g(ff -k); 2) v2 =	A).
A + P^^f	.
3.	p =-------7- — 2,5 • 105 кг/m3.
i-i
„2 д2
л	__ Q. D
4.	«max — — VO-
-	Г.	2W ~ W	r. r. ,
5.	V = cyl---J C X ib: 3,3 м/с.
' me me
46