Функции и пределы. Производная - Мацкин М.С., Мацкина Р.Ю.

Author: Мацкин М.С. Мацкина Р.Ю.
Tags: математика пособие для учителей функции
Year: 1968
Similar
Функции и пределы. Производная. Пособие для учителей
Целые функции.
Асимптотические оценки и целые функции
Целые функции. Курс лекций
Text
                    
М. С. МАЦКИН, Р. Ю. МАЦКИНА
Функции и пределы.
Производная
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1968
Маркин М. С. и Маркина Р. Ю.
М 36 Функции и пределы. Производная. Пособие для
учителей. М., «Просвещение», 1968 г.
182 с. с илл.
В предлагаемом пособии рассматривается один из возможных вариантов
изложения программного материала: функции, пределы и производные.
Большое внимание уделено разбору примеров на исследование функций
как элементарными средствами, так и с помощью производной.
517.2(07)
2-2-2
158-68
ВВЕДЕНИЕ
Бурное развитие современного производства, все боль-
шее внедрение в него различных средств автоматизации,
механизация производственных процессов предъявляют
все более высокие требования к подготовке подраста-
ющего поколения. Особенно большое значение приобре-
тает в настоящее время математическая подготовка
школьников.
В связи с возрастающим проникновением математи-
ческих методов в самые разнообразные отрасли науки и
техники очень остро стоит задача повышения уровня ма-
тематического развития и расширения математического
кругозора учащихся, готовящихся стать квалифициро-
ванными рабочими или продолжать, свое образование в
высших учебных заведениях.
Совершенно очевидной становится необходимость
введения в школьное преподавание элементов высшей
математики, в частности аналитической геометрии и ма-
тематического анализа, без которых невозможно серьез-
ное изучение техники, причем это важно особенно для
тех, кто сразу после школы пойдет на производство.
Как известно, темы «Функции и пределы», «Производ-
ная и ее применение» были включены в школьную про-
грамму и изучались в средней школе в 1965/66 учебном
году.
Мы имели возможность осуществить преподавание
этих тем в Волгоградской школе № 8 ежегодно, начиная
с 1963/64 учебного года. Преподавание велось и ведется
учителями школы № 8 по нашим методическим разработ-
каМ, под нашим наблюдением и при нашем непосред-
ственном участии. Следует отметить особенно большую
работу учителей математики Е. Г. Ряховской и В. П. Яро*
шика, которые первыми провели в школе изучение ука-
занных тем в 1963/64 учебном году.
В настоящем пособии описывается предлагаемый на-
ми вариант изложения в средней школе вопросов, свя-
занных с понятиями функции, предела функции и ее про-
изводной, который мы разработали с учетом опыта пре-
подавания в Волгоградской школе № 8.
Непосредственное наблюдение на уроках преподава-
ния указанных тем, а также результаты контрольных ра-
бот и зачетов, в проведении которых мы принимали уча-
стие, убедили нас в том, что предлагаемое изложение
вполне доступно учащимся, вызывает у них живой инте-
рес и успешно воспринимается ими. Это мнение разделя-
. ют и учителя, проводившие преподавание.
Мы имели возможность проследить изучение тем
«Функции и пределы», «Производная и ее применение к
исследованию функций» уже начиная с 1963/64 учебного
года, так как в связи с введением специальности мон-
тажники электро- и радиоаппаратуры в этой школе был
выделен один лишний час в неделю на преподавание ма-
тематики, благодаря чему и появилась возможность не-
сколько расширить программу по математике.
Мы убедились в том, что на изучение всех вопросов,
включенных в тему «Производная и ее применение», вы-
деленных 38 часов вполне достаточно. В школе № 8 изу-
чали все эти вопросы, а также некоторый дополнительный
материал (например,- производную частного, производ-
ную сложной функции). В то же время на изучение темы
«Функция и пределы» желательно было бы выделить хо-
тя бы 20 часов вместо 16, предусмотренных программой.
Надо сказать, что понятие предела функции вызыва-
ет наибольшие затруднения и усваивается не сразу. Од-
нако в результате кропотливой работы над этим поняти-
ем учащиеся делают большой шаг в своем математиче-
ском развитии.
При изучении темы «Функции и пределы» мы знако-
мили учащихся, в небольшой мере, с понятием непрерыв-
ности. На наш взгляд, для изучения непрерывности сле-
довало бы добавить дополнительно еще 3—4 часа.
Примеры и задачи, рассмотренные в данной работе,
в основном взяты из сборника задач по алгебре
П. А. Ларичева и сборника задач по математическому
анализу Н. А. Давыдова, П. П. Коровкина и В» Н. Ни-
кольского.
Раздел I. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
Как известно, с идеей функциональной зависимости
учащиеся знакомятся на самых ранних этапах школьно-
го обучения математике. Решение текстовых задач, по-
строение графиков, вычисление значений алгебраических
выражений и т. п. подготавливают школьников к воспри-
ятию понятия функции, которое в явном виде вводится в
8-м классе в теме «Функции и графики».
Введение специальной темы, посвященной функциям,
обусловливается новым подходом к изучению функцио-
нальных зависимостей. Если до этого во всех вопросах,
связанных с рассмотрением зависимостей между величи-
нами, во главу угла ставился вопрос о вычислении кон-
кретных значений величин, то здесь на передний план
выдвигается задача изучения свойств самих функцио-
нальных зависимостей. Именно поэтому становится есте-
ственным введение функциональной терминологии.
Очень важно, чтобы задача изучения свойств функци-
ональных зависимостей была достаточно мотивирована
для учащихся. Ученики должны понимать, что введение
математических понятий вызывается в конечном итоге
потребностями практики и что, для того чтобы математи-
ка могла помочь в изучении различных процессов и яв-
лений природы, нужно уметь выразить математически за-
висимости между величинами, участвующими в протека-
нии этих процессов. Именно понятие функции отражает
эту зависимость и изучение свойств функций помогает
изучению закономерностей окружающего мира.
Достаточное число примеров из техники и других раз-
делов естествознания, приводимых как в теме «Функции
и графики», так и в дальнейшем при изучении конкрет-
ных функций, закрепляет в сознании учащихся важность
5
изучения функций как мощного инструмента в познании
реальной действительности.
Тема «Функция и пределы» поднимает изучение
функций на новую ступень. Здесь ставится задача оты-
скания общих методов исследования функций, и, кроме
того, понятие функции используется для введения новых
понятий, помогающих описывать явления природы, науки
и техники.
Глава 1. ПОВТОРЕНИЕ И УГЛУБЛЕНИЕ
ОСНОВНЫХ СВЕДЕНИЙ О ФУНКЦИИ
И СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ
Повторение организуется таким образом, чтобы не
просто воспроизвести в памяти учащихся необходимые
определения и некоторые примеры, их иллюстрирующие,
но и углубить, и в какой-то мере пополнить запас пред-
ставлений, накопленных учениками к началу изучения
темы.
Повторение рассчитано примерно на четыре урока.
Оно завершается решением ряда задач на исследование
функций элементарными средствами с использованием
знакомой учащимся схемы исследования. При повторе-
нии большое внимание уделяется употреблению символа
f (х) и построению графиков функций.
§ 1. ПОВТОРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ. ГРАФИК ФУНКЦИИ.
1 ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ОБЩЕМ ВИДЕ
Первый урок темы «Функции и пределы» посвящается
повторению основных определений, связанных с поняти-
ем функции, и введению символа f(x). Рекомендуется на
предыдущем уроке, давая задание, повторить определе-
ние функции, способы задания функции й определение
графика функции и напомнить ученикам о значении
изучения функций для познания закономерностей окру-
жающего мира и решения важнейших задач науки и
техники.
Урок начинается с повторения определения функции,
известного ученикам из курса восьмилетней школы.
В итоге повторения даются следующие определения.
Областью изменения данной переменной величины
называется множество всех тех числовых значений, кото-
рые может принимать данная переменная величина в ус-
ловиях рассматриваемого вопроса,
6
Если две величины связаны между собой таким обра-
зом, что каждому значению одной величины из области
ее изменения соответствует вполне определенное значение
другой величины, то говорят, что между этими величина-
мц_существует функциональная зависимость; первую ве-
личину называют аргументом (или независимой пере-
менной величиной), а вторую — функцией от этого аргу-
мента.
Мы считаем понятие области изменения переменной
величины полезным само по себе и рекомендуем знако-
мить с ним учащихся еще в 8-м классе при изучении темы
^Функции и графики». (Кстати, в этом случае отпадает
необходимость в специальном определении области изме-
нения функции как множества всех тех значений, кото-
рые принимает сама функция.)
Внимание учащихся обращается на то, что функция
полностью характеризуется областью изменения ее ар-
гумента и тем законом соответствия, который каж-
дому значению аргумента из области ее изменения ста-
вит в соответствие вполне определенное значение фун-
кции.
У Область изменения аргумента называется областью
Определения функции.
В зависимости от того, каким способом задается закон
Соответствия между значениями аргумента и значениями
функции, различают способы задания функции. Учащие-
ся: вспоминают известные им следующие способы зада-
ния функции:
1.	Задание функции с помощью одной или нескольких
формул.
2.	Табличный способ задания функции.
3.	Графический способ задания функции.
4.	Задание функции путем словесного описания зако-
на соответствия.
; Приводятся примеры функциональных зависимостей,
Заданных различными способами, встречающихся в мате-
матике и в смежных дисциплинах.
Укажем некоторые из них:
1.	Площадь круга Я есть функция его радиуса 7?. Она
может быть задана формулой	где /?— аргумент,
Я К— функция. Область определения — множество всех
положительных чисел.
Аналогично, объем куба V есть функция длины его
ребра.
7
В случае свободного падения тела пройденный путь S
является функцией времени t. Если время отсчитывается
от начала движения и отсутствует сопротивление возду-
ха, то эта функция может быть выражена формулой
S = Пусть Т — время от начала движения до па-
дения на землю. Тогда область определения состоит
из неотрицательных чисел, меньших числа Т, и само-
го числа Т. Коротко, область определения есть про-
межуток [0; 7] или
2.	В естественных науках и в технике зависимость
между величинами часто устанавливается эксперимен-
тально или путем наблюдений. Полученные из опыта
данные оформляются в виде таблицы, в которой для ря-
да значений одной величины указаны соответствующие
значения второй величины. Такие таблицы, имеющиеся в
технических справочниках, представляют собой пример
табличного задания функциональных зависимостей.
Областью определения функции служит множество, со-
стоящее из конечного числа записанных в таблице значе-
ний аргумента.
Например, имеется такая таблица зависимости тем-
пературы кипения воды Г от давления р.
3.	Самопишущие при-
х<0 боры, применяемые в раз-
личных исследованиях и
на производстве, вычерчи-
вают кривую, которая гра-
фически задает соответст-
вующую функцию.
Например, термогра-
фы и барографы записы-
вают зависимость темпе-
♦ ратуры и давления от вре-
х мени.
4.	Примером функции,
заданной словесно, может
служить функция у =
~Е(х), где Е(х) —целая
часть числа х, т. е. наи-
большее целое число, не
превосходящее х.
В
Разумеется, можно подобрать и много других приме-
ров. Приводятся примеры функций, заданных нескольки-
ми формулами с иллюстрацией на графике.
Например:
х, если х < О,
х2, если х > О (рис. 1);
| 2х
если х < 1,
если х > 1 (рис. 2).
Следует подчеркнуть
учащимся, что одна и
та же функция может
быть задана различны-
ми способами.
Ученики вспомина-
ют, что область опре-
деления функции так-
же может быть задана
различным путем. Она
может определяться
конкретным физичес-
ким смыслом рассмат-
Рис. 2
риваемых величин и условиями, в которых они рассмат-
риваются.
Область определения функции также может быть
непосредственно указана. (Например, у=х2 при х> 0.)
Наконец, и это наиболее важный для исследования
функций случай, если функция задана с помощью фор-
мулы, причем неизвестно, какие именно конкретные ве-
личины участвуют в функциональной зависимости, и нет
никаких дополнительных указаний относительно области
определения функции, областью определения функции
считается множество всех тех значений аргумента, для
которых соответствующая формула имеет смысл.
Например, для функции y=Vx—1 область определен
ния состоит из значений х, удовлетворяющих неравенст-
ву х>1, т. е. представляет собой промежуток [1,+ оо).
Для функции у=
область определения состо-
ит из значений х, больших, чем — 3, т. е. представля-
ет собой промежуток ( — 3, + оо).
9
Вторая половина урока отводится введению символа
f(x) и проведению ряда упражнений» связанных с его
употреблением. Необходимость введения символа /(х)
можно мотивировать примерно' следующим образом.
В предыдущих классах учащиеся изучили целый ряд
функций: линейную, квадратную, степенную, показатель-
ную, логарифмическую, тригонометрические. При изуче-
нии свойств этих функций каждый раз приходилось поль-
зоваться различными приемами исследования. Возникает
задача нахождения общих приемов исследования фун-
кций. В связи с этим удобно ввести специальное обозна-
чение для произвольной функции, подобно тому как при
переходе от арифметики к алгебре мы ввели в употреб-
ление буквы, понимая под буквой любое число. Для того
чтобы записать в общем виде, что величина у является
функцией величины х, не указывая, каков именно закон
соответствия, связывающий эти величины, употребляют
обозначение y=f(x), где х обозначает величину, явля-
ющуюся аргументом, у — величину, являющуюся фун-
кцией, а буква f обозначает в общем виде закон соответ-
ствия, связывающий эти величины. Если нужно рассмот-
реть две различные функции (без указания какие
именно), то можно употреблять различные буквы для
обозначения закона соответствия, например, писать у~
=f(x), у=?(х). Можно предложить, например,такие уп-
ражнения:
1. Дана функция f (х) = 2х3 — Зх + 4.
Найти f (- 2), /(0), / (1), f (а).
2. Дана функция ф (х) = 2 sin х + cos 2х.
Найти ф(0), ф ф (1), ф(а).
3. Дана функция (х) — х1 2 3. Что собой пред-
ставляют функции <f (х 4-1)> f (•* + о), ? | ---). ?
+	*•?(*). Т(М. А-<Р [т(х — а)] + Ь,
<t(mx + n), <р(|х|), |<р(х)|, |<р(И)1?
Примеры обычно заготавливаются на переносной до-
ске. Учащиеся решают их самостоятельно, а затем реше-
ние проверяется.
Аналогичные примеры, связанные с использованием
символа f(x), задаются и на дом.
10
понятии графика функций на первом уроке нет
времени подробно останавливаться. Здесь ученики толь-
ко вспоминают и уточняют его определение. Графиком
функций у = f(x) называется геометрическое место то-
чек плоскости, у которых абсцисса является значением
аргументах, а ордината — соответствующим значением
функции f(x). Мы считаем необходимым каждый раз
давать учащимся задание по построению графиков фун-
кций, чтобы накопить достаточный материал для даль-
нейшего ^ведения новых понятий.
Отметим, что на первых уроках каждый раз дается
материал для повторения к следующему уроку. Ко вто-
рому уроку учащиеся повторяют возрастание и убывание
функций, а также вспоминают свойства всех известных
им основных элементарных функций.
§ 2. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ
ФУНКЦИИ НА ДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ. ПОНЯТИЕ
О МАКСИМУМЕ И МИНИМУМЕ ФУНКЦИИ
При повторении свойств возрастания и убывания
функций учащиеся формулируют определения этих
свойств с помощью символа f(x). Это, с одной стороны,
способствует закреплению в сознании учащихся как са-
мих этих свойств, так и применения символа f(x). С дру-
гой стороны, определения, использующие символ f(x),
более удобны при исследовании функций. С помощью
учителя учащиеся формулируют следующие определения
возрастающей функции и функции, возрастающей на
данном промежутке.
Функция у = f(x) называется возрастающей, если
для любых двух значений х2 и ха из области ее опре-
деления из неравенства х2 > xv следует неравенство
/(*»)>
Функция y~f(x) называется возрастающей на дан-
ном промежутке, принадлежащем области определения
функции, если для любых двух значений xY и xs из этого
промежутка из неравенства х2>х1 следует неравенство
/(*»)
Такой промежуток называется промежутком возра-
стания функции.
Аналогично определяются убывающая функция,'
функция, убывающая на данном промежутке, и проме-
жуток убывания функции. Учащиеся приводят примеры
возрастающих и убывающих функций, а также /проме-
жутков возрастания и убывания функций с иллюстраци-
ей на графиках.	/
Надо сказать, что почти все графики тех функций, ко-
торые учащиеся строят в классе или дома, имеются в
школе на таблицах, часть которых изготавливается с
помощью самих учащихся. Поэтому все знакомые учени-
кам графики в любой момент могут быть использованы в
классе. Понятия возрастания и убывания иллюстриру-
ются на таких хорошо знакомых учащимся функциях,
как квадратная, показательная, логарифмическая, триго-
нометрические и т. п., а также на графиках функций,
рассмотренных на предыдущем уроке и построенных
дома.
В связи с рассмотрением промежутков возрастания и
убывания функций вводится понятие максимума и мини-
мума.
Мы не пользовались терминами «локальный мак-
симум (минимум)» и «абсолютный максимум (мини-
мум)».
Термин «абсолютный максимум (минимум)» отнюдь
не лучше хорошо известного и понятного ученикам тер-
мина «наибольшее (наименьшее) значение функции». Ес-
ли же не пользоваться термином «абсолютный», то отпа-
дает и необходимость в термине «локальный». Уже при
самом введении понятия максимума (минимума) учащи-
еся не отождествляют его с понятием наибольшего
(наименьшего) значения; они отчетливо представляют се-
бе, что максимум (минимум) —это наибольшее (наи-
меньшее) значение функции на некотором интервале, от-
куда вовсе не следует, что оно должно быть наибольшим
(наименьшим) и вообще.
Понятие максимума и минимума функции может быть
введено в связи с рассмотрением промежутков монотон-
ности функции (т. е. промежутков возрастания и убыва-
ния функции). После ряда упражнений, в которых требу-
ется указать промежутки монотонности функций, внима-
ние учащихся обращается на те значения аргумента,
которые отделяют промежутки возрастания (убывания)
от соседних промежутков убывания (возрастания) фун-
кции. Например, для функции у = —х2+1 таким значени-
ем аргумента Является число 0 (на интервале (— оо, 0)
эта функция возрастает, а на интервале (0,+ оо) —
12
убывает), для функции у— sinx— значения аргумента
вида +&л (где k — любое целое число) и т. п.
Рассматривается задача. На рисунке 3 изображен
график '^функции
Рис. 3
1)	Найти по графику промежутки возрастания и про-
межутки убывания функции.
2)	При каких значениях х функция y=f(x) положи-
тельна; отрицательна; равна нулю?
3)	Найти, при каких значениях х функция y=f(x)
имеет наибольшее (наименьшее) значение и какое
именно.
Решая задачу, учащиеся выделяют значения аргу-
мента х=—4; х=0; х=1; х=3, которые отделяют проме-
жутки возрастания от соседних промежутков убывания.
Очевидно, что при исследовании незнакомой функции и
при построении ее графика очень важно уметь находить
точки (значения аргумента), отделяющие промежутки
возрастания от промежутков убывания. Учащиеся заме-
чают, что все такие точки обладают следующей харак-
терной особенностью, для каждой из них существует та-
кой интервал, содержащий эту точку внутри себя, что
значение функции в этой точке больше (меньше), чем
значения функции во всех остальных точках этого интер-
вала.
Точки, удовлетворяющие указанным условиям, полу-
чили специальное название точек максимума (миниму-
ма) функции.
13
Таким образом, вводятся следующие определения.
Функция у =/(*) имеет максимум в точке а', если
существует интервал, содержащий точку а, для всех то-
чек которого, отличных от точки а, выполняется неравен-
ство f(x) <f (а)*.	/
Точка а при этом называется точкой максимума фун-
кции.	'1
Функция у =Дх) имеет минимум в точке aL если су-
ществует интервал, содержащий точку а, для ^сех точек
которого, отличных от точки а, выполняется неравенство
Точка а при этом называется точкой минимума фун-
кции.	'
Минимум и максимум функции имеют общее назва-
ние экстремум (соответственно точка экстремума фун-
кции).
Очевидно, что точки, лежащие на стыке промежутков
убывания и возрастания функции, находятся среди то-
чек экстремума. Следует, однако, заметить, что не всякая
точка экстремума обязательно отделяет промежуток воз-
растания от промежутка убывания.
Рассмотрим, например, функцию
(И+4-* sin 4г при ж#=0,
2	X
О при х — 0.
(См. рис. 4.)
Очевидно, что точка 0 является точкой минимума.
В этой точке значение функции равно 0, а все остальные
значения на интервале («.оэ,-|-оо)положительны. В то же
время ни на каком интервале, концом которого служит
точка нуль, функция не является монотонной.
Если учитель пожелает привести этот пример уча-
щимся, то график этой функции должен быть заготовлен
в виде таблицы заранее. (Разумеется, кроме графика,
ученикам даются соответствующие пояснения).
Мы избрали в качестве определения максимума (ми-
нимума) определение, которое обычно даётся для так на-
зываемого собственного максимума (минимума), так как
* Мы не оговариваем здесь специально, что точка а и точки ин-
тервала, о которых идет речь, принадлежат области определения
-функции, считая, что в противном случае неравенство f(x)<f(a) не
имеет смысла.
И
мы счйтаем, что для средней школы лучше ограничиться
этим наиболее характерным случаем. Вопрос о проме-
жуткахуюстоянства функции можно рассмотреть в даль-
нейшем специально, когда эти промежутки встретятся в
конкретных примерах.
Рис. 4
§ 3. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ,
ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ, И ФУНКЦИИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ
СНИЗУ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Понятия четных, нечетных, ограниченных, периодиче-
ских функций знакомы учащимся из предыдущего, и они
обычно хорошо формулируют соответствующие определе:
ния и приводят примеры, если предварительно задать им
повторить указанный материал. Затем учащиеся само-
стоятельно дают формулировки этих определений с ис-
пользованием символа f(x).
Функция y=f(x) называется четной, если для любого
х, принадлежащего области определения функции, —х
также принадлежит ее области определения, и выполня-
ется соотношение /(—х) = f (х).
Функция y=f(x) называется нечетной, если для лю-
бого х, принадлежащего ее области определения, —х
также принадлежит ее области определения, и выполня-
ется соотношение f(—х) =—f(x).
15
Функция y~f(x) называется периодической, е^ли су-
ществует такое положительное число I, называемое пе-
риодом функции, что для любого х, принадлежащего об-
ласти определения функции, х+1 также принадлежит ее
области определения и выполняется соотношение
f(x+Z)=f(x). Обычно указывают наименьший период
для данной функции.	!
Функция y=f(x) называется ограниченней сверху,
если существует такое число М, что для любрго х, при-
надлежащего области определения функции, выполняет-
ся неравенство f(x)<^M.
Аналогично определяется ограниченная снизу функ-
ция. Функция, ограниченная и сверху и снизу, называет-
ся ограниченной.
Обращаем внимание учеников на то, как отражаются
свойства функций на графиках этих функций. Например,
графики четных функций симметричны относительно оси
ординат, так как каждой точке графика с координатами
(х, У)> где f (х) =у, соответствует точка с координатами
(—х,у), также принадлежащая графику, ибо —х также
принадлежит области определения функции и f (—х) =
=f(x}=y.
График нечетной функции симметричен относительно
начала координат. Пояснение аналогично предыдущему.
График периодической функции, очевидно, можно
разбить на части, каждая из которых соответствует про-
межутку оси абсцисс с длиной, равной периоду фун-
кции I, причем каждая из этих частей может быть полу-
чена соответствующим параллельным переносом одной
из них вдоль оси абсцисс.
График 'функции, ограниченной сверху, расположен
весь ниже некоторой прямой, параллельной оси абсцисс;
график функции, ограниченной снизу, расположен весь
выше некоторой прямой, параллельной оси абсцисс; гра-
фик ограниченной функции лежит весь между двумя пря-
мыми, параллельными оси абсцисс.
Эта связь между свойствами функции и свойствами
ее графика каждый раз поясняется и иллюстрируется на
графиках конкретных функций.
Например, могут быть использованы графики таких
хорошо знакомых учащимся функций, как у=х2,
y=cosx (четные функции); у=х3, r/=sinx (нечетные фун-
кции); у=sinx, y=cosx, f/=tgx, y==ctgx (периодические
функции); 1—х2 (функция, ограниченная сверху); у~х2
16
(функция, ограниченная снизу); t/=sinx, y = cosx (огра-
ниченные функции).
В с^язи с иллюстрацией свойств функций на графиках
хорошей напомнить учащимся о значении графика фун-
кции. \
Кроме иллюстрации свойств функции, график может
также служить для приближенного вычисления значений
функции^ для графического решения уравнений.
В некоторых случаях приближенное построение гра-
фика функции по точкам, аккуратно выполненное, помо-
гает обнаружить некоторые свойства этой функции, кото-
рые затем должны быть доказаны.
Обычно, чтобы построить график функции, вначале
изучают ее свойства и затем строят график, учитывая
эти свойства. Необходимо напомнить, что исследование
свойств функции при построении ее графика целесооб-
разно проводить по определенной схеме. Записываем
один из возможных вариантов такой схемы, указывая
при этом, что порядок следования пунктов этой схемы в
зависимости от конкретных условий может быть из-
менен.
Схема исследования функции
1.	Область определения функции.
2.	Исследование на ограниченность сверху и снизу
(если возможно, указать область изменения функции).
3.	Исследование на четность и нечетность.
4.	Исследование на периодичность.
5.	Исследование на возрастание и убывание; указа-
ние точек максимума и минимума ( если они существуют)
и промежутков возрастания и убывания функции.
6.	Построение графика функции. (В процессе постро-
ения графика находят некоторые дополнительные его
точки, уточняющие график. Полезно найти точки пере-
сечения графика с осями координат.)
Надо обратить внимание на то, что не всегда удает-
ся полностью провести исследования по всем пунктам.
В этом случае строят график, ограничиваясь теми све-
дениями, которые удалось получить. Иногда построен-
ный таким образом приближенный график подсказыва-
ет наличие у функции тех или иных свойств, хотя он,
конечно, не может служить доказательством этих
свойств. Полезно сообщить ученикам, что в дальнейшем
2 Заказ 314	17
они познакомятся с новыми понятиями (предел функции,
производная) и связанными с ними более сильными ме-
тодами исследования функций.	/
Рассматриваются примеры исследования функций и
построения их графиков. Например, решается задача.
Исследовать функцию #=х4—4х2+5 и построить ее
график.	J
Исследование проводим по схеме.	’
1.	Область определения (—«, +«>)
2.	Функция ограничена снизу и не ограничена
сверху.	ii
Чтобы убедиться в этом, преобразуем формулу, за-
дающую функцию, у=х4—4х2+5=(х4—4х2+4) + 1;
= (х2—2)2+1.
Очевидно, у>1 и легко показать, что при достаточ-
но большом значении х у может быть сколько угодно
большим (т. е. больше любого наперед заданного чи-
сла). Наименьшее значение, равное 1, функция прини-
мает при х2 = 2, т. е. при X! = ]/Th Хг=— V2.
3.	Функция четная, так как f (—х) = (—х)4—4(—х)2+
+5=х4—4х2+5==/(х). График ее симметричен относи-
тельно оси ординат.
4.	Легко видеть, что функция не является периодиче-
ской.
Действительно, допустим, что данная функция пе-
риодическая и положительное число / является ее пе-
риодом. Тогда должно иметь место тождество (x+Z)4—
—4(х+/)2+5=х4—4х24-5 или (x-FZ)4—4(x+Z)2=x4—4х2.
Полагая в этом тождестве х=0 и х=1, делаем вы-
вод, что число I должно одновременно удовлетворять
равенствам: Z4—4/2—0 и (14-О'4—4 (1+Z)2=—3. Так как
/>0, то из первого равенства получаем, что Z=2. Под-
ставляя полученное значение во второе равенство, име-
ем З4—4-32=s—3, что неверно. Таким образом, наше
предположение о периодичности данной функции приве-
ло к противоречию.
5.	Так как функция четная, то при исследовании на
возрастание и убывание достаточно рассмотреть поведе-
ние ее при х>0. Мы уже знаем, что в точке
функция принимает наименьшее значение. Поэтому рас-
смотрит отдельно поведение функции на интервале
(О, V 2) и отдельно на интервале (]/2, + оо).
18
Возьмем два произвольных значения х\ и х2
на (0,g 2) такие, что xi<x2, т. е. 0<Х1<х2<]/% тогда
I	х*—2<х* —2<0;
2 —х*>2 —х’>0;
(2 - х‘)2 > (2 -	> 0:
(х* - 2)2 > (х8 - 2)2 > 0;
X	л
(х*-2у+1>(х'-2)а+1.
Ж	X
Итак, на (0,1+ 2) из неравенства xi<x2 следует нера-
венство f(xi)>f(x2), т. е. на этом интервале функция
убывает.
Возьмем теперь произвольные значения хг и х2 на
интервале ()/2, + оо) такие, что х1<х2. Тогда
Мы видим, что на интервале (1/2,+ со) функция
возрастает. Легко сообразить, что так как функция
четная, то на интервале (— У~2, 0), симметричном
интервалу (0, 1^2), она возрастает, а на интервале
(•— со,—у/2), симметричном интервалу ()/2\ + со), она
убывает. В точках— 1/2 и +"2 функция принимает
наименьшее значение. В этих точках она, очевидно,
имеет минимум. Точка 0 лежит на стыке двух интер-
валов (—}/2, 0) и (0, 1^2), на первом из которых
функция возрастает, а на втором убывает.
Таким образом, в точке 0 функция имеет макси-
мум. (Легко проверить, что значение в точке 0 будет
2*	19
наибольшим среди значений х на интервале (-— у 2, у 2).
(При х = 0 у = 5,_а при х О, удовлетворяющем
неравенству — |/ 2 < х	0 < х2 < 2, / откуда
0<2 — х2 < 2, (2 —х2)2<4, (х2 —2)2 1.1 <j5, т. е.
У<5).
6.	Строим график функции.
Так как функция четная, достаточно построить
вначале график для х > 0. Строим характерные точ-
ки графика: А(0; 5), В(\^2\ 1). От А к В кривая все
время идет вниз, а правее точки В все время подни-
мается вверх.
Общий характер графика ясен. Однако чтобы по-
строить его более точно, рекомендуется найти несколь-
ко дополнительных точек.
X	1	2	3
У	2	5	50
Построив правую часть
графика, строим затем
симметрично его левую
часть (см. рис. 5).
На уроке и дома
ученики проводят ис-
следование еще не-
скольких функций с
построением их графи-
ков. Разумеется, в
классе рассматривают-
ся более сложные при-
меры с целью иллюст-
рации различных прие-
мов исследования; на
дом задаются примеры
более простые.
Рассмотрим еще
один пример исследования функции, проводимого в клас-
се. Исследуем функцию
20
1.	Область определения функции ( — со, -f- со).
2.	Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
Действительно, для выполнения неравенства
1*3 _ х > М,
□
(где М — любое наперед заданное число), или, что то же
самое, неравенства х (-у х2—1 )>Л4, достаточно подо-
брать такое значение х, которое, с одной стороны, боль-
ше 1 и, с другой стороны, удовлетворяет неравенству
О
Не нарушая общности, можно считать Л4>0, тогда
очевидно, у>М при любом значении х, большем, чем
Уз(М +1).
Таким образом, функция не ограничена сверху.
Аналогично можно показать, что функция не ограни-
чена снизу.
3.	Функция нечетная, так как область определения
ее ('—оо, +оо) и выполняется условие
/(-*)“ Л . (_ *)з _ (_ х) = -
4.	Функция непериодическая.
Здесь можно опустить доказательство, указав, что
оно проводится таким же образом, как и в предыдущем
случае.
5.	Для исследования функции на возрастание и убы-
вание выбираем два произвольных значения аргумента
*1 и х2» удовлетворяющие неравенству x2>xit и сравни-
ваем соответствующие значения функции
*/i = -у -к* — и у2 = -у- х* — х2,
^2 Ух. —	3
о.
Очевидно, что при (xj < 1 и [х2| < 1
21
и, значит, у2 < ух. Легко видеть, что при xt — 1 и
| ха | < 1, а также при | xt | < 1 и х2 = 1 имеет I место
это же неравенство У2<У1- Таким образом, Да сег-
менте [ — 1,1J функция убывает. Если xt > 1 и/ х2 > xt
(или х2 < — 1 и Xj < х2), то очевидно, 4- х*4-4- х.х» 4-
+ -§- х* — 1 >0 и; у2 > уv Отсюда получаем, что
на промежутках ( — оо,— 1] и [4-1,4-°0) функция
возрастает. Так как на промежутке (— со, — ]] функ-
ция возрастает, а на сегменте [ — 1, 1]—убывает, то
значение ее в точке—1 больше всех других значе-
ний на интервале (—со, 1), т. е. при х = — 1 функ-
ция имеет максимум.
Аналогично рассуждая, приходим к выводу, что при
х= 1 функция имеет минимум.
6.	Так как функция
Рис. 6
нечетная, то строим
график функции внача-
ле для положительных
значений х.
Строим прежде все-
го точку графика
А 1,—f , соответству-
\	_ о /
ющую минимуму функ-
ции. Затем вычисляем
координаты нескольких
дополнительных точек,
в частности точек пере-
сечения графика с ося-
ми координат. Получа-
ем точки О (0, 0);
В (УЗ, 0); С (2, -§-);
D (3,6). Построив пра-
вую часть графика,
строим затем левую
его часть, симметрич-
ную с правой отно-
сительно начала коор-
динат (см. рис. 6).
Рассмотрев несколько примеров, обращаем внима-
ние на то, что при отыскании промежутков возрастания
22
и убывания функций каждый раз приходится применять
специальные приему, что значительно затрудняет и$-
следование.
Глава 2. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Как известно, школьники часто недостаточно хорошо
усваивают важное понятие обратной функции. Изуче-
нию обратных функций в нашем изложении уделяется
довольно много внимания.
Доказываются некоторые теоремы об обратных фун-
кциях, которые дают возможность легко и быстро ис-
следовать свойства функций, обратных по отношению к
известным функциям. Эги теоремы не вызывают ника-
ких особых затруднений у учащихся. Опираясь на
эти теоремы, проводятся, в частности, исследования
свойств обратных тригонометрических функций.
На изучение обратных функций в школе по предла-
гаемому здесь плану достаточно четырех уроков.
§ 1. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ функции.
ГРАФИК ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Понятие обратной функции в какой-то' мере извест-
но учащимся, так как они знакомились с ним, напри-
мер, при изучении логарифмической функции. На пер-
вом уроке, посвященном обратным функциям, после
краткого повторения основных понятий, связанных с
функциями (область определения функции, область из-
менения функции, график функции и т. п.), учащиеся
вспоминают, что им было известно об обратных фун-
кциях, а затем после рассмотрения некоторых примеров
взаимно обратных функций уточняется понятие обрат-
ной функции и дается следующее определение.
Пусть функция у =/(х) имеет область определения X
и область изменения К Если каждому значению у из
множества Y соответствует единственное значение х из
множества X такое, что f(x) = у, то тем самым опре-
делена некоторая функция х = <р (у) с областью опре-
деления Y. Эта функция называется обратной по от-
ношению к функции у =	.
Очевидно, что X является областью изменения фун-
ции *=<p(f/) и что функция y=f(x) является обратной
23
по отношению к функции х=<р(у). Обычно такие фун-
кции у —f(x) и	называются взаимно обратными.
Примеры у=—2х и х=-------у являются взаимно
£
обратными, как и функции у х3 и х — ]/~У\ У = 2х и
* = log2 у.
Очевидно, что графиком каждой пары из взаимно об-
ратных функций служит одна и та же линия, только для
функций вида х = <р(г/) значение аргумента служит ор-
динатой, а соответствующее значение функции — абс-
циссой точки графика. Удобнее аргумент обратной функ-
ции обозначить снова через х, а функцию через у (сохра-
нив ту же область определения ее и тот же закон
соответствия).
В этом случае для функции у = —2х обратной функ-
цией будет функция у =---х; для у = х3 обратной
будет функция у = ух\ для функции же у = 2х обрат-
ной будет функция у = log2x. При этом графики пря-
мой и обратной функции уже не совпадают. Значение
аргумента, которое служило ординатой точки графи-
ка, будет служить ее абсциссой, а соответствующее
значение функции, служившее ранее абсциссой точки,
будет служить ее ординатой.
Таким образом, каж-
дая точка графика функ-
ции с координатами (а, Ь)
после переименования пе-
ременных перейдет в точ-
ку графика функции у =
ф(х) с координатами
(6, а) (см. рис. 7). Легко
видеть, что точки с коор-
динатами (а, Ь) и (fe, а)
располагаются симмет-
рично относительно бис-
сектрисы 1-го и 3-го коор-
динатных углов.
Действительно из ра-
венства прямоугольных
треугольников	и ON2M2 следует 0М\ = 0М2 и
ZM{0Ni = ZM2ON2t а тогда	^М20К и, значит,
24
ОК является биссектрисой в равнобедренном треугольни-
ке ОМ\М2.
Из свойства биссектрисы равнобедренного треугольни-
ка следует, что 0К1_М\М2 и М\К=м2К, т. е. точки и
М2 расположены симметрично относительно биссектри-
сы ОК.
Итак, графики функций у=[(х) и y = q(x) расположе-
ны симметрично относительно биссектрисы 1-го и 3-го
координатных углов.
Так как график функции y=f(x) совпадает с графи-
ком обратной ей функции х=ф(у), то графики функций
y=f(x) и у = ф(х) расположены симметрично относи-
тельно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Внимание учащихся обращается на то, что при дока-
зательстве была выбрана точка Mi (а, Ь), расположенная
в первой четверти и не на биссектрисе координатных
Рис. 8
25
углов. Предлагается продумать ход доказательства при
других возможных расположениях точки В классе
рассматриваются 1—2 таких случая, когда точка Afi
расположена во второй, третьей или четвертой четверти
или лежит на биссектрисе 1-го и 3-го координатных уг-
лов. Иллюстрируются заранее заготовленные графики
взаимно обратных функций (см. рис. 8, 9, 10).
Построение графика обратной функции по известно-
му графику данной функции обычно не вызывает затруд-
нений, и здесь не требуется много упражнений.
26
§ 2. СВОЙСТВА ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЯ
Сравнивая свойства взаимно обратных функций, изо-
браженных на чертежах-таблицах, имеющихся в классе
(например, рис. 8, 9, 10), учащиеся замечают, что если
данная функция возрастает (убывает), то и обратная ей
функция возрастает (убывает), а функция, обратная по
отношению к данной нечетной функции, также является
нечетной. Оказывается это не случайно. Докажем соот-
ветствующие теоремы.
Теорема I. Если данная функция возрастает, то и об-
ратная ей функция возрастает.
Пусть у = f(x) и У = ф(х)—взаимно обратные
функции, причем функция у = f(x) возрастает. Чтобы
удобнее было воспользоваться определением обратной
функции, рассмотрим функцию х = ф (у), полученную
из у = ф(х) заменой х на у и имеющую те же свойства,
что у = ф (х) (свойства функции не зависят от того, ка-
кими буквами обозначены аргумент и функция).
Возьмем два произвольных значения yi и у2 из обла-
сти определения функции х=ф(у) такие, что у2>У\. По
определению обратной функции х[ = ф(?/1) есть такое
значение аргумента функции у = f(x), при котором
f(xi)=yi. Аналогично, если Х2=ф(у2), это значит,
что f(x2)=y2. Нам нужно доказать, что ф(Уг)>ф(У1),
т. е. что Хг > хь Проведем доказательство от противно-
го. Допустим, что соотношение хг>Х1, не имеет места,
тогда либо Xi = х2, либо Xi > х2. В первом случае
f(xi) = f(xs)> т- е- — Уг, что противоречит выбору зна-
чений у\ и у2. Во втором случае из возрастания данной
функции y=f(x) следует, что f(xj) >f(x2), что также про-
тиворечит выбору значений у\ и у2.
Итак, предположение, что неравенство х2 > Xi не
выполняется, приводит к противоречию. Мы доказали,
что Хг > Xi. Таким образом, функция х = ф(у), а зна-
чит, и функция у — ф(х) возрастают.
Аналогично доказывается, что если данная функция
убывает, то и обратная ей функция убывает. Это до-
казательство проводят ученики самостоятельно в
классе.
Теорема 2. Если данная функция нечетна, то обратная
ей функция также нечетна.
Пусть дана нечетная функция y**f(x), для которой
существует обратная функция.
27
Рассмотрим обратную функцию в форме х — ц)(у).
Нам нужно доказать, что для любого у0, принадлежа-
щего области определения обратной функции,— у^ так-
же принадлежит ее области определения и <р(—уо) =
= — фй/о)* Обозначим ф(*/о)=*о, тогда f(x0)=yQ.
Так как функция у = f(x) нечетна, то —х0 входит в ее
область определения X и f(—xQ) ——f(x0), т. е.
f(—х0) =—yQ. Последнее равенство означает, что —уо
входит в область определения Y обратной функции и
Ф(— #о) =— х0 = — ф(Уо). Итак, ф(—Уо) ==— (Уо), т. е. об-
ратная функция является нечетной.
Очевидно, что если данная функция не является не-
четной, то и обратная не может быть нечетной (так как
функции взаимно обратны).
Обращаем внимание на то, что, как это следует из
определения, не для каждой функции существует об-
ратная функция. Если каждое свое значение функция
принимает только при одном значении аргумента, как
это имеет место, например, для возрастающих или убы-
вающих функций, то обратная функция существует.
В противном случае обратная функция не может суще-
ствовать, так как само определение функции требует,
чтобы каждому значению аргумента соответствовало
одно вполне определенное значение функции.
В частности, для четной функции, например, z/ = x2
обратная функция не существует, так как одно и то же
значение функции соответствует двум различным значе-
ниям аргумента. По этой же причине обратная функция
сама не может быть четной (так как прямая функция
служит обратной функцией по отношению к ней).
Точно так же для периодической функции (напри-
мер, y = sinx) не существует обратной функции и сама
функция, обратная по отношению к некоторой функции,
не может быть периодической.
Чтобы получить функции, обратные для функций,
заданных формулами y=x2t y = sinx, y=cosx и т. п?, в
качестве исходной функции берут функцию, заданную
соответствующей формулой, но с областью определения
не обычной, а специально подобранной так, чтобы об-
ратная функция существовала. Для этого достаточно,
как уже говорилось, чтобы в выбранной области опре-
деления исходная функция была возрастающей или
убывающей, так как в этом случае каждое значение у
28
из ее области изменения У она принимает только один
раз.
Например, функция у—х2, определенная на множе-
стве X, представляющем собой промежуток [0, 4- со ),
монотонно возрастает. Для нее существует обратная
функция # = ]/х (знак радикала означает арифмети-
ческое значение корня). Легко получить свойства
функции # = зная свойства прямой функции
У = х\ определенной на промежутке [0, + оо).
1.	Область определения — промежуток [0, 4- со) (сов-
падает с областью изменения прямой функции).
2.	Область изменения — промежуток [0, + со) (сов-
падает с областью определения прямой функции).
3.	Функция не является ни четной, ни нечетной (так
как прямая функция не является нечетной, а четной
обратная функция вообще не может быть).
4.	Функция не является периодической (так как об-
ратная функция не может быть периодической).
5.	Функция возрастает (так как прямая функция воз-
растает) .
6.	Для построения графика используется свойство
графика обратной функции (график прямой функции
правая ветвь параболы у=х2, см. рис. 11).
Аналогично рассматриваются свойства функции
У =1о£зх на основании свойств функции у=Зх и свойст-
29
ва функции у= log ix на основании свойств функции
2"
/ 1 V
Следует отметить, что независимо от использования
чертежей-таблиц при изучении обратных функций, как
и в других случаях, ученикам обычно каждый раз пред-
лагают построить дома те графики, которые предпола-
гается рассматривать на следующем уроке.
Чтобы учащиеся лучше уяснили себе значение вы-
бора области определения для существования обратной
функции, полезно решить несколько упражнений, свя-
занных с этим вопросом.
Например: 1) Существует ли функция, обратная
функции у =	— х1 ?
Обратная функция не существует, так как данная
функция четная.
2)	Существует ли~ функция, обратная функции
y=sinx, определенной на сегменте , 4^] ?
Обратная функция существует, так как данная функ-
ция монотонно убывает.
3)	Существует ли функция, обратная функции
f/=tgx, определенной на множестве, состоящем из двух
интервалов (о, и ?
Обратная функция существует, так как различным
значениям аргумента данной функции соответствуют и
различные значения функции. Это следует из того, что
на каждом из интервалов (0,	) и И данная
функция возрастает, а для значений аргумента, принад-
лежащих различным интервалам, значения данной
функции имеют разные знаки.
4)	Существует ли функция, обратная функции
y=sinx, определенной на полусегменте [0, л)?
Обратная функция здесь не существует, так как раз-
личным значениям аргумента могут соответствовать и
одинаковые значения данной функции.
Действительно, если выбрать Xi такое, что
OOi< то и Xi и л—Xi принадлежат полусегменту
[О, л) и при этом sinxi=sin (л—Xj).
30
§ 3. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Как уже отмечалась выше, изучение свойств обрат-
ных функций позволяет легко и быстро рассмотреть ос-
новные свойства обратных тригонометрических фун-
кций на основании известных свойств тригонометриче-
ских функций.
Обратимся к функции у = sin х. Выберем такой
промежуток, принадлежащий области ее определе-
ния, на котором эта функция монотонна (т. е. либо
возрастает, либо убывает). Обычно выбирают про-
межуток £--F»	» на котором функция f/ = slnx
возрастает (его называют главным промежутком мо-
нотонности функции # = sinx). Тогда для функции
у — sin х, определенной только на промежутке
[---, -^-1 существует обратная функция. Эту функ-
цию обозначают через t/ = arcsinx (с этим обозначе-
нием учащиеся уже встречались).
Рассмотрим свойства функции у = arc sin х:
1.	Область определения [—1, 1] (совпадает с об-
ластью изменения прямой функции).
2.	Область изменения
ластью определения прямой функции).
к
(совпадает с об-
3.	Функция является нечетной (так как прямая
функция нечетна).
4.	Функция не является периодической (так как об-
ратная функция вообще не может быть периодической).
5.	Функция является возрастающей (так как пря-
мая функция возрастающая).
6.	Строим график функции, используя свойства гра-
фика обратной функции (см. рис, 12). Иллюстрируем
свойства функции на графике.
Функция у=агс cosx определяется как функция, об-
ратная по отношению к функции у=cosx, заданной на
промежутке [0, л]
Свойства функции y=arc cosx:
1.	Область определения [—1,1].
2.	Область изменения [0, л].
3.	Функция не является ни четной, ни нечетной.
4.	Функция не является периодической.
31
5.	Функция является убывающей.
6.	Строим график, используя свойства графика об-
ратной функции (см. рис. 13).
Функция у = arc tg'x определяется как функция,
обратная по отношению к функции у = tgx, заданной
на промежутке f----.
Свойства функции aretgx:
1.	Область определения ( — со, -f- <х>).
2.	Область изменения (----.
32
3.	Функция нечетная.
4.	Функция не является периодической.
5.	Функция является возрастающей.
6.	Строим график, используя свойства графика об-
ратной функции (см. рис. 14).
Рис. 14
Функция у~ arcctgx определяется как функция об-
ратная по отношению к функции y = ctgx, заданной на
промежутке (0, л).
Свойства функции y=arcctgx:
1.	Область определения (—+»).
2.	Область изменения (0,л).
3.	Функция не является ни четной, ни нечетной.
4.	Функция непериодическая.
5.	Функция убывающая.
6.	Строим график, используя свойства графика об-
ратной функции (см. рис. 15).
Все графики строятся с использованием заранее за-
готовленных графиков соответствующих прямых фун-
кций.
3 Заказ 314
33
Рис. 15
Учащимся сообщают, что функции y = arcsin х, у=
— arccosx, y = arctgx, arcctgx называются обратными
тригонометрическими функциями.
Глава 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Понятие предела функции — одно из существенно
новых понятий, введенных в школьный курс математи-
ки. Это понятие ранее никогда не входило в программу
по математике советской массовой средней школы, и
естественно, что при изучении его учитель встречается с
рядом серьезных трудностей как в отношении отбора ма-
териала, так и методики его изложения.
Разрабатывая пути ознакомления школьников с по-
нятием предела функции, следует прежде всего уяснить
себе, какие цели преследует введение этого понятия в
школе и какие задачи могут и должны быть решены в
процессе его изучения.
Известно, что понятие предела функции служит осно-
вой для последующего введения понятия производной.
Однако ознакомление школьников с пределом функции
имеет и самостоятельное значение, так как дает им воз-
34
можность глубже овладеть идеей предельного перехода,
играющей столь большую роль в различных областях
математики.
Мы считаем, что при изучении понятия предела фун-
кции учащиеся должны получить отчетливое представ-
ление о сущности этого понятия и в то же время на-
учиться четко и сознательно давать соответствующие
определения и опираться на них при проведении рас-
суждений в необходимых случаях.
Здесь следует использовать возможность показать
переход от смутных представлений к четким математи-
ческим определениям. Чтобы проиллюстрировать важ-
ность введения таких определений, необходимо хотя бы
на отдельных примерах дать образцы рассуждений,
проводимых на основе этих определений.
Разумеется, школьное преподавание темы «Пределы
и функции» не должно дублировать вузовское изложе-
ние этих вопросов в курсах математического анализа,
однако это не означает, что изложение должно быть
чрезмерно упрощенным и что следует всячески избегать
всего, что как-то напоминает изложение материала в
высшей школе. Главное — обеспечить научность и в то
же время доступность изложения и добиться того, что-
бы изучаемый материал с интересом воспринимался.
В школьном курсе достаточно ограничиться определе-
нием предела функции по Коши, вполне доступным для
учащихся и в то же время достаточно ясно отражающим
суть дела.
Разъясняя определение Коши, можно решать кон-
кретные примеры, поясняющие смысл произвольного е
и соответствующего ему б, и использовать геометриче-
ские иллюстрации, помогающие составить наглядное
представление о понятии предела функции.
Ввиду ограниченности времени подробную теорию
пределов в средней школе развивать, по-видимому, не-
возможно, но хотя бы несколько доказательств, связан-
ных с использованием определения предела функции,
на наш взгляд, обязательно нужно провести.
Необходимо при изучении предела в какой-то мере
познакомить с понятием непрерывности, хотя ныне дейст-
вующая программа этого не предусматривает*.
* Проект новой программы предусматривает ознакомление уча-
щихся с приятием непрерывности функции. «Математика в школе»,
1967, № I, стр. 22.
35
Мы пришли к убеждению, что целесообразно на-
чать знакомство с пределом функции с изучения преде-
ла функции при х-+ + оо (читается: при х, стремящемся к
плюс бесконечности). Это значительно облегчает школь-
никам усвоение этого трудного понятия, так как позво-
ляет связать изучение предела функции с ранее извест-
ным им понятием предела числовой последователь-
ности.
После введения определения предела функции при
х-> + со , рассматривая и строя графики функций, уча-
щиеся неизбежно приходят к мысли, нельзя ли ввести
понятие предела функции и при х-> —оо. Определение
предела функции при х -> — со учащиеся обычно дают
почти самостоятельно по аналогии с пределом фун-
кции при х -> + оо .
Усвоение учащимися понятий предела функции при
х -> со и при х -> — со значительно облегчает введение
определения предела функции при х -* а (читается: при
х, стремящемся к а). На изучение предела функции от-
водится примерно 10 уроков.
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ / (х) ПРИ х -> + оо И х^-оо
Для лучшего усвоения понятия предела функции в
свое время должно быть уделено достаточное внимание
изучению предела числовой последовательности. Уча-
щиеся должны иметь отчетливое представление о сущ-
ности понятия предела числовой последовательности и
хорошо понимать определение предела числовой после-
довательности *, что достигается решением достаточно-
го числа задач, в которых нужно найти номер N, начи-
ная с которого выполняется требуемое неравенство, сна-
чала для конкретных значений е, а затем и для
произвольного е, а также решением задач, в которых
требуется доказать, что данное число является преде-
лом данной числовой последовательности. Если обна-
* Имеется в виду определение: «Число а называется пределом
числовой последовательности а2, ...» %, • • • , если для любого
наперед заданного положительного числа е можно указать такой
номер N члена последовательности, что при n>N для членов пос-
ледовательности выполняется соотношение \ап —д|<е>. В этом оп-
ределении вместо «при я>М>. часто говорят «при п> однако,
как легко видеть, это несущественно, так как легко убедиться в том,
что оба эти определения равносильны.
36
руживается, что учащиеся недостаточно владеют поня-
тием предела числовой последовательности, то не-
обходимо выделить на повторение этого понятия
специальный урок. Во всяком случае предполагается,
что к уроку, посвященному первому знакомству' с пре-
делом функции, учащиеся вспомнили понятие предела
числовой последовательности и хорошо владеют его оп-
ределением.
При введении на уроке понятия предела функции _
f (х) при X ->4-оо используется изучение функций и по-
строение их графиков, которыми занимались на преды-
дущих уроках. В качестве домашнего задания к данно-
му уроку (кроме повторения предела числовой по-
следовательности) учащимся предлагается построить
какой-либо график функции, на котором можно было бы
проиллюстрировать понятие предела функции при
х -> 4~ °° • Например, можно задать построить график
х® 4” 2
функции у =— Jjj— . Кроме того, на уроке привлека-
1 Л
ются заранее заготовленные чертежи-плакаты графиков
функций, уже знакомых учащимся.
Подойти к введению понятия предела функции при
4- 00 можно, например, следующим образом.
Во время краткого фронтального опроса в начале
урока один из учащихся вычерчивает заданный график
функции у = — ,	• на классной доске. (Желательно
Л
иметь в каждом классе разграфленную в клетку доску
или часть доски.) Затем перечисляются свойства рас-
сматриваемой функции и уточняется ее график
(см. рис. 16), после чего учитель приступает к объясне-
нию нового материала.
37
Глядя на график функции # =	учащиеся
видят, что с возрастанием положительных значений х
значения функции все меньше отличаются от 1. Если за-
писать эту же функцию в форме	। , то уче-
ники легко догадываются, что при дальнейшем неограни-
ченном возрастании аргумента х значения функции не-
ограниченно приближаются к 1. Они ясно представляют
себе, как должен выглядеть график функции при даль-
нейшем его продолжении. Точно так же, глядя на знако-
мый график функции	—2 (представленный в классе
на чертеже-плакате, рис. 17), учащиеся считают очевид-
ным, что при неограниченном возрастании значений ар-
гумента х значения функции неограниченно приближа-
ются к числу —2.
Термин .«неограниченно приближаются» или другой
сходный термин употребляют для выражения своих на-
глядных представлений, не вдаваясь в его точный смысл.
Учитель ставит перед учащимися задачу установить,
какой точный смысл мы придаем словам: «Значения
38
функции неограниченно приближаются к данному числу
при неограниченном возрастании значений аргумента х»
(или «значения функции становятся сколь угодно близ-
кими к данному числу при достаточно больших значе-
ниях х», или другим сходным выражениям), и указы-
вает, что обычно в математике в том же самом смысле
употребляется выражение: «Данное число является пре-
делом функции /(х) при х -|~ со ».
Возникает задача уточнить выражение: «Данное чис-
ло является пределом функции f(x) при х + со »—
и, таким образом, дать определение предела функции
при х -> 4- 00 •
Здесь уместно использовать определение предела
числовой последовательности, в котором в точных мате-
матических терминах описывается факт неограниченно-
го приближения членов последовательности к некоторо-
му числу при неограниченном возрастании их номеров.
Внимание учащихся обращается на то, что задание
числовой последовательности означает в то же время
задание некоторой функции.
Действительно, каждому значению п (номера члена)
соответствует вполне определенное значение чле-
на последовательности. Таким образом, общий член
последовательности ап представляет собой функцию
f(n), областью определения которой служит множество
натуральных чисел, или, как говорят, функцию нату-
рального аргумента ап
Неограниченное приближение членов последователь-
ности а„ к ее пределу при неограниченном возрастании
их номеров означает неограниченное приближение к
этому числу значений f(n) при неограниченном возра-
стании значений ее аргумента. Поэтому число а можно
назвать пределом функции /(и) при неограниченном
возрастании значений ее аргумента п, или, как это при-
нято обозначать, при «-> + <».
Таким образом, определение предела числовой по-
следовательности приводит к следующему определению
предела функции натурального аргумента (не для за-
поминания)^ Число а называется пределом функции
an=f(n) при п -► + оо , если для любого наперед за-
данного положительного числа е можно указать такое
значение аргумента N, что для всех значений аргумента
n>N выполняется неравенство |'f(n)—а|<е.
39
Легко сообразить, что то обстоятельство, что аргу-
мент функции f(n) принимает только натуральные зна-
чения, не является здесь существенным.
В таких же терминах можно выразить факт неогра-
ниченного приближения к некоторому числу b значений
функции y—f(x) при неограниченном возрастании зна-
чений ее аргумента х, т. е. при х + оо *.
Таким образом, приходим к следующему определе-
нию: число b называется пределом функции у =/(лг) при
х + оо , если для любого наперед заданного поло-
жительного числа в можно указать такое значение аргу-
мента ш, что для всех х>тп выполняется неравенство
. Обозначение: b = lim/(x).
Выбор т по заданному е иллюстрируется на графи-
ке функции у — -х2	, начерченном на доске и в
тетрадях учащихся (см. рис. 18).
Рис. 18
Учитель разъясняет, показывая это на чертеже, что
для заданного положительного числа е можно подо-
брать не одно, а бесчисленное множество различных зна-
чений т, удовлетворяющих требованиям определения.
Так, для числа ej мы подобрали число пц. Для числа
Е2 число mi уже не подходит, мы выбрали для него чис-
ло /Из. В то же время число т2 могло быть выбрано для
числа Е[. Очевидно, что если для некоторого е подобрано
* Число, являющееся пределом функции, удобнее обозначить
буквой 6, ибо так будет обозначен и предел функции при х -> а.
40
соответствующее число т такое, что для всех х>т вы-
полняется неравенство |7(х)—6| <е, то для любого чис-
ла tn', большего чем т, тем более можно утверждать,
что для всех x>mz выполняется последнее неравенство.
Для того чтобы убедиться в том, что число b явля-
ется пределом функции f (х) при х -> + оо , нужно про-
верить, что для любого положительного числа е можно
найти по крайней мере одно такое число т, что для всех
значений аргумента х больших, чем т, выполняется не-
равенство |f(x)—6|<е.
Учитель показывает, как это делается, на примере
j^2 —I— 2
рассматриваемой функции у— —* .	.
Вначале полезно взять конкретные значения е. На-
пример, ставится задача: для числа в = 0,01 найти такое
число tn, чтобы для всех значений аргумента х, больших
этого числа т, выполнялось неравенство

Чтобы найти число т, выясняется вначале, для каких
вообще значений х справедливо это неравенство, т. е.,
другими словами, решается неравенство.
Преобразовывая неравенство, получают
0,01
Так как при всех значениях х выражение ~	। по-
ложительно, то знак абсолютной величины можно опу-
1-т	1^1
стать. Получается неравенство —+ } < —jgg- , от-
куда х2+1> 100 и х2>99. Отсюда ясно, что данное не-
равенство^ справедливо для всех х>]/99 и для всех
х<— У 99.	_
Обозначив ]/99 через tn, учащиеся получают,
что для всех х > т выполняется неравенство
 „ , , — 1 <0,01. Итак, при е =0,01 в качестве т
можно взять число ]/99.
Разумеется, что любое число, большее, чем У 99,
также можно было выбрать в качестве числа т.
Если в качестве е взять число 0,001, то легко
видеть, что V99 уже не сможет играть роль числа
т. Действительно, при х — 10 > ]/99
хй+_2 — J	— —!— •> 0 001
+ 1	1 х* + 1	101 >	•
41
мо-
за-
co-
Однако, проведя аналогичные рассуждения, мы
жем выбрать для е = 0,001 число т = ]/ 999 .
Чтобы убедиться в том, что для любого наперед
данного положительного числа е можно подобрать
ответствующее значение т такое, что для всех значений
x>tn будет выполняться неравенство
следует провести рассуждения в общем виде.
Рассуждения проводятся совершенно так же, как в
£
случае конкретного е.
Пусть е — произвольное наперед заданное положи-
тельное число. Решается неравенство

х24-2
№+1
Если е> 1, то неравенство справедливо вообще для
всех значений х и в качестве т можно брать любое
число.
Если же е<С1, то неравенство выполняется для
всех значений	---1 и для всех значений
х < —1/	. 1. В этом случае, если обозначить
через т число 1/ ------1, то окажется, что для'
е.
всех значений аргумента х>лг выполняется неравен-
ство
Итак, каким бы ни было наперед заданное положи-
тельное число е, всегда возможно подобрать требуе-
мое число т, а это и означает, что lira  2-ч . =1. Опи-
раясь на введенное определение предела функции
/(*) при х->+оо, можно теперь доказать и ранее под-
меченный из наглядных соображений факт, что функ-
ция у = —2 при 4-оо имеет своим пределом
число —2.
Пусть е — произвольное наперед заданное поло-
жительное число. Чтобы найти соответствующее чис-
42
ло т, достаточно решить неравенство
е.
переписать в виде — <е,
Отсюда получается реше-
или
Это неравенство можно
. . 1
в, или |х| > —.
£1
ние: х> —, или х<---------.
е	е
„ 1
Ясно, что при т = —для всех х>/п выполняется
неравенство —-----2 — (—2) <е.
Таким образом, lim ( —-------2 = —2.
Jf-^4-00 \ х	/
Примеры на доказательство того, что данное число
является пределом данной функции при х->4-оо, дают-
ся только для иллюстрации смысла определения преде-
ла функции и использования определения при доказа-
тельствах. Не следует ни в коем случае идти по пути
заучивания рассуждений; здесь самое главное добиться
того, чтобы учащиеся понимали рассуждения учителя.
Можно рассмотреть еще несколько подобных до-
казательств, например, для функции у = —, у = —-— .
Полезно предложить учащимся продумать доказатель-
ство дома, а затем разобрать его в классе. Например,
предложить для функции у — —— построить
график (см. рис. 19), догадаться, какое число является
пределом функции при х + оо , и доказать, что это
число действительно является пределом.
Следует обратить внимание учащихся на то, что не
всякая функция имеет предел при х 00 (так же как
не всякая последовательность имеет предел). Например,
хорошо известные ученикам функции у=х2, у=х\
i/—sinx, у—cosx не имеют предела при х-> +со. Отсут-
ствие предела не доказывается, но его легко пояснить
на графиках этих функций, изображенных на чертежах-
плакатах. В первых двух случаях значения функции не-
ограниченно возрастают при неограниченном возраста-
нии значений аргумента; в последних двух случаях зна-
чения функции при х—>-+оо не приближаются неограни-
ченно ни к какому числу, так как имеются сколь
43
угодно большие значения аргумента х, при кото-
рых значения этих функций равны 1 и в то же время
для сколь угодно больших значений аргумента значения
этих функций могут быть равны —1.
Рис. 19
Предел функции при х -> — оо рассматривается ме-
нее подробно. Используя ранее рассмотренные графики
функций у =	, у = —-----2, у = и т. п., обра-
щаем внимание на то, что представляет интерес не толь-
ко изучить поведение функции при значениях х, неограни-
ченно возрастающих, но и при значениях х, неограни-
ченно убывающих, т. е. при х -> — оо. Нередко ученики
сами приходят к этой мысли.
Естественно, по аналогии с понятием предела фун-
кции при х-> + 00 ввести понятие предела функции при
X -> — со .
Это определение будет отличаться от определения
предела функции при х -> + со только тем, что в этом
случае значения функции как угодно мало отличаются
от своего предела не для всех значений аргумента,
больших некоторого числа, а для всех значений аргу-
мента, меньших некоторого числа.
Ч- 2
Например, учитывая четность функции у =	,
из наглядных соображений можно сделать вывод, что
при х -> — со пределом функции у = — является
44
число 1. И действительно, вспоминаем, что, выбрав про-
извольное положительное число е, мы получили, что не-
равенство
е выполняется как для всех
— 1 , так и для всех х
довательно, обозначив через т число — у —----1 ,
мы получаем, что для любого положительного чис-
ла е можно выбрать такое число tn, что при всех
х < т выполняется неравенство
Е .
Повторив определение предела функции при х-> + оо,
учащиеся почти самостоятельно формулируют следу-
ющее определение: число Ь называется пределом фун-
кции У=/(лг) при х —> — со, если для любого наперед
заданного положительного числа е можно указать такое
число что для всех значений аргумента выпол-
няется неравенство \f(x) — &]< е.
Обозначение: b = lim/(x).
Х~*-09
Чтобы у учащихся не создалось ложного впечатле-
ния, что предел функции при х — со всегда совпадает
с пределом функции при х -> + со, можно привести им
примеры функций, для которых это не имеет места, с
иллюстрацией их графиков на чертежах-плакатах. На-
пример, 11m 1	* = 1, a lim — 151 д — 1 (см.рис.20);
Л-^-роо Х	Х
lim 2х не существует, a 11m 2х = 0 (см. рис. 21);
Х-+4"00	X-f — оо
(1 Хх'	/ 1
-к-) = 0, а Пт|-к-| не существует (см. рис. 22).
/	JC-+ — °о \ ~ /
Доказательство вышеуказанных соотношений обыч-
но на уроке не удается провести, это рекомендуется сде-
лать для интересующихся учащихся во внеурочное
время.
Все ранее рассмотренные графики функций могут
создать у учащихся впечатление, что значения функции
всегда приближаются к пределу при х + оо или
х ->— оо монотонно. Хорошим примером, опровер-
гающим это мнение, может служить рассмотрение
,	sin X
функции у = ------- .
45
Так как эта функция понадобится й при дальнейшем
изложении, то желательно изучить ее свойства и по-/
строить ее график.	I
Область определения функции у — состоит из
двух интервалов (—-со, 0) и (0, + °°). Эта функция
четная, она обращается в нуль при всех значениях
46
Аргумента х вида k^, где k—целое число; на интер-
алах (0,«); (— л, 0) и на всех интервалах вида
2А«, (2А 4-1)«) при k натуральных и интервалах вида
(|2Л— 1)«, 2^п) при k целых отрицательных значе-
ния функции положительны, а на всех интервалах ви-
да ((2Л— 1)тс, 2Лп) при k натуральных и (2Ая,(2Л 4- 1)«)
при k целых отрицательных значения функции
отрицательны.
Опуская отыскание промежутков монотонности функ-
ции, так как в данном случае это было бы слишком гро-
моздко, учащиеся строят график функции (см. рис. 23)
по точкам, учитывая уже известные свойства. Жела-
тельно, чтобы у учителя имелись заранее вычисленные
значения этой функции для ряда значений аргумента.
у
Рис. 23
Возникает затруднение в построении графика вблизи
оси ординат. Оставляя пока график в этой части неза-
конченным, обращаем внимание на поведение функции
при х -> + оо и при х — оо . Сосредо1очйваем внима-
ние на том, что при неограниченном возрастаний значе-
47
ннй х график неограниченно приближается к оси абсцисс,
проходя то выше, то ниже оси. Такая же картина на-
блюдается при х “> — со , так как функция у = —
четная. Представляется очевидным, что число 0 являет-
ся пределом функции У=НХ) при х -> + со и при
х -> — оо . Это нетрудно и доказать. Докажем, на-
пример, что lira----— 0.
Х->4-оо Х
Пусть е — произвольное наперед заданное поло-
жительное число. Нам нужно выбрать такое число
/п, чтобы для всех х>т выполнялось неравенство
—0 <е или, что то же самое
е .
и, следовательно, достаточно
выполнялось
е. Последнее неравенство справед-
х
мечаем, что
подобрать такое /и, чтобы при х
неравенство
ливо при значениях х > — и при значениях х< — ~ .
Обозначив через т число — , получаем, что для всех
х > т выполняется неравенство < е , а значит, и
1 sin х гх
неравенство |-----0 < е.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ f(x) ПРИ х-+а
(а —ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО)
На том же уроке, где рассматривается функция
у = -у- , учащиеся подводятся к мысли о необхо-
димости введения понятия предела функции при усло-
вии, что значения аргумента неограниченно приближа-
ются к некоторому действительному числу. Перед нами
стоит задача, как закончить построение графика функ-
ции у = вблизи оси ординат. Для этого нужно
выяснить поведение функции, когда значения аргумента
приближаются к числу 0. Вычисленные при х = тг ,
2 о
Т’ Т’ П значения функции подсказывают, что при при-
48
ближении аргумента к нулю значения функции прибли-
жаются к 1. Чтобы убедиться в том, что при неограничен-
ном приближении значений аргумента к числу 0 значе-
ния функции действительно неограниченно приближа-
ются к числу 1, следует прежде всего уточнить смысл
выражения: «При неограниченном приближении значе-
ний аргумента к данному числу значения функции неог-
раниченно приближаются к некоторому числу», выра-
зить этот факт в точных математических терминах, т. е.
дать определение предела функции при х а (а — дей-
ствительное число), или, как еще говорят, предела функ-
ции в точке а. Окончание построения графика функции
sin х
у = х • откладывается до того времени, когда со-
ответствующее определение будет введено и будет до-
казано, что при пределом функции у = —яв-
ляется число 1.
Прежде чем вводить определение предела функции
при х -> а, полезно рассмотреть графики достаточно
знакомых функций. Можно взять, например, такую как
у = 2х. Эта функция определена при всех значениях ар-
гумента х. В частности, при х=1 значение ее равно 2.
Рассмотрим значения аргумента, отличные от числа 1,
но все меньше отличающиеся от него, и составим табли-
цу соответствующих значений функции.
X	0	2	0,5	1,5	0,75	1,25	0,9	1,1	0,99	1,01
У	0	4	1	3	1,5	2,5	1,8	[ 2,2	1,98	2,02
Таблица показывает, что, выбирая значения аргу-
мента, все более близкие к числу 1, мы получаем значе-
ния функции, все более близкие к числу 2. График под-
сказывает, что при неограниченном приближении зна-
чений аргумента к числу 1 значения функции неограни-
ченно приближаются к числу 2.
Выясним, например, для каких значений аргумента
значения функции будут отличаться от числа 2 меньше,
чем на 0,01, т. е. будет выполняться неравенство
|2х —2|<0,01. Легко видеть, что данное неравен-
ство может быть представлено в виде 2]х— 11< 0,01,
что равносильно неравенству |х—1|< 0,005.
4 Заказ 314
49
Таким образом, для всех значений аргумента, для
которых выполняется неравенство |х—1| <0,005
будет выполняться и неравенство |2х — 2|<0,01.
Легко сообразить, что если мы возьмем какое
угодно положительное число е, то для того чтобы
выполнялось неравенство |2х— 21 < е, достаточно
неравенство [х— 1 [ < — .
чтобы выполнялось
Можно проиллюстриро
вать на чертеже геометри
ческий смысл обоих нера-
венств (см. рис. 24). Для лю-
бого значения аргумента,
попавшего внутрь интервала
(£	1	Е \
1 —-у > 1 + “2~1 на оси аб-
сцисс, т. е. достаточно близ-
кого к 1, соответствующее
значение функции попадет
в интервал (2— е, 2 + &) на
оси ординат, т. е. будет от-
личаться от числа 2 меньше,
чем на е. (Необходимо на-
помнить, что неравенство
|х —а|<е равносильно сис-
теме неравенств
а — е < х < а + е.)
Мы имеем картину, похожую на ту, которую видели
при рассмотрении предела функции при х -> + оо (или
при х->— оо ). Напрашивается мысль, что в данном
случае число 2 может быть названо пределом функции
при х 1 и что определение предела функции при х -> а
может быть сформулировано аналогично тому как
это делалось для предела функции при х -> + оо
(или х -+ — оо ). Здесь следует обратить внимание
на то, что в нашем случае значение функции при х= 1
нас не интересовало, мы рассматривали значения аргу-
мента, все более близкие к 1, но все же отличающиеся
от 1.
Можно рассмотреть также функцию у =	,
которая не определена при х=1, а при всех остальных
50
значениях х принимает .те же значения, что и рассмот-
ренная функция у^2х (см. рис. 25).
Естественно считать, что и функция у «= —,
не определенная при х=1, имеет своим пределом при
х-> 1 число 2.
Наконец, можно показать пример функции
г2 — 1
—у при X 1 ,
У-
1 при X — 1 ,
которая при х=1 принимает значение 1, но пределом
которой при х—> 1, как это видно из графика (см.
рис. 26), естественно считать число 2.
Таким образом, при определении предела функции
при х -> а необходимо делать соответствующую ого-
ворку.
После рассмотрения примеров должно накопиться
достаточно представлений для сознательного восприя-
тия определения предела функции при х -> а.
Определение. Число Ь называется пределом
функции f(x) при лг-> а, если для любого наперед за-
данного положительного числа е можно указать такое
положительное число S, что для всех значений х отлич-
ных от а и удовлетворяющих неравенству |х— а| <6,
выполняется неравенство |f (х) — &| < е .
4-
51
Обозначение: &=lim f (x). (Разумеется, что не-*
х~^а
равенство \f(x) — &|< сможет выполняться и при
х = а и при каких-либо значениях х, не удовлетво-
ряющих неравенству |х — &|<8. Важно только, что-
бы для х, отличных от а и удовлетворяющих не-
равенству |х—а|<8, неравенство |/(х) — &|<е обяза-
тельно выполнялось, а для других значений х оно
может либо выполняться, либо нет.)
Возвращаясь к примеру функции у = 2х, прове-
рим, исходя из введенного определения, что lim 2x^2.
х-ч
Действительно, мы уже убедились в том, что, како-
во бы ни было положительное число е, для всех х,
удовлетворяющих неравенству |х— 11 <-•, выпол-
няется неравенство |2х — 2| < е. Здесь является
тем числом 8, о котором говорится в определении,
и, таким образом, число 2 удовлетворяет определе-
нию предела для данной функции у = 2х при х-> 1.
Следует показать примеры функций, не имеющих
пределов в некоторых точках. Здесь уместно воспользо-
ваться заранее заготовленными чертежами-плакатами
(см. рис. 27, 28, 29).
Чтобы учащиеся лучше усвоили определение преде-
ла функции и научились проводить рассуждения, опи-
52
рающиеся на это определение, рекомендуется провести
такие рассуждения еще в нескольких простых случаях,
например доказать справедливость следующих утвер-
ждений:
1. 11m-^—.-=2.	2. lim 5хТ— =0,5.
л->1 х 1	л*->0,4 z
3. lim (Зх — 5) = 4.
л->3
53
Полезно рассмотреть в качестве примеров дока;
зательства утверждений lim sinx = О и Hm cos х = 1,
х -> О	.v -> О
к которым учащиеся легко приходят из наглядных
соображений. И сами эти утверждения и некоторые
промежуточные выводы, полученные в процессе их
доказательства, оказываются полезными при даль-
нейшем изложении.
При доказательстве того, что limsinA: = 0 нам
х -> О
нужно показать, что для любого наперед заданного
положительного числа е можно подобрать такое по-
ложительное число 8, чтобы для всех х, отличных
от 0 и удовлетворяющих неравенству |х| <8, вы-
полнялось неравенство |sinx[<e.
Оказывается, для отыскания 8 по заданному е
можно будет воспользоваться тем, что при всех
х=£0 | sin х | < | х |. Поэтому предварительно доказы-
вается последнее неравенство.
Лемма 1. Если х#=0, то |sinx | < |х|*.
Рассмотрим вначале значе-
ния х, удовлетворяющие не-
равенству 0 < х <-я- • Пост-
роим угол в х радиан, кото-
У\*______j____ рый в данном случае являет-
0	л	ся острым (см. рис. 30). Про-
р	ведем дугу АВ окружности
ис‘ w	радиуса 1 с центром в верши-
не О данного угла. Легко видеть, что площадь треу-
гольника АОВ меньше площади сектора АОВ.
Имеем: Sдаов<СSceKTдов , но S^aob ОА-ОВ X
X sin х = -5- sin х (так как ОА = ОВ=\). В то же
„„„ с	11 ОАг 1
время 5 сект аов —  у х = -5- х. Таким образом,
sin х< х или sin х <х. На интервале ^0,	х>0
и sin х > 0 и, следовательно, для рассматриваемых
значений х выполняется неравенство | sin х | < | х |.
Рассмотрим теперь значения х, удовлетворяющие
* Учащимся, разумеется, известно, что sin0 = 0 и. значит,
'| sin 0| = 0.
54
неравенству----£-<х<0. В этом случае, очевидно,
> — х>0 или 0 < — х < ~ и, значит, |sin(—л)[ <
<| — х |. Но | sin ( — х) | = | — sin х | ~ | sin х |, | — х = |х |,
и таким образом, и в этом случае справедливо нера-
венство | sin х | < | х |. Для х, удовлетворяющих нера-
венству | х | > -у-, т. е. для х <-и для х >	,
выполнение неравенства | sin х | < | х | очевидно, так
как | sin х | < 1 <	. Итак, для всех значений
£
х =/= 01 sin х | < |л |.
Доказываем теперь, что lim sinx = 0.
л'->0
Пусть е — произвольное положительное число. Так
как | sin х | < | х | при х ¥= 0, то, выбрав в качестве 8
само число е, получаем, что для всех х, отличных
от 0 и удовлетворяющих неравенству |л|<6, обя-
зательно выполняется неравенство I sin х | < е
(| sin х| < |х| < 8 = е) .
Чтобы доказать, что lim cos л =1, следует убе-
л >0
диться в том, что для любого наперед заданного по-
ложительного числа г можно подобрать такое поло-
жительное число 8, что для всех значений х, отлич-
ных от 0 и удовлетворяющих неравенству |х|<8,
выполняется неравенство | cos х— 11 < е. Здесь для вы-
бора 8 полезным оказывается неравенство |cos х—1 |<|х|,
справедливое также для всех х =£ 0. Поэтому преж-
де всего доказываем это неравенство.
Лемма 2. Если, л=^0, то |cosx—11< |лг|.
Пусть х =^= 0. Преобразуем выражение |cosx—1|.
I sin -к-| . Так как
-я~|. Кроме того,
W I
| cos х — 11 = 2 sin2 *2" = 21 sin -
-^-=#0, то по лемме 1 Isin -4-
£	I
si n < 1. Отсюда 2 sin -j- j|sln-^-1 <2|-^-1 • 1 =|x|.
Итак, |cosx — l|<|x|.
Теперь легко доказать, что lim cos л =1. Дейст-
л->0
вительно, для произвольного наперед заданного по-
ложительного числа е достаточно выбрать в качестве
8 само это число е, и тогда для всех х, отличных
55
от 0 и удовлетворяющих неравенству | х |< 8, будет
выполняться неравенство cosx—1|<е (| cos х —
— 1 |<|-Г| < В = е) .
§ 3. ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ СИНУСА К АРГУМЕНТУ,
КОГДА АРГУМЕНТ СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ
После введения определения предела функции и
рассмотрения ряда примеров на приложение этого опре-
деления можно вернуться к поставленной ранее задаче
исследования поведения функции у = —-— при значе-
ниях аргумента, близких к 0. Уже было высказано пред-
положение, что если значения х неограниченно прибли-
жаются к 0, то соответствующие значения этой функ-
ции неограниченно приближаются к числу 1, однако
эта догадка не была достаточно мотивирована.
Докажем теперь, что действительно Hm sinx — 1.
л-0 х
Здесь для произвольного наперед заданного положи-
тельного числа е требуется подобрать такое положи-
тельное число 8, чтобы для всех значений х, отлич-
ных от 0 и удовлетворяющих неравенству ] х ] < 8,
выполнялось неравенство
sin X
е. Предвари-
Рис. 31
тельно докажем две леммы.
Лемма 3. Если х у= 0 и [ х | < -£- , то | х| < | tg х |.
Рассматриваем сначала зна-
чениях, удовлетворяющие не-
равенству 0 < х Стро-
им угол в х радиан, кото-
рый в данном случае являет-
ся острым (см. рис. 31).
Проводим дугу АВ окруж-
ности единичного радиуса с
центром в вершине О данного угла. В точке А вос-
ставим перпендикуляр к радиусу ОД до пересече-
ния в точке С с продолжением радиуса ОВ. Легко ви-
деть, что площадь сектора АОВ меньше площади
треугольника ОАС.
56
Имеем. 5сект АО в	аос• Но *^сект а о в	2
5д аос = Л-ОА-АС — -4- ОА-ОА-tgx = -^- tgx (так как
АЛ	Ал	L
О А = 1). Получаем -|- х < tg х, откуда х < tg х\ так
как х>0 и tgx>0, то |х| < |tgх|.
Пусть теперь х удовлетворяет неравенству
—^-<х<0, тогда, очевидно, 0< — х<-£- , значит,
I — *|< |tg(— х)|, откуда |х| < |tgx|.
Итак, для всех х^=0 таких, что |х| <-у, выпол-
няется неравенство | х| < |tgx|.
Лемма 4. Если х =# 0 и | х | <-£-, то| -х — 11<|х|.
По условию х =/= 0 и I х|< -S-, тогда по леммам
Ги 3. имеем, ?что для рассматриваемых значений х
выполняется, неравенство
| sin х | < |х | < | tg х | .
Так как | sinxgj >0, то отсюда получаем
1*1 Ug-y 1
I sin X I | sin X I ’
1
I COS X I
Следовательно, 1> I -s n— I > | cos x | . При рассма-
триваемых значениях ----<x<0 или 0<x< y/
cos x>0 и —— > 0, поэтому в последнем неравен-
стве знак абсолютной величины можно опустить.
Имеем:	lj>—-—>cosx.
Преобразуем далее полученные неравенства:
n sin х . .	,
0 > —---------1 > cos х — 1 ;
„	- sin х - 1
0 < 1---------— <1 — cos х.
57
''Г’	1	sinx	t	sinx
Очевидно, здесь 1-----— = 1----------
х
и 1—cosx = |l — cos х |. Таким образом, 1—<
< 11—cosx] или, что то же самое, ——— 1 <|cosx—1J.
Но по лемме 2 при х =/= 0 | cos х — 11 < | х | и, значит,
в данном случае —— — 1 <_ | х |.
Докажем теперь, что lim—— = 1.
х->0 х
Пусть е — произвольное наперед заданное положи-
тельное число.
Если е <	, то, выбрав в качестве '8 само число
е, получаем, что для всех значений х, отличных от О
и удовлетворяющих неравенству | х | < 8 ( 8<~], вы-
I sin X
полняется неравенство
е.
о — е
Если же е > -Ц- , то достаточно выбрать в каче-
стве 8 число, тогда при х =/= 0 и |х| < 8 ^8 = -^-)
sin х ,
получаем
е .
s
Таким образом, для любого наперед заданного
положительного числа е можно выбрать такое поло-
жительное число 8, что для всех значений х, отлич-
ных от 0 и удовлетворяющих неравенству |х|<8,
будет выполняться неравенство —------11 < е, т. е.
11Ш ----= 1.
х>0 х
Завершив доказательство, можно возвратиться к
графику функции у =	 Учитель показывает гото-
вый график на чертеже-плакате, а учащиеся закан-
чивают построение графика в своих тетрадях (см.
рис. 32).
58
Рекомендуется обратить внимание на то, что про-
водя рассуждения, аналогичные предыдущим, мож-
но доказать, что для любого действительного числа
k, отличного от нуля, lim51?** = 1. Нетрудно пока-
х->0
зать, как это делается, на уроке или во внеурочное
время для интересующихся учащихся.
Действительно, при доказательстве лемм ничего
не изменяется оттого, что вместо числа х рассматрива-
ется число kx.
Таким образом, можно считать доказанным, что
при kx =# 0 и [	выполняется неравенство
sinfe* 1 <-1Ьг|
Теперь покажем, как по произвольно заданному
положительному числу е можно подобрать такое по-
ложительное число В, чтобы для всех значений х,
отличных от 0 и удовлетворяющих неравенству
е .
Чтобы при х =/= 0 можно было воспользоваться не-
равенством
Isin kx
----Ь---
sin kx
ГС	1 I	71
Г, т. е. |х| -щ--
|Лх| справедливо,
достаточно, чтобы
Если же неравенство
sin kx
kx
требуемого неравенства достаточно, чтобы имело место
то для выполнения
|Лх| < е, т. е. |х| <—-р. Следовательно, обозна-
। я । •
к . е
чив через 8 меньшее из двух чисел-g. и |-ц- , мы
получаем, что прих^О и |х| < 8 П * I <	и в то же
59
время |х|
sin kx *
kx
E \
yj-l выполняется как неравенство
|kx|, так и неравенство ]Лх|<е, т. е.
имеет место неравенство.
sin kx
kx
е .
Утверждение limsil? — 1 доказываем аналогично то-
х->0
му, как это было сделано для утверждения
lim----= 1, а не пользуемся заменой kx — у, так
х->0 х
как возможность замены переменных пришлось бы
как то обосновать. Нельзя считать само собой
разумеющейся возможность замены переменных в
предельном переходе, так как этот вопрос не так
прост, как может показаться на первый взгляд.
Рассмотрим такой пример:
н ч _ / х ПРИ Х ф ° >
''Х I 1 ПрИ х = о.
Очевидно, что lim f(x) = O.
С другой стороны, легко убедиться в том, что для
функции t=<f (х) = х-sin— Iim<p(x)=0.
х х->0
Считая само собой разумеющейся возможность за-
мены переменной, получаем lim f (?(х)) — lim / (/)=0.
х -У О	/у О
В то же время нетрудно убедиться, что при сколь
угодно малых по абсолютной величине значениях х
вида , где k—целое число отличное от нуля,
f гР 1~Т))= Z(0) = 1, и, значит, число 0 не может быть
пределом функции /(?(*)) при х-*0.
Мы не видим особой необходимости в использовании
замены переменной при вычислении пределов функции
в школьном курсе и поэтому не считаем нужным рас-
сматривать условия, при которых такая замена воз-
можна.
60
§ 4. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
После того как познакомились с рядом примеров
пределов функций при х -> а, ставится задача отыска-
ния способов, облегчающих нахождение предела функ-
ции при х -> а. До сих пор при нахождении предела
функции поступали следующим образом: каким-либо
путем догадывались, какое число является, по-видимо-
му, пределом функции в данной точке, и затем проверя-
ли свою догадку, опираясь на определение предела
функции в точке. Ясно, что в более сложных случаях
догадаться, какое число является возможным пределом
функции в данной точке, может оказаться затрудни-
тельным, да и проведение рассуждений, опирающихся
на определение предела функции, может вызвать очень
серьезные трудности.
Поэтому очень полезными могут оказаться теоремы,
выражающие предел некоторой функции при х -> а че-
рез известные пределы других функций (также при
х -> а).
Сообщаем, что для предела функции в точке (так
же как, впрочем, и для предела функции при х -+ + со
и при х -+ — оо ) имеют место теоремы, аналогичные
тем теоремам о пределах, с которыми познакомились
при изучении предела числовой последовательности.
Вспоминаем известные теоремы о пределе числовой
последовательности, после чего формулируем основные
теоремы о пределах функций.
Теорема 1. Если lim f (х) = b и lim (х) = с, то
х->а
Пт [/(х) -р <р (х)] = b + с. (Сокращенная формули-
х^а
ровна: Предел суммы равен сумме пределов.)
Теорема 2. Если lim/(x) = b и к — некоторое
х^а
действительное число, то lim [kf (х)] = kb. (Сокра-
х->а
щепная формулировка: постоянный множитель мож-
но выносить за знак предела.)
Как следствие из теорем 1 и 2 немедленно полу-
чаем, что если lim f(x) = b и lim<p(x) = c, то
х^а	х-*а
Ит[/(х)— <р(х)] = &— с . Действительно, lim[/(x)—
х-ю.	х^а
— <p(x)]=lim {/(х)4-[ — ?(х)]} = )lm/(x)4-lim [( — !)•
х~*а	х-^а
•<р(х)]=&4-(— 1)-с — Ь — с,
61
Теорема 3. Если lim/(x)=ft и Нт <р (х) = с, то
х^а	х-*а
Нт [/(•*)•<? (ж)] =*=	. (Сокращенная формулировка:
a*>je
предел произведения равен произведению пределов.)
Теорема 4. Если Пт/(х) = & и Нт ?(х)=с, причем
х-+а	х—а
с =И= 0, то Нт — -у* • (Сокращенная формулировка:
предел частного равен частному от деления пределов
при условии, что предел делителя не равен нулю.)
Рекомендуется обратить внимание учащихся на
соотношение lim с = с (предел постоянной равен этой
х -> а
постоянной), где с некоторое действительное число
(lime понимается как предел прих^а функции
х-*а
f(x) = c, т. е. функции, все значения которой рав-
ны с.)
Справедливость соотношения lim с —с обычно не
х а
вызывает сомнений у учащихся, однако интересно
показать им, как оно может быть доказано на осно-
вании определения.
Пусть е — любое положительное число. Очевидно,
что при / (х) = с неравенство | f (х) — с [ < е справед-
ливо при любом х. Следовательно, выбрав в качестве
8 любое положительное число, мы получаем, что, в
частности, и при х=^=а, удовлетворяющем неравен-
ству |х — #|<8, справедливо неравенство |/(х) —
—с | < е.
Программа не требует доказательства теорем о пре-
делах; однако мы считаем весьма полезным провести
доказательства теорем 1 и 2.
Теорема 1 может быть доказана следующим обра-
зом. Известно, что lim f(x) = b и lim<p(x)^=c Тре-
х-*-а	х-+а
буется доказать, что lim [f (х) + <р (х)] = b + с.
х -> а
По определению предела функции в точке нам на-
до доказать, что для любого наперед заданного по-
ложительного числа е можно указать такое положи-
тельное число 8, что для всех значений аргумента х,
отличных от а и удовлетворяющих неравенству
|х — а К8, будет выполняться неравенство |[f(x) 4-
+ ?(*)]— (^ + с)]<е.
62
Для произвольного положительного числа е
рассмотрим неравенство | [f (х) 4- ср (х)] — (Ь 4- с) | < е .
Преобразовывая левую часть неравенства, полу-
чаем: | (х) + <р(х)] (Ь + с) | = | [/(х) —4 + [?(*) —
d К !/(•*)—frl + l'pto-d.
(Учащиеся знают, что абсолютная величина суммы
двух слагаемых не больше суммы абсолютных вели-
чин этих слагаемых.) Итак, чтобы выполнялось не-
равенство | [f(x) -|- <р(х)] — (Ь с) | < е , достаточно
выполнения неравенства |/(х) — 6| + | <р (х) — с|< е .
В левой части последнего неравенства стоит сумма
двух слагаемых, и чтобы она была меньше е, доста-
точно, чтобы каждое из этих слагаемых было мень-
ше -у- .
Так как d = lim/(x), то для положительного чис-
ла-^-можно указать такое положительное число 8П
что для всех х, отличных от а и удовлетворяющих
неравенству ]х — а|<8ь выполняется неравенство
1/Ю - »I <1.
Так как с = lim<p(x), то для того же положитель-
х-+а
£
ного числа -g- можно указать такое положительное
число 82, что Для всех х, отличных от а и удовлет-
воряющих неравенству |х — а|<82, выполняется не-
равенство | ср (х) — с | <	.
Выберем меньшее из двух чисел 8t и 82 и обозна-
чим его через 8. Тогда для всех х, отличных от а и
удовлетворяющих неравенству | х — а | < 8, будет
иметь место [х —a|<8j и, значит, |f(x)—	,
Б
в то же время 1х — а < 82 и, значит, | <р (х) — fl <-«- .
	м
Таким образом, для всех х, отличных от а и удо-
влетворяющих неравенству |х — а|<8, выполняется
неравенство |/(х)— Ь 4-|<р(х) — с|<е. Итак, мы до-
казали, что lim (х) -|- <р(х)] =6 4- с.
х-*а
Легко доказывается и теорема 2. Пусть k — неко-
торое действительное число.
63
Рассмотрим сначала случай, когда Л =# 0. По оп-
ределению предела функции при х -> а достаточно до-
казать, что для любого наперед заданного положи-
тельного числа е можно указать такое положительное
число 8, что для всех значений х, отличных от а и
удовлетворяющих неравенству |х —а|<8, будет вы-
полняться неравенство |А/(х)— kb\<e. Выберем
произвольное положительное число е и рассмотрим
неравенство |Л/(х)— АФ|<е.
Преобразуя левую часть последнего неравенства,
получаем | kf (х) — kb | = | k | • | f (х) — b |. Следователь-
но, чтобы выполнялось неравенство kf(x)— £&|<е,
достаточно выполнения неравенства |k - |/(х) — 6|<е.
Так как по условию b = lim/(x), то для положитель-
е	х-*а
кого числа -до 0) можно указать такое положи-
тельное число 8, что для всех х, отличных от а и
удовлетворяющих неравенству | х — а | < 8, выполня-
ется и неравенство |/(х) — 6|<-Ду . Преобразуя по-
следнее неравенство, имеем |А| •[/(*) — ^|<е.
Таким образом, для всех х, отличных от а и удов-
летворяющих неравенству |х — а|<8, выполняется
неравенство |Л| • |/(х) — д| < е или | kf(x) — kb\< г.
Итак, при k=£Q доказано, что lim [^/(а:)] — kb.
х^а
Если k — 0, то доказываемая теорема сводится к
очевидному равенству lim [07(х)] = 0.
х-»- а
Проводить доказательства теорем 3 и 4 мы не
рекомендуем, так как для этого пришлось бы при-
влечь дополнительный материал или проводить дока-
зательство громоздким путем, что заняло бы много
времени. Возможно было бы полезно в порядке
упражнения провести доказательство следующей
теоремы.
Если lim/(x) = 0, а функция <р(х) ограничена (т. е.
х->а
существует такое положительное число М, что при
всех значениях х из области определения функции
<?(х)| <р(х)|<;Л1), то lim [/(х)-<р(х)] = 0. После всего
х-+а
рассмотренного ранее доказательство этой теоремы
учащиеся могут провести почти самостоятельно при-
мерно следующим образом.
64
Пусть е — произвольное положительное число. Рас-
сматривается неравенство |/(х) • <р (х) | <е . Но
I f (х) • ? (х) | < | / (х) | • М. Следовательно, достаточно,
чтобы выполнялось неравенство |/(х)|- Ж < е или
равносильное ему неравенство | f (х) | <	. Так как
lim/(x) = 0, то для наперед заданного положительно-
х-+а
го числа можно подобрать такое положительное
число 8, что при х=/=а и |х — а| < В справедливо не-
равенство |/ (х) | < --^-или |/(х)|*Л1<£. Тогда прих#=а
и | х—а | < В имее т место ^неравенство | f (х) • ср (х) |< е.
Чтобы не увеличивать числа рассматриваемых тео-
рем, мы не считали нужным формулировать в виде спе-
циальной теоремы утверждение, что любая функция не
может иметь в одной и той же точке более одного пре-
дела. Это утверждение представляется учащимся оче-
видным, его можно проиллюстрировать на графиках
функций. Следует сообщить, что единственность преде-
ла функции в данной точке может быть доказана на ос-
новании определения предела функции.
Вместе с тем для решения примеров на вычисление
пределов функции важно обратить внимание на то, что
значение предела функции при х -> а не изменится, ес-
ли изменить значение функции при х=а, доопределить
функцию для х=а, если она ранее не была определена
при х=а, или исключить х = а из области определения
функции. Это следует из того, что в определении преде-
ла функции выполнение неравенства |f (х) — &|<е тре-
буется только для значений х, отличных от а (и удо-
влетворяющих неравенству |х —а|<8). Поэтому при
отыскании предела функции формулу, задающую фун-
кцию, можно тождественно преобразовывать, считая
х п.
Решать много примеров на непосредственное приме-
нение теорем о пределах не представляет интереса. Уча-
щиеся вскоре замечают, что дело сводится к подстанов-
ке в формулу, задающую функции, соответствующего
значения аргумента. Необходимо указать, что это об-
стоятельство не случайно и что оно связано с так на-
зываемой непрерывностью функций, о которой вскоре
будет идти речь.
5 Заказ 314
65
Некоторое оживление вызывает решение примеров, в
которых, прежде чем применить теоремы о пределах,
приходится производить тождественные преобразова-
ния формулы, задающей функцию, или, как говорят,
примеров «на раскрытие неопределенностей». Особенно
увлекаться этими примерами не следует, так как они
мало служат главной задаче, пояснения сущности поня-
тия предела функции, однако некоторое число таких
примеров необходимо решить, чтобы научить созна-
тельно применять теоремы о пределах. Разумеется, если
позволяет время, можно использовать решение их как
упражнения, связанные с тождественными преобразо-
ваниями.
Приведем решение нескольких примеров.
X2 _L Зх
1. Найти lim R а . В нашем случае непс-
х -* о *
средственно использовать теорему о пределе частного
нельзя, так как предел делителя равен нулю. Функция
не определена при х—0.
Считая х #= 0, делим числитель и знаменатель на х.
_L 3
Получаем новую функцию д* . ।	> значения кото-
рой во всех точках (кроме х = 0) совпадают со значения-
ми данной функции. Так как при определении предела
функции при х 0 ее значение в точке 0 не учитывает-
ся, то
2. lim
х->-—2
lim
х -* О
х2 — 4
2х + 4
х3 + Зх
5ха + х
Ит
х о
Х2 + 3
5х+ 1
цт (х-2)(х+2)
2(х + 2)
Рассуждения такие же, как и в предыдущем при-
мере.
3. lim tg* = lim ( s1^x- •	*7^ =
x о x x -> о \ x cos x /
= lim sinx * lim—!—= 1-7— ------= 1-1 = 1.
x »-_.nCosx lim cos x
. sin5x	/г sin 5x\ r sin5x - ,	-
4. hm —-— = lim [5- R--| = 5- lim R  = 5-1 = 5.
X - 0 X x -> 0 \ OX у x y 0 ox
66
§ 5. ПОНЯТИЕ Q НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
Ныне действующая программа по математике для
'средней школы не предусматривает ознакомления с по-
нятием непрерывности.
Однако введение в курс математики средней школы
'понятия предела функции позволяет без особых затруд-
нений хотя бы в общих чертах познакомить с этим важ-
нейшим математическим понятием.
При вычислении пределов функций с Использовани-
<ем теорем о пределах обращаем внимание на то, что в
;ряде случаев предел функции f(x) при х а совпадает
«со значением функции в той же точке.
Ясно, что для решения задачи вычисления пределов
функций было бы очень полезно знать, в каких случаях
мы можем считать, что пределом функции служит зна-
чение ее в соответствующей точке. Уже при решении
примеров на вычисление пределов было указано, что
«совпадение искомого предела функций при х-> а со
значением функции при х—а связано с понятием не-
•прцКявности функции.
'Что же такое непрерывность?
Прежде чем давать определение непрерывности, об-
ращаем внимание на ряд знакомых графиков функций,
используя ранее заготовленные чертежи-плакаты.
Отметим, что все рассматриваемые графики не пред-
ставляют собой одну сплошную линию, а распадаются
иа отдельные ветви. Возникает вопрос: с чем связана
эта особенность данных графиков?
Рассмотрим подробнее каждый из представленных
графиков. График функции у= ——2 состоит из двух
частей (ветвей), одна из которых содержит точки с по-
ложительными абсциссами, а другая — точки с отрица-
тельными абсциссами (см. рис. 17).
Можно сказать в этом случае, что график распался,
«претерпел разрыва, при переходе аргумента через зна-
чение х = 0.
В то же время функция У=~~г‘—2 не определена в
точке 0 и не имеет предела при х -> 0. Аналогичное по-
ложение мы наблюдаем при рассмотрении графика
функции у= 1 - * ' - (см. рис. 20), а также графиков
5*
67
функций у— (см- Рис- 2?) и У= (X— 1)Г (см- Рис- 28)
при переходе аргумента соответственно через значения
х=2 и х=1. В обоих случаях функции не определены и
не имеют пределов в соответствующих точках.
График функции у = I г	(см. рис. 29)
( х при х > 2
также распадается на две ветви при переходе аргу-
мента через значение х = 2. Однако в этом случае
при х = 2 функция определена и разрыв графика, по-
видимому, связан с тем, что не существует предела
функции при х -> 2.
Аналогичный пример дает график функции
при х =£ О,
у = I х	(см. рис. 33).
I 0 при х = О
У=
IXt
7 при х*0
О при х-0
Рис. 33
Рассмотрение графиков у= ?Х (см. рис. 25)
и у= —- (см. рис. 32) показывает, что график мо-
жет претерпевать- разрыв при переходе аргумента через
значение х-а и в том случае, когда существует предел
рассматриваемой функции при х а, но функция не
определена при х — а. Наконец, как показывает пример
функции у==1	1	/(см. рис. 26), график может
1 при * = I
68
претерпевать разрыв при переходе аргумента через зна-
чение х = а и в том случае, когда функция определена
при х=а и существует предел функции при ха, если
значение функции не совпадает с этим пределом.
В рассматриваемых случаях график функции пре-
терпевал разрыв при переходе аргумента через опреде-
ленное значение. Из наблюдений заключают, что при
переходе аргумента через другие значения график не
претерпевает разрыва. При этом нетрудно показать,
опираясь на теоремы о пределах, что для любых значений
аргумента, кроме выделенных в каждом случае, значе-
ние предела функции совпадает со значением самой
функции в соответствующей точке. Естественно указан-
ное свойство, связанное с отсутствием разрыва графика,
назвать непрерывностью функции в соответствующей
точке.
Таким образом, может быть введено следующее оп-
ределение.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точ-
ке а, если она определена при лт —а и f(a)=\imf(x).
х^а
Вспоминая, что lira sin х=0 и sin 0=0, мы можем ска-
х-*а
зать теперь, что функция y=sinx непрерывна в точке 0.
Это можно проиллюстрировать и на графике функции
у = sin х. Глядя на график, можно заключить, что,
по-видимому, функция у = sinx непрерывна и при зна-
чениях х, отличных от нуля.
Нетрудно доказать, что это действительно так.
Нам нужно показать, что lim sinx = sinn, где а — лю-
х^а
бое действительное число. Выберем произвольное no-
ложительное число е и рассмотрим неравенство
sinx — sinn] < е. Нетрудно видеть, что приход
	• I in X 4“ CL . X Cl I	, X Л I 
sinx—sina | = 2 cos —5— sin—=— < 2-1 • —к— =|х—а .
Итак, ]sinx — sinn| < |х — а\ и, значит, выбрав в ка-
честве В само число е, мы получаем, что при х^а и
удовлетворяющих неравенству |х — а\ < В выполняет-
ся и неравенство |sinx—sin а
sin а I <
е.
Может возникнуть вопрос, нужно ли было проводить
доказательство, раз и так ясно, что график функции
у = sin х представляет собой сплошную линию (т. е. не
претерпевает разрывов ни в каких точках). Здесь мож-
69
но пояснить, что раньше при построении графика мы
соединяли найденные точки графика сплошной линией,
не задумываясь над тем, почему мы имеем право это
делать. Именно понятие непрерывности даег возмож-
ность обосновать правильность построения графика та-
ким путем.
Кроме соотношения limsinx = 0, ранее было до-
казано и соотношение lim cosx^l, т. е непрерыв-
ПОсть функции 4/=cosx в точке х = 0 (cos 0= 1). Не-
прерывность функции У = cos х в любой точке может
быть доказана учащимися в порядке упражнения.
Заметим, что функция, непрерывная в каждой точке
ее области определения, называется непрерывной функ-
цией и что все известные нам основные элементарные
функции (степенная функция, показательная функция,
логарифмическая функция, тригонометрические и об-
ратные тригонометрические функции) являются непре-
рывными функциями. Поэтому при вычислении преде-
лов этих функций в тех точках, где они определены, мы
можем заменить предел функции ее значением в соот-
ветствующей точке.
Для того чтобы вычислять пределы функций, кото-
рые могут быть построены из основных элементарных
функций с помощью четырех арифметических, действий,
пользуются теоремами о пределах.
Пользуясь теоремами о пределах, легко показать,
что сумма, разность и произведение функций, непрерыв-
ных в точке а, есть функции, также непрерывные в точ-
ке а, и что частное от деления непрерывных в точке а
функций есть функция, непрерывная в точке а, при ус-
ловии, что значение делителя в точке а отлично от нуля.
При наличии времени было бы очень желательно
познакомить школьников с некоторыми свойствами не-
прерывных функций.
Мы имеем в виду следующие теоремы.
Теорема 1. (О непрерывной функции, принимающей
на концах сегмента значения разных знаков.) Если
функция f(x) непрерывна на некотором сегменте [#» &] и
принимает на концах его значения разных знаков (т. е.
f (a)nf(b)—числа разных знаков), то внутри сегмента
[а,Ь] найдется по крайней мере одна такая точка с, в
которой значение функции — 0 (т. е./(с)=0).
70
Теорема 2. (О промежуточном значении непрерывной
функции.)
Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, &J и
у0— какое-либо число, заключенное между f(a) и f(b)
(т. е. /(а)<Уо</(&) ИЛИ /(а)>у0>/(*)> то внутри
сегмента [а, &] найдется по крайней мере одна такая
точка с, что f(c)=yQ.
Теорема 3. (Об ограниченности непрерывной функ-
ции.) Если функция /(лг), определенная на сегменте
[а, &], непрерывна, то она ограничена.
Теорема 4. (О наибольшем и наименьшем значении
непрерывной функции.) Если функция /(х), определен-
ная на сегменте [а,&], непрерывна, то среди значений ее
обязательно имеются наибольшее и наименьшее.
Эти теоремы приходится сообщать без доказатель-
ства, так как в нашем распоряжении нет нужных
средств для проведения таких доказательств. (Только
2-я теорема легко может быть доказана на основании
первой.)
Мы знакомили учащихся с этими теоремами, правда
несколько позднее, широко используя наглядные иллю-
страции и пояснения.
Доказательства указанных выше теорем при на-
личии интереса у учеников могут быть проведены на
внеклассных занятиях. При этом предварительно следу-
ет познакомить с принципом стягивающихся сегмен-
тов, с теоремой Больцано — Вейерштрасса о выборе схо-
дящейся подпоследовательности, с понятиями верхней и
нижней грани ограниченного множества, существование
которых легко доказывается на основании принципа
стягивающихся сегментов, а также доказать, что если
lim f(x) = b, то из условия lim хп = а, где хп — зна-
х-+а	л-»--}*00
чения аргумента, отличные от а, следует, что
Л-*-+ 60
Раздел II. ПРОИЗВОДНАЯ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Понятие производной — одно из важнейших матема-
тических понятий, используемых в физике и в технике,
и необходимость ознакомления с ним учащихся не вы-
зывает сомнений. Помимо прекрасной иллюстрации прак-
тического применения математики, оно дает богатей-
шую возможность показать, как возникшее в связи с
потребностями практики математическое понятие начи-
нает играть важную роль в развитии математической
теории и затем оказывается приложимым к решению за-
дач, на первый взгляд далеких от тех, которые первона-
чально привели к возникновению этого понятия.
Изучение темы «Производная и ее применение» в
средней школе очень тесно связано с изучением темы
«Функции и пределы». Понятие скорости прямолинейно-
го движения и задача вычисления этой скорости, ис-
пользуемая как пример задачи, приводящей к понятию
производной, вначале рассматриваются как иллюстра-
ция практического использования понятия предела
функции. Само определение производной основано на
понятии предела функции.
Исследование функций с использованием производ-
ной проводится по той же схеме, что и в теме «Функ-
ции и пределы».
Метод отыскания точек максимума и минимума
функции и ее промежутков монотонности с помощью
производной, значительно облегчающий исследование
функций, легко усваивается. Успешное решение задач
на исследование функций и построение их графиков при
изучении темы «Производная и ее применение» обеспе-
чивается достаточным опытом решения таких задач в
теме «Функции и пределы».
72
При изучении темы «Производная и ее применение
к исследованию функций» серьезное внимание уделя-
ется различным случаям приложения понятия произ-
водной.
Кроме применения производной к вычислению ско-
рости и ускорения прямолинейного движения рассмат-
риваются и другие примеры использования понятия
производной для определения и вычисления скорости
протекания тех или иных процессов из различных обла-
стей науки и техники (скорость растворения вещества,
протекания химической реакции, изменения температу-
ры, изменения силы тока и т. п.).
Наряду с исследованием функций с помощью про-
изводных при построении их графиков решаются зада-
чи с практическим содержанием, в которых максимум
или минимум функции, обнаруженные с помощью про-
изводной, используются для нахождения наибольшего
или наименьшего значения функции. Эти задачи вызы-
вают большой интерес. Формула бинома Ньютона дает-
ся как еще один пример использования понятия произ-
водной в развитии математической теории. Учащиеся
знакомятся с практическим применением этой формулы,
решая задачи на приближенное вычисление натураль-
ных степеней некоторых чисел.
Как уже говорилось выше, понятие производной
вводится в связи с рассмотрением скорости (точнее,
мгновенной скорости) неравномерного прямолинейного
движения. Исходя из нашего опыта, мы считаем более
целесообразным несколько отложить рассмотрение гео-
метрического истолкования производной, так как по-
нятие касательной как предельного положения секу-
щей также является новым для учащихся.
Рассмотрение геометрического смысла производной
проходит успешнее после того, как учащиеся несколько
освоятся с самим понятием производной. В то же время
геометрическое истолкование производной, как углово-
го коэффициента касательной к графику функции в со-
ответствующей точке, не так уж важно при выводе фор-
мул для вычисления производных, но играет очень боль-
шую роль при ознакомлении с методами исследования
функций с помощью производной.
В соответствии со всем этим в предлагаемом изло-
жении изучение темы «Производная и ее применение к
исследованию функций» разбивается на два этапа. Пер-
73
вый из них посвящается введению понятия производной,
способам ее вычисления и ее приложениям к решению
различных задач, связанных с вычислением скоро-
сти изменения функции по отношению к изменению
аргумента. Здесь рассматриваются следующие воп-
росы.
Скорость равномерного прямолинейного движения и
понятие о мгновенной скорости неравномерного движе-
ния. Приращение аргумента и приращение функции.
Определение производной. Примеры непосредственного
вычисления производной на основании ее определения.
Вынесение постоянного множителя за знак производ-
ной. Производная суммы функций. Примеры приложе-
ния производной в физике, химии и т. п. Теорема о при-
ращении функции, имеющей производную. Непрерыв-
ность функции, имеющей производную. Производная
степенной функции. Производная обратной функции.
Производная частного двух функций. Производные
функций у = sin х, у — cos х, у = tg х, у — ctgx. Поня-
тие сложной ' функции. Производная сложной функ-
ции. Ускорение. Понятие о второй производной.
Задачи на применение производной решаются, разу-
меется, на протяжении всего изучения указанных выше
вопросов.
Второй этап изучения темы «Производная и ее при-
менение к исследованию функций», в основном посвя-
щенный различным случаям приложения понятия про-
изводной, содержит следующие вопросы:
Геометрический смысл производной. Касательная.
Признаки возрастания и убывания функций. Нахожде-
ние максимума и минимума с помощью производной.
Построение графиков функций с использованием произ-
водной. Графическое решение уравнений. Формула би-
нома Ньютона и ее применение к приближенным вычис-
лениям.
При изучении признаков возрастания и убывания
функции в большой мере используется геометрическая
иллюстрация. В частности, достаточные признаки воз-
растания и убывания функций формулируются без дока-
зательства на основе рассмотрения ряда примеров с
привлечением графиков функций. К геометрическим ил-
люстрациям обращаются и во время вывода необходи-
мого признака существования экстремума функции в
данной точке и достаточных признаков существования
74
максимума и минимума, которые даются с доказатель-
ством.
Как это видно из вышесказанного, производная и ее
[Применение даются в предлагаемом изложении несколь-
зко шире, чем это предусматривалось программой сред-
ней школы, примерно в том же объеме, как это преду-
сматривает проект новой программы. Мы убеждены, что
это вполне посильно для учеников массовой школы. Бо-
лее того, мы считали бы целесообразным еще несколь-
ко расширить объем материала, изучаемого школьни-
ками, включив дополнительно теорему Ролля, теорему
Лагранжа, доказательство с помощью теоремы Лаг-
ранжа достаточных признаков постоянства, возрастания
и убывания функции, формулы для производной пока-
зательной и логарифмической функций, хотя бы без до-
казательства. Все это отняло бы не очень много лишне-
го времени и труда и в то же время сделало бы изло-
жение более полным, более целостным и более интерес-
ным.
Глава 4. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ
ФИЗИЧЕСКИХ И ДРУГИХ ЗАДАЧ
Выражение скорости прямолинейного движения как
производной пути по времени сразу же выдвигает проб-
лему вычисления производных известных функций.
В связи с этим и доказываются теоремы о производной
суммы, разности, произведения, частного, обратной
функции и выводятся формулы для вычисления произ-
водных степенной функции и тригонометрических функ-
ций, а также вводится понятие сложной функции и до-
казывается теорема, дающая способ вычисления ее про-
изводной.
Как уже говорилось, задачи на применение произ-
водной решаются на протяжении всего изучения в шко-
ле рассматриваемого раздела. Понятие производной и
основные способы ее вычисления можно рассмотреть в
школе за 16—17 уроков.
75
§ 1. СКОРОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО движений.
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Уже указывалось, что понятие скорости неравномер-
ного движения дается прежде всего как одна из иллю-
страций применения понятия предела функции.
Определению скорости неравномерного движения и
введению понятия производной отводится один урок,
полностью посвященный изложению нового материала.
Напомнив, что понятие предела функции было вве-
дено в связи с задачей изучения свойств функций и по-
строения их графиков, переходят к одному из важней-
ших применений понятия предела функции в физике, а
именно к использованию этого понятия для уточнения
определения скорости прямолинейного движения.
В курсе физики понятие скорости было введено пре-
жде всего для случая простейшего прямолинейного дви-
жения, для так называемого равномерного прямолиней-
ного движения.
В этом случае в равные промежутки времени тело
проходит одинаковые расстояния, и отношение пройден-
ного пути ко времени, за которое этот путь пройден, не
зависит от выбора отрезка времени. Это постоянное от-
ношение пройденного пути к затраченному времени и
называется скоростью данного равномерного прямоли-
нейного движения.
Но, очевидно, не всякое прямолинейное движение яв-
ляется равномерным. В курсе физики ознакомились и с
другими видами прямолинейного движения, например
равноускоренным движением, частным случаем которо-
го является свободное падение. Очевидно, что при не-
равномерном движении нельзя определить скорость дви-
жения как отношение пути ко времени, так как это от-
ношение различно для различных промежутков вре-
мени.
Для характеристики движения за некоторый проме-
жуток времени используется понятие средней скорости
движения за данный промежуток времени. Средней ско-
ростью за данный промежуток времени называется от-
ношение пути, пройденного за этот промежуток време-
ни, к величине этого промежутка.
Очевидно, что средняя скорость не дает полного
представления о характере движения, так как в различ-
76
ные периоды в течение данного промежутка тело могло
двигаться то быстрее, то медленнее.
\ Возникает необходимость уточнить понятие скоро-
сти для неравномерного прямолинейного движения.
\ В физике, как известно, вводится понятие мгновен-
ной скорости тела при неравномерном движении, как та-
кой скорости, с которой двигалось бы тело, если бы на-
чиная с данного момента времени его движение стало
равномерным. Это определение в курсе физики иллюст-
рируется на опыте. Там же указывается, что средняя
скорость за промежуток времени, начинающийся с дан-
ного момента, тем ближе к мгновенной скорости в дан-
ный момент времени, чем меньше рассматриваемый про-
межуток времени.
Однако приведенное определение мгновений ско-
рости не указывает, как вычислить эту скорость в каж-
дый момент времени при неравномерном движении да-
же и в том случае, если для каждого момента времени
известен путь, пройденный от начала движения.
Понятие предела функции и позволяет ввести такое
определение мгновенной скорости неравномерного дви-
жения, которое, с одной стороны, согласуется с поняти-
ем мгновенной скорости, указанным выше (как это под-
тверждено многолетней практикой), и, с другой сторо-
ны, позволяет вычислить скорость в любой момент
времени, если известен закон движения, т. е. известна
функция, которая каждому моменту времени t ставит в
соответствие путь, пройденный телом от начала движе-
ния до данного момента.
Чтобы ввести определение мгновенной скорости ио
(или скорости в данный момент времени /о), обозначим
величину промежутка времени, начинающегося с данно-
го момента tQ через Д/.
Как уже говорилось выше, из физики известно, что
средняя скорость за промежуток времени Д/ тем бли-
же к мгновенной скорости t>o в момент /0» чем меньше
промежуток Д/. Поэтому естественно ввести следующее
определение. Мгновенной скоростью прямолинейного дви-
жения тела в данный момент времени называется пре-
дел, к которому стремится средняя скорость за проме-
жуток времени Л/, начинающийся с данного момента,
при условии, что Д/ стремится к нулю; = lim яср.
Д/->0
Если известна зависимость vCJ, от Д4 то это опреде-
ление позволяет вычислить Проиллюстрируем этб
определение на примере такого хорошо знакомого дви/
жения, как свободное падение.
Как известно, путь, пройденный свободно падающи^г
телом от начала падения, вычисляется по формуле
S = —, где t — время, прошедшее от начала паде-
ния.
Скорость в каждый момент времени вычисляется по
формуле v — gt.
Рассмотрим момент времени после пяти секунд от
начала падения; tQ = 5 сек. Соответствующая мгновен-
ная скорость и0= bgCMfceK, Будем вычислять среднюю
скорость за различные промежутки времени А/, начи-
нающиеся с данного момента.
Для удобства введем следующие обозначения. Путь,
пройденный за время А/, обозначим через AS, а /0+А/—
через t. Очевидно, что AS можно найти как разность
между путем S, пройденным за время /, и путем So,
пройденным за время tQ. По формуле получаем:
S = см, So = —g— CM ~ 12,5g см,
AS =	_ 12,5g) cm.
Составим следующую таблицу (желательно загото-
вить ее заранее).
/0 = 5 сек, So — 12,5# см.
Д/ (в сек)	t (в сек)	S (в см)	AS (в cm)	1/ср=±^-(всл</с₽к)
3	8	32 g	19,5 g	6,5 g
2	7	24,5 g	12g	6g
1	6	18g	5,5 g	5,5 g
0,5	5,5	15,125 g	2,625 g	5,25 g
0,1	5,1	13,005g	0,505 g	5,05 g
78
Мы видим, что значения оср в данной таблице дей-
вительно тем меньше отличаются от т>0 = 5g ,
м меньше выбран промежуток времени ДА
Найдем limtu:
дг-о
g(A,+ At)2 g<0
_ AS _ S —So _	2	2	_
AZ “ AZ —	AZ
g( Zo + 2Z0AZ + AZ« — Zo) g^t (2Z0 + AZ)
=	2AZ	2AZ =
=	(2/0 + A/);
v0 = limt>cp = lim -f- (2/0 + AZ) = -f- lim(2/0 + AO —
Ы -Q	A/-*-() z	Z Д/ 0
— JL .9/
2	0
Мы получили значение мгновенной скорости, совпа-
дающее с ранее известным значением.
Пользуясь указанным выше определением мгновен-
ной скорости, мы можем вычислить мгновенную ско-
рость для любого прямолинейного движения, для кото-
рого известна функция S = 7(0» выражающая зависи-
мость пути S от времени t:
оо = lim ц.р = lim где AS = S — So = f(t) - f(tQ) --
А/ - 0 Д/ - 0
=/(/0 + до - Wo).
Д/ обычно называют приращением времени, AS —
соответствующим приращением пути.
При вычислении мгновенной скорости мы рассмат-
риваем уср как функцию, аргументом которой служит
А/, и ищем предел этой функции при А/->0. Таким об-
разом, для данной функции S ~ f(t) мы получаем но-
вую функцию гср = (функцию аргумента А/) и
ищем предел этой функции при А/ 0.
Перед нами возникает задача найти наиболее ра-
циональные способы вычисления указанного предела
для различного вида зависимостей пути от времени.
Мы будем решать эту задачу в общем виде.
79
Пусть дана произвольная функция у = f(x). а х04-
некоторое значение этой функции. Разность между лю-
бым значением аргумента х и данным значением х0 на-
зовем приращением аргумента и обозначим через Цх:
х — х0 = Дх; х = х0 + Дх.
Назовем приращением функции, соответствующим
данному приращению Дх, разность f(x0 + Дх) —f(x0).
Обозначим это приращение функции через Ду:
by = f(x0 + Ах) —/(х0).
Очевидно, что Ду является функцией Дх, т. е. каждому
значению Дх соответствует вполне определенное значе-
ние Ду. В рассмотренном выше примере роль Дх выпол-
няло ДЛ а роль Ду играло ДХ. Нас интересует, следова-
тельно, 11m—. Этот предел получил особое на-
звание производной функции f(x) в точке хо и обознача-
ется через /'(х0).
Определение. Производной функции f(x) в точ-
ке лг0 называется предел отношения приращения функ-
ции к соответствующему приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
г (х0) = 11m
Дл -► О
Согласно этому определению скорость прямолиней-
ного движения в момент времени t0 есть производная
пути по времени, т. е. VQ=f'(to).
После введения понятия производной рассматрива-
ются несколько примеров вычисления производных.
1.	Пусть у = f (x) = х2. Найдем производную в точ-
ке х0:
&У ’ / (*о 4- Av) — f (Хо) = (х0 + Дх)2'— Х2О= 2х0Дх Ь Дха*;
== 2х»Дх + Дхз = 2	,
Дх	Дх	и • 1 >
f'(xo) = lim = lim (2x0 + Д x) = 2x0.
Так как точка х0 выбиралась произвольно, то эти же
рассуждения точно так же проводятся для любой точ-
ки х и мы можем записать f'(x)=2x, где х —произ-
* Дх* означает (Дх)2, Дх8 означает (Дх)8 и т. п.
80
льное значение аргумента данной функции# — f(x) =
х2.
2.	Пусть y=f(x) = х3. Найдем производную в точ-
ке Х0:
A# = (х0 + Дх)8 —Хд = Зхд Дх + Зх0Ах2 + Дх3;
/' (х0) = lim = lim (Зх2 + Зх0 Д х + А х2) = Зх2 .
Ал-0 0	0
Снова можно записать /'(х) = Зх2.
Для сокращения записи можно сразу в рассуждени-
ях вместо х0 писать х.
3.	У = f (х) = х. Найдем f' (х):
Д# = (х -|- Д х) — х = А х ;
Ду __ Дх _ J .
Т7 "" 17 ~ 1 ;
Г (X) = Нт 4т = lim 1 - 1 .
4.	у = fix) = с (с — постоянная величина). Найдем
by = f(x -|- Д х) — f(x) = с — с = 0;
Лу. =	= о-
Д х Д х ’
f' (х) = 11m 4т 11т 0 = 0 •
В классе и дома ученики рассматривают еще не-
сколько случаев вычисления производной непосред-
ственно на основе ее определения. Например:
1.	у = /(х)	— 2х.	Найти	f'(x).
2.	у — f(x)	= —х2 +	3.	Найти	/'(х).
3.	у = f(x)	=х2 + 3.	Найти	f' (х).
После выполнения ряда упражнений	на вычисление
производных учитель выписывает на классной доске
следующие ранее полученные результаты:
y^f(x)=c;	f'(x)=O;
y = f(x)=x-,	f'(x) = \;
У = f{x) = x2\	f'(x) =2x;
У = f (*) = x3\	f'(x) = 3x#
Обращаем внимание на то, что здесь были найдены
не только конкретные значения производных в дан-
в Заказ ЗЦ	81
ной точке х0, но и получены общие формулы, позволяю-
щие вычислить значение производной в любой точке об-
ласти определения данных функций.	/
Для удобства в формулах, где нет указания на кон-
кретную точку, вместо f'(x) можно писать у'.	!
Полученные формулы могут быть переписаны таЮ
У =	G	/=0;
у =	х;	у'=\\
у =	х2;	г/7—2х;
у =	х3;	у' = 3х2.
Эти формулы понадобятся в дальнейшем, и потому
их надо записать и запомнить.
§ 2. ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНЫХ. ПРОИЗВОДНЫЕ
НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Решение примеров на вычисление производной на
основании ее определения в конечном итоге приводит к
мысли о желательности нахождения каких-то более ра-
циональных приемов вычисления производных.
С подобной задачей учащиеся уже сталкивались при
вычислении пределов числовых последовательностей и
пределов функций. Первостепенное значение при вычис-
лении пределов имеют теоремы о пределах, позволяю-
щие, зная пределы некоторых функций, находить преде-
лы других более сложных функций, полученных из них
с помощью сложения, вычитания, умножения и деления.
Возникает естественная проблема получить аналогич-
ные теоремы и для прозводных. Некоторые догадки о
возможности существования таких теорем возникают
уже в процессе решения примеров, подобных рассмот-
ренным выше.
Например, для функции у = х2 + х получают произ-
водную у'=2х+1, равную сумме производных функ-
ций у = х2 и у = х; для функции у = х3 4- х2 получают
производную у'=3х2+2х, равную сумме производных
функций у — х3 и у = х2; для функции у — 3 х2 получа-
ется производная уг—^х, равная произведению посто-
янного множителя 3 на производную функции у = х2
и т. п.
Замечаем, что возможность вынесения постоянного
множителя за знак предела и теорема о пределе суммы
функций как будто переносятся и на производные. Ста-
вится задача сформулировать и доказать соответствую-
щие теоремы для производных.
82
Теорема 1. Если у = / (х) =С -ф(х), где с — некоторое
число, а функция и = <р (х) в точке х0 имеет производ-
ную <р'(х0), то Г(хй) = с-<р' (х0).
\Короче: постоянный множитель можно выносить за
знак производной.
Доказательство:
Дх -► О
= lim
Дх -»о
= lim
Д.г О
<р(х0+Дх>—<р(х0)‘
Д и
Ьх
с- lim
Дх -* О
= с-?' (х0).
После доказательства теоремы решается несколько
примеров.
1.	у = 5х2;	у'=5-2х = 10х;
2.	у = — Зх3;	у'=— З-Зх2---9х2;
3.	у = 0,8 х;	у'=0,84 =0,8 и т. п.
Теорема 2. Если у = f (х) = f (х) 4- ф (х), причем
функции и = <? (х) и v = ф (х) в точке х0 имеют произ-
водные соответственно равные (х0) и Ф' (х0), то
f (х0) = ? (х0) 4- ф' (ХО).
Короче: производная суммы функций равна сумме
производных этих функций.
Доказательство:
= lim
lim
— lim
1.	/ Д «
= lim | -г-
ДХ -* о \ д х
Д и
Д v
Ди
о
Легко доказать соответствующую теорему для слу-
чая любого числа слагаемых. Здесь можно применить
метод математической индукции. (Желающим можно
предложить провести это доказательство самостоя*
тельно.)
Теорема 2-а. Если у = f(x) = с?! (х) + <р2 (х) + .. .+
+	(лг), причем функции = <р± (х), и2 = <?2 (х), .. >,
6*
83
ип = «п (х) в точке Ло имеют производные, соответст-
венно равные < (х0), <f/ (х0)(х0), то /'(*о)/=
= Т' (*о) + ?' (•*<>) + ••• + ?„ (*о) •
Краткая формулировка1 та же, что и в предыдущей
теореме: производная суммы функций равна сумме про-
изводных этих функций.
При п=2 утверждение теоремы 2-а сводится к
утверждению теоремы 2 и, следовательно, справедливо.
Допустим, что теорема верна для k слагаемых, и до-
кажем, что в таком случае она верна и для (k + 1) сла-
гаемых.
Пусть у= / (х)=(х) + Ф2 (х) + . . . + <р* (х) + ?* + 1(х)
и функции = <Pj (х), и2 = <р2 (х), ... , ик = ук (х),
и* + 1 —	(х) в точке х0 имеют производные <р' (х0),
?' (*о), • • • > (хо) >	+ 1 (*о) • Рассмотрим функцию
v = ф (х) = <р1 (х) +	(х) + ... 4- <pfe (х). Тогда согласно
индуктивному предположению ф' (х0) = <?’ (х0) 4- ф'(хо)+
+ •• + ?* (хо)- С другой стороны, у = f (х) = ф*(х) +
+ ?*+1 (*) и по теореме 2 /' (х0) = ф'(х0) 4- <?*+1 (х0).
Итак, /' (х0) =	(х0) 4-	(х0) + ... 4- <р' (х0) 4-
+ ^*4-1 (хо) •
Таким образом, утверждение теоремы справедливо
при п == 2, и из справедливости его при n = k вытекает
справедливость его при п = k + 1.
Согласно принципу математической индукции это
означает, что теорема верна при любом п >2, т. е. для
суммы любого числа слагаемых. Доказанные теоремы и
выписанные выше формулы позволяют находить произ-
водную любого многочлена степени не выше третьей.
В классе и дома учащиеся решают соответствующие
примеры и задачи на применение производной, в кото-
рых рассматриваемые величины представляют собой
функции, заданные с помощью многочленов не выше
третьей степени.
Следует обратить внимание на то, что для нахожде-
ния искомого значения производной при некотором зна-
чении аргумента удобно получить сначала общую фор-
мулу, а затем подставить данное значение аргумента.
84
• . 11
Например: у = /(х) = —х3 + —х 4* -5-. Найти зна-
Z	о
чение производной в точке х = — 2,5:
у' = Г(*) = -Зха+4;
г ( - 2,5) = - 3 (- 2,5)2 + 4 = - 18>25-
Чтобы иметь возможность вычислять производные
многочленов любой степени, надо научиться находить
производные функций у = хп при любом натураль-
ном и.
Можно было бы получить соответствующую форму-
лу, пользуясь определением производной (применяя,
например, известную формулу деления разности п-х
степеней на разность первых степеней тех же чисел), но
проще воспользоваться теоремой о производной произ-
ведения функций.
Переходим к рассмотрению задачи нахождения
производной произведения двух функций.
Попытаемся распространить на производные извест-
ную теорему о пределе произведения функций.
Простой пример показывает, что для производных
аналогичная теорема неверна. Например: х3 = х2 • х.
В то же время для у=х\ у' = 3х2, для и—х2, м'=
= 2х и для v=x, v'=l, Зх2=^2х-1, т. е. уже в
данном случае производная произведения функций
не совпадает с произведением производных этих функ-
ций.
Здесь уместно обратить внимание учащихся на то,
что аналогия — очень хороший способ, чтобы натол-
кнуть на мысль о наличии свойства или соотношения, но
она всегда нуждается в проверке.
Прежде чем вывести формулу для вычисления про-
изводной произведения функций, необходимо устано-
вить одно очень важное свойство функций, имеющих про-
изводные.
Лемма. (О приращении функции, имеющей производ-
ную.) Если функция y=f(x) имеет в точке х0 производ-
ную	то lim А у = 0 (где Д у — приращение
Дх-*0
функции f(x), соответствующее приращению аргумента
Ах в точке х0/
85
Доказательство:	j
»
ИтДу = limf-4^7 • Д-И = Нт-гг ИтДх = /'(хо)-О = О
Дх-*о Дх+о\ ах /	Дх-^0	Дл->0
Доказанная лемма позволяет установить связь меж-
ду понятием производной и понятием непрерывности
функции.
Утверждение НтДу==0 в соответствии с опрсдс-
ДЛ-0
лением предела функции в точке означает, что для лю-
бого наперед заданного положительного числа в можно
указать такое положительное число б, что при Дх=И= О,
удовлетворяющем неравенству | Дх—01 < В, выполняется
неравенство | Ду —0| < е . (Очевидно, что при Дх = 0 Ду
также равно нулю, т. е. неравенство | Д у — 01 < е вы-
полняется и при Дх = 0.)
Учитывая, что Дх = х— х0, а Ду =/(х)—f(x0),
можно утверждать, что условие limДу = 0 означает,
Дх-^о
что для любого наперед заданного положительного чис-
ла 8 можно указать такое положительное число б, что
из неравенства | х — х01 < 6 следует всегда неравен-
ство |/(х) —f(x0)| <е, т. е. ЧТО Пхп/(х) =/(х0).
х-+х0
Таким образом, условие limДу = 0, по сути дела,
Дх-*0
выражает непрерывность функции в точке х0 (иногда
это условие берется в качестве определения непрерыв-
ности функции в точке х0).
Итак, согласно доказанной лемме, если функция
f(x) имеет в данной точке х0 производную, то она непре-
рывна в этой точке.
Доказав лемму, переходим к производной произве-
дения функций.
Теорема 3. Если у = /(х) — ?(х) • ф (х), причем
функции и = ср (х) и я = ф (х) в точке х0 имеют про-
изводные, соответственно равные <?' (х0) и ф'(х0), то
f (<*о) = ?' (хо) • ф (*о) 4- ? (-Vo) • Ф'(*в)-
Другими словами: производная произведения двух
функций равна производной первой функции, умножен-
ной на значение второй функции, плюс значение первой
функции, умноженное на производную второй функции.
Выразим Ду через Ди и До.
86
Для краткости вместо <р(х0), Ф(х0) и f(x0) будем
писать соответственно м0, v0 и у0. Получаем:
KxJ = ?(х0) Ф (хо) = «Л; /(х0 + Дх) = /(*о)+д0=«/о+д£;
ср (х0 + Дх) = <р (х0) + Д« = «0 4- Д«;
ф (х0 + Дх) = ф(х0) + До = v0 + До.
Отсюда Ьу = f (х0 4- Дх) — f (х0) =
= («0 4- Ди)-(г,о+Дг’) ~ йо°о = ДКйо + иоДй + Д«-До;
Д7=д7-уо + «о--д7+ дГ’Д^ откуда
Um = 11m -4^- • оо 4-к0 Ит _А^-(так как lim До=О).
дх-о Дх дх-»о Дх 0	0 дх-*-о Дх '	ДЛ.^О '
Итак, /'(х0) = ?' (х0)• ф (х0) 4- ? (х0)ф' (х0).
Для удобства запоминания можно пользоваться
формулой у' — u'v 4- uv'.
Примеры.
1. у = х*. Найти у'.
1-й способ. Представим </ = х2х2,
тогда У = 2х-х2 4- х2-2х = 4х8.
2-й способ. Представим у = х-х3,
тогда у' = 1  х3 4- х • Зх2 = 4х3.
2. у = х5. Найти у’.
Представим у = х4 • х, тогда у' = 4х3 -х 4- х4 • 1 = 5х4.
Или иначе: // = х3-х2; у’ — Зх2-х24~х3-2х = 5х4,
3. у = (х4 4- 1) (х5 4- Зх2 4- 2х);
у' = 4х3 (х® 4- Зх2 4- 2х) 4- (х4 4-1) (5х4 4~ 6х 4- 2) =
= 4х8 4- 12х® 4- Зх4 4- 5х8 4- 6х5 -|- 2х4 4- 5х4 4- 6х 4- 2 =
= 9х8 4- 18х® 4- 15х4 4- 6х 4- 2.
Применяя доказанную теорему о производной произ-
ведения, легко установить формулу для производной
функции у — хп (п — натуральное число). Предвари-
тельно заготавливаются на доске или на чертежё-пла-
87
кате следующие ранее полученные формулы для вы-
числения производных:
1.	У = х;	у'	=	1;
2.	у ~ х2\	У'	=	2х-
3.	у = х3;	у'	=	3х2;
4.	у = х4;	у'	=	4 х3;
5.	у = х5;	у'	=	5х4.
Замечаем закономерность в записанных формулах.
Возникает предположение, что при любом натуральном
показателе степени и формула для вычисления произ-
водной функции у — хп имеет такой же вид, т. е.
у' = пхп~х. Как ее доказать? Очевидно, следует приме-
нить метод математической индукции.
I. Формула справедлива при п = 1.
Действительно, при п—1 имеем для у=х, y'=lt т. е.
Ьх°.
II. Допустим, что формула справедлива для некото-
рого натурального числа k, т. е. для у — xk, ,у' = kxk~}
Докажем, что в таком случае формула будет справед-
’лива и для числа k + 1, т. е. для у = х^1
yf = (k + 1)х* .
Для нахождения производной функции у = xfe+I
воспользуемся формулой для производной произведе-
ния.
Имеем: у — xfe + i == xft-x,]
yf — kxk -1 -x + V* 1 = kxk + xk = (k + 1) xk.
Итак, формула у' = пхп ~ 1 для функции у = хп
справедлива при любом натуральном значении п.
Зная формулы для вычисления производной функ-
ции у = х п , мы, очевидно, можем вычислять произ-
водные любого многочлена, пользуясь теоремами 1 и 2.
Например: у ™ 5х10 — 12х7 + Зх2 — 2х + 1;
у'=5«10х9 — 12 • 7х6 + 3 2х — 2 • 1 = 50х9 — 84х6 + 6х—2.
Мы знаем , что функция у = у х является обратной
для функции у=хп( в случае четного показателя степе-
ни разумеется, определенной на множестве неотрица-
тельных чисел).
Возникает вопрос: нельзя ли воспользоваться этим
обстоятельством, чтобы получить формулу для вычисле-
88
НИЯ Производной функции у=р<ЛХ (или, что то же
1
самое, степенной функции у = х п )?
Другими словами, представляется целесообразным
установить зависимость между производными взаимно
обратных функций.
Прежде чем перейти к рассмотрению соответству-
ющей теоремы, повторяем с учащимися определение об-
ратной функции и при этом обращаем их внимание на
то, что если функции у == f(x) и х = <р(у) взаимно об-
ратны, то, как это следует из определения, при любом
значении у f(<p(!/))=y и при любом значении х
(f(f(x)) = X.
Далее замечаем, что если приращению Ду аргумен-
та у функции х = ср (у) соответствует приращение Дх са-
мой функции, то, взяв это значение Дх в качестве при-
ращения аргумента для функции у = f(x), мы получим,
что соответствующее приращение этой функции равно
ранее выбранному значению Ду. Это нетрудно и прове-
рить.
Пусть Дх = ср (у -h Ду) — ср (у).
Тогда х + Дх = <р (у) 4- <р (у 4- Ду) — ? (у) = <р (у 4- Ду).
Отсюда /(х4-Дх)—Дх)=/(ср (у4-Ду))— у^уД-Ьу—у=Ьу.
Теорему о производной обратной функции мы фор-
мулируем следующим образом.
Теорема 4. Если функция х — ср(у) является обрат-
ной по отношению к функции у = f(x) и функция
у==/(лО имеет в точке xQ производную f'(x)^ 0, а дан-
ная функ4ия (х = ср(у) непрерывна в соответствующей
точке у0 =/fx0), то существует производная функции
* = в точке у0 Причем (у0) =7^7 •
Чтобы убедиться в справедливости теоремы, необхо*
димо доказать, что
Имеем:
Дг/->0 ^у Г
lim = lim .
^у Лу-*0
89
Приведенное преобразование допустимо, так как при
Az/ =# 0 обязательно и Дх =# О, что следует из самого оп-
ределения функции, согласно которому одному и тому
же значению х не могут соответствовать два различных
значения у.
Благодаря сделанному выше замечанию, в выраже-
нии справа Дх можно считать приращением аргумента
функции f(x), а
самой функции.
Так как у (у)
Это приводит
lim
Д</->0
(Сообщаем учащимся, что можно строго доказать,
что если существует
Дг/ — соответствующим приращением
непрерывна в точке #0, то lim Дх=0.
Ду-» О
к мысли, что
= lim = Г
lim	, a lim Дх = 0,
Дх-Оах	Ду-О,
ТО
но. мы этого
ложение.)
Так как
1101 Й = l,m Й = ’
^у-»0дх	Дх—>0 йх
не делаем, чтобы не загромождать из*
lim 4т.
о/ >
а по условию f (х0) О,
(по теореме о пределе частного).
10 2,“ 5’Fw
Дх
Итак,
= lim =	*
ду-»о by f (*<>)
Кратко утверждение тебремы можно записать в
форме
90
Покажем, как можно доказать оставшееся недо-
казанным утверждение: если существует
1,01 Х7=П*о), а Нт Дх = 0, то lim = f'(xj.
Дх-»Оах	Д^->0	At/->Oa
Пусть е — произвольное' наперед заданное поло-
жительное число. Так как lim (х0), то по задан-
ному е можно указать такое положительное число 8,
что при значениях Дх =# 0, удовлетворяющих нера-
венству |дх[<8, выполняется неравенство 1^- —
-7'(*о)| <г-
С другой стороны, так как lim Дх = О, то по вы-
Аг/ —>0
бранному 8 можно указать такое положительное чис-
ло 8Ь что при всех значениях Д#=#0, удовлетворяю-
щих неравенству |Ду|<_8и выполняется неравенство
| Дх | < 8. Ввиду того что при Ду =# О имеет место
Дх=#0, можно заключить, что при всех значениях
Д#=#0, удовлетворяющих неравенству |Ду| < 8и вы*
полняется неравенство
е,
Таким образом, по любому е>0 можно найти
такое положительное число что из неравенств
&у =А 0 и | Дг/1<31 следует неравенство	—/'(х0)
а это и означает, что lim
Лу -0
О/*
Применим полученную теорему к функции у =х п ,
обратной по отношению к функции у = хп с соответ-
ствующей областью определения. Для удобства обоз-
начим переменные данной функции, т. е. рассмотрим
1
фукцию х = у п .
Согласно доказанной теореме при у Ф 0 и, значит,
имеем:	,
91
Возвращаясь к прежним переменным, получаем, что
-L 1	Д-[
при у — х п у = — * х п , т. е. правило дифференци-
рования здесь такое же, как и для степенной функции с
натуральным показателем степени. (Исключение со-
ставляет точка нуль, но этот вопрос мы подробно не
рассматриваем.)
1
Функции у = хп н у = х п представляют собой ча-
стные случаи степенной функции у = х*. где а — лю-
бое действительное число. Без доказательства следует
сообщить учащимся, что при х#= О, выведенная форму-
ла справедлива для любой степенной функции, т. е. для
функции у = ха , у' — а-х“~1 (а — любое действитель-
ное число.)
Позднее школьники будут иметь возможность, ис-
пользуя формулы производной частного и производной
сложной функции, в порядке упражнений проверить
справедливость формулы при любом рациональном по-
казателе степени.
Примеры.
1. у=х3; у' = -у х з = ^х 3‘
Л	—0,12	, Л -0,12-1	Л -1,12
2. # = х ;	«/'== — 0,12 х = — 0,12х
Переписываем
-^5+х’.
92
< _	__	9	Д JL __L
9. у = 3]Л +tV t— y = 3t^+t2—2t 3;
/т
AL 1
10.S=]/F(2/2 + у/'7 + ]/3"); S = 2t 2' + t 6 +VZ3/2;
He обязательно подробно записывать все выклад-
ки. Желательно, чтобы то, что они могут, учащиеся де-
лали в уме.
После решения ряда примеров и задач переходим к
теореме о производной частного двух функций.
Теорема 5. Если у =/(лг)= причем функции
и—ty(x) и	в точке xQ имеют производные, со-
ответственно равные ф'(*о7 и ¥(хо) и	то
<Р'С*о)Ф (х°> ~ 9 <Х«>	ППУГИМИ ГЛПРЯМИ-
7 (-*о/ — ----------(<Цхо)]2----— ’ ДРУГИМИ словами,
производная частного двух функций в точке, где значе-
ние делителя не равно нулю, равна дроби, у которой в
знаменателе стоит квадрат значения делителя, а в чис-
лителе— разность между производной делимого, умно-
женной на значение делителя, и значением делимого,
умноженным на производную делителя.
Для доказательства, как и в случае теоремы 3, вы-
разим Ау через Aiz и Ди.
Пользуясь, как и раньше обозначениями у0, &0, v0
вместо /(х0), <р(х0), ф(ж0) и тем, что / (х0 + Lx) = у0 +
+	? (*о + М = «о + ф (х0 + Lx) = v0 + Lv, имеем:
Да Ду
д __ uQ + Да____и0  	— Ду-а0 . Ау   &x‘Vq~u°' &х
~ у о + Д у	Vo ~~ (vo-t-Av)-vo ’ Дх "" (у0 + Ду)-у0 ’>
lim
Да
2
У
о
lim
Дх->0
Ду
Дх
(так
как lim Ди =0).
Дх-^о
93
Итак,
t,( г x _ у Ч*о) • Ф (*o) — ?(*»)• Ф '(*o)
I \XW ~	ty (x0)]s
, u'v — uv'
или для удобства запоминания, у' = —.
Примеры.
।	__ х i ,_______ 1-(1—х2)—х(— 2х)____ 1 — х2 + 2х*
1'	— 1 — х2 ’ У	О —	— (1 —х2)2
= (1 _ л2)2 •
О .. - - Ъ^+х + 1(4х+ 1)(х2-х+1)-(2х2+х+1)(2х-1)
х* — х + 1 ’ &	(х2 — X + I)2
_ 4х3 + х2 — 4х2 — х + 4х -Р 1 — 4х3 — 2х2 — 2х 4» 2х2 +	1
(х2 — х -р 1)2
__ — Зх2 + 2х + 2
(х2 — X + I)2
1
3. у = 2~3l£k или у = 2^* - .
2 + 3/Г	2 + Зх-®
94
Доказанные ранее теоремы позволяют находить про-
изводные суммы, разности, произведения и частного
двух функций, если известны производные каждой из
этих функций (в случае частного в тех точках, где дели-
тель отличен от нуля). Зная формулу для вычисления
производной степенной функции, мы могли вычислять
производные тех функций, которые получаются из сте-
пенных функций с помощью четырех арифметических
действий, например производные многочленов и алгеб-
раических дробей.
Однако для функций, которые не могут быть пред-
ставлены таким образом, например для функции у =
=sinx или у=cosx, для вычисления производных, мы не
можем воспользоваться доказанными теоремами, и нам
приходится обращаться непосредственно к определению
производной.
1.	Выведем формулу для производной функции у —
= sin х. Возьмем произвольную точку х. Как обычно,
обозначим приращение аргумента через Дх. Тогда соот-
ветствующее приращение функции
fay = sin (х + Дх) — sin х = sin x-cos Дх-Ь cosx-sin Дх--
— sin х = cos x-sin Дх-|- sin x(cos Дх— 1) =
= cos x sin Дх — 2sin x- sin2-s— .
sin*
= cosx-51"- —— 2sin x • —-г--e
Дх	Дх	Дх
(ДХ \2
sln 2	|
IT"
2	/
Дх ;
95
&х
= cos л- Hm
Дх->-0
sjnAx
Дх
----5- sin x- lim
z Дх->0
• lim Дх = cosx,
Дх->0
так как_, lim —Ч-д*- =1 и 11шДх = 0.
Итак, имеем: для функции z/—sin х производная
i/'==cosx. Вывод формулы для производной функции
у = sin х можно провести короче, например, так:
&у = sin (х + Ах) — sin х = 2 sin * cos (х +	;
А	\	/
.	2 sin —
Ду _ ________
Дх Дх
sin—;
Дх
Um ^-'=lim
Дх-0 ах ax-о
Дх
sin~2-
• lim cos
Дх->0
= cosx.
Однако в таком случае пришлось бы ссылаться на
возможность предельного перехода под знаком непре-
рывной функции (см. сноску на стр. 118).
2.	Аналогично выводится формула для производной
функции у = cos х. Возьмем произвольную точку х.
Имеем:
&у = cos(x + Дх)— cosx = cosx-cosAx—Jsinx-sinAx—
— cosx = —sinx-sin Ax^-|-[cosx-(cosAx— 1) =
= — sinx-sinAx — 2 cosx-sin2 -g-;
Д*/
Дх
= —sinx-
— sinx-
sinAx
Дх
sinAx
Дх
— 2 cosx-
96
,	1 •	Д</	•	1. sin Дх
У = Нш = — sinx- lim —т—
Ах-*-о йЛ	Дх->0 а
так как
—i-cosx-
•ИтДх — — sin х;
Дх-*О
sin(£ • Дх)
6’Дх
lim
Дх-> О
limAx •= О.
Дх-*О
= 1
и
Итак, имеем: для функции t/=cosx производная
у'=—sin х.
Формулы для вычисления производных функций
t/=tgx и f/=ctgx выводят самостоятельно, пользуясь
теоремой о производной частного двух функций. Реко-
мендуется запомнить выведенные формулы.
Появляется возможность решать более разнообраз-
ные примеры и задачи, в частности, содержащие три-
гонометрические функции.
Например:
1. у = tgx. Найти у’.
У	у’ S COSX COSX-—SinX (—т Sinx) 1 (запомнИть).
у COSX ’ *	cos^x	COS2X '	'
2. у = x-sinx —• x2-cosx. Найти у'.
у' — 1 - sinx 4- х-cosx — [2x-cosx -f- x2( — sinx)] = sinx 4-
4- x • cosx — 2x • cosx 4- x2sinx = sinx — xcosx -|- x2sinx.
3. s = 7-77-7-7 . Найти s'.
1 4- sin/
— sin /•(I + sin t) — cosf«cos/__—sin/— 1______	1
(1 + Sin/)2	(1 -|- Sln/)2 1 + Sin/
4. У =
x*sin x
J + tgx •
Найти у'.
(sin x 4- x-cos x)(l -j- tgx) — x-slnx- cos»x
(1 + tgx)3 4
7 Заказ 314
97
__Jgfcn x cos2x 4- x cos9a~ 4- sin5X>cos x + x sinjc cos2x—tsinx
(cos x 4-sin x)2
Еще более расширяет возможности подбора интерес-
ных примеров и задач рассмотрение производной слож-
ной функции. Учащиеся уже умеют, зная производные
некоторых функций, находить производные более слож-
ных функций, построенных из них с помощью четырех
арифметических операций. Однако во многих случаях
более сложные функции строятся из известных функций
не только с помощью арифметических операций.
Рассмотрим, например, функцию у =prsinx=(sinx)2 .
Для вычисления значения этой функции при некотором
значении аргумента х0 мы прежде всего вычисляем зна-
чение функции sin х при х = х0, а затем полученное зна-
1
чение sin х0 возводим в степень с показателем .
Таким образом, для вычисления значения данной
функции нам приходится вычислять значения известных
нам функций sinx и степенной функции с показате-
лем степени -g- . Рассматриваемая функция построена,
следовательно, из известных функций, но не с помощью
арифметических операций.
Введем для удобства вспомогательную переменную /,
обозначив /=sin х.	i
Тогда данная функция у == (sin х) 2 может быть
представлена с помощью двух функций следующим
образом:
1
t = sinx, у = t2.
Действительно, чтобы найти уъ = (sinx0) 2 , доста-
1
точно сначала найти = sin х0, а затем у = /0 2 . Функ-
ция, которая допускает подобное представление, назы-
вается сложной функцией.
Дадим определение в общем виде. Пусть данная
функция у =* f (х) может быть представлена в виде
y—f (х) — ф(Ф(х), т. е. при введении вспомогательной
переменной t ее можно представить с помощью двух
функций:
/=<р(х); //=?(/).
98
Тогда данная функция y=f(х) =<р(ф(х)) называется
сложной функцией.
Функция t = ф(х) называется внутренней функцией,
функция у = <р(/) называется внешней функцией, а пе-
ременная t — промежуточным параметром.
В рассмотренном выше примере сложной функции
1
у = (sin х) 2 функция t = sin х является внутренней
функцией, а функция у = t 2 — внешней.
Приведем еще один пример: y = tg(x2+l). Эту
функцию можно рассматривать как сложную, введя
промежуточный параметр (который можно обозначить
любой буквой, например буквой z), следующим обра-
зом: z=x2+l, y = tgz.
Понятие сложной функции играет важную роль при
вычислении производных, а именно имеет место следую-
щая теорема о вычислении производной сложной функ-
ции.
Теорема 6. Производная сложной функции у =
ф(Ф(•*)) в точке Хо равна произведению произ-
водной внутренней функции t~ ф(л) в точке х0 на про-
изводную внешней функции <р(£) в соответствующей
точке to = ф(Хо) при условии, что ф'(•*©) и ф' (^о) СУ"
ществуют.
= ф'(^о) •
Прежде чем доказывать эту теорему, обращаем вни-
мание учащихся на следующее обстоятельство.
Пусть Дх — приращение аргумента внутренней
функции ф(х), которое, очевидно, можно рассматривать
и как приращение аргумента сложной функции ф(ф (хо)).
Приращению аргумента Дх соответствует приращение
внутренней функции А/ = !р(х0 + Дх) ~ Ф(хо) и прираще-
ние сложной функции Лу ~ ?(Ф(х0 + Ах)) — ?(Ф(х0)).
Имея в виду, что Ф(х0) = /0 и <Цх0 + Ах) = <|>(х0) +
+ д/ =	получаем by = v(t0 + А/) — <р(/0).
Таким образом, приращение сложной функции Ду
может рассматриваться и как приращение внешней
функции <р(/), соответствующее приращению Д£ ее ар-
гумента L
7*
99
lim	lim
л U «Лг	А .
Перейдем к доказательству теоремы.
Д*	Д у 1   ।. Д^
LAx	АН Дх^0Дх
lim Ау
' Дх-*0 д<
=9'G*0) iim -к,-
Дх-0 щ
Так как по условию ф'(х0) существует, то функция
t = ф(х) непрерывна в точке Хо и, значит, lim Д/ = 0.
Дх-»0
Вследствие этого напрашивается вывод, что lim тт- =
Дх->0аг
== lim т? = <р'(/0), который может быть строго дока-
де-о "
зан. (В связи с доказательством теоремы об обрат-
ных функциях мы уже показывали, как могло бы
быть доказано имеющееся там аналогичное утверж-
дение см. стр. 91).
Итак, f(Xo) =ф'(хо)’ф'(/о)- Производную f'(x) функ-
ции y=f(x) будем обозначать через у'х в отличие от
производной <р'(/) функции y=<f>(t), которую мы обозна-
чим через у' /. Тогда выведенную формулу можно запи-
сать так: у 'х = tx-y't, или, что в некоторых случаях более
удобно для приложений, у'х — y't-t’x.
Примеры.
1.	t/=sin3x. Найти у'.
/ = Зх; у — sin /;
= У{ ~ cos t = cos Зх;
у' = 3 cos Зх,
2.	у = cos 4х, Найти у'.
Обозначаем t — 4х, у = cos/.
Используя формулу УХ = У('?Х , сразу получаем:
у’ — у’г— 4- (— sin t) = — 4 sin 4х.
«А
3.	= cosx3. Найти у'.
t = хч; у — cos /;
у’ = Зх2-(— sin t) = — 3x2sin х3.
4.	у = у sin х. Найти у'.
t = Sin х;
у' = cosx-
1_______COS X
2/Г~ 2/sinx
100
5.	у = ]/3xa + 2х 4- 1. Найти у’.
• ____________________________________ 1
t = Зх2 4- 2х 4-1; у =у t = /3 ;
У' = (6х + 2).4-	= -4 —--------------•
Зу(Зх3 + 2х + 1)а
6.	у = jesin(jca + 1). Найти у’.
Применяем правило для нахождения производной
произведения функций. Для вычисления производной
функции v = sin(x2 4- 1) используем правило для вы-
числения производной сложной функции.
Найдем v':
t = х* + 1; v = sin/; v'= 2xcos/ = 2x-cos(xs4~ 1).
Находим у':
у' = 1 • sin(x2 -Ь 1) 4- x-2x-cos(xa 4-1) =
= sin(xa 4-1) + 2x?-cos (xa 4-1).
7.	у = cos (3xa— 1) 4- sin 4. Найти у'.
t = Зх2 — 1; у = cos t 4- sin 4;
y' = 6x-( — sin / 4*0) e —6xsin(3xa— 1).
§ 3. ФИЗИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ, ускорение,
понятие второй производной
Как уже отмечалось выше, на протяжении всего
изучения способов вычисления производной учащиеся
систематически решают примеры на нахождение произ-
водных, чтобы приобрести необходимые умения. Одно-
временно учатся применять вновь введенное математи-
ческое понятие к решению конкретных практических за-
дач. Почти на каждом уроке решаются и задаются на
дом одна-две такие задачи.
При решении задач с практическим содержанием не
только применяют правила вычисления производных
для нахождения значений величин, определяемых с по-
мощью понятия производной, но и учатся самостоятель-
но давать новые определения, используя понятие преде-
ла функции и производной, по аналогии с тем, как это
было сделано для мгновенной скорости прямолинейного
движения.
101
Приступая к решению задач, отмечаем, что понятие
производной имеет большое практическое приложение.
В частности, производная применяется не только для
вычисления скорости прямолинейного движения, но и
для вычисления скорости протекания различных процес-
сов физического, химического и другого характера.
Например, если при нагревании тела температура
его изменяется с течением времени равномерно, т. е. в
равные промежутки времени на одну и ту же величи-
ну, то скоростью изменения температуры называется
отношение изменения температуры ко времени, за ко-
торое это изменение произошло.
Если же изменение температуры происходит нерав-
номерно, то можно ввести понятие скорости изменения
температуры в данный момент времени, подобно тому
как было введено понятие мгновенной скорости (ско-
рость в данный момент времени) неравномерного пря-
молинейного движения.
Можно показать, что скорость изменения темпера-
туры в данный момент времени есть производная функ-
ции, выражающей зависимость температуры от времени
(так же как это было сделано для мгновенной скорости
прямолинейного движения).
Решается, например, задача:
При нагревании тела температура его Т изменяется
в зависимости от времени нагревания t по закону
Т = 0,4 /2, где Т — температура в градусах С, t — время
в секундах.
1.	Найти среднюю скорость изменения температуры
тела за промежуток времени от 6 = 4 сек до = 6 сек,
2.	Найти скорость изменения температуры тела в мо-
мент t = 4 (т. е. в конце 4-й секунды от начала нагре-
вания).
ДТ
Решение. 1) i»cj> = Д/ = 6сек — 4 сек = 2 сек;
ДТ = 0,4-62 — 0,4-42 — 0,4 (36—16) = 8 (градусов С);
- 4—• ® •
2) »(4) = to о = to о £ _ Г (4);
102
Т = 0,4-£8;	0,81.
При t = 4 Г(4) = 3,2
1	7	к сек}
О т в е т. v (4) = 3,2
Затем ставится задача дать определение скорости из-
менения температуры с помощью понятия производ-
ной.
Средняя скорость изменения температуры тела за
данный промежуток времени определяется как отноше-
ДТ А/
ние , где Дг — величина данного промежутка време-
ни, а Д7 — соответствующее ему изменение темпера-
туры.
Как и в рассмотренной выше конкретной задаче,
скорость изменения температуры тела в данный момент
времени Zo определяется как предел средней скорости
изменения температуры тела за промежуток времени
Ы, начинающийся с момента времени tQ, при условии,
что А/ стремится к нулю, т. е. = lim t/cp = lim дт-.
Д^О д^оаг
Если температура тела задана как функция времени
Т = f (0, то, очевидно, А/ есть приращение аргумента
этой функции, а Д7 — соответствующее приращение
дт
кции и, значит , lim -тт- = f'(£0).
№->0 1
Итак, v(t0) — /'(£0), т. е. скорость изменения темпе-
ратуры в данный момент времени есть производная
температуры по времени, вычисленная для соответству-
ющего момента.
Приведем еще несколько примеров решения задач с
практическим содержанием.
Задача. Опытным путем установлено, что количе-
ство Р граммов вещества, уже растворившегося в воде
за t секунд, есть некоторая функция переменного t, т. е.
P=f(O-
1) Найти среднюю скорость (уср) растворения дан-
ного вещества в воде за промежуток времени от Л до fa
2) Найти скорость v растворения в воде данного ве-
щества в любой момент времени t.
Решение. 1) иср есть отношение количества рас-
творенного за данный промежуток времени вещества к
103
Величине данного промежутка времени. Величина рас-
сматриваемого промежутка времени \t=t2~t\. Коли-
чество растворенного за это время вещества равно:
др = Д4) - /(^).
Отсюда оср =
»»—‘1
2) Скорость v растворения в воде данного вещества
в момент времени t, очевидно, равна lim оср.
ДГм-0
хч	,.	№	<> W + Д/) — ЯО	«/л
Отсюда v = lim оср = lim -гт- = lim	Л—~
д^О Д/^0 flf лг-^О 1
Задача. При некоторой химической реакции за t
секунд образуется Q граммов вещества.
1) Как найти среднюю скорость (оср) данной хи-
мической реакции за промежуток времени от t\ до t2,
считая Q — f(0?
2) Как найти скорость (о) химической реакции в лю-
бой момент времени i?
Решение. 1. оср —	~.
2. о= lim псо = lim	= lim	.
д/-о ДГ>ОЛ д/^о 1
Задача. Опытным путем установлено, что количе-
ство жидкости Q граммов, вытекающее через отверстие
в сосуде за t секунд, определяется формулой Q =
= 12014-?------J-13.
1) Найти расход жидкости в момент времени t —
—10 сек.	'
2) Через сколько секунд расход жидкости прекра-
тится и какое количество жидкости выльется за это вре-
мя из сосуда?
Примечание. Расходом жидкости называется количест-
во жидкости, вытекающее в единицу времени (если бы выте-
кание проходило равномерно).
Редпение. Очевидно, что средний расход жидкости
есть отношение количества жидкости, вытекшей за дан-
ный промежуток времени, к величине этого промежут-
ка времени.
104
_ _	до _
Мы можем записать гср = -др. Расход жидкости г
в данный момент времени t можно определить, как пре-
дел среднего расхода жидкости за промежуток времени
Д/, начинающийся с этого момента, при условии, что
Ы -+0.
r= lim rcp=	=
Д/->0 м-о м
Отсюда: 1) r(10) = Q'(10).
Так как Q= 120Z-H2 — то Q'= 120 + 2t - Л
г (10) = Q'(10) = 120 + 2Ю — 102 = 40	V
I сек J
2) Найдем, через сколько секунд расход жидкости
прекратится, т. е. при каком значении t выполняется ус-
ловие r=0; r—Q'(t).
120 + 2 t — tz = O; tz — 2t — 120 = 0;
t == 1 ± V1 + 120; t = 12 (сек).
Отрицательный корень, очевидно, не имеет смысла. По-
лучаем /=12 сек, т. е. через 12 сек расход жидкости
прекратится. Чтобы определить, какое количество жид-
кости вытечет за это время из сосуда, надо найти значе-
ние Q при данном значении t = 12 сек.
Получаем Q(12) = 120-12 4- 122 —	• 12» =
= 1440 + 144 — 576 = 1008 (г).
Ответ. Количество вытекшей жидкости равно
1008 г.
Желательно показать учащимся, что понятие произ-
водной может быть использовано в физике и других от-
раслях знания не только для определения скорости из-
менения величин с течением времени. Можно рассмот-
реть, например, понятие линейной плотности неоднород-
ного стержня. Стержнем, как известно, называется тело,
площадь поперечного сечения которого мала по сравне-
нию с его длиной. Для однородного стержня вводится
понятие линейной плотности как отношения массы стер-
жня к его длине. Если стержень неоднородный, то мож-
но рассматривать среднюю плотность его на различных
его участках. Средней линейной плотностью данного
участка стержня называется отношение массы данного
участка стержня к длине этого участка.
105
Линейной плотностью стержня в данной его точке на-
зывается предел средней линейной плотности участка
стержня, примыкающего к этой точке, при условии, что
длина участка стремится к нулю.
Если через х обозначить длину участка стержня от
начала его А до некоторой его точки В, то масса участ-
ка АВ, очевидно, представляет собой функцию аргумен-
та х m=f(x) (см. рис. 34).
Длину участка,
А - II	--1 примыкающего к
•------------точке В, можно счи-
тать приращением
Рис 34	Дх аргумента х, а
массу этого участ-
ка — соответствующим приращением Дш функции
m=f(x).
В таком случае линейная плотность стержня в точ-
ке В р(В) = lim » т- е- представляет собой произ-
водную функции т = Дх) в рассматриваемой точке х.
Разумеется, на уроках решаются и задачи, в которых
используются уже введенные с помощью понятия про-
изводной определения.
Так, например, после определения скорости измене-
ния тока как производной от функции, выражающей за-
висимость величины тока от времени, может быть реше-
на задача:
Ток I ампер изменяется в зависимости от времени по
закону 7=0,2 /2, где t — число секунд. Найти скорость из-
менения тока в конце четвертой секунды.
Решение, с/(4) = /'(4);	/ —0,2/2;	/'(/) = 0,4/.
Г(4) = 0,4-4 = 1,6 (-^-); 0(4) = 1,6^.
Решаются задачи на вычисление скорости прямоли-
нейного движения.
Задача. Точка движется так, что путь S в метрах,
пройденный ею за промежуток времени t в секундах,'
выражается формулой:
8 = 4/2+ 3/.
1) Найти скорость точки в любой момент времени.
2) Вычислить скорость точки в момент t — 3.
106
Решен nje: 1) и — S' (/) =® 8t + 3 .
2) S'(3) = 8-3+3 = 27(^)
при t = 3 скорость равна 27 ~
Более интересные задачи:
Человек ростом 1,7 м удаляется от источника света,
находящегося на высоте h м	со скоростью
5	• Определить скорость перемещения тени его
головы.
В школе лучше дать конкретное значение й, напри-
мер й = 2,2 м, т. е. сразу же указать, что источник света
находится на высоте 2,2 м.
Решение (см. рис. 35).
В момент времени t часов положение человека изоб-
ражает отрезок С] Bi, а положение тени его головы —
точка В2. Обозначим расстояние В В2 через S.
BBi = 5000/(jw), так как человек удаляется со ско-
ростью 5 ~ = 5000	.
В\ B2 = S — 5000t; Ci Bt = 1,7 м; AB = 2,2 м.
Из подобия прямоугольных треугольников АВВ2 и
CiBtB2 получаем:
BBi __ АВ	S	2,2 .
В,В2 — CiBi ’ т,е‘ 5—5000t	1,7 ’
1,7 5 = 2,25 — 2,2-5000/;
0,5-3 = 2,2-5000 /;
3 = 22000/ (м.).
Отсюда v = 3'(/) = 22 000;
в = 22 000 — = 22 ~ .
час час
107
После того как учащиеся познакомятся с понятием
сложной функции, могут быть решены более трудные
задачи.
Задача. Лестница длиной 5 м, прислоненная к вер-
тикальной стене, падает, скользя одним концом о стену,
а другим о пол. С какой скоростью опускается верхний
конец лестницы в момент, когда нижний конец, ото-
двигающийся от стены с постоянной скоростью З-j—-,
отстоит от нее на расстояние 4 м>
Решение. Чтобы найти скорость, с которой дви-
жется верхний конец лестницы, найдем закон движения,
т. е. функцию, выражающую за-
висимость расстояния S, пройден-
ного верхним концом, от време-
ни t (см. рис. 36).
Расстояние, пройденное верх-
ним концом лестницы, отсчитыва-
ется от начального положения (на
рисунке точка А), т. е. положе-
ния, которое занимал верхний ко-
нец, когда лестница стояла вер-
тикально. Положение верхнего
времени t обозначено на чер-
Рис. 36
конца в момент
теже буквой А г, положение нижнего конца в этот же
момент времени — буквой В{, Найдем зависимость рас-
стояние S=AAj от времени /.
По условию АВ = AiBi — 5м (длина лестницы).
AiB=AB—AAi==(5—5)(ж); ВВ1 = ЗЦм) (так как
нижний конец лестницы движется равномерно со ско-
рос-гью 3
Из прямоугольного треугольника 4]BBj (Z4iBBi =
=90°) по теореме Пифагора имеем: 4iB2=4iBi2—ВВ]2,
т. е.
(5 — S)1 = 54 — (З/)8; 5 — S = /25 - 9/2.
Здесь берется арифметический корень, так как рас-
стояние -41В = 5 — S не отрицательно. Отсюда S — 5 —
—/25—9t2. Таким образом, мы нашли закон движения.
Чтобы найти скорость в любой момент времени t, доста-
точно вычислить производную от полученной функции
v — S'(t) =	_	9/	/ ж \
V ~	“ 2 /25 — 9/* ~ /25 —9f« \ сек J *
108
По условию нам надо найти скорость верхнего конца
лестницы в тот момент времени, когда нижний конец на-
ходится на расстоянии 4 л от стены (т. е. когда BBi =
= 4 м). Так как нижний конец движется равномерно
со скоростью 3	, то это произойдет в момент t\ —
(сек).
Соответствующая скорость vi получается из ранее
найденной формулы для v.
4
v, — S' {—	3 = 4
1	\ 3 / У 25—16	4 \сек / ’
Понятие ускорения определяется так же, как опре-
делялся с помощью производной ряд других физических
величин.
Учащиеся знают, что при равноускоренном движе-
нии ускорением называется отношение приращения ско-
рости ко времени, за которое это приращение произо-
шло. Понятие ускорения можно ввести и для движения,
которое не является равноускоренным, подобно тому
как было введено понятие скорости для неравномерного
движения. Очевидно, в этом случае придется говорить о
среднем ускорении и об ускорении в данный момент
времени.
Если за данный промежуток времени Д? скорость v
изменилась на некоторую величину До (положительную
или отрицательную) или, как говорят, получила прира-
щение До, то средним ускорением за данный промежу-
ток времени Д/ называется отношение приращения ско-
рости До ко времени Д/, за которое это приращение про-
изошло:
_ До
°ср '
Ускорением в данный момент времени to называется
предел среднего ускорения за промежуток времени д/,
начинающийся с данного момента, при условии, что про-
межуток времени Д< стремится к нулю:
lim ас0 — lim .
1/^0	Д/-0 м
109
Если v есть некоторая функция аргумента t, v — <р(/),
то по определению производной lim пгт = ?'(/0).
Итак, ускорение в данный момент времени t0 есть
производная скорости по времени, соответствующая дан-
ному моменту.
После введения понятия ускорения решаются две-
три задачи перед введением понятия второй производ-
ной.
Задача. Скорость точки, движущейся прямолиней-
но, определяется формулой v = 3t 4- 2/2, где t — время
в секундах, v — скорость в сантиметрах в секунду. Ка-
кое ускорение будет иметь точка в момент времени
t = 4 сек?
Находим ускорение точки в любой момент времени/:
a=v'(t) =3+4/,
Находим теперь ускорение точки в данный момент
времени / = 4 сек:
а(4) = п'(4) = 3 + 4*4= 19
Задача. Уравнение движения точки:
м
сек2
где S — путь в метрах, /—время в секундах. Найти
скорость и ускорение точки в момент времени / = 3 сек.
1) Находим скорость точки в любой момент вре-
мени /:
v = S'(/) = /2 —/ + 1.
Отсюда находим скорость точки в данный момент вре-
мени / = 3 сек:
р(3)==$'(3) = 9-3+1--=7^.
2) Находим ускорение точки в любой момент вре-
мени t. Так как v = t2—Л-1, то a=t/(/)=2f—1.
Отсюда находим ускорение точки в данный мо-
мент времени t — 3 сек:
а(3)= о'(3) = 2-3— 1=5МИ .
х 7 х 7	I сек2 I
Понятие о второй производной. Внимание учащихся
обращается на то, что при решении последней задачи
110
нам пришлось вначале найти производную от данной
функции S — -у- ----g- /2 + t + 1, v = S	+ 1,
а затем искать производную от полученной функции v,
значение которой при каждом значении t представляет
собой производную от данной функции S. Эта функция
о = £'(£) носит название производной функции от дан-
ной функции £(/), а производная от производной функ-
ции, т. е. о'(О, называется второй производной от дан-
ной функции и обозначается через S"(0-
Введем определение второй производной в общем
случае.
Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим функ-
цию У,=Г(х), значение которой при каждом значе-
нии х представляет собой производную от данной функ-
ции у = f(x).
Эта функция у'=1'(х) называется производной функ-
цией от данной функции y=f(x).
Производная от производной функции f(x) назы-
вается второй производной от данной функции f{x) и
обозначается через /" (л:). (Производную f(x) в отли-
чие от второй производной обычно называют первой
производной.)
Так как функция, выражающая зависимость скоро-
сти от времени, является производной функцией от
функции, выражающей зависимость пути от времени, а
ускорение есть производная скорости по времени, то,
очевидно, что ускорение есть вторая производная пути
по времени; $"(/).
Решается несколько задач, связанных с этим опреде-
лением.
Задача. Поезд выходит со станции и через t часов
находится на расстоянии 5 = Р+2/2 + 3/ километров
от станции отправления. Найти величину его ускорения
в конце t часов и в конце второго часа.
Решение. 1) а = S" (f);
S'(t) = 3t*+ 4/4-3;
S"(0 = 6/ + 4 .
Ускорение в конце t часов равно (6 t + 4)^^-.
2) а(2) = S"(2) = 6-2 + 4 = 16	.
Наряду с понятием скорости и ускорения при нерав-
номерном движении можно рассмотреть угловую ско-
111
рость и ускорение при неравномерном вращательном
движении. Очевидно, что угловая скорость вращения в
данный момент времени есть производная угла поворо-
та по времени, а угловое ускорение в данный момент
времени — производная угловой скорости по времени.
Задача. Вращающееся маховое колесо, задержи-
ваемое тормозом, за t сек поворачивается на угол
—rt2, где р, q, г — положительные постоянные.
Определить угловую скорость и ускорение вращения.
Через сколько времени колесо остановится?
Решение. Угловая скорость ш = <?' (t) — q — 2rt.
Угловое ускорение аугл = «>'= <р"(0 = —2 г.
Колесо остановится, когда ш = ср' (/) «= 0 .
Получаем уравнение q — 2 rt = 0.
Колесо остановится при t = -i- (сек).
Как уже говорилось выше, задачи на применение
производной решаются на протяжении всего изложения
материала и наряду с ними решается достаточное число
примеров, закрепляющих умение школьников вычислять
производные.
В конце первого этапа изучения темы «Производная
и ее применение к исследованию функций» дается конт-
рольная работа, содержащая одну задачу на примене-
ние производной и несколько примеров на ее вычис-
ление.
Глава 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОИЗВОДНОЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ,
СВЯЗАННЫХ С НАХОЖДЕНИЕМ НАИБОЛЬШЕГО
И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ.
ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА
Как показывает опыт, знакомить с геометрическим
смыслом производной лучше после того, как усвоено это
понятие, тем более что здесь дается новое определение
касательной, ранее неизвестное. Проделав достаточную
работу по закреплению в сознании учащихся понятия
производной и способов ее вычисления, можно перехо-
дить к вопросу о геометрическом истолковании произ-
U2
водной в связи с задачей применения производной к ис-
следованию функций.
Определение касательной к кривой в данной ее точ-
ке как предельного положения секущей не дается за-
ранее, а вводится в связи с задачей геометрического ис-
толкования производной. На ряде примеров учащиеся
убеждаются, что это определение в общем соответству-
ет их интуитивному представлению о прямой, касаю-
щейся данной линии (и известному им определению ка-
сательной к окружности), хотя и вносит в него нечто но-
вое.
Геометрическая иллюстрация широко используется
в дальнейшем при изучении методов исследования функ-
ций с помощью производной. В частности, при рассмот-
рении необходимых признаков возрастания и убывания
функций геометрическая иллюстрация играет первен-
ствующую роль, так как эти признаки не доказываются.
Правда, мы считаем целесообразным познакомить
школьников с теоремой Лагранжа и с ее помощью про-
вести соответствующее доказательство. (Во всяком слу-
чае, для интересующихся учеников это можно сделать
во внеурочное время.) Разумеется, геометрические ил-
люстрации играют важную роль и там, где доказатель-
ство соответствующих теорем проводится, например,
при выводе необходимого условия существования экст-
ремума и достаточных условий существования макси-
мума и минимума.
В связи с рассмотрением нового, более рационально-
го метода исследования функций решается довольно
много задач на исследование функций и построение их
графиков, а также задач с практическим содержанием,
связанных с вычислением наибольшего и наименьшего
значения функций. Построение графиков используется,
в частности, для графического решения уравнений.
Изучение вопросов, рассматриваемых в данной гла-
ве, занимает в школе 20—21 урок.
§ 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Уже при введении понятия производной учащимся
сообщается, что производная не только может быть ис-
пользована при решении практических задач, но также
помогает при изучении свойств функций. После того как
заканчивается рассмотрение цикла вопросов, связанных
8 Заказ 314	ПЗ
с вычислением производных, напоминаем учащимся о
задаче получения новых методов исследования функ-
ций с помощью производной.
Учащиеся уже знают, что для наглядного представ-
ления свойств функций большое значение имеет геомет-
рическое изображение функции — график функции. Они
вспоминают, что все рассматривавшиеся свойства функ-
ций получили какое-то отражение на графиках этих
функций, что знание графика функции помогает лучше
представить себе ее свойства. Поэтому, для того чтобы
найти методы исследования свойств функций с помощью
производной, следует прежде всего выяснить, какую гео-
метрическую величину, связанную с графиком функ-
ции, выражает производная этой функции в рассмат-
риваемой точке, т. е., другими словами, дать геометри-
ческое истолкование производной.
Чтобы дать геометрическое истолкование производ-
ной или, как говорят, найти геометрический смысл про-
изводной, естественно обратиться к определению произ-
водной функции у ~f(x) в данной точке х0. Вспомина-
ем, что по определению производная функции y=f(x)
в точке Xq есть предел отношения приращения функции
Ау к соответствующему приращению аргумента Дх, при
Дх, стремящемся к пулю, т. е. f'(x0)=lim .
Дх-0
Таким образом, следует прежде всего хорошо пред-
ставлять себе изображение на графике приращения ар-
гумента в данной точке и соответствующего ему прира-
щения функции.
Привлекаются примеры простейших функций, рас-
сматривавшихся при введении понятия производной.
1) у — х (см. рис. 37, а и б).
График функции y = f(x) =х представляет собой,
как известно, прямую, проходящую через начало коор-
динат и образующую с положительным направлением
оси абсцисс угол, равный-^- (считая от оси абсцисс до
этой прямой в положительном направлении, т. е. против
часовой стрелки).
Нетрудно заметить, что в случае, изображенном на
рисунке 37,а, приращение аргумента Дх и соответ-
ствующее ему приращение функции Ду изображаются
соответственно отрезками и NM. В случае, изобра-
женном на рисунке 37,6, Дх и Ду отрицательны. Лег-
114
ко видеть, что здесь длина отрезка MN равна — Лх =
=|Дх|, длина отрезка NM0 равна —Ду = |Ду|.В первом
случае	= tg -4- = 1; во втором случае
Ду_|Ду| NMp
Лх~ I Дх| ~ MN
= tg — 1. Это соответствует тому, что,
ГГ
как это было показано при вычислении производной, в
данном случае Ду = Дх, т. е.
Ау
Дх
2) У=х2 (см. рис. 38,а — е). Чертежи заготавлива-
ются заранее в виде чертежей-плакатов или на перенос-
ных досках. Пояснение аналогично предыдущему слу-
чаю.
После рассмотрения конкретных примеров перехо-
дим к геометрическому изображению приращений Дх и
Ду в общем случае для функции У = /(х) в некоторой
точке х0.
Для простоты ограничимся рассмотрением случая,
когда функция у=/(х) возрастает и Дх>0, тогда и
Ду>0 (см. рис. 39).
Легко видеть, что А0А =MqN= Дх; BvB = NM = by.
(MqAq±OX; МА±ОХ- MqN[\OX).
Чтобы получить геометрическое истолкование отно-
шения проводим прямую АШ0, до ее пересечения
с осью ОХ в точке К. Прямая ЛШ0> пересекающая кри-
вую в данной точке Л40 и некоторой соседней точке М,
называется секущей.
8*
115
Рис.
116
Угол, образованный секущей с положительным на-
правлением оси абсцисс (отсчитываемый от оси абсцисс
в направлении против часовой стрелки), т. е: ZAKM,
обозначим через <р *.
Очевидно, что NM0M = АКМ = <?. В таком
случае из	получаем: = tg <р.
Нас интересует lim . Так как мы рассматрива-
Дх-»0 х
ем случай, когда существует /'(х0), то lim Д# = 0.
Дх~*0
Следовательно, lim МйМ= lim рЛДх2-|-Д{/2 =0, т. е.
Дл-^0	Дх-+0
при 0 точка М. неограниченно приближается к
точке Л1о.
Когда точка М, двигаясь по кривой, приближается к
точке. секущая MqM поворачивается около точки Мь
Если при неограниченном приближении точки М к точ-
ке Мо прямая М0М стремится занять некоторое пре-
дельное положение ЛГоЛ то прямая MqT называется ка-
сательной к данной кривой в точке Л1о.
Определение. Прямая 7И0Т называется касатель-
ной к кривой в ее точке Ло, если она представляет собой
предельное положение секущей 7ИО7И при условии, что
* Легко видеть, что в рассматриваемом случае угол у острый.
117
Точка Af, двигаясь по кривой, неограниченно прибли-
жается к точке М0.
Чтобы убедиться в том, что некоторая прямая MqT
является касательной к данной кривой в ее точке Л1о,
достаточно показать, что острый угол между прямой
MqT и секущей 7ИоЛ1 стремится к нулю при условии, что
точка М, двигаясь по кривой, неограниченно прибли-
жается к точке Afo.
Используя определение касательной, можно пока-
зать, что если функция у = f(x) имеет производную в
точке %о, то график функции имеет касательную в соот-
ветствующей точке Мо (х0; Ихо))-
Для этого достаточно доказать, что при Дх -> О (т. е.
при Af->AJ0) величина угла ф, образованного секущей
М0М с положительным направлением ОХ, стремится к
определенному пределу а.
Так как tg ср —	, а ср острый, то <р — arctg^- .
Следовательно, lim ср = lim arctg £7- = arctg /'(х0) (так
Дх-»0	Дх->0 х
как lim = f'(x0), а внешняя функция arctg t яв-
Дх>0
ляется непрерывной функцией своего аргумента/*).
Обозначим lim ср через а, т. е. lim ср = а;
Дх^О	Дх-0
arctg/' (х0) = а;
tg а =7' (*о).
Если провести прямую М0Т под углом а к положи-
тельному направлению оси абсцисс, то эта прямая и бу-
дет касательной к графику функции в точке Л1о,
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что
острый угол 0, образованный секущей MqM и прямой
М0Г, стремится к нулю при М Af0 (в данном случае
при Лх0). Действительно, из чертежа легко усмот-
реть, что 0 = а — ф (см. рис. 39). Следовательно,
* Функция arc tg представляет собой сложную функцию
Ау
аргумента Дх, для которой внутренней функцией является .
Можно совершенно строго доказать, что если внутренняя функция
в некоторой точке а имеет предел, равный а внешняя функция в
точке b непрерывна, то существует предел сложной функции в
точке а, равный значению внешней функции в точке Ь.
118
lim 0= lim (a —<p)=0, так как lim <j>=a. Таким
Ддг’Ю Длг-*О	Длг-^О
образом, прямая М0Т действительно является касатель-
ной. В то же время для угла а, который образует каса-
тельная MQT с положительным направлением оси абс-
цисс, было получено соотношение tga=f'(x0).
Таким образом, мы приходим к следующему геомет-
рическому истолкованию производной f'(xQ).
Производная данной функции y=f(x)v точке
представляет собой тангенс угла, который обра-
зует с положительным направлением оси абсцисс каса-
тельная к графику функции в точке Л10(лг0,
В своем изложении мы несколько отошли от тради-
ционного пути рассмотрения вопроса о геометрическом
смысле производной. Дело в том, что обычно постанов-
ка задачи о проведении касательной является одним из
подходов к введению понятия производной. При этом,
естественно, остается в стороне вопрос о том, что суще-
ствование производной обеспечивает и существование
касательной в соответствующей точке графика, и поэто-
му всегда возможно геометрическое истолкование произ-
водной как тангенса угла наклона ,этой касательной к
положительному направлению оси абсцисс. Так как, пе-
реходя к геометрическому смыслу уже известной учащим-
ся производной, мы ставили проблему выяснить, какую
геометрическую величину выражает понятие произ-
водной, нам естественно нельзя было обойти вопрос о су-
ществовании касательной.
Для тех, кому предложенное нами рассмотрение
вопроса о геометрическом смысле производной кажется
слишком непривычным, мы предлагаем следующий,
второй вариант изложения.
Прежде всего дается определение касательной, как
предельного положения секущей, такое же, как дано на
странице 117. Без доказательства учащимся сообщают,
что если функция у — f(x) имеет производную в точ-
ке х0, то график этой функции имеет касательную в со-
ответствующей точке Л1о(хо, f(xo)). Ставится задача най-
ти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции y=f(x) в точке Ма* (см. рис. 39).
Из определения касательной следует, что если точка
М, двигаясь по кривой, неограниченно приближается к
точке Л1о, то угол 0 между секущей MqM и касательной
* Подразумевается, чго функция f(x) непрерывна в точке х0«
MqT неограниченно убывает. Это можно записать в форме
Пт0=О, так как liniAfoA4==O (т. е. при Дх-* О точка М
Дх-*0	Дх О
неограниченно приближается к точке Л40), что доказыва-
ется так же, как это было сделано на странице 117.
Из рисунка видно, что 0 = а—ф. Таким образом,
lim (а—ф) — О, откуда следует, что Птф = а. Из последнего
Дх — о	Дх -* о
соотношения можно сделать вывод, что Нп^ф=^а, так
Дх О
как тангенс есть функция непрерывная в его области оп-
ределения (см. сноску на стр. 118). Так как 1£ф=_£“, то
отсюда получаем, что lim-4^ =tga, т. е. что tga=f(x0).
Дх-о х
На ряде примеров учащиеся получают возможность
сравнить вновь введенное определение касательной с
имеющимися у них представлениями. Они строят каса-
тельные к различным линиям, вычисляя угловой коэффи-
циент касательной с помощью производной.
Так как учащиеся знают формулу для вычисления
производной сложной функции, то возможно поставить
задачу проведения касательной к окружности.
Задача. Провести касательную к полуокружности
y=V 1—х2 в точке 7И0 (0,1). (Учащиеся знают уравнение
окружности. В крайнем случае, пользуясь формулой для
вычисления расстояния между двумя точками, можно по-
казать, что любая точка графика функции у=]/ 1—х2 от-
стоит на расстоянии 1 от начала координат, т. е. что гра-
фик есть часть окружности (смотрите рисунок 40, а, б).)
Вычисляем угловой коэффициент касательной в точ-
ке Mq (0,1):
у' = —— 2х) =------------,-* ,
2/1—х2	7 У 1—X*
у'(0)=0, значит, tga=f/'(0)=0, т. е. угол наклона касатель-
ной к оси абсцисс равен 0 (или л). Касательная парал-
лельна оси абсцисс, т. е. перпендикулярна радиусу ОМо,
что согласуется с определением касательной к окружно-
сти, известным из школьного курса геометрии.
Интересно построить касательные к рассматриваемой
полуокружности и в других точках, например в точках
рп( 1 р^З \	/ -‘У 3 . 1 \ ,	лс\ \
'Г2“/ и	(—2— ’ ~2'ИСМ' Рис- вычис-
120
лив углы, которые они образуют с положительным
Легко показать, что касательная к окружности (в
смысле нового определения) в любой ее точке 7И0 пер-
пендикулярна к радиусу OMq (т. е. совпадает с касатель-
ной в смысле ранее известного определения).
Для простоты рассмотрим ту же полуокружность
*/=]/!—х2 и точку Л1о (*о, У о) будем считать располо-
женной в первой четверти (см. рис. 40,6):
1
Ui\	ло
MqT — касательная к окружности в точке Л1о.
121
tg Cl = y'(x0) = — -7=^=;	p = « —a;
И-*0
tg? = - tg a	.-; lgP = ^Y = ctgi=tg^-J--T).
Очевидно, что 0<р<л и 0<-п—у<л, (так как у—ост-
рый угол), откуда следует, что ₽=-£—у или ₽+у=тг. Та-
ким образом, Z-OMqT = л—(P+y) — -^- •
Итак, новое определение не противоречит ранее изве-
стному определению касательной к окружности.
Последующие примеры показывают, что определение
касательной к окружности как прямой, имеющей с ок-
ружностью одну общую точку, известное из школьного
курса геометрии, не может быть перенесено на другие ли-
нии даже с точки зрения наглядных представлений. Са-
мый простой пример — касательная к параболе г/—х2 в
точке О (0, 0) (см, рис. 38). у, = 2х; у'(0) =0, т. е. tg а=
=0; а=0 (или л). Касательная в точке О (0, 0) совпада-
ет с осью абсцисс, что согласуется с интуитивным пред-
ставлением о касательной. В то же время ось OY также
имеет единственную общую точку с параболой, хотя явно
касательной не является.
Для графика функцииy=sin х (синусоиды),касатель-
ной в точке	1) , очевидно, является прямая у=1
^'=cos х; ~ cos-^-==0^. В то же время эта пря-
мая у=1 имеет бесконечно много общих точек с сину-
соидой j/=sin х (см. рис. 41).
Для лучшего ознакомления с новым определением ка-
сательной полезно решить следующую задачу.
122
Найти угол касательной к кубической параболе у=х3
в точках: Xj — O; х%=	. Построить график функции и
соответствующие касательные (см. рис. 42).
Решение, tg а = yf == Зх2. tg 04 = y'(Q) = 0; 04 = 0;
Обращаем внимание
учащихся на то, что пер-
вая касательная разбива-
ет график на две части
(одна часть лежит ниже,
а другая — выше каса-
тельной t/=0).
Вторая касательная
имеет с кривой две
общие точки. Таким обра-
зом, то определение ка-
сательной к окружности,
которое встречалось в
школьном курсе геомет-
рии (касательной к ок-
ружности называется пря-
мая, имеющая с окружно-
стью одну общую точку),
годится только для ок-
ружности. Общее же оп-
ределение касательной,
которое было дано на
предыдущем уроке, при-
менимо к любой кривой и,
в частности, к окружности.
Приведем еще не-
сколько примеров реше-
Рис.- 42
ний задач, связанных с
понятием касательной.
Задача. В какой точке касательная к параболе
У=—х2 + 2х—3 наклонена к оси абсцисс под углом 0°;
под углом 45°? (Построить график функции и касатель-
ные; см. рис. 43.)
123
Решение. tga=t/'=—2х+2.
1) «1 = 0; tgai = O; —2х+2=0; xL = l.
2) а2=45°; tga2*=l; — 2*+2=l; x2=-~~.
&
Задача. При ка-
ких значениях аргу-
мента х касательные к
кривым
y=f(X)=X3—х— 1
и #=<р(х) =3х2—4х+1,
проведенные в соответ-
ствующих точках, па-
раллельны.
Решение. Парал-
лельность касательных
означает, что они на-
клонены к оси абсцисс
под одним и тем же уг-
лом, сл едов ательно,
при соответствующих
значениях х обе функ-
ции имеют равные производные.
Производная первой функции /z(x) = 3x2—1.
Производная второй функции ф'(х)=6х—4.
Получаем уравнение: Зх2—1=6х—4;
Зх2—6х+3 = 0;
х2—2х+1=0;
х1==х2—1.
Задача. Под каким углом тангенсоида пересекает
ось абсцисс на интервале/-----£
\ *
^-) (Углом, под кото-
/
рым кривая пересе-
кает прямую, назы-
вается угол, который
с этой прямой обра-
зует касательная к
кривой в точке пере-
сечения кривой и
прямой. Например,
на рисунке 44 кри-
вая KL образует с
прямой АВ угол 0).
124
Решение. В данном случае нам надо определить
угол наклона касательной к тангенсоиде в точке Хбв0,
где она пересекает ось абсцисс на интервале
(- v; -г) • Имеем « =	<*=/=;
•tg % = СОе2о’ = 1'» “о ~ 45°. (Иллюстрируем на таблице
с графиком функции ^=igx.)
Задача. Показать, что касательная в любой точке
кривой у — 2х5+х3+2х—5 наклонена н еси абсцисс поя
острым углом.
Решение. tgct=//,= 10x4-(-3x2+2>0 при любом
значении х. Это и означает, что ci:— острый угол.
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ВОЗРАСТАНИЕ
И УБЫВАНИЕ И НАХОЖДЕНИЕ ТОЧЕК МАКСИМУМА
И ТОЧЕК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНОЙ
Приступая к изучению методов исследования функций
на возрастание и убывание с помощью производной,
очень удобно использовать график функции p=siri x, за-
ранее заготовленный на классной доске (или на пере-
носной доске). Упражняясь в построении касательных,
наносим на график касательные к синусоиде в точках
„ те • те 2	те
X & 0, х —	; х те, X = те, X— те* х~— —*
х —---y (см. рис. 45).
Обращаем внимание на то, что в точках графика, абс-
циссы которых расположены на промежутках возраста-
ния функции, касательная образует с положительным на-
правлением оси абсцисс острый угол (производная в
соответствующей точке, равная тангенсу этого угла, поло-
жительна); в точках графика,;абсциссы которых распо-
ложены на промежутках убываний функции, касательная
образует с положительным направлением оси абсцисс ту*
пой угол (соответствующая производная отрицательна);
в точках, абсциссы которых разделяют промежутки убы*
вания и возрастания (т. е. где функция имеет минимум
или максимум) касательные параллельны оси абсцисс
(производная равна 0).	”
125
Из наглядных соображений видно, что для данного
графика функции указанная закономерность имеет место
не только в выделенных выше точках, но и в других.
В связи с этим возникает предположение о существова-
нии зависимости между знаком производной и возраста-
нием или убыванием функции. Представляется вероят-
ным, что если функция на промежутке возрастает, то
производная в точках этого промежутка положительна,
если функция убывает, то производная отрицательна, а
там, где функция имеет минимум или максимум, произ-
водная равна 0. Также представляется правдоподобной
справедливость обратных предложений: если во всех точ-
ках данного промежутка производная положительна, то
функция на данном промежутке возрастает и т. п.
Более детальное рассмотрение вопроса показывает,
что связь между знаком производной и возрастанием и
убыванием функции, а также между обращением произ-
водной в нуль и наличием максимума или минимума дей-
ствительно существует, однако не все, что представляет-
ся вероятным на первый взгляд, оказывается действи-
тельно справедливым.
Рассмотрим прежде всего возрастание и убывание
функций. Покажем, что если функция возрастает на неко-
тором промежутке, то из этого еще не следует, что во
всех точках этого промежутка производная обязательно
положительна. Убедиться в этом можно на примере хо-
рошо знакомой функции */=х3. Эта функция всюду воз-
126
растает. В то же время у'=3х2 и у =0, т. е. в точке 0
производная не является положительной. (Правда, во
всех остальных точках производная положительна.)
Возникает вопрос: может ли у возрастающей функции
производная в какой-либо точке быть отрицательной?
Оказывается, имеет место следующая теорема.
Теорема. (Необходимое условие возрастания функции
на данном промежутке.) Если функция y=f(x) на дан-
ном промежутке возрастает и имеет производную/'(>9,
то в любой точкелго, принадлежащей этому промежутку,
/W>0.
По определению /'(х0) = lim	. Так как
Дх-0 х
нас интересует предел функции при Дх -> 0, то можно
ограничиться рассмотрением только таких значений Дх
(достаточно малых по абсолютной величине), при кото-
рых х0+Дх принадлежит данному промежутку возраста-
ния функции.
Тогда при Дх > 0 имеем х0 -|- Дх > х0 и
f(x0 4- дх) > /(х0), т. е. 1 + ~/(хо) >0, а при
Дх<0 имеем х0-)-Дх<х0 и f(x0-}-Ax)<f(x0), т. е. опять
f (*а + М — f (-М	о
Дх
D	ж	/(хо+Дх)— f(x0)
Все рассматриваемые значения функции -——-—-
положительны. Можно доказать, что если все значения
функции на некотором промежутке, содержащем данную
точку а, положительны, то и предел ее в точке а не может
быть отрицательным числом, откуда и следует, что
f'(x0) = lim /(^o + .M-ZCxo)
Дх-0 х
* Докажем, что если на некотором промежутке, содержащем точ-
ку at ф (х) > 0 и 11m ф (х) существует, то lim ф (х) > 0. Обозначим
х-+а	х-*а
11m ф (х) = k. Допустим, что k < 0. Возьмем в = — k > 0. По опре-
х—а
делению предела функции для этого е существует такое число Ь,
что для всех х а, удовлетворяющих неравенству |х — а|<&,
выполняется неравенство ф (х) — k | < е. С другой стороны, при
любом значении х |ф (х) — k = | ф(х)+(—k) |=| ф(х) + е |—т(х)-Н > е,
так как ф(х) > 0 и е >0. Итак, с одной стороны, для всех значе-
ний х из данного промежутка | ф (х) — Л| > е, а с другой стороны,
для некоторых значений х из этого же промежутка | (<р(х) —
— Л|< е, т. е. мы получаем противоречие.
127
Аналогично доказывается теорема, выражающая не-
обходимое условие убывания функции на данном проме-
жутке.
Если функция y=f(x) на данном промежутке убывает
и имеет производную, то в любой точке х, принадлежа-
щей этому промежутку, /'(х) 0.
Из наглядных соображений мы ранее пришли к вы-
воду, что если во всех точках промежутка производная
положительна, то функция на этом промежутке возраста-
ет, а если во всех точках промежутка производная отри-
цательна, то функция убывает. К сожалению, приходит-
ся ограничиваться на уроке только формулировкой этих
теорем, так как не рассмотрен ряд вопросов, необходи-
мых для доказательства.
Теорема. (Достаточный признак возрастания функции
на промежутке.) Если функция y=f(x) непрерывна на
некотором промежутке и имеет положительную производ-
ную во всех точках, лежащих внутри этого промежутка,
то на этом промежутке функция возрастает.
Аналогичную теорему, выражающую достаточный
признак убывания функции на промежутке, формулиру-
ют сами учащиеся.
В качестве упражнений могут быть решены задачи.
Задача. В каких промежутках возрастают и в ка-
ких убывают следующие функции:
I)	у=х3— 12х24-48х—13;
2)	у=х3—х2—8x4-2;
3)	у=х3—Зх24-5;
4)	#=2х3—9х24-12х—3?
Задача. В каких промежутках возрастают и в каких
убывают следующие функции:
1) у=sinx, если х изменяется от 0 до 2л;
2) y=sin2x?
Приведем решение некоторых из них.
1. Исследуем функцию у=2х3—9х24-12х—3.
/=6х2—18x4-12.
Решаем вопрос о знаке полученного квадратного трех-
члена, для чего прежде всего находим его корни:
6х2— 18x4-12=0;
х2—Зх4-2=0; Xi = l; Ха=2.
На интервалах (—со ; 1) и (2; 4- со ) производная
#'=6х2—18x4-12 положительна, а на интервале (1, 2) —
128
этрицательна. Функция у=2х3—9х2+12х—3 возрастает
да промежутках (—©о; 1] и [2; +ео) и убывает на про-
межутке [1; 2]. (Здесь концы промежутка могут быть в
чего включены, так как рассматриваемая функция непре-
рывна.)
2. Исследуем функцию у — sin2x. у' = 2sinx»cosx =
= sin 2х. > sin 2х > О при 2А^ < 2х < 2Ак + к или
< х < Ы где k — любое целое число.
sin2x<0 при -J-it 2х < 2йк-|-2к или
Ьтс -р < х < kit + к, где k — любое целое число.
Таким образом, функция y = sin2x возрастает на
промежутках вида [£я;	и убывает на про-
£
межутках вида	+ где k — любое целое
число. (Концы промежутков включены в эти проме-
жутки ввиду непрерывности функции f/=sinax.)
При решении упражнений еще раз убеждаемся в том,
что при отыскании промежутков возрастания и убывания
функции очень важно уметь находить точки максимума
и минимума этой функции. Ставится задача получения
признаков существования максимума и минимума,
Прежде всего на графиках функций y=sinx, f/=cos х,
у=х2 еще раз иллюстрируется обнаруженный ранее из
наглядных соображений факт, что для точек минимума и
максимума касательная в соответствующих точках гра-
фика параллельна оси абсцисс, т. е. производная в точках
минимума и максимума равна нулю. Для этих трех фун-
кций производная обращается в нуль только там, где эти
функции имеют минимум или максимум. Однако пример
функции у—х3 показывает, что производная может об-
ращаться в нуль' и там, где функция не имеет ни макси-
мума, ни минимума.
Таким образом, обращение производной в нуль в дан-
ной точке не является достаточным условием для суще-
ствования в этой точке минимума или максимума. Мож-
но показать, что это условие является необходимым, т. е.
что в тех точках, где производная существует, но не
равна нулю, функция не может иметь ни максимума, ни
минимума.
9 Заказ 314	129
Теорема. Если в некоторой точкех0 функция y—f(x)
имеет производнуюи f (x$) =# 0, то в этой точке
нет ни максимума, ни минимума.
Доказательство:
Пусть для определенности /'(л0) >
/'(х0)= lim 4- А*) — f (лр)
Дх -* 0	Дх
Используем определение предела функции для функции
<р (Лх) = Нхо+Дх)~Нхо)
при Дх -> 0. (Вспоминаем определение предела функции
в точке.) Выберем теперь в качестве 8 положительное
число f(xo). Для этого числа s выберем такое 6>0, что
при Дх =# 0 и | Дх | < 8 выполняется неравенство
f(x0 4-Дх) — f(x0)	fl( ч  К*о+Д*)—f(xo) . „
--------д7-----------I W <е или	--------с <s
(так как мы выбирали е=/'(хв)).
Последнее можно записать с помощью двух не-
f (хо + Дх) — f (х0)	.
равенств:	— е < —*----------------е < е,
откуда 0<-	~	Итак, для всех Дх, удов-
летворяющих неравенствам Дх #= 0 и | Дх|< 8, имеет
место Их. 4-Дх)~-f (х<0 >q рассМ0ТрИМ теперь произ-
вольный интервал (хх; х2), содержащий точку х0. Вы-
берем положительное число Дх, меньшее, чем 8, так,
чтобы х0 4- Дх принадлежало интервалу (хх; х2). То-
гда, так как	>0 и Дх > 0, то
f (х0 + Дх) — Дх0) > 0 и, значит, f (х0 4- дх) >/(х0).
Таким образом, на интервале (хх; х2) имеется точка
х04-Дх, в которой /(х0 +Дх)>/(х0), а так как интер-
вал (хх; х2) выбирался произвольно, то это значит, что
в точке х0 функция не может иметь максимум. (Напо-
минаем определение максимума функции.)
Возьмем теперь отрицательное число Дх так, чтобы
| Дх [ < 8 и х0 4- Дх также принадлежало интервалу
(хх; х2). (Здесь Ха + д* < х0).
Так как	>0 и Дх < 0, имеем
f 4- Дх) — f (х0) < 0, откуда f (х0 + Дх) < f (х0).
130
Получаем, что в точке х0 нет минимума (так как в
любом интервале, содержащем эту точку, имеются
точки, в которых значение функции меньше, чем f(x0)).
Итак, в точке х0 функция y = f(x) не имеет ни
максимума, ни минимума. Аналогично можно прове-
сти доказательство для случая, когда /'(хо) < О-
Замечание. Функция может иметь максимум или
минимум и в тех точках, где производная не существует.
Например, функция у =}/х2 имеет минимум в точ-
ке 0, так как при любом ух* >0, а при х»0
з •
Vx2=O. В то же время #'(0)~linv	—— = lim	.
Дх-*0 Л •	Дх->0Д х
Но при Лх->0 ? неограниченно возрастает по аб-
у Дх
солютной величине, т. е. функция — не имеет
у4 Дх
предела при Дх->0 и, значит, в данном случае уЧР)
не существует (см. рис. 46.)
Итак, для того чтобы в данной точке существовал ми-
нимум или максимум функции, необходимо, чтобы в этой
точке либо производная была равна нулю, либо не суще-
ствовало производной.
Пусть теперь для функции y=f(x) в некоторой точке
Хо производная f'(x0) равна нулю или не существует. Та-
9*	131
1£ую точку в дальнейшем будем называть критической.
В критической точке х0 функция может иметь минимум
или максимум, но может, как мы видели на примере
функции у~х3, и не иметь ни того, ни другого. Возникает
вопрос: как можно судить о том, имеется ли в действи-
тельности в точке Хо максимум или минимум?
Ограничимся рассмотрением случая, когда существует
интервал (xi; х2), содержащий точку х0, на котором функ-
ция непрерывна и имеет производную во всех точках,
кроме, быть может, точки Хо.
Рассмотрим следую-
щие 4 случая:
1)	На интервале
(xi; Хо) производная
f'(x) положительна, а
на интервале (хо; х2)—
отрицательная (см.
рис. 47).
Тогда на промежут-
ке (хп Хо] функция воз-
растает, а на проме-
жутке [х0; х2) —убыва-
ет (по достаточным
признакам возрастания и убывания функции). Легко ви-
деть, что в этом случае в точке х0 функция имеет макси-
мум, так как значение функции в точке Хо больше, чем в
любой другой точке интервала (xi; х2).
2)	На интервале (х^ Хо) и производная f'(x) отрица-
тельна, а на интервале (хо; х2) — положительна. Тогда на
промежутке (х^ Хо] функция убывает, а на промежутке
[х0; х2) функция возрастает. В точке х0 функция имеет
минимум (см. рис. 48).
3)	Во всех точках интервала (xi; х2), кроме точки Хо,
производная положительна. Тогда функция возрастает
на обоих промежутках (хк хо] и [х0; х2) и, как легко ви-
деть, возрастает на всем промежутке (х^ х2). В точке Хо
нет ни минимума, ни максимума (см. рис. 49).
4)	Во всех точках интервала (хк х2), кроме точки Хо,
производная отрицательна. Функция убывает на проме-
жутке (xt; х2). В точке Хо нет ни минимума, ни максиму-
ма (см. рис. 50).
Правило, позволяющее судить о наличии минимума
или максимума в критических точках, коротко формули-
132
руют так: если при переходе через критическую точку х0
производная/'С*) меняет знак с пдшся на минус (слу-
чай 1), то в точке(х) функцияДх) имеет максимум. Если
же f\x) меняет знак с минуса на плюс (случай 2), то в
Рис. 48	Рис. 49
точкех0функцияДж) имеет минимум. Если при переходе
через критическую точку х» производная f'(x) не меняет
знак (случаи 3 и 4), функция не имеет в точке ни ми-
нимума, ни максимума.
В качестве иллюст-
рации правила решает-
ся несколько задач.
Например, задача: ис-
следовать на максимум
и минимум функцию:
о —
6х— 4 = 0; х =
Решение. у
=6х—4.
Производная суще-
ствует всюду. Ищем
точки, в которых она
обращается в нуль.
2
— критическая точка
Рассматриваем производную у' = 6х
на интервалах
2
Аз ’ 1
о
6х— 4 < 0; при х > -j- 6х—4 > 0. Производная меняет
133
знак с минуса на плюс. В точке х0 данная функция
имеет минимум. (Этот же результат мы могли полу-
чить, исследуя квадратный трехчлен г/ = 3х2— 4х+6
обычными средствами.)
Задача. Исследовать на максимум и минимум функ-
цию #=х3+5х-|-2.
Решение. у'=Зх2+5. Производная всюду суще-
ствует и нигде не обращается в нуль. Функция не имеет
ни минимума, ни максимума (у'>0, функция возраста-
ющая).
Задача. Исследовать на максимум и минимум функ-
цию У = 4“ х3----х2 — 2х + 6 .
и	Л
Решение, у' = х2 — х — 2; х2 — х — 2 = 0; xi =
=—1; х2=2.
Критические точки: Xi =—1; х2 = 2.
По свойствам квадратного трехчлена заключаем, что
t/z>0 на интервалах (—оо ; —1) и (2; + оо), #'<0
на интервале(— 1; 2).
Отсюда следует, что при переходе через точку
Xi = — 1 производная меняет знак с плюса на минус.
В этой точке функция имеет максимум.
При переходе через точку х2=2 производная меня-
ет знак с минуса на плюс. В точке х2 функция имеет ми-
нимум.
Как говорилось выше, достаточные признаки возра-
стания и убывания функции даются учащимся без дока-
зательства. Однако мы считаем возможным провести
эти доказательства с помощью теоремы Ларранжа (хотя
бы во внеурочное время). Разумеется, предварительно
следует познакомить с самой теоремой Лагранжа.
К формулировке теоремы Лагранжа можно подойти
в связи с задачей отыскания достаточных признаков
возрастания и убывания функции, исходя из наглядных
соображений. Рассмотрим графики возрастающей и
убывающей функций (см. рис. 51,а и б).
Из рисунка 51, а, где функция f (х) возрастает на
промежутке [р; легко усмотреть, что производная
функции f(x) в любой точке промежутка [р; q] положи-
тельна (касательная в любой точке графика образует
с осью абсцисс острый угол). Возникает вопрос, как
установить связь между этим обстоятельством и возра-
станием функции на промежутке [р; <?].
134
Вспоминаем определение возрастающей на проме-
жутке функции. Функция называется возрастающей на
данном промежутке, если для любых двух значений ар-
гумента и %2» лежащих
на этом промежутке, из не-
ся е дует
равенства
неравенство f(x2)>f(xi).
Другими словами, возрастание функции на промежутке
[р; q] равносильно тому, что Д**). >о для любых
Х2
значений аргумента х\ и %2, принадлежащих данному
ироуежутку [р; q\.
Выясним геометрический смысл последнего неравен-
ства, выбрав на рассматриваемом графике функции
(см. рис. 51,а) две произвольные точки М (ла; ?(xi)) и
N (х2; f (х2)). Легко видеть, что= tg <р, где
Ф — угол, образованный хордой MN с положительным
направлением оси абсцисс.
Так как	> 0 , то любая хорда графика
образует с осью абсцисс острый угол. Ранее уже было
замечено, что и любая касательная, проведенная к гра-
фику данной функции, образует с осью абсцисс острый
угол. По-видимому, существует какая-то связь между
этими двумя обстоятельствами. На данном графике
проведена касательная Т^Т, параллельная хорде MN.
135
Если бы оказалось возможным для любой хорды
графика провести параллельную ей касательную в ка-
кой-либо точке этого графика, то это означало бы, что
если производная f'(x) во всех точках интервала (р; q)
положительна (откуда следует, что касательные во
всех точках графика образуют с осью абсцисс острые
углы), то и все хорды графика образуют с осью абсцисс
острые углы, т. е. для любых Х\ и х2 из промежутка
г 1	f (Х2) — f (Xi) _ л
[р; q\ выполняется неравенство	>0 и, зна-
чит, функция/(х) возрастает.
Таким образом, существенно найти условия, при ко-
торых каждой хорде графика соответствует некоторая
касательная к графику, параллельная этой хорде, или,
другими словами, для любых точек X] й Хг данного про-
--------------------------	г/ /	f(x«)— f(x,)
межутка существует точка х такая, что f (х) —	
(f'(x) —тангенс угла наклона касательной, а
f(x«)—J(x.)	,
xa^-xi-----тангенс угла наклона хорды).
Оказывается, что существование производной во всех
точках интервала (/?;</) и обеспечивает для непрерыв-
ной функции существование для каждой хорды ее гра-
фика касательной, параллельной этой хорде. Это следу-
ет из теоремы:
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна
на сегменте [а; Ь] и имеет производную в каждой точке
интервала (а; Ь), то существует такая точка с, принад-
лежащая интервалу (а, Ь), что J4 (с) —	•
Геометрически это означает, что существует каса-
тельная к графику фун-
кции f(x), параллель-
ная хорде АВ, где
A (a;f(a)),B (b; f(b))
(см. рис. 52).
Прежде чем дать
доказательство теоре-
мы Лагранжа, прихо-
дится рассматривать
ее частный случай, ког-
да f(a)=f(b), который
получил название тео-
ремы Ролля.
Рис. 52
136
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на
сегменте fa; и имеет производную на интервале (а; 6),
причем f(a) — f(b), то существует такая точка с, при-
а)
Рис. 53
S)
надлежащая интер-
валу; (а; Ь), что
/'(О = О-
Геометрическая ил-
люстрация такая
же, как в общем слу-
чае теоремы Лагран-
жа, существует ка-
сательная к графику
функции, параллель-
ная хорде АВ, или,
так как в этом слу-
чае хорда АВ парал-
лельна оси абсцисс,
существует каса-
тельная к графику
функции, параллель-
ная оси абсцисс (см.
рис. 53, а и Ь).
Доказательство те-
оремы Ролля опи-
рается на сформу-
лированные выше
(без д ок аз а те л ьс т -
ва) свойства непре-
рывных функций.
Доказательство теоремы Ролля
Так как функция f(x) непрерывна на сегменте [а, 6],
то она принимает на этом сегменте как наибольшее, так
и наименьшее значение.
Если функция f(x) на сегменте [а, Ь] постоянна, то
все ее значения, включая наибольшее и наименьшее,
совпадают с	В этом случае f'(x)=O для
любого значения х, принадлежащего промежутку [а, &].
(Так как производная постоянной равна 0.)
Если функция f(x) не постоянна на сегменте {а, &],
то /(а) = f(b) не может одновременно быть и наиболь-
шим и наименьшим значением функции и, значит, по
137
крайней мере одно из указанных значений функция при
нимает в некоторой точке с, лежащей внутри сегмента
[а, 6] (т. е. на интервале (я, Ь)).
В этом случае в точке с функция, очевидно, имеет
максимум или минимум и f'(c)~O согласно необхо-
димому условию существования экстремума.
(Если теорема Ролля рассматривается до изучения
необходимого условия существования экстремума, то
утверждение /'(с)=0 в точке с интервала (а, Ь), где
функция принимает наибольшее (наименьшее) значе-
ние, доказывается совершенно так же, как это было
сделано выше при выводе необходимого условия суще-
ствования экстремума.)
Доказательство теоремы Лагранжа
По условию функция y — f(x) непрерывна на сег-
менте [a, ft] и имеет производную на интервале (а, Ь);
требуется доказать, что существует на интервале {a, ft)
г// \	/(b) — f(a)
такое значение с, что г (с) =	•
Рассмотрим вспомогательную функцию
?(*) = f(x) —-(х-а).
Очевидно, что ф(х) непрерывна на сегменте [a, ft] и име-
ет па интервале (а, Ь) производную
?' (*) = Г(х) -	~~-а) 
(По свойствам непрерывных функций и теоремам о
производных.)	,
?(fl) = /(«) - (<*—«) =/(«};
? (b) =f(b)_	(b — a) ~ A(«) •
Таким образом, <p(«) =<p(6), и функция ф(х) удовлет-
воряет всем условиям теоремы Ролля.
Следовательно, существует такая точка г, принадле-
жащая интервалу {а, Ь), что ф'(с)=0. Отсюда
/' (С) - "И-’J"'- - О
f. w	.
138
Используя теорему Лагранжа, доказываем достаточ-
ное условие возрастания функции на промежутке
<а, Ь> (т. е. на интервале (а, Ь), или на сегменте
[а, ft], или на полуинтервале (a, ft], или на полусегмен-
те [я, ft).
Теорема. Если функция y f(x) непрерывна на про-
межутке <а, Ь> и имеет во всех точках интервала
(a, ft) положительную производную, то эта функция воз-
растает на промежутке <а, ft>.
Рассмотрим произвольные значения аргумента и
х2, принадлежащие промежутку <а,Ь> и удовлетво-
ряющие условию X] < х2. Тогда, очевидно, сегмент
[хьх2] содержится в промежутке <а, ft>. Функция у =
= f(x) непрерывна на сегменте [Х], *2] и имеет производ-
ную во всяком случае на интервале (хьх2). В таком слу-
чае согласно теореме Лагранжа существует такая точ-
ка с, принадлежащая интервалу (хьХ2), что
Но по условию fz(x) положительна во всех точках интер-
вала (а, Ь) и, значит, f'(c)>0 или^^—> 0, и так
как х2 - х, > 0 , то /(х2) - f (xt) > 0, т. е. f (х2) > /(xj.
Так как точки Xi и х2 на промежутке <а, ft> выби-
рались произвольно, то это и означает, что функция
у = f (х) возрастает на промежутке <£,&>.
Аналогично формулируется и доказывается достаточ-
ное условие убывания функции на промежутке.
С помощью теоремы Лагранжа может быть доказа-
но и следующее условие постоянства функции.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на проме-
жутке <а, ft> и имеет во всех точках интервала (a, ft)
производную, равную нулю, то эта функция постоянна на
промежутке <а, &>.
Рассмотрим произвольные значения аргумента X! в
х2, принадлежащие промежутку <я, ft>. Пусть для оп-
ределенности х1 < х2. Тогда сегмент [хь х2] содержится
в промежутке <а,Ь>, а значит, функция f(x) непре-
рывна на сегменте [хь х2] и имеет производную f'(x) во
всяком случае в каждой точке интервала (хьх2).
По теореме Лагранжа существует такая точка г,
принадлежащая интервалу (хъ х2) (и, значит, интерва-
139
лу (а, &)), что	=	Так как f'(x) — О
во всех точках интервала (а, Ь), то f'(c) = 0 или
-—	— о, т. е. /(xj =/(х2). Итак, в любых двух
Х2 — Х1
точках промежутка < ау b > значения функции у — f(x)
совпадают, а это и означает, что функция y~f(x)
постоянна на промежутке < а, b > .
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
В связи с изучением условий возрастания и убывания
функций и признаков существования максимума и ми-
нимума учащиеся строят ряд графиков функций с не-
большим исследованием этих функций.
Рассмотрим задачи.
Задача. Построить график функции
определив предварительно промежутки возрастания и
убывания; точки максимума и минимума; точки пересе-
чения кривой с осями координат; несколько других то-
чек кривой, уточняющих ее форму.
1)	Легко видеть, что область определения данной
функции есть множество всех действительных чисел,
т. е. интервал (— оо , 4- оо ),
2)	Чтобы обнаружить точки максимума и минимума
функции и промежутки ее возрастания и убывания, на-
ходим производную данной функции:
Ищем^критические точки. Так как производная су-
ЩС С ТВ yd тв о всех точках области определения, то доста-
2
точно решить- уравнение----%- х 4- 2 = 0 .
О
Получаем х = 3. Итак, имеется одна критическая
точка х0 — 3.
140
Исследуем знак производной на промежутках
( — оо, 3) и (3, + оо). При х < 3-- х_> — 2, откуда
/ = — х + 2 > 0. При х > 3 х < — 2, откуда
У' = — Л-х + 2 < 0 .
О
На интервале (— со, 3) функция возрастает, а на
интервале (3, + оо ) —убывает. В точке х0 = 3 функ-
ция имеет максимум. Соответствующая точка графика
3)	Точки пересечения с осью абсцисс находим из со-
I	5
отношения-----5- х2 + 2х----= 0; х2 — 6х -|- 5 = 0;
О	о
Xj — 1 • х2 ~ 5.
Получаем точки В (1; 0) и С(5; 0).
Точку пересечения с осью ординат получаем, пола-
5	/	5
гая х = 0. Тогда у = —Получаем точку D\ 0,-— | .
о	\	3 J
4)	Изображаем в прямоугольной системе координат
Рис. 54
все полученные вы-
ше точки графика.
Затем находим до-
полнительные точ-
ки:	£( — !; -4);
F (2; 1); К (4; 1);
£(7;-4); М(б;
___5\
3 Г
В заключение
строим график фун-
кции (см. рис. 51).
Легко заметить,
что данная кривая
4
есть парабола с вершиной в точке А (3,-^-) и ее мож-
но было построить и без использования производной.
Задача. То же условие, что и в предыдущей зада-
че, для функции у = х4 — 4 х2.
1.	Область определения функции (— <х>, 4~°° )•
141
2.	Ищем промежутки возрастания и убывания и точ-
ки максимума и минимума: //-4х3—8х; 4х3—8х = 0:
4х(х2—2)=0.	_	_
Критические точки: хк = 0; х2 = — У 2 ; х3 — | 2 •
Исследуем знак производной на промежутках
(~ оо ; - У Т); Ц- I/ 2~; 0); (0; /2"); (/2; 4- со).
На(— оо;— у ^2) у' = 4х(х2—2)<0 функция убывает.
На (—1^2 ; 0) у’ = 4х(х2—2)>0функция возрастает.
На (0; ]/ 2 ) у1 = 4х(х2— 2)<0 функция убывает.
На (]/ 2 ; оо) ут — 4х (х2 —2) > 0 функция воз-
растает. Точки минимума х2 — — V 2 ; х3 — |/Л2 . Соот-
ветствующие точки графика А (—у 2 ; — 4);В (|/ 2 , — 4)
Точка максимума xt = 0. Соответствующая точка
графика О (0; 0)
3.	Точки пересечения с осями: при у = 0 х4 — 4х2 = 0;
X2 (х2 — 4) =0; Xi = 0; X
Соответствующие точки
0(2; 0).
=___2- х. = 2.
графика О (0; 0); С (—2; 0);
При х = 0 у = 0.
Строим все получен-
ные точки.
Находим дополни-
тельные точки графика
£(1,-3); F(—1;—-3);
к ( •
Л \ 2	16 J ;
, (__1_.___15\
L \	2 ’	16 )
и строим график
(см. рис. 55).
Построение упро-
щается, если заметить,
что функция четная.
После того как ус-
воено исследование
функции на возраста-
ние и убывание, специ-
альное время отводит-
ся исследованию функ-
ций и построению их
142
графиков с применением понятия предела функции и про-
изводной. Схема исследования функции пополняется вы-
числением пределов функции на концах промежутков, из
которых состоит область определения функции, в связи
с чем находятся горизонтальные и вертикальные асимп-
тоты графика функции, если они существуют *.
Нам представляется полезным в связи с построени-
ем графиков функций в процессе решения задач позна-
комить с бесконечными пределами и односторонними
пределами. (Мы не считали целесообразным делать это
раньше в теме «Функции и пределы», чтобы не перегру-
жать обилием новых понятий.)
Дадим дополненную схему исследования функции.
1.	Область определения функции.
2.	Четность и нечетность.
3.	Периодичность.
4.	Пределы функции на концах промежутков, из ко-
торых состоит область определения функции. Горизон-
тальные и вертикальные асимптоты.
5.	Ограниченность сверху и снизу.
6.	Точки максимума и минимума и промежутки воз-
растания и убывания функции.
7.	Точки пересечения графика функции с осями ко-
ординат.
Построение графика функции (с вычислением, в слу-
чае необходимости, координат еще нескольких его точек,
кроме полученных ранее).
Иногда исследование удается провести не по всем
пунктам, входящим в схему. Об этом следует предупре-
дить, хотя и подбираются в основном такие примеры,
где исследование может быть проведено полностью. Во
всяком случае применение производной делает возмож-
ным во всех рассматриваемых примерах провести ис-
следование на возрастание и убывание функций.
При построении графиков функций рекомендуется
пользоваться миллиметровой бумагой.
Каждый этап исследования может потребовать не-
мало рассуждений и выкладок. Поэтому целесообразно
окончательные результаты исследования выписать на
классной доске и в тетрадях в виде краткой схемы.
* Учащимся известно понятие асимптоты, как прямой, к которой
как угодно близко приближается точка графика функции при удале-
нии ее в бесконечность.
143
Иногда такую схему можно рекомендовать записать на
миллиметровой бумаге рядом с графиком.
Разумеется, исследование функций с использовани-
ем понятий предела функции и производной проводит-
ся не только на специально отведенных этому несколь-
ких уроков. Оно продолжается на протяжении всего
дальнейшего изучения темы «Производная и ее приме-
нение к исследованию функций».
Первый пример исследования по дополненной схеме,
занимающий обычно весь урок, рассматривается учите-
лем, который по ходу дела дает нужные пояснения и
вводит новые понятия, о которых говорилось выше.
Для исследования может быть выбрана функция
г/ \ х2 — 4
y =	хг_2х_3--
1. Очевидно, функция определена при всех значе-
ниях х, при которых знаменатель не обращается в нуль.
Решаем уравнение:
х2 — 2х — 3 = 0;
Х1 = — 1; Х2 = 3.
Отсюда область определения: (—оз; —1); (—1; 3);
(3, + 00 )•
о f(   (^х)2—4 ___	х2—4 _ _l. х2 4  
(—л-)2—2(— х)-3	х2+2х—3V х2-~2х З'
__х) = -----(~*)~4	 ,	х2—4___г, ч
(_х)2_2 (—х)+3----------------------------Х2_2х—3	'
Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Докажем, что функция не является периодической.
Допустим, что функция имеет период/. Тогда
(х + /)2 — 4	_ х2 — 4
(х + /)2 — 2(х -ь 0 —3 ~	2х —3
верно-при любом значении х, в частности при х = 0, т. е.
должно быть справедливо равенство
/2 _ 4	4
/2—2/—3 — Т’
Находим значение I:
3Z2—12 = 4Z2—8Z—12; Z2—8Z=0; и так как Z^O, то Z=8.
Следовательно, должно иметь место тождество:
(х+8)2—2(<4~8)—3 ~ = х2-2х-3 ; в частности, при х = 1
144
должно иметь место равенство:
(1+8)г—4	1—4 ж 77	3
(14-8)2—2(1+8)—3 ~ 1—2—3 ИЛИ 60 — 4 ’
что заведомо неверно.
Полученное противоречие показывает, что данная
функция не имеет периода. (В дальнейшем доказатель-
ство отсутствия периодичности проводить не обязательно.
Достаточно указать, что это можно сделать точно так же,
как в рассматриваемом примере.)
4. Находим:
lim
Х-> — «
х2—4
Х2-~2х—3
= lim
Х->-—оо
Прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой,
к которой неограниченно приближается график функ-
ции при х -)—• °0;
.. ч Xs—4 с
lim -т-75—7, = lim
При х->+°° график функции неограниченно прибли-
жается к той же асимптоте у = 1.
Далее следует найти предел функции при х = — 1.
Точка х = — 1 является правым концом интервала
(— оо ;	1) и левым концом интервала (— 1; 3). Же-
лательно отдельно рассмотреть предел функции при
х -> — 1 для значений аргумента, лежащих на интерва-
ле (— °0; —1), т. е. слева от точки —1, и отдельно
для значений аргумента, лежащих на интервале (—1; 3),
т. е. справа от точки —1. Первый из этих преде-
лов мы называем пределом слева и будем обозначать че-
рез Пт /(х)	, второй назовем пределом справа и
х->—1—0
будем обозначать через lim f (х).
х->— l-j-0
Вообще, число Ь называется пределом слева функ-
ции f (х) при х, стремящемся к a (b = lim f (х)), если
х->а—0
для любого наперед заданного положительного числа е
можно указать такое положительное число б, что для
всех значений х, удовлетворяющих неравенству а — б <
<х<а, выполняется неравенство |f(x)—6|<е. (Легко
10 Заказ 314
145
видеть, что неравенство а — 6 < х < а равносильно си-
стеме неравенств < 8 и х< а.)
Аналогично определяется предел справа. Может слу-
читься, что существует только один из этих пределов
или существуют оба, но они различны. В этих случаях
обычный предел lim f(x) не существует. Если су-
х -> а
ществует limf(x) то, он, очевидно, является одновре-
х -+• а
менно пределом справа и пределом слева. С другой сто-
роны, можно показать, что если в некоторой точке пре-
дел функции слева совпадает с пределом функции спра-
ва, то их общее значение является пределом функции в
данной точке.
Итак, найдем Ит	л .
так как . lim (х2— 4) = —3,
хч~ 1—О
11m (х8 — 2х — 3) =0,
1—0
..	X2—4
то lim -т——х не существует.
Легко видеть, что при х — 1 — 0 абсолютная вели-
чина дроби неограниченно возрастает, причем числи-
тель при х, достаточно близких к —1, отрицателен, а
знаменатель при всех х <—1 положителен (квадрат-
ный трехчлен х2 — 2х — 3 положителен для значений х.
меньших меньшего корня —1 и больших большего кор-
ня 3).
Следовательно, при х, стремящемся к —1 слева,
дробь \a_2x—3~ неогРаниченно возрастает по абсолют-
ной величине, оставаясь отрицательной для х, достаточ-
но близких к —1. Этот факт мы условимся коротко за*
f. х» — 4
писывать так: lim ——„--------б = — 00 *
х— t-о	——3
Учащимся сообщается (не для обязательного запо-
минания) следующее определение.
Функция f(x) неограниченно возрастает по абсолют-
ной величине при ж->а, если для любого наперед за-
данного положительного числа р можно указать такое
положительное число 6, что для всех хфа и удовлетво-
ряющих неравенству |лг—al <8 выполняется неравенство
1Я*) I > р-
146
Аналогично определяется неограниченное возраста-
ние функции по абсолютной величине при х -> + °° ,
х -> — оо, х-+а — 0, х^а + 0.
Считается очевидным, что рациональная дробь неог-
раниченно возрастает по абсолютной величине при х -+а
(соответственно при х^а—0; х -> а4-0;х -> --р °°; х-> — °°),
если при х а (х а — 0; х -> а+0; х^ — со; х со),
предел ее знаменателя равен нулю, а предел числи-
теля существует и отличен от нуля. Учащимся по-
ясняют, что соответствующее доказательство могло
бы быть проведено.
Если при х->а(х-+а — 0; х -> а + 0) данная функ-
ция/(л) неограниченно возрастает по абсолютной вели-
чине, оставаясь положительной для значений, доста-
точно близких к ау то мы будем это записывать так:
lim/(x) = + оо (lim f (х) = + °°; lim / (х) = + <»).
лг-*а	х^а—0
Аналогично lim f (х) = - <*> (lim /(*) = — 00 ;
х~+а	х~-а—0
lim f(x) — — 00).
x-*a4-0
Так как lim -5—5-------5- =- — 00, то прямая х = — 1
х—1-о * —	~ 6
является вертикальной асимптотой. Очевидно,
lim т;——т = + °0. (График приближается к
х—14-0 х	^х — о
этой асимптоте и справа).
Аналогично находим
Пт _53~±- =_со. ijm _*3_—4	00
xTo *2-2х-3	’ 2J+0 хг —2х—3	+ ♦
Прямая х = 3 — вертикальная асимптота.
5.	Функция не ограничена ни сверху, ни снизу, так как
JJm x2^~4l3= - 00; Пт -2-5^1з = + “•
х~♦•о—и	л—
,__ 2х(х2 — 2х — 3)~-(х2 — 4) (2х — 2) _
* &	(х2— 2х—З)2
__	2х2 4- 2х — 8 _ Q х2 — х + 4
(Ж2 — 2х — 3)« ~	(х2 —2х —Зр *
X» —Х-Ь4>0 и (х2 —2х —3)а>0
при всех значениях х, значит, fz(x)<0 при всех значе-
ниях х, входящих в область определения функции. Та-
ким образом, данная функция не имеет точек минимума
и максимума и убывает на каждом из промежутков
(.-оо;	(-1; 3); (3; + « ).
10*
147
Следует заметить, что исследование на возрастание
и убувянуе проводится отдельно на каждом из проме-
жутков, из которых состоит область определения функции.
7. Находим точки пересечения графика функции с
осями координат. Чтобы найти точку пересечения гра-
фика функции с осью ординат, полагаем х = 0. Полу-
чаем:	Искомая точка A [q. -у] • Чтобы найти
точки пересечения графика функции с осью абсцисс,
полагаем у « 0. Получаем:
‘•-4 = 0; ^= + 2.
Искомые точки: В (—2; 0) и С (2; 0). Полезно прове-
рить, пересекается ли график с асимптотой у = 1. При
у = 1 получаем:
—х3-4=Л3-2х-3; 2х-1=0;хЦ.
Искомая точка D ; 1) .
Дополнительные точки графика находим в процессе
построения графика по мере надобности. Строим график
функции (см. рис. 56). Начинаем построение с провв'
дения асимптот. Затем строим точки пересечения гра-
Рис. 56
148
фика с осями координат. Далее на каждом из проме-
жутков находим две-три дополнительные точки и строим
соответствующую ветвь графика функции.
На промежутке (—оо ; — 1) строим, например, допол-
нительные точки с абсциссами х = — 4 и х =-х-.
п V л —	16 — 4	4
При х —	4 у — 16 + з__3 — 7 •
При Х =-----~ у = — 2-'
Искомые точки: Е( — 4;-у-};
Строим соответствующую ветвь графика, учитывая,
что lim f(x) = 1, lim f(x) — — co .
X->-—oo	X->—1—0
На промежутке (— 1; 3) строим дополнительные точ-
л	1	5
ки с абсциссами х —----х- м х =	.
ла	i
При х =-----1- у = 2 у-.
При х= 2-	—
При х = 1 у = А .
Искомые точки: К (-----; 2 -=-) ; Q I ;
\	“	/ I	\	* }
Строим соответствующую ветвь графика функции,
учитывая, что lim f (х) = + 00 и lim f (х) — — оо.
х->—1+0	х-З-О
На промежутке (3, + оо) строим дополнительные точ-
ки, например, с абсциссами х = 3-1-;х=4; х=6. Получаем:
Прих=3-у- у = 3-2-.
При х =4 у = 2 А .
„ „ ,11
При. X = 6	у = 1 -ХТ- .
149
Искомые точки: Ml 3 -х- ;
\
Строим соответствующую ветвь графика, учитывая,
что lim f (х) = 4- о° и lim /(х) = 1.
В дальнейшем учащиеся дома и в классе самостоя-
тельно проводят исследование функций и построение их
графиков сначала для сравнительно простых, а затем и
для более интересных случаев.
Самый простой случай, когда встречаются введенные
в предыдущем примере новые понятия — хорошо знако-
А 1
мая функция у = — .
Учащиеся легко проводят ее исследование по рассмат*
риваемой схеме.
1.	Область определения (— оо ; 0); (0 ; + <ю) •
2.	Функция нечетная.
3.	Функция не является периодической.
4.	Пт — — 0; lim — = 0.
Л—со X	’х-Н-оо X
у = 0 — горизонтальная асимптота.
1-1	п 1 I
lim — = —оо; lim — = + оо .
О Х	х->0-|-0 х
х ~ О — вертикальная асимптота.
5.	Функция не ограничена.
6.	у' =----. Производная существует при всех зна-
чениях х, отличных от нуля (т. е. всюду в области опре-
деления данной функции). у' < 0 при всех значениях х и
точек экстремума нет. Однако из неравенства у' < 0 еще
нельзя сделать вывод об убывании функции, так как со-
ответствующее условие формулируется для функции, не-
прерывной на промежутке, а область определения дан-
ной функции не является промежутком.
На каждом из интервалов (—'оо ; 0) и (0; + оо ) функ-
ция непрерывна и, следовательно, из того, что у' < 0, сле-
дует, что функция у = •— убывает на каждом из этих
X
промежутков в отдельности.
7.	График функции у = — хорошо знаком учащимся.
X
150
Все рассмотренные свойства могут быть проиллюстриро<
ваны на нем (см. рис. 57).
Вполне самостоятельно учащиеся могут провести и
1
исследование функции	при котором также
встречаются вновь введенные понятия пределов слева и
справа и бесконечных пределов.
1. Область определения функции (—оо;
2.	Функция четная.
3.	Функция не является периодической.
4.	lim т- 1 „ = 0 ; lim . 1 -- = 0.
у — 0 — горизонтальная асимптота.
П	1	1.	1
lim i----z = — оо ; lim -----= -4-
x—i-o 1 — *	.г—Ж 1 — xa
x = — 1 — вертикальная асимптота.
i-	1	।	i-	1
lim 7-----=+<эо; lim --------
х — 1 — вертикальная асимптота.
151
5.	Функция неограниченная.
a f	1 о
У = 7гЖ 1\2 ’2*^ = / v2
Ищем критические точки.
Так как производная существует во всех точках обла-
сти определения функции (т. е. при х — 1; х =# 1), то
достаточно решить уравнение
откуда Хо — 0 — единственная критическая точка.
При х < 0 у' < 0, при х > 0 у’ > 0, следовательно, в
точке Хо = 0 функция имеет минимум. Соответствующая
точка графика А (0; 1).
Функция непрерывна на каждом из интервалов (— оо;
— 1); (—1; 1); (1; +оо).
Учитывая знак производной, получаем, что на интер-
вале (—оо; —1) функция убывает, на полуинтервале
(—1; 0] — убывает, на полусегменте [0; 1)—возрастает
и на интервале (1; + оо) — возрастает.
7. Очевидно, что график функции не пересекает ось
абсцисс. Точка пересечения с осью ординат А (0; 1) уже
была получена ранее. При построении графика учитыва-
ются все обнаруженные свойства функции (четность, пре-
делы на концах промежутков и т. п.).
Дополнительно
С(2;----L); £>(3;
Одновременно с этими точками наносим на график и
симметричные им точки (см. рис. 58).
Интересно исследование функции у = "гХТ >
график которой уже строился при введении предела функ-
ции при х-> + оо (см. рис. 16).
1.	Область определения (— со ; + оо ).
2.	Функция четная.
3.	Функция не является периодической.
л п х* + 2	, ,. Xs + 2	1
4.	11m . т-J - 1; lim = 1.
r , X* + 1	х« + 1
л—►—00	Л—>1^00	'
у = 1 — горизонтальная асимптота.
152
х2 4- 2
5.	T g > 1 — функция ограничена снизу.
х2 4- 2
"m = 1 "I-----2дЛ ^-2—функция ограничена сверху.
Функция ограниченная. Ее график лежит в полосе
между прямыми у — 1 и у = 2.
Рис. 58
,___2х (хг + 1) — 2х («г + 2)_____ 2х
~~	(Хг + 1)2	~ — (Х« + 1)2 •
Так как производная существует при всех значени-
ях х, то критические точки находятся как корни уравнения
Единственная критическая точка х0 = 0.
При х < 0 / > 0; при х > 0 у' < 0.
В точке х0 = 0 функция имеет максимум. Соответству-
ющая точка графика А (0; 2).
7. Строим график функции (см. рис. 16).
Рассмотрим еще несколько примеров исследования
функций, с которыми учащиеся справляются самостоя-
тельно или с небольшой помощью. (В большинстве слу-
чаев мы приводим только окончательные результаты ис-
следования, записанные в виде схемы.)
У — f (х) = 2 х2 — х4 — 1.
153
1.	Область определения (—оо; + оо).
2.	Функция четная.
3.	Функция не является периодической.
4.	lim /(*) = — оо; lim /(*) = —оо . Вертикальных
X—►—со	X—*4“ 00
и горизонтальных асимптот нет.
5.	Функция не ограничена снизу.	—функция огра-
ничена сверху. (г/^0,таккаку = 2х2—х4—1 = — (х2—I)2.)
6,	Функция имеет максимум в точках х = — 1 и х =1
и минимум в точке х = 0.
Соответствующие точки
1 графика: А (—1; 0); В (1; 0);
' С (0; -1).
На промежутках (—оо;—1)
Т и (0; Г) функция возраста-
ет; на промежутках (—1; 0) и
(1; + оо ) —убывает.
7. Точки пересечения гра-
фика функции с осями коор-
динат: А (—1; 0); В (I; 0);
С (0; —1). (В первых двух
точках график касается оси
абсцисс.) График функции
смотрите на рисунке 59.
х2 — 1
1.	Область определения функции (— оо ; + оо).
2.	Функция четная.
3.	Функция не является периодической.
л f. X2 — 1	1 п X2 — 1 t
4.	lim г = 1; 11m	= 1.
X-<— a>*	'	'
у = 1 — горизонтальная асимптота.
5.	у <1; у >— 1 — функция ограниченная.
6.	В точке х = 0 функция имеет минимум. Соответству-
ющая точка графика А (0; — 1).
На промежутке (—оо;0) функция убывает, на проме-
жутке (0; + со ) функция возрастает.
7.	Точки пересечения с осями координат: В (— 1; 0);
С (1; 0); А (0; - 1).
154
График функции смотрите на рисунке 60.
_ х2 -F х 4-1 _
& х2 — х 4-1
1.	Область определения функции (— оо; + оо ).
2.	Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.	Функция не является периодической.
4.	lim у = 1; lim у = 1.
у = 1 — горизонтальная асимптота.
Вертикальных асимптот нет.
5.	У>0; у^З—функция ограниченная *.
6.	В точке х=—1 функция имеет минимум; в точке
х = 1 — максимум.
Соответствующие точки графика А (— 1;В (1; 3).
На промежутке	—1] функция убывает; на
[—1; 1] — возрастает; на [1; + оо)—убывает.
7.	Точка пересечения с осью ординат С (О, I). Допол-
нительные точки D \2, -^-1; Е | — 2,	.
График функции смотрите на рисунке 61.
х
I.	Область определения функции ( — о? ; + оо).
2.	Функция нечетная.
* Доказательство неравенства у < 3 может оказаться затруд-
нительным для учащихся. 4
155
3.	Функция не является периодической.
4.	Нт 14775 = 0; lim = 0:
X-»— Ot> ' Л	Х->4~00	‘
у = 0 — горизонтальная асимптота.
5.	у >-------------------функция ограниченная.
£ £
6.	У' ~ (1 ’4I *а)г • ПРИ х = — 1 функция имеет ми-
нимум, при х — 1 — максимум. Соответствующие точ-
ки графика А (—1» —§-); Bfl, . На проме-
жутках (— оо, —1] и [!, + «>) функция убывает, на
сегменте [— 1, 1] — возрастает.
Рис. 62
7. Точка пересечения с осями координат О (0; 0). Дру-
гих точек пересечения с осями координат нет.
График смотрите на рисунке 62.
—Зх + 2
У ~~ х1 — 4к + & '
156
1.	Область определения функции (—оо; 1); (1; 3);
(3; + со ).
2.	Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.	Функция не является периодической.
lim
JC-* — «О
х2 — Зх -F 2
х2 — 4x4-3
lim
<»
х2 — Зх 4- 2
х2 — 4x4-3
у = 1 — горизонтальная асимптота.
х2 — 3x4-2	v (х — 1)(х— 2)	п	х—2	1
—;—-л—г?- = ит -7-----гл?--от = Нт---5- = -5-;
х2 —4x4-3	— ОС* — 3) joi-o *—3	2
lim
—1-0
lim
Отсюда lim
lim
jr-»3—0
X2 — Зх 4- 2
х2 — 4х + 3
lim
х—>34-0
2 ’
х2 — 4х 4- 3
х = 3 — вертикальная асимптота.
5. Функция не ограничена.
а _ (2х — 3) (х2 — 4х 4- 3) — (2х — 4) (х2 — Зх 4- 2)
°* У	(х2 — 4х 4-З)2
__ — х2 4- 2х — 1 _ (х — I)2	_	1
(х2 — 4х — З)2 —'	(х — 1)2 (х — 3)2 (х — 3)2 ’
у' < 0 при всех значениях х, входящих в область опреде^
ления функции. Функция убывает на каждом из проме-
жутков (— оо ; 1); (1; 3); (3; 4-<*> ).
7. у = 0 при х = 2. В точке А (2; 0) график функции
пересекает ось абсцисс.
При х = 0 у . В точке В ^0; -yj график функ-
ции пересекает ось ординат. Находим еще точки графика:
С(4;2); Г(5;4-); ff-l.-A).
Так как lim и = 4- , то график можно проводить через
X—1	2
/1 1 .
точку (I; ~2~), а затем стрелками показать, что эта точка
не принадлежит графику (см. рис. 63).
у = Зх4— 16х3 + 30 х2 —24x4- 1.
1.	Область определения (— 00; + °0)-
2.	Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.	Функция не является периодической.
157
4.	lim (Зх4 — 16л3 4- 30ха — 24х + 1) = + °о .
X—— о>
lim (Зх4 — 16х3 + ЗОх2— 24х + 1) = + оо .
х—4-<я
5.	Функция не ограничена сверху. Ограниченность сни-
зу может быть установлена после исследования на воз-
растание и убывание.
6-/ = 12х3 — 48х2 + 60х —24 = 12 (х3 —4х2 + 5х —
—2) = 12[(х3— 1) — (4х2 —4х) + (х— 1)] = 12(х — 1)
(х2 + х + 1 — 4х + 1) = 12(х — 1) (х2 — Зх + 2) =
= 12 (х—I)2 (х —2).
Находим критические точки: 12(х—1)2(х—2)=0;
*1 = 1; *2 = 2.
При х< 1 /<0;
при 1 <х<2 «/<0;
при х>2 #'>0.
В точке Xi = 1 функция не имеет экстремума (но ка-
сательная к графику параллельна оси абсцисс, так как
у' = 0). Соответствующая точка графика А (1; —6).
В точке Хг = 2 функция имеет минимум. Соответству-
ющая точка графика В (2; — 7).
7. При х = 0 у = 1; соответствующая точка графика
С (0, 1). Точки пересечения графика с осью абсцисс уча-
158
уравнение х3 — 3 х2 4-
щиеся найти не могут» так как не умеют решить данное
уравнение четвертой степени.
Находим точки графика D (3; 10), Е (— 1; 74).
График смотрите на рисунке 64.
Уже при построении графиков
функций, в частности при реше-
нии последнего примера, замеча-
ем, что график функции позволя-
ет судить о корнях уравнения, ле-
вой частью которого является
соответствующая функция. В рас-
смотренном примере точки пере-
сечения графика с осью абсцисс
не были найдены, так как уравне-
ние 3 х4—6 х3+30 х2—24 х +1 — 0
учащиеся решить не могут. После
построения графика можно сде-
лать заключение, что данное
уравнение имеет два действитель-
ных корня, которые, по-видимому,
приближенно равны 0,1 и 2,8.
' Таким образом, построение
графика функции может быть ис-
пользовано для приближенного
отыскания корней соответствую-
щего уравнения. На специально
выделенном уроке этот вопрос
робнее.
Решим, например, графически
+ 1 = 0. Исследуем функцию у = х3 — Зх2+1 и постро-
им ее график.
1.	Область определения ( — оо ; + 00 ).
2.	Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.	Функция не является периодической.
4.	lim (х3—Зх2 + 1) = —оо; lim (х3—Зх’+1)=+оо.
X ОО	•*•-*+ «
5.	Функция не ограничена.
6.	</= Зх2 — 6х = 3х(х— 2). Решаем уравнение
Зх(х— 2) = 0;%1 = 0; х% = 2.
При х<0 />0;
при 0<х<2 /<0;
при х>2 у'>0.
159
Xj = 0 — точка максимума; соответствующая точка
графика А (0; 1); х2 — 2 — точка минимума; соответству-
ющая точка графика В (2; —3). На промежутке (— оо;
0] функция возрастает; на промежутке [0; 2] функция
убывает; на промежутке
, 9	[2; + оо) функция воз-
у у=х -Зх ♦/ растает.
Рис. 65
7.	Л(0; 1)—точка пе-
ресечения графика с осью
ординат.
Находим дополнитель-
Т но точки графика:
С (-1; -3); D (1; -1);
Е (3; 1); F (4; 17). Гра-
фик смотрите на рисунке
65.
Используя график
функции у = х3—3 х2+1,
находим приближенно
значения корней уравне-
ния х3—Зх2+1=0.
Xi « — 0,5; х2 0,6; х3 2,8.
Можно показать, как уточнить полученные прибли-
женные значения корней. (Удобнее всего, на наш взгляд,
использовать метод хорд.) Рассмотрим первый корень
х\ — 0,5.
При х=—0,5 f(—0,5) ~0,13.
Так как на промежутке (—оо, 0) функция возрастает,
то истинное значение корня х{ меньше, чем (— 0,5).
Найдем значение функции при х=—0,6; f (—0,6) —
—0,29. Таким образом, —0,6<Xi<—0,5. Приближен-
ное значение с одним десятичным знаком получено нами
по графику достаточно точно. Чтобы получить более точ-
ное значение корня хь часть графика, соответствующую
интервалу (—0,6; —0,5), заменяем отрезком прямой,
соединяющим точки графика (—0,6; —0,29) и (—0,5;
0,13), и вычерчиваем в увеличенном масштабе на милли-
метровой бумаге (см. рис. 66,а). Точка пересечения этого
отрезка с осью абсцисс определяет более точно значение
корня Хь Получаем х——0,54.
160
Чтобы проверить полученное значение корня, можно
вычислить f (— 0,54) — —0,03 *. Мы видим, что значение
при х — —0,54 очень мало отличается от нуля. Истинное
значение Х\ больше, чем —0,54. Находим f (—0,53) = 0,09.
Мы видим, что — 0,54 < Xi < — 0,53.
Приближенное значение xi = —0,54 с двумя знаками
достаточно хорошее. Если нужно, дальнейшее уточнение
приближенного значения корня можно производить ана-
логичным образом.
Уточним значения остальных корней: f (0,6) ~ 0,135.
На промежутке (0; 2) функция убывает х2 > 0,6; f (0,7)
« — 0,129; 0,6 <х2< 0,7. Поступая аналогично предыду-
щему, получаем х«0,65 (см. рис. 66,6).
f (2,8) ~—0,57. На промежутке (2, 4- <х) функция воз-
растает; хз>2,8; f (2,9)—0,16. Используя чертеж (66в),
получаем 2,88.
Рис. 66
* В дальнейшем для экономии времени такую проверку мож-
но не проводить.
11 Заказ 314	161
При графическом решении уравнения f (х) = 0 иногда
бывает удобно записать это уравнение в форме <$(х) =
=ф(х). Например, уравнение х5—2х2+-1 =0 можно напи*
сать в форме х5=2х2—к, а затем в одной и той же сис->
теме координат построить графики функций у = х5 и у —
=2х2----5-(см. рис. 67). Абсциссы точек пересечения
этих графиков представляют собой искомые корни урав-
нения х5 = 2х2—Их находят приближенно по графи-
ку. Дальнейшее уточнение производят так же, как в пре-
дыдущем случае.
162
На графическое решение уравнений проводится при-
мерно следующая самостоятельная работа. Решить гра-
фически на миллиметровой бумаге уравнения:
1. х4 — 4х— 1 = 0.
2. х4 — 2х3 + 9х2— 12х + 3 = 0.
Первый пример решается первым способом, второй
пример — вторым способом (см. рис. 68 и 69).
§4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО
И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
После двух-трех уроков, специально посвященных ис-
следованию функций и построению их графиков, можно
перейти к решению задач, связанных с нахождением наи-
большего и наименьшего значения функции. В дальней-
шем такие задачи решаются параллельно с исследовани-
ем функций и построением их графиков.
Учащиеся хорошо себе представляют, что максимум
функции и ее наибольшее значение — это различные no-
il*	163
нятия (соответственно минимум функции и ее наимень-
шее значение)*
Теперь следует обратить внимание на то очевидное об-
стоятельство, что если функция, определенная, например,
на интервале (а; 6), имеет единственную точку максиму-
ма с и на всем промежутке (а; с] функция возрастает, а
на промежутке [г; Ь) убывает, то ее значение в точке
с является наибольшим ее значением. (Аналогичное об-
стоятельство имеет место для функции, определенной на
сегменте [а; 6], полусегменте [а; 6] или полуинтервале
(а; &].) Точно так же, если функция, определенная на
промежутке <а; &>, имеет в точке с единственную
точку минимума и на промежутках <а, с> и <с, 6>
соответственно убывает и возрастает, то ее значение в
точке с является ее наименьшим значением.
Указанные положения позволяют применять исследо-
вание функции на минимум и максимум для нахождения
ее наибольшего или наименьшего значения, что может
быть использовано при решении практических задач.
Приведем примеры решения таких задач в школе.
Задача. Имеется 480 м проволоки. Этой проволокой
требуется огородить в три ряда прямоугольный участок
земли так, чтобы площадь участка была наибольшей.
Найти длину и ширину такого участка.
Чтобы решить задачу, площадь участка нужно пред-
ставить как функцию одного аргумента, например как
функцию длины участка. Обозначим длину участка через
х. Выразим через х ширину участка у.
Так как периметр участка равен 480 лг.3= 160 jw, то
У =	= 80—х (м). В таком случае площадь участ-
ка S(x)=(80—х)*х (м2). Область определения получен-
ной функции S(x) представляет собой интервал (0; 80),
так как х>0 и 80—х>0.
Находим наибольшее значение функции S (х):
S(x)=80x—х2; S'(x) =80—2х; 80—2х=0; х=40.
На интервале (0; 40) 5'(х)>0, значит, функция воз-
растает. На интервале (40; 80) S'(x) <0, и, значит, функ-
ция убывает. При х = 40 5(х) имеет максимум, значит, и
наибольшее значение. Итак, прямоугольный участок бу-
дет иметь наибольшую площадь, если его длина х=40 м
и ширина у = 80 м—40 л< = 40 м. (Участок в этом случае
имеет форму квадрата.)
164
Рис. 70
Задача. Из прямоугольного листа жести 3X5 дм2
нужно изготовить коробку (без крышки), вырезая по
углам равные квадраты и загибая края листа. Какова
должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объ-
ем коробки был наибольшим?
Сторону вырезаемых квадратов
обозначим через х (см. рис. 70). Тог-
да площадь основания полученной ко-
робки равна (3—2х) (5—2х) дм2, а
высота ее равна х дм, объем ti(x)
полученной коробки равен (3—2х)X
з
X (5—2х) х дм3. Очевидно, х>0 и х<-^.
Область определения функции о(х)—интервал 10,
v (х) = 4х3 — 16х2 4- 15х;
v'(x) = 12х2- 32х ч- 15;
12х2 — 32х+ 15 = 0;
_ 16 ± у256—180	8 ± /19* .
Х~ 12 в 6
х2 не принадлежит интервалу (0; у! .
/ з \
Производная обращается в нуль на интервале ^0; yj
g_____________________1/^19
только в точке xt =---g— ~ 0,6. При х = х, v (х)
принимает наибольшее значение. (При 0 < х < xt
з
ф'(х) > 0; При xi <Х < у < *2 *'(х)<0 по свойству
квадратного трехчлена 12х2 — 32х+15.)
Итак, сторона вырезаемых квадратов равна
х1^ 8~4--^0,6 (дм).
Задача. Требуется изготовить сосуд без крышки в
форме прямоугольного параллелепипеда с квадратньш
основанием емкостью 32 л. Каковы должны быть разме-
ры сосуда, чтобы на его изготовление пошло возможно
меньше материала?
165
Сторону основания обозначим через х, тогда высота
.	32
сосуда л= — .
128
Площадь поверхности сосуда S(x) — х2+4/гх=х2+ — .
Л
Эта площадь должна быть наименьшей. Область опреде-
ления функции S (х) — интервал (0; + оо).
—=0;
Л	А*	А*
значение S(x) принимает при х=4.
Ответ. Сторона основания сосуда должна быть рав-
на 4 дм, высота 2 дм.
Задача. Требуется изготовить из жести закрытый
сверху и снизу цилиндрический бак вместимостью в 60 л.
При каких размерах бака на его изготовление пойдет
возможно меньше материала?
Требуется, чтобы полная поверхность бака была
наименьшей. Обозначим радиус бака через х и выразим
полную поверхность бака через х. Высоту бака h нахо*
дим из равенства = 60 (Ли3); h = —— .
60
Полная поверхность S (х) = 2кх2 2кх* = 2кх2 +
120
-4---. Область определения функции S(x)— интервал
АГ
кх8 —30
о/ / \	а 120
S (х) = 4кх---- = 4-
\ /	д.2
л кх3 — 30 п кх8 — 30 п
4 •—^ = 0;^~ = °;
Легко видеть, что
а на интервале
функция S(x) принимает наименьшее значение.
. 60
При этом п — ~/ Зг-5л\г
60»
900 л
166
Ответ. Радиус основания у ~дм, высота 2у -~дм.
Поверхность бака будет наименьшей,
его равна диаметру основания.
Задача. Окно имеет форму прямо-
угольника, завершенного полукругом, пе-
риметр фигуры окна равен 6 м. Каковы
должны быть размеры окна, чтобы
оно пропускало максимум света?
(См. рис. 71.)
Требуется, чтобы площадь окна была
наибольшей. Обозначим основание окна
через х и выразим площадь окна через х.
Чтобы найти h, воспользуемся равенст-
когда высота
вом' х 4- 2h 4- я =6; Л = 3------------------------------.
*	2	2	4
Отсюда площадь окна S(x) = hx 4- я• -g- — Зх—--
“"7" + -г = Зх — —~t~4 -х2. Чтобы найти область оп-
4 о	о
ределения функции 5(х), учитываем, чтох>0 и
Л>0, т. е. 3--^-^>0;-^±^ <3; х<
Область определения функции S (х) — интервал
(°;	: s'(*) “ 3-	* з - -^-^ = 0; * =
12 п	12	.
= -кт~4  Легко проверить, что при х ~ -- функ-
ция имеет наибольшее значение. При этом Л = 3 —
_ 12________Я. 12	6
2 (к 4- 4)	4 (тс 4- 4)	тс 4~ 4
Основание окна должно быть равно —4 я. высо’
та прямоугольной части окна равна	(высота
прямоугольной части окна в два раза меньше осно-
вания окна).
Задача. В треугольник с основанием а и высотой h
вписан прямоугольник так, что одна сторона его лежит
на основании треугольника, а две вершины — на боко-
вых сторонах треугольника. Доказать, что наибольшая
площадь прямоугольника равна 	-- (см. рис. 72).
167
Основание прямоугольника обозначим через х, а его пло-
щадь через S(x). Найдем наибольшее значение
S(x). Составим формулу, выражающую функцию
S(x) через х, для чего выразим через х высо-
ту прямоугольника у. Из подобия треугольников
АВС и AKL получаем	, откуда у =
следовательно, S (х) = ху — xh^a.~xY = hx—— ха.
Область определения функции S(x)—интервал (0, а):
5'(Х)=Л--^.Х;Л-^Х=°; Х = ±-.
Легко проверить, что при х = S (х) принимает
наибольшее значение.
Таким образом, наибольшее значение площади впи-
санного прямоугольника равно S
/ а \ « a	h
V~2J “	"2	а
а*   ah
Х"4	Г *
Задача. Известно, что прочность балки с прямо-
угольным сечением прямо пропорциональна ширине и
квадрату высоты сечения. Найти размеры сечения бал-
ки наибольшей прочности, которую можно выпилить из
круглого бревна, имеющего наименьший диаметр в
d сантиметров.
Обозначаем ширину сечения через х (см. рис. 73).
Тогда высота сечения h = V d2— х2 . Прочность балки
Q выразим через х, учитывая, что она пропорциональна
Рис. 73
AOd
168
ширине и квадрату высоты. Коэффициент пропорци-
ональности обозначим через k (см. рис. 73):
Q (х) — kxh2 = kx (d2 — х2) = kdzx —kx*.
Область определения функции Q(x)—интервал
(О, d).
Q' (х) =* kdz — 3Ax2; kdz — ЗАх2 = 0; d2 - Зх2; x = ±	.
На интервале (0, d) лежит только корень уравнения
/3
d
при < х < d Q' (х) < 0;
Г 3
При х = функция Q(x) имеет наибольшее зна-
чение на интервале (0, d) .
Ответ. Балка будет наиболее прочной, если шири-
d
на ее равна , а высота равна .
Задача. Внутренняя поверхность бака с квадрат-
ным основанием без крышки равна 108 дм2. Каковы
должны быть размеры бака, чтобы его объем был наи-
большим?
Сторону основания обозначаем через х. Высоту ба-
ка h находим из уравнения х2 + 4 hx =108, откуда
.	108 — х*
Л = —-А----.
4х
Объем бака v(x) =* xzh = х2> —°д~— = -5-(1О8х—х3).
Область определения функции v(г)— интервал
(0; 6 |3), так как х>0 и 108 — х2>0, т. е.
х </108 - 6 У3~.
*'(*) = тг (108 - Зх’)’ "Г (108 - Зх’) “ 0 >
108 — Зх2 = 0; х = ± 6.
Области определения функции принадлежит только
один корень рассматриваемого уравнения Xi=6. Легко
видеть, что для интервала (0; 6) f'(х) >0, а для интерва-
169
ла (6; 6У З) f(x)<0. Прих=6 и(х) принимает наиболь-
шее значение. При этом Л= - , а— =3 (Ли).
Искомые размеры бака: 6x6x3 (дм3).
Задача. Из листа жести шириной а требуется со-
гнуть открытый желоб так, чтобы поперечный разрез
его имел форму трапеции, у которой AB=BC=CD=-^-a.
Какое значение надо придать углу <р, чтобы вместимость
желоба была наибольшей? (См. рис. 74).
Вместимость желоба будет наибольшей, когда пло-
щадь поперечного сечения его будет наибольшей. Нахо-
дим площадь поперечного сечения как функцию угла
ф=л—<р:
АВ = ВС = CD = а;
BK±AD- CL_LAD-
h = ВК = -4- a sin Ф.
о
LD — АК = Ла cos ф;
О
2
AD = a cos Ф + -г- а = -5- а (1 + 2 cos ф).
О	ОО
гт	о /1 \ AD -J- НС t
Площадь поперечного сечения о(ф) = —5----------п =
— а(1 -f- 2 cos ф) +	а .	.
= —---------=----------. asin^=-g-a2sin ф(1+со$ф)=
л.	О	У
— Л- аг sin ф +	as sin 2 ф .
170
Область определения функции 5 (ф) — интервал
.2	1	К
(0; -у- IVI так как при <р желоба не получится.
$'(Ф) = cos ф + -^a2cos26 =-i-a2 (cos<p + cos2<p) =
ч/	w
2 ,	36	6
= -g-fl8 COS —2s— cos -y ;
2 „	3 ф	ф n 36 Фл
a8 cos —J- cos = 0; cos —5- cos — = 0.
У	L	£	£	L
Общее решение тригонометрического уравнения
cos -у- cos -%- = 0 имеет вид: Ф = —у -f-	, где k —
целое число. Легко видеть, что только при 4 = 0 мы
получаем корень уравнения ф0 =	, принадлежащий
области определения функции.
На интервале (0;-^-1 0<ф<-^-;
cos-i->0; 0<4г <-у! cos-^->0; £'(ф)>0.
г»	л п 2к\к.,^2 г, . Ф . л
На интервале (-у ; -у-) —<ф<-уГ;_<-1-<^-;
cos4->0;	< -|-ф <я; COS —у- <1 0; 5'(Ф)<°-
/ 2л \
Функция 5(ф) принимает на интервале (0; —о—)
наибольшее значение при ф0 = -у..
Ответ. Вместимость желоба будет наибольшей,
.	я 2
когда угол <р0 равен л—ф0 — « —у = у«.
S 5. ВЫВОД ФОРМУЛЫ БИНОМА НЬЮТОНА
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Как уже говорилось, вывод формулы бинома Ньютона
рассматривается как пример применения понятия произ-
водной в алгебре.
Учащимся сообщается, что во многих вопросах мате-
матики бывает важно уметь представить выражение
(а+х)я, где п — натуральное число в виде до го члена:
'	171
С первых шагов изучения алгебры они встречались с ча-
стными случаями соответствующей формулы при п=2 и
п=3 и их применениями.
Соответствующая формула, позволяющая записать
(а+х)" в виде многочлена, получила название формулы
бинома Ньютона. При выводе формулы внимание уча-
щихся обращается прежде всего на то, что (а+х)п, пред-
ставляя собой произведение п двучленов (а + х), являет-
ся многочленом степени п относительно х и содержит
(п+1) членов.
В общем виде можно написать:
(а + х)" — с0 + схх + с2х2 + с3х3 + .
+ Сп_\Хп~' + СпХя .
(0)
Полагая х=0, получаем с0=ап.
Чтобы найти коэффициенты й, с2, с3, . . ., cn-i, сп, ис-
пользуем то обстоятельство, что в левой и правой частях
записанного равенства стоят тождественно равные функ-
ции, и, следовательно, производные их тождественно рав-
ны. Беря производные от левой и правой частей, получаем
тождество:
п (а + х)"-1 = 1 -с, -|- 2сгх + 3csx2 + . . . +
+ (П — 1) Сп-1 Хп~2 + ПСлХ"-1 .	(1)
Полагая здесь х=0, получаем С[=пап~1. Мы снова
можем взять производные от обеих частей тождества (1)
и получим тождество:
п(п—1)( а + х)л-2 = 2с2 + 3-2с3х + . . . +
+ (п — 1) (п — 2) c„-i хя~3 + п (л — 1) спхя~2. (2)
Полагая х = 0, имеем с2 = —1— ап~2. Далее:
Л •
л(п—1)(п — 2)(а + х)"-3 = 3-2-1-с3 + . . .+
+ (п— 1) (л—2) (л—3) сп-1 хл~4 + п (л—1) (л—2) сяхл-3. (3)
Полагая х = 0, получаем с3 =	—— ал-3.
Берем производные от обеих частей тождества (3):
л (л •— 1) (л — 2) (л - 3) (л + х)"-4 = 4-3-2-1-с4 +
+ 5-4-3-2.с5х+. . .+(n—1) (п—2)(л—3)(л—4)ся_1х”-5+
+ п(п— 1)(л — 2) (л - 3) слх"-4.	(4)
172
л	n(n— 1)(л — 2) (я — 3)	„ д
Отсюда при х — 0 имеем	—---------Рп „ /--— ал-4.
Если мы повторим процесс перехода к производным k раз
(k^n), то слева, на месте (а+х)лмы получим п(п—1)Х
X (п—2) - - - [п—(k—l)](a-f-x)n~fe, так как каждый раз при
переходе к производной показатель степени при (а 4-х)
уменьшается на единицу, а в коэффициенте появляется
новый множитель, равный прежнему показателю сте-
пени. В частности, при k=n слева получается выражение:
п(п—1) (п—2) .,. [п—(п—1)](й4-х)п~п =
= п(п—1) (п—2) . .. 2-1.
В правой части тождества при повторении процесса
перехода к производным k раз все члены, содержавшие
х в степени, меньшей, чем kt очевидно, обратятся в нуль.
Член ckxk обратится в k(k—1) ... 2 • 1 • а члены, содер-
жавшие первоначально х в степени, большей, чем k9 все
еще будут содержать х в какой-то степени.
Таким образом, после fc-кратного перехода к произ-
водным получаем:
п (п—1)(п —2). . . \п — (k— !)](#+ х)л~А =
= k(k— 1) • . . . -2.b^ + (jfe+ 1)А(£- 1)* . . . -2сжх +
+ . . . -\-п(п — !)• . . . -[п— (k —
Полагая х=0, получаем ck = 3—ьз-З-——~а k-
Эта формула справедлива при k = 1, 2, 3, . * . , п.
D	п(п— 1)-...-2	п(п—1)-...-2-1
В частности, сл-1=-7^5-5—ггя; сп	?—п— •
(Разумеется, выражения для сл_1 и сп можно упро-
стить, но мы пока этого не делаем, так как желаем
получить общую формулу.) Подставляя полученные
значения коэффициентов с0, q, с2,. . . , сп-л, сп в фор-
мулу (0), получаем формулу бинома Ньютона в сле-
дующем виде:
(а -|- х)п = ап + п ап~хх 4- Лал~2 х2 +
+ -\.2(з ~2)^~3^+- • .+я(и-'?;2?7'[п7(й~1)1ап-*^+
.	. п(п— 1). ...• 2.1	,,
+ . . . 4---у о-<--------хп . Мы видим, что член,
173
содержащий xb, содержит множитель аа~ь и коэффи-
циент при an~b хк в этом члене равен
л(л—!)•... -[n — (k- 1)]
12-...-ft
Обозначим этот коэффициент через Вк.
D п(п— !)•... -л[л— (k— 1)]
1-2- . . . -А
Для большей общности коэффициент 1 при ап
обозначим через Во. Коэффициенты Во, Blt . . . , Вп
в разложении бинома (а + х)п называются биноми-
альными коэффициентами. Для удобства записи вво-
дится обозначение А! для произведения k чисел
1,2, .. ., А, т. е. 1*2... А = А! (читается А - факто-
риал). Иногда обозначают 1 = 11 Тогда Вк =
в и (л — 1)-... .[n—(h — I)] прИ £ = ] д , п. В частно-
К1
п п г> п(п—1) п п(п—1)(п — 2)
сти, = — ; В2 = -	, ; В3 =	----- , ... ;
д _ л(л—>)• ... -2 _ д _ л(л— !)•... 21 _ |
°п ~1 (и — 1)! П' °п	л!	1 •
Мы замечаем, что Вп = Вй— 1; Вп -1 = Вк. Докажем,
что и вообще Bn-k — Bk, т. е. что коэффициенты чле-
нов, одинаково отстоящих от концов разложения би-
нома Ньютона, равны. Для этого преобразуем выра-
жение для Вк.
D _ П(п — 1)< .. . -[л — (k— 1)]	4
------------А!----------=
=л(л— !)• ... • [л-(А—1)1 -(л—ft) [л—(ft + 1)|.... -21 _ п!
А! (л — А) [л — (ft + 1)]. ... • 2-1	“ k!(n—k)!‘
Найдем теперь Вп_к, подставив в полученное вы-
ражение п — А вместо А.
п!
п!
(л — к)! [л — (л — ft)]/ (л — ft)?ft/ *
Учитывая это, формулу бинома Ньютона запишем
в следующем виде:
174
(a + x)n = an 4- nan -1 x 4- —%,—У an ~2 x2 4-
& I
n (n— 1)(и — 2)
31
Ля ” 3 X3 + . . . +
n(n---[n—(Л—1)£ an_*xk ц_	„axn-l _|_xn
KI
Можно предложить провести вывод формулы бинома
Ньютона методом математической индукции без приме-
нения производной хотя бы для случая а=1.
Примеры.
1.	Разложить по формуле бинома (х4-а)9. Замечаем,
что разложение Должно иметь 10 членов, значит, доста-
точно вычислить только первые 5 коэффициентов, осталь-
ные получим, исходя из того, что коэффициенты членов,
одинаково отстоящих от концов разложения, равны.
(а 4- х)9 = а9 4- Эа8* 4- 44	+ 444 а*х* +
9-8-7
1-2-3
asx6 4~
а2х7 4- Эол8 4- х9 = а9 4- 9а8х 4“ 36а7 х2 4-
4- 84а6х-’ 4- 126а5х1 4- 126а4х5 4- 84а8х®+36а2х74- 9ах®4-х9.
2.	(/Г- 1)в=. [/Г4-(-1)]МК5)6 + б(Г5)5(-1)4-
Ьг! (- о8+Ш (v^)3 < - о*+г4(1/ё)2(-1)4+
4-б/5(- 1)54-( —1)® =
125 - 150 /5'+ 375 — 100 /5 + 75 — 6 ]/5"4- 1 =
= 576 - 256 /5 .
175
3.	Найти сумму всех биномиальных коэффициентов.
Полагаем в формуле бинома Ньютона а=1, х=1. Тогда
(1+ 1)" = 1 + -р- + я(л °
п (п — 1)... [л — (k — 1)]
k!
+ . . . + п + 1.
Справа стоит как раз сумма биномиальных коэффи-
циентов, которая, как мы видим, равна 2п.
После решения ряда примеров с числовыми и буквен-
ными данными на применение формулы бинома Ньютона
учащиеся знакомятся с приложением этой формулы к
приближенным вычислениям.
Если в выражении (1+х)л х мало, то обычно члены
разложения, содержащие степени числа х с показателем,
большим 1, оказываются настолько малыми, что не влия-
ют на приближенный результат вычисления. В зависимо-
сти от требуемой точности вычисления члены разложения
(1+х)я по формуле бинома Ньютона отбрасывают, начи-
ная с третьего или с четвертого члена. Получают при-
ближенные формулы вида:
(1 + х)«	1 -I- пх ;
или (I 4- х)п 1 пх 4- я(и~ х2.
Выбор формулы зависит от конкретных условий.
(Иногда для большей точности сохраняют большее чис-
ло членов.)
Примеры.
1.	Вычислить (1,002)7 с точностью до 0,001
(1 4- 0,002)’ = 1 4- 7-0,002 4-	(0,002)2 4-... Мы видим,
что уже третий член (0,002)а = 0,000084 не оказы-
вает никакого влияния на тысячные доли результата,
так как он меньше одной десятитысячной доли, а
остальные члены значительно меньше этого члена.
Следовательно, (1 4-0,002)’^ 1 4- 7-0,002 = 1,014.
176
2.	Вычислить (1,03 )5 с точностью до 0,01.
(1 + 0,ОЗ)5 = 1 + 5-0,03 +	(0,03)а +	(О,ОЗ)3 +
+ 5-(0,03)4(0,ОЗ)5.
Третий член (О,ОЗ)8 = 0,009. Он близок к 0,01,
поэтому его надо сохранить. Остальные члены уже
не влияют на точность вычисления, например:
(0,03)3 = 10 -0,000027 = 0,00027 < 0,001.
Получаем:
(1+0,03)5^ 1 + 5-0,03 + 10-(0,03)8 = 1 +0,15 + 0,009=
= 1,159^1,16.
3.	Вычислить (0,98)4 с точностью до 0,01.
(0,98)4 = (1 — 0,02)4 = 1 — 4-0,02 + 6 -0,0004 - 4 (0,02 )3 +
- F (0,02)4.
Очевидно, здесь достаточно сохранить два члена
разложения. (0,98)4 « 1 — 4-0,02 = 0,92.
4.	Вычислить (1,0б)т с точностью до 0,01.
(1,06)7 = (1 + 0,Об)7 = 1 + 7-0,06 + у~(0,06)2 +
+ тй • <0’06)3 + - - -
Находим приближенно третий член разложения:
21-0,0036^0,076. Так как вычисление производится
до 0,01, то этот член отбрасывать нельзя.
Оцениваем четвертый член разложения:
35-0,000216^0,008.
Этот член также можно сохранить. Остальные
члены, очевидно, не будут влиять на точность ре-
зультата и поэтому должны быть отброшены:
(1,0б)7	1 + 0,42 + 0,076 + 0,008 = 1,504 « 1,50.
(Если бы мы отбросили четвертый член, то ре-
зультат был бы: (1,06)7^ 1 + 0,42 + 0,076 = 1,496~
— 1,50. Мы видим, что четвертый член не оказал влия-
ния на приближенный результат. В большинстве слу-
чаев достаточно ограничиться не более чем тремя
членами.)
12 Заказ 314
177
5.	Вычислить (0,997)6 с точностью до 0,001.
(0,997)' = (1 - 0,003)« = 1 — 6-0,003 +	- (0.003)2 + ...
Уже третий член по абсолютной величине значитель-
но меньше 0,001 (он меньше, чем 0,0002).
(0,997)®^ 1 —6-0,003 = 0,982.
На изучение в школе формулы бинома Ньютона
и ее применений достаточно выделить 3—4 часа.
ЛИТЕРАТУРА
-1. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров. Свойства не-
равенств и понятие о приближенных вычислениях. «Математика в
школе», 1941, № 2 (или «Вопросы преподавания математики». Сбор-
ник статей, под ред. П. В. Стратилатова. Учпедгиз, 1961).
2.	В. Г. Ашкинузе и Н. Н. Шоластер. Алгебра и элемен-
тарные функции. «Просвещение», 1964.
3.	В. М. Б р а д и с, Н. С. Истомина, А. И. Марк у ш е в и ч,
К. П. Сикорский. Алгебра, под ред. А. И. Маркушевича. Учпедгиз,
1960.
4.	И. М. Гельфанд, Е. Г. Г л а г о л е в а, Э. Э. Ш н о л ь. Функ-
ции и графики. «Наука», 1966.
5.	Б. В. Гнеденко. Роль математики в развитии техники и
производства. «Математика в школе», 1962, № 1.
6.	В. Л. Гончаров. Элементарные функции действительного
переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее поня-
тие функции. Энциклопедия элементарной математики, т. 3. Гостех-
издат, 1952.
7.	Н. А. Д а в ы д о в, П. П. К о р о в к и н, В. Н. Н и к о л ь с к и й.
Сборник задач по математическому анализу. Учпедгиз, 1953.
8.	Я; С. Дубнов. Содержание и методы преподавания элемен-
тов математического анализа и аналитической геометрии в средней
школе. «Математическое просвещение», вып. 5, 1960 (или Я. С. Дуб-
нов. Беседы о преподавании математики. Сборник. «Просвещение»,
1965).	<
9.	А. Н. Колмогоров. Функции, графики, непрерывные функ-
ции. «Математика в школе», 1965, № 6.
10.	А. Н. К о л м о г о р о в. Об учебниках на 1966/67 учебный год.
«Математика в школе», 1967, № 1.
11.	А. Н. Колмогоров. Новые программы и некоторые основ-
ные вопросы усовершенствования курса математики в средней школе,
«Математика в школе», 1967, № 2.
12.	Е. С. К о ч е т к о в, Е. С. К о ч е т к о в а. Алгебра и элемен-
тарные функции, ч. 1 и 2. «Просвещение», 1966.
13.	С. Г. Крейн, В. Н. Ушакова. Математический анализ
элементарных функций. Физматгиз, 1963.
14.	П. А. Л ар и ч ев. Сборник задач по алгебре, ч. П. Учпедгиз,
1963.
15.	А. И. Маркушеви ч. Понятие функции. «Математика в
школе», 1947, № 4 (или «Вопросы преподавания математики». Сбор-
ник статей, под ред. П. В. Стратилатова, 1961).
12*	179
16.	А. И. М а р к у ш е в и ч. Об очередных задачах преподавания
математики в школе. «Математика в школе», 1962, № 2.
17.	А. И. М а р к у ш е в и ч. Действительные числа и основные
принципы теории пределов, Изд-во АПН РСФСР, 1948.
18.	Ю. Н. М а к а р ы ч е в. Система изучения элементарных функ-
ций в старших классах средней школы. «Просвещение», 1964.
19.	И. П. Натансон. Производные, интегралы и ряды. Энци-
клопедия элементарной математики, т. 3. Гостехиздат, 1952.
20.	И. И. П р и в а л о в, С. А. Г а л ь п е р н. Основы анализа
бесконечно малых. «Наука», 1966.
21.	«Проект программы средней школы по математике». «Мате-
матика в школе», 1967, № 1.
22.	И. X. С и в а ш и н с к и й. Элементарные функции и графики.
«Наука», 1965.
23.	С. Б. Суворова. Об опыте раннего введения начал диффе-
ренциального исчисления в девятых классах. «Математика в школе»,
1966, № 4.
24.	Г. М. Фихтенгольц. Основы математического анализа,
т. I. Гостехиздат, 1955.
25.	А. Я. X и н ч и н. Основные понятия математики в средней
школе. Учпедгиз, 1940 (или «Вопросы преподавания математики в
средней школе». Сборник статей, под ред. П. В. Стратилатова. Учпед-
гиз, 1961).
26.	А. Я. X и н ч и н. Педагогические статьи. Изд-во АПН
РСФСР, 1963.
27.	А. И. Худо б ин, Н. И. Худоб ин, М. Ф. Шуршало в.
Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. «Просвеще-
ние», 1966.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	3
Раздел I. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
Глава 1. Повторение и углубление основных сведений о
функции и свойствах функций	6
§ 1.	Повторение понятия функции. График функции. Обозначе-
ние функции в общем виде............................... 6
§ 2.	Монотонные функции. Возрастание и убывание функции на
данном промежутке. Понятие о максимуме и минимуме
функции................................................11
§ 3.	Четные и нечетные функции. Функции, ограниченные свер-
ху, и функции, ограниченные снизу. Ограниченные функции.
Периодические функции. Схема	исследования функции	15
Глава 2. Обратные функции	23
§ 1.	Понятие обратной функции. График обратной функции 23
§ 2.	Свойства обратных функций ....	27
§ 3.	Обратные тригонометрические функции	31
Глава 3. Предел функции	34
§ 1.	Предел функции f (х) при х>+°° и оо.............	36
§ 2.	Предел функции f(x) при а (а — действительное число) 48
§ 3.	Предел отношения синуса к аргументу, когда аргумент
стремится к нулю .	56
§ 4.	Теоремы о пределах ...	61
§ 5.	Понятие о непрерывности функции	67
Раздел II. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Глава 4. Понятие производной. Вычисление производной.
Применение производной к решению физических и других
181
§ 1.	Скорость прямолинейного движения. Понятие производной. 76
§ 2.	Теоремы о производных. Производные некоторых элемен-
тарных функций ............................................82
§ 3.	Физические и другие примеры использования производной.
Ускорение. Понятие второй производной.....................101
Глава 5. Геометрический смысл производной. Исследование
функций с помощью производной. Решение задач, связан-
ных с нахождением наибольшего и наименьшего значения
функций. Формула бинома Ньютона	. 112
§ 1.	Геометрический смысл производной.................113
§ 2.	Исследование функций на возрастание и убывание и на-
хождение точек максимума и минимума функций с по-
мощью производной ....................................125
§ 3.	Исследование функций с помощью производной и построе-
ние их графиков. Графическое решение уравнений . . . 140
§ 4.	Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значе-
ния функций........................................   163
§ 5.	Вывод формулы бинома Ньютона и ее применение к приб-
лиженным вычислениям	. 171
Литература	..	.	.	. 179
Матвей Семенович Мацкин
Роза Юдовна Мацкина
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ.
ПРОИЗВОДНАЯ
Редактор Я. С. Комиссарова
Художник И. Е. Сайко
Художественный редактор В. С. Эрденко
Технический редактор Л. Я. Медведев
Корректор М. В. Голубева.
Сдано в набор 9/1—1968 г.
84}(1081/g2 Типографская
Уч.-изд. л. 9,02
(Тем. пл. 1968 г. К»
Подп. к печ. 31/V—1968 г.
№ 2. Печ. л. 9.66 (5,75)
Тираж 40 тыс. экз.
158)	А03919
Издательство «Просвещение* Комитета по печати
при Совете Министров РСФСР
Москва» 3-й проезд Марьиной рощи» 41
Типография № 2 Росглавполиграфпрома,
г. Рыбинск, ул. Чкалова, 8.
Заказ 314	Цена 24 коп.
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу