/
Text
К. А. КРУГ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРО-
ТЕХНИКИ
ГОСЭНЕРГОИЗДЛТ 1946
ИИИММИИМММИ1ИИИИИДВЯИИИМИЯИИИИИИИИИИИИИИИИИИМИИ
Проф. К. А. КРУГ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
В ДВУХ ТОМАХ
ТОМ ПЕРВЫЙ
Scan AAW
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1946 ЛЕНИНГРАД
Проф. К. А. КРУГ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Утверждено Всесоюзным комитетом по делам высшей школы
при Совнаркоме СССР
в качестве учебника для энергетических втузов
и электротехнических факультетов
ШЕСТОЕ, СОВЕРШЕННО ПЕРЕРАБОТАННОЕ ИЗДАНИЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА
1946 ЛЕНИНГРАД
Рецензенты:
К. М. Поливанов
С. В. Страхов
Первый том книги посвящен физическим основам элек-
тротехники и состоит из трех глав, в которых рассматри-
ваются электрическое поле, постоянный ток и магнитное поле.
Книга предназначена для студентов втузов, готовящих спе-
циалистов в различных областях электротехники. Объем и
содержание соответствуют программе курса теоретических
основ электротехники, утвержденной для этих втузов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее, шестое, издание моей книги «Основы элек-
тротехники» весьма существенным образом отличается от
предыдущего издания. Современное развитие техники требует
не только знания количественных соотношений между отдель-
ными величинами, необходимых для расчетов, но и глубокого
и всестороннего понимания физических сторон явлений, ис-
пользуемых для практических целей. Поэтому при изучении
электротехники в высшей школе особое внимание должно
быть обращено на физические ее основы. В соответствии с
этим в новом издании, выходящем в двух томах, значительно
расширен первый том, посвященный физическим основам
электротехники, который написан мною заново.
В отличие от предыдущих двух изданий изложение физи-
ческих основ электротехники начинается не с электрического
тока, а с электрического поля. Такой порядок изложения яв-
ляется более правильным, ибо появление электрического
тока предопределяется наличием электрического поля.
В первой главе физических основ электротехники, рас-
сматривающей электрическое поле, значительное место уде-
лено явлениям в диэлектриках и исследованию электриче-
ских полей. Кроме общих методов здесь приведен также ме-
тод конформных отображений.
Во второй главе первого тома, относящейся к электричес-
кому току, рассматриваются не только прохождение тока
через металлические проводники, но и разряды в вакууме и
газах, прохождение тока через электролиты и через по-
лупроводники и проводники с нелинейными характеристиками.
Здесь же рассматриваются гальванические элементы и аккуму-
ляторы, -поскольку последние не входят в другие курсы об-
щих учебных планов электротехнических втузов, а также то-
ки смещения и зарядка и разряд конденсаторов через со-
противления.
Как в главе «Электростатическое поле», так и в главе
«Магнитное поле» сначала рассматриваются явления в ва-
6
Прадиалавие
кууме, а затем — явления в присутствии весомых тел, при-
чем особое внимание уделено ферромагнитным явлениям.
В раздел «Электромагнитная индукция» включено рассмотре-
ние простейших цепей с индуктивностями, а также рассмот-
рение зарядки и разряда конденсатора через индуктивность
(колебательный контур). Это сделано с той целью, чтобы в
дальнейшем была более ясна физическая сторона явлений ре-
зонанса напряжений и токов в цепях переменного тока.
При изложении физических основ электротехники автор
наряду с изложением основных законов в интегральной фор-
ме приводит также их выражение в диференциальной форме.
Такой порядок изложения имеет преимущество более широ-
кого обобщения и освобождает от излишних повторений
при изложении электромагнитного поля. При этом автор поль-
зуется векторным анализом, широко применяемым в настоя-
щее время в теоретической электротехнике, что сокращает
выводы и придает уравнениям весьма наглядный и легко
запоминаемый вид.
Так как преподавание «Основ электротехники» сопровож-
дается лабораторными занятиями, то в настоящее издание
введены описание принципиального устройства электроизме-
рительных приборов и простейшие методы измерений основ-
ных электрических величин.
Как и в двух предыдущих изданиях, для измерения всех
величин применена международная практическая система
электрических единиц с допускаемыми отступлениями в от-
дельных случаях десятикратных изменений единиц измерения.
В конце первого тома приведен параграф, рассматривающий
другие, к сожалению, еще нередко встречающиеся системы
единиц измерения.
Второй том книги «Основы электротехники» посвящен
теории переменных токов и электромагнитному полю.
Главы об однофазных и многофазных синусоидальных то-
ках, несинусоидальных токах, цепях со стальными сердечни-
ками, трансформаторах и вращающихся полях и т. д. под-
верглись, главным образом, редакционным исправлениям, от-
части сокращениям и некоторым дополнениям, относящимся
к измерительным приборам и простейшим методам измере-
ния переменных токов. Значительно расширена глава о не-
стационарных явлениях в цепях с сосредоточенными постоян-
ными. Помимо классических методов здесь введен символи-
ческий (операторный) метод составления и решения дифе-
ренциальных уравнений, дополненный методом интегральных
вычетов. Заново написана последняя глава, относящаяся к
электромагнитному полю.
В настоящее издание не вошли совсем задачи с реше-
ниями, которым было уделено большое место в предыдущих
Предисловие
7
изданиях. В качестве задачника, содержащего задачи на все
разделы курса «Основ электротехники», рекомендуется сбор-
ник задач, составленный членами кафедры Теоретических ос-
нов электротехники Московского эьергетического института,
который должен выйти из печати в 1947 г.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить
свою благодарность проф. К. М. Поливанову и доцентам
С. В. Страхову и А. И. Соболеву, прочитавшим ряд глав но-
вого издания в рукописи и сделавшим мне немало ценных
указаний, аспиранту Л. А. Бессонову и студентам МЭИ Е. К.
и Н. К. Круг, подготовившим рукопись к печати, и доценту
А. И. Соболеву, который согласился взять на себя большой
труд проведения корректуры всего издания.
Проф. К. Круг
Москва, 3 мая 1946 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...................................................... 5
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1. Электрическое поле и электрические заряды..................... И
2. Закон Кулона................................................. 13
3. Напряженность электрического поля. Электрическое напряже-
ние и электрический потенциал...........«.................... 17
4. Поле произвольно расположенных зарядов. Градиент потенциала 21
5. Однородное электростатическое поле........................... 25
6. Теорема Гаусса в интегральной форме.......................... 28
7. Теорема Гаусса в диференциальной форме. Уравнение Пуассона-
Лапласа ..................................................... 32
8. Отсутствие вихрей в электростатическом поле............. 38
9. Оператор Гамильтона „Набла*............................. 42
10. Электрические диполи................................... 45
11. Поляризация диэлектриков............................... 47
12. Электрическая индукция в диэлектриках и их диэлектрический
коэфициент................................................ 53
13. Потенциал электрического поля в присутствии диэлектриков . . 58
14. Электрическое поле на грани двух сред.................. 60
15. Электростатическая индукция в проводниках.............. 65
16. Однозначность электрического поля...................... 67
17. Энергия электрического поля............................ 70
18. Пондеромоторные (механические) силы в электрическом поле . . 76
19. Электрическая емкость.................................. 82
20. Поле плоского конденсатора............................. 87
21. Поле сферического конденсатора......................... 89
22. Электрическое поле между двумя металлическими шарами ... 91
23. Поле и емкость одиночного провода и эллипсоида вращения . . 96
24. Поле и емкость цилиндрического конденсатора............ 101
25. Поле и емкость параллельных цилиндров.................. 105
26. Конденсаторы и измерение их емкости.................... ИЗ
27. Конформное отображение двухмерных полей ................... 118
Содержание
9
28. Преобразование Шварца...................................... 128
29. Графическое нахождение емкостей............................ 134
30. Формулы Максвелла для определения емкостей в системе про-
водников ................................................... 138
ГЛАВА ВТОРАЯ
постоянный ток
31. Электрический ток. Первый закон Кирхгофа................... 144
32. Закон Ома. Электрическое сопротивление..................... 148
33. Сопротивление проводников.................................. 152
34. Эталоны сопротивления и реостаты........................... 159
35. Закон Джоуля-Ленда......................................... 163
36. Электродвижущая сила....................................... 168
37. Второй закон Кирхгофа...................................... 173
38. Методы определения токов в разветвленных цепях............. 176
39. Передача энергии и простейшие сети постоянного тока .... 188
40. Методы измерения сопротивлений............................. 192
41. Компенсационный метод измерения э. д. с. и напряжений . . . 199
42. Электропроводность металлических проводников............... 202
43. Электропроводность электролитов............................ 206
44. Электролитические потенциалы и гальванические элементы . . 209
45. Вторичные элементы (аккумуляторы)...........................216
46. Контактное и термоэлектричество............................ 222
47. Электрический ток в вакууме................................ 225
48. Фотоэлектричество.......................................... 232
49. Электропроводность газов.................................. 23.5
50. Самостоятельный разряд в газах............................ 240
51. Дуговой разряд....................................• . . . 245
52. Электропроводность твердых и жидких диэлектриков и их
пробой...................................................... 249
53. Проводники с нелинейными характеристиками.................. 251
54. Токи смещения.............................................. 255
55. Зарядка и разряд конденсатора ............................. 259
ГЛ АВА ТРЕТЬЯ
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
56. Магнитное поле и магнитная индукция........................ 266
57. Магнитная проницаемость. Напряженность магнитного погя . . 271
58. Гальванометры и магнитоэлектрические измерительные приборы 277
59. Взаимодействие электрических токов......................... 282
60. Магнитный поток. Непрерывность индукционных линий .... 285
61. Скалярный потенциал магнитного поля. Закон полного тока
в интегральной форме...................................... 288
62. Первое уравнение Максвелла........•........................ 294
63. Вектор-потенциал магнитного поля........................... 296
64. Замкнутый ток в магнитном поле............................ 300
1 о Содержание
65. Магнитные диполи....................................... 301
66. Диа- и парамагнетизм................................... 304
67. Соотношение между магнитной индукцией напряженностью
магнитного поля и намагниченностью......................... 312
68. Ферромагнетизм. Гистерезис............................. 318
69. Магнитные свойства стали и других ферромагнитных материалов 326
70. Однозначность магнитного поля при отсутствии гистеризиса . . 331
71. Магнитное поле на грани двух сред...................... 333
72. Ферромагнитный эллипсоид вращения в однородном магнитном
поле....................................................... 336
73. Плоско параллельное магнитное поле вблизи стальных масс.
Метод отображений............................................ 341
74. Применение формул законов Ома и Кирхгофа к магнитным
цепям........................................................ 345
75. Расчет магнитной цепи....................................... 349
76. Постоянные магниты.......................................... 353
77. Электромагнитная индукция................................... 357
78. Второе уравнение Максвелла.................................. 364
7& Само- и взаимная индукция.................................... 366
80. Энергия магнитного полл..................................... 375
81. Потери на гистерезис........................................ 381
82. Механические силы и их работа в электромагнитных системах 384
83. Баллистический гальванометр................................. 392
84. Магнитные измерения..........................................403
85. Пондеромоторные силы в магнитном голе..................... 408
86. Электрические машины........................................ 413
87. Включение и отключение цепей с индуктивностью............... 420
88. Включение цепей с взаимной индуктивностью................... 433
89. Апериодический разряд конденсатора на индуктивность и сопро-
тивление .................................................... 439
90. Колебательный разряд конденсатора........................... 446
91. Зарядка конденсатора через сопротивление и индуктивность от
постоянного напряжения....................................... 450
92. Системы единиц измерения.................................... 454
Алфавитный указатель............................................ 470
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ
Еще древним грекам было известно явление, что янтарь,
натертый о шерсть, приобретает свойство притягивать лег-
кие тела. По-гречески янтарь носит название электрон, и от-
сюда произошло слово электричество.
Тела, приобретшие свойство подобно янтарю притягивать
другие тела, являются наэлектризованными.
Изучение электрических явлений развивалось необычайно
медленно. Лишь в конце XVI века было показано Гильбер-
том, что все тела могут быть разделены на 2 категории: од-
ни, как янтарь, стекло, смола, шелк и т. п., которые могут
быть наэлектризованы и которые мы в настоящее время на-
зываем диэлектриками или и з о л я т ор а м и, и другие,
которые (путем трения) не могут быть наэлектризованы, как,
например, металлы (проводники).
Позднее Дюфе было найдено, что все тела могут быть
наэлектризованы, но различие между ними заключается в
том, что диэлектрики могут сохранять наэлектризованное
состояние в том месте, которое подверглось трению, в то
время как проводники этим свойством не обладают, и для
того, чтобы их можно было наэлектризовать, необходимо их
изолировать, т. е. укрепить на изоляторе; при этом наэлек-
тризованным оказывается не только то место проводника, ко-
торое подверглось трению, но и вся остальная его поверхность.
Далее Дюфе было установлено, что следует различать двоя-
кого рода электричество, стеклянное (отрицательное),
которое получается на стекле при трении его о шерсть, и
смоляное (положительное), которое получается на смо-
ле, если ее также потереть о шерсть, и что
тела, заряженные одноименным электричеством,
отталкиваются, а разноименным электричеством
притягиваются.
12 Электрическое поле 1гл. 1
Отталкивающее или притягивающее действие наэлектри-
зованных тел (или, как принято сейчас говорить, заряженных
тел) объясняется взаимодействием положительных и отрица-
тельных электрических зарядов на этих телах.
Большой шаг вперед в деле изучения электрических яв-
лений был сделан Кулоном, установившим (1785 г.), что
сила взаимодействия зарядов прямо пропорцио-
нальна произведению этих зарядов и обратно про-
порциональна квадрату расстояния между ними.
Первые исследователи электрических явлений или не за-
давались вопросом, как и чем осуществляется действие за-
рядов друг на друга, или же полагали, что взаимодействие
зарядов осуществляется на расстоянии без непосредственно-
го участия той среды, в которой эти заряды находятся.
Этому учению о так называемом дальнодействии Фара-
деем было противопоставлено учение о близкодействии, или,
как мы говорим в настоящее время, учение о поле электри-
ческого заряда. Согласно этому учению всякий заряд нераз-
рывно связан с определенным возмущением—изменением фи-
зических свойств окружающей его среды, которое прости-
рается во все стороны пространства, передаваясь от одной
точки к смежной, независимо от того, имеется ли в этом
пространстве какой-нибудь другой заряд или нет.
Под электрическим полем понимают как особое
состояние пространства, обусловленное присутствием в нем
заряда, так и то пространство, в котором обнаруживается это
состояние. Электрическое поле с неподвижными зарядами,
не меняющееся во времени, называется электростати-
ческим, и учение о таком поле — электростатикой.
Всякое электрическое поле, будь то в вакууме или в ка-
кой-нибудь другой среде, обладает распределенной в про-
странстве энергией. За счет этой энергии электрическое поле
одного заряда действует на находящиеся в его пределах Дру-
гие заряды.
Учение Фарадея о поле и так называемом близкодей-
ствии получило свое углубление и математическое оформление
в трудах Максвелла, давшего общую теорию электромагнит-
ных явлений, которая легла в основу современного учения
об электричестве и магнетизме. Открытие Герцем электромаг-
нитных волн, распространяющихся с конечной скоростью,
предсказанных Максвеллом, явилось блестящим доказатель-
ством правильности учения Фарадея-Максвелла. Это учение
о близкодействии и электромагнитном поле было впоследствии
развито и дополнено Лоренцем, заложившим основу электрон-
ной теории строения вещества, объясняющей целый ряд фи-
зических явлений.
Закон Кулона
13
Согласно электронной теории строения вещества Лоренца
и модели Резерфорда-Бора атомы вещества рисуются в ви-
де планетарной системы, состоящей из ядра, содержащего
положительный заряд, и из электронов, обращающихся во-
круг ядра по замкнутым орбитам. Электрон представляет
собой атом отрицательного заряда, — материальную частицу
наименьшего возможного и неделимого отрицательного заря-
да, обладающего массой. Простейшим ядром является ядро
атома водорода, называемое протоном, имеющее положи-
тельный заряд, равный по величине (но не по знаку) заряду
электрона. Заряд электрона был определен в 1,59-10
кулона или 4,77 • 10 абсолютных электростатических еди-
ниц, а его масса в 0,9-10 грамма, что в 1 848 раз мень-
ше массы атома водорода. Число электронов, обращающих-
ся вокруг ядра одного атома данного элемента, определяет
его порядковый номер в натуральной (менделеевской)
системе элементов. Помимо протонов и электронов в ядрах
атомов существуют еще частицы, так называемые ней-
троны, с массой, равной массе протона, но не обладающие
зарядом.
В нейтральном состоянии противоположные заряды со-
ставных частей атома равны между собой, и их электриче-
ские поля вне атома, действуя в противоположном направле-
нии, уравновешивают друг друга и никакою действия не
производят. Если же в теле имеется избыток или недоста-
ток электронов по сравнению с нейтральным состоянием, то
тело оказывается заряженным положительным зарядом в слу-
чае недостатка электронов и отрицательным зарядом— в слу-
чае избытка электронов; в обоих случаях в окружающем
пространстве будет существовать электрическое поле соот-
ветствующего избыточного заряда.
2. ЗАКОН КУЛОНА
Электрическое поле какого-нибудь заряда может быть об-
наружено по силе, с которой Это поле действует на какой-
нибудь другой заряд. Сила взаимодействия двух зарядов зави-
сит от величины зарядов, от расстояния между ними и от
свойств среды, их разделяющей. Хотя всякое заряженное тело
имеет конечную протяженность, однако, если размеры заря-
женных тел, например заряженных шариков, ничтожно ма-
лы по сравнению с расстоянием между ними, то можно при-
нять, что такие заряды сосредоточены в точках, совпадаю-
щих с их центрами. Кулоном опытным путем была установ-
лена зависимость силы взаимодействия зарядов от величины
14
Электрическое поле
[гл. 1
зарядов и от расстояния между ними. Эта зависимость но-
сит название закона Кулона, согласно которому
два заряда qx и q2, находящихся в однородной среде
и отстоящих друг от друга на расстоянии г, дей-
ствуют друг на друга с силой, пропорциональной
произведению этих зарядов и обратно пропорци-
ональной квадрату расстояния между ними:
F=k4-^
(2,1)
Наблюдаемая на опыте сила взаимодействия двух заря-
дов направлена по линии, соединяющей эти заряды. Когда
qx и имеют одинаковые знаки, сила взаимодействия стре-
мится увеличить расстояние между ними, и такую силу мы
будем считать величиной положительной; в противном слу-
чае, когда qx и q2 имеют разные знаки, заряды притягивают-
ся и сила взаимодействия считается величиной отрицатель-
ной. Коэфициент пропорциональности k зависит от физиче-
ских свойств среды и от выбора единиц, в которых измеряются
F, q и г.
В так называемой абсолютной электростатической системе
единиц (CGSe0) сила измеряется в динах (dn), расстояние
в сантиметрах (ст), а за единицу заряда принимается такой
заряд, который действует на другой такой же заряд, находя-
щийся на расстоянии одного сантиметра, с силой, равной
одной дине. При этом выборе единиц в скрытом виде учиты-
ваются физические свойства вакуума (в отношении влияния
их на силу взаимодействия зарядов) приравниванием коэфи-
циента k отвлеченной единице (&=1), ив вакууме сила взаи-
модействия зарядов выражается через
Q1Q2
г*
(2,2)
В диэлектрической однородной среде, отличной от вакуума,
сила взаимодействия будет меньше, что учитывается вве-
дением коэфициента k= (2,3)
Коэфициент Sr, равный отношению сил взаимодействия
двух зарядов в вакууме и в рассматриваемой среде, назы-
вается (относительным) диэлектрическим коэ фи ц и е н-
том среды или ее (относительной) диэлектрической
проницаемостью.
Закон Кулона
15
В абсолютной практической системе электрических еди-
ниц за единицу заряда принимается один кулон или одна
амперсекунда (1 С = 1 Asec). Один кулон представляет со-
бой количество электричества, которое протекает через по-
перечное сечение проводника в течение 1 сек. при равно-
мерном токе в один ампер. Один так называемый абсолют-
ный кулон равен
1 С = 2 993-109 ^3-109 абс. эл. ст. ед. заряда. (2,5)
В дальнейшем мы заряды будем измерять в кулонах
и вообще будем применять абсолютную практическую систе-
му электрических единиц, в которой заряд измеряется в куло-
нах (С), ток в амперах (А), напряжение в вольтах (V), энер-
гия или работа в джоулях (1 J =1 V-1 А) и т. д.
В принятой в настоящее время абсолютной системе ме-
ханических единиц, системе MKS, за единицу длины прини-
мается 1 метр (1 ш), за единицу массы масса одного кило-
грамма (1 kg) и за единицу времени 1 секунда (1 sec). В
этой системе единицей силы является один ньютон (1 N), co-
rn
общающий массе в 1 kg ускорение в 1 :
1kg-Im 1 000 g-100 cm л 105
1 1 sec2 = 1 sec2 =1°5 dn= 981 000
= 0,102 kG (веса) (2,6)
(масса одного грамма обозначается через маленькое g, вес
одного грамма через большое G).
Единицей работы в этой системе является один джоуль
1 J=1 N-l m —105dn-100cm=107 erg. (2,7)
При расчете электрических и магнитных полей во избе-
жание чрезмерно малых величин, а также при расчете машин
и других аппаратов обычно измеряют длины не в метрах, а
в сантиметрах. В соответствии с этим при таких расчетах
единица силы определяется как джоуль, деленный на санти-
метр,
J 1 N-1 m
1 — = —. = 100 N = 1 hN = 10,2 kg, (2,8)
cm 1cm * ° v > /
т. e. один гектоньютон или 10,2 kG веса. При таком выборе
единицы силы Г1 J и единицы длины (1cm) за единицу
массы следует принимать:
J ст 7 4
1 ст ’ 1 sec^ 10 ~ 10 kg (массы) (2.9)
16
Электрическое поле
[гл. 1
или же силы переводить в механические единицы (ньютоны
или килограммы веса) с выражением длин и массы тел в со-
ответствующих единицах.
В так называемой рационализованной практической
системе электрических единиц для получения более удобных
расчетных формул и уравнений из коэфициента пропорци-
ональности в законе Кулона (2,1) выделяют числовой мно-
житель 4тг, и закон Кулона для вакуума пишут в следую-
щем виде:
F_ 1 1102
4ле0 г2 •
(2,10)
Для вакуума в такой рационализированной (введением
множителя 4п) практической системе электрических единиц,
в которой заряды измеряются в кулонах, расстояния в санти-
метрах, а силы в гектоньютонах, коэфициент пропорциональ-
ности, учитывающий физические свойства вакуума в отно-
шении взаимодействия зарядов, носящий название диэлектри-
ческого коэфициента, имеет следующее значение:
ЯхЯч. щх F 1 F
е—-21^^0,0886 —---------------п- — го 1П
° F * ст 4Я-9.Ю ст (А11)
Г С2-ст С2
1 I----— 1 -----—
[ r2F cm2J cm VC
C F к
— I------— 1 —, где F — фарада, единица емкости
emV cm
Для изотропной 1 среды, отличной от вакуума, закон Ку-
лона в рационализованной практической системе единиц
выражается следующим образом:
F_ 1 0103
4л еге0 Г2
(2,12)
где ег— отвлеченное число, относительный диэлектрический
коэфициент данной среды, совпадающий с значением диэлек-
трического коэфициента в абсолютной электростатической
системе электрических единиц [уравнение (2,4)].
В дальнейшем будем рассматривать сначала явления элек-
трического поля в вакууме, а затем перейдем к рассмотре-
нию явлений, имеющих место, когда в электрическом поле
находятся диэлектрики.
1 Вещество называется изотропным, когда оно по всем направлениям
обладает одними и теми же физическими свойствами.
§ 3J
Напряженность электрического поля
17
Сила взаимодействия двух зарядов представляет собой
вектор. Сила, с которой первый заряд действует на второй,
может быть выражена через
Фиг. 2,1
где вектор г12 направлен от первого заряда ко второму
(фиг. 2,1). Второй заряд действует на первый с силой
1
Г21“ 4^0 Г2 г — Г12-
3. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
Основной характеристикой электрического поля является
сила (механическая), с которой электрическое поле действо-
вало бы на внесенные в него пробные заряды такой малой
величины, что исследуемое поле не искажалось бы от внесе-
ния таких пробных зарядов.
Предел отношения силы, с которой поле действует на
пробный заряд, помещенный в какой-нибудь точке поля к
этому заряду, когда пробный заряд стремится к минимально
возможному пределу (теоретически к нулю), или сила, от-
несенная к единице заряда, называется напряженностью
поля и обозначается буквой Е.
Для электрического поля точечного заряда &qr в вакууме
сила
Напряженность поля
Е — lim —— —-— . —-
r
пропорциональна заряду, создающему поле, и обратно пропор-
циональна квадрату расстояния от заряда до рассматривае-
2 К. А. Круг, т. 1.
18
Электрическое поле
[гл. 1
мой точки. В векторной форме напряженность поля выра-
жается через
Внесенные в электрическое поле заряды, под действием
сил (механических) со стороны поля, перемещаются, при этом
поле совершает работу.
Предел отношения работы, которую совершали бы силы
поля при перемещении пробного заряда из одной точки поля
в другую к этому заряду, когда он стремится к нулю, назы-
вают электрическим напряжением между этими
двумя точками. Величина напряжения обозначается буквой U. В
абсолютной практической системе электрических единиц за
единицу электрического напряжения принимается один вольт
(1 V). Разность потенциалов между двумя точками поля равна
одному вольту, когда для переноса одного кулона электри-
чества из одной точки в другую требуется затратить один
джоуль работы.
ед(£7)=. еД(раб°Ты) 1 J =1
k 7 ед(заряда) 1 С
Один вольт есть такое напряжение между двумя точка-
ми поля, когда при перенесении одного кулона из одной точ-
ки поля в другую совершается работа, равная одному джоулю.
Так как работа определяется как произведение силы на
путь, то напряженность поля должна определяться как отно-
шение работы при перенесении единицы заряда к пути, по-
этому единицей меры напряженности электрического поля бу-
дет один вольт на метр или вольт на сантиметр
, ч ед(яапряжения) __, V 1 V
ед(напряженности)= ед(длины) ~1 m или 1 ЙГ
Электростатическое поле есть поле потенциальное.
Это означает, что для каждой точки поля может быть составле-
на так называемая потенциальная функция (выражение Гри-
на), или потенциал (выражение Гаусса), имеющая для каж-
дой точки вполне определенное значение, непрерывно „без
скачков* меняющаяся от точки к точке и обладающая тем
свойством, что первая производная от этой функции, взятая
по какому-нибудь направлению с обратным знаком, равняется
проекции вектора напряженности поля по этому направле-
нию. Если принять, что потенциал для бесконечно удален-
ных точек равен нулю, то для поля, создаваемого точечным
зарядом в вакууме, потенциал в точке, отстоящей от заря-
§ 3]
Напряженность электрического поля
19
да на расстоянии г, выражается через (потенциалы обозна-
чаются буквой <р)
(3,4)
направле-
, £
4п:е0г
Действительно, если мы возьмем частную производную
от ср по ка’кому-нибудь направлению 5 с обратным знаком
(фиг. 3,1), то
д® д<? dr а дг ~ „
~ ds" '1s ~~ 4^0г2 Э? C0S
мы получаем проекцию напряженности поля Е по
нию s.
Потенциал поля в ка-
кой-нибудь точке по ве-
личине своей представ- -
ляет собой отношение ра- << ~
боты, которая была бы ~ £
произведена силами поля
при перенесении какого- фиг* 3,1>
нибудь заряда за преде-
лы поля, к переносимому заряду, когда заряд стремится к
нулю. Для поля точечного заряда эта работа поля, отне-
сенная к единице заряда, определится через
ОО оо
(3,5)
Потенциал, как и напряжение (оба они являются скаляр-
ными величинами), измеряется в (джоуль, деленный на ку-
лон) или в V (вольтах).
Как напряженность поля точечного заряда, так и потен-
циал, последний в предположении, что в бесконечности <р
равно нулю, имеют во всех точках поля конечные и одно-
значные значения. Если для поля точечного заряда в точке
расположения точечного заряда (г=0) и Е получают беско-
нечно большие значения, то это обусловлено тем, что мы
предположили, что заряд может быть сосредоточен в точке,
чего на самом деле нет, ибо заряд всегда занимает какой-то
объем, который нулю равняться не может.
Потенциал может иметь и отрицательное значение, напри-
мер, когда поле создается отрицательным зарядом; тогда
при вынесении (положительного) пробного заряда за пределы
поля работу должно будет совершать не поле, а внешние силы.
2*
20
Электрическое поле
(гл. 1
При перемещении заряда из какой-нибудь одной точки
поля А в другую точку В (фиг. 3,2) совершаемая полем ра-
бота не зависит от пути, по которому происходит перемеще-
ние, а зависит лишь от разности потенциалов начальной и
конечной точки.
_ I_____д Гв_ д___________д__
~ I 4 izeor I 4 ^ГА 4 jrsrB
г
А
Таким образом разность по-
тенциалов двух точек и напря-
жение между этими двумя точ-
ками являются синонимами.
о dr
4~ е0 г2
Фиг. 3,3.
Фиг. 3,2.
Для перенесения полем единичного заряда из бесконечно-
сти в данную точку работа, которая должна быть на это за-
трачена, равна значению потенциала этой точки, взятому с
обратным знаком, ибо при гА — оо мы получаем
в
J Edl = <?A — ®в=0 — ?в= — <?в.
А
Поверхность, все точки которой имеют один и тот же по-
тенциал, представляет собой так называемую эквипотен-
циальную поверхность. Для точечного заряда эквипо-
тенциальными поверхностями являются шаровые поверхности,
проведенные вокруг точки, в которой находится заряд. На-
пряженность поля всегда нормальна к эквипотенциальной по-
верхности, проведенной через ту же точку. Если бы это было
не так, то вектор напряженности поля имел бы слагающую в
в 4]
Поле произвольно расположенных зарядов
21
плоскости, касательной к эквипотенциальной поверхности, а
это означало бы, что между точками эквипотенциальной по-
верхности имелась бы разность потенциалов, что противоре-
чит определению эквипотенциальной поверхности.
Весьма наглядное представление об электрическом поле
можно получить, если мысленно провести с одной стороны
ряд эквипотенциальных поверхностей так, чтобы между дву-
мя смежными поверхностями имелась бы одна и та же раз-
ность потенциалов, и с другой стороны вообразить себе ряд
так называемых силовых линий, совпадающих по напра-
влению с напряженностью поля в соответствующих точках,
т. е. нормальных к эквипотенциальным поверхностям и про-
веденных с такой густотой (плотностью), чтобы число линий,
приходящихся на единицу площадки эквипотенциальной по-
верхности, было пропорционал» но напряженности электриче-
ского поля в соответствующей точке (фиг. 3,3).
4. ПОЛЕ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ЗАРЯДОВ.
ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА
К электростатическим полям применим принцип суперпо-
зиции. Каждый заряд создает свое поле независимо от полей
других зарядов, и поле одного заряда накладывается на по-
ля остальных зарядов. Так, если дан не один точечный за-
ряд, а несколько, то вектор напряженности суммарного поля
в какой-нибудь точке будет, как вектор равнодействующей
механических сил (отнесенных к единичному заряду), равен
геометрической сумме векторов, которые получались бы от
поля каждого заряда в отдельности
£=£'1+^+^+...=-^-т- ^ + ^77' ?+•••, (4’0
4ireori2 ri 4W г2
где — радиусы - векторы, проведенные из точек распо-
ложения зарядов к той точке, в которой мы определяем Е.
Потенциал же в какой-нибудь точке суммарного поля рав-
няется алгебраической сумме потенциалов отдельных полей
в этой точке. Правильность такого сложения вытекает из
того, что величина потенциала представляет собой работу,
совершаемую полем при вынесении пробного заряда за пре-
делы поля (не зависящую от пути) и отнесенную к единице
заряда, и что работа равнодействующей поля равна сумме
работ слагающих сил по тому же пути
?=?i+?3+?3+-=:SrJL-- (4,2)
4 пеог
22
Электрическое поле
[гл. 1
Мы можем себе мыслить и объемное распределение заря-
дов, когда заряды занимают какой-нибудь объем. Под объ-
емной плотностью зарядов мы будем подразумевать
предел отношения заряда \q к занимаемому им объему &V
9 =
lim
Д? _ dq
л/ av'
(4,3)
Рассматривая dq= pdV как точечный заряд, мы можем
определить потенциал поля, создаваемого объемными заря-
дами:
ср= I —---,
J 4 яе0Г
V
г — расстояние центра объема dV до точки, для кото-
рой определяется ср.
Мы также можем себе представить и поверхностное рас-
пределение зарядов в виде бесконечно тонкого слоя, как мы
имеем это, например, на поверхности проводников. И в этом
случае, подразумевая под поверхностной плотностью о
предел отношения заряда Д</, приходящегося на площадку
Д5, к величине ее, когда Д5-*0
lim
Д$-*0
i\q___dq
dS’
(4,5)
мы элементарные заряды dq-=adS можем рассматривать опять
как точечные заряды, и потенциал поля в какой-нибудь точ-
ке выразить через
Г cdS
J 4rcs0r’
5
(4,6)
где г — опять расстояние элементов dS до точки, потенциал
которой мы хотим определить.
В общем случае, если мы имеем точечное, объемное, по-
верхностное и линейное (с линейной плотностью т) распреде-
ление зарядов, потенциал в какой-нибудь точке определится
через
q (* pdV f vdS , f 'zdl
*=s 4^+j + Jto7' (4’7)
Предположение, что заряды могут быть сконцентрированы
в точках, что они могут сплошь заполнить какой-нибудь
объем или непрерывно распределяться по поверхности или
§ 4]
Поле произвольно расположенных зарядов
23
вдоль линии, является, конечно, абстракцией, так как каждый
заряд в нашем современном представлении занимает неко-
торый, хотя и весьма небольшой, объем. Заряды сами по себе,
как составные части атомов и молекул, занимают лишь
ничтожную часть объема, который приходится на атом или
молекулу, и в своей совокупности они не могут ни заполнить
какой-нибудь объем полностью, ни распределиться в виде
неразрывной пленки или нити. Если мы в дальнейшем будем
говорить о плотности объемного, поверхностного или линей-
ного распределения зарядов, то мы будем понимать под этим
лишь некоторые усредненные значения зарядов, отнесенных к
единице объема, поверхности или линии.
Поверхность проводника в электростатическом поле яв-
ляется эквипотенциальной поверхностью, т. е. поверхностью
одного и того же потенциала, и тот же потенциал имеют все
точки внутри проводника. Если бы это было не так и точки
на поверхности проводника или внутри его имели разные по-
тенциалы, то вдоль поверхности проводника и внутри его
существовало бы поле, действующее на свободные электро-
ны внутри проводника, они перемещались бы в направлений
поля и не могли бы быть в равновесии, т. е. тогда мы не
имели бы электростатического поля. Поэтому напряженность
электростатического поля во внешней среде в точках поверх-
ности проводника не имеет слагающей вдоль поверхности
проводника и направлена по внешней нормали к этой поверх-
ности.
В то время как потенциал представляет собой непрерыв-
ную скалярную функцию координат точки, напряженность
поля есть вектор, который при переходе
от одной точки к другой может меняться
скачками, например, при переходе через
заряженную поверхность. _
Потенциал <? и напряженность Е, каж-
дый в отдельности, вполне определяют
поле, если ср или Е известны для всех
точек поля.
В электрическом поле, как бы ни
были расположены заряды, создающие
поле, напряженность поля всегда напра-
влена от точек более высокого потенциала к точкам более
низкого потенциала. Наибольшее падение потенциала на еди-
ницу длины имеет место по нормали к эквипотенциальной
поверхности. Если разность потенциалов между двумя экви-
потенциальными поверхностями (фиг. 4,1), находящимися по
обе стороны рассматриваемой точки А на расстоянии dn по
нормали друг от друга, будет rf?, то напряженность поля в
24
Электрическое поле
(ГЛ. 1
этой точке по величине и направлению может быть выра-
жена через
£=— i = — grad ?, (4,8)
где п° — единичный вектор по нормали к эквипотенциальной
поверхности, направленный от более высокого к более низкому
потенциалу. Падение потенциала, отнесенное к единице длины,
по всякому другому направлению будет меньше. Изменение
скалярной функции, отнесенное к единице длины по направ-
лению своего максимального возрастания, называется гра-
диентом этой функции и представляет собой вектор, имею-
щий определенную величину и направление. Поскольку на-
пряженность поля направлена в сторону уменьшения потен-
циала, мы, выражая напряженность поля через градиецт по-
тенциала, должны перед grad поставить знак минус. Гра-
диент есть инвариантная функция, не зависящая от выбран-
ной системы координат.
Если нам дано выражение потенциала каждой точки поля
как функция координат ф— f(xty,z) и если t,j и k — еди-
ничные векторы, взятые по положительному направлению
осей x,y,z, то напряженность поля может быть следующим
образом выражена через свои проекции по этим осям:
Ё= i Ех-\- J Еу+ ~k Ег =
(—Эф - дъ — д« \
1-J7+ j т; +к гг)=- §rad <4-9)
Когда известны значение и направление напряженности
поля, то нетрудно найти уравнения линий поля (или так на-
зываемых силовых линий поля), касательные к которым совпа-
дают с направлением вектора напряженности электрического
поля в соответствующих точках. Уравнения этих линий мы
получим, если будем перемещаться шаг за шагом на беско-
нечно малые отрезки ds вдоль линии, совпадающей с на-
правлением напряженности поля в соответствующих точках.
Так как напряженность поля
E = i Ех-{- j Ey-\-k Ег
и элемент длины силовой линии
ds —idx-\-jdy-\-k dz
§ 5] Однородное электростатическое поле 25
(где х,у и z—координаты точек искомой линии) составляют
с осями координат одни и те же углы, то
Ех Еу dy ?z dz
Е ds 9 ~П~ ds 9 Е * ds~
и поэтому
Е ^Х Еу Ег
ds dx dy dz * (4,11)
Если нам даны уравнения эквипотенциальных поверхностей,
как функции координат x9y,z точек поля <₽ =f(x9y,z)t то ди-
ференциальное уравнение силовой линии примет следующий
вид:
д? ду д?
5 = ^=5. (4,12)
dx dy dz
5. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Однородным электростатическим полем называется та-
кое, во всех точках которого напряженность поля имеет одно
и то же значение и направление. Такое поле может быть
получено в вакууме между двумя бесконечными параллель-
ными плоскостями (металлическими листами), заряженными
противоположными зарядами с равномерной поверхностной
плотностью зарядов 4“ с на одной и—она другой плоскости.
Напряженность в какой-нибудь точке поля определяется
как геометрическая сумма напряженностей частичных заря-
дов, расположенных на отдельных элементах плоскости,
Ё = \(1Ё = С-1 (5 1)
J .14кго г2 г \ /
Если опустить из точки, для которой определяется напря-
женность поля (фиг. 5,1), перпендикуляр на одну из плос-
костей, положим А, и взять две равных и симметрично рас-
положенных относительно основания перпендикуляра пло-
щадки dSx=dS^ то напряженности полей от зарядов zdSx и cdS2
будут равны по величине, наклонены к перпендикуляру под
одним и тем же углом а и их слагающие, параллельные пло-
скости А, будут взаимно уравновешиваться, так что при сум-
мировании dE можно ограничиться их слагающими, перпен-
дикулярными к заряженным плоскостям.
26
Электрическое поле
^гл. 1
Если все точки периметра каждой площадки соединить
прямыми линиями с точкой наблюдения О и провести около
нее как центра сферу через середину площадки dS, то
на этой сфере вырежется площадка г2 dQ = dS cos а, где
dQ—телесный угол, под которым из точки наблюдения видна
площадка dS. А так как бесконечная плоскость А из точки
наблюдения видна под телесным углом 2тг, то напряженность
поля от зарядов на плоскости А будет (dSjfn0, где п?—еди-
ничный вектор, перпендикулярный к заряженной поверхности)
Фиг. 5,1.
Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости
не зависит от расстояния до плоскости и имеет во всех точ-
G
ках одно и то же значение и направление, перпендику-
лярное к этой плоскости. Если плоскость заряжена положи-
тельным зарядом, то напряженность направлена от плоскости
в обе стороны, если же плоскость заряжена отрицательным
зарядом, то поле направлено к плоскости.
Когда в пространстве находятся две параллельных плос-
кости А и В (фиг. 5,2), заряженные противоположными заря-
дами с одинаковой плотностью ± о, то поля их накладывают-
ся друг на друга. Поэтому напряженность однородного
поля во всех точках между заряженными плоскостями будет
равняться
£=f4+£-s-24-=~ (5,3)
* О 60,
По ту и другую сторону заряженных плоскостей вне
промежутка между i ими поля не будет, так как там слагаю-.
§ 5}
Однородное электростатическое поле
27
щие напряженности поля ЕА и EBi равные по величине,
направлены в противоположные стороны.
Если мы ось у выберем совпадающей с направлением одно-
родного поля, то, исходя из зависимости напряженности поля
ду
от потенциала Е — — мы можем определить выражение
потенциала однородного поля
dy —— Edy и <? =—const. (5,4)
Если напряжение между пласти-
нами равно U и расстояние между
ними d, то мы будем иметь, что
= — yB=Ed. (5,5)
На фиг. 5,2 показана зависи-
мость Е и ср от у для однородного
поля между двумя противопо-
ложно заряженными пластинами.
На заряженных противополож-
ными зарядами поверхностях ме-
таллических пластин заряды рас-
полагаются лишь на обращенных
друг к другу поверхностях.
Однородное электростатиче-
ское поле может быть предста-
влено эквидистантными парал-
лельными силовыми линиями, сов-
падающими с направлением поля,
А В
и поверхностями равного потенциала, параллельными заря
женным поверхностям.
Неоднородное электрическое поле в бесконечно малых
пределах может рассматриваться как поле однородное и по-
тому мы получим поле, тождественное с рассматриваемым
в данной точке, если около нее проведем две бесконечно
близкие эквипотенциальные поверхности, заменим их метал-
лическими листами, заряженными противоположными заря-
дами с плотностью в данной точке =±za, где а=е0£' зависит
только от напряженности поля в этой точке (о в разных точках
одной и той же эквипотенциальной поверхности может иметь
разные значения). Из этого вытекает, что если одна из
поверхностей есть поверхность проводника, то, проведя бес-
конечно близкую к ней эквипотенциальную поверхность, мы
должны получить, что плотность зарядов на проводнике
28
Электрическое поле
[ гл. 1
должна быть связана с напряженностью поля в той же точке
соотношением
и £'=— • (5,6)
При рассмотрении электрических полей весьма удобно поль-
зоваться условным понятием электрической индукции
или электрического смещения, векторной величиной,
равной произведению напряженности поля на диэлектриче-
ский коэфициент среды. Введение понятия электрической ин-
дукции (электрического смещения), как видно будет из даль-
нейшего, позволяет получать однообразные формулы и урав-
нения для электрических полей как в вакууме, так и в любых
диэлектрических средах.
В вакууме электрическая индукция равна
5 = ^Ё (5,7)
и по направлению совпадает с напряженностью поля.
Электрическая индукция (смещение) обладает тем свой-
ством, что на поверхности проводников величина ее равняется
плотности зарядов в соответствующей точке поверхности
проводника.
Электрическая индукция (смещение) наподобие напря-
женности поля может быть картинно представлена также
воображаемыми линиями, но проведенными с такой густотой
(плотностью), что число их, пронизывающее единицу площади,
взятой нормально к направлению поля, равно числовой вели-
чине вектора D — eQE в данной точке.
6. ТЕОРЕМА ГАУССА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Интеграл
JDdS = $DdS cos (DdS), (6,1) •
представляющий собой сумму скалярных произведений какого-
нибудь вектора, например, вектора электрической индукции
на элемент какой-нибудь поверхности, называется потоком
вектора, пронизывающего эту поверхность. Здесь dS также
вектор, равный по величине площади элемента поверхности
dS и направленный по нормали к dS. Можно интегралу§DdS
дать картинное представление, если считать,_что через каждую
единицу поверхности, взятую нормально к Z?, проходит число
линий, равное или пропорциональное значению вектора D
§ 6]
Теорема Гаусса в интегральной форме
29
в соответствующей точке поверхности. Тогда поток вектора
может быть представлен в виде определенного числа таких
условных линий.
Для точечного заряда q поток вектора электрической
индукции или индукционный поток, пронизывающий замкну-
тую поверхность, охватывающую этот заряд (фиг. 6,1), будет
равен
N'-=f DdS=$ . Lds = f^dS cos (d5r),(6,2)
Фиг,. 6,1.
Здесь — телесный угол, под которым площадка dS видна
из точки расположения заряда, и если распространить инте-
грал на всю замкнутую поверхность, то сумма всех элемен-
тарных телесных углов будет равна 4тг. Поэтому весь индук-
ционный поток, исходящий из точечного заряда
N=fbdS=q, (6,4)
равен этому заряду независимо от того, как проведена зам-
кнутая поверхность, лишь бы она охватывала этот заряд
(фиг. 6,1). Если заряд находится вне замкнутой поверхности,
то индукционный поток, исходящий из этой поверхности,
равен нулю. Проведем из точки заряда конус с углом dQ у
вершины, который вырежет на замкнутой поверхности пло-
щадки dSx и dS2. Вектор площадки откладывается обыкно-
венно по внешней нормали. Если_£)_и dS составляют угол а
меньше 90°, то произведение DdS положительно, в этом
случае это соответствует представлению, что индукционные
линии выходят из замкнутой поверхности, наоборот, если
а> 90°, то произведение DdS получается отрицательным, и
индукционные линии входят в объем, ограниченный поверх-
30
Электрическое поле
[гл. 1
ностью. Суммируя ту часть общего потока, которая проходит
через элементы поверхности dS[ и dS2, вырезанные одним и
тем же элементарным конусом, мы находим, что
D^dS^DidS^—dQ—^ dQ=0.
Проведя ряд конусов таким образом, чтобы ими была захва-
чена вся поверхность S, мы получаем, что в случае, когда
заряд находится вне замкнутой поверхности, одинаковое
количество индукционных линий входит и выходит через зам-
кнутую поверхность, и что рассматриваемый объем не яв-
ляется источником индукционных линий и что суммарный по-
ток, исходящий из этого объема, равен нулю
$DdS=0. (6,5)
От точечного заряда мы можем перейти к рассмотрению
поля произвольно распределенных зарядов в точках, по по-
верхностям и по объемам. Разбивая эти заряды на элемен-
тарные заряды, которые мы можем считать сосредоточенными
как бы в точках, и учитывая, что напряженность равнодей-
ствующего поля равняется геометрической сумме напряжен-
ностей полей отдельных зарядов, а следовательно, что
электрическая индукция равна геометрической сумме индук-
ции отдельных полей
= ео^14“£о^зЧ“£о£’з4“---, (6,6)
мы можем распространить соотношения (6,4) и (6,5) на лю-
бую замкнутую поверхность
(fiDdS = Sq=Q. (6,7)
Последнее соотношение в электростатике носит название
теоремы Гаусса, гласящей, что электроиндукционный
поток, пронизывающий замкнутую поверхность, равен сум-
ме зарядов, заключенных внутри этой замкнутой поверхности.
Из теоремы Гаусса в интегральной- ее форме вытекает
одно весьма важное следствие. А именно, если теорему Гаус-
са распространить на все пространство электростатического
поля и считать, что вне поля E=Q nD—0, то мы получим, что
S<7 = 0, (6,8)
т. е. что сумма зарядов равна нулю или, другими словами,
что общие количества положительных и отрицательных за-
рядов равны друг другу.
§ 6]
Теорема Гаусса в интегральной форме
31
Если для характеристики электрического поля пользо-
ваться представлением об индукционных линиях, то источни-
ками индукционных линий являются заряды. Индукционные
линии начинаются у положительных зарядов и кончаются у
отрицательных. Предположим, что заряды расположены лишь
на поверхности проводников. Разбивая эти поверхности
(фиг. 6,2) на отдельные элементы dS и проведя от всех точек
периметра такого элемента
индукционные линии, мы все
электростатическое поле мо-
жем разбить на отдельные
так называемые индукцион-
ные трубки. Внутри каждой
такой трубки индукционный
поток имеет одно и то же
значение. Эти трубки будут
начинаться у положитель-
ных зарядов и кончаться
там,ч где имеются отрица-
тельные заряды. И в случае
более сложной системы за-
Фиг. 6,2.
рядов мы всегда можем мысленно разбить все пространство
на трубки или, что то же самое, считать, что поле прони-
зано индукционными линиями, которые не являются замкну-
тыми на себя линиями, но которые начинаются у положи-
тельных зарядов и кончаются у отрицательных зарядов.
Теорема Гаусса позволяет иногда весьма просто решать
практические задачи, когда поле имеет симметричное распо-
ложение и когда можно заранее предрешить, какое направ-
ление имеет электрическая индукция или напряженность пЬля.
Так, например, в поле так называемой электрической оси
(бесконечно длинного цилиндра с бесконечно малым сечением),
равномерно заряженной линейной плотностью % индукцион-
ные линии представляются радиусами, лежащими в плоско-
сти, перпендикулярной к оси, и электрическая индукция во
всех точках, отстоящих от оси на одно и то же расстояние,
имеет по соображениям симметрии одно и то же значение.
Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра (фиг 6,3)
с радиусом сечения г и длиной /, имеющего ось, совпадаю-
щую jc электрической осью. Так как для торцевых поверхно-
стей DdS — DdS cos 90° — 0, то индукционный поток, исхо-
дящий из объема цилиндра, будет определяться лишь пото-
ком, пронизывающим цилиндрическую поверхность. Поэтому,
применяя теорему Гаусса, мы можем написать
DdS = D 2~rl = xl,
3
(6.9)
32
Электрическое поле
[гл. 1
откуда просто определяется величина электрической индукции
о = (6.10)
и напряженность поля
_ D т rf®
Е = — = -----------= — — , (6,1
е0 2тсеог dr ’ 4 ’
которые изменяются обратно пропор-
ционально расстоянию от оси.
Поверхности равного потенциала
будут цилиндрические поверхности.
Зависимость потенциала от расстоя-
ния от оси может быть определена,
исходя из уравнения (6,11),
откуда
ф — — тА- In г 4- const =-------—In —^-г. Г6’12)
т 2гие0 1 2пе const
Если принять, что в бесконечности (г=оо) потенциал ра-
вен нулю (ср = 0), то постоянная интеграции приобретает
бесконечно большое значение.
7. ТЕОРЕМА ГАУССА В ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ.
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА—ЛАПЛАСА
Теорема Гаусса может быть выражена в диференциаль-
ной форме, и в таком виде она может служить как для
определения объемных зарядов, так и для исследования элек-
трического поля. Определим предел, к которому стремится
отношение индукционного потока, исходящего из какого-ни-
будь объема d,V\ ограниченного . поверхностью 5, к этому
объему, когда объем, непрерывно уменьшаясь, стремится к
нулю. Такой предел отношения потока вектора, исходящего
из какого-нибудь объема, к этому объему, когда последний
стремится к нулю, носит название дивергенции этого
вектора. Дивергенция вектора электрической индукции
div 7Э= lim - — Uni — =Р или 0 (7,1)
aiv и V-0 V V-+VV
§ 7] Теорема Гаусса в диференциальной форме
33
равна объемной плотности заряда в рассматриваемой точке
или же, если в данном месте нет объемных зарядов, то она
равна нулку.
Дивергенция какого-нибудь вектора для каждой точки
представляет собой скалярную величину и является величи-
ной инвариантной, т. е. не зависящей от системы координат.
В прямоугольных координатах дивергенция может быть опре-
делена следующим образом. В точке А с координатами х, у, z
строим вокруг нее элементарный прямоугольный паралле-
лепипед со сторонами dx, dy и dz (фиг. 7,1), параллельными
осям х, у, z.
Поток электрической ин-
дукции. проходящий через
какую-нибудь площадку,ра-
вен DdS ~dSDn, т. е. пло-
щадке dS, умноженной на
Dn — проекцию электриче-
ской индукции на внешнюю
нормаль к этой площадке.
Через площадку ab прохо-
дит поток — Dy dxdz (знак
минус стоит потому, что Dy
и внешняя нормаль к площадке ab составляют угол в 180°),
а через площадку cd проходит поток (Dy Ц- • dy) dxdz.
dD
Их суммд равна dxdydz. Находя сумму потоков, прохо-
дящих через две другие пары противоположных сторон, и
применяя теорему Гаусса, мы находим, что
dDx , dDy dDz\
”37“ + “зу + ~дГ j dxdydz = pdxdydz или 0 (7,2)
и после деления обеих частей на dxdydz=dV мы получаем
в соответствии с уравнением (7,1)
- дОг dDy t dDz
di« О = -af + V + * =p ил“ 0 <7’3>
в зависимости от того, имеются ли в данной точке объемные
заряды или нет.
Вектор электрической индукции может быть определен
через градиент потенциала D — ^E —— eograd?, откуда
divZ5=—sodivgrad<p = p или 0.
3 К. А. Круг, т. I.
34 Электрическое поле [гл. Г
Но
dZ)v д2у
Dx=£oex~-^-^ и ~д7 = — г0 5F?> (7>4)
поэтому в раскрытой форме дивергенция вектора электриче-
ской индукции выражается через потенциал следующим
образом:
/ дЦ дЦ д2? \
div£> = —г0 ^72 + 073+ dz2j= — s0V3?^ ИЛИ 0, (7,5)
сумма вторых производных по осям координат от скаляра
обозначается символом V2, называемым лапласианом.
Если в рассматриваемой точке имеются объемные заряды,
то мы из уравнения (7,4) и (7,5) получаем так называемое
уравнение Пуассона
е0 div grad ф + р — г0 V2 ? + Р = 0. (7,6)
Если же в рассматриваемой точке нет объемных зарядов,
то после сокращения на г0 мы получаем уравнение Ла-
пласа
д2<? д2<? д2ъ
та
Потенциальное поле, удовлетворяющее уравнению Лапласа
(7,7), называют лапласовым п о л е м (например, поле тяго-
тения земли).
Уравнение Пуассона дает зависимость между потенциа-
лом поля и плотностью объемных зарядов в точках, где эти
заряды имеются. Уравнение Лапласа, являющееся частным
случаем уравнения Пуассона, относится к точкам поля, сво-
бодным от зарядов. Несмотря на простой вид этих урав-
нений, решение их в общем виде встречает непреодолимые
затруднения.
Сочетая теорему Гаусса в интегральной и диференциаль-
ной форме (6,7) и (7,3):
ф DdS= Q= \pdV=\ div DdV (7,8)
5 v ___ _V
и подходя формально к вектору D — Л, ограничимся тем усло-
вием, что А = grad с? является градиентом от скаляра, имею-
щего в каждой точке лишь одно определенное значение, не-
прерывно меняющееся от точки к точке (что равносильно
условию, что первая производная этой скалярной функции
§ 7]
Теорема Гаусса в диференциальной форме
35
по любому направлению в любой точке имеет конечное зна-
чение), т. е. что вектор А относится к потенциальному полю,
мы можем получить уравнение для преобразования инте-
грала вектора по замкнутой поверхности в объемный инте-
грал, ограниченный этой поверхностью, и наоборот (преоб-
разование Гаусса)
ф AdS=Jdiv AdV\ (7,9)
Преобразованию Гаусса можно дать следующее толкова-
ние. Положим, что вектор А изображается числом линий на
единицу площади, div A dV обозначает тогда число линий,
возникающих и исходящих из объема dV. Если весь объем
разбить на элементарные объемы dV и учесть, что линии,
выходящие из какого-
нибудь объема, следует
считать с плюсом, а ли-
нии, входящие в какой-
нибудь объем, с мину-
сом и что при перехо-
де через пограничную
поверхность из одного
объема в смежный чис-
ло линий не изменяется,
то мы получим, что по-
ток линий, проходящий
через внешнюю зам- Фиг. 7,2.
кнутую поверхность S,
должен равняться алгебраической сумме линий, возникаю-
щих в этом объеме.
Выше мы рассматривали так называемую объемную дивер-
генцию вектора электрической индукции D для случая, ког-
да в данном месте поля находятся объемные заряды или
когда объемные заряды отсутствуют. Рассмотрим еще ди-
вергенцию применительно к поверхностному распределению
зарядов. Выделим на заряженной поверхности (фиг. 7,2)
площадку AS с зарядом oAS и применим теорему Гаусса к
цилиндру с бесконечно близкими друг к другу основа-
ниями AS\ и AS2, параллельными AS. Пусть Dln и D2n
проекции электрической индукции Dx и D2 по ту и другую
сторону от AS на- нормаль к поверхности AS; так как AS —
—AS2=—ASb то поток, исходящий из рассматриваемого
объема, равняется
dS — (D.,n — Dln)±S=(7,10)
36
Электрическое поле
[гл. 1
Потоки, проходящие через боковые стороны цилиндра, ко-
торые могут быть сделаны сколь угодно малыми, не влияют
на значение интеграла. Если мы теперь возьмем предел отно-
шения исходящего из заряженной площадки AS потока элек-
трической индукции к величине этой площадки, то мы полу-
чим так называемую поверхностную дивергенцию (Div), ко-
торая будет равна поверхностной плотности заряда
DivL>= Hm = ~ S==D D =
S—>0 S AS 2/1 ln
=^E2-Eln)=c. (7,11)
Из последнего соотношения видно, что, проходя через за-
ряженную поверхность, как нормальная составляющая элек-
трической индукции, так и нормальная составляющая на-
пряженности поля испытывают скачок: первая скачок, равный
D2n— Dln=a, а вторая—скачок Е2п— Е1п= —.
ео
Применяя поверхностную дивергенцию к поверхности про-
водника, для которого
£>1л=0 и Е1а=0 и Z)2n=D=s0F,
мы получаем, что
знаем, что радиус кривизны
Div D=D = ^E — а. (7,12)
В качестве примера применения урав-
нения Лапласа рассмотрим влияние криви-
зны поверхности проводника, на напряжен-
ность поля на его поверхности (фиг. 7,3).
Проведем на бесконечно близком расстоя-
нии от рассматриваемой точки О на поверх-
ности проводника эквипотенциальную по-
верхность и выберем прямоугольную си-
стему координат таким образом, чтобы
ось z совпадала с внешней нормалью к по-
верхности проводника, а две остальные
оси лежали в плоскости, касательной к
поверхности проводника. Затем к кривой
АОВ — кривой пересечения этой поверх-
ности с плоскостью 3‘z, через точку О
проведем круг кривизны. Из анализа мы
плоской кривой следующим образом выра-
жается через производные координат:
[4Г)Г
ry— d^z
dy?
(7,13)
§ 7]
Теорема Гаусса в диференциальной форме
37
Координаты точек эквипотенциальной поверхности, совпадающей с
поверхностью проводника, связаны уравнением
<р — <р(х,у, z) = const.
(7,14)
Для нахождения производных продиференцируем последнее уравне-
ние. Поскольку мы рассматриваем кривую, лежащую в плоскости yz, ко-
ординаты х будут для всех точек кривой иметь одно и то же значение.
Поэтому
или
- dy -У dz = О
dy J 1 dz
2?
dy д<р9
dz
вторая производная будет равна
д<р Г д2$
d2z _ _ dz [ дУ2
dy2~~
д2у dz~\ д<р Г д2у d2cp dz
dvdz dy I dy I dzd v + dz2 dy
(7,15)
При нашем выборе осей координат уравнения значительно
щаются. Кривая АОВ— касательна к оси у в точке О, и для этой
dz
— = 0. Кроме того, так как кривая АОВ—линия равного потенциала, то
dy
для точки О :=:0. Далее, так как ось z совпадает
ynpo-
точки
с нормалью n к no-
верхности уровня, то Это направление не зависит от системы координат,
ду d<?
и = Подставляя эти значения в уравнения (7,15), мы получаем
для второй производной д2у dy2 ду ’ ( ’ ) дп
а для радиуса кривизны
д?
__ 1_____дп
rv — - (7,17)
dy2 ду2
Отсюда
по у
получается следующее
выражение для второй производной
д2у_ 1_dy
ду2~~ гу ап г
(7,18)
38
Электрическое поле
'гл. I
Такое же выражение мы должны получить для второй производной
потенциала по х
д2у 1 flf©
дх2 dn'
(7,19)
Что касается второй производной потенциала по z, то она вслед-
ствие совпадения оси z с нормалью выразится через
d2? d2y
dz2 dn2'
(7,20)
/ dE \
у" dn J
Согласно уравнению Лапласа сумма вторых производных потенциала
для точки, бесконечно близкой к поверхности, ввиду отсутствия зарядов
в этой точке должна равняться нулю
/1 1 \ dy d2y
—— 4" есть двойная средняя кривизна эквипотенциальной поверхно-
гх гу
сти, а следовательно, и поверхности проводника в рассматриваемой точке.
dy d2y dE
Заменим в последнем уравнении через—Е и через —тог-
да мы получаем, что
dE dE 11
= —+V (7,22)
Относительное изменение (уменьшение) напряженности поля
dE
на единицу длины по нормали, т. е. — —г : dn тем больше, чем больше
кривизна поверхности; поэтому у выпуклых или выступающих частей
проводников (остриев, острых ребер) напряженность поля по мере уда-
ления от поверхности проводника резко уменьшается, а так как все
точки поверхности проводника имеют один и тот же потенциал, то от-
сюда следует, что падение потенциала на единицу длины или напряжен-
ность поля у более выпуклых частей проводника должна быть больше,
чем у менее выпуклых.
Напряженность поля и плотность заряда на поверхности проводника
связаны соотношением а~е0£; на остриях плотность заряда значительно
больше, чем в других местах, и на остриях заряды испытывают весьма зна-
чительную силу, под действием которой может иметь место стекание за-
рядов (электрический ветер). В результате при повышении напряжения
на остриях разряды начинаются раньше, чем в других местах.
8. ОТСУТСТВИЕ ВИХРЕЙ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Работа, совершаемая полем при перемещении пробного
заряда, отнесенная к единице положительного заряда, равна
разности потенциалов начальной и конечной точек незави-
симо от пути, по которому происходит перемещение (3,3),
в
С - - Q Q
J Eds — 4тс£оГ^ 4пс0гд ~ Чв- (8,1)
4
§ 8]
Отсутствие вихрей в электростатическом поле
39
Если перемещение происходит под действием сил поля,
то положительный заряд передвигается от более высокого
потенциала к более низкому потенциалу. Если при переме-
щении приходится преодолевать силы поля, то должна быть
затрачена работа внешних сил.
При перемещении заряда £
в электростатическом поле по q/.
замкнутому пути никакой ра-
боты не затрачивается, ибо /7 л.
если взять отношение работы _ I W
к перемещаемому заряду, мы j у
имеем (фиг. 8,1) S' L 1
Eds = = 0. (8,2) с< 4--------------1/
* % -ЦХ
Линейный интеграл какого- фиг g
нибудь вектора по замкнутому
пути называют циркуляцией этого вектора. Циркуля-
ция вектора напряженности электростатического поля как
точечного заряда, так и зарядов со всяким другим распре-
делением всегда равна нулю. Это положение можно охарак-
теризовать тем, что в электростатическом поле нет вихрей.
В электростатическом поле нет замкнутых на себя индукцион-
ных или силовых линий. Они имеют всегда начало (у поло-
жительных зарядов^ и конец (у отрицательных зарядов).
я В математической физике наличие
вихрей определяется значением, отлич-
J . g ным от нуля, пространственной произ-
водной так называемого ротора (rot)
или как его иногда еще называют
( IX] кёрля (curl) или вихря от вектора, ха-
рактеризующего поле. Ротор какого-
нибудь вектора есть также вектор,
(1$ который по величине определяется как
предел отношения линейного интеграла
Фиг. 8,2. этого вектора по замкнутому пути к
ограниченной им бесконечно малой
площадке, расположенной таким образом, чтобы это отноше-
ние имело максимальное значение, и направлен по нормали
к этой площадке.
Если при выбранном направлении обхода площадки (фиг. 8,2)
линейный интеграл дает положительную величину, то ротор
откладывается по тому направлению нормали к площадке,
которое соответствует правилу буравчика. Ротор являет-
ся инвариантной функцией, не зависящей от системы ко-
ординат.
40
Электрическое поле
[гл. 1
Проекция ротора на какое-нибудь направление п°, нор-
мальное к площадке 5, может быть выражена через
rot„£= (8,3)
Для определения ротора в прямоугольной системе коорди-
нат определим сначала проекцию ротора на ось х. Для этого
в рассматриваемой точке (фиг. 8,3) возьмем площадку aecd
со сторонами dy и dz, параллельными осям у и z.
Сели Еу—слагающая вектора Е по оси у на отрезке ав,
то на отрезке de мы будем иметь слагающую
г. дЕу .
Е 4. — dz.
у 1 dz
Аналогично этому для отрезков ad и вс слагающие вектора
f дЕг
Е по оси z будут Е2 и Ег -ф- * dy.
Если мы теперь обойдем прямоугольник по направлению
aecd, то для циркуляции вектора Е по контуру aecd полу-
чим
/ dEz \ ( дЕи \
Eydy 4- \Ег +-fy~dy) dz — \Ey 4- dz jdy — Ez dz =
(дЕ, дЕи \
= \~0у W)dydZ' (8,4)
Взяв отношение этой циркуляции к площадке dydz, най-
дем проекцию ротора на ось х:
t дЕг дЕу
rot, Е = -fa . (8,5)
§ 8]
Отсутствие вихрей в электростатическом поле
41
Путем круговой замены индексов мы получим яроекции
на оси у и z ; складывая геометрически эти проекции, мы
найдем выражение для rot Е
rot Е’.
dEz_dE\ ( дЕг _dEz
ду qz \ dz дх ) * К \dx
dr, \
^)- (8,6)
Эту формулу легко запомнить,
добие детерминанта
если ее составлять напо-
rot Е =
i J
дх ду
Е Е
В цилиндрических координатах
направлениям выражаются через
(8,7)
слагающие ротора по трем
- 1 d(r£?) дЕг дЕг дЕ^
^Е~—г---------7й” rot’^7dF-^r
дЕг дЕг
и ----sr-
(8,8)
Для вектора напряженности электростатического поля ро-
тор всегда равен нулю, что для прямоугольной системы ко-
ординат может быть доказано, если подставить в уравне*
ние (8,6)
ЗЕг _ дЦ дЕу _
ду dzdy ’ dz dydz И Т* 'Д*'
Поэтому
rotZ?= —rot grad ср=0.
(8,9)
При помощи векторной функции ротора весьма просто
можно вывести так называемое преобразование Стокса, по-
зволяющее заменить линейный интеграл вектора по замкнутой
кривой интегралом ротора этого же вектора по поверхности,
ограниченной этой замкнутой кривой.
Если нам задана какая-нибудь замкнутая кривая I и тре-
буется определить линейный интеграл ф Д то, проведя
через кривую I произвольную поверхность S и разбив пло-
42
Электрическое поле
[гл. 1
щадь этой поверхности_ (фиг. 8,4) на элементарные площадки
dS, мы интеграл ^Adl, взятый по пограничной кривой, мо-
жем рассматривать как сумму таких же интегралов, взятых
по периферии отдельных площадок dS, ибо по линии сопри-
косновения двух смежных площадок Adi будет иметь равные
и противоположные значения, так
как А сохраняет свое направле-
ние, a dl для двух смежных пло-
щадок, при обходе их, скажем,
против часовой стрелки имеет про-
тивоположное направление. При
сложении отдельных интегралов
останется, следовательно, лишь
интеграл по пограничной кривой.
Фиг. 8,4. Но для каждой площадки линей-
ный интеграл согласно опреде-
лению ротора может быть заменен через rot А • dS, поэтому
линейный интеграл по пограничной кривой S может быть
преобразован следующим образом:
(fl A dl= j rot AdS. (8,9)
I s
Это преобразование Стокса может быть применено
и в обратном порядке, т. е. для преобразования поверхност-
ного интеграла в линейный, если функция, стоящая перед dSt
может быть представлена как ротор от некоторого вектора.
9. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА НАБЛА
Введенные выше диференциальные функции grad, div и
rot могут быть обобщены, и оперирование с этими функциями
может быть в значительной мере облегчено, если употреблять
так называемый диференциальный оператор, предло-
женный Гамильтоном, обозначаемый треугольником, поставлен-
ным на вершину и названный им набла (по названию старин-
ного струнного инструмента). Применение этого символиче-
ского оператора находится в соответствии с тем, что указан-
ным выше функциям grad, div и rot можно придать однооб-
разный вид, если написать их в виде
grad ср = ^=V?, (9,1)
divZ> = Jim =V D, (9,2)
V-+0
rot£ = = [V(9,3)
§ 9]
Оператор Гамильтона набла
43
(доказательство правильности приводимых соотношений пре-
доставляется самим читателям).
Оператор набла следует рассматривать как своего рода
вектор. Для прямоугольной системы координат набла может
быть символически представлена в виде
- г , — — d ~ d _ д
V= 1 + J Чу + k Чг= i +/ фГ + k-^, (9,4)
д д d
ГДе 7,= ^ И V2=:-.
Если оператор набла стоит перед какой-нибудь скаляр-
ной функцией ср, то это дает градиент этой функции
/ - д т д
' - д \ ~д<? , - . г
—1— к 7— )ф I --------(— 7 -----\~k -Т-*
1 dz / ‘ дх 1 J dy 1 dz
(9,5)
Если оператор набла скалярно умножается на какой-нибудь
вектор D = iDx~Y JDy k Dzi то, учитывая, что Z-Z =
=j - j =k-k = 1, мы получаем дивергенцию этого век-
тора
_ / _ d — д _ d \ f - - — \
vo=( ‘ x+i а; +к х) {‘Dr+jDy+kDy
dDx dDy dDz
dx + dy + dz
(9,6)
Аналогичным образом можно показать, что векторное про-
изведение набла на какой-нибудь вектор ~Ё представляет со-
бой ротор последнего, для чего возьмем сначала проекцию
ротора hi ось х (8,5) и заменим символ производных через
символ набла
_ d d , r
rot, Е=- (Ее) - ^(£у) = V V Ez - ХЦЕУ = [ W L (9,7)
и отсюда следует, что
iv^'] = [wL-+7[wb +a[v^]s. (9,8)
44
Электрическое поле
[гл. 1
Квадрат набла от скаляра равняется дивергенции гра-
диента этого скаляра или в прямоугольной системе координат
сумме его вторых частных производных по осям координат
[ср. с уравнением (7,7)]:
У73ср = \7 у/ ср = V (grad ф) = div grad ср, (9,9)
d2<p f д2<о । д2<р
дх2 ду2 dz2
(9,10)
Пользуясь оператором V как символом пространственного
диференцирования и рассматривая его как вектор, можно,
применяя общие правила диференцирования и векторной ал-
гебры, чисто формальным путем производить весьма сложные
преобразования. Ниже мы приводим ряд примеров
divrot Л = v [xM] = 4[VV] =0, (9,11)
rot rot A =[v [ ] ] = [/й [ХА ]] =Х- МА—А- М Х=
--\/^А — V24=grad divA— V24 (9,12)
grad (®4 =V(t?'?)—•V?4"?’44=’? grad ®4~? grad 4 (9,13)
div (-?Л) = \7(d/l)=\7M+'?V^"=4 grad i-p'? div A, (9,14)
rot(Ф A) — [ V (ф Л)] = [ V ф Л] 4- [6 V A] =
= [grad 6 A ] 4''? rot A, (9,15),
div [43] = v[aB] =V[H3]B=ccnst+V[^3]4=ccnst=5[v4]4-
4-J[3v]=3[V4]—J[ v£]==brot4 —4rot3. (9,16)
Пользуясь преобразованием Гаусса (7,9), приравняв в нем
4=:®grad^, уравнением (9,14), приравняв в нем А = grad <р, и
уравнением (9,9), можно вывести преобразование Грина
^4grad'?d5=J div(®grad’?)^4=J(grad'? grad®4? divgrad'?)rZI/=
= \ (grad® grad C»-|-?V2'?)^^Z (9,17)
или если <?=4
(9,18)
§ 10]
Электрические диполи
10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДИПОЛИ
Прежде чем перейти к рассмотрению действия электри-
ческого поля на диэлектрики, рассмотрим так называемые
электрические диполи, представляющие собой два рав-
ных, но противоположных заряда, так сказать — два проти-
воположных полюса, находящихся друг от друга на весьма
малом расстоянии; диполь определяется его электрическим
моментом, равным по величине р 1
произведению заряда его по-
люсов на расстояние между
ними и направленным от отри-
цательного полюса к положи-
тельному (фиг. 10,1)
Фиг. 10,1
p=qh
Диполь в вакууме создает вокруг себя поле, которое в
точке г » h может быть охарактеризовано потенциалом
+я
—q __q^—r^ qh cos а р cos а
^гоГ! 1 4пзог2 4ле0гхг2 4^е0г2 4^2
где а—угол между направлением о~и диполя и линией, со-
единяющей середину диполя с точкой наблюдения О. Если же
положение точки наблюдения О по отношению к диполю
определять расстоянием г от точки наблюдения до середины
диполя и углом, который образует радиус-вектор, проведен-
ный из точки наблюдения, то так как ^/а=180° — и
потенциал в точке О может быть выражен через
—pcosjy^)
(10,3)
так как
1 д ( 1 \ г
1 о f 1 \ г г
grad г дг\г) г г3
На фиг. 10,2 представлено поле диполя; сплошными ли-
ниями показаны следы эквипотенциальных поверхностей,
координаты которых удовлетворяют уравнению ?=const, а
пунктирными линиями линии поля.
Если диполь вносится в какое-нибудь постороннее (внеш-
нее) электрическое поле фиг. 10,3, то это связано с затра-
той энергии. Пусть <?—потенциал поля в центре диполя.
46
Электрическое поле
‘гл. 1
При угле а<90° между направлением поля и осью диполя
потенциал в точке нахождения заряда -J- q будет
de?
СЕ>1=Ср
41 4 1 dh
h — р h
2 ? Eh 2
напряженности поля
потенциал
где Eh = Feos а — проекция
трическую ось диполя; а
Фиг. 10,3.
на элек-
в точке — q будет
h
?з = (₽+Д,-. Вне-
сение заряда -f-q тре-
бует затраты работы
со стороны внешних
сил и на эту
величину увеличится
энергия поля, внесе-
ние полюса —q будет
происходить за счет
энергии поля и изме-
нит энергию поля на
ср2(—?)• Поэтому из-
менение энергии по-
ля Wt от внесения ди-
поля выразится через
= — р Е cos (Ер) = —рЕ.
(Ю.4)
Наоборот, если в данной точке поля возникает диполь
под действием сил самого поля, то работа, совершаемая по-
лем, будет равна
Д = —= рЕ. (10,5)
Диполь, находящийся в электрическом поле, испытывает
со стороны поля при несовпадении направления поля и оси
диполя механический момент вращения,
М — qEh sin а = рЕ sin а,
(10,6)
который может быть представлен в виде вектора
М= [pF].
(Ю,7)
§ 11]
Поляризация Диэлектриков
47
Если диполь находится в однородном поле, то на него
действует лишь момент вращения, если же поле неоднород-
но, то к моменту присоединяется еще сила поступательного
движения. Сила эта просто определяется по методу возмож-
ных (виртуальных) перемещений. Если диполь под действием
сил поля переместился бы параллельно самому себе по на-
правлению х на то совершенная полем работа равнялась
бы соответствующему уменьшению энергии поля
dWi
Fx Ьх = Fx = - (10,8)
И
= — grad Wt = grad (р £). (10,9)
Во всех вышеприведенных формулах Е обозначает напря-
женность внешнего поля.
Выражение
Wt = — ~pE = U (10,10)
можно рассматривать как потенциальную функцию, первая
производная которой, взятая по какому-нибудь направлению
с обратным знаком, дает слагающую силы, с которой поле
действует на диполь по этому направлению. Точно так же,
если диполь/? составляет с напряженностью поля угол а, то
момент, с которым поле- действует на диполь, может быть
определен как
dU д /-----ч
(—у- = 4- — ( — р £) —
(— да) 1 да 4 г 7
д
=— уа(рЕ cos z)=pE sin а (10,11)
(в производной перед да стоит знак минус, так как момент М
стремится уменьшить угол а), что совпадает с уравнением
(Ю,6)
11. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Хотя диэлектрики и не проводят электричества, тем не ме-
нее они испытывают те или иные изменения под действием
электрического поля. Диэлектрики бывают газообразные,
жидкие и твердые. Особенно четко могут быть представлены
процессы, имеющие место в газах, в которых объемы молеку-
лы во много раз меньше того объема, который из общего
объема приходится на одну молекулу, и в которых можно
48
Электрическое поле
*гл. 1
пренебречь влиянием поляризации одной молекулы на другие
молекулы. В общем различают молекулы двоякого рода — не-
полярные и полярные молекулы.
В неполярных молекулах положительные и отрицательные
заряды каждой молекулы компенсируют друг друга в своем
действии на окружающую их среду. В таких молекулах при
отсутствии внешнего поля центры действия положительных за-
рядов ядер и центры действия отрицательных зарядов элек-
тронов, обращающихся вокруг ядер, совпадают, и поэтому в
отношении внешней среды они могут быть приняты находя-
щимися как бы в одной точке. Если на такие молекулы дей-
ствует внешнее элек-
ZZZZ"~ZZ LZ. трическое поле, то в
S" 'у ______________xcCZZZ—5^-*^ них положительные
! \ __________\ Z и отрицательные за-
| © I ----—ф__ g ряды (вернее центры
\ у --л------их действия) сдви-
\ / —V-----------гаются друг относи-
-----------------*“ тельно друга (фиг.
Е=о ' * 11,1), положительные
заряды в своем отно-
сительном перемеще-
нии сдвигаются по
направлению поля, а
Фиг. 11,1.
отрицательные заря-
ды в противоположную сторону, образуя диполь. Чем больше
напряженность электрического поля, тем больше и относи-
тельное смещение в каждой молекуле. При исчезновении
поля, а следовательно, и внешних сил, действующих на
заряды, последние под действием внутренних сил возвра-
щаются в прежнее свое положение и молекула становится
опять нейтральной.
Сдвиги, испытываемые положительным и отрицательным за-
рядами молекулы, ничтожно малы и могут быть приняты совпа-
дающими с направлением поля; в соответствии с этим элек-
трический момент, приобретаемый молекулой во внешнем поле,
может быть принят пропорциональным напряженности поля
р = qh = а Е,
(11,1)
где + Я и —q — заряды полюсов образовавшегося диполя;
h— его плечо; а — коэфициент поляризуемости молекулы.
Если на единицу объема приходится п молекул, то электри-
ческий момент, отнесенный к единице объема, называемый п о-
ляризацией диэлектрика, может быть выражен через
Р~^^ = пр — пиЕ = *Е, (11,2)
§ 11] Поляризация диэлектриков 49
где х—так называемый коэфициент поляризации
диэлектрика.
На создание диполя, т. е. смещение зарядов полюсов
на-^-, со стороны поля требуется при £’=const затрата работы
(£*—напряженность поля в центре диполя)
(11,3)
и на такую величину уменьшится энергия поля, поэтому при
образовании диполя энергия поля изменяется на
рЁ, (11,4)
что совпадает с уравнением (10,4).
Молекулы второго рода, так называемые полярные моле-
кулы, отличаются от молекул первого рода (от неполярных)
тем, что они сами по себе в нейтральном состоянии среды
представляют собой постоянные диполи, которые при отсут-
ствии внешнего поля в каждом элементе объема под влия-
нием теплового движения имеют разные одинаково вероят-
ные направления, и потому взаимно компенсируют друг дру-
га и на окружающую среду никакого электрического дей-
ствия не производят.
Если на такие диполи действует внешнее электрическое
поле, то каждый диполь испытывает со стороны электриче-
ского поля момент вращения (10,7) и диполи повернутся на
некоторый угол, пока не установится новое равновесное со-
стояние. Можно показать, что и при наличии постоянных ди-
- S7
полей средний момент единицы объема Р= — пропорциона-
лен напряженности внешнего поля. Если молекулы, испыты-
вающие действие внешнего силового поля, находятся при
этом в тепловом равновесии, то по теореме Больцмана из
статической механики вероятность того, что молекула в
силу своего положения (направления) будет обладать энер-
_____________________________________________w
гией IF в данном поле, пропорциональна Ае , где k —
постоянная Больцмана, аГ—абсолютная температура. В на-
шем случае IF =—р Е=—рЕсъза, кроме того, так как —
kT
величина очень небольшая ~ С1, то если е & разложить
4 К. А. Круг, т. I.
50
Электрическое поле
(гл. 1
в ряд, вероятность может быть выражена через первые два
члена ряда
.. W p£cosd
Ав кТ =Ae~~W~ == + (11,5)
Фиг. 11,2.
где А — некоторая постоянная
величина, подлежащая определе-
нию. Число диполей в единице
объема, оси которых лежат вну-
три телесного угла между £1 и £2-|-
4-d2 (фиг. 11,2), т. е. между двумя
коническими поверхностями с рас-
творами 2 и Й -р dfi, имеющими
своей осью направление элек-
трического поля, может быть вы-
ражено через
а( 14- — cos оЛ d£l — А( 14- — cosa^2rc sin a da,
\ 1 kT J \ 1 kT J
а геометрическая сумма моментов диполей с таким направ-
лением, поскольку перпендикулярные к полю слагающие их
моментов взаимно уравновешиваются, в единице объема
будет
р cos а Л 1 + —, cos а )2тт sin а da.
Если общее число диполей в единице объема равно я, то
А (14- — cos а^2тг sin ada = 4т4=я
\ 1 А Т / ’
Л П
откуда Д= —•
(11,6)
(И,7)
Теперь мы можем определить и электрический момент
единицы объема диэлектрика с полярными молекулами
Р—{ Р cos a— (14- — cos а^2тг sin ada —
J чп \ kT /
о
я
— —C cos2 a dx~——Z:
J <2kT HkT
(11,8)
Поляризация диэлектриков
51
Таким образом мы видим, что поляризация газообразных ди-
электриков как с неполярными, так и с полярными молекула-
ми пропорциональна напряженности поля и пропорциональна
числу молекул в единице объема, т. е. давлению, но в
то время как поляризация диэлектрика, не имеющего
постоянных диполей, от температуры не зависит и тео-
ретически может беспредельно увеличиваться, в ди-
электриках второго рода с постоянными диполями поляриза-
ция с повышением температуры уменьшается и, кроме того,
стремится с увеличением внешнего поля Е к максимуму
Pz=.np, когда все диполи приведены в совпадение с элек-
рическим полем.
В общем же поляризация* газов может быть обобщена
формулой
Р=п(а^ (11,9)
Что касается жидких и твердых диэлектриков, то там яв-
ления поляризации молекул сложнее в силу большей слож-
ности и неоднородности их строения, а также и потому, что
в них благодаря их большей плотности среднее расстояние
между молекулами значительно меньше, и взаимодействие
молекул между собой при воздействии на них внешнего по-
ля оказывает очень большое влияние на поляризацию таких
диэлектриков.
В диэлектриках собственные электрические поля диполей
ослабляют внешнее поле и вследствие этого фактически дей-
ствующее на диполи поле, получающееся в результате на-
ложения на внешнее поле поля диполей, имеющего внутри
молекул (диполей) обратное направление, будет меньше внеш-
него поля.
Можно еще указать, что в некоторых твердых диэлектри-
ках, кроме рассмотренных выше видов поляризации, а имен-
но относительного смещения ядра и центра действия элек-
тронов в атомах молекул и поворота имеющихся в' диэлек-
трике полярных диполей, наблюдается еще, как, например, в
поваренной соли, смещение в кристаллической решетке ве-
щества противоположно заряженных ионов, входящих в мо-
лекулы.
Все же для изотропных1 жидких и твердых диэлектриков
можно принять, что поляризация в них (электрический мо-
мент, отнесенный к единице объема) пропорциональна на-
пряженности результирующею поля Е и совпадает с направ-
лением этого поля _
Р=*Ё9 (11,10)
вещество называется изотропным, когда оно по всем направлениям
обладает одними и теми же физическими свойствами.
4*
52
Электрическое пол*
[гл. 1
где коэфициент х представляет собой коэфициент поляриза-
ции или поляризуемость диэлектрика.
В анизотропных (неизотропных) диэлектриках с постоян-
ными диполями поляризация может приобретать разные зна-
чения в зависимости от ориентировки диполей в пространстве,
и в таких диэлектриках поляризация может и не совпадать
с направлением поля.
При поляризации общая сумма зарядов в диэлектрике не
меняется, а остается равной нулю. Заряды, выявляющиеся
при поляризации, не являются свободными; они связаны не-
посредственно с материей и не могут быть перенесены с
одного места тела на другое. Поэтому эти заряды называют
связанными или индуцированными в отличие от так называе-
мых свободных зарядов, например,
зарядов на поверхности заряженных
проводников, которые могут быть
перенесены с одного проводника на
другой.
Проведем через какую-нибудь точ-
ку внутри диэлектрика, подверженного
действию электрического поля, мыслен-
но площадку dS (фиг. 11,3) и определим
число диполей, пересекаемых этой пло-
щадкой, и сумму их одноименных за-
рядов, находящихся по одну сторону
от нее. Пусть число элементарных ди-
полей в единице объема будет п и средний их электри-
ческий момент будет p = qh с зарядами на полюсах ±q и
плечом А. Проведем по обе стороны от dS на расстоянии
две поверхности, параллельные лэ; в объеме
&
nd V f \ ч.
находятся -у- центров (средних точек) диполей, пересечен-
ных площадкой dS. Полюсы смещены относительно своих
h ndV ч
центров на —, поэтому у —— диполей с центрами левее dS
qndV
заряды отрицательных полюсов в количестве----— будут на-
ходиться слева от dS и такое же число положительных полю-
сов с общим зарядом 4—будет находиться справа от dS.
Точно так же у диполей с центрами справа от dS отри-
q nd V
цательные полюсы с зарядами-------— будут находиться
Фиг. 11,3.
§ 12] Электрическая индукция в диэлектриках 53
, qnd V
слева и положительные полюсы с зарядом ------— будут
находиться справа от dS.
Таким образом мы имеем, что воображаемая площадка dS
внутри диэлектрика отделяет друг от друга связанные за-
ряды диполей в количестве
dQ' = 2q-^=nqhdS^npdS=PdS, (11,11)
Л
ибо пр—Р есть момент единицы объема или вектор поля-
ризации диэлектрика.
Если последнее уравнение переписать следующим образом:
о'= - 4?-=~-А =-Рcos(P.dS), (11,12)
ио ио
то из него следует, что по обе стороны
площадки dS внутри диэлектрика при-
мыкают противоположные заряды с плот-
ностью, равной поляризации среды и
умноженной на косинус угла между на-
правлением поляризации и направлением
нормали к dS. При этом на стороне
площадки, нормаль к которой совпадает
с направлением поляризации распола-
гаются положительные, а на противо-
положной стороне отрицательные полюсы
диполей.
В связи с этим мы численную величину поляризации мо-
жем рассматривать как поверхностную плотность противо-
положных зарядов, прилегающих к единице площадки, внутри
диэлектрика нормальной к направлению поляризации.
Если же площадка dS совпадает с внешней поверхностью
диэлектрика, то эту площадку диполи пересекать не бу-
дут, но заряды смещенных полюсов прилегающих диполей
имеют на внешней поверхности диэлектрика плотность
о’ = ^=Рм. (11.13)
ибо поляризацию диэлектрика мы можем себе представить
как стройное расположение диполей, как это показано на
фиг. 11,4.
12. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
И ИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КОЭФИЦИЕНТ
Электрическая поляризация, имеющая место в диэлектри-
ках, изменяет электрическое поле, в котором они находятся,
по сравнению с тем, каким оно было бы при их отсутствии.
-—О—^-© 0^н®
•---0---© 0—0
-—'О---ф О--©
-г—0---© ©--ф
---0----© 0-©
---©—-© ©---©
---©----© ©-©
---0----© 0-©
— —1 , ф
Фиг. 11,4.
54
Электрическое поле
[гл. 1
Е = f dE = J
Атомы и молекулы какого-нибудь диэлектрика занимают
ничтожно малую долю всего объема, приходящегося на тело
этого диэлектрика, и его можно рассматривать как вакуум-
ную среду, в которой атомы и молекулы находятся на отно-
сительно большом расстоянии друг от друга по сравнению
со своими собственными размерами.
В результате поляризации в диэлектрике выявляются на-
правленные определенным образом диполи, и каждый из них,
находясь в вакууме, создает свое поле. Поля полюсов дипо-
лей накладываются на поле свободных зарядов и таким об-
разом создается то поле, которое имеется в действительности
в пространстве, заполненном диэлектриками.
Разбивая все заряды как свободные (объемные или поверх-
ностные), так и заряды полюсов на точечные заряды dq и
складывая напряженности dE полей этих зарядов, мы для
напряженности результирующего поля будем иметь
dqr
W3 (12,1)
Поверхностный интеграл, распространенный на какую-нибудь
замкнутую поверхность 5 потока вектора ^dE, исходя-
щего от заряда dq, равен (6,2) и (6,3)
j z^dEdS ^dq$~ = dq, (12,2)
а поверхностный интеграл потока вектора е0£*, где Е — Дей-
ствительная (результирующая) напряженность поля, опре-
делится суммой всех зарядов, свободных и связанных, на-
ходящихся внутри замкнутой поверхности,
(fisoEdS = \dq. (12,3)
Пусть сумма свободных зарядов (зарядов, которые могут
переходить от одного тела к другому), расположенных в точ-
ках, на поверхностях или вдоль линий, внутри поверхности S
будет Q. Что касается суммы связанных зарядов внутри
поверхности S (зарядов полюсов диполей), то так как за-
ряды противоположных полюсов каждого диполя в сумме
дают нуль, то в нее войдут заряды одного из двух полюсов
тех диполей, которые пересекаются поверхностью 5 и у ко-
торых другой полюс находится по другую сторону этой по-
верхности. Поверхностная плотность (с внутренней стороны
поверхности 5) зарядов полюсов тех диполей, которые пере-
§ 12] Электрическая индукция в диэлектриках 55
секаются этой поверхностью, равна [уравнение (11,12)] а'—
PtiS, лё
= — где аЗ у нас направлена по внешней нормали замк-
нутой поверхности.
Поэтому поток вектора г05 может быть выражен через
^s0EdS=\dq=Q+^d dS=Q—fPdS. (12,4)
S' j S' S'
Если поверхность совпадает с внешней поверхностью ди-
электрика или с поверхностью раздела двух сред, то для та-
ких элементов поверхности а' или Р должны быть приравне-
ны нулю, поскольку полюсы диполей одного диэлектрика не
проникают в среду другого диэлектрика, и мы должны счи-
тать, что в этом случае элемент поверхности 5 проходит че-
рез бесконечно тонкий слой вакуума, отделяющий одну сре-
ду от другой, где нет поляризации, т. е. где Р=0.
Перенесем в уравнении (12,4) интеграл^ PdS в левую
часть 5
f sQEdS + f PdS=^E^-P)dS = Q (12,4)
и введем для среды диэлектрика расчетный вектор электри-
ческой индукции или, как его также называют, вектор
электрического смещения
D^E^-P, (12,5)
который по сравнению с вектором электрической индукции
в вакууме имеет дополнительную слагающую Р, обуслов-
ленную поляризацией среды в данной точке.
В принятой нами системе единиц вектор электрической
индукции составляется как сумма двух векторов, вектора
напряженности электрического поля, умноженного на ди-
электрический коэфициент вакуума, и вектора поляризации.
Если ввести вектор электрической индукции, то теорема Га-
усса как для вакуума, так и для любой среды получает одно
и то же выражение
5
(12,6)
а именно, что поток вектора электрической индукции, прохо-
дящий через какую-нибудь замкнутую поверхность, равен
сумме свободных зарядов, заключенных в объеме, ограничен-
ном этой поверхностью.
Если мы возьмем отношение потока электрической индук-
ции, исходящего из какого-нибудь объема, к этому объему и
56
Электрическое поле
[гл. 1
возьмем предел этого отношения, когда этот объем стремит-
ся к нулю, то мы получим выражение теоремы Гаусса в ди-
ференциальной форме
11m ----— ]fm
И->0 / /->0 и
и
divZ) —р или divD=0, (12,7)
указывающее, что дивергенция сектора электрической индуК’
ции (или исток вектора электрической индукции, отнесенный
к единице объема) в любой среде, как и в вакууме, равна
плотности свободных зарядов в этой точке, если таковые
имеются, и равна нулю, если их нет. Последнее соотношение
div£) = 0 должно быть особенно отмечено, так как оно ука-
зывает, что в данном объеме поля, будь то в вакууме или
в каком-нибудь диэлектрике, если в нем нет свободных за-
рядов. линии электрической индукции представляют собой
непрерывные линии, в одинаковом количестве входящие и
выходящие через поверхность этого объема.
Для вакуума х=0, Р—0 и D = s$E.
Для большинства диэлектриков можно принять, что
const и вектор поляризации совпадает с направлением
действующего результирующего электрического поля Е и что
электрическая индукция пропорциональна напряженности поля:
D=^E+P = (£o+x)F=cZ;. (12,8)
Отношение электрической индукции к напряженности поля
е0-|-х=г=е).е0, (12,9)
Е
равное сумме диэлектрического коэфициента вакуума и коэ-
фициента поляризации, называется диэлектрическим
коэфициентом среды, а отношение диэлектрического
коэфициента среды к диэлектрическому коэфициенту ва-
е
куума ег=------относительным диэлектрическим
£° 1
коэфициентом среды1.
В кристаллах поляризация в разных направлениях может
е
протекать по-разному и потому отношение — может иметь
______________________________________________
разные значения. В этом случае векторы D и Е не будут
1 Вместо термина „диэлектрический коэфициент" употребляется также
термин .диэлектрическая проницаемость*.
§ 12]
Электрическая индукция в диэлектриках
57
совпадать. Связь между D и Е может быть выражена сле-
дующей линейной векторной функцией:
Dx — ^Ех^^Еу-\-г^Е..9
Dy Нг22^У—F~£23^j
DZ = Z^EX-^-
(12,20)
Совокупность значений е носит название тензора.
Можно показать, что когда все пространство заполнено
изотропной средой, выведенная выше постоянная е = еге0 есть
тот коэфициент, который учитывает свойства диэлектриче-
ской среды в законе Кулона. Проведем вокруг точки, в ко-
торой находится точечный заряд, шарсвую поверхность и
примени^ к 2*ей_теорему Гаусса (12,6), так как во всех точ-
ках и D || £*, то
$DdS= I sr^EdS =e/?0F4 nr2 = ql9 (12,10)
s J
откуда напряженность поля точечного за-
ряда в изотропной среде будет
Е-—^—3±
4тс ег£0 г2
(12,11)
а сила, действующая на заряд q.i9 выра-
зится через
1____
Г2
D
I ^1
Фиг. 12, 1,
(12,12)
что соответствует уравнению (2,12).
На поверхности соприкосновения диэлектрика с провод-
ником электрическая индукция в диэлектрике равна плотно-
сти заряда на поверхности проводника. Чтобы это доказать,
применим теорему Гаусса к весьма малому объему фиг. 12,1
в виде параллелепипеда или цилиндра с ничтожно малой высо-
той, охватывающего площадку Так как поле нормально
к внешней поверхности проводника D||AS и внутри провод-
ника поле отсутствует (Z:=0hZ2=0), а боковые поверх-
ности могут быть сведены к нулю, то поток электрической
индукции, исходящий из такого объема, определится как
(f)DdS = D^Sx-\- 0Д52 =
где о—поверхностная плотность заряда проводника, откуда
(12,13)
58 Электрическое поле 1гл. 1
13. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ
ДИЭЛЕКТРИКОВ
Потенциал электрического поля в однородной среде с ди-
электрическим коэфициентом с, создаваемого свободными за-
рядами, определяется уравнением (4,7).
?»— ~4т- +14^+/ 4— -О3'»
V д
В общем же случае разных диэлектриков, полностью или
частично заполняющих пространство электрического поля,
распределение поля (распределение потенциалов и напряжен-
ностей поля) зависит не только от распределения свободных
зарядов, но и от распределения диэлектриков. Молекулы
диэлектриков заполняют с большими промежутками занимае-
мое ими пространство, и каждый диполь, выявляющийся
в результате поляризации, создает свое поле со своими потен-
циалами. Пусть значение потенциала в какой-нибудь точке
поля свободных зарядов, расположенных так же как при на-
личии диэлектриков, но без них, будет с?0. На это поле
свободных зарядов накладываются поля поляризованных
диполей.
Если Р — вектор поляризации диэлектрика в данной точке,
то момент объема dV, а именно PdV, может быть приравнен
моменту элементарного диполя, потенциал поля которого нами
уже был определен (10,2). Поэтому потенциал поля совокуп-
ности всех свободных и связанных зарядов может быть
выражен через
<?=%+ J grad 7 -dV, (13,2)
v
где интеграл должен быть распространен на все простран-
ство поля.
Пользуясь формулой векторного анализа (9,14)
div (б А)= б div А -{- A grad ф,
в которой приравниваем ф= у и A—Pt
divy= 7 div P-j-P grad 7»
мы можем преобразовать выражение потенциала поля (13,2)
♦ - + Н;di' 7 dV- (13.3)
§ 13] Потенциал в присутствии диэлектриков 59
Первый интеграл может быть заменен интегралом по
поверхности (7,9)
= (13,4)
J4‘^o r J 4кеог У 4к£0Г J 4^г 4 1 7
всех диэлектриков, находящихся в электрическом поле; он
представляет собой потенциал полей диполей, примыкающих
одним своим полюсом к пограничным поверхностям диэлек-
триков (фиг. 11,4). В этом интеграле d S направлено по внеш-
ней нормали поверхности диэлектрика, и если направления
р = х Е и dS совпадают, то к соответствующему элементу dS
примыкают положительные полюсы диполей.
Что касается второго интеграла уравнения (13,3), то имею-
щаяся в нем дивергенция вектора с обратным знаком
— divP ~— divx£ —— xdiv£‘— 2Tgradx,=
= — £gradx = p (13,5)
должна рассматриваться как объемная плотность связан-
ных зарядов, обусловленная неоднородной поляризацией ди-
электрика, когда вследствие неодинаковых значений коэфи-
циента поляризации или диэлектрического коэфициента ди-
электрика (grad х = grad е) в смежных точках противополож-
ные заряды примыкающих друг к другу (по линии поля) ди-
полей не уравновешиваются, а дают избыточные заряды то-
го или другого знака. Таким образом в случае наличия в
электрическом поле разных диэлектриков к потенциалу по-
ля от свободных зарядов прибавляются слагающие от связан-
ных зарядов, расположенных на поверхностях, ограничиваю-
щих диэлектрики, и от связанных объемных зарядов, когда
диэлектрик неоднороден.
Уравнения Лапласа и Пуассона сохраняют свою силу
для точек поля, где среда однородна (s = const). Так как
Ё —— grad ср и D = sE, то на основании уравнения (12,7)
div D = div е Е = е div Е-\-Ё grad г = г div Е —
= — г div grad ср = р или 0. (13,6)
Последнее уравнение может быть написано следующим
образом:
е V2 ? + Р = о, (13,7)
когда в данной точке поля имеются объемные заряды, и
V2? = o, (13,8)
когда в данной точке объемные заряды отсутствуют.
60
Электрическое поле
[гл. 1
14. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НА ГРАНИ ДВУХ СРЕД
На грани двух сред при условии отсутствия свободных
зарядов на грани этих сред электрический индукционный по-
ток при переходе из одной среды в другую сохраняет свою
величину, но вектор электрической индукции, равно как век-
тор напряженности поля, меняются по величине и направ-
лению или, как говорят, преломляются.
Пусть Di = e1Ey и D2 = е2£2 относятся к двум бесконеч-
но близким точкам, прилегающим к поверхности раздела и
пусть и а2 — углы, которые и с одной стороны и
D2 и Е2 с другой стороны составляют с нормалью к поверх-
ности раздела.
Возьмем на поверхности раздела весьма малую площадку
(фиг. 14,1) и облечем ее замкнутой поверхностью с площад-
ками и Д52 в той и другой среде, параллельными и
бесконечно близкими к Д5. Поток индукции, исходящий из
этой замкнутой поверхности, должен равняться нулю
(f)D dS^'D^Sy -j- D2AS2 — — Dy A5cosai-|- D2AScos a2 =
откуда следует, что
Dy cos ar=D2 cos a2 или Din=D2n, (14,1)
т. e. что нормальные слагающие электрической индукции
в той и другой среде должны быть равны между собой.
Другим пограничным условием является равенство танген-
циальных слагающих напряженностей электрического поля
на поверхности раздела обеих сред. Чтобы это доказать, возь-
мем линейный интеграл напряженности поля вдоль замкнутой
линии в виде периметра прямоугольника, длинные стороны
которого (фиг. 14,2) лежат по обе стороны плоскости, и вы-
§ 14] Электрическое поле на грани двух сред
61
сота которого бесконечно мала. Циркуляция вектора напря-
женности поля должна равняться нулю:
$Eds—Ei Д Si+^2 A s2 — — sin^-J-^2 Д s sin a2 — 0»
откуда
Er sin ^=£*2 sina2 или Elt=E2t, (14,2)
что и требовалось доказать.
Так как 0^=^ Ех и О2=г2Е2, то, деля уравнение (14,2)
на уравнение (14,1), мы получаем, что
tgql_tg «2
е1 е2 (14,с)
тангенсы углов падения и преломления индукционных линий
или линий поля при переходе из одной среды в другую про-
порциональны диэлектриче-
ским коэфициентам этих
сред. На грани двух сред
направление электрической
индукции и напряженности
поля больше отклоняется
от нормали в среде с боль-
шим диэлектрическим коэ-
фициентом. Если поверх-
ность раздела двух сред есть
плоскость, совпадающая с эквипотенциальной поверхностью
(фиг. 14,3), то направление электрической индукции не пре-
терпевает преломления (at = a2 — 0), но, в то время как элек-
трическая индукция сохраняет свое значение, напряженности
электрического поля обратно пропорциональны (относитель-
ным) диэлектрическим коэфициентам
Dl—Di — z1E1 = &iE^ Е1:Е2 = &>-.г1. (14,4)
Скачок, который претерпевает напряженность поля на
грани двух сред, обусловлен неодинаковой поляризацией
обеих сред.
Так как
D\n ~~- £о ~Т" ==:£0 Е2п~\~Р2П,
где Е1П, Pm, Е2П и Р2п —нормальные слагающие напряжен-
ности и поляризации в той и другой среде, то
р р _______ Р1п~Р2п
2 ео (14,5)
62
Электрическое поле
[гл. 1
В результате неодинаковой поляризации на поверхности
раздела сосредоточиваются нескомпенсированные связанные
заряды полюсов диполей той и другой среды. Плотность по-
ляризационных поверхностных зарядов в первой среде будет
[уравнение (11,13)]
— P^osa^P^
и во второй среде
a'2 = P3cos a3=P3„,
поэтому поверхностная плотность нескомпенсированных за
рядов будет:
°' = 3'1 — о'з = Рщ — р2п = DivP, (14,6)
где DivP есть поверхностная дивергенция вектора поля-
ризации в точке раздела
$T>dS - - , _ д
DivP—о1тЛ о —
О —> О О
'п 2п' (14,7)
AS
В виде примера рассмо-
трим изменение, которое
производит однородный шар
с диэлектрическим коэ-
фициентом ej т £ге0, вне-
сенный в однородное до
этого поле с напряжен-
ностью Eq (фиг. 14,4), дей-
ствующем в однородной
среде с диэлектрическим
коэфициентом е2=ег2ео- Вне-
сение шара видоизменяет
ф ... поле как в пространстве,
иг. 14,ч. занятом шаром, так и вне
его. Если начало координат
выбрать в центре шара и ось у направить по направлению поля, то
потенциал поля до внесения шара может быть выражен через
То — — = — £orcos a, (14,8)
где г—расстояние от начала координат, а a—угол наклона радиуса г к
направлению поля.
Сделаем допущение, что внесение^ шара действует на среду вне шара
как некоторый диполь с моментом П, совпадающим с направлением по-
ля £0, и что сам шар поляризуется однородно, так_что во_всех его точ-
ках напряженность поля и вектор поляризации Р\ =: Ех = (ех— e0)Ei
имеют одно и то же значение, где Е^— действительное поле внутри шара,
слагающееся из основного поля Eq и некоторого дополнительного поля Е\
А — b ^'1 •
(14,10)
Докажем правильность сделанных предположений.
§ 14]
Электрическое поле па грайи двух сред
63
При указанных предпосылках потенциал поля внутри шара выра*
жается через
?1 — — — — (£0 + A')r cos а, г < ау (14,11)
где я—радиус шара, а потенциал поля вне шара получится, если к по*
тендиалу ?0 прибавить потенциал поля диполя 11 х (сл. (10,2), в
котором вместо е0 следует пост вить г2:
IIi cos а
®9 = — Д/COS а 4- ---------- г>д. (14,12)
4 г*
Так как потенциалы на поверхности шара при г== а должны быть
для обеих сред равны = <р2, то
. _ .. , HiCOS а
— (£0 -f- Ех) a cos а = —• Eq a cos а -j- —----
4 ^е2д3
иЛи (14,13)
4 яг2 а3
Кроме того на поверхности шара должны быть равны нормальные
слагающие электрической индукции
п ( д*'
Dln = — е1 -т-
\ дг
_ п _ ( д^2.\
-- ^2П - I £2 )
а \ dr Jr —а
откуда
(14,14)
------ cos а.
2 ке2 л3 /
Из двух уравнений (14,13) и (14,14) могут быть определены те зна-
чения, которые должны иметь Е\ и Пь чтобы потенциалы на поверхности
шара были равны
«if^o 4- Ffjcosar^eg
е, — е9
£<' = —J-----------
(14,15)
4 па3
П1=
3 ег(®1 — £з) р
------------ £п.
ei4 2e2
(14,16)
е^2еЛ°
Подставляем значения Е\ и П1 в уравнения для и ?2:
3 Ео
ф. = — --------Eq г cos а, г < ау
Ъ г1 + 2е2
Л3 Ej — е9 1
1 —----------• Eq г cos а,
ei + 2e9J
(14,17)
а.
= “
Полученные значения потенциалов удовлетворяют законам электро-
статического поля. Они удовлетворяют уравнению Лапласа V2(?i — 0 и
V2?2=z0, что может быть непосредственно проверено; при e1=ze2 потен-
циалы <рх и <?2 получают одинаковое выражение; при больших г наличие
a3 ej — е2
шара на потенциале второй среды не сказывается, так как ~г 2е ‘
становится ничтожно малой величиной; на поверхности шара потенциалы
имеют одно и то же значение fi и ?2, нормальные составляющие электри-
64
Электрическое поле
[гл. 1
ческой индукции Dln = D что было принято во внимание при опреде-
лении Ei и Пр, наконец, можно показать, что и тангенциальные слагаю-
щие напряженности поля на поверхности шара равны между собой
„ _ / 1 ЙЛ _ „ _/ 1 <??г\ _
П \ г да)г=а ~ 2( \ г di)r=za
Зг2
— — £14-2е2 £osma. (14,18)
Таким образом сделанные предположения позволили получить выра-
жения для cpj и <р2, удовлетворяющие уравнению Лапласа и всем погра-
ничным условиям, и потому они должны быть признаны правильными.
Напряженность однородного поля внутри шара (14,10) и (14,15)
E^Eq+E^
с2
14“ 2^
(14,19)
будет меньше напряженности основного поля Eq, когда £]>г2’и больше Е$,
когда е2 > ер
Когда диэлектрический шар находится в вакууме (е2 = е0), то под
действием внешнего однородного поля напряженность поля внутри шара
будет (14,19)
3;
г? , р ^2 р р ^2
^1 — ^0— ~ . Q~ Eq — Lq —
е1 + 2с2
^1 =
А
Зс0 ’
= Eq
£1 — £0
З^о
(14,20)
А — А) —
она складывается из напряженности первоначального поля и из слагаю-
щей, равной вектору поляризации шара с обратным знаком, деленному
на тройной диэлектрической коэфициент вакуума.
Рассмотрим частные случаи:
1. Пусть в однородном диэлектрике, подверженном действию одно-
родного поля, имеется шаровая каверна вакуума (или воздуха) ех —е0.
Тогда напряженность поля в каверне будет
Зво
Е1=^+2^Е0=:1 + 2£г2
3£г2
(14,21)
Если этот диэлектрик — масло, которое выдерживает, положим,
140 кУ/сш(при переменном токе) и для которого ег2 = 4, то при напряжен-
ности поля —60 kV напряженность в воздушном пузырьке будет
3 X 4
1-|-2.4
• 60 = 80 kV, т. е. в пузырьке будет происходить разряд,
так как для воздуха предельное значение градиента равно 30 kV/сш.
2. Положим теперь, что в однородный диэлектрик попал металличе-
ский шарик (круглый опилок); тогда ех мы должны приравнять беско-
нечности и напряженность поля на поверхности шарика будет:
2 (£i — £2)
е1 4“ 2е2 .
F0cos а — 3£0cos а.
(14,22)
Она будет иметь наибольшее — трехкратное значение первоначального
поля— о^по линии поля, проходящей через центр шарика (при а = 0 или
§ 15]
Электростатическая индукция в проводниках
65
15. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ В ПРОВОДНИКАХ
Если незаряженный (нейтральный) изолированный провод-
ник вносится в электрическое поле, то в нем происходит
разделение электрических зарядов, являющееся результатом
действия на проводник электрического поля.
Пусть поле создается положительным зарядом на про-
воднике А (фиг. 15,1). По мере приближения проводника В
к Л в проводнике В происходит движение электронов таким
образом, что они перемещаются в направлении, противопо-
ложном напряженности того поля, которое существовало бы
при отсутствии проводника В, В результате на ближайшем
к А конце проводника В
появится отрицательный за-
ряд; на противоположном
конце проводника В будет
наблюдаться заряд положи-
тельный. Поскольку провод-
ник В изолирован и перед
внесением в поле был ней-
трален, противоположные
заряды на противоположных
сторонах его должны быть
равны, и действительно, если
мы вынесем проводник В из
электрического поля, следы зарядов на нем пропадают.
Описанное выше явление разделения зарядов называется
электризацией через влияние или электростатической
индукцией.
Разделение зарядов в проводнике В происходит в той
мере, в какой это необходимо, чтобы внутри проводника бы-
ло достигнуто равновесие электрических сил, т. е. чтобы
электрическое поле, создаваемое разделенными зарядами
внутри проводника, было равно и противоположно внешнему
полю, так чтобы напряженность результирующего поля вну-
три проводника, равнялась нулю и чтобы все точки провод-
ника внутри и на его поверхности имели один и тот же по-
тенциал (иначе не было бы равновесия зарядов).
Явление электростатической индукции имеет место не
только во внесенном в электрическое поле изолированном
проводнике с общим зарядом, равным нулю, но и в том
проводнике, заряды которого создают поле. Внесенный изо-
лированный проводник с индуцированными зарядами разного
знака на противоположных сторонах эквивалентен совокуп-
ности диполей с конечными плечами. Эти диполи создают
свое поле, которое в свою очередь влияет на распределение
зарядов на проводнике Л и т. д.
5 К. А. Круг, т. 1.
бб
Электрическое поле
'гл. 1
На поверхности изолированного проводника, наэлектризо-
ванного через влияние, существует некоторая нейтральная
линия, на которой зарядов не имеется, а по ту и другую
стороны этой линии находятся противоположные заряды.
Чем больше проводник В приближается к заряду Л, тем
большее количество зарядов разделяется. Количество раз-
деленных зарядов, однако, всегда меньше того заряда на
проводнике Л, который создает электрическое поле. Лишь в
тех случаях, когда проводник В охватывает Л, количество
разделенных на проводнике В зарядов равно заряду тела Л.
Так, если положительно заряженное тело Л, например, шар Л
(поддерживаемое изолирующим стержнем) охватывается
зтмкнутой металлической поверхностью, например, двумя по-
лушарами В (фиг. 15,2) так, чтобы эти полушария, не ка-
саясь тела Л, окружали его со всех сторон, то
Фиг. 15,2.
на внутренней шаровой поверхности сосредо-
точится отрицательный заряд, равный и про-
тивоположный заряду тела Л, а на внешней
поверхности металлической оболочки—такой
же заряд по величине и по знаку, как на
теле Л. Сосредоточение на внутренней по-
верхности металлической оболочки заряда,
равного и противоположного заряду тела Л,
вполне согласуется с теми выводами, которые
можно получить, если внутри проводящей
оболочки (между внутренней и внешней поверхностями
проводника В) взять замкнутую поверхность (обозначен-
ную пунктиром) и применить к ней теорему Гаусса: так
как поля в проводнике (в металле) не может быть, то там
Е=0 и D — 0, а отсюда следует, что алгебраическая
сумма зарядов, охватываемых этой поверхностью, должна
равняться нулю, т. е. на внутренней поверхности нахо-
дится такой же по величине, но обратный по знаку заряд,
что и на теле Л. Внутри, в пространстве между внешней
поверхностью Л и внутренней поверхностью В9 поле суще-
ствует, поскольку эти поверхности заряжены. В про-
странстве вне проводника В в случае, если Л и В имеют
концентрические поверхности, поле будет такое же, как если
бы проводника В не было. Если проводник Л коснется, хотя
бы временно, внутренней поверхности проводника В, то внут-
ри, в промежутке между А и В, поле пропадет, во внеш-
ней же среде оно останется без всяких изменений.
Все вышесказанное относилось к тому случаю, когда
проводник В изолирован.
Картина изменится, если проводник В (фиг. 15,3) соеди-
нить с землей (сообщить ему потенциал, равный нулю). Тог-
да положительный заряд стечет в землю, а что касается
§ 16]
Однозначность электрического поля
67
отрицательного заряда, то он, находясь в связанном состоя-
нии, останется на внутренней поверхности проводника В.
Если пространство между обоими проводниками подраз-
делить индукционными линиями на отдельные трубки, то мы
получим у концов этих трубок на каждом из проводников
А и В элементы, поверхности которых связаны друг с дру-
гом одинаковыми по величине, но противоположными по
знаку зарядами. Распределение линий смещения и располо-
жение зарядов на поверхности зависит от того, заземлен
(фиг. 15,3) или не заземлен (фиг. 15,1) проводник, подвергаю-
щийся электризации через влияние.
Если требуется оградить какой-нибудь проводник от
электризации через влияние, т<
тем экранирования, окружив
данный проводник другим про-
водником, т. е. поместив его
в клетку с проводящими стен-
ками (фарадеевская клетка).
На внешней поверхности этой
клетки могут получаться заря-
ды через влияние; внутри же
этой клетки (если во внутрен-
нее пространство клетки не
были внесены заряженные те-
ла) потенциал должен быть
постоянен, а следовательно,
этого можно достигнуть пу-
Фиг. 15,3.
должно быть электриче-
ского поля.
На практике нет надобности делать стенки клетки из
сплошных металлических поверхностей, достаточно, если
стенки клетки сделаны из проволочной сетки. Если плетение
не особенно редко, то во внутреннее пространство индук-
ционные линии внешнего поля не проникают.
В то время как на внесенном проводнике в результате
электростатической индукции появляются равные и проти-
воположные заряды, в проводнике Д, создающем поле, про-
исходит перераспределение зарядов с сохранением величины
общего заряда: увеличивается лишь плотность на стороне,
обращенной к внесенному проводнику, и соответственным
образом уменьшается плотность на противоположной стороне
(без изменения знаков зарядов).
16. ОДНОЗНАЧНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Всякое электростатическое поле должно удовлетворять
следующим основным условиям. Все точки каждого провод-
ника имеют один и тот же потенциал, заряд проводника
располагается на его поверхности с плотностью а = &Е=
5*
68 Электрическое поле [гл. 1
= е | grad ср |, так что заряд проводника равен Q=—у) е grad ^dS
s
и затем в каждой точке согласно теоремам Пуассона-Лапласа
eV2? + P—0, если в этой точке есть объемный заряд, и v3?—О,
если объемных зарядов в этой точке нет.
Электрическое поле может быть задано или сообщенными
проводникам потенциалами путем хотя бы временного соеди-
нения их с гальваническими батареями (или другими источ-
никами электрической энергии), или же сосредоточенными на
проводниках и в пространстве зарядами. Что касается про-
странственных (объемных) зарядов, то носителями их являются
преимущественно электроны, которые в электрическом поле,
находясь под действием сил поля, в равновесии быть не
могут. Если же мы все-таки рассматриваем такие объемные
заряды, то имеем в виду более или менее стабильное их
относительное расположение, как, например, в электронных
лампах, в которых относительно стабильное распределение
объемных зарядов поддерживается постоянной сменой и
притоком все новых зарядов. Объемные заряды могут вы-
являться и в (твердых) диэлектриках в результате неодно-
родной поляризации.
Но как бы ни создавалось электрическое поле, сообщением
ли определенных потенциалов проводникам или распределе-
нием определенных зарядов, оно всегда будет однозначным, т. е.
потенциал поля в каждой точке пространства может иметь лишь
одно определенное значение (если не считать аддитивной
слагающей, одинаковой для всех точек пространства), так же
как только одно значение может иметь электрическая индукция
и напряженность поля.
Однозначность поля доказывается от противного. Будем
считать, что в бесконечности нет зарядов и что потенциал и
электрическая индукция в бесконечности равны нулю, и
положим, что возможны два состояния электрического поля
с потенциалами d и ф" для одних и тех же точек поля и
с электрическими индукциями
D'=—egrad?' и —sgrad?" (16,1)
в этих точках.
Введем функцию
— ъ" (16,2)
и вектор
A=D' — D” = — е grad (?' — ?") (16,3)
и применим к произведению преобразование (9,14)
div(^A)— A grad'b ф div >4 . (16,4)
§ 16] Однозначность электрического поля 69
Если взять интеграл по объему от div('^M), распространив
его на все пространство, занимаемое электрическим полем,
div grad AivAdV
v v
(16,5)
и на основании преобразования Гаусса заменить объемный
интеграл левой части поверхностным интегралом, то мы
получим следующее соотношение:
AdS—J/l grad ф dV-\- J 6 div,Л dV. (16,6)
s-p si v v
Левый интеграл может быть распределен на всю поверх-
ность, ограничивающую поле: на поверхность S в бесконеч-
ности, интеграл по которой равен нулю (так как ср умень-
шается пропорционально расстоянию, А—квадрату расстояния,
a dS увеличивается пропорционально квадрату расстояния)
и на поверхности Si всех проводников, находящихся в электри-
ческом поле, причем в уравнении (16,6) dS направлено от
поля к поверхности проводника, если же считать, что элемент
поверхности dSt проводника направлен по внешней нормали
к его поверхности, то перед интегралом в левой части должен
быть поставлен знак минус.
Поэтому соотношение (16,6) может быть переписано
в следующем виде:
(О' - D")e grad(/- »")
S, V
V
— ^AxN^—D^dV.
(16,7)
В этом уравнении <?', ср", D’ и D" в левой части отно-
сятся к точкам поверхности проводников, а в правой части
к точкам поля между проводниками. Интеграл левой части
для каждого проводника дает нуль. Если заданы потенциалы
проводников, то ср'-=ср" и —<р" = 0. Если же для какого-
нибудь проводника задан его заряд
DrdS=\^dS = Q,
70
Электрическое поле
[гл. 1
то исходя из того, что все точки поверхности проводника
могут иметь лишь один и тот же потенциал, мы постоянную
разность можем вынести за знак интеграла, а потому
<j>W—<t")(D' — D")dS= (?'—?") D")dS=0 (16,9)
и второй интеграл правой части уравнения (16,7) также равен
нулю. Ибо при заданных объемных зарядах в тех точках, где
имеются заряды div D1 — div D"=0 и div (D'— D")=0. За-
меняя в первом интервале е grad rd = Dr и е grad <?" = £)", мы
получаем, что
J (Pz— DZ')^V _
(16,10)
а так как dV и е положительны, то отсюда вытекает, что
(D'—D'y—Q
(16,11)
т. е. что электрическая индукция, а следовательно, и напря-
женность поля во всех точках могут иметь лишь одно един-
ственное значение. Что касается потенциалов, то
Dr— (ср'—с?")=0,
(16,12)
ср' и ср" могли бы отличаться лишь на постоянную величину.
Но потенциалы при-переходе от точки к точке могут меняться
лишь плавно, а не скачками, поэтому, если мы примем, что
потенциал в бесконечности равен нулю, то и потенциалы
во всех точках поля могут иметь лишь одно единственное
значение.
17. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В электрическом поле, созданном электрическими зарядами,
находится определенное количество энергии, которая распре-
деляется с большей или меньшей плотностью по объему
всего пространства, на которое простирается поле. За счет
этой энергии электрическое поле, действуя на заряды может
совершать работу; при этом энергия поля уменьшается. Наобо-
рот, если перемещение какого-нибудь заряда в электриче-
ском поле происходит под действием внешних сил, пре-
одолевающих те силы, с которыми поле действует на этот
заряд, то совершаемая внешними силами работа переходит
в энергию электрическую, увеличивая общую энергию поля.
§ 17] Энергия электрического поля 71
Для того чтобы подойти к определению количества накоп-
ленной в электрическом поле энергии, будем исходить из сле-
дующих ограничений и предпосылок.
1. При отсутствии в бесконечном пространстве зарядов
поле отсутствует и в пространстве нет никакой энергии.
2. В бесконечности поля нет и потенциал поля в беско-
нечно удаленных точках равен нулю.
3. Все процессы по созданию электрического поля в про-
странстве протекают необычайно медленно и обратимы. Это
означает, что мы можем отрешиться от рассмотрения магнит-
ных полей, получающихся при перемещении зарядов и явле-
ний электромагнитной индукции. Обратимость процессов
исключает какие бы то ни было потери энергии, например,
потери на джоулево тепло при движении зарядов по провод-
никам, потери на неупругие деформации в диэлектриках при
их поляризации, на рассеяние энергии в мировое простран-
ство в виде электромагнитных волн и т. п.
4. Заряды и потенциалы их полей связаны линейной
зависимостью и потому к потенциалам применим принцип
суперпозиции, в частности, если все свободные заряды уве-
личить вдвое, то вдвое увеличатся потенциалы во всех
точках.
5. Энергия поля не зависит от того, какими путями оно
создается; она определяется лишь распределением свободных
зарядов в пространстве, с одной стороны, и физической при-
родой среды, — с другой (расположением диэлектрических
тел и их диэлектрическими коэфициентами), которые в сово-
купности и определяют распределение потенциалов в про-
странстве.
Последний пункт требует пояснений. Положим, что нам
дан уединенный изолированный металлический проводник
в однородной среде, с зарядом Q, распределенным по поверх-
ности с плотностью о и имеющий потенциал ср, соответствую-
щий этому заряду. Мы можем получить заряд Q и сопут-
ствующее ему поле путем хотя бы временного соединения
шара с полюсом гальванической батареи, другой полюс кото-
рого соединен с землей и которая имеет между своими
полюсами напряжение, равное Z7=cp.
Или же мы можем вообразить себе создание поля сле-
дующим образом. Проводник заменяется тонкой металлической
поверхностью или какой-нибудь другой поверхностью, могу-
щей держать заряды. Эта поверхность разрезается на весьма
малые изолированные площадки AS. Затем из таких площадок
AS с зарядами gAS заново строится поле. Такие заряды
□AS переносятся из бесконечности и поочередно ставятся
на свое место. По мере заполнения заданной поверхности
такими элементарными зарядами увеличивается потенциал
Электрическое поле [гл. 1
во всей окружающей среде, и когда все элементарные заряды
будут поставлены на свое место, то внутри проводника не бу-
дет поля, все разъединенные элементарные поверхности будут
иметь один и тот же потенциал, и их можно будет соединить
вместе.
Как в том, так и в другом случае мы должны получить
одно и то же поле и одинаковое количество энергии в нем.
То же самое мы будем иметь, когда нам дан ряд про-
водников с соответственным образом распределенными на их
поверхности зарядами Qn Q2..., а также пространственные
заряды с объемными плотностями рр р2... в отдельных точках
поля, и когда в поле находится ряд диэлектрических тел
Въ В2... . Разбиваем поверхностные и объемные свободные
заряды на элементарные заряды qR=z\S или qK = ?&V и
предположим, что накопление указанных свободных зарядов
происходит, начиная с нуля, постепенно одновременно
таким образом, что в каждой промежуточной стадии состоя-
ния поля уже внесенные, т. е. находящиеся уже в электри-
ческом поле, свободные заряды пропорциональны своим ко*
нечным значениям. Величина их может быть выражена через
xqK, где х— числовой коэфициент, имеющий для всех точек
поля, где имеются свободные заряды, одно и то же значение,
увеличивающееся постепенно от нуля до единицы.
В соответствии с линейной зависимостью между зарядами
и потенциалами сопутствующих им полей потенциалы какэй-
нибудь промежуточной стадии создания электрического поля
могут быть выражены через значения потенциалов конечного
состояния поля как хук. Потенциал поля в какой-нибудь
точке представляет собой работу, которую могло бы совер-
шить поле при перемещении единицы положительного заряда
из этой точки в бесконечность, и, если единица положитель-
ного заряда переносится из бесконечности в данную точку,
то совершенная внешними силами работа на такую же вели-
чину увеличивает энергию поля. Поэтому, если в точку,
потенциал которой равен переносится заряд d^xq^—q^x,
го энергия поля получает приращение
хчАх9к)=<?к<1к^- (17,1)
Если просуммировать приращение энергии всего поля при
одновременном пропорциональном изменении всех свободных
зарядов, то мы получим, что это приращение энергии поля
равно
(17,2)
§ 17]
Энергия электрического поля
73
А энергия электрического поля при достижении конечного
состояния выразится через
1
сад
О
Заменяя qK соответственно через adS или prfK, мы для энер-
гии поля получаем другое выражение
(17'4)
SV V
где сумма должна быть распространена на поверхность
каждого заряженною проводника в отдельности (так как
точки поверхности проводника имеют один и тот.же потен-
г* р
циал, то dS=® \zdS=^Q).
Если в электрическом поле нет объемных зарядов, а
имеются лишь заряженные проводники, то энергия поля опре-
деляется как сумма полупроизведений потенциалов провод-
ников на их заряды.
Энергия электрического поля сосредоточивается не только
в самих зарядах и не только в местах их нахождения, а и
во всем пространстве, занимаемом полем.
Для простейшего случая однородного поля, образующегося
между двумя параллельными пластинами с плотностью заря-
дов ± а и площадями 5, энергия поля будет:
Поверхностная плотность заряда равна электрической индук-
ции на поверхности пластин g = Z), и кроме того — y2=Bd,
где d — расстояние между пластинами; поэтому эта энергия
может быть выражена через
W~^EDSd=^EDV, (17,5)
а объемная плотность энергии в однородном поле — через
и’=У^ = ±-ЕО=^-гЕ*=-- — . (17,6)
‘ V 2 2 2 г 7
Этот результат может быть обобщен для любого поля.
74
Электрическое поле
[гл. 1
Действительно, применяя преобразования (9,14) и преобра-
зование Гаусса, мы можем написать следующее соотношение
div ( yD)=D grad divZ) (17,7)
и
if 6\N^D)dV=-f^DdSx =-C Dgrad^H-
2 J 2 5, 2 J
V V
+yj cpdivZJdK (17,8)
V
Интеграл no dSx должен быть распространен на все по-
верхности ограничивающие поле, т. е. на поверхности
всех проводников и на поверхность, ограничивающую поле
в бесконечности; в бесконечности интеграл (см. стр. 69)
равен нулю, и поэтому этот интеграл относится только к
поверхности проводников; у поверхностей же проводников
внешняя нормаль поверхности (dS^> ограничивающей поле,
и внешняя нормаль поверхности, ограничивающей провод-,
ник (dS), направлены в противоположные стороны, поэтому
DdS^ — DdS= —DndS— —adS, (17,9)
кроме того для точек поля grad с? =— £ и divO—p. Поэтому
уравнение (17,8) может быть переписано и преобразовано
следующим образом:
-ijDgrad?^= dV, (17,10)
V V V
что совпадает с уравнением (17,4).
Таким образом энергия электрического поля распреде-
ляется по всему пространству, занятому полем, с плотностью,
которая в каждой точке определяется полупроизведением
имеющихся в этой точке напряженности поля и электриче-
ской индукции.
Рассмотрим взаимоотношение между изменением энергии
электрического поля и механической работой, совершаемой
силами электрического поля, при изменении положения заря-
женных проводников и диэлектрических тел, находящихся
в электрическом поле, когда проводники соединены с источ-
никами электрической энергии (например, батареями), под-
держивающими потенциалы проводников на постоянном
уровне. При этом будем считать, что все процессы протекают
чрезвычайно медленно и без всяких потерь.
§ 17]
Энергия электрического поля
75
Исходя из принципа сохранения энергии, мы можем
написать, что электрическая энергия dWe, получаемая извне,
должна равняться сумме изменения энергии поля dWt и ра-
боты dA., совершаемой силами поля,
dW^dW^dAi.
(17,11)
Когда заряд на проводнике, соединенном с источником
энергии, поддерживающем потенциал проводника на постоян-
ном уровне увеличивается на dQK, то от источника энер-
гии поступает энергия ®KdQK, а вся электрическая энергия,
приобретаемая извне от источника энергии, при изменении заря-
дов на всех проводниках может быть выражена через
(17,12)
Изменение энергии электрического поля [уравнение (17,3)]
выражается через
^,=<7 КЕ'Л- (17'13)
Отсюда следует, что при постоянстве потенциалов провод-
ников
dA=d\v-dwl = d
(17,14)
т. е. совершаемая силами поля механическая работа равна по
величине увеличению энергии электрического поля и чтэ по-
ловина получаемой извне энергии тратится на покрытие
работы сил поля, а другая половина переходит в энергию
электрического поля.
Если перемещения в электрическом поле происходят не
под действием сил поля, а в результате работы посторонних
внешних сил, то работа внешних сил будет равна и проти-
воположна работе сил поля dAe-= — dAh а процесс происходит
в обратном направлении. Поэтому, если поддерживается по-
стоянство потенциалов проводников, то
— dWe~ — dW— dAb
или
(17,15)
76
Электрическое поле
[гл. 1
то в результате работы внешних сил происходит возвраще-
ние энергии источникам энергии, состоящее из двух равных
частей: из работы внешних сил и уменьшения на ту же
величину энергии электрического поля.
Когда все проводники изолированы и поле не связано
с внешним источником электрической энергии, то
и заряды проводников остаются неизменными QK = const.
В этом случае Q — dWi-^-dAl и
dA--dVt = -d (17'16)
работа, производимая силами поля, происходит за счет умень-
шения энергии поля. Это уменьшение энергии сводится
к снижению потенциала поля. Наоборот, если в изолирован-
ной системе (QK — const, dWe=G) происходит перемещение
зарядов за счет работы внешней силы, то затраченная на
перемещение зарядов работа равна приращению энергии
электрического поля
dAe^
_dA-dw-l^Kd^
(17,18)
18. ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ (МЕХ ЭПИЧЕСКИЕ) СИЛЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Образование электрического поля в какой-нибудь среде
связано с определенным видоизменением физического состоя-
ния среды, с накоплением в ней энергии и с появлением
внутренних сил, которые, передаваясь от одной точки среды
к другой, при посредстве среды действуют на заряды и тела,
с ними связанные, находящиеся в электрическом поле.
Фарадей и Максвелл рисовали себе осуществление механи-
ческих сил в электрическом поле при посредстве индукцион-
ных или силовых трубок (трубки, на которые может быть
разбито все пространство электрического поля), которые
испытывают внутреннее растяжение вдоль поля и боковое
давление в перпендикулярном к полю направлении. Поль-
зуясь таким представлением, легко пояснить, например, при-
тяжение двух шаров, несущих разноименные заряды, и оттал-
кивание шаров с одноименными зарядами. Внутреннее растя-
жение трубок притягивает разноименные заряды, а боковое
сжатие индукционных трубок отталкивает одноименные за-
ряды (фиг. 18,1 и 2).
В нашем понимании индукционные и силовые трубки или
линии, как оси этих трубок, не являются физической реаль-
ностью, а лишь вспомогательным представлением, позволяю-
§ 18] Пондеромоториые силы в электрическом поле 77
щим ориентироваться в общем направлении действующих
в электрическом поле сил. Наличие же механических (пондеро-
моторных) сил в электрическом поле есть результат накопле-
ния энергии в материальной среде, к которой мы причисляем
и вакуум, поскольку в нем может накапливаться энергия;
при этом имеющие место процессы протекают не мгновенно,
но передаются от одной точки к другой с определенной
скоростью, равной скорости распространения электромагнит-
ных волн.
Для'выявления величины внутренних сил в электрическом
поле рассмотрим однородное поле между двумя пластинами,
несущими заряды -|- Q и — Q (фиг. 18,3). Пусть поверхность
Фиг. 18,1.
Фиг. 18,3.
пластин будет 5 и расстояние между ними х: тогда энергия
поля между пластинами будет:
гуг _ FtD р Q2 /1 о 1 \
w~-----Sx~-— Sx=—-x, (18,1)
1 2 2s 2zS
Если раздвинуть пластины на расстоянии dx, то энергия
электрического поля при том же заряде увеличится. При этом
необходимо приложить некоторую силу Fe, и соответствующая
Л2
работа, затраченная на увеличение энергии поля от х
Q2
до^- (х+^х), будет равна:
dA -Fdx—dW——- (xA-dx)— x=^ dx, (18,2)
e ' 2sS 7 2г5 2eS 7
откуда сила натяжения, которую испытывает среда, совпа-
дающая с направлением поля и действующая на единицу
площади, равна
F ED
Р = S~ ‘2 '
(18,3)
78
Электрическое поле
[гл. 1
В неоднородном электрическом поле действует такая же
сила натяжения. Всякое неоднородное поле в пределах бес-
конечно малого объема можно рассматривать как однородное
и применять к нему вышеприведенные выводы.
Так как во всяком объеме неподвижного тела внутрен-
ние и внешние силы должны взаимно уравновешиваться, то
наличие сил натяжений вдоль поля связано с силами давле-
ния, направленными перпендикулярно к направлению поля.
Чтобы определить величину сил поперечного давления,
испытываемых средой, проведем в поле две лежащих весьма
близко друг к другу эквипотенциальных поверхности, кото-
рые в общем случае на не-
большом протяжении мо-
гут рассматриваться как
две сферические поверх-
ности с большими ра-
диусами, имеющие общий
центр. Выделим усечен-
ный конус, ограничен-
ный двумя поверхностями
уровня, образующие кото-
рого совпадают с индук-
ционными линиями. Раз-
ность в силах натяжения,
действующих на сечения конуса, должна уравновешиваться
силами давления, действующими извне на боковую поверх-
ность этого усеченного конуса (фиг. 18,4).
Пусть расстояние от одного сечения до центра Оа = х и
радиус сечения xtga, а- для другого сечения соответ-
ственные величины x-j-dx и rl=(x-j-dx) tga.
Так как потоки электрической индукции, проходящие
через сечение а и Ь, должны быть равны между собой
Dnr3 = г Епл2 = D^r2= е Е^г2
£г2 £Л2
и
то сила, действующая на сечение а, равна
гЕз гЕ2
F- — кг2— — п tg -а (18,4)
2 2,
и на сечение b
п—(18,5)
и их разность
£ Г "I £^2
dF—F—7^= ’ 1— , . r ig2a% j? 1g3a2xrJx (18,6)
2 j_ (Л-раЛ)J J A
§ 18]
Пондеромоторные силы в электрическом поле
79
действует справа налево. Боковые силы, оказывающие, пред-
положим, на единицу площади давление рп, дают равнодей-
ствующую, направленную слева направо. Равнодействую-
щую этих сдавливающих сил мы найдем, если силу, дей-
ствующую на каждый элемент площади боковой поверхности
конуса
p"dS=p"^d^
г 2 * cos ct
разложим на вертикальную и горизонтальную слагающие (d$—
центральный угол в среднем сечении конуса, перпендикуляр-
dx
ном к оси Oab, a cqs — образующая усеченного конуса).
Вертикальные слагающие двух сил, действующих на два
диаметрально противоположных элемента боковой поверх-
ности, взаимно уравновешиваются; горизонтальные же
(x+x-]-dx) tg a dx л . ,
Р"------2----- d ₽ 'адГа SiH а Р"Х *8 ad$ dX
складываются и их сумма (при суммировании d$ получается
2тт) должна быть равна и противоположна вышеприведен-
ной силе dF
е£2
р" tg2 а 2тгл dx — dF ~ — tg2 а 2тгх dx, (18,7)
и мы получаем, что поперечные силы давления на единицу
площади равны:
е£2 ED
P'-T-T
(18,8)
Таким образом энергия, сосредоточенная в единице объема
электрического поля, и силынатяженияи давления, отнесенные
к единице площади, выражаются одной и той же числовой
величиной.
Силы натяжения вдоль поля и силы давления поперек
поля передаются от точки к точке и выявляются в виде механи-
ческих сил, когда в электрическом поле находится какое-ни-
будь весомое тело. В вакууме они непосредственно обнаружены
быть не могут, так как не находят себе точек приложения.
Они выступают в виде механических сил лишь на грани ва-
куума и весомых тел. Силами натяжения и давления элек-
трического поля может быть объяснено действие поля на
заряды и взаимодействие заряженных тел. Так, разноимен-
80
Электрическое полб
[гл. 1
ные заряды притягиваются (фиг. 18,1) под действием свя-
зывающих их трубок, которые стремятся стянуться, а одно-
именные заряды отталкиваются (фиг. 18,2), почему что индук-
ционные трубки, сжатые в поперечном направлении, стремят-
ся расшириться.
Силы натяжения и давления деформируют диэлектрики,
подверженные действию электрического поля. Явление это
называется электрострикцией. Силы натяжения и
давления внутри однородных диэлектриков взаимно уравно-
вешиваются, на границе же разнородных сред они выявляются
в виде механических сил.
На площадку раздела двух сред &S' со стороны перзой
среды действует сила (растяжения) по направлению поля
(фиг. 18,5)
F\= OF'j= AS cos 04
и сила (давления) в направлении, перпендикулярном к полю,
OF'\— AS sin аР
1 2
§ 18] Пондеромоторные силы в электрическом поле 81
Нормальные и тангенциальные слагающие результирующей
силы будут:
Fin= Fi cos 04— Fy" sin ax= (cos2 — sin2^)—
— as cos 2an
2 1
Flt— Fi sin 04-f- Fi" cos SS sin 2&P
A fr A All A 1
Отсюда следует, что результирующая сила, с которой
первая среда действует на единицу площади раздела, равна
AS AS 2
и составляет с нормалью угол 2alt так как
~ = tg 2aj.
In
Таким же образом определяется сила, действующая на
единицу площади раздела со стороны второй среды,
А = (18,10)
которая составляет с нормалью угол 2а3. Углы ах и а2—углы
падения и преломления линий поля у поверхности раздела
двух сред.
Разлагая силы на нормальные и тангенциальные слагаю-
щие и суммируя их соответственным образом, мы находим, что:
Ра—Р1 cos 2ax — р2 cos 2a2= cos 2ai— cos 2a2, (18,11)
p^/^sin 2ax—p2sin 2a2 = ^^-sin2a1—sin2a2=0, (18,12)
так как
Er sin %iDi cos 04— E2 sin a2Z)2 cos a2=£‘uDlfl—Z?2/)2rt=0,
ибо нормальные слагающие индукции и тангенциальные
слагающие напряженности поля в той и другой среде равны
между собой. Поэтому - электрическое поле действует на
6 К. А. Круг, т. I.
82
Электрическое поле
[гл. 1
поверхность находящихся в нем диэлектриков (так же как и
проводников) независимо от направления поля, с силой,
нормальной к поверхности, которая, будучи отнесена к еди-
нице площади, может быть представлена в виде
___=
r “ 2Sj 2 2г, 2
2 2
= е7)т-+^-е1)Т-=1Г^[^+£1£2^’ (18,13)
ибо
Поверхностные силы всегда направлены в сторону среды
с меньшим диэлектрическим коэфициентом.
В простом случае, когда поле нормально к плоскости
раздела ^=0, на единицу площади действует сила
р = .(ег-е1)р3-. (18,14)
2е1е2
Если же поле параллельно плоскости раздела, Da = 0 и
Et=E> то эта сила выразится через
р=...(£?.^£1\-2-. (18,15)
Под действием этих поверхностных сил происходит пере-
мещение тел, находящихся вэлектрическом поле, и так как
эти силы больше с той стороны, где напряженность поля
больше, то тела будут перемещаться в направлении боль-
шей напряженности, если диэлектрический коэфициент тела
больше диэлектрического коэфициента окружающей его среды,
например, бузинный шарик в воздухе, и в направлении
меньшей напряженности поля, если диэлектрический коэфи-
циент тела меньше диэлектрического коэфициента окружаю-
щей среды, например, воздушный пузырек в масляной среде.
19. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Индукционный поток, или поток смещения, исходящий
от заряженного изолированного проводника, равен в приня-
той нами системе единиц
N — (fl DdS — (j) vdS~Q. (19,1)
Так как потенциал в каждой точке поля и в том числе
и на поверхности проводника слагается из отдельных зна-
чений потенциалов от отдельных элементарных зарядов adS и
§ 19] Электрическая емкость 83
так как между потенциалом и зарядами при независимости
диэлектрического коэфициента от напряженности поля су-
ществует линейная зависимость, то отношение заряда уеди-
ненного проводника к его потенциалу не должно зависеть
от значения потенциала проводника
— == const = СГ (19,2)
Отношение заряда уединенного проводника к его потенциалу
называют его емкостью. В практической системе единиц
емкость измеряется в фарадах. Одна фарада это емкость
такого уединенного проводника, у которого при потенциале
его в 1 V заряд равен 1 С
IP___ । Asec__j sec
v~~ 2
Так как фарада представляет собой очень большую ем-
кость (емкость земли порядка 0,7-10"3F), то емкость при-
нято измерять в микрофарадах, равных одной миллионной
части фарады,
1 = 10-6 F (19,4)
или в микромикрофарадах 1 F = 10"12 F. В абсолютной
электростатической системе единиц емкость измеряют в ст:
1 F = 9-1011 ст. (19,5)
Энергия электрического поля заряженного уединенного
проводника при отсутствии посторонних полей равняется:
W = ±-<fQ (19,6) или 1Г=-^ (19,7) или = (19,8)
Устройства, предназначенные для накопления электриче-
ских зарядов и электрической энергии в их полях, называют-
ся конденсаторами.
Обычно для большей эффективности конденсаторы состоят
из двух расположенных близко друг около друга провод-
ников (так называемых обкладок), разделенных диэлектри-
ком.
Если к обкладкам такого конденсатора приложить внеш-
нее напряжение (разность потенциалов) U = — ср2, то на
обкладках конденсатора, если они не находятся под влия-
нием посторонних электрических полей, расположатся равные
и противоположные заряды-Ц-Q и—Q, связанные между со-
6*
84
Электрическое поле
’гл. 1
бой общим индукционным потоком, который можно себе
представить состоящим из отдельных индукционных трубок,
начинающихся на поверхности положительно заряженной
обкладки и кончающихся у поверхности отрицательно заря-
женной обкладки.
Из линейной зависимости зарядов и потенциалов их полей
следует, что заряды Q пропорциональны напряжению между
обкладками
-^-=const=C. (19,9)
Отношение заряда на обкладках конденсатора к напря-
жению между ними называют емкостью конденсато-
ра.
Энергия поля конденсатора выражается через
Л ЯШ I . I ~
W = ~QU= — (19,10.)
2 2 2С 7
— и —
Фиг. 19,1,
Если несколько конденсаторов, элек-
трические поля которых не влияют друг
на Друга, соединить последовательно
(фиг. 19,1) (на чертежах емкости изобра-
жаются в виде двух толстых параллель-
ных линий) и приключить к напряже-
нию Uу то под действием внешнего на-
пряжения между обкладками каждого
конденсатора образуются электрические
поля и на обкладках конденсаторов бу-
дут накапливаться заряды.
В нейтральном состоянии обкладки двух смежных кон-
денсаторов, соединенных общим проводом, представляют
один проводник, не имеющий зарядов. При этом, когда мы
прикладываем к крайним обкладкам крайних конденсаторов
напряжение, заряды на ближайших обкладках двух смежных
конденсаторов, соединенных между собой электрически че-
рез провод, равны между собой по величине и противопо-
ложны по знаку. Кроме того, поскольку поле одного конден-
сатора не влияет на поле другого конденсатора, в каждом
конденсаторе противоположные по знаку заряды на его об-
кладках должны быть также равны между собой по величи-
не. Поэтому заряды на всех обкладках при последователь-
ном соединении имеют одно и то же значение:
q=C1Ux = C2U2 = CzU^... (19,11)
§ 19]
Электрическая емкость
85
Общее напряжение, приложенное к серии последователь-
но соединенных конденсаторов, равняется сумме напряжений
на обкладках отдельных конденсаторов
£/ = £/1+£/34-£734-... (19,12)
Поэтому, если заменить серию последовательно соединен-
ных конденсаторов одним эквивалентным конденсатором,
который при том же общем напряжении имел бы тот же за-
ряд Q, то его емкость должна удовлетворять следующему
уравнению:
£/=^ + ^ + ^4-...=:^- + ^- + ^-+... = 5-. (19,13)
Gj G2 G3 G
После сокращения на Q мы получаем, что
G Gj G2 G3
обратная величина эквивалентной емкости должна равняться
сумме обратных величин составляющих емкостей.
При последовательном соединении общая емкость умень-
шается, так как мы при этом имеем как бы увеличение рас-
стояния между крайними обкладками.
При последовательном соединении емкостей напряжения
между конденсаторами распределяются обратно пропорцио-
нально емкостям, поэтому для двух емкостей имеем
Q = C1Ul—C2U2, £7 = ^4-^, £7i:£72 = C3:C„
ut=u
Сг
£1 + ^2
(19,15)
т. е. из двух последовательно соединенных конденсаторов
напряжение будет больше на том конденсаторе, емкость ко-
торого меньше. Такое распределение напряжений имеет место
только в случае, если конденсаторы не имеют проводи-
мости. Если сопротивления между обкладками имеют конеч-
ные значения, то с течением времени у конденсаторов, при-
соединенных последовательно, к внешнему источнику тока,
напряжения перераспределяются пропорционально значениям
сопротивлений между обкладками.
86
Электрическое поле
[гл. 1
При параллельном соединении конденсаторов (фиг. 1*9,2)
напряжение у всех конденсаторов будет одно и то же, а
заряды будут пропорциональны емкостям
Q, = C2U, Q3 = C3U... (19,16)
и общий их заряд будет равен:
Q = Q1+Q3+Q3+. . .=(^+^+^4-. . .)U. (19,17)
Если несколько параллельно соединенных конденсаторов
заменить одним эквивалентным, то он должен при том же
напряжении вмещать суммарный заряд и его емкость
--и
C=-g=C1+C3+C3+. . . (19,18)
должна равняться сумме емкостей парал-
лельно соединенных конденсаторов. При па-
раллельном соединении емкость увеличивает-
ся. При параллельном соединении одинаковых
конденсаторов мы имеем как бы увеличение
поверхности обкладок, что увеличивает ем-
кость.
Нахождение значения емкости какого-ни-
Фиг. 19,2. будь конденсатора неразрывно связано с ис-
следованием электрического поля между об-
кладками конденсатора. Когда нам известны напряженность
и электрическая индукция в каждой точке поля D=zE, то
мы можем определить, с одной стороны, электрический
индукционный поток
\^=^DdS = fadS=Q,
(19,19)
а с другой стороны, связанное с этим потоком напряжение
между обкладками конденсатора
U = \Eds. (19,20)
А
При этом, если мы в известном нам поле две эквипотен-
циальные поверхности заменим металлическими поверхностями
с расположенными на них зарядами Dx на одной
поверхности и <з2 = — D2n——D2 на другой поверхности, и
так как в результате такой замены поле между эквипо-
тенциальными поверхностями не изменится, мы таким образом
можем определить емкость между этими двумя мет алл и не-
§ 20]
Поле плоского конденсатора
87
скими поверхностями. Знание электрического поля между
обкладками конденсатора важно еще в том отношении, что
оно дает нам возможность установить максимальное значение
напряженности электрического поля, величину, которая огра-
ничивает предельное значение напряжения, при котором еще
не может произойти пробоя диэлектрика. Обкладки конден-
сатора взаимно притягиваются. Сила притяжения проще всего
определяется, когда известна зависимость емкости от взаим-
ного расположения обкладок, например, если значение емкости
дано в виде уравнения или кривой С=/(х) как функция
расстояния между обкладками (или какого-нибудь другого
параметра). При изменении под действием сил поля взаимного
расположения обкладок на dx, совершаемая полем работа
Fxdx будет происходить за счет уменьшения энергии, накоп-
ленной в конденсаторе,
Fxdx = — d^-= — dC, (19,21)
откуда сила взаимодействия обкладок конденсатора опреде-
ляется через
—(19,22)
По кривой С—f(x) можно путем проведения касательной и
dC
измерения угла наклона ее к оси х определить —-.
dx
На притяжении двух изолированных друг от друга про-
водников, из которых один может перемещаться относительно
другого, основано действие так называемых электрометров,
служащих для измерения напряжения.
20. ПОЛЕ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА
Самым простым типом конденсатора является плоский
конденсатор, состоящий из двух параллельных металлических
пластин, разделенных однородным диэлектриком. При достаточ-
ной протяженности пластин по сравнению с расстоянием между
ними можно не принимать во внимание искажение поля
у краев пластин и .считать поле между пластинами везде
однородным. Если +Q и —Q—заряд пластин, 5—поверхности
пластин, d — расстояние между ними, то электрическая
индукция будет равна:
D=~~^ (20,1)
а напряженность поля
£=-grad? = -^-. (20,2)
88
Электрическое поле
С.гл. 1
Исходя из соотношения
Q=DS=zES=--— и,
х d
можно определить емкость плоского конденсатора
(20,3)
Рассеивание индукционных линий у краев увеличивает
емкость, но, кроме того, непосредственно у краев потенциал
быстро изменяется и напряженность поля больше, чем
в середине между пластинами. Для того чтобы избавиться
от влияния краев, применяют так называемое защитное
кольцо: в одной из пластин
выделяют круг, окруженный
кольцом, отделенным от круга
небольшим промежутком (фиг.
20,1). При одинаковых потен-
циалах кольца и круга равно-
мерность поля у краев круга
не нарушается.
Если промежуток между
двумя параллельными пласти-
нами состоит из двух разных
диэлектриков и е2, разделен-
Фиг. 20,1. иг. 20,2. ных плоскостыо> параллельной
пластинам (фиг. 20,2), то, так
как плоскость раздела обоих диэлектриков есть поверхность
уровня, мы можем вообразить себе в плоскости раздела
бесконечно тонкий металлический лист, по обе стороны кото-
рого сосредоточено такое же количество противоположных
зарядов, как и на обкладках конденсатора. Введя этот метал-
лический лист, мы можем рассматривать наш конденсатор
как два последовательно соединенных конденсатора, имеющих
одну общую обкладку. Емкости этих двух конденсаторов
соответственно равны:
С^иС^, (20,4)
U j и2
а общая емкость определяется через
1 ___ 1 Г 1 ___ / Г \ S
С~~ с2 л 81 ‘ ’
откуда
CJ с?
(20,5)
§ 21]
Поле сферического конденсатора
89
Так как электрическая индукция в обоих диэлектриках
имеет одно и то же значение
Z) S^E1 ^2^*2,
а напряжение U равно:
t/=£'1rf1+£’2rf2,
(20,6)
то напряженности поля в
той и другой среде выразятся через
__ UZ2 „Д' ______________
----—----------И 2^ 2------------------
е2^1Ч-е1^2 е2^1 “F £1^2
(20,7)
Напряженности поля в той и другой среде относятся
обратно пропорционально диэлектрическим коэфициентам
£*1 \Е2~ е2• £р
Последние уравнения дают возможность судить, насколько,
например, воздушная прослойка между изоляционным мате-
риалом и пластинкой конденсатора понижает электрическую
прочность конденсатора. Пусть расстояние между пластинами
d = 0,5 cm и для изоляционного материала (е1 = 4г0) предель-
ный градиент напряжения равен 200 kV/cm и пусть имеется
воздушная прослойка d2 = 0,02 cm. Для воздуха (е2^е0) пРе~
дельный градиент 30 kV/cm. Если бы не было воздушной
прослойки, предельное напряжение для конденсатора было бы
200-0,5= 100 kV, а в случае наличия воздушной прослойки
предельное напряжение для конденсатора будет:
^2 (£2^14~ £1^г) 30( 1 • 0,48 4 • 0,02J _^2
£1 4
т. е. в 23,8 раза меньше.
21. ПОЛЕ СФЕРИЧЕСКОГО КОНДЕНСАТОРА
Сферический конденсатор состоит из двух сферических
металлических поверхностей, разделенных диэлектриком
(фиг. 21,1). Электрическое поле в промежутке между провод-
никами в силу симметрии совпадает с направлением радиу-
сов; положительные и отрицательные заряды на двух обра-
щенных друг к другу поверхностях в силу симметрии также
расположены равномерно, и векторы электрической индукции
для всех точек, равно отстоящих от центр^, одинаковы по
величине и совпадают с направлениями радиусов. Индукци-
90
Электрическое поле
гл. 1
онный поток через сферическую поверхность радиуса г дол-
жен равняться охватываемому этой поверхностью заряду:
Z)-4nr2 = Q,
D=-^~, Е— -О—
4кег2
4кг2
(21,1)
Поле в промежутке не изменится, если
заряд, расположенный на поверхности
внутреннего шара, вообразить сосре-
доточенным в центре шара, предста-
вить себе все пространство заполнен-
ным данным диэлектриком и рассма-
тривать обкладки конденсатора как
поверхности уровня такого поля. На-
пряженность * поля в какой-нибудь
точке Д, находящейся на расстоянии г от центра, равна:
|grad<?| = —~ = ~
(21,2)
Q
4~ег2
Это уравнение дает возможность определить потенциал в
любой точке поля:
Q I 4.
—-------и const,
4лгг
(21,3)
а следовательно, и потенциалы обкладок, отстоящих от центра
на расстояниях гг и г2, равны
?i= ——-----[~const и ----------[-const. (21,4)
4кег! 4кгг2
Поэтому разность потенциалов между обкладками равна
(/=?1-ср3=^- Г^- (21,5)
4кг i\r2
Это отношение позволяет определить емкость сфериче-
ского конденсатора
С=— (21,6)
U г3-Г1
§ 22] Электрическое поле между двумя шарами 91
а также максимальную напряженность поля, которая полу-
чается в рассматриваемом конденсаторе у поверхности внут-
реннего шара (г = гх)
g I d® I _ Q ____________ г,> и
max I dr |тах 4кгг? Г1(г2—Г1)
Если при постоянном внешнем радиусе г2 и постоянном
напряжении U менять радиус внутреннего шара то при
уменьшении гг напряженность поля будет возрастать вслед-
ствие увеличения кривизны, а при увеличении начиная
с некоторого его значения, напряженность поля также начнет
возрастать вследствие близости обеих поверхностей. Напря-
женность поля минимальна, когда знаменатель — rj
имеет наибольшее значение:
^|Гг~Г12) = r2—2rt=0, Г! = , (21,8)
дг 2
т. е. при данном напряжении между обкладками мы имеем
наименьшую напряженность поля, когда внутренний радиус
равен половине внешнего.
Если оставить 1\ постоянным, а увеличить г2 до беско-
нечности, то мы получим уединенный шар, емкость которого
при г2—>оо равна
С = 4r-Srt = 4тгег 1( (21,9)
\ Г2 /г2 = оо
а напряженность поля у поверхности такого шара при на-
пряжении (потенциале) U равна (21,7)
Изолированный шар представляет собой часть сфериче-
ского конденсатора, другая обкладка которого отодвинута в
бесконечность.
22. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ МЕЖДУ ДВУМЯ МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ
ШАРАМИ
Несмотря на простую геометрическую форму шаров, на-
хождение поля между двумя металлическими шарами может
быть проведено лишь приближенно. Если расстояние между
двумя шарами d значительно больше радиусов шаров d^>i\
и d^>r%i то можно пренебречь влиянием электростатической
92
Электрическое поле
Сгл. 1
индукции и считать, что
заряды каждого шара рас-
полагаются равномерно по
его поверхности и что
поле, создаваемое заря-
дом + Q на одном шаре
и — Q на другом, совпа-
дает с полем от зарядов.
сосредоточенных в центре
шаров. При таком предположении потенциалы шаров опре-
делялись бы через
(22,1)
откуда мы можем получить зависимость между напряжением
и зарядами на шарах
r2 d /
и, следовательно, найти емкость двух шаров
C=.£.^4kSP- + -J------(22,2)
U \ Г1 г2 /
Наибольшая напряженность поля будет иметь место по
линии, соединяющей центры шаров, на поверхности в точке А
Получаемые таким путем значения С и Етах меньше дей-
ствительных их значений, так как в них не учтено влияние
одного заряда на другой.
Одним из методов, позволяющих с любой точностью на-
ходить поле между двумя шарами, является метод последова-
тельных зеркальных изображений.
Положим, что в поле точечного ядра -f-Q (фиг. 22,2) вне-
сен заземленный металлический шар, имеющий, следователь-
но, потенциал нуль. В силу электростатической индукции и
отвода положительных зарядов в землю этот заземленный
шар будет иметь лишь некоторый отрицательный заряд Q';
значение этого отрицательного заряда Q', очевидно, должно
зависеть от заряда +Q, от расстояния d между центром
§ 22] Электрическое поле между двумя шарами
93
шара и зарядом Ц-Q и от радиуса шара г. Можно показать,
что на поверхности шара мы получим такое же поле (т. е.
тот же потенциал нуль), если вместо заземленного металли-
ческого шара на линии АО поместим в некоторой точке В
такой точечный заряд Q', чтобы
= 4—^=0 (22,4)
т 4~£гх 1 4псГ2 4 ’ '
ИЛИ
т. е. чтобы отношение зарядов равнялось постоянному отно-
шению расстояний от заряда Ц-Q и от точки В (точки по-
мещения заряда Q') до любой точки шаровой поверхности
или, если мы возьмем какое-нибудь сечение через линию АО,
до точек окружности радиуса г.
Согласно известной теореме Аполлония геометрическое
место точек, для которых отношение расстояний до двух
заданных точек равно постоянной величине, есть окружность,
проведенная через точки пересечения линии, соединяющей
заданные точки, с биссектрисами, делящими внутренний и
внешние углы любого треугольника ВМА пополам.
Если расстояние между точкой В и О обозначить через
Ь, то мы должны для точек С и D окружности иметь:
Г1 _ d—r _ d + r _k
t2 r — b r-\-b
откуда
dr—r2J^ab—rb-rd—bd—br-\-r2
или
6 = Ц (22,6)
И
= = —Q-S-. (22,7)
Г1 d — r d — r d
94
Электрическое поле
[гл. 1
Таким образом, если на линии АО в точке В, отстоящей от
центра О шара на расстоянии Ь= —, поместить заряд
— Q~ > то> начиная со сферической поверхности радиуса г
и дальше вне этой поверхности, мы будем иметь такое же
поле, какое мы имели бы при наличии заземленного метал-
лического шара. Заряд Q1 является электрическим (зеркаль
ним) изображением заряда Q от шаровой поверхности.
Если бы потенциал шара был не нуль, а положим <р3, то
для получения такого же поля на поверхности шара и вне
его мы должны были бы вместо шара поместить: во-первых,
тот же заряд Q' в точке 5; этот заряд на поверхности шара
дал бы потенциал нуль, и, во-вторых, в центре шара заряд
Q" = 4тгегср2; другими словами, потенциал сферы определяется
не зарядом зеркального изображения, а зарядом, помещенным
в центре. Если бы металлический шар был изолирован и не
был предварительно заряжен, то сумма отрицательных и по-
ложительных зарядов, появляющихся на противоположных
сторонах шара вследствие электростатической индукции,
должна была бы равняться нулю, и потому в этом случае
Q"+Q'=O или Qn=Q-~ и шар имел бы потенциал
(22,8)
равный потенциалу в центре шара, если
бы шара не было.
Вернемся теперь
к рассмотрению
электрического
поля между двумя
шарами (фиг. 22,3),
имеющими потен-
, U
циалыср1 = 4~ --
U о
и ?2 =----Ес-
ли в центре шара А поместить заряд
Q —=2mrU,
то при отсутствии шара В потенциал на сфере радиуса г
около точки А равнялся бы —. Присутствие же шара В
имеет своим следствием появление зеркального изображения
§ 22] Электрическое поле между двумя шарами 95
заряда Q от шаровой поверхности шара В в виде отрица-
тельного заряда
Qi=_Q_r_z=—2-
d т
в точке на линии АВ, отстоящей от точки В на расстоянии
где d = mr. Этот отрицательный заряд Qi будет иметь своим
зеркальным изображением от шаровой поверхности А поло-
жительный заряд
Q2=_Q1_J_=A. =
2 By А т d—by /и2-1
в точке, отстоящей от точки А на расстоянии
т
Лишь при этих условиях поверхность шара А может оста-
ваться эквипотенциальной поверхностью. Этот заряд Q2 в
точке Л2 в свою очередь будет иметь своим зеркальным
изображением от поверхности шара А заряд
Q3=— Q3 -- =-------• —— =-----------—
3 АуВ даЗ—1 d—a2 т2 — 2т
в точке В3, отстоящей от точки В на расстоянии
3 3 Л23 d—a2 т2— 2т
Каждое зеркальное изображение внутри одного шара
отражается от шаровой поверхности другого шара, причем
значения зарядов зеркальных изображений все время умень-
шаются, в пределе приближаясь к нулю >2^ .
Точно так же, если мы в центре шара В поместим заряд
—Q =—2тггН7, то заряд будет иметь такие же зеркальные
изображения с той разницей, что значения зарядов этих зер-
кальных изображений будут иметь противоположные знаки.
Заряды зеркальных изображений увеличивают значение об-
щего заряда, который должен иметь шары при заданных
значениях их потенциалов.
Заряд шара А составится из первоначального заряда -f-Q
в центре Л, из зарядов Q2 в точке А2, +Q4 в точке и
96
Электрическое поле
[гл. 1
и. т. д. и, кроме того, из зеркальных изображений заряда—Q,
помещенного в точке В, а именно —Qi в точке Alf —Q3 в
точке А3 и т. д. Такую же картину мы будем иметь и в
шаре В. Таким образом заряд шара А определится (Q=3nert7)
через
Q = ------1----1-----1----1-...\(22,9)
\ т т2—1 nfi— 2т т*—Зт--\Л )
Из этого уравнения может быть определена емкость между
двумя шарами
С = -~ =2«Г (1-1—L 4---------1—4------1---f-.J (22,10)
и < т т2—1 1 т2 — 2т 1 ) 4 7
Максимальную напряженность поля будет иметь точка С.
Она может быть вычислена следующим образом:
‘ = Г J Г- 1 [_______!___L. [
П1ах 4~е L г2 (Г_Д1)3^ (г-^)З
4----1—4--------1-----[------1------1--1 (22,11)
1 {d-ry 1 (d—r—btf 1 (d-r—b.tf 1 J 7
23. ПОЛЕ И ЕМКОСТЬ ОДИНОЧНОГО ПРОВОДА И ЭЛЛИПСОИДА
ВРАЩЕНИЯ
Пусть нам дан в однородной среде вдали от всяких других
проводников линейный тонкий провод длиною 1~2с и с
равномерно распределенным зарядом z = -0—. Такой
I 2с
провод мы можем рассматривать как некоторую заряженную
электрическую ось. Потенциал в плоскости, проходящей через
ось провода в системе координат, указанной на фиг. 23,1,
определится через
_ г _ q г
Д 4~гг Ъ~гс 2
= Q 1п Wt£)4^+£+£
С)2+>3 4- Х — С
-£-1пЛ*.
8-гс
(23,1)
di
d(X-l) У(Г-е)2+>2 + х-Е
|Л(Х_е)2+>2 ]/(х-^+у+х-$
— е)2+-У2 + -^—0
/(Х-?)3+>2 4-Х-г
=-in (]Лх - е)2+>2 + х - 0+с •
§23]
Поле и емкость одиночного провода
97
Для поверхностей равного потенциала, которые в нашем
случае являются поверхностями вращения, логарифм должен
равняться постоянной величине, или координаты кривой
равного потенциала в меридианальной плоскости должны
удовлетворять уравнению
+?..+.£ = k = с5nst. (23,2)
]/’(х — С)2 4-у2 4- X — с
Этому условию удовлетворяют конфокальные эллипсы
с двойным фокусным расстоянием 2с — I и с большой осью,
равной
2а = 2с^±1. (23,3)
k — 1
Действительно для эллипса радиусы-векторы, проведен-
ные из фокусов, равны
г* = а+4 х== j/(x+c)3+y
и
г 3=а — у- х=]/(х —с)2+У. (23,4)
Подставляя эти значения в (23,2), мы находим, что
а 4“ х -j- х с
----а-------- =.(£±£)U±£1= M^==A = COQst
с (а — с) (х 4- а) а — с
а — — х4~ х — с
а
(23,5)
т. е. уравнение эллипса удовлетворяет уравнению (23,2).
7 К. А. Круг, т. I.
Электрическое йоле‘
[гл. Р
Если из (23,5) определить 2а, то получаемся уравнение
(23,3).
Таким образом поверхности равного потенциала в полё
равномерно заряженной оси конечной длины являются эллип-
соидами вращения с фокусами на Концах оси- Индукционные
линии лежат в меридианальных плоскостях и являются кон-
фокальными гиперболами, имеющими общие фокусы с эллип-
соидами вращенйя (фиг. 23,2).
Фиг. 23,2.
Заменяя эквипотенциальную по-
верхность металлической поверх-
ностью, мы на основании уравнений
(23,1) и (23,5) мржем для провод-
ника в виде эллипсоида вращения
найти зависимость между его об-
щим зарядом и потенциалом; по-
следний мы можем представить как
напряжение по отношению к беско-
нечно удаленным точкам:
(23,6)
т 8тсгС а—с 4 ’ '
где а — большая полуось эллипсоида вращения, а с — фокус*
йое расстояние. Из (23,6) может быть определена емкость
эллипсоида вращения
Q 8-ге
U а-[-с ’
(23,7)
Наибольшая напряженность поля будет на конце боль-
шой оси
max
da
Q / 1 1
8п:сС \ a -|- с a — c
Q
4tcc ( a2— c2)
$3,8)
Прямой провод с закругленными ' концами может рассма-
триваться как эллипсоид вращения с фокусным расстоянием,
почти совпадающим с половиной его длины с -у-. Потен-
циал <р ца поверхности провода в его середине (х = 0,
I 23]
Поле и емкость одиночного провода
99
У—~» где d — диаметр провода) может быть определен из
(23,4) и при С 1 он будет равен
—-^~1пу, (23,9)
емкость же одиночного провода определится через
С=-^-=—(23,10)
и 41 4 1
I
1
Применим полученные результаты к определению емкости
прямолинейного провода, подвешенного над землей (антенны).
Земля является поверхностью с нулевым
потенциалом и может рассматриваться
как проводник, в котором нет поля. Элек-
трическое поле над поверхностью земли
'не изменится, если вместо земли все бу-
дет заполнено однородной средой, как и
над поверхностью земли, и если под
поверхностью земли будет расположено
зеркальное изображение проводника, т. е.
такой же провсдник с равным, но про-
тивоположным по знаку зарядрм. По-
тенциал от двух симметрично располо-
женных противоположных зарядов на
поверхности земли будет равен нулю и
поверхность земли останется эквипотен-
циальной поверхностью с нулевым по-
тенциалом.
Положим, что провод подвешен вертикально (23,3) так,
что расстояние его нижнего конца от земли будет А. Пусть
длина провода I и заряд его Q. Заменяем землю зеркальным*
изображением провода от поверхности земли в виде такого
же провода с линейной плотностью зарядов т=—у. По-
7*
vAwA/A/z/A/.
h
Фиг. 23,3.
100
Электрическое поле
[гл. 1
тенциал, если он был один в пространстве, равнялся бы
(23,9)
In—
d
(23,11)
К этому значению потенциала следует прибавить потенциал
от зеркального изображения провода, который для середины
проводника определится через
---+ 2Л + /
2
— +2й
2
т dt\
4 тсег]
(23,12)
Поэтому напряжение подвешенного
выразится следующим образом:
провода через его заряд
U = fl + f.
4ке/ d2
Q ln 3/+4Л
4rceZ I 4h
_ <? ln 4/4/ + ^)
4гл/ rf2(3/4-4A) ’
(23,13)
Отсюда можно определить емкость между проводом и землей:
£»___ Q ___
!/ 1 ~ Ч — ~и ~ , 4/^(/ + 4Л) •
+2 ♦ (3/ 4- 4Л)
У/УУ/У/////У//У7уА'У//7У7, Если h =s 0, то
(23,14)
(23,15)
Фиг. 23,4.
Для горизонтально подвешенного провода (фиг. 23,4) по-
тенциал провода на поверхности в его середине от заряда
+ Q был бы
Q < 2/
<₽!=—1П------
T1 2ksZ d
§ 24] Поле цилиндрического конденсатора Ц)1
К этому надо добавить потенциал от его зеркального изо-
бражения, который может быть определен, если в уравнение
(23,1) подставить л = 0, y=2h, с—— и —Q вместо Q
откуда
Q
4гл1
[in 4za _]n V^+^+l
L аз
(23,16)
Емкость горизонтально подвешенного провода по отно-
шению к земле будет:
С=«- = Ы Г1п + 1-‘ (2317)
Если Мг.1 невелико, то выражение для емкости можно
упростить
8Л2
4/2.------ -1
л 1 fi / ] 2тие/
4пе/ 1П----------------
L J 1п1А
(23,18)
24. ПОЛЕ И ЕМКОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОНДЕНСАТОРА
Поле и емкость цилиндрического конденсатора, состоя-
щего из двух коаксиальных цилиндров, разделенных диэлек-
триком, когда расстояние между цилиндрическими поверх-
ностями невелико по сравнению с осевой длиной цилиндров,
может быть просто определено из рассмотрения электриче-
ского поля бесконечно длинной электрической оси, в котором
эквипотенциальные поверхности по соображениям симметрии
являются коаксиальными цилиндрическими поверхностями.
Положим, что бесконечная электрическая ось на длине I
Q
имеет заряд Q или на единицу длины *с=-- .
102
Электрическое поле
[гл. Г
На основании теоремы Гаусса мы можем написать, что
произведение поверхности цилиндра на индукцию равняется
заряду на оси
2nrlD—Q, откуда D = —— •
Пользуясь соотношением между индукцией и напряжен*
ностью поДя, даы можем найти значение напряженности поля,
которая в нашем случае направлена по радиусам перпенди-
кулярно к оси;
_______ rfcp ____D_______ Q
dr ь 2i&rl
(24,1)
Разделяя переменные
2ке/ г
И интегрируя
х Q 1 j. । Q 1 1
<p=const------—In г = constН—-— In—,
2кг/ 2кг/ г
(24,2)
Фиг. 24,1.
мы находиц выражение для потенциала, кото-
рое состоит из некоторой постоянной и из
переменной, пропорциональной логарифму об-
ратной величины расстояния от оси до рас-
сматриваемой точки. Постоянная const для
поля обособленной бесконечно длинной заря-
женной оси не представляет собой конечной,
определенной величины, так как для г=оо
In — — оо.
Проводя в поле заряженной оси две экви-
потенциальные поверхности с радиусами г, и
г2 соответственно внутреннему и внешнему радиусам ци-
линдрического конденсатора (фиг. 24,1) и заменив эти экви-
потенциальные поверхности металлическими поверхностями
с зарядами-j-Q и — Q, мы получим полное тождество между
электрическим полем от заряда+Q, расположенного на оси,
и электрическим полем в промежутке между цилиндрами
конденсатора.
Разность потенциалов между обкладками конденсатора
должна равняться разности между потенциалами внутрен-
него и внешнего цилиндра
?2 =
Q
2кг/
1П-----..
Г1
(24,3)
§ 241-
Поле цилиндрического конденсатора
103
Из этого уравнения может быть определена емкость
цилиндрического конденсатора
= (24,4)
U 1п^
Напряженность поля на расстоянии г от оси в зависи-
мости от разности потейциалов между обкладками конден-
сатора, дюжет быть найдена/ если в уравнение (24,1) под-
ртавить Q из (24,3),
Е = (24,5)
Нп -
Наибольшее значение напряженность поля имеет непо-
средственно у поверхности внутреннего цилиндра
^тах — ~ • (24,6)
?! 1П“^
П
Если значение напряженности поля в опасном месте пре-
высит электрическую прочность диэлектрика, то произойдет
пробой. При заданном внешнем радиусе г2 предельное напря-
жение, которое может выдержать конденсатор, зависит от
радиуса внутреннего цилиндра. Если предположить, что
допускаемый градиент £*тах не зависит от радиуса кривизны,
то цилиндрический конденсатор должен выдержать наиболь-
шее напряжение, когда
(24,7)
имеет максимальное значение или когда
(\1п= -^-(Glnru —rjnrj =
dr, \ Г1 ) агу
= 1л г2 — In Tj — 1 =- 0,
Откуда
In-^- = 1 или-^- = е = 2,718. (24,8)
И Г!
При таком соотношении радиусов цилиндрический кон-
денсатор имеет наибольшую прочность.
Если среда в промежутке между цилиндрами однородна,
то диэлектрик подвергается воздействию неодинаковой
104
Электрическое поле
[гл. 1
напряженности поля, причем наибольшую напряженность
поля испытывает часть диэлектрика, прилегающая к внут-
реннему цилиндру. Окружая внутренний цилиндр концентри-
ческими слоями различных изолирующих веществ с неоди-
наковыми диэлектрическими постоянными, можно добиться
более равномерного распределения напряженности электри-
ческого поля. Если бы удалось изменять диэлектрическую
постоянную обратно пропорционально расстоянию от оси,
т. е. так, чтобы гг = const, то в промежутке между цилин-
драми мы имели бы равномерное падение потенциала и, сле-
довательно, одинаковые условия в электрическом отношении
для изоляции во всех точках;
Е = -4" ~ Q , = const. (24,9)
dr 2ыг1 ' '
Этим пользуются при фабрикации кабелей, окружая жилы
сначала слоями изоляции с большим, а затем слоями с мень-
шим диэлектрическим коэфициентом.
Рабочая часть
Охранная часть
Фиг. 24,3.
В так называемых конденсаторных вводах, применяемых
например, в трансформаторах высокого напряжения, для про-
ведения провода через крышку равномерное распределение
падения потенциала и изоляции может быть достигнуто тем,
что тонкими металлическими листами (станиолем) изоляция
между проводами а внутренней поверхностью отверстия раз-
деляется на слои одинаковой толщины, но длина этих слоев
постепенно убывает (фиг. 24,2). Такой ввод представляет
собой комбинацию последовательно соединенных цилиндри-
ческих конденсаторов одинаковой емкости.
На фиг. 24,3 показан так называемый конденсатор Петер-
сена, применяемый при высоких напряжениях, в котором
влияние краевого эффекта устраняется тем, что лишь сред-
няя часть является рабочей.
§ 25]
Поле параллельных цилиндров
105
25. ПОЛЕ И ЕМКОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЦИЛИНДРОВ
Остановимся сначала на рассмотрении электрического
поля, которое получается от зарядов -pQ и — Q, равномерно
распределенных на большой длине I вдоль параллельных
осей А и В. Если бы имелся только один заряд -f-Q на осиД,
то в какой-нибудь точке М в плоскости, перпендикуляр-
ной к осям А и В, потенциал выразился бы через (фиг. 25,1)
<р1 = const-}
2ж/ а
Если бы имелся только один
заряд — Q на оси В, то потен-
циал в той же точке Л! выра-
зился бы через
. Q 1 1
®. = const-------£— In —,
тз 2ле/ b
где а и b — расстояния точки М от осей Д и В.
Поэтому полное выражение потенциала в точке М может
быть написано в виде
«p^const-h-^-ln-^-. (25,1)
Полагая, что потенциал точки, бесконечно удаленной от
обеих осей, несущих равные, но противоположные за[ я щ,
равен нулю (^=0) и так как для бесконечно удаленной
точки — = 1, a In 1 = 0, мы получаем, что const=0. Поэтому
а
потенциал в какой-нибудь точке М выразится через
(25,2)
где —так называемый потенциальный коэфициент:
алт
1 1 Ъ
------In —
2гсг/ а
(25,3)
который показывает величину потенциала, которую получает
точка Mf когда на длину I двух параллельных электриче-
ских осей приходится по единице заряда.
Для нахождения эквипотенциальных поверхностей, т. е.
поверхностей постоянного потенциала cpAf=const, мы должны
106
Электрическое поле
[ГЛ- 1
найти геометрическое место таких точек, для которых рас-
стояния а и & до осей А и В находились бы в некотором
постоянном отношении Таким геометрическим местом
а
согласно теореме Аполлония являются цилиндрические поверх-
ности, дающие в сучении окружности.
Если расстояние между осями AB = d и если взять начало
координат в точке А (фиг. 25,2), то мы можем написать, что
2d
£2—1
-*-=(),
*2—1
откуда
это есть
уравнение окружности
d \2
$2-1/
d2 <Р _ _
(ft2 —I)2"1 ft'- —(ft2—1)2
(25,4)
радиусом
kd
£3-1
(25,5)
с центром, лежащим на линии АВ левее точки А
и
стоянии
на рас-
а
с
d г
— —
1 £2 — 1 k
(25,6)
Между r, Ci и d существует следующая зависимость:
ft2d3 _ d / d
(ft2— I)2 — ft2—1 \ft2—1
W)=G(q4-<Z). (25,7)
§ 25]
Поле параллельных цилиндров
107
Задаваясь разными значениями k, можно построить ряд
эквипотенциальных поверхностей, дающих в сечении окруж-
ности для электрического поля между двумя электрическими
осями, заряженными равными, но противоположными зарядами
(фиг. 25,3). Если А>1, то центры окружностей лежат левее
точки А; по мере приближения k к единице расстояния с
увеличивается и все более отодвигается влево, одновременно
увеличиваются и радиусы г. При k=\, г — оо и f = со окруж-
ность превращается в прямую, совпадающую с бинормалью
отрезка АВ. Когда то с будет отрицательно, с будет
больше d и центры окружно-
стей будут лежать на линии
АВ, правее точки В.
Линии поля (индукционные
или силовые линии) должны
быть нормальны к поверхно-
стям равного потенциала. Это
будут окружности, лежащие в
плоскостях/ перпендикулярных
к осям, проходящие через сле-
ды этих осей, т. е. через точки
А и В и с центрами, лежащими
на бинормали к АВ. Пусть та-
кая окружность, проведенная Фиг. 25,3.
через точки А и В с центром
в точке О', пересекает линию равного потенциала в точке М.
Соединяем точку М с Oi — центром окружности равного
потенциала. Так как на основании теоремы геометрии произ-
ведение секущих должно равняться квадрату касательной,
а в нашем случае секущие будут O1A=cJ и O1B = e1-j-d,
а их произведение на основании уравнения (25,7) равно:
О А • OB = c^Ci+d) О7И2,
то ОТМ есть касательная к окружности АМВ, следовательно,
окружности МС и МВ пересекаются под прямым углом.
Если требуется найти электрические оси для заданных двух
цилиндрических поверхностей (или в сечении двух окружно-
стей) равного потенциала (фиг. 25,4), то следы осей могут
быть найдены следующим образом. Проводят общую касатель-
ную к двум окружностям и на этой касательной на отрезке
между точками касания, как на диаметре, строят окружность,
точки пересечения которой с линией, соединяющей центры
заданных окружностей, и дадут следы осей А и В.
Если одна окружность лежит внутри другой (фиг. 25,5),
то проводят линию через центры окружностей и в точках
пересечения этой линии с внутренней окружностью строят
108
Электрическое поле
'гл. 1
касательные к этой окружности. Затем точки пересечения
этих касательных с внешней окружностью соединяют между
собой и накрест прямыми линиями, которые в точках пере-
сечения с линией центров и дадут следы искомых осей А и В,
Доказательство правильности такого построения, вытекающее
из подобия соответствующих треугольников, мы здесь не
приводим.
Путем вычисления может быть найдено положение осей
А и В для двух рядом расположенных цилиндров из следую-
щих уравнений (фиг. 25,4):
Г1г=^1(<ч+<0» r32 = c3(c3+rf), d0 =cl+(/+ci, (25,8)
где /1 и r2— радиусы заданных окружностей, dQ— расстояние
между центрами их сечений; d, (\ и f2—искомые значения
расстояния между осями и расстояния между центрами каждой
из окружностей и прилегающими к этому центру следами
осей.
Уравнения (25,8) дают следующие решения:
сх=пх— /П12—гД где
2
с2=п — Кп?— гА где п2= -^-4-
2 20$
(25,9)
и
d = 2]^nl2 — г12=2]/п22—г22.
Если один цилиндр расположен внутри другого r2>ri
(фиг. 25,5), то соответствующие уравнения для нахождения
положения точек А и В будут:
Г12=С1(С14-</), г22—4— c2—^i > (25,10)
§ 25]
Поле параллельных цилиндров
109
которые для сь с2 и d дают решения, совпадающие с реше-
ниями (25,9).
Для определения емкости между двумя цилиндрами
с параллельными осями необходимо знать (фиг. 25,4) поло-
жение электрических осей по отношению к осям цилиндров.
Пусть положение этих осей нами найдено путем построения
или вычисления и пусть ближайшие точки заданных цилинд-
ров отстоят от оси А на
— 7* 1 И 67g — dQ Сг 1 7*g
и от оси В на
bv = d—ах и b2—d — а2,
где dQ расстояние между центрами окружностей^ и г2—их
радиусы и d — расстояние между осями.
Потенциал поверхности первого цилиндра выразится через
-5— in—
2пг/ ах
(25,11)
а потенциал поверхности второго цилиндра
?2=-2Qs/ (25,12)
Разность потенциалов обоих цилиндров равна
и = ?1- ?3= -О- In . (25,13)
2пе/ а^Ь2
Из этого уравнения может быть определена емкость для
двух цилиндров с несовпадающими осями:
q__ Q 2ле/
U _
In —
fl1^2
Электрическое поле имеет наибольшую
в самом узком месте между цилиндрами,
центров. Потенциал для какой-нибудь точки
отстоящей от оси А на расстоянии г, равен
Q . d—r
—— In-----
2кб/ г
(25,14)
напряженность
т. е. на линии
линии центров,
(25,15)
а напряженность поля
_ Q /]_ ।_________1_\
dr 2тл1 \ г d — r)'
по
Электрическое иоле
[гл. 1
Напряженность поля имеет максимальное значение у по-
верхности меньшего цилиндра (г=^]). Выражая Q через
находим для максимума напряженности поля (d—a1=b1)
(25,16)
Приведенные формулы являются общими для любого
расположения цилиндров с параллельными осями и, пользуясь
этими формулами, можно определить емкость для различных
частных случаев.
Пусть нам дана воздушная двухпроводная линия (г=е0),
подвешенная так высоко, что действие земной поверхности
не влияет на электрическое поле между зарядами. Так как
благодаря относительно малому радиусу проводов электри-
ческие оси зарядов можно считать совпадающими с осями
проводов (а1 = 62=г, г — радиус провода), то искомые вели-
чины выражаются через где d—расстояние
между осями проводов)
Земля
;л
Фиг. 23,6.
и
ке/
d
In —
(25,17)
^тах
27t£0Z
d2
1п ----
Г2
(25,18)
Для однопроводной линии, обратным проводом которой
служит земля, поверхность земли является эквипотенциальной
поверхностью. Поэтому, если вместо земли, ниже ее поверх-
ности, вообразить такой же провод на таком же расстоянии,
что и провод над землей, т. е. взять зеркальное изображение
провода (фиг. 25,6) и сообщить зеркальному изображению
противоположный заряд, то от этого в электрическом поле
между проводом и горизонтальной поверхностью земли ничего
не изменится. Таким образом рассмотрение однопроводной
линии может быть приведено к рассмотрению двухпр вводной
с расстоянием между проводами d=<2h. Емкость между про-
водом и землей равна двойной емкости между проводом и
его зеркальным изображением, так как емкость, эквивалентная
§ 25]
Поле Параллельных цилиндров
1П
двум одинаковым последовательно соединенным емкостям,
равна половине каждой емкости; Поэтому емкость однопро-
водной линии равна (25,17)
С'=2С = -^-. (25,19)
27г
Если одно и то же напряжение U приложить один раз
между проводом и землей, а другой раз между проводом и
его зеркальным изображением, то напряженность поля на
повёрхности провода будет в первом случае в два раза
больше, поэтому максимум напряженности электрического
доля однопроводной линии выражается через
шах • (25,20)
г In —
Г
Рассмотрим еще влияние земли на ем-
кость двухпроводной воздушной линии,
подвешенной невысоко над землей (фиг.
25,7). Распределение потенциалов и напря-
женностей электрического поля не изме-
нится, если вместо земли вообразить на
таком же расстоянии под поверхностью
земли два таких же провода а и b с про-
тивоположными зарядами.
Пусть заряд на проводнике А будет QAt а на проводнике В
QB, а заряды на их зеркальных изображениях — QA на а и —
QB на Ь. Если высота подвеса и расстояние между проводами
велики по сравнению с радиусом сечения проводов г, то можно
принять, что электрические оси совпадают с геометрическими
осями проводов. Потенциал в какой-нибудь точке М поверх-
ности первого провода слагается из потенциала от пары
осей Л и а и от пары В и Ь. Потенциал от первой и второй
пары будет:
1 ®А л Ла „ Q п . Ва
? In-- И срл"=-----1п------Г,
А 2гМ Г А 2тл! ВА
а потому потенциал первого провода выразится через
Qa = ?'+?"= *AAQa+*abQB- (25,21)
Таким же путем мы можем получить выражение для
йотёнциала второго провода
Чв ~ (25,22)
112
Электрическое поле
[гл. 1
Коэфициенты:
1 . Аа
аАА—----- In ->
АА 2гл/ г
1 . АЬ
«4В-“ВЛ- — 10 АВ
и a^^ln^ (25,23)
называются потенциальными коэфициентами и могут быть
вычислены на основании геометрических размеров.
Для изолированной линии, т. е. такой, которая ни сама,
ни источник энергии, который ее питает, не имеют соединения
с землей, заряды QA и QB будут равны и противоположны.
Qa = Q= — QB. В этом случае мы получаем, что
U = У А Чв = (аАА aAe)Q (авв аАв) ( Q), (25,24)
и емкость линий будет равна:
С= 0-=------------------. (25,25)
U аАА + аВВ “
Подставляя вместо а4Л, авв и аАВ их значения и учитывая,
что сумма логарифмов равна логарифму произведения, мы
находим, что емкость двухпроводной линии, подвешенной
близко над землей, равна
2~eZ ___ 2 Яс/
1n /rf \
г г \Ab / J у г ’ D I
(25,26)
где Aj и А2 — высота подвеса проводов, d — расстояние между
проводами, a D — расстояние между одним проводом и зер-
кальным изображением другого провода.
Когда двухпроводная линия подвешена симметрично к земле
h{ = h2 и Аа = ВЬ или же если она подвешена настолько
высоко, что разница в высоте подвеса относительно ничтожна
и потенциальные коэфициенты могут быть приняты равными
{Аа ВЬ и алл = авв), то потенциалы проводов будут равны
и противоположны с?л = — . По абсолютной величине
они равны половине напряжения U. Когда же провода под-
§ 26]
Конденсаторы и измерение их емкости
113
вешены несимметрично по отношению к земле и на близком
от нее расстоянии, то потенциалы распределяются несиммет-
рично [уравнения (25,21), (25,22) и (25,25)]
? —(аАА аАв)С^
А
аАА~аАВ jj
аАА + аВВ~2аАВ
И
аАВ ““ аВВ
гр = -----------------
1 В аАА + аВВ ~ 2аАВ
(25,27)
Так как из двух коэфициентов аАА и авв (25,23) больше
коэфициент провода, более близкого к земле, то абсолютное
значение потенциала более близкого к земле провода будет
меньше, чем абсолютное значение потенциала провода более
удаленного.
Если источник энергии, питающий линию, имеет заземле-
ние, то каждому проводу сообщается определенный потен-
циал независимо от расположения проводов. В этом случае
абсолютные значения зарядов на проводах (?л и QB будут
не равны и о емкости линии, как о таковой, говорить не при-
ходится; можно лишь говорить о частичных или взаимных
емкостях (см. формулы Максвелла § 29).
26. КОНДЕНСАТОРЫ И ИЗМЕРЕНИЕ ЙХ ЕМКОСТИ
Для измерения электрических емкостей пользуются этало-
нами и магазинами емкостей. Диэлектриком в эталонах
емкости служит обычно воздух, и имеют они плоские или
цилиндрические электроды. Для увеличения емкости и во
избежание больших размеров кон-
денсаторы составляются из (нечет-
ного) ряда пластин, делящихся на —-------------------:
две группы, четных и нечетных,
которые электрически соединены в
отдельности между собой (фиг. 26,1). Фиг. 26,1.
В случае цилиндрических пластин
цилиндры вставляются друг в друга с соответствующими
промежутками. Эталоны изготовляются с емкостями от 0,00005
до 0,01 p-F. В эталонах на большую емкость вместо воздуха
в качестве диэлектрика применяют слюду, что позволяет
получать эталоны с номинальными емкостями до l^F. Для полу-
чения емкостей разных величин собирают отдельные емкости
в магазины. Одна сторона всех входящих в магазин емкостей
электрически соединена с одним зажимом магазина (фиг. 26,2),
Другие стороны отдельных емкостей присоединяются каждая
к своей медной пластине и при помощи штепселей, встав-
8 К. А. Круг, т I.
114
Электрическое поле
[гл. 1
ляемых в соответствующие гнезда, они могут быть соединены
с медной пластинкой, связанной с другим зажимом магазина.
Разряд конденсатора достигается коротким его замыканием
при помощи штепселя, вставляемого в гнездо между зажи-
мами конденсатора. Такие магазины выполняются на общую
емкость до 1 p-F.
Для плавного изменения емкости применяют вращаю-
щиеся конденсаторы, состоящие из двух групп, непо-
движных и подвижных пластин (фиг. 26,3). При вращении по-
движных пластин последние больше или
Фиг. 26,2.
меньше входят в пространство между не-
подвижными пластинами, при этом меняется
емкость конденсатора.
Технические кондецсато-
ры выполняются обыкновен-
но из станиолевых листов
(тонкопрокатных алюминие-
вых листов), между которы-
ми прокладываются бумаж-
ные листы, пропитанные
парафином. Конденсаторы,
предназначенные для высо-
кого напряжения, составля-
ются из ряда последователь-
ных емкостей, которые во
избежание искрового пере-
крытия помещаются в ма-
сляные баки.
Фиг. 26,3.
Сравнительно малый объем и большую емкость имеют
электролитические конденсаторы, годные лишь для зарядки
в одном направлении. Они изготовляются из двух алюминиевых
(или одной алюминиевой и одной железной) пластин, из
которых одна алюминиевая пластина, служащая положитель-
ным электродом, покрывается электролитическим путем
слоем окиси алюминия, а другая служит лишь для контакта
с электролитом (или в виде жидкого раствора соды или
борной кислоты, или в виде бумажных листов, пропитанных
этими растворами). Диэлектриком служит чрезвычайно тонкая
пленкх окиси алюминия, отделяющая одну обкладку — поло-
жительную пластину — от электролита, являющегося второй
обкладкой конденсатора. Такие конденсаторы применимы
лишь для определенной полярности зарядов. При неправиль-
ной полярности оксидный слой теряет свои изолирующие
свойства.
Для каждого конденсатора должно быть указано предель-
ное напряжение, а для конденсаторов, предназначенных для
переменного тока, и частота, при превышении которых
§ 26]
Конденсаторы и измерение их емкости
115
в конденсаторе могут произойти разряды или может нару-
шиться его сохранность.
Для измерения емкостей существует много методов, пред-
назначаемых для измерения емкостей разного рода, отличаю-
щихся как по своей величине, так и по значениям допускае-
мого напряжения и по другим своим свойствам.
Самым простым способом определения емкости является
метод зарядки конденсатора, емкость которого подлежит
определению, до определенного напряжения и последующего
разряда его на баллистический гальванометр (фиг. 26,4). Галь-
ванометрами называются приборы, измеряющие малые токи,
а баллистический гальванометр отличается от обычного галь-
ванометра лишь тем, что он обладает большой инерцией
своей подвижной системы,
вследствие чего период
качания подвижной си-
Фиг. 23,4.
стемы относительно велик (8-н 15 сек.). При прохождении
через него кратковременного тока, так называемого импульса
тока, что мы имеем при разряде конденсатора (время разряда
конденсатора < 0,001 сек.), между количеством прошедшего
через баллистический гальванометр электричества и углом
первого отклонения (отброса) существует прямая пропор-
циональность
fat=CU= Gbalfl, (26,1)
где а — угол отброса, a Gball— баллистическая постоянная
гальванометра, которая может быть определена, если эталон
емкости Со зарядить до напряжения UQ (например, от эталон-
ного элемента см. § 36) и затем разрядить его на баллистический
гальванометр
0^= — - (26,2)
«О
Некоторые другие методы, а именно мостовые схемы,
будут изложены в главе переменных токов. Здесь же мы
остановимся на описании так называемых электрометров,
предназначенных для измерения напряжения и основанных на
взаимодействии заряженных проводников. На фиг. 26,5 схема-
8*
116
Электрическое поле
[гл. 1
тически показан так называемый абсолютный электро-
метр, предложенный Томсоном. Он состоит из нижней изоли-
рованной пластины и параллельной ей верхней круглой пла-
стины, подвешенной к чувствительным весам; верхняя пла-
стина окружается защитным кольцом такой же толщины и
между ними оставляется незначительный промежуток. Верхняя
пластина и кольцо соединяются с землей, а нижняя пластин!
соединяется с телом, потенциал которого или напряжснле
которого по отношению к земле подлежит измерению. Сила
притяжения обеих пластин, уравновешенная разновесами, вы-
ражается через
(26,3)
2 2^2 У
где S — поверхность верхней пластины, d — расстояние между
ними и U — измеряемая разность потенциалов, откуда
Томсону принадлежит также схема так называемого
квадрантного электрометра (фиг. 26,6а), который
состоит из четырех изолированных друг от друга неподвижных
секторов, представляющих как бы разрезанную на четыре
части двумя взаимно перпендикулярными плоскостями ко-
робку, внутри которых помещается подвижная часть электро-
метра— тонкая и легкая алюминиевая пластинка, имеющая
форму восьмерки и носящая название бисквита. Эта пластинка
снабжается зеркальцем для отсчета углов поворота и под-
вешивается на тонкой упругой и проводящей нити. Когда
$ 26]
Конденсаторы и измерение их емкости
117
все квадранты имеют одинаковые потенциалы и бисквит нахо-
дится посредине между двумя смежными квадрантами, он не
испытывает момента вращения. Если же одна пара противо-
положных квадрантов имеет потенциал срр другая ср2 и бисквит
потенциал ср0, то на бисквит действует момент вращения
М = const [(с?з — %)2 — (?! — %)2] = Da, (26,5)
поворачивающий бисквит на угол а, где D — момент сопро-
тивления нити, соответствующий закручиванию ее на единицу
угла.
Если бисквит соединить с одной парой квадрантов, то
момент вращения будет пропорционален квадрату разности
потенциалов U — ср2 — ср0:
М = const U2 = Da; U = const Ya k
Вместо четырех квадрантов электрометр может состоять
из двух камер. Схема так называемого бинарного электро-
метра показана на фиг. 26,66. На таком же принципе построены
так называемые многокамерные электрометры (фиг. 26,7).
Для отсчета малых углов пово-
рота пользуются обычно зеркаль-
ным субъективным или объектив-
ным отсчетом. При субъективном
отсчете (фиг. 26,8) шкала, распола-
гаемая параллельно зеркалу галь-
ванометра, при отсутствии тока /
наблюдается через трубу. В объек-
тиве трубы делается черта, с кото-
рой должно совпадать деление шка-
лы, принимаемой за нуль. При по-
вороте зеркальца на угол а в трубу
Фаг. 26,8.
будет попадать луч не от деления, находящегося на одной
вертикали с чертой трубы, а с чертой будет совпадать луч
от деления a = rtg2a, где г — расстояние шкалы от зеркала.
При объективном отсчете вместо трубы наблюдения поме-
щают лампочку накаливания в чехле со снабженной чертой
линзой. Луч света, идущий от лампочки, отразившись от
зеркальца, попадает на шкалу, где получается световое пятно
с черной чертой посредине. При отклонении гальванометра
зеркальце поворачивается и одновременно перемещается
черта на шкале и по перемещению а можно определить
угол поворота
1 . а
«=-- arctg — .
118
Электрическое поле
[гл. 1
27. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ДВУХМЕРНЫХ ПОЛЕЙ
Двухмерное или плоскопараллельное электрическое поле
получается, когда заряженные проводники теоретически
бесконечной протяженности имеют цилиндрические поверх-
ности с параллельными образующими, в частном случае
отдельные проводники мггут иметь и плоскую поверхность.
В таком поле эквипотенциальные поверхности будут также
цилиндрическими, а линии поля плоские кривые или прямые
линии, лежащие в параллельных плоскостях, перпендикуляр-
ных к поверхности проводников. Если одну из осей коорди-
нат выбрать параллельно образующим цилиндрических по-
верхностей, то уравнения эквипотенциальных поверхностей
будут содержать лишь две координаты и в параллельных
плоскостях, перпендикулярных к эквипотенциальным поверх-
ностям, мы будем иметь одну и ту же картину поля.
Конформное отображение двухмерных полей состоит в за-
мене одного поля другим, хотя и отличном в конечных пре-
делах, но в точности подобным в пределах бесконечно малого
пространства. Так, электрические псля цилиндрического и
плоского конденсатора являются взаимно конформными. Если
провести эквипотенциальные поверхности с одинаковыми
интервалами напряжения в поле цилиндрического конденсатора
и в поле плоского конденсатора (плоскости) и соответствен-
ным образом линии поля (в том и другом случае это будут
прямые), то в сечении мы получим, хотя и разные фигуры,
но прямоугольники, на которые разбивается поле эквипотен-
циальными линиями и линиями поля, и эти фигуры будут в
соответствующих точках подобны друг другу.
При применении метода конформных отображений поло-
жение точек как в исследуемом поле, так и соответствующих
им точек в конформном поле определяются комплексом двух
координат.
Будем называть плоскость, перпендикулярную к эквипо-
тенциальным поверхностям исследуемого поля плоскостью z*
а координаты какой-нибудь точки поля в этой плоскости
будем обозначать через х и у. Положение точки будем вы-
ражать через комплекс
z=x4-/>= I z 1 Д (27,1)
где | z |—расстояние от начала координат, а а— угол
между линией, соединяющей данную точку с началом коорди-
нат и осью х. Такую же плоскость в конформном поле будем
надавать плоскостью w, и положение точки на плоскости ду,
§ 27] Конформное отображение двухмерных полей Ц9
соответствующей точке z на плоскости z, будем опреде-
лять через комплекс
/8
w—u }-Jv= | w | е , (27,2)
где и и v— координаты точки w на плоскости w, а
Р — угол наклона линии, соединяющей точку w с началом
координат, с осью и.
Связь между координатами соответствующих друг другу
точек z и w может быть представлена в виде некоторой
функции
w = f(z) =J\x -f Jy} = u{x, v) +jv(x, _y). (27,3)
Так как w— комплекс, то и функция f(x-\-Jy) может быть
разложена на вещественную и мнимую часть zz(x, у) и ^(х, у),
которые не будут содержать мнимых членов и из которых
каждая будет зависеть лишь от х и у.
Для того чтобы какая-нибудь кривая или какая-нибудь
область смежных точек g в плоскости z были конформно
отображены в плоскости w, необходимо, чтобы всякая фигура
бесконечно малых размеров в плоскости z была подобна
во всех деталях аналогичной фигуре, проходящей через
соответствующие точки в плоскости или если эти фигуры
разбиты на ряд треугольников, то достаточно, чтобы (фиг. 27,1)
три произвольные точки, отстоящие друг от друга на беско-
нечно малые расстояния на плоскости z и соответствующие
им точки на плоскости w образовывали подобные треуголь-
ники.
Если dZi = | dzr | е \ dz2 = | dz2 | е Ч и dz2 = | dz2 | е**
по величине и направлению расстояния между тремя беско-
нечно близкими точками на плоскости z и
dwl — | dwx | ё^\ dw2 — | dw2 | eJ^2n = | dw3 | e\
120
Электрическое поле
[гл. 1
соответствующие им отрезки на плоскости w, то эти
величины должны составлять пропорцию
. | dw2 | _ | dw?) |
I dzx | | dz2 | | dz2 |
как стороны подобных треугольников и углы между ними
должны быть соответственно равны
«2 —а1 = ₽2 —Р1, а3 — «2 = ₽з — .82» 21 —= —Рз-
Отсюда следует, что при конформном отображении отно-
шения
(27,4)
(27,5)
dwx__dw2__dw2
dzi az2 dz2
или производная функции
dw _ df(z) _ df(x±jy) уч
dz dz d(x + jy) ' J k ~rjy)
не должны зависеть от направления dz, по которому бе-
рется эта производная.
Для того чтобы определить, каким условиям должна
удовлетворять функция w=/(z), связывающая координаты
w и z соответствующих точек, возьмем производные от
— один раз по дх и другой раз по d(jy)
и приравняем их:
=f'(x + /»— = /'(•*+/>) = — +J dv-
дх J ' дх J х ’ Ох дх
И
d{jy) W J 'Jy> d(jy) J d(jy)
__dv .du
dy dy1
откуда следует, что
ди __ dv
дх ду
ди
и —
«О'
dv
дх
(27,6)
Эти соотношения между частными производными веществен-
ной и мнимой части функции w = -|—jry) от комплексной
переменной называются условиями Римана-Коши, а сама
функция комплексной переменной, удовлетворяющая этим
условиям в определенной области и имеющая в этой области
однозначную, непрерывную и конечную производную, назы-
вается регулярной, голоморфной или аналитической функцией
в этой области.
§ 27] Конформное отображение двухмерных полей 121
Можно показать, что если вещественную и мнимую часть
аналитической функции = приравнивать постоян-
ным величинам,
u = u(xt j/) = const ==<?!, <?2> %,... (27,7)
и
v=v(xty) = const = фь ф2, ф3,..., (27,8)
то мы на плоскости z получим ряд ортогональных (пересекаю-
щихся под прямым углом) линий. Для этого продиференци-
руем эти уравнения и определим тангенсы углов, касательных
с осью х,
ди
ди । ди j dyA дх} л
~^i + —-<У1=0, -^i=——!=tgaj
дхг дуг dxi ди_
ОУ1
И
dv
dv 1 \ dv . ~ dy? дх? .
— dx2y ——dyz—Q, -^=——S=tga„
dx2 dy2 dx2 dv
dy2
а так как в точке пересечения x1=x2,yi — у2
ди dv ди dv
— ~_ и — =-----------:
дх ду ду дх
то
tgai-tga3 = —1, (27,9)
а это есть признак взаимной перпендикулярности кривых.
Можно показать также, что как вещественная, так и мни-
мая часть всякой аналитической функции и сама функция
в целом удовлетворяют диференциальному уравнению Ла-
пласа; действительно из уравнения (27,6) вытекает, что
д2и d2v д2и d2v д2и d2v
- —---------—-------и — =--------------—-------
дх2 дхду ду2 дх2 дудх ду2
И
дх2 ду2
д2и , д2и , . / d2v । д2^ \
дх2 * ду2'' \ дх2' ду2)
О
или
V2tf = 0, V2^ = 0 и V7=0.
27,10)
122 Электрическое поле [гл. 1
Если вещественную часть аналитической функции при-
равнять постоянным величинам и рассматривать соответ-
ствующие уравнения п(х, у)=уъ <р2, .. . = const, как уравнения
следов эквипотенциальных поверхностей на плоскости Z, то
уравнения v(x, y)=?lf ср2,.. . = const будут, как уравнения
ортогональных линий, представлять собой уравнения индук-
ционных или силовых линий поля. Кривым и—и(х, j)=const
на плоскости z соответствуют на плоскости w прямые линии,
параллельные оси и, а кривые v=v(x, у) = const на пло-
скости z будут иметь на плоскости w своим отображением
линии, параллельные оси V. И наоборот, если функцию
^(х, У) — const рассматривать как уравнение эквипотенциаль-
ных линий, на плоскости z, то функция и(х,у) = const будет
представлять собой линии поля; тогда на плоскости w будут
соответствовать линии равного потенциала, параллельные
оси п, а линии поля будут линии, параллельные оси v.
Таким образом мы видим, что если двухмерное поле может
быть представлено аналитической функцией от комплексного
переменного, равного комплексу координат х и у
К*) =f(x ±Jy)=и(х, у) -I vj\xy),
обладающей тем свойством, что если приравнять постоян-
ной величине вещественную часть, то мы получим уравнения
равных потенциалов, а если приравнять постоянной величине
мнимую часть, то мы получим уравнения линий поля. Такое
поле может быть отображено на плоскости w в виде одно-
родного поля со следами эквипотенциальных поверхностей и
линиям поля, парллельными осям и и V.
Зная вещественную и мнимую часть аналитической функ-
ции, можно весьма просто определить величину индукционного
потока, пронизывающего (цилиндрическую) эквипотенциаль-
ную поверхность (на плоскости z) между какими-нибудь
двумя образующими. Пусть линия ab (фиг. 27,2)—след
эквипотенциальной линии и = и(х,у)—у, тогда индукционный
§ 27]
Конформное отображение двухмерных полей
123
поток между точками а и b на длине I образующей опреде-
лится через
\DdS = — Се ^~lds,
J J dn
(27,11)
где ds — элемент длины по линии следа эквипотенциальной
поверхности, a dn — бесконечно малый отрезок по нормали
к эквипотенциальной поверхности, т. е. по направлению
линии поля, dn и ds взаимно перпендикулярны и пусть ds
по отношению к dn повернуто на 90° против часовой стрелки.
Так как производная от w=f(z) не зависит от направле-
ния перемещения ds, то производные от f(z)=u-\-Jv по дп
и jds должны быть равны между собой
df df ди . . dv df .ди r dv
dn dn dn dn jds ds gs
И
du dv dv du
— —— и — = — •—,
dn ds dn ds
поэтому искомый индукционный поток выразится через
ь
N= ds el(va — vby (27,13)
О
Если, наоборот, рассматривать кривые v(x, у)= const=©
как кривые равного потенциала, то, так как
dv ди dv
— и ,
dn-------------------ds-dn
ТО
b b
x r l' 1 dv j (* 1 dv f .
ЛГ=—l г/ — ds--= \sl - as^l\yb—v^.
J dn J ds
a a
Если Еъ и Ew по величине и направлению напряженности
поля в соответствующих точках плоскости z и w и если
dz и d™ совпадают с направлением полей, то, так как раз-
ности потенциалов между соответствующими точками должны
быть равны, мы будем иметь, что
Ezdz—Ewdw
или __
Ё.=Ё„ (27,14)
124
Электрическое поле
[гл. 1
Задача применения конформных отображений состоит
в нахождении для исследуемого поля такой аналитической
функции f(z)=u(x, У)> которая удовлетворяла бы
пограничным условиям, т. е. чтобы составные части этой
функции и(х,у) = const и v(x,y)=.const соответствовали бы
уравнениям линий равного потенциала на поверхности всех
проводников, и уравнениям эквипотенциальных и силовых
линий поля в рассматриваемой области.
Однако лишь в самых исключительных случаях очертаний
электродов двухмерных полей, да и то, когда соответствующие
поля уже известит’, удается находить значения функции
w==j(z)=u(x, y)-\-J (х, у/), связывающей координаты
двух конформных полей. Поэтому поступают обыкновенно
наоборот: задаются какой-нибудь функцией от комплексного
переменного w=/(x4~Zy) и исследуют, каким пограничным
условиям, т. е. каким очертаниям пограничных линий (следов
эквипотенциальных поверхностей) и линиям поля отвечают
эти функции.
Рассмотрим в виде примера функцию
w=u-}-jv=f(z)==z\ (27,15)
Раскрывая это уравнение, мы находим, что
и -\-Jv = (х 4-/»7=х2 — у2 4- 2jxy
или
и=х'—у2 и г/ = 2ху. (27,16)
Приравнивая v=2xy = y разным значениям потенциала,
мы в плоскости z
Фиг. 27 3.
угол пополам, ибо
получим уравнения следов эквипотен-
циальных поверхностей в виде ряда
равнобоких гипербол с осями х и у
в качестве асимптот и как частный
случай оси х и у, когда ^ = 0. Таким
образом уравнения v — 2ху = const
определяют уравнения следов экви-
потенциальных поверхностей внутри
двухгранного прямого угла, соста-
вленного из проводящих стенок. Ли-
нии поля являются также равнобо-
кими гиперболами, имеющими своей
асимптотой линию, делящую прямой
при и — const (фиг. 27,3)
х2 у2
и2 и2
(27,17)
На фиг. 27,3 вычерченные (пунктирные) линии поля пред-
ставляют собой лишь часть ветвей гипербол.
§ 27]
Конформное отображение двухмерных полей
125
Если z и w связаны соотношением
i/2
w=u-\--Jv=f(z)=z (27,18)
или
x-\-jy~a2—v2-\- j2uv,
то это дает два уравнения
х—и2—v\ y — 2uv. (27,19)
Исключая из этих двух уравнений один раз V, а другой
раз zz, мы получаем две группы уравнений
Jf2— 4п2(^2— х)
и
j/2 = 4^2(u2— х).
(27,20)
Если v приравнивать различным зна-
чениям потенциала г>=г/(х, у)=Фь ф2 ,..
то мы на плоскости z получим следы
ряда конфокальных параболических ци-
линдров (фиг. 27,4), а давая и разные
значения, мы получим линии поля, кото-
рые также представляются конфокаль-
ными параболами. Если v приравнять
нулю, то v=0 представит так называе-
мую полубесконечную линию и мы по-
лучим электрическое поле проводящей
бесконечной плоскости, ограниченной с
одной стороны прямой линией.
Рассмотрим еще пример, когда координаты плоскости z и
w связаны между собой функцией
w=/(^) = zz4-/^ = AArch -
с
или
z = x-\-jy — с ch~^=c chj cos sh ~ sin“ (27,21)
или
x = cch — cos— и jr=csh — sin—. (27,22)
k k k k
Если эти уравнения возвести в квадрат и из них
V „ и
исключить один раз —, а другой раз — , учитывая, что
126
Электрическое поле
[гл. 1
о U , . " И л г о « 1 .» и 1
cos3 — -[-sin — = 1 и ch"---sir — = 1, то получаются два
k k k k
уравнения координат в плоскости z
——------1---------= 1 и —-------------— = 1. (27,23)
и и V V
с2 ch3 — с2 sh2 — с2 со >2 — с2 sin2 —
k k k k
Приравнивая и значениям потенциала и=const, мы в пло-
скости z получаем ряд следов эквипотенциальных поверх-
ностей в виде конфокальных эллипсов с полуосями (фиг. 23,2)
а—с ch— и Z>=csh— (27,24)
k k
и с фокусным расстоянием от центра Vа2—Ь*=с.
Линии же поля, для которых const, будут конфокаль-
ные гиперболы с полуосями
ar=c cos у и b'=c sin (27,25)
и с половинным расстоянием между фокусами Vа,2-\-Ь'2 =с9
т. е. эллипсы и гиперболы будут иметь одни и те же фокусы.
Пользуясь полученными выводами определим емкость
эллиптического цилиндрического конденсатора, обкладки
которого составляют конфокальные и коаксиальные эллипти-
ческие цилиндры; пусть полуоси внешнего цилиндра будут
а2 и Ь2, а внутреннего и Ьг. Обозначив потенциалы обоих
этих цилиндров через и и2=у2, мы для крайних точек
x = alt у = 6 их- 0 и У=ЬХ из уравнения (27,23) получаем
——=1 и —--------------= 1 (27,26)
с2 ch2 — с2 sh2 - -
k k
ИЛИ
<Pi ч 1 / k I k \ Л] 1 / < — е -\-е ) = —L и — ( е 2 \ J с 2 \ о ткуда k а 1 —I- b\ i f e =——- или cp! = ^ln c и аналогично i . cZq-4- b-> <p2= k In ". h _ ±L k k \ bx ~e W’ (27,27) (27,28)
Конформное отображение двухмерных полей
127
12Л
Если напряжение между цилиндрами U, то
^=®j— ?2=&ln-'^\
"2+ Ь2
откуда
(27,29)
Для определения заряда или индукционного потока, соот-
ветствующего этому напряжению, воспользуемся соотноше-
нием (27,13) и определим индукционный поток, исходящий
из четверти поверхности внутреннего цилиндра между пло-
скостями Ох и Оу и помножим его на четыре
Q=4М= 4 el(y а—цД
(27,ЗС)
Значения va и vb мы можем определить при помощи урав-
нения (27,22), приравнивая один раз х—ах и _у=0 и другой
раз х=0 и у =
у = 0 = с sh sin ~а~, v= 0,
k k а
п , «1 kTt
Х = 0 ~С СП — cos —, v.=- —,
k k b 2
поэтому
Q- — 2гIkn— 2tcs/£Z -
<?24- b2
In-----
Л1+ ^1
и емкость эллиптического цилиндрического конденсатора
равняется
р Q 2ке /
(27,31)
П
Напряженность поля в конце большой оси, где va=v=
~0=const, определится, если первое уравнение (27,22) про-
дифференцировать по х и учесть уравнение (27,24),
k k dx k dx k
128
Электрическое поле
[гл. 1
откуда Еа = — -= (27,32) friln «2.±^L а1 +
Для определения поля в конце малой оси, где vb=~>
диференцируем второе уравнение (27,22) по у:
. * и . i: du а л du ai с 1 =с ch — Sin =— — = Еъ , k 2 dy k dy k
откуда Eb= -- = (27,33) a, «2+*2 4 7 ^lln . A #1 + bl
Если приравнять а2 = Ь2=г2 и ах =Ь{=гъ то уравнения
(27,31) и (27,32) совпадут с уравнениями для простого цилин-
дрического конденсатора.
28. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШВАРЦА
Если связать координаты двух плоскостей z и w уравне-
нием
z=x^Jy—A\n — (28,1)
о
(А и г0 — юст)янные вещественные величины), то это позво-
ляет однорсдноэ поле в плоскости z преобразовать в поле
так называемой верхней полуплоскости w, при этом w выра-
жают в полярных координатах
w = ге^ (28,2)
и, следовательно,
z=x-4-Jy—A In —Ч-/А&,
''о
откуда
л = А1п— и у=А$, (28.3)
о
где г — радиус вектора, проведенный из точки 0, а & — угол
наклона между этим радиусом и осью Он. Пусть однородное
поле (фиг. 23,1) нам задано между двумя проводящими пло-
скостями, параллельными оси х и находящимися на расстоя-
нии h. 11усть на плоскости z линии равного потенциала опре-
деляются постоянными ординатами j/=const, а линии поля
§ 28]
Преобразование Шварца
129
постоянными абсциссами х — const, на плоскости же w линии
равного потенциала будут линией проведенные из начала под
углами 0 = const, а линии поля дуги окружностей, проведен-
ные радиусом r=const. Если эквипотенциальную линию
y=h=A§ отобразить на отрицательное направление оси, то
это будет соответствовать углу О = тт и А = —, так как
jy=jh=jA-n. Что касается радиусов г, то для точки х=0
In — должен равняться нулю. Поэтому линии поля, совпа-
ло
дающей с осью х = А 1п — = 0 на плоскости г, на пло«
го
скости w будет соответствовать полуокружность^ радиуса
г=г0, т. е. такого радиуса, который мы на плоскости w мо-
жем принять за единицу длины и по от ношению к этому ра-
диусу будут определяться радиусы остальных линий поля
на плоскости w. Пусть абсциссы линий поля на плоскости z
по правую сторону от точки О будут 0, а, 2а, За, а по
левую 0, — а, — 2а, — За. Этим линиям поля в плоскости w
будут соответствовать полуокружности, изменяющиеся не по
арифметической, а по геометрической прогрессии, так как
и
то при х>0 r3:r2: G :г0-
га
где q~e h >1. (28,4)
а прих<0 г0:г/:г2,:гзг- — 1-W:<72:73--
Чем дальше от начала О в плоскости zv, тем расстояние
между смежными окружностями будет больше, и наоборот,
чем ближе к началу О, тем окружности будут располагаться
ближе, сливаясь в пределе к ней в одну точку. Точке О на
плоскости zs) соответствует точка х^= — °° на плоскости z
Верхняя полуплоскость представляет собой таким обра-
9 к. А. Круг, т. ’
130
Электрическое поле
Ггл. 1
зом двухмерное поле между двумя проводящими плоскостями,
являющимися одна продолжением другой, отделенными друг
от друга в точке О и имеющими разность потенциалов U.
На такое поле можно конформно отобразить при помощи
преобразования Шварца разные двухмерные поля, ограничен-
ные плоскостями, следами которых являются ломаные линии.
Шварц показал, что когда какая-нибудь область g в пло-
скости z ограничена какой-нибудь ломаной линией с верши-
нами ^1,2'2»гз (Фиг. 28,2), то такая область может быть цоь-
формно отображена на верхнюю полуплоскость w, если со-
пряженные точки z и w обеих областей связать соотноше-
нием
dz—A (w — nJ*1 (w — zz3/2... (w — ип)пе' 'dw, (28,5)
где А — постоянный вещественный коэфициент; —угол, ко-
торый обрлзует с осью х начальный отрезок ломаной линии,
с которого мы начинаем рассмотрение; — точки на
оси и, соответствующие вершинам ломаной линии zb z2, z3...,
расположенные в таком порядке, что п1<^п2<^«3..., а показа-
тели степени Л], а2, а3...—вещественные коэфициенты, опреде-
ляющие в долях к внешние углы между двумя смежными
отрезками ломаной линии, которые считаются положитель-
ными, когда угол вдается в поле, и отрицательными, когда
у соответствующего угла образуется впадина поля.
Положим, что неразрывная ломаная линия, ограничиваю-
щая поле в сечении z с одной стороны, является линией, при-
надлежащей проводнику и имеющей один и тот же потен-
циал. Тогда, относя dz к перемещениям вдоль зтой ломаной
линии, мы уравнение Шварца можем написать в следующем
виде:
dz — А(и— и^\и— —ип) пеЛ du. (28,6)
Возьмем какую-нибудь точку д0 на первом отрезке лома-
ной линии и положим, что ей соответствует на оси и точка zz0.
6 28]
Преобразование Шварца
131
Перемещаясь по первому отрезку, мы будем иметь, что
производная
dz „ ля
и (28.7)
где
= А(и — и^Хи — «У2..(« — «„)“" (28,8)
не меняет своего знака, так как и изменяется монотонно и
вещественный коэфициент Д, являющийся функцией и, со-
храняет свой знак; dz— комплекс, совпадающий с направле-
нием линии zQzt du — вещественная величина, и если выбрать
dz
оси х и и параллельными, то аргумент “будет равен углу
наклона первого отрезка ломаной линии к оси х, т. е. рт.
При переходе с первого отрезка на второй dz делает пово-
рот на угол aft, du сохраняет свое направление, но бином
и — иъ когда мы будем проходить через точку zu изменит
свой знак, так как до этого и<иА, а теперь иу>и. Измене-
ние знака можно представить следующим образом:
«1 а< /к «1 ап /а.тс
(« — mJ =[ — ](«! — н)] (Wj —«)] ==(«!—и) е (28,9)
и в соответствии с этим для второго отрезка мы будем иметь
, «ь Ла , Л №’'+“1’9
dz=A(u1 — и) (и — и2)...(и— ип) е
и
~ =л++’‘”. (23, Ю)
где Л2 — вещественный коэфициент, зависящий от и.
Двигаясь дальше по второму отрезку ломаной линии и
одновременно по оси и, мы дойдем до точек z2 и и2, тд$
(и — д2) изменит свой знак, а это будет соответствовать из-
dz
менению аргумента ~ на угол а2тг и т. д.
Таким образом выше было показано, что ломаная линия,
ограничивающая поле,может быть конформно отображена на
оси и за исключением поворотных точек (вершин углов), где
dz
конформность не будет соблюдена, так как производная “
теряет там свою однозначность. Если двухмерное поле нам
задается как поле между двумя непересекающимися проводя-
щими поверхностями, из которых каждая состоит из одной
9*
132
Электрическое поле
[гл. 1
или нескольких плоскостей с параллельными ребрами, то сле-
ды одной поверхности отображаются на отрицательную полу-
ось— щ а следы другой поверхности на положительную по-
луось-j- и.
В качестве примера рассмотрим поле между двумя парал-
лельными проводящими плоскостями, одной, простирающейся
до бесконечности в обе стороны, и другой, простирающейся
до бесконечности лишь в одну сторону (фиг. 28,3). Это поле
соответствует полю у прямолинейного края плоского конден-
сатора, если между обкладками конденсатора провести сред-
нюю плоскость.
0?r*OO “*ОО О=Гр=“/
Фиг. 28,3.
Применим преобразование Шварца к ломаной линии
ABCDOF. Отобразим линию АВ на отрицательную полуось
таким образом, чтобы точке А в плоскости z соответство-
вала в плоскости w точка и = — °°, а точке В п = г0=—1,
точкам С и D и=0 и точке F и = со. Начальный угол ?тг
равен у нас нулю. Ломаная линия ABCDOF имеет два угла:
в точке В угол, равный-|-тт, и в точке CD угол, равный — к.
Поэтому уравнение преобразования Шварца для данного по-
ля будет
dz~A(w -j-r0)' —*0) 'dw—A — dw. (28,11)
Интегрирование этого уравнения дает
z = x-\-jy = А( —
\ /
(28,12)
Постоянная А, так же как и постоянная интегрирования Be,
могут быть определены из пограничных условий Выберем
на плоскости z ось у таким образом, чтобы точка В находи-
h
лась влево от нее на расстоянии Пусть линия DOF имеет
§ 28]
Преобразование Шварца
133
потенциал нуль, а линия АВС условный потенциал тг. За-
Л
меним 'W—re , тогда
x-\-Jy=A^r cos 8-f-roln ~^-f-^cosp-|-
+/(4rsin& + Лг08 +fisin£). (28,13)
Для точек, лежащих на нижней плоскости DOF, у=0 и 8=0
Z?sinp=O, для любой точки верхней плоскости ВС y^h, 8=тг,
откуда
jh=jAu и А = —.
Подставляем координаты точки В в уравнение (28,13) в
h . /я
левую часть х—-----9 y = h и в правуюw = —l—rQej9
u
т. е. г=1, 8=тг
— *-+jh=N.— 1 + InC+Scos р,
К я \ у
откуда следует, что и Bcos[3=0.
Таким образом мы получили следующую связь между
точками плоскости z и верхней полуплоскости w.
*=-r(57cos8+In-7;)’ <28*14)
h / г \
• (ЭД
к 2к Зя
Если к разделить на 5 частей и принять 8= у ,
4я t
— = const, то, меняя г, мы на плоскости получим координаты
о
следов эквипотенциальных поверхностей с одинаковыми ин-
тервалами напряжения. Для получения линий поля мы долж-
ны принимать г = const и менять 8 от 0 до п. Если ради-
усы подбирать таким образом, чтобы r2 : ri : ro : : /Z2 =
= 1 :^:^2...,то индукционные потоки, проходящие через
соответствующие части эквипотенциальных поверхностей,
будут иметь одно и то же значение. Так как напряженность
поля в какой-нибудь точке 'W на плоскости w направлена
К окружности радиуса г и так как напряжение между отри-
134
Электрическое поле
[гл. 1
дательной и положительной осью и равно U, то Напря-
женность в этой точке Ь= — и составляет с осью угол
&—-,
2
‘•е- Р и /»-—)
Е„=-----е [ 2
иг
Напряженность поля в какой-нибудь точке z на плос-
кости z будет [см. уравнения (27,14) и (28,11)]
/(»-—)
= 24-^-=-./- —/ .даб)
dz nr h w -f- гэ rh w -j- rQ 4 7
Фиг. 28,4-
Для точек, лежащих на вну-
тренней стороне верхней пло-
скости ВС, = тг и ^ = ^ —
—г и напряженность в этих
точках равна
E=-J~-----------г~. (28,17)
Л г0-г
На фиг. 28,4 вычерчены кри-
вые следов поверхностей рав-
ного потенциала и кривые ли-
ний поля у краев обкладок.
29. ГРАФИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ЕМКОСТЕЙ
Емкость между двумя проводниками определяется путем
вычисления лишь в случае самых простейших геометриче-
ских форм проводников. В некоторых случаях емкость удается
определить граф .ческим путем, например, когда мы имеем
симметричное расположение проводников, являющихся об-
кладками конденсатора.
Для этой цели вычерчивают распределение индукционных
линий и эквипотенциальных поверхностей так, как это нам
кажется более всего соответствующим данному расположе-
нию проводников, исходя из положения, что индукционные
линии у поверхностей проводников нормальны к этим поверх-
ностям и что индукционные линии гуще расположены там,
где радиусы кривизны поверхностей уровня меньше. Из
всех возможных расположений индукционных линий ближе
всего к действительности подходит то, которое дает наиболь-
шее значение индукционного потока.
§ 29]
Графическое нахождение емкостей
Проведем индукционные линии, разделяющие все простран-
ство между обкладками на ряд соприкасающихся друге другом
трубок. Внутри каждой трубки индукционный поток имеет
для всех сечений одно и то же значение. Если мы разобьем
индукционную линию, проходящую посредине трубки, на ряд
отрезков /ь Z2, /3 так, что вдоль этих отрезков напряженность
поля может быть принята одинаковой, то падение потенциа-
ла от одной обкладки до другой составит
Пусть площади сечений индукционных трубок посредине
отрезков Z2, /3,... соответственно равны S2, S3,... Из неиз-
менности потока смещения внутри каждой трубки следует,
что
ДА/ — е.ад = ^E2S2 = eE3S.^=. ..
Определяя из последних уравнений ЕЪЕ2,Е2... и подстав-
ляя их значения в первое уравнение, имеем
или
• <ад
К
1
где п — число отрезков трубки. Суммируя потоки всех тру-
бок, мы получим общий индукционный поток, который дол-
жен быть равен заряду на поверхности проводников
(29,2)
где k — общее число индукционных трубок. Взяв отношение
Q г
— = С, можно определить емкость.
Нххождение емкостей в двухмерном поле может быть
значительно упрощено, если строить индукционные трубки
так, чтобы для каждого звена всех трубок — , т. е. отноше-
ние длины отрезка средней линии смещения к поперечному
сечению трубки в середине этого отрезка, имело бы одно и
и то же значение.
136
Электрическое поле
(гл. 1
Предположим, что нам требуется определить емкость
прямоугольной шины по отношению к проводящей стене
(фиг. 29,1). Непосредственно между шиной и стеной индук-
ционные линии будут параллельными между собой прямыми, а
эквипотенциальные поверхности будут плоскостями. Разде-
лим напряжение между шиной и плоскостью на четыре рав-
ных интервала, для чего разделим кратчайшее расстояние
между шиной и плоскостью на четыре равных отрезка и в
этой части пространства проведем три параллельные плоско-
сти. Затем проведем в этой части чертежа индукционные
линии на таком же расстоянии друг от друга, как и поверх-
ности уровня. Подойдя к краю шины, вычерчиваем для каж-
дой следующей трубки удлиненную линию смещения, делим
ее на че'1 ыре отрезка (отрезки могут получиться не равными
между собой), затем приближаем или удаляем их по отно-
шению к предыдущей индукционной линии таким образом,
чтобы на чертеже было соблюдено по возможности равенство
Z = а для всех участков всех трубок. После двух-трех проб
это легко удается. Таким образом все пространство между
шиной и плоскостью разбивается на ряд равноценных тру-
бок, состоящих каждая из четырех последовательных звеньев.
Фиг. 29,1.
Для каждого звена справедливо соотношение
I _ 1
S~ Ь '
где Ъ — осевая длина шины. Для каждого
звена индукционный поток имеет одно и то
Же значение
,, L п
где п — число звеньев в каждой трубке. Если число взятых
на чертеже трубок равно /г, то весь индукционный поток
будет равен
ЛГ= Q = (29,3)
а искомая емкость
Q _ М
и ~ п
(29,4)
Если обкладки конденсатора представляют собой тела
вращения, например, если требуется определить емкость ме-
§ 29]
Графическое нахождение емкостей
137
жду цилиндрическим проводником и крышкой, через цилинд-
рическое отверстие которой проходит этот проводник (фиг. 29,2),
то и в этих случаях иногда можно применить аналогичный
прием. В месте наибольшего сближения обкладок индукцион-
ные линии направлены радиально, а эквипотенциальные по-
верхности представляют собой цилиндры. Проведем эти ци-
линдры так, чтобы напряжение между ними равнялось, пред-
1
положим, ~ напряжения между проводом и стенками отвер-
стия. Для коаксиальных цилиндров напряжение и заряд свя-
заны между собой соотношением [см. уравнение (24,4)]
Q 2 iteZ
In —
откуда
(29,6)
Q и
где г3 и г\— радиусы внешнего и вну-
треннего цилиндров. Так как мы взяли
п=4 равных интервала напряжения, то,
обозначая радиусы трех построенных ци-
линдров через г', г", г"', получим
2^Z U . г' . г" 1 г"' . г, р
----- — = 1п — = 1п — = 1п— =1п — —
Q 4 гх г' г" Г'" 4
ИЛИ
Гг г’ г" Г'" У Г1 9
откуда
f zz 1\с, — г^^^с9, г2=ггс\
(29,7)
(29,8)
(29,9)
Проведя эти цилиндры, начинаем строить линии поля сна-
чала в виде параллельных линий, расстояния которых друг
от друга, предположим, равны а. Для каждого звена таких
трубок получаем:
- — г"-г" С~1—— ± . (29,10)
Затем, продолжая вычерчивание эквипотенциальных по-
верхностей, загибая их и чертя удлиненные индукционные
линии по мере удаления от средней линии, мы стараемся вы-
черчивать индукционные линии и эквипотенциальные поверх-
138
Электрическое поле
[гл. 1
ности таким образэм, чтобы для каждого звена каждой труб-
ки отношение
6*2 гс гЬх _ 1
I а
сохраняло бы постоянную величину (1Х — длина средней ин-
дукционной линии; г—расстояние от середины этой индук-
ционной линии до оси провода; Ьх— образующая усеченного
конуса; г и Ьх отсчитываются по чертежу). После нескольких
проб удается находить более или менее правильное распре-
деление линий поля. Сосчитав по чертежу число индукцион-
ных трубок k, получаем искомую емкость
С = ~ (29,12)
30. ФОРМУЛЫ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЕМКОСТЕЙ
В СИСТЕМЕ ПРОВОДНИКОВ
Когда система состоит из нескольких проводников, то на-
хождение соотношения между зарядами и потенциалами отдель-
ных проводников усложняется тем, что эти заряды зависят не
только от потенциала данного проводника, но и от располо-
жения и от потенциалов всех остальных. В таких случаях
уже нельзя говорить о емкости каждого проводника в отдель-
ности в данной системе, а приходится рассматривать так на-
зываемые взаимные или частичные емкости между каждым
проводником и всеми остальными.
Для определения зависимости между зарядами и потен-
циалами прибегают к общим формулам Максвелла. Предпо-
ложим, что система состоит из т проводников, имеющих в
данной системе потенциалы <?i, ?з, • •и что ПРИ таких
значениях потенциалов заряды на отдельных проводниках
равны Qi, Q3, Q3t.
Каждый из этих зарядов сообщает каждой точке простран-
ства, а следовательно, каждому проводнику определенную
слагающую потенциала; поэтому потенциал отдельных провод-
ников складывается из потенциалов, сообщаемых этому про-
воднику как зарядом, расположенным на нем самом, так и заря-
дами, расположенными на всех других проводниках. Таким
образом мы для проводников получаем систему линейных
уравнений, связывающих значения потенциалов и зарядов:
?1 =allQl +212Q2 +• .
^2 z==: a21Ql ~Ьа2зФ2 nQn~\~ ' ,,4‘C[2/kQ/«’
— aAiQi+2A>Q2+.. ^raknQnJT--JrakmQfn^
(30,1)
J а/и2^2 I m*
§30]
Формулы Максвелла
139
Коэфициенты akn называются потенциальными коэфициен-
тами. Коэфициент с одинаковыми индексами например aKk,
равен тому потенциалу, который приобретает проводник k в
данной системе, если только на нем имеется единица заря-
да, а на остальных проводниках заряды отсутствуют (<3^=1,
С1 = ^2 —•••Qfe-l “Qfc+l
Коэфициенты с разными индексами, например аЛя, дают
значения потенциала, который сообщается в данной системе
проводнику k, когда единица заряда сосредоточена лишь на
проводнике /г, а на остальных проводниках заряды равны нулю
(Qn=:l, Qi = Q2— • = • .=Qm=0). Коэфициенты a
могут быть вычислены в отдельных случаях, например,
когда заряды располагаются на параллельных проводах.
Обыкновенно задаются не заряды на проводниках, а их
потенциалы или напряжения между отдельными проводника-
ми, которые определаются э. д. с. или напряжениями источ-
ников энергии, от которых заряжаются проводники. Поэтому
приходится решать обыкновенно обратную задачу, т. е. на-
ходить не потенциалы в зависимости от зарядов, а заряды в
зависимости от потенциалов. Эта зависимость может быть
найдена, если решить систему уравнений относительно Q,
что быстрее всего достигается способом детерминантов:
Q1 -Р11?1 + ₽13?2 +• • •+?!&+• • •+
Q 2 = + ?32?з + -- • + +• ••
(30,2)
Qk —+
Коэфициенты $kk с двумя одинаковыми индексами пред-
ставляют собой заряд, который получается на проводнике k,
если проводнику k сообщается потенциал, равный единице
(cpfe = 1), а все остальные проводники соединены между со-
бой и с землей (?1=?2 = --- = ?£-1 = %ж = ,,,=с?/п —0). Коэ-
фициенты с одинаковыми индексами представляют собой ем-
кость данного проводника по отношению ко всей остальной
части системы, если бы эти части были электрически соеди-
нены между собой.
Коэфициенты с разными индексами $kn выражают заряд,
который получается на проводнике k в данной системе,,ког-
да за исключением проводника п все проводники, в том
140
Электрическое поле
[гл. 1
числе и проводник k, соединены с землей, а проводнику п
сообщается потенциал, равный единице (!рп=1р ^ = ^3=:
= ••• = ?„_! = <Ря+1=- = = °)-
Коэфициенты а всегда положительны, коэфициенты с
двумя одинаковыми индексами положительны, с двумя же
различными индексами РАя отрицательны, так как проводник k,
благодаря тому, что он соединен с землей, в результате
электростатической индукции от положительного заряда на
проводнике п (<рл = 1) будет иметь отрицательный заряд (по-
ложительный заряд на проводнике к будет отведен в землю
<рА — 0). Коэфициенты
с одними и теми же индексами, но по-
ставленными в обратном порядке, рав-
ны между собой
а, — а . и Рь =Р„6. (30,3)
Во избежание употребления отри-
цательных коэфициентов соотно-
шение между зарядами и потенциа-
лами удобнее выражать при помощи
так называемых частичных емкостей
(фиг. 30,1, на которой показаны ча-
стичные емкости системы из трех
проводников):
Qi= Сц?1 + £1з(?1—?г) + ••• +cin(?i—
^2=С’22?2+С’21(?2— ?1)+ ••• +^2п(?2—?п)+’ ••
+ C2/W(?2—
(30,4)
Qm— ?1)+ • • • — ?n) + • • •
mm- l(T/n •
Величины С с одинаковыми индексами, например Cmm,
представляют собой ту часть общего заряда системы, кото-
рая приходится на долю проводника т, когда все проводники
соединены между собой и им сообщены потенциалы, равные
единице (^=^2= ••• =?п—•••—?т=1)> т. е. часть емкости
всей системы, обусловленная присутствием проводника т в
данной системе. Величина Ckn с различными индексами, напри-
мер С12, представляет собой заряд первого проводника, когда
все проводники, кроме второго, соединены между собой
и с землей и когда второму проводнику сообщается потен-
циал, равный единице, т. е. С12, представляет собой взаимную
или частичную емкость между первым и вторым проводниками
§ 30]
Формулы Максвелла
141
при указанных выше условиях. Величины С с двумя одина-
ковыми цифрами в индексах равны между собой:
£12—С21, Ста—Cnm,
(30,5)
При помощи уравнений (30,2) и (30,4) можно выразить
частичные емкости через коэфициенты р. Приравняв
— ... . =±=^ = 1 и сравнивая затем полученные значе-
ния Qi, Q2, • • • Qm^ выраженные один раз через величины С,
а другой раз — через коэфициенты р, мы находим, что
£ц—Р11+Р1з + Р1з + ••• +Р1/И,
£22= ₽2i + Р22+Раз"Ь ••• +Р2/Я,
(30,6)
Стт~ + Р/л2 + Р/нЗ + * ’ * +
Если теперь принять, что
?1=?з=?4= ••• = h а ?2 = 0,
то из тех же уравнений получим, что
£ц+£12~ ₽11 + ₽13 + Р11+ • • •+ Р1/71— £ц-Р12»
откуда
£13=—₽12 (30,7)
и аналогичным образом
£™=~EU (30,8)
Если коэфициенты а могут
быть вычислены, то коэфици-
енты р, а также частичные
емкости могут быть найдены
путем решения системы урав-
Фиг. 30,2.
нений относительно зарядов.
Значения коэфициентов р могут быть определены для данной
системы проводников и опытным путем. Так, если провод-
ник п зарядить до потенциала а все остальные соединить
с землей ... =?z2_1 = ?zz+1= ... = ?^=0(фиг. 30,2), то
можно путем разряда проводника п на землю через балли-
стический гальванометр определить отношение заряда на
проводнике п к его потенциалу уп\
Qn ___
Чп
Ршг— £Л1+ £л2”Г.. 4-- • •+£///«•
(30,9)
142
Электрическое поле
[гл. 1
Таким же путем, если включить баллистический галь-
ванометр в ветвь, соединяющую проводник k с землей (этот
проводник, соединенный с землей, будет через землю нако-
ротко соединен со всеми проводниками, за исключением про-
водника и), то
Qnk
Чп
Рлп— Oik-
(30,10)
Таким образом опытным путем могут быть определены
коэфициенты $пп и $nk и по ним из уравнений (30,6) и (30,8)
все емкости.
Зная значения частичных емкостей и пользуясь вышепри-
веденными уравнениями, можно определить энергию системы
проводников, когда известны их потенциалы:
+С2/?22+С21®2(®2— тО+СгзТзСТг— ?з)+ • • •] =
__ G1?!2
2
O>2?22 Qi3 ?32
2^2
2?1?2 * * *
=-^+ 2-+. -+р12?1?2+
+ ?13?1?3 "Г - • •"гЗззТзТз'Г • • •
(30,11)
^23?2?3
1 4
Фиг. <50,3.
Возьмем в качестве примера три параллель-
ных провода Л, В и С одинакового диаметра,
произвольно расположенных по отношению к
земле (фиг. 30,3). Пусть потенциалы проводов
(напряжения по отношению к земле) соответ-
ственно равны: ?л, и и получающиеся
при этом на длине I заряды QB и Qc,
тогда (30,1)
?д=аддФдЧ~адвФвЧ~адсФс >
?с — асдФд 4"acsQs_F'accQc •
(30,12)
В электрическом поле трех проводов, расположенных над
землей, ничего не изменится, если вместо земли по другую
сторону от ее поверхности поместить на таком же расстоянии
три таких же провода а, b и с с противоположными зарядами
— Q4,— QB и — Qc. После такой замены нетрудно определить
потенциальные коэфициенты. При малом значении радиуса
§ 30]
Формулы Максвелла
143
проводов г по сравнению с расстоянием между проводами
электрические оси зарядов можно считать совпадающими
с геометрическими осями проводов.
Потенциальный коэфициент алл, представляющий собой
величину потенциала на поверхности провода 4, когда заряд
его равен единице (а заряды на двух других проводах равны
нулю), выразится через
1п —, (30,13)
2тл1 г0
где Аа—расстояние между проводом А и его зеркальным
изображением а\
Равным образом потенциал на поверхности первого про-
вода, когда на проводе В сосредоточена единица заряда,
представится в виде
*ап=-~Г (30,14)
Ао
таким же образом определяются и все другие коэфициенты,
причем вследствие симметрии Ва равно АЬ, и поэтому коэфи-
циенты алв и авл равны между собой.
Если подставить эти коэфициенты в формулы Максвелла,
то мы получим три уравнения:
-J-fQ41n—<QBln—4-Qcln~-Y
2-л/ V'4 r0 18 АВ 1 с AC J
—(Qjn — +Qsin — H-Qcin— Y •
2r.sl \ Л ВА 1 8 гц ’ С ВС )
—( Qa In —-t-Ocln —,
2-г/ V4 СА 1 8 СВ ' С г0 ) )
(30,15)
из которых определяются три неизвестных Qx, QB и Qc
в зависимости от величины соответствующих им потенциалов
(напряжений по отношению к земле) <рл, <?в и ус.
Решить эти три уравнения проще всего, пользуясь спо-
собом детерминантов, который дает решение в виде:
Qa = ?ЛЛ?Л "Ь?ЛВ?В"”Н?ЛС?С»
^В=РвЛ?л4“^5В?5
^с=?сл?л4“?св?в 4'РссТс-
(30,16)
144
Постоянный ток
[гл. 2
Коэфициенты р перед значениями потенциалов срл, и <рс,
получающиеся в результате решения уравнений, выражаются
через коэфициенты а следующим образом:
о __aBBJCC а2ВС р ____р ___ аВСаАС~ аАВ7СС
РаА — Д » Рдв — Ряд — ~ »
2
РВД=-Л?ССд~--Л-> hc=?cB^~q-~:~^AA-, (30.17)
рсс == аЛЛС,ВВ В А - -- р АС— aAC2BC aACJBB
где Д— детерминант из девяти коэфициентов а при Q в си-
стеме уравнений для QA, QB и Qc, равный
&АА аАВ аАС
аВА аВВ аБС
аСА аСВ аСС
1—^ААаВВаСС~\~^аАВ7ВС7СА аАА^ ВС аВВ^ АС аСС^АВ9 (30,18)
Коэфициенты р позволяют определить величину зарядов
на проводниках при любых значениях срл, и <?с. Эти же
коэфициенты дают возможность находить все частичные
емкости.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ПОСТОЯННЫЙ ток
31. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА
В проводящей среде электростатическое поле существо-
вать не может. Если две части проводящего тела (проводника)
получают разные потенциалы путем сообщения им электри-
ческих зарядов, то между этими частями возникает электри-
ческое поле, под действием которого происходит (в металлах
почти мгновенное) перемещение зарядов до тех пор, пока
потенциалы этих частей не сравняются и электрическое поле
внутри проводника не исчезнет.
Если разность потенциалов между двумя частями провод-
ника поддерживать постоянной, подводя к ним непрерывно но-
вые заряды, например, присоединив их к электродам гальвани-
ческого элемента так, чтобы получилась замкнутая цепь
§ 31j Электрический ток. Первый закон Кирхгофа 145
(фиг. 31,1), то между этими частями будет происходить непре-
рывное движение зарядов, которые будут поступать от одного
электрода и возвращаться к другому.
Движущиеся заряды представляют собой электриче-
ский ток. Мерой электрического тока или силы тока слу-
жит отношение количества электричества (суммы зарядов),
проходящего через поперечное сечение проводящего тела за
какой-либо промежуток времени, к__длительности этого про-
межутка. Для неменяющегося во времени тока это отношение
постоянно:
(ЗЬ1)
Если ток не постоянен во времени, то J
етъ мерой служит предел отношения
1 = Ит = (31,2)
>о Ar dt Фиг. 31,1.
Ток, не меняющийся во времени, называется постоян-
ным током, и мы будем обозначать его большой буквой /
в отличие от меняющегося во времени тока, который мы
будем обозначать маленькой буквой Z.
. Постоянный ток, проходящий через разные сечения цепи,
имеет одно и то же значение, ибо, если это было не так, то
в отдельных местах цели имело бы место непрерывно нара-
стающее накопление зарядов и повышение потенциала в этих
местах до бесконечности, что явно было бы невозможно.
Электрический ток является величиной скалярной; мы
приписываем, однако, току знак плюс, если с выбранным
направлением в проводнике совпадает движение положитель-
ных зарядов или если выбранному направлению в проводнике
противоположно движение отрицательных зарядов. В против-
ном случае мы приписываем току знак минус.
Электрический ток, проходящий через какую-нибудь по-
верхность, можно разбить на сумму элементарных токов,
проходящих через отдельные элементы этой поверхности
(фиг. 31,2). Если через все точки периметра каждого элемента
провести линии, совпадающие со средней траекторией заря-
дов, проходящих через соответствующий элемент, то мы
получим элементарные трубки тока. Средние линии этих
трубок, совпадающие с направлением тока в соответствующих
точках, мы будем называть линиями или нитями тока. Поль-
зуясь представлением о линиях тока, можно нарисовать
картину движения зарядов при изменении сечения провод-
ника или при переходе тока из одной среды в другую
(фиг. 31,3).
10 к. А. Круг, т, I.
146
Постоянный ток
[гл. 2
Отношение заряда, проходящего в единицу времени через
бесконечно малое сечение, взятое нормально к направлению
тока, к этому сечению
S=-I (31,3)
dS
представляет собой плотность тока. Плотность тока
в отличие от тока есть векторная величина, направленная
по линии средней скорости положительных зарядов или по
линии, противоположной средней скорости отрицательных
зарядов в данной точке.
Фиг. 31,2. Фиг. 31,3.
Электрический ток, проходящий через какую-нибудь по-
верхность S’, может следующим образом быть выражен через
вектор плотности тока
(31,4)
где dS — вектор элемента поверхности.
Знак тока определится в зависимости от того, в какую
сторону будут направлены положительные нормали к по-
верхности S.
В силу непрерывности электрического тока ток, прохо-
дящий через замкнутую поверхность, равен нулю (фиг. 31,4)
(j)ldS = O. (31,5)
Последнее уравнение выражает первый закон Кирх-
гофа в интегральной форме. В случае, если проводящая
среда состоит из разветвленных проводников, соединенных
в узел, то интеграл уравнения дает сумму токов, сходящихся
& 31] Электрический ток. Первый закон Кирхгофа 147
в узле с соответствующими знаками. Для четырех токов,
представленных на фиг. 31,4, интеграл этот будет:
Фиг. 31,5.
Фиг. 31,4.
В соответствии с этим первый закон Кирхгофа в приме-
нении к узлам разветвления может быть сформулирован
следующим образом:
алгебраическая, сумма токов, сходящихся в точке
разветвления, равна нулю, или сумма притекающих
токов равна сумме утекающих.
Если мы будем уменьшать объем, охватываемый замкну-
той поверхностью, и возьмем предел отношения исходящего
из этого объема тока к этому объему, когда объем стремится
к нулю
§ idS
lira - = divS=O, (31,7)
то мы получим выражение первого закона Кирхгофа в дифе-
ренциальной форме, гласящего, что дивергенция век-
тора плотности тока равна нулю, что и указывает
на неразрывность линий тока.
10*
148
Постоянный ток
[гл. 2
Электрические токи измеряются в амперах. Различают
следующие значения одного ампера:
один международный или легальный ампер есть
величина неизменяющегося электрического тока,
который, проходя через водный раствор азотчо-
кислэгэ серебрг, выделяет в секунду 1,11803 мил-
лиграмма (мг) серебра.
Эта единица тока определяется по серебряному вольтаметру,
изготовляемому согласно определенной спецификации. Один
международный ампер немного отличается от одной десятой
единицы силы тока в абсолютной электромагнитной системе
единиц (CGSM).
С 1940 г. предполагалось ввести взамен международного
ампера новую единицу—ампер абсолютный, равный точно
одной десятой единицы тока в абсолютной электромагнит-
ной системе единиц (CGSM). Величина абсолютного ампера
может быть определена по силе взаимодействия, которая
может быть вычислена и измерена с необычайно большой
точностью.
1 международный ампер равен 0,99991 абсолютного
ампера.
32. ЗАКОН ОМА. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Если в проводнике, по которому течет ток, провести две
поверхности так, чтобы все точки каждой из них имели один
и тот же потенциал (фиг. 32,1), то согласно закону Ома
Ч—-U
т—
Фаг. 32,1.
протекающий между этими юверхностями ток пропорционален
разности пстенц i лов (или напряжению) этих поверхностей.
Отношение между напряжением, приложенным к проводнику
(или падением напряжения в проводнике), и током называется
электрическим сопротивлением проводника. Сопро-
тивление обозначается буквой R:
—const. (32,1)
§ 32] Закон Ома. Электрическое сопротивление
149
Величина, обратная сопротивлению, т. е. отношение тока
к напряжению, называется проводимостью провод-
ника и обозначается буквой g.
=g. (32,2)
UR ’
Таким образом связь между напряжением и током может
быть выражена следующим образом:
и I—^-=gU. (32,3)
Проводники, подчиняющиеся закону Ома, представляют
собой так называемые омические сопротивления.
Сопротивления, не подчиняющиеся закону Ома, называются
нелинейными, так как для них нет линейной зависимости
(прямой пропорциональности) между напряжением и током.
В протяженных проводниках, имеющих постоянное сече-
ние 5 и длина которых I велика по сравнению с поперечным
сечением, приложенное напряжение U равномерно распреде-
ляется вдоль длины проводника, создавая в проводнике (не
меняющееся во времени) электрическое стационарное поле
Е? U dy т~>
с напряженностью . Ь таких проводниках плот-
ность тока во всех точках сечения имеет одно и то же
значение; и потому
/=S-'S=V=7- (32’4>
1\ 1\
Из этого соотношения можно определить сопротивление
и проводимость проводника
и
Отношение напряженности поля к плотности тока
называется удельным сопротивлением, а отношение
плотности тока к напряженности поля
1_ —_1
£ ” Р
(32,6)
150
Постоянный ток
г гл. 2
называется электропроводностью или удельной
проводимостью материала проводника.
Из соотношения (32,4) и (32,5) следует, что сопротивление
линейного (протяженного) проводника прямо пропорционально
его длине, обратно пропорционально его сечению и обратно
пропорционально его электропроводности или прямо пропор-
ционально его удельному сопротивлению.
Если мы в толще проводника, по которому течет ток,
проведем в какой-нибудь точке трубку тока с сечением dS
и длиной dl и применим закон Ома в этой части проводника,
выразив его сопротивление через
рдГ/ _ dl
dS ~~ у dS '
и изменение потенциала через — dy, то
<//=8 i=—f— \dS=—dS,
dl f \ dl / p
P dS
откуда мы получаем уравнения
о =——у grad? и ± =—grad?=po, (32,7)
которые могут рассматриваться как уравнения, выражающие
закон Ома в диференциальной форме.
Напряженность электрическо-
го поля в проводящей среде рав-
на градиенту потенциала, взятому
с обратным знаком, как и в элек-
тростатическом иоле. В отличие
от электростатического поля по-
тенциал в проводящей среде при
прохождении тока не имеет по-
стоянного значения, и на поверх-
ности проводника, по которому течет ток, напряженность поля
не нормальна к его поверхности; напряженность поля на поверх-
ности состоит из двух слагающих (фиг. 32,2): из нормальной
составляющей — —=£ —— =------------, зависящей от потен-
дп л 8 егг0
циала данной точки поверхности по отношению к окружаю-
щей среде и определяющей плотность заряда на его поверх-
ности (е = еге0 — диэлектрический коэфициент среды, окру-
жающей проводник), и тангенциальной слагающей, равной
падению напряжения на единице длины вдоль поверхности:
£, = 1)8 = —-^.
* r dl
§ 32]
Закон Ома. Электрическое сопротивление
151
При переходе тока из одной проводящей среды в другую
линии тока изменяют свое направление, если только они не
направлены нормально к плоскости раздела. Выделим на
поверхности раздела двух сред небольшую площадку dS,
проекция которой на плоскость чертежа пусть будет Оа
(фиг. 32,3). Из неразрывности линий тока следует, что ток,
исходящий из первой среды, должен равняться току, по-
ступающему во вторую среду. Если Ех и —напря-
женность поля и плотность тока в первой среде; Е2 и —1з^з
во второй среде и и а2— углы между направлением поля
и нормалью к плоскости раздела в той и другой среде, то
Sj dS = о2 dS, dS cos ax — o2 dS cos a2
или
cos cqYofi'o cos a2i
а так как тангенциальные слагающие напряженностей
электрического поля в той и другой среде должны быть
равны, т. е.
Ех sin aj = Е2 sin a2, (32,8)
то, разделив уравнение (32,8) и (32,7), мы находим, что
tg ai_- 7i
tg U 72
(32,9)
Тангенс угла падения вектора плотности тока в первой
среде т к относится к тангенсу угла преломления вектора
плотности тока во второй среде, как электропроводности этих
сред.
152
Постоянный ток
[гл. 2
33. СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ
Единицей сопротивления служит ом (1 й). Так называемый
международный ом есть сопротивление (при неиз-
меняющемся токе и при температуре тающего
льда) ртутного столба длиной 106,300 ст, имею-
щего сечение, одинаковое по всей длине, и массу
14,4521 g (сечение такого столба соответствует
1 пип)2.
Ом (международный) отличается от подлежавшего введению
в 1940 г. так называемого абсолютного ома весьма немного:
1 международный ом = 1,00052 абсолютного ома.
Единица проводимости, равная проводимости проводника,
сопротивление которого равно одному ому, называется
сименсом (1 S).
Удельные сопротивления и электропроводности для раз-
личных тел приведены в табл. 1.
Если в неразветвленной цепи или в части цепи (фиг. 33,1)
несколько проводников соединено последовательно, то эти
проводники могут быть заменены одним эквивалентным
проводником, сопротивление которого равно сумме сопротив-
лений отдельных проводников. При такой замене ток не
изменит своей величины:
U^U^U^U^RJ+R^R^R^R^R^ I=Rl,
(33,1)
При последовательном соединении напряжения распреде-
ляются пропорционально сопротивлениям или обратно пропор-
ционально проводимостям:
и < = и--1---• U.=U-----; Us = и-------,
^1+/?2+^з tfi+Яг+Яз
£7х:С7а:Г3=/?1:/?3:/?3=А:-!-:-1-. (33,2)
Si ёч £з
§ 33]
Сопротивление проводников
153
При параллельном соединении нескольких ветвей (фиг. 33,2)
на концах каждой из ветвей действует одно и то же напря-
жение, которое в случае отсутствия э. д. с. в ветвях может
быть выражено через произведение сопротивления и тока
каждой из параллельных ветвей
?в=^1Л=^2Л—
Отсюда определяется ток в каждой ветви. Заменяя сопро-
тивление обратной ему величиной — проводимостью, мы нахо-
дим, что
4 = — -^. l3=f=gsU-
<4 /<2 ^8
Таблица 1
Проводимости, удельные сопротивления, температурные коэфици-
енты, удельные веса, теплоемкости и теплопроводимости чистых
металлов и некоторых сплавов
Наименование металла Удельная прово- димость при 20°С S/cm Удельное сопротив- ление при 20эС 2 mm2/m Среднее значение температурного коэфициента для температур от 0 до 100°С 1/°С 1 Удельный вес, kg/dm3 Теплоемкость, са 1/ 9С ст3 Теплопровод- ность при 20°С са1/<*с sec
Серебро . • 62,11-104 0,0’61 0,00400 10,4 0,055 0,01
Медь . . • 59,52-If)4 0,0168 0,00445 8,9 0,094 0,92
Золото . . 42,19-10* 0,0237 0,00377 19,1 0,032 0,70
Алюминий 35,97-10* 0,0278 0,00423 2,С5 0,211 0,48
Молибден ~. 21,01-104 0,0476 0,00435 10,2 — —1
Вольфрам 16,34-104 0,иС 12 0,00464 18,7 0,037 0,38
Цинк • . . 16,13-104 0,0320 0,00390 7,0 0,0^3 0,255
Тантан . . 15,50-104 0,0650 0,00350 16,6 0,1 33 0,13
Плат ина . . 11,55-104 0,0.66 0,03217 21,3 0,028 0,165
Железо . . 10,89-10* 0,0 18 0,00625 7,9 0,119 0,14
Кобальт . . 9,17-104 0,109 0,00651 8,9 0,103 —
Никель . . 7,25-104 0,138 0,00621 8,8 0,11 0,14
Олово . . . 6,99-104 0,143 0,0044 J 7,2 0,055 04 57
Свинец . . 4,52 -104 0,221 0,00411 11,4 0,03 0,083
Ртуть . . . 1,055-10* 0,948 0,0002/ 13,6 0,033 —
Висмут . . 0,72 -10* 1,39 0,003 Я 9,8 0,031 0,019
Уголь ретортный 0,138-10* 7,25 0,0003 1,88 — —
Латунь . . (50-15)-10* 0,02—0,06 0,002 8,5 0,9 0,25
Манганин . 23,8-10* 0,33 0,000006 8,5 0,181 0,10
Никелин 3-10* 0,042 0,0003 8,8 —, —
Константан 2,04-10* 0,49 0,00004 8,9 0,10 0,с51
Нейзильбер (2,2—2)-10* 0,45—0,50 0,0001 8,5 — —.
Нихром . . (1,06-0,9)-10* j0,94-1,1 0,60015—0,0004 1 — — —•
154
Постоянный ток
[гл. 2
При замене всех параллельных ветвей одной эквивалентной
ветвью последняя должна иметь такую проводимость g, чтобы
при том же напряжении U в ней проходил ток, равный току
в неразветвленной части цепи. Тогда мы получаем:
g~ p— gl+^з + аЗ— • (o3,J)
i\ 1 “2 *'3
Таким образом эквивалентная проводимость нескольких
параллельных ветвей равняется сумме проводимостей отдель-
ных ветвей. Токи в отдельных ветвях при параллельном
соединении распределяются прямо пропорционально прово-
димостям или обратно пропорционально сопротивлениям:
Л:4:4=5г1:5,2:5гз ’ (33,4)
Для двух параллельных ветвей (фиг. 33,3)
ИЛИ J----.
/?1 Ч- R2
2»
J_=J_ - А
R Ri ^R2
(33,5)
Из соотношений
/= —
R
(#1+ /?о)£71
j U r U
Л = — и /2 = —
Ri R2
вытекает, что токи в двух параллельных ветв/ix выражаются
следующим образом через ток в неразветвленной части цепи:
/,= Рг и 1
* К1 + Я3 &i + g2
*1 /= ^2
#i + #2 £i~i“
(33,6)
При последовательном соединении в уравнения удобнее
вводить сопротивления, при параллельном — проводимости.
§ 33|
Сопротивление проводников
155
Параллельным и последовательным включением сопро-
тивлений пользуются для увеличения пределов измерения
амперметров, приборов, служащих для измерения токов, и
вольтметров, приборов, служащих для измерения напряжений.
Пусть /Лгпах— предельное значение тока, измеряемое данным
амперметром, и цена деления шкалы (тА— число
делений, отсчитываемых по шкале), т. е. значение тока,
соответствующее одному делению прибора, и RA—его со-
противление. При включении параллельно к амперметру
(фиг. 33,4) шунта с сопротивлением Rs (шунтами называют
сопротивления или ветви, присоединяемые параллельно к от-
дельным частям приборов или машин), через амперметр про-
текает лишь часть общего тока.
Если подобрать сопротивление шунта Rs таким образом,
чтобы
(33>7)
где пА—какое-то число, большее единицы, то через амперметр
будет протекать лишь
(ззд
КА Т 11 д
пА-нья доля общего тока, и цена деления амперметра увели-
чится
--R
49 ‘
в пА раз. Выбирая пА~ 5, 10, 50 ... и ,
можно увеличить предел измерения токов данным
прибором в 5, 10, 50 ... раз. Шунты к амперметрам напо-
добие нормальных сопротивлений (см. § 34) снабжаются
четырьмя зажимами, двумя крайними для включения в общую
цепь и двумя средними, к которым присоединяется ампер-
метр калибрированными проводами (так как их сопротивле-
ние входит в /?л).
Для расширения пределов измерения напряжений вольт-
метрами последовательно с ними (фиг. 33,5) включают
добавочное сопротивление. Если Uvrna^ — предел
Uv max
измерения данным прибором и---------цена его деления, то,
подбирая величину добавочного сспротивления R таким об-
разом, чтобы его величина была в nv— 1 раз больше сопро-
тивления вольтметра
(33,9)
156
Постоянный ток
[гл. 2
мы будем иметь, что ток, протекающий через ветвь, прило-
женную к точкам, напряжение между которыми U измеряется,
будет равен:
/ — и —
R + Rv ~ Rv ’
откуда измеряемое напряжение
Uv = n VUV (33,10)
К г/
будет в л^раз больше напряжения, показываемого вольтмет-
ром.
Численное определение проводимости проводников раз-
личных очертаний имеет много общего с определением емко-
Фиг. 33,5.
стей, что обусловлено тем, что формулы, связывающие между
собой заряд, напряжение и емкость и ток, напряжение и
проводимость, представляются как в диференциальной, так
и в интегральной форме аналогичными уравнениями:
a —sf1, —grad 7,
Q= ^dS=CQ?l _?2)( 1— |’6dS = g(<?1 — ?2), (33,11)
где S— эквипотенциальная поверхность.
Из приведенных уравнений следует, что при одинаковых
формах и размерах электродов численные значения проводи-
мости и емкости должны быть связаны соотношением
(33,12)
Поэтому, если в формулах, определяющих емкость между
двумя электродами (обкладками) г заменить через 7, то мы
получим проводимость между этими электродами. Так
§ 33]
Сопротивление проводников
157
(фиг. 33,6), проводимость жидкого слоя между двумя хорошо
проводящими параллельными пластинками равна (§ 20,3):
£ = (33,13)
Проводимость между двумя коаксиальными цилиндрами
(фиг. 33,7 и 24,3)
g = (33,14)
In --
n
Фиг. 33,7.
Фиг. 33,8.
Проводимость между двумя цилиндрами одинакового ра-
диуса с параллельными осями (фиг. 33,8, § 25,17)
7С7 /
In —
Воспользуемся аналогией между
емкостью и проводимостью для опре-
деления проводимости заземления,
если это заземление выполнено в
виде металлической полусферы, за-
копанной в землю в уровень с ее
плоской поверхностью (фиг. 33,().
Под сопротивлением зазем-
ления понимают отношение на-
пряжения между металлом, сопри-
касающимся с землей, и бесконечно удаленной точкой земли
к току, утекающему в землю при этом напряжении. Картина
распределения тока в земле не изменится, если полусферу
дополнить такой же верхней половиной и предположить,
что она также окружена безгранично землей. При том же
158
Постоянный ток
[гл. 2
напряжении, подводимом через изолированный провод, ток,
поступающий из шара в окружающую его землю, будет
иметь двойное значение, а проводимость между полусферой
и землей будет равна половине проводимости между ша-
ром и землей. Если U—напряжение, подводимое к полу-
сфере (по отношению к удаленной точке земли), и ток, по-
основании
сфере (по отношению к удаленной точке земли),
ступающий через полусферу в землю /, то на
уравнения (21,10), полагая, что
с Y
2 с
^ = 7Г = 2пуг,
С
мы для сопротивления заземления получим:
R
(33,16)
Потенциал, который приобретает полусфера при прохож-
дении тока в землю,
= L- (33 17)
создает вдоль поверхности земли электрическое поле; по-
тенциал, который при этом приобретают отдельные точки
поля, будет изменяться, как в поле шарового конденсатора
[уравнение (21,4)], обратно пропорционально расстоянию от
центра полусферы
отсюда мы можем получить так называемое шаговое
напряжение, если расстояние между точками А и В равно
расстоянию шага
/1 ?в\ г \ 1 d
Ф л -= Д 1--------1 — ° Д 1------1 “----------.
Ул Ув и J .л^ r+dJ 2чг r + d
(33,18)
Аналогичным образом мы можем определить сопротивле-
ние заземления вертикальной трубы, вогнанной в землю на
глубину h (фиг. 33,10). Если удвоить длину трубы и всю ее
окружить землей, то, сравнивая проводимость такой двойной
трубы, с которой ток растекается по безграничной земле, и
емкость уединенного цилиндра в безграничном диэлектрике
Эталоны сопротивления и реостаты
159
[формула (23,10)], мы придем к вы-
воду, что искомая проводимость
заземления вертикальной трубы
длиной h должна быть сопоста-
С
влена с половиной емкости —
2
уединенного цилиндра длиной l=2h.
Если d — диаметр трубы, то иско-
мая проводимость заземления, вы-
полненного в форме трубы, выра-
зится через
2 -у /г
4/г
In-----
d
1 2 гу 2/2 _
2 4/2 ”
In-------
(33,19)
34. ЭТАЛОНЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ И РЕОСТАТЫ
При определении сопротивления проводников пользуются
для сравнения не указанным выше прототипом ома, а вто-
ричными эталонами сопротивлений, так называемыми нор-
мальными сопротивлениями, изготовляемыми обычно
из манганина, сопротивление которого очень мало меняется
с изменением температуры, и с течением времени, который
не окисляется и дает ничтожно малые термоэлектродвижу-
щие силы по отношению к меди.
Нормальные сопротивления выполняются как сопротив-
ления, равные 0,00001. 0,0001, 0,001, 0,01, 0,1, 1, 10, 100,
1000, 10 000 и 100 000 й. Сопротивления от 0,00001 до 12
снабжаются четырьмя клеммами, две из них в виде массивных
клемм (или дуг для опускания в чашки,
х"* X. заполненные ртутью) служат для подведе-
ЙИЯ тока> а Две Другие, менее массивные,
/(//) \^// \ соединены в нормальном сопротивлении с
I J ) теми точками эталона, сопротивление меж-
\ ЧДЛЛ-г / ду которыми точно равно указанному на
\ А А / эталоне сопротивлению (фиг. 34,1). Нор-
мальные сопротивления от 0,01 й и ниже
изготовляются обычно из листового манга-
Фиг. 31,1. нина. Эталоны на большие сопротивления
изготовляются из изолированной двойной
шелковой оплеткой манганиновой проволоки, намотанной
бифилярно на тонкостенный металлический цилиндр, по-
крытый тонкой шелковой материей, пропитываемой, как и
изоляция манганиновой проволоки, шеллаком. При бифиляр-
160
Постоянный ток
[гл. 2
ной обмотке (фиг. 34,2) ток в двух рядом лежащих витках
имеет противоположное направление, вследствие чего устра-
няется влияние самоиндукции (см. § 79). Нормальные сопро-
тивления во избежание перегрева не должны нагружаться
токами выше указанных на них значений. Малые сопроти-
вления при пропускании через них больших токов погру-
жаются в масляные ванны.
В качестве вторичных эталонов употребляют также так
называемые магазины сопротивлений. Они выпол-
няются в виде ряца катушек с бифилярной обмоткой различ-
ного сопротивления, помещаемых в деревянный ящик (фиг.
34,3) с толстой крышкой, сделанной из изоляционного мате-
Фиг. 34,2.
рлг] рлг] p/vj juuj pnq рлц рлг] priq pnq рлг|
0,1 0.2 0.2 0.5 / г 2 5 Ю 20
5000 2000 2000 iOOU SOO 200 200 100 50 £0
LnnJ InnJ Inn J LtlhJ LuJ ln nJ InnJ Inn] InnJ InnJ
Фиг. 34,3.
риала (эбонита, гетинакса). Концы смежных катушек соеди-
нены толстой проволокой с прямоугольными медными мас-
сивными пластинами, прикрепленными к крышке ящика. Мед-
ные пластины располагаются в ряд и могут быть электри-
чески соединены между собой штепселями или ключами,
вставляемыми в соответствующие образуемые полукониче-
скими выточками конические гнезда, на прилегающих друг
к другу сторонах медных пластин. Две крайних пластины
имеют клеммы, к которым присоединяется внешняя цепь; ког-
да все штепсели вынуты, включенное сопротивление равно
сумме сопротивлений всех катушек магазина. Вставляя
штепсель между двумя пластинами, мы коротко замыкаем
сопротивление присоединенной к этим пластинам катушки.
В цепь вводятся лишь те катушки, концы которых не со-
единены между собой штепселями. Магазины обычно состав-
ляются из групп катушек, сопротивления которых равны
0,1,0,2, 0,2, 0,5; 1, 2, 2, 5; 10. 20, 20, 50 fl и т. д. Недостат-
ком таких магазинов является большое количество штепсе-
лей, вследствие чего при коротком замыкании большого числа
катушек несовершенство контактов между штепселями и
пластинами короткозамкнутых катушек может ввести в цепь
неучитываемые переходные сопротивления между этими пла-
стинами.
§34)
Эталоны сопротивления и реостаты
161
Более удобны и обладают этим недостатком в значительно
меньшей степени так называемые декадные сопротив-
ления, в которых число контактов доведено до минимума.
В таких магазинах группы или ряды состоят из 9 одинако-
вых катушек по 1, 10, 100... й и выполняются они либо со
штепселями (фиг. 34,4), либо с металлическими рычагами,
Фиг. 34,4. ‘
Фиг. 34,5.
вращающимися около осей, соединенных со следующими ря-
дами; концы рычагов скользят по расположенным по дуге кон-
тактам» присоединенным к точкам соединения двух смежных
катушек (фиг. 34,5).
Сопротивления, служащие для регулирования тока или
В качестве балластного сопротивления для уменьшения тока
в цепи» называются реостатами. В лабораториях приме-
няются реостаты (сопротивления) типа Ру страта, имеющие
следующее устройство. На продольном керамическом (мра-
морном, шиферном) теле или на металлическом цилиндре,
И К. А. Круг, т. I.
162
Постоянный ток
[гл. 2
Фиг. 34,8. Фиг. 34,9.
покрытом изолирующей эмалью, плотно наматывается неизо-
лированная нихромовая проволока, так чтобы смежные витки
не касались друг друга (фиг. 34,6). Концы цилиндра закре-
пляются к стойкам, к верхней части которых закреплен ме-
таллический стержень, вдоль которого может перемещаться
ползушка с пружинным контактом, охватывающим обмотку
реостата. Перемещая подвижный контакт, можно плавно из-
менять сопротивление. Эти реостаты строятся на сопротив-
ления от нескольких ом до 1 000 Й. Они имеют обычно три
зажима и их можно включать последовательно, как это по-
казано на фиг. 34,7, или же их применяют в качестве потен-
циометра для деления напряжения, даваемого источником
тока (фиг. 34,8). Для регулирования больших токов поль-
зуются спиральными реостатами, состоящими из отдельных
спиралей, концы которых присоединяются к контактам
(фиг. 34,9). По этим контактам скользит щетка, прикреплен-
ная к рычагу, перемещая который можно включать большее
или меньшее число спиралей. Такие сопротивления, равно
как сопротивление типа Рустрата, являются скорее нагру-
зочными сопротивлениями и никоим образом не могут рас-
§ 35]
Закон Джоуля-Ленца
163
сматриваться как эталоны сопротивлений. В качестве на-
грузочных сопротивлений могут служить ламповые реостаты
с включенными лампами накаливания, а также жидкие рео-
статы.
35. ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА
Джоулем и Ленцем независимо друг от друга опытным
путем было установлено, что электрический ток, проходя
через проводник, выделяет теплоту, количество которой
пропорционально квадрату тока, сопротивлению проводника
и времени прохождения тока.
В настоящее время очевидно, что это положение непо-
средственно вытекает из всей трактовки явлений электри-
ческого тока и является формулировкой закона сохранения
энергии для электрического тока. Оно может быть выведено
на основании ранее рассмотренных нами соотношений. Если
на концах проводника действует напряжение U = <рл—
величина которого определяется нами как работа, совершае-
мая при перенесении единицы количества электричества
от одного конца проводника к другому, то это напряжение
находится в следующем соотношении с величиной проходя-
щего через проводник тока:
U=RI, (35,1)
где R— сопротивление проводника, зависящее от его мате-
риала и геометрических размеров.
При токе 1 количество электричества, прошедшее через
проводник за время /, будет равно Q=It, а соответствую-
щая затраченная работа, перешедшая в теплоту, будет
равна:
Г = UQ = U It = RPt. (35,2)
Если 1 измерять в амперах, R — в омах, t—в секундах,
то затраченная работа будет выражена в джоулях. Если мы
хотим выразить перешедшую в теплоту электрическую энер*
гию в тепловых единицах (малых калориях), то мы значение
электрической энергии должны помножить на тепловой экви-
валент электрической энергии, равный
0,24 cal
а — J ’
так как
1 J=1 Wsec = 0,24 cal (35,3)
(один джоуль равен 0,24 малых калорий).
11*
164
Постоянный ток
[гл. 2
Количество энергии, поглощаемой проводником в единицу
времени при прохождении через него тока, или мощность,
переходящая в теплоту, выражается в электрических едини-
цах через
Р= -у = =U1=RP (35,4)
произведение напряжения на ток или сопротивления на квад-
рат тока.
Выделяемое током тепло называют джоулевым теплом
(хотя тепло всегда остается теплом независимо от его проис-
хождения), а соотношения (35,2) и (35,4) выражением закона
Джоула-Ленца.
Энергия, поглощаемая проводником, слагается из элемен-
тарных количеств энергии, которые поглощаются в отдель-
ных элементарных (бесконечно малых) объемах, на которые
может быть разбит проводник. Проведем в проводнике ряд
эквипотенциальных поверхностей и выделим элементарный
объем dV=dSdl между двумя такими поверхностями, нахо-
дящимися на расстоянии dl друг от друга. Если ток в этом
элементе объема dl = § dS, а напряжение между эквипотен-
циальными поверхностями dU=Edl, то энергия, поглощаемая
за единицу времени в этом объеме, может быть выражена
через
dP= dUdl—Edl ZdS = EbdV. (35,5)
Если эту мощность отнести к единице объема и учесть,
что 8 = или Е = ?% то мы получим:
^=Е^=-'Е2 = гЛ\ (35,6)
т. е. мощность, отнесенная к единице объема, равна или произ-
ведению удельной проводимости на квадрат напряженности
поля или произведению удельного сопротивления на квадрат
плотности тока. Последнее уравнение представляет собой за-
кон Джоуля-Ленца в диференциальной форме.
Пользуясь формулой (35,6), можно определить мощность,
поглощаемую в проводнике, и таким образом
Р= = J
V V V
(35,7)
Выделяемая током теплота нагревает проводник, и темпе-
ратура проводника повышается до тех пор, пока не устано-
вится равновесие между теплом, выделяемым током, и теп-
лом, отдаваемым проводником во внешнюю среду.
& 35]
Закон Джоуля-Ленца
165
Согласно закону Ньютона отдаваемая в единицу времени теплота про-
порциональна разности температур Т проводника и окружающей среды
и величине охлаждающей поверхности проводника So. Если коэфй-
циент теплоотдачи, т. е. количество тепла, отдаваемого в единицу време-
ни с единицы поверхности при разности температур, равной единице (в
), то мы можем написать:
RI2 = kSQT^ (35,8)
и повышение температуры может быть выражено через
RI2
Tqo — ’
kSQ
Для круглых проводников
I
4112 I2
-------------— const — *
k уя d2 я dl-d2
(35,9)
(35,10)
При одинаковом повышении температуры предельные значения тока
для проводов одного и того же материала, но разных диаметров, будут
относиться, как
4 ' = (35,11)
/23 d23 / 622 dx
\ г' 4 )
Отсюда следует, что при одинаковом повышении температуры допу-
скаемые плотности тока обратно пропорциональны квадратным корням
из диаметров
у д?2
- = ”=-• (35,12)
82 /rfj
На практике при выборе сечения проводов в распределительных се-
тях приходится проверять провода на нагрев, т. е. проверять, не выхо-
дит ли температура проводов при данной нагрузке за пределы допускае-
мого повышения температуры. Для этой цели пользуются так называе-
мыми нормами и правилами безопасности, в которых приводятся стан-
дартные сечения проводов, выпускаемые нашими заводами, и допускаемые
для каждого из этих сечений предельные значения токов.
Температура проводников или катушек, по которым протекает ток,
повышается постепенно до тех пор, пока не установится равновесие меж-
ду количеством тепла, сообщаемого током катушке, и тем количеством
тепла, которое передается окружающей среде (через конвекцию, тепло-
проводность и лучеиспускание). При условии одинаковой температуры
всех частей катушки (провода и остальных ее частей), неизменности со-
противления катушки при изменяющейся температуре и при постоянстве
протекающего через катушку тока повышение температуры происходит
по экспоненциальной кривой.
Пусть М будет теплоемкость всей катушки, равная сумме произве-
дений веса (или массы) отдельных частей на их удельную теплоемкость.
Величина М представляет собой количество тепла, необходимое для повы-
шения температуры катушки на 1° С при условии отсутствия перехода
166
Постоянный ток
Ггл. 2
kS0
M
dT
dt
&S.
dt
тепла к окружающей среде; Т и Т tt — разности промежуточной и ко-
нечной температуры катушки по отношению к температуре окружающей
среды; So—охлаждающая поверхность катушки; k — коэфициент тепло-
отдачи; а — тепловой эквивалент электрической энергии; t—время от на-
чала включения тока.
Сообщаемая катушке за время dt теплота a Pdt—&RI2dt будет ухо-
дить частью на повышение температуры катушки, на что будет тратиться
Mdl\ а в остальной части, равной kS^Tdt, будет отдаваться внешней
среде
nPdt — MdT-\- kS^Tdt
или
dT аР kS^T
dt ~~ М М ’
dT
Когда температура не будет больше повышаться — = 0 и устано-
dt
вится на конечном своем значении Т=Т х = const, то величина конеч-
ной температуры будет:
аР
Tv>—
Разделяя переменные
d
—-----;----— Z=-------dt—-~>
Г CO — T М т
м
где так называемая постоянная времени т равна: т — —, мы
£6 о
находим решение этого диференциального уравнения:
In (Гос — Т) — — — 4- In со nst>
т
— _£
Гоо — Г = const е т . (35,13)
Вначале, когда катушка имеет ту же температуру, что и окру-
т
жающая среда, т. е. Г=0, поэтому Too — 0= const е , откуда
Const — Гоо.
Подставляя значение const в уравнение (35,13), мы находим, что пре-
вышение температуры катушки над температурой окружающей среды в
/ — ~ \
I т )
зависимости от времени выражается через Г=Гоо\1—е /.(35,14)
Эта зависимость имеет место и для любых машин и аппаратов, рабо-
тающих при постоянной нагрузке.
Постоянная времени т для данной катушки (трансформатора или ма-
шины) представляет собой то время, которое потребовалось бы для по-
вышения температуры Kai ушки от начальной (Г = 0) до конечной (Г —
= Т я ) в случае, если бы отсутствовала отдача тепла во внешнюю среду.
Действительно,
м МТ
kS0 аР
тде МТсо — количество тепла, потребное для повышения температуры
катушки до температуры Гоо при условии отсутствия отдачи тепла, ар —
количество тепла, сообщаемого катушке в единицу времени.
§ 35]
Закон Джоуля-Ленца 167
На фиг. 35,1 показано сплошной
линией изменение превышения тем-
пературы катушки над температурой
окружающей среды в зависимости
от времени, когда через катушку
протекает не изменяющийся по ве-
личине ток.
Когда мы после достижения ка-
тушкой определенной температуры
То выключим ток, то катушка начнет
охлаждаться, при этом отдаваемое
в единицу времени во внешнюю
среду тепло будет равно уменьше-
нию теплосодержания катушки в едг
времени
d(MT) dt kS. dt
kSaT — —---------или —- — — -----— — —
° dt T M т
kS0
где т— — — та же постоянная времени.
М
Решение последнего уравнения дает:
t
t т
In Т ~ In const или Т = const е
Так как вначале (/=0) температура равна Т~ Го, то закон изменения
Температуры выразится через
T=TQe
Постоянная времени т представляет собой то время, в тече тие ко-
торого температура при охлаждении уменьшится в £ — 2,718 раз). Дей-
ствительно, возьмем два момента времени и t2 — tr -f- т и пусть соответ-
ствующие температуры будут
h А
7\—Гс£ т и Т2=7\е т ,
тсгда
= (? ' = 1:2,718.
С течением времени тео-
ретически, когда £ = со, катуш-
ка примет температуру окру-
жающей среды, т. е. Г —0. На
фиг. 35,1 показано пунктиром
изменение Т в зависимости от
времени.
Тепловое действие то-
ка может быть использо-
вано для измерения вели-
чины тока. Одна из схем
такого прибора тепловой
системы показана на фиг.
35,2. Измеряемый ток про-
168
Постоянный ток
[гл. 2
пускается через тонкую натянутую платино-ирридиевую
проволоку АВ. К середине этой проволоки прикрепляется
нить а, другой конец которой закреплен неподвижно. Нить а
оттягивается перекинутой через ролик с другой нитью Ь,
которая прикреплена к плоской пружине d. С осью ролика
связана стрелка z. Под действием тепла, выделяющегося при
прохождении тока, проволока АВ удлиняется, при этом се-
редина проволоки АВ опускается, а нить b пружиной d от-
тягивается в сторону и поворачивает стрелку z, отклонение
которой, отсчитываемое по шкале, зависит от значения про-
ходящего тока.
36. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА
Прохождение тока через замкнутую цепь проводников
сопряжено всегда с затратой энергии, которая покрывается
за счет энергии источника тока. Такими источниками могут
быть гальванические элементы и аккумуляторы, в которых
химическая энергия превращается в электрическую, или
электрическая машина, в которой электрическая энергия по-
лучается за счет затрачиваемой работы. Источниками может
быть и какое-нибудь другое устройство, где имеет место
преобразование того или иного вида энергии в электрическую,
например, источники так называемого термоэлектричества,
фотоэлектричества и т. п.
Разность потенциалов между электродами (зажимами)
источника тока при разомкнутой внешней цепи, обусловлен-
ную не кулоновскими силами притяжения и отталкизания, а
особыми сторонними силами, присущими источнику тока, на-
зывают электродвижущей силой (э.д. с.) этого источ-
ника и обозначают буквой е.
В так называемых гальванических элементах в результате
разделения зарядов, входящих в состав молекул электролита,
и переноса зарядов этими сторонними силами к электродам,
на последних накапливаются противоположные заряды, кото-
рые и создают между электродами разность потенциалов
(см. § 44). При замыкании электродов проводниковой цепью
в последней получается ток, который поддерживается э.д.с.
элемента, непрерывно действующей и прогоняющей заряды
через цепь.
В электрических машинах свободные электроны в дви-
жущемся проводнике под действием магнитного поля пере-
мещаются к одному концу проводника и создают также раз-
ность потенциалов между концами проводника. И если концы
такого источника тока соединить проводником, то в нем по-
лучается электрический ток.
Электрический ток в цепи, присоединенной к источнику
тока, обусловливается не кулоновскими силами притяжения
§ 36]
Электродвижущая сила
169
и отталкивания в источнике тока, а свойственными источ-
нику тока особыми внутренними силами. В так называемых
гальванических элементах эти силы появляются в результате
диссоциации, т. е. распада молекул электролита на ионы
(заряженные атомы или группы атомов); под действием этих
внутренних сил в элементах происходит перенос зарядов к
электродам в направлении, противоположном кулоновским
силам притяжения, создающим разность потенциалов между
электродами. При замыкании электродов внешней провод-
никовой цепью в последней получается электрический ток,
т. е. непрерывное движение зарядов, который поддержи-
вается этими внутренними силами (см. § 44).
В
А
j L3A.an
L Сгпор
Езла*
4
Ф.1Г. 36,2.
Фиг. 36,1.
_ CJ// ст
I
При разомкнутом источнике тока заряды, накапливаемые
на электродах, создают как внутри источника тока, так и вне
его электрическое поле, направленное, если провести замкну-
тый контур внутри и вне источника тока, в противополож-
ные стороны, и для кулоновского электрического поля сохра-
няет силу уравнение
Я—rf7=0’ <36>1)
I
Еэлст — напряженность кулоновского электрического поля.
При разомкнутой внешней цепи противоположные заряды на
зажимах источника тока соединиться не могут, так как сто-
ронние силы внутри источника действуют на заряды, накап-
ливаемые на электродах» в сторону, противоположную ку-
лоновским силам притяжения, и уравновешивают их (фиг. 36,1).
Поэтому при разомкнутой внешней цепи в источнике тока
ток не течет.
Наличие сторонних сил в источнике тока мы можем себе
представить как наличие стороннего поля с напряженностью
Естор, равной и противоположной (если внешняя цепь оазом-
кнута) напряженности электрического поля (фиг. 36,1);
Естор-^ Еэл.сгц*
170
Постоянный ток
'гл. 2
Электродвижущая сила источника тока, т. е. разность потен-
циалов между его зажимами» при разомкнутой цепи равна
линейному интегралу напряженности стороннего поля между
электродами источника тока
А
& —т* о — j Ес тор d I .
А В J
В
Если электроды соединить каким-нибудь проводником, то
по нему будет непрерывно протекать в направлении, совпа-
дающем с направлением э. д. с., ток, так как э. д. с. источ-
ника тока будет непрерывно восполнять убыль зарядов на
электродах. В результате в цепи как во внешней ее части,
так и в источнике тока получится непрерывное движение
зарядов, т. е. электрический ток, совпадающий с направле-
нием э. д. с. и направленный во внешней части цепи от
положительного электрода к отрицательному, а в источнике
тока от отрицательного к положительному электроду (фиг. 36,2).
При протекании тока разность потенциалов или напряжение
между электродами источника будет меньше, чем при разо-
мкнутой цепи, т. е. меньше э. д. с. на величину падения на-
пряжения в сопротивлении источника.
U^e—R^RJ,
ш Rt—внутреннее сопротивление источника тока и Re—сопро-
тивление внешней части цепи; поэтому
£—RJ г (з з,4)
и
е
I= Re^Ri’
ток в цепи равняется действующей в цепи э. д. с., деленной
на сумму сопротивлений, входящих в цепь. Уравнение (36,5)
является выражением закона Ома для замкнутой цепи. Если
увеличивать сопротивление внешней цепи, доводя его до
бесконечности, что соответствует размыканию цепи, то, как ука-
зывалось выше, напряжение между зажимами будет равняться
Э’ д’ С‘ U~e—при (36,6)
Электродвижущая сила источника тока определяется через
создаваемую ею разность потенциалов на электродах или
зажимах при разомкнутой внешней цепи и измеряется в тех
же единицах, как и разность потенциалов или напряжение,
т. е. в вольтах.
§ 36]
Электродвижущая сила
171
Различают международный вольт и абсолютный вольт.
В системе так называемых международных электрических
единиц основными являются международный ом (см. стр. 152)
и международный ампер (см. стр. 148); международный вольт
определяется как падение напряжения в сопротивлении, рав-
ном одному международному ому, при прохождении через
него тока, равного одному международному амперу. На прак-
тике же ввиду кропотливости и сложности установления
значения тока по электрохимическому его действию пользуют-
ся в качестве основных эталонов эталоном сопротивления
омом (или десятичными его долями) и в качестве второго
эталона легко создаваемым так на-
зываемым нормальным элементом
Вестона. Нормальный элемент Ве-
стона представляет собой гальвани-
ческий элемент в виде небольшой
Н-образной стеклянной трубки (фиг.
36,3), положительным электродом
которого является ртуть, а отрица-
тельным амальгама из 10 ч-12,5%
по весу кадмия и 90-н 87,5 % ртути.
Деполяризатором (у положитель-
ного электрода) служит находя-
щаяся над ртутью паста, получае-
мая смешением порошкообразной
сернокислой закиси ртути и серно-
кислого кадмия с добавлением не-
большого количества ртути и насы-
щенного раствора сернокислого кадмия. Электролитом служит
насыщенный раствор сернокислого кадмия, заполняющего
обе трубки. Для поддержания постоянства концентрации
раствора электролита над амальгамой кадмия помещают
слой кристаллов сернокислого кадмия. Для присоединения
элемента в нижнюю часть обеих ветвей трубки впаиваются
платиновые проволочки; э. д. с., даваемая нормальным
элементом, изготовляемым Всесоюзным институтом метроло-
гии, при 20°С равна
е20= 1,01829 V. (36,7)
Зависимость э. д. с. от температуры в пределах от 0 до
400° С может быть выражена следующей формулой:
Ъ = ^20 — 4,06• 10"5 (/° — 20°) — 9,5 • 10“7 — 20°)2+
+ 10’8(Z°-20°) V; (36,8)
нормальный элемент Вестона служит лишь для сравнения
э. д. с. и напряжений и не может быть использован в каче-
стве источника тока.
172
Постоянный ток
[гл. 2
Мощность, получаемая от источника тока, выражается
через произведение э. д. с. на ток
= (36,9)
Эта мощность выделяется в виде джоулева тепла во внеш-
нем и внутреннем сопротивлении цепи. Работа, отдаваемая
источником тока, при прохождении через цепь бесконечно
малого заряда dQ~Idt будет
dW—Pdt=eldt=edQ,
отсюда э. д. с. источника тока можно дать и такое определение
dW Pdt р
е ~ dQ ~ Idt I
(36,10)
что э. д. с. источника тока представляет собой отношение
работы, совершаемой источником тока при перенесении бес-
конечно малого заряда вдоль замкнутой цепи, к ьтому заряду,
или, как иногда говорят, мощность при единичном токе.
Мощность, отдаваемая источником тока во внешнюю цепь,
равна
Pe = Ul = ReP = ^^e\ (36,11)
Эта мощность имеет максимум, когда
dRe (Re + R.y
(36,12)
или когда Re = R{ , т. е. когда внешнее сопротивление равно
внутреннему сопротивлению источника тока.
В этом случае полезная мощность равняется:
е*
Pe=Rel2 = ^ ,
(36,13)
а к. п. д. равен лишь половине
Ре
т] = — = — = е------------- = 0,5.
(36,14)
Если к источнику тока, например, гальваническому эле-
менту, приложить напряжение U большее, чем э; д. с. U>e9
то через источник тока будет проходить ток в направлении,
обратном направлению э. д. с., и значение тока будет про-
порционально разности приложенного напряжения и э. д. с.
Второй закон Кирхгофа
173
и обратно пропорционально внутреннему сопротивлению про-
водника
r U—e
I = (36,15)
ИЛИ
и = е + ^1.
(36,16)
Приложенное напряжение U распадается на две слагающие,
одна уравновешивает э. д. с. источника тока, а другая по-
крывает падение напряжения в его сопротивлении, при этом
источнику тока будет отдаваться энергия
UIt = eIt-\-RiFt,
из которой часть elt увеличивает внутреннюю энергию галь-
ванического элемента, а /?• 14 бесполезно будет поглощаться
в виде джоулева тепла. В случае, если э. д. с. создается
в машине и приложенное к зажимам машины напряжение
больше ее э. д. с., то энергия elt, передаваемая машине,
превращается в механическую работу.
37. ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА
Второй закон Кирхгофа определяет связь между э. д. с.
-и падениями напряжения в замкнутых контурах разветвлен-
ных цепей.
Если рассматривать
какой-нибудь замкнутый
контур разветвленной це-
пи и проследить, как
меняются потенциалы (по
отношению к потенциалу
какой-нибудь выбранной
нами точки) при последо-
вательном обходе всех
сторон этого контура, то
мы после обхода всего
контура и возвращения
к исходной точке полу-
чим тот же потенциал.
Возьмем контур, изо-
браженный на фиг. 37,1,
состоящий из ряда сопро-
тивлений и источников
Фиг. 37,1.
тока в виде гальванических элементов. Положительный
полюс гальванических элементов мы будем обозначать тонкой
и длинной чертой, а отрицательный — короткой и толстой.
174
Постоянный ток
[гл. 2
Пусть в этом контуре э. д. с. и токи имеют указанные
на фигуре направления, и пусть потенциалы узлов будут
При переходе от узла А к узлу В (поскольку мы пере-
мещаемся по направлению тока) потенциал в сопротивлении Rx
понизится на а при переходе через источник тока
от его отрицательного электрода к положительному потен-
циал повысится на величину ех—RJi (уравнение 36,3);
поэтому
= — Ruh,
где Rn — внутреннее сопротивление источника е{. При пере*
ходе от точки В к С мы будем иметь в сопротивлении R2
понижение потенциала на Z?2/2; но дальше, переходя через
источник тока e2t с внутренним сопротивлением Ru, от его
положительного электрода к отрицательному в направлении,
обратном его э. д. с., мы будем иметь снижение потенциала
нае2+/?/2/2 (уравнение 36,16), поэтому
?С = С?В е2 ^i2^ = (^A ^1Л +^1 е2 &12^2-
При переходе от точки С к D мы идем навстречу току
и потому
?£) =?с ^зЛ>
равным образом при переходе от точки D к точке А мы
будем иметь повышение потенциала
4a = 4d^-RJ±=4a — е2 —
+ ^/з + ^Л-
Из последнего уравнения следует, что
--^2— (^1 + ^/7)Л+(^2 + ^/2) А?-RJs-
Если в рассмотренном контуре э. д. с. и токи, направ-
ленные в одну сторону, например, по направлению движения
стрелки часов, брать с плюсом, э. д. с. и токи, направленные
в противоположную сторону, брать с минусом, то для замк-
нутого контура второй закон Кирхгофа может быть сформу-
лирован следующим образом:
в замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с.
равна алгебраической сумме падения напряжения
во всех сопротивлениях, входящих в этот контур
Le^^Rl или = (37,1)
§ 37]
Второй закон Кирхгофа
175
Изменение потенциала вдоль рассмотренного контура
может быть представлено графически (фиг. 37,2), если по оси
абсцисс откладывать сопротивления /?3, Rl2, /?3 и /?4,
апо оси ординат — значения потенциалов в соответствующих
точках. Тангенсы углов наклона а, |3, у и 8 пропорциональны
токам в соответствующих ветвях.
Если какая-нибудь точка, например D, заземлена, то
Фп=0 и значения потенциалов отдельных точек будут опре-
деляться ординатами относительно горизонтали, проведенной
через точку D.
Фиг. 37,2.
Второй закон Кирхгофа при независимости сопротивлений
от тока можно рассматривать как обобщение закона Ома,
представляющего собой частный случай применения второго
закона Кирхгофа к неразветвленной цепи, в которой ток во
всех частях имеет всегда одно и то же значение
и / = (37,2)
к
Проведем в разветвленной цепи или в какой-нибудь про-
водящей среде, в которой течет ток, контур в виде замкну-
той на себя линии и выразим падение напряжения вдоль этой
линии как сумму падений напряжений на бесконечно малых
участках ее. Если эта линия не проходит через сторонние
электрические поля (через источники тока), то применение
второго закона Кирхгофа к этой замкнутой линии должно дать:
SZ?7=O, (37,3)
но так как для каждого проводника
RI= Г = рМ/= \Ed~l
J 7$ J J
(37,4)
176
Постоянный ток
[гл. 2
(ибо — = 8, 7 — ~ и ро = Е), то второй закон Кирхгофа для
5 р
контуров, не проходящих через сторонние поля (т. е. источники
тока), может быть выражен интегральным соотношением
^Edi—O, (37,5)
I
причем здесь Е—напряженность электростатического (т. е.
безвихревого) поля, ибо никакого другого электрического
поля в точках этого контура нет.
Если же контур проходит через сторонние поля (через
источники тока с э. д. с.) и если под вектором р5=Е пони-
мать вектор результирующего электрического поля, опреде-
ляющий плотность тока в данной точке, то
Xe-SRI= <№cmopdl-^di= $ (Ecmop-E)di=0
или
$Edl=^cmopdT=Ze. (37,6)
Последнее уравнение является выражением в интеграль-
ной форме второго закона Кирхгофа в проводящей среде со
сторонними электрическими полями.
38. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ В РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЯХ
/. Метод уравнений Кирхгофа. Первый и второй законы
Кирхгофа вполне определенно и однозначно разрешают вопрос
о разветвленных цепях. При решении подобных задач наме-
чают произвольно положительные направления токов в от-
дельных ветвях и составляют ряд уравнений, применяя первый
закон Кирхгофа для отдельных узлов (точек разветвления) и
второй закон Кирхгофа для отдельных контуров. Если слож-
ная цепь состоит из п ветвей между а узлами, то опреде-
лению подлежат п токов. Применяя к узлам первый закон
Кирхгофа, мы можем составить лишь (а— 1) уравнений токов,
так как уравнение токов для последнего узла явится след-
ствием предыдущих уравнений. Остальные п — (а—1) урав-
нений должны быть составлены для п — аЦ-1 контуров
согласно второму закону Кирхгофа; причем должно быть
обращено внимание на то, чтобы получаемые уравнения были
независимы друг от друга, т. е. чтобы какое-нибудь из них
не являлось следствием других. Для этого необходимо, чтобы
в каждый новый контур, для которого составляется урав-
§ 38] Определения токов в разветвленных цепях 177
нение, входила хотя бы одна новая ветвь, еще не входившая
ни в один из ранее рассматривавшихся контуров. Если при
решении таким образом составленных уравнений для тока
в какой-нибудь ветви получится отрицательное значение, то
это укажет, что ток в этой ветви имеет направление, обратное
произвольно принятому за положительное.
В качестве примера рассмотрим
схему (фиг. 38,1), для которой могут
быть составлены следующие уравне-
ния:
/=Л+Л,
e=R\I\-YRl,
- el=R1Il
Решая эти уравнения, мы, напри-
мер, для тока Д получаем
eR\ — (R -|- R'}}
~R^R -^RRT+R^
(38,1)
II. Метод контурных токов. Число уравнений для опре-
деления токов во всех ветвях разветвленной цепи можно
сократить, если считать, что в ветви, являющейся общей для
нескольких сложных контуров, протекает ток, состоящий из
соответствующего числа слагающих токов, из которых один
представляет собой ток рассматриваемого контура, а другие
токи других контуров, в которые входит данная ветвь.
В соответствии с этим падение напряжения в ветви, входящей
в смежные контуры, будет равно алгебраической сумме
падений напряжения от каждой слагающей тока в отдель-
ности. Такой способ разложения токов, избавляющий нас от
составлений уравнений по первому закону Кирхгофа, назы-
вается методом контурных токов. При этом методе число
уравнений сводится к п — (а—1) уравнениям, составляемым
по второму закону Кирхгофа. При разбивке схемы на контуры
каждая ветвь должна войти по крайней мере один раз в один
из контуров.
Так схема фиг. 38,2, состоящая из я — 6 ветвей и имеющая
а = 4 узла, может быть разбита на 3 контура; при выбранном
на чертеже положительном направлении контурных токов мы
можем написать 3 уравнения:
ei ~ А — ЯЛ>
О = (^+^-1-^) /п - RJ{ Н- /?5/ш,
е2 = (/?3+/?5)/ш+/?5/ц, (38,2)
12 К. А. Круг, т. I.
178
Постоянный ток
[гл. 2
из которых нетрудно определить 7П и /П1, а по ним
A—A Ai и Аз—Ai~bAn*
Пользуясь методом контурных токов, можно вывести одно
Интересное свойство электрических Цепей, так называемое
свойство взаимности, заключающееся в том, что если в слож-
ной системе с одной э. д. с. эта э. д. с., действующая
в ветви а, дает в ветви b ток 1Ь> то при перенесении этой
Rj R2
э. д. с. в ветвь b с сохранением прежних сопротивлений во
всех ветвях в ветви а получается такой же ток 1а, как раньше
в ветви b (1а=1^. Положим, что система (фиг. 38,3а) состоит
из трех контуров с контурными токами Д, /2. и /3. Если
составить уравнения напряжений, то мы получим для этой
схемы три уравнения:
(7?а4-7?3+7?)Л— —7?2/3=/?11/1-4-/?12/2-р7?13/3 =1
Аз— А\/3— 7?3/1=/?12/14-/?22/2-[-7?23/3=0, > (38,3)
(/?с+/?з+^1)Л~"^2Л— 7?1/2=/?13/14-/?2зЛ+^зз4:т::гО. )
Величины R с двумя одинаковыми знаками представляют
собой сумму ьсех сопротивлений данного контура, а с раз-
ными—сопротивления, являющиеся общими для двух смежных
контуров.
Если токи двух смежных контуров имеют в их общем
сопротивлении противоположное направление, то для полу-
Определения токов в разветвленных цепях
179
чения однородных уравнений общему сопротивлению следует
приписать знак минус.
Решая эти уравнения по методу детерминантов, мы для /3
получаем:
з—1ъ —
^11 е R13
/?13 0 /?23
^1з 0 ^зз
— ^12# "3^^23^?1з) е
~ D
(38,4)
Если э. д. с. е перенести в ветвь b (фиг. 38,36), то полу-
чается следующая система для контурных токов:
/?иЛ+/?12Л + /?1з/;з-0, )
14“RyJ’2 4“ ^23^ 3 — | (38,5)
А?13/'14“^2з7'2 4“ ~ О, |
которая дает такое же решение для
о /?13 /?]3
£ R%2 R23
3 R23 R33
Rll R12 R\3
R\2 R22 R23
R13 R23 R33
__(^!2^33~~^23^13)g
— D
(38,6)
что и требовалось доказать.
///. Метод суперпозиции (наложения). Аналогично прин-
ципу относительного действия в механике, согласно которому
в системе, находящейся под действием нескольких сил, общее
действие этих сил слагается из тех действий, которые полу-
чились бы, если бы каждая сила в отдельности действовала
на систему, имеет место»тот же принцип и в линейных
электрических цепях (с постоянными R), в которых действуют
несколько э. д. с. Ток в любой ветви слагается из тех токов,
которые получились бы в этой ветви, если бы в системе
каждая э. д. с. действовала в отдельности, другими словами,
каждая э. д. с. дает во всех ветвях свою слагающую тока,
и эти слагающие накладываются друг на друга. При опреде-
лении частичных слагающих токов необходимо считать вклю-
ченными все внутренние сопротивления всех источников тока,
даже тех, э. д. с. которых принимаются не действующими
при определении данной слагающей тока.
Метод суперпозиции применим лишь в тех случаях, когда
все f). д. с. и сопротивления не изменяются при изменении
тока. Он имеет своим обоснованием линейность (первую сте-
пень) уравнений Кирхгофа. Если в системе уравнений Кирхгофа,
составленных обычным порядком, по очереди оставить дей-
ствовать лишь одну э. д. с., приравняв остальные нулю, и
определить для этой э. д. с. токи во всех ветвях, а затем
12*
180
Постоянный ток
(гл. 2
сложить полученные таким образом токи в отдельных ветвях,
то суммарные токи будут удовлетворять исходной системе
уравнений Кирхгофа.
Применим метод наложения к схеме фиг. 38,4а и пред*
положим, что /?! и представляют собой внутренние сопро*
тивления источников тока ех и е2. Если бы действовала
только э. д. с. еъ то мы имели бы схему, изображенную на
фиг. 38,46, и ток в ветви этого источника тока был бы равен
р _______gi_______ (Rf 4- Rj) ег
1 о । ^2 —RRj + RiRt + RtR'
Фиг. 38,4.
Этот ток в двух других ветвях разделялся бы нг токи,
обратно пропорциональные сопротивлениям этих ветвей:
р __ Rei
^1 + ^2 Ч’^2^
Г— ----- (38,7)
R-\-R2 RR1.+ RiR
Если бы действовала э. д. с. только второго источника е2,
то мы имели бы схему, изображенную на фиг. 38,4в, и сле-
дующие токи.
В ветви второго источника тока
рг ______________________ __ (^ + #l)g2
/з R ,4- --RRi-l-RiRi + RzR'
R-]-Ri
В двух других ветвях
pt RiJ 's ____________Riet>______
-^1^2 4“
pr Wj _________________Re2________
1— R + Ri ~~RRi-\-RiR2+ R2R ’
(38,8)
§ 38] Определения токов в разветвленных цепях 181
Если теперь наложить друг на друга слагающие токов
в трех ветвях, учитывая их направления, то получим урав-
нения
7, = /', — /^; /2=/'2-/''3 и / = /' + /".
Метод наложения позволяет в некоторых случаях весьма
просто находить те изменения в распределении токов в слож-
ных системах, которые могут получиться в результате раз-
рыва, короткого замыкания отдельных ветвей или введения
в какую-нибудь ветвь добавочного сопротивления, не повто-
ряя всех расчетов с самого начала. Так, например, если
разрывается какая-нибудь ветвь, то ток в этой ветви стано-
вится равным нулю;. Тот же эффект мы можем получить,
не разрывая этой ветви, если мычв эту ветвь введем доба-
вочную э. д. с., равную разности потенциалов между концами
этой ветви и направленную против направления тока в этой
ветви. Ток в этой ветви будет тогда равен нулю, а в осталь-
ных ветвях системы появятся добавочные токи, которые мо-
гут быть определены как токи, получающиеся в системе под
действием вье енной э. д. с.
При коротком замыкании какой-нибудь ветви для опреде-
ления тока в ветви, в которой осуществляется короткое замы-
кание, а также токов в других частях системы, в коротко-
замыкаемую ветвь должна быть введена э. д. с., равная
разности потенциалов между короткозамыкаемыми (до корот-
кого замыкания) токами в направлении тока. Токи, полу-
чающиеся в отдельных ветвях от введения добавочной
э. д. с., сложенные с токами до короткого замыкания, и
дадут нам как ток в короткозамкнутой ветви, так и во всех
остальных ветвях. Равным образом и влияние всякого изме-
нения сопротивления в какой-нибудь ветви на распределение
токов можно уподобить введению вместо вводимого или
выводимого сопротивления дополнительной э. д. с., равной
изменению сопротивления, умноженного на протекавший до
этого ток. При увеличении сопротивления дополнительная
э. д. с. должна быть направлена против тока, а при умень-
шении сопротивления по направлению тока.
IV. Метод Гельмгольца-Тевенена. ♦ Одним из способов,
позволяющих иногда весьма просто, быстро и легко опреде-
лить ток в одной какой-нибудь ветви сложной цепи, без
одновременного определения токов в остальных ветвях,
является метод, предложенный в разное время Гельмгольцем
и Тевененом. Метод этот является своего рода методом холо-
стого хода и короткого замыкания.
По этому методу вся заданная система со всеми э. д. с.
и ветвями, за исключением исследуемой ветви, рассматри-
вается как сложный источник тока, зажимами которого
182
Постоянный ток
[гл. 2
являются те точки, которыми исследуемая ветвь присоединена
к системе. И подобно тому как ток в неразветвленной цепи
равен э. д. с. (совпадающей при разомкнутой цепи с напря-
жением у зажимов источника тока), деленной на сумму
внешнего и внутреннего сопротивления, так и по этому
методу ток в исследуемой ветви получается как отношение
напряжения между точками присоединения исследуемой
ветви, когда она разомкнута, к сумме сопротивлений этой
ветви Re и внутреннего сопротивления данной системы Rx
между точками присоединения рассматриваемой ветви:
(38,9)
Правильность указанного соотношения вытекает из прин-
ципа суперпозиции.
Фиг. 38,5.
Положим, что требуется определить ток в ветви АВ,
имеющей сопротивление Re и составляющей часть развет-
вленной цепи с одной или несколькими э. д. с. (фиг. 38,5),
на которой отдельно изображена ветвь АВ и в виде прямо-
угольника остальная часть разветвленной цепи кроме вет-
ви АВ. Пусть ветвь АВ сначала была разомкнута, и при этом
напряжение между точками А и В было — ^B=U^. Затем
при включенной ветви АВ пусть будут введены два источ-
ника тока с нулевым сопротивлением и с э. д. с., равными
и противоположными напряжению при разомкнутой цепи АВ
(«при холостом ходе» этой ветви) ег~—Uq и e3=-j--£/0.
Введение этих двух э. д. с. не изменяет значений токов ни
в рассматриваемой ветви, ни в остальных ветвях разветвлен-
ной цепи. Рассмотрим в отдельности действие и е2. При
введении одной э. д. с. ех ——UQ ток в ветви АВ будет
равняться нулю независимо от значения сопротивления* 7?е,
так как при разомкнутом состоянии выключателя его за-
жимы будут иметь один и тот же потенциал.
Если же ввести и вторую э. д. с. е2 — Z70, то ток в вклю-
ченной ветви АВ получит как раз то значение, которое он
имеет при отсутствии ех и е2.
§ 38] Определения токов в разветвленных цепях 183
На основании метода суперпозиции значение тока ветви
АВ составляется как алгебраическая сумма токов, которые
получились бы от всех э. д. с., если бы каждая из них
действовала в отдельности при наличии сопротивления дру-
гих источников токов, но при отсутствии их э. д. с.
Рассматривая все э. д. с., действующие в разветвленной
цепи вне ветви АВ, и э. д. с. е}, направленную против UOt
мы в ветви АВ получаем ток, равный нулю, а затем одну
э. д. с с2, направленную в ту же сторону, что и £70 при
«холостом ходе», мы получим, что искомый ток равен:
!^2 *
4 А а) д Ь)
Фиг. 38,6.
где Re — эквивалентное сопротивление всей разветвленной
цепи между точками А и В кроме ветви АВ, включая и
внутренние сопротивления всех источников тока.
Покажем применение метода Тевенена на примере опреде-
ления тока в перемычках АВ неуравновешенного моста
Уитстона фиг. 38,6.
Напряжение между точками АВ при разомкнутой перемычке
(мосте), если выбрать потенциал точки А за исходный, будет
г у _ _______ ГТ тт _______ Rtf? _____________
Uo-'tA-'lB-L AD-U Rs + Ri-
— R\R№
/?2) № Rd
Эквивалентное же сопротивление между точками А и В
при удаленной э. д. с. е, но с оставлением нулевого сопро-
тивления между точками С и D будет равно:
о = [ г*?' _ (7?з + /?4)-^1/?2+Wi4-/?2W;/?4
* 4" Я. *?з + (Ri “Ь ^2) (R3 4* ^4)
184
Постоянный ток
[гл. 2
Поэтому искомый ток определится через
О. =_______________(/?! + № + #4^0
Re + Rl + #2) № + 4- (/?з Н" ^4)^1^2 Н" (^1+^2)^3^4
___________________(#2^з ~ R\R&__________________.
R(R\ R^(R$ + R±) + + (Ri + ^2)^3^
В случае, если мост уравновешен, т. е. в 7? ток равен
нулю (/ = 0), то R2R3=R1Ri1 и мы имеем пропорциональность
четырех сопротивлений:
Ry
R2
R3
*4 ’
(38,10)
Для случая равновесия моста (/ — 0) это соотношение
может быть выведено более простым способом, токи в этом
случае Л =4 и 4=4 и падения напряжений в и /?3,
так же как и в /?3 и R± должны быть равны: R1/1 — R3I3 и
R3I1 = /?4/3, откуда получается то же соотношение (38,10).
К Метод замены нескольких параллельных источников
токов одним эквивалентным. Когда имеется несколько
источников тока с э. д. с. еи е2, е3... и с внутренними
сопротивлениями
/?!=—, Я2=—, R3——
g 1 £з
Фиг. 38,7.
работающих параллельно на общее сопротивление R, то
такие источники тока могут быть заменены одним эквива-
лентным (фиг. 38,7). Пусть напряжение между точками А и В
будет U — ®a—На основании уравнения
Л + 4 + 4-
мы можем написать, что
(е, - U)gl + (е- - J\е3 - U)g.A = -L
§ 38]
Определения токов в разветвленных цепях
185
или
Обозначим
. __ elg1 + e2g2 4- е^5
г о — ~ ;
£1+ь2~Н£з
и
^о = -7Г= ^1+^а+^з = 4+'
Ко *>1
(33,11)
где /?0 есть сопротивление, эквивалентное параллельно соеди-
ненным внутренним сопротивлениям источников тока; тогда
eQ — U =е{)— RI = А?о/
и ток во внешней цепи определится как
__^0
(38,12)
Таким образом ток в цепи тождественен с током в неразвет-
вленной цепи, питаемой от источника тока с э. д. с. е0, и
внутренним сопротивлением /?0, определяемым по формулам
(38,11). Так, например, для схемы с двумя источниками тока
мы имеем:
4 е^2 __ e}R2 -|- e2Rx
£1+^2 ^1 + ^2
(38,13)
(38,14)
/?i -j~ r2
VI. Метод трансфигурации электрических цепей (метод
Кеннели). При определении токов и напряжений в сложных
цепях или сетях иногда можно внести в вычисления суще-
ственные облегчения, если путем последовательных преобра-
зований упрощать цепи таким образом, чтобы преобразования
в одной части цепи не вызывали никаких изменений в распре-
делении токов и напряжений в других частях.
Примером такого преобразования или трансфигурации
может служить замена двух параллельных ветвей, не содер-
жащих э. д. с., одной ветвью с эквивалентным сопротивлением
[согласно формуле (33,5)].
186
Постоянный ток
1гл. 2
Весьма существенное упрощение может быть достигнуто,
если отдельные контуры, представляющие собой замкнутые
треугольники (без э. д. с.), заменять эквивалентными трехко-
нечными звездами. При такой замене необходимо соблюдать
условие, чтобы при всяких напряжениях между тремя концами
(вершинами) звезды и треугольника как в том, так и в дру-
гом случае получались одни и те же токи в подводящих
проводах.
Фиг. 38,8.
Покажем сначала преобразование звезды в треугольник
(фиг. 38,8); пусть <рх, и ср3—потенциалы концов звезды
и /?10=—, /?20= —, #зо~~-------сопротивления и проводи-
ло £20 £зз
мости трех лучей звезды. Обозначим через ф0 потенциал так
называемой нулевой точки 0. Тогда токи в лучах звезды
будут:
Л—£10 (?i ?о)> Л—S20 (?з ?о) и Л -Й’зоСрз %);
так как ЛН--Д» -гЛ=0> то
£10?1 + g2-?2~4~ £зУРз
£ю+ £2)+ Гзэ
(38,15)
Подставляем с?0 в выражение для /
Л — (?] — %) —------------.---,-------------•
£ю+ <?20 । £зо
С другой стороны, ток в схеме треугольника равен:
Л —^12 (?1 ?з) £13 (?3 ?1) — (£124“£1з) ?1 £12?2 £13?3»
1 1 1
где ^13 ——, £13= — и £31 = ------------------проводимости и
А12 А 23 А31
§ 38]
Определения токов в разветвленных цепях
187
сопротивления трех сторон треугольника. Так как в том и дру-
том случае подводимые токи Л, /2 и /3 должны быть соот-
ветственно равны при всяких значениях <f>2 и ?з> то должны
иметь место следующие соотношения:
^ю+^2о+^ЗО
и по аналогии
о 12--- । I
£К)+ ^2()+ £30 |
& 1 з — ; ; '
£1о+ £?о+£зо I
~ ____ £2о£зо
6 2з — ; ; • I
£io+ £20"h£30 i
(38,16)
Таким образом мы получили, что при замене звезды тре-
угольником проводимость стороны треугольника равна произ-
ведению проводимостей лучей звезды, примыкающих к тем же
точкам, деленному на суммы проводимостей всех лучей.
Вводя
f 1 1 г 1 т 1
5го=^1о+5г2о+^о=-5----------1-^-=
*М0 ^20
_ 20 L ^20^3П~^~ t у о q .
“ -Ro' ( }
где /?0— сопротивление трех параллельно соединенных сопро-
тивлений звезды, и беря обратные величины в уравнении
(38,16), мы получим следующие соотношения:
D -_^10^20 р ___RyR^ Г) ____R3R10 /оо ,
Ап-——, ^33—^-, ^<31 — -^ • (38,18)
Чтобы произвести обратное преобразование треугольника
в звезду>сложим последние уравнения и перемножим два из
них; тогда с учетом уравнения (38,17)
/?12"Ь^2зЧ~^31
^1Л^20~Т /?2о7?зпЧ~ /?3^10
Ro
R10R20R00
/?о2
^12^23
RwRyflRm
RJ
188 Постоянный ток [гл. 2
Делим последнее уравнение на предпоследнее:
#12#23______ р
#12+#23 4" #31 20
Таким образом для преобразования треугольника в эквива-
лентную звезду имеем следующие формулы, получающиеся
путем круговой замены:
П ___ #12#31
#1з+ #2з+ #31
р #23#12 м р #31 #23
20 “ /?12+₽23+Лг1 30 ^1г+/?2з+^1’
(38,19)
указывающие, что сопротивление луча звезды равно произ-
ведению сопротивлений соответственно прилегающих сторон
треугольника, деленному на сумму сопротивлений всех трех
сторон треугольника.
При указанных выше преобразованиях звезды в треуголь-
ник сохраняется тоже значение общей мощности, поглощаемой
и в звезде и в треугольнике.
39. ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ И ПРОСТЕЙШИЕ СЕТИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
При передаче энергии постоянным током по двухпроводной
линии (фиг. 39,1) в линии имеет место падение напряжения и
потеря части мощности. Потеря напряжения
Фиг. 39,1.
Д 47 =
и потеря мощности
ДР=/?./з = ДШ = -^-/2
Л 5
зависит, с одной стороны, от величины тока в линии, а с дру-
гой,— от сопротивле 1ия линии Rk. которое увеличивается
с расстоянием передачи (2/— длина прямого и обратного
провода) и уменьшается с увеличением поперечного сечения
провода. Величина же тока в линии определяется следую-
щим образом:
их _ и.,
~ А'/
(39,1)
где Ux и U2=— напряжения в начале и конце линии.
§ 39] Передача анергии постоянного тока 189
Соответствующие мощности будут:
А (39,2)
^2Т
Р„ = UJ=- и&>- = р2/3 = —-----/> (39,3)
Я2+*л R^Rk >
^P=P — P,=\UI=RJ2 (39,4)
И к. п. д.
71=^- = ^- = —^----_£1-А^ --1 _ AL. (39 5)
Л Ui Rz+R* U1 Ux
Предположим, что первичное напряжение остается неиз-
менным при всяких нагрузках (Ux— cjnst).
По мере уменьшения общего сопротивления приемника
энергии 7?3 (подключения нагрузки), ток в линии / увеличи-
вается и одновременно напряжение на конце линии U2 падает.
Когда сопротивление R2 равно нулю (короткое замыкание
вторичных зажимов), ток в линии достигает максимальной вели-
чины (фиг. 39,2), а напряжение на конце будет равно нулю:
4 = ^-. А=0. (39,6)
Передаваемая приемнику мощность Р2 изменяется от нуля
при холостом ходе, когда линия на конце разомкнута
190
Постоянный ток
[гл. 2
(/?2 = оо), затем по мере уменьшения /?2 полезная мощность
будет сначала увеличиваться, достигая своего максимума,
когда сопротивления линии и приемника энергии будут равны:
(39,7)
а затем опять спадает до нуля при коротком замыкании
(/?2 = 0, ?72 = 0). Коэфициент полезного действия имеет
максимальное значение при холостом ходе (*^max= 1), когда
7?з = оо, но тогда и полезная мощность равна нулю. На
фиг. 39,2 нанесены кривые U2i Р2, Ри тщ Rt и в зависимости
от тока /.
На практике к. п. д. передачи энергии бывает обыкновенно
порядка 0,95, что соответствует потерям в 5%, и передача
энергии происходит лишь в очень небольших пределах вычер-
ченных кривых.
Такие же соотношения имеют место и в случае, если
какой-нибудь источник тока, например, батарея или динауо-
машина, питает внешнюю цепь; в этом случае первичное
напряжение должно быть заменено э. д. с., а сопротивление
линии внутренним сопротивлением источника тока.
Величина мощности, которая может быть передана по дан-
ной линии, зависит от сопротивления линии, т. е. от сечения
проводов.
Они выбираются с таким расчетом, чтобы потери энергии
не превышали определенного процента от передаваемой мощ-
ности. Если р% =0,01 р— допускаемая доля потерь от пе-
редаваемой мощности, то нетрудно определить соответствую-
щее сечение проводов
ДР=0,01рР1=0,01/7//1/=/?д/! = ?—Р, (39,8)
О
откуда
— Р Р 1 (39 9)
0,01 pUr ‘ их 0,01pL'ia ’ v ’ '
Если потери относить ко вторичной мощности, то полу-
чается аналогичная формула
0,01рРз=0,01/И/2/ =
«S
s= — (39,ю)
0,01 pU2 0,01 p£Z22
Потребное сечение проводов (при одном и том же мате-
риале проводов) увеличивается пропорционально длине пере-
§ 39]
Передача'энергии постоянного тока
191
дачи, пропорционально передаваемой мощности и обратно
пропорционально квадрату напряжения, при котором проис-
ходит передача.
При передаче энергии постоянным током относительное
падение напряжения, относительная потеря напряжения и от-
носительная потеря мощности выражаются одним и тем же
числом, чего мы не имеем при передаче энергии переменным
током:
А£/ = #Д2 . (39
U. Щ Щ Л ’
Таким образом при расчете передачи постоянного тока
безразлично, как производить расчет: на потерю мощности
или на падение напряжения:
(39,12)
При передаче энергии на короткие расстояния провода,
рассчитанные на потерю напряжения или мощности, могут
получиться столь малых сечений, что нагревание их будет
выходить за пределы допустимого, поэтому приходится в та-
ких случаях выбирать сечение проводов по плотности тока.
Для сокращения количества меди при передаче энергии
без повышения напряжения у потребителя применяют так
называемую трехпроводную систему (фиг. 39,3), состоящую
из трех проводов, из которых средний на одном конце зазем-
ляется. При одинаковой нагрузке обеих половин ток в сред-
нем так называемом уравнительном или нулевом проводе, ко-
торый берется меньшего сечения, равен нулю, при разных
нагрузках ток в среднем проводе равен разности токов в
крайних проводах. При нагрузке лишь одной половины на-
тяжение у другой половины будет в конце больше, чем в
начале.
192
тпк
[гл. 8
40. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ
/. Метод вольтметра а амперметра. Самым простым
методом измерения сопротивлений, когда не требуется боль-
шой точности, является метод измерения падения напряже-
ния и тока при помощи вольтметра и амперметра. При этом
возможны две схемы:
А. Вольтметр присоединяется непосредственно к измеряе-
мому сопротивлению (фиг. 40,1), в этом случае ток, измеряе-
мый амперметром, включает в себя также ток, протекающий
через вольтметр, и искомое сопротивление равно
и _ и
Ку
(40,1)
где U и I — показания вольтметра и амперметра и Rv—сопро-
тивление вольтметра.
В. Вольтметр присоединяют таким образом (фиг. 40,2), что
измеряемое им напряжение включает в себя также падение
напряжения в амперметре. В этом случае из показания вольт-
метра необходимо вычесть падение напряжения в амперметре
RAI, где RA— сопротивление амперметра, и искомое сопро-
тивление будет равно
^А1
I
U
~1~ ^а-
(40,2)
При измерении малых сопротивлений предпочтение сле-
дует отдавать первой схеме, а при измерении больших со-
противлений— второй схеме. При грубых измерениях малых
сопротивлений, когда / велико и U мало, и больших сопро-
тивлений, когда U велико и I мало, можно пренебречь по-
правками и определять сопротивление, как отношение паде-
ния напряжения к току X = — •
§ 40]
Методы измерения сопротивлений
193
II. Метод подстановки. При применении этого метода
источник тока должен иметь неизменную э. д. с. Если иско-
мое сопротивление X велико по сравнению с сопротивлением
измерительного прибора (гальванометром или амперметром),
то искомое сопротивление включается последовательно с из-
мерительным прибором (фиг. 40,3), замечается его показание,
после чего искомое сопротивление при помощи переключе-
ния заменяется в цепи магазином сопротивления, в котором
подбирается такое сопротивление 7?, чтобы измерительный
прибор давал бы такое же отклонение; тогда X=R. Если
искомое сопротивление мало по сравнению с сопротивлением
измерительного прибора, то измерительный прибор рлрисо-
единяется параллельно к искомому со-
противлению. Если после замены иско-
мого сопротивления соответственно
подобранным сопротивлением магази-
на измерительный прибор дает такое
же отклонение, то A — R.
При переключениях должно быть
обращено внимание на то, чтобы из-
мерительный прибор не был приклю-
чен к неподходящему для него напря-
жению или через него не проходил бы фиг. 40,3.
чрезмерно большой ток.
III. Метод сравнения отклонений. Применяется для из*
мерения весьма больших сопротивлений, например, сопротив-
ления изоляции. Измерение по этому методу производится
по схеме, аналогичной с фиг. 40,3,с применением чувствитель-
ного (зеркального) гальванометра. Для измерения чувстви-
тельности гальванометра он снабжается шунтом. Величиной
сопротивления гальванометра (без шунта или с шунтом)
можно пренебречь ввиду его незначительности по сравнению
с остальными сопротивлениями цепи. Если 1Х и IR— токи,
протекающие при включении сопротивлений X и 7?, и если
отклонения гальванометра в первом случае ах при шунте,
снижающем ток в гальванометре в пг раз, и во втором а3
при шунте, снижающем ток в гальванометре в /г2 раза, и так
как e = XIx — RIR, то при условии пропорциональности про-
текающих через гальванометр токов углам отклонений мы
будем иметь, что
Х_ _ Ir _ n2g g2>
R ~~ ix ~~
здесь g— постоянная гальванометра. Искомое сопротивление
будет равно
А=/?^-2- (40,3)
"1 «1
13 К. А. Круг, тЛ.
194
Постоянный ток
[гл. 2
При этих измерениях все приборы должны быть тщатель-
но изолированы. Если сопротивление изоляции установки соиз-
меримого порядка с измеряемым сопротивлением, то, не вклю-
чая X и R (среднее положение переключателя), включают ба-
тарею и отмечают ток, протекающий через гальванометр
/0 = n0ga0 (п0=1). Тогда примерно
х _ = п2Ч ~~поao . 0Q 4)
Я ~ Пг — п3 а0
При измерении сопротивления изоляции кабелей или прибо-
ров, обладающих значительной емкостью, необходимо перед
каждым включением или переключением коротко замыкать
гальванометр и лишь после включения и переключения цепи
включать гальванометр, чтобы зарядные и разрядные токи
не повредили гальванометра.
/И. Метод моста Уитстона. Метод моста Уитстона обла-
дает значительно большей точностью по сравнению с выше-
приведенными методами. Схема моста Уитстона была уже
рассмотрена в § 38, где было показано, что если ток в пе-
ремычке (в мосту АВ) равен нулю, то четыре сопротивления
X=RU /?2, /?3 и /?4, входящие в замкнутый четырехугольник
Айвс, составляют пропорцию
(4ВД>
/<2 ^4
которая позволяет по трем известным сопротивлениям опре-
делить четвертое, искомое. Наибольшая чувствительность и
точность измерения могут быть достигнуты, когда все сопро-
тивления, в том числе и сопротивление гальванометра, имеют
приблизительно одинаковые значения.
Равновесие моста, при котором при включении и выклю-
чении тока гальванометр не дает отклонения, может быть
/?3
достигнуто или изменением отношения — при неизменном зна-
чении сопротивления /?2 или, сохраняя отношение— посто-
янным, подбирают /?2 таким образом, чтобы гальванометр не
давал отклонения.
Мосты, построенные по первому принципу, имеют реохорд,
калибрированную проволоку с постоянным сопротивлением
единицы длины, по которой скользит контакт (фиг. 40,4). По-
ложение контакта отсчитывается по шкале, по которой мо-
гут быть отсчитаны длины плеч
X—R2-~- = R3-j~.
*4 Ч
(40,6)
§ 40]
Методы измерения сопротивлений
195
включают не к концам рео-
Фиг. 40,4.
Иногда на шкалу наносится непосредственно отношение
плеч—. Выбрав в магазине сопротивлений R2 равным 10,
к
100 или 1 000, можно в широких пределах изменять пределы
измерений. Хотя безразлично, в какую диагональ включать
источник тока и гальванометр, т. е. включить ли б тарею в
диагональ CD, а гальванометр в диагональ АВ, или наоборот,
однако обычно источник тока
хорда, а приключают его од-
ним концом к подвижному
контакту и одним к точке
соединения известного и неиз-
вестного сопротивления, так
как при таком соединении,
во-первых, не перегружается
реохорд и, во-вторых, исклю-
чается влияние сопротивления
подвижного контакта на пока-
зания гальванометра.
Чувствительность такого
моста определяется отноше-
нием угла отклонения гальва-
Я3 __ /д
нометра а к относительному изменению отношения 9
/4
Да Да
4 + ^4 ’
4 — д/ /4 4 4
(40.7)
р
В мостах, в которых отношение плеч • заранее выби-
рается, подбираемое сопротивление /?3 выполняется в виде
штепсельного или рычажного магазина сопротивлений.
Схема штепсельного магазинного мосга завода .Электро-
прибор" показана на фиг. 40,5. Искомое сопротивление при-
соединяется к зажимам XX, батарея к зажимам -j- и —. Вме-
сто встроенного в ящик моста стрелочного гальванометра
может быть в мост включен к зажимам НГ и дру-
р
гой гальванометр. Отношение плеч — может быть выбрано
/?4
кратным 10 в широких пределах. Для предохранения галь-
ванэметра от больших токов в цепь гальванометра при по-
мощи штепселя, включаемого в гнездо е, может быть вве-
дено дополнительное сопротивление ДС. Переставляя штеп-
сель в гнездо с, дополнительное сопротивление выключают
из цепи гальванометра. При пользовании посторонним галь-
13*
196
Постоянный ток
[гл. 2
ванометром штепсель должен быть вставлен в гнездо d. Чув-
ствительность такого моста будет определяться отношением
(40,8)
При измерениях сопротивлений посредством моста Уит-
стона необходимо соблюдать правило, что сначала включается
батарея, а затем гальваномеф и что выключение произво-
дится в обратном порядке, иначе, если искомое сопротивле-
ние обладает индуктивностью, гальванометр может дать зна-
чительные отклонения при уравновешенном мосте.
Фиг. 40,5.
V. Двойной мост Томсона, При измерении весьма малых
сопротивлений простым мостом Уитстона переходные сопро-
тивления контактов и сопротивления проводов могут ока-
заться одного порядка или даже больше измеряемого сопро-
тивления, как это, например, может иметь место при измере-
нии сопротивления единицы длины толстых проводов. Пред-
ложенный Томсоном так называемый двойной мост устраняет
влияние контактов и соединительных проводов. Схемати-
чески двойной мост представлен на фиг. 40,6.
Проводник, сопротивление которого подлежит измерению,,
равно как и сопротивление, с которым сравнивается искомое
сопротивление, снабжаются двойной системой зажимов: за-
§ 40]
Методы измерения сопротивлений
197
жимами тока АА и ВВ, посредством которых они включа-
ются в главную цепь батареи последовательно с нагрузоч-
ным сопротивлением, и зажимами напряжения аа’ и bb\ к ко-
торым присоединяются два моста аСЬ и a'Db'. Сопротивле-
ния Т?4, R3 и в ветвях моста выбираются достаточно
большими (порядка десятков и сотен ом), так чтобы
по сравнению с ними сопротивления контактов в точках а,аг
и Ь, Ь\ как ничтожно малые, не играли уже роли. В уравно-
вешенном состоянии, когда ток в гальванометре равен нулю,
в сопротивлениях R3 и R± течет один и тот же ток /; то же
самое и в сопротивлениях R^ и /?4'— ток/7. Поэтому при рав-
новесии моста токи в сопротивлениях X и N имеют также
одно и то же значение IX=IN.
Фиг. 40,6.
На основании второго закона Кирхгофа могут быть со-
ставлены следующие уравнения для контуров:
aa!DCa XIx-\-R’F=RJ,
Db'bCD R;F + NIn=RJ,
a’Db’a' R3If + R,f Г=R(/x — Г),
исключаем из первых двух уравнений /:
{XR,-NR^Ix={R2R; -Rs'RJI'
и делим полученное уравнение на
R/x=(R+R3'+^y,
мы получаем, наконец, X, как:
у — Ws _|_
Rt R^R + RJ -f-Л'Д
198
Постоянный ток
[гл. 2
где R—сопротивление соединительного провода, имеющеемалое
значение; выбирая затем А?3, /?4, /?3' и 7?/ таким образом,
чтобы R3 = R'3 и R4 = R4r9 и притом так, чтобы они были
достаточно большими, мы находим, что.
R±
(40,9)
Как и мосты Уитстона, двойные мосты бывают двух типов:
R R'
или отношение —- — —~ выбирается неизменным (фиг. 40,6)
и на калибрированной
проволоке при помощи
передвижных контак-
тов устанавливается
такая длина Z, чтобы
сопротивление N=RqI,
где 7?0 — сопротивление
единицы длины прово-
локи, уравновешивало
бы мост. В более точ-
ных двойных мостах в
качестве сопротивления
сравнения пользуются
сменными нормальны-
ми сопротивлениями (с
4 зажимами) и меняют
отношение —. Схема
одного из таких мо-
стов представлена на
фиг. 40,7; R3=R3' мо-
гут быть взяты равны-
ми 10, 50 или 100 2, а
Ri=Ri состоят каждое
из 4 декад с сопротивлениями в каждом ряду 9хЮ0, 9X10,
9X1 и 9X0,12. Для сохранения равенства рычаги
тождественных декад связаны между собой общими рукоят-
ками, автоматически сохраняющими равенство Ri—R^. При
наборе сменных нормальных сопротивлений в 0,0001, 0,001,
0,01 и 0,1 2 можно измерять при чувствительном гальвано-
метре сопротивления от 0,000001 до 102 с точностью до
0,01 %. Если рекомендуется поменять X и ДГ ме-
стами. Для исключения влияния термо-э. д. с. меняют напра-
вление тока в главной цепи и берут среднее значение ре-
зультатов двух измерений.
§ 41]
Компенсационный метод измерений
199
4J. КОМПЕНСАЦИОННЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ Э. Д. С.
И НАПРЯЖЕНИЙ
Этот метод основан на компенсации измеряемой э. д. с.
(или напряжения) падением напряжения в известном сопро-
тивлении (фиг. 41,1), параллельно к которому присоединяется
эта э. д. с. Если падение напряжения в сопротивлении Ru
включенном в цепь вспомогательного источника тока е> по-
добрано таким образом, что оно равно э. д. с. источника е±
RJ=----------= ei t
+ R + ^0
(41,1)
то при включении и выключении источника тока вклю-
ченный в его цепь гальванометр не дает отклонения. В этом
случае э. д. с. ех будет скомпенсирована падением напряже-
и после
(41,2)
значения
ния RJ. Компенсируя один раз искомую э. д. с.
этого э. д. с. значение которой нам известно
мы можем при условии постоянства е сравнить
э. д. с. ех и е{.
Особенно простое соотношение получается (фиг. 41,2),
когда суммарное сопротивление в главной цепи остается не-
изменным
= -const
Тогда
e^RJ и <?/=/?// и 6/=^^. (41,3)
R
200
Постоянный тек
[ гл. 2
Приборы, предназначенные для измерений по компенсиро-
ванному методу, называются компенсационными аппаратами
или потенциометра:ли (потенциометрами называются также
приборы, предназначенные для деления напряжений).
Весьма удобным компенсационным аппаратом, позволяющим
с весьма большой точностью измерять э. д. с. и напряжения,
является потенциометр Рапса, схема которого показана на
фиг. 41,3.
Фиг. 41,3.
В главную цепь этого потенцисмегра включаются после-
довательно три декады, декада А—10X1000 2, декада С—
10ХЮ Й и декада F—10X0,1 й. Для деления падения
напряжения в каждом из сопротивлений крайних декад сколь-
зят двойные изолированные друг от друга и жестко связан-
ные между собой щетки-рычаги, которые соединены с кон-
цами двух вспомогательных рядов, состоящих каждый из
9 сопротивлений: ряд В из 9X1000 2 и ряд D из 9ХЮ й.
Токи, протекающие по этим вспомогательным рядам, со-
ставляют одну десятую токз, протек 1ющего через главную
цепь:
//= —1222—/=—12_/—о,1/.
1 000+ 9 0и0 10+9J
Ток в главной цепи устанавливается в одну десятую мил-
лиампера /=0,0001 А; измеряемое напряжение ех присоеди-
няется к рычагам В и D. Напряжение между рычагами В и
D может быть изменено от нуля, когда все рычаги (А, В,
С9 D и В) стоят на нуле, и до 1,1111V, когда все рычаги по-
ставлены в положение против отметок десяти, и может быть
отсчитано с точностью до 0,00001V.
Главная цепь составляет! я из указанных выше пяти де-
кад сопротивлений, из сопротивления RN, к концам которого
присоединяется нормальный элемент Вестона eN и еще со-
противление в 18 315 2. Потенциометр питается от аккуму-
§ 41]
Компенсационный метод измерений
201
ляторной батареи в 4 V, и ток в 0,0001 А устанавливается
при посредстве нагрузочного сопротивления М порядка 12 000 й.
Сопротивление RN, к которому присоединяется нормаль-
ный элемент Вестона, может быть изменено в пределах от
10183 до 10190 й в соответствии с колебанием е в зависи-
мости от температуры [уравнение (36,8)]. Общее сопротивле-
ние главной цепи составляет около 40 000 й и влиянием ряда
10 X 0,1 Й на значение тока I можно пренебречь. Установив
ток в 0,0001 А, что проверяется тем, что гальванометр, вклю-
ченный в цепь eN, при включении и выключении не должен
Потенциометр
Фиг. 41,5.
давать отклонения, переключают затем гальванометр в цепь
измеряемой э. д. с. ех и устанавливают рычаг Л, В, Ct D и F
в такое положение, чтобы гальванометр не давал отклоне-
ния. Для предохранения гальванометра от больших токов в
цепь его включается сопротивление в 50 000 Q, которое за-
тем коротко замыкается.
Потенциометром можно пользоваться для градуировки и
проверки амперметров, если последовательно с амперметром
включить нормальнее сопротивление АГ (фиг. 41,4) и измерять
при различных значениях тока 1А падение напряжения в нор-
£ ДГ
мальном сопротивлении 1А=—- Точно так же при помощи
потенциометра можно измерять малые сопротивления, если
последовательно включать искомое сопротивление и нормаль-
ное сопротивление и измерять падения напряжения при про-
хождении через них неизменного тока (фиг. 41,5):
202
Постоянный ток
[гл. 2
42. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРОВОДНИКОВ
Электрический ток в металлических проводах может быть
объяснен следующим образом. Строение металлов предста-
вляется в виде кристаллической решетки из определенным
образом расположенных ионов, т. е. атомов с избыточным
или недостаточным числом электронов. В атомах расстояния
между ядрами и электронами весьма велики по сравнению
с размерами ядер и особенно с размерами электронов. В пре-
делах молекул между ядрами и электронами существуют
электрические поля, и силы взаимодействия между ионами
и электронами смежных атомов обусловливают силы сцепле-
ния и упругость тел. В металлах не все электроны связаны
неразрывно со своими атомами. Часть электронов внешних
орбит может отщепляться от своих ядер и свободно переме-
щаться между атомами и молекулами в разных направле-
ниях, образуя так называемые свободные электроны
или электроны проводимости. Это подтверждается
наблюдениями испускания электронов раскаленными метал-
лами и вырывания электронов из металлов под действием
сильных внешних электрических полей. Свободные электроны,
участвуя в тепловом движении молекул и непрерывно стал-
киваясь с атомами молекул, движутся в разных направле-
ниях и с разными скоростями (наподобие молекул газа), и по-
тому совокупность свободных электронов в металлах рассмат-
ривают как своего рода электронный газ. Если металлический
проводник подвергается воздействию электрического поля с
напряженностью поля Е, то электроны, приобретая ускоре-
ние а=-^ (где eQ — заряд, — масса электрона) в напра-
во
влении, обратном полю, отклоняются от направления тепло-
вого движения, и благодаря неоднородностям и неправиль-
ностям в расположении атомов сталкиваются с ними и отдают
им часть своей энергии. Чем больше времени между дву-
мя смежными столкновениями свободных электронов, тем
большую они приобретают добавочную скорость вдоль поля.
Пусть т—усредненное время свободного пробега электронов,
в течение которого они без столкновения могут двигаться в
своем тепловом движении; тогда среднее значение добавоч-
ной скорости, приобретаемой электронами, будет
v = — ал = — т. (42,1)
2 2 mQ v 7
Эта добавочная скорость весьма мала по сравнению с те-
ми скоростями, которые присущи электронам в их беспоря-
дочном тепловом движении, и потому она не влияет на вре-
* 42]
Электропроводность металлических проводников
203
кя свободного пробега т = — г (Хт — длина среднего свобод-
ного пробега; vT — средняя скорость теплового движения;
Хг и vT зависят от температуры Т).
Благодаря этой добавочной скорости в проводнике под
действием электрического поля имеет место некоторое на-
правленное движение свободных электронов по линии поля.
Если в единице объема находится п свободных электронов,
то плотность тока, т. е. заряд, проходящий в единицу вре-
мени через единицу плэщади, нормальной к направлению
поля, будет равна:
— 1 neQ4T __
6 = neov = ------- е , (42,2)
2 mtfvT
или (42,3)
ГДе 7= 1 (42,4)
2 mQvT 2 mo 7
— электропроводность металлического проводника. Хотя
ток в металлах создается электронами, движущимися против
направления поля, однако исторически сложилось так, что
за направление тока принимается направление движения по-
ложительных зарядов, поэтому в металлах направление тока
обратно направлению движения электронов.
Пока напряженность внешнего электрического поля не
отражается на длине среднего пробега свободных электронов,
электропроводность или обратная ей величина, удельное со-
противление, не зависит ни от напряженности поля, ни от
плотности тока, так как при постоянстве температуры доба-
вочная скорость электронов в электрическом поле ничтожно
мала по сравнению со средней скоростью теплового движе-
ния, которая определяет время свободного пробега т.
С повышением температуры проводника неоднородности
в расположении атомов и электронов увеличиваются, и в связи с
этим среднее время свободного пробега электронов уменьша-
ется. В пределах небольших изменений температуры время
свободного пробега, а следовательно, и электропроводность
могут быть приняты обратно пропорциональными абсолютной
температуре проводника, и следовательно, относительное
изменение удельного сопротивления Р=у—прямо пропорци-
ональным изменению абсолютной температуры7°. Если р2 и
Pi—удельные сопротивления при температурах Г2° и Тх°9 то
Рг —Р1
Pl
204
Постоянный ток
[гл. 2
ИЛИ
Р>“Pi [ 1 + « (Г2° - Л0)] = Р, [14-а - Л0)], (42,5)
где Z2° и t°— соответствующие температуры по 100-градус-
ной шкале Цельсия.
Более точно зависимость удельного сопротивления от тем-
пературы выражается через
р2=Р1 [ 1 +« (if - if) + Р (if - iff-. .]• (42,6)
При повышении температуры до 150° С можно ограничиться
первой степенью разности температур. И в соответствии с
этим зависимость сопротивления проводника от температуры
может быть выражена через
Яз=Я1[1+*&°- Л0)]. (42,7)
где —сопротивление при температуре t°. Чистая электроли-
тическая медь имеет весьма постоянный температурный коэфи-
циент а=.0,004 — (0,4% на градус) и этим свойством меди
пользуются для определения повышения температуры нагрева
обмоток машин и аппаратов. Если сопротивление обмотки,
измеренное при разных температурах: Т?2 и 7?ь то повышение
температуры будет:
if — if= -^^=250 ^^-оС (42 8)
Всякие примеси к металлам увеличивают их удельное
сопротивление, точно так же и сплавы имеют большее удель-
ное сопротивление, чем сопротивление составных частей.
Объясняется это тем, что в этом случае в проводнике име-
ется больше неоднородностей и неправильностей в располо-
жении атомов, вследствие чего длина и время свободного
пробега меньше, чем в соответствующих чистых и однород-
ных металлах. Плотность тока благодаря меньшей добавочной
скорости получается меньше, или, другими словами, такие
проводники имеют большее удельное сопротивление. Указан-
ные неоднородности от примесей в металлах и их сплавах
такого порядка, что изменение неоднородностей от темпера-
туры уже большой роли не играют, а потому в таких про-
водниках температура уже значительно меньше влияет на их
сопротивление.
Интересно отметить, что между электропроводностью и теплопровод-
ностью металлов существует тесная связь. Теплопроводность объясня-
ется тем, что энергия колебаний атомов и электриков передается от
одной части тела к другой преимущественно свободными электронами
от точек с более высокой температурой к точкам с более низкой темпе-
ратурой, в силу чего и происходит выравнивание температуры. Для боль-
шинства чистых металлов отношение теплопроводности к электропровод-
ности имеет примерно одно и тоже значение,пропорциональное абсолют-
ной температуре (закон Видемана-Франца), и поэтому не является слу-
чайностью тот факт, что плохие проводники электрического тока — ди-
электрики-являются одновременно и плохими проводниками тепла.
§ 42] Электропроводность металлических проводников 205
В табл. 1 (стр. 153) даны значения удельного сопротивле-
ния, удельной проводимости и температурного коэфициента
для разных металлов и некоторых сплавов. Самым лучшим
проводником является серебро, затем идут медь, золото,
алюминий, молибден, цинк и т. д.
Наиболее важными в техническом отношении проводнико-
выми материалами являются медь и алюминий. Для дости-
жения большей механической прочности при изготовлении
проводов для воздушных телеграфных и телефонных линий
к меди прибавляют фосфор или силиций, что понижает ее
электропроводность.
При переходе из одного агрегатного состояния в другое,
например, при плавлении, удельное сопротивление почти всех
металлов и их температурный коэфициент увеличиваются
(для сурьмы и висмута имеет место обратное явление).
В металлах, подверженных внешнему давлению, сопро-
тивление с повышением давления за весьма малыми исклю-
чениями уменьшается. То же, но в значительно большей
степени, наблюдается для порошкообразных тел, например,
для металлических или угольных порошков. Последним свой-
ством пользуются в угольных регулировочных сопротивле-
ниях, в которых небольшие угольные диски сжимаются ме-
ханической силой, а также в угольных микрофонах, где мем-
брана, колеблясь под действием звуков, давит на порошок
и изменяет его сопротивление.
В отношении влияния магнитного поля на электрическое
сопротивление металлов следует указать, что для так назы-
ваемых ферромагнитных тел (стали, никеля, кобальта) на-
блюдается увеличение сопротивления, когда направление поля
совпадает с направлением тока, и уменьшение сопротивле-
ния, когда магнитное поле перпендикулярно к направлению
тока. Для диамагнитных тел, наиболее характерным из ко-
торых является висмут, при помещении их в магнитное поле
имеет место весьма значительное повышение сопротивления
(при увеличении индукции от нуля до В = 10000 Gs сопро-
тивление висмута увеличивается на 60%). Этим свойством
пользуются для измерения сильных магнитных полей.
Проводимость в некоторых случаях зависит также от
световых лучей, падающих на проводник. Чем сильнее осве-
щать селен, тем больше падает его сопротивление. На этом
влиянии световых лучей на селен, которое более всего про-
является в, красной и желтой частях спектра, построены
так называемые световые реле, которые, однако, обладают
тем недостатком, что изменение проводимости наступает
с некоторым запаздыванием, и затем при длительном дей-
ствии света селен на изменения силы света перестает
реагировать.
206
Постоянный ток
[гл. 2
43. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
Явление разложения химических сложных веществ при
прохождении через них электрического тока на составные
части называется электролизом, а растворы, в которых
это явление имеет место, электролитами. Наиболее ха-
рактерными электролитами являются растворы солей и ки-
слот. В электролитах электрический ток осуществляется не
движением свободных электронов, как в металлах, а движе-
нием ионов, атомов или группы атомов вещества с прису-
щими им электрическими зарядами.
В растворах некоторая часть молекул растворенного ве-
щества всегда находится в так называемом диссоцииро-
ванном (расщепленном) состоянии. Ионы, входящие в со-
став молекулы, когда вещество находится в нерастворенном
состоянии, обладают достаточными силами сцепления, свя-
зывающими как составные части молекулы, так и молекулы
с молекулами.
В растворе же благодаря перераспределению электриче-
ских полей внутри молекул и между молекулами растворен-
ного вещества и растворителя силы сцепления между иона-
ми отдельных молекул растворенного вещества ослабляются,
и под влиянием теплового движения молекулы распадаются
на ионы. Эти отщепленные друг от друга положительные
(катионы) и отрицательные (анионы) ионы под действием
внешнего электрического поля перемещаются: катионы к от-
рицательному электроду (катоду), анионы к положительному
электроду (аноду). Заряд, который вмещает в себе каждый
ион, имеет вполне определенную величину. Отрицательный
заряд одновалентного аниона, состоящего из атома или одно-
валентной группы атомов, имеющих избыточный отрицатель-
ный заряд, состоит из так называемого элементарного заря-
да, равного по величине заряду одного электрона, двухва-
лентный атом (или группа) имеет два таких заряда и т. д.
Положительные ионы (ионы металлов) имеют столько
положительных элементарных зарядов, равных по величине
и npoTi воположных по знаку заряду электрона, скольким
единицам равна валентность соответствующего атома (или
иона).
Благодаря большому трению, которое встречают в элек-
тролите ионы при своем движении под действием электри-
ческого поля, движение их происходит, как в вязкой жидко-
сти, с некоторой средней постоянной скоростью, пропор-
циональной напряженности поля. Пусть в единице объема
п ионов того и другого знака находятся в диссоциированном
состоянии и участвуют в движении ионов. Если молекула
распадается на s-валентные ионы и если средние скорости
Электропроводность электролитов
207
§ 43]
ионов при единице напряженности поля (так называемые
подвижности ионов) будут для катионов и анионов
и eQ—абсолютная величина элементарного заряда, то в еди-
ницу времени через единицу площади будут проходить
nse^u^E положительных зарядов по направлению поля и
nse$u_E отрицательных зарядов в противоположном направ-
лении. Электрический ток слагается из суммы переносимых
в единицу времени положительных и отрицательных заря-
дов, поэтому плотность тока выразится через
8 = л$в0 (и_^-^-и_)Е=уЕ. (43,1)
При постоянной температуре, когда напряженности поля
не чрезмерно велики (£*<<1003 V/cm), плотность тока про-
порциональна напряженности поля, т. е. она подчиняется
закону Ома, и выражение
Ч = nse0 +«_) (43,2)
можно рассматривать как электропроводность электролита.
С повышением температуры благодаря увеличению энер-
гии теплового движения число диссоциированных молекул
увеличивается, поэтому электропроводность электролитов
(в противоположность металлам) с повышением температуры
возрастает (примерно на 2% на 1° С). В табл. 2 приведены
электропроводности некоторых растворов в зависимости от
их концентрации.
Таблица 2
Таблица удельных проводимостей некоторых растворов в зависи-
мости от их концентрации (по весу) при 18°С
10% 20% 30% 40% 50% 60%
NaCl AgNO3 0,121 0,048 0,196 0,087 0,124 0,157 0,186 0,210
Си$О4 H2SO4 0,032 0,392 0,653 0,740 0,680 0,541 0,373
Ионы, передвигаясь к электродам и дойдя до них, отдают
последним свои заряды и отлагаются непосредственно
на электродах либо вступают в реакцию с растворителем
или электродом.
Так, например, при прохождении тока через водный рас-
твор AgNO3 с положительным серебряным анодом и отри-
208
Постоянный TOR
[гл. 2
дательным серебряным или платиновым катодом катионы
NO3~ отлагаются в виде серебра па катоде, а анионы Ag+
у анода вступают в реакцию с серебром анода, образуя
вновь азотнокислое серебро, которое растворяется в элек-
тролите. Таким образом происходит перенос серебра с ано-
да к катоду, и концентрация раствора не меняется.
При электролизе водного раствора серной кислоты между
платиновыми электродами молекулы серной кислоты распа-
даются на катионы 2 Н+ и анионы SO4
H2SO4 = 2Н + + SO j—. (43,3)
Водород выделяется у катода, у анода же анион SO4 ,
вступая в реакцию с молекулами воды, дает опять серную
кислоту и выделяет кислород
2SO4—4-2Н2О = 2H2SO44-O3—. (43,4)
Электролиз сводится таким образом к разложению воды, и
так как количество серной кислоты не меняется, то концен-
трация раствора постепенно увеличивается.
Различные элементы, взятые в количестве их атомных
весов (грамм-атом), содержат одинаковое число атомов
(ЛЛ= 6,06 -1023 — число Авогадро). Каждый же атом (или
группа атомов), представляющий ион, имеет se(} элементар-
ных зарядов, где s — валентность, а е0= 1,592 • 10“19 С — эле-
ментарный заряд. Поэтому различные вещества, взятые в
А
количестве грамм-эквивалента —, т. е. в количестве столь-
ких граммов, сколько единиц получается от деления атомно-
го веса вещества А на его валентность, переносят один и
тот же заряд или количество электричества
А = М?0=6,064-1023-1,592.10-19= 96490 C—F. (43,5)
Это число кулонов, переносимых грамм-эквивалентом ионов
вещества, называется фарадеевым числом. Поэтому,
если через электролит проходит ток / в течение времени t,
т. е. всего пройдет It единиц электричества, то количество
выделенного вещества будет равно
М= —— = —!= rnlt. (43,6)
F s sF 7
Уравнение (43,6) объединяет два закона электролиза, уста-
новленные Фарадеем опытным путем, а именно, что при про-
хождении тока через электролит количество выделенного
вещества пропорционально количеству прошедшего электри-
§44]
Гальванические элементы
2'09
чества (Q=Z/) и что если один и тот же ток проходит по-
следовательно через несколько электролитов, то количества
выделенных веществ пропорциональны их химическим экви-
(А \
— ) •
5 /
Так как при химических реакциях одно вещество заме-
няет другое в количестве, пропорциональном химическим
эквивалентам, то уравнение (43,6) имеет силу и в тех слу-
чаях, когда выделяются вещества, являющиеся результатом
вторичных реакций.
Число граммов, выделяемых одним кулоном, называется
электрохимическим эквивалентом.
Для одновалентного серебра (5=1) с атомным весом 108
электрохимический эквивалент равен
т = — =----------= 0,001118—, (43,7)
sF 1-96 49J С 4 ’’
или 1,118 миллиграмм на кулон.
Сопротивление электролита между электродами может быть
определено по закону Ома лишь в случае, если электрические
ионы одного и того же металла (например, медь в медном купоро-
се), так как в этом случае противоположные по знаку паде-
ния напряжения между электродами и электролитом взаимно
компенсируют друг друга (см. следующий параграф). Обычно
же противоположные ионы, накапливаясь у своих электродов,
вызывают так называемую поляризацию электродов, состоя-
щую в появлении разности потенциалов между электродами
и электролитом и газовых пузырьков на поверхности элект-
родов. Кроме того, неодинаковая концентрация ионов, полу-
чающаяся у того и другого электрода вследствие разной их
подвижности, может вызвать также отступление от закона
Ома. При применении переменного тока явление поляризации
благодаря тому, что действие тока одного направления унич-
тожается следующим током противоположного направления,
может быть особенно при больших частотах сведено на-нет.
44. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И ГАЛЬВАНИЧЕСКИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ
Ионы в электролитах распространяются подобно газам, и
еёли концентрация ионов в отдельных частях неодинакова,
то под влиянием разницы в осмотических давлениях они бу-
дут диффундировать от точек с большей концентрацией, к
точкам с меньшей концентрацией, стремясь к равномерному
распределению по всему объему. Поэтому, если в жидкости
концентрация ионов в разных местах неодинакова, то вслед-
14 А. К. Круг, т. !.
210
Постоянный ток
[гл. 2
ствие разницы в скоростях положительных и отрицательных
ионов в одной части электролита получится превышение чи-
ела положительных ионов над числом отрицательных, а в
другой части наоборот, и потому между ними возникает раз-
ность потенциалов.
Так, например, если два серебряных электрода опустить
в раствор Ag NO3, то между ними никакой разности потенциа-
лов не будет. Если же сосуд разделить пористой перегород-
кой, налив по ту и другую сторону ее растворы разной кон-
центрации ионов, то между ними установится разность по-
тенциалов.
Пусть концентрация ионов (число их в единице объема)
dn
будет /г, изменение концентрации на единицу длины —» £>4.
и D- — коэфициенты диффузии положительных и отрицатель-
ных ионов (т. е. число ионов, проходящих в единицу време-
ни
ни через единицу площади, когда — равно единице),
и й- — подвижности ионов, eQ — абсолютная величина элемен-
тарного заряда и Е— напряженность внешнего поля. Тогда
плотность тока в какой-нибудь точке может быть выражена
через:
8 = — *0 D+ ~ + euD_ ~ (« ь + « )Е-
Г D - 1 dii\
= пе0 («+ + «-) Е— -и - -- - - ~ = у (Е^Естор\ (44,1)
I . j 1Л' • 9 zV I
Знак ~D+ стоит потому, что ионы движутся в сторону,
обратную нарастанию концентрации ионов. В результате не-
одинаковой концентрации ионов в электролите появляется
силовое поле не электростатического, происхождения, дей-
ствующее на массу иона и заставляющее ионы перемещаться
от одного электрода к другому, так же как это делает элект-
рическое поле, действующее на заряд иона. Напряженность
этого стороннего (не электростатического происхождения) си-
лового поля, выраженная в таких же единицах, как и напря-
женность электрического поля, определяется через:
^4- — ® - d In п
ЕстОр = dx~ ‘ (44,2)
Это стороннее поле существует и тогда, когда внешнее
электрическое поле отсутствует и электроды ни к чему не
присоединены. Это стороннее поле, перемещая электроны и
J 44]
Гальб1аничесмие элементы
211
сообщая электродам противоположные заряды, создает меж-
ду электродами разность погенциалов:
в
U = JЕсторdx = 1п (44,3)
А
где пл и — концентрации ионов у электродов А и В.
Рассматривая ионы как идеальный газ, можно коэфици-
енты диффузии выразить через:
D =
RT
где R — газовая постоянная, отнесенная к грамммолекуле,
R =8,315 J/°K; Т—абсолютная температура; s—валентность;
F—фарадеево число; и — подвижность ионов. Подставляя
эти значения Z), мы получаем:
и — и+~и~- 1п — Е (44,4)
sF «+ + «_ 1П «в 4 ’ ’
Если электроды соединить между собой каким-нибудь со-
противлением, то мы получим замкнутую гальваническую
цепь, в которой будет происходить непрерывное движение
зарядов. Элементы, в которых возникает э. д. с., обусловлен*
йая неодинаковой концентрацией электролита и ионов в нем,
называются концентрационными элементами. Их
э. д. с. невелика, и она спадает по мере выравнивания кон-
центрации электролита.
Источники электрической энергии, в которых происходит
преобразование химической энергии в электрическую, назы-
ваются гальваническими элементами. Гальваниче-
ские элементы состоят из разнородных электродов, погру-
женных в один электролит или отдельно в два разных элек-
тролита, отделенных друг от друга, например, пористой пе-
регородкой. Между каждым электродом и электролитом воз-
никает так называемая электролитическая разность потенциа-
лов, которая по Нернсту объясняется так называемым дав-
лением растворения, под действием которого положительные
ионы металла переходят в электролит, сообщая электролиту
положительный потенциал по отношению к электроду. Когда
же осмотическое давление ионов в электролите больше дав-
ления растворения, что наблюдается, например, когда элек-
трод погружен в концентрированный электролит, содержа-
щий соль металла электрода, то положительные ионы элек-
тролита переходят на электрод, и электрод получает поло-
жительный потенциал по отношению к электролиту.
4*
212
Постоянный- ток
[гл. 1
Связь между разностью потенциалов, давлением раство-
рения и осмотическим давлением ионов может быть выведе-
на, если предположить, что ионы подчиняются закону pV=Rl\
и определить работу, которая совершается по переносу ионов
с электрода в электролит при Т = const, которую мы от-
несем к одной грамммолекуле ионов (Vdp-\-pdV— 0).
Так как грамммолекула ионов содержит заряд sF, то
эквивалентная работа по переносу такого заряда между точ-
ками с разностью потенциалов U будет:
W=UsF, (44,5)
откуда может быть определена разность потенциалов между
электродом и электролитом:
sF sF р 4 ’ 7
где Р—осмотическое давление растворения, а р — осмотиче-
ское давление ионов в электролите.
В слабых растворах р — пропорционально концентрации
ионов.
Для определения разности потенциалов более удобно поль-
зоваться шкалой так называемых нормальных или электрод-
ных потенциалов. Эта шкала дает разность потенциалов ме-
жду электродом данного металла, опущенного в нормальный
раствор ею соли (раствор, содержащий грамм-эквивалент
растворенного вещества в литре) и покрытого насыщенной
водородом платиновой чернью и платиновым электродом,
опущенным в такой же раствор, сообщающийся с первым
через сифоны, при этом разность потенциалов между водородно-
цлатиновым электродом и раствором условно принимается
равной нулю (см. табл. 3).
Таблица 3
Так как промежуточный электрод не влияет на конечное
значение разностей потенциалов, то при помощи указанных
выше нормальных потенциалов можно примерно определить
э. д. с. гальванического элемента, если просуммировать со-
ответствующим образом разности потенциалов между элек-
тродами и электролитами.
§44] Гальванические элементы 213
Возьмем для примера элемент Даниэля, состоящий из
цинкового электрода, погруженного в раствор цинкового
купороса (Zn SO4), и медного электрода, погруженного в
раствор медного купороса. Оба электролита разделяются
пористой перегородкой. Нормальный потенциал цинка — 0,76 V,
нормальный потенциал меди + 0,34 V, если пренебречь весьма
незначительной разностью потенциалов обоих электролитов,
то разность потенциалов между медным (положительным) и
цинковым (отрицательным) электродами будет 0,34 — (—0,76)=
= 1,1 V.
При электролизе у электродов выделяются составные
части растворенного вещества, и приложенное напряжение
должно быть во всяком случае не меньше суммы разности
потенциалов, которые образовались при соприкосновении
этих веществ с электролитом, когда цепь открыта. Так, для
разложения нормального раствора поваренной соли требуется
не менее 2,84-1,35 = 4,15 V.
Разность потенциалов между металлом и электролитом
может быть определена, как это предложил Томсон, также
на основании рассмотрения обмена химической и электриче-
ской энергии, происходящего в соответствующих электро-
химических процессах. Этот метод применим к процессам,
которые обратимы, т. е. к таким, в которых при отдаче тока
и при пропускании тока в обратном направлении химические
процессы протекают в взаимно обратных направлениях, с
одинаковой затратой и возвратом энергии без потерь (если
не считать джоулевы потери). Если температура элемента
не меняется, то на основании первого закона термодинамики
совершенная работа должна быть эквивалентна умень-
шению химической энергии входящих в элемент веществ.
Это уменьшение измеряется тем количеством тепла, которое
можно при других условиях получить при происходящих в
элементе реакциях.
Если разность потенциалов или э. д. с., получаемая в
месте соприкосновения металла и электролита, равна е, то
при токе /, проходящем в течение времени /, соответствую-
щая электрическая энергия, выраженная в тепловых едини-
цах, будет равна:
Q = e-I t-a, (44,7)
где а=0,24 cal/J. Так как каждый грамм-эквивалент веще-
ства несет заряд F = 96 490 С, то прохождение заряда I-t
It
будет связано с участием в химической реакции грамм-
эквивалента вещества. Если грамм-атом вещества при соот-
ветствующей реакции выделяет или поглощает q калорий,
214
Постоянный ток
(гл. 2
а грамм-эквивалент “калорий, то должно существовать
следующее соотношение:
elt а =
£
$
ИЛИ
я
е — O.F-S
(44,8)
Это соотношение, называемое правилом Томсона, имеет
место, получается ли электрическая энергия за счет хими-
ческой реакции или электрическая энергия получается извне
и затрачивается на разложение: в последнем случае е являет-
ся противодействующей э. д. с. Правило Томгона имеет
силу, когда при электрохимических реакциях не происходит
изменения температуры. Если в гальваническом элементе
при отдаче тока температура повышается, то часть химиче-
ской энергии тратится на нагревание и передается в окру-
жающую среду, что сказывается на уменьшении э. д. с.
Если, наоборот, температура понижается, то элементом из-
вне приобретается тепло, и э. д. с его повышается. При
электролитическом разложении происходит обратное явление,
т. е. если при электролизе температура понижается, то ввиду
притока тепла извне для разложения требуется более низкое
напряжение. Зависимость э. д. с. от температуры была вы-
ведена на основании второго закона термодинамики и выра-
жается через:
a de
е= (44,9)
CL’T'S 1 di v z
В элементе Даниэля температура при отдаче тока меняет-
ся весьма мало. Когда элемент замкнут на внешнее со-
противление, то внутри элемента в растворе цинкового купо-
роса отрицательный ион радикала SO4 , дойдя до цинко-
вого электрода, соединяется с ним, образуя цинковый купо-
рос ZnSO4, который переходит в раствор; положительный
же ион цинка Zn+ + перемещается в противоположном напра-
влении, и, пройдя пористую перегородку, соединяется с от-
рицательным ионом SO4 в растворе медного купороса; ион
же меди Си4+ перемещается к медному электроду, отлагаясь
на его поверхности.
Цинк, обладая большим сродством к SO4, чем медь, вы-
тесняет при отдаче тока медь из медного купороса, в резуль-
тате чего цинковый электрод будет по мере прохождения
тока уменьшаться в весе, а медный увеличиваться. Раствор
§ 44]
Гальванические элементы
215
цинкового купороса не будет меняться. К раствору медного
купороса будет прибавляться.раствор цинкового купороса.
Образование ZnSO4 из цинка и разбавленной серной кислоты
(при присутствии кислорода) освобождает 108 900 cal на
каждый грамм-атом цинка, а образование Си$О4из меди и
разбавленной серной кислоты (в присутствии кислорода) вы-
деляет 55 950 cal на грамм-атом меди. Поэтому при замещении
меди в CuSO4 через цинк на каждый грамм-атом (цинка), при-
нимающий участие в реакции, освобождается q = 108 900 —
— 55 950 cal, а следовательно, соответствующая э. д. с. будет:
52 950
6 = 0,24-2-96 490 = 1,1 V.
Различают три типа гальванических элементов: элементы
типа Вольта без специальных деполяризаторов, элементы
типа Вольта с деполяризаторами и элементы типа Даниэля.
Только такие элементы дают более или менее постоянную
э. д. с. и теоретически работают выгодно в смысле преобра-
зования химической энергии в электрическую, в которых
происходящие реакции обратимы, т. е. когда работающий
элемент при пропускании тока может быть возвращен в
первоначальное состояние. К последней категории принадле-
жат элементы типа Даниэля.
В элементе Вольта, состоящем из цинкового катода (от-
рицательного электрода) и медного анода (положительного
электрода), опущенных в раствор серной кислоты, при отда-
че тока Zn переходит в раствор, образуя ZnSO4, а на положи-
тельном электроде выделяется водород, который частично
улетучивается в окружающую среду. Продукт разложения
у медного электрода, водород, совместно с электролитом пред-
ставляет собой своего рода гальваническую пару с разностью
потенциалов, направленной против э. д. с. элемента. Это яв-
ление называется поляризацией. Поляризация, наблюдаемая
во всех элементах типа Вольта, выделяющих газы, умень-
шает их э. д. с.
В элементах с деполяризаторами поляризация в значи-
тельной мере ослабляется введением так называемых депо-
ляризаторов, назначение которых заключается в том, чтобы
окислять выделяющийся водород.
В цинкоугольных элементах Лекланше деполяризатором
служит двуокись марганца, которая при посредстве какого-
нибудь связующего вещества примешивается к ретортному
углю и графиту, которые прессуются в стержни, образующие
положительный электрод. Другим электродом является цинк
в виде стержня, полого цилиндра или цинкового сосуда (в сухих
элементах). Электролитом является (25%) раствор нашатыря
(NH4C1), к которому прибавляется иногда хлористый кальций.
216
Постоянный ток
[гл. 2
В элементах типа Даниэля отрицательным электродом
служит обыкновенно цинк или кадмий, погруженный в рас-
твор своей сернокислой или хлористой соли, вторым электро-
дом медь или ртуть в растворе той же кислоты; оба рас-
твора отделяются друг от друга или пористой перегородкой
или каким-нибудь другим образом (например, на основе раз-
ных удельных весов этих жидкостей). В обычных элементах
Даниэля цинковый электрод во избежание разъедания его
местными токами под влиянием местных э. д. с. вследствие
загрязнения или нечистоты цинка амальгамируется.
К элементам типа Даниэля принадлежит и нормальный
элемент Вестона.
45. ВТОРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ (АККУМУЛЯТОРЫ)
Вторичными элементами называются такие, которые мо-
гут давать ток только после предварительной электролити-
ческой обработки. К таким элементам принадлежат элект-
рические аккумуляторы, в которых во В’ремя зарядки элект-
рическая энергия превращается в химическую и в которых
эта накопленная химическая энергия во время разрядки мо-
жет быть превращена в энергию электрическую. Самыми
распространенными являются аккумуляторы свинцовые и ще-
лочные.
Готовый, сформированный и заряженный свинцсвый акку-
мулятор состоит из двоякого рода пластин, погруженных в
раствор серной кислоты: положительных пластин, на кото-
рых находится пористая активная масса, состоящая из дву-
окиси свинца (РЬО2) темнокоричневого цвета, и отрицатель-
ных пластин с губчатым (пористым) металлическим свинцом
на поверхности. В настоящее время применяются преиму-
щественно так называемые пастировацные пластины. Они
изготовляются в виде сетчатых решеток или дырчатых или
рифленых каркасов из рафинированного свинца с прибавле-
нием (4-4—10%) сурьмы; отверстия или карманы решеток за-
полняются пастой из сурика (РЬ3О4), окиси свинца (РЬО),
свинцовых опилок (порошка) и серной кислоты (H2SO4). Тех-
нология изготовления положительных и отрицательных пла-
стин неодинакова.
Путем так называемого формирования, состоящего в дли-
тельном пропускании тока через собранный аккумулятор,
пластины приводятся в надлежащее состояние с двуокисью
свинца (РЬО2) на положительных пластинах и с металлическим
(губчатым) свинцом на отрицательных пластинах.
Если заряженный аккумулятор замкнуть на какое-нибудь
внешнее сопротивление, то через составленную таким обра-
зом цепь будет протекать электрический ток, во внешней
§ 45]
Вторичные элементы
217
цепи от пластины РЬО2 к пластине РЬ (ф <г. 45,1), а внутри
аккумулятора от пластины РЬ к пластине РЬО2. Ток в цепи
поддерживается следующими протекающими в аккумуляторе
процессами. У пластины с губчатым свинцом (РЬ) отрица-
тельные ионы радикала серной кислоты SO4~" (каждый ион
несет два элементарных отрицательных заряда) вступают в
реакцию со свинцом, образуя сернокислый свинец и выделяя
при этом два элементарных отрицательных заряда (два элек-
трона на ион)
2b+SO4"~ = PbSO4+2.
Разрядка Зарядка
Фиг. 45,1.
Эти отрицательные заряды поступают во внешнюю часть
цепи и направляются к пластине РЬО2, а со стороны элект-
ролита прибывают новые ионы SO4~~. Одновременно с этим
положительные ионы водорода Н у другой пластины с
двуокисью свинца (РЬО2) вступают в реакцию с образую-
щейся здесь сернокислой двуокисью свинца Pb(SO4)2. Хотя
двуокись свинца (как и свинец) трудно растворяются в рас-
творе серной кислоты, однако некоторое ограниченное коли-
чество РЬО2 все же растворяется, образуя сернокислую дву-
окись свинца, которая находится в так называемом равно-
весном состоянии
PbO24-2H2SO4^Pb(SQ4)2+2H2O.
(45,1)
Каждые два положительных иона образуют с одной моле-
кулой сернокислой двуокиси молекулу сернокислого свинца
и переходящую в раствор молекулу серной кислоты, оття-
218
Постоянный ток
[гл. 2
гивая при этом из внешней части цепи два элементарных
отрицательных заряда:
Pb(SO4)3+2Н + 4-20 = ?bSO4 4-H3SO4.
Вступившие в реакцию ионы Н' заменяются вновь обра-
зующимися ионами Н+, направляющимися к пластине РЬО2.
Таким образом получается непрерывный электрический
ток в цепи, состоящий в движении в противоположных на-
правлениях ионов Н+ и S04 в электролите аккумулятора и
в движении электронов во внешнем сопротивлении в напра-
влении, противоположном току. По мере разрядки состав
обеих пластин переходит в сернокислый свинец.
При зарядке реакции в аккумуляторе протекают в обрат-
ном направлении. Под действием внешнего приложенного по-
ля (при зарядке положительная пластина соединяется с плю-
сом и отрицательная пластина с минусом источника постоян-
ного тока) положительные ионы Н движутся к отрица-
тельной пластине, где они вступают в реакцию с сернокис-
лым свинцом, восстанавливая его в губчатый свинец и вы-
деляя серную кислоту, и одновременно оттягивают отрица-
тельные заряды от отрицательного полюса внешнего источ-
ника тока
PbSO4 4- 20~ 4- 2 Н+= РЬ 4- H3SO4)
отрицательные же ионы SO*””, перемещаясь в электролите к
положительной пластине, вступают в соединение с серно-
кислым свинцом. При этом отрицательные заряды передаются
во внешнюю цепь и образуется сернокислая двуокись свинца,
которая переходит в двуокись свинца:
PbSO4 4- S04“ " = Pb(SO4)2 + 20,
Pb(SO4)2 4- 2H2O = PbO2 4~2H2SO4. (45,2)
Химические реакции в аккумуляторе при разрядке и за-
рядке могут быть сведены и к одному уравнению:
разрядка
PbO34-2H3SO44-Pb^2PbSO4+2H2O.
<-------------------
зарядка
Плотность электролита по мере разрядки снижается. Если
подождать, когда диффузия газов (водорода) закончится, то
приведенная к 25°С плотность электролита в конце разрядки
снижается до 1,10 против 1,27 в начале разрядки.
Электродвижущая сила свинцового аккумулятора порядка
2-н2,2 V. При повышении температуры э. д. с. увеличи-
вается на 0,04% на 1°С. .
§45]
Вторичные элементы
219
Для получения более высоких напряжений отдельные эле-
менты соединяются последовательно. Между напряжением у
клемм U и э. д. с. е одного элемента имеет место следую-
щее соотношение:
Up03p=e~I-pa3pK (45,3)
При зарядке:
U3ap=e^l3ap-R. (45,4)
При разрядке падение напряжения внутри аккумулятора/-/?
не превышает обычно 2% от э. д. с. аккумулятора.
На фиг. 45,2 показаны кривые изменения напряжения на
клеммах одного элемента при зарядке и при разрядке так
называемым номинальным током, на который рассчитан
аккумулятор.
Напряжение при разрядке не доводится ниже 1,85 V на
элемент. Дальнейшая разрядка приводит к сплошному пре-
вращению всей активной массы в сернокислый свинец, имею-
щий белесоватый цвет и который является весьма плохим
проводником электрического тока.
Потребное при зарядке напряжение меняется от 2,2 V в
начале до 2,6 — 2,65 V в конце зарядки. В конце зарядки про-
исходит разложение воды и выделение газов (Н2 и О2) вместе
с парами H2SO4 (кипение электролита). Большая разница на-
пряжений при зарядке и разрядке объясняется изменением э. д. с.
аккумулятора вследствие изменения концентрации серной
кислоты в порах пластин и увеличения внутреннего сопро-
тивления аккумулятора. Максимальный ток, который может
дать аккумулятор, зависит от поверхности пластин. Для по-
лучения больших токов в одном сосуде (стеклянном или эбо-
нитовом) помещают ряд чередующихся положительных, и от-
220
Постоянный ток
[гл. 2
рицательных пластин (число отрицательных всегда на еди-
ницу больше числа положительных пластин во избежание
коробления последних), соединенных параллельно соответ-
ствующим образом.
Количество электричества, которое можно получить от
аккумулятора, называют емкостью аккумулятора:
t
Q — idt. (45,5)
о
Она измеряется обыкновенно в амперчасах. Емкость аккуму-
лятора при больших разрядных токах меньше, чем при малых
токах, так как при больших токах образующийся главным
образом на внешней поверхности сернокислый свинец закры-
вает поры активной массы и тем самым исключает участие
в реакции более глубоких слоев активной массы. Отноше-
ние количества электричества, полученного при разрядке к
количеству электричества при зарядке называется коэфи-
циентом отдачи:
* /1
Q,,.„ (45,6)
“'j-
J Лар dt
0
Коэфициент отдачи колеблется от 0,91 до 0,96. Для прак*
тики более важное значение имеет коэфициент
С и I dt
J разрЛразр
^=4----------------(45,7)
( U 1 dt
и
который колеблется от 0,75 до 0,85; он в значительной мере
зависит от величины тока при разрядке и зарядке.
Свинцовые аккумуляторы имеют сравнительно большой
вес. Более легкими и менее чувствительными к сотрясениям
и перегрузкам являются так называемые щелочные аккуму-
ляторы. К этой категории принадлежат ферроникелевые акку-
муляторы Юнгнера-Эдисона. Они состоят из железной нике-
лированной решетки, в промежутках которой находятся кар-
маны (пакеты) из тонкой стали. В эти карманы заклады-
вается активная масса, которая для положительных пластин
состоит главным образом из окиси никеля с некоторой при-
месью графита, а для отрицательных пластин—из смеси окцсц
§45]
Вторичные элементы
221
железа и окиси ртути. Дыры стальных листов делаются на-
столько малыми, что порошкообразная масса не может вы-
пасть- Пластины устанавливаются друг от друга на расстоя-
нии 1 шт. Такое расстояние приходится брать ввиду боль-
шого удельного сопротивления электролита. На каждую от-
рицательную пластину приходятся две положительных; в эле-
ментах с большим числом пластин одна отрицательная пла-
стина чередуется с двумя положительными. Пластины встав-
ляются в сваренный железный никелированный сосуд, к ко-
торому приваривается также крышка.
В заряженном состоянии активная масса положительной
пластины содержит гидроокись трехатомного никеля Nj(OH)3,
а активная масса отрицательной пластины содержит порош-
кообразное железо.
При разрядке Мд(ОЬГ3 положительной пластины переходит
в Ni(OH)3, железо же отрицательной пластины окисляется в
Fe(OH)3. Изменения при разрядке и зарядке могут быть пред-
ставлены следующим уравнением:
разрядка
(45,8)
Fe+2Ni(OH)3 = Fe(OH)3+2Ni(OH)3.
нер-эдисоновских акку-
муляторов невысок, около 55-4-60%, что следует приписать
главным образом большому внутреннему сопротивлению.
Преимущества щелочных аккумуляторов заключаются в
/Отсутствии вредных испарений и в их прочности; они не
222
. Постоянный ток
(гл. 2
боятся сильных сотрясений и выдерживают разряд боль-
шими токами, зато при перегреве теряют безвозвратно
часть своей емкости.
46, КОНТАКТНОЕ И ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Если два разнородных металла соприкасаются друг с дру*
гом, то между этими металлами устанавливается разность
потенциалов, которая не зависит ни от формы, ни от разме-
ров соответствующих образцов. Эта так называемая кон-
тактная разность потенциалов получается при
одной и той же температуре обоих проводников, и зависит
она лишь от того, какие металлы соприкасаются.
Контактные разности потенциалов подчиняются закону
Вольта, в силу которого разность потенциалов на концах
последовательного ряда разных металлических проводников
равна той разности потенциалов, которая имела бы место,
если бы крайние металлы непосредственно соприкасались ме-
жду собой. В силу этого закона в замкнутой цепи, состоя-
щей из разнородных металлов, в случае отсутствия посто-
ронних э. д. с. и при одинаковой температуре всех частей
цепи нельзя получить тока, так как при обходе всей цепи
мы опять придем к исходному проводнику, и сумма контакт-
ных разностей потенциалов будет равна нулю.
Возникновение контактных разностей потенциалов объ-
ясняется перемещением электронов из одного металла в дру-
гой. В различных металлах плотность свободных электронов
(число электронов в единице объема) неодинакова, и потому
электроны, которые можно уподобить свободному газу, за-
полняющему межмолекулярное пространство в металле, будут
испытывать неодинаковые давления. Вследствие этого при
соприкосновении двух разнородных металлов электроны бу-
дут диффундировать из одного в другой и в результате
определенное число электронов перейдет из одного металла в
другой. Тот металл, число электронов которого уменьшилось,
зарядится положительным электричеством, а другой, в кото-
ром число электронов увеличилось, зарядится отрицательным
электричеством. Этот переход электронов будет продолжаться
до тех пор, пока между обоими металлами не установится
такая разность потенциалов и такое поле с бесконечно тонким
слоем между ними, которое действовало бы на электроны с
силой, равной и противоположной разности давлений, кото-
рое они испытывают со стороны того и другого металла.
Такого же происхождения, как и контактные разности по-
тенциалов, являются так называемые термоэлектродви-
жущие или термоэлектрические силы, возникаю-
щие в цепях из разнородных проводников, места стыка ко-
в'48]
Контактное и термоэлектричество
223
торых имеют разные температуры. Явление это было открыто
Зеебеком. Если взять две согнутых пластинки разнородных
металлов, как-то: висмута и меди (фиг. 46,1), и спаять их
концами так, чтобы они составляли замкнутую цепь, то при
подогреве одного спая в цепи получается электрический ток,
который в более нагретом спае направлен от висмута к меди,
а в холодном спае от меди в висмуту. При подогреве дру-
гого спая ток получается обратного направления.
Такие токи называются термоэлектрическими, а э. д. с.,
обусловленные неодинаковыми скачками потенциала в после-
дующих местах спая или стыка, имею-
щих разные температуры, термоэлектро- &
движущими силами. Термоэлектрический
ток возникает и в цепи из одного ме- . (r/f
талла, если температура проводника в jjkd Ed ^<7.
одном направлении от какой-нибудь точ- 1 /7 * 1
ки падает быстрее, чем в обратном, так BL
как в каждом проводнике, концы кото-
рого имеют разные температуры, по- Фиг. 46,1.
является разность потенциалов.
Термо-э. д. с., так же как и контактные разности потен-
циалов, объясняются неодинаковым давлением (упругостью)
электронного газа в местах соединения разнородных метал-
лов. Скачки потенциала в местах подогреваемого и холод-
ного спая неодинаковы, разность их создает э. д. с., которая
и является причиной тока в цепи. Термо-э. д. с., которую один
проводник приобретает по отношению к другому, считают по-
ложительной, если она в спае более низкой температуры направ-
лена от первого ко второму проводнику; так, например, медь
по отношению к висмуту имеет положительную термо-э. д. с.
Если взять замкнутую цепь из нескольких разнородных ме-
таллов и нагревать место спая двух смежных проводников
при одинаковой низкой температуре всех остальных соеди-
нений, то термо-э. д. с. в цепи будет такая же, как если бы
она состояла только из этих двух проводников, один из спаев
или стыков которых подогревается, так как по закону Вольта
сумма контактных разностей потенциалов в замкнутой цепи
из разнородных металлических проводников при одной и той
же температуре мест их соединения равна нулю.
Если известна термо-э. д. с. двух металлов^, по отноше-
нию к третьему, то на основании закона Вольта этим самым
определяется и термо-э. д. с. между первыми двумя:
UAB=VA-UBC. (46,1)
Термо-э. д. с. используется для измерения температур как
средних, так и высоких, для чего составляют так называемые
224
Постоянный ток
[гл. 2
термопары, состоящие из двух тонких спаянных одним кон-
цом проволок (для уменьшения их теплоемкости) разнород-
ных металлов. Спай ставится в то место, температуру кото-
рого требуется измерить, а два других конца присоединяются
медными проводами к гальванометру. Для низких температур
(—50°-г 500°С) весьма подходящей является пара констан-
тан—медь, дающая около 40-10~6 V/°C, или константан—же-
лезо, дающая около 55-10~6V/°C.
Для измерения более высоких температур до 1 60Э°С Ле-
Шателье ввел термопару, состоящую из 90% платины и 10%
радия и дающую около 10-10~6 V/°C.
Для установления шкалы термопар спаи
помещают в жидкость определенной тем-
пературы. Для высоких температур при-
меняют точки плавления и кипения опре-
деленных элементов, как-то: кадмий, се-
ребро, никель или ртуть, сера и т. п.
Термопара или термоэлемент может слу-
— е—
Фиг. 46,2.
тельности такие
жить для измерения весьма малых токов.
Для этой цели измеряемый ток пропускают
через спай двух тонких проволочек разно-
родных металлов, как-то: платина—никель,
константан—железо, константан—манганин
и др. Также измеряемый ток пропускают
через тонкую легко нагревающуюся про-
волочку, к которой впритык припаивают
две проволочки, составляющие термоэлек-
трическую пару (фиг. 46,2). Для уменьше-
ния теплоотдачи и повышения чувстви-
термоэлементы помещают в небольшие эва-
куированные стеклянные сосуды.
Термопары могут соединяться в столбики или батареи,
которые состоят из повторного ряда спаянных в очередном
порядке двух разных металлов. Такими столбиками пользуют-
ся для измерения лучистой энергии, в них, например, чет-
ные черненые спаи подвергаются действию лучистой энер-
гии, а нечетные предохраняются от ее действия. Получаю-
щаяся при этом термо-э. д. с. равна сумме термо-э. д. с. от-
дельных пар.
Было сделано много попыток использовать термоэлементы,
для технических целзй путем непосредственного преобразова-
ния тепловой энергии в электрическую без применения проме-
жуточного тела, каким является вода и водяной пар. Однако
к. п. д. такого непосредственного преобразования при помо-
щи термоэлементов необычайно низок (1-4—3%), и экономиче-
ски оно не оправдывается. Коэфициент полезного действия
такого преобразования согласно второму закону термодина-
§ 47] Электрический ток в вакууме 225
мики не может быть выше 1— —, где Го—абсолютная темпера-
тура холодного и Т — абсолютная температура горячего рпая;
но главное, что снижает к. п. д.,—это потери тепла через
теплопроводность в отдельных частях цепи и относительно
большое внутреннее сопротивление соответствующих батарей.
К термоэлектрическим явлениям, описанным выше, принадлежит также
и так называемый эффект Пельтье, состоящий в том, что при прохожде-
нии тока от постоянного источника через места спая в зависимости от
направления тока места спая приобретают разные температуры, так как
скачок потенциала в месте стыка может совпадать с направлением тока
или может быть направлен в противоположную сторону. В первом случае
место спая, являясь источником дополнительной э. д. с., совершает рабо-
ту и потому поглощает тепло извне, вследствие чего температура его
снижается, а во втором случае, когда соответствующая разность потен-
циалов направлена против тока, на ее преодоление током должна быть
затрачена дополнительная работа, которая переходит в теплоту, и темпе-
ратура спая будет выше, чем температура окружающей среды.
К той же категории принадлежит и явление, открытое В. Томсоном,
которое состоит в том, что если пропускать ток через стержень, концы
которого имеют разные температуры, то прохождение тока в зависимости
от его направления сопровождается выделением или поглощением до-
полнительного тепла сверх джоулева тепла.
Явления Пельтье и Томсона практического значения не имеют.
47. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ВАКУУМЕ
В идеальном вакууме отсутствует какое бы то ни было
весомое вещество, однако и в вакууме возможно прохождение
электрического тока, которое происходит за счет тех элект-
ронов, которые выделяются электродами.
Свободные электроны в металле заполняют его наподобие
газа. Эти свободные электроны благодаря участию их в теп-
ловом движении частиц тела, определяющем его температуру,
обладают различной кинетической энергией — т0г/02. Они
удерживаются в металле силами поля, которое образуется
между положительными и отрицательными ионами решетки.
Поверхности металла лишь в математическом представ-
лении являются непрерывными и гладкими, в действитель-
ности же всякая поверхность в своем микроскопическом
строении имеет выступающие неровности, которые облекают-
ся электронами; и те из электронов, которые обладают
достаточной кинетической энергией, чтобы преодолеть внут-
ренние силы, удерживающие их на поверхности, выходят
наружу. Кинетическая энергия такого электрона должна быть
больше так называемой работы выхода
— (47,1)
15 К. А. Круг, т.1.
226
Постоянный ток
[гл. 2
где UQ—потенциал выхода или вернее разность потенциалов,
которую должен пройти электрон, чтобы его энергия была
достаючна для выхода его из металла в окружающую среду.
равно для платины 6,3 V, для вольфрама 4,6 V, для
тория 3,3 V, для натрия 2,7 V.
Эмиссия электронов при обыкновенных температурах,
называемая холодной эмиссией, ничтожно мала.
В вакууме, когда между электродами создается сильное
электрическое поле, благодаря воздействию внешнего поля
на поверхностные электроны, выход электронов из металла
облегчается, но и при очень больших напряженностях поля
(порядка 1 000 kV/cm) выход электронов ничтожно мал, и
соответствующие токи могут быть обнаружены лишь чув-
ствительными гальванометрами.
Значительно большая эмиссия электронов металлами полу-
чается при так называемой термоэлектронной эмиссии, когда
металл накален. С повышением температуры скорости элект-
ронов возрастают, большее число электронов приобретает
кинетическую энергию, достаточную для преодоления работы
выхода, и при температурах порядка 1 000° К и выше эмиссия
электронов может дать ток и при сравнительно слабых
напряженностях внешнего поля.
Рассматривая свободные электроны как идеальный газ,
Ричардсон установил следующую зависимость между заря-
дами, испускаемыми в единицу времени единицей поверхности
раскаленного металла (плотностью тока эмиссии) и абсо-
лютной температурой в
Ъ^АГ-е
(47,2)
где А и В — постоянные величины: А для ме-
таллов равно 60,2 А/ст30К\ а В—где
k
£=1,37-10“23J°K — постоянная Больцмана. Для
вольфрама В = 52 600°К, для тория 5 = 38 000°К.
На термоэлектрической эмиссии основано дей-
ствие так называемых электронных ламп.
Они состоят из вакуумного сосуда, внутри кото-
Фиг. 47,1. рого натянута нить, подогреваемая электрическим
током и служащая катодом; нить облегается
коаксиальным плотным цилиндром, служащим анодом
(фиг. 47,1). Нити таких ламп выполняются из вольфрама или
вольфрама, покрываемого пленкой тория, или же металли-
ческая нить покрывается окислами металлов земельно-щелоч-
ной группы (кальция, тория, стронция). При использовании
для накала переменного тока для уменьшения колебаний
температуры катода последний выполняется в виде тонкой
§47]
Электрический ток в вакууме
227
фарфоровой трубочки, внутри трубочки помещается прово-
лока, накаливаемая переменным током, на внешней поверх-
ности которой нанесен металлический слой, испускающий при
нагревании электроны. Чрезвычайно важным является то об-
стоятельство, что электронные лампы обладают односторонней
проводимостью, ток протекает в них только в направлении от
холодного электрода к накаленному электроду (фиг. 47,2). При
направлении внешнего
электрического поля от
накаленного электрода к
холодному испускаемые
накаленной нитью элек-
троны отгоняются обрат-
но к нити и трубка ни-
какого тока не пропу-
скает. Когда внешнее по-
ле направлено от холод-
ного электрода (анода) к
накаленному (катоду), ис-
пускаемые анодом элек-
троны перемещаются к
аноду и создают электри-
ческий ток, направленный
от анода к катоду. Не все
электроны, испускаемые
катодом, доходят до ано-
да. Электроны наподобие
газа заполняют все про-
странство между катодом
и анодом, образуя объем-
ные отрицательные заря-
ды, которые тормозят вы-
ход электронов из нити и
движение их в электриче-
ском поле. Пропускаемый
электронной трубкой ток
зависит от приложенного
к ней напряжения. На
фиг. 47,3 показаны зависимость анодного тока/а от приложенного
анодного напряжения (напряжения между анодами и катодами),
при разных токах в цепи накала /пак, определяющего темпера-
ТУРУ нити накала, а следовательно, и предельное значение эмис-
сии электронов. С увеличением анодного напряжения анодный
ток возрастает сначала медленно, затем кривая
кРУто, почти прямолинейно поднимается кверху и дальше за-
гибается, переходя в горизонтальную часть, когда приложенное
228
Постоянный ток
[гл. 2
напряжение достаточно для полного преодоления тормозящих
сил объемных зарядов. Когда все электроны, которые может
испускать накаленная нить при данной температуре, пол-
ностью переносятся к аноду, достигается так называемый ток
насыщения Is. Дальнейшее увеличение напряжения не уве-
личивает тока, так как он не может быть больше тока
насыщения Is.
Начальная и прямолинейная часть кривой пока
значение тока не приближается к значению тока насыщения,
хорошо подчиняется так называемому закону трех вторых
Ричардсона, согласно которому ток, пропускаемый электронной
лампой, пропорционален степени трех вторых от напряжения
3/2
Ia=k-Ua .
В электронной лампе с цилиндрическим анодом и катодом
в виде нити поле направлено по радиусам и* в соответствии
с этим, если черечз р обозначить плотность объемных зарядов,
создаваемых электронами, уравнение Пуассона выразится
через
(47,3)
dr2 г dr е0
где ф — потенциал точки поля, отстоящей на расстоянии г от
оси нити по отношению к катоду. Если v скорость электронов,
то плотность тока будет 8=—-и-p, а весь ток, проходящий
между электродами,
г/-р-2тгг/, (47,4)
где I — осевая длина нити. Скорость электронов зависит от
пройденной электроном разности потенциалов
1/Пог/2 = Г^о И ^=1/—•?.
2 у тй
Определяем р из (47,4) и, учитывая (47,5), находим
где
I а 1 67j
2*rlv 2 wrl К277 V? ~ rKf'
__
1 21Z/F2?; ’
и подставляем р в уравнение Пуассона
tf2<p . 1 rfcp Сх
d'2 г dr eorKT
(47,5)
(47,6)
(47,7)
§ 47]
Электрический ток в вакууме
229
Решением этого уравнения является выражение
? = (47,8)
действительно
rf? _2_r r'Vs d3? _ 2 r -4/3
dr 3 ’dr* 9 2
И
Уравнение (47,7) будет удовлетворено, если
Если Ua—анодное напряжение и г2—радиус цилиндра
[уравнение (47,8)], то
2/'з — 2/3
6/в=С2-г2 или C2—Ua-r . (47,10)
Подставляя теперь Сх и С2 в уравнение (47,9)
,, —2/з / 9 Ia-Vmn \2/з
U а ’ 7*2 I ~л ~ ’ / ) >
\ 4-о 2тс/]^2г0/
мы получаем, что
,Sq J .U^k-U^ (47,11)
9 ,/z0 r2
что и требовалось доказать.
Фиг. 47,5.
Фиг. 47,4.
Током в электронных лампах можно управлять весьма
малыми напряжениями, если близко к катоду поместить
вспомогательный третий электрод в виде сетки (фиг. 47,4) и
изменить поле между сеткой и катодом. Сообщая сетке поло-
жительный или отрицательный потенциал по отношению
к катоду фиг. 47,5 мы можем поле, создаваемое между
230
Постоянный ток
[гл. 2
анодом и катодом, усилить или ослабить, что будет ускорять
или замедлять движение электронов между катодом и анодом,
и тем самым мы можем влиять на величину электрического
тока, пропускаемого электронной лампой. При некотором
отрицательном потенциале сетки по отношению к катоду
мы можем при том же положительном значении потенциала
анода дать полю между сеткой и катодом противоположное
направление и тем самым задержать все электроны, выходя-
щие из катода, или, другими словами, свести ток, проходящий
между анодом и катодом, к нулю. Минимальное отрицательное
напряжение, при котором прекращается ток между анодом и
катодом, называется напряжением смещения сетки.
Если при постоянном напряжении между анодом и катодом
Ua=const постепенно повышать напряжение сетки Uc, то мы
получим так называемую характеристику анодного тока в
зависимости от сеточного напряжения.
Чем выше анодное напряжение, тем большее отрицатель-
ное напряжение должно быть приложено к сетке, чтобы запе-
реть проход току. Давая анодному напряжению разные по-
стоянные значения при неизменном накале катода, мы полу-
чаем ряд характеристик, сдвинутых друг относительно друга
по оси абсцисс на отрезки, пропорциональные разности анод-
ных напряжений U—Ua. Обычно работают на прямолинейной
восходящей части характеристик.
Свойства трехэлектродной лампы определяются так назы-
ваемой крутизной ее характеристики, внутрен-
ним сопротивлением при изменении анодного напряже-
ния и так называемым коэфициентом усиления по
напряжению или обратной ему величиной — проницае-
мостью сетки.
Под крутизной характеристики понимают коэфициент
усиления по току, равный отношению изменения анодного
тока к изменению сеточного напряжения Шс
5—или —tga.
\AUr / Ua~ ccnst \gUc / Ua~ ccnst &
Крутизна характеристики определяется тангенсом угла
между прямолинейной частью характеристики и осью абсцисс.
Внутреннее сопротивление электронной лампы определяют
как отношение изменения анодного напряжения к анодному
току
или в пределе 7^=4^
д/д oia
при Uc=const.
Наконец, коэфициент усиления лампы указывает, во сколь-
ко раз изменение напряжения сетки действует сильнее на
§ 47]
Электрический ток в вакууме
231
изменение анодного тока, чем изменение анодного напряжения.
Крутизна, внутреннее сопротивление и коэфициент усиления
находятся в простом соотношении друг к другу.
При постоянном накале катода анодный ток является
функцией как анодного, так и сеточного напряжения
Ia-=f(Pa, ис)
и изменение анодного тока при изменении Uа и Uс может быть
выражено через
dIa=^--dUa+-^dUc=± -dUa+S-dUc.
oUfl oUc
Если теперь в пределах прямолинейной части характери-
стик менять Uа и Uc таким образом, чтобы анодный ток
оставался без изменения Ia = const и dla~ 0, что может быть
достигнуто, если увеличивать Uа и уменьшать Uс или наобо-
рот, то мы получим, что отношение
будет постоянной вели-
чиной, указывающей, во
сколько раз изменение
сеточного напряжения
эффективнее изменения
напряжения анода (ко-
эфициент усиления
электронных ламп име-
ет порядок 20-4-100).
Величина, обратная
коэфициенту усиления,
представляет собой так
называемый коэфи-
циент проницаемо-
сти сетки.
Если нам даны две
анодные характеристики лампы при том же накале, но при
двух разных анодных напряжениях U' а и U”a> то все
коэфициенты могут быть определены из треугольника abc
(фиг. 47,6)
Д Uс Шц ас 9 1 A Ia ttij • ab
И
232
Постоянный ток
[гл. 2
где /п7 и Ши—масштабы, указывающие, скольким амперам
(ими миллиамперам) и вольтам соответствуют единицы длин
на чертеже:
— . ти'ас = 1.
р. 1 ти ас mrab U"a—Ufa
Электронные лампы имеют самое разнообразное применение.
Обладая односторонней проводимостью, они могут служить
выпрямителями переменного тока, лампы с сеткой могут быть
применены в качестве усилителей, так как ничтожно малые
изменения сеточного напряжения вызывают значительные
изменения тока в анодной цепи. Если сеточное напряжение
совершает колебания, то в пределах прямолинейной части
характеристики анодный ток будет в точности изменяться
по такому же закону, как и сеточное напряжение. Электрон-
ные лампы могут также работать генераторами переменного
тока (высокой частоты), детекторами, модуляторами и т. д.
48. ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Фотоэлектрические явления происходят при поглощении
атомами вещества лучистой энергии и состоят в том, что
поток световой энергии вырывает (выделяет) из металла
электроны.
Согласно квантовой теории света световой поток дей-
ствует как поток отдельных распространяющихся со ско-
ростью света порций световой энергии, так называемых свето-
вых квантов, каждый из которых обладает энергией h-f, где
h — 6,55 • 10 34 Jsec — универсальная постоянная Планка,
с
a f=~^ — частота испускаемых светом волн (с — скорость све-
та, X — длина волны).
Согласно соотношению Эйнштейна квант энергии, когда
его величина достаточно велика, при столкновении с элект-
роном атома покрывает так называемую работу выхода, ко-
торую необходимо затратить, чтобы вырвать электрон из ме-
талла, а излишек переходит в кинетическую энергию элек-
трона
(48,1)
Выведение электронов из данного металла начинается лишь
с определенной частоты световых волн /0, называемой поро-
гом фотоэффекта Электроны, вызываемые рентге-
новскими лучами, приобретают большую скорость, чем от
ультрафиолетовых лучей. Порог фотоэффекта зависит от ве-
§ 48]
Фотоэлектричество
233
щества освещаемого тела. Порог в видимой части спектра
имеют щелочные металлы (литий, натрий, калий, рубидий).
Скорость, приобретаемая электронами при фотоэффекте, за-
висит лишь от длины волны света, но не от интенсивности
освещения. От интенсивности освещения зависит лишь чис-
ло электронов, отрываемых от атомов в единицу времени.
Поэтому фототок может служить для измерения освещен-
ности при определенном составе лучей
света и может происходить или на поверх-
ности тела (поверхностный или внешний
эффект) или внутри его (объемный или
внутренний фотоэффект). Приборы, в
которых происходит преобразование лу-
чистой (световой) энергии в электриче-
скую, называются фотоэлементами.
В представленном на фиг. 48,1 ваку-
умном фотоэлементе с внешним фото-
эффектом световой поток падает на ме-
таллическую пластинку А. Отрываемые
от пластинки электроны, имеющие до-
статочную скорость, доходят до другого
электрода В, выполняемого в виде ме-
таллической сетки; и если фотоэлемент
замкнуть на гальванометр, то последний
измерит ток, направленный от пластинки
к сетке (фиг. 48,2); к. п. д. такого эле-
мента весьма низок.
Если такой фотоэлемент включить в
гальваническою цепь с таким напряже-
нием, чтобы электрическое поле, созда-
ваемое между электродами фотоэлемента,
было достаточно велико, чтобы оно под-
хватывало все электроны, выделяемые
Фиг. 48,2.
светом, и отводило их к противополож-
ному электроду, то мы получим ток насыщения, который
будет пропорционален величине светового потока Ф, падаю-
щего на поверхность освещаемого сплошного электрода
Ф = £-/,
(48,2)
где k зависит, с одной стороны, от материала, способа при-
готовления и формы электродов и от спектрального состава
падающего света, — с другой.
При объемном фотоэффекте кванты лучистой энергии,
проникая в тело вещества, отделяют там электроны от ато-
мов. Так, под действием света (особенно красной и желтой
части спектра) в селене увеличивается число свободных
234
Постоянный ток
[гл. 2
электронов и тем самым увеличивается его электропровод-
ность. На этом основано действие селеновых световых реле,
которые обладают тем недостатком, что вследствие вторич-
ного действия, состоящего в том, что выделяемые светом
электроны в своем движении вырывают дальнейшие элек-
троны; изменение проводимости наступает с некоторым опоз-
данием, и кроме того при длительном действии света селен
перестает реагировать на изменение силы света.
Если освобождаемые лучистой энергией электроны не от-
водятся электрическим полем, то фотоэффект сводится на-
нет, так как образующиеся после отрыва электронов поло-
жительные ионы притягивают к себе электроны и тем самым
нейтрализуют фотоэффект.
Если освещаемое тело состоит из разнородных веществ,
между которыми возникает так называемый запирающий
слой, пропускающий электроны в
"вет одном направлении более свободно,
чем в другом, то между этими ве-
ществами устанавливается разность
потенциалов, которая может дей-
ствовать как э. д. с.
Схема такого меднозакисного
фотоэлемента представлена на фиг.
48,3. Он состоит из медной пла-
Запирающий
слой
Фиг. 48,3. стинки, покрытой закисью, получае-
мой пууем окисления медной пла-
стинки в воздухе при 1050° С, дополнительного прогрева
при 600° и затем быстрого охлаждения. Для получения со-
ответствующего контакта часть поверхности закиси меди
покрывается проводящим слоем (напылением металла) или к
этой части плотно прижимается какой-нибудь другой кон-
такт. Если такой фотоэлемент соединить с гальванометром
так, чтобы все сопротивление у внешней цепи было по воз-
можности мало, то под действием света получится фототок.
Электроны (отрываемые под действием света) атомов за-
киси меди на границе закиси меди и меди, имеющие некото-
рую скорость, проникают в медь, и оттуда большинство
электронов возвращается к слою закиси меди через внеш-
нюю цепь, представляющую меньшее сопротивление, чем так
называемый запирающий слой, в результате чего в цепи (без
участия постороннего источника тока) получается ток, на-
правленный во внешней цепи от закиси к меди. Аналогичное
явление происходит и в селеновых фотоэлементах, в которых
на железную пластинку наносится селен, покрываемый свер-
ху пленкой свинца.
Современные фотоэлементы выполняются в виде стеклян-
ных баллонов, в которых светочувствительный слой наносит-
§ 49]
Электропроводность газов
235
ся на внутренней поверхности баллона. Свет попадает в бал-
лон через соответствующую непокрытую часть (окошко)
баллона. Другим электродом служит помещаемое внутри
проволочное кольцо, имеющее, так же как и сверхчувстви-
тельный слой, вывод в стекле. В цезиевых фотоэлементах
светочувствительный слой состоит из слоя окиси серебра,
покрывающего внутреннюю поверхность вакуумного баллона,
на который наносится слой окиси металлического цезия. Для
увеличения светочувствительности баллон заполняется раз-
ряженным инертным газом (аргоном или неоном), который
вследствие ионизации электронами, выходящими из светочув-
ствительного слоя, даст дополнительное число электронов
(см. следующий параграф).
В таких фотоэлементах, включенных в гальваническую цепь
(с источником тока), токи насыщения пропорциональны све-
товому потоку и дают в случае вакуума 10 ч- 80 микроам-
пер на люмен, а в случае наполнения газом до 500 микро-
ампер на люмен.
49. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ
Хотя газы вообще и являются диэлектриками, не прово-
дящими электрический ток, однако и в них при известных
условиях может иметь место непрерывное движение элек-
тричества, т. е. при известных условиях и газы могут быть
проводниками электрического тока. Электропроводность газов
может достигаться воздействием на газ внешних причин, так
называемых ионизаторов. Ионизатором может быть поток
заряженных частиц, например, поток электронов, испускае-
мых накаленными телами, высокая температура газа, ультра-
фиолетовые, рентгеновские и космические лучи, или же газы
могут приобретать электропроводность (ионизироваться) под
действием сильных электрических полей.
Электрический ток в газах представляет собой перемеще-
ние под действием внешнего электрического поля имеющихся
в газе ионов, положительных по направлению поля и отри-
цательных в обратном направлении. Дойдя до электродов
ионы газа отдают им свои заряды, превращаясь в нейтраль-
ные молекулы. Для поддержания постоянного тока необхо-
дима непрерывная ионизация газа, т. е. непрерывное образо-
вание новых ионов, осуществляемое ионизаторами. Одновре-
менно с образованием новых ионов происходит и воссоеди-
нение имеющихся в газе противоположных ионов в нейтраль-
ные молекулы, так называемая рекомбинация ионов.
Ионизация газа состоит в расщеплении ионизаторами ней-
тральных молекул газа, в результате чего нейтральные мо-
236
Постоянный TOE
[гл. 2
лекулы распадаются на положительные ионы и на отрица-
тельные ионы и электроны.
Число рекомбинируемых в единицу времени и в единице
объема молекул пропорционально концентрациям ионов
(числу ионов в единице объема) того и другого знака и может
быть выражено через у-лг^-т^, где у—коэфициент рекомби-
нации, а /Ц- и —концентрации положительных и отрицатель-
ных ионов. Когда ионизатор действует длительное время,
устанавливается равновесное состояние, когда числа пар
ионизируемых и рекомбинируемых ионов в единицу вре-
мени будут равны между собой, и концентрация ионов не бу-
дет меняться. Если А—число молекул, распадающихся под
действием ионизатора на ионы в единицу времени, то при
равенстве числа ионизаций и рекомбинаций мы будем иметь:
Д=у-п+п_ или когда =^7z_=zzo,
Л=7п20 и и0= -у-. (49,1)
Коэфициент рекомбинации для чистого воздуха при атмо-
сферном давлении и обыкновенной температуре колеблется в
-в -в ст3
пределах от 1,53-10 до 1,7-10 С повышением дав-
ления и температуры у немного возрастает.
Когда ионизированный газ подвергается действию внеш-
него электрического поля, то ионы перемещаются к электродам.
При слабых полях благодаря большому сопротивлению трения,
которое ионы встречают при своем движении со стороны газа,
устанавливается некоторая средняя скорость ионов, пропор-
циональная напряженности поля. Отрицательные ионы, в
состав которых входят и электроны, обладающие меньшей
массой, чем ионы газа, движутся быстрее, чем положительные
ионы. Обозначим через Uи так называемые подвижности
или скорости положительных и отрицательных ионов, когда
напряженность поля равна единице. Плотность тока слагается
из плотностей тока, обусловленных движением положительных
и отрицательных ионов. В предположении, что каждый ион
несет заряд, равный —^о, плотность тока в газе будет:
8=8++=е0(л+ - (7+4- - U_)E
ИЛИ при = П_ — п
О=е0 • n(U++(49,2)
При слабых полях и слабых токах концентрация ионов
почти не меняется, и плотность тока подчиняется закону
Ома. Это соответствует восходящей прямолинейной части
§ 49]
Электропроводность газов
237
кривой зависимости тока в газе от приложенного к электро
дам напряжения (фиг. 49,1).
Подвижность ионов сухого воздуха £7_р=1»23 Vsec,
1 1 1
£7_=1,93 , сырого U-у = 1,37 ——, =1,51 v .
’ Vsec r r Vsec Vsec
С повышением давления и пониже- /
нием температуры подвижность ионов
увеличивается. При больших значениях
напряженности поля вследствие отдачи
ионами своих зарядов электродам кон-
центрация ионов уменьшается.
В однородном электрическом поле
между плоскопараллельными пластина-
ми, находящимися на расстоянии d, число
элементарных зарядов, которое при плот-
ности тока о передается единице пло-
щади обоих электродов в единицу времени, будет — и на
такую же величину уменьшается в единицу времени число
ионов в параллелепипеде с поперечным сечением, равным еди-
нице, и с длиной d. Поэтому уменьшение числа ионов
того и другого знака в единицу времени и в единице
б
объема будет » а так как число пар .ионов, создаваемых ио-
низатором, должно равняться сумме числа рекомбинируемых
молекул и половинному числу ионов того и другого знака,
отдающих свои заряды электродам, то число ионов, возникаю-
щих в единицу времени, будет:
2eQd *
(49,3)
Заменяя значение концентрации ионов через (49,2)
о
п —---------------,
e0(U+-\-U_)E
(49,4)
мы получаем следующее соотношение:
'уО2
4 _ ______ 5
''2ей-сГ
(49,5)
При возрастании напряженности поля Е ионы будут пере-
мещаться к электродам быстрее, и большее число ионов бу-
238
Постоянный ток
[гл. 2
дет отдавать свои заряды электродам, вследствие чего кон-
центрация ионов будет меньше. Хотя ток и будет увеличи-
ваться, но не в такой мере, как напряженность поля. При
достаточно сильном поле все вновь воспроизводимые иони-
затором ионы будут полностью переноситься к электродам,
не подвергаясь рекомбинации. Очевидно, что при таких
условиях дальнейшее увеличение напряженности поля (до из-
вестных пределов) не может увеличить тока в газе, и мы
получим так называемый ток насыщения Is. Ток насыщения
равен зарядам числа ионов, возникающих в единицу времени
во всем объеме между электродами:
Is=2Ae0S-d, (49,6)
где 5—поверхность электродов и d—расстояние между ними.
Соответствующая плотность тока будет:
8, = 2Д -eQ-d. (49,7)
Ток насыщения соответствует горизонтальной части кри-
вой зависимости тока от напряжения (фиг. 49,1). При доста-
точном напряжении между электродами мы будем иметь
парадоксальное на первый взгляд явление, что, когда раздви-
гаются электроды (увеличивается d), ток не будет умень-
шаться, как это следовало бы из закона Ома, а увеличи-
ваться. Объясняется это тем, что ток насыщения пропорцио-
нален числу ионизируемых в единицу времени молекул, а
это число пропорционально объему газа.
При дальнейшем увеличении напряженности поля, начи-
ная с некоторого критического значения ее, начинается быс-
трое нарастание тока, вызываемое ионизацией толчком со
стороны самих ионов, перемещающихся в электрическом
поле. Эта стадия разряда на фиг. 49,1 изображена второй
восходящей ветвью кривой зависимости тока от напря-
жения. Когда напряженность поля выше определенной кри-
тической величины, то электроны и ионы сами получают
в электрическом поле достаточную кинетическую энергию,
благодаря которой они при столкновениях с нейтральной
молекулой в состоянии отщепить от нее электрон и создать
новую пару ионов. Каждый вновь выявляющийся электрон
или ион под действием электрического поля получает уско-
рение и вместе с тем накапливает энергию для дальнейшей
ионизации газа. В результате получается лавинообразное
нарастание концентрации ионов уже помимо действия иони-
затора и быстрое увеличение тока. Раз установившийся ток
будет протекать уже без участия ионизатора. Такое прохож-
дение тока без участия ионизатора называется самостоятель-
ным разрядом в отличие от несамостоятельного разряда, под-
держиваемого лишь воздействием на газ ионизатора.
§ 49]
Эле ггропроводность газов
239
Для ионизации молекулы газа требуется затрата опре-
деленной энергии или за счет кинетической энергии движу-
щихся частиц или за счет преобразования отдельных порций
электромагнитной энергии электромагнитных лучей, носящих
название фотонов. При этом от молекул (или атомов) газа
отщепляются электроны; оставшиеся же части образуют
положительные ионы. Электроны, соединившиеся с ней-
тральными частицами газа, могут образовать отрицатель-
ные ионы.
Энергия, потребная для ионизации нейтральной молекулы
газа, определяется той разностью потенциалов, которую дол-
жен пройти первоначально неподвижный заряд, равный за-
ряду электрона, чтобы приобретенная им кинетическая энергия
|7n0.^=e0.t70=A./ (49,8)
была как раз достаточна для расщепления нейтральной моле-
кулы (так как энергия движущегося электрона или соответ-
ствующая энергия электромагнитного излучения пропорцио-
на льна частоте /=у» то лишь лучи с очень короткими дли-
нами волн, как, например, рентгеновские, могут ионизировать
газы). Потенциал ионизации, например, молекулы ртути со-
ставляет 10,4 V, гелия 24,5 V, аргона 15,7 V и т. д.
Если энергия движущейся заряженной частицы, напри-
мер электрона, недостаточна для ионизации молекулы газа,
то в результате удара электрона атомы газа могут быть
переведены в состояние так называемого возбуждения, т. е.
в состояние с большим содержанием энергии и при этом воз-
можно, что в результате повторных ударов у атома будет
отщеплен электрон, т. е. он распадается на ионы при мень-
шем потенциале, чем это соответствует потенциалу иониза-
ции.
В каждом атоме имеется одно или несколько возможных
состояний возбуждения. Если возбужденные атомы не будут
переведены последующими ударами в следующее состояние, то
они стремятся вернуться в прежнее состояние,, и освобож-
дающаяся при этом энергия будет вызывать электромагнит-
ное излучение с соответствующей длиной волны (которая
может быть определена по спектру свечения, наблюдаемо-
му, например, при искровом или дуговом разряде). Напря-
жение, которое должен пройти электрон, чтобы приобретае-
мая им при этом энергия была достаточна для перевода
атома толчком из одного состояния в другое, называется
потенциалом излучения или резонанса. Ртуть
имеет два потенциала резонанса 9 и 6,7 V, гелий один 20,45 V,
неон два 16,6 и 18,5 V, аргон три 11,55, 13,0 и 14,0 V.
240
Постоянный ток
[гл. 2
50. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯД В ГАЗАХ
Самостоятельный разряд в газах может начаться и без
первоначального участия постороннего ионизатора, но
для этого требуются более высокие напряжения между
электродами. Дело в том, что во всяком газе всегда
имеется некоторое, хотя и весьма малое, количество заря-
женных частиц, ионов и электронов (которые могут, напри-
мер, возникнуть под действием повсюду проникающих кос-
мических- лучей). Под действием электрического поля эти
частицы приобретают необходимую кинетическую энергию для
усиленной ионизации газа. При этом в результате перемеще-
ния ионов к электродам и скопления отрицательных ионов
у положительного электрода и положительных ионов у отри-
цательного электрода изменяется распределение поля,
вследствие чего напряженность поля у электродов становится
больше, чем в середине между ними. Прохождение тока в
этой стадии сопровождается появлением светящегося слоя
у электродов, особенно если они имеют острую форму, и лег-
ким потрескиванием. Такой разряд называется тихим разрядом,
а явления, имеющие место у электродов,—короной. С увели-
чением напряжения область, занимаемая короной, растет,
и начинают проскакивать между электродами искры, сопро-
вождаемые сильным треском. Такой разряд называется
искровым. При том же расстоянии между электродами для
искрового разряда требуется при острой форме электродов
меньшее напряжение, чем при плоской, что объясняется более
интенсивной начальной ионизацией у остриев, у которых
напряженность поля больше.
Искровой разряд происходит с большими или меньшими
промежутками вследствие того, что ионизация газа требует
некоторого времени.
При освещении промежутка рентгеновскими или ультра-
фиолетовыми лучами искры проскакивают без замедления.
Таунсендом была предложена следующая теория, объясняю-
щая возникновение тока в газах и начало самостоятель-
ного разряда.
Пусть газ находится в однородном электрическом поле
между двумя плоскопараллельными электродами. Число вновь
образуемых ионов в результате столкновений принимается
пропорциональным концентрации ионов и скорости их дви-
жения. Если через а обозначить коэфициент ионизации отри-
цательными ионами, т.е. число новых пар ионов, образуемых
одним отрицательным ионом на единице пути от одного
электрода к другому, и через (3 число новых пар ионов,
образуемых на единице пути одним положительным ионом,
то число вновь возникающих в единицу времени отрица-
§ 50]
Самостоятельный разряд в газах
241
тельных ионов dN в параллелепипеде с сечением, равным
единице площади и с длиной dx будет
dN_ = (a + р ЛГ+) dx, (50,1)
где
= п .и -Е = — и N, = п, -п, >Е= —
- - - е + + + eQ
числа отрицательных и положительных ионов, проходящих
в единицу времени через единицу площади, а 8_ и 8^—плот-
ности токов отрицательных и положительных ионов. При
установившемся режиме сумма чисел ионов того и другого
знака, проходящих через единицу площади в единицу вре-
мени, остается постоянной и равняется
в +8_ц 8
2V 4-ДГ = const — - =-,
- 1 + eQ eQf
где 8 — плотность суммарного тока.
Поэтому
db
dN~ = —
dx
или приращение плотности тока отрицательных ионов в
слое будет:
4Й_=[(а — рХ+р.В] dx,
-- (а Р) ^Х.
8-+ а_₽
Интегрирование этого уравнения дает:
In (Д-+ р = (а — ₽)•*+ In const
или
(а — B).x 8
8_ = const • е — . 8. (50,2)
Опыт показывает, что коэфициент ионизации отрицатель-
ных ионов всегда значительно больше коэфициента ионизации
положительных а > р и что ионизация газа осуществляется
преимущественно более удобоподвижными электронами. Плот-
ность тока отрицательных ионов нарастает от отрицатель-
16 К. А. Круг, т. I.
242
Постоянный ток
[гл. 2
ного электрода, где она имеет некоторое минимальное значе-
ние 80, до максимального значения у положительного элек-
трода (x=rf), где она приближается к значению плотности
суммарного тока 8. Плотность тока положительных ионов
начинает нарастать гораздо медленнее, начиная от положи-
тельного электрода, где плотность тока положительных ионов
может быть принята равной нулю.
Приравнивая 8_ = 8О при х=0 и 8_ = 8 при х — d
и исключая const, мы получаем
При слабых полях прохождение тока имеет место, когда
ионизация поддерживается каким-нибудь внешним источни-
ком (80 = -Ё, где —концентрация ионов). Коэфициенты
ионизации а и ,8, т. е. числа новых ионов, создаваемых одним
ионом при прохождении единицы пути, увеличиваются с
увеличением напряженности поля, и при увеличении напря-
женности поля величина р-е растет быстрее, чем а;
когда обе эти величины приблизятся друг к другу, то доста-
точно уже ничтожно малого значения 80, чтобы вызвать
большие плотности тока, приводящие к разряду и к даль-
нейшему росту тока. Уравнение
а = • е
(50,4)
является критерием начала тихого разряда, или так как
а > р, то
л ad а
а fl-е или ad — In у . (50,5)
Ионизация газа происходит тем интенсивнее, чем больше
приобретаемая ионами энергия, т. е. чем больше £-Х, или
Е
где X — расстояние между двумя столкновениями ионов,
которое обратно пропорционально давлению; с другой сто-
5 50]
Самостоятельный разряд в газах
243
роны, ионизация газа растет с увеличением плотности газа,
т. е. с увеличением р. Поэтому кривые ионизации даются
обычно в виде зависимостей
(50,6)
Соответствующие кривые для воздуха и некоторых газов,
приведенные на фиг. 50,1 и 50,2, на которых по оси ординат от-
а Р Е
ложены ~ и , а по оси абсцисс —, где р выражено в шш
Hg, показывают, что отношение — с повышением напряжен-
ионизации положительных ионов с увеличением напряженности
поля увеличивается.
Напряженность поля, при которой в воздухе между пло-
скопараллельными электродами начинается при нормальных
условиях (/ = 20°С и /7 = 760 mm Hg) тихий разряд, соста-
вляет для постоянного тока £*0 = 30 kV/cih. Эта потребная
Для начала разряда напряженность поля изменяется обратно
пропорционально абсолютной температуре и прямо пропор-
ционально давлению
_ (273° + LCP)
Еразр ^0 * 760(273" + t°) 9 (50,7)
если р измерять в mm Hg.
Однако при низких давлениях и очень малых расстояниях
Эти напряженности могут быть значительно выше; так, при
i = 20°C и /7 = 760 mm Еразр = 35 kV/сш при rf = 0,5 ст
и Еразр — 44,7 kV/cih при rf = 0,l ст.
16*
244
Постоянный ток
[гл. 2
При низких давлениях разрядные напряжения (напряже-
ния, при которых начинается разряд) подчиняются так на-
зываемому закону Пашена, а именно, что разрядное напряг
жение при постоянной температуре зависит лишь от произ-
ведения давления на расстояние между электродами. Как
было указано выше, критерием начала тихого разряда со-
гласно теории Таундсенда является соотношение (50,5). Если
в нем а и р на основании уравнений (50,6) выразить через
Ji и заменив Е через —, мы получим, что
/ Z7 \
a.rf=Jp.rf./1f-^)=ln ^^-2- • (50,8)
г У1\ pd) / [j \
Л ~Г
\ pa J
Отсюда следует, что разрядное напряжение U зависит
лишь от произведения pd.
На фиг. 50,3 приведены кривые £7разр = f\pd).
Характерной особенностью этих кривых является наличие
минимума разрядного напряжения при pd, равном около
0,5mmHgXcm. Это следует объяснить тем, что если разреже-
ние велико (р весьма мало) или же если электроды чер< з гур
близки друг к другу, то существующие в газе ионы при
своем движении от одного электрода к другому имеют мало
вероятности столкнуться с нейтральными молекулами (при
малых р) или же (при малых d) не могут приобрести доста-
§ 51]
Дуговой разряд
245
точной для ионизации кинетической энергии и потому, не об-
разуя новых ионов, отводятся к электродам. Для приобрете-
ния ионами энергии, необходимой для образования новых
ионов, требуется приложение более высокого напряжения.
С другой стороны, при больших значениях р и d, т. е. pd,
требуются большие разрядные напряжения, так как сокра-
щается либо путь свободного пробега либо ослаб-
ляется поле (U = E-d).
Выше мы рассматривали явления в однородном поле. Ес-
ли поле неоднородно, то разряд начинается там, где напря-
женность поля превышает критическое значение. Для само-
ионизации газа необходимо, чтобы приобретаемая на
определенном участке пути кинетическая энергия ионов
и число таких ионов были достаточны для дальнейшей мас-
совой ионизации газа. Критерием возникновения разряда мо-
жет служить уравнение (50,5), если интеграл коэфициента
ионизации вдоль линии наибольшей напряженности поля
между электродами
d d
adx= I p-fd—Wx=ln— (50,9)
J \Pj ₽
и и
достигает величины такого же порядка, как и в однородном
поле.
51. ДУГОВОЙ РАЗРЯД
Дуговой разряд отличается от тихого и искрового разря-
да. При тихом и искровом разряде электроды остаются хо-
лодными, ионизация газа поддерживается самими ионами га-
за, ионизацией толчком, и токи имеют сравнительно неболь-
шое значение. При дуговом разряде токи во много раз боль-
ше, и один из электродов, а именно отрицательный (катод),
обязательно должен быть накален или иметь раскаленное
пятно. Ионизация газа между электродами осуществляется
главным образом электронами, испускаемыми раскаленным
катодом. Дуговой разряд называется также вольтовой дугой.
Для образования вольтовой дуги необходимо, если она пе-
реходит из искрового разряда: чтобы последний был настоль-
ко интенсивен, чтобы он ионизировал промежуток газа меж-
ду электродами и чтобы положительные ионы, ударяясь о
катод, создали бы на нем раскаленное так называемое ка-
тодное пятно. Вольтову дугу можно вызвать кратковремен-
ным сближением электродов до соприкосновения, при кото-
ром (вследствие сосредоточения сопротивления цепи глав-
246
Постоянный ток
[гл. 2
ным образом в контактном слое между электродами) элек-
троды накаливаются. В дальнейшем под действием элект-
ронной эмиссии, испускаемой раскаленным электродом, газ
непрерывно ионизируется. Тяжелые положительные ионы,
бомбардируя катод, поддерживают высокую температуру ка-
тодного пятна.
Напряжение между электродами при вольтовой дуге зна-
чительно ниже, чем при других видах разряда. Оно слага-
ется из скачка напряжения между анодом и дугой, падением
напряжения в дуге и из скачка напряжения между дугой и
катодом.
По исследованиям Айртона это напряжение как для уголь-
ных, так и для других электродов может быть выражено
уравнением
t7 = a + ₽.Z+^-, (51,1)
где а, р, у ио — постоянные, зависящие от материала и фор-
мы электродов и от газа (или паров), в котором горит дуга.
Фиг. 51,1.
В вольтовой дуге, между угольными электродами (фиг. 51,1)
происходит перенос углерода от одного электрода к другому
главным образом в виде положительных ионов от положи-
тельного электрода к отрицательному, вследствие чего при
короткой длине дуги на конце отрицательного электрода
образуется заостренный нарост. При горении в воздухе оба
электрода постепенно сгорают, причем положительный быст-
рее отрицательного, поэтому положительный уголь при по-
стоянном токе берут всегда большего диаметра, чем отрица-
тельный. Электроды изготовляются из ретортного угля, поло-
жительные угли для более равномерного сгорания углей
снабжаются так называемым фитилем, состоящим из более
летучего вещества. Для вольтовой дуги между однородными
углями без фитилей с диаметрами в 11 и 9 mm формула
Айртона представляется в виде
и =38,9 + 2,07/+ 11,7 + 1-9-’- V. (51,2)
§ 51]
Дуговой разряд
247
Напряжение дуги с увеличением тока уменьшается; врль-
това дуга имеет ниспадающую вольтамперную характери-
стику и без добавочного (омического) сопротивления, вклю-
ченного последовательно, устойчиво гореть не может, так как
для большего тока требуется меньшее напряжение.
Пусть кривая АВ — характеристика дуги и R— добавоч-
ное сопротивление, а напряжение сети U (фиг. 51,2). Про-
водим через точку U прямую под углом а к оси абсцисс
так, чтобы tg а — R\ точки пересечения этой прямой с харак-
теристикой дуги определяют два состояния горения дуги
U = R1X + U, = RI2 + U2. (51,3)
При токе. Д дуга гореть не может, так как малейшее
случайное уменьшение напряжения еще больше увеличивает
значение тока, пока ток не достигнет значения /2 (фиг, 51,2).
Вольтова дуга нашла себе широкое техническое приме-
нение в прожекторах, как источник света, в электрических
печах и при электросварке, как источник тепла. При помощи
вольтовой дуги можно получить TeMnepaTvpbi порядка 4 000° С.
Вольтова дуга при горячем (накаленном) катоде и холод-
ном аноде обладает односторонней проводимостью. Так, ду-
га между накаленным угольным электродом и массивной
медной пластиной (хорошо отводящей тепло) может гореть
только тогда, когда угольный электрод является катодом.
На выпрямляющем действии вольтовой дуги при холодном
аноде основана работа ртутных выпрямителей (фиг. 51,3). В
этих аппаратах катодом служит ртуть, а анодом графитовые или
железные электроды А — А. помещенные в эвакуированную
стеклянную колбу. Катодное пятно поддерживается во избе-
жание случайных перерывов тока пропусканием небольшого
248
Постоянный ток
[гл. 2
тока пониженного напряжения от двух вспомогательных элек-
тродов а — а, а зажигается кратковременным наклоном кол-
бы до соприкосновения ртути с третьим вспомогательным
электродом Z?, образующееся при этом соединение в виде тон-
кой струйки при прохождении тока испаряется и заполняет всю
колбу парами ртути. Испускаемые раскаленным пятном ка-
тода электроны под действием электрического поля между
соответствующим анодом и катодом приобретают скорость,
ионизируют молекулы паров ртути, при этом отщепляются но-
вые электроны и образуются положительные ионы ртути;
электроны направляются к аноду, а положительные ионы к
катоду. Ионы как более тяжелые частицы перемещаются зна-
чительно медленнее электронов, вследствие чего электриче-
ский ток создается главным образом электронами. В результа-
те очень быстро устанавливается такое состояние, при кото-
ром концентрации электронов и (положительных) ионов рту-
ти уравниваются во всем объеме между анодами и катодом
и в среднем компенсируют друг друга так, что во всем
объеме за исключением точек, непосредственно прилегающих
к электродам, как бы отсутствуют объемные заряды. Такое
состояние паров ртути (или газа), при котором объемные за-
ряды того и другого знака компенсируют друг друга и в то
же время пары (или газ) являются проводником, Лангмюр на-
звал плазмой. Благодаря проводимости плазмы падение на-
пряжения в столбе между анодом и катодом весьма невелико
в отличие от электронных выпрямителей, в которых благо-
даря накоплению отрицательных объемных зарядов мы имеем
большее падение напряжения между анодом и катодом.
В ртутных выпрямителях это падение составляет 25-4-35 V.
Меньшее падение напряжения имеют газотроны(10 ч-25 V), в
которых металлический катод непосредственно накаливается
пропусканием через него тока от постороннего источника.
Газотроны наполняются инертным газом (аргоном, неоном, ге-
лием), а также парами ртути. Ртуть вводится в колбу в виде
капли ртути, которая испаряется под действием тепла, вы-
деляемого катодом.
Если ртутные выпрямители или газотроны снабдить сет-
ками, помещаемыми перед анодами, то, сообщая им отрица-
тельный по отношению к катоду потенциал, можно „запереть*
соответствующий анод, т. е. ток не будет проходить от этого
анода к катоду. Но в отличие от электронных ламп с сеткой
мы в ионных выпрямителях при помощи сеток не можем пре-
рвать проводящий ток, так как у поверхности сетки при про-
хождении тока накапливаются со стороны плазмы положи-
тельные заряды, которые компенсируют действие отрица-
тельных зарядов на поверхности сеток. При помощи сеток
в ионных приборах можно после того, как ток спал до нуля,
§ 52]
Электропроводность диэлектриков
249
воспрепятствовать возникновению тока, если вновь будет
приложено к аноду положительное напряжение.
52. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ И ЖИДКИХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
И ИХ ПРОБОЙ
В главе об электрическом токе мы предполагали, что ди-
электрики отличаются абсолютным отсутствием электропро-
водности (у = 0). Однако все диэлектрики, как твердые и
жидкие, так и газообразные обладают, хотя по сравнению с
металлами и ничтожно малой, но все же некоторой измеримой
электропроводностью. В отличие от металлов, в которых име-
ется большое число свободных электронов (электронов прово-
димости), в диэлектриках электроны и ионы находятся в
связанном состоянии, и если и могут иметь место свободные
электроны и ионы, то число их весьма и весьма мало. Благо-
даря большой плотности строения и меньшему расстоянию
между молекулами в твердых и жидких диэлектриках длина
свободного пути электронов и ионов меньше, чем в газах.
Вследствие этого последние не могут приобретать в электри-
ческом поле достаточной кинетической энергии для ионизации
других молекул, и потому однородные по своему составу и
строению твердые и жидкие диэлектрики имеют меньшую
электропроводность, чем газы при обычных условиях.
Неоднородность структуры и разные примеси, а также
разные включения в виде воздушных пузырьков и прослоек
и инородных частиц могут значительно изменить электропро-
водность диэлектрика. Так, образцы одного и того же ве-
щества могут показывать электропроводности, отличающиеся
друг от друга в десятки и сотни раз, что объясняется боль-
шим влиянием даже ничтожных примесей. Под влиянием при-
ложенного напряжения электропроводность диэлектриков мо-
жет изменяться с течением времени в результате переноса
к электродам и отдачи им зарядов, имеющихся в диэлектрике
(несвязанных электронов и ионов), и удаления примесей в
виде мелких взвешенных частиц, например, в жидких ди-
электриках. Электропроводность диэлектриков может изме-
няться также в результате накопления объемных зарядов
(ионов) вблизи электродов и перераспределения электри-
ческого поля.
Электропроводность диэлектриков осуществляется преиму-
щественно ионами одного знака, нося в отдельных случаях
электролитический характер. Так, ток в каменной соли и се-
литре осуществляется ионами натрия, в хлорном свинце ионами
хлора. Электропроводность в диэлектриках может носить и
электронный характер (в сернистых соединениях и окисях
металлов).
250
Постоянный ток
[гл. 2
Ионная и электронная электропроводность диэлектриков
в противоположность металлам быстро возрастает с повы-
шением температуры в силу усиления теплового движения
и ослабления связи между составными частями молекул.
Температурный коэфициент сопротивления имеет отрицатель-
ное значение.
Качество изоляции различных конструкций определяется
не только большим удельным сопротивлением диэлектрика,
но и так называемым поверхностным сопротивлением/сопро-
тивлением между металлическими частями, имеющими разные
потенциалы по поверхности соприкосновения диэлектрика с
воздухом). Поверхностное сопротивление зависит главным
образом от состояния поверхности, от ее влажности и сте-
пени загрязнения. Особенно сильное колебание значений поверх-
ностного сопротивления наблюдается у тех диэлектриков,
на поверхности которых может образоваться непрерывная плен-
ка влаги.
При увеличении приложенного напряжения наступает про-
бой диэлектрика, который приводит к его разрушению в за-
висимости от диэлектрика или к появлению трещин и сквоз-
ных каналов или к изменению его химического строения,
прожигу или обугливанию. Напряжение, при котором начи-
нается пробой, называется пробивным напряжением, а гра-
диент потенциала (напряженность поля), при котором диэлек-
трик пробивается, электрической прочностью.
Пробой диэлектриков объясняют непосредственным дей-
ствием электрического поля, разрывающим молекулы на ионы,
ударной ионизацией имеющихся в диэлектрике ионов и, на-
конец, неравномерным распределением плотности тока в ди-
электрике и перегревом отдельных частей его, приводящим
к так называемому тепловому пробою.
Непосредственный механический разрыв молекул диэлек-
трика электрическим полем мало вероятен, так как для э'гого
потребовались бы чрезмерно большие градиенты (порядка
kV \
Ю ООО у» которые в тысячи раз больше наблюдаемых
значений электрической прочности. Причину пробоя диэлек-
трика следует усматривать в неоднородностях строения ди-
электриков и в неизбежных примесях, всегда имеющихся в
диэлектриках, что объясняет то обстоятельство, что тонкие
слои одного и того же диэлектрика выдерживают значительно
более высокие градиенты потенциала, чем толстые. Благо-
даря неоднородностям в диэлектрике напряженности электри-
ческого поля в отдельных местах могут быть значительно
выше своего среднего значения, и чем толще слой, тем ндая*
ние неоднородностей будет сказываться сильнее.
§ 53] Проводники с нелинейными характеристиками 251
При этом имеющиеся в диэлектрике свободные электроны
и ионы на отдельных участках поля приобретают достаточ-
ную кинетическую энергию для ударной ионизации, в резуль-
тате чего, как в газах, получается при достаточном напря-
жении лавинообразное увеличение движущихся ионов, при-
водящее к быстрому нарастанию тока и затем к пробою.
По тепловой теории ввиду неоднородности диэлектрика
отдельные элементы объема его обладают различной элек-
тропроводностью. В таких, элементах с большей электропро-
водностью поля плотность тока будет больше, в них будет
поглощаться больше энергии, они будут больше нагреваться,
вследствие чего их электропроводность будет возрастать и
плотность тока в них еще больше увеличиваться, и т. д.,
пока от повышения температуры диэлектрик не расплавится
или не загорится. Разные включения, например, воздушные,
при пористом строении могут в результате повышения тем-
пературы вызывать механические усилия, от которых диэлек-
трик, как, например, фарфор, будет трескаться и распадаться
на части.
В жидких диэлектриках, например, в масле, пробивное
напряжение сильно снижается от присутствия даже следов
влаги. Капельки влаги, так же как и другие возможные
включения в виде волокон изоляции и т. п, располагаются
в электрическом поле в виде цепочек, по которым и проис-
ходит разряд.
Кроме непосредственного пробоя диэлектрика возможны
еще поверхностные разряды. Опыт показывает, что поверх-
ностный разряд наступает обычно при меньших напряже-
ниях, чем это соответствовало бы разряду при том же рас-
стоянии в воздухе. Объясняется это скоплением объемных
зарядов у электродов и вызванным этим неравномерным
распределением потенциала, вследствие чего напряженность
поля в отдельных местах превышает диэлектрическую проч-
ность воздуха.
53. ПРОВОДНИКИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Нелинейные сопротивления или проводники с нелинейной
‘характеристикой, это такие, которые не подчиняются закону
Ома и в которых так называемая вольтамперная ха-
рактеристика не представляется прямой линией, про-
ходящей через начало координат. Так, в лампах с металли-
ческими нитями сопротивление нити с повышением напряже-
ния увеличивается, а в лампах с угольными нитями пони-
жается. В соответствии с этим вольтамперная характеристика
металлических ламп отклоняется от прямой кверху, а уголь-
ных ламп книзу.
252
Постоянный ток
[гл. 2
В так называемых барретерах, применяемых для автома-
тической регулировки тока, например, в цепях накала элек-
тронных ламп, и состоящих из железных спиралей, помещае-
мых в запаянных колбах, наполненных водородом, вольтам-
перная характеристика в некоторых пределах при колебаниях
напряжения дает один и тот же ток.
Вольтова дуга имеет ниспадающую характеристику. Весьма
характерную вольтамперную характеристику имеют так назы-
ваемые тиритовые пластинки, изготовляемые путем обжига
смеси графита и карборунда и применяемые, в качестве элек-
трических разрядников, пропускающих ток только при повы-
шенных напряжениях; в них ток меняется примерно в степени
3,6 от напряжения
1 = АО\ (52,1)
Нелинейной характеристикой обладают также все электрон-
ные и ионные приборы.
Эти приборы имеют одностороннюю проводимость и могут
работать как выпрямители.
Неодинаковые падения напряжения мы имеем в зависимо-
соприкосновения разнород-
ных проводников вслед-
ствие наличия в этих ме-
стах контактных разно-
стей потенциалов, кото-
рые могут или увеличи-
вать, или уменьшать па-
дение напряжения. Кон-
тактные разности потен-
циалов весьма невелики и
их приходится учитывать
лишь при очень точных
измерениях.
Весьма большой инте-
рес представляет односто-
ронняя проводимость, ко-
торая наблюдается в бес-
конечно тонком слое непосредственного соприкосновения
некоторых хороших проводников с так называемыми полу-
проводниками, представляющими нечто среднее между про-
водниками и диэлектриками. В бесконечно тонком слое их
соприкосновения образуется так называемый запирающий
слой, пропускающий электроны в одном направлении и
тормозящий их движение в другом, как мы это видели
при рассмотрении фотоэффекта.
На возникновении такого запирающего слоя во время
прохождения тска основано действие купроксных (сухих)
сти от направления тока в слоях
Фиг. 53,1.
§ 53] Проводники с нелинейными характеристиками 253
выпрямителей. Они состоят из медных пластинок (фиг. 53,1),
покрытых слоем закиси меди Си2О, которая является полу-
проводником. Слой закиси меди получается в результате
окисления поверхности пластинки в воздухе при нагреве ее
до высокой температуры (1 000° С) и последующем быс-
тром охлаждении. К закиси меди прилегает другая про-
водящая среда — свинец. Когда такой элемент включается в
медь соединена с
плюсом источника
больший ток, чем
4
12
электрическую цепь, то в случае, если
минусом, а закись меди через свинец с
тока, то в цепи протекает значительно
если бы медь была соединена с плю-
сом, а закись меди с минусом. Концен-
трация свободных электронов в меди
значительно больше, чем в закиси меди,
и в меди, как в лучшем проводнике,
электроны требуют меньшей энергии,
чтобы быть оторванными от атомов, чем
в закиси меди. Если такой элемент
включен в замкнутую цепь, в которой
нет э. д. с., электроны на
пирающего слоя нахо-
дятся в равновесии,
и никакого движения
электронов не происхо-
дит. Если же такой эле-
мент включается в цепь
источника тока так, что медь соединена с минусом, то свобод-
ные электроны из меди, где они имеют большую концен-
трацию, чем в закиси меди, под действием внешнего поля
свободно проходят через бесконечно тонкий так называемый
запирающий слой у поверхности соприкосновения меди с
сторонах за-
10
l.f 3 гА г0
Фиг. 53,2.
в
6
' I 4
4 /
Г
закисью меди; они проходят далее через закись меди к
плюсу источника тока, сравнительно мало обмениваясь
энергией с электронами атомов закиси меди. Если же внеш-
нее поле направлено от меди к закиси меди, т. е. медь соеди-
нена с плюсом источника тока, то ввиду того, что отрыв
электронов от атомов закиси меди требует затраты боль-
шей энергии и протекает медленнее, чем в меди, атомы
Закиси меди, прилегающие к пограничному слою, освобож-
даются от электронов под действием поля, создавая на
границе закиси меди положительные поверхностные заряды,
создающие в пограничном слое встречное электрическое поле,
направленное в сторону, противоположную внешнему полю.
Это встречное поле тормозит движение электронов, снижая
число проходящих электронов и тем самым уменьшая ток.
На фиг. 53,2 изображена кривая значений пропускаемого
тока в зависимости от приложенного напряжения.
254
Постоянный ток
[гл. 2
Если такой элемент включить в цепь переменной э. д. с.,
то количество электричества, протекающего в одном направ-
лении, будет значительно больше, чем в другом, и среднее
значение тока будет направлено в одну сторону, т. е. такой
элемент будет работать как выпрямитель.
Встречное поле в запирающем слое купроксных выпря-
мителей дает разность потенциалов до 3,5 V, и если напря-
жение источника тока превышает это напряжение, то встреч-
ное поле распадается и выпрямитель теряет свое вентильное
действие. При выпрямлении более высоких напряжений вы-
прямляющие элементы собираются в столбики (батареи).
Выпрямляющее действие такого выпрямителя с повыше-
нием температуры пропадет, так как тепловое движение об-
легчает отрыв электронов от атомов и препятствует образо-
ванию встречного поля. Поэтому такие элементы снабжаются
охлаждающими поверхностями, которые отводили бы тепло, в
которое переходит энергия, поглощаемая в запирающем слое.
Если в цепи имеются нелинейные сопротивления (фиг. 53,3),
то токи и напряжения не могут быть найдены обычными
алгебраическими методами, так как уравнения Кирхгофа
теряют свою линейность и потому в таких случаях прихо-
дится прибегать к графическим методам (фиг. 53,4).
Положим, что в цепи с напряжением OU включено не-
линейное сопротивление /?2 с вольтамперной характеристикой
§ 54]
Токи смещения
255
ОЬВ последовательно с омическим сопротивлением 7?t. Если
в точке U провести с соблюдением соответствующего мас-
штаба под углом tga = /?j прямую линию UM, то абсцисса
точки пересечения этой линии с вольтамперной характеристикой
нелинейного сопротивления дает искомый ток / = Оа, так как
U = ab + bc = U2 + RvI, (53,2)
где U2 = ab — напряжение на концах нелинейного сопротив-
т ас — nb
ления и, следовательно, ток будет равен 1 =------.
Пусть теперь нам дана цепь, в которой (фиг. 53,5) не-
линейное сопротивление /?2 соединено параллельно с оми-
ческим сопротивлением R, и эти две параллельные ветви на-
ходятся в последовательном соединении с омическим сопро-
тивлением /?Р Строим сначала (фиг. 53,6) на основании задан-
ной характеристики нелинейного сопротивления R2 ОСВ и
вольтампернойхарактеристики сопротивления/?, представляю-
щей собой прямую ОМ проходящую через начало коорди-
нат под углом tg [3 —/?, вольтамперную характеристику ОЬВ1
двух параллельных ветвей, для чего складываем абсциссы
одних и тех же ординат этих двух характеристик
тп = тр + rnq.
Затем у точки заданного напряжения U проводим наклон-
ную прямую UM под углом tga = Rx.
Тогда напряжение на клеммах двух параллельных ветвей
определится отрезком aby ток в общей ветви — отрезком
Оа — еЬу ток в нелинейном сопротивлении отрезком ес и
сопротивление /?2 отрезком ed = cb.
54. ТОКИ СМЕЩЕНИЯ
Электрические поля в диэлектриках и в проводниках рас-
сматривались нами как поля установившиеся, т. е. от вре-
мени не зависящие и с течением времени не меняющиеся. В
пространстве, где существует электростатическое поле, т. е.
поле, не меняющееся во времени и в котором все заряды непо-
движны, нет электрических токов и магнитное поле от-
сутствует. Иначе обстоит дело в течение времени, пока со-
здается это электрическое поле и достигается его неизмен-
ное состояние. Накоплению зарядов в отдельных точках поля
предшествует их перенос в эти точки, что связано с их
движением, т. е. электрическим током. Одновременно с на-
коплением зарядов происходит в окружающей среде и измене-
ние электрического поля, неразрывно связанного с зарядами.
В меняющемся электрическом поле как в вакууме, так и в
любом диэлектрике одновременно с напряженностью поля
Е изменяется также и электрическая индукция D.
256
Постоянный ток
[гл. 2
По Максвеллу это изменение электрической индукции
(или как Максвелл назвал эту величину—электрическое смеще-
ние) по своему действию равноценно электрическому току,
названному им током смещения. Плотность этого тока равна
отношению изменения электрической индукции к соответ-
ствующему промежутку времени, когда этот промежуток вре-
мени стремится к нулю
(54,1)
Токи смещения появляются только во время изменения
электрического поля; как только электрическое поле дости-
гает своего стационарного состояния (D = const), токи сме-
щения исчезают.
Токам смещения, как и токам в проводах, сопутствуют
магнитные поля, и чем быстрее происходит изменение электри-
ческого поля, тем сильнее сказывается и
действие магнитного поля.
Влияние магнитных полей, обуслов-
ленных токами смещения, сказывается
при быстрых изменениях электрического
поля (при высоких частотах). Однако те
изменения электрического поля, о кото-
рых идет речь здесь, происходят срав-
нительно медленно. Поэтому токи сме-
щения имеют весьма малую плотность, и
Фиг. 54,1. создаваемые ими магнитные поля весьма
слабы. Мы здесь ограничиваемся рассмо-
трением лишь электрической стороны явлений, связанных
с токами смещения, оставляя в стороне явления магнитные.
Положим, что мы имеем электрическое поле между двумя
проводниками, разделенными идеальным диэлектриком (у=0)
и присоединенными к источнику постоянного тока (фиг. 54,1).
Во время создания электрического поля по проводам, со-
единяющим эти проводники с источником тока, протекает
электрический ток в направлении от проводника, соединен-
ного с минусом, к проводнику, соединенному с плюсом источ-
ника тока. В результате этого на одном проводнике будет
накапливаться положительный заряд, а на другом такой же
по величине, но отрицательный. Одновременно с накоплением
зарядов увеличиваемся и индукционный поток, связывающий
оба проводника. Если заряд на поверхности проводников за
время dt увеличивается на dq, то соответствующий ток в
проводах будет:
dt ‘
(54,2)
§ 54 1 Токи смещения 257
Разобьем все пространство электрического поля между
проводниками на индукционные трубки. На поверхности про-
водника плотность заряда равна электрической индукции
а = £>, и внутри каждой_трубки индукционный поток имеет
одно и то же значение D - dS. Если скорость изменения по-
верхностного заряда у основания индукционной трубки будет:
ds, (54,3)
то с такой же скоростью будет меняться и индукционный
поток внутри всей трубки от одного проводника к другому; но
d® j с*
— • dS есть та доля тока, которая притекает к основанию
dt
трубки, а является продолжением этой доли заряда
тока, переходящего в электрическом поле в ток смещения
и имеющего плотность:
7“ d D ..
Если мы просуммируем токи смещения во всех индукцион-
ных трубках, то в сумме мы получим ток, подводящий за-
ряды к проводникам и протекающий в соединительных про-
водах. Таким образом токи смещения замыкают электриче-
скую цепь, и мы имеем замкнутый ток во всей цепи во время
создания или изменения электрического поля.
В соответствии с тем, что электрическая индукция равна
Р=е0£+Л
плотность тока смещения может быть представлена в виде
слагающих: _ _
— dD d^E . dr>
= ~~dT = ~dT + ~dT >
где вторая слагающая обусловлена изменением поляризации
атомов и молекул вещества диэлектрика. Она представляет
собой перемещение, хотя и на бесконечно малую величину,
элементарных зарядов (в результате ли смещения положи-
тельных и отрицательных зарядов, входящих в состав ато-
мов и молекул, или в результате поворота молекулярных ди-
полей). Вторая слагающая равна по величине количеству
зарядов, прошедших через единицу площади в единицу вре-
мени, и является плотностью тока в истинном смысле этого
слова. Что касается первой слагающей, то она не связана
с непосредственным движением зарядов; она обусловлена
изменением самого электрического поля и представляет собой
•17 К. А. Круг, т. I.
258
Постоянный ток
*гл. 2
плотность того тока смещения, который имел бы место, если
бы в данной точке вещество отсутствовало. Для замкнутой
поверхности согласно теореме Гаусса поток электрической
индукции равен находящемуся внутри ее заряду:
fDdS=q,
S
поэтому мы можем написать, что
(£— dS= фъ -dS = — =— Г Г -dS, (54,6)
J dt J D dt J Y
s
где левый интеграл относится ко всей замкнутой поверхно-
сти, через которую проходят токи смещения, а правый лишь
к той части этой поверхности, которая получается от пере-
сечения этой поверхности с проводником, через которые
вносятся заряды. Положим, что внесение осуществляется
токами проводимости, имеющими плотность By; эти токи на-
правлены внутрь поверхности, и потому перед правым ин-
тегралом стоит знак минус. Из последнего уравнения следует,
что полный ток, проходящий через замкнутую поверхность,
равен нулю
/(A +bD)dS=§l>-dS=0
или, если применить преобразование Гаусса,
dS —Д div о d О,
v
то мы получаем, что
divF=0. (54,7)
Из этого соотношения следует, что полный электрический
ток не имеет ни начала, ни конца и что он является непре-
рывным, т. е. что линии тока являются замкнутыми на себя.
55. ЗАРЯДКА И РАЗРЯД КОНДЕНСАТОРА
Накопление зарядов на обкладках конденсатора и созда-
ние неразрывно связанного с ним поля требует времени. Это
время зависит, с одной стороны, от емкости конденсатора и
сопротивления, включенного между конденсатором и источ-
ником тока, а с другой, от величины напряжения источника
тока (фиг. 55,1). По мере накопления зарядов на обкладках
растет и напряжение между ними. Это напряжение в цепи
§ 55]
Зарядка и разряд конденсатора
2Е9
действует в сторону, обратную действию напряжения источ-
ника тока, и потому зарядный ток равняется
i=^^- = ^.=C—, (55,1)
R dt dt '
R
Фиг. 55,1.
pi
где U — напряжение источника тока; С — емкость конденса-
тора; и—напряжение между обкладками; q=C*u,—заряд кон-
денсатора; — сопротивление цепи.
Последнее уравнение приво-
дится к линейному диференциаль-
ному уравнению первого порядка
с правой частью
du , и __Е7
dt RC ~RC
такого диферен-
уравнения является
Решением
циального
выражение
которое мы
подставляем в диференциальное уравнение
pt 1 / pf\ U
р-Ае -I—“ I Хл—А • с I = *
г 1 RC\ 01 RC
Отсюда мы
получаем, что
л0 и
— —------ или
RC RC
Ай=и
(55,2)
pt
л Pt А
рА * в • в = О
и
или
р =---— •
r RC
(55,3)
Для напряжения конденсатора и получается следующее
решение:
t
RC
u=U+A-e . (55,4)
Постоянную А мы можем определить на основании сооб-
ражения, что в первый момент, когда конденсатор приклю-
чается к источнику тока, т. е. при /—0, на конденсаторе
нет зарядов и его напряжение равно нулю. Если бы это было
не так и заряд и напряжение конденсатора сразу скачком
17*
26b
Постоянный ток
[гл. 2
получали конечные значения, то это могло бы быть осуще-
ствлено при бесконечно большом значении тока
Z = I’m — = lim
чего, очевидно, не может быть; поэтому
о
И/=0=о-^г74-д-/ =и + А,
откуда Д= —U.
Таким образом напряжение между обкладками конденса-
тора при его зарядке изменяется согласно следующему урав-
нению
__t_
RC
u = U-U-e , (55,5)
и ток
__L
i = C-—=~-е~* (55.4
dt R R •
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе в пе-
риод нестационарного состояния состоит из двух слагающих:
соответствующей конечному состоянию, когда процесс за-
рядки закончится (теоретически, когда t=co), и другой сла-
гающей, переменной, которая в первый момент (^==0) равна
и противоположна стационарному напряжению и постепенно
убывает, приближаясь к нулю. Что касается тока, то он
не имеет постоянной слагающей, так как после окончания
зарядки (/=си) ток прекращается. Ток имеет лишь перемен-
ную слагающую, которая в первый момент (/=0) получает
значение
, —; — У-
l't=Q—*0— ’
ибо в первый момент напряжение на конденсаторе равно
нулю.
Коэфициент
z=RC,
имеющий размерность времени и носящий название посто-
янной времени цепи или времени релаксации, указы-
вает то время, в течение которого ток и переменная со-
ставляющая напряжения на конденсаторе уменьшаются в
$=2,718 раз.
§ 55]
Зарядка и разряд конденсатора
261
Пусть
тогда
t t1 т
1-^ Iq * 0 И 12 — • 0
If 1^=0 =—•
Чем меньше сопротивление цепи R и емкость С, тем меньше
время релаксации и тем быстрее напряжение конденсатора
достигает своего предельного значения.
На фиг. 55,2 приведены кривые,
показывающие, как изменяются на-
пряжение на конденсаторе и ток во
время зарядки конденсатора.
В соответствии с тем, что на-
пряжение источника тока при за-
рядке конденсатора распадается на
две слагающих U = R-i-]-u, и энер-
гия, поступающая от источника тока,
состоит из двух равных частей: одна
поглощается в виде джоулева тепла
гая переходит в энергию электрического поля в конденсаторе
ОО по со
W=\U-i dt=\R-i2dt-\-\U-i-dt. (55,7)
ООО
со СП 2/ ос 2t
Сп С^3 / л С-U2 С / 2/ \ С(Р
\R-i2dt=\~-e dt=--------\е </ — =--------•
J J R 2 J \RC / 2
оо о
<» _j_ _t_
Сп/1 а RC\ ° RC л—С-и* ,СС(П
lv(l -в ) • — • dt — - . (55,8)
J К 2
о
Как видно, количество энергии, поглощенное в сопротивле*
нии, и количество энергии, накопленной в поле конденсатора,
равны между собой, и поэтому независимо от величины со-
противления R к. п. д. при зарядке конденсаторов равен 0,5.
При зарядке последовательно соединенных конденсаторов,
если их диэлектрики не имеют проводимости, зарядный ток
для всех конденсаторов имеет одно и то же значение, и на-
пряжения на конденсаторах распределяются обратно пропор-
ционально емкостям.
Иначе обстоит дело, когда сопротивления диэлектриков
имеют конечное значение, так как тогда в каждом конден-
саторе ток распадается на две составляющих: на зарядный ток
и на ток проводимости, которые в обоих конденсаторах могут
262
Постоянный ток
[гл. 2
иметь разные значения. Схематически каждый такой конден-
сатор может быть представлен в виде двух параллельных
ветвей, из которых одна представляет собой идеальный кон-
денсатор (с бесконечно большим сопротивлением), а другая
имеет лишь одно конечное сопротивление (фиг. 55,3). При
зарядке вначале напряжение источника тока распределяется
между конденсаторами обратно пропорционально их емкостям,
ибо вначале благодаря относительно большему сопротив-
лению диэлектриков конденсаторов большая часть зарядов
скапливается на обкладках и сравнительно малая проходит
через диэлектрики конденсаторов, в дальнейшем же напря-
жения на конденсаторах устанавливаются пропорционально
их внутренним сопротивлениям, так как благодаря проводи-
мости диэлектриков будет устраняться накопление зарядов
на обкладках конденсаторов. Так, если в плоском конденса-
торе между одной обкладкой и диэлектриком (например, бу-
магой) имеется воздушная прослойка (фиг. 55,36), то вслед-
ствие того, что отношение удельного сопротивления воздуха
к удельному сопротивлению бумаги весьма велико, приложен-
ное к конденсатору напряжение в конечном состоянии почти
полностью будет приложено к воздушному зазору.
Фиг. 55,4.
Перейдем к рассмотрению разряда
конденсатора. Пусть конденсатор, заря-
женный до напряжения £70, включается
на сопротивление R (фиг. 55,4). Тогда
заряды с одной обкладки будут перехо-
дить на другую и в цепи потечет ток,
замыкающийся через конденсатор в виде
тОка смещения. Количество прошедшего
за врямя dt заряда равно уменьшению
заряда на обкладках конденсатора за то
же время
idt=-dq, = (55,9)
С другой стороны, падение напряжения в сопротивлении R
должно равняться напряжению между обкладками
du
u—R-i = — RC—
§ 55]
Зарядка и разряд конденсатора
263
ИЛИ
du и
dt+RC=Q- (55,Ю)
Решением этого диференциального уравнения является выра-
жение
pt
и=Асе . (55,11)
В начальный момент t~0 напряжение конденсатор; равно
t/0, а по ому Аг = (70. Подставляя и в уравнение (55,10),
мы находим, что
pt pt
U0-e = — U^e \RCpy
откуда
1 1
P = ~RC~ ~ '
Таким образом напряжение на конденсаторе при разрядке
меняется по закону
t
RC
u = U^e , (55,12)
а разрядный ток
t
RC- (55,13)
к к
Сравнение процессов разрядки и зарядки показывает, что
при одном и том же сопротивлении цепи и при одном и том
же значении начального напряжения при разрядке и ко-
нечного значения при зарядке U теки в цепи изменяются
тождественно, с той лишь разницей, что они имеют противо-
положные направления. Напряжение при разряде меняется
так же, как переменная слагающая напряжения конденсатора
при зарядке. Постоянная времени x — RC в обоих случаях
имеет одно и то же значение. На фиг. 55,2 показаны также
кривые изменения напряжения и тока при разрядке конденса-
тора в зависимости от времени. Кривые напряжения и тока
при разрядке совпадают с кривыми U— и и i при зарядке.
Энергия, которая при разрядке поглощается в сопротив-
лении R
2t
W^R^.dt=^ -e~RC .dt = C-^ (55>14)
0 0
равна энергии, которую имеет конденсатор в начале разряда.
264
Постоянный ток
{гл. 2
Электрическое поле заряженного конденсатора, если: оно
не поддерживается извне, не может сохраняться бесконечно
долго. Благодаря проводимости диэлектрика обкладки будут
разряжаться через диэлектрик и тем самым заряды на об-
кладках и поле будут уменьшаться; конденсатор будет раз-
ряжаться сам на себя, причем разрядный ток будет равен:
• и da du / г“ 1 г* \
z = —= = — = —С-—(55,15)
R dt di
где R — сопротивление, a g— проводимость всей среды, раз-
деляющей обкладки конденсатора.
Так как проводимость между двумя электродами и емко-
сти определяются по тождественным формулам (33,10), то
постоянная времени при саморазряде выражается через
x=RC=-^- = -^~ =вр, (55,16)
где е — диэлектрический коэфициент; у — удельная проводи-
мость, р — удельное сопротивление диэлектрика.
Таким образом время саморазрядки конденсатора не зави-
сит от формы обкладок, а зависит лишь от фазических
свойств среды.
Саморазрядку конденсатора можно использовать для опре-
деления сопротивления его диэлектрика (например, для опре-
деления изоляции кабеля), если известна емкость конденса-
тора С. Для этого заряжают конденсатор до определенного
напряжения и определяют заряд на конденсаторе, соот-
ветствующий этому напряжению путем разряда конденсатора
на баллистический гальванометр
C/q = Kball * «о,
затем снова заряжают конденсатор до того же напряжения
и по истечении времени t разряжают его на тот же балли-
стический гальванометр. Заряд кондеиса.ора благодаря утеч-
ке будет уже меньше
RC
Q — С • Uq • е =з Кьаи • л,
откуда
t
eRC = _?0_
а
ЦЛИ
= 1п-^- и ----------— . (55,17)
а ал '
С-1П---
Я
§ 55]
Зарядка и разряд конденсатора
265
Наблюдаемые иногда отклонения в процессах зарядки и
разряда конденсаторов от выше рассмотренных выражаются
в том, что процессы зарядки и разрядки протекают медленнее
и в разряженном конденсаторе после размыкания цепи выяв-
ляются остаточные заряды. Эти отклонения следует объяс-
нить неоднородностями в строении диэлектриков, в особенно-
сти неоднородностями их проводимости, вследствие чего в
диэлектрике во время зарядки и разрядки происходят мест-
ные перераспределения полей, которые благодаря относитель-
но большим значениям удельного сопротивления диэлектри-
ков протекают медленно.
Фиг. 55,5.
Рассмотрим еще так называемые релаксационные колеба-
ния, основанные на периодической зарядке и разрядке кон-
денсаторов. Если параллельно с конденсатором, заряжаемым
через большое сопротивление от источника постоянного тока,
включить искровой разрядник (неоновую лампу или какой-ни-
будь другой подобный элемент), пробивающийся при опреде-
ленном напряжении и быстро разряжающий конденсатор
(фиг. 55,5), то напряжение конденсатора будет изменяться
по периодической кривой (фиг, 55,6), так как после каждого
разряда конденсатора будет следовать более медленная его
зарядка. Если в цепь зарядного тока включить электронную
лампу, работающую на токе насыщения (фиг. 55,7 и 8),
то зарядный ток будет постоянен
__dq ___C'du
~И — dt
— constг
266
Магнитное поле
[гл. 3
и напряжение на конденсаторе при зарядке будет расти
пропорционально времени
«=C-2SL./, (55,18)
оно будет изменяться по пилообразной кривой.
Такая схема применяется в катодных осциллографах для
получения так называемой развертки времени.
ГЛАВА III
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
56. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
С магнитными явлениями были знакомы еще древние гре-
ки, которые наблюдали притяжение стали кусками так на-
зываемой магнитной руды, добывавшейся около города Маг-
незии в Малой Азии, откуда, видимо, и произошло слово
„магнит*, — слово, которым мы называем тела, обладающие
свойством притягивать сталь. Изготовление так называе-
мых искусственных магнитов — стальных стержней — путем
обработки их естественными магнитами и применение таких
стержней в виде стрелок для установления стран света были
известны в западных странах уже в средние века, хотя имеют-
ся основания предполагать, что китайцам применение ком-
паса в мореплавании было известно значительно раньше.
Первые исследования магнитных явлений принадлежат
англичанину Гильберту. Магнитные явления приписывались
особого рода невесомому веществу магнетизма или магнит-
ным массам, которые предполагались двоякого рода: поло-
жительной или северной, тождественной с магнитной массой,
сосредоточенной на северном (обращенном к географическому
северу) полюсе или конце свободно подвешенной магнитной
стрелки, и отрицательной или южной магнитной массы, тож-
дественной с массой, сосредоточенной на другом конце стрелки.
Установление Ньютоном закона всемирного тяготения
оказало на общее направление изучения магнитных явлений
определенное влияние, которое нашло свое отражение в том,
что Кулоном был предложен закон магнитных взаимодействий,
аналогичный закону Ньютона. Именно, по закону Кулона
сила взаимодействия полюсов магнитов определялась как
сила, пропорциональная магнитным массам или количествам
магнетизма этих масс и обратно пропорциональная квадрату
расстояния между ними.
Несмотря на давность знакомства с электрическими яв-
лениями и исследование электрических и магнитных полей
иногда одними и теми же лицами, все же явления электри-
чества и магнетизма рассматривались долгое время незави-
§ 56] Магнитное поле и магнитная индукция 267
симо друг от друга, как явления, ничем друг с другом не
связанные, если не говорить о некоторых формальных анало-
гиях, вытекавших из применения закона Кулона для тех и
других явлений. Лишь в 1829 г. Эрстедтом было открыто
действие электрического тока на магнитную стрелку, чем
было доказано образование электрическим током вокруг себя
магнитного поля. Вскоре после этого Ампером было установ-
лено взаимодействие электрических токов. Опытным иссле-
дованиям Ампера мы обязаны всесторонним выяснением за-
висимости силы взаимодействия двух токов от величины
этих токов и взаимного расположения отдельных элементов
тех контуров, по которым эти токи протекают. Амперу же
принадлежит правильное объяснение магнитных свойств по-
стоянных магнитов. Исходя из тождества действия соленоидов
(спиралей, обтекаемых током) и магнитов, Ампер усматривал
возможную причину магнитного действия магнитов в нали-
чии в стали круговых токов. Это вполне совпадает с объяс-
нением современной ориентацией молекулярных токов. Даль-
нейшее сильное развитие учение о магнитных явлениях по-
лучило в работах Фарадея. Фарадей показал, что взаимо-
действие магнитных полюсов, равно как и электрических за-
рядов, осуществляется не дальнодействием одного полюса на
другой, а через посредство той среды, которая их разделяет.
Фарадеем же была открыта электромагнитная индукция—на-
ведение тока в замкнутом контуре при изменении в нем маг-
нитного потока — явление, которое лежит в основе развития
всей созременной электротехники.
Несмотря на то, что несостоятельность предположения
о существовании магнитных масс является давно доказанной,
очень многие продолжают изложение магнитных явлений на-
чинать с взаимодействия магнитных масс или полюсов, при-
бегая в лучшем случае с самого начала к аналогии между
поляризацией диэлектрика и поляризацией магнитных тел,
хотя обе эти поляризации резко отличаются друг от друга
по характеру своего происхождения.
Магнитным полем называется физическое простран-
ство, состояние и свойство которого неразрывно связаны с
движением электрических зарядов (с электрическими токами),
поэтому магнитное поле может быть названо также полем
электрокинетическим.
Основными свойствами магнитного поля являются сле-
дующие: магнитное поле действует на движущиеся в нем за-
ряды (или на электрические токи), и одновременно с изме-
нением магнитного поля возникает и поле электрическое.
За направление магнитного поля в рассматриваемой точке
пространства принимается направление, в котором устанав-
ливается свободно подвешенная магнитная стрелка и кото-
268
Магнитное поле
[гл. 3
рое определяется от ее южного к ее северному полюсу.
Магнитное поле в данной точке характеризуется направлен-
ной величиной — вектором магнитной индукции В.
Магнитная индукция может быть определена или по ме-
ханической силе, с которой магнитное поле действует на дви-
жущиеся в нем заряды (электрический ток)*или по э. д. с.,
наводимой в проводнике, движущемся в магнитном поле.
Опыт показывает, что однородное магнитное поле (поле
в данной области является однородным, когда оно во всех
точках этой области оказывает одно и то же действие как
по величине, так и по направлению) действует на длине I
прямолинейного тока с силой F, которая пропорциональна
току, не зависит от вещества и сечения проводника, пропор-
I и синусу угла между направ-
лением тока и направлением
поля. Сила F направлена всегда
нормально к направлению тока
и к направлению магнитного
поля. Как вытекает из опыта,
эта сила всегда направлена
в сторону поступательного дви-
жения оси штопора, если рас-
сматриваемый отрезок провод-
ника Z, связав его с ручкой
штопора и учитывая направление тока, мысленно привести
кратчайшим путем в совпадение с направлением магнит-
ного поля (фиг. 56,1)
циональна длине проводника
Фиг. 561.
F=k-l[l-B\ или F=k-I4-B-sln(l9B), (56,1)
где В — магнитная индукция, являющаяся основной харак-
теристикой магнитного поля, a k— коэфициент пропорциональ-
ности, зависящий от выбора единиц измерения.
Для определения направления силы F удобно пользовать-
ся так называемым правилом левой руки: если левую руку
расположить таким образом, чтобы магнитная индукция была
направлена к ладони и четыре пальца совпадали с направ-
лением тока, то большой палец левой руки указывает направ-
ление механической силы.
Если в основу положить абсолютную практическую сис-
тему механических и электромагнитных единиц MKS рь0, в ко-
торой сила измерена в ньютонах (1 N = 0,102 kg веса), длина
в метрах, ток измеряется в амперах, и приравнять k безраз-
мерной единице, то
г=1\15]
(56,2)
§ 56]
Магнитное поле и магнитная индукция
269
и единица магнитной индукции определится следующим об-
разом:
ед. (F) __ IN __ 1N-Im __lV-sec_lWe
еД-(5)— ед.(/)ед.(/Г — 1А~-hn“" 1A-Im2 Im2" — Тш3 * (56’3'
Как видно будет из дальнейшего, в практической системе
электрических единиц вольтсекунда является единицей меры
магнитного потока, которой присвоено название вебер (We).
Единицей магнитной индукции является вебер на кв. метр.
При расчете электромагнитных процессов в электротех-
нике во избежание чрезмерно малых цифровых величин при-
нято длины измерять в сантиметрах. В соответствии с таким
измерением длин за единицу силы приходится принимать:
j
l~m=107 dyne =100N=lhN— 10,2kO, (564^
единицу, равную ста ньютонам (1 гектоньютону) или 10,2 kG
веса, и в этом случае за единицу меры магнитной индук-
ции должна быть принята
Vsec
ед.(5)=1— > (56>5)
т. е. такая магнитная индукция, когда сила, действующая
на каждый сантиметр длины прямолинейною проводника, по
которому течет ток в 1 А и который расположен нормальной
полю, равна
1 — = 100 N.
ст
Вместо этой единицы при расчетах принимают обыкно-
венно абсолютную электромагнитную единицу магнитной ин-
дукции, называемую гауссом и равную
-8 V sec - 4 We
1 G s 10 === 10 о • /го r»\
cm3 m2 (ob, o)
Когда отрезок l перпендикулярен к направлению поля
сила F имеет максимальное значение
v F=bl-B. (56,7)
Если отрезок / совпадает с направлением поля <(/, S)=0,
то этот отрезок со стороны поля не испытывает никакой силы.
Сила, действующая на какой-нибудь проводник с током, .
может быть разложена на элементарные силы
d F= b \dT5] = [IdT 5], (56,8)
действующие на отдельные элементы тока Idl. Сила, дей-
ствующая на замкнутый контур, по которому течет ток, может
быть выражена через
F=lf[dTB\. (56,9)
270
Магнитное поле
[гл. 3
Замкнутый ток может со стороны магнитного поля ис-
пытывать также момент вращения.
Уравнения (56,1) (56,7) и (56,9) являются выражением так
называемого закона Био и Савара> определяющего силу вза-
имодействия между магнитным полем и током.
Электрический ток представляет собой заряд, проходящий
через какое-нибудь сечение в единицу времени •
В предположении, что все заряды движутся со средней ско-
ростью V, можно написать, что
— _________
/А/______________—М =kq-<v
и аналогично тому, что свободный заряд dq, движущийся со
скоростью может быть уподоэлен элементу тока 1 dl
dq-v=Idl, (56,10)
а сила, действующая со стороны магнитного поля на дви-
жущийся заряд, может быть выражена через
_ __ др _______ __
dF = dq [^] и - = [vB ] =Ёстор . (56>1
Так как магнитное поле действует на движущийся в по-
ле заряд с силой, перпендикулярной к скорости заряда от-
носительно поля, т. е. как центростремительная сила, то от
действия магнитного поля величина скорости свободного за-
ряда не меняется, а изменяется лишь направление скорости,
вследствие чего траектория заряда закручивается. Это мож-
но наблюдать по отклонению катодного луча в броуновской
трубке.
Если одновременно с магнитным полем в пространстве
существует и электрическое поле (кулоновское поле, создан-
ное электрическими зарядами), то на движущийся заряд бу-
дет действовать суммарная сила
F- qЁкул + q[vB]= Я(Ёкул -J- Ffmop)= qE. (56,12)
Эта суммарная сила, выражение которой впервые было
дано Лорентцем, носит название лорентцевой силы.
Если эту силу отнести к единице заряда
Е = "д = Ъул [t/ /?] — Екул Еспгор, (56,13)
то результирующая напряженность поля может ‘быть пред-
ставлена как состоящая из двух слагающих: из напряжен-
§ 57] Проницаемость и напряженность магнитного поля 271
ности кулоновского электростатического по^я Ек и из на-
пряженности наведенного (внедренного) или т к называемого
стороннего электрического поля
Естор = [^£], (56,14)
возникающего во время движения заряда в магнитном поле.
57. МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. НАПРЯЖЕННОСТЬ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Индукция магнитного поля зависит от физических
свойств среды и от величины и расположения электрических
токов, создающих это • поле.
Опыт показывает, что в однородной среде вокруг прямо-
линейного проводника с током образуется круговое магнитное
поле-(поле, направление которого совпадает с окружностями,
центры которых лежат на оси проводника (фиг. 57,1). Маг-
-s л Фиг. 57,2.
гГ В
$ 1 нитная индукция такого тока пропор-
} ’ * циональна току и обратно пропор-
* циональна расстоянию от проводника.
Фиг. 57,1. Далее опыт показывает, что внутри
весьма (бесконечно) длинного соленои-
да образуется однородное магнитное поле, направленное парал-
лельно оси соленоида (фиг. 57,2), магнитная индукция такого
поля пропорциональна числу токооборотов или числу ампер-
витков, приходящихся на единицу длины по оси соленоида.
Как в этих, так и в других случаях однородной среды
результат подсчета совпадает с опытом, если предположить,
что каждый элемент тока 1 dl создает свое магнитное поле
и что магнитная индукция в данной точке слагается (гео-
метрически) из элементарных слагающих dB, определяемых
уравнением Био и Савара.
dB=k
dB — k- — sin (Л, г) (57,1)
272
Магнитное поле
[гл. 3
Магнитная игдукция в какой-нибудь точке ноля водно-
родной среде пропсрциональна элементу тока Idl, обратно
пропорциональна квадрату расстояния, пропорциональна си-
нусу угла между Idl или направлена по правилу штопо-
ра нормально к плоскости, проходящей через din г (фиг. 57,3).
Коэфициент пропорциональности k зависит от физиче-
ских свойств среды и от выбора единиц измерения маг-
нитной индукции, тока
и длины.
В абсолютной электромагнит-
ной системе единиц, в которой еди-
ница магнитной индукции равна IGs,
единица тока 10 А, единица длины
1 cm, коэфициент равняется безраз-
мерной единице и уравнение Био и
Савара пишется для вакуума в сле-
дующем виде
dB = LIIClL 657,2)
а для какой-нибудь другой одно-
родной (не ферромагнитной) среды
= (57,3)
где р. так называемая (относительная) магнитная про-
ницаемость данной среды, равная отношению магнитной
индукции в этой среде к магнитной индукции в вакууме при
том же токе и при том же его распределении.
В практической системе единиц MKSM коэфициент k
имеет вполне определенное значение, связанное с другими
основным.I единицами.
В такой рационализованной системе единиц для получе-
ния более удобных расчетных формул выделяют из кээф I-
циента пропорциональности числовой множитель 1/4к и пи-
шут уравнение (57,2) для вакуума следующим образом:
dB =
4л г3
(57,4)
а для какой-нибудь другой однородной среды
(57,5)
где р.— магнитная проницаемость данной среды, которая
может быть представлена в виде'произведения
(57,6)
* 57]
Проницаемость и напряженность магнитного поля
273
|х0 —магнитная проницаемость вакуума, определяющая связь
между магнитной индукцией и током в уравнении, выражаю-
щем закон Био и Савара, а — относительная магнитная
проницаемость среды —отвлеченное число, совпадающее со
значением и в абсолютной электромагнитной системе единиц
CGSp-o [см. уравнение (57,3)].
Как будет видно из дальнейшего изложения, магнитная
проницаемость всех сред кроме ферромагнитных ничтожно
мало отличается от магнитной проницаемости вакуума, и по-
тому во всех практических расчетах магнитная проницае-
мость для всех тел, кроме ферромагнитных, может быть при-
равнена к магнитной проницаемости вакуума н0 и 1.
Если соотношение (57,5) применить к бесконечному пря-
молинейному току (фиг. 57,3), то мы увидим, что в любой
точке поля все элементарные слагающие магнитной индук-
ции от всех элементов тока имеют одно и то же направле-
ние, перпендикулярное к плоскости, проходящей через ось
проводника и рассматриваемую точку.
Поэтому они складываются арифметически, и магнитная
индукция в точке А, отстоящей от оси на расстояние а, опре-
делится через
+ со
B={dB=-^- f —sin а. (57,7)
J 4it J №
— со
Из чертежа фиг. 57,3 следует, что
, . ,, а , .1 sin31
Z=actga; dl —-----------da; a=rs\na; — —-----------
sin3 a г3 a> »
поэтому
0
$___ (*ada
4я J sin3a
к
S;n3 a . u.(J
------sin a-—
а2----4na
о
cos a (57,8)
n
Для кругового тока(т. e. проводника, имеющего форму
окружности, по которому течет ток) все слагающие магнит-
ной индукции в его центре совпадают по величине и на-
правлению. Так кака=90°, то магнитная индукция в центре
равна
g___ л dl _______ н/ . . /gy g\
4л Ф а2 4тс а,2 2а
I
Чтобы получить значение индукции в какой-нибудь точке М,
лежащей на оси кругового тока и удаленной от плос-
18 К. А. Круг, т. I.
274
Магнитное поле
[гл. 3
кости кругового тока на расстояние b (фиг. 57,4), разлагаем
каждую элементарную слагающую
(а = 90°)
4" Г2
на две слагающие: одну, направленную вдоль оси, и другую—
к ней перпендикулярною:
dB' = dBsin р= • — • sin р,
г 4к г2
Сумма последних слагающих равна нулю, так как слагаю-
щая dB", получающаяся от действия элемента d/(в точке Л)
уравновешивается такой же слагающей, получающейся
от диаметрально противоположного элемента dl (в точке В).
Поэтому магнитная индукция в точке М на оси кругового
тока выразится через
2яа
о С dnt С dl . Q fXnZ . о ЦО/
В — \ dBf = _ | — sin В = — sin3— . — =
J 4тс J г2 4г Г2 2 г3
о
pl sin3 ₽ ,
~2 Г
(57,10)
Магнитная индукция изменяется обратно пропорциональ-
но кубу расстояния г или прямо пропорционально кубу синуса
угла р.
Теперь мы можем определить значение магнитной индук-
ции в точках, лежащих на оси круглой катушки (соленоида).
§ 57] Проницаемость и напряженность магнитного поля 275
Пусть катушка имеет длину I (фиг. 57,5) и состоит из w рав-
W
номерно расположенных витков, или-у—витков
на единицу
длины. Разбивая всю длину I на элементы dx и рассматри-
вая катушку, как состоящую из отдельных круговых токов
---Idx, мы можем определить магнитную индукцию в какой-
нибудь точке М на оси катушки как сумму элементарных
слагающих:
wl sin3 р
но так как
d — х = a cig р, dx = —-— d$,
sin2 ₽
ТО
5 = f !А) 77 sin ? = Р-0 77 (cos Pl —cosp3). (57,11)
J z/ zZ
В случае бесконечно длинного соленоида угол рх равен
нулю и cos р! = 1, а угол рз равен 180° и cosp3 = — 1. Под-
ставляя эти значения в формулу (57,11), мы получим, что
магнитная индукция внутри бесконечно длинного соленоида
равна
D Wl
(57,12)
т. е. мы получим те же значения, которые определяются не-
посредственно из опыта. В центре конечного соленоида магнит-
ная индукция выразится через
Z
В = 2cos р= . = ,J-n'w'1 . (57,13)
1 ’
Из вышеприведенных уравнений вытекает, что магнит-
ная проницаемость р0 должна измеряться в единицах
ед.(Ио)=£^еА<О=1У^ес^ = 1й1ес=1 Н, (57д4)
ед.(Г) ш2 А ш ш
1(2 sec — Ш — единица индуктивности, называется генри
(см §79).
18*
276
Магнитное поле
[гл. 3
Для вакуума магнитная проницаемость в рационализо-
ванной международной практической системе единиц выра-
жается через
Р-о= 1,2560-1 (Г8 Н/ст (57,15)
или через
у.о=4тг-1О 9Н/ш (57, ИЗ)
Расчетную векторную величину, равную отношению
магнитной индукции к магнитной проницаемости среды в
той же точке, называют напряженностью магнитного
поля в этой точке
- =н.
(57,17)
В однородной среде и напряженность магнитного поля /у
наподобие магнитной индукции В может быть составле-
на из отдельных элементарных слагающих
dH=
(57,18)
где г направлено от элемента dlu точке наблюдения. Урав-
нение (57,18) является также выражением закона Био и
Савара, устанавливающего зависимость между током и на-
пряженностью создаваемого им магнитного поля.
Для неоднородных сред формула (57,18) непосредствен-
но неприменима вследствие неодинакового воздействия магнит-
ного поля на ориентацию молекулярных токов в неоднород-
ных средах.
Если повторить выше приведенные выводы примени-
тельно к напряженности магнитного поля, то мы получим,
что напряженность магнитного поля прямолинейного тока в
однородной среде равна
В__ ±
Р-о 2па
(57,19)
току, деленному на длину окружности, проходящей через
рассматриваемую точку, лежащей в плоскости, перпенди-
кулярной к оси проводника, и имеющей центр на этой оси.
§ 58]
Гальванометры и магнитоэлектрические приборы
277
Для точек внутри бесконечно длинного соленоида напря-
женность поля будет равна
/7= у (57,20)
числу токооборотов (или ампервитков), приходящихся на
единицу длины.
Из уравнений (57,18) и (57,19) вытекает, что единицей
меры напряженности поля в системе MKS |х0 должен служить
ампер, деленный на метр или сантиметр,
ед, (Я) — = 1 А/сш. (57,21)
ед.(0
В системе CGS единицей напряженности поля служит
один эрстед (Ое), равный 4тг абсолютных электромагнитных
единиц тока, нА сантиметр
1 Ое=0,4тг А/сш. (57,22)
58. ГАЛЬВАНОМЕТРЫ И МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
Гальванометрами называются приборы, служащие для
выявления и измерения слабых токов. На взаимодействии
магнитных полей и электрического тока
основаны магнитоэлектрические измеритель-
ные приборы, как-то: гальванометры, ампер-
метры и вольтметры. Различают гальвано-
метры двух родов: с подвижными магнит-
ными стрелками и неподвижными катушками
и гальванометры с неподвижным магнитным
полем и подвижными катушками.
Прототипом гальванометров первого
рода ' является тангенс-гальванометр (фиг.
58,1), состоящий из одного или нескольких
витков, имеющих вид окружности, в центре
которых подвешивается на некрутящейся
нити (нити, не сопротивляющейся закручи-
ванию) небольшой магнит (магнитная стрел-
ка). Тангенс-гальванометр устанавливается
Фиг. 58Д.
таким образом,
чтобы плоскость витков совпадала с магнитным меридианом.
Если w — число витков и I — ток, протекающий через гальвано-
метр, то напряженность магнитного поля в центре будет
wl
н= ~ и магнитная стрелка устанавливается по направлению
278
Магнитное поле
[гл. 3
равнодействующей горизонтальной составляющей земного маг-
нетизма Но и напряженности поля гальванометра. Тангенс угла
отклонения стрелки а равен
. Н wl
tcr а -= — =--
° Яо
и
г_ 2 а । ___ .
/=—«tga^-tga, (58>1)
где g—гальванометрическая постоянная гальванометра. При
небольших углах отклонения тангенс угла может быть заме-
нен углом l = g<z. Правильность установки гальванометра
проверяется тем, что при изме-
нении направления тока галь’
ванометр должен давать одина-
ковые отклонения в обе стороны,
Фиг 58,3.
Для отсчета углов к магниту прикрепляется или зеркальце
для зеркального отсчета или уравновешенная указательная
стрелка, при помощи которой угол непосредственно отсчиты-
вается на шкале.
Для уменьшения влияния поля земного магнетизма и
увеличения чувствительности применяют так называемую
астатическую систему магнитных стрелок, состоящих из оди-
наковых стрелок, прикрепляемых в противоположных направ-
лениях к вращающемуся стерженьку, как это показано на
фиг. 58,2.
В гальванометре Томсона (фиг. 58,3) эта система осуще-
ствлена в виде тонкого алюминиевого стерженька, подвешивае-
мого на некрутящейся нити, к которому в двух местах при-
§ 58]
Гальванометры и магнитоэлектрические приборы
279
Фиг. 58,4.
креплено по группе маленьких магнитиков с полюсами, на-
правленными в противоположные стороны. Верхняя и нижняя
катушки находятся каждая между двумя катушками, все четыре
катушки соединяются последовательно. Для зеркального отсче-
та посредине к стерженьку прикрепляется зеркальце и слюдя-
ная пластинка для успокоения колебаний. Наверху помещаются
две вращающиеся на оси намагниченные стальные дуги, при
помощи которых можно компенсировать поле земного магне-
тизма и дать в точках, где находятся магнитики, магнитному
долю желаемое направление и вели’
чину, благодаря чему является воз-
можность установить вращающуюся
систему в надлежащее положение при
отсутствии тока и изменить чувстви-
тельность гальванометра.
Гальванометры такого типа снаб-
жаются иногда для предохранения от
влияния внешних полей магнитной
защитой в виде массивных экрани-
рующих кожухов из мягкого железа
(так называемые панцырные гальвано-
метры).
Большим удобством в пользова-
нии (вследствие меньшего влияния по-
сторонних полей и лучшего успокое-
ния) обладают гальванометры типа
Deprez—d’Arsonval’a, в которых маг-
нитное поле создается постоянным
магнитом и неподвижно, а измеряе-
мый ток пропускается через подвижную катушку. Схема-
тически такой прибор показан на фиг. 58,4. Он состоит из
согнутого постоянного магнита, между полюсами которого
помещается стальной цилиндр А. В цилиндрическом зазоре
между ними может вращаться прямоугольная рамка К с об-
моткой из тонкой изолированной проволоки. Рамка подве-
шивается на тонкой упругой ленте или металлической нити,
которая сопротивляется закручиванию и в то же время служит
одним подводящим проводом к подвижной катушке. Другим
Подводящим провозом является мягкая неупругая спираль.
Для измерения углов поворота к стерженьку, связанному с
рамкой, прикрепляется зеркальце Z.
Если через катушку проходит ток /, то каждая сторона
одного витка испытывает со стороны магнитного поля, в ци-
линдрическом зазоре силу НВ, где I—длина одной стороны
витка и В — магнитная индукция в цилиндрическом зазоре,
которая направлена по радиусу.
Эта сила действует перпендикулярно к / и В, т. е. по
280
Магнитное поле
[гл. ‘3
касательной к окружности, и если w—число витков катушки,
то на катушку действует момент вращения:
Л4=2до-/-/-В7 = /да.5.5 = О-а, (58,2)
который закручивает нить подвеса на некоторый угол а, где
d — ширина одного витка, a D — момент сил упругости или
момент направляющей силы подвеса, соответствующий еди»
нице угла закручивания.
В магнитоэлектрических гальванометрах типа Deprez—
d'Arsonval’a между протекающим током и углом отклонения
существует прямая пропорциональность
/==-^h (58'3)
W о 'и
где g — гальванометрическая постоянная гальванометра.
В качестве характеристики гальванометра обыкновенно
дается его чувствительность к току, определяемая как вели-
чина тока в долях ампера, дающего отклонение в 1mm шкалы
при расстоянии шкалы от зеркальца в 1 ш. Чувствитель-
—8 —9
ность гальванометров бывает порядка И -и 10 А/ттидо-
-п
ходит в отдельных конструкциях до 10 A/mm. Для некоторых
целей важно не значение тока, дающего отклонение, а разность
потенциалов на зажимах гальванометра. В этом случае чув-
ствительность определяется как отношение разности потен-
циалов к отклонению гальванометра, выраженному таким же
образом. Чувствительность гальванометров к напряжению
-6 -8
бывает порядка 10 ч-10 V/mm. Гальванометры на подвесе
изготовляются также со стрелочным отсчетом (чувствитель-
-7
ность^ 10 А на одно деление шкалы). Менее чувствительные
гальванометры выполняются не с подвешенной катушкой, а с
катушкой, вращающейся на остриях, вставленных в соответ-
ствующие гнезда и с подводом тока к подвижной катушке
через гибкие проводнички.
На отклонении тока неподвижным магнитным полем осно-
ваны и другие виды магнитоэлектрических гальванометров,
как, например, струнный гальванометр Эйнтгофена, в кото-
ром подвижная система представляет собой тонкую метал-
лическую (серебряную или золотую) или посеребренную квар-
цевую нить, закрепленную на своих концах и помещенную
между двумя полюсами изогнутого постоянного магнита. От-
клонение нити наблюдается через микроскоп, снабженный в
§ 58]
Гальванометры и магнитоэлектрические приборы
281
своей оптике шкалой с делениями. В так называемом петле-
вом гальванометре, применяемом в шлейфовых осциллогра-
фах (фиг. 58,5) для записи напряжений и токов в зависи-
мости от времени, ток пропускается через петлю, находя-
щуюся в промежутке между двумя полюсами постоянного
магнита. Стороны петли при прохождении через нее тока от-
клоняются под действием магнитного поля и поворачивают
прикрепленное к ним зеркальце.
На том же магнитоэлектрическом принципе основаны
так называемые магнитоэлектрические лабораторные и щи-
Фиг. 58,5.
товые приборы, служащие для измерения постоянных токов
и напряжений. В этих приборах ток подводится к вращаю-
щейся на остриях рамке, противодействующий момент со-
здается двумя спиральными пружинками (фиг. 58,6), закручи-
ваемыми в противоположные стороны и закрепленными од-
ним своим концом с рамкой, а другим с паводком, позволяю-
щим изменять нулевое положение рамки. Для лучшего ус-
покоения обмотка катушки выполняется иногда на изолиро-
ванной алюминиевой рамке; при движении рамки в магнит-
ном поле токи, наводимые в ней, тормозят ее движение. По
мере уменьшения скорости движения рамки токи в рамке
исчезают.
Для отсчета углов поворота рамки она снабжается лег-
кой стрелкой, движущейся над шкалой с делениями. Такие
приборы имеют равномерную шкалу.
Амперметры и вольтметры этого типа имеют одинаковое
конструктивное оформление и отличаются лишь тем, что по-
движная часть амперметров имеет меньшее число витков из
более толстой проволоки и меньшее сопротивление, в то вре-
мя как у вольтметров большее число витков более тонкой
282
Магнитное поле
[гл. 3
проволоки и большее сопротивление. Для расширения преде-
лов измерения в амперметрах часть измеряемого тока про-
пускается через параллельно включенный шунт, а в вольт-
метрах последовательно с измерительной частью включается
дополнительное сопротивление (§ 82). Шунты и добавочные
сопротивления обычно монтируются в самохм измерительном
приборе.
59. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТОКОВ
Пользуясь уравнениями (56,8) и (57,2), можно для ваку-
ума (и для однородных сред) составить формулы для подсче-
та силы взаимодействия двух токов: тока /х в проводнике Zx
и тока /2 в проводнике Z2, являющейся следствием действия
магнитного поля второго тока на первый и наоборот.
Разбивая оба проводника с токами на отдельные эле-
менты тока II х и I2d 12 (.фиг 59,1), мы можем при математи-
ческом определении силы взаимодействия разложить ее на
элементарные силы, с которыми ^элемент второго проводника
I2dl 2 действует на элемент i\d I х первого проводника. Эле-
мент тока I2dl 2 создает в точке нахождения элемента
магнитную индукцию
(59,1)
подставляя Ixd /х вместо Id I и dB2 вместо В в уравнение
(56,8), мы найдем, что элемент Z2dZ2 действует на элемент
lxd 1г с силой
гр" __ f*(/l-*2^1 1^? Г21 ] ]
d*21—
(59,2)
4 иг3
§ 59]
Взаимодействие электрических токов
283
Произведя интегрирование по d/2, мы получим магнит-
ную индукцию в точке нахождения элемента 1\dlb а затем,
интегрируя по dl ь мы получим силу, с которой второй кон-
тур действует на первый
Г —(f) ф Г21] ] '
ul 47l Г3
(59,3)
Уравнения (59,2) и (59,3) выражают так называе-
мый закон Ампера, определяющий силу взаимодействия меж-
ду двумя элементарными токами, _
Индукцию в точке нахождения элемента Z3d/3 мы полу»
ним в виде:
d& —.
1 4г, г3
(59,4)
и силу, с которой элемент действует на элемент /2dZa
г1г] 1,
12“ 4« г3
(59,5)
Двухкратное интегрирование определит силу, которую
испытывает второй контур со стороны первого
Р12 =(j) f 'I?]].., . (59,6)
li h
В то время как уравнения (59,3)_и (59,6)_приводят к двум
равным и противоположным силам Л31 = — ^12, что соответ-
ствует третьему принципу Ньютона равенства ^действия и
противодействия, отдельные элементарные силы dF2} ndF12 мо-
гут быть и не равны и не противоположны. Например, если
лежит в плоскости чертежа^ a I2dl3 нормально к чертежу
(фиг. 59,2) и Г1з±^/3 и то, хотяя'Г12 и dF21 будут
численно равны, но они будут взаимно перпендикулярны.
Если провести интегрирование всех элементарных сил,
то принцип равенства действия и противодействия будет
сохранен.
Сам Ампер на основании многочисленных опытов над
взаимодействием токов вывел для силы взаимодействия двух
элементов тока формулу, отличную от формул (59,2) и (59,3)
dF = dlxdl2 (cos s cos (^cos o2). (59,7)
284
Магнитное поле
[гл. 3
По этой формуле сила взаимодействия одинакова для
обоих элементов тока и действует по линии, соединяющей
эти элементы. В формуле и S2 углы наклона dlx и dl* к
линии, соединяющей середины этих элементов, а е — угол
между направлением dlx и dl2 (фиг. 59,3). Уравнения (59,3),
(59,6) и (59,7) приводят к одним и тем же результатам, если
интегрирование провести по замкнутым контурам.
Фиг 59,3.
Фиг. 59,4.
Аналитическое определение силы взаимодействия двух
токов может быть проведено лишь в простейших случаях,
когда проводники расположены симметрично один относитель-
но другого и когда магнитное поле легко находится. Например,
когда нам даны два параллельных провода с токами /х и /2,
находящиеся на расстоянии d друг от друга (фиг. 59,4);
индукция магнитного поля тока в месте нахожде-
О __ Р*0^1
ния второго проводника равна />!=—-
2 к d
и
сила взаимодей-
ствия двух токов на длине I будет
2nd
(59,8)
Два параллельных провода притягиваются, когда токи
в них имеют одинаковое направление (фиг. 59,4), и отталки-
ваются (фиг. 59,5), когда направления токов противоположны.
§ 60]
Магнитный поток
285
В некоторых случаях проще определить силу взаимодей-
ствия между отдельными контурами или между контурами
и магнитным полем, если исходить из изменения энергии
при весьма малых перемещениях (см. § 82).
На взаимодействии токов основаны так называемые элек-
тродинамические измерительные приборы.
60. МАГНИТНЫЙ ПОТОК. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ИНДУКЦИОННЫХ линий
Магнитным потоком называется поток вектора
магнитной индукции, определяемый формулой
Ф= JfirfS=j5rf5.cos(5,t£S) (60,1)
и представляющий собой сумму произведений магнитной ин-
дукции В на элементы площадок dS, на которые может быть
разбита заданная поверхность 5.
Магнитный поток измеряется в вольтсекундах
ata /т /с\ IV sec-Im2 1V sec 1cm2
ед.(Ф) == ед.(В) ед.(д) ~----—------------= IV sec. (60,2)
Im2 1 cm2
Одна вольтсекунда называется вебером (1 Wb). В абсо-
лютной электромагнитной системе единиц магнитный поток
измеряется в единицах, называемых максвеллами (1 М) 1 М —
= 1 Us-1 cm2. Между вебером и максвеллом имеет место
следующее соотношение:
1 Wb=108M. (60,3)
Магнитная индукция может быть представлена так назы-
ваемыми магнитными индукционными линиями, воображае-
мыми линиями, совпадающими по направлению с магнитной
индукцией В и проведенных с такой густотой (плотностью),
что число их, приходящихся на единицу площадкщ взятой
нормально к В, равнялось бы численному значению В в рас-
сматриваемой точке. В соответствии с этим магнитный поток,
проходящий через какую-нибудь поверхность, может быть
также представлен как число индукционных линий, прони-
зывающих эту поверхность.
Если взять какую-нибудь площадку AS и через все точ-
ки ее периметра провести линии, совпадающие с В, то мы
пол}чим так называемую магнитную индукционную трубку
АФ = ВА5. (60,4)
Индукционные линии магнитного поля представляют собой
замкнутые на себя непрерывные линии. Точно так же и индук-
286
Магнитное поле
Ггл. 3
ционные трубки замыкаются сами на себя и не имеют ни
начала, ни конца (в любой среде). Эта особенность магнит-
ного поля свидетельствует о вихревом его характере.
Непрерывность индукционных линий может быть дока-
зана следующим образом.
Возьмем в магнитном поле
нику Z, какой-нибудь объем V,
тока, текущего по провод-
ограниченный замкнутой на
себя поверхностью S, и
определим магнитный по-
ток, пронизывающий эту
поверхность (фиг. 60,1).
Будем считать
величиной положительной,
если направление В и
внешняя нормаль к &S
составляют угол меньше
90°, и величиной отрица-
тельной, когда этот угол
больше 90°, т. е. выходя-
щие из этого объема ин-
дукционные линии будем
брать с плюсом, а входя-
щие в него линии со зна-
ком минус.
Магнитная индукция в какой-нибудь точке составляется
из слагающих, обусловленных отдельными элементами тока
в = £ ДВ = £^.7.-- (60.5)
Магнитная индукция же от отдельного элемента тока
направлена по касательной к окружностям, центры которых
лежат на отрезке Д/ или его продолжении. Разделим все про-
странство поля от элемента Idl на индукционные трубки, ко-
торые будут иметь форму колец с неизменным сечением. Каж-
дая трубка, проходящая через объем V} пересекается с его
поверхностью два раза (или четное число раз); нетрудно
видеть, что для каждой трубки
ДФ.+ ДФ^Д^ДЗЛЧ-ДЙ2Д52 = +
+ °- <6О>6)
т. е. что через элементы поверхности ASj и Д'у2, вырезывае-
мые какой-нибудь трубкой на поверхности 5, входит и вы-
§ 60]
Магнитный поток
287
ходит одинаковое число индукционных линий. Суммируя
элементарные потоки, проходящие через отдельные элементы,
мы получаем, что поток от элемента 1 dl, исходящий из объ-
ема V, ограниченного замкнутой на себя поверхностью 5,
равен нулю
£ДЙД5=0. (60,7)
Поэтому весь поток, т. е. поток магнитного поля, создавае-
мый всеми элементами тока и проходящий через замкнутую
на себя поверхность, будет равен
Е (S Д В)Д 5=0. (60,8)
Так как от порядка суммирования сумма не меняется,
то, группируя произведения Д В А 5 таким образом, чтобы пер-
вый множитель Дг> соответствовал слагающей магнитной ин-
дукции от одного и того же элемента тока, мы на основании
предыдущего будем иметь, что сумма каждой группы обра-
тится в нуль, а потому суммарный поток, пронизывающий
замкнутую поверхность S, равен нулю
fFdS = O, (60,9)
5
а это доказывает, что магнитные индукционные трубки, а
следовательно, индукционные линии не имеют истоков, т. е.,
окружая токи, замыкаются сами на себя.
Если магнитное поле создается несколькими токами или
витками с токами, которые могут принадлежать разным цепям,
то магнитный поток внутри какого-нибудь замкнутого кон-
тура равен алгебраической сумме потоков, создаваемых от-
дельными токами внутри этого контура
Ф = \,BdS = ^(В\ (60,10)
s s
Если уменьшать объем V и брать предел отношения
потока вектора магнитной индукции, исходящего из поверх-
ности какого-нибудь объема, к этому объему, то мы полу-
чим, что поток вектора магнитной индукции из единицы объ-
ема или так называемая дивергенция вектора магнитной индук-
ции равна нулю
lim (60,11)
288
Магнитное поле
[гл. 3
61. СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАКОН
ПОЛНОГО ТОКА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Для магнитного поля замкнутого на себя тока может
быть составлена такая скалярная функция, первая производ-
ная которой, взятая с обратным знаком по какому-нибудь
направлению, равняется слагающей напряженности магнит-
ного поля по этому направлению
= (61,1)
ds
Такую функцию назы-
вают скалярным потенциа-
лом магнитного поля в от-
личие от вектор-потенциала,
о котором речь будет впе-
реди.
Для определения этой
функции магнитного поля,
создаваемого одним замкну-
тым током / (фиг. 61,1), возь-
Фиг. 61,1.
вольное перемещение точки
мем произведение напряжен-
ности поля Н на~ произ-
Л, равное отрезку 3s:
H-cs= (f) I[d 1 r-] -
J 4 к r3
1 [— r
4 к r2 r ’
(61,2)
Перемещение точки А в одну сторону на 3 s равноценно
перемещению контура с током в сторону, прямо противопо-
ложную на тот же отрезок, т. е. _на— 3s.
Векторное произведение [— 3 sdl] — 85“ представляет собой
площадку, которую описывает элемент длины контура dl
при своем перемещении на—3s. Если все точки периметра
параллелограма со сторонами — 3s и dl соединить с точкой Л
и из этой точки провести сферическую поверхность радиу-
сом г, то на этой поверхности будет вырезана площадь г2За),
где За) — телесный угол, под которым площадка 35 видна из
точки Л, поэтому
= (613)
Для нахождения интеграла (61,2) мы должны просуммиро-
вать все телесные углы, под которыми видны площадки, опи-
§ 61]
Скалярный потенциал магнитного поля
289
сываемые всеми отдельными элементами dl контура при пе-
ремещении его на — 8s, а сумма всех этих углов 8 си будет
равна разности телесных углов й2 и йь под которыми видна
площадь, ограниченная всем контуром тока, в его конечном
и начальном значении (фиг. 61,2)
Обозначим через ®т*.
= 2 +const,
(61,5)
где 2 — телесный угол, под которым виден контур тока из
точки поля Л, для которой требуется определить напря-
женность поля. Угол й считается положительным, когда для
наблюдателя в этой точке ток в контуре направлен против
часовой стрелки.
Из уравнения (61,4) следует, что
я =_ = —
* 4л ds ds
или, если взять слагаю-
щие по осям координат и
сложить их, то
77= — grad <рт. (61,7)
Скалярный потенциал
магнитного поля, которое
является вихревым, отли-
чается от скалярного по-
тенциала электрического
поля тем, что он не яв-
ляется однозначной функ-
цией; циркуляция вектора
напряженности поля по Фиг. 61,2.
замкнутой кривой не рав-
на нулю. После обхода замкнутой кривой и возвращения
в исходную точку скалярный потенциал магнитного поля
изменяется каждый раз на значение токов, охватываемых
замкнутой линией обхода.
При обходе линии поля или какой-нибудь другой замкну-
той линии 5 (фиг. 61,2), начиная от точки а, телесный угол
19 К. А. Круг, т. I.
290
Магнитное поле
[гл. 3
сначала уменьшается, в какой-то точке b становится рав-
ным нулю, после чего контур будет виден с противоположной
стороны, т. е. углы 2 будут иметь отрицательное значение.
И когда мы вернемся в ту же точку а, контур будет виден
под углом, дополнительным к 2Х до 4тг, т. е. под углом
22 = —(4тг —2Д
поэтому
л=_ j =^- у<яг=_ i (В,- 21)=/.
(61,8)
Таким образом мы пришли к выводу, что линейный ин-
теграл напряженности магнитного поля по замкнутому кон-
туру равняется току, охватываемому этим контуром.
Если линия обхода не охватывает тока, то после обхода
контур будет виден под тем же углом и потому в этом
случае
(f)Hds = 0. (61,9)
Фиг. 61,3.
В случае, если магнитное поле образуется током, теку-
щим в обмотке со многими витками (фиг. 61,3), то путем
разрезывания обмотки на отдельные витки и прибавления
отрезков с равными и противоположными токами, не внося-
щих никаких изменений в магнитное поле, можно всю обмот-
ку разбить на отдельные замкнутые витки с тем же током,
поэтому если выбранная замкнутая линия охватывает w вит-
ков, то циркуляция вектора напряженности магнитного поля
равна числу охватываемых токооборотов или, как говорят,
числу ампервитков.
В общем случае, когда контур охватывает или проходит
через витки с равными токами, принадлежащие к разным це-
пям, то мы для линейного интеграла напряженности магнит-
ного поля имеем:
=2w!-, (61,10)
§ 61]
Скалярный потенциал магнитного поля
291
при этом, если направление обхода и направление тока со-
ответствуют правилу штопора, ток берется с плюсом, в
противном случае—со знаком минус.
Уравнения (61,8) и (61,10) являются выражением в интег-
ральной форме так называемого закона полного тока, по ко-
торому линейный интеграл напряженности магнитього поля
по любой замкнутой кривой равен сумме охватываемых ею
токов.
Сумма токов или сумма ампервитков, охватываемая ка-
кой-нибудь замкнутой на себя линией, называется намагничи-
вающей силой вдоль этой замкнутой линии.
Когда все токи в пространстве имеют одно и то же (па-
раллельное или антипараллельное) направление, получаю-
щееся магнитное поле является двухмерным или плоскопа-
раллельным, и скалярный потенциал для ~
него может быть определен сравнитель-
но просто. /
Напряженность магнитного поля то- f '
ка, текущего по бесконечному прямоли- { df у *
нейному проводу, равна
и линии поля представляют собой окруж- Фиг. и 1,4.
ности, лежащие в плоскостях, нор-
мальных к направлению тока. Поверхности равного потен'
циала будут плоскости, проходящие через ось провода
(фиг. 61,4).
Если принять какую-нибудь плоскость ОА за начальную
и двухгранные углы а отсчитывать по отношению к на-
правлению тока против стрелки часов, то при перемещении
по направлению поля на dn~—rda изменение потенциала
выразится через
— dym=Hdti = ^-( — rdtL) = — — da,
2лг 2гс
Откуда для скалярного потенциала поля одиночного прямо-
линейного провода получится следующее выражение:
= ~-a-i-const (61,12)
или, если скалярный потенциал плоскости ОА принять за
нуль, то
(виз)
19*
292
Магнитное поле
[гл. 3
Если магнитное поле является результатом наложения
Фиг. 61,5.
тенциал в какой-нибудь точке поля
друг на друга двух полей, то скалярные потенциалы магнит-
кого поля наподобие потенциалов электрического поля алгеб-
раически складываются. Рассмотрим магнитное поле, обра-
зуемое двухпроводной линией, состоящей из двух параллель-
ных проводов, в которых текут одинаковые токи в проти-
воположных направлениях (фиг. 61,5). Если отсчитывать
углы от линии АВ,
соединяющей пентры
сечений обоих провод-
ников, то потенциал
магнитного поля про-
водника А будет <?тА=
= — -alta проводника^
2 те
—-а2, так как
2
в проводнике В ток
течет в обратном на-
правлении. Поэтому по-
УИ равен
Ъп — А + <? тВ = ~~ («1— О,).
2 тс
(61,14)
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, с ним не смежных (а = ctj180°— а2), то
а1 — а2 — а — 180°.
Отсюда
?т=
2
2 те
I I I
а------------тг = — -а----------------------
2 те 2 тс 2
(61,15)
т. е. один и тот же потенциал имеют такие точки, из кото-
рых угол, опирающийся на отрезок АВ, имеет одно и то же
значение 180° — а; геометрическое место таких точек является
окружностью, проходящей через точки А и В.
Отсюда следует, что поверхности равного потенциала
в магнитном поле двухпроводной линии представляют собой
круговые цилиндрические поверхности (в сечении окружности),
проходящие через оси проводов (мы предполагаем, что се-
чения проводов весьма малы и оси электрических токов
совпадают с геометрическими осями проводников). Так как
индукционные линии должны располагаться нормально к
поверхностям равного магнитного потенциала, то на основа-
нии геометрических теорем, приведенных в § 25, видно, что
§ 61]
Скалярный потенциал магнитного поля
293
линии поля также имеют форму окружностей. Такие окруж-
ности можно построить, если разделить углы АМВ и BMD
пополам; отрезок, отсекаемый построенными биссектрисами
на линии АВ, дает диаметр искомой окружности, предста-
вляющей собой линию поля, проходящую через точку М,
Сравнивая электрическое поле двухпроводной линии с
ее магнитным полем, мы видим, что кривые равного электри-
ческого потенциала совпадают с линиями магнитного
поля, а линии электрического поля — с кривыми равного маг-
нитного потенциала, т. е. эти линии как бы обмениваются
местами.
Скалярный потенциал двухмерного поля в точках, где
нет тока, удовлетворяет уравнению Лапласа. Так, например,
для магнитного поля в плоскости ху одиночного бесконечно
длинного провода, совпадающего с осью Z, мы имеем (фиг. 61,6)
Ну = - = - //cos а = ± . = - f . х (x’+j3)-»,
v ду 2кг Г 2л:
Ч=°>
дЯг =_^.Z=_z2xv(x2 4-уТ2>
дх дх2 2я л
^4 = _ д21т — L 2 Ху (хг4-^2)-2; = 0;
дх ду2 2л: dz2
2г+Э'+Э,=4,’-=а <61’16)
294
Магнитное поле
[гл. 3
Скалярные потенциалы складываются арифметически и по-
этому, если двухмерное поле создается несколькими парал-
лельными токами, к нему применимо уравнение Лапласа
= 0, если в рассматриваемой точке 7 = 0.
62. ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Закон полного тока, выведенный выше для магнитных
полей, создаваемых токами, текущими по замкнутым конту-
рам, и распространенный нами на магнитное поле токов,
текущих по бесконечно длинным прямолинейным проводам,
имеет силу для магнитных полей, создаваемых как постоян-
ным током, так и токами переменными. По Максвеллу вся-
кое изменение электрического поля в каком-нибудь диэлек-
трике или вакууме во времени (например, зарядке или раз-
рядке конденсаторов) сопровождается так называемыми токами
смещения, которые следует рассматривать как продолжение
токов проводимости в соответствующих проводниках. Во-
круг токов смещения, точно так же как и вокруг токов про-
водимости, образуется (вихревое) магнитное поле. Пусть в
данной точке среды плотность тока смещения [авна
дГ) дЁ
= и одновременно через среду протекает ток
проводимости с плотностью так что плотность общего
тока будет:
i-'lE+-oF' (62,1)
Если взять в этой среде весьма малую площадку AS
или S и через точки периметра этой площадки провести
линии тока, параллельные 8, то независимо от того, как
получились эти токи, мы можем рассматривать по отноше-
нию к точкам периметра ток 8 S как прямолинейный ток и
применить к периметру площадки S закон полного тока:
$Hdl = 85=8,5 .
(62,2)
Есл i оэе части разделить на Д5 и перейти к пределу,
когда А 5 или 5 -» О,
lim
$Hdl
'~у- =^>
(62,3)
§ 62]
хЛервое уравнение Максвелла
295
то мы получим, с одной стороны, проекцию ротора напря-
женности магнитного поля на нормаль к площадке 6, а с
другой стороны, проекцию вектора плотности тока на то же
направление. Поэтому ротор вектора напряженности магнит-
ного поля может следующим образом быть выражен через
вектор плотности тока:
rot
‘ 1 dt
(62,4)
Последнее уравнение является выражением закона пол-
ного тока в диференциальной форме для неподвижных сред.
Оно было впервые получено Максвеллом, введшим понятие
тока смещения, и применимо к любой среде. Это уравнение
называется первым уравнением Максвелла. Совместно со
вторым уравнением Максвелла:
А Г? дв
rot t =-----—, о котором речь
будет ниже, и уравнениями: divZ)= р и divё= 0, мы имеем
систему уравнений, связывающую изменение основных ве-
личин, характеризующих электрическое и магнитное поля.
Уравнения Максвелла позволили создать теорию электро-
магнитного поля и предугадать существование электромаг-
нитных волн, которые и были затем обнаружены блестящими
опытами Герца.
В этих уравнениях Максвелла, выраженных в векторной
форме, в правой части имеются частные производные Е и В
по времени, в левой же части — пространственные производ-
ные тех же величин, выраженные через их частные произ-
водные по координатам рассматриваемой точки.
В хорошо проводящих средах, например, в металлах,
имеются лишь токи проводимости, и токами смещения в них
можно пренебречь ввиду крайней их незначительности по
сравнению с токами проводимости; и для них первое урав-
нение Максвелла принимает вид:
rot Л/= S =у£.
(62,5)
Для идеальных диэлектриков, у которых у=0 и в которых
отсутствуют свободные заряды, первое уравнение Максвелла
будет:
rot Н
dD дЕ
=----- = е---,
dt dt
(62,6)
296
Магнитное поле
[гл. 3
и лишь в случае так называемых полупроводящих сред, в ко-
торых токи проводимости и смещения соизмеримы, должны
быть учтены и те и другие токи:
(62,7)
Конечное значение ротора напряженности в какой-нибудь
точке магнитного поля указывает, что через эту точку про-
текает электрический ток.
63. ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Общие свойства магнитного поля в однородной среде, осо-
бенно вихревой его характер, более полно могут быть выра-
жены через так называемый вектор-потенциал, предста-
вляющий собой векторную функцию тока и координат точек
поля. Векторная пространственная производная этой функции,
называемая ротором, определяет по величине и направлению
магнитную индукцию.
Рассмотрим сначала магнитное поле тока, текущего по
замкнутому проводнику, имеющему относительно малое се-
чение 5. Магнитная индукция такого поля представляется че-
рез:
= ^^1=—grad—d'l\
4тс г3 4я 17 у г3 у j 4гс у г ]
(63,1)
где г — вектор, направленный от элемента длины dl к точке
наблюдения, для которой определяется В. Если взять гради-
ент от функции хГ(г) = -у-в точке наблюдения; то grad — —
_ d /_1_ \ Г —____ г
dr \ г / г2 rJ
На основании соотношения (9,15) rot(Ч;а) = [grad^-u]
+^rot а мы после замены Ф =-у-и a=dl можем написать,
что
grad— dl j-[~ — rotrfZ,
(63,2)
rot -1L
г
§ 63] Вектор-потенциал магнитного поля 297
но rot dl =0, так как координаты dl не зависят от коорди-
нат точки наблюдения, для которой определяется В, поэтому
(63,3)
Art J г
Так как безразлично, в каком порядке находить роторы
ей
от каждого слагаемого — и производить их суммирование,
ввиду того что нахождение ротора и суммирование прово-
дятся по равным координатам, то последнее уравнение мож-
но переписать в следующем виде:
= =rot^^)=roM. (63,4)
Функция 1 о фдинат точек магнитного поля замкнутого
тока:
(63,5)
4к J г
ротор которой равен по величине и направлению магнитной
индукции в рассматриваемой точке поля, называется вектор-
потенциалом магнитного поля.
Вектор-потенциалу можно придать еще другую форму. Ток,
текущий в проводе, может быть выражен через 1— Jod5. Вы-
_ _ s
берем dS таким образом, чтобы вектор dS был параллелен
вектору dl и 6, т. е. чтобы dS || dl || 6, и подведем I под знак
интеграла.
Тогда вектор-потенциал может быть приведен к виду
4= = s F dV- (6ЭД
Последний интеграл может быть распространен не только
на объем, по которому течет ток, но и на все пространство,
занимаемое магнитным полем, так как элементы объема, в
которых о = 0, не изменяют значения интеграла.
Вектор-потенциал Л—dV построен таким же образом,
v
как и потенциал электростатического поля [см. уравнение (4,4)],
с той разницей, что вместо скалярной плотности заряда
1
МЫ Здесь имеем вектор плотности тока и вместо — стоит
298
Магнитное поле
[гл. 3
В соответствии с тем, что А не скаляр, а вектор, век-
тор А и получил название вектор-потенциала. Для проекции
вектора А на любую ось координат можно написать по
аналогии с уравнением (7,5) для электростатического поля:
1 ГдЫх , f &АХ 1 1 л *
+ ~д^~ + ~д^~J V ~8' ’ (63,7)
поэтому и сам вектор-потенциал должен удовлетворять
уравнению Пуассона:
о*2 2 д2л д?А
+ М =V2 А + P-oS = 0. (63,8)
Если в рассматриваемой точке пространства нет тока и
8 = 0, то уравнение (63,8) принимает вид:
V2^=0. (63,9)
Так как дивергенция всякого ротора равна нулю:
- rot A drot,/T
div rot А— 5----1- —д-2--[---j =
дх 1 ду • dz
_ £_ ___дАу \ \ ,
дх \ ду dz ) "^ду \ dz дх ) •
г д ( дАу дАх \
+ ггЬг-^Н=°. С63-1»)
то мы получаем, что дивергенция вектора магнитной индукции
div В = div rot А = 0 (63,11)
равна нулю или что линии магнитной индукции являются
замкнутыми линиями, не имеющими ни начала, ни конца,
что было уже доказано выше.
Если для каждой точки поля известно значение вектор-
потенциала магнитной индукции, то магнитный поток, про-
низывающий какую-нибудь поверхность 5, ограниченную
замкнутой линией /, выражается следующим образом:
Ф = \rotAdS=(f)Adl. (63,12)
Последнее уравнение указывает, что величина магнитного
поля не зависит от формы поверхности, через которую про-
§ 63]
Вектор-потенциал магнитного поля
299
ходит поток, а лишь от контура, ограничивающего эту по-
верхность. Если эта поверхность замкнута на себя, то сум-
марный поток, прох >дящий через эту поверхность, равен нулю:
^BdS =
s V
Определим вектор-потенциал рассмотренного выше маг-
нитного поля между двумя параллельными прямолинейными
проводами с равными, но противоположными токами. Вектор-
потенциал во всех точках такого поля параллелен направле-
нию тока и равен:
-|-00 -|-ОО
• id р м-р * id И’О' I. ^2 газ 1 з)
J = ~2Г|П 77’ ,
— 00 —00
и тот же вектор-потенциал, лежат
Точки, имеющие один
на цилиндрических поверхностях, дающих в сечении, перпен-
дикулярном к осям проводников, окружности, удовлетво-
ряющие уравнению —2=const.
Если ось z выбрать параллельно осям проводов, то
ДЖ = О, Ау—0, Аг — А
И
дА,
о - ЪАХ
Ву = rot, а = -
<М„
А $х
0Z
дх
дАх
ду
дА
ду*
дА
дх ’
(63,14)
Линии магнитной индукции лежат, следовательно, в плос-
костях, перпендикулярных к осям проводов. Так как вектор
магнитной индукции и элемент длины индукционной линии
должны составлять одни и те же углы с осями координат:
&х Ву
dx dv dz 1
то последнее уравнение, являющееся уравнением линий маг-
нитной индукции, может быть приведено к виду:
Вх dy — ву • dx = dy -4- dx—dA—Q. (63,16)
(63,15)
300 Магнитное поле [тл. 3
Уравнение (63,16) показывает, что координаты х и у то-
чек индукционной линии должны удовлетворять уравнению
= const, или Л —const, (63Д7)
т. е. такому же уравнению, которому удовлетворяют коорди-
наты точек, в которых остается постоянным вектор-гПотенциал.
Другими словами, в двухмерном магнитном поле линии магнит-
ной индукции являются в то же время геометрическим местом
точек, в которых вектор-потенциал имеет одно и то же
значение. Направление же вектор-потенциала и направление
индукционных линий взаимно перпендикулярны.
64. ЗАМКНУТЫЙ ТОК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим действие магнитного поля на замкнутый кон-
тур, по которому течет ток /.
Каждый элемент длины такого замкнутого тока испыты-
вает со стороны магнитного поля силу / [dlBj, и потому, ес-
ли этот элемент под действием сил поля перемещается на
3s, то (при условии, что ток / не изменяется) полем совер-
шается работа:
8 А~1 [d/£j3s = /[3srf/J В, (64,1)
а вся работа, совершаемая полем при перемещении контура
с током, может быть выражена через:
^8 At = fl [8srf7 ]Z?=J /85 • B=/8 Ф; (64,2)
[3s d /]=35 представляет собой площадку, описываемую элемен-
том dl при его перемещении на 3s, a [3s dl\ В —число индук-
ционных линий, пересеченных элементом dl при этом пере-
мещении; поэтому работа, совершаемая силами поля, при
перемещении замкнутого тока под действием сил поля, при
условии неизменности значения тока, определяется как про-
изведение этого тока на величину увеличения магнитного
потока, пронизывающего контур тока при этом перемещении.
Перемещение замкнутого тока под действием магнитного
поля происходит всегда таким образом, что магнитный по-
ток, пронизывающий контур тока, стремится к максимуму,
или, что то же самое, поле контура и внешнее поле стремятся
к совпадению (правило Максвелла). Если контур с током
перемещается в сторону, противоположную действию сил
§ 65]
Магнитные диполи
301
поля, то работа, совершаемая внешними, приложенными к
контуру, механическими силами, будет равна:
l[dlB^s = — if [Ш1]В=—1ЬФ. (64,3)
При перемещении в магнитном поле контура с током под
действием внешних сил магнитный поток внешнего поля, его
пронизывающий, уменьшается.
Так как 8Ф представляет собой число пересеченных ин-
дукционных линий при перемещении контура, то в 8Ф не
входит собственный магнитный поток, создаваемый рассмат-
риваемым замкнутым током в окружающем пространстве.
Уравнение (64,1) учитывает лишь работу силы, с которой
магнитное поле действует на проводник при его перемеще-
нии под действием сил поля, а уравнение (64,3)—работу силы,
ее преодолевающей, при условии, что I— const. Если это усло-
вие не соблюдается, то уравнения не дают полной картины
обмена энергии при перемещении замкнутого тока в магнит-
ном поле, так как они не, учитывают той энергии, которая свя-
зана с изменением или появлением токов в отдельных конту-
рах под действием электромагнитной индукции, когда ме-
няется магнитный поток, пронизывающий эти контуры.
Произведение
U=— ЛФ (64,4)
при 1= const можно рассматривать как потенциальную фун-
кцию, первая производная которой по какому-нибудь направ-
лению, взятая с обратным знаком, дает значение слагающей
силы, действующей со стороны поля на замкнутый ток в
этом направлении, что следует из уравнения (64,2):
Ed s=F9 • ds=Id Ф,
F,=ld-£=—dff. (64,5)
s ds ds 7
Если под действием сил по^я контур с током поворачи-
вается около некоторой оси на угол а, то работа поля будет:
dAi = Mada = I-d^ (66,6)
и момент сил поля относительно оси вращения выразится
через
= —ди. (647)
“ да да \ >
65. МАГНИТНЫЕ ДИПОЛИ
Магнитным диполем называется замкнутый на себя по-
стоянный ток, текущий по контуру, ограничивай щему неболь-
302
Магнитное поле
[гл. 3
в точках,
потенциал которого
будет:
/•Д2 I-kS-r
шую площадку AS (фиг. 65,1). Можно показать, что для
элементарного кругового тока или магнитного диполя и его
магнитного поля могут быть получены соотношения, анало-
гичные тем, которые имеются для электрических диполей и
их электрических полей.
Магнитный диполь имеет свое магнитное поле, скалярный
э от него удаленных,
(65,1)
Положим, что сре-
да, в которой нахо-
дится магнитный ди-
поль, вакуум. По-
множим и числитель
и знаменатель на и
будем называть вы-
ражение
(65,2)
магнитным моментом
диполя, т — вектор,
нормальный к площадке AS, по отношению к / отвечающий
правилу штопора. Тогда скалярный потенциал в какой-ни-
будь точке А определяется как:
___ Ш- Г zrc-cos (/и,г)
4 к jx0 • г3 4 гс г J
(65,3)
что аналогично потенциалу поля электрического диполя
(см. § 10):
fl»/z-cos (/аг)____ p-cos (/>,г)
4 гс £0 • 4 гс £(/2
(65,4)
Если магнитный диполь находится в постороннем поле, то
для потенциальной функции магнитного диполя получается
выражение
— /.ф =— ЛД5-|л0- Н=—m-H=U, (65,5)
совпадающее с потенциальной функцией ^электрического
диполя в постороннем электрическом поле — рЕ [уравнение
(10,10)].
§ 65]
Магнитные диполи
303
Момент вращения, испытываемый магнитным диполем со
стороны постороннего магнитного поля, будет:
ЛА __— дО __ д( I- AS-xq-H-cos (A S.H)) _ __
— (— да) ~ да =1п • sin (AS,/7), (65,6)
где z — — угол между направлением поля и ди-
полем; так как ось диполя стремится совпасть с напра-
влением поля, то угол а под влиянием момента вращения
уменьшается, и поэтому в знаменателе перед да поставлен
знак минус.
В векторной форме момент вращения поля, действующий
на магнитный диполь, может быть выражен через
М=[тЯ]- (65,7)
Для электрического поля этот момент будет [рЕ]. Си-
ла, действующая на магнитный диполь, может быть выра-
жена через
_ [_, dU г •- dU , .-(ЯЛ
F ду + ~dz J grad U =
(65,8)
Таким образом, мы видим, что круговой ток I
может быть уподоблен магнитному диполю с
северным полюсом на одной и южным полю-
сом на другой стороне. Можно показать,
что и всякий замкнутый контур конечных Г z
размеров с током можно рассматривать, как
совокупность элементарных магнитных дипо- /
лей (фиг. 65,2). Для этого проведем какую-
нибудь поверхность, опирающуюся на кон-
тур, и эту поверхность разделим двумя
взаимно пересекающимися линиями на ряд элементарных
площадок AS. Периметр каждой площадки можно рассматри-
вать как контур, по которому течет ток, равный току во
внешнем контуре. Противоположные токи'в соприкасающихся
частях двух смежных контуров в своем действии на среду
взаимно уничтожаются; остаются неуравновешенными участки
Фиг. 65,2.
с током, непосредственно прилегающие к внешнему кон-
туру, и потому в отношении намагничивающего действия
на окружающую среду деление заданного контура с током
на ряд элементарных круговых токов никаких изменений не
вносит. Каждый из элементарных круговых токов в отношении
своего намагничивающего действия на среду может быть за-
304
Магнитное поле
[гл. 3
менен элементарным магнитным диполем Магнит-
ный момент, приходящийся на каждую единицу площади по-
верхности, ограниченной заданным контуром, будет равняться:
(65>9)
гдеп° — направление нормали в рассматриваемой точке к
проведенной поверхности.
Замкнутый контур с током может, таким образом, рассма-
триваться, как магнитный лист с одноименными северными
полюсами на одной стороне и южными на другой, причем
магнитный момент, приходящийся на единицу поверхности
листа, будет равен току /, помноженному на у0.
Магнитные явления в физических телах объясняются воз-
действием внешнего поля на внутримолекулярные токи, т. е.
на токи, образованные в атомах и молекулах движением элек-
тронов вокруг ядер атомов.
Под действием внешнего поля оси молекулярных токов
ориентируются определенным образом в пространстве.
Рассмотрение магнитных явлений можно было бы построить
иначе, как это делалось раньше, а именно предположить,
что существуют магнитные диполи, состоящие из противопо-
ложных магнитных полюсов или масс, и мы пришли бы к
тем же результатам, если в основу положили бы, что маг-
нитные полюсы взаимодействуют по закону Кулона; для
вакуума сила взаимодействия выразилась бы тогда через
'Рт2' г
* 4яр»0 • Г3
Если положить, что р0= 1 и опустить коэфициент 4тг, то по-
лучим закон Кулона в том виде, в каком он записывается
при измерении величин в абсолютной электромагнитной си-
стеме единиц.
66. ДИД- И ПАРАМАГНЕТИЗМ
Как известно, тела состоят из молекул и атомов. Атомы
же в своем строении, согласно электронной теории Резерфорда
и Бора, могут быть представлены как ядра, содержащие по-
ложительные заряды, вокруг которых с большой скоростью
обращается то или другое число электронов. Электрон —
это материальная частица, являющаяся носителем минималь-
ного отрицательного заряда (е0) и имеющая массу
Электроны находятся во вращательном состоянии около
собственной оси, благодаря чему они обладают так назы-
(65,10)
§ 66] Диа- и парамагнетизм 305
ваемым спином, т. е. кроме магнитного момента еще маг-
нитным &1ёха1;ич£ским моментом (моментом количества движе-
ния).
Пространство, занимаемое ядром и обращающимися вокруг
него электронами, ничтожно мало по сравнению с объемом,
приходящимся на один атом (по некоторым подсчетам,радиус
атома 1 СТ8, радиус ядра 10~12сш, радиус же электрона еще
меньше—порядка 10-13сш).
Поэтому с микроскопической точки зрения всякую среду
можно рассматривать как свободное физическое простран-
ство или вакуум, в котором расположены атомы, состоящие
из ядер и обращающихся вокруг них электронов, наподобие
планетных систем, имеющихся в мировом пространстве.
Если тела оказывают сопротивление разным деформациям,
то это объясняется как наличием внутренних сил взаимодей-
ствия (электрических и других) ядер и электронов одного атома,
так и взаимодействия смежных атомов и молекул. Обращаю-
щиеся или циркулирующие вокруг ядер электроны образуют
замкнутые на себя круговые токи или магнитные диполи,
на которые действует внешнее магнитное поле. Каждый
электрон в предположении, что он движется по окружности,
равноценен круговому току:
— заряд электрона;/—число оборотов электрона по своей
орбите в единицу времени; —угловая скорость обращения
электрона. Ток равен е0«/, так как через сечение орбиты в
секунду заряд е0 проходит / раз. В соответствии с этим
электрон, циркулирующий по окружности с радиусом г, об-
ладает магнитным моментом
ГАО еп’СОп-ЯГ2 1 Л 9
— о.0 - / • Д3 = р-0 - -5--— —
или
т—— у 'Ло-^№-.0,о> (66>2)
знак минус стоит потому, что направление движения элек-
трона и направление создаваемого им тока прямо противо-
положны.
Так как электрону присущ не только заряд е0, но и мас-
са т0, то циркулирующий по окружности электрон обладает
еще механическим моментом (моментом количества движения):
С—т^ G~mQ • г2 • ш0. (66,3)
20 К. А. Круг, т. I.
306
Магнитное поле
[гл. 3
Для циркулирующего электрона отношение магнитного к
механическому моменту равняется:
= . (66,4)
G 2mQ
В нейтральном состоянии магнитные моменты, присущие
электронам благодаря их обращению (циркуляции) вокруг
ядра и их спинам, т. е. соответствующие магнитные диполи
в атоме или в группе атомов или молекул, взаимно уравно-
вешиваются, и в пространстве вне атомов магнитное поле
их не проявляется.
Когда же тело попадает в магнитное поле, то между эти-
ми диполями и магнитным полем возникают силы взаимодей-
ствия, которые изменяют ориентацию молекулярных круго-
вых токов.
Если ориентация элементарных круговых токов уменьшает
общий магнитный поток, явление называется диамагне-
тизмом.
Если же под действием внешнего магнитного поля общий
магнитный поток увеличивается, то такое явление называют
парамагнетизмом. Большинство тел после исчезновения
внешнего поля возвращается в нейтральное магнитное со-
стояние.
Особую группу составляют так называемые магнитные
тела, наиболее ярким представителем которых является
сталь. В них явление парамагнетизма наблюдается необычай-
но сильно, и кроме того после исчезновения внешнего маг-
нитного поля элементарные круговые токи могут оставаться
ориентированными, и в таких телах будет наблюдаться так
называемый остаточный магнетизм.
Явления диамагнетизма объясняются прецессионным дви-
жением, которое совершают элементарные круговые токи,
обусловленные вращением электронов вокруг ядра атомов,
когда они попадают под действие внешнего магнитного поля.
Благодаря тому, что обращающиеся вокруг ядра атомы
обладают массой, каждый атом тела в магнитном поле мо-
жет рассматриваться как своего рода гироскоп-волчок, ко-
торый кроме механического момента обладает еще магнит-
ным моментом.
Согласно теореме механики вектор момента внешней си-
лы равен изменению вектора механического момента тела в
единицу времени
При отсутствии потерь механический момент вращающе-
гося волчка сохраняет свое абсолютное значение (но не на-
§ 66]
Диа- и парамагнетизм
397
правление). Момент внешней силы М=ОМ и механический
момент G — OG все время образуют угол в 90° (фиг. 66,1),
поэтому
MG= AlGcos90°=0 = G — = 4(4 или G = const.
dt dt\2 J
Если OG и OG’—два положения вектора G в интервале
времени dt, то
dG— \OGf—OG\ = GG' = AG dy = OG sin a-dv = G sin a-w dt,
где w —угловая скорость прецессионного движения, а так
как dG перпендикулярно к о) и G, то
dG—\^G]dtvi Л1 = [о>О]. (66,5)
Z
Фиг. 66,1.
Момент, действующий со стороны внешнего поля на кру-
говой ток, образуемый^ циркулирующим вокруг ядра элек-
троном, равен М=\тН\, поэтому
М = [т -и] = [w G ] (66,6)
(// и id совпадают, а векторы магнитного и механического
моментов in и G циркуляции электрона вокруг ядра атома
прямо противоположны), и
о) Ш
Н ' G 2/и0 ’
20i:
308
Магнитное поле
[гл. 3
Явление прецессии электронов под действием внешнего
магнитного поля носит название прецессии Лармора.
Величина прецессии w может быть подсчитана при
= 1,77-108 - = 1,77- 10П — ,
"'u g kg
i t 9 Н Т . _ 1 /Л А
|ло=4п-10 — и /7=10 — ,
cm cm
ш = —2П. 10-9. JJ7-ю'1 • 10- — — — =
2/ио kg cm cm
7 1
=2п-1,77-10 • — .
sec
С Н А _ 1А-1 sec # 1 £-1 sec . ДА __ 1 J-l sec
kg cm cm 1kg 1cm 1cm 1kg-1cm2
1 kcr • -1 m -1 sec
__ ° sec2________________________. n4 1 ,
1kg-1cm2__________________________sec _
что соответствует 1,77-107 оборотов в секунду.
Благодаря прецессии электрон получает дополнительную
угловую скорость о вокруг ядра, совпад ющую с направле-
нием движения часовой стрелки, если смотреть по направ-
лению токов, а так как направление электрического тока,
обусловленное движением электрона, пр мо пр ^тивоиоложно
направлению движения электрона, то в результате прецессии
внешнее поле будет ослабляться.
Прецессионным движением орбит электронов в ма нитном
поле в свое время Лорентц объяснил так называемый эффект
Зеемана. Эффект Зеемана состоит в том, что круговые токи
электронов отдельных атомов и молекул раскаленных паров
и газов в (сильном) магнитном поле совершают прецессион-
ное движение, вследствие чего изменяется частота излучае-
мых волн, что можно наблюдать в спектроскопе по расщеп-
лению линий спектра, излучаемого этими парами и газами.
Если со — угловая скорость обращения электрона (его пре-
цессионного движения) и А/—изменение частоты волн в ре-
зультате прецессии (Д/-2тг=<о), то
Д/=±- = 2±— (66,7)
2я 4-Г7По 4г./720
§ 66]
Диа- и парамагнетизм
309
f tTl lJ.a'6г\ \
(так как & = ~ ), что согласуется с опытом простого эффек-
та Зеемана с атомами, испускающими при этом монохрома-
тическую волну.
Эффектом Зеемана была подтверждена правильность эле-
ктронной теории строения атома.
Однако опыты, производившиеся Барнеттом с быстрым
вращением нейтральных цилиндрических стержней из стали
и пермалоя, показали, что при вращении этих стержней, во
время которого оси элементарных круговых токов, наклонен-
ные под разными углами к оси вращения стержня, вращают-
ся около этой оси, создается .магнитное поле, совпадающее
с направлением вращения стержня- При этом оказалось, что
отношение угловой скорости вращения к напряженности по-
лучаемого поля примерно в два раза больше:
<2_ _
/У mQ
(66,8)
Объяснение этого расхождения было найдено в так назы-
ваемом спине электрона. СогласноХуадсмитуиЮленбеку
и в соответствии с современной квантовой механ кой элек-
трон, как и всякая частица, вращается вокруг собственной
оси и обладает вполне определенным механическим моментом
(моментом количества движения), так называемым спином.
Благодаря спину электрон помимо механического момента Gs
обладает также, независимо от циркуляции вокруг ядра, маг-
нитным моментом спина ms. Магнитный момент, присущий
электрону, как таковому, вследствие вращения его вокруг
собственной оси, называется магнетоном. Величина его
по Бору равна;
w5=0,923-10 28Vsec cm. (66,9)
Для спина электрона, если предположить, что заряд и масса
равномерно распределены по объему, отношение магнитного
момента к механическому получается как раз равным:
щ ___ -с0
Gs тц
(66,10)
что указывает на то, что в стали [см. формулу (66,8), по-
лученную Барнеттом] магнитное явления обязаны воздей-
ствию внешнего магнитного поля не на оси циркуляции элек-
тронов, а на оси спина электронов. Более точно наличие спи-
на было доказано Эйнштейном и де-Гаазом. В их опыте
тонкий стальной стерженек в вакууме подвешивался на квар-
девой нити внутри катушки, через которую пропускался пе-
310
Магнитное поле
[ гл. 3
ременный ток такой частоты, которая соответствовала ча-
стоте собственных крутильных колебаний подвешенного стер-
женька (фиГ.66,2). Под действием магнитного поля электроны
совершают прецессионное движение и приобретают дополни’
тельный механический момент, меняющийся синхронно с ча-
стотой магнитного поля; под действием этого меняющегося
момента стерженек совершает в переменном магнитном поле
крутильные колебания. Опыты, проведенные по этой схеме,
подтвердили для стали и ряда других металлов (хрома,
марганца, кобальта) отношение , т. е, выяснили, что
эти металлы обязаны своим магнетизмом
воздействию магнитного поля на спины
электронов, а не на циркуляции электрр»
нов вокруг своего ядра.
Если в нейтральном состоянии магнит-*
ные моменты элементарных к’руговых то*
ков в атомах и молекулах взаимно уравно-
вешивают друг друга благодаря одинаково
вероятному расположению этих моментов
по любому направлению, то под влиянием
внешнего поля это равновесие нарушается.
S
Фиг. 66,2. Сумма магнитных моментов, приходящихся
на единицу объема, называется намагни-
ченностью или магнитной поляризацией:
(66,11)
и обозначается буквой /; намагниченность измеряется в та-
ких же единицах, как и магнитная индукция:
(66,12)
Намагниченность диамагнитных тел может быть принята
пропорциональной напряженности магнитного поля:
J=*H,
(66,13)
где х — коэфициент магнитной восприимчиво-
сти. Для диамагнитных тел х имеет отрицательное значение,
так как прецессионные круговые токи ослабляют внешнее
поле, т. е. оси их имеют противоположное полю направле-
ние. Диамагнитные явления выражены крайне слабо. Коэ-
фициент магнитной восприимчивости, выраженный в долях р0,
§ 66]
Диа- и парамагнетизм
311
для висмута равен — =—1,67-10 , для меди — —
P-о Но
=—0,9 -10 5. Диамагнетизм принципиально свойственен всем
телам, но он заслоняется в большинстве тел более мощным
парамагнитным явлением.
Явление парамагнетизма состоит в том, что под действием
внешнего магнитного поля оси магнитных моментов эле*
ментарных круговых токов наклоняются в сторону внешнего
доля, в силу чего внешнее доле усиливается. Этому стрем-
лению элементарных круговых токов или их диполей стать
своими осями параллельно долю препятствует тепловое движе-
ние отдельных молекул и атомов внутри тела, которое под-
держивает хаотическое распределение направлений этих осей.
При обычных температурах энергия теплового движения во
много раз больше, чем та работа, которая производится маг-
нитным полем при повороте электрического кругового тока
(диполя). Средняя кинетическая энергия какой-нибудь части*
цы, обусловленная тепловым движением, при абсолютной
температуре Г=273°+^ равняется:
— mv
2
3_ 3kT
~ 2
(66,14)
где k — постоянная
—23 J
Больцмана, равная 1,36-10 > что
при температуре 7'=273o-f-20o=2933 дает:
• 1,36-10 23-293 = 5,98 • 10 MJ,
2 2
в то время как работа, связанная с полным поворотом оси
электрона на 180° из антипараллельного положения в парал-
лельное в сильных полях при 5=20 000 Os, что соответствует
/7=16000 ——, будет равна:
ст
2т s • Н= 2 • 0,923 -10-28 • 16 000 • J=3 • 10
Ввиду незначительности энергии диполя в магнитном цо-
ле по сравнению с энергией теплового движения явление па-
рамагнетизма (если исключить сталь и родственные ей
тела), хотя оно и более значительно, чем явление диамагне-
тизма, проявляется также весьма слабо. При обычных темпе-
312
Магнитное поле
[гл. 3
ратурах намагниченность (т. е. сумма магнитных моментов
единицы объема) пропорциональна напряженности поля:
— iim '±п
v -> о V
(66,15)
и совпадает по направлению с полем (коэфициент х положи-
телен). Коэфициент пропорциональности, называемый коэфи-
циентом магнитной восприимчивости, измеряемый отношением
между намагниченностью и напряженностью поля и выражен-
ный в долях |л0, равен для алюминия — =2,14-10 , для
Но
воздуха - = 3,65-10 \
но
67. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИЕЙ,
НАПРЯЖЕННОСТЬЮ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
И НАМАГНИЧЕННОСТЬЮ
Еще Ампер объяснял намагниченное состояние тел дей-
ствием внутренних круговых токов, названных по его имени
амперовыми. Современная электронная теория
объясняет эти явления действием молекуляр-
ных токов, которое проявляется ими в резуль-
тате прецессионного вращения осей спинов
электронов или поворота в сторону внешнего
поля осей циркуляции электронов (т. е. эле-
ктронных орбит).
Молекулярные токи в магнитном поле при-
нимают такое положение, что они представ-
ляют собой направленные в одну сторону
(например, против стрелки часов) круговые
токи (одинаковой силы). Внутри однородного
намагничиваемого тела действие токов смеж-
ных молекул взаимно компенсируется, на
внешней же поверхности нескомпенсирован-
ные части молекулярных токов складываются
в круговой поверхностный ток, обтекающий
с внешней поверхности намагничиваемое тело
(фиг. 67,1). Молекулярные токи не поддаются
непосредственному наблюдению или измере-
нию, но об их действии можно судить по
тому изменению магнитной индукции, которое
имеет место, если в магнитнсе поле вносится
какое-нибудь весомое тело.
Магнитное поле в среде, отличной от ва-
§ 67] Соотношение индукции, поля и намагниченности 313
куума, создается совместным действием внешних (макроско-
пических) токов и ориентированных в пространстве (микро-
скопических) круговых токов в атомах и молекулах. Так как
атомы и молекулы занимают лишь ничтожную долю про-
странства, то внешние и молекулярные токи действуют как
бы в вакууме и потому для любой анизотропной (неоднород-
ной) среды сохранится выведенная выше для вакуума непре-
рывность индукционных линий, выражаемая уравнением:
divB = 0. (67,1)
Равным образом должен иметь силу для любой точки
такой среды закон полного тока. Закон полного тока для
статического поля, если не прибегать к понятию напряжен-
ности магнитного поля, являющейся чисто расчетной вели-
чиной, а пользоваться для характеристики магнитного поля
лишь магнитной индукцией, в случае отсутствия намагничи-
вающихся масс должен быть для вакуума написан следую-
щим образом:
(67,2)
rot В = иоо,
где 5 — плотность токов проводимости.
В случае же наличия намагничиваю-
щихся тел к плотное ги токов проводимости
прибавляется еще объемная плотность мо-
лекулярных токов
rot В = [i0(o )• (67,3)
Объемная плотность молекулярных то-
ков в какой-нибудь точке о v , помножен-
ная на р0, по величине и направлению
равна намагниченности среды в этой точке
— 1 • - *
J — 1101
v -> о V
(67,4)
Фиг. 67,2.
Чтобы это доказать, возьмем весьма
малый цилиндр с сечением 5 и высотой А, совпадающей с
направлением намагниченности J (фиг. 67,2). Если Д5 — пло-
щадь, ограниченная ориентированным молекулярным током,
то вероятность того, что какой-нибудь молекулярный ток
AS
.охватит ось цилиндра, будет —; если в единице объема
О
314
Магнитное поле
[гл. 3
число молекулярных токов будет п, то число молекулярных
токов, охватывающих единицу длины оси цилиндра, будет:
nSh' 7
а соответствующий суммарный молекулярный ток, охваты-
ваемый единицей длины линии, не совпадающей с направ-
лением J, будет
Но но
где — проекция момента единичного (среднего)
магнитного диполя на направление х.
Возьмем теперь в плоскости yz элементарный прямоуголь-
ник dydz и определим суммарный ток, охватываемый его
четырьмя сторонами, который будет равен 3^ dy dz:
J- [ J dy + f 4+ dy\dz -(j 4-dz} dy - Jzdz
Po L \ °У / \ 7 OZ J
1 \dJ* dJy]^ . .
= 77 LT7 “ dydz^ dz
или
dJz dJy
откуда следует уравнение (67,4).
Подставляем вместо Ho8v ротор ]•
rot B=|\,o-j~rot
.В —J j
rot ^-=8. (67,5)
Если мы в вакууме напряженность поля Н определили
как отношение магнитной индукции в вакууме к магнитной
проницаемости вакуума, то для намагничивающейся среды
напряженность в какой-нибудь точке магнитного поля опре-
деляется как разность между магнитной индукцией и намаг-
ниченностью, деленной на у.о,
П = ^- W)
§ 67]
Соотношение индукции, поля и намагниченности
315
Если возьмем ротор от обеих частей, то мы получим урав-
нение полного тока в диференциальной форме и для магнит-
ных сред в таком же виде, как и для вакуума,
rot Н= 3,
где 3—плотность токов проводимости.
В интегральном виде закон полного тока мы получим,
если возьмем линейный интеграл напряженности магнитного
доля по замкнутой на себя линий
(f)Hdl =Jrot HSd—^ ZdS^Zwl.
(67,7)
s
Уравнение (67,6) может быть переписано в следующем виде:
(67,8)
Из уравнений (67,6) и (67,8) следует, что в практической
системе электрических единиц намагниченность измеряется
в таких же единицах, как магнитная индукция, т. е. в
Vsec/m3 или в sec/cm3=108Gs.
Что касается величины Н9 то ее можно было бы опреде-
лить, если бы в каждой точке пространства, занятого на-
магниченными телами, известны были по величине и на-
правлению намагниченности 7. Каждый элемент объема dV
можно рассматривать как диполь с магнитным моментом JdV9
который в точке наблюдения дает слагающую скалярного
потенциала , где направлено от dv к точке на-
блюдения.
Интегрируя dtfт по объему всех находящихся в маг-
нитном поле намагниченных тел, мы получим скалярный
потенциал от всех молекулярных токов
<67-ч
V
Взяв градиент от г^т с обратным знаком, мы получим сла-
гающую напряженности магнитного поля от молекулярных
токов; ___
Н} ——grad f -J— 2
V
316
Магнитное поле
[гл. 3
Так как = grad —, где г будет направлено уже от точки
наблюдения к элементу dV\ мы на основании соотношения
div (Ф 4) = ф div A-f-A grad ф;
заменяяф через—, и А через J, можем написать, что
Jr° i 1 div J . [ i. J
= Jgrad0 — =-------r---1-dJVy
(div должна браться для точек, где находится dV).
Поэтому Н' может быть представлено как
(67,10)
Последний интеграл на основании теоремы Гаусса может
быть заменен поверхностным интегралом, который должен
быть распространен на поверхности всех тел, находящихся
в магнитном поле,
dV= ф-^-dS,
s
где Ja — проекция намагниченности среды на внешнюю нор-
маль в соответствующей точке поверхности.
Чтобы получить полное значение напряженности в точке
наблюдения, необходимо сложить Н' с слагающей напряжен-
ности магнитного поля от токов проводимости
^0=—grad
где — скалярный потенциал поля (внешних) токов про-
водимости.
Таким образом:
Н = - gfad [^о+ f • (67,11)
И <$
Выражение в квадратных скобках построено таким же са-
мым образом, как и потенциал электростатического поля, в
котором находятся диэлектрики [см. уравнение (12,3)]. Это
§ 67]
Соотношение индукции, поля и намагниченности
317
дает возможность рассматривать магнитное поле как маг-
нитостатическое, создаваемое магнитными полюсами (фиктив-
ными магнитными зарядами).
Скалярный потенциал магнитостатического поля может
быть составлен таким же самым образом, как и потенциал
поля электростатического, минус градиент которого опреде-
ляет напряженность поля. Интеграл поверхностных магнит-
ных полюсов:
dS=^^~ dS,
S 4^Г s 4ir,u0r
где am — Jn — поверхностная плотность одноименных полюсов
магнитных диполей, примыкающих одним своим полюсом к
пограничным поверхностям, а интеграл
~dlv7 dV= dv
4qi0r J 4k
V V
можно рассматривать, как магнитный потенциал магнитных
полюсов, выявляющихся в намагничиваемых среда\ в резуль-
тате неоднородной поляризации в смежных точках, вслед-
ствие чего образуется как бы объемная плотность магнитных
полюсов рт— — divJ. Таким образом, напряженность магнит-
ного поля могла бы быть подсчитана по формуле:
Н= - grad L (67,12)
L 5 4к J 4к J
V
В случае однородных сред рт——div 7=0 и в этом слу-
чае выявляются особенно некомпенсированные полюса ди-
полей на поверхности намагниченных тел, где вектор нама-
гниченности нормален к поверхности У4 = |7|—например,
в зазоре разрезанного стального кольца, намагничиваемого
током.
В большинстве случаев направление вектора намагничен-
ности совпадает с направлением напряженности поля, тогда
В = *Н=(^0+Iх Н. (67,13)
Отношение магнитной индукции к напряженности магнит-
ного поля
^=Р-=!хо-Ьх=Н-гЛ) (67,14)
318
Магнитное поле
[гл. 3
называется магнитной проницаемостью среды. Она слагается
из магнитной проницаемости вакуума и магнитной воспри-
имчивости среды х. Отношение —— = называется о т н о-
Ио
сительной проницаемостью среды.
В абсолютной электромагнитной системе CGSM уравне-
ние пишется в виде:
В = Н 4-4тгУ= 4 тс (67,15)
где k—коэфициент восприимчивости в этой системе.
Как переводятся соответствующие значения величин, харак-
теризующих магнитное поле в системе CGSM и MKSM, см. § 92.
В случае, если J и Н не совпадают по направлению,
что может иметь место, например, в однокристальных же-
лезных образцах, то В и Н также не совпадают по направ-
лению, и зависимость между ними выражается через так назы-
ваемый тензор, определяющий проекции на оси координат век-
тора В через проекции вектора Н при помощи матрицы соответ-
ствующих значений магнитной проницаемости:
Вх= [1 i j 1 з Bfy 3 Hz>
^=^21 НХ-Ч-Н22 Ну +
^а=Р'31^л4"1Х32^Н“1Х33^2-
68. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. ГИСТЕРЕЗИС
Железо, кобальт и их сплавы, а также сплавы марганца
и меди обладают свойством сильно намагничиваться, т. е.
приобретать большую намагниченность J при сравнительно
слабых внешних полях. Эти металлы объединяются в одну
группу так называемых ферромагнитных тел и их
свойство сильно намагничиваться называют ферромагне-
тизмом. В этих телах нет прямой пропорциональности меж-
ду магнитной индукцией и напряженностью поля или между
намагниченностью и напряженностью поля:
B = ^H^H = BQ+J' (68,1)
Магнитная проницаемость и магнитная восприимчивость
и х = сад
П Г1
§ 68]
Ферромагнетизм. Гистерезис
319
не имеют постоянного значения. Значение магнитной прони-
цаемости р- и магнитной восприимчивости х во много раз
больше магнитной проницаемости и восприимчивости других
тел:
^»1 и -»1.
Ро х0
Зависимость между В и Н весьма сложна; на нее влияет
в первую очередь химический состав этих тел, затем в
весьма сильной степени предварительная механическая и терми-
ческая обработка образцов. Кроме того, намагничивание про-
текает различно в зависимости от предшествующего состо-
яния намагниченности. Это явление зависимости значения
магнитной индукции или намагниченности от предыдущего
состояния намагничения называется гистерезисом. Зависи-
мость между В и Н или между J и Н выражают в виде так
называемых кривых намагничивания, откладывая по оси
абсцисс 7/, а по оси ординат В или J (фиг. 68,1).
Ферромагнитные тела имеют кри-
сталлическое строение. Кристалличе-
ское строение, например, железа пред-
ставляется в виде так называемой
пространственной решетки, в которой
в определенной симметрии по верши-
нам соприкасающихся кубов располо-
жены положительные ионы железа, а
в центре таких кубов атомы железа,
окруженные электронным облаком,
играющие роль отрицательных ионов.
Силы взаимодействия между ионами
Фиг. 68,1.
и являются внутриатомными силами, которые удерживают
ионы в соответствующих точках кристаллической решетки.
Из сопоставления теории и результатов опытов Барнетта и
Эйнштейна и де-Гааза вытеьазт, что намагничение ферро-
магнитных тел обусловлено лишь ориентацией спинов элек-
тронов, а не их циркуляцией.
В кристаллах ферромагнитных тел между электронами
смежных атомов существуют так называемые силы обмена
электрического происхождения, которые стремятся напра-
вить оси спинов в параллельное друг другу положение.
Под действием этих сил обмена в ферромагнитных телах
образуются отдельные области с преобладающим числом
спинов, параллельных друг другу, вследствие чего эти об-
ласти оказываются сильно намагниченными. Такие области
самодовлеющего намагничения, обусловленного не внешними
силами, а внутренними силами обмена, называются областя-
ми спонтанного намагничения. Когда ферромагнит-
320
Магнитное поле
[гл. 3
ное тело не подвержено действию внешних полей, магнит-
ные моменты отдельных областей спонтанного намагничения
взаимно уравновешивают друг друга, так что общая намаг-
ниченность тела равна нулю.
Но достаточно иногда весьма слабого внешнего поля,
чтобы это равновесие было резко нарушено, и магнитные
моменты одних областей, имеющих одно направление, полу-
чили значительное преобладание над магнитными моментами
других областей, в результате чего отдельные кристаллы и
все тело оказываются сильно намагниченными, при этом на-
магниченность J отдельных областей может и не совпадать
с направлением внешнего поля.
Магнитное состояние кристалла зависит от взаимного
расположения его кристаллографических осей и напряжен-
Фиг. 68,3.
ности поля. Отмечают направления легкого и труднсгэ на-
магничивания. Если кристалл намагничивать вдоль оси лег-
кого намагничивания, то при одной и той же слабой напря-
женности внешнего поля Н получается большая намагни-
ченность, чем при намагничивании вдоль оси трудного на-
магничивания. На фиг. 68,2 показаны кривые намагничивания
для однокристального образца. Кривая а соответ-
ствует кривой легкого намагничивания, когда направление
поля совпадает с направлением одного из ребер куба
(фиг. 68,3 направление а\ кривая с—кривой трудного на-
магничивания, когда внешнее поле совпадает с тригональю
куба (направление с\ и кривая Ь, когда поле направлено по
диагонали боковых поверхностей куба. Области спонтанного
намагничения обладают внутренней энергией. Направление,
при котором эта внутренняя энергия имеет минимум, совпа-
дает с направлением легкого намагничивания и по этому
направлению при отсутствии внешнего поля и располагается
так называемый вектор спонтанного намагничения.
$68]
Ферромагнетизм. Гистерезис
321
Под действием внешнего поля вектор намагниченности
области поворачивается в сторону трудного намагничивания
и при этом увеличивается потенциальная энергия области.
При достаточно большом значении внешнего поля Н ре-
зультирующие магнитные моменты отдельных областей спон-
танного намагничения становятся параллельными внешнему
полю. Состояние, при котором дальнейшее увеличение внеш-
него поля не увеличивает намагниченности тела, называется
магнитным насыщением.
Если исходить из состояния наибольшего значения намаг-
ниченности кристаллов Jqq и постепенно уменьшать напря-
женность поля Ht то отдельные области переходят из со-
стояния трудного намагничения в состояние более легкого
намагничения. При исчезновении внешнего поля H—Q кри-
сталлы сохраняют свою намагниченность. Явление сохранения
намагниченности при отсутствии внешнего поля называется
остаточным магнетизмом, и определяется оно со-
ответствующей намагниченностью или магнитной индукцией
остаточного магнетизма Jr=Br. При перемене направления
внешнего поля, когда напряженность его достигает опреде-
ленного значения Н=НС, оси спинов кристаллов оказыва-
ются в неустойчивом положении и достаточно ничтожно
малого увеличения поля, чтобы оси спинов перевернулись и
намагниченность сразу опрокинулась, изменившись с вели-
чины Нс в противоположную величину Нс = —Нс. Напря-
женность магнитного поля, при которой происходит измене-
ние направления намагниченности (или магнитной индукции),
называется коэрцитивной или задерживающей
силой. Резкий скачок спонтанной намагниченности отдан-
ных областей из одного направления в прямо противопо-
ложное называется эффектом Баркгаузена. Его можно наблю-
дать в виде отдельных потрескиваний, если плавно пере-
магничивать натянутую проволоку и охватить проволоку
катушкой, присоединенной через усилитель к телефону.
При дальнейшем увеличении обратного поля Н намагни-
чение области приближается к своему максимуму, т. е. к
состоянию насыщения.
При циклическом изменении внешнего поля намагничен-
ность кристалла изменяется по кривой, имеющей форму пет-
ли, называемой кривой гистерезиса (фиг. 68,4). Кри-
вые намагничения отдельных кристаллов могут показывать
очень резкий скачок намагниченн сти I при изменении направ-
ления намагничения, когда напряженность обратного поля до-
стигает значения задерживающей силы, и могут прибли-
жаться к прямоугольной форме (фиг. 68,5). Обычно же из-
менение направления намагниченности имеет место при мень-
21 К. А. Круг, т. I.
322
Магнитное поле
1гл. 3
ших значениях напряженности магнитного поля, и переход
к намагничению противоположного направления происходит
по более пологим кривым (фиг. 68,4). Объясняется это тем,
что в кристаллах параллельно с изменением намагничения
отдельных областей одновременно, особенно на крутых участ-
ках, происходит резкое смещение границ отдельных об-
ластей спонтанного намагничения, вследствие чего ослабля-
ется взаимодействие между отдельными областями, опро-
кидывание начинается раньше и происходит при меньших
значениях обратного поля.
*
-"с
Н
Фиг. 68,5.
Намагничивание кристалла сопровождается его механи-
ческими деформациями. Это явление называется магнито-
стрикцией. Так, для однокристального образца железа
при намагничивании вдоль наибольшей диагонали куба в
слабых полях наблюдается, хотя и в весьма слабых размерах,
удлинение, а в сильных, наоборот, укорачивание.
При значительном повышении температуры под влиянием
усиливающегося теплового движения и связанного с этим
изменения в расположении осей спинов электронов действие
сил обмена ослабляется и потому значения В и J при тех
же значениях Н снижаются. Критическая температура, при
которой ферромагнитное вещество теряет свои ферромаг-
нитные свойства, становясь парамагнитным, называется точ-
кой Кюри. Для железа эта температура 753°С, для никеля
376°С, для кобальта 1137°С.
При изменении намагниченности, как указывалось выше,
происходит перемещение границ отдельных областей с
перераспределением энергии между ними; совершаемая при
этом внешним полем работа по преодол нию внутренних на-
тяжений не является вполне обратимой и частично пере-
§ 68]
Ферромагнетизм. Гистерезис
323
ходит в тепло. Поэтому цикличное перемагничивание всегда
сопряжено с потерей энергии.
Обыкновенные образцы стали или других ферромагнит-
ных тел представляют собой конгломерат кристаллов не-
одинаковых размеров, расположенных в разных направле-
ниях, и поэтому снимаемые кривые намагничивания B=t (Н)
или J=f (H) являются кривыми средних значений В и J.
Если не говорить об однокристальных образцах, то В и J
могут быть приняты совпадающими по направлению с Н.
Путем многократного циклического перемагничивания с
одновременным уменьшением максимальной напряженно-
сти поля можно устра-
нить следы наблюдаемого
остаточного намагниче-
ния.В предварительно раз-
магниченных областях при
мальх значениях напря-
женности внен него поля
Н сначала происходит
упругое смещение границ
областей спонтанного на-
магничения и в соответ-
ствии с этим кривая
намагничения (фиг. 68,6)
имеет медленный прямоли-
нейный подъем (ветвь а).
При дальнейшем увеличении Н начинается опрокидыва-
ние спина отдельных областей, в результате чего получает-
ся быстрое нарастание кривой намагничивания (крутой
подъем—ветвь Ь} и в дальнейшем по мере поворотов маг-
нитных моментов отдельных областей и достижения парал-
лельности их с внешним полем намагничение приближается
к своему насыщению (ветвь г). Получаемая при этом кривая
называется кривой первоначального намагничивания или ос-
новной кривой намагничивания. Кривая намагничения стали
J—B—(Н) с некоторым приближением может быть
представлена формулой Фрелиха:
-+»- «ад
*о Лзо
где х0 = — —магнитная восприимчивость при очень слабых
dH
полях и Jqq — нама1ниченность насыщения; или формулой
Ланжевена:
J — ^со (^) 9
(68,4)
21*
324
Магнитное поле
[гл. з
где а = -^ Н. При малых значениях Н 1)
/оо
L (а) = cth а---(68,5)
а при больших значениях Н (а > 1)
L (о) = 1 —“ + 2 е-2а . (68,6)
Что касается магнитной проницаемости р =—, то она на-
н
растает сначала медленно, затем быстрее, приближаясь к
своему максимуму в точке касания касательной, проведен-
ной из начала координат к кривой B=f(ff). После этого
р. уменьшается, и при Н—оэ, когда оно будет рав-
но Но:
Пт „.ну» (687)
В намагниченном до некоторой магнитной индукции Z?max
или Jmax ферромагнитном теле при уменьшении напряжен-
ности И магнитная индукция (или намагниченность) умень-
шается, получая, однако, вследствие гистерезиса большие
значения, чем при первоначальном намагничивании, и при
исчезновении поля намагниченность не пропадает: сохраня-
ется так называемая остаточная намагниченность Jr=Br
обусловленная магнитными моментами отдельных областей
в кристаллах. При перемене знака поля и его нарастании в
обратном направлении намагниченность уменьшается снача-
ла медленно, а затем при определенном значении напряжен-
ности поля намагничение, резко спадая, проходит через нуль,
меняя свой знак, и, при дальнейшем увеличении обратного
поля, приближается к своему насыщению в обратном на-
правлении.
При переменном изменении напряженности поля от 4“^тах
до—/7тах и обратно кривая намагничивания описывает пет-
лю гистерезиса. Характерные точки этой петли—остаточная
магнитная индукция или намагниченность Br — Jr и коэрци-
тивная или задерживающая сила Нс для данного образца
могут меняться в зависимости от предварительной термиче-
ской и отчасти механической обработки образца. Значения
§ 681
Ферромагнетизм. Гистерезис
325
магнитной индукции или остаточной намагниченности Br = Jr
и задерживающей силы Нс не могут быть больше тех зна-
чений, которые получаются для одного кристалла данного
тела.
Петля гистерезиса при циклическом (многократном) пере-
магничивании получается и тогда, когда максимальное на-
магничение не доводится до насыщения, как это показано
на фиг. 68,7. Эти петли лежат внутри предельной петли
гистерезиса и вершины всех петель лежат на основной кри-
вой намагничивания.
Если после доведения магнитной индукции до индукции
насыщения уменьшать напряженность поля, то магнит-
ная индукция будет уменьшаться по предельной кривой
гистерезиса. Если же, начиная от какой-нибудь точки А,
опять начать увеличивать напряженность поля, то магнитная
индукция будет увеличиваться по так называемым кривым
возврата, приближаясь к основной кривой намагничивания,
но не пересекая ее, как это показано на фиг. 68,8. Из кри-
вых этой фигуры видно, что если довести напряженность
обратного поля до величины задерживающей силы,* при ко-
торой магнитная индхкция ра цяется нулю, и затем снять
напряженность поля (/7=0), то магнитная индукция уже не
будет равна нулю, а будет равна некоторой конечной вели-
чине OB'; для того чтобы уничтожить следы намагничения
в образце, мы должны дать напряженности обратного поля
некоторое большее значение так, чтобы линия возврата
проходила как раз через нулевую точку.
При небольших периодических (циклических) изменениях
напряженности защитного поля, когда сталь была уже На-
326
Магнитное поле
[гл. 3
магничена и когда кроме переменной слагающей имеется
еще постоянная слагающая магнитного поля, магнитная ин-
дукция описывает замкнутые петли, почти сливающиеся с
прямыми (фиг. 68,9). Получающееся при этом отношение из-
менения магнитной индук-
ции к изменению напря-
женности магнитного поля
Н = — (63,8)
дя '
называют магнитной
прон иц аемостью
пульсации, она может
значительно отличаться от
О Н значения магнитной прони-
Фиг. 6«,9. цаемости, определяемой как
P'=— = tg а, а также от
н
так называемой диференциальной магнитной проницаемости
— = tg р, определяемой по тангенсу угла касательной.
69. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СТАЛИ И ДРУГИХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Магнитные свойства различных сортов стали в электро-
технике, особенно в области электромашиностроения, имеют
первенствующее значение, так как применение стали с улуч-
шенными магнитными свойствами может в значительной мере
снизить вес машин и трансформаторов и повысить ихк. п. д.
Совершенно чистое железо, свободнэе от всяких приме-
сей, которое получается электролитическим путем, обла-
дает при обыкновенной температуре весьма высокими маг-
нитными качествами. Эти качества еще более повышаются,
если железо было подвергнуто плавлению под вакуумом,
что способствует более полному освобождению его от газов.
Всякие примеси, вообще говоря, снижают магнитные ка-
чества железа. Если эти примеси не составляют химических
соединений с железом, то присутствие их сводится к тому,
что они занимают лишний объем, вследствие чего общая
намагниченность понижается. Если же примеси образуют
химические соединения, к тому же растворяющиеся в железе,
то это еще более видоизме. яет Mai нитные свойства стали.
Особенно характерен в этом отношении углерод. Магнитные
свойства стали сильно зависят от ее термической обработки.
Если сталь содержит больше 0,9% углерода, то при
быстром охлаждении она приобретает необычайную маг-
§ 69]
Магнитные свойства стали
327
нитную твердость: трудно намагничивается, трудно и раз-
магничивается.
Встречающийся в стали весьма часто марганец ухуд-
шает ее магнитные свойства, снижая остаточный магне-
тизм и увеличивая задерживающую силу. Присутствие си-
лиция (кремния) нейтрализует вредное влияние углерода на
железо. Опыт показал, что так называемая легированная
сталь с содержанием силиция в пределах от 4 до 5% об-
ладает значительно большей магнитной проницаемостью при
слабых й средних полях и в то же время имеет меньшую
задерживающую силу и меньшие потери на гистерезис. При-
бавление силиция является целесообразным особенно тогда,
когда сталь подвергается действию переменной намагничи-
вающей силы, как, например, в трансформаторах и в элек-
трических машинах, так как прибавление силиция увеличи-
вает электрическое сопротивление стали, а это в свою
очередь уменьшает потери на вихревые токи.
Сплавы совершенно чистого (электролитического) железа
с силицием могут дать при слабых полях рекордные значе-
ния для магнитной проницаемости (опыты Йенсена уу =
=60000).
Фосфор и сера, которые всегда в весьма малых долях
присутствуют в стали, особенного влияния на магнитные
свойства не оказывают.
Для электрических машин в тех частях, которые намаг-
ничиваются лишь в одном направлении, в настоящее время
применяют главным образом мартеновскую литую сталь.
Чугун применяется гораздо реже: главным образом он идет
для станин больших машин, что удешевляет их изготовле-
ние. Прибавление силиция улучшает магнитные свойства
чугуна.
Части машин, а также трансформаторов, в которых сталь
подвергается попеременному периодическому намагничива-
нию то в одном, то в другом направлении, выполняются
из так называемой листовой легированной стали с содержа-
нием силиция от 1,7 до 4%. Сорта с более низким содер-
жанием силиция применяются для машин, а с более высо-
ким—для трансформаторов. Сорта листовой стали подверга-
ются на заводах, изготовляющих стать для электромаши-
ностроения, специальной термической обработке.
Следует указать на одно явление, которое наблюдается
в листовой стали в электрических машинах и трансформа-
торах. Это—так называемое старение стали, в результате
которого для достижения той же магнитной индукции необ-
ходимо затрачивать большую намагничивающую силу. При
этом весьма значительно увеличивается задерживающая си-
328
Магнитное поле
гл. 3
ла, что приводит к увеличению потерь на перемагничивание
(гистерезис). Объясняется этот процесс длительным нагрева-
нием материала. Повторные сильные перегревы стали
ускоряют старение. Применение кремния при изготовлении
листовой стали в значительной мере устраняет опасность
старения стали и делает ее более устойчивой в магнитном
отношении.
На фиг. 69,1 представлены кривые намагничивания при-
меняемых в машино- и аппаратостроении материалов: кривая
ЕС1А относится к листовой стали, употребляемой для нор-
мальных двигателей и генераторов, ЕС4А—для измерительных
и силовых трансформаторов; на той же фигуре приведены
кривые намагничивания литой стали и чугуна.
Из сплавов железа особый интерес представляют соеди-
нения с никелем. Хотя никель обладает более низкими маг-
нитными свойствами, чем сталь, удается все же путем под-
бора соответственного соотношения Fe и Ni получить мате-
риал с необычайно высокими магнитными качествами. Так,
слдав из 21,5% железа и 78,5% никеля, называемый пер-
§ 69]
Магнитные свойства стали
329
маллоем, обладает необычайно большой (рекордной) относи-
тельной магнитной проницаемостью, доходящей до Ру =90000.
Эта проницаемость имеет место лишь при очень слабых на-
пряженностях поля, до //=0,05 А/ст. Однако ввиду неко-
торой неустойчивости такого состава в технике применяется
пермаллой с повышенным содержанием железа (примерно
50% Ni и 50% Fe), который, как видно из кривой фиг. 69,2,
обладает даже по сравнению с
лучшими сортами стали необык-
новенно высокими магнитными
свойствами.
Пермаллой очень быстро на-
сыщается и при больших на-
пряженностях поля его относи-
тельная магнитная проницаемость
(благодаря насыщению) сильно
снижается. Пермаллой применяет-
ся главным образом в технике
слабых токов, где мы имеем
дело с весьма небольшими то-
ft в
аг о/ аг агн
А/ст
Фиг. 69,2.
ками и слабыми магнитными полями.
В частности он нашел
себе применение при изготовлении подводных кабелей по
способу Крарупа, когда для увеличения индуктивности жилы
обматываются весьма тонкой проволокой из пермаллоя.
Таблица 4
Средние магнитные характеристики ферромагнитных материалов.
Начальные магнитные проницаемости р0; максимальные магнитные
проницаемости U|Tiax при индукции В; остаточные индукции Вг, задер-
живающие силы Нс и намагниченности насыщения Js ~В—
Материалы РО -» ло-8 ст Итах «-Л0”8 ст при В Gs Вг Gs Н. А ст Л Gs
Электролитическс е отож- женное в вакууме железо 875 18 500 7 500 10 850 0,296 21 620
Мягкая медленно охлаж- денная сталь 0,23% С .' 215 2 750 5 500 10 6С0 1,92 20 900
Отожженный чугун . • . 225 775 3 000 5 300 36,8 16 750
Закаленная сталь .... 68 — — 10 000 37,9 19 450
Трансформаторная сталь . 560 7 500 6 000 7 830 0,38 —
Пермаллой • • 12 000 10 930 5 000 5 500 0,04 —
Вольфрамовая сталь . . — — — 10 000 65 —
Кобальтовая сталь .... — — — 9 000 260 ——
Алюминиево-никелевая стал1> . , . — — — 7 000 600 —Т
330
Магнитное поле
Г’Л. 3
На фиг. 69,3 показаны петли гистерезиса для вольфрамо-
вых, хромовых и кобальтовых сталей по материалам Гумлиха.
Так как при больших сечениях образцов трудно добиться
равномерной закалки, то крупные постоянные магниты дела-
ются из нескольких параллельных частей.
Фиг. 69,4.
В этой
Для изготовления постоянных магнитов применяются спе-
циальные высокосортные стали с прибавлением хрома, воль-
фрама, кобальта и никеля, которые при большой остаточной
индукции (2?г) давали бы большую коэрцитивную (задержи-
вающую) силу Нс. Эти стали плавятся в высокочастотных
печах и необходимые формы магнитам придаются путем от-
ливки в керамических изложницах, после чего они подвер-
гаются термической обработке. За по-
следнее время отливку постоянных
магнитов стали проводить в магнит-
ном поле, что способствует увеличе-
нию Вг и Нс при последующем намаг-
ничивании.
Пригодность данного сорта стали
для изготовления постоянных магнитов
определяется кривой намагничивания
J—составляющая часть петли
гистерезиса (фиг. 69,4), когда образец
перед этим был намагничен до насы-
:ти кривые и B=f(H) могут
быть приняты совпадающими. Кривая гистерезиса в этой
части весьма близко совпадает с гиперболой, одной асимп-
тотой которой является линия O'JS) проведенная параллельно
горизонтали на расстоянии OJS = JS, где Js — намагничен-
ность насыщения, положение другой асимптоты может быть
определено из уравнения гиперболы
ху = const; O'D-DHC = (J' — BJ-OD=J/OD —ИJ-
§ 70] Однозначность магнитного поля 331
OD = О-й., и когда известны значения Нс, Вг и Js, гипер-
бола может быть построена по точкам. Качество стали для
изготовления постоянных магнитов определяется условной
величиной, равной произведению задерживающей силы на
индукцию остаточного магнетизма Нс • Вг или максимальной
величиной произведения напряженности поля на магнитную
индукцию (ЛГВ)тах= ОА-АС, которая определяется по кривой
гистерезиса и которая получается для точки, лежащей на
пересечении прямой 00' с кривой гистерезиса.
От хороших постоянных магнитов требуется, чтобы они
помимо высокого кажущегося остаточного магнетизма обла-
дали определенным постоянством, независимо от колебания
температуры и механических сотрясений, что особенно важно
для точных измерительных приборов.
70. ОДНОЗНАЧНОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ
ГИСТЕРЕЗИСА
Магнитная индукция и напряженность магнитного поля
в однородной среде, магнитная проницаемость которой во
всех точках имеет одно и то же постоянное значение, могут
быть определены по тем же формулам, что и для вакуума,
если в них заменить р.о через В предположении, что маг-
нитное поле создается постоянными токами,_значение и рас-
положение которых нам задано, мы можем В и Н выразить
или через ____
В=рН— (70,1)
или через посредство скалярного или векторного потенциала
н= = — grad '?/»> где = S i Q+const> (70,2)
В = »Й= rot А, где = fdElK. (70,3)
J 4:с r J 4кг
Лишь в очень небольшом числе случаев симметричного
расположения токов удается получить сравнительно простые
решения, например, как это было показано выше для маг-
нитного поля прямолинейного тока, для двухпроводной ли-
нии, вдоль оси кольцевого тока, внутри бесконечно длинного
соленоида. Однако как бы ни были расположены и напра-
влены токи в пространстве, при условии отсутствия гистере-
зиса, т. е. когда В везде является однозначной функцией,
332
Магнитное поле
(гл. з
в каждой точке поля В и Н получают лишь одно вполне опре-
деленное значение и направление. Докажем правильность этого
положения от противного. Положим, что в отдельных точках
возможны два состояния В’=^Н’ и В'’=^Нп.
Как бы ни распределялось магнитное поле, для него мо-
жет быть составлен скалярный потенциал, равный сумме
скалярных потенциалов магнитных полей, обусловленных как
токами от внешних источников тока, так и молекулярными
токами. Пусть в соответствии с двумя значениями напряжен-
ности поля Н' и Н" и скалярный потенциал получает два
значения утг и <рт":
Н'=— grad ср,/ и АГ'——grad?,/'. (70,4)
Обозначим через
—?от" и Ь=В'—В" (70,5)
и воспользуемся соотношением (9,14)
div (®А) = ср div Д -р Д grad ср,
приравняв в нем и Д—В’—В" = Ь, но div b = divZ?'—
—div В”=0.
Если теперь взять интеграл от дивергенции и распростра-
нить его на бесконечное пространство, заменив его по те-
ореме Гаусса интегралом по поверхности, ограничивающей
бесконечное пространство, то мы получим, что
J div dV=^m- b dS = -grad bmdV (70,6)
v
f(?„' - ?OT") (B'—B") dS=V=-^ (B'- B")(H' -H"YV. (70,7)
Левая часть последнего уравнения равна нулю, так как
в бесконечности, где нет поля, В'— В"=0. Что касается под-
интегральной функции правой части, то она всегда положи-
тельна, так как скалярное произведение
(В'—В')(Н'— Н")=В'-Н'уВ'Нг'—(В'Н'-\-В'Н' )=
= В' • Н' + В" Н" — (В' Н'У-В" Н') cos (70,8)
всегда больше произведения
(В' — В") (И1 — Н"') = В'И’ + В". Н" — (В' • Н" + В" • Н'), (70,9)
которое в свою очередь больше нуля, так как при Н' > Н"
И В' > В",
§ 71 ] Магнитное поле на грааги двух сред
333
dV также положительно, и отсюда следует, что для каждой
точки магнитного поля
(В’—В"} (/?—/7”)=0
или
В'=В'Г и Н’=Н",
(70,10)
ибо В есть однозначная функция Н.
Таким образом мы пришли к выводу, что в каждой точ-
ке среды, в которой отсутствует явление гистерезиса, В и Н
могут иметь лишь одно значение, что и требовалось доказать.
71. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ НА ГРАНИ ДВУХ СРЕД
При переходе из одной среды в другую магнитный поток
не меняет своей величины,
женность поля претерпе-
вают изменения в величи-
не и направлении. Пусть
В1г Нъ р-1 и В2, Н2, [12 —
значения магнитной ин-
дукции, напряженности
поля и магнитной прони-
цаемости в той и другой
среде. Выберем на поверх-
ности раздела (фиг. 71,1)
небольшую площадку AS
И построим около нее ци-
линдр с бесконечно малой
высотой и с сечениями,
параллельными площадке
AS и лежащими по обе ее
стороны, и обозначим че-
рез и а2 углы между
но магнитная индукция и напря-
направлением поля и нор-
малью к поверхности раз- Фиг. 71,1
дела в той и другой сре-
де. Из непрерывности магнитного потока следует, что
$В dS^B, Д Д S2=(51я- В2а) Д 5=0,
откуда следует, что
В1п~В2п или Bpcosa^^cos^ (71,1)
нормальные слагающие магнитной индукции на грани двух
сред должны быть равны между собой.
334
Магнитное поле
[гл. 3
Если взять на поверхности раздела какой-нибудь отрезок
Д/ таким образом, чтобы он лежал в плоскости, проходящей
через Вг и нормаль к поверхности, и вокруг него построить
прямоугольник с бесконечно малой высотой, то закон пол-
ного тока (в случае если на поверхности раздела отсутствуют
токи от посторонних источников) дает:
(j)H dl =Нг Ч=(Ни — H.,t) А 1=0,
а это показывает, что на грани двух сред
Hxt=H2t или sin 04 = 7/2 sina3 (71,2)
тангенциальные составляющие напряженности поля имеют
одинаковые значения.
Нь В2 и Н2 лежат в одной плоскости, ибо если мы возь-
мем другой отрезок на поверхности раздела Дперпенди-
кулярный кД/, то мы получим, что слагающая по этому на-
правлению от Нь а следовательно, и от Н> равняется нулю,
а это указывает, что /73, а следовательно, и 53 лежат в пло-
скости, проведенной через Нг и нормаль к плоскости раздела.
Разделив уравнение (71,2) на уравнение (71,1), мы полу-
чаем, что
= или tgai:tga2=H: [i2. (71,3)
И Иг
Тангенсы угла падения и преломления пропорциональны ма-
гнитным проницаемостям. Для всех сред (диэлектриков и ме-
таллов), кроме ферромагнитных сред, магнитная проницае-
мость ничтожно мало отличается от магнитной проницаемости
вакуума. Поэтому во всех практических расчетах магни 1ных
полей принимается, что при переходе ма нитного потока из
одной среды в другую магнитная индукция и напряженность
поля меняются так, как если бы это была одна сплошная
однородная среда с проницаемостью вакуума.
При переходе магнитного потока из ферромагнитной среды
в другую, не ферромагнитную, или обратно, под каким бы
углом ни была направлена магнитная индукция в ферромаг-
нитной среде к пограничной поверхности, индукция на по-
верхности раздела в другой среде почти совпадает с нор-
малью к этой поверхности. Относительная магнитная прони-
цаемость стали весьма велика. Положим, что
Р-г=2 ООО, тогда при 04=88°
tga2 = ^tgai=: -g-tg 88° = 0,0143 и а3 = 50'<1°.
(*1 2 OOOft0
§ 71 ] Магнитное поле па грани двух сред 335
На границе двух сред нормальная составляющая напря-
женности поля испытывает скачок
~ Ли _ ^21 ^2п A” ^2п (j I 4)
Р'О ’Ло Ро
который обусловлен неодинаковыми плотностями молекуляр-
ных токов в той и другой среде.
Если рассматривать молекулярные токи как обычные токи,
создающие в вакууме в дополнение к внешнему полю свое
вторичное магнитное поле с магнитной индукцией и напря-
женностью поля
и применить закон полного тока к бесконечно узкому кон-
туру (фиг. 71,2), охватывающему какой-нибудь весьма ма-
лый отрезок АГ на поверхности двух сред, то мы можем на-
писать, что
(f)H dl =( Н\ — Н'2)Ы = 8'SM sin(8 's Д/) =
= [8 • Д /'] п» = - [8/ /?,] Д/7 (71,6)
где —линейная плотность молекулярных токов на поверх-
ности раздела, т. е. ток, отнесенный к единице длины отрезка,
взятого на поверхности перпендикулярно к направлению мо-
лекулярных токов (фиг. 71,3).
Так как А/ имеет произвольное направление, то на осно-
вании (71,5) мы можем написать, что
J1
to
Р-о
(71,:)
336
Магнитное поле
!гл. 3
Если векторно умножить обе части этого уравнения на
единичный вектор по нормали к поверхности раздела
= —па°, то
или
= =Т-[71»1°] +“Н7з «2°]- (71,8)
пО гО
Поверхностная плотность молекулярных токов на грани со-
прикосновения двух сред равна геометрической сумме по-
верхностных плотностей молекулярных токов в той и дру-
гой среде. Если одна среда вакуум (Л = 0), то
V = (71,9)
72. ФЕРРОМАГНИТНЫЙ ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ
МАГНИТНОМ НОЛЕ
В виде примера рассмотрим намагничение в вакууме од-
нородного ферромагнитного тела, имеющего форму эллипсоида
вращения, помещенного в однородное внешнее поле таким-
у образом, что большая ось эллипсоида
совпадает с направлением напряжен-
X-Z----[V— - X. ности внешнего поля (фиг. 72,1). Рас-
А JT JT JT положенный таким образом эллипсоид
[—“ ~ Л «ту вращения намагничивается однородно,
V Z Z Z SX- — -I т. е. магнитная индукция Вь намагни-
\ZZ_Z_Z-/ ченность J\ и напряженность поля Нх
имеют внутри эллипсоида постоянные
| значения и одно и то же направле-
Фиг. /2,1. ние, совпадающее с /70. Соответствую-
щее доказательство мы здесь опускаем.
Для определения значений Вх, Jx и ~НХ вообразим, что заданный
нам эллипсоид вращения облегается двумя одинаковыми сов-
падающими цилиндрами, имеющими пещеры (каверны) такой
же формы, как и намагничиваемое тело, и намагниченными
таким образом, что намагниченность в них в одном равна, а
в другом противоположна действительному значению намаг-
ниченности J\ рассматриваемого эллипсоида. Наличие таких
двух намагниченных в противоположном направлении цилин-
дров как внутри, так и вне эллипсоида в отношении влия-
ния их на распределение магнитного поля равноценно их от-
§ 72]
Ферромагнитный эллипсоид вращения
337
сутствию. Внесение первого цилиндра (фиг. 72,2) с намаг-
ниченностью J создает как внутри соленоида, так и вне его
в пределах, ограничиваемых внешней поверхностью цилиндра,
однородное магнитное поле с одинаковыми значениями Blt
и Нх.
Фиг. 72,2.
4
Фиг. 72,3.
Второй же цилиндр со своей пещерой влияет на распре-
деление магнитного поля. Действие этого второго цилиндра
с намагниченностью —7j (фиг. 72,3) может быть заменено
действием его молекулярных токов (в вакууме), которые бла-
годаря тому, что в нем—J\— const, могут быть приведены к
круговым токам на внешней цилиндрической поверхности с
плотностью
S, = —8,= А (72,1)
Р-о 1*0
и к круговым токам на поверхности эллипсоидальной пещеры
с плотностью
8,= —Г—Ля”!, В, = A. sin я. (72,2)
РО Р-о
Молекулярные токи на внешней поверхности, как токи в
бесконечно длинном соленоиде, дают во всех точках про-
странства внутри цилиндра, в том числе и внутри пещеры,
напряженность поля
— (72,3)
Р-о
направленную в сторону, обратную внешнему полю /70. Для
определения напряженности поля от токов на поверхности
22 К. А. Круг, Т. I.
338
Магнитное поле
[гл. 3
эллипсоида разобьем эту поверхность на ряд поясов с высо-
той dy и с образующей ds, тогда мы получим ряд поясов с
токами
dl—bs-ds= &- ^-ds= Л . dy, (72,4)
Ро Р-о
пропорциональными высоте поясов. Так как поле внутри со-
леноида однородно, то достаточно определить напряженность
поля в одном из фокусов эллипсоида. Слагающая напряжен-
ности поля от одного пояса по оси у равняется
dH" = .^yg^siny sin >
4 яр. ori2 2 И ог3
поэтому напряженность поля от молекулярных токов, распо-
ложенных на поверхности пещеры, совпадающая по напра-
влению с HQ, будет:
Я'=_Л_ Г -ILdy.
2(*о J
—в
Для нахождения значения последнего интеграла восполь-
зуемся уравнением эллипса в полярных координатах:
е2) 6(1 — е2)
Г1 — ~ТТ -- ~ ,
1-|~е cos <Pj !-}-£«
где b—большая полуось; e —— эксцентриситет эл-
липса, а <рх— угол наклона к оси Ь. Выберем за независи-
мую переменную не угол а его косинус coscp! = n, кото-
рый меняется от и — -1-1, когда у- 180°: у = rtCOS <Р1 = Г1 и.=4>(\ - dy=1 — е2) - = ; г3 = ’ (14-И/)3 14-еи 4^ 4*1 4*1 Г<1^?2<га= |7-^ + I г13 ] 1 + I I е । -Ь -1 -1 ' | 2е с3 е3 i—i ' Поэтому fffi _ _/1_ Z_J 1 —g2 Ро \ е2 е3 = 0, до и = —1, когда 9 \ И —е) ; = г у sin2 (Pi = rj2( 1 — п2); 1 1— S2. 1 Г — — — — I Q^ii —. •2 е2 1 -4- ги I ' 1 (1^2) 1 1 + <е2 е3 2 ‘П1 — г )• 7 • 1п У (72,5) z 1 — е /
§72]
Ферромагнитный эллипсоид вращения
339
Теперь мы можем определить напряженность поля внутри
эллипсоида вращения:
Н'+Н"=Н, - } (1 in -t V
—(72,6)
РО
Множитель, учитывающий размагничив пошее действие
конечных размеров намагничиваемого тела, называется коэ*
фициентом размагничивания формы тела. Он в
системе MKSM определяется как
е3 \ 2 1 — е / р0
При малых эксцентриситетах г<С1 логарифм можно раз-
ложить в ряд
= _(1_—е-) /---------g \ 1 _ 2_е3 2 g4 (72 8)
JV ез \ 1 3 5 1 ) 3 15 35 v ’
для шара
е = 0 и ЛГ=у; (72,9)
для весьма удлиненн их эллипсоидов вращения е мало отли-
чается от единицы, поэтому 1-1-е^2, 1—82 = (1 -1-г) (1—г) =
= 2 (1 — е) и для них
W = 2(l-1); (72,10)
если для такого эллипсоида дано отношение осей — — k,
с
то
C2=(l—e2)F==2(l — s)b\ 1—е = ^, (72,11)
N=~(\n2k - 1). (72,12)
Зная коэфициент размагничивания, можно определить Нь
Вгъ зависимости от HQ : •/1=(р-1 — • Н1 ~ (fi1 — р0) • —
J,
ро
(Pl — Р-о) Р-о
Р-о ± (р-1—Ро)’^
Ро
------------(72,13)
Ро -HP-1 — f*o)‘N Ox J
Вх =-----------------------/70 =------------------- • /70. (72,14)
Ро + (Р1 ~ Ро)’ *V 1 + (Рг — 1)’ N
22*
340
Магнитное поле
[гл. 3
Пользуясь последними формулами, определим среднее
значение магнитной проницаемости, когда нама ничиваемая
среда состоит из стальных опилок, которые мы можем при-
нять за шарики, запрессованные в какую-нибудь изолирую-
щую среду.
Если в единице объема п таких шариков с радиусом а и
J—намагниченность одного шарика,то среднее значение на-
магниченности при внешнем поле Н на основании уравнения
(72,13) при и при p.1 = p.z-p.o
3
было бы
Jcp = n.^-J=kl = k- UO • Н, (72,15)
d p.r -j- 2
где k — коэфициент заполнения среды сталью.
Внутри каждого шарика поле ослабляется на —. При
большом числе шариков ослабление поля внутри шариков
должно увеличить среднее значение напряженности действую-
щего поля на величину
Н=Н« + ^-,
Но
(72,16)
где Но— напряженность поля в том случае, егли бы сталь-
ных шариков совсем не было. Подставляя Н из уравнения
(72,16) в уравнение (72,15), мы находим, что
Jcp=k- <72>17)
Иг + 2 Зн-о /
откуда
J __ _____36(^_— 1)___
СР~ (l-Z>).,ur+2 +Л
(72,18)
Среднее значение магнитной индукции будет:
г — (1+2Л),Цг+2(1-^) . „
Ср М h\ I О I h ^0*
r (1 — k)pr -f- 2 л
(72,19)
Из последнего уравнения может быть получено среднее зна-
чение магнитной проницаемости среды:
tL —вср~ (1 + 2*)кг +2(1-*) „
'Ср Нй (1-й>г+2 + Л
(72,20)
§ 73]
Плоскопараллельное магнитное поле
341
Если проницаемость стали может быть принята весьма
большой то среднее значение относительной магнит-
ной проницаемости не может быть больше
„ __1 2k
Hrmax—— = ----
И) \ —k
Наибольшее значение k, когда центры смежных шариков
расположены по вершинам правильного тетраедра, будет
, 3
k= — и потому относительная проницаемость не может
быть больше 1п.
(72,21)
73. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ МАГНИТ ЮЕ ПОЛЕ ВБЛИЗИ
СТАЛЬНЫХ МАСС, МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрим создаваемое прямолинейным током Д плоско-
параллельное (двухмерное) магнитное поле, когда часть про-
странства заполнена стальной массой, ограниченной плос-
костью, параллельной прямолинейному току, а другая часть
заполнена сред )й, магнитная проницаемость которой может
быть принята равной р.о. Для нахождения Н и В для такого
поля может быть применен метод зеркальных отображений.
Предположим, что по другую сторону плоскости раздела на
таком же расстоянии помещен ток /\, параллельный току /ь
имеющий то же направление и подобранный таким
образом, что он совместно с током Ц создает при отсут-
ствии стали над плоскостью раздела такое же магнитное
поло, как один ток в присутствии стали (фиг. 73,1).
Нормальная слагающая магнитной индукции в какой-нибудь
точке раздела в первой среде будет
5 =^sina.r JVI
n 2-r 2zr 2№
(73,1)
342
Магнитное поле
[гл. 3
а тангенциальная составляющая напряженности магнитного
поля
Ни — — - cos а—— cos а— ——(73,2)
к 2гсГ 2яг 2яг2 7
(73,3)
Предположим далее, что магнитное поле в стали может
быть получено, если все пространство считать заполненным
ст лью и если через заданный проводник будет проходить
ток /'2 такого же направления, как /Р Нормальная слага-
ющая магнитной индукции и тангенциальная слагающая на-
пряженности магнитного поля в той же точке раздела будут:
В..л=-—-sma = ——
2кг 2«г2 ’
у Г I 9 ___ / 9 * У
Н21 — — cos a =
2яг zzr2
для того чтобы вышеуказанные замены были допустимы
и правильны, необходимо, чтобы были соблюдены граничные
условия, т. е. чтобы на плоскости раздела нормальные сла-
гающие магнитной индукции и тангенциальные слагающие
напряженности поля в той и другой среде были равны
собой:
между
d ____р _ Но(Л 1'1)У___________И з ’ 1'г ‘У
---а2п —
' 2пг2
Иц—Иц —
2пгЗ
2кг2
А
2кг2
(73,4)
(73,5)
или
(73,6)
А + Л = = и =
Р-о
что позволяет определить и Г2 через заданный ток Д:
/'1==(jVnlKl. и /'а=_2£1_. (73,7)
Hr + 1 Hr т~ 1
Зная и Г2, мы можем теперь определить составляющие
магнитной индукции по осям координат в той и другой среде:
h — z
# — ।____________________
1У 2r.[^y3-(-(/i—г)2 Нг+1 ]/y-f (Л+г)2_
В = ?Jo Г У । >9—1______________У ____~
Х* 2^[КуЗ^-(/1—г)з
В.)у=-^,. ________
»(Р,+ Ь //+(Л-2)а’
п ___ Рг'Ро ________У'^1
| (73,8)
(ir+l Vy^y(fi+zp\l1' '
th - Z)J, s
(73,9)
§ 73] Плоскопараллельное магнитное поле 343
Распределение индукционных линий магнитного поля, когда
проводник с током находится вне стали, показано на фиг. 73,2.
Когда велико, то 1\ делается почти равным и индук-
ционные линии на плоскости раздела становятся перпенди-
кулярными к этой плоскости и плоскость раздела совпадает
с поверхностью равного скалярного потенциала.
Фиг. 73,2.
Если изолированный прямолинейный проводник с током /2
утоплен в стальную массу, ограниченную плоскостью, парал-
лельной проводнику, то магнитное поле может быть найдено
таким же образом методом зеркальных отображений. Магнит-
ное поле в стали будет совпадать с магнитным полем, ко-
торое получилось бы, если бы все пространство было запол-
нено сталью и если бы кроме тока 73 с Другой стороны
плоскости раздела был помещен на таком же расстоянии тс к
—/2, имеющий противоположное направление по отношению
к /2, а магнитное поле вне'стали будет таким же, если бы
отсутствовала сталь и вместо тока /2 действовал бы ток Гi
в том же направлении (фиг. 73,3). Так как на плоскости раз-
дела должны быть соблюдены условия, что В1п — В2п и Ни —
— то
-— sin а = -—~ sin а--—- sin а,
2-г 2кг 2т.г
2L -cos 2 = —^--cosaH——-cosa,
2~г 2-.r 2r.r
344
Магнитное поле
[гл. 3
что будет выполнено, если
/' — и /' = ~ — ^г~1)Л . (73,10)
1 Hrh*o 2 (*r+l 2 Н’з+^э ivH
Соответствующее распределение индукционных линий по-
казано на фиг. 73,4. При большом значении р.2 линии индук-
Фиг. 73,3,
Фиг. 73,4.
ции проходят в стали у поверхности раздела почти парал-
лельно этой поверхности, магнитная индукция в воздухе,
оказывается во много раз меньше, чем в стали, и весь маг-
нитный поток сосредоточивается главным образом в стали.
Если сталь далека от состояния насыщения и магнитная!
проницаемость ее может быть принята равной бесконеч-
ности, то нахождение магнитных полей значительно упро-.
§ 74] Применение законов Ома и Кирхгофа к магнитным цепям 345
щается. Так, например, при помощи
метода зеркального отображения мо-
жет быть найдено распределение поля
внутри двугранного угла, параллельно
к ребру которого расположен линей-
ный ток, когда пограничные плоско-
сти стали образуют угол, составляю-
щий целую долю от 180°. Для случая,
когда линейный ток расположен внутри
прямого двугранного угла, ограни-
ченного сталью, расположение токов
и распределение поля показаны на
фиг. 73,5.
Сталь
Фиг. 73,5.
74. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ЗАКОНОВ ОМА И КИРХГОФА
К МАГНИТНЫМ ЦЕПЯМ
Уравнения, связывающие отдельные величины, характе-
ризующие магнитные поля, формально имеют такое же по-
строение, как уравнения, связывающие отдельные величины,
относящиеся к цепям электрического тока или к электриче-
скому полю: _____ _ ___
В=^Н, Ъ = D = sE,
div В = 0, div 8 = 0, div 79=0 при р = 0,
1 (74,1)
Ф=[&75, 7 =
DdS,
J&dS, ^=
e=$Edl, U=^Edl. )
Пользуясь этим сходством, можно для магнитного ПОЛЯ
построить ряд формул, совпадающих по внешнему виду с
формулами, применяемыми при исследовании электрических
цепей или при исследовании электрических полей.
Положим, что нам известно направление индукционных
линий в магнитном поле и требуется определить зависимость
между магнитным потоком и намагничивающим током. Разо-
бьем все пространство магнитного поля на ряд соприкасаю-
щихся друг с другом индукционных трубок. Внутри каждой
трубки, т. е. замкнутой на себя части пространства, ограни-
ченной линиями, параллельными магнитной индукции, магнит-
ный поток имеет постоянное значение; поэтому,разбив сред-
нюю индукционную линию внутри каждой трубки,представ-
ляющую собой замкнутую линию, на ряд отрезков 1и 12, 19
(фиг. 74,1), мы имели бы для этой части пространства следую-
щее соотношение:
346
Магнитное поле
[гл. 3
С другой стороны, линейный интеграл напряженности
магнитного поля по замкнутой кривой равняется намагничи-
вающей силе (произведению тока на число витков):
Определяя Н через Ф из первого ряда уравнений и под-
ставляя эти значения Н в последнее уравнение, т. е.
Ф/х Ф/3 । Ф/3
Р-2 '$2 НЗ’^З
. ,— Wi,
мы получаем следующее значение магнитного потока внутри
рассматриваемой части пространства:
wl wl
ф = ------------------------------—------------
Л | ^2 | V ____________
р-1$1 Н-2^2 Р-3^3 Р-5
(74,2)
(wl—та часть намагничивающей силы, которая создает ча-
стичный поток Ф). Это уравнение по своему внешнему виду
Фиг. 74,1.
Для того чтобы получить весь
напоминает уравнение
для тока в электриче-
ской цепи. Каждое сла-
гаемое знаменателя по-
строено так же, как
выражение сопротивле-
ния проводника, а весь
знаменатель в целом—
как сопротивление це-
пи, состоящей из по-
следовательно соеди-
ненных проводников,
магнитный поток, мы
должны сложить значения потоков отдельных параллельных
частей, наподобие того, как это мы делаем при параллель-
ном соединении проводников.
Таким образом, магнитное поле можно уподобить некоторой
цепи, состоящей из ряда параллельных ветвей, которые в
свою очередь состоят из отдельных последовательно соеди-
ненных элементов, т. е. говорить о магнитной цепи.
Соотношение (74,2) дало основание по аналогии с электри-
ческой цепью называть произведение тока на число витков
намагничивающей или м а г н и т од в и жу щей силой, а
отношение намагничивающей или магнитодвижущей силы к
магнитному потоку — магнитным сопротивлением и
обратную ему величину — магнитной проводимостью;
магнитное сопротивление и магнитная проводимость обозна-
§ 74] Применение законов Ома и Кирхгофа к магнитным цепям 347
чаются Rm и Gm (с индексом /п). Это соотношение (74,2) назы-
вают также законом Ома для магнитных цепей. Магнитное
сопротивление измеряется в единицах, обратных генри, а
магнитная проводимость в генри.
Говоря о магнитном сопротивлении и проводимости и о
зсконе Ома магнитных цепей, не следует упускать из виду,
что мы здесь имеем лишь внешнюю аналогию в построении
формул. Явления в цепи электрического тока и в магнитном
поле отличаются по самому своему существу: ток в элек-
трической цепи представляет собой явление динамическое,
на поддержание его требуется непрерывная затрата энергии,
в то время как установившийся магнитный поток предста-
вляет собой явление статическое. Хотя энергия и затрачива-
ется на само создание магнитного поля, но на поддержание
поля никакой затраты энергии не требуется и затрачиваемая
энергия на поддержание поля обусловливается джоулевыми
потерями.в сопротивлении проводов и катушек при прохо-
ждении в них тока.
К магнитным цепям вполне применимы законы Кирхгофа.
Так, например, для двух связанных между собой магнитных
цепей, представленных на фиг. 74,2, магнитный поток в
среднем стержне равен сумме
магнитных потоков в двух
крайних:
Ф8=Ф1+Ф2.
Это соотношение можно
сформулировать так же, как
и первый закон Кирхгофа,
а именно: если в каком-
нибудь месте сходятся не-
сколько магнитных поток в,
Фиг. 74,2.
то сумма подходящих к этому
месту магнитных потоков равняется сумме уходящих магнит-
ных потоков, или сумма магнитных потоков, сходящихся
в каком-нибудь узле, равна нулю.
Закон полного тока, гласящий, что линейный интеграл
напряженности магнитного поля или сумма падений магнит-
ного потенциала для всякой замкнутой индукционной линии
или в замкнутой магнитной цепи равняется сумме намагни-
чивающих сил тех витков или обмоток, через которые про-
ходит рассматриваемый магнитный поток
= = y = (74,3)
можно бы толковать так же, как выражение второго закона
Кирхгофа в применении к магнитным полям.
348
Магнитное поле
[гл. 3
Рассматривая магнитное поле, как состоящее из отдель-
ных объемных элементов, составляющих в последовательном
своем соединении индукционные трубки, которые в свою
очередь расположены параллельно, можно находить распре-
деление магнитной индукции и определять магнитный поток
в магнитном поле между поверхностями равного (скалярного)
потенциала, например, в двухмерном магнитном поле между
полюсами и якорем (ротором) электрических машин (фиг. 74,3).
Для этого вычерчиваем индукционные
линии и следы эквипотенциальных по-
верхностей так, как они, по нашему
мнению, должны быть расположены, и
разбиваем весь магнитный поток, перехо-
дящий из полюса в якорь, на отдельные
Фиг. 74,3.
элементарные трубки, а трубки на отдельные элементы. Ин-
дукционные линии стальных поверхностей должны быть нор-
мальны к последним. Разность магнитных потенциалов по-
люса и якоря может быть выражена через , где Во—
РО
магнитная индукция в точке минимального воздушного зазора,
а 80— величина этого минимального воздушного зазора. Так
как внутри каждой индукционной трубки падение магнитного
потенциала имеет одно и то же значение, то для каждой
трубки
I ,
P-о Po Po Po
где 83, 83— высоты отдельных участков индукционной
трубки. Если через ^ = <2/, S2 = a2l, S2 = aJ, обозначить
средние сечения трубок, где I — осевая длина якоря, то по-
ток внутри одной трубки будет:
^ = Bx-ax-l = B1-a1-l = B2-a2-l=B2-az4, (74,4)
где Вх — искомая индукция в середине отрезка %, а I — осе-
вая длина якоря. Поэтому
~ Д) * °0>
(74,5)
з
§ 75]
Расчет магнитной цепи
349
Если построить картину поля таким образом, чтобы в
каждом элементе сечений отдельных трубок высота равня-
Bi О.-> Oj
л icb ширине, т. е.—1 = — = — , что удается после несколь-
#1 а2
ких проб, то магнитный поток получает следующее простое
выражение:
Ф =7.- s д ф = , (74,6)
где /п —число трубок, а п— число элементов в сечении
трубки. Магнитная индукция в серед ше основания какой-
нибудь трубки ах будет равняться:
= (74,7)
ах • Z т-ах-1
Если по оси абсцисс отклады-
вать расстояния по окружности
якоря, а по оси ординат—най-
денные значения Вх (фиг. 74,4),
то мы потучим распределение
магнитной индукции вдоль по-
верхности ЯКирЯ.
Фиг. 74,4.
75. РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ ЦЕЛИ
В электрических аппаратах и машинах для получения
сильных магнитных полей приходится вводить в магнитную
цепь сталь, и одной из основных задач их расчета является
нахождение зависимости между намагничивающей силой,
определяемой как ток, умноженный на число витков (или
как число ампервитков), и магнитным потоком.
Непосредственное использование для этой цели формулы
закона Ома невозможно, так как встречающаяся в этой фор-
муле магнитная проницаемость ц не есть неизменная вели-
чина. Она для ферромагнитных тел есть переменная величина,
зависящая от магнитной индукции или напряженности поля,
которые в свою очередь зависят от магнитного потока. По-
этому при расчетах магнитных цепей идут обратным путем, а
именно исходят не из намагничивающей силы, а задаются
определенными значениями магнитного потока и для каждого
из значений магнитного потока находят потребную намагничи-
вающую силу. По этим значениям строят кривую намагничи-
вания Ф = /(тг//) и уже по этой кривой находят то значение
магнитного потока, которое может получиться при заданном
значении намагничивающей силы wL Расчет магнитных це-
350
Магнитное поле
*гл. 3
пей в электрических аппаратах и машинах в большинстве
случаев облегчается тем, что подавляющая часть магнитного
потока на большей части своего пути прохоцит через сталь-
ные массы. Придавая последним соответствующе ю форму,
можно сосредоточить большую часть магнитного потока в
желаемом пространстве.
Пусть, например, требуется найти значение магнитного
потока в сердечнике катушки, представленной на фиг. 75,1,
5 при заданной намагничиваю-
щей силе wl в его обмотке Для
этой цели вычерчиваем сред-
нюю индукционную линию и
отмечаем участки Z, вдоль кото-
рых магнитная индукция имеет
одно и то же значен е. Задав-
шись значением магнитного по-
тока Ф, вычисляем по среднему
сечению магнитопровода на
отдельных участках магнитную
о ф •
индукцию о = —- вдоль этих
Фиг. 75,1. участков. Затем по кривым
намагничивания данного сорта
стали находим для этих значений В значения напряженно-
стей поля Н и, умножая найденные значения Н на длины
соответствующих участков средн, й индукционной линии,
определяем падение магнитного потенциала или потребное
число ампервитков на отдельных участках Скла-
дывая эти значения вдоль замкнутой индукционной линии,
находим, наконец, намагничивающую силу w/, потребную для
получения потока Ф:
Я0-80+^1-Л+^з^4-... = ^. (75,1)
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре
определяется по формуле:
= °>8 А • 10 -8, (75,2а)
р-0 4тс-109
если BQ измерять в Vsec/cm2, и
Н. = 0,850, (75,26)
если 50 измерять в гауссах.
Некоторое приближение или округление длины пути
в стали оказывает ничтожно малое влияние на конечную
величину всей намагничивающей силы, так как главная
§75]
Расчет магнитной цени
351
доля намагничивающей силы затрачивается на проведение
магнитного потока через воздушный зазор. Определив w/ для
разных значений Ф и построив кривую Ф— /(w/), можно
найти тот поток Ф, который получается при заданном значе-
нии w/ (фиг. 75,2).
При наличии воздушного зазора и малом насыщении
стали магнитный поток может быть принят пропорциональ-
ным намагничивающей силе
(75,3)
Кт
где Rm— магнитное сопротивление воздушного зазора.
Намагничивающая сила зависит
лишь от произведения w/ = XIF, и
она может быть осуществлена как
большим числом витков при малом
токе, так и малым числом витков при
большом токе. Если задано очерта-
ние магнитной цепи и напряжение
источника тока, то w и / не явля-
ются произвольными. Пусть пло-
щадь, которую может занимать се-
чение обмотки, будет 50 (фиг. 75,1),
коэфициент заполнения этой пло-
А И/
щади сечениями проводов обмотки k; w — число витков
катушки; 1ср — средняя длина одного витка; 5 — сечение про-
вода; 7 — его удельная проводимость; R—сопротивление
обмотки и U — напряжение источника тока. Тогда
A —
I pS pfc-So AW 9
откуда
j_AW ___(AW)4CO
w lk-$yU
(75,4)
(75,5)
(75,6)
Увеличение числа витков выполненной обмотки при задан-
ном напряжении U не увеличивает магнитного потока, так
как увеличение числа витков увеличивает сопротивление
352
Магнитное поле
(гл. 3
обмотки, что в свою очередь уменьшает ток, так что намаг-
ничивающая сила wl-AW остается без изменений. Вслед-
ствие того, что обмотку располагают не вдоль цепи, а кон-
центрируют ее по конструктивным соображениям в одном
или нескольких местах, отдельные пучки трубки магнитного
потока могут замыкаться и помимо того места, где этот
магнитный поток желательно было бы иметь. Эти так назы-
ваемые потоки рассеяния учитываются путем введения коэфи-
циентов рассеяния или в виде отношения значений потоков
рассеяния к максимальному потоку, или в виде отношения
максимального магнитного потока к полезному потоку.
В электрических ма-
шинах потоки рас-
Л сеяния составляют
10-4—20%, а в транс-
*----форматорах 5 -т- 15%
от максимального по-
_ тока. При расчетах
— магнитных цепей сле-
дует при определе-
нии магнитной ин-
дукции вдоль отдель-
ных участков сред-
ней индукционной линии брать лишь ту часть общего
потока, которая проходит через соответствующее ее сечение.
Более сложен расчет разветвленной магнитной цепи
с двумя обмотками, сидящими на разных стержнях, например,
цепи, показанной на фиг. 75,3.
Для мест разветвлений магнитных потоков М и - W мы
можем написать, что
(75,7)
и для контуров, проходящих через стержни а
стороны и через стержни с и b с другой,
N Л1
= J Hadla+ \Hbdlb = AWa+AWb
М N
и
uU2 = J Hedle+^bdlb = AV7C+A
Ж W
и b с одной
(75,8)
(75,9)
(75,10)
или
§ 76’
Постоянные магниты
353
Путем подсчета определяем зависимость между потоками
Фа, и Фс и потребным падением магнитного потенциала
вдоль этих стержней, т. е. AWa, AWbu AWC, равным произве-
дению напряженности магнитного поля на средней индукцион-
ной линии и длины на соответствующих участках средней
линии в отдельных стержнях. Затем строим кривые, выра-
жающие эту зависимость
(фиг. 75,4): для стержня Ь,
откладывая абсциссы AWb
вправо от точки О, для
стержня а влево от точ-
ки а, определяемой задан-
ными ампервитками пер-
вой обмотки Оа = ^{ 113 и
для стержня с также вле-
во, но от точки с, опреде-
ляемой ампервитками вто-
рой обмотки, Ос = ж /2.
Складываем ординаты
кривых Фа и Фс и нахо-
дим точку пересечения
кривой Ф* и Фо4-Фс, ко-
торая и определит зна-
чения магнитных потоков
в стержнях а, b и с:
Фс = тФс=ФаФй; Фа=/пФа и Ф4=/йФй.
76. ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
Постоянными магнитами называются ферромагнитные тела,
обладающие остаточным магнетизмом, т. е. такие, которые,
будучи намагничены, создают магнитное поле и без участия
электрического тока.
Покажем, как может быть рассчитана магнитная цепь
с постоянными магнитами. Один из возможных методов рас-
чета основан на следующих соображениях. Когда замкнутый
на самого себя постоянный магнит (например, в виде сплош-
ного кольца или подковы) предварительно намагничен до
насыщения, то для устранения в нем остатков магнетизма
должно быть создано в магните обратное внешнее поле.
Для этого через соответствующую обмотку должен быть
пропущен такой размагничивающий ток, который давал бы
намагничивающую силу, равную—Hcli3 где Нс — коэрцитив-
ная сила, a Z; — длина средней индукционной линии. Эту
величину
23 К. А. Круг, т* I.
354
Магнитное поле
[гл 3
мы можем рассматривать как намагничивающую силу, при-
сущую данному образцу постоянного магнита, а часть петли
гистерезиса НСВГ как кривую намагничивания материала
постоянного магнита (фиг. 76,1). Если через обмотку, охва-
тывающую образец, пропустить меньший размагничивающий
ток, скажем, такой, чтобы его размагничивающая сила рав-
нялась то намагничивающая сила образца будет
равна уже
AWC — AWe=(НСО-А О) • Ц=НСА • Z, (76,1)
Фиг. 76,1.
будет уже не OBj.—B^
Фиг. 76,2.
Такое же размагничивающее действие мы будем иметь,
если разрежем замкнутый постоянный магнит и раздвинем
его концы так, чтобы между ними образовался зазор (который
может быть заполнен мягким железом или немагнитным
веществом) (фиг. 76,2). При наличии этого зазора часть при-
сущей постоянному магниту намагничивающей силы AWC =
— Hclt должна покрыть падение магнитного потенциала во
внешней части магнитной цепи,
ЛГе = /?т-Ф, (76,2)
где
' (76,3)
!J-O
—магнитное сопротивление цепи вне постоянного магнита,
а Ф = 5.-5£ — магнитный поток в среднем сечении постоянного
магнита 5{-, при получающейся при этом магнитной индукции^..
Остающаяся же часть намагничивающей силы AWC— AV7e^
= AW~ Hi-li определит напряженность поля в сечении
н ФЛ = // (7б4)
ч ч
§ 76]
Постоянные магниты
355
Значение магнитной индукции Bt в сечении магнита St при
наличии зазора мы получим, если в точке О проведем прямую
под углом (фиг. 76,3):
ig а = дг= Av _L = A ,R (76,5)
р-о Ц
к вертикали: точка пересечения этой прямой с кривой намаг-
ничивания и даст искомое значение индукции Bi = bBi, ибо
= Нс — N'- Bi = Н— Bi. tg а.
(76,6)
Коэфициент N, зависящий, с одной стороны, от формы по-
стоянного магнита
тивления внешней
а с другой,— от магнитного сопро-
части магнит-
ной цепи может быть подсчи-
тан для отдельных частных слу-
чаев. Он имеет размерность, обрат-
ную размерности магнитной про-
ницаемости, и носит название раз-
магничивающего коэфици-
ента концов постоянного магнита.
Зная магнитный поток, проходя-
щий через среднее сечение постоян-
ного магнита Ф = ВД., нетрудно при
отсутствии магнитного рассеяния
определить магнитную индукцию
и во внешней части магнитной цепи.
гр ПО
Так как плотность энергии магнитного поля равна —
(см. § 80), то во внешней части магнитной цепи будет сосредо-
точена наибольшая энергия, когда интеграл W = dV\
v
распространенный на пространство вне магнита, будет
максимум.
Разобьем внешнее пространство на индукционные трубки
с сечениями dS9 тогда элемент объема может быть пред-
ставлен в виде dV =dS*dl, и так как поток внутри трубок
не меняется, то
We = f — dSdl —\~{BdS^ лг*’ф-,
J 2 J 2 J 2
k I S
HO
Ф = ВДа AWt = AWc — AW^{H — H^lit
23*
356
Магнитное поле
‘гл. 3
поэтому энергия во внешней цепи будет иметь максимальное
значение:
e 2 * f 2
когда произведение ординаты кривой гистерезиса на абсциссу,
отсчитываемую от точки О влево, будет максимум.
Следует отметить, что лишь в том случае магнитная
индукция в среднем сечении магнита, а следовательно, и
магнитный поток могут быть определены указанным выше
способом, если постоянный магнит был намагничен до насы-
щения в собранном вместе с арматурой виде (арматурой
называют детали между концами постоянного магнита). Если
постоянный магнит намагничивается отдельно без арматуры,
то расчет надо сначала провести при том сопротивлении R'm,
которое имеет внешняя часть магнитной цепи без арматуры.
Магнитная индукция в магните без арматуры будет опре-
деляться точкой пересечения прямой, проведенной под углом
tg — — Rrm, т. е. точкой В1
\ = Ь’В\ (фиг. 76,3) на кривой
намагничивания. Если ввести
после этого арматуру, то маг-
нитное сопротивление внешней
части цепи уменьшится, но ма-
гнитная индукция будет изме-
няться уже не по кривой BfiBri
а по кривой возврата 5'Д"
(фиг. 68,8), которая имеет в
этой части почти прямолиней-
ное течение с малым наклоном
к горизонтали. Поэтому вне-
сение арматуры практически
мало повлияет на значение
даваемого постоянным магни-
том магнитного потока Ф — 2?^,
так как, если провести прямую
под углом tg а = — Rm N,
то она даст ординату В" = Ь"В”, весьма мало отличающуюся
от В\. Введение арматуры может лишь перераспределить маг-
нитный поток во внешней цепи.
Из вышеизложенного вытекает, что от постоянных магни-
тов можно получить значительно больший эффект, если их
§ 77]
Электромагнитная индукция
357
намагничивать вместе с арматурой, и что после разборки
арматуры требуется повторное намагничивание.
Расчет размагничивающего действия свободных концов
постоянного магнита может быть произведен точно, лишь
когда постоянный магнит имеет форму эллипсоида вращения
и находится в однородном внешнем поле. Поэтому приходится
прибегать к приближенным расчетам. При расчете прямых
магнитов с круглым или прямоугольным сечением можно
пользоваться экспериментальными кривыми, дающими зна-
чения коэфициента размагничивания (фиг. 76,4) в зависимости
от отношения длины магнита Ц к корню квадратному из пло-
щади сечения кривая а относится к эллипсоидам вращения,
кривая b к цилиндрическим стержням, с, d и е к стержням,
имеющим прямоугольное сечение с отношением сторон 1,4 и 10.
77. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Явление электромагнитной индукции состоит в том, что
и
всякое изменение магнитного поля сопровождается
вением или наведением поля электрического
Так, например, при движении контура в
магнитном поле, когда изменяется магнит-
ный поток, его пронизывающий, или когда
внутри неподвижного контура изменяется
магнитный поток, вдоль этого контура по-
является или наводится электрическое поле.
Если контур представляет замкнутый на
себя проводник, то по нему будет (во время
изменения магнитного потока) протекать
электрический ток. Опыт показывает, что,
если смотреть по направлению магнитного
поля и если магнитный поток, пронизы-
вающий контур, уменьшается, то возникаю-
щий при этом ток направлен по стрелке
возникно-
наоборот.
I /
tzfT \ । /
i-АЛ'
t \А
Фиг. 77,1.
часов.
Наводимое или внедряемое в силу электромагнитной ин-
дукции электрическое поле отличается от электростатического
поля тем, что последнее обусловливается наличием электриче-
ских зарядов и представляет собой поле потенциаль-
ное (консервативное) и не вихревое; оно начинается у положи-
тельных зарядов и кончается у отрицательных. Наведенное же
в результате электромагнитной индукции электрическое поле
есть поле вихревое, оно возникает без участия электрических
зарядов. Так, если через замкнутый кольцевой контур пропу-
скать электрический ток, то в период изменения этого тока (на-
пример, его нарастания) (фиг. 77,1) вне проводника вдоль геоме-
трического контура ab будет наводиться электрическое поде.
358
Магнитное поле
[ГЛ. 3
Возникновение электрического поля при изменении маг-
нитного потока есть явление взаимное: когда происходит
изменение электрического поля, то оно сопровождается то-
ками смещения, под действием которых появляется во время
этого изменения поле магнитное. Так, например, во время
зарядки конденсатора меняется электрическое поле между
пластинами, и в пространстве между пластинами во время
зарядки одновременно появляется магнитное поле, индукци-
онные линии которого в случае круглых и параллельных
пластин представляют собой окружности, охватывающие токи
смещения (фиг. 77,2). С явлениями электромагнитной индук-
ции в диэлектриках конденсата-
Ров ПРИ их зарядке и разрядке
। \ приходится считаться лишь при
очень больших частотах. Обычно
С они настолько незначительны, что
ими пренебрегают.
q Находящиеся в наведенном
фиг /72 электрическом поле электриче-.
’ ‘ ские заряды испытывают со сто-
роны этого поля (механическую) силу, и если возможно их
перемещение, то они приходят в движение, как, например,
свободные электроны в замкнутом проводнике, внутри кото-
рого изменяется магнитный поток, в результате чего в зам-
кнутом проводнике будет протекать ток.
Электромагнитная индукция была открыта Фарадеем. Ис-
ходя из взаимодействия зарядов, Фарадей полагал, что посто-
янный электрический ток (движение зарядов) в одном про-
воднике должен вызывать электрический ток (движение за-
рядов) в проводнике соседнем. Повторные опыты его в те-
чение многих лет в этом направлении не увенчались успе-
хом. В связи с этими опытами Фарадей в 1831 г., экспери-
ментируя с двумя обмотками на общем сердечнике, обнаружил,
что замыкание и размыкание в одной цепи наводит ток в
другой. Таким образом Фарадеем было открыто явление элек-
тромагнитной индукции. Исследуя это явление как при из-
менении тока в одной из двух замкнутых цепей, так и при
относительном перемещении контура в магнитном поле, Фа-
радей установил, что наведение токов зависит от пересече-
ния проводником индукционных магнитных линий в единицу
времени и что ток в замкнутой цепи зависит от общего числа
индукционных линий, пересеченных контуром в единицу
времени, или от изменения магнитного потока, отнесенного
к единице времени.
Замечательные и многосторонние исследования Фарадеем
электромагнитной индукции, на которой базируется все раз-
витие современной электротехники, позднее получили мате-
§ 77]
Электромагнитная индукция
359
магическое оформление в работах Максвелла, который раз-
вил идеи Фарадея и распространил их на любой контур,
в любой среде, в отличие ©т Фарадея, рассматривавшего
лцшь пересечение проводникового контура индукционных ли-
ний. Кроме того, Максвеллу принадлежит и установление
обратной связи между электрическим и магнитным полем,
а именно, что всякое изменение электрического поля со-
провождается наличием поля магнитного.
Найденное Фарадеем соотношение
между наведенным током и изменением
магнитного потока, называемое законом
электромагнитной индукции Фарадея,
выражается в принятой нами системе
единиц следующим уравнением:
1 d Ф
(77,1)
(при измерении t в A, R в й, Ф в V sec
коэфициент пропорциональности полу-
чается равным безразмерной единице).
Последнее уравнение может быть переписано и следую-
щим образом:
е—Ri — ~ (77,2)
Оно указывает, что наводимая в замкнутом контуре э. д. с.
равна уменьшению пронизывающего его магнитного потока,
отнесенному к единице времени (спаду магнитного потока).
В величину 6?Ф входит как изменение внешнего потока, про-
низывающего контур, так и изменение собственного магнит-
ного потока, создаваемого т@ком в контуре.
Значение э. д. с. электромагнитной индукции может быть
выведено, как это сделано было Гельмгольцем, на основа-
нии принципа сохранения энергии. Если замкнутый контур
перемещается в магнитном поле (фиг. 77,3) и в нем наво-
дится ток, то на каждый элемент длины этого контура со
стороны магнитного поля действует сила i [dl ё], которую
должна преодолеть внешняя сила. Поэтому работа, которая
совершается внешними силами и которая переходит в Джоу-
лево тепло в сопротивлении контура, если перемещение за
время dt элемента длины равно ds, может быть выражена
через:
dA= — fi [dl £] ds = — i d®=Ri*dt, (77,3)
ибо
(/) [dl dl =<f>B dl] = <7Ф
360
Магнитное поле
1гл. 3
есть изменение магнитного потока внутри контура, так как
[ds dl] есть площадь поверхности, которую описывает эле-
мент dl при перемещении на ds, а В [dsdl] — число ин-
дукционных линий, пересеченных при этом элементом длины
dl, а число линий, пересеченных всеми элементами контура,
равняется изменению магнитного потока. Разделив обе части
уравнения на idt, мы получим уравнение (77,1).
Закон электромагнитной индукции может быть также вы-
веден из рассмотрения лорентцевой силы (56,13), при по-
мощи которой может быть объяснена электромагнитная ин-
дукция. При перемещении проводника в неподвижном и не
меняющемся во времени магнитном поле вместе с проводни-
ком перемещаются как кристаллическая решетка проводника,
несущая положительные заряды, так и удобоподвижные от-
рицательные заряды — свободные электроны. В то время как
положительные заряды, как жестко связанные с проводни-
ком, перемещаются так же, как проводник, положим, со ско-
ростью V, удобоподвижные электроны благодаря силе, с
которой магнитное поле действует на них при их движении,
будут приобретать некоторую дополнительную скорость и
внутри проводника. Поэтому, если магнитная индукция в
данной точке равна В, то на электрон со стороны магнит-
ного поля действует сторонняя механическая сила:
Встор '==-
Или, если эту силу отнести к единице положительного за-
ряда, то напряженность этого стороннего электрического по-
ля выразится через
= И+Рв]. (77,4)
ей
Обычно размеры поперечного сечения проводников весьма
малы по сравнению с их длиной, а потому направление сред-
ней скорости электронов в проводнике можно считать сов-
падающим с элементом длины проводника в данной точке
Слагающая напряженности наведенного поля вдоль эле-
мента длины будет равна:
F____^nop-dl_ Г- £1 . [и £] .
ci— 1 J dl 1 L J Л L * dl
так как
[uB]d~l=[dlu]B = Q, (77,5)
§ 77]
Электромагнитная индукция
361
Уравнение (77,5) показывает, что в каждой точке движуще-
гося в магнитном поле проводника наводится электрическое
поле с напряженностью
Естор===\'^В^» (77,6)
Положим теперь, что изолированный прямолинейный про-
водник длиной I перемещается со скоростью v в однородном
магнитном поле. Под действием напряженности наведенного
вдоль проводника электрического поля электроны (почти
мгновенно благодаря своей малой массе) будут, как это ука-
зано на фиг. 77,4, перемещаться к одному концу проводника
в противоположном £*/ направлении, в
результате чего на одном конце будет
избыток положительных, а на другом
избыток отрицательных зарядов. Вдоль
(внутри) проводника образуется куло-
ново поле, противоположное наведен-
ному электрическому полю, и на концах
количество избыточных зарядов устано-
вится как раз такое, при котором куло-
ново и поле наведенное будут уравно-
вешивать друг друга:
= 0.
(77,7)
Между концами проводника во время его движения в
магнитном поле установится напряжение или разность по-
тенциалов, подобно тому, как это мы имеем у источников
электрического тока, например, гальванических батарей. Это
напряжение, которое мы можем рассматривать как э. д. с.,
наводимую в проводнике при его движении в однородном
магнитном поле, равняется:
ya— — в— I EcmOpdl —
vE Z. (77,8)
о о
Направление наведенной ъ. д. с. или наведенного поля Ех
можно определить или по правилу штопора, повертывая век-
тор v по кратчайшему пути до совпадения с вектором 5,
тогда поступательное движение оси штопора укажет направ-
ление Ег или е, или же по правилу правой руки, располагая
ее таким образом, чтобы индукционные линии входили в ла-
донь, большой палец совпадал с направлением скорости, тогда
остальные четыре пальца будут указывать направление.
Et или е. Если скорость проводника составляете напряжением
ПОЛЯ угол а и ZJ_£, то наводимая э. д. с. будет:
e — y-B-l- sin(^ £) — vB-b sin a s<
(77,9)
362
Магнитное поле
[ гл. 3
при перемещении проводника параллельно полю = 0, в
проводнике э. д. с. наводиться не будет.
Если же проводник расположен нормально к магнитному
полю Z_L# и скорость перпендикулярна к направлению поля
v , то наводимая в прямолинейном проводнике э. д. с.
выражается
e = v-B-L (77,9')
Для замкнутого контура уравнения (77,2) и (77,9) дают одну
и ту же э. д. с. Так как
= -^3^] = -^. (77,10,
Следует отметить, что так как магнитная индукция В
слагается из отдельных составляющих, получаемых от всех
элементов тока, в том числе от элементов тока рассматри-
ваемого контура, то в б/Ф должно входить и изменение по-
тока, создаваемого и тем током, который находится в самом
контуре.
Когда контур состоит не из одного, а из w витков, и
когда все витки пронизываются одним и тем же общим маг-
нитным потоком, то э. д. с., наводимая в такой обмотке при
изменении магнитного потока, будет в w раз больше:
е = — w — . (77,11)
at
Произведение числа витков на магнитный поток называют
магнитным сцеплением или магнитным потокосцеплением:
Ф = ^-Ф. (77,12)
Магнитное сцепление измеряется, как и магнитный поток, в
Vsec или в Wb.
Если не все витки цепи или катушки пронизываются одним
и тем же общим магнитным потоком, то для определения об-
щего потокосцепления можно или разбить весь магнитный
поток Ф на отдельные индукционные трубки ДФХ и, определив
число витков с которым сцеплена эта трубка, найти потоко-
сцепление одной трубки w/ДФ*. и затем просуммировать эти
частичные потокосцепления Sw*-ДФ* или же разбить все витки
на отдельные группы витков Awx, пронизываемых одним
ц тем же числом индукционных трубок (или одной и той же
§ 77]
Электромагнитная индукция
363
частью общего потока) ФЛ и, определив потокосцепление для
отдельных групп витков, взять их сумму ЕФ^-Дт^. Очевидно,
что
Ф = • ДФГ = ЕФ*. • Л
или
f w d® — J Ф dw. (77,13)
Так как э. д. с., наводимая в какой-нибудь цепи или ка-
тушке, складывается из э. д. с., наводимой в витках отдель-
ными составными частями магнитного потока, или из э. д. с.,
наводимых в отдельных витках пронизывающими их потоками,
то э. д. с., наводимая в сложном контуре или катушке, мо-
жет быть выражена через
е—— — =--------- Ew • ДФ =------- еф . д w (77,14)
dt dt dt х х '
как
Фиг. 77,5.
При определении э. д. с., наводимой в какой-нибудь цепи,
необходимо учитывать э. д. с., наводимую при изменении
тока во всех частях цепи
в обмотках генераторов, так
и э. д. с., наводимую в каждой
из составных частей цепи.
Вышеприведенные формулы
относятся к случаю, когда при
перемещении контура в по-
стоянном магнитном поле ме-
няется пронизывающий его маг-
нитный поток или когда вну-
три неподвижного контура ме-
няется во времени магнитный
поток. Если же одновременно перемещается и контур, и маг-
нитный поток меняется во времени, т. е. когда магнитный
поток зависит и от положения контура в магнитном поле,
и от величины поля, меняющейся во времени, Ф = т^Ф = f (х, Z),
то наводимая э. д. с. будет определяться через
щн dx
е=------=----------------
dt дх dt dt
(77,15)
Например, если в однородном магнитном поле магнитная ин-
дукция меняется по закону B = (фиг. 77,5),и если
в таком поле вращается плоский контур, ограничивающий
площадь S, с угловой скоростью то магнитный поток,
пронизывающий контур, будет:
Ф = S. В • cos а =3• Вт • cos соЛ cos (77,16)
где х =а = — угол между направлением поля и нор-
эдддью к В, который изменяется пропорционально углевой ckq-
364
Магнитное поле
!-гл. 3
рости вращения и времени. Наводимая в одном контуре э. д. с.
e = <b-S'Bm- sin со/-cos + -S-Bm-cos • sin
78. ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Как упоминалось в предыдущем параграфе, открытый Фа-
радеем закон электромагнитной индукции был Максвеллом
обобщен и распространен на любой контур в любой среде
не только на контур, состоящий из проводника, но и на лю-
бую замкнутую линию, будь то в диэлектрике или в вакууме.
Если в пространстве изменяется магнитное поле, то одно-
временно с этим в нем появляется и поле электрическое.
Так, если в каком-нибудь кольцевом проводнике течет меняю-
щийся во времени переменный ток, то вдоль аналогичного
контура ab, проведенного вне проводника, под действием ме-
няющегося магнитного потока наводится поле электрическое
(фиг. 77,1).
Согласно Максвеллу закон электромагнитной индукции
Фарадея применим ко всякому замкнутому контуру, проведен-
ному полностью или частично в проводящей или непроводящей
среде, а именно, что линейный интеграл напряженности
электрического поля, наведенного изменяющимся магнитным
потоком, равен изменению этого потока в единицу времени,
взятому с обратным знаком:
(f)Ecmop (78,1)
Магнитный поток, пронизывающий какой-нибудь контур, ра-
вен $=(§Adl , где А— вектор-потенциал магнитного поля
[см. уравнение (63,13)]; поэтому
(78'2)
В случае, если кроме электрического поля электромаг-
нитной индукции других полей в пространстве не имеется
(как-то: электростатического или других сторонних электри-
ческих полей, какие мы имеем в гальванических элементах,
при явлениях термоэлектрических и т. п.), мы подинтеграль-
ные выражения можем приравнять, и получаем, что напря-
женность электрического поля электромагнитной индукции
в какой-нибудь точке поля равняется изменению вектор-по-
§ 78]
Второе уравнение Максвелла
365
тенциала в этой точке в единицу времени, взятому с обрат-
ным знаком:
Е — дА .
стор—
(78,3)
Если кроме электрического поля электромагнитной индукции
имеется еще (кулоново) электростатическое поле, то напря-
женность общего поля может быть выражена следующим
образом через векторный потенциал магнитного поля и (ска-
лярный) потенциал электрического поля:
Е— Естор Л~Екул —— ---grad ср. (78,4)
Так как для электростатического поля, как поля потенци-
ального: (j)E кул(й= 0, то в интегральном уравнении электро-
магнитной индукции (78,1) мы Естор можем заменить через
Е стор~\~Е Кул»
=/ р М <78'5>
Отнесем этот линейный интеграл к контуру, ограничиваю-
щему весьма малую площадку 5; проходящий через эту пло-
щадку магнитный поток равен Ф=£? • S = Bn-S, где Ва есть
проекция вектора В на нормаль к площадке 5.
Предел отношения
lim^ = rot0£; rot„S = (78,6)
о Sot ot
когда 5 стремится к нулю, дает нам проекцию ротора Е на
нормаль к S, которая равна изменению проекции вектора маг-
нитной индукции на то же направление в единицу времени.
Если взять слагающие rot Е и В по осям координат:
rot Z? —
7 j k
A.A--L
дх ду dz
Ех Еу Ея
г дВх г у дВу । 1 дВг
1 dt
f’(78,7)
336 Магнитное поле
[гл. 3
то мы получим, что ротор вектора напряженности электри-
ческого поля равняется изменению вектора магнитной ин-
дукции в единицу времени, взятому с обратным знаком:
rot£ = -^ (78,8)
rot Е будет отличен от нуля и тогда, когда вектор В, не
меняясь по своей величине, меняет свое направление.
Уравнение (78,8), связывающее пространственное измене-
ние электрического поля с изменением во времени магнитной
индукции в любой среде, является выражением закона элек-
тромагнитной индукции в диференциальной форме и носит
название второго уравнения Максвелла. Это урав-
нение совместно с первым уравнением Максвелла: rot/7 = 3
и уравнениями: div В — div Н = 0 и div D = div (е Ё) = р
является краеугольным камнем современного учения об элек-
тромагнитном поле.
Уравнение (78,8) относится к случаю наведения элек-
трического поля в неподвижной среде меняющимся во времени
магнитным полем. Если же кроме того тело перемещается в маг-
нитном поле, то благодаря движению в этом поле наводится
дополнительное поле Е"стар = \у В ], накладывающееся на по-
ле, ротор которого определяется изменением магнитной
индукции в единицу времени: rot Ef =—Поэтому мы
для суммарного поля будем иметь, что
Ё^Ё'+Ё'
и
rot Ё=rot 2?—{-rot F'=— H-rot [гГв]. (78,9)
79. САМО- И ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ
Во всяком контуре, когда меняется пронизывающий его
магнитный поток, наводится э. д. с. индукции независимо от
того, отчего происходит изменение магнитного потока. В кон-
туре будет наводиться э. д. с. и тогда, когда изменение
магнитного потока будет происходить вследствие изменения
тока в самом контуре или в каком-нибудь другом соседнем
контуре, в поле которого находится рассматриваемый контур.
§ 79] Само- и взаимоиндукция 367
Явление наведения э. д. с. в контуре, цепи или катушке
при изменении в них тока называется самоиндукцией, а яв-
ление наведения э. д. с. в одном контуре или цепи при
изменении тока в другом контуре или цепи называется вза-
имной индукцией.
Из сопоставления направления магнитного потока, созда-
ваемого током в контуре, и направления э. д. с., наводимой
собственным изменяющимся магнитным потоком, следует, что
э. д. с. самоиндукции направлена против направления тока,
когда ток увеличивается. Если же ток уменьшается, то э. д. с.
самоиндукции совпадает с направлением тока, т. е. э. д. с.
самоиндукции препятствует всякому изменению тока и стре-
мится поддерживать прежнее значение тока.
Электродвижущая сила самоиндукции определяется по той
же формуле, как и э. д. с., наводимая постоянным магнит-
ным потеком:
eL=— — =— (79,1)
dt dt 7
Когда магнитная цепь не содержит стали, между маг-
нитным потоком и потокосцеплением с одной стороны и током
с другой существует прямая пропорциональность
« = (79,2)
и потому э. д. с. самоиндукции может быть выражена через
dW dW сЧ г di
С[^ —- ------------JL, • — .
dt di dt dt
Отношение э. д. с. самоиндукции к изменению тока
времени в какой-нибудь цепи или катушке
dijdt
(79,3)
в единицу
(79,4)
называется коэфициентом самоиндукции, само-
индуктивностью или просто индуктивностью этой
цепи или катушки.
Индуктивность в практической системе электрических
единиц измеряется в генри или омсекундах. Индуктивность
цепи или катушки равна одному генри, когда при равномер-
ном изменении тока на один ампер в одну секунду в ней
наводится э. д. с., равная одному вольту,
lH=-^=lQsec. (79,5)
sec
368
Магнитное поле
[гл. 3
Малые индуктивности измеряются в миллигенри, 1 mH=0,00J Н;
1 генри равняется 109 единиц индуктивности в абсолютной
электромагнитной системе единиц (CGSM).
Определение индуктивности сводится к нахождению маг-
нитного потока для одновитковых цепей и магнитного сцеп-
ления для многовитковых катушек при единице тока. В об-
щем виде в случае отсутствия стальных масс эта задача
может быть решена при помощи вектор-потенциала:
В = rot А,. (79,6)
Примем, что сечение провода невелико по сравнению с
размерами витков, и будем считать, что магнитное поле вне
провода тождественно с магнит-
ным полем тока, сосредоточен-
ного по средней линии провода.
Тогда магнитный поток, пронизы-
вающий контур, может быть вы-
ражен через
Ф= —$rotA1dS1=^
где dSt — эдемент площади, огра-
ничиваемой контуром; dlr—эле-
мент длины вдоль средней линии
провода контура; dl2—элемент длины по внутреннему пери-
метру; г—расстояние между d~lr и d~l2 (фиг. 79,1). Поэтому
индуктивность контура без учета магнитного потока внутри
самого провода и его сцепления с нитями тока внутри про-
вода определяется через
£ = = (79,7)
Для (одновиткового) кольца-это уравнение для L дает сле-
дующее решение:
2 </ ’
Где О—средний диаметр кольца и d — 2r0 — диаметр провода.
* См. «Основы электротехники*, изд. 1934 г.
£ 79]
Само- и взаимоиндукция
369
центра на расстоянии х,
К этому необходимо прибавить потокосцепление при еди-
нице тока внутри самого провода. Полагая, что плотность
тока равномерно распределяется по его сечению и что ин-
-дукционные линии в плоскости сечения внутри провода на-
правлены по концентрическим окружностям (фиг. 79,2), каж-
i~x2 i г2
дая из которых охватывает ток ----= —, мы для магнит-
но2 Го2
ной индукции в точке, отстоящей от
получаем:
в = ^-нх= -
' Го2 -2-Х 2-ги2
Для определения потокосцепления
внутри провода разбиваем ток на
ряд линий тока, число которых про-
порционально сечению тгг02. Магнит-
ный поток на ширине dx по напра-
влению радиуса на длине dl вдоль
провода d — Bxdx-dl связан
о ъх2 • i
с числом нитеи тока —поэтому
потокосцепление внутри провода на
длине dl будет:
- '-» —
dx
Фиг. 79,2.
Го . Г0
d ф, = f — B-dx-dl=-^~ f x*dx =
' J x 2т:г0Ц 8к ’
0 0
а слагающая индуктивности, приходящаяся на единицу длины
провода,
U idl 8л:
Поэтому полная индуктивность кольца будет:
= v^P_. in ^4-А0-к D = 1П—4
2 d 1 0 2 \ d 1
(79,8)
у--)- (79,9)
4 Ро /
В случае, если провод не стальной, н = Но-
Для прямоугольной рамки со сторонами а и b индуктив-
ность равна:
L — — а In——(- b In ——--------2 (а-ф-й — с)],
71L d(c-\-b) 41
где c=Va2-\-b2 и d—диаметр провода.
24 К. А. круг, т. I.
(79,10)
370
Магнитное поле
[гл. Я
Индуктивность (одновиткового) контура не растет про-
порционально площади, которая ограничивается контуром, а
медленнее, так как большая часть магнитного, потока соста-
вляется индукционными линиями, замыкающимися в непо-
средственной близости от провода.
Для катушек со многими витками, если все витки про-
низываются одним и тем же потоком, индуктивность увели-
чивается пропорционально квадрату числа витков, как это
имеет место для тороида, кольца с равномерно распределен-
ной обмоткой (фиг. 79,3). Если I — длина средней линии
(средняя окружность) кольца, 5—сечение кольца, w—число
витков, то
I и I
е _____ wd<T> ___ iiQ'W't-S di. (79 уп
L dt I dt ’ Z ‘ '
В случае, если катушка содержит сталь, то индуктивность
ее не является величиной постоянной, а зависит, с одной
стороны, от значения тока и характера его изменения, а с-
другой,— от состояния насыщения ^предыдущего состояния
намагниченности. Для определения индуктивности необходимо
вычертить кривую зависимости магнитного потока (или по-
токосцепления) от тока и по этой кривой определить отно-
шение
(79,12)
Если мы имеем одностороннее изменение тока (в сторону
увеличения) на небольшую величину, то индуктивность
(диференциальная) определится тангенсом угла наклона ка-
сательной, проведенной в соответствующей точке кривой
намагничения L— d— = tga (фиг. 79,4). Если ток колеблется
di
между какими-нибудь двумя пределами и магнитный по-
ток изменяется по замкнутой петле (фиг. 68,9), то индуктив-
ность при пульсации тока определится тангенсом угла на-
клона линии, соединяющей противоположные концы петли.
При переменном токе, когда ток изменяется в ту и другую
сторону с одинаковой амплитудой, индуктивность определяют
как отношение максимального значения магнитного потока
(или потокосцепления) к максимальному значению тока.
Если магнитная цепь катушки со сталью содержит воздуш-
ный зазор, то воздушный зазор представляет главную часть
магнитного сопротивления магнитной цепи, которое от тока
§ 79]
Само- и взаимоиндукция
371
не зависит, и в таких случаях индуктивность катушки с
некоторым приближением может рассматриваться как вели-
чина постоянная.
В случае взаимной индукции взаимоиндуктивность двух
цепей или контуров определяется, как э. д. с., наводимая в
рдной цепи при изменении тока в другой цепи на единицу в
единицу времени. Она измеряется в таких же единицах, как
самоиндуктивность, и обозначается или через букву /И, или
буквой £12 с индексами, указывающими номер цепей или
контуров.
Взаимная индуктивность для цепей без стали может быть
подсчитана в общем виде при помощиуравнения,тождественного
с уравнением (79,7). Если обозначить через Л2= век-
тор-потенциал магнитного поля, создаваемого током z2, то
значение той части этого магнитного потока, которая про-
низывает первый контур, выразится через
Ф,1 = (^1) dS, =Jrot A.dl = , (79,13)
Si *ii
raedl1ndl2— элементы длины средних линий того и дру-
гого контура и г—расстояние между ними. Электродвижу-
щая сила взаимной индукции, наводимая в первом контуре,
при изменении тока во втором контуре выразится через
е = — ^1- = —— М.,^ (79,14)
dt di> dt " dt
и взаимная индуктивность будет р1вна (фиг. 79,5)
= = Р9.15)
24*
372
Магнитное поле
[m. 3
Если бы мы стали определять взаимную индуктивность между
первым и вторым контуром, то получили бы ту же самую
величину. Ток в первом контуре создает вокруг себя маг-
нитное поле, вектор-потенциал которого в разных точках
поля будет:
(ад
а часть магнитного потока, которая проходит через второй
контур, будет равняться:
Ф12=('г 12)= f rot
<>2
— 1121 фф‘W. t (79,17)
а так как-
e — _ ^n = _^i2 . ^й_ = _м dh. (79,18)
2 dt diL dt 2 dt 7
то после подстановки значения Ф12 мы получим, что взаим-
ные индуктивности двух цепей взаимно равны
ТИ12 —Д421 или £13=£21. (79,19) <
В то время как самоиндуктивности всегда положительны,
взаимной индуктивности может быть приписан и знак минус,
Ф«г. 79,5
что зависит от выбора тех направле-
ний, которые мы принимаем за поло-
жительные для токов в том и другом
контуре. Если магнитный поток, соз-
даваемый положительным током в
одном контуре, пронизывая второй
контур, совпадает с направлением
магнитного потока от положительного
тока второго контура, то взаимную
индуктивность считают величиной по-
ложительной, в случае же несовпаде-
ния направлений магнитных потоков—
величиной отрицательной.
Уравнение (79,15) может быть при-
менено и для определения взаимной
индуктивности многовиткозых катушек.
Если витки каждой из двух катушек в отдельности про-
низываются одним и тем же магнитным потоком, то взаимная
индуктивность пропорциональна произведению числа витков
обеих катушек. Это следует из того, что как весь магнитный
поток, создаваемый током в одной катушке, так и часть
его, проходящая через другую катушку, пропорциональны
§ 79]
Само и взаимоиндукция
373
числу витков Wi этой первой катушки, а э. д. с., наводимая
при изменении этой части магнитного потока в другой (вто-
рой) катушке, пропорциональна w2 числу витков последней,
а потому /И12 будет пропорционально Wi-w2.
Магнитное поле двухпроводной линии составляется из
магнитных полей каждого из проводов (фиг. 79,6). Обыкно-
венно диаметры проводов весьма
малы по сравнению с расстоянием
между проводами, а потому при
определении магнитного потока вне
проводов можно считать, что токи
сосредоточены по осям проводов.
В точках, лежащих между прово-
дами в плоскости, проходящей через
оси проводов, магнитные индукции
совпадают по своему направлению и
равны;
(79,20)
5' = J±L и 5" — —
г 2г.х х 2к(й — х)
поэтому поток между обоими проводами будет:
где d—расстояние между осями проводов, a Z— длина двух-
проводной линии. К этому необходимо прибавить поток сцеп-
ления внутри каждого из проводов, который на единицу длины
равен [см. уравнение (79,8)]
Поэтому все магнитное сцепление двухпроводной линии на
длине I будет равняться
Т = —]. (79,22)
4те |_ Го (J.Q J
Разделив обе части на i, мы для индуктивности двухпро
водной линии получим:
L in ~ го.л Iх 1
4-1 г еоГ
(79,23)
374
Магнитное поле
[гл. 3
для провода из немагнитного материала:
= 4тг-10 9 Н/сш.
Если длину измерять в km (lkm=105cm) и приравнять
d — rQ^d, то индуктивность одного километра двухпровод-
ной линии выражается через
4 In — +1
''о
•10 4 H/km,
(79,24)
а для стальных проводов и
4 In—
го
•10 4 H/km.
(79,25)
Фиг. 79,7.
Определим еще взаимную индуктивность между .двум^
параллельными линиями {АВ и CD фиг. 79.7). Магнитный
поток, создаваемый, на-
гримср, тиком i в линии
АВ и пронизывающий ли-
нию CU, слагается из двух
потоков, которые в от-<
дельности создаются то-
ком i в проводе А и то-
ком— i в проводе В и
которые проходят через
петлю CD. Индукционные
линии потока, создаваемого током i в проводе А и — i
в проводе В, имеют вид концентрических окружностей с
центрами на оси этих проводов. Поэтому магнитный поток,
пронизывающий линию CDt будет равен:
и взаимная индукция определится через
М19=Л121 = Л1=
2 тс агЬ2 ’
(79,27)
г/це аа и расстояния между осью провода А и осями про
водов линии CD, а и такие £$е расстояний от оси В,
§ 80]
Энергия магнитного поля
375
Взаимная индуктивность двух двухпроводных линий, благо-
даря которой возникает мешающее, а иногда и опасное влия-
ние одной линии на другую (как это, например, бывает в
линиях связи, когда в параллельной электропередаче слу-
чается короткое замыкание), может быть теоретически све-
дена на-нет, если обеим линиям дать такое расположение,
чтобы плоскость проводов одной линии была бы перпенди-
кулярна и проходила бы через середину плоскости проводов
другой линии. Для уменьшения взаимной индуктивности
двух или нескольких линий, которые хотят предохранить
от взаимной индуктивности соседних линий, провода линий
Перекрещивают через определенные расстояния. Такое пере-
крещивание называют транспозицией.
80. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В магнитном поле содержится энергия, которая с боль-
шей или меньшей плотностью распределяется по всему про-
странству, занимаемому магнитным полем. Энергия магнитного
поля получается за счет той электрической работы, которая
совершается электрическим током во время создания магнит-
ного поля.
Положим, что это поле создается током, проходящим че-
рез обмотку с w витками и с сопротивлением R. При присо-
единении такой обмотки к источнику тока ток в обмотке уста-
новится не сразу, а постепенно, вследствие того, что воз-
никающий при включении тока магнитный поток наводит в
обмотке э. д. с. самоиндукции:
которая противодействует нарастанию тока. Это будет иметь
место в цепи, пока ток не достигнет своего стационарного
значения, когда уже не будет наводиться э. д. с. самоиндук-
ции. Во время создания магнитного поля ток в цепи равен
сумме действующих в цепи э. д. с. (э. д. с. источника тока е
и э. д. с. самоиндукции eL), деленной на сопротивление цени
i= или е = /?•*+ • (80>2)
Энергия, поступающая за время dt из источника тока, опре-
делится через
е• i’dt Ritdt+(— e^idt теRfi (80,3)
376
Магнитное поле
[гл. 3
Из этого количества энергии часть RiPdt поглощается в виде
тепла в сопротивлении обмотки, а другая часть
dW =(—eL}idt=id4,
(80,4)
равная произведению э. д. с. самоиндукции, взятой с обрат-
ным знаком, на ток и на время dt или же произведению тока
на приращение магнитного сцепления, передается магнитному
полю и увеличивает его энергию (в предположении, что поле
не совершает никакой работы). Если вначале магнитное по-
ле отсутствовало, то энергия, сообщенная магнитному полю
с момента включения, равняется:
W = J (— eL)idt = J idW. (80,5)
Энергия магнитного поля согласно представлениям Макс-
велла распределяется по всему объему, занимаемому полем.
Для поля, которое, например, получается внутри тороида;
плотность энергии, т. е. энергия, отнесенная к единице объ-
ема, равняется:
в
dW С
J ™В.
о
(80,6)
Действительно, если Z — длина средней индукционной линии;
S— сечение тороида (мы предполагаем, что поперечные раз-
меры тороида малы по сравнению с его окружностью) и w—
число витков, то, так как V—S-l, H-fc-wi, Ф — S-B и
Ф = ^.Ф, то сосредоточенная в тороиде энергия будет равна:
ЦТ ф в в
W = f i-w-d®= § H-l-SdB = V-^ HdB. (80,7)
и о и о
Если разделить обе части на V, то мы получим выраже-
ние плотности энергии (80,6), которое применимо для любого
неоднородного магнитного поля, так как любое поле в бес-
конечно малых пределах можно рассматривать, как поле
однородное.
В том случае, если напряженность поля и магнитная ин-
дукция во всех точках поля находятся в постоянном соотно-
шении const, что для стальных масс может иметь место
§ 80]
Энергия магнитного поля
377
при малых насыщениях), то плотность энергии выражается
через
в
dV J 2 2ц 2 v '
О
Когда между магнитной индукцией и напряженностью
поля нет прямой пропорциональности, как это имеет место
в стальных массах, плотность энергии может быть подсчи-
тана по кривой намагничивания (фиг. 80,1). Если сталь была
предварительно размагничена, то плотность энергии опре-
делится через площадь, ограниченную с одной стороны кри-
вой намагничивания ОВт, затем линией ВтВ{ и осью орди-
нат, так как если разбить эту площадь на полоски, параллель-
ные оси .абсцисс, то площадь каждой полоски будет равна
H-dB.
При const энергия магнитного поля может быть вы-
ражена также через индуктивность Д, так как
При условии у. — const индуктив- фиг* ’ •
ность цепи или катушки можно опре-
делять так же, как отношение энергии поля к половине
квадрата тока, или через двойное значение энергии поля при
единице тока:
г _ 2W
(80,10)
Если магнитное поле создается несколькими токами, то, со-
ставляя уравнения э. д. с. и напряжений для каждой цепи, мы
должны учитывать не только э.д. с. самоиндукции, но иэ. д. с.
взаимной индукции, наводимые вследствие изменения тока
в других цепях.
Если через =/1(/ь/2^з • • •) обозначим все магнитное сцеп-
ление первой цепи, т. е. сумму произведений числа витков
первой цепи на соответствующие значения магнитного потока,
создаваемого одновременно как током в первой цепи, так
и токами во всех других цепях, и соответственно обозначим
через
Ф2~ z3...) и —/з • •)
378
Магнитное поле
[гл. 3
магнитные сцепления других цепей, то суммарные э. д. с.,
наводимые в этих цепях, будут равны
dw,
еи~ — _ , е21=----------3,
1£ dt L dt
а энергия, сообщаемая этим цепям, за вычетом джоулевых по-
терь, за время dt будет
— e^L-ixdt-~ i — e2Ii2dt— drV2,
Поэтому вся энергия, поступившая от источников тока, за
вычетом джоулевых потерь, определится через сумму инте-
гралов:
ф/' Ф2"
W= j J
4Y чу
(80,11)
..Если первоначально магнитного поля не существовало,
ф/, Ф/. .. = 0, и если во время создания поля не было переме-
щения тел в магнитном поле, то вся электрическая энергия,
поступившая от источников тока, за вычетом джоулевых по-
терь, перейдет в энергию магнитного поля, и она может быть
выражена через
=5]рЛ,
о
W= f f МФ2+-
о о
(80,12),
где Фд=А(ЛА,--Л) зависит от всех токов; ik и Ф* вначале
все равны нулю. Лишь при отсутствии явления гистерезиса
получается однозначное решение для энергии поля при за-
данных значениях токов.
Когда магнитные потоки пропорциональны токам, только
тогда магнитные сцепления могут быть выражены как сумма
произведений постоянных коэфициентов взаимной индуктив-
ности на соответствующие токи:
4ri==^ii ’ |
(80,1.3)
Фа S • • 1
§ 80]
Энергия магнитного ноля
379
Если, определив из этих уравнений dVlt dlP2, подставить
их в уравнение (80,12) и сгруппировать отдельные слагающие
/1 ЛЛ д
I 1 ‘dti~j- I L^i^di^ —i.di^)H
4“ j ^зз * h * dh 4“ j Лз(^**з + ^1)+...,
о o,o
то энергия всего поля определится через сумму
W=b)r+~rS+L-^+---+L^h-h+ Лз-Л-/з +
k ~ п т — п
4“ ^23 ’ 4 * 44”* • • =~2~ (80,14)
k — 1 m — 1
В этой двойной сумме слагаемые, имеющие одинаковые ин-
дексы k — tn, встречаются один раз и имеют перед собой
множитель у; слагаемые, имеющие разные индексы
встречаются два раза и этого множителя не имгют.
Когда мы имеем лишь две цепи или два контура, то энер-
гия их магнитного поля будет:
w= 4- а12 • Л • 4+ 4 • 4 -ь (80,15)
Когда намагничивающее действие двух токов направлено в
одну сторону, то энергия общего магнитного поля больше,
чем сумма энергий, которые имели бы поля этих токов, если
бы каждый из них создавал бы свое поле независимо от дру-
гого, и М имеет положительное значение. Когда же намаг-
ничивающее действие двух токов направлено в разные сто-
роны, то энергия поля обоих токов при одновременном их
действии меньше суммы энергий полей каждого тока в от-
дельности, и М имеет отрицательное значение.
Слагаемые уравнения (80,14) могут быть сгруппированы
также следующим образом:
W= j Л(а114+^214+. •) + у 4(ЛзЛ+АзЛ+- • •)+• • -(80,16)
и энергию поля, в котором потоки пропорциональны токам,
мы можем выразить, как полусумму произведений токов на
магнитны^ сцепления соответствующих цепей;
Л—л
j УрЛ (80,17)
4 л»
fc=l
380
Магнитное поле
[гл. 3
Если цепь включает катушки с несколькими витками, то
можно эти витки разрезать и путем прибавления двойных
отрезков с равными и противоположными токами, ничего не
меняющих в магнитном поле, разбить всю цепь на отдель-
ные замкнутые на себя витки с тем же током. Энергия поля
в этом случае может быть выражена через:
k—п
= = (80,18)
Пользуясь последними уравнениями, можно вывести вы-
ражение плотности энергии, когда поле создается системой
токов. Магнитный поток, пронизывающий какой-нибудь кон-
тур, равняется:
ФА = Jb dSk=Jrot A d~Sk— dT» (80,19)
su s u
k k
где dS k — элемент площади, ограниченной контуром k, dlk —
элемент длины этого контура, а А — вектор-потенциал поля,
который зависит от координат отдельных точек поля. Тогда
выражение всей энергии поля может быть приведено к виду:
k~n
(80.20)
k=l
ток Ik может быть заменен через
jaA dSk=j rot Вк dSk, (80,21)
здесь — плотность тока в проводе витка k и dS—элемент
сечения его провода. Произведение dSk-dlk—dVk есть эле-
мент объема. Так как в тех точках поля, где нет тока й = 0,
то интеграл (80,20) может быть распространен не только на<
объем проводов, но и на весь объем пространства, занимае-
мого магнитным полем:
k~n
1Г= 1 J] AkdVk=^ ^rotB-AdV. (80,22)
k—i.
Подинтегральное выражение может быть преобразовано так:
rot НА= 77-rot Л—div [Л B]^BB-div [Л 77], (80,23)
HQ
J* div [Л B\dV=j> [л В] dS =0,
V
§ 81]
Потери ла гистерезис
381
так как интеграл должен быть распространен на поверхность,
ограничивающую бесконечное пространство; и ввиду того,
что dS возрастает пропорционально квадрату расстояния,
А уменьшается по мере удаления от истоков поля пропор-
ционально расстоянию, а Н—пропорционально квадрату рас-
стояния, подинтегральное выражение стремится к нулю.
После подстановки мы приходим к тому же выражению плот-
ности энергии, что и выше:
W=- f HBdV=-{HBdV,
2 J 2 J
V V
так как при p.=coDst В = и
(80,24)
dW _ НВ
dV ~ 2
(80,25)
81. ПОТЕРИ НА ГИСТЕРЕЗИС
поля, то магнитная индук-
первоначального намагни-
Фиг. 81,1.
Если предварительно размагниченную сталь намагничи-
вать. увеличивая напряженность
ция будет изменяться по кривой
чивания ОВт, и энергия, затра-
ченная на создание магнитного
поля, отнесенная к единице объ-
ема, определится через площадь
ОВтВ. (фиг. 81,1).
Если бы процесс размагничи-
вания при уменьшении напря-
женности поля Н протекал так
же, как и процесс намагничива-
ния, т. е. по той же кривой ВтО,
но в обратном порядке, то вся
энергия, затраченная до того
на намагничивание среды, была
бы возвращена в виде энергии
электрического тока в цепь, на-
магничивающую эту среду, и в
этом случае попеременное намагничивание и размагничивание
не было бы связано с потерями энергии. В действительности
же, благодаря явлению гистерезиса (магнитного последействия),
процессы намагничивания и размагничивания протекают по-
разному, и при циклическом процессе зависимость между
В и Н 1 сражается так называемой петлей гистерезиса. Ра-
бота, затрачиваемая на полный цикл перемагничивания еди-
ницы объема, пропорциональна площади, ограниченной пет-
лей гистерезиса. Действительно, предположим, что цикл пе-
382
Магнитное поле
[гл. 3
ремагничивания начинается с максимальной магнитной ин-
дукции Вт=тьОВх (фиг. 81,1). Весь цикл может быть разбит
на отдельные стадии, т. е.
в- о вт' вг' о вт
$HdB= J + J +J + [ + J. (81,1)
Вт Вг ° Вт Вг’ 0
При уменьшении напряженности поля от Нт^=ОНт др
нуля магнитная индукция уменьшается от Вт до В„ и при
этом освобождается энергия, пропорциональная площади
ВтВгВх. На устранение остаточного магнетизма, когда про-
цесс протекает по кривой ВГНС, должна быть затрачена работа,
пропорциональная площади ВГНСО, При намагничивании стали
в противоположном направлении, когда магнитная индукция
изменяется по кривой НСВ^9 каждой единице объема должна
быть сообщена энергия, измеряемая площадью НСВ^В{О. При
уменьшении магнитной индукции по кривой В^В'Г возвра-
щается энергия, пропорциональная площади В^В^В^. Затем
при дальнейшем уменьшении магнитной индукции до нуля
(по кривой В^Н’) затрачиваемая на уничтожение остаточной
индукции работа определится площадью В’Н^О, И, наконец,
при нарастании индукции по кривой НёВт, когда сталь
возвращается в первоначальное состояние намагничения, ра-
бота пропорциональна площади Н^ВтВхО. Если мы теперь
сложим все количества энергии, затрачиваемые и возвращае-
мые при прохождении сталью одного полного цикла пере-
магничивания, то получим, что вся затрачиваемая в единице
объема на совершение полного цикла перемагничивания энер-
гия пропорциональна площади, ограниченной петлей гистере-
зиса:
77 ~= плоЩаДЬ (81,2)
При одной и той же магнитной индукции энергия, затра-
чиваемая на полный цикл перемагничивания, тем больше,
чем шире петля гистерезиса, т. е. чем больше коэрцитивная
сила.
Поглощаемая на перемагничивание энергия (потери на
гистерезис) выделяется в виде тепла, благодаря чему сталь
нагревается.
На основании исследований большого количества образ-
цов разных сортов стали Штейнметцом в свое время была
установлена следующая эмпирическая формула для вычис-
ления потерь мощности, обусловленной явлением гистерезиса:
Р=7].^6./.И, (81,3)
§ 81 ]
Потери .на гистерезис
383
где Р — мощность, затрачиваемая на перемагничивание при
f полных циклах перемагничивания в единицу времени до
максимальной индукции Вт; V—объем образца; т]—коэфици-
ент, определяемый для данного сорта стали опытным путем.
В таблице приведены значения коэфициентов iq, которые
дают потери Р в ваттах, когда В измеряется в гауссах, f—
частота — число циклов или периодов в секунду и V—
объем в кубических сантиметрах.
Таблица 5
Коэфициенты т] к формуле Штейнметца
Материал vj
Электролитическое отожженное железо О.О0С78-1О-’
Динамная сталь 0,00054-10-’
Кровельная сталь 0,004 -10-’
ж „ отожженная . . . 0,002 -10-’
Трансформаторная сталь 0,0006 -0,00075-10-’
Динамная листовая сталь 0,0013—0,0015 -10-’
Чугун 0,013 -10-’
Работы Рихтера, однако, показали, что потери на гисте-
резис в стали оказываются при разных индукциях иногда
больше, иногда меньше, в зависимости от максимальной ин-
дукции Вт, и что потери на гистерезис правильнее опреде-
лять по формуле
(81,4).
в которой введены две материальные константы а и b и ко-
торой в настоящее время пользуются для подсчетов по-
терь на гистерезис.
Рихтер для практических расчетов придает своей фор-
муле следующий вид, относя потери к 1 kg стали:
-----а^+4-Z- •('—’-У]. (31.5)
G L МО 10 000 100 \ 10 000 J ] v 7
где f—число периодов в секунду; Вт—максимальная магнит-
ная индукция в гауссах; G — вес стали в килограммах, а
коэфициенты а и b имеют значения, приведенные ниже в
таблице.
Таблица 6
Коэфициенты а и Ъ в формуле Рихтера
Обыкновенная динамная сталь Высоколегирован-
ная с таль
Толщина листов в mm . 1 0,5 0Д5 0,5 0,35
Коэфициент а в • b к W/kG . W/kG . 0,9 33 0,9 3,5 0,9 3,8 0,4 2,6 0,3 2,1
384
Магнитное поле
[гл. 3
Изменение направления намагничивания может происхо-
дить не только таким образом, что меняется напряженность
поля в одном направлении в ту и другую сторону между
двумя крайними пределами (от ~\~Нт до —Нт}, но и путем
вращения тел в неизменном магнитном поле, как это имеет
место в электрических машинах. Потери на перемагничива-
ние в этом случае, т. е. потери на так называемый вращаю-
щийся гистерезис, возрастают с увеличением магнитной ин-
дукции в большей мере, чем при переменном перемагничива-
нии, достигают некоторого максимума, а при очень больших
индукциях потери как будто снова уменьшаются. Надежные
исследования в этой области отсутствуют, и потому при
расчетах пользуются для вычисления потерь на вращаю-
щийся гистерезис теми же формулами, что и при переменном
намагничивании.
Кроме потерь на гистерезис в стали при перемагничи-
вании имеют место еще потери вследствие возникновения в
стали, как в проводнике электрического тока, так называе-
мых вихревых токов, которые будут нами рассмотрены во
II томе книги.
82. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИЛЫ И ИХ РАБОТА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
СИСТЕМАХ
В магнитном поле, как в пространстве с накопленной
энергией, действуют механические силы, которые проявляются
как силы между токами, между током и магнитным полем,
а также в виде сил, возникающих на грани разнородных сред.
Все эти силы могут быть сведены к силам между магнитным
полем и движущимися зарядами, в виде обычных токов или
молекулярных токов, приобретающих в магнитном поле опре-
деленную ориентацию. Поэтому при перемещении тел в маг-
нитном поле должна совершаться работа.
Для определения сил, действующих между отдельными
частями в электромагнитных системах, и совершаемой в маг-
нитном поле работы составим уравнение баланса энергии за
бесконечно малый промежуток времени dt. При этом учтем,
с одной стороны, энергию, подводимую извне, и с другой,—
изменения энергии внутри самой системы, ограничиваясь
лишь рассмотрением изменения электромагнитной энергии и
работы механических сил. Будем также считать, что все
процессы обратимы и что ь системе нет никаких потерь
вроде потерь на вихревые токи и т. п. Подводимая извне
энергия составится:
1) из электрической энергии, получаемой от источников
тока, которая за вычетом джоулевых потерь может быть
§ 821 Механические силы и их работа 385
*выр< жена через сумму энергий, получаемых каждой цепью
в отдельности:
k~n г*
dWe=Z(-ehL)-ik-dt==d L \ikdVk- (82,1)
А—1J
2) из энергии в виде работы внешних сил, которые могут
быть приложены к системе:
dA=^F.dse9 (82,2)
где Fe—внешние силы, a dse—перемещения точек их прило-
жения.
Изменения энергии в самой системе будут состоять:
1) из изменения энергии магнитного поля, которое мы
обозначим через dWi9
2) и из механической работы, которую совершают по-
движные проводники с током или отдельные подвижные части
магнитной цепи
dA^^ds» (82,3)
где Ft—силы, действующие на подвижные части со стороны
магнитного поля, и dst—перемещения точек приложения этих
сил.
Таким образом баланс энергии выразится через
dW^dA^dW^dA'. (82,4)
Входящие в это уравнение величины dWe, dWi9 dAe и dAt
могут иметь положительные и отрицательные значения.
Если dWe отрицательно, то это означает, что энергия по-
ступает обратно из рассматриваемой системы в виде энер-
гии электрического тока в источники тока. Отрицатель-
ное значение указывает на уменьшение энергии ма-
гнитного поля в системе. Отрицательное значение dAe по-
казывает, что работа производится не внешними силами,
а наоборот, силами поля, и, наконец, отрицательное значение
dAi свидетельствует о том, что работа совершается не за
счет сил поля, а за счет внешних сил. По величине dWe и
dWi9 равно как и dAe и dAb могут быть и не равны между
собой. В общем случае, когда система имеет несколько сте-
пеней свободы, перемещение контуров друг относительно
друга, а также перемещение отдельных частей электромагнит-
ной системы в виде стальных масс влечет за собой наведе-
ние в контурах э. д. с. само- и взаимной индукции, а это
имеет своим следствием изменение токов. Все это затрудняет
нахождение механических сил и определение их работы в
25 К. А. Круг. т. I.
386 Магнитное поле [гл. 3
общем виде. Рассмотрение значительно упрощается, если
предположить, что магнитные потоки пропорциональны токам
и что токи остаются неизменными /ь /3, —const. Это мо-
жет быть достигнуто или введением весьма большой индуктив-
ности и большого сопротивления в цепь источников тока
или соответствующим изменением э. д. с. источников тока
таким образом, чтобы они все время были равны и противо-
положны э. д. с. индукции, наводимым в цепях системы. При
таких условиях энергия, поступающая извне, будет равна:
А=л
dWe=^/^Vk (82,5)
k=l
и изменение энергии магнитного поля [уравнение (80,17)]
k—п к= п
dwi=4Slkid Sv (82’б)
kr=\ k—\
Поэтому, если внешние механические силы отсутствуют
(dAe=Q), то
dWe = dW^dA; = ±-dWe - dAt
И
dA-t = j-dW^dW,. (82,7)
Мы пришли к парадоксальному на первый взгляд выводу,
что при постоянстве токов, когда работа совершается силами
поля, энергия магнитного поля не убывает, а увеличивается,
причем приращение энергии равняется как раз совершенной
полем работе. Это противоречие лишь кажущееся, так как в
этом случае энергия поступает извне от источников тока, при-
чем эта извне поступающая энергия делится на две равные
части, из которых одна покрывает работу сил поля, а другая
увеличивает его энергию. Под действием сил поля подвижные
части системы стремятся переместиться в такое положение,
чтобы магнитные потоки увеличились и энергия поля была
бы максимальной (см. правило Максвелла, стр. 300). Наоборот,
когда перемещение в электромагнитной системе происходит
не под действием сил поля dAj = O, а под действием прило-
женных внешних сил, преодолевающих силы поля (а потому
равных и противоположных им), то магнитные потоки, а еле-
& 82]
Механические силы и их работа
387
довательно, и магнитные сцепления уменьшаются, и мы будем
в этом случае иметь, что
k=n
dWe=- ^ltdWh,
е-1
k-n
(ад
k=\
dWe + dAe=dWif а'Аг^~^ (82-9)
и
dWe— — 2dAe. (82,10)
т. e. что совершаемая внешними силами работа по величине
равна уменьшению энергии поля и передаваемая обратно
источникам тока электрическая энергия
слагается из двух равных частей: работы
внешних сил и энергии, на которую
уменьшается энергия поля.
Равенство работы, совершаемой си-
лами поля, и изменения энергии поля
дают нам возможность определять силу
взаимодействия между отдельными ча-
стями электромагнитных систем. Так как
работа равна
Якорь
dA—F.ds^ dW{,
Фиг. 82,1.
то сила можег быть выражена через
dsi
(82,11)
Так, если у нас всего одна* цепь, например, электромагнит,
имеющий одну обмотку (фиг. 82,1) и подвижный якорь, то
под действием магнитного поля якорь будет перемещаться
кверху. Для такой цепи мы будем иметь, что:
e=R-i-\- — = R-i-± (82,12)
dt dt
и электрическая энергия, отдаваемая в цепь за вычетом
джоулевых потерь, выразится через
dWe е • i • dt—R • Pdt - i • d(Li). (82,13)
25*
388 Магнитное поле [гл*. 3
Эта энергия делится на две части: на часть, равную работе
поля, и на увеличение энергии поля катушки:
dWe = dAt-\-dWt = F‘ds-\- = id(Li);
при неизменном значении тока (/ = const) dAt и dW\ будут
равны. Поэтому:
F.ds=^^- = -dL, (82,14)
2 2
откуда может быть определена сила, с которой поле дей-
ствует на подвижную часть системы
Г2 dl
F = -“±. (82,15)
Если известно значение индуктивности катушки при разных
положениях подвижной части (якоря), то, строя кривую L—
=f(s), мы можем найти значение — для данного положения по-
ds
движной части (якоря), а следовательно, и силу, с которой
действует поле. Если вместо перемещения изменяющимся па-
раметром положения будет угол поворота, то соответствую-
щий момент вращения определится аналогичным образом:
= (82,16)
Эти уравнения были нами выведены в предположении по-
стоянства тока (/= const) и пропорциональности магнитного
потока и тока в неподвижном состоянии системы.
Если же цепь насыщена, то действующая при возможных
перемещениях сила при постоянстве тока может быть опре-
делена на основании формулы:
^A~FS- As = АЦ7 — AlFi=Z. ДФ — AIFf
и
= Z-VF-Ajr,- . (82,17)
A s
Вычерчивают кривую и Ф2 как функц по тока для двух
положений подвижной части (фиг. 82,2). Тогда /ДФ будет равно
/АФ=ОЛ-ВС=зплощ. EBCD. (82,18)
Энергия поля в одном положении будет определяться пло-
щадью ОВЕ, а после перемещения площадью OCD^ поэтому
AIF- будет измеряться площадью ОСВ. Разделив- разн сть
площадей EBCD и ОВЕ с учетом масштабов на перемеще-
ние As, мы получим иском; ю силу.
§ 82]
Механические силы и их работа
389
Для системы с двумя обмотками или катушками сила
взаимодействия отдельных частей может быть определена
аналогичным образом, если известно значение взаимной ин-
дуктивности между цепями при разных положениях подвиж-
ной части.
Так как при постоянстве значений токов и пропорциональ-
ности магнитных потоков токам работа сил поля и измене-
ние магнитной энергии для любой системы при малых пере-
мещениях равны друг другу
(82,19)
то при условии, что Zj и L2 при бесконечно малых перемеще-
ниях остаются неизменными и токи поддерживаются постоян-
ными, мы получаем, что сила взаимодействия между катуш-
ками может быть определена как про-
изведение токов в этих катушкйх на
Фиг. 82,3.
отношение изменения взаимной индуктивности к соответ-
ствующему перемещению, вызвавшему это изменение,
F = Л . (82,20)
d?
Способ определения силы взаим >действия между двумя
катушками по изменению их вза мной индуктивности исполь-
зуется при абсолютном определении ампера при помощи так
называемых токовых весов (фиг. 82,3). Они состоят из двух
пар неподвижных катушек Л, В и С, D, между которыми по-
мещаются две катушки Е и F, прикрепленные к коромыслу
точных весов. Ток проходит последовательно через все ка-
тушки таким образом, чтобы силы взаимодействия между
катушками стремились наклонить коромысло в одну сторону.
Эти силы уравновешиваются силой тяжести mg соответ-
ствующих разногесов. Подсчитывается взаимная индуктив-
ность между катушками по формуле
390
Магнитное поле
[гл. 3
и изменения этой взаимной индуктивности при малых изме-
нениях расстояния между катушками, что позволяет опреде-
лить силу взаимодействия катушек
F=P- — =т%
ds
(82,21)
и по этой силе ток /, если известна масса разновесов и
ускорение силы тяжести g в данном месте.
Таким же путем может быть определен момент вращения
между неподвижной и подвижной катушками в так называе-
мых электродинамических измерительных приборах (фиг. 82л),
Фиг. 82,4.
которые могут служить как для изме-
рения мощностей, так и для измере-
ния напряжений и токов. При прохож-
дении токов Ц и 73 через неподвиж-
ную и подвижную катушки между
ними действует момент вращения Мвр,
который закручивает соответствующие
спирали, дающие противодействующий
момент Da:
Мвр=~ -Ц-l^Da. (82,22)
Для круглых катушек, если подвижная катушка значи-
тельно меньше неподвижной, взаимная индуктивность может
быть гыражена через
М-——- = -----------“—L -cos(P — а) =
Л Р
= -A-AcosCP-a), (82,23)
где и м2, г\ и г2 — числа витков и радиусы неподвижной
и подвижной катушки; / — осевая длина неподвижной ка-
тушки; р—угол между осями подвижной и неподвижной
катушки в нулевом положении прибора; а — угол отклонения
подвижной части прибора от нулевого положения при про-
хождении тока
./1-/2-sin(₽-a) = Da (82,24)
V I* -f-
или
^±4^-0 ___*___ =k_______ф (82,25)
1 2 sip (Р —-a) sin (Р — а) '
§ S2 ]
Механические силы и их работа
391
Если электродинамический прибор предназначается для
измерения мощности (фиг. 82,5), то потребляемый ток пропус-
кается через неподвижную катушку (с толстой обмоткой),
а напряжение присоединяется к цепи подвижной катушки
(с тонкой обмоткой), последовательно с которой включается
балластное сопротивление : /2=— , где /?2 — общее
/?2
сопротивление цепи подвижной катушки. Тогда связь между
измеряемой мощностью и углом отклонения будет:
= —в—. (82,26)
sin (р — а)
Фиг. 82,5. Фиг. 82,6.
В электродинамических вольтметрах неподвижная и по-
движная катушки выполняются с тонкой обмоткой и соеди-
няются последовательно (фиг. 82,6) (^ = /3)
= (82,27)
В электродинамических амперметрах измеряемый ток
делится на две части. Большая часть пропускается через
неподвижную толстую обмотку
/,=——1
R1 + ^2
и меньшая часть через тонкую подвижную обмотку
/2 =—-—h
Ъ+Ъ
где и /?2 — сопротивление неподвижной и подвижной об-
моток. Подставляя Д и /2, мы получаем, что
1 2 (Z?i+/?2)2 Sin(?—а)
или __________
j _ № 4- ₽2) । Г а
ущщ V sin(?-a)’
392
Магнитное поле
[гл. 3
Электродинамические приборы имеют, как видно из урав-
нений, вообще неравномерные шкалы. Путем придачи катуш-
кам особой формы и соответствующим их расположением
удастся значительно улучшить неравномерность шкал. Для
успокоения колебаний в электродинамических приборах служат
воздушные успокоители в виде поршеньков, движущихся в
соответствующих замкнутых камерах.
83. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ ГАЛЬВАНОМЕТР
Баллистический гальванометр отличается от обыкновен-
ного тем, что его псдшжная часть обладает значительно
большим моментом инерции. Он служит для измерения
количества электричества, получающегося в результате им-
пульса или толчка тока, когда время прохождения тока через
гальванометр ничтожно мало по сравнению с периодом соб-
ственных колебаний подвижной части гальванометра.
Баллистический гальванометр применяется для измерения
количества электричества, проходящего через цепь при раз-
ряде конденсатора (фиг. 83,1).
т
Q = = (83,1)
О
или для измерения магнитного потоха, пронизывающего ка-
тушку, включенную в цепь гальванометра (фиг. 83,2),
(83,2)
(83,3)
здесь ДФ— изменение магнитного потока в катушке, имею-
щей w2 витков; Rg—сопротивление гальванометра; R2 — cq-
противление остальной части цепи.
§ 8з;
Баллистический гальванометр
393
Баллистические гальванометры строятся обычно по типу
Deprez — d’Arsonval’n.
Ток, протекающий через такой гальванометр, действует
на его подвижную систему с моментом
M = 2w-i l-B-~- = w-S-B-i = Da. ’(83,4)
С другой стороны, мы имеем, что i = ga, где g=——
гальванометрическая постоянная гальванометра, равная отно-
шению тока в гальванометре к углу отклонения. Под дей-
ствием импульса тока. подвижная система гальванометра
получает толчок; на основании теоремы механики момент
импульса силы равен приращению момента количества дви-
жения, т. е.
= = , (83,5)
О
г » / da \
где J—момент инерции подвижной системы и ------ —началь-
\ dt Jq
ная угловая скорость, приобретаемая подвижной системой в
результате действия импульса тока. Если Q — количество
электричества, прошедшее через гальванометр во время
импульса тока, то
= . (83,6)
О и °
Получив начальную угловую скорость
\ dt /0 Jg '
подвижная система гальванометра по инерции будет вра-
щаться дальше. Момеьт силы инерции — J должен рав-
dt- г
няться сумме моментов сил сопротивления, которые будут:
1) момент сопротивления подвеса Da\
2) момент сопротивления сил трения о воздух, который
может быть принят пропорциональным угловой скорости
вращения kmp ;
3) наконец, если цепь гальванометра представляет зам-
кнутую электрическую цепь, то при движении катушки галь-
ванометра в магнитном поле в ней наводится э. д. с., ко-
394
Магнитное поле
[гл. 3
торая вызывает в цепи гальванометра ток, тормозящий
движение подвижной системы; наводимая при этом в цепи
гальванометра э. д. с. равна:
e. = 2wl-B-v = 4wl- — — , (83,8)
1 2 dt dt 4 '
а вызываемый этой э. д. с. ток равняется (если Rg — сопро-
тивление цепи гальванометра)
ег ______ w-S-B da
^g~V^2
и потому электромагнитный тормозящий момент, обуслов-
ленный этим током, будет
Mx^w-ivl B-—^ >м~. (83,10)
1 1 2 Rg + Rz dt 3M dt ’
Кроме того, движение катушки могут тормозить силы от
вихревых токов в полюсах и в стальном цилиндре. Все эти
моменты пропорциональны угловой скорости вращения
(S3.ll)
Зная эти моменты, действующие на подвижную систему
гальванометра, мы можем написать уравнение ее движения:
(83’12>
d2 а । k dx г D ~
-----k—----------a = 0.
d& 1 J dt 1 J
(83,13)
Будем в дальнейшем отсчитывать время с момента окон-
чания импульса тока. Решением этого (83,13) линейного
диференциального уравнения второго порядка является выра-
жение
а = Л0+Л1.е^+Л2.^',
где рх и р2 являются корнями характеристического уравнения
Ра + = 0, (83,14)
_____k__^_ Г №___D_
Р1^~ 2J ~~ у 4J* J ’
(83,15)
Баллистический гальванометр
с95
§ 83]
Так как при / = 0 и при t = oo угол отклонения гальва-
нометра равен нулю и рх и р2 содержат отрицательную
вещественную часть (—’ то
Л04"^14“^з= 0, ^о —О, ^1~Ь^2 = 0«
Далее, начальная угловая скорость равна
\ dt Jq Jg
Из этих уравнений могут быть определены \ и Л2:
Л1 = —— — -Q = — А2.
Р1—Р2
Таким образом мы для угла отклоне. ия гальванометра в за-
висимости от времена получгем:
D еР^-е^ Q
Jg Pi-Рг
(83,16)
Когда корни характеристического уравнения вещественны и
отрицательны Pi =— Ръ —— а2> alt то
(83,17)
Наибольший угол отклонения будет в момгнт i — t', когда
=0:
\ dt /1 — //
— ax-e' 01 -|-a2-e =0, т. е. при t' = -lfl— ~--. (83,18)
#2 — а1
В этом случае подвижная часть гальванометра дает срав-
нительно небольшое отклонение, и, дойдя до крайнего своего
положения, медленно возвращается к нулевому своему поло-
жению. Это имеет место, когда сопротивление цепи гальва-
нометра меньше определенной величины и коэфициент тормо-
жения Л, в состав которого входит кэм, велик. Для надлежа-
щего использования баллистического гальванометра необхо-
D
J
k2
димо, чтобы —2 ^ыло больше или равно
4У
396
Магнитное поле
[гл. 3
А2
Когда ——
4J2
корни рх и Ръ являются комплексами
Pi = — a \Jb и рг = — a — jb,
где
(83,19)
k
а ~ — и
2J
D____££
J 4Р
(83,20)
Подстановка этих значений рх и р2 в уравнение дает:
jbt -jbt
a = --Qe~at' —---------—— = -^--Q-e~at-sinbt. (83,21)
Jg 2jb bjg
После импульса тока угол отклонения достигает своего мак-
симального значения атах, и подвижная система на мгновение
остановится, когда
— a-e~al -sinbt'-\-b-e~at •cos/>/']=0.
dt b-Jg J
Отсюда мы можем определить время первого отброса
и t'=— -arctg— (83,22)
Д b а
и угол первого отброса:
DQ b
я = ------------е
niax ,
S I a' -+-b-
(83,23)
ибо
sin bt' =
tg bt'
V 1+ tgSM'
Поэтому
a . b
---- ---arc tg —
a =y±±bb.Q.e b a (83,24)
max
Таким образом мы видим, что прошедшее через баллисти-
ческий гальванометр количество электричества при импульсе
токд пропорционально углу первого отброса а^.
§ 83]
Баллистический гальванометр
397
Подвижная часть гальванометра будет совершать перио-
дические колебания с периодом Т:
ЬТ=2к или 7—и # —(83,26)
Время одного периода может быть определено опытным
путем, если при помощи секундомера измерить время Т от
начала £ = 0 до момента (2л-(-1)-го прохождения подвижной
части через нуль
7=Х.
2/2
Равным образом опытным путем может быть определен и
коэфициент затухания, если взять отношение первого отброса
атах и (^+1)-го отброса в ту же сторону:
7т.х __ e~at' s‘\nbf ___ апТ
4-i) е~а(^ + >*7) sin&(/'-{- пТ) *
max 4 1
откуда может быть определен так называемый логарифми-
ческий декремент колебаний гальванометра, равный логариф-
му отношения значений колеблющейся величины, отстоящих
по времени на один полный период:
In -Vzrn —-sln-df =1 п евГ= ат=8; (83,27)
sinZ>(^4-Z) к > /
коэфициент затухания а определится через
а — (83,28)
, 2 тс
и так как 0 = —, то
/ а24-£2 = — = — / 4тг2-Н2~. (83,29)
J т
Баллистическая постоянная gball может быть вычислена,
если известны статическая постоянная гальванометра, период
и логарифмический декремент колебаний гальванометра 8:
а Ь Ъ
Tarctg7 т 2TarctgT
gbc.u = 7=— • е =g- • е . (83,30)
У а2 -^Ь2 У 4л- -г о‘-
Баллистическая постоянная баллистического гальваномет-
ра при /? = сп может быть весьма просто определена, если
398
Магнитное поле
[гл. 3
на него разрядить конденсатор известной емкости, заряжен-
ный от известного напряжения, например, эталон конденса-
тора, заряженный от нормального элемента:
= —=-^. (83,31)
атах атах
В этом случае баллистическая постоянная или балли-
стическая чувствительность будет мало отличаться от
gbau=~g- (83,32)
Z7U
При таком режиме коэфициент затухания обыкновенно весь-
ма незначителен = и О Y и гальванометр долго
Фиг. 83,3.
не приходит в положение покоя. Для того чтобы сократить
время колебаний гальванометра, его замыкают накоротко в
момент прохождения подвижной стрелки через положение
равновесия. В случае, если баллистический гальванометр
соединен на непрерывную электрическую цепь (фиг. 83,2),
баллистическая постоянная зависит от сопротивления цепи
и для ее определения необходимо градуировать гальванометр.
Для этой цели в эту цепь включают нормальную катушку
взаимной индуктивности, например, длинный соленоид с кон-
центрированной вторичной обмоткой (фиг. 83,3); при измене-
нии направления тока в первичной обмотке катушки взаим-
ной индуктивности магнитный поток меняется на величину:
Ф2 — Фг = 2Ф ±= 2ЗД = 2S1?0 • ,
Л
Wi
где------число витков, приходящихся на единицу длины
4
§ 83]
Баллистический гальванометр
3<)9
соленоида, — сечение витка соленоида; / — коммутируемый
ток. Количество электричества, которое при этом пройдет
через вторичную цепь катушки взаимной индуктивности, бу-
дет равно:
d* .dt=\^
R dt I R
о
—Sball ^2max,
(83,33)
откуда, зная Q2 и a2max, можно определить gbail. При опре-
делении gball вторичная цепь катушки взаимной индуктивно-
сти остается включенной, первичная же цепь выключается.
Для практических целей при измерении изменения маг-
нитных потоков удобно пользоваться баллистическим галь-
ванометром, когда сопротивление его цепи подобрано таким
образом, что движение гальванометра находится на границе
периодических колебаний и апериодических отклонений. Это
будет тогда, когда
D _ №
J “ 4J2
(83,34)
Хотя при этом так называемом критическом режиме чув-
ствительность гальванометра немного понижается, но зато
гальванометр после отброса сравнительно быстро приходит
в состояние покоя. Для достижения критического режима
сопротивление цепи гальванометра должно иметь наимень-
шее значение, при котором подвижная система гальванометра,
раз отклонившись, возвращается к нулевому положению,
не переходя в другую сторону от нуля. Для критического
режима уравнение движения подвижной части приводит к
следующему решению:
a — e~at (A-\-Bt),
(83,35)
так как а = 0 при £ = 0, то А = 0 и
Коэфициент В может быть определен по начальной угло-
вой скорости
(da \ D Z-, г, f ~а - ° п - ° • О \ о
I—) = О = В(е —а-О-е ] = В,
\dtJo Jg \ /
a=~--Q-t-e • (83,36)
400
Магнитное поле
Ггл. 3
Наибольшее отклонение гальванометра имеет место, когда
подвижная система, дойдя до крайнего положения, повер-
нет обратно. Это будет тогда, когда
da ъ D / - at' - at’ v
— = 0 =-------Q - (г — a-t'-e |
dt Jg \ J
или когда f .
a
Если теперь подставить t! в уравнение (83,35), то откло-
нение гальванометра выразится через
= * > (83,37)
Jg а
откуда мы находим, что и в этом случае количество элек-
тричества, прошедшее через баллистический гальванометр,
остается пропорциональным углу наиболгшего отклонения
подвижной системы:
(83,38)
Когда импульс тока дает таксе большое количество элек-
тричества, что угол отклонения подвижной части выходит
за пределы шкалы, то баллисти-
ческий гальванометр шунтируют
—----------------------- (фиг. 83,4). При этом заряды, про-
шедшие через гальванометр и че-
рез шунт, обратно пропорцио-
___пгт._____ нальны сопротивлениям, как и
р~~~________при распределении постоянных
токов. Действительно, пусть ig и
Фиг. 83,4. is—токи в гальванометре и шунте
и Rg и Rs — сопротивления,
7g — индуктивность гальванометра (индуктивностью шунта
l ожно пренебречь). Второй закон Кирхгофа в применении
к замкнутому контуру, состоящему из гальванометра и
шунта, дает
КЛ-К,
или, если взять интеграл от обеих частей по времени, то
- R, = - L & = о,
0 0 о
§ 83]
Баллистический гальванометр
401
ибо ток ig в гальванометре в начале и в конце импульса
равен нулю. Поэтому
RgQg=R^Qt или = • (83,39)
Vs Kg
В конструктивном отношении магнитоэлектрический бал-
листический гальванометр отличается от обычного магнито-
электрического гальванометра большим моментом инерции
подвижной системы. Увеличение момента инерции может
быть достигнуто наложением на подвижную систему обыч-
ного гальванометра двух шариков, помещаемых в специаль-
ных чашечках, прикрепляемых к подвижной системе, или при-
креплением к оси рамки легкой
крестовины с четырьмя уравно-
вешенными грузиками (фиг. 83,5).
Существуют и специальные кон-
Фиг. 83,6.
Фиг. 83,5.
струкции баллистических гальванометров, как, например,
показанный на фиг. 83,6 гальванометр, в котором увеличе-
ние момента инерции достигнуто за счет значительного уве-
личения размеров рамки.
Для измерения магнитного потока вместо баллистического
гальванометра можно применить также и так называемый
флюксметр (изобретенный Grassot). Это — магнитоэлектриче-
ский прибор типа Deprez-d'Arsonval’n, подвес которого вы-
полнен таким образом, что момент сопротивления закручива-
нию его сведен до минимума D 0; сопротивление цепи
флюксметра выбирается по возможности малым. Вследствие
этого движение подвесной системы прибора при импульсе
тока тормозится в основном токами, наводимыми в подвиж-
ной катушке от движения ее в магнитном поле прибора;
торможением от сопротивления воздуха можно пренебречь.
* При импульсе тока подвижная система приходит в движе-
ние и протекающий через флюксметр ток может быть выра-
26 К. А. Круг, т. I.
402
Магнитное поле
[гл. 3
жен как сумма э. д. с., наводимых в его цепи, деленная га
сопротивление цепи /?:
б/Ф r di , Л da
— ®2”ЗГ — L' ~7t + W's-B- .7
.__ dt dt dt
(первое слагаемое в числителе — э.д. с., наводимая измеряе-
мым магнитным потоком, второе — э.д.с. индуктивности цепи
и третье — э.д. с., наводимая в подвижной катушке прибора).
Этот ток, действуя на подвижную систему с моментом
2w/ Z5—, сообщает ей угловое ускорение поэтому
wS*B-i = J-
d&
подставляя в это уравнение значение Z, получим:
^Ф т dt I с*/э da
— w.-------L-----н w • SB — .
dt dt dt
j d2a _ w.S-B
J ~d& ~~~
Интегрируем это
R
w-S-B
R
уравнение по времени:
ДФ о
атах
I da
— ^2 \
о
о
о
Левая часть равна нулю, так как до начала импульса тока
da
и после окончания процесса угловая скорость — =0. Точ-
dt
но так же интеграл второго члена в скобках JrfZ равен нулю,
так как в начале и в конце ток равен нулю. Поэтому полу-
чается следующее простое соотношение:
^2ДФ = Ч’з = w • S-B • атах
или
А W-S-B-a
ДФ =-----—, (83,40)
показывающее, что измеряемое изменение магнитного потока
пропорционально углу отклонения (w-5-В — постоянная при-
бора, w2— число витков катушки, внутри которой измеря-
ется изменение магнитного потока ДФ). Вследствие ничтож-
но малого момента сопротивления подвеса (D 0) рамка
после многократных измерений может и не вернуться в на-
чальное положение; поэтому флюксметр снабжается при-
способлением, позволяющим подвижную систему ставить в
нулевое положение.
§ 84]
Магнитные измерения
403
84. МАГНИТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Кривые намагничения какого-нибудь ферромагнитного ма-
териала проще всего могут быть найдены при помощи так
называемого баллистического метода, когда образец имеет
форму кольца(фиг. 84,1). На кольце помещают две обмотки: одну
равномерно распределенную, через которую пропускают на-
магничивающий ток, и другую измерительную, которая со-
единяется с баллистическим гальванометром. Если — чис-
Фиг. 84,1.
ло витков намагничивающей обмотки и I — длина средней
индукционной линии, то ток / в этой обмотке создает на-
пряженность поля
I
магнитный же поток в кольце, пронизывающий вторичную
обмотку с w2 витками, будет Ф=5-5, где 5—сечение кольца.
Для снятия кривой первоначального намагничения обра-
зец должен быть предварительно размагничен, что достига-
ется попеременным изменением направления намагничива-
ющего тока от максимальной его величины до нуля. При
изменении намагничивающего тока от нуля до А/, приводя-
щем к определенному изменению напряженности поля, соот-
ветствующее изменение магнитного потока АФ = АВ-5 дает
в цепи баллистического гальванометра импульсы тока:
со со
J R J Rdt
о о
ДВ
2$ (* ♦ rj №•> ‘ л гъ
dB =-------^B = gball-a,
(84,1)
вызывающие отклонение гальванометра на угол а. Увеличи-
вая намагничивающий ток постепенно на A/n Д/2, Д/3, мы
16*
404
Магнитное поле
[гл. 3
можем получить соответствующие изменения магнитной ин-
дукции
(84,2)
W2o
и напряженности поля
Д//= (84,3)
и по точкам построить кривую (фиг. 84,2) первоначаль-
ного намагничения
Во избежание больших ошибок,
В которые накапливаются в результате
ошибки каждого измерения, можно
для нахождения отдельных точек кри-
вой B=f(H) увеличивать ток не от-
дельными интервалами Д/, а сразу
изменять ток от нуля до некоторого
значения / и для данного
(84,4)
Н определять из опыта по отклонению
баллистического гальванометра соот-
ветствующее ему значение магнитной
индукции
В £ ball' ^9
(84,5)
после чего приходится каждый раз размагничивать обра-
т, rtf W\I'
зец и снова менять ток от нуля до Г и для Н =——
находить В1 и т. д.
Кривую первоначального намагничивания в виде так на-
зываемой коммутационной кривой намагничивания можно
получить также и путем изменения направления тока. Для
этого после размагничивания образца доводят ток до / и за-
тем быстро путем переключения цепи меняют его на — /.
При этом магнитная индукция изменится на 25 и мы будем
иметь, что B = k'
2
Затем увеличивают ток до Г и после нескольких пере-
ключений тока определяют соответствующую напряженности
ттг * I Г}! k* CL
поля г/ — —-— магнитную индукцию В =— и т. д.
I 2
§ 84]
Магнитные измерения
405
Для снятия, петли гистерезиса предварительно размагни-
ченный образец подвергают намагничиванию при некоторой
максимальной напряженности поля //—W1^max
, а затем,
I
интервалами на
изменение маг-
постепенно уменьшая напряженность поля
А Т Т _ Wy&I
, определяют соответствующее
нитной индукции —
Меняя Н от //тах до нУля> а затем, изменив направле-
ние тока, от 0 до — //тах, мы можем определить соответствую-
щие изменения ДВ, сумма которых будет равна:
2д5 = 2Втах. (84,6)
Зная Втах, мы можем
на чертеже определить
положение (фиг. 84,3)
крайней точки вершины
петли гистерезиса и по
ней построить нисходя-
щую половину петли.
Изменяя Н от — //тах
ДО + ^тах, МЫ ТИКИМ Жв
путем можем найти точки
восходящей части петли
гистерезиса. Вследствие
неизбежных при всяких измерениях погрешностей и некоторого
запаздывания процесса намагничивания получается некоторая
невязка при возвращении после полного обхода петли и воз-
вращении к //max, вследствие чего магнитная индукция бу-
дет не Вгаах, а меньше: B'max<Bmax- Эту невязку равномер-
но разбивают между отдельными значениями В, прибавляя
D Df
л г> Dmax D max
ко всем значениям Д/> величину -----------, где п — число
опытных наблюдений. Петлю гистерезиса можно получить и
таким образом, что, размагнитив образец и доведя его до
одного и того же значения 5тах при //max, изменяют Н не
малыми интервалами Д//, а изменяют его на конечное зна-
чение //max — // и определяют соответствующее изменение
магнитной индукции Втах— В. Таким образом, исходя каж-
дый раз из //гпах и Втах, определяют связанные между со-
бой значения В и Н независимо от предыдущих наблюдений.
Для нахождения кривых намагничения образцов, выполнен-
ных в виде цилиндрических стержней, может служить аппа-
406 Магнитное поле [Гл. 3
рат, называемый пермеаметром или ярмом Гопкинсона. Он
состоит из четырехугольного массивного тела (фиг. 84,4),
сделанного из мягкого железа, с двумя отверстиями по бо-
кам, в которые вставляется испытуемый стержень, который
должен иметь такой же диаметр, как и отверстия. На стер-
жень надевается намагничивающая катушка, имеющая
витков на длине /, и на него же надевается измерительная
катушка с w2 витками, соединяемая с баллистическим галь-
ванометром. Измерения производятся так же, как и при коль-
цевых образцах. Хотя падение магнитного потенциала в
ярме благодаря большому его сечению, а также падение
магнитного потенциала в местах соприкосновения образца с
Фиг. 84,4.
Фиг. 84,5.
ярмом невелико, все же напряженность поля будет несколь-
ко меньше для достижения более точных резуль-
татов она должна быть уменьшена на величину k*I. Коэфи-
Ц :ент k может быть найден опытным путем, если при встав-
ленной катушке и при вынутом стержне определить импульс
тока в измерительной обмотке при коммутации тока в на-
магничивающей обмотке
B = , (81,7)
где 53__ площадь внутреннего сечения измерительной ка-
тушки, откуда
, R а
£ = ------^gbaii --^7 • (84,8)
На баллистическом же методе основано измерение магнит-
ных потенциалов при помощи пояса Роговского. Он состоит
из тонкой гибкой пластинки из изоляционного материала
(фиг. 84,5), на которой наматывается четное число слоев
(чтобы зажимы обмотки можно было поместить в середине
пояса) равномерно распределенной обмотки из тонкой изо л и-
§ 84]
Магнитные измерения
407
рованной проволоки. Концы обмотки выводятся у середины
пояса и присоединяются к баллистическому гальванометру;
если w0 — число витков на единицу длины пояса и S —
сечение витка (или пояса), то магнитное сцепление всех витков
пояса будет:
i
’Р = • Sdi= р.о • w0 • SjHdl = р.о • w0 • S (<р1Я1 — <p2m). (84,9)
О
Здесь В = — магнитная индукция в отдельных точках
пояса, dl — элемент длины пояса, перпендикулярного к сече-
нию S, a — разность магнитных потенциалов, к ко-
торым прикладываются концы пояса. Количество электриче-
ства, которое пройдет через баллистический гальванометр,
будет пропорционально Ф и обратно пропорционально сопро-
тивлению цепи гальванометра /?:
п Sball* ^max-
Поэтому:
?lm- Ът= u,^=\‘lbaS ^тах= const-amax • (84,10)
Для определения постоянной (const) для данного пояса,
включенного в цепь баллистического гальванометра с опре-
деленным сопротивлением цепи, продевают пояс через ка-
тушку с известным числом витков w и вплотную замыкают
пояс на себя. При включении катушки на ток 1 баллистиче-
ский гальванометр дает отклонение атах. Для такой схемы
Km — <?3m=fHdl==wl и wl = const ашах,
откуда
const
wl
amax
(84,11)
Если известна постоянная пояса, соединенного с опреде-
ленным гальванометром, то при помощи пояса Роговского
может быть опытным путем найдено число ампервитков
катушек, если пояс продеть через катушку и замкнуть пояс
на себя. Число ампервитков будет пропорционально откло-
нению гальванометра, умноженному на постоянную пояса.
408
Магнитное поле
[гл. 3
85. ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Механические силы в магнитном поле, аналогично меха-
ническим силам в поле электрическом, согласно учению
Фарадея-Максвелла могут быть сведены к внутренним
силам магнитного поля, а именно, к силам натяжения
вдоль линий поля и к силам давления, перпендикулярным
к его направлению, которые проявляются на поверхностях,
находящихся в магнитном поле тел. Эти силы стремятся
сократить расстояние между телами в направлении поля и
раздвинуть их в направлении поперечном. Значение этих сил,
отнесенных к единице поверхности (подобно тому, как это
имеет место в поле электрическом), равно энергии (в нашем
случае магнитной), отнесенной к единице объема.
Для магнитного поля это соотношение для сил натяжения
может быть получено, если сопоставить работу, которую
надо было бы затратить на преодоление лишь одних сил
натяжения магнитного поля (при бесконечно малом увеличе-
нии длины средней окружности тороида с Z до Z-|-^Z) и
увеличение энергии магнитного поля, которое при этом поле-
чилось бы.
Энергия поля внутри тороида с относительно малым сече-
нием 5 равняется:
W=V^HdB = S4-^HdE. (85,1)
Приравнивая затраченную работу и приращение энергии
F >dl — S-dl^HdB, (85,2)
мы получаем, что сила натяжения вдоль поля, отнесенная
к единице площади, равна:
Р'= — = [ HdB
s J
в .
или при— = р.= const
н
(85,3)
Что касается поперечных сил давления, то значение их
может быть выведено аналогичным образом, как это было
сделано для поля электрического, а именно, если провести
две бесконечно близкие эквипотенциальные поверхности и
построить усеченный конус с образующими, проходящими
через центр кривизны этих поверхностей, то из равновесия
§ 85 ] Пондеромоторные силы в магнитном тюле 409
всех сил, действующих на этот усеченный конус, мы получим,
что поперечное давление поля, отнесенное к единице пло-
щади, равняется также
НВ
2
(85,4)
К указанным силам натяжения и давления могут быть
сведены, например, силы, действующие со стороны магнит-
ного поля на проводники с током. Проводник с током, поме-
щенный, например, в однородное поле, видоизменяет вокруг
себя поле. Поле тока накладывается на внешнее поле, в ре-
47
Фиг. 85,1.
Фиг. 85,2.
зультате чего магнитная индукция по
одну сторону проводника усиливается,
а по другую ослабляется. Распирающая
сила поля с одной стороны оказывается
больше, чем с другой, и проводник
испытывает механическую силу, стре-
мящуюся его передвинуть в сторону
более слабого поля (фиг. 85,1). Анало-
гичным образом притяжение двух парал-
лельных токов может быть пояснено
стремлением индукционных линий со-
кратиться (фиг. 85,2) и отталкиванием антипараллельных
токов боковым распором индукционных линий (фиг. 85,3).
Подобно тому, как было это сделано для поля электри-
ческого, можно, исходя из сил натяжения и отталкивания,
определить силы, действующие на поверхности тел, находя-
щихся в магнитном поле.
410
Магнитное поле
[гл. 3
На площадку AS на поверхности раздела двух сред
(фиг. 85,4) действуют со стороны первой среды по направ-
лению поля сила растяжения
Л/ = AS cos
1 2 1
и сила давления в направлении, перпендикулярном к полю,
Л/'=-1—1 AS sin а,.
1 2 1
Фиг. 85,4.
Нормальная и тангенциальная слагающие результирующей
силы будут:
F1„=F'1-cosa1 —F'i-sin 7;=-^! • AS (cos2ai — sin3 00 =
= ~AS-cos 2^, (85,5)
-sinot;-[-/о"-cos• AS-sin . (85,6)
Отсюда следует, что результирующая сила, с которой
первая среда действует на единицу площади, разделяющей
ее от второй, равняется:
(85,7)
(85,8)
и наклонена она к нормали
-^- = <8231
Г 172
под углом, равным двойному углу между нормалью и направ-
лением поля.
§ 85 j
Пондеромоторные силы в магнитном поле
411
Точно так же может быть определена сила, действующая
на единицу площадки со стороны второй среды, и угол ее
наклона 2а2:
р^=Н^ и -^- = <g 2а3. (85,9)
Для получения суммарной силы мы отдельно просумми-
руем нормальные и тангенциальные слагающие этих двух
сил (угол 2а2 >90°).
Рп~Р1П~-cos2ai — ^2- cos2a3> (85,10)
Pt-= P\t-~ pzt^ -^2^ — -^2--sin2a3==0, (85,11)
Л л
так как Нх sin ах =Н2 sina2 и Вх cosaj =B2cosa2 или Hxt-=
Р\п~Въп’
Таким образом, как бы ни было направлено поле в той
и другой среде, магнитное поле действует на каждый элемент
поверхности с силой, направленной нормально к элементу
этой поверхности:
Р — Рп= (cos2 ах — sin2 aj----------------(c°s3 аз — sin2 аз) —
В\п , Рг^ __
2 2р2 *2
Р-2 — Pi
2р. 1^2
IBL + ^Hh .(85,12)
Эта сила всегда направлена от среды с большей магнитной
проницаемостью к среде с меньшей магнитной проницае-
мостью. Так как для всех сред, кроме ферромагнит-
ных, рь2 и |л0, то эти поверхностные силы играют роль
только на поверхности стальных масс. Если подставить
|л3 —и '^1=^0» гДе Л-—относительная магнитная прони-
цаемость стали, то для силы (на единицу площади),
направленной всегда от стали к вакууму, мы получим, что
—1 Г п2 | 2 гг2 ______
-------- Bin ~г IVJ'o 'Ни —
Р
Ч + WrBu-HXt 1 (85,13)
2prPo L J
В этом уравнении ВХп, Bxtn Hxt относятся к полю в воздухе.
Обычно можно принять, что поле на поверхности ферромаг-
нитных тел перпендикулярно к поверхности этих тел: (Slz = 0)
и так как р?>1, то для подсчета силы, испытываемой еди-
412
Магнитное поле
[гл. 3
ницей поверхности стальных тел, на практике обычно поль-
зуются формулой
—. (85,14)
2ро
Например, при подсчете подъемной сил я электромагнита
(фиг. 82,1)
F=2S—, (85,15)
2Н)
где S— поверхность одной стороны подковообразного маг-
нита.
Когда магнитное поле параллельно поверхности стали
(£^—0), то сила со стороны магнитного поля остается
перпендикулярной к поверхности, но она будет значительно
слабее
— 2 2;4r2.pi03 2?ru0 ’ \ > )
Фиг. 85,5.
щее действие стальной
где В2 — магнитная индукция в
стали, параллельная плоскости раз-
дела.
Поверхностными силами объяс-
няется разгрузка проводов с то-
ками от механических воздействий
магнитного поля, если их окружить
стальным телом (происходит пере-
нос сил поля на эти тела).
Так, если проводник поместить
в стальную трубу, то экранирую-
трубы будет иметь своим след-
ствием, что магнитная индукция внутри самой трубы бу-
дет во много раз меньше по сравнению с той индукцией,
которая имелась бы на месте нахождения проводника, если
бы труба отсутствовала (фиг. 85,5). Если теперь через про-
водник, окруженный трубой, проходит ток, то на внешнее
поле накладывается поле от тока в проводнике. Вследствие
этого симметрия нарушается, и магнитная индукция в сечении
трубы на одной стороне будет больше, чем на другой, а это
в свою очередь дает с одной стороны большую поверхностную
силу, действующую на стенки трубы. Почти вся механическая
сила воздействия магнитного поля воспринимается стальной
трубой, на самый же проводник действует сила, обуслов-
ленная лишь той небольшой магнитной индукцией, которая
останется внутри стальной трубы.
Разгрузка проводов от механических усилий и перенос их
на стальные массы широко используются в электромашино-
строении укладкой проводов в пазы (см. § 86).
§ 86]
Электрические машийы
413
86. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
Электрическими машинами называются маши-
ны, в которых производится преобразование механической
работы в электрическую энергию или наоборот. В первом слу-
чае они называются генераторами, во втором— элек-
трическими двигателями. Электрические машины явля-
ются машинами обратимыми. Одна и та же машина может
при известных условиях работать и как генератор, и как
двигатель. Работа электрических машин основана на элек-
тромагнитной индукции, т. е. на наведении э. д. с. и токов,
когда проводники движутся в неподвижном поле или когда
магнитное поле движется относительно неподвижных провод-
ников.
Для получения достаточно больших магнитных потоков
как неподвижная часть (статор), так. и подвижная часть
Фиг. 86,1.
Фиг. 86,2.
машины (ротор) выполняются из стали с относительно малым
воздушным зазором между ними. Магнитное поле обычно
возбуждается электрическим током, который берется или
от той же машины, или же от постороннего источника тока.
Части обращенных друг к другу поверхностей неподвиж-
ной и подвижной части машины, у которых магнитное поле
имеет одно и то же направление, называются полюсами
машины. Полюс, из которого выступают индукционные линии,
называется северным, а полюс, в который входят индукцион-
ные линии, — южным. Северному полюсу неподвижной части
в каждый момент противостоит южный полюс подвижной
части, и наоборот. На фиг. 86,1 представлена схематически
двухполюсная машина с неподвижным магнитным полем.
Когда машина работает как генератор, наводимая в ней э. д. с.
больше напряжения у клемм U, и э. д. с. и ток имеют одно
и то же направление.
Когда же машина работает как мотор, напряжение у клемм
должно быть больше э. д. с. (фиг. 86,2). Ток поступает
в машину от внешнего источника, и э. д. с. и ток в машине
414
Магнитное поле
[гл. 3
имеют противоположные направления. В первом случае сила
Ft со стороны поля и приложенная внешняя сила Fe'^Fi имеют
противоположные направления; во втором — сила поля Ft
является двигательной силой. При этом при одном и том же
направлении поля и напряжения у клемм вращение машины
происходит в одну и ту же сторону, работает ли она как
генератор или как мотор.
Наводимые в машинах э. д. с. являются величинами,
периодически меняющимися во времени как по величине, так
и по направлению, так как обмотки при равномерной ско-
рости вращения через равные промежутки времени проходят
мимо тех же полюсов.
Электродвижущие силы машин могут быть выражены
двояко: или через меняющийся во времени магнитный
поток, пронизывающий отдельные части
обмоток,
Фиг. 86,3.
dV
е—~ dt ~
(86,1)
или через частичные э. д. с., наводимые
на отдельных так называемых активных
длинах обмотки Z,
e = ZBlv, (86,2)
где В — слагающая магнитной индукции по направлению,
нормальному к скорости вращения V, т. е. радиальная сла-
гающая магнитной индукции.
Если обмотка вращается в однородном поле и состоит из
w витков, пронизываемых одним и тем же магнитным потоком,
то магнитное сцепление будет (фиг. 86,3):
Ф = <w • Ф—w -Ь2а-Вт- cos а = w • Фот • cos а, (86,3)
где Вт — магнитная индукция однородного поля; 2а— диаметр
якоря; I — осевая длина стороны витка; 1-2а— площадь
витка; I • 2а cos а — проекция площади витка на нормальную
к полю плоскость, a a = ut — угол между этой плоскостью
и плоскостью витка; угол а увеличивается пропорционально
времени с угловой скоростью вращения якоря <о = 2к/, где
f—число оборотов в единицу времени двухполюсного якоря
вокруг своей оси; наводимая э. д. с. изменяется по закону
синуса:
е = — = ®»-оз-Ф -51П<и/
dt т
(86,4)
(Фт = 2аЬВпг — максимальное значение магнитного потока,
проходящего через один виток).
Электрические машины
415
§ 86]
То же самое выражение получается для э. д. с., если
исходить из формулы (86,2). Электродвижущая сила наво-
дится лишь на активных участках обмотки, параллельных
оси вращения; на остальных же (боковых) участках обмотки,
вращающихся в плоскостях, параллельных полю, э. д. с. не
наводятся; эти части обмотки не пересекают индукционных
линий. По мере продвижения якоря активные части обмотки
попадают в полосы, где радиальная слагающая магнитной
индукции равняется
В = Вт-sin а = Вт-sin
и так как обмотка имеет 2w активных отрезков, в которых
при обходе обмотки все э. д. с. действуют в одном направле-
нии, то наводимая э. д. с. определится так же, как и выше:
е = UlBv = 2wZ • Вт • sin at • а • <о = w • со sin ^t. (86,5)
Такое же изменение э. д. с. в зависимости от времени полу-
чится, если вместо однородного поля с параллельными ин-
дукционными линиями провода будут перемещаться в поле,
радиальном с синусоидальным распределением магнитной
индукции вдоль окружности якоря (В = Basina), что можно
получить на поверхности стального якоря, например, прида-
нием соответствующей формы очертанию стальных полюсов.
В электрических машинах наводимые в отдельных частях об-
мотки э. д. с. имеют большей частью синусоидальную или
близкую к синусоиде форму.
Таким образом все электрические машины являются по
существу машинами, дающими переменные напряжения. Если
обмотки машины прямо присоединяются на внешнюю сеть,
то они посылают туда переменный ток, и машина работает
как машина переменного тока.
От обычной машины нельзя получить постоянную по
своему направлению э. д. с. (или напряжение), ибо для того,
чтобы можно было получить постоянную по своей величине
и направлению э. д. с.
е = — w = const, (86,6)
dt
необходимо, чтобы магнитный поток
</Ф = — — dt, Ф =-------/4-const (86,7)
w W
изменялся монотонно, увеличиваясь или уменьшаясь непре-
рывно и равномерно, имея в начале или приобретая в конце
бесконечно большое значение. Практически это неосущест-
416
Магнитное поле
[гл. 3
вимо. Постоянство направления э. д. с. по отношению к
внешней сети в машинах достигается автоматическим и не-
прерывным переключением отдельных частей обмотки якоря
при помощи так называемого коллектора или комму-
татора (фиг. 86,4), вращающегося вместе с якорем и состо-
ящего из изолированных друг от друга пластин. Пластины
соединены с точками соединения отдельных секций обмотки,
которая составляет одну непрерывную замкнутую на себя цепь.
Так как э. д. с. в секциях обмотки,
расположенных симметрично под разно-
именными полюсами, равны, но направ-
лены в противоположные стороны, то
алгебраическая сумма всех э. д. с. в замк-
нутой обмотке при
обходе ее равна
I N ।
Фиг. 86,5.
нулю. Если неподвижно расположить щетки, скользящие по
коллектору, таким образом, чтобы соприкасающиеся с ними
пластины делили в каждый момент подвижную обмотку на
ветви, в секциях которых все э. д. с. направлены в одну
сторону, то обмотка автоматически будет делиться по отно-
шению ко внешней цепи на две параллельно соединенные
части с одинаково направленными по отношению к внешней
цепи э. д. с. Чем больше число секций в обмотке и число
пластин коллектора, тем меньшим колебаниям подвержено
напряжение, даваемое машиной постоянного тока.
Существуют, однако, схемы и построены машины, не
имеющие коллектора и, тем не менее, дающие постоянную
э. д. с. Прототипом такой машины является так называемый
диск Фарадея, состоящий из постоянного магнита или электро-
магнита, в поле которого вращается диск (фиг. 86,5).
Щетка, скользящая по диску, является полюсом, к кото-
рому присоединяется один конец внешней цепи, другой же
конец внешней цепи соединяется с осью диска. Такая ма-
шина имеет как бы один полюс, и потому ее называют
униполярной, а соответствующее наведение э. д. с.—
униполярной индукцией. В этой машине сам диск
представляет собой коллектор или коммутатор. Это видно из
§ 86]
Электрические машины
417
того, что если мы диск разрежем в радиальном направлении
на ряд секторов, то по мере продвижения диска вступают
в контакт со щеткой все новые секторы, и наводимые в
этих поочередно вступающих в цепь секторах э. д. с. и
дают постоянный ток в цепи.
Униполярные машины могут быть приемлемы в техниче-
ском отношении по величине напряжения лишь при очень
больших скоростях (на пределе механической крепости мате-
риала диска, подвергающегося разрывной сиде). Ввиду труд-
ностей, связанных с так называемым „сниманием тока* при
таких больших скоростях при помощи скользящего контакта,
а также вследствие низкого к. п. д. униполярные машины
распространения не получили.
Здесь интересно отметить еще другую принципиальную
схему, которая была применена Фарадеем при изучении
магнитных полей и которая может
быть положена в основу униполяр-
ной машины. Если мы возьмем вра-
щающийся магнит NS (с круглым
сечением) и соединим его с конту-
ром abode (фиг. 86,6) таким обра-
зом, чтобы один конец контура а
касался середины северного полюса,
а другой е при помощи скользящего
контакта все время касался магнита в нейтральной его
плоскости, то в контуре будет наводиться э. д. с.
Все исходящие из магнита индукционные линии в силу
симметрии находятся в плоскостях, проходящих через ось
магнита. При вращении магнита вокруг своей оси число
индукционных линий в контуре не увеличивается и не умень-
шается, независимо от того, считаем ли мы, что индукцион-
ные линии вращаются вместе с магнитом или остаются непо-
движными. Поэтому казалось бы, что в контуре abode не
должна наводиться э. д. с., а между тем она наводится, в
чем можно убедиться, включив в контур гальванометр.
Объяснение этого явления следует искать в том, что в
контур вносятся все новые элементы длины. Если бы мы
часть контура afe заменили неподвижным проводником, то,
действительно, никакой э. д. с. не наблюдалось бы, но дело
в том, что в контур входят части af и fe, которые посто-
янно по »мере вращения магнита замещаются новыми эле-
ментами поверхности магнита. Именно эти элементы пересе-
кают индукционные линии поля и дают э. д. с.
Провода в электрических машинах укладываются обык-
новенно в борозды или пазы, что разгружает провода от
механических усилий, и это благодаря меньшему воздуш-
ному зазору позволяет получать более интенсивные магнит-
27 к. а. Круг, т. I.
418
Магнитное поле
[гл. 3
ные поля. Наличие пазов и в связи с этим и зубцов на
поверхности якоря изменяет распределение поля в воздуш-
ном зазоре, усиливая магнитную индукцию в зубцах и зна-
чительно уменьшая магнитную индукцию в пазах.
Для пояснения разгрузки проводов от механических уси-
лий и переноса их на зубцы предположим, что паз имеет
прямоугольное сечение и что величина воздушного зазора
по сравнению с глубиной паза ничтожно мала. При отсут-
ствии чрезмерного насыщения в стали можно
магнитное поле в воздушном зазоре, в пазу
7//////////////////////у
Фиг. 86,7.
принять, что
и в зубцах
имеет одно и то же напра-
вление, перпендикулярное
поверхности полюса или па-
раллельное боковым стен-
кам паза (фиг. 86,7).
Положим, что магнитное
поле в воздушном зазоре,
в зубцах и в пазу имеет
одно и то же направление,
параллельное боковым стен-
кам паза, и обозначим через В — магнитную индук-
цию в зубцах при отсутствии тока (р.г— относительная про-
ницаемость стали). Из равенства напряженности поля Н в
пазу и в зубцах при .отсутствии тока следует, что при этом
магнитная индукция в пазу будет:
(86,8)
Когда через проводники, уложенные в паз, протекает
ток, то равенство значений магнитной индукции в смежных
зубцах нарушается, так как в этом случае напряженности
поля вдоль стенок имеют разные значения Нх и Н2. Их
разность может быть определена, если мы применим закон
полного тока к контуру, совпадающему с внутренними сто-
ронами паза:
(j) Hdl^= — =
(86,9)
где h — глубина паза, а /—суммарный ток в проводах паза.
В предположении, что намагничивающая сила тока делится
пополам между сторонами контура, совпадающими с высо-
той паза, мы для тангенциальных составляющих напряжен-
ности поля у того и другого зубца можем написать:
и (86,10)
§861
Электрические машины
419
По этим тангенциальным слагающим мы можем опреде-
лить разность сил взаимодействия между магнитным полем
и стенками паза, когда внутри паза имеется проводник с
током. Эту силу мы можем определить как разность сил,
действующих на боковые стенки паза, имеющие площадь
hl (где Z — осевая длина якоря), для чего мы в уравнение
(85,13) подставляем:
В\п=В2п = 0 и Ни = Нх и H2t=H2i
р = Са,-1)^0 (Я?-ЯП д
• 1 2
= (^-1)-Р0-(У1-^2)(Я1+ Я2) =
2
= (^-l)-Ho~2tf-^/=(^-l)-K>tf//. (86,11)
К этой силе мы должны прибавить силу, с которой поле в
пазу действует непосредственно на провод с током:
F, = ^HU.
(86,12)
Таким образом сила, действующая на часть якоря, где
находится проводник с током /,
F = Fx+F, = ^H-l-I = Bll
(86,13)
равняется силе, которая действовала бы на проводник, когда
он находился бы в магнитном поле с индукцией В. При
расположении проводника в пазу действующая при этом на
него механическая сила уменьшается в отношении (средней)
магнитной индукции в воздушном зазоре и пазу.
Что касается э. д. с., наводимой в обмотке, уложенной в
пазы, то при условии достаточно большого числа пазов кри-
вая значений э. д. с, в зависимости от времени будет такой
же, как если бы она была расположена на внешней пери-
ферии гладкого якоря, несмотря на то, что в пазу магнитная
индукция значительно меньше. Это вытекает, с одной сто-
роны, из непрерывности индукционных линий, которые при
перемещении якоря на один зубец возвращаются к преж-
нему своему расположению, и потому проводник /от.жен при
своем движении пересечь все индукционные линии в воз-
душном зазоре. Поэтому форма кривой э. д. с. в одном про-
воде в зависимости от времени совпадает с формой кривой
распределения поля вдоль поверхности якоря. Более строго
27*
420
Магнитное поле
[гл. 3
это может быть доказано, исходя из закона электромагнит-
ной индукции для одного витка,
е____ d$ дФ ds________
dt ds dt
= —lim -~S-s—V—2BI-V, (86,14)
A* 1
где Is — отрезок, отсчитываемый на периферии неподвиж-
ного якоря.
Выше было выведено, что при совершении работы внеш-
ними силами часть работы передается во внешнюю цепь в
виде электрической энергии, а другая часть увеличивает
энергию магнитного поля. Однако, энергия магнитного поля
электрических машин не возрастает непрерывно со време-
нем, так как в обмотках машин как переменного, так и
постоянного тока течет ток переменный, периодически меня-
ющий свое направление. Поэтому изменение энергии поля
вокруг отдельных витков, происходящее при увеличении
значения тока от нуля до максимума, компенсируется изме-
нением обратного знака, когда ток спадает от максимума
до нуля.
87. ВКЛЮЧЕНИЕ И ОТКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПЕЙ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ
При включении цепи с индуктивностью ток устанавли-
вается не сразу, вследствие того, что в индуктивной катушке
(или в индуктивности) при нарастании тока возникает про-
тиво-э. д. с., которая по величине и направлению равна
индуктивности, умноженной на изменение тока в единицу
времени, взятой с обратным знаком:
Ток в цепи, получающийся в результате действия внеш-
него напряжения U и э. д. с. самоиндукции и равный
dt
u—l —
dt
нарастает постепенно, так как напряжение источника тока:
г г • I г di . / г di \
U—r-iA-L——r-i — {—L — ) — г i — е.
* dt \ dt J L
§ 87]
Включение цепей с индуктивностью
421
кроме падения напряжения в сопротивлении должно уравно-
вешивать протяво-э. д. с. самоиндукции. Диференциальное
уравнение
= + или— + — •/ = — (87,1)
' dt dt 1 L L 7
представляет собой линейное диференциальное уравнение
первого порядка с постоянной правой частью.
Решением такого уравнения является выражение
i = A^A1-ePt9 (87.2)
где р должно удовлетворять характеристическому уравне-
нию, которое получается, если I и его производную — под-
ставить в уравнение (87,1):
U = г (До+А1 • ept)+L -р Аг • ept.
Так кяк зависящие и не зависящие от времени члены
правой и левой части должны быть порознь равны, то
U = rAQ и 0=r-A1ept^L-p-A1-ept.
Характеристическое уравнение в нашем случае имеет
следующий вид:
r-]-Lp = 01 (87,3)
откуда
Р = ~=—(87Л)
В этом и в следующих параграфах сопротивление обо-
значается через г малое.
Постоянная Аг определяется яз начального условия, что
в момент включения ток в цепи равен нулю. Ток в момент
включения не может иметь конечного значения, так как
если допустить, что в момент включения ток i сразу полу-
чает конечное значение, то —и наводимая э. д. с.
dt
самоиндукции была бы бесконечно велика (l — =оо\ Оче-
\ dt /
видно, этого не может быть, так как при включении индук-
тивная э. д. с. никоим образом не может быть больше, чем
напряжение источника тока, ибо иначе ток имел бы направ-
ление, обратное внешнему напряжению. Поэтому ток начи-
нает возрастать с нуля. Вообще, если в цепи имеется индук-
тивность, то ток может изменяться лишь плавно, а не скач-
422
Магнитное поле
[гл. 3
ками, так как э. д. с. самоиндукции стремится сохранить то
значение тока, которое он имел до момента изменения пара-
метров цепи.
Так как при / = 0 i = 0, то
— .0
0 = До+Л1.ед.
/ С другой стороны, когда ток уста-
новится =
4 i-cm
г __________ г __ . Отсюда можно определить постоян-
G lCR НУЮ
I Таким образом мы получаем сле-
Фиг. 87,1. дующее выражение для тока:
Г {
i = - — L =iap+ic,. (87,5)
Изменение тока в зависимости от времени показано на
фиг. 87,1. Первое слагаемое выражения (87,5) соответствует
установившемуся стационарному (принужденному) режиму,
который теоретически наступает по истечении бесконечно
долгого времени:
г
—----со
^=—L = ——A0 = inp — icm. (87,6)
г г г (
В.ор^е слагаемое
_ — -t
L (ад
обусловлено переходным режимом. В первый момент после
включения (/=0) эта слагающая переходного режима равна
и противоположна слагающей стационарного режима:
1ПР'
§87]
Включение цепей с индуктивностью
423
В дальнейшем эта слагающая изменяется в зависимости
лишь от параметров цепи г и А, поэтому эту слагающую
называют слагающей свободного режима.
Таким образом, ток в переходный период может быть
представлен в виде двух слагающих — слагающей принуж-
денного или стационарного режима и слагающей переход-
ного режима. Последняя постепенно убывает с постоянным
относительным коэфициентом изменения в единицу времени:
(или—=pi\ не зависящим от величины э. д. с. источ-
\ dt )
ника тока. Уменьшаясь, эта слагающая тока получает через
равные промежутки времени значения, дающие убывающую
геометрическую прогрессию:
I f,j If . / fff -----------
•'Св • •'Св • •'Св • • • —
— е
= 1:е
Промежуток времени т, в течение которого ток умень-
шается в £ = 2,718... раз:
: tx
т. е. время
(87,8)
называется постоянной времени цепи или временем
релаксации. Чем больше индуктивность цепи L при задан-
ном сопротивлении г, тем больше требуется времени, чтобы ток
достиг определенной доли своей конечной величины, так как
424
Магнитное поле
[гл. 3
в этом случае необходимо накопить большее количество
энергии в магнитном поле цепи. Равным образом, чем меньше
сопротивление цепи при заданной индуктивности, тем боль*
шее время требуется для установления конечного режима,
так как конечное значение тока имеет большую величину.
Следует еще отметить, что быстрота нарастания тока
— в момент включения (/ = 0)
не зависит от сопротивления цепи г и при заданном напря-
жении источника тока она обратно пропорциональна индук-
тивности цеди. Если бы быстрота нарастания тока остава-
лась такой же, как и в начальный момент, то время нара-
стания тока от нуля до конечного значения равнялось бы как
раз постоянной времени
di U L U
— • т = — . — = —.
dt L г г
В момент включения устанавливается такая скорость нара-
стания тока, чтобы индуктивная э. д. с. была бы равна и
противоположна напряжению источника тока:
(г.) = = — и.
' о I at jt = о
При бесконечно малом сопротивлении: г i — 0 и U =
= ток изменялся бы пропорционально времени:
dt
dt — — dt, t = — t
L L
и возрастал бы до бесконечности.
Наводимая при нарастании тока индуктивная э. д. с.
(фиг. 87,1)
t
Л т di т т т
ет = — L'~ — и е
L dt
изменяется пропорционально слагающей тока нестационар-
ного режима и направлена всегда против э. д. с. источника
тока. В момент включения (/ = 0) эта слагающая равна и
§ 87]
Включение цепей с индуктивностью
425
противоположна э. д. с. источника тока, а затем постепенно
убывает по геометрической прогрессии с постоянным коэфи-
циентом относительного изменения в единицу времени:
t t
deT rj — 1
—^-:e = — -e T :(-U-e T) =------= p
dt L t т
ИЛИ
der
----------------------= P'er.
dt
Мощность, отдаваемая источником тока,
U-i=r (§7,9)
тратится, с одной стороны, в сопротивлении цепи г, а с дру-
гой,— идет на увеличение энергии магнитного поля цепи.
Энергия, затраченная источником тока с момента включе-
ния,
t tit
Г С С Г LP
\U-i-dt= I ri? dt-\-\L-idi = \ ri? dt-\—— (87,10)
и о о о
частью поглощается в виде тепла в сопротивлении, другая
же часть, которая создает магнитное поле, в любой момент
равна полупроизведению индуктивности на квадрат мгно-
венного значения тока.
Рассмотренный выше способ решения задач применим
лишь в тех случаях, когда параметры цепи, т. е. сопротив-
ление и индуктивность, постоянны при всех значениях тока.
Если же катушка содержит сталь и в силу этого индуктив-
ность зависит от значения тока, то ток не будет изме-
няться по экспоненциальной кривой. Все же и в этом слу-
чае можно построить по точкам кривую изменения тока,
когда известна зависимость между магнитным сцеплением
(или магнитнвгм потоком) и током. Так как и в этом случае
напряжение источника тока должно равняться сумме паде-
ния напряжения в сопротивлении и слагающей, равной и
противоположной индуктивной э. д. с.:
cr=r-i+(-^)=r-i+O=r'i+^-f’ w)
то мы по заданной кривой lF=/(0 (фиг. 87,2) строим, про-
rf’F rf/lz) ...
ведя касательные, кривую—— = ——=у = <?(с) и опреде-
426
Магнитное поле
[гл. 3
ляем интервалы времени, в течение которых ток изменяется на
одну и ту же величину Д/. Время, потребное для измене-
ния тока с нуля до Д / в начале включения, может быть
определено из уравнения
о — y°‘st
Фиг. 87,2.
откуда
U
и по истечении времени /Х=Д/
ток будет иметь значение = ДI.
Для дальнейшего увеличения то-
ка с = Д i до Z2 = i j -j- Д i = 2 Д i
потребное время Д определится
из уравнения:
=г4^у
откуда
Д tY =——--Д Z,
1 U-r-i!
и в момент ^3 = Д/Ц-Д/1 ток будет иметь значение Z2 =
= 2Д/. Продолжая определять соответствующие интервалы
времени Д//7~1, в течение которых ток увеличивается с
— —1)Д/ до in = nAi, по формуле
Д/п_1 =----------д/
п 1 U-r-h-i
мы можем определить, суммируя все интервалы времени, что
по истечении времени tn — Д ток
будет иметь значение 1п = пЫ. По мере нарастания. тока
интервалы времени Д tn, в течение которых ток нарастает
на одну и ту же величину 1Z, будут увеличиваться, пока
мы не получим для Д/л бесконечно большого значения, что
соответствует установившемуся режиму, когда ток будет
равен своему конечному значению:
— tnp- г'
§ 87] Включение цепей с индуктивностью 427
Зная значение тока и время, прошедшее с начала вклю-
чения, мы можем построить кривую тока i = в зависи-
мости от времени (фиг. 87,3).
Благодаря насыщению и изменению (уменьшению) индук-
тивности по мере увеличения тока, ток сначала будет нара-
стать медленнее, а затем быстрее по сравнению со случаем
постоянной индуктивности (пунктирная кривая).
Остаточный магнетизм, если он имеет то же направление,
как и магнитный поток после включения тока, уменьшает
Фиг. 87,3.
Фиг. 87,4.
время установления стационарного тока, в противном слу-
чае это время увеличивается. Кроме того, если стальной
сердечник представляет собой массивное тело, то возникаю-
щие во время нарастания магнитного потока в стальном
сердечнике токи Фуко могут видоизменить кривую тока и
увеличить время достижения стационарного режима.
Рассмотрим далее замыкание части цепи, состоящей из
сопротивления г и индуктивности L (фиг. 87,4) и через кото-
рую до короткого замыкания протекал ток Zo. При коротком
замыкании ток в цепи исчезает не сразу. Он поддержи-
вается за счет той энергии, которая до этого была нако-
плена в магнитном поле короткозамкнутой части цепи. При
коротком замыкании ток в этой части цепи, предоставлен-
ной самой себе, постепенно уменьшаясь, наводит в ней
э. д. с. самоиндукции, которая покрывает падение напряже-
ния в сопротивлении цепи и поддерживает ток в этой цепи
до тех пор, пока не иссякнет вся энергия магнитного поля
_ L±^ = r.ice (87>12)
dt
Отсюда мы получаем диференциальное уравнение для тока:
428
Магнитное поле
[гл. 3
которое имеет своим решением выражение
ic, = A-ept, (87,13)
где р определяется из уравнения
р-\—— = 0 или р =----— =------— ;
L L т
постоянная А должна удовлетворять тому условию, что в
момент короткого замыкания (/ = 0) ток равен /0:
= jz_0=A
Таким образом ток в короткозамкнутой части цепи изме-
няется согласно уравнению
— — -t
iCB = i^e (87,14)
по экспоненциальной кривой (фиг. 87,5). Это изменение про-
текает лишь в зависимости от параметров цепи г и L
начального значения тока и представляет собой свободный
режим.
Если мы сравним изменение тока при коротком замыка-
нии и при включении цепи (87,5 и 87,7) и приравняем /0 =
U
— —, то увидим, что ток при коротком замыкании изме-
г
няется таким же самым образом, как и добавочная слагаю-
г
. и L *
щая переходного режима 1С6 = е , с такой же посто-
янной времени т = А. и по такому же закону, уменьшаясь
по геометрической прогрессии с постоянным коэфициентом
относительного изменения в единицу времени р~------
Энергия, поглощаемая в короткозамкнутой цепи до конца
процесса:
оо оо оо
\ri?dt = \ riidt =\[— L —\idi =
J J J \ at /
U 0 9
0
= J(— Ll)di = -^~ (87,15)
§ 87)
429
Включение цепей с иадуктизностью
—-------------------------1
равна энергии, которая в начале процесса была накоплена в
этой цепи.
Рассмотрим в качестве примера действие тока, получаю-
щегося в замкнутой цепи при измерении сопротивления ка-
кой-нибудь обмотки, обладающей большой индуктивностью,
например, сопротивления обмотки трансформатора постоян-
ным током при помощи амперметра и милливольтметра
(фиг. 87,6). Если разомкнуть главную цепь, не отсоединив
предварительно милливольтметра, то через милливольтметр
пройдет ток, величина которого в первый момент будет
равна току, проходившему при измерении через обмотку
трансформатора, который пережжет милливольтметр. По-
этому при выключении следует сначала разомкнуть цепь
милливольтметра, а затем главную цепь.
Фиг. 87,6.
Рассмотрим еще выключение цепи, которое можно рас-
сматривать, как введение в цепь добавочного бесконечно
большого сопротивления, которое снижает ток до нуля. Если
бы цепь выключалась мгновенно, то ток сразу (Д/ = 0) спа-
дал бы до нуля, и исчезающий в цепи одновременно с током
магнитный поток наводил бы в цепи бесконечно большую
э. д. с. индукции, которая пробила бы изоляцию проводов:
_ т dt т f _
Сг = — L—— L — = оо<
L dt \t
В действительности ток спадает до нуля не сразу, так
как сначала при выключении сопротивление между соприка-
сающимися контактами постепенно увеличивается благодаря
уменьшению поверхности соприкосновения и уменьшению
давления контактов друг на друга, а затем между контак-
тами образуется дуга, в которой главным образом и погло-
щается энергия, накопленная в магнитном поле цепи. В ре-
зультате выключение происходит не мгновенно, а протекает
в течение хотя и весьма малого, но конечного промежутка
времени.
Величина изменяющегося переходного сопротивления кон-
тактов и сопротивления дуги не поддается математическому
выражению.
430
Магнитное поле
[гл. 3
Для выяснения явления предположим, что проводимость
цепи уменьшается, изменяясь пропорционально времени, и
что проводимость и сопротивление, следовательно, изменя-
ются следующим образом:
£/ = я(1—у) и
(87,16)
' t
1 — —
т
где г=-----сопротивление всей цепи до момента 'выключе-
ния, t — время от начала выключения, а Т—длительность
выключения. Если U — напряжение источника тока, то во
время размыкания ток должен удовлетворять следующему
уравнению:
г г 'it dt ______ г* I 1 г di
U — г.-i 4- L- — =---------L —
t 1 dt dt
T
или
(8Л17>
Другая слагающая
При таком изменении сопротив-
ления ток при выключении может
рассматриваться как состоящий из
двух слагающих. Ток, соответствую-
щий одной слагающей, уменьшение
которой пропорционально времени,
проходил бы через цепь, если бы
цепь не обладала индуктивностью
(£ = 0). Графически значения этой
слагающей мэгут быть представле-
ны в виде ординат ab прямой ВА
(фиг. 87,7).
тока обусловлена индуктивностью
цепи £, причем в начале и в конце выключения эта слага-
ющая равна нулю, так как в начале (/ = 0)
i =
—
а в конце (I — Т)
1— 1 =0.
т
5 87]
Включение целей с индуктивностью
431
Значения этой слагающей, увеличивающей ток выключе-
ния благодаря индуктивности, могут быть представлены на
чертеже в виде отрезков
Ьс = — —( .
Обе слагающие в сумме дают ток i = ab Ьс = ас.
Вторая слагающая тока будет тем значительнее, чем
больше индуктивность цепи.
Кривая тока выключения ВсА в начале выключения каса-
тельна к горизонтали. Если мы в уравнение (87,17) подставим
/ — О, Z = —= /0, то получим, что — = 0. К концу размыка-
r dt
ния кривая будет спадать тем круче, чем меньше время
размыкания Т, Из того же уравнения следует, что
L—=U--------
dt t
и в момент t = l\ когда Z=0, — будет равно йеопределен-
dt
ности -у. Поэтому, раскрывая неопределенность для t—T
di
(L—\ =U------------dt....= U4-(rT--\
\ dt J t—T . d / / \ \ dt )t —T
~dt\~~TJ
мы получаем, что э.д. с. индукции, наводимая в конце вы-
ключения, выражается через
L dt UL U
dt~L — rT~ rT
L
Напряжение на клеммах вводимого сопротивления равня-
ется сумме напряжения источника тока и индуктивной э. д. с.,
уменьшенной на величину падения напряжения в постоян-
ном сопротивлении г,
В конце выключения (когда t = T и г = 0) это напряже-
ние составит
гт UL UrT U
и = и----------- — -----=---------
L—rT L — rT L__
~ rT
432
Магнитное поле
[гл. 3
Очевидно, что так как при выключении постоянного тока
напряжение между контактами не меняет своего направле-
ния, то при положенном в основу исследования предположе-
нии об изменении проводимости пропорционально времени не-
равенство 1 >► ——
zp. L
или 1 >> — указывает, что время вы-
ключения должно быть больше постоянной времени т = —)
неразомкнутой цепи (Г>т). Чем дольше продолжается пе-
риод выключения, тем меньше напряжение между контактами
в конце процесса выключения. Если бы процесс выключения
длился бесконечно долго, Г = оо, то напряжение между кон-
тактами в конце выключения равнялось бы u=U и ника-
кого перенапряжения не было бы. Чем меньше время выклю-
чения Т будет отличаться от постоянной времени, т. е. чем
. Ат
меньшее значение будет иметь величина 1-- =1----.
rT Т
тем больше будет напряжение между контактами в конце
процесса выключения.
При Т = т или Т< т ток к моменту окончания выключе-
ния, когда сопротивление между контактами выключателя
фактически будет приближаться к бесконечности, не успел
бы снизиться так, чтобы к моменту разрыва цепи спад тока,
т. е. —, имел конечное значение. В этом случае разрыв цепи
произошел бы при конечном значении тока и между контак-
тами получилось бы перенапряжение, т. е. напряжение, зна-
чительно превышающее э. д. с. источника тока.
Фактически мы имеем такое положение, что в момент,
когда контакты выключателя уже не касаются друг друга,
между ними получается такое большое напряжение, что оно
ионизирует промежуток между раздвинувшимися контакта-
ми и образует между ними вольтову дугу. По мере раздви-
жения контактов и поглощения в дуге магнитной энергии
цепи ток в дуге будет уменьшаться, и с этой точки зрения
казалось бы выгодным для уменьшения напряжения между
контактами выключателя в момент фактического прекраще-
ния тока удлинять общее время выключения. Но так как
при этом благодаря большой плотности тока в той части
контактов, которые остаются еще в соприкосновении, кон-
такты нагревались бы, а от образующейся затем дуги пла-
вились и обгорали, выключатели конструируются обыкновен-
но таким образом, чтобы выключение происходило по воз-
можности быстрее (так называемые мгновенные выключа-
тели).
§ 88] Включение цепей с взаимной индуктивностью 433
Вольтова дуга имеет ниспадающую характеристику, т. е.
для поддержания вольтовой дуги с уменьшением тока тре-
буется более высокое напряжение, а потому при раздвига-
нии контактов наступает такой момент, когда напряжение
между контактами недостаточно для поддержания дуги, и
она сразу обрывается при конечном значении тока, что мо-
жет повести к перенапряжениям. С этой точки зрения вы-
годно возможно большее удлинение дуги. Удлинение дуги
может происходить не только за счет раздвижения контак-
тов, но и за счет движения дуги вместе с нагретым возду-
хом, а также под действием собственного магнитного поля.
Иногда для быстрого удлинения дуги
применяют так называемое магнитное и
дутье, т. е. разрыв дуги производится g
в магнитном поле, которое выдувает о
дугу, чем достигается быстрое вы- ₽
ключение (применяется при частых r-j
включениях и выключениях во избе-
жание порчи контактов, например, в
трамвайных контроллерах). virD
В случаях, где быстрое выключе-
ние может повлечь за собой боль-
шие перенапряжения, перед полным |
выключением предварительно вводят+О ° ~
в цепь сопротивление (ступенчатые Фиг. 87,8.
выключатели).
При выключении обмоток возбуждения электрических ма-
шин, обладающих весьма большой индуктивностью, во избе-
жание пробивания изоляции помимо введения добавочного
сопротивления обмотки возбуждения коротко замыкаются
перед полным выключением (фиг. 87,8).
88. ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПЕЙ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ
Когда имеются две цепи с сопротивлением г}9 г2, индук-
тивностями L19 L2 и взаимной индуктивностью М (фиг. 88,1),
то при включении первой цепи на постоянное напряжение U9
в то время как вторая цепь замкнута на себя без источника
тока, в первой и второй цепи действуют э. д. с. само- и
взаимной индукции
0 —___ [ 0 —____ М di^ р —_____ Т di2 р _____
1L~ 1 dt 9 1м~ dt 9 2L~ 3 ~dT’ 2M~
dt
28 к. А. Круг, т. I.
434
Магнитное поле
'гл. 3
и токи в них могут быть определены по закону Ома —
Кирхгофа:
ТТ 7 ^6 . d'2
} ___ ^+е1Г, + ^1Л4 1 dt dt
‘1-----------------= -------------------------,
fi fi
Г di? Л4 di'
.. — e?r + ^2M dt dt
In ——-------— «
Фит. 88/.
Эти уравнения могут быть при-
ведены к однообразному виду
'Vi + Л—4-Л1 —= (88,1)
(88,2)
Значения индуктивности Lx и Z2
и взаимной индуктивности не
произвольны, а связаны соотно-
шением LT L2 > 7I42 или
-M—=k,
V l,l2
тм k — так называемый коэфициент связи, всегда мень-
ший единицы, что может быть показано на примере, когда че-
рез каждый виток как той, так и другой цепи или катушки
проходит один и тот же магнитный поток. По определению:
Т _ ^11 ^22 _ и’Г^2-Ф1ГФ22
1 ь2 - ~ . -
*1 *2 *1*?
М2= ч*21’**12 —
*2 1
Wt ♦ Ф21 Ф]2
*1 *2
и так как Ф21 и Ф12 составляют лишь часть потоков Ф22 и
Фц, то
М-----— / ф12ф21 = k (88,4)
V I/ Фи-4’22
меньше единицы.
Коэфициент связи двух цепей мог бы равняться единице
лишь в том случае, если Ф12 = ФП и Ф21 = Ф22> т. е- когда
весь поток, создаваемый током в одной катушке полностью
§ 88] Включение цепей с взаимной индуктивностью 435
Гез всякого рассеяния, сцеплялся бы с витками другой ка-
тушки, что могло бы быть осуществлено при совмещении
этих обмоток. Практически между витками двух катушек,
так же как и между витками одной и той же катушки,
имеются зазоры, через которые замыкается часть индукцион-
ных линий, и поэтому всегда k<\. В технике сильных то-
ков мы имеем так называемую сильную связь. Так, в транс-
форматорах & = 0,9н-0,96. В технике связи преобладают
слабые связи, особенно в радиотехнике, где для коэфи-
циента k встречаются значения 0,01-4-0,05, а при очень сла-
бых связях и k <0,01.
Изменения электромагнитной связи между двумя катуш-
ками или контурами можно достигнуть или1 удалением или
поворотом одного контура относительно другого. Такие при-
боры, состоящие из двух взаимно перемещающихся кату-
шек, называются вариометрами взаимной индук-
тивности. Если обе катушки соединить последовательно
в одну электрическую цепь, то можно получить при пере-
мещении катушек переменную индуктивность.
Чем сильнее связь между двумя цепями, тем большая
энергия передается при прочих равных условиях из одной
цепи в другую.
Вместо коэфициента связи k в технике сильных токов
оперируют с так называемыми коэфициентами рас-
сеяния. Одним из таких коэфициентов рассеяния является
коэфициент, определяемый через
а = = \ — (88,5)
£1L2
Вернемся к диференциальным уравнениям. Для их реше-
ния определяем из первого уравнения:
d;2
dt
U ^14 *
dt )
и подставляем ее во второе уравнение
/3=—£ ДА + м.
гг LЛ1 \ 11 1 dt / dt J
и производную от 1г подставляем в первое уравнение
dl2 ^1^2 ^*1 । L\L2 — d-i\
dt r2M dt dt2
28*
436
Магнитное поле
[гл. 3
Если обе части умножить на —, то оно может быть
£iA2
приведено к виду:
Ц L? — AT2 d4x | । r2 \ dix rxr2i __U rxr2
LXL> * dt* ~L2)~dt ‘ LYL2 ~~ rx ’ Ai £2
Заменим через
। ^,2 A ^2 M2 1 Ц 1 r2
^1^-2 Ti M t2 £2
где Tj и т2 — постоянные времени для каждой из цепей, если
другая разомкнута, и разделим обе части на 1—А3. Тогда
наше диференциальное уравнение будет иметь вид
,___1__/ 1 । 1 \ , 1 = 1 U
dt* ^1—Л-Ч т2 ) dt (1 —*W2 1 (1 — *2)tit2 ’ и ’
(88,6)
Мы получили линейное диференциальнсе уравнение' с
правой частью вида
_£Zi
d&
di{ .
dt
air — b>
решением которого является выражение
где Л10, Лп и А12 — постоянные коэфициенты, определяемые
из начальных и конечных условий, а коэфициенты рх и р2
в показателях степени — величины, зависящие от парамет-
ров обеих цепей.
Коэфициенты рх и р2 определяются как корни так назы-
ваемого характеристического уравнения, которое получается,
если правую часть диференциального уравнения прирав-
нять нулю и если в диференциальном уравнении вторую
производную заменить через р2, первую производную через
р и неизвестную через единицу или
(88,7)
§ 88]
Включение цепей с взаимной индуктивностью
437
Так как оба уравнения (88,1) и (88,2) тождественны и
отличаются только тем, что второе уравнение в правой части
имеет нуль, для /2 мы должны получить такое же решение:
г2 = Л20+Л21 #^4- Л^2 ер^.
При включении токи в первичной и вторичной цепи
равны нулю:
r’i = 0 и i2 = О,
поэтому
О — ^10 + ^11 ”4^12»
•0 — ^20 4" ^21 4“ ^22- (88,8)
Когда же ток в первичной цепи установится (при / = оо),
явление индукции прекратится, первичный ток достигнет
своего конечного значения ix-= —, а ток во вторичной цепи
исчезнет. Поэтому
i4i0 = , Л20 — 0.
Для нахождения остальных коэфициентов подставляем Ц и Z2
и их производные в уравнения (88,1) и (88,2) и приравняем
в них i = 0 и = 0:
(А г Pi 4~ Аг А) 4" М (AnPi 4” A2A) = U>
А (А1А4~ А2А)4"^(А1А4~ A2A) =
Из шести уравнений свободно определяются все шесть коэ-
фициентов, в результате чего мы получаем для тока в пер-
вичной и вторичной цепи следующие выражения:
U П Г eP1t. T1-l + (l-fe2)A
Г1 L (1—^2)(Р1—Р2) (1~*2)(?2-Р1)
(1-^)(Л-р2)^2 7
еР^ , (88,9)
Рассмотрим частный случай, когда первичная и вторичная
цепи подобны:
Г\ _ Г2
£1 £2
и имеют одинаковые постоянные времени
Г! г2
433
Магнитное ноле
(гл. 3
В этом случае
1 /2 ^k\_
Г1_____________________________2(1 — &) \ т т / (1 ’
1 /_2_ , 2fe \ _ 1
Р* 2(1 — Л2) z ”Г т / (1 -й)т '
Токи в первичной и вторичной цепи изменяются следую-
щим образом:
riz rit
(1-НП1_ 1 р (1-*)М]
2
r2f Г2*
'd-*)z.2 _ ~ (i + ^z-2
2 2г, У Li
Если же обе цепи тождественны, т. е. г1 = г2 — г,
L. = L2 = L, k = ~,
ТО
На фиг. 88,2 пред-
ставлены кривые изме-
нения первичного и вто-
ричного тока, когда пер-
вичная цепь включает-
ся на постоянное напря-
жение. На той же фигу-
ре показано, как изме-
нялся бы первичный
ток, если бы вторичная
цепь была разомкнута
(пунктирная кривая).
Сразу после вклю-
чения ток в первичной
цепи ix при замкнутой
вторичной цепи увели-
чивается быстрее по
сравнению с тем, когда
вторичная обмотка была бы разомкнута, так как ток во
вторичной обмотке имеет противоположное направление и
§ 89]
Апериодический разряд конденсатора
439
потому задерживает нарастание магнитного потока и вслед-
ствие этого противодействующая э. д. с. индукции в пер-
вичной обмотке будет меньше. Это следует также из значе-
ния первой производной от при / = 0
= U_ . h -1 + (1 - *2) р21 - h 1 ~1 + (1 - р 1 1 р2 _ U
dt гг (1_Л2)Д
di\ U « „
против = — при разомкнутой вторичной цепи.
В дальнейшем первичный ток увеличивается медленнее,
получает меньшие значения, чем при разомкнутой внешней
цепи, что объясняется тем, что вторичный ток, который сна-
чала нарастает от нуля, а затем спадает до нуля, при своем
уменьшении имеет по отношению к первичному току обрат-
ное направление; вторичный ток наводите первичной обмотке
э. д. с. взаимной индукции, которая затормаживает первичный
ток.
Так как при включении ток во вторичной обмотке имеет
противоположное направление по отношению к первичному
току, то первичная и вторичная цепи или обмотки испыты-
вают всегда при включении отталкивающую силу.
89. АПЕРИОДИЧЕСКИЙ РАЗРЯД КОНДЕНСАТОРА
НА ИНДУКТИВНОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
Если заряженный конденсатор разряжать на цепь
(фиг. 89,1), состоящую из сопротивления и индуктивности,
то разряд может происходить или постепенно, т. е. напряже-
ние конденсатора непрерывно спадает до нуля, или же при
разряде получаются перио-
дические колебания, т. е.
конденсатор разряжается до
нуля, затем начинает заря-
жаться в противоположном
направлении, потом опять
разряжается, заряжается
и т. д., мы будем иметь коле-
'ТУбШШ4—1
Фиг. 89,1.
бательный разряд.
Явление колебательного разряда может быть пояснено
следующим образом: в начале разряда положительный заряд,
как это принято условно считать, перемещается через внеш-
нюю цепь от положительно заряженной обкладки конденса-
тора к отрицательной обкладке, т. е. напряжение между об-
кладками уменьшается, причем энергия, сосредоточенная в
конденсаторе, уменьшается. Но одновременно с этим движе-
ние зарядов, представляющее собой электрический ток, соз-
дает в индуктивности магнитное поле, и если джоулевы
440
Магнитное поле
[гл. 3
потери в сопротивлении невелики, то большая часть энергии
электрического поля переходит в энергию магнитного поля.
Когда потенциалы обкладок сравняются, то в цепи может
после этого еще поддерживаться ток того же направления
за счет энергии магнитного поля. В результате на бывшей
раньше отрицательной обкладке начнет накапливаться поло-
жительный электрический заряд, а на бывшей положительной
обкладке — отрицательный заряд, т. е. конденсатор будет
заряжаться в противоположном направлении. Это будет про-
должаться до тех пор, пока не иссякнет вся энергия маг-
нитного поля, которая перейдет в энергию электрического
поля конденсатора и частично в джоулево тепло/ После
этого конденсатор начнет разряжаться в обратном направ-
лении и т. д. Явление будет повторяться; однако вследствие
поглощений энергии в сопротивлении цепи предельные зна-
чения напряжения конденсатора будут постепенно умень-
шаться (затухать), пока вся энергия не перейдет в джоулево
тепло.
Чем больше сопротивление цепи, тем большее количество
энергии в нем поглощается при разряде конденсатора и тем
меньше количество энергии переходит в энергию магнитного
поля индуктивности. Если сопротивление цепи превышает
определенный предел, то может иметь место и такое явление,
что при первом же разряде конденсатора отдаваемая кон-
денсатором энергия будет лишь в весьма малой доле пере-
даваться магнитному полю, а большая ее часть будет погло-
щаться в сопротивлении и в конце первого же разряда
конденсатора в джоулево тепло будет переходить не только
остающаяся энергия конденсатора, но и энергия, накопив-
шаяся в магнитном поле. В результате перехода всей энергии
в тепло может и не получиться заряда конденсатора в обрат-
ном направлении. В этом случае мы будем иметь уже не
колебательный, а непрерывный (в одном направлении) апери-
одический разряд конденсатора.
Мы здесь имеем аналогию с свободным качанием маят-
ника. Если маятник, выведенный из положения равновесия,
встречает при своем движении большое сопротивление, на-
пример, если он движется в какой-нибудь вязкой среде, то
он будет медленно (апериодически) приближаться (ползти) к
положению равновесия, не заходя за его пределы и не совер-
шая колебаний. Наоборот, если сопротивление среды движе-
нию весьма невелико, например, если движение происходит
в воздухе, то маятник будет совершать колебания, при этом
потенциальная энергия будет переходить в кинетическую, и
наоборот. Потенциальная энергия маятника может быть упо-
доблена энергии электрического поля, а кинетическая — энер-
гии магнитного поля.
§ 89] Апериодический разряд конденсатора 441
Выведем зависимость тока в цепи и связанных с ним на-
пряжений от времени.
Пусть в какой-нибудь момент времени t напряжение у
клемм конденсатора равно исв и ток в цепи ice. Напряжение
конденсатора при разряде должно покрывать падение на-
пряжения в сопротивлении и преодолевать э. д. с. индукции.
Поэтому
г т dice
uce = r-tce+L-^-. (89,1)
Так как заряд конденсатора qce = C-uce при разряде умень-
шается, то
d4св ____Q duce
св dt dt 9
• dice
поэтому, если вместо 1св, ----- и исв мы подставим соответ-
dt
ствующие величины, то получим
Ясе j, dQCe d*qce
С ~~ dt dt*
ИЛИ
/ dgce , Ясе
dt* L dt LC
и если последнее уравнение мы разделим на С и учтем, что
Ясв _
—- = исв, то получим
&иСв > duce . нев
"^2 * L dt ' LC
(89,3)
Если теперь продиференцировать уравнение (89,2) и
произвести замену
dQce . d*qce dl Q d^dce d*iCB
dt dt* dt dt* dt* 1
то получим аналогичное уравнение и для тока
d ^ce 1______^св ! 1ся ___________о
dt* L dt ' LC ~ '
(89,4)
442
Магнитное поле
[гл. 3
Решением полученных диференциальных уравнений вто-
рого порядка является, например, для исв следующее выра-
жение:
= (39,5)
где Рх и р2 являются корнями характеристического уравне-
ния, одинакового для qce, ice и исв:
—=0,
Г L L Г 1 LC
pY = — — Н-1Л—------------ (89,6)
ri 2L 1 J/ 4Z.3 LC 9 V J
Pi 2L У 4L3 LC ’
Ло = О, так как после окончания разряда при / = оо на кон-
денсаторе не будет напряжения.
В начале разряда (/ = 0) напряжение конденсатора равно
напряжению С/о, Д° которого был заряжен конденсатор:
и0 = А! • еР1'0 4- А 3 • (Р2' °= А! + А 2. (89,7)
Следующим начальным условием, имеющим место для
всех цепей с индуктивностью, является то, что ток в индук-
тивности не может меняться скачками, а потому ток в цепи
в начальный момент должен равняться нулю (так как энер-
гия магнитного поля может накапливаться лишь постепенно/
ice^-C-d-^- = -C(Al-p1.ePlt+A2.p2.ep^. (89,8)
Когда t — О, то
-С(АЛ+АР2) = О. (89,9)
Из двух уравнений (89,7) и (89,9) мы можем опредегить
значения постоянных интеграции Аг и А2:
А, = ^.
Р1~Р2 J Pl—Р2
Таким образом мы, подставляя значения Ло, Д и Д в
уравнение (89,5), для изменяющегося напряжения конденса-
тора при его разряде, получаем следующее уравнение:
и =U0 LzJh^±Pi^L (89,10)
св Pi-Рг
§ 89] Апериодический разряд конденсатора
443
И для тока
i — — — ^с-р^ e.P t)
dt P1-p2
Так как произведение корней квадратного уравнения равно
1
достоянному члену рх-р2 — —, то уравнение тока прини-
мает вид:
(м’”>
— Р2)
Характер протекания разряда зависит от соотношения
юстоянных цепи С, L и г. Если — , то оба корня рх
л р2 действительны и разряд будет протекать непрерывно
в одном направлении (апериодически), если же то
корни будут комплексными и мы будем иметь колебатель-
ный разряд.
При апериодическом разряде оба корня характеристиче-
ского уравнения действительны и имеют отрицательные зна-
чения:
и
1 1
причем —<С— или т1р>т2,
Т1 т2
Выражая в уравнениях (89,10) и (89,11) рг и р2 через и т3,
мы для напряжения конденсатора и разрядного тока кон-
денсатора получаем:
t t
*4 х2
= - —(ч-е Т1~т2.е т*), (89,13)
т1~ т2
t t_
т'-е~(89,14)
св ас — т2
444
Магнитное поле
[гл. 3
Напряжение и ток при разряде (фиг. 89,2 и 89,3) можно
разложить на две слагающие (а и Ь\ имеющие противопо-
ложные направления, из которых первая затухает медленнее,
чем вторая (^>^2).
Напряжение непрерывно уменьшается, а ток сначала уве-
личивается, достигает некоторого максимума, а затем посте-
пенно спадает до нуля. Своего максимума ток достигает в
момент, когда
L L
^ = -и0.с(—±— -е~--------------—
dt ^г(т1—’2) т2 (т1“”2) '
т. е. когда
, £ £
1 Л Т1 1 т2 < f . f
— •е 1 — , —In ----= —1пт2-------,
Т1 т2 Т1 т2'
эткуда
£вшах Т1—т2
иа
Tj-
§ 89] Апериодический разряд конденсатора 445
Чем больше индуктивность, тем больше значения Tj и т2
и тем медленнее нарастает ток, конденсатор разряжается
медленнее, и напряжение между его клеммами спадает не так
быстро.
Апериодический разряд получается и в том случае, если
характеристическое уравнение дает равные корни. Это бу-
дет тогда, когда
и
Г2 _ 1
4£2 — LC
или
г 1 1
Pl=P.=--= --=--.
(89,16)
При этом мы получаем апериодический разряд, гранича-
щий с периодическим разрядом.
В этом случае решением диференциального уравнения
(89,3) является выражение
2 2 2
исв=А^е т т = {А^А24)е т ,
что может быть проверено подстановкой. Постоянные Aj и А2
определяются на основании тех же соображений, что и
раньше, а именно, что для начального момента (/ = 0)
исв = иь И =
— 2 _2
/с=—С-^- — — С-А2-е х+—(Aj-f-A/)# т =
2
= С(^+Аг^-А2)е \
\ т т /
при t = 0 —СЛ2 = 0 и Л2=2 = — , поэтому
_2_
«„= £4 (1+ Т (89,17)
и
________________________t_ _t
i ^ийС---е х = ^е ' . (89,18)
т2 L г т
446
Магнитное поле
[гл. 3
Ток достигает своего максимального значения (ф ir. 89,4),
когда
т
; __ ЭД) , _2. . £ Т _____ ^0_____ , ^0____q 73g •
™тах г т г-е 2,718 г 9 г
90. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯД КОНДЕНСАТОРА
г
Колебательный разряд получается тогда, когда постоянные
цепи связаны соотношением
r*
LCT
(90,1)
В этом случае корни характеристического уравнения бу-
дут представлять собой сопряженные комплексы из действи-
тельной отрицательной и мнимой величин:
*=- ' / тс-£1=-‘+;“- (,Д2)
г . , / 1 г2 ,
^2— 2£ у LC 4L?~~ •/Ш°’
где Ь=-^ и
Полагая, что конденсатор был заряжен первоначально до
напряжения С70, подставляем значения рг и р2 в уравнение
(89,10):
««=Д=
U0-e~bt(. е^-е~^ , + е ~^\
= ---- *---------Но------- =
<о0 \ 2; 2 /
— LLe~bt[—sii w»/ -}- cosо)вЛ =—— £~^-£ш(<п/-Гх)>
\ / sin х
(90,3)
§ 90] Колебательный разряд конденсатора
447
где
te X = “° = 2 ю°
ё ' ь г ’
Таким же путем получается выражение для 1св из урав-
нения (89,11):
Un I (—*+/Ч)< (—b—\ у —bt .
‘»=w(e -о ' 5Ш“«Л №4>
Из этих уравнений вытекает, что напряжение между об-
кладками конденсатора, а одновременно с ним заряд и ток
совершают гармонические колебания по закону синуса с не-
прерывно уменьшающимися амплитудами (фиг. 90,1).
Время одного колебания, т. е. в данном случае время между
двумя смежными прохождениями напряжения конденсатора
и тока через нуль в одном направлении (скажем, от минуса
к плюсу) составляет период колебания. Число периодов или
циклов колебаний в секунду называют частотой коле-
баний или просто частотой
/— у
Частота измеряется в герцах. Частота равна одному герцу,
когда в одну секунду совершается один цикл колебания:
1 Hz = — • (90,5)
sec
За один период угол о)(/, определяющий фазу гармони-
ческого колебания, изменяется на 2тг, т. е. 2к ~о)о7', и потому
/=1==^=J- ~\fJ-_21. (90 6)
J Т 2л 2r. |7 LC 4L* '
448
Магнитное поле
[гл. 3
Величину (о0= 2к/, представляющую собой число перио-
дов за 2~ секунд, называют угловой частотой.
Частота колебаний не зависит от значений напряжения
и тока, а зависит лишь от параметров цепи, в первую оче-
редь от А и С и затем от г. Если сопротивление цепи беско-
нечно мало (г = 0), то Ъ — 0, X = , и мы будем иметь неза-
тухающие колебания с частотой (фиг. 90,2):
(О0
V LC
(90,7)
u«=c;o-sin («tf+^W^o-cosw,/, ica— -Щ- sin«)(/,
\ 2 / WqL
т. е. амплитуды напряжения и тока не будут уменьшаться.
При этом, когда н = тах, Z = 0 и наоборот, значения uni
колеблются со сдвигом фаз в 90° или в четверть периода, что
находится в соответствии с взаимным обменом энергии между
конденсатором и индуктивностью. Когда н=шах и 4=0, вся
энергия сосредоточена в конденсаторе, а когда 2=шах и
и вся энергия переходит к индуктивности.
Когда гт^О, энергия, запасенная первоначально в конден-
саторе, при разряде конденсатора постепенно поглощается
в сопротивлении и поэтому амплитуды колебаний напряжения
конденсатора и тока уменьшаются (фиг. 9Э,1). И чем больше
сопротивление цепи, тем быстрее затухают колебания. Ампли-
туды колебаний изменяются по закону UQe~bt и — e~bt> и если
построить кривые и ztz—° e~bt, то кривые uni через
равные промежутки времени касаются кривых z+zf70-e~w и
Гармонические затухающие колебания обладают тем свой-
ством, что отношение их значений через один период есть
величина постоянная
ut Uq-6 ^-sin ___ &ЬТ
ut \-T иVе . sin[ш(/+ Г)+ХI
(90,8)
§ 90]
Колебательный разряд конденсатора
440
Затихание можно определить или через коэфициент
затухания b= L_, представляющий собой относитель-
ное уменьшение амплитуды колебания в единицу времени:
d /тт ~bt \ тт -ы
е ) * UQe — Ь,
at \ /
(90,9)
или, как это чаще всего делается в технике связи, через ло-
гарифмический декремент или просто декре-
мент затухания, равный натуральному логарифму от-
ношения двух значений колеблющейся величины, отстоящих
друг от друга на один период, и обозначаемый буквой 8:
8 = ЬТ = -
/
= In = In еЬТ—ЬТ,
Ut+T
(90,10)
гз
4Z.3
При малых затуханиях вторым членом под корнем в зна-
менателе можно пренебречь, и тогда
8 =
(90,11)
Сопротивление в цепи колебательного контура удлиняет
период одного колебания и уменьшает частоту, что видно,
если сравнить угловую частоту, когда в цепи имеется со-
противление и когда его нет:
Л — / j____г?_ ____Г
-о V LC 4L* :VTc — V 4L9
или если разложить корень в ряд и ограничиться первыми дву-
мя членами:
«о
(ОО
ГЪГ 62
1 —— =1 --------= 1 —0,00127 83.
8Д 8лЗ
29 К. А. Круг, т. 1.
(90,12)
450
Магнитное поле
[гл. 3
91. ЗАРЯДКА КОНДЕНСАТОРА ЧЕРЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЕ
И ИНДУКТИВНОСТЬ ОТ ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Когда незаряженный конденсатор заряжается через сопро-
тивление и индуктивность от источника постоянного тока
U (фиг. 91,1), то ток в цепи при зарядке определяется через
а
где ис — £—напряжение между обкладками конденсатора,
равное его заряду, деленному на его емкость (за положитель-
ное направление ис принято направление, противоположное
напряжению источника тока £7);
eL — э. д. с. самоиндукции, наво-
димая в цепи.
I Так как
q = lidt, то 1 — — = С— и
I dt dt
0
с о - г di - re
Фиг. 91,1. eL- — L- — LC ,
то уравнение (91,1) может быть приведено к виду
d^u^
U— ис —LC—-
Р du ____ с dt9
dt г
или
d? ис 1^с__ "
dfi L dt ' LC~ Lc'
Решением этого уравнения является выражение:
Vd Pd
Uc—B^-^-Bpe В2*е , (91,3)
где рг и р2 — корни характеристического уравнения
Р3 + 7Р+^=0. (91,4)
совпадающего с характеристическим уравнением при разряде
конденсатора на то же сопротивление г и ту же индуктив-
ность L [см. уравнение (89,6)], а В^ BY и В2—постоянные
5 91]
Зарядка конденсатора через сопротивления
451
коэфициенты, которые должны удовлетворять начальным и
конечным условиям при зарядке. В момент включения — на-
чала 'зарядки (t=0) напряжение на конденсаторе равно нулю
(ис=0), поэтому:
(91,5)
В конце зарядки (t= со) напряжение конденсатора должно
равняться напряжению источника тока, а так как корни рг
и р2 [уравнение (89,6)] или отрицательны, или имеют отрица-
тельную вещественную часть, то при t — co
U = BQ.
Кроме того, в момент включения (£=0) вследствие на-
личия в цепи индуктивности ток равен нулю:
. — du с Pi/ Р*Я
* = с— +S2-pa.e ]z=o=
^СВ^р^-СВ.р.^О.
(91,6)
Если теперь подставить в уравнение (91,5) BQ~U и В3=
=—5^-, то мы получим значения коэфициентов:
Р2
Bx-PrSL и 5з==_£е£_(
Ру—Рг Pi—Ръ
и таким образом напряжение конденсатора при зарядке будет
изменяться следующим образом:
[Pit Pit
-^е +Р' е
Pl~Pi
а ток
(Pit Plt\ '
i = ^ = g -e ) _ U /e
dt Pi—P2 L(pi—p2)\
191,7)
(91,8)
Конечное значение напряжения (Z —oo), соответствующее
установившемуся принужденному состоянию, будет равно
uap~U, а конечное значение тока inp=Q, Напряжение кон-
денсатора и ток в цепи могут быть представлены в виде
двух слагающих принужденного и свободного (переходного)
режима:
У'С — Unp 4~ иСв и i — ino 4~
29*
452
Магнитное поле
[гл. 3
Если сравнить уравнения (91,7) и (91,8) с уравнениями
(89,10) и (89,11), то мы увидим, что слагающие переходного
режима для напряжения конденсатора и тока при зарядке
конденсатора равны и противоположны по знаку аналогичным
значениям напряжения конденсатора и тока при разряде кон-
денсатора, что эти значения будут совпадать, если началь-
ное значение напряжения конденсатора при разряде будет
равно конечному значению напряжения при зарядке. Таким
образом получающиеся при зарядке значения напряжения
конденсатора и тока мы можем себе представить как по-
лучающиеся в результате наложения двух процессов или со-
стояний конечного принужденного, когда Uc=U и Z=0 при
/=°о, и переходного свободного затухающего процесса, ко-
торый получился бы, если бы в момент включения напря-
жение конденсатора было бы равно и противоположно на-
пряжению источника тока С70 =—
Поэтому, не повторяя всех предыдущих выкладок, мы мо-
г2
жем сделать заключение, что если —
^£3
то заряд кон-
денсатора происходит без колебаний, апериодически, по закону:
\
Т1 — т2 /
L
. Cdiir* ^2
I — —= U-С- —---------------------
dt Ъ
(91,9)
причем напряжение конденсатора монотонно увеличивается
от нуля до 17, ток же, начиная с нуля, сначала увеличи-
вается, достигает некоторого максимума и затем спадает до
нуля (фиг. 91,2). Когда характеристическое уравнение дает
/ 1 г2 \
комплексные корни — > —— , то при заряде конденса-
\ LC 4£2 /
тора получаются колебания напряжения конденсатора и тока
с той же частотой а>0 и с тем же коэфициентом затухания,
что и при разряде:
-ы
и = и — —sin (°V+х)
sin X
и
-it
i— U . -— • sin
(91,10)
§ 911
Зарядка конденсатора через сопротивления
453
Фиг. 91,3.
Напряжение конденсато-
ра совершает периодические
колебания со все уменьшаю-
щейся амплитудой около
своего конечного значения
U и ток около нуля (фиг. 91,3).
Когда сопротивление це-
пи равнялось бы нулю, то
и мы получили бы незатухающие колебания напряжения
конденсатора
«=t/[l —
(91,11)
которое менялось бы от 0 до 267, и незатухающий перемен-
ный ток
U . , °
1^—. sinw0/^—=
co0L I/
Г С
sin
(91,12)
454 Магнитное поле [гл. 3
Наибольшие напряжения, которые может получить кон-
денсатор и ток при заряде, не могут быть больше 2(7 для
напряжения и —для тока (фиг. 91,4).
92. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ
Несмотря на неоднократно предпринимавшиеся попытки
добиться единства в системе измерения основных величин,
характеризующих явления электричества и магнетизма, и од-
нообразие в форме записи уравнений, связывающих эти ве-
личины между собой, до сих пор эта цель далеко еще не
достигнута.
Как в научной, так и в технической литературе встреча-
ются еще разные системы единиц, как-то: абсолютная элек-
тростатическая CGSE, абсолютная электромагнитная CGSM,
международная практическая и абсолютная практическая
MKSM система единиц. Существуют и другие системы единиц.
Кроме того, каждая из этих систем может быть рационализо-
вана. Рационализованной системой называется такая, в ко-
торой в уравнения, выражающие основные законы, как-то:
закон Кулона (уравнение) и закон Био-Савара, вводят в зна-
менатель числовой множитель 4тс с целью упрощения расче-
тов при дальнейшем пользовании ими. Системы эти остают-
ся несогласованными с системами единиц, применяемых в на-
стоящее время в механике и технике.
При построении теории, охватывающей определенную ка-
тегорию родственных явлений, стремятся ограничиться мини-
мальным числом основных исходных опытных законов и при
помощи их объяснять и выводить остальные законы, связы-
вающие различные стороны этих явлений. Так, механику ба-
зируют на опытных законах движения Ньютона, электрсста
тику на опытном законе Кулона, электромагнетизм—на эле-
ментарном, подтверждаемом опытом, законе Био-Савара. Од-
нако основные законы не определяют еще величин основных
единиц измерения. Они указывают лишь на то, в какой мере
одни величины зависят от других. Так, основной закон ди-
намики указывает, что между силой F, массой т и ускоре-
нием а существует следующее соотношение: F = kina, где
&— коэфициент пропорциональности, зависящий от выбора
единиц измерения F, т и а.
В каждой системе единиц различают основные единицы
от производных. Основными единицами являются такие,
которые не могут быть определены через другие основные
единицы в отличие от производных единиц, которые могут
быть определены через основные единицы. Общими для
§ 92]
Системы единиц измерения
455
всех систем единиц являются две единицы — единица длины
и Единица времени. Что касается числа основных единиц,
то в механике ограничиваются всего лишь тремя основ-
ными единицами: единицей длины, единицей времени и в ка-
честве третьей единицы — или единицей силы, или единицей
массы. Достигается это тем, что коэфициент пропорциональ-
ности k приравнивается безразмерной единице. В системе
MKS (метр-килограмм-секунда) основными единицами слу-
жат 1 метр, 1 секунда и в качестве третьей единицы — ки-
лограмм веса—Г kg — вес одного кубического дециметра
воды при 4° С на уровне моря.
В этой системе единицей скорости является 1 m/sec и
ускорения 1 m/sec3, а единицей массы — масса, вес которой
равен 9,81 kg, так как один килограмм веса сообщает те-
лу, которое весит один килограмм, ускорение 9,81 m/sec2.
Если, как это предлагается в абсолютной практической си-
стеме (MKS), за единицу длины принимается один метр, за
единицу времени одна секунда и за единицу массы один ки-
лограмм — 1 kg — масса одного кубического дециметра воды
при 4°С, то единица силы будет уже производной единицей,
которая при k = \ определяется как сила, которая массе в
1 kg сообщает ускорение 1 m/sec2. Такой единице силы при-
писывается наименование ньютон. Один ньютон равен
1N =0,102 kg (веса).
Системы единиц называются абсолютными, когда основ-
ные единицы их не зависят от географического места поло-
жения и не меняются с течением времени. В абсолютных
нерационализованных системах единиц коэфициенты про-
порциональности, определяющие размеры производных еди-
ниц, обычно приравниваются безразмерной единице. К аб-
солютным системам принадлежат системы CGS, CGSE, CGSM,
MKS.
Так, в системе сантиметр-грамм-секунда (CGS), в кото-
рой основными единицами служат 1 cm, 1 g и 1 sec, едини-
ца скорости равна 1 cm sec-1, единица ускорения 1 cm sec-2,
единица силы (дина) 1 dn = cm g sec-2, единица работы (эрг)
1 erg = l cm2 g sec-2 и т. д.
В учении об электричестве и магнетизме трех основных
единиц недостаточно; их должно быть четыре, так как такие
величины, как заряд, ток, магнитная индукция, магнитный
поток, не могут быть сами по себе сведены к механическим
величинам и для связи электрических и магнитных единиц е
механическими необходимо ввести еще какую-нибудь четвер-
тую единицу.
Утверждение, что абсолютная электростатическая система
единиц CGSE или электромагнитная CGSM обходится всего
тремя основными единицами 1 cm, 1 g и 1 sec, не обосновано.
456
Магнитное поле
[гл. 5
Закон Кулона:
F—k- (92,1)
не определяет величины единицы заряда. Сила взаимодей-
ствия зависит еще от физических свойств среды, разделяющей
эти заряды. Для разных сред сила взаимодействия будет раз-
лична, и коэфициент пропорциональности k должен учиты-
вать также влияние среды на силу взаимодействия зарядов.
Влияние среды учитывается введением так называемого
диэлектрического коэфициента (диэлектрической проницае-
мости) е:
F=±- (92,2)
Е f2
который для вакуума в системе CG3E приравнивается без-
размерной единице г = г0=1. Этим самым в систему CGSE
вводится четвертая основная единица, определяющая зави-
симость силы взаимодействия зарядов от среды, которая для
вакуума принимается равной единице. Для других, отличных
от вакуума, сред коэфициент е=гг-г0=£/. в системе CGSE
является также безразмерным числом.
В соответствии с этим, приравнивая для вакуума s=sr-e0=l
и ^ = ^2=^, единица заряда в системе CGSE определяется
как
д=гУ7. (92,3)
Заряд, действующий в вакууме на такой же заряд, находя-
щийся на расстоянии 1 ст, с силой, равной 1 dn,
A A A
[<?] = £д[г].2 —cm 2 g 2 sec . ~ (92,4)
Напряженность поля и потенциал в этой системе пишутся
в виде:
= и (92,5)
q £гг3 ег’г 4 '
где ez—отвлеченное число, диэлектрический коэфициент среды
-1-L-1 JL 1- -1
[f] = lcm 2g2 sec , [<p] = lcm 2g 2 sec . (92,6)
Единица напряжения или потенциала определяется, как еди-
ница работы (1 erg), деленная на единицу заряда:
2 —2 _1 J ,
гг/1 —. cm 'g'sec— —. cm 2g2 sec . (92,7)
1 J [<?] 2 J -i .
cm 2-g 2 -sec
§ 92]
Системы единиц измерения
457
В этой системе электрическое смещение или электрическая
индукция выражаются через
D = £Ц-47гА=(1 4- 4тЛг)Ё (92,8)
и электрическая индукция D, напряженность поля Е и по-
ляризация Р измеряются в одних и тех же единицах. Между
электрическим смещением и поверхностной плотностью заря-
дов на поверхности проводников существует соотношение
0=44 (92,9)
и формулы Гаусса должны быть записаны следующим обра-
зом: _ __
N=$DdS = 4~zQ и div D — 4~p. (92,10)
Уравнение Пуассона будет:
= О
и плотность энергии электростатического поля
1ГЭЛ = М=_!^ (92,11)
8х 8.т
В этой системе CGSE единица тока определяется как
= = cm 2g 2~sec~2; (92,12)
единица сопротивления в этой системе имеет размерность,
обратную размерности скорости:
[/?] = !sec. (92,13)
Что касается единиц измерения величин, относящихся к
магнитному полю, то исходным уравнением для их опреде-
ления может служить уравнение Био и Савара, которое в
нерационализованной форме имеет вид:
dB = ; (92 14)
гз гз \ у J
— магнитная проницаемость вакуума; у., — относительная
магнитная проницаемость. Для бесконечно длинного провод-
ника с током I магнитная индукция на расстоянии г полу-
чается равной:
(92,15)
458
Магнитное поле
[гл. 3
и сила взаимодействия на длине I двух одинаковых парал-
лельных токов, находящихся на расстоянии г,
F= p.r-;>o-2(92,16)
Г
В системе CGSE магнитная проницаемость для вакуума
уже не будет равна безразмерной единице. у.о имеет размер-
ность, обратную размерности квадрата скорости:
Ы = HH=cm-g-sec-3.cmz= ст-з5е(л
IWJ cm3gsec_4cm
Опыт показывает, что магнитная проницаемость вакуума
в системе CGSE должна быть приравнена
<92*18)
с3
где с—скорость света в cm sec Л
В этой системе
В-^7?-{-4^7=(1+4 т^Н\ (92,19)
магнитная индукция В, напряженность магнитного поля Н и
намагниченность J должны измеряться в одних и тех же ед и-
ницах:
г-1 3 1
[£] _ Ы_[Д _ cm~2-secWg2sec 2 __cm-£ л (92,20)
L J г cm
Закон электромагнитной индукции выражается через
е —------;
dt
плотность энергии магнитного поля
1Глагн=£-=-^ (92,21)
8 гс 8 гс с2
и уравнения Максвелла будут:
rot /7=4 гсб =4 гс,
дс
rot£ = — (92,22)
С2 tit \ > z
И вектор Пойнтипга:
У[£.??], (92,23)
§ 921
Системы единиц измерения
459
В рационализованной системе CGSE закон Кулона запи-
сывается. таким образом, что в знаменатель вводится мно-
житель 4it:
*71*72
4 к sr е0г2
(92,24)
Приравнивая для вакуума ег=1, £0=1 и измеряя силу
в dn и расстояние в ст, мы тем самым уменьшаем величину
единицы измерения заряда в
У 4 я 3,56 раза,
или, что то же самое, мы числовое выражение того же заря-
да увеличиваем в '|/г4^ раз. В соответствии с этим все еди-
ницы измерения (за исключением г, F, UZ) будут иметь дру-
гие величины. Вводя множитель 4тс, мы упрощаем целый
ряд уравнений:
£)=<;, N=^<f)DdS= Q,
div£>=p, ®rv2?-f-p=O, 1^эл = ^,
p p Hr* №
4 rc cM ’ 2 7: c2r ’ 2 т:с2г’
e = -^, =
dt л
rot Н = -{Ё+гг—, rot . (92,25)
1 r dt c~ dt
Абсолютная электромагнитная система электрических еди-
ниц CGSML была построена на законе Кулона для магнитных
масс или магнитных полюсов:
nti>m2
(92,26)
причем магнитная проницаемость вакуума была принята рав-
ной безразмерной единице Но“1’ что равноценно было введе-
нию четвертой основной единицы, учитывающей влияние
(Среды, в частности вакуума, на силу взаимодействия магнит-
ных полюсов. Исходя из этого закона, за единицу магнитной
доассы была принята масса, которая действовала бц § раку-
460
Магнитное поле
[гл. 3.
уме (p.z=zl, u0=l) на равную ей магнитную массу, находя-
щуюся на расстоянии 1 cm, с силой, равной 1 dn:
3 1
__ 2 2
т=гу F и \т] = cm g sec (92,27)
Напряженность магнитного поля в этой системе была
определена как сила, действующая на единицу магнитной
классы, и измеряется в эрстедах (Ое):
__i 1
т 2 2,
Н=------- и [A/]=cm g sec . (92,28)
err2
В этой системе, как и в системе CGSE, между единицами
измерения магнитной индукции, напряженности магнитного
поля и намагниченностью нет принципиальной разницы:
(92,29)
Но единице измерения магнитной индукции в системе CGSM
присвоено название гаусс, а единице магнитного потока—
название максвелл. Единица тока в системе CGSM опреде-
ляется по тому магнитному полю, которое создает вокруг
себя электрический ток. На основании закона Био и Савара
элементарная слагающая напряженности магнитного поля от
элемента тока Idl выражается в этой системе для вакуума
гЗ
(92,30)
что для магнитного поля бесконечно длинного проводника с
током 1 дает
(92,31)
и внутри бесконечно длинного соленоида с w витками на еди-
ницу длины Н —4 к lw. Напряженность поля внутри беско-
нечно длинного соленоида с числом токооборотов, равным
единице, есть в системе CGSM единица измерения напря-
женности магнитного поля, называемая эрстедом, и так как
в этой системе в вакууме В = Н> то два параллельных про-
водника с током 1 действуют друг на друга на длине / *с
Силой
Г
(92,32)
§ 92j
Системы единиц измерения
461
отсюда может быть определена единица тока в системе CGSM,
как ток, который, протекая по двум бесконечно длинным
проводникам, находящимся на расстоянии одного сантиметра,
действует на каждом сантиметре длины с силой, равной
двум динам (/=1, r=l, F=2). Размерность тока в этой
системе будет:
1 I
2 2 2—1
[/] = [Л =сш g sec (92,33)
и размерность заряда:
1 I
2 2
[?]=[/] [Z]=cm g .
(92,34)
Отношение размерности единицы заряда в системе CGSM
к размерности единицы заряда в системе CGSE имеет размер-
ность, обратную скорости,
1 1
2 2
[7] CGSM cm g
--------=------------— с ш "1 s е с
[71 CGSE 3 1
2 2 —1
cm g sec
(92,35)
и опыт показывает, что абсолютная электромагнитная еди-
ница заряда по своей величине в с раз больше абсолютной
электростатической единицы заряда, где с—скорость света,
выраженная в cm sec-1, т. е. что 1 абсолютная электромаг-
нитная единица заряда равна =^3-1010 абсолютных электро-
статических единиц заряда. В соответствии с этим закон
Кулона в нерационализованной системе CGSM должен писать-
ся следующим образом:
F= cqvcq2 _ q^--------- (92,36)
err2 sr£of3
и диэлектрический коэфициент для вакуума (гг=1) будет
в системе CGSM равен уже не единице, а
*о= ± . (92,37)
Единица напряжения в системе CGSM находится как от-
ношение единицы работы к единице заряда:
-2 1 1 _
и = Г 0’1= ^^- = ст 2 g 2 sec 2 . (92,38)
cm2g2
462
Магнитное поле
[гл. 3
Так как электрическая работа или энергия в абсолютных
системах CGSE и CGSM измеряется в эргах и единица за-
ряда в системе CGSM в с раз больше единицы заряда в си-
стеме CGSE, то единица напряжения или потенциала в си-
стеме CGSM в с раз меньше, чем в системе CGSF. Единица
напряженности электрического поля в системе CGSM также
в с раз меньше, чем в системе CGSE. Определяя электриче-
ское смещение или электрическую индукцию как произведе-
ние напряженности электрического поля на диэлектрический
коэфициент
D=er.zQ.E— Ё , (92,39)
мы между электрической индукцией и поверхностной плот-
ностью заряда на поверхности проводников получаем сле-
дующую связь:
D = 4~з (92,40)
и между электрической индукцией, напряженностью элек-
трического поля и поляризацией:
Р=е0£+4кР.
(92,40')
Плотность энергии электрического поля будет равна:
W
(92,41)
Сопротивление в системе CGSM /?=-у-имеет размерность
скорости
3 1
г т п 2 2 —1
[/?]= = — 1 g ; sec =cm sec . (92,42)
cm 2 g 2 see
Электродвижущая сила электромагнитной индукции будет вы-
ражаться через
е = — —•
dt.
И плотность энергии магнитного поля через
(92,43)
§ 92]
Системы единиц измерения
463
Уравнения Максвелла в системе CGSM пишутся в виде
rotZ7=Tf+^^-, (92,44)
rot£=— д-£- (92,45)
и вектор Пойнтинга будет определяться через
S = -L[Z77], (92,46)
В рационализованной системе CGSM законам Кулона и
Био и Савара дают следующую форму записи:
r= -J7 11 “я= fe1 <Э2'47>
Эрм самым величина единицы измерения магнитной мас-
сы уменьшается в 4К4тГ раз, а единица измерения напряжен-
ности магнитного поля уменьшается в 4z раз по сравнению
с нерационализованной системой CGSM. В рационализован-
ной системе CGSM форма записи уравнений будет следую-
щая:
Е)=^-Е= i Е=г0 Ё -\-р, D=s, N—fudS=ZQ,
divZ?=p> -уvWp=o> ^4 = ^»
В=Н+7, е=-~, =
гсШ^ЛЧ--^^, rot£=-^, S=[£77]. (92,48)
Cj. v я_/С яУ L
Система GGSE наиболее приспособлена для измерения ве-
личин электростатического поля, система CGSM для изме-
рения величин магнитного поля. Система CGSE обыкновенно
не применяется для измерения величин магнитного поля, а
система CGSM для измерения величин электростатического
поля.
Существует так называемая симметричная система Гаусса,
в которой величины электрического поля измеряются в си-
стеме CGSE, а величины магнитного поля в системе CGSM,
464
Магнитное поле
[гл. 3
В такой симметричной системе единиц уравнения, относя-
щиеся к величинам электростатического и к величинам элек-
тромагнитного поля, записываются, как в соответствующих
нерационализованных системах CGSE и CGSM. Отлично за-
писываются уравнения Максвелла и вектор Пойнтинга:
сто1Н-^т^Е-\-ггд^, crotE=-^^E (92,49)
и
5= £[£??]. (92,50)
Указанные системы единиц измерения электрических ве-
личин, разработанные для теоретических исследований, ока-
зались неудобными для лабораторного пользования и для
практических целей, главным образом вследствие трудности
и кропотливости воспроизведения образцов (эталонов) единиц
измерения. В связи с этим стали пользоваться опытными об-
разцами, как-то: единицей сопротивления, носившего название
сименса1 и представлявшего собой сопротивление при t—0°С
ртутного столба высотой в 1 m и сечением в 1 mm2 и рав-
ного 0,9407 международного ома, и единицей напряжения или
э. д. с, носившего название даниэля и равного 1,09—^1,10 э.д-с.
элемента Даниэля, а ток измерялся в даниэлях, деленных на
сименс. В дальнейшем была разработана и согласована меж-
дународными съездами' так называемая международная прак-
тическая система единиц, построенная на базе абсолютной
электромагнитной системы электрических единиц и применяе-
мая в настоящее время на практике во всех странах мира.
От системы CGSM международная практическая система
электрических единиц отличается тем, что в ней в целях
большего удобства практического применения и согласования
с ранее употреблявшимися единицами были приняты еди-
ницы, находящиеся с единицами CGSM в отношениях, крат-
ных десяти, и эти единицы носят название имен ученых в знак
признания их заслуг в деле изучения электрических и маг-
нитных явлений. При введении международной практической
системы было установлено, что все электрические единицы
измерения определяются по двум основным эталонам: по эта-
лону сопротивления—ому, который должен был равняться 109
единицам сопротивления CGSM, и эталону тока—-амперу,
который должен был равняться одной десятой единицы тока
в системе CGSM. Эти эталоны были осуществлены с ма-
ксимальной в то время точностью. Они сравнительно легко
1 В настоящее время название сименс присвоено единице проводи-
мости, обратной международному ому.
§ 92]
Системы единиц измерения
465
могут быть воспроизведены. Такие эталоны в настоящее
время хранятся в соответствующих государственных учреж-
дениях мер и весов (эталоном сопротивления является меж-
дународный ом—1 £2 int). Это — сопротивление при темпера-
туре t°=O°C ртутного столба длиной в 106,300 cm и с мас-
сой в 14,4521 g, что соответствует сечению в 1 mm2. Второй эта-
лон — международный ампер (1 A int) определяется по серебря-
ному вольтаметру. Международный ампер — это такой неизме-
няющийся во времени постоянный ток, который, проходя через
водный раствор азотнокислого серебра, отлагает в секунду
1,118 mg серебра. По этим двум основным единицам 1 £2 и
1 А и по единице длины ст и времени see были определены
все остальные международные единицы измерения. Так, еди-
ница заряда — один международный кулон !Cint = lAintX
X1 sec, единица напряжения один международный вольт
1 Vint — 1 £2int • 1 Aint, единица работы один международный
джоуль 1 Jint = 1 Vint • 1 Сint, один международный генри
1 Н int = 1 £2 int • sec, одна международная фарада 1 F int =
В этой системе как диэлектрический коэфициент, так и
магнитная проницаемость вакуума отличаются от единицы.
И если применить рационализованную запись уравнений, то
законы Кулона и Био и Савара выражаются через
и dB=^'I[dl3r], (92,51)
4л; г3 * * * * В \ /
pm, F
е =0,С8360 —
и ’ ст
И
-8 F
р.л=1,2560-10 — •
го ’ ст
В рационализованной практической системе единиц все
уравнения записываются значительно проще и.однообразнее,
особенно, если их сравнить с таковыми в системе CGSE и
CGSM.
Как впоследствии оказалось, положенные в основу между-
народной практической системы единиц международный ом
и ампер не вполне точно соответствуют 109 и 10 единиц
сопротивления и тока в системе CGSM и что потому все ос-
тальные единицы измерения отличаются от кратных десяти
точных единиц в системе CGSM. Величины единиц измерения
международной практической системы, приведенные, насколь-
ко это позволяет совоеменная измерительная техника, в точ-
30 К. А. Круг, т. 1.
466
Магнитное поле
[гл. 3
ное соответствие к точным десятикратным или десятичным
долям единиц системы CGSM, называются абсолютными прак-
тическими электрическими единицами и система таких еди-
ниц называется абсолютной практической системой. Ниже
приводятся соотношения между международными и абсолют-
ными практическими единицами:
1 Sint =1,00051 Sabs
1 A int = O,99996 A abs
1 Vint= 1,00047 Vabs
1 W int= 1,00043 W abs
1 J int= 1,00037 Jabs
1 Fint=0,99949 Fabs
1 Hint=l,00047 Habs
Как видно из этой таблицы, разница между абсолютными и
международными практическими единицами измерения весь-
ма незначительна и никакой роли в практических расчетах
не играет. Однако одобренная международным комитетом
мер и весов абсолютная практическая система единиц, совпа-
дающая с предложенной в свое время итальянцем Джор-
джи системой и которая должна была быть введена с 1 ян-
варя 1940 г., отличается от международной практической си-
стемы прежде всего тем, что она является единой практичес-
кой системой единиц для измерения как механических, так
и электрических величин. Основными единицами в этой абсолют-
ной системе приняты: единица длины—один метр, единица
массы—один килограмм, единица времени—одна секунда и
в качестве четвертой единицы—одна из электрических вели-
чин, для которой предложена единица магнитной проницае-
мости, в 107 большая магнитной проницаемости вакуума в
107
нерационализованной системе CGSM и в большая маг-
нитной проницаемости вакуума в рационализованной системе
CGSM. В этой системе единицей силы является ньютон—сила,
— 2
сообщающая массе в 1 kG ускорение Im sec , и единица ра-
боты один джоуль 1J=1N-Im, равный 0,239 малых калорий.
Абсолютный ампер в этой системе может быть определен
при помощи токовых весов по силе взаимодействия между
подвижными и неподвижными катушками (см. § 82), а абсолют-
ный ом через посредство термоэлектрического эквивалента,
как сопротивление, в котором при протекании через него
тока в один абсолютный ампер каждую секунду выделяется
0,239 малых калорий. Остальные абсолютные единицы без
труда определяются через абсолютный ампер и ом.
В настоящей книге в основу положена рационализованная
международная практическая система единиц, совпадающая-
в отношении значений единиц измерений с более чем доста-
§ 92]
Системы единиц измерения
467
точной для техники точностью с единицами абсолютной прак-
тической системы, введение которой задержалось войной.
Приводимые в книге расчетные формулы по сравнению
с таковыми, если бы они были написаны в абсолютных прак-
тических единицах, имеют то вполне допустимое отступление,
что длины измеряются не в метрах, а в сантиметрах, что со-
ответствует установившейся практике и дает более удобные
числовые значения при вычислениях.
Таблица 7
Сопоставление аналогичных величин и формул электричэской цепи,
электрического поля и магнитного поля
Электрическая цепь Электрическое поле Магнитное поле (контур имеет один виток)
Напряжение (э.д.с.) U Напряжение U Намагничивающ. сила /
Напряженность поля Напряженность поля Напряженность поля
Е=”~ 1 7- 1
Электрический ток Заряд Q — CU Магнитный поток Ф = L1
Плотность тока Электрическая индукция Магнитная индукция
5= V о D = — = е Е S Со II Со | е II
Удельная проводи- мость у Диэлектрическая посто- янная £ Магнитная проницае МОСТЬ pi
Проводимость Емкость Самоиндуктивность
/ 7 S g ~ и ~ 1 II о! £ II
(f) 8 dS = 0 ф Ddr = Q или 0 (j) BdS = 0
div о — 0 div D = р или 0 div В = 0
ф Ed( = е или 0 (£ Edl = 0 $) Hdl = / или 0
rot Е = 0 rot Е = 0 rot Н = j или 0
Энергия Энергия Энергия
W=UIt С U2 W = — 2 Л/2 ^=—
В табл. 7 приведен перечень величин и основных
формул, относящихся к электростатическому полю, цепи до-
стоянного тока и магнитному полю.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная практическая система
электромагнитных единиц 268
— система единиц 455
— электростатическая система
единиц 14
Авогадро число 208
Аккумулятор свинцовый 216
Аккумулятора емкость 220
— коэфициент отдачи 220
— э. д. с. 219
Аккумуляторы электрические 216
— Юнгнера-Эдиссона 220
Ампер 312, 267
— международный 148, 171
Ампера закон 283
Ампервитки 291
Амперметр 281
— тепловой 167
— электродинамический 391
Амперсекунда 15
Амплитуда колебаний 447, 448
Анион 206
Аполлония теорема 93, 106
Баланс энергии (магнитной) '385
----- электрического поля 75
Баркгаузена эффект 321
Барретеры 252
Био и Савара закон 270, 271
Больцмана постоянная 49, 225, 311
Вариометр взаимной индуктивности
435
Вебер 269
Вектор электрического смещения 55
Вектор-потенциал магнитного поля 297
Вестона нормальный элемент 171
Взаимная индуктивность между двумя
параллельными линиями 374
-----цепей без стали 371
— индукция 367
Взаимодействие двух токов 282
— заряженных тел 79
Видемана-Франца закон 204
Влияние краев конденсатора 88
Вольт 171
Вольта элемент 275
Вольтамперная характеристика 251
Вэльтова дуга 245, 247, 433
Вольтметр 281
— электродинамический 391
Вольтсекунда 269, 285
Время свободного цробега электрона
Вторичные элементы 216
Газотроны 248
Гальванические элементы 211
Гальванометр баллистический
115, 264, 392, 401
— Deprez-d’Arsonval’a 279
Гальванометры 277
— Эйнгофена 280
Гамильтона оператор 42
Гаусс 269
Гаусса преобразование 35, 44, 69,
74, 285
— теорема 31, 57, 66, 102, 258
Генератор 413
Генри 275
Герц 12, 295
Гильберт 11, 266
Гопкинсона ярмо 406
Градиент потенциала 24
Грина преобразование 44
Даниэля элемент 213, 214
Декадные сопротивления 161
Декремент затухания 449
Детекторы 232
Деформация диэлектрика 80
Джоуль (энергия, работа) 15
Джоуля-Ленца закон 163
Диамагнетизм 306
Дивергенция вектора магнитной ин-
дукции 287
---- плотности тока 147
----электрической индукции 32, 56
— объемная 33
— поверхностная 35
Диполи направленные 54
— электрические 45
Диссоциация молекул 169
Диссоциированное состояние 206
.Алфавитный указатель
469
Диэлектрики 11, 47
— изотропные 51
Диэлектрический коэфициент (прони-
цаемость) 14
--- вакуума 16
---кристаллов 56
------ относительный 16, 56
Дуговой разряд 245
Емкость двухпроводной линии, под-
вешенной над землей 112
— конденсатора 84
— между двумя цилиндрами 109
---проводом и землей' 110
--- цилиндрическим проводником
и крышкой 137
— однопрово^ной линии 111
— плоского конденсатора 88
— проводника 83
— прямолинейного провода
(антенны) 99
— прямоугольной шины 136
— сферического конденсатора 90
— уединенного шара 91
— цилиндрического конденсатора
103, 126
Железо чистое 326
Закон полного тока 291
-------в диференциальной форме
295, 315
----------интегральной форме 315
— электромагнитной индукции 359
Замкнутый ток в магнитном поле 300
Запирающий слой 252
Зарядка конденсатора 259
Зарядный ток 261
Заряды 52
Защитное кольцо 88
Зеемана эффект 309
Зеркальное изображение 95, 99
Зеркальный отсчет 278
Изготовление постоянных магнитов
330
Измерение емкости 115
— мощности 390
4ндуктивность двухпроводной линии
373
— кольца 369
— прямоугольной рамки 369
Индукционные линии у краев кон-
денсатора 88
— трубки 76
Индукция магнитная 268
— электрическая 28
• — электромагнитная 357
Индукция электростатическая 65
Искровой разряд 240
Катион 206
Катодное пятно 247
Кирхгофа второй закон 174, 176
— законы магнитных цепей 347
— метод уравнений 176
— первый закон 146
Колебательный разряд 439, 446
Коллектор 416
Коммутатор 416
Компенсационный аппарат 200
Конденсаторные вводы 104
Конденсаторы 83, 114
Контактная разность потенциалов 222
Конформное отображение 118
Концентрационные элементы 211
Концентрация ионов 209
Корона 240
Коэрцитивная сила 321
Коэфициент диффузии 210
— затухания 398, 449
— ионизации 240
— магнитной восприимчивости 310
— полезного действия линии постоян
ного тока 199
------термоэлементов 224
— поляризации 52
диэлектриков 49
— проницаемости сетки 231
— размагничивания 339
— рассеяния 355, 435
— рекомбинации 236
— самоиндукции 367
— связи 434
— усиления 230
Кривая первоначального намагничи-
вания 404
Кривые возврата 325
Кристаллическое строение стали 319
Критическая температура ферромаг-
нитного вещества 322
Критический режим гальванометра,
399
Круговые токи 305
Крутизна характеристики 230
Кулон 15
Кулона закон 12, 14, 266, 304
Купроксные выпрямители 252
Ланжевена формула 323
Лапласа уравнение 34, 59, 53, 64,
121, 293
Лапласиан 34,
Лармора прецессия 308
Лекланше элемент 215
Ле-Шателье термопара 224
Линейная плотность зарядов 22
470
Алфавитный указатель
Логарифмический декремент колеба-
ния гальванометра 397
Лоренцева сила 270
Магазины емкостей ИЗ, 114
— сопротивлений 160
Магнитная поляризация 310
— проводимость 346
— проницаемость 272, 318
Магнитное дутье 433
— поле двухпроводной линии 292
---как магнитостатическое 317
---(направление) 267
--- (определение) 267
---(основные свойства) 267
— сопротивление 346
Магнитные измерения 403
— индукционные линии 285
— тела 3®6
Магнитный дйполь 301
— лист 304
— момент электрона 305, 309
— поток 285
Магнитодвижущая сила 346
Магнитострикция 322
Магнитоэлектрические приборы 281
Максвелл 12, 256, 359, 364
Максвелла правило 300
— уравнения 295
—^формулы 138, 139, 140
Мгновенные выключатели 432
Метод амперметра и вольтметра 192
— Гельмгольца-Тевенена 181
— зарядки конденсатора 115
— зеркальных изображений 92
— контурных токов 177
— моста Уитстона 194
— подстановки 193
— сравнения отклонений 193
— суперпозиции 179
— трансфигурации 185
Механический момент электрона 305
— разрыв молекул 250
Модуляторы 232
Молекулы 48
Молекулярные токи 304, 312
Момент вращения магнитного диполя
303
Намагниченность 310
Намагничивающая сила 291
Направление тока 203
Напряжение смещения сетки 230
— электрическое 18
Напряженность магнитного поля 276
— в воздушном зазоре 350
— поля бесконечной плоскости 26
• 7- гтороннего поля 170, 210
Напряженность у поверхности изо-
лированного шара 91
— электрического поля 17, 26
— электрического поля в проводя-
щей среде 150
Незатухающие колебания 453
Нелинейные сопротивления 254
Неодинаковая поляризация 62
Неоднородное поле 78
— электрическое поле 27
Неоднородность диэлектриков 250
Непрерывность индукционных линий
Нормальные потенциалы 212
— слагающие магнитной индукции
333
— сопротивления 159
Ньютон 2С6, 283
Ньютона закон теплоотдачи 165
Область спонтанного намагничива ия
319
Объемная плотность зарядов 22
----связанных зарядов 59
----энергии электрического поля 73
Объемный эффект 233
Однозначность электрического поля
68
Однородное электрическое поле 25
Односторонняя проводимость 252
Ом международный 152
Ома закон 149, 150, 170, 207
----для магнитных цепей 347
Оператор 42
Оси намагничивания 320
Остаточный магнетизм 321
Осциллограф катодный 266
— шлейфный 281
Относительная магнитнай проница-
емость 318
Огсчет 117
Параллельное соединение проводни-
ков 152
Парамагнетизм 306
Пашена закон 244^
Пельтье эффект 225
Передача энергии постоянным током
188
Перенапряжение 433
Пермалой 329
Период колебаний 447
Петерсена конденсатор 101
Петля гистерезиса 381
Плазма 248
11лоскопараллельное электрическое
поле 118
Плотность тока 146
---- эмиссии 226
Алфавитный указатель
471
Плотность энергии магнитного поля
355, 377
Поверхностная плотность зарядов 22
Поверхностное сопротивление 250
Пограничный слой 253
Подвижность ионов 210, 236
Поле внутри двухгранного прямого
угла 124
— между двумя заряженными шара-
ми 94
— плоского конденсатора 87
— тонкого провода конечной длины
£6
— электрическое 12
— электрической оси 31
— эллипсоида вращения 98
Полупроводники 252
Поляризация газов 51
— диэлектриков 47, 48
— жидких диэлектрике з 51
— твердых дйэлекгриков 51
Поляризуемости диэлектрика 52
Поперечная сила давления магнитного
поля 408
Порог фотоэффекта 232
Порядковый номер Менделеевской
системы 13
Последовательное соединение про-
водников 152
Постоянная времени 260, 423
— гальванометра 280
Постоянные магниты 330, 353
Постоянный ток 145
Потенциал в бесконечности 68, 71
---проводящей среде электричес-
кого поля 150
*— ионизации 239
— поля 18, 19, 58
— резонанса 239
— суммарного поля 21
Потенциальная функция 18
Потенциальные коэфициенты 105, 112
Потери мощности 190
Потеря на гистерезис 382
---перемагничивание 384
— напряжения 191
Поток вектора индукции 28, 55
Правило левой руки 268
— правой руки 361
— штопора 361
Практическая система единиц 115
Преобразование звезды в треугольник
186
Прецессионные движения 306
Прибор тепловой 167
Принцип суперпозиции 21, 71
Пробой диэлектриков 250
Проводимость заземления металли-
ческой полусферы 157
Проводимость проводника 149
Проницаемость сетки 2SO
Протон 13
Пуассона уравнение 34, 59, 228, 298
Работа выхода 225
Развертка времени 266
Размагничивающий коэфициент 355
Разряд конденсатора 262
---- апериодический 440, 445
Рационализованная система 454
Резерфорда-Бора модель атома 13
Релаксационные колебания 265
Реостаты 161
Римана-Коши условие 120
Рихтера формула 383
Ричардсона закон 226
----трех вторых 228
Роговского пояс 406
Ротор вектора 39
—> — напряженности магнитного по-
ля 295
— в прямоугольной системе коорди-
нат 40
Ргутные выпрямители 217
Рустрата реостаты 161
Самоиндукция 367
Самостоятельный разряд 238
Свободные электроны 202
Связь 435
Сетка выпрямителя 248
Сила в электрическом поле 77
— вдоль магнитного поля 408
— натяжения в вакууме 79
— поперечного давления магнитного
поля 408
------- электрического поля 78
Силовые линии 21
Сименс 152
Скалярный потенциал магнитного
поля 288
Смещение электрическое 28
Сопротивление внутреннее 230
— добавочное 155, 282
— заземления 157
— электрическое 148
Спин электрона 305, 309
Сплавы стали 328
Сталь 327
Старение стали 327
Стокса преобразование 42
Стороннее поле 175, 271
Строение металлов 202
Тангенс-гальванометр 277
Таунсенда теория 240
Тензор 57
Тепловая теория прэбоя 251
472
Алфавитный указатель
Термоэлектрический ток 223
Термоэлектродвижущие силы 222
Тиритовые пластинки 252
Тихий разряд 242
Ток в вакууме 225
— насыщения 238
— смещения 256, 294
— электрический 145
Токи Фуко 427
Томсона гальванометр 278
— двойной мост 196
— правило 214
Трехпроводная система 191
Увеличение пределов измерения при-
боров 155
Угловая частота 448
Угол падения и преломления индук-
ционных линий 61
Ударная ионизация 251
Удельная проводимость проводника
150
Удельное сопротивление диэлектрика
264
Уитстона мост 183
Униполярная машина 416, 417
Уравнения линий поля 25
Фарада 83
Фарадеево число 208
Фарадеевская клетка 67
Фарадей 12, 267, 358, 364
Фарадея диск 416
— законы электролиза 208
Ферромагнетизм 318
Ферромагнитное вещество 322
Ферромагнитные тела 318
Фотоэлектричество 232
Фотоэлемент 233
Фрелиха формула 323
Характеристика ферромагнитных ма-
териалов 329
Холодная эмиссия 226
Циркуляция вектора 39
Частичные емкости 140, 142
Частота колебаний 447
Чувствительность гальвонометра 28G
Шаговое напряжение 158
Шварца преобразование 130, 132,
133, 134
Штейнметца формула 382
Штепсельный магазин 196
Шунт 155, 282
Эйнштейна соотношение 232
Эквипотенциальная поверхность 20
Экранирующее действие стальной
трубки 412
Электризация через влияние 67
Электродвижущая сила 168
---машин 414
Э. д. с. самоиндукции 367
Электролиз 206
Электролиты 206
Электрометр 87, 116
Электрон 13
Электронные лампы 226, 265
Электроны проводимости 202
Электропроводность газов 235
— диэлектриков 249
— проводника 150, 203
Электрострикции явление 80
Электрохимический эквивалент 209
Эмиссия электронов 226
Энергия магнитного поля 375
— электрического поля 71, 74
-------конденсатора 261
Эрстедт 267
Эталоны емкостей ИЗ, 114
p«.„opU {£»:
Технический редактор А. Д. Чаров
Сдано в пр-во 5/П 1945 г Подписано к печати 16/V 1946 г. Объем 29х/2 п. л.
31,5 уч.-авт. л. Тираж 25 000 Формат бумаги 60X^2 Vie-
А-65672 42 236 тип. знак в 1 печ. л. Зак'аз № 1003
Типография Госэнергоиздата МЭС. Москва, Шлюзовая наб., 10.
ОПЕЧАТКИ
Страница Строка Напечатано Должно быть
75 16 снизу
«3 13 снизу Q 2f Q2 2 С
95 112 5 сверху 11 снизу 'в числителе второй дро- би л г2 brd 2ml h г2 не 1
133 8 сверху я гоп
12 сверху —-+pl л h я
Круг К. А. — Основы электротехнйки, т. I.