Author: Арнольд В.И. Нарченко А.Н. Гусейн-Заде С. М.
Tags: математика математический анализ функциональный анализ зоология
Year: 1982
Text
в. и. арнольД;
А. Н. ВАЕЧЕНЙО,;';
С. М. ГУСЕЙН-ЗАДЁ
ОСОБЕННОСТИ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
Классификация
критических точек,
каустик и волновых фронтов
Под редакцией
В. И. АРНОЛЬДА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Основные понятия 5
§ 1. Простейшие примеры 5
§ 2. Классы 2-Г 23
§ 3. Квадратичный дифференциал особенности 47
§ 4. Локальная алгебра особенности и подготовительная теорема
Вейерштрасса 56
§ 5. Локальная кратность голоморфного отображения 66
§ 6. Устойчивость и инфинитезимальная устойчивость 89
§ 7. Доказательство теоремы устойчивости ........... 102
§ 8. Версальные деформации 111
§ 9. Классификация устойчивых ростков по генотипам 121
§ 10. Обзор дальнейших результатов 133
Глава II. Критические точки гладких функций 143
§ 11. Начало классификации критических точек 145
§ 12. Квазиоднородные и полуквазиоднородные особенности 149
§ 13. Классификация квазиоднородных функций 168
§ 14. Спектральные последовательности для приведения к нормаль-
нормальным формам 180
§ 15. Списки особенностей 188
§ 16. Определитель особенностей 203
§ 17. Вещественные, симметричные и краевые особенности 216
Глава III. Особенности каустик и волновых фронтов .... 229
§ 18. Лагранжевы особенности 229
§ 19. Производящие семейства 238
§ 20. Лежандровы особенности 248
§21. Классификация лагранжевых и лежандровых особенностей . . . 261
§ 22. Бифуркации каустик и волновых фронтов 278
Литература 292
Предметный указатель 303
22.16
A 84
УДК 513.775
ПРЕДИСЛОВИЕ
В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде. Осо-
Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических
точек, каустик и нолновых фронтов. — М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1982. — 304 с.
Теория особенностей дифференцируемых отображений — бурно разви-
развивающаяся область современной математики, являющаяся грандиозным обоб-
обобщением исследования функций на максимум и минимум и имеющая много-
многочисленные приложения н математике, естествознании и технике (так назы-
называемые теории бифуркаций и катастроф). Главы книги посвящены теории
устойчивости гладких отображений, критическим точкам гладких функций,
особенностям каустик и волновых фронтов в геометрической оптике.
Книга является первой частью задуманной авторами большой моно-
монографии. Во второй части будут изложены алгебро-топологические аспек-
аспекты теории.
Книга рассчитана на математиков — от студентов второго курса до науч-
научных работников, а также на всех потребителей теории особенностей в меха-
механике, физике, технике и других науках.
Владимир Игоревич Арнольд
Александр Николаевич Варченко
Сабир Меджидович Гусейн-Заде
ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов
Редактор В. В. Абгарян
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректоры Т. С. Вайсберг, Л. С. Сомова
ИБ К, 11008
Сдано в набор 18.05.81. Подписано к печати 05.04.82. Т-06850. Формат 60x90Vt«-
Бумага тип. jm; i. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 19.
Уч.-изд. л. 20,06. Тираж 7800 экз. Заказ JM5 477. Цена 2 р.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамевк Первая типография издательства «Наука»
199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12
1702050000—074
053@2)-82
КБ-9-33—82,
1 Издательство «Науна»
Главная редакция
фивико-математвческой
литературы, 1982
. . .нет ничего увлекательнее и грандиознее, ничто так*
не ошеломляет и не захватывает человеческого духа,
как начало какой-нибудь науки. С первых же пяти-
шести лекций вас уже окрыляют самые яркие надежды,
вы уже кажетесь себе хозяином истины. И я отдался
наукам беззаветно, страстно, как любимой женщине.
Я был их рабом и, кроме них, не хотел знать никакого
другого солнца. День и ночь, не разгибая спины, я зуб-
зубрил, разорялся на книги, плакал, когда на моих глазах
люди эксплоатировали науку ради личных целей. Но я
недолго увлекался. Штука в том, что у каждой науки
есть начало, но вовсе нет конца, все равно, как у перио-
периодической дроби. Зоология открыла тридцать пять ты-
тысяч видов. . .
А, П. Чехов. На пути
В этой книге изложены начала «зоологии» особенностей диффе-
дифференцируемых отображений. Эта теория — молодая отрасль ана-
анализа, занимающая в современной математике центральное поло-
положение: здесь пересекаются пути, ведущие от самых абстрактных
отделов математики (алгебраическая и дифференциальная гео-
геометрия и топология, группы и алгебры Ли, комплексные много-
многообразия, коммутативная алгебра и т. п.) к наиболее прикладным
областям (дифференциальные уравнения и динамические системы,
оптимальное управление, теория бифуркаций и катастроф, ко-
коротковолновые и перевальные асимптотики, геометрическая и
волновая оптика).
Основные приложения теории особенностей заключаются в вы-
выделении и детальном исследовании в каждой ситуации небольшого
набора наиболее часто встречающихся стандартных особенностей,
которые только и могут быть у объектов общего положения: все
более сложные особенности распадаются на простейшие при малом
шевелении объекта. Мы приводим довольно полные списки, ри-
рисунки и определители таких простейших особенностей для целого
ряда объектов (функций, отображений, многообразий, бифуркаций,
каустик, волновых фронтов и т. д.), стараясь по возможности
сократить читателю путь от исходных начал к приложениям.
В соответствии с этим мы стремились изложить основные идеи,~
методы и результаты теории особенностей таким образом, чтобы
читатель мог, не задерживаясь на обосновательной, теологической
части теории, как можно быстрее научиться применять ее методы
и результаты.
Особые усилия были приложены к тому, чтобы изложение ос-
основных идей и методов не заслонялось техническими деталями.
С наибольшей подробностью рассматриваются наиболее фунда-
фундаментальные и простые вопросы, в то время как изложение более
специальных и трудных частей теории носит характер обзора.
У читателя настоящей книги предполагаются лишь очень не-
небольшие математические познания (умение дифференцировать
1*
ПРЕДИСЛОВИЕ
и немного линейной алгебры и геометрии) *). Авторы старались
строить изложение так, чтобы читатель мог пропускать места,
оказавшиеся для него трудными, без большого ущерба для пони-
понимания дальнейшего. .
В настоящее время теория особенностей бурно развивается
(ср., например, списки нерешенных задач в [15] и [94]), и мы не
пытались охватить все многочисленные направления современных
исследований по теории особенностей и ее приложениям (неполная
библиография из примерно 500 работ имеется у Постона и Стюарта
[167] и у Брискорна [101]).
Основу этой книги составил ряд спецкурсов, читавшихся на
механико-математическом факультете МГУ в 1966—1978 гг. При
подготовке книги были использованы записки лекций, составлен-
составленные В. А. Васильевым, Е. Е. Ландис, А. Г. Хованским; А. Г. Хо-
Хованским написан § 5. Авторы благодарны перечисленным лицам,
а также участникам семинара по теории особенностей, помощью
которых они широко пользовались, в особенности А. Г. Кушни-
ренко, Е. И. Коркиной и В. И. Матову.
Комплексно-аналитические и алгебро-геометрические аспекты
теории особенностей (монодромия, пересечения, асимптотики ин-
интегралов и смешанные структуры Ходжа) войдут в готовящуюся
к изданию книгу «Особенности дифференцируемых отображений.
Алгебро-топологические аспекты».
Ясенево, март 1979 г.
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
*)¦ Читателя-нематематика полезно предупредить о терминологии:
lji многообразия — это многомерные обобщения кривых и поверхностей,
?t-: отображения — функций; диффеоморфизмы — это взаимно однозначные
отображения, дифференцируемые вместе с обратными им;
;2) преобразования множества — это взаимно однозначные отображения
множества на себя; группа преобразований множества — это набор преобра-
преобразований, содержащий наряду с каждым преобразованием обратное и наряду
с каждыми двумя преобразованиями их произведение; группа — продукт
аксиоматизации свойств групп преобразований;
3) алгебра есть продукт аксиоматизации свойств множества всех функ-
функций на многообразии (элементы алгебры, подобно функциям, можно скл1-
дывать и умножать друг на друга и на числа, причем выполняются обычные
правила ассоциативности, дистрибутивности и коммутативности; в алгебре
отмечен элемент 1 со ^войсгаом 1/ = /);
4) модуль над алгеброй есть продукт аксиоматизации свойств множества
всех векторных полей на многообразии (элементы модуля можно складывать
между собой и умножать на элементы алгебры);
5) идеал в алгебре — это ее подмодуль над самой собой. Пример: в ал-
алгебре всех функций на многообразии функции, обращающиеся в нуль на дан-
данном подмногообразии, образуют идеал.
Теория особенностей гладких отображений представляет собой
далекое обобщение исследования функций одной переменной на
максимум и минимум. Таким образом, особенности, о которых идет
речь, связаны не с разрывами и полюсами, а с обращением в нуль
некоторых производных или якобианов.
В настоящей главе вводятся основные понятия теории особен-
особенностей дифференцируемых отображений: особые точки, их локаль-
локальные алгебры и другие инварианты; определяются понятия, связан-
связанные с устойчивостью, и приводится начало классификации осо-
особенностей.
§ 1. Простейшие примеры
Здесь описана принадлежащая X. Уитни классификация осо-
особенностей гладких отображений пространств малых размерностей.
1.1. Критические точки функций. Точка х называется кри-
критической точкой функции /, если в этой точке производная
функции / равна нулю.
Пример. Пусть /: R ->
-> R — функция, заданная
формулой у=х2. Точка 0 —
критическая точка этой функ-
функции.
Критические точки функ-
функции делятся на критические
точки общего положения, или
невырожденные, и вырож- Рис. 1.
денные критические точки.
Определение. Критическая точка гладкой функции на-
называется невырожденной, если второй дифференциал функции
в этой точке — невырожденная квадратичная форма.
Пример. Критическая точка 0 функции у =х2 невырождена,
а критическая, точка 0 функции у =я3 вырождена (рис. 1).
Рассмотрим любую гладкую функцию, близкую (с производ-
производными) к функции у=х2. Ясно, что вблизи нуля эта функция будет
иметь критическую точку, подобную критической точке функции
г/=а:2. В этом смысле критическая точка функции у =я2 устойчива:
ПРЕДИСЛОВИЕ
и немного линейной алгебры и геометрии) *). Авторы старались
строить изложение так, чтобы читатель мог пропускать места,
оказавшиеся для него трудными, без большого ущерба для пони-
понимания дальнейшего. .
В настоящее время теория особенностей бурно развивается
(ср., например, списки нерешенных задач в [15] и [94]), и мы не
пытались охватить все многочисленные направления современных
исследований по теории особенностей и ее приложениям (неполная
библиография из примерно 500 работ имеется у Постона и Стюарта
[167] и у Брискорна [101]).
Основу этой книги составил ряд спецкурсов, читавшихся на
механико-математическом факультете МГУ в 1966—1978 гг. При
подготовке книги были использованы записки лекций, составлен-
составленные В. А. Васильевым, Е. Е. Ландис, А. Г. Хованским; А. Г. Хо-
Хованским написан § 5. Авторы благодарны перечисленным лицам,
а также участникам семинара по теории особенностей, помощью
которых они широко пользовались, в особенности А. Г. Кушни-
ренко, Е. И. Коркиной и В. И. Матову.
Комплексно-аналитические и алгебро-геометрические аспекты
теории особенностей (монодромия, пересечения, асимптотики ин-
интегралов и смешанные структуры Ходжа) войдут в готовящуюся
к изданию книгу «Особенности дифференцируемых отображений.
Алгебро-топологические аспекты);.
Ясенево, март 1979 г.
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
*) Читате ля-нематематика полезно предупредить о терминологии:
lji многообразия — это многомерные обобщения кривых и поверхностей,
а.; отображения — функций; диффеоморфизмы — это взаимно однозначные
отображения, дифференцируемые вместе с обратными им;
.•2) преобразования множества — это взаимно однозначные отображения
множества на себя; группа преобразований множества — это набор преобра-
преобразований, содержащий наряду с каждым преобразованием обратное и наряду
с каждыми двумя преобразованиями их произведение; группа — продукт
аксиоматизации свойств групп преобразований;
3) алгебра есть продукт аксиоматизации свойств множества всех функ-
функций на многообразии (элементы алгебры, подобно функциям, можно скл»-
дывать и умножать друг на друга и на числа, причем выполняются обычные
правила ассоциативности, дистрибутивности и коммутативности; в алгебре
отмечен элемент 1 со лгайсгвом 1/ = /);
4) модуль над алгеброй есть продукт аксиоматизации свойств множества
всех векторных полей на многообразии (элементы модуля можно складывать
между собой и умножать на элементы алгебры);
5) идеал в алгебре — это ее подмодуль над самой собой. Пример: в ал-
алгебре всех функций на многообразии функции, обращающиеся в нуль на дан-
данном подмногообразии, образуют идеал.
Теория особенностей гладких отображений представляет собой
далекое обобщение исследования функций одной переменной на
максимум и минимум. Таким образом, особенности, о которых идет
• речь, связаны не с разрывами и полюсами, а с обращением в нуль
некоторых производных или якобианов.
В настоящей главе вводятся основные понятия теории особен-
особенностей дифференцируемых отображений: особые точки, их локаль-
локальные алгебры и другие инварианты; определяются понятия, связан-
связанные с устойчивостью, и приводится начало классификации осо-
особенностей.
§ 1. Простейшие примеры
Здесь описана принадлежащая X. Уитни классификация осо-
особенностей гладких отображений пространств малых размерностей.
1.1. Критические точки функций. Точка х называется кри-
критической точкой функции /, если в этой точке производная
функции / равна нулю.
Пример. Пусть /: R ->
-»¦ R — функция, заданная
формулой у =х2. Точка 0 —
критическая точка этой функ-
функции.
Критические точки функ-
функции делятся на критические
точки общего положения, или
невырожденные, и вырож- Рис- !•
денные критические точки.
Определение. Критическая точка гладкой функции на-
называется невырожденной, если второй дифференциал функции
в этой точке — невырожденная квадратичная форма.
Пример. Критическая точка 0 функции у =х2 невырождена,
а критическая, точка 0 функции у =х3 вырождена (рис. 1).
Рассмотрим любую гладкую функцию, близкую (с производ-
производными) к функции у =х2. Ясно, что вблизи нуля эта функция будет
иметь критическую точку, подобную критической точке функции
с2. В этом смысле критическая точка функции у =я2 устойчива:
ОСЙОВВЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. 1
Рис. 2.
при малом шевелении функции она не исчезает, но лишь слегка
сдвигается.
Совершенно иначе ведет себя при малых шевелениях вырожден-
вырожденная критическая точка функции у =х3.
Пример. Рассмотрим семейство функций одной переменной
у=з?-\-ех. При малых е функции семейства можно рассматривать
как малое шевеление функции у=х3. Мы видим, что при этом ше-
шевелении вырожденная критическая точка х=0 либо исчезает (при
е >• 0), либо распадается на две невы-
невырожденных, на расстоянии порядка
\/\ е | от нее (при е <[ 0).
Таким образом, критическая точка
функции у =х2 устойчива, а функции
у =хй — неустойчива.
В случае функций одной перемен-
переменной разобраться во всей ситуации не-
нетрудно. Рассмотрим пространство Йвсех
интересующих нас функций *).
Выделим в этом пространстве мно-
множество функций, имеющих вырожден-
вырожденные критические точки или имею-
имеющих совпадающие значения в разных критических точках
(рис. 2). [В случае, когда область определения — отрезок, мы
будем причислять концевую точку к критическим, считая ее
невырожденной, если производная в ней ненулевая. ] Не-
Нетрудно сообразить, что такие «вырожденные» функции обра-
образуют тощее множество, а именно гиперповерхность, т. е. по-
поверхность коразмерности один, «задаваемую одним уравне-
уравнением», в нашем пространстве функций (ниже мы как придадим этим
словам точный смысл, так и докажем соответствующую теорему
в более общей ситуации). Указанная гиперповерхность делит наше
пространство функций на части, в каждой из которых все функции
«устроены одинаково»: их значения в последовательных критиче-
критических точках идут для всех функций в каждой из указанных областей
в одном порядке. Функции, не имеющие ни вырожденных крити-
критических точек, ни кратных критических значений, называются
функциями Морса. При малом шевелении функция Морса «сохра-
«сохраняет свой вид» и может быть превращена в исходную функцию
гладкими заменами независимой и зависимой переменных х и у.
В этом смысле функция Морса устойчива. Таким образом, в рас-
рассматриваемом случае отображений с одномерными пространствами
прообразов и образов устойчивые отображения образуют открытое
*) Это может быть пространство бесконечно дифференцируемых или до-
достаточно гладких функций, или пространство аналитических функций, или
даже пространство многочленов; область определения функций удобно счи-
считать компактной, рассматривая функции на окружности или на отрезке.
§ И
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
всюду плотное множество в пространстве всех отображений. При
этом устойчивые отображения допускают достаточно явное опи-
описание и классификацию, а неустойчивые, хотя и могут быть уст-
устроены гораздо более сложным образом (множество критических то-
точек гладкой функции может быть произвольным замкнутым множе-
множеством), превращаются в устойчивые при малом шевелении: каждая
сложная особенность рассыпается на несколько невырожденных,
устойчивых.
Идеал, к которому стремится теория особенностей, достигнут
в частном случае отображений на прямую (теория Морса). Ин-
Интересующие нас результаты теории Морса можно формулировать
следующим образом.
Теорема. 1) Устойчивые отображения /: Мт -*¦ R1 замк-
замкнутого *) многообразия Мт на прямую образуют всюду плотное
множество в пространстве всех гладких отображений.
2) Чтобы отображение f было устойчивым, необходимо и до-
достаточно выполнение следующих двух условий:
Мг Отображение f устойчиво в каждой точке (иначе говоря,
все критические точки функции f невырождены).
М2. Все критические значения функции f различны.
3) Отображение '/: Мт -> R1 устойчиво в точке х0 тогда и
только тогда, когда в окрестностях точек х0 ? Мт и yo — f (х0) ? R1
можно так ввести координаты хг, . .., хт; у, что отображение
запишется в одном из т -\- 2 видов:
MI. y = xl.
МИ,. у = х\+ ... +4-4+1- •••' ~*2 гAс = 0,1,...,т).
Доказательство"^см., например, в,*.[69]. |
Возникает вопрос, сохранится 'ли 'такое положение в больших
размерностях, т. е. для (отображений /: Мт -»• N" многообразий
произвольных размерностей т и п.
1.2. Критические точки и критические значения гладких
отображений. Рассмотрим дифференцируемое отображение /: Мт -*¦
->N". Прежде всего мы должны перенести на этот случай понятие
критической точки. Производная отображения / в точке х пред-
представляет собой линейное отображение касательного пространства
к многообразию-прообразу в точке х в касательное пространство
к многообразию-образу в точке / (х):
Пример. Пусть М2 — поверхность сферы в трехмерном про-
пространстве, N — плоскость, / — проектирование сферы вдоль вер-
вертикали на горизонтальную плоскость (рис. 3).
*) Здесь и далее замкнутое многообразие — это компактное многообра-
многообразие без края»
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Линейное отображение
Т
р
в точке х, в плоскость Т
ие f^.x
f (xiN,
плоскости TJM, касательной к сфере
касательную к горизонтальной пло-
плоскости, является невырожденным линейным отображением, если
точка х не принадлежит горизонтальному экватору сферы. Если же
х — точка экватора, то касательная плоскость к сфере в точке х
содержит вертикальную прямую. В этом случае оператор проек-
проектирования f^x имеет нетривиальное ядро (подпространство, пе-
переходящее в нуль). Ядро оператора f*x в точках экватора одно-
одномерно. Ранг оператора f*x в этих
точках равен 1.
Дадим теперь общее
Определение. Точка х
многообразия М называется
критической точкой для глад-
гладкого отображения /: М -*¦ N,
если ранг производной
Рис. 3. ^«: TxM-^-Tfix)N
в этой точке меньше макси-
максимально возможного, т. е. меньше меньшей из размерностей мно-
многообразий М и N:
rank/„.<[min(dimM, dimN).
Замечание. Пусть хх, . .'., хт — локальные координаты
в окрестности точки х на М и yt, . . . , у„ — в окрестности точки
/ (х) на N. Отображение / задается в этих координатах п гладкими
функциями от т переменных:
i/i = /i(*i. •••- *«). ••¦' y* = f.(*i> •¦•.•*«)•
Матрица (dfjdxj) называется матрицей Якоби отображения.
В этих терминах можно сказать, что точка х является критической,
если ранг матрицы Якоби в этой точке не максимален.
Пример. Для отображения проектирования сферы на го-
горизонтальную плоскость критическими точками являются точки
горизонтального экватора. Вне экватора ранг производной равен 2,
в точках же экватора ранг оператора f^x падает до 1.
Образ критической точки называется критическим значением.
Пример. Критические значения отображения проектирова-
проектирования сферы на плоскость образуют окружность видимого контура
сферы.
1.3. Дифференцируемая эквивалентность. При классификации
гладких отображений имеется несколько разных возможностей.
По-видимому, наиболее грубая классификация — топологическая:
мы считаем два отображения топологически эквивалентными, если
существуют гомеоморфизмы (взаимно однозначные взаимно не-
i U
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
прерывные отображения) многообразий прообраза и образа,
превращающие одно отображение в другое. Функции у ==х2 и у =х*
топологически эквивалентны.
Если fp: Mp -> Np, р—1, 2, — два данных отображения, то их
топологическая эквивалентность означает, что существуют гомео-
гомеоморфизмы h: Мх -> Мг и k: Nx -> JV2 такие, что /2 =kfth~x.
Иными словами, топологическая эквивалентность — это ком-
коммутативная диаграмма
в которой вертикальные стрелки — гомеоморфизмы.
Для целей анализа топологическая эквивалентность, как пра-
правило, слишком грубое понятие. Например, функция с вырожденной,
неустойчивой особенностью у—х41 топологически эквивалентна
устойчивой. Поэтому в теории особенностей основным является
другое понятие: понятие дифференцируемой эквивалентности.
Определение. Дифференцируемой эквивалентностью диф-
дифенцируемых отображений Д: М N / М N
рди Дффрнц
ференцируемых отображений Д: Мх
ется коммутативная диаграмма
дф
Nt и /2: М2 -> N2 называ-
называвертикали которой — диффеоморфизмы (взаимно однозначные ото-
отображения, дифференцируемые вместе со своими обратными *)).-
Замечание 1. На языке локальных координат отображе-
отображение^ ^=/к(:с)— это набор функций, диффеоморфизм h — это замена
независимых переменных х, диффеоморфизм к — замена зависи-
зависимых переменных у. С этой точки зрения вопрос о дифференцируемой
эквивалентности есть вопрос о том, можно ли превратить одно
отображение в другое^при помощи гладких замен независимых и
зависимых переменных.
Замечание 2. Выписанная выше коммутативная диа-
грамма означает тождество
В этой формуле h'1 стоит справа от /lt a к — слева. Поэтому
диффеоморфизмы h'1 пространства прообразов (и замены независи-
*) Здесь и далее слово дифференцируемый или гладкий означает, если
не оговорено противное, «непрерывно дифференцируемый нужное число раз»,
например бесконечно дифференцируемый.
10
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[гл, i
мых переменных х) называют еще правыми заменами. Точно так же
диффеоморфизмы к пространств образов (и замены зависимых пе-
переменных у) называют левыми заменами.
Замечание 3. Еще один способ выразить то же самое
состоит в следующем. Рассмотрим множество 2 (М, N) всех глад-
гладких отображений из М в N. Рассмотрим группу Diff M всех диф-
диффеоморфизмов многообразия прообразов М на себя и группу
Diff N всех диффеоморфизмов мно-
многообразия образов N на себя.
Прямое произведение групп
Diff M х Diff N
состоит из всех пар (h, к) диффео-
диффеоморфизмов пространств прообраза
(h: M-+M) и образа (к: N -+ N).
Рис 4 г Группа Diff M X Diff N действует
на множестве 2 (M, N) следующим
образом: если /?2(Л/, N), h?DtfiM, &?DiffLiV, то (h, k)f =
Нетрудно проверить, что это — действительно действие, т. е.
что
Это действие называется лево-правым *) (действие Diff M
называется правым, а действие Diff N — левым).
I i В^ этих терминах мы можем переформулировать определение
дифференцируемой эквивалентности так: два отображения М в N
дифференцируемо эквивалентны! если и только если они принадле-
принадлежат одной орбите лево-правого действия (рис. 4).
Пример. Связные компоненты множества всех функций
Морса (определенных в п. 1.1) являются орбитами лево-правого
действия.
1.4. Устойчивость. Рассмотрим гладкое отображение f:M -*• N
замкнутого многообразия М в многообразие N.
Определение. Отображение / называется дифферен-
дифференцируемо устойчивым (или подробнее лево-право-дифференцируемо
устойчивымх или короче — просто устойчивым),, если всякое до-
достаточно близкое **) к нему отображение ему дифференцируемо
эквивалентно.
Иными словами^ / устойчиво, если его лево-правая орбита
открыта.
*) Не путать с левым действием в алгебраической терминологии.
**) Достаточно мало отличающееся от / при учете достаточно большого
числа производных.
§ 1]
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
11
Рис. 5.
Пример. Отображение проектирования сферы на плоскость
устойчиво. Отображение окружности {ж mod 2тс} в прямую {у},
заданное формулой у =sin 2x, неустойчиво.
Замечание. Если заменить дифференцируемую эквива-
эквивалентность в предыдущем определении топологической, то полу-
получится определение топологической устойчивости.
Пример. Отображение проектирования сферы на плоскость
топологически устойчиво, как и всякое дифференцируемо устой-
устойчивое отображение. Топологически устойчивые, но дифференци-
дифференцируемо неустойчивые отображения существуют, но указать пример
не так легко (см. [67]). Формула j/s=
=sin 2x задает топологически неустойчи-
неустойчивое отображение окружности в прямую.
Существуют также локальные ва-
варианты введенных понятий. Например,
особенность функции у =х2 в нуле
устойчива, а особенность функции у =х3
в нуле неустойчива. Чтобы дать фор-
формальное определение устойчивости ото-
отображения в точке, мы воспользуемся
следующей терминологией.
Определение. Ростком отображения М —*¦ N в точке х
из М называется класс эквивалентности отображений <р: U -> N
(каждое из которых определено в некоторой (своей) окрестности U
точки х в М); здесь два отображения считаются эквивалентными,
если они совпадают в некоторой окрестности точки х (эта окрест-
окрестность имеет право быть меньшей, чем пересечение окрестностей,
в которых определены оба отображения). Про два отображения
из одного класса говорят также, что они имеют общий росток
в точке х (рис. 5).
Иными словами, росток отображения / в точке х — это то, что от
отображения остается, когда мы «бесконечно уменьшаем область
определения».
Определение. Два ростка гладких отображений назы-
называются (лево-право, дифференцируемо) эквивалентными, если су-
существуют ростки диффеоморфизмов прообраза и образа, переводя-
переводящие первый росток во второй (если росток отображения Д в хх
эквивалентен ростку Д в хг, то существуют росток в агх диффео-
диффеоморфизма h, переводящего х1 в х2, и росток в Д (:ех) диффеомор-
диффеоморфизма к, переводящего Д (хг) в Д (х2), такие, что к (Д (к'1 (х)))=
—/г (х) в достаточно малой окрестности точки х2). Класс экви-
эквивалентности ростка в критической точке называется особен-
особенностью.
Определение. Росток гладкого отображения f:M-*N
в точке гнзМ (рис. 6) называется (лево-право, дифференцируемо)
устойчивым, если для сколь угодно малой. окрестности U точки
12
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. 1
х существует такая окрестность Е отображения *) / в Q (М, N),
что для любого отображения /изВв U найдется точка х такая, что
росток / в х эквивалентен ростку /bi.
Нетрудно проверить, что устойчивость в точке — свойство
ростка, а не отображения: это свойство не теряется при изменениях
/, не затрагивающих хоть какую-нибудь окрестность точки х.
Аналогично определяются топологическая эквивалентность ро-
ростков и топологическая устойчивость ростков.
Пример. Ростки отображений у =х2 и у=х* вещественной
прямой в нуле топологически эквивалентны. Росток у =хг в О
топологически (и даже дифференцируемо)
/V Р~ устойчив. Росток y=xi в 0 дифференци-
дифференцируемо (и даже топологически) неустойчив.
1.5. Устойчивые отображения двумер-
двумерных многообразий на двумерные. Начнем
с уже рассматривавшегося примера — ото-
отображения проектирования сферы на пло-
м скость (рис. 3). Особенности проектирова-
проектирования — это точки на экваторе сферы. Не-
трудно сообразить, что росток отображе-
отображения в каждой точке экватора устойчив.
Трудно представить себе, чтобы существовали другие устойчи-
устойчивые особенности отображений двумерных многообразий на дву-
двумерные. Действительно, то, что мы видим, рассматривая гладкие
поверхности трехмерных тел, — это видимые контуры, состоящие
из критических значений отображения проектирования поверх-
поверхности на сетчатку глаза. Обычно нам кажется, что эти видимые
контуры состоят из гладких кривых. Однако, поглядев вокруг
себя (скажем, на лица окружающих нас людей) более внимательно,
мы можем обнаружить, наряду с особенностями типа особенности
проектирования на экваторе сферы, особенности еще одного типа.
Эти особенности были открыты X. Уитни, который в работе 1955 г.
[196 ] полностью описал особенности отображений общего положе-
положения двумерных многообразий на двумерные. Эта работа Уитни
является основополагающей для теории особенностей, датой рожде-
рождения которой считается поэтому 1955 год.
Уитни установил, что всякое гладкое отображение компактного
двумерного многообразия в двумерное может быть как угодно близко
(с любым числом производных) аппроксимировано устойчивым
отображением.
сс Д7
Рис. 6.
*) Окрестность данного отображения — это множество всех отображе-
отображений, мало отличающихся от данного с учетом производных до фиксирован-
фиксированного порядка. В интересующем нас сейчас локальном случае- можно счи-
считать, что М CZ Rm и iVczR" — области евклидовых пространств и Е
задается неравенствами | (/—/)|U<?, где ||g||j.== sup \д"%1дз?\.
§ И
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
13
Далее, он исследовал строение устойчивых отображений. Росток
такого отображения в каждой точке устойчив. Уитни описал все
устойчивые ростки отображений двумерных многообразий (их
оказалось/ с точностью до дифференцируемой эквивалентности,
ровно 3). Наконец, он доказал, что отображение компактного дву-
двумерного многообразия на двумерное устойчиво, если его росток
в каждой точке устойчив и критические значения расположены
«общим образом» (это — обобщение условия несовпадения крити-
критических значений в разных критических точках для функций
Морса, см. п. 1.1).
Теорема Уитни. Отображение двумерного многообр -
зия в двумерное устойчиво в точке тогда и только тогда, когда
в подходящих локальных координатах (х1У х2) в прообразе и (Уг,у2)
в образе отображение записывается в одном из трех видов:
У1 Уг=хх, у2=х2 (регуляр-
(регулярная точка);
УП у1 =х\, уз =х2 (складка);
УШ %\
(сборка)
(рассматриваемая точка имеет
координаты х1=х2=0).
Иными словами, каждый
устойчивый росток отображения
двумерного многообразия на
двумерное дифференцируемо
эквивалентен одному их трех
ростков отображений приведен-
приведенного списка в нуле.
Первый из приведенных ростков — это росток диффеомор-
диффеоморфизма. К такому виду приводится всякое гладкое отображение
двумерных многообразий в окрестности некритической точки.
Особенность отображения второго типа называется складкой.
Это отображение плоскости на плоскость можно рассматривать как
семейство отображений прямой на прямую (j/i=a;f), зависящих
(тривиальным образом) от одного параметра (у2 =х2)-
Пример. Проектирование сферы на горизонтальную пло-
плоскость имеет на горизонтальном экваторе особенность типа складки,
в чем легко убедиться, выбрав подходящие локальные координаты
(х2 и у2 — долгота, хг — широта, рис. 7).
1.6. Сборка Уитни. Сборкой Уитни называется третья устой-
устойчивая особенность приведенного выше списка, т. е. особенность
отображения
Ух == Х1 Г Х\Х11 У-2 —: Х2
в нуле. Чтобы ясно представить себе эту особенность, реализуем
ее как особенность вертикального проектирования гладкой
Рис. 7.
14
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
поверхности из трехмерного пространства на горизонтальную
плоскость.
С этой целью рассмотрим график функции уг =xf+хххг в трех-
трехмерном пространстве с координатами (хг, х2, г/х) (рис. 8). График
этот диффеоморфен плоскости (всякий график гладкого отобра-
отображения диффеоморфен области определения): в качестве координат
на графике можно взять хх и х2. Рассмотрим пересечение графика
с вертикальной плоскостью a;2=const. При фиксированном значе-
значении х2 уравнение ух =х\-\-х1х2 оп-
определяет кубическую параболу,
лежащую в вертикальной пло-
плоскости. Несколько таких парабол
изображено на рис. 8.
Если х2^> 0, то вдоль соответ-
соответствующей кубической кривой уг
монотонно растет вместе с хг. Если
же х2 < 0, то ух имеет две крити-
критических точки — локальный макси-
максимум и локальный минимум.
Рассмотрим теперь проектиро-
проектирование нашего графика на горизон-
горизонтальную плоскость, (жх, х2, уг) ь->
ь-> (х2, уг). Полученное гладкое
отображение поверхности на пло-
плоскость имеет в начале координат
особенность типа сборки. Дей-
Действительно, рассмотрим следующие
системы координат: {х1, х3) — на графике, (ух, у2—х2) — на го-
горизонтальной плоскости. В этих координатах отображение проек-
проектирование записывается в точности формулами сборки Уитни.
Теорема Уитни утверждает, что особенность устойчива. В част-
частности, при малом шевелении нашей поверхности в трехмерном
пространстве образуется поверхность, проектирование которой на
горизонтальную плоскость имеет в некоторой близкой к началу
координат точке подобную же особенность.
Задача. Найти критические точки отображения Уитни
Рис. 8.
Решение. Матрица Якоби имеет вид
О
I
В критических точках ранг этой матрицы меньше двух, т. е. ее
определитель равен нулю: Зх%-\-х2=0. Следовательно, множество
критических точек — гладкая кривая. На плоскости с координа-
координатами (жцх2) уравнение 3^+^2=0 задает параболу (рис. 9).
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
15
На нашем графике в трехмерном пространстве критические
точки проектирования — это точки, где касательная к графику со-
содержит вертикальную прямую. Ясно, что таковыми являются все
критические точки функции ух на описанных выше кубических
параболах. Мы заключаем, что все эти точки образуют гладкую
кривую на графике (без вычислений это не очевидно).
Задача. Найти критические значения отображения Уитни.
Решение. В критических точках -т2 =—Ъх\. Подставляя
вместо х2 етол выражение через х1г получаем параметрическое
уравнение множества критических значений:
Ух = xi + гА =
Итак, множество критических значений — .,
полукубическая парабола на плоскости (ylf y2). a
Эта кривая имеет особую точку (острие, назы-
называемое также точкой возврата) в начале ко-
координат. Она делит плоскость на две части. При
отображении Уитни каждая точка из меньшей
части имеет 3 прообраза, а из большей — один
прообраз.
Замечание. Если смотреть на поверх- t
ность графика сверху вниз4 то мы увидим лишь
верхнюю складку, заканчивающуюся в точке
сборки, и она будет иметь вид половины полу-
полукубической параболы. Большинство поверхно-
поверхностей, которые мы видимг — непрозрачные поверхности. Поэтому
обычно мы видим^ что складка заканчивается в точке сборки, но не
замечаем острия.
Пример. Рассмотрим поверхность тора в^трехмерном про-
пространстве, изображенную на рис. 10. Ясно видны две точки'сборки.
Если бы тор был прозрачным, мы увидели бы картину, изображен-
изображенную на рис. 11, с четырьмя сборками. Прозрачные торы встреча-
встречаются редко. Чаще можно встретить гладкую поверхность стеклян-
стеклянной бутылки. Рассматривая горлышко, легко заметить две точки
сборки (рис. 12). Двигая бутылкуг можно убедиться в их устойчи-
устойчивости.
1.7. Катастрофы. Теорема Уитни утверждает, что складки
и сборки не уничтожаются при малых шевелениях, а все более
сложные особенности рассыпаются при малом шевелении на складки .
и сборки и потому не должны встречаться у гладких отображе-
отображений двумерных многообразий общего положения. Гладкие отобра-
отображения встречаются везде. По теореме Уитни мы должны повсюду
встречать контуры складок и острия полукубических парабол на
них. Эта замечательная теорема породила много спекуляций, глав-
главным образом связанных с именами Р. Тома и К. Зимана. Вся об-
область применений теоремы Уитни была названа Томом теорией
Рис. 9.
16
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Рис. 10.
Рис. 11.
катастроф. По теории катастроф опубликованы и публикаются
сотни работ, главным образом прикладных. Обычная схема рас-
рассуждений в теории катастроф такова. Рассматривается гладкая
поверхность в трехмерном пространстве, о которой обычно почти
ничего не известно, вместе с отображением проектирования на
плоскость. Поскольку о поверхности ничего не известно, она пред-
полагается поверхностью общего по-
положения. В таком случае особенности
проектирования — складки и сборки.
Уже одно это может приводить к не-
некоторой информации о скачках, или
«катастрофах», которые могут про-
происходить с рассматриваемыми объек-
объектами.
Ниже приведен пример такого «при-
«приложения». Он более или менее заимство-
заимствован из работ Зимана.
Будем характеризовать творческую
личность (скажем, ученого) тремя пара-
параметрами, называемыми «техника», «увле-
«увлеченность», «достижения». По-видимому,
между этими параметрами должна быть
зависимость. Тем самым возникает по-
поверхность в трехмерном пространстве
с координатами (Т, У,¦ Д). Спроектируем
эту поверхность на плоскость (Т, У).
Для поверхности общего положения
особенности проектирования — складки
и сборки. Утверждается, что сборка,
расположенная, как это изображено на
рис. 13, удовлетворительно описывает
наблюдаемые явления.
Действительно, посмотрим, как в этих предположениях будут
меняться достижения ученого в зависимости от его техники и
увлеченности. Если увлеченность невелика, то достижения моно-
монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность
достаточно велика, то наступают качественно новые явления.
В этом случае достижения с ростом техники могут возрастать
скачком. Область высоких достижений, в которую мы при
этом попадаем, обозначена на нашей поверхности словом «ге-
«гении».
С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соот-
соответствующим ростом техники, приводит в область, обозначенную
словом «маньяки». Поучительно, что «катастрофы» — скачки
из. состояния «гений» в состояние «маньяк» и обратно — происходят
на разных линиях, причем при достаточно большой увлеченности
Рис. 12.
§ И
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
17
гений и маньяк могут иметь равную технику, различаясь лишь до-
достижениями.
Недостатки описанной модели слишком очевидны, чтобы гово-
говорить о них подробнее (см., например, [167]).
Существуют серьезные применения теории особенностей — на-
цример, в теории упругости, в оптике (особенности каустик и вол-
волновых фронтов), в теории осциллирующих интегралов (метод
стационарной фазы) и т. д. Мы вернемся к этим применениям
после того, как будет развита соот-
соответствующая техника.
1.8. Поле ядер производной
для складки и для сборки. Рас-
Распадения более сложных особен-
особенностей. Вернемся к сборке Уитни
(рис. 9) /: R2 -> R2:
Задача. Найти ядро произ-
производной Дд. отображения / в точке х.
Решение. Матрица Якоби
(Зж? -I- x2 xi\
О lj
Рис. 13.
имеет ранг 2 во всех точках, кроме критических. Критические точки
образуют параболу 3xf+^2 =0- В них ранг матрицы Якоби равен 1.
Следовательно, ядро производной имеет размерность 1 во всех этих
точках (как в точках складки, так и в точке
сборки).
Таким образом, на-параболе критических
точек возникает^поле] прямых — поле| ядер
производной. " ^1
Рассматривая^ матрицу fЯкоби, 'мы ^заме-
^замечаем, что ядро производной в каждой точке
параллельно оси хг (рис. 14).
Замечай ше. Из решения задачи видно,
что ядро производной касается кривой
особых точек только в точке сборки. Это
замечание часто позволяет быстро находить точки сборки отобра-
отображений общего положения двумерных многообразий. Согласно тео-
теореме Уитни для такого отображения: 1) множество критических
точек — гладкая кривая, 2) ядро производной в каждой точке
этой кривой одномерно, 3) в общих точках кривой особых точек
ядро производной трансверсально кривой, но в отдельных точках
этой кривой ядро касается ее.
Эти последние точки и являются точками сборки.
Рис 14
2 В. И. Арнольд и др.
18
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
, i
Пример. Рассмотрим отображение плоскости комплексного
переменного z=xx-\-ix% на плоскость комплексного переменного
w—Hi-\-iHi-, заданное формулой w=z2, как гладкое отображение
двумерной вещественной плоскости на двумерную вещественную
плоскость:
12
Ранг производной равен двум всюду, кроме точки z=0, где
производная равна нулю и где ее ядро, следовательно, двумерно.
Мы заключаем, что рассматриваемое отображение имеет в на-
начале координат особенность, отличную от складки и сборки. Сле-
Следовательно, по теореме Уитни оно неустойчиво, и его особенность
в нуле при малом шевелении отображения должна распасться на
складки и сборки.
В классе ростков голоморфных отображений С1 -» С1 особен-
особенность w =z2 устойчива. Поэтому для приведения в общее положение
в классе вещественных отображений обяэателно нужно сделать
добавкуг нарушающую голоморфность. Проще всего в качестве
возмущенного взять отображение
w = z2 -j- ez.
Это отображение близко к исходному в любом фиксированном круге,
если | е | достаточно мал.
Умножения z и w на числа позволяют менять е, поэтому до-
достаточно рассмотреть наше отображение для какого-нибудь не-
ненулевого е, не обязательно малого.
Мы возьмем е=2 и изучим особенности отображения вещест-
вещественной плоскости {z} на плоскость {w}% заданного формулой
Задача. Найти множество критических точек этого отобра-
отображения.
Решение. Производная нашего отображения имеет на век-
векторе I значение div (|)=2г?+2|. Производная вырождена, если
уравнение 2zg+2| =0 имеет ненулевое решение ?. Мы получаем
2=—1/|, откуда | z |=1. Итак2 множество критических точек —
окружность радиуса 1.
Задача. Найти поле ядер производной на окружности кри-
критических точек.
Решение. Из полученной выше формулы z=—?/? видно,
что, когда z обходит окружность критических точек один раз в по-
положительном направлении, ядро совершает поворот на угол я в от-
отрицательном направлении. Кроме того, ядро касается окружности
в точке z—l. Поэтому поле ядер имеет вид, изображенный на
рис. 15. Поле ядер касается окружности критических точек
в трех точках.
§ U
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
19
Задача. Найти множество критических значений исследуе-
исследуемого отображения.
Решение. Пусть критическая точка есть z^e'*. Соответ-
Соответствующее критическое значение есть u;=2e~"p+e2"i>. Это — пара-
параметрическое уравнение гипоциклоиды с тремя остриями (рис. 16).
Действительно, рассмотрим большой неподвижныйjKpyr радиуса 3,
внутри'которого катится, касаясь его, маленький круг радиуса 1.
Тогда центр маленького круга описывает окружность радиуса 2
Рис. 15.
Рис. 16.
с угловой скоростью вдвое меньшей, чем скорость вращения ма-
маленького круга, и направленной в другую сторону. Точка ма-
маленького круга описывает гипоциклоиду. Это и выражает приве-
приведенная формул а.
3 амечание. Можно доказать, что рассматриваемое ото-
отображение имеет лишь устойчивые особенности. Тогда из результатов
предыдущих задач следует, по теореме Уитни, что наше отображе-
отображение имеет три точки сборки, соединенные окружностью-складкой.
Таким образом, сложная особая точка отображения to=z2 распа-
распадается при малом шевелении (u;=z2+ez) так, что образуется три
сборки.
Заметим, что при малых | е | радиус окружности критических
точек также мал (он равен | е |/2), так что все три точки сборки
близки друг к другу.
Задача. Нарисовать образы окружностей разных радиусов
\z | =г при отображении w=z2-\-2z.
Решение. 0 переходит в 0, поэтому образ окружности ма-
малого радиуса мало отличается от малой окружности с центром в 0.
При увеличении г от 0 до 1 получаем семейство гладких кривых,
заканчивающихся гипоциклоидой с тремя остриями (рис. 17, а).
Образ окружности несколько большего радиуса в окрестности
образов точек сборки можно нарисовать, исходя из модели сборки
(рис, 8). В окрестности образа точки складки этот образ окруж-
окружности идет с той же стороны от гипоциклоиды! что и образ окруж-
2*
20
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
ности, радиус которой несколько меньше единицы. Получаем
кривую с тремя петлями, близкую к гипоциклоиде (рис. 17, б).
При дальнейшем увеличении радиуса окружности-прообраза
петли растут и кривая отодвигается от гипоциклоиды. Для неко-
некоторого г возникает тройная точка' (рис. 17, в), затем — кривая,
проходящая через'образы точек сборки (рис. 17, г); наконец, не
пересекающая множество критических значений кривая с тремя
точками самопересечения (рис. 17, д).
Замечание. Последняя кривая близка к окружности и два
раза обходит w=0, когда z обходит нуль один раз. Действительно,
отображение w=z2-\-ez в любой конечной области приближается
к w=z2 при е -* 0; поэтому отображение w=^z'i-\-1z «вблизи бес-
бесконечности» должно вести себя «почти
как» u>==z2.
Задача. Сколько прообразов
имеют точки областей внутри и вне
гипоциклоиды критических значений
при отображении u>==z2+sz?
Ответ. Внутри 4, вне 2.
Можно доказать, что особенность
отображения w=z% в нуле распадается
на три сборки не только при шевеле-
шевелении w=z2-\-ez, но и при любом малом
шевелении общего положения.
. Задача. Рассмотрим отображение плоскости на плоскость,
являющееся прямым произведением двух складок:
»! = «!. »« = *!•
Исследовать особенности его малого шевеления
с'
Ответ. См. рис. 18.
1.9. Особенности отображений двумерных многообразий в трех-
трехмерные. Уитни описал также особенности отображений общего
положения двумерных многообразий в трехмерные. Их также
оказалось конечное число. Образ такого отображения представ-
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
21
ляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Эта поверх-
поверхность может, разумеется, иметь линии пересечения двух листов
поверхности под ненулевым углом и отдельные точки, в которых
пересекаются три листа. Оказывается, кроме этих очевидных осо-
особенностей отображения общего положения могут иметь только
еще одну особенность. Эта особенность устойчива. Образ соответ-
соответствующего отображения — замечательная поверхность в трех-
трехмерном пространстве. Эта поверхность называется зонтиком
Уитни (или зонтиком Кэли). Этот зонтик ^изображен на рис. 19.
Изображенная поверхность пересекает плоскости z/3=const
по парам прямых j/f=aj/f, а плоскости г/2=const — по параболам
у3=Ъу?. Поэтому ее уравнение имеет
вид y\=yzy\.
Замечание. Написанному
уравнению удовлетворяют в R3 как
точки нарисованной поверхности,
имеющей линией самопересечения
положительную полуось у3, так и все
остальные точки оси yz. Поэтому
множество, заданное этим уравне-
уравнением, действительно имеет . вид свое-
своеобразного зонтика, ручка кото-
которого — это отрицательная полу-
полуось z/3.
Задача. Найти гладкое отображение R2 -> R3, образом ко-
которого является зонтик Уитни (без ручки).
Ответ. г/1=х1х2, у2=х^ У3=з%-
Определение. Особенностью Уитни отображения R2 -* R3
называется росток отображения плоскости в пространство
в нуле, заданный предыдущей формулой.
Уитни доказал, что эта особенность устойчива, что всякое
отображение компактного двумерного многообразия в трехмерное
аппроксимируется устойчивыми отображениями и что устойчивые
отображения не имеют других особенностей (см. [199], [200]).
1.10. Другие размерности. Общее отображение окружности
в трехмерное пространство не имеет никаких особенностей: малым
шевелением можно избавиться от них. Уитни доказал (еще в 30-х
годах), что гладкое отображение /: Мт ~* N" общего положения
не имеет особенностей (т. е. является вложением), если размер-
размерность пространства-образа достаточно велика, а именно если
п > 1т *). При п=2пг особенности также легко перечисляются
Рис. 19.
*) Размерность пространства хорд вложенного в Rft многообразия Мт
равна 2т, пространства касательных — 2т — 1, пространства направлений
прямых в Кк — к—1. Поэтому проекция Мт в Е* почти для всякого
направления проектирования является вложением, если A>2m-j-l. При
достаточно большом к гладкое отображение Мт в R4 легко аппроксими-
22
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
(появляются лишь трансверсальные самопересечения образа).
См. [197J—[200].
Противоположный случай малой размерности образа — это
случай одной функции, га=1. В этом случае все особенности ото-
отображения общего положения также устойчивы, все устойчивые
отображения локально задаются конечным списком (у=х или
Рис. 20.
На рис. 20 отмечены на плоскости (т, п) значения размер-
размерностей пространства прообраза и образа, которые мы рассмотрели
до сих пор. Для всех этих размерностей отображения общего
положения устойчивы. Оказывается, столь хорошее положение
имеется не при всех (т, п). Например, при т=л=9 устойчивые
отображения не плотны в пространстве всех отображений и не
существует конечного списка особенностей отображений общего
положения. Классы дифференцируемой эквивалентности особен-
особенностей отображений общего положения в точке образуют в этом
случае не дискретное, а непрерывное множество (существуют
непрерывные инварианты особенностей, так называемые модули).
Более того, при больших т и п число модулей само становится
бесконечным и типы особенностей начинают зависеть от произволь-
произвольных функций, число аргументов которых растет с ростом размер-
размерностей. Мы вернемся к этому вопросу в § 3 (п. 3.7, стр. 55).
ровать вложением. Проектируя (R* -»• R*-1 ¦
жение Мт в Егт+».
•RSm+1), получаем вло-
§2]
КЛАССЫ
§ 2. Классы Е1
Здесь особенности классифицируются по рангу первого диф-
дифференциала отображения и по рангам его сужений на .подмного-
.подмногообразия особенностей.
2.1. Классификация по вырождению первого дифференциала.
Пусть /: Mm-*N" — гладкое отображение, /„: ТхМт -> Tfix)N" —
его производная в точке х.
Определение. Точка х называется точкой класса ?* для"Ц,
если размерность ядра /„. равна i. Все точки класса ?* для / обра-
образуют подмножество в М, называемое мно-
множеством ?' для f и обозначаемое Е* (/).
Пример. Для отображения сборки
Уитни (рис. 21)
все критические точки — класса Е1, а некри
тические — класса Е°.
Замечание. В частности, точки
складки и точки сборки — одного клао > Рис< 21.
са Е1. ' '^ккШт'^-'-Ф:
Особенность отображения u>=z2 вещественной ^плоскости
в нуле — класса Е2. По теореме Уитни общие отображения дву-
двумерных многообразий не имеют особенностей ^класса Е2. Возни-
Возникает вопрос: как устроено множество Е* (/) для отображения
/: Мт —>¦ N" общего положения? В частности, какова^его|размер-
ность и когда оно непусто? Для формулировки ответа нам потре-
потребуется
Определение. Пусть A: Rm -*¦ R" — линейный опера-
оператор ранга г. Корангами оператора А в прообразе и в образе соот-
соответственно называются разности т—г и п—г.
Замечание. Коранги связаны с размерностью ядра i оче-
очевидными формулами: то—r—i, п—r=n—m-\-i.
Теорема («формула произведения корангов»). Для отобра-
отображений /: Мт -*¦ N" общего положения *) все множества Е* (/) —
гладкие подмногообразия в пространстве-прообразе. Коразмер-
Коразмерность многообразия Е1 (/) равна при этом произведению корангов:
dim М — dim Е' (/) = (т — г) (га — г)
(отрицательность размерности означает пустоту множества).
*) Множество отображений, не удовлетворяющих заключению этой тео-
теоремы, — не более чем счетное объединение замкнутых нигде не плотных мно-
множеств в пространстве гладких отображений; если же М компактно, то мно-
множество отображений «общего положения», о котором идет речь, открытое
и всюду плотное.
[ГЯ. i
Чтобы понять, откуда берется такая формула, мы рассмотрим
сначала соответствующую задачу линейной алгебры.
2.2. Стратификация пространства линейных операторов. Рас-
Рассмотрим множество всех линейных операторов А: Rm -> R".
Это линейное пространство конечной размерности тп (выбрав ба-
базисы, можно отождествить операторы с матрицами порядка тХп).
Мы будем обозначать зто пространство через L (т, п). Группы ли-
линейных замен координат в пространстве прообраза GL (тп) и в про-
пространстве образа GL (п) действуют на пространство матриц
L (т, п), и возникает лево-правое действие прямого произведения
обеих групп. Две матрицы лежат в одной орбите этого действия,
если они являются матрицами одного и того же оператора при раз-
разных выборах базисов в пространствах прообраза и образа.
Матрица любого оператора А записывается при подходящем
выборе базисов в специальном виде:
in
где Ег — единичная матрица порядка r=rank A. Таким образом,
множество всех матриц порядка тХп ранга г является одной ор-
орбитой лево-правого действия группы GL (т) X GL (п) на L (т, п).
Лемма. Множество всех матриц ранга г образует в L (т, п)
гладкое подмногообразие, коразмерность которого равна произведе-
произведению корангов.
Доказательство. Поскольку матрицу любого опера-
оператора ранга г в подходящем базисе можно записать в виде Ао, доста-
достаточно доказать лемму в окрестности этой матрицы. Запишем близ-
близкую к Ао матрицу в виде A :=A0-\-(aktl). При малых (aktl) ранг А не
меньше г. Он равен г, если и только если равны нулю' все миноры
порядка r-f-1, окаймляющие Е^
Мы получаем систему уравнений относительно элементов ма-
матрицы (aktl), определяющую многообразие Lr в окрестности ма-
матрицы А 0. Число этих уравнений равно числу окаймляющих ми-
миноров порядка r-f-1» т. е. равно произведению корангов (т—г)Х
Х(п—г). Эти уравнения независимы. Действительно, рассмотрим
окаймляющий минор, полученный добавлением строки и столбца,
на пересечении которых стоит ак%1. Разложение этого минора в ряд
Тейлора по а начинается с ahl'-\-0 (а2). Поэтому дифференциалы
наших (т—г)(п—г) миноров в пуле независимы.
Раз дифференциалы миноров независимы, равенство" миноров .
нулю по теореме о неявной функции определяет подмногообразие,
коразмерность которого равна числу уравнений, что и требовалось.
Разбиение пространства всех линейных операторов (матриц)
L (т, п) на подмногообразия Lr операторов (матриц) различных
«2]
классы г1
25
рангов называется естественной стратификацией, а многообра-
многообразия Lr — его стратами. Мы вычислили выше коразмерности этих
стратов: они равны произведениям корангов. Например, при т=п
коразмерности стратов коранга 1, 2, 3, ... равны соответственно
1, 4, 9, ...
Задача. Найти коразмерность множества симметрических
матриц коранга к в пространстве всех симметрических матриц
порядка п.
О т в е т. к (fc+1) /2, т. е. 1, 3, 6, ... при fc=l, 2, 3, ...
2.3. Теоремы трансверсальности. Чтобы вывести сформули-
сформулированную в п.2.1 теорему из алгебраической леммы п. 2.2, удобно
воспользоваться некоторыми общими понятиями и теоремами.
Определение. Два линейных подпространства конечно-
конечномерного линейного пространства называются трансверсалъными,
если их сумма есть все пространство (рис. 22).
Пример. В трехмерном пространстве два одномерных под-
подпространства никогда не трансверсальны, а два несовпадающих
двумерных — всегда трансверсальны, одномерное и двумерное
трансверсальны, только если одпомерное не лежит в двумерном.
Рис. 22.
Рис. 23.
Определение. Пусть дано гладкое отображение /: А -*¦ В
многообразия А в многообразие В, снабженное гладким под-
подмногообразием С. Отображение / называется трансверсалъ-
ным к С в точке а из А, если либо / (а) не принадлежит С, либо
(рис. 23) образ касательного пространства к А в а под действием
производной /#в трансверсален к касательному пространству к С:
Отображение / называется трансверсалъным к С, если оно транс-
версально к С в каждой точке из А.
Предложение. Если /: А -*¦ В трансверсалъно к С, то
1'1 (С). — гладкое подмногообразие в А, имеющее в А такую же
коразмерность, какую С имеет в В.
Пример. Пусть С — кривая в трехмерном пространстве В, и
пусть А одномерно. Тогда /: А -> В траневерсально к С, если я
только если образ А не пересекается с С,
26
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
СГЛ. I
Рис. 24.
Зам ечание. Образ А при отображении / может быть под-
подмногообразием в В, трансверсальным к С, а отображение / может
при этом не быть трансверсальным к С.
Пример. Отображение прямой А = {а} на плоскость
В={(Ь1, Ь2)}, снабженную подмногообразием С (^=0), заданное
уравнениями Ь1=а3, Ь2=0-
Замечание. Наиболее важным случаем является случай,
когда В — линейное пространство, а С — его подпространство.
Обозначим через D фактор-пространство и через р естественную '
проекцию р: В -> D, переводящую С в нуль. В этих обозначениях
^ У отображение /: А -*¦ В транс-
Х^ ._•<_. »- \ У версально С, если и только если
" ~ ' *^_г^ нуль — неособое значение ото-
отображения pof: A -+D. (Особое
значение отображения — это его
значение в особой точке; особая
точка — это точка, в которой производная не есть отображение
«на»; для отображений /: Мт -* N" с т < ге все точки из М особые,
особые же значения — это точки из / (М).)
Слабая теорема трансверсальности.
Отображения, трансверсалъные к С, образуют открытое всюду
плотное множество в пространстве гладких отображений замкну-
замкнутого *) многообразия А в многообразие В, снабженное замкнутым
подмногообразием С.
Замечание. Возможность малым шевелением привести
отображение в общее положение и ликвидировать нетрансверсаль-
нетрансверсальность интуитивно достаточно очевидна (рис. 24).
Доказательство удобно провести с помощью следующей тео-
теоремы, доказанной в ситуации алгебраической геометрии Бертини,
а в случае гладких функций — Сардом.
Теорема Бертини — Сарда. Мера множества осо-
особых значений достаточно гладкого отображения равна нулю.
Замечание. Мера множества особых точек может быть
положительна. Пример: / (я)=0.
Доказательство теоремы Бертини—Сарда.
Начнем с простейшего частного случая.
Предложение 1. Пусть y=f (x) — гладкая функция на
[0, 1 ]. Тогда мера множества особых значений отображения f равна
нулю.
Доказательство. Разобьем [0, 1 ] на N отрезков оди-
одинаковой длины. Отметим отрезки, содержащие особые точки. Мера
образа отмеченного отрезка оценивается сверху величиной CIN%,
где С — не зависящая от N и от отрезка постоянная (так как мо-
модуль производной / на отмеченном отрезке ограничен сверху вели-
*) Компактного без края,
КЛАССЫ В*
чиной CIN). Сумма мер образов отмеченных отрезков не превосхо-
превосходит, таким образом, произведения N- (СIN2). При N -* со эта
сумма мер стремится к нулю, что и доказывает предложение 1.
Предложение 2. Пусть / — гладкое отображение т-
мерного куба [0, 1]т в т-мерное евклидово пространство. Тогда мера
множества особых значений отображения / равна нулю.
Доказательство. Рассуждая, как в доказательстве
предложения 1, мы покрываем множество особых значений не более
чем (N)m множествами, мера каждого из которых не больше
С (l/iV)m+1, что и доказывает предложение 2.
Предложение 3. Пусть { — гладкое отображение [0, 1 ]т
в п-мерное евклидово пространство. Тогда три достаточно боль-
большом к мера образа множества точек, где обращаются в 0 все произ-
производные f порядков 1, . . ., к, равна нулю {достаточно (к-{-1)п > т).
Замечание. В частности, при п > т мера всего образа
куба равна нулю.
Доказательство. Рассуждая, как в предложениях
1 и 2, покрываем множество значений не более чем (N)m множе-
множествами диаметра не более Сх A/N)k+1. Это дает для меры оценку
сверху величиной CNm (l/N)(-k+1)n, которая и доказывает предло-
предложение 3.
Для отображений в пространство такого же или большего числа
измерений, как число измерений отображаемого многообразия,
теорема тем самым доказана. В случае отображений в простран-
пространство меньшего числа измерений нужно еще небольшое дополни-
дополнительное рассуждение. Рассмотрим простейший случай одной функ-
функции.
Предложение 4. Пусть f — гладкая функция двух пере-
переменных. Тогда мера множества особых значений отображения f
равна нулю.
Доказательство. Мера множества значений в точ-
точках, где все три вторые производные равны нулю, равна нулю по
предложению 3 (при т=2, п=1 достаточно взять А=2). Рассмо-
Рассмотрим особые точки, в которых одна из вторых производных, ска-
скажем d2f/dx*, отлична от нуля. Уравнение df/dx—O определяет (по
теореме о неявной функции) гладкую кривую. Интересующие нас
особые точки лежат на этой кривой и являются особыми для су-
сужения / на эту кривую. По предложению 1 мера множества зна-
значений / в этих особых точках равна нулю. Для других вторых
производных рассуждение такое же. Предложение 4 доказано.
Предложение 5. Пусть f — гладкая функция т пере-
переменных. Тогда мера множества особых значений равна нулю.
Доказательство. Рассуждая, как в предложении 4,
доказываем предложение 5 индукцией по т. Рассмотрим множе-
множество точек, где все производные до порядка q включительно равны
нулю, а одна из производных порядка у+1 (скажем, ду/дх, где
28
основные понятия
[ГЛ. 1
ср — производная порядка д), отлична от нуля. Это множество
содержится в множестве особых точек сужения / на подмногообра-
подмногообразие размерности т—1, заданное уравнением ср=О. Таким образом,
предложение 5 сводится к предложениям 3 и 1.
В случае отображений в пространство размерности п > 1 про-
проходит такая же индукция, однако здесь имеется новая трудность:
в особой точке первые производные, вообще говоря, не все обра-
обращаются в нуль.
Предложение 6. Пусть отображение / задано п функ-
функциями ff от т переменных Xj, и пусть в некоторой точке df1/dx1=??=0.
Тогда в окрестности этой точки можно выбрать координаты S
так, что отображение запишется в виде однопараметрического
семейства g%x отображений (т—1 )-мерного пространства в (п—1)-
мерное:
У1 = *1> / = *«,(?') (Е' = ?2. ••¦> 6». У' —У* •••> Уп)-
Доказательство. Введем локальные координаты
|1=/1, %'=х'. По теореме о неявной функции это — координат-
координатная система. Предложение 6 доказано.
Ясно, что особые значения отображения g, полученного в пред-
предложении 6, — это объединение множеств, S—\J (Slt S1 (?,)), где
jS(?) — множество особых значений отображения g^. Поэтому
mes 5=0, если (для всякого ?х) mes S (?i)=0 (теорема Фубини).
Теперь теорема Бертини—Сарда доказывается индукцией по
размерности отображаемого пространства: в окрестности тех осо-
особых точек, где не все первые производные равны нулю, мы пони-
понижаем размерность при помощи предложения б, в особых точках,
где все первые производные — нули, — при помощи предложе-
предложений 5 и 3.
Доказательство слабой теоремы транс-
трансверсальности. Мы проведем это доказательство в спе-
специальном случае, когда С — линейное подпространство в В. Вклю-
Включим данное отображение /: А -*¦ В в семейство отображений /,,
где /.(*)=/(*)-•(«€Я)-
Пусть р: В —*¦ В/С — естественная проекция и е — не крити-
критическое значение отображения /. Тогда /, трансверсально к С
По теореме Бертини—Сарда существуют сколь угодно малые ?,
для которых ps — не особое значение pof. Это доказывает утвержде-
утверждение о всюду плотности для теоремы трансверсальности в рассматри-
рассматриваемом специальном случае. Общий случай сводится к специаль-
специальному, на чем мы здесь не останавливаемся; открытость множества
отображений замкнутого многообразия, трансверсальных замкну-
замкнутому подмногообразию, очевидна.
Слабая теорема трансверсальности неприменима непосред-
непосредственно для доказательства теоремы о произведении корангов
(п. 2.1), потому что отображение, к которому ее следовало бы при-
§2]
КЛАССЫ
29
менять, определяется производной заданного гладкого отображе-
отображения М -*¦ N. Слабая теорема трансверсальности гарантирует воз-
возможность приведения в общее положение малым шевелением
в классе всех отображений и отнюдь не гарантирует, что пошеве-
пошевеленное отображение будет чьей-либо производной, т. е. что приве-
приведения производной в общее положение можно достичь шевелением
исходного отображения М -*• N.
Аналогичная трудность встречается во многих других задачах.
Оказывается, однако, что эта трудность всегда преодолима: усло-
условия интегрируемости не препятствуют
приведению в общее положение. Чтобы
сформулировать соответствующую теорему,
которая называется сильной теоремой
трансверсальности (или просто теоремой
трансверсальности), нам потребуется не-
несколько понятий, которыми мы будем по-
постоянно пользоваться и в дальнейшем.
Пусть /: Мт -> N" — гладкое отобра-
отображение их — точка из М (рис. 25).
Определение. Отображение / имеет в х касание порядка
kef, если
где рдг и рж — какие-либо римановы метрики на N и М соответ-
соответственно.
Пример. Пусть т—п—1,т. е./ и /—функции одной перемен-
переменной. Касание порядка /с=0 означает совпадение значений в точке
х: f (x)=/ (х). Касание первого порядка означает совпадение
(в точке х) значений / (х) и производной /' (ж); касание порядка к—
это совпадение отрезков рядов Тейлора до членов степени к вклю-
включительно в точке х.
Заметим, что понятие касания не зависит от выбора метрик,
участвовавших в определении. Касание порядка к в точке х явля-
является отношением эквивалентности.
Определение. Класс эквивалентности гладких отобра-
отображений по отношению эквивалентности «касание порядка к в точке
х» называется к-струей в точке х.
Обозначение, /с-струя отображения / в точке х обозна-
обозначается через /*/.
Пример. 1-струя функции одной переменной определяется
тройкой чисел (х, у, p—dyldx).
Если фиксировать системы координат, то &-струю можно пред-
представлять себе как многочлен Тейлора степени к.
Определение. Множество всех &-струй гладких отображе-
отображений фиксированного многообразия Мт в фиксированное многооб-
ООЁОВНЫЕ ПОНЯТИЙ
wo, t
разие N" (во всевозможных точках из Мт) называется простран-
пространством к-струй отображений из Мт в N".
Обозначение. Пространство А-струй отображений из Мт в N"
обозначается через Jk(Mm, N").
Пример. Пространство 1-струй отображений прямой на прямую
/X(R, Б.) — это трехмерное пространство с координатами (х, у, р).
В общем случае пространство А-струй Jk (Мт, N") — дифферен-
дифференцируемое многообразие. Действительно, пусть (xv . . ., хт) и
(уit • • •» У„) — локальные координаты в Мт и N" в окрестностях
точек, х и f{x) соответственно. Отображение / локально задается
формулами
yi = /i(*iV> *J. •••> yn — fn{xv ¦¦¦'
А-струя определяется заданием следующих чисел:
К, •..,*„}; {Ух У.}; fir
Хт)-
Эти числа задают локальные координаты в пространстве й:-струй-
яолучающем, таким образом, структуру гладкого многообразия
Jk(M'", N"). Локально многообразие J*(Mm, N") можно представ-
представлять себе как пространство многочленов Тейлора степени к. Раз-
Размерности многообразий &-струй нетрудно сосчитать:
Многообразия А-струй имеют ряд естественно возникающих до-
дополнительных структур.
Отрезок ряда Тейлора длины к определяет отрезок ряда Тей-
Тейлора длины к—1. Поэтому возникает цепочка проекций
М
V0|MyV)WMA
ЛГ
Входящие в эту цепочку отображения (кроме двух левых) — отобра-
отображения «забывания членов степени к в ряду Тейлора» являются
гладкими расслоениями. Слои диффеоморфны линейным простран-
пространствам. В случае отображения J^M, N) -*¦ J°(M, N) слоем над
точкой (ж, у) является пространство линейных операторов
Нот (ТХМ, TyN). Этот слой имеет естественную структуру линей-
линейного пространства. При остальных к слой расслоения Jk -*¦ Z* не
имеет естественной линейной структуры («теорема о неинвариант-
неинвариантности высших дифференциалов»). Действительно, указанный слой
при фиксированных системах координат отождествляется с прост-
пространством наборов п однородных многочленов степени к от m пере-
переменных и потому диффеоморфен линейному пространству. Но
§2]
КЛАССЫ S1
31
этот диффеоморфизм не канонический (зависит от выбора систем
координат), поэтому естественной линейной структуры в слое нет.
Пусть /: Mm -> N" — гладкое отображение.
Определение, к-струйным расширением отображения
{ называется отображение из Мт в пространство &-струй из Мт в N",
сопоставляющее каждой точке х из М А-струю отображения /
в этой точке.
Обозначение, fe-струйное расширение отображения / обозна-
обозначается через ;*/: Mm-*J*(Mm, IT), *«-/*/.
Заметим, что jkf — гладкое сечение естественного расслоения
Jk{M, N)-*M.
Сильная теорема трансверсальности (Тома).
Пусть Мт — замкнутое многообразие и С — замкнутое под-
подмногообразие пространства струй Jk (M, N).
Тогда множество отображений /: М -*¦ N, k-струйные расши-
расширения которых трансеерсалъны к С, есть открытое всюду
плотное множество в пространстве всех гладких отображений
из М в N.
Эта теорема означает, что малым шевелением гладкого отобра-
отображения можно привести его в общее положение не только по от-
отношению к любому гладкому подмногообразию в пространстве-
образе, но и по отношению к любому условию, наложенному на
производные любого конечного порядка.
Замечание. Слабая теорема трансверсальности получается
из сформулированной при к=0. Сильная же из слабой непосред-
непосредственно не вытекает по следующей причине.
Можно было бы применить слабую теорему к отображению
jkf: M -*¦ Jk и получить близкое к jkf трансверсальное к С отобра-
отображение. Однако это близкое отображение, вообще говоря, не будет
й:-струйным расширением никакого гладкого отображения из
М в N.
Сильная теорема трансверсальности утверждает, что трансвер-
сализирующую деформацию можно выбрать в более узком классе
деформаций: достаточно ограничиться деформацией ^-струйного
расширения в пространстве ^-струйных расширений, а не в про-
пространстве всех сечений М —> Jk. Таким образом, теорема означает,
что условия интегрируемости (выполнение которых отличает
/с-струйные расширения отображений из М в N от произвольных се-
сечений М -> Jk) не мешают достигнуть трансверсальности.
Доказательство теоремы. Сущность доказатель-
доказательства состоит в такой же редукции к лемме Сарда, как и для слабой
теоремы трансверсальности. Основное отличие состоит в том, что
трансверсализирующая деформация ищется не в классе отобра-
отображений /„=/—s, а в более широком классе полиномиальных де-
деформаций /е=/+е1е1+. . .+ s,es, где е± — всевозможные вектор-
мономы степени не выше к.
32
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Лемма. 1. Рассмотрим гладкое отобраясение F: АхЕ —у В
прямого произведения гладких многообразий А и Е в гладкое много-
многообразие В.
Будем рассматривать F как семейство отображений Fe много-
многообразия А в В, зависящих от точки е многообразия Е как от пара-
параметра. Тогда, если отображение F трансверсально к подмногооб-
подмногообразию С многообразия В, то почти каждый член Fe: A ->¦ В соот-
соответствующего F семейства трансверсален к С.
Доказательство. Рассмотрим F'1 (С). По теореме
о неявной функции это — гладкое подмногообразие в АхЕ.
Рассмотрим проекцию этого подмногообразия на Е вдоль А. По
лемме Сарда почти все значения — не критические. Пусть е —
не критическое значение. Тогда FE: А -» В трансверсально к С
(ибо F трансверсально к С, a 4Xs трансверсально к F'1 (С)).
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть f — гладкое отображение из R1" в R". За-
Зафиксируем в Rm и <? R" системы координат и рассмотрим глад-
гладкое отображение прямого произведения пространства R на про-
пространство R' в пространство k-струй отображений /fc(Rm, R"),
определенное формулой
(х, е)
где Д =¦ f -f- ггег -j- ... -\-е3е3(еъ . . ., ев — всевозможные произведе-
произведения мономов степени не выше к от координат точки х из Rm
на базисные векторы в R").
Утверждается, что построенное отображение не имеет особых
значений (и, следовательно, трансверсально любому подмногообра-
подмногообразию пространства k-струй).
Координатами в пространстве /* являются координаты точки
х из ROT и коэффициенты Тейлора струи в этой точке до степени
к включительно. При подходящем выборе коэффициентов ех, . . ., е„
вектор-многочлен е^-К . .-{-еге, будет иметь в любой наперед за-
заданной точке х любой наперед заданный набор коэффициентов
Тейлора до членов степени к включительно. Отсюда непосред-
непосредственно вытекает утверждение леммы.
Окончание доказательства теоремы. Пусть С — глад-
гладкое подмногообразие в В = 7* (Rm, R"). Применим к отображе-
отображению леммы 2 лемму 1 (в которой А = Rm, i? = R*; F (x, s) = /*/e).
По лемме 1 для почти всех е отображение Fe — F(-, e) трансвер-
трансверсально к С. Выбрав е достаточно малым, мы получим сколь угодно
близкое к / (в любой конечной части Rm) отображение Д: R7" -»• R",
fc-струйное расширение которого трансверсально к С. Переход от
этой локальной конструкции к глобальной (замена R, R" на М, N)
не представляет затруднений.
Замечание 1. Если С не замкнуто, то «открытое» в слабой
и тем более сильной теоремах трансверсальности следует замениib
КЛАССЫ
33
на «счетное пересечение открытых». Примеры: 1) В — тор, С —
его обмотка, А — окружность; 2) В — плоскость, А — окруж-
окружность на ней, С — касательная (без точки касания). Вложение
трансверсально к С, но существуют сколь угодно близкие к этому
вложению не трансверсальные к С отображения.
Замечание 2. Если отображаемое многообразие не ком-
компактно, то пространство отображений удобно снабжать «тонкой
топологией Уитни». В этой топологии окрестность отображения
/: А -*• В определяется следующим образом. Фиксируем открытое
множество G в пространстве струй / {А, В) при каком-либо А.
Множество С°°-отображений /: А -*¦ В, А;-струи которых в каждой
точке принадлежат G, открыто в тонкой топологии. Такие непустые
открытые множества берутся в качестве базиса окрестностей, задаю-
задающих тонкую топологию в пространстве бесконечно дифференци-
дифференцируемых отображений.
Таким образом, близость двух отображений в тонкой топологии
означает сколь угодно быстрое сближение отображений (с любым
числом производных) «на бесконечности»; в частности, график до-
достаточно близкого к / отображения лежит в сколь угодно быстро
утончающейся «на бесконечности» окрестности графика отобра-
отображения /.
Отсюда следует, что сходимость последовательности в тонкой
топологии влечет полное совпадение вне некоторого компактного
множества всех членов последовательности, начиная с некоторого.
Тем не менее любая окрестность данного отображения в тонкой
топологии содержит отображения, нигде не совпадающие с данным.
Если открытость и всюду плотность понимать в смысле тонкой
топологии, то теорема трансверсальности верна и для некомпакт-
некомпактных А (для открытости С должно быть замкнутым).
Замечание 3. Часто встречается ситуация, когда С —. не
гладкое подмногообразие, а подмногообразие с особенностями.
Определение. Стратифицированным подмногообразием
гладкого многообразия называется конечное объединение попарно
непересекающихся гладких многообразий (стратов), удовлетворяю-
удовлетворяющее следующему условию: замыкание каждого страта состоит из
него самого и конечного объединения стратов меньших размер-
размерностей.
Отображение называется трансверсалъным стратифицирован-
стратифицированному подмногообразию, если оно трансверсально каждому страту.
Пример. Пусть С — объединение двух пересекающихся
по прямой плоскостей в трехмерном пространстве, стратифика-
стратификация — разбиение на прямую пересечения и четыре полуплоскости.
Трансверсальность к С означает трансверсальность к каждой из
плоскостей и трансверсальность к прямой пересечения. Напри-
Например, кривая, трансверсальная к стратифицированному много-
многообразию С, не пересекается с прямой особенностей С,
3 В. И. Арнольд и др.
34
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Теоремы трансверсальности очевидным образом распростра-
распространяются на случай стратифицированного подмногообразия С. Од-
Однако в этом случае теорема гарантирует, что трансверсальные
отображения образуют не открытое всюду плотное множество,
а лишь всюду плотное пересечение счетного числа открытых мно-
множеств.
Чтобы трансверсальные к стратифицированному аналитиче-
аналитическому многообразию отображения образовывали открытое всюду
плотное множество, достаточно, чтобы стратификация удовлетво-
удовлетворяла следующим дополнительным условиям: всякое вложение,
трансверсальное к страту меньшей размерности, трансверсально
ко всем примыкающим стратам большей размерности в некоторой
окрестности этого страта меньшей размерности *).
Пример 1. Пусть С — конечное объединение плоскостей
в линейном пространстве, стратифицированное естественным об-
образом (например, пара пересекающихся плоскостей в R3).
Из трансверсальности к Rfc следует трансверсальность к объем-
объемлющему R', поэтому наше условие выполнено.
Пример 2. Пусть С — конус х2 = г/2 -{- z2 в R3, стратифи-
стратификация — разбиение на тояку 0 и две полы. Наше условие, как
нетрудно проверить, выполнено.
Пример 3. Пусть С — зонтик Уитни, заданный уравнением
у1 = УзУ1 в Н3(Рис 19).
Из трансверсальности к особой прямой y1—y2z=0 не следует
трансверсальность к многообразию близких к этой прямой регу-
регулярных точек поверхности (плоскость уэ = 0 трансверсальна пря-
прямой и не трансверсальна поверхности).
Если условие на стратификацию С
(трансверсальность к меньшему => трансверсальность к большему)
выполнено, то трансверсальность ко всей стратификации дости-
достигается так.
1. Страты минимальной размерности гладкие, к ним применима
обычная теорема. 2. В окрестности стратов минимальной размер-
размерности трансверсальность достигнута на всех стратах. 3. Выкиды-
Выкидываем из объемлющего многообразия замыкание окрестности стра-
стратов минимальной размерности и переходим к стратам следующей
размерности.
Пример. Пусть В — пространство линейных операторов
b: Rm -* R", С — множество операторов не максимального ранга.
Операторы ранга г образуют гладкое подмногообразие, коразмер-
коразмерность которого в пространстве В равна (т—г)(п—г). Разбиение
на многообразия операторов различных рангов задает стратифи-
стратификацию на С.
*) Это верно также для стратифицированных многообразий, получаю-
получающихся из аналитических диффеоморфизмами, но не всегда верно для Ст-
стратифидированных многообразий (см. fl84]).
Э 2]
КЛАССЫ
35
Отображение /: А -*¦ В — это семейство линейных операторов
из R7" в R", гладко зависящих как от параметра от точки много-
многообразия А. Многообразие А называется базой семейства. Из слабой
теоремы трансверсальности сразу вытекает
Следствие. В пространстве гладких семейств матриц
порядка тХп всюду плотное множество образуют семейства,
трансверсалъные стратицированному многообразию С матриц не
максимального ранга.
В частности, значения параметра, которым соответствуют ма-
матрицы ранга г, образуют, вообще говоря (для семейств из всюду
плотного пересечения открытых множеств в пространстве семейств),
гладкое многообразие коразмерности (т—г)(п—г) в базе семейства.
Доказательство теоремы п. 2.1. Стратифицируем
многообразие 1-струй J1 (M, N) по рангам первого дифферен-
дифференциала. Ясно, что множество всех 1-струй с первым дифференциа-
дифференциалом ранга г является гладким подмногообразием коразмерности
(т—г)(п—г), а его замыкание состоит из многообразий струй с диф-
дифференциалом ранга не выше г. По (сильной) теореме трансверсаль-
трансверсальности малым шевелением / можно добиться трансверсальности
1-струйного расширения j1/ ко всем стратам построенной страти-
стратификации, что и доказывает теорему.
Замечание. Нетрудно проверить, что условие «трансвер-
«трансверсальность к меньшему влечет трансверсальность к большему»
для стратификации пространства матриц по рангам выполнено.
Действительно, можно доказать, что всякую алгебраическую стра-
стратификацию можно доразбить так, что это условие станет выпол-
выполняться. Отсюда следует, что наше условие выполнено почти во
всех точках каждого страта. Но многообразие матриц ранга г одно-
однородно: каждая его точка переводится в любую другую действием
прямого произведения линейных групп преобразований прооб-
прообраза и образа, сохраняющим стратификацию по рангам. Следо-
Следовательно, наше условие выполнено не только почти всюду, но
всюду.
Таким образом, если М компактно, то множество гладких отоб-
отображений /: М -*¦ N, 1-струйные расширения которых трансвер-
сальны стратификации многообразия J1 (M, N) по рангам, от-
открыто и всюду плотно.
2. 4. Вторичные особенности. Вернемся к отображению сборки
Уитни (рис. 21). В этом случае стратификация М по рангам сво-
сводится к разбиению на две части: множество особых точек Е1 (/) и
множество неособых точек Е° (/).
Заметим, qTo S1 — гладкое многообразие, включая и точку
сборки 0. Эта точка выделяется тем, что в ней ядро Д, касается Е1.
Иными словами, отображение /, ограниченное на параболу Е1,
имеет ранг 1 во всех точках, кроме точки 0. Таким образом,
точка 0 принадлежит S1 (/ | S1 (/)), тогда как остальные точки пара-
3*
болы принадлежат ?° (/| ?*(/)). Мы будем обозначать ?•'»(/1 2 *'(f)) =
= 2*i. *i (/). В этих обозначениях точка 0 (уитнеевская сборка)
принадлежит Е1-* (/) с Е1 (/).
Для любого набора целых чисел / = (iif z2 ij множество
В7(/) определяется индуктивно следующим образом.
Определение; Пусть Е7(/) —Е< •*'*(/) с ЛГ — гладкое
многообразие. Тогда
есть множество точек, где ядро дифференциала ограничения / на
?7 (/) имеет размерность ik+1.
Замечание. По определению, многообразия
М Z) E'< Z) Е*" *» Z) ?'¦• '- '» Z) ...
вложены друг в друга.
Поэтому ядра дифференциалов ограничений / на эти вложен-
вложенные подмногообразия М ZD ?'¦ ZD Е*>-'» Ц) ?*" **»'» также вложены
друг в друга. Итак, последовательность чисел 1г, i2, i3, . . ., состав-
составляющих индекс /, должна быть невозрастающей: т^1г^12^
^ г3 ^ ... ^0. Если хоть одно из этих неравенств нарушено,
множество SJ пусто.
Множество EJ (/) не обязательно есть многообразие, поэтому
данное выше определение (принадлежащее Тому) позволяет опре-
определить ?7(/) не для всех отображений /.
Боардман [100] предложил другое определение ?7 (/) в терми-
терминах пространства струй. Он определил для всякого набора целых
чисел I = (iv . . ., ik) подмножество Е7 в пространстве А-струй
Jk(Mm, N"), не зависящее ни от какого отображения / (см. ниже,
стр. 40). Им доказана
Теорема 1. Множество Е7 при любом I = (?1; . . ., ik) есть
подмногообразие (не обязательно замкнутое) коразмерности
vx(m, n) в Jk (Mm, N") (формула для v7 приведена ниже, стр. 37).
Значение многообразий S7 в том, что «хорошее» отображение /
имеет в точке х особенность Бг (/) в смысле предыдущего опре-
определения (;r?EJ(/)) тогда и только тогда, когда струя / в х при-
принадлежит EJ.
Определение. Отображение / называется хорошим, если
его А-струйное расширение трансверсально многообразиям EJ.
Боардманом доказана
Теорема 2. 1) Если f — хорошее отображение, то EJ(/) =
=[/* (/XT1 (EJ), иными словами, Е7(/) есть многообразие коразмер-
коразмерности vx (т, п) в Мт, и а;?Е7(/) тогда и только тогда, когда
струя f в х принадлежит EJ.
2) Всякое гладкое отображение /: Мт -*¦ IS" можно с любым
числом производных сколь угодно точно аппроксимировать хоро-
хорошим отображением.
Предложение 2) вытекает из теоремы 1 и сильной теоремы
трансверсальности.
Для А = 1 все эти результаты были установлены Томом [179],
а для к = 2 — Левиным [178].
Пример. Многообразие квадратных матриц коранга 1
имеет коразмерность 1, коранга 2 — коразмерность 4, вообще ко-
коранга к — коразмерность А2.
Следствие. Пусть отображение /: Мт -> N" «хорошее»
в том смысле, что индуцированное отображение х ь-> (матрица
дифференциала f в х) трансверсально многообразию Lr матриц ранга
г. Тогда определенное в начале этого параграфа множество
?*(/), i = m — г, есть подмногообразие в Мт коразмерности
(m—r)(n—r) = i (n—m+i).
Пример. Рассмотрим отображения многообразий одинако-
одинаковой размерности (т=п). Коразмерность множества ?* (/) точек,
где ранг «хорошего» отображения падает на к единиц, равна кг.
С другой стороны, отображение «общего типа» хорошее, так как
каждое отображение можно аппроксимировать хорошим (по силь-
сильной теореме трансверсальности).
Отсюда следует, что, например, особенность ?2 имеет кораз-
коразмерность 4 и не должна, вообще говоря, наблюдаться при отобра-
отображениях плоскости на плоскость (см. рис. 15—17). Но она может
наблюдаться как неустранимая при отображениях R" -*¦ R",
гс>4.
Пример. Два хороших отображения f±: R* -*¦ R4, заданные
формулами
Уг = xv
У г — Х2>
Уз — «S ± х\ + Х1хз + *А.
У ik = x зхit
имеют в нуле неустранимую точку Е2> °.
Ниже будет показано, что ростки /± в нуле не эквивалентны.
Отсюда следует, что классификация особенностей по классам ?J —
неполная.
2.5. Формула Боардмана для коразмерности множества Е7.
Пусть / = (iv i2, . .., ik). Формула Боардмана для коразмерности
множества Е7 имеет вид
vj (m, n) = (n — m-\-i1)[x (j1; ?2, . . ., ik) —
— (»i — h) V- (*a. *t. • • ¦ - **) — • • • — (**-i — lk) V- (**)•
где p. (ilt . . ., ik) есть число последовательностей ]\, /а, . . ., jk
целых чисел, удовлетворяющих условиям:
а) h J> /a > ¦ • • > h'
б) К > 1, > 0 Для всех ?" A < г < ft)» причем 7\ > 0.
3S
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЙ
[ГЛ. 1
Смысл величины р. (/) и происхождение этой формулы рассмо-
рассмотрим позже, а сейчас разберем простейшие частные случаи.
Пример. При к=1 имеем I=i, p. (i) = i; получается v, (m, п)=
=(гс—m-\-i)i, т. е. формула произведения корангов.
Пример. При / = A, 1, . . ., 1) имеем р. A,1, . . ., 1) = к,
В частности, уитнеевская особенность класса Е1' х имеет при
т=п коразмерность 2 и поэтому при отображениях плоскости на
плоскость неустранима в отдельных
точках, при отображениях R3 -*¦ R3 —
на кривых и т. д.
Б. Морен исследовал хорошие отобра-
отображения класса Е1'1'--1-0 при всех т,
и (см. [158]). Оказалось, что они всегда
устойчивы, если т ^ vj=(« — т -f-1) к,
и полностью характеризуются своим
классом. Например, при хорошем ото-
отображении.! /: R" —> R" эквивалентны
утверждения:
L..^Phc.J26.^:: ili^zil»
б) Росток / в х эквивалентен ростку «обобщенного отображе-
отображения Уитни» в точке 0:
Г'
\
1
1
I
*
\
\
¦Г'
7
\
•
/
Уп-1 Хп
У.
xix«
В частности, отображение Уитни RS-»R3 задается формулами
Ух = xv Уг = xv Уз = xi + xix% + x^z- Множества Е1, S1'х, Я1'1-1
для такого отображения образуют флаг (плоскость, прямая,
точка). Поле ядер изображено на рис. 26, а поверхность крити-
критических значений — на рис. 27. Эта поверхность называется ла-
ласточкиным хвостом. Ласточкин хвост можно представлять себе
как поверхность в трехмерном пространстве многочленов вида
z*+ax2+foc+c, состоящую из точек (а, Ь, с), отвечающих много-
многочленам с Кратными корнями. Ласточкин хвост делит пространство
многочленов R3 на 3 области: в одной из них (имеющей вид пира-
пирамиды) многочлен имеет 4 вещественных корня, в соседней с ней —
2, в оставшейся — ни одного. В соответствии с этим число про-
прообразов отображения Уитни в областях, ограниченных множе-
множеством критических значений, равно 4, 2 и 0.
Чтобы представить себе ласточкин хвост, полезно изучить его
сечения плоскостями at=const. Если t — кратный корень, то
§ 2J
КЛАССЫ
39
с=—t*—at2—bt, Ъ=—4г3—2at. Это дает параметрическое уравне-
уравнение сечений в виде c=3^*+af2, 6=—At3—2at. При a=0 сечение
является параболой степени 4/3, при а ^> 0 сечение — гладкая
кривая, при а <С 0 сечение имеет 2 полукубические точки возврата
(отвечающие ?1Д) и точку самопересечения.
При п = 3 всякое отображение «-мерного многообразия в «-мер-
«-мерное аппроксимируется отображениями, имеющими только особен-
особенности Уитни Е1 (складка), Е1'1 (сборка) и Е1- J>г (ласточкин хвост).
При и = 4 это уже не так (появляется S2).
а<0
Рис. 27.
Пример. При I = (i,j) имеем p. (i,
откуда получается формула Левина:
В частности, при т = п
а>0
= i (I-f j) —
(/~ 1)
—i].
Отсюда следует, что особенность класса Е*> впервые появляется
как неустранимая при т = п, указанном в следующей таблице:
i, / I 1,0 1 1,1 I 2,0 1 2,1 | 2,2 I 3,0 13,II 3,2 13,31 4,014,II4,2 14,31 4,4
1
10
9
16
22
27
16
29 40 49
56
Пример. При т=п ^ 16 реализуются как точечные (у хо-
хороших отображений) следующие классы:
re = vx
/
re
1»
4
2
7
2,1
9
3
10
2,2
2.1,
13
2,1,
15
2,2,1
16
3,1
4
2.1,
где 1_ означает 1,1, ¦..,1.
40
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Определение EJ по Боардману. Мы дадим здесь это
определение в неинвариантных терминах, использующих локаль-
локальные системы координат xv . . ., хт на Мт и yv . . .., уп на N".
Определение. Пусть В — идеал в алгебре А ростков беско-
бесконечно дифференцируемых функций f(xx, ¦ ¦ ., хт) в нуле. Якобие-
вым расширением \(В) называется идеал, натянутый на В, и
все якобианы порядка k: det ¦?*¦ , составленные из частных произ-
водных функций из В.
Замечание. Якобиево расширение идеала инвариантно, т.е.
rr^ dtp dtn дх
не зависит от системы координат хх, •¦¦,хт. Ибо j-V=jt__)
а определитель полилинеен.
Лемма. &ъ(В) убывает с ростом к:
Ак+1(В)САк(В) (ft=l,2, ...).
Это следует из разложения определителя по строке.
Определение. Якобиево расширение Дл(В) называется кри-
критическим, если Ак(В)^А, Ак_1(В) = А.
Иными словами, для критического расширения порядок при-
присоединенных миноров есть наименьший порядок, при котором
расширение не совпадает еще со всей алгеброй.
Пример. Пусть те = 4, идеал В порожден хг, х2, х\, х\. Тогда
критическое якобиево расширение &3(В) порождено х1г х2, х3, х4.
Для полученного идеала А3(В) критическое якобиево расширение
пятое: А6Аа(В) = А3(В).
Пример. Пусть то—1, идеал В порожден х3. Последователь-
Последовательные критические расширения:
Для дальнейшего удобнее нумеровать расширения несколько
иначе.
Обозначение. А* = Ат_к+1.
В примере с те = 4 критические расширения Да и Д°Да.
В примере с те=1: Д\ Д^1 и Д^Д1.
Пусть / — набор целых чисел, ix ^ г2 ^ . . . ^ ik.
Определение. Пусть росток отображения /: Мт-> N" за-
задается в координатах х, у формулами y.—f{(x), /@) = 0. Мы
скажем, что / имеет в 0 особенность класса EJ, если последова-
последовательные критические якобиевы расширения идеала, порожденного
функциями /,. (х) (i = l, ..., п), суть Д**Д'*-1 . . . Д<1. Мы будем
также говорить, что указанный идеал имеет символ Боардмана I.
Пример. Отображение у = х3 имеет в 0 особенность класса
?i, i,0; у =- x*+i — класса Е1*» °. Отображение ух = хххй, уа = х\ — х\
и отображение у1 = зг1, y2==xv у3 = х\ + х\ + хх:
а= х3х^ — особенность I2- °,
КЛАССЫ
41
Замечание. Очевидно, данное выше определение налагает
ограничения лишь на коэффициенты тейлоровского разложения
до степени к включительно. Легко проверить, что фактически
условия не зависят от системы координат и накладываются лишь
на А-струю у* (/)• Множество всех /с-струй, удовлетворяющих этим
условиям, и определяет пересечение множества TiIaJJe(M, N)
со слоем расслоения Jh(M, N)-> М X N.
2.6. Вычисление числа Боардмана fi (I). Сейчас мы выразим
число Боардмана ;а (/) как коразмерность некоторого идеала, а также
как число целых точек в некотором выпуклом многограннике.
Рассмотрим символ Боардмана / = {i-i^H^ •••}• Мы будем
формально считать этот символ бесконечным, предполагая, что
все ik, начиная с некоторого, равны нулю. Пусть те ^ ix. Мы со-
сопоставим символу / идеал Jj; m в алгебре формальных степенных
рядов (с комплексными, для определенности, коэффициентами) о т
те переменных (xv ¦ ¦ ¦< хт) по следующему правилу:
I; т
J 4
J ilt т ~\~ ' <д, m "\~ • • ¦ >
гДе 1 i,m означает идеал, порожденный {xv ¦ ¦ ., хт_{).
О п р еделение. Построенный выше идеал называется стан-
стандартным идеалом Боардмана с символом I в алгебре рядов от т
переменных.
Пример 0. Пусть / = 0. Тогда //; „, — максимальный идеал,
состоящий из рядов без свободного члена.
Пример 1. Пусть т — 1. Тогда / имеет обязательно вид
/ = A, ... 1) (к единиц). Стандартный идеал с таким символом
есть /o;+i и состоит из рядов, делящихся на х*+1.
Пример 2. Пусть те = 2. Тогда / имеет обязательно вид
/ = B, . . ., 2, 1, .... 1) (р двоек и q единиц). Стандартный идеал
с таким символом есть /f^~b ^о-Т1' т- е- есть иДеал. порожден-
порожденный хр+1 и всеми одночленами степени р -j-
+ 9 + 1 от хг и х2.
Чтобы представить себе этот идеал, удоб-
удобно воспользоваться диаграммой Ньютона,
т. е. изображать одночлен a;f'Xfj целочислен-
целочисленной точкой (рг, р2) на плоскости (рис. 28).
Рассматриваемый стандартный идеал со-
состоит из всех рядов, в которые входят с не-
ненулевыми коэффициентами лишь одночлены,
показатели которых принадлежат заштрихо-
заштрихованной на рис. 28 области. Эта область на-
называется носителем идеала. Точка (рх, р2)
принадлежит носителю, если рх > р или рх+р2 > p+q- Допол-
Дополнение к носителю является выпуклым многогранником. Он зада-
задается неравенствами рг ^р, Pi+Pn ^Р+Я (и, pa3yMeeTCHj px ^
Риз. 23.
42
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
^ 0) Pz ^ 0)- Если ряд содержит с ненулевым коэффициентом хоть
один одночлен с показателем из описанного выше многоугольника,
то этот ряд не принадлежит стандартному идеалу.
Задача. Найти определенный на стр. 40 символ Боардмана
описанного стандартного идеала.
^\. Ответ. B, . . ., 2, 1, . . ., 1) (р двоек и q единиц).
В случае т переменных диаграмма Ньютона строится в поло-
положительном ортанте решетки в тта-мерном пространстве. Стандарт-
Стандартный идеал, как и в рассмотренных примерах, задается своим но-
носителем. Чтобы описать этот носитель, удобно построить по сим-
символу / и числу т диаграмму Юнга
(на рис. 29 это сделано для символа
C, 3, 1) и числа те =5). Эта диаграмма
начинается с нулевой строки длины
iQ==m. Следующие строки имеют
'о
- 5
= J
=J
xs
xj
хз
•*>
¦*>
л;
.*,
длины ilt i
2i
р
Клетки
Рис. 29.
переменные xit которые
нулевой
строки заполняются справа налево
переменными (х1? . . ., хт).
В клетках следующих строк диа-
диаграммы Юнга разрешается писать те
в нулевой строке стоят не левее запол-
заполняемой клетки. Произведения всех переменных, записанных
в одном столбце диаграммы Юнга при всевозможных заполнениях
и столбцах, порождают стандартный идеал (это — очевидная
переформулировка определения). Например, на рис. 29 приведено
заполнение диаграммы Юнга, указывающее на вхождение в стан-
стандартный идеал одночленов хх, х2, х^х\, х\х±, х\х\.
Чтобы явно описать носитель стандартного идеала, удобно
рассмотреть еще символ двойственной диаграммы Юнга. Обозна-
Обозначим через кг число клеток диаграммы Юнга в столбце, в котором
в нулевой строке стоит хг (т. е. в r-м столбце справа). На рис. 29
числа кг написаны под соответствующими столбцами. Если читать
числа кг от кт до кг, то получится невозрастающая последова-
последовательность. Она является символом диаграммы Юнга, двойственной
к исходной (т. е. получающейся из исходной при замене строк
столбцами). В примере 2 двойственная диаграмма имеет символ
(p+q+l, р+1), т. е. кг=р+1, /сг=р+д+1.
Стандартный идеал описывается через символ двойственной
диаграммы следующим образом. Точка р=(рг, . . .,рт) принадле-
принадлежит носителю стандартного идеала (т. е. одночлен xv входит в стан-
стандартный идеал), если и только если выполнено хоть одно из не-
неравенств
Ряд не входит в стандартный идеал, если в него входит с ненуле-
12]
КЛАССЫ
43
вым коэффициентом хотя бы один одночлен сср, для которого
выполнены все неравенства
Последняя система неравенств определяет выпуклый много-
многогранник, являющийся дополнением к носителю стандартного иде-
идеала в положительном ортанте диаграммы Ньютона. Мы будем
называть его стандартным многогранником. Заметим, что мы
включаем в стандартный многогранник точки на координатных
плоскостях, но исключаем точки, для которых предыдущие не-
неравенства обращаются в равенства.
Предложение. Число Боардмана р. (I) равно уменьшен-
уменьшенному на 1 числу целых точек в стандартном многограннике.
Иными словами, число Боардмана равно коразмерности стан-
стандартного идеала в максимальном идеале m (т. е. в идеале, образо-
образованном рядами без свободного члена).
Доказательство. Пусть Г ^ / — невозрастающая
последовательность целых чисел is, s ^ 1, удовлетворяющая ус-
условиям 0 ^ i's ^ it. Тогда стандартный многогранник, соответ-
соответствующий /', лежит (нестрого) внутри стандартного многогран-
многогранника, соответствующего /. Обратно, всякий стандартный много-
многогранник, лежащий (нестрого) внутри стандартного многогранника,
соответствующего /, отвечает символу /' ^ / (все это вытекает
из того, что уменьшение диаграммы Юнга уменьшает и двойствен-
двойственную диаграмму).
Рассмотрим теперь целую точку р=(рх, р2, . .., рт), для кото-
которой р1=к1—1, Рг+р^=к2—1, j^+i^+pj, =&з—1, • • • (на рис. 28
эта точка обозначена знаком *). Эта точка однозначно определяет
символ {к„}, а значит, и диаграмму Юнга, и двойственную диа-
диаграмму; пусть ее символ Г—{i'r}. Последовательность Г удов-
удовлетворяет условию /' ^ /, если и только если соответствующая ей
точка р принадлежит стандартному многограннику для /. По-
Поэтому число целых точек в стандартном многограннике равно
числу последовательностей Г ^ /. Условие i[ ^> 0 в определении
числа Боардмана [д. (/) исключает точку р =0, откуда и получается
искомая формула
; m.
Задача. Найти символ Боардмана стандартного идеала
Ji; m (определение дано на стр. 40).
Ответ. /.
Задача. Доказать, что при добавлении к стандартному
идеалу хотя бы одного ряда, не входящего в этот идеал, символ
Боардмана получаемого идеала изменится (уменьшится).
Указание. См. 1), 2), 3) ниже (стр. 44).
44
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Задача. Доказать, что число Е (/) не зависит от т (пред-
(предполагается, что т ^ ij).
2.7. Описание классов Боардмана по Мазеру. Работа Боард-
мана неоднократно переизлагалась (см. [159], [153], [176]).
Ниже приведены основные этапы доказательства теоремы Боард-
Боардмана, данного Дж. Мазером [153].
Будем обозначать максимальное якобиево расширение идеала
/ (в алгебре формальных степенных рядов от гп переменных с ком-
комплексными, для определенности, коэффициентами) через 8/.
Определим оператор 8 боардманизации идеала формулой
C7 = / + ОТ + (S2/K + . . . + (§*7)fc+1 -f • • ¦
Замечание. В этих обозначениях символ Боардмана /(/) =
— (h T^h^ • ¦ ¦¦) идеала / выражается следующим образом:
гх = corank 7, i2 = corank 57,
i. = corank S*7.
Здесь под рангом идеала в алгебре формальных рядов понимается
максимальное число независимых координат, которые можно вы-
выбрать из входящих в идеал рядов:
г = rank 7 — dim (/ -j- m2)/ttt2.
Корангом идеала называется разность между числом переменных
и рангом:
corank 7 = m — г.
Максимальное якобиево расширение 8/ идеала / записывается
в этих обозначениях так: §/=Дг+1/, r=rank / (порядок при-
присоединяемых миноров на единицу больше ранга идеала).
Предложение. Идеал J имеет символ Боардмана I
тогда и только тогда, когда его боардманизация [37 эквивалентна
стандартному идеалу J'г, т-
Два идеала в алгебре формальных рядов называются эквива-
эквивалентными, если один из них превращается в другой при (формаль-
(формальной) замене переменных.
Доказательство предложения основано на следующих несложно
проверяемых фактах 1)—3) (подробные доказательства см. в ци-
цитированной работе Мазера):
1) Sp = pS, р2 = р;
2) 7 (р/) = /(/);
3) р/ = 7 тогда и только тогда, когда идеал 7 эквивалентен
стандартному идеалу Jj(j); m.
Предположим, что рассматриваемый символ Боардмана / со-
состоит из к элементов (гг, г2, . . ., ?л) (т. е. ik+1 =. . . =0). В таком слу-
случае мы можем во всем предыдущем заменить алгебру формальных
степенных рядов алгеброй А-струй С[[а;1; . . ., хт]Цтк+1.
§ 2]
КЛАССЫ S1
45
Рассмотрим пространство й-струй отображений из С™ в С",
переводящих 0 в 0. В этом пространстве мы определим для каж-
каждого символа Боардмана / многообразие Боардмана Ег как мно-
множество тех струй отображений, для которых символ Боардмана
идеала, построенного по компонентам отображения (т. е. по п
функциям m переменных, задающим отображение), равен I.
Каждый идеал с символом Боардмана / при боардманизации
переходит в идеал, эквивалентный стандартному идеалу с симво-
символом /. Сопоставим каждой А-струе отображения из EJ тот идеал,
эквивалентный стандартному, который получается из идеала, на-
натянутого на компоненты струи при боардманизации. Полученное
отображение является гладким расслоением. Обозначим через U
базу этого расслоения, т. е. множество всех идеалов, эквивалент-
эквивалентных стандартному идеалу с символом / в алгебре А-струй.
Каждый слой построенного расслоения. EJ —>• U представляет
собой многообразие всех й-струй отображений, определяющих
идеалы, боардманизации которых все являются фиксированным
идеалом, эквивалентным стандартному. В частности, слой над
стандартным идеалом — это многообразие всех А-струй отображе-
отображений, порождающих после боардманизации стандартный идеал.
Этот слой мы обозначим через V.
Коразмерность многообразия Боардмана Е7 в пространстве
к-струй, переводящих 0 в 0, равна коразмерности многообразия V
k-струй отображений, порождающих после боардманизации стан-
стандартный идеал, уменьшенной на размерность многообразия U
всех идеалов, эквивалентных стандартному:
codim EJ = codim V— dim U.
Уменьшаемое и вычитаемое в этой формуле вычисляются по от-
отдельности.
Чтобы k-струя отображения задавала (после боардманизации)
стандартный идеал с символом I, необходимо и почти достаточно,
чтобы носители всех компонент принадлежали носителю стан-
стандартного идеала. Здесь «почти» означает, что если носители ком-
компонент принадлежат носителю стандартного идеала, то, при почти
любом выборе коэффициентов компонент, натянутый на них идеал
имеет заданный символ Боардмана / [«почти любой» означает «не
принадлежащий некоторой гиперповерхности в пространстве на-
наборов коэффициентов»; кроме того, предполагается, что вы-
выполнено условие п 2> т—ьг и в случае равенства п=т—ix
также гг=. . .=^=0 (если это условие нарушается, то EJ
пусто)].
Из сказанного вытекает, что коразмерность многообразия V
струй, задающих стандартный идеал с символом Боардмана I
в многообразии всех А-струй гладких отображений из С™ в С,
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
лг,
переводящих 0 в 0, в и раз больше, чем коразмерность стандарт-
стандартного идеала в максимальном идеале т:
codim V = п dim ttt//j; m = пр (I)-
Чтобы вычислить размерность многообразия всех идеалов^
эквивалентных стандартному, рассмотрим естественное действие
группы /с-струй диффеоморфизмов пространства С™, оставляющих
О на месте, на множество идеалов алгебры А-струй. Рассмотрим
подгруппу, образованную струями диффеоморфизмов, переводя-
переводящих стандартный идеал с символом Боардмана / в алгебре к-
\ струй в себя (т. е. рассмотрим ста-
стационарную подгруппу стандартного
идеала). Мы обозначим эту подгруппу
группы А-струй диффеоморфизмов
(С, 0) в себя через И. Размерность
многообразия U всех идеалов, эквива-
эквивалентных стандартному, равна ко-
коразмерности подгруппы Н во всей
группе k-струй диффеоморфизмов.
Таким образом, остается выяс-
выяснить, сколько ограничений накла-
накладывает на компоненты диффеомор-
диффеоморфизма условие сохранения стан-
стандартного идеала с символом Бо-
Боардмана /.
я*
х3 \сс,
Рис. 30.
ардмана 1.
Для формулировки результата подсчета этих ограничений
удобно обратиться к диаграмме Юнга (рис. 29). Напомним, что
мы обозначили через kg длину столбца xt в диаграмме, т. е. длину
столбца, в верхней клетке которого в нулевой строке стоит xs.
Определим для каждой переменной х„ усеченную на уровне х3
диаграмму, получаемую из исходной диаграммы Юнга выкиды-
выкидыванием всех строк, пересекающих столбец xs, кроме нулевой (число
их равно ks—1). В терминах символа Боардмана усечение на уровне
х, означает вычеркивание первых ks—1 элементов символа: ?1;. . .
. . ., ifcs_i. Все усеченные диаграммы для диаграммы рис. 29 по-
показаны на рис. 30.
Предложение. Чтобы диффеоморфизм переводил стан-
дартный идеал в себя, необходимо и'почти достаточно, чтобы он
переводил каждую координатную функцию xs в функцию из стан-
стандартного идеала, соответствующего диаграмме, усеченной на
уровне xs.
Ограничения, накладываемые этим предложением на диффео-
диффеоморфизм, можно записать в виде g*xs ? Jakt-ix, где S — оператор,
зачеркивающий первый элемент символа.
Например, для диаграммы B, . . ., 2, 1, . . ., 1) (р двоек и q
единиц) в случае двух переменных (т =2) ограничения таковы;
КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ
47
образ хг принадлежит идеалу, натянутому на хг и х|+1, а образ
хг — идеалу, натянутому на хг и х3 (т. е. максимальному идеалу).
Подробности доказательства см. в [153].
Из сформулированного предложения следует, что коразмер-
коразмерность стационарной группы стандартного идеала с символом
Боардмана / равна сумме коразмерностей стандартных идеалов,
соответствующих диаграммам Юнга, урезанным на уровнях х1,
х%,. . • Таким образом^
(S — оператор, зачеркивающий первый элемент символа; урезан-
урезанная диаграмма не меняется вдоль каждой ступеньки диаграммы
Юнга, поэтому слагаемое [j. (ST) повторяется столько раз, ка-
какова длина соответствующей ступеньки, т. е. ir—ir+1 раз).
Соединяя эту формулу с приведенной выше формулой для ко-
коразмерности многообразия V всех fe-струй отображений, задаю-
задающих стандартный идеал, мы и получаем окончательно формулу
Боардмана
codim EJ = codim V — codim U =
Замечание. Как видно, классы Боардмана тесно связаны
со специальными выпуклыми многогранниками на диаграмме
Ньютона (стандартными многогранниками). Рассмотрим выпук-
выпуклый многогранник на диаграмме Ньютона, заданный системой
линейных неоднородных целочисленных неравенств с неотрица-
неотрицательными коэффициентами X. Такой многогранник содержит
нуль, если все неравенства имеют вид (^, р) <С \, или обращен
выпуклостью к нулю, если все неравенства имеют вид (X, р) ^
^Хо. В первом (компактном) случае мы рассмотрим идеал, носите-
носителем которого является дополнение к многограннику, а во втором —
сам (некомпактный) многогранник. В обоих случаях мы можем
сопоставить многограннику класс отображений, а именно класс
всех тех отображений, для которых, при подходящем выборе си-
системы координат, идеал, порожденный компонентами отображе-
отображения, содержится в построенном по многограннику идеале. Было бы
интересно исследовать возникающие таким образом классы осо-
особенностей.
§ 3. Квадратичный дифференциал особенности
Ранг первого дифференциала fx приводит к классам особенно-
особенностей ?*. Рассмотрение квадратичной части отображения дает
более точную классификацию: мы сопоставляем каждой особен-
особенности инвариантно связанный с ней пучок квадратичных форм.
48
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ, I
3.1. Определение квадратичного дифференциала. Второй диф-
дифференциал определен инвариантно лишь на ядре первого и лишь
с точностью до образа первого. Поэтому квадратичным дифферен-
дифференциалом отображения /: Мт -*• Nm в точке х ? Мт мы назовем
квадратичное *) отображение линейных пространств
f
xx:
Coker/я,
где Кег fx с ТМ есть ядро первого дифференциала fx: TJd
-*T/MN, a CokeTfx=T/(x)N/fxTxM — ero коядро.
Кег/,
Рис. 31.
коовдиЙтТ^116 1хх °Пределим сначала с помощью локальных
X: ТхМт^Мт, У:
где
В этих координатах отображение / запишется в виде
ср: ТХМ -> T/(X)N, где <р = Y^ofoX.
Определение. Значение квадратичного дифференциала fx
на I ? Кег fx есть
fxx F) = lira
f.TJl б Coker /,.
Лемма. Квадратичный дифференциал fxx не зависит от вы-
выбора локальных координат X, Y.
Доказательство ясно из формулы Тейлора (рис. 31):
*) Отображение линейных пространств а: А ->¦ В называется квадра-
квадратичным, если существует симметричное билинейное отображение «': А+А -*
-* В такое, что <*=<*'о Д, где Д —диагональное отображение Д: А -*
КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ
49
Если
то
ч. т. д.
Одновременно доказано, что в локальной системе координат,
в которой t\v . . ., 7]fc — координаты т^КегД., а ср1( . . ., <рг — коор-
координаты в Coker fx, квадратичный дифференциал задается формулой
у.*
Пример. Для отображения примера S2-° (§ 2,
ратичный дифференциал дается формулами fxx:
(
стр. 37) квад-
квад(xs, ж4) i->
(l | 3±)
Замечание. Кубический дифференциал определять по-
подобной конструкцией нельзя. Для определения инвариантных
высших дифференциалов можно итерировать следующую кон-
конструкцию «внутренней производной» Портеуса.
3.2. Внутренняя производная. Рассмотрим два векторных
расслоения с общей базой В, и пусть А — отображение расслое-
расслоений. Внутренняя производная д отображения А в точке Ъ базы В
представляет собой линейный оператор
дА: ТЪВ
Нот (Кег А \ь, Coker ^
определяемый следующим образом.
В окрестности любой рассматриваемой точки базы расслоения
являются прямыми произведениями, так что мы можем фиксиро-
фиксировать системы координат в слоях. Отображение А задается тогда
семейством линейных операторов Ах, которые все действуют из
пространства типового слоя X первого расслоения в пространство
типового слоя У второго; параметр х принадлежит базе расслое-
расслоения. Мы фиксируем также систему координат с центром Ъ на базе
и считаем точку базы х вектором линейного пространства. Пусть
% — вектор из X. Разложение вектора Ах% в ряд Тейлора по х
начинается с членов
Здесь D зависит от х линейно; D (х) является линейным операто-
оператором из X в У. Обозначим через i: Кег Ао —> X вложение ядра опе-
оператора Ао в пространство-прообраз и через тс: У -». Coker Ao
проекцию пространства-образа У вдоль А0Х на фактор-простран-
фактор-пространство Y/AQX. Значение внутренней производив! на векторе х
4 В. И. Арнольд и др.
so
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
из Т0В определяется как линейный оператор, действующий из
ядра в коядро отображения AOl а именно:
дА (x)=z
i: Кег Ао -> Сокег Ао
Очевидно, этот оператор линейно зависит от х. Ясно также, что
он не зависит от использованной системы координат на базе.
3.3. Инвариантность внутренней производной. Покажем, что
построенный оператор не зависит от систем координат в слоях.
Действительно, перейдем к новым координатам %г f\ в слоях по
формулам
1 = Р(Х)\, 7)=<?(ЖO1
(Р (х) и Q (х) — гладко зависящие от точки базы х линейные опе-
операторы шг X ъ X та. шг Y ъУ соответственно). В новых координатах
исходное отображение т\=А (х) % перепи-
перепишется в виде у\ = А (х) I, где А (х) =
=Q(x) А (х) Р (х). Дифференцируя по i в
точке х=0, получаем
'Т - ±P+QAd/.
х ' v dx
¦v
м
Рис. 32.
Первое слагаемое обращается в нуль на
ядре Ло, а третье принадлежит образу Ло.
Обозначая вложение ядра Ло и проекцию
на коядро через i и к, получаем выражение внутренней производ-
производной в новых координатах в виде
)
что и доказывает независимость линейного оператора дА (х) от
выбора систем координат.
3.4. Вертикальное расслоение отображения. Применим ска-
сказанное к производной гладкого отображения /: М —> N. Произ-
Производная задает отображение векторных расслоений f^x: TJH —*¦
-> Tf(x)N с разными базами. Чтобы сделать базы одинаковыми, мы
свяжем с отображением / новое расслоение — вертикальное рас-
расслоение отображения /. Это расслоение всегда полезно иметь
в виду при работе с отображением /. Определяется оно так.
Рассмотрим график Гf отображения /: М -> N (рис. 32).
График представляет собой подмногообразие прямого произведе-
произведения MxN. Прямое произведение MxN можно рассматривать
как расслоение с базой М. График является сечением этого рас-
расслоения: его проекция на М вдоль N представляет собой диффео-
диффеоморфизм Гу->Л/. Слои, параллельные N% пересекают график
КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ
51
трансверсально. Касательные пространства к слоям во всех точ-
точках графика и образуют вертикальное расслоение отображения /.
Отождествляя график Г/ с многообразием-прообразом М при по-
помощи естественной проекции, мы можем рассматривать вертикаль-
вертикальное расслоение как расслоение с базой М. В таком случае мы мо-
можем сказать, что вертикальное расслоение отображения /: М —>
—»• N есть расслоение, в котором слоем над точкой х из многообра-
многообразия-прообраза М является касательное пространство T/ix)N
к многообразию-образу N в образе точки х.
Вертикальное расслоение отображения / обозначается через
f*TN.
Производная отображения / задает естественное отображение
касательного расслоения к многообразию-прообразу в вертикаль-
вертикальное расслоение: вектору ? из TJM сопоставляется вектор f^.x%
из слоя Tf(x)N вертикального расслоения. Внутренняя произ-
производная этого отображения расслоения определяет билинейное
отображение 8: TJd X Кег f^x -*¦ Coker f^.x. Это билинейное отобра-
отображение, инвариантно определенное дифференцируемым отображе-
отображением /, содержит несколько больше информации, чем квадратич-
квадратичный дифференциал. Последний получается при сужении 8 на
«диагональ»:
8A,
для ? из Ker/
3.5. Семейство квадратичных форм, соответствующих квадра-
квадратичному дифференциалу. С квадратичным дифференциалом fxx
инвариантно связано семейство L квадратичных форм. Обозначим
через F линейное пространство всех вещественных квадратичных
форм на Кег fx, через С — сопряженное пространство к Coker fx.
Каждой форме
а: Сокег/я. -* R1, «?С',
соответствует квадратичная форма ао/яж6^-
Определение. Семейством квадратичных форм, соот-
соответствующим fxx, называется линейное отображение кокоядра fx
в пространство квадратичных форм на ядре fx:
L: С -> F,
заданное формулой L (а) = оо/^.
Пример. Пусть размерности Кег/^. и Coker fx равны 2.
Пространство F квадратичных форм от двух переменных трех-
трехмерно, и семейство L есть отображение двумерной плоскости С
в трехмерное пространство F.
В пространстве квадратичных форм F есть дополнительная
структураг определенная классификацией форм по индексам
52
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
инерции. Пусть хг, х2 — координаты на Ker fx. В пространстве F
введем координаты а, Ъ, с, где точка с координатами а, Ь, с озна-
означает форму \
ах\
-f- cx\.
Формы ранга 1 (параболические) образуют в пространстве F
конус Ъ2—ас (рис. 33). Вершина конуса — нулевая форма. Внутри
двух пол конуса находятся эллиптические формы типов (+, +)
и (—, —), а вне — гиперболические
формы типа (+, —).
Семейство L изображается под-
подпространством L (С) с F, и это под-
подпространство может быть располо-
расположено одним из семи способов:
1 .^Плоскость, вся лежащая вне
конуса (все формы пучка гиперболи-
гиперболические) (пример: <хх (xf — %%) -f- а2х1х2).
2. Плоскость, пересекающая конус
Cl (в пучке есть две параболические
формы) (пример: и.хх\-\-и.$Я?).
3. Плоскость, касающаяся конуса (в пучке есть одна парабо-
параболическая форма) (пример: а.гх\.-{- «г^А)-
4. Прямая внутри конуса (пример: ах {х\ -J-a;f)-f-a2 • 0).
5. Прямая вне конуса (пример: а^х^ -j- <хг • 0).
6. Прямая, касающаяся конуса (пример: а.^^ -\- <х2 ¦ 0).
7. Точка (аг-0 + <х2-0).
Оказывается, расположение подпространства семейства яв-
является инвариантом особенности.
Обозначения. Пусть F (Rfc) — линейное пространство
всех квадратичных форм от к переменных. Пусть
¦ Н (с, к) = Нош (Re, F (R*))
— линейное пространство всех с-параметрических линейных се-
семейств квадратичных форм от к переменных.
На пространстве Л (с, к) естественно действует группа GL (с, R) X
X GL (к, R) линейных преобразований R" и R* по формуле
х gk) Ц (у ifc=l ur;%
€Rfc c, R),
A, R).
Пример. Пространство Н B, 2) шестимерно и под действием
GLB, R)xGLB, R) распадается на семь орбит, описанных в пре-
предыдущем примере.
квадратичный дифференциал особенности
53
Вспомним теперь, что каждому ростку отображения f:M-*-N
в точке х?М мы сопоставили квадратичный дифференциал fxx,
а ему — семейство квадратичных форм
Lf е Нот {С, F (К)), С = Coker
Если выбрать отождествления
С ^Пс, с — dim:Cokerfx, K^R
К = Кег /,.
= dimKerfx,
то мы сопоставим семейству L^ элемент Н (с, к). Изменение этих
отождествлений линейных пространств сводится к действию
группы GL (с, R)xGL(/c, R) на Н (с, к), описанному выше. Итак,
доказана
Лемма. Описанной конструкцией ростку отображения
/: М -> N в х инвариантно {относительно диффеоморфизмов М и N)
сопоставляется орбита действия группы GL (с, R)xGL {k, R)
в пространстве всех с-параметрических семейств квадратичных
форм от к переменных Н (с, к), где с = dim Coker fx, к — dim Ker fx.
3.6. Эллиптические и гиперболические особенности Е2. Из
доказанной леммы вытекает
Следствие. Рассмотрим два отображения /±: R* -»• R*, задан-
заданные формулами
± х\
Их ростки в 0 не эквивалентны, т. е. не существует ростков
диффеоморфизмов h, k, h @) = 0, к @) = 0, для которых диаграмма
R" Д- R"
R" ^* RH
коммутативна.
Доказательство. В этом случае с=&=2, и мы на-
находимся в условиях разобранного выше примера. Семейство L±
задается формулами
«i(*§±
и определяет плоскость в пространстве (а, Ъ, с). В случае /_ эта
плоскость лежит вне конуса и, значит, /_ соответствует первая из
семи орбит примера. В случае /+ эта плоскость пересекает конус
Hj значитг /+ соответствует вторая из семи орбит примера. Эти ор-
54
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
биты разные: значит, ростки /+ и /_ в 0 не эквивалентны, что и тре-
требовалось доказать.
Замечание 1. Легко проверить, что /± имеют в 0 не-
неустранимую особенность класса Е2. Итак, классификация по клас-
классам Боардмана ?J неполна. Особенность /_ называется эллипти-
эллиптической особенностью класса ?2, а особенность /+ — гиперболиче-
гиперболической (почему?).
Замечание 2. Легко проверить, что эллиптическое и
гиперболическое отображения /_ и /+ в 0 различны не только в диф-
и ференцируемом, но и в топологи-
топологическом смысле. Чтобы лучше по-
понять их строение, можно рас-
рассматривать их как отображения
плоскости
4
ч
Х3 ± xi
X\XZ I
Рис. 34.
зависящие от параметров хг,
х2. При х1=а;2=0 получается
либр комплексное отображение z i-> z2 (/_), либо «уголок» (/+),
эквивалентный отображению
иЛ
(и? v,,
I 77* 7?
(см. рис. 64).
Уже из этого видно, что отображения /4 и /_ топологически
неэквивалентны: образ /_ покрывает R4, а образ /+ нет.
При малых хг, хг получается близкое отображение, устроенное
либо (в случае (/_)) как на рис. 17 (стр. 20), либо (в случае (/+))
как указано на рис. 18 (стр. 20).
Замечание 3. В дальнейшем мы покажем, что ростки
обоих отображений /± устойчивы; можно также доказать, что
всякое отображение М4 -> N* можно аппроксимировать отобра-
отображением, росток которого в каждой точке эквивалентен одному из
семи устойчивых ростков, заданных формулами
?°:
— х(, i = l,..., 3, yi = x1xi
У( = xv
2, ys-=xl — xl
КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ
55
3.7. Неустранимость неустойчивых отображений. Укажем
еще одно следствие доказанной леммы.
Теорема (Том [178]). Множество устойчивых отображений
М"' -*¦ N"* не всюду плотно в пространстве гладких отображений
Mn*-+NttI при «>3.
ii.fj Доказательство основано на следующем замечании.
С, Лемма. Коразмерность любой орбиты GL («, R)XGL(n, R)
в пространстве п-параметрических семейств квадратичных форм
от п переменных И (п, п) положительна при п ^ 3.
Доказатель ство. Имеем, очевидно,
dim Я (га, п) = — 2 >
dim GL (n, R)x GL (и, R) = 2п2.
Имеется одномерная подгруппа (скаляры), оставляющая на
месте все точки Н. Поэтому коразмерность любой орбиты [не
меньшег чем
">(д2+1)_Bва—l)^»i при га>3.
Лемма доказана.
Теперь рассмотрим отображение /: М"г -> Nn\ имеющее в 0
трансверсальную особенность типа Ея. По формуле произведения
корангов особенность Ея(/) имеет коразмерность га2 и всякое
близкое отображение будет иметь в близкой точке особенность
типа Е".
Рассмотрим квадратичный дифференциал /^ в 0 и соответст-
соответствующую ему орбиту в Н (гс, п). Так как эта орбита имеет кораз-
коразмерность ^ 1, то в любой окрестности отображения / есть отобра-
отображения /, квадратичные дифференциалы которых в точке Е" (/)
соответствуют другим орбитам (такие / легко построить, изменяя
в / лишь струю порядка 2).
Следовательно, росток любого отображения /: М"! -*¦ N"'
в точке 0 ? Е" (/) неустойчив, что и доказывает теорему.
Замечание 1. В терминах рис. 35 мы доказали выше,
что точка т=гс=9 принадлежит области неустойчивости (назы-
(называемой также областью плохих размерностей Мазера).
Замечание 2. Можно сформулировать теорему, при-
приведенную выше, как утверждение, что дифференцируемые осо-
особенности отображений М"г -> N при больших п имеют «модули»
(т. е. непрерывно меняющиеся с отображением инварианты).
Например, из приведенного доказательства видно, что при п ^ 3
имеется по крайней мере один модуль.
При достаточно больших п число модулей бесконечно, т. е.
пространство неэквивалентных дифференцируемо особенностей
бесконечномерно. Действительно, при достаточно больших п
56
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
существуют и неустранимы целые кривые (поверхности, . . .)
в пространстве-прообразе, такие, что струи отображения в точ-
точках этих кривых (поверхностей, . . .) имеют модули. Более того,
при достаточно больших п неустранима и такая ситуация, когда
число этих модулей больше размерности соответствующего под-
подмногообразия (кривой, поверхности, . . .). В таком случае набор
модулей задает отображение
указанного подмногообразия
пространства-прообраза в про-
пространство значений модулей.
Образ этого отображения —
подмножество (кривая, поверх-
поверхность, . . .) в пространстве зна-
значений модулей. Это подмно-
подмножество инвариантно связано
с исходным отображением. Итак,
мы получаем в качестве инва-
инварианта дифференцируемого ото-
отображения целую кривую (по-
(поверхность, . . .). Можно сказать,
что при больших п модули сами
Рис 35. становятся функциональными.
Было бы интересно сформулиро-
сформулировать соответствующие теоремы об асимптотиках числа модулей
в пространстве А-струй при любых к.
В случае отображений пространств произвольных размерно-
размерностей Мт -*• N" ситуация аналогична, только вместе с увеличением
п надо увеличивать т так, чтобы идти внутрь области плохих раз-
размерностей Мазера, заштрихованной на рис. 35. Уолл до-
доказал, что число модулей становится бесконечным сразу же за
границей области плохих размерностей, т. е. как только имеющие
модули струи появляются не в изолированных точках. Таким обра-
образом, внутри области плохих размерностей дифференцируемый тип
отображения в точке не определяется никакой струей конечного
порядка (для некоторых отображений, образующих открытое
множество в пространстве всех отображений).
§ 4. Локальная алгебра особенности и подготовительная
теорема Вейерштрасса
Каждый геометрический объект может описываться двумя спо-
способами — в терминах точек многообразий и в терминах функций
на них.
Там, где геометр говорит о многообразии, алгебраист предпо-
предпочитает говорить об алгебре функций (имея в виду алгебру функ-
функций на этом многообразии). Подмногообразию отвечает идеал
ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОБЕННОСТИ
57
(образованный функциями, обращающимися в нуль на этом под-
подмногообразии). Алгебра функций на подмногообразии получается
из алгебры функций на исходном многообразии факторизацией
по этому идеалу. Точки многообразий — это минимальные его
подмногообразия, им отвечают максимальные идеалы и т. д.
Алгебраический способ описания оказывается особенно удоб-
удобным в случаях вырождений, когда геометрические объекты ста-
становятся микроскопическими и их непосредственное изучение
затруднительно.
В частности, с каждой особенностью дифференцируемого ото-
отображения в точке связывается некоторая локальная алгебра —
«алгебра функций на инфинитезималь-
ном прообразе точки». Чтобы понять
определение этой алгебры, начнем с про-
простейшего примера.
4.1. Алгебра функций на слипшемся
двоеточии. Рассмотрим отображение ве-
вещественной прямой на прямую, задан-
заданное формулой у=х2 (рис. 36). Зафикси-
Зафиксируем неособое значение у=е- Его про-
прообраз состоит из двух точек. Рассмотрим алгебру всех функций
на множестве, состоящем из этих двух точек. Эта R-алгебра (ал-
(алгебра над полем R) представляет собой линейное функциональное
пространство размерности 2 (так как функция определяется
своими значениями в двух точках), снабженное операцией (пото-
(поточечного) умножения функций. Мы обозначим алгебру функций
на прообразах точки е через Qs.
В линейном пространстве алгебры Qt имеется естественный ба-
базис из 8-функций:
\
V
V.--VS
/
Рис. 36.
1 при х = \Je,
О при х=—s/
0 при х = \Js,
1 при х = —\/
Однако этот базис неудобен для изучения предельного перехода
при стремлении е к нулю. Другой базис образуют сужения на
наше двоеточие простейших многочленов ниже второй степени
от х:
ех = 1, е2 = х.
Таблица умножения алгебры Qs во втором базисе имеет вид
56
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
leycmouvueocmo
существуют и неустранимы целые кривые (поверхности, . . .)
в пространстве-прообразе, такие, что струи отображения в точ-
точках этих кривых (поверхностей, . . .) имеют модули. Более того,
при достаточно больших п неустранима и такая ситуация, когда
число этих модулей больше размерности соответствующего под-
подмногообразия (кривой, поверхности, . . .). В таком случае набор
модулей задает отображение
указанного подмногообразия
пространства-прообраза в про-
пространство значений модулей.
Образ этого отображения —
подмножество (кривая, поверх-
поверхность, . . .) в пространстве зна-
значений модулей. Это подмно-
подмножество инвариантно связано
с исходным отображением. Итак,
мы получаем в качестве инва-
инварианта дифференцируемого ото-
отображения целую кривую (по-
(поверхность, . . .). Можно сказать,
что при больших п модули сами
Рис. 35. становятся функциональными.
Было бы интересно сформулиро-
сформулировать соответствующие теоремы об асимптотиках числа модулей
в пространстве А-струй при любых к.
В случае отображений пространств произвольных размерно-
размерностей Мт -*• N" ситуация аналогична, только вместе с увеличением
п надо увеличивать т так, чтобы идти внутрь области плохих раз-
размерностей Мазера, заштрихованной на рис. 35. Уолл до-
доказал, что число модулей становится бесконечным сразу же за
границей области плохих размерностей, т. е. как только имеющие
модули струи появляются не в изолированных точках. Таким обра-
образом, внутри области плохих размерностей дифференцируемый тип
отображения в точке не определяется никакой струей конечного
порядка (для некоторых отображений, образующих открытое
множество в пространстве всех отображений).
§ 4. Локальная алгебра особенности и подготовительная
теорема Вейерштрасса
Каждый геометрический объект может описываться двумя спо-
способами — в терминах точек многообразий и в терминах функций
на них.
Там, где геометр говорит о многообразии, алгебраист предпо-
предпочитает говорить об алгебре функций (имея в виду алгебру функ-
функций на этом многообразии). Подмногообразию отвечает идеал
§ 4]
ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОБЕННОСТИ
57
(образованный функциями, обращающимися в нуль на этом под-
подмногообразии). Алгебра функций на подмногообразии получается
из алгебры функций на исходном многообразии факторизацией
по этому идеалу. Точки многообразий — это минимальные его
подмногообразия, им отвечают максимальные идеалы и т. д.
Алгебраический способ описания оказывается особенно удоб-
удобным в случаях вырождений, когда геометрические объекты ста-
становятся микроскопическими и их непосредственное изучение
затруднительно.
В частности, с каждой особенностью дифференцируемого ото-
отображения в точке связывается некоторая локальная алгебра —
«алгебра функций на инфините зима ль-
льном прообразе точки». Чтобы понять
определение этой алгебры, начнем с про- \
стейшего примера.
4.1. Алгебра функций на слипшемся
двоеточии. Рассмотрим отображение ве-
вещественной прямой на прямую, задан-
заданное формулой у—х2 (рис. 36). Зафикси-
Зафиксируем неособое значение i/=e. Его про-
прообраз состоит из двух точек. Рассмотрим алгебру всех функций
на множестве, состоящем из этих двух точек. Эта R-алгебра (ал-
(алгебра над полем R) представляет собой линейное функциональное
пространство размерности 2 (так как функция определяется
своими значениями в двух точках), снабженное операцией (пото-
(поточечного) умножения функций. Мы обозначим алгебру функций
на прообразах точки е через Qe.
В линейном пространстве алгебры Q^ имеется естественный ба-
базис из 8-функций:
X.--VS
Рис. 36.
1 при х = \/е,
О при х ¦=. —\Je;
0 при X = \/е,
1 при х = —\/
Однако этот базис неудобен для изучения предельного перехода
при стремлении е к нулю. Другой базис образуют сужения на
наше двоеточие простейших многочленов ниже второй степени
от х:
Таблица умножения алгебры Qe во втором базисе имеет вид
1
X
1
1
X
X
X
р.
Пусть е стремится к нулю. Тогда определенная алгеброй опе-
операция умножения в двумерном пространстве многочленов ниже
второй степени переходит в пределе в операцию на том же линей-
линейном пространстве, заданную таблицей умножения
1
X
1
X
X
О
Пространство многочленов ниже второй степени с указанной опе-
операцией образует алгебру. Эта алгебра и вааывается^алгеброй
функций на слипшемся двоеточии, Q = lim Qe.
Алгебра функций на слипшемся двоеточии может быть также
описана как фактор-алгебра Q = R[[х]]/(х2) алгебры R [[х]]
формальных степенных рядов от х по идеалу, порожденному х2.
Вместо алгебры рядов можно также взять алгебру многочле-
многочленов R [х]. Алгебра Q функций на слипшемся двоеточии назы-
называется поэтому также алгеброй срезанных полиномов ниже вто-
второй степени.
Перенесение описанных конструкций на более общий случай
произвольного гладкого отображения приводит к следующему
определению алгебры функций на инфинитезимальном прообразе
точки.
4.2. Локальная алгебра отображения в точке. Пусть
/: (Rm, 0) -> (R", 0) — гладкое отображение, заданное в окрестности
точки 0 из R, переводящее эту точку в точку 0 из R". Ото-
Отображение / в координатах задается п функциями т переменных:
y1 = f1(x1, . . ., хт), . . ., yn = fn(xv . - ., xj.
Поскольку дальнейшее имеет несколько вариантов в зависи-
зависимости от класса гладкости этих функций, мы введем унифицирую-
унифицирующее обозначение Ах для «R-алгебры функции рассматриваемого
класса» от х (А — от «алгебра»). Значения Ах могут быть, напри-
например, следующими:
&х — алгебра ростков бесконечно дифференцируемых функ-
функций в 0;
Нх — алгебра сходящихся степенных рядов;
R Их]] — алгебра формальных степенных рядов;
(в случае Нх радиус сходимости зависит от ряда; в обоих послед-
последних ситуациях следует иметь в виду также и комплексные вари-
варианты, т. е. алгебры голоморфных ростков и формальных рядов С[[х]]).
Элементы /1} ...,/„ алгебры функций Ах порождают в Ах
идеал. Этот идеал образован всеми линейными комбинациями
ЛОКАЛЬНАЯ AJtfEBt>A ОСОВЕЙЙОСТЙ
59
Ai/i+« • -"Ь^я/я с коэффициентами hk из алгебры функций Ах.
Мы будем обозначать идеал, порожденный /1? . . ., /„, через
(А, • • - /„)•
Определение. Локальной алгеброй отображения j в нуле
называется фактор-алгебра алгебры функций по идеалу, порож-
порожденному компонентами отображения:
Пример. Пусть т=п=1 и / (х)=х2. Локальная алгебра
этого отображения в нуле есть алгебра функций на слипшемся
двоеточии, т. е. двумерная алгебра срезанных многочленов ниже
второй степени, рассмотренная в п. 4.1.
Замечание 1. Алгебра Qj. не зависит от использовав-
использовавшихся систем локальных координат в прообразе и в образе. Точ-
Точнее, переход к другим системам координат индуцирует переход
всей точной последовательности R-алгебр 0 -> If -> Ах -> Q^~> 0
в изоморфную.
Замечание 2. Алгебраисты называют алгебру локаль-
локальной, если она имеет только один максимальный идеал (идеал, не
содержащийся в большем идеале, отличном от всей рассматривае-
рассматриваемой алгебры). Геометрически максимальные идеалы соответствуют
минимальным подмногообразиям, т. е. точкам. Таким образом,
локальность алгебры означает, что она «сосредоточена в одной
точке».
Наши алгебры функций Ах и Qj локальны (единственный
максимальный идеал состоит из функций, обращающихся в 0
в начале координат). Максимальный идеал обычно обозначается
буквой т.
Замечание 3. Определение локальной алгебры Qf можно
сформулировать в более инвариантных терминах следующим
образом. Обозначим через Ау алгебру «функций рассматриваемого
класса» в точке 0 пространства-образа (т. е. алгебру функций или
рядов от yv . . ., уп). Отображение / индуцирует гомоморфизм
R-алгебр /*: Ау ~* Ах, (/*ср) (х) = ср (/ (х)). Обозначим через ту
максимальный идеал алгебры Ау (т. е. множество функций или рядов
от у, равных 0 в точке у = 0). Образ идеала ту при отображении
/* не будет, вообще говоря, идеалом в алгебре Ах. Построим
идеал If — Ax-fmy; тогда Qf — AJIf.
Пример. Пусть Ax=z R [[х]], /(х) = х2. В этом случае
Ах = {а0 -\- агх -}-...} (все формальные ряды);
щ„ = {Ьхг/ -j- Ь2^а + • • •} (формальные ряды без свободного члена);
fxay = [Ъгх% -j- ЬаЖ* -}-...} (четные формальные ряды без сво-
свободного члена);
Axfxay = {а^с2 -j- а3х3 -[-••¦} (формальные ряды без свободного
и линейного членов);
основные понятия
(алгебра срезанных многочленов
степени
дан-
дан/„).
меньше 2).
Задача 1. Проверить эквивалентность определения Ij, ;
ного в замечании 3, координатному определению: Ij = (flt . . ., lnl.
Задача 2. Пусть т = п = 1, f(x) = xk. Доказать, что Qj—
алгебра срезанных многочленов степени меньше к, т. е. алгебра
многочленов а0 -f- агх -\- . . . -\- ай_1ж*~1 с умножением по правилу
хк = 0. Размерность этой алгебры как R-линейного пространства
равна к.
3 а д а ч а 3. Пусть / — отображение Уитни R*" -»• R*, заданное
формулами ух = х* -|- х^с\~2 + ¦ •. + ад, уа = *„..., ук_г = хк_х.
Доказать, что Qf —• алгебра срезанных многочленов степени
меньше к.
Задача 4. Пусть /±: R* -> R* — эллиптическое и гиперболи-
гиперболическое отображения класса ?2 (стр. 37). Доказать, что обе соот-
соответствующие локальные R-алгебры Qf имеют R-размерность 4 и
яеизоморфны.
Замечание. В комплексном случае отображения /± эквива-
эквивалентны, а соответствующие им С-алгебры имеют С-размерность 4
и изоморфны. Таким образом, неизоморфные R-алгебры Q.
вляются двумя «вещественными формами» одной и той же
С-алгебры, которая является комплексификацией каждой из этих
R-алгебр.
4.3. Кратность отображения в точке. Числа прообразов точки
общего положения в комплексных вариантах приведенных выше
задач 2—4 равны размерностям соответствующих локальных
С-алгебр Qj, над С (т. е. равны, соответственно, к, к, 4). Это
не случайно.
Пусть дан росток голоморфного отображения /: (Ся, 0) -»
Теорема. Число близких к нулю прообразов близкой к нулю
точки общего положения при отображении f равно размерности
локальной алгебры:
fj. = dimc Qf
Доказательство этой теоремы занимает следующий параграф;
там дано и точное определение «числа близких к нулю прообразов».
Замечание. В голоморфном случае конечномерность
Qf над С эквивалентна изолированности точки 0 в полном про-
прообразе нуля (т. е. в Z @)). В вещественном аналитическом слу-
случае это уже не так: конечномерность Qj, над R эквивалентна изо-
изолированности в комплексном полном прообразе. Бесконечно диф-
дифференцируемый пример особенности с бесконечномерной локаль-
локальной алгеброй в точке, являющейся изолированной точкой полного
прообраза нуля: /=ехр (—Их2).
ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОБЕННОСТИ
Bl
Определение. Число fj.==dim Qj (над R в вещественном
и над С в комплексном случае) называется (алгебраической)
локальной кратностью отображения / в нуле.
Отображение называется конечнократным, если fj.<^oo.
Задача. Докажите, что если т > п, то конечнократных
отображений (R, 0) -*¦ (R", 0) не существует.
4.4. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Начнем с при-
примера. Рассмотрим локальную алгебру Qj отображения у=х%.
Это — алгебра срезанных многочленов степени меньше 2 от х:
Как линейное пространство, эта алгебра двумерна, и ее элементы
можно записывать в виде аа-\-агх, т. е. в виде линейных комбина-
комбинаций двух элементов, 1 и х, с числовыми коэффициентами.
Определение. Системой образующих конечномерной ло-
локальной алгебры Qj. = A.J1j, мы будем называть набор элементов
(е1, .. ., ej из алгебры функций Лх, который переходит в систему
образующих линейного пространства Q* при факторизации по
идеалу //.
Пример. В качестве системы образующих алгебры срезан-
срезанных многочленов от х степени меньше А можно взять к одночленов 1,
х, . . ., х*'1. Эти образующие независимы, т. е. составляют базис
в пространстве Qj,.
Задача. Доказать, что локальная алгебра Qj, гладкого
конечнократного отображения / всегда имеет базис, состоящий
из одночленов.
В случае /=а^ локальная алгебра Qj состоит из срезанных
многочленов ниже второй степени и базис образуют два одночлена,
1 иг. Заметим, что каждая функция а из Лх представима в виде
комбинации базисных одночленов с четными коэффициентами:
(разложение на четную и нечетную составляющие). В формальном
и аналитическом случаях это разложение даже однозначно опре-
определено (в бесконечно дифференцируемом случае коэффициенты
определены однозначно лишь на положительной полуоси).
Подготовительная теорема Вейерштрасса представляет собой
далекое обобщение приведенного разложения функции на четную-
и нечетную части.
Теорема. Пусть y=f(x) — отображение конечной крат-
кратности и (еи . . ., е ) — система образующих его локальной алгебры-
Qf. Тогда для всякой функции а существует разложение
а (х) = q (/ (*)) е± (х) +• . . . + с„ (/ (*)) ^ (х),
где ск — функции от у.
bii
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЙ
[та. i
Иными словами, для каждого элемента алгебры функций Ах
существует разложение
где сн — элементы алгебры функций Ау.
Доказательство. Докажем эту теорему в случае фор-
формальных степенных рядов. По определению системы образующих,
для любого а существует разложение
*=1
г=1
а)
(вторая сумма есть общий вид элемента идеала /^).
В частности, для каждого г можно разложить аг по формуле A):
±
Подставляя эти разложения в разложение A), мы получаем
улучшенное разложение
Продолжая разлагать по формуле A) коэффициенты <хг в (х)
и повторяя процедуру улучшения, мы будем на каждом шагу
повышать степени произведения компонент / во втором слагаемом
разложения и степени многочленов относительно компонент /
в коэффициентах при ек. Заметим, что члены младших степеней
в построенных на первых шагах многочленах, являющихся коэф-
коэффициентами при ек, на следующих шагах уже не меняются.
После бесконечного числа шагов указанной процедуры второе
слагаемое будет полностью уничтожено, а коэффициенты первого
слагаемого станут формальными рядами относительно компонент
/й, т. е. мы получим искомое разложение.
В случаях аналитических или голоморфных отображений
теорема доказывается несколько более аккуратным проведением
аналогичной процедуры, сопровождаемой контролем сходимости
рядов (Серр, Гузель; см., например, [132], ГЗ]). В случае беско-
бесконечно дифференцируемых отображений подготовительная теорема
была доказана Мальгранжем. В этом случае доказательство зна-
значительно сложнее (см., например, [147], [148J, [152]).
Основное значение подготовительной теоремы в исследовании
особенностей состоит в том, что она позволяет обосновывать
«отбрасывание хвостов», т. е. позволяет переносить различные
ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОБЕННОСТИ
63
результаты о нормальных формах и т. п. с уровня конечных струй
на уровень гладких отображений*).
Не следует, однако, переоценивать значения получающихся
при этом теорем для приложений. Рассмотрим, например, особен-
особенность функции т переменных в невырожденной точке минимума
(где второй дифференциал положительно определен). Можно
доказать, что существует замена переменных, приводящая /
к нормальной форме f=xf+. . .+x^. Однако получаемая при этом
информация о топологии / не больше, чем вытекающая из возмож-
возможности привести / к нормальной форме на уровне 2-струй:
Приведения же на уровне &-струй достаточно, по-видимому, уже
для всех разумных приложений.
В дальнейшем мы доказываем подробно теоремы о приведении
отображений к нормальным формам на уровне &-струй или на
уровне формальных рядов (т. е. оо-струй). Доказательства сразу
переносятся на гладкий, аналитический и голоморфный случаи,
нужно только пользоваться соответствующим вариантом подго-
подготовительной теоремы.
Замечание. Беззаботное отношение к обоснованию пере-
перехода от формальных рядов к аналитическим и гладким объектам
допустимо, когда результаты для всех случаев (формального,
аналитического, голоморфного и гладкого) действительно парал-
параллельны. Однако встречаются задачи, в которых это не так (напри-
(например, задачи с малыми знаменателями; ср. [3]). В таких задачах
обоснование сходимости и исследование гладкого случая суще-
существенно, так как за расходимостью рядов скрывается качественное,
топологическое различие между поведением гладкого или анали-
аналитического объекта и его нормальной формы на уровне струй (что и
проявляется в задачах с малыми знаменателями в виде резонанс-
резонансных эффектов; ср. [17], гл. V).
В теории особенностей такая ситуация, видимо, не встречается
(см., однако, пример Габриэлова [39] формального соотношения
между аналитическими функциями, не допускающими аналитиче-
аналитического соотношения и стр. 287).
4.5. Примеры и приложения.
Пример 1. Рассмотрим симметрические функции от т
переменных. Из подготовительной теоремы вытекает, что все та-
такие функции можно представить в виде функций от основных
симметрических функций:
*) Действительно, то, что е% образуют базис алгебры, проверяется по ко-
конечной струе.
64
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Действительно, рассмотрим «отображение Виета» R"* -> R
(или С -> С), сопоставляющее точке с координатами (х1; . . ., хт)
точку с координатами (av . . ., ат). Нетрудно проверить, что это
отображение конечнократяо, а именно [а = т !; в качестве базиса
можно взять, например, [а одночленов еи = х*> . . . х%", для кото-
которых 0 ^ ка <[ s. По подготовительной теореме каждая функция
представляется в виде Есл(а)^*. Для симметрической же функции,
как нетрудно сообразить, все коэффициенты, кроме с0, равны
нулю, что и требовалось.
Под словом «функция» можно здесь понимать формальный или
сходящийся вещественный или комплексный ряд или росток бес-
бесконечно дифференцируемой функции в нуле. В действительности
результат справедлив также и в целом (например, для бесконечно
дифференцируемых функций во всем R", см работу Глезера [122],
или для многочленов).
Пример 2. Часто встречается ситуация, когда разлагае-
разлагаемая по подготовительной теореме функция а дифференцируемо
(аналитически, формально) зависит, кроме переменных х, еще от
параметров t. В таком случае можно не только получить разло-
разложение при каждом значении параметров, но получить и разложе-
разложение с дифференцируемо (аналитически, формально) зависящими
от параметров коэффициентами:
a(x,t)='?ct(f(x),t)ek(x)
(речь идет о ростках функции от (х, t) в нуле или о формальных
степенных рядах по х и t).
Для доказательства достаточно применить подготовительную
теорему к отображению /, надстроенному тождественным преобра-
преобразованием параметров, т. е. к отображению
(x,t)^(f(x),t).
Это отображение конечнократно, и систему образующих локаль-
локальной алгебры образуют «те же самые» функции ек (х), что и для /
(рассматриваемые, однако, теперь как элементы алгебры функ-
функций Ax>i от переменных х и t).
Более того, можно допустить также зависимость / от парамет-
параметров, и можно заменить ек (х) любыми функциями Ек (х, t), обра-
обращающимися в ек (х) при ?=0. Действительно, функции Ек (х, t)
составляют систему образующих локальной алгебры отображения
тогда и только тогда, когда функции ек (х)=Ек (х, 0) составляют
систему образующих локальной алгебры отображения х ь> / (х) =
—F (х, 0) (это вытекает из того, что F (х, t)—F [х, 0) и Еь (х, t)~Eh (x, 0)
принадлежат идеалу, порожденному t в алгебре A.xt).
§ 4]
ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ОСОБЕННОСТИ
65
Пример 3 («теорема деления»). Пусть
F (х, t) = х» -{- щ (t) x»-i + . .. + щ (*), и, @) = 0.
Тогда каждая функция а. (х, t) представший в виде
а (х, t) = g (х, t) F (x, t) + 'S К{t) xr
(g — частное, многочлен степени jj.—1 — остаток).
Доказательство. При ?=0 функция F превращается
в /=хи-. Локальная алгебра отображения / порождается одночле-
одночленами 1, х, . . ., х9"'1. Следовательно,
ос(х, t)=
Представляя каждое сг в виде cr=gr (x," t) F+hr (t), получаем
искомое разложение.
Теорема деления справедлива в гладкой, формальной, анали-
аналитической и голоморфной ситуациях; голоморфный вариант тео-
теоремы деления принадлежит Вейерштрассу.
Пример 4 (подготовительная теорема с параметром).
Предположим, что дан росток конечнократного отображения,
гладко зависящий от параметра t, меняющегося на отрезке [0, 1 ],
ft: (Rm, 0) -> (R", 0). Предположим, что функции ег(х), ...
... ,е (х) из Лх порождают (после факторизации по идеалу I/t) ло-
локальную алгебру Q/t при каждом t. Тогда для всякой гладко зави-
зависящей от t функции a (t, x) существует разложение
a (t, х) = 2 с* (ft (x), t) ek (x)
с гладкими на всем отрезке 0 ^ t ^ 1 коэффициентами ск.
Доказательство получается из аналогичного локального утвер-
утверждения примера 2 при помощи разбиения единицы. Действительно,
согласно примеру 2, у каждой точки т ? [0, 1] существует окре-
окрестность Д, в которой локальное разложение существует. Выберем
из окрестностей Д конечное покрытие {Д,}. Пусть %{ (t) — гладкие
на отрезке [0, 1] функции, в сумме равные единице, такие, что ^,.
отлично от 0 только на Д;.
Пусть локальное разложение а на Д,. имеет вид
a (t, х) = 2 сА, ,• {ft (x), t) ек (х), * g Д,.
Произведение xfk, t доопределим нулем вне Д^. Тогда функции
определяют искомое разложение на всем отрезке [0, 1 ].
5 В. И- Арнольд и др.
66
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Замечание. Вернемся к разложению общей подготови-
подготовительной теоремы:
«(*) == сх (/ (*)) ех (х) + . •. + с„ (/ (*)) е„ (*).
Было бы полезно иметь линейный оператор, сопоставляющий
функции а (х) набор функций ск (у), и знать его дифференциальные
свойства. Например, пусть / (х)=х2 и е1=1, ег—х. Тогда для лю-
любой функции а коэффициенты ск (/ (х)) легко оцениваются через
первую производную от а. Можно показать (см. Г2]), что, вообще,
в голоморфной ситуации оператор, переводящий а. (х) в ск (/ (х)),
не хуже, «чем дифференциальный оператор конечного порядка»:
К(/(*))|М<Х const. 8*И*)/|яКг_8.
К сожалению, аналогичная оценка ухудшения свойств функции
при переходе от а к с для гладкого случая не доказана. Такая
оценка позволила бы получить прямое доказательство теоремы
об устойчивости инфинитезимально устойчивых ростков типа
доказательства теоремы о неявной функции (ср. [3]).
§ 5. Локальная кратность голоморфного отображения
В этом параграфе доказывается совпадение алгебраической
кратности голоморфного отображения с геометрической кратно-
кратностью (с индексом особой точки соответствующего голоморфного
векторного поля). Хотя результат был известен еще классикам,
подробное доказательство было опубликовано, по-видимому, лишь
в статье В. П. Паломодова [12]. Идея изложенного ниже элемен-
элементарного доказательства принадлежит А. Г. Кушниренко [62J.
Индекс особой точки вещественного векторного поля может
быть вычислен как сигнатура подходящей квадратичной формы на
локальной алгебре особенности (формула Левина—Эйзенбуда—
Химшиашвили [83], [116]). Мы доказываем эту формулу, основан-
основанную на невырожденности квадратичных форм на локальных
алгебрах (двойственность Гротендика), при помощи многомерного
обобщения теоремы Абеля о следе голоморфной формы.
5.1. Кратность. Пусть/: (С", а)-*(ЧУ, 0) — росток голоморфного
отображения в точке а. Рассмотрим алгебру С {х)а всех ростков
голоморфных функций в точке а. Ростки компонент отображения /
порождают идеал 1/,а в этой алгебре.
Определение'. Кратностью ростка / в точке а называется
размерность его локальной алгебры
нечна.
Росток называется конечнопратным, если его кратность ко-
кона.
§ 5] ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 6?
Пример. 1. Если / — невырожденный линейный оператор,
то кратность точки 0 равна 1.
Пример 2. Пусть Д = ж1а;|, /2 = х\-J-х\. Сопоставим моному
ж^ж*2 точку (kv &2) целочисленной решетки (рис. 37, а). Отметим
мономы, принадлежащие идеалу / = (Д, /2). Вместе с ххх\ в него
входят все мономы заштрихованного угла. Бином /2 изображается
отрезком с концами B, 0) и @, 3). Сдвигая этот отрезок на' 1
вправо, убеждаемся, что х\?1, а сдвигая на 2 вверх, — чтох|?/.
Таким образом, все мономы в области, заштрихованной на рис. 37, б,
лежат в /. На рис. 37, в отмечены 7 мономов, определяющих
С-базис алгебры Q/i0. Итак, [ао[/] = 7.
Пример 3. Пусть jx=.x\ — хгхг, f2 = x1x2 — х\. Снова изо-
изобразим Д и /2 отрезками (рис. 38, а). Вершины зигзагообразной
ломаной на рис. 38, а отвечают мономам, сравнимым по модулю
идеала / = (Д, /2). Таким образом, ххх\ сравним с мономом сколь
угодно высокой степени по модулю /. Нетрудно проверить, что
xix!6^ (например, это видно из того, что ххх\ = хг ¦ х\ ¦ хг mod /).
Поэтому все мономы из заштрихованной на рис. 38, б области
лежат в идеале. Базис <?/H порожден обведенными на рис. 38, в
пятью мономами, у. [/]=5.
5*
5.2. Индекс равен кратности.
Определение. Индексом indaf/J ростка отображения /
в точке а называется степень отображения fj\\ f f: S2"-1 —> 52/1"
достаточно малой сферы \х — а § = е в пространстве-прообразе
в единичную сферу в пространстве-образе.
Если существует окрестность точки а, в которой нет прооб-
прообразов нуля, кроме, может быть, самой точки а, то индекс опре-
определен корректно (не зависит от выбора малой сферы S^"~l). Ин-
Индекс ростка в неизолированном нуле не определен. Кратностью
и индексом корня а системы голоморфных уравнений /х=. . .
.. . = /„=0, определенных в окрестности точки а, называются крат-
кратность и индекс ростка отображения /=/х. ...,/„ в точке а.
Теорема 1. Индекс конечнократного голоморфного ростка
равен его кратности.
Теорема 2. Росток голоморфного отображения не явля-
является конечнократным в точке а, если и только если а есть не-
неизолированный прообраз нуля ростка.
Доказательство теоремы 2 приведено в п. 5.9. Ниже излагается
доказательство теоремы 1. Оно основано на формулируемых ниже
предложениях 1°—7°, доказанных в пп. 5.3—5.8.
1°. Универсальность отображения Фама.
Определение. Отображение Фт: С-*-С", определенное
формулами
У1=;Х'»', ..., У„ = Х™»,
называется отображением Фама.
Определение. Два ростка / и g в точке а называются
алгебраически эквивалентными или, короче, А-эквивалентными,
если существует росток голоморфного семейства линейных невы-
невырожденных отображений А (х) ? GL (п, С) такой, что / (х) =
=А (х) g (x).
Предложение. Пусть /: (С", О)-»-С" — росток конечно-
конечнократного отображения. Тогда существует отображение Фама Ф
такое, что росток f в 0 А-эквивалентен ростку отображения
фт __ ф«. _j_ ef npu любом е ^ 0.
Иными словами, малой деформацией отображения Фама можно,
получить любой (с точностью до А -эквивалентности) конечно-
кратный росток.
9° гг
у любой вивалентности) конечно-
кратный росток.
2°. Предложение. Индекс и кратность нуля фамов-
го отображения совпадают.
3° Пред И
2. Предложение. ратность нуля фамов-
ского отображения совпадают.
3°. Предложение. Индексы А-эквивалентных ростков
ны.
4° Предл
равны
4°. Предложение эквивалентных ро-
ростков равны.
5°. Аддитивность индекса. Пусть система из п
голоморфных уравнений в С" голоморфно зависит от параметра.
Кратности А-эквивалентных ро-
ро§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
69
При изменении параметра кратный корень системы может рас-
распасться.
Предложение. Сумма индексов корней, образовавшихся
при распадении кратного корня системы, равна индексу этого
корня.
6°. Субаддитивность кратности.
Предложение. Сумма кратностей корней, образовав-
образовавшихся при распадении кратного корня системы, не превосходит
кратности этого корня.
7°. Предложение. Кратность корня не меньше его
индекса.
Доказательство теоремы 1. Пусть /: (С", 0) -* (С", 0) —
росток конечнократного отображения. Выберем отображение Фама Ф
так, чтобы ростки / и Фе = Ф -f- e/ в нуле при е =^= 0 были
Л-эквивалентны (см. 1°). Выберем достаточно малую окрестность
U точки 0. Выберем достаточно малое е (?7) > 0. Рассмотрим
продеформироваяяое отображение Фама Фв == ЧГ. Пусть af —
корни системы Ф = 0, лежащие в окрестности U. Получаем
цепочку соотношений:
(см. 7°),
(см. 5°),
(см. 2°).
Из этой цепочки следует, что все входящие в нее неравен-
неравенства являются равенствами. Поскольку /@) = 0, среди корней af
есть точка 0. Следовательно,
(так как неравенство A) обращается в равенство). Но, так как
ростки / и Ф Л-эквявалентны, имеем
(см- 3°)>
indot/]=,indom (см. 4°).
Тем самым теорема 1 доказана в случае, когда /@) = 0. Если же
/@)^0, то, как легко проверить,
5.3. Индекс вещественного ростка. Индекс определяется не
только для голоморфных отображений, но и для гладких отобра-
отображений вещественных пространств.
Пусть /: (R", а) -> R" — гладкий росток в точке а.
Определение. Индексом inda[/] называется степень ото-
отображения //||/1|: S^'1 -*¦ S?'1 достаточно малой сферы \\х — а\\ = е
70
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[гл. i
в пространстве-прообразе в единичную сферу в пространстве-
образе.
Индекс не определен, если а является неизолированным ну-
нулем ростка /.
Пример. Если / @)=0 и матрица Якоби / в точке 0 не-
невырождена, то индекс точки 0 равен плюс или минус единице
в зависимости от знака якобиана.
Пусть в замкнутом шаре 5cR" нет нулей отображения
/: (R", 0) -*- R", кроме, быть может, точки 0, и пусть /§ — про-
произвольная гладкая деформация отображения /.
Предложение 1. Для достаточно малых е сумма ин-
индексов нулей пошевеленного отображения /е в шаре В равна индексу
точки 0 исходного отображения /, если этих нулей конечное число.
Действительно: 1°. Все отображения %=fe/\\ Д || : дВ -> S{
с достаточно малыми е гомотопны между собой. 2°. Степень ото-
отображения сре равна сумме индексов нулей отображения /, в шаре В.
Следствие. Индекс точки ноль отображения f равен
числу прообразов в шаре В любого достаточно малого регулярного
значения е ? R", посчитанных с учетом знака якобиана в этих
точках.
Для доказательства достаточно к деформации /, = / — е
применить утверждение предложения 1 и воспользоваться вы-
вычислением индекса невырожденного нуля.
Определение. Два ростка /, g: (R", 0) -> R" называются
вещественно А-эквивалентными, если существует росток гладкого
семейства линейных отображений А (х): R"->R" такой, что
det А @) > 0 и g (х) = А (х) f (x).
Предложение 2. Индексы вещественно А-эквивалентных
ростков равны.
Доказательство. Поскольку det A @) }> 0, можно
соединить А с Е гомотопией At с det At (x) > 0. Гомотопия gt =
=AJ соединяет g с / и не имеет нулей на малой сфере.
5.4. Индекс голоморфного ростка.
Предложение 1. Определитель овеществления А: R2"->• R3"
невырожденного комплексно-линейного отображения А: С"—* С"
положителен.
Доказательство: det A = | det А |2 (формула полу-
получается прямым вычислением в базисе, в котором матрица А имеет
треугольный вид).
[Другое доказательство: 1°. Множество невырожденных ли-
линейных операторов А : С" -»- С связно. Для доказательства
достаточно соединить две невырожденные матрицы комплексной
прямой; она пересечет множество вырожденных матриц не более
чем в п точках. 2°. Соединим невырожденный комплексный опе-
оператор с 1 путем, состоящим из невырожденных комплексных опе-
операторов. Овеществления этих операторов невырождены (так как
§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
71
невырожденность означает взаимную однозначность). Следова-
Следовательно, определители всех этих овеществлений положительны.]
Следствие. А-эквивалентные голоморфные ростки имеют
одинаковые индексы.
Доказательство. Овеществления голоморфных А -эк-
-эквивалентных ростков вещественно Л-эквивалентны. Действительно,
если g = Af, то овеществление g = Af и det^@)^>0.
Пусть В — замкнутый шар с центром в точке а ? С". Пусть
голоморфное отображение / не обращается в нуль в Б\ а.
Предложение 2. Индекс в точке а ростка голомофного
отображения f равен числу прообразов в шаре В любого достаточно
близкого к нулю регулярного значения е.
Доказательство. Индекс равен числу прообразов
значения е, посчитанных с учетом знака якобиана отображения /
(см. п. 5.2). Этот знак согласно лемме всегда положителен.
Замечание. Рассмотрим голоморфное отображение 2га-мер-
ной компактной области в С", не имеющее нулей на краю области.
Тогда степень отображения // || / || края в Sf'1 неотрицательна,
ибо эта степень равна числу прообразов значения е.
Предложение 3. Пусть отображение g не имеет нулей
на краю ограниченной области U С С" и степень отображения
gl || g || края области U в единичную сферу равна к. Тогда система
g=0 имеет конечное число корней в области U и сумма их индек-
индексов равна к.
Предложение 3 вытекает из следующей леммы.
Лемма. В условиях предложения 3 число геометрически
различных решений системы g=0 в области U не превосходит к.
Доказательство. Предположим, что найдется &-J-1 ко-
корень системы av . . ., ак+1.
1°. Существует полиномиальное отображение Р: СП-*С, для
которого точки ах, • .., ак+1 — невырожденные корни.
2°. Отображение gt — g-{-eP имеет невырожденные корни
в точках а1г ¦ ¦ -,ак+1 для почти всех значений е.
3°. При малых |е| индекс отображения ge/|g,| края области U
равен к.
4°. Выберем малое е, при котором корни а4 отображения g
невырождены. Окружим корни ai малыми шарами В(, не содер-
содержащими других нулей отображения gt. Степень отображения
Se/ISell сФеРы &Bi в ^Т'1 Равна 1' и> следовательно, степень ото-
отображения \JdBt в Sf'1 равна/с+ 1.
Рассмотрим область U' = U\(JB(. Степень отображения
края этой области неотрицательна (см. замечание); с другой сто-
стороны, эта степень равна к — (k+i) =—1. Противоречие.
Следствие 1. Индекс корня строго положителен.
Для доказательства надо применить лемму к шару, содержа-
содержащему единственный корень системы.
72
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Следствие 2. При распадении изолированного корня обра-
образуется конечное число корней, и сумма их индексов равна индексу
распавшегося корня.
Следствие 3. В условиях предложения 3 индекс каждого
корня не превосходит к.
5.5. Кратность и А -эквивалентность.
Предложение 1. Кратности А-жвивалентных ростков
равны.
Действительно, идеалы If и Ig ^.-эквивалентных ростков / и
g совпадают.
Предложение 2. Пусть росток f имеет кратность \i
и росток g отличается от ростка f малыми порядка fi-f-1. Тогда
ростки g и f А-эквивалентны.
Следствие. Пусть матрица Якоби ростка f в точке О
невырождена. Тогда его кратность равна 1.
Действительно, для линейного / это очевидно, а нелинейное
отличается от линейного малыми второго порядка.
Предложение 3. Конечнократный корень системы го-
голоморфных уравнений изолирован.
Для доказательства предложений 2 и 3 нам понадобится
Лемма. Пусть росток f имеет кратность |х. Тогда произ-
произведение любых [а ростков функций, обращающихся в 0 в точке О,
содержится в идеале Ij,.
Доказательство леммы. Для произведения срх • . . . • <р
построим [а —f- 1 росток 1, срх, <Pi«p2» ¦ • •»<Pi ¦ •¦• • «рц- Эти ростки
линейно зависимы в кольце Qf, т. е. существует нетривиальная
линейная комбинация
тогда
Пусть сг — первый отличный от нуля коэффициент;,
Cr+ WPr
WPr-tl
f
Множитель, стоящий в скобках, обратим в кольце С {х}, по-
поскольку сг=?=0. Следовательно, <рх ¦ . . . ¦ <рг, а значит, и <рх • . . . • <р
принадлежат идеалу If. *
Доказательство предложения 2. Всякий росток й>
функции порядка [a -j- 1 можно представить в виде <J>=2^</«» где
ht @) = 0 (пользуясь леммой). Разложив таким образом все ком-
компоненты <p — g — /, получаем cp~fff, где матрица Н@) = 0.
Следовательно, g = (E -\-H)f, что и доказывает Л-эквивалент-
ность ростков / и g.
Доказательство предложения 3. Пусть росток /
имеет кратность р. в точке 0. Росток х* представим в виде
Xhifi- Область, в которую голоморфно продолжаются
§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
73
ростки hjti и ft, не содержит корней системы / = 0, отличных
от точки 0.
5.6. Свойства отображения Фама. Пусть / — росток [i-кратного
отображения в точке 0. Рассмотрим отображение Фама Фт, т~
== р. —J— 1, - - -, р- —f— 1, и его деформацию Ф^1 = Фт -j- e/.
Предложение 1. Росток отображения f А-эквивалентен
в точке ноль ростку <J>f при всех е^О.
Доказательство. Росток s/ Л-эквивалентен ростку /
в нуле, а Ф™ отличается от е/ малыми порядка ja —{— 1.
Предложение 2. Индекс и кратность отображения Фама
в нуле равны между собой.
Доказательство 1°. Индекс равен числу решений системы
уравнений xf" = elt.. ., х™>> = еп при общих е1? ...,ея (см. предло-
предложение 2 из п. 5.4). Следовательно, ind0 [Фт] = тх ¦ ... ¦ т„.
2°. Локальная алгебра Q0m 0 порождена мономами х^ ¦ ... ¦ я*»,
где 0 ^ кг < mlt . . ., О <; к„ < т„. Размерность ;а0 [Фт] этой алгебры,
следовательно, равна тх ¦ ... • тп.
5.7. Субаддитивность кратности. Пусть {/J — произвольная
деформация [А-кратного ростка отображения / в нуле.
Предложение 1 (о субаддитивности кратности). Су-
Существует окрестность нуля U в пространстве прообраза такая,
что для любого достаточно малого |е | число корней системы
/?=0в окрестности U, посчитанное с учетом кратности, не пре-
превосходит fj..
Замечание. Кратность субаддитивна даже в веществен-
вещественном случае, где, в отличие от комплексного случая, она не адди-
аддитивна.
Следствие. Индекс конечнократного ростка не больше
его кратности.
Для доказательства следствия достаточно применить утвер-
утверждение о субаддитивности кратности к специальной деформации
/.=/-е.
Пусть U а С" — открытое множество, A (U) — алгебра го-
голоморфных функций, определенных на множестве U, и Ig (U) —
идеал этой алгебры, порожденный функциями gx, ¦ ¦ -, gn- Алгеб-
Алгеброй Q (U) отображения g в области U называется фактор-ал-
фактор-алгебра А (СО//, (U).
Полиномиальной подалгеброй Qg [U] отображения g в области
U назовем образ алгебры многочленов в алгебре Qg (U) при гомо-
гомоморфизме факторизации.
Субаддитивность алгебраической кратности вытекает из сле-
следующих двух предложений.
Предложение 2. Для всякой деформации {/J ростка
^.-кратного отображения / в точке 0 существует окрестность U
нуля в прообразе такая, что для любого достаточно малого |s|
74
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
С-размерность полиномиальной подалгебры отображения^ /е в об-
области U не превосходит р..
Предложение 3. Число решений в области U системы
g==0 голоморфных уравнений, посчитанных с учетом их кратно-
стей, не превосходит С-размерности полиномиальной подалгебры
отображения g в области U.
Предложение 3 доказано в п. 5.8. Для доказательства предло-
предложения 2 нам понадобится одно дополнение к подготовительной
теореме Вейерштрасса. Пусть / — росток конечнократного ото-
отображения и ег, . . ., е^ — функции, задающие базис его локаль-
локальной алгебры. Согласно подготовительной теореме для любого
ростка голоморфной функции ср существует разложение Вейер-
Вейерштрасса:
ср (ж) = 2 «i («) Ъ(У), У — 1 (я).
Лемма 1. Существуют единые окрестности нулей Лг и U2
в пространствах образа и прообраза, на которых определены функ-
функции, фигурирующие в разложениях Вейерштрасса всех многочле-
многочленов сразу.
Доказательство. В качестве области иг возьмем область,
в которую голоморфно продолжаются функции <р(, участвующие
в разложении следующего конечного набора функций:
1
В качестве области U2 возьмем подобласть области f~x{Uj),
в которую голоморфно продолжаются функции ек. Проведем
индукцию по степени многочлена. Всякий многочлен Р степени
р представим в виде
P=Hx,Qj + c-l, deg <?,</>.
Подставим в это представление разложения Вейерштрасса для Qj
и воспользуемся разложениями Вейерштрасса функций х^к и 1.
Получим разложение леммы 1.
Рассмотрим деформацию {/,}, s?Cfc, ростка голоморфного ото-
отображения /: (Св, 0) -» С". Определим росток отображения F: (С X
Х<С*, 0) — СлхС* формулой F(x, e) = (ft(x), е).
Лемма 2. Локальные алгебры ростков f и F изоморфны.
Если функции ех,...,е образуют базис в алгебре ростка /, то
они образуют базис и в алгебре ростка F.
Доказательство. Идеал, порожденный компонентами
Рг, ¦ ¦ ., Fn, е1? . . ., sfc отображения F в алгебре ростков голоморф-
голоморфных функций в точке 0?<C"xCfc, совпадает с идеалом, порожден-
порожденным функциями fv . . ., /я, е1?. . ., sk.
Пусть вх,...,е —функции, ростки которых в точке 0 обра-
образуют базис локальной алгебры ростка /, и пусть {/J—деформа-
{/J—деформация ростка /.
§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
75
Лемма 3. Существует окрестность нуля U CZ С" такая,
что для всех достаточно малых | е | линейная оболочка образов,
функций е^,...,е^ в алгебре Q (U) содержит полиномиальную
подалгебру Q. [U].
Доказательство. Функции ех,...,е образуют базис ло-
локальной алгебры отображения F (лемма 2).
Применим лемму 1 к отображению F. Согласно этой лемме
существуют окрестность нуля U X V d С* X Cfc и шар В в про-
пространстве образа Cn+fc такие, что: 1) F(UxV)c.B, 2) в области
UV каждый многочлен Р представляется в виде
По лемме Адамара функции Ф^ в шаре В представим в виде
Подставим эти разложения в (*). Мы получаем для каждого
многочлена Р в области UxV представление
Р(х)=-Цс{(е)е{(х) + %,
, в) yj, у,- = fttJ (ж),
(**)
где hj голоморфны в
Вторая сумма принадлежит идеалу /д(?/). Лемма доказана.
Замечание 1. Построенная нами линейная комбинация
функций et, эквивалентная полиному Р по модулю идеала, голо-
голоморфно зависит от параметра е.
Предложение 2 вытекает из леммы 3.
5.8. Оценка числа решений системы уравнений. В этом пункте
доказывается предложение 3 п. 5.7.
Лемма 1. Пусть ^-размерность полиномиальной подалгебры
отображения g в области U конечна. Тогда каждый ноль отобра-
отображения g конечнократен.
Доказательство. Пусть а — ноль отображения g.
Пусть ср< — линейные функции, обращающиеся в 0 в точке а.
Если размерность полиномиальной подалгебры равна fj., то образы
в ней (J.+1 многочлена 1, <р1; <Р]/ср2> • • • > Ti- • • •• Т^ линейно за-
зависимы. Рассуждая, как в лемме н. 5.5, получим, что существует
()^0 / (U)
функция
у у
(U) такая, что р (а)=^0 и рсрх-. . .-ср
(U).
Обращая функцию р в алгебре ростков голоморфных функций
(а не многочленов) в точке^а, получаем, что срг-. . .-^6^, а-
Лемма доказана.
Лемма 2. Число различных корней системы g=0 в U {по-
{посчитанных без учета кратности) не превосходит С-размерности
[л полиномиальной подалгебры отображения g в области U.
Доказательство. Допустим, что существует (J.+1
корень а1% . . . г а^. Существует многочлен Р{, равный 1 в корне
76
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
at и равный нулю в остальных fj. корнях. Образы /а+1 многочлена
Р( в полиномиальной подалгебре линейно независимы. Это про-
противоречит условию.
Несколько обозначений. Пусть %,...,«„ — все нули отобра-
отображения g в области U.
Определение. Мулыпилокалъной алгеброй системы #=0
в области U называется прямая сумма локальных алгебр ростков g
в точках at. Обозначение: Aff(U)= 2 Qg, я,-
Сопоставим каждой функции A (U) набор ее ростков в точках
аг Это сопоставление индуцирует гомоморфизм С-алгебр A (U) и
Ад (U), который мы будем обозначать через п.
Лемма 3. Пусть С-размерностъ полиномиальной подалгебры
отображения g в области U конечна. Тогда образ алгебры полино-
полиномов при гомоморфизме я совпадает с мулътилокалъной алгеброй
Доказательство. Пусть а^, .¦. . , ач — корни ото-
отображения g в области V (их конечное число согласно лемме 2).
Каждый корень at имеет конечную кратность р{ (по лемме 1).
Функции, у которых совпадают струи порядка р{ в точке а(,
определяют одинаковые элементы в локальной алгебре Qg> a{ ¦
Существует многочлен с произвольными наперед заданными стру-
струями порядков /^ в конечном множестве точек ах, . . . , а„.
Предложение 3 вытекает из леммы 3, поскольку при гомомор-
гомоморфизме л идеал Ig (U) переходит в ноль.
5.9. Изолированность и конечнократность. Докажем теорему
2 п. 5.2. Было показано, что конечнократный корень системы голо-
голоморфных уравнений изолирован (см. п. 5.5). Осталось доказать
Предложение. Изолированный корень конечнократен.
Доказательство. Пусть 0 — изолированный корень
системы /=0. Согласно локальному варианту теоремы Гильберта
о нулях, существует такое N, что x'i ? I^ 0. Предложение доказано.
Дадим теперь его прямое доказательство, не использующее
теорему о нулях.
Пусть шар В лежит в области сходимости ряда Тейлора ростка
/ в точке 0 и система /=0 имеет в шаре единственный корень 0.
Лемма. Для всякого к существует полиномиальное отобра-
отображение g такое, что: 1) струи fug порядка к в точке 0 равны,
2) росток g в точке 0 конечнократен, 3) Ц/}| > |(/—g\\ на сфере дВ.
Доказательство. Подберем g в виде if—/;_].+га;',
где /,_! — многочлен Тейлора / степени I — l>i иг' — ото-
отображение Фама Фт, т=1, . . . , I. 1°. Росток g конечнократен
в нуле. Действительно, в полиномиальной подалгебре отображения
g в С" справедливы соотношения &r' =—ft_^. Используя эти соот-
соотношения, можно понизить степень всякого многочлена, если его
§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
77
степень по одной из переменных больше или равна I. Следователь-
Следовательно, размерность полиномиальной подалгебры конечна и каждый
ноль отображения g конечнократен (см. п. 5.5). 2°. Выберем I и
затем е так, чтобы ||/|| > ||/ — g|| на сфере дВ. Лемма доказана.
Доказательство предложения. Выберем отобра-
отображение g для &=ind0 [/].
1°. Степень отображения gl\\g\\ сферы дВ в единичную сферу
равна к (условие 3).
2°. ind0 [g] ^ к (следствие 3 п. 5.4).
3°. Р-о [#]=md0 [g] <[ к (теорема 1 п. 5.2).
4°. Ростки / и g А -эквивалентны в нуле, так как отличаются
малыми порядка к-\-1 или выше (предложение 2 п. 5.5). Следова-
Следовательно, росток / в точке 0 конечнократен.
5.10. Мультилокальная алгебра распавшегося корня. В пп.
5.3—5.8 были проверены все предложения, использованные в п.
5.2 при доказательстве теоремы 1. Эти предложения содержат
и дополнительную информацию.
Пусть L — С-линейное пространство, натянутое на функции
е1: . . . , е^, ростки которых в нуле образуют базис локальной ал-
алгебры отображения /.
Теорема. Для всякой деформации {/,} ростка f существуют
окрестность нуля UC&" и окрестность нуля V в пространстве
параметров такие, что при любом s ? V
1) отображение я; L —*¦ Ays (U) является изоморфизмом ли-
линейных пространств;
2) каждый многочлен Р в алгебре A (U) эквивалентен по модулю
идеала If E (U) единственному элементу пространства L и этот
элемент аналитически зависит от s.
Доказательство. 1) вытекает из того, что отображение
тс: L -* Л/, (U) пространств одинаковой размерности является
отображением «на» (поскольку полиномиальная подалгебра ото-
отображается «на» и каждый полином сравним с элементом из L).
Единственность в п. 2) вытекает из 1), голоморфность — из заме-
замечания 1 п. 5.7.
Задача. Изоморфизм я: L -> Л/е (U) задает в линейном
пространстве L структуру алгебры, зависящую от параметра s.
Показать, что эта структура голоморфно зависит от е (т. е. что
произведение двух элементов из L голоморфно зависит от е).
5.11. Билинейные формы на локальной алгебре. Пусть
/: (С, 0) -> (С", 0) — отображение кратности fi<^ со и Qf — его
локальная алгебра. Мы определим на Qf семейство билинейных
симметрических форм и докажем их невырожденность.
Рассмотрим якобиан /=det (df/dx), вычисленный в какой-либо
системе координат. Класс якобиана в Qf будем также обозначать
буквой / и называть якобианом.
78
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Те о
рема 1. Якобиан не принадлежит идеалу I
С Опреде-
. . j. - -. ^...^4.4,™ п-d и^ипиилежит uoea,
Рассмотрим какую-либо линейную форму а: ^
лим билинейную форму Бя на Qf по формуле
E,(g, h) = a(g.h).
Теорема 2. Билинейная форма Бя невырождена, если и
только если а не обращается в ноль на J.
Аннулятором (ann /) идеала / называется множество всех g
таких, что gi=0 для всех i из /. Аннулятор идеала является идеа-
идеалом.
Следствие 1. Если а (У)^=0, то аннулятор идеала в Qf
совпадает с его ортогональным дополнением относительно
формы Ба.
Доказательство. 1°. Если аг=О, то Ба (а, ?)—0. 2°.
Если Ба (а, г)=0 для всех i из /, но ац=^=0, то вследствие невырож-
невырожденности формы Ба существует с, для которого Ба (ai0, c)^=0.
Но Ба (aiQ, с)=Ба(а, i0c)=0, поскольку г'ос?/.
Следствие 2. ann (ann Г) —I.
Доказательство. (/х)х=/.
Доказательство теорем 1 и 2 основано на построении специаль-
специальной формы Б=Б«0.
Рассмотрим алгебру Q функций на \з. точках af. Возьмем ли-
линейную форму I на Q, I (А)=2<р (ffli)^ (ai)i построенную по «весовой
функции» ср. Определим билинейную форму Б (A, g) на Q по фор-
формуле Б (A, g)=l (h-g). Эта форма невырождена, если весовая функ-
функция- не обращается в ноль ни в одной из точек а{.
Локальная алгебра Qf есть алгебра функций на fj. слившихся
точках. Оказывается, можно подобрать вес ср так, что при слиянии
точек форма Б на Q имеет пределом вполне определенную и притом
невырожденную форму на Qf. Для этого ср должно стремиться к со
при слиянии точек (иначе предельная форма будет вырождена).
Оказывается, в качестве ср достаточно взять 1/J, где «/" — якобиан/.
Корень 0 системы /=0 рассыпается на р корней системы /=е
при малых регулярных значениях е. Пусть ах, . . . , а^ — эти
корни. Для любой голоморфной в нуле функции А положим
Z'(A) = 2A(a,.)//(a<).
Предложение 1. При стремлении регулярного значе-
значения s к нулю I' (А) стремится к конечному пределу.
Этот предел мы будем обозначать символом [А//].
Пример 1. Для функции h=gJ справедливо равенство
ШП=м @).
Предложени е^2. Линейная форма а0 (•)— Г* //] равна
нулю на идеале If и, следовательно, определяет линейную форму на
локальной алгебре Qf.
§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
¦?&
Предложение 3. Билинейная форма Б =5^ на локаль-
локальной алгебре, построенная по линейной форме а0 (.) = [. //], невы-
невырождена.
Доказательства предложений 1—3 даны в пп. 5.14—5.18. Вы-
Выведем из них теоремы 1, 2.
Доказательство теоремы 1. [///]=р.=т^О. Сле-
Следовательно, J^.If (предложение 2).
Доказательство теоремы 2. Всякая линейная
форма а на Qf имеет вид а(-)=Б (•, а*) (так как форма Б невы-
невырождена). Поэтому Ба (А, #)=Б (A, go*). Форма Б (A, ga*) не-
невырождена, если и только если элемент а* обратим, но a (/) =
=Б (/, a*)==p.a* @) (пример 1). Поэтому а* обратим, если и только
если a (J)=^=0.
Следствие 3. Идеал, порожденный якобианом в Qf, од-
одномерен и не зависит от системы координат, использованных при
определении якобиана. Этот идеал содержится в любом ненулевом
идеале алгебры Qf.
Доказательство. Равенство из примера 1 показывает,
что максимальный идеал ш — Б-ортогональное дополнение к пря-
прямой U. Эта прямая является поэтому инвариантно определенным
идеалом — аннулятором максимального идеала (следствие 1). Для
ненулевого идеала / справедливо включение /iCm и, следовательно,
включение mxCI/.
Замечание. Символ [А//] допускает интегральное пред-
представление
гит — ( 1 V Г h dxi А ¦ ¦ ¦ A dxn
Wn — \ы) ) h- ... ./, '
где интегрирование ведется по малому циклу, заданному уравне-
уравнениями | fk |2=8fc (см. п. 5.18). Эту формулу можно принять за оп-
определение символа и, исходя из него, доказать свойства символа,
а с ними и теоремы 1 и 2.
5.12. Индекс особой точки вещественного ростка. Пусть .
/: (R", 0) -*¦ (R", 0) — вещественно-аналитическое отображение крат-
кратности fi <^ со и Qf — его локальная R-алгебра. Выберем в обоих R"
ориентации и обозначим через / якобиан, вычисленный в ориен-
ориентирующих координатах.
Рассмотрим какую-либо форму a: Qf -*¦ R. Определим билиней-
билинейную форму Ба на Qf по формуле Ба (g, A) = a (g-h).
Теорема (сигнатурная формула). Сигнатура билинейной
формы Ба равна индексу особой точки 0 ростка /, если а (/) > 0.
Доказательство получается предельным переходом из изло-
изложенного ниже предложения о функциях на конечном множестве
с инволюцией.
80
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Комплекснозначная функция на множестве с инволюцией т на-
называется ^-вещественной, если ср (та) = ср (а) (многочлен с вещест-
вещественными коэффициентами т-веществен для инволюции комплексного
сопряжения). Все т-вещественные функции на множестве из р то-
точек образуют R-алгебру R R-размерности р. Для всякой функции
ср ? R определим билинейную форму Б на R формулой Б (h, g) =
=29 (&№ (ai)S (ai)- Пусть ср не обращается в ноль ни в одной из
точек а{.
Предложение 1. 1) Значения формы Б? вещественны.
2) Форма Бю невырождена. 3) Сигнатура формы Б равна ср+—ср",
где ср+ — число неподвижных при инволюции точек, на которых
ср > 0, и ф~ — на которых ср <^ 0.
Доказательство. Под действием инволюции множество
распадается на инвариантные подмножества, состоящие из одной
или двух точек. Поэтому предложение достаточно доказать для
одноточечных и двухточечных множеств, для которых оно про-
проверяется непосредственно.
Докажем сигнатурную формулу для специальной билинейной
формы Б. Корень 0 системы/=0 рассыпается при малых веществен-
вещественных регулярных значениях е на ;j. комплексных корней системы
/=е. Пусть а^, . . . , а — эти корни. На множестве этих корней
действует инволюция комплексного сопряжения. Зафиксируем
/л вещественных многочленов ех, . . . , е , определяющих R-базис
локальной алгебры R {x)l(f) и, следовательно, С-базис алгебры
С {x}l(f). Обозначим пространства их R-линейных и С-линейных
комбинаций через Lr и L. Рассмотрим билинейную форму Бе
на пространстве Lr, определенную формулой
Лемма 1. Сигнатура формы Б* равна числу вещественных
корней системы /=в, посчитанных с учетом знака якобиана.
Следствие. Сигнатура формы Бе равна индексу нуля ото-
отображения / (см. предложение 1 п. 5.3).
Лемма 1 вытекает из предложения 1 и следующей леммы.
Лемма 2. Сужения функций из Lr на множество комплекс-
комплексных корней (%,..., а^) и только они %-вещественны для инволюции
х комплексного сопряжения.
Доказательство, т-вещественность сужений очевидна.
Поэтому достаточно доказать, что отображение р-мерного прост-
пространства Ztj? в fx-мерное пространство т-вещественных функций не
имеет ядра. Но при отображении сужения функций из L на мно-
множество (oj, . . . , а ) в ноль переходит только ноль (п. 5.10).
Лемма 2 доказана.
§ 5] ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
81
Устремим s к нулю. Форма Бе будет стремиться при этом
к вполне определенной форме Б, соответствующей линейной форме
а0 (•) = [•//! (предложения 1, 2 п. 5.11). Предельная форма Б
невырождена, поскольку невырождена ее комплексификация (пред-
(предложение 3 п. 5.11). Следовательно, ее сигнатура, как и сигнатура
допредельной формы Бе, равна индексу ростка / в нуле. Тем самым
сигнатурная формула доказана для специальной линейной формы а0
(отметим, что а0 (/) = fj. ^> 0). Пусть теперь а — произвольная
линейная, положительная на якобиане форма на локальной R-ал-
гебре. Соединим а с а0 отрезком в полупространстве положитель-
положительных на якобиане линейных форм. Точкам отрезка соответствуют
невырожденные билинейные формы (теорема 2 п. 5.11). Поэтому
их сигнатуры одинаковы.
Замечание. В [18] с помощью сигнатурной формулы
оценен индекс особой точки однородного векторного поля в R"
через степень компонент поля. В [87] с помощью формулы для
сигнатуры из предложения 1 оценен суммарный индекс особых
точек полиномиального поля в области R", определенной полино-
полиномиальным неравенством Р > 0, через степени компонент поля и
полинома Р (формула для сигнатуры применяется так же, как
в лемме 2). Полученные оценки точные. Они обобщают известные
в вещественной алгебраической геометрии неравенства Петров-
Петровского—Олейник [73 ].
5.13. Теорема об обратном якобиане. Пусть U с С" — ограни-
ограниченная область с краем и /: U —> С" — голоморфное отображение.
Допустим, что система /=0 имеет корни в области U и что образ
края / (dU) не содержит точки 0. Пусть V — связная компонента
точки 0 в С"\/ {dtf). Число корней системы/ — у=0 в области U,
посчитанное с учетом кратности, для всех у из V одинаково (это
вытекает из предложения 3 п. 5.4). Пусть /=det (dfldx), и пусть
h — голоморфная функция в области U.
Теорема (об обратном якобиане). В области V существует
(единственная) голоморфная функция ср такая, что для всякого регу-
регулярного значения у f(y) = 2^ (ai)/^ (ai)> г@е суммирование
ведется по множеству всех корней at системы f — у=0 в об-
области U.
Доказательство теоремы, основанное на многомерном варианте
теоремы Абеля о следе, дано в п. 5.18. Сейчас мы воспользуемся
этой теоремой.
Пусть отображение / имеет в шаре В единственный ноль, рас-
расположенный в центре шара а, и функция h голоморфна в В.
Следствие 1. Пусть а{—корни системы /=е в шаре В.
При стремлении регулярного значения е к нулю функция
? (в)
имеет предел.
в В. И. Арнольд и Др.
[ГЛ. I
Определение. Символом \h/j\ называется предел из след-
следствия 1.
Пусть {/J — деформация отображения / и {he} — деформация
функции h.
Следствие 2. Пусть е стремится к нулю таким обра-
образом, что все корни а{ системы /s = 0 в шаре В остаются невы-
невырожденными. Тогда
lim %h (a,)/det (дЦдх) (at) = [k{f]a.
Доказательство получается применением следствия 1 к отобра-
отображению F: С" X С* -» С" X Cfc и функции Н, определенным форму-
формулами F(x, e) = (fa(x), e) и Н(х, e) = hs(x).
Возвратимся к ситуации теоремы об обратном якобиане.
Следствие 3. Функция ср (y)=^l[fi/f]ai аполитична в V.
Здесь суммирование производится по множеству всех корней системы
/ — у=0 в области U.
Доказательство. ! Возьмем близкоеТк ^"регулярное
значение отображения. Прообразы этого значения распадаются на
группы, расположенные вблизи корней а{. Устремим регулярное
значение к у. Переходя к пределу в каждой группе, получим, что
голоморфная функция из теоремы есть 2№//]в,..
Из теоремы об обратном якобиане вытекает формула Эйлера—
Якоби. Пусть / — полиномиальное отображение С" в С", компо-
компонента /,. которого — полином степени тге,.. Пусть /0: С" -*¦ С" —
полиномиальное отображение, компоненты которого—старшие
однородные составляющие компонент /. Пусть все корни а,-
системы /=0 в С" некратны, и пусть система /0=0 имеет един-
единственный корень — точку 0.
Следствие 4 (формула Эйлера—Якоби). Для всякого
многочлена h степени меньшей, чем степень якобиана J (deg h <^
<^тх-\-. . --\-тп — п), справедливо тождество
Доказательство. Рассмотрим С" как координатную пло-
плоскость хпЛ = 0 в Ся+1. Пусть /,• и h — такие однородные много-
многочлены в Св+1, что ft(x, \)^=f.{x), h(x, l) = h(x) и deg/< = deg/<J
deg h = deg h. Рассмотрим отображение Р: (C+1, 0) -*¦ (С**, 0)
с компонентами Р. = f. при i = 1, . .., n и Р^г — хП+1.
Точка 0 ? C"+1 — единственный корень системы Р — 0. Корни си-
системы Р = @, е) (где @, eJ^CxC1) — точки вида Ь4 = (ал, в),
где а( — корень системы / = 0. В каждом корне Ъ{ справедливо
равенство A(&,.)/det (дР1дх)(Ь{) = ерН(а()/1 (а,.), где p =
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
83
. . . +/гая — п) (? — координаты хх, . . ., жя+1 в С+1). Сум-
Суммируя по всем корням, получим
2^ (&,)/det (дР/дх) (Ь{) = вР^г (а,.)// (а,).
Согласно следствию 1 левая сумма должна иметь конечный пре-
предел при е -* 0. При р < 0 это возможно, лишь если ^h (a{)jj (at) =
= 0.
Замечание 1. Формула Эйлера—Якоби останется спра-
справедливой, если вместо полиномов h и / с фиксированными степенями
рассматривать полиномы с фиксированными квазистепенями.
Другие обобщения формулы Эйлера—Якоби можно найти
в [128], [86].
Замечание 2. Формула Эйлера—Якоби частично объяс-
объясняет существование предела в следствии 1. Пусть отображение /
полиномиально и h — полином, причем deg h <^ deg /. Пусть
система /=0 имеет ровно один кратный корень 0 и несколько не-
некратных корней. Предположим еще, что у этой системы нет «беско-
«бесконечно удаленных корней». Тогда при стремлении регулярного зна-
значения s к нулю часть корней будет стремиться к точке 0, а осталь-
остальные — к некратным корням Ь(. В этом случае из формулы Эйлера—
Якоби вытекает, что предел из следствия 1 существует и равен
2* (b)/ ()
2* (bt)/j (&,)•
Замечание 3. Формула Эйлера—Якоби применяется в ве-
вещественной алгебраической геометрии (см. [73], [87]).
5.14. Свойства символа [h/f]a.
Предложение 1. Пусть ростки ga и fa А-эквивалентны,
g{-) = A (•)/(•)• Тогда
= [А -del A lg\a.
Доказательство. Рассмотрим деформацию / — е ростка /
и деформацию gB=A(f—е) ростка g. В малом шаре они имеют
одинаковые нули а,.. В каждом нуле а. выполняется равенство
(dgjdx) (а() — А (а.) (df/дх) (а.). Поэтому
ЗУ*(a,.)/det (df/дх) (а{) = 2*(a.) det A (a,)/det (dgjdx) {a.).
Устремляя регулярное значение е к нулю, получим нужное ра-
равенство.
Предложение 2. Если h(*If>a, то [/г//]я=0.
1°. Предположим дополнительно, что дифференциалы dfk всех
компонент fk не имеют нулей в проколотой окрестности точки а.
Пусть hz=^gkfk. Покажем, что для каждого к символ [gkfjf]a.=
= 0. Гиперповерхность /4 = 0 не имеет особенностей в проколо-
проколотой окрестности точки а (по предположению). Корни at системы
fj = &j при efc = 0 расположены на гиперповерхности fk = 0. Для
общих s (при условии efc = 0) все корни неособы и каждый член
6*
84
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
суммы 2 (Skfk) (ai)/J (°«) равен нулю. Переходя к пределу, полу-
получим нужное равенство.
2°. Каждый конечнократный росток g А -эквивалентен ростку /,
для которого выполнено дополнительное предположение из 1°.
Для доказательства достаточно положить fiz=g.-\- (х* -(-...
...-f- x%)i где gt — многочлен Тейлора компоненты gt степени
N — 1 (см. 1° леммы п. 5.9) и N достаточно велико {N^>v-a[gJ)
(см. предложение 2 п. 5.5).
3°. Пусть g = Af, f удовлетворяет предположению 1° и А?
6 /,. а. Тогда [h/g]a = [h ¦ det A/f]a = О, так как h ¦ det А б /,, a =
¦'/, a*
5.15. Невырожденность билинейной формы. Символ [А//]в зави-
зависит лишь от образа h в алгебре Qf>a-. (предложение 2 п. 5.14)
и определяет, следовательно, линейную функцию на алгебре Qj% д.
В этом пункте мы рассмотрим билинейную форму Б на локаль-
локальной алгебре конечнократного ростка, построенную по этой линей-
линейной функции.
Предложение 1. При распадении конечнократного корня
с невырожденной билинейной формой образуются лишь корни
с невырожденными формами.
Доказательство. Пусть / — конечнократный росток в точ-
точке а и L—С-линейное пространство, натянутое на функции ех, ...
. . ., е , ростки которых образуют базис в локальной алгебре рост-
ростка /. Пусть {/J — деформация ростка / и U — достаточно малая
окрестность точки а. Естественная проекция тс: L ->Aft(U) про-
пространства L в мультилокальную алгебру системы /Е = 0 при малых в
является изоморфизмом (теорема п. 5.10). Рассмотрим билинейную
форму Бв на L, определенную формулой
где суммирование ведется по всем корням системы /( = 0 в обла-
области V. Эта форма — прямая сумма билинейных форм корней а{. Мат-
Матрица Ае = {Б (е<? ej)} формы Б* аналитически зависит от е соглас-
согласно следствию 3 (п. 5.13). По условию билинейная форма ростка/
яевырождеяа, т. е. det^°7^0. Следовательно, для малых |е|
det «4е =7^=0. Для таких е яевырождены билинейные формы всех
корней.
Предложение 2. Билинейная форма ростка отображения
Фама невырождена.
Доказательство получается из следующих вычислений. Локаль-
Локальная алгебра отображения Фама Фт порождена мономами хк = х^ ¦ ...
... -ж*», О^^^т^ .... 0^.к„^т„. Моном хТ, где г = отх —
— 1, .... т„—1, пропорционален якобиану отображения Фама.
Для этого монома [хг[Фт]= 1. Для остальных образующих хк локаль-
локальной алгебры [хк/Фт] = 0. Это вытекает из формулы Эйлера—Якоби.
§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
85
Билинейная форма ростка отображения Фама невырождена: двой-
двойственным к базису хк в Q<s>m является базис я1""*.
Предложение 3. Билинейная форма всякого конечно-
конечнократного ростка невырождена.
Доказательство. У А -эквивалентных ростков били-
билинейные формы вырождены или невырождены одновременно (это
следует из предложения 1 п. 5.14). Каждый конечнократный рос-
росток с точностью до А -эквивалентности получается малой деформа-
деформацией ростка отображения Фама (п. 5.6). Билинейная форма ростка
отображения Фама невырождена. Предложение 3 вытекает теперь
из предложения 1.
5.16. Теорема о следе. Рассмотрим отображение / комплексных
многообразий одинаковой размерности, при котором каждая точка
имеет конечное число прообразов. Пусть ш — А-форма в много-
многообразии-прообразе.
Определение. Следом А--формы ш при отображении /
называется &-форма в многообразии-образе, значение которой на
каждом А-векторе равно сумме значений формы ш на всех прооб-
прообразах этого А-вектора. Эта форма определена для регулярных зна-
значений отображения /. Она обозначается Тг со.
Теорема (Абель). Пусть f (x)=xp и io=g dx, где g — голо-
голоморфная в 0 функция. Тогда форма Тг ш, определенная в проколо-
проколотой окрестности 0, продолжается голоморфно в точку 0.
Доказательство. Тг ш=<р<&/, где ср(у)= ^.g{yllp) — yWp)-i.
Разложим ср в ряд по степеням yi!p. Коэффициенты при неце-
нецелых степенях у равны 0, так как ср однозначна. Целых отрицатель-
отрицательных степеней у в разложении нет, так как все члены разложения
имеют степень не меньше {Ир) — 1.
Следствие 1. Пусть f — одномерное разветвленное fx-
листное накрытие. Тогда след голоморфной в пространстве-
прообразе формы продолжается голоморфно до формы в простран-
пространстве-образе.
Для формулировки теоремы о следе в многомерном случае вве-
введем следующее
Определение. Отображение / комплексных многообразий
одинаковой размерности имеет конечный тип, если сумма кратнос-
стей всех прообразов каждой точки имеет постоянное конечное
значение. Это значение ^ называется числом листов проекции /:
М —*¦ N накрытия конечного типа М над N.
Предложение. Отображение конечного типа собственно.
Доказательство. Точка у имеет fj. прообразов (с уче-
учетом кратностей). Всякая достаточно близкая к у точка имеет и.
прообразов (с учетом кратностей), близких к прообразам точки у.
Следовательно, других прообразов нет, и, значит, отображение
собственно.
86
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Следствие 2. Множество регулярных значений отобра-
отображения конечного типа открыто и всюду плотно.
Теорема. След голоморфной формы при отображении ко-
конечного типа голоморфно продолжается на все многообразие-образ.
Доказательство можно получить из теоремы Абеля следующими
рассуждениями.
Iе. Для отображения f(xu . . ., хп) = (х?, х2, ..., хп) теорема
доказывается, как теорема Абеля.
2°. Назовем точку многообразия-прообраза хорошей, если
существуют системы координат в ее окрестности и в окрестности
ее образа, в которых отображение записывается формулой 1°.
Точка многообразия-образа называется хорошей, если все ее
прообразы хорошие.
В окрестности хорошей точки в образе теорема следует из 1\
3°. Множество плохих точек в прообразе имеет коразмерность
больше 1. Для доказательства нужно рассмотреть в прообразе сле-
следующие три множества:
1) множество особенностей множества критических точек ото-
отображения;
2) множество критических точек ограничения / на неособую
часть множества критических точек;
3) множество критических точек отображения /, в которых крат-
кратность выше, чем в соседних критических точках.
Нетрудно доказать, что коразмерность каждого из этих мно-
множеств для отображения конечного тина больше 1, а все остальные
точки хорошие.
4°. Множество плохих точек в прообразе аналитическое, по-
поэтому и множество плохих точек в образе аналитическое (теорема
Реммерта) коразмерности больше 1.
5°. По теореме Гартогса след голоморфно продолжается на
множество плохих точек.
Ниже приведено другое доказательство теоремы о следе, не
использующее ссылок на теоремы Реммерта и Гартогса.
5.17. Интегральное представление следа. Пусть /: М -* V —
отображение конечного типа на область V пространства С и ш —
голоморфная /г-форма в М. Выберем в С" координаты уг, . . ., уп.
Определим функцию [Тгш] в регулярных значениях отображения
как коэффициент в представлении
Тгш = [Тгш]^1Д . .. /\dyH.
Рассмотрим отображение | /|2: М -*¦ R", ?i->(| Д (ж) |2, . . ., | /я(#)|а).
Пусть 8 — положительный вектор из R". Определим полидиск У5
условиями | ук р <[ Ьк, его остов Ть — условиями | ук |2 = Ьк.
Теорема. Пусть 8 — некритическое значение отображе-
отображения |/|а такое, что полидиск Vs вместе с остовом лежит в об-
§ 5]
ЛОКАЛЬНАЯ КРАТНОСТЬ ГОЛОМОРФНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
ласти V. Тогда в полидиске функция [Тг ш] допускает интеграль-
интегральное представление
где цикл Г8 определен условием |/|2 = 8.
Определим мероморфную га-форму на М, зависящую от точки у
из V, формулой <о, = <о/[Bя1)"П (/< — #,¦)]•
Определим отображение j / — у |2 : М -» R", зависящее от пара-
параметра у ? V, формулой х ь-». (| Д — уг |2, .. ., | /„ — у„ |2). Прообраз
регулярного значения. р ? (R+)" при достаточно малых у и р яв-
является компактным многообразием. Обозначим его через Гу> .
Лемма 1. В окрестности регулярного значения отображе-
отображения f справедливо равенство
[Тгш]==
(для всякого достаточно малого вектора р с положительными
компонентами).
Доказательство. Прообраз малой окрестности W регуляр-
регулярного значения состоит из (л непересекающихся окрестностей Uj.
Отождествим окрестности Uj с окрестностью W при помощи ото-
отображения / и будем пользоваться в U j системой координат
U, ..., /.. Пусть в Uj ^ = gjdfx/\... /\dfn. Тогда 1Тг<о] = 2^.
С другой стороны, при малом р цикл Гу_ распадается на \i торов
Тj, лежащих в окрестностях Uj (и определенных в них п урав-
уравнениями | f. — у{ |2 = pf). Согласно интегральной формуле Коши
gj(h, ••-.
--- f\dfn
II (U - Vi)
В наших обозначениях это равенство принимает вид g^(z/)= \ шу.
Следовательно» \ш — ^,gj
Лемма доказана.
Лемма 2. Для всякого достаточно близкого к нулю регу-
регулярного значения у отображения f цикл Гу_ при малом р
(IpI'CPoO/)) гомологичен циклу Г3 в дополнении к множеству осо-
особенностей формы шу.
Доказательство основано на том, что прообразы регулярного
значения при двух гомотопных гладких собственных отображе-
отображениях гомологичны.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1°. Цикл Гг определен при помощи невырожденной системы
уравнений. Небольшое изменение этих уравнений лишь немного
изменит цикл. Для любого у из достаточно малой окрестности
нуля WQ циклы Г(/)=Г/у 5 при изменении t от 0 до 1 осуще-
осуществляют гладкую гомотопию цикла Г8 в цикл Гу> 8. Аналогично,
для у (< Wo и любого достаточно малого р ? R" (| р | < р0 (у)) циклы
Г(?)=Гу>8+< осуществляют гладкую гомотопию цикла Гу8
в цикл Г„ 5+р.
2°. Рассмотрим отображение MxR->R"» зависящее от пара-
параметра у ? V, переводящее точку (х, t) в точку с координатами
I ft (х) — Уг |а — ^»- Пусть р — регулярное значение этого отображе-
отображения столь малое, что |р|<СРоО/) и чт0 Цикл Г распадается на ц
торов Ту (см. лемму 1). Прообраз р определяет в М X R гладкое
(ra-j-1)-мерное многообразие. Проекция в Д/ части этого много-
многообразия, выделенной неравенствами 0^?^1, является пленкой,
натянутой между циклами Гу>8 и Г =27V. Лемма доказана,
так как ни построенная пленка, ни предъявленные гомотопии
не задевают особенностей формы шу.
Доказательство теоремы. 1°. Представление (*) имеет
место при малых у. Действительно, по лемме 1 и 2 при малых у
J°V= J <*, = №"№¦
2°. Из 1° вытекает теорема о следе для га-форм.
3°. Из теоремы о следе вытекает голоморфность продолжения
[Тг ш ] на все У; правая часть формулы (*) голоморфна в полици-
полицилиндре У8. Согласно 1° левая и правая части совпадают в окрест-
окрестности нуля; следовательно, они совпадают в У5.
Следствие. Существует интегральное представление для
следа к-форм в п-мерном пространстве.
Рассмотрим, например, след 1-формы в С2, Tr<D=a1dy1Jra2dy2.
Умножая на dy2, мы находим
аЖЛ*У, = (Тгш)ДЙУа=Тг(шДЯ*й,)
и получаем интегральное представление для коэффициента а^ как
Тг (о,Д/*^3).
Аналогично получаются интегральные представления для коэф-
коэффициентов координатной записи следа А-формы в С".
Замечание. Еще одно доказательство теоремы о следе со-
содержится в статье [127]. Там же можно прочесть о применениях и
обобщениях этой теоремы.
5.18. Доказательство теоремы об обратном якобиане. Рас-
Рассмотрим область /~1(У) = Ж и ее отображение j\m:M ~*V. Оно
УСТОЙЧИВОСТЬ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
89
имеет конечный тип. Рассмотрим n-форму ш = h dx^ /\ ¦ ¦ ¦ /\ dxn.
На открытом плотном в У множестве регулярных значений отобра-
отображения [Тгш]=2« (а{)М(а{), по теореме о следе функция [Тг ш]
голоморфна в У. Теорема доказана.
Следствие.
__J_ Г /ifaiA.-A dxn
|/<1=5,-
Доказательство. [Тг//] = lim[Trш(у)] = [Тгш]@), поэтому
у->-0
следствие вытекает из интегрального представления следа.
§ 6. Устойчивость и инфинитезимальная устойчивость
В этом параграфе описан метод линеаризации для решения во-
вопроса об устойчивости ростка дифференцируемого отображения.
Этот метод заключается в сведении вопроса к линейной задаче об
инфинитезимальной устойчивости и к практически легче-решаемой
линейной задаче об инфинитезимальной У-устойчивости. Мы раз-
развиваем технику, необходимую для обоснования метода, и приме-
применяем ее в наиболее простой ситуации, доказывая теорему об эк-
эквивалентности функции своему многочлену Тейлора в окрестности
конечнократной критической точки.
6.1. Понятие инфинитезимальной устойчивости. Отображение
f: М —> N называется устойчивым, если орбита элемента /^под
действием группы лево-правых диффеоморфизмов в пространстве
Q (M, N) гладких отображений М в N содержит некоторую окрест-
окрестность элемента / (ср. § 1, стр. 10).
Пусть X — многообразие и G — группа Ли, действующая на X.
Точка / из X называется устойчивой относительно этого действия,
если ее орбита содержит некоторую окрестность этой точки /.
Действие G на X задает гладкое отображение конечномерных мно-
многообразий a: G X X -> X (пара g, x переходит в образ х под действием
g). Рассмотрим производную а по первому аргументу в точке (е, /),
где е — единица группы:
%il,./-Tfi^TfX.
Если этот линейный оператор отображает касательное простран-
пространство к группе в единице на все касательное пространство к много-
многообразию, на котором действует группа, в рассматриваемой точке /,
то, по теореме о неявной функции, орбита точки / содержит окрест-
окрестность точки /.
Определение. Точка / называется инфинитезималъно
устойчивой относительно действия а, если производная действия
вдоль группы в точке (е, /) отображает касательное пространство
к группе на все касательное пространство к многообразию в точке
/, т. е. если а#л |в, > — отображение «на»,
90
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. 1
ЛГ,
Попытаемся перенести это определение на интересующий нас
случай действия бесконечномерной группы левых и правых диф-
диффеоморфизмов на бесконечномерном пространстве гладких отобра-
отображений Q (М, N).
Касательное пространство к группе Diff M диффеоморфизмов
гладкого многообразия М в единице — это линейное пространство
всех гладких векторных полей на М. Оно обозначается через Г (ТМ)
(пространство сечений касательного расслоения ТМ многооб-
многообразия М). Лево-правый инфинитезималь-
ный диффеоморфизм задается парой вектор-
векторных полей (одно на М, другое на N).
Поэтому
Тв (Diff M X Diff N) — Г (ТМ) ф Г (TN).
Касательное пространство к «многообра-
«многообразию» Q (M, N) всех гладких отображений
из М в N в точке / из Q (M, N) естест-
естественно отождествляется с пространством
«инфинитезимальных деформаций» отобра-
отображения /, т. е. с пространством сечений
вертикального векторного расслоения f*TN отображения /
(рис. 39):
TeQ(M, N) = T(fTN)
(элемент Г (f*TN) — это сечение вертикального расслоения, ко-
которое указывает, с какой скоростью меняется значение отображе-
отображения / в каждой точке х из М).
Вычислим линейный оператор
Тв (Diff М X Diff N) -» Г (f*TN),
соответствующий лево-правому действию, fh->KofoH~x (К ?
G Diff ЛГ, Я б Diff Л/).
Вычисления удобно провести в (локальных) координатах.
Отображение / записывается в виде y—f (х). Однопараметрические
семейства диффеоморфизмов Н и К, близкие к тождеству, записыва-
записываются в виде
Рис. 39.
(точками обозначены члены выше первой степени по е). Вычисляя
fe = Keofo Я, мы находим
Д (х) = /(ж - eh(x)) + ek(f(x)) -f- . . . = / -f- e[&(/(z))-?h (
]
Выражение в квадратной скобке и есть значение вычисляемого
оператора на паре (h, к).
УСТОЙЧИВОСТЬ И ИНФИНИТВЗИМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
91
Ответ можно переписать в виде
(h,
где
a;YTM-+T(fTN) определено соотношением a.[h](x) = —frxh(x),
ш: YTN -*¦ Г (f*TN) определено соотношением ш [к] (х) = k(f (ж)).
Отображения а и ш — геометрические, они не зависят ни от каких
координат (рис. 40).
Определение. Отображение / называется инфините-
инфинитезимально устойчивым, если
а (ГТМ) -f ш (FTN) = Г (f*TN).
В координатах это условие означает разрешимость относительно
h и к так называемого «гомологического уравнения»
и(*) = -3?М*) + &(/(*)) A)
для всякого поля деформаций и, т. е. для всякого элемента из Г (f* TN).
Теорема устойчивости (Мазер). Инфинитези-
Инфинитезимально устойчивое отображение устойчиво.
Эта теорема справедлива для отображений компактных много-
многообразий М и N; в некомпактном случае она справедлива при усло-
условии, что устойчивость понимается в смысле
тонкой топологии Уитни (см. стр. 33). -*1
Справедлива также и обратная теорема:
устойчивое отображение инфинитезимально
устойчиво. Доказательства всех этих ре-
результатов можно найти в работах Ма-
Мазера [152].
Мы докажем ниже локальный вариант
теоремы устойчивости.
Определение. Росток гладкого
(соответственно формального, аналитичес-
аналитического, голоморфного, . . .) отображения /
в нуле называется инфинитезимально
устойчивым, если гомологическое уравнение A) относительно
ростков гладких (соответственно формальных, . . .) векторных
полей h и к разрешимо при любом гладком (соответственно фор-
формальном, . . .) поле деформаций и.
Пример 1. Отображение прямой на прямую / {х)—х2'.
Гомологическое уравнение имеет вид
и(х) = — 2xh(x)-\-k(x2).
Оно разрешимо прилюбом и. Следовательно, отображение инфи-
инфинитезимально устойчиво.
X
Рис. 40.
м
92
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Пример 2. Отображение прямой на прямую / (х)=х3.
Гомологическое уравнение имеет вид
в(х) = — 3x2h(x)-Jrk(x3).
При и—х это уравнение неразрешимо. Следовательно, отображение
у—х3 инфинитезимально неустойчиво (ср. рис. 1).
6.2. Гомотопический метод. Доказательство теоремы об устой-
устойчивости инфинитезимально устойчивого отображения можно прово-
проводить разными методами, обычно применяемыми для доказательств
теорем типа теоремы о неявной функции. Например, можно вос-
воспользоваться методами последовательных приближений типа ме-
метода касательных Ньютона (ср. [3]). Другой метод был предложен
Р. Томом и называется гомотопическим методом. Этот метод со-
состоит в следующем. Мы хотим построить коммутативную диа-
диаграмму, превращающую / в /:
М -Z+ N
4 , J*
М -** N
Чтобы найти Н и К, мы соединяем / и / кривой ft, так что /о=/ и
/i=/. Искомая коммутативная диаграмма распадается в произве-
произведение диаграмм соответственно разбиению коммутативного квад-
квадрата на прямоугольники с малой высотой Д. Каждому такому
прямоугольнику отвечает диаграмма
Если нам удастся для всех t от 0 до 1 построить И± и Ка в первом
приближении по Д (с погрешностью порядка о (Д)), то, «интегрируя
полученные инфинитезимальные коммутативные диаграммы», мы
получим искомую диаграмму.
Условие инфинитезимальной устойчивости как раз и гаранти-
гарантирует возможность построения инфинитезимальных коммутативных
диаграмм.
Чтобы не затемнять основную идею гомотопического метода
техническими деталями, мы вначале применим его в простейшей
ситуации следующей «леммы Морса».
Теорема..В окрестности невырожденной критической точки
функция правоэквивалентна сумме квадратичной формы и постоян-
постоянной.
Доказательство. Пусть f=^flkx\, ak^=0. Нужно дока-
доказать, что для всякой функции ср из куба т3 максимального иде-
§ 6]
УСТОЙЧИВОСТЬ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ала m росток в нуле функции / -f- ср правоэквивалентен ростку /
в нуле.
Соединим / с /+<р путем /+*<р» t(*[Q,i ]. Мы ищем однопараме-
трическое семейство локальных диффеоморфизмов х >->¦ gt (x), для
которого
x)) = f(x), ' A)
go(x) = x, ft@) = 0.
Рассмотрим соответствующее семейству gt векторное поле vt,
зависящее от времени t:
Дифференцируя A) по t, получаем уравнение относительно vt:
(точка озпачает дифференцирование функции по направлению стоя-
стоящего слева от точки вектора).
Рассмотрим систему координат %,..., хт. Компоненты не-
неизвестного поля обозначим vtt {, так что
2д
В этих обозначениях второе слагаемое формулы B) принимает вид
Функции 2aixi -\- tyXi известны; мы обозначим их через у.. В этих
обозвачениях уравнение B) принимает вид уравнения относи-
относительно V,
Jt, t-
C)
[мы не пишем аргумента gt (x), одинакового в левой и в правой
частях, так как уравнение B) выполняется тождественно по (х, t)
и, значит, тождественно по (gt (x), t)].
Якобиан det (ду/дх) на оси t всюду отличен от 0(так как ср^ ? щ2).
Поэтому в окрестности оси t пространства с координатами (х, t)
можно принять за новые координаты у( и t.
Функция <р имеет на оси t нуль 3-го порядка. По лемме Ада-
мара можно представить <р в виде ср = 2 ?/<Ф<> где ф( @, t) = 0.
i
Тем самым мы решили уравнение C): vtt . = —tyf. Зяая семейство
полей vt, мы находим gt(x) из дифференциального уравнения
Заметим, что vt @)=0, поэтому решение с близким к 0 начальным
условием х существует при ??[0, 1]. Кроме того, gt @)=0.
Поэтому gt — искомый диффеоморфизм. Лемма Морса доказана.
В качестве следующего приложения гомотопического метода
рассмотрим теорему Тужрона об эквивалентности гладкой функции
многочлену. В ее доказательстве гомотопическим методом появ-
появляются леммы, играющие основную роль и в доказательстве тео-
теоремы Мазера.
6.3. Теорема Тужрона о конечной определенности ростка
функции в конечнократной критической точке.
Определение. Критическая точка 0 гладкой функции
/: (Rm, 0) -> (R, 0) называется конечнократной, если локальная
алгебра градиентного отображения конечномерна, т. е. если
[x = dimER[[x11 ..., xmW(df/dxlt ..., dfldxj<co.
Число р. называется кратностью критической точки.
Теорема. В окрестности конечнократной критической
точки функция правоэквивалентна многочлену (а именно своему
многочлену Тейлора степени fi+1, если кратность равна р.).
Пример. Для невырожденной критической точки fi=l
и функция эквивалентна своему многочлену Тейлора степени 2
(это — лемма Морса, доказанная в п. 6.2). Этот пример показы-
показывает, что степень fi-j-1 нельзя заменить меньшей.
Замечание. Если все функции с данной й;-струей (право)
эквивалентны, то говорят, что эта струя достаточна. Таким об-
образом, (р.-\-\.)-струя функции в критической точке кратности
[i. достаточна.
Если кратность р. критической точки бесконечна, то никакая
конечная &-струя не достаточна.
Пример (Уитни). Рассмотрим голоморфную функцию трех
переменных f(x, у, z)=xy(xJry)(x—zy){x—ezy).
Критическая точка 0 не изолирована (вся ось z состоит из кри-
критических точек). Росток функции f в нуле не (право) эквивалентен
ростку никакого многочлена.
Действительно, множество критического (нулевого) уровня
/ состоит из пяти гладких поверхностей, пересекающихся вдоль
оси z. На плоскости z=const эти пять поверхностей высекают пять
кривых, пересекающихся в одной точке. Двойные отношения,
построенные по четырем касательным к этим кривым в точке
пересечения, зависят от z. Если бы функция была эквивалентна
многочлену, то зависимость каждого из этих двойных отношений
УСТОЙЧИВОСТЬ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
95
от любого другого из них была бы алгебраической. Для нашей
функции / эта зависимость неалгебраическая (из-за множителя
е*), поэтому росток / не эквивалентен ростку многочлена.
6.4. Доказательство теоремы о конечной определенности.
Пусть /: (Rm, 0) -»• (R, 0) имеет в нуле критическую точку ко-
конечной кратности р.. Утверждается, что для всякой добавки <р из
ш11 функция / -|~ <р правоэквивалентна /. Рассуждая, как в дока-
доказательстве леммы Морса (п. 6.2), приходим к уравнению относи-
относительно поля vt:
vt (gt (*)) ¦ (/ + *?) = -T (gt (*))> ? б m^2.
Поскольку это равенство должно выполняться тождественно по
х и t, достаточно решить при а = —<р уравнение относительно vt:
Лемма 1. Всякий одночлен достаточно высокой степени
(а именно степени р.) лежит в градиентном идеале I?/ функ-
функции / (т. е. в идеале, натянутом на (dfjdxlt . . ., df/dxm)).
Научная формулировка леммы: т9" С /v/.
Пример. Для невырожденной критической точки р. = 1,
Доказательство: см. п. 5.5.
Лемма 2. Всякий одночлен достаточно высокой степени
(а именно степени [>.) принадлежит градиентному идеалу функ-
функции /-|-<Р> т- е- т^ CZ/v(/+9).
Пример. Для невырожденной критической точки р. = 1, /у(/+?) =
= /у/ = Ш-
Доказательство леммы 2. Рассмотрим все одночлены
степени р.. Их конечное число. Пусть Мг — один из этих одно-
одночленов (мономов). По лемме 1 М, ? I^f, т. е. существует разложение
м.= У.2г
Заменяя в этой формуле / на / + <р, мы получим разложение
Вычитаемое принадлежит m1" (поскольку ср (] т11*2). Следовательно,
вычитаемое можно представить в виде линейной комбинации
одночленов Мр степени р. с коэффициентами из т. Мы получаем
разложение
96
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Рассмотрим эти соотношения как систему линейных уравнений
относительно вектора М из неизвестных {Мг, . . ., Мц)- Матрица
системы имеет вид E-j-A, где элементы матрицы А лежат в да.
Правая часть является вектором В = (В1, . . ., Вх), элементы ко-
п
торого Ва= % дх ¦ ht г принадлежат градиентному идеалу
Iv(/+<,,). Определитель матрицы Е -J- А при х = 0 равен единице,
поэтому система в окрестности нуля разрешима:
Z
Поскольку 5, ?/v(/+<p), мы получаем М, ?/7(/+?), что и требовалось.
Замечание 1. Приведенное рассуждение с обращением
матрицы в алгебре формализуется в виде так называемой леммы
, Накаямы.
Замечание 2. Лемма 2 гаранти-
гарантирует разрешимость гомологического урав-
уравнения
~ vt • (/ + *Р) = а (*)
Рис- ''!¦ при каждом фиксированном t, причем до-
достаточно даже, чтобы а ? tn^, a не да1**2.
Нам, однако, этого недостаточно, так как нам нужно реше-
решение vt, гладко зависящее от t, которое можно было бы интегри-
интегрировать, чтобы определить gt при всех t от 0 до 1.
Пример. Рассмотрим действие группы вещественных дробно-
линейных преобразований z >-*¦ (az-{-b)l(cz-\-d) на плоскости комп-
комплексного переменного z. Вещественная ось и верхняя полупло-
полуплоскость — разные орбиты этого действия. Рассмотрим кривую
в верхней полуплоскости, касающуюся вещественной оси (ска-
(скажем, z=t-\-it2; рис. 41).
Вектор скорости в каждой точке принадлежит касательной пло-
плоскости к соответствующей орбите, однако кривая переходит из
одной орбиты в другую.
Рассуждения гомотопического метода в этом случае неприме-
неприменимы, потому что, хотя гомологическое уравнение и разрешимо
при каждом фиксированном t, решение нельзя выбрать гладко
зависящим от t.
Можно показать, что в случае действия конечномерной группы
Ли на конечномерном многообразии для возможности выбора
гладко зависящего от t решения гомологического уравнения до-
достаточно, чтобы размерности орбит вдоль рассматриваемой кри-
кривой не менялись (конечно, предполагается, что при каждом фикси-
фиксированном t уравнение разрешимо). В этом предположении кривая,
каждый касательный вектор которой принадлежит касательному
пространству к орбите, вся лежит в одной орбите.
§ 6] УСТОЙЧИВОСТЬ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
97
Лемма 3. Для всякого одночлена а достаточно высокой сте-
степени {а именно степени р.+1) гомологическое уравнение имеет
гладко зависящее от t решение vt, обращающееся в нуль в начале
координат.
Доказательство. Представим а в виде xtMs, где
Мв — одночлен степени fi. Доказательство леммы 2 (примененной
к /+?<р) дает способ построения гладко зависящего от t решения
гомологического уравнения (*) с правой частью Мв. Умножая
это решение на xv получаем искомое решение vt.
Окончание доказательства теоремы. Пред-
Представим а=—<p?inl>'+2 в виде функциональной линейной комби-
комбинации одночленов as степени и+1:
«(*) = 2с. (*)«.(*)•
Решим гомологические уравнения (*) с правыми частями а, по
лемме 3:
Векторное поле vt =^ca(x)vtt в определяет искомое однопарамет
рическое семейство диффеоморфизмов g{:
dJL = vt{gt{x)), &@)==0, (f + t?)(gt(x))~f(x).
Теорема доказана.
3 амечание. Приведенное доказательство принадлежит
Мазеру. Опубликовано четыре разных доказательства теоремы
о конечной определенности (для гладкого и голоморфного слу-
чаев): [3], [95], [182], [75].
6.5. F-эквивалентность. Кроме правой и лево-правой экви-
валентностей часто полезно рассматривать еще один вид эквива-
эквивалентности, геометрически означающий диффеоморфность много-
многообразий уровня отображения — так^?называемую F-эквивалент-
ность.
Определение. Ростки / и /: (R"\ 0)-»(Кя, 0) называются
V-эквивалентными (V—от variety; имеется в виду многообразие
Гг@)), если существуют росток g: (Rm, 0)-^(Rm, 0) правой за-
замены, сохраняющей 0, и росток М: (Rm, 0) -> GL (R") отображе-
отображения пространства-прообраза в многообразие автоморфизмов прост-
пространства-образа (т. е. в многообразие невырожденных матриц, по-
порядка п) такие, что
Ясно, что локальный диффеоморфизм g переводит росток тляо
жества /^(О) в 0 в росток множества /-1@) в 0. Отображения
f(x)—x2 ш f(x)=x3 имеют геометрически одинаковые множества*
f, ф), но не У-эквивалентны.
В, И. Арнольд и
98
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Теорема. Для V-эквивалентности двух ростков необходимо
и достаточно, чтобы соответствующие им идеалы переходили
один в другой при подходящем локальном диффеоморфизме g про-
пространства-прообраза.
Действительно, обозначим через If идеал, порожденный ком-
компонентами / (т. е. идеал fmffAx в алгебре «функций от х» Ах).
Лемма. Если 1^ = 1/, то существует росток невырожденной
матрицы М в 0, такой, что
/ (а) = АГ (*)/(*).
Доказательство. Поскольку компоненты / входят в //,
а компоненты / — в 1у, существуют (вообще говоря, необратимые)
матричные ростки Р и Q, для которых
= P(x)f(x),
= Q(x)f(x).
а
Рис. 42.
ш
Следовательно, (QP—E)f=O,; поэтому
матричный росток M=P+R[QP—Е] при
любом R переводит / в /. Остается подо-
подобрать R так, чтобы матрица М @) не вы-
вырождалась. Ниже мы обозначаем через Р,
Q, R, М значения соответствующих рост-
ростков в нуле и рассматриваем их как ли-
линейные отображения R" -> R".
Представим R" в виде прямой суммы КегР и дополнительного
пространства А, а также в виде прямой суммы 1тР и дополни-
дополнительного пространства В. Очевидно, dim .A—dim Im P, dim B =
= dim Кег Р. Поэтому можно определить R так, чтобы RA=0,
R (Кег Р)=В. Тогда M(Ker Р)=В, M(A) = lm P mod В, поэтому
М не вырождается, и лемма доказана. Теорема очевидно выте-
вытекает из леммы.
Определение. Ростки отображений /: (Rm, a) -> (R", Ъ) и
/: (R", а) -> (Rm, Ъ) называются V-эквивалентными, если они ста-
становятся F-эквивалентными после перенесения начала координат
из а, Ъ и а, Ъ в 0.
Замечание. Хотя в этом месте мы использовали линейную
структуру пространств Rm и R", свойство F-эквивалентности
от этой структуры не зависит: перенесения можно было бы заме-
заменить диффеоморфизмами. Можно даже доказать, что F-класс
ростка / в а определяется следующей парой ростков т-мерных
подмногообразий прямого произведения RmxR" в точке (а, Ъ):
[«ось» x=(Rm, а) X Ь; график /] (рис. 42),
рассматриваемой с точностью до диффеоморфизмов пространства-
произведения. Этот класс зависит от касания указанных под-
подмногообразий, поэтому Мазер называет F-эквивалентность кон-
контактной эквивалентностью. Термин F-эквивалентность введен
УСТОЙЧИВОСТЬ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
99
Ж. Мартине [151 ] во избежание путаницы с контактной группой
(ср. гл. III).
6.6. Инфинитезимальная V-устойчивость. F-эквивалентности
соответствует свое понятие инфинитезимальной устойчивости.
Пусть /: (R, 0) -»• (R", 0) —росток гладкого (оо-струя формаль-
формального, . ..) отображения у '= / (х) в нуле.
Рассмотрим пространство всех вариаций ростка /.
Пусть F(x, s)=f(x)-\-sa(x)-\-. . . — однопараметрическая дефор-
деформация ростка /.
Вариация (или начальная скорость) деформации F задается
вектор-функцией а.
Обозначим компоненты /, F и а (в фиксированных системах
координат) через /,., Ft, ai. «Функции» ft и ai принадлежат рас-
рассматриваемой алгебре Ах (ростков гладких, формальных, анали-
аналитических или голоморфных функций от (х1г . . ., хт) в нуле).
Таким образом, вариация ростка/ задается набором из п элементов
алгебры Ах. Такой набор мы будем называть столбиком с элемен-
элементами {аг, . . ., ап) и будем также обозначать через
axex+. . .+апеп=а1д/ду1+. . .+апд/ду„
(так как at — это скорость изменения координаты у{). Все стол-
столбики вариаций образуют свободный модуль (Ах)п с п образующими
ei=d/dyi над алгеброй Ах.
В этих терминах мы можем переписать определение лево-пра-
лево-правой инфинитезимальной устойчивости ростка / так: для всякого
столбика а ? (Ах)" существует разложение
A)
(где hj?Ax, dfldXj?{Ax)n, kr ? Ау — «функции» от yv . . ., уп).
Заметим, что первое слагаемое в этой формуле при изменении
коэффициентов h пробегает А ^.-подмодуль в (Ах)п. Второе слагаемое
при изменении к пробегает только линейное подпространство (или,
если угодно, модуль над алгеброй функций от у, но не от х).
Определение. Росток отображения / называется инфини-
тезимально V-устойчивым, если образы базисных векторов ег, ...
. . ., еп порождают над R фактор-модуль
0' = 1' • • - т' *• r = i, -.., и).
Замечание. Происхождение этого определения следующее-
Вариации ростка / под действием диффеоморфизмов прообраза
имеют вид ^ — h,{x). Они образуют в (Ах)п подмодуль, порож-
^¦J OX j 3
девяый т столбиками dfjdxj. Другой вид изменения /, не выво-
выводящий из класса F-эквивалентности, состоит в умножении слева
вектора системы уравнений {/# = 0} на невырожденную при х — О
матрицу^ункцию С (матрицу порядка п с элементами из Ах).
Если матрица С (е) = Е -\- ее -f- . .. близка к единичной, то си-
система преобразуется в систему вида {/9 = 0}, где / = / —(— ее/ —}- . ..
Следовательно-, вариация / имеет вид с/, т. е> принадлежит под-
подмодулю в {Ах)п, порожденному п2 столбиками fter (в таком стол-
столбике на г-м месте стоит /,., а на остальных местах — нули).
Таким образом, знаменатель формулы для Т состоит из «три-
«тривиальных» вариаций: образующая dfjdXj отвечает сдвигам вдоль
оси Xj, а /,ег — прибавлению к r-му уравнению г-го.
Условие инфинитезимальной F-устойчивости означает, таким
образом, что всякая вариация системы уравнений {/,=0} может
быть получена из тривиальной посредством инфинитезималъного
сдвига в пространстве-образе (такой сдвиг заменяет систему
{/,=0} на {/. = «,}).
Теорема. Инфинитезимальная V-устойчивость ростка
эквивалентна его инфинитезималъной устойчивости.
Доказательство. Пусть росток / инфинитезимально
устойчив, т. е. существуют разложения A). Его инфинитезималь-
инфинитезимальная F-устойчивость очевидна. Действительно, выделим в kr сво-
свободные члены и запишем эти функции в виде
я
Подставляя разложения kr в A), получим для каждого вектора
вариации а разложение
доказывающее инфинитезимальную F-устойчивость.
Доказательство обратного утверждения проводится совер-
совершенно такими же рассуждениями, как доказательство подготови-
подготовительной теоремы (см. п. 4.4).
Пусть (е1; .... еп) порождают Т над числами. Тогда для вся-
всякой вариации а из (А^)" существует разложение
mm n
*=2с гег+2 йh* + 2 gr- <f<er- B>
/=1 j=l J i, T=l
n
В частности, коэффициент при f4 (т. е. столбик 2eV, <er 6 {^-J")
допускает разложение вида B). Подставим все эти разложения
6] УСТОЙЧИВОСТЬ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 101
в B). Мы получим улучшенное разложение B), которое можно
переписать в виде
я
«, г, р=1
Разлагая коэффициент 2^г, », ве>- п0 формуле B), мы продолжаем
улучшение и повышаем степень произведения компонент / в по-
последнем слагаемом. После бесконечного числа шагов достигаем
разложения
C)
доказывающего инфинитезимальную устойчивость на уровне фор-
формальных рядов.
Переход к (более содержательным) гладкому, аналитическому
и голоморфному вариантам проводится так же, как для обычной
подготовительной теоремы.
Замечание 1. Общая формулировка «подготови-
«подготовительной теоремы для модулей» такова: пусть
/@)=0 и элементы ег, . . ., еп конечно-порожденного Ах-модуля
F порождают линейное пространство Flf*myF; тогда они же
порождают F как модуль над Ау.
В нашем случае F=(Ax)"l(dfldXj).
Замечание 2. Если росток отображения / гладко зави-
зависит от параметра t, меняющегося на отрезке [0, 1 ], и инфинитези-
инфинитезимально F-устойчив при каждом фиксированном t, то разложение C)
можно выбрать с гладко зависящими от t коэффициентами сг
и h ¦ (причем допускается даже гладкая зависимость а от t).
Доказательство — такое же, как для подготовительной тео-
теоремы с параметрами (пример 4 в п. 4.5).
Пример. Пусть отображение / — сборка Унтни, заданная
формулами
/х г= Хх + ХХХ2, /2 = Xz.
Проверим выполнение условия инфинитезимальной F-устойчивости
(это легче, чем проверять инфинитезимальную устойчивость не-
непосредственно). Модуль (Ах)п = (Axf образован столбиками вида
fax (z)i Производные df/dxj—это столбики
df
_ /За* + х
\ 0
Jf
102
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Столбики у{ег имеют вид
хг
/0\
Знаменатель формулы для Т — это подмодуль в (АхJ, натяну-
натянутый на шесть выписанных столбиков.
Подмодуль, натянутый на пять из шести выписанных столби-
столбиков (исключая df/dxs), легко найти: он содержит
/a^N /•^i\ ( ^ \ / О \
U/' \0)' \xj' U?/'
и, следовательно, фактор-пространство порождено пятью столби-
столбиками:
©• (»¦)¦ 0. О- О- о
Учитывая теперь, что df/dx2=:(xv 1) мы находим
" _ ч(хг\ (Х1\
Следовательно, по модулю знаменателя формулы для Т, все пять
столбиков (*) сравнимы с числовыми линейными комбинациями
базисных столбиков е1=A, 0) и е2=@, 1). Этим доказана V- (а зна-
значит, и обычная) инфинитезимальная устойчивость сборки Уитни.
§ 7. Доказательство теоремы устойчивости
В этом параграфе доказывается устойчивость инфинитезимально
устойчивого ростка отображения. Это доказательство состоит из
двух частей. Во-первых, доказывается, что &-струя инфинитези-
инфинитезимально устойчивого ростка при достаточно больших к устойчива,
т. е. что всякое достаточно близкое отображение будет иметь в под-
подходящей близкой точке лево-право эквивалентную А-струю.
Во-вторых, доказывается, что А-струя инфинитезимально устой-
устойчивого ростка при достаточно больших к достаточна. Из этих двух
фактов очевидно вытекает устойчивость.
7.1. Доказательство достаточности А-струи инфинитезимально
устойчивого ростка отображения. Мы докажем следующее утвер-
утверждение.
Теорема. Если росток f отображения в п-мерное про-
пространство инфинитезимально устойчив, то он (п-\-1)-определен,
т. е. его га+1 струя достаточна. Иными словами, члены степени
п-\-2 и выше в ряду Тейлора / в нуле можно отбросить, не нару-
нарушая дифференцируемый тип ростка.
Пример. Сборка Уитни 3-определена в соответствии с тем,
что размерность пространства-образа п равна 2.
§ 7]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
103
Введем следующие обозначения:
6 = (Ах)" — А^-модуль вариаций ростка / [(Ах)" — это свободный
модуль с п образующими е{ = д/ду{ над алгеброй Ах «функций»
от хг, . . ., хт; его элементы — это «столбики» (alt ¦ . ., an) = Baiei
а =
{ е,.
М = {dfldxj, f(8j) — -4л-подмодуль F-тривиадьных вариаций
(знаменатель в формуле для Т из определения F-инфинитези-
мальной устойчивости).
tnx—максимальный идеал в Ах (состоит из всех «функций»,
обращающихся в нуль при ж = 0).
Лемма 1. Если / — инфинитпезималъно устойчивый росток
в нуле отображения в п-мерное пространство, то все вариации
достаточно высокого порядка (а именно порядка п в нуле) три-
тривиальны: т^вСМ.
Доказательство. Рассмотрим вектор-одночлен х'е
= ?,-,•... ¦ Xines. Составим цепочку ев, х(ев, х(х^ег,. . .,xt .
Мы получили п -j- 1 элемент в 9. Поскольку росток / инфинитези-
инфинитезимально устойчив и, значит, F-инфинитезимально устойчив,
dimK 6/Л/ ^ п. Следовательно, найдется линейная комбинация
с числовыми коэффициентами, среди которых есть ненулевые,
такая, что
с<А + cxz.es -f- . . . + cax(i . . . x.nes ? M.
Пусть сг — первый ненулевой коэффициент. Выяося х. ... х. es
за скобки, получаем х{ . . . х, ег?М и, следовательно, х'еа?М, что
и требовалось доказать.
Определение. Росток в нуле отображения в п-мерное
пространство называется почти. V-инфинитезимально устойчи-
устойчивым (nFHy), если условие F-инфинитезимальной устойчивости.
(FHy) выполняется с точностью до членов (п+1)-го» порядка
малости.
Таким образом, условие nFHy состоит в существовании для
любой вариации а ростка / в нуле разложения
я
а (х) = - -g- h (х) + ^ St (*) /* («) + ^S W + г (х),
Лемма 2. Если f — ПУИУ-росток в нуле отображения
в п-мерное пространство, то все вариации порядка п в нуле три-
тривиальны: mQM
102
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Столбики yter имеют вид
N /х,\
Знаменатель формулы для Т — это подмодуль в (-4.J2, натяну-
натянутый на шесть выписанных столбиков.
Подмодуль, натянутый на пять из шести выписанных столби-
столбиков (исключая df/dx2), легко найти: он содержит
Со). (?)• О- О-
и, следовательно, фактор-пространство порождено пятью столби-
столбиками:
О- С»). 0. С). О-
Учитывая теперь, что df/dx2 = (xly 1) мы находим
©=</)-<о>). (о')=(?Ю- О—С.1
<•>
Следовательно, по модулю знаменателя формулы для Т, все пять
столбиков (*) сравнимы с числовыми линейными комбинациями
базисных столбиков е1=A, 0) и е2=@, 1). Этим доказана V- (а зна-
значит, и обычная) инфинитезимальная устойчивость сборки Уитни.
§ 7. Доказательство теоремы устойчивости
В этом параграфе доказывается устойчивость инфинитезимально
устойчивого ростка отображения. Это доказательство состоит из
двух частей. Во-первых, доказывается, что Ar-струя инфинитези-
инфинитезимально устойчивого ростка при достаточно больших к устойчива,
т. е. что всякое достаточно близкое отображение будет иметь в под-
подходящей близкой точке лево-право эквивалентную А-струю.
Во-вторых, доказывается, что А-струя инфинитезимально устой-
устойчивого ростка при достаточно больших к достаточна. Из этих двух
фактов очевидно вытекает устойчивость.
7.1. Доказательство достаточности А-струи инфинитезимально
устойчивого ростка отображения. Мы докажем следующее утвер-
утверждение.
Теорема. Если росток f отображения в п-мерное про-
пространство инфинитезимально устойчив, то он {п-\-1)-определен,
т. е. его га+1 струя достаточна. Иными словами, члены степени
п+2 и выше в ряду Тейлора f в нуле можно отбросить, не нару-
нарушая дифференцируемый тип ростка.
Пример. Сборка Уитни 3-определена в соответствии с тем,
что размерность пространства-образа п равна 2.
§ 7]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
103
Введем следующие обозначения:
0 = (Ax)n — .^-модуль вариаций ростка / [(Ах)" — это свободный
модуль с п образующими е{ = д/ду{ над алгеброй Ах «функций»
от хг, ..., хт; его элементы — это «столбики» (а1, . . ., ая) = Еа<е(
М = (df/dXj, f.ej) — Л.л-подмодуль F-тривиальных вариаций
(знаменатель в формуле для Т из определения F-инфинитези-
мальной устойчивости).
tax — максимальный идеал в Ах (состоит из всех «функций»,
обращающихся в нуль при х — 0).
Лемма 1. Если / — инфинитезимально устойчивый росток
в нуле отображения в п-мерное пространство, то все вариации
достаточно высокого порядка (а именно порядка п в нуле) три-
тривиальны: тхваМ.
Доказательство. Рассмотрим вектор-одночлен x'es =
= xit • . . . • xines. Составим цепочку es, x. es, xi x. es,. . ., х{ ... х. е,.
Мы получили п -j- 1 элемент в 9. Поскольку росток / инфинитези-
инфинитезимально устойчив и, значит, F-инфинитезимально устойчив,
dimK б/Л/ ^ п. Следовательно, найдется линейная комбинация
с числовыми коэффициентами, среди которых есть ненулевые,
такая, что
coes -(- c1xies -f- . . . + с„хA • . . xifet G M.
Пусть cr —¦ первый ненулевой коэффициент. Вынося х{ . .. х. es
за скобки, получаем х. . . . х. es?M и, следовательно, х1е3(*М, что
и требовалось доказать.
Определение. Росток в нуле отображения в п-мерное
пространство называется почти V-инфинитезимально устойчи-
устойчивым (nFJiy), если условие F-инфинитезимальной устойчивости.
(FHy) выполняется с точностью до членов (л+1)-го* порядка
малости.
Таким образом, условие ПУЛУ состоит в существовании для
любой вариации а ростка / в нуле разложения
(ПУИУ) а (х) = - ¦?¦ h {х) + У. gt (х) /,- (х) + 2 сА + г (х),
Лемма 2. Если f — П7ИУ-росток в нуле отображения
в п-мерное пространство, то все вариации порядка п в нуле три-
тривиальны: т'1$аМ
104
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Доказательство. Занумеруем все вектор-одночлены
степени п: рх, . . ., р^. Для каждого вектор-одночлена степени
п существует разложение (ПУПУ), в котором ct=0:
(это разложение строится, как в лемме 1, лишь М заменяется
на M-\-ml+1Q).
Поскольку остаточный член гр имеет порядок га+1, его можно
представить в виде линейной комбинации векторных одночленов
степени п с коэффициентами первого порядка малости:
?, q
СЛ,
Теперь совокупность разложений (*) переписывается в виде
матричного уравнения относительно столбца (р) из р1? . . ., р#:
где (т) — столбец из mf, af — матрица порядка NxN с элемен-
элементами из тх. Обращая матрицу Е—C, получаем рр?М, так как
все т„ принадлежат М. Лемма доказана.
Лемма 3. (ПУИУ) => (УИУ).
Доказательство. Рассмотрим разложение (ПУНУ).
По лемме 2 его остаточный член принадлежит М. Следовательно,
член г в (ПУИУ) может быть уничтожен подходящим изменением
коэффициентов h и gt, что и требовалось доказать.
Лемма 4. Инфинитезимальная устойчивость ростка ото-
отображения в п-мерное пространство (п-\-\)-определена. Иными
словами, если росток f в О инфинитезималъно устойчив и ср ? Ш?+2 0,
то росток /-+- ср в нуле инфинитезималъно устойчив.
Доказательство. (ИУ) => (УИУ), поэтому для всякой
вариации а существует разложение
Заменяя / на / = /-(-?. сохраним коэффициенты h, gt и с{. По-
Получаем
гГ"^* Заметим, что г имеет (п -J- 1)-й порядок
малости (г (] т2+1б). Следовательно, мы получили для ростка / раз-
разложение (ПУИУ)/. По лемме 3 для ростка / строится разложение
(УИУ)/, а по нему — искомое разложение (ИУ)/ (см. п. 6.6).
Доказательство теоремы. Пусть / — инфинитезимально
устойчивый росток и (р? т?+26. Будем действовать гомотопическим
§ 7]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
105
методом: рассмотрим ft = f -f-fcp, ??[0,1]. Ищем зависящие от
времени t диффеоморфизмы Нt (в прообразе) и Kt (в образе),
для которых ftoHt^Ktof*). Этим диффеоморфизмам отвечают
зависящие от времени векторные поля kt и ht:
kt (Kt (у)) = эк, (у)/м, ht (Ht (x)) = эн, (x)im.
Дифференцируя коммутативную диаграмму, получаем гомологи-
гомологическое уравнение
dt
(звездочкой обозначена производная ft при фиксированном t).
Учитывая соотношение Kt о f = ft о Ht, приходим к соотношению,
в котором и левая, и правая части вычисляются в точке Н, (x).
Поскольку это соотношение должно выполняться при любых
х и t, оно является тождеством, поэтому вместо аргумента Ht(x)
можно поставить любую букву, например х. Таким образом, го-
гомологическое уравнение принимает вид
=:--g*. А,
(**)
Нужно найти решение (h, k) при а = <р. Уравнение (**) разрешимо
при каждом t по лемме 1. Мы должны найти векторные поля
ht и ки гладко зависящие от t(*[0, 1] и обращающиеся в нуль
в начале координат (х=0 для ht, z/=0 для kt).
Начнем с гладкости по t. В доказательстве леммы 4 с помощью
конструкций лемм 2 и 3 описано построение разложения (ИУ),
пригодное для каждого t. Покажем, что все это построение гладко
зависит от t. Имеется два опасных места:
1) при переходе от (ПУИУ)/, к (УИУ)Л выбирался первый
отличный от нуля коэффициент сг (в доказательстве леммы 1);
2) при переходе от (УИУ)/, к (ИУ)/, имеется ссылка на п. 6.6.
Но: 1) отличный от нуля коэффициент зависит от /, а не от
/,; 2) в п. 6.6 показано, что из (УИУ)/, вытекает возможность
выбрать гладкое по t решение (**) при всех t из [0, 1] с помощью
разбиения единицы.
Итак, мы построили гладкое решение уравнения (**). Остается
добиться обращения полей ht и kt в нуль в начале координат.
Напомним, что / — (ИУ)-росток отображения в R" и что ft =
= t + t<?, где 29
*) При применении гомотопического метода имеется некоторая тонкость:
коммутативность следует записать так, чтобы после дифференцирования ар-
аргументы в левой и правой частях совпадали.
106
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Предложение 1. Если а. имеет п-й порядок малости в нуле
(а ? т?0), то существует гладко зависящее от t разложение
Доказательство. По лемме 1 для а существует разложе-
разложение (VHY)f, в котором с4 = 0. При переработке этого разложения
в доказательстве леммы 4 коэффициенты с,- не меняются ни при
переходе GИУ)у -> (ПГИУ),,, ни при переходе (П7ИУ)Л -»GИУ)Л.
При переходе {VWV)ft -*(KV)ft мы получаем &/@) = 2с<е< (см*
п. 6.6). Следовательно, kt@) = 0, что и требовалось.
Предложение 2. Для существования гладко зависящего от
t решения уравнения инфинитезимальной устойчивости
с любым а из в необходима и достаточна разрешимость при любой
функции а (] -Лх уравнения относительно матриц И и Ж:
аЕ—— ft<,H+K. (***)
Здесь Ш — матрица порядка тХп, элементы которой —
функции от х и t, а Ж — га X га-матрица, элементы которой —
функции от y=ft(x) и t (рассматриваемого класса гладкости);
М — единичная матрица порядка га.
Доказательство, s-e столбцы матриц И и Ж дают ре-
решение уравнения инфинитезимальной устойчивости с левой частью
а(ж) —а(х)еа.
Предложение 3. Пусть
иВ = —fuH. + -ЙГВ> vJS = —fuH9 + К,
Тогда
где
Доказывается непосредственной подстановкой.
Замечание. Из предложения 3 легко вывести, что для
инфинитезимальной устойчивости достаточна разрешимость т
матричных уравнений (***) с а=х1, . . ., хт.
Предложение 4. Если а?т", то существует решение
(На, Жа) уравнения (***), для которого Жа{1, 0) = 0.
Доказательство. См. предложения 1 и 2.
Предложение 5. Если a?m?+1, то существует решение
BГа, Жа) уравнения (***), для которого Ha(t, 0) = 0, Жа(t, 0)^0.
Доказательство. Представим а в виде uv, и (] т%, v ^ щх.
По предложению 3 можно взять Н^ = vHu -f- ДвЖи, Жт = ЖвЖи.
§ 7]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
107
По предложению 4 можно считать Жи (t, 0) = 0, что и дает искомое
решение.
Теперь мы закончим доказательство теоремы.
Из предложения 5 и доказательства предложения 2 следует
разрешимость гомологического уравнения (* *) для а ? ш"+19
в классе гладко зависящих от t полей kt, kf, обращающихся в 0
в начале координат. Но по условию теоремы ср ? т"+2®. Итак, мы
построили гладкое по t решение ht, kt гомологического уравнения
с левой частью а = ср, обращающееся в 0 в начале координат.
Поля h, и kt определяют искомые локальные диффеоморфизмы Н't
и Kt вблизи х = 0 и у —0 при всех *?[0,1]. на чем доказатель-
доказательство теоремы и заканчивается.
7.2. Инфинитезимальная устойчивость и трансверсальность
орбите. Пусть /: (Rm, 0) -> (R", 0) — росток гладкого отображения.
Определение. Малым пространством к-струй отображе-
отображений из R"* в R" называется пространство /sr-струй в нуле отобра-
отображений, переводящих 0 в 0. Обозначение: /*_ п (т, п).
Средним пространством к-струй отображений из Rm в R"
называется пространство &-струй отображений из Rm в R" в нуле.
Обозначение: /'"(иг, п).
Большим пространством к-струй отображений из Rm в R"
называется пространство &-струй отображений из Rm в R" во всех
точках. Обозначение: 7*(т, п).
Группы й-струй левых и правых замен переменных, оставля-
оставляющих на месте 6 в- R" и в R соответственно, действуют на
малом пространстве струй.
Определение. Малой орбитой к-струи f в нуле называ-
называется орбита этой струи под действием указанной группы (й-струй
лево-правых замен, сохраняющих 0x0) в малом пространстве
струй.
Параллельные перенесения в Rm и в R" определяют (некано-
(неканонические, но полезные) проекции, расслаивающие бблыпие про-
пространства струй над меньшими.
Пример. Пусть т=п=1. Тогда 1-струя задается тремя
числами: х, у, p=dy!dx. Пространства 1-струй суть пространства
{(*. У, />)}. {{У, Р)) и (Р)
соответственно. Проекции суть
(х, у, p)t-*(y, р), (У, р)^(
(ж, У, р)*-+(р)-
Малая орбита 1-струи функции f(x)=x2 в нуле состоит из точки
р=0 малого пространства струй {р}.
Определение. Средней и большой орбитами к-струи
f называются полные прообразы малой орбиты при введенных
проектированиях среднего"*'и большого пространства^струй на
малое.
108
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Пример. Средняя орбита 1-струи функции f(x)=x2 в нуле —
это прямая р=0 на плоскости {(у, р)}; большая орбита — это
плоскость р=0 в трехмерном пространстве {(х, у, р)}.
Замечание. Большая орбита — это орбита А-струи под
действием бесконечномерной группы диффеоморфизмов про-
пространств прообраза и образа в большом пространстве струй;
средняя — под действием подгруппы, оставляющей на месте 0
в прообразе в среднем пространстве струй.
Рассмотрим А-струйное расширение ростка отображения /.
Это — росток отображения пространства-прообраза (R"*, 0) в боль-
большое пространство струй:
/*/: (R«, 0)^Jk(m, п).
Мы будем называть это расширение большим.
Определение. Средним и малым к-струйными расшире-
расширениями ростка / называются ростки в нуле отображения простран-
пространства-прообраза в среднее и малое пространства струй, получа-
получающиеся из большого расширения последующими проектирова-
проектированиями на эти пространства.
Пример. Для f(x)=ax2 большое, среднее и малое 2-струй-
ные расширения задаются формулами
Е^E, а?, Ы, 2а), Е^(а?2, 2а%, 2а) и $ >-> BoS, 2a)
соответственно.
Теорема. Росток /: (JR"\ 0) -» (R", 0) отображения в п-мерное
пространство инфинитезимально устойчив, если и только если при
каком-нибудь (и тогда любом) k~^z n его большое {соответственно
среднее, малое) к-струйное расширение трансверсально большой
(соответственно средней, малой) орбите к-струи f в нуле.
Пример. Росток f—ax2 в нуле инфинитезимально устойчив,
если и только если его 1-струйное большое (среднее, малое) рас-
расширение трансверсально плоскости (прямой, точке) />=0. Это
имеет место при а=^=0.
Доказательство. Чтобы отображение в пространство
расслоения было траневерсальным к подрасслоению, необходимо
и достаточно, чтобы после проектирования на базу расслоения
из данного отображения получалось отображение, трансверсальное
к базе подрасслоения. Применим это к расслоению большого про-
пространства струй над средним и среднего над малым и к подрасслое-
ниям, образованным орбитами. Мы убеждаемся, что утверждение
теоремы достаточно доказать для средней орбиты.
Вычислим касательное пространство к средней орбите в ее
точке /*(/)• С этои целью, пользуясь системами координат, ото-
отождествим касательное пространство к среднему пространству струй
с самим этим пространством струй.
§ 7J
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
109
Предложение 1. к-струя а. принадлежит касательному
пространству к средней орбите к-струи отображения f в О, если
и только если а. допускает разложение
а = — М- h (х) + к (/ (х)) mod m*+19,
где А@) = 0.
Доказательство. Для любых h ж 7с
d
de.
6=0
/(ж—eA(s))+ «*(/(*—еЛ (*))) = — -=¦ Л(z) + fc(/(a
Если Л@)=0, то, беря &-струю от левой и правой частей в нуле,
получаем искомое разложение.
Замечание. Правая часть зависит именно от А:-струи /
в нуле, а не от fc+1-струи, так как Л@)=0.
Предложение 2. Образ касательного вектора ? (] !T0Rm
под действием производной от среднего k-струйного расширения
f в нуле — это к-струя
(df/dx) % mod m*+19.
Доказательство. По определению, мы должны вычислить
главную линейную часть по % от /J(/охе) — ffi* гДе ^{х)^=х-\-\.
Рассмотрим разложение Тейлора
/ (* + S) - / (х) = (df/дх) S + о E).
Взяв &-струю по х при х=0 от левой и правой частей, получаем
/? </° **) - /о (/) = [/? E//а*)] ^ + о (S),
что и требовалось доказать.
Замечание. Образ вектора ? зависит от &+1-струи /
и не определяется ^-струей.
Окончание доказательства теоремы. Усло-
Условие трансверсальности ^-струйного расширения / средней орбите
в нуле имеет, согласно предложениям 1 и 2, следующий вид:
всякая вариация а ростка отображения в нуле допускает разло-
разложение
(Tv) а(х) = — Л (х) -4- -4- 5 + к (/ (х)) mod m*+19,
где Л@) = 0.
Условие же инфинитезимальной устойчивости состоит в су-
существовании разложения
(ИУ) a(x) = -^h(x)-\-7c(f(x))
без ограничения Л@)=0.
110
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Разложение (Тр) получается из (ИУ) выделением свободного
члена h, поэтому из инфинитезимальной устойчивости следует
трансверсальность при любом к. Обратно, пусть трансверсаль-
трансверсальность (Тр) имеет место для какого-либо к~^ п. Тогда разложение
(Тр) имеется и для к—п. Следовательно, / — ПУИУ-росток.
По'лемме 3 п. 7.1 / — FHY-pocTOK, а значит, и ИУ-росток
(п. 6.6).
Теорема доказана.
7.3. Доказательство устойчивости. Пусть /: (R™, 0) ->
-> (R", 0) — инфинитезимально устойчивый росток.
Т е"о рема устойчивости (Мазер). Росток f устой-
устойчив.
, Д о к a 3*"a тельство. Зафиксируем представителя
/: U-+W ростка / и|рассмотрим любое достаточно близкое (с п-\-2
производными) отображение f:U -> R".
По теореме п. 7.2 га+1-струйное рас-
расширение отображения / трансвер-
сально пересекает большую орбиту
га+1-струи отображения / в 0. Сле-
Следовательно, га+1-струйное расшире-
расширение отображения / трансверсально
пересекает эту большую орбиту в не-
некоторой точке, близкой к ге+1-струе
отображения / в 0 (рис. 43).
W* Таким образом, ге+1-струя ото-
отображения / в некоторой точке 0,
близкой к 0, лежит в большой орбите ra-f-1-струи отображения /
в 0. Докажем, что росток отображения / в 0 лево-право эквива-
эквивалентен ростку отображения / в 0. Действительно, по определению
большой орбиты, ra-f-1-струи / в 0 и / в 0 лево-право эквивалентны,
т. е. существуют замены координат в Rm и в R", превращающие
росток / в 0 в росток отображения g в 0, ra-f-1-струя которого совпа-
совпадает с ге+1-струей / в 0. По теореме п. 7.1 га+1-струя / в 0 доста-
достаточна. Следовательно, ростки /и g в нуле лево-право эквивалентны.
Значит, ростки / в 0 и / в 0 лево-право эквивалентны, что и до-
доказывает теорему.
Пример. Сборка Уитни инфинитезимально устойчива
(п. 6.6, стр. 102) и, следовательно, устойчива.
Задача. Доказать устойчивость ростка обобщенного ото-
отображения Уитни Е1я: (R", 0) -> (R", 0) (п. 2.5, стр. 38) и эллипти-
эллиптического и гиперболических ростков отображений I2: (R4, 0) -*¦
-+ (R4, 0) (п. 3.6, стр. 54). '
Рис. 43.
§ 8)
ВВРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИЙ
111
§ 8. Версальные деформации
При рассмотрении всевозможных особенностей обычно наи-
наибольший интерес представляет случай общего положения, в то
время как от всех более сложных особенностей можно избавиться
малым шевелением. Например, функция общего положения имеет
лишь невырожденные критические точки; вырожденные критиче-
критические точки, вроде критической точки функции ж3, распадаются
на невырожденные при сколь угодно малом шевелении ж3—ex.
Однако во многих случаях нас интересует не индивидуальный
объект, а целое семейство объектов, зависящих от одного .или
нескольких параметров. Вырожденные особенности, устранимые
при каждом фиксированном значении параметров, могут стано-
становиться неустранимыми для всего семейства: в пошевеленном се-
семействе вырождения возникают при измененных, но близких
к исходным значениях параметров. Рассмотрим, например, се-
семейство функций a?-\-tx, зависящих от параметра t. При t=0 функ-
функция семейства имеет вырожденную критическую точку, и всякое
близкое семейство будет иметь вырожденную критическую точку
при близком к нулю значении параметра, хотя при каждом фикси-
фиксированном значении параметра вырождение можно устранить ма-
малым шевелением.
Таким образом, вырождения не общего положения становятся
неустранимыми, если рассматривается не индивидуальный объект,
а семейство. Но тогда естественным объектом изучения является
не сама вырожденная особенность, а семейство, в котором эта
особенность становится неустранимой; при этом мы должны изу-
изучить, как эта особенность распадается (бифурцирует) при измене-
изменении параметров семейства.
Семейство, рассматриваемое локально (вблизи фиксирован-
фиксированного значения параметров), называется деформацией объекта, от-
отвечающего этим значениям параметров. Оказывается, во многих
случаях изучение всевозможных деформаций удается свести
к изучению одной-единственной деформации, в некотором смысле
самой большой; все остальные деформации получаются из нее.
Такие деформации называют версальными. Слово «версальный»
образовано пересечением слов универсальный и трансверсальный
(приставка уни отбрасывается, как указывающая на единствен-
единственность, которой может и не быть; трансверсальность же к подхо-
подходящему подмножеству в функциональном пространстве является
отличительным признаком версальной деформации).
Понятие версальной деформации является важным общемате-
общематематическим понятием, имеющим многочисленные приложения.
Рассмотрим, например, вопрос о приведении к нормальной
форме матрицы линейного оператора. Жорданова нормальная
форма неустойчива в том смысле, что при малом шевелении опера-
тора как нормальная форма, так и приводящее преобразование
меняются скачком. Версальная деформация матрицы — это такая
нормальная форма, к которой можно привести не только индиви-
индивидуальную матрицу, но и все близкие, причем приводящее преоб-
преобразование гладко зависит от параметров (см. 14], [17], где указан
явный вид версальных деформаций матриц и приведены приложе-
приложения к теории бифуркаций фазовых портретов динамических си-
систем).
Ниже приведены теоремы, позволяющие явно находить вер-
сальные деформации вырожденных особенностей гладких отобра-
отображений.
8.1. Определение версальной деформации. Начнем с конечно-
конечномерной ситуации. Пусть G — группа Ли, действующая на много-
^т . образии М, и пусть / — точка из М.
„,ww - Деформацией точки f называется рос-
росток гладкого отображения F многообра-
многообразия А (называемого базой деформации)
в М в точке 0 из А, для которого
F(O)=f (рис. 44).
Рассмотрим две деформации F и F'
с общей базой А одной и той же
точки /. Эти деформации называются
эквивалентными, если одна переходит
в другую под действием гладко зависящего от Х?А элемента
#(Х) группы G, т. е. если
Рис. 44.
()g(k)F
где g — деформация единицы группы.
Пусть <р: (Л', 0)->(А, 0) — гладкое отображение. Деформацией,
индуцированной из F при отображении <р, называется деформация
f*F точки / с базой А', заданная формулой
(9F)(k) = F(9(k)).
Деформация F точки / называется версалъной, если всякая дефор-
деформация точки / эквивалентна индуцированной из F.
Версальная деформация называется миниверсалъной, если раз-
размерность базы имеет минимальное возможное значение. Легко
доказывается
Теорема. Минимальная трансверсаль в точке f к орбите
Gf точки f в М является миниверсалъной деформацией точки /.
Доказательство. Зафиксируем какую-либо мини-
трансверсаль F: (А, 0) -»• (М, f) и проведем через единицу группы
трансверсаль К к стационарной группе Hf точки /. Действие
группы G определяет росток гладкого отображения ос: KxF(A)->M
в точке (е, 0). Это — росток диффеоморфизма (a.(g, m)—gm,
g?K, m?F(A), рис. 44).
ВЁРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
113
Пусть F': (А', 0)->(М, /) — любая деформация точки /.
Введем обозначения: aTl{F' (Х')) = (Р(Х'), у (к')) ? К X F (А),
F?T = r- (л'> 0)-*(А, 0). Тогда f'(X') = p(X')^(9(X')), что и
требовалось доказать.
Наша цель — перенести эти построения на случай, когда М —
функциональное пространство гладких отображений, a G — ка-
какая-либо бесконечномерная группа преобразований (построенная
из замен независимых или зависимых переменных, умножений
на функции, сложений с функциями и т. д.). Говоря о версальной
деформации, мы должны всегда указывать, о каком действии
(т. е. о каких допустимых преобразованиях) или о какой эквива-
эквивалентности идет речь.
Рассмотрим, например, случай правой эквивалентности функ-
функций.
Пусть /: (R, 0) —>R—росток гладкой функции. Деформацией
ростка f с базой А = R' называется росток в нуле гладкого
отображения F: (R™ X R', 0)-»-R, для которого F(x, O)~f(x).
Деформация F' (право) эквивалентна деформации F, если
F'(x, \) = F(g(x, X), X),
где g: (R"xR', 0)-^(Rm, 0) —гладкий росток, g (x, 0) = x. Де-
Деформация F' индуцирована из F, если
F'(x, V) = F(x, <p(X')),
где <р: (R'\ 0)->(R;, 0)—-гладкий росток.
Таким образом, деформация F ростка / (право- или R-) вер-
салъна, если всякая деформация F' этого ростка представима в виде
F'(x, \')=sF(g(x, X'),
(x, 0)si, ?@) =
A)
Задача 1. Доказать, что деформация ж2+Х ростка ж2
в нуле .R-версальна (т. е. право-версальна).
Задача 2. Доказать, что росток функции /(ж)=0 не имеет
конечномерной R-версальной деформации.
В случае лево-правой (RL-) эквивалентности соотношение A)
заменяется на
F'{x, r) = k(F(g(x, X'), <р(Х')), X'), B)
где g(x, 0) = x, k(y, 0) = у, <р@) = 0.
Задача 3. Доказать, что О-параметрическая деформация
х2 ростка х2 .RjL-версальна.
V-эквивалентность деформаций F и F' одного и того же ростка
f определяется условием (ср. п. 6.5)
F'(x, \) =
8 В. И. Арнольд и др.
x, X), X).
114
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Поэтому V-версальностъ деформации F ростка f определяется
как возможность представить любую деформацию этого ростка
в виде
F' (х, Х').= М(х, r)F(g(x, X'), ?(Х')), C)
где матрица М (О, 0) невырождена, g (х, 0)==х, <р@)=0.
Задача 4. Доказать, что деформация а^+Х ростка х2
F-версальна.
8.2. Инфинитезимальная версальность. Теорема п. 8.1 утвер-
утверждает, что для версальностй достаточна трансверсальность про-
пространства скоростей деформации к орбите действия группы. Ана-
Аналогичная теорема справедлива и в бесконечномерных случаях, ко-
которые нас интересуют. Предположим, что мы фиксировали группу
допустимых преобразований (правые или левые диффеомор-
диффеоморфизмы и т. п.).
Определение. Касательным пространством к орбите
ростка f называется линейное пространство скоростей изменения
/ под действием однопараметрических семейств допустимых пре-
преобразований.
Замечание. Отличие этого определения от обычного со-
состоит в том, что наша группа, вообще говоря, не действует на рас-
рассматриваемом пространстве ростков в точке (так как в группе
мы допускаем переносы начала координат).
Пример 1. Касательное пространство к 7?-орбите (орбите
действия правых замен) ростка отображения / : (R™, 0) -*¦ R" —
это ^-модуль функций, представимых в виде (ср. п. 6.6)
»=1
Пример 2. Касательное пространство к RL-орбяте того же
ростка состоит из всех вариаций / вида (ср. п. 6.6)
2 (^
и
Это линейное пространство является ^-модулем, но не ^-мо-
^-модулем.
Пример 3. Касательное пространство к F-орбите того же
ростка состоит из всех вариаций / вида (ср. п. 8.2 и п. 6.6)
*——1
Это — ^-
.д.-модуль.
ВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
115
Пусть F — деформация ростка / с базой Ли \, . . ., X, —
координаты на базе (Х@) =0). Начальными скоростями деформа-
деформации F называются ростки
dF(x, \
х=<г
* = !,..., I.
Пример. Пусть F(x, X) =ж3+Х1;г-|-Х2 — деформация ростка
f(x) =?3 в нуле. Начальные скорости этой деформации: Ft =x, F2 =1.
On ределение. Деформация F ростка / называется ин-
финитезималъно версальной, если ее начальные скорости вместе
с касательным"пространством к орбите ростка / порождают все
линейное пространство вариаций ростка /.
•^рПример. Деформация F(x, X) =ха+Х1а;+Х2 ростка f{x)=a?
в^нуле право-инфинитезимально версальна. Действительно, каса-
касательное "пространство к^орбите правых~замен есть т| (состоит
из всех ростков вида ЗаР-Щх), где h — гладкий росток). Но всякий
росток гладкой функции в нуле представим в виде"а(ж)=Зл:аЛ(а;)+
+с1х+с2-1.
Теорема. Условия инфинитезималъной версалъности дефор-
деформации F ростка /: (Rm, 0) -> (R", 0) для правой, "лево-правой и
V-эквивалентностей состоят в существовании для каждой ва-
вариации а ростка f ""представлений
(R-eeреальность);
а (х) 5=
5= 2 ?
h. (х) -f- к (/ (ж)) -f-
2
(x)
(RL-версальностъ);
2с<^
Доказательство получается из определений версальностй A),
B), C.) п. 8.1 дифференцированиями. Эти же дифференцирования
показывают, что версальная деформация инфинитезимально вер-
версальна.
Пример. Деформация а?-\-~Кх ростка г в 0 является инфи-
инфинитезимально .RL-версальной, но не является ни R-, ни F-инфи-
нитезимально версальной.
8.3. Теорема версальностй. Для каждого из трех случаев
(R-, RL- или F-эквивалентности) имеет место следующая
Т е о'ре'м'а. Инфинитезимально версальная деформация вер-
салъна. — щ^;"-1
Пример. В качестве Д-версальной деформации ростка
гладкой функции / можно взять деформацию F(x, X)=/(o;)+
8»
116
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
\1(х) -f- • • --\-\ер.(х), где ростки функций ек в нуле определяют
базис линейного пространства
Qf = R[[xv ..., xJJKdf/dx,,..., df/dxm).
В частности, деформация а^+Х1х+^2 ростка ж3 в 0 Я-версальяа.
Так как доказательства во всех трех случаях почти одинако-
одинаковые, мы рассмотрим только случай F-эквивалентности. Теорема
F-версальности в аналитической ситуации принадлежит Г. Н. Тю-
риной [78], рассмотревшей и более общую задачу о деформациях
с негладкими базами. Приведенное ниже доказательство предло-
предложено Ж. Мартине [151]. Оно основано на следующем построении.
Пусть F — инфинитезимально F-версальная деформация ростка
/, и пусть Ф — любая однопараметрическая деформация ростка F:
Ф(х, X, 0)~F(x, X), F(x, O) = f(x),
Ф: (Rm XR'XR, 0) -> (Rtt, 0).
Мы можем рассматривать Ф как Z+1-параметрическую деформа-
деформацию ростка / функции от :r?Rm с параметрами X?R', u?R.
Лемма (о редукции). Деформация Фростка f V'-эквивалентна
индуцированной из F.
Д "о к а за тельство леммы. Построим росток вектор-
векторного поля v в точке 0 пространства (х, X, и) так, чтобы
1) ± ±
и)±- + Н{х, X, и)±;
росток гладкой матричной функции
2) иФ=АФ, где А
от х, X, и.
Согласно 1) фазовые кривые такого поля трансверсальны ги-
гиперплоскости и=0 ж определяют вблизи нуля гладкое расслоение
m+Z-f-1-мерного пространства над иг-М-мерным. Это расслоение
можно описать так. Сопоставим каждой точке (х, X, и) пересечение
проходящей через нее фазовой кривой с плоскостью и =0. Обозна-
Обозначим х- и Х-координаты этой точки пересечения через g и <р. Согласно
условию 1) построенное расслоение записывается в виде (х, X, и) *->¦
у-*- (g(x, X, и),-<р (X, и)). Из условия 2) видно, что g задает У-зкви-
валентность деформации Ф и деформации, индуцированной из F
при отображении <р (нужная матрица М находится интегрирова-
интегрированием линейного ^уравнения с правой частью А вдоль фазовых
кривых). Щ 3f] :?>
Таким образом, для доказательства леммы осталось построить
поле v со свойствами 1) и 2). Иными словами, нужно убедиться
в разрешимости гомологического уравнения
¦^—(—^-а(А, и) + -^-Я(:г, X, и) = А(х, X, и)Ф(х, X, и)
относительно неизвестных S, Н, А.
§ 8]
ВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
117
Для всякой вариации а ростка / существует разложение, озна-
означающее инфинитезимальную У-версальность:
х)
а (х) =V-h{x)-
Следовательно, для всякой вариации а(х, X, и) ростка Ф сущест-
существует разложение
«(*, X, в)=^А(х)_-а(а:)Ф + 4г
ао(х, X, и) -f-
Разложим таким же образом а0 и а; и подставим полученные
выражения в эту формулу. Мы получим улучшенное разложение,
в котором заключенный в квадратную скобку остаток будет уже
второго порядка малости по и и X, но зато коэффициенты h (x),
а (х) и I заменятся на линейные неоднородные функции от X и от и.
Повторяя процедуру улучшения бесконечное число раз, мы по-
получаем разложение
а.{х, X, и) = -^-Я(.т, X, и) — А (х, X, и)Ф
Е (X, и) (*)
на уровне формальных рядов.
Подготовительная теорема (см. п. 6.6, стр. 101) показывает,
что разложение (*) существует и в случае сходящихся рядов,
и в С^-случае [применять теорему нужно к Ах> х „-модулю
(ЛхХи)"/{дФ/дх{, Ф^у}, отображению (х, X, и) ь-> (X, и) и обра-
образующим дФ/д\{]. Разложение (*) для а=—дФ/ди доставляет
искомое решение гомологического уравнения; лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть F' — (любая) де-
деформация ростка / с параметром X' ^ R'', a F — инфинитезимально
версальная деформация того же ростка с параметром X?R*.
Составим «сумму», т. е. деформацию Р(х,~Х, 1')^F(x, Х)+^'(х,Х') —
—/ (х) с Z+Z'-мерным параметром (X, X').
При X'=0 деформация F превращается в F, а при Х=0 —
в F'. Вложение подмногообразия в базу деформации индуцирует
деформацию, база которой — вложенное*подмногообразие; мы бу-
будем называть исходную деформацию (с большей базой) расшире-
расширением деформации с меньшей базой. Заметим, что расширение
инфинитпезималъно версалъной деформации инфинитезималъно
версалъно (так как при расширении набор начальных скоростей
только увеличивается). Рассмотрим теперь цепочку подпространств
RJcR{+1C . .cR'+r, начинающуюся с базы деформации F и кон-
кончающуюся базой деформации Р. Сужения деформации Р на эти
подпространства инфинитезимально устойчивы. Последовательно
применяя лемму о редукции, мы убеждаемся, что деформация
Р эквивалентна индуцированной из F. Но деформация F' индуци-
индуцирована из Р. Поэтому деформация F' также эквивалентна инду-
индуцированной из F, на чем доказательство теоремы версальности
и заканчивается.
8.4. Замечания к теореме версальности.
Замечание 1. В RL-случае вместо (*) н. 8.3 приходится
искать разложение вида
«(ж, X, и)=^Н(х, X, и) + К(Ф, X, B) + 4rS(X' и). (**)
Мы начинаем с разложения инфинитезимальной версальности
а (х) == ^- h (х) + к (/ И) +
Из этого разложения получаем
а(х, X, и)=
, X,
;'х> и
Подставляя такие же разложения а0 и ач в эту формулу, повышаем
порядок остаточного члена по и и X, причем А (х) превращается
в Н (х, X, и), к (у) — в К (у, X, и) и~? — в S (X, и).
Подготовительная теорема применяется здесь к A
1{^
X,
ц), X, ц)|,
y x „-модулю
отображению
(у, X, ц)н>(Х, и) и образующим /.
Замечание 2. Если рассматриваемый росток / инфините-
инфинитезимально устойчив, то в качестве его версальной деформации можно
взять О-параметрическую- деформацию, состоящую из одного этого
ростка. Таким образом, теорема версальности утверждает, что
всякая деформация инфинитезимально устойчивого ростка три-
тривиальна; продеформированное отображение имеет в подходящей
точке росток,"эквивалентный исходному.
р*"г К сожалению, из этого свойства деформационной устойчивости
(тривиальности всех деформаций) не легко вывести настоящую
устойчивость.
Пусть {/,} — гладкое семейство, соединяющее отображение /0
и близкое отображение fv Если росток /0 в нуле деформационно
устойчив, то при малых~? отображение ft имеет в подходящей близ-
близкой к 0 точке росток,"'эквивалентный ростку /0 в нуле. Однако
даже если ft близко к fOf не очевидно, что~такое свойство отображе-
§ 8]
ВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
119
ний ft сохраняется вплоть до t=l. В действительности деформа-
деформационная, инфинитезимальная и обычная устойчивости эквива-
эквивалентны: мы только что доказали ИУ => ДУ, а в § 7 доказано
ИУ => У. Обратное доказывается легче, но практически беспо-
бесполезно (ибо как бы мы узнали, что росток устойчив?).
Замечание 3. Подобно тому как деформационная устой-
устойчивость эквивалентна устойчивости, версальность деформации
эквивалентна более сильному свойству устойчивости деформации:
для всякого представителя F: (U,0) -> (R", 0) ростка F существует
такая окрестность Е этого представителя в пространстве гладких
отображений области U, что для любого отображения F': U —> R"
из Е существует такая точка 0', что росток F' в 0' определяет экви-
эквивалентную ростку F в 0 деформацию ростка /', эквивалентного /.
Более того, если отображение F' в U достаточно близко к F,
то точку 0' можно найти сколь угодно близко к 0, а эквивалент-
эквивалентность — сколь угодно близкой к тождественной.
Доказательство устойчивости версальной деформации анало-
аналогично доказательству теоремы устойчивости (§ 7): нужно лишь
заметить, что версальность семейства эквивалентна трансверсаль-
трансверсальности орбите в подходящем пространстве струй.
8.5. Единственность версальной деформации.
Теорема. Любая l-параметрическая версалъная деформация
ростка f эквивалентна деформации, индуцированной из любой
другой версалъной деформации с I параметрами при диффеоморфном
отображении баз.
Докажем это для случая У-версальности, который потребу-
потребуется дальше. щ.^-
Пусть I — минимальная размерность базы У-версальной де-
деформации, т. е. размерность линейного пространства
Обозначим проекцию пространства вариаций (Ах)" на Т через п.
Для версальности Z-параметрической деформации F необхо-
необходимо и достаточно, чтобы I векторов nFt порождали Т.
Любая деформация F' ростка / эквивалентна индуцированной
из версальной, т. е. записывается в виде
F'{x, V) =
, \)F{g(x, X), ср(Х)),
g(x, 0)~х, ср(О) = О, М(х,
Дифференцируя по Х< в нуле, получаем
дг
дХ,
120
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Заметим, что поскольку F' (x, 0)==F(x, 0)==/(х),
то
и, следовательно, М (х 01 д^ г,™*
fi6 } ' ( ' U) ^Г пРинадлежит ^-модулю
Итак,
Если бы I векторов ф. были зависимы, то I векторов тс/1,' также
были бы зависимы, вопреки версальности деформации F'. Итак,
<р — диффеоморфизм. Это доказывает наше утверждение для мини-
версальных деформаций.
Если число параметров деформации F' больше минимального,
то наше рассуждение показывает, что деформация F' эквивалентна
индуцированной из ^-параметрической миниверсальной деформа-
деформации при отображении баз, имеющем ранг /.
Все получающиеся таким способом деформации F' с фикси-
фиксированным числом параметров очевидно переводятся друг в друга
диффеоморфизмами базы и зквивалентностями.
8.6. Деформации эквивалентных ростков.
Теорема. Версалъные деформации F и F' V-эквивалентпкых
ростков /, /': (Rm, 0)->(R", 0) с одинаковым числом параметров
I V-эквивалентны в следующем смысле: существуют росток
диффеоморфизма Н: (Rm X R', 0)->(Rm X R', 0) вида (х, X)i->
н> (h (х, Х),ср (X)) и росток обратимой матрицы М: ROTxR; -» GL (R")
в точке 0 такие, что
F'(x, Х) = М(х, \)F{k{x, X), ?(Х)).
Доказательство. По условию /' (х) = М (х) f (g (x)).
Применив то же «преобразование (М, g)» к версальной деформа-
деформации F ростка /, мы получим /-параметрическую деформацию F"
ростка /', а именно F" (х, X) = М (х) F (g (x), X). Деформация
F" ростка /' версальна, так как деформация F ростка / версальна
(ибо преобразование (М, g) переводит деформации ростка /, эк-
эквивалентные индуцированным из F, в деформации ростка /',
эквивалентные индуцированным из F") *). По теореме п. 8.5 де-
деформация F' эквивалентна индуцированной диффеоморфизмом
из F": F' (х, \)—М' (х, X) F" (g' (х, X), ср (X)). Подставляя вместо
F" ее определение, получаем искомое разложение.
*) Отсюда, между прочим, видно, что размерности баз миниверсальных
деформаций F-эквивалентных ростков одинаковы.
§ 91 КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТИПАМ 121
§ 9. Классификация устойчивых ростков по генотипам
Здесь доказана теорема Мазера, сводящая классификацию
Д?-устойчивых ростков к Т'-классификации ростков отображений
пространств меньшей размерности (ср. [152]).
9.1. F-эквивалентные _КХ-уетой«швые ростки 22Х-эквива-
лентны. Пусть /: (Rm, 0) —> (R", 0) — росток гладкого отображения.
Рассмотрим следующую «-параметрическую деформацию ростка /:
Fix, X)==/(z)-X, XeR".
Множество нулей.этой деформации (т. е. F'1 @) С Rm X R") есть
график ростка /. Очевидна
Теорема. Деформация F является V-версальной, если
и только если росток f RL-устойчив.
Доказательс т в о. Условие (инфинитезимальной)
.ftZ-устойчивости ростка / состоит в существовании для всякой
вариации а ростка / разложения (см. § 7)
а (х) = |1 h (х) + 2 U («) К И +
где ех, . . ., еа — базис R". Но начальные скорости деформации
F равны как раз — et, поэтому условие (инфинитезимальной)
F-версальности деформации F ростка / состоит в существовании
ровно такого же разложения (п. 8.2). Теорема доказана.
Теорема. Пусть f и /': (Rm, 0) -> (R", 0) — RL-устой-
чивые V-эквивалентные ростки. Тогда f и /' RL-эквивалентни.
Доказательство. Составим версальные деформации
F (х, X) = / (ж)—X, F' (х, X) ==/' (х)—X. Согласно теореме п. 8.6
существует локальный диффеоморфизм Н пространства {(х, X)},
содержащего график /, па пространство, содержащее график
/', расслоенный над пространством значений R" (т. е. переводящий
семейство плоскостей Х=const в то же семейство плоскостей) и пере-
переводящий график / в график /'. Этот диффеоморфизм Н и задает
диффеоморфизмы пространств прообразов и образов, превращаю-
превращающие / в /' (диффеоморфизм пространств-прообразов получается из
диффеоморфизма графиков при замене точек графиков (х, / (х))
и (х', f (х'У) их проекциями х и х' соответственно).
9.2. Классификация устойчивых ростков по их идеалам.
Пусть /: (Rm, 0) -»(R", 0) — росток гладкого отображения. Ло-
Локальная R-алгебра Q(f) отображения / определяется точной по-
последовательностью
0-*/,
¦ А.
<?(/)-> 0,
A)
где If — идеал, заданный компонентами / в алгебре ростков функ-
функций (или рядов) от .г,
коммутативная диаграмма
О-
О-
¦о,
существует
B)
в которой вертикальные стрелки — изоморфизмы R-алгебр. Ре-
Результаты п. 9.1 можно сформулировать так:
Теорема. RL-класс RL-устойчивого ростка f однозначно
определяется идеалом 1у, рассматриваемым с точностью до экви-
валентностей B) последовательностей A).
Замечание. Поскольку устойчивый росток ге+1-опре-
ге+1-определен, он определяется даже классом If mod m"+2. Это усиление
существенно при т^> п, так как в этом случае R-пространство
Q (/) бесконечномерно, а <?л+1 (/)=^-;Е/(//+т*+2) конечномерно.
Можно также доказать, что устойчивый росток / определяется
If mod т?+3, где г — ранг дифференциала / в нуле. Более того,
класс Д//-эквивалентности 7?2/-устойчивого ростка /: (Rm, 0) ->•
—»¦ (R", 0) определяется числами т, п и самой конечномерной локаль-
локальной R-алгеброй Qr^ (/), рассматриваемой с точностью до изомор-
изоморфизма R-алгебр, а не только с точностью до эквивалентностей B).
Доказательство см., например, в [152], [151].
9.3. Построение устойчивых ростков. Возникает вопрос: вся-
всякая ли конечномерная локальная R-алгебра Q встретится в ка-
качестве Qn+1 (/) для некоторого устойчивого ростка /? Ответ на этот
вопрос положительный.
Пусть ср: (R*, 0) -> (R', 0) — росток гладкого отображения
с конечномерной F-версальной деформацией*). Таким образом,
мы предполагаем, что фактор-пространство
конечномерно. Пусть еще производная <р в нуле равна нулю.
В этом случае в качестве базиса фактор-пространства Т можно
взять t образов базисных векторов е} и еще г образов конечного
числа «столбиков» а1; . . ., аг, обращающихся в 0 в нуле (в ка-
качестве а{ всегда можно взять даже столбики-одночлены).
Определение. Надстроенным ростком для да называется
росток отображения /: (R* X Rr, 0) -> (R* X Rr, 0), (х, X) >-+ (у, z),
* - от «source» (источник), t - от «target» (цель).
КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТИПАМ
123
определенный формулами
C)
Росток ср называется генотипом надстроенного ростка.
Пример. Пусть s=i=l, генотип ср' (ж) ^ х3. Фактор-про-
Фактор-пространство R [[лг]]/{3ж2, х3} порождается образами столбиков
высоты 1 ех=1, а.х=х. Следовательно, надстроенный росток за-
задается формулой y=x3-\-lx, z=\. Итак, надстраивая генотип х3
в нуле, мы получили росток отображения Уитни в точке сборки..
Задача. Надстроить генотипы <р±: (R2, 0)->(R2, 0), где <рх =
= х\± х\, ?2=^хгх2.
Теорема. Надстроенный росток устойчив, а его локальная
И-алгебра изоморфна И-алгебрв генотипа: Q(f)=Q(<p), Qk(f)~
= ?*(?)•
9.4. Доказательство теоремы о надстроенном ростке. Вычис
ляя R-алгебру <?(/), находим
Докажем теперь У-инфинитезимальную устойчивость /. Мы
должны решить для каждого столбика вариаций (by, bz) высоты
i-f-r из функций от х и X уравнение
относительно столбиков h, g{, gp из функций от л: и X и числового
столбика с.
Все члены, содержащие X, можно уничтожить выбором g.
Поэтому достаточно решить для каждого столбика вариаций
(by, bz), зависящего лишь от х, уравнение
относительно столбиков h, gi из функций от х и числового стол-
столбика с. Это уравнение запишем в виде системы
by = (dfldx) hx + oAa + 2 Ы{Л + с,,
I
124
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
Подставляя найденное из второго уравнения ht в первое уравне-
уравнение, получаем уравнение относительно h^, g{ и с:
= (df/дх)hx -f 2 <р< (gt,г
it2
ас2).
Положим g<>2=0. Заметим, что столбик сх — это общая числовая
линейная комбинация t базисных векторов ек, а столбик ас2 —
общая числовая линейная комбинация г выбранных нами столби-
столбиков ар. Ио образы всех ек и ар порождают Т. Это означает разреши-
разрешимость уравнений вида $ — (ду1дх) hx-\- E^gf+fo—<хс2) относительно
h, g( и с. Итак, наше уравнение разрешимо. Следовательно, рос-
росток / F-инфинитезимально устойчив, а значит, и устойчив (§ 7).
9.5. Предварительная нормальная форма. Пусть /: (Rm, 0) ->
-*¦ (R", 0) — росток гладкого отображения иг — ранг дифферен-
дифференциала / в нуле. Обозначим коранги в прообразе и в образе через
s—m—г, t—n—г.
Предложение. Координаты в прообразе и в образе можно
выбрать так, что отображение f запишется формулами
= ? (*, I), (х, л) б (R* X Rr = R),
где ср по меньшей мере второго порядка малости в нуле: ср @, 0)=0,
с2ср@, 0)=0.
Замечание. Иными словами, отображение ненулевого
ранга / локально можно представить в виде семейства отображений
пространств меньших размерностей; размерность пространства
параметров равна рангу, а размерности упомянутых пространств
меньших размерностей равны корангам. Говорят также, что
росток отображения / является разверткой ростка отображения
ф: (R*, 0)-»-(R', 0), <f ix) — ? (х' 0); ф называется генотипом
ростка /.
Доказательство. Предложение вытекает из теоремы
о неявной функции. Действительно, образ дифференциала / в 0 —
это г-мерное подпространство в R". Пусть %, . . ., zr— функции
в R", определяющие систему координат в этом подпространстве.
Отображение / переносит функции zk в пространство-прообраз
R; обозначим перенесенные функции через Xk=f*zk. Дифферен-
Дифференциалы этих г функций в 0 независимы. Поэтому их можно до-
дополнить до системы координат в прообразе, выбрав еще s коор-
координат х{. Функции zk можно дополнить до системы координат
в R", выбрав координаты у}- так, чтобы их дифференциалы в нуле
обращались в нуль на образе дифференциала /. Полученная си-
система координат обладает всеми нужными свойствами.
Теорема (об устойчивости предварительной нормальной формы).
Росток отображения D) в нуле RL-устойчив, если и только если
§ «J
КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТИПАМ
125
образы базисных векторов е^ = д\дуj и г столбиков %k = d^jd\k |x_0
порождают линейное пространство Т = Ач\-^-, <р4еЛ, опреде-
определенное по генотипу ф (х) = <Р (х, 0).
Формула D) является обобщением на нелинейные деформации
формулы C), в которой зависимость от параметров X предполага-
предполагалась линейной. Устойчивость ростка отображения D) исследуется
таким же образом, как устойчивость надстроенного ростка.
Доказательство не отличается от доказательства теоремы об
устойчивости надстроенного ростка (п. 9.4).
Определение. Тривиальным р-параметрическим расшире-
расширением ростка /: (Rm, 0) -> (R", 0) называется росток отображения
F: (RffixRf, O)^(R"XR?, 0), F(x, u) = (f(x), и).
Очевидно, при тривиальном расширении устойчивость сохра-
сохраняется, т. е. не исчезает и не появляется.
Теорема. RL-устойчивый росток D) RL-эквивалентен
надстройке над своим генотипом ф либо ее тривиальному расшире-
расширению {если r-\-t > dim Т, то расширение r-\~t — dim Т-параметри-
ческое).
Доказательство. Действительно, росток расширен-
расширенной надстройки .RL-устойчив по теоремам п. 9.3, 9.5. Он У-экви-
валентен ростку D), так как оба определяют совпадающие идеалы:
/ х=/ф1х. По теореме п. 9.1 зти ростки Д?-эквивалентны.
Доказанная теорема сводит отыскание нормальных форм устой-
устойчивых ростков (Rm, 0) -> (R", 0) к гораздо более легкой задаче
У-классификации их генотипов, т. е. ростков отображений про-
пространств меньших размерностей.
Действительно, при замене генотипа ф У-зквивалентным рост-
ростком .RL-класс надстройки не меняется (по теоремам п. 9.1 и п. 9.3).
Обратно, если надстройки /JL-зквивалентны, то они У-эквивалентны
и, следовательно, соответствующие генотипы У-зквивалентны.
9.6. Устойчивые ростки коранга 1.
Теорема (Морен [158]). Устойчивый росток /: (R", 0) ~>
—> (R", 0), коранги которого равны 1, RL-эквивалентен триви-
тривиальному расширению ростка обобщенной сборки Уитни:
z = \
Доказательство. В этом случае генотип f — функ-
функция одной переменной. Пусть к — ее порядок в нуле. Тогда
$ легко привести к виду хк. По предыдущей теореме росток / эк-
эквивалентен (тривиально расширенному) ростку надстройки над
х1*. Отсюда следует и неравенство к ^ п-\-1 и вся доказываемая
теорема.
Теорема (Морен [158]). Устойчивый росток /: (R
(R*, 0) корапга 1 в прообразе RL-эквивалентен
ростка oooJ^ZZ
пг
п, г=т—1,
Замечание. В условиях теоремы
t—n—г—п—лг+1.
Пример. Пусть иг=2, га=3. В этом случае r=l, t=2,
следовательно, к=2. Получаем Ух=х2, уг — \х, z="k, т. е. обычный
зонтик (ср. рис. 19).
Доказательство. В этом случае генотип ф: (R, 0) ->(R', 0) —
пространственная кривая. Обозначим через к порядок ф в нуле.
Первый ненулевой член ряда Тейлора ф в нуле имеет вид хке,
е=^=0. Направим ось ух в R' вдоль е. Уравнения ф запишутся
в виде уг — хкA -{-...), yt =хкнс{ (г^2). Такой генотип ф F-экви-
валентен генотипу ух = хк, у% = . . . = yt = 0. Надстроим этот гено-
генотип. Модуль <~-, fy.fij\ порожден столбиками (а;*^, х*е2, . . .
• . ., xket). Следовательно, базис пространства У образуют проекции
в Т столбиков
ег, хе.
х
• • • i ЗГ
хе
,,
Это и приводит к выписанным в теореме формулам надстроенного
отображения.
Число столбиков, дополнительных к базисным, (elf . ¦ ., et),
равно t {к—1)—1. Поэтому ранг надстроенного отображения ра-
равен t {к—1)—1. Размерность прообраза m на единицу больше ранга.
Следовательно, для устойчивости необходимо, чтобы та ^ t (к—1).
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь устойчивые отображения коранга 1 в образе
B=1). В этом случае генотип ф: (R*, 0) -> (R, 0) — функция
s=m—га+1 переменных.
Теорема (Морен [158]). Предположим, что генотип —
функция s переменных, коранг второго дифференциала которой
в нуле равен 1. Всякий устойчивый росток (ROT, 0) -> (R", 0) с та-
таким генотипом RL-эквивалентен тривиальному расширению ростка
следующей комбинации особенностей Уитни и Морса:
± х\ ± я* ± . .. ± я*
§ Э] КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТИПАМ 127
Пример. Пусть пг=3, п=2. В этом случае s=2, k=2 или 3.
Соответствующие нормальные формы имеют вид
у = х\±х\, z = \ (k —2) и у = х\-\-\хг±х% z = \ (k = 3).
Эти нормальные формы можно рассматривать как задающие пе-
перестройки семейств линий уровня функции у (хг, х2) при изме-
изменении параметра'Х/Перестройка^для^случая^&=3 изображена на
рис. 45.
х-,
Рис. 45.
Доказательство. Легко доказывается
Лемма. Генотип в условиях теоремы V-эквивалентен нор-
нормальной форме
Доказательство леммы. Выберем координаты
в прообразе так, чтобы привести к каноническому виду второй диф-
дифференциал генотипа. Получим
ф=±я«± ... ±х\ + 0{\xf).
Сужение ф на хг=0 имеет невырожденную критическую точку 0.
По лемме Морса (п. 6.2, стр. 92) координаты можно выбрать так,
что сужение будет равно ±х\ ± . . . +а^. Функцию ф можно рас-
рассматривать как деформацию этой морсовской функции с параме-
параметром хх. .R-версальная деформация морсовской функции / имеет
вид f-\-\ (X — константа)*). Следовательно, генотип R-эквивалентен
функции ±з%± • • • ±а^+ф (xt). Обозначим через к порядок
4> в нуле. Функция <|> R-эквивалентна +х*, откуда и следует ут-
утверждение леммы. fa-;
Надстраивая полученную нормальную форму генотипа,^по-
генотипа,^получаем приведенные в теореме формулы. г . •, ,
Замечание. Символы Боардмана найденных в™ преды-
предыдущих трех теоремах ростков имеют вид A, . . ., 1) для двух пер-
первых теорем и (пг—га+1, 1, . . ., 1) для последней. Условие устой-
устойчивости в этих случаях совпадает с условием трансверсальности
*) Это утверждение, называемое «параметрической леммой Морса»,
нетрудно доказать непосредственно, не пользуясь теоремой версальностд,
а повторяя доказательство леммы Морса.
128
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
к соответствующему страту Боардмана (см., например, работы
Морена [158]). Поэтому для указанных стратов Боардмана транс-
версальные стратам ростки устойчивы. Из формулы произведения
корангов (п. 2.1, стр. 23) видно, что для общих отображений
(Мт, 0) -> (N", 0) с т, га ^ 3 никакие другие страты Боардмана
не встречаются. Поэтому доказанные теоремы дают, в частности,
классификацию всех ростков отображений общего положения
в размерностях, меньших четырех. При пг=га=4 появляются
еще ростки коранга 2 с символом Боардмана B, 0).
9.7. Устойчивые ростки отображений четырехмерных прост-
пространств .
Теорема. Устойчивый росток /: (R*, 0) -> (R4, 0) экви-
эквивалентен либо ростку обобщенной сборки Уитни (быть может,
тривиально расширенному), либо одному из следующих двух рост-
ростков:
= хгх2 -f-
Доказательство. Случай коранга 0 тривиален, слу-
случай коранга 1 разобран в п. 9.6. Если коранг равен 2, то генотип —
отображение плоскости на плоскость. Рассмотрим квадратичную
часть генотипа. Это — пара квадратичных форм на плоскости.
Лемма 1. В условиях теоремы квадратичная часть гено-
генотипа приводится V-эквивалентностью к виду
Ух = А ± ХЬ У г = xixz- (!)
Доказательство. Линейными заменами х и у приво-
приводим общее линейное семейство квадратичных форм на плоскости
к виду
1гхг
Многообразие 1-струй ростков коранга 2 имеет в случае четырех-
четырехмерных пространств коразмерность 4. Поэтому многообразие струй
ростков коранга 2, у которых квадратичная часть генотипа (т. е.
квадратичный дифференциал ростка) задает необщее линейное
семейство форм, имеет коразмерность больше 4. Следовательно,
орбита такого ростка имеет коразмерность больше 4, и росток
не может быть устойчивым (см. п. 7.2, стр. 108) *).
Лемма 2. Указанные в теореме два ростка RL-ycmou-
чивы.
*) Более того, по теореме трансверсальности отображение общего поло-
положения между четырехмерными многообразиями не может иметь ростков,
определяющих необшее семейство квадратичных форм.
§ 9] КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТИПАМ 129
Вычислим прежде всего R-алгебру Q генотипа A). Вычисления
удобно проводить при помощи диаграммы Ньютона (рие. 46).
На этой диаграмме моном х^х^ изображается точкой (рх, /?2).
Рассмотрим идеал, порожденный компонентами генотипа. В этот
идеал входят все мономы, делящиеся на хгхг. Соответствующие
точки на диаграмме образуют заштрихованный квадрант с верши-
вершиной A, 1). Образующей х\+х\ соответствует отрезок B, 0)—@, 2)
на диаграмме. Концы этого отрезка и любого параллельного ему
отрезка с вершинами в целых точках (рг ^ 0, рг ^ 0) соответствуют
мономам, пропорциональным по модулю идеала. Перемещая от-
отрезок по диаграмме так, чтобы один конец попадал в заштрихо-
заштрихованный квадрант, мы убеждаемся, что идеалу
принадлежат все мономы степени 3 и выше.
Окончательно, коразмерность идеала {х\ +
± х\, ххх^ = / в Ах равна 4; R-базис в Q
образуют, например, классы четырех моно-
мономов: 1, xlt х2, х\.
Теперь рассмотрим подмодуль М —{ , ¦¦¦,
$iej\ B {A-xT- Чтобы указать R-базис
в Т=:(АХJ 1-т^—, §{еЛ, достаточно указать
R-базис в Q2j{p df/dx{}, где р: (^J-*-<?2 — естественная проек-
проекция. Искомый базис образуют, например, проекции столбиков
Рис. 46.
1» 2> 12' ^2^2 •
Действительно, рассмотрим R-базис в Qz, образованный проек-
проекциями восьми столбиков m{es- {mt=i, xlt хг, zj). Столбики
dfyldXi — это {2хг, х2) и (+2х2, хг). Выражая т±е^ через функцио-
функциональные комбинации {д$/дх{} и числовые комбинации еи е2, xxeti
хге2 (все над Q), мы находим без труда
X
т 1 /2а:
\е, ^Щ-( Xl) mod /2, хге2 ^х,(— Хг) mod P.
Независимость ех, е2, хге2 и х2е2 в Т очевидна (например, она сле-
следует из того, что codim E2 (R*, R*) = 4).
Итак, указанные в теореме ростки являются надстройками
над генотипами A) и, следовательно, устойчивы.
Лемма 3. Росток в нуле всякого отображения плоскости на
плоскость, имеющего квадратичную часть A), V-эквивалентен
ростку отображения A) в нуле.
Доказательство. При доказательстве леммы 2 мы
убедились, что все мономы третьей степени принадлежат идеалу,
порожденному х\+х%, ххх%. Отсюда следует, что для всякого
9 В. И. Арнольд и др.
130
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
ростка ф с квадратичной частью <р вида A) существует разложение
ф = (Е+А (х)) ср, где элементы матрицы ^4 в нуле равны нулю.
Следовательно, ф и <р У-зквивалентны, что и требовалось.
Теорема вытекает из лемм 1, 2, 3 и общей теории (п. 9.5).
Замечание. Попутно мы доказали, что всякое отображе-
отображение четырехмерных многообразий аппроксимируется отображе-
отображениями, ростки которых в любой точке устойчивы.
Действительно, многообразие струй роетков коранга 2 отображе-
отображений М* -> N4, генотип которых определяет необщее семейство
квадратичных форм Гили для которых начальные скорости вариа-
вариаций генотипа не порождают (вместе с ег и е2) базиса в У], имеет
коразмерность, большую 4 (так как уже коразмерность ?а без
дополнительных вырождений равна 4).
Пример. Рассмотрим росток отображения (R*, 0) -> (R4, 0):
Ух == %-у ~j~ "i-1-i ~т~ "а^г» У а — *^i*^2' ^i==^it 22 — л2.
Особенность в нуле имеет символ Боардмана B, 0), и 1-етруйное
расширение трансверсально страту Боардмана Е2>0 в 0. Тем не
менее этот росток неустойчив. Причина такого отличия от слу-
случая особенностей Е1* в том, что в классе Е2>0 встречаются орбиты
положительной коразмерности в нем.
9.8. Простые генотипы с s^t. Росток /: (С, О)-»-(С, 0)
называется V-просгпым или простым генотипом, если его &-струя
при любом к имеет в малом пространстве струй /* 0 (С*, С) ок-
окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом классов
У-зквивалентяости (ограниченным не зависящей от к постоянной).
Иным словами, F-простые ростки — это генотипы, в нормальных
формах которых устойчиво нет модулей. V-простые ростки
с s ^ t исчерпываются, с точностью до V-эквивалентности и три-
тривиальных расширений, следующими тремя списками (cod обозначает
коразмерность класса F-эквивалентности в малом пространстве
струй, (J. — кратность в смысле § 5).
1°. Простые генотипы вида С* -> С1.
Обозначение
А*
D*
Et
Я,
Е,
Нормальная форма
х^ + Q
х* + у* + <?
х3 + ху* -f Q
Х* + У* + <?
Ограничения
(а > 4
cod
ц + *-1
P + S-1
5 + s
6 + S
7 + s
у- (grad /)
6
7
8
Здесь Q —^невырожденная квадратичная форма от невьши-
санных переменных (числом s—1 для А^, s—2 — в остальных слу-
случаях).
jj 9] КЛАССИФИКАЦИЙ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТИПАМ 131
2°. Простые генотипы вида С2 -> С2.
Обозначение
h Ь
I2a+1
ha-н
^а+б
По
Нормальная форма
ху, Xя -{- уь
Х>- -f. у», у"
х* + у\ ху°
хг -f- уа, ху2
хг, у1
Ограничения
а > Ь > 2
а > 3
в>2
в > 4
cod
a-f-6
2в -(- 1
2а+ 4
а -\-5
10
и^ ^ т \
U ~\~ О
2а
2в -(- 3
й + 4
8
3°. Простые генотипы вида С3
Обозначение
Г,
г1.
Нормальная
г2 4- у2 4 ^.
а;2 _|_ уЗ _j_ Z3i
2а + У3 4" г*.
*2 4- у3 4 г8.
х^ -\~ yzt
х^ ~\- yz.
г2_|_ yZ<
Х1 _|_ j,3i
а:2 4" У22.
жа -\- z3,
x* + yz\
форма
У2
Vz
Vz
У*
ху 4*
ху + 2Л2
жу + z4
у2 4 г2
J/*-f- Z3
y* + z*
cod = |t + 1
(j. + l
8
9
10
8
9
10
9
10
10
11
Эти обозначения введены М. Джусти ([119]—[121]).
Техника вычислений, приводящих к этим результатам (ме-
(методы поворачивания линейки Ньютона и приведения полуква-
зиоднородных особенностей к нормальным формам), изложена
в гл. II (там рассматривается Д-эквивалентность, но методы легко
приспосабливаются к F-случаю).
Замечание. Те же вычисления показывают, что все про-
прочие генотипы с изолированной особенностью в 0 (для перечислен-
перечисленных s и t) примыкают *) к объединению F-классов, указанных
в следующих трех списках. Эти классы называются огораживаю-
огораживающими для простых генотипов. В графе cod указываются коразмер-
коразмерности классов (а не орбит) в малом пространстве струй, т озна-
означает число модулей.
*) То есть могут быть превращены в отображения указанных F-классов
сколь угодно малой деформацией.
132
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
1 . Огораживающие генотипы вида С -»
Обозна-
Обозначение
Р„
х>
Ло
Нормальная форма
х3-\-у3 + z3-\- axyz -f- Q
*4+.г/4 + ** V + <?
х3 + У* + ах*у* + Q
Ограничения
а3 + 27 ф 0
а2 фА
4а3 + 27 фО
> С1.
cod
6-fs
7 + s
8 + S
у. (grad /)
8
9
10
т
1
1
1
Здесь О — невырожденная квадратичная форма от s—3 допол-
дополнительных переменных для Ра и от s—2 — для Х9 и /10, a — па-
параметр (модуль).
2°. Огораживающие генотипы вида С2 -> С2.
Обозна-
Обозначение
Нормальная форма
*2 + г/\ ху3 + ау5
х2у, ха + аху2 + у3
Ограни-
Ограничения
—
cod
11
10
v-(f)
10
9
m
1
1
3°. Огораживающие генотипы вида С3—>С2.
Обовна-
чение
и р.
ф*
1 10
Wu
zn
Z*3
#10
IT/**
3
д.
xy.
X2 -f-
д:2 +
o:3-f
я2 -f-
*У +
xyz,
X*
X3
yz.
yz,
yz2
z3,
X2
Нормальная
+ У* + **
+ Ue + z2
xy -(- axz3 -{-
г/2 -(- аг/z2 -
г/2 + г4
-(- ez4, г/2 -
o;z -f y2z-\-
+ «* + ** +
форма
z5
fz4
axy -\- byz -\- czx
Ограничения
—
4a3 ф 27
а2 ф 4
—
Д Ф 0
4a3 + 27 =? 0
8^0
cod
10
11
11
11
12
12
10
11
m
1
1
1
1
1
2
1
3
Нормальные формы Т\, T\Q, Z*n не имеют модулей, но эти осо-
особенности примыкают к {Xs}, {/ю}. {W*,} соответственно и потому
не просты; Д = 27 — 288ab — 256 (a3 + Z>3-f а263), 8 = (а2 — 4) X
х (ь> __ 4) (с2 — 4) (а2 + & + с2 — 2айс).
Важнейшие примыкания
1°. Генотипы вида С^-^С1 — см. § 15.
id]
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
133
2°. Генотипы вида €?-*€?:
2,4
f f
VMO/ ^9 *
3°. Генотипы вида С3 -> С3:
О
f
56
f
(р) М
¦ W
8 ~Г9
? Tl t
На этих диаграммах огораживающие классы заключены в круг-
круглые скобки. Все огораживающие особенности квазиоднородны
(см. гл. II). М. Джусти в [120] приводит гипотетически полный
список примыканий простых генотипов, пропуская Wa -> Ds и др.
§ 10. Обзор дальнейших результатов
В этом параграфе описан ряд обобщений теорем устойчивости
и версальности: мы рассматриваем диаграммы отображений, отоб-
отображения с компактной группой симметрии и локальную топологи-
топологическую теорию особенностей.
10.1. Диаграммы отображений. В последнее время появилось
много работ, переносящих результаты Мазера [67] об устойчи-
устойчивости особенностей дифференцируемых отображений на случаи
действия различных бесконечномерных групп на различного вида
функциональных объектах. Значительную часть таких задач
можно описать на языке диаграмм отображений (см. [97], [112]).
Пусть D — некоторый конечный набор Ми . . ., М„ гладких
многообразий и отображений /й: М,ш -> Мик) этих многообразий.
Через i (к) и s (к) мы обозначаем индексы многообразий образа
134
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
№. 1
и прообраза отображения fk. Набору D (диаграмме отображений)
сопоставим граф с вершинами Mj и стрелками, отвечающими fk.
Две диаграммы Dx и D2 с изоморфными графами называются
эквивалентными, если существует набор диффеоморфизмов
в у. MW -*¦ MW, /—1, . . ., п, такой, что для каждого f\p
В пространстве диаграмм с фиксированным графом введем
подходящую топологию (открыто-компактную или топологию
Уитни).
Определение. Диаграмма D называется устойчивой,
если всякая близкая диаграмма D' эквивалентна D.
Замечание. Часто рассматривают подмножество ди-
диаграмм с фиксированным графом, отображения /Л которых имеют
некоторый специальный вид. Диаграмму D назовем устойчивой
в классе диаграмм специального вида, если всякая близкая диаграмма
этого класса набором диффеоморфизмов в, сохраняющих струк-
структуру отображений fk, приводится к диаграмме D.
Заменяя многообразия и отображения их ростками в соответ-
соответствующих точках, получим локальные определения устойчивости.
Будем рассматривать бесконечно дифференцируемые, аналити-
аналитические и формальные локальные диаграммы.
Примеры. 1. В случае диаграммы М -4 N получаем опре-
определение устойчивости гладкого отображения под действием про-
произведения групп диффеоморфизмов М и N (см. Мазер [67]).
2. Рассмотрим диаграмму R" X Мг Л R" X М2 Л- R", где р —
проекция и Р имеет специальный вид: Р(и, х) — (и, F (и, х))?
? R" X М2 для всех (и, х) ? R" X Мх. Устойчивость такой диа-
диаграммы эквивалентна устойчивости гладкого семейства F(u, x)
отображений х >-> F (•, х), зависящего от параметров и f R" (см. Г471,
[151], [187]).
3. В работах Вассермана [188], [189], Дюбуа, Дюфура [109]
Арнольда [93], Закалюкина [56], Голубицкого, Шефера [124]
рассматривается так называемая (г, з)-устойчивость семейств
функций F (и, v, х), зависящих от двух групп параметров и ? Rr,
v ? R*. Такая устойчивость есть устойчивость диаграмм вида
Rr X R* X Мг Л- Rr X R' X R -4 Rr X R* -i R#,
где p, q — естественные проекции, Р (и, v, x)=(u, v, F (u, v, x)),
F (u, v, x) — гладкая функция.
Диаграммы такого вида тесно связаны с перестройками во
времени каустик лагранжевых отображений. А именно, функция
F, рассматриваемая как производящая, порождает лагранжево
многообразие в кокасательном пространстве к пространству па-
Ю]
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
135
раметров RrxR*. Критические значения проекции этого лагранжева
многообразия на RrxR' образуют «большую» каустику К (К — это
множество тех и, v, для которых функция F (и, v, •) имеет вырожден-
вырожденные критические точки по х). Поверхности уровня i>=const раз-
разбивают большую каустику на малые и определяют перестройку
малых каустик при изменении v. В приложениях v играет роль
времени.
Таким образом, возникают три классификационных задачи:
1. (г, s) — классификация семейств функций. 2. Классификация
перестроек каустик, т. е. диаграмм вида К ^> Rr X R* —*¦ R*, где
К — каустика лагранжева отображения и первая стрелка — вло-
вложение. 3. Классификация перестроек лагранжевых отображений,
т. е. диаграмм вида Л=-> T*(Rr X R") -^RrXR'-* R", где
Л <ч* Т* (RrxRs) — вложение лагранжева многообразия, п —ес-
—естественная проекция, и при этом обычная эквивалентность ди-
диаграмм заменяется на эквивалентность, в которой диффеоморфизм
кокасательного пространства Т* (RrxRe) обязан быть симплекти-
ческим.
Эквивалентности в этих задачах связаны соотношением
3 =>" 1 => 2. А именно, из (г, я)-эквивалентности семейств функций
вытекает эквивалентность перестроек отвечающих им каустик.
Кроме того, для любых эквивалентных диаграмм из 3 существуют
производящие их семейства функций, которые (г, я)-эквивалентны.
Классификации 1—3 попарно различны. В 3 росток пере-
перестройки устойчив, только если при и=0 соответствующее ла-
лагранжево отображение устойчиво, (г, 5)-устойчивых семейств
больше, они расклассифицированы Вассерманом [190]. Функция
F (щ, щ, v, x)=x*—(v—uf) х2—щх дает пример не (г, я)-устойчи-
вого семейства, для которого соответствующая перестройка кау-
каустики устойчива в смысле 2 (это доказывается проверкой со-
соответствующихТинфинитезимальных условий).
Практически наиболее полезной является задача 2.
4. Диаграммы вида Мг <~ Мх -»¦ М3 возникают при иссле-
исследовании особенностей огибающих семейства подмногообразий
(см. Арнольд [93], Дюфур [111]) или при рассмотрении устойчи-
устойчивости отображения /хХ/2 под действием группы диффеоморфизмов
прообраза и произведения групп Diff (Af2) X Diff (M3) в образе
М2
5. С диаграммами Fo *^ Мх Х- М2, где i — вложение, связана
классификация особенностей гладких отображений группой диф-
диффеоморфизмов, оставляющих инвариантным подмногообразие Vo.
Простые особенности диаграмм вида (R"", 0)<4»(R", 0)-4 R (т. е.
функции на хмногообразии с краем) изучены Арнольдом в [14].
136
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
6. Устойчивость каскадов, т. е. диаграмм вида
j-*itt2-* . . . >ni
рассмотрена в работах Басса [97], Бюхнера [103].
7. Рассмотрим М -> М, где на / сопряжением действует группа
диффеоморфизмов Diff (M): g {O—gfg'1. Изучение особенностей
такого действия — классическая задача Пуанкаре—Зигеля. С по-
помощью техники малых знаменателей она исследовалась в работах
Колмогорова, Арнольда, Брюно (см. также работы Белицкого
[22], [23], Гомозова [48], [49]).
Целью изучения каждого примера является описание устой-
устойчивых диаграмм либо диаграмм общего положения при малых
размерностях многообразий.
Обозначим через 6V пространство векторных полей на многооб-
многообразии V, являющееся модулем конечного типа над кольцом
С00 (V) гладких функций на V. Для отображения /: F-»- W
обозначим через б/ пространство вертикальных векторных
полей на графике отображения /. Пространство б/ является
С°° (У)-модулем конечного типа. Обозначим через tf: BV -> б/ го-
гомоморфизм, заданный формулой tf (%)—df (?), и через ш/: 6W -> б/
отображение «/(т;) = т)°/, являющееся гомоморфизмом над f*Cm(W).
Для диаграмм D положим Ю =Пб/4 и AD=JJBMj. Обозначим
через aD отображение adD: AD -> QD:
где %гШ—поле на прообразе fk, %(Ш—поле на образе Д..
Определение. Диаграмма D называется инфините-
зимально устойчивой, если aD сюръективно.
Теорема ST (см. [110], [112]). Если диаграмма D не со-
содержит поддиаграмм вида\
Мг <- Л/2 -»• М3
(расходящихся) или циклов, то из инфинитезимальной устойчи-
устойчивости вытекает устойчивость D.
Замечания. 1. Для многих диаграмм специального вида,
например для диаграмм из примеров 2 и 3, справедлива анало-
аналогичная теорема (в определении инфинитезимальной устойчивости
нужно рассматривать векторные^поля соответствующего вида).
2. Заметим, что диаграмма, содержащая ориентированные
циклы, не может быть устойчивой (см. [112]).
3. Доказательство теоремы ST основано на следующем алгеб-
алгебраическом следствии подготовительной теоремы Вейерштрасса—
Мальгранжа. Рассмотрим двойственную диаграмму D', вершины
которой есть пространства функций на Мк, стрелки—отображе-
стрелки—отображения f%, двойственные к fH. В работах [110], [112] вводятся опре-
ОВЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
13?
деления адекватного сжатия гомоморфизма /? и адекватного ежа-
тия гомоморфизма, построенного по диаграмме D' в целом. Ока-
Оказывается, что из существования адекватного сжатия для всех /J
вытекает адекватность сжатия гомоморфизма, соответствующего
диаграмме, не имеющей циклов и расходящихся поддиаграмм.
Имеются примеры расходящихся диаграмм, для которых это
утверждение нарушается для колец аналитических функций.
В случае С°°-отображений для диаграмм, содержащих расходя-
расходящиеся поддиаграммы, теорема ST не доказана, но и не построены
контрпримеры.
Рассмотрим локальную диаграмму
Do:
, 0),
в координатах (х, у) ? R2 имеющую вид
Легко показать, что Do является инфинитезимально устойчивой.
В [111 ] доказывается, что Do является устойчивой в классе С°°-диф-
феоморфизмов и отображений. Однако в классе аналитических
отображений Do не является устойчивой. Подобное различие между
гладким (формальным) и аналитическим случаями встречается
и в задачах о нормальных формах особенностей функций под дей-
действием группы диффеоморфизмов образа.
, Подробное исследование расходящихся диаграмм имеется в дис-
диссертации Дюфура (см. также [109]—[112]). Приведем некоторые
из его результатов.
Теорема. Диаграмма R <— R" -> R устойчива тогда
и только тогда, когда во всякой своей точке она эквивалентна одной
из следующих диаграмм:
х,
x\ *~ \X1' ¦ ¦ ¦' Xn)
XY <- [Xl,
2
<=3
Теорема. Локальная устойчивая диаграмма вида
138
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
при л=1 эквивалентна либо диаграмме
\
либо диаграмме
X
при /г > 2 эквивалентна диаграмме
ссг ссп)
3
К вопросу устойчивости примыкает более тонкий вопрос о ко-
конечной определенности диаграмм (т. е. устойчивости в классе
диаграмм с фиксированной струей некоторого порядка). Обобще-
Обобщениям критерия Мазера конечной определенности посвящены ра-
работы [10], [22], [23], [49], [64], [137], [170]. В работах [22],
[48] рассматриваются условия устойчивости и конечной опреде-
определенности в случае диффеоморфизмов и отображений конечного
класса гладкости.
В [23], [49] рассматриваются условия инфинитезимальной
устойчивости диаграмм из примера 7 и семейств таких диаграмм
для отображений /: (М, 0) -> (М, 0), спектр линейной части ко-
которых лежит по одну сторону единичной окружности. Заметим,
что не существует инфинитезимально устойчивых ростков отоб-
отображений, имеющих вырожденную линейную часть.
10.2. Эквивариантная теория. Изучение особенностей отобра-
отображений, обладающих некоторой симметрией, приводит к следую-
следующей конструкции.
Рассмотрим компактную группу Ли G, действующую на мно-
многообразиях Мг, М2, и рассмотрим действие на С-эквивариантные
отображения /: Мг -> Мг группы (г-инвариантных диффеоморфиз-
диффеоморфизмов Мх и М%. В [165], [166] доказано, что из инфинитезимальной
версальности семейств таких отображений вытекает версальность.
Условия инфинитезимальной версальности семейства отображений
можно интерпретировать как трансверсальность некоторого отоб-
Ю]
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
139
ражения G-инвариантному стратифицированному подмгногооб-
разию в пространстве струй отображений /: М1 —> М2.
Определение трансверсальности G-ннвариантного отображе-
отображения G-инвариантному стратифицированному подмногообразие
см. в [117], [195]. В этих работах доказаны теоремы об открытое^
и всюду плотности множества (?-трансверсальных отображений
в пространстве всех G-отображений.
Иначе обстоит дело в задаче о разрушении симметрии: здесь
результаты формального исследования не переносятся на случай
сходящихся рядов. Эта трудность возникает уже в задаче о при-
приведении к нормальной форме четными заменами переменных функ-
функции одной комплексной переменной с невырожденной крити-
критической точкой нуль, если симметрия разрушается, т. е. если при-
приводимая функция не является четной.
10.3. Обзор результатов по топологической теории особенно-
особенностей.
1°. Плотность топологически устойчивых
отображений. Отношение топологической эквивалент-
эквивалентности было предложено Р. Томом в надежде на то, что это отноше-
отношение эквивалентности в общем случае не допускает непрерывных
модулей, и для этого отношения справедлива теорема: топологи-
топологически устойчивые отображения образуют всюду плотное мно-
множество в пространстве всех гладких отображений. (Такая теорема
для дифференцируемо устойчивых отображений, вообще говоря,
не имеет места1 (см. п. 3.7).)"Эти надежды оправдались; Дж. Мазер,
основываясь на идеях Тома, доказал (см. [154], [155]):
Пусть М, N — гладкие многообразия, М компактно', тогда
в пространстве всех гладких отображений из М в N, снабженном
топологией Уитни, всюду плотное множество составляют то-
топологически устойчивые отображения.
Полное доказательство этой теоремы изложено в [118].
2°. Стратификации г; о т о б р"а ж"е"н и"я. Дока-
Доказательство сформулированной теоремы использует развитую То-
Томом теорию'стратифицированных множеств и*стратифицированных
отображений, ""в частности леммы" Тома 'об изотопии. Эта
теория на ' настоящий1^ момент"^ является'основным техническим
средством топологической"теории"особенностей. Приведем пример
утверждения'из^этой теории.
ГОпределение. Стратификацией Уитни подмножества
W многообразия М называется локально конечное разбиение #* мно-
множества W на гладкие непересекающиеся подмногообразия многооб-
многообразия М, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) (Аксиома границ). Если U и V — страты ЪоРжО П У
to'F с О.
2) (Условие Уитни Ъ) (см. [154]). Если U и V — страты в
х ? V, то У в точке х должно регулярно примыкать к V.
140
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Для определения регулярного примыкания предположим сна-
сначала, что М — открытое подмножество в R". Тогда для любых
двух различных точек х, у ? R" определена секущая ху — одномер-
одномерное подпространство в R", порожденное вектором х — у. Касатель-
Касательное пространство ТМХ естественно отождествляется с R" для любой
точки х(*М.
Условие регулярного примыкания V кUв точке х.
Если {Xf} и {г/,} — последовательности точек соответственно под-
подмногообразий V и U такие, что xt-*x, y(-*-x, xi=^=yi, последова-
последовательность х{у{ сходится (в проективном пространстве RF*") и по-
последовательность TUy. сходится (в грассмановом многообразии
(dim ?/)-плоскостей пространства R"), то l(Z.t, где l = limx-y.,
Легко видеть, что если ср — диффеоморфизм открытого множе-
множества М на другое открытое подмножество пространства R", то
тройка (fU, cpF, срж) удовлетворяет условию регулярного примы-
примыкания, если этому условию удовлетворяет тройка (U, V, х). Сле-
Следовательно, условие регулярного примыкания корректно опреде-
определено для тройки (U, V, х), где U, V — подмногообразия многооб-
многообразия М, х — точка в V.
Первая лемма Тома об изотопии (см. [154]).
Пусть М, N — многообразия, /: М -+ N — гладкое отобра-
отображение, W — закмнутое подмножество в М, снабженное стра-
стратификацией Уитни &Р. Предположим, что f\W: W -*¦ N —
собственное и для каждого страта U стратификации & отобра-
отображение f \ U: U -> N является субмерсией. Тогда отображение
f | W: W —> N — топологическое локально тривиальное рас-
расслоение.
3°. Топологическая классификация рост-
ростков гладких отображений. Еще в 1962 г. Том
построил пример семейства полиномиальных отображений
/,: R3 -> R3, зависящих от параметра s ? R и попарно топологи-
топологически неэквивалентных. Однако такое явление крайне нетипично.
Сформулируем соответствующее утверждение.
Обозначим через / (п, p)J пространство всех ростков гладких
отображений из R" в R?, а через /г (п, р) — пространство их
r-струй. Пространства /г имеют естественные координаты (зна-
(значения производных от координатных функций).
Теорема (см. [35]). Пусть п, р — натуральные числа.
Тогда для любого натурального г существует разбиение простран-
пространства Jr (n, р) на непересекающиеся полу алгебраические подмно-
подмножества Fo, Vt, V2, . . ., обладающие следующими 'свойст-
'свойствами:
1) Если /х, /2 ^ / (п, р) таковы, что /<О, /М ? Vt, i > 0, то
ростки /l5 /2 топологически эквивалентны.
Ю]
ОВЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
141
2) Произвольный росток f ? / (п, р) такой, что pr> ? Vt,
i ^> 0, является симплициалъным отображением для подходящих
триангуляции пространств RM и Rp.
3) Коразмерность множества Vo в Jr (n, р) стремится к бес-
бесконечности при г, стремящемся к бесконечности.
Отметим еще одно замечательное свойство отношения тополо-
топологической эквивалентности. Разбиения, упомянутые в теореме,
можно выбрать такими, что, помимо свойств 1)—3), будут вы-
выполняться еще два свойства 4), 5) (см. [36]):
4) Произвольный росток f ? J (п, р) такой, что /(r) ? Vt, i^>0,
обладает конечномерной топологически версалъной деформацией.
Понятие топологически версальной деформации определяется
аналогично понятию дифференцируемо версальной деформации.
Отметим, что существуют п, р такие, что в пространстве / (п, р)
множество конечной коразмерности составляют ростки, не имеющие
конечномерных дифференцируемо версальных деформаций.
5) Если Д, /3^/(«, р) таковы, что /<г), Дг> ? F,-, i^>0, то
/i u ii обладают топологически эквивалентными топологически
версалъными деформациями.
4°. Условия топологической эквивалент-
эквивалентности. Наиболее известным результатом, в котором приводятся
условия, достаточные для топологической эквивалентности, яв-
является
Теорема (см. [141 ], [181 ]). Пусть /,: (С, 0) -> (С, 0) —
семейство ростков голоморфных отображений, гладко зависящих
от параметра s ? Rp. Предположим, что для любого s число
Милнора fis ростка fs конечно и р., не зависит от s. Предположим
еще, что п =^= 3. Тогда все ростки ft топологически эквивалентны.
Условие п =^= 3 является результатом использования в дока-
доказательстве теоремы об А-кобордизме.
Другие топологические инварианты исследовались М. Фукуда,
Т. Фукуда и Дж. Дамоном.
Сформулируем теорему М. Фукуда и Т. Фукуда. Пусть / =
= (/i» • • •> /р): (R"> 0)-*(Rp, 0) — росток гладкого отображения;
обозначим через Q (/) = С00 (R")/(/i, • • .,/,) ассоциированную R-алгебру
(см. п. 4. 2).
Теорема. Если ассоциированные R-алгебры Q (/) и Q (g) топо-
топологически устойчивых ростков /: (R", 0) -> (Rp, 0), g: (Rn, 0) -*¦
-> (Rp, 0) изоморфны, то ростки f, g топологически эквивалентны.
Отметим, что существуют дифференцируемо устойчивые ростки
/ и g, которые не дифференцируемо эквивалентны (т. е. Q (f)=^=Q (g)),
но которые топологически эквивалентны.
Сформулируем теорему Дж. Дамона. Определим функцию
Гильберта—Самюэля h R-алгебры Q (/) формулой
= dimRQ(f)lm'
.fc+i
142
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
где m — максимальный идеал R-алгебры Q(f). Назовем росток /
F-простым, если малые деформации ростка / содержат только
конечное число типов F-эквивалентности.
Теорема. 1. Для Ст-устойчивых ростков /: R"-*• Rp (п<^р)
топологическими инвариантами являются: а) тип S* Тома—Боард-
мана; б) если р^- п~\- С?, то тип ?*•¦* Тома—Боардмана.
2. Для Ст-устойчивых V'-простых ростков /: R" -> R* (п ^ р)
топологическим инвариантом является функция Гильберта —
Самюэля И-алгебры Q (/).
Дж. Дамон утверждает, что в некоторых случаях топологи-
топологическим инвариантом является комплексный тип R-алгебры Q (/).
5°. Другие вопросы. К топологической теории осо-
особенностей относятся также глобальные вопросы, например, связи
теории особенностей с характеристическими классами, изучение
которых было начато еще в классических работах Уитни и Пон-
трягина. Мы'ряе'останавливаемся на этих очень интересных вопро-
вопросах, где еще много предстоит сделать (в особенности для лагран-
жевых и лежандровых отображений), так как эта книга посвящена
локальной ^теории особенностей. 1-
Следующий частный'результат является, так сказать, полу-
полулокальным. Рассмотрим~семейство гладких функций / на замкну-
замкнутом многообразии, зависящих от га-мерного параметра у, и обра-
образуем функцию максимума F (у) =тах / (х, у). Для общих семейств
с не более чем шестимерным параметром функция F, как дока-
доказала Л. Н. Брызгалова (см. [28], [29]), топологически эквивалентна
морсовской функции. В. И. Матов доказал это при всех п.
В. И. Матов доказал также топологическую 'морсовое ^"функ-
^"функции min max / (х, у, z) для / общего положения.
ГЛАВА И
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
Функции общего положения имеют лишь невырожденные кри-
критические точки. Однако при исследовании семейств функций
появляются (неустранимым малыми шевелениями образом) и про-
простейшие вырождения. Например, семейство / (х, t) =з?—tx имеет
при нулевом значении параметра t вырожденную критическую
точку, и всякое близкое семейство имеет при близком значении
параметра такое же вырождение. При большем числе параметров
появляются более сложные вырождения.
Задача классификации всех этих вырождений на первый взгляд
кажется безнадежной. Однако, когда был вычислен начальный от-
отрезок этой классификации, то выяснилось, что он устроен доста-
достаточно просто: классификация простейших вырождений оказалась
связанной с классификацией простых групп Ли, с теорией групп,
порожденных отражениями, с теорией кос и с классификацией
правильных многогранников в обычном трехмерном пространстве.
В этой главе описан начальный отрезок классификации кри-
критических точек функций, включая классификации простых (или
О-модальных), унимодальных и бимодальных особенностей,
а также классификацию всех особенностей кратности р. ^ 16.
Число v классов (стабильной fi-эквивалентности, определенной
ниже) комплексных особенностей кратности р. дается при р. <^ 16
следующей таблицей:
v
i
2
i
3
i
4
2
5
2
6 , 7
3 1 3
8
4
9
4
10 | И
7 1 11
12
15
13
14
14
17
15
22
16
32
Множество ^расклассифицированных особенностей имеет ко-
коразмерность 11, так что расклассифицированы все критические
точки, встречающиеся в общих семействах функций, зависящих
не более чем от 10 параметров.
Классификация простейших особенностей дискретна, но сильно
вырожденные особенности имеют модули.
Модальностью т точки х ? X при действии группы Ли G на
многообразии X называется наименьшее число такое, что доста-
достаточно малая окрестность точки х покрыта конечным числом
m-параметрических семейств орбит. Точка х называется простой,
если ее модальность равна 0, т. е. если ее окрестность пересека-
пересекается с конечным числом орбит.
142
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
где m — максимальный идеал R-алгебры (?(/). Назовем росток /
F-простым, если малые деформации ростка / содержат только
конечное число типов F-эквивалентности.
Теорема. 1. Для С^-устойчивых ростков /: R"-> Rp (п^р)
топологическими инвариантами являются: а) тип S' Тома—Боард-
мана; б) если р~^п~\-С^, то тип Ъ*^ Тома—Боардмана.
2. Для Ст -устойчивых V-простых ростков /: R" -> R* (п ^ р)
топологическим инвариантом является функция Гильберта —
Самюэля И-алеебры Q (/).
Дж. Дамон утверждает, что в некоторых случаях топологи-
топологическим инвариантом является комплексный тип R-алгебры Q (/).
5°. Другие вопросы. К топологической теории осо-
особенностей относятся также глобальные вопросы, например, связи
теории особенностей с характеристическими классами, изучение
которых было начато еще в классических работах Уитни и Пон-
трягина. Мы°не'останавливаемся на этих очень интересных вопро-
вопросах, где еще много предстоит сделать (в особенности для лагран-
жевых и лежандровых отображений), так как эта книга посвящена
локальной * теории особенностей. '
Следующий частный результат является, так сказать, полу-
полулокальным. Рассмотрим~семейство гладких функций / на замкну-
замкнутом многообразии, зависящих от га-мерного параметра у, и обра-
образуем функцию максимума F (у) =тах / (х, у). Для общих семейств
с не более чем шестимерным параметром функция F, как дока-
доказала Л. Н. Брызгалова (см. [28], [29]), топологически эквивалентна
морсовской функции. В. И. Матов доказал это при всех п.
В. И. Матов доказал также топологическую ^морсовость^функ-
ции minmax/(a;, у, z) для / общего положения.
ГЛАВА И
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
Функции общего положения имеют лишь невырожденные кри-
критические точки. Однако при исследовании семейств функций
появляются (неустранимым малыми шевелениями образом) и про-
простейшие вырождения. Например, семейство / (х, t) =з?—tx имеет
при нулевом значении параметра t вырожденную критическую
точку, и всякое близкое семейство имеет при близком значении
параметра такое же вырождение. При большем числе параметров
появляются более сложные вырождения.
Задача классификации всех этих вырождений на первый взгляд
кажется безнадежной. Однако, когда был вычислен начальный от-
отрезок этой классификации, то выяснилось, что он устроен доста-
достаточно просто: классификация простейших вырождений оказалась
связанной с классификацией простых групп Ли, с теорией групп,
порожденных отражениями, с теорией кос и с классификацией
правильных многогранников в обычном трехмерном пространстве.
В этой главе описан начальный отрезок классификации кри-
критических точек функций, включая классификации простых (или
О-модальных), унимодальных и бимодальных особенностей,
а также классификацию всех особенностей кратности р. <^ 16.
Число v классов (стабильной ^.-эквивалентности, определенной
ниже) комплексных особенностей кратности р. дается при р. <^ 16
следующей таблицей:
V
1
1
2
3
1
4
2
5
2
6
3
7
3
8 1 9
4 1 4
10
7
11
11
12
15
13
14
14
17
15
22
16
32
Множество нерасклассифицированных особенностей имеет ко-
коразмерность 11, так что расклассифицированы все критические
точки, встречающиеся в общих семействах функций, зависящих
не более чем от 10 параметров.
Классификация простейших особенностей дискретна, но сильно
вырожденные особенности имеют модули.
Модальностью т точки х ? X при действии группы Ли G на
многообразии X называется наименьшее число такое, что доста-
достаточно малая окрестность точки х покрыта конечным числом
m-параметрических семейств орбит. Точка х называется простой,
если ее модальность равна 0, т. е. если ее окрестность пересека-
пересекается с конечным числом орбит.
144
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ:
[ГЛ. II
Модальность ростка функции в критической точке с крити-
критическим значением 0 определяется как модальность достаточной
струи в пространстве струй функций с критической точкой О
и критическим значением 0.
Два ростка называются стабильно эквивалентными, если они
становятся Д-эквивалентными *) после сложения с невырожден-
невырожденными квадратичными формами от подходящего числа переменных.
Теорема 1 (см. [5], [6]). Простые ростки голоморфных
функций {ростки с т=0) исчерпываются, с точностью до ста-
стабильной эквивалентности, следующим списком:
Ak: f{x)
Dk: f{x, у)
E6:f(x, y)
Е,: fix, y)
Е&: f{x, y) y
Связь этих особенностей с обозначаемыми теми же символами
простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отраже-
отражениями, обсуждается в [7]. Эти особенности можно также полу-
получать из правильных многогранников в трехмерном евклидовом
пространстве, точнее — из дискретных подгрупп группы SU B):
они описывают соотношения между базисными инвариантами
группы. Ак соответствуют многоугольникам, Dk — диэдрам (дву-
(двусторонним многоугольникам), Ев — тетраэдру, Е7 — октаэдру,
Е8 — икосаэдру. Подробнее см. [13].
Теорема 2 (см. [8]). Унимодальные ростки (ростки
с та=1) исчерпываются, с точностью до стабильной эквивалент-
эквивалентности, трехиндексной серией однопараметрических семейств:
T f( )
pigtr:
f(x, у, z)=^
тремя однопараметрическими семействами параболических
ков:
рост-
ростho = Ttt з, 4: / (х, у, z) = Xs + У° + 22 + a*V, 4а3 + 27 =^0,
и еще 14 исключительными однопараметрическими семействами,
перечисленными в таблице (смысл столбцов которой разъяснен
ниже):
•) Две функции называются R-эквивалентными, если одна превращается
в другую при подходящей (диффеоморфной) замене независимых переменных.
§ HI
НАЧАЛО КЛАССИФИКАЦИИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК
145
Обозна-
Обозначение
Qio
<?12
Su
U it
2ц
Z12
z13
w12
И'13
E12
E13
Eu
Нормальная форма
хЧ -f- у3 -\- z* -\- ayz3
хЧ -\- y3 -)- г/z3 + az6
Л + J/3 + z5 + aj/z4
Л -f г/z2 + г/* + ay3z
хЧ + yz2 -f xy3 + ay*
x3 -\- y3 -\-z*-\- axijz2
x3y -j- yb -\- 22 -f- ад;г/4
д;3у -,- xyi + z2 -f- ay"
^3J/ 4- J/e+z2 + ад:г/6
Л4 _|_ j,8 _|_ 22 _|_ ахгу3
x* -f д;г/4 + z2 -f aj/e
а:3 + г/7 + z2 -f- axy*
x3 -\- xys -\- z2 -f- аг/8
x3 -|- г/» + z2 + агг/в
Показа-
Показатели
одно-
однородности
8
7
6
6
5
4
15
11
9
10
8
21
15
12
9
6
5
5
4
4
8
6
5
5
4
14
10
8
6
4
3
4
3
3
6
4
3
4
3
6
4
3
Число
Кок-
стера
—24
-18
—15
—16
—13
-12
—30
-22
-18
—20
—16
—42
—30
—24
Числа
Долга-
чева
2
2
3
2
3
4
2
2
3
2
3
2
2
3
3
4
3
5
4
4
3
4
3
5
4
3
4
3
9
7
6
6
5
4
8
6
5
5
4
7
5
4
Числа
Габриэ-
лова
3 3
3 3
3 3
3 4
3 4
4 4
2 4
2 4
2 4
2 5
2 5
2 3
2 3
2 3
4
5
6
4
5
4
5
6
7
5
6
7
8
9
Двой-
Двойственный
класс
2И
<?12
wu
Slt
ua
Е13
z12
Qn
wlt
Su
Ям
2ц
Эти 14 особенностей можно получить из 14 треугольников
на плоскости Лобачевского, точнее — из определенных ими ди-
дискретных подгрупп группы SU A, 1). Нормальная форма с а=0
описывает единственное соотношение между инвариантами ал-
алгебры целых автоморфных форм. Ровно для 14 треугольников
эта алгебра имеет три образующих; углы этих треугольников —
тс /(числа Долгачева).
Долгачев, которому принадлежит эта конструкция, и Пинкам
указали также способ получения 14 исключительных особенно-
особенностей из так называемых К—3 поверхностей (см. [54], [164]).
Теорема 3 (см. [6], [8]). Множество непростых ростков
функций п ^= 3 переменных имеет коразмерность 6, а ростков
модальности, большей 1, — коразмерность 10 в пространстве
ростков функций с критическим значением 0.
Таким образом, всякое s-параметрическое семейство функций,
где s <С 6 (s < 10), можно сколь угодно малым шевелением при-
привести в общее положение так, что ростки функций семейства
во всех критических точках будут стабильно эквивалентны рост-
росткам теоремы 1 (теорем 1 и 2), с точностью до аддитивных постоян-
постоянных.
§ 11. Начало классификации критических точек
В этом параграфе описаны основные этапы классификации
критических точек голоморфных функций; результаты класси-
классификации и вычисления, необходимые для проведения различных
Ю в. И. Арнольд и др,
146
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. и
этапов, приведены в следующих параграфах. Все рассматриваемые
функции голоморфны и имеют критическую точку 0 с критическим
значением 0. Под эквивалентностью понимается Л-эквивалент-
ность (два ростка функций эквивалентны, если они переходят
друг в друга под действием биголоморфной замены независимых
переменных).
11.1. Классификация по корангу второго дифференциала.
Определение. Корангом функции в критической точке
называется коранг второго дифференциала.
Теорема. В окрестности критической точки коранга
к голоморфная функция п переменных эквивалентна функции
f(xlf ..., zj+ 4+1+ ... -\-xl
где второй дифференциал функции f в нуле равен нулю: f ? tn3.
Доказательство. Это следствие леммы Морса с пара-
параметрами; см. п. 6.2, стр. 92 и п. 9.6, стр; 127.
Определение. Функции (разного числа переменных)
называются стабильно эквивалентными, если они становятся эк-
эквивалентными после сложения с невырожденными квадратич-
квадратичными формами от дополнительных переменных; стабильная экви-
эквивалентность fug означает обычную эквивалентность
1
Замечание. Можно доказать, что функции одного и
того же числа переменных стабильно эквивалентны, если и только
если они эквивалентны (см. [194]). Таким образом, переход к ста-
стабильной эквивалентности, не меняя классификации критических
точек функций фиксированного числа переменных, позволяет
сравнивать вырождения критических точек функций разного числа
переменных.
Теорема. В окрестности конечнократной критической
точки коранга 1 функция стабильно эквивалентна функции хт.
Доказательство: см. п. 9.6, стр. 127.
Кратность критической точки функции хт легко вычислить:
fx=m—1.
Определение. Критическая точка коранга 1 кратности ц
называется особенностью типа А^. В точке типа А^ функция
стабильно эквивалентна функции х*+1 в нуле.
Теорема. Множество функций п переменных с критиче-
критической точкой 0 коранга к ^ п имеет коразмерность к (&+1)/2
в пространстве ростков функций с критическим значением 0
в точке 0.
Доказательство: см. п. 2.2, стр. 24.
В частности, множество функций коранга 2 имеет коразмер-
коразмерность 3, коранга 3 — коразмерность 6, коранга 4 — кораз-
§ 11]
НАЧАЛО КЛАССИФИКАЦИИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК
147
мерность 10. Следовательно, в одно- и двупараметрических се-
семействах функций общего положения встречаются лишь осо-
особенности коранга 1, при числе параметров меньшем, чем 6, встре-
встречаются лишь особенности коранга, не большего 2, меньшем 10 —
не большего 3. Таким образом, при классификации особенностей
функций семейств общего положения с меньшим 6 числом пара-
параметров можно ограничиться функциями двух переменных, а при
числе параметров, меньшем 10, — функциями трех переменных.
11.2. Простейшие особенности коранга 2. Классификация
функций двух переменных" с нулевой 2-струей (/ ? т3) начи-
начинается с классификации кубических • "' '-.::;¦.-:_¦¦••.
членов ряда Тейлора. Легко доказы- ^
вается
Теорема. ^Кубическая форма двух
переменных G-линейным преобразованием
приводится к одному из видов: п
1) х*у+у*, 2) х*У;Ъ) х*, 4) 0
(в вещественном ' случае: х2у+у3, . . .).
Далее нужно рассматривать каждый
из этих случаев в отдельности.
Теорема. Функция с начальной кубической формой х2у+у3
эквивалентна своей начальной форме. "^
Доказательство этой (несложной) теоремы мы отложим до
п. 12.6, где указан общий метод.
Рассмотрим теперь случай 2). Воспользуемся диаграммой
Ньютона (рис. 47), на которой ряду f==2iO.pqxpy9 соответствует
носитель supp /, состоящий из целых точек (р, q) плоскости R2,
являющихся показателями мономов, входящих в ряд с ненуле-
ненулевыми коэффициентами:
ч
Рис. 47.
Метод поворачивания линейки Ньютона (см. [71 ]) состоит в том,
чтобы провести через показатель отмеченного монома носителя
прямую («линейку»), отделяющую~"ноль~от неотмеченных точек
носителями поворачивать ее вокруг отмеченного показателя до
тех пор, пока она не наткнется на показатель еще одного при-
присутствующего монома (можно представить себе гвозди, вбитые
в точках носителя).
^ В рассматриваемом случае 2) присутствует единственный моном
х2у степени ^ 3. Мы отмечаем его и начинаем с положения ли-
линейки, обозначенного пунктиром. Поворачивая линейку, мы на-
натыкаемся по очереди на целые точки, отвечающие мономам у*,
ху3 и г/5, ув, ху* и у7, ...
№' Подслучай а. Линейка натыкается на одну точку (к, 0) оси q.
3 этом случае доказывается, что все остальные точки носителя
10*
148
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
не меняют класса эквивалентности функции: она приводится к нор-
нормальной форме з?у-\-у1с (см. п. 12.6).
Подслучай Ь. Линейка натыкается на две точки, отвечающие
мономам xyh+1 и у2к+1.
В этом случае рассмотрим многочлен, определенный попавшими
на линейку точками:
Ах2у + Вхук+1 + Сг/24+1, А *? 0.
Мы назовем этот многочлен главной частью исследуемой функции.
Рассмотрим плоскость с координатами (х, z), где z =yk. Нули
главной части определяют на этой плоскости три прямых
2 = 0, X = \Z, X — \z.
Замены х=х'-\-~ку определяют диффеоморфизмы плоскости (х, у).
При этих диффеоморфизмах главная часть преобразуется неза-
независимо от остальной части ряда для / (мономы, показатели которых
расположены строго выше линейки, после замены дают вклад
лишь в мономы с расположенными строго выше линейки пока-
показателями; подробнее см. п. 12.6).
Выбирая X, мы всегда можем обратить коэффициент В в ноль.
Теперь подслучай Ь) сведен к подслучаю а). Кратность критиче-
критической точки функции х*у-\-ук легко вычислить: ji=A:-{-1.
1 Определение. Критическая точка, эквивалентная кри-
критической точке функции х^у+у*'1, называется критической
точкой типа D .
Все (конечнократные) точки коранга 2 с 3-струей х2у-\-у3 или
х*у — одного из типов D .¦
Множество функций с более сложными особенностями имеет
коразмерность 5. Таким образом, в семействах с не более чем
четырьмя параметрами встречаются лишь особенности А , р. <^ 5,
D, и Db *).
t \ Ясно, что следующий шаг классификации (разбор случая 3))
требует поворачивания линейки вокруг показателя монома х3;
разбор случая 4) начинается с классификации 4-форм от двух пере-
переменных и т. д.
Из сказанного видно, что классификация разбивается на не-
несколько этапов: 1) поворачивание линейки, 2) исследование глав-
главной части, 3) исследование старших членов.
*) Это утверждение часто называют «теоремой Тома» или «правилом
семи катастроф Тома». В действительности Том в 1969 г. анонсировал приво-
приводящую к такому же списку топологическую классификацию градиентных
динамических систем (см. [180]). Соотношение между этой классификацией
Тома и приведенной выше дифференцируемой классификацией примерно
такое же, как между негомеоморфностью эллипса и гиперболы и теоремой
о приведении квадратичной формы к каноническому виду.
§ 12]
КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫБ ОСОБЕННОСТИ
149
Формальная техника, позволяющая справиться с этими вы-
вычислениями, основана на рассмотрении различных фильтраций
в алгебре функций (или рядов). С каждой такой фильтрацией
можно связать свои пространства квазиструй функций и свои
фильтрованные группы квазиструй диффеоморфизмов и алгебры
Ли (квази)струй векторных полей.
Простейший и наиболее часто встречающийся случай — это
случай квазиоднородной фильтрации. В этом случае возникает
также группа Ли квазиоднородных диффеоморфизмов, играющая
в этой теории такую же роль, как полная линейная группа в слу-
случае обычных струй (который соответствует фильтрации по степе-
степеням максимального идеала).
§ 12. Квазиоднородные и полуквазиоднородные особенности
Здесь построен аппарат квазиоднородных и полуквазиодно-
родных диффеоморфизмов для приведения к нормальным формам
квазиоднородных и полуквазиоднородных особенностей.
12.1. Квазиоднородные функции и фильтрации.
Определение. Рассмотрим арифметическое пространство С"
с фиксированными координатами хх, ¦ ¦ ., х„. Голоморфная функ-
функция /: (С", 0) -> (С, 0) называется квазиоднородной функцией сте-
степени d с показателями ах, . . ., ая, если при любом X ^> 0 имеем
/(Х"^, . . ., V»xn) = \df(x1, . . ., хп). Показатели <xs вазывают также
весами переменных xs.
В терминах ряда Тейлора / =2/*** условие квазиоднородности
степени 1 означает, что все показатели ненулевых членов ряда
лежат на гиперплоскости
Пример. Функция х^-^у3 — квазиоднородная степени 1
с показателями!/2, 1/3.
В дальнейшем мы будем рассматривать квазиоднородные
функции степени 1 с рациональными показателями, 0 <^ а„<^1/2.
Такие функции автоматически являются многочленами. Гипер-
Гиперплоскость Г мы будем называть диагональю. Диагональ Г отсе-
отсекает на осях координат отрезки длиньГ"аз=1/а8.
Определение. Квазиоднородная функция / называется
невырожденной, если 0 — изолированная критическая точка (т. е.
если кратность р.' критической точки 0 конечна).
Вырожденные "'квазиоднородные функции образуют алгебраи-
алгебраическую гиперповерхность в линейном пространстве всех квази-
квазиоднородных многочленов с фиксированными показателями ква-
квазиоднородности, еели в этом пространстве есть хоть^одна невы-
невырожденная функция.
150
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
С каждым типом квазиоднородности (т. е. набором показа-
показателей квазиоднородности а) связана фильтрация в кольце степен-
степенных рядов (функций, ростков и т. д.), определяемая следующим
образом.
Определение. Мы скажем, что моном жЛ = ж*¦ ... ж*" имеет
(обобщенную) степень (или вес) d, если <(х, ку = а^ -f- ...
... -i-ajcn — d.
Степени мономов — рациональные числа. Показатели всех
мономов степени d (при данном типе) лежат на одной гиперпло-
гиперплоскости, параллельной диагонали Г. Зафиксируем тип квазиодно-
квазиоднородности, т. е. набор показателей «.
Определение. Многочлен (степенной ряд, росток, функ-
функция) имеет порядок d, если все его мономы имеют степень d или
выше; в случае, когда (обобщенная) степень всех мономов равна
d, мы будем называть d (квази)степенъю многочлена; степенью
нуля будем считать +со.
Многочлены (ряды, ростки) порядка d образуют линейное
пространство Ad; Ad> CZ Ad при d < d'. Порядок произведения
равен сумме порядков сомножителей, поэтому Ad является идеа-
идеалом в алгебре многочленов (рядов, функций). Обозначим эту
алгебру через А. Фактор-алгебра A/Ad называется алгеброй
d-(Kea3u)cmpyu, а ее элементы — d-(квaзu)cmpyямu.
Под порядком ? (/) многочлена (ряда, ростка) мы будем обычно
понимать наибольшее из чисел d, для которых f?Ad. Порядки
всевозможных многочленов (рядов, ростков) принадлежат одной
рациональной арифметической прогрессии: ? (/)?Z+<20, где d0 —
наибольшая общая мера чисел а, (начальный отрезок прогрессии
может быть заполнен значениями <р не полностью).
Определение. Многочлен (степенной ряд, росток) на-
называется полуквазиоднородным степени d ^~c показателями
а.1, . . ., ая, если он имеет вид /=/„+/', где /0 — невырожденный
квазиоднородный многочлен степени d с показателями a, a /' —
многочленг(ряд, росток) порядка, строго большего d.
Иными словами, полуквазиоднородная функция получается
из невырожденной квазиоднородной функции дописыванием мо-
мономов, показатели которых лежат выше диагонали. Заметим,
что квазиоднородная функция не полуквазиоднородна, если она
вырождена.
Зафиксируем какую-либо систему мономов, образующих базис
локальной алгебры для невырожденного квазиоднородного много-
многочлена /0. Пусть ег, . . ., es — система всех мономов базиса, пока-
показатели которых^лежат^строго выше диагонали.
Теорема. Всякая полуквазиоднородная функция с квази-
квазиоднородной частью /0 эквивалентна функции вида /0+2cfceft» г@е
eh — константы.
§ 12]
КВАЗЙ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
151
Пример 1. Если fo — ^y + yk, то / ~ /0.
Пример 2. Если fo = .хъ-4-у5, то / ~ хъ-\-у5 -j- cxsy3.
Доказательство теоремы приведено в п. 12.6.
12.2. Кратность и образующие локальной алгебры полуквази-
однородной функции. Мы докажем вначале, что мономиальный
базис локальной алгебры квазиоднородной голоморфной невы-
невырожденной функции является базисом и для всех полуквазиод-
нородных функций с данной квазиоднородной частью. Не нару-
нарушая общности, мы можем считать, что степень квазиоднородной
части, d, есть 1.
Теорема. Кратность критической точки 0 полуквази-
однородной функции f равна кратности критической точки 0
ее квазиоднородной части: (jl (/) =(jl (/„).
Доказательство. Рассмотрим семейство топологи-
топологических сфер
Число р. (/) равно степени отображения х >-> (dfjdx)j\ dfjdx [|,
х ? St, при малых t. Для каждой точки х ? S± по крайней мере
одна из производных dfoldxs отлична от 0 (ввиду невырожден-
невырожденности /0). Следовательно, существует константа с такая, что на 5Х
шах | dfjdxa | ]> с ]> 0. Заметим, что St = TtSv где Tt (xx,. . ., х„) =
(г . ., Р^'хп). Далее, частная производная dfjdx, квазиодно-
родна степени 1 — as типа х. Следовательно, в каждой точке
сферы St по меньшей мере при одном s | dfQjdxi \ ^ с^1-"».
С другой стороны, функция /' имеет порядок не менее 1 -)-d0,
где d0 — общая мера чисел <xs. Поэтому существует такая кон-
константа С, что при всех s на St | df'jdxs | ^ C^1+rfo-a».
¦ Сравнивая с предыдущим неравенством, видим, что при доста-
достаточно малых t на сфере St нет критических точек функций /0+9/',
0 г^6<^1. Поэтому степени отображений сферы на сферу, за-
заданных градиентами /0 и/0-|-/', совпадают, что и требовалось до-
доказать.
Замечание. Аналогично доказывается, что все достаточно
близкие к /0 квазиоднородные функции той же степени квази-
квазиоднородности имеют ту же кратность (л. Далее, поскольку мно-
множество невырожденных квазиоднородных функций данной сте-
степени связно, то кратность р. одинакова для всех невырожден-
невырожденных квазиоднородных функций данной степени (и, следовательно,
для всех полуквазиоднородных функций данной степени данного
типа).
|§ Кратность (л критической точки 0 функции / можно опреде-
определить также как размерность локальной алгебры
..., dfldx.).
152
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Допуская вольность речи, мы будем называть базисом локальной
алгебры функции / набор |л рядов (многочленов, ростков), стано-
становящийся базисом Qj над С после факторизации по идеалу.
Из доказанной теоремы вытекает
Следствие. Предположим, что-система-мономов ег, . ..
. . ., е^ является базисом локальной алгебры квазиоднородной
части /0 полуквазиоднородной функции /. Тогда та же система,
мономов, задает и базис локальной алгебры функции /.
Доказательство основано на следующей лемме общего харак-
характера.
Лемма. Предположим, что семейство гладких ^функций
/, непрерывно зависящих от конечного числа параметров, имеет
при всех значениях параметров критическую точку 0 постоян-
постоянной конечной кратности р.. Тогда всякий базис локальной алгебры
функции, соответствующей ^нулевому значению параметра,
остается базисом и при^близких значениях параметра.
Доказательство леммы. Лемма вытекает из того,
что если в конечномерном пространстве даны гладко зависящие
от параметров подпространство и система векторов, образующая
базис трансверсального пространства, то эта система останется ба-
базисом трансверсального пространства и при близких значениях
параметров.
Чтобы сделать пространство конечномерным, достаточно про-
факторизовать алгебру С [[хг, . . ., хп]] по достаточно высокой
(например, р.+1-й; см. п. 6.4) степени максимального
идеала.
Доказательство следствия. Рассмотрим полу-
квазиоднородную функцию /=/„+/'. Мы покажем, что переход
от /0 к / можно рассматривать как малую деформацию. Построим
однопараметрическое семейство функций ft(x) =t~xf (Ttx), где
Ttxr=(t4xx, . . ., t*«xn). Имеем ft(x)=f0+t~1f'(Ttx), где все коэф-
коэффициенты второго слагаемого непрерывно зависят от t, так как
порядок функции /' больше 1. По лемме базис локальной ал-
алгебры для /0 является базисом и для алгебры ft при достаточно
малых t. Базис локальной алгебры для ft переходит в базис ло-
локальной алгебры для / под действием диффеоморфизма Tt, свя-
связывающего функции / и ft. Но каждый моном при диффеоморфизме
Tf переходит в пропорциональный себе же моном. Поэтому моно-
миальный базис алгебры Qfa является не только базисом алгебры
Qft при малых t, но и базисом алгебры Qp что и требовалось дока-
доказать.
Замечание. Число базисных мономов локальной алгебры
квазиоднородной или полуквазиоднородной функции /, имеющих
данную (квази) степень 8, не зависит от выбора базиса в локаль-
локальной алгебре.
§ 12] КБАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
153
Доказательство. Рассмотрим фактор-пространство
где I=.(dfjdx1, . . ., df/dxn), Аъ— пространство рядов порядка Ь
в €[[2^, . . ., хп]], А>ъ — пространство рядов порядка, большего Ь.
Число базисных мономов степени § равно размерности этого
фактор-пространства и потому не зависит от выбора базиса.
Следствие. Число базисных мономов локальной алгебры
функции /, имеющих данную обобщенную степень (при данном
типе а), одинаково для всех полуквазиоднородных функций f дан-
данного типа х степени d.
Доказательство. Достаточно рассмотреть невырож-
невырожденные квазиоднородные функции (для полуквазиоднородной
функции базис тот же). Многообразие невырожденных квазиод-
квазиоднородных функций фиксированной степени d (типа а) линейно
связно (если оно не пусто, то оно является дополнением к гипер-
гиперповерхности в линейном пространстве). Вдоль кривой, соединяю-
соединяющей две точки этого многообразия, число базисных мономов ло-
локальной алгебры, имеющих степень 8, локально постоянно, так
как для близких функций годится один и тот же базис (лемма).
Следовательно, оно постоянно, что и требовалось доказать.
12.3. Квазиоднородные отображения. Здесь вычислены • раз-
различные численные характеристики квазиоднородных отображе-
отображений, в частности кратность |л и полином Пуанкаре р.
Зафиксируем тип квазиоднородности а=(а15 . . ., сс„) в про-
пространстве <СЯ с фиксированной системой координат. Мы будем
рассматривать отображения F: (С!, 0) -> (С", 0) и пользоваться
старинными обозначениями F (хг, . . ., хп) =(F1(a;), . . ., Fn(x)).
Пусть $=(??!, . . ., dn) — вектор с неотрицательными компонен-
компонентами.
Определение. Отображение F называется квазиодно-
квазиоднородным степени d (типа <х), если каждая компонента Fs является
квазиоднородной функцией степени da одного и того же типа а.
Локальной алгеброй отображения F называется фактор-ал-
фактор-алгебра
Q(F) = G[[x1J...,xnW(F1,--; Fn).
Отображение F называется невырожденным, если его кратность
в 0 конечна, т. е. если локальная алгебра Q (F) имеет конечную
размерность над С; эта ^размерность p.==dimc<? (F) называется
кратностью отображения,^ в точке 0.
Отображение F называется полу квазиоднородным, если F=F0-\-
-\-F', где Fo — невырожденное квазиоднородное отображение,
и каждая компонента F'e имеет больший порядок, чем степень
соответствующей компоненты Fo,-
154
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Если функция / полуквазиоднородна степени d (типа а), то
отображение х i-> grad / (х) полуквазиоднородно степени d) =d—a.s.
Предложение 1. Утверждения п. 12.2 справедливы
не только для градиентных отображений х ь» grad / (х), для
которых они выше сформулированы, но и для произвольных квази-
квазиоднородных и полуквазиоднородных отображений.
г Например, все полуквазиоднородные отображения одинако-
одинаковой степени cL (и одного типа а) имеют одинаковые кратности р..
Замечай и^е. Эти утверждения^справедливы над любым
алгебраическим замкнутым полем (А. Г. Купширенко [136]).
В случае поля С доказательства проводятся таким же образом,
как в п. 12.2.
JP Значение класса квазиоднородных отображений для изучения
квазиоднородных функций состоит в том, что в нем можно более
свободно проводить гомотопии и делать замены переменных,
чем в случае градиентов. В частности, следующее предложение
(ср. [157]) позволяет простой подстановкой перейти от квази-
квазиоднородного отображения к настоящему однородному.
Предложение 2. Пусть F: СЯ->С — квазиоднородное ото-
отображение, тип и степень которого имеют общий знаменатель N:
as = AJN, da = DJN; A,, Da, N — целые. Рассмотрим отображе-
отображение Т: С"->СЯ, заданное формулой T(ylt .. ., yn) = (yf>, . . ., yfn).
Тогда:
1) Отображение FoT: C-»C" имеет своими компонентами
однородные в обычном смысле функции степеней Dv ¦ . ., Ds.
f)v() v{)t
\j3) Если ег, . . ., е^ — мономиалъный базис локальной алгебры
отображения F, то мономиалъный базис локальной алгебры ото-
отображения Fo T [образуют функции
{)y^...y««, где 1<г<ц,
Доказательство. 1) Моном хк определяет в s-& компо-
компоненте отображения Fo Т моном Ш/*»4* степени 2 ^Л» — N (&• «) =
| 2) Формула для кратности получается из рассмотрения системы
уравнений (Fo T) (у) = е относительно у.
3) Функции e'iy и порождают всю локальную алгебру. Действи-
Действительно, каждая функция от у представима в виде 9=2 У"Т*<?и,
и
а каждая функция от х — в виде ?„ = 2С<, A + S^A.»- Итак,
Т' е' е'.« урождают ^ (FoT). Поскольку число функций е'
равно р(FoT), они образуют базис. Предложение 2 доказано.
12]
КВАЗЙ- И ЙОЙУКВАЗЙОДНОРОДНЬ1Е ОСОБЕННОСТИ
155
Определение. Многочленом Пуанкаре полуквазиоднородного
отображения F (где a.t=AJN, Asn N — целые) называется много-
многочлен Pj.(?) = 2lJ>.**> гп-е ^^ — число базисных мономов локальной
алгебры отображения F, имеющих квазистепень ijN.
Заметим, что даже при фиксированном типе квазиоднород-
квазиоднородности р зависит еще от целого числа N. Впрочем, все возможные
значения N кратны одному — наименьшему общему знаменателю
дробей as и pF.kN a(t) = pF. N a(tk). Размерность локальной алгебры
дается формулой p = pF(i). Степень многочлена pF—это наивыс-
наивысшая из (умноженных на ./V) квазистепеней мономиальных образую-
образующих базиса локальной алгебры.
Теорема (ср. [9J, [30], [161]). Многочлен Пуанкаре (полу)-
квазиоднородного отображения F степени d типа х, для которого
a., = AJN, ds — DJN; A,, Dt, N — целые, дается формулой
Пример. Если F=grad /, где / — (полу)квазиоднородная
функция типа а (степени 1), то
Из теоремы непосредственно вытекает несколько полезных фор-
формул.
Следствие 1 (ср. [9], [30], [157]). Размерность локаль-
локальной алгебры полуквазиоднородного отображения дается «обоб-
«обобщенной формулой Безуъ:
= 11
Следствие 2 ([9], [168]). Локальная алгебра полуквази-
полуквазиоднородного отображения F имеет ровно один базисный моном
(квази)степени
все мономы более высокого порядка принадлежат идеалу, порож-
порожденному компонентами (Ft, . . ., FJ.
Рассмотрим, в частности, локальную алгебру полуквазиодно-
родной функции / типа (al5 . . ., ап) степени 1. В этом случав
de=l — а„ и мы получаем
156
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. И
Следствие 3 (ср. [9], [30], [157]). Размерность локаль-
локальной алгебры полуквазиоднородной функции f типа (а.х, . . ., а.п)
степени 1 дается формулой
t*=JJLl——
Следствие 4 (см. [9], [168]). Мономиалъный базис ло-
локальной алгебры полуквазиоднородной функции f типа (alt . . .,ая)
степени 1 имеет ровно одну образующую (обобщенной) степени
dmaI=2 A—2aJ; все мономы более высокой степени принадлежат
идеалу (dfldxx, . . ., df/dxn).
Вот еще некоторые непосредственные следствия теоремы.
Следствие (см. [9]). Многочлен Пуанкаре полуквази-
однородного отображения всегда возвратный:
!А< = ^-». где k = 2Ds — 21As.
Следствие (см. [9]). Обобщенная степень предпоследнего
(по квазистепени) монома в мономиалъном базисе локальной алгебры
квазиоднородной функции типа (а, . . ., ап) степени 1 равна йтгл —
— аш1п, где amin=min(a1, . . ., ая).
Следствие (см. [9]). Невырожденное квазиоднородное ото-
отображение типа а = AjN степени d = D/N может существовать
лишь в случае, когда многочлен JJ (tD* — 1) делится на JJ (tA* — 1)-
Следствие (см. [9]). Невырожденная квазиоднородная функ-
функция типа х (atz= AJN) может существовать лишь в случае, когда
Д (fN-A, _ 1 уд (tA, _ 1) _ многочлен-
Замечание. В случае функций двух и трех переменных
сократимость дроби JJ(ijV~^«— 1)/II(^S— 1) не только необходима
для существования невырожденной квазиоднородной функции
с показателями A JN, но и достаточна (см. § 13, стр. 171). В случае
четырех переменных это уже не так, что видно из следующего при-
примера Б. М. Ивлева:
N =265, Ах=1, Л2=24, Л3=33, А4=58.
В этом примере частное — полином с неотрицательными коэф-
коэффициентами, однако все квазиоднородные функции с показате-
показателями AJN вырождены.
Перечисленные выше результаты неоднократно переоткры-
переоткрывались (Милнор, Орлик и Ваграйх, Саито, Хиронака). Эти ре-
результаты фактически имеются уже в книге Бурбакж [30] (см.
предложение 2 в п. 1 § 5 главы 5, раздел «Ряд Пуанкаре градуи-
градуированной алгебры»).
Доказательство теоремы. Достаточно рассмо-
рассмотреть случай невырожденного квазиоднородного отображения
§ 12)
КВАЗЙ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
157
F (см. п. 12.2 и предложение 1). Сделаем замену Т предложения
2. Из вида образующих локальной алгебры FoT следует, что
^.г;1,1(') = ^:*,в(«)Рг;1.1(*). где i = (l, .... 1).
Входящие в эту формулу многочлены Пуанкаре однородных
в обычном смысле отображений Г и FoT легко вычислить явно.
tA — 1
В самом деле, для отображения х — уА имеем p(t)— . . Отсюда
вытекает, что
(здесь и далее пара (N, «) =A, 1) в обозначении р не указывается).
С другой стороны, FoT — невырожденное отображение, ком-
компоненты которого — однородные функции степеней Ds. Следова-
Следовательно (согласно предложению 1 и п. 12.2), оно имеет такой же
многочлен Пуанкаре, как любое другое невырожденное однород-
однородное отображение с теми же степенями. В качестве такого отобра-
отображения можно взять, например, отображение Т', заданное фор-
формулой
T'{yv .... уя) = {у?',---,у2»).
Итак,
Формула для Pf получается делением формул для pF,T и для .
рт- Теорема доказана.
12.4. Квазиоднородные диффеоморфизмы и квазиструи.
С фильтрацией, определенной типом квазиоднородности а, свя-
связано несколько групп и алгебр Ли. В случае обычной однород-
однородности это полная линейная группа, группа /с-струй диффеомор-
диффеоморфизмов, ее подгруппа /с-струй с тождественной к—1-струей и их
фактор-группы. Их аналоги в случае квазиоднородной филь-
фильтрации определяются следующим образом.
Рассмотрим пространство С" с фиксированной системой коор-
координат (хг, . . ., хп). Алгебру формальных степенных рядов *)
от координат мы будем обозначать через Л =С [[хг, . . ., xj]. Мы
предполагаем, что задан тип квазиоднородности «=(<*!, . . .,а„).
Мы будем обозначать через Ad идеал алгебры А, образован-
образованный рядами порядка d и выше. Далее, через А>а обозначается
*) Большая часть дальнейшего непосредственно переносится на случаи,
когда А — кольцо сходящихся рядов над С или над R или кольцо ростков
гладких функций.
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЯ
идеал алгебры Ad, образованный рядами порядка, строго боль-
большего d.
Формальный диффеоморфизм g: (Ся, 0) -*• (Ся, 0) задается набо-
набором п степенных рядов без свободных членов и задает изоморфизм
алгебр g*: A-+A по формуле g*f = f°g, где о означает подста-
подстановку ряда в ряд.
Определение. Диффеоморфизм g имеет порядок d, если для
любого X
Предложение 1. Пусть d^O. Тогда множество всех
диффеоморфизмов порядка d с операцией о образует группу
Доказательство. Заметим прежде всего, что при d^0
g*Ax = Ах для всех X (g*Ax CZ Ах, так как d ^ 0, a g*~ Ах a Ах,
так как фактор-пространство А\АХ конечномерно). Поэтому для а,
Ъ из Gd имеем
ЦаоЪУ- 1J Ах = [Ъ*{а* - 1) + ф* - 1)J ^ с А+<*>
что и требовалось доказать.
Предложение 2. Группа Gq является нормальным дели-
делителем группы Gp, если q > р ^ 0.
Доказательство. Определение Gg использует лишь филь-
фильтрацию {Ах). Эта фильтрация инвариантна относительно группы Go
и тем более относительно меньшей группы Gp. Следовательно,
и подгруппа, определенная в терминах этой фильтрации3 инва-
инвариантна, что и требовалось доказать. ;
Группа Go особенно важна, так как она играет в квазиоднород-
квазиоднородном случае роль, которая в однородном случае принадлежит пол-
полной группе струй диффеоморфизмов. Следует подчеркнуть, что
в квазиоднородном случае некоторые диффеоморфизмы имеют
отрицательные порядки и не входят в Go.
Определение. Группой d-(Kea3u)cmpyu типа ^назы-
^называется фактор-группа группы диффеоморфизмов по подгруппе
диффеоморфизмов порядка, большего d:
Jd = Jd (x) — GJG>d.
Ясно, что Jd — конечномерная группа Ли. Имеются естест-
естественные факторизации npi q: Jp -> Jq (р ^> q ^ 0).
Следует обратить внимание на то, что в обычном однородном
случае наша нумерация отличается от стандартной сдвигом на 1:
наше /„ — это группа 1-струй и т. д.
Предложение 3. Группа J' получается из Jo цепочкой
расширений с коммутативными слоями. Точнее1 пусть Ар — не-
12]
КВАЗИ- И ПОЛУКБАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
159
посредственно следующий за Aq член фильтрации. Тогда ядро К
гомоморфизма п коммутативно.
Доказательство. Пусть А, В ? К. Рассмотрим ка-
каких-либо их представителей a,b?G0. Справедливо тождество
(яоЬ)* — 1 = (а* — 1) + (Ь* — 1) + Ф* — 1) (а* — 1).
Далее, при любом X
так как g-струи а и Ъ тривиальны. Следовательно, [(aofc)* —
— (boa)*] Ax d Ax+2 . Поэтому аоЪ и boa определяют в / один
и тот же элемент, что и требовалось доказать.
Особенное значение имеет группа /0, являющаяся квазиодно-
квазиоднородным обобщением полной линейной группы.
Определен и"е. Диффеоморфизм g?G0 называется ква-
квазиоднородным типа а, если каждое из пространств квазиоднород-
квазиоднородных функций степени d (типа а) переходит под действием g в себя.
Множество всех квазиоднородных диффеоморфизмов (фикси-
(фиксированного типа) образует группу. Эту группу мы обозначим через
Н (=Н (а)) и будем называть группой квазиоднородных диффео-
диффеоморфизмов.
Рассмотрим естественное вложение i: Н —> Go и факториза-
факторизацию тг: Go -> /0.
^"Предложение 4. Группа Jo естественно изоморфна
группе квазиоднородных диффеоморфизмов Н; точнее, сквозное
отображение ку. Н —> Jo является изоморфизмом групп Ли.
Доказательство, а) Кег тиг ==е. Действительно,
Кег ni=H П G>0. Значит, для fe^Ker ш и для любого монома
/ степени d'{h*—1) / принадлежит пространству однородных
функций степени d и в то же время имеет порядок, больший d.
Следовательно, (h*—1)/=0 для любого монома /, и, значит, h=e.
б) Im т = /0. Для доказательства построим явно обратное
отображение J0-*H. Пусть х1,...,хп — координаты в С", диффео-
диффеоморфизм g (< Go — представитель струи ; ? /0- Рассмотрим ряд
g*xf^Aa{. Выделим в этом ряду однородную компоненту у( сте-
степени а.{, так что ^*^,- = J/< 4-2,, zt?A>ai. Определим полиномиаль-
полиномиальное отображение /Г1: С->С" соотношением п*х(=.у^ Чтобы про-
проверить, что h — диффеоморфизм, вычислим определитель Якоби:
det
дх4
= det
дх
¦J
Содержащее производные от z слагаемое R равно 0 в начале коор-
координат. Действительно, каждое слагаемое определителя у по х
имеет степень однородности 0. Все дополнительные слагаемые,
содержащие z, имеют положительный порядок, так как z( ? A>di.
160
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. П
Поэтому R(«A>0 и R @) =0. Итак, якобианы g и h в нуле сов-
совпадают, поэтому якобиан h в нуле отличен от 0, и, значит, h —
диффеоморфизм. Кольцевой автоморфизм h* сохраняет степени
всех мономов, так как он сохраняет степени координат х(. Сле-
Следовательно, п?Н. Очевидно, что mh=j, и предложение доказано.
Предложение 5. Пусть dt^O. Тогда группа d-квази-
струй диффеоморфизмов, Jd, действует как группа линейных
преобразований на пространстве d-квазиструй функций, A/A>d.
Доказательство. Пусть g ? G>d. Тогда применение g не
меняет d-квазиструю любой функции /, так как fog— f(*A>d.
Следовательно, отображение (k, f)\->foh задает отображение
Jdy,(AjA>d)^> A/A>d, что и требовалось доказать.
Замечание. В случае обычной однородности на простран-
пространстве &-струй функций действует уже группа (к— 1)-струй диффео-
диффеоморфизмов (в наших обозначениях). Этот факт имеет аналогом
в квазиоднородном случае действие группы (d—тт<ха)-струй.
12.5. Квазиоднородные векторные поля. Инфинитезимальные
аналоги введенных понятий выглядят следующим образом.
Определение. Формальное векторное поле v = 2U< 9/dxt
имеет порядок d, если дифференцирование по направлению поля v
повышает порядок любой функции не менее чем на d: LvAxdAx+d.
Обозначим множество всех векторных полей порядка d через grf.
Введенная фильтрация в модуле векторных полей (т. е. диффе-
дифференцирований алгебры А) согласована с фильтрацией в алгебре:
v
av
Lva ? A-
Предложение. Пусть d^O. Тогда: 1) скобка Пуассона
векторных полей определяет на пространстве §d структуру
алгебры Ли, 2) скобка Пуассона элементов из $d и Qd лежит
в Sd d' так чт0 каждое Qd является идеалом в алгебре Ли д0.
Доказательство. Если f?Ax, fi€:9rf> ^абЗ^» т0
(Lv,LVl — LVlLVl) f ? A\+dl+d2, что и требовалось доказать.
Порядок векторного поля связан с порядками его компонент
следующим образом.
Предложение. Поле v = ^р{д/дх( имеет порядок d (типа л)
тогда и только тогда, когда каждая его компонента vi является
функцией (рядом) порядка d-\-a(.
Доказательству предпошлем следующие определения. Вектор-
мономом будем называть векторное поле вида хРд/дх{. Степенью
вектор-монома (при данном типе квазиоднородности) мы будем назы-
называть рациональное (быть может, отрицательное) число <(Тс, а)> — с^ =
= <Gс —1„ а)> из той же арифметической прогрессии, которой
принадлежат степени обычных мономов. Векторное поле назы-
называется (квази)однородным степени d, если все мономы, входящие
в негр с ненулевыми коэффициентами, имеют степень d.
§ 121
КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
161
Доказательство предложения. Если v ?j o,d, то vi =
=^Lvxt^Ad+aLiy так как х{(*Ач. Пусть и^ = ^ринхн. Для любого
монома f = xl имеем
df
=2<*--
f.t+fc-1,-
При этом, если у, ?-4.d+a>., то <7fc, x)>^d-{-ai. Следовательно,
\l-\-U — 1,-, a)~^(l, «,y-\-d, т. е. LvAy <z.Ax+d, что и требова-
требовалось доказать.
Из предложения 3 п. 12.4 непосредственно вытекает
Следствие. Алгебра Ли \d группы Jd d-квазиструй диффео-
диффеоморфизмов есть фактор-алгебра \а = go/S>rf- Отображения
кРшЯ- ^р~*^я индуцируют гомоморфизмы алгебр v:p,qi: j —> j.
Ядро отображения алгебры \р в алгебру струй непосредственно
предыдущего порядка коммутативно.
Наконец, из предложения 4 п. 12.4 вытекает
Следствие. Квазиоднородные векторные поля степени 0
образуют конечномерную подалгебру Ли а в алгебре Ли всех полей.
Алгебра Ли а естественно изоморфна алгебре Ли группы 0-струй
диффеоморфизмов, j0.
В дальнейшем мы иногда будем отождествлять векторные поля
v с наборами п функций (или рядов) vt. Следующие два предло-
предложения будут использоваться в дальнейшем для приведения полу-
квазиоднородных функций к нормальной форме.
Лемма. Пусть F — степенной ряд порядка d, и пусть v —
формальное векторное поле положительного порядка 8. Тогда ряд
Тейлора
имеет остаточный член R порядка строго большего, чем d-\-b.
Доказательство. Ввиду линейности R по F достаточно
доказать это для случая, когда F — моном. Пусть F = ас*, v =
= 2^9/da;,. Рассмотрим член ряда Тейлора, содержащий д\тФ/дхт
(т = (mv .. ., тп)). Мономы, входящие в этот член, имеют показа-
= Je —
гДе ^i—показатель одного из мономов
«¦=1
функции v'/ч. Следовательно, 1< = 2^.у гДе
зателей I разложения и,- = 2У«, ixl- Итак,
— один из пока-
пока11 В. И. Арнольд и др.
162
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Но по условию <fc, a>>d, <l,._ j—i{, а > > & > 0. Следовательно,
<J>» «> > d + | «г | 8, где | иг | = i»! + • • • + "V Значит, все мономы,
входящие в члены выше первой степени ряда Тейлора по г?, имеют
порядок не менее d -\- 25, что и требовалось доказать.
Оценка. Пусть F = F0~\-F1-\-F2, где F0?Ad, f^JL^,
F v=vo + v» где vQ?5s, »ieg>a, S>0. Тогда
F(x + v (x)) = Fo (x)
^ (x)
' 6
Доказательство. Обозначим Fo-\-F1 = F'. Имеем R' =
+ i?34-i?4, где
t — F' (x + v (ж)) — F' (ac) — -^-1? 6 A>i+& (по лемме),
Ri = F2 (x + v (
что и требовалось доказать.
12.6. Нормальная форма полуквазиоднородной функции. Рас-
Рассмотрим локальную алгебру квазиоднородной или полуквазиод-
полуквазиоднородной функции / степени d. Зафиксируем какую-либо систему
мономов, образующих базис этой алгебры.
Определение. Моном называется верхним или лежащим
выше диагонали (соответственно нижним, диагональным), если
он имеет степень больше d (соответственно меньше d, ровно d)
при данных показателях квазиоднородности.
Заметим, что числа верхних, диагональных и нижних базис-
базисных мономов не зависят от выбора базиса (см. п. 12.2).
Пусть е1? . . ., es — система всех верхних базисных мономов
фиксированного базиса локальной алгебры функции /0.
Теорема (см. [9]). Всякая полуквазиоднородная функция
с квазиоднородной частью /0 эквивалентна функции вида /0+
+2СА> где cic ~ константы.
Доказательство получается применением следующей леммы.
Лемма. Пусть /0 — квазиоднородная функция степени d,
и пусть еи . . ., ег — все базисные мономы фиксированной степени
d' > d в локальной алгебре функции /0. Тогда всякий ряд вида
/o+/i> где порядок Д больше d, формальным диффеоморфизмом
приводится к виду fo+f[, где в ряду f[ члены степени меньше d'
те же, что в ряду fx, а члены степени d' сводятся к слел-\-. . .+
+с,.ег.
§ 12]
КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
163
Доказательство. Обозначим через g сумму членов
степени d' в fx. Существует разложение (если угодно, с точностью
до членов порядка выше d', но на самом деле и без них)
так как ех, . . ., ег — базисные мономы. Векторное поле v, входя-
входящее в эту формулу, можно заменить однородным степени b=d'—
—d > 0, не нарушая справедливости формулы (для доказательства
достаточно разложить v на однородные составляющие).
Рассмотрим теперь формальную замену х=у—v(y). Докажем,
что это формальный диффеоморфизм. Действительно, поле v
имеет положительную степень Ь, поэтому если занумеровать ко-
координаты в порядке убывания показателей а,., то матрица Якоби
замены в точке 0 будет треугольной, с 1 на диагонали. Применяя
оценку п. 12.5, находим
/ (У - v (у)) = /0 (у) + [Д (у) +
+ (вЛ (У)+ -. ¦ + сгег (у)) - g (у)] + R' (у)
(в старинных обозначениях). Поскольку порядок R' больше d',
лемма доказана.
Доказательство теоремы. Применяя лемму
к функции /0 и мономам ближайшей более высокой степени д!',
мы приведем к желаемому виду члены степени d'. Применяя ту же
лемму к получившемуся ряду /0+/i и мономам следующей степени
d", мы, не меняя членов степени d и d', приведем к желаемому
виду члены степени d". Продолжая таким образом, мы добьемся
нужной нормальной формы с точностью до членов сколь угодно
высокой степени (и даже, если угодно, полностью приведем фор-
формальный ряд к формальной нормальной форме формальным диф-
диффеоморфизмом; это следует из того, что степени полей v, приме-
применяемых на разных этапах, растут).
До этого момента мы нигде не пользовались конечностью крат-
кратности (J-, так что сформулированное формальное утверждение до-
доказано без этого предположения. Если же ц. конечно, то достаточно
длинный отрезок ряда Тейлора (степени ^+1, ср. п. 6.4) функции
эквивалентен самой функции, поэтому приведение к нормальной
форме осуществляется настоящим диффеоморфизмом.
12.7. Фильтрация Ньютона. Часто бывает полезно рассматри-
рассматривать фильтрации, в которых роль диагонали играет ломаная
Ньютона (или, в многомерном случае, многогранник, обращенный
выпуклостью к 0). Формальное определение состоит в следующем.
Пусть яг, . .., яр — фиксированный набор типов квазиоднород-
квазиоднородности. В i-ж фильтрации моном х* имеет степень ^о^, АГ> = ср;(&).
Определим теперь ньютонову степень монома хн как
<Р (Л) = min [?1 Gс), ...,<?р {Щ.
11*
164
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Определение. Степенной ряд имеет ньютонов порядок
d, если все его мономы имеют ньютонову степень d или выше.
Заметим, что уравнение ср Gе) = 1 определяет в пространстве
R* показателей U некоторую гиперповерхность Г, обращенную
выпуклостью к 0. Мы будем называть Г диаграммой Ньютона *).
В этих терминах можно сказать, что моном имеет ньютонову
степень d, если и только если его показатель лежит на гиперпо-
гиперповерхности dT, полученной из Г гомотетией с коэффициентом d.
Точно так же ряд имеет ньютонов порядок d, если показатели
всех его мономов лежат на гиперповерхности dT и за ней.
Сумму членов наименьшей (ньютоновой) степени в данном сте-
степенном ряду мы будем называть главной частью ряда. Нъютоново-
однородной функцией степени d мы будем называть многочлен,
все мономы которого имеют (ньютонову) степень d.
Аналогичные понятия определяются для векторных полей. Сте-
Степень монома х1д/дх{ определяется как
— 1,) = min <^а •, I — !,•]>.
Заметим, что для любых функций /, g и любого векторного поля v
имеем:
порядок fg р> порядок / -f- порядок g,
порядок ^ -^— vt ^ порядок / -f- порядок v.
Группы диффеоморфизмов порядка d, группы d-струй диффео-
диффеоморфизмов и соответствующие алгебры Ли определяются так же,
как в случае квазиоднородных фильтраций. Не имеет аналога
для ньютоновых фильтраций лишь группа квазиоднородных диф-
диффеоморфизмов.
Определение. Ньютоново-однородная функция /0 сте-
степени d удовлетворяет условию А, если для всякой функции g
порядка d+8 ^> d, принадлежащей идеалу, натянутому на про-
производные функции /0, существует разложение
dfo ,
где поле v имеет порядок S, а функция g' — порядок выше d+o.
Квазиоднородная функция всегда удовлетворяет условию А.
Замечание. Алгебраисты формулируют условие А так: отобра-
отображение фильтрованных пространств v >-*¦ 2л1П~и* является строгим.
*) Многогранник Ньютона стеленного ряда ложно определить как вы-
выпуклую оболочку объединения положительных квадрантов R" с вершинами
в показателях мономов, входящих в ряд с ненулевыми коэффициентами;
диаграмма Ньютона есть объединение компактных граней этого многогран-
многогранника.
12J
КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫВ ОСОБЕННОСТИ
165
Рассмотрим базис локальной алгебры ньютоново-однородной
функции /0 конечной кратности р..
Определение. Базис ех, . . ., е^ из однородных элемен-
элементов называется правильным, если для любого D элементы базиса
степени D независимы по модулю суммы идеала I=(dfo/dx) и
пространства A>d функций порядка, большего D.
Предложение. Правильный базис всегда существует.
Более того, всегда существует правильный базис, состоящий из
мономов.
Доказательство. Мономы, показатели которых при-
принадлежат /)Г, порождают Ad mod A>D. Поэтому их образы
в A.s/((As П Л+-^->л) порождают это линейное пространство, и,
значит, из этих образов можно выбрать базис указанного фактор-
пространства. Соответствующие выбранным базисным векторам
прообразы являются мономами из А в, и мы включим эти мономы
в наш базис локальной алгебры.
При достаточно больших D имеем Ad с / (так как р. <оо).
Поэтому построенная система мономов конечна. Из построения
ясно, что каждый вектор из А представим в виде линейной комби-
комбинации выбранных мономов и элементов идеала. Наконец, если бы
наименьшая из степеней мономов, входящих с ненулевыми коэф-
коэффициентами в соотношение с^-}-. . -~гс^е^ ? /, была D < со, то
образы мономов е,- степени/) в фактор-пространстве Ад/((АпС\1)-\-
-\-A>d) были бы зависимы, вопреки выбору ev Следовательно,
{е%.} — базис локальной алгебры, что и требовалось доказать.
Число элементов правильного мономиального базиса, имею-
имеющих данную (ньютонову) степень однородности, не зависит от
выбора базиса в локальной алгебре. Моном правильного базиса
называется диагональным (наддиагоналъным), если его степень
равна (больше) степени рассматриваемой фупкции /0.
Теорема. Если главная часть /0 функции f удовлетворяет
условию А и имеет конечную кратность р., то функция f диффео-
диффеоморфизмом приводятся к виду /O+Ci?i+- • -+cses, где ег, . . ., es —
наддианональные мономы правильного базиса.
Доказательство повторяет доказательство теоремы п. 12.6.
Пример. Рассмотрим функцию fo^=xajr~kxiyiJryb, где
а ^ 4, 6 > 5, 1=^0. Покажем, что: 1) p.=a+b+i; 2) система мо-
мономов 1, х, . . ., Xй'1, у, . . ., уь является правильным базисом;
3) выполнено условие А для фильтрации, заданной ломаной Г с по-
последовательными вершинами (а, 0), B, 2), @, Ъ).
Для доказательства всех этих утверждений полезно провести
некоторые геометрические конструкции на плоскости показателей
степени. Эти конструкции сводят анализ локальной алгебры
к последовательности геометрических операций, напоминающей
решение кроссворда. Техника «решения кроссвордов» применима
166
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
не только в этом примере, и мы изложим ее в несколько большем
объеме, чем это необходимо для его разбора.
А именно предположим, что каждая из частных производных
данной функции содержит не более двух мономов (что, очевидно,
выполнено для /0). Соединим показатели мономов частной произ-
производной по х отрезком. Этот отрезок мы будем называть основным
х-отрезком. Аналогичные основные отрезки определяются для
остальных переменных. В нашем примере два основных отрезка
параллельны звеньям ломаной Г
(рис. 48).
Основные отрезки изображают
соотношения между образами своих
мономов в локальной алгебре.
Рассмотрим следствия этих соотно-
соотношений. Назовем допустимым х-от-
х-отрезком всякий сдвиг основного
дг-отрезка на целочисленный век-
вектор с неотрицательными компонен-
компонентами. Заметим, что два допустимых
отрезка могут лежать друг на
друге и даже геометрически совпа-
совпадать (если один из них дг-отрезок,
нашем примере, впрочем, этого не
b-t у*
Рис. 48.
а другой — у-отрезок). В
происходит.
Два допустимых отрезка называются связанными, если они
имеют общий конец. Допустимой цепью называется такой набор
допустимых отрезков, что любой из отрезков набора соединен
с любым другим последовательностью последовательно связанных
отрезков набора. Допустимая цепь называется максимальной,
если она не является частью другой допустимой цепи.
Циклом называется конечная последовательность последова-
последовательно связанных допустимых отрезков, в которой последний
отрезок связан с первым. Цикл называется тривиальным, если
при его обходе вдоль х-(у-) отрезков придется идти в одну сторону
столько же раз, сколько в другую. (В нашем примере все циклы
тривиальны, но если бы мы рассмотрели случай а=&=4, то нам
встретился бы и нетривиальный цикл A, 3) -> C, 1) -» A, 3)
из одного х- и одного у-отрезка.)
Теперь мы можем сформулировать правила «решения
кроссворда» для функции / с конечнократной критической
точкой.
Предложение. 1. Если показатель монома принадле-
принадлежит бесконечной допустимой цепи, то моном принадлежит идеалу,
натянутому на частные производные функции.
2. Если все циклы тривиальны, то размерность р- локальной
алгебры равна числу максимальных цепей. В этом случае можно
§ 121
КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
167
получить базис локальной алгебры, выбрав по одному (любому)
моному из каждой максимальной цепи.
3. Если, кроме того, задана фильтрация, то, выбирая из вся-
всякой максимальной цепи один из мономов наивысшего порядка, мы
получим правильный базис.
Доказательство непосредственно вытекает из определе-
определений.
Предложение. В примере fo=x"-\-'kx2y2Jryb максималь-
максимальные допустимые цепи следующие:
1) каждая из точек 1, х, .. ., х"~2, у,---,уъ~^, ху имеет три-
тривиальную допустимую цепь;
2) имеются три конечные максимальные допустимые цепи:
3) из всех остальных точек выходят бесконечные допустимые
цепи.
Действительно, из рис. 48 видно, что допустимый отрезок
xpyq —>¦ хр~1+"уя~2 повышает порядок при q ^> р ^ 1, a xpyq ->
-> xp~2yq~1+b — при р ^> q ^ 1. Порядки мономов с р = 0, или
с q = 0, или с р = q повышаются за два шага:
2+ky2 .
¦хкуь+г.
Следовательно, максимальная допустимая цепь всякого монома,
кроме перечисленных в 1) и 2), содержит мономы сколь угодно
большого порядка и, значит, бесконечна.
Итак, указанные выше мономы образуют правильный базис
и ^=а+6+1. Для проверки условия А достаточно вычислить
порядки коэффициентов соотношений, которые мы построили
выше, описывая допустимые цепи. Это вычисление несложно и
здесь не приводится.
Итак, число мономов правильного базиса выше Г оказалось
равным 0. Из теоремы на стр. 165 вытекает поэтому
Следствие. Всякая функция f с главной частью fo=xa-\-
-\-У.х2у2-\-уь, где1=^=0, а ^4, 6^5, эквивалентна своей главной
части.
Предположим, что диаграмма Ньютона функции / (хг, . . ., хп)
имеет по точке на каждой из координатных осей (это не является
ограничением, поскольку / имеет достаточную струю).
Теорема (Кушниренко [136]). Обозначим через V объем
п-мерной области положительного ортанта ниже диаграммы
Ньютона, через V{ — (п—1)-мерный объем под диаграммой Нью-
Ньютона на i-й координатной гиперплоскости, через F<; j — (n—2)-
мерный объем на координатной плоскости, не содержащей i-го
и j-го базисных векторов, и т. д. Тогда для всех функций f с данной
168
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
диаграммой Ньютона
K/)>n!y-(n-l)!2^ + (n-2)!_2F,,y-... ±1-
причем для почти всех f имеет место равенство.
Например, для почти всех функций двух переменных с фикси-
фиксированной диаграммой Ньютона \y.=2S—а—6+1, где S — площадь
под диаграммой, а а и Ъ — координаты точек диаграммы на осях
(рис. 49).
Д. Н. Бернштейн, А. Г. Кушни-
i ренко и А. Г. Хованский получили
далеко идущие обобщения этой те-
теоремы. В частности, число решений
системы полиномиальных уравне-
уравнений Рг (хг, . . ., хп)=0, . . .
..., Р„(хг,..., хп)=0,для которых ни
одна из координат х„ неравна нулю,
равно умноженному на п\ смешан-
Рис. 49. ному объему Минковского выпуклых
оболочек носителей многочленов Р s
(для почти всех наборов многочленов Ps с данными выпуклыми оболоч-
оболочками носителей). Получены также аналогичные формулы, выражаю-
выражающие через геометрию многогранников другие числовые инварианты
аффинных полных пересечений. Например, число голоморфных
форм на гиперповерхности равно числу целых точек внутри вы-
выпуклой оболочки носителя (для почти всех гиперповерхностей
с данной выпуклой оболочкой носителя). По поводу этих резуль-
результатов см. [24], [85]—[87].
§ 13. Классификация квазиоднородных функций
Здесь описаны методы приведения квазиоднородных функций
к нормальным формам посредством квазиоднородных диффео-
диффеоморфизмов.
13.1. Квазиоднородные функции двух переменных.
Предложение. Всякая невырожденная квазиоднородная
функцияJ)eyx ^переменных х, у коранга 2 содержит с ненулевыми
коэффициентами либо мономы Xя и уь, либо х° и хуь, либо х*у и
уь, либо х"у и уьх.
Доказательство. В противном случае функция де-
делилась бы Hajr2 или на у2 и критическая точка 0 не была бы изо-
изолированной.
Теорема 1. Предположим, что на диагонали Г лежат
ровно два монома невырожденной квазиоднородной функции двух
переменных. Тогда в качестве базиса локальной алгебры можно
выбрать следующую систему мономов:
§ 13]
КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИИ
169
I Базисные мономы xkyl
хау + уь
хау + уьх
ab — V ab — i.
ab
О < к < а — 2,
0<г<6_2
0^к^а — 2,
О < I < Ь — 1; х«-1
О < к <S a — 1,
(функцию f можно привести к указанному в таблице виду растя-
растяжением и перенумерацией координат).
Доказательство. Рассмотрим рис. 50. На этом ри-
рисунке заштрихована область мономов, попавших в идеал (fx, /y).
Тонкие косые линии — допустимые цепи (см. п. 12.7). Из рисунка
видно, что каждый моном, не входящий в идеал, соединим с моно-
мономом из таблицы допустимым путем. Значит, табличные мономы
порождают локальную алгебру. Но их число равно размерности
локальной алгебры, вычисленной по формуле п. 12.3. Следова-
Следовательно, они образуют базис, что и утверждалось.
Рис. 50.
-i с/1
Определение. Внутренней модальностью т0 квазиод-
квазиоднородной функции называется общее число диагональных и над-
диагональных базисных мономов мономиального базиса локальной
алгебры.
Теорема 2. Квазиоднородные функции двух переменных
с то=О исчерпываются (с точностью до эквивалентности) следую-
следующим списком:
х3 + ху3
Все невырожденные функции с такими же показателями ква-
квазиоднородности приводятся к указанным в таблице нормальным
формам.
170
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Доказательство. Если второй дифференциал не ра-
равен тождественно 0, то функция эквивалентна Ак. Если коранг
функции равен 2, то показатели однородности даются теоремой 1.
Согласно п. 12.3 (обобщенная) степень базисного монома высшей
степени равна dmaJC=re—22а,=2—2 (а1+а2). Условие dmax < 1,
эквивалентное условию пго=О, определяет на плоскости перемен-
переменных (а, Ь) в каждом из трех случаев теоремы 1 область под гипер-
гиперболой. Перечисление целых точек в этих областях дает серии
A, D, Е,
Сказанное станет, быть может, более понятным, если заме-
заметить, что классификация особенностей с пго=0 сводится к пере-
перечислению прямых на плоскости, проходящих ниже точки B, 2),;
пересекающих оси координат на расстоянии не менее 2 от 0 и
содержащих целую точку с абсциссой, не превосходящей 1, и це-
целую точку с ординатой, не превосходящей 1, в положительном
квадранте. Ибо условие йтах < 1 означает, что диагональ лежит
ниже точки B, 2). Легко проверить, что такие прямые исчерпы-
исчерпываются (с точностью до переименования осей) нашим списком и
что невырожденные квазиоднородные функции с такими же по-
показателями квазиоднородности, как у функций A, D или Е,
приводятся к указанному в таблице виду.
Замечание. Классификация особенностей коранга 2
с тео=1 сводится к перечислению прямых на плоскости показате-
показателей, проходящих через точку B, 2) или выше ее, но ниже точек
B, 3) и C, 2).
Обобщением этого замечания является следующее правило для
вычисления внутренней модальности функции двух переменных.
Проведем из точки B, 2) на плоскости показателей горизон-
горизонтальный и вертикальный лучи в сторону увеличения показателей
и рассмотрим многоугольник, ограниченный отрезками этих лу-
лучей и ломаной Ньютона.
Модальность, по-видимому, равна числу точек внутри и на
границах указанного многоугольника для Г-невырожденных функ-
функций с данной диаграммой Ньютона Г (функция Т-невырождена,
если кратность р- имеет наименьшее возможное при данной диа-
диаграмме Г значение).
А. Г. Кушниренко [136] доказал, что внутренняя модальность
Г'-невырожденной функции (число базисных мономов правильного
базиса на Г и выше) действительно равна числу целых точек в ука-
указанном многоугольнике.
13.2. Квазиоднородные функции трех переменных. Невы-
Невырожденные квазиоднородные функции трех переменных делятся
на семь (пересекающихся) классов.
Предложение (см. [9]). Всякая невырожденная квази-
квазиоднородная функция степени 1 от трех переменных коранга 3
содержит с ненулевыми коэффициентами (при подходящей нуме-
§ 13]
КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ
171
рации переменных) хотя бы один из семи наборов мономов, указан-
указанных в следующей таблице:
Класс I Мономы I и,, «,. о. i ,,.
I
II
III
IV
V
VI
VII
ха, ybz, zcy
ха, ybz, zc
х"у, уьх,
zcx
x"y, ybz,
z°x
be — 1 • be —• 1
ac — a -\- 1 a -
a ' abc
b — i a — 1
ab — V
be — e
ac-
(a —
ab — V (ab — i)c
1 ас — a + 1 ab — b + 1
abc -)- 1 ' abc -)- 1 ' abc -)- 1
(a-l)(bc-b + l)
(ab ~ a-|-1) (ас— а + 1)
а —1
(a-l)bc
ас (Ъ — 1) + а — 1
a (abc — с — ab -\-b)
а — 1
abc
Доказательство. Начало классификации проходит
при любом числе переменных хх, . . ., хп. Зафиксируем номер i
координаты х(. При отсутствии всех мономов вида х?х, ось х{
состоит сплошь из критических точек. Поэтому в пространстве
показателей на расстоянии не более 1 от каждой оси координат
есть показатель присутствующего монома. Выбрав по одному
такому моному близ каждой оси (что возможно, так как второй
а
%
г jc \г
оо
§\ ^Л ?. А
/// /V
Рис. 51.
х z
V/J
дифференциал =0), мы получаем отображение i i-> / множества
осей координат в себя. Таким образом, мы должны расклассифи-
расклассифицировать отображения конечного множества в себя. При ге=3
это нетрудно сделать. Множество из трех точек имеет семь эндо-
эндоморфизмов (не переводящихся друг в друга перенумерацией то-
точек) (рис. 51), что и дает семь классов, указанных в таблице.
Предложение. 1) Невырожденная квазиоднородная
функция класса III существует, если и только если наименьшее
общее кратное [Ъ, с] чисел Ъ и с делится на а—1.
2) Невырожденная квазиоднородная функция класса VI суще-
существует, если и только если (Ъ—1) с делится на произведение а—1
и наибольшего общего делителя (Ь, с) чисел Ъ и с.
172
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. II
3) Невырожденные квазиоднородные функции остальных пяти
классов существуют при любых а, Ъ, с.
Доказательство. Для доказательства утверждения 3)
достаточно сложить указанные в таблице мономы. Для доказатель-
доказательства утверждений 1) и 2) заметим, что если квазиоднородная функ-
функция класса III или VI не содержит ни одного монома ypzq (p^Q,
q ^ 0), то она вырождена. Действительно, нулевое множество
уровня состоит в этом случае из двух компонент (одна из них —
плоскость х=0). Значит, критическая точка не изолирована (мно-
(множество критических точек содержит линию пересечения компо-
компонент) и функция вырождена.
Обратно, легко проверить, что квази однородная функция
III: ха -f- xyb + xzc + sypzg или VI: xay-\-ybx -\-z°x -\-sypzq
при почти всех е невырождена.
Остается доказать, что диагональный моном вида ypzq суще-
существует в точности при указанных выше условиях делимости.
В случае III обобщенная степень монома ypz4 равна
(pc-{-qb) (а—1IаЪс. Моном ypz9 диагональный, если и только если
эта степень равна 1, т. е. если (pc+gb)(a—1)=(а—1) Ъс-\-Ъс. Следова-
Следовательно, be делится на а—1, а частное (равное pc-\-qb—be) делится
на (Ь, е). Иными словами, be делится на произведение а—1 и (Ь, с),
т. е. [Ь, с] делится на а—1.
Обратно, пусть [Ь, с] кратно а — 1. Тогда число г = ?*с —( г
целое и делится яа (Ь, с). Но каждое число, большее be и крат-
кратное (Ь, с), представимо в виде/?с-j-<?fo (р~^0, q^O)*). Поэтому
abcl(a — l) = pc-\-qb и моном ypzq диагональный.
В случае VI условие диагональности имеет вид
(a — l)(pc-{-qb) = (a—l)bc-t-(b—i) с.
"Поэтому F — 1)с делится на произведение (а—1)ф, с). Обратно,
если (Ь—1)с делится на (а — 1)(Ь, с), то be -f- ¦ ~_ j c предста-
представимо в виде рс -\- qb, где р^0, q^O, что и требовалось доказать.
Примером невырожденной функции класса III является а;7-Ь
+zyz+xzi+sx3y2, класса VI — x5y+xys+xzi+sx3y2.
Замечание. Наши результаты позволяют легко пере-
перечислить (иолу)квазиоднородные особенности внутренней модаль-
модальности то=0 или * (см- tQJ)- Из получающихся списков видно, что
в этих случаях внутренняя модальность совпадает с обычной.
*) Действительно, на прямой {р, q: pc-{-qb=bc) имеется не менее двух
целых точек в квадранте р з= 0, q > 0 (точки (Ъ, 0) и @, с)). На параллель-
параллельной прямой pc-\-qb—m > be расстояние между целыми точками такое же.
Поэтому уже при т з= F—1) (с—1) на отрезке прямой pc-\-qb=m в преде-
пределах того же квадранта есть целая точка.
§ 13]
КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ
173
Для (полу)квазиоднородных функций большей модальности,
А. Г. Кушниренко и А. М. Габриэлов [40] доказали совпадение
модальностей для (полу)однородных функций. Внутренняя мо-
модальность т0 не больше обычной: т0 ^ т. А. Н. Варченко
A981) доказал, что то—т.
13.3. Нормальные формы полуквазиоднородных функций. Для
приведения квазиоднородных функций к нормальным формам
нужно классифицировать орбиты действия группы квазиоднород-
квазиоднородных диффеоморфизмов на пространствах квазиоднородных функ-
функций. Вычисления основаны на двух общих теоремах о квазиодно-
квазиоднородных функциях (теоремы А и В ниже). Для формулировки
этих теорем введем некоторые определения и обозначения.
Пусть «=@1!, . . ., <хв) — набор положительных рациональ-
рациональных чисел, задающий тип квазиоднородности в пространстве С"
с фиксированными координатами (хх, . . ., хя).
Алгебра Ли группы квазиоднородных диффеоморфизмов на-
называется квазиоднородной алгеброй и обозначается через а (а).
Например, о A, l)=gt B, С).
Определение. Носителем квазиоднородных функций сте-
степени d типа я называется множество всех целых неотрицатель-
неотрицательных точек т на гиперплоскости (т, x) — d. Носитель называется
полным, если он не принадлежит аффинному подпространству
размерности меньше п — 1 в С".
Квазиоднородные функции можно рассматривать как функции,
заданные на носителе B,атхт имеет в т значение ат). Все такие
функции образуют линейное пространство С, где v — число точек
носителя. Группа квазиоднородных диффеоморфизмов и квазиодно-
родяая алгебра а (я) действуют на этом пространстве С*. Из опре-
определений непосредственно вытекает, что алгебра Ли а (а) поро-
порождается как С-линейное пространство всеми мономиалъными
полями хрдо для которых (р, &) = а{ (здесь и далее 9,- = д[дх().
Например, п мономов xtd{ принадлежат а («) при любых а.
Определение. Корнями квазиоднородной алгебры а (а)
называются все ненулевые векторы т пространства показателей,
лежащие в плоскости (т, а) = 0 и имеющие вид т = р—1<
(где 1,. — вектор, у которого отлична от 0 только i-я компонента,
равная 1, а вектор р имеет целые неотрицательные компоненты).
Иными словами, т — корень, если хрд( — мономиальное поле
из а (а), отличное от xtd{.
Заметим, что i восстанавливается по корню т, так как у век-
вектора т ровно одна отрицательная координата, т( = —1 (все ком-
компоненты т не могут быть неотрицательными, поскольку (иг, а) = 0).
Теорема А (см. [13]). Предположим^ что носитель по-
полон. Тогда действие алгебры Ли а (я) на пространстве функций
на носителе однозначно определяется по классу аффинной экви-
эквивалентности пары (носитель, система корней).
174
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Теорема В (см. [13]). Квазиоднородная алгебра Ли а (я)
определяется своей системой корней (как подмножеством линей-
линейного пространства, натянутого на корни) и своей размерностью
с точностью до конечного числа вариантов.
Иными словами, если не различать алгебры, получающиеся
одна из другой прямым сложением с тривиальной (коммутатив-
(коммутативной) алгеброй, то существует лишь конечное число неизоморфных
алгебр Ли а (я) с линейно эквивалентными системами корней.
В нужных нам примерах это конечное число равно 1.
Замечания. Аффинные эквивалентности носителей и
линейные эквивалентности систем корней в теоремах А и В не
обязаны переводить в себя ни координатный симплекс mi ^ О
на плоскости (т, a)=d, ни решетку целых неотрицательных т
в С". Группы квазиоднородных диффеоморфизмов и их орбиты
в пространствах квазиоднородных функций в условиях теорем А
и В не обязаны совпадать, однако связные компоненты орбит
совпадают.
13.4. Доказательство теоремы В. Пусть М с Сг с С" — система
корней алгебры а («), порождающая плоскость Сг в С" (О^г^ге—1).
Сопоставим каждому корню т(<М базисный вектор ет в Cv (где
v — число корней). Рассмотрим r-мерное линейное пространство
Я = Нот (С, С) и прямую сумму b = Н © С.
Лемма. В пространстве Ь = Я®С" можно задать следую-
следующую структуру алгебры Ли:
A) [^, /у = 0г(Уй1
B) [h, em] = (h, m)e
C) [emi, emj = iVmi> m,emi+mi, где
/Vmii Wj = О, если ипх -f- m2 не корень;
=—max {X: пгг-j- Am2 — корень), если этот макси-
макси^1
у ^
= -}-тах{Х: т2-\-^т1— корень), если этот макси-
>1
у>
— ±1, если оба максимума = 1 (случай, когда оба макси-
максимума > 1, невозможен);
D) [ет. е_т] = йт, где функция hm^H меняет знак при отра-
отражении С, сохраняющем М и переводящем т в —т, нормиро-
нормированная условием hm (т) = 2 (такое отражение существует и един-
единственно для любой пары противоположных корней).
Квазиоднородная алгебра Ли а (я) изоморфна прямой сумме
алгебры Ли Ь (получающейся при некотором выборе знаков +
в C)) и тривиальной (коммутативной) алгебры:
§ 13]
КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ
175
Доказательство леммы. Рассмотрим мономиальный базис
а (*) над С и обозначим базисные мономы так:
(i определяется корнем т однозначно). Покажем, что эти обра-
образующие удовлетворяют соотношениям коммутации A)—D).
Будем рассматривать дифференцирования h. и ет как линей-
линейные операторы в пространстве всех функций на решетке Z" в (ком-
плексифицированном) пространстве показателей Сн. Тогда h{ есть
оператор умножения на t-ю координату. Мы будем обозначать опе-
оператор умножения на функцию так же, как саму функцию. Итак,
(ha) (k) — h (к) а (к), где к 6 Iя, a: Z"-*C.
Соотношение A) доказано, так как умножения на функции ком-
коммутируют.
Обозначим через ат действие сдвига пространства Сн на т ? Ъ"
на функции:
(ата) (к) = а (к — т), где к 6 Z", a: Z"->G.
Тогда ет = отй^. Вычисляя коммутатор умножения на линейную
функцию и сдвига, получаем
[h, em]=-h(m)am.
Отсюда сразу вытекает соотношение B). Далее, вычисляя ком-
коммутатор ет, и вт^, получаем
fl (m2) hiz —
x) hi).
Если mx -j- m2 не корень и не 0, то оператор справа может
принадлежать а (я), только если он 0. В этом случае [ет%, emJ=O.
Если т1 -\- т2 — корень, то у этого вектора ровно одна отри-
отрицательная компонента, и она равна —1. Векторы тг и т2 также
имеют по одной отрицательной компоненте, равной —1. Поэтому
у тх -]- т2 отрицательна либо та же компонента, что у тх, либо
та же, что у т2. Предположим, например, что у т1-\-т2 отри-
отрицательна та же компонента, что у тх. Тогда компоненты с номе-
номерами ij i i2 у векторов т1? пъ2 и m1-\-'kmi имеют вид
к
к
тг
_1
Р>0
т2
0
-1
т
Р
—1
-1 3
и,
* 0
—1
р —/.
Следовательно, тг-\-У.т^ — корень при X^.pz=hit(ml), т. е.
{' f^2 — корень}.
176
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. II
Итак, в случае ftfi (тп1 -f- т2) = —1 имеем
L^»»i> &тг\ == ft»', (***i) ^n^+inj"»', ¦''nip я»1^я»,+1Я,|
где #»»„,»,=—hi2 (nij); тем самым доказано соотношение C).
Пусть т и —т — корни. У обоих этих векторов ровно по
одной отрицательной координате, равной —1, так что em — x{dj,
e-m = Xjd(. Следовательно, веса а( и а^ равны. Перестановка коор-
координат i, / в С" является отражением, переводящим систему всех
корней в себя, меняя местами т и —т. Далее, [ет, е_т] =
= hf — hj. Если рассматривать hm — ft,- — ft. как функцию в С",
то она меняет знак при отражении, переставляющем i и j, и равна
-j-2 на векторе т. Итак, операторы h, em удовлетворяют соотно-
соотношениям A)—D).
Рассмотрим теперь натянутое на корни подпространство Сг
в координатном пространстве С" с обычной эрмитовой метрикой,
<(к, 1у = ^кA(. Пространство Сг и метрика инвариантны относи-
относительно всех перестановок координат с равными весами (af = a^.).
Поэтому ортогональное дополнение С"*" к С в С также инвариантно.
Представим линейное пространство алгебры a (a) в виде a (a) =
= НТ 0 К* 0 Нп~г, где Нг состоит из линейных функций h на С",
равных нулю на Св~г; Нп~г — из линейных функций ft на С", рав-
равных нулю на С; К4 состоит из линейных комбинаций векто-
векторов ет.
Из доказанных соотношений коммутаций следует, что Нп~г лежит
в центре алгебры a (л) и что Нг 0 Kw является идеалом, изоморф-
изоморфным алгебре 6. Следовательно, а(я) ~Ь Q Нп~г, и лемма доказана.
Теперь мы можем закончить доказательство теоремы В. Дей-
Действительно, соотношения A)—D) выражают коммутаторы в алгеб-
алгебрах Ь и а через геометрию корней, без ссылок на координаты
(исключая выбор знака + в одном из соотношений C)). Таким
образом, набор корней, как векторов в С-линейном пространстве С,
определяет алгебру с точностью до конечного числа возможностей,
что и доказывает теорему В.
Замечание. Неизвестно, могут ли при разных выборах зна-
знаков в соотношении C) получаться неизоморфные алгебры.
13.5. Доказательство теоремы А. Продолжим функции на но-
носителе на решетку Z" всех целых точек в плоскости носителя,
положив их равными 0 вне носителя. Операторы ft,., em, a»», h,n,
определенные при доказательстве теоремы В на функциях на ре-
решетке Z", действуют и на пространстве функций на решетке Z"
в плоскости носителя. Получающиеся операторы в пространстве
функций на Z" будем обозначать теми же буквами. Таким обра-
образом, ht и hm являются операторами умножения на аффинные в пло-
плоскости носителя функции, ат есть оператор сдвига на корень т,
а em = amh..
§ 13]
КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ
177
Пусть т — корень. Назовем точку к носителя базовой для пъ,
если к -J- m не принадлежит носителю. Множество всех базовых
точек корня т назовем базой корня т (в данном носителе).
База корня иг = р — 1,- образована всеми точками носителя,
в которых г-я координата равна 0. Следовательно, вся база
лежит в одной аффинной гиперплоскости С" в плоскости носителя.
База каждого корня полного носителя принадлежит ровно одной
аффинной гиперплоскости С"" С! С". Действительно, каждая точка
носителя получается из точки базы вычитанием неотрицательного
целого кратного корня т; поэтому, если бы база содержалась в С"~3,
носитель содержался бы в С" и не был бы полным. Итак, суще-
существует одна и только одна аффинная функция в плоскости носи-
носителя, равная 0 на базе корня т и приращение которой вдоль
корня пг равно —1. Эта функция есть hi (суженная на плоскость
носителя). Следовательно, сужение hc на плоскость носителя одно-
однозначно восстанавливается по носителю и корню т.
Действие ет на пространстве функций на носителе можно
теперь описать в терминах одной лишь геометрии носителя и кор-
корней: ет = <зтк., т. е. (ета) (Тс) = h{ (Тс — т)а(Тс — иг) для любой
функции а. Заметим, что оператор ет оставляет инвариантным
пространство функций, равных 0 вне носителя, так как в базовых
точках h. обращается в 0.
Алгебра а (а) действует на пространстве функций на решетке
в плоскости носителя, так что возникает представление <р: a («) —»¦ S,
где & — алгебра эндоморфизмов этого (бесконечномерного) про-
пространства функций. Рассмотрим образ представления <р. Этот
образ определяется геометрией носителя и корней. Точнее, пусть
а1 = а(я1) и a2 = ct(«2)—Две квазиоднородные алгебры и iS^cC"",
S2 С С" — полные носители. Пусть ф" С" ->- СГ1 — аффинное ото-
отображение, биективно переводящее Бг в S2 и систему корней для ах
в систему корней для а2. Тогда индуцированный ф изоморфизм ф*
пространства функций на €?-1 в пространство функций на С"
изоморфно переводит алгебру Ли f (a2) в алгебру Ли <р (аг).
Действительно, алгебра a (a) порождена над С мономами xidi
и остх(дцт-). Образы полей ^2fixidi в § — это операторы умножения
на всевозможные аффинные функции в плоскости носителя. Образы
полей эстХ;дцт) — это операторы ет, определяемые геометрией
носителя и корней. Следовательно, <|>*e<p(m) =em4f, и, значит, <!>
индуцирует изоморфизм ЧГ: <p(ct2)-»<p (ax).
Ядро гомоморфизма алгебр Ли а (я) -»• & есть 0.
Действительно, пусть (h -J- ^fmem) a = 0 для всех функций а.
Выберем точку 7с, где все him отличны от 0, и применим h -J- Y,cme,tl
к функции 8fc, равной 1 только в к. Получим ft(fc)aft-j-
+ ^fmhim(к)Ok+m = 0, откуда с,„ = 0 и /г(Л) = О. Следовательно,
h^O. Итак, алгебра Ли ера (ос) изоморфна алгебре ct (a).
12 В. И. Арнольд и др.
178
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Изоморфизмы а2—*-<р(а2)—*"Я3(<^i) -^- ^i показывают, что как
алгебры Ли аг и а2, так и их действия на пространствах функций
на 1?! и iS изоморфны. Теорема А доказана.
Следствие 1. Пусть набор весов а и степень d таковы,
что существует квазиоднородная функция с изолированной кри-
критической точкой 0 с нулевой 2-струей. Тогда система корней
и носитель однозначно определяют алгебру Ли а (а) и ее дей-
действие «р.
Доказательство. При сделанных предположениях носитель
полон. Действительно, из изолированности вытекает, что при
каждом г имеется моном вида х°<х -ю (/ ? {1, . . ., п) и по условию
а<^>1). Покажем, что показатели этих п мономов, принадлежащие
носителю, линейно независимы. Система уравнений z чо -f- atzt
относительно z имеет при а.~^>\ только нулевое решение (в чем
легко убедиться, рассматривая циклы эндоморфизма конечного
множества, i *-*¦]). Следовательно, определитель ее матрицы не О,
и, значит, наш носитель полный. Теперь утверждение следствия
вытекает из теоремы А.
Следствие 2. Пусть у: С* -+СГ1 — аффинный изоморфизм
плоскости полного носителя S± в плоскость полного носителя S2,
переводящий S± в часть S2, корни алгебры ах — в часть корней
алгебры а2 и базы корней аг — в часть баз соответствующих
корней а2. Тогда у индуцирует изоморфизм действия <р алгебры аг
на функциях на Зг и действия подалгебры алгебры а2 на про-
пространстве функций на S2, равных нулю вне у (S^).
Доказательство. Указанная подалгебра порождена над С
операторами h умножения на все аффинные функции и операто-
операторами ет, где т — образ корня первой алгебры. Действия ет опре-
определены корнями и базами и потому коммутируют с действием у.
Следствие 3. Пусть в условиях следствия 2 в носителе Sx
отмечено несколько точек и в них фиксированы значения функций.
Все функции на S± с фиксированными значениями в этих точках
образуют аффинную плоскость Р в пространстве функций на St.
Пусть ар — стационарная алгебра этой плоскости Р. Тогда изо-
изоморфизм f следствия 2 индуцирует изоморфизм действия ар на Р
с действием некоторой подалгебры алгебры Ли а2, сохраняющей
плоскость ч~г*Р в пространстве функций на 52.
Доказательство. Отображение первого действия во
второе коммутирует с Т*. что и требовалось доказать.
13.6. Пример. Пусть, поворачивая линейку (плоскость) Нью-
Ньютона вокруг прямой, проходящей через показатели одночленов
бинома op—a:2z+yza, мы остановились на плоскости, проходящей
через показатель монома yik+1. К какому виду можно привести
возникшую квазиоднородную функцию sp+- • • квазиоднородными
диффеоморфизмами?
§ 13]
КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ
179
х-о
Вычисляя тип а и степень d, получаем « = B&-j-l, 2, 4/с),
d = 8u-]-2. Мономы носителя: x2z, yz1, хлуК, yi Lz, с/4 \
Носитель аффинно эквивалентен подмножеству носителя куби-
кубической однородной формы, образованному показателями мономов
XYZ, YZ*, XY2, Y*Z, Y3
(рис. 52). Корневое поле:
у2кд/дг. Его образ в носи-
носителе однородных форм:
YdldZ.
Рассмотрим в простран-
пространстве функций на квазиод-
квазиоднородном носителе плос-
плоскость, образованную функ- Рис- 52-
циями, равными 1 в точках,
отвечающих мономам a;2z и yz2. Рассмотрим стационарную под-
подгруппу этой плоскости в группе квазиоднородных диффеомор-
диффеоморфизмов.
Орбиты компоненты единицы этой подгруппы при^ отображе-
отображении носителей переходят в орбиты соответствующей группы
линейных преобразований (след-
(следствие 3).
Алгебру Ли получающейся
линейной группы легко описать:
она порождается торической
частью, действующей на функ-
функции на носителе как умножения
на аффинные функции, рав-
равные 0 в отмеченных знаком *
точках носителя (где фиксиро-
фиксировано равное 1 значение функ-
функции), и образом корневого век-
вектора.
Итак, мы сводим нашу задачу
к классификации многочленов
относительно замен Z=Z' -\-\Y'
и X=fX\ Y—f'^Y', Z=-(Z'. Эта задача эквивалентна аффинной
классификации плоских распадающихся (выделяется Y=0) ку-
кубических кривых, имеющих не менее двух конечных (А'^О)
двойных точек (У=0, XZ+Z2=0).
В зависимости от того, распадается ли кубика на три прямые
или только на прямую и конику, и от того, имеется ли касание
с бесконечностью, возможно четыре случая (рис. 53), которым
отвечают нормальные формы:
1)
2)
12*
Рис. 53.
180
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. II
3) XYZ + FZ2 + Г%- 4) XYZ + YZ2.
Окончательный список квазиоднородяых нормальных форм:
1) ? + bzi/2*+1 + i/**+\
2) ср + Л/2*;
3)? + V+1, 4) ср.
§ 14. Спектральные последовательности для приведения
к нормальным формам
Здесь описан метод приведения к нормальным формам, основан-
основанный на спектральной последовательности, построенной по филь-
фильтрации комплекса Кошуля, определенного частными производ-
производными изучаемой функции. Мы не используем явно никаких свойств
спектральных последовательностей или комплексов Кошуля, а не-.
посредственно доказываем все, что требуется для практических
вычислений. Соответствие наших построений с обычными алгеб-
алгебраическими конструкциями описано в [14].
14.1. Построение последовательных приближений. Пусть / —
ряд из А =<Е[[х1, . . ., хп]]. Рассмотрим алгебру Ли 21 формальных
векторных полей а = ^asdfdxs. Определим отображение Л-моду-
лей д: ty-^A формулой da = ^la,dflldxa.
Мы вводим обозначения:
1^^=1тд — градиентный идеал для /,
Sf = Кег д — стационарная алгебра для /,
Qf=AjIf—локальная алгебра для /.
Ниже описад метод последовательных приближений для вы-
вычисления Sf и Qjr. Зафиксируем тип квазиодяородности я = (а1? . . .
• ¦ •> ая)> гДе веса а, натуральные. Индуцированные фильтрации в А
и в 21 (см. § 12) будем обозначать через
a = aozdA1zd..., 21 =>... :э 2Ц z> 2le z> 21г z> ...;
здесь 21, = {а 6 21: аАр с Ap+d
Пусть f?AA'. Тогда d2l0 (Z А«. Мы будем обозначать 210 через
21+, А'ц — через А+. Сужение д на 21+ определяет отображение
.4.-модулей д+: 2!+ ->А+. Мы вводим обозначения:
I+f = Im д+ — верхний градиентный идеал для /,
•S"^=Kerd+ — верхняя стационарная алгебра для /,
Q+f = A*ll+f — верхняя локальная алгебра для /.
Для дальнейшего удобно определить фильтрации в Л-модулях
21+ и А+ следующим образом: ая = 21р при р^О, а^ = 21о Щ>и
р <10, с$р = Ац+Р при р ^ 0, о$р = An при р^.0. Отображе-
Отображение д+ уважает эти фильтрации: д+а (Z <М •
§ 14]
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
181
Замечание. Наши последовательные приближения — это
спектральная последовательность фильтрованного комплекса, диф-
дифференциал которого определяется последовательностью
Пусть г ^ 0, р ^ 0. Отождествим фактор-пространства S°p =
= ap/2lj,+1, Ар = о&р1с!$рП с пространствами квазиоднородных век-
векторных полей степени р и многочленов степени N -f- p соответ-
соответственно. Пространства S0 я А0 — это нулевые приближения
к «^-компонентам» в JL-модулях S+f и Q* соответственно. Следую-
Следующие приближения Srp, Arp определяются ниже.
Пусть / = /0 -f- /x -J- . .. — разложение ряда на квазиоднородные
составляющие степеней N, /V —(— 1, ...
Определение 1. r-е приближение к р-компоненте ста-
стационарной алгебры, Srp, есть пространство квазиоднородяых век-
степени р, допускающих «продолжения» до век-
торных полей sp
тор-многочленов
г уравнений
Определение 2.
однородное поле sp из i5
SP + • • • + sP+r-n удовлетворяющих
системе
f0 = 0, . . ., Spfr_v + • • • + Vr_i/o = °-
«Дифференциал» dr действует на квази-
' по формуле
drsp = sjr -f ¦ • • + spJo
где s удовлетворяют условиям определения 1, а 1гр+г определено
ниже (при г^>0 можно взять sp+r = 0).
Определение 3. г —j— 1-е приближение к р-компоненте гра-
градиентного идеала, Г+1, определяется как множество всех квази-
квазиоднородяых многочленов степени N -f- p, представимых в виде
Sp-Jr + ¦ • ¦ + sPfo' гДе квазиоднородные поля sq указанных сте-
степеней удовлетворяют г условиям
Sp-rfo = 0'
Sp-r+lf<> = 0,
r/r-1 +
Sp-
Jo
и принадлежат 21+ (т. е. все sg с q<C.O равны 0).
Определение 4. r-е приближение к р-компоненте локаль-
локальной алгебры определяется как Ар=А°р1Гр (г^>0).
Предложение. Имеют место равенства
Sp
Ap+r),
Доказательство см. в п. 14.4.
Пример 1. d°: S°p -> Ар определяется равенством d°sp = spf0.
Следовательно, I1 есть однородная N -j- /^-компонента градиентного
182
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
идеала квазиоднородной части /0 степени N функции / = /0-j-...
Поэтому А1 можно отождествить с /V —[— ^-компонентой локаль-
локальной алгебры О квазиоднородной функции /0. Далее, S1 есть
/^-компонента стационарной алгебры функции /0.
Пример 2. d1: S^ -» Аг+1 определяется равенством d1sp^
= 5^ mod {sp+1f0}, где spfo = 0. Следовательно,
Sp = {sp: spfo — 0, 3sp+1: sJ,/1 = sp+1/o},
^ = (Vo) + (Wi: Wo = 0}
(при p = 0 второе слагаемое исчезает).
Таким образом, при г = 0 и при г = 1 значение d*"^ дифферен-
дифференциала dr определяется как класс смежности многочлена spfr. Эта
простая формула для дифференциала не сохраняется при боль-
больших г.
Пример 3. d2: Sp->A2^ определяется равенством d?sp =
k + / d ) +
mod
sPfo = °'
ржений,
последовательности Sr и Агр
+w»
14.2. Теоремы о нормальных формах.
1°. Сходимость последовательных приближений.
Теорема. Для каждого р^ ьнот S
при достаточно больших г стабилизируются: Sr=S'p3, A\1 = Л.
Предельные пространства Sr и Аг совпадают с пространствами
начальных р-форм элементов верхней стационарной алгебры и
верхней локальной алгебры для /:
5- ^
+ Г) а,)/E+ П ар+1), а; ^
П I+f)
Указанные выше изоморфизмы определены естественными ото-
отображениями е)#р-+Ар, S+pr\ap-*Srp.
2°. Нормальная форма членов степени р.
Зафиксируем числа р ^> г ^ 0.
Теорема Тгр. Пусть ег, . ¦ -, еш — квазиоднородные много-
многочлены степени N-\-p, ^порождающие Ар+1 при естественном
отображении о$р-*- Агр+г. Тогда существует формальный диффео-
диффеоморфизм
такой, что ряд f=fQ-\-f1-\-... после подстановки у прини-
принимает вид
/(г/i. •••>г/»)=/о(*)+••.+/,-!И + Еса-И + л, в
где с( — числа.
§ 14]
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
183
Здесь, как обычно, /==/o~(~/iH~ • • • означает разложение
ряда / на квазиоднородные составляющие степеней N, /V —(— 1, ... .
3°. Нормальная форма r-зо приближения. Зафиксируем число
Теорема Тг. Пусть ег, е2, ... — квазиоднородные многочлены
всевозможных степеней N-}-р, где р^>г, ^-порождающие все про-
пространства Ar+1 при естественных отображениях о$р-*Агр+1.
Тогда существует формальный диффеоморфизм
где
такой, что
мает вид
ряд / = /0 -]— /г -f- . .. после подстановки у прини-
принигде ci — числа.
4°. Условия В и С. Рассмотрим главную квазиоднородную
часть /0 ряда / = /„4-/!+ • • •
Определение. Ряд / удовлетворяет условию В, если ста-
стационарная алгебра Ли точки /0 при действии алгебры Ли квази-
квазиоднородных диффеоморфизмов на пространстве квазиоднородных
многочленов степени N = d.egf0 тривиальна (равна 0).
Иаыми словами, / удовлетворяет условию В, если ,SJ = O.
Таким образом, условие В накладывается лишь на /0.
Теорема ВТ. Если f удовлетворяет условию В, то тео-
теорема Tr p справедлива при г = р~^1.
Определение. Отрицательной алгеброй Ли ЗД~ типа я
называется алгебра Ли векторных полей вида ^а'^д/дх^ где все
мономы каждого многочлена а'3 имеют степень строго меньшую,
чем степень монома xs (degxs=:cls).
Заметим, что 'Q.V — конечномерная алгебра Ли.
Определение. Ряд / = /0-J-fx-J- ... удовлетворяет усло-
условию С, если стационарная алгебра точки /0 [при действии отри-
отрицательной алгебры Ли 51" на пространстве многочленов (квази)-
степени не выше /V = deg /0] тривиальна (равна 0).
Заметим, что условие С накладывается лишь на /0.
Теорема СТ. Если f удовлетворяет условию С, то I+f =
Следствие. Пусть f удовлетворяет условию С, и пусть
ei> е2' ез' • • • — квазиодно родные многочлены всевозможных сте-
степеней N -J- р, р~^0, определяющие базисы в пространствах А°°
спектральной последовательности при естественных отображе-
отображе$А°3 Тд б в лльной
р
ниях о$р
-А°3
A
Тогда образы многочленов ег, е2, ... в локальной
р
алгебре Qj-=A.jIj G-линейно независимы.
Иными словами, касательное пространство деформации +
пересекает касательное пространство к орбите / в одной точке.
184
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
14.3. Пример. Пусть /0 = ж*-j-a?y2k+1, k^-i. Эта функция
квазиоднородна, с весами deg х = 2к -\- 1, deg г/= 2, степени N =
= deg fo = 8k -\- 4. Она удовлетворяет условиям В я С.
Теорема W. Всякий формальный ряд / = /0-f-/x-f- . . ., где
deg fp = N -\- р, формальным диффеоморфизмом приводится либо
к нормальной форме
(и где а —О /г/га &•—1), либо к аналогичной нормальной форме
с 6 = 0 {последнее — лишь в случае, когда кратность \х критиче-
критической точки 0 бесконечна). Число модулей ряда f не меньше, чем
число параметров в нормальной форме (т. е. чем Sk — 1).
Доказательство. Мы будем пользоваться отождествлениями
фактор-пространств Ар/Лр+1 и Я1р/Я[р+1 с пространствами квази-
квазиоднородных многочленов и векторных полей.
Пусть sp — квазиоднородное поле степени р. Тогда, согласно
п. 14.1, d°sp = spfo. Легко доказывается (например, с помощью
кроссвордов из § 12)
Лемма 1. Однородный идеал 'Slo/o содержит мономы ж*, х3у2к,
x2y2k+1, xyik+l и бином 2x3yk+1-{-xy3k+2. Пространства Ар (р^>0)
первого приближения порождаются над С образами мономов х3у",
где &-f-l<a<2&—-1, и гД где Р>4? + 2.
Согласно лемме 1 и теореме Тв, можно привести / к виду
F = fo-{-axsy*+1+bJ где a. = ao+ ... -\-а}с_2ук^ и где Ь — ряд
по степеням у, начинающийся с членов степени выше 4А: -j- 2 по у.
Обозначим через 4к -f- 2 -f- i показатель степени у в первом нену-
ненулевом члене &0<р, <?=^yik+2+i, ряда Ъ. Положим г —degcp— N = 2i.
Лемма 2. Для приближений, построенных по ряду F,
#=...= <Г* = 0, <Г [sp] = b0 [sp<p]
(здесь и далее квадратные скобки означают классы смежности).
Доказательство. Заметим, что стационарная алгебра функ-
функции /0 порождается над А полем v — xy2k Bk -f- 1) д/дх — Dх2 -J-
-\-2y2k+l)djdy степени 4А. Поэтому Sp = 0 при р<^4к. Значит,
для любого поля s = sp-j- sp+1 -(-..., для которого O=j?=sp(* [sp] ^ Srp,
r^l, имеем s^^l4fc. Но I4fc(axsyk+1) С 'Ио/о- Действительно, все
элементы идеала в левой части делятся на ж2 и имеют степень
не ниже 10A-J-4, а элементы ж*, х3у2к, х2у№+1 идеала в правой
части имеют степени не ниже 10А-(-4. Поэтому каждый моном
каждого элемента идеала в левой части делится на один из трех
указанных мономов, что и доказывает приведенное выше включение.
Итак, слагаемое <ьх3ук+г в нормальной форме не влияет на по-
последовательные приближения, откуда вытекает утверждение леммы.
Лемма 3. При г = 2?, p^-ik имеет место равенст'во drSrj, —
— Агр+1, и, следовательно, dq = 0 при q^>2i.
14]
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
185
Доказательство. По лемме 2 drS'i!c Z) С [v<p]. Но vf =
= (— 4ж2 + 2г/2*+1)Со^1+<, где со=^О. Далее, zV№+1 еЛ/о- Поэтому
C[ycp] = C[z/6fc+a+*] = ^Ift+r. Итак, drSrik = Arik+r. Умножая на под-
подходящую степень у, получим требуемое при р Ъ> 4&.
Теорема W вытекает теперь из теорем ВТ2( к СТ.
14.4. Доказательства.
1°. Из определения 1 видно, что S^ уменьшается с ростом
г: Srp+1 с Srp. Но Sp конечномерно. Значит, Srp стабилизируется
при г -» оо.
2°. Из определения 3 видно, что Гр растет о ростом г. Но Гр —
подпространство в конечномерном пространстве квазиоднородных
многочленов степени N-\-p. Значит, 1ГР стабилизируется при
Г -> 00.
3° Из определений 2 и 1 видно, что сумма в правой части
формулы для drsp определяется с точностью до прибавления
к sq (Я^> Р) слагаемых од, удовлетворяющих условиям
aP+ifo = 0, <зр+1и + °я+2/о = 0. • • •. °Д-2 + • • • + Vr-i/o = 0.
Указанная сумма при прибавлении о? к sg увеличивается на сла-
слагаемое vp±Jr-\ 4~ • • • ~f" ap+rfo- Это слагаемое принадлежит Irp+r по
определению 3. Следовательно, отображение dr: Sp-+Ap+r опре-
определено корректно.
4°. Докажем, что Sp+1 = KeT(dr: S^-*Ap+r). Из определения 1
видно, что S^1 состоит из тех элементов sp из Sp, для которых
можно выбрать sq (q^>p) так, чтобы удовлетворить, кроме урав-
уравнений, определяющих Srp, еще одному уравнению spfr-\- ...
... -f- sp^rf0 = 0. Но существование таких sq эквивалентно усло-
условию spfr~\- ... -f- sp+rf0 ^ Ip+r для любого выбора sq, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнениям, определяющим Srp (см. 3°). Поэтому sp Q Srp+1 о
-o-drsp = 0, что и требовалось.
5°. Докажем, что /?? = dTSp mod Fphr. Из определения 3 видно,
что /J+J. состоит из однородных многочленов степени N -f- p -\- г,
допускающих представление
spfi + Wo = °» • • ¦' spfr-i + - - ¦ + Sp+rfo = 0.
Это линейное пространство содержит Irp+r = {а = sp+1fr_x -j- . . .
••• ~f"Sp+r/o: S/>+l/o=O, ^+1/1 + ^+2/0 = 0, . . ., Sj,+l/r_2 + •¦•
... ~rsp+r_1/o = O}, так как можно взять sp=.O. Сравнивая опре-
определения Ip+r и lp^+r, мы видим, что во второе пространство входят
p p
многочлены, представимые в виде суммы из определения drs , и,
с точностью до /?+г, ничего другого.
Тем еамым доказано предложение из п. 14.1.
6°. Докажем, что приближения к р-компоненте стационарной
алгебры сходятся именно к ней: S™ ^ (S+f ( -0/(^/ П ^P+i)-
186
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Лемма. Если sp ? Sp при всех г, то существует формаль-
формальный ряд s = sp-\- ... такой, что sf=O.
Доказательство леммы. Согласно определению
SrP = ((а, Г) д-^р+г) + ар+1)/ар+1.
Следовательно,
П S, = ((а, П (П 5~W^r)) + ap+1) /ар+1.
Но Пд~1с^р+Г^д-1П^Р+Г = д-1О. Поэтому Г) Srp = ((а, П S}) +
-j- ap+1)lap+1, и лемма доказана.
Обратно, если sf = O, то s? принадлежит ?? при всех г, что
и доказывает утверждение 6°.
7°. Докажем, что приближения к р-компоненте локальной
алгебры сходятся именно к ней:
Действительно, если ар является начальной р-формой г-го
приближения к положительному градиентному идеалу, то эта же
форма является начальной для легко определяемого элемента на-
настоящего положительного градиентного идеала. Обратно, началь-
начальная р-форма ар любого элемента положительного градиентного
идеала имеет представление
(*о+ •••)(/•+ .-•) = «,+ •••
и, следовательно, входит в /« (и даже в /?+1).
Тем самым доказана теорема о сходимости из п. 14.2.
8°. Доказательство теоремы ТГшР, р^>г^0. Нужно доказать,
что N -j- р-квазиструи [/] mod o$p+v' [f + <?р] mod o$p+1 переводятся
друг в друга формальной заменой переменных неотрицательного
порядка y — x-\-g(x), Zgtdldxa?ap_r, если [<?Р]?ГР+1. Последнее
условие означает, что существует разложение <рр = sp_Jffr -j- . ..
... -j- spf0, где квазиоднородные поля sq неотрицательного порядка
удовлетворяют г условиям
и условия на sq зависят лишь от
Указанное разложение ур у q
членов /0, ..., fr разложения / и не зависят от следующих членов.
Рассмотрим однопараметрическое семейство N -j- р-квазиструй
Поскольку р^>г, разложение F(t) при любом t на квизиодно-
родные по х составляющие начинается со слагаемых /0 -j- ... + fr,
§ 14]
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
187
не зависящих от t. Поэтому пространство квазиоднородных много-
многочленов /?+1, построенное по F(t) при любом t, одной то же.
Определим векторное поле s в окрестности точки 0 (й С" форму-
формулой s = sp_r -f- ... -j- s . Тогда при любом t производная N -\-р-
квазиструи F (t) по направлению поля s равна
sF (t) =
-f ...
*,) (/о +••
P-rfr H- • ¦ •
mod &?p+i =
mod
(здесь важно, что р^>г; при р = г слагаемое t<? влияло бы
на sF (*)).
Поле s в точке 0 ? С" обращается в 0, так как s ? ар_г. Поэтому
фазовый поток поля s определен в достаточно малой окрестности
точки 0?<Св при всех t из отрезка O^f^l. Преобразование этого
потока за время t = 1 определяет р-струю локального диффеомор-
диффеоморфизма, переводящего F @) в F A) и вида y = x-\-g(x),
6 &Р-г- Этот диффеоморфизм искомый.
9°. Доказательство теоремы Tr, r
пользоваться теоремами Т.
r> r+1,
(
¦ г, г+2'
•¦ 0. Будем последовательно
. . для приведения к нор-
нормальной форме членов (квази)степени N -\- р, где р = г -|- 1,
г -j- 2, ... При этих операциях первые г -f-1 членов разложения
/ = /о + • • • + /r-j- • • .неменяются. Следовательно, при нормализа-
нормализации членов указанных (квази)степеней не меняются пространства
Irp+1 и Afi1. Поэтому к полученному после первой замены (за-
(замены теоремы 7*г> г+1) ряду применима вторая теорема и т. д.
Полученная последовательность формальных замен переменных
сходится, так как члены каждой фиксированной степени стабили-
стабилизируются (ибо у — х ? ар_г в теореме Гг_ р). Предельная формаль-
формальная замена — искомая.
10°. Доказательство теоремы ВТ. Пусть р=.г^1, /удовле-
/удовлетворяет условию В. Докажем теорему Тг г. Полагая р=г в дока-
доказательстве теоремы Tr p из п. 8°, получим
<Pr = So/r+ ••• +Srf0,
где sq удовлетворяют г условиям so/o = 0, 801г + s^ = 0, . . .
•••' sofr-i~\~ ¦•• +sr_i/o==0- Но 50 = 0 согласно условию В.
Следовательно, ни разложение <рг, ни условия на sq же зависят
от fr (но лишь от /в, . . ., /г_х). Поэтому и при р~г простран-
пространство Irp+1, построенное по F (t), не зависит от t. Оставшаяся часть
доказательства теоремы Tr> r такая же, как кояец доказательства
теоремы Тг при р^>г (п. 8°).
11°. Доказательство теоремы СТ. По определению /J = -21+/,
7^ = ЧД/. Поэтому // С 1Г и 1} С gJ^o- Следовательно, //С//Пg^0-
Докажем обратное включение. Пусть ц?/^Пе^о- Тогда u=.af ,
а (й S2l. Рассмотрим ненулевую квазиоднородяую компоненту at
188
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
поля а наименьшей квазистепени q. Квазистепени всех квази-
квазиоднородных компонент ряда а/, кроме aqf0, больше квазистепени
многочлена aqf0. Если <7<С0, то aJ0^=0 по условию С. Следова-
Следовательно, q <С0 противоречит и (й qj/0. Значит, q ^ 0, т. е. а ? Ч21+,
«?//, что и требовалось доказать.
§ 15. Списки особенностей
В этом параграфе описано начало иерархии классов особен-
особенностей голоморфных функций.
15.0. Предварительные замечания.
1. Нормальные формы.
Классом особенностей называется подмножество пространства
ростков (или струй) функций в 0, инвариантное относительно дей-
действия группы диффеоморфизмов пространства-прообраза, сохра-
сохраняющих 0. Примерами классов особенностей являются орбиты.
Два ростка (две струи) называются эквивалентными, если они
принадлежат одной орбите.
Другим примером класса является страт p. ==«onst. Кратностью
(числом Милнора) ^ критической точки 0 ? С" функции / на-
называется индекс особой точки 0 векторного поля grad /. Страт
;j.=const для/определяется как содержащая / связная компонента
пространства ростков с фиксированной кратностью [х. в 0. Две
функции одного страта (л. =const называются ^-эквивалентными.
Чтобы определить нормальную форму, рассмотрим пространство
многочленов М=С [х±, . . ., хп] как подмножество в пространстве
ростков функций / (xt, . . ., хп) в 0.
Нормальная форма для класса функций К задается гладким
отображением Ф: В —> М конечномерного линейного простран-
пространства параметров В в пространство многочленов, для которого
выполнены три условия:
1) Ф (В) пересекает все орбиты из К;
2) прообраз каждой орбиты в В конечен;
3) прообраз всего дополнения к К содержится в некоторой
собственной гиперповерхности в В.
Нормальная форма называется полиномиа^гьной (соответственно
аффинной), если отображение Ф полиномиальное (соответственно
линейное неоднородное). Аффинная нормальная форма назы-
называется простой, если Ф имеет вид
Ф фх, ..., Ъг) = % -f- Ъгхт* -f ... + Ъгхтг,
где ср0 — фиксированный многочлен, Ъ( — числа, a xmi — мономы.
(В приложениях многочлен ср0 обычно сам «прост», т. е. является
суммой небольшого числа мономов.)
Существование единой нормальной формы (хотя бы полино-
полиномиальной) для всего страта fx=const отнюдь не очевидно a priori.
15]
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
189
Удивительным выводом из наших вычислений является существо-
существование таких нормальных форм для всех особенностей нашего
списка (стало быть, в частности, для всех особенностей с числом
модулей 1 и 2). Большинство наших нормальных форм — простые
формы; вероятно, все особенности списка имеют простые нормаль-
нормальные формы. Неизвестно, насколько обширен класс функций,
для которых страт jx=const допускает простую (или хотя бы по-
полиномиальную) нормальную форму (этот вопрос естественно
относить к классам стабильной эквивалентности). J. Wahl и
В. А. Васильев [32] указали пример страта p. =const, не допускаю-
допускающего аффинной нормальной формы: ему принадлежит
/=*V (х+у)'(х+2у)*+х'-У:
2. Серии особенностей. В списке особенности разбиты на се-
серии, обозначенные заглавными буквами (мы используем светлые
буквы А, . . ., Z с различными индексами для обозначения стратов
р. = const и полужирные буквы А, . . ., Z с индексами или без них
для обозначения классов особенностей, являющихся объедине-
объединением стратов (j. =const). Хотя серии, несомненно, существуют, не
совсем понятно, что такое серия особенностей.
Рассмотрим, например, серии А и D, образованные орбитами
ростков Ак: /(ж, у) = xk+1 + J/2, Dk. f(x, у) = х2у-\-ук~1. Классы
Ак, Dk примыкают друг к другу так*):
А^—А-,*—Ал-—Дд"— ••¦
Ясно, что в приведенном примере имеются две серии, А ж О.
Каков, однако, формальный смысл этого утверждения и выходит
ли оно за рамки произвольных наименований?
Определить серию А — значит научиться обращать стрелки
примыканий так, чтобы от Ак идти к Ак+1, не сворачивая к Dk+1.
В данном случае это нетрудно сделать (особенности А имеют ко-
ранг второго дифференциала ^ 1). В более сложных случаях
также удается сформулировать правила обращения стрелок
(в каждом случае свои). В результате возникают серии с одним
или несколькими индексами (например, трехиндексная серия
Т,. ._ m = axyz-Jrxkjryljrz"'), причем функции серии могут зависеть
от параметров.
Как и в разобранном примере серий A, D, во всех случаях,
посла того как серия найдена, можно дать ее определение. Однако
*) Класс особенностей L примыкает к классу К (обозначение: К ¦*- L).
если велкая функция f?L может быть сколь угодно палым шевелением про-
деформировалл и функцию класса К.
188
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
поля а наименьшей квазистепени q. Квазистепени всех квази-
квазиоднородных компонент ряда af, кроме aqf0, больше квазистепени
многочлена aqfQ. Если q<C.O, то aJ0=?0 по условию С. Следова-
Следовательно, q<ZO противоречит af с/0. Значит, q ^ 0, т. е. а?51+,
и?7/, что и требовалось доказать.
§ 15. Списки особенностей
В этом параграфе описано начало иерархии классов особен-
особенностей голоморфных функций.
15.0. Предварительные замечания.
1. Нормальные формы.
Классом особенностей называется подмножество пространства
ростков (или струй) функций в 0, инвариантное относительно дей-
действия группы диффеоморфизмов пространства-прообраза, сохра-
сохраняющих 0. Примерами классов особенностей являются орбиты.
Два ростка (две струи) называются эквивалентными, если они
принадлежат одной орбите.
Другим примером класса является страт p. =«onst. Кратностью
(числом Милнора) р. критической точки 0 f С" функции / на-
называется индекс особой точки 0 векторного поля grad /. Страт
p.=const для/ определяется как содержащая / связная компонента
пространства ростков с фиксированной кратностью ц в 0. Две
функции одного страта p. =const называются ^-эквивалентными.
Чтобы определить нормальную форму, рассмотрим пространство
многочленов А/=С [хг, . . ., хп] как подмножество в пространстве
ростков функций / (хх, . . ., г,) в 0.
Нормальная форма для класса функций К задается гладким
отображением Ф: В —> М конечномерного линейного простран-
пространства параметров В в пространство многочленов, для которого
выполнены три условия:
1) Ф (В) пересекает все орбиты из К;
2) прообраз каждой орбиты в В конечен;
3) прообраз всего дополнения к К содержится в некоторой
собственной гиперповерхности в В.
Нормальная форма называется полиномиальной (соответственно
аффинной), если отображение Ф полиномиальное (соответственно
линейное неоднородное). Аффинная нормальная форма назы-
называется простой, если Ф имеет вид
Ф (bv . . ., Ьг) = ср0
где ф0 — фиксированный многочлен, Ь{ — числа, а хт* —мономы.
(В приложениях многочлен ср0 обычно сам «прост», т. е. является
суммой небольшого числа мономов.)
Существование единой нормальной формы (хотя бы полино-
полиномиальной) для всего страта p.=const отнюдь не очевидно a priori.
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
189
Удивительным выводом из наших вычислений является существо-
существование таких нормальных форм для всех особенностей нашего
списка (стало быть, в частности, для всех особенностей с числом
модулей 1 и 2). Большинство наших нормальных форм — простые
формы; вероятно, все особенности списка имеют простые нормаль-
нормальные формы. Неизвестно, насколько обширен класс функций,
для которых страт fi.=const допускает простую (или хотя бы по-
полиномиальную) нормальную форму (этот вопрос естественно
относить к классам стабильной эквивалентности). J. Wahl и
В. А. Васильев [32] указали пример страта pi=const, не допускаю-
допускающего аффинной нормальной формы: ему принадлежит
2. Серии особенностей. В списке особенности разбиты на се-
серии, обозначенные заглавными буквами (мы используем светлые
буквы А, . . ., Z с различными индексами для обозначения стратов
р. = const и полужирные буквы Л, . . ., Z с индексами или без них
для обозначения классов особенностей, являющихся объедине-
объединением стратов p. =const). Хотя серии, несомненно, существуют, не
совсем понятно, что такое серия особенностей.
Рассмотрим, например, серии Л и D, образованные орбитами
ростков Ак: f(x, у) = хк+1-\-у2, Dk: f(x, у) = эРу-{-ук~х. Классы
Ак, Dk примыкают друг к другу так*):
А.*—Ао*—А->"—Ал-*—...
Ясно, что в приведенном примере имеются две серии, Л и D.
Каков, однако, формальный смысл этого утверждения и выходит
ли оно за рамки произвольных наименований?
Определить серию Л — значит научиться обращать стрелки
примыканий так, чтобы от Ак идти к Ак+1, не сворачивая к Dk+1.
В данном случае это нетрудно сделать (особенности А. имеют ко-
ранг второго дифференциала ^ 1). В более сложных случаях
также удается сформулировать правила обращения стрелок
(в каждом случае свои). В результате возникают серии с одним
или несколькими индексами (например, трехинденсная серия
Т,. itm = axyzJrx!cjry!jrZm), причем функции серии дюгут зависеть
от параметров.
Как и в разобранном примере серий Л, D, во всех случаях,
поело того как серия найдена, можно дать ее определение. Однако
*) Класс особенностей L примыкает к классу К (обозначение: К *- L),
если вс;:кая функция /? L может быть сколь угодно малым шевелением про-
диформнровапа в функцию класса К.
J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
общее определение серии особенностей неизвестно. Ясно лишь,
что серии связаны с особенностями бесконечной кратности (на-
(например, D ~ х2у, T ~ xyz), так что иерархия серий отражает
иерархию неизолированных особенностей.
3. Периодичность. Разбиение многих классов особенностей
на страты p.=const обнаруживает своеобразную периодичность,
которую можно описать следующим образом. Вся стратификация
(разбиение) представляет собой цепочку одинаковых фрагментов
(зверей). Каждый зверь состоит из точек (стратов), две из которых
(голова и хвост) отмечены. Кроме головы и хвоста зверь может
содержать соединяющие их стрелками примыканий страты и
конечности (серии бесконечной длины). Голова каждого зверя
примыкает к хвосту предыдущего.
Например, стратификация особенностей коранга 2 с 3-струей
х3 дается цепочкой зверей, каждый из которых состоит из пяти
точек и одной бесконечной ноги
1
(Jk в списке).
Причина периодичности в общем случае не ясна. Частичное
объяснение удалось получить лишь для квазиоднородных особен-
особенностей с помощью техники, близкой к веерам Энриквеса—Дема-
зура (см. [107]).
Периодичность проявляется, однако, не только при приведе-
приведении к нормальным формам квазиоднородных функций, но и во всех
вычислениях, связанных с классификацией (так что фактически
для всех вычислений достаточно рассмотреть лишь одного зверя
из цепочки).
Как и существование серий, периодичность наводит на мысль,
что в множестве стратов имеется какая-то алгебраическая струк-
структура.
Д. Сирсыа [172] указал на связь периодичности с разрешением
особенностей: сдвиг на период соответствует одному а-процессу.
К сожалению, из этого замечания не удалось вывести периодич-
периодичность упомянутых выше вычислений.
4. Классы малой модальности. С точки зрения приложений
важнейшей характеристикой класса особенностей является его
коразмерность с в пространстве ростков функций с критической
точкой 0 и критическим значением 0.
Действительно, функция общего положения имеет лишь осо-
особенности коразмерности с=0 (невырожденные). Вырожденные
особенности появляются неустранимо лишь в случае, когда рас-
рассматривается семейство функций, зависящих от параметров.
15]
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
191
При этом класс коразмерности с неустраним малым шевелением
лишь в случае, когда число параметров 1^ с.
Таким образом, в приложениях всегда нужно исследовать все
классы, до коразмерности I (т. е. такие классы, что дополнение
к их объединению имеет коразмерность больше I). Эту задачу
не следует смешивать с задачей классификации особенностей
с коразмерностью орбиты <^ I (т. е. с p. <^ Z+1). Последняя задача
в приложениях встречается лишь как средство решения первой.
С топологической точки зрения важнейшей характеристикой
особенности является кратность критической точки, р. (равная
числу простых критических точек, на которые сложная точка
распадается при малом шевелении).
Неожиданным выводом из проведенных вычислений является
то, что алгебраически наиболее естественные результаты полу-
получаются не при классификации классов особенностей до определен-
определенной коразмерности с или кратности р., а при классификации клас-
классов особенностей малой модальности т.
Модальность т равна размерности страта p. =const в базе мини-
версальной деформации без 1 (см. [42]). Поэтому коразмерность
с страта р.=const в пространстве ростков функций с критической
точкой 0 и критическим значением 0, кратность jj. и модальность т
связаны соотношением
fi = с -j- лгг -}- 1.
В настоящее время полностью расклассифицированы:
A) все особенности, для которых с <^ 10;
B) все особенности, для которых р. ^ 16;
C) все особенности, для которых т <^ 2.
Особенности с числом модулей т=0, 1 и 2 называются соот-
соответственно простыми, унимодальными и бимодальными. Их списки
приведены ниже. Анализ полученных списков показал, что
1) простые особенности классифицируются в точности по
группам Кокстера Alc, Dk, Ев, Е7, Es (т. е. по правильным много-
многогранникам в трехмерном пространстве);
2) унимодальные особенности образуют одну бесконечную
трехиндексную серию Ти 14 «исключительных» однопараметриче-
ских семейств, порожденных квазиоднородными особенностями.
Квазиоднородные унимодальные особенности получаются пз
автоморфных функций, связанных с 14 замечательными треуголь-
треугольниками на плоскости Лобачевского и с тремя замечательными
треугольниками на обычной плоскости точпо таким же образом,
как простые особенности связаны с правильными многогранни-
многогранниками (см. [52]—[54]).
3) Бимодальные особенности образуют 8 бесконечных серий
и 14 исключительных двупараметрических семейств, порожденных
квазиоднородными особенностями.
192
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ, И
Квазиоднородные бимодальные особенности связаны с 6 ти-
типами четырёхугольников и 14 треугольниками на плоскости Ло-
Лобачевского (в последнем случае следует рассматривать автоморф-
ные функции с факторами автоморфности, соответствующими на-
накрытиям с числом листов 2, 3 и 5) (см. [53]).
Все особенности с числом модулей 1 и 2 классифицируются
в точности по вырождениям эллиптических кривых, расклассифи-
расклассифицированным Кодаирой (см. [60]). В. С. Куликов указал, что для
получения этих особенностей из вырождений эллиптической кри-
кривой нужно на минимальном разрешении вырожденного слоя раз-
раздуть 1, 2 или 3 точки, после чего исходный слой стянуть (см. [60]).
К сожалению, все перечисленные результаты получены срав-
сравнением независимо доказанных классификационных теорем, ни
одну из которых не удалось вывести из другой.
15.1. Особенности с числом модулей т=0, 1 и 2.
0. Простые особенности (т=0). Имеются 2 бесконечные серии
Л, D и 3 исключительные особенности Ев, Е7, Es:
Dk,
Е7
x3 4- ху3
1. Унимодальные особенности (т=1). Имеются 3 семейства
параболических особенностей, трехиндексная серия гиперболиче-
гиперболических особенностей и 14 семейств исключительных особенностей.
Параболические:
ю
х* + У3 + г3 + axyz
х* + У* + ах V
я3 + 27 ф 0
а- фА
4а3 + 27 Ф 0
Гиперболические:
14 исключительных семейств:
++
я»
Бы
z12
w\.
VlO
<?13
-is
х3 + У7 + <¦
х3 + у* + с
х3у 4- ху1 -
х*+Уъ + с
х3 + у* + Ъ
х* + у* + Ъ
Х'У + y2z -
ixy5
ixys
- ах2у3
ix2y3
\z% 4- аху3
\z% 4- аху1
- xz3 4- az5
zu
^13
w13
Qu
Su
U г*
x3 4- хуь -
x3y 4~ ys -
x3y 4~ J/e -
a;4 4- xjr4 -
a;3 4- y2z -
x* 4- y2z 4
^3 4- у3 +
гаа;у5
- xz3 4- ez5
г* 4- cixyz2
2. Бимодальные особенности Jpi—2). Имеются 8 бесконечных
серий и 14 исключительных семейств. Пусть a=a0Jra1y.
15]
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
193
4 бесконечные серии бимодальных осо-
особенностей коранга 2:
Обозна-
Обозначение
'з,о
Zi.o
w,,P
Нормальная форма
a:3 4- Ьх*у3 4- у9 4- сх^
а;3 4- х*у3 4- a^9+i"
а;3^ 4- dx*y3 + cxy* 4" У7
х3у -j- ж2у3 4- «У7^
х* 4- azV 4- У6
х*-{-хгу3 + аув+Р
(х2 4- У3J + axy^i
(а;2 4- У3J + aa;V+«
Ограничения
463 4- 27 ф 0
^>0, ао^0
4d3 4- 27 ,t 0
р > 0, а0 ф 0
р>0, ao?t0
g>0, яо^0
?>0, аоф0
Кратность,
?¦
16
164-.Р
15
15 4- Р
15
15 4-Р
15 4- Ц — 1
15 + 2?
4 бесконечные серии бимодальных осо-
особенностей коранга 3:
Обозна-
Обозначение
<?2,0
<?*.,
St.,
Ui,o
Нормальная форма
x3 4- ^z2 4- ax2y2 4- xy*
X3 _|_ yz2 ^ X2y2 _|_ as,e+J>
x2z+j/224-sr54-a2jr3
x2z 4- yz2 4- xV 4- ays+P
x2z 4- yzz 4- zj/3 4- ax^3+?
x2z 4- j/z2 4- zy3 4- ax"-y^i
x3 4- ?z2 4~ л:!/3 4~ aJ/3z
x3 4- xz2 4- хг/3 4- ay1+vz°
x3 4- xz2 4- xy3 4- e%3+!z
Ограничения
al Ф 4
p > 0, a0 ^= 0
ag^4
jj>0, ao^O
<?>0, ao=^0
? > 0, a0 =^ 0
•eW + ^O
2>0, ao^O
g>0, ao=^0
Кратность,
!>•
14
144-p
14
14 4- ,
14 4- 2q — 1
14 4-23
14
I44-23-I
144-23
14
#18
Его
Zu
W17
<?i6
Qu
и
скл ючи
Х34-!/1
*34-^
*у + *
х*-\-ху
х3 4- ь'2
x34-^z
x2z4-J/
тельных
»4-а^г/7
1 4- ахув
ув 4- щ*
* + ау7
2 4- г/7 4- ««г/5
2 4- j/8 4- ахУъ
*2 + Уе + azy1
с е
м е й с т в:
fiie
«17
«1.
И'..
^17
¦Sie
х3 4~ а;г/'
х3^ 4- ^8
х3у 4- J/8
х*4-^7-
х3 4- yz2
x2z 4- J/z
я3 4- sz2
4-од"
4- аху*
+ аху7
f ax2jr*
4- ху* 4- «У8
? 4- ХУ* + ays
+ г/в 4- a*V2
Все функции перечисленных семейств (при указанных в таб-
таблицах ограничениях) бимодальны.
13 В. И. Арнольд и др.
194
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
15.2. Особенности 'коранга 2 с ненулевой 4-струей. Всюду
этом разделе а — а0 + ... -f- alc_2yk~2 (при к = 1 а = 0).
4 f ¦ Л *¦* ^Ъ Л ТТ ТТ rf"V Л ^П Т» Т* Л V» fk ТТ ТГ* О J f* ТТ /"* ТТ XT ТТ Л П f\ Г*
в этом разделе а = ао-\- ... , ~д_2^ \--г-- - -- — ,.
1. Особенности коранга 2 с ненулев
4-струей. Кроме простых особенностей A, JD, Ев, Е7,
есть еще бесконечная серия классов:
Обозна-
Обозначение
Нормальная форма
Ограничения
Кратность,
Модаль-
Модальность, m
я» 4- Ьз V + ^3* + easy
***1
*.«
хг 4- j,«fc+i 4- axyik+1
*' + Уя
4Ь3 4- 27 # О
ft>l, «>0,
а0ф0
ft> 1
ft>l
6ft —2
6ft _ 2 4- г
6ft
6ft 4-1
6ft 4-2
ft—1
ft —1
ft —1
ft—1
Здесь с = c0 -j- ... -f- с^г/* при к > 2; при А; = 2 полагаем
е=0.
2. Особенности коранга 2 с нулевой
3-е тру ей и ненулевой 4-е т р у е й. Имеются 4 бес-
бесконечные серии классов X, Y, Z и W.
Особенности классов X и Y:
Обоз-
наче-
начение
Xk,P
Yk ,
x* +
Нормальная форма
Ьх3ук 4- axhj
3 ft 1 2 2
aj,fc)* 4- 6j,2*
Х(г2
2fc 4. x^3fc
+4]X
Ограничения
д^о,
ao^o Ф
Г <s =
9,
S г.
Ф\
12ft
12ft
12ft
Кратность,
— 3
-3 + P
_34.r4.s
Модаль-
Модальность,
m
3ft-
3A;-
3ft-
-2
-2
-2
В случае
Обозна-
Обозначение
A;=l эти
формулы
Нормальная форйа
X* 4- хгу2
х**г+а01
+ аоу**Р
с*у* + у*+'
нужно
несколько видоизменить:
Ограничения
Ч
Ф
Ф
0
0
Кратность,
V-
9
94-Р
Модаль-
Модальность, m
1
1
1
151
СПИСКИ" ОСОБЕННОСТЕЙ
195-
Конечно, Zlr0.= Х9, Х1г р = Г2> 4> 4+р) У?,, = Гя, 4+г> 4+, (см.п. 15.1).
Здесь
Д = 4 (og + ftg) - ogbj - 18ао66 + 27,. 6 = Ьа +
Особенности класса Z.
Особенности Z% 0 и 2*
/ — (х — аук) /2, где а0 ф
имеют нормальную форму вида
и /2 дается следующей таблицей:
Обозна-
Обозначение
/.
Ограничения
Кратность,
Модальность,
х3 + dxZy*** 4-
х3 + bxy2fc+zi+1 4-
+
+
4d34-27^0,
О
0
0
0
12ft 4- 6i — 3
12ft 4- 6/ — 1
12ft 4- 6j
12ft 4- 6i 4-1
3ft 4- г _ 2
ЗА 4_ t _ 2
3ft + i — 2
3ft 4- i — 2
Особенность Z'f, p (к ^> 1, ? ^> 0, /»^> 0) имеет нормальную форму
Ztp: {a? + aa;j/fc + by***)(x2 + j/2fc+2f+^), a0фО, Ьоф0;
ее кратность р —12&-{-6j-j-/> — 3, модальность лг = 3&-|-1 — 2.
При А;=1 предыдущие формулы видоизменяются следующим
образом:
1) верхний индекс, к, не указывается;
2) особенности Zif0, Ze,+11, Z6i+12, Z6>.+13 (i>0) имеют нор-
нормальные формы вида / = yf2, где /2 дается предыдущей таблицей;
3) ZC + У+1 + &3<+^+3) Ь ф 0 0
ф
3) Z(, >: / ( +
В формулах этого пункта всюду
0,
у
0,
0; р =
Особенности класса W:
Обозна-
Обозначение
Нормальная форма
х4 4" yilc+1 + axy3lc+1 +
4- cx2y2k+1
+ ахуяк+г 4- ^^ч-2
x4 4- ctx3jr*+1 4-
4-a;2jr!fc+1 4- byik+2+i
Ограничения
ft 5s 1
fc> 1
ft > 1, bg ^=4
Кратность,
12ft
12ft 4-1
12ft 4-3
12ft 4- 3 4- i
Модаль-
Модальность, m
3ft —2
3ft —2
3ft — 1
3ft —1
13*
196
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ, II
П родолжение
Обозна-
Обозначение
wit
' q
wl2k+t
Нормальная форма
(x^ -A- y2^+l\2 _f_
(X2 + y2!c+lJ +
4- bxiyik+1+i -)- axy3k+i+v
Х4+ + аГ2^+24-& **+»
4- ахуак+а -f- &a;2j/2ft+2
Ограничения
<7 > 0, Ьо Ф 0
<7 > 0, 60^0
*>1
ft>l
Кратность, |i
12ft 4- 2 4- 2g
12A; 4- 3 4- 2g
12A;4-5
12ft 4-6
Модаль-
Модальность, m
3k— 1
3ft — 1
3k — 1
ЗА; —1
В этих формулах Ь = Ь0-{- ... -\-b%k_xy'ik \ c = co-f- •••
• • ¦ + c2/t-2#2fc~2; как и вск>ДУ> «¦ = ао + • • • + ак-2Ук~2 Щ>и * > !
и а. = 0 при & = 1.
15.3. Особенности коранга 3 с приведенной 3-струей. Кроме
унимодальных особенностей серии Т (см. п. 15.1) имеются 3 беско-
бесконечные серии классов таких особенностей: Q, 8 и ТТ.
1. Серия Q. Особенности с 3-струей а;3-j- yz2 образуют беско-
бесконечную серию классов:
Обозна-
Обозначение
C».fc+4
*?6fc+5
*?6fc+6
Нормальная форма
«р 4~ Ьх2ук -f- ?jj2fc
<p4-x2jrfc + &Jr3fc+*
f + Узк+1 + Ъху2**1
<е 4- ху***14- &j/3fc+2
<р 4- jr3fc+2 4- bxy2k+Z
Ограничения
А>1, Ь§^4
& > 1, Ьо ^ 0
ft > 1
ft > 1
ft > 1
Кратность,
Н-
6ft 4-2
6А; 4- 2 4- i
6А;4'4
6ft 4-5
6ft 4-6
Модаль-
Модальность, m
к
к
ft
к
к
В этих формулах <р = а;3-f-У%*-> b — bo-\- ... -j-й^^* Ч
2. Серия /S. Особенности с 3-струей x2z-j- i/z2 образуют беско-
бесконечную серию классов:
Обозна-
Обозначение
Нормальная форма
V+y**+axy** +
4- czy™*1
<?+xyak+cyik+1 +
+ azy**1
? 4- &4fc+14- axy3k+1 +
4- 6zjr2fc+1
Ограничения
Ь§^4
Кратность,
12ft—1
12ft
12ft + 2
Модаль-
Модальность, m
3k —2
3ft —2
3ft— i
§ 15]
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
197
Продолжение
Обозна-
Обозначение
5*. 2g-l
Нормальная форма
4- Ьг/4Л;+1+1
v + ^^Y^^f
_j_ fyyik+2
f 4- u**+2 4- aa;u3S:+2 4-
4- &Z!/2fc+2
Ограничения
i > 0, b0 ф 0
<? > 0, b0 ^ 0
g > 0, Ьо ^. О
—
Кратность, р.
12ft 4- 2 4- j
12A; + 2<7 4- 1
12ft 4- 2? 4- 2
12ft + 4
12ft 4-5
Модаль-
Модальность, 7I
3/t —1
3ft —1
ЗА; —1
3ft—1
3ft — 1
В этих формулах <р = x2z,-f г/z2, a = ao-f ... _|_a
1 в 0Л1 6Й+ +^^х
при
• • • + c2fc_2J/.
Кроме того, имеются еще классы Sfc (к^>1), подразделяющиеся
на St,0, SPjc, SQk, 8Rk, где p (S%,0) = 12k — 4, n»EJ0)= •••
... =m(8Rk)=.3k — 2, oodim-81 = 9A — 3.
3. С е р и я J7. Особенности с 3-струей a^4-a;z2 образуют бес-
бесконечную серию классов:
Обозна-
Обозначение
Нормальная форма
Ограничения
Кратность, ц.
Модаль-
Модальность, m
, 4-
Uk,Zq
Uk> 2g-l
4- axy*k+i 4-
4~ Clx^yk
4- axzyk+1 4-
4- aa;2jrfc+1 4-
g > 0, c0
9>0, c0:
+
12ft
12ft + 2 4- 2g
12ft 4- 14- 2
12ft 4-4
4ft —3
4ft—2
4ft —2
4ft-2
В этих формулах f = xs-^xz2, c\ +1^=0 при g = 0;
всюду
. = ao4- ... -4-
при
при
a = 0 при /с = 1;
= 0 при к — 1;
Кроме того, имеются еще классы ТТ% (А>1), подразделяю-
подразделяющиеся на классы U%l0, UPk, UQk, URk, U8k, UTk, для
198
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
которых
— 4,
15.4. Серия V. Особенности коранга 3 с 3-струей х2у подразде-
подразделяются на классы Fx> 4, V*t, V*, где
Обозначение
Нормальная форма
Ограничения
4я3
4а3
+
+
о)*
, аа
27 =
27 =
= 0
ФО
?0
Крат-
Кратность, (>.
15
15 + Р
1А + 2д
15 + 2G
Модаль-
Модальность, m
г + г4 + azay + &z2j
г + z* + bz3y + z2jr2
Здесь p^>0, q^>0, a= ao-\-axy, & = 60-j-61z. Особенности
класса V* удовлетворяют условиям:
fi(F*)>17, m(F*)>3, codim(F*) = 13.
15.5. Прочие особенности. Все особенности, нормальные формы
которых не приведены выше, принадлежат следующим 7 классам:
Обозна-
Обозначение
N
S*
и*
у*
V
V"
о
Коранг
2
3
3
3
3
3
>з
Примынания
N->W13
Sh^> S12k_7
Uk^> U12k_8
Определение
/4 = 0
см. т. 77
ем. т. 90
см. т. 98
/з = *3
/з = 0
corank >4
12
15
14
13
13
16
10
v->
16
20
20
17
18
27
16
то >
3
4
5
3
4
10
5
Тео-
Теорема
47—49
77—81
90—96
97—102
103
104
105
Здесь к ^=2. Номера теорем относятся к теоремам § 16. Нор-
Нормальная форма для особенностей класса О, исключая множество
коразмерности с = 11, такова:
ax
-\-duf-\-exyzu, Д(а, 6,
где Д — дискриминант.
15]
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
199
15.6. Некоторые примыкания. Ниже указаны только те примы-
примыкания, которые естественно возникают в ходе классификации
(см. § 16) *).
1. Особенности с числом модулей т=0, 1 и 2.
1.0. Некоторые примыкания простых особенностей.
E6+-E7*-E8, A
а»
(Р) {X) (J)
f
(Е)
Классы _Р, X, J~ состоят из непростых особенностей. Все рас-
распадения простых особенностей описаны О. В. Ляшко в [651.
1.1. Некоторые примыкания унимодальных особенностей.
¦^10 ~
f
'2,3,8
^2,4,6
I
^2,4,4**7/
2,4,5*
•-•—^2,5,6 -
73.3,4
" -*^3.4.5 ^3.4,4<5il'^12
ii.:2T4,4,5-7'4>4.4-t/12-Dj0;
(о)
В скобках стоят классы особенностей» модальность которых
не равна 1. Полный список примыканий всех особенностей мо-
*) Эти примыкания обладают следующим свойством: примыкание вида
K-4-L исключает примыкание какой-либо части К' класса К к какой-
либо части 2/ класса L (например, A+-D исключает А^-> Dt). Примы-
Примыкания с указанным свойством мы будем называть сильными.
200
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
дальности 1 найден Брискорном [102]. Анализ таблиц примыка-
примыканий указывает на полунепрерывность спектра особенности (на-
(набора 1Х <^ . . . ^ 1^ показателей Стинбринка, см. [175]). Список
Брискорна примыканий унимодальных особенностей содержит
в точности все примыкания, допускаемые гипотезой полунепре-
полунепрерывности, кроме одного (Qn ->• 710). В. В. Горюнов прове-
проверил, что для всех этих примыканий выполняется гипотеза (см.
[94]) о полунепрерывности спектра особенности и что условие
полунепрерывности исключает возможность всех примыканий,,
кроме найденных Брискорном и еще одного, а именно исключае-
исключаемого полунепрерывностью индексов инерции формы пересечений.
1.2. Некоторые примыкания бимодальных особенностей.
Л
г
t... т...
Пирамиды исключительных особенностей модальности 1 и 2:
Вертикальные отрезки соединяют особенности, получающиеся
из одного класса Кодаиры с помощью конструкции В. G. Кули-
Куликова [60].
§ 151
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
201
2. Особенности коранга 2 с ненулевой 4-струей.
2.1. Особенности коранга 2 с ненулевой 3-струей.
:• 1/
'к, 2
2.2. Особенности коранга 2 с нулевой 3-струей и ненулевой
4-струей. Все такие особенности образуют одну бесконечную
серию классов
где
. = ~-Х
к, 0
причем
=+- zi^z*-
¦у
vk ¦
Чу
¦WW
W,
202
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСОБЕННОСТЕЙ
203
3. Особенности коранга 3 с приведенной 3-струей.
3.1. Особенности коранга 3 с 3-струей a?-\-yz2.
t
3.2. Особенности коранга З с 3-струей x*z-\-yz2.
S = <~~ St *~~ S 2"~~ ¦ ¦ ¦ ,
где
Особенности $? (А > 1) подразделяются на классы так:
3.3. Особенности коранга 3 с 3-струей a?-\-xz2.
где
J/* = «- тт*
t t t
4. Особенности коранга 3 с 3-струей
\
§ 16. Определитель особенностей
Приведенные ниже 105 теорем позволяют найти место любой
особенности в списках § 15.
16.1. Обозначения.
f — росток голоморфной функции в изолированной критической
точке 0 кратности р, или его ряд Тейлора в 0, или формальный
ряд от переменных х и у или х, у иг, имеющий конечное р.
f — g __ ростки или ряды / и g в 0 эквивалентны (существует
росток диффеоморфизма или ряд h такой, что f = goh).
=> — вытекает.
^ — смотри (ссылки вида t=> г не входят в формулировки
теорем; они указывают номер теоремы, где классифицируются
особенности рассматриваемого класса).
jkf — й-струя функции / в 0 (или многочлен Тейлора сте-
степени к в 0).
А, . . ., Z—классы стабильной эквивалентности ростков функ-
функций, определенные в § 15.
m(f) — модальность ростка / в 0.
c(j} — коразмерность страта р = const ростка функции / в про-
пространстве ростков функций с критической точкой 0 и критическим
значением 0.
с (Ж) — коразмерность класса Ж в том же пространстве.
ifxmi)f — квазиструя / в 0, определенная мономами хт< (или
соответствующий многочлен Тейлора) *).
*) Система пмономов {ас™4} от xi, . .., х„ с независимыми показателями
¦m<^Z"c:R'1 определяет гиперплоскость ГсЕ", Г={«г: (а, т)=1). Если
все компоненты а< вектора ос положительны, то а называется типом квази-
квазиоднородности, а число (а, т) — степенью монома аз™*. Многочлен 2/И1аз'
квазиоднороден степени d^Q типа л, если (а, т) = d У/т: 1тФ§-
Тип квазиоднородности определяет в алгебре С [[хг, ..., х„]] убывающую
кольцевую фильтрацию 40D..-,
Л„ = {/: (а, т) > d Vm: fm + 0}.
Фактор-пространство -Ae/(lM<i- d>1) называется пространством
квазиструй, определенных мономами (аз"**} (или определенных типом квази-
квазиоднородности а). При фиксированной системе координат квазиструи можно
204
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. п
эквивалентность струй или
Uxmi) f ^ 8 — квазиоднородная
многочленов Тейлора.
/*, «р — смысл этих обозначений для теорем 58—65, 66—81,
82—89, 98—102 объяснен перед первой теоремой каждой группы.
А — дискриминант. В теоремах 36, 37, 47, 48, 98, 99
Д = 4 (а3 + Ь3) -f 27 — аЪ% — 18а6.
16. 2. Определитель.
1. а (/) <^ оо => одно из четырех:
согапк/<Л t=>2;
= 2(^3;
= 3 t=> 50;
> 3 (=> 105.
2. corauk / < 1 => f 6 At (к > 1).
В теоремах 3—49 /6C[[:r, #]].
• . т2/= 0 => одно из четырех:
= 0 |=>13.
4. ff = &y + y**>f?Di,
5. /3/ = Л/ =>/6Л* (A>4).
В теоремах 6—9 число к ^ 1.
6*« 7яз „»*/(я, ^) = а;3=>одно из четырех:
1=>7
Л>
t=> 10
'*+!•
отождествить с многочленами, все мономы которых имеют порядок не выше
1 (т. е. показатели которых лежат на Г или с той же стороны от Г, что и 0).
Квазиоднородные диффеоморфизмы — это диффеоморфизмы С", сохра-
сохраняющие градуировку алгебры С [xi, . . ., х„]. Группа Ли квазиоднородных
диффеоморфизмов действует на пространствах квазиструй и на пространст-
пространствах квазиоднородных многочленов. Квазиоднородная эквивалентность есть
принадлежность одной орбите этого действия.
§ 16]
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСОБЕННОСТЕЙ
205
В теоремах 10—12 число
Юл. /^ у8?_, / = а;3 => одно из трех:
/^ ^ « Xs + axY + f\ 4а3 + 27 ^ 0 |=> 11»;
«я» + а!»у* |=>12fc;
«^я3 1=>6Л.
11Л- 7*3, SJ = в» + azV + J/Sfc. 4а3 + 27
12Л. /„f y3fc/ = в» + a?yk
Серия X.
13. J3f (x, г/)^0=>одно из шести:
/ е /fc, о-
f 6 /fc>, (p > 0).
17;
= 0
14. JJ
15. jj
16. /4/
17. jj = x3y
В теоремах 18—21 число
18P. ;хзу ^+1/= а;3^ => одно из четырех:
^> 47.
= Г2>4>
20p;
f 6
f 6
В теоремах 22—24 число
22*. 7^ у,р/ = ж8у=>одно из трех:
0 ^> 23р;
t=>241);
t=> 18P .
206
23„
24,
ОС
АО.
26Л
27*.
28*.
29Л.
зол.
31*.
о2л.
33*.
34*.
35Л.
КРИТИЧЕСКИЕ
• J*>s,s'p+>f = y(xs + bx2y
• J**lf,!,sp+,f=y(x3 + X2yt
Серия W.
точки
'" + »")
jj(x, y) = xi=>jx<t!/,f = xit>2i
В теоремах 26—34 число к ^ 1
j*1. y*f = а;* => одно из трех:
Лс\ $<*?+> /
1 х.\ xy^+'l
1 г. f Г* -4- 7/4* -
жх* +
я=!а;44
-^ 4- Г Г.1/
¦'х1, у1**' У СП^У -^УС
L, *,**./ = а;4 4 Z?/3fc+1 => / ? И7!
ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
4й3 + 27^0^/?;
yik+1 t=>27&.
xj/3fc+1 tz> 28fc.
s=>29*.
2k'
2k+l'
4<, *у«ч->/ = а;4 =>одно из четырех:
i*tt*J = a* + bx*y***.
i*,)l*+J = * + xty*k*1
;ж<; y,k+2j — \х -\-у )
L\ ул+ / = а;4 => одно из
7 . /
' х\ xyZK+il
L', д'к+3 f
) х4, «•*+» /
1x,,xy'U = X* + xfk^-
/х..„.*+з/ = ^44у4*+3 =j
В теоремах 36—46 число
Серия Xh.
3f
эл. /х., у**-./ = а:4 => одно
/xs^/^^ + ^V
?« х2 (а;2 4- аз;
«й X2 (X 4 У*)'
яй а;*
+2/«а;*-
«(а;2
= ж4
-fy4&+2,
трех:
r~~s X -f-
я^а;44
.= ж4
Л>1.
из пяти
4 яж V
У* + &"
!
-|-6а;2г/»+1Чгг/1й+2,. 62 =
¦faiV**-1
1 4/
+ y2fc+1J
=>/6^f, (r
r,,3fc+2 j^. qz .
yik+3 t=>35fc;
f^> 36fe+1.
fc+5-
c+6'
:
' + xi/7\ Д=^0, а6=^
), а2=^4
[ГЛ. II
^4^30ft;
t=>3U
t=> 32*;
t^33ft.
>0)..
>0).
= 9^>37fc;
^> 38fc;
^39Л,-
t=>40ft;
t>26fc.
| § 16]
t
[ 37fc. j
38fc. j
39fc. j
40л. j
В
41Л. j
В
42Л,,.
43Л,«.
44ft, i.
В
45ft,..
46&, i,
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСОБЕНЙОСТЕЙ
^ ^/= «* + &*»»* 4-«и»»»» 4-*»», Д^О, а
¦в.,^=х»(«14-^*+Л «?^/е^
¦в.>,^=яя(*4-»*)я=>/€У?,. (i<•<»¦).
,.,,а/ = ав"(а!4-И) =>1~fJv гДе
/^ ,*/!«* 4-ff*. /
теоремах 41—44 i ^ 0, р ]> 0.
,», узй/2 = ж3 => °ДН0 из пяти:
/а ? ^бсь+о f=> 42л, il
/2 6 -^6(fc+*)+i f=> 43л, i;
/2С^в№+.-,+2 1=>44л><;
/aG'»+w,o t=>45ft,1+i;
fo f /т . 1 1 - i=> 46»: fj.1 n.
теоремах 42—46 /(a;, y) = fj2, где
/«. »*/i« x 4- ff*. M »3*/2 = ж3-
/a 6 ^eot+o+i => / 6 zvtk+ei-
/2 6 ^б(й+«+а => / 6 ?i2fc+e<+i •
теоремах 45, 46 числа i ^ 1, p >• 0.
p. U?h+i.P=>f?zip-
47. /4/ = 0=>одно из двух:
48. /,
4-аж
49. /,
/ = ж*у4-ажУ4-Ьа;21/34-^ Д^0=>/б^
V4W + ^ + «»V. Д^0, o6^9; |iG
с(/) = 12.
/ вырождена =>p.(/)> 16, m(/)>2, c(/)>
207
,,(P>0).
a»i^/a = a;8tr>41ft.
^0, «6^=9 f=> 48;
вырождена t=> 49.
1в, т. e. / ~ ж4г/ 4-
f) = 16, m(/) = 3,
12.
208
¦ .
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ № 11
~ ~~ —
Особенности коранга 3
В теоремах 50—104 /бСГГж, у, zll.
50- У{х, у,
51
ил. •
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
]
59ft.
Серия Т.
i f _3 1
7з/ — х ~f
j f -r3 _I
/з/ — x ~f
f = X3-i-l
/,/ =• ж3 -4-
J 3/ ^ |
/ „S 1
J -— •?¦ —J— ?
7s/ = Xyz z
f = xyz-\-
Серия Q.
/s/ = <P => j
3 теоремах
/ = <p-f-oc
z) = 0=>oflHo из десяти:
/з/ «* ж3 + у» + 2з + a^Zj „а + 27 ^ 01=> 51;
«* я3 + У3 + яг/2 |=> 52 (серия JP);
^xs-i-xyz ^54 (сериям); ,
¦^xyz (^56 (серия Т7); ''¦
^ж3 + г/23 ^58 (серия Q); !
^ж2г + г/22 ^66 (серия «); '
^x3 + xz2 (=>82 (серия 17);
^^У (=>97 (класс F);
_3
^^ ^103;
= 0 (^104.
-r + z3 + ao;j/z, a3-f 27^=0 r>/c d _ r i
¦^ + а^=>/~*»+0-+а!1,я + вA)> /з(а)==:о^53. !
/ -h^2-f-«(z)l 7s(«) = o=>/6p^==7. ,»3).
xyz=>f~x -f-a^-f-a(j/)-f-p(z); /з(а> р)==0(^55_
s»* + a(y) + P(«)t /з(а + Р) = 0^
=>^i?i,.ff = r3iPjff(?>p>3).
^>-/ — жг/л -\~ct(x)-\- В(и\-±- -f(r\ i / a \ ^ ^_
' j/ -Г WTPW-fT lz)> 73 (a, p, y) = 0 |=> 57
aH + P(y) + T(z), /,(« + p + T) = 0=> ;
R co ^fZTp.i.r (r>q>p>3).
И теоремах 58—65
> = * + yz\ Jl = j^^x (Х-мояом).
f = ? + «(y) + a:P(y)f /a(« + a?p) = 0|=>591.
59—62 число А>1. *
(y) + xfi(y), 7*аА/==ср=>одно из четырех:
;;3ft+1 /^cp-f-y3ft+1 (^60fc.
/:^+1/«? + жг/2й+1^61л;
^^/«ср + г/Зй+2 ^62fc).
}1*k+,f = <? 1=>63л+1.
§ 16]
60л.
61Л.
62Л.
В
63Л.
64Л.
65Л.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
j* / = ср + у*к+1 => / б Qek,
j*f = ср + Ж1/2Й+1 => / б <?6Й+
7;3ft+2/=cp + j/3*+2 =>/6<?6ft+
теоремах 63—65 число к^>
;*3ft/ ?
7*за/ — ? + ^2У* + zj/afc, a2 ^
/^/^T + ^V
Серия S. В теоремах 66—81
66. )
В
67*.
68Л.
69*.
70*.
71*.
72*.
73*.
74*.
cp = a;2z + i/z2, fx = j
nf rn —s. / - CO ¦ I ¦ Cl(lj\ 1 xB(lj\
3j 'f^v-y y-f-u.{y)-f-u,yyy)
теоремах 67—76 число к^
/ = ср -J- а (у) -j- жР (у) + zj (у)
/ = ср -f- а (у) -f жр (у) + zT (у)
i* i ¦—¦
J^k+J '—'
7>+1/ = т + y*ft+1 + bzy2^1,
7*ft+,/ = cp + Z^ft+1
/ = «P + a (У) + «P (у) + zT (у
14 В. И. Арнольд и др,
ОСОБЕННОСТЕЙ
4*
5-
6-
1.
= ср => одно из трех:
«cp-f-a-cV + a^2*, a2--
« ср -J- х2ук
= ср
->/G<?ft)< (*>0).
х2^, у*>, X (X -— МОНОМ).
I zy ^7/\ 7 (CL 1 -7*8 1 ?Y
1.
, 7*.й-./= <Р => «ДНО ИЗ
7* 3fe/ = ср
> 7*j,3ft/ = ?=> одно из
ср + Ж2^
1 ».2&+1
ср -J- ZJ/2*+1
). 7>+./ = ?=>оДно из
J^fc-H / = <Р
209
^4(^64*; .
(=^65*;
f=>59*.
\=п fc>67<
J \J \—< \J 9 \ .
трех:
yik l^68ft;
а^*1=»69»;
|=>70л.
четырех:
_/. Лр.71.1
=^= ¦*[=>/1*1
1=> 72*;
(^¦73*;
^74*.
))•
))•
трех:
fc+1l^>75ft;
*а 1^>76*;
t=>77»+i.
2io
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЯ, II
76*. 7;,+2/ =
В теоремах 77—81 число
77*. / =
^ из пяти:
авеу*-* + &cy*z + яу»*, д ^ о |=> 78*;
t> 67
= 12*-4,
79*. >;^==? + а*
-2, C(.S; 0) = 9ft-3.
so*. j;^f=
Серия U. В теоремах 82—89
ж3 + ая2, у* = /ж3; л х (X _ моном)>
82. /s/= f => /
а (у) +
В теоремах 83—89 число
83,. / =
Л С« + *
= О )
И8
85Л. / = ? + а
с (с2
86Л;
16]
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСОБЕННОСТЕЙ
211
88Л. / = ср + а (у) +
одно из двух:
{у), fxy*
;=> f e и
В теоремах 90—96 число
ср = Ж2^ -f~ XZ2, 7* = /ж3, ^3, X Р- — МОНОМ).
90*. / = х5 + *z2 + а (у) + жр (у) + zT (у) + ^& (у),
= ж3 -f- 2!22 => одно из семи:
сху
2к
Д ^= 0 |
+ а
+ i/uz2, 4a ^ й2, a (a -f 1 — Ъ) ф 0 t=> 92Л;
-'raxykz,
-)- xykz
(=>95Л;
&¦ 96Л;
91fc. ;;з;с/ =
= 12A —4,
92ft. /;3fc/ =
—3, c(^_ 0) =
4-ykz*, Ы 'фЪ\
0
— 2.
, 0;
. (/) > 12A — 3, n»(/)>4A —3, сA7Рь) = 8Л—1.
—3,
, a2 ^ a
—3,
93Л. j;3kf =x* + aa?z + xz*
!*(/)> 12A —2, п»(/)>
94*. 7;3jfc/ = cp 4- zV + aa;y
!*(/)> 12A —2, n»(
mk. fyZkf=cp 4- xV => / 6
p.(/)= 12A—1, ттг(/)>4А; —3, с (USb) — 8k4- 1.
96*. j*yZkf = 9-\-xykz ¦ ^feU-T
j*(/)>12A—1, m(/)>4& —3, с(Т7Тк) = 8А + 1.
Класс V.
97. /3/(a:, г/, z) = ж2?/ => / яь х2г/ 4- a (i/, z)-\-x${z),
14*
212
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
В теоремах 98 и 102 <р — один из 10 многочленов:
** + *»у, z»y-f~*Y, zV + V. z4 + zV, 24, z»y, zV, zy», /, 0.
98. / = arfy -f- a (y. z) + ЖР (z)> /з/ = &У => ОДН0 из четырех:
fa9t y.t +f ph x*y -f z* -f az3y -f feV -f zj/3, A ^ 0, a& ^ 9 |=> 99;
-f-
99. />?, ,., ,./ =
100. /^,,«,^/
101. /,v, y.,,./ = a*y
102. /,Vy.,,./
103. /3/(Ж, у, z) = a;3
104. /,/(aj, y, z) = 0
105. corank/>3
Д 4a»+ 27=^0
y3, Д ^ 0
V
|=> 101;
t=>102.
Vlt 0.
18,
5,
16.3. Доказательства. Теоремы 1, 17 и 25 очевидны. Тео-
Теоремы 6, 18, 26, 33, 59, 67, 74, 83, 88 доказываются методом по-
поворачивания линейки Ньютона (ср. п. 11.2; более подробные дока-
доказательства имеются в [13]). Теоремы 3, 10, 13, 22, 29, 36, 47, 50,
52, 54, 56, 58, 63, 66, 70, 77, 82, 85, 90, 97, 98 устанавливают
нормальные формы квазиоднородных особенностей; техника корней
для нахождения этих форм описана в § 13 (более подробные до-
доказательства имеются в [13]).
Метод § 13 сводит доказательства этих теорем к следующим
геометрическим классификационным задачам:
теоре-
теоремы
3
10,22
13
29
36
47
50
63
70
Серия
D
J,Z
X
W
X
N
Р
Q
s
Геометрическая задача
Линейная классификация 3-форм в С4
Аффинная классификация троек точек в С1
Линейная классификация 4-форм в С2
Линейная классификация пар точек в С1
Аффинная классификация четверок точек в С1
Линейная классификация 5-форм в С2
Линейная классификация 3-форм в С3
Аффинная классификация кубических кривых с конеч-
конечной точкой возврата в С2
Аффинная классификация распавшихся кубических
кривых, имеющих не менее двух конечных двойных
точек в С2
§ 16]
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСОБЕННОСТЕЙ
213
П родолжение
теоре-
теоремы
77
85
90
98
Серия
и
и*
V
Геометрическая задача
Аффинная классификация кубических кривых в С2,
имеющих бесконечность простой касательной
Аффинная классификация центрально-симметричных
кубических кривых в С2 с ровно тремя точками на
бесконечности
Аффинная классификация кубических кривых с ровно
тремя точками на бесконечности в С2
Аффинная классификация многочленов степени < 4 от
одной переменной в С1
Теорема 50 описывает изображенную на рис. 54 стратифика-
стратификацию 10-меряого пространства кубических форм по. особенностям
(ср. [74]).
Теоремы 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 14, 19, 20, 21, 23, 27, 28, 30.
34, 35, 37, 48, 51, 60, 61, 62, 64, 68, 69, 71, 75, 76, 78, 84, 86,
Обозначение
Р8
?9
Q,"
S, т
и
1/
1/'
к"
Норазмерносгь
О
!
2
S
5
7
Ю
Хривая
о<
СХ
¦< *0
6 ,Л
Рис. 54.
89, 91, 99 — это следствия теоремы о нормальной форме полуква-
зиоднородных особенностей (п. 12.6). Подробные доказательства
см. в [13].
Теоремы 122, 15, 16, 53, 55, 57 доказываются методом крос-
кроссвордов (§ 12), подробности см. в [13]. Теоремы 49, 102—105 также
доказываются методами § 12.
Доказательства теорем 12& (к^>2), 24, 31, 32, 38—46, 65,
72, 73, 79, 80, 81, 87, 92—96, 100, 101 основаны аа спект-
спектральной последовательности (см. § 14; подробные вычисления —
в [14]).
214
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Доказательство теоремы о классифика-
классификации простых особенностей.
1°. Всякая особенность либо принадлежит списку простых
особенностей п. 15.1.0 (стр. 192), либо примыкает к одному из клас-
классов Р8, Х9, /10 (эти три класса мы будем называть огораживающими
классами для простых особенностей).
Доказательство вытекает из теорем 1—5, 64—11,, 13, 14,
50, 51.
При этом теоремы 10i, 13 и 50 используются не целиком:
нужен лишь первый случай в каждой из них.
2°. Модальности особенностей каждого из трех огораживаю-
огораживающих классов не менее 1.
Это вытекает из того, что их внутренняя модальность равна
единице. Геометрический смысл этого предложения таков: ку-
кубическая кривая в СР2, четверка прямых, проходящих через нуль
в С2, и три касающихся в точке параболы в С2 имеют модули (при
действиях проективной группы, линейной группы и группы
2-струй диффеоморфизмов соответственно). Например, модуль чет-
четверки прямых — это двойное отношение.
3°. Особенности списка не примыкают к огораживающим.
Р8 имеет коранг 3, Х9 эквивалентно функции двух переменных
с нулевой 3-струей. Функции двух переменных в списке имеют
коранг ^2и ненулевую 3-струю, поэтому примыкания к Р8 и
к Х9 исключены. Примыкания к /10 исключаются доказатель-
доказательством теоремы 6i.
Из 1°, 2°, 3° следует, что все особенности списка и только
они просты.
Доказательство теоремы о классифика-
классификации унимодальных особенностей.
1°. Всякая не простая особенность либо принадлежит спи-
списку унимодальных особенностей п. 15.1.1 (стр. 192), либо примыкает
к одному из следующих девяти классов особенностей: /3 0, Wx 0,
^l.o» JV, <?2,o' Sli0, С/10, V, О (эти девять классов мы будем
называть огораживающими классами для унимодальных особен-
особенностей).
Доказательство вытекает из теорем 1—5, 64 ,—9i 2, Юг, Иг.
13—17, 18i—21Ь 222, 232, 25, 26,-30,, 36,, 37ь 47,'48, 50—58,
59j— 62i, 632, 642, 66, 67,-71,, 82, 83,-86,, 97, 98, 105. Теоремы
10, 22, 29, 36, 47, 63, 79, 85, 98 используются не целиком (нужен
лишь первый случай в каждой из них).
2°. Модальность каждой особенности списка не меньше 1, а
модальность каждой особенности любого из девяти огораживаю-
огораживающих классов больше 1.
Первое вытекает из того, что все особенности списка примы-
примыкают к Р8, Х9 или /10, а второе — из того, что внутренние модаль-
модальности огораживающих особенностей больше 1.
§ 161
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСОБЕННОСТЕЙ
215
3°. Особенности списка не примыкают к огораживающим.
Квадратичные формы особенностей всех огораживающих клас-
классов имеют не менее двух положительных квадратов (см. [7]).
Положительный индекс инерции квадратичной формы особенности
полунепрерывен (cm.j например, [77 J). §Положительный индекс
инерции квадратичных форм особенностей Tpt.r меньше двух
(см. [41]). Следовательно^примыкание особенностей Тр,ч,г (как пара-
параболических, так и гиперболических) к огораживающим особен-
особенностям невозможно. И/raKj все особенности Tft1tt. унимодальны.
Огораживающие особенности коранга 2 имеют р. ^ 154 а для
всех исключительных особенностей р. ^ 14. Следовательно1 при-
примыкание исключительных особенностей к огораживающим коранга
2 невозможно.
К огораживающим особенностям коранга^ большего двух^
могли бы примыкать из исключительных особенностей лишь
особенности коранга 3. Но огораживающие особенности коранга^
большего двух^ имеют [i. ^ 14^ а исключительные — у. ^ 12.
Поэтому такие примыкания также невозможны.
Из 1% 2°1 3° следует^ что все особенности списка и только
они унимодальны.
Доказательство теоремы о классифика-
классификации бимодальных особенностей.
1°. Всякая не простая и не унимодальная особенность либо
принадлежит списку бимодальных особенностей п. 15.1.2 (стр. 193),
либо примыкает к одному из девяти классов: /4i0, Xa,o> ^2,о> ^»
С ^ ^ ~У О (эти ДевяТЬ классов мы будем называть
о» ^
2,о>
у 4i0, a,o> 2,о> »
Сз.о» ^2,о> 2.о> * (эти ДевяТЬ классов мы будем называть
огораживающими классами для бимодальных особенностей).
Доказательство получается добавлением к теоремам, указанным
в 1° предыдущего доказательства, теорем 6з—Из» 122, 182—212,
223, 233, 242, 31,— 35,, 362, 372, 592—622, 633, 643, 652, 72i—76lt
772, 782, 874, 89i, 902, 912( 99. При этом теоремы 103, 223, 362,
633, 772, 902 используются не целиком (нужен лишь первый
случай в каждой из них).
2°. Модальность каждой особенности списка не менее 2t а мо-
модальность каждой особенности любого из девяти огораживающих
классов больше 2.
Первое вытекает из того4 что все особенности списка примы-
примыкают к особенностям девяти классов квазиоднородных особенно-
стей4 огора'живающих унимодальные особенности^ а для особен-
особенностей этих классов внутренняя модальность не меньше 2.
Второе вытекает из TorOi что внутренняя модальность квази-
квазиоднородных особенностей огораживающих бимодальнь^ больше 2.
3°. Особенности списка не примыкают к огораживающим.
Квадратичные формы всех особенностей из списка имеют ровно
Два положительных квадрата в нормальной форме и невырождены
(см. [7], [40]—[42]). Квадратичные формы огораживающих осо-
особенностей, исключая If, V и О, имеют два положительных и два
нулевых квадрата. Квадратичная форма продеформированной
особенности изоморфна сужению формы исходной особенности на
подпространство. Это исключает все примыкания особенностей
списка к огораживающим, отличным от Nг V ж О.
Примыкания к О исключены полунепрерывностью коранга,
примыкания к V исключены стратификацией кубических форм
(теорема 50). Примыкания имеющих коранг 2 ростков списка
к If исключены полунепрерывностью порядка функции в нуле.
4°. Примыкания особенностей коранга 3 из списка к Ж невоз-
невозможны. Более того, функции трех переменных с приведенной
3-струей не могут примыкать к классу Ж.
Действительно, пусть /=/з+/4+- • • — разложение в ряд Тей-
Тейлора с приведенной (т. е. не содержащей кратных множителей) ку-
кубической формой /3. Пусть ср=ср2+ср3+. . . —малая добавка.
Если /+ ф класса JV", то существует функция и с некритической
точкой в нуле такая, что /+ср=ы2 mod m5. Пусть и=и1-\-и^-\-
-\-ua mod m* — первые члены разложения Тейлора для и. Тогда
<р2=:ц?, /s -f <р3 = 2щи2, /4 + <P4 = 2b1Bs + «!-
Эта система уравнений относительно и должна быть разрешимой
при некоторых сколь угодно малых <р, причем их=^=0. Следователь-
Следовательно! /з распадается в произведение линейного и квадратичного
множителей, h=FxF2, таких, что нули и± близки к нулям Fu
а нули и2 — к нулям F2: иг = е (Fx -j- aj, u2 = (F% -f- P2)/2e,
где число е, линейная форма ax и квадратичная форма р2 малы.
Теперь из последнего уравнения заключаем, что существуют
сколь угодно малые е, ср4, а± и ра такие, что 4е2 (Д-Ь^) — С^2+
+РгJ делится на F-^+a^ Стало быть, F\ делится на Flt вопреки
приведенности /3.
Таким образом, особенности классов IP, Q, R, S, Т, ТГ (в част-
частности, все особенности коранга 3 в списке) не примыкают к N.
Этим закончено доказательство утверждения 3°. Из 1°х 2°х 3°
следует, что все особенности списка и только они бимодальны.
§ 17. Вещественные, симметричные и краевые особенности
Здесь обсуждаются три обобщения теории критических точек
функций и приведены таблицы простейших вырождений для ве-
вещественного случая, для симметричного случая и для случая
функций на многообразии с краем.
17.1. Вещественные функции. Мы будем рассматривать глад-
гладкие вещественные функции с критическими точками 0 и критиче-
критическими значениями 0. Ростки двух таких вещественных функций
в 0 называются стабильно эквивалентными, если они становятся
§ 17]
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
217
эквивалентными (превращаются друг в друга Л-эквивалентно-
стью, т. е. заменой независимых переменных) после прямого сложе-
сложения с невырожденными квадратичными формами. Например,
ростки функций f(x, y) = xs— у2, g(x, у, z) = х3 -j- у2 -j- г2 ста-
стабильно эквивалентны. Ниже приведена классификация про-
простых и унимодальных вещественных ростков с точностью до ста-
стабильной эквивалентности.
Простые ростки.
Е-: I Еа
±
х3± у*
х3 -\- ху3
Замечание. A\k — A2k, A* ¦—¦ Ах; в остальном указанные
ростки не эквивалентны. Начало иерархии вырожденных особен-
особенностей вещественных функций следующее:
(классы, обозначенные . . ., образуют множество коразмерности
5 в пространстве функций с критической точкой 0 и критическим
значением 0).
Унимодальные ростки (по В. В. Муравлеву и В. М. Закалюкину).
Обозначение
Нормальная форма
Ограничения
<10
Параболические:
^8 = ТУ з,з *3 + >
= Ti, 3,6 xs + ax^«±xy*
Гиперболические коранга 2:
' " " f ay4+*
;2 + у-J + axr
если +
если -|—|- или
если -f-
УГ,, = Г2,Г,8
афО, г, s>4
a^O, r>4
218
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Продолжение
Обозначения
Нормальная форма
Ограничения
Гиперболические коранга 3:
3, 3, 3+fc
I, m = Y3, /, m
*?*
m ¦ " 3, «г, m
ф
V, m ¦* p, m, m
X3±X*Z-,
x(xi-\-yz)±y1±azm
* (±^+yi+zi) + ay"
+ XP + ay
афО,
афО,
афО, го>4
афО, p~]
афО, p-i
И
Ем
E,s
Еы
2»
Z12
^13
^12
С К Л 10 Ч И Т
X3 + yT±Z
х3 4- xys±
х3±у8±г*
х3У + У"+
х3у 4- ху*А
x3y+y*±z
±a:*4-J/5i
в льны е:
2 4- аху*,
z* 4- аУ8<
4- «а;г/в.
z2 4- аху*,
hz24-aa;V,
2 4" аз;г/5.
;ZS 4- axZy3,
<?10
<?n
ft,
5u
-5i2
^12
±x* + xy*+z* + ay»,
x3 + y4 + z*+axz3.
x3 4- г/2г+а;г3 4- azs,
x3 + yh + z* + az*x.
z(xz-\-yz)±y*-\-ay3z.
z (x2 + yz) + xy3 + ays,
х(хг±у*)±2* + аху2*
Здесь a — вещественный параметр
Относительно приведения к этим нормальным формам особен-
особенностей общего положения справедливы те же теоремы, что
в комплексном случае (стр. 145). Доказательства — методами
§§ И-16.
Замечание. Поскольку комплексные особенности уже
расклассифицированы, можно рассмотреть вещественные формы
каждой комплексной особенности. Все вещественно-простые осо-
особенности являются вещественными формами комплексно-простых,
а вещественно-унимодальные — формами комплексно-унимодаль-
комплексно-унимодальных. Однако этот факт а priori не очевиден и получается лишь
из сравнения независимо проведенных комплексной и веществен-
вещественной классификаций.
Дело в том, что неизвестно, сохраняется ли модальность при
комплексификации. Э. Б. Винберг указал пример представления
вещественной группы Ли, для которого модальность точки при
комплексификации растет; таково, например, естественное дей-
действие группы кватернионов в R4 (число модулей до комплекси-
комплексификации 0, а после комплексификации положительно).
Модальность критической точки при комплексификации не
уменьшается (В. В. Муравлев), но неизвестно, может ли она расти,
как в указанном выше примере.
17.2. min-ростки. Здесь приведена составленная В. А. Ва-
Васильевым [31] таблица нормальных форм ростков гладких функ-
функций в окрестности точек минимума (с точностью до прибавления
§ 17]
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
219
константы и положительно определенной квадратичной формы от
дополнительных переменных). Приведение к нормальной форме
осуществляется гладкой заменой независимых переменных. Чи-
Число I в таблице указывает, начиная с какого числа параметров
семейства точки минимума рассматриваемого типа становятся не-
неустранимыми малым шевелением семейства. В общих семействах
функций с I < 16 параметрами точки минимума, не эквивалент-
эквивалентные перечисленным в таблице, не встречаются *).
Обозначение
A2k-1
Al, 0 = ^2, 4, 4
•^1, 2r = ^2, 4, 4+2r
^2r, 2o = T% 4+2r, 4+2g ,
VI T
Y r, l Y 2, 4+r, 4+r
IV#
1. 2g
Нормальная форма
г* 4- aa;2!/2 + у*
x* 4- z V 4- аг/^21"
xi+2r _|_ д^г^г _|_ y4+2?
(*« 4- J/2J 4- a^1"
x* + (a + by) x*y3 + y*
(x2 + y3)z+(a + by)x*y3+*
Ограничения
Л>1
a> —2,
а^2
a>0, г>1
a>0, г, ?>1
a?fc0, r>l
a2<4
a (—l)<?<0,
?>1
2fc
7
7-
7-
7-
12
12
г
2
]-2r
- 2r 4- 2q
\-2r
+ 2q
Здесь а и b — вещественные параметры.
Важнейшие примыкания:
Замечание. Кратность jj. точки минимума всегда нечетна.
Диаграмма Ньютона функции в конечнократной точке минимума
обладает следующими свойствами: 1) все ее вершины имеют
только четные координаты, 2) диаграмма пересекает все оси ко-
координат.
Назовем главной частью аналитической функции сумму тех
слагаемых ее ряда Тейлора, показатели которых принадлежат
*) В [31] приведены нормальные формы и для некоторых других серий,
включая все особенности с /=16.
220
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
диаграмме Ньютона. Сумму слагаемых ряда /, показатели кото-
которых принадлежат данной грани <з диаграммы, обозначим через f.
Главные части функций в точке минимума обладают следую-
следующим свойством: для каждой грани о многочлен f всюду неотри-
неотрицателен.
Если к тому же многочлены f не обращаются в нуль вне коор-
координатных плоскостей, то функция / в окрестности точки миниму-
минимума удовлетворяет двусторонней оценке
где g — сумма одночленов, показателями которых являются
вершины диаграммы Ньютона^ с коэффициентами, равными 1.
Обратно, из указанной оценки вытекает, что все f положительны
вне координатных плоскостей. Оценка (*) выполняется для почти
всех функций с фиксированной диаграммой Ньютона, имеющих
точку минимума.
Чтобы точнее описать множество главных частей функций,
имеющих точку минимума, рассмотрим пространство Р много-
многочленов, показатели которых принадлежат данной диаграмме (глав-
(главными частями могут служить лишь те из этих многочленов,
у которых отличны от нуля коэффициенты при одночленах, отве-
отвечающих вершинам диаграммы). Пространство многочленов Р
разбивается некоторой гиперповерхностью (гомеоморфной гипер-
гиперплоскости) на две области. Если главная часть функции принад-
принадлежит первой области, то функция имеет точку минимума и
удовлетворяет оценке (*). Если главная часть принадлежит вто-
второй области, то критическая точка в нуле заведомо не минимум.
Доказательства сформулированных в этом замечании теорем
имеются в цитированной выше работе В. А. Васильева. Ср. также
[28], [29].
Функции общего положения имеют лишь невырожденные ми-
минимумы. Вырождения неустранимы, однако, в семействах функ-
функций, зависящих от параметров.
Рассмотрим семейство гладких функций fx на замкнутом много-
многообразии, зависящих от Анмерного параметра X. Функцией минимума
семейства называется функция F (A) =min/x (x).
Функция минимума непрерывна, но, вообще говоря, не всюду
дифференцируема (линия горизонта гладкого ландшафта может
иметь изломы). Пример функции минимума — расстояние от
точки области до ближайшей точки границы (поверхность кучи
песка на лопате является графиком функции минимума). Ясно,
что эта функция всегда имеет особенности. Знание особенностей
функций минимума существенно в задачах вариационного исчис-
исчисления, оптимального управления, теории игр и т. п.
Развитая выше теория позволяет перечислить особенности
функций минимума семейств общего положения, зависящих от
8 17]
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
221
k ^ 10 параметров. Классификация проводится с точностью до
.й+-эквивалентности, т. е. с точностью до диффеоморфизмов про-
пространства параметров и прибавления гладкой функции от па-
параметров.
Например, функция минимума однопараметрического семей-
семейства общего положения в окрестности каждой особой точки эк-
эквивалентна— |а|. Для двупараметрических семейств встречаются
особенности трех видов, с нормальными формами —1^1,
— |AJ — |Х2+|\||, min (a?-\-~xlx2-\-~k2x). Пока размерность про-
пространства параметров меньше 7, список нормальных форм коне-
конечен, а начиная с 7 параметров появляются модули.
Согласно Л. Н. Брызгаловой [28], [29], число v (к) нормаль-
нормальных форм дается таблицей
к
*(*)
1
1
2
3
3
4
5
12
6
17
>7
Л. Н. Брызгалова нашла также все простые и устойчивые
ростки функций минимума: с точностью до R ^-эквивалентности
они совпадают с особенностями функции минимума семейства
многочленов хгг-{-\х2г~*-\-. . .-\-\г_2х. Все особенности функций
минимума семейств общего положения с к <^ 7 параметрами про-
просты и устойчивы.
Во всех изученных до сих пор случаях функция минимума
семейства общего положения локально топологически R-эквива-
лентна гладкой функции и даже функции Морса; по В. И. Матову,
это остается верным и при большем числе параметров.
17.3. Симметричные особенности. Рассмотрим голоморфную
функцию, инвариантную относительно линейного действия ком-
компактной группы G в С*.
1°. Теорема. Каждая G-инвариантная голоморфная функ-
функция, имеющая в 0 невырожденную критическую точку с критиче-
критическим значением 0х приводится к своей квадратичной части G-
инвариантной (т. е. коммутирующей с действием G) заменой
независимых переменных, биголоморфной в 0.
Аналогичная «эквивариантная лемма Морса» справедлива
в вещественно-аналитическом и дифференцируемом случаях.
2°. Рассмотрим в пространстве С"+1 с координатами z0,..., zn
плоскость Ся= {z: z0 +... -j-zn = O}. Группа S (n -f- 1) переста-
перестановок координат переводит эту плоскость в себя. Будем обо-
обозначать через \, . . ., Хя коэффициенты многочлена z"+I ~j- \г"~г -f- • • ¦
. .. -j- Хя с корнями z0,. ¦ ., zn. Это — базис в пространстве симме-
симметрических (т. е. S (n~f- 1)-инвариантных) функций на плоскости С™.
222
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II'
Начало иерархии симметрических функций на плоскости С" вблизи
критической точки 0 выглядит *) следующим образом:
п+1
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
Тип
I*
I
II
ш*
IV
V
I
н*
III
IV
I
II
III
Нормальная форма
±^2
±х1х, + «л?
—
+ 1г + а1'{, а=?0
—
+ 1г
—
0
0
0
1
1
>2
0
1
2
>2
0 .
1
>4
0
0
0
0
0
>2
0
0
1
>2
0
0
>2
codim
к— 1
0
1
3
4
0
Л —1
2
3
0
1
2
Здесь »iy и /гад — числа модулей для функции и для ее нулевой
гиперповерхности уровня (имеется в виду действие группы экви-
вариантных диффеоморфизмов на пространстве ростков функций
с критическим значением 0 в критической точке 0).
Диаграммы примыканий:
л=2
и = 3
п = 4
я = 5
I— II
I—II
II!
I-II
2*- . ..
IV
2*-"з
:*-iv
*—v
3°. Рассмотрим действие группы S (п) перестановок коорди-
координат в пространстве С" с координатами (жх, . . ., хя).
*) Согласно [93] и вычислениям В. В. Горюнова.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
223
1 Группа симметрических (коммутирующих с действием S (п))
ростков диффеоморфизмов (С", 0) -> (С", 0) действует на про-
пространстве ростков симметрических функций в критической точке
0 с критическим значением 0. Росток симметрической функции
называется простым, если его &-струя пересекается с конечным
(ограниченным прий; -> со) числом орбит, т. е. если число моду-
модулей функции равно нулю.
Простые симметрические ростки функций в критической точке
приводятся (действием группы симметрических диффеоморфиз-
диффеоморфизмов) к нормальным формам, которые мы здесь приведем в обо-
обозначениях В. И. Гуцу A976). Пусть sp=x{+. . .+xg, Sp =
= (x1 — (s1/n)?+...+ (xn — (s1ln)yi а при п =2 хг+х2=у,
хг — ж2 =z. Нормальные формы простых ростков имеют вид:
п
>1
2
2
2
3
Нормальная форма
z*-\-y*
sl+S3
Все таблицы этого пункта основаны на работе [93]. Другие
вопросы теории симметричных критических точек обсуждаются
в [1661, [1901, где указана и дальнейшая литература.
17.4. Краевые особенности. Под ростком многообразия с краем
мы будем понимать росток пары (R", R") (или С", С) в нуле.
Мы собираемся классифицировать ростки функций с критиче-
критическим значением 0 в критической точке 0 на краю многообразия
относительно группы диффеоморфизмов, переводящих край в себя.
Теорема. Простые критические точки функций на краю
многообразия с краем исчерпываются, с точностью до эквивалент-
эквивалентности, следующим списком ростков функций f (x, у) в точке х =у =0
краях=0:
±хк±уг
+хг-\-у3
Здесь под эквивалентностью функций разного числа перемен-
переменных понимается стабильная эквивалентность на многообразии
с краем (ср. п. 17.1).
Замечания. 1. Множество ростков в не простых кри-
критических точках имеет в пространстве функций с критической
точкой 0 и критическим значением 0 коразмерность 3; в общих
224
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
§ П]
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
225
семействах функций, зависящих от I <^ 4 параметров, все крити-
критические точки на краю — простые.
2. Коразмерности множеств ростков простых критических
точек типов Вк, Ск, F± в пространстве ростков с критической точ-
точкой 0 и критическим значением 0 равны к — 2 (т. е. эти особен-
особенности впервые появляются как неустранимые в семействах функ-
функций, зависящих от ft — 1 параметра).
3. Особенности В2 и С2 эквивалентны.
4. Эта формулировка не была явно выписана в [93] потому,
что в 1975 г. еще не была ясна связь краевых особенностей с груп-
группами Кокстера. Несколько первых краевых особенностей ука-
указано Питтом и Постоном в 1978 г. (см. [167]).
Доказательство приведенной теоремы и подробное обсужде-
обсуждение связи простых краевых особенностей с обозначаемыми теми
же буквами группами, порожденными отражениями, простыми
алгебрами Ли и диаграммами Дынкина приведено в [19]. В част-
частности, в [19] определена форма пересечений краевой особенности
и доказано, что простые особенности совпадают с эллиптическими.
Многие объекты имеют (неформальные) комплексные аналоги:
например, комплексным аналогом группы Z2 является группа Z,
комплексным аналогом симметрической группы 5 (п) — группа
кос Артина Вп; комплексный аналог стягиваемых пространств —
пространства К (те, 1), теории Морса — теория Пикара—Лефшеца.
Комплексным аналогом многообразия с краем F ^3= 0 является
многообразие F—z2, т. е. двулистное накрытие исходного ком-
комплексного пространства, разветвленное вдоль края.
После перехода к двулистному накрытию функции на много-
многообразии с краем превращаются в функции, симметричные отно-
относительно инволюции, меняющей знак одной из координат. Приве-
Приведенный в п. 17.2 список нормальных форм простых симметрич-
симметричных функций для п—2 получается из списка простых краевых
особенностей Вк, Ск, Ft подстановкой x=z2 (случай п=3 отвечает,
таким же образом, простой алгебре Ли G2). Простые алгебры
Ак, Dk и Ев, Е-г, Е8 также можно включить в эту схему: им отве-
отвечают функции
Ак,
+ у**1
Dk
Е7
Vi + У1У2 + х
Ух + УI + х
Точка 0 не критическая для самой функции, но критическая
для ее сужения на край, х=0.
Индекс особой точки векторного поля плохо поддается обоб-
обобщению на случай многообразия с краем, но для дифференциаль-
дифференциальной 1-формы можно определить индексы краевых особенностей так,
что будет иметь место формула Хопфа: эйлерова характеристика
компактного многообразия с краем равна сумме индексов всех
особенностей 1-формы. Вычисление этих индексов приводит к рас-
рассмотрению сигнатур квадратичных форм, естественно опреде-
определяемых на соответствующих локальных алгебрах. В случае про-
простых особенностей эти сигнатуры равны также сигнатурам форм,
определенных при помощи сворачивания инвариантов соответ-
соответствующих групп, порожденных отражениями. Анализ этого совпаде-
совпадения показывает, что сами формы двойственны. Эта двойственность
весьма полезна для угадывания и доказательства различных теорем о
нормальных формах. Например, эквивариантной лемме Морса «двой-
«двойственна» следующая теорема: векторное поле, трансверсальное
ласточкиному хвосту, локально выпрямляется диффеоморфизмом,
сохраняющим ласточкин хвост. Дальнейшее развитие этой теории
приводит, например, к классификации особых проекций общих
поверхностей в R3 A0 вещественных простых нормальных форм *)).
Подробности см. в [20], [66]; все простые проектирования
гиперповерхностей найдены В. В. Горюновым.
Список простых проектирований гиперповерхностей (не обя-
обязательно неособых) на прямую оказался совпадающим со списком
простых особенностей функций на многообразии с краем.
Унимодальные краевые критические точки функций также
все расклассифицированы. С точностью до стабильной эквива-
эквивалентности они исчерпываются следующими списками:
Унимодальные краевые особенности коранга 2 (см. [19]).
Обозначение
Рг о
1 О
* ¦ J*
Рю
Kt, г
к*.г
КР,Ч
к* Г*
к*' *Р~*
к*
к**
С-нормальная форма
х3 4- ахуг + У3
axP+l 4- ху2 4- у3
х* -\-у3-\- ах3У
х*у + у3 + ах*у*
Xs + У3 + а^У
у* 4" "хУг + а;2
г/р 4- жу2 4-ая?
(х 4- г/2)г + я^у
(ж4-г)г + а^
у* 4- г2у 4-ах3
у* 4- я3 4- а* V
у5 4- я2 4- аяу3
Ограничения
4в3 4- 27=?^ 0
афО, p>i
—
—¦
—
а,гфЬ.
афО, р>4, qS:2
афО, р>1
афО, р>2
—
—
6
64-^
8
9
10
6
Р + Я
2р + 3
2р+2
8
9
8
• ) Поверхности «=*, х\
xi+x3y±xy; проекция (х, у, г)
|5 В. И. Ариольд и др.
у,
(у, г).
±ху\
, х*+ху, х*+х*у+ху\
226
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Унимодальные краевые особенности корангаЗ(поВ.Ш.М&тову).
Обозначение
D\
Е-нормальная форма
у\Уг±Уг + хУ
+ хуг
6
k + 1 + l
8
9
10
8
9
8
В случав Ьь аг± 1ф0, а в случае Dk< t
Важнейшие примыкания
С2=В.^ВГВ^...
А>4, Z>i,
ю
Ъ-Кл?
t t
С,
3, ?. DTO
v r:
t'
t'°
^8,0
С4
'B71*-D72
5,2
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
227
17.5. Тангенциальные особенности. Бифуркационные диа-
диаграммы простых краевых особенностей Вк помогают разобраться
в особенностях взаимного расположения поверхности и ее каса-
касательных. Мы будем называть такие особенности тангенциальными.
Простейшим примером тангенциальной особенности является
точка перегиба плоской кривой. Назовем линейный элемент плос-
плоскости особым, если он при продолжении касается кривой или если
он приложен в точке кривой. В окрестности элемента обычной
касательной особые элементы образуют в пространстве всех
линейных элементов плоскости поверхность, диффеоморфную би-
бифуркационной диаграмме В2, умноженной на прямую, а в окрест-
окрестности элемента касательной перегиба — диффеоморфную бифур-
бифуркационной диаграмме В3 (см. [19]).
Бифуркационная диаграмма Вк может быть описана как
(к ? R*: многочлен ж* -f- ^ж* —|— ... —(— Xfc имеет нулевой или
кратный корень.}
Рассмотрим гладкую поверхность в вещественном проектив-
вом пространстве. Точки поверхности общего положения следую-
следующим образом подразделяются на 7 классов, независимо найден-
найденных Е. Е. Ландис и О. А. Платоновой.
Гладкая кривая параболических точек делит поверхность на
эллиптическую и гиперболическую области. Точки перегиба асим-
асимптотических линий образуют гладкую иммерсированную кривую
в неэллиптической области — линию перегибов. Кроме описан-
описанных двух областей и двух линий на поверхности общего положе-
положения встречаются особые точки следующих трех типов: точки
простейшего касания линии перегибов с кривой параболических
точек, точки простейшего самопересечения линии перегибов и
точки простейших вырожденных перегибов (в которых линия
перегибов касается асимптотического направления).
Эти 7 классов тангенциальных особенностей проективно ин-
инвариантны и устойчивы в том смысле, что при малом шевелении
поверхности они не исчезают, а лишь немного деформируются.
Линейный элемент проективного пространства называется
особым для данной поверхности, если он при продолжении каса-
касается поверхности или если он приложен в точке поверхности.
Особые элементы ростка поверхности в точке определяются ана-
аналогично. Множество особых элементов для данной поверхности
является гиперповерхностью в многообразии всех линейных
элементов проективного пространства. Рассмотрим росток этой
гиперповерхности в каком-либо касательном поверхности линей-
линейном элементе.
Теорема (О. А. Платоновой). Множество особых элемен-
элементов для ростка поверхности общего положения в любой ее точке
локально диффеоморфно произведению бифуркационной диа-
диаграммы Вк на евклидово пространство R5"*, где к — кратность пе-
15*
228
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЙ. It
ресечения касательного к поверхности элемента с поверхностью
(к =2 для неасимптотического элемента, 3 для обычного асимпто-
асимптотического, 4 для асимптотических элементов параболической
линии и линии перегибов, исключая элементы, касательные к линии
перегибов в точках вырожденного перегиба, где к—Ъ).
Неособый линейный элемент определяет неособый росток про-
проектирования поверхности (пучком прямых из точки приложе-
приложения элемента). Стратификация многообразия особых элементов,
с учетом расположения стратов относительно слоев расслоения
РТКР3 -*¦ RjP3, приводит к классификации ростков проектиро-
проектирований гладких поверхностей общего положения в ИР3 пучками
прямых. Классов 14: 10 и х3 + xyi, хь-\-ху, х* -f- х%у -j- ху3.
Тангенциальные особенности естественно возникают также
в задачах дифракции и в вариационной задаче о скорейшем обходе
препятствия, где они и встретились О. А. Платоновой.
С другой стороны, Н. Н. Нехорошев в своем исследовании эво-
эволюции переменных действия в гамильтоновых системах, близких
к интегрируемым, ввел показатели крутизны а1( . . ., а,,^ невоз-
невозмущенной функции Гамильтона Н в области G пространства R".
Назовем г-мерную плоскость Л допустимой в точке х из G,
если точка х критическая для сужения Н на Л. Обозначим множе-
множество всех допустимых в х плоскостей через Мх, и пусть Д =
=grad {HIА). Число аг ^ 1 называется r-мерным показателем
крутизны Н в G, если оно является точной нижней гранью чисел а,
для которых 3#>03&>0: VSG(O, &) Зч G @, EJ: VA?MX Vx^G
Vy?A; из \x-—y\ — t\ вытекает | fA (у) | > К%*.
Е. Е. Ландис обнаружила связь показателей аг с тангенциаль-
тангенциальными особенностями поверхностей уровня функции Гамильтона.
Из ее результатов следует, что для функций Гамильтона общего
положения, зависящих от п переменных, о^ ^ 2»+1; при п=3
также а2 ^ 2, причем указанные значения достигаются устой-
устойчивым образом. Таким образом, классификация тангенциальных
особенностей однопараметрических семейств поверхностей по-
позволяет вычислить все показатели крутизны функций Гамильтона
общего положения в каждой точке для систем с двумя и тремя сте-
степенями свободы.
Тангенциальные особенности связаны также с особенностями
отображения, сопоставляющего касательному линейному эле-
элементу поверхности содержащую его проективную прямую.
Рассмотрим пучок геодезических на поверхности а евклидо-
евклидовом трехмерном пространстве. Сопоставим каждой точке поверх-
поверхности направление геодезической (точку на сфере). На некоторой
кривой на поверхности геодезические пучки касаются асимпто-
асимптотических линий. В этих местах построенное отображение на сферу
имеет особенности: складку в общей точке и сборки в исключи-
исключительных.
L'JIABA III
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК II ВОЛНОВЫХ ФРОНТОН
Одним из наиболее успешных приложений теории особенно-
особенностей является приложение к исследованию особенностей и пере-
перестроек каустик и волновых фронтов. С математической точки зрения
эти задачи связаны с особенностями общего положения ото-
отображений весьма специального вида: лагранжевых и лежандро-
вых. В этой главе изложены начала теории лагранжевых и лежан-
дровых особенностей; в § 21 приведена классификация особен-
особенностей каустик общего положения в пространстве не более
10 измерений и особенностей волновых фронтов общего положе-
положения в пространствах не более 11 измерений.
При движении волнового фронта его особенности скользят
вдоль каустики и в отдельные моменты времени испытывают пе-
перестройки. Мы приводим в § 22 классификацию перестроек вол-
волновых фронтов в однопараметрических семействах общего поло-
положения в пространствах не более пяти измерений, а также класси-
классификацию перестроек каустик в однопараметрических семействах
общего положения в пространствах не более трех измерений.
§ 18. Лагранжевы особенности
Каустику можно видеть на стене, освещенной лучами, отражен-
отраженными от вогнутой поверхности (например, поверхности чашки).
Двигая чашку, можно убедиться, что каустики общего положе-
положения имеют лишь стандартные особенности, а все более сложные
особенности распадаются на стандартные при малом шевелении.
В этом параграфе строится аппарат исследования особенностей
каустик — теория лагранжевых особенностей.
18.1. Симплектические многообразия. Каустика — это оги-
огибающая семейства лучей. Семейств^ лучей описываются в гео-
геометрической оптике (или в классической механике) при помощи
так называемых лагранжевых подмногообразий фазового про-
пространства. В этих терминах каустика — это множество особых
значений проектирования лагранжева подмногообразия из фа-
фазового пространства на конфигурационное. Мы начнем с напо-
напоминания основных определений геометрии фазовых пространств.
Симплектической структурой на многообразии М называется
замкнутая невырожденная 2-форма ш.
228
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЙ. 11
ресечения касательного к поверхности элемента с поверхностью
(к =2 для неасимптотического элемента, 3 для обычного асимпто-
асимптотического, 4 для асимптотических элементов параболической
линии и линии перегибов, исключая элементы, касательные к линии
перегибов в точках вырожденного перегиба, где к =5).
Неособый линейный элемент определяет неособый росток про-
проектирования поверхности (пучком прямых из точки приложе-
приложения элемента). Стратификация многообразия особых элементов,
с учетом расположения стратов относительно слоев расслоения
РТКР3 -*¦ RjP3, приводит к классификации ростков проектиро-
проектирований гладких поверхностей общего положения в RjP3 пучками
прямых. Классов 14: 10 и х3 + ху*, хь-\-ху, ж* -f- x%y -J- хуг.
Тангенциальные особенности естественно возникают также
в задачах дифракции и в вариационной задаче о скорейшем обходе
препятствия, где они и встретились О. А. Платоновой.
С другой стороны, Н. Н. Нехорошев в своем исследовании эво-
эволюции переменных действия в гамильтоновых системах, близких
к интегрируемым, ввел показатели крутизны ах,
о-п~\ невоз-
невозмущенной функции Гамильтона Н в области G пространства R".
Назовем г-мерную плоскость Л допустимой в точке х из G,
если точка х критическая для сужения Н на Л. Обозначим множе-
множество всех допустимых в х плоскостей через Мх, и пусть /д =
=grad {HIА). Число аг ^ 1 называется r-мерным показателем
крутизны Н в G, если оно является точной нижней гранью чисел а,
для которых ЗЯ >03&>0: VSG(O, 5K7N@, %]: VA?MxVx?G
Vy?A; из \х — у\ = ц вытекает | /д (у) | > К1*.
Е. Е. Ландис обнаружила связь показателей агс тангенциаль-
тангенциальными особенностями поверхностей уровня функции Гамильтона.
Из ее результатов следует, что для функций Гамильтона общего
положения, зависящих от п переменных, с^ =?С1 2п+1; при п=3
также а2 ^ 2, причем указанные значения достигаются устой-
устойчивым образом. Таким образом, классификация тангенциальных
особенностей однопараметрических семейств поверхностей по-
позволяет вычислить все показатели крутизны функций Гамильтона
общего положения в каждой точке для систем с двумя и тремя сте-
степенями свободы.
Тангенциальные особенности связаны также с особенностями
отображения, сопоставляющего касательному линейному эле-
элементу поверхности содержащую его проективную прямую.
Рассмотрим пучок геодезических на поверхности а евклидо-
евклидовом трехмерном пространстве. Сопоставим каждой точке поверх-
поверхности направление геодезической (точку на сфере). На некоторой
кривой на поверхности геодезические пучки касаются асимпто-
асимптотических линий. В этих местах построенное отображение на сферу
имеет особенности: складку в общей точке и сборки в исключи-
исключительных.
ГЛАВА III
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК 11 ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
Одним из наиболее успешных приложений теории особенно-
особенностей является приложение к исследованию особенностей и пере-
перестроек каустик и волновых фронтов. С математической точки зрения
эти задачи связаны с особенностями общего положения ото-
отображений весьма специального вида: лагранжевых и лежандро-
вых. В этой главе изложены начала теории лагранжевых и лежан-
дровых особенностей; в § 21 приведена классификация особен-
особенностей каустик общего положения в пространстве не более
10 измерений и особенностей волновых фронтов общего положе-
положения в пространствах не более 11 измерений.
При движении волнового фронта его особенности скользят
вдоль каустики и в отдельные моменты времени испытывают пе-
перестройки. Мы приводим в § 22 классификацию перестроек вол-
волновых фронтов в однопараметрических семействах общего поло-
положения в пространствах не более пяти измерений, а также класси-
классификацию перестроек каустик в однопараметрических семействах
общего положения в пространствах не более трех измерений.
§ 18. Лагранжевы особенности
Каустику можно видеть на стене, освещенной лучами, отражен-
отраженными от вогнутой поверхности (например, поверхности чашки).
Двигая чашку, можно убедиться, что каустики общего положе-
положения имеют лишь стандартные особенности, а все более сложные
особенности распадаются на стандартные при малом шевелении.
В этом параграфе строится аппарат исследования особенностей
каустик — теория лагранжевых особенностей.
18.1. Симплектические многообразия. Каустика — это оги-
огибающая семейства лучей. СемействТа лучей описываются в гео-
геометрической оптике (или в классической механике) при помощи
так называемых лагранжевых подмногообразий фазового про-
пространства. В этих терминах каустика — это множество особых
значений проектирования лагранжева подмногообразия из фа-
фазового пространства на конфигурационное. Мы начнем с напо-
напоминания основных определений геометрии фазовых пространств.
Симплектической структурой на многообразии М называется
замкнутая невырожденная 2-форма ш.
230
ОСОЁЕЙЙОСТЙ КАУСТИК Й ВОЛЙОЙЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. 111
Пример 1. Линейное пространство М=R2n с координа-
координатами {рх, . . ., р„; Qx, ¦ ¦ ., д„) имеет стандартную симплектиче-
скую структуру ш= %dpi/\dqi (замкнутость и невырожденность
очевидны).
Пример 2. Пусть V — гладкое га-мерное многообразие
(конфигурационное пространство), п: T*V—>¦ V— его кокаса-
тельное расслоение. 2/г-мерное многообразие M=T*V называ-
называется фазовым пространством для конфигурационного простран-
пространства V. Фазовое пространство имеет стандартную симплекти-
ческую структуру, определяемую следующим образом. Пусть
х: ТМ-+М — касательное расслоение. Определим стандартную
1-форму ана Т*М условием a (i)=(^i)(^^ ?). Стандартная симплек-
тическая структура фазового пространства — это 2-форма co=<ia.
Пусть (дх, . . ., qn) — локальные координаты в конфигураци-
конфигурационном пространстве и (рх, . . ., д„) — соответствующие коорди-
координаты в фазовом пространстве. Тогда стандартная 1-форма запи-
записывается в виде a=?/?j??gri. Отсюда следует, что 2-форма a>=<ia
замкнута и невырождена (см. пример 1).
Теорема (Дарбу). Все симплектпические структуры на
многообразии фиксированной размерности локально эквивалентны
(диффеоморфны).
Иными словами, в окрестности каждой точки всякая симплек-
тическая структура записывается в подходящих координатах
в виде a>='?dpi/\dqi.
Доказательство. Воспользуемся гомотопическим ме-
методом. Пусть {ш,} (t ? {0, 1 ]) — гладко зависящее от t семейство
ростков невырожденных 2-форм в окрестности точки нуль, сов-
совпадающих в этой точке. Ищем семейство ростков диффеоморфиз-
диффеоморфизмов {gf}, оставляющих нуль на месте, для которого g*<n = <n0.
Дифференцируя это соотношение по t, получаем гомологическое
уравнение в виде
где^у, — известная замкнутая 2-форма (производная <ot no t),
а vt — искомое векторное поле. Пользуясь тождеством L=id-\-di
(где L — производная Ли, a i — сворачивание: (ipa>)(?)= ш(у, S)),
мы можем переписать гомологическое уравнение в виде
- di,twt = —Т/.
Выберем теперь 1-форму а,, равную нулю в точке нуль, так, чтобы
dat — —yt. Уравнение itlmt=a.t относительно поля vt однознач-
однозначно разрешимо (ввиду невырожденности ш,). Поле vt в нуле равно
нулю, поэтому определяет искомое семейство ростков диффеомор-
диффеоморфизмов {gt} для 0 ^ t ^ 1.
18.2. Гамильтоновы поля. Пусть Н: М ->• R — функция на
симплектическом многообразии (М, ш). Форма ш, будучи невырож-
18]
ЛАГРАНЯСЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
231
денной, определяет изоморфизм между" касательным и кокаса-
тельным пространствами в каждой точке многообразия: вектору v
соответствует 1-форма г„а>. Дифференциал функции Н является
1-формой на многообразии М. Указанный выше изоморфизм
сопоставляет функции Н векторное поле Х& (так что dH (?)=
=— со (Хн, %)). Это векторное поле называется гамилътоновым,
а функция Н — гамильтонианом или функцией Гамильтона
этого поля.
Система дифференциальных уравнений, заданных гамильто-
новым полем, называется канонической системой уравнений Га-
Гамильтона.
Пример. В стандартном симплектическом пространстве
система уравнений Гамильтона имеет вид (ради которого выше
введен минус)
р = —dff/dq, q = dHjdp.
Фазовый поток уравнений Гамильтона сохраняет симплектиче-
скую структуру. Действительно, поскольку L=id4-di, то
= —ddff — 0.
Производная функции F вдоль гамильтонова поля с функ-
функцией Гамильтона Н называется скобкой Пуассона (Н, F). Оче-
Очевидно, (Н, F)—dF (Хн)=— <о (Xf, Хн), поэтому скобка Пуассона
кососимметрична/Легко проверить, что скобка Пуассона удовле-
удовлетворяет тождеству Якоби, так что пространство функций Гамиль-
Гамильтона, снабженное скобкой Пуассона, является алгеброй Ли.
Поле, гамильтониан которого — скобка Пуассона двух функ-
функций, является скобкой Пуассона полей, гамильтонианы которых —
эти функции.
Две функции находятся в инволюции^ если %х~ скобка Пуас-
Пуассона равна нулю. Иными словами, функции, находящиеся в инво-
инволюции с гамильтонианом, — это первые интегралы уравнений
Гамильтона. _ *'? J
При работе с обычными многообразиями'имеется два способа
понижения размерности: сечения и проектирования (т. е. переход
к подмногообразиям и к фактор-многообразиям). В классе симплек-
тических многообразий размерность можетменяться только на чет-
четное число единиц, и понижение осуществляется в два этапа, один
из которых — сечение, а другой — проектирование.
Рассмотрим, например, подмногообразие Н— const симплекти-
ческого многообразия М размерности 2л. Это подмногообразие
нечетномерно, но оно разбито на фазовые кривые гамильтонова
поля с гамильтонианом Н. Множество фазовых кривых на поверх-
поверхности И—const можно рассматривать как 2га—2-мерное многообра-
многообразие (по меньшей мере локально — в окрестности неособой точки,
по иногда и глобально). Это 2га—2-мерное многообразие N насле-
232
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
дует из М симплектическую структуру, определяемую следую-
следующим образом: пусть А — поверхность /?"=const, п: А -*¦ N —
проекция; симплектическая структура ш на N определяется формулой
для любых касательных к А в одной точке векторов S, т]. Легко
проверить, что значение правой части зависит лишь от проекций
к*$' n*ri и определяет на факторе симплектическую структуру.
Пример. Пусть М — стандартное R2", Н—р2, А — гипер-
гиперповерхность Н=1.
Решение уравнений Гамильтона имеет! вид q—qo-\-2p0t, р~р0.
Поэтому пространство фазовых кривых из А определено в~целом:
это многообразие всех ориентированных прямых в R".
Следствие. Многообразие всех ориентированных прямых
в евклидовом пространстве имеет симплектическую структуру.
Замечание. Многообразие всех ориентированных пря-
прямых в евклидовом~пространстве диффеоморфно"" (ко)касательному
расслоению сферы. -~"Щ
Действительно, сопоставим нашей прямой q-\-pt точку р/\р\,
являющуюся ортом направленной прямой. Этаточка принадлежит
единичной сфере евклидова пространства. Касательная плоскость
к сфере в точке pl\p | пересекается с исходной прямой в некоторой
точке. Эта точка определяет касательный вектор на сфере. Не-
Нетрудно проверить, что обе симплектические структуры простран-
пространства прямых в евклидовом R" (индуцированные из R2" и из J'*S"~1)
отличаются лишь знаком. -'
18.3. Лагранжевы подмногообразия. Подмногообразие сим-
симплектического пространства называется изотропным, если форма,
задающая симплектическую структуру, индуцирует на этом под-
подмногообразии нулевую форму.
Пример 1. Плоскость /)=сопз1 в стандартном симплекти-
ческом пространстве {(р, _q)} изотропна. "
Пример 2. Любая кривая в симплектической двумерной
плоскости R2 изотропна.
Размерность изотропного подмногообразия — не больше по-
половины размерности объемлющего симплектического многообра-
многообразия (так как симплектическая 2-форма невырождена).
Изотропные подмногообразия наибольшей возможной размер-
размерности (т. е. размерности, равной половине размерности объемлю-
объемлющего симплектического пространства) называются лагранжевыми.
Пример 3. Среди С%„ я-мерных координатных плоскостей
стандартного 2п-мерного симплектического пространства лагран-
лагранжевыми являются 2" плоскостей, получаемых следующей кон-
конструкцией. Пусть / — подмножество множества A, . . ., п). Рас-
Рассмотрим п'осей координат р{, г ? /, и q^, j (jjj /. Плоскость, натяну-
натянутая на эти оси, лагранжева.
§ is]
Яагранжевы особенности
233
Иными словами, все лагранжевы координатные плоскости полу-
получаются из плоскости, натянутой на оси (рх, . . ., рп), поворотом
«на 90°» в некоторых из двумерных плоскостей (pjf qj) (такой
поворот (pj, q^ ь-> (qj, — pj) сохраняет симплектическую струк-
структуру и, следовательно, переводит лагранжевы плоскости в лагран-
лагранжевы).
Изотропные подмногообразия примеров 1 и 2 — лагранжевы.
Пример 4. Пусть V — любое подмногообразие в евкли-
евклидовом пространстве R" и L — многообразие ориентированных
нормалей к V. Тогда L — лагранжево подмногообразие в симплек-
тическом многообразии всех ориентированных прямых в R*.
Доказательство! Рассмотрим стандартную 1-форму
a=pdq в R2" =71*RM. Рассмотрим n-мерное подмногообразие,
образованное кокасательными векторами, равными 0 на I (при
евклидовом отождествлении кокасательных векторов с касатель-
касательными это — многообразие всех векторов, нормальных к L). Суже-
Сужение а на указанное подмногообразие равно нулю. Отсюда сразу
следует изотропность и лагранжевость многообразия ориентиро-
ориентированных нормалей.
Пример 5. Для любой функции S (q), g?RK, определим
подмногообразие в стандартном симплектическом пространстве
R2" формулой p=dS/dq. Это подмногообразие лагранжево.
Действительно, на этом многообразии pdq=dS, поэтому суже-
сужение dp /\ dq на это многообразие равно нулю.
Функция S называется производящей функцией лагранжева
многообразия.
Всякое лагранжево подмногообразие стандартного симплекти-
симплектического пространства R2", являющееся графиком отображения
P—f (<?)i локально определяется производящей функцией. (Вслед-
(Вследствие лагранжевости графика сужение на график формы р dq
замкнуто и, значит, локально является дифференциалом функ-
функции.)
Пример 6. Росток лагранжева подмногообразия стандарт-
стандартного симплектического пространства является графиком отобра-
отображения p=f (q), если и только если он трансверсален 'лагранжевой
плоскости g-=const. He всякий лагранжев росток трансверсален
этой плоскости. Однако всякий лагранжев росток в R2" трансвер-
трансверсален одной из 2" лагранжевых плоскостей координатного направ-
направления (см. [11]).
Если лагранжев росток трансверсален плоскости, натянутой
на оси р{ (i ? /), - q ¦ (j ? /), то он является графиком ростка ото-
отображения (qz, pj\ i-> (pj, qX В этом случае росток записывается
при помощи производящей функции S (ах, pj\ формулами
234
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
(эти формулы получаются из формул примера 5 при повороте
«на 90°» в координатных плоскостях (pj, qj), / ? /). Мы будем назы-
называть координаты Qj и импульсы pj с индексами из / (те, для кото-
которых в формуле есть минус) патологическими. Если размерность
пересечения лагранжевой плоскости с | плоскостью q—const
равна к, то производящую функцию можно выбрать с к
патологическими аргументами.
Следствие. Все лагранжевы ростки в R2™ локально сим-
плектически эквивалентны.
Доказательство. Из утверждения примера 6 сле-
следует, что каждый лагранжев росток в подходящей симплектиче-
ской системе координат записывается при помощи производящей
функции: p=dS/dq. Диффеоморфизм (р, q) н-> (р — dS/dq, q) со-
сохраняет симплектическую структуру и приводит росток к виду
р=0.
18.4. Лагранжевы расслоения. Расслоение тс: Е^-ь-В* назы-
называется лагранжевым, если пространство Е снабжено симплектиче-
ской структурой и слои — лагранжевы подмногообразия.
Пример 1. R2" -*¦ R", (p, q)>->q — стандартное лагранжево
расслоение.
Пример 2. Кокасателъное расслоение Т*В -*¦ В любого
многообразия В лагранжево. Действительно, вдоль слоев кока-
сательного расслоения обращается в нуль стандартная 1-форма
a=pdq, а значит, и ее дифференциал m—da..
Теорема. Все лагранжевы расслоения фиксированной раз-
размерности локально симплектически диффеоморфны (локально —
в окрестности каждой точки пространства расслоения).
Доказательство, Выберем п^ ростков функций
Qu- ¦ • » (?«на базе расслоения тсс независимыми в центре ростка диф-
дифференциалами. Ростки их прообразов (qt=n*Q11 • • •. ?B=U*(?J
в рассматриваемой точке пространства расслоения также имеют
независимые дифференциалы.
Рассмотрим векторные поля Х^с гамильтонианами (glt . . ., <?„).
Докажем, что эти поля касаются слоев расслоения. Действительно,
dii (%)~—ш (%н ?)» поэтому линейное пространство, порожден-
порожденное всеми касательными к слою векторами ? и еще, вектором Х{
в][касательном пространстве ТеЕ к пространству расслоения
в какой-либо точке, изотропно (ш=0). Но касательное простран-
пространство к слою — уже лагранжево (максимальное изотропное) под-
подпространство в линейном симплектическом пространстве ТеЕ.
Поэтому вектор Х4 касается слоя.
Мы заключаем, что функции qi находятся в инволюции:
так как расслоение лагранжево. Следовательно, поля Xir
мутируют^ а значит^ коммутируют и их фазовые потоки.
ком-
18]
ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
235
Выберем какой-либо лагранжев росток в изучаемой точке,
трансверсальный слою. Определим функции рг, . . ., рп в окрест-
окрестности этой точки так: двигаясь от точки выбранного лагранжева
ростка в течение времени t± вдоль поля —Хг, времени ?2 вдоль
поля —Х2 и т. д., мы приходим в точку, в которой Px=tx, />2 =
=*., • • •
Ростки функций (рх, . . . , рп; qx, . . ., qn) образуют локальную
систему координат, в которой наше расслоение задается форму-
формулой (р, q) \-+ q.
Рассмотрим пересечения поверхностей уровня функций
рг, . . ., рп. Это — сдвиги выбранного трансверсального слоя ла-
лагранжева многообразия посредством симплектических диффео-
диффеоморфизмов. Следовательно, пересечения лагранжевы. Но
— ш (Х(, i)=dpi E)=0 для любого вектора ?, касающегося пере-
пересечения. Значит, поля Хс касаются пересечений (иначе вектор Х(
можно было бы добавить, не нарушая изотропности, к касатель-
касательному пространству к пересечению).
Теперь уже легко вычислить все попарные скобки Пуассона
функций (рг, . . ., qn); мы убеждаемся в том, что в построенных
координатах симплектическая структура имеет стандартный вид
m = 'Ldpi/\dqi, что и завершает доказательство теоремы.
Замечание. Попутно мы построили на каждом слое
лагранжева расслоения локальную структуру аффинного про-
пространства (заданную координатами (рх, . . ., р„))- Имевшийся
в нашей конструкции произвол состоит в выборе функций
((?!,. . ., QJ и в выборе лагранжева сечения (р—0). Легко проверить,
что изменение того и другого приводит в слое к координатам р,
отличающимся от построенных лишь аффинным преобразованием.
Действительно, изменение координат Q. влечет линейное преоб-
преобразование dQt и, значит, полей Х{, а изменениег-лагранжева сече-
сечения — лишь сдвиг начала координат р.
18.5. Лагранжевы эквивалентности. Лагранжевой эквивалент-
эквивалентностью двух лагранжевых расслоений называется диффеомор-
диффеоморфизм пространств расслоений, переводящий слои первого рас-
расслоения в слои второго и симплектическую структуру первого
в симплектическую структуру второго.
Пример 1. Рассмотрим стандартное лагранжево расслое-
расслоение R2" ->• R", (p, q) i-> q. Для любой функции S на базе рас-
расслоения отображение пространства расслоения в себя, заданное
формулой (р, q) н-> (p-\-dS/dq, q), является лагранжевой экви-
эквивалентностью.
Пример 2. Для любого линейного оператора A: R" -*¦ R"
отображение пространства стандартного расслоения в себя, за-
заданное формулой (р, q) i-> (А' ~хр, Ад), является лагранжевой
эквивалентностью.
236
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
Пример 3. Рассмотрим кокасательное расслоение Т*В ->i?,
и пусть g: В -*¦ В — любой диффеоморфизм. Тогда индуциро-
индуцированное отображение g*: T*B -*¦ Т*В — лагранжева эквивалент-
эквивалентность.
Пример 4. Для любой функции S: В -> R отображение
Т*В ->Т*В, заданное формулой ? н->? -\-dS Ц, является лагранже-
лагранжевой эквивалентностью расслоения п: Т*В->В в себя.
Теорема. Всякая лагранжева эквивалентность ростка ко-
касателъного расслоения в себя разлагается в произведение эквива-
лентностей примеров 3 и 4: ? i-> g* t--\-dS\r.g*z, где g — росток
диффеоморфизма базы, a S — росток функции на базе.
Доказательство. По определению лагранжева экви-
эквивалентность индуцирует диффеоморфизм базы. Применяя эквива-
эквивалентность примера 3, мы приходим к случаю, когда диффеомор-
диффеоморфизм базы тождественный, и должны доказать, что в этом случае
эквивалентность описывается примером 4.
Итак, мы должны описать все симплектические диффеомор-
диффеоморфизмы вида (р, q) >-> (Р (р, q), q). Из симплектичности следует, что
Р dq—pdq=dS. Следовательно, dS/dp=O, dS/dq=P—р, т. е. Р =
=p-\-dS Idq, что и требовалось доказать.
Рассмотрим действие лагранжевой эквивалентности 8, описан-
описанной в теореме, на росток лагранжева многообразия L, являюще-
являющегося сечением кокасательного расслоения. Росток L задается про-
производящей функцией F по формуле p=dF/dq.
$3 Росток QL также является сечением; вычислим его произво-
производящую функцию. По доказанному эквивалентность 8 выража-
выражается через диффеоморфизм g базы и функцию S на'базе по формуле
Теорема. Производящая функция F ростка 0L получается
из производящей функции F ростка L диффеоморфизмом базы и при-
прибавлением функции на базе:
Доказательство. Форма р dq инвариантна относи-
относительно g*, поэтому за производящую функцию ростка g*L можно
выбрать Fog'1. Преобразование же ? >-> Н-<й5Ц очевидно при-
прибавляет S к производящей функции.
18.6. Лагранжевы отображения. Рассмотрим вложение в про-
пространство лагранжева расслоения тс: Е —> В еще одного лагран-
лагранжева подмногообразия (?: L -*¦ Е).
Сужение проектирования тс на L, т. е. moi: L -+-В, называ-
называется лагранжевым отображением. <й1
Лагранжевы отображения — это отображения многообразий
одинаковой размерности, но они образуют специальный класс
§ 18J.
ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
237
отображений: особенности общего положения в классе всех отоб-
отображений и в классе лагранжевых отображений, вообще говоря,
различны. ••--¦-¦¦;
Пример 1. Градиентное отображение q у-*- dS/dq лагран-
жево.
Пример 2. Гауссово отображение трансверсально ориенти-
ориентированной гиперповерхности в евклидовом пространстве на сферу
лагранжево.
Действительно, многообразие ориентированных нормалей к по-
поверхности является лагранжевым подмногообразием в кокасатель-
ном расслоении сферы (см. замечание в п. 18.2 и пример 4
в п. 18.3).
Задача. Вычислить производящую функцию гауссова отоб-
отображения (т. е. производящую функцию лагранжева многообразия
нормалей).
Ответ. Это опорная функция исходной гиперповерхности:
в точке х гиперповерхности она равна <(#, у}, где у — орт нор-
нормали.
Пример 3. Нормальное отображение, сопоставляющее век-
—->¦
тору uv нормали к поверхности в евклидовом пространстве, при-
приложенному в точке и, точку v самого пространства, лагранжево.
Лагранжевой эквивалентностью лагранжевых отображений на-
называется лагранжева эквивалентность соответствующих расслое-
расслоений, переводящая лагранжево многообразие-прообраз в первом
пространстве расслоения в лагранжево многообразие-прообраз
во втором.
*¦¦¦¦;" Аналогичные определения даются для ростков.
Зада ч^а. ^Докажите, что каждый росток лагранжева отобра-
отображения лагранжево эквивалентен ростку градиентного отображе-
ния*(а"также ростку',гауссова отображениями также ростку нор-
нормального отображения).
РЗамечание. Все лагранжевы ростки, близкие к данному
градиентному (гауссову, нормальному), сами являются градиент-
градиентными (гауссовыми, нормальными); поэтому явления общего поло-
положения в классе градиентных (гауссовых, нормальных) отображе-
отображений — те же, что в классе всех лагранжевых отображений.
18.7. Каустики. Множество критических значений лагран-
лагранжева отображения называется каустикой.
Пример. Для нормального отображения поверхности
в евклидовом пространстве каустика есть множество центров
кривизны: чтобы ее построить, нужно отложить вдоль каждой
нормали соответствующие радиусы главных кривизн.
Центры кривизны эллипса образуют астроиду: это кривая
с четырьмя точками возврата. Эти особенности устойчивы: при ма-
малом шевелении из эллипса получается кривая, центры которой
238
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. Ш
образуют близкую к астроиде каустику с четырьмя точками воз-
возврата. Эту каустику можно получить также как огибающую се-
семейства нормалей к эллипсу.
Поверхность центров кривизны трехосного эллипсоида устроена
уже довольно сложно, но соответствующие лагранжевы особен-
особенности также устойчивы. Их изучил еще А. Кэли A873).
Каустики лагранжево эквивалентных отображений диффео-
морфны, так как сами отображения лево-право эквивалентны.
Из диффеоморфности каустик лагранжева эквивалентность,
вообще говоря, не следует. Из диффеоморфности каустик не сле-
следует также и лево-правая эквивалентность, а из лево-правой —
лагранжева.
Для лагранжевых отображений построена своя теория осо-
особенностей, параллельная общей теории особенностей. Оказыва-
Оказывается, что теория устойчивых лагранжевых ростков сводится к тео-
теории версальных деформаций гладких функций. Это позволяет
извлечь из теории особенностей семейств функций значительную
информацию о лагранжевых особенностях.
§ 19. Производящие семейства
Росток n-мерного лагранжева многообразия можно задать
производящей функцией п переменных. В этом смысле многооб-
многообразие лагранжевых ростков в R2" имеет атлас, каждая из 2" карт
которого — пространство ростков <? нкций п переменных (рас-
(рассматриваемых с точностью до аддитивных постоянных).
Иногда удобнее задавать лагранжев росток при помощи ростка
функции большего числа переменных — так называемого про-
производящего семейства. Естественно, одному лагранжеву ростку
отвечает много производящих семейств. Однако класс семейств,
задающих эквивалентные лагранжевы ростки, удается явно опи-
описать. В результате классификация лагранжевых особенностей
сводится к задаче теории семейств функций.
19.1. Оптическая длина пути как производящее семейство.
Производящие семейства естественно возникают в геометрической
оптике. Рассмотрим, например, в евклидовом пространстве два
подмногообразия произвольных (не обязательно совпадающих)
размерностей: источник света и поверхность наблюдения. Семей-
Семейство фронтов (эквидистант), распространяющихся от источника,
задает и на поверхности наблюдения семейство фронтов. Вообще
говоря, через каждую точку поверхности наблюдения проходит
несколько фронтов, соответственно различным лучам, перпенди-
перпендикулярным к источнику и ведущим в данную точку наблюдения,
так что семейство фронтов на поверхности наблюдения «много-
«многозначно». Однако этому семейству соответствует вполне определен-
определенное лагранжево подмногообразие в кокасательном расслоении
ПРОИЗВОДЯЩИЕ СЕМЕЙСТВА
239
поверхности наблюдения. Это многообразие образовано импуль-
импульсами (дифференциалами оптической длины пути), соответствую-
соответствующими всем локальным ветвям семейства фронтов.
Формулами эта ситуация описывается следующим образом.
Пусть a;^R* — координаты точки источника, X?R'— коорди-
координаты точки наблюдения, F (х, X) — оптическая длина пути от х
до X. Условие перпендикулярности *) ведущего из а; в X луча
к источнику имеет вид 3F/dx=0. Лагранжево многообразие в ко-
кокасательном расслоении поверхности наблюдения задается, сле-
следовательно, формулой
Л = {Х, х: Зх: dF/дх — О, * = dFjd\). (*)
[Мы пользуемся здесь обычными координатами в кокасательном
расслоении: точка (X, х) из R2/ — это форма -x.xd\ -)-...-{- xzdXf
в точке X из R*.]
Формула (*) задает Z-мерное лагранжево многообразие Л при
помощи функции F от п=к-\-1 переменных. Функцию F можно
рассматривать как семейство функций от к переменных х с I па-
параметрами X. Это семейство Хёрмандер предложил называть про-
производящим семейством для лагранжева ростка Л **).
Следует подчеркнуть, что лагранжево многообразие Л, вообще
говоря, не является сечением кокасательного расслоения: его
проектирование на поверхность наблюдения определяет на ней
каустики. В то же время исходная функция F предполагалась
однозначной.
Формулу (*) можно истолковать еще следующим образом.
Рассмотрим в кокасательном расслоении произведения источника
и поверхности наблюдения лагранжево подмногообразие-сечение,
заданное производящей функцией F:
М = {(х, X; у, х): у = dF/дх, х = дР/д\).
Многообразие Л получается из М сечением плоскостью г/=0
и последующим проектированием (забыванием х и у).
То же самое можно выразить еще следующим более ученым
образом.
19.2. Подготовительные определения. Рассмотрим вспомога-
вспомогательное расслоение р: R*+/-»R% p(x, Х) = Х. Мы будем называть
R*+/ большим пространством, a R — базой. Пространство кока-
кокасательного расслоения большого пространства (базы) мы будем
называть большим (малым) фазовым пространством соответственно.
¦) То есть условие стационарности пути из х в X по сравнению с пу-
путями в X из соседних точек.
¦¦) Производящие семейства линейных по х функций встречались уже
у Якоби и Ли (см. способ задания канонических преобразований функциями
избыточного числа переменных в § 126 учебника Уиттеккера «Аналитическая
динамика», М., 1937).
240 ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЯ. Ш
Определение. Смешанным пространством для р на-
называется множество всех векторов, кокасательных небольшому
пространству, обращающихся в нуль на векторах, касательных
к слоям расслоения р.
Мы будем обозначать смешанное пространство буквой А.
Смешанное пространство А является подмногообразием боль-
большого фазового пространства. Поэтому смешанное пространство А
расслоено над большим пространством. Слои естественно изо-
изоморфны кокасательным пространствам базы. Это расслоение
А -> R*+' мы будем называть смешанным расслоением *).
Смешанное пространство А естественно проектируется на ма-
малое фазовое пространство: кокасательный вектор к большому
пространству, равный нулю на касательных к слоям вспомога-
вспомогательного расслоения векторам, определяет кокасательный вектор
на базе. Слои этого расслоения А —> Т*И1 изоморфны слоям вспо-
вспомогательного расслоения р **).
Таким образом, смешанное и два кокасательных расслоения
образуют коммутативную диаграмму:
R**'
'(.r.X)
Определение. Лагранжево подмногообразие большого
кокасательного расслоения называется ^-правильным, если оно
трансверсально смешанному пространству А для р.
19.3. Существование производящего семейства лагранжева
ростка.
Теорема. 1°. Естественная проекция пересечения ^-пра-
^-правильного лагранжева многообразия с А в малое фазовое простран-
пространство является лагранжевым (иммерсированным) подмногообразием.
2°. Всякий росток лагранжева многообразия в малом фазовом
пространстве может быть получен конструкцией 1° из ростка
^-правильного лагранжева сечения кокасательного расслоения под-
подходящего большого пространства.
Доказательство. А) Пересечение р-правильного ла-
лагранжева подмногообразия М с А является подмногообразием
размерности I в А.
Докажем, что сужение отображения р*тг на это подмногообра-
подмногообразие невырождено.
*) Смешанное расслоение — это расслоение, индуцированное из кока-
кокасательного расслоения базы, п, при отображении р.
**) Это расслоение индуцировано из вспомогательного раселоения рпри
отображении it.
§ Щ
ПРОИЗВОДЯЩИЕ СЕМЕЙСТВА
241
Рассмотрим касательные плоскости акАяр-кМв точке пере-
пересечения как линейные подпространства линейного симплектического
пространства, касательного к большому фазовому пространству.
Легко доказывается
Предложение 1. Косоортогоналъное дополнение ann a
подпространства а есть касательное пространство к слою рас-
расслоения р*тс.
Действительно, симплектическая структура имеет вид S dy/\dx-\-
-\-Iidx/\dk, а а задается уравнением у=0. Значит, ann а есть коор-
координатное ^-пространство, а это и есть касательное пространство
к слою р*тт. Предложение доказано.
По условию р-правильности а+р-=все. Следовательно,
(ann а) П (ann p.)=0. Но ann p-=p-, так как fi. лагранжево. Итак,
(ann а) П fJ-=O. Но согласно «доказанному предложению ann a
есть касательное пространство к слою расслоения р*тс. Значит,
пересечение М с А не касается слоев этого расслоения. Итак, про-
проектирование — иммерсия.
Б) Иммерсированное многообразие L = p*n (M П -4) лагран-
лагранжево.
Действительно, на А г/=0, поэтому %dy/\dx-\-T'dx./\dk=
= Edx/\<iX. Значит, косоортогональность касательных к М f\ A
векторов в большом фазовом пространстве влечет за собой косо-
косоортогональность их проекций в малое фазовое пространство.
Итак, лагранжевость L следует из лагранжевости М. Утвержде-
Утверждение 1° доказано.
В) Произвольный росток лагранжева подмногообразия L в ма-
малом фазовом пространстве задается одной из 2' производящих
функций вида S (kj, *.j) по формулам
Здесь (/, /) — разбиение множества A, . . ., 1} на две части; пусть
к — число элементов / (число патологических аргументов функ-
функции S). Будем рассматривать S как семейство функций от второго
(ifc-мерного), патологического аргумента, считая первый аргумент
параметром.' Рассмотрим семейство F (x, 1)=S (kj, x)-\-(lj, хУ
функций А-мерного аргумента х, зависящих от Z-мерного параме-
параметра 1 (по параметру \j это семейство линейно). Семейство F задает
лагранжево сечение М кокасательного расслоения большого про-
пространства по обычным формулам
y = dF/dx, x =
Определим вспомогательное расслоение р обычной формулой
Р (х, \) = \.
Предложение 2. Лагранжево многообразие М ^-пра-
^-правильно. Соответствующий ему лагранжев росток в малом фазовом
пространстве есть исходное лагранжево подмногообразие L.
16 В. И. Арнольд и др,
242
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
(ГЛ. til
Доказательство. На М локальными координатами
являются а; и X; согласно определению F, на М
у = dS/dx -f ХУ| х/ = dS/dXj, х^ == х.
Следовательно, det (ду/dlj) =?* 0. Это доказывает независимость
сужений к форм dyi на М. Следовательно, многообразие М транс-
версально многообразию А с уравнением #=0, т. е. р-правильно.
При у=0 из выписанных выше соотношений следует
\j = —dS/дх, х/ = dS/dXi, x = xr
Поэтому проекция М П -4 в малое фазовое пространство (забы-
(забывание х) совпадает с L. Тем самым предложение, а с ним и утверж-
утверждение 2° теоремы доказаны.
О пределение. Производящим семейством лагранжева
ростка L называется росток функции F на большом пространстве,
производящей для р-правильного ростка лагранжева многообра-
многообразия М: y=dFJdx, x=dF/d\, который после пересечения со сме-
смешанным пространством А вспомогательного расслоения р (х, Х) =
=Х и естественного проектирования в малое фазовое пространство
превращается в L.
Иными словами, L выражается через F по формуле (*) п. 19.1.
Замечание 1. Условие р-правильности: ранг матрицы
(d2Fjdx2, d2F/dx дХ) в точках, где dF/dx = 0, — максимально воз-
возможный {равен числу к аргументов xf). Действительно, р-пра-
видьность означает независимость сужений форм dyt на М
в точках из М П А и на М
yt = 2 {P
(д*Р/дх{д\т) d\m.
Замечание 2. Ядро производной лагранжева отображе-
отображения (проектирования L на базу) выражается через производящее
семейство следующим образом.
Будем рассматривать матрицу дгР/дх2 как задающую линей-
линейный оператор R*-*R*, а матрицу д^/дХдх — как задающую ли-
линейный оператор R' -*¦ R*, транспонированную матрицу c^Fjdx дХ —
как задающую оператор R* ->• R*.
Будем обозначать вектор из компонент dut (f\) элемента ~ц че-
через du (tj) {и обозначает х, или у, или X, или х).
Когда щ пробегает ядро производной, вектор dx (tj) пробегает
образ ядра оператора d2F/dx2 под действием оператора daF/dx д\.
Действительно, мы имеем
dy = (d2F/dx2)dx + (d2Fld-kdx)dK dy(-n) = O, dX(i}) = 0, x = dF/d\.
Следовательно,
dx ft) e Ker (cPF/dx2),
что и требовалось доказать.
dx (rj) = (d*F/dx d\) dx ft),
§ 19]
ПРОИЗВОДЯЩИЕ СБМБЙСТВА
243
Замечание 3. Из р-правильности следует, что отобра-
отображение т) i-> dx (т)) задает изоморфизм ядра производной с простран-
пространством {d^Fldx д\) Ker (d2F/dx2) (так как L иммерсировано в ма-
малое фазовое пространство).
Следствие. Размерность ядра производной не превосходит
min (к, I) (т. е. размерностей слоя и базы вспомогательного расслое-
расслоения).
Таким образом, если размерность ядра производной лагран-
лагранжева отображения в точке равна т, то размерность к слоя вспомо-
вспомогательного расслоения для задающего это отображение произво-
производящего семейства не меньше, чем т. Росток производящего се-
семейства со слоями наименьшей возможной размерности (А;=тп)
существует. Этот росток построен в п. В) доказательства теоремы
(так как число патологических аргументов производящей^функ-
ции S можно взять равным т).
Следствие. Для ростка в точке производящего семейства
с минимально возможной размерностью слоя вспомогательного
расслоения d2Fldx2=0 в рассматриваемой точке.
19.4. Лагранжева эквивалентность и .Неэквивалентность про-
производящих семейств.
Определение. Диффеоморфизм пространства гладкого
расслоения в себя называется расслоенным, если он переводит
слои в слои (такой диффеоморфизм индуцирует диффеоморфизм
базы).
Пусть F; и Р3 — два производящих семейства, определенные
на пространстве вспомогательного расслоения р: R*+' —>• R'.
Семейства Fx и F2 называются R-эквивалентными, если одно из
них переходит в другое при подходящем расслоенном диффео-
диффеоморфизме 8, т. е.
F1(x,l) = F2(h(x, X), <р(Х)>, (**)
где в(х, Х) = (А(г, X), «р (X)).
Семейства называются R ^эквивалентными, если одно из них
переходит в другое после подходящего расслоенного диффеомор-
диффеоморфизма в и прибавления подходящей гладкой функции от пара-
параметров:
Ф(Х).
Аналогичные определения даются для ростков.
Два ростка семейств Ft, F2 с общими параметрами X, но, во-
вообще говоря, разными размерностями пространства аргументов х1
и х2 называются стабильно R*-эквивалентными, если они стано-
становятся R ^эквивалентными после добавления к аргументам х1
новых аргументов z* и к функциям Fi невырожденных квадратич-
квадратичных форм Qi от новых аргументов: Fx -\- Qt —- F% -f- Q2.
16*
244
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. Ill
Теорема. Два ростка лагранжевых отображений лагран-
жево эквивалентны, если и только если ростки их производящих
семейств И^-стабильно эквивалентны. **>чщ
Прежде чем доказывать эту теорему, мы рассмотрим один спе-
специальный класс лагранжевых эквивалентностей кокасательного
расслоения над большим пространством вспомогательного рас-
расслоения.
Согласно п. 18.5 каждая лагранжева эквивалентность разлага-
разлагается в произведение послойно линейной эквивалентности, индуци-
индуцированной диффеоморфизмом большого пространства, и послой-
послойного сдвига, заданного функцией на большом пространстве.
Определение. Лагранжева эквивалентность кокаса-
кокасательного расслоения большого пространства называется расслоен-
расслоенной, если соответствующий диффеоморфизм большого простран-
пространства расслоен (переводит слои вспомогательного расслоения
в слои), а соответствующая функция на большом пространстве
постоянна вдоль слоев.
Предложение. Лагранжева эквивалентность кокаса-
тельного расслоения большого пространства расслоена, если и только
если она переводит в себя смешанное пространство А.
Доказательство. 1. Расслоенный диффеоморфизм
большого пространства индуцирует сохраняющую смешанное
пространство лагранжеву эквивалентность, так как смешанное
пространство определено вспомогательным расслоением.
2. Сдвиг, определяемый постоянной вдоль слоев функцией
S (X), имеет вид (х, у, X, х) ь> (х, у, X, x-\-dS/dl) и переводит много-
многообразие А, заданное уравнением у=0, в себя.
Из 1 и 2 следует, что расслоенная эквивалентность перево-
переводит А в себя.
3. Пусть лагранжева эквивалентность переводит А в себя.
Рассмотрим косоортогональное дополнение апп а к касательному
пространству а к А. Лагранжева эквивалентность, переводящая А
в себя, сохраняет поле плоскостей апп а на многообразии А и аф-
аффинную структуру слоев кокасательного расслоения. Но апп а
есть касательное пространство к слою расслоения А -> Т*И'.
Следовательно, переводящая А в себя лагранжева эквивалент-
эквивалентность переводит в себя поле плоскостей, параллельных аг-простран-
ству. Значит, соответствующий диффеоморфизм большого про-
пространства расслоен. Поскольку многообразие А, где г/=0, перехо-
переходит в себя, функция, определяющая сдвиг, от х не зависит. Итак,
лагранжева эквивалентность, переводящая А в себя, расслоена.
Предложение доказано.
Следствие. Расслоенная лагранжева эквивалентность ин-
индуцирует лагранжеву эквивалентность кокасательного расслоения
базы вспомогательного расслоения.
19]
ПРОИЗВОДЯЩИЕ СЕМЕЙСТВА
245
19.5. Доказательство теоремы об эквивалентности. А) Пусть
дана R +-эквивалентность производящего семейства F1 с семей-
семейством F2. Докажем, что F2 также является производящим семей-
семейством и что определенные семействами Fx и F2 ростки лагранже-
лагранжевых отображений лагранжево эквивалентны.
а) По R +-эквивалентности строим расслоенную лагранжеву
эквивалентность: если Fx (х, ~k)=F2 (h (x, X), ср (Х))+Ф (X), то рас-
расслоенный диффеоморфизм Q=(h, ср) большого пространства и сдвиг,
заданный функцией Ф, определяют расслоенную лагранжеву
эквивалентность.
б) Эта расслоенная лагранжева эквивалентность переводит
росток лагранжева сечения Мг большего кокасательного расслое-
расслоения, заданный производящей функцией Fx, в росток лагранжева
сечения М2 с производящей функцией F2 (см. формулы п. 18.5).
Отсюда следует, что М.2 трансверсально А. Значит, семейство F2
производящее.
в) Лагранжева эквивалентность кокасательного расслоения-
базы вспомогательного расслоения, индуцированная построенной
расслоенной эквивалентностью, переводит лагранжев росток с про-
производящим семейством F± в росток с производящим семейством F2.
Утверждение А) доказано.
Б) Пусть дана лагранжева эквивалентность кокасательного
расслоения базы вспомогательного расслоения, переводящая ро-
росток лагранжева многообразия Lx, заданного производящим се-
семейством F\, в росток лагранжева многообразия Ьг.
Тогда L2 можно задать производящим семейством F2, R+-
эквивалентным семейству Fj_.
Действительно, рассмотрим прямое произведение данной рас-
расслоенной эквивалентности пространства кокасательного расслое-
расслоения базы с координатами (X, х) и тождественного преобразования
(х, у) ,_> (х, у). Это — расслоенная лагранжева эквивалентность
кокасательного расслоения большого пространства. Она перево-
переводит росток лагранжева сечения Мг, заданный производящей функ-
функцией Flt в росток лагранжева сечения М2. М2 задается произво-
производящей функцией F2. Производящее семейство F2 — искомое.
В) Стабильно Неэквивалентные производящие семейства за-
задают лагранжево эквивалентные ростки.
Действительно, производящие семейства F (х, X) и F (х, Х) +
±z* (с параметрами X) задают один и тот же лагранжев росток:
{X, к
= {Х, х: Зх, z:
= 0,z = 0, x =
Г) Любые два производящих семейства одного и того же лагран-
лагранжева ростка R+-стабильно эквивалентны.
Это — наиболее содержательная часть доказательства.
246
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
а) Редукция к случаю d2F/dx2=0. По обобщенной лемме Морса
(п. 11.1) существует росток диффеоморфизма (х, X) ь* (и, v, X),
для которого F (x, 'k)=F1 (и, \)+Q (v), где Q — невырожденная
квадратичная форма и d*Fx!dv? в рассматриваемой точке есть нуль.
Рассмотрим Fx как семейство функций от и с параметрами X.
Это семейство производящее и задает тот же лагранжев росток,
что и F.
Итак, каждое производящее семейство данного ростка Деста-
Дестабильно эквивалентно производящему семейству с d*Fldx2=0,
т. е. производящему семейству с размерностью слоя вспомога-
вспомогательного расслоения, имеющей наименьшее возможное значение
(равное размерности ядра производной лагранжева отображения).
Такое производящее семейство мы будем называть минимальным.
б) Утверждение Г) вытекает из а) и следующего предложения:
Минимальные производящие семейства одного лагранжева ростка
Rн-эквивалентны.
в) Редукция к случаю специального производящего семейства-
Мы уже отмечали, что всякий лагранжев росток допускает про-
производящую функцию с минимальным числом патологических
аргументов xj, j (* J (равным размерности к ядра лагранжева
отображения):
х7 = dS/дЪ, lj =
(здесь (X, х) (-»• X — кокасательное расслоение пространства R').
Мы зафиксируем этот набор к патологических аргументов.
Предложение. Для минимального производящего се-
семейства F (х, X), задающего рассматриваемый лагранжев росток.
det (d2F/dx d\j) ф 0.
Док азательство. Условие трансверсальности, при
котором лагранжев росток задается производящей функцией
с к патологическими аргументами xj, j ? /, состоит в независи-
независимости к форм dxj на ядре лагранжева отображения, т. е. в невы-
невырожденности отображения, сопоставляющего вектору ядра ч\ век-
вектор с компонентами dxj (i\). Ввиду минимальности семейства это
линейное отображение R* ->¦ R* задается матрицей d2FIdx d\j.
Итак, det (d2F/dx dlj) ^ 0.
Определение. Минимальное производящее семейство F
называется специальным, если при dF/дх—О выполняется условие
x=-dFlb\j
Утверждение б) вытекает из двух лемм.
Лемма 1. Росток минимального производящего семейства
Д*-эквивалентен ростку специального производящего семейства,
определяющего тот же лагранжев росток.
Лемма 2. Ростки специальных производящих семейств,
определяющих один и тот же лагранжев росток, В.*-эквивалентны.
131
ПРОИЗВОДЯЩИЕ СЕМЕЙСТВА
24?
г) Доказательство леммы, 1. Пусть F — минимальное произво-
производящее семейство. Тогда det (SPFIdx dlj) =^0.
Пусть xj (x, "k)—dF/dlj. Отображение (а^ X) н> (xj (х, X), X)
задает расслоенный диффеоморфизм большого пространства. Ин-
Индуцированная лагранжева эквивалентность переводит лагран-
жево сечение М, заданное производящей функцией F, в новое
лагранжево сечение.
Это сечение задает специальное производящее семейство. Дей-
Действительно, это производящее семейство имеет вид Fx (ж, X) =
= F (и (х, X), X), где (ж, X) н> (ц (х, X), X) — обращение отображе-
отображения (ж, X) н* (xj (хх X)i X). Из dFJdx^O следует dF/du=0, поэтому
при ^dFJdx^Q^mtBQbL dF\ld\==dFld'k==xj{u (x, X), Х)=х,' что до-
доказывает специальность Fx. Ростки F и Fx определяют один и тот
же лагранжев росток и Д-эквивалентны. Лемма 1 доказана.
д) Доказательство леммы 2. Пусть F — производящее семей-
семейство лагранжева ростка. Рассмотрим множество критических
точек семейства
N={x, X: dF/dx=0].
Это множество естественно диффеоморфно нашему лагранжеву
ростку.
Предложение. Пусть Fo, Fx — два специальных про-
изводящих^семейства^одного ростка. Тогда: 1) их множества кри-
критических значений совпадают: NQ=N1=N; 2) сужения Fo и Fx
на N совпадают с_точностью^до аддитивной постоянной; 3) пол-
полный дифференциал. FQ—Fx равен 0 на — -" * АГ
й дифференциал. FoFt равен
Д о к а з а те л ь^с т в о. 1) Поскольку ^Гс, специально,
Ni есть образ^нашего лагранжева ростка при отображении, со-
сопоставляющем точке (х, X) точку (xj, X). Поэтому Ni не зависит
от i. 2) Точки нашего лагранжева ростка параметризуются зна-
значениями X/ и ы.] В частности, х определяются по Xj и х.^ Значит,
dFi/dl в точках N однозначно определено лагранжевым^ростком
и не зависит^от*i. Отсюда следует 3), а значит, и 2).'^~т^-..~'^у-,
Пусть F0^vl Fx — два специальных производящих^семейства
одного лагранжева ростка таких, что значения Fo и F± в началь-
начальной точке совпадают. Согласно доказанному предложению Fo—Fx
имеет на множестве критических значений N нуль не ниже второго
порядка.
Соединим Fo с Ft гомотопией Ft=F0+t (Fj^—F,,). Ft — спе-
специальное производящее семейство того же ростка. Будем искать
гладко зависящее от t ? [0, 1 ] семейство диффеоморфизмов Gfx
Gt (x, X) == (g (x, X, t), X), такое, что ^оО<=/?0!А(точнее говоря,,
Gt — росток диффеоморфизма, оставляющего на месте изучаемую
точку). Росток диффеоморфизма Gx устанавливает Д-эквивалент-
ность семейств FQ и FXl что и доказывает лемму 2.
248
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК Й ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. Ill
Дифференцируя соотношение FtoGt =
уравнение
по t, мы получаем
(Рг - FQ) + 2 ?,• (дР,1дх<) = О (***)
относительно компонент зависящего от t векторного поля ?=
=2 \t (x, X, t) dldxi скоростей семейства диффеоморфизмов Gt.
Рассмотрим в пространстве с координатами (х, X, t) много-
многообразие N'=Nx{t]. Уравнения dF(/dxi—0 (i=l, . . ., к) состав-
составляют систему независимых уравнений этого многообразия. По
лемме Адамара всякая функция, обращающаяся на этом много-
многообразии в нуль, представима в виде линейной комбинации dFt/dxt
(с функциональными коэффициентами). Поэтому всякая функ-
функция Ф, имеющая на N нуль второго порядка, представима в виде
Ф (х, I, t)= 2 6< (х, *. *) dFt/dx{, I,- \N' = 0.
В частности, полагая Ф=^о—Ft, мы убеждаемся в разрешимости
уравнения (***), причем | | N' = 0.
Полученное зависящее от t векторное поле ? обращается в 0
на N и поэтому задает в окрестности изучаемой точки диффео-
диффеоморфизмы Gt при всех t(*[0, 1]. Диффеоморфизм Gx расслоен
(имеет вид Gx (х, \)=(Н (х, 1), 1)) и F1oG1=F0. Следовательно,
F1 /^-эквивалентно Fo, что и требовалось доказать.
§ 20. Лежандровы особенности
Отложим вдоль каждой внутренней нормали к эллипсу отре-
отрезок длины t. Свободные концы этих отрезков образуют кривую,
называемую фронтом (возмущения, распространяющегося внутрь
эллипса в течение времени t).
Если t мало", фронт гладкий, но для бблыпих t фронт имеет
особенности D точки возврата). Такие же особенности возникают
на фронте, распространяющемся от близкой к эллипсу кривой.
В этом параграфе строится аппарат исследования особенностей
фронтов — теория лежандровых особенностей.
20.1. Контактные многообразия. Наиболее общее определение
фронта дается в терминах геометрии контактной структуры.
Контактной структурой на многообразии называется поле
гиперплоскостей *), удовлетворяющее следующему условию макси-
максимальной неинтегрируемости: если а — 1-форма, локально за-
задающая данное поле гиперплоскостей (как поле своих нулевых
подпространств), то 2-форма da на каждой плоскости <х=0 невы-
невырождена.
Плоскости поля называются контактными плоскостями. Каж-
Каждая 1-форма а, локально задающая поле контактных плоскостей,
*) Плоскостей коразмерности один в касательных пространствах.
20]
ЛЕЖАНДРОБЫ ОСОБЕННОСТИ
249
называется контактной формой. (Она определяется лишь локально
и лишь с точностью до умножения на отличную от 0 функцию.)
Нетрудно проверить, что условие невырожденности не зависит
от выбора специальной контактной формы, но лишь от поля ги-
гиперплоскостей .
Поскольку невырожденные кососимметрические билинейные
формы бывают лишь на четномерных пространствах, контактная
структура может существовать только на нечетномерном много-
многообразии.
Пример 1. Линейное пространство Rz"+1 с координатами
(xj,, . . ., хп; ух, . . ., уп; z) имеет стандартную контактную струк-
1ЩРУ, заданную формой a=dz—у dx (неинтегрируемость очевидна).
Пример 2. Пусть V — гладкое га-мерное многообразие,
J1 (V, R) — многообразие 1-струй функций на V. Это много-
многообразие размерности 2га+1 имеет естественную контактную струк-
структуру: гиперплоскости определяются как замыкания объединений
касательных пространств к 1-графикам функций /: V -> R A-гра-
фик функции / — это образ отображения, сопоставляющего
точке х 1-струю функции / в точке х).
Что эта конструкция определяет контактную структуру, легко
проверить с помощью локальных координат в пространстве струй.
Пусть (хг, . . ., хп) — локальные координаты на V, z в R и
(г/j., • ¦ ч Уп) — значения первых частных производных функции
z—f (x). Тогда контактная структура J1 локально задается фор-
формой a=dz—у dx, как в примере 1.
П'р и м е р 3. Пусть В — гладкое многообразие. Контакт-
Контактным элементом на Я называется гиперплоскость в касательном
пространстве к В.
Множество всех контактных элементов, касающихся В в данной
точке Ъ, образует проективное пространство РТ1В (это — проек-
тивизация кокасательного пространства к В в Ъ). Множество
всех контактных элементов на В образует многообразие контакт-
контактных элементов размерности 2 dim В—1 (пространство проектив-
проективного кокасательного расслоения В, обозначаемое РТ*В). На
РТ*В имеется естественная контактная структура, определяемая
так: скорость движения контактного элемента принадлежит кон-
контактной гиперплоскости, если скорость движения точки прило-
приложения принадлежит самому контактному элементу.
Теорема Дарбу (о контактных структурах). Все кон-
контактные структуры на многообразии фиксированной размерности
локально эквивалентны (диффеоморфны).
Иными словами, в окрестности каждой точки контактного
многообразия контактная структура задается в подходящих
координатах формой dz—у dx.
Теорема Дарбу (о контактных формах). Все контакт-
контактные формы на многообразии фиксированной размерности локально
250
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. Ш
эквивалентны (диффеоморфны), т. е. в подходящих координатах
имеют вид dz—у dx.
Доказательство. Теорема о структурах вытекает из
теоремы о формах, которую мы и будем доказывать. Пусть а —
контактная форма. Рассмотрим кососимметрическую 2-форму da
в фиксированном касательном пространстве. Ввиду контактно-
контактности формы а форма da имеет одномерное О-пространство (множество
векторов ?, для которых da (?, -)=0)- Рассмотрим поле 0-про-
странств формы а. Отрезки интегральных кривых этого поля
в окрестности U рассматриваемой точки образуют многообразие
V четной размерности. Рассмотрим проектирование р: U -* V
вдоль интегральных кривых. Форма da проектируется в некото-
некоторую 2-форму (о на V. Действительно, рассмотрим двумерную
площадку а на V, трехмерный цилиндр р-1о и цилиндрическую
3-цепь с, образованную частью этого цилиндра между двумя се-
сечениями а' и а" расслоения р над а. Интеграл формы da по
боковой поверхности цилиндра с равен нулю, поэтому интегралы
da по а' и по а" одинаковы; их общее значение и есть значение
интеграла формы ш по а. При этом da=p*(o.
Форма (о замкнута и невырождена (ибо сужение da'ua. транс-
версаль к интегральным кривым "обладает этими свойствами
ввиду контактности формы а). По симплектической теореме
Дарбу на V существуют (локальные) координаты (р, q) такие, что
о)=—S dp. Д dqf. Положим х{=р*д<, у( = р*р{, тогда р* (р dq) =
=у dx. Следовательно, d (—у dx)=da. Значит, d (a-\-y dx)=0.
Определим локальную функцию z на U соотношением а-\-у dx=
=dz. Легко проверить, что функции (х, у, z) определяют искомую
систему координат: a=dz—у dx.
Замечание. Иногда форма а и симплектическое фактор-
многообразие V определены и в целом. Например, рассмотрим
сферическое кокасательное расслоение евклидова пространства
ST*R."=\x 6 R", У € R": I У 1=1} с контактной формой,
индуцированной из у dx. Фактор-многообразие V есть многооб-
многообразие ориентированных прямых'в R";'ero симплектическаяструк-
тура уже описана в п^ 18.2.
20.2. Лежандровы подмногообразия. Подмногообразие кон-
контактного многообразия- называется интегральным, если его каса-
касательная плоскость в каждой точке принадлежит контактной
плоскости. Щ
Размерность всякого интегрального многообразия меньше
половины размерности контактного многообразия (это вытекает
из невырожденности контактной формы на контактной плоскости).
Интегральные многообразия наибольшей возможной размерности
(равной половине размерности контактной плоскости) называ-
называются лежандровыми подмногообразиями контактного много-
многообразия.
ЛЕЖАНДРОВЬ! ОСОБЕННОСТИ
251
Пример 1. Плоскость a:=const, z= const в стандартном кон-
контактном пространстве с координатами х, у, z и формой a=dz—у dx
лежандрова.
Пример 2. 1-график любой функции является лежандро-
вым подмногообразием контактного многообразия 1-струй функций.
Пример 3. Множество всех контактных элементов, касаю-
касающихся данной гиперповерхности многообразия В, является лежан-
дровым подмногообразием пространства проективного кокаса-
тельного расслоения РТ*В.
Лежандрово многообразие образуют также все контактные
элементы, касающиеся фиксированного подмногообразия любой
положительной коразмерности в В (например, точки). В частности,
слои проективного кокасательного расслоения РТ*В -*¦ В ле-
лежандровы.
Предложение. При локальном проектировании р кон-
контактного многообразия на симплектическое, построенном в п. 20.1,
лежандровы подмногообразия контактного пространства локально
диффеоморфно отображаются в лагранжевы подмногообразия сим-
плектического пространства. Все лагранжевы подмногообразия
симплектического пространства получаются этим способом. Ле-
жандров росток однозначно определяется одной своей точкой и
своим лагранжевым образом.
Доказательство. Локальная диффеоморфность выте-
вытекает из трансверсальности 0-пространств форм а и da.. Лагранже-
вость образа следует из того, что сужение da на лежандрово
подмногообразие равно 0. Остальное очевидно (z= \ ydxj.
Следствие. Всякий росток лежандрова подмногообразия
в 2п-\-1-мерном контактном пространстве с контактной формой
a=dz—у dx задается одной из 2" производящих функций S по фор-
формулам
yj = dS/dxj, Xj= —dSjdyj, z = S (xJt ^) + (xJt y^,
где (I, J) — разбиение множества {1,...,/г} на непересекающиеся
подмножества.
20.3. Лежандровы расслоения. Расслоение тс: Егп+1 -*¦ Вп+1
называется лежандровым, если его пространство Е снабжено
контактной структурой, а слои — лежандровы подмногообразия.
Пример 1. R2B+1-^R"+1, a = dz — у dx, iz(x, у, z) — {x, z) —
стандартное лежандрово расслоение.
Пример 2. Jl(M, R)->/°(M, R) = MxR (отображение за-
забывания производных).
Пример 3. тс: РТ*В^*-В {проективное кокасательное рас-
расслоение).
Пример 4. Пространство РТ*И" контактных элементов
в R" лежандрово расслоено еще и до-другому, над пространством
252
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
(ГЛ. Ш
гиперплоскостей в R". Расслоение сопоставляет контактному эле-
элементу содержащую его плоскость. Аналогичным образом, ориен-
ориентированные контактные элементы образуют расслоение над мно-
многообразием ориентированных гиперплоскостей в R".
После факторизации, указанной в доказательстве теоремы
Дарбу (см. замечание в п. 20.1), это лежандрово расслоение пере-
переходит в лагранжево, а именно в кокасательное расслоение сферы
(проверьте!).
Теорема. Все лежандровы расслоения фиксированной раз-
размерности локально контактно диффеоморфны (локально—в ок-
окрестности каждой точки пространства расслоения).
Доказательство. Пусть тс: Е2"+х -> В"*1—лежандрово
расслоение, а — контактная 1-форма, К — контактная плоскость
в точке из Е, F — касательная плоскость к слою в этой точке
(dim K=2n, dim F=n). По условию F лежит в К, поэтому образ
К при отображении проектирования тс#: ТЕ —> ТВ имеет размер-
размерность п, т. е. есть контактный элемент на В.
Тем самым мы построили отображение из Е в РТ*В, перево-
переводящее слои расслоения тс в слои проективного кокасательного рас-
расслоения над В. Покажем, что это отображение — локальный диф-
диффеоморфизм.
Введем на В локальные координаты (qx, . . ., qn, r) так, чтобы
рассматриваемая точка была началом координат и рассматривае-
рассматриваемый контактный элемент имел уравнение dr=O. На Е определим
локальные координаты (xi = n*gi, г—к*г, рг, . . ., рп) с началом
в изучаемой точке.
Контактная форма на Е обращается в 0 при dxi и dz, равных
нулю, а в нуле пропорциональна dz. Поэтому можно выбрать
ее в виде a.=dz—Zyidxi, где функции у( от (х, р, z) равны
0 в нуле.
В этих обозначениях доказываемая невырожденность означает
отличие от нуля якобиана det (ду/др) в нуле. Если бы этот опре-
определитель был равен 0, то существовал бы ненулевой вектор ?,
касательный к слою в нуле (так что йя(|)=0, dz(%)=0), такой,
что dy (%)=0. Но тогда для любого вектора т\ da A-,"ц) =
=—I,(dyi/\dx{) E, il) =0, вопреки невырожденности формы da
на К. Итак, наше отображение — локальный диффеоморфизм.
Одновременно мы доказали, что функции у{ вместе с х и z
образуют на Е локальную координатную систему. В этой системе
координат a.—dz—у dx, тс (х, у, z)=(x, z), что и доказывает локаль-
локальную контактную эквивалентность нашего расслоения стандарт-
стандартному.
20.4. Лежандровы эквивалентности. Лежандровой эквивалент-
эквивалентностью двух лежандровых расслоений называется диффеомор-
диффеоморфизм пространств расслоения, переводящий слои первого расслое-
расслоения в слои второго.
§ 20]
МЕЖАЙДРОВЫ ОСОБЕННОСТИ
253
Пример. Рассмотрим проективное кокасательное расслое-
расслоение РТ*В -> В. Каждый диффеоморфизм базы действует на кон-
контактные элементы на ней. Возникающее отображение пространства
расслоения РТ*В в себя является лежандровой эквивалентно- -
стью (каждый слой она отображает проективно).
Теорема. Всякая лежандрова эквивалентность ростка
проективного кокасательного расслоения в себя индуцирована ло-
локальным диффеоморфизмом базы.
Доказательство. Лежандрова эквивалентность ин-
индуцирует диффеоморфизм базы. Если этот диффеоморфизм тожде-
тождественный, то каждая контактная плоскость остается на месте
(ибо остается на месте контактный элемент, в который она проек-
проектируется, а контактные элементы разных контактных плоскостей
разные). Следовательно, лежандрова эквивалентность однозначно
определяется индуцированным диффеоморфизмом базы.
Замечание. Структура любого лежандрова расслоения
определяет на слоях структуру локально-проективного простран-
пространства; всякая лежандрова эквивалентность задает проективные
преобразования слоев и индуцирована диффеоморфизмом базы
(ср. две последние теоремы).
20.5. Лежандровы отображения. Рассмотрим вложение в про-
пространство лежандрова расслоения тс: Е -> В еще одного лежандрова
подмногообразия (?: L -> Е). Сужение^проектирования тс на L,
т. е. тсо?: L —*¦ В, называется лежандровым отображением.
Лежандровы отображения — это отображения в многообразие
на 1 большего числа измерений, чем прообраз. Они образуют спе-
специальный класс отображений тг-мерных многообразий в л+1-
мерные: особенности общего положения в классе всех отображений
и в классе лежандровых отображений различны.
Пример 1. Рассмотрим стандартное расслоение тс: R2n+1 -»¦
—*¦ R"+1, тс (х, у, z) = (х, z), с контактной структурой a = dz — ydx.
Определим лежандрово многообразие с производящей функцией S
формулой (ср. п. 20.2, / пусто)
x = dS/dy, z = <(x,y> — S(y).
Проекция тс этого лежандрова многообразия на пространство RB+1
задает лежандрово отображение. Образ этого отображения явля-
является гиперповерхностью в RB+1 (вообще говоря, особой).
В случае, когда функция S выпукла, образ гладкий и явля-
является графиком функции z=T (x). Эта функция Т называется пре-
преобразованием Лежандра исходной функции S.
Пример 2. Тангенциальное отображение, сопоставляющее
каждой точке гиперповерхности в R" касательную гиперплоскость
в этой точке, лежандрово (соответствующее лежандрово расслое-
расслоение описано в примере 4 п. 20.3). Лежандрово также аналогичное
отображение ориентированной гиперповерхности в многообра-
254 ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЯ. ±ХХ
зие ориентированных гиперплоскостей bJR". При факторизации,
указанной в доказательстве теоремы Дарбу (см. замечание
в п. 20.1), это лежандрово отображение переходит в лагранжево,
а именно в гауссово отображение исходной гиперповерхности
(почему?).
Эквивалентность лежандровых отображений определяется как
лежандрова эквивалентность соответствующих лежандровых рас-
расслоений, переводящая первое лежандрово подмногообразие во
второе.
Можно доказать, что всякое лежандрово отображение локально
эквивалентно отображению примера 1. В этом смысле все лезкан-
дровы особенности сводятся к особенностям преобразований Ле-
жандра (причем совпадают также явления общего положения
и т. д.)
20.6. Фронты. Образ лежандрова отображения называется
фронтом (отображаемого лежандрова многообразия).
Пример. Рассмотрим гладкое подмногообразие (любой
положительной коразмерности) в евклидовом пространстве. От-
Отложим по каждой нормали отрезок длины t. Свободные концы
построенных отрезков образуют фронт (как мы вскоре докажем).
Более общим образом, рассмотрим вместо евклидовой длины
любой «геометрический функционал» вариационного исчисления,
т. е. любую функцию Н на пространстве кокасательного расслоения
гладкого многообразия В, однородную первой степени однород-
однородности по импульсам:
Н: (T*B\B)-+R, Н(Щ = \НA) \Д>0.
Мы предположим, что If не обращается в нуль вне нулевого сече-
сечения.
Рассмотрим множество Е ненулевого уровня функции Н (за-
(заданное уравнением H=h, А^О). Многообразие Е трансверсально
слоям расслоения тс: Т*В\В -*¦ РТ*В. Контактная структура
многообразия контактных элементов РТ*В переносится локаль-
локальным диффеоморфизмом тс | Е на многообразие Е.
Теорема. Фазовый поток уравнений Гамильтона на Е
сохраняет контактную структуру.
Следствие. Фазовый поток уравнений Гамильтона на
Е переводит лежандровы подмногообразия в лежандровы.
Пример. Пусть В — риманово пространство, ZT= | p |,
h=l. В этом случае Е — сферическое кокасательное расслоение,
т. е. многообразие трансверсально ориентированных контактных
элементов на В. Фазовый поток за время t сдвигает каждый кон-
контактный элемент на расстояние t вперед по геодезической, перпен-
перпендикулярной элементу, сохраняя перпендикулярность. Для лю-
любого подмногообразия в В касающиеся нодмногообравжя траневер-
сально ориентированные контактные элементы образуют дежан-
20]
ЛЕЖАНДРОВЫ ОСОБЕННОСТИ
255
дрово подмногообразие. По следствию их сдвиги через время t
также образуют лежандрово подмногообразие.
Проекция этого лежандрова многообразия на .Выесть эквиди-
станта исходного многообразия (множество свободных концов
отрезков геодезических нормалей длины t к исходному многооб-
многообразию). Следовательно, эквидистанта является фронтом лежан-
лежандрова многообразия. и
Замечание. Можно показать, что все лежандровы осо-
особенности реализуются уже в случае эквидистант гиперповерхно-
гиперповерхностей в евклидовом пространстве. В этом смысле исследование
лежандровых особенностей совпадает с исследованием эквиди-
эквидистант (можно показать, что близким лежандровым особенностям
соответствуют эквидистанты близких гиперповерхностей и "об-
"обратно, так что особенности общего положения для фронтов ле-
лежандровых многообразий те же, что для эквидистант). *
Доказательство теоремы. 1°. Индуцированная
с РТ*В контактная структура на Е задается сужением на Е ка-
канонической 1-формы р dq на Т*В. Покажем, что косоортпогоналъ-
ное дополнение к нулям этой формы есть касательное простран-
пространство к слою расслоения тс (в точках пространства Т*В, не принад-
принадлежащих нулевому сечению кокасательного расслоения). "^
Действительно, форма p"dq обращается в нуль вдоль любой
кривой, «-проекция которой интегральна для контактной струк-
структуры. Поэтому интеграл формы симплектической структуры
dp /\ dq вдоль любой площадки, проектирующейся в интеграль-
интегральную кривую, равен нулю. Следовательно, гиперплоскость нулей
формы р dq и касательная к слою я косоортогональны и, значит,
являются косоортогональными дополнениями друг друга.
2°. Фазовый поток функции Гамильтона Н на Т*В\В ком-
коммутирует с умножением всех кокасателъных векторов на поло-
положительную постоянную. г
Действительно, при таком растяжении вектора симплектиче-
ская структура dp Д dq и функция Гамильтона растягиваются
в одинаковое число раз, следовательно, векторное поле^Гамиль-
тона не меняется.
3°. Согласно 1° контактная структура на Е определена в тер-
терминах симплектической структуры на Т*В\В и поля касатель-
касательных к слоям расслоения тс. Фазовый поток с функцией Гамиль-
Гамильтона Н сохраняет подмногообразие Е, симплектическую струк-
структуру и (согласно 2°) поле касательных к слоям тс. Следовательно,
он сохраняет и поле косоортогональных дополнений, т. е. контакт-
контактную структуру на Е.
Теорема доказана.
Замечание. Фронт лежандрова многообразия имеет,
вообще говоря, коразмерность один в объемлющем пространстве
(ростки, для которых эта коразмерность больше, образуют мно-
256
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. III
жество коразмерности бесконечность в пространстве всех лежан-
лежандровых ростков). г
Лежандрово подмногообразие в РТ*В, имеющее фронтом глад-
гладкую гиперповерхность в В, однозначно восстанавливается по этой
гиперповерхности: это множество ее касательных плоскостей;
В этом смысле действие лежандровой эквивалентности на ле-
жандрову особенность сводится к действию соответствующего
диффеоморфизма базы на фронт. Это замечание применимо не
только к отображениям с гладкими фронтами/но и к таким, у ко-
которых множество точек регулярности плотно в исходном лежандро-
вом многообразии (последнее условие нарушается лишь для
лежандровых ростков, образующих множество коразмерности
бесконечность в пространстве всех лежандровых ростков).
20.7. Производящие семейства. В то время как лагранжевы
многообразия связаны с функциями, а лагранжевы особенности —
с особенностями семейств функций, лежандровы многообразия
связаны с гиперповерхностями, а лежандровы особенности —
с особенностями семейств гиперповерхностей.
Рассмотрим росток лежандрова подмногообразия пространства
проективного кокасательного расслоения, J трансверсального
слоям. Такое многообразие имеет неособый фронт. Этот фронт
называется производящей гиперповерхностью исходного ростка.
Лежандровы эквивалентности действуют на производящую
гиперповерхность как диффеоморфизмы базы.
Лежандровы производящие семейства гиперповерхностей
строятся из производящих гиперповерхностей так же, как лагран-
лагранжевы производящие семейства*— из1|Ъроизводящих функций.
Пусть р: R*+' -> R'— «вспомогательное расслоение»; мы будем
называть Rft+' большим пространством, a R' — базой. Контакт-
Контактный элемент, к большому пространству либо пересекает касатель-
касательную плоскость к слою вспомогательного расслоения по гиперпло-
гиперплоскости, либо содержит ее целиком. Во втором случае контактный
элемент называется р-особым. Все р-особые элементы образуют
в многообразии всех контактных элементов PT*B.k+l подмного-
подмногообразие. Мы назовем'его смешанным пространством для вспомо-
вспомогательного расслоения р и"обозначим через РА. Многообразие РА
естественно расслаивается над болыпим~*пространством (отобра-
(отображение расслоения определяется проекцией р). Слой этого расслое-
расслоения изоморфен кокасательному пространству базы расслоения р
(как многообразие всех контактных элементов'болыпого простран-
пространства, содержащих"фиксированный контактный элемент слоя рас-
расслоения р). " ¦"?
Определ е н и е. Лежандрово многообразие, заданное про-
производящей гиперповерхностью, называется ^-правильным, если
оно трансверсально смешанному пространству" РА вспомогатель-
вспомогательного расслояния р
20]
ЛЕЗКАНДРОВЫ ОСОБЕННОСТИ
257
Теорема. 1°. Естественная проекция пересечения р-пра-
вилъного лежандрова многообразия со смешанным пространством
РА вспомогательного расслоения р в пространство проективного
кокасателъного расслоения базы вспомогательного расслоения яв-
является иммерсией лежандрова многообразия.
2°. Всякий росток лежандрова подмногообразия проективного
кокасателъного расслоения базы получается этой конструкцией
из некоторого порожденного производящей гиперповерхностью
р-правилъного лежандрова подмногообразия подходящего вспомога-
вспомогательного расслоения р.
Доказательство 1°. Рассмотрим в точке пересечения
следующие плоскости в касательном пространстве большого про-
проективного расслоения:
Q — контактная гиперплоскость (размерности 2 (k-\-l) — 2);
а — касательная плоскость к пространству РА (размерности
к+21);
f — касательная плоскость к слою расслоения РА -*¦ РТ* R
(размерности к);
т — касательная плоскость к рассматриваемому лежандрову
многообразию (размерности &+Z—1).
Легко видеть, что а и / не лежат внутри Q, поэтому их пересе-
пересечения с Q имеют размерности
Z — I, dim (/ft ^) = к — 1.
Пространство й снабдим линейной симплектической структу-
структурой, заданной сужением дифференциала контактной формы на Q.
Утверждение. Пространства а П 2 " /П 2 являются косо-
ортогопальными дополнениями друг друга.
Поскольку эти подпространства имеют в 2 дополнительные
размерности, достаточно доказать их косоортогональность.
Легко построить координаты (q, z), q ?Rm, m — l—1, в R и
локальные координаты (р, q, z) в PT*R!, координаты (х, q, z)
в Rk+l и локальные координаты (у, р; х, q, z) в PT*Rk+l так,
что: 1) контактные формы имеют вид dz — pdq и a.=dz — ydx —
— pdq соответственно; 2) PA имеет уравнение у = 0; 3) расслое-
расслоение РА -*• PT*Rl записывается в виде (р, х, q, z)n-».(p, q, z);
4) на плоскости 2 р = 0, у=0, — da = ^dy{ Д dxi + ^dpt Д dq{.
Пусть % — вектор из af\Q, -ц — вектор из f(~]Q. Во введенных
обозначениях имеем
Следовательно, da.{%, rj) = 0, что и доказывает утверждение.
Мы будем обозначать косоортогональное дополнение в 2 зна-
знаком arm. Имеем ami (af\ Q) = (/f| 2). Поскольку т касается лежан-
лежандрова многообразия, а|т = 0, da\x = 0, dim Й = 2 dim т. Поэтому
т CZ 2 и ann т = т.
17 В. И. Арнольд и др.
258
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
По условию x-^-(af]Q)==Qt откуда (аппх)П(аип(аП2)) = 0.
Итак, -:р)(/р| Й) = 0, следовательно, xf)/ = 0. Это доказывает
невырожденность проектирования из утверждения 1°. Лежан-
дровость образа следует из того, что на РА у —О, поэтому форма
а сводится к dz — p dq.
Доказательство 2°. Будем пользоваться локальными
координатами (р, q, z) в РТ*Иг, введенными выше. Предположим,
что дан лежандров росток в точке р = 0, q = 0, z = 0. Такой
лежандров росток диффеоморфно проектируется в пространство
с координатами (р, q) вдоль оси z. На образе dz = p dq, поэтому
d(pdq) = O. Итак, образ — лагранжев росток в координатном
симплектическом пространстве R2"-11. Исходный лежандров росток
является графиком функции z = \ р dq на этом дагранжевом ростке.
Но всякий лагранжев росток задается одной из 2 производя-
производящих функций:
Pj = dS[dqIt qj=—dS/dPj, inJ = 0, I{JI = {1,...,1 — 1}.
Следовательно, наш лежандров росток задается формулами вида
pI = dS/dqI, qj^—dS/dpj, z = 5 (qn Pj) -f (pJt q^.
Рассмотрим теперь вспомогательное расслоение р: R*+l -»¦ R',
где к равно числу патологических аргументов (числу элементов
множества J). Будем обозначать координаты в Rfc+/ и Iv, как в 1°:
р (х, q, z) = (q, z). Рассмотрим гиперповерхность в большом про-
пространстве, заданную уравнением
Эта гиперповерхность производит лежандровр многообразие
{у, р; х, q, z: y = dS/dx-\-qj, pI = dSjdqI,
Pj = x, z = S [qJt x) + (x, q,)).
Это многообразие трансверсально смешанному пространству РА
с уравнением у = 0, так как dy\dq} = Е. Проекция пересечения
с РА ъ PT*R' есть
{p,q,z: 3x: qj^—dSjdx, pI = dSldqI,
z = S[qIt ж
т. е. исходный лежандров росток. Теорема доказана.
Определение. Гиперповерхность большого простран-
пространства, через которую лежандров росток в пространстве проектив-
проективного кокасательного расслоения базы вспомогательного расслое-
расслоения р выражается, как в п. 2°, называется производящим семей-
семейством гиперповерхностей для этого лежандрова ростка (элементы
20]
ЛЕЖАНДРОВЫ ОСОБЕННОСТИ
259
производящего семейства — это пересечения указанной гипер-
гиперповерхности со слоями расслоения р; это, вообще говоря, особые
гиперповерхности в слоях, но их объединение неособо).
Замечание. Гиперповерхность Г в пространстве расслое-
расслоения р : Ик+г —> R' является минимальным производящим семей-
семейством, если сужение р на Г имеет трансверсальную особенность
Е* в смысле § 2.
20.8. Лежандрова эквивалентность лежандровых особенностей
и эквивалентность производящих семейств гиперповерхностей.
Определение. Расслоенной эквивалентностью производящих
семейств гиперповерхностей Fv Г2 в пространстве расслоения
р: Rk+1 —*¦ Rl, p(x, \) = \, называется расслоенный диффеоморфизм
(х, X) (-> (h (х, 1), ср (X)), переводящий Гх в Г2.
Теорема. 1°. Лежандровы ростки, определенные расслоенно
эквивалентными производящими семействами гиперповерхностей,
лежандрово эквивалентны.
2°. Все лежандровы ростки, лежандрово эквивалентные дан-
данному, допускают задание производящими семействами гиперпо-
гиперповерхностей, расслоенно эквивалентными данному.
3°. Все производящие семейства гиперповерхностей для фикси-
фиксированного лежандрова ростка, у которых размерность слоев вспо-
вспомогательного расслоения имеет минимальное возможное значение,
расслоенно эквивалентны.
Доказательство. 1°. Расслоенная эквивалентность
семейств гиперповерхностей индуцирует лежандрову эквивалент-
эквивалентность проективного кокасательного расслоения большого про-
пространства, PT*Rk+l, сохраняющую смешанное пространство РА.
Лежандрово многообразие, произведенное в PT*~Rk+l первой ги-
гиперповерхностью, переходит при этом в лежандрово многообра-
многообразие, порожденное второй. Поэтому пересечение первого с РА
переходит в пересечение второго с РА.
Расслоенная эквивалентность порождает диффеоморфизм базы
R*. Индуцированная им лежандрова эквивалентность PT*R'
переводит проекцию первого пересечения в проекцию второго,
что и доказывает утверждение 1°.
2°. Пусть дана лежандрова эквивалентность в РТ*Иг, пере-
переводящая лежандров росток с производящим семейстпом гиперпо-
гиперповерхностей Г с Rk+l в новый ложалдров росток.
Эта лежандрова эквивалентность индуцирована диффеомор-
диффеоморфизмом базы, X i-> со (X). Отображение (х, X) ь-»- (х, ср (X)) задает
искомую расслоенную эквивалентность.
3°. Из формул доказательства предыдущей теоремы следует,
что при введенных там обозначениях координат лежандров ро-
росток, заданный производящим семейством гиперповерхностей
z—F (x, q) в точке 0 (а в таком виде локально записывается лю-
17*
260
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
бое производящее семейство), есть росток в точке нуль много-
многообразия
{р, q, z: Зх: dF/dx=0, p = dF/dq, z=F(x, q)}. (**)
При этом нетрудно проверить, что выбор координат z и qx, ...
. . ., qt_x в R' можно провести для фиксированного лежандрова
ростка раз и навсегда, независимо от того, каким производящим
семейством гиперповерхностей он будет задаваться: требуется
лишь, чтобы начальная точка ростка имела координаты z=0,
q=0, р=0.
Сравнивая формулу (**) с формулой (*) п. 19.1, мы приходим
к следующему выводу.
Предложение. Производящее семейство гиперповерх-
гиперповерхностей лежандрова ростка (**) является графиком производящего
семейства функций (*) лагранжева ростка, получающегося из дан-
данного лежандрова ростка проектированием вдоль оси z. Обратно,
график производящего семейства функций для этого лагранжева
ростка является производящим семейством гиперповерхностей для
исходного ростка. Размерность слоя вспомогательного расслоения
в лежандровом случае минимальна, если и только если она мини-
минимальна в лаеранжевом случае.
Действительно: 1) условия р-правильности как в лежандровом,
так и в лагранжевом случае есть условие нормальной разрешимо-
разрешимости уравнения dF/dx=0 относительно х; 2) минимальная размер-
размерность слоя равна размерности ядра производной лагранжева
(лежандрова) отображения. Эти размерности совпадают, так как
вдоль лежандрова многообразия z — гладкая функция от (х, q).
Из предложения следует, что производящие функции Fx, F2
для двух любых минимальных производящих семейств гиперпо-
гиперповерхностей z=Fx (x, q), z=F2 (x, q) одного лежандрова ростка
R^-эквивалентны: F2 (x, q)=Fx (h (x, q), q)+O (q). Следовательно,
их графики расслоенно эквивалентны (относительно расслоения
р (х, q, z) = (q, z)). Это доказывает пункт 3°.
Замечание. То же доказательство позволяет описать все
(не обязательно минимальные) производящие семейства гипер-
гиперповерхностей для данного лежандрова ростка: это графики R+-
стабильно эквивалентных производящих семейств соответствую-
соответствующего лагранжева ростка.
Определение. Пусть ГсМ- гладкая гиперповерх-
гиперповерхность с невырожденным уравнением /=0. Удвоением М с ветвле-
ветвлением вдоль Г называется гиперповерхность в прямом произведе-
произведении MxR, заданная уравнением u2 =/ (v), и ?R, v ?M.[В ком-
комплексном случае это — двулистное разветвленное накрытие М
с ветвлением вдоль Г; вещественный тип удвоения зависит от вы-
выбора стороны Г. ]
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
261
Два семейства гиперповерхностей (во вспомогательных рас-
расслоениях с общей базой) называются стабильно расслоенно экви-
эквивалентными, если они получаются из одного и того же семейства
последовательностями удвоений (при каждом удвоении соверша-
совершается переход от вспомогательного расслоения р (v)=w к вспомо-
вспомогательному расслоению р (u, v)—iv).
В этих терминах мы можем окончательно сформулировать
предыдущие результаты так.
Теорема. Два ростка производящих семейств гиперповерх-
гиперповерхностей задают лежандрово эквивалентные ростки, если и только
если эти семейства гиперповерхностей расслоенно стабильно
эквивалентны.
Замечание. Проведенное выше исследование лежандро-
вых особенностей основано на функторе контактизации, сопо-
сопоставляющем ростку симплектического многообразия росток кон-
контактного многообразия на 1 большей размерности, лагранжевым
подмногообразиям первого—лежандровы второго и т. д. Имеется
также функтор симплектизации, сопоставляющий ростку кон-
контактного многообразия росток симплектического многообразия
на 1 большей размерности. Попытка свести лежандровы особен-
особенности к лагранжевым путем симплектизации имеется в статье [55].
§ 21. Классификация лагранжевых и лежандровых
особенностей
Теория производящих сеА1ейств сводит исследование лагран-
лагранжевых и лежандровых особенностей к исследованию особенностей
семейств функций и гиперповерхностей. Развитый в предыдущих
главах аппарат исследования особенностей функций дает поэтому
значительную информацию о каустиках и фронтах. Ниже при-
приведены результаты, полученные в этом направлении.
21.1. Лагранжева устойчивость.
Определение. Лагранжево отображение называется
лагранжево устойчивым, если всякое близкое лагранжево ото-
отображение ему лагранжево эквивалентно (в некомпактном случае
близость, как всегда, понимается в смысле топологии Уитни).
Росток лагранжева отображения в точке называется лагран-
лагранжево устойчивым, если для всякого отображения с данным ро-
ростком существует такая окрестность в пространстве лагранжевых
отображений (в топологии сходимости с конечным числом произ-
в одных на каждом компакте) и такая окрестность исходной точки,
что всякое принадлежащее первой окрестности лагранжево ото-
б ражение имеет во второй окрестности такую точку, что росток
э того отображения в этой точке лагранжево эквивалентен исход-
ному.
Из результатов гл. I и § 18 вытекает
260
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
(ГЛ. III
бое производящее семейство), есть росток в точке нуль много-
многообразия
{р, q, z: Эх: dF/dx=0, p = dF/dq, z=F(x, q)}. (**)
При этом нетрудно проверить, что выбор координат z и дг, ...
. . ., qt_x в R1 можно провести для фиксированного лежандрова
ростка раз и навсегда, независимо от того, каким производящим
семейством гиперповерхностей он будет задаваться: требуется
лишь, чтобы начальная точка ростка имела координаты 2=0,
3=0, р=0.
Сравнивая формулу (**) с формулой (*) п. 19.1, мы приходим
к следующему выводу.
Предложение. Производящее семейство гиперповерх-
гиперповерхностей лежандрова ростка (**) является графиком производящего
семейства функций (*) лагранжева ростка, получающегося из дан-
данного лежандрова ростка проектированием вдоль оси z. Обратно,
график производящего семейства функций для этого лагранжева
ростка является производящим семейством гиперповерхностей для
исходного ростка. Размерность слоя вспомогательного расслоения
в лежандровом случае минимальна, если и только если она мини-
минимальна в лагранжевом случае.
Действительно: 1) условия р-правильности как в лежандровом,
так и в лагранжевом случае есть условие нормальной разрешимо-
разрешимости уравнения dF/dx=0 относительно х; 2) минимальная размер-
размерность слоя равна размерности ядра производной лагранжева
(лежандрова) отображения. Эти размерности совпадают, так как
вдоль лежандрова многообразия z — гладкая функция от (х, q).
Из предложения следует, что производящие функции Fx, F2
для двух любых минимальных производящих семейств гиперпо-
гиперповерхностей z=Fx (x, q), z—F2 (x, q) одного лежандрова ростка
R^-эквивалентны: F.z (x, q)=F1 (h (x, q), #)+Ф (q). Следовательно,
их графики расслоенно эквивалентны (относительно расслоения
р (х, q, z)=(q, z)). Это доказывает пункт 3°.
Замечание. То же доказательство позволяет описать все
(не обязательно минимальные) производящие семейства гипер-
гиперповерхностей для данного лежандрова ростка: это графики R+-
стабильно эквивалентных производящих семейств соответствую-
соответствующего лагранжева ростка.
Определение. Пусть Т с М — гладкая гиперповерх-
гиперповерхность с невырожденным уравнением /=0. Удвоением М с ветвле-
ветвлением вдоль Г называется гиперповерхность в прямом произведе-
произведении МхИ, заданная уравнением и% =/ (v), и ?R, v ^М.[В ком-
комплексном случае это — двулистное разветвленное накрытие М
с ветвлением вдоль Г; вещественный тип удвоения зависит от вы-
выбора стороны Г. ]
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
261
Два семейства гиперповерхностей (во вспомогательных рас-
расслоениях с общей базой) называются стабильно расслоенно экви-
эквивалентными, если они получаются из одного и того же семейства
последовательностями удвоений (при каждом удвоении соверша-
совершается переход от вспомогательного расслоения р (v)=w к вспомо-
вспомогательному расслоению р (u, v)=w).
В этих терминах мы можем окончательно сформулировать
предыдущие результаты так.
Теорема. Два ростка производящих семейств гиперповерх-
гиперповерхностей задают лежандрово эквивалентные ростки, если и только
если эти семейства гиперповерхностей расслоенно стабильно
эквивалентны.
Замечание. Проведенное выше исследование лежандро-
лежандровых особенностей основано на функторе контактизации, сопо-
сопоставляющем ростку симплектического многообразия росток кон-
контактного многообразия на 1 большей размерности, лагранжевым
подмногообразиям первого—лежандровы второго и т. д. Имеется
также функтор симплектизации, сопоставляющий ростку кон-
контактного многообразия росток симплектического многообразия
на 1 большей размерности. Попытка свести лежандровы особен-
особенности к лагранжевым путем симплектизации имеется в статье [55].
§ 21. Классификация лагранжевых и лежандровых
особенностей
Теория производящих семейств сводит исследование лагран-
лагранжевых и лежандровых особенностей к исследованию особенностей
семейств функций и гиперповерхностей. Развитый в предыдущих
главах аппарат исследования особенностей функций дает поэтому
значительную информацию о каустиках и фронтах. Ниже при-
приведены результаты, полученные в этом направлении.
21.1. Лагранжева устойчивость.
Определение. Лагранжево отображение называется
лагранжево устойчивым, если всякое близкое лагранжево ото-
отображение ему лагранжево эквивалентно (в некомпактном случае
близость, как всегда, понимается в смысле топологии Уитни).
Росток лагранжева отображения в точке называется лагран-
лагранжево устойчивым, если для всякого отображения с данным ро-
ростком существует такая окрестность в пространстве лагранжевых
отображений (в топологии сходимости с конечным числом произ-
в одных на каждом компакте) и такая окрестность исходной точки,
что всякое принадлежащее первой окрестности лагранжево ото-
б ражение имеет во второй окрестности такую точку, что росток
э того отображения в этой точке лагранжево эквивалентен исход-
ному.
Из результатов гл. I и § 18 вытекает
262
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
Теорема. Росток лагранжева отображения, заданного
производящим семейством функций F (х, X) с параметром X,
лагранжево устойчив, если и только если деформация F функции
f=F(-, 0) В.+-версалъна (или если однопараметрическое расши-
расширение F (х, Х)+Хо является R-версалъной деформацией).
Следствие 1. Росток в нуле лагранжева отображения
(х, X) i-> X, заданный лагранжевым многообразием
где
(X, х: Эх: dFjdx — 0, y. — dF/dl),
rank (d2F/dx2, d^Fjdxd\\ = di m {x},
лагранжево устойчив, если и только если классы ростков функ-
функций /1, gx, ...,gl (gi(x) = dF/d'ki |j_o)} порождают линейное про-
пространство
где
= R [[хг,. . .,
b,..., df/dxk),
= F(x,0).
Следствие 2. Всякий устойчивый росток лагранжева ото-
отображения записывается в подходящих координатах при помощи
производящей функции вида
где /1, Pj(i?J), gi(i?I)} порождают Qf над R, причем число
элементов множества патологических аргументов равно раз-
размерности ядра производной отображения в нуле.
Здесь лагранжево многообразие задается уравнениями рх =
= dSjdqz, Qj = —dSjdpj, лагранжево расслоение — проектирова-
проектированием (р, q)^>-q.
Доказательство. По формуле п. 19.3 производящее семей-
семейство, соответствующее S, имеет вид
F (х, X) = S (Х„ х) + <XJ; х> = / (х) + 2 \8i (*) + 2 *&
(i?I, 7 6-О-
Применяя следствие 1, получаем условие устойчивости. Поскольку
всякая /?+-версальная деформация /?+-эквивалентна деформации
указанного вида, следствие 2 доказано.
Пример 1. Пусть f(p) = pl, / = {!}> I={2, ...,n). Тогда
ra^l, S = p\. Отображение задается формулой (рх, q2, . . ., qn) ь->
!-»¦(—'dpj, q2, ¦ . ., qn). Это — лагранжева складка. При п = 1 ла-
лагранжево отображение общего положения имеет лишь такие осо-
особенности.
S 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
263
Пример 2. Пусть f(p) = p\, / = {!}, 1—{2,...,п). Тогда
тг!>2, 5=:±р*-р p~(q2. Отображение задается формулой (рх, q2, ...
•• -'Яп)^(+^Р1 — 2PiQ* ?2» •••'?»)¦ Это — лагранжева сборка в 0.
Можно доказать, что при и = 2 лагранжевы отображения общего
положения имеют лишь особенности, лагранжево эквивалентные
росткам примеров 1 и 2 в нуле, т. е. лишь складки и сборки.
Знак при pf существен: в лагранжевом случае имеется две не-
неэквивалентных сборки.
Следствие 3. Всякий устойчивый росток лагранжева ото-
отображения эквивалентен градиентному ростку (pi-*—dSjdp),
заданному ростком в нуле функции
где gi — ростки, порождающие вместе с 1 и {pj (/ 6 -0} линейное
пространство градиентной алгебры
причем число элементов 7 можно взять равным корангу (раз-
(размерности ядра производной лагранжева отображения в нуле).
Доказательство. За координаты на нашем лагранжевом
многообразии можно принять (рл qX В этих координатах много-
многообразие задается производящей функцией S' (рг q^ = S (p) -f-
-\-(рп qty по формуле q^—dS'/dpj, p/=:dS'ldqJ. Соответствую-
Соответствующее 5' производящее семейство имеет вид
f (z, *) = /(*)-2X^,C0-2XJ/4 +2Хус,, '6/> /67>
т. е. Д+-эквивалентно производящему семейству Fo (х, X) = / (х) -f-
-f- 2 KiSi (x) ~t" 2 Kjxj' построенному по производящей функции
следствия 2.
Замечание. Производящее семейство, построенное по ис-
исходной производящей функции, имеет бблыпее число переменных:
F(x,\) = f (*,) + 2 (*« + gt (^)J + <х' х>-
Оно стабильно Д+-эквивалентно Fo (указание: положить щ = х(-\-
II р и м е р. Градиентные складки и сборки задаются ростками
в нуле функций S = р* ± р\ ± . ¦ . ±р% S = ep\-\- (р.2 + р*J +
± Рз i • ¦ ¦ + Р% 2 = 1 или —1. Лагранжев тип этих особенно-
особенностей не зависит от выбора знаков +, но ? = 1 и —1 отвечают
лагранжево неэквивалентные градиентные отображения.
Рассмотрим росток в нуле лагранжева отображения, заданного
производящей функцией S tqz, Pj\ no обычным формулам
pJ = dS/dqJt qj — —
264
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ [ГЛ. III
Рассмотрим еще ростки в нуле следующих функций:
Ф(х, A, a) = F(x + a,\),
f(x) = F(x,0).
Предположим, что / имеет в нуле нуль не ниже второго по-
порядка.
Следствие 4. Следующие условия эквивалентны:
1. Рассматриваемый росток лагранжево устойчив.
2. Деформация F функции f В+-версалъна.
3. Отображение, сопоставляющее паре (а, А) росток Ф (•, л, а)
в нуле, трансверсалъно R+-op6ume ростка f в нуле.
21.2. Описание каустик.
Теорема. Каустика лагранжева отображения, заданного
производящим семейством F, являющимся деформацией функции /,
является компонентой бифуркационного множества функций,
образованной значениями параметра, которым отвечают в семей-
семействе функции с вырожденными (не морсовскими) критическими
точками.
Само лагранжево отображение лево-право эквивалентно проекти-
проектированию критического множества (множества всех критических
точек всех функций семейства) на пространство параметров.
Доказательство непосредственно вытекает из определений.
Пусть теперь / f ш! — функция с конечнократной критиче-
критической точкой 0 с нулем не ниже второго порядка в начале коорди-
координат. Рассмотрим трансверсаль Т в т2 к Д-орбите ростка / в нуле
как деформацию ростка /. Эта деформация, как и всякая, инду-
индуцирована из версальной при некотором отображении трансвер-
сали в базу Д-миниверсальной деформации, ср: Т -> В. Размер-
Размерность В равна кратности jj. особой точки / в нуле, а размерность
Т равна fi—1.
Мы предположим, что й-версальвая деформация выбрана вида
так что F —/?+-миниверсальная деформация. Проекция А ь-> (А1; . . .
• • •' V-i) опРеДеляет отображение тс: В —> Л, где Л — база В+-мипш-
версальной деформации.
Теорема. Устойчивый росток лагранжева отображения
лево-право эквивалентен ростку отображения тс о ср: Т —> А для
подходящей функции /.
Для доказательства достаточно применить предыдущую кон-
конструкцию в случае, когда F — производящее семейство данного
ростка.
Следствие 1. Каустика устойчивого ростка голоморф-
голоморфного лагранжева отображения есть многообразие истинного ветвле-
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
265
ния разветвленного накрытия бифуркационного множества нулей
над базой В+-миниверсалъной деформации.
Действительно, бифуркационное множество нулей в базе
iJ-миниверсальной деформации есть как раз ср (Т).
Следствие 2. Каустика устойчивого голоморфного ростка
лагранжева отображения есть росток неприводимой (вообще
говоря, особой) комплексной гиперповерхности, биголоморфно экви-
эквивалентной алгебраической.
Алгебраичность вытекает из того, что версальная деформация
эквивалентна полиномиальной, а неприводимость следует из не-
неприводимости многообразия вырожденных квадратичных форм.
21.3. Классификация лагранжевых особенностей в малых раз-
размерностях. Из доказанных теорем и классификации гл. II непо-
непосредственно вытекает
Следствие 1. Ростки лагранжевых отображений общего
положения для многообразия размерности л<6в каждой точке
устойчивы и принадлежат конечному числу классов лагранжевой
эквивалентности.
Эти классы соответствуют простым особенностям А^, р. ^ 1,
D^, [J->4, Е^ (гл. II), для которых ц—1 < п: производящее
семейство лагранжева ростка является В +-версальной деформа-
деформацией функции соответствующего типа.
Например, для п=1 единственная особенность — складка
(А2), при и=2, кроме складок, появляются сборки (А3), при
п=3 — еще At и D4, при и=4 добавляются Аь и D5, наконец,
при и=5 добавляются Ав, De, Ев.
Замечание. Ростки лагранжевых отображений много-
многообразий размерности п ^ 6 для открытого множества отображений
общего положения в отдельных точках неустойчивы и имеют
модули. Это следует из того, что класс особенностей Р8 (см. гл. II)
имеет коразмерность с=6.
Следствие 2. Ростки лагранжевых отображений общего
положения для многообразий размерностей и < 6 в каждой точке
эквивалентны росткам проекций (p,q)^-q лагранжевых много-
многообразий pI = dSldqI, qj~—dSldpj, где
при
при
при
при
\ А2: S = pi;
2 еще As: S =+p\-\-qip\,
3 еще А4: S = р\ +
еще A&: S= ±j
Z>s: S = Plp22 ±p\
266
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
при п > 5 еще А,: S = p\
Д.: 5
E6: S —
± p\ -f- g3pi
qsp\.
Следствие З. Каустики общего положения на плоскости
не имеют других особенностей, кроме точек возврата, соответ-
Рис. 55.
Рис. 56.
ствующих лагранжевым особенностям А3. В трехмерном простран-
пространстве каустики общего положения не имеют других особенностей,
кроме ребер возврата (А3) (рис. 55) ласточкиных хвостов (At)
(рис. 56) и точечных особенностей двух типов, соответствующих
двум вещественным формам ZL: кошелька и пирамиды (рис. 57).
Разумеется, кроме этих особенностей возможны также транс-
версальные пересечения различных ветвей каустик друг с другом.
Рис. 57.
В настоящее время классификация лагранжевых особенноетей
общего положения доведена до случая многообразий размер-
размерности 10. При этом модули появляются, начиная с размерности 6,
в бесконечном количестве: нормальные формы содержат произ-
произвольные функции, являющиеся инвариантами (функциональные
модули). Список нормальных форм общих лагранжевых особен-
особенностей отображений пространств, размерность которых не превос-
превосходит 10, приведен ниже (в п. 21.7).
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
267
Каустики можно определить для всех групп, порожденных
отражениями, например для групп, соответствующих краевым
особенностям Bk, Ck, F^. Эти каустики (точнее, их части) явля-
являются особенностями асимптотик интегралов вида
Ih ().) = Г **'(«. '¦)'* ^= т (х, X) йхг ... dxn, h -> 0,
для фазовых функций F, зависящих общим образом от не слиш-
слишком большого числа параметров.
Каустики С4 и Ft изображены .-V
на рис. 58 и 59 соответственно;
штрихами обозначены страты кра-
краевого вырождения.
А .' А.,
Рдс. 58.
Рис. 59.
Рис. 61.
На рис. 60 изображены линии особенностей асимптотик в слу-
случае двух параметров, а на рис. 61 и. 62 — в случае трех пара-
параметров.
268
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
21.4. Лежандрова устойчивость. Определение лежандровой
устойчивости лежандровых отображений и ростков повторяет
определения в лагранжевом случае, с заменой слова «лагранжев»
на «лежандров».
Теорема. Росток лежандрова отображения, заданного
производящим семейством гиперповерхностей F (х, Х)=0 с пара-
параметром X, лежандрово устойчив,
если и только если деформация
F функции f (где f (х) = F (х, 0))
V-версалъна.
Здесь предполагается, что
F=0 — неособое уравнение ги-
гиперповерхности; по поводу У-вер-
сальности см. § 8 гл. I.
Следствие 1. Росток в нуле
лежандрова отображения, задан-
заданного производящим семейством ги-
гиперповерхностей F(х, Х) = 0,
sfjR*, X ? R', с параметром X,
лежандрово устойчив, если и только
если классы ростков функций {gx,. . ., gt (gi (ж) = dF\dxi | X = 0)}
порождают линейное пространство
Qf = R [[*!, • - .,xkHWldxv -.., dfjdxlc, /),
где f(x)===F{x, 0).
Следствие 2. Всякий устойчивый росток лежандрова
отображения записывается в подходящей системе координат при
помощи производящей функции вида
Рис. 62.
где {p., /
порождают Qj над R, причем число
элементов множества патологических аргументов, J, равно раз-
размерности ядра производной отображения в нуле.
Здесь лежандрово многообразие задается уравнениями
Pl = dSldqv qj=—dSldPj, z = S(qJt Pj) + (Pj, 9j),
лежандрово расслоение (р, q, z) ь> (q, z).
Пример. Пусть f = pf, / = {1}, / = {2,..., п). Тогда Z =
==n-j~1^2, ra^l, S=p*. Отображение задается формулой
(pv q2, . . ., gj!-»¦(—Spl, q%, . . ., qn, z = —2pf). Для одномерного
лежандрова многообразия (п=1) фронт — плоская кривая с точ-
точкой возврата. Таким образом, в отличие от плоских кривых об-
общего положения, фронты лежандровых отображений общего по-
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
269
ложения могут иметь неустранимые малым шевелением в классе
фронтов особенности: точки возврата (еще одно проявление об-
общего принципа — особость притягивает особенности). Других
особенностей кривые, являющиеся фронтами лежандровых рост-
ростков общего положения, не имеют.
Следствие 3. Фронты устойчивых ростков лежандро-
лежандровых отображений диффеоморфны графикам обобщенных преобра-
преобразований Лежандра гладких функций вида
где {g(} — ростки, порождающие вместе с \ и {pj, / ? 7} линейное
пространство алгебры R [\_Pj]]l(dfldpj, /), /?/, причем число
элементов J можно взять равным корангу (размерности ядра
производной лежандрова отображения в нуле).
Пример 1. / = {1}, /=0, f(Pi) = p\, S = /. График пре-
преобразования Лежандра — полукубическая парабола.
Пример 2. / = {1}, I = {2),f(Pl) = P\, S = p\ + (p2 + p*f.
График преобразования Лежандра имеет особую точку типа
«ласточкин хвост» (как нетрудно убедиться).
Рассмотрим росток в нуле лежандрова отображения, заданный
производящей функцией S (qz, рЛ по обычным формулам
pJ = dS/dqI, qjr=—dSldpj, z = S-jr(pJ, qj}, (p, q, z)*+(q, z).
Рассмотрим еще ростки в 0 следующих функций:
F(x, X, z) = 5(X/t x)-\-<\j, x> + z,
Ф(х, X, z, a) = F(x-\-a, X, z),
f(x) = F(x, 0, 0).
Предположим, что / имеет в 0 ноль не ниже второго порядка.
Следствие 4. Следующие условия эквивалентны:
1. Рассматриваемый росток лежандрово устойчив.
2. Деформация F функции f V-версалъна.
3. Отображение, сопоставляющее тройке (а, X, z) росток
Ф (•, X, z, а) в нуле, трансверсально V-орбите ростка f в нуле.
Доказательства теоремы и следствий 1—4 такие же, как в ла-
лагранжевом случае.
21.5. Описание фронтов. Теорема. Фронт лежандрова
отображения, заданного производящим семейством гиперповерх-
гиперповерхностей F (х, Х)=0, где F — деформация функции /, является
бифуркационным множеством семейства, т. е. состоит из тех X,
для которых гиперповерхность семейства [х: F (х, Х)=0} особая.
270
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
Следствие. Фронт устойчивого голоморфного ростка
лежандрова отображения есть росток {вообще говоря, особой)
комплексной гиперповерхности, биголоморфно эквивалентной алге-
алгебраической.
В случае, когда задающая производящее семейство гиперпо-
гиперповерхностей F=0 функция F является У-версальной деформацией
квазиоднородного ростка / конечной кратности р, можно сказать
больше: комплексный фронт неприводим, имеет неособую нормали-
нормализацию и является пространством ;д.-листного разветвленного на-
накрытия над р.—1-мерным пространством (базой /?+-версальной
деформации) с ветвлением вдоль соответствующей каустики, при-
причем группа этого накрытия — вся группа перестановок р. листов.
Все это следует из результатов [42] о бифуркационных мно-
многообразиях в базе /?-версальной деформации. Действительно, для
квазиоднородного ростка / принадлежит идеалу, натянутому на
(д//дх*(), поэтому У-версальная деформация Д-версальна.
21.6. Классификация лежандровых особенностей в малых
размерностях. Из предыдущего вытекает
Следствие. Ростки лежандровых отображений общего
положения для лежандровых многообразий размерности п <^ 6
в каждой точке устойчивы и принадлежат конечному числу классов
лежандровой эквивалентности.
Эти классы соответствуют простым особенностям А , р ^ 1,
^р.> Р ^ 4, Е^, для которых р.—1 ^ га; производящее семейство
является гиперповерхностью нулевого уровня Д-версальной де-
деформации функции соответствующего типа.
Ростки лежандровых отображений многообразий размерности
п ^ 6 для открытого множества отображений в отдельных точках
неустойчивы и имеют модули.
Ростки лежандровых отображений общего положения для мно-
многообразий размерности п <^ 6 в каждой точке эквивалентны рост-
росткам проекций (р, q, z) ь> (q, z) лежандровых многообразий
где функции S даются таблицей следствия 2 п. 21.3.
Из этих формул следует, например, что фронты общего положе-
положения в трехмерном пространстве не имеют других особенностей,
кроме ребер возврата (А«) и особенностей типа «ласточкин хвост»
(А3).
Классификация ростков общих лежандровых отображений
многообразий размерностей, не превосходящих десяти, приведена
ниже (в п. 21.8).
21.7. Классификация лагранжевых особенностей. Пусть
/: (С*, 0) -> (С, 0) — росток гладкой функции в критической
точке конечной кратности р.. Мы сопоставим ему несколько лагран-
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
271
жевых особенностей. Пусть Ф — обозначение клас'са / в гл. II.
Размерность лагранжева многообразия мы будем обозначать
через I.
1°. Лагранжева особенность Ф. Рассмотрим Д+-миниверсаль-
ную деформацию
F (х, X) = / (х) + Vi + • • • + ViV
(мономы ev • ¦ ., е^_х порождают С-базис линейного пространства
mQf = ml(dfldx), где m — пространство функций, обращающихся
в нуль в начале координат).
Деформацию F можно считать /-параметрической при любом
I ^ fj.—1 с параметром X. Росток этой деформации в нуле явля-
является производящим семейством ростка лагранжева отображе-
отображения вС.
Определение. Лагранжевой особенностью типа Ф в Ь ,
I ^ р.—1, называется особенность, заданная построенным произ-
производящим семейством F.
Пример. F (х, Ац \2)=х3+11х задает двумерную особен-
особенность типа А2 (складку на плоскости).
2°. Лагранжева особенность Ф\ Предположим, что / — одна
з унимодальных особенностей (см. гл. II). В этом слу-
чае мономы et выберем так, что росток страта jj.=const в базе
R +-миниверсальной деформации F есть росток оси л^ в нуле.
Для этого в (полу)квазиоднородном случае достаточно взять
в качестве е _х моном / наивысшей (квази)степени, а в случае
Т r=axyz-\-xp-\-yqJrzr выбрать J=xyz. [Моном / порождает
в Qf аннулятор максимального идеала; его класс в Qf пропорцио-
пропорционален классу гессиана det (d^f/dx2).]
Определение. Лагранжевой особенностью Ф* в С (Z J>jj. — 2)
называется особенность, заданная ростком в нуле производящего
семейства с Z = p—2-f-m параметрами \, . •., \_ъ, -Сц • • •> ^т
(т ^ 0) по формуле
F (х; X, т) = / (х) + ХА + .. . + V*V" + u>/'
где u> = u(k1,..., \_2) ± tf ± • • • ± -?, а а — росток гладкой функ-
функции, равной 0 в начале координат. Особенность Ф" отображений
в пространство фиксированной размерности jj. — 2-\-т мы будем
обозначать через Фт (так что точка в Ф" означает число квад-
квадратов в нормальной форме).
Пример. Пусть / = х\ + х\ -f- zjj + а.ххх^ — параболическая
особенность класса aPs. Лагранжева особенность аР« отображения
шестимерных многообразий задается производящим семейством
А +
х2х3 + а (X) хгх.2х3.
272
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
Лагранжев тип этой особенности зависит, как от параметра, от
функции шести переменных, и, являющейся «функциональным
модулем».
Объединение всех лагранжевых ростков типа Р° (со всевоз-
всевозможными а и и) имеет коразмерность 6 в пространстве ростков
лагранжевых отображений.
3°. Лагранжева особенность 0®в. Определение. Особенность
6*5в отображения в С10 задана производящим семейством, завися-
зависящим от 10-мерного параметра X, по формуле
F (х, X) = / -}- Х^ -{-...-{- Х10е10 -\- u1l1 -(-... -j- И5/5,
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕБЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
273
где / — полуоднородная функция четырех переменных коранга 4
с невырожденной главной кубической частью в нуле; десять мо-
мономов а степеней 1 и 2 и пять мономов /< степеней 3 и 4 порож-
порождают базис tn^.
В этой формуле иг, . . ., щ — ростки гладких функций от X,
обращающихся в нуль в начале координат. Таким образом, ла-
лагранжева особенность О°1в отображения в С10 имеет модулями
пять функций 10 переменных.
Теорема. При I ^ 10 росток общего лагранжева отобра-
отображения в l-мерпое пространство в каждой точке лагранжево экви-
эквивалентен одному из ростков списка {Ф, W, 0?в}, где Ф — обозна-
обозначение простой или унимодальной особенности с [j.^Z-j-1, ЧГ —
обозначение унимодальной особенности с fji^Z-f-2.
В следующей таблице для 6 ^ I <^ 10 указаны особенности,
впервые появляющиеся в данной размерности Z (следует обратить
внимание на то, что Ф при увеличении Z сохраняется, а у ЧГ
увеличивается т). Мы пользуемся обозначениями Т2 3j r = Jr+4,->
т
1 2, 4, г
т —
1 3, 3, г
7\ —Y
* 2, р, g * р,
р, q
е
А7
D7
Е7
Р'а
7
х;
Р Р*
*¦ 8i Г9
8
А,
По
Y У*
л а, л ю
, Р[о, Q[o
R4, 4
^10.
^10. Р
Л4,
9
¦А ю
10' 'll
^11. ^
Z'n
11. 9,0
4. л;.
^4, 4,
^5,5
. Qli
5
4
Хц,
Zn,
Pu.
***, Si
¦^11, ^
)
11.
XJ2.
2,2
^12
л;.
10
/;2, ?
Y5, 5
, <?11.
в. ^* 5
n
4, 4, 4
12
W]2
Qh
5, O%
• -* 4, 4, 5
Таким образом, при Z J> 6 ростки общих лагранжевых отобра-
отображений в С в некоторых точках лагранжево неустойчивы и имеют
функциональные модули, являющиеся функциями от Z пере-
переменных.
Простые устойчивые лагранжевы ростки исчерпываются спи-
списком А^, D , .&6, En Ea.
Доказательство. Мы пользуемся редукцией к R+-
классификации производящих семейств и указанной в гл. II стра-
стратификацией пространства ростков функций.
Предположим, что росток лагранжева отображения задан
производящим семейством F, являющимся деформацией функции /.
Эта деформация R +-эквивалентна индуцированной из Л+-мини-
версальной деформации, т. е. эквивалентна деформации вида
F (х, в) = /(*) + <Pi (s) Ч (*) + • ¦ • + Vi (e) e.-i (ж)' е б С.
По теореме трансверсальности, для лагранжевых отображений
общего положения отображение ср трансверсально стратификации
базы на страты ;j.=const. Следовательно, для простых / деформа-
деформация F версальна; в этом случае особенность лагранжево эквива-
эквивалентна соответствующей особенности простого типа Ф , причем
Z> fX —1.
Если / унимодальна, то отображение ср трансверсально оси
X ^ в базисе Д+-миниверсалъной деформации. В этом случае
cp1(s),..., <рл_2(г) можно принять за часть координат в простран-
пространстве параметров; обозначая эти координаты Х1( . . ., X _2, мы по-
получим семейство, ^-эквивалентное исходному:
F(x, е) = / (х) -j- Х^ -{- . . . -)- ~к^_2е^_г -\- ш (е) /, Z^u. — 2.
Уравнения Х1 = 0, . ¦ ., \^_^ = 0 определяют подмногообразие кораз-
коразмерности р, — 2 в базе С'. Сужение функции w на это подмного-
подмногообразие для общих лагранжевых отображений является морсов-
ской функцией.
Если е = 0 — некритическая точка этой функции, то можно
принять си за координату X 1; лагранжева особенность эквивалентна
унимодальной Ф , 1^р—1. Если же точка критическая, то, по
лемме Морса с параметрами, m приводится к виду
т. е. лагранжева особенность эквивалентна Ф™. Случай / класса
6*j6 рассматривается аналогичным путем. Других особенностей
при Z ^ 10 не встретится по теореме трансверсальности.
Можно проверить, что функция и является модулем. Это видно
из следующих соображений (другое доказательство см. в [55]):
1) график функции и является множеством критических зна-
значений индуцирующего отображения ср ((X, х) i-> (X, ш (X, t))).
18 В. И. Арнольд и др.
274
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
2) образ точки е при индуцирующем отображении ср определен
классом Д+-эквивалентности члена F(-} е) 4 семейства F почти
однозначно. ' *•' >'¦'
Последнее следует из того, что набор р комплексных крити-
критических значений, рассматриваемых с точностью до общей аддитив-
аддитивной постоянной, вообще говоря определяет точку р.—1-мерной
базы Л+-миниверсальной деформации с точностью до конечного
числа возможностей.
21.8. Классификация лежандровых особенностей. Лежандровы
особенности классов Ф и Ф" определяются следующим образом.
Пусть \х — кратность критической точки 0 функции / (как выше).
1°. Лежандрова особенность Ф. Производящее семейство ги-
гиперповерхностей этой особенности с Z-мерным фронтом есть гра-
график производящего семейства функций для лагранжевой особен-
особенности Ф отображений в С (Z ^ р.—1).
Пример. Лежандрова особенность А2 с двумерным фронтом
определяется трехпараметрическим производящим семейством по-
поверхностей
O = F(x; \, Х2, z)=bx3-\-\1x — z
с параметрами \г, Х2, z (фронт — поверхность с ребром возврата).
2°. Лежандрова особенность Ф' (Ф унимодальная). Произво-
Производящее семейство гиперповерхностей этой особенности с Z-мерным
фронтом есть график производящего семейства функций для ла-
лагранжевой особенности Ф' отображений в С (I ^ р.—2), для ко-
которой функция и в 2° п. 21.7 тождественно равна нулю.
Пример. Лежандрова особенность 0Р° с1 шестимерным
фронтом задается семипараметрическим производящим семей-
семейством гиперповерхностей
О — х\ -f- x\ -f x% -f \ху + Х2х2 + Х3а;3 -j- \х&2 -f X^Xg + Х6х2х3 — z.
3°. Лежандрова особенность Ф° с фронтом размерности Z ^> р. — 2
получается из определенной выше особенности Ф° с фронтом раз-
марности р. — 2 прямым умножением на С'~*+*. Производящее
семейство гиперповерхностей задается формулой O = /(x)-f-
-f \ег-\- . . . +V-2Vs"z (Z+ 1-мерный параметр (Xv . . ., Х„ z)).
Теорема. При I ^ 10 росток общего лежандрова отобра-
отображения в 1-\-\-мерное пространство в каждой точке лежандрово
эквивалентен одному из ростков списка {Ф, W', Q0, 0%}, где Ф —
простая или параболическая особенность с p. ^ Z+1 либо квази-
квазиоднородная исключительная особенность с р. ^ 1; W — параболи-
параболическая особенность с jj. ^ Z+2; Q — гиперболическая особенность
с p. ^ Z+2, либо квазиоднородная исключительная особенность
с fx^Z+1, либо неквазиоднородная исключительная особенность
с р. ^.1+2; <9°в встречается лишь при Z=10..
§ 21]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАЙЖЕВЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
275
В следующей таблице для б ^ Z ^ 10 указаны особенности,
впервые появляющиеся на фронтах размерности Z. Индекс слева
от буквы означает значение модуля, а, для гиперболических
и исключительных особенностей (а=0 соответствует квазиоднород-
квазиоднородной особенности, а=\ — нёквазиоднородной).
fi
A,
D,
E7
PI
7
^8
^8
^8
Xi
P», lP°9
8
A*
r10
Xt, iXJ0
lP?O, 1<??O
1*8.4
9
A io
D io
Ло, i/?i
Д?ь iYg,6
iZJi
lP?l, 0<??0. 1<??1
i*8,6
iSIl. 1^,4,4
10
4n
Dii
l'!«. l^?2
^?2, lYg, ,
oZJj, xZ;,. ,17},, ^g
li'b. 0<?10. 0<?!l. 1%
1*2.6, i*g, 5. o%
os?i. iSf*. 1^8,4,*
Таким образом, при Z ^ 6 ростки общих лежандровых отобра-
отображений с Z-мерными фронтами в некоторых точках лежандрово
неустойчивы и имеют модули; число модулей остается конечным
при I ^ 9 (в отличие от лагранжева случая, где функциональные
модули появляются уже при 1=6). При Z ^ 10 ростки общих ле-
лежандровых отображений в С'+1 имеют функциональные модули.
Простые устойчивые лежандровы ростки исчерпываются спи-
списком
Ев, Е-,, Еа.
Доказательство. Пользуясь результатами исследова-
исследования лагранжева случая, мы можем сразу взять в качестве произ-
производящих семейств гиперповерхностей для ростков общих лежан-
лежандровых особенностей с Z-мерными фронтами графики производя-
производящих семейств ростков общих лагранжевых особенностей отобра-
отображений в С.
Однако полученные лежандровы ростки с разными лагранже-
выми модулями во многих случаях лежандрово эквивалентны
друг другу. Мы должны, таким образом, выяснить, какие из гра-
графиков лагранжевых производящих семейств эквивалентны как
семейста гиперповерхностей.
Начнем с классификации гиперповерхностей /=0. При пере-
переходе к новому отношению эквивалентности (У-эквивалентность
вместо R +-эквивалентности) запас простых и параболических
особенностей не меняется. Все гиперболические особенности
У-эквивалентны особенностям с модулем а=1 (xp-\-yi-\-zr-\-axyz —
— xp-\-y4-\-zr-\-xyz при p~1+gr~1+ir <C !)• Исключительные уни-
унимодальные особенности делятся на квазиоднородные (а=0) и не-
18*
276
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
квазиоднородные, последние F-эквивалентны особенностям
с а=1 (например, Е1й: х^-^-у1-\-ахуъ — xs-\-y1Jrxyb при а =^= 0),
Мы получаем, таким образом, У-стратификацию пространства
ростков функций в критической точке со следующими стратами:
Тип особенности /
Впостые и параболические '!'а
['иперболичэские и исключительные не-
квавиоднородные ХФ
Исключительные квазиоднородные 0Ф^
Прочие
Коразмерность
A—1
и
Дальнейшее доказательство аналогично рассмотрению лагран-
жева случая, со следующим изменением: в лежандровом случае
функция и отнюдь не модуль. Покажем, что и можно обратить
в нуль V-эквивалентностью.
Рассмотрим Д-миниверсальную деформацию ростка / вида
F(x, >0 = /W + Vi+---+V,-
Уравнения F=Q и EF—Q, где Е @, 0) =? 0, задают одно и то же
семейство гиперповерхностей и одну лежандрову особенность.
Вообще говоря, семейства функций F и EF не ^-эквивалентны.
Однако семейство EF Д-эквивалентно индуцированному из F.
Индуцирующее отображение базы семейства в себя задает лежан-
лежандрову эквивалентность, сохраняющую рассматриваемую лежан-
лежандрову особенность. Таким образом, каждой функции Е отвечает
диффеоморфизм базы, поднимаемый на лежандрово многообразие.
Все такие диффеоморфизмы базы образуют группу. Обозначим ее
через G.
Пусть ц>(: В{ —> С11 (j = l,2) — два отображения в базу нашей
деформации, индуцирующие семейства Ff (х, s) = F (x, cp4 (s)).
Если отображения срх и ср2 переводятся друг в друга элементом
группы G и диффеоморфизмом Вх —> В2, то семейства гиперповерх-
гиперповерхностей Ff=0 эквивалентны.
Предположим теперь, что / — унимодальная квазиоднородная
особенность и что базис состоит из мономов
Лемма. Всякая гиперповерхность, трансверсальная оси
Xa_l5 переводится в окрестности точки 0 в росток гиперплоскости
X _!=0 диффеоморфизмом из G.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ ОСОБЕ НИ ОСТЕЙ
277
Доказательство леммы основано на следующих вычислениях.
Умножению F на E=\-\-tg отвечает семейство диффеоморфизмов
из G, зависящее от времени t. Соответствующее поле скоростей
на базе можно вычислить при ?=0 следующим образом: А=
=2^,- 00 д/д\{, где А( — компоненты разложения
-g(x, ).)F{x, Ц = ^(х, l)dF/dxt + %\j(\)e,(x),
получающегося при дифференцировании по t соотношения
(l+tg)F(Ht(x, X), -b(\)) = F(x, X).
Рассмотрим
при g = elt
я А1,.. ., Л?, получающиеся этой конструкцией
при g = elt. .., е^. Нетрудно сосчитать, что для непараболических
унимодальных особенностей [а функций Aj._! = А*Х _г (i = 1,. . ., [г)
в нуле независимы; для параболических же особенностей неза
поля
е
унимодальных особенностей [а функций Aj._! = АХ _г (i = 1,. . ., [г)
в нуле независимы; для параболических же особенностей незави-
независимы [г функций А;_х (i^ji), X^. (Здесь е^=7, е^ — 1.)
[Действительно, для квазиоднородной особенности с весами
deg/±=:l обозначим через v эйлерово поле: и =
]?iili. Тогда f—vf, поэтому для ^ = / + 2^е/ находим
F = vF-\-^A — degej)X^-. Следовательно,
Fe{ = (etv) F + 2 A - deg
Предположим, что в локальной алгебре [ej[е^] = 2е? j[ekl- Тогда
^ = 2#. />к + 2А* ; (х) дЦдхк = 2с?, jek + 2*f. jdF/dx, + О (| X |).
Следовательно, А*_1 = А( (Х) + О(\\ |2), где А{ (X) = 2с^ A —
— deg ву) Х^. Билинейная форма, заданная матрицей cj*1., невырож-
невырождена (ср. п. 5.4). В непараболическом случае все dege^ отличны
от 1, поэтому {A., i = l,..., р.) независимы. В параболическом
случае отличны от единицы все deg e^, кроме deg e х. В этом
случае <9Л</дХН1_1 = 0 и ^^ = 0. Поэтому формы (Л1? . . ., А^_г; 1^)
независимы.]
Это позволяет привести обычным гомотопическим методом к нор-
нормальной форме X j диффеоморфизмами из G функцию ср
с дср/дХ^ х @) ^= 0 в непараболическом случае и к форме X _г = 0 —
поверхность « = 0 в параболическом (ср. п. 22.2).
Лемма позволяет уничтожить функцию и в лагранжевых нор-
нормальных формах, сохраняя класс У-эквивалентности производя-
производящего семейства и, следовательно, сохраняя лежандров класс осо-
особенности.
Замечание. Приведенные классификационные теоремы
найдены В. М. Закалюкиным в его диссертации (МГУ, 1978).
В [55] приведены менее полные и частично ошибочные (в лежан-
лежандровом случае) результаты.
278
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК Й ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ, III
Следует подчеркнуть, что, за исключением случая простых
особенностей, мы не утверждаем постоянства топологии в преде-
пределах класса, так что наша классификация, вообще говоря, грубее
даже топологической. Действительно, топологический тип би-
бифуркационных диаграмм (фронтов) может меняться вдоль страта
fi=const, как еще в 1970 г. заметил Ф. Фам [162]. Фам изучал
распадение особенности /3> 0=х3+ах2у3+у9 на Е6 и Е9 на одном
уровне; такое распадение возможно при а=0 и невозможно при
близких а. Все распадения простых особенностей функций опи-
описаны О. В. Ляшко [65]. Распадению параболических особенностей
посвящена серия недавних работ Уолла. Рассматривая распаде-
распадения особенности Ps, Уолл нашел десятки эллиптических кривых,
являющихся исключительными по отношению к распадениям.
§ 22. Бифуркации каустик и волновых фронтов
Распространяющийся волновой фронт не во все моменты вре-
времени будет фронтом общего положения: в отдельные моменты он
перестраивается. Исследование таких перестроек приводит к за-
задаче об особенностях общего положения в однопараметрических
семействах лежандровых отображений. В этом параграфе изуча-
изучаются однопараметрические семейства общего положения лагран-
жевых и лежандровых особенностей. Указаны нормальные формы
в случаях, когда размерность фронта не превосходит четырех
(размерность каустик не превосходит двух).
22.1. Большой фронт и функция времени. Рассмотрим се-
семейство лежандровых отображений, зависящих от одного пара-
параметра t. Рассмотрим прямое произведение содержащего фронты
Z-мерного пространства (т. е. базы лежандрова расслоения) на
ось времени. Мы будем называть это прямое произведение про-
пространством-временем, а его естественное отображение на ось t —
функцией времени.
Объединение фронтов, соответствующих всем t, мы назовем
большим фронтом. Это (вообще говоря) гиперповерхность в про-
стр анстве-времени.
Предложение. Росток большого фронта в каждой точке
является ростком фронта лежандрова отображения в простран-
пространство-время.
Доказательство. Пусть временной фронт в момент t
задается производящим семейством гиперповерхностей Ft (х, Х)=0
(параметр 1 — это точка содержащего фронт Z-мерного простран-
пространства). Рассматривая t как Z+1-й параметр, мы определяем той же
формулой производящее семейство гиперповерхностей для ле-
лежандрова отображения в пространство-время. Фронт этого отоб-
отображения совпадает с большим фронтом.
§ 22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
279
Определение. Перестройкой фронта называется диа-
диаграмма ростков
где i — вложение Z-мерного фронта, a t — гладкая функция,
дифференциал которой в изучаемой точке отличен от нуля. Экви-
Эквивалентностью перестроек называется коммутативная диаграмма,
горизонтали которой — перестройки, а вертикали — диффеомор-
диффеоморфизмы. Эквивалентность называется сильной, если последняя вер-
вертикаль — сдвиг (jt2 = ^i+const).
Замечание. Для нашей эквивалентности история прохож-
прохождения фронта через фиксированные точки пространства у экви-
эквивалентных перестроек может быть различной, но фронт первой
перестройки в каждый фиксированный момент времени диффео-
морфен фронту второй в некоторый (вообще, другой) момент.
Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство фронтов
общего положения. Большой фронт имеет лишь стандартные осо-
особенности (по меньшей мере для пространств небольших размерно-
размерностей они перечислены). Следовательно, классификация перестроек
в общих семействах фронтов сводится к классификации ростков
функции на пространстве-времени в некритической точке относи-
относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих большой фронт.
Для небольших размерностей пространства особенности боль-
большого фронта связаны с простыми особенностями А , D , Е .
Точнее, росток большого фронта диффеоморфен прямому произ-
произведению бифуркационного многообразия нулей функции соот-
соответствующего типа в базе R* Д-миниверсальной деформации на
пространство Rm (пространство-время — это R^xR*™).
Например, для А2 в трехмерном пространстве-времени большой
фронт диффеоморфен цилиндру над полукубической параболой
(так как бифуркационное множество нулей функции х3 есть полу-
полукубическая парабола).
Таким образом, мы приходим к задаче о классификации не-
неособых ростков гладких функций в нуле пространства R^xR"*
относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дискри-
минантный цилиндр (прямое произведение бифуркационного
многообразия нулей в R11 на R).
Выберем в качестве миниверсальных деформаций простых
особенностей деформации вида F (x, ^) = f(x)-\~J},.ei(x), где
{е.)—мономиальный базис локального кольца и ех имеет наивыс-
наивысшую квазиоднородную степень (например, для A F=±_x9'+x-\-
-\- XjX^-'1 -f- . . . -|- \)- Координаты в R будем обозначать через
(~i> ¦ ¦ •> ~т) (так qT0 все коордпнаты в пространстве-времени — это
280
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
Определение. Специальной перестройкой фронта на-
называется перестройка, для которой большой фронт есть описан-
описанный выше дискриминантный цилиндр, а функция времени имеет
вид
t— ±\ ± %\ ± ... + х1 либо t = xx.
Теорема. Перестройки в однопараметрических семействах
общего положения фронтов в пространствах размерности I <^ б
локально сильно эквивалентны росткам специальных перестроек
в нуле, причем jj.+t?i = Z+1.
Описываемые этой теоремой перестройки фронтов в трехмер-
трехмерном пространстве изображены на рис. 63.
I
Рис. 63.
22.2. Перестройки фронтов и группы, порожденные отраже-
отражениями. Рассмотрим в евклидовом пространстве R^ неприводимую
группу G, порожденную отражениями типов А^, D^ пли Ev соот-
соответственно (для А эта группа перестановок координат в гипер-
гиперплоскости хг-\- ¦ ¦ ¦ -\-х|)+1 = 0).
Группа действует и на комплексификации С1*1 пространства R'1'.
Рассмотрим многообразие ее орбит. Как известно, это простран-
пространство В изоморфно О1: координатами в нем служат базисные
инварианты \, ¦ . ., X (для А^ это коэффициенты многочлена
степени j*. —|— 1 с корнями {xv ¦ ¦ ¦, х^+1), в сумме равными нулю).
Отображением Виета назовем отображение у: О1 -> В, сопо-
сопоставляющее точке ее орбиту. Прообразом v*f функции /: В -> С
при отображении Виета является симметрическая функция (ин-
§ 22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
281
вариант) в С11. Функция у*Хх — инвариант наименьшей (второй)
степени (он один, так как группа неприводима).
Большинство орбит состоит из | G | точек. Орбиты из | G \
точек называются регулярными. Рассмотрим многообразие нере-
нерегулярных орбит. Легко видеть, что эта гиперповерхность в Q*
диффеоморфна бифуркационной диаграмме нулей соответствую-
соответствующей особенности (например, в случае А^ это многообразие много-
многочленов a^M-1+A1a:ll'~1-f-. • -+Х с нулевым дискриминантом).
Диффеоморфизмы g: (О, 0)-*(О\ 0) и h: (В, Q)^(B, 0) на-
называются Виета-согласованными, если vog = hov; в этом случае
g называется поднятием h, a h — опусканием g.
Легко видеть, что поднимаемые диффеоморфизмы (ростки)
совпадают с диффеоморфизмами, сохраняющими многообразие
нерегулярных орбит* а опускаемые —* с эквивариантными (т. е.
коммутирующими с действием группы, порожденной отражени-
отражениями). Для нас важно, что эквивариантные диффеоморфизмы
опускаемы; это доказывается так.
Ясно, что эквивариантный диффеоморфизм индуцирует гомео-
гомеоморфизм пространства орбит, регулярный на многообразии ре-
регулярных орбит; по теореме об устранимой особенности регуляр-
регулярность имеется и в остальных точках.
Доказательство теоремы о перестрой-
перестройках (в комплексной ситуации). Для общей невырожденной
в нуле функции t: (В, 0) -> (С, 0) имеем dtld\ =4= 0. В этом пред-
предположении инвариант v*t имеет невырожденный в 0 второй диф-
дифференциал. По эквивариантной лемме Морса (см. п. 17.3) v*t
превращается в и*\г эквивариантным диффеоморфизмом g: (С,
0) -*¦ (С1*-, 0). Опуская этот диффеоморфизм, убеждаемся в экви-
эквивалентности ростков t и Хх в нуле в группе диффеоморфизмов В,
сохраняющих многообразие нерегулярных орбит. Это доказывает
теорему в случае т=0.
В случае т ^> 0 нужно сначала рассмотреть сужение t на
ребро ОХ С" дискриминантного цилиндра. Для функции t общего
положения это сужение в каждой точке ребра либо регулярно
(тогда t— tx), либо имеет невырожденную (морсовскую) крити-
критическую точку. По лемме Морса с параметрами функция t экви-
эквивалентна сумме невырожденной квадратичной формы от хи функ-
функции от X; последняя в случае общего положения эквивалентна лх
(как это доказано при разборе случая тге=0). Тем самым теорема
доказана в комплексной ситуации. В вещественно-аналитическом
и вещественно-дифференцируемом случае теорема также верна
(подробности см. в [93]).
Замечание. В. И. Закалюкин [56] распространил тео-
теорему о перестройках фронтов на случай любых квазиоднородных
особенностей.
282
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
В квазиоднородном случае F-версальная деформация i?-Bepca-
льна и может быть выбрана в виде миниверсальной деформации
F (х, X) = f (х) + \ег (*)+..-+ ХЛ (х),
где ек— мономы; мы по-прежнему будем предполагать, что ех —
моном наивысшей (квазиоднородной) степени. Выделим еще все
диагональные мономы е<х, • • ., в(к (квазиоднородная степень которых
такая же, как у /), если они есть. Росток функции t общего по-
положения в окрестности точки X = 0 пространства R11 приводится
сохраняющим бифуркационное множество нулей деформации F
ростка f локальным диффеоморфизмом пространства R1*1 к виду
±Х1 + а(Х,-„ ..., Х<л).
Для деформаций с большим, чем р., числом параметров
(Х^ .. ., X , 1г,..., хт) ответ имеет вид
±\+a(ktl, ¦ ¦ ., Xijfe) ± xf + . .. + х? либо хх.
Доказательство основано на следующем описании модуля ана-
аналитических ростков векторных полей, касающихся дискриминант-
ного многообразия: это свободный модуль с р. образующими над
алгеброй ростков функций от X в 0; образующими являются р.
векторных полей
компоненты которых вычисляются из разложений
eJF (х, X) = 2At> j(x, X) dFldxj + Ж. у (Х) «у (*)>
существующих по подготовительной теореме. (В случае простых
особенностей образующие можно также описать как Виета-опу-
скания градиентов базисных инвариантов, см. [93].)
22.3. Бифуркации каустик. В однопараметрических семей-
семействах лагранжевых отображений при некоторых значениях пара-
параметра происходят перестройки, так что на мгновение возникают
каустики не общего положения. Их можно изучать при помощи
пространства-времени, аналогично перестройкам фронтов.
Семейство мгновенных каустик зависящего от времени t ла-
гранжева отображения можно рассматривать как гиперповерх-
гиперповерхность в пространстве-времени (прямом произведении пространства,
где расположена мгновенная каустика, и оси времени). Эта гипер-
гиперповерхность является каустикой лагранжева отображения в про-
пространство-время.
Действительно, пусть мгновенное лагранжево отображение
в момент t локально задается производящим семейством Ft (z, X)
с параметром X из Z-мерного пространства. Тогда то же семейство
функций от х, рассматриваемое как семейство с параметром
(X, t) из Z+1-мерного пространства, задает лагранжево отобра-
отображение в пространство-время, каустика которого — гиперповерх-
22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
283
ность в пространстве-времени, составленная из мгновенных
каустик. Мы будем называть эту гиперповерхность большой
каустикой.
Для общих однопараметрических семейств лагранжевых ото-
отображений большая каустика имеет лишь стандартные особен-
особенности (во всяком случае в малых размерностях все эти особенности
перечислены).
Перестройки каустик и их эквивалентность определяются
аналогично тому, как зто сделано выше для фронтов. Список
нормальных форм функций времени вычислен В. М. Закалюкиным
для случаев, когда большая каустика имеет особенности А[х
или D^
Большую каустику можно описать как множество критических
значений отображения (х, X, х) ь-»- (y~dF/dx, X, t), где
в случае А^ F= ±x'i+1 + Х^ + . . . +\_2х2, Хе^, xeR'".
в случае D^ F=xfx2 ± х^ + \х^ + ... + \^е\, X б ^'л~3, * € R"
(размерность пространства-времени есть р.—1+тя).
Обычной эквивалентностью перестроек росток функции вре-
времени общего положения можно привести в каждой точке к ростку
в нуле следующей функции:
t = x1 либо ?= ±Х1 + х| + ... +х^;
для
для
= x1 либо t= +X1-fi/1-faX2 ± xf ± . .. ± х?
(при р. = 4 аХ2 нужно заменить на ау2; yk = dF/dxk).
Для сильной эквивалентности вторая формула в случае
усложняется:
где 7> = +1a++.; ? 12+
или 2v -f- 3; при р. = 4 aX2 заменяется на ш/2.
В общих однопараметрических семействах каустик в простран-
пространствах размерности I, меньшей четырех, встречаются лишь пере-
перестройки, эквивалентные перечисленным перестройкам типов А^,
D^ с (д.—2-\-т=1.
Например, общие перестройки каустик в трехмерном простран-
пространстве описываются следующими формулами:
А3: F =
x1 или ±\ ± т?
2ж2, t = z1 или ±
D4: F = х\х2 ± х% -f \x\, t —
Аь: F =
Db: F =
или
±
284
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
На рис. 64, 65 изображены эти перестройки (мы приводим
вид каустики при t = — е, ?=0 и ?= + а для малых s).
Несмотря на значительное количество работ по «теории ката-
катастроф», изображения перестроек общего положения для каустик
нз,, , -
Рис. 64.
Рис. 65.
в трехмерном пространстве в них, кажется, не публикова-
публиковались. Эти изображения трехмерных сечений общего положения
дают более ясное представление о каустиках Аь и Db, чем наборы
22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
285
двумерных сечений и неудачно выбранные трехмерные сечения
(см., например, [167]).
Пример. Рассмотрим среду из невзаимодействующих ча-
частиц и предположим, что в начальный момент частица, нахо-
находящаяся в точке х, имела скорость v (x). Движение частиц по инер-
инерции определяет отображение х ь-> x-\-tv (x). При малых f эю ото-
отображение — диффеоморфизм (если v не слишком плохо ведет
себя на бесконечности), но начиная с некоторого момента времени
возникают особенности (частицы сталкиваются).
Согласно Я. Б. Зельдовичу, возникновение особенностей (сгу-
(сгущений частиц) в этой ситуации описывает начальную стадию
образования галактик, причем начальное поле скоростей потен-
потенциально: y=grad S. Мы приходим к исследованию однопараметри-
ческого семейства лагранжевых отображений х н> x-\-t dS/dx;
сгущение происходит на каустиках.
Для S общего положения каустика возникает впервые в мо-
момент перестройки типа А3: F=xiJrlx2, t='K+^+'^. Через малое
время е после момента t0 рождения каустики она имеет вид линзы
(или «летающей тарелочки») с близким к эллипсу ребром воз-
возврата; оси этого эллипса имеют при малых s порядок г1''-, а толщи-
толщина — порядок е3'2.
Я. Б. Зельдович получил эти результаты из следующих сооб-
соображений. Критические точки в момент t — это точки, для кото-
которых det (E+t d2S/dx2)=0, т. е. точки, в которых d2Sldx2 имеет
собственное число \ = —1/t. Рассмотрим собственное число как
(трехзначную) функцию от х. Для S общего положения минималь-
минимальное значение этой функции соответствует невырожденному мини-
минимуму, поэтому при малых е критическое множество близко к эл-
эллипсоиду с осями порядка s1/».
Направления ядер производной отображения в точках этого
«эллипсоида» близки при малых е к направлению ядра производ-
производной в точке рождения особенности при s=0. Поэтому множество
критических точек сужения отображения на «эллипсоид» близко
к эллипсу, по которому эллипсоид пересекается диаметральной
плоскостью.
На этом почти эллипсе отображение имеет особенность типа
сборки. Отсюда легко выводится приведенное выше описание
«линзы» критических значений.
22.4. Классификация диаграмм отображений. Задачи о пере-
перестройках каустик и волновых фронтов эквивалентны задачам
о классификации диаграмм отображений вида М —U. N —> R, где h —
лагранжево или лежандрово отображение. Задача о перестройках
в общих однопараметрических семействах гладких отображений
приводит к классификации таких же диаграмм для общих отобра-
отображений h: M -»¦ N.
286
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
Теорема. Пусть h: R" -» R" — отображение Уитни. Тогда
для функции f общего положения росток диаграммы R" -Д. И" _?> R
в каждой точке сильно эквивалентен ростку в нуле, заданному
формулами
h: У1 = х^ + а^-1 + • • ¦ + х^ Уш = хш(8 = 2,..., га),
/=±&±i?«± ¦¦¦ ±У1 либ° / = ^+1 (*<(*<«).
/=±^i±yl± •¦• ±У1 либо /=г/2 ([*=1)
Доказательство следует из классификации перестроек фронтов,
так как сохраняющие фронт А^ диффеоморфизмы /t-поднимаемы
(подробности см. в [93]).
При га ^ 3 отображение h общего положения имеет лишь уитне-
евские особенности.
Следствие. Перестройки в однопараметрических семей-
семействах общего положения отображений пространств одинаковой
размерности k ^ 2 сильно эквивалентны перестройкам, заданным
ростками в нуле следующих отображений:
k
0
1
2
v = h (x)
У = оо
У = х2
IJ1 = X1, ?/2 = Ж2
y-l=xf, У2 = ^2
г/1 = жз + ж1х2, у2 = ж2
yi = xv уг — хг, Уз = хз
</i = Zf, Уг — х-2, I/з = гз
yi=x%-\-x1x2, Уг = хг, у3 = х3
г/i = xl + x.2xf + х3х1, уг = х2.
Уз =хз
f
г/. ±у2
±У
г/i. ±г/!±г/1
г/г. ±(/i±2/i
±г/2
г/i. ±г/1±г/1±г/1
г/г. ±г/1±г/!+2/!
г/з. ±г/г±г/1
±г/г
Другие геометрические задачи приводят к классификации диа-
диаграмм отображений R<^_M-^-/V.
Рассмотрим, например, задачу об огибающей однопараметри-
ческого семейства гиперповерхностей в N = R". В этом случае
/ — вспомогательное расслоение R" -> R, a h — отображение, вкла-
вкладывающее слои расслоения / в объемлющее пространство R". Оги-
Огибающая — множество критических значений отображения h.
22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ЛОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
287
Пример. Формулы h: уг — х\, у% — х2, f-=x-l-\-x.2t задают
семейство парабол г/х = (с—г/2J с общей касательной г/х = 0.
Теорема (Н. А. Никишин, 1975, см. [93]). Если h — отоб-
отображение складки, то для f общего положения росток диаграммы
R *— R" —> R" в каждой точке складки формально эквивалентен
одному из следующих ростков в нуле:
xn~\-xlXn ±х\± ... ± х\_х,
± • • •
Х3.
Пример. При га = 2 получается три нормальных формы: / =
= хг -\- х2, либо хх -\- х\, либо х2 -\- ххх2 -(- х\.
Для определенных этими формулами однопараметрических се-
семейств плоских кривых получаем, соответственно: 1) общую
точку огибающей; 2) точку срыва кривых семейства с огибаю-
огибающей при слиянии двух точек касания с огибающей («перестройка
W -> С/»); 3) точку возврата кривой семейства на огибающей
(«перестройка у —> С/»); кривые семейства можно получить из зон-
зонтика Уитни в R3, пересекая его параллельными трансверсаль-
ными плоскостями.
Недавно Дюфур доказал аналогичные теоремы для гладкого
случая [112].
В голоморфной ситуации, несмотря на простую формальную
нормальную форму, имеются функциональные модули, т. е. голо-
голоморфный тип ростка диаграммы зависит от произвольной голо-
голоморфной функции (С. М. Воронин [222]).
Для задачи о диаграммах
(h — сборка Уитни, /х> 2 — трансверсальные расслоения) формаль-
формальная нормальная форма имеет вид
h: у1 = я%-\-х1х2, у2 = х2, f1z=x1-{-x2, f2 = Xl — x2.
Дюфур [111 ] доказал, что эта нормальная форма пригодна
и в гладком случае. В голоморфной же ситуации, как показал
С. М. Воронин, привести диаграмму к такой нормальной форме,
вообще говоря, нельзя. Вопрос связан с проблемой сходимости
нормальных форм для голоморфных отображений (С, 0) в себя
с собственным числом 1, разлагающихся в произведение двух ин-
инволюций. Расходимость возникает поэтому уже для диаграммы
С <г- С -> С, отображения которой имеют общую невырожденную
критическую точку.
288
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК II ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
Формальные нормальные формы общих ростков диаграмм
R •*- М —> N для обычной (не сильной) эквивалентности в слу-
случаях dim M=dim N=n <^ 3 следующие (ср. [93], [16]):
71
1
2
3
h: M-*N
у = x
у — х-
!/i = хи Уъ = х2
У\ = А' Уг = х2
Ух — х\ + ^i^z. Уг = хъ
i'l = ^l. 4'2 = Z2. Уз~хЗ
Уг = хЬ Уг = х2, Уз = хз
г/1 = ач + xixi< Уг = х2, у3 = хз
y1 = x$-j- x2xf-\- х3х1, (/2 = а;3,
Уз — Хз
f: M->R
X, X2
х + у(х*)
Х1, +Х1+Х2
х±-\-х%, ij + xsj, x2 + xix2-^-xf
±x1 + <f(h(x))
XX -\- X2, X-y + X^ + XS,, Xi~\- X\XZ,
x2±XxX2 -j-xf + x^
xi+x3, х1±хз + ч>{У1(х), г/г (ж)),
X3±xi + Xi<?(yi(x), У2(х))
±x1 + <?(y(x))
22.5. Классификация особенностей выпуклых оболочек. К ис-
исследованию лежандровых особенностей тесно примыкает задача
об особенностях выпуклых оболочек поверхностей в линейном
пространстве.
Теорема 1 (см. [57]). Для компактных поверхностей об-
общего положения в R3 росток выпуклой оболочки в каждой точке
локальным диффеоморфизмом объемлющего пространства приво-
приводится к одному из следующих ростков в нуле:
2) z = 0 при ж^О, z = ж2 при х~^О;
3) 2 = 0 при (х^.0, г/ <J 0); z = х2 при
z = оГгу2 при (у^О, у^ «ж);
2 = ж2 -f- (а — 1 )-1 (х — уJ при х ^ у ^
.ах,
где а ]> 1, а (я, г/, z) — координаты в R3.
Выпуклая оболочка в целом есть объединение конечного числа
гладких развертывающихся поверхностей с краем или с углами,
диффеоморфных треугольнику (Г), квадрату (Q), кругу (S), по-
полукругу (D) и цилиндру (С), а также конечного числа выпуклых
поверхностей (U). Указанные в скобках числа поверхностей каж-
22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
289
дого типа удовлетворяют соотношениям ЪТ—D=2Q, T-\-U-\-
+?-<>> 1. hZ
Теорема 2 (см. [76]). Для компактных кривых 'общего
положения в R3 росток выпуклой оболочки в каждой точке локаль-
локальным диффеоморфизмом объемлющего пространства приводится
к одному из шести видов:
2) z = 0 при х
3) z = \x\]
4) г/ =
0, z = х2 при
0;
(оборванный ласточкин хвост);
5) z = a;2 гари
6)
= y2 при (г/>0,
при х-\-у = 0; Z-—X2 при @
О^г/^—х); z =
х
—г/);
Классификация особенностей выпуклых оболочек многообразий
размерности к в R" при больших значениях А; и га не проведена.
Согласно В. Д. Седых, модули имеются в точности при
max (к, п—к—1) ^ 2. В случае 1 <[ к <[ га—3 заведомо
имеются функциональные модули, являющиеся функциями от
к переменных, а в случаях к=п—1 или га—2, га ^> 5 — от ^1
переменных. В случае &=2, га=4 число модулей, по-видимому,
равно 2. *
Особенности выпуклых оболочек встречаются в теории опти-
оптимального управления. Рассмотрим, например, скорости выхода
системы из фиксированной точки фазового пространства при все-
всевозможных положениях рулей. Эти векторы образуют множество,
называемое индикатрисой скоростей. Предположим, что инди-
индикатриса — гладкое, но не выпуклое многообразие. Тогда скорости
выхода с учетом смешанных стратегий образуют выпуклую оболоч-
оболочку индикатрисы.
Множество достижимости цели определяется как множество
точек фазового пространства, из которых можно добраться до
цели за конечное время. Классификация особенностей выпуклых
оболочек является одним из этапов исследования особенностей
границы множества достижимости.
Рассмотрим, в частности, управляемую систему на двумерном
замкнутом многообразии, заданную гладким полем индикатрис,
и пусть цель — гладкая замкнутая кривая. А. А. Давыдов рас-
расклассифицировал особенности границы множества достижимости
для полей индикатрис и целей общего положения. С точностью
19 В. И. Арнольд и др.
290
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ. III
до локального диффеоморфизма они такие же, как особенности
в нуле кривых у=ха sgn x и особенности образов кривых у=
=A+с sgn x) | х |а при отображении «складка». Особенности этих
видов встречаются устойчиво, а от всех более сложных особенно-
особенностей границы множества достижимости можно избавиться малым
шевелением поля индикатрис. В первом случае <х=1, 2 или 3
|2О61.
22.6. Лаграюкевы и лежандровы кобордизмы. Лагранжево
многообразие фазового пространства описывает на уровне гео-
геометрической оптики волновое состояние в конфигурационном
пространстве. Волновое состояние в области определяет волновое
состояние на краю области. Мы приходим, таким образом, к по-
понятию лагранжева края лагранжева многообразия.
Два лагранжевых иммерсированных подмногообразия про-
пространств кокасательных расслоений называются лагранжево ко-
бордантными, если их разность является лагранжевым краем
иммерсированного лагранжева многообразия.
Простейшая ситуация, где встречаются лежандровы кобор-
кобордизмы, состоит в следующем. Рассмотрим волновой фронт, распро-
распространяющийся в воздухе. Следы фронта на поверхности земли
в разные моменты времени могут топологически различаться,
но они (точнее, соответствующие им лежандровы многообразия)
лежандрово кобордантны.
Из классов лагранжево (лежандрово) кобордантных иммер-
иммерсированных многообразий строятся группы.
Группа классов ориентированного лагранжева кобордизма
плоских ориентированных кривых изоморфна Z+R (инвариан-
(инварианты — инденс Маслова и площадь).
Группа классов ориентированного лежандрова кобордизма
ориентированных лежандровых кривых в многообразии 1-струй
функций J1 (R, R) изоморфна Ъ. Образующей этой группы явля-
является класс кривой, проекция которой в многообразие 0-струй
имеет вид бантика (восьмерки с заостренными вершинами).
Одномерный волновой фронт (ориентированный и вооружен-
вооруженный, т. е. трансверсально ориентированный) на плоскости или на
сфере лежандрово кобордантен нескольким бантикам (точнее,
кобордантны соответствующие лежандровы подмногообразия мно-
многообразия контактных элементов).
Группа классов лежандрова кобордизма ориентированных
и вооруженных фронтов на проективной плоскости также изо-
изоморфна Z, но образующей является класс фронта с одной точкой
возврата и одной точкой перегиба, у2=х3 (бантик — удвоенная
образующая).
Класс ориентированного вооруженного фронта на проектив-
проективной плоскости определяется числом точек возврата с учетом зна-
знаков. Это число равно также числу точек перегиба: перегиб счита-
22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
291
ется положительным, если кривая проходит точку перегиба,
удаляясь от вооружающей нормали.
Дальнейшие сведения о лагранжевых и лежандровых кобор-
дизмах. см. в [21], где приведены формальные определения и вы-
вычислены различные группы классов кобордизма фронтов на дву-
двумерных поверхностях.
В самое последнее время Я. М. Элиашберг свел вычисление
групп лагранжевых и лежандровых кобордизмов к чисто гомото-
гомотопической задаче. Например, группа классов ориентированного
лежандрова кобордизма лежандровых подмногообразий в
J1 (Rra, R) изоморфна стабильной гомотопической группе
7с->со
где lk — тавтологическое расслоение над многообразием Грас-
смана ориентированных лагранжевых плоскостей в R2fc, T —
пространство Тома.
В. А. Васильев [221] построил характеристические классы на
лагранжевых и лежандровых многообразиях, двойственные стратам
классификации критических точек функций (индекс Маслова
соответствует А2, есть пятимерный класс, соответствующий Ав
или Ел, и т. д.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебраические поверхности. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова,
т. LXXV. — М.: Наука, 1965.
2. А р н о л ь д В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейер-
штрасса. — Функ. анализ, 1967, т. 1, вып. 3, с. 1—8.
3. А р н о л ь д В. И. Особенности гладких отображений. — УМН, 1968,
т. 23, вып. 1, с. 3—44.
4. А р н о л ь д В. И. О матрицах, зависящих от параметров. — УМН,
1971, т. 26, вып. 2, с. 101—114.
5. Арнольд В. И. Интегралы быстро осциллирующих функций и осо-
особенности проекций лагранжевых многообразий. — Функц. анализ, 1972,
т. 6, вып. 3, с. 61—62.
6. А р н о л ь д В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных
критических точек, группы Вейля Ак, Dk, Ек и лагранжевы особен-
особенности. — Функц. анализ, 1972, т. 6, вып. 4, с. 3—25.
7. Арнольд В. И. Замечания о методе стационарной фазы и числах
Кокстера. — УМН, 1973, т. 28, вып. 5, с. 17—44.
8. Арнольд В. И. Классификация унимодальных критических точек
функций. — Функц. анализ, 1973, т. 7, вып. 3, с. 75—76
9. Арнольд В. И. Нормальные формы функций в окрестности вырож-
вырожденных критических точек. — УМН, 1974, т. 29, вып. 2, с. 11—49.
10. Арнольд В. И. Критические точки функций и классификация кау-
каустик. — УМН, 1974, т. 29, вып. 3, с. 243—244.
И.Арнольд В. И. Математические методы классической механики. —
М.: Наука, 1974.
12. А р н о л ь д В. И. Контактные многообразия, лежандровы отображе-
отображения и особенности волновых фронтов. — УМН, 1974, т. 29, выи. 4,
с. 153—154.
13. Арнольд В. И. Критические точки гладких функций и их нормаль-
нормальные формы. — УМН, 1975, т. 30, вып. 5, с. 3—65.
14. А р н о л ь д В. И. Спектральные последовательности для приведения
функций к нормальным формам. — В сб.: «Задачи механики и математи-
математической физики». — М.: Наука, 1976, с. 7—20.
15. Арнольд В. И. Некоторые нерешенные задачи теории особенно-
особенностей. Труды семинара С. Л. Соболева, 1976, № 1, с. 5—15.
16. Арнольд В. И., О теории огибающих. — УМН, 1976, т. 31, вып. 3,
с. 172—173.
17. А р н о л ь д В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
18. Арнольд В. И. Индекс особой точки векторного поля, неравенства
Петровского—Олейник и смешанные структуры Ходжа. — Функц. ана-
анализ, 1978, т. 12, вып. 1, с. 1—14.
19. Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии
с краем, простые группы Ли Вк, Ск, Рк и особенности эволют. — УМН,
1978, т. 33, вып. 5, с. 91—105.
20. Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии
с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями,
ЛИТЕРАТУРА
293
и особые проекции гладких поверхностей. — УМН, 1979, т. 34, вып. 2,
с. 3—38.
21. Арнольд В. И. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы. — Функц.
анализ, 1980, т. 14, вып. 3, с. 1—13; вып. 4, с. 8—17.
22. Белицкий Г. Р. О стабильной эквивалентности ростков функций. —
УМН, 1978, т. 33, вып. 5, с. 164.
23. Белицкий Г. Р. Эквивалентность и нормальные формы ростков
гладких отображений. — УМН, 1978, т. 33, вып. 1, с. 95—155.
24. Бернштейн Д. Н. , Кушниренко А. Г., Хован-
Хованский А. Г. Многогранники Ньютона. — УМН, 1976, т. 31, вып. 3,
с. 201—202.
25. Бернштейн И. Н. Аналитическое продолжение обобщенных функ-
функций по параметру. — Функц. анализ, 1972, т. 6, вып. 4, с. 26—40.
26. Брнскорн Э. Монодромия изолированных особенностей гипер-
поверхностей. — Математика, 1971, т. 15, вып. 4, с. 130—160.
27. Брискорн Э. О группах кос (по В. И. Арнольду). — Математика,
1974, т. 18, вып. 3, с. 46—59.
28. Брызгалова Л. Ы. Особенности максимума функции, зависящей
от параметров. — Функц. анализ, 1977, т. 11, вып. 1, с. 59—60.
29. Брызгалова Л. Н. О функциях максимума семейства функций,
зависящих от параметров. — Функц. анализ, 1978, т. 12, вып. 1,
с. 66—67.
30. Б у р б а к и Н. Группы Ли и алгебры Ли. — М.: Мир, 1972, гл. 5.
§ 5.
31. Васильев В. А. Асимптотика экспоненциальных интегралов, диа-
грамма Ньютона и классификация точек минимума. — Функц. анализ,
1977, т. 11, вып. 3, с. 1—11.
32. Васильев В. А. Об аффинности нормальных форм стратов ix= const
гладких функций. — Функц. анализ, 1978, т. 12, вып. 3, с. 72—73.
33. Васильев В. А. Асимптотика экспоненциальных интегралов в комп-
лексной области. — Функц. анализ, 1979, т. 13, вып. 4, с. 1—12.
34. Варченко А. Н. Многогранники Ньютона и оценки осциллирую-
осциллирующих интегралов. — Функц. анализ, 1976, т. 10, вып. 3, с. 13—38.
35. Варченко А. Н. Локальные топологические свойства гладких
отображений. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1974, т. 38, с. 1037—1090.
36. Варченко А. Н. Версальные топологические деформации. — Изв.
АН СССР, сер. матем., 1975, т. 39, с. 294—314.
37. Варченко А. Н., Молчанов С. А. Применение метода стацио-
нарной фазы в предельных теоремах для цепей Маркова. — ДАН СССР,
1977, т. 233, № 1, с. 11—14.
38. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории
чисел. — М.: Наука, 1971.
39. Габриэлов А. М. О формальных соотношениях между анали-
аналитическими функциями. — Функц. анализ, 1971, т. 5, вып. 4, с. 64—
65.
40. Габриэлов А. М. Матрицы пересечений для некоторых особен-
особенностей. — Функц. анализ, 1973, т. 7, вып. 3, с. 18—32:
41. Габриэлов А. М. Диаграммы Дынкина унимодальных особенно-
особенностей. — Функц. анализ, 1974, т. 8, вып. 3, с. 1—6.
42. Габриэлов А. М. Бифуркации, диаграммы Дынкина и модаль-
модальность изолированных особенностей. — Функц. анализ, 1974, т. 8, вып. 2,
с. 7—12.
43. Габриэлов А. М., Кушниренко А. Г. Описание деформаций
с постоянным числом Милнора для однородных функций. — Функц.
анализ, 1975, т. 9, вып. 4, с. 67—68.
44. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комп-
комплексных переменных. — М.: Мир, 1969.
294
ЛИТЕРАТУРА
45. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и дейст-
действия над ними, вып. 1. — М.: Физматгиз, 1959.
46. Гивенталь А. Б. Сворачивание инвариантов групп, порожден-
порожденных отражениями и связанных с простыми особенностями функций. —
Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 2, с. 4—14.
47. Голубицкин М., Гийемин В. Устойчивые отображения
и их особенности. — М.: Мир, 1977.
48. Гомозов Е. Т. Версальиые деформации ростков диффеоморфизмов
конечного класса гладкости. — ДАН УССР, «А», 1975, № 8, с. 679—
681.
49. Гомозов Е.Т. Конечная определенность ростков диффеоморфизмов
относительно сопряженности. — ДАН УССР, «А», 1976, № 9, с. 773—
775.
50. Г у с е й н - 3 а д е СМ. Матрицы пересечений для некоторых осо-
особенностей функций двух переменных. — Функц. анализ, 1974, т. 8,
вып. 1, с. 11—15.
51. Г у с е й н - 3 а д е СМ. Диаграммы Дынкина для особенностей фун-
функций двух переменных. — Функц. анализ, 1974, т. 8, вып. 4, с. 23—30.
52. Д о л г а ч е в И. В. Факторконические особенности комплексных
гиперповерхностей. — Функц. анализ, 1974, т. 8, вып. 2, с. 75—76.
53. Долгачев И. В. Автоморфные формы и квазиоднородные особен-
особенности. — Функц. анализ, 1975, т. 9, вып. 2, с. 67—68.
54. Долгачев И. В., Н и к у л и н В. В. Исключительные особенности
В. И. Арнольда и К-Ъ поверхности. Всесоюзная топологическая конфе-
конференция в Минске (тезисы). — Минск, 1977.
55. 3 а к а л ю к и н В. М. О лагранжевых и лежандровых особенностях. —
Функц. анализ, 1976, т. 10, вып. 1, с. 26—36.
56. Закал ю кин В. М. Перестройки волновых фронтов, зависящих
от одного параметра. — Функц. анализ, 1976, т. 10, вып. 2, с. 69—70.
57. Закалюкин В.М. Особенности выпуклых оболочек гладких много-
многообразий. — Функц. анализ, 1977, т. 11, вып. 3, с. 76—77.
58. Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958.
59. К о л м о г о р о в А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функции
и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
60. К у л и к о в B.C. О некоторых двумерных особенностях. — Функц.
анализ, 1975, т. 9, вып. 1, с. 72—73.
61. Кушниренко А. Г. Многогранник Ньютона и числа Милнора. —
Функц. анализ, 1975, т. 9, вып. 1, с. 74—75.
62. К у ш н и р е н к о А. Г. О кратности решения системы голоморфных
уравнений. — В сб.: Оптимальное управление (Математические вопросы
управления производством, вып. 7). — М.: Изд-во МГУ, 1977, с. 62—65.
63. Л е р е Ж. Дифференциальное и интегральное исчисления на комплекс-
комплексном аналитическом многообразии. — М.: ИЛ, 1961.
64. Лычагин В. В. О достаточных орбитах группы контактных диф-.
феоморфизмов. — Матем. сб., 1977, т. 104, № 2 A0), с. 248—270.
65. Л я ш к о О. В. Распадения простых особенностей функций. — Функц.
анализ, 1976, т. 10, вып. 2, с. 49—56.
66. Л я ш к о О. В. Геометрия дискриминантных многообразий. — УМН,
1979, т. 34, вып. 4, с. 205—206.
67. Мазер Дж. Н. Стратификации и отображения. — УМН, 1972, т. 27,
вып. 5, с. 85—118.
68-. М а слов В. П. Операторные методы. — М.: Наука,^1973.
69. М и л н о р Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965.
70. М и л н о р Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. —
М.: Мир, 1971.
71. Ньютон И. Математические"работы. — М.: ОНТИ, 1937, с. 34.
ЛИТЕРАТУРА
293
72. Паламодов В. П. О кратности голоморфного отображения. —
Функц. анализ, 1967, т. 1, вып. 3, с. 54—65.
73. Петровский И. Г., Олейник О. А. О топологии действи-
действительных алгебраических поверхностей. — Изв. АН СССР, сер. матем.,
1949, т. 13, с. 389—402.
74. Пуанкаре А. Избранные труды, т. II. — М.: Наука, 1972, с. 829—
836.
75. Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции поли-
полиному Тейлора в окрестности критической точки конечного типа. —
Функц. анализ, 1968, т. 2, вып. 4, с. 63—69.
76. Седых В.Л. Особенности выпуклой оболочки кривой в R3. — Функц.
анализ, 1977, т. 11, вып. 1, с. 81—82.
77. Тюрина Г. Н. О топологических свойствах изолированных осо-
особенностей комплексных пространств коразмерности один. — Изв.
АН СССР, сер. матем., 1968, т. 32, с. 605—620.
78. Тюрина Г. Н. Локально полууниверсальные плоские деформации
изолированных особенностей комплексных пространств. — Изв.
АН СССР, сер. матем., 1969, т. 33, с. 1026—1058.
79. Тюрина Г. Н. Разрешение особенностей плоских деформаций двой-
двойных рациональных точек. — Функц. анализ, 1970, т. 4, вып. 1, с. 77—83.
80. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многооб-
многообразиях. — М.: Мир, 1976.
81. Ф а м Ф. Обобщенные формулы Пикара—Лефшеца и ветвление инте-
интегралов. — Математика, 1969, т. 13, вып. 4, с. 61—93.
82. Ф е д о р ю к М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.
83. Химшиашвили Г. Н. О локальной степени гладкого отображе-
отображения. — Сообщ. АН Груз. ССР, 1977, т. 85, № 2, с. 309—311.
84. Хиронака X. Разрешение особенностей алгебраических многооб-
многообразий над полями характеристики нуль. — Математика, 1965, т. 9,
вып. 6, с. 2—70; 1966, т. 10, вып. 1, с. 3—89; 1966, т. 10, вып. 2, с. 3—58.
85. Хованский А. Г. Многогранники Ньютона и торические много-
многообразия. — Функц. анализ, 1977, т. 11, вып. 4, с. 56—67.
86. Хованский А. Г. Многогранники Ньютона и формула Эйлера—
Якоби. — УМН, 1978, т. 33, вып. 6, с. 245—246.
87. Хованский А. Г. Индекс полиномиального векторного поля. —
Функц. анализ, 1979, т. 13, вып. 1, с. 49—58.
88. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.:
Наука, 1972.
89. А'С a m р о N. Le nombre de Lefschetz d'une monodromie. — Indag.
Math., 1973, v. 76, № 2, p. 113—118.
90. A'C a m p о N. La fonction zeta d'une monodromie. — Commentarii
Mathematici Helvetici, 1975, v. 50, Fasc. 2, p. 233—248.
91. A'C a m p о N. Le groupe de monodromie du deploiement des singularites
isolees de courbes planes. I. — Mathematische Annalen, 1975, Bd. 213,
Heft 1, S. 1—32.
92. A'C a m p о N. Le groupe de monodromie du deploiement des singularites
isolees de courbes planes. II. — In: Actes du Congres Internationale des
Mathematiciens (Vancouver, 1974), 1975, v. 1, S. 1, p. 395—404.
93. Arnold V. I. Wave front evolution and equivariant Morse Iemman. —
Comm. Pure Appl. Math., 1976, v. 29, № 6, p. 557—582.
94. А г n о 1 d V. On some problems in singularity theory. Geometry and Ana-
Analysis, Papers dedicated to the Memory of V. K. Patodi. —Bombay, 1980.
95. A r t i n M. On the solution of analytic equations. —Invent. Math.,
1968, v. 5, p. 277—291.
96. A t i у a h M. F. Resolution of singularities and division of distribu-
distributions. — Comm. Pure Appl. Math., 1970, v. 23, № 2, p. 145—150.
97. Baas N. Structural stability of composed mappings, preprint, 1976.
29(i
ЛИТЕРАТУРА
98. Biers tone E. General position of equivariant maps. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1977, v. 234.
99. В j о г к I.E. I. N. Bernstein functional equation, local case, Preprint. —
Catholic University, Nijmegen, November 1975.
100. Boardman J. M. Singularities of differentiable maps. — Publica-
Publications Mathematiques IHES, 1967, v. 33, p. 21—57.
101. Brieskorn E. Special singularities-resolution, deformation and
monodromy. — Amer. Math. Soc, Lecture Notes prepared in connection
with the summer institute on algebraic geometry held at Humboldt State
University, Arcata, California, 1974.
102. Brieskorn E. Die Hierarchie der 1-Modularen Singularitaten. —
Bonn, 1978.
103. Bflchner M. A. Stability of the Cut Locus in Dimensions Less Than
or equal to 6. — Appendix, Inventiones Mathematical, 1977, v. 43, № 3,
p. 224—233.
104. Clemens С. Н. Picard—Lefschetz theorem for families of non sin-
singular algebraic varieties acquiring ordinary singularities. —Trans. Amer.
Math. Soc, 1969, v. 136, p. 93—108.
105. Deligne P. Equation differentielles a points singuliers reguliers. —
Lecture Notes in Math., v. 163. — Springer-Verlag, 1970.
106. Deligne P. Les immeubles des groupes des tresses generalises. —
Invent. Math., 1972, v. 17, № 4, p. 273—302.
107. Demazure M. Sousgroupes algebriques de rang maximum du groupe
de Cremona. — Ann. Sci. de ГЕ. N. S., 4e series, 1970, v. 3, № 4, p. 507—
588.
108. Demazure M. Classification des germes a point critique isole et
a nombres de modules 0 on 1 (d'apres V. I. Arnold). — Seminaire Bour-
baki, 26е annee, 1973/74, n° 443, Fevrier 1974.
109. Dubois J.G., Dufour J.P. La theorie des catastrophes V, Trans-
formees de Legendre et thermodynamique, Preprint.—Montreal, 1977.
110. Dufour J.P. Une limite aux extention de theoreme de preparation. —
C. R., 1976, v. 282, ser. A, p. 199—202.
111. Dufour J.P. Bi-stabilite des fronces. — Inst. de Sciences of Techni-
Techniques de Languedoc, Preprint, 1977.
112. Dufour J.P. Sur la stabilite de diagrams d'applications differentiab-
les. — Ann. Sci. Ec Nor. Sup., 1977, v. 10, № 2, p. 153—174.
113. Duistermaat J. J. Fourier integrals operators. — N. Y. Univ.,
1973.
114. Duistermaat J. Oscillatory integrals, Lagrange immersions and
unfoldings of singularities. — Comm. Pure Appl. Math., 1974, v. 27,
№ 2, p. 207—281.
115. D u r f e e A. H. Fibered knots and algebraic singularities. — Topology,
1974, v. 13, № 1, p. 47—59.
116. Eisenbud D., Levine H. An algebraic formula for the degree
of Cm map germ. — Ann. Math., 1977, v. 106, № 1, p. 19—38.
117. Field M. Une version equivariant de theoreme de la transversalite
de Thorn. — C. R., 1976, v. 282, p. 379—381.
118. Gibson C. G., Wirthmiiller K., dy PI ess is A. A.,
Looijenga E. I. N. Topological stability of smooth mappings. —
Lect. Notes in Math., 1976, v. 552.
119. G i u s t i M. Classification des singularitees isolees d'intersections
completes simples. — С R. Ac. Sci. Paris, 1977, v. 284, p. 167—170.
120. G i u s t i M. Classification des singularitees isolees d'intersections
completes, 1—65, Ecole Polytechnique, 1977.
121. Giusti M. Sur les singularitees isolees d'intersections completes
quasihomogenes. — Annales de l'lnstitut Fourier, 1977, v. 27, № 3,
p. 163—192.
ЛИТЕРАТУРА
297
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148
Glaeser G. Fonctions composees differentiables.—Ann. Math.,
1963, v. 77, p. 193—209.
Golubitsky M. Contact equivalence for lagrangean submani-
folds. — Lect. Notes in Math., 1975, v. 468, p. 71—73.
Golubitsky M., Schaeffer D. A theory of imperfect bi-
bifurcations via singularity theory, Preprint, 1978.
Grauert H. Analytische Faserungen iiber holomorph-vollstandigen
Raumen. — Math. Ann., 1958, Bd. 135, S. 263—273.
Griffits P. Monodromy of homology and periods of integrals on al-
algebraic manifolds. — Notes mimeographiees, Princeton University, 1968.
Griffits P. Variations on a theorem of Abel. —Invent. Math.,
1976, v. 35, p. 321—390.
Griffits P., Harris I. Residues and zero-cycles on algebraic
varieties. — Annals of Mathematics, 1978, v. 108, p. 461—505.
Guckenheimer J. Catastrophes and partial differential equa-
equations. — Ann. Inst. Fourier, 1973, v. 23, № 2, p. 31—59.
Guckenheimer J. Caustics and nondegenerate hamiltonians. —
Topology, 1974, v. 13, p. 127—133.
Hormander L. Fourier integral operators. I. — Acta Math., 1971,
v. 127, p. 71—183.
H о u z e 1 C. Geometrie analytique locale. I. — Seminaire H. Cartan,
1960/1961, № 18.
J anich K. Caustics and catastrophes. —Math. Ann., 1974, v. 209,
p. 161—180.
К a t z N. M. The regularity theorem in algebraic geometry. — In:
Actes Congres intern, math., 1970, v. 1, p. 437—443.
Kem'pf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Do-
Saint-Dona t B. Toroidal embeddings. — Lecture Notes in Math., 1973, v. 339,
Springer-Verlag.
Kouchnirenko A. G. Polyederes de Newton et nombres de Mil-
nor. — Invent. Math., 1976, v. 32, p. 1—31.
Kucharz V. Jets suffisants et fonctions de determination finie. —
C. R., 1975, v. 284, p. 431—442.
Lamotke K. Die Homologie isolierter Singularitaten. — Math.
Z., 1975, Bd 143, S. 27—44.
Lazzeri F. Some remarks on the Picard—Lefschetz monodromy,
en «Quelques joumees singulieres». Centre de Math, de Г Ecole Polytech-
Polytechnique. — Paris, 1974.
L ё Dung Trang Sur les noeuds algebriques. — Compositio Mathe-
matica, 1972, v. 25, Fasc. 3, p. 281—321.
Le Dung Trang, Ramanujam C. P. The invariance of Mil-
nor's number implies the invariance of the topological type. — Amer.
J. Math., 1976, v. 98, p. 67—68.
Lees J. A. On the classification of lagrange immersions. —Duke
v. 43, p. 217—224.
Math. J. 1976,
Lees J. A.
print, 1977.
Levine J.
Defining lagrangean immersions by phase functions, Pre-
Polinomial invariants of knots in codimension two. —
Ann. of Math., Ser. II, 1966, v. 84, p. 537—554.
Looijenga E. The complement of the bifurcation variety of a simple
singularity. — Invent. Math., 1974, v. 23, № 2, p. 105—116.
Looijenga E. The discriminant of a real simple singularity. —Com-
—Compositio Math., 1978, v. 37, Fasc 1, p. 51—62.
Malgrange B. Le theoreme de preparation du geometrie differen-
differentiable. — Seminaire H. Cartan, 1962/1963, № 11, 12, 13, 22.
Malgrange B. Ideals of differentiable functions. — Oxford Univ.
Press, 1966,
298
ЛИТЕРАТУРА
149. Malgrange В. Le polynom de Bernstein d'une singularite isolee. —
Springer lecture notes in math., 1974, v. 459, p. 98—119.
150. Malgrange B. Integrates asymptotiques et monodromie. — Ann.
Sci. Ecole Norm., Sup. D), 1974, v. 7, p. 405—430.
151. Martinet J. Deploiments versels des applications differentiables
et classification des applications stables. — Lecture Notes in Mathema-
Mathematics, 1976, Springer, v. 535, p. 1—44.
152. Mather J. Stability of Си Mappings. I—VI. — Ann. of Math.,
1968, v. 87, p. 89—104; 1969, v. 89, p. 254—291; Publ. Sci. IHES, 1969,
v. 35, p. 127—156; 1970, v. 37, p. 223—248; Advan. in Math., 1970, v. 4,
p. 301—335; Springer Lect. Notes in Math., 1971, v. 192, p. 207—253.
(Русский перевод: Сб. «Особенности дифференцируемых отображе-
отображений». — М.: Мир, 1968, с. 198—267; Математика, 1970, т. 14, № 1,
с. 145—175; УМН, 1973, т. 28, вып. 6, с. 165—190; 1974, т. 29, вып. 1,
с. 127—158).
153. Mather J. On Thom—Boadrdman singularities. — In: Dynamical
Systems (ed. Peixoto). N. Y.: Academic Press, 1973, p. 232—248.
154. Mather J. Stratifications and mappings. — In: Dynamical Systems (ed.
Peixoto), N. Y.: Academic Press, 1973, p. 195—232.
155. Mather J. How to statify map germs. — Lecture Notes in Math.,
1976, v. 535, p. 218—176.
156. Mather J. Infinite dimensional group action. — Asterisque, 1976,
v. 32.
157. Milnor J., Orlik P. Isolated singularities, defined by weighted
homogeneous polynomials. — Topology, 1970, v. 9, № 2, p. 385—393.
158. M о r i n B. Formes canoniques des singularites d'une application diffe-
rentiable. — Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris), 1965, v. 260, pp. 5662—
5665, 6503—6506.
159. M orin B. Calcul Jacobien. —Ann. Sci. Ecole Norm. Super., 1975,
v. 8, p. 1—98.
160. Nilsson N. Some growth and ramification properties of certain in-
integrals. — Arkiv for Math., 1963—65, v. 5, p. 527—540.
161. Orlik P., WagreichP. Isolated singularities of algebraic sur-
surfaces with C* action. — Ann. of Math., 1971, v. 93, № 2, p. 205—228.
162. P h a m F. Remarque sur l'equisingularite universelle. —Faculte des
Sciences, Nice, 1970, p. 1—24.
163. P h a m F. Caustics and microf unctions, Preprint, — Department de
Mathematiques, Universite de Nice, 1976.
164. Pinkham H. Singularites exceptionnelles, la dualite etrange d'Ar-
d'Arnold et les surfaces K-3.—C. R. Ac. Sci. Paris, 1977, v. 284, p. 615—618.
165. P о ё n a r ui V. Versal unfildings of G-invariant functions. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1976, v. 82, № 1, p. 86—88.
166. Poenaru V. Singularites C00 en presence de symetrie, Lecture Notes
in Mathematics, Springer, 1976, v. 510.
167. Poston Т., Stewart I. Catastrophe theory and its applica-
applications. — Pitman, 1978.
168. S a i t о К. Einfach-elliptische Singylaritaten. — Invent. Math., 1974,
B. 23, S. 289—325.
169. S a i t о К. Quasihomogene isolierte Singularitaten von Hyperflachen. —
Invent. Math., 1971, B. 14, S. 123—142.
170. Scherk J. On the Gauss—Manin connection of an isolated hupersur-
face singularity. —Math. Ann., 1978, v. 238, № 1, p. 23—32.
171. Sebastiani M., Thom R. Un resultat sur la monodromie. —
Invent. Math. 1971, y. 13, №№ 1—2, p. 90—96.
172. Siersma D. Periodicities in Arnold's list of singularities. — In:
Real and Complex singularities, Nordic Summer School, Osjo 1976,
Sijthoff and Noordhoff, 1977, p. 679—686,
ЛИТЕРАТУРА
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
imourian
logical traviality.
Tougeron J.
Fourier, 1968, v.
Trotman D.
Steenbrink J. H. M. Limits of Hodge structures. — Invent.
Math., 1976, v. 31, p. 229—257.
Steenbrink J. H. M. Intersection form for quasihomogeneous
singularities. — Compositio Math., 1977, v. 34, Fasc. 2, p. 211—223.
Steenbrink J. H. M. Mixed Hodge structure on the vanishing
cohomology. — In: Real and Complex Singularities, Nordic Summer
School, Oslo, 1976, Sijthoff and Noordhoff, 1977.
T a d i n i M. Germe Finitamente Determinados et Simbolo de Board-
man. — Brasil, 1977.
Teissier B. Deformations a type topologique constante, I et II,
in Seminaire Douady—Verdier, Secretariate Mathematique, 45 rue d'Ulm,
Paris V, 1972.
Thom R., Levine H. Singularities of differentiable mappings.
I. — Bonn, 1959.
Thom R. Les singularites des applications differentiables, Ann. Inst.
Fourier, 1956, v. 6, p. 43—87.
Thom R. Topological models in biology. — Topology, 1969, v. 8,
p. 313—335.
Timourian I. G. The invariance of Milnor's number implies topo-
— Amer. J. Math., 1977, v. 99, № 2, p. 437—446.
C. Ideaux de fonctions differentiables. — Ann. Inst.
18, № 1, p. 177—240.
A. A transversality property weaker than Whitney
A-regularity — Bull. London Math. Soc, 1976, v. 8, p. 225—228.
Trotman D. J. A. Counterexamples in stratification theory: two
discordant horns, in «Real and Complex Singularities, Nordic Summer
School, Oslo 1976». — Sijthofit and Noordhoff, 1977, p. 679—686.
Varchenko A. N. Zeta-function of monodromy and Newton's dia-
diagram. — Invent. Math., 1976, v. 37, p. 253—262.
Wall С. Т. С. Regular stratifications. — L. N. in Math., 1975, v. 468,
p. 332—344.
Wassermann G. Stability of unfoldings. — L. N. in Math., 1974,
v. 393.
Wassermann G. (r, s)-stability of unfoldings, Preprint. — Re-
gensburg, 1976.
Wassermann G. Stability of unfoldings in space and time. — Acta
Math., 1975, v. 135, p. 57—128.
Wassermann G. Classification of singularities with compact
abelian symmetry. — Regnesburger Math. Schriften, v. 1, Universitat
Regensburg, 1977.
Weinstein A. Symplectic manifolds and their lagrangean submani-
folds. — Adv. in Math., 1971, v. 6, p. 329—346.
Weinstein A. Lagrangean Submanifolds and hamiltonian sy-
systems. — Ann. of Math., 1973, v. 98, p. 377—410.
Weinstein A. Lectures on symplectic manifolds. — CBMS Regio-
Regional Conference, Univ. of North Carolina, 1976.
Weinstein A. Singularities of families of functions. — Differen-
Differential geometrie im Grossen, Oberwolfach, 1971, v. 4.
Wells G. Extension of theorems for smooth functions on real anali-
tic spaces and quotiening by Lie groups and smooth stability. — J. Au-
Austral. Math. Soc, 1977, v. 24, «A», p. 440—457.
Whitney H. On singularities of mappings of euclidean spaces,
L—Ann. of Math., 1955, v. 62, p. 374—410.
Whitney H. Local properties of analytic varieties; Differential and
Combinatorial Topology. — Princeton, 1965.
Whitney H. The general type of singularity of a set of 2n—1 smouth
functions on n variables. — Duke Math. J., 1943, v. 10, № 1, p. 161—172.
300
ДОПОЛЙИТЁДЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
199. Whitney H. The self-intersectiona of a smooth га-manifold in 2ra-
space, and Bra—l)-space. — Ann. Math. Ser. 2, 1944, v. 45, № 2, p. 220—
293.
200. Whitney H. On singularities of mappings of Euclidean Spaces, Sym-
Symposium International de Topologia Algebraica. — Mexico, 1958.
201. Zariski O. On the Poincare group of a projective hypersurface. —
Ann. of Math., 1973, v. 38, № 1, p. 131—141.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
202. Александров А. Г. О деформациях букетов квазяоднородных
одномерных особенностей. — Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 1, с. 67—
68.
203. Александров А. Г. Нормальные формы одномерных квазиод-
квазиоднородных полных пересечений. — Мат. сборник, 1982, т. 117, вып. 1.
204. Арнольд В. И. Лагранжевы многообразия с особенностями, асимп-
асимптотические лучи и раскрытый ласточкин хвост. — Функц. анализ, 1981,
т. 15, вып. 4, с. 1—14.
205. Арнольд В. И. Потенциальные потоки бесстолкновительных ча-
частиц, лагранжевы особенности и метаморфозы каустик в R3. — Труды
Семинара им. И. Г. Петровского, 1982, т. 8, с. 5—53.
206. Арнольд В. И. Теория катастроф. — М.: Знание, серия «Матема-
«Математика, кибернетика», 1981, № 9, 64 с.
207. Арнольд В. И., Зельдович Я. Б., Шандарин С Ф-
Элементы крупномасштабной структуры Вселенной. — УМН, 1981,
т. 36, вып. 3, с. 244—245.
208. Арнольд В. И., О л е й н п к О. А. Топология действительных
алгебраических многообразий. — Вестник МГУ, сер. матем., 1979,
вып. 6. с. 7—17.
209. Варченко А. Н. Теоремы топологической эквисингуляриости се-
семейств алгебраических многообразий и полиномиальных отображе-
отображений. — Известия АН СССР, сер. матем., 1972, т. 36, выи. 5, с. 957—1019.
210. Варченко А. Н. Целочисленность предела интеграла от кривизны
по краю изолированной особенности поверхности в С3. — УМН, 1978,
т. 33, вып. 6, с. 199—200.
211. Варченко А. Н. Формула для рангов групп гомологии края изо-
изолированной особенности поверхности в С3 и диаграмма Ньютона. —
Функц. анализ, 1979, т. 13, вып. 1, с. 65—66.
212. Варченко А. Н. Контактные структуры п изолированные особен-
особенности. — Вестник МГУ, сер. матем., 1980, вып. 2, с. 18—21.
213. Варченко А. Н. Связность Гаусса—Манина и полином Берн-
штейна. — УМН, 1980, т. 35, вып. 4, с. 153—154.
214. Варченко А. Н. Ходжевы свойства связности Гаусса—Манина. —
Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 1, с. 46—47.
215. Варченко А. Н. Асимптотики голоморфных форм определяют
смешанную структуру Ходжа. — ДАН СССР, 1980, т. 255, вып. 5,
с. 1035—1038.
216. Варченко А. Н. Асимптотики интегралов метода перевала. —
УМН, 1981, т. 36, вып. 4, с. 212—213.
217. Варченко А. Н. О препятствиях к локальной эквивалентности
распределений. — Матем. заметки, 1981, т. 29, вып. 6, с. 939—947.
218. Варченко А. Н. Асимптотическая смешанная структура Ходжа
в исчезающих когомологиях. — Известия АН СССР, сер. матем., 1981,
т. 45, вып. 3, с. 540—591.
ДОЙОЛНИТЕЛЬНЛИ ЛИТЕРАТУРА
301
219. Варченко А. Н. Об операторе монодромии в исчезающих когомо-
когомологиях и операторе умножения на / в локальном кольце —
ДАН СССР, 1981, т. 260, выи. 2, с. 272—276.
220. В а р ч е п к о А. И, Комплексный показатель особости не меняется
вдоль страта fx= const. — Функц. анализ, 1982, т. 16, вып. 1, с. 1—12.
221. Васильев В. А. Характеристические классы лагранжевых и
лежандровых многообразий, двойственные к особенностям каус-
каустик п волновых фронтов. — Функц. анализ, 1981, т. 15 выл 3
с. 10—22.
222. Воронин СМ. Аналитическая классификация ростков конформ-
конформных отображений (€, 0) ~> (С, 0) с тождественной линейной частью. —
Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 1, с. 1—17.
223. Гольфонд О. А. Корни систем почти периодических полиномов. —
АН СССР, Физический институт им. П. Н. Лебедева, препринт № 200,
1978, 27 с.
224. Гельфонд О. А. Средний индекс почти периодического векторного
поля. — АН СССР, Физический институт им. П. Н. Лебедева, препринт
№ 219, 1981, 27 с.
225. Гельфонд О. А., Хованский А. Г. О вещественных функ-
функциях Лиувилля. — Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 2, с. 52—53.
226. Г и в е н т а л ь А. Б. Сворачивание инвариантов групп, порожденных
отражениями и связанных с простыми особенностями функций. —
Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 2, с. 4—14.
227. Гивенталь А. Б. Многообразия многочленов, имеющих корень
фиксированной кократности, и обобщенное уравнение Ньютона. —
Функц. анализ, 1982, т. 16, вып. 1, с. 13—17.
228. Горюнов В. В. Полином Пуанкаре пространства форм-вычетов
на квазиоднородном полном пересечении. — УМН, 1981, т. 35, вып. 2,
с. 205—206.
229. Горюнов В. В. Геометрия бифуркационных диаграмм простых
проектирований на прямую. — Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 2,
с. 1—8.
230. Горюнов В. В. Примыкания спектров некоторых особенностей. —
Вестник МГУ, сер. матем., 1981, вып. 4, с. 19—22.
231. Гусейн-Заде СМ. О характеристическом многочлене класси-
классической монодромии для серий особенностей. — Функц. анализ, 1976
т. 10, вып. 3, с. 78—79.
232. Гусейн-Заде СМ. Группы монодромии изолированных особен-
особенностей гиперповерхностей. — УМН, 1977, т. 32, вып. 2, с. 23—65.
233. Гусейн-Заде СМ. Об отмеченных базисах простых особенно-
особенностей. — Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 4, с. 73—74.
234. Данилов В. И. Многогранники Ньютона и исчезающие когомоло-
гнн. — Функц. анализ, 1979, т. 13, вып. 2, с. 32—47.
235. Казарновский Б. Я. О нулях экспоненциальных сумм. —
ДАН СССР, 1981, т. 257, вып. 4, с. 804—808.
236. Карпушкин В. Н. Равномерные оценки осциллирующих инте-
интегралов в Е2. — ДАН СССР, 1980, т. 254, вып. 1, с. 28—31.
237. Карпушкин В. Н. Равномерные оценки осциллирующих инте-
интегралов. — УМН, 1981, т. 36, вып. 4, с. 213.
238. Л а н д и с Е. Е. Тангенциальные особенности. — Функц. анализ,
1981, т. 15, вып. 2, с. 36—49.
239. Платонова О. А. Тень и терминатор гиперповерхности общего
положения. — Функц. анализ, 1979, т. 13, вып. 1, с. 77—78.
240. Платонова О. А. Особенности взаимного расположения поверх-
поверхности н прямой. — УМН, 1981, т. 36, вып. 1, с. 221—222.
241. Платонова О. А. Особенности в задаче о скорейшем обходе пре-
препятствия. — Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 2, с. 86—87.
242. Седых В. Д. Строение выпуклой оболочки пространственной кри-
кривой. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 1981, вып. 6,
с. 239—256; УМН, 1981, т. 36, вып. 5, с. 191—192.
243. Хованский А. Г. Многогранники Ньютона и род полных пересе-
пересечений. — Функц. анализ, 1978, т. 12, вып. 1, с. 51—61.
244. Хованский А. Г. Геометрия выпуклых многогранников и алгеб-
алгебраическая геометрия. — УМН, 1979, т. 34, вып. 4, с. 160—161.
245. Хованский А. Г. Спрямление параллельных прямых. — ДАН
СССР, 1980, т. 250, вып. 5, с. 1074—1076.
246. Хованский А. Г. О спрямлении окружностей. — Сибирский ма-
тем. журнал, 1980, т. 21, выш 4, с. 221—226;
247. Хованский А. Г. Об одном классе систем трансцендентных урав-
уравнений. — ДАН СССР, 1980, т. 255, вып. 4, с. 804—807.
248. Хованский А. Г. Многогранники Ньютона и индекс векторного
поля. —УМН, 1981, т. 36, вып. 4, с. 234.
249. Чмутов С. В. Группы монодромии особенностей функций двух
переменных. — Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 1, с. 61—66.
250. BanchoffT. F., Gaffney Т., МсСгогу С. Cusps of Gauss
mappings. — Boston: Pitman, 1982.—(Research Notes in mathematics,
v. 55.) 1982.
251. F u с u d a T. Local Topological Properties of Differentiable Mappings.
I. — Invent. Math., 1981, v. 65, p. 227—250.
252. Hovansky A. Sur les racines complexes de systemes d'equations al-
gebriques ayant un petit nombre de monomes. — CR Acad. Sc. Paris,
1981, v. 292, 15 June, ser. 1, p. 937—940.
253. Hovansky A. Theoreme de Bezout pur les functions de Liouville. —
IHES, Preprint № 45, Sept. 1981, p. 1—31.
254. Kergosien Y. L., Thom R. Sur les points paraboliques des sur-
surfaces. — CR Acad. Sc. Paris, 1980, v. 290, ser. A, p. 705—711.
255. МсСгогу С. Generic curves and surfaces in 3-space: contact with
lines and planes. — Univ. Warwick, Preprint, 1980.
256. МсСгогу С Profiles of surfaces. — Univ. Warwick, Preprint, 1080.
257. P h a m F. Singularites Des Systemes Differentiels De Gauss—Manin. —
Birkhauser; Boston; Basel; Stuttgart, 1979.
258. Scherk J. On the Monodromy Theorem for Isolated Hypersuface
Singularities.—Inventiones. Math., 1980, y. 58, p. 289—301.
259. Varchenko A. N. Algebra-Geometrical Equisingularity and Local
Topological Classification of Smoth Mappings. — Proceedinds of the
International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1975, v. 1, p. 427—
431.
260. Varchenko A. N. Gauss—Manin connection of isolated singular
point and Bernstein polynomial. — Bull. Sc. math., 2-o serie, 1980, v. 104,
p. 205—223.
261. Wall С. Т. С The first canonical stratum.— J. London. Math.
Soc, 1980, v. 2 B1), p. 419—433.
262. Wall С. Т. С A note on symmetry of singularities. — Bull. Lond.
Math. Soc, 1980, v. 12, p. 169—175.
263. Wall С. Т. С. Are maps finitely determined in general? — Bull.
Lond. Math. Soc, 1979, v. 11, p. 151—154.
264. Waynryb B. Monodromy group of curve singularities. — Math.
Ann., 1980, v. 246, № 2, p. 141—154.
265. Z e e m a n E. С 1981 Bibliography on Catastrophe Theory. — Math.
Institut, Univ. of Warwick, 1981.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Боардмана символ 40
Деформация версальная 112
— инфинитезимально версальная 115
— ростка 113
Индекс ростка отображения 68, 69
Каустика 237
Квадратичный дифференциал ото-
отображения 48
Коранг функции 146
Кратность критической точки функ-
функции 94
— локальная отображения 61, 66
Критическая точка отображения 8
Критическое значение отображения 8
Отображение лагранжево 237
— лежандрово 253
Подмногообразие лагранжево 232
— лежандрово 250
Производящее семейство 239
Развертка ростка 124
Расслоение лагранжево 234
— лежандрово 251
Струя 29
— достаточная 94
Теорема о конечной определенности
94
— трансверсальности 26, 31
Ласточкин хвост 38
Локальная алгебра отображения 59
Модальность 143
— внутренняя 169
Морса лемма 92
Нормальная форма 188
Ньютона диаграмма 164
— многогранник 164
Особенности краевые 223
— простые, унимодальные,
дальние 191
— тангенциальные 22.7
бимо-
Уитни зонтик 21
— сборка 13
Устойчивость 10
— инфинитезимальная 89, 91
— лагранжева 261
— лежандрова 268
Фронт лежандрова многообразия 254
Функция квазиоднородная 149
— полуквазиоднородная 150
Эйлера—Якоби формула 82
Эквивалентность 8, 9
— лагранжева 235
— лежандрова 252
— стабильная функции 146
.F-эквивалентдость .97