Расчет строительных конструкций с учетом ползучести lib1583

Tags: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций механика деформируемых тел упругость деформация
ISBN: 5-274-00144-0
Similar
Механика контактных взаимодействий
Уравнения и краевые задачи теории пластичность и ползучести
Теория расчета железобетонных конструкций на прочность и устойчивость
Теория упругости и пластичности
Text
                    Н.Х. Арутюнян, А.А.Зевин

РАСЧЕТ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
НАУКА - СТРОИТЕЛЬНОМУ ПРОИЗВОДСТВУ

Н.Х. Арутюнян, АА. Зевин

РАСЧЕТ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
УДК 624.044:539.376

Арутюнян Н.Х., Зевни А.А. Расчет строительных конструкций
с учетом ползучести. — М.: Стройиздат, 1988. — 256 с.: ил.-
(Наука - строит, пр-ву). - ISBN 5-274-00144-0.

Приведены методы расчета сплошных тел и армированных стержневых
систем с учетом ползучести и старения материала. Основное внимание уде-
лено методам расчета неоднородных по координатам элементов конструк-
ций, а также изложению специфики расчетного аппарата, необходимого для
прогнозирования напряжений и деформаций сооружений, нагружаемых
в процессе возведения. Рассмотрены задачи оптимального проектирования.
Дано решение многих конкретных задач. Приведена программа для ЭВМ
на языке ФОРТРАН.

Для научных и инженерно-технических работников научно-исследова-
тельских и проектных организаций.

Табл. 11, ил. 32, список лит.: 107 назв.

Печатается по решению секции литературы строительным конструк-
циям редакционного совета Сгройиздата.

Рецензент: др техн, наук, проф. П.И. Васильев.

3202000000 - 203

047(01) - 88

ISBN 5-274-00144-0

83-88

©Стройиздат, 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ

Основными направлениями экономического и социального развития
СССР на 1986-1990 годы и на период до 2000 года предусмотрено корен*
ное улучшение капитального строительства, подъем на новый индустриаль-
ный и организационный уровень всего строительного комплекса. Большие
задачи стоят перед строительной наукой в совершенствовании методов рас-
чета строительных конструкций.

Многие строительные материалы (бетон, полимеры, древесина), а так-
же основания сооружений обладают свойством ползучести, которое сущест-
венно влияет на напряженно-деформированное состояние конструкций,
поэтому его учет при проектировании необходим. Большой практический
интерес представляют задачи анализа напряжений и деформаций неодно-
родных по координатам сплошных тел и армированных стержневых сис-
тем. Актуальность этих задач обусловлена тем, что большинство реаль-
ных конструкций, при расчете которых необходимо учитывать влияние
ползучести, имеют различные деформативные свойства в различных точ-
ках.

В последние годы интенсивно развивается механика наращиваемых
вязкоупругих тел, к которым нагрузка прикладывается в процессе их
роста. Практическая важность этого направления связана с тем, что на-
грузки от собственного веса элементов конструкций и сооружений неиз-
бежно прикладываются при их возведении.

Несмотря на большое количество публикаций, посвященных различ-
ным аспектам теории ползучести, пока отсутствует книга, в которой бы
систематически излагались общие принципы и практически эффективные
методы расчета, применимые как к однородным, так и к неоднородным
телам и стержневым системам. Полученные некоторые общие резуль-
таты, относящиеся к методам анализа напряженно-деформированного
состояния наращиваемых тел, также пока не нашли отражения в моно-
графиях.

Предлагаемая книга имеет целью восполнить эти пробелы. Она по-
священа систематическому изложению общих принципов и методов
расчета сплошных тел и армированных стержневых систем из материа-
лов, обладающих свойствами ползучести и старения (типичным представи-
телем стареющих материалов является бетон).

В основу книги положены результаты исследований, выполненных
авторами в Институте проблем механики АН СССР, Институте механики
АН АрмССРи институте Энергосетьпроект (Северо-Западное отделе-
ние) Минэнерго СССР. Вместе с тем приводятся наиболее важные ре-
зультаты других исследователей, относящиеся к кругу рассматриваемых
вопросов.

Авторы выражают искреннюю признательность рецензенту книги
П.И. Васильеву, а также Л.П. Трапезникову и Б.А. Шохейту за тщатель-
ный просмотр рукописи и полезные замечания.
PREFACE

Many construction materials (concrete, polymers, wood) as
well as structures’ foundations possess a creep property that
has an effect ot the stress-strain state of constructions, so when
designing it should be taken into account. Of great practical value
are the problems of stress and strain analysis for solid bodies
heterogeneous by coordinates and for reinforced rod systems.
The actuality of these problems is due to the fact that the
majority of real constructions, where it is necessary to allow
for the creep effect during calculation, possess various strain
properties in different points.

Of late, the mechanics has been intensely developed, of built-
up viscoelastic bodies to which the load is applied in the process
of their growth. The practical importance of this trend is connec-
ted with the fact that the loads of the construction elements’
own weight are inevitably applied in the process of their erec-
tion.

Notwithstanding a lot of publications dealing with various
aspects of the creep theory, there is not a book in Russian that
would methodically present general principles and practically
effective design methods applicable both to homogeneous and
heterogeneous bodies and rod systems. A number of general
results referring to the analysis methods for stress-strain state
of the build-up bodies has not been published in monographs as
well.

The book being offered here to the readers’ attention has the
purpose of filling the abovementioned blanks. It presents a
methodical account of general principles and calculation techni-
ques for solid bodies and reinforced rod systems made of
materials possessing creep and ageing properties (concrete is a*
typical representative of ageing materials).

The book accounts for the basic integral equations of the li-
near creep theory for cases of single-axis and spatial stress states;
the data is presented of creep nuclei (relaxation) for ageing mate-
rials; the equations are formulated allowing for temperature
effect; the relationships are presented of quasi-linear theory
allowing for the non-reversibility of creep flow part not depen-
dent on material ageing.

A special chapter deals with generals theoremes (so-called cor-
respondence principles) that links the solution of boundary
problem for creep theory with the solution of the corresponding
problem for elastic body. Most of the attention is paid to the
correspondence principles established lately for the various types
of heterogeneous bodies. The correspondence principle has been
formulated for a non-uniformly reinforced rod system.
A considerable part of the book deals with operational design
methods based on correspondence principles, the methods which
allow to realize the problem solution with regard for the creep
in terms of the corresponding problem solution (possibly nume-
rical) for elastic body with a few different values of elasticity
modules. The construction of elastic solutions is not algorythmi-
cally linked with the other part of calculations. Calculations of
elastic body may be performed according to any known method
(that of finite elements, of potential) by the existing computer
programs. The second part of calculation (the construction of the
problem solution for creep theory by set of elastic solutions)
has been programmed. The programs in FORTRAN are presented
in the Appendix.

The second part of the book (chapters 8,9) presents a state-
ment of the initial boundary-value problem for the building-up
viscoelastic body and considers the methods of its solution. In
particular, the effective matrix method is presented allowing to
obtain the solution of creep theory problem in the form of ex-
pansion in term of solutions for unrelated elastic body prob-
lems.

It is of interest, when designing structures, to find the opti-
mum form of structural members. The book presents general
theorems reducing the problem of searching fo the optimum
form of solid body made of ageing viscoelastic material to the
similar problem for elastic body, the solution of which can be
obtained by know methods.

The presentation of general calculation methods and optimum
designing has been illustrased by the solutions of the actual
problems.

The book is based on the results of the investigations per-
formed by the authors at the Mechanics Problems’ Institute of
the USSP Academy of Sciences, the Institute of Mechanics of the
AS of Armenian SSP and at the n Energo setproject” Institute
(North-Western Department) of the USSP Ministry of Power.
With this, the most important results are presented obtained
by other researchers referring to the area of the problems under
consideration.

The authors express their gratitute to Professor Vasiliev,
reviewer of the book, for a number of useful observations.
ВВЕДЕНИЕ

При расчетах сооружений часто принимается допущение об идеальной
упругости материала, которое при одноосном напряженно-деформирован-
ном состоянии выражается законом Гука

е = а/Е.

Если напряжение является функцией времени, то деформация в момент
t однозначно определяется значением напряжения <7(t).

Представление об идеальной упругости материала, положенное в основу
классической теории упругости и строительной механики, для многих
материалов достаточно хорошо отвечает опытам при кратковременных на-
гружениях и не очень высоком уровне напряжений. Однако при длитель-
ном действии нагрузки даже относительно невысокого уровня многие ма-
териалы (полимеры, бетоны, древесина, металлы при высоких температу-
рах) , а также основания сооружений обнаруживают способность деформи-
роваться во времени при постоянных напряжениях (ползучесть), или из-
менять уровень напряжений при заданной постоянной деформации (релак-
сация) . Отмеченное свойство приводит к тому, что в конструкциях даже
при постоянных нагрузках происходит изменение во времени деформаций
и (или) напряжений, которое может оказаться весьма существенным. Эти
эффекты не могут быть учтены законом Гука.

Одной из основных задач теории ползучести является построение опре-
деляющих уравнений, которые описывают отмеченные эффекты для раз-
личных материалов с учетом условий, влияющих на деформативные свой-
ства (температуры, влажности, уровня напряжений). Эти уравнения ока-
зываются достаточно сложными, поэтому не менее важная задача — раз-
работка эффективных методов их решения, позволяющих на практике
выполнять расчеты сооружений.

В настоящее время пока нет единой теории ползучести, пригодной для
описания поведения всех материалов. Существует много различных тео-
рий, отличающихся физическим законом, связывающим напряжения а,
деформации € и время t. Поведение большинства материалов наиболее
полно описывается теориями наследственного типа, учитывающим влияние
на напряженно-деформированное состояние в данный момент t всей пред-
шествующей истории нагружения.

Следует также отметить, что в теории ползучести отсутствует пока и
единая терминология. Так, термин-ползучесть употребляется наряду со
словосочетанием вязкоупругость, а тело, обладающее свойством упру-
гости при кратковременном действии нагрузки и ползучести при длитель-
ном, часто называют вязкоупругим.

По терминологии В. Вольтерра, тела, механические свойства которых
не изменяются во времени и поведении, описываются введением в зави-
симость напряжения - деформации линейных интегральных операторов,
называются упругонаследственными, а соответствующая теория - наслед-
ственной теорией упругости. Теорию ползучести стареющих материалов,
свойства которых изменяются во времени, называют обычно теорией
наследственного старения или теорией упругоползучего тела.

Первой работой по теории ползучести стареющих материалов, в част-
ности, бетона, является [60]. Построение математической теории ползу-
чести стареющих материалов дано в [3, 5 ]. Эта теория получила свое
дальнейшее развитие в трудах [1, 21, 27, 71, 76] и др. На деформативные
свойства бетона и других стареющих материалов существенно влияет воз-
раст. Строительство массивных сооружений продолжается длительное вре-
мя, поэтому механические свойства материала в различных точках оказы-
ваются различными.

Этот практически важный вывод был сделан сравнительно недавно,
но сейчас уже доказано, что возрастная неоднородность существенно
влияет на напояженно-деформированное состояние элементов конструк-
ций. В работах [7,8] предложены уравнения состояния теории ползучести
неоднородно стареющих тел, учитывающие старение и возрастную неодно-
родность материала. Достаточно полное изложение этой теории давно в
[Н].

Основы теории ползучести наращиваемых тел, которая учитывает
возникающую в процессе наращивания возрастную неоднородность мате-
риала, заложены в [9]. Дальнейшее развитие эта теория получила в ра-
ботах [11, 14, 15] и др. Однако некоторые результаты, относящиеся к
анализу напряженно-деформированного состояния наращиваемых тел и
стержневых систем, пока не нашли отражения в монографиях.

Основная часть книга посвящена методам расчета неоднородных по
пространственным координатам элементов конструкций, свойства мате-
риала которых описываются линейными соотношениями теории наслед-
ственного старения [5]. Рассмотрены также соотношения квазилиней-
ной теории, учитывающей необратимость части деформации ползучести,
не связанной со старением. При анализе напряженно-деформированного
состояния сплошных тел и армированных стержневых систем наличие
трещин, как правило, не учитывается.

Таким образом, рассмотренные в книге методы непосредственно при-
менимы в основном к решению линейных задач. Однако они могут быть
использованы и при решении нелинейных, процедура решения которых
часто сводится к решению последовательности линейных задач теории пол-
зучести.

Основные уравнения теории ползучести стареющих материалов даны
в главе 1. Подробный вывод этих уравнений имеется, например в [1,
5, 76 ], и здесь не приводится. Авторы не останавливаются на истории раз-
вития теории ползучести, которая освещена в монографиях [1, 5, 14,
15, 18, 28, 49, 62, 71, 73, 76], содержащих также более подробный пере-
чень литературы.
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ПОЛЗУЧЕСТИ

В настоящей главе приведены уравнения состояния линейной
теории ползучести как для однородного, так и для неоднород-
ного тела, свойства материала которого зависят от пространст-
венных координат. Основное внимание уделяется неоднород-
ности специфического характера, обусловленной тем, что старею-
щий материал в различных точках имеет различный возраст.
Рассмотрены также некоторые другие важные для приложений
специальные случаи неоднородности. Исследована структура ядер
ползучести и релаксации, отражающих наиболее характерные
особенности деформирования материалов во времени. Приведены
уравнения, отражающие влияние температуры на свойства ста-
реющих материалов, и соотношения квазилинейной теории, учи-
тывающие частичную необратимость деформации ползучести,
не связанную со старением.

1. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Одноосное напряженное состояние. Связь между напряжения-
ми и деформациями элемента, материал которого обладает свой-
ствами ползучести и старения, в линейной теории наследствен-
ного старения имеет вид:

t

e(t) = a(t)/E(t) + f K(t,т)а(т)йт,	(1-0

TQ

где о - напряжение; € — деформация; E(t) - модуль упругости мгновен-
ной деформации; То - момент приложения напряжений.

Ядро ползучести K(t, т) определяется из соотношения:

K(t,r) =- — 6(t, т); 6(t,r) = 1/Е(т) +C(t,r).	(1-2)

от

Здесь C(t, т) — мера ползучести, представляющая собой деформацию
ползучести к моменту t при нагружении элемента напряжениями единичной
интенсивности в момент т С t; o(t, 7) - полная удельная деформация.

Подробный вывод соотношений (1.1), (1.2) дан в работе [5].
Функции Е(т) и C(t, г) определяются из опытов на ползучесть
при постоянных напряжениях; ядро K(t, т) строится на основе
соотношения (1.2). Обычно при построении ядер используется
некоторая аналитическая аппроксимация функций Е(т) и C(t, т),
так как численное дифференцирование непосредственно опыт-
ных данных может привести к существенным погрешностям.
Аналитическая аппроксимация ядер часто оказывается удобной
также при решении задач (см. п. 3).
Начало отсчета времени в выражении (1.1) может быть выб-
рано произвольно. Часто бывает удобно совместить начало оси t
с моментом изготовления элемента.

Рассмотрим стержень, материал которого обладает различными
деформативными свойствами в различных точках. В общем слу-
чае неоднородности напряжения и деформации связаны соот-
ношением:

t

е(х, t) = о(х, t)/E(x, t) + J К(х, t,т)а(х,r)dr;
то

(1-3)

Рассмотрим специфическую неоднородность, обусловленную
тем, что материал в различных точках стержня различается только
возрастом [7, 8]. Неоднородность подобного типа часто встре-
чается на практике.

Типичным представителем стареющих материалов является
бетон. Возведение массивных бетонных и железобетонных соору-
жений продолжается длительное время. Хотя в различных частях
сооружения обычно используется материал с одинаковыми фи-
зико-механическими характеристиками, но, вследствие того, что
эти характеристики изменяются во времени и моменты изготов-
ления различных частей сооружения сдвинута относительно один
другого, деформативные свойства материала в различных точках
существенно различаются.

Дадим формальное определение неоднородно стареющего тела
применительно к теории ползучести. Пусть т*(х) — момент из-
готовления элемента тела в точке х в шкале времени t, начало
которой выбрано произвольно, и tv — локальное время, отсчи-
.Л.

тываемое от момента изготовления элемента. Неоднородно
стареющим будем называть тело, у всех элементов которого
модули упругомгновенной деформации и меры ползучести в ло-
кальной шкале времени совпадают, т.е.

Переходя к общей для всех элементов шкале времени t и учи-
тывая, что t = t — т (х), получим для неоднородно стареющего
Л.	эк

тела

Е(х, t) =E(t —т (х)), С(х, t,r) = C(t — т.(х),т —т (х)).

•Р	*Р	*Р

Из соотношения (1.4) следует, что зависимость ядра ползу-
чести от координаты х также имеет аналогичную структуру
д

[1/Е(г —т (х)) +С (t-r (х),т-т(х))] =

•I*	v

= K(t — т (х), т - г (х)).

(1.5)

Таким образом, для неоднородно стареющего тела при одно-
осном напряженном состоянии связь между напряжениями и
деформациями имеет вид [8]:

t

е(х, t) =ff(x, t)/E(t -т (х)) + J K(t -т(х),
То

т-т (х))о(х,т)dr.

(1.6)

Для старого материала деформативные свойства стабилизи-
руются и перестают зависеть от времени, т.е. модуль упруго-
мгновенной деформации вырождается в константу Ео, а мера
ползучести — в функцию Со (t — г), зависящую от разности аргу-
ментов и не зависящую от точки тела. Ядро ползучести также ста-
новится функцией t — т и соотношение (1.6) вырождается в урав-
нение состояния теории наследственной упругости для однород-
ного тела, которое записывается в виде:

t

е(х> t) = [а(х, t) + J Q(t-T)ff(x,T)dT]/E0;

то

Q(t - т) = ЕоКо (t -т); Ко (t - т) = -ЭС0 (t - т)/дт. (1-7)

В общем случае неоднородности модуль Ео и ядро Q зависят
от координаты х.

Рассмотрим еще один специальный вид неоднородной среды
[35,41], для которой уравнение состояния

е(х, t) = [1/Ео (х)] [I + Q*(x)]a(x, t),	(1.8)

где оператор Q* представляет собой функцию точки тела и неко-
торого оператора Н* от координаты х, не зависящего:

Q*(x) = Р(х, Н*) = 2 bn(x)H*n .	(1.9)

П = 1

Другими словами, предполагается, что ядро оператора Q*
имеет вид:
ОО

Q(x,t,r)= 2 bn(x)Hn(t,7),	(МО)

причем Hn(t, т) — интерированные ядра, порождаемые ядром
H(t, т), определяемые в соответствии с формулой (4) прил. 1.
Функция Р(х, X) предполагается регулярной в точке X = 0.

Моделью рассматриваемой среды может служить стержень
из однородного материала, обладающего свойствами ползучести
и старения, неоднородно армированный по длине упругими эле-
ментами. Действительно, пусть уравнение состояния основного
материала имеет вид:

Gj(t) =E0(I-H*)€(t),	(UI)

где Н* - оператор релаксации; Ео - модуль упругости, который пола-
гается независящим от времени; О} — напряжение в основном материале.

Учитывая связь между напряжениями и деформациями упру-
гой арматуры

а2 (t) = E2e(t)

и условие совместности деформаций, получим связь между сред-
ними напряжениями и деформациями в точке х стержня

е(х, t) = (1/Ео) [I +Р(х, Н*)]а(х, t);	(1-12)

ОО

Р(х,Н*) =0(х)Н*[1 -0(х)Н*] " 1 = S /Зп(х)Н*п. (1.13)

П = 1

Здесь: O(x, t) = N(x, t)/S(x); S(x) = Si (x) + E2S2(x)/E0; N(x, t) -
осевая сила; S(x) - приведенная площадь сечения стержня; Si(x), S2(x) -
площади сечения основного материала и арматуры; /3(х) = Si(x)/S(x) -
коэффициент армирования.

Соотношение (1.12) является частным случаем соотношения
(1-8).

Для неоднородных сред, ползучесть (релаксация) которых
описывается операторами, имеющими структуру (1.9), разви-
ваются эффективные методы решения граничных задач (см.
гл. 2—4).

Пространственное напряженное состояние. При построении
уравнений состояния для изотропного тела в общем случае прост-

ранственного напряженного состояния обычно предполагается,
что компоненты девиаторов деформаций е • • и объемные дефор-

мации е связаны с

и соответственно со
аналогичными (1.1).

В общем случае
ризующие свойства
координат, получим

компонентами девиаторов напряжений s у

средними напряжениями а зависимостями,
неоднородности, когда функции, характе-
материала, зависят от пространственных
t

eij (х, t) = Sy (х, t)/2G, (х, t) + J Kj (X, t, r)x
xsyCx, r) dr;	T°

(1.14)
e(x, t) - 0(х, t)

а(х, t)

3G2 (x, t)

t

+ ( K2(x, t, t)x
To

x.o(x, t) dr;

(115)

eij eij $ije,e l/$ekk’ sij ffij °’ ° ^^akk’

Здесь x -^хь x2, хз| - точка тела; €•« - тензоры напряжений и де-
формаций; О - вынужденная деформация (температурная, усадоч-
ная и т.д.); Gj(x, t), G2(x, t) — упругомгновенные модули сдвига и объем-
ной деформации; Kj(x, t, т), К2(х, t, 7) - ядра ползучести при сдвиге
и объемной деформации, определяемые из опытов на сдвиг и всесторон-
нее сжатие.

Для неоднородно стареющего тела уравнения состояния при-
нимают вид [7]:

Cjj (х, t) =

sij (х> t)
2СГ(1-ТОО)

t

J Kj(t —т (х),

^F

70

7-7iii(x))sij(x,T)d7;

o(x, t)	1

e(x, t) - 0(x, t) =-------------+ J K2(t —

3G2(t-7 (x)) 70
^F

-r (x), т - т (x)) a(x, t) dr.
^F	^F

(1.16)

(1.17)

Для нестареющего материала, деформативные свойства кото-
рого инварианты относительно начала отсчета времени, соотно-
шения (1.14), (1.15) переходят в уравнения состояния теории
наследственной упругости:

eij (х, t) - ---—[Sy (х, t) + J Qi (x, t - т) x
J	2G10w Al

x Sy (x, t) dr];

e(x, t) - 0(x, t) = ----- [a(x, t) +
3G2 0 (x)

t

+ J Q2 (X, t - r)a(x, r)dr];

To

(118)

(119)
Qi (x, t - r) = 2Gj о (x) Ki (x, t-т);

Qi (x, t -t) = 3G20(x)K2(x, t-т).

В литературе имеются указания о том, что большинство при-
родных и синтетических изотропных нестареющих материалов
при объемной деформации ведут себя упруго, а ползучесть су-
щественно проявляется только при деформации формоизме-
нения. В этом случае интегральным членом в соотношении (1.19)
можно пренебречь.

Определяющие соотношения (1.14), (1.15) часто записывают
в операторной форме:

= (I + Q? (х)) (s„/(2G1), е — 0 = (I + 0?(х)) (а/

/(ЗС2)),

где операторы Qi и Q2 определяются соотношениями:

t

Q *(х) f(х, t) = J Qf (х, t, т) f(х, т) dr;

(1.20)

(1.21)

то

Qi (х, t, т) = 2Gi (х, t)Ki (х, t, т),

Q2 (х, t, т) = 3G2 (х, т) К2 (х, t, г).

Для неоднородно стареющего тела ядра соотношений (1.20)
имеют следующую структуру:

Qi (t -т*(х), т- т*(х)) = 2G1 (т -Т*(х))х

хК2 (t — т.(х),т —т*(х));

(1.22)

Q2 G ~ т (х) , г - т (х)) = 3G2 (т - т (х) ) X

X К2 (t - т (х), 7 - 7 (х)) .

Уравнения состояния могут быть записаны в виде, разрешен-
ном относительно напряжений:

Sij - 2Gj (I - rT(х))еу, о = 3G2 (I - R,*(х)) (е - 0),	(123)

*

где ядра операторов Rr(x) (г = 1, 2) представляют собой резольвенты
ядер <^(х, t, т).
Иногда используется следующая форма записи определяющих
соотношений:

eij = [l/(2G1(x,t)](I + rr(x))sij,

е-0 = [l/(3G2(x, t)] (I + Г* (х))а,

(1.24)

♦ *

где ядра операторов и Г2 определяются выражениями:

Г1 (х, t, т) = 2G1 (х, t) К, (х, t, т);

Г2 (х, t, т) = 3G2 (х, t) К2 (х, t, г).

Для неоднородной среды, операторы ползучести которой
имеют структуру (1.9), т.е. могут быть представлены в виде
функций точки тела и некоторого одного оператора Н*, от коор-
динат не зависящего, уравнения состояния принимают вид:

J	J

е - 0 = [1/3G2о (х)] (I + Р2 (х, Н*))о.

(1.25)

Здесь функции Рх (х, X), Р2 (х, X) предполагаются регуляр-
ными в точке X = 0 для всехл из области, занимаемой телом. Мо-
дули сдвиговой и объемной деформации предполагаются не
зависящими от времени.

Вопрос о возможности записи определяющих соотношений
для неоднородного тела в форме (1.25), которая представляет
существенные преимущества при решении граничных задач, рас-
смотрен в п. 2.

Отметим з^есь, что при определенных допущениях операторы
типа Pr(x, Н ) описывают усредненные реологические свойства
однородной среды, неоднородно по координатам армированной
упругими волокнами. Действительно, предположим, что основной
материал среды изотропен и объемная деформация его упруга.
Тогда свойства основного материала будут описываться одним
оператором Н* (например, оператором релаксации при сдвиге),
а операторы, описывающие свойства армированного материала
(эффективные операторные модули), будут функциями Н*,
зависящими также от степени армирования в точке х.

Если степень армирования в каждой точке одинакова в трех
взаимно ортогональных направлениях, то определяющие соот-
ношения армированной среды имеют вид (1.25). При различной
степени армирования среда будет анизотропной и число операто-
ров, фигурирующих в определяющих соотношениях, в общем
случае будет равно 21. При этом, все операторы будут функция-
ми точки тела и оператора Н*, от координат не зависящего.

Связь между характеристиками материала. Деформативные
свойства материала при сдвиге и объемной деформации в фик-
сированной точке тела характеризуются четырьмя функциями:
модулями упругомгновенной деформации Gi (t), G2 (t) и мера-
ми ползучести при сдвиге и объемной деформации Cj(t, г),
С2 (t, т). Каждая пара функций Gj.(t), Cf(t, т) (г = 1, 2) опре-
деляется из независимых испытании на сдвиг и объемную дефор-
мацию. Ядра ползучести в уравнениях (1.14), (1.15) связаны с
опытными фунциями соотношениями:

(1.26)

1

зс2~(Т +

С2 (t,r)].

Часто удобно описывать деформативные свойства материала с
помощью функций Е (t) и С (t, т), определяемых из опытов на
осевую деформацию, и Vi (t), v2 (t, т), характеризующих упруго-
мгновенную часть поперечной деформации и поперечную дефор-
мацию ползучести. Из четырех функций Е, Glt G2, только
две являются независимыми, так же как независимо могут
вычисляться только две меры ползучести из четырех.

Имеют место следующие соотношения [5]:

G1(t)=E(t)/(2[l+ Mt)]);

G2 (t) = E(t)/(3 [1 — 2i>j (t)]);

Cj (t, r) = 2 [1+ v2 (t, r)]C(t, 7); ]

c2 (t, 7) = [l-2p2(t,7) ]C(t,7). J

При решении прикладных задач теории ползучести стареющих
материалов часто принимают

Pi (t) = р2 (t, т) = v = const.

Тогда

Ql(t,7) =Q2(t,7) =Q(t,7) =-Е(7) --- [ —- +

Э7 Е(7)

+ C(t,7)]

(1-28)
и уравнения состояния можно записать в виде одного соотноше-
ния

eij о “ Sij0(x’ О = (I + Q*(x)) { (1 + v) х

хQjj (х, t)/E(x, t) - Sjjv akk(x, t)/E(x, t)} .	U-29)

Аналогичное уравнение, которое соответствует определяющим
соотношениям в форме (1.24), имеет вид:

е^(х, t) - 8м0(х, t) = [1/Е(х, t)] (I + Г*(х)) х

х {(1 + у)0ц (х, t) - 5у^кк(х, t) |,	(t3°)

где

r(t, т) = - E(t) [ -1- + с(t, т) ].

от Е(т)

2.0 ЯДРАХ ПОЛЗУЧЕСТИ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ .

При решении задач теории ползучести часто полезно распо-
лагать аналитическими выражениями для ядер ползучести и
модулей упругомгновенной деформации по следующим причи-
нам.

При использовании полученных из опытов характеристик мате-
риала, записанных в табличной форме, необходимы достаточно
подробные таблицы, для получения которых требуется прове-
дение большого количества опытов с образцами различного воз-
раста. Параметры аналитических выражений для ядер и модулей
могут быть получены на основе значительно меньшего числа ис-
пытаний. Кроме того, аналитическая аппроксимация ядер и
модулей функциями специального вида (достаточно хорошо вос-
производящими важнейшие свойства стареющих материалов)
позволяет развить для решения задач специальные эффектив-
ные методы.

Сформулируем основные условия, которым должны удов-
летворять функции, описывающие деформативные свойства
стареющих материалов, и введем специальный класс операторов
ползучести [12]. Операторы этого класса хорошо отвечают опыт-
ным данным, позволяют получить решение основного уравне-
ния теории ползучести в квадратурах и построить эффективные
методы решения граничных задач для неоднородно стареющих
тел.

Основные требования к аналитическим выражениям для
ядер ползучести и модулей упругомгновенной деформации.
Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять функции,
описывающие деформативные свойства материала при одноос-
ном напряженном состоянии. Условия, налагаемые на характе-
ристики материала при сдвиге и объемной деформации, аналогич-
ны.

Будем исходить из закона ползучести (1.1), который запишем
в виде:

E(t)e(t)= La(t) = (I + r*)o(t);

t

r*o(t) = f Г (t, т) a (t) dr;

To

r(t,r) =-E(t) --- 8(t, 7) =E(t)K(t,r);
от

5(t,r) = 1/E(r) + C(t, 7).

(1.31)

(1.32)

Обычно аналитическими выражениями аппроксимируются не-
посредственно получаемые из опытов функции E(t) и C(t, т),
выбор которых в силу соотношения (1.32) эквивалентен выбору
ядра Г (t, т). Из общих физических соображений и многочислен-
ных опытов следует, что функции Е и С должны обладать следую-
щими свойствами.

Модуль упругомгновенной деформации Е(т) — неотрицатель-
ная, выпуклая вверх функция, стремящаяся к конечному преде-
лу при т + °°. Мера ползучести C(t, т) — ограниченная неотри-
цательная функция, возрастающая и выпуклая вверх по первому
аргументу.

Для описания характера старения удобно рассматривать функ-
цию Cv(v, г) = С(т + v,r), v = t — т, которая является убываю-
щей, выпуклой вниз функцией аргумента т. Ее предельное значе-
ние ^(т) = limCv (v, 7) при v * 00 существенно зависит от возраста
7. При больших значениях 7функция<р(7) стремится к конечно-
му пределу.

Для старого материала мера ползучести C(t, 7) должна сколь
угодно мало отличаться от функции Со (t — 7), зависящей от
разности аргументов.

Таким образом, должны выполняться следующие условия:

Е(т) >0; Е'(т) >0; Е"(т) СО;

С(т,т) =0; C(t,r) >0при t> т;

dC(t,r)/9t>0; 92C(t,T)/9t2 < 0;

(1.33)

(1.34)

(1.35)

9CV (v, т) /Эт < 0; 92 Cv (v, т) /Эт2 > 0.
Предельные значения рассматриваемых функций при т или
у-> 00;

Е(оо) = Ео, Cv (v, 00) = Со (t - 7), Cv (00, т) = ^(Т).	(1.36)

Установим еще одно условие, которому должно удовлетво-
рять ядро ползучести. Рассмотрим функцию

F(t,Ti,T2) =6(t,T!)	<т2,

(1.37)

представляющую собой разность между кривыми удель-
ной деформации образцов, загруженных в возраста тх и т2. Из
опытов следует, что функция (1.37) убывает с ростом t, поэ-
тому

<о.

3t

э

При т2 * ri отношение---F(t, Tj, т2)/(т2 — Ti) стремится

dt

к пределу Э [Г (t, Tj)/E(t) ] 3t. Из (1.38) следует, что указанный
предел не может быть положительным. Таким образом, должно
выполняться условие:

[T(t, r)/E(t) ] <0,
о t

(139)

причем, знак равенства будет только при t > °°.

Необходимость выполнения ограничения, аналогичного (1.39),
отмечалась в работе [1].

Опыты показывают, что при сообщении образцу постоянной
деформации е(т0) = const (т0 — момент приложения деформа-
ции) напряжения уменьшаются во времени (релаксируют),
но для любых конечных значений времени остаются положитель-
ными. Таким образом, на ядро ползучести должны быть наложе-
ны определенные ограничения, гарантирующие положительность
решения уравнения (1.31) при e(t) = е(т0), t < °°; можно по-
казать [12], что для этого достаточно выполнить условия (1.39).

Аналитические выражения, предложенные большинством
исследователей для аппроксимации меры ползучести стареющих
материалов, могут быть представлены в виде:

п

C(t, т) = S Ak(t)Bk(r).	(1.40)

к = 0

Ядро уравнения (1.31), порождаемое мерой ползучести вида
(1.40), оказывается вырожденным, что позволяет привести
интегральное уравнение к дифференциальному [76]. Решение
последнего относительно напряжений в некоторых случаях мож-
но получить в квадратурах.

Одно из простейших выражений для меры ползучести имеет
вид [5]

C(t,r) =^(r)f(t -т),
где

^(т)=С0 + s Ак/тк,
к = 1

ИЛИ

m

^(т)=С0+ S Акехр(-дкт),

к = 1

а функция f (t — т) обычно принимается в виде

f (t - т) = S вкехр [^yk(t - г) ].

к = 1

В частности,

C(t, т) = <р(т) {1 - ехр [-7(t - т)]).

(1-41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

(1.45)

Важным достоинством меры ползучести С (t, т) в форме (1.45)
является возможность решения уравнения (1.31) в квадратурах
[6]:

a(t) = E(t)e(t) - J G(t,T)E(r)e(T)dr;

то

Id	п (т)

G(t» т)	- -— [Е(т) -7V>(t)E2 (т)е к

Е(т) от

(1.46)

*e^(z)dz],

(1.47)

где

т

П(т) = J [7(1 +v>(z)E(z)) —E'(z)/E(z)]dz.	(1-48)

То
При Е (г) = Ео = const и е (t) = е0 = const решение выражается
через табулированную неполную гамма-функцию [5].

Опыты показывают, что в момент приложения нагрузки ско-
рость деформации ползучести бывает настолько большой, что ее
измерение затруднительно. Если определять скорость деформа-
ции, пользуясь рассмотренными ранее выражениями для С (t, г),
то она при t, близком к г, окажется меньше действительной.

Соотношения (1.41)—(1.45) для меры ползучести предсказы-
вают конечную скорость деформирования в момент приложения
нагрузки как в молодом, так и в старом возрасте материала.
Иначе говоря, кривые ползучести, построенные по этим форму-
лам, поднимаются более вяло, чем это наблюдается в опытах.
Это обстоятельство может привести к погрешностям, если с
помощью рассмотренных ядер описываются процессы деформи-
рования при быстро изменяющихся нагрузках, а также при изуче-
нии колебаний и других динамических воздействий.

Поэтому для описания процесса деформирования стареющих
материалов аналитические выражения меры ползучести желатель-
но строить на основе слабосингулярных функций. В этом случае
касательная ЭС (t, т) /dt в точке t = т вертикальна, т.е. линия уп-
ругого деформирования переходит в кривую ползучести без
излома, который физически не оправдан.

Подобные выражения для меры ползучести стареющих мате-
риалов построены в работах [93,35], при этом мера имеет струк-
туру (1.41), где функция f (t — т) принята в виде:

P(t-r)

f(t — т) = [1/Г (а + 1) ] J ехр(—u)uadu,	(1-49)

о

или

t - т

f(t-r) = J Э (—0, u)du.	(1.50)

О

Здесь - функция Ю.Н. Работнова [74,73 ]; р > 0, (3 > 0, a Q (0,1) -
параметры, подбираемые по опытным данным.

Ядра, построенные на основе (1.41), (1,49) и (1.41), (1.50)
будут слабосингулярными и для старого материала вырождаются
в хорошо исследованные ядра А.Р. Ржаницына и Ю.Н. Работнова
[76, 73]. Однако для этих слабосингулярных ядер, описывающих
ползучесть стареющих материалов, не удается получить обраще-
ние уравнения (1.31) в квадратурах. Численное же решение урав-
нения ползучести со слабосингулярным ядром встречает опреде-
ленные математические трудности.

Некоторым недостатком рассмотренных выше выражений
для меры ползучести является также предсказываемое ими
аффинное подобие кривых ползучести, что нс всегда подтвер-
ждается опытами. Далее будет приведен общий метод построе-
ния ядер (в том числе слабосингулярных), хорошо отвечающих
опытным данным и допускающих решение уравнения (1.31)
в квадратурах.

Класс обратимых ядер. Пусть Q(t, т) и B(t, 7) — ядра, резоль-
венты которых известны. При этом ядро Q(t, т) полагаем регу-
лярным, а ядро B(t, 7) дожет быть слабосингулярным при t =
= г. Представим оператор Lb (1.31) в одной из следующих форм:

L=t, = (I + Q*) (I + В*), I=I2 = (I + B*)(I + Q*).	(1-51)

Операторам (1.51) соответствуют следующие ядра:
t

Г1 (t, т) = Q(t, т) + B(t, 7) + J Q(t, z)B(z, 7)dz;	(152)

7

t

r2 (t, т) = Q(t, т) + В(t, r) + J В(t, z) Q (z, r) dz.	(153)

7

Решение уравнения (1.31) с ядрами Г (t, 7) (г = 1, 2) будет
иметь вид:	г

t

6(t) = E(t)e(t) - J Sr(t,T)E(T)e(T)dr.	(1-54)

To

Здесь:
t

Si (t, 7) = R(t,7) + G(t, 7) - f R(t, z)G(z, 7)dz;	(1-55)

7

t

S2 (t, 7) = R(t, 7) + G(t, 7) - J G(t, z)R(z, 7)dz;

7

(1.56)

G(t, 7), R(t, 7) - резольвенты ядер Q(t, 7) и B(t, 7) соответственно.

Выражения (1.55), (1.56) следуют из операторных соотноше-
ний

[ (I + Q*) (I + В*) ] -1 = (I - R*) (I - G*);
[(I + В*) (I + Q*)]”1 = (I - G*) (I - R#).
Приведенные соотношения дают общий метод для построения
ядер ползучести, резольвенты которых могут быть получены с
помощью квадратуры (1.55) или (1.56). При этом, необходимо
учитывать, что условия (1.33) — (1.36) налагают определенные
ограничения на структуру ядер Q(t, т) и B(t, т). Эти ограниче-
ния удобно представить в виде условий, налагаемых на интег-
рал:

t

V(t,r) = J r(t,z)dz,	(1-57)

7

который в силу (1.31) связан с мерой ползучести соотноше-
нием:

V(t, т) = E(t)C(t, т) + E(t)/E(r) - 1.	(1.58)

Из (1.33) - (1.36) и (1.58) следует, что функция V(t, т)
должна удовлетворять условиям:

V(t, т) >0, если t >т, dV(t,r)pt>0, dV°(v, т)/дт < 0,

Э2V° (v, т)/Э72 >0, v, т G (0, °°),
где

(1.59)

V° (V, 7) = V(v + 7, 7) , V = t — 7.

При 7 •> ©° функция V0 должна вырождаться в функцию, за-
висящую от разности аргументов, а при v * 00 — в функцию
^(т), зависящую от возраста 7, стремящуюся к конечному пре-
делу при 7*°°.

Таким образом, необходимо

V°(v, °°) =D0(t-7); V0 (°°, 7) = <р(т) < °°,	(1.60)

при этом

^(г)<0,	(т) > 0

(1.61)

ивсилу (1.58) Do (t - 7) =Е0С0 (t -7).

Конкретные ядра. Рассмотрим некоторые конкретные типы
ядер Q(t, 7) и B(t, 7). Пусть Q = Q(t), В = B(t — т), причем
B(t — 7) — положительное ядро, удовлетворяющее необходимым
ограничениям теории наследственной упругости [73]; функция
Q(t) удовлетворяет условиям:

Q(r) > 0, Q'(T) <0,Q"(t) >0прит€ [О,*»],	(1.62)
ОО

J Q(z)dz = ^(r) <°°.
т

Учитывая (1.52) и (1.53), получим:
t

Г1О,т) = Q(r) +B(t-т) + J Q(z)B(z — r)dz,
т
t

r2(t,r) = Q(r) + B(t — t) + Q(t) J B(t — z)dz.
т

(1-64)

(1.65)

Нетрудно проверить, что для ядер (1.64) и (1.65) условия
(1.59) выполняются.

Предельное значения функций V?.(v, т):
v	г

V^(v, °°) = / B(z)dz = D0(t — т), г= 1,2;

о

V? (°°, г) = ф (т) + J Do (z)Q(z + r)dz + Do (°°) =

= ^1 (Т) <oo,

0

(1.66)

V®(“,T) =D0(eo) [1 +^(t)] + ф(т) =</>2(0 <°°.

Как следует из (1.66),	(т) < 0, ^'z (т) > 0.

Таким образом, ядра (1.64) и (1.65) удовлетворяют всем
необходимым ограничениям. Резольвента ядра Q(r) имеет вид:

t

G(t, т) = Q (т)ехр(- J Q(z) dz).	С1-67)

7

Ядро B(t — т) удобно принять в форме, предложенной
А.Р. Ржаницыным [76]

B(t —т) = xexp[-p(t - г)] (t-т)р “ 1/Г(р),

(1.68)

Х>0; р>0;	(0,1).

Резольвента ядра (1.68) выражается через табулированную

□^функцию Ю.Н. Работнова [73]

R(t - т) = хехр [~р (t - т)]Эа(-х, t-r),a = p- l. (1-69)

Принимая функцию Q(t) в виде суммы затухающих экспо-
нент, получим для ядер (1.64) и (1.65) и соответствующих ин-
тегралов следующие выражения:
Рис. 1.1. Пример аппроксимации опытных данных

гг (t, т) = Е Хке ДкТ + хехр [-Р(t - г) ] (t - т) v 1/
/Г (р) + S (xXke"MkT/f Jk) Р [р, frk (t - т) ];

flk=p+^k; hk=fi’ xk>0’Jxk>0-

(1.70)

V (t.r) = S——— (e	— e Mk;t) + ---P[p, p(t-r)] -

k ^k	₽

-----------

к Pk^rk — ^k)P

e Mktp [v, (frk - дк) (t - т) ]

X^k

+ s------

к Pk^rk

-PkT

р[р»?тк(г — T)]’

(1.71)

где

P(v, Г) = ~ / e~zzv~ 1

Г(р) о

dz —

неполная гамма-функция.

Предельные значения функций (1.71):

24
Резольвенты ядер (1.70) определяются выражениями (1.55)
и (1.56) с учетом (1.67) и (1.69).

Более общие ядра Tr(t, г) построены в работе [12] на осно-
ве ядра Q(t, т), порождаемого мерой ползучести вида (1.45).

Приведем пример аппроксимации опытных данных. На
рис. 1.1 сплошными линиями показаны кривые V(t, т), описы-
вающие ползучесть бетона по данным Росса [1], штриховыми —
теоретические кривые, найденные по формуле (1.71) при г = 1
и следующих значениях параметров: х = 0,194 сут-р; р =
= 0,288 сут”1; Xi = 0,0231 сут"1; pi = 0,0252 сут"1; Х2 =
= 0,00591 сут”1; д2 = 0,121 сут” 1; v = 0,3.

Как видно, аппроксимирующие кривые вполне удовлетво-
рительно отвечают опытным данным.

3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
НА ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ ТЕЛ

Деформативные свойства вязкоупругих материалов сущест-
венно зависят от воздействий температуры, влажности, облу-
чения и т.д. Опыты показывают, что повышение температуры
значительно увеличивает скорость ползучести нестареющих мате-
риалов. Влияние температуры на ползучесть стареющих материа-
лов более сложно. Если материал нагружается в достаточно зре-
лом возрасте, то повышение температуры также увеличивает
скорость ползучести; при нагружении молодого материала де-
формации ползучести могут оказаться ниже деформаций мате-
риала, нагруженного в том же возрасте при нормальной темпе-
ратуре [25]. Это можно объяснить ускорением старения мате-
риала, которое сдерживает деформации ползучести. Из опытов
следует также, что на величину деформации ползучести влияет
изменение температуры как до, так и после приложения нагруз-
ки.

Следуя работе [13], сформулируем уравнения состояния, учи-
тывающие влияние температуры, для специального класса опе-
раторов ползучести, введенного в п. 2.

Одноосное напряженное состояние. Запишем уравнение состоя-
ния без учета влияния температуры:

E(t)e(t) =b(t) = (I + Q*)(I + B*)c(t) = (I + r*)o(t),

(1.73)

что соответствует представлению оператора ползучести в форме
первого из соотношений (1.51).
Положим:

Q(t,r) = E(t) [Qo (r) - A'(r)]; A(t) = 1/E(r);
B(t, t) = B(t -r).

(1.74)

Таким образом, оператор В* отражает инвариантные во време-
ни наследственные свойства материала, а оператор Q* учитывает
изменение как упругих, так и наследственных свойств, т.е. старе-
ние.

Как следует из (1.73) и (1.74), ядро оператора Г* имеет струк-
туру:

t

T(t,r) =E(t)D(r) + B(t — т) + J E(t)D(z)B(z — r)dz;

D(r) = Qo (r)- A'(r).

T

(1-75)

Влияние температуры на деформативные свойства нестарею-
щих материалов обычно учитывается преобразованием масшта-
ба времени [76], т.е. уравнение состояния для нестареющего
материала, учитывающее влияние температуры, принимается в
виде:

t

Eoe(t) = o(t) + J В (g(t) - Кт) ] V(т)о(т)dr;	(1.76)

То
т

«Г ) = J b[i>(z)]dz; b(^o) =1,	(1.77)

о

где W) - переменная во времени температура; b - неотрицательная
функция температуры, подбираемая из условия наилучшей аппрокси-
мации кривых ползучести при различных температурах; ify - так назы-
ваемая температура приведения.

Влияние температуры на ускорение ползучести стареющего
материала также будем учитывать преобразованием £(т). Влия-
ние ip на интенсивность старения учтем с помощью преобразова-
ния ?7 (т) [отличного от £(т) ]:

т

т?(т) = J a[i?(z)]dz, a(zpo) = 1.	(1.78)

о

Таким образом, уравнение состояния стареющего материала,
отражающее влияние температуры p(t), принимаем в виде:

м0 е (0 = [I + Г*] a (t) = (1 + Qp (I + вр a (t).	(1 -79)

Здесь:

Er(t) = E [17 (t) ];
Q/t,r) =Er(t) D₽(t);

Dr(r) =Qo[t?(t)] - A*[n(r)]n'(r); •

Bj/t.7) =BU(t) 4(7)1 Г(r);

t

r^(t,7) =Q^(t,7) +B^(t, t) + J Q^t, z)BJ)k(z> r)dz.

7

Отметим, что для старого материала Е(т) * Ео, Qo(t) * 0 и
зависимость (1.79) вырождается в соотношение (1.76).

Покажем, что предлагаемый способ учета влияния температу-
ры на деформативные свойства материала принципиально не
усложняет задачи обращения уравнения ползучести.

Из соотношений (1.55), (1.79) и (1.80) следует, что резоль-
вента S^(t, т) ядра T^(t, г) имеет вид:

t

S^(t, 7) = R,(t, т) + G/t, т) - J R^(t, z)Gr(z, 7)dz,	(1.81)

7

где Rp, Gp,~ резольвенты ядер

Нетрудно показать, что
t

G,/1’ О =Е^(0 0^(7) exp(- j E^(z) D^(z) dz);

7

Rr(t,7) =RU(t) -4(7)и(7).	(L82)

Так как функции R(t — 7) предполагается известной в анали-
тической форме, построение резольвенты приводится к квадра-
туре.

Решение уравнения (1.79)
t

<Ф) =E/t)e(t) - J S^(t,7)Ey(7)e(7)d7.	(1.83)

То

Как показано в п. 2 опытным данным хорошо отвечают слабо-
сингулярные ядра ползучести вида (1.70). К аналогичному виду
можно привести ядро (1.75). Положим,

1	1	—До	1

A(t) =---ф (t) = — (1+ Хе М° );

Ео Ео

(1.84)

1 п

Qo (7) =-------S

Во k = 1

0, дк>0.

(1.85)
Ядро B(t - т) принимаем в виде (1.68). Тогда ядро (1.75)
будет иметь вид:

г(t, т) = —1 2 хк е~ДкТ + хе-р (t “ т) (t - т) v ~
ф(1) [к=0

X -МкГ

/г«+ £	1—-P[,,(pt„k(t-r)] ,	)

U (р + дк)

где Хо=ХЦо-

Интеграл от ядра (1.86) определяется выражением

п

-Дкг -Mkt
— е

^(О(к = о рк

Z--------е

к=0 дкрр

-Pkt

Pk,p(t-r)] +

к-0дк(р +дк)р

е дктР [р, (р + дк) (t - т) ] у+

у

+ ---P[p,p(t-r)].	(1.87)

р

Предельные значения функции (1.87) при t * °° определяются
выражением (1.72).

Рассмотрим специальный температурный режим. Пусть до
момента т0 температура равна температуре приведения <я0, а после
т0 принимает значение . Тогда при т > т0 будем иметь:

fl О’) =то(1 -ej +

at = a(*i);

£(т) =т0(1 -ЬО +biT;

bi =b(*)

(1.88)

и функции, определяющие ядро ползучести, принимают вид:

Ф [и (О ] = 1 + Х^ехр (-Mpot);

-А'[17(7)] =ХЛ,ехр(-д₽от)/Е0;
п

Qoh(r)]= S Xffkexp(-Mj)lk7)/Eo;
k = X

(1.89)
Рйс. 1.2. Теоретические кривые ползучести молодого бе-
тона при различных температурах

250	300	350	*<00	Ъ50 t,TOtcym

Рйс. 1.3. Теоретические кривые ползучести зрелого бетона при
различных температурах

В, (t - т) » (Ху/Г (p))(t - т) v ^exp [-pp(t - т) ].

Здесь

Хгя = Хехр[-дото(1 _Д1) ]; Pvk=aiPk;

V*Ao; Xvk = xkexPbVo (!-«!>] (k=l,...,n);

Xj>=xbi; pw.=pbi.	(L90)
Таким образом, для вычисления ядра T^(t, т) и интеграла от
него при рассматриваемом температурном режиме можно вос-
пользоваться выражениями (1.86) и (1.87), заменив в них пара-
метры Хк, дк, х, Р параметрами Хук> р*к, х₽, р&.

Числовой пример. На рис. 1.2 и 1.3 приведены кривые пол-
зучести C^(t,T0) при скачкообразном изменении температуры в
момент нагружения т0. Функция связана с интегралом от
ядра соотношением:

C^(t,r) = [l-Efo^/EfottH + V (t, т]/Еh(t)].

Принятые параметры модуля упругомгновенной деформации
и ядра: Ео = 47 300 МПа; х = 0,3; д0 = 0,06 сутм ; х “
= 0,0984 сут“р; р = 0,03 сут-1; Xi = 0,0231 сут”1; -
= 0,0252 сут-1; Х2 =0,0059 сут"1; р2 = 0,121 сут"1; v = 0,3.

Кривые 1 построены при значениях параметров = 1, bi =
= 1, т.е. этим кривым соответствует нормальная температура на
всем рассматриваемом интервале времени. Кривым 2 отвечают
параметры а* = 2, bi = 10, кривым 3 — параметры = 0,5, bi =
= 0,15. Таким образом, кривым 2 соответствует повышение
температуры после приложения нагрузки, а кривым 3 — пониже-
ние.

Как видно из графиков, при повышении температуры мате-
риала, нагруженного в молодом возрасте (см. рис. 1.2, т0 =
= 8 сут), ползучесть ускоряется на относительно небольшом ин-
тервале времени. В дальнейшем скорость ползучести резко умень-
шается из-за существенного ускорения старения материала, и де-
формации ползучести отстают от деформаций при нормальной
температуре.

При понижении температуры решающее влияние на скорость
деформации ползучести оказывает замедление процесса старе-
ния, поэтому через относительно небольшой промежуток време-
ни деформации ползучести становятся намного больше дефор-
маций при нормальной температуре.

Для старого материала (см. рис. 1.3) повышение температуры
приводит к увеличению деформаций ползучести, понижение —
к уменьшению. Все кривые стремятся к одному пределу, что
следует из принятого допущения, что старый материал является
термореологически простым.

Изменение температуры относительно слабо влияет на ползу-
честь при нагружении в среднем возрасте (см. рис. 1.2, т0 =
= 60 сут). Приведенные результаты качественно отвечают резуль-
татам опытов [25].

Пространственное напряженное состояние. Обобщим зависи-
мость (1.79) на случай пространственного напряженного состоя-
ния для неоднородно стареющего тела. Пусть Г\ (t, т) и Г2 (t, т) —
ядра сдвиговой и объемной ползучести, сконструированные на
основе функций Qro(т), Gf (т), (t - т) (г = 1,2) по аналогии
с ядром (1.25). Тогда физические уравнения, аналогичные по
форме уравнениям (1.24), но учитывающие влияние темпера-
туры, принимают вид:

e-j = (l/2Gj h(x,t -7*(x)]) [I + r;I(x)]sli;	(1-91)

**	Jr

e - 0 = (1/3G2 [77 (x, t - 7* (x) ]) [I + Г₽2 (x) ] a.

Здесь ядра операторов Г*г определяются выражением:

rw(x, t, т) = Q [х, t - 7(х), т - т (х) ] +

*9*

t - 7 (х)
♦

+ В [х, t-T(х),7-7 (х)] + S Q [x,t-

т - тМ
*

- т (х), z] В [х, Г, 7- 7 (х) ] dz.

Р	Эр

(1.92)

(1.93)

Функции Qw и имеют структуру, аналогичную (1.80):

Qw(x, t, т) = G^.(x, t)Djh.(x, т);

Gw(x’1) = Grfo(x,t)];

Dpr (x, r) = Qro [17 (x, t) ] -A; [t? (x, t) ] t?' (x, 7);

Byr(x,t,7) =Br[$(X,t) -$(x,7m'(x,7),

(1.94)

где

т	T

^(X. 7) = J a [p(x, z)dz; $(x, 7) = J b [<7(x, z) ]dz;

0	0

rf (x, 7) = —— 71 (x, 7) = a >(x, 7) ];	(1.95)

or

5 (x, т) = b [^(x, r) ]; A (r) = 1/G (r);
r

1Я(х, r) - температура, в общем случае зависящая от точки тела.
Если материал во всех точках тела одного возраста, то в вы-
ражениях (1.91) - (1.93) следует положить г* (х) = 0, что соот-
ветствует совмещению начала отсчета времени с моментом -го-
тов ления элемента. Таким образом, уравнения состояния учи-
тывающие влияние температуры для тела, возраст материала ко-
торого зависит от пространственных координат, могут быть по-
лучены из соответствующих уравнений для однородного тела с
одинаковым возрастом материала во всех точках (учитываю-
щих только влияние неоднородного температурного поля)
формальной заменой аргументов t, т аргументами t — т (х),
т — т*(х) в выражениях для ядер и модулей упругомгновенной
деформации. В общем случае неоднородности, когда материал
в различных точках тела различается деформативными свойст-
вами, уравнения, учитывающие влияние температуры, строятся
аналогично.

Следует отметить, что сформулированные здесь уравнения
термоползучести не учитывают некоторых эффектов, наблю-
даемых в опытах: повышение предельной деформации ползу-
чести старого материала при повышении температуры; необра-
тимость части деформации, если при нагружении старого мате-
риала температура была выше, чем после разгрузки. Предска-
зываемое уравнениями ускорение ползучести при скачкооб-
разном увеличении температуры немного меньше наблюдаемого
в опытах, особенно при повышении температуры после длитель-
ной предварительной деформации, когда кривые ползучести близ-
ки к предельным значениям.

Перечисленные эффекты, а также некоторые другие учитывает
теория, развитая в работах [46, 47]. Несколько иной подход
влияния температуры предложен в работе [26].

4. КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

Соотношение (1.1) основано на принципе наложения воздей-
ствий, который предполагает, что деформации ползучести к
моменту t при переменных напряжениях на интервале [т0, t] мо-
гут быть получены в результате суммирования (интегрирования)
элементарных приращений деформаций de(t, т) =K(t —т, т)х
хсг(т)с1т, каждое из которых зависит только от напряжений в
момент т, но не зависит от напряжений в предшествующие момен-
ты времени. Опыты [26,27] показывают, что для реальных мате-
риалов как стареющих, так и нестареющих принцип наложения
выполняется приближенно. Отступление от него проявляется,
в частности, в том, что остаточные деформации ползучести после
разгрузки оказываются несколько больше деформаций, предска-
зываемых линейной теорией. Особенно заметно это при нагруже-
нии и разгрузке материалов типа бетона в зрелом возрасте, где
линейная теория дает полную обратимость деформации ползу-
чести, а в опытах отмечается остаточная деформация, состав-
ляющая до 30% деформации ползучести, достигнутой к моменту
разгрузки. Это несоответствие теории и эксперимента имеется
уже в области невысоких напряжений (а < 0,5R), где при ак-
тивном нагружении деформации ползучести практически линейно
зав исят от нагрузки.

Указанные эффекты частично учитывает ’’двухкомпонентная”
теория ползучести [26, 27], основное уравнение которой для
сл^ая неотрицательных напряжений имеет вид:

e(t) = et (t) + е2 (t) + е3 (t) = о(t)/Е(t) +

1	am(t)

+ / [А'(0 + Ko (t, r) ] a(r)dr + J CH[tff(x,t)]dx;

To	0

(1.96)

’Ko (t,т) = -Э/ЭтСо (t°,т); А(т) = 1/E(t).

Здесь Om(t) - максимальное напряжение на интервале [О, t] ; t^Cx, t) -
сумма подинтервалов из [0, t], на которых o(t) ^х.

Соотношение (1.96) построено на основе разделения необра-
тимой деформации на два типа: деформации второго рода, обус-
ловленной старением материала (для которой принцип наложе-
ния справедлив), учитываемой частичной необратимостью де-
формации €2 (t); полностью необратимой деформации первого
рода ез (t), не подчиняющейся принципу наложения воздействий.
Слагаемое е3 принято в форме, предложенной П.И. Васильевым
[21]. Функцию CH(tQ) можно получить из опытов на ползучесть
образцов в зрелом возрасте.

Рассмотрим следующий режим нагружения:

с(т) = 1, 7 G [70,71 ] ,

0(7) =0, 7 > 7] .

(1.97)

Тогда om = 1, t = 7i — 70 и из (1.97) найдем деформацию пол-
зучести

^(*,7, ~Т°) =C0(t -7) — Со (t — 7i) +CH(tQ).

При t + 00 получим

еп(°°’гб) Сн(*а)-

(1.98)

Таким образом, функция CH(tQ) равна остаточной деформа-
ции образца состарившегося материала, выдержанного при напря-
жениях а=1, время tQ.
После определения СH(t_) легко из опытов на простую ползу-
честь найти функцию Со (t, т). Из (1.96) будем иметь

Co(t,T) =C(t, т) -CH(t,T),	(1.99)

где C(t, т) - измеренная полная деформация ползучести образца к момен-
ту t, нагруженного в момент т напряжениями о = 1.

Обобщение закона (1.96) на случай знакопеременных напряже-
ний можно принять в виде:

t

е (t) = LHa (t) = a (t) /Е (t) + J [А* (т) + Ko (t, т) ] о (т) dr +

т0

ат<‘>	о

+ f CH[ta(x,t)]dx- f CH[tc(x, t)]dx,	(1.100)

0	апГ<0

где о + и О — максимальное и минимальное (отрицательное) напряжение
m m

на интервале [0, t ].

Соотношение (1.100) основано на допущении, что вклад
напряжений различных знаков в необратимую деформацию пол-
зучести первого рода взаимно независим и функция CH(tQ) не
зависит от знака напряжений.	~

Отметим некоторые свойства оператора LH в (1.100). Опе-
ратор LH не является линейным, так как не обладает свойством
аддитивности:*

LH= (oi +а2) +LHa2.

Покажем что LH является однородным оператором первой
степени, т.е.

ЦДХо) =XLHo, Х = const.	(1.101)

Пусть s (t) = Хо (t). Тогда
t

LHs(t) = Xa(t)/E(t) +Х S [А'(т) + Ко(t,r)]xо(т)dr +
sm(t)	Т°о	(1.102)

+ J С [t (x,t)]dx- J C [t (x, t)dx.
no	no

0	s™(t)

Учитывая, что ts(x, t) =	t), s* = Xa +, S" = Xo"

и положив в двух последних интегралах х = Xz, получим соот-
ношение (1.101). В связи с указанными свойствами оператора
теория ползучести, основанная на соотношении (1.96), или
более общем (1.100), названа здесь квазилинейной. Отметим,
что в литературе закон (1.96) иногда называют линейным, не
подчинающимся принципу суперпозиции.

Обобщение зависимости (1.100) для случая пространствен-
ного напряженного состояния при допущении, что поперечная
деформация идеально упруга, имеет вид:

; (х, t) - 0^ (х, t) = LH {(1 + v) (х, t) -	t)| .

j	j	(1.103)

В гл. 2 будет показано, что решение граничной задачи теории
ползучести для тела, подчиняющегося закону (1.103), при одно-
параметрическом нагружении [все внешние воздействия пропор-
циональны одной функции (времени) ] выражается через реше-
ние задачи для упругого тела.

ГЛАВА 2. ПРИНЦИПЫ СООТВЕТСТВИЯ В ЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

В линейной теории ползучести значительную роль играют так
называемые принципы соответствия, устанавливающие связь
между граничной задачей теории ползучести и некоторой задачей
для упругого тела. Значение принципов соответствия состоит
не только в том, что они дают возможность конструктивно по-
строить решение широкого класса задач теории ползучести, но
и в том, что некоторые общие результаты, например теоремы
взаимности и т.д., являются прямым следствием этих принци-
пов.

Ниже приведены основные принципы соответствия для линей-
ных задач теории ползучести как нестареющих, так и старею-
щих материалов.

1. ОДНОРОДНОЕ ТЕЛО

Принципы соответствия можно условно разделить на две груп-
пы. Первая — это принципы, реализация которых сводится к вы-
числению функций интегральных операторов. К этой группе мож-
но отнести принципы, основанные на интегральных преобразова-
ниях, которые являются другой формой операторных принци-
пов. Вторая — это принципы соответствия, на основе которых ре-
шение задачи теории ползучести приводится к преобразованию
решения упругомгновенной задачи оператором ползучести или
оператором релаксации, который строится сравнительно просто.
Области применения принципов этих двух групп пересекаются
лишь частично.

Хотя исторически первым был сформулирован операторный
принцип, носящий имя Вольтерра [73, 102], начнем изложение с
принципов второй группы как более обозримых и простых при
фактической реализации. Предварительно запишем уравнения
граничной задачи.

Формулировка граничной задачи. Система уравнений граничной
задачи для изотропного тела включает:

уравнения Коши

2eij (х, О = % j (х, t) + Uj, /X, t),	(2.1)

уравнения равновесия

aij>j(x,t)+fi(x,t)=0,	(2.2)

физические уравнения, которые имеют вид (1.20) или где в
случае однородного тела модули и ядра или от коор-
динат не зависят;

граничные условия:

Оу (х, t) iij (х) = F^x, t), х € Si;

(2-3)

[х, t) = Vj(х, t), х6 s2.	(2.4)

Здесь а., е=- - компоненты тензоров напряжений и деформаций'; и. —

компоненты вектора перемещений; Е., f. -
объемные силы; v. - заданные перемещения;

заданные поверхностные и

— нормаль к по-

п

верхности; Si, S2 - части границы тела S, на которых заданы напряже-
ния и перемещения.

Рассмотрим некоторые частные случаи сформулированной гра-
ничной задачи теории ползучести, в которых удается выразить ее
решение через решение соответствующей задачи для упругого
тела.

Случай постоянного коэффициента Пуассона. Пусть тело од-
нородно и коэффициенты поперечной деформации для упругой
части деформации и деформации ползучести не зависят от вре-
мени и равны, т.е. выполняется условие (1.28). Тогда уравнения
состояния приводятся к виду (1.29), где оператор Q* не зави-
сит от пространственных координат. Таким образом, рассматри-
вается граничная задача, определяемая уравнениями (1.29).
(2.1), (2.2) и граничными условиями (2.3) и (или) (2.4).

Уравнения соответствующей упругомгновенной задачи имеют
вид:

eij (х, t) - 0(х, Обу = (1 +	(х, t)/(E(t) -

О	J	j

-5уРакк(х’0/Е(0,
2е°; (х, t) = Uj i (х, t) + u° • (x, t);	(2.6)

AJ	x» J	J > x

'aii i 0 + fi (x« = 0;	<2'7)

% (x, t) n- (x) = F^x, t), x e Sj;	(2.8)

J	J

u° (x, t) = Vj (x, t), X e S2.	(2.9)

Напряжения, деформации и перемещения, удовлетворяющие
уравнениям (2.5) — (2.9), помечены верхним индексом ”о”, в
отличие от соответствующих величин, являющихся решением за-
дачи теории ползучести. Рассмотрим два типа граничных задач.

Задача 1. Напряженно-деформированное состояние упруго-
ползучего тела вызвано поверхностными и объемными силами
F|(x, t) и f|(x, t), а вынужденные деформации 0 и перемещения
V| равны нулю. Обозначим

L=(I + Q*);

L"1 = (I + Q*)-1 = (I-R*),

(2.Ю)

где L-1 - оператор, обратный L; R* - оператор с ядром R(t, т), представ-
ляющим собой резольвенту ядра Q(t, т).

Умножая соотношения (2.29), (2.1) и (2.4) слева на опера-
тор L”1 и, обозначив

получим систему равнений, совпадающую с уравнениями (2.5) —
(2.9),упругомгновенной задачи.Из (2.11) следует:

о	~ о

Gij (х, t) =	(х, t); еу (х, t) = Ley (х, t);

J	J	о

u^x.t) =Lui(x,t).

Таким образом, имеет место теорема 2.1. Если напряженно-де-
формированное состояние стареющего упругоползучего тела
обусловлено только поверхностными и объемными силами
F|(x, t) и f|(x, t), то напряжения с учетом ползучести и старе-
ния материала совпадают с напряжениями, найденными из реше-
ния упругомгновенной задачи, а деформации и перемещения мо-
гут быть получены в результате преобразования соответствую-
щих упругомгновенных величин операторов Т.

Задача 2. Напряженно-деформированное состояние упруго-пол-
зучего тела обусловлено вынужденными деформациями 0(х, t)
и перемещениями v(x, t), а поверхностные и объемные силы
F^ и равны нулю.
Разделим^соотношения (2.2) и (2.3) на E(t), умножим слева
на оператор L и, обозначив

1 j	~	о _ о

----= L(ffH/E(t)), ей=€у, u4-up	(2.13)

E(t) 4	J J

(2.14)

получим уравнения, совпадающие с уравнениями (2.5) — (2.9).

Из (2.13) найдем

(х, t) = Е (t) I- * (<Л (х, t) /Е (t) );

J

о	о

Су (х, t) = еу (х, t), Uj (х, t) = Ui (х, t) ,

откуда следует теорема 2.2. Если напряженно-деформированное
состояние стареющего упругоползучего тела вызвано только
вынужденными деформациями 0(х, t) и перемещениями V|(x, t),
то деформации и перемещения с учетом ползучести и старения ма-
териала совпадают с деформациями и перемещениями упругого
тела, а напряжения могут быть найдены в результате преобразо-
вания оператором Е (t) L“1 Е“1 (t) напряжений, найденных из
решения упругомгновенной задачи.

Приведенные результаты получены в 1947 г. в работах [3, 4].
Намного ранее аналогичные результаты для частного случая не-
сжимаемого нестареющего материала были получены в [98].
Этот результат был обобщен для сжимаемого материала и част-
ного закона ползучести в работе [101]. Сформулированные тео-
ремы доказаны в исследованиях [3, 4] иным способом. Исполь-
зованный здесь способ доказательства предложен [87].

Распространение теорем на упругоползучие тела с перемен-
ными коэффициентами Пуассона дано в [20] для случая плоской
задачи.

л чет растущих разрезов и полостей. Обобщение сформулиро-
ванных результатов на случай, когда при деформировании в теле
развиваются полости и разрезы, получено в работах [45, 86].
Предполагается, что граница S(t) области £2(t), занимаемой
телом, состоит из четырех неподвижных участков S|(i = 1,..., 4),
квазистатически растущего разреза y(t) с начальным положением
7 (t0) и границы S^t) квазистатически растущей полости со (t)
с начальным положением co(ti). Здесь t0 > т0, ti > т0, т0 —
момент начала приложения внешних воздействий, 7(tt) с y(t2)
Hco(ti) cco(t2) для любых tj <t2.

Условия на Si и S2 определены в соответствии с (2.3) и (2.4).
На поверхности S3 заданы нормальные перемещения vn(x, t)
и вектор касательных напряжений FT(x, t), на S4 — нормальные
напряжения Fn(x, t) и вектор тангенциальных перемещений
vT(x, t). Таким образом, граничные условия на S3 и S4 имеют
вид:

un(x, t) = Vn(x, t); aT(x, t) = FT(x, t), x G S3;	(2.15)
%(х. 0 = Fn<x’ О ’ UT(X> 0 = vT(x, t). x G S4,
где Qn, un~ нормальные компоненты векторов напряжений и перемеще-
ний; &г - векторы тангенциальных напряжений и перемещений.

Рассмотрим два случая воздействий на границах разреза и
полости S^. В первом случае предполагается, что задань^ напря-
жения F|(x, t) и F|(x, t), во втором — перемещения V|(x, t) и
v-(x, t). Следуя [45], дадим решение задачи теории ползучести
в указанных случаях.

Случай 1. Граничные условия (2.3), (2.4), (2.5) дополняются
условиями:

^j(x,t)nj(x) =Ff(x,t), xG7*(t);

Оу (x. t) nj (x) = (x, t), x G Sw (t).	('2J

Таким образом рассматривается задача, определяемая уравне-
ниями (1.29), (2.1), (2.2) и граничными условиями (2.3), (2.4),
(2.15), (2.16).

Умножая уравнения (1.29), (2.1), (2.4), также кинемати-
ческие условия на границах S3 и S4 на оператор L"1, и принимая
обозначения (2.11), получим следующую систему:

(х> О - 3-:0° (х, t) = (1 + v)o° (х, t)/E(t) -

о	(2.17)

- v5ijakk(x> O/E(t);

2е°; (x, t) = u° . (x, t) + u° . (x, t);	(2.18)

XJ	J	J» 1

0

°ij,j(x,t) +fi(x,t) =0;

(2.19)

°ij (x, t) nj (x) = (x, t), x G s,;	(2.20)

ui (x. t) = v° (x, t), x G S2;	(2.21)

un $ = vn <*» ’ °°r (x> = Fr (x’	’	x G	S3,	(2.22)

°n(x, t) = Fn(x, t); u° (x, t) = v° (x, t),	x G	S4;	(2.23)

(x, t) nj (x) = F±(x, t), x G / (t);	(2.24)
«у (x, t) rij (x) = F^x, t), x G S^Ct),

где приняты также обозначения:

0°(х, t) =L-10(x,t); v°(x, t) =L"‘vi(x,t);

v° (x, t) = L~‘vn(x, t); v°(x, t) =L"1vT(x, t).

(2.25)

(2.26)

Уравнения (2.17) — (2.25) представляют собой уравнения
упругомгновенной задачи, в которой деформационные воздей-
ствия преобразованы оператором L"1, а силовые совпадают
с силовыми воздействиями исходной задачи.

Из соотношений (2.11) следует, что решение задачи теории
ползучести в случае 1 выражается через решение задачи (2.17) —
(2.25) соотношениями (2.12).

Случай 2. Когда на границе разреза и полости заданы пере-
мещения, то граничные условия (2.3), (2.4), (2.15) допол-
няются условиями:

± ±

Ui(x,t) =vi(x,t), xGy (t);
и£(х, t) = vi (x, t), x G S^t).

(2.27)

Таким образом, система уравнений задачи в рассматриваемом
случае состоит из уравнений (1.29), (2.1) — (2.4), (2.15), (2.27).

Разделим все уравнения, в которых фигурируют напряжения
а.р на E(t), умножим на оператор L и используем обозначения
(2.13). В результате получим систему уравнений:

°	о

еу (х, t) - 6у®(х, t) = (1 + р)ау (X, t)/E (t) —

О

~ ^ijakk (х, t)/E(t);

о	о

2су (х, t) = j (х, t)

о

+ %i(x,t);

aij,j(x»t) +fi (x,t) =0,

ffy (x, t) nj (x) = (x, t), x G Sj,

1\(х, t) =vi(x,t), xG S2,

un(x>t) =vn(x,t), a°(x,t) =F°(x, t), xGS3,

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)
% (x, t) = F° (x, t), u° (x, t) = vT(x, t) , X e s4,
± ±

Uj(x, t) =Vj (x, t), X67 (t),

«i(x. t) = Vj(x, t), x e sw(t).

Здесь принято обозначение
Ф°(х, t) =E(t)L(<D(x, t)/E(t)),

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

me Ф (x, t) - любая из функций t(x, t), F.(x, t), Fn(x, t), FT(x, t).

Выражения (2.28) — (2.36) представляют собой уравнения
упругомгновенной задачи, в которой деформационные воздей-
ствия совпадают с деформационными воздействиями исходной
задачи, а силовые получены в результате преобразования опера-
тором Е (t) LE”1 (t) соответствующих воздействий исходной
задачи. Из соотношений (2.13) следует, что в случае 2 решение
задачи теории ползучести выражается через решение упруго-
мгновенной задачи (2.28) — (2.36) с помощью соотношений
(2.14).

Таким образом, если в теле развиваются полости и разрезы,
решение задачи теории ползучести связано с решением упруго-
мгновенной задачи теми же соотношениями, что и в случае, когда
границы тела стационарны. Различны только условия соответ-
ствующих упругомгновенных задач.

Простые нагружения при квазилинейных уравнениях состоя-
ния. Установим связь между решением граничной задачи теории
ползучести и решением некоторой упругой задачи в случае ква-
зилинейных физических уравнений (1.103). Пусть напряженно-
деформированное состояние тела обусловлено силовыми воздей-
ствиями F| и f., которые во всех точках тела изменяются про-
порционально одной функции времени:

Fi(x,t) =Fi(x)f(t), f.(x»t) =fi(x)f(t).

Вынужденные деформации 0- и перемещения полагаем
равными нулю.	J

Будем разыскивать решение граничной задачи в виде:

Оц (X, t) =	(х) f (t); еу (х, t) =	(х) Т] (t);

О

Uj(X’t) =Ui(x)fj(t),
где

(2.38)

7?(t) =E0LHf(t),	(2-39)

Eo — константа, имеющая размерность модуля упругости; L — опера-
тор, определяемый соотношением (1.100).	н
Подставляя выражения (2.38) в уравнения граничной задачи,
получим для определения функций а®-, еЛ, и*? следующую зада-
чу теории упругости:	J J

«V {(1+p)aij-pVkkHEo, 2еу=и^ + uj,i>

= 0;

(2.40)

°	_	„ О

Ojjnj = Fp X G Si, Ui= 0, xG s2.

Бели равны нулю силовые воздействия, а напряженно-дефор-
мированное состояние тела вызвано деформациями и переме-
щениями

®ij (х, t) = ©у (х) f (t), Vj (х, t) = Vi (х ) f (t) ,

то решение задачи квазилинейной теории ползучести имеет вид:

о	о

aij (х, t) = ay (х) f (t), бу (х, t) = Cjj (х) f (t),

о

UjCx, t) =ui(x)f(t).

(2.41)

(2.42)

Здесь функция f(t) определяется из уравнения:
EoLHf(t)=f(t),

ООО

а функции а-, еу, могут быть найдены в результате решения
следующей задачи теории упругости:

eij “®Ч = {(1 + p>aij “p5ijakkl /Ео,2e-j -

(2.43)

О о .

= °’ х е S1 ’

О

ui = vi’ х G s2 •

Принцип Вольтерра. Впервые операторный принцип соответ-
ствия был сформулирован Вольтерром [102] применительно к
задаче для анизотропного вязкоупругого тела, свойства которо-
го описываются коммутирующими операторами:

О	зк

Fljkiyijkld-Xljki). '	Р-44)

где Руи - упругие константы; R.^ - интегральные операторы с ядрами
Rjjki^ — 7?» зависящими от разности аргументов, которые описывают
свойства нестареющих материалов; I - тождественный оператор, сумми-
рование по повторяющимся индексам не производится.

Согласно принципу Вольтерра решение задачи теории ползу-
чести можно получить, заменив константы операторами
Pykl в решении задачи для идеально упругого тела. В резуль-

тате решение приводится к вычислению функций операторов,
воздействующих на известную функцию времени. Решение
последней задачи (вычисление функций операторов) нетривиаль-
но, особенно если функции констант материала трансцендентна

или задача теории упругости решается численно.

Принцип Вольтерра основан на взаимной коммутативности
операторов F- у, а также коммутативности операций интегри-
рования по времени и дифференцирования по координатам.
Для однородных стареющих тел второе условие выполняет-
ся, однако, первое, вообще говоря, не имеет места. Поэтому для
стареющих тел принцип Вольтерра в изложенной формулиров-
ке может быть использован, если в уравнениях состояния фи-
гурирует только один оператор, или операторы (2.44) различают-
ся только константами

В частности, для однородного изотропного стареющего тела
принцип Вольтерра остается справедливым, если ползучесть
имеется только при сдвиговой деформации, а объемная деформа-
ция упруга, т.е. модуль сдвига — оператор, а модуль объемной
деформации — константа. При этом на границу тела могут быть

наложены упругие связи, или стареющее вязкоупругое тело
может контактировать с упругим. В указанных случаях принципы
соответствия, приведенные ранее, неприменимы. Для приме-
нимости принципа Вольтерра в изложенной формулировке необ-
ходимо, чтобы область П, занимаемая телом, и поверхности S-

на которых определены граничные условия в напряжениях и пере-
мещениях, не изменялись во времени.

Распространение принципа Вольтерра на случай однородного
изотропного тела, свойства которого описываются двумя неком-
мутирующими операторами, дано в работе [90] в предположе-
нии, что решение соответствующей упругой задачи является
дробно-рациональной функцией коэффициента Пуассона, и в ра-
боте [32] для общего случая аналитической зависимости.

Уравнения состояния записываются в одной из следующих
форм:

«ij (х, t) - бу (х, t) = Ё”1 (I + ) ац (х, t) -

- E-1PjC7kk(x, 05^,
J

(2.45)
eij (x, t) - 0^ (x, t) = (I + Р2)Ё"1g— (x, t) -

- V2E“1 ак1с(x, t)S|-.	(2.46)

•9

Здесь Vi = Vi (t) [I + Ki ], P2 = i^(t){l + K2] - различные обобщения
коэффициента Пуассона; Е”1 = E~1(t)[l + К*] - оператор, описывающий
деформативные свойства материала при одноосном напряженном состоя*
НИИ.

Остальные уравнения граничной задачи совпадают с уравне-
ниями (2.1) — (2.4).

В случае задачи 1, когда напряженно-деформированное состоя-
ние обусловлено только объемными и поверхностными силами,
стационарными во времени [ f|(x, t) = f^(x) и F^(x, t) = F-(x) ) ,
решение получено в виде:

о

°ij(x> t) =^j(x,vi)l;

ООО

(2.47)

где функции О- (х, р), бу(х, р), ib(x, р) являются решением задачи для

упругого тела с коэффициентом Пуассона Р и модулем упругости Е = 1г
подверженного воздействиям f (х) и F.(x).

В случае задачи 2, когда напряженно-деформированное состоя-

ние вызвано вынужденными деформациями ®^(х) и переме-

щениями V|(x) на S2, решение с учетом ползучести материала
будет:

aij(x>t) =Ёау(х,?2)1;

Cjj(x, t) =еу(х, р2)1;
U|(x, t) =u°(x,p2)l.

(2.48)

ООО

Здесь функции Оу, бу, и. определяются из решения задачи теории
упругости для тела, подверженного воздействиям v.(x) и вЬ(х).

Если внешние воздействия изменяются во времени пропорцио-
нально некоторой функции времени (fj(x, t) = f|(x)y(t),
Fj(x, t) = Fi(x)y(t) или v^x, t) = vi(x)y(t), 0y(x, t) =
= ©jj (x)y(t), то в решениях (2.47) и (2.48) функция операторов
будет воздействовать на y(t). Если воздействия представлены
в виде разложений по некоторой системе yi (t), . . . , ym(t), то
решение может быть получено на основе суперпозиции.

2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЛЬТЕРРА
НА СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ

Обобщение принципа Вольтерра на случай неоднородной среды
получено в работах [35, 41] на основе представления операторов,
фигурирующих в уравнениях состояния, в виде функций некото-
рого одного оператора Н*. Такое представление позволяет обой-
ти некоторые трудности, связанные с применением принципа
Вольтерра к задачам наследственной теории старения, и распро-
странить принцип на достаточно широкий класс неоднородных
тел.

Обобщение принципа Вольтерра. Рассмотрим смешанную гра-
ничную задачу для тела, уравнения состояния которого имеют
вид (1.25):

е» (х, t) = (1/2G, о (х) ) (I + ГТ (х) ) sn (х, t),	1

4	4	[	(2.49)

е(х, t) - в(х, t) = (1/3G2о (х)) (I + Г?(х))а(х, t), J

где	оо

г;(х) =рг(х,н*) = Z b<r)(x)H*n,
п = 1

или

(2.50)

Гг(х, t,т) = S	(2.51)

П - 1

Н (t, 7) - итерированные ядра.

Таким образом, рассматривается неоднородное тело, свойства
которого описываются операторами специальной структуры
(2.50), представляемыми в виде функций точки тела и оператора
Н*, от координат не зависящего. Как отмечалось в п. 1 гл. 1,
структуру (2.50) имеют операторы, описывающие усредненные
реологические свойства однородной среды, неоднородно по коор-
динатам армированной упругими волокнами. Другие случаи
неоднородности, в которых уравнения состояния представлены
в виде (2.48), рассмотрены в п. 3.

Полная система уравнений граничной задачи включает также
уравнения (2.1) и (2.2) и граничные условия (2.3) и (2.4). Бу-
дем полагать, что функции Pr(x, X) регулярны в точке X = 0,
т.е. ряды

Рг(х, X) = S bn ’ (х)Хп(г = 1, 2)	(2.52)

Л
имеют радиус сходимости, отличный от нуля для всех х из об-
ласти £2, занимаемой телом. Поверхности St и S2, на которых
заданы граничные условия (2.3) и (2.4), полагаем стационарны-
ми.

Рассмотрим сначала случай, когда внешние воздействия, опре-
деляющие напряженно-деформированное состояние тела, изме-
няются пропорционально одной функции времени:

F^t) =Fi(x)f(t);
fi(x,t)=fi(x)f(t);

v^x, t) =vi(x)f(t);1
0(x, t) = ©(x)f(t). J

(2.53)

Поставим в соответствие задаче теории ползучести (2.1) —
(2.4), (2.49) задачу для неоднородного упругого тела с фиктив-
ными характеристиками материала, зависящими от параметра X.
Основные уравнения упругой задачи получим из уравнений
(2.1) — (2.4), (2.49), заменив оператор Н* параметром X и по-
ложив f (t) = 1 в выражениях (2.53):

ejj(х) = (1/2G,о (х)) [1 + Pt (х, Л)] s°j (х);

(2.54)

е (х) - © (х) = (1/3G2 о (х) ) [ 1 + Р2 (х, X) ] о° (х);	(2.55)

Gij, j <х)+ fi <х)= °>	(х) = uI, j (х)+ ui*j СО;	<2-56)

О	о

cij nj W = Fi(x) на Si, иДх) = v^x) на S2.

(2-57)

Верхним индексом ”о” помечены напряжения, деформации
и перемещения упругого тела.

Решение задачи (2.54) — (2.57) зависит от параметра X. Отме-
тим, что при X = 0 уравнения (2.54) — (2.57) переходят в урав-
нения задачи для неоднородного упругого тела с фактическими
упругими характеристиками, так как по определению (2.50)
Pi (х, 0) — Рг (х, 0) — 0.	0	0	0

Предположим, что функции а^(х, X), е^(х, X), U|(x, X),

•F	J

удовлетворяющие уравнениям (2.54) — (2.57), регулярны в не-
которой области |Х| < р, р > 0 для всех х Е £2. Тогда система
функций

Ojj(x, t) =<7у (х, H*)f(t);

1ь(х, t) =u°i(x,H*)f(t),

eH(x,t) =е^(х, H*)f(t);

(2.58)

полученная в результате замены параметра X оператором Н*
является решением задачи теории ползучести (2.1) — (2.4),
(2.49).
Для доказательства воспользуемся интегральным представ-
лением регулярной функции F оператора Вольтерра формула
(прил. 1). Подстановка выражений (2.10), например в первую
группу уравнений (2.1), дает

ен (х, t) - (1/2G,о (х)) [I + Р, (х, Н*] sy (х, t) =
J	AJ

( О	О	л

=teii Н*> - (V2G, о (х)) [I + Pi (х, Н*) ] sH (х, Н*)} f(t) =
J	AJ	J

= (l/2m) j{e°= (x, X) - (1/2G, 0 (x)) [1 + P, (x, X) ] x
•I

xSy(x,X)] W(X,t)dX.

Так как функции еу(х, X) и spj(x, X) удовлетворяют урав-
нениям (2.54), то выражение в фигурных скобках под знаком
интеграла равно нулю. Таким образом, первая группа уравне-
ний (2.49) удовлетворяется тождественно. Аналогично дока-
зывается, что удовлетворяются остальные уравнения задачи
теории ползучести.

Очевидна аналогия сформулированного0 результата0 с прин-
ципом Вольтерра — функции оператора о-(х<Н*), е^(х, Н*)
и U|(x, Н*) получены в результате замены параметра X опера-
тором Н* в решении задачи для неоднородного упругого тела.

Следует отметить, что принцип Вольтерра в классической
формулировке не может быть использован, так как операции
умножения на оператор вида Q(x) = Q0(x) [I + Р(х, Н*)] непе-
реставима с операцией дифференцирования по пространствен-
ным координатам.

В общем случае внешние воздействия могут быть представ-
лены в виде разложений по некоторой системе функций
Уо (t),... ,yn(t),...:

N (n)	N (n)

F.(x,t)= Z Fj (x)yn(t); vi(x,t)= Z Vj (x)yn(t);

n =0	n =Q

(n)
f^t)» Z f-(x)yn(t);
n=0

N , ч (2.59)
0(x,t)= Z (x)yn(t).
n =0

В силу линейности рассматриваемой задачи решение ее равно
сумме решений, каждое из которых определяется воздействиями,
пропорциональными функции у (t):

.	. N 0(n)

Оу(хл)= Z ay (x, H*)yn(t)..........Ui(x,t) =

n = 0
N 0(n)

= S Uj (x,H*)yn(t).	(2.60)

0(n)	0(n)

Здесь функции (x, H*), . . . , u,.	(x, H*) получены в

результате замены параметра X оператором Н* в решении задачи
для неоднородного упругого тела, подчиняющегося закону (2.54)
и (2.55), напряженно-деформированное состояние которого выз-
(п)

вано объемными силами f. (х), вынужденными деформация-
(п)	1	(п)

ми 0	(х), поверхностными нагрузками F । (х) на Si и пере-

мещениями v(^ (х) на S2.

Разложение воздействий по итерированным функциям. Функ-
0	0	0

ции о - (х, X), еу (х, X), U| (х, X), характеризующие напряженно-
деформированное состояние неоднородного упругого тела, лишь
в простейших случаях могут быть получены в виде аналитичес-
ких выражений, поэтому зависимость решения упругой задачи
от параметра X в явном виде, как правило, не известна.

При фактической реализации сформулированного принципа
эффективны методы приближения функций вольтерровых опе-
раторов, развитые в гл. 4. Эти методы позволяют построить
приближение функции оператора F (Н*), воздействующей на за-
данную функцию времени f (t), используя набор значений F(X)
в некоторых узлах X $ (q = 1.m).

Таким образом, если внешние воздействия имеют вид (2.53),
то решение наследственной задачи может быть построено на ос-
нове m численных решений задачи теории упругости при зна-
чениях X = Ха в соотношениях (2.54) и (2.56). В общем случае
для построения решения приходится выполнять mN численных
расчетов задачи теории упругости: при m различных значениях
(п) (п)	(п)	(п)

параметра X и воздействиях F  , f • , v । , 0	[N— число

членов, удерживаемых в разложениях (2.59) ].

Число необходимых упругих решений можно уменьшить,
используя в разложениях (2.59) специальную систему функций,
порождаемую оператором Н*. Пусть y(t) — произвольная функ-
ция (например, y(t) = 1). Построим систему итерированных
функций:

л (0 = y(t), 4>i (t) = H*Vo (t),..., </>n(t) = H*«Vo (t).	(2-61)

Функции (2.61) линейно независимы [41]. Представим внеш-
ние воздействия в виде разложений по системе (2.61):
ч N (n)	N (n)

Fj(x, t) = Z F{ (x)^(t) = Z F । (x)H*ny(t);

П- о	n= 0

N (n)	N (n)

fi(x,t)= Z f2 (x)^n(t) = Z Г/(x)H*ny(t);

n= 0

N

n =0

n -0

(n)	N

i (x)¥>n(t)= Z

n =0

(n)

v (x)H*ny(t);

(2.62)

N
e(x, t) = z
n= 0

(n)	N

©	(x)<pn(t) = Z

n = 0

©(x^H*ny(t).

Поставим в соответствие задаче теории ползучести (2.1) —
(2.4), (2.49) задачу для неоднородного упругого тела, в которой
не только упругие модули, но и внешние воздействия зависят от
параметра X:

е°. (х) = [ 1/2G! о (х) ] [ 1 + Pt (х, X) ]	(х);	(2.63)

ч	J

е° (х) - ©° (х, X) = (1/3G2O (х)) [1 + Р2 (х, X)] а° (х);	(2.64)

aii i W + f° <х’ = °’ ^ii <х> = ui° i W + ui i<x>»	<2-65)

AJ,J	1J	X>J	J, 1

o° <x> ni <x> = (x, X) на Si, u* (x) = v° (x, X) на S2.	(2.66)

•r

Здесь:

I^(x,X)= S F? \х)ХП; v°(x,X)= 2 у^П\х)ХП;
n=0	n=0

(2.67)

f°(x,X)= 2 f(-)(x)Xn; ©°(x,X) = Z ©(п)(х)х"

n=0	n=0

Выражения (2.63) — (2.66) получены в результате формаль-
ной замены операторов Н* параметром X в соотношениях (2.49)
ив формулах (2.62)
Пусть функции Оу(х, Х),€у(х, X), U|(x, X) являются реше-
нием задачи (2.63) — (2.66). Нетрудно показать, что уравне-
ниям (2.1) — (2.4), (2.49) удовлетворяет система функций:

о	о

ay (х, t) = ay (х, Н*) у (t);	(х, t) = еу (х, Н*) у (t);

О

u/x, t) =ui(x,H*)y(t),

которая получена в результате замены параметра X оператором
Н* в решении задачи (2.63) — (2.66).

Сформулированный результат позволяет построить решение
задачи теории ползучести, используя всего m численных решений
упругой задачи. Как будет показано в гл. 4, для получения точ-
ности в 2—5 значащих цифр достаточно использовать 4—7 реше-
ний упругой задачи.

3.	ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЗУЧЕСТИ
В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ОПЕРАТОРА

Рассмотрим некоторые типы неоднородных сред, кроме неод-
нородно армированных, поведение которых может быть описано
операторами вида (2.50).

Нестареющий материал. В теории наследственной упругости
находят широкое применение резольвентные операторы, ядра
которых имеют интегрируемую особенность. Такие операторы
хорошо отвечают опытным данным.

Пусть упругонаследственная среда неоднородна, но во всех
точках операторы остаются инвариантными относительно начала
отсчета времени (например, неоднородность обусловлена воздей-
ствием стационарного неоднородного температурного поля).
Тогда в каждой точке тела ядра операторов (2.50) могут быть
достаточно точно представлены агрегатами обобщенных дробно-
экспоненциальных функций:

m (О

Гг(х, t -т) = S х n (х)ехр[—p(t —т)]х

п = 1

(р>0, -1

(х), t - т)

(2.68)

<а<0),

где Э^(-Д, t - Т) - дробно-экспоненциальная функция Ю.Н. Работнова.

Каждое слагаемое в выражении (2.68) представляет собой ре-
(г)

зольвенту ядра А.Р. Ржаницына с параметром — Р п (х). Исполь-
50
зуя операторную конструкцию резольвента [формула (11)
прил. 1], получим оператор, соответствующий ядру (2.68):

m г	(г)

Г*(х) = 2 Хп(х)Н*/[1+^У(х)Н*],

п = 1

>tz \ P(t — т) а

H(t —т)=е (t-т) /Г(а+1).	(2.69)

Представление (2.69) является частным случаем (2.52).
Отметим, что параметры р и а являются внутренними парамет-
рами ядра Н, поэтому они полагаются независящими от точки
х и индексов п, г. В частности, если свойства материала описы-
ваются агрегатами дробно-экспоненциальных функций, то опера-
торы Г*(х) также имеют конструкцию (2.69), ноН(г— г) =
= (t — т)а/Г(а + 1), т.е. ядро Н в этом случае совпадает с ядром
Абеля. Если при этом а = 0, то ядро H(t — т) = 1, и ядро (2.68)
представляет собой сумму экспоненциальных ядер с параметрами,
зависящими от точки тела.

Соответствующие операторам (2.69) функции параметра X, ко-
торые фигурируют в уравнениях (2.54), (2.55), (2.63), (2.64)
упругой задачи, имеют вид:

Pr(x,X)= S х 'п (х)Х[1+р п (х)Х].	(2.70)

п = 1

С формальной точки зрения вопрос о возможности представ-
ления произвольных ядер в виде (2.51) сводится к возможности
разложения их в ряды по итерированным ядрам, порождаемым
некоторым ядром H(t, т). Для непрерывных ядер, зависящих
от разности аргументов t — т, возможность разложения (2.51)
следует из полноты, например, системы функций ехр(— п0ох
x(t — т) ] (n = 1,2,...) на конечном интервале времени.

Стареющий материал. Неинвариантные аналитически задан-
ные ядра Гг(х, t, т) в общем случае могут быть представлены
в виде (2.51) лишь приближенно, однако на практике ядра Гг
определяются по опытным данным. Поэтому представление
(2.51) в общем случае следует рассматривать как возможную
аппроксимацию функции Гг(х, t, т), получаемых из опытов с
ограниченной точностью.

Рассмотрим специальный случай' неоднородности, при кото-
ром операторы наследственной теории старения могут быть пред-
ставлены в виде (2.50).

Пусть операторы If и Г$ в соотношениях (2.49) отличаются
только множителем, зависящим от точки х:

Г* (х) = xt (X) н* Г* (х) = х2 (х) н*.

(2-71)
Ядра Гг(х, t, т) связаны с соответствующими мерами пол-
зучести зависимостями:

Э

Гд (х, t, т) = - --- Сд 0Сд (х, t, т); Г2 (х, t, т) =
ат

д

= —3----G20C2 (х, t, т).

дт

Очевидно, что операторы Г^(х) (г = 1, 2) представимы в ви-
де (2.71) только в случае, когда

cr(x, t,r) =yf(x)C(t, т),

т.е. меры ползучести С\ и С2 при всех значениях х подобны
некоторой функции С (t, т), которая от х не зависит.

Соответствующий операторам (2.71) закон для неоднород-
ного упругого тела имеет вид:

о	1

е--(х) =--------

1J 2G10(x)

о

[1 + Х1М8у(х),

(2.72)

е°(х) — 0(х) =

1

3G2 о (х)

[1 +X2(x)X]ff°(x).

Отметим, что даже в рассматриваемом простейшем случае
неоднородности принцип Вольтерра в классической формули-
ровке неприменим.

4.	НЕОДНОРОДНО СТАРЕЮЩАЯ СРЕДА

Рассмотрим важный для практики случай, когда неоднород-
ность стареющего тела обусловлена различным возрастом мате-
риала в различных точках. Покажем, что при некоторых допуще-
ниях относительно вида уравнений состояния, часто принимае-
мых в теории наследственного старения даже при решении задач
для однородного тела, основные уравнения могут быть преоб-
разованы к виду, допускающему применение сформулирован-
ного в п. 2 обобщения принципа Вольтерра [39].

Пусть выполняются условия Е(т) = Ео = const, (t) =
= v2 (t, т) = 9 = const. Тогда уравнения состояния неоднородно
стареющей среды принимают вид:

xsy (х, т) dr];

t

(х, t) + J T(t + Л(х), т +х(х)) х
то
e(x,t) -0(x,t) =(--—)[o(x,t) + J r(t + эе(х),r+x(x)) x
'3G2O '	To

xa(x, t) dr],	(2.73)

щеG10 =EO/2(1 + v); G20 =Eo/3(1 - 2v).

Ядро ползучести связано с мерой ползучести C(t, т) соотно-
шением

Ъ

r(t +JC(x), г+Х(х)) = -Ео - — C(t + Х(х), т +х (х)).

ОТ

(2.74)

В выражениях (2.73) и (2.74) Х(х)-Т*(х) - возраст материала к

моменту начала отсчета времени.

Далее рассмотрим два типа ядер ползучести, допускающих
распространение принципа Вольтерра на случай неоднородно ста*
реющей наследственной среды.

Мера ползучести вида (1.41). Пусть мера ползучести при од-
ноосном напряженном состоянии имеет вид:

C(t, т) = </>(т) f (t - т); <^(т) = Со + Аехр(-дт).

(2.75)

На функцию f(t — т) никаких специальных ограничений не
налагается. Отметим, что представление меры ползучести в виде
(2.75) для бетона рекомендуется для аппроксимации опытных
данных, если основные воздействия прикладываются к бетону
в возрасте более 28 сут. При этом же условии считается приемле-
мым допущение о постоянстве модуля упругомгновенной де-
формации.

С учетом (2.74) и (2.75) соотношения (2.73) принимают вид:

(х, t) = (1/2G1O) [I + Н* + X(x)l£] Su (x, t);

•I	J

e(x, t) -0(x, t) = (1/2G2O) [I + H* + x(x)H^a(x, t),
где

(2.76)

X(x) = exp [-дх(х) ], Hj (t - t) = E0C0 f'(t - r),

Hz (t, г) = ЕоАехр(-дт) [/if (t - r) + f (t - r)].

В уравнениях (2.76) фигурируют два некоммутирующих опе-
ратора, поэтому принцип Вольтерра неприменим. Исключим из
уравнений оператор Н*. Умножение соотношений (2.76) на опе-
ратор (I + н£)~* = 1 — R*(—1) дает:

eij (х, t) = (1/2G1O) [I + х(х)Н*] Sij (х, t);

(2.77)

е*(х, t) - Ov(x, t) = (1/3G2O) [I + x(x)H*]o(x, t);
H*= (I + H*)-1H*,
* *

где Rj (-1) - резольвента оператора Hj *с параметром -1. При преоб-

разовании использовано тождество (I + Щ)”1 (I + Hj) = I. В выраже-
V	♦ —1

ниях (2.77) и далее принято обозначение f = (I + Щ) f.

Преобразуя оператором (I + Н*)”1 геометрические уравне-
ния и граничные условия на S2, получим:

2еу (х, t) = uY J (х, t) + Uj, • (x, t), U|(x, t) = Vj (x, t) на S2. (2.78)

Соотношения (2.77) и (2.78) совместно с уравнениями равно-
весия (2.2) и граничными услоями на Sd образуют полную систе-
му уравнении смешанной граничной задачи относительно функ-
ций ejj, иУ. Поверхностные и массовые силы
задачи не отличаются от фактических; заданные на S2 перемеще-
ния V| и вынужденные деформации 0 преобразованы оператором
(iXr1.

Фактические деформации и перемещения связаны с преобра-
зованием и U| соотношениями:

ви (х, t) = (I + Н*)	(х, t);	(х, t) = (I + Н?) uY (х, t).

В уравнениях преобразованной задачи фигурирует только один
оператор Н*, поэтому задача может быть решена на основе сфор-
мулированного в п. 2 обобщения принципа Вольтерра. Соответ-
ствующий закон для неоднородного упругого тела имеет вид
(2.72), при этом Xi (х) = Х2 (х) = х(х) и модули G10 и G20 от
х не зависят.

Отметим, что изложенная процедура приведения задачи к ви-
ду, допускающему применение принципа Вольтерра, может быть
использована и в случае, когда уравнения состояния имеют вид
несколько более общий, чем (2.76), а именно:

еу (х, t) = [ 1/2G1 о (х) ] [I + Н* + Xi (х) Н* ] sy (х, t);

1(2.79)

е(х, t) - 0(х, t) = [1/3G2O (х)] [I + Н* + х2 (х)Н*] с(х, t).

Здесь упругие модули зависят от точки х, ядро оператора
может быть неинвариантным и множители при операторе Н2 раз-
личны.

Ядро вида (1.52). Пусть ядро ползучести имеет структуру
t

r(t,r) = Q(t) + B(t—т) + J Q(z)B(z — r)dz,	(2.80)

т

где Q(T) =Xexp(-gr); B(t - г) - ядро, инвариантное относительно нача-
ла отсчета времени.
Тогда соотношения (2.73) могут быть записаны в виде:

ен(х, t) = (1/2G1O) [I + x(x)H*] (I + B*)Si,(x,t);

J	J

e(x, t) - 0(x, t) = (1/3G2о) [I + x(x)H*] (I + B*)o(x, t);

X (x) = Хехр [-дк (x) ], H (t) = exp (-дт).

Обозначив

о j j (x, t) = (I + B*) Oy (x, t),

получим:

(x, t) = (1/2G1O) [I + x(x)H*]	(x, t)

e(x, t) - 0(x, t) = (1/3G2о) [I + x(x)H*]a(x, t).

(2.81)

(2.82)

(2.83)

Умножая уравнения равновесия (2.2) и граничные условия на
Sj на оператор (I + В*), будем иметь:

<< Дхл)* f-(x,t)=O;

(2.84)

<4j(x, t)iij(x) = F|(x, t), xe Si.

(2.85)

Соотношения (2.83) — (2.85) совместно с уравнениями Коши
(2.1) и граничными условиями (2.4) образуют полную систе-
му уравнений смешанной граничной задачи относительно функ-
ций e-j, up Заданные на S2 перемещения и вынужденные де-
формации в преобразованной задаче не отличаются от факти-
ческих, поверхностные и массовые силы и преобразованы
оператором (I + В*). В уравнениях (2.83) фигурирует только
один оператор Н* т.е. при решении может быть использовано по-
лученное в п. 2 обобщение принципа Вольтерра.

Внешние воздействия преобразованной задачи- целесообразно
представить в виде разложений по системе итерированных функ-
ций, порождаемых оператором Н*. Положив = 1, получим сле-
дующую систему:

е дт°	-M(t-To) п

= 1, <£n(t) =----([1-е	] (п = 1,2...) (2.86)

дпп!
и соответствующие разложения:

N z^\	N /д\

F^(x,t)= S F/(x)^n(t); f-(x,t)= S f> \x)^n(t);

n = 0	n =0

(2.87)

N (n)
v1(x,t)= S v> (x)^n(t),
n = 0

N (n)
0(x,t)= s 0 (x)^n(t).
n = 0

Система функций (2.86) является полной на интервале [т0,
°°], поэтому представление внешних воздействий в виде (2.87)
может быть получено с произвольной малой погрешностью.

Решение задачи (2.1), (2.4), (2.83) — (2.85) имеет вид:

Ojj (х. t) = Оу (х, н*) 1; еу (х, t) = еу (х, Н*) 1; 'I

о	Г (2>88)

(х, t) = (х, Н*) 1.	J

О	о	о

Здесь функции е^(х, X), ст— (х, X),U|(x, X) определяются из
решения задачи теории упругости (2.63) — (2.66), причем в урав-
нениях (2.63) и (2.64) следует положить

Pi (х, X) =Р2(х, X) =х(х)Х.

Из (2.82) следует, что фактические напряжения выражаются

через преобразование а- следующим образом:

(7ii (х, t) = (I + В*) -1 о (X, t) = (I - R*) av(x, t),	(2.89)

•I

где ядро R(t — г) оператора R* представляет собой резольвенту ядра
B(t-r).

Как видно, ядра, имеющие структуру (1.52), не только позво-
ляют получить решение уравнения ползучести в квадратурах,
но и представляют существенные преимущества при решении гра-
ничных задач.

5.	ПРИБЛИЖЕННЫЙ УЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
МОДУЛЕЙ УПРУГОМГНОВЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ

При обобщении принципа Вольтерра на случай неоднородной
среды предполагалось, что модули сдвига и объемной деформа-
ции Gx 0 и G2 о не зависят от времени.

С помощью 5 -функции Ддрака связь между напряжениями
и деформациями может быть записана в виде [86]:
e(t) = (l/E0)(I + K*)o(t),

где Eo - константа, а ядро оператора К* содержит слагаемое вида
6( t - 7) д (т), которое учитывает изменение во времени модуля Е (t).

При решении задач операторными методами использование
6-образных ядер неудобно, так как операторные ряды могут рас-
ходиться. Далее будет рассмотрена возможность приближенного
учета изменения во времени упругих модулей с помощью функ-
ций, близких к 6-функции (больших на малом, но конечном ин-
тервале времени и исчезающих вне его). Показано, что вносимая
при этом погрешность может оказаться существенной лишь на
малом интервале времени после приложения внешних воздей-
ствий (если в дальнейшем внешние воздействия являются непре-
рывными функциями времени).

Рассмотрим связь между напряжениями и деформациями в
случае одноосного напряженного состояния:

t	>

e(t) = a(t)/E(t) + J n(t, т)ст(т) dr;

(2.90)

то

где E(t) - модуль упругомгновенной деформации, стремящейся к преде-
лу Ео при t > C(t, 7) - мера ползучести.

Положим

1/E(t) = [1 +M(t)]/E0,

(2.91)

причем g(t) - монотонно убывающая функция, стремящаяся к нулю
при t * °°.

Учитывая, что
t

J g(t)o(7)6(t-T)dT = g(t)a(t),
То

соотношение (2.90) можно записать в виде

e(t)= [a(t) + J Ko(t,7)o(7)dT]/E0 =Eo" (I + K*)o(t),
To

W Ko(t, 7) =E0n(t,7) +g(t)6(t-7).

(2.92)

(2.93)

Соотношение (2.92) отличается от (2.90) только формой за-
писи.

Для приближенного учета изменения во времени модуля
упругомгновечной деформации используем вместо
ее приближенное представление. Введем функцию

u(t - г)

О, если t — т > h,
1/h, если t — r<h.

Здесь h - малое положительное число.

5 -функции

(2.94)

(2.95)

Заменяя 6 (t — т) функцией u(t — т), получим
t

ev(t) = (1/Ео) [ov(t) + J [По(t,т) + M(t)u(t-r)]x
То

xov(т) dr]. По (t, т) = Eon(t, т).

Напряжения и деформации помечены индексом ”v” для отли-
чия их от соответствующих величин, связанных соотношением
(2.90). Покажем, что при достаточно малом h и t — т0 > h
функции e(t) и ev(t) сколь угодно близки, если o(t) = av(t).

Разлагая а (г) в ряд Тейлора в точке т > t> + h и интег-
рируя последнее слагаемое, получим

1	1

e(t) =— [*(0 + J n0(t,T)a(r)dT + jLi(t)(a(t)-

Ео	то

o'(t)

+ ...)].	(2.96)

Сравнивая (2.96) с выражением (2.90), найдем

д(0

o'(t)

o"(t)

Eo

2!

Последнее выражение становится сколь угодно малым при
достаточно малом h. Если а = av = const, то все производные рав-
ны нулю и ev(t) = e(t) при любом h и t — т0 > h. Пусть теперь
функция e(t) = ev(t) задана, а функция a(t) и a*(t) определяют-
ся из уравнений (2.90) и (2.95). Из (2.90) имеем:

[av(t) + g(t) ov(t) + I По (t, т)o'(т) dr] /Ео =

то

Д(0

Ео

o’(t)

2!

a''(t)

(2.97)

Уравнения (2.90) и (2.97) отличаются только правыми частя-
ми. При достаточно малом h правая часть уравнения (2.97) сколь
угодно близка к е (t). В силу ограниченности обратного операто-
ра сколь угодно близки и решения уравнений (2.90) и (2.97).
Из интегрального представления функции оператора [формула
(13) прил. 1] следует также, что при t — т0 > h сколь угодно
близки произвольные регулярные функции операторов К* и К*
с ядрами По (t, г) + д (t) u (t — т) и По (t, т) + д(t)6 (t, т), если
ряд, определяющий функцию оператора К*, сходится.

Таким образом, зависимость в Аории наследственного
старения может быть приближенно принята в виде (2.95). Яд-
ро соотношения (2.95) является ограниченным [или слабосин-
гулярным, если функция По (t, г) содержит слабосингулярное
слагаемое], поэтому при решении задач операторными методами
никаких специфических трудностей не возникает.

Сравним удельные деформации, соответствующие соотноше-
ниям (2.90) и (2.95). При a(t) = о (t) = 1, положив т0 = т проин-
тегрировав (2.90) и (2.95), получим .

5(t, т) = 1/Е(т)+C(t, т),

(2.98)

§V(t’T) =F7Y +C(t’T) +k— [1+^>	-

Е(т)	Ео	h

1

Ё(0

, если t — т < h,

(2.99)

ov(t, т) = 1/Е(т) + С (t, г), если t — т > h.

(2.100)

Таким образом, удельная деформация 5 (t, т) отличается от
6V( t, т) только при t — т < h (рисунок).

Обозначим

CV(t, т) = 6v(t, т) - 1/Е0.

(2.101)

Тогда при t — т < h

Cv(t, г) = 1/Е(т) - 1/E(t) + C(t, т) + p(t) (t - т) /

Z(Eoh),

(2.102)

а при t — т > h

Cv(t,r) = 1/Е(т) — 1/Е0 + С (t, г).

(2.103)

1 Здесь 5(t, г) - общепринятое обозначение удельной деформации,
которое не следует путать с обозначением 6-функции.
5 ftp) Ik kcltfi

Аппроксимация опытной меры удельной деформации 5 (t, 7) функцией

Ядро уравнения (2.95) связано с мерой ползучести Cv(t, т)
соотношением

K(t, т) = -Ео --- С (t, т).	(2.104) .

Эт

Отметим, что для больших значений t, г Cv(t, т) C(t, т) и
ядроК(г,т) *n(t, т).

Приближенное представление 6-функции не обязательно при-
нимать в виде (2.94). Вместо функции u (t — т) можно использо-
вать любую другую, принимающую большие значения при t — т <
< h и исчезающую при t — т > h. Единственным условием являет-
ся равенство единице интеграла от принятой функции на интер-
вале [t — h, t]. Физически это означает, что фактическая удель-
ная деформация 6v(t, т) заменяется некоторой деформацией
5v(t, т), отличающейся от 5(t, т) в узкой полосе т < t < т + h.
Поэтому при аппроксимации ядра не обязательно принимать
функцию Cv(t, т) в виде (2.102) и (2.103). Можно аппрокси-
мировать некоторым аналитическим выражением непосредствен-
но опытную функцию 5 (t, г) — 1 /Ео, т.е. отсчитывать меру пол-
зучести от ординаты 1/Е0 (рис. 2.1). После подбора параметров
аналитической функции, ядро ползучести определится из соот-
ношения (2.104).
ГЛАВА 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ ИЗ АРМИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Большой практический интерес представляет задача расчета
стержневых систем, материал которых обладает свойством пол-
зучести. В монографии [76] на основе рассмотрения системы
общего вида получены интегральные уравнения метода сил и
показано, что если элементы изготовления из одного материала,
задача приводится к расчету упругой системы на фиктивные
внешние воздействия. Для расчета систем из наследственно-уп-
ругих элементов предложен символический метод.

Наибольший практический интерес представляет задача расчета
систем, состоящих из армированных элементов. В работе [89]
получены интегральные уравнения метода сил, описывающие на-
пряженно-деформированное состояние системы, состоящей из
несимметрично армированных железобетонных элементов. Вопро-
сы решения системы уравнений метода сил рассматривались в
[72,85].

В работе [17] для систем из железобетонных стержней построе-
ны уравнения методов перемещений и смешанного. Здесь рас-
сматривается задача расчета статически неопределимых стержне-
вых систем из неоднородно армированных элементов, основной
материал которых обладает свойствами ползучести и старения.
Наследственной задаче поставлена в соответствие задача расчета
некоторой упругой системы, жесткости элементов которой и
конфигурация осей расчетной схемы зависят от параметра X.
Показано, что решение задачи с учетом ползучести материала
можно получить, заменив в решении упругой задачи параметр X
оператором Н*, описывающим деформативные свойства основно-
го материала элементов. Доказываются теоремы взаимности
реакций, перемещений, реакций и перемещений. Рассмотрен
случай, когда возраст материала элементов системы различен.

Фактическая реализация решения может быть получена каким-
либо из методов, приведенных в гл. 4. Применение их позволяет
построить решение задачи с учетом ползучести материала на осно-
ве численного расчета соответствующей упругой системы.

1. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЕ АРМИРОВАННОГО ЭЛЕМЕНТА

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние армиро-
ванного элемента, подверженного действию изгибающего момента
Mx(t) = M(t) и нормальной силы N(t), направленной вдоль оси
z, рис. 3.1. Принимаем следующие допущения: сечение элемента
симметрично относительно оси у; при деформации сечения
элемента остаются плоскими, основной материал работает без
трещин; связь между напряжениями и деформациями основного
Рис. 3.1. Напряженно-деформированное состояние армированно-
го элемента

а — сечение элемента; б — эпюра деформаций; в — эпюра усилий

материала описывается теорией наследственного старения, мо-
дуль упругомгновенной деформации не зависит от времени,
арматура работает упруго.

Интегральные уравнения, описывающие напряженно-деформи-
рованное состояние элемента при принятых допущениях, построе-
ны в работах [89, 85]. Здесь аналогичные зависимости даны в
операторной форме. Эта форма используется при формулировке
принципа соответствия, на котором основан операторный метод
расчета неоднородно армированных статически неопределимых
стержневых систем [36,42].

Напряженно-деформированное состояние элемента единичной
длины описывается следующими уравнениями.

Закон ползучести основного материала

е(у, t) = Е 0*(1 + Н*)а(у, t).	(3.1)

Закон Гука для арматуры

<4(0 = Еаеа(г) •	<3-2>

Уравнения равновесия:

? ЗДО) + J о (у, t)dF = N(t);	(3.3)

*	F

? Yi + J У® (У, t) dF = M (t).	(3.4)

F

Закон плоских сечений

e(y> t) = e0 (t) + w(t) y; e*(t) = e0 (t) + w(t) y^	(3.5)

В уравнениях (3.1) — (3.5) Ео — модуль упругости основного мате-
риала; Еа — модуль упругости арматуры; F* — площадь сечения i-ro стерж-
ня; F - площадь сечения основного материала; €о - деформация волок-
на на уровне центра тяжести арматуры; ox.t) — взаимный угол поворота
поперечных сечений, ограничивающих элемент единичной длины; (7,	—

напряжения основного материала и i-ro стержня арматуры; е и — соот-
ветствующие деформации.

Координата у отсчитывается от центра тяжести арматуры. Опе-
ратор Н* в общем случае неинвариантен относительно начала
отсчета времени.

Из уравнения (3.1) получим:

ff(y.t) =Е0 [I — R*(—1)]е(у, t),

(3.6)

где R*(-l) - резольвента Н* с параметром -1.

Подставив о и в уравнения равновесия и учитывая (3.6),
будем иметь:

FnP - (F/Fo)R*(-l)]eo(t) + S[I -R*(-l)]cu(t) = N(t)/E0;

S [I - R* (-1) ] eo (t) + Jn [I - (ЛJn) R* (-1) ] co (t) = M (t) /Ео; I

ще F - S F1, J_ - S F1 у2 - суммарная площадь сечения и момент инер-
а а ® а а

ции арматуры; S, J - статический момент и момент инерции основного
материала относительно центра тяжести арматуры:

S = ) ydF, J= j/dF.

F	F

Система интегральных уравнений (3.7) имеет решение:

co(t) =Q7‘ (H*)M(t) — Q31 (H*)N(t);'
eo (t) = Q71 (H*) N (t) - Qj1 (H*) M (t), ’

где (X1 - операторы, обратные операторам:

Qt(H*) = gt(I - aH*/(I - PtH*) -	(I - 7|H*)) =

= gv(I - atR* Ц) - (3tR* (7t) ) (1= 1, 2,3).	(3.9)

Числовые параметры в выражении (3.9) имеют вид:

gr =E0D/Fn; g2=EoD/Jn; g3=E0D/S;
<h = (JF - S2)Fn/DF; a2 = (JF - S2)Jn/DJ;

a3 = (Jn - J) (Fn -F)/D;

D = JnFn-S2; Д1=д2 = 1; д3 =0; T1=-1+f/F ;	^31°^

72 = -1 + J/Jn; 73 = -1; (h = (Fn - F)2S2/DFnF;

& = (Jn - J) 2 S2 /DJnJ; 03 = (JF - S2 ) /D.

Таким образом, если известны усилия N(O и M(t), то дефор-
мации могут быть найдены из соотношений (3.8) и (3.5), после
чего напряжения определятся по формулам (3.2) и (3.6).

Отметим, что, используя формулу обращения агрегата резоль-
вентных операторов [77], можно выразить оператор Q”1 (Н*)
через сумму двух резольвентных операторов. На основании тео-
ремы расщепления [формула (12) прил. 1] напряжения в основ-

ном материале и арматуре также выразятся через сумму резоль-
вентных операторов, воздействующих на функции N (t) и М (t).

Таким образом, все компоненты напряженно деформированного
состояния легко определяются, если найдены внутренние усилия
в элементе.

Если центр тяжести основного материала совпадает с центром
тяжести арматуры, то полученные соотношения существенно
упрощаются. Так как S = 0, система (3.7) распадается на два
независимых уравнения, решение которых:

w(t) = (1/ЕоJn) [1+ (J/Jn)R*(72)]M(t);|
e0(t) = (l/E0Fn) [1+ (F/Fn)R*(71)]N(t).J

(З.П)

2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ

Рассмотрим п раз статически неопределимую систему, состоя-
щую из г различных элементов. Под элементом понимается стер-
жень или часть стержня, в пределах которой геометрические ха-
рактеристики сечения не изменяются.

Полагаем, что система находится под действием группы сил,
изменяющихся пропорционально параметру P(t). Если силы,
действующие на конструкцию, изменяются во времени по раз-
личным законам, то решение может быть получено на основе
суперпозиции.

Образуем основную систему, отбросив п связей и заменив их
влияние неизвестными усилиями Xi (t),..., Х„ (t). Перемещение
по направлению Х1 в основной системе, вызванное причиной (воз*
действием) ”

△ia(t) = s [J M.(z)toa(z,t)dz + J Ni(z)eOa(z, t)dz].(3.12)

S = 1 ls

Здесь M|(z) и N-(z) — изгибающий момент и нормальная сила в основной
системе от силы X. = 1;	(z, t) и egfl(z, t) - угол поворота и осевое

перемещение сечения с координатой z, вызванное воздействием ”а ”,
изменяющимся во времени; 1 - длина s-ro элемента.

Если перемещения вызваны силой
(3.8) следует:

Xj (t), то из соотношений

(t) = S (f «i (z) [Q-J‘ (H*) M. (z) - Q jg (H*) ft (z) ] X

4 s =1 4	_ J	_ J (3. 13)

x Xj (t) dz + J Fq(z) [Q^(H*) Nj (z) - Q-3‘s(H*) Mj (z) ] Xj*

1	ls

Перемещение от внешней нагрузки

△i р (t) = S (/	(z) [Q] * (H*) Mp (z) — Q3» (H*) N (z) ] X

s = l(i	F	r

О .

xP(t)dz + S N^z) [Q2s(H*)Np(z) -(#8(Н*)Мр(г)] x
ls

xP(t)dzj,

гце Mp и Np

- усилия от нагрузки P(t) =P = 1.

Обозначим:

uijS) = J Mi(z)Mj(z)dz;	/ Ni(z)Nj(z)dz;

vs	h

wij = f [Mi(z)Nj(z) +Mj(z)Ni(z)]dz;

ls

(s) _	_	(s)	__	_

uip = * M1(z)H,(z)dz; v„ = J N-(z)N (z)dz;

ls	ls

(s)	_	_

wip = I Iм! (z) Np (Z) + M (z) Ni (z) ] dz.

ls

(3.14)

(3.15)

(3.16)
Из условия отсутствия перемещений по направлению отбро-
шенных связей получим систему интегральных уравнений метода
сил

п

LAj (Н*) Xj (t) + Dip(H*) P(t) = 0, (i = 1,..., n).	(3.17)

Здесь операторы L • и D. имеют вид:
J	Jk

s = l	J

(s)	,

-wij Q3‘s(H*)b

mh-) [u ^SW> -

(s)	,

-wip Q3s<H*)l-

(3.18)

(3.19)

Если стержневая система подвержена деформационным воздей-
ствиям, вызывающим в основной системе перемещения А|т(0
по направлению i-й связи, то уравнения метода сил принимают
вид:

S Ц.(Н*)Х.(0 +A1T(t) =о (i=l,...,n).
J	J

j = l

(3.20)

3.	ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ

Операторы (3.18) и (3.19), фигурирующие в уравнениях
(3.17), являются рациональными функциями оператора Н*.
Это позволяет решить систему операторным методом. Поста-
вим в соответствие уравнениям (3.17) систему линейных алге-
браических уравнений, зависящих от параметра X:

S Ь. (Х)Х° + D (X) =0 (i = 1,..., п).	(3.21)

j = l

Здесь:

г (s) (s)

-wijS)oiOTi.	<3-22)
Г (s)	1	(s)	.

DipW= 2 (“ip Q'ls<X)+vip QisM-
s = 1

-wi?Q3s(x)b

Q^x) = gfe(l - OfeX/1 - AfcX - / VK1 - V> •1

(3.23)

(3.24)

Выражения (3.22) — (3.24) получены в результате замены опе-
ратора Н* параметром X в формулах (3.9), (3.17), (3.18).

Функции Х?(Х), . . . , Х^(Х),удовлетворяющие уравнениям
(3.21), являются дробно-рациональными функциями параметра
X. Покажем, что точка X = 0 не является особой.

Положив X = 0, и, учитывая соотношения (3.10) и (3.15),
получим

Ц. (0) = 2 { [FnJM1M.dz + JjJNiftdz -

J	V	J	«J

- s / (M^ + Mj Nj) dz]} / [Eo (JnFn - S2 ) ],	(3.25)

где суммирование распространяется на все элементы.

В выражении (3.25) все геометрические характеристики
определены относительно осей, проходящих через центры тя-
жести арматуры элементов. К этим же осям приведены усилия
Nr

Приведем геометрические характеристики к осям, прохо-
дящим через центры тяжести приведенного сечения элементов,
которые расположены на расстояниях SJF от центров тя-
11м

жести арматуры. К этим же осям приведем усилия Np Учитывая,
что

М- = М.' + NjS/Fn, Mj = Mj + N^/F^

•r	J	J

получим

4i(0) =2 {(1/EoJ„) jM'Mjdz+ (l/EoFn) JN^dz) .

J	J

(3.26)

Здесь = EaJ^/E0 + J',

J & и J1- моменты инерции арматуры и основного материала относительно
центра тяжести приведенного сечения.

Таким образом, при X = 0 параметры Ly совпадают с единич-
ными перемещениями в основной системе метода сил для упругой
конструкции, а уравнения (3.21) образуют систему канонических
уравнений. Эта система имеет единственное решение, поэтому
точка X = 0 принадлежит к области регулярности и в некоторой
окрестности ее каждая из функций 52 (X) разложима в ряд Мак-
лорена. Таким образом, функция оператора Xj (Н*) существует.

Покажем, что система функций

X! (t) = X? (Н*) P(t)..xn(t) = Х° (Н*) P(t)

(3.27)

удовлетворяет уравнениям (3.17). Для доказательства восполь-
зуемся интегральным представлением функции оператора [фор-
мула (13) прил. 1]. Подставляя выражения (3.27) в уравнения
(3.17), получим:

п

S Ьу(Н*)^(Н*)Р(О +Dip(H*)P(t) =

1 п

---- /1 j 4j (х) <х>+% <х> 1 w<x>

Так как функции X- (X) являются решением уравнений
(3.21), выражение в квадратных скобках под знаком интеграла
равно нулю. Таким образом, уравнения (3.17) тождественно
удовлетворяются. Аналогично может быть решена система (3.20).

4.	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЛЬТЕРРА
И ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ

Аналог принципа Вольтерра. На основании результатов, при-
веденных в п. 3, внутренние усилия в элементах системы могут
быть представлены в виде
п

M(t) = [Mp+ 2 M.X?(H*)]P(t),
j = l
n

N(t) = [N + S №Х?(Н»)]Р(0.
j =1

(3.28)

Здесь нормальные силы N(t) полагаются приложенными вдоль
осей zg, проходящих через центры тяжести арматуры элементов.
Эти оси являются осями расчетной схемы, из которой образует-
ся основная система метода сил. Таким образом усилия Mj,
Nj, Mp, Np определяются в основной системе, оси которой сов-
падают с осями zg. Указанную систему будем для краткости на-
зывать системой R.

Выясним механический смысл уравнений (3.21). Рассмотрим
фиктивную упругую систему (систему Ф), продольные оси эле-
Рис. 3.2. Фиктивная упругая
система ”Ф”
---------оси, проходящие че-
рез ц. т. арматуры; —-— оси

фиктивной системы; _J_— жест-

кие консоли

ментов которой Zqs расположены на некоторых расстояниях
Уд$от осей zs, но жесткие узлы и шарниры остаются на осях
zs. Внешние нагрузки в системе Ф также полагаются приложен*
ными к точкам на осях zs (вынесены на консоли). Пример фик-
тивной системы приведен на рис. 3.2, где оси Zqs показаны пунк-
тиром.

Внутренние усилия в основных системах Ф и R, вследствие
их статической определимости, связаны соотношениями:

M^Mi-yoNp Np°=Np; M^=Mp-y0Np. (3.29)

Полагаем, что центры тяжести фиктивных сечений в системе
Ф расположены на осях Zqs, поэтому деформации могут быть
найдены по формулам:

= М»/^,	= №/Bn,

(3.30)

Где Вж« и Вхт - жесткости элементов при изгибе и осевой деформации;
о .	о

ez0 ~ деформации волокна на уровне оси Zq$; со - взаимный угол по-
ворота сечений, ограничивающих элемент единичной длины.

В силу (3.30) коэффициенты канонических уравнений мето-
да сил для системы могут быть вычислены по формуле Мора

= I й;«)<1г + в№< N?N?dz).

(3.31)

s

S
Используя соотношения (3.29) и выражения (3.22) - (3.24),
можно показать, что бу (X) = L-- (X), если принять:

J	J

yOs = ’>3s(X)SS/<’"ls(X)Fns); BMs(X) = ЕоJns(l -xs)/*ls(X) ;

Xs ^ns^ns^ ’

BNs (X> =	C1 “ *s> I >1 s <x)	-

(3.32)

- »*3s(X)xs)’

«^(x) = (i-aiex/(i-Mlsx) -ptex/(i-Tlsx))-',

где Fns, JnST Ss — приведенная площадь, момент инерции и статический
момент s-ro элемента, причем J и S определяются относительно центра
тяжести арматуры.	s

Таким образом, уравнения (3.31) могут рассматриваться как
канонические уравнения метода сил фиктивной упругой системы,
жесткости элементов которой и положение осей зависят от пара-
метра X. Отметим, что при X = 0 оси Zqs проходят через центры
тяжести приведенных сечений.

В случае армирования, симметричного относительно центров
тяжести основного материала элементов, Ss = 0 и соотношения
(3.32) принимают вид:

yos=°;

(3.33)

В^Х) =EOJTO[1 -JsX/Jns(l +Х)];

Bns(X) =E0Fns[l -FsX/(Fns(l +X))].

Таким образом, при симметричном армировании оси фиктив-
ной упругой системы совпадают с осями zs, проходящими через
центры тяжести элементов.

Используя зависимости (3.8), (3.24), (3.30), (3.31), можно
показать, что справедливы следующие соотношения:

M(t) = М°(H*)P(t); N(t) = №(H*)P(t);

е0 (t) = е° (H*)P(t); со (t) = w° (H*) P(t);

(3.34)

где M° (X) = Mo (X) + У о (X) № (X) - изгибающий момент в фиктивной
системе при переносе нормальной силы к оси z ; № (X), Mo (X) — внут-
ренние усилия, найденные в результате расчета системы Ф; е°(Х) =
= ez°Q (X) - о>°(Х)уо(Х) - деформация волокна на уровне оси z&;
△kp(O ~ перемещение с учетом ползучести по направлению ”к”;

(X) — соответствующее перемещение в системе Ф, вычисляемое по
формуле Мора.

Таким образом, внутренние усилия, деформации и переме-
щения с учетом ползучести материала можно найти, заменив
параметр X оператором Н* в решении задачи для фиктивной упру-
гой системы. Полученный результат является аналогом принципа
Вольтерра.

Для расчета системы Ф не обязательно использовать метод
сил. Усилия, деформации и перемещения как функции параметра
X могут быть найдены любым известным методом строительной
механики (деформаций, смешанным или комбинированным).
Если эти зависимости получены в явном виде, то можно по-
строить точное решение задачи теории ползучести, используя
аппарат алгебры резольвентных операторов.

В общем случае такой путь практически неприемлем, так
как функции Х° (X), М° (X), № (X),	(X) затруднительно

получить в виде аналитических выражении^ В то же время чис-
ленный расчет системы Ф при конкретных числовых значениях
параметра X не встречает никаких трудностей.

Методы приближения функций вольтерровых операторов,
развитые в гл. 4, позволяют построить решение задачи с учетом
ползучести и старения материала на основе численного расчета
фиктивной упругой системы при нескольких значениях пара-
метра X. Расчет упругой системы может быть выполнен на ЭВМ
существующим программам.

Теоремы взаимности. Покажем, что для системы армиро-
ванных элементов, основной материал которых обладает свой-
ствами ползучести и старения, справедливы теоремы взаимности
реакций, перемещений, реакций и перемещений.

Очевидно, что соответствующие теоремы имеют место для
фиктивной упругой системы Ф, поэтому

Sij W = 5j°i W ’ rij (X) = rj°i (x). riJ (X) = -Spi (*).	(3.35)

где г-? — реакция i-й связи на единичное перемещение j-й; г.° - реакция

Ч	«л 1	**

i-й связи, вызванная нагрузкой Р

- перемещение по направле-

нию силы Р от единичного перемещения i-й связи.

Из представления (13) прил. 1 следуют равенства:

5ц(0=5у(Н*)1=«Л(Н*)1 = 5



г., (t) = rS (Н*) 1 = гЛ (Н*) 1 = ГН (t);

М‘>= г1р(Н*>1 =	(Н,) 1'
выражающие теоремы взаимности.

Отметим, что теорема взаимности реакций и перемещении не
имеет места, если основной материал различных элементов систе-
мы обладает различными реологическими свойствами. Это пока-
зано в п. 5.

5.	СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ РАЗЛИЧНОГО ВОЗРАСТА

Принцип Вольтерра может быть распространен на случай, ког-
да элементы системы различаются возрастом материала, но ар-
мирование симметрично и однородно.

Зависимость между напряжениями и деформациями для неод-
нородно стареющего материала удобно принять в форме закона
релаксации:

а(.У, t) = Е0[е(у, t) - f Ht + Xg.r + x^x
то

xe(y,r)drL

(3.37)

где xs — возраст материала s-ro элемента к моменту начала отсчета времени.

Ядро релаксации связано с мерой релаксации U (t, т) соотноше-
нием	$

r(t, т) = —Ео1-----U(t, т).	(3.38)

Эт

Функция U(t, т) может быть получена непосредственно из
опытов на релаксацию. Пусть мера релаксации

U(t, т) = 4>(r)v(t - т), </>(т) = Со + Аехр(—0т).

(3.39)

Выражения вида (3.39) предлагались для аппроксимации меры
ползучести C(t, т). Функция U(t, т) имеет аналогичную структу-
ру, поэтому может быть достаточно точно аппроксимирована
выражением типа (3.39).

С учетом (3.38) и (3.39) соотношение (3.37) принимает вид:

o(y,t) =E0[I-r1*-Xsn]6(y, t),

Где

xs = exp(-xs/3); Г1 (t — т) = EjC0ф'(t-т);

(3.40)

Га (t, т) = Е“о Аехр(-0т) [|ЭД (t - т) + ф' (t - т) ].

Принимая начало оси у в центре тяжести элемента, получим
соотношения, связывающие внутренние усилия и деформации:
Ео Ind - *МГ? - РМ$Е?) (0 = М (t);

Ео Fn О - ¥? - "Ns1?) e0 (t) = N (t);
F/Fn^Ms XSJ/JS, pNs XsF/Fn •	(3.41)

В выражениях (3.41) предполагается, что параметры и
не зависят от номера элемента (армирование однородно).

Рассмотрим случай, когда влиянием нормальных сил на де-
формации системы можно пренебречь. Введем операторы:
0-=[1-*мП1;	+	(3

Н,* - 0Г|; Щ - r2»S,

где Ri (г^) ~ резольвента ядра Г i с параметром 19^.

Для регулярной функции F операторов Щ и HJ имеют место
соотношения:

Q-‘F(HT)Q = F(H!); QF(H?)Q-‘ = F(Hf).	(3.43)

В силу зависимостей (3.41) - (3.43) для деформации w(t)
можно получить два эквивалентных выражения:

w (0 = BMs (Щ) $м (t). « (t) = QB^ (HI) М (t),	(3.44)

ще В Ms (H *) = Eo Jn[I - PMsHj^ ] * (k = 1,2).	(3.45)

Пусть напряженно-деформированное состояние вызвано внеш-
ней нагрузкой P(t). Используя для определения перемещений в
основной системе формулу (3.12) и последнее из выражений
(3.44) получим систему интегральных уравнений метода сил
типа (3.17), где функции Ly и от оператора Н$ имеют вид:

г 48)вй(н».

J	S = 1	(3-46)

^(НП-Ди/рЧдн!),

а параметры u(s) И u<s) определяются по формулам
ij* ip

(3.15) и (3.16). Поставим в соответствие уравнениям (3.17)
систему (3.21), в которой функции параметра X определяются
выражениями:

Lij(X)= S uJjS)BMls(X); Dip(X)= Е u^B^( X). (3.47)
s - 1	s = 1

Как следует из (3.47), параметры Ly и совпадают с коэф-
фициентами и свободными членами уравнений метода сил упру-
гой системы, жесткости элементов которой зависят от параметра

°'48’
Таким образом, решение системы уравнений метода сил имеет
вид:

Xj(t) =Xj(H!)P(t),	(3.49)

причем, функции X- (X) представляют собой усилия в лишних
связях соответствующей упругой системы.

Используя соотношения (3.44) и (3.49), нетрудно получить
следующие выражения для внутренних усилий, деформаций и пе-
ремещений:

M(t) =M°(H?)P(t), N(t) =№(H?)P(t),

(3.50)

w(t) = Qw°(H$)P(t), Akp(t) = QAkp(HJ)P(t),

тде функции M° (X), № (X), o>° (X). A^p представляют собой внутрен-
ние усилия, деформации и перемещения соответствующей упругой систе-
мы.

В случае когда система элементов подвержена деформацион-
ным воздействиям, вызывающим в основной системе метода сил
перемещение △^(О по направлению i-й связи, решение задачи
теории ползучести может быть получено в виде:

Xj(t) =Q-1Xj(Hf)AiT(t);

M(t) = Q-*M°(H* )AiT(t); N(t) = Q-*N°(H^ )AiT(t) ;L (3.51)

o>(t) =co°(H*)AiT(t); AkT(t)=AkT(Hf)AiT(t).

В рассматриваемом случае используется оператор .

Соотношения (3.49) — (3.51) представляют собой математичес-
кую формулировку принципа Вольтерра для систем армирован-
ных элементов из неоднородно стареющего материала.

Используя выражения (3.50) и (3.51), нетрудно показать,
что теорема взаимности реакций и теорема взаимности переме-
щений остаются справедливыми, а теорема взаимности реакций
и перемещений перестает быть верной. Действительно,
riP(О = Чр(Н!) 1; -5pi(t) = (Hf) 1 = r?p(HT) 1.

Таким образом, третье из равенств (3.36) не имеет места,
так как Щ #	.

Все изложенные результаты остаются справедливыми, если
деформации системы определяются воздействием нормальных
сил, а влиянием изгибающих моментов можно пренебречь. Сле-
дует только в полученных выражениях заменить моменты инер-
ции I и 1п площадями сечений элементов F и Fn, а параметры
и Vjyjs “ параметрами ^nhpNs*
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Как показано в гл. 2, решение задачи теории ползучести при
уравнениях состояния достаточно общего вида может быть пред-
ставлено в форме:

°ij (х, t) =	(х, Н*) f (t),..., 1ь(х, t) = и*- (x, H*) f (t),

причем функции оператора появляются в результате замены па-
раметра X оператором Н* в выражениях Оу (х, X), . . . , lQ(х, X),
представляющих собой решение задачи для упругого тела. За-
висимость решения упругой задачи от X в большинстве практи-
ческих случаев в аналитической форме получить затруднительно,
но значения функций а у , . . . , и? в узлах Xj могут быть найдены
в результате численного решения. Расчет статически неопредели-
мых систем армированных элементов также приводится к вы-
числению функций оператора Н*, воздействующих на известную
функцию времени.

Далее развивается ряд методов вычисления функций вида
<^(t) = F(H*)f(t) на конечном интервале времени. Применение
их позволяет эффективно реализовать принцип Вольтерра и
его обобщения в случаях, когда решение соответствующей задачи
для упругого тела является трансцендентной функцией параметра
X или задача решается численно. Для реализации решения исполь-
зуются значения функции F (X) в некоторых узлах Xj.

Развитые методы оказываются эффективными при решении за-
дач как для однородных, так и неоднородных тел.

Приведенные здесь результаты получены в работах [35, 36,
39,41,44].

1. ОБ ОДНОМ ВОЗМОЖНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

Полученное представление решения уравнения типа Вольтерра
позволяет обосновать некоторые методы приближения функций
оператора, развитые в этой главе. Представление может быть ис-
пользовано также для приближенного решения уравнений этого
типа. Рассмотрим интегральное уравнение типа Вольтерра 2-го
рода

y(t)-/3H*y(t)=^0(t),	(4.1)

в котором y(t) - искомая; <A>(t) - заданная функция; /3 - параметр
уравнения, в общем случае комплексный.

Классическое решение уравнения (4.1) представляет собой
ряд по степеням параметра 0:
y(t) =V’o(t)+0R*(|3)</’o(t);	(4.2)

oo	oo

R*(0)<A>(t)= S /3n - ^*^0 (t) = 2 /?n-^n(t),	(4.3)

n = 1	n = 1

где <£n(t) - итерированные функции; R*(j3) резольвента H*.

Получим представление решения в несколько иной форме.

Наряду с (4.1) рассмотрим уравнение

Ут (0 - 0Н*Ущ(0 = *0 (t) + 5Qm (Н*) к (t),	(4.4)

в котором Qm(H*) — некоторый полином от оператора;
m - 1

Qm(H*M(t) = ( Z anH*n + H*m)<p0(t) =
n =0

m - 1

n = 0

5 - пока неопределенный параметр.

(4.5)

Коэффициенты ап полагаем заданными.

Уравнение (4.4) отличается от (4.1) дополнительным слагае-
мым 5Qm(H*)^0(t) в правой части. Для решения этого урав-
нения используем метод неопределенных коэффициентов [57].

Положим

m - 1	m - 1

Ущ(0= 2 anH%o(t)= S a^t),
n =0	n =0

где a — неопределенные коэффициенты.

(4.6)

Как отмечалось в п. 2 гл. 2 итерированные функции линейно
независимы. Подставляя (4.6) в уравнение (4.4) и приравни-
вая коэффициенты при <Pn(t), получим систему рекуррентных
соотношений:

ао = 1 + дао;

an = Pan_i+6an(n=1>.

• >m— 1);

(4.7)

^-1+5 = 0-

Из первых m соотношений найдем:
ао = 1 + 8ао;

а! = 0 +8(flao taj;

а2 =02+6(02ао +0ai+a2);
(4.8)

am_ i=0m“1+6(0m_ 4 + 0m 2at +••• +

+ ^am — 2 + am — 1) •
✓

Используя последнее соотношение (4.7), получим

s = -(л, +O,/S +.. , + «m ]/рш_ , + l/u1")'1"

-1/Qm	<«)

Таким образом, уравнение (4.4) удовлетворяется конечным
разложением по итерированным функциям.

Вычитая уравнение (4.4) из (4.1), найдем
em(t) - 0H*em(t) = -6Qm(H*M (t),
откуда
€m(t) = -5 [eo (t) + 0R*(0) ]eo (t).

Здесь:

em(t) =У(0 -ym(t),
eo(t) =Qm(H*)Mt).

Таким образом, решение исходного уравнения можно пред-
ставить
m - 1

y(t) = ymW +	= 2 an(0)*’n(t) +

п = О

(4.Ю)

(4.11)

(4.12)

+ (1/Qm(1/0) [е0 (t) + 0R*(0)eo (t)].

(4.13)

Полученный результат представляет самостоятельный интерес,
так как может быть использован для приближенного решения
уравнения (4.1). Распорядимся коэффициентами ап таким об-
разом, чтобы уклонение функции е0 (t) от нуля на рассматривае-
мом интервале [т0, т ] было по возможности малым. Для этого
можно минимизировать максимальное или квадратичное укло-
нение, или приравнять е0 (t) нулю в m точках коллокации. По-
следние два критерия приводят к системе линейных алгебраичес-
ких уравнений относительно ап.

Если величина /З-1 не очень близка к корню полинома Qm(X),
то функция 5em(t) будет мала и функция ym(t) близка к y(t).
После определения «п и 6 по формуле (4.9) коэффициенты
ап удобно вычислять непосредственно из рекуррентных соот-
ношении (4.7). Отметим, что при любом m условие «о = «1 = • • • =
= «т_ 1 = 0 дает

8 = -0т,	^ = 1, а1 =<3,...,ат_1=0т-1,

т.е. приближение отрезком ряда (4.2) есть частный случай рас-
сматриваемого. При этом

е0 (t). = Н*га^0 (t)

и погрешность приближения имеет вид:

ет(0 = fl™ [H*"Vo (t) + 0R*(/3) (Н*"\>0 (t)) ].	(4.14)

Эффективность рассматриваемого метода приближенного ре-
шения уравнений определяется тем, что уже при небольших m
уклонение от нуля функции (4.12) может быть сделано малым
за счет выбора коэффициентов «п, в то время как функция
H*m^0 (t) стремится к нулю более медленно.

Проиллюстрируем эффективность метода на примере уравне-
ния с ядром Лбеля

У(0 -/3 S ~~-y(r)dr= 1.	(4.15)

о Г<в + 1>

Рассматриваемый интервал времени полагаем нормированным
к интервалу [0,1].

Приближенное решение уравнения (4.15) будем искать в виде:

ym(t)= S ^(0= s antnp/r(np + 1)(р = а +1).	(4.16)

п = 0	п= О

Функция ео (t) в рассматриваемом случае имеет ввд:

m - 1

ео (t) = Qm(H*) 1 = S antnp/r(np + 1) +

n = 0

+ tw/r(mp+1).	(4.17)

Уклонение от нуля функции во (t) будет минимальным, если
принять

eo(t) =Т	1Г(шр+ 1)],	(4.18)

где Т *(tр) = е<ьт) + Ат) tP +... > /т “1)г + 22т ~ 1tmV - сме-
щенный полином Чебышева.
Из (4.18) получим:

ап = Г(пр+ 1)е£п)/[Г(тр+ 1)22т” *],

(4.19)

причем,

max|e0(t)| = [22т“ ^(mpi I)]”1,

te [0, 1].

Таким образом, в рассматриваемом примере коэффициенты
ап связаны простыми соотношениями с коэффициентами сме-
щенного полинома Чебышева и для их определения нет необ-
ходимости решать систему алгебраических уравнении.

После определения ап и 5 параметры ап находятся рекуррент-
но из соотношений (4.7). Табулированный интеграл от дробно-
экспоненциальной функции связан простым соотношением с
решением уравнения (4.15):

*	t

Эа(—i?)l= / Эа(-й, r)dr = [1 -у(1/тл)]/1>,

О

t е [0, т*],	(4.20)

где функция y(t) определяется из уравнения (4.15) при 0 = — й.

Значения функции Эа(-1) 1, вычисленные с помощью соот-
ношения (4.20), сравнивались с табличными значениями [74].
Функция y(t) определялась изложенным методом при различ-
ных т. При т = 8 максимальная погрешность относительно
табличных значений составила 0,0018 (параметр а при расчетах
принят — 0,8).

Решение классическим методом дает ряд

ОО

Э*(-1)1= s (-1)пхп + 1/Г[р(п + 1) +1] (x = tp). (4.21)
п = о

Для получения приближения с погрешностью, не превосходя-
щей 0,0018 на рассматриваемом интервале [0, 5], необходимо
просуммировать около 40 000 членов ряда (4.21).

2.	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ИТЕРИРОВАННЫМ ФУНКЦИЯМ

Как показано в главах 2 и 3, решение широкого класса задач
теории ползучести сводится к вычислению функций вида:

ОО

¥>(t) =F(H*)f(t) = s bnH*nf(t),	(4-22)

П =5 0

где f(t) — известная функция; <p(t) —* искомая величина (напряжение,
деформация в фиксированной точке); Н - оператор Вольтерра.
Будем рассматривать операторы с ядрами H(t, т), неинва-
риантными в общем случае по отношению к началу отсчета вре-
мени, которые описывают деформативные свойства стареющих
материалов. Функция H(t, т) полагается ограниченной в об-
ласти т0 < т < t < т или имеющей особенность вида (t — т)а,
—1<а<0.

Относительно функции F (Н*) полагаем, что соответствующая
функция параметра F (X) разложима в ряд:

ОО

F(X) = S bnXn,	<4-23)

п = О

который сходится в некотором круге |Х| < р, р > 0. При при-
нятых допущениях ряд (4.22) сходится для всех t < °°.

Будем разыскивать приближенное представление функции
<p(t) в виде линейной комбинации итерированных функций.
Положим

ш - 1

V’(t) =4>m(t) + e(t) = S с<т)^п(1)+€(1),	(4.24)

П = О

где <l>m(t) - аппроксимирующая функция; e(t) - погрешность аппрок-
симации; <Pn(t) — итерированные функции:

SPn(t) = H*nf(t) = н\ _ i (t).

Возможность приближения функции <p(t) линейной комбина-
цией первых m итерированных функций очевидна, так как в ка-
честве коэффициентов сп могут быть взяты коэффициенты раз-
ложения (4.22). Однако ряд (4.22) может сходиться медленно
и коэффициенты его в рассматриваемых задачах, как правило,
неизвестны.

В излагаемых далее методах для определения коэффициен-
тов разложения (2.24) используются только значения F(X) в
некоторых узлах Xj. Эти значения, как отмечалось, могут быть
найдены в результате численного решения некоторой задачи тео-
рии упругости.

Пусть Xi, . . . , Xj, . . . — последовательность в общем случае
комплексных чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
в узлах Xj функция F(X) регулярна; при j > j0 все числа Xj
лежат в круге |Х| < р/3. Можно показать, что последователь-
ность функций $m(t) + <p(t), при m + °°, если коэффициенты
c^JJ1) разложения (4.24) совпадают с коэффициентами полино-
мов ₽т—1 W» интерполирующих функцию F(X) в узлах
Xi, . . . , Xj^ [41]. Ограничиваясь конечным значением т, мож-
но построить приближение функции F (Н*) полиномом
Рщ_ 1 (Н*), коэффициенты которого определяются в результа-
те интерполяции функции F(X) полиномом Pm_ j (X). Погреш-
ность приближения определяется выражением [41]

= _1_ faW -|-^1R*(X't)eo(t)]F(X)
2ni w

где - замкнутый контур, обходящий точку X = 0; функции е0, и
оператор R* определены в п. 1.

От выбора узлов интерполяции зависят точность и численная
устойчивость аппроксимации.

3.	ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В КОМПЛЕКСНЫХ УЗЛАХ,
минимизирующих e0(t)

Основной вариант. В выражении для погрешности (4.25) от
узлов Xj зависят как коэффициенты полинома Qm(X), так и
функция времени е0 (t). Задача выбора узлов Xj из условия ми-
нимума погрешности e(t) сложна, так как функция e(t) зави-
сит не только от узлов, но и от аппроксимируемой функции F.
Поэтому целесообразно распорядиться узлами интерполяции
таким образом, чтобы минимизировать на рассматриваемом ин-
тервале времени функцию е0 (t), которая входит сомножителем
в выражение под интегралом (4.25).

Аналогичный подход практикуется и в более простом случае —
при выборе эффективных узлов интерполяционного полинома,
приближающего функцию действительной переменной F(x) на
интервале [—1, 1]. Как известно, погрешность интерполяции
имеет вид:

R° (х) = F<т + О (0Qm(x),	(4.26)

где % - некоторая точка из [-1,1]; F^m +	- (гл + 1) -я производная,

%(*) = (X - Xj) . . . (х - Хт).

Точка 5, а следовательно, и значение F^m + 0 (£ ) зависят от
выбранных узлов Xj. Так как минимум R0 (х) найти затрудни-
тельно, обычно узлы принимаются в корнях полинома Чебышева,
которые доставляют минимум сомножителю Qm(x) в выраже-
нии для погрешности. Хотя такой подход не является строгим,
тем не менее в большинстве случаев он дает хорошие результаты.
Вычислительная процедура метода сводится к следующему.
Функция е0 (t) записывается в виде:
Co (t) = Qm (H*) f (t) = (во + «1H* + ... + am _ jH*m - 1

+ H*m)f(t) = во ¥>o (t) +«!¥>! (t) + ...+

+ ат-1Лп-1(г)+^т(1).

(4.27)

Коэффициенты а0, . . . , ат

_ । выбираются так, чтобы функ-

ция ео (t) была в некотором смысле близка к нулю на рассмат-
риваемом интервале [т0, т*]. Например о» можно найти из усло-
вия минимума квадратичного уклонения от нуля или из усло-
вия равенства е0 (t) нулю в m точках коллокации. Эти крите-
рии приводят к системе линейных уравнений относительно

Как было показано в примере изп. 1, в некоторых случаях
для вычисления решения системы уравнений не требуется.
Корни уравнения

Qm(X) =<хо +aiX + ... + am_ jXm 1+Хт = 0

(4.28)

обычно комплексные, определяют эффективные узлы интер-
поляции Xi,..., X т.

Вектор коэффициентов приближения (4.24) может быть най-
ден из соотношения:

(Cq , Cj,

СШ —

1) =Gu,

(4.29)

где и - вектор с компонентами

иГР(Хр/ П (Xi-Xs)=F(Xi)/Q'm(Xi),
s # i

(4.30)

G = [g:: ] — квадратная матрица, элементы которой определяются рекуррентно

Ч

по индексу i:

g1j = -a0/Xj, gy =gi_ ij-а^_ i/Xj (i = 2,..., m). ' (4.31)
Для проверки может быть использовано равенство:

gmj = 1 G = 1..m).

Модификация. В некоторых случаях удобна следующая моди-
фикация изложенного метода. Функцию <p(t) представим в виде

^(t) =F(H*)f(t) =bof(t) +h(t),

(432)

где h(t) = Fj(H*)f(t), Fl (H*) =F(H*) - b0, b0 =F(0).
Так как F (0) есть решение задачи теории упругости, функция
h(t) определяет добавку, обусловленную ползучестью материала,
причем, h(r0) - 0.

Приближение h(t) разыскивается в виде
m

h(t)= S C ^ (t).	(4.33)

n = 1

Вычисление вектора коэффициентов с = (с>,..., ст) сводится
к следующему. Определяются коэффициенты а19 ... , ат, ми-
нимизирующие в некотором смысле уклонение от нуля функ-
т + 1

e0(t)= S ^.(t) (ат+1 = 1).	(4-34)

j = i

Вычисляются корни X- уравнения

Qm(X) = «1 + а2Х + ... + amXm “ 1 + Х = 0.	(4.35)

Элементы матрицы G определяются по формулам (4.31). Ис-
комый вектор с = Gu, причем:

Ui = Ft (^/[Х^СХр].

(4.36)

Если функция f (t) 0 при t = т0, то изложенный способ может
дать лучшее приближение, чем основной вариант метода, так как
все аппроксимирующие функции (t), j = 1, . . . , m удовлетво-
ряют начальному условию </?j(r0) - 0.

Пример. Для иллюстрации метода приведем числовой пример.
Рассмотрим задачу об изгибе длинной равномерно нагруженной
прямоугольной пластинки, лежащей на упругом основании
и шарнирно опертой по длинным краям.

Изгибающий момент в середине короткой стороны идеально
упругой пластинки определяется по формуле [81]:

M = ql2u2(|)/8.

Здесь и2 ф = 2sh£sin£/ [fc2 (ch(2$ + cos(2$)) ],

$ = (1/2)\/3k(l -Po)/(Eoho).

(4.37)

(4.38)

1 h0 - ширина и толщина пластинки; q - интенсивность нагрузки; к - коэф-
фициент постели.

При расчетах приняты следующие числовые значения парамет-

ров:

1= 25 см, ho = 1 см, к= 2,94-Ю7 Н/м3.
Операторный модуль упругости принят:

Б = Ео [I - ХЭ*(0) ] = Ео [I - Х1*(1 - /Л*)’1 ],	(4-39)

♦ ♦

где Эдф) - дробно-экспоненциальный оператор; - оператор Абеля.

Числовые значения упругих и реологических параметров:

Ео = 1910 МПа, р0 = 0,25, 0 = —0,5 (единица времени — 10 ч).

Функция (4.38) после замены Ео оператором Ё становится
функцией одного оператора I*. Представим решение задачи с
учетом ползучести в виде:

M(t) =М(0) M(t)/M(0) =M(0)^(t),

(4.40)

где М (0) - решение задачи теории упругости.

Так как (£(0) = 1, положим </?(t) = 1 + h(t). Функция h(t)
разыскивалась в виде:

4	4

h(t)« 2 cnI*n 1= s cnt°>5n/r(O,5n + l),te [0,10]. (4.41)
n — 1	n = 1

Для определения параметров а- необходимо минимизировать
выражение	J

5	5

e0(t) = 2 в.Л1 = 2 a t°’5j/r (0,5j + 1) (as = 1) .

j=l J j=l J

Значения «i = 2,9212, a2 = -8,0152, a3 = 9,0832, cu = -4,8304
найдены из условия равенства нулю функции е0 (t) в узлах
Й = 1, t2 = 2, t3 =6, t4 = Ю.

Корни, уравнения (4.35): Х^ 2 = 0,90043 ± 0,62888i, Х3 4 =
= 1,5146 £0,35721. Функция Fx (К) = F(X) — F (0) имеет вид: ’
Fj (X) = {u2 [$(X)]/u2 U(0)] - 1).

Для вычисления £(Xj) необходимо в выражении (4.38) заме-
нить модуль упругости величиной:

Ео [1 -XXj(l-0Xj)_1]-

Искомые коэффициенты аппроксимации:

С1 = -1,0291, с2 = 0,78425, с3 = -0,33519, с4 = 0,06067.

В первой строке табл. 4.1 приведены значения функции <p(t) =
= 1 + h(t), причем, функция h(t) вычислялась по формуле
(4.41). Во второй даны значения <p(t), полученные методом,
изложенным в гл. 5, с точностью более трех значащих цифр.
Как видно, погрешность приближения не превышает 0,006 при
аппроксимации всего четырьмя итерированными функциями.

Таблица 4.1

	Значение t
0,0	0,5	1,0	2,5	5,0	10,0
1,000	0,490	0,401	0,317	0,263	0,230
1,000	0,485	0,405	0,315	0,263	0,264

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ УЗЛАХ,
МИНИМИЗИРУЮЩИХ 60 (О

При построении приближения методом, изложенным вп. 3,
используются значения F(X) л узлах Хр которые являются кор-
нями уравнения (4.28) или (4.35), а в общем случае комп-
лексными.

Если функция F(X) известна в виде аналитического выраже-
ния, то определение значении F (Xj) при комплексных Xj не
представляет затруднений. При численном решении соответ-
ствующей упругой задачи для вычисления F (Xj) в комплекс-
ных узлах необходимо решать упругую задачу с комплексными
константами материала.

Хотя численное решение задач теории упругости с комплекс-
ными упругими постоянными не встречает принципиальных труд-
ностей, большинство существующих программ для ЭВМ преду-
сматривает, что упругие константы — действительные числа.
Излагаемый метод позволяет построить приближение в виде
(4.24), используя значения F(Xp в действительных узлах. Та-
ким образом, при решении задачи теории ползучести может ис-
пользоваться существующая библиотека программ для реше-
ния задач теории упругости.

Для определения эффективных узлов X* представим функцию
е0 (t) в виде	3

ео (t) = 0m (Н*) f (t) = (Н* - Хх I) ... (Н* - XmI) f (t).	(4.42)

Минимизируем на интервале [т0, т ] квадратичное уклоне-
ние от нуля функции е0 (t), рассматривая Xi, . . . , Xm как дей-
ствительные переменные. Для этого необходимо найти мини-
мум нелинейной функции m переменных

*

Z = min{U(X1.....Xm) = f [(H*-X,I) ...

To
^•-VHCOpdt.

(4.43)

После отыскания чисел Xj из условия (4.43) определяются
коэффициенты а- полинома Qm(X) = (X — Xi) ... (X — Xm).
Дальнейшие вычисления не отличаются от вычислений по методу,
изложенному в п. 3. Отметим, что найденные числа Xj являются
корнями уравнения (4.28), поэтому решать его нет необходи-
мости.

Узлы Xj, найденные из условия (4.43), не должны быть очень
близкими, так как при этом компоненты (4.30) вектора и ока-
зываются велики и решение численно неустойчивым. Поэтому
при минимизации функции U на переменные следует наложить
ограничения, исключающие их близость. В частности, можно
ввести переменные х* следующим образом:

Х2 =ехрх2 +Xi +△;

(4.44)

Хщ exPxm + Xm_ j

где △ - некоторое заданное положительное число.

Тогда при любых значениях х^ абсолютная величина разности
Х^ — Xj не меньше △.

Отметим, что введение условий (4.44) не усложняет задачи,
так как на переменные х. не налагается никаких ограничений и
задача минимизации функции (4.43) есть задача безусловной ми-
нимизации по переменным Xj.

Уклонение функции e0(t) от нуля, с одной стороны, воз-
растает с увеличением △, с другой же — желательно увеличить
расстояние между точками Xj, так как при этом вычисления ста-
новятся менее чувствительны к точности, с которой заданы зна-
чения F(Xj).

В приложении приведены программы, разработанные на алго-
ритмическом языке ФОРТРАН, в которых реализован метод,
изложенный в настоящем разделе. Программа ПОИСК решает
задачу минимизации функции (4.43) с учетом соотношений типа
(4.44). Параметр △ варьируется и при каждом значении △ вы-
числяется’’тестовая” функция

со

0(t) = Н*/<1 + Н*) 1 = S (—1)п ~ 1Н*П1,
п = 1

(4.45)
представляющая собой интеграл от резольвенты Н* с параметром
—1. Функция (4.45) может быть найдена независимо1 из интег-
рального уравнения. Сравнение результатов вычислении позво-
ляет выбрать разумную величину △ и соответствующие значения
Xj.

J Предусмотрена возможность решения задачи для одного из
следующих операторов:
t

Hff(t) = f lf(T)dr;	(4.46)

О
t

H* f (t) = J (t - т) a/r (a + 1) f (t) dr, a e (0,1);	(4.47)

о

*	* Э (	x

Hjf(t) = J ----<(E0C0 +А!Е0/г + т)х

to St v

«[1 -	0 “ 0 _ В2е“?2 (* T)]}f(T)dT,	(4.48)

t

H4 f(t) = (I + K*)“1 K*f (t) = f Щ (t, t) f(t) dT.	(4-49)

к* 2 T°

Оператор H4 появляется при решении граничных задач для
неоднородно стареющих тел, если мера ползучести имеет вид
(2.75). В программе функция (2.75) принята в виде

ф(t _ т) = 1 - В2 e^i 0 - О _ в2е^2 0 - О.	(4.50)

Из соотношения (2.75) найдем ядра операторов K’J и KJ :

Ki (t -т) =Х1е"’71 0 ~О +\2е^у2 (t -т).	(4.51)

К2 (t, т) = хе"/37 + Д1 е-/3^* 0 - О +

+д2е~^те_72 0 - О	(4.52)

где

Xi =£©008!?!, Х2 = Е0С0В2^, Х = ЕоА0,
Mi = Ео АВХ (?j - Р), д2 = Ео АВ2 (у2 - 0).

Используя теорему обращения агрегата резольвентных опе-
раторов [77], получим:

(I + Kf)-‘ = [I + Х2 Э« (--п ) +Х2Э«(-72)]-1 =

= 1-«1Э?(-г1) -ОгЭЗС-Гг).

(4.53)
Здесь параметры rt и г2 определяются из квадратного урав-
нения

г2 - (Ti +72 +Х1 +X2)r + 7172 +Х172 +М1 =0.

(4.54)

а параметры а- — из системы:

2

1+ S ai/(7i-ri)=0 (i = l,2),
j = l

решение которой дает:

«1 - (71 - Г1)(У2 -Г1)/(Г1 — г2),а2 = (у2 -г2)(71 -г2)/

/(г2-Г1).	(4.55)

Как показано в работе [73], корни уравнения (4.54) дейст-
вительные и различные.

Окончательно ядро Н4 (t, т) может быть представлено в ви-
де:

5

Н, (t, т) = S A (s) (t) В <s) (т),	(4.56)

ще

АО) (t) = i>, А (2) (t) =	д(3) (t) =i>72e-72t’

А(4) (t) = i>rle“r* *	А(5) (t) = i?r2e-r2t,

В^1) (т) = е^т, В<2> (г) = e(li ~ 0)т,
В<3> (т) = е<Ъ ~ @)т, В<4> (т) = е<г» ~ 0V

В(5)(Т) =е(г2 -0)т

1>=х(1-«1/Г1 -аг/гг), =Д1 (1-а^Ол -yj -
- 02/(72 -71)),

1>у2 = ^<1-а1/(г1 -Тг) ~а2/(г2-у2)),

^rl =“i (x/И + Д1/(Г1 -71) +М2/(п -у2)),

’>г2 = а2 (х/г2 +М1/(г2 -71) +д2/(г2-72)).
Таким образом, ядро Н4 является вырожденным.

Как показано в п. 2 гл. 2, решение граничных задач теории
наследственной упругости выражается через функции опера-
торов Hf и Щ, если свойства тела описываются агрегатами экс-
поненциальных или дробно-экспоненциальных ядер.

Если свойства стареющего тела описываются операторами ви-
да (4.48), то функции F(H?) появляются в задачах расчета не-
однородно армированных стержневых систем и граничных за-
дачах при специальном случае неоднородности, когда функция
точки х выделяется в виде множителя при операторе.

Ядро оператора является вырожденным:

з

Н3 (t, т) = S A<s> (t)B<s) (т),	(4.57)

S = 1
где

AO)(t) = 1, A<2)(t) = exp(-71t), A^3\t) =ехр(—72t),

В^О) = А1Е0/(г + т)2, В<2>(т) =ехр(72т)х

х (В171 (ЕоСо + At Ео/(г + т)) - В, AiЕо/(г + т)2],

В<3)(т) =е^т[В272 (ЕоСо + А,Ео/(г + т)’)-

- В2А1Е0/(г + т)2].

Параметры Xj, найденные по программе ПОИСК, определяют
характеристики материала соответствующей упругой задачи.
В результате ее решения вычисляются значения F(X) в узлах
Xj. Дальнейшие вычисления выполняются по программе
ЮМБ-1. Эта программа формирует матрицу G с элементами
(4.31), вектор и с компонентами (4.30) определяет вектор
коэффициентов приближения (4.29) и значения </?(t) в заданных
узлах t..

Исходными данными-к программе являются узлы Xj и значе-
ния F (Xj), которые определяются по независимым программам,
предназначенным для решения задач теории упругости или расче-
та статически неопределимых упругих конструкций.

5. ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ

Как уже отмечалось, значения F(Xj), найденные в результате
численного решения упругой задачи, могут быть получены с ог-
раниченной точностью. Поэтому важным свойством, характери-
зующим эффективность вычислительного метода является его
чувствительность к погрешностям, с которыми известны эти
значения.

Примеры вычислений показали, что чувствительность метода,
приведенного в п. 4, к точности значений F (Xj) возрастает с уве-
личением числа слагаемых в разложении (4.42). Это, по-видимо-
му, является свойством всех численно-операторных методов.
Так, в частном случае инвариантных ядер рассматриваемый ме-
тод может трактоваться как метод численного обращения преоб-
разования Лапласа, применимый к классу функций <p(t), изо-
бражения которых имеют вид:

?(p)=F[H(p)]f(p),

(4.58)

где Н(р) - изображение ядра H(t), f(p) - изображение f(t). Значениям
используемым в методе п. 4, соответствуют некоторые ^значения р. па-

раметра преобразования, определяемые соотношением

VH(4).

Как известно [53, 57], все методы численного обращения
преобразования Лапласа чувствительны к точности, с которой за-
дано изображение в узловых точках р*. Однако в большом коли-

честве рассмотренных примеров сходимость метода оказалась
достаточно быстрой. Это позволяет ограничиться небольшим
числом слагаемых в разложении (4.24), при котором еще не
требуется задавать значения F(Xj) с большой точностью.

Быстрая сходимость метода объясняется тем, что узлы Хл

не задаются заранее, а определяются конкретным видом опера-
тора Н*. Ниже приводятся некоторые результаты вычислений,
иллюстрирующие сходимость метода и его чувствительность.
Во всех случаях вычислялась функция

^(t) = F (Н*) 1 = Н*/ (I + Н*) 1,	(4.59)

представляющая собой интеграл от резольвенты оператора Н*
с параметром —1. Такой выбор F(H*) позволяет сравнивать
результаты вычислений методом, изложенным в п. 4, с ре-
шением, полученным другим способом. Решение некоторых
практических задач приведено в гл. 7.

Пример 1. Вычислялась функция ^(t) для ядра (4.48), опи-
сывающего ползучесть стареющего бетона, при следующих зна-
чениях параметров, взятых из работы [5]: т0 = 28 сут, г = О,
71 =0,05 сут_1,Е0С0 = 0,44, Aj Ео = 6,1 сут,В1 = 1,В2 =0.

При вычислениях за единицу времени принято 50 сут, т.е.
рассматриваемый интервал времени 0 — 100 сут нормирован к
интервалу [0, 2]* Соответствующим образом преобразованы
параметры ядра. Интеграл от резольвенты ядра (4.48) при г = 0,
Bj = 1 и В2 = 0 выражается через неполную гамма-функцию [5].
Значения <^(t), вычисленные с точностью пяти значащих цифр
на основе представления неполной гамма-функции в виде ряда<
[97], сравнивались со значениями Ф7 (t) » найденными
методом, приведенным в п. 4, при m = 7 и △ = 0, т.е. на раз-
ность параметров Xj и Xj + j ограничение не налагалось.

По программе ПОИСК получены следующие значения Хр до-
ставляющие минимум выражению (4.43):	J

Xi =0,0266766, Х2 = 0,0788602, Х3 = 0,1053423,
Х| =0,2200186, Х5 = 0,2484062, Х6 =0,2517880,
Х7 =0,6279437.

Максимальная абсолютная погрешность приближения |е| =

= 1^(0 — Ф7 (t) I составила 0,00001, несмотря на то, что среди
значений Xj имеются близкие. Это объясняется тем, что функция
0/4 4 _ 4 Z1 4 V1 вычислялась с точностью до семи верных

F(Xj) = Xj(l +Xj)

знаков, которая в рассматриваемом случае оказалась достаточ-
ной.

При увеличении ш точность приближения ухудшалась и при
m = 11 — 12 погрешности округлений исказили результат, так
как знаменатели в выражениях (4.30) оказываются очень малы-
ми и для получения при вычислениях приемлемой точности тре-

буются значения F (Х-) с большим числом верных знаков.

В следующих примерах задача решалась с ограничением △ 10.

Пример 2. Вычислялась функция (4.59) для оператора Абеля
(4.47) при а = —0,5. В рассматриваемом случае функция </>(t)
равна табулированному интегралу от дробно-экспоненциальной
функции.

Значения приближения Ф6 (t)	<p(t) сравнивались с таблич-

ными [74]. Функция Ф6 (t) вычислялась методом, изложен-
ным в п. 4, при m = 6 и различных значениях △. При изменении
△ от 0,04 до 0,10 максимальная погрешность незначительно воз-
растала от 0,0007 до 0,0009. При наиболее слабом ограничении
△ = 0,01 получен наихудший результат. Это связано с тем, что
параметры Xj, найденные по программе ПОИСК, оказались
очень близки друг к другу, и погрешности округлений отразились
на результатах вычислений.

Рассмотренный пример иллюстрирует быструю сходимость
разложения, получаемого по предлагаемому методу. Для ядра
Абеля ряд вида (2.1) (в рассматриваемом случае — ряд Нейма-
на) сходится медленно. Для получения погрешности, не превос-
ходящей 0,0007, необходимо удержать около 36 членов ряда.
Этим же методом та же точность достигнута при аппроксимации
шестью слагаемыми.
Пример 3. Функция (4.59) вычислялась для оператора (4.48)
при следующих значениях параметров (единица времени 10 сут):
т0 = 0,35, г = 0,15, Е0С0 = 0,5395, AjEo = 0,9152, Вх = 0,35, В2 =
= 0,65, ух = 0,3, у2 = 5,8. Оператор HJ при указанных параметрах
описывает ползучесть быстро стареющего гидротехнического
бетона.

Приближение Ф4 (t), полученное методом, предложенным
в п. 4, сравнивалось со значениями <p(t), найденными в результа-
те численного решения уравнения:

*(t) =Н? l-H^(t),

которое определяет функцию (4.59). Уравнение решалось мето-
дом конечных сумм [55] с делением шага пополам до тех пор,
пока результаты двух последовательных вычислений не совпада-
ли с точностью до четырех знаков. При вычислениях Ф4 (t) варьи-

ровалось ограничение △; функция F (Xj) = Xj(l + Xj)

вычисля-

лась с точностью до семи верных знаков. Как и в предыдущем
примере, при увеличении △ максимальная погрешность =
=тах|е| незначительно возрастала от 0,008 при △ = 0,01 до 0,012
при △ = 0,13.

На этом же примере было проверено влияние ограничения
△ на чувствительность метода к точности, с которой заданы
значения F(Xj). При вычислениях значения F(Xj), найденные
на ЭВМ, округлялись до трех и четырех верных знаков.

При △ = 0,13 максимальная погрешность приближения не уве-
личилась даже в случае, когда значения F(Xj) округлялись до трех
знаков. При △ = ОД погрешность увеличилась в пределах 0,011—
0,018 при четырех верных знаках F (Xj) и до 0,021 при трех.
При △ = 0,07 удовлетворительный результат получен при четырех
верных знаках F (Xj), но при трех погрешность возросла до 0,219.
При △ = 0,01 максимальная погрешность приближения составила
0,291 в случае трех и 0,275 в случае четырех верных знаков
F(Xj).

Приведенный пример показывает, что, увеличивая ограничение
и ’’растягивая” узлы, можно значительно уменьшить чувствитель-
ность метода к точности, с которой заданы значения F (Xj).

6. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В УЗЛАХ ЧЕБЫШЕВА

Из интегрального представления функции оператора (13)
прил. 1 следует, что две функции P(H*)f(t) и F(H*)f(t) близ-
ки для всех t G [т0, °°], если функции Р(Х) и F(X) близки на
контуре со. Так как со — произвольный контур, обходящий точ-
ку X = 0, то последовательность Pm(H*)f(t) -*F(H*)f(t), если
последовательность Pm(X) *F(X) в круге |Х| <р,р>0.

Пусть F(X) регулярна на отрезке [—1, 1]. Тогда последо-
вательность многочленов Рт(Х), интерполирующих функцию
F(X) в узлах Чебышева сходится к F(X) внутри наибольшего
эллипса с фокусами —1, +1, на границе которого функция F
перестает быть регулярной [29]. Таким образом, коэффициен-
ты приближения (4.24) могут быть найдены в результате интер-
поляции в узлах Чебышева.

Если F(X) регулярна на отрезке [а, Ь], включающем точку
X = 0, то коэффициенты полинома Рт(Х) могут быть найдены
методом интерполяции в узлах Чебышева, приведенных к
[а, Ь ]:

X- = а + b/2 + b - a/2cos[(2j — 1)я/2т]

с = 1,.

т).	(4.60)

Изложенный метод обладает тем достоинством, что при отыс-
кании коэффициентов разложения (4.24) используются значения
F (Xj) в заранее известных действительных узлах. Однако схо-
димость последовательности Om(t) к <p(t) может оказаться более

медленной, чем при применении методов, изложенных пп. 3 и 4.
Это объясняется тем, что при выборе узлов Xj не используется
информация о конкретном виде оператора Н* и интервале вре-
мени, на котором разыскивается приближение.

Приведем числовой пример. Пусть

</>(t) = F (Н*) 1 = [I - хН!/ (I - J3H3) ] 1,

(4.61)

где оператор HJ определяется в соответствии с (4.48). При вы-
числениях приняты следующие значения параметров: Е0С0 = 1,8,
EoAi = 0,10712, г = 0, Br = 1, В2 = 0, 71 = 2,34, Х = 0,262, /3 =

= —0,552, То = 0,2.

С учетом выбранного масштаба (единица времени — 90 сут)
принятые параметры совпадают с параметрами ядра, описываю-
щего ползучесть бетона, приведенными в работе [5].

При вычислении функции (4.61) методом интерполяции в
узлах Чебышева использовались 12 узлов, приведенных к от-
резку [0, 1]. Функция (6.61) оператора Н? при В2 = г =0 сов-
падает с известным решением уравнения типа Вольтерра с ядром,
поражаемым мерой ползучести (1.45). Погрешность полу-
ченного приближения на интервале времени [0,4], который соот-
ветствует одному году, не превысила 0,042.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО РЕЗОЛЬВЕНТНЫМ ОПЕРАТОРАМ

Методы, приведенные в пп. 4 и 6, основаны на приближении
функции <p(t) линейной комбинацией итерированных функций.

Приведем метод разложения по функциям вида:

yn(t) =R*(3n)f(t),

где R* (0п) - резольвентный оператор, порождаемый оператором Н*; 0п -
параметр резольвенты.

Функции yn(t) при сложных ядрах H(t, т) могут быть по-
строены численно. Для этого рассмотрим уравнение:

z(t) -PnH*z(t)=f(t),	(4.62)

решение которого

z(t) = f(t) + 0nR*(0n) f<0 = Kt) + 0ПУП(О 	(4.63)

Из (4.63) следует:

Уп(0 = (z(0 - f(0//Зп-	(4.64)

Функция (4.63) может быть найдена в результате численного
решения уравнения (4.62).

Обоснование метода. Покажем возможность разложения регу-
лярной функции оператора F (Н*) в ряд по рациональным функ-
циям, коэффициенты которого определяются методом интерполя-
ции.

Пусть F (X) — функция комплексного переменного X, регуляр-
ная в круге | XI < р, р > 0, точки Xj (1 = 1,2,...) стремятся к
нулю, параметры стремятся к бесконечности, а-ф Xv и а0, ai,...-
коэффициенты разложения.

F (X) ао + а> (X — Xi) / (X — G1) + а2 (X — Xi) (X — Х2 ) /

/(X-ai)(X-a2) + ...

Покажем, что ряд
ОО	к

*>(0 =F(H*)f(t) = aof(t) + S а, П x
k= 1 j = 1

x[(H*-XjI)/(H*- ajl)]f(t),

(4.65)

(4.66)

коэффициенты которого совпадают с коэффициентами ряда
(4.65), сходится равномерно к <p(t) для t G [т0, °°).
При принятом ограничении на последовательности точек 7ц
и «j разложение (4.65) сходится равномерно в круге |Х|
Равномерная сходимость ряда (4.66) следует непосредственно
из интегрального представления функции оператора (13)
(прил. 1) и равномерной сходимости разложения (4.45) на кон-
туре со, принадлежащем кругу |Х| < р. Отметим, что коэффи-
циенты ао, а>, . . . легко найти, последовательно приравнивая
левую часть (4.65) правой в точках Xt, Х2, Х3,... .

Используя операторные тождества (12) прил. 1, представим
разложение (4.66) в виде:

°° k

^>(t) =aof(t) + S ak[c(k>I + S c(k)m)]f(t), (4-67)
k = l	j = 1	J

где ^”1/^ и R*(^) - резольвента H* с параметром й.

Коэффициенты c^ определяются по формулам:
СО).Г1; CW=„;

С(Ч -с(к-1>(гк + тк/(»]-»к)) (к-2.3,...;
J J

j = l..к-1);

с(к) =	(с(к- 1) _ к£ 1 с(к- *к),

к к 0	j = i J	J

™ гк Ч^кЛ^Л-1’-

Ограничиваясь в (4.67) m-членами ряда, получим:

т - 1

^(t)«®m(t) =bof(t) + S

(4.68)

(4.69)

(4.70)

Выражение (4.69) — есть приближение функции

^(t) =
= F(H*)f(t) линейной комбинацией интегралов от резольвента
ядра H(t, т), отличающихся значением параметра резольвента.

Как отмечалось, каждая из функций R*(i>:)f(t) = y-(t) выра-

1 Дж. Л. Уолш. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями
в комплексной области. - М.: ИНД, 1961. — 508 с.
жается через решение уравнения (4.62) соотношением (4.64).

Из (4.66) следует, что погрешность приближения e(t) =
= <£(t) — <Dm(t) можно записать

ОО

6(1) = ^!+ 2
к = 1





(4.71)

ш

ео (t) = П (Н* - I)/(Н* - ц.I) f (t).	(4.72)

Если параметры = 1/aj считать заданными, то погрешность
определяется узлами интерполяции Xj, от которых зависит (не-
явно) как выражение в квадратных скобках в (4.71), так и
функция е0 (t).

Отметим, что функция e0(t) может быть выражена через
линейную комбинацию интегралов от резольвент с коэффи-
циентами с нелинейно зависящими от Хз:

m

e0(t)= S c<m)y.(t), y0(t)=f(t).

(4.73)

j =0 J J

Здесь коэффициенты c(m' определяются выражениями (4.68).
j

Вычисления изложенным методом сводятся к следующему.
На заданном множестве точек t| = т0 + ih G [т0, г ] миними-
зируется функция

N

u(Xi,..., Aj^) - S eo (tp Xi,..., Xm).

(4.74)

Параметры Xj, доставляющие минимум выражению (4.74),
выбираются в качестве узлов интерполяции. Далее опреде-
ляются коэффициенты а^ интерполяционного ряда (4.65) по
формулам (4.68) — коэффициенты с^ и, наконец, коэффи-
циенты bj приближения (4.69) — по формулам (4.70).

Пример. Вычислялась функция

S₽(t) = F (HJ) 1 = [I + /Зсо0 (I - н$/ (1 + Н$) ) ] -11	(4.75)

при = 0,4 и различных значениях параметра /?. Оператор Н*
принят в виде (4.48); значения параметров ядра: г = 0, В2 = 0,
Е0С0 = 0,44, AxEq = 0,61, ух = 0,25, Вх = 1, т0 =0,77. При-
ближение ФтО) разыскивалось в виде (4.69) при т = 6 и
значениях^, равных —0,05, —0,1, —0,15, —0,3, —0,5, —0,7.

Выражение (4.75) может быть представлено в виде:

9?(t) = 1/(1 +0сро) [1+ /Зсо0/(1 + 0wo)R*(0]l,

(4.76)

где 5=^-1 +	(1 + P^o)"1 J R* -резольвентаядраН3.

Погрешность приближения Фб (t) относительно значений
^(t)»полученных из (4.76), не превосходила 0,0033.

8. ПРИБЛИЖЕННАЯ ЗАМЕНА ИНТЕГРАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА МАТРИЧНЫМ

Функция оператора Н*, воздействующая на заданную функ-
цию времени f(t), может быть приближенно вычислена на ос-
нове аппроксимации интегрального оператора матричным. Вид
матрицы, представляющей интегральный оператор в конечно-
мерном пространстве, определяется выбором базисных функ-
ции и способом аппроксимации.

Пусть

*i(t), МО,..., ^j(t),..'.	(4.77)

некоторая система линейно независимых функций. Будем разыс-
кивать приближенное представление функции (4.22) в виде:
m

*(0«фт(0= s	(4.78)

j = l

Задача состоит в определении вектора коэффициентов с =
~ (Ci, , . . , Сщ).

Предположим, что известен вектор а(п) = (а(п\ .... а(пО,
- w 1	m

компоненты которого представляют собой коэффициенты разло-
жения функции H*n f (t) по функциям системы (4.77), т.е.

H*nf(t)= Е а(п>ф (t)+e„(t),	(4-79)

j = l j j

1Де €n(t) - погрешность приближения.

Воздействуя на выражение (4.79) оператором Н*, получим
ш

H*n + 1f(t)= Е a(n>H*Mt)+H*en(t).	(4.80)

j = l j J
Аппроксимируем правую часть выражения (4.80) [без слагае-
мого H*en(t)] линейной комбинацией тех же функций i//j (t).
Пусть

m	m

2 а(п>Н*^(г) = 2 a<n + o (t) + 5 .	(t),	(4-81)

j = l j J j =1 J J m+1

где 6n + j(t) - невязка приближения.

Минимизируя квадратичное уклонение от нуля функции
6n + j (t) на интервале [т0, т ], получим соотношение

s = a(n + l) = Qa(n)	(4.82)

Здесь S = [s.. ] , Q = [q.. ] - квадратные матрицы с элементами:

Ч

т	Тt

sii= / WiWfdOdt, qu= J / H(t,T)^(T)4»i(t)x
AJ	J J	J	J

To	To To

x drdt.

(4.83)

Если минимизировать невязку методом коллокации в узлах
t.е fro, т ], то элементы матриц S и Q определяются более про-
стыми соотношениями:

1

sii =	’ qii = * Н(грт> dT-

Го

Из (4.82) следует:

a(n + l) =s-1Qa(n)=Ma(n),

(4.84)

(4.85)

причем элементы матрицы М не зависят от п.

Соотношение (4.80) с учетом (4.81) и (4.85) можно записать
в виде:

Н*п + lf(t) = ^а(п + 0 + «п + j (t) + H*en(t) =
= WtMa<n> +en+1(t);

wt= [^i(t),...,^m(t)],

где - матрица-строка.

(4.86)

Представим заданную функцию f(t) в виде разложения по
системе функций (4.77):

m (0)

f(t)= 2 a: ih(t) +5o(t).	(4.87)

j = l
Используя последовательно соотношения (4.86), получим:

f(t) =Wta(°> +S0(t);

H*f (t) = WtMa<°> + H*50 (t) + 6, (t);

H*2f(t) =WtM2a(°> +H*260(t) +H*61(t) +S2(t); I

1 /

(4.88)

n

H*nf(t) = WtMna(°> + 2 H*n - S6C(t);

L	Ъ

s = 0

Умножая соотношения (4.88) на коэффициенты ряда
(4.22), будем иметь:
ОО

</>(t) = F (Н*) f(t) = Wt 2 bnMna<0) + e (t),	(4.89)

n = 0

где
n	n

e(t)= 2 bnen(t), en(t)= 2 H*n-S8s(t).	(4.90)

n = 0	s = 0

Сравнивая выражения (4.78) и (4.89) и пренебрегая величиной
e(t), получим

ОО

с= 2 bnMna<°) =F(M)a<°).	(4-91)

n = 0

Таким образом, задача определения коэффициентов в выраже-
нии (4.78) приводится к задаче вычисления функции от матрицы
М.

Если максимальное по модулю собственное значение Хтах
матрицы М не превосходит по модулю радиуса сходимости ряда
(4.23), то матричный ряд (4.91) сходится. В силу теоремы Га-
мильтона—Кэли все степени матрицы, начиная с Мт, являются
линейной комбинацией степеней, поэтому ряд (4.91) приводит-
ся к конечной сумме. При различных собственных значениях
Xj # Xs эта сумма может быть найдена, например, по формуле
Лагранжа—Сильвестра [2]:

с=[ 2 Р(\Л/ П (M-XSI)Z П (Xj-Xs)]a<0)
j = 1	s = 1	S = 1

s * j

(4.92)

s *j
Как следует из (4.92), для вычисления коэффициентов при-
ближения (4 78) необходимы только числовые значения функ-
ции F(X) в узлах Xj, совпадающих с собственными значениями
матрицы М.

Матрица М имеет особенно простой вид, если принять систему
координатных функций

Фу (t) =

1,если1€ (tj _ ptj),
О, если t S (tj _ р tj) g = J

.,m).

(4.93)

где t- - некоторые точки из рассматриваемого интервала времени (То,
rj, причем tm = 7*.

Если невязка приближения (4.81) минимизируется мето-
дом наименьших квадратов, то элементы матриц я и Q имеют
вид

Siis(4”4-P’ 8у*0,велись

‘i	(4.94)

Qij = J ! H(t, t)drdt, если j < i, qH = 0, если j > i.

Ч-i4-i

Таким образом, матрица S — диагональная, Q — треугольная.

Из соотношения (4.85) следует, что матрица М также треуголь-
ная; ее элементы определяются выражениями?

дц - (1/(4 - 4 _ РП /

H(t, т) drdt, если j < i, (

(4.95)

Pi= = 0, если j > i.
•г

Аналогично можно найти элементы матрицы М, если невязка
приближения (4.81) минимизируется методом коллокации
в узлах Ъ'
t.1

J

= J H(t? r)dr,если j <i,

Ь -1	(4.96)

=0, если)

При рассматриваемой системе координатных функций (4.38)
собственные значения М действительны и равны ее диагональ-
ным элементам (Xi = д--), что упрощает задачу вычисления
функции от матрицы?

В общем случае М — квадратная матрица и среди ее собствен-
ных значений могут оказаться комплексные.

ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ НАСЛЕДСТВЕННОЙ УПРУГОСТИ

Приведенные методы приближения функций вольтерровых
операторов, ядра которых в общем случае неинвариантны, при-
менимы, в частности, к решению задач наследственной теории
упругости. При этом могут использоваться также специальные
методы, основанные на преобразовании Лапласа.

Изображение по Лапласу решения квазистатической задачи
теории наследственной упругости можно получить на основа-
нии принципа соответствия [54]. Этот принцип применим также
к задачам для неоднородных тел, свойства которых описывают-
ся инвариантными ядрами. Основная трудность состоит в обра-
щении преобразования. В простейших случаях оригинал может
быть найден аналитически; в общем случае применяются числен-
ные методы обращения, использующие значения изображения
при некоторых дискретных значениях параметра преобразо-
вания рр

Если свойства среды описываются экспоненциальными яд-
рами и изображение ?(р) некоторой величины <p(t) известно
в аналитической форме, тр значения <р(рр могут быть вычисле-
ны с необходимой точностью и серьезных затруднений при
переходе к оригиналам не возникает. Однако в большинстве прак-
тически важных случаев задача теории упругости решается чис-
ленно и зависимость решения от констант материала в анали-
тической форме неизвестна. При этом значения *р(р^) могут
быть получены с ограниченной точностью. Эффективность мно-
гих методов численного обращения преобразования Лапласа
исследована в [53]. Большинство методов оказались крайне
чувствительны к точности, с которой известны значения изобра-
жения в узловых точках. Наилучший результат получен при
применении метода наименьших квадратов Шепери [100],
который основан на приближении решения в пространстве
оригиналов линейной комбинацией экспоненциальных функ-
ций.

Если свойства среды описываются слабосингулярными яд-
рами (хорошо отвечающими опытным данным), то при чис-
ленном обращении методом Шепери могут возникнуть труд-
ности, так как метод становится очень чувствительным к точ-
ности, с которой задано изображение в узловых точках, что
показано на примере в п. 6. Применительно к задачам для од-
нородных тел более эффективен метод аппроксимаций
А.А. Ильюшина [48].

Далее будут приведены два метода решения задач для ани-
зотропных и неоднородных тел, свойства которых описывают-
ся несколькими операторами. Первый из них (численного ин-
тегрирования), основанный на полученном представлении реше-
ния в виде интеграла от функции действительной переменной,
применим к решению задач для тела, свойства которого опи-
сываются дробно-экспоненциальными или обобщёнными дроб-
но-экспоненциальными операторами. Второй — представляет
собой метод численного обращения преобразования Лапласа,
эффективный в случае, когда свойства материала описывают-
ся произвольными ядрами с особенностью.

1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
СПЕЦИАЛЬНЫХ Э* - И К*-ОПЕРАТОРОВ

Основым требованием к аналитическим выражениям для ядер
ползучести (релаксации) является возможность хорошего описа-
ния их с помощью опытных данных и удобство обращения с
соответствующими функциями операторов при решении задач
теории ползучести.

В теории наследственной упругости нашли широкое приме-
нение дробно-экспоненциальные и обобщенные дробно-экспонен-
циальные ядра, хорошо отвечающие опытным данным и обладаю-
щие рядом полезных свойств. Для увеличения точности аппрок-
симации опытных данных могут использоваться линейные ком-
бинации указанных ядер, через которые выражаются также
эффективные модули армированных материалов.

Будем рассматривать в общем случае анизотропное или кусоч-
но однородное тело, свойства которого описываются несколь-
кими операторами вида

6k = Gko(I-rk> (k=l,...,N),

j]C

Г. - операторы типа свертки:

где Gk0 - константы:

m

г) $ Xkj3a(	г)э

ИЛИ	™

m

rk(t-r)= S
j = l

—Ka<0,

> 0, p > 0.

(5.1)

(5.2)

(5.3)
Здесь Эа(—1>, t) — дробно-экспоненциальная функция, вве-
денная Ю.Н. Работновым, которая по определению является ре-
зольвентной интегрального уравнения с ядром Абеля I =(t —
— т)а/Г(а + 1) и параметром —Обобщенная дробно-экспо-
ненциальная функция

Кд(р, t) = exp(-pt)3a(-i>, t)

(5.4)

является резольвентой ядра ехр(—pt)ta/r(a +1), предложенно-
го А.Р. Ржаницыным [76].

В силу специальных свойств резольвентных операторов, каж-
дый из операторов с ядром (5.2) или (5.3) может быть пред-
ставлен в виде функции одного оператора Э*(—1>) или РС^(р,
—1>) с произвольным параметром Это следует из опера-
торного тождества

=	(*-tfkj)R*(-i>)L

(5.5)

Соотношение (5.5) легко проверить, используя формулы
обращения и умножения резольвентных операторов (12) прил. 1.

Таким образом, операторы (5.1) могут быть представлены
в виде:

m

6k = GkolI- Xkj3*a(-1?)/[I- (t>-^kj)3a(-^)]],	(5.6)

ИЛИ

m

sk = Gk0 P - J J, XkjKS &>• -W [I - С» - %)*

(57)

т.е. все операторы, фигурирующие в уравнениях состояния,
могут рассматриваться как функции одного оператора
Э£(—#) или К£(р, —^) с произвольным параметром На ос-
новании принципа Вольтерра решение задачи теории ползу-
чести также будет функцией одного оператора, полученной в
результате замены констант операторами (5.6) или
(5-7)1

Окончательный результат не зависит от значения параметра Л Этот
параметр играет вспомогательную роль и введен для упрощения про-
межуточных выкладок.
Свойства неоднородного тела могут быть описаны ядрами
(5.2) или (5.3) с параметрами Xjg(x) и ^kj(x), зависящими
от точки тела. Соответствующие операторы могут быть пред-
ставлены:

m

Gk<x> = Gk0« [I - S Xkj (x)3*(-i>)/

/(I-(*-i>kj(x)3*(-i>))],
или

GkW =Gko(x)n- 2 Xkj(x)K£(-tf)/
j = 1

/(I-(i>-i>kj(x))K*a(p,-^))],

(5.8)

(5.9)

т.е. фигурирующие в исходных уравнениях операторы являют-
ся функциями одного оператора, который не зависит от про-
странственных координат.

На основании сформулированного в гл. 2 обобщения прин-
ципа Вольтерра решение задачи теории ползучести является
функцией оператора Э*(—1>) или К£(—которую можно полу-
чить, заменив параметр X оператором в решении задачи для неод-
нородного упругого тела, характеристики материала которого
зависят от X:

ш

Gk (х, X) = Gk0 (х) [ 1 - S xkj (х) X/ (1 -(£ - i>kj (х) ) X) ]. (5. Ю)

Таким образом, во всех указанных случаях решение задачи
может рассматриваться как функция одного оператора Э* или
К*

иПусть Н* — оператор типа свертки (с разностным ядром и
нижним пределом интеграла, равным нулю) и

?(t) ^F(H*)f(t) =bof(t) + Z bnH*?(t)’	(5.11)

n = 1

функция H*; f (t) — произвольная функция времени.

Изображение по Лапласу функции <^(t):

ОО

L {^(t) } = ¥>(р) = [bo + S bnHn(p) ] f(р) =
п = 1
=bof(p) +e(p)f(p),

гдеН(р) - изображение ядра.

Возвращаясь к оригиналам, получим
t

v?(t) =bof(t) + J @(t-r)f(r)dT.

0

Здесь 0(t -T) - ядро оператора Fj (H*) = F(H*) - bo I.

(5.12)

(5.13)

Ядра Э (-t>, t) и К (p, t) имеют следующие изображения

3fl(-i>, Р) = 1/(рР + &), Ка(р, р) = 1/(р +

+р)р+£), р = а+1.	(5-14)

Таким образом, изображение ядра оператора (5.13) при ис-
ходных операторах вида (5.6) или (5.7) будет:

ОО	ОО

б(р) = 2 bn^(-*,P)= 2 bnd/Cp^ + i?))11;	(515>

J n=l	n=l

od	co

§k(p)= s bnKa«'((-P,-’>,p)= 2 bn(l/(p+	(5.16)

n = 1	n =1

+p)F + ^))n	(5.16)

откуда следует 0j^(p) = ©g(p+p).

На основании теоремы затухания [31] получим

@^(t) = exp(-pt)©g(t).	(5.17)

Таким образом, ядра операторов Fj (К*) и Fj (Э*) связаны
простым соотношением. Это позволяет в дальнейшем ряд резуль-
татов, полученных для функций Э*-операторов, переносить на
соответствующие функции Кооператоров.

2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ Э*-И КООПЕРАТОРОВ

Рассмотрим функцию 0g (t), представляющую собой ядро опера-
тора F[3*(—$)] — Ьо1. Изображение по Лапласу

Ь{0Э(О) =F(l/<pI’+’>))-bo.

(5.18)
Для дробно-экспоненциальных ядер с особенностью, описы-
вающих ограниченную ползучесть, 0 < р < 1, d > 0.

Функция X = 1/ (рр + d) многозначна, имеет точку разветвле-
ния р = 0 и полюсы в точках р^ = d1/pexp(i(—я + 2кя)/р), к =
= 0,1,....

При к = 0 будем иметь argp^ = —я/р < —я. При к > 0
argPk кя/р > я. Таким образом, главная ветвь функции X,
для которой —я < argp < я, не имеет полюсов. Эта ветвь ото-
бражает плоскость комплексной переменной р, разрезанную
вдоль действительной отрицательной полуоси, на область П
плоскости X = v + iw, показанную на рис. 5.1. Область огра-
ничена дугами окружностей радиуса R = l/2dsinptf с центрами
в точках Хо = v0 + iw0 и Хо = Vo — iw0, v0 = l/2i>, w0 = ctgiw/
/2d.

Будем полагать, что функция F(X) регулярна внутри и на
границе области £2. Тогда главная ветвь функции (5.18) регу-
лярна во всей плоскости р, разрезанной вдоль действительной
отрицательной полуоси.

Применяя к выражению (5.18) формулу обращения Рима-
на-Меллина, получим

0$(t) = 1/2тгi J	е₽г [PQ/(PV + ’>))- Ьо]dp-	(5-19)

с - i°°

Здесь контур интегрирования расположен правее точки раз-
ветвления р =0. Формула применяется к главной ветви под-
ынтегральной функции.
Рис. 5.2. Эквивалентный контур

Ввиду того, что главная ветвь не имеет особых точек, кон-
тур интегрирования можно заменить эквивалентным (рис. 5.2),
состоящим из двух дуг окружностей бесконечно большого ра-
диуса с центром в точке р = 0, нижнего и верхнего берегов раз-
реза вдоль действительной отрицательной полуоси и окруж-
ности радиуса е ->0 с центром в точке р = 0.

Вклад интегралов на больших дугах равен нулю на основа-
нии леммы Жордана [31]. На малой окружности подыинтеграль-
ная функция ограничена, а путь интегрирования стремится к
нулю при е * 0, поэтому ненулевой вклад дают только интег-
ралы вдоль берегов разреза.

Интегрируя вдоль нижнего и верхнего берега, получим

©q(t) = 1/2тп Jexp(-xt) {F (1&рехр(-й>я) + #)) -

*	0	,	(5.20)

— F (l/xpexp(iP7r) +1>) j dx.

Обозначим

D(x) = [xpexp(—ivvr)	D(x) = [xpexp(iP7r) +	(5-21)

причем D и D —комплексно сопряженные величины.

Учитывая соотношение

F(D(x))-F(D(x)) =2iV(x),
где V(x) — мнимая часть функции F(D(x)) , будем иметь
0$(t) - l/л J exp(-xt)V(x)dx.	(5.22)

о

Мнимая часть функции F(D(x)) равна нулю при х = О
и х = °°, так как D(O) = l/tf и D(°°) = 0. Ввиду регулярности
F на берегах разреза функция V (х) непрерывна, поэтому интег-
рал (5.22) сходится абсолютно при t > 0.

Из соотношения (5.17) следует:

ОО

0^(t) = 1/тг exp [— (р +x)t]V(x)dx.	(5.23)

Используя полученные соотношения, запишем выражение
для функции Э*-оператора, воздействующей на f (t), в виде

^j(t) =ьоФ) + 1/я J f(r) [ Jexp(-x(t — т))х

J	0	0

x(x)dx]dr.

(5.24)

Ввиду абсолютной сходимости интеграла (5.22) можно изме-
нить порядок интегрирования. В результате получим

<РЭ(О =bof(t) + I/ttJ Фз(х, t)V(x)dx,	(5.25)

о
ще
t

(х, t) = J exp [-х (t - т) ] f (т) dr.	(5-26)

Для функции Кооператора аналогично найдем:
ОО

<^(t) =bof(t) + 1/nf фк(х, t)V(x)dx,
О

t

tf/K(x;t) = fexp[- (x + p) (t - r)]f(T)dr.
0

(5.27)

(5.28)

Интегралы (5.26), (5.28) во многих случаях выражаются
в элементарных функциях (например, если f(r) аппроксимиро-
вана алгебраическим или тригонометрическим полиномом, или
комбинацией экспонент). При этом решение задачи теории пол-
зучести сводится к однократному интегрированию выраже-
ния (5.25) или (5.27).

При постоянных во времени внешних воздействиях f(t) =
= 1, ^з(х, t) - (1 — ехр(—xt))x-1 и выражение (5.25) прини-

мает вид:

ОО	ОО

~ b° + J V (х) dx/x — 1/я J e“xtV (х) dx/x.

б	о

(5.29)
Учитывая, что йри t * 00 F[3*(—i>)]l + F(£-1), и второй
интеграл в выражении (5.29) стремится к нулю, получим
Ьо +1/я7х-1У(х)(1х = Р(1М).
о

Таким образом,

(t) = F [Э* (-1» ] 1 = F (l/i?) — 1/тг fx“1 e^xtV (х) dx.	<5'30)

Для функции Кооператора аналогично найдем

¥>K(t) = F [К*(р, -й) ] 1 = F(1/ (1? + Рр)) - 1/тгх

ОО

х/ (x+p)-1e-0’ + x)tV(x)dx.

(5.31)

°

Здесь первое слагаемое в правой части представляет собой
предельное значение «^(t) при t * °°.

3. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Преобразование интегралов. Представления (5.30) и (5.31)
позволяют получить решение наследственной задачи для любого
момента времени, взяв квадратуру численно. Для этого удоб-
но преобразовать интегралы к конечным пределам.

Разобьем интеграл (5.30) на два с пределами 0 — 1 и 1 —
в первом сделаем замену хр = у, во втором хр = у”1. В результа-
те получим

1

•PjCt) = F(l/i>) - 1/иг [ Jexp(-y1^t)R(y)y-1dy +

О

1

+ J,exp(-y-1/I't)W(y)y-1dy.	(5.31)

о

Здесь R(y) и W(y) - мнимые части функций F [ v (у) ] и F [w (у) J, при-
чем

v(y) = (у,exp(-ivw) +^)“‘, w(y) = (exp(-ivzr)+£у)-1у. (5.33)

Нетрудно показать, что при у = 0 подынтегральная функция
не имеет особенностей. Так,

Шп (R(y)/y) =Im[dF/dy]y = o = Im[(dF/dv)(dv/dy)]
Функция dF/dv действительна; Im [dv/dy] у = q = sinp7r/i>2.
Таким образом,

Um (R(y)/y) = (sinwrM2)F' (1/tf).
y*0	v

Рассуждая аналогично, получим
lim (W(y)/y) = sinv7rFy(0).
у *0

Таким образом, подынтегральные функции в выражении
(5.32) непрерывны и численное интегрирование не встречает
затруднений.

Преобразуя аналогично выражение (5.31), получим

«^(t) =F(l/i>+pp) - 1/vir [Jexp[-(p ty^tlx

x R(y)y^Pdy / (y1^ + p)y + J exp [-(p +

0

+ у llv) t] W(y) dy/ (1 + pyllv)y].

(5.34)

Функции R(y) и W(y) в выражениях (5.32) и (5.34) опреде-
ляются из решения задачи теории упругости с фиктивными моду-
лями, зависящими от параметра у.

Рассмотрим сначала случай анизотропного или кусочно од-
нородного тела, свойства которого описываются операторами
(5.6) или (5.7). Пусть ip — некоторая величина, характеризующая
напряженно-деформированное состояние в фиксированной точке
тела, причем решение задачи теории упругости при постоянных
во времени внешних воздействиях имеет вид:

V? - Fo [Gx о,...,	] •	(5.35)

Тогда

R(y) = ImFo [В, (у)___BN (у) ],	(5.36)

W(y) = ImF0 [Dx (у),..., DN(y) ].	(5.37)

Здесь

Bk(y) = Gk0 [1 - S xkj/ (yexp (-inr) + # kj) ];	(5-38)
m

Dk(y) =Gk0[l - 2 Xkjy/(exp(-ivw)+yi?kj)].	(5-39)

Выражения (5.36) и (5.38) получены в результате замены уп-
ругих констант операторами (5.8) или (5.9) и операторов Э*
или — функцией v(y) из (5.33). Аналогично, если заменить
операторы функцией w(y), то получим выражения (5.37) и
(5.39).

Пусть у (s = 1,. . . , г) — узлы квадратурной формулы, кото-
рая используется при интегрировании выражений (5.32) и (5.34).
Если зависимость решения задачи теории упругости от констант
материала известна в аналитической форме, то выделение мни-
мой части функции Fo в выражениях (5.36) и (5.37) не представ-
ляет затруднений.

Если задача теории упругости решается численно, то для опре-
деления значений R(ys) и W(ys) необходимо решить 2г упру-
гих задач с комплексными константами материала Bv(y_) и
Dk(ys)-

Значения F^"1) или F((t> + рр)-1) в выражениях (5.32) и
(5.34) определяются из решения задачи теории упругости с кон-
стантами материала

<-'k»=Gk„|l- £ Xkj/»kjl	(ЗЛО)

или

m

Gk^’GkoU- 2 Xlg/O^kj)].	<5-41>

если свойства материала описываются Кооператорами.

Выражения (5.40) и (5.41) получены в результате замены

операторов Э* и К* в формулах (5.8) и (5.9) предельными значе-

ниями Э£(—#) 1 и К£(р, —i>) 1, равными 1/& и 1/(рр +1>).

Пусть теперь свойства тела непрерывно зависят от точки х. Для

определения R(y_) и W(y_) необходимо решить 2г задач теории

упругости с характеристиками материала:

Вк(х> = Gk0 toll- 2 xkj to / (У8ехР

+ %to)l; J 1	(5.42)

Dk (х* ys) = Gk0 to 11 “ 2 xkj to У si (ех₽	+

+ ys*kjto)]. i-1	<5-43>
Последние выражения получены в результате замены парамет-
ра Л функциямиу v(y) и w(y) в формуле (5.10).

Для определения F(^“1) или F((t? + необходимо ре-
шить задачу теории упругости для неоднородного тела, характе-
ристики материала которого определяются выражениями:

m

Gk>eU)=Gk0(x)[l- S Xkj(x)Mkj(x)];	(5-44)

или

m

Gkeo (x) = [1 - X Xkj (x) / (pv + t>kj (x)) ].	(5.45)

Выражение (5.45) используется, если свойства тела описы-
ваются Кооператорами.

Отметим, что при численном интегрировании функций дей-
ствительной переменной, как правило, используются квадратур-
ные формулы с положительными коэффициентами, которые
относительно слабо чувствительны к точности, с которой
заданы значения подынтегральной функции в узлах. Поэтому
решение на основе представлений (5.32) и (5.34) численно ус-
тойчиво.

Проиллюстрируем на числовых примерах эффективность по-
лученных представлений.

Пример 1. Задача об изгибе пластинки на упругом основа-
нии, рассмотренная в п. 3 гл. 4, решена также на основе пред-
ставления (5.32) при тех же числовых значениях параметров.

Для вычисления <p(t) находим:

G10o =Eoo = E0(l-x/i>); F(l/i>) =u2[KEto)]/

/u2[«Eo)];

Bl (y) = Eo [1 - x(yexp(-ipjr) +1?) 1 ];

Di (y) = Eo [1 - xy(exp(-iwr) + ity)-1];

R(y) = Im(u2 ^(B, (y))]/u2 [g(E0)];

W(y) = Im(u2 [e(Dj (у)) ]/u2 [ЦЕ0) ].

При численном интегрировании использовалась квадратур-
ная формула Гаусса. Число узлов г варьировалось от 4 до 14.
Результаты вычислений приведены в табл. 5.1, из которой вид-
но, что при г = 12 и г = 14 совпадают пять значащих цифр, что
дает основание считать все пять знаков верными. При г = 8 по-
грешность (относительно г = 14) не превышает 0,00011. Зна-
чения <p(t), полученные при использовании всего четырех узлов,
отличаются от точных в третьем знаке.

Т аб л и ца5.1

г t =0,25 0,50

1,00 I 2,00 ”| 5,00 J 10,00 1

20,00

4	0,56844	0,48463
8	0,57075	0,48574
12	0,57084	0,48571
14	0,57084	0,48571

0,40569

0,40508

0,40508

0,40508

0,33477

0,33480

0,33480

0,33480

0,26286

0,26276

0,26276

0,26276

0,22336

0,22372

0,22372

0,22372

0,19433

0,19555

0,19555

0,19555

Пример 2. Рассмотренная задача была решена также с уче-
том ползучести основания, для описания свойств которого при-
нят оператор

£=ko[i-X2K*(p,-i>2)]-	(4 5-46>

Для описания свойств пластинки также использовался опера-
тор с ядром в виде обобщенной дробно-экспоненциальной функ-
ции

Ё = Ео [I - хК*(р, -1?)].	(5.47)

Числовые значения параметров: р = —0,07, Х2 = 0,3, &2 = L
Остальные значения не отличаются от принятых в предыдущем
примере. При вычислениях варьировался параметр а от —0,8 до
—0,4.

Расхождение в значениях изгибающего момента по оси плас-
тинки, найденные при числе узлов г = 12 и г = 14 в интервале
времени [0, 15] не превосходило 0,0002. Максимальное расхож-
дение, полученное при использовании четырех четырнадцати уз-
лов, составило 0,0110.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ РЕШЕНИЯ

Признак отсутствия экстремумов. При постоянных во време-
ни внешних воздействиях напряжения и деформации в любой
точке тела стремятся к конечному пределу. Решение при t + 00
легко получить из решения задачи теории упругости с констан-
тами материала (5.44) или (5.45). В практических расчетах
часто достаточно знать предельное значение решения, если есть
уверенность в том, что функция ^g(t) или <p^(t) на конечном
интервале времени не имеет экстремумов.
Интегральные представления (5.30) и (5.31) позволяют полу-
чить простые признаки наличия или отсутствия экстремумов.
В экстремальной точке t* необходимо <pg(t*) = ^к(^) =
Так как ^g(t) = @$(0, ^g(t) = Oj^(t), из представления
(5.22), (5.23) следует: функции </?g(t) и <^(t) не имеют экс-
тремумов, если функция V(x) не изменяет знака на интервале
[0,°°).

Признак наличия экстремумов. Сформулируем условие, при
котором функции Og(t) и ©j^(t) имеют хотя бы один экстре-
мум.

В экстремальной точке t функции 0g и 0^ должны обра-
щаться в нуль. Из соотношения (5.17) следует, что ©rG*) =0,
если 0g(t*) = 0, поэтому достаточно сформулировать условие
ТОЛЬКО ДЛЯ функции 0g (t) .

Как показано в п. 2

V(0) =V(«) =0.	(5.48)

Из определения функции V следует

ОО

V(x)=l/2i S bn[Dn(x)-D'n(x)] =
n = 0

= l/2i S bn [xpexp (—ivfr) +1>) “n — (xpexp(ivjr) +1>) —n] ,(5.49)
n = 0

где bR — коэффициенты разложения функции F в ряд Маклорена.

Из (4.2) получим

limxpV(x) =sinpffbx = sinpjrF^O).
х*0

(5.50)

Таким образом, при х •> 00 функции V(x) стремится к нулю
как 1/хр:

V(x) = 0(1/хр), х* °°.

(5.51)

Так как 0 < р < 1, интеграл (5.22) при t = 0 расходится,
поэтому знак интеграла при малых значениях t определяется
знаком функции ¥(х)при больших х. Для больших значений!
знак интеграла (5.22) совпадает со знаком функции V(x) при
малых х.

Ввиду непрерывности по t функция 0$(t) = 0 при некото-
ром t Е (0, °°), если функция V(x) имеет различные знаки при
х*0 и х* °°. Из (5.50) следует, что при х °° функция V(x)
совпадает по знаку с величиной Fz(0). При х * 0 знак V(x) ра-
вен знаку производной Vz(0). Дифференцируя выражение

V(x) ={F(D(x)) - F(D(x))} /2i,

получим

Vz(x) = {F' [D(x) ] vxv *exp (ivif) / (xpexp (iptt) +1>) 2 -

— F [D (x) ] pxp ^exp(—iv7r)/ (xpexp (—ivn) +1>) 2 } /2i.

/	1 — v t

При x *0, V(x) * °°, но функция x V (x), совпадающая
по_знаку c v (x), имеет конечный предел. Учитывая, что D (0) =
= D(0) = 1/&, получим

limx^ pV'(x) = psinpTr(F,(l/i^)/t>2).	(5.52)

х *0

Таким образом, функция V(x) имеет различные знаки при
х * 0 и х * °°, если

F'(O)Fz(l/i?) <0.	(5.53)

При выполнении условия (5.53) функция <£g(t) имеет хотя
бы один экстремум.

Частный случай. Рассмотрим случай, когда решение наслед-
ственной задачи выражается через сумму дробно-экспоненциаль-
ных операторов
m

(0 = / I1 +	Xj Э* (-1>р ] 1,	(5.54)

где — решение соответствующей упругой задачи.

В соответствии с выражением (5.5) будем иметь

m

F[D(x)] = ^°[1 + S XiD(x)/(l- (i?-i>i)D(x))].	(5.55)

j = l

С учетом соотношений:

1/^°f'(0)= S Xj; l/^°Fz(l/i>) = S Xj/^J
j = 1	j = 1
условие (5.53) приводится к виду:
tn m 2

( £ Xi)( S xM<0.	(5.56)

j = 1 J j - 1 J J

При выполнении условия (5.56) функция (5.54) имеет хотя бы
один экстремум.

5.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ Э(-г? ,t),

Ка(р, 1?t) И ИНТЕГРАЛОВ ОТ НИХ

Интегральные представления (5.22), (5.23), (5.30), (5.31)
в частном случае, когда функция оператора F(3*) или F(K*)
равна оператору Э* или К*, переходят в представления для
функций Эа(-т>, t), Ка(р, -&9 t). □♦(-!>) 1, К*(р, -i?)l. Эти
представления оказываются эффективными при вычислениях
функций для средних значений приведенного времени С =
= i>tp, т.е. в области, где представления в виде обобщенного
степенного или асимптотического ряда [74] малопригодны
для вычислений.

Положим F[3*(—#)] = Э*(—1>). Тогда функция V(x) при-

нимает вид:

V(x)=Im[xI>exp(—1ря) + tf]“1=xpsinw(x2p + 2t>xpcospfl’+i?2)“1>

Подставляя V(х) в формулу (5.22), найдем

ОО

Э (—t) = sinpTr/fr f ехр(—xt)xpdx/x2P + 2t>xpcosprr +
a	о

+1?2.

Аналогично можно получить

ОО

К„(р, t) = sinvTr/тг J exp [- (р + х) t] xpdx/x2 v +
“	о

+ 2i>xpcosptt +1>2.

Используя выражения (5.30) й (5.31), найдем:

ОО

Э*(-£) 1 = l/i> - sinpn/я J expC-x^dx/x1
а	о

х(х2р + 2t>xpcospir +i>2);
v	ОО

К* (р, -i>) с 1/рр + d - sinujr/я J exp [- (р + х) t] хг/
а	о

/ (х + р) (х2 v + 2i>xpcos ртг +1?2 X

(5.57)

(5.58)

(5.59)

(5.60)
Представления (5.57) и (5.59) были получены в работах
[61,41].

При численном интегрировании удобно интегралы в выраже-
ниях (5.57) — (5.60) преобразовать к конечным пределам. По-
ложим

Эв(-о, t) «(a, t* );

(5.61)

Э*(-я>) 1 = tpF2 (а, t*), tv=	(5.62)

Выполнив в выражении (5.57) замену х = (i?y) получим

Fi (a, t*) = (t*) (1 v)lvsinvirlvir J exp[— (tvy) ^p]x
0

x y^pdy ly2 + 2ycosp7T + 1.

(5.63)

Разбивая последний интеграл на два с пределами 0 — 1,
1 — °° и положив во втором интеграле у = 1/х, окончательно
найдем

1

Fi (°, О = (О ” v^vsinp7r/p7r J exp [— (tv у) ^v] y^v +
о

+ exp [- (t*/y) llv] у1^2 + 2ycosp?r + l)dy.	(5.64)

Преобразуя аналогично выражение (5.69), получим

₽2 («, t*) = l/t*{l - sinwr/vir J exp [-(tvy)	+ exp[—(t*/y) ilv]l

°	(5.65)

ly2 + 2yCOSV7T + Ip

Формулы (5.64) и (5.65) позволяют эффективно вычислять
значения функций Fx и F2 для любых tvE(0, °°). Аналогично
могут быть преобразованы выражения (5.58) и (5.60).

При переменных во времени внешних воздействиях решение
задачи теории ползучести может выражаться через функции
вида Э*(—i?)f(t). Аппроксимируя f(t) полиномом по tp, мож-
но привести решение к вычислению выражений вида Э*(—i>)t^
(k = 0,l,...).

Воспользуемся представлением

ОО

Э*(- i>)t5 = r(8 + l) S (-1?)п-Цпр + 5/

а	П = 1

/Г(пр+6 + 1),	(566>

которое справедливо при любых 6 > —1.
Положив 6 = (к — m) р, будем иметь

v	m

3J(-i>)t(k-m)=r[(k-m)p+1] S
[n = 1

(—i>)n

xt(k m + n) /Г[(к—m + n)p+1] + (—

oo

X S (-I?)n - 1tIW + kl7r(np + kv + 1)
n = 1

m

= Г[(к- m)p + 1]

(-*)

n— Ц(к —m + n)i^

S

n

/Г[(к — m + n)p + 1] + (—1>)т/Г(кр+l)x
x3*(-tf)tkp.

Из последнего выражения получим

3*(-^)tkp = Г(кр + 1)/(—I»)m {э£(—я») t <к - m)’7

/Г[(к —m)p +1] — S (-t>)n-Ц(к-т + п)р/
n= 1

/Г[(к —m + n)p +1]| (k=l, 2,...; m= 1, 2,..., k).	(5.67)

Формула (5.67) при m = к выражает функцию Э*(—i>)t^
через табулированную функцию Э*(—i?) 1. При m = 1 выражение
(5.67) переходит в рекуррентное соотношение, выражающее
^(-d)tky через □♦(-1?)t<k“ V*.

6.	ЧИСЛЕННОЕ ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Метод Шепери. При решении задачи теории ползучести на
основе представлений (5.32) или (5.34) используются решения
задачи теории упругости с комплексными константами материа-
ла. Это может вызвать определенные неудобства, если задача
теории упругости решается численно.
Предложено большое число методов численного обращения
преобразования Лапласа, которые используют значения изобра-
жения в действительных узлах. Эти значения могут быть полу-
чены из решения* задачи теории упругости с действительными
константами материала.

В результате исследования эффективности ряда методов чис-
ленного обращения преобразования Лапласа в [53] установлено,
что наиболее надежным является метод наименьших квадратов
Р. Шепери [100]. Остальные методы оказались более чувстви-
тельными к точности, с которой задано изображение в узловых
точках.

В рассмотренных примерах [53] использовались экспонен-
циальные ядра.

Приведем результаты численного анализа эффективности
метода Шепери в случае, когда для описания свойств мате-
риала используются ядра с особенностью. Как отмечалось, эти
ядра лучше отвечают опытным данным и физически более обос-
нованы. Была решена задача об изгибе пластинки на упругом
основании, рассмотренная ранее в п. 3 гл. 4. Порядок особен-
ности ядра оператора (4.39) при решении методом Р. Шепери
был принят равным —0,5. На основании принципа соответст-
вия [54] решение задачи в пространстве изображений имеет
вид:

L(V’(t)} =$>(р) = и2 [?(Ё(р))]/(u2 [5(Ео)]р),	(5-68)

Где функции и 2 и определяются выражениями (4.38), а

Ё(р) = Ео (1 - xl(pv +t>))-

(5.69)

изображение по Лапласу оператора Е.

Согласно ^иетоду Р. Шепери, оригинал функции, имеющей
изображение ^(р), разыскивается в виде:
п

v>(t) « S А-ехр(—г!М),
j =1

где & - некоторые заданные константы.

(5.70)

Параметры А- определяются из условия минимума квадратич-
ной погрешности в пространстве оригиналов, которое приводит
к системе уравнений

Z Aa/G^ + ^WG^k) (k=l,...,n).	(5.71)

j = l

При решении задачи об изгибе пластинки правая часть уравне-
ний (5.71) задавалась с некоторой относительной погрешностью,
неоднородностью по знаку различных узлов.
Рис. 5.3. Изменение во времени изгибающего момента в пластинке на уп-
ругом основании при е =0

1 — точное решение; 2 - метод Шепери, п = 14; 3 - метод Шепери

Рис. 5.4. Изменение во времени изгибающего момента в пластинке на упру-
гом основании при е =0,1 %

1 — метод Шепери, п-6; 2 — то же, п-7; 3 — то же, п-4; 4 — точное решение

Параметры п и е, определяющие число уравнений и величину
погрешности, варьировались. При каждом сочетании этих пара-
метров узлы tfj выбирались по различным правилам: по закону
геометрической прогрессии между и t?max; по закону ариф-

метической прогрессии; в узлах полинома Чебышева, приведен-
ного к интервалу	i>max] • Параметр i>min во всех слу-

чаях был принят 0,01; #тах варьировался от 1 до 20.
Типичные результаты вычислений приведены на рис. 5.3 и 5.4.
Сплошные линии на графиках представляют решение, полученное
с точностью до пяти значащих цифр методом численного интег-
рирования, изложенным в п. 3. Пунктирные кривые получены
методом Р. Шепери. В случае, когда значения вычисля-
лись с точностью семи значащих цифр, максимальное отклонение
кривой, соответствующей п = 14, от точного решения состав-
ляет около 3% (см. рис. 53). На рис. 5.4 приведены графики
для случая, когда значения задавались с погрешностью е =
= ±0,1%. Наилучший результат получен при п = 4, однако точность
его невелика. При увеличении п точность приближения ухудшает-
ся.

Таким образом, метод Р. Шепери дает хорошие результаты,
если свойства материала описываются непрерывными ядрами.
При использовании слабосингулярных ядер этот метод не может
быть рекомендован ввиду его чувствительности к точности, с
которой известны значения изображения в узловых точках.

Разложение по интегралам от дробно-экспоненциальных функ-
ций. Неудовлетворительный результат, полученный при числен-
ном обращении методом Р. Шепери, можно объяснить тем, что
производная функции </?(t) в точке t = 0 имеет особенность
а производная аппроксимирующих функций (5.70) непрерыв-
на. Это порождает численную неустойчивость метода, если изо-
бражение в узловых точках задано недостаточно точно.

Можно ожидать более удовлетворительных результатов, если
использовать при приближении функции <p(t) систему функций,
производная которых имеет обоснованность того же порядка,
что и </(t).

Приведем метод численного обращения основанный на разло-
жении оригинала по интегралам от дробно-экспоненциальных
функций. Специальные свойства этих функций позволяют мини-
мизировать квадратичную погрешность в пространстве оригина-
лов, используя для определения коэффициентов разложения
значения изображения на действительной положительной полу-
оси.

Представим решение задачи теории наследственной упругости
в виде:

^(t) = f (t) + / 0(t - r) f(т)дт,	(5.72)

To

где f(t) - известная функция, пропорционально которой изменяются
внешние воздействия; 0(t — т) — ядро разрешающего оператора зада-
чи.

Если ядра операторов, фигурирующие в исходных уравнениях
состояния, имеют особенность порядка а, то функция 0(t — т)
имеет особенность того же порядка, что следует из соотношений
(5.11) — (5.13). Для вычисления выражения (5.72) достаточно
найти 0(t), после чего интеграл можно взять численно.

Рассмотрим сначала случай, когда —0,5 < а < 1. Будем искать
приближение 0(t) в виде:

N

0(t)~©N(t) = S 3V _ j (-Л, t),
j=l

где — заданные параметры; у. — неопределенные коэффициенты.

Параметр v — 1 положим равным порядку особенности функ-
ции 0(t), т.е. и — 1 = а.

Для определения коэффициентов ?j воспользуемся условием
минимума квадратичной погрешности в пространстве оригиналов:

оо	N

? = J (0(t) - S _ j (—, t) ]2dt > min.	(5.74)

0	j =1

Дифференцируя (5.74) no7*, получим систему уравнений

N

2 5ki7i = bk(k=l,...,N).	(5.75)

j = 1 J J
00

Здесь 5kj = J Эр _ 1 t) 3V _ j (-, t) dt,

(5.76)

00	0

bk=(	(5.77)

0

Подынтегральные функции в (5.76) и (5.77) при t = 0 имеют
особенность порядка 2«> —1, поэтому интегралы в нуле схо-
дятся.

Так как решение наследственной задачи стремится к конеч-
ному пределу при действии постоянной нагрузки, то интеграл
от функции 0(t) на положительной полуоси конечен:

ОО

I = J 0(t)dt< °°.
о

(5.78)

Из последнего выражения и монотонного стремления функций

Эр _ j (”^к’ к ИУ™ ПРИ t * 00 следует сходимость интегралов

(5.76) и (5.77) на бесконечности.

Для вычисления коэффициентов 6

воспользуемся интег-

kj

ральным представлением дробно-экспоненциальной функции
(5.57). Подставляя выражение (5.57) в (5.76) и изменяя поря-

док интегрирования, получим
oo

5kj

= sinw/TT J xp/x2P + 2i>jXpcosPTr + i>?

J	J

0

oo

x(-^k’ dtldx-

(5.79)

Здесь внутренний интеграл представляет собой преобразо-
вание по Лапласу дробно-экспоненциальной функции с действи-
тельным параметром преобразования х. Воспользовавшись из-
вестным изображением, получим

5^ = sinPTr/я J х [ (х2 + 2t?jXvcospn + t>j) (хр +
о

Положив хр = у, преобразуем интеграл к виду:

б kj = J jAf(у) dy, f(у) = sinvitl [pit (у + i>k) x
О

x(y2 + 2i?jycosvir + i?j ) ],

(5.80)

(5.81)

где X-1/ V.

При 0,5 < v < 1 функция + If (z) стремится к нулю, когда
|z| стремится к нулю и к бесконечности, причем рациональная
функция f(z)ne имеет полюсов на действительной положитель-
ной полуоси. При этих условиях интеграл (5.81) может быть
взят с помощью вычетов. Следуя схеме интегрирования, приве-
денной в работе [2], получим

)/ [psinXn(i>k +—
J.

— 2i> fctfjCoswr) ].

(5.82)

Аналогично, подставляя выражение (5.57) в (5.77), изменяя
порядок интегрирования и учитывая, что внутренний интеграл
есть изображение по Лапласу 0(х) функции 0(t), найдем

ОО

bk = sinwr/я J хр©(х)/[х2 v + 2&^ivcosvit +

+ ’?2k]’1dx.	(5-83)

Таким образом, параметры Бк выражаются через интегралы
вдоль действительной положительной полуоси от известного
изображения 0(р) функции 0(t).

При вычислениях удобно интеграл преобразовать к конеч-
ным пределам. Разбив путь интегрирования на два с предела-
ми 0 — 1 и 1 — 00 и выполнив замену хр = у в первом из интегра-
лов и хр = 1/у во втором, получим
1

1

Бк = J yXfi (у) аУ + / У1 Xf2 (у) dy,
О	о

ще f 1 (у) = sini/тгёо (у) / [иг (у2 + 2i>kcoswr +1>? ) ]
fj (у) = sinnr [1/у0о (1/у)/ [иг (1 + 2t?kycosnr +
+ ’>2КУ2)]. бо(0=0(ГР).

(5.84)

(5.85)

Покажем, что fi £0) < f2 (0) < °°. Из сходимости интегра-
ла (5.78) следует ©(0) = ©0 (0) < °°, поэтому функция fj (у)
в нуле ограничена. При р * °° изображение функции ©(t), имею-
щей особенность порядка v — 1, представимо в виде асимпто-
тического ряда

0(р) &ir(v)lpv + a2^(v1)lpVl+...,

ще Щ > v, ai, аг - коэффициенты разложения функции 0(t) в обоб-
щенный степенной ряд.

Из последнего выражения следует

ton 1/у0о (1/у) = ton (а1Г(р) + а2у

— 1

)=а1Г(р).

Таким образом, функции ft и f2 непрерывны. При числен-
ном интегрировании выражения (5.84) могут быть использо-
ваны квадратурные формулы наивысшей алгебраической сте-
пени точности, учитывающие весовые функции уи у^^
[56].

В случае, когда изображение 0(р1 в явном виде неизвестно,
для определения значений О0(у) и ®0 (1/у) в узлах выбранной
квадратурной формулы необходимо решить 2г задач теории
упругости с действительными константами материала (г —
число узлов).

Пусть свойства кусочно однородного или анизотропного
тела описываются операторами вида

G^=Gjq(I —Г* ).	(5.86)

Функция 00 (у) в узлах ур) определяется из г-кратного
решения упругой задачи с константами

Gls1)=G10l1-ri((ys(1))”P)l <s=1.......r)'	(5'87)

Аналогично, для определения 0о ((у ) 1) необходимо г
раз решить упругую задачу при следующих константах мате-
риала:

В формулах (5.87), (5.88) Г^(р) - изображение по Лапласу ядра
r^(t) оператора Г£; у^и у^- узлы (различные) квадратурных

формул, которые используются для вычисления первого и второго ин-
тегралов в выражении (5.84).

Пусть, например, свойства тела описываются агрегатами дроб-
но-экспоненциальных функций, т.е. ядра имеют вид (5.2).
Тогда константы соответствующей задачи теории упругости
определяются

(О г m (О

gu -Gjoll- z xu/<y. +OU>J;

1 1	(S.89)

(2)	m (2)	(2)

S •CioH-J/uy,> /<1 *»UX,, ))•

ртметим, чтб в метод? Р. Шепери правые части системы
(§.71), из которой определяются коэффициенты приближения,
равны значениям изображения в узлах В предлагаемом
методе рдя определения параметров необходимо вычислять
интегралы от изображения. Это является скорее достоинством
метода, чем недостатком, так как интегрирование сглаживает
случайные погрешности округлений, которые неизбежно появ-
ляются при вычислении значений изображения в узловых точ-
ках.

Примеры, иллюстрирующие эффективность метода приведены

ниже.

Случай а < —0,5. Изложенный метод неприменим, если поря-
док особенности функции 0(t) а < —0,5, так как интегралы
(5.76) и (5.77) расходятся. Приведем метод численного обраще-
ния, применимый при любых а Е (—1,0].

Будем разыскивать приближение функции 0(t) в виде (5.73).

Коэффициенты ?j определим из условия минимума квадратичной
погрешности в пространстве изображений на интервале [0, °°).
Положим pw == £. Функцию 0о (О = ©(?—Р) представим в виде

N

§)($)« S Anwna),	(5.90)

п = 1
it

ГЦе <*>n($) = S СП|У (^ + г^),	= exp (к — 1) — полная на интер-

вале [0, °°) ортонормированная система функций [96].
Таблица 5.2

п	k=1	1	2 1	3
1	1,00000		—
2	-3,40678	5,85381	—
3	6,55661	-22,16799	20,26813
4	-8,88862	43,24698	-78,11641
5	9,73745	-58,89858	152,93174
6	-9,35145	64,65123	-208,54306
7	8,27947	-62,14957	229,03862

Продолжение табл. 5.2

п’	[ ’...L	= т	6	
1			—	
2	—	—	—	—
3	—	—	—	
4	51,99589	—		
5	-201,57743	111,91944	—	—
6	395,17237	-435,00517	216,85891	—
7	-539,12177	853,32149	-843,97274	394,32194

Значения параметров сп^ приведены в табл. 5.2.

Коэффициенты Ап определяются из выражения:

оо _	1	П

An= J ©oa)%(Od|= / [@о(у) s cnk/(y + tfk) +

°	0	к = 1

п

+ 1/у©0 (1/у) s cnk/(l+yi?k)]dy.	(5 91)

к = 1

Интеграл (5.91) можно взять численно.

Возвращаясь к переменной получим

N	N

0(р) « S 7j/(pv + ^j), 7j= S Ancnj ’	(5-92)

j = 1	n =j

Функции (pp + #j)-1 представляют собой изображения дроб-
но-экспоненциальных функций. Переходя к оригиналам, получим
приближение (5.73).

Пример 1. Задача об изгибе пластинки на упругом основании,
рассмотренная в п. 3 гл. 4 была решена также с учетом ползу-
чести пластинки и основания методом разложения по интегралам
от дробно-экспоненциальных функций. Для описания свойств
пластинки и основания приняты операторы:

Ё = Ео [I -	t) ]; £ = ко [I - Х2Э*(-0,, t) ].

V»
Рис. 5.5. Изгибающий момент в пластинке

--------- — решение методом численного интегрирования;---------— ре-
шение методом численного обращения преобразования Лапласа при различ-
ных е ; 1 - е =6 %; 2-е = 3 %; 3- е =1%; 4-е =0,5 %

Значения упругих и геометрических параметров не отличают-
ся от принятых в примере, данном в п. 3 гл. 4. Значения реоло-
гических параметров в (5.93): х = 1Д6, # = 1,54, Хг = ОД =
= 1, а = —0,375. Изображение по Лапласу функции 0(t)

©(р) = u2 [«E(p),k(p))]/U2 U(E0, ко)] - 1,

гае Ё(р) = Ео (1 — х/(рр + #)), к(р) = ко (1 - х2/(рр + #2)) •

Функции и2 и £ определяются выражениями (4.38).

Приближение функции 0(t) разыскивалось в виде разложе-
ния по четырем функциям 3p_j (—i>j, t) с параметрами
равными 0,5, 1, 1,5, 2 и v = 0,625. При вычислении каждого из
интегралов (5.84) применялась квадратурная формула наивыс-
шей алгебраической степени точности [56], использующая шесть
узлов.

Для исследования чувствительности метода к точности, с
которой задано изображение, на значения функций 0о(у) и
©о (у1) в узлах налагалась относительная погрешность е, различ-
ная по знаку для различных узлов. Абсолютная величина по-
грешности варьировалась. Результаты расчетов приведены на
рис. 5.5. Сплошная линия соответствует решению, полученному
с точностью четырех-пяти значащих цифр методом численного
интегрирования, изложенным в п. 3. При е = 0 максимальная по-
грешность метода численного обращения преобразования Лапла-
са составила 0,0075. Соответствующая кривая на графике сли-
вается со сплошной линией.
Приведенные на графике кривые, полученные при е t 0, иллю-
стрируют относительно слабую чувствительность метода к ве-
личине е. Это можно объяснить тем, что интегралы (5.84) сгла-
живают случайные погрешности, с которыми задавались значения
изображения в узловых точках.

Пример 2. Рассмотренная задача была решена также при значе-
нии параметра а в (5.93), равном 0,7; числовые значения осталь-
ных параметров оставлены без изменений.

Приближение функции 0(t) также разыскивалось в виде
разложения по четырем дробно-экспоненциальным функциям,
но с параметрами i?- = exp(j — 1). Интеграл (5.91) вычислялся
по формуле Гаусса с девятью^узлами. Погрешность ±е, налагае-
мая на значения функций О0(у) и 0о(у-1), варьировалась.

Метод также оказался относительно слабо чувствительным
к величине е. При е = 0 максимальная и средняя абсолютные
погрешности приближения равнялись соответственно 0,026 и
0,017. При е = +6% эти погрешности не увеличились.

ГЛАВА 6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУММ

Операторные методы, рассмотренные ранее, эффективны при
решении широкого класса линейных задач. Однако прямое при-
менение их к нелинейным задачам и к некоторым типам линей-
ных задач встречает затруднения. Это имеет место при учете влия-
ния на свойства среды факторов типа температуры и влажности,
зависящих от времени и пространственных координат, в зада-
чах с переменной геометрией тела, контактных задач с пере-
менной областью контакта и некоторых других.

Решение задач подобного рода может быть получено числен-
но ’’шаг за шагом”. Процедура сводится к последовательному
решению задачи для моментов т0, Тд,.. . ; на каждом этапе ре-
шается задача теории упругости с фиктивными поверхностными
и массовыми силами или деформациями.

В настоящее время трудно установить, кем впервые предло-
жен шаговый алгоритм. По-видимому одна из первых работ —.
статья П.И. Васильева [21], где применительно к расчету нели-
нейных систем предложен метод ’’ступенек’’.

Достоинством шаговых алгоритмов является их универсалу
ность. Недостатки — большое время счета, необходимость хране*
ния в памяти ЭВМ большого Объема промежуточной информа-
ции.

Далее будет приведен один из вариантов шагового метода,
развитого в работе [38], который основан на аппроксимации
наследственных интегралов конечными суммами с использо-
ванием квадратурных формул типа Ньютона — Котеса обще-
го вида. В частности, подробно описан вычислительный алгоритм,
использующий формулу Симпсона в сочетании с правилом трех
восьмых.. Эти формулы имеют локальную погрешность по-
рядка (At)5 и применение их позволяет получить решение с
необходимой точностью при относительно небольшом числе
шагов.

В развитие идеи [99] построена вычислительная процеду-
ра, позволяющая для вырожденных ядер существенно сокра-
тить объем промежуточной запоминаемой информации и вре-
мя счета.

1. ПРИВЕДЕНИЕ К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рассмотрим общую задачу линейной теории ползучести, для
неоднородного тела, определяемую уравнениями (1.14), (1.15),
(2.1), (2.2) и граничными условиями (2.3), (2.4):

t

бу (X, t) = Sy (х, t)/ (2G1 (х, t) ) + J К, (x, t, r) x
t0

xs-: (x, r) dr;

•J

e(x, t) - 0(x, t) = o(x, t)/(3 G2 (x, t)) +
t

+ J K2(x, t, r)a(x, r)dr;

To

<x’ = ui, j <x« 0

+ ujj2(x, t);

+fi(x.t) =°;

ay(x, t)nj(x) =Fi(x, t); xe Sj;
иДх.1) =v1(x,t); xGS2,

(6-1)

(6.2)

(6-3)

(6.4)

(6.5)

w eij " €ij “ 5ije’ e =	sij = ffij - «if > ° = V3akk.

Введем сеть равноотстоящих точек с шагом h = (тп — т0)/п,
[r0, Tn] — рассматриваемый интервал времени.

В момент т0 компоненты напряжений и деформаций опре-
деляются в результате решения исходной задачи для упругого
тела. Положим в уравнения (6.11) t = тг и на каждом из интерва-
лов [т0, тг] применим к вычислению интегралов квадратурную
формулу с узлами в точках т^, к = 0, . . . , г. В результате полу-
чим систему равенств:

(г)	(г)	(г)	(г)

eij (х) = sij W/(2G 1 W) И + 2Gi Wx

xprr(x)]+ ^(x);

J

(x) — ©CO (x) = a О (x)/ (3G^r\x)) x
x[l + 3G<r> (x) firr(x) ] + ф(г “ 0 (x) .

Г — 1

Здесь ф (г “ О (х) = S Ргк(х) s W/x\.
У	к= О Ч

(6.6)

(6-7)

ф(г-1)(х)= S дгк(х)аС)(х).	(6'8)

к= О

В выражениях (6.6) — (6.8) принято обозначение у(х, rv) =
= у<к)(х).

Коэффициенты Prjc(x) и Мгк(х) определяются видом квад-
ратурной формулы. Если ядра Kt и К2 непрерывны и использует-
ся квадратурная формула вида:

J y(r)dr * S ArkF(rk),	(6.9)

То

то prk (х) = ArkK! (х, Tr, Tk), Дгк(х) = ArkK2 (х, тг, тк). (6.10)

В случае, когда ядра имеют особенность, можно использовать
квадратурные формулы с весами Ki (х, тг, т) и К2 (х, тг, т). В
этом случае параметры Рг]с(х) и Дг)с(х) представляют собой
коэффициенты соответствующих квадратурных формул.

Обозначим:

- (0	(0	,	(г)

Gi (х) = Gf (х)/(1 + 2Gj (х)ргг(х));

Л (0	(0	(0

G2 (х) = G2 (х)/(1 + 3G? (х)дгг(х));

©С) (х) = ©W (х) — ф(г 1) (х);

л (0	(г)	- (0 (г - 1)

5ii СО = % СО - 2G? (х)	(х);

sCO (х) = 8 С) (х) -	(х) 5 ; 3(0 (х) = с(0 (х)

“.I	J	J

(6.11)
и в уравнениях (6.2) — (6.5) положим t = тг. Тогда соотноще
ния (6.2) — (6.7) приводятся к виду:

2е^ (х) = ui j (х) +Uj j (х);

(х) + f(r) (х) = 0;

ij> j i

(г)	. (г) /ч (г)

eiJ (х)=^7(х)/(2СГ (х));
J	ег

(х) —	(х) = a(х)/(3G^r) (х));	(6.12)

ij

aW (х)п (х) = F W; x€ Si;	(6.13)

ij J iw

(r)	(r)

i*i 00= vi (*); *GSr,

где	ffr) (x) = ff° (x) - 2 d/dXj [б (Г) (x) ФуГ " 0 (x)J,

(x) =	(x) - 26^ (x) Г (x) n (x).

11	J j

(6.14)

В выражениях (6.14) ij/y = 0, если i = j.

Уравнения (6.12) совместно с граничными условиями (6.13)
представляют собой стандартную форму уравнений задачи тео-
рии упругости. Полученные соотношения применяются последо-
вательно при г = 0, 1, 2,. . . .В начальный момент т0 решается
исходная упругая задача. Во все последующие моменты тг решает-
ся также задача теории упругости с известными поверхностными
и объемными силами, определяемы^ по формулам (6.14)
фиктивными упругими модулями Gt, G2 и вынужденными
деформациями ©, которые вычисляются по формулам (6.11).
Функции ф ~ 1\х) и ф(г 1) (х) , через которые выражаются

У

фиктивные силы и деформации, определяются по формулам
(6.8).

Изложенная общая схема позволяет применять различные
квадратурные формулы. Можно, например, при г = 2, 4, 6, ... .
использовать формулу Симпсона; при г = 3 — правило трех
восьмых; при г = 5, 7, ... — формулу Симпсона на интервале
[т0, тг _ 3J и правило трех восьмых на интервале [тг _ 3, тг].
Погрешность этих формул имеет порядок h5. При такой схеме
коэффициенты Afk в выражении (6.10) определяются следую-
щим образом.

При г = 2,4,...

AfO ^гг

Ark = 4h/3; k= 1,3,... ,r - 1; *

Ark = 2h/3; k = 2,4,..., г — 2.

При г = 3:

A = A = 3h/8;
30	33

A31 =Аз2 — 9h/8.

(6.15)

(6.16)

При г = 5, 7,...:

^rO =

Ark = 4h/3; k=l,3......r —4;

Ark = 2h/3; k = 2,4,..., r — 5;	>	(6.17)

Ar,r-3=17h/24;

Ar, r _ 2 “ ^r, r _ 1 “ 9h/8,

Arr = 3h/8.

Специального подхода требует решение при г = 1.

На интервале [т0, Tt] можно использовать формулу трапе-
ций, однако погрешность ее имеет порядок h3. Для того чтобы
не увеличивать погрешность на первом этапе вычислении целе-
сообразно интервал [т0, Л ] разбить на два и на каждом из них
использовать формулу трапеций. При этом необходимо решить
дополнительно задачу для момента времени т0 + h/2.

2. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА

Как следует из выражений (6.8), для определения фиктивных
вынужденных деформаций ф (г ” *\х) и ф(г “	(х) в момент

У

tf необходимо знать компоненты тензора деформаций во все мо-
менты времени от т0 до тг _ ।. При численном решении задачи
на ЭВМ необходимо хранить в памяти машины значения функ-
ций ,«(х) й б (^) (х) во всех узлах координатной решетки

У

для всех т^, к = 0, 1,., ., г — 1. Даже в случае решения плоской
задачи эта информация может не разместиться в оперативной па*
мяти ЭВМ, обращение же к внешней памяти существенно уве-
личивает время счета. Это затруднение в значительной степени
преодолевается, если ядра вырождены. Это обстоятельство
впервые отмечено в [99].

Для вырожденных ядер могут быть получены рекуррентные
соотношения, связывающие величины ф (г “	(х) и Ф с компо-

ij

нентами этих функций, найденных на нескольких предыдущих
этапах расчета. Эти соотношения зависят от вида используемых
квадратурных формул.

Приведем рекуррентные зависимости для схемы интегриро*
вания, основанной на сочетании формулы Симпсона с правилом
трех восьмых. Пусть, например, в соотношении (6.1) ядро имеет
вид:

m

Ki (х, t, т) = S ag (х, t) 0S (х, г).
s = 1

(6.18)

Любое непрерывное ядро может быть аппроксимированно
выражением вида (6.18).

Функцию ф (г — 1) (х) представим в виде:

У

(г — 1) m (г - 1)

*ij 00 = 2 *ijs (X),	(6.19)

s =1

где, в соответствии с (6.8), (6.10) — (6.18),

0 = «'Г) « J ДА<к) W s(х).	(6.20)

Здесь приняты обозначения: ajr\x) =a (х ,т), 0^к\х) = /3 (х ,т.).
о	о X о	S

Для г = 2 и 3 функции (6.20) вычисляются непосредственно.

В соответствии с выражениями (6.15) — (6.17) для коэффи-
циентов Arк получим:

(1) (1)

+ 4/?s (x)SiV(x)]/3,

(6.21)
Ф ?\х) = he (х) [30(°) (х) s (°) (х) + 90^) (х) s С1) (х)+

Ц8 s	s ij	s ij

+ 9S(2)(x)S('-»(x)]/8.	(6И)

s ij

Для г > 3 в результате несложных преобразований найдем

*ijs =О8Г)(х)/о8Г 2)(х)^"3)(х) +

+ 2Ьа^Г) (х) /3 [0$Г 2) (х) sjj Г “ 2) (х) +

+ 20s(r"1)(x)Sijr“1)(x)J,	(6.23)

когда г = 4,6,8,...;

ф..

V1JS

, ч <Г>
W = °s

(г — 1)	(г-2)	(г)

(x)/as W’/'iis W+hOg (х)/24х

J

(г-3)	(г-3)	.Л(г-2)/ч (r-2)z.

x[0s (x)sy (x) — 50s (x)s-j (x) +

. О~Л(Г- 1), л (r-1) , 41

+ 270s	(x) Sy (x) ],

(6.24)

когда г = 5,7,...

Аналогичные соотношения можно получить для функции
" 1)если ф(г ” 1) представить в виде

$

ф(г 0=s <^(г О (х).

Из полученных соотношении следует, что при нечетных г
в памяти ЭВМ необходимо хранить функции sW и о 0е) толь-
ко для к = г — 1, г — 2, г — 3, а также m функций "" ^х)
z _	ijs

и	(х). Для размещения этой информации требуется су-

s

щественно меньший объем памяти, чем при вычислении функций

^(г 0 иф(г 1) непосредственно по формулам (6.8).

Если при интегрировании используется формула трапеций,
рекуррентные соотношения принимают вид:
Ф (Г - 1) (х) = а(г) (х)/а<г - о (х) W <г - 2> (х)

*ijs	S s	1JS

+ па(г	1\х) Р (г 1) (x)s (г О (х) ],

s	s ij

(6.25)

причем

ф(°) =h/2a(1)(x)/°)(x)s<°)(x).	(6.26)

ijs s s ij

Примеры применения метода конечных сумм к решению
конкретных задач приведены в гл. 7 и 10.

ГЛАВА 7. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ПОЛЗУЧЕСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

В этой главе общие методы, изложенные в гл. 2—6, прила-
гаются к решению ряда конкретных задач.

1. АРМИРОВАННЫЙ СТЕРЖЕНЬ ИЗ СТАРЕЮЩЕГО
ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА, ЗАЩЕМЛЕННЫЙ
В НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Задача о расчете упругого стеожня, защемленного в упру-
гом полупространстве, решена в [33] при допущении, что кон-
такт между стержнем и полупространством осуществляется
через ряд абсолютно жестких связей. В настоящем разделе на
основе модели Б.Н. Жемочкина задача рассматривается с уче-
том ползучести стержня и основания [37].

Полагаем, что наследственные свойства основания описы-
ваются оператором

t

Ey(t) = Ео (IH*)y(t) =E0[y(t) -J H(t - т)у (r) dr],	(7.1)

To

а коэффициент поперечной деформации p0 — константа.

Ползучесть симметрично армированного стержня из стареюще-
го материала характеризуется оператором вида (3.11):

б- 1 у (t) = Go [I + JR* (J - 1) ] y(t) •	C7-2)

Здесь Go = EOcIn = Eocffoc + ЕДа/Еос) i Ea> Eoc “ модули упругости
арматуры и основного материала стержня; Та и Joe — соответствующие
моменты инерции; % = ХосДт R($ - 1> t »Т) ~ резольвента ядра K(t, 7),
характеризующего свойства основного материала стержня. Стержень
подвержен воздействию горизонтальной силы, приложенной к его верх*
нему концу.

Задача состоит в определении усилий в связях X|(t), угла
поворота ^o(t) и перемещения u0(t) сечения стержня, распо-
ложенного на уровне верхней (нулевой) связи, рис. 7.1.

Систему интегральных уравнений относительно неизвестных
функций X-(t), u0(t), <Ро(О получим, заменив в уравнениях
Б.Н. Жемочкина упругие модули операторами (7.1) и (7.2):

m - 1

S [а^Е"1 + bkiG"1 ] \ (t) + k^0 (t) + Uo (t) = o

i = 0

(k = 0.......m - 1),

m - 1

S i\(t) =-e/cPo(t),
i = 0

(7.3)

(7.4)

LX/t) =P0(t).	(7>5)

i = 0

Здесь m — число связей; параметры и определяются выраже-
ниями
aki = (l+p0)(3-4p0)/8w(l-p0)c[FI +l/3-4i>0Ftt +
ki	ki

+ Po(l-2po)/3-4poFim],
ki

bki = c3/6wki,
I П Ш

c - расстояние между связями; , F^,	- константы, опре-

деляемые формулами (59) - (62) работы [33].

Введем функции X*(t), связанные с X* (t), соотношением:

X.(t) = EX*(t).	(7.6)

Исключая X- (t) из уравнений (7.3) — (7.5), получим:
m - 1

S faki + bkiQo<I + L*)]Xi(t) +k^o(t) +Uo(t) = °’

i = 0
Рис. 7.1. Расчетная схема сваи

(к = 0,	— 1);

т - 1

Е iX|(t) =-e/cPo(t);

i = 1

т - 1

Е xT(t)=Pov(t).

i =0

В уравнениях (7.7) — (7.9)

Po(t) =E’1P0(t);

Qo (I + I?) = G-1E = GJ1E0 [I —

(7.9)

+ £R*«-1)-

— gR*(S — 1)H*].	(7.10)

Отметим, что в выражении (7.10) важен порядок произведе-
ния операторов, так как операторы В*(£ — 1) и Н* не комму-
тируют.

Полученную систему уравнений будем решать операторным
методом. Поставим в соответствие системе интегральных урав-
нений (7.7) — (7.9) CHcjeM^ алгебраических уравнений отно-
сительно неизвестных Y-, , и©:
m - 1

S [aki + bkiQo(l+X)]Yi + k^+uS=O

i= 0	(7.11)

(k = 0....m - 1).
m - 1

где X — числовой параметр.

(7.12)

Уравнения (7.11) и (7.12) получены из уравнении (7.7) —
(7.9) в результате замены оператора L* параметром X и преоб5
разов анной нагрузки Ро (t) — единицей.

Функции Y|(X), <Ро (X), и§(Х), удовлетворяющие уравнениям
(7.11) и (7.12), являются дробно рациональными функциями
параметра X. При X = 0 уравнения (7.11) и (7.12) совпадают с
уравнениями упругой задачи, имеющей единственное решение,
поэтому точка X = 0 не является особой и каждая из функций
Y|(X), <Ро(Х), и°(Х) разложима в ряд Маклорена в некоторой
окрестности X = 0.

Так же, как в п. 3 гл. 3, можно показать, что система функ-
ций

XT(t) =Yi(L*)Po(t),

(t) = (L*)Pj(t), Uo (t) = uS (f)Pov(t)	(7.13)

удовлетворяет интегральным уравнениям (7.7) — (7.9).

Таким образом, для построения точного решения задачи необ-
ходимо определить из уравнений (7.11) и (7.12) неизвестные
Y- (X), (X), (X), заменить в полученных выражениях пара-
метр X оператором L*, вычислить функции (7.13) оператора L*,
после чего усилия в связях могут быть найдены из соотношения
(7.6). Однако, если число связей m > 3, то решение уравнений
(7.11) и (7.12) относительно функций Yp и® в явном виде
затруднительно и, кроме того, сложна расшифровка громоздких
дробно рациональных функций оператора. Поэтому при фактичес-
ком решении задачи целесообразно использовать какой-либо
из методов, приведенных в гл. 4, с помощью которого можно
построить решение на основе набора численных решений урав-
нений (7.11) и (7.12).

При реализации использовался метод, представляющий со-
бой комбинацию методов, изложенных в пп. 6 и 8 гл. 4. Функции
оператора Y^(L*), <p®(L*), u®(L*) аппроксимировались опера-
торными полиномами, построенными методом интерполяции
в узлах смещенного полинома Чебышева. При фактическом вы-
числении итерированных функций интегральный оператор за-
менялся матричным. В качестве координатных функций при
построении матричного оператора, аппроксимирующего опе-
ратор L*, были выбраны степени t.

Таким образом, на рассматриваемом конечном интервале вре-
мени [т0, г ] решение разыскивалось в виде:

«

Xj(t) = Е cj t

П (<P) j - 1
*(t)« S c/7?
j=l

n

S

uo(t) =

(“).j ~ 1

Cl t

(7.14)

(i) M (u)

где с. , с. , с- - искомые коэффициенты.

Задача сводится к определению векторов

(и)

(U) , (и)
с =(с, ,

(7.15)

’ п

На основании результатов, приведенных в п. 6 гл. 4, функции
(7.13) могут быть представлены в виде:

Xiv(t)= Е as(1)L*sPov(t); ^0(t)= £	fspov(t);

s =0	s=0

r (u)

Uo(t) = S 'L*4tf(t).
s= 0

(7-16)

(i) (tf>) (u)

Здесь a , a 9a — коэффициенты полиномов степени г, интерполи-
5 S S

рующих функции Y.(X),	(X), u.Q (X) в узлах

Хр = [1 + cos((2p + 1)тг/(2(г+1)))]/2 (р = 1,...,г+1). (7.17)

При вычислении итерированных функций L*sPv(t) оператор
L* приближенно заменялся матричным на основе представле-
ния (4.85). Учитывая соотношение (7.10), матрицу,представляю-
щую оператор, можно записать в виде:

М = А"1 (£В — С — £D),	(7.18)

ще А = [а . ], В = [b .], С = [с . ], D = [d ] -матрицы порядка п.

Выбирая координатные функции (4.77) в виде J/j (t) =
и используя формулы (4.84), получим:
aqj = tq \ bqj= ? R(| - 1, t r)rJ 1<fr,
To

lq	j _ 1	fq	r

coi = i Н<га - T>T dT> dqi = ' R<* - 1, r) [ J H(r - f)м
To	To	To

'dfldr.

(7.19)

Искомые векторы
ний

c(*>

определяются из выраже-

г

г

= S

(О
с

(i) s
OL М h,
О

G>) s
es М h,

с

S

= о

s = О

г

S

(u)
с =

s

(u)

a„

s

M h.

(7.20)

0

Здесь h - (hi,..., hn) - вектор коэффициентов полинома степени n -
- 1, интерполирующего функцию pj(t) в узлах t^.

Для вычисления коэффициентов «(•••) в выражениях (7.20)
s

необходимо найти значения функций Y- (X), $ (X), u§ (X) в точ-
ках Хр. Эти значения определялись в результате решения системы
уравнений (7.11) и (7.12), при вычислении коэффициентов ко-
торой принято X = Хр (р = 1,..., г + 1).

Приведем некоторые результаты вычислений. Рассматривалась
железобетонная свая длиной 6,5 м с поперечным сечением 0,25 х
х0,25 м. Жесткость сваи Go = 12,8 ЧО6 Н-м2, параметр % равен 0,78.
Свая загружена горизонтальной силой Ро = const, которая при-
ложена на расстоянии 0,8 м от верхней (нулевой) связи. Расстоя-
ние между связями с = 0,6 м, количество связей ш = 10. Процесс
деформирования рассмотрен на интервале 40 сут.

Ядро релаксации основания принято в виде:

H(t - т) = хехр [-0 (t - т) ].

(7.21)

Ядро ползучести бетона [5]

K(t, г) = - Э/Эт { (ЕосСо + EocAi /т) [1 - exp х
x(^(t-r))]j /Эт.	(722)

Модуль упругости грунта Ео = 17,7 МПа, коэффициент Пуас-
сона р0 = 03. Предполагается, что к моменту нагружения возраст
бетона TQ = 20 сут.
140
Реологические параметры ядер (7.21) и (7.22) варьировались.
В табл. 7.1 приведены значения параметров для пяти вариантов
расчета. Значения даны в преобразованном масштабе времени
(единица времени — 10 сут). Варианты 2 и 3 отличаются от ва-
рианты 1 только значениями параметра х, характеризующего
реологические свойства основания. В третьем варианте х = 0,
т.е. основание работает упруго.

Таблица 7.1

№ варианта |	1 > 1	2 1	3 1	4	1 =
ЕосА1	1,5	1,5	U	1	1
ЕосО)	2,9	2,9	2,9	2	2
7	0,26	0,26	0,26	0,26	0,26
X	1,26	0,6	0	1,26	0,6
р	2,3	2,3	2,3	2,3	2,3

ftic. 7.2. Перемещения сваи на уровне верхней (нулевой) связи

Ц), мм

1 - 5 — варианты

Рис. 7.3. Углы поворота сечения сваи на уровне верхней (нулевой)
связи io, рад
1 - 5 - варианты
Po=M,33	t-To=0	t-To=b0cym

Рис. 7.4. Усилия в связях Хр кН, при t — tq—ОиГ — tq — 40 сут

Варианты 4 и 5 отличаются от вариантов 1 и 2 соответственно
меньшими значениями параметров ЕосСо и EOcA19 характе-
ризующих меру ползучести бетона.

На рис. 7.2 и 7.3 приведены перемещения и углы поворота се-
чения сваи, расположенного на уровне нулевой связи. Как вид-
но из графиков, функция Uo (t) существенно зависит от реоло-
гических свойств основания и более слабо от меры ползучести
бетона. На углы поворота параметры меры ползучести бетона ока-
зывают более значительное влияние.

Перераспределение усилий в связях в первом варианте расчета
приведено на рис. 7.4. Влияние реологических свойств бетона и
основания на усилия в связях оказалось незначительным. Ана-
логичные результаты получены также в остальных вариантах
расчета.

Анализ результатов вычислений позволяет сделать вывод
о том, что в практических расчетах влиянием реологических
свойств материала на напряжения в свае и основании можно пре-
небречь. Учет этих свойств необходим только при определении
перемещений.

X РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ОПОРЫ
ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

В точках поворота оси линии электропередачи устанавливают-
ся анкерно-угловые опоры, подверженные воздействию горизон-
тальных сил Q и Т от натяжения проводов, грозозащитных тросов
и вертикальных сил Р. За последние годы получили распростране-
ние опоры на железобетонных стойках, более экономичные,
чем металлические.
Рис. 7.5. Расчетная схема опоры

Расчетная схема опоры для линии электропередачи напряже-
нием 330 кВ приведена на рис. 7.5. Постоянные и временные на-
грузки приведены в табл. 7.2.

Все элементы опоры кроме стоек — металлические. Расчетные

Таблица 7.2

Нагрузка, кН	|	1 т 1	1 «	1 р
Постоянная Временная	8,6  17,1	96,2  48,7	15,5  26

характеристики сечения стойки: момент инерции арматуры
J = 23 620 см4; момент инерции бетона J = 1,237 • 106 см ,
жесткость стойки Go = EJ = (J + J Е_/Е0)Ё0 = 457,7 МН-м2.
Опора представляет собой трижды статически неопределимую
систему.

Расчет на постоянную нагрузку с учетом ползучести бетона
выполнен операторным методом. Ядро ползучести бетона приня-
то в виде (4.48) при следующих числовых значениях парамет-
ров (единица времени - 10 сут): г = 0,15, Е0С0 = 0,5395; AiE0 =
= 0,9152, Вх = 0,35, В2 =0,65,7! = 0,3,72 =5,8.

При вычислениях использовались программы ПОИСК и
РОМБ-1, описание которых привепено в приложении.
Рис. 7.6. Эпюра изгибающих мо-
ментов от постоянной нагрузки,
кН • м, для t = 3,05 сут

Рис. 7.7. Эпюра изгибающих момен-
тов от постоянной нагрузки, кН • м,
для t = 30,5 сут

Неизвестные усилия в связях и изгибающие моменты в харак-
терных точках разыскивались в виде:

4	(j)	4 fk)

V0 = Д Cn ^n-lO), Mk(t) = S ь; !(t), (7.23)

где _ j(t) - итерированные функции, причем = 1;	- изгибающие

моменты в точках, показанных на рис. 7.5.

На первом этапе расчета по программе ПОИСК найдены узлы
Xi = 0,373552, Х2 = 0,503766, Х3 = 0,633756, Х4 = 0,764756.
Эти узлы определяют фиктивные жесткости стоек, которые
вычисляются по формуле

=G0[l-I/InXn/l+Xn] (n = 1.....4),	(7.24)

следующей из выражения (3.33).

На втором этапе по стандартной программе расчета упругих
стержневых систем выполнены четыре расчета опоры на постоян-
ную нагрузку в предположении упругой работы стоек с жест-
костями (7.24).

На третьем этапе, используя данные расчета упругой системы,

(j) (к)
по программе РОМБ 1 вычисленны коэффициенты сп , Ьд

и функции X- (t) и M^(t).
На рис. 7.6 и 7.7 приведены эпюры изгибающих моментов от
постоянной нагрузки для t = т0 = 3,5 сут и t = 30,5 сут. Как
видно, изгибающий момент Мз> который для стойки являздся
расчетным, уменьшился на 67 кН • м. Полный изгибающий мо-
мент (с учетом временной нагрузки) уменьшился с 623 до
556 кН м, т.е. на 11%.

Расчетная временная нагрузка на опору появляется при соче-
тании ветра с максимальным гололедом, вероятность которого
очень мала. Если допустить, что расчетная временная нагрузка
прикладывается к опоре не одновременно с постоянной, а не
ранее чем через месяц, то расчет с учетом ползучести бетона
позволяет или уменьшить армирование стоек, или допустить
больший угол поворота линии.

3.	БЕТОННЫЙ БЛОК НА СКАЛЬНОМ ОСНОВАНИИ

Рассматривается задача о температурных напряжениях в пря-
моугольном бетонном блоке, лежащем на основании в виде
полуплоскости. Решение получено на основе принципа Вольтер-
ра, при реализации которого использован метод из п. 4 гл. 4.

Рассматривается блок прямоугольного поперечного сечения,
расположенный на скальном основании (рис. 7.8). Предпола-
гается, что размер блока вдоль оси z велик и система блок —
основание находится в условиях плоской деформации. Свой-
ства бетона описываются оператором:

Е“* =Е”1(1 + Н*).

(7-25)

где Н* — оператор вида (4.48).

Рис. 7.8. Прямоугольный блок на скальном основании
Коэффициент Пуассона полагается независящим от времени,
основание работает упруго. В момент то температура блока уве-
личивается на ДТ° и в дальнейшем не изменяется.

При решении приняты следующие значения параметров: от-
ношение высоты блока к ширине х = 0,25; приращение темпе-
ратуры АТ = 1°С; Ео = 3,33 *104 МПа; модуль упругости осно-
вания Ес = 1 • 104 МПа; коэффициент поперечной деформации
блока Vq = 0,16, основания v = 0,2; коэффициент линейного
расширения бетона а = 1 • 10"^ 1/град. Параметры ядра приняты
такими же, как в примере из п. 2.

Пусть (х, у, Ео) — решение статической задачи теории упру-
гости. Тогда на основании принципа Вольтерра решение задачи с
учетом ползучести бетона имеет вид:

о ~

°ij (X, у, t) = Оу (х, у, Е) 1.	(7.26)

о

Функции оц в явном виде неизвестны, поэтому при вычисле-
нии напряжений с учетом фактора времени использовался метод
из п. 4 гл. 4, позволяющий построить решение с учетом ползу-
чести на основе численного решения соответствующей упругой
задачи.

Напряжения разыскивались в виде:

4	«ч

ау(х,у,г)= S с/’ Р(х, у) _j(t),	(7.27)

п = 1

где _ j(t) - итерированные функции; «А) (t) = 1.

На первом этапе расчета по программе ПОИСК найдены пара-
метры (n = 1, . . . , 4), значения которых совпадают со значе-
ниями Хп, полученными в примере из п. 2.

Для определения коэффициентов приближения (7.27) необ-
ходимы значения (х, у, Ео (1 + X)"т) в узлах Х^ Эти значения
получены в результате численного решения задачи теории упру-
гости с константами материала E(Xn) = Ео (1 + Хп)-1. Задача тео-
рии упругости решалась методом конечных полос [82].

По программе РОМБ 1 вычислены коэффициенты приближе-
ния (7.27) и напряжения х (0, у^, t) в точках
на рис. 7.8. Результаты приведены в табл. 7.3.

В табл. 7.4 даны результаты решения рассматриваемой за-
дачи, полученные численно шаговым методом (см. [8.2]). Мак-
симальное расхождение между решениями, полученными различ-
ными методами, составило 0,03.

На рис. 7.9 приведены эпюры напряжений Qi i (0, у, t) для
различных значений времени. Как видно, закон распределения

у^, показанных
Напряжения х *10”5, Па						
Сут	Номер точки					
		1 3	1 5 1	7 1	9	11
3,5	-1,49	-1,15	-0,81	-0,47	-0,14	+0,15
4	-1,17	-0,93	-0,68	-0,45	-0,22	-0,03
5	-0,88	-0,73	—0,57	-0,42	-0,28	-0,16
7	-0,76	-0,63	-0,51	-0,38	-0,28	-0,19
10	-0,74	-0,61	-0,49	-0,37	-0,27	-0,18
15	-0,7	-0,59	-0,47	-0,36	-0,27	-0,20
20	-0,68	-0,57	-0,46	-0,36	-0,27	-0,21
25	-0,66	-0,55	-0,45	-0,36	-0,27	-0,22
30	-0,64	-034	-0,44	-0,35	-0,27	-0,22

Таблица 7.4

Напряжения (7х х * 10~5, Па						
Сут	Номер точки					
	1	3	5	7	9	V  1 11
3,5	-1,49	-1,5	-0,81	-0,47	-0,14	+0,15
4	-1,2	-0,95	-0,69	-0,45	-0,21	-0,01
5	-0,89	-0,73	—0,57	-0,42	-0,27	-0,17
7	-0,76	-0,63	-оз	-0,38	-0,28	-0,2
10	-0,73	-0,61	-0,49	-0,37	-0,27	-0,19
15	-0,7	-0,59	-0,47	-0,36	-0,27	-0,2
20	-0,68	-0,57	-0,46	-0,36	-0,27	-0,2
25	-0,66	-036	-0,45	-036	-0,27	-0,21
30	-0,64	-0,54	-0,45	-0,35	-0,27	-0,22

Рис. 7.9. Эпюры напряжений — 10* 5 Па для различных
значений времени
напряжении по высоте блока очень близок к линейному. В точ-
ке 77 ползучесть вызывает изменение знака напряжений.

4.	ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ СТЕНЫ

ИЗ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ БЕТОННЫХ БЛОКОВ

Бетонные стены различных сооружений часто собираются
из прямоугольных блоков. Швы между ними имеют малое
сопротивление растяжению. Такие конструкции нередко рас-
считываются без учета сопротивления растянутой зоны.

В работе [23] исследовалось напряженно-деформированное
состояние системы прямоугольных внецентренно сжатых бло-
ков при постоянном эксцентриситете продольной силы и упру-
гой работе материала. Приведем здесь решение задачи об экс-
центричном сжатии прямоугольной призмы, разрезанной на
бетонные блоки (рис. 7.10), с учетом влияния ползучести на
деформации системы [24]. Длина блоков предполагается до-
статочно большой, поэтому задача рассматривается как плос-
кая. Решение получено для системы однородных блоков.
Далее будет показано, что контактная задача о сжатии двух бло-
ков с различными упругими и наследственными свойствами при-
водится к задаче для однородных блоков с усредненными ха-
рактеристиками. Влияние неоднородности на перемещения стены

Рис. 7.10. К задаче о сжатии стены
из прямоугольных бетонных бло-
ков
Рис. 7.12. Контакт двух блоков

Рис. 7.11. Схема блока

может быть учтено усреднением характеристик материала для
каждой пары соседних блоков. При числовых расчетах исполь-
зован метод конечных сумм.

Сжатие двух однородных блоков. Рассмотрим предваритель-
но контактную задачу о сжатии двух однородных прямоуголь-
ных блоков эксцентричной нагрузкой, воспользовавшись функ-
циями влияния перемещений границы прямоугольной области
[66]. В безразмерных координатах к = х/хо, = у/у0, f = s/y0
(рис. 7.11) перемещения границы к = 0:

2 а у

u(i>) = J L„(i>,0q(f)dr= (1 - р2)Уо/Ех
О

xMou(^.f) -2/irln|i?-ri]q(pdf= (1 - р?)у0/
0 2

/Е JK7(i>,f)q(Odr	(7.2^

0	л -у	у

Здесь q(f) - нагрузка на граняхх=0иК = -2; L ( v, f) = L (17, TkJ

(т? = 1 —	= 1 - J) — регулярная часть функции влияния, которая про-

табулирована для различных значений у=Уо/хо •

Рассматривая контакт двух блоков (рис. 7.12) будем пола-
гать, что закон распределения нагрузки q на противоположных
гранях блоков незначительно отличается от закона распределения
контактных сил. Эта допущение позволяет использовать функции
влияния l7(i>, f).

Вследствие симметрии относительно оси плоскость контак-
та не искажается. Учитывая (7.28), условия контактной задачи
для идеально упругих блоков можно записать в виде:
a°(t) у

(1 - pg/E) J KZ(i>, f)p° (f, t)df = 8° (t)/(2y0) -

- /(t)i>/2	(7-29)

внутри области контакта [0, a0 (t) ];

а® (0, t) = 0 — вне области контакта;	(7.30)

a°(t)	a°(t)

J Р° (f. t)df = P(t)/y0, / p° (f, t)fdf = P(t)e(t) M •	<7-31)

0	0

В уравнениях (7.29), (7.31) p°(J\ t) - контактное давление; 5°(t) -
взаимное сближение блоков; ^P(t) - их взаимный угол поворота; P(t) -
равнодействующая внешней нагрузки, расположенная на расстоянии e(t)
от начала координат (правой храни блока).

Условия задачи с учетом ползучести материала блоков полу-
чим, заменяя в (7.29) константы оператором:

а (О

Q J K7(’>,r)p(f,t)df = 8(t)/(2y0) -^(t)t>/2,	<7-32)

О

О

a (t)	a(t)

J P(f,t)dj- = P(t)/y0, / PG. t)fdf = P(t)e(t)/ y§.	(7.33)

0	о

Здесь оператор Q имеет вид:

Q = Qo (I + H*), Qo = (1 - pg)/E0,	(7-34)

t

H*y(t) =J H(t,г)у(r)dr, H(t,r) = —Eod/drC(t,r),	(7-35)

To

1де C (t, 7 ) — мера ползучести бетона. В * * * * * * * *

В выражениях (7.31), (7.33) функции P(t) и e(t) полагают-

ся заданными.

Нетрудно проверить, что уравнениям (7.32) и (7.33) удовлет-

воряют функции:

Р(М)=Р°(М); a(t)=a°(t);

6 (t) = (I + Н*)5° (t); ^(t) = (I + H*)(t),

(7.36)

которые решают задачу с учетом ползучести бетона.

Если e(t) = е0 = const, то уравнения (7.32) и (7.33) удов-

летворяются функциями:
p(f, t) = Po (f)P(t); a(t) =Oo = const;

5 (t) = 60 (I + H*) P(t); ^(t) = л (1 + H*) P(t),

(7.37)

ГДеРо(£)» cto»So> Фо - решение соответствующей задачи теории упругости
при Р = 1.

Таким образом, приходим к следующим выводам: ползучесть
бетона не влияет на величину зоны контакта и контактные напря-
жения; зона контакта не зависит от величины действующей на-
грузки и определяется только относительной координатной
равнодействующей.

Сжатие системы блоков. Рассмотрим сжатие прямоугольной
призмы, состоящей из ш + 1-го бетонного блока с учетом де-
формированной схемы. Полагаем, что ш + 1-й (нижний) блок за-
щемлен в основании, все блоки имеют одинаковые размеры
2х<)2уо. Сжимающая нагрузка с равнодействующей Р = const
приложена на расстоянии е0 = const от вертикальной грани верх-
него блока (см. рис. 7.10). Касательными напряжениями, ко-
торые появляются на поверхностях контакта при деформации
системы, пренебрегаем. Это позволяет воспользоваться приве-
денными выше результатами.

Вследствие ползучести расстояния ek(k = 1, . . . , ш) изме-
няются во времени. Из геометрических соображении следует:

k - 1

Cfc/Уо = во/уо - h/yo [кФ (t) — S (к — v)<Pv(t)],	(7.38)

V = 1
ш

где Ф(0= S ^k(t),	(7.39)

к= 1

<^(t) - взаимный угол поворота блоков к и к + 1; h = 2хо - высота блока.

Пусть в результате решения задачи теории упругости о сжатии
двух блоков нагрузкой Р/у0 = 1 при Qo = 1 получена зависимость
$»° = ф (е/уо) взаимного угла поворота блоков от е/у0.

С учетом ползучести бетона будем иметь

^(t) = (PQo/Уо) (I + H*)^(ek(t)/y0) = (PQo/Уо) х

x[^(ek(t)/y0) + ! Н(1,т)ф(ек(т)/у0)<1т),	^7-40^

То

(к=1, ..., ш).

Нелинейные интегральные уравнения (7.40) совместно с соот-
ношениями (7.38) и (7.39) образуют полную систему уравнений
относительно неизвестных функций ek(t), ^k(t) и <D(t). Реше-
ние системы может быть получено методом конечных сумм.

Введем дискретную шкалу времени t^ = То + !△ и на каждом
из интервалов [т0, tj применимы к вычислению интегралов
151
(7.40) формулу трапеции. В результате получим систему нели-
нейных уравнений

</>к(Ч) = (PQo/yo)V'(ek(ti)/yo) + (PQ0A/2y0)x

4й(Ч, тоЖек(то)/Уо) +H(t? t^V/CekCtp/yo) +

i - 1	•»	(7.41)

+ 2 2 H(t? tp) ф (ек(у/у<4

(i=l.....N; k=l,...,m).

Соотношения (7.41) совместно с уравнениями (7.38) и (7.39)
позволяют определить неизвестные e^(t

вательно, начиная с = т0. Полагая, что решения для моментов
т0, ti, . . . ,	। известны, задавшись <D(tp, последовательно

находим

е> (tp/yo = ео/Уо - (b/yo)®(tj);

•) и ^(tp последо-

•Pi (tj) — из первого уравнения (7.41);

е2 (tp/yo = ео/Уо - 12Ф(^) - к (tj) ] Ь/у0;

Ч>2 (tp — из второго уравнения (7.41) и тд.

После определения (t-), ^2(t|), . . . , ^т(*р проверяется
выполнение условия (7.39). Величина O(tp варьируется до тех
пор, пока это условие не будет удовлетворено. При = т0 в выра-
жениях (7.41) учитывается только первое слагаемое.

Таким образом, почти треугольная структура системы уравне-
ний (7.38) значительно упрощает решение, так как при любом
t| задача, по существу, сводится к решению одного нелинейного
уравнения (7.39).

Для фактического построения зависимости = ф(е/у0) за-
меним непрерывный контакт системой 2(n + 1) односторонних
связей, расположенных в серединах участков шириной су0
(рис. 7.13). Начало координат удобно совместить с нулевой
связью.

Перемещение границы упругого блока по направлению связи
i от нагрузки 1/су0, равномерно распределенной на участке j,
найдем, воспользовавшись выражением (7.28). Положим & =
= c(i + 1/2) и интегрируя в пределах от jc до (j + 1)с, получим
ftic. 7.13. Расчетная схема при численной
реализации решения

W Д' = 1 -pg/EoL^Hi + O.ShcG + O.S)];

•г

(2)	г

5^ = 2(1 - ^)/яЕ0 (1 + ln[(j - i - 0,5)/j - i + 0,5)x

J

x 1/cу/ (j -i)2 -0,25 ]} (J # i);

(2)

6И = 2(1 — Vo)/wEo (1 — lnc/2).

При интегрировании регулярной части функции влияния
использовалась формула прямоугольников.

Пусть при некотором значении е/у0 выключились связи
0, 1, ... г. Тогда неизвестные Xj = Zj/y0, = <p/Q0, $ = б/у0 Qo
определяются из системы уравнений

АГ + 3Я = Р.

Здесь векторы Хи?имеют вид:

Х= (£,S,Xo,... ,ХГ), Р= (Ре/уо, —Р/уо,0,.. .,0);

А + з — матрица порядка г + 3:

/0,	0,	0, с,	2с,..., те

0,	0,	-1, -1, -1,... ,-1

_	0,	—1,	25оо>	25qi, 25qi, ..., 25дГ

^ + 3"	А	-1,	25’1о,	25'ц, 25j2.25'1Г

(7.42)

(7.43)
Zj — усилия в связях; <р — взаимный угол поворота блоков; 6 —
их сближение; 6'.. = S|./Qo.

J	J

Первые две строки в системе (7.42) представляют собой
уравнения равновесия, остальные — уравнения неразрывности
деформаций по направлению включившихся связей. Так как
число включившихся связей заранее неизвестно; уравнения удоб-
но решать в следующем порядке. Последовательно, при г = 1,
2,..., 2n + 1, умножая обратную матрицу А’г1 + $ = (а(^ 7 3) ) на
вектор Р при Р/уо = 1, получим:

{£° при i = 1,

5 при 1-2,

X? _3при1 = 3......г+ 3,

где через <£°, 0°, Х?_ $ обозначены величины 5, соответствующие
нагрузке Р/уо = 1.

Координату равнодействующей, соответствующую включе-
нию г связей, можно найти из условия = 0:

(7.44)

После вычислений граничных значений ejyo по формуле
(7.44) число включившихся связей г при любой заданной вели-
чине е/уо определяется из условия:

ег/уо>е/уо >ег_1/у0.

При известном г величины <р, S, находятся из уравнения
(7.42).	1

Решая изложенным путем уравнения (7.42) при Р/у0 = 1 и
различных значениях е/у0, можно построить зависимость <р° =
= 1//(е/у0), которая необходима для определения деформаций
системы блоков с учетом ползучести, и функции X =л° (е/у0),
характеризующие распределение напряжений в зоне контак-
та.

ДляАблоков квадратного сечения в табл. 7.5 приведены зна-
чения Х° в функции е^уо; зависимость $>° = 0(е/уо) дана в
табл. 7.6. Эти данные могут использоваться при расчете стены
из произвольного количества квадратных блоков с учетом пол-
зучести бетона.

При сжатии системы блоков опрокидывания в рассматри-
ваемом интервале времени не происходит, если em(t) > 0 для
t £ [то, tJ. По изложенной методике решен числовой пример
Сг/Уо

Рис. 7.14. Зависимость относительного эксцентриситета ез / Уо от времени

о сжатии стены из трех блоков. В этом случае устойчивость систе-
мы определяется условием е2 (t)/y0 >0.

На рис. 7.14 приведены графики е2 (t)/y0 на интервале вре-
мени 10 — 110 сут. Ядро ползучести бетона принято в виде

H(t, т) = Э(Е0С0 +Е0А1/т)(1 — ехр [—0 (t — т) Ц /Эт

при следующих значениях параметров: Е0С0 = 1,8, E0Ai =
= 9,64 сут, р = 0,026 сут“1. Равнодействующая нагрузки Р при-
ложена на расстоянии е0 = 0,2уо от правой грани верхнего бло-
ка.

При заданных реологических параметрах и отношении е0/у0
устойчивость системы на конечном интервале времени опреде-
ляется безразмерным параметром д = PQ0/y0. Как видно из
рис. 7.14 характерно резкое падение кривых е2 (t)/y0 при зна-
чениях t, близких к критическому времени, определяющему
момент опрокидывания.

Сжатие неоднородных блоков. Рассмотрим теперь контакт-
ную задачу о сжатии двух блоков с различными упругими и на-
следственными свойствами. Неоднородность может быть обус-
ловлена, например, различным возрастом бетона блоков.

Пусть деформативные свойства верхнего и нижнего блоков,
показанных на рис. 7.12, описываются операторами:

Qi =Qoi(I + Hr); Q2=Q02(I + H?);

о	.	(7.45)

Qoi - (1 — vOi)/EOi > Q02 ~ (1 — ^ог)/Ео2 •
as

Таблица 7.5

г	Cj/Уо	Номер связи									
		0 1	1 1	2 1	3	4	1 5 1	6 1	7 I	8		
1	0,000$	1,000	0,000		—	—		—		—	
2	0,0332	0,668	0,332	0,000	—	—	—•	—	—	—	—
3	0,0725	0,484	0,306	0,209	0,000	—	—	—	—	—	—
4	0,1125	0,375	0,269	0,213	0,144	0,000	—	—	—	—	—
5	0,1484	0,311	0,238	0,201	0,156	0,094	0,000	—	—	—	—
6	0,1856	0,264	0,212	0,186	0,154	0,110	0,074	0,000	—	—	—
7	0,2234	0,229	0,190	0,171	0,148	0,113	0,089	0,060	0,000	—	—
8	0,2608	0,202	0,172	0,158	0,140	0,112	0,094	0,073	0,049	0,000	—
9	0,2941	0,183	0,158	0,147	0,133	0,109	0,094	0,078	0,060	0,036	0,000

Таблица 7.6

е/Уо	0,00	0,03	0,06	0,09	0,12	0,15	0,18	0,21	!	0,24	0,27	0,30
	40,16	23,60	16,40	12,20	9,40	7,50	6,10	5,10	4,30	3,70	3,30
Операторы Hi и Н2 определяются в соответствии с (7.35). Ин-
декс 1 относится к верхнему блоку, 2 — к нижнему. Переме-
щения грани# = 0 верхнего блока:

А/

u, (1?) = Уо Qi J К* (*, Г) Р (Г, t) df - 5! (t) + К (t)	(7.46)

О

где 6i(t) - перемещение блока как жесткого тела в направлении, про-
тивоположном оси#; <Pi - угол поворота блока по часовой стрелке.

Аналогично, для нижнего блока получим
t a(t)

U2 0>) = -Уо Qi / КТ (a, f) Р (f, t) df + 5 2 (t) - к (t) t>.	(7.47)

О

Здесь перемещение 62 (t) направлено вдоль оси ас, а угол
$2 отсчитывается против часовой стрелки.

Приравнивая перемещение Ui и u2, получим условие внутри
области контакта:

s J К7(#, f)p(f, t)df = 6 (t)/(2y0) -^(t)i>/(2y0);

0

S = S0(I+T*);

T* = Qo 1 /(Coi + e02 ) H* + 602/(601 + 602 )H*2;

So -Qoi +Qo2/2;

6(t) =6i (t) +62(t); <p(t) =^i(t) +</>2(t).

(7.48)

(7.49)

(7.50)

(7.51)

Условие вне области контакта ох(0, &9 t) = 0 и уравнения
равновесия не отличаются от соответствующих зависимостей
задачи для однородных блоков. В случае упругих неоднород-
ных блоков уравнение, соответствующее (7.48), имеет вид:

a°(t)

So J K7(iJ, f)p°(f,t)df = 6°(t)/(2y0) -
0

V(t)i>/(2y0).

(7.52)

Остальные уравнения не отличаются от (7.30), (7.31).

Таким образом, система уравнений контактной задачи о сжа-
тии двух неоднородных блоков с учетом ползучести совпадает
с уравнениями задачи для однородных блоков, если в последних
оператор Q заменить усредненным оператором §. Уравнения
задачи о сжатии упругих неоднородных блоков можно получить
из соответствующих уравнений для однородных блоков, заменив
константу Qo усредненной константой So. Отсюда следует:

Р(М)=Р°(М); a(t)=a°(t);

8(t) = (I + Т*)8° (t); <p(t) = (I + T*)(p°(t).

(7.53)

Здесь функции р°, а0, 5°, являются решением задачи для
однородных упругих блоков, деформативные свойства кото*
рых характеризуются усредненной константой So.

Если ~(t)/y0 = ео/уо = const, то решение задачи с учетом
ползучести принимает вид:

Р(М) =Po(0P(t), a(t) =ао = const,

5(t) = 80(I + T*)P(t), ^(t) = (I + T*)P(t),

(7.54)

где po, Cfo, 8о» <й) - решение задачи теории упругости при р -1.

Таким образом, решение задачи с учетом ползучести для
неоднородных блоков относительно функций p(f, t), a(t) и
суммарных перемещений 8(t) и ^(t) совпадает с решением
задачи для однородных блоков, свойства которых описывают-
ся усредненным оператором S. Остается справедливым вывод
о независимости зоны контакта и контактных напряжений от
реологических свойств блоков и вывод о том, что зона кон-
такта не зависит от величины действующей нагрузки и опреде-
ляется только величиной е/у0.

Из полученных результатов следует, что методика решения
задачи о перемещениях стены из однородных блоков почти без
изменений переносится на задачу для неоднородных ^локов.
Следует, только в уравнениях (7.40) заменить оператор Q опера-
тором Sk = Sok = (I + Tfc), который соответствует усредненным
свойствам k-го и к + 1-го блока.

При решении могут быть использованы приведенные таблицы
$>° и Хр так как функции и X? не зависят от упругих и реоло-
гических свойств материала.

В заключение заметим, что помимо проверки на ’’опрокиды-
вание” необходима также проверка прочности по сжатию краевой
зоны контактирующих блоков и ее отколу под влиянием рас-
тягивающих напряжений оуу, которые становятся существенными
при уменьшении зоны контакта. На основании полученных резуль-
татов напряжения после определения зоны контакта могут быть
найдены как в упругом теле.
5. ПОЛЫЙ НЕОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР,
ПОДВЕРЖЕННЫЙ ВНУТРЕННЕМУ ДАВЛЕНИЮ

Рассмотрим задачу о цилиндре, неоднородность которого
обусловлена различным возрастом материала в радиальном на-
правлении. Связь между напряжениями и деформациями принята
в виде (2.73). Задача решена двумя способами: на основе
сформулированного в гл. 2 обобщения принципа Вольтерра и
методом конечных сумм.

Решение операторным методом. Как следует из результатов,
приведенных в п. 4 гл. 2, радиальные и тангенциальные напряже-
ния в цилиндре из неоднородно стареющего материала могут
быть представлены в виде:

«г(г> 0 = o^(r, H*)p(t), <ty(r,t) =ff^(r,H*)p(t),	(7.55)

где p(t) - внутреннее давление; О°(г ,Х), о^(г ,Х) - напряжения в неод-
нородном упругом цилиндре, модуль упругости которого зависит от па-
раметра X:

Е(г, X) = Е0 [1 +x(r)X]"\ X (О =ехр[-0х (0]•	(7.56)

Мера ползучести принята в виде (2.75), где функция ф (t — т)
определяется в соответствии с (4.50). Таким образом, ядро
оператора Н* имеет вид (4.56).

Решение задачи реализовано методом, изложенным в п. 4
гл. 4. Приближение функций (7.55) построено на основе четырех
упругих решений. Коэффициент Пуассона принят 0,5, т.е. мате-
риал предполагается несжимаемым. В этом случае решение зада-
чи теории упругости при единичном внутреннем давлении имеет
вид [62]:

о°т(г, X) = В(г, X)/В(b, X) - 1;	(г, X) =

= E(r, X)/(r2B(b, X)+a°(r, X);

I

в (г, X) = J E(tX)d#£3.

О

Здесь а, b внутренний и наружный радиусы цилиндра.

(7.57)

Рашение рассматривалось на интервале t G [0,5; 3,5] (единица
времени — 10 сут). Функция х (г) в (7.56) принята в виде к (г) =
= Ха + (г — а) (кь — ха) / (Ь — а). Значения геометрических и рео-
логических параметров: а = 2 м, Ъ = 7 м, «а = 0,х^ = 4, Е0С0 =
= 0,5395, АЕ0 = 2,5, Bi = 0,35, В2 = 0,65, ?! = 0,30, у2 = 0,80,
0 = 0,88.
Рис. 7.15. Изменение во времени радиальных аг и тангенциальных
ау напряжений в неоднородном цилиндре
1 - t - то =30 сут; 2- t - то = 0

На рис. 7.15 показано изменение во времени напряжений аг
и 0^ при p(t) =1. Как видно, напряжения аг незначительно воз-
растают для всех г Е (2, 7). Более существенно влияние неод-
нородности на напряжения

Решение методом конечных сумм. При этом решении цилиндр
рассматривался как кусочно неоднородный, состоящий из десяти
однородных слоев одинаковой толщины. На основе указанного
допущения получена система интегральных уравнений относи-
тельно контактных напряжений между слоями. В результате
замены наследственных интегралов конечными суммами решение
системы интегральных уравнений приведено к решению системы
алгебраических.

Задача решалась при постоянном внутреннем давлении р = 1
и давлении по закону:

p(t)=t2[(t2-l)2 + (0,lt)2]-^.

(7.58)

В первом случае решение методом конечных сумм сравнива-
лось с решением операторным методом. Максимальное абсо-
лютное расхождение составило 0,02.

В случае нагружения цилиндра по закону (7.58) варьирова-
лись шаг по времени h = (г* - r0)/N = (3,5 — 0,5)/N и тип квад-
ратурной формулы, которая использовалась при замене наслед-
ственных интегралов конечными суммами. При N = 72 результа-
ты, полученные на основе формулы трапеций с точностью до двух
знаков после запятой (две, три значащих цифры), совпали с
результатами, полученными при интегрировании по схеме, из-
ложенной в п. 1 гл. 6.

Относительно значений аг(г, t^), вычисленных при N = 72,
определялась погрешность метода при N = 12. Максимальная
абсолютная погрешность вычислительной схемы, основанной
на формуле трапеций, составила 0,100, средняя - 0,028. При
интегрировании по схеме, основанной на формуле Симпсона в
сочетании с правилом трех восьмых, соответствующие погреш-
ности оказались 0,042 и 0,010.

ГЛАВА 8. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ РАСТУЩЕГО ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА

Классическая постановка краевой задачи механики твердого
деформируемого тела основана на предположении, что к момен-
ту начала приложения силовых воздействий тело имеет опре-
деленную геометрическую форму и размеры, которые в дальней-
шем изменяются только вследствие этих воздействий. Однако
возможна ситуация, когда при нагружении тело изменяет свою
конфигурацию за счет приращивания (прикрепления) к нему
новых элементов. Подобного рода тела называются растущими
или наращиваемыми.

С растущими телами мы встречаемся при изучении различных
технологических процессов, а также при последовательном возве-
дении и загрузке строительных сооружений и конструкций. Так
как нагрузка от собственного веса элементов неизбежно прикла-
дывается при прикреплении их к уже сформированной части соо-
ружения, то классическая модель становится непригодной, если эта
нагрузка значительна и оказывает существенное влияние на напря-
женно-деформированное состояние. В этом случае при расчете
сооружений должна использоваться модель растущего тела.

Процесс наращивания тел может происходить как дискретно
(скачкообразно), так и непрерывно. В первом случае к телу в
отдельные моменты времени последовательно присоединяются
элементы конечных размеров. Во втором за каждый бесконечно
малый промежуток времени к телу присоединяются элементы
бесконечно малых размеров.

Дискретное наращивание имеет место при сборке различного
рода стержневых и блочных систем из готовых деталей. Если раз-
меры деталей малы по сравнению с общими размерами сооруже-
ния, то процесс наращивания может приближенно рассматривать-
ся как непрерывный. Возведение массивных сооружений из бето-
на с непрерывной укладкой бетонной смеси также представляет
собой процесс непрерывного наращивания.
Характерной особенностью наращиваемых тел из стареющего
материала является их специфическая неоднородность, обуслов-
ленная неодинаковым возрастом материала в различных точках.
Подобного рода тела, как отмечалось в гл. 1, называются неодно-
родно стареющими. Однако наращиваемое тело из стареющего
материала может быть и однородным, если составные части его
изготовлены одновременно из одного материала и в дальнейшем
происходит их последовательное сращивание. Однородны также
наращиваемые тела, изготовленные из одного нестареющего
материала.

В работе [88] дана постановка краевой задачи линейной те-
ории ползучести наращиваемых тел. Постановка краевой задачи
для неоднородно стареющего наращиваемого тела дана в работах
[9, 14, 15]. Приведем вывод основных уравнений, следуя в ос-
новном, работе [15]. Остановимся вначале на постановке задачи
для случая дискретного наращивания. Рассмотрение начнем с
простейшей ситуации сращивания двух стареющих вязкоупругих
тел.

1. СРАЩИВАНИЕ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ СТАРЕЮЩИХ ТЕЛ

Пусть имеются два тела различного возраста, изготовленные в
моменты т и , занимающие области и £22 соответствен-

но. В дальнейшем сращиваемые тела будем отождествлять с зани-
маемыми ими областями. Обозначим через Sq 2) участок грани-
цы тела £21, по которому оно сращивается с телом £22 в момент
ti 2 > птах	’ а чеРез $(2 1) “ соответствующую часть

границы тела £22. Поверхности 2) и $(2 1) после сращива-
ния образуют единую поверхность, которую обозначим через S! 2.

Сращиваемые тела могут быть загружены до момента объеди-
нения их в одно тело. Будем полагать, что в общем случае на
части поверхности S£ тела £2^, k = 1,2, заданы силовые граничные
условия, а на части S£ — кинематические. До момента сращивания

объединение областей S£ и S£ совпадает со всей поверхностью
8^ тела £2^:

Sk = <• s2k.

(8.1)

После сращивания каждая из поверхностей включает в себя
также поверхность S12, условия на которой будут определены
ниже. Обычно на сращиваемых поверхностях Sq 2) и $(2 1)
принимается условие отсутствия вектора внешних сил до момен-
та сращивания. В этом случае поверхности Sq 2)> S(2 1) яв"
ляются частями поверхностей S}, S|. В более общем случае
можно принять, что на сращиваемых поверхностях вектор напря-
жений равен нулю только в момент сращивания

a1j(x,t12)nj(x) =0,xG S(1,2)

xGS(2,1) •

(8.2)

Тогда,например, область 2) может быть как частью об-
ласти S}, так и частью области S?.

Таким образом, следует различать области S£ и S£ до и после
момента сращивания. Кудем обозначать их через S^(t12),
S| (t 12 ) и S£ (t! 2 ), S£ (t 12 ) соответственно.

Условия граничной задачи для каждого из тел до момента
их объединения записываются в обычном виде:

aij,j(x’0 +fi(x,t) =0;

2е 1 (х, t) = U: , (х, t) + ui (х, t);
aj	j	j »

t

e.; (x, 0=8.1 (x, 0 / (2Gj (x, t) + ) Kj (x, t, t)x

Ч	4	T*k

xs^Cx, r)dr;
t

e(x, 0 - 0(x, t) = a(x, t)/(3G2 (x, t)) + Jx

x K2 (x, t, т) a(x, t) dr;

(8.3)

(8.4)

(8.5)

(8.6)

ffij(x,Onj(x) =F1(x,t); x6S£(t12);	(8.7)

ui(x, 0 = v/x, 0; X G s£(t, 2).

(8.8)

Здесь физические соотношения (8.5) и (8.6) между напряже-
ниями и деформациями приняты в форме (1.14) и (1.15), кото-
рая учитывает возможную пространственную неоднородность
каждого из сращиваемых тел. В этих уравнениях в качестве ниж-
него предела интегрирования принят момент изготовления тела
пк-

В случае, когда каждое из стыкуемых тел однородно, но
деформативные свойства их материала различны, функции Gt,
G2, Ki, К2 в уравнениях (1.5) и (1.6) не будут зависеть от х,
но будут различными для х Е и х Е Q2. В частности, если
тела £21 и £22 изготовлены из одного материала различного воз-
растя (случай неоднородно стареющей среды), то уравнения сос-
тояния будут:

е^(х, t) = э^(х, t)/(2G, (t -7*0) + J х
т*к

х К, (t - т 0,

(8.9)

r-T*k)sij<x’r)dT’

е(х, t) - 0 (х, t) = а(х, t) / (2G2 (t - 7*0) +
t

+ J K2 (t — т*к, т - 7*k) a(x, 7) dr.	(8.10)

T*k

Отметим, что кинематические граничные условия (8.8) могут
быть заданы только с точностью до перемещения каждого из
сращиваемых тел как жесткого целого.

Сформулируем уравнения граничной задачи для объединен-
ного тела £2 = Г21 + £22 ПРИ t > й 2.

Уравнения равновесия (8.3), соотношения Коши (8.4) и урав-
нения состояния (8.5) и (8.6) достаются без изменений. Гранич-
ные условия вида (8.7) и (8.8) должны быть заданы теперь на
поверхностях S1 (й+г) = S} (й+2) US1 (й*) и S2 (t*2) = S? (й*) +
+ S2(ti2), являющихся объединением поверхностей тел Я> и
£22, на которых заданы соответственно граничные условия в на-
пряжениях и перемещениях после момента сращивания й 2 •

<\j (х, t) iij (х) = F. (х, t), х G S1 (t^;

и* (х, t) = v/x, t), X e s2 (t A).

J

(8.П)

(8-12)

На границе сращивания должны выполняться условия непре-
рывности вектора напряжений и непрерывности приращения век-
тора перемещений:

(1)

O.i

(х, t) rij

г 1	<2>

(х) = О;;

(2)
(X, t) П:

•Г

(х);

(8.13)

△uj ' (х, t)

(2)

= AUj (x,t),xGS12,

(8.14)

t > tj2,

rue

(k)	(k)	(k)

△Ui (X, t) = Uj (x, t) -	(x, ti 2).

(8.15)
В выражениях (8.13) - (8.15) через Оу(х, t) и (х, t)
(к == 1, 2) обозначены предельные значения Оу(х, 0 и u^(x, t)
при стремлении аргумента х соответственно в области Qi и
&2 к граничной точке х Е Si 2; n j — компоненты единичного
вектора внешней нормали к сращиваемым поверхностям Sq 2)
HS(2i).

Таким образом, соотношения (8.3) — (8.8) образуют пол-
ную систему уравнений и граничных условий задачи при t <
< ti2, а соотношения (8.3) — (8.6), (8.11) — (8.15) — при
t > t! 2 -

Рассматриваемая задача приводится к последовательному
решению задач для тел со стационарной границей. На первом
этапе при t < t12 решаются независимо задачи для тел и
П2. При t > t12 уравнения задачи удобно записать относитель-
но приращений.

Обозначим До .,	... — приращения величин относитель-

J	J

но их значений при t = t12. Тогда приращения напряжений, де-
формаций и перемещений должны удовлетворять уравнениям:

;(х, t) +Af:(x, t) =0;
IJ» J	1

2Дву (x, t) = Ди^ j (x, t) + △uj> Дх, t),

(x, t) - Dy (x, t) = Asy (x, t)/2Gi (x, t) +

+ J Kt (x, t, т) AS” (x, t)dr;

tl2

△e(x, 0 - 6 (x, t) - D(x, t) = Да(х, t) /3G2 (x,t) +
t

+ J K2 (x, t, r) x Да(х, r)dr, x€ fi;

t _

Дау ) (x, t)rf (x) = Дау2) (x, t) n-(2) (x);

. (1) , .	(2)

Ди{ (x, 0=Ди£ (x,t),x6S12;

Дау (x, t)iij(x) = ДР1(х, t), x C S1 (tЛ);
Ди^х, t) = Ду,(х, t),x€ S2 (гЛ).

(8.16)

(8.17)
В уравнениях (8.16) и (8.17) через Dy и D обозначены сле-
дующие функции:

Dy (x,t) = J К, (х, t, т) Sy (х, т)dr + s (tj 2) [1/
J	J

♦k

t

/(2Gi(x,t)) + J* (x, t,r)dT] — e-(x,t12);	(8.18)

112

*1 2

D(x, t) = J K2(x, t,r)a(x,r)dT + G(t12)[l/3G2(x, t) +

t

+ J K2 (x, t, T)dr] - e(x, ti 2).	(8.19)

*12

Отметим, что функции (8.18) и (8.19) определяются реше-
нием задачи до момента сращивания. Эти функции можно рас-
сматривать как фиктивные вынужденные деформации, распре-
деленные по объему тела П.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО НАРАЩИВАНИЯ

Задачу дискретного наращивания будем интерпретировать
как задачу о последовательном сращивании N вязкоупругих
тел.

Пусть тела с номерами 1, .

., N, занимающие области

изготовлены в моменты В момент происходит сращи-
вание тела к с телом 1. Очевидно, что > max {т т Сим-

д}' Сим.

волом S(k обозначим часть границы тела к, по которой оно
стыкуется с телом 1. Общую часть поверхностей тел к и t после
сращивания обозначим через S^. Заметим, что некоторые тела
могут между собой не сращиваться, поэтому моменты tмо-
гут быть заданы не для всех пар индексов k, 1 В этом случае
поверхность S^ne определена.

Упорядочим моменты сращивания порядке возрастания
и обозначим их ti, t2, . . . , ts, . . ., t^. В каждый момент ts мо-
жет осуществляться сращивание нескольких тел или одного
тела к с несколькими телами, поэтому возможно ts = t^npn
нескольких значениях индексов кик Если тело стыкуется
с несколькими телами, то возможно также, что моменты сращи-
вания с каждым из них не совпадают.
Будем полагать, что на сращиваемых поверхностях в моменты
сращивания вектор напряжений равен нулю:

ffij <х> t kl> nj со = °’х е s (к, 1) >х G s (1, к) •	(8.20)

Обозначим момент первого сращивания тела £2к с каким
либо из тел через t£:

(8.21)

Так же, как в случае сращивания двух тел, будем полагать,
что каждое из тел £2к может быть загружено до момента t£. На
поверхностях Sk и Sk заданы граничные условия в напряже-
ниях и перемещениях. До момента tk выполняются условия
(8.1), т.е. объединение областей и Sk совпадает со всей по-
верхностью 8^ тела £2^. В дальнейшем по мере сращивания тела
к с остальными поверхностями S£ и (или) Sk изменяются, так
как из них исключаются поверхности	Моменты изме-

нения граничных поверхностей совпадают с моментами tjj,

поэтому будем различать поверхности S^Xty), S^(tjj) и
Sk(tjJ), $к(*Й^ до и после момента сращивания тела к с те-
лом!.

Уравнения задачи для каждого из тел £2к (к = 1, . . ., N) до
момента его сращивания с остальными (t < t£) имеют вид
(8.3) — (8.6) граничные условия:	К

j (х, t) nj (х) = Fi (х, t), X G S£ (t£ -) J	(8.22)

U| (x, t) = v^x, t), X e S£(t£“).	(8.23)

Сформулируем уравнения граничной задачи для интервала
времени ts < t < ts + р Пусть к моменту t G (ts, ts + j) сращи-
вание имело место для m тел с номерами ki, . .. , km. Не обя-
зательно все ш тел объединены в одно целое; предполагается
только, что для каждого из тел с номерами k = kj, . . . , km
имело место сращивание хотя бы с одним из тел.

Обозначим через £2^т^ объединение областей £2kj, . . ., £2к :

ГП
п(т) = и •
q= i q

(8.24)
Поверхность, на которой заданы силовые граничные условия
на рассматриваемом интервале времени обозначим через
S1 (ti), а поверхность, на которой заданы кинематические уело-
о

вия, — через S2 (ft):
о
m	m

5*(ф= и s£ (tj), S2(tj)= и s£ (tt).	<3 * * * * 8-25>

q - 1 q	q- 1 q

В области ' должны выполняться уравнения равновесия
(8.3), соотношения Коши (1.4) и уравнения состояния (8.5) и
(8.6). Граничные условия вида (8.22) и (8.23) должны выпол-
няться на поверхностях S1 (t+) и S2 (tp соответственно. Кроме
того, на поверхностях должны выполняться условия непре-
рывности вектора напряжений и приращения вектора перемеще-
ний:

(к)

(к)
(х, t) m

(х)=Оу (x,t)nj (х);

(8.26)

(к) (О

△ui (х, t) =

(х, t), х G Skl, t G [ts, ts + j),

(8.27)

где имеются ввиду предельнь/е значения величин при стремле-
нии х к в областях и П

чения, для которых моменты сращивания определены и
tkl ts* ^еРез и обозначены компоненты единичных
j j

векторов внешних нормалей к поверхностям S/i_ п и S/i .

j. Индексы к и 1 принимают зна-

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О НЕПРЕРЫВНОМ НАРАЩИВАНИИ

Рассмотрим случай непрерывного наращивания тела, мате-
риал которого обладает свойствами ползучести и старения.

Пусть тело в момент t0 занимает область Г20. Начиная с мо-

мента tOl тело наращивается непрерывно, т.е. за каждый беско-
нечно малый интервал времени к телу присоединяется слой ма-
териала бесконечной малой толщины, вследствие чего конфигу-
рация тела непрерывно изменяется от момента t0 до момента
окончания наращивания.

Область, занимаемую телом в момент времени t > t0, обозна-
чим через £2(t), так что H(t0) = По и H(tj) CQ(t2), если

tj < t2. Границу области £2(t) обозначим через S(t). Закон
наращивания, т.е. закон изменения конфигурации тела во вре-
мени, определяемый зависимостью П = £2(t) предполагается
заданным.

Будем полагать, что в момент t> t0 граница тела S(t) со-
стоит из следующих частей: SQ(t) = St (t) + S3 (t) — часть по-
верхности S(t), на которой заданы внешние нагрузки; Si (t) —
часть SQ(t), на которой в момент t наращивание не имеет места
(но некоторая часть Si, возможно, образовалась при наращи-
вании; S3 (t) — часть SQ(t), к которой в момент t приращивает-
ся слой материала бесконечно малой толщины; S2 — стационар-
ная часть границы, на которой заданы перемещения.

Таким образом, на границе тела

S(t) =Si(t)US2US3(t)

(8.28)

заданы следующие граничные условия:

% (х, t) П- (х) = Fj (х, t), х е Si (t), t > t (х);	(8.29)

J	J	v

Ujtx.t) =vi(x,t), x€ S2) t>t0;	(8.30)

(x, t) n, (x) = (x, t), x G S3 (t), t = t (x).	(8.31)

J	J	♦

Здесь t* (x) - момент присоединения точки x к основному телу.

Элементы приращиваемого материала будем полагать изго-
товленными в момент, непосредственно предшествующий их
присоединению к основному телу, поэтому возраст материала в
любых точках оказывается различным. Тем самым определяется
пространственная неоднородность непрерывно наращиваемого
тела из стареющего материала, даже если приращиваются элемен-
ты из материала, который обладает одинаковыми упругими и рео-
логическими свойствами в локальном времени и начало отсчета
которого совпадает с моментом изготовления элемента. В этом
случае уравнения состояния принимают вид:

t

еи(х, t) = s--(х, t)/(2Gj (х, t - т (х))) + J Кг х

4	4	t (х)

♦

X (t - т* (х), т - т# (х) ) Sy (х, т) dr,

е(х, t) - 0(х, t) = а(х, t)l(3G2 (х, t - т (х))) +

t

+ f К2 (t —7 (х), 7 — 7 (х))о(х, T)dr,

t (х)
♦

(8.32)

(8.33)

где 7 (х) = t (х) - момент рождения точки х.
Для точек х € По нижний предел интегрирования может быть
принят равным моменту приложения внешних воздействий т0
к телу По, который может не совпадать с моментом начала нара-
щивания. В общем случае, когда тело наращивается элементами
из различного материала, связь между напряжениями и деформа-
циями может быть записана в виде:

t

е-- (х, t) = S" (х, t) / (2Gi (х, t) ) + I Ki (х, t, т) х
J	t (х)

*

х Sy (x, г) dr;
t

e(x, t) - 0(x, t) = o(x, t)/(3G2 (x, t)) + J K2 x
t (x)
x(x,t, r)a(x, r)dr.

(8.34)

(8.35)

Предполагается, что Gk(x, t) и Kk(x, t, 7), k = 1, 2 - непре-
рывные функции точки тела х. Будем полагать также, что рост
тела достаточно медленный и инерционными эффектами можно
пренебречь. Тогда уравнения квазистатического равновесия
имеют вид:

ffij, j (х» 0 + fi (х. t) = о, х е n(t).	(8.36)

Перейдем к уравнениям, определяющим связь между деформа-
циями и перемещениями в растущем теле. Предварительно заме-
тим, что поскольку деформированнные состояния вновь прира-
щиваемого бесконечно малого элемента и основного тела не яв-
ляются взаимно согласованными, то деформации в растущем теле
не удовлетворяют уравнениям совместности Сен-Венана [88].

Для вывода уравнений, связывающих деформации и переме-
щения, рассмотрим аппроксимацию процесса непрерывного на-
ращивания процессом дискретного наращивания. За малый про-
межуток времени At область П (t) получает приращение АП (t) =
= H(t + At)\n(t). Представим, что область AH(t) присоеди-
няется к области H(t) в момент t и на интервале (t + At) ос-
тается неизменной, т.е. новое тело образуется мгновенно в мо-
мент t и в течение At не изменяется. В этом теле на границе
S(t) перемещения претерпевают разрыв, однако, как следует
из (8.27), на S(t) должно выполняться условие непрерывности
приращения вектора перемещений.

Выражая деформации в момент t + At через приращение пере-
мещений, получим

е -(х, t + At) -eu(x,t) = [Дш ;(х, t) +Au= ^(х, t)]/2,
*1	AJ	J	J’ А

xGS(t).	<8-37)
Разделив обе части уравнения (8.37) на At, и, переходя к пре
делу, будем иметь

2€у (х, t) = j (х, t) + Uj, {(х, t).	(8.38)

Точка над знаком функции в (8.35), как обычно, обозначает
производную функции по времени.

Интегрируя последнее соотношение, найдем

2е„ (х, t) = и- . (х, t) + и- • (х, t) + А(х),
AJ	J	J> 1

(8.39)

xGS(t),

где А (х) — произвольная функция, не зависящая от времени.

Из (8.39) следует, что на границе S(t) соотношения Коши не
выполняются. Так как любая внутренняя точка растущего тела
в какой-то момент т < t была граничной, то для внутренних то-
чек соотношения Коши также не выполняются. Вместо этих соот-
ношений должны выполняться во всей области S2(t) аналогич-
ные уравнения относительно скоростей деформаций

2e‘ij (х, t) = й4> j (х, t) + iij £(х, t).

(8-40)

Ввиду наличия в соотношениях (8.40) производных по вре-
мени, должны быть заданы начальные значения функций о*.,

е,ч»и.

Представим, что на бесконечно малом промежутке времени
между моментами рождения элемента т*(х) и его присоедине-
ния к основному телу t*(x) к элементу приложены начальные
напряжения

а^(х1<х)) =o?j (х), x€S2(t).	(8.41)

Величина начальной деформации элемента определяется при
этом, очевидно, упругомгновенной частью определяющих урав-
нений

efj(x) =si°i(x)/(2G1(x,t (х))),
XJ	J	*

е° (х) - 0 (х) = a0 (x)/(3G2 (х, t (х))) .

(8.42)

Здесь в1и(х) - вынужденная деформация элемента в момент, непо-
средственно предшествующий его соединению с основным телом.

Из соотношений (8.40) следует, что начальные значения век-
тора перемещений несущественны для описания напряженно-
деформированного состояния растущего тела и выбирать их мож-
но произвольно.
Таким образом, полная система уравнений непрерывно нара-
щиваемого вязкоупругого тела включает следующие: уравне-
ния квазистатического равновесия (8.36); геометрические урав-
нения (8.40); уравнения состояния (8.32) и (8.33) (для случая
неоднородно стареющей среды) или (8.34) и (8.35); граничные
условия на неподвижной в момент t границе (8.29), (8.30);
граничные условия на наращиваемой границе (8.31); начальные
условия при t = t (х)
^0^

° и(х, t (х)) = а°:(х),	(х, t (х)) = еЯ(х),

J *	J	J “	AJ

Ui(x,t#(x)) = l/-(x),

(8.43)

О

где и - - произвольные начальные перемещения.

Как отмечалось, уравнения состояния (8.32) и (8.33) отвечают
случаю, когда тело наращивается элементами из одинакового
стареющего материала, но изготовленными в различные моменты
т#(х), совпадающие с моментами их сращивания с основным
телом t*(x). Можно представить также (как предельный слу-
чай дискретного наращивания элементами небольших разме-
ров) , что и в случае непрерывного наращивания тело из старею-
щего материала однородно по пространственным координатам,
т.е. бесконечно малые наращиваемые элементы изготовлены
в одно время с телом £20 из того же материала, а сращиваются
с основным телом в моменты t*(x). Тогда, принимая начало
отсчета времени в момент их изготовления, получим уравне-
ния состояния:

t

еи(х» t) = s^Cx, t)/(2Gj (t)) + J Ki (t,r) x
t (x)

x Sy (x, r) dr,

e(x, t) - 0(x, t) = a(x, t)/3G2 (x, t) + J K2 (t, r) x
t (x)

x a(x, r) dr, x E £2(t).	*

(8.44)

(8.45)

Будем полагать, что в случае, когда момент рождения бес-
конечно малого элемента не совпадает с моментом его присое-
динения к основному телу, начальные напряжения и деформации
в нем могут возникнуть только в момент, непосредственно
предшествующий t*(x), т.е. история нагружения начинается в
момент t“(x). Тогда начальные напряжения и деформации свя
заны соотношениями (8.42).
Сформулированная начально-краевая задача может быть при-
ведена к краевой задаче относительно скоростей искомых ве-
личин [15].

Учитывая (8.42), а также соотношения

t

(х, t) = а/- (х) + /	(х, т) dr,

J	J t (х) J	(8.46)

t

ей(X, t) = 6°:(x) + J (x, r)dr

J	J t (x) J

*

из уравнений (8.34) и (8.35) после некоторых преобразований
получим:

(х, t) -	(х, t) = 1/ (2Gi о) Li (х) s» (х, t);

w	J	J

e(x,t) -i>(x,t) = 1/(3G2O)L2(x)a(x,t).

(8.47)

i>(x, t) = 0(x, t) + d/dtC2 (t, t (x))a° (x).

Здесь (x, t) = l/2d/dtCi (t, t (X)) S:0: (x);	(8.48)

Ci (t ,7), C2 (t ,7) - меры ползучести при сдвиговой и объемной дефор-
мации; Сю и G2o - введенные для удобства дальнейших преобразова-
ний (см. гл. 9) константы, имеющие размерность модуля упругости.

Операторы Ц и Ц имеют вид:
t

Ln (х) (...) = Gn0/Gn(x, t) + J Pn(x, t, r) (...)dr	(8.49)

t (xj

(n = l,2),

где Pi (x, t, t) = Gi о Э / Э tG (x, t, t),

P2 (x, t, t) = 3G2 0 d/8tC2(x, t, t) .

(8.50)

Дифференцируя соотношения (8.36) и граничные условия на
S, и S2, получим:

ffjjjCx,1)+4(х,г) =°, xe£2(t);	(8.51)

aij (х, О (х) = F^x, t), xe S, (t), t> t*(x),

ui(x,t) = vi(x, t), xes2, t>t0.

(8.52)
Обратимся к преобразованию условий на движущейся по-
верхности S3 (t). Подействуем оператором дивергенции на пер-
вое из соотношений (8.43):

^Ц<Х’Ч<Х»Ч,](Х) +aij,j(x,t*(x)) -aij.j(x)-

(8.53)

Принимая во внимание равенство

3t (х)/Эх! = |V t (х) IrijCx), xG S3(t (х)),

где n. - единичный вектор нормали к S3, а V" t*(x) - градиент функции
t 00»

и воспользовавшись уравнениями равновесия (8.36), получим

(х, t) m (х) = (х), X G st (t), t = t (x),	(8-54)

we qj (x) = [<£ : (x) + (x, t (x)) ] /

-1	1J > J	x ж

lvt(x)|’"1-	(8.55)

функция, которая выражается через заданные начальные напряжения и
объемные силы.

Добавляя к уравнениям (8.47), (8.51) — (8.53) соотношения
(8.38), получим полную систему уравнений граничной задачи от-
носительно функций a-, ё-j, и*. После ее решения напряжения и
деформации определяются из выражений (8.46).

Отметим в заключение, что не все компоненты тензора началь-
ных напряжений а-0- могут быть выбраны произвольно. В силу

условия (8.31) начальные напряжения должны удовлетворять
трем уравнениям равновесия на поверхности S3:

оЛ (х) П- (х) = Fj (х, t (х) ), х G S3 (t (х) ).

(8.56)

Таким образом, могут быть заданы только три компоненты
тензора а-0-, которые трактуются как контролируемые предвари-

тельные напряжения.

ГЛАВА 9. МЕТОДЫ РАСЧЕТА РАСТУЩИХ ВЯЗКОУПРУГИХ
ТЕЛ

Определение компонентов напряженно-деформированного
состояния в растущем вязкоупругом теле представляет собой
задачу более сложную, чем в теле со стационарной границей.
При допущении о постоянстве коэффициента Пуассона для
однородного тела и для неоднородно стареющего (с уравне-
ниями состояния специального вида) установлены принципы
соответствия, выражающие решение вязкоупругой задачи через
решение некоторой задачи теории упругости [88,91 ].

Далее для случая непрерывного наращивания будет приведен
достаточно общий метод решения граничной задачи, представ-
ляющий собой обобщение метода преобразующей матрицы [44].
Возможно также применение шаговых методов типа метода ко-
нечных сумм (см. гл. 6). Соответствующий алгоритм примени-
тельно к задаче дискретного наращивания приведен в п. 2.

1.	РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО НАРАЩИВАНИЯ

Уравнения граничной задачи приведены в д. 3 гл. 8. В настоя-
щем разделе при построении решения приняты дополнительно
следующие допущения: момент т0 начала нагружения тела £20
совпадает с моментом начала наращивания, т.е. т0 = t0; если в
точке х Е S(r0) в момент т0 наращивание не имело места, то
его не будет и при t > т0; если в момент ti > т0 в некоторой
точке х Е S(tx) наращивание прекратилось, то его не будет
и при t > .

Указанные допущения позволяют считать, что история на-
гружения любых двух точек х и Xi E S2(t) при Xi—►х начи-
нается в момент t (х).

Выпишем систему уравнений граничной задачи в скоростях
искомых величин:

J,1

(9.1)

а-- -(х,t) + f:(x,t) =0;	J

J	A

aij(x,t)nj(x) =F.(x,t), xGSiO), t>t (x)

<г« (x, t) m (x) = q* (x), x e S3 (t), t = t (x);	►	(9.2)

J	J

Ui(x,t) =V|(x, t), x€S2, t>70.	J

Уравнения состояния относительно скоростей напряжений и
деформаций определяются соотношениями (8.47) — (8.50).

Аппроксимирующие уравнения. Искомые и заданные функции
в уравнениях граничной задачи определены при t > t (х). Бу-
*
дем считать их равными нулю при t < t*(x). Тогда нижний пре-
дел интегрирования в (8.49) можно принять равным Tq .

Пусть 7^ _ । (к = 1, . . . , m) — точки из рассматриваемого
интервала времени [т0, Tm _ j] и ау(х)> еу(х)> ui(x)> ^у(х)>
v(x), F-(x), f|(x), Vf(x) - векторы порядка m, k-e
компоненты которых равны значениям соответствующих
функций в точке х в момент _ р если । > t*(x), и равны
нулю при Tfc. _ । < t#(x). Положив в (8.49) t =	_ р и,

применяя на каждом из интервалов [т0,	_ |] к вычислению

интеграла какую-либо квадратурную формулу, получим из (8.47)
связь между векторами е- (х), s-« (х), е(х), а(х) в виде:

J	«г

«ij to = *ij to + v (2Gi о) В> (х) Sjj (х);

ё(х) = & (х) + 1/ (3G20) В2 (х) J(x)	(9 3)

Bnto = Cnto + Qn(x) (п = 1,2),

_ г (п)	1	г (п)	1

где Bn(x) - |bks (х) J jQj/x) -	(х) J - нижние треугольные матрицы

порядка m; С (х) - диагональная матрица с элементами c^I9v= G J
/Gn<x’Tk- Р-

Элементы qky‘'определяются видом квадратурной формулы.

Используя, например, формулу трапеций будем иметь:

(п)
411

= 0;

4ks =Pn(x,rk_1,Ts_1)(hs_1+hs) /2h,s-l,...,k-l;

9kk	to Tk — 1 ’ Tk — P Bk — P2»

(9.4)

r«ehs= Ts-Ts-1 >ho=0.

Если ядра ₽n имеют особенность при t = т, то можно исполь-
зовать квадратурную формулу с весом, равным слабосингулярно-
му сомножителю при регулярной части ядра.

Остальные уравнения граничной задачи и граничные условия
на и S2 запишем в виде равенств соответствующих векторов:
2eijto=ui>j(x)+uj>i(x); 1	(95)

aij,jto +fito =0; J
aij nj = Fi <x) > x € si (Tm - 1);
ui(x)=vi(x), x€S2.

(9.6)

Условия на S3 также запишем в виде векторного равенства.
Введем вектор Ц^(х), k-я компонента которого, соответствую-
щая моменту _ р равна д^(х), х € S3 (т^ _ |). Компоненты

с номерами s
равными о-i (х, т

к положим равными нулю, а с номерами s > к —

_ j)n-(x). Тогда условие на S3 для моментов
•I

s

тк — 1 пРинимает вид:

aij (х) nj (х) = qik(x), х е s3 (тк _ j).

(9.7)

Соотношение (9.7) удовлетворяется тождественно для компо-
нент 1, . . . , к — 1 и к + 1, . . . , т. Равенство к = х компонент
эквивалентно выполнению условий на S3 в моменты 7^ _ р к =
= 1,...,ш.

Решение полученной системы уравнений приближает решение
исходной системы (9.1), (9.2), (8.47) в моменты 7^ _ । с не-
которой погрешностью, которая имеет порядок погрешности
квадратурной формулы, использованной при переходе от соот-
ношений (8.49) к (9.3). Очевидно, что погрешность стремится
к нулю с ростом т. В дальнейшем изложении будет дано решение
уравнений (9.3), (9.5) — (9.7) для однородного наращиваемого
тела, неоднородно стареющего, а также некоторых других слу-
чаев неоднородности.

Однородное стареющее тело. Пусть функции Gn(t) и Pn(t, 7)
не зависят от точки х во всей области Q(t). Тогда матрицы Вх
иВ2 в (1.3) также от х не зависят.

Положим В = [Ь^] = B^Bi. Обозначим через Т матрицу,
k-й столбец которой равен k-му собственному вектору В, соот-
ветствующему собственному значению Х^ = Ь^. Числа Х^ пола-
гаем попарно различными.

Учитывая известное тождество:

T“1BT = D,

где D — диагональная матрица с ненулевыми элементами d.. = X , преоб-
разуем систему уравнений (9.3), (9.5), (9.6) к виду:	кк к

<?н(х) = t>i°i(x) +l/(2G10)DSi0.(x),
J	«I	J

e°(x) =i?°(x) + l/3G20Ia°(x);

(9.8)
2б”(х) = й° j(х) + ш° j (х),
AJ	л> J J» х

<& i (х) + f°i (X) = 0;

AJ, J	1

®i°i <х)ni (х) = И W ’ х G S‘«
•I J

^(x)=v?(x), xes2,
где I - единичная матрица.

Приняты также следующие обозначения:

е* (х) = Т"1В21 ен (х); «Я (х) = Г1В21 ё., (х);
J	J	w	J

ii-(x) =K1B21ui(x);

аЯ (х) = Г1	(х);

®ij W = Т"1 ®ij (х) ’

(9.9)

(9.10)

(9-11)

(х) = Г1В2(х); 1>° (х) = Г1В21> (х);	(9Л 2)

J	•*

fyx) =T-’B2vi(x);

F?(x) =r*Fi(x);

f°i(x)='T1fi(x).

(9.13)

Умножая на матрицу Т~1 соотношения (9.7), получим

«и (х)nj (х) = q°k(х), х € S3 (тк _ j).
J J

(9.14)

Последнее равенство удовлетворяется тождественно для
всех компонент, если оно удовлетворяется для k-й компонен-
ты, т.е. d^(x)m(x) = q^x) (верхним индексом к здесь и да-
ij J	.

лее обозначены к-е компоненты векторов). Учитывая, что Т“ —
треугольная матрица и в момент _ । первые к — 1 компо-
нент векторов q^x) равны нулю, получим условие на движу-
щейся границе:

0k

°ij (х> nj = qi (х)« х е s3 (Tk - Р •	(9.15)

Так как D — диагональная матрица, то соотношения (9.8) -
(9.10) распадаются на ш несвязанных групп уравнений отно-
сительно компонент соответствующих векторов:
. Ok Ok	. Ok

eii W =^ii (x> +Xk^2Gl°)sii (x>;

J	J

eOk(x) = i?Ok(x) + l/(3G2O)ff0k(x),

(9-16)

.Ok	.Ok	Ok	-Ok	-Ok

2eH <x> =ui i <x) + ui i<x); aii i<x) +fi <x) = 0;	(9ЛГ>

1J	bj	A, J	AJ»J	1

. Ok	-Ok

aii <x> ni W = Fi <x) > x € si (Tk - О’
J	J

*Ok *Ok	zn io\

Uj (x) = V: (x); x£Sj	(9-18)

(k = l,...,m).

Уравнения (9.15) — (9.18) совпадают с уравнениями смешан-
ной граничной задачи теории упругости для тела, занимающего
область _ |), модуль сдвига которого равен Сю/Х^, а
модуль объемной деформации G20. Тело подвержено преоб-
разованным внешним воздействиям, определяемым соотноше-
ниями (9.12) и (9.13).

После решения ш задач (9.15) — (9.18) векторы скоростей
напряжений и деформаций определяются из выражений:

<ъ(х) = Ta°i(х); i (х) = В2Те° (х);
J	J	J	J

U|(x) =B2Tu® (х).	(9-19)

Напряжения и деформации могут быть найдены из (8.46)
по квадратурной формуле, использующей узлы _ р

Неоднородно стареющее тело. В рассматриваемом случае
задача может быть решена аналогичным методом при допу-
щениях, что поперечная деформация идеально упруга, модуль
упругомгновенной деформации не зависит от возраста мате-
риала, а также при некоторых ограничениях на структуру меры
ползучести. А именно, будем полагать, что производная по вре-
мени от меры ползучести для неоднородно стареющего тела
может быть представлена в виде:

ЭС (t + к (х), т + к(х) ) /dt = Н2 (t, т) + х(х)Hi (t, г),

(9.20)

где X (х) - возраст материала в точке х к моменту начала отсчета времени.
В частности, структуру (9.20) имеют производные от следую-
щих мер [6, 71, 22], которые часто используются для аппрок-
симации опытных данных:

—0т
C(t,r)=(c + ae )tf/(t-r);

1 —fiu

C(t,т) = J (c + ae )Ko(u-r)du.

(9.21)

(9.22)

Мере (9.21) соответствуют в (9.20) ядра

Hj (t, т) = ae , H2 (t, т) = с/- т),

а мере (9.22) — ядра:

Hi (t, г) = аехр (-0t) Ко (t - т); Н2 (t, т) = сК0 (t - г).

Бели в соотношениях (8.47) принять константы G10 и G2o
равными модулям сдвига и об^емндй деформации, то при при-
нятых допущениях будем иметь Ц = L2 = L;

(H20(t,r) +х(х)Н10 х

t#(x)
x(t,r)] (...)dr,

(9.23)

где Hno (t, т) = E0Hn (t„r); Ео - модуль упруго мгновенной деформации.

Аппроксимирующий соотношения (8.47) закон, который
связывает векторы ё- (х), s- (х) и е(х), а(х), имеет вид:

J	J

®ii (*) = *ii <х) + V <2G* о) fB2 + Х(х)Bl ] sn (х);
J	J	J

е(х) =i?(x) + 1/(3G2O) [Вг +x(x)Bt]o(x)],	(9.24)

где матрицы Bj и В2 представляют соответственно операторы Н*ю и I +
+ н20.

Повторяя преобразования, выполненные для однородного
тела, получим выражения для векторов а.., ё^, й| в виде (9.19).
При этом компоненты векторов а^, е^, и° определяются в резуль-
тате решения m несвязанных задач для неоднородного упругого
тела, подчиняющегося закону

.0k Л • 0k

eii =*ii + Sii /(2Gi(x,Xk)),
J	J	J

eOk = i?° +cOk/(3G2(x,X)),
Gi (x, Xk) - Gj 0/ [1 + Xkx (x) ]» G2 (x, Xfc) —

= G10/ [1 +Xkx(x)].	(9.25)

Здесь Xfc - собственные значения матрицы В = B^1 Bj.

Остальные уравнения упругой задачи совпадают с уравне-
ниями (9.17) и (9.18). Внешние воздействия на упругое тело
определяются выражениями (9.12) и (9.13). На границе S3
должно выполняться условие (9.15).

Кусочно однородное тело. Рассмотрим растущее тело, за-
нимающее область £2(t), состоящую из двух частей (t)
и £22(t), в каждой из которых материал однороден. Гранич-
ная поверхность 2 (t) между областями Qi и П2 может
изменяться во времени вследствие одновременного роста при-
мыкающих к ней частей Sij и П2.

Будем полагать, что поперечная деформация идеально упру-
га. Тогда уравнения состояния могут быть записаны в виде:

eij	“ % <х> = К1 + vn)°ij “

-	01;

м • • •) =En0/En(t) (...) + J Qn(t,T) ( .. .)dr;
t/x)

(9.26)

(x, t) = 0у (x, t) + d/dtCn (t, r) [ (1 + Pn) nJ (x)-

-vn5ijCTs°sWl’

где индекс n = 1, если х€£21,ип=2 при х Е П2;

Qn(t, г) =EnOa/dtcn(t,r),

С (t, Т) - мера ползучести при одноосном напряженном состоянии.

Граничные условия (9.2) необходимо дополнить условия-
ми контакта на Si 2:

(X, t) П: (х) | х е S- (t) - tfjj (X, t) nj (X) I x e S + (t) ;
J	J

(9.27)

4(X’ 0 lx e Si 2 (t) - u-(x, t) lx G S1+ (t) , t > t*(x) ,
где S12 , 8Г2 — различные стороны поверхности Si2 .
Соответствующая соотношениям (9.26) связь между векторами
ёу и бу

e'ij (х) - tfjj (х) = В n [ (1 + vn) (х) -

p®ij^ss 1 ^nO’n 1 > 2,

где Вп - матрица, соответствующая оператору Ln в (9.28).

(9.28)

Решение рассматриваемой задачи также может быть получено
в форме (9.19), где компоненты векторов Оу, еу, и® определяют-
ся из решения m задач теории упругости для кусочно однород-
ного тела со следующими упругими характеристиками:

Er ” Ею/XrJ

v = vt при х Е (tr _ |);

(9.29)

Ек = Е20; р = р2 прих€ П2 (тк __ j),

к= 1,.. .,ш,

где X- - собственные значения матрицы В71В1 .

Внешние воздействия на упругое тело определяются соотно-
шениями (9.12) и (9.13). Граничные условия имеют вид (9.15),
(9.18). На поверхности контакта должно выполняться условие

0у (x)nj(x) I XG Si2 (rk _ j) aij (x)nj(x) IxG Si2(rk_ p’

(9.30)

.Ok	.Ok

ui WIxesrark.!) =ui W’xesfHTk-i)-

Операторы ползучести специальной структуры. Пусть в опре-
деляющих соотношениях (8.47) модули упругомгновенной
деформации не зависят от t(Gn(x, t) = Gng(x) = const) и опера-
торы Ln представимы в виде:

Ц(...)»[1 + Z (х, Н*)] (...),	(9.31)

*

где Z (х , X) — регулярная в окрестности X = 0 функция оператора Н
n t

Н*(...)= f H(t, т) ( ... )dr -	(9.32)

То

оператор Вольтерра, не зависящий от х.
О возможности представления операторов ползучести в виде
(9.31) — см. гл. 2, п. 3.

Пусть Н = [h^] — нижняя треугольная матрица, представляю-
щая оператор Н*. Элементы ее могут быть получены в результате
применения к соотношению (9.32) квадратурной формулы
[ так же, как элементы матрицы Qn из (9.3)]. Матрицы Вп в
соотношениях (9.3) будут функциями матрицы Н и уравнения
принимают вид:

ей (х) =	(х) + 1/ (2Gj 0) [I + Z, (х, Н) ]	(х);	1

J I (9.33)

е(х) =i?(x) + 1/(3G,0) [I + Z2(х,Н)а(х). J

Остальные уравнения задачи относительно искомых векторов
совпадают с уравнениями (9.5) — (9.7).

Будем полагать, что собственные значения Х^ матрицы Н
попарно различны (соответствующий выбор узлов _ j по“
зволяет выполнить указанное условие). Тогда имеет место преоб-
разование

Т"1 [I + Zn(x, Н)]Т = Dn(x),	(9.34)

где Т — матрица подобного преобразования; k-й столбец которой равен
k-му собственному вектору Н; D (х) — диагональная матрица с нену-
левыми элементами

dkk (х) =l+Zn(x,Xk).

(9.35)

Положим

®ii <х> = T°i°i СО«e’ii CO = 4°i CO. «i (x) = Tj- (X).	(9.36)

J	J	J	J

Тогда рассматриваемая задача распадается на m несвязанных
задач теории упругости относительно компонент векторов аф
e-j, и®. Физические уравнения упругой задачи:

. Ok	Ok . 0k	п

eij ”	+ sy / [2Gj (x, X^) ], i

. Ok	Ok nv	I	x

e =	+o0k/ [3G2(x,Xk)];	Г	(9-37)

J	В

Gn(x, Xfc) - Gng/ [1 +Zn(x, Xj^)]. J

Остальные уравнения имеют вид (9.15), (9.17), (9.18). Внеш-
ние воздействия на упругое тело определяются из выражений:
tfjj = Т‘*^;	F^ = T~1Fi; ^=Т-,£р	(9.38)

Компоненты искомых векторов определяются из соотноше-
ний (9.36).

Изложенный подход эффективен, в частности, при решении
рассмотренных здесь задач для тела со стационарной границей.

2. ШАГОВЫЙ МЕТОД

При расчете напряженно-деформированного состояния неод-
нородного растущего тела в общем случае уравнений состояния
может быть использован какой-либо‘шаговый метод, например
метод конечных сумм, приведенный в гл. 6.

Как уже отмечалось, при применении шаговых методов воз-
никают затруднения, связанные с необходимостью хранения
в памяти ЭВМ большого объема промежуточной информации.
Эти трудности в значительной степени преодолеваются, если яд-
ра ползучести (релаксации) в определяющих соотношениях
вырождены. При этом, чем меньше слагаемых вида as(t)0s(r)
содержит каждое ядро, тем меньше объем запоминаемой проме-
жуточной информации. С этой точки зрения особенно эффектив-
ны ядра вида (1.64). Применение их позволяет при некоторых
дополнительных условиях привести задачу теории ползучести
для наращиваемого тела к преобразованной задаче, в которой яд-
ро ползучести содержит только одно слагаемое вида Q(r).

Приведем процедуру метода конечных сумм применительно
к задаче о дискретном наращивании неоднородно стареющегр
тела, ядро ползучести которого при одноосном напряженном
состоянии имеет вид (1.64). Будем полагать также, что попереч-
ная деформация идеально упруга. Тогда уравнения состояния
для тела Пк, изготовленного в возрасте т к, могут быть записа-
ны в виде:	*

Си (X, t) - 5л0(х, t) = (1 + v)/E(t - т k) X

X Ьс^(х, t) - «ijP/E(t - rifik)/Lakk(x, t).

Здесь оператор L имеет структуру (1.51):

(9.39)

L = (I + Qk) (I + B*);	(9.40)

t	t

Q^f(t) = J Q(T-T#k)f(T)dT, B*f(t) = J B(t-7)f(r)d7,
To	To

где в качестве нижнего предела интегрирования То принимается момент при-
ложения первой из нагрузок.
Система уравнений граничной задачи на интервале времени
[ts, ts + j] между двумя последовательными сращиваниями
включает уравнения (8.3), (8.4), (8.22), (8.23), (8.26), (8.27)
уравнения состояния (9.39).

Прежде чем применить процедуру метода конечных сумм,
преобразуем рассматриваемые уравнения.

Обозначим

<£(х» 0 = (1 + в*)он(х,г)	<9'41)

J	J

и преобразуем оператором (I + В ) соотношения (8.3), (8.22),

(8.26).

Тогда уравнения граничной задачи принимают вид:

еи(х, t) - 6и©(х, t) = 1/Е(t - т к) [(1+0 о- (х, t) -

“ v5iiakk(x’1 + 1^E(t ~ т»к) J Q(T “ т*к> х

То

[ (1 + у) Оц (х, т) - 5 уРОкк (х, г) ] dr;	(9.42)

a* j (х, t) + fУ(х, t) = 0; 2еу (х, t) = ui; j (х, t) + Uj £ (х, t);

хЕ

а^(х, t) П1 (х) = ₽! (х, t), х G S1 (ts);
•I	J

u^x, t) = v^x, t), x6 S2 (ts);

Oy (k) (x, t) n-k) (x) =	(x, t) nj (x), x e Skl;

(9.43)

△ui (x, t) = AUi

(x, t), x€ Skl,

где приняты обозначения

f Дх, t) = (I + В*) f j (x, t), F^(x, t) = (I + B*) (x, t).

(9.44)

Выражения (9.42) и (9.43) представляют собой систему урав-
нений граничной задачи относительно функций ay, еу, Up Дос-
тоинство их по сравнению с исходными уравнениями состоит в
том, что ядро ползучести Q зависит только от одного аргумента
т, т.е. имеет простейшую структуру, удобную для применения
процедуры конечных сумм. Рассмотрим наиболее простой ва-
риант метода, основанный на формуле трапеций.

Введем сеть равноотстоящих точек т0, Tj, т2, . . . с шагом h =
= rq ~ Tq _ 1 и будем полагать, что моменты сращивания 11, t2,...
совпадают с некоторыми узлами введенной сети. Пусть узел тг
лежит внутри временного интервала, для которого записаны
уравнения (9.42) и (9.43).

Положив в выражении (9.42) t = тг, и, применяя к вычислению
интеграла формулу трапеций, получим

е-(х, тг) - 0-(х, тг) = 1/Е (тг) [(1 + v)a^(x, rf) -
J	J	«г

-бц^кО^г)]-

Здесь приняты обозначения:

(к)

Е (г ) = Е(т - т к)/(1 + O,5Q(rr - т к)),

©и(х, Tr) =5ii©(x, Тг) +	(х)/

J	J	*1

(9.45)

/Е(гг-Т*к);	<9-46>

0 (х) =q = oQ(r<l"1(1 + Р)<7^(Х’ т<? ”

— 6ijpakk(x, Tq) ],	(9.47)

где ^означает, что первое слагаемое суммы (при q = 0) берется с коэффи-
циентом 0,5.

Уравнения (9.45) совместно с уравнениями (9.43) (в которых
следует положить t = тг) представляют собой систему уравнений
граничной задачи для упругого дискретно наращиваемого тела.
Решение их позволяет определить напряженно-деформирован-
ное состояние в момент тг. При этом предполагается, что компо-
ненты напряженно-деформированного состояния для моментов
т0, . . . , тт _ j уже найдены, поэтому функции	(х) мо‘

гут быть вычислены.

Изложенная процедура применяется последовательно для мо-
ментов т0, ti, т2,. . . . В начальный момент т0 решается упругая
задача для всех тел, к которым в этот момент прикладываются
нагрузки. На нулевом этапе фиктивная деформация совпадает
с фактической 0.. (х, т0) = 6^0(х, т0). Далее определяется функ-
ция	J	J
(UI	V

фн <*) =$Оо -r*k> К1 +p)°ii(x’To) -

4 v	4	(9.48)

-8^РОкк(х,т0)]/2,

вычисляется фиктивная деформация 0.. (x, Ti), решается задача
для момента Ti и т.д.	j	, >.

Из выражения (9.47) следует, что функция может вы-
числяться рекуррентно:	ij

(г) (г — 1)	v

Фii (х) = Ф” (х) + Q(г - гк) [ (1 + V) (X, т ) -
AJ	л.	л.

$ijakk4x>

(9.49)

Таким образом, для вычисления фиктивной вынужденной
деформации 0^ нет необходимости запоминать компоненты

напряженного состояния во все моменты времени Tq, ... 9т

г - 1

(что необходимо делать в случае ядер общего вида). Достаточно
хранить в памяти ЭВМ только значения функций	в узлах

ij(x)

координатной решетки. Это существенно упрощает организацию
вычислений и сокращает время счета.

После вычисления функций оУ(х, t) в узлах т0, Т\,. . . фак-
тические напряжения определяются по формуле

aij <х’	= aij <х’ тг> “ / R('r “ т) а(х’ т) dr’

(9.50)

где R(t - 7) - резольвента ядра В (t - т).

Интеграл (9.50) берется численно.

ГЛАВА 10. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА
РАСТУЩИХ ТЕЛ

Приведем решение трех задач расчета напряженно-дефор-
мированного состояния наращиваемых тел. В задачах о возве-
дении массивной армированной колонны и об усилении цилинд-
ра многослойной обмоткой рассматривается процесс непре-
рывного наращивания. В п. 3 дано решение задачи о термонапря-
женном состоянии дискретно наращиваемого массива из прямо-
угольных бетонных блоков [82].
1. РАСЧЕТ НАРАЩИВАЕМОЙ КОЛОННЫ

Пусть массивная колонна (или группа однотипных колонн)
поддерживает тяжелое оборудование, чувствительное к прира-
щению перемещений после установки. Оборудование устанав-
ливается через х0 единиц времени после возведения колонны и
передает на колонну сжимающую силу Р.

Процесс возведения колонны полагаем непрерывным. Новый
материал присоединяется к уже возведенной части колонны в
момент его рождения, т.е. в нулевом возрасте. Колонна возводит-
ся с постоянной скоростью v, равной объему армированного ма-
териала, укладываемого в единицу времени.

Определим приращение перемещений верхнего конца колон-
ны после установки оборудования [10,11]. Пусть у (х) — сум-
марная площадь арматуры и основного материала в сечении ко-
лонны, расположенном на расстоянии х от ее верхнего конца,
и z(x) — объем колонны над сечением х. Время, необходимое
на возведение объема z(x):

X

T(x)=z(x)/v; z(x) = f y(n)dj).	(10.1)

0

Определим закон изменения во времени нагрузки от собствен-
ного веса, действующей в сечении х. Начало отсчета времени
принимается в момент приложения силы Р.

К моменту времени — (Т(х) + х0) колонна будет возведена
до сечения х. Элементарное приращение нагрузки

dQ = vg(x)dr; g(x) =gag(x) +g0(1 -д(х)),

i(x) =Уа(х)/у(х),

(Ю.2)

где да ,	- вес единицы объема арматуры и основного материала; Уа(х) -

площадь сечения арматуры в сечении х.

Интегрируя в пределах от — (Т (х) + х0) до t, получим
t

Q(x, t) =v J g[x(r)]dr, k(x) = x0 +T(x).	(10.3)

- x(x)

Формула (10.3) справедлива, если t E [—%(x), —x0]; при
t > —Xq будем иметь

-*o

Q(x,t) =Q(x) =v J g[x(r)]dr.	(10.4)

-k(x)

Установим связь между средними напряжениями и деформа-
циями для армированной колонны. Закон ползучести основного
материала при принятом начале отсчета времени имеет вид:
t

Co (x, t) = 1/EO (t + x(x)) [a0 (x, t) + f

Kx

-x(x)

x (t + x(x),T+x(x))oo(x,T)dT],

(Ю.5)

гдеЕо(О- модуль упругомгновенной деформации основного материала;
К (t, т) - ядро ползучести, связанное с мерой ползучести С (t, т) и модулем
Eq соотношением:

K(t, г) =-3A(t, т)/Эт,Д(г,т) = E0(t)/E0(r) +
+ E0(t)C(t,r).

Из уравнения (10.5) получим

(10.6)

00 (х, t) = Ео(t + х(х))е0 (х, t) -
t

- f R(-l, И-к(х),т+х(х))Е0(т + я(х))е0(х,т)<1т. (Ю.7)

-к(х)

Здесь R(-l , t ,т) - резольвента ядра К (t ,т) с параметром -1.

Для арматуры имеем (х, t) = Еаеа(х, t). Учитывая условие
совместности деформации

еа(х, t) =еь(х, t) =е(х, t)
и уравнение равновесия

аа(х, Оуа(х) + 00 (X, t)y0 (х) = N(x, t),	(10.8)

где (N(x, t) — нормальная сила;у0 (х) — площадь сечения основ-
кого материала), после некоторых преобразований получим ин-
тегральное уравнение относительно деформаций

t

В(х, t)е(х, t) - J U(х, t, т)В(х, т)е(х, т)4т =

-к (х)

=о(х, t).	(10.9)

Здесь O= N/y - среднее напряжение;

В(х, t) = Еад (х) + Ео (t + х (х)) (1 - д (х));

U(x,t, т) =R(t+x(x),r + x(x))/

/(1 -д(х))Е0(т + к(х))/В(х,т).

(10.10)

Из (10.9) найдем
e(x, t) = 1/В(х, t) [а(х, t) + J Г(х, t, т)а(х, ,

-x(x)

где Г (x, t , T ) - резольвента ядра U(x , t , T ).

(10.11)

В частности, если Eo (t) = Eo = const, то решение уравнения
(10.9) будет:

t

e(x, t) = 1/B(x) [a(x, t) + /3 (x) f R x
-M (x)

x(-l + /3(x), t+x(x),r + r(x))o(x, t)c1t;

7(10.12)

B(x) =Eag(x) +EO(1 -д(х)), 0(x) =Eo(l -M(x))/B(x)J,
где R(-l + (3 (x), t, 7) - резольвента ядра К (t, г) с параметром -1 + (3 (х).
Для рассматриваемой колонны средние напряжения до прило-
жения силы Р:

о(х, t) = Q(x, t)/y(х), t е [—к(х), 0];

после приложения Р

<7(x,t) = [Q(X,O +Р]/у(х),

(10.13)

(10.14)

t > 0.

Приращение деформаций после установки оборудования

$0 (х, t) = е(х, t) - е0 (х, t),	(10.15)

а приращение перемещений верхнего конца колонны

г

uo(t) = f $о(х, t)dx.	(10.16)

о

Полученные выражения позволяют рассчитать напряженно-
деформированное состояние колонны. От скорости возведения
колонны зависит закон изменения во времени нагрузки в сече-
нии х и, следовательно, зависят напряжения в арматуре, основном
материале и деформации колонны.

В п. 3 гл. 11 рассмотрена задача оптимального распределения
материала по высоте колонны, т.е. отыскания функции у(х),
минимизирующей приращение перемещений (10.16) к заданно-
му моменту при фиксированном объеме колонны. Показано,
что оптимальное распределение существенно зависит от ско-
рости возведения.
2.	УСИЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА МНОГОСЛОЙНОЙ ОБМОТКОЙ

Прочность цилиндрических сосудов, подверженных внутрен-
нему давлению, можно повысить непрерывной навивкой на на-
ружную поверхность нескольких слоев высокопрочной прово-
локи или ленты с некоторым усилием предварительного натя-
жения. При этом в цилиндре появляются предварительные на-
пряжения, обратные по знаку напряжениям от внутреннего давле-
ния, а в обмотке — растяжение.

При навивке каждого последующего слоя предварительное
натяжение предыдущих слоев уменьшается, так как эти слои
совместно с цилиндром подвергаются внешнему давлению, вы-
зывающему в них напряжения сжатия. Уменьшение напряжений
во всех слоях обусловлено также ползучестью материала ци-
линдра. Задача состоит в определении контактного давления меж-
ду цилиндром и обмоткой [10]. После вычисления контактно-
го давления цилиндр рассчитывается как тело с фиксированной
границей.

Рассмотрим полый цилиндр с наружным радиусом R, изготов-
ленный из материала, обладающего свойствами ползучести и ста-
рения. Модуль упругомгновенной деформации и коэффициент
Пуассона (t) будем полагать независящими от времени и
равным vQ. Тогда перемещение наружной поверхности цилинд-
ра от внешнего давления q(t), приложенного в момент т0,

u(t) = Wo[q(t) + f P(t,7)q(7)dT].	(10.17)

r0

Здесь wq - мгновенное упругое перемещение наружной поверхности от
единичного давления.

Ядро P(t, т) совпадает с ядром ползучести при осевой де-
формации, если коэффициент Пуассона v2 (t, т) =	= const.

В общем случае функцию P(t, т) можно построить, определив
из опытов или расчетным путем зависимость 6H(t, г), пред-
ставляющую собой перемещение наружной поверхности цилиндра
от давления q = 1, приложенного в момент т.

Из соотношения (10.17) следует:

t

$H(t, т) = Wo[l+J P(t,s)ds.	(10.18)

т

Дифференцируя последнее соотношение по г, найдем

P(t,7) =-l/w03/d75H(t,7).	(10.19)

Отметим, что функция P(t, т) представляет собой интеграль-
ную характеристику ползучести материала цилиндра и не зави-
сит от радиальной координаты, если даже свойства цилиндра неод-
нородны в радиальном направлении.
Рассмотрим процесс навивки на цилиндр высокопрочной про-
волоки или ленты, полагая, что параметр w0 и функция P(t, г)
известны. Пусть навивка осуществляется с постоянной скоростью
v и к моменту t доведена до толщины х. Полагаем, что при на-
вивке последующих слоев все предыдущие работают как тонкое
кольцо радиуса R (увеличением радиуса пренебрегаем).

Элементарный слой толщиной dx, навиваемый с предваритель-
ным напряжением z(t), создает наружное давление на предыду-
щие слои

dqj = z(t)vdt/R.

(10.20)

Пусть q(t) — давление между цилиндром и обмоткой. Тогда
при навивке слоя dx на кольцо толщиной х действует элементар-
ная дополнительная нагрузка

dp = dqx — dq = z(t) vdt/R — qV(t)dt.	(10.21)

Приращение радиального перемещения кольца

duk = R2 dp/ (xE0) =R2/(vtE0)[z(t)v/R-qV(t)]dt.	(Ю.22)

Приравнивая выражение (10.22) приращению радиального
перемещения цилиндра, получим

R2/(vtE0) [ z(t) v/R - <T(t) ] = wod [q(t) +

(10.23)

t

+ J P(t,T)q(r)dr]/dt

To

Интегро-дифференциальное уравнение (10.23) связывает
давление q(t) с функцией z(t), определяющей закон измене-
ния во времени предварительного напряжения обмотки. Сов-
местно с начальным условием q(r0) = 0 уравнение (2.7) опре-
деляет функцию q(t) на интервале t G [т0, rj, Tj = 5/v, где
6 — конечная толщина обмотки. При t > будем иметь урав-
нение:

t

—R2 qV(t)/(6E0) =wod[q(t) + J P(t,r) x

xq(r)dr]7dt	T°	(10.24)

и начальное условие q(ri) = qn где qi определяется из уравне-
ния (10.23) при t = т,.

Пусть внутреннее давление q^(t) приложено в момент т2.
Тогда при t > т2 контактное давление находится из соотноше-
ния	t

wod[q(t) + J P(t,r)q(T)dr]/dt =-R2q(t)/(6E0) -

To
t

-Wid[qb(t)+ J Pi (t,T)qb(r)dT]/dt
с начальным условием q(r2 ) = q2.

(10.25)

Здесь wj - мгновенное упругое перемещение наружной поверхности ци-
линдра от единичного внутреннего давления.

Ядро Pi (t, т) имеет вид

Pi(t,r) =-l/wi3/9r6b(t,7),

(10.26)

где 6^(t, г) - перемещение наружной поверхности цилиндра к моменту t
от единичного внутреннего давления, приложенного в момент т.

Закон предварительного напряжения z(t) определяет контакт-
ное давление, которое уменьшает напряжения в цилиндре от
внутреннего давления. В п. 3 гл. 11 рассмотрена задача отыска-
ния оптимального закона z(t), при котором заданное разгружаю-
щее давление может быть получено при минимальном расходе
материала обмотки.

3.	ТЕРМОНАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НАРАЩИВАЕМОГО
БЕТОННОГО МАССИВА НА СКАЛЬНОМ ОСНОВАНИИ [82]

Рассматриваемая задача представляет существенный интерес
для гидротехнического строительства. Твердение бетона связано
с экзотермическим разогревом бетонной массы. Вследствие не-
высокой прочности твердеющего бетона температурные напряже-
ния могут привести к появлению и развитию трещин. Ползучесть
бетона уменьшает температурные напряжения, поэтому учет ее
необходим при расчетах термонапряженного состояния.

В [82] задача дана в следующей постановке. Рассматривается
плоскодеформируемая область £2(t), состоящая из дискретно
наращиваемого по высоте прямоугольника (бетонный массив)
и полуплоскости (скальное основание).

Прямоугольник разделен горизонтальными лияниями на ряд
однородных подобластей £2^ (0 = 1, ..., N) — расчетных блоков.
Основание занимает область По. Расчетные блоки в свою очередь
делятся горизонтальными делительными линиями на конечные
полосы в общем случае разной толщины.

Наряду с нумерацией расчетных блоков введена сквозная
нумерация полос (д = 1, . . ., т). Начало системы прямоу-
гольных координат Xi, х2 принято на пересечении вертикальной
оси бетонного массива с границей основания; ось х2 направлена
вертикально; Xi — вправо. Для каждой полосы введена
также система локальных прямоугольных координат Xi, х^
2
с началом на пересечении оси х2 с границей областей и

Высота расчетного блока обозначена толщина
полосы , ширина каждого блока (полосы) 2х01.
02

Предполагается, что возведение расчетного блока производится
мгновенно в момент времени t = Нагрузки от собственного
веса не учитываются. В области напряжения о- и деформа-
ции еу при t = равны нулю.

Уравнения задачи записываются относительно скоростей напря-
жений а- и деформаций е-«. Задача решается последовательно

для интервалов времени

т*к + 1* Напряжения и дефор-

мации на рассматриваемом интервале времени определяются из
соотношений

t

(10.27)

(х, t) = Оу (т#к) + / <7у (х, т) dr,
т*к

t

В области Я U должны выполняться
/3=0 Р

Коши для скоростей деформаций и перемещений:

2еу (х, t) = u'i; j (х,

уравнения

(10.28)

t)+Uj,i(x,

уравнения равновесия для скоростей напряжений

(10.29)

однородные граничные условия для скоростей напряжений на
границе S* (тд)

oH(x,t)=0.	(10.30)

•7

Должны также соблюдаться условия затухания скоростей
напряжений на бесконечности в По, условия равенства скоростей
напряжений и перемещений на контакте областей закон уп-
ругости, связывающий скорости деформаций и напряжений в
По (скальное основание рассматривается как анизотропное уп-
ругое тело).

Связь между напряжениями и деформациями в бетоне также
приводится к аналогичной по форме зависимости, связывающей
скорости напряжений и деформаций:
еу(хЛ) = (1 +р)ру(х,0 -E(t-rep) -рбуО88(х,0/

/E(t-T*p) + / ку(х, t)IE(t -т*р) - vSjj x
T*P

x а (x,t)/E(t-t )]P(t-r ,т-т )<k +
г>ь

8иаТ(0>

x€ Пд

Здесь

P(t, т) = E (т) Э5 (t, т) /9t;

8(t, т) = 1/ E(r) +C(t,т),

(10.31)

(10.32)

где v — коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного расширения.

Отметим, что в формуле (10.31) ядро P(t, т) выражается че-
рез производную функции 8 (t, т) по первому аргументу [в от-
личие от ядра интегрального уравнения, связывающего напря-
жения и деформации, которое выражается через производную
8 (t, т) по второму аргументу ].

Таким образом, на каждом интервале [т^, т + j] урав-

нения задачи для наращиваемого тела, записанные относительно
скоростей напряжений и деформаций, аналогичны по форме
уравнениям задачи теории ползучести для кусочно однородного
тела со стационарной границей, занимающего область Я^.
Единственное отличие состоит в том, что для наращиваемого
тела условия равенства скоростей напряжений и перемеще-
ний на контакте областей Яр _ । и Яр должны выполняться,
начиная с различных моментов времени т (Р = 1,..., к).

*Р

Методом конечных сумм (см. гл. 6) рассматриваемая задача
теории ползучести может быть приведена к последовательности
задач для упругого наращиваемого тела уже на уровне исход-
ных уравнений.

Авторы решают задачу несколько иным методом [88].

Напряжения о- выражены через функцию напряжений Эри,
которая для каждой полосы принята в виде разложения
по специальным функциям координат хх, х2^д^с коэффи-

циентами b<M)(t) и

с(Д)
п

(t), зависящими от времени. На ос-
Рис. 10.1. Эпюры горизонтальных напряжений по оси
массива

1 — при строгом учете ползучести; 2 — при расчете, по
упрощенной методике

<5п, МПа

30

I—L 1 | J
би.мпа

1 1 1 1 J 1.1 1 1 1 I

(5п,мпа би,мпа

Рис. 10.2. Изменение во времени горизонтальных напряжений в
центре прискального блока по оси массива

1 — при строгом учете ползучести; 2 — при расчете по упрощен-
ной методике
нове обобщения принципа Кастильяно, записанного для скорос-
тей напряжений и деформаций, получена система Интеграль-
ных уравнений Вольтерра второго рода относительно функций

(t) и (t). К решению системы применен шаговый ме-
тод, который на каждом шаге по времени приводит систему
интегральных уравнений к системе линейных алгебраических.
Некоторые результаты расчетов термонапряженного состоя-
ния наращиваемого массива бетонной плотины применительно
к условиям строительства Саяно-Шушенской ГЭС приведены
на рис. 10.1, 10.2. Для сравнения здесь же приводятся резуль-
таты, полученные при приближенном решении1, основанном
на применении теоремы 2.2 (которая справедлива для одно-
родной области с неподвижной границей).

На рис. 10.1 даны эпюры напряжений ан в центральном вер-
тикальном сечении массива для различных этапов возведения.
На рис. 10.2 для прискального блока приводятся графики, ха-
рактеризующие изменение этих напряжений во времени.

Рассматривалось возведение блоков высотой 1,5 и длиной
27 м, перекрываемых с интервалом 5 сут. Начальная температура
бетонной смеси 5°С. Первые семь блоков бетонировались без
шатра с укрытием поверхности бетона слоем теплоизоляции.
Начиная с восьмого блока бетонирование велось под защитой
шатра, температура в котором равнялась 5°С. Применялся бе-
тон марки 250, расход вязущего (шлакопортландцемент) состав-
лял 260 кг/м3. Экзометрический разогрев в возрасте 3; 7; 14;
28 сут составлял 13,2; 21,9; 27,3; 30,7°С соответственно. Модуль
упругомгновенной деформации бетона в возрасте 3; 7; 28 и
180 сут равен 1,95 - 104; 2,25 • 104; 3,45-104 МПа соответствен-
но. Характеристики ползучести бетона принимались в соответ-
ствии с мерой ползучести, приведенной на рис. 2.5, б работы
[88]. Остальные характеристики бетона и скалы принимались
следующими: коэффициент Пуассона и = 0,17, линейного рас-
ширения а = 1 • 10“5 1/К, температуропроводности а = 1,11 х
х 10"6 м2/с.

Расчеты производились по программе, составленной для ЭВМ
БЭСМ-6. Временные интегралы заменялись суммами по формуле
трапеций, причем шаг по времени принимался равным одним сут-
кам.

Система алгебраических уравнений, к решению которой
сводится решение задачи, решалась методом блочной прогонки.

Сопоставление результатов, полученных по строгой и упрощен-
ной методикам, показывает, что характер эпюр напряжений и гра-

1 Т.Н. Рукавишникова, Л.П. Трапезникова. Математическое модели-

рование термонапряженного состояния бетонных массивов, возводимых

на скальном основании. - Изв. ВНИИГ, 1979, т. 129, с. 56-66.
фиков изменения их во времени в обоих случаях одинаков. Одна-
ко имеет место существенное различие результатов, составляющее
в прискальной зоне величину 1 МПа и более. Следует также отме-
тить, что в рассмотренных примерах приближенный учет ползуче-
сти приводит к сдвигу эпюры напряжений в прискальной зоне в
сторону сжатия; при строгом учете ползучести зона растяжения
оказывается меньше.

Как отмечалось в гл. 6, при применении шаговых методов
необходимо запоминать на каждом шаге по времени всю историю
напряжений [при решении рассматриваемой задачи запоминалась
предыстория приращений AbnW (t) и Асп(д) (t) коэффициен-
тов разложения напряжений по статически допустимым функци-
ям] . Эта предыстория определяет на каждом шаге правые части
получаемой системы алгебраических уравнений.

Указанное обстоятельство, не имеющее значения для системы
интегральных уравнений невысокого порядка, при решении задачи
о наращивании с ростом числа блоков быстро становится обреме-
нительным. Затруднения возникают как в виду необходимости
хранить в памяти ЭВМ все возрастающий объем информации,
так и в результате значительного увеличения затрат вычислитель-
ного времени.

В этих условиях оказалось полезным применение рекуррент-
ного соотношения, аналогичного соотношения (6.25), что позво-
лило для вырожденного ядра P(t, т) существенно сократить объ-
ем запоминаемой информации и время счета.

На рис. 10.3 приведены графики зависимости затрат машинно-
го времени от числа блоков при запоминании всей предыстории
(кривые А) и при использовании рекуррентного соотношения
(кривые Б). На графиках сплошными линиями показано время
работы центрального процессора, штрихпунктирными — полное
время, учитывающее обращение к внешним устройствам.

Как видно, если число блоков N мало (не превышает трех),
то оба способа вычислений практически эквивалентны. Однако
при N > 3 различие резко увеличивается. Если на расчет напря-
женного состояния десяти блоков при запоминании всей пред-
ыстории потребовалось 90 мин времени работы центрального
процессора ЭВМ БЭСМ-6, то при использовании рекуррентного
соотношения — всего 10 мин. Еще больше разница в фактическом,
так называемом коммерческом времени, учитывающем затраты
на обращение к внешним устройствам (190 и 11 мин).

Расчет напряженного состояния наращиваемого массива из
20 блоков потребовал 35 мин работы центрального процессора
и 38 мин коммерческого времени.

ГЛАВА 11. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СПЛОШНЫХ
ТЕЛ И АРМИРОВАННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

В последние годы интенсивно развивается новый раздел строи-
тельной механики — теория оптимального проектирования. Боль-
шинство исследований посвящено проблеме оптимального проек-
тирования конструкций из упругого или упругопластического ма-
териала. Значительно менее развита теория оптимального проекти-
рования конструкций, материал которых обладает свойством
ползучести; изучены только некоторые частные классы задач

[94,103].

Ниже приведен ряд общих результатов, позволяющих распро-
странить принципы соответствия на задачи оптимального проек-
тирования стареющих тел и армированных стержневых систем

[43].

Рассмотрены также две задачи оптимального проектирования
наращиваемых тел.

1. ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ СПЛОШНОГО ТЕЛА
ИЗ СТАРЕЮЩЕГО ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА

Постановка задачи. Рассмотрим задачу определения оптималь-
ной формы однородного тела, свойства которого описываются
уравнениями наследственной теории старения при допущении,
что поперечная деформация идеально упруга. В этом случае
уравнения состояния имеют вид:

е у (х, t) - 8^ 0(х, t) = (1 + г) L (о^ (x, t) / E(t) -

-рбц (<^к (*»0 /E(t);

(11.1)
Ly(t) = (I + K*)y(t),

K(t,r) =-Е(т) Э [1 /Е(т) +

+ C(t, т)] /Эт.

Здесь E(t) —Eop (t) - модуль упругомгновенной деформации, C(t,
т) — мера ползучести.

Пусть поверхность S, ограничивающая тело, может варьиро-
ваться в определенных пределах

SGM,

(11.2)

где М — множество всевозможных поверхностей, допустимых ограниче-
ниями геометрического характера.

Вместе с S могут варьироваться ее части Si и S2, на которых
заданы напряжения F| (х, t) и перемещения v^(x, t). Объемные
силы f|(x, t) и вынужденные деформации 0 (х, t) также могут
зависеть от размеров и формы тела. Задача состоит в отыскании
оптимальной поверхности S* из условия минимума некоторого
функционала

minV (S) = V (S*).

(11.3)

Для определенности будем полагать, что минимизируется объ-
ем или стоимость тела. В общем случае на напряжения и (или)
перемещения по заданным направлениям налагаются ограниче-
ния типа:

max кк= [oi! (x,t),..., <^3(x,t)]<afc, xG £2,	(114)

(k = 1,..., p),

max Uj (x,t)lim<bm, xGS, tG [t0,tJ ,	(Ц.5)

однородные функции компонент напряжений, определяющие условия
прочности; [то, т ] - рассматриваемый интервал времени.

Приведение к задаче для упругого тела. Покажем, что в случа-
ях, допускающих разделение решения по времени и координа-
там, задача (11.2) — (11.5) приводится к задаче отыскания
оптимальной формы упругого тела, подчиняющегося закону
упругости:

е ii <х> - 5ii 00 <х> = О +	°°н to / Ео -

J	J	J	.

я О /Ч/В	(116)

-p5ijakkto/E0.
Рассмотрим два типа граничных задач, решение которых может
быть представлено в виде:

ffjj (х> t) = Оу° (х) £ (t); е jj (х, t) = е^? (x)f (t);

Uj (х, t) = Ui° (х) f (t),

(11.7)

где cP ., , с°, ц.° — решение некоторой задачи для упругого тела.

Из результатов, приведенных в п. 1 гл. 2,следует, что решение
задачи теории ползучести имеет вид (11.7) в таких случаях.

1.	Поверхностные и объемные силы, действующие на тело,
изменяются во всех точках пропорционально некоторой функции
y(t), часть поверхности Si жестко закреплена, вынужденные
деформации отсутствуют:

Fi (х, t) = F-(x)y(t) на Sj, fj(х, t) = fi(x)y(t),
xSI2,

П|(х, t) =0 HaS2, 0(x, t) =0.	01-8)

В рассматриваемом случае:

I (t) = У (t), r (t) = Г у (t) I д (t) ,	(11.9)

а функции °° ij,e j, u° i определяются из решения задачи для
упругого тела, подверженного воздействиям

Fi°(x)=Fi(x) на S19 f.°(x)=fi(x)

при условии равенства нулю заданных деформаций 0° (х) и пере-
мещений v°|(x) на S2. Указанную задачу для упругого тела бу-
дем называть задачей 1°.

2.	Поверхностные и объемные силы равны нулю, перемещения
на S2 и распределенные по объему вынужденные деформации
изменяются во времени пропорционально y(t):

Pf (х, t) = 0 на Si, f* (х, t) = 0;

► (11.10)

v. (х, t) =vi(x) y(t)

на S2, 0 (x, t) = 0 (x)y (t).

В этом случае

?(t) = Д (t) L-’у(t), f (t) = у(t),

(11.11)

где L4 = [ I - R*(-D]

— оператор, обратный L; R*(—1) — резольвента

оператора К* с параметром — 1.
Функции оР-, е°у, u<\ определяются из решения задачи для
упругого тела, на которое действуют заданные деформации
0°(х) = ®(х), перемещения v°|(x) = v^(x) на S2, а поверх-
ностные и объемные силы F°|(x) и f°| (х) равны нулю. Назовем

задачу для упругого тела при указанных воздействиях задачей 2°.

Будем полагать, что функция у (t) неотрицательна и L4 f (t)X)

для t € [то, т ]. Из положительности оператора L следует, что
L(f (t) I д (t)) > 0, Таким образом, функции $ (t) и f (t) неотри-

цательны.

Полагаем также, что при варьировании поверхности S тип
внешних воздействий, определяющих напряженно-деформирован-
ное состояние тела, не изменяется, т. е. при любой допустимой
поверхности S тело подвержено воздействиям типа Рили 2*

Теорема ILL Оптимальная форма стареющего наследственного
тела (11.1) в условиях задачи !♦ (2*) совпадает с оптимальной
формой упругого тела (11.6), подверженного воздействиям
типа 1° (2°), на напряжения и перемещения которого наложены
ограничения:

«к(^11(х)»- -Хзз (x))<ak/t.Xk , хбП,

(11.12)

к !,..•> р»

u°i W1im<bm / xGS’ m=l,...,L	(11.13)

Здесь = max £ (О; f ♦ = max ? (t); Xk — степень однородности функ-
ции *k.

Предполагается, что в условиях задачи 1* функции {(t) и
f (t) имеют вид (11.9), а в условиях задачи 2* определяются
выражениями (11.11).

Доказательство. Пусть для упругого тела оптимальная по-
верхность S = S* т. е. min V(S) = V(S*) и напряжения и пере-
мещения удовлетворяют ограничениям (11.12), (11.13) и S-GM.

Для напряжений и перемещений вида (11.7) ограничения
(11.4), (11.5) приводятся к виду (11.12), (11.13). Так как
последние удовлетворяются, то поверхность S* является допусти-
мой для стареющего наследственного тела. Докажем ее оптималь-
ность.

Предположим, что для тела из стареющего наследственного
материала оптимальная поверхность ¥= S* и V(S') < V(S*).
Так как функции Oy (х, S, t) = оРу (х, S') £(t) и uj(x> S',
t) = u°|(x, S')f(t) удовлетворяют условиям (11.4), (11.5),
то функции о0. . (х, S') и u°| (х, S') удовлетворяют ограниче-
ниям (11.12, 11.13). Таким образом поверхность S’ является
допустимой условиями упругой задачи и предположение
VCS1) < V(S) приводит к противоречию.

Доказанная теорема приводит задачу определения оптималь-
ной формы тела, обладающего свойствами ползучести и старе-
ния, к более простой задаче оптимизации формы упругого тела.
Так как при воздействиях типа 1 * функция | (t), а при воздей-
ствиях типа 2* функция f (t) не зависит от реологических свойств
материала, из теоремы 11.1 следует, что реологические свойства
материала не влияют на оптимальную форму тела, если при воз-
действиях типа 1 * ограничения наложены только на напряжения,
а при воздействиях типа 2* — только на перемещения.

Аналогичные результаты можно получить, если оптималь-
ная форма стареющего наследственного тела при воздействи-
ях типа 1* или 2* разыскивается из условия минимума макси-
мальных напряжений или однородной функции компонент
напряжений или перемещения по заданному направлению. Во
всех случаях функция времени выделяется в виде множителя
при минимизируемом функционале и оптимальная поверхность
S* может быть найдена из решения задачи для упругого тела,
возможно с преобразованными ограничениями. Приведем неко-
торые примеры.

Пример L В работе [59] рассмотрена задача об оптимальной
толщине упругого вращающегося диска радиуса rj с отверстием
радиуса г2. Граничные условия: cPr(ri) = о?г(г2) — 0. Возмож-
ная толщина диска h(r) заключена между двумя гиперболиче-
скими профилями Н/гт> и Н/гт2 (mi и т2 — заданные кон-
станты, mi < т2). Оптимальная толщина h*(r) = H/rm2 найде-
на из условия минимума напряжений о°^,(г2). Полученный ре-
зультат остается справедливым для диска из стареющего наслед-
ственного материала, так как напряжения в нем совпадают с
напряжениями в упругом диске.

Пример 2. В работе [16] рассмотрена задача об оптимальной
толщине пластинки, занимающей в плоскости z = 0 область Ц
жестко защемленной на контуре Г2 и свободно опертой на Г1в
Пластинка нагружена сосредоточенной силой Р, приложенной в
точке 0(0,0); объем пластинки полагается фиксированным.
Требуется найти максимальную силу Р* при которой прогиб
ir в точке 0 не превосходит заданной величины Ьо. На возмож-
ные значения толщины h(x, у) наложены ограничения снизу и
сверху, которые увязаны с ограничениями на объем пластинки.

Соответствующая задача с учетом ползучести материала мо-
жет быть сформулирована следующим образом.

Найти

maxP(h) =P(h*) -Р*	(11.14)
при ограничениях

V = J h(x, у) dxdy = const;
ft

Чпш h(x> У) Цпах ’

(11.16)

u(0, t) <b0, te .

(11.17)

Так как при любой допустимой толщине h (х, у) прогиб
u(0, t) = u° (0) f (t), причем максимум f (t) из (11.9) дости-
гается в точке 7*, оптимальная толщина h* и соответствующая
сила Р* могут быть найдены из решения задачи (11.14) для уп-
ругой пластинки при геометрических ограничениях (11.15),
(11.16) и ограничении на прогиб

и°(0)<Ьо/Г(т*).

(И.18)

Смешанные граничные условия. Рассмотрим задачу (П.2) -
(11.5) при смешанных граничных условиях и постоянных во
времени внешних воздействиях. Пусть:

F|(x,t) =Fi(x) на St, ^(х,1) = fi(x),

(11.19)

vi(x, t) =vf(x)

на S2, 0 (x, t) =0 (x).

(11.15)

Будем полагать, что каждое из ограничений (11.4) определя-
ет в пространстве R6 компонент напряжений о-- выпуклую об-

ласть Р^

Теорема 11.2. Если напряженно-деформированное состояние
стареющего наследственного тела (11.1) определяется воздейст-
виями (11.19), и для некоторой поверхности SGM ограничения
(11.4), (11.5) удовлетворяются при т = т0 и т = т*, то они удов-
летворяются для всех t Е [т , т*].

Доказательство. Рассмотрим сначала линейные ограничения
(11.5). Перемещения с учетом ползучести в силу суперпозиции
воздействий и результатов, приведенных в п. 1 гл. 2,имеют вид:

U. (х, t) = Uj0 (1) (х) f (t) + Uj0 (2) ,	(11.20)

где u°d> — перемещения в упругом теле от нагрузок F.(x) и f.(x);

' - перемещения в упругом теле от воздействий ®(х) и V- (х); t»(t) =
= L(1/M(t).

Подставляя (11.20) в (11.5), получим

max (.00)(Х) Цт) f (t) + u“<2»	< bm .	(11.21)
Функция f (t) изменяется монотонно, поэтому максимум до-
стигается на границе интервала [т0, т*]. Так как по предполо-
жению условия (11.5) выполняются для т = т0 и т = т#, то они

выполняются для всех tG [т0, т J .

Рассмотрим теперь ограничения на напряжения. При воздейст-
виях (11.19) напряжения в стареющем наследственном теле мо-
гут быть записаны в виде

(x,t) = 04?^^ (х) + а.9(2) (х) + £ (t),
J	J

(11.22)

гдеаО<1>

— напряжения в упругом теле от нагрузок t (х) и F (х) на Si;

ч

- то же, от воздействий 0 (х) и v. (х) на S2; $ (t) = (t) L 11.

Так как условия (1.4) выполняются для t = т0 и t = т*, то

О1 = {он (х,т0),. • .,<Ъз(х,т0)} €Рк ,
0й = [О11 (х, т*),..Озз (х, 7,)}е Рк (к = 1....р)

I II	х-

где О , О — точки в пространстве напряжений К .

Введем параметр

Mt)=Ht)-$(7o) / £(т.)-£(70).

(11.23)

(11.24)

Так как функция £ (t) монотонно убывает от £0 = £ (т0) до £j =
= i (т.), то параметр X (t) G [0,1 ]. Нетрудно проверить, что
°ij(x, t) = (<^°0) (х) + оР(2> (х) £i)X(t) + (Ojj0(1) (х) +

+ a.Q(2)
Ч

(X) £0) (1 - X(t)).

Таким образом,для любого t G [т0, тJ имеем

<*(х, t) =

{<h 1 (х, t),..., 033 (х, t)} = о11 (x)X(t) + о1 (х) (1 -

-Mt)),	(11.25)

где о(х, t) — точка из R6.

Уравнение (11.25) есть параметрическое представление от-
резка, соединяющего точки <Д и оп. В силу выпуклости каждой
из областей Pvo(x, t) G Р^и условия (11.4) удовлетворяются
для всех tG [70,т*].

Из доказанной теоремы следует, что при оптимизации формы
стареющего наследственного тела достаточно проверить выпол-
нение ограничений для моментов г о и г*. Используя теорему
11.2 покажем, что при ограничениях только на напряжения или
только на перемещения задача определения оптимальной формы
стареющего наследственного тела приводится к задаче отыска-
ния оптимальной формы упругого тела, подверженного дейст-
вию двух групп нагрузок.

Пусть оптимальная поверхность S определяется из условия
(11.3) при геометрических ограничениях (11.2) иограничениях
только на напряжения (11.4).

Теорема 11.3. Оптимальная форма стареющего наследствен-
ного тела (11.1), подверженного воздействиям (11.19) при ог-
раничениях только на напряжения (11 Л), совпадает с оптималь-
ной формой упругого тела (11.6), на напряжения которого на-
ложены ограничения:

о	о

*k=(<4i (х), •.., Озз (х)) < ак, х€П,

к = 1,...,р-

(11.26)

Условия (11.26) должны выполняться при действии на тело
каждой из следующих групп нагрузок:

F- (х) = Fj (х) на Si;

Vi°(x) = vi(x) HaS2;

f°(x)=f.(x);

0° (х) = 0 (х);

Fi°(x)=Fi(x) на Si; f.°(x)=f.(x);

Vj0 (x) = Vj(x) $! на S2; 0°(x) =0(x)$1.

(11.27)

(11.28)

Доказательство. Напряжения в упругом теле могут быть пред-
ставлены в виде а-0 = o-Od) + о-0(2) при воздействиях

(11.27) и	Ji при воздействиях (11.28).

Пусть S* — оптимальная поверхность упругого тела. Так как
напряжения в упругоползучем теле имеют вид (11.22), причем
5(т0) = 1, то выполнение условий (11.26) при воздействиях
как (11.27), так и (11.28) эквивалентно выполнению условий
(11.4) в моменты т0 и г*, В силу теоремы 11.2 условия (11.4)
выполняются для всех t Е [т0, rj , поэтому поверхность S*

является допустимой для упругоползучего тела. Докажем ее

оптимальность.

Предположим, что для упругоползучего тела оптимальная
поверхность S' # S*h V(S') < V(S). Функции

(х, S', t) = oP(1) (x, S') + ап°<2> (x, S') ? (t),

J	J	«I
удовлетворяющие ограничениям (11.4), удовлетворяют им, в
частности, для t = т0 и t = т*. Это эквивалентно выполнению
условий (11.26) для упругого тела при нагрузках (11.27),
(11.28), действующих независимо. Таким образом, поверхность
S* является допустимой для упругого тела и предположение
V(S*) < V(S*) приводит к противоречию.

Рассмотрим теперь случай, когда ограничения налагаются
только на перемещения. В силу теоремы 11.2 ограничения (11.5)
выполняются для всех t Е [т0, т*], если они выполняются для
моментов т0 и г*.

При t = т0 перемещения (11.20) совпадают с перемещениями
упругого тела, подверженного воздействиям (11.27); при t =
= т* — с перемещениями упругого тела при воздействиях:

F?(x)=Fi(x)r1 на Si; f/*(х) = f^x) f,;

v*° (x) = Vj(x) на S2; 0° (x) = 0 (x).

(11.29)

Теорема 11.4. Оптимальная форма тела, подчиняющегося за-
кону ползучести (11.1) и подверженного воздействиям (11.19)
при ограничениях только на перемещения (11.5), совпадает с
оптимальной формой упругого тела (11.6), на перемещения ко-
торого наложены ограничения:

ui ^im- < Ьщ > xG S,

m= 1,.. .,1.

(11.30)

Условия (11.30) должны выполняться как при воздействиях
(11.27), так и при воздействиях (11.29).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 11.3.

2.	ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ АРМИРОВАННЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим задачу отыскания оптимальных геометрических
параметров статически неопределимых стержневых систем, сос-
тоящих из армированных элементов1.

Принимаем следующие допущения: при деформации попереч-
ные сечения элементов остаются плоскими; в каждом сечении
центр тяжести арматуры совпадает с центром тяжести основного
материала; ползучесть основного материала описывается теори-

1 Как показано в [76], в случае однородных стержневых систем имеют
место представления решения в виде произведений функций времени
на функции координат при внешних воздействиях, пропорциональных
во всех точках одной функции времени. Поэтому для однородных систем
остаются справедливыми результаты, полученные в п. 1.
ей наследственного старения, модуль упругомгновенной дефор-

мации не изменяется во времени; арматура работает упруго.

Пусть z = ( Zi, . . Zjc} G Z — вектор варьируемых парамет-
ров, определяющих конфигурацию системы и размеры элемен-
тов, Z С Rk— множество допустимых значений z, определяемое

ограничениями геометрического характера. Задача состоит в

отыскании оптимального вектора z* =

из усло-

вия минимума некоторого критерия качества (например, объ-
ема или стоимости) при ограничениях на нормальные напряжения
арматуры, основного материала и (или) деформации системы:

min^(z) =(/>(z*);

(11.31)

- а < Оа(х, t) < b, -с < а(х, t) < d ;

△ Тр (t) < hm,

(11.32)

(11.33)

m = l,..., L.

Здесь aa, о — нормальные напряжения в арматуре и основном материа-
ле; Дгр — перемещения по направлению m от внешних воздействий; а,
b, с, d h - заданные положительные константы.
’ m

В ограничениях (11.32) учтена возможность различного соп-
ротивления материала при растяжении и сжатии.

Рассмотрим сначала случай, когда деформациями системы от
действия нормальных сил можно пренебречь и отношение момен-
та инерции арматуры к моменту инерции основного материала
не зависит от номера элемента: Ja / J = const. Пусть напряженно-
деформированное состояние системы обусловлено внешними
нагрузками, изменяющимися во времени пропорционально од-
ной функции: Р(х, t) = P(x)y(t).

Как следует из результатов, приведенных в гл. 3, изгибающие
моменты, напряжения и перемещения могут быть представлены
в виде:

М (х, t) = М° (х) f (t); Оа (х, t) = Ga° (х) ф (t);
a(x,t) =o°(x)$(t); ATp(t) =A°Tp^(t),
где
f(t)=y(t), Ht)= [I + aR*(-T)]y(t);

$ (t) = [I- tR*(-t)] y(t); a = 1 / (ju + 1);

(11.34)

(11.35)

M = EaJa I EoJ ’ 7 = 1 - a •
В выражениях (11.34) и (11.35) Е й Е - модули упругости арматуры и
основного материала; R*(—у) — резольвента оператора К*с параметром —у;
М ,	, и ' д __ изгибающие моменты, напряжения и перемещения сис-

темы из упругогЯЧлатериала, подверженной воздействию нагрузки Р° (х) =
= Р(х).

Если напряженно-деформированное состояние системы обус-
ловлено вынужденными деформациями, которые изменяются
во времени пропорционально y(t), то внутренние усилия, на-
пряжения и перемещения имеют вид (11.34), при этом

f(t)= [I — a R*(—1)] у(t);

Ht)= [I—R*(—1)] y(t).

Ф(0 =y(t);

(11.36)

Величины M°, а °,

’ Tp

определяются из решения задачи

для упругой системы, подверженной воздействию постоянной во

времени вынужденной деформации [без множителя у (t) ] .

Для напряжений и перемещений вида (11.34) ограничения
(11.32), (11.33) эквивалентны следующим:

— а/ф» < аа°(х) < b/ф.;

-c/^<oP(x)<d/^;

(11.37)

△Tp<hm^*’ m=	(11.38)

где ф. = max ф (t), |. = max^(t) и функции ф,£ полагаются неотри-
дательными на рассматриваемом интервале времени.

Повторяя рассуждения, приведенные в п. 1, приходим к выво-
ду, что оптимальные параметры однородно и симметрично арми-
рованной стержневой системы из стареющего наследственного
материала совпадают с оптимальными параметрами системы из
упругого материала, на напряжения и перемещения которой на-
ложены ограничения.

Функции ф и £ имеют вид (11.35), если система загружена
внешними силами и вид (11.36) при загружении вынужденными
деформациями или перемещениями опор. Из выражения (11.36)
для ф (t) следует, что оптимальные параметры не зависят от
реологических свойств материала, если при действии вынужден-
ной деформации ограничиваются только перемещения. В случае,
когда напряженно-деформированное состояние системы обус-
ловлено действием нормальных сил, а влиянием изгибающих
моментов можно пренебречь, все полученные результаты оста-
ются справедливыми, если отношение сечения арматуры к сече-
нию основного материала Fo / F = const для всех элементов.
При этом следует только в выражении для параметра цзаменить
JL / J отношением F„ / F.
а	41
3.	НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НАРАЩИВАЕМЫХ ТЕЛ

В настоящем разделе рассмотрены две характерные задачи
оптимального проектирования наращиваемых тел. Напряженно-
деформированное состояние таких тел зависит от скорости на-
ращивания, которая оказывает также существенное влияние на
оптимальные характеристики наращиваемых сооружений. В пря-
мой постановке задачи рассмотрены в пп. 1 и 2 гл. 10.

Оптимальная форма наращиваемой колонны. Рассматривается
армированная колонна заданной высоты 1, поддерживающая
тяжелое оборудование, чувствительное к приращению перемеще-
ний после установки. Колонна возводится с постоянной скоро-
стью V, равной объему материала, укладываемого в единицу вре-
мени; оборудование, создающее сжимающую силу Р, устанавли-
вается через единиц времени после возведения колонны.
Требуется при заданном объеме колонны V минимизировать
приращение перемещений верхней точки к моменту ti после при-
ложения силы Р.

Таким образом, задача состоит в отыскании функции у(х) —
площади поперечного сечения колонны, минимизирующей функ-
ционал

и© — j £0(x)dx, £0(х) £о (х> ti),

О

при ограничении на объем колонны

L

V = f у(x)dx = const.

0

(11.39)

(11.40)

Выражения для определения напряжений и деформаций колон-
ны, в частности функции $0 (х, t), приведены в п. 1 гл. 10.

Рассмотрим случай постоянного коэффициента армирования.
Пусть отношение площадей сечения арматуры и основного матери-
ала остается постоянным по высоте колонны, т. е. д (х)	= д =

= const. Тогда из выражений (10.2) - (10.4) следует:

g(x) = g = const, Q(x, t) = vg [t +x (x)],если

tG [-X (x),-XoL

(И.41)

Q(x,t) =Q(x) =vgT(x), если t>x0.

Функции B(x, t) и U(x, t, т) [формула (10.10)] принимают
вид:

=Еад + Ео(*+* 00) (1-м) =Bg(t+*(x));	(И.42)
U(x, t, т) = R(—1, t+х (х), т+х (х)) / (1 - д)Ео(т +

+*(х)) / В (т+х(х)) =U (t+x (х),т+«(х)).
Г*	~

(11.43)

Учитывая, что резольвента Г^ядра вида (11.43) является функцией
аргументов t +х (х), т + к (х), получим

t

е (х, t) = 1 / В (t +х (х)) / [а(х, t) + J Гд (t +

-X (х)

+х (х), т +х (х)) о(х, r)dr].

(11.44)

Учитывая также, что напряжения от собственного веса Oq (x,t)
равны Q(x,t) /у(х), и, используя выражения (10.3), (10.4), пос-
ле некоторых преобразований получим деформации от собствен-
ного веса

z ч	Т(х)

£ Q (*’ t) = gv / (у(х)В (t + Т(х) +Л0)) J △ n (t + Т(х) +
о и

+«o3’)dr,

(11.45)

где

△ M(t,r) = l+J rg(t,n)dn, t>-x0.	(11.46)

Деформации от нагрузки Р:

€o(x,t) =Р/ (у(х)в (t + T(x) +«о)) /△„ (t +
X7	“	г*

+* о + Т(х),эе0 + Т(х)).	О1-47)

Отметим, что переменная х входит в выражения (11.46) и
(11.47) только посредством функций у(х) и Т(х) = z(x)/v,
поэтому выражение для приращения деформаций к моменту
ti после приложения нагрузки можно записать

ЬСО =€q(x, tt) +ер(х, ti) — Cq(x,0) —ep(x,0) =

= F (z(x)) /у(х).
г*

(11.48)

Для приращения перемещения верхнего сечения колонны бу-
дем иметь

1»	1 х	dx

u0= J £o(x)dx = f F [ J y($)d£]---.	(11.49)

о	о и 0	y(x)
Учитывая, что у(х) = z'(x), запишем выражение (11.49)
в виде

к

uo = / (z(x))dx / z (х).	(11.50)

0 м

Подынтегральное выражение не зависит явно от х, поэтому
функция z(x), доставляющая минимум функционалу (11.50),
удовлетворяет дифференциальному уравнению первого поряд-
ка [95] :

F„ (z) / z' - z(3 / 3z'){F„(z) / z |=2 / D ,
Г*	V	J

(11.51)

где D — произвольная постоянная.
г

Разделив переменные, получим

dz / Fg (z) = Dgdx.

(11.52)

Частный интеграл уравнения (11.52), удовлетворяющий усло-
вию z(0) = 0, имеет вид

z	V

/F-*(Odf=D х, D = 1 / И F-*(O dt	(11.53)

о	м м о

Выражение для D„ получено из условия z(L) = V.

Соотношение (11.53) определяет зависимость z(x). Диффе-
ренцируя (11.53), найдем

z'(x) =у(х) = 1 /x'(z) = DyF (z).	(11.54)

Уравнения (11.53) и (11.54) определяют параметрически
функцию у(х), которая является решением рассматриваемой
задачи. Параметр z изменяется в интервале [0, V] . Подставляя
у (х) в выражение (11.48), получим

fo = l/Dn.

(11.55)

Таким образом, приращение деформации колонны оптималь-
ной формы не зависит от координаты сечения.

Приращение перемещения верхнего сечения колонны опти-
мальной формы

L

и0 = J £odx = l/Dn.	(11.56)

0	М

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть время возведе-
ния колонны пренебрежимо мало, т. е. колонна однородна и
процесс старения в ней протекает одинаково во всех точках.
Учитывая, что

Т(х)

lim [v J △ (t+x0 +T(x),r)dr] = zA (t+xo.O)

/->«>	0 м	M

из соотношений (11.45), (11.47), (11.48) найдем:

F. (z) =gA z + PC ;	(11.57)

“	r*

A =Au(t1 +Jt0, 0) I Bu(ti+x0) (*o,0) I
Г*	Г*-	Г*-

/В„ (Xo). C = △ (tj +»o>«o) / В (t> +x0)' -
M	г*	г*	г*

-1/B(«o),	(1L5*>

Г*

где A^, Сд - параметры, характеризующие упругие и реологические свой-
ства армированного материала.

Используя зависимости (11.53), (11.54), будем иметь:

z = l / а [1 + aV) x/l - 1],

a = gAp/ СрР,

у(х) =ln (1+aV) (1+aV)x/l / al.

(11.59)

Как следует из (11.59), площадь поперечного сечения колон-
ны оптимальной формы при большой скорости возведения воз-
растает к основанию, что объясняется влиянием собственного
веса.

Из выражений (11.53) и (11.56) найдем приращение переме-
щения верхнего сечения

u0=gAuL2/ [In (1+aV)].
Г*

(11.60)

Из условия $о — const следует, что при достаточно малой ско-
рости возведения площадь сечения должна увеличиваться в верх-
ней части колонны, чтобы компенсировать большую деформа-
тивность молодого материала.

Представляет интерес определение такой скорости возведе-
ния V* при которой площадь поперечного сечения колонны
оптимальной формы наименее отличается от своего среднего
значения. Принимая среднеквадратичный критерий, получим
уравнение:

v»=argmin [f [y(x,v) -yv]2 dx/Ц ;

0
1

уф—Г1 J у(х, v)dx = V/l,	(11.61)

О

где yv - средняя площадь поперечного сечения.

Условие (11.61) после замены переменной интегрирования приво-
дится к виду

v* = argmin J y(z, v)dz.	(11.62)

О

При численном решении задачи (3.24) может быть использован
любой известный метод минимизации функции одной переменной.

Пример 1. Пусть Ео (t) = Ео = const и ядро ползучести имеет
вид

Г Eq А|

K(t, т) = -Э (	+ Е0С0) (1 - exp [- р (t -

[ (т+то)

-т))Г /Эт.	(11.63)

Используя известное (см. п. 2 гл. 1) решение интегрального
уравнения с ядром типа (11.63), а также соотношения (10.12),
(11.44), (11.46), получим:

△ (t,r) =1+0 J R(-l+0,t,i?) dn = l+0p [EoA, / (t + t0) +

+ E0C0] fP(T) r-1ef (T) [7(a,f (t)) -T(a,f(+)];

f (t) = r(t + T0); r = p[Hr 0)EoCo];

p = p(l-0)EoA1> a = l-p,

где 7 (a, f) - неполная гамма-функция.

На основании (10.12) параметр 0 может быть представлен
в виде:

0 = Ео(1-д) / (Еар + Е0(1-д)).

Из соотношения (11.53) найдено оптимальное распределение
сечений по высоте колонны у*(х) при следующих значениях
параметров: V = 125 м3, L = 12,5 м, g = 20 кН/м3, Р = 2500 кН,
ti = 100 сут,* 0 = 5 сут, р = 0,06 сут’1, Ео Ai = 10 сут, Е0С0 = 2,
т0 = 1 сут, 0 = 0,8.
Рйс. 11.1. Оптимальное распреде-
ление сечений по высоте колон-
ны

1	— скорость возведения v = 1;

2	— скорость возведения v —
= 50

Варьировалась скорость возведения колонны v. Результаты
вычислений приведены на рис. 11.1.

Как видно, при малой скорости возведения (v = 1 м3 /сут,
кривая 1) колонна резко расширяется в верхней части; при
большей скорости (v = 50 м3 /сут, кривая 2) сечение возрастает
к основанию, так как собственный вес влияет существеннее,
чем неоднородность материала.

Перемещения йо верхнего сечения равны соответственно 0,12
и 0,26 мм, т. е. при большей скорости возведения перемещения
возрастают.

Была решена также задача определения скорости v*, при ко-
торой площадь сечения наименее уклоняется от средней. В ре-
зультате получено v* = 7,62 м3/сут. Максимальное уклонение
площади сечения от среднего значения составляет 2,4 %, т. е.
сечение колонны практически постоянно.

Оптимальное усиление цилиндра многослойной обмоткой.
В п. 2 гл. 10 рассмотрена задача о расчете полого цилиндра из
стареющего вязкоупругого материала, усиленного многослой-
ной обмоткой, навиваемой на наружную поверхность с некото-
рым усилием предварительного натяжения, которое создает
разгружающее давление на цилиндр. При навивке каждого по-
следующего слоя предварительное напряжение предыдущих сло-
ев уменьшается. Целесообразно толщину обмотки и усилие
предварительного напряжения подбирать таким образом, чтобы
после приложения внутреннего давления полностью использо-
вать прочность обмотки. Если к моменту окончания навивки
напряжения во всех слоях обмотки одинаковы, то можно соз-
дать необходимое разгружающее давление при минимальном
расходе материала обмотки.

Таким образом, задача состоит в отыскании такого закона
у(х) предварительного напряжения слоя, расположенного на
расстоянии х от поверхности цилиндра, при котором напряжения
во всех слоях обмотки становятся равными.

Контактное давление между обмоткой и цилиндром в про-
цессе навивки определяется интегродифференциал ьным урав-
нением (10.23). Полагая т0 = 0 и х = vt, преобразуем уравнение
к виду:

(R2 / хЕо) [у (х) / R— q о (х)] = wod [q0 (х) +

+ l/v J K(x,O<to(O<U] /dx,
о

(11.64)

y(x)=z(x/v); qb(x) =q(x/v); K(x, О = P(x / v, $/ v).

Для определения оптимального закона предварительного на-
пряжения у(х) воспользуемся условием постоянства напряжений
во всех слоях обмотки.

Элементарное приращение напряжений в кольце толщиной х
при навивке слоя dx:

d △ а(х) = - (R / х) [dqj 0 (х) - dq0 (х) ] = [q'o (х) -

-у(х) / R] Rx *,

(11.65)

Чю (х) =qi (x/v).

Интегрируя в пределах Ьт х до 6 (6 — конечная толщина обмот-
ки) , будем иметь

△ а(х) = f [q'o (О - У(О / R] R Г * •	(11.66)

Ж

Из условия постоянства напряжений следует:

о(х) = у (х) + А о(х) = До = const.	(11.67)

Используя выражение (11.66), получим

У(х) + ! [q'o (£) -У(П /R] R <*d| = 0b.	(11.68)

X

С помощью соотношения (11.68) исключим q0 (х) из выраже-
ния (11.64). Дифференцируя (11.68), найдем

q'o (х) =у(х) /R+ ху'(х) IR = R‘* d(xy(x)) / dx. (П.69)

Интегрируя последнее выражение и учитывая, что q0 (0) = 0, бу-
дем иметь

qo(x) =у(х)х / R.	(11.70)

Подставляя выражения (11.69) и (11.70) в уравнение (11.64)
и интегрируя полученное соотношение с учетом начального усло-
вия у (0) = Уо, получим
у(х)(х + Х) + 1/v jK(x,O$y(£)<U =XyoA = R2/woEo . (11.71)
0

Интегральное уравнение (11.71) определяет оптимальный
закон навивки на цилиндр. При К(х, $) =0 получим элементар-
ную формулу, определяющую оптимальный закон навивки на
упругий цилиндр:

у(х) = Ху0 /(х + Х).

(11.72)

Положив <р(х) = у(х) (х + Х), преобразуем уравнение (11.71)
к стандартной форме

х

^(х)=Ху0 —1/v J Ko(UW<H,	(Н.73)

0

К0(хД) =К(х,^)|/ Й+Х).

Пример 2. Пусть поперечная деформация упруга, навивка
производится в возрасте, когда старение материала можно считать
завершенным и ползучесть при одноосном напряженном состоя-
нии описывается экспоненциальным ядром. Как отмечалось, в
случае р0 = const ядро оператора в выражении (10.17) совпа-
дает с ядром ползучести при одноосном напряженном состоянии,
поэтому при принятых допущениях будем иметь:

Wo = [(1 -i>o)R3 + (1 +^o)Ri2R] / [E(R2—R2i)];

P(t, t) = xexp [-0(t - r) ] ;

K(x,$) =xexp [-0o(x- I)]» 0o=0/v,

где E - модуль упругости материала цилиндра; R — его внутренний ра-
диус.

В рассматриваемом случае решение уравнения (11.73) имеет
вид:	х

Л

<р (х) = Хуо [1 - Х6 J ехр [-д (х - О] (х +
0

+ X)r| / (£+X)r+1d$;

xo=x/v; д = хь+0о; *=Ххь.

(11.74)

На рис. 11.2 (X = 5) и 11.3 (X = 100) приведены графики
функции у(х) / у0 для различных значений параметра pQ. При
вычислениях принято хь = 30о. Сплошные линии, соответствую-
щие упругому цилиндру, построены по формуле (11.72).
Рис. 11.3. Усиление цилиндра
многослойной обмоткой.
Оптимальное	напряжение

слоя х при X = 100
2 - 0О =0,05; 2-0о = 1

Рйс. 11.2. Усиление цилинд-
ра многослойной обмоткой.
Оптимальное напряжение
слоя х при Х=5

1 - 0о ~ 0,25; 2 -0о =0,05

Серия кривых на рис. (11.3) отвечает случаю, когда жесткость
цилиндра велика по сравнению с конечной жесткостью обмотки.
При этом оптимальное предварительное напряжение слабо зависит
от реологических свойств материала и координаты х. При мень-
шей жесткости (рис. 11.2) эта зависимость оказывается сущест-
венной.
УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАТОРЫ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

Ниже приведены краткие сведения о математическом аппарате,
который используется в этой книге.

Уравнение Вольтерра. В теориях ползучести наследственного
типа (как нестареющих, так и стареющих материалов) компо-
ненты тензоров напряжений и деформаций связаны интегральным
уравнением Вольтерра второго рода, которое в общем случае
имеет вид [63,73]:

y(t)-р f H(t, т) y(r)dr = f(t),	(1)

где у — искомая; f — заданная функции; 0 — параметр уравнения; Н (t, т) —
ядро уравнения, которое в дальнейшем предполагается ограниченным при
то т Ct <00или имеющим интегрируемую степенную особенность вида

Решение уравнения (1) имеет вид:
y(t)=f(t)+0 JR(0,t,T) f(r)dT,
Т»

(2)

здесь R — резольвента уравнения

R(M.t) =n2^n"1Hn(t,r),	(3)

где итерированные ядра Нп определяются последовательно по
формулам:
t

нп (t, т) = J H(t, s)^ (s, r)ds; H, (t, т) = H(t, т).	<4>

Важной особенностью уравнения вида (1) является сущест-
вование и единственность решения при действительных и комп-
лексных значениях параметра, удовлетворяющих условию |0| <«>.

Применение соотношения (2) для фактического решения
уравнения (1) в общем случае может встретить затруднения
ввиду сложности построения итерированных ядер и, возможно,
медленной сходимости ряда (3). Если ядро уравнения зависит
от разности аргументов (H(t, т) = H(t — т), то при решении
может быть использован метод преобразования Лапласа [2,
31]. В случае ядер общего вида для фактического решения обыч-
но используется метод конечных сумм [55].

Функции вольтерровых операторов. При решении граничных
задач теории ползучести получил интенсивное развитие интег-
рально-операторный метод. Решение широкого класса задач
для однородных тел наиболее эффективно осуществляется на ос-
нове принципа Вольтерра, который позволяет получить пред-
ставление решения в виде функций вольтерровых операторов
[73]. При определенных условиях аналогично может быть пред-
ставлено решение задачи для неоднородного тела (см. гл. 2,3).

Приведем некоторые результаты теории функций операторов
типа Вольтерра, которые используются в этой книге. Оператор
Вольтерра Н*с ядром H(t, т) определяется соотношением:
t

H*f(t) = f H(t,T)f(r)dT.	(5)

ТО

Предполагается, что ядро оператора (5) удовлетворяет ус-
ловиям, налагаемым на ядро уравнения (1). Под n-й степенью
оператора понимается новый оператор, ядром которого яв-
ляется n-е итерированное ядро, определяемое в соответствии с
(4):
t

H*nf(t)= J Hn(t,7)f(r)d7.	(6)

ТО

Результат воздействия оператора Н*11 на функцию f(t) равен
результату n-кратного воздействия оператора Н* т. е.

H<nf(t) =Ht. jj*f(t) =fn(t),
1 • V 111	A A

п раз

где функцию fn (t) называют n-й итерированной функцией.

Пусть степенной ряд

F(X) = S bnXn	(7)

n=0

сходится при IX| < р, р > 0. Тогда имеет смысл выражение

F(H*)f(t) = S bnH*nf(t), H*°f(t) = f(t),	, .

которое определяет функцию оператора F (Н*), соответствующую
скалярной функции F (X). Ряд (8) сходится для t < °°.

Из (6) и (8) следует, что функция оператора, воздействующая
на заданную функцию времени f(t), может быть представлена в
виде:

t

F(H*)f(t) =bof(t) + J <D(t,7)f(7)d7 = bof(t) +<D*f(t);	(9)

O(t,7)= SbnHn(t,7).	(10)

n=l 11 11

Таким образом, функция оператора выражается через новый
оператор с ядром Ф (t, 7).
Важной функцией оператора является резольвентный оператор

R40) =Н*(1-0Н*)’* = 2 0П-1Н*П,	(11)

п=0

где I - тождественный о тератор: If(t) — f(t).

Ядром оператора (11) является резольвента уравнения (1), оп-
ределяемая в соответствии с (3).

Пусть R*(0i) и R*(02) — резольвентные операторы, порождае-
мые одним оператором Н* при различных значениях параметра ре-
зольвенты. Имеются следующие соотношения:

W(ft) = (ft -М'1 [R*(ft) -R*(ft)l;

[I-XR*(0) j 'l = i + xR*(x+3);

(12)

R^ (0) =3R*(0) /Э0.

На соотношениях (12), а также более общих [30, 77, 78]
основан метод алгебры резольвентных операторов, применяе-
мый к решению граничных задач наследственной теории упруго-
сти.

Для регулярной функции оператора (8) имеет место пред-
ставление в виде контурного интеграла [68]

F(H*)f(t) = 1 / 2 тг i J F(X)W(X, t)dX.	(13)

Здесь -замкнутый контур в области регулярности F(X), обходящий
точку X =0.

Функция W (X, t) является решением уравнения
t

XW(t)- J H(t,7)W(r)dT = f(t).

To

(14)
ПРОГРАММЫ ПОИСК И РОМБ-1, АППРОКСИМАЦИИ
ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ВОЛЬТЕРРА

Программы ПОИСК и РОМБ-1 решают задачу аппроксимации
функции оператора Вольтерра, воздействующей на заданную
функцию времени, используя значения соответствующей функции
числового параметра в некоторых узлах. Задача подобного рода
возникает при применении принципа Вольтерра и его обобщений
(см. гл. 2 и 3) к расчету напряженно-деформированного состоя-
ния сплошных тел и стержневых систем, материал которых об-
ладает свойствами ползучести и, возможно, старения. Приме-
нение программ позволяет получить решению наследственной
задачи на основе численного решения некоторой задачи для тела
из идеально упругого материала.

Программы написаны на алгоритмическом языке ФОРТРАН
и реализованы на ЭВМ ЕС-1030.

1.	ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОГРАММ

На основе принципа Вольтерра и его обобщений решение ши-
рокого класса задач теории ползучести как стареющих, так и
нестареющих материалов может быть представлено в виде:

<p(t) = F(H*)y(t), te [То,7J.

(1)

Здесь ^(t) — некоторый параметр, характеризующий напряженно-
деформированное состояние в фиксированной точке тела (компонента
тензора напряжений, деформаций или вектора перемещений) или внут-
реннее усилие (перемещение) в сечении стержневой системы; y(t) —
заданная функция времени; Н* — оператор Вольтерра:

H’y(t) = f H(t, т) у (r)dr

(2)

F (Н*) — функция оператора, причем соответствующая функция числово-
го параметра X, определяемая из решения задачи для упругого тела, по-
лагается регулярной в области |\| ^р, р >0. Ядро Н (t, т) предполагает-
ся ограниченным или имеющим интегрируемую степенную особенность
при t =7.

Рассмотрим примеры задач, решение которых приводится к
вычислению выражений вида (1) (см. гл. 2 и 3).

Граничная задача для однородного тела в случае нестареющего
материала. Уравнения состояния имеют вид:

Cji (x,t) = 1 / (2Gio) (1 + гГ)8й(хД), е (x,t) -0(x,t) -
J	J
= 1 / (3G20) (I + Г* ) a (x, t).

(3)

Здесь x = {xi, X2, X3] - точка тела; О - заданная вынужденная дефор-
мация; Gio. G20 ~ модули сдвига и объемной деформации; Г*г - опера-
торы, описывающие сдвиговую и объемную ползучесть.

Опытным данным хорошо отвечают обобщенные дробно-
экспоненциальные ядра и их агрегаты:

Г-Гв - т) = ехр f_p(t _ т) ] эа t - т),

где Эа - дробно-экспоненциальная функция Ю.Н. Работнова [73].

Если ядра имеют вид (4), то наследственной задаче ставится
в соответствие задача для упругого тела, модули которого зави-
сят от параметра X:

сг <»’ = сго / 11 * Х„ГХ/ 0*-„гМ1-

(5)

Пусть заданные на Si поверхностные силы Fp объемные силы
fp заданные на S2 перемещения v- и вынужденные деформации
О изменяются во времени пропорционально некоторой функции
У (t) 

Fj (х, t) = Fj (х) у (t); fj (х, t) = fj (x) у (t);

(6)

Vj(x,t) =vi(x)y(t);	0(x,t) =0 (x)y(t)..

Тогда решение задачи теории ползучести может быть пред-
ставлено в виде:

Ojj (х, t) = 0ц° (х, н‘) у (t),..Uj (х, t) = Uj0 (х, Н*) у (t),	(7)

причем функции (х, X),..и^0 (х, X) определяются из
решения задачи для упругого тела с модулями (5), подвержен-
ного воздействиям F* (х), f| (х), (х), 0 (х).

Ядро оператора Н*в рассматриваемом случае

H(t- т) =ехр[—p(t— т)] (t- т)а/ Г(а+ 1).

(8)

В частности, если свойства тела описываются агрегатами дроб-
но-экспоненциальных функций Э , то в (8) следует положить
р = 0. Если свойства материала описываются экспоненциальными
ядрами, то ядро H(t —т) = 1, что следует из (8), если положить
р = 0 и а = 0.

Функция F в (1.1) - это любая из функций а-j0, е у0, d,0. В
общем случае внешних воздействий каждая из функций Fp
f., v«, 0 может быть представлена в виде разложения по некото-
рой системе у0 (t), . . ym_j (t) и решение получено на основе
суперпозиции.

Целесообразно в качестве базисных функций выбрать спе-
циальную систему, порождаемую оператором Н :

Уо=У(О, У! (t) = Н*у(t),..Уп(t) = Н*“у(t),. ..	(9)

где у (t) - произвольная функция, например у = 1.

Тогда внешние воздействия могут быть представлены в виде
(2.62) и функция F(X) определяется из решения задачи теории
упругости с модулями (5) и внешними воздействиями (2.67).
При этом нет необходимости использовать суперпозицию реше-
ний.

Граничная задача для неоднородного тела в случае нестарею-
щего материала. Если свойства тела зависят от пространственных
координат, то в (3) Grn = Grn(x) и Г* = Г*(х). Если при
этом свойства материала описываются ядрами (4), где =
=	(х) =	(х), то задаче теории ползучести ставит-

ся в соответствие задача теории упругости для неоднород-
ного тела с модулями (5), где параметры Gro, Хп^»^п^г^
зависят от точки тела.

Граничная задача для неоднородного тела в случае стареющего
материала. Если в исходных уравнениях состояния фигурирует
только один оператор Н* (например в случае, когда объемная
деформация упруга), то к решению применим принцип Воль-
терра и решение имеет вид (1). Случай двух некоммутирующих
операторов, рассмотренный в п. 1 гл. 2, также приводится к
вычислению выражений вида (1).

Граничная задача для неоднородного тела в случае стареющего
материала. Пусть в (3) константы Gro и операторы Г* зависят
от точки тела и каждый из операторов может быть представлен
в виде:

г; (х) =рг(х, н»),

(10)
причем Рг(х,Х) - функция, регулярная в точке X = 0 и Н* опера-
тор (в общем случае с неинвариантным ядром), не зависящий
от х Наследственной задаче ставится в соответствие задача для
неоднородного упругого тела с модулями

Gr(x, X) = Gro (х, X) / [1 + Рг(х, X)].

(И)

Если при этом внешние воздействия имеют вид (6) или пред-
ставлены в виде (2.62), то решение задачи теории ползучести
имеет вид (1). При этом функция F(X) определяется из решения
упругой задачи с модулями (И) и внешними воздействиями
(2.67).

Случай неоднородно стареющей среды. Случай среды, неодно-
родность которой обусловлена различным возрастом материала в
различных точках рассмотрен в п. 4 гл. 2. Если модуль упруго-
мгновенной деформации Е и коэффициенты Пуассона и v2 не
зависят от времени = v2 = v и мера ползучести имеет вид:

с(t, т) = [Со + А ехр (-0 т)] f(t - т),

(12)

то решение рассматриваемой задачи приводится к вычислению
функции оператора

Н*= (1 + Hf ) -1Н? ,

(13)

где ядра операторов H*j и Н*2 определяются из выражений (2.76). Соот-
ветствующие функции параметра X находятся из решения упругой задачи
с модулями

Gr (х, X) =Gro/ [1 + х. (х) X], х(х)=е^*(х),	(14)

гдеае (х) - возраст материала в точке х к моменту начала отсчета времени.

Аналогично, к вычислению выражений вида (1) приводится
решение задачи, если ядро ползучести имеет структуру (2.80).

Статически неопределимые стержневые системы из армиро-
ванных элементов (см. гл. 3). Пусть H(t, т) - ядро ползучести,
описывающее свойства основного материала элементов, а арма-
тура работает упруго. Если все элементы армированы симмет-
рично, то внутренние усилия и деформации могут быть представ-
лены в виде (1), причем функция F(X) определяется из расчета
упругой системы с жесткостями элементов



MS [1 ^MS^/(^+^)1> BNS(X) =

= В°.

NS Ч $NS^/(l+^)b

(15)

Здесь BjJig ,	- жесткости при изгибе и осевой деформации элемен-

та s без учета ползучести материала; $MS = J OS J S’ *NS = FOS ! FS’ FQS’
Jos

— площадь сечения и момент инерции основного материала;

FS’JS

соответствующие приведенные характеристики:

Fs fos+fasea/eo: js jos+jasea/eo’

Eq» Ед “ модули упругости основного материала и арматуры.

Общий случай несимметричного армирования рассмотрен в
п. 4 гл. 3.

Во всех рассмотренных случаях решение наследственной зада-
чи приводится к вычислению функции оператора вида (1). Если
функция F рациональна и известна в аналитической форме, то
при решении может быть использован аппарат алгебры резольвент-
ных операторов [73]. Однако в большинстве практически инте-
ресных случаев решение соответствующей упругой задачи может
быть получено только численно. При этом значения F (X) могут
быть найдены в конкретных узлах Xj.

Программы ПОИСК и РОМБ-1 позволяют построить прибли-
жение функции (1) на основе набора значений F (\), j = 1,..., ш.

2.	МЕТОД РЕШЕНИЯ (ГЛ. 4)

Приближение функции (1.1) разыскивается в виде:

*<») * *т<»

(16)

где <pq = у (t), ¥>n(t) =	(t) - итерированные функции.

При определенных ограничениях на последовательность узлов
Xj последовательность Ф (t) стремится к (t) при ш -►
если коэффициенты с* (т) совпадают с коэффициентами поли-
номов Pm_i (X), интерполирующих функцию F(X) в узлах

Скорость сходимости существенно зависит от выбранных
узлов. Целесообразно узлы выбирать из условия минимума
функции

U(X1S.

•>	= $ е о2 (t> , •

ТО

..,Xm)dt = J [(Н* —
ТО

-XiD ,..(H*-XmI)y(t)]2dt.

(17)

Узлы Xj не должны быть слишком близкими, так как при
этом процедура определения коэффициентов cn^m^ становит-
ся численно неустойчивой. Поэтому при поиске минимума на
переменные Xj налагаются ограничения, исключающие их бли-
зость. Вводятся новые переменные х- следующим образом:

Xm = а - exp (-хт),..Xj = Xj+1 - exp(-Xj) -



(18)

где △— некоторое положительное число.

Из (18) следует, что при любых Xj |Xj+| — Xjl > △. На пере-
менные Xj не налагается ограничений, поэтому задача миними-
зации функции (17) есть задача безусловной минимизации.

3.	ОПИСАНИЕ ПРОГРАММ ПОИСК И РОМБ-1

Класс рассматриваемых ядер. Оператор Н*в (1) может иметь
одно из следующих ядер:

Hi=l;	(19)

Н2 (t — 7) = (t — 7)а/Г(а+1), — 1 <а<0;	(20)

Н3 (t, т) = -Э(ЕоСо + Ai / Ео / (г + т) [1 - Btexp(-7i (t -

- т)) - В2ехр (-72 (t - т));	(2i)

t

Н4 (t, т) = Г2 (t, 7) - J Rj (t- и)Г2(и, r) du ;	(22)

T

где Rlf(t - u) - резольвента ядра Гi:

Г1 (t- u) = E0C0 Ф' (t - u);	(23)

Г2 (t, 7) = EoAe~0T [0Mt - r) + Ф' (t - 7)];

(24)

^(t-7)= [1 — Bjexp(—7i (t—7)) — B2exp(—72 (t —7)). (25)

Решение задачи теории ползучести выражается через функции
оператора с ядром Н1Э если свойства материала описываются
экспоненциальными ядрами [частный случай ядра (4) при р = 0,
а = 0]. Если в уравнениях состояния фигурируют дробные экспо-
ненты — решение есть функция оператора Н*2. Соответствующие
модули упругой задачи имеют вид (5).

Ядро Н3 описывает ползучесть стареющего материала. Решение
задачи теории ползучести выражается через функции оператора
Н*3 в случаях, рассмотренных в п. 1. Операторы с ядром Н4
появляются в задачах для неоднородно стареющей среды. В
случае ядер (19) и (20) функция (1) вычисляется при у (t) =
= 1; для ядер (21) и (22) y(t) - произвольная функция. Зна-
чение параметра а в выражении (18) принято равным единице.

Программа ПОИСК решает задачу выбора эффективных уз-
лов X- из условия минимума функции (17) с учетом ограниче-
ний (18). Параметр △ варьируется и при каждом значении △
вычисляется тестовая функция оператора

yv(t) =H*(I + H*)’1l,	(26)

представляющая собой интеграл от резольвенты оператора Н* с
параметром — 1.

При увеличении △ минимум функции (17) возрастает, однако
при больших расстояниях между узлами уменьшается чувстви-
тельность метода к точности, с которой заданы значения F(Xj).

Для операторов Н* и Н* функция ^j(t) равна соответст-
венно

= 1 - exp (-t), </>T(t) = Эа*(-1) 1,

(27)

где Э *— дробно-экспоненциальный оператор Ю.Н. Работнова.

Функция Э* (—^) 1 протабулирована [73,74].
сх	_

Для операторов Н3 и Н4 v>*p(t) = 1 — z(t), причем z(t)
определяется из интегрального уравнения:

z(t) + н£ z(t) = 1

(к = 3,4),

(28)

которое может быть решено численно, например методом конеч-
ных сумм [55].

Сравнение значений ^y(t), вычисленных по программе ПОИСК

и из соотношений (27) или (28), позволяет выбрать разумную

величину (ограничения △ и соответствующие узлы Х-.

Расчет выполняется при нескольких значениях △. В первом
цикле значение △ принимается равным заданному числу е, в

последующих увеличивается на 6. Если расстояние между узла-
ми Xi (Ю, найденными в k-м цикле, удовлетворяет условию:

max
J

|1^|Р-^(к)|>Д(к+1)

=6+к6,

то к+1-й цикл не выполняется.
При минимизации выражения (17) используется поиск Нел-
дера—Мида [92].

Программа ПОИСК включает головную программу и под-
программы VECTR, REKUR, EITKIN, NEMID, START, SUMR. Под-
программа VECTR для заданных ядра и функции у (t) форми-
рует массив итерированных функций <Pj_j(t) в точках =
= т0 + ih. Для ядер Нх и Н2 итерированные функции вычисляют-
ся по формулам:

(t) = tj I j ! И	/ r(pj + 1) (l>=a+l).

J	J

Для ядер H3 и Н4 итерированные функции определяются
численно с привлечением подпрограммы REKUR.

Подпрограмма SUMR вычисляет целевую функцию (17).
ПОИСК Нелдера—Мида осуществляется с помощью подпрограмм
NEMID и START. Две последние выполнены на основе [92].

Вектор коэффициентов приближения (16) при вычислении
тестовых функций оператора (26) определяется по подпрограм-
ме DEMAT. Исходные данные к программе ПОИСК состоят из
следующих наборов.

Набор 1, Включает одну карту, на которой в формате (613,
4F6.5) перфорируются такие данные:

NX-m — число узлов Xj, которое равно числу итерированных
функций <рп в приближении (16). Рекомендуется 3 < ш<7.

NK — число компонент итерированных векторов, равное
числу точек t* = т0 + ih, h = (г* — т0) / NK, i = 1,..., NK, в кото-
рых вычисляется функция (t).

KU — число промежуточных интервалов, используемых при
численном построении итерированных функций. Должно вы-
полняться условие KU • NK < 400.

NIA — номер ядра в соответствии с формулами (19) — (22).

NPR — число параметров ядра: для ядра 1 NPR - 0, для ядра 2
NPR = 1, для ядер 3 и 4 NPR = 8.

MPR — число циклов, в которых варьируется минимально до-
пустимое расстояние между узлами △ (параметр △ определяется
по формуле △ = (k —1) 6 + е , к = 1,..., MPR).

EPS = € - значение △ в первом цикле.

DELTA = 5 — приращение △ при варьировании. Рекомендуется
выбирать 6 таким образом, чтобы выполнялось условие гиб-
*(MPR—1) < 1 - те .

STEP — начальный шаг, параметр, используемый в подпрограм-
ме NEMID. Рекомендуется принимать STEP = 0,1—1.

Т2 = т* — верхняя граница рассматриваемого интервала вре-
мени.

Набор 2. Состоит из карт, на которых в формате (10F6.5)
перфорируются начальные значения Х-, j = 1,..., m. Если 10,
то набор состоит из одной карты. Параметры Xj следует прини-
мать из интервала (0; 1), при этом Xj < Xj+j

Набор 3. Если вычисляется функция оператора Н* , то набор
3 не используется. Если вычисляется функция оператора Н* ,
Н* или HJ , то набор 3 состоит из одной карты, на которой в
формате (10F8.4) задаются параметры соответствующих ядер.

В случае ядра Н2 перфорируется только один параметр и =
= а + 1. Параметры оператора с ядром Н3 располагаются на кар-
те в следующем порядке: т0 — нижняя границу рассматриваемо-
го интервала времени; г^ Е0С0, Ео Aj, Bj, В2,7i, 72.

В случае оператора HJ перфорируются параметры: т0,0, Е0С0,
Е0А, В1,В2,у1,72.

Набор 4. Состоит из группы перфокарт, на которых в форма-
те (12F6.5) задаются -NK + 1 значений функции y(t) в точках
То» Tq + h,..., т*. Для ядер Нх и Н2 набор 4 не используется.

На печать выводится следующая информация. Один раз пе-
чатаются исходные данные. Далее, для k = 1,..., MPR печатаются
результаты расчета: МИНИМАЛЬНОЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ
УЗЛАМИ ЛЯМБДА — ограничение △, соответствующее к-му
циклу; ОПТИМАЛЬНЫЕ УЗЛЫ ЛЯМБДА - узлы Xj (Ю, . . .,

» минимизирующие функцию при ограничении |Xj(^ * —
- Xj | > △; ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ - значение функ-
ции (17) при оптимальных узлах; ТЕСТОВАЯ ФУНКЦИЯ — зна-
чения функции (26) в точках t| = т0 + ih (распечатываются
построчно).

Программа РОМБ-1. Параметры Xj, найденные по программе
ПОИСК, определяют модули соответствующей упругой задачи,
из решения которой определяются значения F(Xj). Используя
F (Xj) (которые могут быть найдены по программе, предназна-
ченной для расчета упругих тел), программа РОМБ-1 вычис-
ляет приближение (16) функции <p(t). Эта программа исполь-
зует подпрограммы VECTR, REKUR, EITKIN, DFMAT.

Вычисления по программе могут автоматически выполняться
при нескольких различных наборах узлов Х^ = (Xj . . .,
Xjh^)), что позволяет проконтролировать точность вычислений.
Для каждого вектора Х^ могут быть вычислены несколько
различных функций (n) (t), соответствующих различным рас-
четным параметрам F(n) (компонентам тензора напряжений,
деформаций и т. д. в различных точках). Исходные данные к
программе РОМБ-1 включают следующие наборы.

Набор 1. Состоит из одной карты, на которой в формате
(613, F6.5) перфорируются переменные NK, KU, NIA, NPR, NX,
IND, Т2, описание которых, кроме IND, дано в пояснениях к
набору 1 исходных данных программы ПОИСК.
IND — число различных функций (t), вычисляемых
при каждом заданном наборе узлов Х(к).

Набор 2. Состоит из одной карты, на которой перфорируется
информация, соответствующая информации на карте набора 3
программы ПОИСК. Если вычисляется функция оператора Hi*
то карта набора 2 не используется и за набором 1 следуют кар-
ты набора 3.

Набор 3. Состоит из группы карт, совпадающих с картами
набора 4 программы ПОИСК.

Набор 4. Состоит из одной карты, содержащей в формате
(13) параметр NNU — число вариантов вектора узлов Х(Ю.

Далее следуют карты наборов 5 и 6, которые повторяются
NNU раз (для k = 1,.. NNU).

Набор 5. Состоит из карт (возможно, одной), на которых в
формате (10F8.7) перфорируются m = NX компонент вектора
узлов Х(Ю.

Набор 6. Состоит из группы карт, на которых в формате

(10F8.7) перфорируются расчетные параметры f'

j = 1, . . ., m; n = 1, . . ., IND, найденные из решения упругой
задачи, в следующем порядке:

FO’tx.W).......

F<2Wk>)....FP)(Xm«);

Каждая группа, состоящая из m чисел F^n) (Xj^)) перфо-
рируется с новой карты. На печать выводится следующая ин-
формация. Один раз печатаются исходные данные, соответст-
вующие картам наборов 1—4. Далее для k = 1, . . ., NNU, выво-

дится на печать: СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — заданные узлы
Лк) >  • Хт(к); УПРУГОЕ РЕШЕНИЕ НА СПЕКТРЕ - за-
данные значения функции рО) (X) в узлах X,	Х_^;

РЕШЕНИЕ С УЧЕТОМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ - функция <^0)(t) в

точках t| = т0 + ih (распечатывается построчно); УПРУГОЕ
РЕШЕНИЕ НА СПЕКТРЕ — значения функции F (X) в узлах

Xi 00, . . X 00. РЕШЕНИЕ С УЧЕТОМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ -
функция #2 (t) в узлах t.; 4

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ

Рассмотрена задача о пустотелом цилиндре, подверженном
внутреннему давлению p(t) =1. Материал обладает различными
деформативными свойствами в радиальном направлении вслед-
231
ствие неоднородного старения. Предполагается также несжимае-
мость материала (pj (t) = v2 (t, т = 0,5). Связь между напря-
жениями и деформациями при осевой деформации принята в
виде (2.76), что позволяет напряжения в цилиндре выразить
через функции оператора с ядром (22). В частности, радиальные
напряжения

or(k,t) = </>(г,Н4*)1,

(29)

причем соответствующая функция параметра определяется из
решения упругой задачи [62] с модулем упругости, зависящим
от X:

с°(г, X) = B(r, X) I B(b, X) - 1, B(r, Х)= J E(z,X)dz/z3,

1	а

Е(г, X) = Ео [1 +х (г)Х]	, зс (г) = е-х <г>,	(30)

где а, b — внутренний и наружный радиусы цилиндра; вс (г) — возраст
материала в точке г к моменту начала отсчета времени.

Приближение функции (29) реализовано на основе четырех
упругих решений. На первом 'этапе по программе ПОИСК найде-
ны эффективные узлы интерполяции X 00 j при различных огра-
ничениях △. Исходные данные к программе ПОИСК приведены
в табл.1.

Таблица 1

Номер перфокарты

1	2	3	4	5	6
004	0.1700	0.500000	1.000V	1.0000	1.0000
030	0.3200	0.880000	1.0000	1.0000	1.0000
010	0.3700	0.539500	1.0000	1.0000	1.0000
004	0.4300	2.500000	1.0000	1.0000	1.0000
008		0.350000	1.0000	1.0000	1.0000
004		0.650000	1.0000	1.0000	1.0000
0.0100		0.300000	1.0000	1.0000	1.0000
0.0300		5.800000	1.0000	1.0000	
0.2500			1.0000	1.0000	
3.5000			1.0000	1.0000	
			1.0000	1.0000	
			1.0000	1.0000	

В' результате расчета (см. пример печати программы ПОИСК)
получены два набора узлов, соответствующие ограничениям
△ = 0,01 и △ = 0,07. Узлы, найденные при △ = 0,01, удовлетворя-
ют также ограничению при △ = 0,03, а найденные при △ = 0,07 —
ограничению при △ = 0,1, поэтому из четырех циклов расчета,
в которых варьируется А, фактически выполнялись только два.
Номер перфокарты

1	2	3	4		5
030	0.5000000	1.0000	1  010	0.880000	1.0000	1  004	0 Л 39500	1.0000	1  008	2.500000	1.0000	1  004	0.350000	1.0000	1  001	0.650000	1.0000	1  3.5000	0.300000	1.0000	1  5.800000	1.0000	1  1.0000	1  1.0000	1  1.0000	1  1.0000	1				1.0000	1.0000  1.0000	1.0000  1.0000	1.0000  1.0000	1.0000  .0000	1.0000  1.0000	1.0000  .0000	1.0000  L0000  1.0000 .0000 .0000 .0000	

Продолжение табл. 2

Номер перфокарты

6	7	8	9	10
002	0.170000	-.625639	0.040200	-.612490
	0.320000	-.638742	0.242758	-.632233
	0.370000	-.642698	0.350631	-.641181
	0.430000	-.647207	0.460302	-.649402

Найденные узлы

определяют

модули

00 4 = 1

4; к = 1,2, при которых вычислена функция	(г, Xj GO)

ке г = 2,5 м. При расчетах функция к

в точ-

(г) принята в виде

ас (г) = х а + (г-а) (<к ь-х а) / (Ь—а);

а = 2м; b = 7 м, яа = 0,	= 10.

Полученные значения of(r, Х-^)) используются в програм-
ме РОМБ-1 для вычисления функции (4.1). Исходные данные к
программе приведены в табл. 2. Функция (4.1) вычислялась
дважды (с использованием узлов X! . ., Х4(2} и Х/2) >
. . ., X4G), полученных по программе ПОИСК при △ = 0,01 и
△ = 0,07. Результаты расчетов практически совпадают.
234

ПРИМЕР ПЕЧАТИ ПРОГРАММЫ ПОИСК

число УЗЛОВ лямбда	4

ЧИСЛО КОМПОНЕНТ ИТЕРИРОВАННЫХ	ВЕКТОРОВ	NK*.	30

ЧИСЛО ПРОМЕЖУТОЧНЫХ УЗЛОВ ПО	ВРЕМЕНИ	ки:	10

НОМЕР ЯДРА NIA*	*

ЧИСЛО ПАРАМЕТРОВ ЯДРА NpR:	8

ЧИСЛО ЦИКЛОВ ПО ДЕЛЬТА MPR:	4

НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЕЛЬТА EPS*.
ПРИРАЩЕНИЕ ДЕЛЬТА В КАЖДОМ ЦИКЛЕ*.
НАЧАЛЬНЫЙ ШАГ STEP'.

ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ПО ВРЕМЕНИ Т2 *.

НАЧАЛЬНЫЕ УЗЛЫ

0.17000	0.32000	0.37000	0.43000

0.01000

0.03000

0.25000
3,50000

ПАРАМЕТРЫ ЯДРА.’

0.5000	0.8800	0.5395

2.5000	0.3500	0.6500	0.3000	5.8000

ЗАДАННАЯ ФУНКЦИЯ В УЗЛАХ | , , ..»ЫК>1

1.00000
I.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000

I.00000

I .00000
1.00000
1.00000

1 . 00000

1.00000
1.00000
1.00000

|.00000
|.00000

1.00000
I.00000
< .00000

I«00000

I.00000

I,00000

t.00000

I . 00000

I .00000

I .00000

1.00000
I.00000
1.00000
1.00000

I.00000

ДОН. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ УЗЛАМИ

0.01000

оптимальные узлы лямбда:

0.1699998	0.3199998	0.3699999	0.4300000
ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

0.34795Е-03

ТЕСТОВАЯ ФУНКЦИЯ

0.338992
0.478265
0.498186
0.5145(2

0.429079

0.48(059

0.500405

0.516325

0,452964
0.483726
0.502572
0.518088

0.460759
0.486296
0.504600
0.519802

МИН. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ УЗЛАМИ

ОПТИМАЛЬНЫЕ УЗЛЫ ЛЯМБДА:

0.0402002	0.2427576	0.3506312

0.4603022

ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

0.88683£’03

ТЕСТОВАЯ ФУНКЦИЯ

0.339964
0.479(51
0.499571
0.516043

0.427995
0.482093
0*504813
0.5(7870

0.45(091
0.48486Г
0.504001
0.519647

0.459210
0.487502
0.506(38
0.521375

235
0.465| |5
0.488791
0.006756
0.521467

0.468763

0.491221

0.508771

0.523084

0.472147
0.493595
0.010736

0.475307

0.495917

0.512649

Г.07000

0.464202
0.490048

0.008222
0.523053

0.468573

0.492519

0.510255

0.524683

0.472459

0.494927

0.512236

0.475964

0.407277

0.514165
ЧИСЛО КОМПОНЕНТ ВЕКТОРОВ NK.:
ЧИСЛО ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ИНТЕРВАЛОВ KU1
НОМЕР ЯДРА NIA,:
число ПАРАМЕТРОВ ядра npr:
порядок МАТРИЦЫ их*.

число расчетных параметров imd:
ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА по ВРЕМЕНИ Т2‘.

4

8
А

1

3.50000

ПАРАМЕТРЫ ЯДРА 0.5000	0-8600

0.3395

2.5000	0.3500

0.6500

0.3000	5.8000

ЗАДАННАЯ ФУНКЦИЯ В УЗЛАХ

1-00000

I.00000
1.00000
1.00000
1.00000

I.00000

1.00000
1.00000
f.00000
I.00000

I.00000

I.00000

I.00000
1.00000
I.00000

I.00000

>2....,НК*1		
1.00000	1.00000	1 .00000
1ММО	(.00000	1 .00000
1.00000	1.00000	1.00000
1.00000	1.00000	<.00000
1.00000	1.00000	1.00000

ЧИСЛО ВАРИАНТОВ ВЕКТОРА УЗЛОВ!

2
СОБСТВЕННЫЕ значения:

5.1700000	0.3200000	0,3700000	0,4300000

УПРУГОЕ РЕШЕНИЕ НА СПЕКТРЕ-	-0-6256390	-0.6387420

РЕШЕНИЕ С УЧЕТОМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ

-0.6426980

-0.6472070

-0.650665
-0,675281
-0.678347
-0.680812

-0.665016

-0.675705

-0.678686

-0.681882

-0.670095
-0.676I15
-0.679016
-0.681343

-0.672130

-0.676512

-0.679337

-0.681597

-0.673152

-0.676898

-0.679649

-0.681844

-0.673823

-0.677274

-0.679953

-0.682082

-0.674360

-0.677641

-0.680247

-0.674836

-0.677998

-0.680534

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ*. 0.0402000	0.2427580	0,3506310	0,4603020

УПРУГОЕ РЕШЕНИЕ НА СПЕКТРЕ:	70.6124900	-0.6322330	-0.6411810

РЕШЕНИЕ С УЧЕТОМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ

-0.6494020

-0.650693
-0.675478

-0.678596

-0.681080

-0.664936

*0.675916

-0.678938

-0.681352

-0.670005
-0.676335
-0.679271
-0.681616

-0.672098

-0.676740

-0.679595

-0.681871

-0.673193
-0.677132

-0.679909

-?.682119

-0.673925

-0.677513

-0.680215

-0.682359

-0.674506

-0.077884

-0.680312

-0.675013

-0.678245

-0.680800
5. ПРОГРАММА ПОИСК

СОИИОМ/<Ж6/Х(М)	tNX,STeP'***’w,“*4b,w’*e

CORHON/TWO/VEC(100,13).й(44),«L<14rL
CONNON/THRE E/PRn (10)
СОННОМ Z(10)»VEKt(101)

*>NK
dimension fmi12)
READ 1» NX.NXtKU.NIA.NPR«MPR»EPS »DELTA.STEP»T2
PRINT 40, NX,NX,KU,NIA,NPR,MPR.EPS.DELTA, STEP,12
READ 2, (X ( I) , I = 1.NX)
PRINT U, (X (!) ,1 = 1 .NX)
RABaX(NX)
X(NX)=-AL0C(1 .-X(NX))
Ni-NX-i
00 (0 l=i«N1
J-Nlfl-1
RaB)sRAB
RAB«X(J)

10 X( J) = -ALOG(RABl-RAB-EPS)
IF INIA-1)43,43,44

44 READ 41,	(PRM(I).IrI,NPR)

PRINT 42> (PRM(I)»1=1.NPR)
IF (N1A.LE.2) GO TO 43
NV"NK*i
READ 3, (VEKI(l) ,1 = 1 ,NY)
PRINT В
PRINT 9, (VEKi(I),1-1,NV)
43 MY=NX*i

CALL V£CTR(N1A.NK»NV.T2.KU)
MV«MYH

DEL=EPB

REP*<
DO 29 ND«1,MPR
IF(REP.EO.0.) CO TO 6
PRINT 7, DEL
EP=.00l
KCEL«100
MNOg<0
CALL NEN10(EP,KCEL»NN0G)
RL(NX)«1.-EXP(-X(NX))
DO 24 0«2,NX
JJ=NX-J*I

26 RL(JJ)=RL(JJM)-EXP(-X(JJ))-DEL
PRINT 61, (RL(J),J=1»NX)
CALL SUMR
PRINT 62
PRINT 55. SUM(IN)
DO 50 J’liNX

50 FM(J)»RL(J)/(I.*RL(J))
CALL DFMAT(NX.NK.RLiFN)
PRINT 65
PRINT 54. (VEC(I,MV)•I af,NKJ
6 DEL=OEL*OELTA

REP»0.

DO 99 J-2,NX
IF((RL(J>-RLU-ID-LT.DEL) REP,,
99 CONTINUE
25 CONTINUE

STOP
1 FORMAT(613,4F6.5)
238
4* FORM*T( IfX. 'ЧИСЛО УЗЛОВ ЛЯМБДА NXS'.BBX.IAZ

»<0X,'ЧИСЛО КОМПОНЕНТ ИТЕРИРОВАННЫХ БЕК ТОРОВ NKI'.IBZ

•	ЮХ,'ЧИСЛО ПРОМЕЖУТОЧНЫХ УЗЛОВ ПО ВРЕМЕНИ xv:'.2Х.1О/

•	Юх,«НОМЕР ЯДРА М1А:',27Х,14/

»ЮХ,'ЧИСЛО ПАРАМЕТРОВ ЯДРА NPR:’.I»*•1»/

»ЮХ,'ЧИСЛО ЦИКЛОВ ПО ДЕЛЬТА MPRt',1SX.16ZZZ

*	ЮХ«НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЕЛЬТА EPS: ’,1 1X.F15.SZ

*	i«x,'ПРИРАЦЕНИЕ ДЕЛЬТА В КАЖДОМ ЦИКЛЕ.-' .7X,F|5,SZ
»ЮХ,«НАЧАЛЬНЫЙ ШАГ STEP: ' ,JjX«Г 15•В/

»*0Х,'ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ПО ВРЕМЕНИ Т2:'.ЮХ,FIS.5Z)

2	FORMAT!ЮГ<.$)

(1 FORMAT(ZZ10X,'НАЧАЛЬНЫЕ yJAW’ZZ

•(5Х,10FЮ.51ZZ)

41 FORMAT(10FB.4J

42 FO»MAT(ZZ5X,'ПАРАМЕТРЫ ЯДРА;',BFЮ.4)

3	FORMAT(12Гд.5)

8	FORMAT(Z20X,'ЗАДАННАЯ ФУНКЦИЯ В УЗЛАХ t....,NX*I»Z)

9	FORMAT15X.6F12.5)

7 FORMAT(ZZ»' МИН. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ УЗЛАМИ«,17X,F15 *>
Cl FORMAT(/ZЮХ'ОПТИМАЛЬНЫЕ УдЛЫ ЛЯМБДА:»Z

♦(5X.5F12.7)ZZ

42 FORMAT(ZZ)

S3 F0RMAT(5X,'ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ»,5X,E12.5Z)

ВЭ FORMAT130Х,'ТЕСТОВАЯ ФУИКЦИЯ'/Zl	'

54 FORMAT<5Х.OF 12.3)

ENO

SUBROUTINE VECTR(NIA,N.M,T2.К)

СОНМОМ ZTWOZ VE.CC100.13)

*,FIC(29)

COMMON ZTHREEZ PRH(10)

COMMON AAI(5>>AAII(5)

*.VEK1(10O

DIMENSION ALF(401 ,5),BET(401,5).YR(401f ,ZR(40t)
IF12-NIA)1,2.2
Tl’PRHH)
ANKxNaK

DEU=(T2-Tl)ZANK
W’N

DELI=(T2-T11/AN

DO 3 IS2.M

VEC(I-f,1)sVEK 1 ( I)

Xi'Tl+41-1)«DELI
X0SX1-DEL1

X2SXI»DEL1

Y1»VEK1(IT

Y0«VEK1(I«1T

YE’VEKI(!♦(>
DO 3 J»1,K
X=X0+(J-l)«DEL
NY«<I-1)«k-k»j

3 YR(NY)«EITKtM(X.X0>X1.X2.Y0,T1.Y2T
VEC(N,I)«VEKt(N>|)

90 4 □ ?!»K1

X«XU (J-i)»DEL

NY’KMN-i)*J

4 YR(NY)=EITKlN(X>X0•XI«ХЗдY0YI।Y2I
2 continue

GO TO 4100,200।300(400),N1A

|00 AN«N

DEL=T2/AN

DO 103 1=1, N

103 VEC(1,l)=t.

VEC(f,2)=DEL

DO |04 1=2,N

«04 YEO(I,2)"VEC(1-I,2)*DEL

DO 105 J«3.M

AJ’FLOAT(J)-t;

DOI05 Iх!,N

105 VEG (I,J)=VEC(1,J-1)*VEC(1.2)/AJ
RETURN

200 ANbPRNd)

203

A№N
DEL«T2ZAN

DO 203 1 = 1,N

VtC(b|)«<.

$UH=0.

DO 204 1=1,N

SUM=SUH*DEl

R»ALOQ(SUN)*ANI

204 VEC(I,2)«exPTR)

DO 205 J=3.M

DO 205 1=1,N

205 VEC(I,J)=VEC(I>J-l)«VEC(I,2)
SUM=0.

DO 200 J«2,M
SUK=SUM«ANT
R=SUM>1.

RI«1./GAMMAfR)

DO 206 1=1,N

206 VEC(I,J)»VEC(I,J)«R1
RETURN

300 T1"PRM(1)

G=PRMC2)

C=FRH(3J
A«PRN<4)
Bl*PRM(5)

B2«PRM(6)
GArtt=PRM(7)
GAM2=PRM(8)
NK«N=Kt1

ANXsFLOAT(NK)-1.

DEL«(T2-T 1)/ANK
$UM=0.

D2«DEL*DEL

AAI(()=1.

AAI(2)»EXP(-GAM1«02)
AAI(3)=EXPi-GAM2«D2)
ос
N



Е Г O t e	U’W' П 'О

« < 40 О Э О Э *- Н-  W- СМ^^^и>ШШО««*О^Ш
< < «<ю а «л q со mjui ас и ас < «< < ffi к о q о < q v >

ic

m
&
m
s

RR2«B0»QQ

AL Fls(GAHt'RRI> • (GAH#-RRО/(RRI-RR2 >

ALF2»<0AMa-RR2)«(GAM1-R«R>/(Be2-RRt)
w CM
E X

tn

UltfattorMXXXX»*-* •	« • **

^HhbbUUlWUJUlNtt	**•	Ы — *•

II II II И НИНИ II II и э	•	и II

»ч> ^ч*Ч ^ч ^*»ч *“ч ^ч «"ч X	►*	»ч •"* СК

ш хи N
..•••• 4>-va	* ♦ • -г и z

а.|Ц,Ч*.«с	♦-'h-'H'h-'	«1'й	• 'О	n

J 1 J J U*MMUJIUI*JO <* О** U1 о IX UJ 2
X<<XX«flD<O0SC»UXOX > R >• fit ui


SUBROUTINE DFHAT(N,L«ТJiFM)
COHHON /TWO/ TEC(100,13’

DIMENSION TJ(12) , FM ( I 2)

DOUBLE PRECISION At ( I 44) ,R(14)»DTJ»SK(12)»ROiDTK»
*DSR

M2«H*2
DO I 1= 1 ,M2

1 R(I)=0.D0
R(2)-|.00
DO 2 J=I>K
K = Jd
K14 S * * * * * 11J*2
DO 2 1=1»K
K1=Kt’1

DTJ-D8LE(TJ(3))

2 R(KIH)sR(KH 0-R(K1)*DTJ
DO 3 I=1»M

3 R(I)=-R(I*2)
Nz0

DO 4 J=I.H
К 1 ZM
N=N*1

DTJsDBLE(TJ(J))
Al(N)*R(M)/DTJ
DO 4 1 = 2,M
KI«К1- 1
N=N*1

4 Al (N)»(A1 (N-i )♦* (KM )/DTJ
DO 5 J=l»M
RO*1.00
DO 6 K=l,M
IF (J-K) 7,6,7

7 DTKsDBLE(TJ(K))
DTJ=DBLE(TJ(J))
RO=RO*(DTJ-DTK)

6 continue
SK(J)=R0

5 CONTINUE

DSR=0.D0

DO 10 1=1,M

10 DSR-DSR + SK(I)*SK (1)

AM’H

DSR'DSR/DBLE(AM)
DSR-DSQRT(DSR)
DO И J=t»M
RO*DBLE(FM(3))

11 SK(J)=RO/(SK(J)/DSR)
DO В 1*1,M

NxJ-H
*U>>0,9f

00 8 J«f.H

NsN+M

8 R(D=R(D*A1

Н1«И»2
00 13 1*1,1.
DTJ«0.00
00 9 J=l ,M
OTKsOBLE(VEC(I.J))
9 0TJ»DTJ»0TK*R(J1

DTJsDTJ/DSR

13 VEC ( I,Ml J«SNCL(DTJ)
RETURN

END

SVBROUTlNE REKUR(N.ALFA,BETA,Y,H,M,Z)
0ОПН0М ДА I (5)  АД ] 1151

D1M8NSI0H ALFA(40I.5).BETA(40f,f|,Y(40О,1(401b
•PSIlSI .₽SR(9)

DO 10 l-’I.H
|0 PSI(I)=0.

A«H/3.

А1»И/24.

DO 20 1«3,N,2
ll»I-1
12s1-2
Sl’0.

S2«0.

Y1«V1ll)

Y2*T(UI

Y3«Y(t)

DO 30 J’l.M

Xl»R*(8tTA(12.J)*Y2»BtTA(l1,J)*Y1»4.*82 TA(I,J)*ГЭ)
p$R (JI« (PSI (J) ♦ALFA ( 12. Л*ХП»АЛ1< J)

30 S1«Sl*PSR(J)
г <i)=st

DO 20 J«i,H
IF (1-31 4^,40,00
XI«Rl*Z9-*6ETA(12,J)*Y2*f9.«BETA(II»шТ

**5♦*8ET A ( I. J)*Y3♦BETA(13•J)•Y4)
GO * TO 100

$0 IF (N-I) 60,60.70

60 I3®T-3

Y4«Y(I3)

X1eR1*(9.*8ETA(I,J)*Y3*f9•*8ETA(If,J)*1’
a-5.*6ETA(12,J)*Y2*BETA(I3«J)«Y4)

GO TO 100
70 13*1-3

Y'4*Y(J3 I

XI «R 1*413. * (BETA (i x , J)«Y8 *BETA ( И, J) *Y f)-BETA HJ |
»*Y4-BETA(I,J)*Y3)

100 Z(I1)*Z(1 !)*(PSI (J) * ALF A ( 12 f J) *X I )*AA J J (J)

PSI(J)»PSR(J)
20 CONTINUE

Z(i)u.

RETURN
END

SUBROUTINE NEHIO(EPS.KCEL,KMOG)

CONNON/ONE/ X<50).XI(30,50),NX.STfiP.M,SUN(«^t

MPAM.0	54blN,KC

BETA*.I

GAHA=2.0

XNXsNx

Kl=NX*1
K2«NX42
K3=HX*3
K4«NX*4
KCs0
CAUL START
IF (NNOG.NE*0) GO TO 28
25 DO 3 lal.Kt

DO 4 J«1,NX
4 X(J)«Xf(I»J)

IN«1
CAUL SUHR
3 continue

KC-NXH
28 CONTINUE
5UNL«SUN(I)
KOUNTsf
DO 8 I«2«Kf
IF (SUHL.LE.SUN(I)) GO TO 8
3UHL»«UN(1)
KOUNTsI
8 CONTINUE
IF (KC.GE.KCEL)GO TO 221
DIFERsff.

DO24 I-1.K1

24 DlFER«DIFER*(SUH(t)-SUK(KOUNT))*42
DI FERM./XNX«5QRT (DIFER)
IF(DIFER.LE.EPS) 60 TO 221
SUWH«SUM(I)
INDEX*1
DO 7 I«2,K1
TF(SUM(1).LE.SUMM) GO TO 7
SUHHssUH(I)
INDEX»!

7 CONTINUE
DO 9 J=1»NX
SUM2*0>
DO ID I=t.K1

10 SUH2«SUN2*XI(T.Л

X<(K2.J)»1./X*X*(SUN2-XI(INDEX,JIT

XI (M . J) = (1. *ALF A)*X i (K2>J)-ALFA*Xt(INDEX•J)
9 X<J)=X1 (Ю.Л

IN*KJ

KC»KC*|
CAUL
IF (SUH(KJ).LT.SUHL) GO TO f<
IF(INDEX.EQ.t)C0 TO 38
SUNS«SUN(t)
GO TO 39

38 9UM3=SUN(2)

39 DO f2 1=1»KI

IF ((INDEX-I):EQ.0) GO TO |2

IF (SUK(I) .LE-.SUNS) 60 TO 12

SUMS=5UH(I)

12 CONTINUE

IF (SUM(КЗ).GT.SUHS) GO TO f3

GO TO 14

I I DO 15 Jxf.NX

XI (K4, J)«(f --GANA)*Xi (К2/JHGAMA4X1 (KJ.J>

19 X(J)»X1(K4,J)

1N«K4

KC’KCfl
CALL SUHR

IF (SUM(K4).LT.SUH(КЗ)) GO TO 16

GO TO 14

13 IF (SUH(KJ).GT.SUNH) GO TO |7

DO |8 J=t.NX

18 XI (INDEX ,J)«XUK3. J)

17 DO 19 J=l,NX

XI (K4,J)=BETA*X1(INDEX,JI*(V‘8ETA)*XI(K2iJ)

19 X(JMX<(K4.J)

IN4K4
KC=KC*1
CALL SUHR	T0 16

IF ISUHH.GT.SUMM))

DO 20 J=|,NX

DO 20 1=1,KI	(KOUNT*J)'

20 XI U,J)=0.5*(X1(l»J)

DO 29 1=1,Kl

DO 30 J«| ,NX

30 X(J) = X1 (I•J)

l№I

KC»KC*1

CAUL SUHR
29 CONTINUE
GO TO 28

18 DO 21 J=t,NX

21 X<(INDEX,J)«X1(K4.J)
SUrt(INDEX)»6UM(K4)
60 TO 28

14 DO 22 J=I',NX

22 XI(INDEX,J)=X1(КЗ ,J)
SUM(INDEX)=SUM (КЗJ
GO TO 28

221 DO 222 J=1 ,Hx

222 X(J)=X1(KOVNT,J)
RETURN

2ND

SUBROUTINE START	W1	|м КГ

CONNON/ONE/ X(30),X1(30»5O),NX,STEP'K1«SUN(54)•I • C

DIMENSION A(50»50)

STEP(«STEP/ (VN«SRRT (2.) I ♦ (SORT (VN* 1. HVN-I •)

STEP2>STEP/(VN*SQRT(2•))♦(SORT(VN*1.)-f.)
DO I Jsl.NX

00 2JM ,NX
A(I»J)«STEP2

2 CONTINUE

DO 3 J«1,NX

3 XI (I. J)«X(JhA(IJ)
RETURN

END
SUBROUTINE SUHR	• ..

COHMOH/ONE/X(5f)>XI(50,50)<NX<STEP,КС <SUH(54)•IN<

СОННОМ/ТИО/ DIN(|00,I3>,R(t4T<RL(14)<DEITA

COMMON ZCIIIHNK

Nt=NX»|
DO'1 I«1,№
1 R())«0.

RL (NX) « I.-EXP(-X (MX) )

DO 5 1*2,NX

11=NX»1-I

5 RL(11)«RL(11♦<)-EXP(-X(11))-DELTA

DO 2 J«1,NX

K»J»(

KI>J»1

DO 2 lal.K

Kt«K|-1

2 R(KU||>R(K!*1)-R(KI)«Rl(J)
SI*O.

DO 3 Is(<NK

J1«N2*1

N1=N2-f
S«0.
DO 4 0»l<N1
J!«J1-1

4 S=S+R(JI)*0IN(1<J)

$1=St»S*S

5 CONTINUE
SVR<lN)«*t
RETURN

END

6. ПРОГРАММА РОМБ-1

C0NH0N Z(te>,VEKI(101)
COMMON^ TWO/VEC(100 >13)
COHHON/THREE/PRH(10)

DIMENSION FH112)<RL(14)>FHJ(12<100)<
READ I, NK<KUiN1A.NPR,NX<IND<T2
PRINT 40< NK<KU,NIA<NPR<NX,IND.TO
IF(NIA-1)4J,4J,44

44 READ 41< (PRHC!),Is!,NPR)

PRINT 42,	(PRN(I),|s(,NPR)

1F(NIA«IE.2> GO TO 43
NV^NK»!

READ 3»	(VEKf(I)»I«t<NVJ

PRINT D

PRINT 9, (VEKt(I},1»|,NV)

43 HV3NX+1

CALL VECTR(N!A.NK.MV,T2.KU)
HV»HV»t
READ 1> NNU

PRINT |0, NHU
DO |1 Ket<NN(J
READ 2» tRL (I) »1 = ЬНХ)
PRINT 62

PRINT 61,	(RL(3),J=>>WXF

BO t2 J=t<INO

12 READ 2» tFHJUtJ* «Iя I «NX,
ПО ft KI«t»l*O

ПО 13 J*l,nx

13 FMIJ13FHJ(J'K1>
PRINT 4, (FM(T).1=1<”X)
CALL DFHAT(NX,NK,RL,FH)
PRINT $3

PRINT 5A> (VEC(I,MV)i1=I,НКГ
If CONTINUE

STOP

I FORMAT(613,F655)

40 FORMAT!10X,'ЧИСЛО КОМПОНЕНТ ВЕКТОРОВ NR:',|4X•i9'
«КХ,'ЧИСЛО ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ИНТЕРВАЛОВ kv:'i«x,l«/

♦I0Х,'НОМЕР ЯДРА N1А:'27Х,14/

• ИХ, 'ЧИСЛО ПАРАМЕТРОВ ЯДРА NPR:',f4Х,16/

♦I0X,'ПОРЯДОК МАТРИЦЫ NX:',23Х>14/

♦10Х,'ЧИСЛО РАСЧЕТНЫХ ПАРАМЕТРОВ 1NBi',11X>16/

Ptox,'ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА по ВРЕМЕНИ Т2: ', I3X',F15.®/>
41 FORMAT 110FB.4)

42 FORMAT!9Х,'ПАРАМЕТРЫ ЯДРА ',8Ff1.4/)

3 FORHAT(HFo.5l

В FORMAT!/Я0Х,'ЗАДАННАЯ ФУНКЦИЯ В УЗЛАХ 1,2, • • • »ЙК+* '
ф FORMAT(5x,6Ft2.5)

10 FORMAT!/10Х,'ЧИСЛО ВАРИАНТОВ ВЕКТОРА УЗЛОВ:'•!$>

2 FORMATI10F3.7)

42 FORMAT!/)

61 FORMAT 110Х,'СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ:',5F12.7/)

4 FORMAT (/ЮХ,'УПРУГОЕ РЕШЕНИЕ НА СПЕКТРЕ : г ,5х ,5f 1® «7>
$3 FORMAT (Э0Х,'РЕШЕНИЕ с УЧЕТОМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ 'Л

54 F0RHAT(.5X,8Ft2.t)
END
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Александровский С.В. Расчет бетонных и железобетонных
конструкций на температурные и влажностные воздействия
(с учетом ползучести). — М.: Стройиздат, 1966. — 432 с.

2.	Анто А. Математика для электро- и радиоинженеров. —
М.: Наука, 1965.-780 с.

3.	Арутюнян Н.Х. Напряжения и деформации в бетонных
массивах с учетом ползучести бетона. — Докл. АН АрмССР,
1947, т. 7, №5.-С. 203-209.

4.	Арутюнян Н.Х. Теория упругого напряженного состояния
бетона с учетом ползучести // ПММ, 1949, т. 13, вып. 6. — С. 609—
622.

5.	Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. —
Мт-Л.: Гостехтеориздат, 1952. — 323 с.

6.	Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползу-
честь бетона // Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. — М.: Наука,
1972.-С, 155-202.

7.	Арутюнян Н.Х. О теории ползучести для неоднородно наслед-
ственно стареющих сред. — Докл. АН СССР, 1976, т. 229, № 3. —
С. 569-571.

8.	Арутюнян Н.Х. Некоторые задачи теории ползучести для
неоднородно стареющих тел // Изв. АН СССР. — МТТ. — 1976. —
№3. —С. 153-164.

9.	Арутюнян Н.Х. Краевая задача теории ползучести для нара-
щиваемого тела // ПММ, 1977, т. 41, вып. 5. — С. 783—789.

10.	Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Задачи оптимизации в теории
ползучести для наращиваемых тел, подверженных старению //
Изв. вузов АН СССР. - МТТ. - 1979. - № 1. С. 100-107.

11.	Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Оптимальная форма наращивае-
мой колонны // Изв. вузов АН СССР // МТТ. - 1981. — № 5. -
С. 128-132.

12.	Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Об одном классе ядер ползу-
чести стареющих материалов // Прикл. мех., 1982, т. 18, № 4. —
С. 14-21.

13.	Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Ползучесть неоднородно ста-
реющих тел в условиях воздействия внешних полей // Изв.
ВНИИГ, 1985, т. 181. - С. 3-7.

14.	Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести
неоднородных тел. — М.: Наука, 1983. — 336 с.

15.	Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоуп-
ругих тел. — М.: 1984. — 148 с. (Препринт института проблем
механики АН СССР, № 228).

16.	Баничук Н.В., Картелишвили В.М., Миронов А.А. Численное
решение двумерных задач оптимизации упругих пластин Ц Изв.
вузов АН СССР. - МТТ. - 1977. - № 1. - С. 68-78.

17.	Бовин В.А., Яценко Е.А. Расчет железобетонных стати-
чески неопределимых стержневых систем с учетом ползучести //
Ползучесть и усадка бетона. Киев, 1969, с. 27—37.
18.	Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. Теория
и приложения. — М.: Наука, 1973. — 287 с.

19.	Вакуленко А.А. Суперпозиция в реологии сплошной сре-
ды // Изв. вузов АН СССР // МТТ. - 1970, № 1. - С. 69-74.

20.	Варданян Г.С., Шеремет В.Д. О некоторых теоремах в
плоской задаче линейной теории ползучести // Изв. вузов АН
Арм ССР Сер. Механика. - 1973. - Т. 26. - № 4. - С. 60-76.

21.	Васильев П.И. Некоторые вопросы пластических деформа-
ций бетона // Изв. ВНИИГ. — 1953, т. 49. - С. 83—113.

22.	Васильев П.И. Влияние старения бетона на вид кривых пол-
зучести // Изв. ВНИИГ. - 1957. - Т. 57. - С. 129-134.

23.	Васильев П.И., Пересыпкин Е.К. Метод расчета раскрытия
швов и трещин в массивных бетонных конструкциях. — Тр.
координационных совещаний по гидротехнике, вып. 58. — Л.:
Энергия, 1970. — С. 47—53.

24.	Васильев П.И., Виллер Ю.Г., Зевин А.А. Влияние ползучести
на перемещения внецентренно сжатой стены из прямоугольных
бетонных блоков. — Изв. вузов АН АрмССР. — Механика. —
1975. - Т. 28. - № 4. - С. 46-53.

25.	Васильев П.И., Гаврилин Б.А. Влияние температуры на
ползучесть бетона. — Тр. координационных совещаний по гидро-
технике, вып. 103. — Л.: Энергия, 1975. — С. 97—99.

26.	Васильев П.И., Гаврилин Б.А., Малькевич А.Б. Вопросы
развития теории деформирования стареющих сред // Исследова-
ния по теоретическим основам расчета строительных конструк-
ций. - Л.: ЛИСИ, 1983. - С. 122-126.

27.	Гвоздев А.А., Галустов К.З., Яшин А.В. Об уточнении тео-
рии линейной ползучести бетона // Изв. вузов АН СССР. — МТТ,
1967.-№6.-С. 13-19.

28.	Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Теория ползучести
строительных материалов и ее приложения. — М.: Госстройиздат,
1960.-256 с.

29.	Гончаре» В.Л. Теория интерполирования и приближения
функций. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 328 с.

30.	Громов В.Г. Алгебра резольвентных операторов Воль-
терра и ее применение в задачах вязкоупругости. — Докл.
АН СССР, 1968, т. 182, № 1. - С. 56-59.

31.	Деч Г. Руководство к практическому применению преоб-
разования Лапласа и z-преобразования. — М.: Наука, 1971. —
288 с.

32.	Ефимов А.Б., Малый В.И. О принципе Вольтерра и методе
аналитического продолжения в линейной вязкоупругости. —
Докл. АН СССР, 1973, т. 218, № 5. - С. 1039-1043.

ЗЗ.	Жемочкин Б.Н. Расчет упругой заделки стержня. — М.:
Стройиздат, 1948. — 68 с.

34.	Зарецкий Ю.К. Об обобщении теорем Н.Х. Арутюняна
для сред, подчиняющихся нелинейной ползучести // Реологиче-
ские вопросы механики горных пород. — Алма-Ата, АН КазССР,
1964.-С. 120-132.	ы
35.	Зевин А.А. Напряжения и деформации неоднородной на-
следственной среды. — Прикл. мех., 1973, т. 9, вып. 3. — С. 38—
42.

36.	Зевин А.А. К расчету статически неопределимых железо-
бетонных конструкций с учетом ползучести бетона. — Прикл.
мех., 1974, т. 10, вып. 7. — С. 93—98.

37.	Зевин А.А. Расчет железобетонной сваи на горизонтальную
нагрузку с учетом ползучести материала сваи и основания //
Проблемы ползучести и усадки бетона, 1974, № 77. — С. 61-^67.

38.	Зевин А.А. Применение метода конечных сумм к расчету
упругих и стареющих наследственных сред. — Прикл. мех., 1976,
т. 12, №9.-С. 82-88.

39.	Зевин А.А. Распространение принципа Вольтерра на случай
неоднородно стареющей наследственной среды // Изв. вузов
АН СССР. МТТ. - 1978. - № 4. - С. 113-119.

40.	Зевин А.А., Падва И.Г. Обращение преобразования Лап-
ласа в задачах наследственной теории упругости // Изв. вузов
АН АрмССР. - Сер. Механика. - 1979. - Т. 32, № 1. - С. 50-61.

41.	Зевин А.А. Приближение функций вольтерровых опера-
торов в задачах теории ползучести стареющих материалов //
Изв. вузов АН АрмССР. Сер. Механика, 1979, Т. 32, N0 6. — С.
41-55.

42.	Зевин А.А. Операторный метод расчета статически неоп-
ределимых стержневых систем из армированных элементов с
учетом ползучести и старения материала. Механика стержневых
систем и сплошных сред. — Л., 1979. — Вып. 12. — С. 35—42.

43.	Зевин А.А. Об оптимальной форме стареющего наследст-
венного тела // Изв. вузов АН СССР. — МТТ. — 1979. — N0 3.
С. 127-134.

44.	Зевин А.А. Метод преобразующей матрицы в теории пол-
зучести стареющих материалов Ц Механика стержневых систем
и сплошных сред. — Л., 1981. — Вып. 14. — С. 23—28.

45.	Зевин А.А., Трапезников Л.П. К вопросу решения задачи
теории ползучести для стареющих тел с растущими разрезами и
полостями // Изв. ВНИИГ, 1983. - Т. 164. - С. 44-50.

46.	Зевин А.А. (Друхфазная реологическая модель // Изв.
вузов АН АрмССР. Сер. Механика> 1981, № 2.

47.	Зевин А.А. (приложение двухфазной реологической моде-
ли к построению уравнений линейной термоползучести // Изв.
вузов АН АрмССР. Сёр. Механика, 1981, № 3, С. 10—12.

48.	Ильюшин А.А. Метод аппроксимаций для расчета конст-
рукций по линейной теории термовязкоупругости // Механика
полимеров.— 1968. — № 2. — С. 201—221.

49.	Илыошин А.А., Победря Б.Е. Основы математической тео-
рии термовязкоупругости. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

50.	Интинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Механика
вязкопластических и не вполне упругих тел. — М.: Наука, 1986. —
360 с.
51.	Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и
ползучести, учитывающая наследственные свойства и влияние
скорости пластического деформирования на локальный предел
текучести материала. — Докл. АН СССР, 1978. — Т. 238.— № 1. —
С. 36-38.

52.	Карапетян К.С. Влияние старения бетона на зависимость
между напряжениями и деформациями ползучести // Изв. вузов
АН АрмССР. Сер. физ.-мат. наук. — 1959. — Т. 12. — № 4. С. 57—88.

53.	Кост Т. Приближенное обращение преобразования Лапла-
са при анализе вязкоупругих напряжений // Ракетная техника и
космонавтика. — 1964. — № 12. — С. 175—187.

54.	Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М.:
Мир, 1974.-338 с.

55.	Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. - Вычисли-
тельные методы. Т. 2.—М.: Наука, 1977. — 400 с.

56.	Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по числен-
ному интегрированию. — М.: Наука, 1966. — 370 с.

57.	Ланцош К. Практические методы прикладного анализа.
М.: Физматгиз, 1961. — 524 с.

58.	Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. - М.:
МГУ, 1976.-368 с.

59.	Лурье А.И. Применение принципа максимума к простей-
шим задачам механики // Труды Ленингр. политехи, ин-та. —
1965.-№252.-С. 74-47.

60.	Маслов Г.Н. Термическое напряженное состояние бетон-
ных массивов при учете ползучести бетона // Изв. ВНИИГ. —
1941. Т. 28.-С. 175-188.

61.	Мешков С.И. Интегральное представление дробно-экспо-
ненциальных функций и их приложения к динамическим зада-
чам линейной вязкоупругости // ПМТФ. — 1970. — № 1. — С. 103—
112.

62.	Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов
(применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топ-
ливе). — М.: Наука, 1972. — 328 с.

63.	Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1 — Л. М.: ГИТТЛ,
1934.-330 с.

64.	Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика
полимеров. — М.: МГУ, 1975. — 528 с.

65.	Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейной меха-
нике деформируемых тел // Успехи механики. — 1980. — Т. 3.
Вып.З.-С. 75-115.

66.	Пащенко В.И., Трапезников Л.П. Функции влияния для
перемещений границы прямоугольной области // Изв. ВНИИГ. —
1970.-Т. 93. С. 40-55.

67.	Педаховский И.И. Общее решение трехмерной задачи
линейной теории ползучести // Исслед. по теории сооружений.
Вып. 18. — М.: Стройиздат, 1970. — С. 183—189.

68.	Пеллегрино Ф. Теория аналитических функционалов и
ее приложения. // Конкретные проблемы функционального ана-
лиза. — М.: Наука, 1967. — С. 377—507.	253
69.	Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. —
М.: МГУ, 1984.-336 с.

70.	Прокопович И.Е. О решении плоской контактной задачи
с учетом ползучести // ПММ, 1956, т. 20, вып. 6. - С. 680-687.

71.	Прокопович И.Е. Влияние длительных процессов на на-
пряженное и деформированное состояние сооружений. - М.:
Госстройиздат, 1963. - 260 с.

72.	Проценко А.М. Обобщенные решения задач линейной пол-
зучести для бетонных и железобетонных конструкций // Приме-
нение электронных вычислительных машин в строительной ме-
ханике. — Киев: Наукова думка, 1968. — С. 241—244.

73.	Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твер-
дых тел. — М.: Наука, 1977. — 384 с.

74.	Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Звонов Е.Н. Таблицы дроб-
но-экспоненциальной функции отрицательных параметров и ин-
теграла от нее. — М.: Наука, 1969. — 132 с.

75.	Ржаницын А.Р. Температурно-влажностная задача ползу-
чести // Исследования по вопросам теории пластичности и проч-
ности строительных конструкций. — М.: Стройиздат, 1958. -
С. 36-49.

76.	Ржаницын А.Р. Теория ползучести. — М.: Стройиздат,
1968.-416 с.

77.	Розовский М.И. Об одном классе функций и их приложе-
ниях // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. — 1962. — Т. 2. — № 1. —
С. 179-185.

78.	Розовский М.И. Механика упругонаследственных сред //
Итоги науки. Упругость и пластичность. 1965. — М.: ВИНИТИ,
1967.-С. 165-250.

79.	Савин Г.Н., Уразгильдяев К.У. Влияние ползучести и ста-
рения материала на напряженное состояние возле отверстия в
пластине. — Прикл. мех., 1970. — Т. 6, вып. 1. — С. 51—56.

80.	Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1976,
Т. 1.- 535 с.; Т.2.-573 с.

81.	Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и обо-
лочки. — М.: Физматгиз, 1963. — 635 с.

82.	Трапезников Л.П. Температурная трещиностойкость мас-
сивных бетонных сооружений. — М.: Энергоатомиздат, 1986. —
272,с.

83.	Трапезников Л.П., Шойхет Б.А. О решении задачи теории
ползучести для стареющих тел с растущими разрезами и полостя-
ми. - ПММ, 1978. Т. 42,вып. 6, с. 1099-1106.

84.	Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируе-
мого тела. Т. 3. — М.: Наука, 1981. — 480 с.

85.	Филиппов А.И. К теории расчета статически неопределимых
стержневых железобетонных конструкций с учетом линейной
ползучести бетона. — Л.: ЛИСИ, 1968. — С. 81—89.
86.	Филиппов А.И. К расчету упругоползучих твердеющих
железобетонных конструкций // Изв. ВНИИГ. — 1973. — Т. 101. —
С. 150-161.

87.	Харлеб В.Д. К общей линейной теории ползучести // Изв.
ВНИИГ. - 1961. - Т. 68. - С. 217-240.

88.	Харлеб ВД. Линейная теория ползучести наращиваемого
тела. - Л.: ЛИСИ, 1966. - Вып. 1. - С. 93-119.

89.	Харлеб В.Д. Меры ползучести железобетона. — Л.: ЛИСИ,
1966. - Вып. 49. - С. 84-92.

90.	Харлеб В.Д. Распространение принципа Вольтерра на слу-
чай некоммутирующих операторов. Л.: ЛИСИ, 1968. — Вып.
57.-С. 89-100.

91.	Харлеб В.Д. К линейной теории ползучести наращиваемого
тела // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л., 1980. —
Вып. 13.-С. 149-157.

92.	Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирова-
ние. — М.: Мир, 1975. — 534 с.

93.	Цыбин А.М. К вопросу выбора наследственных функций
ползучести бетона // Сб. докл. по гидротехнике ВНИИГ. — Л.:
Энергия, 1969, вып. 10. — С. 119—128.

94.	Чирас А.А., Дульман В.М. Математические модели задач
оптимизации в условиях установившейся ползучести. — Литов-
ский механ. сб., 1973, № 1. С. 13—24.

95.	Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариацион-
ное исчисление. — М.: Наука, 1965. — 424 с.

96.	Яковлев Ю.С. Общий метод обращения интегральных пре-
образований Фурье, Лапласа, Ханкеля и Стилтьеса функций
класса 1^. // Изв. вузов АН СССР. - МТТ. - 1977. - № 5. -
С. 162-165.

97.	Янке Е., Эдме Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.:
Наука, 1964. — 344 с.

98.	Alfrey Т. Non—homogeneous stkesses in viscoelastic media.—
Quart. Appl. Math., 1944, vol. 2, N 2. - P. 113-119.

99.	Bazant Z.P. Numerical solution of nonlinear creep problems
with application to plates. — Int. J. Solids and Struct., 1971, 7,
N 1. P. 83-97.

100.	Shapery R.A. Approximate methods of transform inversion
for viscoelastic stress analysis—Proc. 4—th U.S. Nat. Congr. of
Appl. Meeh., 1962, V. 2. - New York: ASME, 1962. P. 1075 -
1085.

101.	Tsien H.S. A generalization of Alfre/s Theorem for visco-
elastic media. — Quart. Appl. Math., 1950, Vol. 8, N 1. P. 104—107.

102.	Volterra V. Lecons sur les functions de lignes. Paris:
Gauthier—Villard, 1913—230 p.

103.	Ziczkowski M. Optimal structural design in rheology.—
Trans. ASME, 1971, E 38, N 1. P. 39-46.
Предисловие................................................. 3

Введение.................................................... 6

Глава 1. Основные уравнения линейной теории ползучести....	8

1.	Уравнения состояния................................... 8

2.	О ядрах ползучести стареющих материалов.............. 16

3.	Учет влияния температуры на ползучесть стареющих тел ...	25

4.	Квазилинейная теория ползучести...................... 32

Глава 2. Принципы соответствия в линейной теории ползучести . .	35

1.	Однородное тело...................................... 35

2.	Распространение принципа Вольтерра на случай неодно-
родной среды............................................ 45

3.	Представление операторов ползучести в виде функций
одного оператора........................................ 50

4.	Неоднородно стареющая среда.......................... 52

5.	Приближенный учет изменения во времени модулей упру-
гомгновенной деформации................................. 56

Глава 3. Операторный метод расчета стержневых систем из ар-
мированных элементов .................................... 61

1.	Напряженно-деформированное состояние армированного
элемента................................................ 61

2.	Интегральные уравнения метода сил.................... 64

3.	Операторный метод решения системы интегральных урав-
нений метода сил.......................................  66

4.	Распространение принципа Вольтерра и теоремы взаимности.	68

5.	Системы элементов различного возраста................ 72

Глава 4. Методы приближения функций вольтерровых операторов 75
1. Об одном возможном представлении решения уравнения
типа Вольтерра........................................... 75

2.	Разложение по итерированным функциям................. 79

3.	Интерполяция в комплексных узлах, минимизирующих
е0 0)................................................... 81

4.	Интерполяция в действительных узлах, минимизирующих
е0 (t).................................................. 85

5.	Числовые примеры..................................... 89

6.	Интерполяция в узлах Чебышева........................ 92

7.	Разложение по резольвентным операторам............... 94

8.	Приближенная замена интегрального оператора матричным 97

Глава 5. Некоторые методы решения задач теории наследствен-
ной упругости......................................... 101

1.	Некоторые свойства функций специальных Э*- и Коопе-
раторов ............................................... 102

2.	Интегральное представление функций Э и К -операторов . . 105
CL CL
3. Метод численного интегрирования..................... 109

4.	Исследование экстремумов решения.................... 113

5.	Вычисление функций Эа(—р, t), К^(р, — р, t) и интегралов
от них................................................. 116

6.	Численное обращение преобразования Лапласа.......... 118

Глава 6. Метод конечных сумм........................... 128

1.	Приведение к последовательности задач теории упругости . . 129
2. Вырожденные ядра.................................... 132

Глава 7. Некоторые задачи теории ползучести неоднородных тел. . 135
1. Армированный стержень из стареющего вязкоупругого
материала, защемленный в наследственно-упругом полупро-
странстве ................................................ 135
2.	Расчет статически неопределимой опоры линии электро-
передачи............................................. 142

3.	Бетонный блок на скальном основании............... 145

4.	Внецентренное сжатие стены из прямоугольных бетонных
блоков............................................... 148

5.	Полый неоднородный цилиндр, подверженный внутреннему
давлению............................................. 159

Глава 8. Постановка начально-краевой задачи для растущего
в язкоупрутого тела..................................... 161

1.	Сращивание двух вязкоупругих тел................ .	162

2.	Постановка задачи дискретного наращивания......... 166

3.	Постановка задачи о непрерывном наращивании........168

Глава 9. Методы расчета растущих вязкоупругих тел . . . .174

1.	Решение граничной задачи в случае непрерывного наращива-
ния ..................................................175

2.	Шаговый метод......................................184

Глава 10. Некоторые задачи расчета растущих тел..........187

1.	Расчет наращиваемой колонны........................188

2.	Усиление цилиндра многослойной обмоткой............191

3.	Термонапряженное состояние наращиваемого бетонного
массива на скальном основании [82]....................193

Глава 11. Оптимальное проектирование сплошных тел и армиро-
ванных стержневых систем.................................199

1.	Об оптимальной форме сплошного тела из стареющего вяз-
коупругого материала..................................199

2.	Оптимальные параметры армированных стержневых систем* 207

3.	Некоторые задачи оптимизации наращиваемых тел......210

Приложение 1. Уравнения и операторы типа Вольтерра.......219

Приложение 2. Программы ПОИСК и РОМБ-1, аппроксимации
функций оператора Вольтерра..............................222

1.	Область применения программ........................222

2.	Метод решения (гл. 4)..............................226

3.	Описание программ ПОИСКи РОМБ-1....................227

4.	Контрольные примеры................................231

5.	Программа ПОИСК....................................238

6.	Программа РОМБ-1...................................248

Список литературы........................................250