И.М.Гелъфанд, P.A.Muwioc, З.ЯШапиро
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И ГРУППЫ ЛОРЕНЦА, ИХ
ПРИМЕНЕНИЯ
Книга посвящена описанию и детальному изучению представлений группы
вращений трехмерного пространства и группы Лоренца.
Эти группы играют фундаментальную роль в теоретической физике.
Рассчитывая на читателей-физиков, авторы собрали в своей книге весь основной
материал теории представлений, который применяется в квантовой механике.
Книга рассчитана также на читателей-математиков, изучающих представления
групп Ли. Для них она может служить введением в общую теорию представлений.
Содержание
Предисловие	7
ЧАСТЫ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Глава 1. Группа вращений и ее представления	9
§ 1.	Группа вращений трехмерного пространства	9
1.	Определение группы вращений (9). 2. Введение параметров в
группу вращений (10). 3. Инвариантное интегрирование (12). 4. Связь
группы вращений с группой унитарных матриц второго порядка (14).
5.	Определение представлений группы вращений (19).
§ 2.	Бесконечно малые повороты и отыскание неприводимых	22
представлений группы вращений
1.	Определение матриц Ак, отвечающих бесконечно малым поворотам
(22). 2. Соотношения между матрицами Ак (24). 3. Вид неприводимого
представления (28). 4. Разложение представления на неприводимые
(33). 5. Примеры представлений (37).
Добавление к §2. Доказательство дифференцируемости матрицы Tg	41
§ 3.	Сферические функции и представления группы вращений	42
1.	Определение сферических функций (42). 2. Дифференциальные
операторы, отвечающие бесконечно малым поворотам (44). 3.
Дифференциальное уравнение сферических функций (47). 4. Явное
выражение сферических функций (49). 5. Разложение функций на
сфере по сферическим функциям (53).
§ 4.	Произведение представлений	54
1.	Определение произведения представлений (54). 2. Преобразования,
отвечающие в произведении представлений бесконечно малым
поворотам (58). 3. Произведение двух неприводимых представлений
(58). 4. Разложение произведения неприводимых представлений, когда
одно из них имеет вес 1 или 1/2 (61).
§ 5.	Тензоры и тензорные представления	65
1.	Основные алгебраические операции над тензорами и инвариантные
подпространства (66). 2. Определение весов неприводимых
представлений, на которые разлагается тензорное представление (72).
3.	Разложение тензорного представления на представления, кратные
неприводимым. Тензоры третьего ранга (74).
§ 6.	Спиноры и спинорные представления
1.	Определение спинора и спинорного представления (80). 2.
Симметрические спиноры. Существование неприводимых
представлении для любого (целого и полуцелого) веса / (81). 3.
Основные операции над спинорами (83). 4. На какие неприводимые
представления разлагается спинорное представление (85).
Глава 2. Дальнейшие исследования представлений группы вращении
§ 7.	Матричные элементы неприводимого представления (обобщенные
сферические функции)
1.	Операторы Ug (87) 2. Дифференциальные операторы, отвечающие
бесконечно малым поворотам (88). 3. Зависимость матричных
элементов от углов Эйлера <pj и <р2 (91). 4. Обобщенные сферические
функции (92). 5. Формула сложения для матричных элементов (98). 6.
Разложение функций на группе вращений по обобщенным
сферическим функциям (101).
Добавление к §7. Рекуррентные соотношения между обобщенными
сферическими функциями
§ 8.	Разложение векторных и тензорных полей
1.	Разложение векторных функций (109). 2. Разложение произвольных
величин (115). 3. Пример. Поле тензоров второго ранга (118). 4.
Решение уравнений Максвелла (119).
§ 9.	Уравнения, инвариантные относительно вращений
1.	Определение инвариантных уравнений (126). 2. Преобразование
условий инвариантности (127). 3. Определение матриц Z15 L2, L3 (129).
4.	Решение инвариантных уравнений (135). 5. Решение уравнений
Дирака (141). 6. Матрицы L2, L3 для случая к Ф 0 (другой вывод)
(143). 7. Инвариантные уравнения с к = 0 (149).
§ 10. Разложение произведения двух представлений. Коэффициенты
Клебша — Гордона
1. Вычисление коэффициентов Клебша — Гордона (152). 2. Коэффициенты
Клебша — Гордона для случая, когда одно из представлений имеет
вес 1 или 1/2 (159). 3. Симметрия коэффициентов Клебша — Гордона
(160). 4. Переход от канонического базиса в хй, к базису {etfk} 5.
Коэффициенты Рака (162).
ЧАСТЬ II
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
Глава 1. Группа Лоренца и ее представления
§ 1. Группа Лоренца
1. Определение группы Лоренца (165). 2. Ортогональные системы
координат (168). 3. Поверхности в четырехмерном пространстве,
80
87
87
103
108
125
152
165
165
транзитивные относительно группы Лоренца. Компоненты связности
группы Лоренца (168). 4. Связь группы Лоренца с группой
комплексных матриц второго порядка с определителем, равным
единице (172). 5. Связь между собственной группой Лоренца и
группой комплексных матриц второго порядка с определителем,
равным единице (другое изложение) (178). 6. Группа Лоренца как
группа движений в пространстве Лобачевского (180). 7. Определение
представлений группы Лоренца и основные понятия теории
представлений (181). 8. Связь между представлениями собственной
группы Лоренца и представлениями группы комплексных матриц
второго порядка. Двузначные представления собственной группы
Лоренца (184). 9. Двузначные представления общей группы Лоренца
(186). 10. Основные различия между представлениями группы
вращений трехмерного пространства и группы Лоренца (188).
§ 2.	Инфинитезимальные операторы и представления собственной группы
Лоренца
1.	Основные однопараметрические подгруппы в группе Лоренца (189).
2. Представление элементов собственной группы Лоренца в виде
произведения основных однопараметрических подгрупп (191). 3.
Определение инфинитезимальных операторов (192). 4. Вид
инфинитезимальных операторов для неприводимых представлений
собственной группы Лоренца (193). 5. Однозначные и двузначные
представления собственной группы Лоренца (200). 6. Сопряженные
представления (200). 7. Конечномерные представления собственной
группы Лоренца (202). 8. Унитарные неприводимые представления
собственной группы Лоренца (204). 9. Инвариантная эрмитова
билинейная форма (206).
§ 3.	Представления полной и общей групп Лоренца
1.	Предварительные замечания (212). 2. Неприводимые компоненты
представления собственной группы Лоренца, порожденного
неприводимым представлением полной группы (214). 3. Оператор
пространственного отражения (217). 4. Неприводимые однозначные
представления общей группы Лоренца (221). 5 Двузначные
представления общей группы Лоренца (222). 6. Билинейная эрмитова
невырожденная форма, инвариантная относительно представления
полной группы Лоренца (226).
§ 4.	Спиноры и спинорные представления собственной группы Лоренца
1. Спиноры ранга 1 (228). 2. Опускание индексов у спиноров первого
ранга (236). 3. Спиноры высших рангов (237). 4. Симметрические
спиноры. Реализация всех неприводимых конечномерных
представлений собственной группы (239). 5. Опускание индекса у
спиноров высших рангов (246). 6. Другое описание спинорного
представления (248). 7. Унитарные представления собственной
группы Лоренца (251). 8. Замечание о тензорах (252). 9. Различие
189
212
228
между спинорными и тензорными представлениями группы Лоренца
(257).
§ 5.	Конечномерные представления полной и общей групп Лоренца.	257
Биспиноры
1.	Биспинор первого ранга (258). 2. Общий случай. Биспиноры ранга
(к, п) (261). 3. Неприводимые представления общей группы (264). 4.
Тензорные представления полной и общей групп Лоренца (265).
§ 6.	Произведение двух неприводимых конечномерных представлений 266
собственной группы Лоренца
1.	Разложение кронекеровского произведения двух неприводимых
представлений собственной группы Лоренца на неприводимые (266).
2. Коэффициенты Клебша — Гордона (270).
Глава 2. Релятивистски-инвариантные уравнения	274
§ 7.	274
1.	Определение релятивистски-инвариантных уравнений (274). 2.
Условия релятивистской инвариантности уравнений для случая, когда
к Ф 0 (276). 3. Определение матриц Zo, Lx, L2, L3 (279). 4.
Релятивистски-инвариантные уравнения с к = 0 (282). 5. Уравнения,
инвариантные относительно полной группы Лоренца (284). 6.
Замечание об операторах Tg. Случай общей группы Лоренца (286).
§ 8.	Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа	288
1.	Инвариантная функция Лагранжа (288). 2. Уравнения, получаемые
из инвариантной функции Лагранжа (291). 3. Уравнения, получаемые
из инвариантной функции Лагранжа (окончание) (295). 4. Величины,
образуемые из волновой функции \|/ и инвариантной формы (296). 5.
Замечание о величинах, составленных квадратично из волновой
функции \|/ (299).
§ 9.	Примеры релятивистски-инвариантных уравнений	303
1.	Уравнение Дирака (303). 2. Уравнение Даффина для скалярных
частиц (308). 3. Уравнение Даффина для векторных частиц (310). 4.
Уравнение для двухкомпонентного нейтрино (312). 5. Уравнения
Максвелла для электромагнитного поля в пустоте (316). 6. Уравнение
Паули — Фирца (318). 7. Примеры бесконечномерных инвариантных
уравнений (322).
§10.	Определение значений массы покоя и спина частицы	324
1.	Плоские волны. Вектор энергии — импульса (324) 2. Система
покоя. Масса покоя (329). 3. Спин покоящейся частицы (331). 4. Спин
частицы в произвольной системе координат (332). 5. Частицы с
нулевой массой покоя (335). 6. Поляризация частиц с нулевой массой
покоя (335). 7. Масса покоя и спин частиц, описываемых уравнениями
из предыдущего параграфа (337). 8. Бесконечномерные уравнения
(341).
§11.	Заряд и энергия релятивистских частиц	342
1.	Определение заряда и энергии (343). 2. Конечномерные уравнения с
положительным зарядом и матрицей Lo, приводящейся к
диагональному виду (344). 3. Конечномерные уравнения с
положительной энергией и матрицей Lq, приводящейся к
диагональному виду (346). 4. Уравнения с положительным зарядом и
матрицей Lo, не приводящейся к диагональному виду (348). 5.
Теорема Паули (351). 6. Бесконечномерные уравнения с
положительным зарядом или энергией (353).
Дополнения
Библиография
355
369
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена изучению представлений группы вра-
щений трехмерного пространства и группы Лоренца. У читателя пред-
полагается лишь знакомство с основами линейной алгебры, например,
в объеме первых двух глав книги И. М. Гельфанда «Лекции по
линейной алгебре».
Теория представлений, в частности представления трехмерной
группы вращений и группы Лоренца, широко используется в кванто-
вой механике. В этой книге собран тот основной, на наш взгляд,
материал, который необходим для квантовомеханических приложений.
С другой стороны, изучение представлений трехмерной группы
вращений и группы Лоренца может служить хорошим введением
в общую теорию представлений групп Ли; оба эти примера тем
более удачны, что на них отчетливо видна разница между пред-
ставлениями компактных групп (группа вращений) и локально ком-
пактных групп Ли (группа Лоренца). Кроме того, из приведенного
в книгеч материала достаточно ясно обнаруживаются связи теории
представлений с другими разделами математики (сферические функ-
ции, тензоры, дифференциальные уравнения и т. п.); в общем случае
эти связи еще не всегда хорошо изучены.
Первой частью книги, посвященной группе вращений, служит
статья, опубликованная двумя из авторов — И. М. Гельфандом и
3. Я. Шапиро — в «Успехах математических наук» за 1952 г. (т. VII,
вып. 1) под заголовком «Представления группы вращений трехмер-
ного пространства и их применения».
К этой статье добавлены пп. 6 и 7 § 9 и заново написанный § 10,
в котором вычисляются коэффициенты Клебша—Гордона.
Вторая часть книги, где изучаются представления группы Лоренца
и релятивистски-инвариантные уравнения, написана Р. А. Минлосом.
При этом, однако, выбор материала, а также план и стиль изло-
жения детально обсуждались всеми авторами. При написании послед-
ней главы — о релятивистски-инвариантных уравнениях—в основу
была положена работа И. М. Гельфанда и А. М. Яглома «Общие
релятивистски-инвариантные уравнения и бесконечномерные пред-
ставления группы Лоренца» (ЖЭТФ, т. 18, № 8, 1948 г.); таким
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
образом, эту главу можно рассматривать как подробное и несколько
более полное изложение упомянутой статьи.
Включение в книгу релятивистски-инвариантных уравнений, по-
мимо их самостоятельного интереса, оправдано еще и тем, что
применяемые здесь методы широко используются в предыдущей
главе при изучении самих представлений группы Лоренца; таким
образом, по своим методам обе главы второй части составляют
единое целое. Отметим еще, что во второй части упор в изложении
сделан на конечномерные представления, поскольку до настоящего
времени главным образом они были существенны в физических
применениях.
Читателю, желающему глубже и более подробно изучить пред-
ставления группы Лоренца, мы рекомендуем обратиться к книге
М. А. Наймарка «Представления группы Лоренца», в которой по-
следние изложены с исчерпывающей полнотой.
Авторы считают непременным долгом отметить большую работу,
проделанную редактором книги Ф. А. Березиным, далеко выходящую
за пределы обычных редакторских обязанностей. Его многочислен-
ные требования, советы и замечания значительно повысили качество
книги. Мы благодарны ему.
И. Гельфанд, Р. Минлос, 3. Шапиро
ЧАСТЬ I
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО
ПРОСТРАНСТВА
ГЛАВА 1
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1.	Группа вращений трехмерного пространства
1.	Определение группы вращений. Рассмотрим все вращения
трехмерного пространства вокруг фиксированной точки (начала коор-
динат). Под произведением двух вращений gt и g2 мы понимаем
вращение g, состоящее в последовательном применении сначала g2
и затем gt *). Запишем это так: g^gtgz- Нетрудно проверить, что
совокупность О всех вращений образует группу, т. е. что при таком
определении умножения выполнены все групповые аксиомы. Единицей
группы е, или, как мы будем говорить, единичным вращением,
является при этом поворот на нулевой угол.
Если х — некоторый вектор, выходящий из начала координат,
то вращение g переводит его в век/гор х'. Мы будем обозначать
это так:	У
x'^gx.	(1)
Выясним, как аналитически записать вращения. Выберем в трех-
мерном пространстве фиксированную ортогональную систему коор-
динат. В ней вращение задается формулами
з
(2)
A=i
где х/£—координаты вектора х, а хС— координаты вектора х'.
Матрица	определяет данное вращение. Мы будем эту матрицу
обозначать той же буквой g, что и вращение. Найдем, каким усло-
виям должны удовлетворять числа gilt. Так как вращение не меняет
длин и углов, то оно не меняет скалярных произведений. Таким
образом, если х' —gx и y'~gy, то
з	з
^.х\у\ = ^хкук.	(3)
»=i	а=1
*) Такой порядок принят обычно при перемножении линейных пре-
образований.
10	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИИ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I
Подставим в левую часть равенства вместо х'{ и их выражения
по формуле (2):	з
5	= 2 *кУк-
i,k,l	к=1
Сравнивая коэффициенты при хкуг в левой и правой частях, мы
получим:
2 gH:"il — $kl>	(4)
г—1
где под символом оы понимается число, равное 1, если k~l, и
равное 0, если ky I. Равенство (4) можно записать в матричной
форме. А именно, в правой части равенства стоят элементы единич-
ной матрицы е, слева же—элементы произведения g'g матрицы g',
транспонированной к g, на саму матрицу g, т. е.
g'g—e	(5)
ИЛИ
=	(5Z)
Матрицы, удовлетворяющие равенству (5), называются ортого-
нальными матрицами. Если взять детерминант обеих частей равен-
ства (5), то мы получим Det (gr) • Det (g) — 1, т. e. [Det (g')]2 = 1 и,
значит,
Det (§•) =	1.	’	(6)
Всякое вращение есть вращение вокруг некоторой
Если выбрать ось вращения за ось z, то матрица
будеть иметь вид
COS <f — Sin ср 0
sin р COS р 0 .
О 0	1
оси на угол у.
этого вращения
(7)
Так как детерминат матрицы (7) равен 1, то для вращений Det(g)= 1.
Ортогональные преобразования, для которых Det(.gj =—1, назы-
ваются несобственными ортогональными преобразованиями. Приме-
ром несобственного ортогонального преобразования является отраже-
ние относительно начала координат, матрица которого имеет вид
— 1	0	0	II
g =	0	-1	0	.
0	о	— 1	II
Если g — какое-нибудь несобственное ортогональное преобразование,
т. е. Det(g) = —1, то gg_ есть преобразование, для которого
Det (gg_) = Det (g)  Det (g_) = 1 и, значит, gg_ есть вращение,
a g—(gg~)g_ — произведение вращения на отражение относительно
начала.
2.	Введение параметров в группу вращений. Для дальнейшего
нам понадобится несколько способов задавать вращение параметрами.
п. 2]
§ 1 . ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
И
Так как каждое вращение есть вращение вокруг некоторой оси, то
мы полностью определим его, задав ось вращения и угол поворота
вокруг нее. Мы часто будем задавать вращение вектором $ = 0jp £2, $3),
направленным вдоль оси вращения и равным по величине углу пово-
рота. Направление вектора будем выбирать так, чтобы, если смотреть
из его конца, угол поворота не превосходил те. Таким образом,
координаты векторов, описывающих всевозможные вращения, будут
удовлетворять условию ц-L-2з *С “2 и> значит, заполнять шар
радиуса те. Ясно, что различные внут-
ренние точки шара описывают различ-
ные вращения, а две диаметрально
противоположные точки на поверхности
сферы — одно и то же вращение на
угол те (так как поворот на угол те в двух
противоположных направлениях при-
водит к одному и тому же результату).
Указанный способ описания вращений
выявляет топологическую структуру группы
вращений, а именно, эта группа топологи-
чески эквивалентна шару, у которого
отождествлены диаметрально противопо-
ложные точки границы.
Важным видом параметров в группе вращений являются так
называемые углы Эйлера. Пусть координатные оси Ох, Оу и Oz
перейдут в результате вращения g в прямые Ох’, Оу' и Oz'. Обо-
значим через (Л) прямую, по которой пересекаются плоскости хОу
и х'Оу', через — угол Ох и (Л), через ®2 — Угол (^) и Ох' и
через 6 — угол между положительными направлениями осей Oz и Oz'.
Очевидно, что вращение g может быть представлено как произве-
дение трех последовательных вращений; а именно: вращения g,fi
в положительном направлении на угол срх вокруг оси О г, в резуль-
тате которого ось Ох совпадет с прямой (L), затем вращения g,, на
угол 6 вокруг Ох (после которого ось Oz перейдет в ось Oz') и,
наконец, вращения g^ на угол <р3 вокруг оси Oz'\
g(?i, 6,	=
Найдем элементы gilt матрицы вращения g(y?v 6, <р2), задаваемого
углами Эйлера <рр 6, <р2. Матрицы поворотов g4i, gt, gV1 вокруг
осей Oz, Ox,	Oz' имеют вид				
	COS ?х — sin	?! 0		1	0	0
ёъ =	sin ?!	cos	?! 0		0 cos 0 — sin 0	
	0	0	1		0 sin 9 cos 9	
		COS ?2	— sin ?2 0		
		Sin ?2	COS ?2 0		
		0	0	1	
12
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
При последовательном выполнении вращений их матрицы перемно-
жаются в обратном порядке, поэтому
g(?i, 0, <?2)=gbgbgb==
COS COS !p2 — COS 0 Sin <f>! sin <p2,
= Sin <f>! COS <p2 + COS 0 COS <P! Sin <f2,
sin sin 6,
— cos <pj sin <p2 — cos 0 sin cos <f>2
—Sin	sin <?2 cos 0 COS <p£ cos e2
COS Cf2 sin 0
Sin <Pi sin 0
— cos <pt sin 6
COS 0
• (9)
При этом углы и ср2 могут изменяться от 0 до 2л, а угол 6 —от О
до л. Различным тройкам чисел, изменяющимся в этих пределах,
соответствуют различные вращения, кроме случая 0=0 или в =
При 6 = 0 вращение есть поворот вокруг Oz на угол <pi+c2,
а при 0 = ——на угол —<р2, так что в этих случаях различным
парам <рх и ©2 может отвечать одно и то же вращение.
Рассмотрим вращение ^(cpj, 0, <р2). Его матрица задается форму-
лой (9). Проверим, что обратное преобразование задается углами
л—©2, 0, л—<рх. Действительно, если в матрицу (9) подставить
л—ср2 вместо <pj и тс—вместо ф2, то она заменится транспони-
рованной, а мы знаем (формула (5)), что обратная к ортогональной
матрице совпадает с транспонированной. Итак, если вращение g
задается углами cpt, 0, <р2, то вращение g-1 задается углами
К--- ср2, 6, ТС-фр
3.	Инвариантное интегрирование. При исследовании функций
от элемента группы О (т. е. функций от <р1; 0, ©2) нам придется
рассматривать интегралы от этих функций по группе (т. е. по всем
допустимым значениям <рр 0, <р2: 0	< 2тс, 0<Д О О л, 0 ср2 < 2г).
Наиболее приспособленным для теории представлений является так
называемое инвариантное интегрирование. Инвариантный интеграл
для функции /(£)	(<₽!> 9, ср2) есть интеграл *)
j f(g)dg = f /(?i. б, <p2)/(?i> e-
no <pt, 6, ф2 с «весовым множителем» J(<pt, 0, <p2), выбранным так,
чтобы выполнялось равенство
ff (ggo) dg =ff(g) dg.	(10)
Таким образом, инвариантный интеграл функции f(g) не изменится,
если заменить аргумент g на gg0, т. е. «сдвинуть» функцию f (g).
*) Мы будем иногда писать:
dg = I d<?xM d<ti-
п. 3]
§ 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
13
Можно было бы доказать, что весовой множитель определяется
условием инвариантности (10) однозначно с точностью до постоян-
ного множителя. Этот множитель мы выберем из условия, чтобы
интеграл функции /(g) = 1 равнялся 1, т. е.
Вместо углов Эйлера мы могли бы при определении инвариантного
интегрирования рассмотреть любые параметры, определяющие вра-
щение. Однако углы Эйлера удобнее всего для определения инва-
риантного интегрирования, т. е. «весового множителя».
Рассмотрим вращение g, задаваемое углами 0, <?2. Обозначим
через Р точку на единичной сфере, которая в результате этого
вращения переходит в северный полюс сферы
(т. е. в точку пересечения с осью Oz). Через Q
обозначим точку на этой же сфере, которая /	/ \
после вращения g попадает на ось Ох. Ясно, / /Х 	1
что вращение g полностью определяется заданием i / ° / I
точек Р и Q. При этом точка Р может быть \ /	/ J
произвольной, а точка Q лежит на большом круге,	б /
плоскость которого перпендикулярна к радиусу ОР.
Элементы третьей строки матрицы (9) представ- Рис. 2.
ляют собой декартовы координаты точки Р.
Отсюда видно, что ее сферические координаты равны у—<рх и 0-
Если g0— какое-нибудь другое вращение и g—ggo, то точки
Р и Q, отвечающие вращению g, получаются из точек Р и Q пово-
ротом g0-1.
Покажем, что инвариантное интегрирование задается формулой
2я л 2л
J/(g) dg= fj’j’ f(^, 0, <р2) sin 0 d?1 d0 d<p2,
ООО
т. e. покажем, что при таком определении интеграла
f f{g)dg= j fkgg^dg.
Обозначим через <pj, 0, ср2 эйлеровы углы вращения g. Покажем,
что имеет место формула
sin 0 d^ db dy2 — sin 6 dbdy2,
или символически
dg = dg.
Выражение sin 0 d<ft db d?2 имеет простой геометрический смысл.
Действительно, sin 0 dfx db есть элемент площади поверхности
14
ГЛ. 1 . ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
единичной сферы в точке Р. Что касается d<p2> то это есть элемент
дуги большого круга, на котором лежит Q. В самом деле, если
изменить угол <р2 на d<f2 при неизменных и 6 (т. е. фиксирован-
ном положении точки Р), то это сведется к дополнительному пово-
роту на вокруг точки Р, т. е. сдвигу точки Q на d<p2- Как
было указано выше, замена' g на g = gg<> сводится к повороту
пары Р, Q с помощью g0. Но при вращении ни элемент площади,
ни элемент дуги не меняются, поэтому мы имеем:
sin 6 dtpj dti dy2 = sin 0 afcpj tf<p2.
Нам надо доказать равенство
f f(g)dg = ff(g)dg,
или, что все равно, равенство
J fig)dg= J f(g)dg-
Но последнее вытекает из того, что по доказанному dg — dg.
Если мы введем дополнительное требование нормировки, т. е
2те те 2те
потребуем, чтобы J'ldg=l, то, так как fff sin 9 d<Pi dtid<f2 =
ООО
= 8тг2, нужно положить:
2те те 2те
//(g)^g= 872 У У У/(?1> 0> ?г) sin 6 d<?idOd<pz. (И)
ООО
4.	Связь группы вращений с группой унитарных матриц вто-
рого порядка. В этом пункте мы покажем, что вращения трехмер-
ного пространства можно описывать комплексными матрицами вто-
рого порядка. Для этого рассмотрим стереографическую проекцию
сферы на плоскость, состоящую, как известно, в том, что каждой
точке Р сферы относится точка М в плоскости, лежащая на луче О'Р
{О'—северный полюс). Каждое вращение трехмерного пространства
вокруг центра сферы переводит друг в друга точки сферы и поро-
ждает тем самым некоторое преобразование в плоскости. Нашей
задачей сейчас будет более подробное рассмотрение таких преобра-
зований.
Будем рассматривать сферу диаметра 1. Из сравнения подобных
треугольников (рис. 3) легко получается связь между координа-
тами х, у, z точки Р сферы и координатами ?, т) точки М пло-
скости: с =	—, т] =	—. Удобно ввести комплексное пе-
у —•г’
п. 4]
§ 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
15
ременное С—	Тогда
-х--Z
(12)
Так как на сфере х2 + V2 — —z2, то можно также написать:
х9- + у-
0- — (х — 1у)
(12')
Найдем преобразование плоскости, отвечающее вращению на угол ср
вокруг оси Oz. Мы имеем:
х' = х cos ? —у sin ср,
у’ — х sin ср -|-_у cos <р,
z’ = Z.
Отсюда
г/  х’ + 1у' _	(х + 1у) _ е/<рг
, — 1	—	1
'2~г	2 Z
т. е. такому вращению отвечает пре-
образование плоскости
7 = ^?:.	(13)
Рассмотрим теперь вращение на угол 6 вокруг оси Ох. Анало-
гично предыдущему при таком вращении выражение
умножается на е1'0, т. е.
w'—	(14
Нам осталось выразить -w через С (и соответственно w' через С').
Рассмотрим выражение
У + 1г + 1
1 ' /1 \
~2 х	(х + 1У) + ^'2- 4"
Т х
16
гл. 1. 'группа вращений и ее представления
[Ч. I
Воспользовавшись формулами (12) и (12'), получим
w Ц- Z
w — I
и аналогично
Отсюда, выражая w и
находим, что
w' -\-1____
w' — I
vo' через С и С и подставляя в формулу (14),
+J. — ей£+
— 1	С —1
Решая это уравнение относительно мы получаем преобразование,
отвечающее вращению на угол 6 вокруг оси Ох:
„ =	+ ^cos4+fsin4
£(^0- 1)4^4 О ~ sin 1 + cos 1 •
Мы видим, таким образом, что вращениям вокруг осей Ох и Oz
отвечают дробно-линейные преобразования в плоскости С. Ясно,
кроме того, что произведению вращений отвечает произведение пре-
образований в плоскости. Так как всякое вращение можно получить
как произведение вращений вокруг Oz и Ох (см. п. 2), то
и всякому вращению отвечает произведение преобразований вида (13)
и (15), т. е. дробно-линейное преобразование
’ ~ 7^ + 6 *
(16)
Дробно-линейное преобразование (16) однозначно определяется
комплексной матрицей второго порядка
а Р
7 5
(17)
Так как С' из формулы (16) не меняется при умножении числителя
и знаменателя правой части на одно и то же число, то, умножив а,
у, 5 на ± г_____I , мы можем считать определитель матрицы (17)
У аЬ — Зу
равным 1 *).
Таким образом, каждому вращению отвечает определенная с точ-
ностью до знака матрица вида (17), для которой aS — Ру = 1. Напи-
*) Этим условием коэффициенты дробно-линейного преобразования опре-
делены с точностью до знака. О знаке более подробно см. ниже.
п. 4]
§ 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
17
шем, в частности, матрицы, отвечающие вращениям g.f и вокруг
осей Oz и Ох. Вращению g9 отвечает матрица
gi
cos — i sin у
, , 0	0
I Sin у COS у
Вращению g.f отвечает преобразование С = е’Х.
i*
V —------, мы получим матрицу преобразования
-i
е

i—
е - О
(18)
Записав его в виде
(19)
с определителем, равным единице.
Вращение g с эйлеровскими углами <рр 6, <р2 может быть запи-
сано как произведение вращений g-g^g^g^- Так как при после-
довательном осуществлении дробно-линейных преобразований их
матрицы перемножаются в обратном порядке, то преобразованию g
отвечает матрица
<7
е “
О
О
COS у / Sin у
, 0	0
t sin у cos у
л
о
0	0
cos у е ‘ Zsinye
0	0
I sin у e	cos у e
(20)
Матрицы (18) и (19) являются унитарными матрицами с детерми-
нантом 1. Поэтому и их произведение—матрица (20), отвечающая
произвольному вращению, также унитарна и имеет детерминант,
равный 1.
Покажем теперь, что, обратно, всякой унитарной матрице
с детерминантом, равным 1, отвечает некоторое вращение. Из усло-
вий унитарности
ау-|-р8 = 0, аа + рр=1, у у 88 = 1
и равенства aS — тР=1 легко вывести, что 8 = а, у = — р.
Поэтому произвольная матрица рассматриваемого типа может быть
18
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч.
представлена в виде
II “
II — "°-
(21)
где
1«|2 + 1№=1-	(21')
Ясно, что матрицу (21) при условии [(21х) можно представить
в виде (20), если положить
0	।	.0	, г ।
cos^- = |a|, sin-g-= | £ [ *),
а углы <pj и ср2 определить из уравнений
<₽ 1 +
-	- = arg а.
-4~у — arg^.
Таким образом, каждое вращение можно задавать двумя комплекс-
ными числами, удовлетворяющими условию (21х), или, что то же,
четырьмя вещественными числами, сумма квадратов которых равна 1.
Итак, мы показали, что всякой унитарной матрице второго
порядка с детерминантом 1 отвечает вращение в трехмерном
пространстве. Обратно, как было показано раньше, всякому вра-
щению отвечают две такие матрицы, отличающиеся знаком.
Установленное ранее соответствие между вращениями и дробно-
линейными преобразованиями однозначно. С другой стороны, мы
видели, что каждое дробно-линейное преобразование может быть
записано с помощью двух матриц с детерминантом, равным 1. Таким
образом, каждому вращению отвечают две матрицы вида (21). Не
следует думать, что мы можем сколько-нибудь естественно изба-
виться от двузначности этого соответствия, выбрав определенным
образом знак. Рассмотрим, например, вращение на угол <р вокруг
оси Oz. Ему отвечает матрица
е а 0
В частности, единичному вращению (<р — 2/гтс) отвечают две матрицы
±1	0 \
. 0	± V
(22)
Если бы мы
сопоставили этому вращению лишь матрицу
*) Напомним, что 0 С 0 С тс.
И. 51	§ 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА	19
то, изменяя угол ср непрерывно от 0 до 2к, мы пришли бы при
ф = 2л к матрице
/— 1	0\
\ 0 — 1Л
Таким образом, если мы не хотим нарушать непрерывности, мы
должны считать, что единичному вращению отвечают обе матрицы (22),
Выпишем мартицу вращения g через комплексные параметры а, 8.
||£й:11 =
2 (я2 — р3 —а2 — р2) 2 (—“2 — р2 —|— а2 —fl2) — ар — ар
4(«2 —Р2-«2 + Р)	+ P + ? +	-1'(аР — ар)
ар ар	/(—ар-|~аР)	аа — fp
(23)
Для доказательства этой формулы подставим сюда вместо аир эле-
менты матрицы (20). После несложных преобразований мы придем
к выражению (9) матрицы вращения через углы Эйлера.
Если ПОЛОЖИТЬ а — аг 4“ /я?, ₽ = Pi + /₽», ТО В силу условия I а р -I - | р |2 = 1
мы можем также считать, что на группу вращений трехмерного пространства
отображена сфера
а1 +	+ а2 + ?2 = 1	(24)
четырехмерного пространства. При этом двум диаметрально противополож-
ным точкам сферы отвечает одно и то же вращение.
5. Определение представлений группы вращений. В этом пункте
будут даны основные определения, используемые дальше. Мы будем
говорить,’ что нам задано конечномерное представление g-+Tg группы,
если каждому элементу g группы отвечает линейное преобразова-
ние Тд в некотором линейном пространстве R *) так, что при этом
произведению элементов группы отвечает произведение преобразова-
ний и единице группы е — единичное преобразование, т. е.
(25)
и
Те = Е.	(26)
Так как в конечномерном пространстве каждое линейное преобразо-
вание можно задать матрицей, то конечномерные представления можно
также определить, ставя в соответствие каждому элементу g мат-
рицу Тд так, что при этом выполнены соотношения (25) и (26).
Представление g -+Тд группы вращений называется непрерывным,
если элементы матрицы Тд зависят от g непрерывно. В дальнейшем
мы будем рассматривать только непрерывные представления. Три-
виальным примером представления группы является соответствие, при
*) Элементы пространства R. мы .будем в дальнейшем называть также
величинами, преобразующимися при представлении g -» Тд.
20	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
котором каждому элементу отвечает единичная матрица. Такое пред-
ставление группы вращений называется единичным. Другим примером
представления группы вращений является так называемое основное
представление группы. Оно состоит в том, что каждому вращению g
ставится в соответствие его матрица в каком-нибудь базисе.
Подпространство пространства R (в котором действуют линей-
ные преобразования Т) называется инвариантным относительно
представления g~>Tg, если инвариантно относительно всех пре-
образований Т .
Если в пространстве R не существует подпространств *), инва-
риантных относительно представления g^- Т , то представление на-
зывается неприводимым. Мы увидим несколько позже, что изучение
любого представления группы вращений сводится к изучению непри-
водимых представлений. Эти последние будут классифицированы
в § 2, а сами матрицы Тд неприводимых представлений будут
выписаны в § 7. Различные реализации представлений группы вра-
щений (т. е. различные реализации пространства R и преобразова-
ний Тд) будут изучены в §§ 3, 5, 6, 8.
Представление g-+Tg называется унитарным, если в комплекс-
ном пространстве R определено скалярное произведение и все пре-
образования Тд унитарны относительно этого скалярного произведения.
Докажем, что каждое представление группы вращений можно
считать унитарным, т. е. можно так ввести скалярное про-
изведение, что Тд будут унитарными линейными преобразованиями.
Для этого рассмотрим в R какое-либо скалярное произведение (£, tj),
где $, т) — элементы из R. Вообще говоря, Тд не будут унитарными
относительно этого скалярного произведения, т. е. (ТдЪ, Тд~г\) может
быть отлично от (Sj, т]). «Усредним» функцию (Т^, Тдт\) по группе,
т. е. рассмотрим выражение
f Tg^dg,
где под интегрированием понимается инвариантное интегрирование,
определенное в п. 3.
Зададим теперь новое скалярное произведение формулой
= f (Тд^, Tg^dg.
Покажем, что ($, цЪ обладает всеми свойствами скалярного произве-
дения. Действительно,
(51 -Ь ^2» т<)1 = J” (^й(51 + 5г)> rgi\)dg —
= f (ТдЪ, Trf dg + f (Т&, Тдч) dg == &, т1)1 + (?2, 7])Р
*) Исключая, конечно, все пространство R и нулевое подпространство,
являющиеся формально инвариантными подпространствами при любом пред-
ставлении.
Я. 5]	§ 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА	2 1
Аналогично показывается, что ($, ^)i = (т), £)t и что (Х$, т))1 = к(^, 7])Р
Далее, (?, £)i= f (ЛЛ 7’В5)^Г> О, так как (ЛА > °> если
J о а	У У
Покажем, что относительно скалярного произведения (В, ?]) преобра-
зования Тд унитарны, т. е. что (Tgl, Tga-t\\~ ($, к])Р Пусть Тд£ — \‘
и Тд^ = -г[',
(Тд£, ТдлЪ^, 7]^ = /(Т/, Tgrl')dg =
= f(TgTg^ TgTg^dg^ f (Tggl, Tgg^dg.
Далее, в силу инвариантности интегрирования ^равенства J* ftgg^dg —
= J*f(g')dg^ имеем:
f (Тдд1, Tgg^dg= f (Тд^ Tg-Ti)dg=(i, T^,
и, значит, окончательно
ЗД1 = (^>
Итак, мы показали, что относительно скалярного произведения ($, tj)1
представление g-+ Тд унитарно.
Изучение унитарных представлений группы можно свести к изу-
чению неприводимых унитарных представлений. Действительно, рас-
смотрим унитарное представление g-+ Т . Если в R не существует
инвариантных подпространств, то представление неприводимо. Если
же в R имеется инвариантное подпространство Rlt то совокупность
векторов, ортогональных ко всем векторам Rlt образует также инва-
риантное подпространство. Все пространство R разлагается таким
образом в прямую сумму двух взаимно ортогональных подпро-
странств /?! и R2. Если в /?т или в R2 представление приводимо, то
мы проводим разложение дальше, пока мы не придем к неприводимым
представлениям.
До сих пор мы рассматривали конечномерные представления
группы вращений. Однако уже в первой части этой книги мы встре-
тимся (например, в § 3, п. 5, § 7, п. 2) также с бесконечно-
мерными унитарными представлениями. Мы говорим, что нам задано
бесконечномерное унитарное представление, если каждому элемен-
ту g отвечает унитарное преобразование Тд в гильбертовом (бес-
конечномерном евклидовом) пространстве так, что при этом выпол-
нены условия (25) и (26). Представление называется непрерывным,
если для всяких векторов ; и т; (Г^, '*)) естЬ непрерывная функ-
ция от g.
Теорема о разложении представления на неприводимые имеет место
и для бесконечномерных представлений группы вращений. Мы сфор-
мулируем ее без доказательства. Пусть задано унитарное
22	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
представление g-^>Tg группы вращений в гильбертовом простран-
стве R. Тогда существуют конечномерные подпространства
Rx, Rs.....Rn......инвариантные относительно Tg, в каждом из
которых представление Тд неприводимо. Эти подпространства Ri
попарно ортогональны, и сумма Rt есть все пространство R.
Это значит, что каждый вектор £ из R можно разложить
в сходящийся ряд *)
5 — + ’2 + • • • + +  • • >
где векторы принадлежат инвариантным подпространствам R^
§ 2. Бесконечно малые повороты и отыскание
неприводимых представлений группы вращений
В этом параграфе мы опишем все представления группы вращений.
Мы уже знаем, что для группы вращений всякое представление экви-
валентно унитарному, и поэтому мы можем ограничиться определе-
нием унитарных представлений этой группы.
Сначала будет найден вид всех неприводимых представлений,
а затем показано, как произвольное представление разлагается на
неприводимые.
1. Определение матриц Ак, отвечающих бесконечно малым
поворотам. Пусть нам задано унитарное представление группы враще-
ний О. Это, как мы знаем, означает, что каждому вращению g отвечает
некоторая унитарная матрица Tg= ||(£0II так> что при этом про-
изведению вращений gt и g2 отвечает произведение матриц Тд,
И Тде т. е.
^д,д^ ~	О)
В частности, единичному вращению g—e отвечает единичная мат-
рица Е.
В качестве параметров, определяющих вращение g, возьмем коор-
динаты £2> вектора, направленного вдоль оси вращения, длина
которого равна углу поворота (эти параметры были введены в п. 2
предыдущего параграфа). Тогда матрица Тд будет функцией этих же
параметров, т. е. Тд— £2Дз)- -Можно доказать, что Тд имеет
производные любого порядка по £2>	**). Так как вектору
*) Ряд 4- ... -ф £„... называется сходящимся к $, если Sn =	.
... стремится к S, т. е.
(5 — Sn, £ — Sn)-*0 при п-»-со.
**) Доказательство см. в добавлении к этому параграфу. Напомним, что
зависимость матрицы от каких-либо переменных и дифференцируемость ее
по этим переменным означает, что элементы этой матрицы являются функ-
циями соответствующих переменных и дифференцируемы по ним.
п. 1] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 23
= £2 = £3 = О отвечает вращение на нулевой угол, т. е. единичное
вращение, то
Т(0, 0, 0) = Е.	(2)
Разложим Т(Bt, $2, 53) около значений = ?2 = ;3 = 0 по формуле
Тэйлора. Тогда
Г(Ч, Ъ, ^з) = £ + А^ + ^2 + ^з+ • • •>	(3)
где Е— единичная матрица, а At, А2, А3 — постоянные матрицы,
являющиеся частными производными матрицы T(£lt £2, £3) при
t-j = с2 = 53 = 0 п° ?i> ^2> 5з соответственно. Многоточие означает, что
мы не написали остаточного члена формулы Тэйлора, который
является малой выше первого порядка по сравнению с /й+й+8.
Мы покажем, что матрицами At, А2, А3 представление, т. е. функ-
ция ?2, £3), вполне определяется, а затем найдем возможные
тройки Av А2, А3.
Матрицы Ах, А2, А3 имеют простой смысл. Чтобы выяснить это,
рассмотрим поворот на угол вокруг оси Ох. В представлении ему
отвечает матрица
?(?!, 0, 0) = Е + Д1$1+...
Из этой формулы видно, что матрица Т0, 0), отвечающая
повороту на бесконечно малый угол вокруг оси Ох, определяется
с точностью до малых высшего порядка матрицей ДР Матрицы At,
А2, А3 мы назовем матрицами, отвечающими бесконечно малым
поворотам вокруг осей координат.
Покажем теперь, что матрицы Ак определяют представление, т. е.
что, зная лишь эти три матрицы, мы можем найти ё2> В3) для
произвольных с2, ?з- Для этого возьмем произвольный вектор
(Sp $2, 53) и рассмотрим два вращения вокруг этого вектора: g(t^rt^2,
и g(s^, s'Z2, s£3) *). Произведение этих двух вращений есть, очевидно,
поворот вокруг той же оси, определяемый параметрами
+	(^ + 5Нз:
g((t +s)$p	+	(^ + s)U = g(^l. «2. t^gts^, 8?2, 8?3). (4)
Так как при представлении произведение переходит в произведение,
то мы имеем также
7((/+S)^, (^+s)?2,	m. «2, «з)	^2, s?3). (4э
Продифференцируем обе части равенства (4') по s и положим 8 = 0.
Мы получим:
-Ttfh, Й2, «з) = ^7’(8^1, ^2, ^з)|з о- т. «2> «з)-
*) Они являются поворотами на углы i Si + 53 +
соответственно.
24	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
Но в силу формулы (3)
s* **)2> s£s) |	=	Л3?3-
Отсюда для матрицы X(t) = T(fiv tl2, #з) получается дифференциаль-
ное уравнение
LX(t) = ^ + A^ + A^X(t) *).	(5)
Кроме того, должно выполняться начальное условие
X(0)== 7(0, 0, 0) = Е.	(5')
В силу теоремы единственности для системы дифференциальных
уравнений уравнение (5) и начальное условие (5') определяют X(t)
единственным образом. В частности, однозначно определена и Л"(1) —
- т&, s2, у.
Мы доказали, таким образом, что представление однозначно
определяется заданием матриц Аи А2, А3, отвечающих беско-
нечно малым поворотам.
Уравнение (5) можно решить в явном виде. Его решение, удовле-
творяющее начальному условию (5'), выглядит так:
X (/) •-Да^а'Ь-Ав^з)
В частности,
Т^, £2> U = еА&+А&+ЛгЪ.	(6)
Таким образом, если матрицы А2 и А3, соответствуют при
представлении бесконечно малым поворотам вокруг осей коорди-
нат, то матрицы Тд=Т(^, £2> £3), дающие это представление,
определяются по Ак формулой (6).
2. Соотношения между матрицами Ак. Выясним теперь, какими
можно задать матрицы А1г А2, А3, чтобы матрицы Тд, определенные
формулой (6), могли действительно давать унитарное представление
группы вращений. С этой целью мы выведем уравнения, которым
должны удовлетворять матрицы, соответствующие при представлении
бесконечно малым поворотам, и затем в п. 3 решим эти уравнения.
Пусть gQ— определенное вращение, a g— произвольное. Рас-
смотрим вращение
go = ggog~1-
Матрицы вращений g0 и gQ получаются друг из друга подобным пре-
образованием. Это значит, что оба эти вращения представляют собой
*) Равенство (5) представляет собой систему линейных дифференциаль-
ных уравнений, которая получится, если приравнять соответствующие элементы
матриц, стоящих в левой и правой частях.
**) См. добавление к § 2.	•
П. 2] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 25-
поворот на один и тот же угол ср каждый вокруг своей оси. Если
вращение g0 определяется вектором т] = (т^, tq2. ^з), то So опре-
деляется вектором т], в который переходит т] под действием g:
Действительно, вектор т] не меняется при вращении g0, т. е.
= к;. Отсюда g0-q = ggog'-i7! = т]. Последнее равенство означает,
что т] не меняется при вращении g(j, т. е. лежит на оси вращения.
Так как абсолютная величина вектора т], равная углу поворота, не
меняется при вращении g, то | т; | = | у | и т) есть вектор, определяю-
щий вращение g0.
Так как при представлении произведению вращений отвечает про-
изведение матриц Тд, то из равенства g0 = ggog~1 мы получаем:
т Т Т , = Т~	(7>
д да д~1	д»‘	v '
Из этой формулы выведем теперь соотношения между матри-
цами Лр А2, и Л3. Для этого предположим, что вращение g0, а следо-
вательно, и g0 мало, т. е. т] и т) — малые векторы, и представим Тд^
и Г- по формуле (3):
Тда — Е -|- Л^! Д- Л27]2 -|- Л3т]3 -|- ...,
Тда — Е-\- Л^! Д- Л2Т)2 -|- Л37]3 Д- . . .
Подставив это соотношение в формулу (7), мы получим:
Тд(.Е Д- Л17)1 4~Л2Т]2 + Л37]34~ . . .) Tff_1 =
= Е Д- Л17]! Д- Л2Т]2 4- Л37]3 4- . . .	(8>
Поставим каждому малому вектору т] в соответствие преобразование
А^ — Л1т]1Д-Л27]2Д-Л3т]3, определяющее с точностью до малых выс-
шего порядка поворот, задаваемый этим вектором. Тогда, сравнивая
члены первого порядка в соотношении (8), мы получаем формулу
ТдА.Тд-^А,,	(9)
где т] = g7].
Так как при умножении вектора т; на число матрицы Л^ и Лд
умножаются на то же число, то очевидно, что после вывода фор-
мулы (9) мы можем отбросить предположение о малости вектора ~гу
Для того чтобы из (9) получить соотношения между Av Л2 и Л3„
предположим теперь, что вращение g есть поворот на малый угол а
вокруг оси Ох, а вектор ц — единичный вектор, направленный вдоль,
оси Оу: т] = (0, 1, 0). Тогда т] — вектор, полученный из т; враще-
нием g, т. е. единичный вектор, лежащий в плоскости yOz под.
'26	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
углом а к оси Оу. Компоненты вектора будут, следовательно, с точ-
ностью до малых выше первого порядка относительно а иметь вид
’ll =? О,
Т12=
т]3 = а.
'Таким образом, подставляя Тд по формуле (3), где = а, а ?2 = '?3 = О,
имеем:
^ = А + Аа+---> Тд_1~Е1 — Да-)-...,
А^ ~ А>
А^ = Az -j- аЛ3.
Подставляя эти выражения в формулу (9) и сравнивая члены первой
степени относительно а, получаем формулу
АА — А2 А ~ А*
Выражение АВ— В А называется коммутатором матриц Л и В и
обозначается [Л, В]: АВ — ВА = [А, В]. Полученное соотношение
можно, следовательно, записать в виде
1А> Л2] = Л3.
Аналогичным образом можно получить два других соотношения:
[А, А1 — А1г [Л3, ЛJ = Л2.
Тем самым показано, что если g-+Tg—произвольное предста-
вление группы вращений, то матрицы Alt Л2 и Л3, отвечающие
при этом представлении бесконечно малым поворотам вокруг
^осей координат, удовлетворяют соотношениям
[Лр Л2] = Л3,
[А- л3] = а. |	(Ю)
[Л3, Лх] = Л2. J
Эти соотношения мы будем в дальнейшем называть соотношениями
коммутации.
Формулы (10) показывают, что если заменить матрицы А1г Л2 и Л3
координатными ортами трехмерного пространства, то соотношения ком-
мутации для этих матриц в точности совпадут с формулами для век-
торного произведения базисных векторов. Определим по заданным
Alt Л2 и Л3 линейное пространство матриц Л5 вида ЛА + Л2^2 -|- Л3$3,
где $ = (£р $2> ч)— произвольный вектор. Тогда из формул легко
вывести соотношение, выражающее коммутатор двух матриц из этого
И. 2] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 27
пространства снова как линейную комбинацию матриц Ак, т. е. как
элемент того же пространства. В самом деле, из (10) следует, что
[Д14 4- ^2’2 +А’з> А'7)! +	4-=
= А3 — 52^1) -F At (^з — £37]2) 4- А2 — 471з)*
Введя вектор С, равный векторному произведению 5 и tj: С= [$, т;],
мы можем, таким образом, сформулировать следующее утверждение:
если, матрицы Alt А2 и А3 отвечают при некотором представле-
нии бесконечно малым поворотам вокруг осей координат, то для
любых двух матриц вида А% — At4 -j- A2i2 4~ А£3 и A.r = А^ 4~
Ц- A2~q2 4- Дз^з имеет место равенство
[Де, aj = a&+a&+a& = az,
где вектор Z — (4, 4> 4) ecfnb векторное произведение векторов $ и тр
При выводе уравнений (10) мы не пользовались тем, что пред-
ставление Тд унитарно. Выясним, какие требования на Ак накладывает
унитарность представления. Полагая в формуле (3) 4 ~ 4 — 0> мы
получим:
7(4, о, О) = £4-4Д14-...	(3Z)
Так как матрицы 7 унитарны, то
7* (4, 0, 0)7(4, 0, 0) = Е.
Подставляя сюда вместо 7 его значение из (3'), мы получим:
(£4-^4-.	(В4-4А4- •) = £.
Сравнивая коэффициенты при первой степени 4 мы видим, что
Л14-А* = 0, т. е. А( =—А1 *).
Полагая 7f1 = zA1, имеем:
Н* = Ни
т. е. Нг—эрмитова матрица. Аналогично (полагая Нк = 1А-^ вводим
эрмитовы матрицы Н2 и Ht **). Из соотношений коммутации (10)
следуют аналогичные соотношения для Hlt Н2, Н3:
[Hlt H2\ — iH3, )
{Н2, H3} = lHlt j	(10')
\Н3, H^iH,. J
*) То обстоятельство, что операторы Ак задаются в некотором базисе
косоэрмитовыми матрицами, является следствием соотношений коммутации
между ними и может быть установлено непосредственно. Эту несколько
громоздкую проверку мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
**) Заметим, что, обратно, из эрмитовости Нк в силу формулы (6)
+^з^з)
следует унитарность Тд.
28	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ц. В
Итак, задача отыскания всех возможных представлений группьв
вращений сведена нами к следующим двум задачам:
1)	найти всевозможные тройки эрмитовых матриц Н1гу для
которых имеют место перестановочные соотношения (10'),
2)	отобрать среди этих троек те, которые действительнее
порождены некоторым представлением группы вращений.
Вторая задача решается двумя различными способами в §§ 6 и 7~
Из результатов этих параграфов следует, что любые три косоэрми-
товы матрицы, удовлетворяющие соотношениям (10), являются мат-
рицами бесконечно малых поворотов вокруг осей координат ирк
некотором представлении группы вращений. Таким образом, мы
приходим к выводу, что по любым трем эрмитовым матрицам,
удовлетворяющим соотношениям (10'), можно с помощью формулы
Т — (ЯЛ+ВЛ+яа^)
о
построить представление группы вращений.
3.	Вид неприводимого представления. Вместо определения мат-
риц //р //2, //3 нам удобнее будет искать их линейные комбинации
H+^Hv + iH2,
= —
Н^Н,.
Легко подсчитать, чему должны равняться коммутаторы этих трех
матриц:
[Н+, Н3] = [Н, + 1Н2, Н3] == [Hlt Н3] +1 [Н2, Н3] — =
= —	—	—Н+.
Аналогично вычислим \Н_, Н3] и [7f+, Н_]. В результате получим
формулы
[Н+, Н3] = -Н+, )
{Н_, Н3] — Н_,	[	(11)
[Н+, Я_] = 2Я3.	J
Кроме того, имеем:
=	=	—/Н2 = Я_.	(12)
Итак, задача сведена к определению матриц Н+, Н_ и Н3, удовле-
творяющих условиям (И) и (12). Мы вычислим эти матрицы в базисе,,
состоящем из собственных векторов матрицы Н3. В этом базисе
матрицы Н+, Н_, Н3 выглядят наиболее просто. Докажем предва-
рительно следующую лемму.
Лемма. Пусть f—собственный вектор преобразования
соответствующий собственному значению К;
M. 3j §2, ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 29
Тогда вектор fi = H+f либо равен нулю, либо также есть соб-
ственный вектор Н3, соответствующий собственному значению
*4-1. Аналогично вектор = H_f—или нуль, или собственный
лектор Н3, соответствующий собственному значению X—1.
В самом деле.,
ад = H3H+f={Н3, Н+] /+H+H3f =
=ад+ ад/=(X +1) H+f = (X +1 )/Р
Аналогично получим, что Н3/2 —(X—1)/2.
Перейдем к определению матриц Н+, Н_, Н3.
Так как Н3 — эрмитова матрица, то ее собственные значения
.действительны. Обозначим через I наибольшее собственное значение
матрицы Н3 и через /г— какой-нибудь отвечающий ему нормирован-
.ный собственный вектор:
ададг. (Л. л)=1-
«Если H_fi ф 0, то положим:
где число а/ > 0 подберем так, чтобы имело место равенство
<(/z-i> Л-1)—I- В силу леммы fl_1 есть нормированный собственный
вектор Н3, отвечающий собственному значению I— 1. Если ф О,
то аналогично вводим /г_2, положив
где яг_!>0 и (/z_2, /г_2)= !•
Продолжая этот процесс, вводим:
W_/z_2 = аг—г/z—з
м т. д.
Согласно лемме построенные векторы /z, /г_1( •   являются соб-
ственными векторами матрицы Н3, отвечающими собственным значе-
ниям I, I—1, ... Так как матрица Н3 имеет лишь конечное число
различных собственных значений, то для некоторого k последова-
тельность векторов /z, fi_v fi_2> •   оборвется, т. е. для какого-то k
?мы получим — 0.
Мы получили, таким образом, систему попарно ортогональных
«ормированных собственных векторов преобразования Н3.
= (13)
Кроме того, мы имеем:
H-fm —
Для того чтобы формула (14) имела место и для последнего из
построенных векторов (при m — k), положим aft = 0.
Выясним теперь, как действует на векторы fm преобразование Н+.
Во-первых, в силу леммы H+fm есть либо нуль, либо собственный
вектор Н3, отвечающий собственному значению m-f-l. Так как
30	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. К
I—наибольшее собственное значение Н3, то
Н+/г = 0.
Найдем	Мы имеем:
IHt, HJ/,+J- н_и+Л = нЛ = 5/,.
11	III
т. е. вектор Н+/г_х пропорционален /г:
Покажем, что H+fm пропорционален fm+1, т. е. H+fm — ^m+1fm+v
Пусть это соотношение справедливо для векторов ft, /г-1../т+1-
Докажем наше утверждение для вектора /т:
ат+1	ат + 1
+ г1- W_//+/m+1 = H3fm+1 +	Н_/т+2.
аж+1	“m+l	“Ш-+-1
Воспользовавшись теперь равенствами (13) и (14), получим:
и г ___2 (ти-Д 1) “Ь am+2?m + 2 f
n+Jm—	„	Jm+1-
am+l
Положив
2 (m 4~ 1) ат+гЗ+? __ g	(J
a?n+l	m+l>
мы можем написать:
H+fm~ ?m+lfm+r	(16)
Так как H+fi = 0, то эта формула имеет смысл и при т — 1, если,
положить Pz+i = O.
Для определения преобразований Н+ и Н_ нам надо в первую*
очередь вычислить коэффициенты а.т и $т. Из того, что Н*+—Н_>.
следует:
/т)==(/т—1> H-fm)'
Пользуясь (14) и (16), получаем:
Р»г(/т> fni) ат(/»п—1> /т— 1)’
и так как собственные векторы нормированы, то аот = 8т. Заменив
Р на a, a w —1 на т, запишем соотношение (15) в виде
“ж — “Ui = 2ffI-
Чтобы найти а^, сложим такие соотношения от т — 1 ло произвол!»-
ного значения т. Мы получим:
— az+i = 2Z + 2 « — О И- 2 (Z - 2) 4- • • • + 2/п-
П. 3] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 31;
Пользуясь тем, что t = 0 и, следовательно, а^+1 = 0, находим:
= +	—0-	(17>
Полученная формула дает нам возможность найти число векто-
ров fm в построенной цепочке /г, ..., Д. Мы положили ай = 0,
если fk — последний из построенных векторов (/7_Д = 0). Из фор-
мулы (17) мы получаем, что & = — /. Так как числа т в процессе
нашего построения уменьшались каждый раз на единицу, то разность
I — (— /) —2/ равна целому числу. Следовательно, само I может
быть или целым числом или половиной целого нечетного числа (в даль-
нейшем мы для краткости будем называть такие числа полуцелыми).
Число построенных векторов равно, очевидно, в обоих случаях
2Z-I- 1.
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на пред-
ставление Тд, т. е. оно могло быть как неприводимым, так и при-
водимым. Ограничимся теперь неприводимыми представлениями. Это
значит, что в пространстве R, в котором действует представление,.
не существует подпространства, инвариантного относительно всех
преобразований Тд. Тогда в R не существует подпространства,
инвариантного относительно матриц Alt А2, А3, т. е. относительно
Н+, Н_, Н3. Действительно, из формулы (6) вытекает, что такое
подпространство было бы инвариантно и относительно Т . Покажем,
что в этом случае векторы /), /г_р . . ., /_г образуют базис в про-
странстве R. Действительно, так как Н+, Н_ и Н3 переводят век-
торы fm снова в векторы этой же системы, то порожденное векто-
рами fm{m =—I, . . ., Г) подпространство инвариантно относительно
Н+, Н_, Н3 и, следовательно, в силу неприводимости представле-
ния совпадает со всем пространством R.
Мы нашли, таким образом, что для любого неприводимого пред-
ставления преобразования Н+, Н_ и Н3 записываются в ортогональ-
ном базисе, состоящем из нормированных собственных векторов Н3,
формулами
Н+fm ==	1
R—fm == Q-rnfm -1 >	f	('
Rfifm nifm,	J
здесь ,m —— I, —Z —|— 1, ..., I; I — целое или полуцелое число и
am = m) (I — m 1 )•
Сам базис fa, fa_lt .... /_г, состоящий из нормированных соб-
ственных векторов преобразования Н3, в случае неприводимого пред-
ставления мы будем называть каноническим базисом этого предста-
вления.
Возвращаясь к преобразованиям Alt А2 и А3 получаем следующее
утверждение: всякое неприводимое представление группы вращений-
определяется некоторым целым или полуцелым числом I-
32
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
'[Ч. I
Преобразования Аи Аг и А3, отвечающие при этом представлении
бесконечно малым поворотам вокруг осей координат, задаются
в каноническом базисе fm (т = — I, — Z —1, ..., Z) формулами
-^1/яг —	Ш ifт —
= - 4 /(Z+^+DC/—~т) fm+i~y V^+mKl-m^f^,
-A'lJт —	===
— — yV'(Z+/w4~l)(/ — ^)/m+i 4“ "К(Z+OT)(Z—w+l)/m-l>
A?:fm ~~ iHsfm ==	Z/и/m.
(19)
Число l называют весом соответствующего неприводимого предста-
вления. Всякое неприводимое представление определяется своим весом
однозначно. Напомним, что матрицы Тд, отвечающие при этом пред-
ставлении произвольному вращению g, определяются по матрицам Ак
с помощью формулы (6) настоящего параграфа.
Мы нашли вид представления 7\ в предположении, что оно су-
ществует. Тот факт, что матрицы Тд, восстановленные формулой (6)
по матрицам Ак, определенным формулами (19), действительно обра-
зуют представление, непосредственно проверить затруднительно. Мы
покажем это впоследствии тем, что фактически построим для каждого I
соответствующее ему неприводимое представление. А именно, в §§ 2,3
такие представления будутпостроены для любого целого Z, а в §§ 6, 7 —
для всех целых и полуцелых значений I. Сейчас мы покажем
только, что если существует представление, определенное форму-
лой (6), где Ак имеют вид (19), то оно неприводимо. Действительно,
допустим, что существует подпространство Rlt инвариантное отно-
сительно Н+, Н_ и Н3 и не совпадающее со всем 211 -мерным
пространством. Рассмотрим преобразование Н3 в этом пространстве.
г
У этого преобразования существует собственный вектор h = 2 Cmfm’
m = —l
отвечающий наибольшему собственному значению Н3 в подпростран-
стве Rv Из леммы на стр. 28 следует, что преобразование Н+ пере-
водит вектор, отвечающий наибольшему собственному значению Н3,
.в нуль. По формулам (18) имеем, следовательно,
i	г
H+h = 2	:C-nip-m+lfm+l '== О-
m=-l	m=-l
Так как векторы fm линейно независимы, то коэффициенты при всех fm
должны быть равны нулю. При m <1 am+1 ¥= 0 и, следовательно,
•ст = 0. Значит, h = сг/г, т. е. содержит /г. Но если подпро-
странство 7?! содержит вектор /г, то оно содержит H_fi, Hz_fl
м т. д., т. е. /г_р /г_2, . .., /_г. Поэтому Rx совпадает с R.
П. 4] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 33
Мы доказали, что не существует отличного от нуля и R подпро-
странства, инвариантного относительно 7У+, Н_ и Н3, т. е. относи-
тельно Av А2 и А3. Но отсюда следует, что не существует отличного
от нуля и R подпространства, инвариантного относительно всех Тд,
так как в противном случае оно было бы инвариантно и относи-
, dT ($t, U g3) I	.
тельно всех Ак = ——~|	t • это значит> что предста-
вление g Тд неприводимо.
Заметим, что из нашего доказательства следует такое полезное
для дальнейшего утверждение: в пространстве R, в котором дей-
ствует неприводимое представление Тд, существует с точностью
до множителя только один вектор /, такой, что H+f=0.
4.	Разложение представления на неприводимые. Рассмотрим
теперь приводимое представление группы вращений. Почти все рас-
суждения, проведенные в предыдущем пункте, не основывались на
неприводимости представления. Неприводимость была использована
лишь в самом конце, а именно, когда мы доказывали, что построен-
ная система векторов /т (т ——I, —Z —J— 1, ..., I) является базисом
в пространстве R. Если не предполагать, что представление непри-
водимо, то из наших рассуждений следует, что построенная система
векторов будет базисом лишь некоторого инвариантного подпростран-
ства Rq. Рассмотрим ортогональное дополнение R' к этому подпро-
странству, т. е. совокупность векторов, ортогональных к /г,
Л-i» •••, /-!• Так как преобразования Нк самосопряженны, то R, как
подпространство, ортогональное к инвариантному подпространству Ro,
также инвариантно относительно TR, Н2, Н3. Мы можем теперь в ин-
вариантном подпространстве R' повторить те же рассуждения, т. е.
выбрать наибольшее собственное значение Ц преобразования Н3 в этом
подпространстве, затем по соответствующему собственному вектору
построить снова цепочку векторов fm (—потом снова
взять ортогональное дополнение и т. д., пока не будет исчерпано
все пространство R. Итак, окончательно мы приходим к следующему
выводу.
Пусть задано некоторое унитарное представление группы вра-
щений. Тогда существует ортогональный нормированный базис,
в котором матрицы Ak — iHk имеют следующий вид:
А^
(20)

34	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
где А^\ А3\ А3^ — матрицы, определенные по формулам
предыдущего пункта при I = lj, а именно.
0 a-ij+i 0	... О О
“-Zy+i О	“-ij+2 О О
О	а_^+3 О	... О О
О	О	О	...	О	ajj
О	О	О	...	аг. О
О	0	•••	0	0
— “-Zj+1	0 a-Zy+2 ••• О о
о — “-ZJ+2 О ••• О о
[ч.
(19)
(21)
О	О	О	... О	ау
О	О	О	...	—ац	О	|
4Л=
llj о	о	о
О	1(1 j— 1) о ... о
О О 1(1.,— 2) ... О
о
о
о
О О	О ... — i(lj— 1) О
О О	О	О — ilj
^т = V<lJ~ т + О)*
Сделаем несколько замечаний, позволяющих обычно найти, на какие
именно неприводимые представления разлагается данное представление
группы вращений. Для этого рассмотрим преобразование Н+. Легко
видеть, что каждый вектор /, для которого H+f=Q, имеет вид
«Л + a'fi3 + • • •	(22)
В частности, такими векторами будут, конечно, и /г,	. По-
следние характеризуются тем, что они являются собственными век-
торами для Н3'.	=	... Исходя из сказанного
выше, мы можем дать следующее правило для построения базиса,
в котором матрицы А:, Аг, А3 имеют вид (20), или, как мы будем
говорить, для разложения представления на неприводимые: ищем все
решения уравнения H+f=0. Совокупность всех этих решений ин-
вариантна относительно Н3. Рассмотрим преобразование Н3 в под-
П, 4] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 35
пространстве векторов /, для которых H+f=Q, и найдем полную
ортогональную и нормированную систему его собственных векторов.
По каждому из этих векторов, например , строится часть базиса,
отвечающая отдельному инвариантному подпространству, т. е. век-
торы H_fh, ............
Из предыдущего можно сделать следующий вывод: если задано
некоторое представление, то при его разложении на неприводи-
мые встретятся представления с теми I, для которых суще-
ствует совместное решение уравнений
H+f=0, H3f = lf.	(23)
Представление с этим I встретится в разложении столько раз,
сколько есть линейно независимых решений у уравнений (23).
Заметим еще, что если при разложении представления на непри-
водимые представления с данным / встречается более одного раза,
то разложение неоднозначно. Действительно, при построении соот-
ветствующей цепочки базиса мы начинали с ортогональной норми-
рованной системы векторов, для которых H+f=G, H3f — lf. Но
если одно и то же I встречается несколько раз, то отсюда следует,
что в подпространстве векторов /, для которых H+f=0, Н3 имеет
кратные собственные значения и, следовательно, такой базис можно
выбрать неоднозначно.
Мы укажем сейчас другой способ разложения на инвариантные
подпространства. При этом способе представление в каждом из ин-
вариантных подпространств или неприводимо, или кратно неприво-।
димому, т. е. может быть разложено на неприводимые представления
с одним и тем же весом. В отличие от разложения на неприводимые
представления такое разложение существует только одно.
Чтобы осуществить это разложение, рассмотрим преобразование
H2 = H2i + H22-\-Hi	(24)
Преобразование Н2 перестановочно с преобразованиями Нх, Н2, Н3,
т. е. имеют место равенства
[Н2, Hl] = Q, [Н2, Н2] = 0, [Н2, Н3] = 0.
Вычислим, например, [Н2, Н3]:
[я?, Н3\ = н1н3 — НзЯ? = н[н3 — HiH.Hi -I- HiH.Hi — Н3Н2! =
= Н1[Н1, WgJ + lWp	—	— tH2Hv
Аналогично
\H22, H3] = H2[H2, H3] + IH2,	+
и, очевидно,
[я!, Я3] = 0.
36	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
Складывая эти равенства, имеем:
[rf + Hl + Hi Я3] = [Я2, Я3] = 0.
Точно так же доказывается, что
[И2, Нх] = О, [И2, Н2] = 0.
В случае неприводимого представления, когда Н1, Н2, Н3 опреде-
ляются по формулам (19), непосредственным вычислением убеждаемся,
что
Н2 = 1(11) Е,
где I — число, определяющее представление. Чтобы произвести это
вычисление, полезно заметить, что
Н+Н_ = (Я[	iH>) — /Я2) =
= //14- н! 4- i (н.^—= я?+н! 4- я3,
откуда
я2=я+я_—я34-я|.
По формулам (18) находим:
Н+Н-fт == /^+a»4т-1	т>
== т,
Hlfm = rn2fm.
Так как у.щ— т 4~ т2 — I (/4~ то отсюда имеем:
№fm = i {14-1 )/»*)•
Мы видим, таким образом, что все векторы / пространства R,
преобразующиеся по неприводимому представлению с данным I,
удовлетворяют уравнению
H2f=l{l+i)f.	(25)
Отсюда следует, что число линейно независимых решений этого урав-
нения кратно 2/4—1*
С помощью преобразования Н2 мы можем разложить произволь-
ное представление на представления, кратные неприводимым. Это
*) Тот факт, что для неприводимого представления РР = аЕ, где а — число,
можно было бы вывести из перестановочности Я2 со всеми Я*. Значение
постоянной а легко найти, применив обе части равенства Я2 = аЕ к век-
тору f-i-
п. 5] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 37
значит, что мы можем выбрать в пространстве /? базис, состоящий
из отдельных групп векторов, таких, что, во-первых, каждая группа
порождает инвариантное подпространство и, во-вторых, представле-
ние в этом подпространстве или неприводимо, илй кратно неприво-
димому. Очевидно, чтобы получить разложение на, представления,
кратные неприводимым, нужно для каждого I найти полную
систему линейно независимых решений уравнения (25). Совокуп-
ность всех этих систем решений даст базис, в котором пред-
ставление разлагается на кратные неприводимым. Как мы уже
упоминали, в отличие от разложения на неприводимые представле-
ния такое разложение всегда однозначно.
5.	Примеры представлений. Рассмотрим в заключение несколько
примеров неприводимых представлений группы вращений.
Положим I — 0. В этом случае представление одномерно и мат-
рицы Тд суть числа. Очевидно, что мы получим такое представле-
ние, если положим Тд = 1 (единичное представление). Матрицы А1;
будут в этом случае нулями, что, впрочем, видно и из формул (19).
Положим 1=1. Тогда 2Z1 = 3, т. е. мы должны получить
представление группы вращений преобразованиями в трехмерном про-
странстве. Мы получим такое представление, поставив каждому вра-
щению в соответствие матрицу этого вращения (основное представ-
ление). Так как всякая ортогональная матрица, если ее рассматри-
вать как матрицу преобразования в комплексном пространстве,
является одновременно унитарной, то наше представление унитарно.
Канонический базис для основного представления имеет вид
где еу и ег — единичные векторы по осям координат. Легко про-
верить, что преобразования Лр А2 и А3 имеют в каноническом ба-
зисе такой вид, который получается из формул (19) при 1=1.
Найдем матрицу, отвечающую в этом базисе конечному повороту на
угол ср вокруг оси oz. В базисе ех, еу, ez это преобразование имеет
вид
4=-" e^coscp-f-^sincp,
еу = — ех sincp+'^coscp,
ег —	ег.
*) Элементы канонического базиса суть нормированные собственные
векторы преобразования Н3. Из формулы (7) § 1 легко получить, что мат-
0 — I 0 I
рица Н3 в базисе ех, еу, ег имеет вид
0 0
0 0
I
0
38	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
Отсюда
ё _ех !е!/ (ея>cos ? + еу sin у) — I (— ех sin <? + e,j cos <р)
/2	e
(р.т —
/2
=
/о=4 = ег=/0,
 в'г	icл/
-------г-^_- у- е~‘ч == e~^j\
V 2
Матрица поворота g„ имеет, следовательно, вид
ё1^ О О
О 1 о
О 0 e~i!-
Найдем компоненты а_, а0 и а+ вектора а в каноническом базисе.
Из равенства axex-\-avev-}r-azes = a_f_1-{-aofo-s!-a+f1, после за-
мены /_!, /0 и /х их выражениями, получим, что
Л—	I ,	.	,
~	» ау~	у 2 ^а~	а+^’	= а°
или
„ ___	' а.г + t ay
а+~	Y-2	‘
Gq —
Ч-
а = —
/2
Прежде чем разбирать другие примеры, найдем в случае произ-
вольного веса /, матрицу TQ, отвечающую конечному повороту вокруг
оси Oz. Из формул (19) мы имеем, что матрица Л3, отвечающая
бесконечно малому повороту вокруг оси Oz, имеет вид
и о о ... о
О 1(1—1) о ... о
О О 1(1 — 2) ... о
о о б ... —и
П. 5] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 39
Как было показано в п. 1 настоящего параграфа, повороту g на
угол <р вокруг оси Oz отвечает матрица Tq = т. е.
	eilf	0	0	..	0
	0	gi (I —1) f	0	..	0
та=	0	0	'^(2-2)?	..	0
	0	0	0	g-ih
Если число I — полуцелое, то единичному вращению мы должны
сопоставить две матрицы Би —Е. Действительно, если угол пово-
рота со менять непрерывно от нуля до 2тс, то матрица Тд непрерывно
меняется от Е до —Е. Таким образом, при полуцелом I мы не по-
лучаем однозначного непрерывного представления. С аналогичным
положением мы встретились в п. 4 § 1. Там мы каждому вращению
поставили в соответствие две унитарные матрицы второго порядка,
отличающиеся знаком. Произведению вращений отвечало произве-
дение матриц, также взятое со знаком или —. Мы получили при
этом так называемое двузначное представление группы вращений.
Такие представления будут подробно рассмотрены далее в § 6. Там
будет показано, что аналогичное соответствие можно построить для
любого полуцелого I.
Случай, разобранный в § 1, отвечает Z = Найдем для этого
случая матрицы Ак, отвечающие бесконечно малым поворотам вокруг
осей координат. Эти матрицы определятся однозначно, если поста-
вить единичному вращению в соответствие матрицу
1-1	-
и для близких вращений определить знак матрицы по непрерывности
(см. п. 4 § 1). В § 1 выписаны матрицы второго порядка, отвечаю-
щие конечным поворотам вокруг осей Ох и Oz (см. формулы (18)
и (19) § 1). Продифференцировав эти матрицы по 6 и по ср соот-
ветственно и положив значения параметров равными 0, мы найдем
матрицы At и А3:
. _ I II 0 1 II .  _£ II 1 0 И
А1~~ 2 И 1 О И’ Лз~ 2 || 0 —1 ||-
Далее,
л=|л,. л,1=1|?
Полученная матрица А3 диагональна и совпадает с матрицей А3 фор-
мулы (19) этого параграфа при	В то же время At и А2
не совпадают с соответствующими матрицами (19). Это значит, что
40	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч.
хотя базис в комплексном двумерном пространстве состоит из соб-
ственных векторов Н3, он отличается от канонического базиса нор-
мировкой. Умножим первый из базисных векторов на /, а другой
на — I, т. е. положим:
7 = II I 0 || £ Ц 0 1 II II — I 0 |1	__ 1_ II 0 11|
1	|| 0 — Z || 2 J 1 0 || ||	0 /||	2 || 1 о||’
д '1	0 |Ц || 0 -1 || l|-I Oil 1 II 0 1 ||
2 || 0	— z	||	2 ||	1	О	II	||	О	I	II “	2	II	—	1 0	1г
7 = |; I	0	||	J |j	1	0	||	||	—	I	0	||__	£	||	1	0	||
3	||	0	— i	||	2Д	0	—	1	Ц	||	О	I	||—	2	||	0	— 1	|| •
(26)
Мы видим, что матрицы Ак совпадают с матрицами, определен-
ными по формулам (19) при 1 = — , т. е. новый базис уже является
каноническим. Матрица второго порядка, отвечающая в каноническом
базисе произвольному вращению с углами Эйлера cpp 6, <р2, выглядит
так:
COS g-e	2
fl
— I sin — e	2
I 2
(27)
До сих пор мы рассматривали неприводимые представления группы
вращений. Остановимся коротко па представлениях полной ортого-
нальной группы, т. е. группы вращений с отражениями. Так как вся-
кий элемент полной ортогональной группы есть либо вращение g,
либо произведение gg _ вращения на отражение относительно начала
координат (см. п. 1 § 1), то для рассмотрения неприводимых пред-
ставлений полной ортогональной группы достаточно задать преобра-
зование, отвечающее отражению относительно начала координат. Так
как g2_ — е, то — Е и отсюда можно вывести, что при целых /
Te_ — -±zE. Таким образом, для каждого целого I существуют два
различных неприводимых представления веса I полной ортогональной
группы. Для первого из них Та_ — Е, а для второго Тд_ = —Е.
Например, при I = 0 мы имеем два представления. В первом из
них Тд_ — Ен как вращения, так и отражения не меняют преобра-
зуемую величину. Такая величина называется скаляром. Во втором
случае Та_ = — Е и величина не меняется при вращениях и меняет знак
при отражениях. Такая величина называется псевдоскаляром. Приме-
ром псевдоскаляра является определитель, составленный из компонент
трех заданных векторов.
При I — 1 величинами, преобразующимися при вращениях, являются
векторы трехмерного пространства. При отражениях обычные векторы
меняют знак, т. е. Тд_ —— Е. Если Тд_ = Е, то величина, преобра-
зующаяся по такому представлению, называется псевдовектором.
ДОБАВЛЕНИЕ К § 2
41
В учебниках векторного исчисления .обычные векторы часто назы-
вают полярными векторами, а псевдовекторы (например, векторное
произведение двух полярных векторов) — аксиальными векторами.
В общем случае величину, преобразующуюся по неприводимому
представлению полной ортогональной группы, называют /-вектором,
если Та = (—1)гЕ, и соответствующей псевдовеличиной, если
Тд_ = (-\)^Е.
Добавление к § 2. Доказательство дифференцируемости
матрицы Тд
При построении матриц Alt А2, А3 мы использовали дифферен-
цируемость Тд по параметрам ?2, 53. Докажем сейчас эту диффе-
ренцируемость. Для этого мы покажем, что для любого вектора т,
функция Tg-q есть дифференцируемая функция от g. Возьмем произ-
вольный элемент £ £ и положим сначала:
7l=f f(g) Tgidg,
где /(g)— некоторая функция на G, дифференцируемая по g (т. е.
по параметрами ;2, ?3). Здесь интегрирование понимается в смысле
инвариантного интегрирования, введенного в § 1, п. 3. Заметим, что
f(g)Tg^ есть вектор из R, и под его интегралом мы понимаем сле-
дующее: мы рассматриваем произвольный базис и интегрируем каж-
дую компоненту.
Покажем, что функция Тдт\ дифференцируема по g0. Для этого
вычислим Тд rt.
Мы имеем:
ТдА = Тда f f(g) Tg?dg= f /(g) TgTg^dg= f /(g) Tggidg.
В силу того, что интегрирование понимается как инвариантное инте-
грирование, мы имеем:
7'дЛ= J f(g^g)Tg^g.
Следовательно, для дифференцирования Тд -q по параметрам нужно
по ним дифференцировать функцию /(g^g). Но мы .предполагаем
эту функцию дифференцируемой. Поэтому дифференцируема и Tff,:-q.
Покажем теперь, что Tg,'q дифференцируема для любого вектора т].
Ясно, что если функция Tgi~q дифференцируема по g0 для т] = тп
и т] = т;2, то она дифференцируема и для вектора -q, являющегося
их линейной комбинацией. Мы доказали дифференцируемость Тдг[
для векторов вида
(*>
4 = / f(g)Tg^dg.
42
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. I
Покажем, что линейные комбинации векторов вида (*) заполняют
всё R. Для этого покажем, что вектор т)0, ортогональный ко всем
векторам вида (*), равен нулю. Действительно, пусть (т)0, 7]) = 0
для любого т) = J" f (g)Tg^dg, где f(g)— произвольная дифференци-
руемая функция, т. е.
(^. f f(g)^dgj = O,
т. е.
f Tg^dg^Q.
Так как /(g)— произвольная дифференцируемая функция, то имеем:
(т)0, Тд1) — 0 для любого g и любого 5,
В частности, положив g — е, имеем:
(^о» 0 = 0 Для любого Е,
т. е. т)0 = 0, что и требовалось доказать. Итак, функция Тдт\ диф-
ференцируема для любого вектора т). Выбирая в качестве т; векторы
базиса, мы получаем, что элементы матрицы Тд дифференцируемы.
<§ 3. Сферические функции и представления группы вращений
В § 2 были перечислены возможные неприводимые представления
группы вращений трехмерного пространства. Мы перейдем теперь
к одной из наиболее часто встречающихся в анализе реализации этих
представлений, а именно, будем реализовать операторы Тд предста-
вления как преобразования функций. При этом естественным обра-
зом возникнут системы функций, инвариантные относительно вра-
щений, —так называемые сферические функции.
Из результатов этого параграфа будет также вытекать существо-
вание неприводимых представлений веса I для всех целых значений I.
Метод, с помощью которого мы найдем эти сферические функции,
является в достаточной мере общим. Так, в § 7 мы аналогичным
образом получим другой класс специальных функций.
1. Определение сферических функций. Рассмотрим функцию
f (х) =f(x1, х2, х3). Вращение g запишем в виде
x' — gx ИЛИ =	(О
Если подставить в /(хр х2, х3) вместо хк их выражение через х\
{из (1)), то мы получим новую функцию /Дхь х’г, х'з). Мы будем
говорить, что при вращении g функция / переходит в /х. Преобразова-
ние, переводящее / в /р обозначим через Тд. Таким образом, каждому
вращению g отвечает преобразование Тд над функциями /(х), состоя-
П. Щ§ 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 43
щее в том, что функция / переходит в функцию Д, получающуюся
из f заменой х его выражением через х', а именно, через т. е.
где f1(x)=/(g-1x).	(2)
Ясно, что преобразование Тд линейно: сумма функций переходит
в сумму и произведение на число — в произведение на число.
Покажем, что произведению вращений отвечает произведение пре-
образований Тд. Для этого возьмем два последовательных враще-
ния gi и g2
х' = gtX,
х" = g2x'.
В результате первого вращения f (х) перейдет в
Tgif(x) = f(grlx),
а в результате следующего — в
W(gr1x)=/((gr1g2"1x))=/((g2g1)-1 х)=Тд^/(х).
Это значит, что
(3)
Так как при вращении сфера с центром в начале координат перехо-
дит сама в себя, то при рассмотрении преобразований мы можем
ограничиться функциями, заданными на поверхности такой сферы.
Будем поэтому считать, что xf -|-х- -|-х% = 1, т. е. что х лежит
на поверхности единичной сферы. При этом часто нам будет удобнее
считать, что вектор х задан своими сферическими координатами 9 и ср,
и полагать xt = sin 9 cos ср, х2 = sin 9 sin ср и x3 = cos9.
Ограничимся также функциями /(9, ср), квадрат модуля которых
интегрируем по поверхности сферы, и определим скалярное произ-
ведение таких функций формулой
(/, g) = f f Ж ?)Ж <p)sin9d9dcp.
о о
В метрике, определенной таким скалярным произведением, введенные
преобразования Тд унитарны. - В самом деле, так как при повороте
элемент поверхности сферы не меняется, то интеграл от произведения
преобразованных функций равен интегралу от произведения исходных
функций. Если обозначить координаты конца вектора х через 9, ср
44	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ .	[Ч. 1
и координаты конца вектора х' через О', <р', то это значит, что
2п я
(Tgf, TgS\= f f ?')g(0'> <?') sin 9 d9 d? =
0 0
2tc tc
= f f /(0Z,	/) sin 6' dO' d<?' = (/, g),
о 0
t. e. преобразования Tg унитарны.
Мы построим с помощью введенных преобразований неприводимые
представления с любым целым I. Для этого мы построим конечно-
мерные пространства, состоящие из функций, в которых определен-
ные нами преобразования Тд реализуют неприводимые представления
группы вращений с данным весом I. Соответствующее конечномерное
пространство для каждого I будет состоять из линейных комбинаций
2Z —1 функций /т(х) (—/ m <;/)*). Функции(л) мы подберем
так, чтобы они образовывали канонический базис для этого пред-
ставления. Функции на сфере, принадлежащие пространству,
в котором реализуется неприводимое представление с данным
весом I, называются сферическими функциями l-го порядка. Функ-
ции fm(x), образующие канонический базис в этом пространстве,
называются основными сферическими функциями l-го порядка.
Так как канонический базис определяется с помощью преобразований,
отвечающих бесконечно малым поворотам, то для нахождения fm(x)
мы сначала, в п. 2, построим по введенным нами Тд преобразова-
ния Д, Д2, А3, отвечающие бесконечно малым поворотам.
2.	Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно
малым поворотам. В п. 1 мы ввели линейные преобразования Тд
в пространстве функций па поверхности сферы. Построим по ним
преобразования Д, А2 и А3, отвечающие в этом пространстве бес-
конечно малым поворотам вокруг осей координат. Функции /, к ко-
торым применяются преобразования Тд, будем здесь считать диффе-
ренцируемыми **).
*) Собственно говоря, определив преобразования Тд и доказав свой-
ство (3) и унитарность этих преобразований, мы определили унитарное пре
сдавление в пространстве всех функций с интегрируемым квадратом модуля
на поверхности сферы. Дальше естественно поставить задачу о разложении
этого представления на неприводимые. Построением для каждого Z системы
функций fm (х) мы решаем основную часть этой задачи, а именно, выделяем
из пространства функций инвариантные подпространства, в которых действуют
неприводимые представления группы вращений. Полностью задача о разло-
жении решается в п. 5 этого параграфа.
**) Из того, что всякое унитарное представление группы вращений раз-
лагается на неприводимые, и из добавления к § 2 следует, что инвариантное
подпространство функций, в котором действует неприводимое представление,
при любом I состоит из дифференцируемых функций.
П. 2] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 45
' Найдем сначала оператор Л3, отвечающий бесконечно малому пово-
роту вокруг оси Oz. Для этого мы должны рассмотреть поворот g
на угол а. Так как (см, определение в § 2) Т — Е -\-аА3-\- ..., то
для того, чтобы вычислить A3f, мы должны Tgf разложить по сте-
пеням а и взять коэффициент при первой степени а.
Мы имеем Т f (х) — f (,g~1x). Поэтому для поворота g вокруг
оси Oz имеем Tgf(Q,	ср — а).
Разлагая /(0, <р — а) по степеням а, мы получаем:
/(0, ср —а) = /(0, ср) —	...	(4)
(J y
Итак,
__of О, Ч>)
d'-f ’
и оператор А3 есть дифференциальный оператор, имеющий вид
=
Легко видеть, что вообще все Ак (£=1,2, 3) для определенных
в п. 1 преобразований Тд над функциями f будут дифференциальными
операторами первого порядка. Действительно, для малого вращения g
на угол а вокруг какой-либо фиксированной оси 7^/(0, cp)=/(6z, ?z)>
где 6' и cpz зависят от угла поворота а и обращаются в 0, соответ-
ственно ср, при а = 0.
Разлагая Tgf = f(V, cpz) в ряд по а, получим:
/(0Z, ср')=/(0,	+	а_|_ .
74	~ ' J 4	'	1 \<70 da 1 d<pz da ) |а=0	1
следовательно, соответствующий данному бесконечно малому
повороту оператор А имеет вид
л = а(в.д^ + »(9.?)^, I
ц(0, ср) = ^|	,	£(0, <р) = ^|	. |
da 1а = 0	1а = 0 j
(5)
Найдем теперь дифференциальный оператор Д1; отвечающий бес-
конечно малому повороту вокруг оси Ох. Чтобы вычислить функ-
ции ц(0, ср) и £(0, ср), т. е. ~1 и при таком повороте, нам
“а 1а-0 |а = 0
удобнее сначала найти производную по а, от декартовых коорди-
нат xt, х2, х3 вектора х. Если g есть поворот на угол а вокруг
оси Ох, то g~l есть поворот на угол —а вокруг этой оси. Поэтому
вектор х'= g~lx имеет координаты xi — xt, x2 = -X2COsa-|-.X3sina,
46
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. I
х'3=—Xnsina-J-Xgcosa. Функции	имеют, следовательно, вид
'<х=0
I
da Lo
dx2 |	__ dxs I _
da Lo 3’ da Lo 2‘
(6)
Продифференцировав no a равенства Xi = sin 6cos cp, x2 — sin 9 sin cp,
x3 = cos 9, связывающие декартовы координаты co сферическими,
и воспользовавшись (6), мы при а=0 получим уравнения
df) . „ . d<j> n
cos a cos <p ---sin □ sin ®	= 0,
v,	T da	‘ da
cos 9 sin ® — -4- sin 6 cos ?	= cos 9,
‘ da	'da
. a dO • о •
— sin a -7- = — sin 9 sin cp,
da	1
из которых имеем:
—- = sin ср и = ctg 9 cos cp.
da	J da b T
n	u	I d<f I	,
Подставляя найденные отсюда значения -т- и -- в фор-
da 1«=о da «=о
мулу (5), мы находим, что At— дифференциальный оператор, опре-
деляемый формулой
Л1 = sin ?	+ ctg'0 cos ср .	(7)
Оператор А2, отвечающий бесконечно малому повороту вокруг
оси Оу, можно получить аналогичным подсчетом. Однако, заметив,
что замена ср на ср—у соответствует замене оси Оу на ось Ох, мы
можем получить А2, заменив в формуле (7) ср на ср — Таким
образом,
А> = — cos <р+ ctg 9 sin ср Д.	(8)
Дальнейшие вычисления нам придется проводить с преобразова-
ниями Н+, Н_ и Н3, введенными в § 2. Воспользовавшись выраже-
ниями для Лх, А2, А3, получим:
Н+ = Н1-]-1Нг = 1А1— ^2=^(-A+ictg9-^),
н_ = н, — Ш2 = 1А1 + Л = е~^(—Н- i ctg 0	,
H3 = lA3 = — ld^
(9)
П. 3] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 47
3.	Дифференциальное уравнение сферических функций. Как
мы уже говорили, функции на сфере из инвариантного подпростран-
ства, в котором действует неприводимое представление веса I, назы-
ваются сферическими функциями l-го порядка *). Функции, обра-
зующие канонический базис в этом подпространстве (т. е. собствен-
ные векторы преобразования Н3), называются основными сфериче-
скими функциями. Основные сферические функции обозначаются
обычно У™ (9, <р), где т — номер базисного вектора, т. е. соответ-
ствующее собственное значение Н3 (—Таким образом,
каждая сферическая функция l-го порядка есть линейная комбинация
2/-4-1 основных сферических функций У/”(9, ср). Их явное выраже-
ние будет получено в следующем пункте. Здесь мы выясним, как
они зависят от ср, и получим дифференциальное уравнение для сфе-
рических функций.
Функции Y™(9, ср) являются собственными функциями Н3, отве-
чающими собственному значению т. Воспользовавшись выражением (9)
для Н3, получаем:
j, ,т	ч	.	(8> ?)	уи.„ .
НзЪ (9> ?) = — I---------=mYi (9, <р).
Отсюда имеем:
yf(e, ср) = /т<р/7Г(9).	(Ю)
Зависимость Y™ от ср, таким образом, ясна. Как Y™ зависит от 9,
мы исследуем более подробно несколько позже.
Из формулы (10) видно, что мы можем получить таким путем
функции, однозначные на всей поверхности сферы лишь при целом I **).
Таким образом, неприводимые представления такого вида мы получим
лишь при целом весе I. Так как У™ (9, ср) являются нормированными
собственными функциями преобразования Н3, то
J* J* | У/” (9, ср) |2 sin 9 d9 dcp = 1.	(11)
о о
2я
Ввиду того, что J* | dy — 2к, удобнее положить:
о
Угот(9, cp) = -7Ufr(9)/Mtf.	(1О'>
у 2 к
*) В п. 4 будет показано, что для каждого веса I существует в точно-
сти одно такое инвариантное подпространство.
**) При полуцелом / мы, выходя из точки (0, «р) и изменяя <р непрерывно
от <f до ® + 2л, пришли бы в ту же точку со значением функции, противо-
положным по знаку.
48
ГЛ. 1 . ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
1ч. I
При этом условие (11) нормировки перепишется в виде
f 1^(9) |2 sin 0 йГО = 1.
О
(110
Перейдем к выводу дифференциальных уравнений для сферических
функций и для функций F™ (9). Как было показано в § 2, векторы,
преобразованиями которых реализуется неприводимое представление
с данным весом I, удовлетворяют уравнению
№/ = /(/+-!)/,
где =
Найдем явный вид этого уравнения в нашем случае. Для этого
>	2	1
заметим, что	(Н+Н_ -\-Н_Н+). Подставляя Н+ и Н_ из
формулы (9), мы найдем, что
Добавив к этому
выражению =
о2
, мы после простых пре-
образований получим:
— Н2
_ 1	<9 / .	______!_____
sin 6 дЬ \ П дб / ' sin2 9 д'?2 ’
Таким образом, уравнение [—H2-j-Z(Z-(-1)£:]/=0 имеет в нашем
случае вид
1 д ! • я
——д -575- ( Sin О
8Ш 0 <56 \.
1 d2f
sin2 0 д'?2
j-Z(Z+l)/=O.
(12)
<90 )
Это уравнение называется уравнением сферических функций 1-го
порядка. Число линейно независимых решений этого уравнения (нас
интересуют, естественно, только решения непрерывные и дифферен-
цируемые на всей сфере) должно быть кратно 2Z —|— 1 • Из результа-
тов п. 4 будет следовать, что число решений в точности равно 2Z —|— 1.
Перейдем к основным сферическим функциям. Подставляя выра-
жение Yf (9, ср) из формулы (10) в уравнение (12), мы получим обы-
кновенное дифференциальное уравнение для функции (9)- Оно
имеет вид
1 d / dFf\ Г	т2 1 m
^Hsin 0 -dT) + LZ(Z+ J W = 0 <13)
или после введения новой независимой переменной р — cos 9 и за-
мены F™ (9) через Р™ (р) вид
[(l-p2)p»'((l)y + p(Z_bl)__^_jp«/..4_o.	(13')
П. 4] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 49
Таким образом, окончательно мы получаем, что основные сфериче-
ские функции имеют вид
УГ (0, <?) = eimfPT (cos 9),	(14)
V 2я
где Р™ (р.) удовлетворяет уравнению (13'). В следующем пункте мы
получим явное выражение для Р™ (р).
4.	Явное выражение сферических функций. В этом пункте мы
получим явное выражение для основных сферических функций. В про-
цессе рассуждения мы одновременно получим, что для каждого це-
лого I существует, и притом только одно, инвариантное подпро-
странство функций, в котором реализуется представление веса I.
Чтобы найти канонический базис для неприводимого представле-
ния веса /, мы, как и в § 2 (стр. 35), начнем с совместного решения
уравнений
Я+/=0,
т. е.' с отыскания Уг(8, ®) (собственного вектора Н3, отвечающего
наибольшему собственному значению).
Первое из этих уравнений, как и в п. 3, дает, что Уг (9, <р) имеет
вид
W(9, <р)== 1 /г^(0).
У
Подставляя эту функцию во второе уравнение и сократив на
мы получим следующее дифференциальное уравнение для Ргг (9):
dFi (0)	7
—— Zctg 9F*(6) = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
р\ (9) = С sin* 6.	(15)
Отсюда видно, что среди собственных функций оператора Н3,
соответствующих собственному значению Z, имеется, с точностью
до множителя, всего одна функция, удовлетворяющая уравнению
H+f=0. Следовательно, для каждого I существует только одно
неприводимое представление веса I, так как в противном случае
уравнение H+Y\ — 0 имело бы для какого-то I по меньшей мере два
линейно независимых решения вида ея'Рф(9).
Прежде чем перейти к нахождению (9, <р) для т < I, следует
пронормировать уже найденную функцию F\ (9) = С sin* 9, т. е. подо-
брать постоянную С так, чтобы выполнялось условие нормировки (IV)
К
f | F*(6) |2 sin9d9 = 1.
о
50
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. I
Вычисляя интеграл, находим:
С2 f sin2*+19 de = C2-	= I,
0
откуда
c=±-~y/~ ?^+1У(й).
2lll '	2
Обычно полагают:
с=(-1)г^г/"
Таким образом,
Yl (9, ©) = —— 1/"/(27) e^f sin* 9 = -£=	sin* 9.
у 2it  2* • l\ F	2	V 2л
Найдем теперь остальные функции канонического базиса /да =
= У™ (9, <?). Для этого воспользуемся формулой H_fm ==	где
=	+ m-Y !)• Так как Н_ = е~^ (— Д- I ctg 9	,
то
е-1<р
dY?
‘ДГ
лут \
+-Zctg9^-)^amTT-1.
Подставив сюда У” (9, <?) =
мы получим рекуррентную
у~--~ eim,,F™ (9) и сократив на
формулу для Д™ (9)
1 gi	f
V 2л
---г~^-Ш ctg 9ДГ (9) =	(9).
Как и раньше, положив cos9 = [i и обозначив F™ (9) через Р™ (р),
мы получим соотношение
i> ( ^Р1	пт i	пт~* / \ чех
V 1 — у2 *у—-------т pi (и)) = a™pi (у)- U 6)
Так как Л’г(р) нам известно, то эта формула дает возможность
последовательно определить Р™ (р). Сделаем для этой цели подста-
новку
т
/Т(у) = (1 —у2)-2 *Му)-	(17)
Мы получим тогда из (16) соотношение, которое после сокращения
т—1
на (1—р.2)	2 примет простой вид
=	(18)
U и
П. 4] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 51
2
Из формулы (15) мы видим, что Р\ (р) = С(1—р2)2. Значит, zzz(p) —
= С (1—р2)*. Отсюда по формуле (18)
, ч С	ч С </2(1—Р)г
«г_2(р) = —
“mW — azaz_! ... ат+1 dpl'm
Если подставить найденные значения ит(р) в формулу (17), то по-
лучится выражение
Р"(н)=а-5—^-7—(1-Н2)
aZaZ—1 • * • аш+1
Здесь m—l, I—1, I — 2, ... Заметим, что при т<]— I—1, как
и следовало ожидать, мы получаем Р™ (р) = 0.
Заменим С и ат их значениями и внесем (— 1)г под знак произ-
водной. Окончательно получим:
р™ л,') л/~U~Ь тУ- -t/~2/ 4- 1 * /11)г	(-io-)
В частности, функция Р° (р), которую чаще обозначают просто через
Рг (р), имеет вид
рг (р) = 1/" ?£±1	.	(20)
F 2 2l-l\ dp1
Многочлен Рг (р) носит название нормированного многочлена
Лежандра l-го порядка, а функции Р™ (р) называются нормиро-
ванными присоединенными функциями Лежандра.
Итак, доказана следующая теорема: основные сферические функ-
ции l-го порядка имеют вид
УГ(Ь, ?)=-7U^Pr(cos 6),
У 2я
где Р™ (р) определяются формулой (19). Линейные комбинации
функций 7^(9, ср) с данным I образуют (21-]- 1)-мерное простран-
ство функций, инвариантное относительно вращений сферы,
в котором реализуется неприводимое представление группы
вращений с весом I.
В заключение этого пункта выведем рекуррентные соотношения
Для многочленов и функций Лежандра с одним и тем же I. Два
рекуррентных соотношения, в которые входят функции Р™ (р) и их
первые производные, содержатся в формулах преобразования основных
сферических функций Н_ (б, ?)=«»>У™-1 (®> ?) и Я+Ур=ат+1Ур+1.
Первая из этих формул была уже использована в начале этого
52	гл. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
пункта для получения рекуррентного соотношения. Для этого мы
подставили в нее У™ (0, ср) — Р™ (cos 0) и получили формулу
у
dPm
КТ=ПГ2= т	Pf (р) + ]Л(/ + /п)(/ —/п+1)РТ-1 (р).
аи. VI —и2
(21)
Аналогично соотношение H+Y™ = a.m+xYii+l дает другую рекуррент-
ную формулу
г--------dPT
-/1-р2-Ь
ар
р
т г____
’z"+1(p).
(22)
Складывая формулы (21) и (22), мы получим связь между тремя
последовательными нормированными функциями Лежандра:
]Л(/ + /п + 1)(/ —«) Pf+1 (р) + 2/n Р? (р) +
V 1 — р2
т-\-	(р) = 0. (23)
В § 7 будут выведены другие рекуррентные соотношения между
присоединенными функциями и многочленами Лежандра с различными
значениями I.
С помощью формулы (22) можно получить другое, более распро-
страненное выражение для присоединенных функций Лежандра. Поло-
жив в этой формуле т = 0, мы найдем, что Р} (р) = — ~ (1 —	•
Положим вообще:
Так как V0(p)
РГ(р) = (1—Р2)2 Vm(p).	(24)
Тогда формула (22) дает простую связь между функциями Vw(|i)
\т г \__________1	(Р*)
v jn+1 W — Z ЗуП *
аш+1 «Р-
1 dl (р2—1/
-----—=—— , то отсюда находим, что
2г • l\	d?1
I____ /~2Г+~1	1 d;+TO(p2 —1)г
а1а2...атг 2 2г-/! dij.l+m
Подставляя Vm(p) в формулу (24) и заменяя а.т их значениями, мы по-
лучаем следующее выражение для присоединенных функций Лежандра:
Р7 (р) = (— 1)” лГлГ?L+1 JL (1 _|р2)Т rfTO+z(p2-l)1
1 г (1+т)1 У 2 21-/! 1
VW(P)=(-1)OT-----

(25)
П. 5] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 53
Сравнивая выражения (19) и (25), мы видим, что при замене т на
— т одно из них, с точностью до множителя, переходит во второе.
Отсюда следует, что
Р™№ = (-1)тРГт(р),
т. е. нормированные присоединенные функции Лежандра с противо-
положными по знаку значениями т пропорциональны между собой.
Заметим, наконец, что если заменить в формуле (25)
,	2/4-1	1 dl(^ — 1)г п . .
У ——d?.1 ~ Чере3 Т0 МЫ П0ЛУчим:
р? w=(- о™ !4га(1—•	(2Q
г	-у nt ук
Эта формула является известным выражением нормированных при-
соединенных функций Лежандра через нормированный многочлен
Лежандра соответствующего порядка.
5. Разложение функций на сфере по сферическим функциям.
До сих пор мы строили отдельные неприводимые представления.
Из § 1, п. 5 мы знаем, что каждое унитарное представление группы
вращений, даже бесконечномерное, можно разложить на неприводи-
мые представления. В начале этого параграфа мы определили бес-
конечномерное пространство функций с интегрируемым квадратом
модуля на поверхности сферы. Преобразования сдвига Т дают в этом
пространстве унитарное представление группы вращений.
Общая теорема о разложении представления на неприводимые
означает в этом случае, что каждую функцию /(9, <р) с интегри-
руемым квадратом модуля на поверхности сферы можно представить
как сходящийся в среднем ряд
/ — ?о + ?1 + +  • • + ?г + • • • >
где каждый элемент принадлежит инвариантному подпространству,
в котором действует неприводимое представление.
Мы выяснили уже, что каждое из этих инвариантных подпро-
странств состоит из сферических функций определенного порядка,
т. е.
= 1 СПТ(9,<р).
/П= — I
Заметим, что из общих теорем § 3 следует, что (9, ср) образуют
ортогональную систему на поверхности сферы. Действительно, сфе-
рические функции с разными I ортогональны, так как они принадле-
жат подпространствам, в которых действуют неэквивалентные непри-
водимые представления. При одном и том же I и различных т. они
ортогональны как элементы канонического базиса.
54	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
Таким образом, доказано, что произвольная функция с инте-
грируемым квадратом модуля на поверхности сферы разлагается
в ряд, сходящийся в среднем, по ортогональной системе сфери-
ческих функций. Отсюда, в частности, следует полнота системы
сферических функций на поверхности сферы.
Разложение функций в ряд по сферическим функциям полезно
во многих вопросах математической физики в силу инвариантности
такого разложения относительно вращений. По этой причине сфери-
ческие функции играют в задачах, связанных с поверхностью сферы,
ту же роль, какую играют тригонометрические функции в задачах,
связанных с окружностью.
§ 4. Произведение представлений
В этом параграфе мы укажем способ, как по двум данным пред-
ставлениям группы вращений построить третье представление, назы-
ваемое их произведением. При этом окажется, что многие важные
представления являются произведениями простейших. Так, например,
тензорные представления, которым посвящен следующий параграф,
оказываются произведениями неприводимых представлений с I — 1,
а спинорные представления (см. § 6) — произведениями неприводи-
„ , 1
мых представлений с I =	.
Далее мы покажем, как разлагать произведение двух неприводи-
мых представлений на неприводимые представления.
1. Определение произведения представлений.Прежде чем опре-
делить произведение представлений, нам придется ввести произведе-
ние пространств. Пусть Rt—р-мерное евклидово пространство
с ортогональным и нормированным базисом elt е2, . . ., ер, а
/?2 — (/-мерное евклидово пространство с ортогональным и норми-
рованным базисом Д, /2> • • •> fq- Рассмотрим всевозможные пары е;/й.
Их линейные комбинации с произвольными коэффициентами
i=p
А == ' .2 ^ik^ifk
i.k-l
мы будем считать векторами нового пространства R. Так построен-
ное пространство R называется произведением пространств Rt и Rz
и обозначается X Rz- Таким образом, вектор h пространства R
задается pq числами
aik (Z = 1, 2, . . ., р\ /г=1, 2, . .., q),
т. е. это пространство имеет размерность pq. Если взять произволь-
ный элемент е = 2 из и произвольный элемент /= 2 ^kfk
i	k
из R2, то под ef мы будем понимать элемент пространства Rr X R2,
равный 2рАл^Л-
i, к
П. 1]	§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ	55
Определим скалярное произведение двух векторов h' = 2 a\kfiek
i, к
и А" = 2 a'ikeif-k пространства R = RY X R-г формулой
(о
i, к
т. е. будем считать базис е^к пространства R = Rr/R2 ортого-
нальным и нормированным. '
Аналогично можно определить произведение трех, четырех и т. д.
пространств.
В дальнейшем мы часто будем встречаться с произведением трех-
мерного пространства самого на себя. Каждый его элемент задается
системой девяти чисел aik (i, k~ 1, 2, 3).
Произведение трех трехмерных пространств есть 27-мерное про-
странство, каждый элемент которого задается системой чисел
aiia (z, k, /=1, 2, 3).
Аналогично произведение г трехмерных пространств задается
системой Зг чисел
, ir (ч» А» • • •> А —	2, 3).
Перейдем теперь к определению произведения представлений.
Пусть нам даны два представления трехмерной группы вращений:
представление матрицами Ug, действующее в р-мерном пространстве/?!,
и представление матрицами Vg, действующее в (/-мерном простран-
стве /?2. Рассмотрим произведение пространств /?х и R2. По пред-
ставлениям, действующим в /?х и R2 соответственно, мы можем
построить некоторое новое представление, действующее в R. А именно,
так как при вращении g векторы пространства Rt переходят в Ugeit
а векторы fk пространства R2 — в векторы Vgfk, то мы определим
преобразование Тд в пространстве Rt X /??> отвечающее вращению g,
формулой
Тде^к=идеУд}к.	(2)
Так как векторы е^к образуют базис в пространстве /?х X R2, то,
задав Тдв^ь, мы тем самым определили линейное преобразование Тд
для всех элементов из R. Легко выписать матрицу этого преобра-
зования. Действительно, если при представлении в пространстве RL
вращению g отвечает матрица Ug = || usl ||, т. е.
р
U gfR^^ usi^s<
s=l
а при представлении в пространстве R2—матрица Vg = (|vrft|[, т. е.
я
Vgfk , ^rkJГ ’
Г = 1
56	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
то по определению преобразования Т
р ч.
TgCifk 2 S ^si^rk^sfr-
8=1 г —1
Отсюда следует, что произвольный элемент пространства Rt X Я2>
имеющий в базисе е^к координаты а1к, переходит при преобразова-
нии в элемент с координатами а' = 2 a8ivrk^ik-
i, k
Исходя из формулы (2), легко проверить, что так определенные
преобразования Тд образуют в пространстве R представление трех-
мерной группы вращений, т. е. что произведению вращений gt и g2
отвечает произведение преобразований Тд1 и Тв1.
Итак, произведением представлений g-+Ug и g-+Vg, дей-
ствующих в пространствах Rt и R2 соответственно, называется
представление g—> Т действующее в пространстве R — R^yi R2.
При этом, если матрица Ug в базисе есть ||«sij|, а матрица
Vg в базисе fk есть ||‘ПгЛ]|, то вектор h из R1\R2, имеющий
в базисе Bifk компоненты aik, преобразуется при вращении g в век-
тор h' —Tgh, компоненты которого определяются по формулам
р ч
^sr :== 2 2 ^si^rkaik-	(3)
i = l k = l
Аналогично можно определить произведение любого числа пред-
ставлений.
Отметим, что полученному результату можно придать также сле-
дующую формулировку. Каждому элементу /z = 2aifteiA произ-
ведения пространств поставим в соответствие матрицу
с р строками и q столбцами, составленную из его координат. Эту
матрицу также будем обозначать через /г: A = ||aift||, Тогда фор-
мула (3), определяющая преобразование h-+Tgh, может быть запи-
сана в виде
=	О')
где Vg — транспонированная матрица Vg.
Покажем теперь, что произведение унитарных представлений U.g
и Vg также унитарно. Для этого заметим раньше, что в силу опре-
деления скалярного произведения в произведении пространств (фор-
мула (1)) мы имеем:
(ef, e'f') = (е, е') (J, f').
Для того чтобы доказать, что Тд унитарно, достаточно показать,
что Тд переводит ортогональный нормированный базис eifk снова
в ортогональный нормированный базис. Но это ясно. Действительно,
(Tgeifk, Тдегфк,) = {иде^дфк, иде<^вЫ =
^=(идег, Uger)(Vgfk, VgM = ^w-hk',
П. 1]	§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ	57
т. е. Тgeifk есть ортогональный нормированный базис, и унитар-
ность Тд доказана.
Рассмотрим важный пример. Простейшим представлением группы
трехмерных вращений является тождественное представление в трех-
мерном пространстве, при котором каждому вращению g отвечает
матрица этого вращения g = ||gsi||. Найдем произведение этого пред-
ставления на себя. Произведение двух трехмерных пространств
есть девятимерное пространство, элементы которого задаются ком-
понентами aik (i, k= 1, 2, 3). Так как при вращении g трехмерное
пространство преобразуется с помощью матрицы ||gis||, то числа aik
согласно (2) преобразуются при вращении g по формулам
з з
a'sr = 2 5 gsigrk^ik’
i = l к = 1
Аналогично определяется произведение г таких представлений.
Элемент из произведения г трехмерных пространств задается систе-
мой Зг чисел	(iv i2....ir= 1, 2, 3). При вращении g эти
числа преобразуются по формулам
з
<2, (3">
1	г tj» • • • ty — 1
Это представление называется тензорным представлением.
С введенным только что представлением тесно связано понятие
тензора. Предположим, что некоторая величина определяется в каж-
дой системе координат совокупностью Зг чисел . При этом
мы должны указать, как связаны эти числа в различных системах
координат. Для случая вектора в трехмерном пространстве эта связь
хорошо известна, а именно, если g= есть матрица перехода
от одной прямоугольной системы координат к другой, то
О-i == 2 gik^-k'
Если заданная в каждой ортогональной системе координат сово-
купность чисел a^^.tr(i1, . . ., ir= 1, 2, 3) при переходе от одной
системы, к другой с помощью матрицы g=||gifc|| преобразуется
по формулам
з
й / — S gi’,i.gi„i„ ... gi i	• • • > ’
»1*2---гг	<1,г2,...ф = 1 1122 г г 12 г
то мы говорим, что нам задан тензор r-го ранга в трехмерном
евклидовом пространстве. Другими словами, тензор r-го ранга есть
элемент из произведения г трехмерных евклидовых пространств,
в котором действует определенное выше представление группы трех-
мерных вращений. Более подробно тензоры и тензорные представле-
ния будут рассмотрены в следующем параграфе.
58	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I
2.	Преобразования, отвечающие в произведении представле-
ний бесконечно малым поворотам. Найдем, какие преобразования
отвечают при произведении представлений бесконечно малым пово-
ротам вокруг каждой из координатных осей. Чтобы сделать это, мы
должны в соответствии с § 2 взять преобразование Тд, отвечающее
повороту на угол а вокруг k-й координатной оси, и найти его глав-
ный член при разложении по степеням а. Множитель при а в этом
главном члене и будет преобразованием Ак, отвечающим бесконечно
малому повороту вокруг данной оси.
Мы знаем, что
Tneifk ~ U<ieiVafk-
у tv	у t у J tv
Но при вращении на угол а вокруг фиксированной оси
t/gCj =	-|- aAei -|- .. .,
д/к	аА/к + • • •.
где мы одной и той же буквой А обозначаем преобразование, отве-
чающее данному бесконечно малому повороту при каждом из пред-
ставлений. Подставляя эти разложения в выражение Tgeifk, получаем:
^'эегЛ:==(ег’4'а^ег_1_- • •) (/л+а^А+ • • •)~eifk~STa	• • •>
где многоточиями, как обычно, заменены члены выше первого порядка
относительно а. Так как эта формула представляет собой разложе-
ние Tgeifk по степеням а, то отсюда имеем:
А (е^ь) = Aetfb -ф- егА/к.	(4)
Формула (4) дает правило нахождения преобразования, отвечающего
при произведении представлений бесконечно малому повороту вокруг
какой-либо оси, аналогичное, как мы видим, правилу дифференци-
рования произведения.
Аналогичная формула имеет место при произведении нескольких
представлений.
3.	Произведение двух неприводимых представлений. Пред-
положим теперь, что представления g->Ug и §—действующие
в пространствах R{ и R2 соответственно, неприводимы. Произведе-
ние двух неприводимых представлений, как правило, приводимо.
Выясним, как оно разлагается на произведение' неприводимых пред-
ставлений.
Рассмотрим неприводимое представление g-+Ug с весом /1( дей-
ствующее в пространстве Rlt и представление g-+Vg с весом /2,
действующее в R2. Выберем в пространствах Rr и R2 канонические
базисы e_Zi, e_z,+i, ..., etl и /_Is,	.....fa (т. e. базисы, со-
стоящие из нормированных собственных векторов преобразования
п. 3]
§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
59
Н3 = М3 в этих подпространствах). Тогда мы будем иметь:
H3emt —	(,— R^.m^R),
HJта ==	( ^2	^2 -С Aj)
(см. формулы (19) § 2). Рассмотрим преобразование Н3 для произ-
ведения представлений Uд и V . Согласно доказанному в п. 2
Н3 (е>п, fmJ ==	~1~	== т^вmJ/И2СmJ'та ==
— (тг mJ emJm2. (о)
Таким образом, базис emJma пространства Rr X ^2 представляет
собой систему ортогональных и нормированных собственных векто-
ров преобразования Н3 с собственными значениями т — mt -|-тг-
Выясним теперь, на какие неприводимые представления разла-
гается произведение представлений. Для этого найдем сначала, каковы
собственные значения преобразования Н3 в пространстве X ^2
и какова их кратность.
Так как тх меняется от —R до Zt, а т2—от —/2 Д° ^2> т0
из формулы (5) следует, что собственное значение т преобразова-
ния Н3 в Ri X R2 принимает значения R-\-R, /14-Z2—1, . . ., —R—R.
Для того чтобы найти кратность каждого собственного значе-
ния иг, нужно найти число векторов emJnl:t, для которых т1-\~т2 — т.
Так как вместе с каждым вектором’ emJm^ базису принадлежит и
вектор	то ясно, что число решений задачи не меняется
при замене т на —т. Поэтому нам достаточно знать, какова крат-
ность неотрицательных собственных значений т.
Предположим для определенности, что R^.R- Очевидно, что
наибольшему собственному значению m — R-\~R отвечает лишь один
собственный вектор eiji2- Собственному значению m — R-R-R—1
отвечают два линейно независимых собственных вектора	и
значению m = R-R-R—2—три линейно независимых соб-
ственных вектора и т. д. Наконец, собственному значению m—R—R
отвечают 2R 1 собственных вектора
e-iifia>	••> ^,/z2-2Z,-	(6)
При дальнейшем уменьшении собственного значения число собствен-
ных векторов не может увеличиться, так как в ряде (6) использо-
ваны все векторы е,„х. Мы получим, таким образом, что каждому
собственному значению т — R—R, m — R—R—1, . . ., =— (/2—R)
отвечают 2Zt —1 собственных вектора. Например, 2ZX —1 собствен-
ных вектора, отвечающих значению т ——(/2—R), имеют вид
^-iJ-1,+21,,	•••, eij-i-s
Уменьшая теперь собственные значения дальше от —R-R-R до
— R — R, мы, согласно замечанию, сделанному выше, будем умень-
60	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
шать число' собственных векторов от 2/j-J-l до 1, так что соб-
ственному значению —/2 — Zt снова отвечает лишь один собствен-
ный вектор, а именно,	Если бы было /2 < /г, то результат
был бы вполне аналогичен, только вместо 12 — следовало бы
писать 1Х —12. Итак, окончательно можно сформулировать следую-
щий результат:
Преобразование Н3 в пространстве R\ X Rz имеет собствен-
ные значения	^1+^2—Ь •••> —к— h- При атом соб-
ственное значение Z2 имеет кратность 1, собственное значе-
ние	1—кратность 2
и т. д. до \12— /1|. В проме-
жутке от \12 — lt\ до — \12 — lt\
все собственные значения имеют
одну и ту же кратность
12 —|— — 112 — li [ —f— 1.	Дальше,
от —\12 — /, | до —12 — li,
с уменьшением собственного
значения на 1, его кратность
также уменьшается на 1, так
.	что наименьшее собственное
. . • • • »
1	значение —12 — L снова имеет
|	кратность 1 *).
t	На какие же неприводимые
представления разлагается данное
Рис. 4.	представление? Так как собствен-
ные значения т преобразования Н3
в пространстве X Rz удовлетворяют неравенствам —
т (li /2), то веса I этих неприводимых представлений во вся-
ком случае не превосходят li~}~l2.
У Н3 есть один собственный вектор eijia с собственным значе-
нием li~}~l2. Как мы знаем из § 2, пронормированные векторы eijia,
H-ieiji), Ht-teiji),	образуют базис в подпростран-
стве в котором действует неприводимое представление с весом
I — li-j-12. Среди этих векторов имеются собственные векторы Н3,
соответствующие всем собственным значениям от li~\-l2 до —(Л + У-
Поэтому если рассмотреть ортогональное дополнение R' к то
в R' у Н3 все собственные значения будут иметь кратность на еди-
*) Этот же результат легко получается также из рис. 4. Отмеченные
точки прямоугольника •—— Z2 у соответствуют встречаю-
щимся парам' значений т± и т<,. Прямая х4~у = ш при т — Zj -f-Z2 содер-
жит одну отмеченную точку; при уменьшении т на единицу число точек,
которые на нее попадают, каждый раз увеличивается на единицу до значе-
ния т = 112—(т. е. пока прямая не дойдет до левого верхнего угла
прямоугольника). От этого значения до т =— |Z2— 41 прямая содержит
одно и то же количество отмеченных точек, и затем, с уменьшением т,
число отмеченных точек, попавших на прямую, также уменьшается до нуля.
II. 41	§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ	61
ницу меньше, чем в R~R1'XR2. В частности, собственного значе-
ния	у И3 в R' не будет, а наибольшее собственное значе-
ние Н3 в R' будет равно Zj—Z2—1 и будет простым.
Возьмем в R' собственный вектор, отвечающий собственному
значению Zx-(-Z2—1 *)> и построим, начиная с него, цепочку соб-
ственных векторов, образующих базис для подпространства /?(2)>
в котором действует неприводимое представление с номером —1.
Продолжая этот процесс, мы будем выделять из R подпростран-
ства, в которых действуют неприводимые представления с номерами
Zi4_Z2, Zx —Z2—1>	—2 и т- Д-, пока не придем к подпро-
странству, в котором наибольшее собственное значение равно \12—|
и имеет кратность 1. В этом подпространстве Н3 имеет собствен-
ные значения 112 —11\, 112 — I, | — 1, 112 — Zt | — 2, . . ., — 112 —| и,
как легко видеть, все эти собственные значения имеют одинаковую
кратность 1. Отсюда видно, что представление, действующее в этом
подпространстве, есть неприводимое представление с весом |/2—Zx |.
Мы получили, таким образом, следующий результат: произведе-
ние неприводимых представлений с номерами и 12 разлагается
на неприводимые представления с номерами Zx —Z2,	—1, • • •
.... \12 — Zj |, причем каждое из этих неприводимых предста-
влений встречается в разложении один раз.
4.	Разложение произведения неприводимых представлений,
когда одно из них имеет вес 1 или 1/2. В предыдущем пункте мы
выяснили, на какие представления разлагается произведение двух
неприводимых представлений. Для того чтобы фактически произвести
разложение, нужно представить канонические базисы в каждом из
подпространств, на которые разлагается R{ X Z?2> как линейные комби-
нации векторов emJma. Коэффициенты соответствующих линейных
комбинаций в общем случае выглядят громоздко. В настоящем пункте
мы определим эти коэффициенты в наиболее простых и, вместе с тем,
часто встречающихся случаях, когда одно из неприводимых предста-
влений, произведение которых разлагается, имеет вес Z = 1 или
Z:=y. Общий случай рассмотрен в §.10.
Пусть неприводимое представление g~+Ug имеет вес Z=1 и
е-1—е_, еоие1 = е+—канонический базис в трехмерном простран-
стве./^**). Представление g —>Vg имеет вес Z/>1, и векторы
канонического базиса этого представления обозначим fm (— I т Z).
*) Не следует думать, что он совпадает с одним из базисных векторов
el -ifi, или el fi,-i> отвечающих этому собственному значению. Действительйо,
принадлежащий к /?О) вектор	равен H-ejtf^-\-	—
= -i.fi, + fi _р Поэтому вектор, отвечающий тому же соб-
ственному значению —|— Л,-—1 и ортогональный к R^ также будет линей-
ной комбинацией векторов _1Д и etfj
**) Связь этого базиса с обычным базисом в трехмерном пространстве
см. в п. 5 § 2.
62
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. I
Рассмотрим теперь произведение этих представлений. Базис в про-
странстве X в котором действует это представление, состоит
из 3(2/4-1) векторов e+fm, eQfm, e_fm(—По доказан-
ному в п. 3 пространство X Аг разлагается на сумму трех инва-
риантных подпространств, в которых действуют неприводимые пред-
ставления с весами 1-\- 1,/и/— 1 соответственно. Канонические базисы,
состоящие из собственных векторов Н3 в этих подпространствах,
обозначим через g^1, glm и g1^1, где значок наверху указывает на вес
неприводимого представления, действующего в данном подпростран-
стве, а т, как всегда, — собственное значение Н3, которому соот-
ветствует данный собственный вектор.
При фиксированном т каждый из векторов g1^1, glm и g1^1 является
собственным вектором Н3 в пространстве X К2, отвечающим соб-
ственному значению т. Поэтому векторы g^1, g^, g^-1 являются
линейными комбинациями тех базисных векторов еТО1/ТОа, которые
являются собственными векторами Н3 с тем же самым собственным
значением т, т. е. е_/то+1, е0/то,	Другими словами, g^1,
g^, g^-1 и e_fm+v e§fm, е+/от_1 являются различными базисами в трех-
мерном подпространстве *) пространства Rr X К2, состоящем из всех
собственных векторов Н3, отвечающих собственному значению т.
Нам нужно для любого т найти матрицу перехода от одного из
этих двух базисов к другому.
Положим:
л f	р711л-/ + 1	| /уЗ I z>W (rl — 1
eofm = 41	+ c22glm+
p f . —	—I— rW_1_	— 1
(7)
Так как векторы	eofm и е+/т_г попарно ортогональны и
нормированы и векторы g^1, glm, g1^1 также ортогональны и нор-
мированы (они принадлежат различным ортогональным друг к другу
подпространствам Кх X К2), то матрица С(т> = есть унитарная
матрица третьего порядка.
При т = — I—1 из системы равенств (7) нужно оставить
верхнее, и оно превращается в равенство
=	(7')
При т = — I имеем два равенства:
е_Г_г+1 —
/   — I 0-14-1 I Л — I tyl	)
eo/-Z = c21S-Z ^C22g-r
. /
*) Если m = /-J-l, то это пространство одномерно, а если т~1 или
т = — /, то оно двумерно.
п. 4]
§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
63
Аналогичное вырождение формул (7) произойдет при m = l-1r 1 и при
т = 1.
Для того чтобы определить матрицу С(т), применим преобразо-
вания Н_ и Н+ к обеим частям равенства (7). Мы получим тогда
рекуррентные соотношения, из которых и найдем С(т).
Сначала найдем первую строчку матрицы С(т). Для этого при-
меним Н_. к первому из равенств (7). Вспоминая (§ 2), что H_fm =
=	где	— m-j-l), мы из левой части (7)
получаем:
Н_	= е H_f = аг ,,е f =
\ —j m-ris —	т+1 —J ?п
. ftT	/pTfl — 1 fyl 4-1 [	— 1 /у?	1 pTil — 1 /у?~1 \
m+lVll bw_i~rLi2 &m-l ‘ с13	&7П-1Л
С другой стороны, применяя Н_ к правой части того же равенства
мы получаем:
рТП^Л-\-\ /yZ+l | ртпгД fyl I рт—1 /у! — 1
Нт &т-1 »	12?Лг-1 с1з т &т-1*
Эти выражения должны быть равны друг другу. Приравнивая коэффи-
циенты при одних и тех же векторах g и заменяя а1 их значениями,
находим рекуррентные соотношения
си У1—/и 4-2 = с™ lVl—т,
C12V(I + tri) (I— т-\- 1) = 4Г‘ У(I4- т 4- 1)(Z — tn),
с is Vl 4- т — 1 = с ”Г’ Vl 4- тЛ 1 
(8>
Так как векторы e_/-z и gly_Y нормированы, то из формулы (7')
следует, что I с~ 1~11 = 1. Полагая c“z-1 — 1 *)> мы, применяя первую
из формул (8), находим, что
т___л/~ I — т т-1 .Г (I — т)(1 — /иД-1)	т-2____
11 — У I — тп—|—2С11 — У (Z—т + 2)(1— т-\-3) 11 —'
/~(1 — т) (Z — да-|- 1) п
V (I — п) (I — п1) Сп
Г (Z —zn)(Z—/га-1-1) ^-г-1
Г (2Z-4-1) (2Z-I-2) 11
т. е. что
! Г (Z —/га) (Z —1)
У (2Z+l)(2/ + 2)
*) Так как каждый из трех векторов g^1, glm и glm 1 выбирается с точ-
ностью до численного множителя, по модулю равного единице, то мы можем
зафиксировать этот множитель, выбрав определенным образом по одному
коэффициенту в каждом столбце матрицы (для какого-нибудь одного т).
64	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
стр.
Полагая т = — In пользуясь тем, что матрица преобразования (7")
унитарна, т. е. должно быть | £йг|2 + | с^7|2 = 1» находим, далее, что
= |/~ ^Zj~y • Полагая снова ~ У/~ф- у (см. примечание на
63), находим с помощью второго из соотношений (8)
т
£12
Идя
тем же путем, мы из третьей формулы (8) найдем, что
„т
£13
(при
2/(Z+l)
этом мы воспользовались тем, что |с~г+1|2 —1—j с"7'112_
I -7+1 12	1	-Z+1 Г 1	\
1 £ц j —7(27<рТ)’ и’ как и выше> положили с13	= у
Таким образом, мы определим все элементы первой строки матрицы С(пг).
Для того чтобы найти вторую строку этой матрицы, применим
к первому из равенств (7) преобразование Н+. Мы получим тогда:
V 2eofm+1 + ^n+2e_fm+2 =	+ сМг+1^+1"+^ГзС+1^+1 >
и, заменяя теперь каждый из векторов левой части, снова по фор-
мулам (7) найдем простые соотношения, выражающие элементы
второй строки матрицы С(т) через известные уже элементы первой
строки. Отсюда однозначно определятся с™, с™, с™. Дальше, при-
меняя преобразование Н+ ко второй строке равенств (7), мы анало-
гичным образом выразим элементы третьей строки матрицы С(т) через
элементы второй и отсюда найдем с™, с™, с™.
Окончательно получается следующий результат:

1/" (Z —m) (1 —га» + 1)
Г (21 + 1) (21 + 2)
1/~ (Z + /га +1) (/ — гл +1)
Г (21+1) (1+1)
K(Z+ гаг +1) (l — m)
21 (1+1)
m
Vi(i + i)
(Z + raz) (Z + zra+1)
Y 21(21+1)
]/"(l + гаг) (l-m)
V 1(21 + 1)
(9)
]/ (l + /ra) (Z + m + 1)	1/ d + m) (Z-m + l)~
Y (21+1) (21 + 2)	Y 21(1+1)
К (l-m} (l — m+1)
21(21+1)
В силу ортогональности этой матрицы, обратная к ней совпадает
с транспонированной, и поэтому векторы glm, g'^1 выражаются
через e_fm+1, eQfm, e+fm_x с помощью столбцов этой же матрицы.
Рассмотрим теперь произведение неприводимого представления
с /-=— на произвольное неприводимое представление с номером I.
Оно разлагается на представление с номером l-j-T, (базис в соот-
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
65
Г+—-/	1	1 \ 1
ветствующем пространстве обозначим gm 21— I — у т I -|- -g-11
.	1 Л	г—i-/	1
и представление с номером / — у I базис—gm 2 I —
I — у И. Аналогично предыдущему имеем:
_ 2. = СП £т + С™£Г Т>
2 т 2
г 1 г______________________1_
е _ 2-4+2. =	2 + <%g~ 2 •
Применяя Н+ к первому равенству и Н_ ко второму и полагая
сп 2 = с2] 2 =1, мы найдем, что матрица С<от) для остальных зна-
чений т имеет вид
Q(m) __
(Ю)
§ 5. Тензоры и тензорные представления
В предыдущем параграфе, в связи с определением произведения
представлений, мы определили понятие тензора. Мы говорили, что
нам задан тензор r-го ранга в трехмерном евклидовом простран-
стве, если каждой ортогональной системе координат сопоста-
влена совокупность Зг чисел а^ t , которая при переходе от
odHoi системы к другой преобразуется по формулам
»зз з
а'/-	= 2 2" • • • ’2 S g  Ь • а  •	>	(1)
1, = !^=!	ir = l Ml *2*2. SVr *1*2 "-Vf
где ||g»||—матрица перехода от одной координатной системы
к другой. Матрица перехода — это матрица, выражающая новые
базисные векторы е', е'2, е'3 через старые elt е2, е3 по формулам
з
< = 2 gi^k-
&=л
Рассмотрим совокупность всех тензоров r-го ранга в опреде-
ленной системе координат, т. е. все системы из Зг чисел as i ...<
12 Г*
66	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I
Они образуют Зг-мерное пространство R, в котором обычным
образом определены операции сложения и умножения на число'
Формула (1) задает линейное преобразование в Зг-мерном простран-
стве, переводящее	в ... i  Если каждому вращению
g = поставить в соответствие линейное преобразование (1),
то мы получим представление группы вращений, рассмотрен-
ное в § 4 (.тензорное представление). Это представление, как мы
видели, есть произведение трехмерных представлений группы вра-
щений *).
Отметим, как ведут себя тензоры при отражении относительно
начала координат. При отражении координаты вектора, т. е. тензора
первого ранга, меняют знак. Отсюда следует, что при отражении
относительно начала координат компоненты тензора второго ранга
не меняются, компоненты тензора третьего ранга меняют знак
и вообще компоненты тензора r-го ранга умножаются на (— 1)г.
Тензорные представления при г > 1 приводимы. В п. 2 этого
параграфа мы разложим эти представления на кратные неприводимым.
Прежде чем это сделать, мы в п. 1 рассмотрим некоторые операции
над тензорами и их связь с вопросом о разложении пространства
тензоров на инвариантные подпространства, т. е. о разложении
тензорных представлений.
1. Основные алгебраические операции над тензорами и инва-
риантные подпространства. Определим операцию свертки тензора.
Для этого рассмотрим тензор r-го ранга aiy1...i . Выберем те его
компоненты, у которых первые два индекса имеют одинаковое зна-
чение, и возьмем их сумму
з
У,   -ir ==	(2)
1^=1
Выражение (2) называется следом тензора по первым двум ин-
дексам, а операция образования следа называется сверткой.
Аналогично можно определить свертку по любой другой паре ин-
дексов.
*) Заметим, что формулу (1) можно понимать в двух смыслах: как фор-
мулу, определяющую преобразование тензора при переходе к другой системе
координат, и как формулу, дающую переход к другому тензору в той же
самой системе координат. Обе точки зрения одинаково законны. Это отчетливо
видно на примере тензоров первого ранга, т. е. векторов щ. Действительно,
если понимать под || g(k || матрицу поворота системы координат, то формула
а\, — 2Si'iai есть Ф0РмУла преобразования компонент данного вектора.
Если же понимать под И^'йН матрицу, задающую вращение пространства
в определенной системе координат, то та же формула дает компоненты
повернутого вектора.
п>, 1]	§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	67
Из формулы (1) и ортогональности матриц |)gjft|| следует, что
след тензора ранга г по любым двум индексам сам есть тензор
ранга г — 2. Действительно*),
r ^1^2  • -^r
=	‘ ^ги/г’зй- -4'г-
Таким образом,
ir	‘ ' £<//f3 {1' ЛГ’	(3)
т. e. мы доказали, что след тензора преобразуется по тензорному
закону и является, следовательно, тензором ранга г—2. В частности,
след тензора второго ранга есть тензор нулевого ранга, т. е. скаляр
(число, не зависящее от выбора системы координат). Тензор третьего
ранга имеет три следа: aiik, aiki, akii, каждый из которых является
вектором.
Операция образования следа дает нам способ строить подпро-
странства в пространстве R, инвариантные относительно тензорного
представления. Действительно, тензоры а^..^ , у которых след
по некоторой паре индексов равен нулю, образуют в R подпро-
странство, инвариантное относительно тензорного представления.
В самом деле, рассмотрим элементы	из R, у которых след,
например по первым двум индексам, равен нулю, т. е. bi^... i =
=	... tr = 0- Тогда из формулы (3) следует, что / =
= 0, т. е. а'{’ принадлежит тому же подпространству. Значит,
это подпространство инвариантно.
*) В дальнейшем мы будем, как это обычно делается при вычислениях
с тензорами, опускать знак суммы в выражениях, в которых суммирование
производится по дважды встречающемуся индексу. При этом условии фор-
мула (1), например, запишется в виде
... ir — s i1ilgi2i2 ...
а определение следа в виде
аШ3 ... ir~ bi,...ir'
Равенство
gir i,gir г3
есть в этих обозначениях условие ортогональности матрицы (| gik ||.
68	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
Определим теперь операцию умножения тензоров. Для этого рас-
смотрим два тензора ...* и bj,j,...j , вообще говоря, различного
ранга г и р. Произведением этих тензоров называется тензор
Jj, ранга г-\-р, компоненты которого представляют
собой произведения различных компонент	и	, т. е.
   WiЛ • •.ip = «<,... irbh
Нетрудно проверить, что при преобразовании координат эти числа
преобразуются так, как должны преобразовываться компоненты
тензора ранга г-{-р, т. е. произведение тензоров действительно
является тензором. Из формулы (1) очевидно также, что при пре-
образованиях представления произведение тензоров а^ ... и bjj, ...j?
переходит в произведение а’.’.'	. :: b'j.<
гГ2 "г •'г 2 "'Jp
Чтобы получить инвариантные подпространства иного типа, чем
были указаны выше, введем в рассмотрение так называемый еди-
ничный тензор второго ранга 8Й, компоненты которого в любой
системе координат определены равенствами
(О,	I =^= k,
8<*= { 1,	l = k.
Проверим, что 8ifc есть {тензор. Действительно,
( о, I' k',
\'к’ ^i’i^k'k^ik = gvkSk'k~ | 1, р — В
т. е. компоненты этого тензора не меняются при переходе к другой
системе координат.
Рассмотрим теперь тензоры r-го ранга, являющиеся произведе-
ниями единичного тензора на цензор ранга г — 2, т. е. тензоры вида
ймл =	(4)
Так жак преобразования, составляющие представление, переводят
единичный тензор снова в единичный тензор, а произведение в про-
изведение, то тензоры вида (4) также образуют инвариантное под-
пространство в пространстве R тензоров г-го ранга.
Покажем, что всякий тензор r-го ранга можно представить как
сумму двух тензоров, первый из которых имеет вид ...# , а для
второго	—0- {Действительно, возьмем произвольный тензор
...ir и вычтем из него тензор	...<г, где	-— след
...<г по первым двум индексам. Мы получим тензор ... ^ ,
след которого по первым двум индексам, как легко видеть, равен
нулю (так как 8fi = 3), что и доказывает наше утверждение. Таким
Пш 1]	§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	69
образом, пространство Я тензоров г-го ранга можно разложить
в сумму инвариантных подпространств R' и R", где R'—подпро-
странство тензоров, у которых след по первым двум индексам равен
нулю, a R"—подпространство тензоров вида (4).
Аналогичное разложение можно осуществить с помощью свертки
по любой другой паре индексов.
Укажем здесь еще другой способ выделения инвариантных под-
пространств в R. Пусть s обозначает произвольную перестановку
чисел 1^2 . • ir, переводящую эти числа в . jr. Поставим тен-
зору г-го ранга	в соответствие тензор, в котором пере-
ставлены индексы, т. е. о.;,/, ...у . Переход к этому тензору обо-
значим через S, т. е. положим:
= cij,	. jr.
Очевидно, что S—линейное преобразование в пространстве тен-
зоров r-го ранга. Мы будем называть преобразования такого рода
преобразованиями подстановки. Так как безразлично, сначала ли
произвести подстановку индексов и затем перейти к новым коорди-
натам или проделать эти операции в обратном порядке, то отсюда
следует, что преобразования перестановки перестановочны с преоб-
разованиями тензорного представления Тд.
Рассмотрим ряд преобразований подстановки S2, .... Sp
и возьмем их линейную комбинацию ХД -f-X2S2 + . •. 4“ \Sp. Тен-
зоры, удовлетворяющие уравнению
4"	4~ • • • 4~ Кр$р) ai,ia ... ir~^>	(5)
образуют в пространстве R линейное подпространство. Из того,
что преобразования подстановки перестановочны с преобразованиями
представления, следует, что это подпространство инвариантно отно-
сительно тензорного представления *).
Укажем способ разложения тензорного представления с помощью соб-
ственных значений преобразования подстановки**). Так как любая под-
становка 5 в некоторой степени равна единичной, то преобразование S в тен-
зорном пространстве, будучи повторено достаточное число раз, дает единичное
преобразование Е. Но это значит, что собственные значения преобразования S
*) В самом деле, пусть а{^	{ принадлежит подпространству, опре-
деленному уравнением (5), т. е. S ^jS}a( t =0. Тогда
2 ^jSjTgai i =Та	i , 'j = 0,
J 3 У »1 • • •	У \ j 3 3
г. e. Tf принадлежит тому же подпространству.
Si Конечно, это разложение, вообще говоря, не есть разложение на не-
имые представления или на представления, кратные неприводимым.
70	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
равны корням соответствующей степени из собственных значений Е, т. е.
из единицы.
Возьмем некоторую подстановку s, и пусть sn = s0, где Sq — тождествен-
ная подстановка. Обозначим через е0 = 1> Е1> Ег =	• • •> Еи-т корни п-й сте-
пени из 1 и рассмотрим в тензорном пространстве подпространства тензоров,
удовлетворяющих уравнениям
Sai,h • • • <r = Zkaiih    ir-
Из общей теории линейных преобразований известно, что эти подпространства
образуют полное разложение тензорного пространства. Согласно сказанному
выше все они инвариантны относительно тензорного представления, т. е. мы
получаем, таким образом, некоторое разложение тензорного представления.
Например, если — перестановка первых двух индексов, переводящая
/^2 . • • 1Г в	то S? = So и собственные значения соответствующего
преобразования S равны ±1.
Поэтому всякий тензор ai { можно представить как сумму двух
тензоров	и
aiii2 ... ir~  ir + С*Л  ir’
где biA ---ir удовлетворяет уравнению ...1,= — bith .,. a ciih . ?>—
уравнению	f =c/ ia г- . Действительно, для этого достаточно по-
ложить:
— 1
— 2 (а»А --.ir	 ггУ
 ir ~	ir + Й’А
Заметим, что совокупность уравнений вида (5) также выделяет
инвариантное подпространство тензоров, удовлетворяющих всем этим
уравнениям.
Тензоры, не меняющиеся ни при каких перестановках индек-
сов ixi2 . .. ir, называются симметрическими тензорами ранга г.
Тензоры, не меняющиеся при четных и меняющие знак при не-
четных перестановках индексов, называются кососимметрическими.
Из сказанного ясно, что как симметрические, так и кососимметри-
ческие тензоры образуют инвариантные подпространства в про-
странстве R.
Рассмотрим подробнее кососимметрические тензоры в трехмер-
ном пространстве. При перестановке любых двух индексов кососим-
метрический тензор должен менять знак. Отсюда видно, что если
компонента кососимметрического" тензора отлична от нуля, то
все ее индексы должны иметь различные значения. Так как индек-
сы Zj, Z2, .. ., ir могут принимать только значения 1, 2 или 3, то
отсюда следует, что кососимметрические тензоры выше третьего ранга
равны нулю.
Пусть — кососимметрический тензор третьего ранга. У такого
тензора компонента а123 может быть произвольна, а остальные от-
П. 1]	§5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	71
личные от нуля компоненты определяются по ней из условия косо-
СИММеТрИЧНОСТИ. ^231	^312 === ^123 »	^213	^321	^132	^123*
Обозначим тензор третьего ранга, у которого а123=1, через вук.
Остальные кососимметрические тензоры третьего ранга совпадают
с с точностью до скалярного множителя.
Из формул (1) видно, что при преобразовании координат каждая
компонента тензора умножается на детерминант преобразования
матрицы	Поэтому при вращении компоненты этого тензора
не меняются, а при вращении с отражением меняют знак. Таким
образом, по отношению к представлению кососимметрический тензор
третьего ранга представляет собой псевдоскаляр.
Рассмотрим кососимметрический тензор второго ранга ау. Оче-
видно, что у этого тензора три независимые компоненты а12, а23
и а13, т. е. такие тензоры образуют трехмерное пространство.
Умножим йу на и затем свернем по индексам И' и jj'. Мы
получим тензор первого ранга
т. е. вектор. Очевидно, что е^ййу = 2ау или ъукау —— 2ау в за-
висимости от выбора системы координат. Таким образом, компо-
ненты кососимметрического тензора совпадают с компонентами
вектора хк с точностью до множителя, знак которого зависит от
системы координат. При переходе от одной системы к другой
числа а23, а31, а12 в случае вращения преобразуются точно так же,
как компоненты вектора х2, х3, а в случае вращения с отра-
жением они, кроме того, меняют знак. Другими словами, это зна-
чит, что кососимметрические тензоры, второго ранга ведут себя
по отношению к представлению, как псевдовекторы.
В качестве иллюстрации рассмотрим разложение тензорного пред-
ставления для тензоров второго ранга на неприводимые. Всякий
тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметри-
ческого и кососимметрического тензора
= by | Су,
Действительно, достаточно положить:
, i . А
— 2 aii)>
1 .	. .
cij — 2	~г
Мы разложили девятимерное пространство тензоров второго ранга
на сумму трехмерного пространства псевдовекторов (кососимметри-
ческих тензоров второго ранга) и шестимерного пространства сим-
метрических тензоров. Представление в пространстве псевдовекторов
неприводимо. Представление в пространстве симметрических тензоров
72	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I
можно разложить дальше. Всякий симметрический тензор можно
представить в виде симметрического тензора со следом, равным
нулю, и тензора, кратного единичному. Действительно, с^. = Х8у4~
-\-dij, где Х = -^-сц, а симметрический тензор d^-Cy—имеет
след, равный нулю.
Таким образом, мы разложили девятимерное пространство
тензоров второго ранга в сумму инвариантных подпространств-,
одномерного подпространства тензоров вида Х8^, трехмерного
подпространства кососимметрических тензоров и пятимерного
подпространства симметрических тензоров со следом, равным
нулю.
Неприводимость представлений в первых двух подпространствах
очевидна. Можно было бы без труда показать, что в последнем
подпространстве также реализуется неприводимое представление
с / = 2. Это, впрочем, будет следовать из дальнейшего*).
Разложение на неприводимые представления тензорного представ-
ления третьего ранга более сложно. Мы получим его в п. 3 как
частный случай более общих рассмотрений.
2.	Определение весов неприводимых представлений, на кото-
рые разлагается тензорное представление. В этом пункте мы вы-
ясним, на какие неприводимые представления можно разложить про-
извольное тензорное представление. Ответ на этот вопрос вытекает
из результатов предыдущего параграфа о разложении на неприводи-
мые произведения двух неприводимых представлений.
Мы знаем, что тензорное представление ранга 1 само есть не-
приводимое представление веса I = 1 (основное представление).
Рассмотрим тензорное представление ранга 2. Оно есть произ-
ведение двух неприводимых представлений веса 1, и поэтому оно
разлагается на три неприводимых представления с весами 0, 1 и 2
соответственно.
Следующее тензорное представление ранга 3 представляет собой
произведение тензорного представления ранга 2 на трехмерное не-
приводимое представление. Пространство R тензоров второго ранга
разложимо, как указано выше, в сумму трех инвариантных подпро-
странств (обозначим их Ro, Rt и /?2), в которых действуют непри-
водимые представления весов 1 — 0, 1,2 соответственно. Поэтому
произведение этого пространства на трехмерное пространство Rt:
RXRi можетбыть разложено на суммы инвариантных подпространств
Ro X Ri> RiXRi и R2 X Hi- Так как представление в каждом из
этих трех подпространств есть произведение двух неприводимых
*) Этот результат следует также из § 4. Действительно, тензорное пред-
ставление для г = 2 есть произведение двух неприводимых представлений
с г = 1 (основных представлений). Следовательно, оно разлагается на непри-
водимые представления с весами Z = 0, 1, 2.
П. 2]	§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	73
представлений, то к нему можно применить результаты § 4. Мы
получаем:
R2 X Ri «ак произведение представлений весов 2 и 1 разла-
гается на три представления весов 3, 2, 1.
Ri X Ri (опять в силу результата § 4) разлагается на представ-
ления весов 2, 1, 0.
Ro X Ri есть неприводимое представление веса 1.
Объединяя эти результаты, мы видим, что тензорное представ-
ление ранга 3 разлагается на сумму одного неприводимого представ-
ления веса 0, трех неприводимых представлений веса 1, двух не-
приводимых представлений веса 2 и одного неприводимого пред-
ставления веса 3.
Так как тензорное представление ранга 4 есть произведение
представления ранга 3 и 1, то, пользуясь найденным разложением,
мы можем найти, на какие неприводимые представления разлагается
тензорное представление. Для этого представление ранга 3 надо
разложить на неприводимые представления и затем каждое слагаемое
в этом разложении умножить на представление ранга 1; полученные
произведения нужно снова разложить на неприводимые и результаты,
сложить.
Вычисления удобно производить с помощью следующей таблицы:
Таблица I
Ранг тензора	Вес представления					
	1=0	1=1	1=2	1=3	1=4	1=5
г = 0	1					
г= 1	0	1				
г = 2	1	1	1			
г = 3	1	3	2	1		
Г = 4	3	6	6	3	1	
г= 5	6	15	15	10	4	1
Каждая строка соответствует тензорному представлению определен-
ного ранга. Столбцы соответствуют неприводимым представлениям
разных весов. Числа, стоящие на пересечении /-го столбца и г-й
строки, указывают кратность, с которой представление с весом I
входит в разложение представления в пространстве тензоров ранга г.
Из предыдущего вытекает простое правило заполнения таблицы
по строчкам: в каждой клетке r-й строки, начиная со второго
столбца, стоит сумма чисел, расположенных в (г—1)-й строке
непосредственно левее этой клетки, над ней и непосредственно
правее нее.
Действительно, представления веса I в разложении представле-
ния r-го ранга появятся от умножения имеющихся в разложении
74	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
представлений (г— 1)-го ранга неприводимых представлений с ве-
сами I—1, I и Z —1 на представление веса 1.
В первый столбец r-й строки переносится число из второго столбца
(г—1)-й строки, так как разложение произведения представления
веса 0 на представление веса 1 есть снова просто представление
веса 1.
В первом столбце таблицы стоят представления с весом 1 — Q.
Величина, преобразующаяся по такому представлению, является либо
скаляром, либо псевдоскаляром в зависимости от того, как она ведет
себя при отражении. Так как тензор r-го ранга при отражении отно-
сительно начала координат умножается на (— 1)г, то в первом столбце
при г четном будут скаляры и при г нечетном — псевдоскаляры. Ве-
личины, преобразующиеся по представлению веса Z — 1, суть векторы,
если их компоненты меняют знак при отражении, и псевдовекторы
в противоположном случае. Поэтому представления второго столбца
при г четном описывают псевдовекторы, а при г нечетном — век-
торы.
Более общо представления Z-ro столбца будут описывать Z-век-
торы, если r-f-Z четно, и соответствующие псевдовеличины при г -f-Z
нечетном.
3.	Разложение тензорного представления на представления,
кратные неприводимым. Тензоры третьего ранга*). В п. 2 мы
видели, что в разложении тензорного представления неприводимые
представления с одним и тем же весом Z встречаются, вообще говоря,
по нескольку раз. В этом пункте мы укажем способ разложения
тензорного представления на представления, кратные неприводимым
(определение представления, кратного неприводимому, см. § 2).
Разложение будет проводиться методом, указанным в § 2. Мы
знаем из этого параграфа, что векторы, преобразующиеся по непри-
водимому представлению веса Z, удовлетворяют уравнению
Я2/_/(/_|_1)/=0>	(6)
где № ~ Н\ -ф-Hz -ф- Hl — —	Лгф-Лз), а Ак—преобразования,
отвечающие при представлении бесконечно малым поворотам вокруг
координатных осей. Вычислив Н2 для тензорного представления и при-
давая в уравнении (6) числу Z все значения, встречающиеся в г-й
строке таблицы I, мы получим ряд уравнений. Решения каждого из
этих уравнений образуют инвариантное подпространство, в котором
действует представление, кратное неприводимому представлению с со-
ответствующим весом Z.
Найдем вид уравнений, определяющих инвариантные подпростран-
ства, т. е. вычислим для тензорного представления преобразование
*) О разложении тензорного представления на неприводимые более по-
дробно см. Г. Вейл ь, Классические группы, М., ИЛ, 1947.
П. 3]	§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	75
Н2 —— (Лх + Лг + ^з)- Чтобы сделать это, надо, прежде всего, найти
для этого представления преобразования Av А2 и А3. Тензорное пред-
ставление ранга г есть произведение, г трехмерных представлений.
В § 4 мы показали, что преобразование Ак, отвечающее бесконечно
малому повороту в произведении представлений, имеет вид
Ak{efg ...) = (Ake)fg ... -f- е (Akf) g . . . -ф- ef(Akg) .. . -j- . . .,
где e, f, g—векторы из пространств, в которых действуют пере-
множаемые представления. Поэтому, чтобы найти, как действует
преобразование Ак на тензор а^.., ir, мы должны применить это пре-
образование поочередно к каждому из индексов тензора как к трех-
мерному вектору, не меняя при этом остальных индексов, и сложить
результаты. Нам достаточно, следовательно, знать, как действуют Ак
на векторы, т. е. каковы матрицы этих преобразований в трехмер-
ном пространстве. Но это хорошо известно. Если выбрать в трех-
мерном пространстве базис, состоящий из обычных координатных
ортов, то, как легко видеть, матрицы Alt А2 и А3 имеют в этом
базисе вид
—1 о
о о
о о
О
1
О

Если матрицу вращения вокруг А-й оси обозначить через Ast, где
тройка чисел k, s, t получена из тройки чисел 1, 2, 3 круговой
подстановкой, то мы можем объединить эти три формулы в одну:
где
— i! ) >
aij —	4“
Таким образом, преобразования Ast действуют на вектор по формуле
~4~	^is^t I	(^)
Возьмем тензор r-го ранга аад,...{. Применяя преобразования Xsf по
очереди к каждому из индексов и складывая результаты, мы получим:
Г
ir= 2 ^ipsaiA-.. ip-lHp+\... i	... ip+\aip+l ... ir.
p=l	r
(8)
Так как нам нужны преобразования (Xsi)2, то применим к этому тензору
76	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I
вторично то же преобразование Xst. Мы получим тогда:
••• ~ 2	[ 2 (	• •• iq-ltiq+l ...	...
q=l	р=1
РУЧ
4~	• • • iq-lMq+i ... ip-l^p+l ... <r) ^tsaif - iq-lttq+l ... *^4“
4"8«ai1...<g_i8*e+1... v] +
r
4“%i[2 ( ^ipS@"‘i •  • iq — ls^g + l.., Яр— рг*рц-1 ...	I
p=l
рУч
+ '‘iptfli. ... *q_isiq+i ... ip-18ip+l ...	^ssai\--- iq-piq+l ... ^r~^~
4~	... iq-istq+1... ij. (9)
Для подстановки в уравнение (6) нам нужно найти выражение Н2 —
= — ^2з—Ли — Д12- Но из формулы (8) очевидно, что Hss —0 и
Ats ——Ast, так что (Xis)2 — (Asi)2. Поэтому, сложив (Msf)2 для всех
возможных значений s и t от 1 до 3, мы получим преобразование
— 2Н2. Проделав в формуле (9) сложение и разделив результат на
два, имеем:
Г г
-W2— 2 2	iq-xtiq + l ... {р-1ир+1 ... V
3 = 1 р=1
РУЧ
а»1 ig-l»p*3 + l ../p-p'gip+1... »r) ^rai,h ... ir. (10)
Мы видим, таким образом, что оператор —Н2 представляет собой
сумму всевозможных следов тензора а^..,{, умноженных на
единичный тензор с соответствующими индексами, минус сум-
му тензоров, полученных из aili3.,.ir всевозможными перестанов-
ками двух индексов, и минус сам тензор ail{j,..{, умноженный
на 2г.
Уравнение (—Н2-]-1(1-{- 1))а = 0 имеет, следовательно, вид
Г
S ^it>iqa{di‘-- iq-piq + l ... ip-ltip+l ... {r
p, 4=1
РУЧ
iq-Ppiq+1... ip-li qi p+1... V + lZ (Z + 1) ~ 24	...ir = Q-
(H)
Решения этого уравнения для каждого I образуют инвариантное под-
пространство, в котором действует представление, кратное неприво-
димому представлению с соответствующим весом I.
П. 3]	§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ представления •	77
Для тензоров ранга 2 указанный способ снова приводит к указан-
ному в п. 2 разложению этих тензоров на кососимметрические, сим-
метрические со следом нуль и кратные единичному.
Рассмотрим подробнее расщепление тензоров третьего ранга.
Согласно таблице в п. 2 мы должны получить при разложении одно
представление веса 0 (псевдоскаляр), три — веса 1 (векторы), два'—
веса 2 и одно — веса 3.
Уравнение (11) для тензора а^к после сокращения на 2 при-
обретает вид
! ^jk^iss ~4“ ^kiflsjs	^ikj &kji 1
+ [~(/— 3]^=°-	(12)
Нам нужно подставить в него 1 — 0, 1, 2, 3.
Возьмем след левой части по индексам i и J. Тогда 2-е и 3-е
слагаемые сократятся с 6-м и 5-м соответственно, и мы получим:
2аейк + [ Z -j111 - з] assk = 0,
т. е.
na+D ii„ _0
При 1(11) =/= 2, т. е. Z#=l, мы имеем, таким образом, assk — О
и аналогично asjs = ajgs = 0. Таким образом, для тензоров ранга 3
подпространства, в которых действуют неприводимые представ-
ления с весом I =£ 1 или кратные им, состоят из тензоров, у ко-
торых все следы равны нулю.
Положим I = 0. Учитывая, что все следы а^к равны нулю, полу-
чаем уравнение
ajik +	akji
^ijk —	3		(13)
При круговой перестановке индексов последние три слагаемых пере-
ходят друг в друга и сумма их не меняется. Следовательно, тензор
ацк также не меняется при круговой перестановке индексов, т. е.
aijk == ajki == akij*
Поменяв местами в уравнении (13) индексы I и j, мы точно^гак же
убедимся, что
ajik == akij == aikp
Обращаясь снова к исходному уравнению (13), получаем, наконец,
== ajik'
Сопоставляя все^ полученные Ерезультаты, =мы видим, что решение
уравнения (13) есть кососимметрический тензор третьего ранга.
78	тл. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. I
Положим 1= 1. Уравнение приобретает вид
^ij^ssk Н- ^jk®iss ~Н ^ki^sjs	&jik ^ikj &kji ^Mijk 6'	(14)
Подставим в это уравнение тензор о^хк, где хк— произвольный век-
тор. Мы получаем:
^y°ss-^A ~Н ajkoisxs -Н °ki^sjxs ^ijxk ^ikxj ?*kjxi ^ijxk == (16)
т. e. тензор 8,-jXfe удовлетворяет уравнению. Аналогично удовлетво-
ряют ему и тензоры и ^jkzi> а следовательно, тензор
aijk — ^ijxk + ^гкУ} + ^jkzi •	(16)
Из п. 2 мы знаем, что в разложении тензорного представления тре-
тьего ранга неприводимое представление веса 1 встречается трижды.
Отсюда следует, что решения уравнения (14) должны образовывать
девятимерное пространство. Но три вектора хк, у$ и имеют как
раз девять компонент. Покажем, что из обращения в нуль тензора
следует обращение в нуль всех этих девяти компонент, т. е. что
пространство тензоров вида (16) действительно девятимерно. Но,
подставив в формулу (16) тензор ау7с = 0 и взяв все следы от этого
уравнения, мы получим девять уравнений относительно хк, у$ и Zj,
имеющих только нулевые решения.
Положим /==2. Так как все следы у решения этого уравнения
по доказанному равны нулю, то уравнение имеет вид
ajik + aikj~\- akji — о 	(17)
Размерность пространства решений этого уравнения согласно резуль-
татам п. 2 равна 10. Позже мы покажем, как разложить представ-
ления в этом пространстве на два неприводимых представления с ве-
сом 1 — 2.
Положим, наконец, I — 3. Учитывая, что все следы равны нулю,
получаем:
ajik + aikj + akji
^ijk — ~	g	•
Рассуждая аналогично случаю I — 0, найдем, что в этом случае ком-
понента а^к не меняется ни при какой перестановке индексов, т. е.
аИк — симметрический тензор третьего ранга. Из результатов п. 2
следует, что размерность подпространства симметрических тензоров
третьего ранга равна 7.
Окончательно имеем следующий результат: 27-мерное простран-
ство тензоров третьего ранга разлагается на сумму следующих
подпространств, в которых действуют представления, кратные
неприводимым', одномерного пространства кососимметрических
тензоров или псевдоскаляров, преобразующегося по неприводимому
представлению веса 0, девятимерного подпространства тензоров
n.s 3]	§5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	79
вида aijjc = ^xlc-\-bi]cyj-\-bjkzi, в котором действует трижды по-
вторенное неприводимое представление веса 1, десятимерного
подпространства тензоров, удовлетворяющих уравнению а^к-\-
-\-aikj-\~akji = Q, в котором действует дважды повторенное не-
приводимое представление веса 2, и, наконец, семймерного под-
пространства симметрических тензоров, у которых все следы
равны нулю. В этом последнем подпространстве действует не-
приводимое представление веса 3. Из общих результатов § 3 сле-
дует, что приведенное разложение на представления, кратные
неприводимым, однозначно.
Чтобы разложить тензорное представление третьего ранга на не-
приводимые, нужно разложить на неприводимые те из полученных
представлений, которые кратны неприводимым. Это можно сделать
различными способами. Мы укажем некоторые из них.
Девятимерное подпространство тензоров вида а^к — \jXk^iky^
естественным образом расщепляется на три трехмерных под-
пространства = а$й = ЪгкУр = в каждом из кото-
рых действует неприводимое представление. Это разложение, коне-
чно, не единственно. Всякие три линейно независимые комбинации
векторов хк, yj и z4 порождают соответствующее расщепление.
Что касается неприводимого представления в пространстве тен-
зоров, удовлетворяющих уравнению (17): а^к-\-а^-\-ак^ = 0, то,
как мы видели, размерность пространства решений этого уравнения
равна 10 и в нем действует дважды повторенное неприводимое пред-
ставление веса 2. Поэтому всякое разложение этого представления
не может быть ничем иным, кроме разложения на неприводимые,
и достаточно взять какое-нибудь расщепление этого 10-мерного
пространства на отличные от нуля инвариантные подпространства.
Это можно сделать, применив способ разложения с помощью
собственных значений преобразования подстановки, указанный в п. 1.
Так, например, можно разложить пространство тензоров, удовлетво-
ряющих уравнению (17), на подпространства тензоров, симметриче-
ских и кососимметрических по какой-либо паре индексов, потому
что среди отличных от нуля решений уравнения (17) имеются тен-
зоры как одного, так и другого вида.
Можно также использовать для такого разложения, например,
круговую перестановку 5 всех трех индексов, переводящую ijk в jki.
Очевидно, что s3 — s0, и поэтому собственные значения соответствую-
щего преобразования S есть корни третьей степени из единицы:
Уравнение 5а^к — а^к совместно с уравнением (17) дает а^к = ®,
поэтому остаются два уравнения:
, За^к — Ujki — ^a^jk
• Sa,jk = ajk^ = г2а^к,
80	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	/ч. I
дающих разложение нашего представления на неприводимые. Подоб-
ным же образом можно было бы поступить с любым другим пре-
образованием подстановки.
Таким образом, мы видим, что разложение тензорного пред-
ставления третьего ранга на неприводимые неоднозначно. Всякое
разложение представления кратного неприводимым на неприво-
димые дает некоторое разложение для всего тензорного пред-
ставления в целом.
§ 6. Спиноры и спинорные представления
В предыдущем параграфе мы видели, что можно реализовать
неприводимые представления группы вращений с любым целым
весом I с помощью преобразований тензоров. В этом параграфе мы
рассмотрим другую конкретизацию представлений группы вращений,
так называемые спинорные представления, которые позволят нам
реализовать все без исключения неприводимые представления этой
группы (в том числе и представления с полуцелым весом, т. е. дву-
значные).
1. Определение спинора и спинорного представления. Начнем
с определения спинора и спинорного представления ранга 1. В § 2
мы в качестве одного из примеров рассмотрели неприводимое пред-
1	1 ГТ
ставление с весом 1 = — . При этом представлении вращению g
с углами Эйлера срг, 0, <р2 ставилась в соответствие определенная
с точностью до знака комплексная унитарная матрица второго по-
рядка
где
A	А
a = =tcos-2^ 2 , Р = z sin у е 2 , ] a|2-f-| р|2= I.
Произведению вращений соответствует при этом произведение ком-
плексных матриц вида (1).
Предположим теперь, что в каждой системе координат нам
задана определенная с точностью до знака пара комплексных
чисел (а1, а2), которая при переходе от одной системы к другой
с помощью вращения g = ||^й|| *) преобразуется матрицей (1)
по формуле
а1' = аа1 8а2,	1
- - (2)
а2 = — ра1 -ф- аа2. J
*) То есть при преобразовании координат, задаваемом формулами
XI — 2
П. 2]	§ 6. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
81
Такая система чисел называется спинором первого ранга в трехмер-
ном евклидовом пространстве. Сами числа аУ и а2 называются ком-
понентами спинора.
Если рассматривать формулу (2) как формулу, дающую при
фиксированной системе координат переход от одного спинора с ком-
понентами {а1, а2} к другому с компонентами [а1', а2'}, то преобра-
зования (2) образуют двумерное представление группы вращений.
Это представление мы назовем спинорным представлением первого
ранга. Из сказанного выше следует, что оно является неприводимым
представлением веса у. Для дальнейшего удобнее будет обозначить
II	а	Р	II	II	aii
матрицу	_	_	через
II - Р	®	II	II
т. е. положить а = ап, р = а12,
— Р = а21, а = а22. Тогда формулы,-по которым преобразуются ком-
поненты спинора, примут вид
2
а*' == 2	Det | aik | = 1.
к = 1
(2')
Пусть теперь в каждой ортогональной системе координат
нам задана определенная с точностью до знака совокупность 2Г
комплексных чисел	(Xlt Х2, ..., Хг=1, 2), которая при
переходе от одной системы к другой с помощью матрицы Ца<%||
преобразуется по формулам
=	... 2	...	(3)
А1Л1 а2Л2
где ап — а22 — <х, а12 =— а21 = £3. Такая система чисел называется
контравариантным спинором ранга г в трехмерном евклидовом
пространстве.
Совокупность всех спиноров r-го ранга, заданных в некоторой
системе координат, образует 2г-мерное линейное пространство.
Формула (3) преобразования спиноров дает представление группы
вращений преобразованиями в этом пространстве. Оно называется
спинорным представлением ранга г. Так как из формулы (3) видно,
что каждая компонента спинора ранга г преобразуется как произве-
дение компонент г спиноров первого ранга, то это представление
есть произведение г неприводимых представлений веса у аналогично
тому, как тензорное представление есть произведение неприводимых
представлений веса 1.
2. Симметрические спиноры. Существование неприводимых
представлений для любого (целого и полуцелого) веса I. В этом
пункте мы докажем, что для каждого целого и полуцелого I суще-
ствуют \подпространства спиноров, преобразующихся при вращении
82	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I
по неприводимому представлению веса I. Такими подпространствами
являются подпространства симметрических спиноров.
Спинор	ранга г называется симметрическим, если его
компоненты не меняются при любой перестановке индексов 1р2 .   ir.
Так как индексы Za могут принимать только значения 1 или 2, то
ясно, что перестановкой индексов можно любую компоненту симме-
трического спинора свести к одной из следующих г —1 компонент
г	г—k к	г
aiTT7>	аиТГП, 2^~~2......
Отсюда видно, что симметрические спиноры г-го ранга образуют
г-f-1-мерное подпространство в пространстве всех спиноров. Легко
показать, что это подпространство инвариантно относительно спи-
норного представления. В самом деле, из формулы
2
по которой преобразуются спиноры ранга г, видно, что на все
индексы z, действует одна и та же матрица aift, так что в резуль-
тате преобразования симметрия спинора не нарушается.
Покажем, что представление в пространстве симметрических спи-
норов любого ранга г неприводимо. Для дальнейшего удобнее будет
обозначить г через 21, где I—целое или полуцелое. Чтобы пока-
зать неприводимость представления в пространстве симметрических
спиноров ранга 21, достаточно показать, что преобразование Н3
в этом пространстве имеет 2Z —|— 1 различных собственных значений
(столько, какова размерность пространства). Найдем для этого вид
преобразования Н3 в спинорном представлении. Спинорное предста-
. 1
вление ранга 1 есть неприводимое представление веса у и матрица
Н3 — iA3 для этого представления имеет вид (см. стр. 40)
2
2
0
0
£
2
Так как спинорное представление ранга г есть произведение г пред-
ставлений веса у, то, чтобы найти для этого представления
Н3(1'''"’гг, нужно подействовать матрицей поочередно на каждый
из индексов 1а, не меняя остальных, и сложить результаты
(см. п. 2 § 4). Мы получим:

П. 3]	§ 6. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	83
где — число единиц среди индексов Za, а р2—-число двоек среди
этих индексов. Из этой формулы видно, что спинор а*'**"'\ у ко-
торого отличны от нуля лишь компоненты с р° единицами и р°
двойк ами, является собственным вектором Н3 с собственным значе-
нием i(po — р°).
Пусть fm—симметрический спинор ранга 2Z, у которого
I—т 1+т
а11 ... 1,22 ... 2 _ а все компоненты, отличные от этой, равны
нулю. Тогда
= [-1 (Z - /п) 4- 1 (Z + m)] fm = rnfm,
т. е. fm отвечает собственному значению т для преобразования Н3.
Так как т может принимать значения —Z, —Z —J— 1, ..., Z, то мы
получаем в пространстве симметрических спиноров 2Z—j— 1 собствен-
ных векторов преобразования Hs, отвечающих различным собст-
венным значениям. Тем самым доказано, что представление
в этом пространстве неприводимо. Спиноры fm только множителя-
ми отличаются от элементов канонического базиса для этого пред-
ставления.
Мы показали, таким образом, что в пространствах симметриче-
ских спиноров можно реализовать любые неприводимые представле-
ния группы вращений. В пространстве симметрических спиноров
ранга 2/ действует неприводимое представление размерности 2Z 1
и, следовательно, веса I. Поэтому симметрические спиноры четного
ранга реализуют неприводимые представления с целым весом, с ко-
торыми мы уже встречались, а симметрические спиноры нечетного
ранга — представления с полуцелым весом. В частности, симметри-
ческий спинор второго ранга определяет представление с Z==l.
Таким образом, симметрическим спинорам второго ранга можно сопо-
ставить векторы трехмерного пространства так, что при вращениях
они преобразуются одинаково. Чтобы установить эту связь, заметим,
что если aik— симметрический спинор, то его компоненты а11, )/<2а12,
а22 являются координатами его в каноническом базисе. Так как ком-
ах + iay
аоненты вектора ах, ау, az в каноническом базисе равны,—,
“1“
аг, ---—— (см. п. 5 § 2), то эта связь задается формулами
у 2
= (fll1	(а114-й22).
3. Основные операции над спинорами. Спиноры и спинорные
представления в настоящее время широко применяются в теоретическ°й
6*
84	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. 1
физике. В связи с этим рассмотрим некоторые операции спинорной
алгебры, аналогичные соответствующим операциям для тензоров,
рассмотренным в § 5.
Начнем с операции свертки или образования следа. Сначала рас-
смотрим два спинора первого ранга {а1, а2] и {ft1, ft2}. Детерминант,
составленный из компонент этих спиноров
a4ft2— а2Ь1,	(4)
при преобразовании координат умножается на детерминант мат-
рицы ||aift||, и в силу того, что ana22— a12a21 = | a |2 -ф-1 |2 = 1,
выражение аУЬ2 — а2Ь1 не меняется при переходе к другой системе
координат. Таким образом, составленная из компонент двух спиноров
первого ранга билинейная форма агЬ2 — а2Ьх является скаляром.
Если ввести в рассмотрение матрицу
II 0 1 II
IM =1-! о I’	<5>
то с помощью этой матрицы можно записать этот скаляр так:
2	2
а=13=1 Г
Определим число положив
2
<б)
р=1
т. е., другими словами, положив ft1 = ft2, ft2 = — ft1. Очевидно, что
числа ftx и ft2 наравне с ft1 и ft2 определяют спинор. Они носят на-
звание ковариантных компонент этого спинора. Из формул (4)
и (2) легко вывести, что при преобразовании координат ковариант-
ные компоненты спинора преобразуются с помощью матрицы, ком-
плексно сопряженной к матрице (1).
С помощью ковариантных компонент спинора форму (4) можно
2
записать как сумму произведений <z1ft1 a?b2 = 2 В дальнейшем
Х = 1
мы будем опускать индекс суммирования в формулах, где суммиро-
вание производится по одному верхнему и одному нижнему индексам,
т. е. будем записывать форму (4) просто в виде axftx.
Рассмотрим теперь произвольный спинор	Составим из
его компонент систему чисел
ftXsX‘-xr = ea?na₽x‘-xr.	(7)
Выражение-(7) называется следом спинора	по первым двум
индексам. Из формулы (4) следует, что след спинора r-го ранга
есть спинор ранга г — 2. Действительно, так как спинор r-го ранга
преобразуется как произведение г спиноров первого ранга, то мы
п. 4]	§ 6. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	85
имеем:
ftA-x,	...а ,
А3А3 *4 4	агаг
Если аналогично тому, как мы сделали это для спинора первого
ранга, ввести для спинора flXiXj-"xr компоненты с одним опущенным
индексом (ковариантные по одному индексу и контравариантные по
остальным)
Хп »• • X..	лХо .. • Х„
а? Г —га г>
Xj	XjC^	• *
то след спинора о7'1'2 "лг по первым двум индексам запишется коротко:
Sp ах,Хз ••• хг — а^Хз хг.
г	р
Операция образования следа, как и соответствующая операция
для тензоров, называется сверткой спинора по первым двум инде-
ксам. Аналогично определяется операция свертки по любой другой
паре индексов.
В процессе определения свертки мы столкнулись с операцией
опускания индекса, заменяющей контравариантные компоненты спи-
нора аХ12 " г смешанными (ковариантными по одному и контрава-
риантными по остальным индексам) компонентами аА’"'А/'. Тем же спо-
собом можно опустить любое число индексов и получить смешанные
компоненты, ковариантные по одним индексам и контравариантные
по другим. При преобразовании координат верхние индексы преобра-
зуются матрицей ||ай||, а нижние—комплексно сопряженной матри-
цей, так что формула преобразования компонент а^--- имеет вид
/Л'р/м'...	““
и- и'р'т' ...  OCxWр.Йу'у • • •	...•
Матрица ]|s“₽|[, обратная к матрице ||s,3||, наоборот, «поднимает»
индексы тензора, так что, пользуясь ею, мы можем заменить любые
смешанные компоненты спинора на контравариантные компоненты,
преобразующиеся по формулам (3).
Произведением двух спиноров Л и	каждый из
которых контравариантен по одной части индексов и ковариантен
по другой, называется спинор	...js ранга p-\~s, ком-
поненты которого суть всевозможные произведения компонент сла-
гаемых. То, что при подобном умножении мы действительно получаем
спинор, доказывается так же, как и для тензоров.
4. На какие неприводимые представления разлагается спи-
норное представление. Допустим теперь, что нам задан произволь-
ный спинор ранга г. Мы знаем, что его преобразования образуют
представление группы вращений размерности 2Г. В этом пункте мы
выясним, на сколько и каких неприводимых представлений разла-
гается это представление.
86	ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I
Ответ на этот вопрос можно дать таким же образом, как в случае
тензоров. Действительно, мы уже знаем, что спиноры первого ранга
,	1 п
преобразуются по неприводимому представлению с весом у. Про-
извольный спинор ранга 2 преобразуется в точности так же, как
произведение спиноров первого ранга. Так как каждый из сомножи-
телей преобразуется по неприводимому представлению, то произве-
дение разложится на сумму неприводимых представлений с весами
-----^- = 0 и	Перейдем к спинорам ранга 3. Они пре-
образуются как произведение спинора второго ранга на спинор пер-
вого ранга. Но представление спинорами второго ранга уже не
является неприводимым, поэтому мы должны рассмотреть это пред-
ставление как разложенное на сумму неприводимых и умножить на
представление с весом у каждое из слагаемых. При этом из пред-
п	1
ставления с весом 0 получится одно представление с весом у, а из
. 1
представления с весом 1—одно представление с весом у и одно
с весом у (см. таблицу II). Всего, таким образом, в разложении
представления спинорами ранга 3 на неприводимые представления
,	1	3
будет два представления с весом у и одно с весом у.
Продолжая этот процесс, т. е. представляя спинор ранга г как
произведение спинора ранга г— 1 на спинор первого ранга и поль-
зуясь уже имеющимся разложением представления для спиноров
ранга г—1, мы можем подсчитать, на сколько и каких неприводи-
мых представлений разлагается представление спинорами любого
ранга.
Таблица II
Порядок спинора	Индекс представления						
	0	1 2	1	3 2	2	5 2	3
1		1					
2	1		1				
3		2		1			
4	2		3		1		
5		5		4		1	
6	5		9		5		1
В каждой клетке г-й строчки ставится *сумма чисел, стоящих
непосредственно правее и левее этой клетки в (г—1)-й строчке.
ГЛАВА 2
ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
§ 7.	Матричные элементы неприводимого представления
(обобщенные сферические функции)
В § 2 мы нашли в некотором специальном базисе матрицы,
отвечающие при произвольном неприводимом представлении беско-
нечно малым поворотам вокруг осей координат. В этом параграфе
будет найдена матрица, отвечающая в этом же базисе произволь-
ному вращению g.
1.	Операторы Ug. Пусть дано неприводимое представление
g-^-Tg с некоторым весом I. Элементы Ттп (—I т, п^Г)
матрицы Тд являются при этом функциями от g, которые нам надо
определить.
Умножим для этого g на произвольное вращение gt. Тогда
Tmn(g) перейдет в другую функцию от g, равную Tmn(gg^. Это
преобразование функций Ттп зависит от вращения glt и, обозначив
его ив1, мы можем записать, что
UgTmn(jg)=Tmn(ggd-	(1)
Легко проверить, что для преобразований Ugi имеет место формула
UgPg, = Ugig,.	(2)
Действительно,
дРgJ'mn (.g) — Ugjmn (ggi) — Ттп (ggzgi) = UMTnn (g)-
Рассмотрим подробнее функцию Ттп (i^). По определению
функций Ттп это есть элемент матрицы Тдд1. Так как матрицы Тд
образуют представление, то
Тдд, = Т'дТ'де
Приравнивая элементы матриц, стоящих справа и слева, получаем
г
Tmn (ggi) = 2 T'ms &) Tsn (gi)-	(3)
8 = — I
88 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Это равенство означает, что
i •
Ттп (g) = 2 Gns (g) T'snte).	(4)
3--1
Мы видим, таким образом, что преобразование Ug, переводит
элемент m-й строки матрицы Тд в линейную комбинацию элементов
той же строки Тд с коэффициентами, зависящими от gt.
Рассмотрим (2/—1)-мерное пространство Rm функций от g,
порожденное элементами m-Vi строки матрицы Тд, т, е. функциями
/).
Из формул (2) и (4) следует, что при любом пг преобразова-
ния Ugi дают (2Z—J— 1)-мерное представление группы вращений
в пространстве Rm.
Из формулы (4) следует, кроме того, что коэффициенты линей-
ных преобразований, в которые Ugi переводит функции Tmn(g),
равны Tsn(g1') (—п^/). Это значит, что матрицы преобра-
зований Ugi в нашем пространстве Rm совпадают с матрицами Тд1.
Отсюда видно, что, во-первых, представление gi~+Ug, в про-
странстве Rm неприводимо и, во-вторых, сами функции Tmn(g)
(—Z^n^Z), на которые действуют матрицы Тд1, являются в про-
странстве каноническим базисом. Это значит, что преобразования
Н+ и Н_, отвечающие представлению gi^>Ugi, действуют на эти
функции по формулам, найденным выше (см. формулу (19), § 2).
С помощью этих соображений мы найдем функции Tmn(g)
и установим ряд рекуррентных соотношений между ними.
2.	Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно
малым поворотам. Прежде всего нужно найти преобразования Ак,
отвечающие при представлении, определенном в п. 1, бесконечно
малым поворотам вокруг осей координат. Для этого мы, так же
как это было сделано в § 3, должны взять в качестве gA поворот
вокруг фиксированной оси на угол а и разложить Ug\Tmn (g) =
= Tmn(ggi) по степеням а.
Вычисление проводится очень просто, если за ось вращения
принять ось Oz. Зададим произвольное вращение g с углами Эйлера
®i, 6, <р2. и пусть gt есть вращение вокруг оси Oz на угол а.
Тогда вращение ggv как легко видеть, определяется углами
Эйлера <рх, 0, ср2 + а. Поэтому
Tmn (ggl) = Ттп (cpi, 0, <р2 + «) = Ттп (<Р1, 0, ?2) + а-^^+ •••
и преобразование А3 есть дифференциальный оператор
А3 = -л~.	(5)
3
П. 2]	§ 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 89’
В общем случае разложение Tmn^gg^ = Tmn(y'v 9', имеет
вид
6'- ?2)==7«.»(?i- 6’ ?з) +
, у Г дттп d^ , дТтп , дТтп d’^ 1	|	zfiv
' L d<fi di ' cHi di ' d'f2 di Ja=0-^' ' ’	'
d<fi I dO' I d'f'2 I
Определим —, ——	и —— для случая, когда враще-
da 1«=о di |«=0 da |а=0
ние gi на угол а происходит вокруг оси Ох.
Чтобы сделать это, мы рассмотрим матрицу самого вращения g
как функцию углов Эйлера. Как было указано в § 1, она имеет вид.
g (?i> е» ?2)= IlgifcCPi. е> %) II =
COS COS у2---------COS 6 Sin <fi Sin <f2,
= sin <?! cos <p2 + cos 0 cos (ft sin s2,
sin sin 0,
— cos sin <f2 — cos 0 sin	cos <?2, sin sin 0
— sin <fi sin cp2 -j- cos 0 cos	cos <?2, — cos fi sin 0
cos f2 sin 9,	cos 0
(7)
Матрице вращения ggt отвечают некоторые значения параметров;.
<р', 9', ср', зависящие от угла поворота а и обращающиеся в Фр 9, ф2
при а=0. Разлагая матрицу ggi по степеням а, мы получим:
ggl = II£<»(?!• е> ®2)И+а
dgjk d'f'i . dgik d(>' dgik df'2 I
dfi di ' <30 da г d<f2 da |e=0
С другой стороны, так как gx есть вращение на угол а вокруг
оси Ох, то его матрица равна
gl=	1	0	0 0	cos	а	— Sin	а 0	sin	a	COS	а	=	1 0 0	С 1 с	0 0 1		0 0 0 0 0 1	0 — 1 0	
и, следовательно,					0	£13 -	-£12		
ggi = \\gik(<?i> 9>		fa) II +		а	0 gw - 0 £зз -		- £22 - £32	+ • •	(9)
Приравнивая друг другу выражения (8) и (9) для матрицы ggt
и сравнивая коэффициенты при а в этих выражениях, мы получим
d'ft	db'	df2
уравнения, из которых определятся ——	,	и ——
da- «=0	da а=0- da а=0
Нам достаточно взять три наиболее простых элемента матриц,,
на которые умножается а в формулах (8) и (9), а именно, правый.'
90
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
нижний, левый нижний и правый верхний элементы. Взяв соответ-
ствующие выражения gik из формулы (7) и продифференцировав их,
мы получим уравнения
. д db' I	' . д
— sin 9——	= — cos Ф2 sin 0,
d°- L=o
• Д ^2
cos ср? sin 9 -3—
da
I • дdV I	n
4~ sin <f x cos 0 —j—	=0,
a=O	“a l« = 0
dojx
cos о? sin 6 -y-
‘2 da
I •	д d®' I	I Д .
-f- Sin COS 0 —	= COS Sin ?2 + COS S!n ?1 C0S ?2»
a = 0	*	!a = 0
из которых найдем, что
da
rfO-M
da
= COS®2>
'«=0
=— sin Фо cig 9, —z—
l«=o	d'J-
а = 0
Sin <?>
sin 0 '
Подставляя эти выражения в формулу (6), мы найдем
циальный оператор, отвечающий бесконечно малому
вокруг оси Ох
.	, а  д , sin '-•> д
Л. = — ct? 6 sin Ф, -5  г-д'—
1 s ‘2 д-;« 1 sin 0
дифферен-
повороту
, d
3---hCOS'ioSTT-
d<f2	<30
Оператор A2 вычисляется аналогичным образом и имеет
д . д
sm^dT-
(10)
вид
.	, а	d . cos ¥2
Л2 = ---- Ct? 9 COS Фо -5---------;-д- -3—
2	S	TZ	I Sln 0
Операторы H+, H_ и H3, с которыми нам удобнее будет произ-
водить дальнейшие вычисления, теперь легко определяются:
a ________1____д_ ,	_д\
<3<р2 sin 0 “г <30 ) ’
а д .	1 д . . д'
т0 з----3-----------hi 
=* d'fc> 1 sin 0	’	(
1~$— -^2 — &
(И)
и). !(12>
/Y_ =	H- -^2--
H, = lA3 = i~.
3	3	^2
Составив из этих операторов оператор — Н\~\-Н\~\-
мы можем, подобно тому как это было сделано в § 3 для сфери-
ческих функций, написать дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяют функции Tmn(yv 9, <р2) при всех значениях т и п,
dPU . , dU .
<302 +ct£e <?е +
.	1 (ff4J с. д dHJ . d-U \ . ... .	л ,.Q4
-4- -rvs —г—2 cos 0-5—з  з-|-4-/(Z-4-1)с7 = 0. (13)
^sin2 0\^2	<3<P1 дъ. <3<p2 )	2	4
Мы выпишем в явном виде решения этого уравнения, идя тем же
путем, каким мы в § 3 нашли сферические функции У™ (<р, D).
П. 3]	§ 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 91
В отличие от обозначений § 3 полярный угол 9 (широту) мы
будем обозначать буквой v, оставляя 9 для обозначений второго угла
Эйлера.
3.	Зависимость матричных элементов от углов Эйлера и
Функции Ттп(ух, 9, <р2) весьма просто зависят от переменных срг
и <р2. В самом деле, мы знаем, что произвольное вращение g можно
представить как произведение трех вращений: поворота на угол
вокруг оси Oz, затем поворота на угол 9 вокруг оси Ох и затем
снова поворота вокруг оси Oz на угол <р2. Обозначив матрицы, отве-
чающие при представлении каждому из этих вращений, через ТЧ1
Т\ и соответственно, мы можем записать, следовательно, что
для произвольного вращения g имеет место равенство
Tg=T,JrtT^	(14)
(напомним, что при произведении операторов их матрицы перемно-
жаются в обратном порядке). Но матрица, отвечающая при непри-
водимом представлении с весом I повороту на угол у вокруг оси Oz,
нами уже была найдена. Согласно результатам § 2 она имеет вид
е»'? О 0 ... О
•р   0 ^(2-1)? 0...	0	(14л)
! 0	0	0... e-ti'f
(см. формулу на стр 39. Напомним, что строки и столбцы матрицы
нумеруются от — I до I, так что на пересечении столбца и строки
с индексом m стоит e~iTOtP.)
Заменяя матрицы Тч и 7). в (14) их выражениями по фор-
муле (14') и производя умножение, мы найдем, что
Ттп(ъ> ^ = е~^итп^)е-^,	(15)
где через птоге(9) обозначены элементы матрицы Тг>. Остается, сле-
довательно, найти функции мтп(9).
Подставляя Т^Дсрр 9, <р2) из формулы (15) в дифференциальное
уравнение (13), которому эта функция удовлетворяет, и сокращая
на	мы получим обыкновенное дифференциальное урав-
нение для функций «топ(9). Оно имеет вид
d-u
~d№
+-ctg9
du
'M
Ц/(/4-1)
п2 — 2тп cos 0 + /и2
sin2 0
Заменой переменных
• 2 0
т — sin2 ,
и (9) = т
I т-п |
(1—т)
I т+п |
©(т)
2
2
92
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
[Ч. I
это уравнение приводится к гипергеометрическому уравнению
t(l-T)g-+[c — (a + Z>+l)^_fl^(O = 0,
где
а = /4-1+'2'(|от — п | +1 т п. |),
b = — I + у (| т — п | +1 т + п |),
с = | т — п |	1.
В следующем пункте будет найден явный вид функций итоП(9).
4.	Обобщенные сферические функции. Функции Ттп^1г 0, у2)
при любом т являются собственными функциями оператора Н3,
отвечающими собственному значению п этого оператора. В частности,
®> ?г) отвечают наибольшему собственному значению I.
Отсюда следует (см. § 2, п. 3), что они должны удовлетворять
уравнению	9, ?2) — 0 или
е-гт, (ctg 9	фд! _|_ t = 0.
\ s	sin 0 <3<р2 1	<30 )
Подставляя в это уравнение Тт1(ух, 0,	= e~i7^um№) и со*
кращая на	мы найдем обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка для определения uml(W)
du^)	m —/cos 0	0 =
М 1 sin 0	v '
Общее решение этого уравнения имеет вид
чтТ (6) = Ст ,	(17)
tg-y
или, если ввести удобную для дальнейших вычислений переменную
[i = cos9 и обозначить ит1фаге cos и) через	вид
1l—mi	1+т
РтМ = Ст(Д — р)~(1 +р)~.	(18)
Тем самым с точностью до численных множителей Ст определены
все элементы самого правого столбца матрицы Тд, т. е. Т„а (у^, 0, <р2).
Оставив пока численный множители неопределенными, найдем все
остальные элементы Ттп(у1г 0, <р2). Для этого применим к уже най-
денным функциям Тт1 оператор Н_ и воспользуемся тем, что
Н_Ттп=anTmi n-it где лп = (I ti) (I— /i-|—1) (см. § 2, п« 3).
Подставляя в это уравнение оператор Н_ из (12) и функции
П. 4]	§ 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 93
7'mn(tpi> 6, Тг) из (15), мы получим соотношение для определения
функций иотп(0)
dttmn fn—л cos 6 „	___
sjn g umn —	n-l>
которое после введения переменной ]i = cos9, итп(0)~Ртп(р.) при-
нимает вид
(1 — Н2)^	W ~П^Ртп= ^пРт, п-1 (!*)•	(19)
(1-pV
Положим
п—т	п+т
Л»Дн) = (1 —	(1+<—(20)
Подставляя это выражение для Ртп(у-) в формулу (19), мы получим
простое соотношение для определения кш(р.)
^ = 1апът,п_^).	(21)
CL р»
Записав найденные ранее функции Pmi^} (см- формулу (18)
в виде (20))
7—т	1+т
Ртг (н) - ст (1 - н)‘ ~ (1 + И)’	(Н),
МЫ видим, что
vml (Р-) = ст (1 — (Х)*-™ (1 + ИУ+».
Отсюда и из формулы (21) сразу получается, что
= aai Ст-----------™ [(1 -^-то(1 +^+Wl
аг“г-1 • • • ап+1 “Р-
и, следовательно, функции Pmn([x)> которые мы будем обозначать
также РтП(р.), имеют вид
п—т	п+т
₽U»)=(-zy-"aa	т-—(1—н)~ 2 (1+н)" 2 X
Х'^Р?К1 -р.)г-™(1 4-^-1-
Подставляя теперь в формулу (15) итп (0) = Plmn (cos 9), мы получим
функции Тщп^!, 0, срг) для любых значений индексов т 1л п.
Однако в полученных выражениях для	0, <р2) содержится
21 -р 1 не определенных пока постоянных Ст. Мы найдем их из
94
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
условия, что вращению с нулевыми углами Эйлера g0 = g (0, 0, 0)
отвечает при представлении единичная матрица Е. Это значит,
что Ттт(0, 0, 0)= 1, т. е.
Ргтт(\) = (— i)i-™---------2-™(—т)! 2г+™ = 1.
• • • “)М+1
Отсюда, заменяя аг, aj_p ..., ат+1 их значениями, получаем:
_	/~(21)! (1 — т)Г
Ет— 21(1 — т)\ V
и, подставляя Ст и az, аг_х, ..., ara+1 в выражение для Plnll п (р),
имеем окончательную формулу
pi	/(/-«)! (/ + «)!
rm,nW— 21(1 — т)! V (I + да)! (I — и)! Х
п—т	п+т
Х(1-р) 2 (1+р) 2 -^[(1-!^-™ (1+^+то1. (22)
Итак, мы показали, что матрица, отвечающая при неприво-
димом представлении веса I произвольному вращению g с углами
Эйлера 0, <s2, имеет в каноническом базисе вид
7г = 11 Ттп^1, 9. ?2)|| ("!- п = — 1, —/Н-1...О,
где
Т1тп('?1, 6. ?2) = e~im^plmn (cos
и
п~т	п+т г_п
PU(|X)=H(1 —р) 2 (1+р)	2 4^ [(1 - р)г-™(I +уХ П
(23)
Постоянная А при этом равна	—Ц]— ]/'";/Т 'л! /> ~ л, •
г	21(1— да)! г (1-\-т)\(1— п)!
Функции Tmn(<fv 6, ср2) мы будем в дальнейшем называть для крат-
кости обобщенными сферическими функциями l-го порядка.
Приведем для примера обобщенные сферические функции поряд-
ков , 1 и 2. Так как зависимость этих функций от аргумен-
тов срх и <р2 нам известна, то для сокращения записи мы выпишем
матрицы функций .РДП(cos0), Pxmn(cosb) и P^(1(cosO). Они имеют
п. 4]
§ 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 95
следующий вид:
~4~ (1 + cos О)2 -4^(1— cos О)2 у 2	У‘2		0	, , в cos у	1 sin у
2	2 -~4=- (1 — cos 9)2 —1— (1 + cos 0)2 У 2	У2		, . 0	0 1 Sin у COS у
1= 1
у (1 + cos 6)
—sin 0
1'2
у (COS 6-1)
Z • a
- sin 9
/2
cos 0
—sin 9
/2
у (cos 6 - 1)
—^—sin 6
/2
у (1 + COS 6)
1 = 2
| у (COS 0+1)2
у sin 0 (cos 6 + 1)
4(1—cos20)
у sin 6 (cos 6 — 1)
у (cos 0 — 1)2
у sin 6 (COS 0 +-1)
у (2 cos2 6 + cos 0 — 1)
у I sin 6 cos 6
у (2 cos2 6 — cos 0 — 1)
у sin 0 (cos 0 — 1)
cos2 0)
i sin 0 cos 0
4(3 cos2 0 — 1)
3
у i sin 0 cos 0
4]/
у sin 6 (cos 0 -- 1)
у (2 cos2 6 — cos 0 — 1)
j/~у I sin 6 cos 6
у (2 cos2 0 + cos 0 — 1)
у sin 0 (cos 6 + 1)
1	I
у (cos 6 — I)2
у sin 6 (cos 6- 1)
iV4(1-cos20) •
у sin 0 (cos 0+1)
у (cos 0 + 1)2
Во всех приведенных примерах строки нумеруются сверху вниз»
а столбцы — слева направо номерами —I, —/-f-l........Чтобы
'96 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
получить обобщенную сферическую функцию	0, <р2), надо
умножить элемент соответствующей матрицы, стоящий на пересе-
чении m-й строки и n-го столбца, на
Функции 7'mn(cPi> 6> ?г) ПРИ Целом I и при /п = 0 имеют вид
0» ?г) —
—	_nz/n___1_л/~^-	--(1 __и,2) dl ” (1 ___u-V
е 1)1 21 /! У (I — п)! и ! >	!J- ) •
Сравнивая эту функцию с соответствующей сферической функцией
Z-го порядка К” (ср, 0) (см. формулу (14) § 3), мы видим, что
Г7ОП (?!. 6. ?2) = /*2/ТТ Г"( J-	6) •	<24>
т. е. элементы нулевой (центральной) строки матрицы Тд (такая
строка существует, естественно, только у матриц нечетного порядка,
дающих представления с целым весом /), с точностью до множи-
. /	2	л
теля |/	и замены ср на -%—ф совпадают со сферическими
функциями /-го порядка*). В частности, Роо(^) совпадает с обыч-
1
ным (не нормированным условием fp|(p.)dp.= 1) многочленом
-1
Лежандра.
При произвольных тип функции Ртп(р-) тесно связаны с дру-
гими встречающимися в анализе многочленами—многочленами Якоби.
Соответствующая формула будет дана несколько ниже.
Рассмотрим, какие свойства функций Ргтп(\ь) вытекают из уни-
тарности матриц Тд. Пусть вращение g задано углами Эйлера
<рп 0, ср2. Тогда вращение g~r определяется углами Эйлера к — ср2, 0,
~— ?i (см. §1) и условие унитарности
Тд=Тд =Тд~1
дает для элементов матрицы Тд соотношение
Tnrn(<?i> 6. tp2)=T'm»(n—'Рг» 0.	?1)-
*) Формулу (24) можно было бы вывести, пользуясь тем, что элементы
нулевой строки не зависят от у2 и могут быть рассматриваемы как функции
на поверхности сферы (ср. § 3).
П. 4]	§ 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 97
Сокращая на	имеем:
^T(9) = «mn(9)-(—1)те+п>	(25)
или, полагая cos0 = p.,
Р1тп (|х) = Р1пт^)  (-1)™+»	(25')
Так как в силу формулы (23) Ргпт(у) содержит множителем 1п-т,
то Рпт(у) = (—1~)п~тРпт ('>) Итак, окончательно
Р'тп (Н) = Рпт (РО >	(26)
т. е. матрица из функций Р1тп (;_>.) симметрична относительно глав-
ной диагонали.
Отсюда следует, что функцию Р1тп(у) можно наряду с форму-
лами (23) записать в следующем виде:
7	т + п Л-т	1
Ртп (у) — А'(1 — И) 2 (1+H) 2 7T^[(l-^-n(l+^+n]-
“ti	J
где	>
А' — (— iy-n——-	i/~С — ”)! <z + '«)!
2z(Z—п)!Г (/4-«)!(/ — m)! '
(23')
Еще одно свойство симметрии, которым обладают функции P^n(p-)>
вытекает из следующего замечания. Рассмотрим вращение ga с углами
Эйлера (0, и, 0) (поворот на 180° вокруг оси Ох). При Этом вра-
щении p = cosit = — 1, т, е. р, —|— 1 = 0 и элементы соответствующей
этому вращению матрицы Тд, обращаются в нуль при т-\-п=р0
(см. формулу (23)). При п —— т мы имеем:
Тт,-т = Рт,-т(--- 1) = (- i)Z-
Пусть теперь g— произвольное вращение с углами Эйлера <рР
9, ср2 и 7'mn(cp1, 0, ср2) — элемент матрицы Т , отвечающей этому
вращению. Рассмотрим вращение g = goggo \ Ему отвечает матрица
7’j = Тд.ХдТ Перемножив соответствующие матрицы, легко убе-
диться, что элемент, стоящий на пересечении тп-й строки и /г-го
столбца матрицы Т^, есть Т_т,_п (<рх, 9, ср2). С другой стороны,
вращение g изменяет направление двух координатных осей Оу и Oz.
Поэтому, если g = g(y>i> е> Тг). т0 i =	1=?(-'-?г 6> — ?г) *)•
*) Действительно, матрицу g = goggo 1 можно рассматривать как мат-
рицу того же вращения g в новой системе координат, полученную из старой
вращением g$. А эта система отличается от старой тем, что направления
осей Gy и Oz изменены на обратные.
98 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Следовательно, 7'^ = 7'(—9, — ср2), и мы имеем равенство
9, <Рг)= Ттп( — <pi, 9, — ср2).
Сокращая на е{тъ егп^ и полагая cos 0 -- а, получаем отсюда:
Рг-т^п^ = Р1тп^.	(27)
Из свойств симметрии функций Ргтп (у.) очевидно, что эти функции
зависят на самом деле не от индексов т и п, а от \m-\-n\ и \т— п\.
Укажем, наконец, на связь функций Ргтп(р) с упоминавшимися
выше многочленами Якоби. Многочленами Якоби называются много-
члены вида
Р? (Iх) = о — с1 + -h к1 - н)8+“(1 + ^s+3b
2 • s!	du.
Очевидно, если положить s — l—~ (I т 4“ п I -h I т — I )> а =
= \п — т\ и р = | п -j- т |, то функции Р1тп(^) будут выражаться
через многочлен Якоби Р^ по формуле
«	_3
pU(h) = k(i — рО2 3 (1+рГ р:%),
где К—постоянная.
Заметим, что из унитарности матрицы Tmn(g) следует также,
что
2 | Plmn (cos 9) |2=1.
п~ —I
5. Формула сложения для матричных элементов. Формула (3)
этого параграфа Ттп (g'g") = J} Tms (g') Tsn (g") представляет собой
в=-1
формулу сложения для обобщенных сферических функций. Она со-
держит как частный случай обычную формулу сложения для много-
членов Лежандра. Выпишем общую формулу сложения в явном виде.
Пусть вращение g' определяется углами Эйлера 0, 9' ср', вращение
g" — углами ср", 9", 0 и, наконец, вращение g = g'g"— углами ср!,
9, ср2. Тогда
3 = 1
Ттп(^, 9, ср2)= TTOS(0, 9', ср') Tsn(ср", 9", 0).
8 = -I
Заменяя Tmn(cpi, 9, ср2) через ргтп (cos 9) e-in^ и обозначая
П. 5]	§ 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 99
сумму ср" через <о, мы получаем:
s = Z
e-im-ъ plmn (Cos o^e-ina, — у e-istplms(cos 9')Р!лп (cos0"). (28)
s«=-Z
Нам осталось выразить ©j, 6 и ср2 через ср, в' и 9". С этой целью
рассмотрим матрицы Тд/, Тд„ и Тд при Z = y. Из равенст-
ва ТдгТд/Г—Тд, Т. в.
Г}	гг
?1	<?!
0"	0"
cos е — I sin е
// "
И	?1
0"	0" -»у
— i sin у е	cosy е
U Чу	и 1
cos е — г sin -у е
°2
0'	0' -’У
— /sin туе	cos е
cos у е — i sin у в
.%-?!	; ®1 + Ч
0	! 2“	0	~‘~2~
— I sin е cos ~2 е
мы получаем два комплексных уравнения для определения 0', 9"
и ср = ср' -f- ср".
О	0С 0// г-±	. 0' . 0zz -i|
cos 2-е	2	— cos ^ cos 9- е 2—sin у sin у е 2,
. О i ~	0'	.	0" 4 , . О' 0" -4
sm ~2 е 2 = cos у sin у е + sin у cos у е 2 .
Приравнивая
лучим отсюда:
модули и аргументы левых и правых частей, no-
cos 6 — cos 6' cos 9" — sin 9' sin 0" cos cp,
__________	sin sin 0"
g cos 0' sin 6" cos у 4” cos 0" sin 0' ’
___	sin cp sin 0'
° ‘ 2 ~ sin 0' cos 0" cos cp cos 6' sin 0" '
(29)
Полученные формулы (29) можно вывести чисто геометрически.
Выведем, например, первую из них. Применим вращение g". Ось Oz
перейдет в прямую ОК (рис. 5). Перейдем к вращению g'. При по-
вороте вокруг оси Ох на угол 0' луч ОК перейдет в луч ОК',
100 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
а ось Oz в прямую OD. Затем после поворота вокруг прямой OD
на угол ср2 прямая ОК' займет положение OL. Нам нужно определить
г
угол 0 между осью Oz и пря-
мой OL. Очевидно, что ось Oz
можно перевести в положение
Рис. 5.
прямой OL следующим образом (рис. 6): в плоскости хОу совер-
шить поворот на угол 0' и затем в плоскости DOL, повернутой
к плоскости хОу на угол ср ~ ср' -1- ср' луч OD повернуть на угол 0";
при этом он займет положение OL. Из рис. 6 видно, что задача
определения угла 0 свелась к вычислению стороны сферического тре-
угольника 0 по двум другим сторонам 0' и 0" и углу (тс—ср) между
ними. Для этого проводим прямые MD и DN— касательные к ду-
гам ZD к DL Из рис. 6 видим:
ОМ = sec S', MD = tg S', ON — sec 0", DN — tg 0".
Из треугольника MDN имеем:
MN2 = MD2 -I- DN2 — 2MD DN cos (y — cp) =
= tg2 0' tg2 0" 2tg 0' tg 0" cos cp.
Из треугольника MNO получаем:
MN2 = MO2 + ON2 — 2MO NO cos 0 =
= sec2 0" -|- sec2 S' — 2sin S' sec 0" cos 0.
Приравняв правые части обеих формул, мы после небольших пре-
образований придем к первой из формул (29). Аналогичным образом
можно получить и остальные две формулы.
Таким образом, окончательно получаем следующий результат.
Если, ср, S', 0"— произвольные углы (0<;ср<2л, О<;0', S" ~),
а 0, cpj и ср2 определены по срр 0', 0" формулами (29), то для
обобщенных сферических функций имеет место следующая фор-
мула сложения:
г
е~^Ргтп (cos S)e~in^= e-^/’LCcos 0')P’n(cos 0"). (28')
8- —I
П. 6]	§ 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 101
В частности, при т = п = 0 формула (28х) превращается в обычную
формулу сложения для многочленов Лежандра, выражающую значение
многочлена Лежандра от cos 9 — cos 9х cos 9" — sin 9х sin 9ХХ cos ср через
присоединенные функции от 9х и 9ХХ.
Полагая т = б, мы получаем теорему сложения для обычных
сферических функций РгОп (cos 6)	= Yi — ср2, 9^;
i
Pon(cos9)=	^08 (cos 9х)P*„(cos9xx).
s=-z
Особенно простой вид имеет формула сложения при ср = 0 и,
следовательно, ср1 = <р2 —0. В этом случае 6 -(Y-1-6", и мы имеем:
i
/’mn [cos (9х-ф 6")] — 2 /4з(со5 9х)Р*и(соз9хх). (30)
s=-Z
Вспоминая связь между Р1„($ и многочленами Якоби (см. п. 4),
мы можем интерпретировать это соотношение как формулу сложения
для многочленов Якоби. Так как
z
P\n [cos (9х + 9ХХ)] = Pls (cos 9х) Р[п (cos 9ХХ),
з = -Z
a Pin [cos (9х -ф- 9")] — присоединенные функции Лежандра, то ви-
дим, что обобщенные сферические функции возникают естественным
образом при разложении PlOn [cos (9х -ф- 9ХХ)[ в ряд по присоединенным
функциям от 9х. Сами же обобщенные сферические функции, как
следует из формул (28х) и (30), образуют систему, замкнутую от-
носительно теоремы сложения. Приведенная формула сложения дает
возможность также выразить многочлен Лежандра от косинуса суммы
нескольких углов через функции, каждая из которых зависит лишь
от одного из углов. Так, например,
Рг [cos (9х + 9ХХ + 9ХХХ)] =
Z Z
= 2 2 p^(cose/)^(cose/)-^°^cosew)-
bj — — 1г 8J — ~1г
6. Разложение функций на группе вращений по обобщенным
сферическим функциям. Для определения матричных элементов
мы построили в начале этого параграфа неприводимые пред-
ставления преобразованиями Ugi, действующие в конечномерных
пространствах Rm функций, заданных на группе вращений.
Рассмотрим теперь множество всех функций от g:
f(g) = /(?!> 6> фг).
102
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
(31)
для которых сходится интеграл
2тс тс 2тс
f \f(g)\ZdS=^ff f |/(®1. 9> <?2) |2 sin 6 d(?i df) d'jy,.
ООО
Если определить скалярное произведение J\(g) на /2(g) формулой
2тс тс 2тс
(/1. А) = 8^2 f f f fl (<Pi, 9> ?2)A (?1> 9> ?2) sin 6 d$ d<?2, (32)
ООО
то эти функции образуют гильбертово пространство функций на группе.
Преобразования
U01f(£)=f(ggl)
образуют в этом пространстве бесконечномерное унитарное пред-
ставление*). Оно называется регулярным представлением группы
вращений. Неприводимые представления, на которые оно разлагается,
нам известны: это представления, действующие в подпространствах
обобщенных сферических функций ТтиСфр 6, <?2) при фиксирован-
ных I и т. Нетрудно убедиться, что этим исчерпываются все не-
приводимые представления преобразованиями Ug_. Действительно,
в каждом подпространстве, в котором действует неприводимое пред-
ставление веса Z, должен, согласно общей теории, существовать
элемент, удовлетворяющий уравнениям H?j — lf, H+f=0, т. е.
(см. формулу (12)) уравнениям Z^ = If и ctg 6	+
уравнения имеет видф2)
этой функции принимает вид
; dF
ай" -г	а-----Z ctg 6Д = 0.
дв 1 sm 0	s
Периодические по <р2 решения этого уравнения могут быть записаны
в виде
-f-Zjg=O. Решение первого
а второе после подстановки
dF ,
Д(0, <р2) = 2 um(f)e~im^,
где мот(6) удовлетворяет уравнению
du , т — I cos 6	„
Ч------s---- u — Q.
dft 1 sm 6
Отсюда (см. формулу (17) этого параграфа)
,,	Sin 0
ит W С в •
tgm Л
S 2
*) Унитарность представления следует из того, что введенное скалярное
произведение функций Д (g), f2 (g) инвариантно относительно умножения
справа на элемент g0 (см. п. 3 § 1).
ДОБАВЛЕНИЕ К § 7
103
Возможные значения т определяются из условия принадлежности
функции zzm(0) e~im^e~a^ гильбертову пространству, т. е. из условия
сходимости интеграла
ТС
J” | ит (6) |2 sin 6 d8.
о
Полагая cos9 = p., легко убедиться в том, что этот интеграл схо-
дится лишь при условии, что —l^m^l. Но в этом случае полу-
ченные нами решения являются линейными комбинациями обобщенных
сферических функций.
Таким образом, разложение регулярного представления на не-
приводимые означает, что каждая однозначная функция на группе
вращений с интегрируемым квадратом модуля по группе разлагается
в ряд по обобщенным сферическим функциям	0,,<р2). Функ-
ции Т\пп(^х, 9, ®2) и Т1т’П’ (cf>v 9, с2) при Гф1 ортогональны между
собой, так как они принадлежат ортогональным инвариантным под-
пространствам, в которых действуют различные неприводимые пред-
ставления группы вращений. При I' = I и т’-Ут. они также орто-
за
гональны, так как J* einl'-^ dy2 = 0. Аналогично ортогональ-
о
пость имеет место при Г = 1 и пгфп. Интеграл же от квадрата модуля
каждой из функций Tlmn (?i> 9, ®2) по группе:
2тс тс 2тс
8^-f f f	9>	|2sin0^cM9</<P2= 2T^i-
ООО
Окончательно можно сформулировать следующую теорему: со-
вокупность обобщенных сферических функций Т^п^, 9, <р2)
(Z—целые) образует полную ортогональную систему в простран-
стве функций /(«?!, 9, <р2) (0	0 к; 0 <рр <р2<2к), если ска-
лярное произведение задается формулой (32).
Добавление к § 7. Рекуррентные соотношения между
обобщенными сферическими функциями
Между обобщенными сферическими функциями Т1тп существует
целый ряд рекуррентных соотношений. Часть из них связывает
между собой обобщенные сферические функции одного и того же
порядка (с одним и тем же Z), другая часть связывает функции раз-
личных порядков.
Рекуррентные формулы, связывающие сферические функции дан-
ного порядка, мы уже встречали в п. 4 § 7. Они вытекают из со-
отношений Н_ Ттп. — У-пТт, п—1 И 77'тп —	+1^т, п+1 И ПОСЛе
104 гл. 2. исследования представлений группы вращений [ч. i
подстановки операторов Н_ и Н+ из формулы (12) § 7 и замены
Ттп через umn(6) могут быть записаны в виде *)
dumn m — п cos 0
sjn g	n —	^n^m, n-v
dumn. m — n cos 6	•	.	(1)
I Sin Q	n —	n+1*
После подстановки p- = cos6 эти формулы приобретают вид
1/-1----, m-np. г	г
V 1 I1	l~ y-j-j?mn (ф) — la-n Рт,п-1’
v	(V)
------dPb (р.) т — пр- ,	7
Z1 -	--------Ртп =Za«+ip™-»+1’
где
ап =	(J + п) (! — п~\~ !)•
Как было показано в § 7 (п. 4, формула (26)), итп (9) = апт (6).
Подставляя zznm(9) вместо итп в формулы (1) и заменяя т на п,
а п на т, мы получим формулы
dtimn п — т cos 6	.	|
	_ __ 	 11	- - /'77/	«	
tZ6_________________________________sin 0_п, I
}	(2)
dumn । n — m cos 0	_ .	I	4 7
I sinf)	ит+А+1, n- j
Из каждой пары формул (1) и (2) можно вывести соотношения
между тремя последовательными элементами строки (или столбца),
уже не содержащие производных. Они имеют вид
__— п cos 0
ап+1 ит, п+1	^т, п-1	d.1	g Uan,	(о)
__________________________г..п— т cos 0	,
am+l Mm+1, п ат ит—1, п ^1	g	)
где опять через итп(0) обозначено (cos 9).
Формулы иного типа можно получить, если воспользоваться
одним свойством матриц представления, выведенным в § 2. А именно,
в п. 2 § 2 мы показали, что если т) = (т]1, т]2, т]3) — некоторый
вектор и А^ —	АДг + ^зДз» гДе — матрицы, отвечающие
бесконечно малым поворотам вокруг осей координат, то для любого
вращения g имеет место формула
~	’	(4)
где 7]=g7] и = А1т]2 -ф- Л27]24~ А3т]3. Умножим равенство (4)
справа на матрицу Тд и положим т] = (1, 0, 0). Тогда компоненты
*) Для краткости мы обозначаем 7>^ln(cos0) через итп(0).
ДОБАВЛЕНИЕ К § 7
105
вектора у будут элементами первого столбца матрицы . В § 1
мы выписали матрицу как функцию от углов Эйлера (см. фор-
мулу (9) § 1). Подставив элементы glv g2l и g31 этой матрицы
в соотношение AtTg = g11TgA1-\-g21TgA2-^-g31TgA3, мы получим ра-
венство
ТдАг = (cos <pt cos с2 — cos 9 sin срt sin ©2) Аг Tg -|~
-)-(sin cpt cos ср2ф- cos ® cos ?i sin T2) ^Z^g~I-s,rl ?2 s'n ® A%Tg-
Для дальнейших вычислений удобнее будет заменить матрицы Ак
через Н+, Н_ и Н3 по формулам
Д1 = _1(Н++Я_), А2=|(Я_--Я+), а3 = -1Н3.
Сделав это и собрав коэффициенты при Н+ и Н_ в правой части,
мы получим:
Тд (Н+ -ф-Я_) = (cos ср2 — z cos 6 sin с2) е~*Ч'Н+Тд-\-
-(-(cos ©2-ф-г cos в sin ?г) ei4'H_Tg— 2 sin ®2 sin 6 Н3Тд.
Применим теперь преобразования, стоящие в обеих частях равенства,
к вектору канонического базиса fn и сравним коэффициенты при fm
в полученных выражениях. Учитывая, что Т fn = ^Tmnfm, Н+fn —
m
— ^п+1 /Н—fn —	H3fnfп> найдем следующее со-
отношение между функциями Т.тп'.
T'rnt n+1 ~Н п — 1 == (COS ®2 Z COS 0 Sin СР2) б	1, п I
-ф- (cos с, -ф- I cos 6 sin с2) ен* am+1 Tm+1< „ — 2m sin c, sin6Tm,n.
Подставим в это соотношение Tm п = итп(Ь) е~гпъ и умно-
жим его на e*w‘+’n'ft. Мы получим тогда связь между функциями (6),
имеющую место при любых значениях cpt:
&П + 1Д m, я +	“Ь" п — 1 & ‘ (COS р2 I COS 0 Sin р2)	п I
ф- (cos <р>2 +1 cos 6 sin <р2) am+1 ит+1> „ — 2m sin <р2 sin 0 timn.
g'i''?! _i_
Положив в этом соотношении cos р2 —-----------и sin у2 —---------
и приравняв коэффициенты при ег”2 и в левой и правой частях,
получим окончательные формулы
и+1 ~~ ~2 (1 ~Н COS 9)	1, п Н 2	^т+1^т+1, »
— im sin Ьитп, (5)
^n^mt п — 1	2^ (1 COS 0) ^'тЦгп—1, п Н 2” (1 COS 0)	п I
-\-im sin $итп. (5')
106 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Эти формулы связывают три соседних элемента га-го столбца с эле-
ментом п -(- 1 -го или п—1-го столбца. Здесь через zzmn(0) обозна-
чено Pmn(cos9). Воспользовавшись тем, что (0) — zznm (0), мы,
как и выше, можем получить аналогичные формулы, связывающие
три соседних элемента строки с элементом выше или нижераспо-
ложенной строки:
п == ~2 О COS 0) (X.ntlm^ п_{ —|—
+ у (1 — cos 0) a„+1zzOTi „+1 — ill sin 0zzm„,	(6)
—1, n	(1	COS 0) &nU.m< n_y —|—
T yO + cos ®) V As, n+1 + s'n ®umn- (6Z)
Если в равенстве (4) взять tq = (0, 1, 0), мы получим те же
самые формулы (5), (5')- Если же положить tq == (0, 0, 1), мы полу-
чим формулу
__Q . п — т cos 0
A/i-l-Am - 1, п	-1, h	sirTll
уже выведенную другим путем раньше.
Перейдем теперь к выводу формул, связывающих между собой
элементы Т1тп матриц Тд с различными значениями I (отвечающих
различным неприводимым представлениям). Чтобы сделать это,
воспользуемся результатами п. 4 § 4 о разложении произведения
двух неприводимых представлений на неприводимые. Мы видели там,
что произведение g^>Tg неприводимого представления веса 1 на
неприводимое представление веса I разлагается на три неприводи-
мых представления: g —> Тд+Х веса Z —1, S~> Т'д веса I ng^-Tg~l
веса I— 1. Базис ekfm_k в пространстве X Rz> в котором действует
представление, связан с каноническими базисами {g^1}, {gm} и {g^T1}
в пространствах, в которых действуют неприводимые представления
g —> Tg'', g —> Тд и g---> Т'д-1, соответственно, формулами
z	тп Z + l I ml . wJ-l
e_l/OT+l == Cngm H-C12gm + ci3gm >
eefm--- Czigm -F C22gm 4-C23gm , <	(7)
z	ОТ Z + l I	I	I
— Cilgm + C32gmH-C33gm • J
Значения коэффициентов с™ приведены на стр. 64 (формула (9) § 4).
Обозначим теперь через Тд матрицу неприводимого представления
веса I в каноническом базисе и применим преобразование Тд к левой
ДОБАВЛЕНИЕ К § 7
107
и правой частям каждого из равенств (7). В левой части, пользуясь
определением произведения представлений, получим:
'^'gekfm-k ~ T'gek^'gfm-k ~
т ^1 + 1 1 + 1 I т	I । т ^,1 — 1 1 — 1
— Ск+2,1*д gm -тгСк + Ъё1 ggm^Tck+2,3l д gm
(£ = —1, о, 1).
Обозначая элементы матриц Тд через Т?пп, найдем из этого равен-
ства соотношение
(Т’-ие.-! 4~ То fce0-j- 7,ц:й1) 2 7}, m-kfj —
2TZJ *~гЛ + 1 Z + l I 77i '-pl - ,Z ’ ТП/	rpl — l lr — l
Ск+2-ljmgj ^Ck+2t2^mgj-T~ck+2,3*jm gj •
Заменим теперь в правой части векторы gj+1, glj, g}~1 через e_1/J-+1,
й0/у,	по формулам (7) *) и сравним после этого коэффициенты
при векторах	eofj и в левой и правой частях получив-
шегося равенства. Мы получим три соотношения, зависящих от k. При-
давая в каждом из этих соотношений числу k три возможных значе-
ния— 1, 0, 1 и подставляя функции T'nm (?i> 9> ?2) (см- вторую
матрицу § 7 на стр. 95), найдем девять рекуррентных формул:
m-pl + 1 У . т-тЛ j ।	1 /1 I „„„ fix „iox + i'fa T'l
CnTjm Сц 4- Ci2TjmCi2 4~ CisTjm C13 — -у (1+COS и) в	1 J+l> m+li
m'ril + l j	1	m 'T'l	j	1	m'T'l — 1	7	—i . д	w.'pZ
O1 C21 ClzTjmC22^~ ClzTjm	S1H 0 e ?j, ш + l ,
w <7^Z +1 ,7	I	m tiZ	4	1	ш 't*1 — 1	j	1 / _ _ (\	i\	‘T'^
£11 * jm £31 “H £12 Т:тСч2. 4“ £13	C33 = *2" (COS U — 1) Q	Л -1> m + li
jm 'гЛ +1 J 1 m 'T'l j I _m тЛ — 1 7	I • д t’Z
£21 \jm Си 4-7С22 7упгС12 + с2з7ут c'i3 — ^-=sin 6 e ‘sTj+iim,
th 'pl+1 7 I m 'T'l 3 I th 'T'l — 1	fl 'T'l
C211 jm C21 ~T~ Сц1 ;mC22, + C23I jm ^23 — cos ® m 1
/m ‘~pl +1 j 1 m> тЛ 2 I tyi 'T'l — 1 4	i _• f\ — itpa tX
C31 + С22 4тСз2 4~ с2зТ_-т C33 = yr= SIH О Й Tj_\tm,
c3iTjm Гц + Cv^T-finc 124-СззТ.-т t’i3 = (cos 6— 1) e Tj+i,m-ii
c3\Tjm C21 4-СзгТ’/тСзг + сзз7/т1с2з — sin 6 в
c3i7jm C31 4-C327jmC32 4-сзз7у?га1Сзз = ^-(1+cos 6) e i<P1 l<fs7j_ijTO_i.
(8)
*) Напомним, что в силу ортогональности матрицы [|с^|| обратная к
ней совпадает с транспонированной.
108 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ группы вращений [ч. I
В этих формулах с™—известные числа, а именно элементы мат-
рицы заданной формулой (9) § 4 на стр. 64.
Не подставляя значений этих чисел во все формулы (8), ограни-
чимся тем, что сделаем это для средней из них, дающей связь между
функциями Т1тп и стоящими в соответствующих матрицах
на одних и тех же местах. Мы получим формулу
V U + w + О G — аг + 1)(/+) + 1)(7 —7 + 1) + + 1 j mJ ।
(27 + 1) (7 4- 1)	jm "Г"7(7+ 1) 1Эт~Г
। V(I + т) (I—	j) Ti-i a t'Z
т	ц^г+Т)	1	—cos ° zj>»> ia/
или после умножения на е~гп^'~г^ формулу
У(7 + w + 1)(/-w + 1)(Z + j + 1)(/-; + 1) пг+1 л.ч ,
(2Z + i)(z+i)	О» W+-
I	р1. (.,\ I УУ+т)(/ m)</ + 7)(^ 7) D+1 /„) — „рг. лл
(9')
При j—m.~Q эта формула превращается в рекуррентную формулу
между многочленами Лежандра.
§ 8. Разложение векторных и тензорных полей
В § 3 мы разлагали функции, определенные на сфере, т. е.
функции, зависящие от полярных углов 0 и ср, по сферическим
функциям (см. обозначения, введенные в конце п. 2, § 7). Такие
разложения используются обычно при решении в сферических коор-
динатах различных задач, в постановке которых имеется сферическая
симметрия относительно некоторой точки (задачи, инвариантные от-
носительно вращений).
В настоящем параграфе мы решим задачу об аналогичном раз-
ложении для функций, значениями которых является не скаляр,
а вектор, тензор или какая-нибудь другая величина. Таким образом,
содержание этого параграфа является развитием результатов § 3,
где такое разложение проведено для скалярных функций. Разложе-
ние функций, так же как и в § 3, получается в результате разло-
жения представления, порожденного преобразованиями этих функций
на неприводимые.
Специальные функции, по которым производится разложение, как
мы увидим, окажутся обобщенными сферическими функциями, вы-
численными в § 7, частным случаем которых являются обычные сфе-
рические функции.
И. 1]	§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ	109
Для большей ясности мы сначала, в п. 1, изложим решение задачи
для функций, принимающих векторные значения, и затем уже для
функций, значение которых есть произвольная величина.
Подобные разложения для различных величин встречаются во мно-
гих физических вопросах.
Подобно тому как решение уравнения Лапласа в сферических
координатах естественно приводит к разложению функции в ряд
ио сферическим функциям, при решении уравнений Максвелла в сфе-
рических координатах приходится разлагать в ряд функции, значе-
ниями которых являются векторы.
Аналогично при решении уравнений Дирака в центрально-сим-
метрическом поле приходится инвариантным образом разлагать
в ряд функцию на сфере, значениями которой является спинор.
Функции, по которым производится в этом случае разложе-
ние, введены В. А. Фоком и называются шаровыми функциями со
спином.
Для решения уравнений теории упругости Г. И. Петрашень ввел
так называемые шаровые векторы и успешно применил их к реше-
нию задач.
Наконец, в работе В. Б. Берестецкого, А. 3. Долгинова и
К. А. Тер-Мартиросяна были введены разложения функций, значе-
ниями которых являются произвольные Z-векторы (величины, преоб-
разующиеся по неприводимому представлению веса /). Разложение
проводилось по так называемым шаровым (/, £)-векторным функциям,
компоненты которых задаются как линейные комбинации обычных
сферических функций. Коэффициенты этих линейных комбинаций сов-
падают с коэффициентами с"ь определенными в п. 4 § 4. В общем
случае они довольно трудно обозримы.
Мы, как было указано выше, производим разложение компонент
величины по обобщенным сферическим функциям. Связь этих функ-
ций с обычными сферическими функциями может быть определена
с помощью рекуррентных формул § 7.
1. Разложение векторных функций. Рассмотрим функцию а(х),
где х — точка трехмерного пространства, а а— вектор, т. е. рас-
смотрим векторное поле.
Выясним, как преобразуются такие функции при вращении. Под-
вергнем векторное поле а(х) произвольному вращению g0. В ре-
зультате этого вращения мы получим новое векторное поле а'(х).
Найдем выражение а'(х) через а(х). После вращения g0, во-
первых, в точку х придет вектор, начало которого до этого было
в точке g^x. При этом вектор a(g~sx^ не перенесется в точку х
без изменения, а вместе со всем векторным полем подвергнется
вращению g0.
Следовательно, в результате вращения g0 векторное поле а(х)
перейдет в векторное поле а'(х) = goa(g“1 х). Таким образом,
ПО ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
каждому вращению g0 отвечает преобразование Тво векторных
функций а(х), определяемое формулой
Тдоа{х) = роа^-Хху	(1)
Ясно, что преобразование Тдо линейно.
Далее, из самого определения преобразования Тд следует, что
преобразование Tgii9l, отвечающее произведению вращений g0 и gx,
совпадает с последовательным осуществлением преобразований Т91
и тд.-
Tgogi=TgJg,	(2)
Точки любой сферы с центром в начале координат остаются после
вращения g0 на этой же сфере. На этом основании мы при изуче-
нии преобразований Тд ограничимся функциями, заданными на поверх-
ности единичной сферы, т. е. функциями а(Р) = а(&, ср), где а —
вектор, зависящий от точки Р сферы со сферическими координа-
тами й- и <р. Преобразования Тд, как это следует из формулы (2),
осуществляют представление группы вращений в пространстве век-
торных функций*) на поверхности сферы. Выделим из пространства
векторных функций на сфере инвариантные подпространства, в кото-
рых действуют неприводимые представления. С этой целью найдем
конечные системы векторных функций, которые переходят в свои
линейные комбинации под действием преобразований Т9о.
Для поля скалярных функций такими системами являются сфери-
ческие функции данного порядка I.
В случае векторного поля также можно было бы разлагать
каждую компоненту вектора а(Р) по сферическим функциям. Однако
такое разложение не является удобным, так как при вращении каждая
компонента вектора переходит в комбинацию всех трех компонент,
т. е. компоненты перепутываются между собой.
На самом деле существует более удобный способ задания век-
торного поля. Например, в качестве одной из компонент вектора
целесообразно брать компоненту аг(Р'у нормальную к поверхности
сферы. Так как при вращении нормальная компонента ar (Р) в точке Р
заменится снова на нормальную компоненту вектора в точке g^xP->
т. е.
Tgfir{P) = ar^P'),
Это представление будет унитарным, если ввести скалярное произ-
ведение двух векторных функций а(Р) и b (Р) по формуле
2тс тс
(« (Р), b (Р)) = J J {«t (&, ч) Ьг (&, ср) +	(»,	+
о о	______
+ «з № ?) h (М?)} sin & db civ,
где S/kp — сферические координаты точки Р сферы, а и фс — компоненты а
и b в какой-нибудь системе координат.
П. 1]	§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ	111
то функции ar (Р) преобразуются при вращении как скалярные функ-
ции (ср. § 3). Задача о разложении этого представления на непри-
водимые решается разложением функций аг(&, ср) в ряд по сфери-
ческим функциям. Поэтому в качестве одной из компонент будем
в дальнейшем брать аг(Р).
Сейчас мы дадим способ задания векторного поля с помощью
таких трех функций, каждая из которых при вращении преобразуется
независимо от других.
Функция на поверхности сферы есть функция двух переменных Я
и ср. Основной прием, быстро приводящий к решению задачи, со-
стоит в том, что вместо функций от &
и ср переходят к функциям трех пере-
менных ср1( 6, ср2 (функциям от вра-
щения g), что дает возможность ис-
пользовать результаты предыдущего
параграфа.
С этой целью рассмотрим в точке Р
сферы какой-либо ортогональный и
нормированный репер ех, е2, е3, третий
вектор которого е3 направлен по нор-
мали к поверхности сферы. Каждый
такой репер можно задать вращением g,
которое переводит репер, расположен-
ный в северном полюсе с векторами,
направленными по осям координат (будем называть его в дальнейшем
нормальный репер), в данный.
Подвергнем все векторы репера, соответствующего вращению g,
некоторому вращению g0. При этом он перейдет в новый репер.
Так как первый репер получается из нормального вращением g, а
второй получается из первого вращением g0, то второй репер из нор-
мального получается вращением gog, т. е. он описывается вращением g()g.
Каждый репер, как было указано выше, описывается вращением g,
т. е. эйлеровскими углами 6, ср2. Выясним, как задать репер
с помощью <р1( 6, Ф2.
Подчеркнем, что элемент группы g описывает и положение репера
и точку Р сферы, являющуюся его началом. Сферические коорди-
наты 9 и (р точки Р, в которую переходит при вращении g север-
ный полюс сферы, связаны с углами Эйлера вращения g соотношениями
0 = 0, ср = ?2 —
(3)
т. е. эта точка не зависит от первого эйлерова угла <ро*)-
*) Декартовы координаты точки, в которые переходит северный полюс
сферы в результате вращения g, суть элементы 3-го столбца матрицы || gxj-1|,
т. е. числа sin sin 0, —cos <р2 sin 6, cos 6 (см. п. 2 § 1). Сравнивая эти вы-
ражения с выражениями декартовых координат той же точки через ее сфери-
ческие координаты cos <р sin й, sin <р sin i), cos й, мы и получаем формулу (3).
112 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Третий, нормальный к сфере, вектор репера полностью опреде-
ляется положением начала репера и поэтому также не зависит от срг
Векторы е± и е2 расположены в касательной плоскости к сфере
в точке Р и зависят от <р1. Чтобы найти эту зависимость, рассмот-
рим два вращения g —g(c?i, 6, ср2) и g1 = g(cpi4-?*. 9, ?г) с различ-
ными значениями первого из углов Эйлера. Очевидно, что эти выра-
жения переводят нормальный репер в два репера с началом в одной
и той же точке и, следовательно, общим вектором е3. При этом вто-
рой репер (описываемый вращением gj получается из первого пово-
ротом на угол ср* в положительном направлении вокруг е3. Если
и е2 — векторы первого репера, а е\ и е'— соответствующие векторы
второго, то по обычным формулам имеем:
е — ех cos ср* 4- е2 sin ср*,
е'2 = — gj sin ср* е2 cos ср*.
Положим ®1 = тс и обозначим ср* через срг и <д(~, 6, ср2), k~ 1, 2,
через Мы получим тогда:
6’1(<Р14-’Ч 9, ®2) = e°cos<?j4~tfjSin 1
4 (?1 + п, 0, ср2) = — е» sin cpj 4- е°cos <pr J
Векторы	9, ®2) и е° = е2(к, 9, ср2) имеют простой геомет-
рический смысл, а именно, это — единичные векторы, направленные
по касательным к параллели и меридиану сферы в точке Р. Дей-
ствительно, полагая в матрице	?i= найдем выражения
для декартовых координат этих векторов: — {—coscp2, —sin ср2, 0),
e2 = (cos0 sin ср2,—cos 0 cos ср2, —sin 0). С другой стороны, из рис. 7
видно, что единичный вектор направленный по касательной к парал-
лели в сторону возрастания ср, имеет компоненты (—sin ср, cos ср, 0),
а eft— вектор, направленный по касательной к меридиану в сторону
возрастания &, имеет компоненты (cos & cos ср, cos 0 sin ср, —sin &).
Учитывая, что сферические координаты & и ср точки Р, в которой
помещен репер, связаны с углами Эйлера 6 и ср2 формулами (3),
находим отсюда, что е® = — еа, е;>.
Таким образом, окончательно
ei (<Pi + *> е- ?2) = — ^<р cos cpi 4-e&sin срх, j
^2(Т1Ч-те’ 9, ср2) — sin cpj-j-e» cos срр	}	(4)
ез(?1 + тс> 9, ®2) = er>	-I
где er, e®, e3— единичные векторы, направленные по нормали к сфере
и по касательным к параллели и меридиану сферы в точке Р со
сферическими'координатами ср = ср2---и & = 9.
П. 1]	§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 113
Рассмотрим теперь какую-нибудь векторную функцию а(Р) (век-
торное поле на сфере). Если имеется некоторый репер с началом
в точке Р, то, разложив а(Р) по векторам этого репера, полу-
чим три числа аг, а2 и а3 — компоненты а по векторам репера. Эти
числа, как и сами векторы репера, являются функциями от враще-
ния g, т. е. от углов Эйлера cpt, 6, «2. При этом, так как не зависит
от ®j, то компонента а3 также не зависит от <pj. Она совпадает
с рассмотренной нами выше функцией аг(Р) в точке Р со сфери-
ческими координатами ср2— у и
Из формулы (4) видно, как компоненты аг и а2 зависят от ср}.
Действительно, умножив обе части равенства (4) скалярно на а (Р),
мы получим, что
ai (?i + “> 0> ?г) = — cos <pj Д- са sin <?!, 1
а2 (?i +	9>	= а<?sin Vi + а» cos <pi,	(	(5)
аз(/1ф':> 9> Тг) — ar-	-I
Напомним, как выразить компоненты и аа, а также аг через
обычные компоненты а, т. е. через ах, ау и аг. Нам нужно для этого
взять скалярное произведение вектора а = (ах, ау, аг) на векторы
е,? = (— sin о, cos ср, 0), е$ — (cosft cos a, cos & sin у,—sinft) и er =
= (sin ft cos cp, sin ft sin cp, cos ft).
«?(?> ft) = — ^sincp+^coscp,	|
па (tp, ft) = ax cos ft cos cp	ay cos ft sin cp — az sin ft, }	(6)
ar (<p, ft) = ax sin ft cos cp	ay sin ft sin cp -\-az cos ft. J
Для дальнейшего удобнее ввести комплексные компоненты вектора
a+ — at — ia2,
а_=а1-}~ ia2-
Из (5) получаются для а+ и а_ выражения
а+(?х>	?г) = «+ (", 9> ?2) е’’1 = (—
а_(срх, 6, р2) = а-(~, 6, ср2)е-г<р, = (—
а? и па берутся в точке с координатами ср = ср2----ft = 6.
Рассмотрим теперь, что происходит с функциями аъ а2 и а3
(или, что все равно, с функциями а+, а_ и а3) при вращении. Под-
вергнем векторное поле и рассматриваемые реперы вращению g0.
Поскольку и векторы поля а (Р) и векторы реперов подвергаются
одному и тому же вращению, то ясно, что компоненты повернутого
вектора а' в новом репере совпадают с компонентами старого вектора а
в старом репере. Старый репер задается с помощью вращения g.
1	(7)
114 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. 1
а новый, как мы видели выше, с помощью gog. Таким образом,
мы имеем:
a'k(gog) — ak(g)
или, обозначая gog через g,
(8)
Мы видим, таким образом, что функции aT(g), a2(g) и a3(g),
а следовательно, и a+(g), a_(g) и a3(g) при вращении преобразуются
независимо друг от друга, т. е. преобразования каждой из этих
компонент сами по себе порождают некоторое представление группы
вращений.
Разлагая каждое из этих представлений на неприводимые, мы полу-
чим для введенных компонент вектора а(Р) разложения, инвариантные
относительно вращений и независимые друг от друга, т. е. не пере-
путывающиеся при вращении.
В § 7 мы решали задачу о разложении представления преобразо-
ваниями функций от вращения (регулярного представления) на непри-
водимые. Однако там из соображен :й несколько большего удобства
мы в качестве преобразования, отвечающего вращению g0, рассматри-
вали умножение g на g0 справа, а не умножение на g~* слева. Можно
без труда перейти от одних преобразований к другим. Для этого
достаточно вместо функций ak(g) рассматривать функции ak(g) =
= ak(g~v), что сводится к замене аргументов <р1( 6, ®2 у этих функций
на тс — <р2, в, тс — <рР После такой замены преобразование (8) запи-
шется в виде
а л- (g) = ак (g~1) = ак (g-0“1 g~1) = ак ((g, g0)~1) = ак (gg0),
т. е.
ак (g) = ак (g-g-0).	(8')
Мы будем рассматривать в дальнейшем вместо alt а2 и а3 функции
а2 и а3 от g. При этом, вспоминая то, что нам известна зависи-
мость старых функций а1г а2 и а3 от аргументов 0 и <р2, и за-
меняя эти аргументы на тс — ср2» 6> — ?i> мы можем сказать, что
новая функция а3 не зависит от <?2 и что
«+(?р 0, <р2) — —	6, 0) = е~*ъ(а^ Д- ia3),
а_ (<рр 0, ®2) =— е*ъа_ (<рР 6, 0) = е*?>(а<р— ia3).
Точка Р, в которой рассматривается вектор а с такими компонентами,
имеет теперь сферические координаты у — <рх и 0. Отсюда видно,
каковы те неприводимые представления, на которые разлагается
каждое из трех полученных представлений для а+, а_ и ат. Действи-
тельно, функции аг, как не зависящие от <р2» разлагаются по функ-
п. 2]
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
115
циям, стоящим в нулевых (центральных) строчках всех матриц
1,2, .. .), т. е., как мы это видели и раньше, по сфери-
ческим функциям от ~— ?! и 6. Функции а+(<р!, 0, <р2) содержат мно-
житель такой же, как элементы первых строк матриц Т1д —
обобщенные сферические функции T'lnCpv 6, ср2), и поэтому они раз-
лагаются в ряд именно по этим функциям.
Аналогично функции а_ (?t, 0, ср2) разлагаются по обобщенным
сферическим функциям Т1-! n(cpj, 6, <р2).
Итак, нами доказано следующее. Пусть задана векторная функ-
ция а(Р) на поверхности сферы. Разложение этой функции в ряд,
инвариантное относительно вращений, получается следующим
образом. Берутся в точке Р со сферическими координатами ср
и & компоненты вектора по параллели, меридиану и радиусу а^,
и аг и составляются по ним функции трех переменных а+,
а. и аг по следующим формулам-.
a+(<pi. 6, <р2) = е-Мя<р(<р, 9) + гЧ(<Р> 6)1,
6. <р2) = е<т'а [«<?(?> 0) — *«»(?> 6)1,
аг (?!’ 9> <Рг) = аг (?> 9)> где ? — у— ®i-
(9)
Каждая из этих функций разлагается в ряд по своему набору
обобщенных сферических функций, а именно, функции а+ (<р1( 0, ср2)
раскладываются в ряд по функциям Т[п(^х, 0, <р2)(/ —0, 1, 2,
—	а- (?i> б, <р2) по Функциям TL1Tl (ср!, 0, ср2) и функции
M?i> е> ?г) по функциям Т10п(у^, 6, ср2) = |/~gJLj-	—?1(
Отбрасывая в первых двух рядах общий множитель е±{ъ и заме-
няя везде у — cpj через ср, мы получим разложения компонент
вектора a^±ia^ и аг, обобщающие соответствующие разложения
скалярных функций, данные в § 3.
2.	Разложение произвольных величин. В п. 1 мы рассмотрели
задачу о разложении функций, значение которых в каждой точке
есть вектор трехмерного пространства. Перейдем теперь к слу-
чаю, когда в пространстве задана функция f(x), значение которой
в каждой точке есть величина, преобразующаяся по неприводимому
представлению веса /0, т. е. задано поле величины /. Это значит,
что в каждой точке х пространства нам заданы 2/04~1 чисел
ст (—	и1 <3о) — компонент величины /, которые при вращении gQ
подвергаются линейному преобразованию
Zo
= 2 атп (go) сп’	(10)
п=-?о
116 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Преобразование (10) мы будем, как обычно, записывать так:
f' = UgJ-	(Ю')
Поле величин при вращении g0 преобразуется следующим обра-
зом: во-первых, в результате вращения пространства в точку х
приходит значение величины, отвечавшее до этого точке g^x х, и,
во-вторых, величина подвергается преобразованию U д„. Таким обра-
зом, при вращении g0 величина /(х) заменяется на f (х) = UgJ^g~lx^t
т. е. мы имеем преобразование Тд поля величин, определенное
формулой
TgJ(x) = UgJ(g^xy	(И)
(В случае векторного поля векторы подвергались тому же враще-
нию g0, что и все пространство, и поэтому мы получали формулу (1)
Тда (х) = goa (Дд'.Д, являющуюся частным случаем формулы (11).)
Как и в случае векторного поля, очевидно, что эти преобразования
образуют представление группы вращений.
Ограничимся, как и в п. 1, полем величин, заданным на поверх-
ности единичной сферы f (Р) =/(&, о), и поставим задачу об инва-
риантном относительно вращений разложении этого поля, аналогично
тому, как мы делали это для векторного поля. Для этого так же
как и там, введем вместо обычных компонент величины 2/0-|-1
функции от трех переменных 0, ф2’ т- е- от вращения g, опреде-
ляющих величину f и преобразующихся при вращении g0 независимо
друг от друга. Мы получим тогда 2/04~1 различных представлений,
каждое из которых затем легко будет разложить на неприводимые.
Чтобы определить компоненты величины, зависящие от вращения^,
воспользуемся соответствием, которое мы установили в п. 1 между
вращениями g и реперами с началом в произвольной точке сферы,
третий вектор которых направлен по нормали к поверхности. Зна-
чение величины в данной точке сферы мы можем задавать компо-
нентами, отнесенными к различным системам координат (различным
реперам) в пространстве. Если ст — заданные компоненты величины
и g—вращение, переводящее тройку координатных векторов в век-
торы е{, е2, е3, то компонентами, отнесенными к реперу еи е>, е3,
in
будут числа ст= amn(g)cm (см. формулу (10)). Значение вели-
чины в точке Р сферы будем задавать ее компонентами отно-
сительно репера с началом в точке Р, зависящего от какого-либо
вращения g, переводящего в Р северный полюс. Компоненты вели-
чины f в точке Р относительно такого репера будут при этом опре-
деленными функциями от вращения g cm(g) (—/ОДС	Д), получен-
ными из исходных компонент величины f (Р) преобразованием Пд.
Выясним, как преобразуются функции cm(g) при произвольном
вращении g0. Репер, зависящий от g, после вращения g0 заменяется.
П. 2]	§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ	117
как мы видели в и. 1, на репер, зависящий OTg0g. С другой стороны,
при вращении gQ величины / и реперы переносятся из точки в точку
и преобразуются (поворачиваются) согласованно, и поэтому компо-
ненты величины f в соответствующем базисе после вращения не
изменяются. Отсюда мы видим, что
Cm (gog) = ст (g)
или, заменяя gtjg через g,
с'т(^ = ст^о1ё>	(12>
Мы видим, что действительно функции Cm(g), определяющие вели-
чину, преобразуются при вращении g0 независимо Д )>г о г друга.
Введя, как и в п. 1, вместо cm(g) эквивалентные им функции
cm(g) — cm(g~1)’ получим из (12) преобразование для cm(g), от-
вечающее вращению g0:
7'ff„cm(g)^=cm(gg0),	(13)
т. е. преобразование для функций cm(g) при любом т совпадет
с преобразованием, изученным в § 7.
Нам нужно разложить каждое из этих представлений на непри-
водимые. Это проще всего сделать, если функции cm(g) специаль-
ным образом зависят от первого угла ©р а именно, если
ст (g) = cm ('-Pi- 6- Та) =	(0, 0, у2).	(14)
Функции такого вида разлагаются по элементам т-х строчек всех
матриц Тгд, т. е. по функциям Т^П!1 (срр 9, ср2) с фиксированным зна-
чением т.
Но если компоненты величины / имеют вид (14), то, подвергнув
пространство вращению на угол ср® вокруг оси е3, т. е. прибавив ср*
к углу ср1( мы умножим каждую функцию ст (срр 9, ср2) на £-»«?*.
Это значит, что матрица, отвечающая повороту вокруг оси Oz,
диагональна, т. е. базис состоит из собственных векторов этой
матрицы *).
Итак, окончательно получаем следующий результат. Для пра-
вильного разложения поля величин f(P) на поверхности сферы,
преобразующегося при вращении g0 по формуле
TgJ(P)=UgJ(g^P},	(15)
мы должны поступить следующим образом. Сначала задать
величину f (Р) в каждой точке Р со сферическими координатами ср
и & ее компонентами (ср, 0) в каком-либо базисе, состоящем
*) Из результатов § 2 следует, что этот базис с точностью до норми-
ровки есть введенный там канонический базис.
113 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
из собственных векторов преобразования, отвечающего вращению
вокруг оси Oz. Затем перейти к компонентам cm(g), зависящим
от вращения g = g(<f>lt 9, ®2), где ч\ =	—-ср, 6 — &, подвергнув
величину |	6^ | преобразованию Ug, отвечающему этому
вращению, После этого разложить каждую функцию cm(g) =
=	6, ?г) 8 Ря& по элементам т-х строчек всех мат-
риц 1д для всех l^-т, т. е. положить
СО
8m(?i> Тг) ==	итп. ,,т (<pi, 9, ера).	(16)
I ~7П И - —I
В заключение этого пункта остановимся на случае, когда раз-
лагаемая величина преобразуется по произвольному представлению
группы вращений (а не обязательно по неприводимому, как пред-
полагалось выше). В этом случае можно, конечно, разложить вели-
чину на слагаемые, каждое из которых преобразуется по неприво-
димому представлению (разложить представление на неприводимые),
и затем с каждым из слагаемых поступить, как указано выше.
Однако достаточно просто задать величину компонентами, которые
при вращении на угол ср вокруг оси Oz умножаются на е~1т?, где
т — целое или полуцелое, потом преобразовать ее к сферическим
координатам (базису—е^, е8, ег) и затем т-ю компоненту разлага>ь
по функциям	6, Тг) (,1-^-т, —I п <:( /). При этом в случае
приводимого представления в отличие от неприводимых одни и те *е
значения т будут встречаться более чем по одному разу, т. е. раз-
личные компоненты будут раскладываться по одним и тем же функ-
циям.
3.	Пример. Поле тензоров второго ранга. Поясним сказанное
в п. 2 на простом примере тензоров второго ранга а = а^. Такой
тензор есть величина, преобразующаяся по приводимому предста-
влению размерности 9, разложение которого на неприводимые было
указано в § 5.
Найдем компоненты тензора а^, нужным образом преобразую-
щиеся при вращении вокруг оси Oz. Для этого воспользуемся тем,
что мы знаем компоненты вектора ait ведущие себя нужным обра-
зом при вращении вокруг Oz (см. п. 1 этого параграфа). А именно,
это компоненты ах—iay = a1— ia2 (умножается на £"*?), а, — а3
(умножается на 1), ах Д- iay = aY Д- ia2) (умножается на е1- . Хом-
ионенты тензора второго ранга преобразуются при вращении как
произведения компонент двух векторов.
Поэтому сначала выделим у такого тензора три группы ком-
понент, различающиеся по действию вращения на первый из индексов:
а-ц—ia2j, a3j, а^-\-1а2:} (у= 1, 2, 3), а затем проделаем в каждой
п. 4]
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
119
группе аналогичную операцию со вторым индексом. Мы получим
тогда девять комплексных компонент тензора второго ранга, а именно:
«11	10,21 I {Р12 IO22) =~ «ц 0,22	I («21 —(— «12)1
«13	4^23 >
«11 ia2l Ч- ( («12-(«22) == «И Ч- а22-(«21----------«1г)>
«31	ш32>
«33 >
«31 Ч- («32»
«И Ч- г«21--г («21 Ч- ^"«22) = «11 Ч- «22 Ч~ г («21-«1г)>
«13 Ч- («23»
«11 Ч- («21 Ч~ ( («12 Ч- («2г) — «11	«22 Ч~ г («21 Ч~ «12)'
Для того чтобы разлагать по обобщенным сферическим функциям,
мы должны подвергнуть тензор в каждой точке Р со сферическими
координатами <р, & вращению g—g — <plf &, oj, переводящему
эту точку в северный полюс сферы *). В результате этого вращения
базисные векторы ех, еу и ez перейдут в —е , еа и ег и мы
получим следующие девять комплексных компонент тензора, завися-
щих от <р и &:
arr, «Tt? Ч-«»» ± ((«т& — «&»)—компоненты, разлагающиеся по ну-
левым строчкам матриц Тгд (по обычным сферическим функциям
—	— ia;>r, —ar<f— iar$ — компоненты, разлагающиеся по функ-
циям Т11п —<р, &, oj;
— a,fr 4- ia;jr и —artf-\-iar§ — компоненты, разлагающиеся по функ-
циям	ср, &, о);
— ааа -|-1 (аа<р 4- a.f!t) — компоненты, разлагающиеся по функции
т1п —«, &, б);	—ааа — i(аа<р4-а?а) — компоненты, разлагаю-
щиеся по функциям тЧ.2,	----<р, &, 0^.
4.	Решение уравнений Максвелла. Как пример применения
полученных разложений рассмотрим решение уравнений Максвелла.
Мы будем рассматривать случай, когда эти уравнения записываются
в виде
А — ДЛ = 0, div А = 0,
*) Обратное вращение g-1 должно переводить северный полюс в Р
(см. п. 1 этого параграфа).
120 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
где А — вектор, зависящий от х, у, z, t (так называемый вектор-
ный потенциал), и ДЛ—вектор с компонентами ДЛЖ, ДЛу, ДЛг,
причем
d2
a = ^_+JL+
дх2 ду2 ' дг2 '
Полагая А = А(х,у, г')еш, получаем систему уравнений
ДЛ-ф-йгЛ = 0,
div А = 0.
Так как эти уравнения инвариантны относительно вращений, то ре-
шение удобно искать в виде ряда, также инвариантного относительно
вращений, т. е. ряда по обобщенным сферическим функциям. С этой
целью перейдем к сферическим координатам и вместо компонент Ах,
Лу, Л2 будем определять вектор Л в каждой точке компонентами
Аг, Лф, Ла, определенными формулами (6) этого параграфа*).
Проделав соответствующее преобразование независимых перемен-
ных и искомых функций, получим следующие четыре уравнения:
д2Аг ,	2	дАг	. 1 d2Ar	1	d2/!,.	, ctgft dAr	
dr2 1	Г	дг	1 г2 dft2	' r2 sin2 ft dtp2	1 r2	dft
	2 dASl		2	d/1	<p	2Ar	2 (	:tg » A	+ ^4
	г2	dft	г2 sin ft dt.	,	r2	r2	
д2А дг2	9 Г	дАт дг	| J	9_ 1 1 г2 dft2 1	1 _	1	9 i r2 sin2 ft dtp2 '	Ctgft^y |_ r2 dft “1"	
		+	2 cos ft d/la , r2 sin2 ft dtp	2 d/lr r2 sin ft dtp	.	9 r2 sin8 ft	+ ^л;
d2A ,	2	дЛ9	1	‘  - -<* 1	1	d2/la ,	ctgftd?l9	
dr2	Г	дг	-1“ r2 dft2 '	r2 sin2ft dtp2 ।	- r2	dft
			2 cos ft dA r2 sin2 ft d<|	?	2 d/.r	 p ' r2 dft	Л» r2 sin2 ft	+ ^Л,
		дАг	। 1 dA& ,	1 дАт о	-Л +	ctg»x,
		дг	1 r dft 1	r sin ft dtp 1 r		г
= 0,
9 = 0.
[9 = о,
-? = 0,
(17)
Введем теперь комбинации компонент, раскладывающиеся по
обобщенным сферическим функциям, а именно, положим:
Ло — Лг,
Л_=-^г(Л? —/Ла).
*) Очевидно, в формулах (6) все а надо заменить на А.
П. 4]	§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
Уравнения (17) в этих компонентах приобретают вид
121
д2А0 . 2 дА0 , 1 <7М0 . 1
дг2 ' г дг *” г2 (ЭД2 “I"г2
1У2 ГдЛ+
j______1 д2А0_____________2. । ь2Д ______
(ЭД г2 sin2 9 др2 г2	0
1 дА.
sin & др
I У 2 ГдА
г2
-,-й-------------й ~~----------Н ctg = О,
(ЭД Sin 0	' J
дг2
, 2 <Ъ4_ , 1 д2А~
г дг -Г г2 д^
— . Л_+/гМ_
г2 sin2 0	1
„дЛ_ ,	1 д2А- । 2zcos&d/l_______________
С ° д& ~/'2sirr0 др2 z"'?sin'-'l} др
i У 2 / дЛо । . <М0\___________
г2 \ (ЭД др /
д2А + , 2 дА+ . 1 д2А + . 1 , „<МЧ
----9—; 9 а ~Н
г2 sin2 8	+ 1
1 д2А+ 2/соз&дАц
г2 sin2 8 д'р
1 г2 sin2 & др2
I У2 (дА0
г2 \<ЭД
дА+ ,_________
<ЭД 1 sin 8- др
। I /дА-
+ ут Г^Г
дА
(L4-
-Дй —[-ctg th4 3 = О.
sin а д<р 1	&	/
дг + г
<эл0
(17')
Будем искать решение системы (17х) в виде рядов по обобщен-
ным сферическим функциям
со	I
Л0(г, <р,8)=	аЬпт1п[^ — ? ’% О),
Z = 0 п = — I
со	Z
А+ (г, &)= 2Л+(г) 2	(г”	°)’
Z = o	n=-z
со	I
л_ (г, ?) &)=2F <0 S w-i» (у-'Р’М-
2=0	п—— I
При этом выявятся преимущества инвариантного способа решения
задачи, состоящие в том, что переменные разделятся, и нам при-
дется решать только систему обыкновенных уравнений для опреде-
ления функций от г.
122
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
В силу линейности уравнений можно подставлять в систему
ло одному из слагаемых каждого ряда, т. е. подставлять функции
Ло (г, ср, &) =/°г(г) Tln - ср, &, О),
А+ (г, ср, &) =/г+ (г) Т1Ы — ср, &, о),
Л_(г, <?.») =/Г (И (-£-<?, &, о).
(18)
Первое из уравнений (18) приобретет после такой подстановки вид
» °) +
I LОп I pfp- я. д7рп I 1 д2Т0п_______2 у 1 
“гriJ 1 L с№ ' s I- sin20 г2
- -Ч? ft W [т + s-OT	-
-^/Г«[^-ет^+Чг»Г_1п]=0.	(19)
Вспомним теперь, что Ттп —ср, &, oj = е <П^2 ?^итп(&), и вос-
пользуемся дифференциальным уравнением для итп(0) (см. § 7)
+Cfe8 т+[' ('+1 >-Чи-J “»<8>=0
и рекуррентными формулами (см. добавление к § 7)
~ COS 0	• 1 / / // i i \
~аг—
du-ln I И + COS 0	-- - . 1//// ! IX „
АЧ	I sin Л и~1п—	1 V L'~i' !) “о»'
Если с помощью этих соотношений
исключить из уравнения (19)
d2zzon duQn du±n . dii—in
d^ ’	’ d» ’ ln’ dO
-trai
:И сократить получившееся уравнение на е 42	' иоп(9), то мы
получим уравнение, содержащее только функции от г:
_ /2 VJG + 1)	(г)_|_Л- (г)] = 0<	(20)
п. 4]
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
123
Мы видим, что действительно наша подстановка привела к разде-
лению переменных в уравнении (19). Аналогичная подстановка и
преобразование двух следующих уравнений системы (18) дают такие
обыкновенные уравнения:
(21)
Уравнение div А = 0 после соответствующих преобразований при-
водится к виду
+ ~Ji (г) + —	[/Г (г) -Н/Г(г)] - 0.	(22)
аг г	г у 2
Остается решить систему (20), (21), (22). С этой целью исключим
fi (г) -\-fi~ (f) из уравнений (20) и (22). Мы получим тогда следующее
уравнение второго порядка для fi (г):
d2fi	। 4#г°	Г	2-Z(Z+l)
dr*	' г dr '	[ “Г
Заменой	искомой	функции	оно
порядка z-f-i. Таким образом,
нения (23) имеет вид
(23)
г*
приводится к уравнению Бесселя
ограниченное
в нуле решение урав-
' ! {kr)
1+2
3
г2
Из уравнения (22) при этом получаем:
J ! (kr)
1 г+т
2 I
г2
kJ' j (kr) -
l+T
г2
(24)
(25)
fi(r) = C,
G/2
Вычитая друг из друга уравнения (21) и обозначая fi (г) /г (г)
через ср (г), получаем уравнение для ср (г)
d*<f , 2 d<f ! f
~dF* + 7 dF + L
Z(Z4-1)1 , . n
? (Z-) = 0,
откуда
J i(r)
(r) —fi~ (Г) = c2 -4—
(26)
124
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Решая уравнения (25) и (26), получаем:
— АС,
1'2
УЦ1+1)
-kC,
J (Лг)
1+2
£
2
г
J (Тсг)
Ч
£
2
г
L I Q
Заменяя по рекуррентным формулам ./' £ i (kr) через___±/г+_1_(^г)—
— J з (kr), мы можем записать эти решения в виде комбинации
г+7
бесселевых функций
__ J 2 {kr)
-'+-----.(М+С,
1 Укч-1) 4 1+4
*	г4

л
_J з (kr)
/;Ct/2 l+2______Ct У 2 (/+1)
УШ 4 УУЖ) I
f2	гг
J ±(^Г)
2
„2
Z+2"
(kr)—С2
J ! (kr))
г+Т

2
Таким образом, при каждом I и п получаем решение, зависящее
от двух произвольных постоянных Ct и С2-
Подставляя эти функции в формулы (18), мы получим частные
решения уравнений Максвелла. Произвольное решение можно пред-
ставить в виде ряда из таких частных решений.
Полагая сначала = 1, С2 = 0, а затем Сх = 0, С2—1, мы
найдем два решения, имеющих различный физический смысл. Они
различаются между собой поведением при отражении относительно
начала координат*). Первое из них (при С2 = 0) умножается при
*) Чтобы проверить, что происходит при отражении с А+, А- и Ло, заме-
тим, что при отражении точка с координатами г, у, 0 переходит в точку с коор-
динатами г, у -j- л, л—0, компоненты Аг, ^4<р, Л& переходят в Аг, Л?, —Л^,
е '2	' = (—1)пе '‘2 А
§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 125
отражении на (— 1/ и носит название векторного потенциала элек-
трического мультиполя порядка I. Второе решение (при Ct = 0)
умножается при отражении на (— 1)г+1 и называется векторным потен-
циалом магнитного мультиполя порядка I.
Воспользовавшись рекуррентными формулами, выражающими Т\п
и через Т1йп\ Т10п и Т1^ (см. формулу (8) добавления к § 7),
можно выразить найденное решение через обычные сферические
функции порядков /—1, / и Z —1.
§ 9. Уравнения, инвариантные относительно вращений
В этом параграфе мы будем рассматривать системы уравнений
с частными производными, инвариантные относительно вращений про-
странства. Пусть фц-Кр xv х3), ф2(Хр х2, х8)..х2, х3) —
неизвестные функции. Мы будем обозначать совокупность этих функ-
ций через ф(хр х2, х3). Самую систему запишем в виде
, дф . , дф . , <5ф .	.	„	'
+ + (1)
где Lv L2, L3 — матрицы n-го порядка и х—число*).
Для того чтобы имело смысл говорить об инвариантности урав-
нения (1) относительно вращений, мы должны указать закон, по
которому преобразуются при вращениях фр ф2, ..., Ф^. Так как
произведению вращений должно при этом отвечать последователь-
ное осуществление соответствующих преобразований над функциями
ф1....ф^-, то, следовательно, величина ф должна преобразовы-
ваться по какому-то определенному представлению группы враще-
ний (вообще говоря, приводимому). Таким образом, при вращении g
величина ф переходит в ф/=7’ ф.
Система уравнений (1) называется инвариантной относи-
тельно вращений, если при преобразовании х' = gx независимых
переменных (g—произвольное вращение) и при соответствую-
щем преобразовании ф' == Т^ф искомых функций система не
меняется. В этом параграфе мы найдем общий вид уравнений пер-
вого порядка, инвариантных относительно вращений, а также с помощью
*) Общий вид системы уравнений первого порядка таков:
Л^ + Л^ + Л,А + В+ = О.
ОХ-±	их^	ихс$
Если матрица В не вырождена, то, применяя к обеим частям матрицу В~1,
мы получим систему вида (1) (с х = 1). Точно так же, применив к системе
любую матрицу СВ~\ мы можем сделать матрицу, применяющуюся к функ-
ции ф, равной С. Заметим, что применение к системе некоторой невырожден-
ной матрицы не меняет систему, так как оно означает замену данных урав-
нений их линейными комбинациями.
126
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
разложения по обобщенным сферическим функциям сведем решение
этой системы к решению системы обыкновенных уравнений первого
порядка с тем же числом уравнений и неизвестных функций, раз-
решимой в комбинациях цилиндрических функций.
1. Определение инвариантных уравнений. Чтобы найти вид
инвариантных уравнений, запишем, прежде всего, условие инвариант-
ности системы (1). Подвергнем пространство вращению g : х' — g~1’g
з
т. е. сделаем замену независимых переменных х'. — У, gkixk- Вместо ф
мы должны при этом подставить в уравнение преобразованную вели-
чину </ = Tgty. Заменяя ф через	а дифференцирования по хк
дифференцированиями по х* по формуле
д \т д
дхк	dXi
мы получим систему
dfTT1/)	д(т~'
ёг2^2	h ёгЗ^З---7
дх,	дх.
или, так как Тд—постоянная матрица, систему
2	^r + gi^2TgX ^r+gi^Tg1 -ВД	=
. L	°xi	°xi	°xi J
Для того чтобы потребовать совпадения полученной системы урав-
нений с системой (1), сделаем сначала коэффициент при ф' рав-
ным %, применив к получившейся системе преобразование Т . Мы
получим систему
%%gikTgLkT^ -^+^' = 0.	(2)
к i	*
Требование инвариантности означает, следовательно, что для любого
вращения g между матрицами Lk должны иметь место соотношения
2 gikTeLkTд = Lp	(3)
к
Запишем условие инвариантности еще в другом, иногда более удоб-
ном, виде. Для этого рассмотрим матрицу	где Ри Рг> Рз —
компоненты некоторого вектора. Так как при вращении матрица Lt
заменяется на gikLk, то ^jLipi переходит в x£Lkp'k> где р'к =
= ^igikPit т. е. числа pt преобразуются при вращении так же, как
д
производные .
П. 2]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 127
Из формулы (3) следует равенство
8	3	3	з
,?/л= 2 2- 2	= Tf(SL^) Т-'.
т. е.
3	/ 3	\
S ^iPi — Тд\^ ^kPk ) Тд .
»=1	\й=1	/
(4)
Равенство (4), так же как и (3), представляет собой форму записи
условия инвариантности системы (1) при вращениях. С помощью-
формулы (4) можно непосредственно найти характеристический много-
член произвольной инвариантной системы *). В самом деле, найдем
детерминант от обеих частей равенства (4). Так как det Tg =	,
то мы видим, что
det 5 LiPi = det S LkPk>
т. e. характеристический многочлен не меняется при вращении.
Так как любые два вектора одинаковой длины могут быть переве-
дены друг в друга некоторым вращением, то такая функция постоянна
на поверхности каждой сферы с центром в начале координат, т. е.
зависит только от г =	Но det У, Ьгрг есть однород-
ная функция порядка N, где N—число уравнений и неизвестных
функций в системе. Следовательно, характеристический многочлен:
системы (1) равен
с^+р1+рТ\
Так как det^j^iA является, очевидно, рациональной функцией;
от р2, р3, то для того, чтобы он был отличен от нуля, N/2
должно быть целым числом, и поэтому число уравнений и неиз-
вестных функций должно быть четным.
2. Преобразование условий инвариантности. Условия (3) пред-
ставляют собой, по существу, бесконечное число равенств, поскольку
входящее в них вращение g произвольно. Мы заменим сейчас эти.
равенства конечным числом алгебраических соотношений. Чтобы по-
лучить эти соотношения, заменим вращение q малыми поворотами,
вокруг каждой из координатных осей.
Положим сначала вращение g равным	•••. где аг—
бесконечно малый поворот вокруг оси Ох (см. § 2). Матрица такого?
*) Характеристическим многочленом системы (1) называется многочлен
относительно равный det
128 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
вращения с точностью до малых высшего порядка относительно $
имеет вид
1 О	О
0 1-5.
о г	1
Соответствующее преобразование Тд есть f, где А1 —
преобразование, отвечающее бесконечно малому повороту (Эти
преобразования были определены нами в § 2.) Обратное преобра-
зование Тд есть с точностью до малых высшего порядка Е—
Подставляя е А +  • • > Е Afi А   •, Е — А£ А  • • в си-
стему (3), получим с точностью до членов второго порядка три
равенства
(E-i-A^L^E — A1^) = L1,
(Е + АУ (А - IL3) (Е - АУ = Ь2,
(ЕААУ($А + А)(^—АУ = А-
Раскрывая скобки, видим, что члены, не содержащие У как и
следовало ожидать, сокращаются, а приравнивая нулю слагаемые,
содержащие первую степень У получаем равенства
АА—АА = о>
А А	АА А = А
А А — L3Ai а А — А
которые короче записываются так:
[А- А1 = о,
[А> А1 — А»
IА> Al —	А-
Таким образом, полагая g = е A  •  > находим коммутаторы
всех трех матриц А> L2, L3 с известной матрицей At.
Аналогично, полагая g — еа2^-\-. . . и g—е А °з£ А • • • >
найдем коммутаторы матриц Llt L2, L3 с А2 и А3.
Результат можно записать в виде следующей таблицы уравнений:
[А. А] = 0,	1А>	А] = А.	1А А] = — А.
[А, А1 = —A,	IA. А1 = о,	[А, А] = А,	(5)
[А> Al= А»	(A.	A]— А>	[А, А]—0.
Из этих уравнений найдем возможный вид матриц Llt L2 и L3.
Мы не будем здесь доказывать, что из равенств (5) следуют
равенства (3) или (4). Это доказательство, которое должно устано-
вить, что из справедливости некоторого факта для бесконечно малых
П. 3]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 129
поворотов следует его справедливость для любых конечных враще^
ний, полностью аналогично проведенному в § 2 доказательству того,
что матрицы, отвечающие бесконечно малым поворотам, определяют
собой преобразование Тд для любого вращения g.
Для того чтобы найти Lv L2 и £3, исключим сначала из системы (5)
матрицы Z,t и L2. Для этого воспользуемся введенными в § 2 преоб-
разованиями
Н+ = Ht-\- 1Н2 — 1АХ — А2,
Н~ — Lit	i ,12 '=== i'Al —|— А2
и вычислим коммутатор [ [А3, Н_], Н+]. Сначала найдем коммутатор L3
и Н_. Пользуясь равенствами (5), имеем:
[Z,3, H_\ = i[L3, Л;]-j— [Z,3, А2] — iL2 — Lv
Прокоммутируем получившийся оператор с Н+; тогда
[ZZ,2 —	H+] — [iL2— Lt, i At — A2] = —[ь2, AJ [Lt, A2] = 2Z,3.
Мы получаем, таким образом, два уравнения:
[£3, Н3] = О,
Ц£3, /У_], Я+] = 2£3,
(6)
котоэым должна удовлетворять матрица L3.
Можно показать, что если мы имеем матрицу L3, удовлетворяю-
щую этим уравнениям, и если определить затем Lt и L2 по форму-
лам £1 = [А2, С3], L, — — [A,, L3\, то полученные матрицы Llt L2, L3
удовлетворяют всей системе (5).
3. Определение матриц Lr, L2, L3, В этом пункте мы найдем
явный вид матриц L3, являющихся решением системы (6), а затем
найдем Lt и L2. Величина ф преобразуется по некоторому предста-
влению, которое мы будем считать разложенным на неприводимые.
Компоненты величины ф мы будем нумеровать неоднократно встре-
чавшимися индексами I и т, где I — вес неприводимого представле-
ния, а т — номер компоненты в представлении веса I. Если пред-
ставления с одним и тем же весом I при разложении представления ф
на неприводимые встречаются больше чем один раз, то для того,
чтобы различать между собой эти представления, мы будем доба-
влять еще индекс т, указывающий номер представления веса I. Таким
образом, в этих компонентах величина ф будет писаться так:
ф(Х1, х2, х3) = [ф/.-и (%i, х2, х3)|.
Обозначая через величину, у которой ф^’ТОэ — 1, а остальные
130 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
компоненты — нули, мы можем написать:
Ф (Xj, %2> *3) == 2	(^l’ Хз) ^Лт *)•
Z, т, t
Так как величина определяется тремя индексами I, т, т, то
преобразование этой величины, в частности матрица Л3, задается
шестью индексами. Преобразование L3 векторов имеет, следова-
тельно, вид
— 2 CZ'Z, т'т %l'm' ’
Для того чтобы найти числа т,т , воспользуемся системой (6).
Вспоминая (см. § 2), что
==
Н
Н= &т kl, т-1’
где (а^)2 == (I -|- т) (Z—m-f-l), имеем:
==	== т	Q'Z, т'т ^I'm't
V, t', т'
H3L3^im = //32 I, т’ т ?Z' т’ ==	WZ O'Z,
I'm'-с'
Так как в силу первого из уравнений (6) (L3H3— //3Z,3)^m = 0, то
отсюда
т' т --1'т'	0 •
V, т’, т'
Приравнивая коэффициенты при нулю, получаем, что коэффи-
циенты cfy т,т могут быть отличны от нуля только при т' — т.
Мы для краткости обозначим тт просто через т.
Воспользуемся теперь вторым уравнением системы (6). Мы
имеем:
L3H_^im ==	2 ^1’1, т—1 kl', т — 1>
Vt'
Н = Н_ 2 ^1'1, т%>Г >т	^1'1, т	т —1>
1'%'	1'%'
[Л33 Н ]	= 2 [а/л ^lrl> т — 1	^т ^1’1, ш] , т-1'
Vi'
*) Величины образуют, таким образом, базис в пространстве, в ко-
тором действует представление g->Tffi а — компоненты величины в этом
базисе.
П. 3]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 131
Далее,
[Д. Н_] H+?lm — [L3, Н_\a^+i TO+i =
\[L3, Н_], H+]jm =
= 2 {[ (4г+1)24-(4,)2] сЦт — агт alm cl’l т^1 —
__ Л' Л 1Л 1 ►•с'
а7ИЧ-1 а?П + 1 С1Л, 772-4-1/ Ч'> тп'
Второе из равенств (6) дает, таким образом, систему уравне-
ний для" определения cj.'j m:
2cz'J, m = [ (aUi)2 +	' ’I m —
' I t'-i	V I Vx
cVl, m — 1	а7и+1 ^TTi-4-1 Cpi, m + P
или, подставляя вместо у1т их значения, систему
2cl'l, т — [(/ “Ь W -4~ 1) (I —	(I' -4~ т) (I'-т. -4~ 1) Ci'l, т-
— V+ т) (I' — т-\- 1) (I -j- т) (I — т-\- 1)] с?'?, т-\ —
— /(Г+/п+1)(Г — m)(/ + m+l)(/ — от)eft, т+1- (7)
Эта система может решаться при фиксированных индексах I', I, х',
т, которым затем нужно придавать всевозможные значения. Зафик-
сируем некоторые I', I, т', -с и обозначим пока с’,'1 т просто ст. Мы
получаем систему однородных уравнений для ст, где —гтп(/',/)^
т min (Г, /) *) и число уравнений равно числу неизвестных.
Эти уравнения удобнее всего решать последовательным определе-
нием неизвестных. Придав т наибольшее возможное значение т0 =
== min (Г, Г), мы получим уравнение, содержащее два неизвестных
Ста и cma-i, из которых Сп»0-1 определяется через ст>. Давая теперь
т значение т0—1, мы получим уравнение, связывающее ст^2,
cm _i, ста, из которого мы сможем определить сТОо_2 снова через ст,.
*) Так как —— /<т</ и m-m4=0 лишь прим' = т,
то т меняется от — min (Z', I) до min (/', I). Заметим, кстати, что когда т
принимает наибольшее допустимое значение т0, можно формально восполь-
зоваться уравнением, так как коэффициент при m +1 равен нулю.
132 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Продолжая этот процесс, мы дойдем до наименьшего возможного
значения т, при котором уравнение снова будет содержать только
два неизвестных—с минимальным значением т и со значением, на
единицу большим. Так как оба эти неизвестных уже определены
предыдущими уравнениями, то это соотношение либо будет след-
ствием предыдущих, либо из него будет следовать, что cOTj, а зна-
чит, и все неизвестные равны нулю. Эти вычисления показывают,
что cj'] т могут быть отличны от нуля, только когда 11'—-Z|< 1,
т. е. при V =1—1 и I'— Z-f-1. Мы найдем с"-^ для этих
случаев указанным способом. Доказательство того, что с*',’ т для
остальных значений V равны нулю, проводится совершенно анало-
гично, и мы оставляем его читателю.
Примем сначала 1' — 1, л/ и т произвольны. Тогда уравнения (7)
принимают вид
[ 2 — (Z щ + 1) (/ — т) — (Z + т) (Z — т + 1) ] <&т Д-
+ (I+т) (I — m + 1) с^т _ j -р (Z + т 4-1) (Z — т) с£т+1 = 0.
Полагая т = 1, найдем, что (1—I) с~^г +	~ откуда
• /;	= ^jx(Z— 0> где с~и~ — произвольная, не зави-
сящая о г ст достоянная. По лагая п = 1—1, аналогично найдем,
что срг_2=сг?^ — 2)- Подстановкой легко убедиться, что най-
денная закономерность является общей, т. е. что для любого т
— с)’-  т.
Il t ifi	ll
Положим теперь Г~1—1. Уравнения (7) принимают вид
[2 — (Z т -j- 1)(Z — in) —	1) (Z in)] m -f-
+	— W— *0(Zm) (/—/я-J- LM-i, Z,m-1 +
+ V(Z -\-ni) (i — m	1) (Z m l)(l — m) OT+i = 0.
Сделаем в этих уравнениях подстановку
Cl-l, l, т = СI — 1, Z, m /(Z + m) {I — m).
После этой подстановки и сокращения m-го уравнения на
V(Z-|-m)(Z — т) мы получаем систему
2 [ 1 — Р + т* 2] с Vi, 1, >» -Ь [Z2 — (т. — I)2]	т_. +
-4[Z2 — (m-f-l)2] c;?i,T,»+i = O.
Легко проверить, что эта система удовлетворяется при с-Д, it т,
П. 3]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 133
не зависящем от т. Положим поэтому с	т — cjЛ, i- Отсюда,
возвращаясь к старым неизвестным, находим:
Cl-l, I, т ~ Q-i, г УР— т* 2.
Положим, наконец, Zz = / —|— 1. В получившихся уравнениях
+	+	—ш + 2)] с^т +
Н- —I- т Ч~ 1) (/ — т ~I- ‘^) \~ ~I- т) (! — т 4“ 1)cl + l, I, т-1 -1-
Н~ (! Н~ т Ч- 2) (Z— nt 1) (I —т-|- 1) (/ — т) Ci + \,i, m+i = О
сделаем подстановку
Q + l, I, т = У Ч4~ }п + 1) (!-т ~Ь 1) с 2 + 1, I, т-
После этой подстановки и сокращения на У (IтV) (I— т-|-1)
мы придем к уравнению
2 [т2 — Р — 2  ] с i + i, 1, т -j- [/2 — т2 -f- 2/2ш] с / + 1, г, m-i Н-
+ [Р — т2-А-Ч1 — 2мj c/+i,г, то+1 = О,
решением которого также является не зависящая от т постоянная.
Обозначим ее c~-j^ v
Таким образом, мы нашли следующие значения элементов
матрицы L3:
Cl-1: i, т= ciXi Vl2 — т2,
Си, т ~ Сц т,
сУ1,1, т = c?+l, I У(/+1)2 —^г-
(8)
Определим теперь матрицы Ьх и Т2- Обозначим элементы матрицы Lt
через аТ,'? , , т. е. положим:
r II,тт’
ЬУ1т= 2	(9)
V, т', т'
Чтобы найти apj т,т, воспользуемся тем, что Lj —[Д2> ^зЬ и под-
ставим вместо А2 и L3 известные матрицы. Мы получим тогда:
LsA2^im —
jfaJ Crl,m’m ^l’m'	2 ^т ^1, т-1	“ш+1 ?Zm+?
134 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Разбивая первую сумму на две и изменяя соответственно индекс
суммирования в каждой из получившихся сумм, мы можем записать
наш результат таким образом:
^1т	2	^ат' +1 С1'1, т' +1, т ~~ ат' Cl’l, т’-1, т
V, т', т'
__ 1—. \
т с1'1, т', т — 1 •	-т+1 СГ1, т', m + и Ч'т' •
Следовательно, элементы матрицы имеют вид
т'т 2 ^т' + 1 ^1'1, т' +1, т ат' ^1'1, т' —1, т
Ci'l, т’, »|-1 + °4+1 СГ/, т', m+l)‘
Так как с}'/! , =£0, лишь если т' = т, а I' — I—1, /,/-4-1, то при
I I, т 7П	1	1
фиксированных т, I, т'и т окажется шесть чисел , отличных
ОТ нуля, а именно,	аи\ т’ al-l, I, т+1, т ’
а^т+1,т'	«1+1, 1,т+1.т- Подставляя в формулу (10) а^ =
— w —1) и cl'im из формулы (8), мы найдем следую-
щие значения этих коэффициентов:
«Г1, Z, т-1, т = - -^-V(/ + /n)(/+«-l).
с _______________________ (И)
«ГД, !, „+1, т =	/(/ - m) (Z - 7П - 1).
й:.1.т+1, т ~ 2 У(^ + т+ 1>G — m)>
=-ДкГУГ(' + ”Ч-1)(' + ” + 2)-
Постоянные сг-1 f , сц, сг+1> t здесь те же, что и в фор-
муле (8). Аналогично можно найти матрицу Z.2 = — [Л1( £3].
П. 4]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 135
Полагая L£]m = £ bvlm'm^m" мы найдем, что
Г, т', "t'
bi-\	= -	+
bll m+i, m = -	V (7+«+l)(/-w);
bi^, i, m+i, m =-^У(/ + « + 1)(/ + /п + 2),
и все остальные , =0.
г1> тт
Мы нашли, таким образом, возможный вид матриц Lv L2, La
для систем инвариантных уравнений первого порядка. Постоянные
cl.-\ г си' и ci'+i I’ входящие в эти матрицы, могут выбираться
произвольно. Придавая этим постоянным конкретные значения, мы
будем получать различные инвариантные системы уравнений.
4. Решение инвариантных уравнений. Покажем теперь, что
решение инвариантных систем уравнений удобно искать в виде
рядов по обобщенным сферическим функциям, рассмотренным в пре-
дыдущем параграфе. Применяя эти разложения, мы сведем решение
произвольной инвариантной системы вида (1) к решению системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, подобно тому как это
было сделано в § 8 для уравнений Максвелла.
С этой целью преобразуем уравнение (1) следующим образом.
Во-первых, перейдем к сферическим координатам, положив в каж-
дой точке
d
dr ’
д
дхг
sin <р д
г sin 6 d<f
cos у cos 0 d ,
Г
cos sin &
д	COS ?		sin у cos & д	,	.	. а д 4- sin ср sin о -нг— 1	т	дг
дхч_	rsinO	д<? 1	г	М	
д	sin 0	д	-4-cos&	. 1	дг	
дх3	Г	д1)		
Как следует из результатов § 8 и может быть проверено непосред-
ственно, это преобразование независимых переменных изменяет
систему (1) так же, как будто в точке с полярными координа-
тами (ср, &) мы подвергли пространство вращению g — g(^---<₽, 8-,
136
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
д
(обратному к g(0, 0, ^4-?)) и положили	— ,
—^- =-----= — . Одновременно с этим подвергнем
дх2 г ей дх^ дг
соответствующему преобразованию искомые функции ф2, . . .,	,
положив 4=7’4, где 7’g=7’(y— ср, &, rj. Если подставить
в систему (1) ^—Тд-^' и затем применить к результату преобразо-
вание Тд, то мы получим систему
sin ср d(T’-V) cos ср cos 6 d(?7V)	.
--Г ,7 -Л-#-- -4---------—-7—- 4-cos CO Sin & Я--< 4-
r sin 0 cr? 1 r db 1	‘	dr J 1
7^1
Sin Cf

г sin 0 ду

- —I- sin ? sin Я —Ц?   4“
р» 1	“	dr J 1
sin 0 df/’-W') dfrrV)’]
------—- +cos и —Цт—- Ч- у4 = 0-
г Р» 1	dr J 1	1
В силу инвариантности системы имеют место равенства (см. фор-
мулу (3) этого параграфа)
Тд [— Z-i sin ср —|—Z,2 cos <р] ТдХ = Ц,
Тд [Z,! cos ср cos & L2 sin ср cos & — L3 sin 0 ] TgX = L2,
Tg [Z-j cos cp sin & -J- Лг sin cp sin & 4~ Z,3 cos &] Tg 1 = L3,
с помощью которых преобразованная система может быть записана
в виде *)
1	д(т~}
_____/ Т v я
г sin & 1 Я ду
1 д(Т„
____I т	а
г Lila	д§
Я дг
(13)
зависит от ср и &. Поэтому при дифференцирова-
ло этим переменным мы должны продифференцировать
Матрица Tg 1
нии Tg\
оба сомножителя, после чего уравнение приобретает вид
1 , <4'	1 <	<34
г sin» 1 Pep	г db “1" 3 дЪ
1 дТ~
+ -^~^ЦТГ-Я
_ г sin 0 1 я д<?
1 дТ~х
— IT а
г а дЪ
v.E <|/ = 0.
(14)
дТ^
Входящие
суть не что
дТ-1
в коэффициент при <|/ произведения Tg-^ и Тд
иное, как линейные комбинации матриц Ак, отве-
*) Для того чтобы записать систему таким образом, нужно вставить
справа от каждой матрицы Lk произведение Т~хТд.
П. 4]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 137
чающих при представлении бесконечно малым поворотам вокруг
осей координат. Действительно, вспоминая, что g — g(^— cs, &, irj
и записывая в параметрах, например,
и =	&, ср
д/г1
Т„ —, имеем:
0 д<?
дТ~х	1 /л
Tft--В~= Нт — т -_о,
-г(0, &, ? + ^)]= Ит	8,	г(0Л,?+ДФ+^)-д],
Первое слагаемое в скобке есть матрица, которая при До -> 0, оче-
видно, стремится к Е. Поэтому вся квадратная скобка может быть
представлена как линейная комбинация матриц Ак, умноженная
на До члены высшего порядка (см. § 2). Предел же всего выра-
дТ’"1
жения, т. е. Тд—~—, есть просто линейная комбинация Др Д2 и А3.
При этом коэффициенты линейной комбинации зависят от враще-
ния g^— ср, 8,	&, ср —Дср —{—, поэтому они будут одина-
Й7"1	dg~r
ковы для произведения Тд-~~ и для произведения g—^~. Вычислим
последнее произведение непосредственно
II	— sin	cos <?
— cos <f cos 0 — sin cp cos &
I cos у sin 9 sin <p sin &
О
sin &
cos О
— Sin cp	— COS <f cos 0	cos sin &	
COS <?	— sin cos 8	sin sin 8	
0	sin &	cos 0	
0	— cos 8 sin &		
cos 0	0	0	= a2 sin & -|- a3 cos &	
— sin 0	0	0		
О
О
О
О
О
1
О
— 1
О
g
д?
g-8~

где а1; а2, а3 — матрицы, отвечающие бесконечно малым поворотам
при основном (трехмерном) представлении.
Поэтому для любого представления g—*Tg имеют место такие же
равенства:
дТ~г	с дТ^1
Ts	sin 8 + A cos Tg = Av
138 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ (Ч. I
Подставляя эти произведения в систему (14), преобразуем ее
к окончательному виду
г sin 0 1 dtf г	'	3 дг “
+ у М — L2At + ctg ОДИз) ф + %ф = 0.	(15)
Мы проделали с величиной ф в каждой точке то преобразование,
которое предшествовало в § 8 инвариантному относительно враще-
ний разложению этой величины по обобщенным сферическим функциям.
Разложив теперь каждую компоненту величины ф в ряд по
обобщенным сферическим функциям, мы можем в силу инвариантности
системы рассчитывать, что ей будут удовлетворять отдельные сла-
гаемые ряда. А это, как мы убедимся ниже, приведет к разделе-
нию переменных, т. е. сведет нашу систему к системе обыкновенных
уравнений. Чтобы проделать соответствующие вычисления, запишем
систему (15) в компонентах. Предварительно вычислим матрицу
£) = •
Полагая
V, т', i'
и пользуясь формулами (8), (11) и (12), а также выражениями Аг
и А2 из § 2, мы найдем, что
dl~l, I, тт — Cl -1, z (I— 1) V1? — т2,
dll, тт Сц Ш,
di+1, l,mm = — Cl + !, I I У(7+1)2 —/П2
(16)
и остальные	равны нулю. Система (15) в компонентах
имеет вид
1 V	д^1'т'	1
г sin у Zj	г
V, тг, ч'
тт' дъ
, mm'tyl'm'
V, т ' ,т
— yCtgS W «»',тт'фгт' + *фг’» = 0 *)>	(17)
V, mf, хг
*) Следует учесть, что так как при воздействии матриц на век-
торы суммирование производилось по первым индексам каждой пары,
то при преобразовании функций надо суммировать по вторым индексам-
П. 4]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 139
где коэффициенты du’,mm,, Ьц\тт’,	определены
формулами (8), (11), (12) и (16) этого параграфа. При этом в 1-й,
2-й и 5-й суммах отличны от нуля по шесть слагаемых, а в 3-й
и 4-й — по три.
Чтобы разделить переменные, положим теперь
^=/i™(r)7tn(y—», О),
где	а —10^т,	и подставим в систему (17) эти
произведения. Тогда окажется, что	и 7^+1, «> кото-
рые войдут в 1-ю, 2-ю и 5-ю суммы, можно будет по рекур-
рентным формулам выразить через Т^п, и после этого каждое
уравнение сократится на Ттп и в нем останутся только функ-
ции от г.
В самом деле, произведем подстановку значений коэффициентов
VI'	XX	»ХХ'
Сц', mm' >
и соберем вместе члены с одними и теми же функциями от г.
Мы получим тогда систему
2 <г-1 {
_(/_i)y(Z2_^)^i0)_
- l)G + «)/z“-l,m-l,z'	h
, дТт-1,п (ОТ-1) COS 0
’ 1 т~1' п_
- -L /(/_„_ [((/-„J/iL,.	[_ J-L	+
, ^т+1, п । (w 4-1) cos 0	,	11
di) ' sin 0	“+1, "J J
I Л*'/ ...	। т	rlj ( г'	л") ।
Си j Ш--------Ттпу-^----------t>, 0J +
+ У(/+/п)(г—zn + i)Л”m-i,V х
140
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
1	дТ\п-1,п	.	п  
sin 0	д<?	'
(т— 1) cos 0
sin О
Y’io
1 т-1, п
~2г	~\~т “Ь 1) G ” nl) f l, т+1, z' X
1	^т—1, п । ^т-1, п
sin ‘J- ду ' дЬ
(/«+l)cosO
XX 'да+1,«
+ c”i+i) |W+1)2 — X—-
, Z/(Z + 1)9 —m2 ,	1 J	,
"1	~j.	J l + l, m, z' I 1 m, n I 2	) X"
(t — tn	м-i, t' X
x . Г *	^w-l, n । ^^да-l, n _____	’0cos f0 "I .
L sin 0 drf	d»	sin 0 да-i, nJ “r
Ч- "gT" УД -\-m 4~ 2) {I 4~ m -J- l)/z°+i, да+i, т' X
' / '	1 dTm + l,n | ^да + l, n , (/«+ 1)COSQ , I )
_ sin 9	d<?	"i' <X	sin 9	”l+1,n_ j r
+ i*fimz (г) гЦу — cp, &, O) = 0.
В каждое уравнение полученной системы входят три обобщенные
сферические функции Т^п, Т1^-^ и T^+i, п- Однако к квадратным
скобкам, содержащим Т^+х, п и Tlm-i,n, можно применить рекур-
рентные формулы (см. дополнение к § 7), по которым эти скобки
также выразятся через Т^п-
В самом деле, вспоминая, что Tfi , {-£-—ср, 0, 0| —
ш—1, п \ 2 т	/
~ Ъп (’2 -С?) З.У /СП	^П1 ± 1, п . -р
— е J Umn\") и что, следовательно, --------------------=^Лв±1,я»
мы можем переписать соответствующие квадратные скобки в
dum-l, П I Л —(m —l)cosO	\
виде е	-----1-----------------«да-i, nJ и аналогично
in rf«m+i п — (т 4-1) cos д \
е С---------ST------1----sin»--------«да+1,пД Но согласно фор-
мулам (2) добавления к § 7 первая из этих скобок должна
быть равна —iV—mtfmn, а вторая скобка соот-
ветственно равна —Z У (1й -|- m -|- 1) (/0 — т) «дап-
П. 5]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 141
т-.	„	in (-ф I 7	7
Произведя замену и обозначив снова е '2 ' а„1п (9) через ТтП,
мы можем сократить все уравнение на	— <р, &, 0^. В резуль-
тате получится система, содержащая только Утх{г), а именно:
V	G~ 1) V(l2 — rn~) г
у — т?)--------------------------------------/г°_ъ т> ... —
—27	Ч~ да — О G “Ь т) У" (4 4- да) (4 — т 4~ О/z °-1, m-i, z’ —
—V(f — т — О G — да) 1^(4 4~ да 4~ О Go — ’й)/г-1, »г+1, j 4-
//)
। тт' ug Imz' । Ау i
4~ Сц [_т- —dr---1“ rnflmz' “1“
4- ^2г У 4“77г) G—7714~ О V(4 4~ да) (4—,п 4-1) fi", т-1, v (О—
—27	G 4~ т 4- О G — т) К(44- т 4~ 0 (4 — m)fi°, m+i,z' (r)J 4~
. Г г---------rf/G, /У(/ + 1)2 — т2 ,
4“cz4+i V G4-1)2—mi——I---------------т------f i°+i,m,z’ (44'
4- ^27	—иг4~2) (/—7714“ О Go4~m) Go—да4-0 f z+i, m-i, z' (О 4~
4~ 27 V^G -Уда 4- 2) G 4-771 + О У Go 4-да 4- 0 (4—да) fi+i, m+i, J 4-
4- iv-flmz С7") = 0.	(18)
5. Решение уравнений Дирака. Частным случаем системы (18)
является система уравнений Дирака, которая после отделения мно-
жителя, зависящего от времени, может быть записана в виде
(4+г4)“‘+®С1-41Е-"с’+,/<г)1“1=0'
(4-'4)“=-4“*-4ie-“c!+1,«i«s=o.
(4-н4Ь+4!,‘~4[£+"с!+^и“>=0-
(4 -' 4) “ - 4 ““ - 4[£++v м' "• = °-
При вращениях пара функций («р и2), равно как и (и3, и4),
преобразуется по представлению группы вращений с 1=	_
142 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Произвольная инвариантная система относительно таких неизвестных
функций зависит от выбора четырех постоянных yt, c}fat су2, у2,
у,. Уравнения Дирака получаются при с”, у, ==CyJ, у,= 0; с!Д у,=
__ 2Лс . 21	__ 2Лс	_ <
~ Е — тс2+ У(г) ’ C'l” 5 + mc2+ V(r) ’ Х~
Преобразования, проделанные в п. 4 над общей инвариантной
системой, приведут в нашем случае к системе обыкновенных диф-
ференциальных уравнений
df\ dr df{ dr dr	-7/1 (И-	f(z+4) r Id r	-A(r)-kyl(r) = Q, ^/з(г)-Й1/2(г) = 0, 'd(r) —й2/з(О=0,	(19)
dfl2 dr	1 z -7/2W —	z(z+i r	-d(r) —Wl(O = 0,	
где
Эта система относительно четырех неизвестных функций может
быть сведена к системе двух уравнений второго порядка. Заметим
для этого, что если положить fl(r) — + if[ (г) и (г) == ifl(r),
то второе уравнение совпадает с первым, третье—с четвертым,
и система приобретет вид
dfl3 1 + 4 г г
----~fl{r)-k.f\{r)^,
!	(20)
df\ I 2" -	z
77------^/iW—W3z(r) = 0.
По каждому решению (/i, /3) системы (20) можно построить два
линейно независимых решения (/1, —lf\, fl, ify и (f[, if{, fl, — ifI)
исходной системы (19).
В частности, если V(r) = 0, то решение системы (20) выра-
жается через цилиндрические функции полуцелого порядка:
fl (г) = Л (/- М2 . г) +	, (У- k,k2  г),
у г	У г
fl (Г) = -	Л+1 (/=м*2 • г) + —• г).
Л2 У г	kt у г
п. 6]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 143.
Найденные нами решения уравнений Дирака имеют, следова-
тельно, вид
«Дг, <р,	(4 —	o'),
-2>п\2	)
и2(г, о, =	—	о),
и3(г,	n(j —s, о),
«4 (г, ср, &) = ± ifl3 (г) Т\ _ я (у — ?, О)
О = Т ’ 2~ ’ Т ’ ’ n^-rl,	I -р 1, ..., /j,
где
1 (срц D-, ср2) = е* 2  Р1± 1 (cos v) •
pl. i (р) =
± 2
__2п + 1	2п 11 и1~п Г z + - I ± -!-1
= Л(1—р.) < (i-f-н) * Аг_^(1-.!А)+2(1+!А) 2J
л	Д ДД g + »)l
2Z(z + y) F (z±-|)! (' — «)!*
Общее решение может быть разложено в ряд по таким частным
решениям.
6.	Матрицы Llf L2, L3 для случая х =# 0 (другой вывод).
В этом пункте мы покажем, что матрицы L2, L3 в инвариантном
уравнении могут быть вычислены с помощью разложения произве-
дения двух представлений на неприводимые.
Заметим, прежде всего, что соотношения (3) для матриц Ц могут
быть, очевидно, переписаны в виде
TgLiTa^ S	(21)
Л = 1,2, 3
где Тд — матрицы представления g-^>Tg, действующего в простран-
стве Л (пространству R принадлежат значения функции ф(х)), a Z,t,
Л2, L3— матрицы в этом пространстве. Рассмотрим все матрицы
в пространстве R. Они также образуют линейное пространство.
Обозначим это пространство буквой S. (Размерность S равна п2^
если размерность R равна п.)
144 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Зададим в пространстве S представление g —>zg, действующее
по формуле
(22)
(читатель без труда может убедиться, что эта формула действительно
задает представление группы вращения в пространстве S). Представ-
ление (22), вообще говоря, приводимо. Допустим, что среди непри-
водимых представлений, на которые оно распадается, содержится
представление с весом I = 1. Представление с /=1 эквивалентно
тождественному представлению группы вращений, действующему
в трехмерном пространстве. Поэтому, если среди неприводимых от-
носительно представления (22) подпространств в S найдется подпро-
странство с /=1, то в нем можно выбрать базис Lv L2, L3, в ко-
тором представление (22) действует по формуле
tgL'i	Ski^k’
ft = l,2, 3
или
ТдЦТ~'= S gMLk-	(2 Г)
ft = l,2,3
Итан, мы видам, что в трехмерном подпространстве R&) про-
странства матриц S, неприводимом относительно представ-
ления g-+zg, найдется тройка матриц L,, (.некоторый
базис в RW), удовлетворяющая соотношениям (3) (или, что то же
самое (2)) для матриц в инвариантном уравнении. Обратно,
тройка матриц Llt L2, L3, удовлетворяющая соотношению (21),
порождает в S трехмерное подпространство, инвариантное и
неприводимое относительно представления g-+zg.
Таким образом, задача об отыскании матриц Llt L2, L3 свелась
к выделению в пространстве всех матриц (пространстве S) неприво-
димых подпространств с весом I — 1 относительно представле-
ния g^f-tg и построению канонических базисов То, L+, L_ в этих под-
пространствах.
Напомним, что канонический базис То, L+, L_ в трехмерном не-
приводимом подпространстве связан с базисом Llt L2, L3 соотноше-
ниями
L3,
L+ = Z-! —iL2,
L____	^2*
Покажем теперь, как поставленная задача связана с задачей разло-
жения произведения двух представлений на неприводимые. Напомним
(см. замечание на стр. 56), что если g->T^ и g —>• — два
представления, действующие в пространствах R^ и R(4) [р и q—
размерности пространств), то произведение этих представлений
П. 6]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 145
7др) X Т'д}' Действующее в пространстве R^ X R^, эквивалентно
представлению, действующему в пространстве прямоугольных мат-
риц А размерами p%q (р — число строк, q — число столбцов) по
формуле
^4 = 14/07,
где Ug— матрица представления g->T$\ записанная в некотором
базисе пространства Vg— матрица представления g—>Tgq\ за-
писанная в некотором базисе пространства RM, и V^₽ обозначает
транспонированную матрицу Vg.
Пусть теперь в пространстве R действует представление g —> Тд
группы вращений. Обозначим через Ug матрицы представления g-+Tg
в некотором базисе. Зададим в R еще одно представление g-^>tg
так, что его матрицы в том же базисе имеют вид
v,=WY\	(23)
(Читатель может без труда убедиться, что соответствие g—>Vg
действительно является представлением.)
Воспользовавшись сделанным выше замечанием, мы видим, что
произведение двух представлений Тд'/^ Тд можно реализовать в про-
странстве квадратных матриц L по формуле
ИЛИ
= UgLUg ,
что совпадает с формулой (22).
Таким образом, мы видим, что представление (22) в простран-
стве матриц S эквивалентно произведению двух представлений Тд
и Тд действующих в R.
Нашей задачей теперь является выделить в произведении пред-
ставлений Тд X Тд неприводимое трехмерное подпространство и
найти его канонический базис.
Обозначим, как всегда, через канонический базис предста-
вления g-^>-Tg в пространстве R. Мы будем, кроме того, считать,
что именно в этом базисе матрицы Ug и Vg представлений g->Tg
и g-+Tg связаны соотношением (23) Vg =	.
Заметим при этом, что базис не является каноническим для
представления g-^-Tg. Однако он отличается от канонического лишь
нумерацией векторов: вектор £гх/и является собственным вектором
оператора Н3 для представления g-^-Tg с собственным значе-
нием — m
Т_Т
1 46 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
а поэтому базис = {£?, _„,} является уже каноническим для
представления g-+Tg. В связи с этим в пространстве R X R
выберем базис	являющийся произведением
канонических базисов представлений g -+Тд и g -> Тд. Вектор h из
R X R в этом базисе запишется, очевидно, так:
» __ ^7 т:'	>:'	_пТ1'	т'
— j**	m' —	m I' in'	— ni' •
В силу замечания на стр. 56, при представлении ТдХТд в R X R
матрица {! с!^п г )л-	преобразуется по формуле (22).
Пусть, наконец, R3 — трехмерное неприводимое подпространство,
т. е. подпространство в R \ R, в котором действует представление
с весом l~1, a Lo, L+, L_—канонический базис в нем.
Запишем векторы Z.o, L+, L . в базисе ’Цщ'гЦ', _т’:
1~-0~^.а1т1'т'^1тЩ1' ,-т' >	।
1+ = ^а?т^'1тг^	}	(24)
T ___ у TI' (-)	_i’	I
СЦт Гт' ^1т~Чг, -т' • j
Числа аци/'пг’-) являются, очевидно, элементами матриц Lo, L+, L_
инвариантного уравнения. Найдем общий вид этих чисел.
Как и раньше, мы будем предполагать, что пространство R,
в котором действует представление g—> Тд, раскладывается в прямую
сумму инвариантных подпространств R}, в каждом из которых пред-
ставление g -+Тд порождает неприводимое представление с весом I
(значком т мы будем различать подпространства с одинаковым /)
* =	<2О)
Базис	-г+1 • • • zi, i~ i&} является каноническим в подпро-
странстве R],
Аналогичное разложение R имеет место и для представления
g-*Tg
= (26>
Базис (nt! —— I, . . ., /)—канонический в подпространстве Ri .
Таким образом, произведение R X R пространства на самое себя
является прямой суммой всевозможных подпространств вида
RiXRi-
RXR — 2 R'XRl-
(i, хцг'ч’)
*) Оба разложения (25) и (26) можно выбрать совпадающими.
г
П. 6]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 147
В подпространствах /?’Х^г, инвариантных относительно предста-
вления т -> 7^ X Тд, последнее действует, как произведение двух
неприводимых представлений с весами I и I'. Если теперь в ка-
ждом из подпространств R} X выделим (когда это возможно)
трехмерное неприводимое подпространство и его канонический
базис
/Ч'),	g+('x;l'x'), g~(lx; ”х’),
то с помощью линейных комбинаций вида
= 2 du'g^ (/т; 1'г'),
L+ = ^dTig0(k- l'z'), 
L- = 2 dug_ (lx- l'z')
(27)
мы получим канонический базис в любом трехмерном подпростран-
стве из R X R> неприводимом относительно представления Тд % Тд.
Итак, задача свелась к тому, чтобы в произведении Ri X Яг
найти канонический базис трехмерного неприводимого представле-
ния (/=!). Сразу же заметим, что такое представление суще-
ствует лишь тогда, когда веса / и I' отличаются не более чем на 1:
1 = 1' — 1,	I',	1' + \,
т. е. в подпространствах вида
Rl-iXRi, RiXRi> Rl^i.
Напишем для RXi X Ri •’
So (I 4 ">	2 Rl-П in; I,-mil-1, mril,-m>
g + R X, /т ) = Rl — 1, m + 1; I, — mH — 1, -is 4 X?, —
S — (7	1 >	) == 2, Rl — 1, »»—1; l> —mH — l,	»
ДЛЯ R] X Rl 
go (lx’, lx') = 2 Rl, m;	-m>
g + (lx, l~ ) = 3it »n+l; I, — mil, ттПЩ —м>
g_ (lx' h ) = 2 Rl, m-1; I,-mil, m-lVl.-mi
для R~i+1 X R'i '-
goG+l> lx')= 2 7?l+i, m;l,-m^l + l, mX)l,-m>
g+ (I “H } > lx ) === 2 Rl + l, m+1; l,-m^l+l, m-HUl.-mi
g_ (74-1, t; Zt') = 2 Rl+^m-lil.-m^+l, m-lXjl.-m-
148 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Коэффициенты »»+«;г,-т} («=1, 0. — 1; k—l, 0, —1)
являются коэффициентами Клебша — Гордона. Используя формулы (22)
§ 10, п. 3, имеем:
g0 (/- 1, г; 1т') = УУ) У 2 2 (-l)Ki + V(Z+^(Z=^)	тГ£_т ,
??г
g+(Z—1, г, lx') = а(-3) (0 2 (— l)mV(l-tu) (Z-m-1) У, ,
т
g_(l- 1, т; Z-') = a(’I>(Z)2(- 1)’" У^т-1) (Z^-w) =/-1,>
ЧП
где	_____________
а( о (I) = ф 3 (— 1) j/"2Ц2Г=Н)(2/ —1) •
Аналогично для RiXRi
go (ir, w)=(i) V 2 2 (- i)”i+1
g+ (ir, h') =	(/) 2 (- if v(Z4-/H+1)(Z^T) 4 m+P]y m>
g_ (/-; W) = a(!!) (Z) 2 (- D”*+1 V(l + m)(T^ni+\) £	m,
a(l,) (/) = У 3 (— 1) ]/”(ЩгтугГйУУ
и для Rt + iXRi
go U+ Г	Zt') =
= a(+)(Z) V2 2 (- 1 )mУ(/ + ОТ + 1)(/-/«-Н)У b	№,
g+ (/+ 1. - ^) =
= a*4'' (Z) 2 (— 1)”* У(Z -j- m1) (Z + m -j- 2)У1, m i iTjf,-w,
g_(Z+l, t; lz') =
=	(Z)2(- У'y(T-m+l)(Z —m + 2)Ч+1> m_1Т,У,n,
a(^)(Z) = (—1) УЗ j/" (2/+ j) (2Z J-2) (2Z + 3)" ’
Как мы уже говорили, комбинации этих векторов вида (27)
У =2 ^-i,zg0(Z—-1> t; Zt')-L-
-h du go (к"’ ^')-\-dr+lilg0(l-^-1, т; It'),
i+ = 2^-Mg-+(Z-i. Zt')+	(27Z)
+ d?ig+ (Ir, h')-\-di + i,ig+ (Z+ К t; h'),f
=	r, h') +
+ du g_ (h; h’) + rff+i, ig- (Z-H. 't; Z^)
П. 7]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 149
являются снова каноническим базисом в некотором трехмерном не-
приводимом подпространстве. И наоборот, канонический базис во
всяком неприводимом подпространстве в R X R с весом I = 1 имеет
вид (27').
Таким образом, искомые векторы Z,o, L+, L_ из R X R запишутся
Лэ— 2 (— 1)В! [d-l, Z --------/»2?Z-1, mVl, +
m, т, x', I
+ c?z	-in + Q+i, i У F ~F m “F О (J— tn-\- 1)F+l Л-Д
У = S (-1)”1 [-CZ-l,z/(^ —m)(^—"1— 1)?ZT-1, ш + Ж-m -
V 2 " ,
7П, T, Xr, I
— cll V(( + tfZ 4“ 1) (l tn) ti, ~F
“F 0+1, l (/ tn ~F 1) (( tn ~F 2) ?Z+1, пг+Ж,-т]»
l- S (_ 1)W I- z F(Z + « — 1) R + m) %_i, ,п-ж-„г +
v 2
+ CU	-rn ~F 1) ?Z, т-1У\1,-т ~F
+ F+i,z]F(/—m-F 1)(/—т + 2);г+1,™-Ж-;п]•
Здесь введены обозначения:
CF-'i,z--rfr-i,za(-!)(/)/2,
оГ =-<а(0)(/)/2,
с?+ъг = <1, га<+П (/)-|Л2.
Отсюда для элементов матриц L^ — L3 в инвариантном уравнении
получаем:
Cz"Fl, т; lm = Q-l, I УР ГПг,
Clm; lm	tn,
0 + 1, т; lm == CZ+1, Z У“F П1 ~F 1) (I — til —F 1)>
что совпадает с формулами (8).
.	, L+ + L- ,	L±—L_
Аналогично пишутся элементы матриц 7,г—	---и Ь2—	.
7.	Инвариантные уравнения сх = О. Все предыдущие рассуж-
дения и результаты относились к уравнению вида (21) с константой
х =F 0. Они, разумеется, применимы и к случаю х = 0. Но оказы-
вается, что при х = 0 появляются существенно новые возможности
для построения инвариантных уравнений.
150 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Заметим только, что инвариантные уравнения с х = 0 в прило-
жениях почти не встречаются. Мы излагаем здесь этот случай в основ-
ном для того, чтобы подготовить читателя к аналогичному случаю
релятивистски-инвариантных уравнений с х = 0 во второй части книги,
а эти последние уравнения важны для теоретической физики.
Выясним, прежде всего, каковы условия инвариантности уравне-
ния с z = 0.
Пусть задана система уравнений
Заметим с самого начала, что в отличие от случая у. 0 матрицы
L2, L3 в этой системе не обязательно квадратные; другими сло-
вами, число уравнений в системе (28) может не совпадать с числом
компонент функции ф.
Положим, как мы это делали ранее,
6' (х)=Тд^х).
Тогда
дУ(х) _	„
,	* д / j , / Sik>
dx.	дхк
если
х' = g^X.
Таким образом, получаем, что функция 0'(х) удовлетворяет урав-
нению
<29>
Предположим теперь, что существует некоторое невырожденное пре-
образование V д такое, что
=	(пр» ИЖ
т. е.
2 VgLicTg Sik —
к
Если преобразование Vg существует, то это значит, что уравнение
(29) эквивалентно уравнению
Ул,^=о,
1dxt
т. е. после замены х = gx', ф'(х) = Tgty(х') уравнение (28) не изме-
нилось. В связи с этим уравнение вида (28) является инвариантным
относительно группы вращений, если при одновременной замене
х = gx' и'li' (x)—Tgty(x') преобразованное уравнение с точностью
до невырожденного преобоазования Vg совпадает с исходным.
П. 7]	§ 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 151
Заметим, что в случае уравнения с х^О преобразование Vg по необ-
ходимости совпадает с преобразованием Тд.
Для матриц Z,p L2, L3 в инвариантном уравнении получается
соотношение
ПЛИ
VgL^^gbiLi,
где Тд—матрица представления g~->Tg, Vg — матрица невырожден-
ного преобразования. Легко проверить, что соответствие g —
является представлением g->Vs, действующим в некотором простран-
стве R, вообще говори, отличном от пространства R, в котором
действует представление g-> Тд.
Таким образом, мы получили, что уравнение
Vl,±L = o
Ы ldXi
инвариантно относительно группы вращений, если наряду с пред-
ставлением g-+Tg, преобразующим функции ф, существует пред-
ставление g-»Vд, преобразующее само уравнение и такое, что
Vg^Tg'gkiLt.
Это и есть условие инвариантности уравнения (28).
Из этого условия видно, что матрицы Lt, Llt L3 получаются из
разложения на неприводимые произведения двух представлений
у v Т
v в д’
где g-+Tg—представление контрадиентное представлению g^>Tg
(т. е. матрицы этих представлений Ug и Ug связаны в некотором
базисе с отношением Ug = (t/Jp)-1)-
Это обстоятельство можно обнаружить с помощью тех же рас-
суждений, что и в случае х^О. При этом мы видим, что в пашем
случае х —0 представления Vg и Тд никак друг с другом не свя-
заны, в то время как при х-ДО они должны совпадать.
Найдем теперь общий вид матриц Lt, L2, L3 в инвариантном урав-
нении вида (28).
Заметим, что вектор ф из пространства R, в котором действует
представление g —> Тд, переводится матрицей Lk (k— 1, 2, 3) в вектор ;
из пространства R, где действует представление g—> Тд. Запишем,
таким образом,
$ = (3°)
Пусть aJn, — канонический базис представления g-+Tg в прост-
ранстве R, а ?гт — канонический базис представления g~+Tg
152 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
в пространстве R; при этом т)г,_ТО'=$гт-------канонический базис
представления g-> Тд.
Условимся теперь вектор £ относить к базису а вектор
ф—к базису cjm. Равенство (30) при этом перепишется:
х~ — v rzz’ то vx'
Im	с 1ml'т'-УI'т'’
где xzm — координаты < в базисе а У’)1'™' —координаты ф в ба-
зисе {;гт' Числа сгы’т' и образуют элементы матрицы Lk,
Lk = \\czx' да, ||.
к II Iml т' J
При таком определении каждой матрице Lk может быть отнесен
вектор hk из произведения пространства R X на самое себя так:
L. ~h, = V сУ-' z;' , = У с?’,, ,ох тХ
A k 4т Iml т Im l'm' 44 ImVm, Im Ч > — т
Отсюда видно, что отыскание матриц Llt L2, L3 (или, что то же
самое, La, L+, L_) сводится к написанию базиса в трехмерном под-
пространстве из R X R> неприводимом относительно представления
~д — Тд X Тд через векторы {а?тт]г, _ОТ'}. Эту задачу мы уже решили
в предыдущем пункте. Если воспользоваться результатами этого
пункта, то мы получим, что элементы матриц L1; Z.2, L3 — числа
c!niz'm'	3) задаются формулами (8), (11), (12) из п. 3.
§ 10. Разложение произведения двух представлений.
Коэффициенты Клебша — Гордона
1. Вычисление коэффициентов Клебша — Гордона. В п. 3 § 4
мы выяснили, на какие представления разлагается произведение двух
неприводимых представлений группы вращений. Здесь мы фактически
произведем это разложение, т. е. выразим векторы канонических
базисов в каждом из неприводимых подпространств, на которые
разлагается пространство Rt X через векторы emJmi.
Пусть (g-Ц — ортонормированный канонический базис в подпро-
странстве RLc:RY X R-г, в котором действует неприводимое предста-
вление веса I (|Zt—Z21 Z -р/2)-
Напишем glm в виде линейной комбинации векторов вида '.
S m==~^i !jm,	(1)
Наша задача состоит в определении коэффициентов Вг,»ц;?2»»а> назы-
ваемых коэффициентами Клебша — Гордона.
Их вычисление мы проведем в несколько этапов.
I. Растянем векторы канонического базиса в пространстве Ru
т. е. перейдем к векторам
i”‘‘ ~ Ут^т,	(2)
п. 1]	§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ	153- '
так, чтобы в новом базисе {;”*'} операторы Н+ и Н_ имели бы вид
>	("А
(Оператор Н3 действует, очевидно, по-прежнему: Н3:т‘ = т£т>.')
Заметим, что при таком выборе операторов Н+, Н_, Н3 выпол-
няются соотношения коммутации (11) § 2. Это означает, что ука-
занную замену базиса действительно можно произвести.
Найдем коэффициенты растяжения 7^ . Имеем:
Н1+ = Q-i Ч- mi Ч~ 1)	— Q-iЧ-miЧ~ О •
С другой стороны,
у у	Zj Т Т -	1	_
Отсюда получается система равенств
T>A; + lK)rtl + l = (/j Ч- ml Ч- О Тт,-
Из нее мы получаем:
?!   ?!	7»1, + 1 ’ ат1-~2 • • ’ 7?!
7 «ч — 70 (Z1 + !>h + 1) (Z1 + W1 + 2)... 2Zt •
Подставляя значения ag из (17) § 2 и полагая -(А=1, окончательно
получим:
..?, _ у/~(h + mty. (Zt—W1)!	..
(2Zj!	•	W
Аналогичную замену базиса мы произведем и в пространстве /О>
положив:
7]™’ = Ч2 / •	(5)
II. В пространстве Rt, где действует неприводимое представление
веса I наряду с ортонормированным каноническим базисом {g^|> рас-
смотрим базис {%».}, который строится следующим образом:
х10 = ^	х\=Н_х[,	х1^ И _х\ = Н2х[........x\=^Hs_xl0. (6)
Очевидно, что
X1 = a1 g (tn = l — s).	(7\
Найдем коэффициенты
Н х1 , — х1 = аг gl .
— 8—1	8
С другой стороны,
+	+ l = °Liam+l •
154 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Отсюда получается система равенств
г ______________________________ i
ИЛИ
°га7П + 1%г + 2 ’ • • V
Подставляя as из (17) § 2 и полагая а\ = 1, получим:
Ш. Итак, вместо ортонормированных базисов {eOTJ и в про-
странствах R, и R? мы выбрали базисы и а вместо ба-
зиса в Rj — базис |л’И. Оказывается, что векторы х13 просто
выражаются через векторы
Пусть Z = Zj —|—Z2—а [О англах (2/р 2/2)]-
Запишем вектор	следующим образом:
к = а
?1-г-72-а ЧТ! аЛ.—к 12 — <* + к
х0 = 21 акС V}
к = 0
Найдем коэффициенты а^. Очевидно, что
Н+х§ = 0.	*
С другой стороны, из формул (3) получаем:
Н+ (2 4^'%^“^)==
= 24	** + (“ — k)
Отсюда
а^.-\-ах = 0,
4 (я — 1) 4-2й2 — 0,
ак (я--k) -ф- (k -ф- 1) йк+1 — 0.
Из этих равенств находим:
ак = ао(—О U,
где С,—число сочетаний из а элементов по k. Отсюда
xl> +?3"а = а0 2 (— 1(9)
Если индексы векторов и rf формально понимать как степени
.переменных £ и тр то вектор Xo1+Za-a запишется в следующем виде:
х10'+1*~л = а*0 ($ —	(10)
п. 1]
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
155
Для ТОГО чтобы получить векторы ”, х»1'1* “ и т. д., нужно
к вектору Xo+Za~a последовательно применять оператор Н_. Для
этого найдем правило, по которому оператор Н_ действует на век-
тор	— Z2),
Н_Я>т* = (p--|- Zj) -|-(Z + Z2) ’'Prf-'.
Если выражение снова формально понимать как произведение
степеней переменных J и i], то оператор Н_ можно, очевидно, за-
писать:
НЛР^ =	-ф-
И вообще, если имеется выражение
=	(z1>p>-z1, z2>z>-z2),
то
Н_Р(;,	+	-г,)].
Далее, очевидно,
/7’_р(-, 71)+
Таким образом, для xl‘+l‘"x имеем:
Z.JL —а т_г;	7,—7-1 —ос. а»»? ,-г ^Дх — ’з. К — а
Xs = Н~х0'	= а0Н (-—7]) гД ,
или
Ji+z2-«__ «6-z, -г3/ д , д \®	2Z2-«.
xs —до~. т;	V ’ ri J-
Заметим, что 1
/ д > д \ ..	.а п
U +	=о-
Поэтому
х'Г" - оГГ ($ - 7))“ ( J + j /V я	1, —li /h	\<Х 1 = GC; ‘Tj (: —Т|) / \j = ао« —... . . . (2Z2 — а- Заметим, что (2Zt — а) .. . (2Zi — а —, (2Z2 — а) . .. (2Z2 — а — $ +,	Л:2^-а^2/а-а\ __ ’-q/ V	1	7 F ср	_ S(di)P(d^-Pj (2ZJ —а —p+l)(2Z2 —а) ... — 1) . + р I п_ (2г,-а)’ .	(2/2 — а)! Р^~	(212 — а s — р)\ •
156 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Условимся при этом считать ^- = 0 при k < 0. Пишем, далее,
Z,+Z2-«_ „“/'V /______г*-’_________________________(2/t — а)! (2'2 — а)!_____
s	I) 7j	(2l — 7. — p)!(2!2 — 7^s — p)'.X
или
7, + '3-«  V / 1 V ____________________(2^1 — 'ЛУ- (2/? — g)-__у
s	' а s(2/i — 7, — />)!(2Z2 — а + s —/>)!’ Л
X -^г-л-в+р! к*
Положим k + р — п. Получим:
,___________а! s! (2Zt — 7)! (2Z, — 7)!
(«—?)! (* +?—п)\р\ (s—р)! (2l1—7—p)\ (2Z2—а-|-з—/>)!
ИЛИ
Z^+Zg— <Х 3 /yi.'Cti- Z; - ll Zg — а — S4-71
Хд ----------------------* п $
(12)
где
а __
_ « V1 / 1 \п-р________________a! s! (2/t — 7)! (2Zo — а)!_________
’	(Л —р)!(а4_р—„)!/?!(s__p)!(2Z1—7—p)!(2Z2—7—s+^)!‘
р
(13)
Сумма берется по всем тем значениям р, для которых ни одна
скобка в знаменателе не отрицательна.
IV. Перейдем теперь к прежним ортонормированным базисам
le 1,	If 1,	Ip-1 I.
I ynj’	г w2J’
Положим /j — n = mlt l2 — a-|-n — s — m2, /i + /2 — a — / и
s — l — m.
Перепишем формулу (12)
I__V? 'pZ-w, Zi+7i,wZ.Wi ???2>
Xs—£	4 °w, wii+m,’
Вместо xla, im‘ и подставим их выражение из (7), (2) и (5):
qZ O'W ,	'T’Z-7?2, Zj4~Zg~Z ?1 „ ?2
w®Z	Wi 7wi7?wa	mj+w2*
Отсюда получаем необходимые нам коэффициенты
T'Z—тп, ?, + 7а—Z„Z, ?а
rfm ___________ li—т, Тт,Тта
(14)
П. 1J § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
157
где	определяется формулой (13). Полученное выраже-
ние мы должны преобразовать так, чтобы оно явно зависело от
чисел I, lv 1г, т, mlt т2.
Выпишем предварительно коэффициент	. Согласно (13)
имеем:
—
= « у	(_!)?.-^-^(^ д_ д _ /)! (/_ ?И)! (/ + Z1 - Z,,)! (Z + Z2 - Л)!
°	р\ (U+iih+p—l)'. (1—т—рУ (/-Hi—Л—/>)! (Z,— h+«+/’)!
или, полагая Zt—тх—p = z,
>~pl — 7)2,	— ?  
—
У (-1)г Gi + \ - Q! (z - т)! (Z + Z1 — Z2)! (Z + Z2 - Л)!	.
°	z\ (li—mi—zy (l2-\-li—I—zy. (I—li—т2-\-г)\(1—l2-\-mi-\-zy.(l<>-\-tn2 г)!
(15)
Отсюда, подставляя в (14) значения у,	и Т/тХ’
из (4), (8) и (15), получим:
pjm ______
_ У у______________________________(-о____________________ у
°\ —< г! (^-mi-zy.^+li-l-zy (Z-Z1-m2-|-^)!(Z-Z2+m1+^)! (Z2+w2-^)!)
Г (Il + тху. (Il — mt)! (Z2 ф- те2)! (Z2 — т2)! (Z + т)! (I — т}\
(2Zj)! (2/2)! (2Z)!	А
Х(/1 + 4 — 0!(/+^2— li)\{l + li-l2}\. (16)
Остается определить константу а”. Ее нужно выбрать так, чтобы
базис был ортонормированным.
Вернемся к формуле (9) для x,^+li~a = g\
g’ = x^+l,i~:t-^= а’ У, (_1)Л -у “+\
V/	/l!(2Zt-fe) /~(^-fe)!(2Z2-a + fe)!
gl~	(2ZJ! V	(2Z2)I
Пользуясь тем, что векторы ег1_*Д_а+Л ортонормированы и ||gz|| = 1,
получаем:
« _ / V м?л2 fe! (2Z. - ky (а - ky. (2lt - a + fe)!
a° \2ДСЯ)	(2Zt)!(2Z2)!	)
или
/(2Z1)!(2Z3)!
2 у (2Z1-fe)!(2Z2-a + fe)! .
V	k\(a — k)\
У
158 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Для вычисления суммы в знаменателе воспользуемся следующим
тождеством:
(т + а — £)! (п X k)l _ т'.п\ (т + п + а -{- 1)! *
fe! (а — k)\	а! (т X п X 1)!
А*~о
Положив т = 2/1 — а и п = 212 — а, получаем:
у (2Ц — /г)!(272 — а + *)! _ (2/t —а)!(2/, —a)!(2/i + 2/2 —аД-1)!
2d Ща — k)\	а!(27г + 2/2 — 2?+ 1)!
Окончательно, пользуясь тем, что а = —j—Z2 — Л получаем для ио
выражение
- J	<2/^7 + 1)!
% — К (/ X — Z2)I (Z Z2 - .'j)! (Zt + Z2 + Z + 1)! (Zt + Z2 - Z)! ’
Подставив o“ в выражение для коэффициентов Клебша—Гордона,
имеем окончательно:
= }/"(7^z+T+T)(Zl + ~Z)! (Z +z'! ~Z2)!<z + z2-zi>! X
X Vih-^	m2y.(l., — /и2)!((-|-т)!(/— m)I X
zy __________________________(— 1)г____________________________\
Z^.ier^ Z\ {l\—ТПх—Z)l (Z2XAt	^)-	77?5~|—^)- (Z—j
(17)
*) Это тождество может быть переписано в пиде
к —а.
У р р г* = Д“ Р Р
т + а-к‘ « + А «	-“/Л + п+л+Г т‘ п
к=О
(Pg — число перестановок из s элементов, yQ'— число размещений из Z эле-
ментов по k, С1^ —• число сочетаний из а элементов по /г) и допускает простое
комбинаторное доказательство.
Вообразим три набора элементов N, А, М, содержащих соответственно
по п, а и т элементов. Набор А разобьем на две части, содержащие k
и а — k элементов. Такое разбиение можно, очевидно, произвести С* спо-
собами. Затем k элементов присоединим к набору N и получим кучку I
из по k элементов, а из остальных и набора М образуем кучку II, содер-
жащую т Xа—k элементов.
Рассмотрим различные цепочки Г элементов из кучки I (число таких
цепочек равно Рп+к) и различные цепочки D из второй кучки (их число
равно Pm+a-ft)- Образуем теперь всевозможные цепочки вида Г X D (к це-
почке Г дописана цепочка D). Общее число таких цепочек есть
= a
Й = 0
Подсчитаем это число несколько иначе. Возьмем ряд расположенных друг
за другом т X п -|- a -j- 1 ячеек.
Произвольным образом расположим там элементы набора А. Это можно
сделать , „ ,, ,. способом. Затем отсчитаем п свободных ячеек от левого
Uh т »» Т*1 1
п. 2]
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
159
2. Коэффициенты Клебша — Гордона для случая, когда одно
из представлений имеет вес 1 или */2 *). Выпишем значения'коэф-
фициентов Клебша—Гордона для случая, когда /2=1 или /2 — 1'2.
Этот случай был нами уже подробно рассмотрен в § 4.
I. Пусть Z2 — 1 (a lx 1). Тогда I принимает значения 1 — 1х— 1,
/Р Zt —1. При фиксированном т т1 принимает не более трех зна-
чений: т1 — т — 1, т, т -ф 1.
Напишем матрицу
,т
рЦ — 1- in
Dllm; 10
Dllm; 10
pit i-l, m
^m; 10
0^-1, m
\ 1,-1
D^B
1; 1,-1
°l.,	1,-1
Вычисления по формуле (17) дают (^ = 1);
[l — m) (l — m-
2T(2Z+1)
K(Z + m) (Z-m + 1)
2Z(Z+1)
(Z+m+ 0
Г (2Z+1) (2Z + 2)
KG + «) U~m)
Z (2Z-f-1)
l/~-Л-
r Z(Z+1)
y/~(Z-l-m-H) (Z- m-t-1)
Г (2Z + T)(Z+1)
(Z+m+1)
2Z(2Z+1)
K(Z-|-m + 1) (Z —m)
2Z(Z+1)
(I-m-Y 1)
V (2Z4-1) I.2Z4-2)
(18>
II. Пусть теперь Z2 = Va (/1^>1/з). В этом случае I и тх при-
нимают значения:
1 = 1Х—фг или Z = —J—i/г и тх — или mt — т — г12-
конца и расположим в них элементы набора N (это можно сделать Рп
способами). От правого конца ряда отсчитаем т ячеек и поместим туда
элементы набора М (Рт способами). Одна ячейка при этом останется сво-
бодной. Все, что расположено левее от нее, объявим цепочкой Г, а пра-
вее — цепочкой D. Мы придем, таким образом, снова к цепочке вида Г X D~
Их число будет, очевидно,
д* Р Р
яг-фя-фа-ф! т п’
Итак, мы доказали тождество
л-«
2	-• л-к^и ~	+ n +	т.Рп’
к=0
или
VI (т -ф a — Л)! (п -ф &)! a! mW. (т -ф п -ф а -ф 1)!
2^— &! (я— £)!	(яфлИ)!
к = О
*) Напомним, что эти коэффициенты были уже нами вычислены в части I,
гл. 2, § 4, п. 4. Мы приводим их здесь еще раз для полноты изложения,
при этом коэффициенты	н (k = — 1, 0, 1; / = —1, 0) соответ-
ствуют коэффициентам C™r (р — 1, 2, 3; r= 1, 2, 3) в обозначениях упо-
мянутого пункта.
160 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч.
Для матрицы
Ст
7,-Vs, т
7,, Ш—Vsi 1/st V's
• li + Vs, т
+ in — ’/si Vs> Vs
о/,—Vs, ™
°li, m +Vs; Vs,-Vs
o'l + Vs, in
°h, m + i;+, Ъ,-Чг
получаем следующее выражение:
ГI — т V3
2' + 1
2'+ 1
/* / + т + -',
V 21+1
_ /~I — т — т/2
V 21+1
3. Симметрия коэффициентов Клебша — Гордона. Заметим, что
коэффициенты Клебша—Гордона обладают двумя соотношениями
•симметрии относительно пар (/, т), (11,	т2).
I. Совершенно очевидно, что
В 7т _____ гЛт
l^h', Z2m2 — ^2Я?а; liMi'
II. Гораздо менее тривиальными являются соотношения
В71т1	__ /	1т??3-j2Zj 4“ 1 г^т
lm; — ( А/ |/ '9/ | 1 ~ Ми
oZm
^Zjrnj Z2m2»
(20)
_____________/	<\Z—Za —Wj
^Z1,-m1;Zw = (— О
получающиеся перестановкой нижних пар индексов с верхней парой.
Эти соотношения могут быть получены непосредственно из фор-
мулы (17). Применим их к вычислению коэффициентов
{Вг+мт+*-,1,-т}	(& = — !, 0, 1; s = —1, 0, 1).
Эти коэффициенты встречаются при выделении неприводимого пред-
ставления с весом 1=1 из произведения двух представлений
с весами I и l-\-k (k =— 1, 0, 1).
Имеем:
г>1з	__ , 1 \1 г — 1 —т  /	3	ril + 1i, m + s
£4 + k,m+s;l,-m — (	Ч	у 2 (I | Й)~Т 1
Коэффициенты
(k= — 1, 0, 1; s = —1, О, 1)
мы уже вычислили в предыдущем пункте.
Напишем матрицу
7 — 1, т — 1; 1,—т
7, т — 1; I, —т
I1’-1
Z + 1, т-1; 1,-т
оЮ
Dl-\, т; 1>-т
D10
Dlm; 1, — т
оЮ
Dl + 1, т; 1,—т
Вп
l,-m
оП
?n4-l; 1, — т
(21)
П. 4]	§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ	161
Вычисления с помощью соотношений (20) дают для этой матрицы
выражение

K(Z+m-l)(Z4-m)
2Z (2/4-1) (2Z-1)
K(/ + m) (Z-m + 1)
(2Z+1) 2Z (Z4-1)
K~ (Z- m) (Z-m4- 2)
(2Z 4-1) (214-2) (214-3)
K(l + m)(l-m)
(2Z-1) (2Z4-1) I
______m_______
K(2Z4-1) /(Z4-1)
K(Z4-m4-l)(Z-m4-l)
(214-1) (14-1) (21-J-3)
I/" (Z-m)U-m-l)	•
T (21-1) (21 + 1)21
K(l + m + 1) (1-m)
2Z(Z4-1)(2Z4-D
1< (.,4-m4-l)(Z-r« + 2)l
Г (2/4-1) (2(4-2) (2(4-3)|
(22)
4. Переход от канонического базиса в X Rz к базису {tfiAJ.
В заключение приведем формулы, выражающие базис {emjma} =
= 1 т ™ 1 через базис lg, J.
Имеем:
f .	=У> р-
’Z^^Za, т—т1 •“	1т‘
Коэффициенты Л;™ i; га,Пз можно выразить через коэффициенты Клебша—
Гордона.
Пусть в произведении пространств Rla X Ri есть подпростран-
ство из собственных векторов оператора Н3 с собственным значе-
нием т. В этом подпространстве выберем два ортонормированных
базиса
{£/,+/,-*,«} =sk (^=-=0......./1	+ /2 —|m|)
и
pZpZa-S^Za, Ш-Zx + s} = 'Gs (s = 0, 1, . . 1х + 12— i т\).
Напишем
___	о/,+/а — к, т	г
°Zi+Za—к, т	~ t,, 1,—»; /а>	+	—	+
ИЛИ
cks^ls>
где обозначено
BZ,+Za-*, т
llt a; Z2, т—7,-rs*
В силу ортогональности матрицы ||сЙ8||
Is	^sk^k)
или
t е	__ У ^Zl+Z1-s, т
Вернемся к прежним обозначениям
/!4-/2—А = /1Н-/2 —/,
— s = mlt s — I) — m^,
тогда
Z2 — s == Z2 —nty, Zj — k = I 1%,
162 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. 1
Таким образом,
g £	___ nZa+Wh» т	р.
'l1ml 'lit т-тщ	l—h', &а» m+la—l&lm'
т. е.
ZjWn Z2w3 ==	—	wi4-Z3-Z*
5. Коэффициенты Рака. Рассмотрим произведение трех непри-
водимых представлений у'б, -р1^ действующих соответственно
в подпространствах
Ч «2	‘3
ify
~д действует в произведении пространств
R = Rt \Rt /Rf
tj	ig	13
Произведение пространств /?г , Rt , Rf можно записать двумя
способами:
R-[RiXRh]XRla
И
R = RlX\RlXRh].
Заметим, что с каждой из этих двух записей можно связать
разложение пространства R на подпространства, неприводимые от-
носительно представления Действительно, воспользуемся первой
записью и произведение пространств Rt X Rt разложим на непри-
водимые относительно представления Тд X Тд подпространства.
Обозначим веса полученных таким образом неприводимых предста-
влений через /19, неприводимые подпространства через Rt а сами не-
приводимые представления через Т1д'2 (индексы 1 и 2 указывают на
то, что эти представления возникли от произведения представле-
ний и Тд4). Каждое из полученных пространств R; мы умножим
и полученное произведение разложим на подпространства R;, не-
приводимые относительно произведения представления Тдг X Т1д- Про-
странство Rt принадлежит, очевидно, всему пространству R =
= Rj X RtiX Rt3 й неприводимо относительно представления т .
Канонический базис в пространстве Rt мы обозначим через
{^m^i’^2’ ^12’ У} (числа в скобках указывают на порядок, в котором
получено пространство R1 и его кинетический базис). Объединение
канонических базисов во всех пространствах Rt образует, очевидно,
базис во всем R.
п. 5]	§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ	163
Аналогично предыдущему мы можем построить разложение про-
странства R на неприводимые подпространства, пользуясь записью
Канонические базисы в полученных, таким образом, неприводимых
подпространствах R^ мы обозначим через	^23> У}- Объ-
единение всех таких базисов образует базис во всем пространстве R.
Заметим, что оба построенные нами разложения пространства R
на неприводимые подпространства, вообще говоря, различны. Дей-
ствительно, пространство R может содержать инвариантные под-
пространства, в которых представление хд кратно неприводимому * **)),
и тем самым может быть различными способами разложено на не-
приводимые подпространства. Соответственно этому и базисы
^2’ ^12’ Ml И {SmSh’ Ч’ ^23’ ^1)}
также различны. Таким образом, пользуясь двумя различными запи-
сями для произведения пространств Rt, R^ и Rti [7?г X R^ %Rlt
и X X ]> мы построим два различных разложения про-
странства R на неприводимые подпространства и два различных
базиса в R:
{£тС1’ ^2’ ^12’ М} И 1§т(^2’ ^3’ 4?,’ Q}*
Нашей задачей является найти, как выражаются эти базисы
друг через друга. Заметим, прежде всего, что два пространства
R; и Ry при различных I и Г принадлежат различным инвариантным
подпространствам пространства R и, следовательно, ортогональны.
Таким образом, векторы glm(ly 12> /12, (.,) выражаются только через
векторы g^(/2, 13, /13, с 1' = 1.
Напишем:
gm—Zj*' I,, I,,	m’gm'	{2o)
Можно показать, что коэффициенты R1’ fa fa fa от m и tn'
зависят следующим образом:
^12» W __ тЛ, llt 1а> 1ц, Z3 s ФФ'х
A Z2« lit Z33’ lv m' — la, la, l23, lt, °mm' )
*) Например, произведение представлений 7^ X Tg X Tg содержит три
неприводимых представления с весом 1 и два представления с весом 2.
**) Это обстоятельство является общим: если пространство R1, в котором
действует представление, кратное неприводимому с весом I, разложено
двумя способами на неприводимые пространства R-y ...,RktiRy Ric
с каноническими базисами {етд} и |emsl соответственно, то матрица пере-
164 гл. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
и формула (23) приобретает вид
Z2> Z12, Z3) = 2^’ L’fcfet ^(Z2> Ц, Z2s, Л).
Суммирование распространяется на все допустимые значения веса Z23.
Рассмотрим числа
lit ?2> ^12» ?3
^12> ^28 _ _^2	?3, ^23»
l" h ~ V (2/и + 1)(2/23+1) •
Числа w\[, называются коэффициентами Рака.
Коэффициенты Рака могут быть выражены через коэффициенты
Клебша — Гордона. Мы опустим выкладки и приведем лишь оконча-
тельный результат:
Ц, I. ~ (2/ + у (2/12+1)(2/2з+1) mi+m^+m=0	1‘т>Х
\х oZj — W	D?23^23	—W	/ОЛ\
A	Dl2m2lzTn$
Рака нашел непосредственные выражения для коэффициентов
Соответствующая формула, а также различные полезные соотноше-
ния между коэффициентами Рака содержатся, например, в книге
Г. Я. Любарского «Теория групп и ее применение в физике».
хода от базиса {етз} к базису {етз}
ems	amsm'3'em's’
т', в'
имеет вид
amsmf af а8и'^тт’’
Доказательство этого утверждения содержится, по существу, во второй ча-
сти книги, в § 2, п. 9.
ЧАСТЬ II
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
ГЛАВА 1
ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Группа Лоренца
Для теоретической физики, помимо представлений группы трех-
мерных вращений, не менее важными являются представления группы
Лоренца.
1. Определение группы Лоренца. Рассмотрим квадратичную
форму
+	+	Х2,	(1)
определенную на векторах х = (х1х2х3х0) четырехмерного простран-
ства Линейное преобразование x' — gx, не меняющее эту
квадратичную форму, т. е. такое, что S2(x') — S2(x), называется
общим преобразованием Лоренца.
Обозначим через / матрицу квадратичной формы S2(x)
II 1	0 0	0	|
,	0	10	о
'—001	о •
II 0	О 0	— 1
При всяком линейном преобразовании с матрицей g матрица квад-
ратичной формы I переходит в g* Ig, где g* — матрица, транспо-
нированная к матрице g. Следовательно, для общего преобразования
Лоренца имеет место равенство
g4g = I.
(2)
Отсюда видно, что det.£f=ztl, и, значит, преобразование g имеет
обратное g"1. Очевидно, что g~l также есть общее преобразование
Лоренца. Произведение двух общих преобразований Лоренца есть,
очевидно, снова общее преобразование Лоренца. Таким образом,
совокупность общих преобразований Лоренца образует группу—-об-
щую группу Лоренца.
Уравнение S2 (х) — х2х2х2— х2 — 0 определяет в Rw ко-
нус (назовем его световым конусом), осью которого служит ось х9
166
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
(временная ось) *). Световой конус делит все пространство /?(1) на
три области: внешнюю область, где S2(x)>0, и две внутренние
полы: 52(х)<0и х0 > 0 и 52(х)<0и х0 < 0. Всякое общее пре-
образование Лоренца переводит световой конус и его внутреннюю
область (т. е. область, где S2(x)<0) в себя. Те общие преобразо-
вания Лоренца, которые еще при этом каждую полу светового ко-
нуса оставляют на месте, мы назовем просто преобразованиями
Лоренца. Очевидно, что преобразования Лоренца не меняют поло-
жительного направления временной оси. Преобразования Лоренца
также образуют группу, называемую полной группой Лоренца.
Преобразования Лоренца с определителем, равным 1, назовем
собственными преобразованиями Лоренца. Они также образуют
группу — собственную группу Лоренца.
Отметим, что полная группа Лоренца получается из собственной
группы добавлением специального преобразования — пространствен-
ного отражения s с матрицей
	— 1	0	0	0
	0	— 1	0	0
S =	0	0	— 1	0
	0	0	0	1,
а также всевозможных преобразований вида sg, где g—элемент
собственной группы Лоренца.
Аналогично этому общая группа Лоренца получается из полной
группы Лоренца присоединением так называемого «временного от-
ражения», т. е. преобразования t с матрицей
110	0	0
0	10	0
0	0	1	0
0	0	0	—1
и всевозможных преобразований вида tg, где g—элемент полной
группы Лоренца.
Пусть g= \gik | — матрица вращения трехмерного пространства.
Рассмотрим следующее преобразование в 7?^;
xi~	ёпх2~^ £пх&
Х2 —^21Х1+^22Х2 + ^28Х3’	(3)
Х3 = ^31*1 + £32Х2 + &Л>
хо=	хо"
Очевидно, что это — собственное преобразование Лоренца. Если,
таким образом, с каждым трехмерным вращением отождествить ука-
занное выше собственное преобразование Лоренца, то окажется, что
*) Эта терминология происходит от физической интерпретации четырех-
мерного пространства величины S"(x) и группы Лоренца.
П. 1]	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА	167
трехмерные вращения образуют подгруппу собственной группы
Лоренца.
Сделаем в конце одно замечание относительно пространственного
и временного отражения. Отнесем каждому собственному преобра-
зованию Лоренца g другое преобразование Лоренца по формуле
g — sgs~1 (s — пространственное отражение).	(4)
Очевидно, что g—снова собственное преобразование Лоренца.
Соответствие g'—jg, как легко видеть, таково, что
1) е е (е — единичное преобразование),
2) если gi — gx, a g-2~ gz> то gigz— gigz- Всякое соответствие
g — g между элементами одной и той же группы, удовлетворяющее
двум этим условиям, называется автоморфизмом группы.
Таким образом, пространственное отражение с помощью фор-
мулы (4) порождает автоморфизм собственной группы Лоренца.
Временное отражение t также, очевидно, порождает автомор
физм
g=^tgt~\	(4')
Этот автоморфизм совпадает с предыдущим, так как легко видеть,
что
tgt~Y = sgs~x.
Заметив, что матрица преобразования t совпадает с матрицей I
квадратичной формы S2(x). Из равенства (2) следует поэтому, что
Таким образом, матрица ~g преобразования sgs-1 = tgt~Y равна
g^g*'1-
(Здесь и всюду в дальнейшем g* обозначает матрицу, транспониро-
ванную к матрице g.)
Пусть g — произвольный элемент некоторой группы и go — фиксирован-
ный элемент этой же группы. Очевидно, что соответствие g' g^ggqГ1 яв"
ляется автоморфизмом группы. Автоморфизм, представляющийся в таком
виде, называется внутренним. Всякий другой автоморфизм называется
внешним.
Автоморфизм (4) собственной группы Лоренца
g = SgS-l = g*-l,
порожденный пространственным отражением s, нельзя представить в виде
g = goggo1 •
где go — элемент собственной группы.
Это простое обстоятельство легко может быть проверено читателем.
Таким образом, автоморфизм
g = sgs-l
168	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. И
является внешним автоморфизмом собственной группы (для полной и об-
щей группы этот автоморфизм является, разумеется, внутренним).
Можно показать, что всякий внешний автоморфизм собственной группы
Лоренца представляется в виде
g = gesgs-^g-1’
где ga— собственное преобразование Лоренца. Это означает, что автомор-
физм g = sgf,s~l является в некотором смысле единственным внешним авто-
морфизмом собственной группы Лоренца.
Как мы увидим ниже, автоморфизм (4) играет важную роль при
изучении представлений полной и общей группы Лоренца.
2. Ортогональные системы координат. При переходе от си-
стемы координат	к координатам (х'х^х') с помощью
линейного преобразования g матрица / квадратичной формы
S2 (х) = X2 X2 + X2---X2
преобразуется, как известно, так:
I'^g^Ig.
При этом матрица Г квадратичной формы s2(x) в системе коорди-
нат (х'х^х'} совпадает с матрицей I тогда и только тогда,
когда g является общим преобразованием Лоренца. Системы коор-
динат (х'х'х'х'), в которых квадратичная форма S2(x) записывается
с помощью матрицы I, называются ортогональными системами
координат в четырехмерном пространстве
Очевидно, что линейное преобразование g, задающее переход от
одной ортогональной системы координат к другой, является общим
преобразованием Лоренца. Обратно, всякое общее преобразование
Лоренца преобразует ортогональную систему координат в ортого-
нальную.
В дальнейшем мы будем пользоваться лишь ортогональными
системами координат в R^\ нигде этого особо не оговаривая.
3. Поверхности в четырехмерном пространстве, транзитивные
относительно группы Лоренца. Компоненты связности группы
Лоренца. Известно, что всякое вращение в трехмерном простран-
стве любую сферу с центром в начале координат переводит в себя,
и каждые две точки на такой сфере могут быть переведены одна
в другую некоторым вращением. В связи с этим говорят, что сферы
(с центром в начале координат) являются поверхностями, транзитив-
ными относительно группы вращений.
Вообще, если в некотором пространстве R действует группа
преобразований G, то поверхность в этом пространстве R назы-
вается поверхностью транзитивности для группы G, если всякое
преобразование из G переводит эту поверхность в себя, и любые
две ее точки могут быть переведены друг в друга каким-нибудь
преобразованием из G.
п. 3]
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
169
Посмотрим, какие поверхности в четырехмерном пространстве
служат поверхностями транзитивности для группы Лоренца.
Поскольку форма
S2 (х) = X2 4- X* 4- X? — X2
при преобразованиях Лоренца не меняется, то поверхности *)
 2-X2----X2---х2 = const
(5>
переходят при преобразованиях Лоренца в себя.
Поверхности (5) бывают следующих типов:
I,	s2(x) — с<0, х0 > 0 — верхняя пола двуполостного гипербо-
лоида.
II.	$2 (х) = с < О, х0 < 0 — нижняя пола
этого гиперболоида.
III.	№(х) = 0, х0 > 0 — верхняя пола све-
тового конуса.
IV.	s2(x) = 0, х0 < 0 — нижняя пола све-
тового конуса.
V.	s2 (х) = с > 0 — однополостный гипер-
болоид.
VI.	Начало координат x0=Xi = x2 =
= Х;> = 0.
Покажем теперь, что каждая из этих
поверхностей является поверхностью, тран-
зитивной относительно собственной группы
Лоренца.
Заметим сначала, что любую точку
A (x0xtx2x3) в четырехмерном пространстве
можно вращением (т. е. собственным преобразованием Лоренца, не
меняющим четвертую координату х0), перевести в правую часть
плоскости (хох3), х3 > 0 (см. рис. 8, на котором правая часть
плоскости (Х()Х3) заштрихована). Для этого, очевидно, доста-
точно луч, проходящий в трехмерном пространстве (х0 —0) через,
точку (хх, х2, х3), повернуть так, чтобы он совпал с положительным
направлением оси х3.
Рассмотрим теперь пересечения всех перечисленных поверхностей
(I—VI) с правой полуплоскостью (хох3), х3 > 0. Получим, очевидно,,
шесть кривых (см. рис. 8):
I-	Верхняя ветвь гиперболы: «Хо — х3 = с>0, хо > 0.
II.	Нижняя ее ветвь: х20—х! = с > 0, х0 < 0.
III-	Верхняя асимптота: х0 = х3, х0 > 0.
IV-	Нижняя асимптота: х0=—х3, хо<0.
*) Точнее говоря, это — трехмерные гиперповерхности. Однако мы будем
называть их, ради простоты, поверхностями.
170	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
V-	Правая ветвь гиперболы: Хо— х3 = с<0, х3 > 0.
VI-	Начало координат: хо = х3 = 0.
Всякое собственное преобразование Лоренца, действующее лишь
в плоскости (х0, х3) (т. е. не меняющее координат х1г х2), каждую
из кривых (Г—VI') оставляет на месте, причем любые две точки
на одной и той же кривой могут быть переведены друг в друга
некоторым таким преобразованием; иначе говоря, кривые (Г—VI')
являются кривыми, транзитивными относительно собственных преоб-
разований Лоренца, действующих в плоскости (х0х3). Эти преобра-
зования называются гиперболическими поворотами в плоскости (хох3).
В дальнейшем мы будем иногда обозначать их через g03. Заметим,
что не только плоскость (ХоХ3), но и всякая вообще плоскость S,
проходящая через ось х0, пересекается с поверхностями (I—VI) по
кривым тех же типов (Г—VI'). При этом гиперболические повороты
в плоскости S (т. е. собственные преобразования Лоренца, оставля-
ющие эту плоскость на месте) действуют на таких кривых транзи-
тивно.
Пусть теперь и Д2—две точки в четырехмерном простран-
стве, лежащие на одной и той же поверхности (I—VI).
Повернем каждую из них так, чтобы они попали в точки В1 и В2
правой полуплоскости (хох3): В1=^а1А1, В2 —и2А2 («j и и2—-вра-
щения). При вращениях каждая из поверхностей (I—VI) переходит
в себя. Отсюда следует, что точки Вг и В2 лежат на одной и той
же кривой (Г—VI') и, значит, могут быть собственным преобразо-
ванием g03 в плоскости (хох3) переведены друг в друга:
®а ~ ёоз^1’
Очевидно, что преобразование g —	переводит в Л2.
Таким образом, действительно, поверхности I—VI являются по-
верхностями транзитивности собственной группы Лоренца.
Очевидно, что пространственное отражение $ каждую из поверх-
ностей (I—VI) переводит в себя. Это означает, что у полной группы
Лоренца поверхности транзитивности те же, что и у собственной.
Временное отражение переводит друг в друга обе полы двуполого
гиперболоида и обе полы светового конуса. Поэтому у общей
группы Лоренца поверхности транзитивности лишь четырех типов:
I.	Двуполостный гиперболоид: х% — х\— х|— х|=с>0.
11.	Световой конус: х% — х%— х% — х3 —0.
III.	Однополостный гиперболоид: х^—~х% — х|— х^ = с<0.
IV.	Начало координат: х0 — х3 - х2 — х3 — 0.
Сделаем теперь несколько замечаний, важных для дальнейшего.
Как мы показали, всякую точку А верхней полы гиперболоида
х^—х^ — х2— х|=1,1хо>0,	(6)
П. 3]	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА .	171
можно перевести собственными преобразованиями Лоренца в любую
другую точку этой полы, в частности в ее вершину 0(1, О, О, 0).
Самое простое из таких преобразований — это гиперболический по-
ворот g0A в плоскости (х0, А), проходящей через точку А и ось х0.
Но это не единственное собственное преобразование Лоренца, пере-
водящее точку А в точку О. Очевидно, что любые два таких пре-
образования gi и g2 отличаются друг от друга преобразованием и,
оставляющим точку О на месте: иО = О. Всякое же преобразова-
ние и, оставляющее точку О (а вместе с ней и ось х0) на месте,
является, очевидно, вращением.
Таким образом, любое собственное преобразование Лоренца g,
переводящее точку А в точку О, имеет вид
{и—вращение, g0A— гиперболический поворот в плоскости (х0, Л)).
Отсюда мы видим, что для того, чтобы задать собственное
преобразование Лоренца, надо указать точку А на верхней поле
гиперболоида (6), переводимую этим преобразованием в вершину
гиперболоида О, затем с цомощыо гиперболического поворота
в плоскости (Л, х0) перевести точку А в точку О и, наконец,
совершить вращение и.
Другими словами, каждое собственное преобразование Лоренца
определяется парой g — (и, Л) (и—вращение, Л — точка гипербо-
лоида (6)), причем, как нетрудно проверить, разные преобразования
определяются разными парами.
Из этого замечания непосредственно следует, что
1) каждый элемент собственной группы Лоренца задается шестью
независимыми параметрами (т. е., другими словами, собственная группа
Лоренца—шестипараметрическая группа). Действительно, точка Л
на гиперболоиде задается тремя независимыми параметрами (напри-
мер, своими координатами хх, х2, х3) и вращение и — еще тремя
параметрами (например, углами Эйлера);
2) собственная группа Лоренца связна, т. е. любые два ее эле-
мента gt и g2 могут быть непрерывно соединены друг с другом.
Действительно, пусть gt — (ut, Д) и g2 — (и2, Л2). Если теперь не-
прерывно соединить вращения их и и2 (это всегда возможно, по-
скольку группа вращений, как мы видели в первой части книги,
связна) и точку At с Л2 (верхняя пола гиперболоида также связна),
то тем самым gt будет непрерывно соединено с g2.
В связи с последним замечанием определим число связных ком-
понент полной и общей групп Лоренца *).
*) Связной компонентой непрерывной группы называется ее часть, об-
ладающая тем свойством, что она сама связна, но всякое ее расширение
уже не является связным.
172	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Собственная группа является связной компонентой общей группы
Лоренца.
Действительно, всякое преобразование Лоренца g, не входящее
в собственную группу, либо меняет положительное направление
временной оси х0, либо detg =—1 и, следовательно, оно не мо-
жет быть непрерывно соединено ни с каким собственным преобра-
зованием Лоренца. Таким образом, мы видим, что собственная группа
связна, а любое ее расширение уже не связно, т. е. собственная
группа Лоренца образует связную компоненту общей группы.
Очевидно, что все преобразования вида sg (s— пространственное
отражение, g—собственное преобразование) также образуют связ-
ную компоненту. Это означает, что полная группа Лоренца состоит
из двух компонент.
Временное отражение t порождает еще две компоненты: компо-
ненту, состоящую из элементов вида tg, и компоненту, состоящую
из элементов вида tsg = Jg (j—полное отражение в RG)).
Таким образом, общая группа состоит из четырех связных ком-
понент:
1)	Собственная группа, обозначим ее через Go.
2)	Компонента sG0, состоящая из элементов вида sg (g—соб-
ственное преобразование).
Эти две компоненты образуют полную группу.
3)	Компонента tG0 (из элементов tg).
4)	Компонента tsG0 (в нее входят элементы stg).
4. Связь группы Лоренца с группой комплексных матриц вто-
рого порядка с определителем, равным единице. При изучении
представлений группы трехмерных вращений большую роль играло
то обстоятельство, что каждому вращению можно взаимно однозначно
сопоставить дробно-линейное преобразование комплексной плоскости
ctZ
с унитарной матрицей а— | Ц, причем deta=l. Тем самым каж-
дому вращению g была отнесена определенная с точностью до знака
унитарная матрица второго порядка -+~ а =
с определителем,
равным 1. Наоборот, каждой унитарной матрице а с определителем,
равным 1, соответствовало некоторое вполне определенное вращение
ga, a~+ga> причем
1)	произведению двух матриц аха2 сопоставлялось произведение
соответствующих вращений gaigai' gaigay= g^,
оч	«	/1 0\
2)	единичной матрице I I соответствовало единичное враще-
ние е\
(7)
П. 4]	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА	173
3)	двум различным матрицам ах и а2 соответствовало одно и то же
вращение g в том и только том случае, когда эти матрицы отли-
чались знаком аг— —а2.
Это соответствие между группой U унитарных матриц второго
порядка с определителем, равным 1, и группой вращений позволяло
представление группы вращений g^>Tg рассматривать как предста-
вление группы U а —> Tga — Та; и, наоборот, представление группы
U а->-Та рассматривать как, вообще говоря, двузначное предста-
вление группы вращений. Представления группы U мы называли спи-
норными представлениями группы вращений.
Между собственныйи преобразованиями Лоренца и комплексными
матрицами второго порядка имеется, оказывается, аналогичное соот-
ветствие. Установим его. Попутно мы еще раз, и более простым
путем, получим соответствие между вращениями и унитарными матри-
цами.
Рассмотрим совокупность эрмитовых матриц второго порядка
с_р° — *3 Х2 — 1хг
II Х2 4* ZXj Хд Xg
Каждой такой матрице с отнесем вектор х из R^ координа-
тами х0, хх, х2, х3:
с+—>х.	(7')
Заметим, что
det с = х% — xj — х? — хд— — $2 (*)•
Соответствие между матрицами с и векторами х взаимно одно-
значно и линейно. Поэтому всякое линейное преобразование в про-
странстве матриц с можно рассматривать как линейное преобразо-
вание в
Зададим в пространстве матриц с линейное преобразование с по-
мощью формулы
с' — аса',	(8)
где а — матрица второго порядка с определителем, равным 1 (звез-
дочка означает эрмитовское сопряжение). Очевидно, что (с')* =
= ас а* — аса* = с', т. е. с' — эрмитова матрица.
Порожденное с помощью соответствия (7') линейное преобразо-
вание в /?4 обозначим ga.
Так как detc' = detc (det а — det а* = 1), то $2(х') — у2(х), т. е.
преобразование ga является общим преобразованием Лоренца.
Соответствие a~ga, очевидно, таково, что ga gII:j = ga т. е.
произведению матриц аха2 соответствует произведение отнесенных
им преобразований Лоренца g,^^- Найдем, каким матрицам а соот-
ветствует тождественное преобразование.
174	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. I!
Очевидно, что для таких матриц выполняется равенство
с = аса*	(9)
при любых с.
Если положить с = || q 1| = Е, то получим:
аа* — Е
или
а* = а~1.
Перепишем теперь равенство (9) в виде
с = аса-1.
Отсюда видно, что
ас = са,
т. е. матрица а перестановочна со всеми эрмитовыми матрицами.
Такая матрица кратна единичной:
ствует двум матрицам a = -ь-
\ отличающимся лишь знаком.
Поскольку det а— 1, то X = —»— 1.
Таким образом, тождественное преобразование Лоренца соответ-
1 О
О 1
Покажем, что двум матрицам аг и а2 соответствует одно и" то
же преобразование Лоренца тогда и только тогда, когда а1 = Дда2.
Действительно, пусть g(ll = gai- Это означает, что для всех с
агса* = a2ca*
или
a-1a1c(a~1a1)* = c.
Таким образом, матрице a~lat соответствует тождественное преобра-
зование.
Отсюда
а21а1 = — Е
или
а2 = ДгаР
Итак, мы каждой комплексной матрице второго порядка а с опре-
делителем, равным 1, отнесли преобразование Лоренца ga, причем
соответствие а > ga обладает следующими свойствами:
ёа.ёа^ ёа.а/
3) двум различным матрицам аг и а2 соответствует одно и то
же преобразование ga = ga^, в том и только том случае, когда эти
матрицы отличаются знаком: at — — а2.
П. 4]	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА	1751
Из первых двух свойств следует, что совокупность преобразова-
ний ga образует подгруппу общей группы Лоренца. Обозначим ее
через Ga. Покажем сейчас, что эта подгруппа совпадает с собствен-
ной группой Лоренца.
Заметим, что группа 21 комплексных матриц второго порядка
с определителем, равным 1, связна *). В таком случае связна и под-
группа преобразований Ga. Следовательно, эта подгруппа содержится
в связной компоненте общей группы Лоренца, содержащей тожде-
ственное преобразование е. Как мы видели в предыдущем пункте,
такой компонентой является собственная группа Лоренца.
Итак, подгруппа Ga преобразований ga содержится в собственной
группе Лоренца. Покажем, что она с ней совпадает. Подсчитаем для
этого число независимых параметров, которыми определяется элемент
группы 21 (размерность группы 21). Каждая комплексная матрица
задается восемью действительными числами. Так как требование,
чтобы dettz=l, накладывает два условия на эти числа: Re det а =1;
Im det а — 0, то из них остаются шесть независимых.
Таким образом, элемент группы 21, а следовательно, и под-
группы Ga, задается шестью независимыми параметрами. Элемент
собственной группы, как мы видели, зависит также от шести неза-
висимых параметров. Отсюда следует, что подгруппа преобразова-
ний Ga и собственная группа имеют одинаковую размерность, а так
как при этом первая группа содержится внутри второй, то они сов-
падают **).
*) Докажем связность группы 91. Рассмотрим восьмимерное вещественное
пространство А?<8) всех комплексных матриц второго порядка. Уравнение
det а — 0 выделяет в этом пространстве шестимерную поверхность (det а = О
означает два условия Re det а = Im det а = 0). Так как размерность поверх-
ности на две единицы меньше размерности пространства, то она не разделяет
пространства А?(8). Таким образом, любые две матрицы ах и а2 с определи-
телем, отличным от нуля, могут быть непрерывно соединены друг с другом
кривой a (t), не пересекающей поверхности det« = O: a(0) = at, а(1) = «г
и det a
Пусть теперь аг и «2 принадлежат группе 91, т. е. det ах — det а2 = 1;
деформируем нашу кривую a (t) так:
а' W = л ? й(О-
det a(t)
Очевидно, что кривая a' (t) непрерывна, соединяет а, и я» и принадлежит
целиком группе 91. Таким образом, любые две матрицы и из группы 91
могут быть непрерывно соединены друг с другом кривой, также принад-
лежащей группе 91, т. е., другими словами, группа 91 связна.
**) Действительно, поскольку тождественное преобразование е (единица
группы Лоренца) принадлежит подгруппе Ga, то вместе с ней, в силу совпа-
дения размерности, Ga принадлежит и целая окрестность е. Нетрудно пока-
зать, что по всякой окрестности единицы группы ее связная компонента,
содержащая единицу, восстанавливается однозначно (см., например, Л. С. П о н-
т р я г и н, Непрерывные группы, Гостехиздат, 1954, гл. III, стр. 138). Из этого
следует, что Ga совпадает со всей собственной группой Лоренца.
176	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ- ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Подведем итог всему сказанному.
Мы построили соответствие a~ga между собственной груп-
пой Лоренца и группой 21 комплексных матриц второго по-
рядка a (det а = 1) так, что каждой матрице а соответствует
одно собственное преобразование Лоренца ga и каждому такому
преобразованию g отнесены две отличающиеся лишь знаком ма-
трицы, -\-а и —а. Построенное соответствие таково, что еди-
ничной матрице отнесено тождественное преобразование Лоренца,
а произведению матриц ах и а2 соответствует произведение пре-
образований Лоренца: аха^~gaga.
Сделаем два важных замечания.
I. Пространственное отражение 5 не принадлежит собственной
группе Лоренца и ему, следовательно, не соответствует никакая
матрица а. Однако с отражением s мы можем связать некоторое
преобразование (автоморфизм) самих комплексных матриц второго
порядка. Действительно, выше мы видели, что с помощью отраже-
ния s можно построить автоморфизм собственной группы Лоренца
sg-s-1 = (g-*)-1.
Этот автоморфизм собственной группы естественным образом пере-
носится и в группу комплексных матриц а с определителем, равным
единице, а именно, если собственному преобразованию Лоренца g
соответствуют матрицы второго порядка -т-ц, то собственному
преобразованию sg^(s~l соответствуют матрицы -<-(д*)~1.
Другими словами,
S£aS
или, иначе,
(^а)
Действительно, как мы только что видели, собственные преобразо-
вания Лоренца можно рассматривать как преобразования в простран-
стве эрмитовых матриц второго порядка, задаваемые формулой
с'— аса*,	(10)
где а—комплексная матрица второго порядка и deta=l. Найдем,
как преобразуются матрицы с при пространственном отражении
Xq —> -Vq» Xj —*^2 —-^2’	*^3 —
Очевидно, что при отражении s матрица с переходит в ма-
трицу с’ так:
__II хй— х8 x^-ix-i ||	|| ло + ^з —|1  ,
|| х2-\-1х1 Ло + х3 ||	|| — х2 — ixi х0 — х3 ||
177
П. 4 J	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
Легко проверить, что с' можно записать в виде
с' = тст 1
где
u;ii
(Н)
а черта означает комплексное сопряжение. Таким
образом, пространственное отражение порождает в пространстве
эрмитовых матриц преобразование (11).
Пусть собственному преобразованию ga соответствуют ма-
трицы -н а. Найдем, какие матрицы соответствуют преобразованию
= sgas-1-
Для этого, пользуясь формулой (И), преобразуем последовательно
матрицу с с помощью $ *, ga и s. Получим:
или
Сг = т [а (т Д т) а*] т 1
с' = тщ'с~1с'са:Д~1.
Отсюда мы видим, что преобразованию sgs~r
трица таг-1, т. е.
соответствует ма-
Легко проверить, что если deta—1, то
-га-г Х —(а*)-1.	(И')
Таким образом, мы получаем:
С СТ с — 1   сг
(а*)”1
или, иначе,
Sa =
 I. Вращения g в трехмерном пространстве хо = О образуют,
как мы знаем, подгруппу собственной группы Лоренца. Отсюда
следует, что те комплексные матрицы а, которые при нашем соот-
ветствии ga-—'а отвечают вращениям g, также образуют подгруппу
в группе всех комплексных матриц второго порядка с определителем,
равным 1. Сейчас мы покажем, что эта подгруппа совпадает с груп-
пой всех унитарных матриц второго порядка с определителем, рав-
ным 1. Иными словами, в построенном нами соответствии ga^ а
между комплексными матрицами второго порядка с определи-
телем, равным 1, и собственными преобразованиями Лоренца,
унитарным матрицам а соответствуют вращения ga в трех-
мерном пространстве хо = 0, и наоборот, каждому вращению g
отвечают две, отличающиеся знаком, унитарные матрицы -ь а
с определителем, равным единице.
178	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Действительно, пусть комплексная матрица а является унитарной,
т. е. а*~1 = а. Тогда преобразование (10) в пространстве эрмитовых
матриц с можно записать в виде
с —аса-1.	(12)
Но при всевозможных преобразованиях вида (12) у матриц с сохра-
няется след (сумма диагональных элементов), т. е.
(хо "Ь х'л) (хо — хз) ~ (хо + хз) + (*о — л’з)>
откуда
< = По-
следовательно, соответствующие преобразования Лоренца не меняют
четвертой координаты х0 и являются вращениями в пространстве
хо=О. Итак, мы показали, что унитарным матрицам соответ-
ствуют вращения в трехмерном пространстве хо=О.
Покажем, что и, наоборот, всякому вращению g соответствуют
две унитарные матрицы второго порядка -+-я с определителем, рав-
ным 1.
Рассмотрим для этого те вращения ga, которым отнесены уни-
тарные матрицы а. Очевидно, что все такие вращения ga образуют
подгруппу Ga группы вращений. Размерность (число независимых
параметров) этой подгруппы, очевидно, равна трем, поскольку она
совпадает с размерностью группы унитарных матриц второго порядка
с определителем, равным 1. Размерность группы вращений трехмер-
ного пространства, как было показано в первой части, также равна
трем. Таким образом, подгруппа Ga имеет ту же размерность, что
и вся группа вращений, а следовательно (в силу того, что группа
вращений связна), совпадает с ней. Итак, каждому вращению соот-
ветствуют две, отличающиеся лишь знаком, унитарные ма-
трицы с определителем, равным 1.
5.	Связь между собственной группой Лоренца и группой ком-
плексных матриц второго порядка с определителем, равным еди-
нице (другое изложение) *). В предыдущем пункте мы установили
связь между собственной группой Лоренца и группой комплексных
матриц второго порядка a, det а— 1, тем, что каждой такой ма-
трице отнесли собственное преобразование Лоренца.
Теперь поступим наоборот: каждому собственному преобразо-
ванию Лоренца поставим в соответствие две (отличающиеся лишь
знаком) матрицы второго порядка с определителем, равным 1. Мы
построим это соответствие чисто геометрическим путем.
Напомним вначале, как было установлено соответствие между
вращениями трехмерного пространства и дробно-линейными преобра-
*) При первом чтении этот пункт можно опустить.
п. 5]
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
179
зованиями комплексной плоскости. Для этого устраивалась стерео-
графическая проекция сферы на комплексную плоскость. Тогда всякое
вращение сферы, как было показано, порождает в комплексной пло-
скости дробно-линейное преобразование с унитарной матрицей. Рас-
смотрим аналогичную конструкцию для группы Лоренца.
Рассечем световой конус xl—xi— xl—х3 = 0 гиперплоскостью
х0=-^-. В сечении получается трехмерная сфера / диаметра 1:
xi +	+ xl = , х0 = у. В гиперплоскости х0 = у зададим про-
ективное преобразование следующим образом. Всякий луч, выходя-
щий из начала координат и пересекающий эту гиперплоскость, под
действием собственного преобразования Лоренца перейдет в луч,
снова пересекающий эту гиперплоскость (поскольку направление оси
времени не меняется). Каждому лучу соответствует в гиперплоскости
1	m
х0 = —- точка его пересечения с нею. 1ем самым каждое преоора-
зование лучей, в частности преобразование из собственной группы
Лоренца, задает некоторое преобразование точек гиперплоскости
х0 = у; обозначим его через Г. Так как при преобразовании Г пря-
мая переходит в прямую, а плоскость — в плоскость, то преобразо-
вание Г—проективное. Световой конус преобразованием Лоренца
переводится в себя, а это значит, что преобразование Г в гиперпло-
скости х0=о оставляет на месте сферу 1, определяемую уравнени-
,	2 '	2	1	1
ями х- _ф_ х > ф- X i — др , ^о— ~2  итак, каждому преооразованию
g из собственной группы Лоренца отнесено преобразование g
сферы / в себя. Так как преобразование g порождено проектив-
ным преобразованием трехмерного пространства, то оно, оче-
видно, переводит окружность на сфере в окружность и не меняет
ориентацию на ней.
Рассмотрим, как и раньше, стереографическую проекцию сферы
на плоскость Т, касающуюся ее в точке ^0, 0, —расположен-
ной на оси х3; (в трехмерной гиперплоскости х0 = -^- естественным
образом вводятся координаты х1( х2, х3). При стереографической
проекции сферы на плоскость Т окружность перейдет в окружность
или прямую и наоборот: всякая окружность и прямая на плоскости Т
являются образами некоторой окружности на сфере.
Всякое преобразование сферы g, переводящее окружность
в окружность и сохраняющее ориентацию (в частности, преобра-
зование, порожденное собственным преобразованием Лоренца), за-
дает с помощью стереографической проекции преобразование а
180	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
плоскости Т, переводящее окружность и прямую в окружность или
прямую (с сохранением ориентации). Если рассматривать плоскость
Т как плоскость комплексного переменного z, то всякое такое пре-
образование, как известно из теории функций комплексного пере-
менного, есть дробно-линейное преобразование плоскости z\
5'
Таким образом, преобразованию g сферы I, а следовательно, и соб-
ственному преобразованию Лоренца g, соответствует дробно-линей-
ное преобразование плоскости z с матрицей а =
а тем
самым и самая матрица а, определенная с точностью до множителя.
Множитель выберем так, чтобы определитель матрицы был равен 1.
Тем самым мы определим матрицу а с точностью до знака. Эту
последнюю неопределенность исключить уже нельзя.
Итак, установлено соответствие g^±a между преобразова-
ниями Лоренца и определенными с точностью до знака комплекс-
ными матрицами второго порядка (detail).
Заметим, что в наших геометрических построениях вращениям
трехмерного пространства (х^-Ч) соответствуют просто вращения
сферы I. А вращение сферы I на плоскости при стереографической
проекции порождает дробно-линейное преобразование с унитарной
матрицей, как это было показано в § 2 первой части. Таким обра-
зом, вращениям g соответствуют унитарные матрицы а.
6.	Группа Лоренца как группа движений в пространстве Лобачев-
ского, В предыдущем пункте мы установили, что собственная группа Лоренца
изоморфна группе проективных преобразований трехмерного пространства,
переводящих некоторую сферу в себя. Пользуясь этим, мы покажем сейчас,
что группу Лоренца можно считать группой движений пространства Лоба-
чевского.
Для этого рассмотрим предложенную Бельтрами и Клейном модель гео-
метрии Лобачевского. В этой модели точке пространства Лобачевского соот-
ветствует внутренняя точка некоторой сферы I трехмерного евклидова про-
странства, прямой—хорда этой сферы, а плоскости — часть плоскости внутри
этой сферы. Расстояние между точками А и В определяется так: пусть Р
и Q —-точки пересечения хорды АЗ со сферой Z, тогда за расстояние р (Д, В)
между А и В принимается логарифм двойного отношения точек
. .	. [АР AQ\
?(.А, В) —In урв- qBJ-
При этом движения пространства Лобачевского, т. е. такие преобразования,
которые не меняют расстояний, в нашей модели получаются с помощью
проективных преобразований трехмерного пространства, переводящих сферу Z
в себя.
Таким образом, группа движений пространства Лобачевского изоморфна
группе проективных преобразований трехмерного пространства, переводящих
некоторую сферу в себя. Последняя же, как было показано в предыдущем
пункте, изоморфна собственной группе Лоренца. Итак, получаем, что
группа движений пространства Лобачевского изоморфна группе Лоренца.
Последнее обстоятельство, естественно, наводит на мысль построить мо-
дель пространства Лобачевского на поверхности транзитивности собственной
п. 7]
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
181
группы Лоренца. Оказывается, что такую модель можно построить на верх-
нем поле гиперболоида
-^0	"*1 Х2 Х3 “ 1'	(13)
Опишем коротко эту модель.
«Прямой» в этой модели назовем гиперболу, получающуюся в пересече-
нии гиперболоида (13) с плоскостью, проходящей через начало координат;
«плоскость» пространства Лобачевского — это пересечение трехмерной гипер-
плоскости, проходящей через начало координат с нашим гиперболоидом.
Если две плоскости в AJ4, /zj и /щ, проходящие через начало координат,
пересекаются по прямой /, проходящей внутри светового конуса и, следова-
тельно, имеющей общую точку с гиперболоидом (13), то соответствующие
этим плоскостям и /г<> «прямые» и /А, на гиперболоиде пересекаются;
если прямая I лежит на конусе, то «прямые» Нг и /А на гиперболоиде
параллельны; если, наконец, I проходит вне конуса, то «прямые.» Нх и —
расходящиеся.
Аналогично определяется параллельность и расходимость «плоскостей»
пространства Лобачевского в нашей модели.
Очевидно, что на гиперболоиде (13) можно ввести систему координат
(5, С)
хо ’	хо ’ А0
Эти координаты (£, ц, С) оказываются координатами Бельтрами в кашей мо-
дели геометрии Лобачевского.
Расстояние между двумя точками A ($t> >]<> щ) и В ($2, т)5, ?5) в простран-
стве Лобачевского в бельтрамиевых координатах 6, ц, С выражается форму-
лой
Р(ЛS) *,„i+as.
2 j _ у i _
где
. Т	1 —	— С1С2
a k — фиксированный параметр.
Легко проверить, что эта метрика лишь множителем отличается от ме-
трики, которая индуцирована на гиперболоиде квадратичной формой 5 (х2) =
—   ^2  2  2
— -х0	Л]	Л2	Л3.
Можно было бы и дальше на нашей модели проследить различные поня-
тия геометрии Лобачевского, но мы ограничимся сказанным.
7.	Определение представлений группы Лоренца и основные
понятия теории представлений. В п. 5 § 1 части I были даны
основные понятия теории представлений, относящиеся к конечно-
мерным представлениям групп. Так как все неприводимые предста-
вления группы вращений конечномерны, а любое другое ее пред-
ставление разлагается в прямую сумму неприводимых, то в теории
представлений группы вращений мы обходились, по существу,
одними лишь конечномерными представлениями.
Иначе обстоит дело с группой Лоренца. Как мы увидим ниже,
среди ее неприводимых представлений встречаются бесконечномерные.
182	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
В связи с этим мы вновь определим основные понятия теории
представлений групп, так чтобы они стали применимы в случае
бесконечномерных представлений.
Определение. Пусть R— нормированное пространство. Каж-
дому элементу g группы О сопоставим линейный ограниченный опера-
тор Тд в Я так, чтобы соблюдались условия:
1)	Уе==Л(е—единица группы О, Е—единичный оператор в /?);
2)	Тд,д, = Тд,  Тд,-,
3)	непрерывность: если F (f)— ограниченный линейный функ-
ционал на А, то при любом фиксированном /, F(Tgf) непрерывно
зависит от g.
Соответствие g-+Tg, удовлетворяющее этим трем усло-
виям, называется линейным представлением группы G в прост-
ранстве R.
Представление называется конечномерным, если пространство R
конечномерно.
Унитарные представления. Представление g -^-Тд назы-
вается унитарным, если пространство R является гильбертовым про-
странством и скалярное произведенйе ($, ц) в Я инвариантно относи-
тельно операторов Тд, т. е.
(ТдЪ =	7]).
Другими словами, представление унитарно, если оно действует
в гильбертовом пространстве и если все операторы представле-
ния являются унитарными.
Неприводимые представления. Напомним (см. ч. I, § 1),
что конечномерное представление g-+Tg называется неприводимым,
если в пространстве R, где оно действует, не существует инвариант-
ных подпространста, отличных от самого R и от нуля. Такое опре-
деление в бесконечномерном случае оказывается неудобным. В связи
с этим мы назовем представление неприводимым, если выполнено
несколько более сильное условие, чем просто отсутствие инвариант-
ных подпространств: представление g-o-Tg, действующее в про-
странстве R, неприводимо, если, во-первых, в пространстве R не
существует замкнутых пространств, инвариантных относи-
тельно всех операторов Т , во-вторых, всякий ограниченный опе-
ратор А, перестановочный со всеми операторами Тд, кратен
единичному-. А = ЪЕ.
Для конечномерных представлений можно ограничиться каким-
либо одним из этих двух требований, поскольку в этом случае оба
требования равносильны *). В бесконечномерном случае это не так.
*) Этот факт составляет содержание так называемой леммы Шура: линей-
ный оператор в конечномерном пространстве, коммутирующий с семейством
операторов, кратен единичному в том и только том случае, когда это семей-
ство неприводимо (доказательство этого утверждения см. в сноске на стр. 184).
п. 7]	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА	183
Если представление g—> Тд, действующее в пространстве R,
приводимо, то, как правило, пространство R может быть разбито
в прямую сумму инвариантных подпространств Rk : R = 2 Кю в каж-
дом из которых представление группы О, порожденное представле-
нием	неприводимо. Обозначим представление, порожденное
в пространстве Rk, через Т^. Представления g	мы будем
называть неприводимыми компонентами представления g~^Tg.
Эквивалентные представления. Конечномерные пред-
ставления g—и g-^T^\ действующие в пространствах R^ и
R соответственно, называются эквивалентными, если существует
оператор В, взаимно однозначно отображающий /?(1) на /?(2) и такой,
что для любого элемента группы g
ВТ^=Т{д} В.	(14)
Более наглядно это означает, что представления эквивалентны,
если между элементами пространства R^ и элементами /г(2) про-
странства /?(2) можно установить такое взаимно однозначное линей-
ное соответствие /г<!) *—>/г(2), что если7г(1) >/г(2), то Tg^h^<—.
Общее определение эквивалентных представлений, годное как для
конечномерного, так и бесконечномерного случая, почти ничем не отли-
чается от приведенного выше. Представления g—> Iд и g-+ 1 д ,
действующие в пространствах R(1) и R^\ называются эквивалент-
ными, если в R^ и R&* найдутся такие всюду плотные линейные
многообразия R^ и R<®, инвариантные относительно операторов
11 соответственно, и такой замкнутый оператор В,
взаимно однозначно отображающий R^ на R(~\ что выполняется
равенство
Т^В — ВТ^.	(14')
Смысл приведенного нами определения эквивалентности сводится
к тому, что 8 пространствах и R^\ где действуют эквива-
лентные представления g->T^ и g-t-T^, можно так выбрать
базисы, чтобы операторы и записывались в них одной и
той же матрицей.
Очевидно, что эквивалентные между собой представления не
являются существенно различными. Поэтому в теории представлений
обычно рассматривают представления с точностью до эквивалентности.
Сформулируем в заключение одно важное предложение, относя-
щееся к определению эквивалентных представлений. Пусть в конечно-
мерных пространствах R(1) и R^ действуют неприводимые пред-
ставления g —> Тд^ и g ->Т<д* некоторой группы. Если существует
184	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
линейный оператор В, отображающий пространство R{1> в /?(2)
и удовлетворяющий соотношению
Т^В — ВТ(д\	(15)
то либо В отображает /?(1) на /?(2) взаимно однозначно и, сле-
довательно, представления эквивалентны, либо В = 0. Это пред-
ложение носит в теории представлений название общей леммы Шура.
Из нее легко выводится то утверждение, которое было нами ранее
названо леммой Шура *) (см. сноску на стр. 132).
Представления, эквивалентные унитарным. Такие
представления обладают следующим очевидным свойством.
Представление g-+ Тд в нормированном пространстве R экви-
валентно унитарному, если в пространстве R существует поло-
жительно определенная эрмитова билинейная форма, инвариант-
ная относительно операторов Т. (Эта форма может быть
определенной как на всем пространстве R, так и на его всюду
плотном линейном многообразии R', также инвариантном отно-
сительно операторов Тд.)
Действительно, если зададим с" помощью инвариантной поло-
жительно определенной эрмитовой формы (£, ф) скалярное произведе-
ние в пространстве R и пополним R относительно этого скалярного
произведения, то получим гильбертово пространство R. Операторы Тд
из R можно продолжить до унитарных операторов Тд в R. Оче-
видно, что представление g-> Тд эквивалентно унитарному предста-
влению Тд.
8.	Связь между представлениями собственной группы Лоренца
и представлениями группы комплексных матриц второго порядка.
Двузначные представления Собственной группы Лоренца. Выше
мы подробно изучили соответствие g3 g между собственными
преобразованиями Лоренца и группой $1 комплексных матриц а вто-
рого порядка (detfi==l). Это соответствие gn -» -i- а позволяет оче-
видным образом всякое представление g->Tg собственной группы
рассматривать как представление группы 51: а ->• Та = Тд^. При этом
выполняется равенство Та—Т_а. Очевидно, что и обратно, всякое
представление группы 21 а Та такое, что Та=Т_а, можно рассма-
тривать как представление собственной группы Лоренца:	> Тд^==Та.
*) Формулировку этой леммы см. в сноске на стр. 182. Приведем ее доказа-
тельство.
Пусть оператор А коммутирует с операторами неприводимого предста-
вления Тд: ТдА = АТд. Пусть А—какое-нибудь собственное значение опера-
тора А. Очевидно, что оператор А — ХЕ коммутирует с Т'д : Тд (А — ХЕ) —
= (А — ХЕ) Тд. Поскольку оператор (А — ХЕ) отображает все R в некоторое
его подпространство, то в силу общей леммы Шура он равен нулю: А — ХЕ = 0.
или, окончательно, А = ХЕ, что и требовалось доказать.
П. 8]	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА	185
Если же представление группы 9(, не обладает тем свойством, что
Та=Т_а, то его нельзя, строго говоря, рассматривать как предста-
вление группы Лоренца, так как в этом случае каждому элементу
g—ga ставится в соответствие два различных оператора Та и Т_а.
Мы, однако, будем рассматривать эти представления группы 9(
наравне с теми представлениями, которые удовлетворяют условию
Т_а. Для единства терминологии представления группы 91, для
которых Та Т_а, мы будем называть двузначными представле-
ниями группы Лоренца, представления же, для которых Та = Т_а,—
однозначными представлениями этой группы.
Можно показать, что двузначное представление собственной
группы нельзя сделать однозначным, выбрав из каждой пары Та и
Т_а по одному оператору, причем так, чтобы полученное соответ-
ствие g —> Т.р осталось непрерывным.
Покажем теперь, что если двузначное представление группы
Лоренца неприводимо, то каждому? элементу группы g ставятся
в соответствие в точности два оператора, отличающихся знаком,
подобно тому как это имеет место для простейшего двумерного
представления g'a -э- ы- д. Действительно, == Т_еТа, где — е =
/—1	0\ „
= 1	j). 1 ак как матрица — е коммутирует со всеми матрицами а,
то и оператор Т_е коммутирует со всеми операторами Та. В силу
неприводимости представления отсюда следует, что Т_е = )Е, где
Е—единичный оператор. Так как, с другой стороны, (Л_е)2 = Т(_еу =
= Те — Е, то Х2=1; отсюда следует, что X = —|— 1 пли —1.
В первом случае Т_е = -\-Е (Х= 1), Та~ Т_а и мы имеем одно-
значное представление; во втором случае Т_е~ — Е и Т_а =—Та,
т. е. представление двузначно и операторы Т_а и Та отличаются
знаком.
Заметим, наконец, что из приведенного только что рассуждения
вытекает, очевидно, что представление группы Лоренца двузначно
или однозначно вместе с порожденным им представлением группы
вращений. Другими словами, каждая неприводимая компонента пред-
ставления группы вращений, порожденного неприводимым предста-
влением собственной группы Лоренца g -> Т , однозначна или дву-
значна одновременно с этим представлением. Это замечание будет
использовано в следующем параграфе для определения однозначных
и двузначных представлений собственной группы Лоренца.
Легко проверить, что двузначное представление собственной
группы Лоренца, рассматриваемое как представление группы 91 ком-
плексных унимодулярных матриц с определителем, равным 1, является
точным представлением этой группы, т. е. таким, что 7^, ТПз,
если у= а2. Однозначные же представления собственной группы
Лоренца не являются точными представлениями группы 91, так как
Та—Т_а. Легко, однако, показать, что в этом случае Tai=Ta,2
только тогда, когда а^ = -+~а2.
186
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
9.	Двузначные представления общей группы Лоренца. Общая
группа Лоренца получается из собственной группы Лоренца Go доба-
влением трех отражений s, t, J (s—пространственное, t — времен-
ное, j — полное отражение) и всевозможных элементов вида sg',
tg', jg' (g'— элемент собственной группы).
Заметим, что преобразования е, s, t, j (е — тождественное пре-
образование) образуют коммутативную группу с таблицей умножения
e		s	t	j	
	e	s	t	j	
s	s	e	j	t	(16)
t	t	J	e	s	
j	j	t	s	e	
Эту группу будем называть группой отражений.
Пусть теперь задано какое-нибудь представление общей группы
g—> Т . Это представление порождает представление как собствен-
ной группы g' —> Тд’, так и группы отражений т—>7’. (х — е, s, t, j).
Рассмотрим сначала случай, когда представление g' —> Тд> соб-
ственной группы, порожденное представлением общей группы, дву-
значно, g' ~Тд’ .
Естественно, что при этом и представление группы отражений
также двузначно:
е —> zJz Е,	s —> дЬ S, t -> z±z Т, j
Операторы S, Т, J перемножаются, очевидно, следующим образом:
ST=±J,	SJ=±T,	TJ=±J,
S2 = ± В,	Г2 = zt E,	J* = ±E.
Из этих равенств легко вывести, что операторы Т, S, J либо
все одновременно коммутируют:
TS = ST, JS = SJ, TJ=JT,
либо одновременно все антикоммутируют:
TS — — ST, JS = — SJ, TJ^ — JT.
Соответственно этому рассмотрим два случая.
Первый случай. Операторы S, Т, J коммутируют. В этом
случае выбором знаков у этих операторов можно добиться, чтобы
они перемножались соответственно таблице (16):
TS = ST=J, JS = S, J=T, JT=T, J=S,
5^=Т2=^Т = Е.
П. 9]	§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА	187
Очевидно, что в этом случае операторы Е, S, Т, J задают одно-
значное представление группы отражений е —> Е, s-+S, t -> Т, J —> J.
Представление общей группы, приводящее к только что описан-
ному однозначному представлению группы отражений, будем назы-
вать однозначными представлениями общей группы (двузначность
этого представления связана лишь с двузначностью представления
собственной группы).
Второй случай. Операторы S, Т, J антикоммутируют. Легко
проверить, что выбором знаков у этих операторов можно добиться,
чтобы они перемножались с помощью таблицы
представление группы отражений; другими словами, представление этой
группы е	s -> zt S, t ±Т, j —> -t- J существенно двузначно.
Представление общей группы, приводящее к такому двузначному
представлению группы отражений, мы назовем двузначным *) пред-
ставлением общей группы (его двузначность связана не только
с двузначностью представления собственной группы, но и с двузнач-
ностью представления группы отражений).
Заметим, что представление общей группы может быть двузнач-
ным, даже если порождаемое им представление собственной группы
однозначно; достаточно только, чтобы представление группы отра-
жений было двузначным. Соответствующую конструкцию мы приве-
дем ниже (см. § 3).
В заключение отметим, что, в точности так же как двузначное предста-
вление собственной группы можно рассматривать как точное однозначное
представление группы 21 комплексных матриц второго порядка с определи-
телем, равным 1, так и двузначное представление группы отражений можно
рассматривать как точное однозначное представление группы, состоящей из
восьми элементов е, е', s, s', t, f, j, j' co следующей таблицей умножения:
e'2 — s’ — s’2 — fl ~ t’ --- e, j — j 2 = e ,
se' = e's == s', te' = e't = t', je' = e'j — j',
st — t's — j,	sj = js' = t, ts — s't — j'.
Остальные соотношения определяются уже написанными (см. (17)).
*) Такие двузначные представления, как мы ниже увидим, встречаются
в физических применениях теории представлений группы Лоренца.
188	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
Однозначные представления группы отражений являются уже не точ-
ными представлениями этой группы из восьми элементов, а такими, что
Те, — Те, Та, — Ts ит. д. Эта связь между представлениями группы отра-
жений и построенной нами группы из восьми элементов полностью анало-
гична той, которая имеется между представлениями собственной группы
Лоренца и группы комплексных унимодулярных матриц второго порядка.
10.	Основные различия между представлениями группы вращений
трехмерного пространства и группы Лоренца. В первой части книги мы
видели, что всякое представление группы вращений соответствующим выбо-
ром скалярного произведения можно сделать унитарным и, кроме того, вся-
кое неприводимое представление этой группы конечномерно.
Ни то, ни другое не имеет места для группы Лоренца: у нее существуют
не унитарные представления (само определяющее эту группу представление
в четырехмерном пространстве не унитарно), и, как мы увидим ниже, у нее
существуют бесконечномерные неприводимые представления.
Эти существенные различия между представлениями группы вращений
и группы Лоренца связаны с тем, что первая из них компактна, т. е. из лю-
бой последовательности вращений можно выделить сходящуюся подпосле-
довательность, вторая же группа некомпактна: можно указать последова-
тельность преобразований Лоренца, никакая подпоследовательность которой
не сходится. В компактности группы вращений можно убедиться, например,
так: каждое вращение записывается ортогональной матрицей третьего по-
рядка; таким образом, группа вращений образует некоторое замкнутое мно-
жество и в девятимерном пространстве всех матриц третьего порядка.
Поскольку сумма квадратов всех элементов у ортогональной матрицы Ijg^jl
равна
2^ = з.
i, 1С
то замкнутое множество G в девятимерном пространстве ограничено и
следовательно, компактно.
Для того чтобы убедиться, что группа Лоренца некомпактна, поступим
так: выберем на гиперболоиде №(д:) = 1 последовательность точек А<, А»,
Л3, ..., Ап, уходящих в бесконечность. Если теперь взять последова-
тельность преобразований! Лоренца gn таких, что gnO = Ап {О — вершина
нашего гиперболоида), то, как легко видеть, из последовательности {gn.}
нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Из теории топологических групп известно, что в компактных группах
можно ввести инвариантное интегрирование, т. е. всякой ограниченной функ-
ции f(g) на компактной группе G можно приписать конечный интеграл
J*f(g)dg, не меняющийся при левых и правых сдвигах функции по группе
т. е. такой, что
J f (ggo) dg = J f (gog) dg= (g) dg при всех g0*).
Напомним, как из этого обстоятельства следует унитарность всех представле-
ний компактных групп. Выберем в пространстве /?, где действует предста-
вление g-^- Тд компактной группы, положительно определенную билинейную
эрмитову форму (<р1( ф2). Образуем новую форму
(Ф1> ^2)1= f (Тд^1> Tg^dg
*) В первой части (§ 1) была, например, вычислена инвариантная мера
на группе вращений.
П. 1]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 189
{функция Tg^t) ограничена, как всякая непрерывная функция на ком-
пактном множестве). Очевидно, что эрмитова форма («pi, «Рэ)1 положительно
определена и инвариантна относительно операторов Тд
(ТдК Tg№i = Wi, Wi-
Если в пространстве R с помощью формы (<pi, <р-г)л задать скалярное произ-
ведение, то относительно него представление g-+Tg будет уже унитарным.
Приведенные рассуждения теряют силу для некомпактных групп, в част-
ности для группы Лоренца, по двум причинам: во-первых, хотя на группе
Лоренца и можно ввести инвариантное двустороннее интегрирование, но оно
распространяется уже не на все ограниченные функции на этой группе и,
во-вторых, функция Тд'1>2), с помощью которой мы строили инвариант-
ное скалярное произведение, может даже оказаться неограниченной, так что
ее и подавно нельзя интегрировать. Оба эти обстоятельства являются след-
ствиями некомпактности группы Лоренца.
Покажем, наконец, что всякое неприводимое представление компактной
группы конечномерно.
Пусть в пространстве R действует представление g-+- Тд компактной
группы. Как сказано выше, его можно считать унитарным. Это значит, что
если h — вектор из R и ||А|| = 1, то и ЦТ^/гЦ =1, т. е. образы единичного
вектора h в R лежат на сфере радиуса 1. Очевидно, что из компактности
группы следует компактность множества {Тдк} всех образов вектора h. Но
всякое компактное множество на единичной сфере в гильбертовом простран-
стве содержится в конечномерном подпространстве. С другой стороны, в силу
неприводимости представления линейная оболочка множества {Tg’ri} совпа-
дает с R. Итак, R конечномерно.
Совершенно ясно, что эти рассуждения, опирающиеся на компактность
группы, уже непригодны в случае группы Лоренца.
§ 2. Инфинитезимальные операторы и представления
собственной группы Лоренца
Основные однопараметрические подгруппы в группе Лоренца.
В § 2 части I для каждого представления группы вращений были
введены матрицы (операторы) Alt А2, А3, действующие в простран-
стве R и отвечающие бесконечно малым поворотам вокруг осей xv
х2 и х3. Там же было показано, что по этим трем матрицам Ак
представление группы вращений восстанавливается однозначно. Ана-
логичные операторы мы построим для представлений собственной
группы Лоренца.
Как было показано в части I, всякое вращение трехмерного про-
странства можно осуществить с помощью последовательного выпол-
нения трех поворотов: в плоскости (xv х2) (вокруг оси х3); в пло-
скости (хр х3) (вокруг оси х2) и, наконец, снова в плоскости (хр х2)
(вокруг оси х3).
Аналогично этому каждое преобразование из группы Лоренца
можно осуществить с помощью последовательного выполнения шести
преобразований специального вида: преобразования в плоско-
сти (Хр х2), не меняющего координат х3 и х4, и аналогичных пре-
образований в плоскостях (Хр х3), (х2, х3), (Хр х0), (х2, х0), (х3, х0).
Рассмотрим эти преобразования более подробно.
190
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. II
Напишем преобразование в плоскости (х1: х2):
x\=gnxi+gi2X2’
X2 = g2,X^g22X2’
	4 =	хз’
4 =	Хо. Оно, очевидно, не меняет квадратичную форму х?х2. С ледова -	
дельно, это есть поворот в плоскости (х1, х2) на угол ф Матрица	
такого преобразования имеет вид cos 7	sin ср	0 0 1 1 — sin w	cos ср	0 0 5'12 (?) =	0	0	i 0 0	0	0	1 Аналогично, преобразования в плоскости (хр xs) и (х2, х31 запи-	
шутся матрицами Я 1з — ёгз —	cos ср	0	-sin	ср	0 0-1	0	0 — sin ср	0	cos	у	0	’ 0	0	0	1 10	0	0 0	cos <?	sin ср 0 0	— sin cp	cos cp 0 ’ 0	0	0	1
где ф— угол соответствующего поворота.
Преобразование в плоскости (хй, хй) не меняет двух первых
координат и квадратичную форму х3— х%. Матрицу такого преоб-
разования *) можно записать	аналогично предыдущим только через
гиперболические функции	
1	0	0	0
0	1	0	0
5оз = о	0 ch ср sh ср
0	0 sh ср ch ср
Аналогично выглядят матрицы g01 и g02.
Отметим, что матрицы £цс(?) образуют подгруппу в группе Ло-
ренца, зависящую от одного параметра (так называемую однопара-
метрическую подгруппу). Действительно, используя теоремы сложе-
*) Преобразование в плоскости (х, у), не меняющее квадратичной формы
х2 — у2 и направления осей, мы назвали гиперболическим поворотом.
И. 2]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 191
ния для круговых или гиперболических функций, легко получить,
что
£ri/^?i)g'17£(?2/==g,7.-(?i+га» О’- k = Q, 1, 2, 3).
2. Представление элементов собственной группы Лоренца
в виде произведения основных однопараметрических подгрупп.
В § 1 части I было показано, что каждое вращение в трехмерном
пространстве может быть представлено в виде произведения трех
вращений
где —вращения вокруг оси z на угол 0t и 02 соответственно
и gy—вращение вокруг оси х на угол о.
Аналогично этому каждый элемент группы Лоренца может быть
представлен в виде произведения
g= «1£03«2>
где и и2 — вращения и g03— гиперболический поворот в пло-
скости х0х3.
Действительно, 'в п. 2 § 1 мы видели, что всякое собственное
преобразование Лоренца g имеет вид
где и—вращение, gf.A— гиперболический поворот в плоскости (х0А),
проходящей через ось х0 и точку А — прообраз вершины О гипер-
болоида s2(x)^= -—1 при преобразовании g. Очевидно, что гипер-
болический поворот gt)A представляется в виде
g^ = uMg^u^
где —вращение, переводящее плоскость (х0, А) в плоскость
(хо, Х3).
Таким образом,
g = ««одУоз (0 “од = иУоз (0 И2’
где
-1
Ml — UUoa>
Записав вращения и «2 в виде произведения трех поворотов
«1 = £12 (91) £1з (?') £12 (0г)
И
«2 = £12 (бГ) £13 (?") £12 (02 )>
мы для собственного преобразования Лоренца g окончательно полу-
чим:
£ = £ (91) £(?')£ (60 £оз (0 £12 (б") £13 (?") £12 (°2 )-	(1)
192
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Таким образом, любое собственное преобразование Лоренца раскла-
дывается в произведение поворотов из основных однопараметриче-
ских подгрупп g12, g13, g03.
3, Определение инфияитезим1льных операторов. Пусть задано
некоторое представление собственной группы Лоренца Тд. Тогда
операторы Tgi:i = Tik(ср) являются функциями параметра <р. Возь-
мем какой-нибудь вектор / из R. При повороте на угол а
он перейдет в вектор Tik(<D')f. Его приращение, следовательно, разно

Пусть для вектора / существуют пределы Ит ---------------— hik
а -> 0	?
при всех парах (Z, k) (i, 6 = 0, 1, 2, 3; /<&)*)• Тем самым на та-
ких векторах/определены операторы А&, Bit действующие по формуле
Лй/= lim	(/, k=\, 2, 3),
О	¥
Bif= ’lm	(' = 1, 2, 3).
-•? -> 0	<
Операторы AiJ{, B; и их линейные комбинации называются инри-
нишгзимальны-ми операшорамапргдапавленияg —> Тд. Операторы Лг7.
и отвечают бесконечно малым поворотам соответственно в пло-
скостях (jq, хк) (обычный поворот) и (xit х0) (гиперболический по-
ворот). Три из этих операторов: Л12, Л13, А23, соответствующие
лишь трехмерным вращениям, рассматривались в § 2 части I * **).
Там же были установлены соотношения коммутации между ними:
М12> Аз1 = ’ А>3’ М12’ Т^2з1 ~	l^j3, Л23] =	Д12 (I III)
Остальные соотношения коммутации таковы ***):
1Д12, В1] = В2,	[Л13,	В.]=- В3,	[Л23,	Bt]	=	0,	I
[Л12, В2] = —Вр	[А13,	В2] = О,	[Л23,	В2]	—	В3,	} (IV—XII)
[Д12, В3] = 0,	[413,	В3] = В1,	[Д23,	В3]	=	- В2,	j
[Вр в.2] = - А12, [Вр В3] = Л13, [В2, В3] = — Л23. (XIII—XV)
*:) Совокупность векторов /, для которых существуют названные пре-
делы, образует з R линейное, всюду плотное подпространство R'. Доказа-
тельство того, что R' всюду плотно в R, содержится по существу в добав-
лении к § 2 части I (при этом для конечномерного R R' совпадает с /?).
**) Эти операторы в части I обозначались Д8,
— ^23> ^2 ~ Аз> = А12.
***) Они получаются в точности тем же способом, что и предыдущие
(см. часть I, § 2).
П. 4]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 193
Для удобства введем вместо операторов Aik и В{ их комбинации:
Н+=1А23	А13, Н_ = 1А23А13, Н3~1А12, |
F+=iB1 — В2,	F_	F3 = lB3. J
|	(IV'—XII')
= F-, J
Легко получить соотношения коммутации между этими операторами:
[Н+, Н3] = -Н+, [Н~,Н3]=Н_, [Н+, Н_] = 2Н3’, (Г—Ш')
[В+, Я+] = [Н_, F_] = [Н3, F3]
[H+,F3] = -F3,	[H_,F3]
[Н+> F_] = —[H_, F+] — 2F3,
[F+,H3] = -F+,	[F_,H3]
[F+, F3] = H+, [F_, F3] = — H_, [F+, F~] = -2H3. '(XIII'-XV')
В заключение заметим, что если в пространстве R есть подпро-
странство R', инвариантное относительно представления g—> Тд, то
оно инвариантно и относительно всех инфинитезимальных операто-
ров Н+, Н_, Н3, F+ , FF3, и наоборот, подпространство R,
инвариантное относительно инфинитезимальных операторов, инва-
риантно и относительно самого представления g —> Тд. Отсюда,
в частности, следует, что представление g-+Tg неприводимо тогда
и только тогда, когда пространство R, в котором оно действует,
неприводимо относительно его инфинитезимальных операторов (т. е.
в R нет подпространства, инвариантного относительно всех опера-
торов Н+, Н_, Н3, F+, F_, Л3). Этим замечанием мы будем постоянно
пользоваться в дальнейшем.
4. Вид инфинитезимальных операторов для неприводимых
представлений собственной группы Лоренца. В этом пункте мы
найдем общий вид операторов Н+, Н~, Н3, F+, F_, F3 для непри-
водимого представления собственной группы Лоренца.
Заметим, что всякое представление собственной группы Лоренца
g-+Tg, действующее в пространстве R, порождает тем самым неко-
торое представление своей подгруппы — группы вращений. Это пред-
ставление получается, если ограничиться только теми операторами Тд<,
которые соответствуют трехмерным вращениям g'. При этом в про-
странстве R представление g' ->Тд<, вообще говоря, приводимо. Но,
как было показано в § 2 части I, R можно разложить в прямую
сумму инвариантных подпространств Rlt в каждом из которых пред-
ставление группы вращений, индуцированное представлением g' -> Tgt,
неприводимо и задается весом I. Мы будем предполагать, что в слу-
чае, когда представление собственной группы Лоренца g-*Tg непри-
водимо, в этом разложении пространства R не встречается двух
194
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
подпространств Rt с одинаковым весом *). В связи с этим будем
нумеровать эти подпространства индексом I.
В каждом подпространстве R/ мы выберем канонический базис ilm
(т. е. базис из собственных векторов оператора Н3). Векторы {;tol}
образуют, очевидно, базис во всем пространстве R. Этот базис мы
будем называть каноническим базисом в пространстве R.
Операторы /7+, Н_, Н3 (инфинитезимальные операторы предста-
вления группы вращений) записываются в этом базисе следующим
образом (см. часть I, § 2, (18)):
H-'lm ~ ~V~R-	/й) 4 — т Ч~ 1) 4, т-1’
Ч~ }П 1) ('- т)'ч,-т + 1> |
m = — l, —Z4-I,	1, /.	)
Выпишем теперь операторы F3, F+, F_ в базисе {;1от}:
Fl-т ==	F—— A-L;n:-im—С1 + 1 У(/-Н)2 —	чг+1> т,
- F^lm^=CiV(l — m)(L — m—
— Ч У4 — и) 4 + т 4“ 1) ?Z, m+14“
Ч Q+i У(г' Ч- т + 1)44- пг 2) m+i’
fa^ — — Сг /(мЧоо+ЧЧ^Л) т_х ~
— ^‘1 У4 + т) Ц т + 1) --1, т—1  
--Ч + 1У(' :п~\~ 04— йгЦ-2);и1) т_1(
(ЗЭ
от = —/, —	— 1, I- i = i0, /04-1, ...
Здесь /j — некоторое комплексное число, и формулы (3) и (3') задают,
таким образом, вид инфинитезимальных операторов неприводимого
представления собственной группы Лоренца. Как видно из этих формул,
каждое такое представление однозначно определяется парой чисел /0 и
/р, первое из них, 10, является наименьшим весом, участвующим **)
*) Это предположение не является произвольным. Можно доказать, что
для неприводимых как конечномерных, так и бесконечномерных представле-
ний оно действительно всегда выполняется.
**) Мы скажем, что вес / участвует в представлении собственной группы
g ~^Тд, если в представлении группы вращений, порожденном представле-
нием g^-Ту, встречается неприводимая компонента с весом I.
П. 4]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 195
в неприводимом представлении, и может принимать, следовательно,
только целые или полуцелые значения, число же произвольно.
Ниже будет дан последовательный вывод формул (3'), но сна-
чала, однако, мы несколько подробнее ознакомимся с ними.
Заметим, что если вес I участвует в неприводимом представле-
нии, то, как видно из формул (3')> векторы из пространства Rt
переводятся операторами F+, F/Д в линейную комбинацию век-
торов из пространств R^, Rt и /?г+1; при этом векторы из Rt_t
входят в линейную комбинацию в том и только том случае, если
Сг Д 0; аналогично векторы из /?г + 1 участвуют в этой линейной
комбинации тогда и только тогда, когда С1+1 Д 0. Властности, век-
торы из пространства Rlit переводятся операторами F3, F+, F__ лишь
в линейную комбинацию векторов из Ri, и Ri..+i (С/о=0). Это
вполне согласуется с тем, что /0—наименьший из весов, участвую-
щих в представлении.
Таким образом, если подействовать операторами F3, F+, F_ на
векторы из пространства , то мы переведем их в векторы, при-
надлежащие сумме пространств Ri0 и Ri^+i', те же, в свою очередь,
под действием операторов F3, F+, F_ перейдут в векторы, при-
надлежащие сумме пространств Ri, Rio+i, Ria+2- Продолжая этот
процесс дальше, мы построим конечную или бесконечную цепочку
пространств
Ria+2   
(3")
Очевидно, что сумма всех входящих в эту цепочку пространств Rt
инвариантна относительно операторов Н3, Н+, Н_, F3, F+, F__ и,
следовательно, в силу неприводимости нашего представления, сов-
падает со всем пространством R. Из самого построения цепочки
(3") видно, что веса I, участвующие в нашем представлении, про-
бегают подряд все значения
^>’ А) 1 - 'о 2,   
Это и указано в формуле (ЗЭ.
Заметим, что в случае, когда цепочка (Зл') бесконечна, пред-
ставление бесконечномерно. В случае, если цепочка обрывается
на некотором наибольшем весе I, представление конечномерно.
Легко в последнем случае указать, как наибольший вес / связан
с числом Действительно, цепочка может оборваться на весе Z,
как мы говорили, лишь в случае, если Су+1—0. Но так как
7>/0, то это возможно лишь при (7д-1)2—/1 = 0. Отсюда
/ = |/-[ |—1. Последнее равенство возможно только в том случае,
если 1Х — целое или полуцелое одновременно с /0 и I /( j > /0. Это
и есть условие того, что неприводимое представление конечномерно.
Ниже мы еще раз вернемся к этому случаю.
196	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
Итак, окончательно мы видим, что всякое неприводимое пред-
ставление собственной группы Лоренца определяется парой чисел
(Zo, Zj), где /0 — целое или полуцелое число, а — произвольное
комплексное число. Инфинитезимальные операторы Н+, Н , Н3,
F3, F+, F задаются при этом формулами (3) и (3х). Веса I, участ-
вующие в этом представлении, пробегают по одному разу все
значения /0, Zo —f— 1, Zo-|-2 ... и т. д. При этом представление
либо бесконечномерно и веса I меняются до бесконечности, либо
представление конечномерно и содержит наибольший вес I. Послед-
ний случай осуществляется тогда и только тогда, когда — целое
или полуцелое’ число одновременно с /0 и | lx | > Zo; при этом наи-
больший вес I равен | Zt |—1.
После этого предварительного описания перейдем к выводу
формул (3х).
Обратимся, прежде всего, к соотношениям коммутации между
и Bi (IV—XII). Заметим, что формулы (IV—XII) после замены
обозначений В^—Ag1e — Aj (s + k+j) совпадают с формулами
(5) § 9 части I, дающими соотношения коммутации между матри-
цами Ai и матрицами Ц инвариантных уравнений.
В § 9 был найден общий вид всех матриц Ц в базисе {£гт}
(индекс т мы опускаем в силу сделанного нами предположения,
что каждый вес встречается не больше одного раза).
Выпишем получающиеся выражения для операторов F + =
~1В1— В2, F _=iBl-\- В2, F3 — iB3.
F3km = di-t,iVl2 — т?	т —
— durn^m— dM, г /(Z + 1)2 — т t (4)
F+km = di^t iV(l — m)(l— т— 1)-г_1, m+i —
— dn^ (I — m) (14~ ZK 4~ 1) %l, m+1 4-
4~ di+1, г ]/ (/ -|- от	1) G 4~ 4“ 2) +1, m+1 •	(5)
F—di-1'1^(I 4- ОТ) (Z -|- ОТ— 1)	—
— dll V(^ 4“ m)(/ - M 4- 0 ’Z, m—1 —
— di+i, I /(Z — от 4-1) (Z — от -I- 2) ?г+1> TO_1 (6)
(мы несколько изменили обозначения § 9 части I, положив
di, 1 = — ici_i, di+iti~ — ici+i,i).
Заметим, что в выборе чисел zZ;_i, 1 di, 1 di+\t 1 есть произвол,
зависящий от произвола в нормировке базиса {£Zm}. Действительно,
если в каждом из подпространств /?г одинаково растянуть все век-
торы базиса, т. е. положить
'lm = h (f)
П. 4]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 1 97
где /?(/)—некоторые числа, то при этом вид операторов Н+, Н_,
Н3 в новом базисе не изменится, поскольку они действуют независимо
в каждом Числа же di-\, i, di, i, dt+i, г при такой замене базиса
перейдут, как нетрудно видеть, в
, h. (О Л ,,	,	,, h (О
dz-i, г~ й(/_1) яг-i, ?> du — du, dJ+y<1—	A+i, z.
Однако
Hz_i, idi,	A(Z) di-i,idi, t-i = di-i, idr, z-i,
т. e. произведение A~i, zA?-i сохраняется. Выбором соответствую-
щего множителя h(l) числа d'l_y г и Д' г можно сделать равными*).
Будем предполагать, что это выполнено и обозначим:
di, г-i= ^г-1, i= A: dn — А-
Тогда формулы (4), (5), (6) перепишутся так:
F£lm = Сг УI2— т2^г-1, т—^1т^1т —
	—Ci+i VGAO2—Az+i,m,
F+^7ш — УУ	т 1)^7 —1,ш+1
--A VG (I А т А 1) ^7, т+1 А
AA+l Vg А т A 0G А т А 2) £?+1, ш+1> (8)
F_^1т — —CtfЦ А т) {IА т— 0^7-1, т-1 —
— A Vg AAG—т А О ^7, т-1 —
— сг+1 Vg —^A1)G—^А2) ^7+1, ш-1.	(9)
Для определения чисел Аг и Сг воспользуемся теперь соотношениями
коммутации между F3 и F+: {F + ,F3} — H3. Подставляя сюда F+,
F3, Н3 и приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах ^1т,
получим такие равенства:
IAGA0 —G—i)A-ilA = o, 1
IA+1GA2)—1Аг] Ci+i = 0, [	(10)
(2/-1)С2-(2/ + 3)С/+1_Аг=;1. ]
*) Для этого достаточно положить
‘«>=V fife.
’ r=l0
где Iq — наименьший вес, участвующий в представлении.
198	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
Остальные соотношения [F3, f _] = — 2На и [F_, F3] — —И. при-
водят к тем же равенствам.
Вычисление Д. При Сг + 0 два первых равенства (10) озна-
чают, что
А(/+!) = (/ — 1)ЛГ_1(
Ai-il — (I — 2) Лг_2,
и т. д.
A„+i Go Ч~ 2) = АА-
где 10—наименьший вес, участвующий в представлении. Отсюда
__ Аг /oGVH)
l~~ Z(Z-f-l) 1
Ai можно, очевидно, выбирать произвольно. Ради симметрии в по-
следующих формулах удобно положить А1,1) = Н1. Тогда
получим:
1 1
Z2 G + 1)2
Вычисление С>. Умножим обе части последнего из равенств
10) на 2/-|-1 и подставим найденное значение Аг:
(4F — 1) С? — [4 (Z -Ь 1)2 — 1 ] Cl+1 = 21 + 1 — Z2Z? - (7zp)ir] •
Если выписать все эти равенства от Z-|-l до 10 и сложить, то
получим:
p=i
— [4(Z+1)—ljq+1= ^(2p-bl)-Z^
P =
После небольших преобразований находим:
Га+D2—z§j[(z+ir—z^]
Ч + l— (Z +1)2 14(1+1)2-1]
Окончательно для Сг получаем выражение
*) Формула (12) определяет числа Cj с точностью до знака. Однако
преобразованием канонического базиса вида
^ = (_1)015гм	(8/= 0,1)
мы можем всегда добиться, чтобы
! arg Сг|<А.
3 частности, если Ci вещественно, то мы можем считать его положительным.
П. 4]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 199
Сделаем теперь следующее замечание. При выводе формул (11) и
(12) из равенств (10) мы предполагали, что Q +i, Ci +2,..Q не обра-
щаются в нуль. Покажем, что такое требование длч неприводимого
представления всегда 'выполнено. Пусть какое-то из Сг первый раз
обратилось в нуль: Сг = 0, I = 10 ф- п ф- 1. В этом случае, как
видно из формул (31, (4) и (5), пространство /?, образованное век-
торами {1? т\ {я. +i, т] •••	инвариантно относительно
операторов Н+, Н_, Я3, F F3, а следовательно, инвариантно
относительно всех операторов представления Тд. Поскольку пред-
ставление g-^Tg неприводимо, то R совпадает с R и другие веса
Z>Z0-|-n в представлении не участвуют. Таким образом, действи-
тельно, для всякого веса />/0, участвующего в неприводимом
представлении, Сг=ф0.
Итак, получаем окончательную запись операторов F F_ , F3:
F£im = Сг V(P —пР)1л^,т— Арп^, —
— Сгщ/(/-ф-1)2—/пЧг + 1,т,
F + '-lm —	Hl) (I in 1) CZ-1, И? + !
— И? ]/(/ nt) (I ф- т ф~ 1) -.1, т-'Л
(13)
Ч” Ci+\ }Ч(/ -ф- т ф— 1) (I -ф- tn 2) Ф + т+1, (14)
F_Ч-;т = — Сг ]/(/ -ф- т) (Z ф- т — 1) ф_ i, т_\ —
--А-l 1^(7 ~Ф~ /й) G- nl Ф” 1) Ч, т~\ —
— С1+х	(15)
, //од с I	(16)
А1 ~ цГГТ) ’ Сг - Т V	’
т = —1,	— /ф- 1, . . .,	7—1,7,
/ — 4> А) Ч~ 1 > • • •
Выпишем еще формулы для Н+, Н_, Н3:
(17)
= ]/(/-ф-дг+1)(/—/п)ф, „гщ ,	(18)
Н_Чт — V(^“H т) 0---'*?i Ч~ О >	(19)
т = — 1,	—/ф-l,...,	/—1, I.
Таким образом, всякое неприводимое представление собственной
группы Лоренца определяется парой чисел (/0, /ф (/0 — положи-
тельное целое или полуцелое, ф — произвольное комплексное число),
200	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
и его инфинитезимальные операторы в каноническом базисе
имеют вид (13)—(19).
Заметим теперь, что при одновременном изменении знаков у чи-
сел пары (Zo, /i): (Zo, /J —>(—Zo, —Zt) вид формул для инфинитези-
мальных операторов не меняется. Будем поэтому задавать непри-
водимое представление как парой (Zo, ZJ, так и парой (—Zo, —1^.
Очевидно, что два эквивалентных неприводимых представления
определяются одной и той же парой (-+- /0. —У и их инфинитези-
мальные операторы в канонических базисах записываются одинаково.
В заключение этого пункта сделаем следующее замечание.
Полученные формулы (13)—(19) для инфинитезимальных опе-
раторов Н3, Н+, Н_, F3, F+, F_ неприводимого представления
являются общим решением коммутационных соотношений (I—XV)
(для случая, когда пространство, в котором действуют эти опера-
торы, неприводимо относительно них). Поскольку инфинитезимальные
операторы всякого представления удовлетворяют соотношениям
(I —XV), мы можем быть уверены что для всех неприводимых
представлений собственной группы Лоренца инфинитезимальные опе-
раторы имеют вид (13)—(19). Обратное же далеко не очевидно:
всякие ли шесть операторов, задаваемые формулами (13)—(19),
служат инфинитезимальными операторами некоторого неприводимого
представления? Другими словами, для всякой ли пары (Zo, ZJ (Zo —
целое или полуцелое, — произвольное комплексное число) дей-
ствительно существует определяемое ею представление?
Утвердительный ответ на этот вопрос будет дан в дальнейшем:
мы фактически построим неприводимые представления собственной
группы Лоренца, отвечающие каждой допустимой паре (Zo, ZJ.
5.	Однозначные и двузначные представления собственной
группы Лоренца. Выясним, каким парам (Zo, /х) соответствует одно-
значное представление собственной группы, а каким — двузначное.
В предыдущем параграфе мы видели, что если неприводимое
представление собственной группы Лоренца двузначно или одно-
значно, то одновременно с ним двузначна или однозначна каждая
неприводимая компонента представления группы вращений, порожден-
ного этим представлением группы Лоренца. Применим это обстоя-
тельство к представлению группы вращений с наинизшим весом Zo.
В части I книги было показано, что’ неприводимое представле-
ние группы вращений, задаваемое целым весом, однозначно, а полу-
целым весом — двузначно.
Итак, неприводимое представление собственной группы Ло-
ренца однозначно при 10 целом и двузначно при /0 полуцелом.
6.	Сопряженные представления. Отметим, что с каждым пред-
ставлением g-+Tg тесно связано другое представление g->T(
действующее в том же пространстве. Представление g-+T(^_i мы
будем называть сопряженным к представлению g -> Тд. Поскольку
П. 6]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 201
сопряженным к представлению	служит исходное пред-
ставление g-+Tg, то оба представления g-+Tg и g-+T(gVr\
взаимно сопряжены, и мы будем их называть просто сопряжен-
ными представлениями.
Найдем, как связаны инфинитезимальные операторы Н+, Н_,
Н3, F+, F , F3 представления g-+Tg и инфинитезимальные опера-
торы Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3 представления g -> 7\gt)-i.
Напомним с этой целью, что для преобразований gOi(?)»
= 1,2, 3, выполняется соотношение
g^goi	(20)
и, следовательно,	Для преобразований же£и (&, 1 =
= 1,2, 3) £*г = £й1 и -gki- Отсюда вытекает, что инфините-
зимальные операторы представления g —>	-i AiJc и Bt связаны
с инфинитезимальными операторами представления g~+Tg Ailt и
Bj следующим образом:
и следовательно,
F+ = -F+, F_ = —F_,‘ F3 = -F3.	(22)
Действительно, первое из написанных равенств (21) сразу вытекает
из того, что Т(*^_у=Тд^ (i, fe=l,2, 3), второе—получается из
следующих очевидных равенств:
О	Т	"Т	__ D
i=z^ (4)-,w п=^ «йМ п=5?Чн-т)	-
х	<р = 0	‘9 = 0	!f = 0
Из равенств (21) следует, что у сопряженных представлений g-+Tg
и g -+T(g^-i одни и те же инвариантные подпространства. Действи-
тельно, поскольку операторы Aik, В{ самое большее знаком отли-
чаются от операторов Aik, Bit то подпространства, инвариантные
относительно первой шестерки операторов (а тем самым инвариант-
ные и относительно представления g -> Тд), инвариантны также от-
носительно второй шестерки Aik, Bi (и, следовательно, относительно
представления ^->7’^-1).
Из этого, в частности, вытекает, что сопряженные представления
g-+Tg и	одновременно приводимы или неприводимы.
Найдем, как связаны пары (Zo, Zj) и (z0, Q, определяющие два
неприводимых сопряженных представления g-+Tg и
202	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
Заметим, что равенства Тп — Т. * _х (i, k— 1, 2, 3) означают,
ik Ы
что представления группы вращений, порождаемые в пространстве R
сопряженными представлениями g^-T,, и g —> T^_lt совпадают.
В частности, это значит, что для неприводимых сопряженных пред-
ставлений g-+Tg и g’—j их наименьшие веса Zo и Zo равны
(напомним, что 10—это наименьший из весов I неприводимых пред-
ставлений группы вращений, участвующих в неприводимом предста-
влении g^-Ty собственной группы Лоренца).
Далее, из соотношений (22) и из формул (13) — (16) для инфи-
нитезимальных операторов F3,' F+, F__ неприводимого представления
находим:
Л =—л
или (см. формулу (16))
/0!1 =  /0
Так как Z0 = Z0, то, следовательно,
^1 — Гр
Итак, если представление g-+Tg неприводимо и определяется
парой (Zo, Zx), то сопряженное к нему представление g
также неприводимо и определяется парой (Zo, —Zx) или, что одно
и то же, (—Zo, Zx). Отсюда следует, что неприводимое представле-
ние g—> Tg эквивалентно своему сопряженному g —>	тогда
и только тогда, когда либо 1о = О, либо Zx = 0, т. е. одно из
чисел пары (10, Zx) равно нулю.
Условимся всюду в дальнейшем неприводимое представление, со-
пряженное представлению т, обозначать т.
Сопряженные неприводимые представления собственной группы
Лоренца будут нами использованы в следующем параграфе для по-
строения неприводимых представлений полной (общей) группы Ло-
ренца.
Замечание. В дальнейшем мы будем называть сопряженным
к представлению g-+Tg не только представление g—> T^_lt дей-
ствующее в том же пространстве, что и g^Tg, но и любое пред-
ставление, эквивалентное представлению g T^-i-
7.	Конечномерные представления собственной группы Лоренца.
Здесь мы еще раз укажем, какие пары (/0, Zx) определяют конечно-
мерные представления. Выше было замечено, что обращение Czo+ra+i
в первый раз в нуль, как это видно из формул (7), (8), (9), озна-
чает, что в неприводимом представлении содержатся все веса
Zq, Zo—1, ..., 10-^-п и только они. Обратно, для конечномерного
представления с наибольшим весом 1 = 10-\-п, как снова видно
П. 7]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 203
из формул (7), (8), (9), Сг +„+1 обращается в нуль: Cz,+n+i = 0. Но
= 0, лишь если Z? = (Zo -ф- п -ф- I)2 (см. (16)). Отсюда [ Zx | — 1 =
= Z0—|—/г, т. е. Zj — целое или полуцелое число (одновременно с Zo),
и | Zj ।—1 есть наибольший вес, участвующий в конечномерном пред-
ставлении. Таким образом, представление конечномерно, когда 10
и ZA — одновременно целые или полуцелые числа и | Zj) > j Zo1. При
этом в представлении участвуют все веса от | Zo | до | Zj । — 1
включительно. В случае других пар (Zo, /,) представление беско-
нечномерно.
Заметим еще, что с каждым конечномерным представлением,
определяемым парой (Zo, Zx), тесно связано другое, бесконечномерное,
представление с парой (Zp Zo). Эго представление называется «хво-
стом» конечномерного представления (Zo, Zt). Формулы для инфини-
тезимальных операторов «хвоста» почти такие же, как и для самого
конечномерного представления, так как Zo и входят в эти формулы
симметрично. Только в первом случае l0 фЛ ! /ф, а во втором
| /11 ф) Z < схэ.
Рассмотрим три важных примера конечномерных представлений
собственной группы.
Первый пример. В § 1 мы построили соответствие между
элементами ga''~'ag собственной группы Лоренца и определенными
с точностью до знака комплексными матрицами ад второго порядка
с определителем, равным 1. Легко Проверить, что это соответствие
задает неприводимое двузначное представление собственной группы
Лоренца, действующее в двумерном комплексном пространстве (zQz^)
по формуле
Zo-----a00Z0 + fl012'l>
~ a10Z0 + allZl>
(23)
где матрица || ajj || = ад.
Заметим, что если g—вращение, то ад — унитарная матрица
и формула (23) задает обычное спинорное представление группы
вращений веса Z = -^-. Таким образом, в неприводимом представле-
нии (23) участвует один вес Z = i. Следовательно, числа пары (Zo, ZJ,
1	3
определяющей это представление, имеют вид |Z0[ — -g-; | | = —.
Как мы знаем, числа 10 и Zx определены с точностью до одновремен-
з
ного изменения знака. Положим поэтому 11— — . В § 4 мы вы-
числим инфинитезимальные операторы этого представления и убе-
димся, что Z0 = y, т. е. пара (Zo, ZJ имеет вид (Zo, Z1)=(-g-, jl.
Второй пример. Кроме представления ga—> ад> в двумерном
комплексном пространстве действует сопряженное ему представление
204	гл. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
ga—>а	= (а*)-1. Согласно результатам п. 6, это представление
°7	„ (	1	3\
определяется парой I — у, у).
Заметим, что, как мы видели в § 1, имеет место равенство
(а*)-1 = тот-1, где т = Г	а а — матрица, комплексно-сопря-
женная матрице а. Это равенство означает, что представление
ga~эквивалентно представлению ga-+ ад, которое, следова-
„ /	1	3\
тельно, также определяется парой (-g-, -g-l.
Из формул (13) — (19) для инфинитезимальных операторов Н+,
Н_, Н3, F+, F_, F3 неприводимого представления следует, что,
кроме представления ga —> а и ga —> а, не существует никаких других
неэквивалентных им неприводимых представлений в двумерном про-
странстве.
Третий пример — это тождественное представление g-+g
собственной группы, действующее в четырехмерном пространстве
(хоххх3х^). Представление это, как легко видеть, неприводимо.
.Найдем определяющую его пару (Zo, 1^. Пространство R(i> со-
держит два подпространства, инвариантных относительно вращений:
временную ось х0 (х1 — х2 — х3 — 0) и трехмерное пространство
(XjA^Xg) (х0 —0). Отсюда следует, что числа (Zo, ZJ, определяющие
представление g-+g, таковы: Zo = O; Zx = 2. Канонический базис
этого представления имеет следующий вид:
е~. — 1е _	е„ + 1е~
t ___о	t ~t _________________о	е __ оь 1 яь
?оо—ч1,-1—	2	> Но—чц—	2	>
где еХа, eXi, eXz, eXz-—орты координатных направлений х0, хх, х2, х3.
В дальнейшем, в § 4, мы еще вернемся к описанным только что
примерам.
8.	Унитарные неприводимые представления собственной группы
Лоренца. Унитарность представления означает, что в пространстве R,
где действует представление g—> Тд, существует положительно опре-
деленная билинейная эрмитова форма, инвариантная относительно
всех операторов Тд *).
Покажем, что в случае унитарного представления операторы Н3
и F3 эрмитовы, т. е.
{H3f, h) = (J, H3h),
(F3f, h) = (f, F3h).
*) Напомним, что билинейная эрмитова форма (/, h) в R называется
инвариантной, если для любых двух векторов /и А и любого оператора пред-
ставления Тд
(Tgf, Tgh) = (/, Л).
П. 8] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 205
Действительно, пусть £(«) — поворот вокруг оси х3 на маленький
угол ср, Тд(^ — соответствующий оператор. Из определения опера-
тора Н3 можно написать:
Тд (?) = F +iHW + 0 (?)•
Так как Тд^—унитарный оператор, то
Тд (?)= Тд (<р) = Тд (_?).
Отсюда
?* = £ — 1Н*3у + о (ср) = Е — 1Н3<? + о (ср)
или
Н*3 = Н3,	(24)
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается эрмитовость F3. Кроме того, сопряжен-
ным оператором к Н+ является оператор Н_, а к F+— опера-
тор F
$ *
Н+ = Н_, F+ = F_.
Легко проверить, что введенный нами в пространстве представления
базис в случае унитарного представления является ортогональ-
ным *).
Найдем, какие пары (Zo, ZJ определяют унитарные представления.
Из формулы (13) видно, что
(T3^lm> Sim) — W-Ai Sim)
и
(sim* Т^т)— ^^l(sim’ Sim)’
откуда Аг —At, т. e. Аг — действительное число. Но Лг — .
Следовательно, могут быть два случая:
1) Zt— чисто мнимое (Zo—любое),
2) Zo = O.
Найдем ограничения, накладываемые в случае 2).
Напишем:
(Пгт. ^-1,т) = СгУ(1 — т)(1 + т)
&т, F£i-i, m) = -Ci
(25)
*) Это обстоятельство следует из того, что { Zim } — собственные векторы
эрмитова оператора Н3 и при разных т имеют различные собственные зна-
чения, а также из формул (17), (18), (19), для двух сопряженных между собой
операторов /7+ и Н_.
206	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Таким образом, Сг = — Сг, т. е. Сг—чисто мнимое. Для этого
(z2 —Zg)(/2 — Zj)	!
должно быть -----'^р_ i0- Но Z > l0	следовательно,
I2— Z?>0. Если имеет место 1), т. е. Zt— чисто мнимое, то послед-
нее неравенство выполнено. Если Zo = 0, то следующий вес 1=1
и, следовательно, 1 — Zi^>0, т. е. либо l,L— действительное число
и	либо l-L— чисто мнимое, и мы приходим к случаю 1).
Таким образом, неприводимое представление собственной
группы Лоренца унитарно лишь в следующих случаях-.
1)	— чисто мнимое, 10 — любое (целое или полуцелое),
2) 10 = 0, /, действительно и I Zt | < 1.
Совокупность неприводимых унитарных представлений, соответ-
ствующих случаю 1), называется основной серией представлений.
Остальные неприводимые унитарные представления образуют допол-
нительную серию.
Заметим, что неприводимое унитарное представление конечномерно,
лишь когда Zo = 0,	== 1. Это представление одномерно; других
конечномерных неприводимых унитарных представлений нет.
9. Инвариантная эрмитова билинейная форма *). В предыду-
щем пункте мы выяснили, в каком случае неприводимое представле-
ние g —>Тд собственной формы унитарно, т. е. когда такое пред-
ставление допускает положительно определенную инвариантную
эрмитову форму.
Мы видели, что это встречается редко. Оказывается, что даже
если отбросить требование положительной определенности и искать
все те неприводимые представления, которые допускают просто не-
вырожденную **) инвариантную эрмитову форму (вообще говоря,
индефинитную), то этих представлений хотя и больше, чем унитар-
ных, но еще по-прежнему мало; ниже мы найдем все такие пред-
ставления.
Но гораздо чаще встречается другая задача: в каком случае
представление собственной группы g —> Тд, состоящее из двух непри-
водимых компонент, допускает инвариантную невырожденную эрми-
тову форму или, что одно и то же, когда из двух величин, преобра-
зующихся по неприводимым представлениям собственной группы
Лоренца, можно составить невырожденную инвариантную форму?
В этом пункте мы решим эту задачу и решим ее, поскольку вы-
кладки становятся не намного сложнее, в более общем виде, а именно:
выясним, в каких случаях представление собственной группы (со-
стоящее из любого числа неприводимых компонент) допускает инва-
*) Результаты этого пункта нам понадобятся лишь во второй главе.
Поэтому при первом чтении можно этот пункт опустить.
**) Форма (ф-i, ф„) называется невырожденной, если в пространстве R нет
вектора ф0 такого, что (ф, ф0) = 0 для всех ф.
П. 9]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 207
риантную невырожденную эрмитову форму, а также найдем ее
общий вид.
Пусть пространство /?, где действует представление g —> Тд соб-
ственной группы, раскладывается в прямую сумму неприводимых
подпространств в которых действуют неприводимые компоненты т
представления g —> Тд с парами т (/J, /j). Выберем в каждом из R
канонический базис Цг»»)- Объединение этих базисов даст базис во
всем пространстве R.
Запишем эрмитову билинейную форму (фг, ф2) в базисе {^т„г}:
(Ф1> Фг) == almVin' %1тУl'm',	(2o)
где xim, yi'm' — координаты векторов ф1; ф2 в базисе {^m|, а ма-
трица \\ауп1 'ш' У — А ма,рица билинейной формы, причем dimi' тп' —
= drm'im- В случае невырожденной формы (фр ф2) матрица А также
не вырождена, т. е. никакой вектор £ф=0 не переводится этой ма-
трицей в нуль.
Предположим, что форма (ф,, ф2) инвариантна относительно пред-
ставления g~+ Тд. Выясним, какие условия это требование налагает
на матрицу А.
Пусть оператор представления g-+ Тд записывается в базисе {	}
матрицей U д. Очевидно, что для матрицы А инвариантной формы
(Ф1> Фг) выполнено соотношение
UqAU*g = А
или
AU^--=UqA.	(27)
Вращениям g, как мы знаем (в базисе {}), соответствуют уни-
тарные матрицы. Отсюда для вращений получаем:
UgA - AU д,	(28)
т. е. матрицы U д, соответствующие вращениям g, перестановочны
с матрицей А.
Рассмотрим гиперболический поворот ' gQ3 в плоскости (х0, х3).
Запишем при малых ср матрицы Ugi3 и (идт г.-;) :
= + «(?)> !
*-i	*	„	>
и'д.*У) = идЛ— ?) = В + ф-о (ср) j
(где — матрица оператора F3).
Подставляя соотношения (29) в равенство (27), получаем:
AF3 = Р3А.
(29)
(30)
208
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. П
Мы получили, таким образом, что матрица А, задающая в канони-
ческом базисе инвариантную билинейную эрмитову форму, удо-
влетворяет соотношениям:
(31)
1)	UgA = AUg, если g—элемент группы вращения,
2)	ЛГ3 —Рз₽Д = 0 и
3)	А —А*.
Легко показать, что, обратно, всякий оператор А, удовлетворяющий
этим соотношениям, задает в каноническом базисе форму, инвариант-
ную относительно представления собственной группы Лоренца.
Сейчас мы найдем общее решение соотношений (31), а также
выясним, какие неприводимые компоненты т содержатся в представ-
лении g-^-Tg, допускающем инвариантную форму.
Остановимся сначала на первом условии и найдем общий вид
оператора А, перестановочного со всеми Uff, когда g—вращение.
Заметим, что матрица Ug представления группы вращений в кано-
ническом базисе и может быть записана в следующем «кле-
точном» виде:
о ...	0...
о ^Д... 0...
us=	0	0 ... и%...
где Ugi — матрица неприводимого представления группы вращений
с весом I, участвующего в неприводимой компоненте т представле-
ния g-+Tg всей собственной группы. Матрицу билинейной формы
Л - 11 (limi'm' | j
аналогичным образом разобьем на клетки:
Au'		V 
	л1в1, 	lYi
где
Ац- =	(m = —Z, .... Z; m' = — I', ..., Z')
— прямоугольная матрица размером (2Z-J- 1) X (2Z' -p 1).
Из соотношения
UeA^AUg
П. 9]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 209
вытекает, что
U}iAw^A^U^gl.	(ЗГ)
Из этого равенства в силу общей леммы Шура (см. § 1, п. 7) сле-
дует, что матрица Л», либо равна нулю, либо является квадратной
невырожденной матрицей. В последнем случае представления 77^ и U~oi'
эквивалентны, следовательно, I = I' и матрица Л» имеет вид
Аи< = А}" ОгГ,
где = 1 при I — I' и — 0 при I ф Г.
Далее, так как представления Ugi и Ugi эквивалентны, то их
матрицы, записанные в каноническом базисе, совпадают, т. е.
Равенство (31) принимает вид
UgJAT' = AY'U д1,
т. е. матрица Лр перестановочна с матрицами Ugi неприводимого
представления группы вращений. Такая матрица, как мы знаем, кратна
единичной
А?' = аТ'Е.
Отсюда для матричных элементов aYni’m’ получаем окончательное
выражение
a i ini' т' == О-l	(32)
Отметим, что при выводе формулы (32) мы пользовались только тем,
что матрица А коммутирует с матрицами представления группы вра-
щений.
Таким образом, матрица всякого оператора, коммутирующего
с операторами из представления группы вращений, или, что одно
и то же, с инфинитезимальными операторами Н+, Н_, Н3 этого
предста,вления, в каноническом базисе {$?,«} имеет вид (32).
Полученной формулой (32) мы будем часто пользоваться в даль-
нейшем.
Нам осталось теперь найти вид чисел а? . Воспользуемся теперь
соотношением 2) из (31), которое можно переписать так:
(^т.	(33)
для любой пары базисных векторов и &т>. Подставляя в (33)
выражение для F3 (см. (13)) и раскрывая (33) с помощью (26) и (32),
210	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
мы придем к следующим равенствам:
Aja?'= А? а?',	'	(34)
W =	(35)
= —c?4-i.	(36)
Из этих равенств и из формул (16) получаем, что а? =£ 0 и 0
только при
Z</i4~ W1 — 0,
2,9	/2	/2
/э 1\ = Zq 1\ .
Отсюда следует, что
(4 Zi) = Go> —Ч)	[или (ё> о) = (—Zo, М-
Так как мы предполагаем, что форма (фр 62) не вырождена, то для
каждой компоненты т представления g —> Тд найдется такая компо-
нента т*, что cii'' 0 при всех I. Таким образом, инвариантная не-
вырожденная билинейная форма может существовать лишь в том слу-
чае, если в представлении g-^Tg наряду с каждой неприводимой
компонентой т, определяемой числами (Zo, Zj), содержится неприво-
димая компонента т*, определяемая числами (10, —Zt). В частности,
если представление g —> Тд состоит из одной компоненты, т. е. если это
представление неприводимое, то инвариантная билинейная форма су-
ществует лишь при условии (Zo, —	—It), т. е. либо 1) Ц—
чисто мнимое, a Zo—любое целое или полуцелое, либо 2) веще-
ственно, а Zo=0*).
Заметим еще, что если представление g-^Tg (для которого ин-
вариантная невырожденная форма существует) содержит несколько
эквивалентных между собой компонент .... in, то оно должно
содержать столько же эквивалентных между собой компонент
<,.. .у
1’ ’ »•
Определим теперь числа а^'. Из (35) имеем:
Cf
аГ =------(37)
*) Интересно сравнить полученный результат с результатами предыду-
щего пункта, где отыскивались условия унитарности неприводимого предста-
вления. Унитарность означает существование инвариантной эрмитовой поло-
жительно определенной формы. Полученные там дополнительные ограничения
во втором случае (/0 = 0, Zt вещественно и | Zi | < 1) связаны с положительной
определенностью формы, задающей скалярное произведение.
П. 9]	§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 211
Поскольку-----—
1 (см. формулу (16)), то
(11
тх*
(38)
, тт*
а
Заметим, чго в случае конечномерного представления (Zt действи-
,	Cf
тельно и / < | 41) отношение —- можно считать положительным
Q
(см. сноску на стр. 158), т. е. для конечномерного представления а}х —
== — az-r
Числа Л'" = а~'~ могут быть любыми. Различным наборам этих
чисел соответствуют различные билинейные инвариантные формы.
Подведем итог всему сказанному.
Представление собственной группы Лоренца g допускает
инвариантную невырожденную эрмитову билинейную форму в том
и только том случае, когда в этом- представлении число непри-
водимых компонент т, определяемых парой (10, 1-J, совпадает с чи-
слом неприводимых компонент т*, определенных парой (Zo, —7t)
(или и тех и других—бесконечное число). При этом сама инва-
риантная невырожденная эрмитова форма в каноническом базисе
{Sm} представления g~>T имеет вид
(Фо Фг) = 2 a^sfxl^tn,	(39)
где {xz,7i} и {.У/т}— координаты векторов и Ф2 8 каноническом
базисе. Здесь s7’ ' — zt 1, причем для конечномерных представлений
можно положить в]'' = (—l)[Zj’; числа azz* — a~'*z произвольны, с
тем, однако, условием, чтобы матрица	где- тр т2, ..., zn —
набор всех эквивалентных между собой компонент (равно как и
набор Т], ..., т,,), была невырожденной.
В том частном, но важном случае, когда представление
g —> Тд собственной группы состоит из двух неприводимых ком-
понент т-—(Zo, Z,) и V — (10, /1), инвариантная невырожденная эр-
митова форма существует тогда и только тогда, когда пары
(Zo, Zj) и (l0, tg) связаны соотношением (Iq, Ц) — -л- (Zo. —ZJ; иными
словами, из двух величин, преобразующихся по неприводимым
представлениям х и п.’ собственной группы Лоренца, можно со-
ставить невырожденную инвариантную эрмитову форму в том
и только том случае, когда эти представления задаются парами
т—(Zo, Л)>	= —(Zo, — Zt).
Заметим, что, перейдя в R к новой системе координат, мы можем при-
вести нашу форму к некоторому более простому виду.
Действительно, пусть nj, ...,т„— эквивалентные между собой компо-
ненты, определяемые парой (Zo, Р), а тр ...,	— эквивалентные компоненты,
212	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
отвечающие паре (Zo,—Zt). Инвариантная невырожденная форма может су-
ществовать, лишь если тех и других компонент имеется одинаковое число
(может быть, и бесконечное).
Выбрав векторы
3
ft .»
и мы всегда можем добиться того, что
a-i = Зу.	(40)
Точно так же, если -4, ...,	— совокупность эквивалентных компонент, для
которых эквивалентно то, вводя новые векторы
мы добьемся того, чтобы
aVy = ±3i7.	(41)
Приведение билинейной формы к описанному виду вполне аналогично при-
ведению квадратичной формы к сумме квадратов.
§ 3. Представления полной и общей групп Лоренца*)
1. Предварительные замечания. Напомним, что полная группа
Лоренца получается из собственной группы Лоренца добавлением
пространственного отражения, т. е. преобразования s с матрицей
—1	000
0—1	0 0
0	0—10
0	0	0 1
и всевозможных произведений вида sg', где g'— собственное пре-
образование Лоренца. Преобразования вида sg' будем называть не-
собственными преобразованиями Лоренца.
Пусть задано какое-нибудь представление полной группы Лоренца
g -> Тд. Тем самым возникает и представление собственной группы
g' —> Тд-. Обозначим через S оператор, соответствующий отраже-
нию s, s—(S2 = E). Тогда каждому несобственному преобразова-
нию Лоренца sg' соответствует оператор STg’. Пусть по-прежнему
Н+, Н_, Н3, F+, F_, Fs — инфинитезимальные операторы представ-
*) Этот параграф помещен здесь по логике изложения, однако мы ре-
комендуем читателю при первом чтении его опустить и сразу перейти к чет-
вертому параграфу.
П. 1]	§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 213
ления g' —► Тд' собственной группы. По этим" операторам представ-
ление g' —> Тд' однозначно восстанавливается. Для того чтобы полу-
чить представление g~>Tf) полной группы, нужно знать еще, как
действует оператор S. Итак, представление полной группы за-
дается инфинитезимальными операторами Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3
и оператором S, соответствующим отражению s.
Напишем соотношения коммутации между операторами Н+, Н_, Н3,
F+, F_, F3 и S. Поскольку отражение перестановочно с вращени-
ями, то и оператор S коммутирует с операторами, соответствующими
вращениям. Следовательно, имеют место соотношения
SH+S~l = H+, SH_S~1 = H^, SH3S~1 = H3.	(1)
Если рассмотреть преобразования в плоскостях (х0, х^, (х0, х2),
(х0, х3), то можно легко убедиться, что для этих преобразований
имеют место равенства s~1goks = g~^ (k— 1, 2, 3) (gok—собствен-
ное преобразование Лоренца в плоскости (х0, xfe)).
Аналогичные равенства возникают и для операторов Тд и S
Отсюда для инфинитезимальных операторов получаем:
5F+S-1 = — F+,	SF_S~1= — F_,	SF3S~1 = — F3.	(2)
В следующем пункте мы найдем вид операторов И+, Н_, Н3, F+,
F_, F3 и S для неприводимого представления полной группы Ло-
ренца.
Сделаем предварительно следующее замечание. Пусть в про-
странстве R действует представление полной группы Лоренца g ~+Тд
(приводимое или неприводимое—безразлично) и g'~*Tg'—порождаемое
им представление собственной группы в R, S—оператор, соответ-
ствующий отражению. Напомним, что для элементов собственной
группы g' имеет место равенство sg's-1 = (g')*-1 (s — простран-
ственное отражение).
Аналогичное равенство имеет место и для операторов предста-
вления g' —> Тд< и S
SfyS'1 = 7^.-1.	(3)
Напомним, что представление g'Т(д’)*-Г собственной группы Ло-
ренца мы назвали сопряженным к представлению g' Тд<.
Равенство (3) означает, что представление g’ —> T$ собственной
группы Лоренца эквивалентно представлению g’ —► Т(д’у> -1.
Таким образом, представление собственной группы Лоренца
g'-^-Тд', порождаемое представлением полной группы Лоренца
214	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
g —>Тд, эквивалентно своему сопряженному представле-
нию g' ->
После этого замечания перейдем к описанию неприводимых пред-
ставлений полной группы Лоренца.
2. Неприводимые компоненты представления собственной
группы Лоренца, порожденного неприводимым представлением
полной группы. В пространстве R, где действует неприводимое
представление g-+Tg полной группы, задано тем самым предста-
вление g' —> Тд’ собственной группы (вообще говоря, приводимое).
Покажем, что представление g' —> Тд' собственной группы Ло-
ренца в пространстве R или неприводимо, или раскладывается
в сумму двух неприводимых представлений (т. е. пространство R
разбивается на два подпространства, неприводимых относительно
представления g'—> ТдУ. Пусть /?' — подпространство из R, где
представление g' —> Тд- собственной группы неприводимо и опре-
деляется парой т(Zo, /t). Обозначим через образ подпростран-
ства R. при действии оператором 5 (т. е. совокупность всех векто-
ров вида S?, где ; — элемент /?т). Очевидно, что R" является под-
пространством в R. Оказывается, что R' инвариантно относительно
операторов Н+, Н_, Н3, F + , FF3. Действительно, R инва-
риантно относительно операторов Н+, Н_, Н3, Fj., F_, F3, т. е.
HJf = R\ FaRz = Rz (а = —3).
Но в этом случае из соотношений коммутации (1) имеем:
HaRz = HrjSR~- = SH.R' = SR' = R':
и
F„RZ = F^SR'- = — SFR' = — SRz = ~ R'' = R\
T. e. R~ инвариантно относительно операторов FR и Frj, и сле-
довательно, инвариантно относительно операторов Тд,, соответ-
ствующих собственным преобразованиям Лоренца. Нетрудно видеть,
что представление собственной группы g' —> Тд,, действующее в Rz,
неприводимо. Действительно, если бы в Rz нашлось подпростран-
ство R'z, инвариантное относительно представления g' —> Тд, соб-
ственной группы, то SR'Z снова было бы инвариантно относительно
этого представления g' -+Тд>. Но поскольку SRZ = Rz (вспомним,
что S2 — E), то SR'Z составляло бы часть пространства Rz и пред-
ставление g' -> Тд' в Rz было бы приводимо, вопреки тому, что
предполагалось о пространстве R\
п. 2]	§ 3. представления полной и ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 215
Таким образом, в пространстве где действует неприводимое
представление полной группы, наряду с каждым подпростран-
ством R', в котором представление собственной группы g' -> Тдг, не-
приводимо, есть подпространство /?*, в котором представление
£'-> Тд' собственной группы также неприводимо (при этом SRZ=RT).
Заметим, что пространства FT и FT либо совпадают, либо не
имеют отличных от нуля общих элементов. Действительно, подпро-
странство R, по которому пересекаются пространства R“ и RT ин-
вариантно относительно представления g' —> Тд> собственной группы.
В силу неприводимости обоих пространств FT и FT подпростран-
ство R либо совпадает с -каждым из них (и, следовательно, сами
эти пространства совпадают), либо равно нулю.
Итак, возможны два случая.
1.	Пространства FT и R' совпадают друг с другом и, следова-
тельно, со всем пространством R, где действует неприводимое пред-
ставление полной группы Лоренца. Другими словами, представле-
ние собственной группы g'->-Tg', порождаемое неприводимым
представлением полной группы, также неприводимо.
2.	Пространства R" и R" не имеют общих элементов, отличных
от нуля. В этом случае, очевидно, их прямая сумма совпадает со
всем пространством R, где действует неприводимое представление
полной группы.
Покажем, что в случае 2 представления собственной группы,
действующие в R~ и R', сопряжены друг другу и не эквивалентны
между собой.
Запишем тождество (3) в виде
S7> = 7V*)-iS.	(3')
Применим левую и правую части (3) к вектору ; из R\ Так как
Тд' порождает в Rz представление Тд', а в R'—представление ТТ, и
так как S переводит ГТ в R\ имеем:
srg^=r(g,^ST	(3")
В силу определения эквивалентных представлений (§ 1, п. 6) ра-
венство (3") означает, что представления Т^ и эквивалентны,
т. е. представление Тд' сопряжено представлению Тд'.
Осталось показать, что представления Тд. и Тд' не эквивалентны.
Для этого покажем, что если они эквивалентны, то предста-
вление g -+Тд полной группы в пространстве R приводимо.
216
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч, п
Действительно, пусть представления g' —> Т'д- и g' -> эквива-
лентны. Пользуясь этим построим в пространстве R оператор L, не
кратный единичному и перестановочный со всеми операторами Тд
представления g-+Tg полной группы. Это и будет означать, что
представление g Тд приводимо.
Оператор L строится так: выберем в и R? базисы так, чтобы
операторы Тд> и Тд’ записывались в них одинаковой матрицей Ад.
(Это возможно, поскольку представления Тд' и Тд' эквивалентны.)
Объединив оба эти базиса, мы получим во всем пространстве R
базис, в котором оператор Тд' запишется матрицей
0 |
о Ад.\’
а оператор S, переставляющий пространства R' и R\ — матрицей
О Jc
о~ 0 •

Поскольку S2 = E, то аа = Е, и окончательно
Соотношение	превращается, очевидно, в
аД^о“1 = Л(^)*-1.
Рассмотрим теперь оператор
о О
s-= о » 
В силу только что сказанного
S^S^T^.	(3W)
Наконец, строим оператор
О а2\
Е О/
L =	=
Из (3') и (Зда), очевидно, вытекает, что LT# = Тд, L. Кроме того,
с помощью непосредственной выкладки убеждаемся, что LS = SL.
Итак, мы построили оператор L, не кратный единичному и переста-
новочный со всеми операторами представления полной группы. Таким
образом, доказано, что для неприводимого представления полной
группы компоненты Тд и Тд представления собственной группы не
эквивалентны.
П. 3]	§ з. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 217
Перейдем к нахождению пар (/0, /J, которыми определяются непри-
водимые компоненты представления собственной группы, порожденные
неприводимым представлением полной группы Лоренца.
Первый случай. Представление g' —> Тд> собственной группы
Лоренца (порожденное неприводимым представлением полной группы
Лоренца) неприводимо.
Как мы знаем, это представление эквивалентно своему сопряжен-
ному. Напомним, что если неприводимое представление собственной
группы Лоренца g' —> Т(у определяется парой (/0, /Д то сопряженное
ему представление g'—>Т	также неприводимо и определяется
парой z±z(/0, —li)- Отсюда следует, что неприводимое представление,
эквивалентное своему сопряженному, должно определяться парой вида
(О, или (/0, 0) (т. е. одно из чисел /0 или 1г равно нулю).
Итак, в случае, когда неприводимое представление полной
группы Лоренца g-+Tg порождает неприводимое представление
собственной группы g' -> Т', пара (/0, IJ, определяющая это пред-
ставление, имеет вид (0, или (/0, 0).
Второй случай. Представление g’ -+Ту собственной группы
распадается на две неприводимые компоненты.
Пусть одна из них задается парой (/0, /Д Так как вторая ком-
понента сопряжена ей, то она задается парой (/0.—О- Ввиду
того, что эти компоненты не эквивалентны, ни одно из чисел /0 и 1Х
не равно нулю.
Таким образом, в случае, когда представление собственной
группы, порожденное неприводимым представлением полной группы,
состоит из двух компонент, то последние задаются парами (/0,
и -ч- (/0. —/Д причем ни одно из чисел 10 и Ц не равно нулю.
3.	Оператор пространственного отражения. Найдем вид опера-
тора пространственного отражения S в базисе Дот}— каноническом
базисе представления g'-^-Tg< собственной группы.
I. Рассмотрим сначала первый случай (представление g' -+Ту
неприводимо).
Напишем:
S&m ==	SlmVm'&m' •	(4)
I'm’
Мы определим общий вид чисел Simnm'.
Воспользуемся соотношениями (1), означающими, что оператор 5
коммутирует с операторами представления группы вращений g
(g—вращение), порожденного представлением полной группы. В п. 8
предыдущего параграфа был найден общий вид матрицы такого опе-
ратора в каноническом базисе Согласно полученной там фор-
муле (32) числа slmVm, имеют вид
s, ,, ,=$,8 ,8„,
Iml'm' I mm' IV	Г
218	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
(индексы т и т', фигурирующие в формуле (32), мы опускаем). Нам
остается найти числа sz.
Воспользуемся для этого соотношением SF3 =— F3S или SF3^m—
— — F3S^lm. Подставляя в это равенство выражение для оператора F3
(см. § 2, (14)) и учитывая, что число Аг, входящее в выражение
для этого оператора, равно в нашем случае нулю, мы получим:
Sl = —
Таким образом, получаем:
5г = (-1)’%
(/0—наименьший вес, участвующий в представлении g' —> Тд>). Так
как S2 = E, то sz = -ч- 1.
Итак, для оператора 3 мы получаем два выражения, отличаю-
щиеся лишь знаком,
5^ = (-1)|П?гто	(5)
ИЛИ
seZm=(-if,+1^.	(5э
Это и есть окончательный вид оператора S.
Заметим, что оба выражения (5) и (5') для оператора 3 приводят
к двум неэквивалентным представлениям полной группы **).
Таким образом, получили следующий результат:
В случае, когда неприводимое представление полной группы
Лоренца g —> Тд порождает неприводимое представление собствен-
ной группы g' —> Тд’, последнее эквивалентно своему сопряжен-
ному g'	(т. е. определяется парой вида (0, Zt) или (10, 0)),
а оператор S в каноническом базисе представления g' —► Тд> имеет
вид (5) или (5') {отличающийся от первого лишь знаком).
Легко видеть, что, по существу, нами доказано также обратное
утверждение:
*) Согласно формуле (16) § 2 Aj =
ZZpZj
/(Z+1)
так как либо Zo = 0, либо
Zj = 0, то Ai — 0.
**) Покажем, что обе формулы для оператора S приводят к двум неэкви-
валентным представлениям gи £->- полной группы. Действительно,
пусть они эквивалентны, т. е. найдется такой оператор В, что
5ГР) = т-(2)в.
Поскольку для элементов собственной группы g' Т^) = Т®) и представление
g' -> Т^) собственной группы неприводимо, то В = У.Е. Отсюда следует, что
S(2) = BS^B-I = д(2),
т. е. вид оператора S у обоих эквивалентных представлений g-*-?^ я
одинаков, т. е. либо задается формулой (5), либо формулой (5')-
п. 3]	§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 219
Всякое неприводимое представление собственной группы g' -> Тд-,
эквивалентное своему сопряженному (т. е. определяемое парой
вида (О, /J или (Zo, 0)), может быть дополнено до представления
полной группы Лоренца g~^-Tg, действующего в том же про-
странстве двумя неэквивалентными способами, отличающимися
знаком оператора S. Сам оператор S действует либо по фор-
муле (5), либо по формуле (5').
II. Перейдем ко второму случаю. Представление g' -> ТЯ' соб-
ственной группы, порожденное неприводимыми представлениями полной
группы Лоренца, приводимо и раскладывается в сумму двух пред-
ставлений	и g'~+Tg,, действующих соответственно в про-
странствах R'~ и R\ При этом, как мы видели, пространства R’ и R"
переходят друг в друга под действием оператора S: SRZ — Rz и
5/?т = /?т. Выберем в пространстве/? базис	составленный
из канонических базисов представлений g' —> Тд, и g' = Т'д, в про-
странствах /?' и Rz. Найдем вид оператора S в базисе {^ }.
Напишем
2 il'm' и Sfym = 2	*l'm’ 	(®)
Мы должны найти общий вид чисел и synil,m,  Снова вос-
пользуемся, прежде всего, тем, что оператор S перестановочен со
всеми операторами представления группы вращений, порожденного
исследуемым представлением общей группы Лоренца. Как упоминалось
выше, общий вид такого оператора был найден в предыдущем пара-
графе (п. 8). Используя выведенную там формулу (32), получаем:
Shnl'm' =	Slml'm'~	'	(°)
Итак, оператор S в базисе •[	} имеет вид
= s^im = sT4m-	(6">
Заметим, кроме того, что из равенства S2 — E следует, что
= 1 
Нам осталось определить числа и sp. Обратимся для этого
к соотношению коммутации F3S — — SF3. Пользуясь формулами
(см. § 2, (6") и (13)), получим следующие равенства:
0^+0^ = о,
220
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Поскольку для двух сопряженных между собой представлений
и g -> Т'д =—Aj, a C, = CJ (см. формулы (16) § 2), то первое
равенство удовлетворяется автоматически, а из двух других следует,
что
= — sx'- и s)1 = — sy ..
Отсюда
8? ~ (— 1 )Ш S?,	SF = (— 1 )W «Г }
4	Lq	i	'	'
И
(7)
Формулы (7) для чисел sj1 и дают общий вид оператора S
в базисе j %jm, |. Заметим, что при выводе этих формул мы поль-
зовались только соотношениями коммутации между оператором S
и инфинитезимальными операторами Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3 пред-
ставления собственной группы Лоренца g' —> Тд. и равенством S2 — Е.
Таким образом, формулы (7) дают общий вид оператора S,
который удовлетворяет соотношениям коммутации (1), (2) и
действует в том же пространстве, где задано неприводимое
представление полной группы Лоренца (порождающее приводимое
представление g' —> Тд< собственной группы). Этим замечанием мы
воспользуемся в следующих пунктах для построения представлений
общей группы Лоренца.
Оператор 5, определенный формулами (7),' может быть приведен
к еще более простому виду преобразованием базиса	не
меняющим вида операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3. Положим
с этой целью =	получим, что при этом
в новом базисе
, • д’ , • S •
q'VI __ СТТ	_г
h ~ Р Л>’ 1о ~ а Ч 
Выбирая подходящим образом а и {3, можно добиться, чтобы
s'™ = s'™ = I.
*0	*0
Итак, для оператора S получаем окончательно:
= j
Таким образом, в базисе	оператор S записывается матри-
цей
П. 4]	§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 221
где матрица S имеет вид
Подведем итог сказанному.
В случае, когда неприводимое представление полной группы
g —> Тд порождает приводимое представление собственной группы
g' —> Тд’, то последнее раскладывается в сумму двух неэквива-
лентных сопряженных между собой неприводимых представлений
g'-+Tz, и g'->Tz, собственной группы; при этом пары чисел,
определяющие эти представления, имеют вид т-—(/0, и
т ~	(— /0, У Go ¥= 0, /j 0). Оператор S в базисе {izm, zjnl}, со-
ставленном из канонических базисов представлений g' —> Tz, и
g'-tT*, задается формулой (8).
Легко видеть, что справедливо и обратное: два неэквивалентных
сопряженных между собой неприводимых представления g —> Tz,,
g' —> Tz, {такие представления определяются парами т (/0, /()
и т~(—10, R) (Zo #= 0,#= 0)), действующие в пространствах
R' и Rz, дополняются единственным (с точностью до эквивалент-
ности) способом до представления полной группы g->- Тд, дей-
ствующего в прямой сумме пространств R‘ -j- Rz = R. Опера-
тор S имеет при этом вид (8).
Оба рассмотренных нами случая I и II полностью исчерпывают
все возможные неприводимые представления полной группы. Таким
образом, мы дали полное описание этих представлений.
4. Неприводимые однозначные представления общей группы
Лоренца. Общая группа получается из полной группы Лоренца доба-
влением временного отражения t, т. е. преобразования с матрицей
10	0	0
0	10	0
0	0	1	о
0	0	0	—1
и всех преобразований вида tg, где g—элемент полной группы.
Заметим при этом, что преобразования $ (пространственное отраже-
ние) и t перестановочны и их произведение равно полному отраже-
нию j в четырехмерном пространстве
st — ts = j,	s2 — t2 = j2=te.	(9)
Преобразование j (полное отражение) перестановочно с любым
общим преобразованием Лоренза
Jg*=gj-
(9Л)
222	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Ж
Рассмотрим какое-нибудь неприводимое представление общей
группы g-+Tg. Пусть S, Т, J—операторы, соответствующие отра-
жениям s, t и j. В таком случае
ST—TS — J и J2=Si=T2 = E.	(10)
Кроме того, оператор J перестановочен в силу соотношения (9)
с любым оператором представления
JTg=TgJ.	(И)
Но оператор, перестановочный с операторами неприводимого пред-
ставления, кратен единичному, т. е. J='kE. Так как J2=E, то
л — pez 1 и либо J—E, либо J——Е.
Отсюда, следовательно, либо T=S~1 = S, либо Т= — S.
Такам образом, всякое неприюдимое представление полной
группы Лоренца может быть дополнено до неприводимого пред-
ставления общей группы двумя способами', либо путем введения
оператора T=Tt по формуле
T—S,	(12)
либо путем введения оператора Т по (формуле
T= — S.	(12')
Очевидно, что таким образом получаются все неприводимые одно-
значные представления обшей группы.
о. Двузначные представления общей группы Лоренца. Как
было указано еще в § 1, кроме однозначных представлений общей
группы Лоренца, характеризующихся тем, что операторы S, Т, J,
соответствующие отражениям, коммутируют между собою, интересны
также и двузначные представления общей группы.
Напомним, что в таких представлениях каждому элементу (е, s, t, J)
группы отражений соответствуют два оператора Дд Е, S, ± Т, -+-J.
отличающихся знаком, причем операторы S, Т, J между собой анти-
комму тиру ют.
Найдем вид этих операторов для неприводимого двузначного
представления общей группы.
Можно показать, что всякое такое представление порождает
представление собственной группы g'	состоящее из двух
компонент Т^, и Т*,, сопряженных между собой *). При этом
компоненты Т' и Т~ могут быть как неэквивалентными, так и экви-
g в J
валентными; в первом случае представление полной группы, поро-
*) Доказательство этого факта може^ быть получено некоторым усовер-
шенствованием тех рассуждений, с помощью которых в п. 2 этого параграфа
мы показали, что неприводимое представление полной группы состоит из
двух или одной компоненты представлёний собственной группы.
5]	§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 223
ждаемое представлением общей группы, также неприводимо, во вто-
ром случае представление полной группы приводимо, но распадается
на два неэквивалентных представления, отличающихся видом опера-
тора S. Рассмотрим оба случая отдельно.
Рассмотрим сначала случай, когда Tj и Tj неэквивалентны.
Представление g-+Tg общей группы порождает в этом случае
неприводимое представление полной группы, причем оператор S
в базисе	записывается формулой (8)
Найдем оператор Т, соответствующий временному отражению t:
t->±T. Поскольку для элементов g’ собственной группы выпол-
няется равенство
то и для оператора Т имеет место аналогичное равенство
ТТ ,Т~' = Т, ,w_t.
д’	(д'7*
Всякий такой оператор Т для представления собственной группы
g' —> Тд<, состоящего из двух сопряженных компонент Т$. и 7^,,
как мы видели в п. 3, имеет вид (7)
= (- 1)IZ1 С , njm = (- 1)|Z|	.
Из условия ST ——TS и T2 — E находим, что
и = — tT = i — V^A .
<-0	J	^0
Итак, оператор T задается формулой
T$m = (- 1)WZ$L,	- (- if •
Найдем теперь оператор J== TS. Получаем:
^lm &lm’ ^Im fym ’
Заметим, что операторы S, T, J в базисе	записываются
матрицами
О §
S О
— IS О
J=
— IE
О
О
IE
(13)
где 3>— диагональная матрица, имеющая вид S = ||(—l),Zi,
Е — единичная матрица.
224	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Легко проверить, что операторы •$, Т, J (13) антикоммутируют
и вместе с единичным оператором Е образуют, тем самым, двузнач-
ное представление группы отражений: s-*zt>5; t —► zt Т\ j —► J',
e-+ + E.
Ишак, в случае двузначного неприводимого представления об-
щей группы Лоренца, содержащего две неэквивалентные компо-
ненты представления собственной группы, операторы S, Т, J,
соответствующие отражениям в каноническом базисе {^т,	},
записываются матрицами (13).
Рассмотрим теперь случай, когда компоненты Т'д, и Тд, предста-
вления собственной группы, порожденного двузначным представле-
нием общей группы, эквивалентны. В этом случае представление
g~+Tg полной группы Лоренца приводимо. Можно показать, тем
не менее, что обе компоненты представления полной группы не экви-
валентны: оператор S действует в одной из них по формуле
= (- 1)’^
и в другой — по формуле
S^ = (-1)[Z, + '^.
Матрица оператора S в базисе ( С , & 1 имеет вид
I 4 7П 4	)
где снова
Найдем вид оператора J, соответствующего полному отражению.
Этот оператор коммутирует с оператором Тд’ из представления соб-
ственной группы g'^-Tg’. Легко показать, что в базисе
он запишется с помощью матрицы
j___I
| ^21^	^-22^ I
Из условия SJ= — JS и J2 — — Е имеем:
или
_ tr jti ___________________________е’
J-lm V	Нт‘
Наконец, для оператора T=JS имеем:
п1т=- (- i)w	=- (_ 1	.
П. 5]	§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 225
т. е. матрица для оператора Т в базисе {& 1 имеет вид
I 1Тп 1m {
О — S
т=
— S о
Легко проверить, что операторы S, Т, J по-прежнему перемножаются
по таблице (13).
Заметим, что в сумме пространств R и R~ мы можем перейти
к базису, в котором оператор J диагоналей, а именно, к базису
Izml’
Подпространства R; и R^, натянутые соответственно на базисы
{Sm}> {’Izm}’ инвариантны и неприводимы относительно представления
g'-^-Tg- собственной группы, причем базисы {%im} и {т]гот} являются
по-прежнему каноническими.
В базисе {4lm, т[1т} матрицы операторов S, Т, J примут вид
0 S|	I О /S I ’	. ,\-1Е 0 |
§ of I-iS О Г .. | О 1Е\\
Такой же виД'-эти матрицы имели в предыдущем случае двух неэкви-
валентных компонент Тд’ Тд> представления собственной группы.
Таким образом, объединяя оба эти случая вместе, мы получаем,
что неприводимые двузначные представления общей группы содер-
жат всегда два сопряженных друг другу неприводимых предста-
вления собственной группы, при этом в пространстве R, где
действует наше представление, всегда можно так выбрать
канонический базис, что операторы S, Т, J запишутся в нем
матрицами
S =
О
S
§
о
т=
о
— iS
is
о
J=
— IE О
О IE
(14)
где матрица S = ||(— 1)[г] Ьтт' ||-
Заметим в заключение, что если
(SSm ( перейти к базису {Sm,
от канонического базиса
Sm = Sm,	sZm = (— 1/ Sm,
то операторы S, T, J в этом базисе запишутся матрицами
I— IE 0	10 El	II 0 1Е\
I 	е—	т —
| 0 IE ’	|£ 0|’	|| — IE 0Г
Такой вид матриц операторов S, Т, J будет нами использован
в § 5.
226	ГЛ.‘1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
6. Билинейная эрмитова невырожденная форма, инвариантная
относительно представления полной группы Лоренца. Выясним,
в каких случаях представление g-+Tg полной группы Лоренца
допускает инвариантную невырожденную билинейную эрмитову форму
(Фо фг)> и найдем ее вид.
Представление g-*Tg полной группы распадается на непри-
водимые компоненты, каждая из которых содержит либо одну непри-
водимую компоненту представления собственной группы Лоренца,
либо две неэквивалентные сопряженные друг другу компоненты тит.
Рассмотрим представление g' -> Тд’ собственной группы, порож-
денное представлением*-^ —полной группы Лоренца.
Напомним, что представление g'—>Tg’ допускает инвариантную
билинейную эрмитову невырожденную форму тогда и только тогда,
когда число неприводимых компонент этого представления, опреде-
ляемых парой (/0, Zi), равно числу компонент т* с парой (/0, —
При этом в каноническом базисе {^от} представленияg' Тд’ инва-
риантная форма (Фр ф2) имеет согласно (39) § 2 вид
Фг) ==	®	(15)
где х]т, y'lm — координаты и <f2 в базисе и а''* —а'’'—
любые комплексные числа, отличные от нуля, лишь для компонент
т — (Zo, Zx) и т* — (/0, — /г); зг = dr 1 (для конечномерного предста-
вления sz=(—	Для инвариантности формы (15) относительно
полной группы нужно еще, очевидно, чтобы
(5ф1( s<p2)=oh, <?2);	(16)
где S — оператор, соответствующий пространственному отражению.
Отсюда
=	(17)
Подставляя в равенство (17) выражение для S (см. (5), (5'), (8)),
получим, что числа, задающие инвариантную билинейную форму,
должны удовлетворять условию
а =±и".	(18)
При этом в случае, если т — т, (т. е. компонента т определяется
парой т(0, /х) или т(/0, 0), а следовательно, ит*= т*), оператор S
должен действовать в пространствах R' и R' одинаково, т. е.
либо по формулам
S£m = (— l)U1&n и Stfm = (— 1)ИС,	(19)
П, 6]	§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 227
либо по формулам
l)w+4k И SC = (— 1)[Z1 + 1C	(20)
(см. п. 3, случай I).
Сформулируем теперь полученный результат.
Наряду с каждой неприводимой компонентой / представления
полной группы Лоренца, состоящей из двух компонентти тпред-
ставления собственной группы
Z (т Go> У > (70, О )> ('о /j =т= 0)
рассмотрим другою неприводимую компоненту у*, также состоящую
из двух компонент т* и т* представления собственной группы
z*(^(/0> — 7Т);. «z0, о).
Точно так же для каждой неприводимой компоненты представления
полной группы /, состоящей из одной компоненты представления
собственной группы
/ — т (0, ZJ или / — т (Zo, 0),
рассмотрим неприводимую компоненту /*, состоящую из компо-
ненты
/*—т*(0, — Zj) или /*—т*(/0, 0),
причем так, что оператор S действует в компонентах / и у* оди-
наково (одновременно, либо по формулам (19), либо по формулам (20)).
Таким образом, мы получили, что представление g~+Tq
полной группы допускает инвариантную невырожденную билиней-
ную эрмитову форму в том и только том случае, если число
эквивалентных между собой компонент ул, . ..,	совпадает
с числом эквивалентных между собой компонент у\,... ,ys,.
При этом сама форма (dy, ф2) имеет вид (15) с дополнительным
условием (18).
Применим полученный результат к случаю неприводимого пред-
ставления полной группы. Если это представление состоит из двух
неэквивалентных компонент т^ (/0, Zt) и т ~ (Zo,— собственной
группы, то инвариантная форма (фр ф2) для такого представления
существует, очевидно, лишь тогда, когда
1) либо т = т*, 2) либо т = т*, т. е. либо (Zo, ZJ = (Zo, — Zx), либо
(Zo, - Zx) = (Zo, ZJ.
В первом случае lx—чисто мнимое, во втором случае Zt дейст-
вительно.
Если представление g -+Тд полной группы содержит одну ком-
поненту т — (0, Zt), то инвариантная форма существует только при
Zx действительном или чисто мнимом. Наконец, у представления
228	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ее' ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
полной группы с комтонентой т~(/оО) инвариантная форма (фр ф2)
существует всегда.
Итак, неприводимое представление полной группы допускает
инвариантную невырожденную эрмитову форму в том и только
том случае, когда это представление содержит компоненты
(т и т) с действительным или чисто мнимым lt.
В частности, конечномерное неприводимое представление пол-
ной группы всегда допускает инвариантную невырожденную эрми-
тову форму.
Вернемся к случаю приводимого представления, допускающего инва-
риантную форму.
Аналогично тому как это было сделано в п. 8 предыдущего параграфа
для формы, инвариантной относительно представления собственной группы
Лоренца, билинейную невырожденную инвариантную форму (15) можно
привести к несколько более простому виду, а именно, можно так выбрать
базис, чтобы для каждой компоненты т (l0, I) существовала лишь одна ком-
понента r*(Z), — Л) такая, что ап* 0, при этом:
1. В том случае, когда пара компонент (г, -с), определяющая неприво-
димое представление полной группы, совпадает с парой компонент (т*, т*)
(что будет, как мы видели, при чисто мнимом: т = т*, или 1Г веществен-
ном: Z =1*), можно добиться, чтобы
атт* = ±1.	(21)
2. В случае, если пары компонент (т, -с) и (х",тг) не совпадают (Zt не
вещественное и не чисто мнимое), можно выбрать базис так, чтобы
а~х* = 1.	(22)
Заметим, что если среди неприводимых компонент представления g->- Тд
встречаются компоненты с lL вещественным или чисто мнимым (случай 1),
мы можем построить несколько существенно различных инвариантных форм,
отличающихся знаком у соответствующих a~~’s.
§ 4. Спиноры и спинорные представления собственной
группы Лоренца
Как мы видели в первой части книги, все неприводимые предста-
вления группы вращений можно построить с помощью спиноров —ве-
личин, определенным образом преобразующихся при вращениях трех-
мерного пространства.
Здесь мы определим спиноры для собственной группы Лоренца
и покажем, как с их помощью получить все ее конечномерные
неприводимые представления.
1. Спиноры ранга 1. В § 1 было построено двумерное двузнач-
ное неприводимое представление собственной группы Лоренца
(1)
где
П. 1] §4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 229
— определенная с точностью до знака комплексная матрица второго
порядка с определителем, равным единице.
Пусть теперь в каждой ортогональной системе координат
(х0, xlt х2, х3) *) четырехмерного пространства задана определен-
ная с точностью до знака пара комплексных чисел (а0, а1), ко-
торая при переходе от одной системы координат к другой
с помощью преобразования Лоренца g — ga преобразуется матри-
цей (2) по формуле
а0' = ата° -I-	1
1 ,
а1'= а10а°а^а1. J
Такая пара чисел называется непунктирным спинором первого
ранга относительно собственной группы Лоренца.
Линейное двумерное комплексное пространство /?<1, о), в ко-
тором действует представление (1), называется иногда пространством
непунктирных спиноров ранга 1, а само представление (1) носит
название непунктирного спинорного представления ранга 1.
Рассмотрим теперь наряду с представлением (1) другое двузнач-
ное неприводимое представление, задаваемое формулой
ga^±a,	(3)
где
—	«00 «01
а = _ _	(4)
«ю «и
— матрица, элементы которой комплексно сопряжены элементам
матрицы (2).
Пусть теперь в каждой ортогональной системе координат
(х0, хг, х2, х3) четырехмерного пространства R4 задана определен-
ная с точностью до знака пара комплексных чисел (а0, а1)- к0~
торая при переходе от одной системы координат к другой
с помощью преобразования Лоренца g=^ga преобразуются ма-
трицей (4) по формуле
«°'=floo«° + ooia1 > |	(у)
аг = а10а°anal. J
Такая пара чисел называется пунктирным спинором первого
ранга относительно собственной группы Лоренца.
Двумерное комплексное пространство R^ 0), в котором действует
представление (3), называется пространством пунктирных спиноров
ранга 1, а представление (3), действующее в этом пространстве,
*) Напомним, что ортогональной системой координат в четырехмерном
пространстве мы назвали такую систему (хо, Х±, х2, х3>), в которой форма
52(х) записывается в виде S2 (х) — х^— xf — х% — х3, т. е. с помощью ма-
трицы I (см. § 1, п. 1).
230	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
называется пунктирным представлением ранга 1. Ниже будет по-
казано, что пунктирное и непунктирное представления ранга 1 сопря-
жены друг другу (см. также § 2, п. 6).
Перейдем к нахождению инфинитезимальных операторов спинор-
ных представлений ранга 1 (непунктирнэго и пунктирного) и вычис-
лим определяющие их пары (/0, 1Х).
Как мы увидим, эти пары таковы: дая непунктирного представле-
ния
*•0 — 2 *	1-1 — 2 ’
для пунктирного —
I —_____L i — Л
f0 —	2 ’	1 — 2 ’ •
Заметим, что непунктирные спиноры е0 = (1, 0) и ел = (0, 1) обра-
зуют в пространстве /?(1,0) непунктирных спиноров базис, в котором
операторы представления (1) как раз и записаны матрицами а.
Аналогично этому пунктирные спиноры е^=(1, 0) и e^=(Q, 1)
образуют в пространстве пунктирных спиноров /?((- базис, в кото-
ром операторы представления (3) записываются матрицами а.
Мы вычислим ниже матрицы инфинитезимальных операторов Н+,
Н_, Н3, F+, F_, F3 представлений (1) и (3) в базисах (е0, eL) и
(е-, е j). Попутно мы установим связь между базисами (е0, и
(е^, «;) и каноническими базисами (^-2, и (т;,^, спинорных
представлений (1) и (3).
Начнем со случая непунктирного спинорного представления. На-
помним, как строилось соответствие между матрицами а и преобра-
зованиями Лоренца.
Каждому вектору (х0, xt, х2, х3) из была отнесена эрмитова
матрица
! ХО — х3 X} + 1х2 I
с =	.	.	। .
I Xl — 1X2 *0 -f- х% I
Тогда преобразование вида
с' = аса *,
где а — любая комплексная матрица второго порядка и deta=l,
задает в У?1 собственное преобразование Лоренца.
В § 1 мы показали, что так может быть получено любое соб-
ственное преобразование Лоренца g и две матрицы, соответствующие
одному и тому же, преобразованию g, отличаются лишь знаком.
Найдем теперь, какие матрицы а соответствуют вращениям в пло-
скости (хр х2) (вокруг оси х3). Преобразование в плоскости (хР х2)
*) Напомним, что в п. 6 § 2 числа Zo, Zt были вычислены лишь с точностью
до знака у Zo- Здесь мы определим знак у Zo для каждого из спинорных
представлений ранга 1.
п. 1] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 231
имеет вид
Хх = xt cos ср + х2 sin ср,
Х2 = —!'Xt sinijcp -|- Х2 COS ср,
х'з=	Х3,
х'о =	х0.
Отсюда
I х'о~Х3
[ I х\ — 1х2
+ 1х2
х'о + х'з
хо — х3
(х( — ix2)
(xt -f- ix2) e~{t?
xo 4* Xg.
Легко проверить,
e 2 О
i О e2
что требуемое преобразование задается матрицей
, другими словами,’
О
е2
«х0 — х3 Xi 4- ix2 е2 О
Xi —• 1х2	хо 4- х3 | 0 е 2
*о~ хз	{х1 + 1х2)е-^
(xt — Zx2)	Хо 4- хз
Таким*^образом,
матрицы
вращениям в плоскости (xt, х2) соответствуют
а (ср) = zt
е 2 О
г<р
а инфинитезимальный оператор Н3 имеет вид
/73 =
(5)
Отсюда видно, что векторы базиса (е0, в двумерном пространств
^(i,o) с точностью до множителя совпадают с векторами канониче-
ского базиса /£1,$ 1 \ нашего представления. Если же вычислить
\ Т “Т/
232	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. П
операторы Н+ и Н_*) (мы этого делать не будем), то можно убе
диться, что базисы (g0, et) и 0 i , <• 1 \1в точности совпадают:
\ Т
ех — £j_,	=
2	2
Таким образом, непунктирные
(О, 1) образуют канонический
спинорного представления.
Операторы Н+ и Н_ имеют,
спиноры с компонентами (1, 0) и
базис Н i , £ И непунктирного
1 ~	~Т)
как всегда, вид
о 1
о о
о
1
о
о


(5')
Найдем оператор F3— инфинитезимальный оператор, соответствую-
щий преобразованиям в плоскости (х0, х3). Эти преобразования
записывают так:
x*q = х0 ch £ -f-XgShf,
Отсюда
Х\= xv
f
Xi =	X2,
x' = xosht -|~x3ch^.
(xB— xs)e-t -xt-]-ix2 j
x; — lx2 (x0	x3) ef j
Снова легко проверить, что
с помощью матрицы
а (0 =
такое преобразование достигается
_t_
е 2' 0
t
0 е2
(6)
Таким образом, преобразованиям в плоскости
ствуют матрицы (6), а инфинитезимальный оператор
ний F3 равен
Гз~ 2 \0 —i)'
Операторы F+ и F_ имеют вид
li 0 0 1
F+ ~ ~1II 1 О I ’
.11 0
= — 11| о о
(х0, х3) соответ-
этих преобразова-
(7)
(70
(Их вычисление мы предоставляем читателю.)
*) Такое вычисление проделано в первой части книги, § 2, стр. 40.
П. 1] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 233»
Сопоставляя формулы (7) и (7') с формулами (13) — (16) §2 мы
получаем, что наше представление задается числами 10—-ум
I
11 ~ 2 -
Рассмотрим теперь пунктирное спинорное представление. В от-
личие от предыдущего случая базис (е-0, е j) в пространстве пунк-
тирных спиноров не является каноническим.
Оказывается, что канонический базис пунктирного представления-
, т] 1 | связан с базисом	} с помощью матрицы
. = ( °
1	ОГ
т. е.
ти_ = —е;,	7)_А = еб-
2	2
Иными словами, пунктирные спиноры с компонентами (0, —1) и
(1, 0) образуют канонический базис fvj i , у i ) пунктирного спи-
( ~2	~~2)
норного представления.
Чтобы убедиться в том, что базис , т; i ) является канони-
\ Т /
ческим, запишем в этом базисе операторы пунктирного предста-
вления и найдем его инфинитезимальные операторы. Очевидно, что
если в базисе (е^, в;) операторы представления (3) записываются
матрицами ад, то в базисе /7)1,17 i \ они запишутся с помощью
\ Т ~2/
матрицы
та т-1.
Но
тауГ1:^ (а*)-1 [см. § 1, п. 4, (И')].
Итак, в базисе И i , т; i 1 пунктирное представление (3) запишется
I ~2
матрицами
(8)
Если g— вращение, то ад— унитарная матрица: ад = (а^~х. Поэтому
для вращений g представление g—>ад совпадает с представлением
*) Отметим, что из формулы (8) уже видно, что пунктирное спинорное
представление сопряжено непунктирному и потому определяется парой чи-
сел ( — у> у) (см- п- 5 § 2)-
234	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
Следовательно, операторы Н+, Н_, Н3 пунктирного спинорного
.представления ранга 1 в базисе Hi , т; г 1’задаются соответственно
I Т ~Т)
матрицами Н+, Н_, Н3 равными
Полученные формулы означают, что -базис , ?) i 1 действи-
(. Т ~Т)
тельно является каноническим для этого представления. Найдем
матрицы операторов F+, F_, F3 в базисе lyi , у i ) . Как мы уже
( Т
видели, матрица ад, соответствующая гиперболическому повороту
-•в плоскости (х0, х3), имеет вид (6):
t
адм —
О
'Следовательно, матрица (а^аз) 1 имеет|'вид
О
_t_
е 2
(8')
Отсюда для матрицы F3 инфинитезимального оператора F3
4т]1 , г; И получаем окончательно выражение
I Т 2)
—1 О I
О 1 I •
в базисе
(Ю)
р —___L
г3—	2
Наконец, операторы F+, F_ в базисе (тр , у г 1 запишутся матри-
(. IF ~Tf
цами
• I о о I ~	1В0 1 Г
^ = Я1о|’ ^- = То of	0°')
Из сравнения формул (13) — (16) § 2 и вида инфинитезимальных
•операторов (F3, FF+) получаем, что представление (3) опреде-
„ /	1	3\
ляется парой (—
Выпишем, наконец, матрицы инфинитезимальных операторов
И3, Н+, Н_, F3, F+, F_ в базисе {е-0, ej
п. 1] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 235
Имеем:
На -	=
Аналогично этому получим:
(Ю")
Итак, для обоих спинорных представлений^первого ранга мы
нашли их инфинитезимальные операторы, канонические базисы
, £ 1 ) и(т)1 , т) 1 1 и задающие эти представления числа l0,
( Т "TJ ( Т
Подведем всему этому итог.
Непунктирное спинорное представление ga-++a ранга 1 за-
(1	3 \
-у), его канонический базис ($ i , В i 1 состоит
I Т ~У)
из непунктирных спиноров (1,0) и (0, 1) и операторы представле-
ния (1) записываются в этом базисе матрицами а. Инфинитези-
мальные операторы в базисе l£i , £ i ) имеют вид (5), (5'), (7)
I 2~ "TJ
и (7').
Пунктирное спинорное представление g,L-+ + a ранга 1 за-
дается парой I-----у), его канонический базис (т]1 , 7] i 1 со-
'	'	( Т “TJ
стоит из пунктирных спиноров (0, —1), (1, 0) и операторы самого
представления (3) в этом базисе записываются матрицами (а*)-1.
Инфинитезимальные операторы пунктирного представления в ба-
зисе 1т)! , т; j ) имеют вид (9), (10) и (10'). Канонический базис
I Т ~Т)
(т]1 , т) j 1 в пространстве пунктирных спиноров связан с бази-
I Т ~Т)
сом ^=(1,0), е-=(0, 1), в котором пунктирное представление
записывается матрицами а, преобразованием т с матрицей
-II ° 1 II
— I —1 о || •
Инфинитезимальные операторы И+, ИН3, F+, F_, F3, пунк-
тирного представления в базисе {<?-, имеют вид (10").
236	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. IT
Заметим, что канонический базис всякого представления во
многих отношениях очень удобен. В связи с этим часто рассмат-
ривают компоненты пунктирного спинора относительно канониче-
ского базиса , т] i ) . Если обозначить эти компоненты через
( Т
а- и ар то они, очевидно, связаны с компонентами (а°, а'1) соот-
ношениями
а6 = fli>
aj = — а° .
Величины aj) при собственных преобразованиях Лоренца пре-
образуются, очевидно, с помощью матрицы (а8)'1. Эти величины
(а-п, а;), называемые пунктирными спинорами с нижними индексами,
мы рассмотрим подробнее в следующем пункте.
2.	Опускание индексов у спиноров первого ранга. Рассмотрим
билинейную (неэрмитову!) форму
(а = 0, 1, 8 = 0, 1)	(11)
с матрицей
’ = 11%?11 =
«а, №— два непунктирных спинора.
Как мы не раз отмечали, имеет место равенство
дтатР = т,
где атР—транспонированная матрица а. Это равенство означает, что
билинейная форма (11) инвариантна относительно представления
ga —>а, действующего в пространстве непунктирных спиноров.
Аналогично этому форма
(ir)
(а“ и №— пунктирные спиноры) инвариантна относительно пред-
ставления ga—> а. С помощью матрицы т из непунктирного спинора а?
образуем величину
««=2^ (а = 0,1).	(11")
Р=од
Величину (с0, aj будем называть непунктирным спинором
ранга 1 с нижним индексом, а операцию (11") — опусканием ин-
декса.
Легко проверить, что спинор (а0, аг) при преобразовании Ло-
ренца ga преобразуется с помощью матрицы wt-1 = (а7?!-1.
° +ч
-1 0
п. 3] § 4. спиноры и спинорные прЕдставления собственной группы 237
Очевидно, что в пространстве спиноров (ц0, ах) действует пред-
ставление собственной группы, эквивалентное представлению в про-
странстве спиноров (а0, а1) с верхними индексами.
Аналогично этому можно опустить индекс у пунктирного спинора:
«1= 2	(Ц'")
3=о,1
ранга 1
«;) пре-
образом,
Величина (а^, а^ называется пунктирным спинором
£ нижним индексом.
При собственном преобразовании Лоренца ga спинор («•,
образуется с помощью матрицы тат-1 = (а*)-1. Таким
в пространстве спиноров (a-Q, а ।) действует представление собствен-
ной группы ga —> -+- (а*)--1, эквивалентное представлению	а.
Заметим, что, как следует из результатов предыдущего пункта,
в пространстве спиноров (а^, а^) базис е° — (1, 0), е1 =(0, 1),
в котором записаны все матрицы (а*)-1, совпадает с канониче-
ским базисом представления ga-+ (а*)~1.
3.	Спиноры высших рангов. Рассмотрим 2&-мерное комплексное
каждая точка которого определяется набором 2&
ctA(ai = 0, 1). Зададим в R2* представление ga—>Та,
пространство
а., • «, .
чисел а 1 1
действующее по формуле
Д»Г«2 ••• «А
а '
“2 “2
(12)
Ч • • • “z.
а , а к
№
«суммирование идет по всем наборам):^ ... aft); a = ||ae«e_||—матри-
ца, соответствующая преобразованию ga.
Пусть в каждой ортогональной системе координат (х0, хи хг, х3)
задан определенный с точностью до знака набор 2ft ком-
плексных чисел а'“*(^ = 0, 1), который при переходе от од-
ной системы к другой с помощью собственного преобразования
Лоренца g = ga преобразуется по формулам (12). Такой набор
чисел называется непунктирным спинором ранга k отно-
сительно собственной группы Лоренца.
Представление (12) называется непунктирным спинорным пред-
ставлением ранга k.
Заметим, что, поскольку в формуле (12) матрица ||aa'a|| дейст-
вует на каждый индекс независимо, представление (12) является произ-
ведением k представлений вида (1), т. е. произведением k непунк-
тирных спинорных представлений ранга 1 (равно как и само
пространство /?2& является произведением k двумерных пространств).
Аналогично предыдущему мы определим пунктирное спинорное
представление, действующее в 2ге-мерном пространстве величин
238	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
аа»-"ап по формуле
д «1	—V а г. а., . ... а-, - ап,	(13)
«1“1	“2“2	“iian	V '
матрица а — а * • * |! — по-прежнему матрица, соответствующая пре-
образованию Лоренца g = ga.
Пусть в каждой ортогональной системе координат (х0, xv х2, х3)
задан определенный с точностью до знака набор ^-ком-
плексных чисел а“Л"'*п (а* = 0, 1), который при переходе от
одной системы к другой с помощью собственного преобразования
Лоренца g = ga преобразуется по формулам (13). Такой набор
чисел называется пунктирным спинором ранга п отно-
сительно собственной группы Лоренца. Представление, задаваемое
формулой (13), называется пунктирным спинорным представлением
ранга п. Аналогично непунктирному оно является, очевидно, произ-
ведением п пунктирных спинорных представлений ранга 1.
Рассмотрим, наконец, самый общий случай.
В 2S+"-мерном пространстве величин	“п зададим пред-
ставление собственной группы с помощью формулы
а _
Пусть в каждой ортогональной системе координат (х0, xt, х2, х3)
задан определенный с точностью до знака набор 2к+п-ком-
плексных чисел	 “п, который при переходе от одной
системы к другой с помощью собственного преобразования Ло-
ренца g = ga преобразуется по формулам (14). Такой набор чисел
называется спинором с k непунктирными и п пунктирными ин-
дексами, или, короче, спинором ранга (k, п) относительно соб-
ственной группы Лоренца. Представление (14) называется спинор-
ным представлением ранга (k, п) *).
Представление (14) является произведением k непунктирных и п
пунктирных спинорных представлений ранга 1. Представление (14)
ранга (А, п) можно рассматривать также и как произведение двух
представлений: непунктирного спинорного представления ранга k
(т. е. представления ранга (k, 0)) и пунктирного спинорного пред-
ставления ранга п (т. е. представления ранга (0, п)). Заметим здесь же,
что в том случае, когда ga—вращение, матрица а, как мы видели,
унитарна. Таким образом, представление (12) {непунктирное спи-
*) Спинором ранга (k, 0) является, очевидно, непунктирный спинор
ранга k, а спинором ранга (0, п) — пунктирный спинор ранга п.
П. 4] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРСДСТАВЛЕ НИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ-239'
норное представление) для, группы вращений совпадает с обыч-
ным спинорным представлением группы вращений, рассмотрен-
ным нами в первой части (§ 6). Формулы (13) и (14), задающие
спинорные представления собственной группы рангов (0, п) и (k, п)
в случае, когда ga—вращение (т. е. когда а — унитарная матрица),
непосредственно не переходят в формулу, определяющую спинорное
представление группы вращений (см. часть I, § 6, формула (3)). Тем
не менее представление* группы вращений, порожденное формулой
(14), эквивалентно спинорному представлению ранга n-{-k этой
группы *).
Представление (14) в пространстве спиноров ранга (k, ri), вообще
говоря, приводимо, т. е. в 2А'+?г-мерном пространстве спинорного
представления (14) существуют подпространства, инвариантные отно-
сительно этого представления. Сейчас мы в каждом спинорном про-
странстве выберем одно такое инвариантное подпространство Rip пр
в котором, как окажется, представление (14) неприводимо. Кроме
того, мы покажем, что представлениями в подпространствах Riy пу
исчерпываются все неприводимые конечномерные представления соб-
ственной группы.
4.	Симметрические спиноры. Реализация всех неприводимых
конечномерных представлений собственной группы. Начнем снова
с частных случаев.
I.	Непунктирный спинор аЛ*---Лк ранга (/г, 0) назовем симметри-
ческим, если он не меняется при всевозможных перестановках ин-
дексов (ат . .. ак). Очевидно, что симметрические спиноры ранга
(/г, 0) образуют подпространство в пространстве всех спиноров.
Обозначим это подпространство R^ (размерность его равна
A+D.
*) Как мы видели выше, переход от матрицы а к матрице а в группе
унитарных матриц осуществляется с помощью формулы
а — tat
(8">
Так как т — унитарная матрица и detx = 1, то равенство (8") выполняется
и для операторов представления
2 а “ * 2 -г а2 х •
Это означает, что представления группы вращений ga~*-Ta и ^“*^5 экви-
валентны. Из сказанного ясно, что если рассмотреть операторы, отвечающие
вращениям в пунктирном спинорном представлении ранга п, то мы получим
представление, эквивалентное спинорному представлению группы вращений
ранга п.
Так как спинорное представление ранга (k, п) есть произведение непун-
ктирного ранга k и пунктирного ранга п, то, следовательно, оно порождает
представление группы вращений эквивалентное произведению ее спинорных
представлений рангов k и п, т. е. эквивалентное спинорному представлению
ранга йп.
2240	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Поскольку в формуле (12), задающей представление (12) в про-
странстве всех спиноров ранга (/г, 0), матрица действует на каждый
индекс одинаково, симметрический спинор преобразуется форму-
лой (2) снова в симметрический спинор, т. е. подпространство R(k 0)
инвариантно относительно представления (12).
Покажем, что представление (12) в пространстве R(k 0> непри-
водимо. Действительно, в случае, когда — вращение, это пред-
ставление совпадает со спинорным представлением группы вращений,
.а последнее, как было показано в первой части книги (см. § 6),
в пространстве симметрических спиноров ранга k неприводимо и
задается весом Z = y. Отсюда следует, что представление (12) всей
собственной группы Лоренца в пространстве R(k 0> и подавно непри-
водимо и содержит лишь один вес /=у. Это значит, что 1101 =
k	k
= и 1I = у + 1 • Для того чтобы определить знаки у чисел /0
и Zj, надо вычислить инфинитезимальный оператор Д3 нашего пред-
ставления. Мы этого делать не будем, а лишь укажем, что для
всех непунктирных симметрических спиноров знаки 10 и Zt одинаковы
(мы видели это в п. 1 на примере непунктирного спинора ранга 1).
Таким образом, представление (12) действующее в простран-
.стве Rk 0 симметрических спиноров ранга (k, 0) неприводимо и
определяется парой
ia = ^, л = А-+-1.	(15)
.Будем такое представление называть спинорным неприводимым пред-
ставлением ранга (k, 0) и обозначать °).
Очевидно, что любое неприводимое конечномерное представле-
.ние, у которого пара чисел 10 и 1г одинакового знака и Z1 = Z0-|- 1,
эквивалентно некоторому представлению
II.	Пунктирный спинор а “«ранга (0, и) назовем симметри-
ческим, если он не меняется при всевозможных перестановках ин-
дексов. Среди всех спиноров ранга (0, п) симметрические спиноры
образуют подпространство /?(0 инвариантное относительно пунк-
тирного представления (13).
Так как для группы вращений представление (13) эквивалентно
обычному спинорному представлению ранга п этой группы (см. пре-
дыдущий пункт), а последнее неприводимо в пространстве симме-
, п
трических спиноров и имеет вес I — — , то представление всей
группы Лоренца также неприводимо в /?(о и содержит ровно один
вес, т. е. |Z0| = y, |Z1|=y-f-l. Можно показать, вычислив ин-
финитезимальный оператор F3 представления (13) в Rf0 п), что для
.представлений группы Лоренца в пространстве пунктирных симме-
П. 4] §4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 241
трических спиноров числа 10 и Z, имеют разные знаки. (Для пред-
ставления ранга 1 это было проделано в п. 1.) Нам удобно поло-
жить:
/0 = -|, /, = 1+1.
Таким образом, представление собственной группы, Лоренца,
задаваемое формулой (13) в пространстве /?(0 п) всех симметриче-
ских спиноров ранга (0, п), неприводимо и определяется парой
4> = -у. /т = ^+Ч	(16)
Такое представление назовем неприводимым спинорным пред-
ставлением ранга (0, п) и обозначим Т<9’п'>. Всякое конечномерное
неприводимое представление с парой (Zo, /,) такой, что 1| =
= |/0|+1 и 10 и Z,—разных знаков, эквивалентно некоторому
представлению Т<Р’п>.
Мы видели, что представления Т&’ °) и ") неприводимы также
относительно группы вращений (содержат ровно один вес). Обратно,
всякое представление собственной группы Лоренца, неприводимое
относительно группы вращений, эквивалентно либо	либо
тдо, п)*\
g
Обратимся к общему случаю.
III.	Спинор ранга (k, п) (с k непунктирными и п пунктирными
индексами) назовем симметрическим, если он не меняется при все-
возможных перестановках как пунктирных индексов между собой,
так и непунктирных индексов между собой. Симметрические спиноры
ранга (/г, /г) образуют подпространство в пространстве всех спино-
ров ранга (k, п) (обозначим его R(k пу); размерность R(k „> равна
(k -1- 1) (п -1). Это подпространство инвариантно относительно
представления (14), так как матрица а действует одинаково на все
непунктирные индексы, а матрица а—одинаково на все пунк-
тирные.
*) Для неприводимого представления собственной группы, содержащего
лишь один вес / = | /0 |, согласно § 2, п. 6, выполняется равенство
1111 = I /о1 + 1-
Возможны два случая:
1. Z, и /о одинакового знака (Z0)>0 и Z, > 0). Такое представление экви-
валентно непунктирному спинорному представлению °\
2. Z, и /0 — разных знаков (Zo<O, /, )> 0); в этом случае такое предста-
вление эквивалентно пунктирному спинорному представлению Т^‘ 2'
242	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Оказывается, что представление (14) в R(k п) неприводимо.
Мы не будем этого доказывать*), а найдем лишь пару (/0, IJ, задаю-
щую это неприводимое представление. Заметим, что пространство
п) симметрических спиноров ранга (k, п) является произведением
пространств R(k 0) и /?(о Г() симметрических спиноров рангов (k, 0)
и (0, п)
R(k, n) == R(,k, о) X R'ot п)>
а представление (14), действующее в (обозначим его
есть произведение представлений	и	действую-
щих в и
Т’рс, п) __ р(к, о) у 7(0, п)
д д zx д
Представления °) и Т^0, в R . и R неприводимы отно-
д	д	1л» о) (о, И)
...	k п п
сительно группы вращений и веса их равны и у. В таком слу-
чае произведение этих представлений °) X ТУ’ п} — Т^’ п) содер-
| k-п I k 4- п	а
жит все веса от -—g— ДО ~' 2"~ п0 °ДНОМУ разу. Это значит, что
представление Т^’ в пространстве R(k „) определяется парой
(/0, Zi), где
Если вычислить инфинитезимальный оператор F3 для представле-
ния Т(*'п\ то получим, что
. k — п	. k 4- п . .
zo — —2— ’	11 — —2----г"1 •
Итак, представление (14) g —> 7^’собственной группы в про-
странстве симметрических спиноров ранга (k, п) неприводимо и
задается парой (Zo, /j), причем числа 10 и 1Х равны,
;, = i±i+l.	(17)
Представление Т^' в R(k пу будем называть спинорным неприво-
димым представлением ранга (k, ri). Очевидно, что, подбирая числа
k и п, мы можем получить всевозможные пары (Zo, /Д задаю-
щие конечномерные представления собственной группы (т. е. пары,
*) В п. 5 этого параграфа мы построим представление, эквивалентное
представлению (14), действующее в пространстве многочленов р ($, £) от пе-
ременных $ и I С помощью формул, задающих это последнее представле-
ние (см. (31)), легко проверяется и неприводимость спинорного представле-
ния (14).
П. 4j § 4. СПИНОРЫ И СГИЕОРЕЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОЕСТВЕННОЙ ГРУППЫ 243
где Zo и /j — одновременно целые или полуцелые и такие, что
|М>1Ш
Итак, нами доказано, что любое неприводимое конечномерное
представление собственной группы эквивалентно некоторому спи-
норному неприводимому прессе авлению Т^’ 1г\ Другими словами,
спинорные представления исчерпывают все конечномерные непри-
водимые представления собственной группы Лоренца.
Заметим, что, как видно из формулы (17), представления Т^’
и Тд1' определяются соответственно парами (Zo, ZJ и (—Zo, ZJ,
а это означает, что они сопряжены друг другу.
Сделаем в конце одно замечание, которое мы используем в даль-
нейшем.
Рассмотрим представление (12), действующее в 2'-'-мерном про-
странстве непунктирных спиноров. Выберем в этом пространстве
базис, состоящий из спиноров, у которых одна и только одна ком-
понента отлична от нуля *). Если в этом базисе записать матрицы Ад
всех операторов представления g-*Tg (17), то, как видно из фор-
мулы (12), элементы этих матриц являются полиномами от элемен-
тов матрицы а:
Ад — [|/\x'(&00> °01’ fl10’ йи)[|
(х и Л — два набора спинорных индексов), т. е. комплексными
аналитическими функциями от переменных (а,м, «01, а10, йи).
Если мы перейдем к другому базису, то матрицы преобразуются
по формуле
и элементы новой матрицы Ад выразятся через линейные комбина-
ции элементов матрицы Ад, т. е. снова будут комплексными анали-
тическими функциями переменных (а^, aQ1, al0, aLl). Если простран-
ство распадается в прямую сумму инвариантных подпространств, то,
приурочив базис во всем пространстве к этому разбиению и исполь-
зуя приведенное выше соображение, мы получим, что в любом ин-
вариантном подпространстве пространства всех спиноров ранга (k, 0),
в частности в подпространстве	симметрических спиноров,
операторы представления ga^>-Ta во всяком базисе записываются
матрицами, элементы которых суть комплексные аналитические
функции от (ада а10, с01, ап). Очевидно, что это свойство остается
и у матриц любого конечномерного представления, эквивалентного
представлению 1%’ °'.
Для представления (13) в пространстве пунктирных спиноров;
как видно из формулы (13), элементы матриц операторов Тд в любом
*) В спинорных обозначениях такой спинор можно записать ? 1
=	где отлична 0Т НУЛЯ
бору (₽1₽2	• ₽*).
компонента, соответствующая на-
244	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
базисе являются полиномами от (о^, а01, а10, Пц), т. е. антиана-
литическими функциями переменных (аж, а01, а10, пп). Это свой-
ство матричных элементов имеет место и для неприводимого спинор-
ного представления ранга (0, п) и любого эквивалентного ему пред-
ставления.
Наконец, матричные элементы у операторов представления (14)
в пространстве симметрических спиноров ранга (k, ri) ни в каком
базисе не являются ни аналитическими, ни антианалитическими функ-
циями переменных (а00, а01, а10, пп).
Из сказанного следует, что если у некоторого конечномерного
представления матричные элементы операторов в некотором базисе
являются аналитическими (антианалитическими) функциями перемен-
ных (ам, а10, а01, ап), то неприводимые компоненты этого предста-
вления эквивалентны лишь непунктирным (пунктирным) спинорным
представлениям, т. е. представлениям рангов (k, 0) ((0, п)).
Это замечание мы используем в § 6.
В заключение этого пункта в качестве примера рассмотрим, как
векторное представление собственной группы Лоренца, действующее
в пространстве R(i\ реализуется спинорами. В п. 7 § 2 мы нашли,
что представление g~>g определяется парой (/0,	= (0, 2). Отсюда
следует, что это представление эквивалентно спинорному представле-
нию Тд’г) ранга (1, 1) и реализуется в пространстве спиноров
с одним пунктирным и одним непунктирным индексом. Найдем сейчас
явное выражение координат вектора х0, xv х2< х3-через компоненты
спинора (а00, я01, а10, а11'). Предварительно заметим, что простран-
ство (R1 ,) является четырехмерным комплексным пространством.
В связи с этим представление g—eg, эквивалентное представле-
нию Тд,г> и действующее, как мы до сих пор считали, в четырех -
мерном действительном пространстве, естественно теперь считать
действующим в четырехмерном комплексном пространстве; это озна-
чает, иными словами, что координаты х0, хр х2, х3 могут быть
комплексными.
Напомним теперь, что основное соответствие ga~>a между соб-
ственными преобразованиями Лоренца и матрицами a (det а = 1)
строилось так: если вектору (х0, xv х2, х3) отнести матрицу с
II х0 — х3 х2 — 1х3 II
II х2 + 1Х1 Х0 ~Ь х3 II
то каждое преобразование матриц с вида
с' = аса*
порождает в пространстве собственное преобразование Лоренца ga,
которое мы и сопоставляли матрице а: а — ga. При этом в случае
действительных координат х0, х1( х2, х3 матрица с — эрмитова, в слу-
чае же, как мы теперь предполагаем, комплексных координат х0, хР
П. 4] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 245
х2, х3 матрица с может быть произвольной комплексной матрицей
второго порядка.
Итак, мы получили, что всякое собственное преобразование
Лоренца над векторами х: x' = gax, с помощью матриц с может
быть записано в виде
о з
(17')
Спинор (а00', а01’, а10', а11’) ранга (1, 1) также
можно записать в виде
матрицы
аоо
ай
«<м
ай
с —
При этом представление Тд’1), как нетрудно проверить, действует
на матрицу с по формуле
с' — аса*
или, подробнее,
а'00 а'01 «оо
 = а
д'10 а'11 ||	|| «16
«oi
«й
а*
Сравнивая полученную формулу с
формулой (17z), мы видим, что
Отсюда
доо—— х3,	д01 = х2 — ixit
а11 = х0-\-х3, а10 = х2 ixv
«o6j_«ii	aio_ «oi
x°—	2	’	X1 —	2Z	’
«wj-«oi	ao6
x2 —	g	’	хз —	2	•
Короче эти формулы можно записать так:
У а .а™,
 аа
аа
(17")
х* =
где Цс/'УЦ— —так называемые матрицы
0
1
з° =
аа
1
о
а(1) =
0(2) =
Паули
1 I
0 ’
а(з) =
о
1
0
— 1 о
о 1
Сделаем еще одно замечание. Представление Тд’ в пространстве
спиноров ранга (1, 1) является произведением представлений 7^1,0*
и Т$’ действующих в пространствах непунктирных и пунктирных
246	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
спиноров соответственно. В связи с этим координаты вектора
х0, xlt х2, х3 можно выразить через компоненты непунктирного спинора
(а°, а1) и пунктирного (а°, а1). Действительно, если положить
а°а° = а^, a°ai — а°\	a1 cP = а11’, а1 а'1 = а1'1,
то числа (а00, а01, а10, а11) образуют спинор ранга (1, 1). Отсюда
получаем:
1 ХЧ (к) а а
хк = -тт 7. а -а а .
*	2 аа
Это и есть выражение вектора через пунктирный и непунктирный
спиноры.
5.	Опускание индекса у спиноров высших рангов. Напомним,
что из спиноров (а0, а1) и (а0’, а1) первого ранга с помощью матрицы
И^зЛ —т мы построили спиноры с нижними индексами
(18)
^ = 2^* и йз==^тз^а-
Преобразование (18) мы назвали опусканием индекса.
Спиноры (ао, и (а-, с нижним индексом преобразуются
при собственном преобразовании Лоренца ga с помощью матриц
(«т₽)_1 и (а*)-1 соответственно.
Аналогичным образом можно опускать индексы и у спиноров
любого ранга. Пусть	®п— спинор ранга (k, п). Величину
=s ... .
Р/. ...р?.,, 3	...8	3. а,	Рг а г
мы назовем спинором ранга (k, п) с ($, р) верхними индексами
и (I, т) нижними индексами (l-\-s = k-, р-}-т — п), а опера-
цию (19) — опусканием нескольких индексов. Посмотрим, как пре-
а.
образуется спинор a >l
3*, •••	•••3
п
.. а
.. а. а
‘S .
при собственных преобразова-
Гт
ниях Лоренца. Спинор а"1 “я преобразуется с помощью фор-
мулы (14), где на каждый непунктирный индекс спинора действует
матрица а, а на пунктирный — матрица а. На примере пунктирного
спинора первого ранга мы видели, что при опускании непунктирного
индекса матрица а заменяется матрицей (ат₽)-1, а при опускании
пунктирного индекса матрица а заменяется матрицей (а*) . Легко
видеть, что так будет и для спинора любого ранга, т. е. формула
для преобразования спинора
% -
П. 5] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 247
имеет вид
а., .
“ “г
Ji J1
-М*. Or
а ... а т
а. ... а . а
а г: > 
' > = %а,
•3^
«»,••• “С’Л ••’Ч
a s . У ,	(20)
^-^-3rM
где на верхние непунктирные индексы действует матрица а, а на
I! 3‘3-1|
нижние пунктирные индексы—матрица	(а*)~ = j а 1 г ||; анало-
гично для других индексов.
Представление собственной группы Лоренца, задаваемое форму-
лой (20) в пространстве спиноров a '*	® -1 р. , очевидно, экви-
\--^п-'9гт
валентно представлению (14) в пространстве спиноров ранга (k, п)
а*1 " акл' с одними верхними индексами.
Рассмотрим особо случай спиноров -а с&верхниминепунк-
Р1 • • •
тирными индексами и п нижними пунктирными индексами.
Представление собственной группы в пространстве таких спино-
ров действует по формуле
“1 •   "s
...3
р 1 н п
а га
313
р 3^
п^п 1 к
а&\... з' ’
р 1 р п
(21)
1
а
Очевидно, что симметрические
спиноры	образуют
подпро-
странство R„, инвариантное и неприводимое относительно представле-
ния (21). При этом представление (21), задаваемое в эквивалентно
неприводимому спинорному представлению Тд'"п'> ранга (k, п), т. е.
м /, k — п . kA-п . Л
задается парой 1/0 =—ч =—§--------------И1)-
Заметим, что представление, сопряженное к представлению Т^’
„ Iп — k nAk . . \
т. е. определенное парой I—х—, —±---------1- 1), можно реализовать
в пространстве R^ спиноров с п, верхними непунктирными индексами
и k нижними пунктирными индексами по формуле
, "1 %
*з;.-з*
Между спинорами а£' •? из
ственное соответствие: каждому спинору а
л?1?1
.. а - а а о- .
Vn
Rn и Ь^ '" из Rk существует есте-
а1 • • • ак г\к
а % из Rn перестановкой
pi • • • рп
(22)
248
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
верхних
индексов с нижними ставится в соответствие
спинор
bh-^'k
из Rk и наоборот:
1 п а/
а..
(23)
R
₽1	₽ п
Соответствие (23) обладает следующим очевидным свойством. Пусть
Pj . . . eN и /j .. . Дг — базисы из R* и R", соответственно переходя-
щие друг в друга при соответствии (23)
fi <—► &i'
Пусть А —матрица представления (21) в базисе е. . . . е„,
~ у
а Ад—матрица представления (22) в базисе Д .. . fN.
В таком случае
^Я=лад*->ИЛН Ло = ^(оФ)_1.	(24)
Действительно, перестановка верхних индексов с нижними влечет>
очевидно, замену матрицы а в формулах (21) и (22) на матрицу (а*)-1.
А это и означает равенство (24).
Описанное нами
соответствие (23) между спинорами а
“t
•••
и
мы используем в следующем параграфе при построении
конечномерных неприводимых представлений полной группы Лоренца.
6. Другое описание спинорного представления. Рассмотрим
совокупность однородных полиномов р (z0, z, z0, z) степени k по с0
и zt и степени tt по z0 и zlt т. е. полиномов вида
p(z0, z, z0, Zi)= 2 b r	(25)
pr=k
Обозначим пространство этих полиномов через /?<*, П). Каждый поли-
ном из R(k, п) может быть записан в следующем виде:
P(ZO, Z, zo, zj =	2	Z.n (26)
(“1 ••• “O
(“1 ••• “и)
(a; — 0, 1; Л} = 0, 1),
где числа a’1“« не меняются при перестановках пунктирных
индексов между собой, а также непунктирных индексов между собой.
Таким образом, каждому полиному вида (25) соответствует набор
чисел “Л не меняющихся при перестановках пунктирных
и непунктирных индексов.
П. 61 § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 249
Зададим в пространстве R^, п) представление группы ЭД следую-
щим образом. Пусть переменные z0, zx преобразуются с помощью-
матрицы
z^a,0z'+a10zv
a zQ, zx соответственно
zo aoozo~1!~ aoizi’	(27')
zi=Vo + “™zv
После такой замены переменных полином p(z0, zlt z0, zt) перейдет
в полином p(zg, z'i, z0, Zi) от переменных z0, zi, zo,zi, снова при-
надлежащий /?(&•,«). Преобразование в П) Р~> Р линейно и задает
представление группы ЭД:
Тар = р.
Напишем, как преобразуются коэффициенты
этом преобразовании Та‘.
a*f-Vf-’‘n при
Полученная формула совпадает с формулой (14). Это означает, что
коэффициенты полинома p(z0", zit z0, zt) образуют симметрический
спинор ранга (k, п). Следовательно, представление (28) в простран-
стве R(k,n) полиномов p(z0, zx, Zo, z}) эквивалентно представлению (14)
в пространстве /?(*,„) симметрических спиноров ранга (k, п). Послед-
нее же неприводимо и, как мы видели, определяется парой
/. k — п . Л ф- п . .\
Vo —~2~> zi — —2---1" Ч-
250
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. п
Преобразуем несколько полученные формулы. Каждый однородный
многочлен p(z0, zv z0, z^ степени k no z0 и и n no z0 и zt можно
записать в виде
p(z0, zv гй, zA = zll1z”p , 1, 4?-, 1).	(30)
\ г1 г1 /
Обозначим
Тогда можно написать:
го __ j _£о
*1 ’ ?1
Р^О’ 21> 2о>	=
где q(t, £) = />(£, 1, Ё, 1) есть полином степени k по Е и степени п
по Е. Пространство полиномов <?(Е, $) обозначим Rqt,ny
Очевидно, что представление (28), действующее в простран-
стве л) однородных полиномов, можно считать действующим
в пространстве Rqc.n) полиномов <?(Е, Ё)-
Найдем формулы, задающие это представление. Так как
<7(Е, Ь = -^-Р(20, 2!, z0, Zi),
Z1Z1
ТдЧ — к~п ^дР'
Z1Zl
Используя это, получаем:
'ТвЧ&Ь = 4^Тд№”ч(^ , -4Й
1 L \ г1 zt I
— ~ й~п («ю^о 4~ йиг1)* (йюго + йиг1)” Ч
г1г1
aoazo + ао1г1 аоого + ^01 -S':
— (й10’ ~i~ йн) (й10’ "Ь йп)
/ a«fi + а01
4 а1оЕ + ап
аоо^ ~г ат \
«!о£ 4" йн /
Итак, окончательно мы получаем, что неприводимое представление
собственной группы, действующее в пространстве полиномов g(£, !•)
степени k, по Е и степени п, по Е, задается формулой
^(^Л) = (й1о5+й11)\й1о?+йи)'г?Г-^^; ^°°}-+^. (31)
аю5 + аи аю« + «и /
Из этой формулы видно, что действие операторов представления Тд
•сводится к замене переменных в многочлене q(Z, Е) с помощью
дробно-линейного преобразования и умножению g(E> Е) на некоторые
выражения, зависящие от коэффициентов этого преобразования.
П. 7] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 251
7. Унитарные представления собственной группы Лоренца.
В предыдущем пункте было рассмотрено представление ga -> Тд :
ТваЧ (;Л) = (аЛ +	+аи)п q (, (3
\а10$ + аи д10£ -ф ап/
действующее в пространстве Rkn полиномов q(y, $). Напомним, что
это представление определяется парой
Заменяя k и п их выражениями через Zo и Zt: k = l0-\-l—1,
п = Zt—10—1, перепишем формулу (31) в виде
(32)
XЛю? йи «ы? + яц/
Ясно, что эта формула имеет смысл при произвольном комплекс-
ном /; и полуцелом /0, если только вместо полиномов q(£, !) взять
подходящее семейство функций. При этом оказывается, что имеет
место следующая замечательная теорема:
Любое неприводимое представление собственной группы Ло-
ренца эквивалентно представлению, задаваемому формулой (32)
в подходящим образом выбранном пространстве функций. Дока-
зательство этой теоремы проводится по следующему плану: в § 2
были найдены всевозможные неприводимые шестерки операторов
Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3, удовлетворяющие соотношениям комму-
тации (Г—XV'). Оказывается, что если вычислить инфинитезималь-
ные операторы представлений, задаваемых формулой (32) при раз-
личных значениях (Zo, Zt), то получаются все описанные в § 2
шестерки неприводимых операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3. Тем
самым, во-первых, мы доказываем сформулированную выше теорему
и, во-вторых, получаем, что действительно, каждая построенная
в § 2 шестерка операторов {Н+ _ 3, F+ _ 3} служит инфинитези-
мальными операторами некоторого неприводимого представления
группы Лоренца, т. е., другими словами, каждой допустимой паре
(Zo, Zj) отвечает некоторое неприводимое представление собственной
группы Лоренца *).
Построим с помощью формулы (32) унитарные представления
собственной группы Лоренца.
*) Подробное доказательство, проведенное по этому плану, см. в статье
М. А. Наймарка, Успехи матем. наук IX, вып. 4 (1955), 89—90.
252	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
А. Основная серия унитарных представлений.
Числа (/0, /J, определяющие унитарное представление, принадлежа-
щее к основной серии, имеют вид (см. § 2)	=	/1 = /р, где
т — произвольное целое число и р — произвольное вещественное
число.
В качестве пространства, в котором мы зададим представление,
рассмотрим гильбертово пространство функций /(;) со скалярным
произведением
(/1./г) =	C = x4-ij).
С помощью несложной выкладки, которую мы здесь опускаем, легко
убедиться в том, что операторы
Tg f (9 = (М +	+1? (^ + «11)"“ ,р f (^°° ±.д01)
а	\“10* "Г “11/
унитарны в нашем гильбертовом пространстве.
Нетрудно показать, что это представление действительно непри-
водимо и принадлежит основной серии, причем определяющие его
числа равны Zo=~, l1 = i? *).
В. Дополнительная серия унитарных представле-
ний: /0—0 | li | — р < 1. Определяющие представление этой серии
числа равны (см. § 2) /0 = О, = р, где р — вещественное, 0 < р < 1.
Для реализации представлений дополнительной серии с помощью
формулы (32) рассмотрим гильбертово пространство функций / (5)
со скалярным произведением
(/1/2) = J” |^i	’21 P/i Gi)A О2) dxt ^У1 ^Х2 [^У'1
(1 — xi Н- iyi> ^2— х2-\-1Уг)-
В соответствии с формулой (32) операторы представления задаются
так:
Так же как и в предыдущем случае, легко доказывается, что это
представление унитарно, неприводимо и что определяющая его пара
чисел равна (/0, /^ = (0, р).
8. Замечание о тензорах. Наряду с реализацией конечномерных
представлений собственной группы Лоренца с помощью спиноров
часто используется и другая реализация этих представлений — тен-
зорная.
*) См. цитировавшуюся выше статью М. А. Наймарка, Успехи матем.
наук IX, вып. 4 (1955), 68—78.
П. 8] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 253
Определение тензора. Пусть в каждой ортогональной
системе координат нам задан набор 4” чисел	(ki =
= 0, 1,2, 3), который при переходе от одной системы координат
к другой с помощью собственного преобразования Лоренца
= преобразуется по формуле
', ,	' = S Я '	• S. ' t	(k', k. = 0, 1, 2, 3). (33)
/А.А A ^&k.k.Sk„k Sknk к к .k \ г’	V ’
Такой набор чисел	мы назовем тензором п-го ранга
относительно собственной группы Лоренца *).
Представление, действующее в 4”-мерном пространстве таких
тензоров, мы будем называть тензорным представлением соб-
ственной группы Лоренца ранга п. Например, величины
^ку1...кп —	. Хк^
(х0, Xj, х2, х3— координаты точки в четырехмерном пространстве)
образуют тензор /г-го ранга; величины хй(& = 0, 1, 2, 3) образуют,
таким образом, тензор первого ранга, иначе называемый вектором.
Заметим, что тензорное представление (33) ранга п эквивалентно
и-кратному произведению самого на себя тождественного представления
группы Лоренца, действующего в пространстве R^ (хйххх2х^ по
формуле
хк' == gk'kxk-
Представление (33) в пространстве тензоров, вообще говоря, при-
водимо.
Выясним, какие у него могут быть неприводимые компоненты.
Поскольку представление собственной группы g —>g, действующее
в четырехмерном пространстве, содержит лишь целые веса/(/ = 0, 1),
то и тензорное представление (33), эквивалентное /г-кратному произ-
ведению представления g~+g, содержит только целые веса I. Это
означает, что числа /0, /р определяющие неприводимые компоненты
тензорного представления, являются целыми.
*) Наряду с тензорами й с нижними индексами рассматривают также
тензоры вида 1к^ _ к , причем при собственных преобразованиях Лоренца
на верхние индексы	действует матрица
*1”йп	к1к1
gk'k ‘к -
Vn
(34)
кп
Однако представление (34) эквивалентно представлению (33) (см. § 1, п. 1)
и мы не рассматриваем его особо.
254	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
В § 6 будет доказано обратное утверждение, а именно: всякое
конечномерное неприводимое представление собственной группы, если
только определяющие его числа Zo, /j —целые, эквивалентно непри-
водимой компоненте некоторого тензорного представления.
Отметим еще, что с помощью формулы (33) можно задать в про-
странстве тензоров представление полной (а также общей) группы
Лоренца, если взять в качестве матрицы	матрицу у, соответст-
вующую пространственному отражению. Таким образом, представление
собственной группы Лоренца (33) можно дополнить до представления
полной (и общей) группы Лоренца. Согласно результатам § 3 из этого
вытекает, в частности, что наряду с каждой неприводимой компонентой
представления (33), определяемой парой (/0, /,), тензорное представле-
ние содержит сопряженную компоненту, определяемую парой (—/0, IJ.
В § 5 мы еще раз вернемся к представлению полной группы
в пространстве тензоров.
В заключение рассмотрим более подробно тензорное представление
второго ранга
t'k’k' = hg^ ёк’к t к >	(35)
действующее в 16-мерном пространстве тензоров tk[ka. Это представле-
ние приводимо. Найдем его неприводимые подпространства.
Заметим, что симметрические тензоры (tiClka — tklkl) образуют подпро-
странство (размерности 10), инвариантное относительно предста-
вления (35).
Антисимметрические тензоры (tkika =—tkakl) также образуют под-
пространство (размерности 6), инвариантное относительно тен-
зорного представления (35).
Подпространства и не имеют общих элементов, отличных
от нуля, и в сумме дают все пространство тензоров ранга 2
/?(16) —/?(Ю)_ф.^(6),
Однако в каждом из инвариантных подпространств R<& и тен-
зорное представление (35) все еще приводимо, и мы должны раскла-
дывать эти подпространства дальше.
Симметрические тензоры. Заметим, что симметрический
тензор с компонентами —3^ = 8П — 822 = 833 = 1 и 8*^ = 0
при k^k2 переводится преобразованием (35) в себя. Таким образом,
тензоры вида аой,*, образуют одномерное инвариантное подпростран-
ство (представление в R^ определяется парой (0,1)).
Прежде чем продолжать разложение пространства дальше, за-
метим, что выражение Zu-|-Z22-|-Z33— tw (назовем его следом тен-
зора ik,kl) не меняется при преобразованиях вида (35). Следовательно,
подпространство симметрических тензоров со следом, равным нулю
(обозначим его Rs), инвариантно относительно нашего представления.
Оказывается, более того, /?<9) неприводимо. (Мы убедимся в этом
П. 8] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 255
позже, см. § 6.) Найдем пару (/0, /3), определяющую неприводимое
представление в
Заметим с этой целью, что вращения в формуле (35) никак
не действуют на индекс /г£ = 0, т. е. группы компонент тензора
 {Лк>}» {Ан ~ ^10> Ай==^20’ ^ОЗ“^Зо}>	^22> ^33> Лг = ^21> ^31~^13*
t23 = £32) преобразуются при вращениях независимо. Отсюда подпро-
странство R(6> симметрических тензоров у которых компоненты
tw — /01 = t02 = /03 — 0, инвариантно относительно группы вращений.
Ненулевые компоненты таких тензоров txi, t22, t33, t12, ti3, t23 образуют
симметрический тензор второго ранга относительно группы вращений
(со следом, равным нулю). Таким образом, представление группы
вращений, порожденное в Rl°) формулой (35), совпадает с представле-
нием этой группы, действующим в пространстве симметрических тен-
зоров второго ранга со следом, равным нулю. Последнее, как мы
знаем из первой части книги (см. § 5 стр. 72), неприводимо и имеет
вес 1 = 2. Аналогичным образом убеждаемся, что подпространство R13)
тензоров, у которых отличны от нуля лишь компоненты /01 = /10,
/02 = /20, /ОЗ=/ЗО, неприводимо относительно группы вращений с ве-
сом 1=1. Наконец, тензор из с компонентами tWl= 1, tn = f22 =
= /33 = -|-, tlrb=0 при k^k2 образует скаляр относительно группы
вращений (представление с весом /=0).
Таким образом, неприводимое представление собственной группы
Лоренца, действующее в подпространстве R19), содержит веса
1=2, 1, 0 и, следовательно, определяется парой (/0, /х) = (0, 3).
Итак, все пространство Rll°) симметрических тензоров
ранга 2 мы разложили на два неприводимых подпространствам
скаляр ^h^CRl1)) (представление с парой (0, 1)) и RW— симметри-
ческие тензоры со следом нуль (представление с парой (0, 3)).
Заметим, что оба эти подпространства инвариантны относительно
представления полной группы Лоренца, задаваемого формулой (35).
Антисимметрические тензоры:	Заметим снова,
что две группы ненулевых компонент такого тензора ^01 = —Z)o,
^02—	^2о> ^оз —	И^12 = —^21> ^13=	^з1> ^гз== ^преобра-
зуются при вращениях независимо. Следовательно, трехмерные под-
пространства тензоров, у которых либо первая, либо вторая группа
компонент равна нулю, инвариантны и неприводимы относительно
группы вращений (и имеют вес 1= 1). Из этого немедленно вытекает,
что представление собственной группы Лоренца в /?<*> приводимо
^неприводимое представление собственной группы не содержит двух
одинаковых весов) и состоит из двух неприводимых представлений,
действующих в пространствах R13) и R13) и содержащих ровно один вес
1 = 1. Пары, определяющие такие представления, имеют вид (±1, 2).
Как было отмечено на стр. 254, тензорное представление вместе
с каждой неприводимой компонентой содержит сопряженную. Поэтому
“256	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
представления, задаваемые в и /?<3>, не эквивалентны и одно
>из них задается парой (1, 2), другое — парой (—1, 2).
Пространство R<6) антисимметрических тензоров tkk, как видно
из формул (35), инвариантно относительно пространственного отра-
жения. Поскольку /?<6) состоит из двух сопряженных компонент, эо
в соответствии с результатами § 3, это означает, что представление
.полной группы, задаваемое в RW формулой (35), неприводимо.
Таким образом, пространство RW антисимметрических тен-
зоров ранга 2 раскладывается на два подпространства 7?<3> и R(3>
неприводимых относительно представления собственной группы
Лоренца. Пары, определяющие эти представления, равны (—1, 2)
и (1, 2). Представление полной группы Лоренца в пространстве RW
неприводимо.
Подведем итог сказанному.
Пространство тензоров tkljc, ранга 2 раскладывается в сумму
четырех подпространств, неприводимых относительно представле-
ния (35) собственной группы Лоренца:
1)	Rw%k,ic,— скаляр (пара (0, 1));
2)	— пространство симметрических тензоров со следом
Л1 + ^22~Мзз — Аю> равным нулю (пара (0, 3));
3	и 3') два пространства RW и R&) антисимметрических тен-
зоров (пары (—1, 2) и (1, 2)). Сумма пространств	обра-
зует все пространство R^ антисимметрических тензоров ранга 2.
Пространства R,l>, R(9> и R&) инвариантны и неприводимы
•относительно представления полной группы Лоренца, задаваемого
формулой (35).
В заключение этого пункта сделаем следующее замечание. Как
мы знаем, всякое конечномерное представление, в том числе и тен-
зорное, эквивалентно некоторому спинорному представлению. Здесь
мы явно выразим компоненты тензора п-ro ранга	через ком-
поненты спинора а*1'"*” 1X1 "'°‘п с «-пунктирными и п-непунктирными
индексами.
Для этого рассмотрим тензор вида
tk,...kn = xJC1xki . . . Xkn (^ = 0, 1, 2, 3),	(36)
где Xk.— координаты вектора. Как мы уже видели в (17") п. 4 § 4,
хк-= 2
I	а а.
ь г
где ал^' — компоненты спинора ранга (1, 1). Отсюда
хкх ...хк
Kl	КП	«За2
1	«iat	а
п>а а ... а п п.
апап
§ 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ . 257
Очевидно, что произведение
_ а«л   	«„
является спинором с ге-пунктириым и ге-непунктирным индексами
(вообще говоря, несимметрическим). Таким образом, тензор вида (36),
а следовательно, и любой тензор re-го ранга, может быть записан
в виде
tk к =2 а(Мая‘"
” “Л	ап*п
(суммирование происходит по всем наборам (34 ...	. an)).
9. Различие между спинорными и тензорными представле-
ниями группы Лоренца. Заметим, что тензорное представление
группы Лоренца, задаваемое формулой (35), может быть продолжено
до представления всей группы невырожденных линейных преобразо-
ваний а в четырехмерном пространстве. Для этого достаточно под-
ставить в эту формулу матрицу линейного преобразования а. Таким
образом, тензоры *п> которые мы рассматривали выше, только
в ортогональных системах координат (т. е. таких системах, которые
переходят друг в друга с помощью преобразований Лоренца) можно
записывать в любой системе координат.
Иначе обстоит дело с теми из спинорных представлений Т^к,п\
которые не эквивалентны тензорным представлениям (в частности,
с непунктирным спинорным представлением ранга 1 или пунктирным
ранга 1). Эти представления группы Лоренца не могут быть про-
должены до представления всей группы линейных преобразований
четырехмерного пространства. Таким образом, спиноры, определен-
ные нами только в ортогональной системе координат, никаким есте-
ственным образом не могут быть определены в косоугольной системе
координат.
§ 5. Конечномерные представления полной и общей групп
Лоренца. Биспиноры
В предыдущем параграфе мы реализовали все конечномерные
неприводимые представления собственной группы Лоренца (или, точ-
нее, группы ЭД комплексных матриц второго порядка с определите-
лем, равным 1) в пространствах Rtk п) симметрических спиноров
ранга (k, ri) (k — число непунктирных, п — число пунктирных
индексов).
В этом параграфе мы с помощью спиноров реализуем конечно-
мерные неприводимые представления полной группы.
Напомним предварительно основные результаты § 3, где были
описаны все неприводимые представления полной группы.
258	гл. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Всякое такое представление g -> Тд порождает представление
g' —> 7'д' собственной группы, состоящее либо из одной компоненты,
либо из двух неэквивалентных компонент тит.
В первом случае представление g' -> Тд' эквивалентно своему
сопряженному представлению и определяется, следовательно, парой
(О, Zr) или (Zo, 0). Обратно, всякое неприводимое представление соб-
ственной группы, эквивалентное своему сопряженному, может быть
дополнено до представления полной группы, причем это можно сде-
лать двумя различными способами, отличающимися выбором знака
у оператора S.
Во втором случае, когда в представлении полной группы уча-
ствуют две неэквивалентные неприводимые компоненты тит пред-
ставления g' -+Тд’ собственной группы, последние сопряжены друг
другу и определяются парами т—(1й, 1^ и т — (Zo, —ZJ, причем
10 =4 0, Zt =t 0. Обратно, представление собственной группы Лоренца,
распадающееся на два сопряженных друг другу неэквивалентных
неприводимых представления тит, может быть дополнено един-
ственным, с точностью до эквивалентности, способом до неприво-
димого представления полной группы Лоренца.
После этих напоминаний перейдем к построению неприводимых
конечномерных представлений полной группы.
Начнем с самого простого случая.
1. Биспинор первого ранга. Напомним, что в § 4 мы построили
неприводимое представление собственной группы Лоренца в двумер-
ном комплексном пространстве /?(1 0), действующее по формуле
йО^йоХД-йо/;1, |
й1' — й10й° 4- йцй1, J
где а = [||| -—матрица, соответствующая преобразованию ga
из собственной группы (соответствие ga''~'а подробно описано
в § 1, п. 2). Величину (й°, а1), преобразующуюся по формуле (1),
мы назвали непунктирным спинором ранга 1 относительно собствен-
ной группы Лоренца. Это представление, как мы видели, задается
парой	и его канонический базис образует спиноры Si = (1,0),
5.1 = (0, 1).
2
Из результатов § 3 следует, что в пространстве (/?1>0) непунк-
тирных спиноров ранга 1 представление (1) собственной группы
не может быть дополнено до представления полной группы Лоренца.
Для того чтобы это сделать, нужно задать еще одно неприводимое
представление собственной группы, сопряженное представлению
ga~>±а, т. е. определяемое парой (----
п. 1]	§ 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ 259
Представление, сопряженное представлению ga —> zfc а, действует,
как мы уже знаем, в пространстве пунктирных спиноров с нижними
индексами по формуле
а'. —а°°а. + а^а. ,
О	О	1
а', —а^а. 4- а11 а. ,
1 о 1	1
(2)
где матрица || да3|| = (д*)-1. При этом базис из векторов {е°, е1},
т. е, базис, в котором записаны все матрицы (о*)-1, совпадает с ка-
ноническим базисом т] j) представления ga(д*)"1.
(. Т "Т)
Если теперь рассмотреть представление собственной группы,
состоящее из компонент ga-+±a и ga—то операторы
этого представления в каноническом базисе f?i, 5 i, t]i, т] за-
l ~2	~~2 "TJ
писываются матрицами четвертого порядка
а О
(3)
В соответствии с результатами § 3 оператор S в этом базисе дол-
жен быть записан матрицей
Предоставляем читателю проверить непосредственно, не пользуясь
результатами § 3, что операторы Тд и S удовлетворяют необхо-
димым соотношениям
STS-^T^, s2 = e.
Пространство, в' котором действует построенное только что пред-
ставление полной группы, обозначим через /?/; координаты вектора
из в каноническом базисе обозначим через д°, д1, д^, д-. Фор-
мулы (3) и (4), очевидно, означают, что при переходе- от одной
ортогональной системы координат к другой с помощью преобразо-
вания из собственной группы Лоренца числа д°, д1, д^, д. преоб-
разуютс я по формулам
д0' = а^а0-±-а01а',
а1' — д10д°-|-«114,
а$ =	а°°а-—|—aPi/Zj,
д<=	д^Ц+^'Ц,
(5)
260
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
а при пространственном отражении s — по формулам
а/0 =	а:,
о *
а'1 =	a j,
а\ = а.
(6)
Пусть в каждой ортогональной системе координат четырех-
мерного пространства задана определенная с точностью
до знака четверка чисел (а0, а1, а^, а^, которая при переходе
от одной системы координат к другой с помощью собственного
преобразования Лоренца g — ga преобразуется матрицей (3) по
формулам (5); при переходе же от одной системы координат
к другой с помощью пространственного отражения числа
(a0, a1, a-Q, а;) преобразуются по формулам (6). Такая четверка
чисел называется биспинором первого ранга.
Первые две компоненты биспинора (а0, а1) при собственных пре-
образованиях Лоренца преобразуются как непунктирный спинор
первого ранга с верхними индексами, а две последние компоненты
(a-,	— как пунктирный спинор первого ранга с нижними ин-
дексами. При пространственном отражении эти пары компонент
переставляются.
Заметим еще, что при вращениях, которым соответствуют уни-
тарные матрицы а — (а*)~1, обе пары компонент биспинора преоб-
разуются одинаково.
В пространстве /?} биспиноров первого ранга представление g^-Tg
полной группы может быть двумя различными способами дополнено
до однозначного представления общей группы, если временному отра-
жению t отнести оператор 7'=-|-S или Т——S.
Заметим, что в пространстве /?} можно задать также двузначное
представление общей группы (см. § 1 и § 3), если временному отра-
жению t сопоставить матрицу Т
т=А 0 iE\\,
|| — IE 0 II
а полному отражению — матрицу J
|1 — IE 0
J’_|l 0 IE
(это представление общей группы тесно связано с так называемым
уравнением Дирака (см. § 9)). Такое двузначное представление общей
группы в пространстве может быть задано единственным (с точ-
ностью эквивалентности) способом.
П. 2]	§ 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ
261
2. Общий случай. Биспиноры ранга (к, п). Как мы показали
в § 4, каждое неприводимое конечномерное представление собствен-
ной группы можно реализовать в пространстве /?* симметрических
спиноров а? '"л* с k верхними непунктирными индексами и п. ниж-
ними пунктирными индексами по формуле
013
fl z а 1
3 „ 3,; «1 • • • «>.
fl п “а:	,
3. ••• 3„
(7)
Пара, определяющая это представление, имеет вид \10 = —g—>
1 . Представление, сопряженное представлению (7),
действует в пространстве Rk спиноров Ь*1"'?'1 с п верхними не-
пунктирными индексами и с k нижними пунктирными индексами по
формуле
(8)
После этих напоминаний перейдем к построению неприводимых
конечномерных представлений полной группы.
Рассмотрим, как всегда, два случая.
I. k + ti или /0 =£ 0. В этом случае, как мы знаем из § 3,
неприводимое представление полной группы может быть построено
единственным, с точностью до эквивалентности, способом в прямой
сумме пространств
R(k, n) = Rkn + Rnk.
Выпишем это представление полной группы явно.
Каждый вектор из пространства R {к, п) задается набором чисел
а,
fl3.
(9)
В пространстве R(k, ri) представление полной группы действует
следующим образом. При собственных преобразованиях Лоренца ga
набор |	преобразуется по формулам
262
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. II
т. е. пространства Rn и R% являются инвариантными и неприводи-
мыми подпространствами относительно представления (10) собствен-
ной группы и в этих пространствах представление (10) совпадает
с представлением (7) и (8) соответственно.
Оператор S, соответствующий отражению у, зададим так:
а 1	.  — Zi о 1	. . . о А А- о . z . . . о . ,Ь.	. 1,
Pi	“ih	ап^п ₽i ?к
ь\-
₽ 1  • • ₽ к	“1 ₽ 1	“й Р к ₽ 1 ' ’ ’ ° п 
(Н)
т. е. числа
U /7а?
h
' ък переставляются друг с другом, при-
чем одновременно их
Напомним, что в п. 5
норами	из R„
верхние индексы переставляются с нижними.
§ 4 мы построили соответствие между спи-
и	из
(12)
Очевидно, что как раз оператор S задает это соответствие. Нам
нужно убедиться, что формулы (10), (11) действительно задают
представление полной группы. Для этого достаточно проверить, что
для любого оператора Тд^ из представления (11) собственной группы
выполняется равенство
ST^S=T^=T^
см. § 3).
Пусть ....едг| и {Д...— базисы из R» и R'i, пере-
ходящие друг в друга под действием оператора 5,’
8е^/ь Sfi=ei (Z=l, ..., Л').
Очевидно, что оператор S запишется ‘ в .базисе,
• • •. JN') матрицей
1 0 0 ... 0
0 1 0. ..0
0 0 0... 1 -

а операторы представления (10) собственной группы, как это сле-
дует из замечания в конце п. 5 § 4 о соответствии (12) между спи-
норами	и	матрицей вида
114	0
Т — |
9а 0 А -1
II 9(а*)
П. 2]	§ 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ
263
Равенство STg S ' —	проверяется теперь непосредственно.
Итак, мы действительно получили представление полной груп-
пы Лоренца, действующее в пространстве R(k, п) величин
I”) ’ ^ак следУет из результатов § 3, представление
полной группы в пространстве R (k, п) (k -ф п) неприводимо.
Дадим теперь общее определение величин
I а*1   •
II
Пусть в каждой ортогональной системе координат задан
определенный
с точностью до знака набор 2 X 2“ ;'г чисел
’ •“«! , которые при переходе от одной системы
координат к другой с помощью собственного преобразования
Лоренца g = ganpeo6pa3yiomcH по формулам (10); при переходе же
от одной системы координат к другой с помощью простран-
ственного отражения числа | а^ Ьп- £»!
формулам (11). Такой набор чисел называется-
преобразуются по
биспинором ран-
га (k, ii).
Первый набор чисел у биспинора при собственных преобразова-
ниях Лоренца преобразуется как спинор ранга (fe, п) с k верхними
непунктирными индексами и с п нижними пунктирными индексами,
а второй набор чисел — как спинор ранга (/?., k) с п верхними пе-
пупктирными индексами и с k нижними пунктирными индексами.
При вращениях а — (а*)~1 первый и второй наборы чисел би-
чинора преобразуются одинаково.
Биспиноры ранга (k, п) образуют 2 X ^"-мерное линейное про-
странство. Формулы (10) и (11) задают в этом пространстве пред-
ставление полной группы Лоренца, вообще говоря, приводимое.
Построенное памп выше пространство R (k, п) является, очевидно,
подпространством в пространстве всех, биспппоров, инвариантных
относительно представления (10) и (11). Бчспиноры, принадлежащие
пространству R(k, п), будем называть симметрическими биспино-
рами ранга (k, п) (они составлены из двух симметрических спи-
норов). Таким образом, построенное нами выше представление (10),
(11) — это представление, действующее в пространстве R(k, п) сим-
метрических биспиноров ранга (&, п). В случае, когда k =j= п, оно
неприводимо.
II. Рассмотрим случай, когда п — k. Все построения предыду-
щего пункта здесь, конечно, остаются в силе, с той лишь разницей,
что построенное представление полной группы в пространстве сим-
метрических биспиноров R (k, k) (как следует из § 3) уже приводимо.
Однако в случае, если n = k (т. е. /о = 0), неприводимое пред-
ставление полной группы можно задать в самом пространстве R1^
264	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
симметрических спиноров ранга (A, k) двумя неэквивалентными спо-
собами.
Оператор S определяется формулой
йУ"5 = ±28"‘’’-->8’^8 .,..-8 .,аУ"У. (13)
3 1    3 к	“1 3 1 *к 3 к & 1 ' •' $ к
3. Неприводимые представления общей группы. Однознач-
ные представления. Как мы знаем из результатов § 3, всякое
неприводимое представление полной группы дополняется до однознач-
ного представления общей группы, если временному отражению t
отнести оператор T=±S, а полному отражению J—оператор
J=z±zE. Таким образом, в пространстве биспиноров любого ранга
можно построить неприводимое однозначное представление общей
группы. При этом в случае I (k #= п) операторы Т и J имеют вид
«V” S =±58“^1 • • • 8“^*8 .,.--8
I 31	Ml	'Л’1”Л
ЬУ”' У, =	. . . 8“"3«о .....о ..а} >,
’г'Л	“i 3!	’А-Зь 31 ••• 3&
а. ... а,.	а. ... а,
а ,,=±а ?	.* ,
3 1  3 п	3 п
J;
I  “» =zt "	*i=?i’
I з;...зд.	ь-.-зд.’
а в случае II (k — ri) операторы Т, J, как и оператор S, действуют
в пространстве спиноров ранга (k, k) по формулам
Т: а'у •• =± 2 8’^1 • • •	8 ., • •  8 . ,аУ У . 1
3fe- -3fc	Mi *ft3fc З^.-Зд I )
У: а),	=	"• У, У=У’
31 •••Зд	3j...?-ft	3f=3j.	J
Двузначные представления общей группы. Как мы
видели в § 3, всякое такое представление порождает представление
полной группы, состоящее из двух сопряженных друг другу непри-
водимых компонент собственной группы. При этом можно выбрать
базис (см. п. 5 § 3), где операторы S, Т н J записываются мат-
рицами
(1° £|i	_|1 0 iE\\ ц—01
5||£ 0||’ 7' = || — IE О II ’ J~|| 0 IE\‘
Обратно, всякое представление собственной группы, состоящее
из двух сопряженных друг другу компонент, можно дополнить до
неприводимого двузначного представления общей группы.
п. 4]	§ 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ 265
Представление полной группы, действующее в пространстве сим-
метрических биспиноров ранга (А, ri), содержит две сопряженные
друг другу компоненты собственной группы. Таким образом, пред-
ставление (10), (11) полной группы в пространстве биспиноров
можно дополнить до неприводимого двузначного представления
общей группы. При этом операторы Т и J действуют по формулам
а\"'	...	.,...8 .X1"*”,
h----3n	Ml ап9пе1 — ?к
b*},'" “« = — zJX^1 . .. 8“«M .....8 .,аУ"’к,
. ’1	”131 ”A3fc 31 •••3„
a, ... a.	. a. ... a.
a =----------Ш /	,
J 3!	3 zi	3j  3„	ai=oti’
. ₽1 •₽*	3!...3„
(15)
(15')
а оператор S— по формуле (11).
Легко видеть, что если в пространстве симметрических биспи-
норов R(k, ri) выбрать базис так, чтобы оператор S (11) записы-
вался матрицей
5 =
0 £11
||£ О ’
то операторы Т, J (15) и (15') в этом базисе имеют вид
II — IE Oil	0 Z£l|
• Т—
||	0 Z£ || *	— IE 0 II
Операторы S, Т, J антикоммутируют и, таким образом, вместе с Е
образуют двузначное представление группы отражений: е—
s —> zt S; Z -> ± 7’; j = ± J.
4. Тензорные представления полной и общей групп Лоренца.
Напомним, что тензорное представление собственной группы, т. е.
представление, задаваемое формулой
^riri ri Srik ^rik ’ * ' ri к к к к	(15)
Klh2.---Kn	4lftl 2ft2 Кпп hlK2 п
(индексы kj принимают значения Aj —0, 1, 2, 3;	||—матрица
собственного преобразования Лоренца), естественно дополняется до
представления полной группы Лоренца, если в качестве матрицы ||^л||
в формулу (16) подставить матрицу пространственного отражения s
ли матрицу — у.
S =	— 10	0	0 0—1	0	0 0	0—1	0 0	0	0	1
266	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[ч. II
Оператор S определяется при этом формулой
= (,w
где
---------------°00 == °11 == °22	°33 ~ 1	==
И
'Jk'k. ~ ° ПРИ ki fe’’
Если в формуле (16') выбирается знак плюс в четном числе скобок,
то соответствующая величина называется собственно тензором. Вели-
чины же, преобразующиеся при отражениях с помощью формулы (16'),
в которой знак плюс выбирается в нечетном числе скобок, называют
псевдотензорами (псевдоскаляр, псевдовектор).
Аналогично оператору S можно задать с помощью формулы (16)
операторы Т и J, соответствующие временному и пространственному
отражению t, j. При этом мы получим тензорное однозначное пред-
ставление общей группы.
Тензорное представление собственной группы Лоренца можно
дополнить до двузначного представления общей группы. Согласно
общей конструкции, описанной в § 3, это представление задается
так: рассмотрим пару тензоров	и tlll... ьп, которые незави-
симо преобразуются при собственных преобразованиях Лоренца и
при отражении s по формулам (16) и (16'). При этом тензор
преобразуется формулой (16') со знаком плюс, а для тензора 7/,,...*
перед этой формулой ставится знак минус. Операторы Т и J дей-
ствуют па tjc ъ и tf- k так:
' Л;...	‘S».;.,)рМь) • ’' (*
t Ъ Ъ =   t '	?, $
§ 6. Произведение двух неприводимых конечномерных
представлений собственной группы Лоренца *)
1. Разложение кронекеровского произведения двух неприводи-
мых представлений собственной группы Лоренца на неприводи-
мые. Как и в случае группы вращений, представляет интерес сле-
дующая задача: даны два неприводимых представления собственной
группы: одно g -> Тд\ действующее в пространстве Rt, и другое
*) Определение произведения представлений см. ч. I, § 4.
П. 1]	§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ;267
£•->7'^, действующее в пространстве /?2. Представление -д,=
= Тд} X действующее в X #2> вообще говоря, приводимо.
Какие неприводимые компоненты оно содержит?
Мы решим здесь эту задачу для случая конечномерных неприво-
димых представлений g -> и g Т%\ При этом нам будет удобно
рассматривать эти представления реализованными в пространствах
спиноров (см. § 4). Напомним, что всякое конечномерное предста-
вление собственной группы Лоренца можно реализовать в пространстве
симметрических спиноров ранга (k, п), где k—число непунктирных
индексов, п—число пунктирных индексов, причем определяющие это
представление числа равны
__k — П\	fe-j-ZZ ,,
го — 2 ’ ’ ч — 2	' 1 ’
Перейдем к решению нашей задачи. Начнем с частных случаев.
1.	В § 4 было показано, что неприводимое представление в про-
странстве симметрических спиноров ранга (k, ti), Т{д’п> является
произведением двух неприводимых представлений—п -го.п).
1 'pCk, п)_ 'Tith, 0)	7Д0, п)“*
> з — 1 д Д' 1 д •
Первое из этих представлений реализуется в пространстве непунктир-
ных спиноров, и мы его в дальнейшем называем коротко непунктир-
ным, второе — действует в пространстве пунктирных спиноров и
влдальнейшем называется просто пунктирным.
2.	Пусть задано произведение двух непунктирных представлений
9) \у 0)
Jg А 1д
Покажем, что неприводимые компоненты этого произведения суть
снова непунктирные произведения. Для этого воспользуемся сделан-
ным нами в § 4, п. 3 замечанием о том, что те конечномерные пред-
ставления g-^>-Tg, у которых матричные элементы операторов Т
в некотором базисе являются аналитическими функциями элементов
матрицы второго порядка а‘. (а00, а01, а10, <7П), раскладываются лишь
на непунктирные спинорные представления. Такие представления
g-^~Tg мы назвали аналитическими. Очевидно, что само неприводи-
мое пунктирное представление g—>';7'^1’0' аналитично. Кроме того,
ясно, что произведение двух аналитических представлений аналитично.
Таким образом, представление 7^‘”0) X Тд^’0)—аналитическое [и
-тЛ'.О)
содержит поэтому лишь непунктирные компоненты /д
Выясним, какие ранги k' могут встречаться у этих компонент.
Напомним для этого, что представления	и Тд^’® неприводимы
„	kl kf>
относительно группы вращений и имеют веса и соответственно.
268	ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ	[Ч. II
Поскольку каждое представление 7’pfc‘,0) также неприводимо от-
А' k'
носителыю группы вращений и имеет вес , то пробегает все
I k\ — kft J k-i -I- z	\
значения от  1 2 - до	—- (по одному разу).
Итак, ранги k’ непунктирных компонент Тд'’0', входящих
в разложение Т^1,о) X 7pft”0), принимают по одному разу зна-
чения
kf j ky ^2 |, j  &2 1 H— 2, ... , Xtj —Afg — 2,	ky ~4~
3.	Аналогично предыдущему произведение двух пунктирных пред-
ставлений
7.(0, И?' vz т-(0,
1 в А 1д
распадается лишь на пунктирные компоненты Т^0’ ” \ ранги кото-
рых п' могут принимать значения
п' = | — n21>	— n2H~2;	nl-\-ni— 2,. п1-(-/г2
{каждое по одному разу).
4.	Общий случай. Как было указано вначале, произведение не-
0)	'T’fOj 21)
пунктирного представления Тд на пунктирное Тд
pfot 0)j>^ у40, п)
неприводимо и эквивалентно представлению Тд"и) в пространстве
симметрических спиноров ранга (k, п):
0)и 'тДО» ?2)	?l)
*д 8Х J д ------ ig
Воспользуемся этим обстоятельством для разложения на неприводи-
мые представления
_ ___ 7,(^1» ni) \ z т-(^а»
У/ — 1 в Л. гд >
т. е. для решения общей задачи о разложении произведения непри-
водимых конечномерных представлений собственной группы Лоренца.
Воспользуемся равенствами
Wj) ____ 0)"*\у ^1)
1 a — La 1 a
и
*т,(Аа,	__ 7,(^2, 0) ч , 7ЧО, Wa)
la — 1 a ’X ig
Тогда для хд получим:
te = (7^-’0) X 4°’ “‘О УФ'а" 0) X Тд'п,))-
П. 1]	§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 269
Переставляя сомножители и пользуясь ассоциативностью произведе-
ния двух представлений, получаем *):
°' X 74/”0)) X (Г*0,П1) X 4°’
Первая скобка в этом произведении дает представление, содержа-
щее лишь одни непунктирные компоненты	’0) k' — | kx—k2\,
| ki — k2\-\-2, ..., kl-\~k2. Вторая скобка раскладывается на
пунктирные компоненты Тд’п’^ п' = | nt— п21, | nt— п2\-\-2, ...
+ «2—2,	т-|—п2. Очевидно, что представление т содер-
жит всевозможные представления вида Тдк ’ 0) X Т^’п,> (ровно по
одному разу). Но каждое такое представление неприводимо и реа-
лизуется в пространстве спиноров ранга (k', п'), т. е.
'Т'(кг г 0)	Пг) ___ Hr) **
1д х 1д — *д
Таким образом, мы окончательно получаем, что произведение
двух конечномерных неприводимых представлений собственной
группы Лоренца Т^”П1) и Т^’{реализуемых спинорами ранга
(klt nj) и {k2, п2) соответственно) раскладывается на неприводи-
мые компоненты ’п -, где k' и п' независимо пробегают зна-
чения
k' = ]&! — &2|>	|^i — й2|-]-2, ...,	k1-\-k2 — 2,	kx-±k2,
п'— \пх — п21,	— п2|-]-2...... — 2,	П1~^~п2,
и каждая такая компонента ’п ’ входит в разложение один
раз.
Напомним еще раз, что числа (k, п) связаны с числами (Zo, ZJ,
которыми обычно задаются неприводимые представления в этой
книге, с помощью формул
= = + (!)
Рассмотрим пример: произведение двух тождественных предста-
влений группы Лоренца g->-g.
Заметим, что, как мы видели в § 4, п. 7, такое произведе-
ние эквивалентно тензорному представлению ранга 2. В том же
пункте мы разложили это представление на неприводимые. Найдем
это разложение еще раз, исходя из полученных только что резуль-
татов.
Представление g-> g определяется парой (0, 2). (Пространство RW
содержит два подпространства, инвариантных относительно группы
вращений, а именно, одномерное: ось х0 (Z = Z0 —0), и трехмерное:
*) Возможность перестановки сомножителей, а также ассоциативность
умножения представлений легко следуют непосредственно из самого опре-
деления произведения представлений (см. ч. I, § 4).
270
'•ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
хо = О (7=1,/1 = 2).) Из формулы (I) следует, ,что представлен».
g—^g реализуется спинорами ранга (1, 1) (т. е. эквивалентно пред
ставлению	Итак, мы должны разложить на неприводимые ком-
поненты произведение
'/'(I» 1)
*9	
Имеем:
T’th О 7’(1> 1)_ХР
19	19	--- Zj 1 9	>
где
k' = 0,2; п' = 0,2
(всего получаются четыре компоненты).
Составим таблицу (см. § 4, п. 7)
п'	0	2
0	скаляр Zo = 0, Zi=l	Zo= 1, Zi = 2 антисимметрический тензор
2	антисимметрический тензор Zo — — L Zj == 2	симметрический тензор ранга 2 со следом, равным 0 (<ц ф- /22 + /зз — — /<ю = 0),	— 0, Zi = 3
Мы снова, разумеется, получили те же четыре компоненты, что
и в § 4, п. 7. Из этой таблицы, в частности, видно, что симмет-
рические тензоры со следом нуль (компонента 7^(2,2)) образуют не-
приводимое подпространство в пространстве тензоров второго ранга;
в § 4 этот факт мы приняли без доказательства.
2. Коэффициенты Клебша — Гордона*). В этом пункте мы
на дем, как в ыражаются векторы канонических базисов неприводи-
мых компонент произведения двух представлений	и Т<дг,п^‘
через произведение канонических базисов {Й*1} и в простран-
ствах Rkl,nl и а, где действуют сами представления	и
1 д •	*
Пусть — канонический базис для компоненты
Имеем:
Мы выразим коэффициенты	£через коэффициенты
Клебша — Гордона для группы вращений (см. ч. I, § 10).
*) По аналогии со случаем группы вращений элементы матрицы, пере-
водящей один базис в другой, мы называем коэффициентами Клебша — Гор-
дона.
п. 2]	§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ '271
Мы видели выше, что
7'(*n°) „ Т(0. П,)
д и 1д
Т^’ п,\ векторы
1 д — 1 д А 1 д
и 1 Тт, "1—канонические базисы
I ~2 ’mi J
В пространстве Rr, где действует
г;,. образуют базис.
2 ’ W1J
представлений
Vk,
2
т.
представление
Очевидно,
что
^11Ш1 —
2 в1с ,
г „	~. т 
тПл-rmy =ту	i
п, и 'Цк1 , Ъп1
Т ’ т1 ~2 ’ т1 ~2 ’
т
(3)
Наоборот (см. § 10 ч. I),
Чк,
2 ’
, Чп,
ту 2 ’ т1
П} ,	'
.2+,П1
Аналогично
ДЛЯ
имеем:
т'^
2 ’ т2 2 1
т2
7П1 I < li
Г »

«1 «j	nL -
-2’ 2’ т*+2-г’
t/Г,»,
(4)
Л+га2’ т2
[2 ’ G 2 ’ У т«+2-г»'
(5)
где l7]fcj ,1 и /т]Пз
( 2 ’ ”г 2)	( 2 ’
о) „ 7^(0, Я3)
1д К 1д 
• Рассмотрим представление
'piku о) 'piki, 0)
1 д А 1 д
Пусть I—канонический базис
I W
ведения (l&j — k21 k' kl-\-k2').
Очевидно, что
(т31 < I,
(m2+OT2=m2)
J—канонические базисы представлений
компоненты Тд ’ 0) этого произ-
к’
2 ’ F	' “2 ’
jx =mj+m2

ft, ,
2' т2 2 ’
-%
т\ 2 ’ т2
(6)
Подобным образом для канонического базиса
} компоненты
Тд’	п'}	из произведения Tg0,	W1) X	7^°’	”а)
:	и."
 2 ’ F
П,	ч	П2
7’ wi: ~2 '

Р- ^тп-^+тп^
имеем:
„Ч
т2 ~2 ’
п	»
“1 2 ’ т2
(7)
272
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Произведение Тдк ’ 0) X 7^°’ образует неприводимое представление
' с каноническим базисом }
►й'п'
Чт
m = u' +р/'
2 ’
, п’
V-'-, у.
,Sk'
р” у . Р' Y - р'
(8)
или (см. (6) и (7))
гк'п'
М1»
Шр Шр т2
и'
У
к'
"о  !V
в£
2 ' ”*
ка f
2' т2
п' „
хв„,
2- тё 2' т2
п9 it Qfci
~ ™ J

т1	2’
,П2 2
I Zi Я2 п1
"'1 2 ’ >П2
Или, наконец (см. (4) и (5)),
— . и."	— •
2 ’ 	2 ’
t-k’n'
Чт
Имеем:
У
,	,	2 '
ту m2,
?2. WZ,
«1 I
~л+т
X В/^ п, . И,
~2 ’ ‘~~2 ’ "2 ’
р'

2 ’

D
12	2 * Ш1’ 2 f
т\ = m-i — т\,
у, = щ + m2,
(суммирование идет по
Отсюда
fk'п' 50 о!»»
Чт — Zj
2
f t п'
, m1+m2; у
п'
хв\
У
П3 . г
R2+m2’ т2
*-^к3	_	/?а	?23
2. ?.-у ! 2’ т*+2-1'-
т-2 = т2 — т2,
у. = т — m-i — т.2
всем дважды
й’
, , в1 ’
т~ тГт2 У
т-т^-т^
> па
тгт1’ 2 •
т2-т
Суммирование идет по индексам
I *2 — «2 I
2
*2 Ч" «2
2
чаш2*
встречающимся
индексам).
т'1+т'2
f к3 '
т1’2' т2
п1
Т
т1 + ^
X
па I
V «2+т2’ ”‘2
A Dka , п9 па па ,
у, z3-y; 2
Чята
1*1 —«И *1+ «1
2 Ч 2	»
и — li < т1 li (т = mi Н- т2)~
П. 2]	§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ	273
Сравнивая с (2), получаем:
jrlc’n' 1т
i!Z'a ??a
\1 Alm
1йт.-> — xj	'
Г , T ’ W1+W2;
tt'
T
m ~'тл -m
, m'+m'	, m-m' -m'
,\2 ,B,l
2’m2	2’	-2' m2~m
-im,, -m
p “	1	1
'	7 n< n-
;2~:;г2	-2‘T-~1’2
Я.
m2
^+m'i
X В J;a r n n
T’ ?2~^ ’ 2’ m^ + T
ГЛАВА 2
РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 7.	Общие релятивистски-инвариантные уравнения
(1)
1.	Определение релятивистски-инвариантных уравнений. В кван-
товой теории полей состояние частицы описывается некоторой функ-
цией ф(х0, х1; х2, х3). Величина ф (х0,	х2, х3) может состоять
как из одной, так и из нескольких компонент (а также, быть мо-
жет, бесконечного числа их).
Функция ф(х0, xt, х2, х3) должна удовлетворять некоторому од-
нородному линейному дифференциальному уравнению *). Вид этого
уравнения определяется физическими свойствами частицы.
Рассмотрим пример наиболее простого уравнения — так называе-
мого уравнения Клебша — Гордона:
дЧ	<Гф । ,,	„
—5-------i------5------5- + х2ф — О,
дх^ dxi дх, дх3
где функция ф(х0, xlt х2, х3) состоит из одной компоненты (скаляр-
ная функция).
Нетрудно видеть, что если переменные (х0, хи х2, х3) — х под-
вергнуть преобразованию Лоренца g: x'=gx, то вид уравнения (1)
не изменится, а функция ф' (х') — ф(х) по-прежнему останется реше-
нием уравнения (1). В связи с этим про уравнение (1) говорят, что
оно инвариантно относительно преобразований Лоренца, или, короче,
релятивистски-инвариантно.
Это обстоятельство выражает тот факт, что свойства частицы, опи-
сываемой уравнением (1) (в частности, само это уравнение), не дол-
жны зависеть от выбора системы отсчета (х0, xv хг, х3). Две же
различные ортогональные **) системы отсчета связаны преобразованием
*) Мы рассматриваем случай свободного поля. Для взаимодействующих
полей уравнения уже неоднородны.
**) Напомним, что систему координат (х0, xlt х2, х3) называют ортого-
нальной, если квадратичная форма s2(x2) в этой системе записывается в виде
,2 _	_ г _ 2 _ 2.
о — •/'-0	«л-j 2	*v 3
В физике такие системы отсчета называют инерциальными.
П . 1]	§ 7. ОГШ.ИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 275
Лоренца:
гДе —матрица преобразования Лоренца.
Таким образом, инвариантность уравнения (1) относительно пре-
образований Лоренца означает инвариантность этого уравнения отно-
сительно выбора системы отсчета. Очевидно, что последнее свой-
ство— не зависеть от выбора системы отсчета — является общим для
всех дифференциальных уравнений или систем дифференциальных
уравнений, описывающих реальные частицы.
Мы будем рассматривать системы уравнений первого порядка. *)
Их можно записать так:
a0-^ + £i-^ + 4>-^ + £3^+*4 = 0	(2)
и дх0 1	1 dxt 1 дх2 3 дх3 1 т	7
•*) Можно показать, что всякое уравнение более высокого порядка мо-
жет быть сведено к системе уравнений первого порядка. Для примера рас-
смотрим уравнение (1)
□ Ф +	= 0.
Положим
Уравнение (1) перейдет в систему
Sd'h	дф0
dxi	дх0
1 = 1, 2, з
Эту систему можно записать так: пусть Ф =						Фо Ф1 1 Фз дФ дх3	-f- /хФ = 0,
Тогда	, <?ф 0 дх0		ОФ 1 дхг	, дФ 2 дх<,	+ L?.		
где							
	0 1	0	0 0			0	0 — I 0 0
	— 1 0	0	0 0			0	0	0 0 0
	Л, -	00	0	о 0 ,			— i	0	0 0 0
	0 0	0	0 0'			0	0	0 0 0
	0 0	0	0 0			0	0	0 0 0!
	0 0	0	— 1 0			0	0 0 0 — i
	0 0	0	0 0			0	0 0 0	0
	А, = '	0 0	0	0 0		L3 =	0	0 0 0	0
	| — 1 0	0	0 0			0	0 0 0	0
	1	0 0	0	0 0			— 1	0 0 0	0
276	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
(х—вещественная константа), волновая функция ф (х0 xl, хг, х3) при-
нимает значения из некоторого линейного пространства R (другими
словами, имеет конечное или бесконечное число компонент), a Lo,
Lv L2, L3—матрицы, действующие в этом пространстве.
Сейчас мы точно определим, что называется релятивистски-ин-
вариантным уравнением вида (2).
Всякое преобразование Лоренца g над координатами х0, xv х2, х3
(переход от одной системы отсчета к другой) должно сопровож-
даться, вообще говоря, некоторым преобразованием 7\ над величи-
нами ф
ф'(х') = Т^.ф (х)	(x' = gx).	(2')
Соответствие g-^-Tg задает некоторое представление группы Ло-
ренца в пространстве R.
У равнение вада (2) называется реляпавастски-инзариантным,
если при одновременном преобразовании координат по форму-
лам (1) и функции ф по формулам (2) вид уравнения не меняется.
Подчеркнем еще раз, что для полного описания частицы, помимо
релятивистски-инвариантного уравнения вида (2), нужно задать еще
и закон преобразования величин ф при преобразовании Лоренца, т. е.
задать представление g —> Т в пространстве R.
2.	Условия релятивистской инвариантности уравнения для
случая, когда х 0. Выведем условия, которым должны удовлетво-
рять матрицы Lc, Lx, Ьг, L3 в релятивистски-иивариантном уравнении
с х=#0. Подвергнем х(х0, хр х2, х3) некоторому преобразованию Ло-
ренца g: x' — gx.
При этом ф преобразуется с помощью оператора Тд
¥ (х') = Tg«j (х).
Посмотрим, как преобразуется уравнение (2). Имеем:
Подставляя эти выражения в (2), получим:
У^Т/^^-Н^ф^О.
ГХ дх*
Умножив слева на оператор Тд, получим:
2 TgLJ-'gki^ + i^^.
Тс, I
п. 2]	§ 7. общие релятивистски-инвариантные уравнения 277
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2), видим, что для
инвариантности уравнения (2) нужно положить
=	(6=1, 2, 3,0).	(3)
г
Это и есть условия, которым должны, удовлетворять матрицы Ц.
Достаточно, очевидно, потребовать выполнения равенств (3) для
бесконечно малых преобразований Лоренца.
Пусть, например, ||g-ftil|—матрица поворота g12(cp) в плоскости
(х1; хг),
g12 (ср) —
COS
— sin
0
о
sin <f	0	0
cos	0	0
0	1	0
0	0	1
или, при малых ср,
0
—1
о
Д12С?) — £ + ?
1 о о
ООО
ООО
+ О (ср).
0 0 0 0
Отсюда для элементов матрицы g12(cp) при малых ср получаем вы-
ражение
[g'i2 (®)Ы =	? (S*2Sfi — З/сАг) + о (с?)
(о7.; =1 при k = l; Sfci=0 при k^=i).
Оператор Т'Г12(ср) при малых ср запишется, очевидно, следующим об-
разом:
(?) —	? Аа + 0 (?)•
Подставляя [g12 (<p)]*i и в выражение (3), имеем:
2 {(£ + ? Аг)	(Е — ¥ Аг) (^г — ?	— °&Дг)) 4~ 0 ('? )) — ^к-
Собирая члены первого порядка по ср, получим:
{(Аг^/	3;Д12)	^i^kl^ii)j ®
ИЛИ
[Д12, Lk} — Lr-tytjcz-J-А2§м — 0 (k—1, 2, 3, 0).
278
ГЛ. 2. РВЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
Отсюда получаем следующие соотношения:
[/112’ Ml ==--А’ [Аг’ 7,2]:=7-1’
[Л12, А3] = [/112’ 7.0] ~ О"
Аналогично для Аз и И23
[Аз- А]— ААз + Т-Ач — А |
[Аз> Lk]— ^-гАз + ^-зАг —О- J
Для Blt В2, В3 получаем так же
[Bp Al-|-7-1А0 + ЛАг1 — О,
*[^2> А] ~Ь ААо А" ^к2 — О’
[83, A*] + A38ft0 L0^k3 — О,
Л = 1, 2, 3, 0.	(6)
Таким образом, задача отыскания всех релятивистски-инзарлант-
ных уравнений сводится к отысканию матриц В, L2, L3, L3, удовлетво-
ряющих соотношениям (4) — (6).
Из соотношений (6) видно, что
Lk=-[Bk,L0]	(6=1,2, 3),	(6')
т. е. достаточно найти лишь матрицу Lo, как остальные однозначно
восстановятся.
Для матрицы Lo имеем следующие соотношения:
[Д)> Аг! = [Т-о. Аз1 — 1^-о> Аз1 =
[В3, [В3, Ао]] = Z,o.
Остальные соотношения следуют из написанных.
Если ввести операторы
ТА = 1Л23 — Аз ’	F+ — lBt — В2,
ТА = 1’Аз А" Аз>	Д_=/В1+^2’
ТД = 1А12,	— iB3,
то получим: 	
[Т-o’ 7/+] = [Др 7/.	J = [A0, H3] = 0,	(7)
[[В3, Lo],	ТД ] = 7,й.	(8)
Итак, задача об определении четверки матриц Ар L2, L3, Lo све
лась к отысканию матрицы Ао, удовлетворяющей соотношениям
(7) —(8).
Если уравнение (2) инвариантно, относительно полной группы
Лоренца, т. е. не меняется при отражении 5 трехмерного пространства
Х1 = — Хр х2 — — х2, х3 = — х3, х'о — х0,
П. 3]	§ 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 279
то матрица Ао коммутирует с оператором S (S=7's). Действительно,
из соотношения (3) имеем:
SL0S'' = L0 или [S, Z,o] = 0.	(9)
Таким образом, мы получаем окончательно, что матрицы Lv Ь>, L3
в релятивистски-инвариантном уравнении (2) выражаются через
матрицу Lo по формулам (6'):
Ц = -[В^О],	/=1,2,3;	(6')
матрица Lo определяется из условий (7) — (8):
[£0, /7+] = [А0, Н_] = [То, Я3] = 0,	[[F3, Ао], F3]=L0. (7-8)
В случае, когда уравнение (2) инвариантно относительно полной
группы Лоренца, к условиям, (7) — (8) добавляется условие (9).
3.	Определение матриц £0, £р 72, L3. Найдем матрицу Lo в урав-
нении, инвариантном относительно собственной группы Лоренца,
т. е. в уравнении, не меняющемся при собственных преобразованиях
Лоренца. Такая матрица Lo удовлетворяет, как было показано в пре-
дыдущем пункте, условиям (7) — (8).
Пусть пространство R, в котором действует представление g-+Tg,
разлагается в прямую сумму подпространств Rx, в каждом из которых
действует неприводимое представление собственной группы Лоренца т,
определяемой парой
т — О-в' Ю-
В каждом подпространстве R~ выберем канонический базис
т. е. базис из собственных векторов оператора Н3. Векторы {;),»}
образуют, очевидно, базис во всем пространстве R.
Пусть ||с?Хг'»г|| — матрица оператора L3, записанная в этом базисе,
т. е.
Д'Лш = S Ciml'm'41'т’’	(19)
Мы найдем общий вид чисел c^ni'm’’
Из соотношений (7), означающих, что матрица Ао коммутирует
с операторами представления группы вращений, получаем согласно
(32) § 2:
Clml'm' = Cl ОЦ'^тт'-	(11)
Найдем теперь числа ci. Воспользуемся соотношением
[IF3» Л1, ?з] = Ли
Применяя операторы из обеих частей этого равенства к вектору
получаем:
[[F3> £q], М3] %im — L,ylm.
280	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
Развертывая это равенство, мы с помощью соотношений (10) и (11)
и выражения для F3 (13) § 2 придем к следующим системам урав-
нений:
CfCicf+i — 2СгС^1сГ' + CiC^ = 0,
CzCz+iCz+i — 2CfCz4 icp Ci = 0,
Q [Ai-1 Ч- Aj — 2A;] ci — С} [2Л;_1 —	— Xf] cjli,
Ci [-^z—i —f— -<4/—2A]jci~ =Ci [2Л/_1 —	— Ai ]fz-i>
2сг+1а+1с?;1—{(a'+1)2+(q+1)2+(сГ)2+(ci)2+
Ч- (Ai — Ai) } c'i -j- 2Ci Cici-} = 0,
2 (I + 1)"Ci^iCi+ici^i—{(Z-pl) (Cz+i) -j-(Z-]-l) (Cz+i) ~h
+? Ш +12 (c?)2} c'f + 2l2CiCic^ = 4cF' •
(12)
Здесь А/ и Ci обозначают величины, определенные формулами (16) § 2,
в неприводимом представлении т (Zo, Zt). Наша задача сводится к иссле-
дованию и решению написанной системы линейных уравнений. Раз-
решая какие-либо три из уравнений (12) относительно cj-i, ci‘ , Cz + i
и подставляя полученные значения в остальные уравнения, мы убе-
димся, что ср может быть отлично от нуля только тогда, когда
компоненты т (Zo, /;) и х (f0, ZQ такие, что
1) либо
(/о, /9 = (/0±1, ZJ,	(13)
2) либо
(/о, ZO = (Z0, Z1=tl).	(14)
Если пары (Zo, Zt) и (l’o, Zj двух компонент т и х связаны каким-
нибудь из этих двух соотношений, то компоненты т и т! мы
будем называть зацепляющимися.
При этом числа ср имеют следующий вид:
1) при (z£, /;) = (/«+ 1, ZJ
ср' = сл'V(Z + ZO+1)(Z —Zo), |
cix = c ]/r(Z-|-Z0-|-1)(Z"—Zo); J
2) при (Zo, /() = (/0, 4+ 1)
cp'=^' /(Z + Z1+1)(Z — Zt), 1
,	, r___________________ 1	(16)
cr = c”VG+*i+i)(/ —/1)- 1
П. 3]	§ 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 281
где с~' и ст'х—произвольные комплексные числа. Подчеркнем еще
раз, что числа сх"' и ст'т отличны от нуля только для зацепляющихся
компонент т и z'. В остальных случаях стт' — сх'т = 0.
Таким образом, окончательно, элементы матрицы Lo имеют вид
=	<	(17)
где числа ср определяются по формулам (14), (15) и отличны
от нуля только в том случае, когда компоненты z и z' заце-
пляются. Для матриц Ар L2, L3 получаем, пользуясь формулами (6'),
следующие выражения.
а)	Для L3: Обозначим матричные элементы L3 через а]т;Гт'-
Ц = [|«to; Vm, ||. Тогда
«Zm; 1-1, т = I V-[Clci-1-----Cl Ср ],	j
арт- lm = — imcp' [д!— Д? ],	J- (18)
Olm-, Z+1, т — — I ]/"(!+ I)2-[Cf+iQ+i---С[+\Ср j. J
b)	Для L, и L2. Обозначим элементы этих матриц соответственно
Через bim- i’m’ И dim-. I'm'"- 7,1 = ||/>to; I'm' ||> T,2 = || I'm' ||• Имеют
место равенства:
1 — 1, m — 1	l-l, m-l ==
=+4/a + «)(i+«»—1) [ Cici-1 - Cpcp'],
b'lm —	Z-l, m + l =
= — ]Л(7— zn)(Z — яг— 1)	— C'icP’],
dim; I, m-l = idim', I, m-l —
= z, (1ni)(I—m-\-l)ci [Дг— A[ ],
(!9)
bim-, I, m +1 = idim', I, m + 1 ==
==уУГ(1 — m)(l-p m-p 1) Ci [Дг — Д) ],
d'lm', Z + 1, m-l ——	idim', 1+1, m — 1 ==
—	zy 1^(7 m “b 1) (i—m + 2) [Cj+iO+i — Ci + \Ci ],
blm-, Z + 1, m+1	idim-, Z + 1, m + 1 z==
—	— -у V(l-pni-pl) (l-[-m-\-2) [Cf+ic)+i—Ci+\Ci ]•
Компоненты z и z' в этих формулах предполагаются зацепляющимися.
Числа сР определяются по формулам (15) и (16), а числа Cj и
282	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
А]—по формулам (16) § 2. Формулы (13) — (19) содержат полное
решение задачи о разыскании всех уравнений, инвариантных отно-
сительно собственных преобразований Лоренца. Мы видим, что такие
уравнения полностью определяются набором чисел с"' и с' ', отве-
чающих различным парам тит' зацепляющихся компонент пред-
ставления g-^-Tg.
4. Релятивистски-инвариантные уравнения с х = 0. Все опре-
деления и результаты предыдущих пунктов относились к реляти-
вистски-инвариантным уравнениям (2) с у. =£ 0. Очевидно, что они
полностью применимы и к случаю -/. = 0. Оказывается, однако, что
в последнем случае можно несколько расширить сами условия, при
которых уравнение является релятивистски-инвариантным.
Рассмотрим уравнение
Ло^ + Л1-^-+Л2^ + Л3^ = О	(20)
0 дх0 1	1 dxL 1 J дх2 1	3 дх3	v 7
(величина ф преобразуется, как всегда, по некоторому представле-
нию g-^Tg собственной или полной группы Лоренца).
Выясним, в каких случаях уравнение (23) следует называть реля-
тивистски-инвариантным. Совершим, как всегда, замену
x' = gx,	ф'(х')= 7^ф(х).	(21)
Отсюда
дф (х) _ у T-i di/ (х')	.
дхг	9 дхк ёк1’
функция ф' (х') удовлетворяет, следовательно, уравнению
^Лк-^W0'	(22)
к, i	к
Допустим, что найдется такое невырожденное преобразование Vд, что
(ДЛЯ ВСеХ Ч <Х'У>’
у	дх,.	дх,.
к, I	к	к	к
т. е.
=	(23)
i
Если такое преобразование Vg найдется, то это будет означать, что
уравнения (20) и (22) .эквивалентны, т. е. после замены (21) урав-
нение (20), по существу, не изменилось.
Таким образом, уравнение (20) является релятивистски-инза-
риантным, если при одновременной замене x' = gx и <у=Тд§
измененное уравнение с точностью до невырожденного преобра-
зования Vg совпадает с исходным.
п. 4]	§ 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 283
Заметим, что в случае х Ф 0 преобразование V д, приводящее
уравнение к исходному виду, обязано совпадать с оператором Тд.
V„=Ta. В случае же х = 0, преобразование Vo может быть отлич-
ным от Тд.
Для матриц Z,o, Lv L2, L3 в релятивистски-инвариантном уравнении
вида (20) получаем соотношение (23) У VgLiTд XSki = Lk, где Тд— ма-
трица представления, Vg— матрица невырожденного преобразования.
Соответствие g —>vg, как нетрудно проверить, задает предста-
вление собственной (или полной) группы Лоренца (действующее
в том же пространстве, что и представление g —> Т).
Ишак, для того чтобы уравнение (20) было релятивистски-
инзариантным, нужно, чтобы в пространстве величин ф, кроме
представления g^Tg, действовало представление g-+Vg такое,
что выполняется равенство (23)
i *
Это и есть условие релятивистской инвариантности уравне-
ния (20).
Определим общий вид матриц LQ, Llt L2, L3 в релятивистски-
инвариантном уравнении (20).
Вектор ф из R под действием матрицы Lk перейдет в некоторый
вектор В,
5 =	(24)
Пусть теперь —канонический базис представления g—>Vg
hrm } — канонический базис представления g^-Tg. Условимся век-
тор £ относить к базису {з/от}, а вектор ф—к базису	В таком
случае равенство (24) можно записать:
т __ VI тс’ (V)
Xlm — Za Clm-, l’mfУГт' *
где Xim—координаты $ в базисе {з/те}, а у^т--------координаты ф
в базисе (&т' }. Числа cjm/z’m' И служат элементами матрицы Lk. При
таком определении этих чисел будем говорить, что матрица Lk запи-
сана в двух базисах и {Bz'w’}*
С помощью выкладок, аналогичных тем, что проделаны в п. 3,
мы можем легко убедиться, что числа с1т\Гт' имеют тот же вид,
что и для матриц Lk в уравнении (2) с х =£ 0, т. е. задаются
формулами (13) — (19), в которых теперь величины со значком т
относятся к представлению g^»Vg, а величины со значком
п'— к представлению g^>-Tg.
В частности, для матрицы Lo
Clm; I'm' = -Т	(25)
284	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
где числа сТ Ф 0 лишь для зацепляющихся компонент тит' двух
представлений g —>V (т) и g —> Т (t') и получаются по форму-
лам (15) и (16).
Ради простоты мы рассматривали пока случай квадратных матриц
Lo, Lv L2, L3, t. e. предполагали, что число уравнений в системе (20)
совпадает с числом компонент волновой функции ф. При этом пред-
ставление g—>Vg, по которому преобразуется система (20), мы могли
считать действующим в том же пространстве R, в котором лежат
значения волновой функции ф, и где, следовательно, действует пред-
ставление g—> Т .
Однако встречаются системы уравнений вида (20), в которых
число уравнений не совпадает с числом компонент ф, т. е. матрицы
Lo, Llt L2, L3 уже не квадратные, а произвольные прямоугольные
матрицы. В таком случае представление g—>Vf,, преобразующее
систему, надо считать уже действующим в некотором простран-
стве R, отличном от пространства R, где действует представление
g-> Т . При этом для того чтобы такая система уравнений была
релятивистски-инвариантной, матрицы Ао, Llt L2, L3 по-прежнему
должны удовлетворять условию
Определим общий вид матриц Ао, Lv L2, L3 в этом случае.
Мы можем, очевидно, считать, что вектор ф из пространства R
под действием матрицы Lk переходит в вектор ? пространства R,
l = L$.	(26)
Если по-прежнему обозначить через канонический базис пред-
ставления g-*Vg в пространстве R, через — канонический базис
представления g-+Tg в пространстве R, а через xl-m и у^т1— коор-
динаты векторов $ и ф относительно базисов и соот-
ветственно, то равенство (26) перепишется так:
т __ тт' (к) т'
%1т — Clm; 1’т'У1’т’ •
Числа	составляют матричные элементы матриц Lk.
Вид этих чисел по-прежнему определяется формулами (13) —(19),
где индекс т относится к представлению g-+Vg, а индекс т'—к пред-
ставлению g—> Тд, причем компоненты тит' зацепляются.
В дальнейшем мы подробно рассмотрим два примера релятивистски- -
инвариантных уравнений с z = 0: уравнение для так называемого
двухкомпонентного нейтрино и уравнения Максвелла для электро-
магнитного поля в пустоте.
5. Уравнения, инвариантные относительно полной группы
Лоренца. Как мы видели (п. 2, (9)), для таких уравнений SL0 — LQS
И. 5]	§ 7. ОЗЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 235
(S—оператор, соответствующий пространственному отражению s).
Посмотрим, какие условия это соотношение накладывает на матрицу Lo
(т. е. на числа сгх').
Напомним, что неприводимое представление полной группы Лоренца
содержит либо одно, либо два неприводимых сопряженных друг
другу представлений собственной группы Лоренца т и т. Определяю-
щие их пары
” ~ Q-0’ и ” ' (4> У
связаны соотношением
(41 h) — Лд ('о
Отсюда в первом случае, когда т — т, либо /1 = 0, либо /о = О.
Пусть по-прежнему пространство R, где действует представление
g—>Tg полной группы, разложено в сумму подпространств /?',
в которых представление собственной группы неприводимо. Оче-
видно, что вместе с каждым подпространством пространство R.
содержит также и подпространство R'. Заметим, что если компо-
ненты тит' «зацеплялись», то т и т' также «зацепляются».
I.	Рассмотрим сначала случай, когда т т и т' = т'. Оператор S
в этом случае запишется (см. формулы (7) § 3):
5ч;л = (—!)!"гЧ»г- j
Подставив эти выражения в соотношение
LqSziw, = SL0^i>n,	(%7')
получим ср = ср или, воспользовавшись (15) и (16),
Czx' = с'-’.
II.	Пусть т = т, а т' т' (либо, наоборот, т т, а т' = т').
В этом случае оператор S имеет вид (см. (5) и (6) § 3)
5;к = (-1)'Ч»	(28)
ИЛИ
5Йш = (-1)1г]+1й„	(28')
=	1)[г’С.	(28")
Снова подставляя в выражения для 5 и для Lo (27), получим:
с”' _ ctt' (если оператор 5 имеет вид (28)),
286	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
или
с™' = — с~' (оператор 5 задается (28')).
III.	Если, наконец, т = т и z'—л', то легко видеть, что c”'=tO
лишь тогда, когда оператор S действует одинаково в простран-
ствах R' и , т. е. одновременно, либо (см. § 3, (5) и (6))
S$m = (- l)|Zi;fm и 's£m = (- 1)!7|с,	(29)
либо
SQm = (- 1)[?I+1'L И S$m = (- 1)[Z1+1^.	(29')
Других ограничений на числа с~’ в этом случае не накладывается *).
Итак, для матрицы Lo уравнения, инвариантного относительно
полной группы, имеем:
1.	с"' = с^'	(т#=т,	(30)
2.	с-	(т#=т, т'=т' или т =	т'^т').	(31)
При этом знак берется, когда оператор S действует по форму-
лам (28) и (28"), а знак —, когда 3 действует по формулам (28')
и (28").
3.	При т = т и т' = т' имеем
с™’ #= 0	(32)
лишь тогда, когда S действует одинаково в R" и R~, т. е. либо по фор-
мулам (29) либо по формулам (29'). Других ограничений на числа с*х'
в этом случае не накладывается.
В случае уравнения (20) с -/. = 0, инвариантного относительно
полной группы Лоренца, условия, накладываемые на числа схт',
остаются такими же, как и для х=^0 (см. (30) — (32)). Напомним
только, что компоненты тит' принадлежат разным представлениям:
т' — представлению g-+Tg, по которому преобразуются волновые
функции, т — представлению g->Vg, с помощью которого преобра-
зуется сама система (20).
6. Замечание об операторах Тд. Случай общей группы Лоренца.
В самом начале этого параграфа мы предположили, что волновые
функции ф(х) частицы при переходе от одной ортогональной системы
координат к другой с помощью преобразований Лоренца g преобра-
зуются по некоторому представлению g -+Тд группы Лоренца.
*) Заметим, что в случае наличия таких зацеплений часто можно не-
сколькими различными способами определить оператор S, не нарушив инва-
риантности уравнения и не меняя матриц L^. Так как инвариантное уравне-
ние определяется не только матрицами L^, но и законом преобразования
величин ф (т. е. представлением g-+Tg), то в этих случаях мы будем иметь,
по существу, несколько различных уравнений. Примерами таких уравнений,
отличающихся лишь видом преобразования S, могут служить скалярное и
псевдоскалярное, векторное и псевдовекторное уравнения (см. § 9).
ком: 1д и — 1 д, причем
1) е->±Е,
2) Тд1Тд2 = zt Tg[h.
В случае собственной
таким образом, либо к
П. 6]	§ 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 287
Заметим, однако, что поскольку сами волновые функции ф(х)
определены с точностью до множителя, то и преобразования Т ,
которым они подвергаются, также могут быть определены только
с точностью до множителя. Другими словами, каждому преобразо-
ванию Лоренца g отвечает семейство операторов XT , отличающихся
множителем.
Можно показать, что в случае неприводимого представления для
каждого преобразования g можно выбрать множитель перед операто-
ром Тд так, что каждому преобразованию g будет отвечать либо
один оператор Т , либо два таких оператора, отличающихся зна-
должны выполняться условия:
(33)
(или полной группы) Лоренца мы приходим,
однозначному представлению этой группы,
когда каждому g соответствует ровно один оператор Тд, либо к дву-
значному ее представлению, когда каждому преобразованию g отве-
чают два отличающихся знаком оператора g—>±Тд, причем эту
неопределенность в Знаке уничтожить нельзя.
Обратимся теперь к случаю общей группы Ло-
ренца. Здесь, как мы знаем, могут представиться два случая.
1. Операторы S, Т, J, соответствующие элементам группы отра-
жений s, t, j, коммутируют. В этом случае неопределенность в знаке
у операторов S, Т, J может возникнуть лишь из-за двузначного
представления собственной группы. Такие представления мы назвали
однозначными представлениями общей группы.
2. Операторы S, Т, J антикоммутируют. В этом случае суще-
ственно двузначно уже само представление
е—>±Е,	s—>ztS,	t-+±T,
группы отражений и устранить эту неоднозначность невозможно
(даже если представление собственной группы и однозначно). Такие
представления общей группы мы назвали двузначными представлениями.
Итак, в случае собственной или полной группы Лоренца опера-
торы Тд, по которым преобразуются волновые функции ф(х), задают
однозначное или двузначное представление собственной (полной)
группы. Также и в случае общей группы, операторы Тд образуют
либо ее однозначное представление (s, t, j коммутируют), либо дву-
значное представление (S, Т, J антикоммутируют).
Мы увидим ниже, что, например, волновые функции, удовлетво-
ряющие уравнению Дирака, преобразуются именно по двузначному
представлению общей группы.
Отметим в заключение, что в дальнейшем в этой книге не рас-
сматриваются уравнения, инвариантные относительно общей группы
Лоренца (кроме примера с уравнением Дирака).
288
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСГСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
§ 8. Уравнения, получаемые из инвариантной
функции Лагранжа
Для физических применений излагаемой теории особенно инте-
ресны те релятивистски-инварнантные уравнения, которые могут быть
получены варьированием некоторой инвариантной функции Лагранжа.
С такими уравнениями можно инвариантно связать ряд физических
величин, например, заряд, энергию, импульс, момент количества
движения.
1. Инвариантная функция Лагранжа. Пусть частица описывается
волновой функцией ф(х), которая при преобразованиях координат
с помощью группы Лоренца преобразуется по представлению g —> Тд-.
ф (х') = ТдЬ (х), х' = gx.
Пусть, кроме того, в пространстве /?, где лежат значения волновой
функции ф(х), задана некоторая невырожденная билинейная эрмитова
форма (Ф1; ф2).
С помощью такой билинейной эрмитовой формы можно построить
выражение, называемое функцией Лагранжа, и некоторый билинейный
функционал, называемый действием.
Функцией Лагранжа называется выражение
-2’Н’«1 = я S
k-Q, 1, 2, 3
==Im 2 (л*й,ф)+хСМ)’ (1)
й = 0, 1, 2, 3
где Ло, Ар Л2, Л3 — некоторые матрицы.
Действием называется билинейный функционал вида
(2)
Дадим теперь определение инвариантной функции Лагранжа и инва-
риантного действия.
Функция Лагранжа называется инвариантной, если она не меняется
при преобразованиях Лоренца. Другими словами, при одновременной
замене х' — gx и ф (х') — Тдк (х)

(3)
Аналогично этому действие 5 (ф) называется инвариантным, если
5(ф) = 5(ф).
(ЗЭ
п> И § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
289
Очевидно, что инвариантной функции Лагранжа соответствует инва-
риантное действие и инвариантное действие получается из инвариант-
ной функции Лагранжа.
Найдем необходимые и достаточные условия для того, чтобы
функция Лагранжа была инвариантной. При этом возникают два
существенно различных случая: когда х^О и когда х = 0. Мы их
рассмотрим в отдельности.
Первый случай: х=^0. Покажем, что в этом случае функция
Лагранжа инвариантна тогда и только тогда, когда, во-первых,
инвариантна эрмитова форма (<рх, ф2) и, во-вторых, матрицы Лк удо-
влетворяют условиям
'^лёгкТ'д^кТ^ 1 = Aj,	(4)
т. е. с их помощью может быть построено инвариантное дифферен-
циальное уравнение (см. § 7, (3)).
Пусть функция Лагранжа инвариантна. Рассмотрим в качестве
функции б(х) константу ф(х) = ф°.
Поскольку ~-=0, то [ф (х)] = х (ф°, ф°). Условие инвариант-
иХк
ности (3) сводится в этом случае, очевидно, к равенству
(Ф°> Ф°) = (^Ф°. W
означающему, что форма (фр ф2) инвариантна *).
Покажем* теперь, что матрицы Л4 в инвариантной функции Ла-
гранжа _5Чф(х)] удовлетворяют условию (4). Напишем для этого
более подробно условие (3): пусть
ф(х)=7’-1ф(х')> x'=gx,
_2г[ф(х)] = 1ш У [ф,	Н-х(ф, ф) =
=S 6 Ту1 ф (х'), А^;1 2	) + х (7$, Т.ф) =
= 1тУ А(хЭ7’,А;£7'й-1У^ Д) + х(ф, ф)	(5)
к \	к.
(в последнем равенстве была использована инвариантность формы
(Ф1, ш
С другой стороны,
-2ЧФ (х')) = Im 2 ( Ф (х'), Af уЦ 4- X (ф, ф).	(5')
*) Можно показать, что билинейная форма (ф^, ф2) инвариантна одно-
временно с соответствующей квадратичной формой (ф, ф).
290	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
В силу инвариантности функции Лагранжа & [ф(х)]=_^ [ф (х')1- Окон-
чательно получаем:
1т2(ф(О> л»|^=1т]£/ф(Х), ^gikTgAkTg
\	VXiJ «	\	,	VXi'J
i \	*/	i \	к
ИЛИ
Ь £ ( Ф (Л* — 2 SikTgAkTg-^ = о, _	(5")
откуда *)
h. ёИ^дА/.Тд'' — Af,
что совпадает с (4).
Итак, мы получили, что если функция Лагранжа с х=£0 инва-
риантна, то определяющая ее форма (ф1; ф2) инвариантна,
а матрицы Ак удовлетворяют условию (4).
Обратно, функция Лагранжа, построенная с помощью инва-
риантной формы (4>t, ф2) и матриц Ак, удовлетворяющих усло-
вию (4), инвариантна. Это утверждение легко проверяется с помощью
равенств (5) — (5'), переписанных в обратном порядке.
Второй случай: z = 0. В этом случае эрмитова невырожден-
ная форма (фр ф2) может быть произвольной. При этом для инва-
риантности функции Лагранжа необходимо и достаточно, чтобы мат-
рицы Ак удовлетворяли условиям
-	(6)
где операторы Тд определяются так:
(Т^фр Ф2) = (Фо Тд^г) при любых ф1; ф2.	(7)
Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, заметим
что операторы Vg = (T’9H)-1 образуют представление g—>Vg группы
Лоренца: Ve — Е и Vgyg, — Подставив в формулу (6) вместо
оператора (7’д)-1 оператор Vg, мы получим соотношение
ЪёиУд^кТд^У.	(6')
Это соотношение совпадает с выведенным в § 7 необходимым и
достаточным условием того, чтобы уравнение
<Эф _
дхк~
Л*
fc = 0, 1, 2, 3
О
было инвариантным относительно группы Лоренца (см. § 7, п. 4).
Таким образом, аналогично предыдущему случаю мы получаем,,
что из матриц в инвариантной функции Лагранжа с х = 0 можно
построить релятивистски-инвариантное уравнение с х = 0.
*) Можно показать, что если (фр ф2)— невырожденная форма (т. е. на
того, что (ф, фо) = О пРи всех ф, следует, что ф0 = 0), то и Im (фр ф2) обла-
дает тем же свойством: ф0 = 0, если 1m (ф, ф0) — 0 при всех ф.
п. 2]	§ 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
291
Перейдем к выводу условия (6). Для этого запишем подробно
левую часть равенства
«2Чф(х)] = 1ш
Поскольку
к \
Л*ДН1т 2 (тд'^(х'), АкТд^^\ =
dxkJ fc \ s dxkJ
= 1тУ (ф (х') (Т^ГЧ^Д). (8)
к \	дхк)
З’ [ф (х')1 = 1т У ( ф (хл), Аг Д
“ \	°xi
И
получаем:
г	-1
1т 2 Ж).
к L	<	4
Отсюда
— 1т
(8')

т. е. действительно матрицы А; в инвариантной функции Лагранжа (1)
с х = 0 удовлетворяют условию (6).
Переписав выкладки (8)—(87) в обратном порядке, убедимся,
что и, наоборот, из условия (6) вытекает инвариантность функции
Лагранжа с >. = 0.
2. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа.
Следуя принятому в физике формализму, мы получим уравнения,
описывающие нашу частицу (уравнения движения), из условия, чтобы
вариация действия S равнялась нулю.
Обозначим через А+ матрицу, обладающую тем свойством, что
при всех ф1 и ф2
(Лфр ф2) — (фр Д+ф2).	(9)
Очевидно, что матрицы Ак (k — Q, 1, 2, 3) подобно матрицам Ак
удовлетворяют условиям (4) *).
*) То, что матрицы Ajf действительно удовлетворяют условию (4) для
матриц в релятивистски-инвариантном уравнении, легко показать так: запи-
шем условие (4) для матриц Ак
2 ТдАкТд 1gik — Ai.
к
Отсюда, взяв + от обеих частей, получим:
^7'д1)+А+ (Tg)+gik = A + ,
к
Ho‘i в силу ^инвариантности формы (Г"1 )+ = Тд, мы получаем
= А^, что и требовалось доказать.^
к
292
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ч. п
Имеем:
8-?’ = 1п1|2(Лл^’ 8ф) + (Ль^>	2ф)Н-х(8ф> Ф) =
=|т 2(Л‘Д	жЖ2** *=
к к	)
= 1т |	оф) ф.77. ’ &ф)}+ 2* <Ц*. оф) +
+ 2^1«1(Л.8 Ф, Ф) =
1т<л* 8ф> чо-
\ * /
Последний член при интегрировании дает нуль. Таким образом, из
условия 8S= J" 8j?</4x = 0 получаем:
Im{ 1 ------2--ИЙ +иф >8Ф =°-
(\ к \	/	/ J
Отсюда
♦)•	00)
к
Это и есть уравнение, описывающее поведение частицы. Оно, таким
образом, является уравнением Лагранжа — Эйлера для функционала
5(ф) = /^(ф)^х.
Если положить
то уравнение (10) перепишется в виде
<12>
к
Поскольку матрицы Lk удовлетворяют одновременно с Лй и Л* усло-
виям (4), то это уравнение релятивистски-инвариантно.
Очевидно, что Lk —Lk, или, что то же самое, (£йфг, ф2) = (ф1, £йф2)
при любых tp! и ф2- -
Заметим, что из последнего равенства следует, что квадратичная
форма (Лйф, ф) вещественна.
*) См. примечание на стр. 290.
П. 2]	§ 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 293.
Мы видим, таким образом, что не всякое релятивистски-инва-
риантное уравнение
(z¥=0) (13)
может быть получено из инвариантной вещественной функции Ла-
гранжа; для этого необходимо, чтобы, во-первых, в пространстве зна-
чений функций ф(х) 'существовала невырожденная инвариантная
билинейная форма (фр ф2) и, во-вторых, для матриц Lk выполнялось
равенство
(Ш Фг) = (Ф1> W	(14)
Аналогично предыдущему легко получить, что для того, чтобы реляти-
вистски-инвариантное уравнение с х=0
<15)
могло быть получено из инвариантной функции Лагранжа, необхо-
димо, чтобы относительно некоторой невырожденной эрмитовой
формы (фр ф2) в пространстве значений функции ф матрицы Lk удо-
влетворяли условию
(М1Л2) = (фр м2)-	(16)
Инвариантности формы в этом случае не требуется.
Заметим, что в обоих случаях сама инвариантная функция Ла-
гранжа может быть построена с помощью формы (фр ф2) и матриц Lk.
При этом при варьировании действия S = j'o2:’d4x мы придем снова
к уравнению (13) при х=А0 или (14) при х = 0.
Заметим, что условия (14) и (16) будут выполнены для всех мат-
риц Lk, й=1, 2, 3, коль скоро они выполняются для матрицы Ао:
(Ml Фг) — (Ф1> Мг)«	(17)
Действительно, матрицы Lk получаются из Lo по формулам (6') § 7
Lk = - [BkL0] = L0Bk — BkL()	(*=1,2.3),
где Bk—инфинитезимальный оператор представления g-+Tg, соот-
ветствующий гиперболическому повороту gok (ср) в плоскости (х0, xft).
Для операторов Тдд/с при малых ср напишем:
Твйк (?) = Е + ?вк + 0
Подставляя последнее выражение в формулу
(Т’Л- ^Ф2) = (Ф1- Фг)
и собирая члены одного порядка по ср, получим:
СЗД1. Фг) = —(Фр -ВлФг) или Вк = — В%.	(18)
294	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
Отсюда
А* — (L0Bk — BkL0)+ = Вк Lo — Lf В* = — ВкЬй 4~ ^(>Вк —
т. e.
(Mi- Ф2) = (Ф1- Ш
Суммируя все сказанное выше, мы приходим к окончательному выводу:
релятивистски-инвариантное уравнение
Z-оД+Z-! Д+Z-2 Д= х^О, (19)
‘дх(] 1	1 dxt 1 adx2 1 3dx3 'г’	т /
в том и только том случае можно получить из инвариантной
функции Лагранжа, когда существует невырожденная инвариант-
ная билинейная эрмитова форма (фр ф2), составленная из ком-
понент волновой функции ф, для которой выполняется соотношение
(^-оФ1> Фг) — (Ф1- ^-оФг)	(20)
при любых ф3 и ф2.
Релятивистски-инвариантное уравнение
0	(21)
°дх0 1 1dx1 1 ddx2 1 дхя	v '
тогда и только тогда можно получить из инвариантной функ-
ции Лагранжа, когда существует невырожденная билинейная эрми-
това форма (фр ф2), относительно которой матрица Lo удовле-
творяет условию
(Лофр ф2) = (фр 4ф2).	(22)
(Инвариантности формы в этом случае не требуется.)
В обоих случаях сама функция Лагранжа строится из упо-
мянутой эрмитовой формы (фр ф2) и матриц Lk, входящих в урав-
нение (19) или (21), по формуле
^[ф(х)] = 1т2(ф. ^^) + ЧФ- Ф)-	(23)
Сделаем в заключение этого пункта следующее замечание.
Мы построили инвариантную функцию Лагранжа Л? и с ее помощью
действие 5, а само уравнение (19) получили варьированием действия 5.
Возникает при этом вопрос, можно ли изменить функцию Лагранжа J3?,
чтобы она тем не менее приводила к прежнему уравнению (19). Наи-
более важными преобразованиями этого рода являются следующие:
1) умножение на вещественную константу с^У (с вещественно),
2) добавление выражения вида div Е (х), где Е (х) — какое-нибудь
векторное поле, заданное во всем пространстве /?(4)
-£’-►.2’ +div В.
То обстоятельство, что преобразования над функцией Лагранжа
П. 3]	§ 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 295
1) и 2) не меняют получаемых из нее уравнений, иногда коротко
формулируют так: говорят, что функция Лагранжа определена с
точностью до множителя и слагаемого, типа дивергенции.
3. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа
(окончание). В этом пункте мы найдем условия, налагаемые на эле-
менты матрицы £0, в уравнении (19) (х=^0), получаемом из инвариант-
ной функции Лагранжа.
Как было показано в предыдущем пункте, для того, чтобы реляти-
вистски-инвариантное уравнение могло быть получено варьированием
инвариантной функции Лагранжа, необходимо и достаточно, чтобы
для некоторой инвариантной формы (фх, ф2) выполнялось равенство
(^-оФ1> Фа) — (Ф1> ^оФг)-	(24)
Общий вид инвариантной невырожденной билинейной формы был
нами найден в §§ 2 и 3. Мы получили, что всякая форма, инва-
риантная относительно представления собственной группы Лоренца,
в каноническом базисе запишется так:
(Ф1> Фг) = 2	(25)
где xim И — координаты и Ф., в каноническом базисе,
а тт'*—некоторые числа, отличные от нуля только для компонент,
определяемых парами т~(/0, и т*—(Zo, —IJ, причем а™* =
Если форма (фр ф2) инвариантна также относительно предста-
вления полной группы, то числа а11* подчинены дополнительному
условию:
—	(25')
где т и т* — представления, сопряженные представлениям т и ^соот-
ветственно. При этом в случае, когда компоненты тит* эквивалентны
своим сопряженным и, следовательно, неприводимы относительно
представления полной группы, оператор S должен действовать в этих
компонентах одинаково; в противном случае а^ — О.
Мы показали в § 3, что при соответствующем выборе базиса
числа в форме, инвариантной относительно представления полной группы,
имеют вид
1. а"* = 1 при /t не вещественном и не чисто мнимом,	(25")
2. ахт = ± 1 при I, вещественном или чисто мнимом.	(25"')
Вернемся после этого напоминания к матрице Ао. Перепишем усло-
вие (24) для базисных векторов
(^0^»»’	=	(26)
296	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
Отсюда получаем, подставив, выражение для Lo из (15) — (17) § 7
в формулу (26), и, пользуясь (25):

(27)
Заметим, что если уравнение с матрицей Lo и форма (ф, ф) инвариантны
относительно представлений полной группы Лоренца, то, как следует
из формулы (25) и формул (30) и (31) § 7, никаких новых условий,
дополнительных к условию (27), не возникает.
Таким образом, условие (27) есть окончательное условие, которому
должна удовлетворять матрица Lo (т. е. числа с^') для того, чтобы
уравнение (19) получалось из инвариантной функции Лагранжа.
В частности, при соответствующем выборе базиса (так что ахх* имеют
вид (25") или (25'")) получим:
стт' = ?'*х*	(27')
при /j не вещественном и не чисто мнимом и
= ± с

(27")
при /•£ вещественном или чисто мнимом.
4. Величины, образуемые из волновой функции ф и инва-
риантной формы *). Здесь мы покажем, как с помощью инвариант-
ной формы (ф(, ф2) из компонент волновой функции ф, ее частных
производных и матриц Lo, Lt, L2, L3 релятивистски-инвариантного
уравнения можно строить различные величины, определенным образом
преобразующиеся при преобразованиях Лоренца.
Уточним, что мы понимаем здесь под словом величина. Напомним,
что значения функции ф(х) преобразуются при преобразовании Лоренца
по представлению g -+Тд
ф (%') =	(х), х' = gx,
где преобразование Лоренца g действует на аргумент функции ф,
а оператор Т— на ее компоненты.
Мы построим функции Ф (х), определенные в каждой точке
четырехмерного пространства R4 со значениями в некотором про-
странстве R, которые при преобразованиях Лоренца x'—gx будут
преобразовываться следующим образом:
Ф (*') = V1’ (*),
где хд — оператор из некоторого представления	действую-
щего в пространстве R. Соответствующую функцию Ф(х) мы будем
называть скаляром, вектором, тензором и т. д. в зависимости от
 *) В даль нейшем мы считаем, что форма (ф, ф) инвариантна относительно
представления полной группы Лоренца.
П. 4]	§ 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 297
того, какому представлению — скалярному, векторному, тензорному
и т. д. — эквивалентно представление^—*^.
I.	Вначале рассмотрим величины, не содержащие производных
волновой функции ф. Начнем с нескольких примеров.
а)	Величина (ф, ф) является скаляром в силу инвариантности формы.
б)	Пусть в пространстве величин ф можно выбрать оператор Т,
коммутирующий со всеми операторами Тд представления собственной
группы Лоренца и антикоммутирующий с оператором 5, соответ-
ствующим пространственному отражению s:
ТТд—ТдТ и ST=—TS.
В таком случае величина (7ф, ф) является псевдоскаляром, т. е.
преобразуется как скаляр под действием собственной группы Лагранжа
и меняет знак при отражении.
Действительно,
(Д^ф, тйф) = (Т^тт^, ф) = (ф, ф)
для собственных преобразований Лоренца и
(TSty, 5ф) = (S"1^, ф) = — (ф, ф)
для пространственного отражения.
в)	Величина с компонентами tk = (Lkty, ф) образует вектор, т. е.
преобразуется так же, как и координаты (х0, х1, х2, xs):
 ik = ligk/i-	<28>
Действительно, пусть x'—gx и ф'= Т^ф,
4=(^', Ф') = (77^^4).
В силу равенства (3) § 7 для матриц Ао, Llt L2, L3 в релятивистски-
инвариантном уравнении, которое можно переписать в виде
Тд TkTg = ^j gkiLit
мы получим:
4 = ф) = 5ёи(М> Ф) = 2§йЛ-
г)	Величина tk = (TLki/, ф) является псевдовектором (оператор Т
коммутирует с операторами Т , когда g принадлежит собственной
группе Лоренца, и антикоммутирует с оператором 5).
д)	Величина
hfa — (LkiLk^, ф)
преобразуется как тензор второго ранга
*кк ~ &к'к gfck *к к *	(22)‘
298	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. п
Действительно,
A ,=fL<L -ф',	=	ф\ =
=(T;\v;\T> ’HPgv5j♦)-
= 2 ?,, «Л (Л» L„ = 2 sk’k gkk tk k 
1 1 Я 1 \ I 3	/	113313
Тензорное представление (29) приводимо. Поэтому величина tkikl
может, вообще говоря, принадлежать некоторому инвариантному
подпространству в пространстве всех тензоров второго ранга.
е)	Величина с составляющими
4,л3 = (TLklLk$, ф)
является псевдотензором (оператор Т тот же, что и в примерах б) и г)).
Общий случай: величина	л„ = (^ААз ••• ^„Ф, Ф) пре-
образуется как тензор n-го ранга
4'*'...*'	2 &к'к &к’к &кк ''‘^k’kjkk ...к'
При этом, как и в случае тензора второго ранга, величины tkik2... кп
могут принадлежать лишь некоторому инвариантному подпространству
' в пространстве всех тензоров ранга п. Аналогично предыдущему
величина
tk,k2 ...кп = (TLklLki . .. Lkf^, ф)
является псевдотензором.
В следующем параграфе в качестве примера мы построим рассмо-
тренные выше величины для случая уравнения Дирака.
II.	Величины, содержащие частные производные волновой функ-
ции ф. Снова начнем с примеров.
a)	=	ф). Как нетрудно проверить, величина t? преобра-
\ OX j	I
зуется по формуле
t,J‘ =	(30)
1
где матрица ||^Л|| = (||gft,fc||Tp)“ (матрица ||gVA.j| — матрица пре-
образования Лоренца). В силу равенства
где s— пространственное отражение (см. п. 1 § 1), представление (30)
эквивалентно тождественному представлению g ->g группы Лоренца.
Величину t? называют контравариантным вектором в отличие от
обычного вектора tk (называемого ковариантным).
П. 5]	§ 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
299
б)	Величина
^ = (4Д. ф)
преобразуется по формуле
(31)
где на верхний индекс действует матрица |igTJ||, а на нижний —
матрица Ij- Представление, задаваемое формулой (31), эквива-
лентно тензорному представлению ранга 2, а величина tl называется
тензором с одним верхним и одним нижним индексами.
Общий случай:
tk’"3ks = {bkLk . .. Lk	— — ,ф\	(32)
1 • • • n (	дх j дх, ... дх, ' I	k '
\	J1 Ji	* S	f
Эта величина преобразуется по формуле
 is
 К,
к
£	£, t3'"' ia
кЛ knkn\-kn

и называется тензором c s верхними и п нижними индексами. Пред-
ставление (32') эквивалентно тензорному представлению ранга $-|-п
(или, точнее, представлению, возникающему в некотором инвариант-
ном подпространстве пространства тензоров ранга
Заметим, что тензор (32) симметричен по верхним ин-
дексам.
Аналогично тому, как это делалось выше, можно строить соот-
ветствующие псевдовеличины с помощью оператора Т.
5. Замечание о величинах, составленных квадратично из вол-
новой функции ф. В предыдущем пункте мы построили различные
величины, квадратично зависящие от волновой функции ф и ее част-
ных производных и преобразующие, по тому или иному представле-
нию, группы Лоренца (скаляр, вектор, тензор и т. д.). Здесь мы
выясним, по каким, вообще, представлениям могут преобразовываться
величины, зависящие квадратично от ф, -ч т-,	— и т. д.
ОХк ОХ i ОХ к
I. Найдем сначала, по какому представлению может преобразо-
вываться величина Ф, зависящая квадратично только от самой функции.
Пусть значения величины Ф принадлежат некоторому линейному
пространству R. Выберем в R какой-нибудь базис и координаты
величины Ф в этом базисе обозначим {£„}- Так как Ф зависит ква-
дратично от значений волновой функции ф, то это означает, что все
ta имеют вид
*« = (ф, Ф)..	(33)
где (ф, ф)а—некоторая эрмитова квадратичная форма, для каждой
координаты — своя.
300	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[Ч. И
Значения волновой функции ф преобразуются, как всегда, по пред-
ставлению g-^Tg, действующему в пространстве R и состоящему
из компонент тр т2......В этом случае значения комплексно-
сопряженной волновой функции ф преобразуются по представлению
g —> Т* состоящему из неприводимых компонент т*, т*, .. ., т* и дей-
ствующему также в пространстве R. (Напомним, что если представ-
ление т определяется парой (Zo, Zj), то представление т* определяется
парой (Zo, —ZJ).
Из формулы (33) видно, что пространство R, которому принадле-
жат значения величины Ф, содержится в произведении пространства R
на самое себя: R cz R X R> а представление хд, по которому преоб-
разуется величина Ф, содержится в произведении представлений *)
д д'
Таким образом, величина, квадратично зависящая от значений
волновой функции ф, может преобразовываться только по пред-
ставлению, содержащемуся в произведении представлений Тд'%, Т*.
II. Рассмотрим теперь случай величины Ф, квадратично завися-
щей как от волновой функции ф, так и от ее первых частных про-
дФ
ИЗВОДНЫХ -т2-.
дх{
Заметим вначале, что если волновая функция ф преобразуется по
представлению g^>-Tg, т. е. при x' — gx
ф (X') = Тд^ (X),
то ее частные производные первого порядка преобразуются по фор-
муле
д$ (х') _ у дф(х) dxj _ у т и дф
дхк	° dxi дх'к	0 dXi’
где матрица ||^|| = (||^||)-1.	(
Из этой формулы видно, что величина	преобразуется по
произведению представлений хд = Тд X Тд, где через Тд обозначено
представление g—> (g*)”1, эквивалентное векторному представлению
g—>g (это представление определяется парой (Zo, R) — (0, 2) или,
в спинорных обозначениях, парой (k, n) = (l, 1)).
Рассмотрим теперь величину Фр являющуюся билинейной ком-
бинацией ф и (составляющие /я величины Ф имеют вид
ф2) , где (фр ф2)а — эрмитова билинейная формаj.
*) Мы говорим, что представление g-*-Tg содержится в представлении
g -► -д, если последнее в каком-нибудь из своих инвариантных подпространств
порождает представление, эквивалентное представлению Тд.
п. 5]	§ 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
301
Точно так же как и в предыдущем случае, мы видим, что вели-
чина может преобразовываться только по представлениям, содер-
жащимся в произведении
X Тд = Тд X Тд X Тд.
Величина Ф2, зависящая от билинейных комбинаций только одних
<Эф
частных производных , преобразуется, очевидно, по предста-
ОХ I
влению
^xG^^X^XT’IxT’*
(заметим, что представление g —>(Тд) эквивалентно представлению
g^T'g).
Очевидно, что величина общего вида Ф, квадратично зависящая
от ф и ее частных производных , преобразуется по предста-
влению, содержащемуся в сумме представлений *)
\Tg X К, ТдХТ*д- ТУ * ТдХТ*д- Тд" Х .
III. Рассмотрим, наконец, величину Ф, квадратично зависящую
от функции ф и ее частных производных ^х~^х /т—до n'ro
порядка включительно. .
Заметим, что при преобразованиях Лоренца частные производные
дкф	,
•з—з—1—з— преобразуются по формулам
Охг, с,х12 ’ ’ ' (,Xig
<ТПХ'У == у	. iksT <Уф _
dxi, dx'i,    dx'ia	B dxki dxk2... dxkg
Из этой формулы видно, что представление т«, по которому пре-
Л	<Э8ф
образуются частные производные з----^-з—, является произведе-
ОХ л • •  О X .
ls
нием представления Тд и Тд, где через Tgs) обозначено представле-
ние, действующее по формуле
в пространстве симметрических тензоров s-ro ранга.
*) Суммой представлений .....действующих соответственно
в пространствах /?W,..., называется представление zg, действующее
в прямой сумме этих пространств, причем так, что каждое пространство
инвариантно относительно представления g-*-~g и последнее порождает
в представление, совпадающее с Т^-
302	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
Теперь, как и в предыдущих случаях, найдем, что величина Ф,
квадратично зависящая от ф и ее частных производных вплоть-
до п-го порядка, преобразуется по представлению, которое со-
держится в сумме представлений вида
TgXTgX if X if,
где I и s меняются от, нуля до п.
Сделаем в заключение одно замечание.
Представление (Tg X 7^), как нетрудно видеть, в случае конечно-
мерного представления Тд, содержит лишь одни целые веса I. Такое
представление эквивалентно, очевидно, сумме тензорных предста-
влений.
Любое произведение представлений X ТдУ, if X также
эквивалентно сумме тензорных представлений. Таким образом, если
волновая функция ф преобразуется по конечномерному представлению,
то величина Ф, квадратично зависящая от ф и ее частных произ-
водных, преобразуется по представлению, неприводимые компоненты
которого эквивалентны неприводимым компонентам тензорного пред-
ставления. В связи с этим, величины Ф иногда называют тензорами,
квадратично зависящими от ф и ее производных.
Заметим, наконец, что величина Ф преобразуется всегда по
однозначному представлению собственной и полной группы Ло-
ренца.
В заключение рассмотрим пример. Пусть представление Т состоит
'ту(0, 1)	0)
из двух компонент: 1 д ' и .
'Т   т'(0> 1) j 0)
1 д— !д + 1 д •
Через Тд0,1) здесь, как и всюду в этой книге, обозначено непунк-
1	-г(Ъ 0)
тирное спинорное представление ранга 1, а через сд —
пунктирное представление того же ранга. Напомним, что предста-
вление Тд‘!> определяется парой у)> а представление if^—
(1	3 \
----------2 ’ ’2/‘ ^айдем все неприводимые компоненты т, содер-
жащиеся в произведении
ТдХТ}.
Заметим, что Т*д состоит из тех же компонент, что и Тд.
-г,* _ 'р(1, I*) | 'T'tO, О
ig— 19 ~r ig •
Отсюда
т0 X г; - 41- О)Х т'1-0) + if °>Х Tf+if 1JX if0) + if 1}х if
п. 1]	§9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 303
Разложим каждый из членов этой суммы на неприводимые (см. § 6).
Разложения	Пары (Zo, Z,), задающие эти компоненты, таковы:
]_ 7'(1>о)^у'(1,о) _ у'(о.о) уЧПО)	~ т0 ~ (0,1); 7^°)	(1,2)
	
3.	= Tf0'! + TfV	Т^> - -ц - (0,1); Т~ ~ (-1,2)
Итак, представление Тд X Тд собственной группы Лоренца состоит
из шести неприводимых компонент: двух компонент т0, двух компо-
нент Tj и компонент т2 и т2.
Этим компонентам соответствуют величины: в первом случае—-
скаляр, во втором случае — вектор, наконец, в третьем случае
(т. е. в случае приводимого представления, состоящего из компо-
нент и т2)— антисимметрический тензор.
Отметим, что во всех трех случаях представление собственной
группы Лоренца может быть дополнено до представления полной
группы, причем в третьем случае, так же как и в первых двух,
получается 'неприводимое представление полной группы (подробнее
об этом см. § 4, п. 8).
§ 9. Примеры релятивистски-инвариантных уравнений
Начиная с этого параграфа, мы будем рассматривать в основном
физические применения всей развитой перед этим теории. При этом
возникает ряд дополнительных ограничений, накладываемых физиче-
скими требованиями, которые существенно сужают число рассма-
триваемых релятивистски-инвариантных уравнений.
Вначале приведем несколько примеров релятивистски инвариант-
ных уравнений. В дальнейшем мы увидим, что эти уравнения являют-
ся наиболее существенными. Например, все известные в настоящее
время элементарные частицы, по-видимому, описываются лишь этими
уравнениями.
1. Уравнение Дирака. Возьмем два представления собственной
/1	3\ ,
группы: т, определяемое числами 1у, у) (непунктирное спинорное
..	/	1	3\
представление ранга 1), и т, определяемое числами I — yl
(пунктирное спинорное представление ранга 1). Эти представления,
304	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
как легко видеть, зацепляются *). Поэтому можно построить реля-
тивистски-инвариантное уравнение относительно величины, преобра-
зующейся по представлению, состоящему из компонент тит.
Матрица LQ такого уравнения в базисе йХ1 i, u i> $1 i> G jJ
( УТ T’ ~~2 УУ T’ “TJ
запишется так:	,
| 0	0	с"	0
0	0	0	с"
Lo = 	(!)
с’"	0	0	0
I 0 стт	0	0
(см. общие формулы (15)—(19) в §	7).
Заметим, что представление с компонентами тит можно допол-
нить до представления полной группы Лоренца * **). При этом в базисе
/Г1 , Si I оператор S, соответствующий пространственному отра-
I У т ~2т)
жению s, запишется матрицей
с 11°
5__||£ о||
(1')
Если теперь потребовать, чтобы уравнение с матрицей Lo было
инвариантно относительно полной группы, то мы получим:
с” = схх = с,
т. е. матрица Lo имеет вид
11° Е	110 1
^'0==С||£ 0 ==сТо> Б==||1 о
(2)
Заметим, что у0 совпадает с оператором S (см. (Г))- Другие матри-
цы Lj, L2> L3 имеют при этом следующий вид (см. § 7, (18)—(19)):
	0	0	1	0					0	0	0	Z	
== С	0 — 1	0 0	0 0	— 1 0	=	Нз>	7-2	-= с	0 0	0 — Z	— 1 0	0 0	= СТ21
	0	1	0	0	1 0	0	0	-1	Z	0	0	0	
			М	= С	0 0	0 1	— 1 0	0 0	=	Пг			(3)
					1	0	0	0					
*) Напомним, что представления, определяемые числами (ZQ, 1^ и /{),
были названы зацепляющимися, если
(z£, Z0 == (Zo± 1, Z3) или (Z', Z') = (Z0, G±i).
**) Величина <р> преобразующаяся по представлению полной группы,
состоящему из компонент тит, является биспинором первого ранга (см. § 5).
П. 1]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 305
Для двух компонент тит можно построить инвариантную
тову билинейную форму (как и для всякого конечномерного
ставления полной группы). В базисе {$т, эта форма
эрми-
пред-
имеет
матрицу
О
О
1
О
О	1	О
0	0	1	О
О	0	0 = Е
1	О	О
Е II
о| = ь
и записывается так:
(Ф1. ф2) =
= xj_ 1_Уу _i	+	у	__L’
2222	2’	22’2	2222	2’22’2
(4)
{ХЬЛ и — координаты и <р2 в базисе	Заметим,
что матрица [3 снова совпадает с матрицей оператора S и у0:
₽ = S = То-
Как нетрудно видеть, матрица Lo вида (2) при вещественном
с (с— с) удовлетворяет условию
(Ml Фг) = (Ф1> ^-офа)-
Таким образом, существует инвариантная функция Лагранжа для
уравнения с матрицами Lk вида (2), (3) при вещественном с
^1Ф(*)1 = с1т{2(тл^р ф)}Ч-*(Ф> Ф)-
Поскольку функция Лагранжа определяется с точностью до веще-
ственного множителя, то можно положить с~1, изменив, если
нужно, константу Таким образом, мы получим Lk = ~[k. Уравне-
ние с матрицами ^к называется уравнением Дирака.
Заметим, что матрицы Дирака -[i> Та> Тз> То удовлетворяют сле-
дующему соотношению:
Та,Та + ТаДа, ~ 8а,аД:
(3')
811 = 522 = 8зз = —8оо=1> 8м, = о прийх^Аг,
которое проверяется непосредственно.
Рассмотрим матрицу
IE
|о
О
— Е
Тб = Т0Т1Т2Т3 = —г’
(5)
Она, как легко проверить простой выкладкой, коммутирует со всеми опе-
раторами Тд представления собственной группы; напомним лишь, что эти
306
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
операторы записываются в каноническом базисе А’, Г i,
( ~2	Т
матрицами вида
. Та 0 !1
0 7-	, •
2 )
(6)
Кроме того, матрица у6 антикоммутирует со всеми матрицами {-^1
(k = 0, 1, 2, 3), в частности с у0, которая одновременно служит
оператором пространственного отражения.
Составим теперь из волновой функции ф, преобразующейся по
/1 3 \	• /	1 3 \
представлению с неприводимыми компонентами т (, и -------<7’Л’
квадратичные относительно ф величины, образующие то или иное
неприводимое представление полной группы Лоренца.
Общий способ получения таких величин с помощью инвариант-
ной формы (фх, ф2) и матриц Z.o, Lv L2, L3 инвариантного уравнения
описан в предыдущем параграфе. Выпишем эти величины для случая
уравнения Дирака.
1.	Скаляр — сама инвариантная форма (ф, ф).
2.	Псевдоскаляр—(тБф, ф). Напомним (см. § 8, п. 7), что вели-
чина (7ф, ф) является псевдоскаляром, если оператор Т коммутирует
•с операторами Тд представления собственной группы Лоренца и
антикоммутирует с оператором 5. Здесь положено Т = у6.
3.	Вектор tk — (улф. ф). В п. 7 § 8 мы показали, что величины
tk — (Lkty, ф), где Lk—матрицы в релятивистски-инвариантном урав-
нении, преобразуются как составляющие вектора.
4.	Псевдовектор tk = (ТбТаЛР» ф) (см. снова § 8, п. 7).
5.	Тензор
=	Ф)-	(7)
В п. 7 § 8 мы показали, что величина (7) преобразуется как
тензор второго ранга. Напомним, что пространство всех тензоров
второго ранга распадается в сумму трех подпространств, неприво-
димых относительно полной группы Лоренца: одномерного подпро-
странства (скаляр), девятимерного пространства симметрических
тензоров tkika — tk,jk, с нулевым следом и шестимерного пространства
антисимметрических тензоров tkika = — tkaki.
Оказывается, величина (7) может быть либо скаляром, либо
антисимметрическим тензором.
Действительно, из равенства (3х) следует, что компоненты
/11=/22—Лз=	Аю —(Ф1> Фг)
при преобразованиях Лоренца не меняются. Таким образом, величины
tkk (k = 0, 1, 2, 3) являются скалярами;
П. 1]	§9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 307
Для компонент с разными индексами имеем (см. (3')):
=	Ф)-
Отсюда видно, что tklkl =—tkjts т. е. такие компоненты образуют
антисимметрический тензор.
Заметим, что величина
'м.=(млФ>Ф)
является либо псевдоскаляром (tn, 4з> ^оо)> либо снова антисим-
метрическим тензором (s1fc,=—tklkt (*i ¥= k2), причем в последнем
случае tl2 — — h 4, Z23 =— Z01 и т- Д-> т- е- антисимметрический
тензор tkjt, с точностью до нумерации компонент и знака совпадает
с тензором tkj^-
Итак, из волновой функции ф, удовлетворяющей уравнению
Дирака, мы построили пять неприводимых величин, зависящих от ф
квадратично: скаляр, псевдоскаляр, вектор, псевдовектор и антисим-
метрический тензор. В п. 7 предыдущего параграфа мы видели,
что из волновой функции 4, преобразующейся по представле-
/ 1	3\	• / 1	3\
нию т I -%, -g-l и т|-2>—-ту), других неприводимых величин,
квадратично зависящих от ф, построить нельзя.
Выясним теперь, можно ли представление (6) полной группы до-
полнить до представления общей группы Лоренца, причем так,
чтобы уравнение Дирака осталось инвариантным.
Пусть J— оператор, соответствующий полному отражению j.
Для инвариантности уравнения Дирака относительно этого оператора
должны, очевидно, выполняться соотношения
— U (* = 0, 1,2, 3),
т. е. J антикоммутирует со всеми матрицами -\к и J2 = E. Легко
показать, что такой оператор только один:
J=ZT&.
При этом, как ясно из формул (5) и (6), оператор J коммутирует
с операторами представления собственной группы Лоренца.
Если теперь положить
[/->7=ТбТо-
то легко убедиться, что имеют место равенства
=	(*=1,2, 3), Т^Г1 ==-То.
308	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	(ч. и
Кроме того, для операторов представления g-+Tg собственной
группы Лоренца выполняется соотношение
ТТаТ'-Т^
Таким образом, операторы
S = ,To. 7'= ТоТб’ -/=Йб
вместе с операторами Тд образуют представление общей группы
Лоренца, оставляющее инвариантным уравнение Дирака.
Однако
ТоТб = — ТбТо.	Т5(ТоТ5)= —(ТоТоИб и То (ТоТб) = — U0T5) To-
т. е. все операторы Т, S, J антикоммутируют. Другими словами,
полученное нами представление общей группы является двузначным
(см. §§ 1, 3 и 7).
Итак, представление общей группы, оставляющее инвариантным
уравнение Дирака, — это двузначное представление. Операторы
J, S, Т определены так:
J = q6, S = То, Т= ТбТо.
Можно, однако, построить уравнение относительно восьмикомпо-
нентной функции ф и инвариантное относительно однозначного пред-
ставления общей группы. В этом уравнении матрицы Lk имеют вид
Ъ 0
Операторы S, Т,
формулами
Тд (g— элемент собственной группы) задаются
О
/Тб
То
О
01
— То! ’
Л О
О Ад
Т~
J и
О
5 =
Т —
О
О
где матрица Ад определяется формулой (6).
Заметим, что если такое уравнение рассматривать только относи-
тельно представления полной группы Лоренца, то оно распадается
на два уравнения Дирака. Относительно же представления общей
группы это уравнение является нераспадающимся.
2. Уравнение Даффина для скалярных частиц. Это уравнение
уже приводилось в качестве примера в начале § 7 (см. сноску *)
на стр. 275). Напомним, что оно имеет вид
=	’ V _*k_x,Wo.	(8)
дхк ™	лял oxjc дх0 т	v '
» = 1, 2, 3
п. 2]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 309
Как легко видеть, величина Ф = {ф, ф0, ф1( ф2, Фз} состоит из ска-
ляра ф и вектора (ф0, фр ф2, ф3), т. е. представление имеет две
зацепляющиеся компоненты то~(О, 1) и —(0, 2)

(8')
(Условимся такую схему называть схемой зацепления компонент.)
Для всякого уравнения со схемой зацепления (8') матрица Lo
в базисе из векторов
{5о6, Sob, 5Г, -1, 51Ь, 5п}		
имеет вид		
	0	с''‘ 0 0 0	
	0 0 0 0	
Lo =	0	0 0 0 0	(8")
	0	0 0 0 0	
	0	0 0 0 0	
билинейной формы можно, очевидно,
В качестве инвариантной
взять следующую форму *):
(фр ф2) =	—	+	2 ^ту--т ,	(8да)
т- -1, о, 1
где и {_yjm} — координаты фх и ф2 в базисе
Для того чтобы существовала функция Лагранжа для уравнения
с матрицей Lo вида (8")> получаемая с помощью формы (8"л), нужно,
как мы видели, чтобы
(Л)Ф1> Фг)— (Ф1> ^оФг)-
Это приводит к равенству
т. е. cVi — чисто мнимое; если положить cVi — i, то мы получим
написанную систему (8). Заметим еще, что любая компонента вели-
чины Ф = (ф, ф0, фр ф2, ф3) удовлетворяет уравнению второго порядка
□ф—х2ф = 0 (уравнение Клейна — Гордона).
*) Заметим, что инвариантная билинейная форма для представления
с компонентами tq~>(0, 1) и ~ (0, 2) (tj = tp *2 = т2) может быть вы-
брана двумя различными способами:
1.	= =
2.	ах~^ = — ах~'‘ = 1.
Нами выбран второй вариант. Как мы увидим в § И, первый вариант не
приводит ни к положительно определенной энергии, ни к положительно
определенному заряду, а потому лишен физического интереса.
310	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
Представления то~(0,1) и тх — (0,2) могут быть дополнены двумя
неэквивалентными способами до представления полной группы (причем
так, что система уравнений (8) останется по-прежнему инвариантной).
При одном способе скаляр ф не меняет знака при отражении (соб-
ственно скаляр); в этом случае говорят, что уравнение описывает
так называемые скалярные частицы,-, другой способ ведет к изме-
нению у ф знака при отражении; это — так называемый случай
псевдоскалярных частиц. При этом величина (ф0, фр ф2, ф3) является
соответственно вектором (первый случай) или псевдовектором (вто-
рой случай).
Оператор 5 в базисе имеет вид
С''.'______i7'	Ci”'-1
°’00 — -.оо.	csoo
?оо>	—.	hi«
(для скалярных частиц) или
5^о6= — ?оо, ^'оо =— U —
(для псевдоскалярных частиц).
При всяком другом способе введения оператора S в представле-
ние с компонентами т0 и тх (например, если положить ф скаляром,
а (ф0, фр ф2, фз)—псевдовектором) уравнение (8) не останется инва-
риантным.
3.	Уравнение Даффина для векторных частиц/ Так называется
следующая система уравнений:
d'-tt _	,
dxk dxt ~ -гк'
<9>
i
Здесь видно, что величина УТ состоит из вектора (сг0, ср2, <р3)
и антисимметрического тензора фй, т. е. преобразуется по пред-
ставлению т, состоящему из трех компонент т1, т2, т2, определяемых
соответственно парами: (0, 2), (1, 2), (—1, 2). Эти компоненты
зацепляются, и схема зацепления между ними .следующая:
*т2-	(9')
Наиболее общий вид матрицы La в уравнении со схемой зацепле-
ния (9') в базисе
{hi, hi ai -1, &. hh h: -i. hi. ho. h: _i}
п. 3]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 311
следующий:
	0	0	0	0	ё	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0		0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	с^>	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
	cv2	0	0	0	0	0	0		0	0	
£0 —											(10)
	0		0	0	0	0	0	0	с™	0	
	0	0		0	0	0	0	0	0		
	0	0	0	0	С’Л	0	0	0	0	0	
	0	0	0	0	0		0	0	0	0	
	0	0	0	0	0	0	с'2'1	0	0	0	
Представление g-+Tg с компонентами xlt т2, т2 можно допол-
нить до представления полной группы Лоренца.
Требование инвариантности относительной, этой группы при-
водит к равенству
С'л = c’l'a = и с'2'- —:	= С2
(см. § 7, (30) и (31)).
Если теперь в качестве инвариантной билинейной формы выбрать
форму
(Фр ф2)=2	*)>	(11)
то для того, чтобы существовала функция Лагранжа, приводящая
к уравнению с матрицей вида (10), нужно положить:
или
С1 — С2>
при сх = г мы приходим к системе, равносильной системе (9).
Снова заметим, что представление с компонентами тг, т
можно двумя неэквивалентными способами дополнить до предста-
вления полной группы Лоренца:
*) Инвариантная форма, как и в предыдущем примере, может быть
выбрана двумя способами, отличающимися знаком у Однако второй
способ не приводит ни к положительно определенной энергии, ни к положи-
тельно определенному заряду (см. § И).
312
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
1. У вектора (<р0, срр <р2, ср3) при отражении составляющие
?i> ?2> ?з меняют знак, а знак <р0 сохраняется (собственно вектор).
2. Отражение не изменяет составляющих <pi, ср2, <f>3 и меняет
знак у <р0 (псевдовектор).
4. Уравнение для двухкомпонентного нейтрино. Здесь мы
рассмотрим пример релятивистски-инвариантного уравнения сх —0.
Напомним, что такое уравнение может существовать, если наряду
с представлением g-+Tg, по которому преобразуется волновая
функция ф, в том же пространстве действует представление g -> Vg,
с помощью которого преобразуются сами уравнения. При этом
элементы матриц Lo, Lx, L2, La, записанных в канонических базисах
представлений g-+Vg {ojm} и gТд Щ*) —числа г,т,
имеют тот же вид, что и для уравнений с х =£ 0, т. е. задаются
формулами (13)—(19) § 7. Числа с™' по-прежнему отличны от
нуля лишь для зацепляющихся компонент т и т' представлений
g —> Vg и g —> Тд соответственно.
Рассмотрим двухкомпонентную функцию ф, преобразующуюся по
„ /1	3\ .
двумерному представлению т, определяемому парой ly, (не-
пунктирное спинорное представление ранга 1). В этом же двумер-
ном пространстве можно определить также и другое неприводимое
„ /	1	3\ .
представление т, определяемое парой I---у) (это — пунктирное
спинорное представление ранга 1). Представления тит зацепляются.
Таким образом, мы можем построить релятивистски-инвариантное
уравнение с х=0 относительно величины ф, преобразующейся по
представлению т—Iу, (при этом само уравнение должно из-
( 1 з\\
меняться по представлению т~1—у, ^ll-
*) Напомним, что элементы матриц Lk определялись следующим образом.
Пусть
е =
где ф —вектор из пространства R, а 6 — его образ при действии опера-
тором Lk. Это равенство можно переписать так:
Im
где — координата вектора 6 в каноническом базисе представления
g-*- Vg, a yJ,OT, —координата ф в каноническом базисе представления g->Tg^
Числа и служат элементами матриц Lk.
П. 4]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 313
В канонических базисах представлений т и т < В i , S if »
' ~2	~~2~'
< т) j , т] j I числа Стт? образуют матрицы
Т 2 ’
т — II1 0 L
IJ о — 1II 3
Матрицы ар а2, а3 называются матрицами Паули.
Заметим, что если выбрать в двумерном пространстве эрмитову
форму
(Ф1. ф2) = *2../1_ + *х.1_У	(13>
2	2	~ 2	2
где x’i , х"~ 1 —координаты в базисе( т) i vj i 1 ау' У~_)_
T "Т	I Т’ 2)’	"2’ F
— координаты ф2 в базисе I $ i S i 1 то
I Т* “VI ’
<Уд Ф1> Ф2) = (Ф1> Tyh).
где Vg-—оператор представления т, а Тд—оператор представле-
ния т. Как мы знаем из предыдущего параграфа, если выполнено
это условие, то уравнение (12) с матрицами Lk может быть получено
из инвариантной функции Лагранжа, построенной с помощью формы
(<]>!, ф2) и матриц Lk. При этом необходимо только, чтобы
(М> ф) = (ф. М)>
или
с = с,
т. е. с — действительное число.
Таким образом, уравнение с матрицами Lk вида (12) при веще-
ственном с может быть получено из инвариантной функции Лагранжа.
Последняя имеет вид
-S’l'P (x)]=clmf 2 (’й	•
1 к
С вещественно. (14)»
314	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. п
Если положить с—1, то получим Lk = ak (jfe = 0, 1, 2, 3).
Уравнение с матрицами з;с называется уравнением «двухкомпонент-
ного нейтрино» *). Оно имеет вид
дФ ,	. дф . дф
01 дх± °2 дх2 ' °3 dxs ’ °0 д>х0
0.
(15)
Представление собственной группы	уравно как
[ 1 з\\
-г ~I — у, yl 1 нельзя дополнить до представления полной группы
Лоренца. Поэтому не имеет смысла говорить об инвариантности
уравнения (15) с матрицами (12) относительно полной группы
Лоренца **).
Выясним теперь, какие величины могут быть квадратично со-
ставлены из волновой функции двухкомпонентного нейтрино, пре-
,	(\	3\
образующейся по представлению т —(у, yl, т. е. по непунктир-
ному спинорному представлению ранга 1.
Напомним с этой целью, что если сама волновая функция ф
преобразуется по представлению g —> Тд, то, как мы видели в § 8,
величины, квадратично зависящие от ф, преобразуются по пред-
ставлению, входящему в произведение представления g —> Тд и
•комплексно-сопряженного представления gТ*д. В нашем случае
g-^-Tg есть непунктирное спинорное представление ранга 1, оно
*) Кроме этого, рассматривают также уравнение для «четырехкомпонент-
ного нейтрино»: это — обычное уравнение Дирака с х = 0.
**) В этом заключалась причина, по которой до недавнего времени от-
вергалась возможность описания нейтрино двухкомпонентной функцией,
подчиняющейся уравнению (15). Считалось, что все процессы, происходящие
с элементарными частицами, должны одинаково описываться как в левой,
так и в правой системе координат (физики называют этот принцип законом
сохранения четности); последнее означает, в частности, что у всех элемен-
тарных частиц компоненты волновой функции ф при пространственном
отражении (т. е. при переходе от правой системы координат к левой)
должны подвергаться также некоторому линейному преобразованию S (дру-
гими словами, волновая функция ф должна преобразовываться по предста-
влению полной группы Лоренца), а описывающее эту частицу уравнение
должно быть инвариантным относительно отражения (или, что то же самое,
относительно полной группы Лоренца). Однако ряд экспериментов послед-
него времени привел Л. Д. Ландау (СССР) и Ли и Янга (США) к гипотезе
о том, что в некоторых случаях инвариантность процессов относительно
отражений может не иметь места (четность не сохраняется). В частности,
•было допущено, что такая инвариантность нарушается в тех процессах,
где участвует нейтрино. Поскольку, таким образом, от самого нейтрино
(точнее, от его волновой функции) уже не требовалось никакой инвариант-
ности по отношению к пространственному отражению, появилась возмож-
ность описывать его двухкомпонентной функцией ф, удовлетворяющей урав-
нению (15).
П. 4 ]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 315
(1	3 \	*
Т’ у)  Представление g -+Тд задается, таким
(1	3 \
— Т ’ у) (см< § п' 8)- Оно является пунктир-
ным спинорным представлением ранга 1. Напомним, что произведе-
ние пунктирного и непунктирного спинорных представлений ранга 1
неприводимо и задается парой (0, 2). Величина, преобразующаяся по
такому представлению, называется вектором.
Итак, единственной величиной, которая может быть составлена
из квадратичных комбинаций волновой функции двухкомпонентного
нейтрино, является вектор.
Заметим, что компоненты этого вектора могут быть записаны
в следующей изящной форме:
^ = (М> Ф)>
где ~к— при k > 0 — матрицы Паули, <зй — Е и (фр ф2)—введенная
выше эрмитова форма (13).
Тот факт, что tk при преобразованиях Лоренца преобразуется
как вектор, проверяется в точности так же, как мы это делали
в общем виде в п. 7 § 8 для уравнений с х^=0.
Заметим, наконец, что релятивистски-инвариантного уравнения
с х=£0 относительно двухкомпонентной функции ф построить нельзя,
поскольку в двумерном пространстве нельзя задать представления
собственной группы с зацепляющимися компонентами. В случае же
х = 0, кроме уже написанного, существует еще одно уравнение отно-
сительно двухкомпонентной функции: функция ф(х) преобразуется
/	1	3 \
по представлению т—I-------~2~Ь а уравнение — по предста-
/1 3\
влению	у)- Это уравнение имеет вид
дф ,	дф , дф
01 дх1 '°2 дх.,_ ' ~3 дх3
дф
°0 дхй
= 0,
(16)
т. е. матрицы Llt L2, L3 этого уравнения совпадают с соответ-
ствующими матрицами уравнения (15), а матрицы Lo в уравнениях
(15) и (16) отличаются знаком*). Инвариантная форма (фр ф2) Для
уравнения (16) в базисе I tq i , vj i [ (для представления т) и
.	Т 2
В] , $ ] (Ддя представления т) имеет прежний вид (13).
1 Т 2
*) Кроме уравнений (15) и (16) для двухкомпонентной волновой функ-
ции возможны лишь релятивистски-инвариантные уравнения с прямоуголь-
ными (неквадратными) матрицами Z.q> Z-i, L3 (см. § 7).
316	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[Ч. II
5. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в пустоте.
Так называют две системы уравнений с х = 0 относительно анти-
симметрического тензора Fik:
dFjk । дРкг . дРц _ Q
dxj • дх^ ' дхк
индексы i, .k, I различны; всего получаем четыре уравнения.
У
дхк
к=0
Эта система также содержит четыре уравнения. Обе системы при
преобразованиях Лоренца преобразуются независимо.
Антисимметрический тензор Fik преобразуется по представлению
g —> Тд, состоящему из двух компонент т~(1, 2) и т— (—1, 2).
Представления g —> V(s!) и g -> V^\ по которым преобразуются обе
системы, являются векторными представлениями т0—(О, 2). Схема
зацепления для обеих систем одна и та же
Т Tq т.
(17)
Пусть | ^т)	}— канонический базис представления gТд,
а |	| — канонический базис представления g—>Vg- Выпишем
матрицу Lo в базисах {} и { ^т,	} для уравнения со схемой
зацепления (17).
51, -1 51о 511 5^ _! Sfo
0	0	0	0	0	0
a? , ст"т 0	0	0	0
1 ___ ь -1
ь0 —	.	.
ajJ0 0	с/'	0	0	с’0’	0
aft	I 0	0	с''	0	0
Потребуем теперь, чтобы уравнение с такой матрицей было
инвариантно относительно представления полной группы. Здесь
могут представиться две возможности:
1. Представление g-^>Vg является псевдовекторным представле-
нием; в таком случае
СХ;Т __
2. Представление g—>Vg-—векторное; при этом
Сх»’ = С '» х — с.
и. 5]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 317
Если потребовать, чтобы наше уравнение получалось из инвариант-
ной функции Лагранжа, то мы получим, что с действительно; всегда
можно положить с=1. Таким образом, случаи 1 и 2 приводят
к двум возможным матрицам 70 со схемой зацепления (17):
	0 0 0 0 0 0		
	10 0 10 0		
1- =	0 10 0 10		(18)
	0 0 1 0 0 1		
	0 0 0	0	0	0	
	100—1	0	0	
2.	Lo =	0 10	0—1	0	(18')
	0 0 1	0	0	—1	
Нетрудно проверить, что первый случай приводит к системе, равно-
сильной системе I, а второй случай — к системе, равносильной II.
Если рассматривать обе системы вместе, то матрица 70 имеет вид
	0 0 0	0	0	0	
	10 0	1	0	0	
	0 10	0	1	0	
7„ =	0 0 1	0	0	1	(19)
^0	0 0 0	0	0	0	
	10 0—1	0	0	
	0 10	0—1	0	
	0 0 1	0	0 —1	
Матрица	^3	(она понадобится нам в дальнейшем) при этом выгля-							
дит так	(см.	§ 7, (18) и (19)):							
			0	— 1	0	0	— 1	0	
			—1	0	0	1	0	0	
			0	0	0	0	0	0	
		А3 —	0 0	0 — 1	1 0	0 0	0 1	—1 0	(19')
			—1	0	0	—1	0	0	
			0	0	0	0	0	0	
			0	0	1	0	0	1	
Приведенными примерами, по-видимому, исчерпываются все прак-
тически применяемые в настоящее время релятивистски-инвари-
антные уравнения. Ниже, в § 11, будут показаны некоторые
318	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. И
исключительные свойства этих уравнений. Заметим здесь только,—и это
будет важно для дальнейшего,— что во всех рассмотренных при-
мерах матрица Lo была приводима к диагональному виду.
Сейчас мы приведем еще один пример инвариантного уравнения,
у которого матрица Lo уже неприводима к диагональному виду.
Это уравнение представляет некоторый теоретический интерес,
ясный из дальнейшего (см. § И).
6. Уравнение Паули — Фирца. Пусть величина ф преобразуется
по представлению с компонентами Тр т1, т2, т2, определяемыми
парами:
Эти компоненты зацепляются, очевидно, по следующей схеме:
(21>
(Для уравнения с таким зацеплением матрица Lo изображена на
стр. 319).
Заметим, что элементы матрицы Ао' с одинаковыми индексами I и
соответствующими одной и той же паре компонент гит' одинаковы.
Поэтому ради простоты матрицу Lo можно переписать в* виде двух
ящиков, соответствующих двум значениям*/:	"
Х1	Х1	х2	х2
О	с~:'‘	с’1’3	О
с^‘.	О	0	с-"3
cV1	0	0	с',~'2
О	сТзТ*	сХзХз	О
х2
2сЬХз
О
(22)
Из требования инвариантности относительно отражения получаем:
Билинейную эрмитову форму, инвариантную относительно нашего
представления (20), можно задать двумя существенно различными

320
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
способами:
а) (фр ф2) =
± _± 2 2
2 ’	2
71 (Х1 У1 + х 1 У1
Г1 / 2т 2т 2т 2
т=2;~2
К
1 У1
-z-m — т
2т 2т
т =
— т
У" 2
71	- хз Уз + хз Уз
Л	Т" 2т	~чт
3 113	2	2	22
т~1> ' Т ’ ~Т ’ ~~2
а?1*1 —	— 1
И
(23)
б) (фрфг) —
7, у {
I 1 ' 2 т 2т
г" ’ “г"
— 2 (—(Х?Л + Х?Л).
-?
*22
= — аъъ = 1,
Этим двум способам соответствуют следующие условия, необхо-
димые для того, чтобы уравнение с матрицей Lo можно было полу-
чить из инвариантной функции Лагранжа:
а)	стл = с:
я
б)	СХХ‘ = СХ
т-
С**"**
С'

—7/1 —
2	2
1= 1/2
О 2с’’'*
2сх,х* О
1=1/2
О 2сх>'г
2сх,х> О
Итак, в случае инвариантного уравнения со схемой зацепления (21)
и получающегося из инвариантной функции Лагранжа матрица Lo
должна иметь одну из следующих форм:
а)
/ = 3/2
0	сТ1Х‘	схл	0
схл	0	0	сТЛ
с'5‘Ха	0	0
О	стл	<7^	О
б)
Z == 3/2
О	с7Х1	с''1'2	О
счч	о	0	счч
—<сТЛз	0	0	c',Xi
|	0	—?л счч Q
П. 6]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 321
где с'‘\ сХаХ>— произвольные вещественные числа, а сх*х»— комплекс-
ное число. Мы можем, далее, еще упростить это выражение,
перейдя к новой системе координат. Допустимое преобразование
координат (т. е. сохраняющее вид всех инфинитезимальных опера-
торов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3, вид преобразования S, отвечающего
отражению, и вид инвариантной билинейной формы) в нашем случае
задается формулами
Ут * Ут' Ут с Ут'
(24)
"2 —-	Г "2  
Ут Ут чт Ут
При таком преобразовании элементы с~^ и матрицы Lo, очевидно,
не изменятся, а перейдет в
с/т‘'2 = стле<(9,_0а)-	(25)
Таким образом, существенными параметрами исследуемого уравнения
(матрицы Ао) в этом случае будут три вещественных числа: с'^
Схаха и | СХЛ | .
Выбрав соответствующим образом 6j и 62 в равенствах (24), (25)
и разделив все уравнение на 2сх»Ха (что сводится к изменению кон-
станты х), мы можем привести наш}' матрицу Lo к одному из сле-
дующих видов:
а)
	0 а		0 (	0	
	₽		0 с	i	f
б)	0		S 3 1	о	|см II	
			0 а	а 0	? 0
			— 3	0	0
			0	-ч	1 2
'=4		
		(26)
0	'Ч	
2 0	1! 0 1 I ’	1 1 о | •	(27)
где а—вещественное число, J3 — вещественное положительное число.
322	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч..п
Таким образом, мы получили общий вид матрицы Lo для реляти-
вистски-инвариантных уравнений со схемой зацепления (21), получаемых
из инвариантной функции Лагранжа.
В дальнейшем, в § .11, мы покажем, что одно из этих уравнений
(получающееся из случая б) определенным выбором параметров а и 3)
имеет особые преимущества перед остальными. Матрица Lo для этого
уравнения выглядит так:
О
1
2
£
2
О
1 £
2 2
О О
О о
£ £
2 2
О
£
2
£
2
О
0 1
1 о£
(281
Релятивистски-инвариантное уравнение с
вается уравнением Паули — Фирца.
такой матрицей То назы-
7. Примеры бесконечномерных инвариантных уравнений. I. Про-
стейшим бесконечномерным уравнением (с % 4= 0), удовлетворяющим
всем условиям §§ 7 и 8, будет уравнение относительно волновой функ-
ции, преобразующейся по i
полной) группы Лоренца,
'согласно результатам § 7
когда представление собственной группы,
компоненты волновой функции, может быть неприводимым.) Веса, участвую-
щие в первом представлении (о, — принимают значения / = 0, 1,2, ...;
неприводимому представлению собственной (и
определяемому парой чисел ^(), или (А., oj
это — единственные случаи уравнений с л 0,
по которому преобразуются
для представления
£ 3 _5
1 ~ 2 ’ 2 ’ 2 ’
Матрица же Lo в обоих случаях будет диагональна, причем элементы ее
имеют вид

(29)
В связи с особой простотой выпишем здесь полностью соответствующее
уравнение; в этом случае IF есть вектор с компонентами '!у,н (т — — /,
— Z —1....../	— 1, Z), где / = 0,1,2,... для первого или соответственно
П. 7]	§ 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 323
/ = 1 3
2 ’ 2
—, для второго случая, и уравнение имеет вид
д (1 , 1 \ ,	,
ту , [V (! + rn + 1) (I — rn \ 1) Фг+i, т +
- их^

X iV'GH-'w+l) {I—m~r-2) фг+1, от+1—V (I—т—1) (/—m)'bi-Xt |и+1]—
т (Д -1Д){V(i -т+1 >(z -т+2)	»-t -
V U + т — 1 ) (/ i «z) ’Ф/-1, 7/1 — 1} "Г zzt}zm — 0-	(30)
II. В качестве следующего примера рассмотрим еще уравнения с т. =± 0,
для которых представление Ту, по которому преобразуются компоненты
функции ф, распадается на два неприводимых представления тит собствен-
ной группы Лоренца. Ясно, что такие уравнения, удовлетворяющие всем
условиям §§ 7 и 8, могут существовать только в том случае, если эти не-
и т определяются парами т
приводимые представления
• (	1 , \ / (
и т ~ (---7) > «11, где '1 — или чисто мнимое или вещественное I в последнем
"2
случае при Т целом или полуцелом возможны, конечно, также и пары пред-
ставлений fzt, и (llt-------ф))- Действительно, только в этом случае ком-
поненты тит зацепляются и представление, состоящее из этих компонент,
допускает инвариантную форму:
т • • т" и	 т®
(при вещественном) или
т = т* и т = т®
(при /t чисто мнимом).
В случае чисто мнимого мы можем здесь еще двумя способами опре-
делить инвариантную билинейную форму (ip!, фг); условимся выбирать ее так,
чтобы она была положительно определенной. В таком случае элементы
матрицы Lo для всех наших уравнений можно привести к виду
clml’ т' = с1'т'1т	4"	°П' ^тт' •	(31)
Заметим еще, что в случае целого или полуцелого Т, матрица Lo в беско-
нечномерном уравнении с зацепляющимися компонентами т -<—> т, т ~ I 1Ъ — I
и т	имеет тот же вид (31).
Заметим также, что бесконечномерное уравнение с зацеплением
l-ij и матрицей (31) в случае полуцелого распадается
на два уравнения: конечномерное с волновой функцией, преобразующейся
по представлению с компонентами (ту* 71) 4—> (—, и бесконечно-
324
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ч. II
мерный «хвост»—уравнение со схемой зацепления	--— )
(напомним, что представления с парами (и Hi, —называются
«хвостами» конечномерных представлений 1^ и (----, 1^ (см. § 2)^.
§ 10. Определение'значения массы покоя и спина частицы
В этом параграфе мы рассмотрим две физические величины,
а именно: массу покоя и спин частицы, и покажем, каким образом
эти величины связаны с матрицей Lo релятивистски-инвариантного
уравнения, описывающего частицы.
1. Плоские волны. Вектор энергии—импульса. Пусть волновая
функция некоторой частицы удовлетворяет релятивистски-инвариант-
ному уравнению
<»
Будем искать решения этого уравнения в виде
№.. X,. Х„ х,) = Ш. л. л.	(2)
(такое решение называется плоской волной). Величина
ф (/7о> Pi> Pi’ Рз) ~ Ф (Р) не зависит от координат х0, х1г х2, х3,
а числа р0, рх, рг, р3 мы будем предполагать действительными.
Заметим, что четверка чисел (р0, рг, р2, р3) .и величина ф (/?),
задающие плоскую волну (2), меняются при переходе от одной ор-
тогональной системы координат в четырехмерном пространстве
к другой ортогональной системе координат. Действительно, коорди-
наты одной и той же точки (xQ, хг, х2, х3) и (x'Q, x'ltx'2, x'.j в двух
системах координат связаны соотношениями
x'i^^gikXk («, А = 0, 1, 2, 3),
где II gik II ==g—матрица преобразования Лоренца, задающего пе-
реход от одной ортогональной системы координат к другой. Значе-
ния же волновой функции ф в каждой точке при переходе от коор-
динат (х0, xv х2, х3) к координатам (x'Q, х[, х'2,х'3) преобразуются по
формуле
Ф(4 Х{’ Х2’	= 7УЖ’ Х1’ Х2 Х3>-
Применительно к плоской волне (2) получаем:
Ф (х', x’v X'v х') = Таф (р) j	(2Э
С другой стороны, можно написать:
Ф<4 х', х'2,
П. 1] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 325
где величина ср (р') = Tgty (р), а четверка чисел (p'Q, p'v p')t р'3) свя-
зана с числами (р0, pv р2, р3) формулой
(г, & = 0, 1, 2, 3).	(3)
Выражение (2х) является по-прежнему плоской волной, но записан-
ной в новой системе координат (x'Q, x'v х'2> х'3~). Таким образом, если
в одной системе координат плоская волна задавалась величиной ф(р)
и четверкой чисел (ра, pv р2, р3), то в другой системе координат
та же плоская волна задается величиной ср (р') = Т,;р(р) и четвер-
кой чисел (р'о, р[, р'2, р3), связанной с числами (р0, pv р2, р3) форму-
лой (3), где g = || gift ||—преобразование Лоренца, задающее пере-
ход от первой системы координат ко второй.
Мы видим, что при преобразовании системы координат в про-
странстве /?(4) четверка чисел (р0, р1г р2, р3) преобразуется по
тем же формулам, что и координаты вектора (х0, хи х2, х3~) из про-
странства
Рассмотрим теперь некоторое другое четырехмерное простран-
ство R^ и фиксированную систему координат в этом пространстве.
Отнесем каждой четверке чисел (р0, р1г р2, р3) вектор р из /?(4)
с координатами (р0, pv р2, р3) (в выбранной нами системе коорди-
нат). Вектор р называют вектором энергии — импульса (р0 на-
зывают энергией, а трехмерный вектор (рР р2, р3)—импульсом).
Пространство /?(4> называют импульсным пространством. При этом
исходное четырехмерное пространство R^ называют координат-
ным пространством.
Суммируя все сказанное, мы получаем, что плоская волна (2)
в каждой ортогональной системе координат пространства /?(4)
задается некоторым вектором энергии — импульса р(р0, pv р2> Р3)
из импульсного пространства R^ и величиной ф(р). При пере-
ходе от одной ортогональной системы координат к другой с по-
мощью преобразования Лоренца g вектор р, задающий плоскую
волну, подвергается преобразованию g, а величина ф(р) подвер-
гается преобразованию Тд.
Обратно, всякое преобразование Лоренца над векторами р из
импульсного пространства: р’ — gp, можно рассматривать как пе-
реход от системы координат в координатном пространстве, в кото-
рой плоская волна задавалась вектором р, к системе координат,
в которой эта же плоская волна задается вектором р'.
Вернемся теперь к уравнению (1).
Подставив плоскую волну (2) в уравнение (1), мы получим, что
величина ф(р) удовлетворяет уравнению
(— LQpQ -|- LtPi -j- L2p2 -ф- L3p3) ф (p) + хф (р) — 0.
(4)
326	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЯ	[Ч. II
Если для краткости обозначить — L0p0-\~L1p1-\-L2p2J\-L3p3 че-
рез L(p), то уравнение (4) означает, что 0(р) является собственным
вектором матрицы L(p) с собственным значением—-х
L (р)''! (р) = —	(5)
Покажем, что ненулевое решение ф(р) этого уравнения сущест-
вует только для тех векторов р(р0, pt, рг, р3) из чля которых
выполнено соотношение
где [Tj = — , а '/.{—какое-нибудь действительное, отличное от нуля
собственное значение матрицы Lo.
Мы будем ради простоты предполагать, что уравнение (1) ко-
нечномерно. В таком случае уравнение (5) допускает ненулевое ре-
шение для тех и только тех векторов р, при которых определитель
матрицы L(p)-|-7.E равен нулю. Определитель det (Е (р) Ц-7.Е) яв-
ляется, очевидно, многочленом от переменных р0, р1( р2, р3. Обозна-
чим его через D (р0, plt рг, р}) = D (р). Из соотношения
2 TgLiTgXgki=^Lk
г
для матриц в релятивистски-инвариантном уравнении (см. § 7, (3))
следует, что
TgL(p) Тдх ~ L(gp),
где gp—образ вектора при преобразовании Лоренца g.
Из этого равенства мы получаем:
det (L (gp) + -zE) = det (Z. (р) + -zE)
или	г>/ ч г>/ ч
Е>(р) = Е>(£р),
т. е. значения многочлена D(p) не меняются, если аргументы под-
вергнуть преобразованию Лоренца. Такой многочлен D(p) постоянен
вдоль поверхностей транзитивности полной или собственной группы
Лоренца, т. е. постоянен на гиперболоидах
— s2 (р) = pl — р\ — pl — pl = const
в импульсном пространстве . Отсюда следует, как нетрудно ви-
деть, что многочлен D(p) зависит на самом деле лишь от — s2(p):
D(p) = D[—s2(p)], где D(—s2)—некоторый многочлен от одной
переменной — s2.
Разложим D [—52 (р)] на множители:
D [— S2 (р)] = с [— S2 (р) — р2] [— s2 (р) _ и2]	s2 (р) —. р.2 ] ...
• • • [—S2(p) —|Х2],	(6)
где u2, р,2( . . ,;р,2 — корни многочлена D.
n. lj § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 327
Из этого разложения видно, что det (L (р) хЕ) обращается в нуль
только в том случае, если вектор р удовлетворяет соотношению
— s2(p) = p2 — р2 — р2 —	=	(7)
где — какой-нибудь из корней многочлена D. Поскольку числа
Ро- Pi< Pz> Рз действительны, корень и? тоже должен быть выбран дей-
ствительным.
Таким образом, для того чтобы уравнение L (р)ф (р) = — хф (р)
имело ненулевое решение и тем самым существовала бы плоская
волна с вектором энергии — импульса р (р0, рх, р2, р3), последний
должен удовлетворять соотношению (5) с каким-нибудь из действи-
тельных корней многочлена D.
Найдем теперь, как корни р/* связаны с собственными значениями
матрицы Lq. Положим рг= р2 = ps = Q. Тогда —52(р) = р2 и много-
член О [—s2 (р)] —D (pfy. Разложение (6) запишется при этом так:
D (р2,) = с (р2 — U2) (Р2 — р.2) ... (Р2 — ^ 2) =
= с (Ро — р-1) (Ро + р-1) (Ро — Рг) (Ро + Рг) • • • (Ро — Р*) (Ро + !-'*)•	(8)
С другой стороны, при р1 = р2 = р3 = 0 матрица L (р) равна
L(jf)= — р0 Lo и det (L (р) Ц- хЕ) = det (— p0L0 хЕ). Последний опре-
делитель можно представить в виде
det (— £0р04-хЕ) = с [pq^^^Pq —	. .(р0—(9)
где kj-, а2, ..., Xg—отличные от нуля собственные -значения ма-
трицы Lq. Сравнивая разложения (8) и (9), мы видим, что при соответ-
ствующей нумерации можно положить:
=	= +	=	и т. д. (10)
Формула (10) и дает связь между корнями многочлена D и собствен-
ными значениями матрицы Lo. Из этой формулы также видно,
что вместе с каждым ненулевым собственным значением X матрица
имеет собственное значение — А той же кратности, что и X.
Найдем теперь в каком случае у матрицы Ео в уравнении (1),
получаемом из инвариантной функции Лагранжа, собственные значе-
ния действительны и в каком случае они комплексны. Как мы видели
в § 8, матрица La такого уравнения должна удовлетворять условию
(М1Л2) = (Ф!, L<3 Ф2)>	(Н)
где (фр ф.2) — невырожденная билинейная эрмитова форма, с помо-
щью которой записывается функция Лагранжа. Равенство (11) для
328	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. и
собственного вектора бх матрицы Lo с собственным значением к
перепишется так:
(Мл> фх) = МФх. фх) = Чф. фх);
отсюда
(X— Х)(фъ фх) = о,
т. е. либо /. ==л и собственное значение X действительно, либо
(фх, срх) = 0. Таким образом, если у матрицы Lo собственное значе-
ние X комплексно, то соответствующий собственный вектор фх
обращает в нуль квадратичную форму (Ф, ф): (Фх, фх) = 0. Такие соб-
ственные векторы матрицы £0 мы назовем недопустимыми и рассмат-
ривать их в дальнейшем не будем *).
Итак, мы видим, что собственные значения матрицы La в уравне-
нии (1), полученном из функции Лагранжа, за исключением редких
недопустимых случаев, вещественны.
Пусть ).— вещественное собственное значение матрицы Ао, Тогда
число [а = также вещественно. Соотношение (5) мы можем теперь
переписать в следующем виде:
\ 2
Из этого соотношения мы видим, что для вектора энергии — им-
пульса р плоской волны (2) выполняется неравенство
Р2 — Р^ — Рг — P23>Q пРи
и равенство
Р20~ р1~ р22 — Р23 = ® при Х = О**),
*) В следующем параграфе мы увидим, что плоской волне, построен-
ной с помощью недопустимого вектора Фх, отвечает нулевой заряд и нуле-
вая энергия.
**) При выводе соотношения (7) мы пользовались тем, что
D (L С₽)+ ’/-Е) = det (L (gp) -ф- ъЕ). Это равенство получалось из соотношения
для матриц в релятивистски-инвариантном уравнении. Однако при х = О ,
это соотношение заменяется более общим:
Можно показать, что у всех операторов любого конечномерного пред-
ставления определитель равен 1:
det Vg = det Т6 = 1.
Отсюда мы получаем, что и в случае х = 0
det Lp = det L (gp).
П. 2] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 329
т. е. вектор энергии — импульса лежит внутри светового конуса
в импульсном пространстве RW при х 0 (такие векторы называют
времяподобными) и лежит на световом конусе при х = 0.
Подведем итог всему сказанному.
Для того чтобы существовало решение уравнения
в виде плоской волны
ф(х0, х1; х2, х3) — ф (р) е1 1-дл>1)+Р1Ж1+йж2+рзж3)>
необходимо и достаточно, чтобы вектор энергии — импульса
р(р0, Pi’ Рг> Рз) удовлетворял соотношению
Р20 — Р( — Р22 — Р23 = \>-2,	(12)
где [1 = y а к — какое-нибудь отличное от нуля действитель-
ное собственное значение матрицы Lo. При этом для уравнения
с х 0 вектор энергии — импульса времяподобен, а при х = 0
этот вектор лежит на световом конусе. Величина ^(р) (ампли-
туда плоской волны) получается из уравнения
L(P)^(P) = — Rf(p),
т. е. является собственным вектором матрицы L(p) с собствен-
ным значением — /..
2.	Система покоя. Масса покоя. В этом и в следующих двух пунк-
тах мы рассмотрим случай уравнения с х Д 0. В этом случае вектор
энергии — импульса, задающий плоскую волну (2), как мы видели
в предыдущем пункте, времяподобен
р2-р2-р22-р2>о.
Выберем теперь такое преобразование Лоренца g0, которое пере-
водило бы этоъ вектор в направление временной оси р0 в импульсном
пространстве
gQp=pr и р{=р'2=л; = о.
При этом уравнение
L(p)^(P) + (Р) = 0,
из которого определяется величина ')(р), задающая плоскую волну (2),
перейдет в уравнение
—Poz-o’?(Po) + ’4(/’o) = °-	(13)
где величина ф (р0) связана с ф (р) соотношением
* (Ро) = Тд& (Р)-
330	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. П
Как видно из уравнения (13), величина 6 (р0) является собственным
вектором матрицы Lo с собственным значением	—^.Очевидно,
что	„ __ у-
Ро ——у •
Обратно, сама величина ф(р), задающая плоскую волну, выражается
через ф(р0) по формуле
Ф (Р) =	* (Ро)-
Таким образом, каждое решение (2) в виде плоской волны опреде-
ляется некоторым собственным вектором матрицы Lo с ненулевым
собственным значением.
Как мы отмечали выше, всякое преобразование Лоренца g над
векторами р из импульсного пространства R<4> можно рассматривать
как переход с помощью матрицы g = || g^ || от системы координат
в координатном пространстве в которой плоская волна за-
дается вектором р и величиной ф(р), к системе координат в R^,
в которой эта плоская волна определяется вектором р’ и величиной
ф (//) =	(р). В частности, если в некоторой системе координат
плоская волна
ф(Х0, Хр Х2, Хз) = ф(/7)^(-^ + йа:1+Л2:=+«)	(14)
задавалась вектором р, то преобразование Лоренца g0, переводящее
вектор р в направление временной оси в А’-’-1 : gp = р' (р'^ = р'2 =
=/?'=: 0), можно рассматривать как переход к системе координат
(л', Хр х', х'), в которой плоская волна (14) запишется в виде
ф(Хо) = ф(/?о)е_^°ж°.	(15)
Система координат (х', х', х', х'), в которой плоская волна (14)
принимает вид (15), называется системой покоя для плоской
волны (14).
Плоскую волну (15) в системе покоя называют иногда плоской
волной покоя. Величина ф (/?'), задающая плоскую волну покоя, как
мы видели, является собственным вектором матрицы Lo с веществен-
ным ненулевым собственным значением ).
М (Ро) = '-'?(Ро). при этом	(16)
Числа р. называют значениями массы покоя частицы.*). Мы видим,
*) Как мы видели в предыдущем пункте, с каждым собственным значе-
нием л у матрицы Lo встречается собственное значение — Это означает,
другими словами, что вместе с каждым значением массы покоя р у частицы
существует значение массы покоя — р. При этом состояние с р)>0 назы-
вают состоянием частицы с массой р, а состояние с р <( 0 — состоянием анти-
частицы с массой | р |. Таким образом, в случае конечномерных уравнений
каждому состоянию частицы соответствует состояние античастицы с той же
массой, или, как говорят короче, у каждой частицы есть античастица.
Л. 3] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И С ИЩА ЧАСТИЦЫ 331
что энергия частицы р'о в системе покоя совпадает с каким-нибудь
значением массы покоя. Соотношение (12) превращается при этом
в хорошо известное из релятивистской механики соотношение между
энергией, импульсом и массой покоя частицы:
О	О	О	О	9
Ро — Pi Р-> —	= 
3.	Спин покоящейся частицы. Состояние частицы в системе покоя
определяется, как было только что показано, собственным вектором
ф? матрицы Lq с некоторым вещественным собственным значением X.
Как правило, собственные значения X матрицы Lo являются крат-
ными. Действительно, из общего условия, которому удовлетворяют
матрицы Lk релятивистски-инвариантного уравнения (см. § 7, (3)).
следует, что матрица Lo перестановочна с операторами Тд, соответ-
ствующими вращениям g. Но тогда каждое собственное подпрост-
ранство матрицы Lo (т. е. максимальное подпространство, состоящее
из ее собственных векторов с одним и тем же собственным значе-
нием) инвариантно относительно операторов Т~. Действительно,
пусть Л0Ф = Хф. Тогда LgTyty — 7’fl7,06 — >~Тд<Ь, т. е. Тд6 так же
является собственным вектором с собственным значением X, т. е.
принадлежит тому же собственному подпространству, что и ф.
Собственное подпространство, отвечающее собственному значе-
нию X, обозначим через
Пространство распадается на несколько инвариантных под-
пространств R[, в каждом из которых представление группы вра-
щений неприводимо и имеет вес /. Числа I называют значениями
спина частицы. Очевидно, что в каждом инвариантном подпростран-
стве R[ существует 2/Д-1 независимых векторов ф^ш (например,
2/-|-1 собственных векторов оператора На). Число т называют
проекцией спина на какую-нибудь ось (например, на ось х3) *).
Выясним, как фактически, с помощью матрицы £0, определить
допустимые значения спина I частицы.
Формулы (15) и (16) § 7 показывают, что матрица £0 распа-
дается на «ящики» ||с^'||, отвечающие различным значениям I.
Каждое собственное значение ХД ящика ||ci" || является (2/ -4- 1)-крат-
ным собственным значением матрицы Lo, причем, очевидно,
соответствующие 2/-Д1 собственных векторов фХ, (т——
*) Спин частицы / можно физически истолковать следую дим образом.
Система покоя для плоской волны определена неоднозначно: любое враще-
ние переводит систему покоя снова в систему покоя, при этом так, что
энергия плоской волны (масса покоя) не меняется. Это вращение системы
покоя частицы, не меняющее ее массу, может быть истолковано как некото-
рая внутренняя степень свободы для частицы. Эта внутренняя (вращатель-
ная) степень свободы и приводит к существованию внутреннего полного
момента — спина частицы I и его проекций т на какую-нибудь ось.
332	ГЛ. 2. РЕЛЯГИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[Ч. II
матрицы Lo преобразуются между собой при пространственных враще-
ниях по неприводимому представлению группы вращений веса I (эти
векторы как раз и образуют базис в пространстве /?х). Собственным
вектором отвечают решения вида (2), описывающие различные
состояния покоя частицы со спином I и массой р,= у, отличающиеся
значением проекции спина т на некоторую ось. Таким образом,
возможные для данной, частицы значения спина — это те значе-
ния I, для которых матрица || ср || имеет отличные от нуля
собственные значения, причем число таких собственных значе-
ний, умноженное на (2/	1), определяет число различных состоя-
ний со спином I.
Итак, с помощью матрицы Ао определяются как значения масс
покоя, так и значения спина для данной частицы.
4.	Спин частицы в произвольной системе координат. В преды-
дущем пункте мы определили спин частицы в ее системе покоя.
Поскольку для любой плоской волны, как мы видели, существует
система покоя, то тем самым ее спин определен и в любой системе
координат: для этого надо положить его равным тому значению
спина, которое получит плоская волна при переходе к системе по-
коя. То же самое относится и к значению проекции спина т.
Однако нам кажется целесообразным определение спина частицы
сразу в произвольной системе координат без перехода к системе,
покоя.
Заметим с этой целью, что спин в предыдущем параграфе был
определен из следующих соображений: состояния в системе покоя
определяются собственными векторами матрицы Lo- Матрица Lo ком-
мутирует с операторами Т~, соответствующими вращениям g; отсюда
мы получили, что пространство R\ собственных векторов инва-
риантно относительно представления группы вращений. Веса этих
представлений L и являются значениями спина.
Применим эти соображения к плоской волне
4 (у?)
в произвольной системе координат. Вектор Ф(р) является собствен-
ным для матрицы L(p) с собственным значением—х
L (Р) Ф (Р) = — (р)-
Найдем теперь те операторы Тд из представления группы
Лоренца, которые коммутируют с матрицей L(p). Как мы видели,
имеет место равенство
TeL(p)T-' = L(gp}.
Из этого равенства следует,- что оператор Тд перестановочен с ма-
трицей L(p) в том и только том случае, когда преобразование g
оставляет вектор р на месте: gp = p.
П. 4] § ГО. ОПЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 333
Совокупность таких преобразований g образует подгруппу группы
Лоренца. Эта подгруппа называется стационарной подгруппой век-
тора р. Будем ее обозначать G0(p). Заметим, что для вектора
р(р0, 0, 0, 0), направленного вдоль временной оси, стационарной
подгруппой Go является группа вращений.
Представление g-+Ty всей группы Лоренца порождает представ-
ление g-^-Tx стационарной подгруппы Go (р). Таким образом, мы
показали, что матрица £(р) перестановочна только с операторами Tf,
образующими представление стационарной подгруппы Go (р),
T~L(p) Т-1 — L(p).
й у
Отсюда следует, что собственное подпространство этой матрицы
с собственным значением — у, (обозначим его /?х(р)) инвариантно
относительно оператора 7Д. Действительно, пусть L(р)Ф (р) =
=—х<1> (р). Применим оператор Т~ к обеим частям этого равенства
9
ТхА(р)6(р)=—/.Т’-Ь(р),
9	9
Т~Ь(р) = Ь(р)7\.,
и окончательно получим:
L (р)	(р) = — хТДб (р),
9	9
т. е. вектор Т~’Ь(р) снова является собственным вектором матрицы
9
L(p) с тем же собственным значением —х. Таким образом, прост-
ранство RAP) инвариантно относительно представления g —> Т~ ста-
ционарной группы G0(p).
Покажем теперь, что для времяподобного вектора р группа G0(p)
изоморфна группе вращений. Действительно, пусть р0—-преобразо-
вание, переводящее вектор р в направление временной оси
g0P = /> Р\ =Р2 = Р'3 = ®-
Очевидно, что всякое преобразование
g = g^ggo>
где g—-вращение, оставляет вектор р на месте. Таким образом,
группа G0(p) получается из группы вращений Go так:
GO(P) =g~1O0g().
Отсюда и следует, что группы Сй(р) и Go изоморфны.
Последнее означает, что всякое представление группы G0(p),
в частности представление в пространстве Rx, можно рассматривать
334	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ’	[ч. II
как представление группы вращений. Отсюда вытекает, что пред-
ставление стационарной группы в пространстве R^l разбивается на
неприводимые представления с целым или полуцелым весом I, дей-
ствующие в подпространствах Rl(p). Значения I и являются значе-
ниями спина в системе координат (х0,	х2, х3). Легко пока-
зать, что эти значения спина I совпадают со значениями спина
в системе покоя.
Каждому спину I отвечает 2Z—1 линейно независимых соб-
ственных векторов матрицы L(p) (с собственным значением —х).
Их удобнее всего выбрать следующим образом.
Рассмотрим какое-нибудь направление у в трехмерном простран-
стве. Можно показать, что в стационарной группе G0(p) вектора р
существует однопараметрическая подгруппа Goy(р) преобразований,
оставляющих на месте ось у, причем эта подгруппа Goy (р) изоморфна
группе вращений вокруг фиксированной оси (например, оси р3)*)-
В пространстве Rl(p), где действует неприводимое представле-
ние стационарной группы G0(p), задано тем самым и представление
ее однопараметрической подгруппы Goy (р). Инфинитезимальный опе-
ратор, соответствующий этой подгруппе, обозначим 7Yy(p). Его
собственные векторы образуют базис в R1 (р), а собственные зна-
чения т имеют вид т =—I, —I -|- ... В качестве собствен-
ных векторов матрицы L(p), соответствующих спину Z, можно
выбрать собственные векторы оператора Н^р) (р). Построен-
ные с помощью векторов (р) плоские волны называют пло-
скими волнами со спином Z, «поляризованными вдоль направления -р>.
Числа «от» называют при этом проекцией спина I на ось у или,
иначе, значениями поляризации.
В случае, если направление у совпадает с направлением им-
пульса pj, р2, р3, то говорят, что плоская волна поляризована по
движению.
Таким образом, плоская волна в произвольной, системе коор-
динат задается вектором энергии — импульса р, удовлетворяю-
Действительно, преобразование g0, переводящее направление времен-
ной оси в направление вектора р, можно выбрать так, чтобы плоскость
(Ро>Рз) перешла под действием преобразования go в плоскость, натянутую на
вектор р и ось у. При этом вращения вокруг оси р3, оставляющие на
месте любой вектор плоскости (р0, р3), после автоморфизма
11 =	1	<17>
перейдут в преобразования gy, оставляющие на месте любой вектор плоскости
(р, '(), в частности, и само направление у. Эти преобразования ру и обра-
зуют однопараметрическую подгруппу Goy (р) стационарной группы Go (р),
оставляющую на месте ось (. Из равенства (13) видно, что группа Gqy (р)
изоморфна группе вращений вокруг оси р3.
П. 6] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 335
щим соотношению (12), спином I и проекцией т спина на некото-
рое направление у {значением поляризации).
5.	Частицы с нулевой массой покоя. До сих пор мы рассма-
тривали уравнения V ц	L о с z =£ 0. Из формулы (16),
CL X
г
определяющей значения массы покоя такой частицы, следует, что
и =# 0, т. е. при ху^О все массы покоя отличны от нуля.
Перейдем теперь к уравнениям с х = 0. Из формулы (16) следует,
что при этом 0, т. е. для таких уравнений все массы покоя
равны нулю.
Заметим, что для уравнений с х = 0 не существует системы
покоя. Действительно, в п. 1 мы видели, что вектор энергии — им-
пульса р плоской волны удовлетворяет соотношению
Р'о — P'l— Pl — P'l = Q’
т. е. вектор р лежит на световом конусе. Вектор же со светово-
го конуса никаким преобразованием Лоренца не может быть переведен
на временную ось, т. е., другими словами, не существует ортогональ-
ной системы координат, в которой три последние координаты век-
тора р обращались бы в нуль (разумеется, кроме того тривиального
случая, когда р0 = рг — р2 = р3 — 0, т. е. когда всякая система
координат является системой покоя. Этот случай лишен интереса),
14так, в случае уравнения с х = 0 мы получаем, что у частиц,
описываемых этим уравнением, масса покоя равна нулю, а системы
покоя не существует. Термин «масса покоя» имеет здесь, таким обра-
зом, несколько условный смысл.
6.	Поляризация частиц с нулевой массой покоя. Поскольку
для частиц с х = 0 не существует системы покоя, то для этих
частиц теряет смысл определение спина как веса представления
группы вращений, которое действует в пространстве собственных
векторов матрицы Lo, описывающих плоские волны покоя.
Однако для частиц с х = 0 можно тем не менее, как и для
частиц с х^=0, определить поляризацию.
Мы введем ее точно так же, как в п. 3 мы определили спин и
поляризацию частицы с х=#0 в произвольной системе координат
с помощью представления стационарной подгруппы О0(р)для вектора
энергии — импульса р, действующего в собственном подпространстве
матрицы L(p).
Итак, пусть в некоторой системе координат мы ищем решения
уравнения	= 0 в виде плоской волны
ф(хс> х2, х3) = б(р0, р1г р2, р^ ег	,
Величина ф(р) определяется, как всегда, из уравнения
£(г)ф(р) = О,	(18)
336	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[Ч. II
а вектор энергии — импульса р лежит на световом конусе
P*-p*-p*-pl = 0.
Решения уравнения (18) образуют подпространство R(p) в про-
странстве R значений волновых функций. Точно так же как в п. 3,
можно показать, что подпространство R(p) инвариантно относительно
тех и только тех операторов Тд из представления группы Лоренца
g—> Тд, которые отвечают преобразованиям g, оставляющим вектор р
на месте. Другими словами, пространство R(p) инвариантно отно-
сительно представления стационарной группы Gf,(p) вектора р.
В п. 3 мы видели, что стационарная подгруппа любого время-
подобного вектора изоморфна группе вращений. Для вектора р, лежа-
щего на световом конусе, стационарная подгруппа G0(p) устроена
совершенно иначе, чем группа вращений.
Кратко опишем эту группу. Заметим, что стационарные группы двух лю-
бых векторов, лежащих на световом конусе, изоморфны. В связи с этим мы по-
строим стационарную подгруппу вектора р с координатами (р0, 0, 0, р3),
р0 = р;>. Всякой подгруппе собственной группы Лоренца отвечает некоторая
подгруппа в группе Э( комплексных матриц второго порядка а с определи-
телем, равным 1. Выпишем сейчас подгруппу группы 2Г, отвечающую стацио-
нарной подгруппе Go (р0, 0, 0, р3). Обозначим ее (р) (при этом мы, ра-
зумеется, пользуемся тем соответствием ga -+ а между собственными
преобразованиями Лоренца и комплексными матрицами второго порядка
a (det а = 1), которое мы установили в § 1).
Группа Э10 (р) состоит из трех однопараметрических подгрупп:
«2 G) = Q

Заметим, что подгруппа ах (<f) соответствует вращениям вокруг оси х3.
(Эти вращения, как легко видеть, принадлежат стационарной подгруппе
Go (Ро> 0, 0, р3).)	*
Нетрудно видеть, что группа 2Гц (/?) изоморфна группе всех движении
плоскости (х, у).
Действительно, если подгруппе (у) отнести вращения в плоскости
(х, у) вокруг начала координат на угол <р, подруппам at(i) и a., (s) — сдвиги
вдоль осей х и у на расстояние t и s соответственно, то этим и будет
установлен изоморфизм между группой движений плоскости и группой Э[о (/>).
Заметим, что стационарная группа О0(р) содержит вращение вокруг
направления импульса {рх, р2, р3). Выберем теперь ради удобства
систему координат в четырехмерном пространстве так, чтобы поло-
жительное направление оси х3 совпадало с вектором (рх, рг, р3).
В этой системе вектор энергии — импульса имеет координаты
(р0, 0, 0, р3). При таком выборе оси х3 вращение вокруг направления
импульса совпадает с вращением вокруг оси х3 и, следовательно,
пространство R(p) инвариантно относительно операторов соот-
ветствующих этим вращениям. Тем самым пространство R(p) инва-
п. 7] § 10. определение значения массы покоя и спина частицы 337
риантно также относительно инфинитезимального оператора Н3;
и в пространстве (р) можно выбрать базис из собственных
векторов этого оператора. Обозначим эти векторы через фот(р), где
т— собственные значения оператора Н3. Как мы знаем, числа т
могут принимать все одновременно целые или полуцелые значения.
Значения чисел т-т^ т2, .... тк называются значениями поля-
ризации частицы с х = 0. Собственным векторам Фт(р) отвечают
плоские волны с определенным значением поляризации т. При
этом говорят, что плоские волны (р) поляризованы по движению *).
Заметим, что в случае, когда направление оси х3 не совпадает
с направлением импульса (рр р2, р3), как мы только что предпола-
гали, вместо оператора Н3 надо выбрать инфинитезимальный опера-
тор Нр, отвечающий однопараметрической группе вращений вокруг
направления импульса (рр р2, р3). При этом в качестве векторов (р)
надо взять собственные векторы этого оператора.
Итак, каждая плоская волна для частицы с х = 0 задается
выбором вектора энергии—импульса, лежащего на световом
конусе
p%—p2i—pI—pI=0’
и некоторым вектором фта(р) из дефектного подпространства
матрицы L (р):
с определенным значением поляризации т.
7.	Масса покоя и спин частиц, описываемых уравнениями
из предыдущего параграфа. I. Уравнение Дирака. Матрица
— II ° Е
L°' || Е 0
состоит из одного ящика
с "II —I 0 1 I
7 || ! 1 ° I ’
где Z = y- Таким образом, уравнение Дирака описывает частицы
со спином 1=~. Масса принимает два значения р == -ф-х и р = — х.
Так как при Z = -|- проекция спина т принимает два значения
и —~, то существуют четыре линейно независимых вектора
*) Мы не рассматриваем здесь случая поляризации плоских волн
с х = 0 вдоль направления, не совпадающего с направлением импульса. За-
метим только, что в отличие от случая хфО плоские волны с х = 0, поля-
ризованные не вдоль движения, не всегда существуют. Мы убедимся в этом
ниже на примере двухкомпонентного нейтрино.
338	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
матрицы Lo, а именно:
<|» £ 2.’ 'Р 1 _±’ 'L 1 ±’
Х’ 2 ' 2	*’2’2	Х’ 2’ 2	Х‘ 2’	2
т. е. состояние с массой х и проекцией спина состояние с мас-
1 2
сой х и проекцией спина — -g- , и т. д.
И. УравнениеДаффина для скалярных частиц. Здесь
существует лишь один отличный от нуля ящик (см. § 9, (8"))>
т. е. спин частицы принимает лишь значение 1—0. Масса принимает
значения |*i = x и р2 =— х. Существует, таким образом, только два
независимых состояния в системе покоя.
III. Уравнение Даффина для векторных частиц.
В этом случае снова существует один ящик (см. § 9, (10))
II СГ 11 =
Следовательно, спин 1—1.
0 Z i
— Z0 0
— ZOO
Ненулевые собственные значения этой матрицы )•!=]/2, Х2 = —У 2.
Масса покоя равна 2 = -+-—Всего существуют шесть линейно
V
независимых состояний в системе покоя
ф z , и ф х	(m = —1, 0, 1).
> Ъ т ------ , 1, т
У2	V 2
IV. Уравнение Паули—Фирца. Здесь имеются два ящика:
0
2
£
2
0
2
0
0
2
2
0 1
1 0
Все собственные значения первого из них равны нулю, а собствен-
ные значения второго равны -*-1.
Таким образом, спин для уравнения Паули—Фирца равен 1 = ^,
а масса 2 = Дд х.
п. 7] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 339
В системе покоя восемь линейно независимых состояний:
Ф з и ф з	/ _ 3	1	1	31
-’-у.™	ут — у, 2’— "2’ — 2J-
Итак, приведенные в § 9 уравнения с •/. 0— это уравнения
1	3
для частиц со спином / = у, 0, 1, у.
V.	Двухкомпонентное нейтрино (см. § 9, п. 4). Урав-
нение для него имеет вид
дф I д’Ъ , дф . дф п	/1ПЧ
01Й + °2^ + в8^+во^ — °’	(19>
или
^+’гД+“.Д-»«Й=0'	<20>
D	,	«	/ 1	31
В первом случае величина ф преобразуется по представлению у)
(непунктирное спинорное представление ранга 1), а во втором слу-
•/	1	31 ,
чае — по представлению т I—у, у) (пунктирное спинорное пред-
ставление ранга 1). Масса двухкомпонентного нейтрино равна нулю.
Определим поляризацию.
Рассмотрим сначала случай уравнения (19). Выберем, как и в об-
щем случае, систему координат так, чтобы р1 — р2 — 0, р3 > 0,
/?0 —	/?3. Рассмотрим сначала случай р0 = р3. Уравнение (18)
для определения величины ф°(р3, р0) примет вид
(ад + ад) Ф° (Рз> Ро) = °-
Отсюда ф°(Рз>/^о) = а ( о j • т- е- нейтрино может находиться лишь
в одном состоянии с данным импульсом и энергией (пространство
R0(p3, Ро) одномерно). Вектор ф(р3, р0), будучи в таком случае
собственным вектором оператора Н3, должен совпадать с каким-
л	к	з\
нибудь из векторов канонического базиса представления у, у).
Из результатов § 4, п. 1 следует действительно, что вектор ф° = а(^
. /	11
совпадает с вектором 51 (с собственным значением т — yl из ка-
Т '	‘
,	/131
ионического базиса представления т(у, у 1.
Таким образом, в случае положительной энергии р0>0 значение
поляризации для нейтрино, подчиняющегося уравнению (19), равно у .
В случае р0 < 0 поляризация равна----.
340	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
Если же волновая функция нейтрино удовлетворяет уравнению (20),
мы получаем противоположные знаки поляризации: при р0 > 0
т = — у, а при/?0 <0/п = -^-. Состояние нейтрино с р0 < 0 физики
называют антинейтрино (см. сноску на стр. 330). Составим табличку:
Частица	Представление	
	/ 1	3 ч Х.(-2 ’Т) уравнение (19)	'(44) уравнение (20)
Нейтрино	1 7П— 2	1 т~ 2
Антинейтрино />0 < 0	1 т = -у	1 и- 2
Вопрос о том, какой из двух вариантов нейтрино имеет место
в действительности (если оно, вообще, двухкомпонентно), решается
экспериментом.
VI.	Поляризация фотонов. Рассмотрим плоские волны для
уравнения Максвелла, описывающего фотоны. Масса покоя фотонов
равна нулю. Определим поляризацию. Выберем ось х., вдоль поло-
жительного направления импульса фотона. В такой системе коор-
динат вектор энергии — импульса р имеет координаты р(р0, 0, 0, р3),
р3 > 0, а плоская волна записывается в виде
Fik (х) = Fik (р) е1Р^~{Р^.
Величина Ей(р) удовлетворяет уравнению
(Рз^з — PoLo) Fik (р) = 0,
т. е. принадлежит дефектному подпространству матрицы p3L3 — p0L0.
Выпишем эту матрицу (см. § 9, (19) и (19'))					5(о — гРз 0 — Ро	0 0 0
	51, -1 0 — А — Ро 0	51о — 1Ръ 0 — Ро	511 0 0 0	ft sl, -1 0 Рз — Ро 0		
Рз^-з —Ро^-о —	0 0	0 ~1Рз	Рз — Ро 0	0 0	0	- 1рз	~ Рз — Ро 0
	‘—Рз — Ро	0	0	—Рз 4~Ро	0	0
	0	—Ро	0	0	Ро	0
	0	0	Рз— Ро	0	0	Рз +Ро
Первая строка этой матрицы пропорциональна 3-й строке, порциональна 7-й. Если выкинуть две из них (например, 1						а 5-я про- -ю и 5-ю),
П. 8] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 341
то мы получим квадратную матрицу шестого порядка
		51, -1	^10	511	5ц -1	5Го	5Г1		
		— Рз— Ро	0	0	Рз —Ро	0	0		
		0	— Ро	0	0	—Ро	0		
		0	0	Рз — Ро	0	0	- Рз — Ро		
		— Рз — Ро 0	0	— Рз + Ро 0	0	•	
		0	— р0	0	0	Ро	0		
		0	0	Рз — Ро	0	0	Рз +Ро		
Эту матрицу перестановкой строк				и столбцов можно	привести к Яшин-		
ному виду							
5?,		-1 61, -1	!10	5Го	5п	5А		
	— Рз	— РО	Рз — Ро	0	0	0	0		
	— Рз	— Ро	— Рз + Ро	0	0	0	0		
	0	0		— Ро	— Ро	0	0		
	0	0		— Ро	Ро	0	0		• (21)
	0	0		0	0 Рз—Ро	— Рз—Ро		
	0 '	0		0	0 Рз —Ро	Рз + Ро		
После того как матрица приведена к такому виду, ясно, что при
р0~ р3 ф 0 ее дефектное подпространство R(p3, р3) двумерно и со-
держит векторы if и $п. В случае же р0 — —р3 0 дефектное
подпространство R(p3, — р3) также двумерно и содержит векторы
Й, -1 и Ц- В обоих случаях дефектные подпространства инвариантны
относительно оператора Н3 и собственные значения этого оператора
равны /п= 1, —1. Значение поляризации т — 0 исключено, поскольку
линейная комбинация векторов может принадлежать дефектному
подпространству матрицы (21) лишь в случае, если р3 = Ро-^-
Таким образом, поляризация фотона может принимать только значе-
ния т=1, —1 или, как говорят физики, фотон всегда поляризован
поперечно.
8. Бесконечномерные уравнения. Формулы (13)—(16) § 2 для беско-
нечномерных неприводимых представлений группы Лоренца (точнее, набор
значений I в этих формулах) показывают, что уравнения относительно вол-
новых функций ф, преобразующихся по бесконечномерному представлению,
будут, вообще говоря, описывать частицы, могущие находиться в состоя-
ниях с любым целым или соответственно полуцелым спином, большим неко-
торого наименьшего значения 13. При этом, если /0 — целое, то и спин при-
нимает целые значения, если 10 — полуцелое, то и спин — полуцелый.
Будем теперь предполагать, что представление Тд, по которому пре-
образуются величины ф, распадается на конечное число неприводимых пред-
ставлений, среди которых есть и бесконечномерные. В этом случае все
342	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. и
матрицы || cf'H будут матрицами конечного порядка, и их порядки, очевидно,
совпадут для всех I, за исключением, быть может, нескольких самых ниж-
них значений I. Из основных формул (15) н (16) § 7 следует, что коэффи-
циенты характеристических уравнений для матриц ||cJT || будут равны квад-
ратным корням из многочленов относительно I *).
Отсюда вытекает, что это уравнение в общем случае будет иметь корни,
неограниченно возрастающие по. абсолютной величине при /-»-оо**); лишь
в исключительном случае все коэффициенты характеристического уравнения
могут оказаться вовсе не зависящими от Z, т. е. все собственные значения
матриц ||	|| для всех Z, кроме, быть может, нескольких самых нижних
значений, совпадут, Итак, бесконечномерным уравнениям такого типа будет
соответствовать спектр масс, либо стремящийся к нулю при /->оо (общий
случай), либо же совпадающий для всех достаточно больших значений I
(исключительный случай).
Этот результат объясняет неудачу всех попыток построения реляти-
вистски-инвариантных уравнений с растущим спектром масс. Можно, правда,
строить уравнения с растущим спектром масс, используя бесконечное число
неприводимых представлений: добавляя для каждого спина Z достаточное
число новых Гнеприводимых представлений с Zo = Z, мы сможем, не меняя
состояний частицы со спином меньшим, чем Z, добиться любых значений
массы для этого спина. Такое построение, однако, представляется доста-
точно сложным; как правило, уравнения, для которых Тд распадается на
бесконечное число неприводимых представлений, также будут иметь падаю-
щий спектр масс.
В рассмотренных в предыдущем параграфе примерах бесконечномерных
уравнений спектр масс в обоих случаях такой: спину I отвечает масса р.®,
Спин в каждом из этих примеров принимает либо все целые, либо все
полуцелые значения.
§ 11. Заряд и энергия релятивистских частиц
В этом параграфе мы всюду будем предполагать, что реляти-
вистски-инвариантное уравнение, описывающее поле частицы ф, полу-
чено из некоторой инвариантной функции Лагранжа. Это означает,
как мы видели в § 8, что из компонент волновой функции ф можно
составить инвариантную невырожденную эрмитову форму (фх, ф2)
и матрицы L2, L3, Lo релятивистски-инвариантного уравнения
удовлетворяют соотношению
(Мр ф2) = (фр LM
для всех (р! и ф2 или, что одно и то же, эрмитова квадратичная
форма ф) вещественна.
*) Можно показать, что на самом деле они будут всегда многочленами
относительно I.
**) Вообще говоря, собственные значения матриц || cJT’ || при Z->-oo бу-
дут возрастать как I (в смысле порядка роста).
п. 1]	§11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ	343
Кроме того, в этом параграфе мы рассматриваем только случай
уравнений с * =/= 0.
1. Определение заряда и энергии. С каждым уравнением, по-
лучаемым из инвариантной функции Лагранжа, связан вектор
с компонентами sk:
% = (М.'Г)	(6 = 0, 1, 2, 3).	(1)
Вектор Sfr называется вектором тока ** ***)).
Последняя его компонента
*о=(МЛ)	(2)
называется плотностью заряда. Полный заряд s равен
s = J sodix.	(3)
Кроме вектора тока, с релятивистски-инвариантным уравнением
связан тензор энергии — импульса
(4)
компонента Тд которого
(5>
задает плотность энергии W (х) — — Т®.
Полная энергия поля ф(х) равна
Е = f W(x)d*x.	(6)
Напомним, что в системе покоя частицы ее волновая функция
может быть представлена в виде плоской волны:
ф(х0, xlt х2, х3) = ^(р0)е-*Р^,	(7)
где ф(/?0)—собственный вектор матрицы Lo с ненулевым собствен-
ным значением X:
Х = -7Г-
*) То обстоятельство, что четверка чисел образует вектор, т. е. при
преобразованиях Лоренца преобразуется так же, как и координаты х3, xlt
х2, х3, доказано в § 8, п. 7.
**) См.,например, В. Паули, Релятивистская теория элементарных час-
тиц, ИЛ, М., 1947, стр. 13 или А. И. АхиезериВ. Б. Берестецкий,
Квантовая электродинамика, Гостехиздат, М., 1953, стр. 393.
***) Шестнадцать компонент тензора 7^ преобразуются как произведение
двух векторов, т. е. по полному приводимому тензорному представлению
второго ранга (см. § 8, п. 7).
344	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
Плотность заряда для состояния (7) равна, очевидно,
Ч =	(8)
Мы видим, что плотность заряда для состояния (7) не зависит от
(х0, Хр хг, х3). Плотность энергии для плоской волны (7) также
не зависит от (х0, хр хг, х3) и равна
^==(РоМ(аЛ Ф'(А))) = *(Ф(Ро). Ф^о))-	(9)
Сейчас мы разыщем конечномерные уравнения с х =£ 0, для
которых либо плотность заряда s0 положительна для всех плоских
волн (7), либо для всех таких волн положительна плотность энер-
гии, т. е., другими словами, для всех собственных векторов ф(/?0)
матрицы Lo с ненулевым вещественным собственным значением к
положительна либо форма (7,оф(/?о), ф(А>)), либо форма (ф(р0), ф(Ро))-
Мы будем предполагать с самого начала, что все собственные
значения матрицы Lo вещественны. Это ограничение разумно еще
и в том отношении, что собственному вектору фх матрицы 70
с комплексным собственным значением к (в предыдущем параграфе
мы назвали такие векторы фх недопустимыми) отвечают нулевые
плотности заряда и энергии. Действительно, если
Lo фх = X фл и X комплексно,
то
(LoФх- Фл ) == Л(Фх, фх) = Ч( Фх, Фх) = (фх, Мх)-
Отсюда получаем, что, поскольку Х=£Х,
(фх. Фх) = О,
и при этом so—O и W=0.
Оказывается, конечномерные уравнения (х =£ 0) с положительной
плотностью заряда или положительной плотностью энергии легко
перечислить, если предположить, что матрица Lo приводится к диа-
гональному виду. Мы увидим, что это — уравнения, уже известные
нам из § 9: уравнение Дирака для частиц со спинэм 1 = (поло-
жительный заряд) и уравнения Даффина для частиц со спином О
или 1 (положительная энергия).
2. Конечномерные уравнения с положительным зарядом
и матрицей £0, приводящейся к диагональному виду. Положитель-
ность плотности заряда у0 означает, очевидно, что для всех соб-
ственных векторов фх(р) матрицы Lg с ненулевым собственным зна-
чением X
(Мх- Фх)>0-
(10)
П. 2]	§ 11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ	345
Покажем, что если матрица Lo приводится к диагональному
виду, то условие (10) равносильно требованию, чтобы
(£оф, ф)>0
для всех векторов ф из пространства R, т. е. чтобы форма (70 ф, ф)
была неотрицательно определенной.
Действительно, у матрицы Lo, приводящейся к диагональному
виду, набор всех ее линейно независимых собственных векторов
образует базис в пространстве R. При этом любой вектор ф из, R
может быть разложен в сумму
Ф = Ci фх -ф- с2 Ф2 +  •  -Ь ск фй -ф- • • • >
где фр ..., фй, ... — собственные векторы матрицы Lo с различными
собственными значениями 4>	 • • >	 • • Заметим, что для двух
собственных векторов ф< и фА. с различными собственными значе-
ниями выполняется равенство,
W = o.
Это равенство получается так:
(М»> Фа-) = ?-г(Фг> фй)
И
Фй) = (Ф1* Ш) = МФг> Ф*)
(Кк, как мы предположили, вещественно).
Так как Х4 =/= то (ф1, ф/£)==0 и (Лоф^, ф4.)==0. Вычислим теперь
значение формы (Аф, ф)
(М> Ф) = 2 CiCk фй) = 21 а I2 (Аофй ф|).
i, к
В силу (£оф|, фг)^>0 имеет место
(Тоф, ф)>0,
т. е. форма (Аоф, ф) неотрицательно определенна.
Итак, нам нужно найти конечномерные уравнения, для которых
форма (Доф, ф) является неотрицательно определенной.
С помощью формул (15)—(16) § 7 и (20) § 8 форма (Аоф, ф)
в базисе {£zm}, каноническом для представления Т , которое преоб-
разует компоненты волновой функции, запишется так:
(Тоф, ф) = 2 аТ*сг	(И)
где числа а"* и сГ определяются формулами (15)—(16) из § 7 и (16)—
(17) из § 8. Напомним, что сГ =£0 лишь для зацепляющихся компо-
нент, а аГ 0 для компонент -с — (/0, их’ — (/0, —ZJ, причем в ко-
нечномерном случае вещественно и потому т* — т = (—/0, /,).
346
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. П
Из выражения (И) видно, что если форма (Аоф, ф) неотрица-
тельна, то компоненты т и т* зацепляются; в противном случае
форма не содержала бы членов с и |_Уи»|2, а содержала бы
только произведения различных координат y'imyim. Такая форма,
как легко видеть, может принимать значения разных знаков. Конеч-
номерные компоненты тит’ зацепляются лишь, когда 10 = —10±1,
т. е. /0	Итак, представление Тд содержит неприводимые
компоненты только вида I-ь- у ч зацепляющиеся по схеме
(4-^)-	<12)
Форма (Лоф, ф) приобретает при этом вид
(МЛ)=2Х'сГ'Ы™|2-	(13)
Если теперь какая-нибудь пара зацепляющихся компонент содержит
более одного веса I ^т. е. > -|^, то члены и | y1+i, m |2
входят в выражение (13) с разными знаками (действительно, для
конечномерных представлений а£ = — flz+i, см. формулу (38)
§ 2, а сГ и Ci+i имеют одинаковые знаки). Следовательно, форма
неотрицательна лишь, когда представление Та содержит компоненты
т—I-ь-у, у). Легко проверить, что в случае, когда каждая из
этих компонент встречается в представлении Т более одного раза,
уравнение, а также и инвариантная форма будут распадающимися.
Таким образом, для нераспадающегося уравнения представление
„	[ 1	3\
g-^Tg содержит лишь две зацепляющиеся компоненты т I-g- , -g-)
и =	— у, у 1. Такое зацепление, как мы видели в § 9, при-
водит к уравнению Дирака. Для уравнения же Дирака форма (Аоф, ф)
имеет вид (см. (2) и (4) § 9)
Ишак, из конечномерных уравнений (х =£ 0) с матрицей Lo,
приводимой к диагональному виду, только уравнение Дирака
имеет положительный заряд.
3. Конечномерные уравнения с положительной энергией и мат-
рицей Lo, приводящейся к диагональному виду. Положительность
энергии, как мы видели, означает положительность формы
^ = *(Фх. Фх)>0	(15)
3]	§ 11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ	347
для собственных векторов фх матрицы Lo с ненулевым собственным
значением.
В случае, если матрица Lo может быть приведена к диагональ-
ному виду, это условие равносильно неотрицательной определенно-
сти формы
(М- М)>0	(16)
для всех векторов ф. Это обстоятельство проверяется точно так же,
как мы это делали в предыдущем пункте для случая формы (£оф, ф)-
В каноническом базисе представления g-^-Tg эта форма за-
пишется так:
(М> М)= 2	(17)
Z, ъ тп
здесь через т*' обозначены компоненты, зацепляющиеся с т*. Для
того, чтобы это выражение было неотрицательным, компоненты т
и т*' должны зацепляться, иначе форма (17) не содержала бы чле-
нов jyimj и lyiml , а содержала бы только произведение yimyim
и, следовательно, могла бы принимать значения обоих знаков.
В конечномерном случае компоненты тит* зацепляются, лишь
если
а)	Zo 1 —— Zo-+- Ь т. е. lo = O, 1, —1,
и
б)	Zo = O, т. е. т~(0, Г) и т*'~(0, I ± 1).
Таким образом, представление Т содержит компоненты вида (1, 4),
(— 1, 4), (О, 4), зацепляющиеся по схемам
а)	(-1, 4)«->(0, 4)<->(1, 4)
и
б)	(о, 4—1)<—>(0, у.
Покажем, что в обоих случаях 4 = 2. Действительно, при > 2
каждая из компонент (1, 4), (—1, 4), (0, Zt), (0, Zt—1) содержала
бы более одного веса Z и члены | ylm j“ и m|2 входили бы в вы-
ражение (17) с разными знаками =— ajx*).
Итак, представление Т содержит только компоненты вида
то~(О, 1), тх — (О, 2), т2~(—1, 2), т2—-(1, 2). Все они не могут
одновременно входить в одну схему зацепления

348	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. п
так как в этом случае в форме (17) коэффициент при |_уоо|2 (рав-
ный а'Д‘ | СоЛ |2) и коэффициент при |_У1т|2 (равный ) ср412) были
бы разного знака. Кроме того, в случае, если какая-нибудь из ком-
понент входит в Тд более одного раза, то уравнение распадается.
Таким образом, для нераспадающегося уравнения возможны лишь
две схемы зацепления:
а)	(0, 2)«_>(0, 1)
и
б)	(-1, 2)^(0, 2)^(1, 2).
Первая из них приводит к уравнению Даффина (см. § 9) для час-
тиц со спином 0, вторая — к уравнению Даффина для частиц со
спином 1.
Форма (Лоф, Лоф) в каждом из случаев равна (см. § 9)
а)	(Д)ф, 7-оф) = | Уоо | +1Уоо)	0
и
б)	(Аоф, Аоф) = 2 2 I У\т I +	+ | У\т j ~{-У1тУ1тЧ~
т	т
У1тУ1т]
т. е., действительно, энергия положительна.
Итак, из конечномерных уравнений с приводимой к диагональ-
ному виду матрицей Lo только уравнения Даффина (для частиц
со спином 1 = 0 или для частиц со спином Т— 1) имеют положи-
тельную энергию.
Возможны, однако, конечномерные уравнения с положительной
энергией, или зарядом, у которых матрица Ьо не приводится к диа-
гональному виду.
Мы рассмотрим пример одного такого уравнения с положитель-
ным зарядом.
4.	Уравнения с положительным зарядом и матрицей Lo, не
приводящейся к диагональному виду. Пусть представление Т , пре-
образующее компоненты волновой функции, состоит из компонент
/1	3\	•	(	1	3\	/1	5\	/	1	5\
4	\2’ 2/’ T1 V 2’2/’ Т2 \2’ 2]’	2'2/’
зацепляющихся по схеме
т2 т2
(18)
Напомним, что с такой схемой мы уже встречались в § 9, п. 5, где
и нашли общий вид соответствующих этой’‘'схеме инвариантных
П. 4]	§ 11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ	349
уравнений, получаемых из инвариантной функции Лагранжа. Матрица
Lo таких уравнений состоит из ящиков
а)	1=	1 2	/ =	3 2	
	0 а	р 0			
	а 0	0 Р	11°	1 ,	
		„ 1	1	0	
	Р о	0 2 ;			
	0 Р	j 0			
ИЛИ б)	Z	_ 1 — 2	1 =	3 2	(19)
О а р О
а О О Р
-Р 0 0 i
о -р 1 о
а и р — вещественные числа, причем Р > 0.
Каждому из случаев а) и б) соответствуют разные инвариантные
формы. Выпишем их:
а)	(<?i. Фг)= 5 /-Й У1 +*Х1	1 +
I ~2т 2т 2т 2т>
2’ 2
+ S (— 1)т{х1тУ1т'+-Х1тУ1т};
I, 7П
б)	(Ф1, ф2) = — 2 1^1 y'i +*х1 У11 1 +
J. I 2 т ~2 т 2т -2т1
™~ 2' 2
+ 2 (~ 1)т {х?тук-+-х^пуГт}.
I, т
(20)
Заметим, что энергия W в обоих случаях не является положи-
тельно определенной. Действительно, в состояниях <р_х_зт и фх з
.	3	,	2	2
соответствующих спину Z = -g- и собственным значениям ящика

350
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
равным -+-1, энергия имеет разные знаки:
(ф з , ф з )= — (ф з , ф з Y
Рассмотрим заряд. В случае а) матрица Ао приводится к диа-
гональному виду при любых значениях а и р и, следовательно,
заряд у соответствующих уравнений не является положительно оп-
ределенным.
Обратимся к случаю б). Так как мы ищем матрицу Lo, не приво-
дящуюся к диагональному виду, то она должна иметь кратные соб-
ственные значения. Это значит, что характеристическое уравнение
матрицы ||	|]
У
(а2 + 4~ 2|ф*+(| +₽а)2 + 0	(21)
имеет кратные корни.
Здесь возможны три случая:
1)
2)
3)
1
а— у;
а= — 2р2;
корни: ki,2 = y ±— ₽3=—Х3,4.
корни: Х1,2—р = —Хзл,	 (22)
корни: Х1>2 = 0, Х3 = — Х4 = А — 2р2.
Случаи 1) и 2) при р =/= — дают матрицу Lo, приводимую к диа-
гональному виду, и, следовательно, заряд в этих случаях не является
положительно определенным.
В случае 3) матрица Lo к диагональному виду уже не приво-
дится. При этом для всех собственных векторов ф°2т ящика ||с™'II
2	Т
форма (ф°, ф0) —0. Таким образом, в случае 3) заряд неотрицате-
лен. Однако при Р ¥= у существуют ненулевые собственные значе-
ния X ящика || су’ ||, т. е. возможны состояния (плоские волны) со
У
спином I =-2 . энергия и заряд которых равны нулю W — и (ф°, ф°) —
= s0 = Х4 (ф°, ф°) = 0. Лишь при р= у таких состояний нет (все
собственные значения ящика || с™' ||, отвечающего спину Z = y, при
8=4 равны нулю). При р = 4 из формулы (22) 1) и 3) находим,
Z	А
п. 5]
§ 1 1. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
351
что а——g- и мы приходим к уравнению Паули-Фирца (см. § 9).
Заряд для этого уравнения ^в состояниях с / = -^ имеет вид
*°— 2 8{1У|т12+1Явд!2}>о.
т = -т	2
Таким образом, из всех уравнений со схемой зацепления (18) лишь
для уравнения Паули-Фирца все плоские волны в системе покоя имеют
„ I /	3\
положительный заряд I и спин I — у 1.
5. Теорема Паули. В предыдущем пункте мы видели, что в слу-
чае конечномерных уравнений не существует частиц с целым спином
и положительно определенной плотностью заряда, а также нет ча-
стиц с полуцелым спином, обладающих положительно определенной
плотностью энергии.
Этот факт является следствием более общей теоремы, принадле-
жащей Паули. Прежде чем сформулировать эту теорему, сделаем
несколько напоминаний.
В п. 8 § 8 мы рассматривали функции Ф(х), значения которых
в каждой точке х квадратично зависят от значений волновой функ-
ции ф(х) и ее частных производных в этой же точке. При преоб-
разовании Лоренца x'—gx и ф (х') = Т^ф (х) величины Ф (х) также
преобразуются по некоторому представлению g —>~д
Ф (х') — т,Ф (х).
Мы показали в § 8, что представление g —по которому пре-
образуются величины Ф (х), содержится в сумме представлений вида
(Т, х К) х (т; х т*у,
где через Тд и Тд обозначены представления, действующие в про-
странстве симметрических тензоров ранга s и I соответственно *).
В случае, когда представление g —> Тд конечномерно, представле-
ния g—по которым преобразуются величины Ф, раскладываются
в сумму неприводимых тензорных представлений. Величины Ф(х)
мы условились в связи с этим называть тензорами, квадратично
*) Напомним, что представление g-*-Tg состоит из неприводимых ком-
понент т*....х*к, ..., если представление g-*-Tg состоит из компонент
......tfc, • • • (неприводимые компоненты тих* определяются соответственно
парами т (/, Z) их*~фо, —/).
352	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. II
зависящими от фх). Так, например, вектор тока Sj и тензор энер-
гии —импульса Tj служат примерами тензоров, квадратично зави-
сящих от ф(х).
Заметим, что неприводимые тензорные представления можно раз-
делить на два типа: четные и нечетные, в зависимости от того,
принадлежат ли они тензорному представлению четного или нечет-
ного ранга *). Если представление, по которому преобразуется ве-
личина Ф(х), раскладывается на четные (нечетные) неприводимые
компоненты, то величину Ф (х) будем называть соответственно чет-
ным (нечетным) тензором. Вектор тока, например, является не-
четным, а тензор энергии — импульса четным тензором.
Сформулируем теперь теорему Паули.
I. Пусть волновая функция ф удовлетворяет конечномерному
релятивистски-инвариантному уравнению
х 0,	(23)
и преобразуется по представлению g —> Тд, содержащему только целые
веса I (частицы с целым спином).
Пусть Ф(х) — нечетный тензор, квадратично зависящий от ф(х)
и ее производных (условимся писать Ф = Ф[ф(х)]).
В таком случае для каждого решения ф (х) уравнения (23)
найдется другое решение этого уравнения ф(х) такое, что
Ф[ф(х)]= — Ф[ф(х)],
т. е. тензор Ф(х) меняет знак при переходе от волновой функ-
ции ф(х) к волновой функции ф(х).
Из этой теоремы следует, что никакая компонента нечетного тен-
зора Ф не может оставаться положительно определенной для всех
решений уравнения (23).
Так как вектор тока (s0, st, s2, s3) является нечетным тензором,
то теорема Паули означает, что в случае частиц с целым спином
плотность заряда s0 не может быть положительно определенной.
II. Пусть волновая функция ф(х) удовлетворяет конечномерному
уравнению (23) и преобразуется по представлению g -> Т , содержа-
щему полуцелые веса (частицы с полуцелым спином). Пусть Ф (х) —
какой-нибудь четный тензор, квадратично зависящий от ф(х) и ее
*) Такое разделение корректно: одно и то же представление нельзя
реализовать как в тензорах четного, так и в тензорах нечетного ранга. Как
легко следует из результатов § 6, все неприводимые компоненты тензорного
представления четного ранга эквивалентны спинорным представлениям
где k и п одновременно четные. Неприводимые компоненты тензорного пред-
ставления нечетного ранга эквивалентны спинорным представлениям Т^д' п\
у которых числа k и п одновременно нечетные.
п. 6]
§ 11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
353
производных: Ф = Ф[ф(х)]. Тогда для любого решения ф(х) урав-
нения (23) найдется другое решение ф(х) того же уравнения та-
кое, что Ф[ф(х)] =— Ф[ф(х)].
Таким образом, в случае частиц с полуцелым спином никакая
компонента четного тензора, квадратично зависящего от ф(х), не мо-
жет оставаться положительной для всех решений уравнения (23).
В частности, поскольку тензор энергии — импульса Т} является чет-
ным тензором, то плотность энергии W =— 7° не может быть по-
ложительно определенной для частиц с полуцелым спином.
Доказательства теоремы Паули мы не приводим *). Заметим, что
эта теорема верна только для конечномерных уравнений. Для беско-
нечномерных уравнений, как мы увидим в следующем пункте, энер-
гия и заряд могут быть сделаны и одновременно и порознь положи-
тельными как при целом, так и при полуцелом спине.
6. Бесконечномерные уравнения с положительным зарядом или
энергией. Примерами таких уравнений могут служить бесконечномерные
уравнения, рассмотренные нами в § 9, п. 7.
I. Напомним, что волновая функция ф преобразовывалась по неприво-
димому представлению (самозацепляющемуся) ^0, j или т2 , 0^ .
Участвующие в этих представлениях веса Z (спин частицы) пробегают зна-
13 5
чения либо Z = 0, 1, 2, 3, ... (для tj), либо Z = -%,	(для т2). Ма-
трица Z.o в обоих случаях диагональна н имеет вид
£o==|(z+т)8дагт'8п'|‘	(24)
Заметим, что оба представления тх и т, унитарны (см. § 2). Таким образом
скалярное произведение (фх, фз) является инвариантной формой, причем
(ф, ф) 0. Отсюда заряд (для плоских волн в системе покоя)
5о = (ЗД°> Ф°)==('+у) (И Ф°)
и энергия
W = х (фо, фо)
положительны.
Таким образом, мы получили два уравнения: одно для частиц с целым
спином (представление х-^), другое для частиц с полуцелым спином (пара т2)
для которых положительны и энергия и заряд.
II. Это уравнение со схемой зацепления
(1, /,) — (-1, л) •	(25)
*) Доказательство этой теоремы содержится в книге В. Паули «Реляти-
вистская теория элементарных частиц», ИЛ, 1947, стр. 75 и в книге А. И. Ахи-
езера и В. Б. Берестецкого «Квантовая электродинамика», Гостехиздат, 1953,
стр. 405.
354	ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ч. и
где 1± — чисто
мнимое или вещественное. Матрица состоит из ящиков
(26)
При l-у чисто мнимом инвариантную форму (ф, ф) можно выбрать положи-
тельно определенной: (ф, ф) > 0.
В этом случае энергия положительна, а заряд может принимать значе-
ния разных знаков. Спин частицы — полуцелый.
При вещественном l-L мы получим уравнение с энергией обоих знаков;
3	3
при	заряд будет положительно определенным и при
знак заряда будет неопределенным; спин — по-прежнему полуцелый.
Наконец, для уравнений со схемой зацепления
(, 4^6 ч
Д n TJ V1’ ~'2/
(где Zt— целое или полуцелое; матрица Z.o для таких уравнений имеет по-
прежнему вид (26)) мы будем иметь положительно определенный заряд
и энергию обоих знаков; спин, соответствующий этим уравнениям, будет
целым или полуцелый одновременно с Zj.
Таким образом, из приведенных примеров видно, что для бесконечно-
мерных уравнений как при целом, так и при полуцелом спине могут быть
положительными либо энергия, либо заряд, либо обе величины одновременно.
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Неприводимые представления группы ортогональных
матриц
В первой части книги приведены формулы для инфинитезимальных
операторов любого неприводимого представления трехмерной группы
вращения, или, что одно и то же, группы ортогональных матриц
3-го порядка. В этом дополнении мы приведем явные формулы,
задающие инфинитезимальные операторы неприводимых представлений
группы ортогональных матриц любого порядка.
Напомним, что матрица называется ортогональной, если
задаваемое ею линейное преобразование
п х
(1=1,2......п)
& = 1
п	п	п
сохраняет форму 2 т- е- 2(хЛ2 = 2х2-
i = l	г = 1ч '	г-1 г
Очевидно, что ортогональные матрицы гг-го порядка образуют группу,
которую мы будем обозначать Кп- В группе Кп можно выбрать
п(п—1 )/2 различных однопараметрических подгрупп точно так же,
как мы это делали для группы вращений и собственной группы
Лоренца. Рассмотрим подгруппу ортогональных матриц, преобразую-
щих только переменные и xh (i^=k) и не меняющих остальные
переменные. Поскольку каждая такая матрица сохраняет сумму х?-(-х£,
то ей соответствует вращение в плоскости (х^х^)- Сама матрица
имеет при этом вид
(О (k)
	1	0 ... 0	0	.. 0 . . . .	
	0	1. . .				
	0	0 ... 1	0	.. 0 . . . .	
		... 0	cos t	.. sin t . . .	(0
gik (0 =		... 0	0	.. 0 . . . .	
		. . .0	— sin^	.. cos t 0 . .	(A)
				0	1 . .	
					1	
О)
356
ДОПОЛНЕНИЯ
Все матрицы вида (1) образуют, очевидно, однопараметрическую
подгруппу группы ортогональных матриц. Всего таким образом можно
построить п (п—1)/2 различных однопараметрических подгрупп.
Можно показать, что каждая ортогональная матрица представима
в виде произведения матриц gik(t) из этих подгрупп.
Рассмотрим теперь представление g-^-Tg группы Кп. Каждой
однопараметрической подгруппе gik(t) отвечает в этом представлении
инфинитезимальный оператор Iik (I < k = 1....п).	Напишем соот-
ношение коммутации между этими операторами. Заметим, что при
тождественном представлении g —> g группы Кп инфинитезимальным
оператором, отвечающим подгруппе gik(t), является матрица eik,
у которой элементы gik =—gki~^> а остальные элементы равны
нулю.
Нетрудно проверить, что коммутаторы таких матриц равны
[^i,k^i3k3] =	(2)
Аналогичные соотношения коммутации возникают и между инфини-
тезимальными операторами Iik любого представления ортогональной
группы.
Заметим, что всякое представление ортогональной группы уни-
тарно. При этом операторы Iik и Iki связаны соотношением
Из соотношений (2) ясно, что для описания представления доста-
точно знать, как действуют операторы /21, Лг> Лз.....4+1 л- так
как остальные можно выразить через них с помощью соотношений (2).
Итак, мы построим инфинитезимальные операторы /fc+1 k для всех
неприводимых представлений группы ортогональных матриц п-го
порядка.
Начнем с нескольких частных случаев:
I.	Напомним прежде всего случай п=3. Каждое неприводимое
представление этой группы задается целым или полуцелым числом I.
В пространстве R, где действует такое представление, можно выбрать
канонический базис {!•„,}, где индекс т принимает все значения,
целые или полуцелые одновременно с I и заключенные в пределах
— I. Операторы 121 и /32 в базисе задаются формулами
/32^ = /(/ —	1т + 1 — /(/ —7п+1)(/-|-/п)
II.	Рассмотрим случай п = 4. Каждое неприводимое представление
группы ортогональных матриц 4-го порядка g-+Tg порождает пред-
ставление g —>Т~ группы матриц третьего порядка (вообще говоря,
приводимое). Пространство R, где действует представление g-+Tg,
разбивается при этом в сумму подпространств /?г, в каждом из
которых представление g Т~ неприводимо и задается весом I.
ДОПОЛНЕНИЯ
357
Можно показать, что вес I принимает по одному разу все целые
или полуцелые значения, заключенные между двумя числами тг
и | т21: т1 1 т2 |, числа т1 и т2, определяющие представление,
одновременно целые или полуцелые. В каждом из подпространств /?г
можно выбрать канонический базис причем объединение этих
базисов образует базис во всем пространстве R. Операторы /12 и I2S
действуют в базисе по формулам (3). Оператор же /43 задается
формулой
1 4  1 (.1 т	— ffZ4~ 1) (mi—1} (mi4~H~2) (i—т2~Н)
43?m V	(2/-|-l)(2Z + 3)(Z+l)2
VT1)'
/"(Z + m) (Z —m) (mi —Z+ 1) (mi-)- I + 1)(Z —m2)(Z 4- m2) л-i
V	(2Z+1) (2Z —1)Z2	<m
III.	Наконец, рассмотрим случай n=5. Каждое представление
группы 5-го порядка порождает представление группы 4-го порядка.
Последнее можно разложить на неприводимые компоненты, опреде-
ляемые парами mv т2. Числа т1 и т2 независимо пробегают по
одному разу все значения, заключенные в пределах п1 т1 п2
/га2^>— п2, где числа пх и п2 (одновременно целые или полуцелые)
задают представление. В каждом из неприводимых подпространств
(mi тЛ
I I. Опера-
m /
торы /12, /23, /34 действуют в этом базисе по формулам (3) и (4)
(индексы и т2 не меняются).
Оператор /й4 задается формулой
1
m
_ 1 Г(.ГП! — Z4-1) (mi4-Z4-2) (ZZ1 — mt) (nt -|-mi4-2) (mt — n2-f-l) (wi4~n24~2)
r (mi 4-	4-1) (mi H- m2 Ч- 2) (mi — m2 4“ I) (mi m2 H- 2)
11 f^-2 \
1 +
rn /
.	/"(Z ~ w2) (W2+Z4-I) (л2 — mi) (^2 +	+ О («1—mg+l) (Hi + ^2 + 2)
"Т- Г	(mi т2 4- 1) (тх 4- т2 + 2) (mj — т2) (mi — m2 4- 1)
(ть m2 4~ 1 \
1
т /
358
ДОПОЛНЕНИЯ
(wt + / 4- 1) (wij —/) (т?! — /И! 4- 1) (n14-wi4-2) (mi — п2) (т^п-гр)
(mt 4- т2) (mt 4- m, 4- 1) (mt — m2) (mr — m2 4" 1)
X?
/(I m,l 4~ U (m2 + 0 (n2—т2~Ю (n2 4~ ffZ?) (nl-m24~2) (m2 4~ nl ~b
(mi 4- m2) (Mi 4- m2 4- 1) (mx — ot2 4- 2) (mr — m2 + 1)
(mi, m2 — 1
I
m
IV.	Рассмотрим общий случай. Пусть п — четное: п = 2£4~2.
Образуем схему
	т-’к, 1 т"к — 1, t т1к-2, 1 т2к-Ъ, 1	т2к, 2 — 1, 2	т?к — % 2 • •  т?к — 2, fc-1 т<2к-г, 2	m4k-Zi к~1	т2к, к —1, к	
а =		тц тц	mi2 ‘ тЛ2 m2i mu		>
где числа — одновременно целые или полуцелые.
При этом числа иг,; пробегают значения
Mi т2к> 1 П2 т2к1 2	^к X т2к, к	| ^к + 1 |>
т2к, 1 т2к-1, 1 X т2к, 2 ~Х	• • •	'X т2к-1, к'^>	т2к-1, к’
т2к-1, 1 X т2к-2, 1	ОТ2'с-1,	2	т2':-2, к-l	| ^2к — 1, к
И Т. Д.
^2р + 1, i	^2р, i	^2р + 1, i + 1’	1.Р 1’
m2p +1, р Х от2р, р	I m2p + l, Р + 1 I’
-1	1	(
 т2р, i m2p-l, i	т2р, г + 1>	1 — 1.Р О
т2р, р т2р-1, р	т2р, р’
Здесь Пр п2......nk+i—фиксированные числа (одновременно целые
или полуцелые). определяющие представление.
ДОПОЛНЕНИЯ
359
В случае п=2&-|-1 схема а имеет вид
т2к-1, 1
М2Й-1, 2...........................к
тчк-ч., 1................тчк-ч,	к-1
т2к-й, 1	т2к-я, к-1
тц	тК
m3i	т32
тп
гпц
а числа подчинены условиям
ге1 /К2’-с-1 п2 т2к-1 2	fyc т2к-1. к ^к> 1
.	.	’	.	’ ,	, (6)
т2к-1, 1	т2к-2, 1	т2к-1, 2	т2к-2, к-1 I ^24-1, к I )
и т. д. согласно неравенствам (5). Числа пР п2........пк— фикси-
рованные числа, задающие представление (одновременно целые или
полуцелые). Каждой такой схеме отнесем вектор ;(а) из простран-
ства R, в котором действует наше представление. Оказывается, что
при этом векторы $(а) образуют базис в пространстве R. Мы напишем
формулы для операторов /2р+1, гр и 4р+г, гр+i в базисе £(а). Обо-
значим через !-+ (aty вектор, соответствующий схеме, полученной
из схемы а заменой mrj на	а через V («?)— вектор, схема
которого получается из схемы а заменой mrj на mrj—1 (предпо-
лагается, что в обоих случаях мы приходим к схемам, удовлетво-
ряющим условиям (5) или (6)).
Формулы для операторов /2р+1 Р и 4р+г, гр+i имеют вид
р	.
4р+1,2РЧ (а) = 2 А (т2р, j) f + (а^_1) — 2 A (m2p_lt Ч («2p-i),
р
Лр+2, 2p+l’L(a) — 2 & (п2р1 j) £+ (а2р)-2 & (,т2р, j-l) £ (&2р)-\-1СгрЧ (и).
Напишем выражение для коэффициентов А, В и С.
Обозначим
^2p-l, р ^2р-1, р'	^2р, р I 1	Р’
^2р-1, р-1 == ^2р—1, р—1>	^2р, р—1 Н~	^2р, р — 1’
т2р-1, 1 + /’  1 ^2р-1>	т2р, 1 + Р ^2р, Г
При этом числа, определяющие представление, а именно пх......nk+i
при четном п — 2А-(-2 и ........... пк при нечетном п = 2А-4-1,
обозначаются в этих равенствах соответственно через tfXafc+i, i>
m2k+l, 2> • • • • от2Й + 1, й+1 И т2к, 1> т2к, 2.т2к, к-
360
ДОПОЛНЕНИЯ
В этих обозначениях А, В и С запишутся
A(^2p-l,j) =
-р-i
= П(АР
-2, Г l2p — l,j 0 (l-2p — 2, r I -Ар—1, j)
- ‘/2
р
X Ц (Ар, 2	^2р-1, j	1) (,^2р, г ~F ^2р-1, j)
Р
в ("hp, j) =
—lip-i, j) [iip-1, г—
p+i
II (l2p+l,r
^2p,j(^2p,J	1) II [izp, r l2p, j] [(Ap, r 1) lip, j]
r^tj
p	p+1
II lip~li ? II l?p + l> Г
f, ____ r—1	r = l
b2p
р
II ^Р’г 2 а
II. Конечномерные представления группы невырожденных
матриц «-го порядка
Здесь мы приведем явные формулы, задающие инфинитезимальные
операторы для всех неприводимых конечномерных представлений
группы всех невырожденных линейных преобразований действитель-
ного «-мерного пространства. Эту группу будем обозначать А„.
Как всегда, начнем с построения однопараметрических подгрупп
группы А„, для которых мы и будем находить инфинитезимальные
операторы.
Рассмотрим подгруппу, состоящую из матриц вида
Щк (1) = е + W О- +
где е — единичная матрица, eik—матрица с единицей на пересече-
нии j-й строки и А-го столбца и с нулями на остальных местах,
t — параметр. Нетрудно проверить, что матрицы aik(t) образуют
подгруппу:
&гк (A)	(А А- А)"
Очевидно, что всего в группе Ап существует п(п—1) таких под-
групп.
ДОПОЛНЕНИЯ
361
Кроме того, есть еще п подгрупп диагональных матриц
1 О
О 1
ац(() =
е* О
О 1
1 О
О 1
(е* стоит на i-тл месте главной диагонали).
Можно показать, что любой элемент группы Ап представляется
в виде произведения элементов из однопараметрических подгрупп
aik (О (f > & = 1 > 2, . .., п).
Таким образом, чтобы задать представление группы Ап, доста-
точно задать представление всех я2 однопараметрических подгрупп,
или, что одно и то же, задать для каждого представления инфините-
зимальные операторы Jik, соответствующие подгруппам aik(t).
Напишем соотношения коммутации между операторами Iik. Оче-
видно, они совпадают с соотношениями коммутации для инфините-
зимальных операторов тождественного представления группы
Ап: а—> а. Инфинитезимальными операторами последнего служат
матрицы eik, и их коммутаторы имеют вид
l^ik^kll === (j У l^ik^kil == eii ^kk> 1
— °, еСли	И =# k2. j
Аналогичные соотношения выполняются и для операторов Iik.
Мы приведем формулы, задающие операторы 11к для всех конеч-
номерных неприводимых представлений группы Ап.
Начнем с частных случев.
I. п = 2. Неприводимое конечномерное представление группы невы-
рожденных матриц 2-го порядка задается двумя целыми числами тх
и т2 (т1^-т2). В пространстве R, где действует такое представле-
ние, можно выбрать базис из собственных векторов операторов
и /22. Эти векторы можно занумеровать индексом q, пробегающим
по одному разу все целые значения в пределах mly.qy>m2.
Операторы /п, /22, /12, /21 в базисе запишутся
=	^q = (m1Jt-rn2 — q)zq,
=	— (9 —^2+
И. я = 3. Каждое неприводимое представление этой группы задается
тремя целыми числами тя1^-/ге2^.я13.
362
ДОПОЛНЕНИЯ
Рассмотрим теперь всевозможные тройки целых чисел
(Р1 Рг\
\ д Г
удовлетворяющие условиям
mi Pi т2 Pz тз>
Р1>д>Рг-
Оказывается, что в пространстве, где действует неприводимое пред-
ставление группы А3, можно выбрать базис из собственных векторов
инфинитезимальных операторов /п, /22, /33 и каждому вектору этого
базиса отнести одну из троек	В дальнейшем будем обо-
значать эти векторы ЦЛ/2).
В базисе	операторы /11( /22, Лг> 4i> 4з> 4г> 4з запишутся:
(P1qP!) - g; (P1 qPi), (л /2)=(л+Р2 - д') < (л/2).
/12- (л РЛ = V{Pi — q) (g —Р2-+-1) 5(Рд _l7) >
4^(л Pi\ = /(р—g-H)(g—а) £(Рг_4).
\ ч /	\ ч 1 >
/ t/Pi Pi\	,/'(«1—Pi)(«2~Р1~1)(«з~Р1~2)(Р!—g+1) t/Pi+1 Рч\ I
23 \ g / V	(Pi—a + 2)(a—pz + О	' g J3-
I 1/r («1~P2 +"!)(«,— />2)(m3 — A— 1)(A — g) t(Pl Pz + 1 \
,	’	(pi—Р2.-[-))(Р1—р?)	\ g )’
r t(Pi PzX — -,/ (mi—Pi)(ms—Pi—I) (Pi—g) tipi — 1 Pz\ 1
32Ч g " (Pi-Pz + ))(P1-P2) Ч g V
I	+ 2) (zn2 —/1; + 1) (m3 — p2) (p2 — q) t /pt p2 — l\
'	(Pi—Рч + 2) {pi—й+i)	\ g /
/зз^(лq= (^1 -hm2 -h^3 — Pl — P2) i(AQPi)•
III. Перейдем к общему случаю.
Каждое конечномерное неприводимое представление группы Ап
задается п целыми числами:	...
Рассмотрим всевозможные схемы из целых чисел
т1, п-1
т2, П-1...............................тп-1,	п-1
т1, п-2	т2, п-2...............тп-2,	п-2
т23	w33
«12	«22
«11
ДОПОЛНЕНИЯ
363
где числа mpq должны удовлетворять условиям
тр, г+I mpq	mp + l, q+l'
Числа же первой строки меняются в пределах
n-i~> тг, n-i>- •••	n-i>mn
(где /Ир /иа, т.,....тп — числа, задающие представление). Оказы-
вается, каждой схеме а можно поставить в соответствие вектор ;(а) —
собственный вектор для операторов /i{ (1=1, ..., п) из простран-
ства R, где действует наше неприводимое представление,и векторы ;(а)
образуют в R базис. Напишем теперь вид операторов Цк в базисе {£(«)}.
Достаточно задать операторы 1к_х к, 1кк и 1к к_г, так как остальные
получаются коммутированием этих операторов по формулам (1).
4*
Обозначим через ojk_l к схему, которая получается из схемы а
заменой mi fe_1 на т.	а через aik_1 к— схему, получаемую
из а заменой /и, к_г на т.; k_t—1. В этих обозначениях опера-
торы 4_i>fe, Ikk, ’1к>к^ запишутся:
4-1,	= 2 «Li,^
г = 1
/ Ji	Ji — 1	\
(^)	Wilk ~	к-1 ) £ (а)»
\i = 1	i-1	/
где числа aik_1 к и Ь\. к_г вычисляются по формулам
П (4 к — 1Э’ *-Х>Ц (4 к-2 — lj, к-1 — 1)
1 )?£-1 ---------------1=1 ...................
(4 к-1 — lj, к-1) (ll, к-1 — lj, к-1 — 1)
г Ф i
(-1/
к	к-2	~7а
(4 к — h, *-х + 1) IJ (4 й-2 — 4> к~1)
г=1	i—1
|[ (Л', к-1 —lj, к-1 + 1) (4 к-1 —lj, к-1)
(2)
(3)
Формулами (2) и (3) представление определяется полностью.
Однако мы, тем не менее, впишем формулы для всех операто-
ров Ipq (р < q)
364
ДОПОЛНЕНИЯ
i ... i
Здесь а р q 1 означает схему, полученную из схемы а увеличением
каждого из индексов m-i р.... т{ _1g-i на 1. Числа a/q опре-
деляются по формуле
pi	—
знак определяется числом инверсий в последовательности ip . . . iq^i~
Аналогичными формулами задаются операторы I при р > д.
III. Замечание о двойственности между коэффициентами
Клебша — Гордона и полиномами Якоби
Оказывается, что между коэффициентами Клебша — Гор-
дона	группы вращений и полиномами Якоби
— ^’“(1 la—pos+“(i+н)8+1
£ i	U IX
существует удивительная аналогия.
Введем предварительно несколько определений.
. I. Пусть /(&)— функция целочисленного аргумента k. Разностной '
степенью s {/(&)}*’ этой функции (по аргументу k) мы назовем
произведение
{/ (&)$’ =	1)/(А — 2).../(A-s+l).
8
Так, например,
=	!)...(& — s+l) = 4-
II., Пусть/(&) по-прежнему — функция целочисленного аргумента.
Первой разностью ^-/(&) мы назовем разность
Д2
Аналогично этому вторая разность 7тт\2-/(&) определится
=	1)] — [f(k —	— 2)] =
=/(*) — 2f(k — !)+/(& — 2).
ДОПОЛНЕНИЯ
365
Нетрудно проверить, что п-я разность вычисляется по формуле
п
s=0
III, Обратимся теперь к полиномам Якоби, Рассмотрим -j
-——--------------------------г [(£ — р)8+“ (k 4- p)s+3l.
2ss! k\k — pf(A + p)3 dp8 11 Pv V Пг, J
Рассмотрим полином
Т;3 (р, k) = 23s\ks (k — p)a (k + p)pP:₽	=
= (- 1)S~[(A! —p)a+“(A + p)3+3J.
Пусть p и k—целые числа. Заменим в выражении для (р, k)
обычную степень разностной степенью, а производную — разностью,
т. е. положим
Тг3 (Р, k) - (-1 )3	[(/г — р)^3+“’ (k + Р)^+31].
(Др)8
Функцию T°f (р, k) будем называть разностным аналогом поли-
нома 7'”3 (р, k).
Оказывается, имеет место следующая замечательная теорема:
коэффициенты Клебша — Гордона выражаются через функцию
Т? (р, k) по формуле
рЛт »	ЛГ (Z-j-Zj—	— 4 + 4)! (4 + ^2 — Z)!(2Z-pl) \z
— °т, т,+т, у	/2 _р 1)|	24
у А Г	U + w)! (Z - т)\	..
*	(Z1 — Д11)! (Zi -р ДЦ)! (Z2 — /и2)! (Z2т,)!	8
где •
, Zi -4- Z2 Z	I -р .
и = --------- + «!,
s = l—a = (li. — mi) — (1-\-т),	₽ = (^1 + /и1) —
Мы не будем выводить эту формулу. Заметим только, что она
получается простыми выкладками, если воспользоваться следующей
366 
ДОПОЛНЕНИЯ
записью коэффициентов Клебша — Гордона*):
olm ______
—
= 3m, m1+mai/~~М1 — Z2)! (Z — At Н~ Z?)l (к + Z? — 0- (2Z 4~ О
V	(Z + Z1 + Z2+1)!
v 1/~	(Z 4-т)! (Z — т)!
г (Zj — mj)! (Zt 4- 7Щ.У- (Z2 — m?)l (Z2 4~ ^2)!
V V (- l)fe+Za+TOa (Z 4- Z2 4- mi - Л)! (Zt - /nt 4- Л)!
A Zj (I — Zi 4- Z2 — k)\ (I 4- m — Л)! k\ — —	k)\
(k принимает все те значения, при которых все скобки неотрица-
тельны).
Мы хотим отметить, что аналогия между коэффициентами
Клебша — Гордона и полиномами Якоби простирается достаточно
далеко: различные соотношения между полиномами Якоби с разными
индексами после замены степени и дифференцирования на разностную
степень и разность переходят в аналогичные соотношения между
коэффициентами Клебша — Гордона.
*) См., например, ван-дер-Варден «-Методы теории групп», стр. 75.
БИБЛИОГРАФИЯ
I. Общие вопросы теории представлений группы вращений
и группы Лоренца
[1] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ,
М„ 1947.
2]	Карт ан Э., Теория спиноров, ИЛ, М., 1947.
3]	Мур наг ан Ф., Теория представления групп, ИЛ, М., 1950.
4]	Н ай марк М. А., Линейные представления группы Лоренца, Успехи
матем. наук, 9, вып. 4 (1955).
[5] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, Гостехиздат, М., 1954.»
[6] Рум-ер Ю. Б., Спинорный анализ, ОНТИ, М.—Л., 1936.
II.	Некоторые применения теории представлений
группы вращений
[1]	Берестецкий В. Б., Электромагнитные поля мультиполей, ЖЭТФ, 17,
'вып. I (1947), 12—18.
[2]	Берестецкий В. Б., Д о л г и н о в А. 3., Те р-М а р т и р о с я н К. А.,
[3]	Угловые функции частиц со спином, ЖЭТФ, № 6 (1950), 527—537.
Wigner Е., Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik
und Atomspektren, Braunschweig, 1931.
[4]	Кондон E. и HI о p т л и Г., Теория атомных спектров, ИЛ, М„ 1949.
[5]	Л е в и н с о н И. Б., Сумма произведений коэффициентов Вигнера и их
графическое изображение, Тр. Физ.-техн. ин-та АН ЛитССР, 2 (1956),
17—29.
[6]	Левинсон И, Б., Зависимость. суммы произведений коэффициентов
Вигнера от магнитных чисел, Тр. Физ.-техн. ин-та АН ЛитССР, 2 (1956)
31—43.
[7]	Левинсон И. Б., Некоторые формулы преобразования и суммирования
(/, т)-.символов, Тр. Академии наук ЛитССР, сер. Б4 (1957), 3—15.
[8]	Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, Гостех-
издат, 1957.
[9]	П е т р а ш е н ь Г. И., Динамические задачи в случае изотропной сферы,
Ученые записки ЛГУ, № 114, вып. 17 (1949).
[10]	Роуз М., Поле мультиполей, ИЛ, М., 1957.
[11]	Фок В. А., Начала квантовой механики, КУБУЧ, 1932.
III.	Релятивистски-инвариантные уравнения
[1]	Ахиезер А. И. и Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика,
Гостехиздат, М., 1953.
[2]	В h a b h а Н. J., Relativistic equation for articles of arbitrary spin, Current
• ’ science, 14 (1945), 89—90.
368	БИБЛИОГРАФИЯ
[3]	Гельфанд И. М. и Я г л о м А. М., Общие релятивистски-инвариантные
уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца, ЖЭТФ,
18, № 8 (1948), 703—733.
(4J Гельфанд И.М.иЯглом А. М., Теорема Паули для общих релятивист-
ски-инвариантных уравнений, ЖЭТФ, 18, № 12 (1948), 1096—1104.
[5]	Г е л ь ф а и д И. М. и Я г л о м А. М., Зарядная сопряженность для об-
щих релятивистски-инвариантных уравнений, ЖЭТФ, 18, № 12 (1948),
1105—1111.
[6]	Паули В., Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, М., 1947.
IV.	К дополнениям
[1]	Гельфанд И. М. и Цейтлин М. Л., Конечномерные представле-
ния группы унимоду лярных матриц, ДАН СССР, 71, № 5 (1950), 825—828.
[2]	Гельфанд И. М. и Цейтлин М. Л., Конечномерные представления
группы ортогональных матриц, ДАН СССР, 71, № 6 (1950), 1017—1020.