в» «А|><мниИ1Пп
Б.Е. Гмтгау!
ОБЩАЯ .АЛГЕБРА
Учебное пособие
дли студентов специальности oxrixri |
Рекомендовано
методическим советом ЭПИ МИСиС
ТИ КТРОСТЛЛЬ .ЧИХ.
УДК $12.$
Гппенму! lit Общая аиебра Учебное пособие - Элек-
тросталь: КIII МИСиС. 2<м и» 156 с
Учебное пособие посвящено игумению основных понятий
общей алгебры Наложение теории иллюстрируется достаточ-
ным катичестаом решенных примеров и упражнений для само-
стоятельной работы студентов Приводится подробное описание
домашнего здания по данному курсу и решение типового вари-
анта Прилагаются варианты индивиду альных зданий для cry -
< Электростальский политехнический институт
(филиал) „Московский государственный
институт стали и сплавов (технологический
университет)». 2<К16
Содержание
Предисловие	.5
ВМММИ	fl
I. Отображения и бинарные отношения	10
I.	I Элементы теории множеств	10
1.2	Отображения и функции	14
1.3	. Алгебраические операции и отношения из множест-
вах	18
14 Отношение тквивалстттностн	28
1.5	Отношение порика	32
1.6	Рсшбпп	34
2.	Алгебраические структуры с одной бинарной опера-
цией.........................................    36
2.1	Понятие алгебраической структуры
37
2.2	. Группоид и полугруппа	37
2.3	. Понятие группы	41
2.4	Циклические группы
46
2.5	Группа подстановок	44
.’<• По крупны	М
2.7	. Нюморфитм групп	57
2	8 Раиожение группы по подгру ппс Теорема Лагранжа 65
2	4 Нормальный делитель	группы	68
3.	Алт ебрашгескпе структуры с двумя бинарными
операциями
Я
3.1. Понятие кольца	75
3.2	. Кольцо вычетов по данному модулю.
74
3.3. Булево кольцо	81
3.4	-Пом	. .	12
3.5	Поле вычетов по простому молу лю	87
3.6	Вычисления в поле Zp	87
3	7 Некоторые прнутсиения поля Zp в теории чисел 411
3.8..Характеристика поля Июморфитм потей
		92
3.9	. Приводимые и неприводимые многочлены нал	95
данным полем
3.10	. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее
общее кратное (НОЮ дох многочленов над полем Zp М*
3.11	Конечные пола (пола Галуа)	101
3.12	Расширение поля	ЮХ
4.	Булевы структуры (булевы алгебры)	II»
4	1 Понятие бл левой алгебры
ЮМ
4 2 Реалиташт бу левой алгебры................... Ill
4.3. Булевы структуры н колып	IIX
4 4 Бл левы стрг кттры и решетки
119
Приложение I. Обраки выполнения домашнего гадаиня 122
Приложение 2. Варианты домашнего гадания
124
Приложение 3. О решении алгебраических уравнений в
132
Отпеты к упражнениям	147
Спнсоклнтературы	.155
Предисловие
Пособззе ставил своей целью отнакомленпе студентов с
основными понятиями обшей алгебры, к которым относятся ал-
ззграют важную роль как во многих растелах соврехкшюй мате-
матики. так и в различных се приложениях По общей алгебре
лены в списке литературы зз конце пособия) К сожалению, эта
литература в настоящее время мало доступна студезггам На-
преподавателями МИСиС в 1995 году (см |4|) К сожалению, он
также ж доступен студентам ЭПИ Некоторые задачзз «а тгого
сборника, наряду с другими киачами. пошли в настоящее посо-
бие в качестве упражнений. поэтому оно может быть исполью-
вано и в качестве задачника по данному курсу Пособие содер-
жит подробное описание домашнего задания по итучаемому
курсу и решение типового варианта Прилагаются варианты ин-
дивидуальных заданззй для студентов. В насгопшее пособие
включён некоторый лополитггельиын хсттериал. не входящий в
обязательный лекционный курс. Это раздел 4, посвященный бу-
левым анобрам. и Приложение 3. прзззвшное дать прсдставле-
инс о путях решения одной и > важных шач алгебры разре-
шимости алгебраических уравнений в радикалах Отэктим.
теории групп и частности и всей современной алгебры о целом.
Пользуюсь случаем выразить глубокую благодарность рсисн-
прочитал рукопись
Введение
До середины 19-го века под апеброй понимали.
20-й века математика, в том числе алгебра, достигли значитель-
ного развития, в результате чего изменилась точка зрения на
которых установлены
раичсских систем посвящена основная часть настоящего посо-
бия.
Исторически первой задачей алгебры было ренкине ал-
пени Здесь ко-зффиииситы ц,. о.....а, - целые, рациональ-
ные нэп действительные чиста С древнейших времён известно
решение линейных и квадратных уравнений Решение уравно-
ним 3-й и 4-й степеней было ззазькно в 16-м иске В течение трёх
последующих столетий математики пытались найти аналогии-
начале Ю пека было доказано, что общее уравнение степени
но сложны и практически мало полезны В настоящее время
разработано большое количество численных меткам решения
количество корней (решений* данного уроштензы и их характер
корни уравнения Если допускать
Hi основном теоремы алгебры легко выводится. иго ал
которые корни повгорякпея несколько рал (кратные корни)
Попытки решения алгебраических сравнений высших сте-
пеней в радикалах привели к возникновению теории групп.
для нужд теории решения алгебраических уравнений исиатью-
гракжа стал исходной точкой исследований оснокиюю-жмнков
новой алгебры 19-го века II Руффини. О Коши. II Абеля. Э
Гапа Остановимся на роли великого норвежского математика
Н Г Абеля (1X02-1829). прожившего короткую жить. напол-
ненную борьбой а существование. практически в нищете Од-
делах математики, в которых навсегда остались теоремы Абеля.
развилия алгебры большую рать сыграла работа Абеля 1824 го-
ла, в которой ои впервые строго доказал неразрешимость в ра-
дикалах общего алгебраического х равнения степени niS.
ры сыграли работы гениального францу зского матех|атнка Э.
Галла (1X11-1X32). прожившего очень короткую. ио яркую
него обнаружились удивительные математические способности
этого ои изучил все имеющиеся в библиотеке лицея произвсдс-
довання по алгебре, пиитерссовавшись обшей теорией алгеб-
техническую школу центр математического образования
Франции того времени В 1X29 году Галуа поступил в Нормаль-
1X30 гада 30 мая 1X30 года на духтн. которая, по лредположс-
мости в радикалах уравнений высших степеней Ои создал об-
щий метод. который позволяет установить, какие пл уравнений
решаются в радикалах, а какие нет Этот метод привёл к разра-
ботке новой области алгебры лнхунш -7р’ип Совокупность рс-
Галуа трижды представлял свои работы в Парижскую ака-
Галуа всю ночь записывал основные свои результаты.
ко К Жордан В 1X70 гаду ои опубликовал "Трактат о подела-
ны исто.ткован1по рукописей Галта
Эварист Галуа. рсеолюинонср и математик
чательнын математик Нильс Хенрик Абель
После опубликования робот Гату а и их признания матема-
тиками во второй половине 19-го века началось широкое про-
никновение илей теории групп буквально во все разделы мате-
матики. приведшее к тому. что в настоящее время понятно гру п-
пы (наряду с понятиями числа, множества и функции) является
одним нт основным по всей современной математике Теория
гру пп. наряду с другими разделами современны! алгебры, имеет
её прслс-тамн В 1X90 году русский учёный Г С Фёдоров ис-
под ьюеа.л теорию групп для решения основных плач кристал-
мер в квантовой механике. Можно отметить глубокое проник-
новение алгебраических методов в теорию дифференциальных
уравнений, топологию, теорию автоматов, теорию кодирования
информации.
1.1.1. Понятие кванторов. Используем некоторые поня-
тия натеиатнческоН югикн Обозначим через /*( х) лотичс-

Примеры. Пусть хе N I. Рассмотрим щюликат А'(х)
х:2 (X. четное число) Имеем /'(3) = *л“. Р(б) = ‘и"
Р(3) ж ".т*. />(6) -	. /’(7) - • ; Г(10) ж
Ди праиання предикату нового смысла исоользу ютса
дующие кванторы
квантор всеобщности : VxZ\x)- при каждом X выпол-
няется лоаттческое условие /‘(х).
квантор сутнесатвмкншя : ix/*(x) - существует такое X.
при котором выполняется условие /*(х);
квантор «Гнмсшненжж'лш : 3!х/’(х) - сушествует сдаиаст-
3. Пусть х е Л' Утверждение
(Зи6 М)|(г» к 1) и (л < х) м (х:л).
4. Определение предела последовательности lim и„ = А
(Vc>0)3W|(V»^N)(|«. /1|<«).
1.1.2. Понятие множества Мноягктво совокупность
некоторых обьскгов Отементов), обла-татошая двумя основными
свойствами:
I) различимость
жестах («е Л)
Примеры I. Числовые множества N.Z.R: множества
четных. нечетных целых чисел Множества Z" целых положи-
тельных и Z целых отрицательных чисел:
Z-	«Х>0). Z - (х|хб21/*<0)
2.	Множество прямых плоскости, проходящих через дан-
ную точку
3.	Множество символов данного алфавита.
4.	Множество стх лситов данной гру ппы
Способы юОаиия мнпм-nima: I) исречислситк его эле-
меитов: Л = {о, Ь. с,... | (примеры 3.4);
2)	описание свойств множества : Л =	(примеры
1.1)	;
3)	нстюльтованис операций нал множествами
Множества бывают конечные и бесконечные ПартНж ко-
множества А - множество, вое элементы которого принадлежат
множеству Л В с Л.
1.1.3. Операции нал множествами
I) Пересечение множеств Ан В -
которого принадлежат к множеству Л . и множеству В
АГ\Вы{к хеАихеН}
A\JB = {.r|.r е А м.™ Х€ в|
Примеры I. Пусть А - || 2}; В - {2, 3) Тогда
ли« = (1.2.3|; ЛП« = |2|
2. Если Л = {|,2|; В = {3.4).то ЛПВ = 0
3) 1‘апиктн множеств Л н В (лопатнснис в до Л):
А\В - {х|хе А в хе В}
3. Пусть А =	2, 3, 4}; В = {2. 3, 5, б| Тогда
А\В = {|, 4). В \А = {5. 6] ; ЛПВ = {2. 3| ,
4UB = {1.2. 3.4. 5.б) = Л11(в\Л)
Унмаертпгтмми имямгесямои называют множество U.
содержащее все расемат|М1ваемые (в данном контексте) множе-
4)	Допантнне множества А (до	U )с
Л=/АЛ = {х|х«Л)
4.	Л1М=(/. ЛПЛ=0.
5) ( ичиетрнческан ратостн множеств AuB A*H=/iiiAh
Дтя наглядного прс.тс1ав.>сния операций нал множествами
испо.тыуют диафамны Utw/v Пенна Универсальное множс-

по.тоженнымн внутри прямоугольника I! Например, i
I I покакшы множества Л н В такие, что А П В = 0;
12 июбражеио дополнение 2 множества Л На рж. I 3
ино пересечение ЛПВ множеств А н В. i«i рис I 4
динснис ЛОВ этих множеств

1.1.4.	Свойства операций нал множествами.
I)	ЛиЯ = в1М, ЛПй = вГ)Л • конмункиишиюстъ;
2)	(лияЦГ .41W); ЙПЯ)ЛС .4rW)-«™-
Ц1млигмшмть,
3)	Л U Л = и. АП А = А • нде ипотентностя:
4)	лГКв1к1=(лГ)й)и(лП();ли(ягх1-(лия)Л|ли() -
<й«.лун*г5гттиг>г*кл«г>,
>) A(J0 = A; АП0 = 0. HUl' = O. АП(Г = А.
6)	Ли(ЛПВ) = Л, ЛП(ЛЦв)=Л - шконы пог.то-
7)	A\JB = ЛПЯ. ЛПВ= Л1)5 • килты дя Моравиа
Операции объединения и <кресс'1ення двух множеств до-
пускают обобщение для любого количества множеств
I) Пересечение р) । множеств Л,, Л, Л, - множест-
во. элементы которого принадлежат каждому множеству
4 (* = 1.2...»)
2) Обыдынение (j । множеств Л,, Лг Л, - множество,
элементы которого принадлежат хотя бы одному иэ данных
множеств:
Прочее (декартово) произведение множеств А и В онре-
делается соотношением ЛхЯ={(цй)| (иеЛ| .
1ЛССК (о. А) -упорядоченная пори элементов
Аналогично.
Л, хЛ, х...хЛ, ={(<»,.о,...«.)|Я( € Л.с Л,}
Принято обозначать Лх Ах ...к Л = Л"
Примеры I. Пусть А = |0.||. Н = {2.3) Тогда имеем
Лхв	mUiMioMxi))
При ЭТОМ О>№ВЦДНО. ЧТО А X В * В X Л
2.	Дэя шахматной доски введем множества
14
Л - \a,b,c,d,e, J.g,*| . В = (1,2,3,4,5.6.7.81
Тогда Л хЯ = {al, в2, ...,Л1,...,Л8} - множество
клеток шахматной доски
Э.	Пусть Л  [0, |] - отрезок осн ОХ. В  [1.3] - отрезок
оси ОГ. Тогда ЛхЯ = [(х,у)|0£х£1,1 £_>'£3] - прямо-
Множество всех подмножеств множество Л (бггеопМ
Р(А ) = (Я| Я = А |; при этом 0 е /*( Л); Л е 7*( .4).
Примеры
4.	Л {|,2|;Я(Л)=|0,1.2,Л};|Я(Л)|=4;
5.	Л |1.2.3}; /(4 -10 И, й. (3). М. (13). МЛ IЛЛI -8
Можно доказать Если | Л1= », то | /’( Л ) ( 2*,
1.2. Отображении и функини
стся такое соответствие, при котором хи каждого мемсита
X € Л находится (по опрсделенномс правжп) некоторый ало-
(Vx<= ЛИЗуевХ) =/(*)
Ди отображения из Л в Я используется обозначеине
/ А*-* В или Лт-тЯ
Элемент .у»/(т)е Я называется обрати цемента
х6 Л, при ттом хе А представляет собой прообраг гкмен-
та у t Я Совокупность всех образов элемента у ч В образует
пошмб nfmottpan.viwm .V
f '(у)=(х€ Л|/(х) = у|.
(№ро> иножхгпию Л - совокупность образов всех хюмсн-
ДЛ)= [>•€ Я|у = /(х) и хе Л), при «том /(Л)с Я
отображается пи множест-
Частным случаем отображения является функция Функ-
браженис множества Л в множество Н (тх каждом) элементу
(**« Л)(3!у <=Я)|.» = /(х)
совпадать.
npooopa та (у каждого элемента множества /(Л) существует
единственный прообраз): а * h => /(о) Ж /(h)
Пример Рассмотрим отображсннс
Ф Zt-*2Z. «И-)”6z. это пнъекцня. так как
f(A)= Н При этом каждый элемент множества И имеет не
менее одного прообра и
(^бв)(Зх6Л>.т-/(х)
Пример. Пусть Л 7 множество всех треугольников
на плоскости. Н = К' множество всех по.тожитс.тьных чисел
Отображение / Г н» К . ставящее в соответствие каждому
имеющие эго число о качестве плошали
> случае сюръекции, очевидно. min
3. 1ш:ктшшпс отображение штьектикиос и сюръсктна-
нос одновременно, тс взаимно однозначное отображение мно-
жества Л ня множество в В этом случае существует пб/ютмн
итобралгение X = /''()') гоже биективное
/ Л«-»Я«
(УлеЛ)(Э!ЛбЯ)|* = /(а) u (Vie в)(Э!яе Л)|а=/-‘(Л).
В ~ (0, х). существует обратная функция х = In у
2. Функция у = х’ отображает множество Л
на множество В - [о, «) ооръектимзо. ио нс иньскпитио. так
как /(-х)=/(х) Функция у = х! биективна на множестве
Л = [О. х) и имеет обратную функцию X = у .
3. Однозначное отображение конечного множества на се-
бя - веет да биективно (докажите эго самостоятельно!). оно та-
зы кается пшк'ЛкмпжспА данного множества Подстановку мио-
жести Л = [я,. а,. .... а„ | принято записывать в вше
где	- одна из перестановок чисел I. 2,...,п
Например, в случае множества А - {1, 2, 3, 4| имеем 24
гюлстлткитки
Подстановки будут полробяю изучены в лп 2.5 - 2.7
Упражнения
Описать множество Л псрсчнслснисм его эк ментов
I.	Л = |хе Я|х' - Ззг’ < 2х - о].
2.	Л = {хсЛ|х'-6х,+Нх-6 = 0).
3.	A (xeZ|x‘ -7x’ +12 o).
4.	Л = {хей|х*-Зх-4<0);
5.	A ;xt«|x + ls2 м x>oj>.
7.	Л = {хс й|сов'2х= I « 0<xS2<).
8.	Л- X€/V|log, ,-^<2 .
9.	Л «{хе Л/|(x|8) n x«l);
IO.	4 = {xeZ|(«|x))
II.	Л = jxe Й |(x|8)»(x| 12)]
Описать следующие множества псрс*иклсш1ем их
12.	Л = {хеЯ|х1 +х 20 = 0);
в = {х«Я|х:-7х + 12=о) Найта Лс/Я. ЛП».
13.	А (-1.2]. й ||. 4] Найти Лой. ЛГ)Й.
Пусть Ч = [0. I] - м«ивср Л1МЮС множество
14.	Л = [О, || Найта Л .
15.	® ' | “ “ ) Найта й
16.	С | Найта С
17.	/>= 1. | | Найта /1
18.	£ = (l/4|U]3/4, I).
19.	Пусть A=(afcc); Я = {12 3} Найти А  И и Я х А
20.	Пуст* А = {«.Л}; В {1.2.3J Найти А‘ н В1
21.	Пуст* .4 =(1;2]; В = {3| Найти А х В и Ях А. а
22.	Пуст* Л = [0;1]; Я = [1;2] Найти АхВ и В* А
IAI. Алгебраические операции 1мнариая (лаухмсст-
гаи) операция, опрело.*)игаи на множсстис А . соответствие.
сопоставляющее каждой ,гп<у»и>»ченмп« паре элементов множе-
ства .-I некоторый элемент этого множества
/1 Х3!се Л)| с«а Л или с = /(«.Л).
Аналогично, п-честная алгебраическая операция осушс-
любых Ярв2.....«„€.4, При » = 1 имеемyiMirnym (одноме-
стную) опе/хлуию Ь~ /(о), осуществляющую отображение
/: Л1-»Л.
Свойства бинарные операций
I) А'оим>лилш»нка1ь (va.ft е л) a°b = h°a На-
пример. для чисел
в + Я = 6 + а; ah = ba . но a-h^h-a.a" #/»“.
2Ми<м«<<глнгв>«ктнь (VciA< e4) (a h) с=а (Л с).
Выполняется для суммы и протввелення чисел, однако
Примеры I. Onepaumi над квадратными матрицами дан-
ного порядка
А'* - унарная опс|пшм (|Л |* 0). А + В - коммутативна
и ассоциативна. АВ - accoiuianniHa. но не коммутативна
14
а  h - нс коммутативно и нс ассоимативно
J. Операции над множествами .4(JA. Л П Я - комму га-
4. Логические операции над вьккашваннями дилмнкция
А V в и плтыагшигя А л И - комме тапшны и ассоциатив-
ны Здесь 4 и Я вькказываикя (утверждения). могущие при-
нимать одно из возможных значений "и” иди "л". Закодировав
Исходя из этих таблиц, можно непосредственно проверить
Следствие Свойство полной ассоциативности
Если операция ассоциативна, то для любых трёх эле-
ментов результат последовательного выполнения операции
_	(г; AI с=а (А tl =а А с
можно записать, опуская скобки * ' г '
Подобным же обраюм можно представить результат по-
следовательного выполнения операции в случае четырех эле-
ментов. Дейст|ит:льио.
(а А t) </=((« А) с) d=[a (А с)) d=(a А) (с d) =
=а ((A с) </)=а (А (<• г/))=я А с <1.
Аналогично, при любом количестве "сомножителей"
скобки можно расставлять произвольно, а поэтому их вообще
можно олу стать
Проверить, обладают ли свойствами коммутативности и
ассоцнатнвиости определенные ниже операции
м
I.	x у = 2xy, гбе x.y e N
2.	x у - x-y. Me x.yeZ
3.	x у x y.Mex.yeZ
4.	x у — x! +/,Me x.yeZ
5.	x ,v = sinxsiny..xtex.j’€/f
6	,	,	,	I .	\
7.	x у = НОД(х.у),М<1 x,ytN
«. x .»• = HOK(x,y), Me x,ye N.
1.3.2. Огноютиня in множесгпях. /шпорное отно-
шение p ио .инамеестне M задастся множеством К упо-
рядоченных пар (цй). я!е a,beM apb «(о.Л) еЛ. л* RqM1
Аналогично. и -местное отношение на множествах
M,.MS.....М, • подмножество прямого произведения
А/, х Л/2 ... хМл В случае н = 2 получаем бинарное от-
ношение на чшкж-естаах А н В aph «(a,ft) е/< <Ре RcAxB
М (1.2,3} М‘ ((1.1). (1.2). (1.3)...(3.3)} Для от-
ношения р: a\h ("а делит ft"), те. а являегся делителем
Л (b:a) имеем
л на.а (1.2Ми1(2.21(з.з»
Дмсшошския р: (naft):2 Я=((1.1)(1.3)(22)(Л1МЗЗ)}
2 Л/ =	Днютжшкини р'. X < V поллчим:
Л = {(2,4).(2.6).(2,8),(4.6).(4,8).(6.8))
3 Л = {|,2.3}. Л = {1.2,3.4.5.6,7} Определим на Л х/J
Отмошем»с
р {(о.й)|аеЛ,Ле#ии|Л} Тогда
Л - «И1 (1.21 •. ..(1.71 (X 21 (141 (2.61 (3.31 (3.6)}
Геометрической иллюстрацией васленного отношения
является решетка с отмеченными узлами. соответствующими
элементам множества Я (Рис 15).

Прямое произведение множеств А X В ипнеап. само-
Способы задаинн бинарных OTIKMlHHHl (на конечном
множестве А/ = {г^.О....в,}).
I) Указание подмножества RqM1 (перечисление пар.
образующих подмножество К). см примеры I -3
2) Матричный способ задания Исходя из множества пар
К. строим матрицу отношении Л = (<>, ). элементы которой
опреде.тяются по следующему правилу:
I I, «сю (о„яг4 )с Я.
.той и единиц. то тем самым на множестве А/ задается некото-
рое бинарное отношение Я (см. пример 4)
3) Задание графа отношении Пюбраэим элементы ко-
нечного множества А/ точками на плоскости Если выполнено
соотношение а , ра,. тс в матерние отношении а , I. сослн-
ним точки и, и at дугой, веду шей к точке й, Еста окажется,
что а I. рисуем петлю, выходящую из точки а, и входящую
в ту ate точку Полученная фигура натывастся /рафам tapueu-
тированным), точки а, - вершинами графа. Матрица Л = (и,)
22
представляет собой геометрическое
Пример 4. Для множества М = {1.2.3,4}
? и
мне р. а IЛ укатанными треям способами
Решение Л=«L1Х (12)0(1.4). (14(2,4 (Д 3). (4.4«
Построим соответствующий граф (Рис. 1.6):
Обратно. ориентированный граф ииэет некоторое отно-
шение на множестве ею вершин
Пример 5. Задать отношение, исходя hi шаииого графа
(Рис. 1.7.):
Решение. R {(1,2). (1.4). (12),(2.3). (3.1). (3.4))
Итак. возьмем два отношения Л и Н Каждому нт них со-
ответствует некоторое множество пар < А <^М хМ и Hq М *М) Введём некоторые отноикниями А и И. следуя 116). Снамаза рассмотрим операции над omotuei лсиия которых используют соотвстству ЮШ1К ОПС| жсствамн задающих их пар Пересечением отношений А Л В называет определяемое пересечением соответствующих пар; обче<>«нением отношений Л1)Я называет определяемое объединением соответствующих При этом очевидны свойства этих операций, кот чески можно записать следующим образом	1 подмножества операции icu 1ИЯМИ. опрсдс- jauiiii кал мио* ся отношение. подмножеств ев отношение. 1ЮДМНОЖСС1» орые CTIMBO.T1I-
хЛЛЛ>о(хЛ>)л(хЯ,р).
хЛия>о(гЛ.у)ч(хЯу)
(здесь использованы .ютчесгак операции конъюнкция и дизъ-
юнкция, введенные на стр 13)
Пример I. Пусть М - множество действительных чисел.
Л - отношение "к", в - отношение Тогда отношение
А Л К означает ">*. те. из соотношений х г у н х » у следует.
Пример 2. Если А - отношение ' ". а Л отношкизк
" ". то отношение A U Л означает "2", тс. из соотношений
Х>у или г = у следует, что Xi у
Запишем введенные операции в матричной форме Пусть
отношению А соответствует матрица А = (о,(). отношению Н
матрица Н = (Л,,) Обозначим матрицу "составного* отноше-
ния <’=(ей ) Нетрудно проверить, что в случае пересечения
отношений ЛЛЯ элементы матрицы (' вычисляются по фор-
му ле сй «,1 л \. а в случае объединения отношений A U И -
по формуле
24
где. как и выше, испольюваиы логические опсрашш коиъюик*
имя и дизъюнкция
Пример 3. П\сть А/ - ||;2;3;4| Тогда для отношений
а для отношении Примера 2
Чшателю рекомендуется построить соответствт юшнс

ннматъ под "пересеченном графов" и "объединением графов
ПростсПикс ю них - переход к обратному отношению (иесь
мы используем обозначения п. 13.2)
р .	определяемое
р': ЦаЛ|Apuj.те. ap'ht^bpa
Граф для обратного отношения полечится из графа отно-
шения р изменением ориентации его ду г. а матрица .4 ' об-
ратного отношения получится из матрицы А • (о,, ) транспо-
нирован нем.
Пример 4. Найти обратное отношение для отношения,
заданного в Примере 4 п. I 3.2
Решение К 1 =(|U)L fel). М(ЗИШ4(Ч1). М. М}
Матрица обратного отношения имеет вил
Граф обратного отношения (Рис I X,):
Рис I «
Дтя отношений .4 и В на множестве Л/ ввелОм отноше-
ние АВ. называемое проимтЧниел) отношении.
х АВ у o(3z е M)\(xAz) f\(z В у)
Ц-ш матрицы (’ о (с;,) отношения АВ можно доказать
:<см |16|) с.. = £«
только под произведением элементов матриц А и В нежно по-
KHHii можно доказать свойство ас-
(ЛЛ)ГхЛ(ЛС)-
Пример S. П'СТЬ на множестве М и{1,2,3,4| заданы
Найтн отношение АВ. его матрице
Решение. Имеем А = {(U).(l,2).(l.3).M.(2.2).(2.4)|.
« ={(Xl),(3.1),(3,2),(4.l),(4.2),(4.3)}
Тогда для проншедения заданных отношений naaymni
Непосредственно проверяете». что имеет место соотношс-
АВ в укаиниом выше смысле.
В лаключсннс рассмотрим end одну операцию которая
чаете» -1 Пусть А - некоторое отношение на множестве А/
Соотношение хАу считаете» выполненным, если существует
цепочка л.к ментов нт М х . .......г, = у. такая, что сосед-
ние элементы этой цепочки свяшш отиошеткм А :
г„Лг,, г,Агг.....г,., А г.
Это условие можно шикать в Blue равенства
ЛжЛ1М*1М’и...-ги...
вует полный граф и. следовательно, матрица, все элементы ко-
торой ровны I Важную роль играют специальные случаи бп-
У иряжнеиня
I. Для множества Л/ - (1.2.3) лыать ottkhuchik До)А
гремя способами (см. п. 1.3 .2 >.
3.	Пусть Л» {1.2.3}. В ={1.2.3,4.5,6,7} Опреае.нтть на
А X В anioUKiriK р {(о,й)|ае Л, be В и а\Ь}. Дать гео-
метрическую иллюстрацию (решетка с отмеченными углами*.
'Записать прямое лронзвелсшк множеств А X В
4.	Для множества 4 - (|,2,3,4} кутать отношение
р: (а ♦ 6): 2 укагашшми тремя способами. Что можно скаигть
об обратном отношении'.'
5.	На множестве М - {1.2.3.4.5) кианы отношения
.4 в|6 и 0:(а + *):2. Найти отношения ЛГ)Я и >4UH.
описать соответствующие множества пар и матрицы тпк от-
1.4.	Отношение ЖВИМ.ТСНТ1ЮСТН
Это отношение на множестве А (обо тачаемое *-*). кото-
рое обладает тремя С1Ки<етвами
I)	1кфкксившкпп> О ~ а
2)	скимел/ягчпш'ЛН.: U ' Ь » Ь ~ а.
3)	тртгштитик ть О - h, h - С а ~ С
лтя любых а.Ь.С€ А
Примеры I. Параллельность прямых и широком смысле
(в том чисм еовпадаюш№ прямые)
2.	Подобие треугольников
3	Множество студентов шМой группы института.
Введем важное для дальнейшего понятие Pai6utnue ино-
ntvemmi иа классы - предсгааленне множества в ihuc объедине-
ния множеств. нс имеющих общих элементов:
Л.04-4+А* -*4.- ЯЛА-O.VU
Примеры
4.	N = N,{JNS. гйе N, - множество нечетных, N} -
множество четных чисел
S.	,v-(Ja.,av i • последим цифра числа (месь Л’-
натуральное число)
Теорема Опюикннс жанпа.китности на множестве А
проигаодит ратбисннс множества А на классы эквивалентно-
сти:
Va е A cn<miwmcm<nvm июсс К„ = {к е Л|дг ~ о);
прн этом и А • А. К.Г\К, а О • если « нс Л
Докалагельсгио Пусть а-b. покажем, что К.-К, Пусть
логично, если с«Кь »ю свК«. Так как с  ироииюльиый эле-
Всякий элемент а € А принадлежит соответствующему
классу; поэтому
Если а не - Л. то соотоетствуюшне классы не име-
ют общих элементов Действительно, если найдется такое
с. чгпосеХ', мсеК’д, то отсюда получим с-аис~Ь^Эа~Ь,
Множество всех классов эквивалентности множества
А обрадует фактор-мкшкчетно множества А по отноше-
нию эквивалентности р А! р = {А’„ |в с А]
Примеры
i. Классы - прямые одного направления (параллельные
между собой)
7.	Раэбнснне множества треугольников плоскости на клас-
сы треугольников. подобных между собой
8.	Классы - студенческие группы
9.	Классы вычетов по модулю 3 Мы скажем, что целые
а U b сравнимы по модулю 3
яс />(mod3). если (в-/>):3 Можно проверить, что
сравнение - отношение эквивалентности (выполните самостоя-
тельно1) Получаем классы экамвалситностн <. С,. С.
с4.г*-ШД* |/;4..-5.-2.1A7..I.с,4..-4.-LXS.8..]
ральному модулю а в Л (mod»)
10.	Для множества А = {). 2. 3. 4. 5| отношение р тала-
но подмножеством R С Л1
W-{(LlM72M3.3),(4,4),(5.5Ml.2),U,lMl,3).(3,lM2.3).(3.2),(4,5M5.4))
пары эквивалентных элементов множества А Раэб1гть данное
множество А иа классы эквивалентности Построить граф эк-
вивалентности
внвалсктностн. поскольку множество R содержит пары
(1,1),(2,2),(3,3),(44),(5,5). вместе с каждой парой вида (а, Л)
содержи пару (Ь,а) Непосредственно провернется выполне-
ние транзитивности
Пары эквивалентных элементов 1-2,1-3,2-3,4-5.
Классы эквивалентности {1,2,З)и (4,5). Граф эквивалентности
представлен на Рис I 9.
Аналогично рассмотренному примеру. для произвольного
лу тощими свойствами
опускать);
2) матрица отношения является симметричной, ей соот-
ветствует неориемптроаанныЛ граф;
виоатстгтиосги. связаны попарно и образуют потны» подграф
1. На множестве .4 {1,2,3,4,S) отношение р задано мно-
жеством пар
«={(ll).|l5).U2|.(Z3).(24).(12).(M.(a4).(42).(43).(44).(51).(S5|j
вшалснтности.
2. На множестве A- jl,2,3,4,5j отнопкине жишалсит-
5 = {(1),(3,5).(2,4)}
Докатать. что отношение р является отноикиисм жянпа-
китности и построоть ратбненне множества Я на классы ж-
В1шате1гтностн, а также граф жвипкитности
4. На множестве Л = 11.2.3.4.5) «пкопкипе жвивалсит-
5Ча°4)"(Х5).{зп''Л*,С“
Построит* множество Я пар ътемеигов и траф жвип-
лситностн
5. Па множестве .V' ялано отношение р:
Доказать, что по отношимы - отиоиктас »ки«ва.хмтмо-
6. Доказать хтвсрждсиие если отношение р - отношение
жш1ва.!емтностн. го и сгпюшемис р - отношение жвнва-
.К'НТНОСТИ
1.5.	Отношение порядка
жсствс /I (обозиа'ыетюс которое обладает тремя свобства-
I)	ргфоексшшость: fl Чв;
2)	траиютиткктл d-<b,b-<C =>вчс;
3)	анлпктгииелувгчнгклн.: fl «Л п Ь <О (1 — Ь
для любых Я,Л.се А . Это отношение производзп Упо-
рядочение  множествам (читается " а предшествует Ь").
Примеры 1. Отношение “S "(“метшие или равно") для
2. Отношение *g * (включение) ЛТЯ множеств
Отношение на множестве А задаст строгий портит
(а -< Л),если а ~h и а*Ь
рядка определено для некоторых пар	А1 (возможно, нс
Пример 3 Отношение включения "с" в множестве
/*(Л) всех подмножеств множества А является отнопеннем по-
рядка (1чх»верьте Ж>1)
Пример 4. Множество всех .1е<ктвитслы1ых функций,
определенных зга отрезке [О.)|; частичный порядок вводится
слсдх ющим соотношением
/iX «(Vxe[O;l])(/(x)$K(jr))
Пример!. .4 = {1,2,3.5.6.10.15.30) Ввсдймотношение
р: в|б.т.с. (й:в); имеем
R-!(I.IMI.2KI.3MI.5).(l.6).(l.lom.l5).(IJO).(2,6).(2.IO>.
(1303... (15ЭОМЗО.ЗО».
33
2. .b/itelmu утюря&гшшюе множество:
Пример 6. Множество действительных чисел (или его
подмножество) с отношением *< *
.кише (Эд, е Л)|(¥хе Л)(о,^ х)
3. Ншинсymipmiownmn: множество во всяком непустом
подмножестве Н с Л имеется наименьший ътсмсггг
"S " нс является вполне упорядоченным множеством, так как в
Z нет наименьшего элемента.
Ишлюрфилм двух частично упорядоченных множеств:
Му-ьМ'
Актную/м/жт нюморфтм частично упорядоченного
множества с самим собой.
Пример 8. Для множества R действительных чисел с от-
ношением "S * автоморфизмом является отображение
Упражнения
I. На множестве N xN, где - множество нату-
ральных чисел, заладим отношение /з|ду|/1((14<Ж+У=3'+й
Доказать. что р • отношение эквивалентности на множе-
стве Л'.
2 Доказать если р • частичный порядок, тор'- также
частичный порядок
I.S. Решетки
Пусть М - частично упорядоченное множество Если для
з.тементов a.fl^M существует такой хтемент Г6Л/, что
а Г, fl 5 Г. то мы скажем, что Г = max [a, fl) Наименьший
p = sup(a.l)
Совершенно аналогично вводится понятие снужьтьтт ии-
imwyua fточно» иижтт грани) элементов a.flt-M
S-M(a,fl)
Частично упорядоченное множество Л/, в котором для
любых двух элементов a,fl±M существуют sup(a./?) и
inf (a. fl}. называется ptiutimoti
В качестве примеров решеток можно использовать мно-
а с введённым на них отношением порядка из Примеров 3
Нетрудно убедиться. что в решетке М для каждого ко-
нечного множества ц,«......ц, «Л/ существует тцЦо,.
и 1пГ(<т,,о.....о,) (это можно докатать по ииду киии) Если же
sup к inf существуют для mi&iso множества элементов ре-
шетки. решетка называется потной. Понятно, что всякая коиеч-
Дтя каждой решётки Л/ можно ввести понятие ттюго и
сгйтмнчжьтг э.эсмстттов
Нунны» (наименьшим) хтсмситом решетки называется
элсманг а„ (нам 0). для которого выполняется условие
(3ц, еЛ/)|(Ухс М) (о.чх)
Единичны* (наибольшим) элементом решётки называется
элемент Л, (пли I), ли которого выполняется условие
(3lteA/)|(VxeA/)(i4^).
При пом нс обязательно существование толевого или
единичного элемента  кнжт)о« решетке Понятно, что а каждой
конечной решетке толевой и единичный элементы существуют
О - тГ(ц,а,....a.), 1  sup(a,,a,.а,)
Для наглядного представления конечной решетки можно
построить ее rtau.-pauui'. те эр;и|э отигмисния порядка, постро-
енный таким образом. <тто если а •<!>, го точка b лежт вине
точки а При этом принято соединять отрезком только "сосед-
ние" точки решетки (те такие ч.Ь с А/ . что а • h н не суше-
Пример 9. Рассмотрим мноятество А [о.А.з | Составим
множество всех подмножеств множества А
Р(А) = {0,{O),{A).{c|4a,6|,{fl,t}.{*,c),(e,6,c>|}.
Как н в Примере 3, в капестпс отношения порядка можио взять
в.Ай /’(Л) существуют sup (</./>) = a<jb н inf(0,A)=aDA.
го порядка является решеткой При этом нулевым элементом
служит пустое множество 0. а единичным элементом - само
множество Л
1.10
чеитюго множества из Примера 5 Здесь отношение частичного
порядка а чh для элементов множества Л/=(|,2.3,5ЛЮ,15.30|
ствуют sup(u.A) =//ОА'(а,Л)еМ и M[a.b) = HCVt(a.b)eM
Поэтому множество М с введенным отношением частичного
порядка является решёткой Нулевым элементом решётки явля-
ется 1. единичным элементом - 30. Диаграмма полученной ре-
шётки представлена на Рис III.
Диаграммы, построенные для решёток Примеров 9 и 10
оказались одинаковыми "Зго означает нюлаорфнэм этих решё-
Нскоторыс типы решёток будут рассмотрены в п.4.4.
2. .Алгебраические структуры с одной бинарной операцией
Как уже отмечалось во введении, до середины 19-го века
под алгеброй понимали науку об алгебраических уравнениях За
19-й и 20-й века математика. в том числе алгебра, достигли зна-
чительного рашитня, в результате чего изменилась точка трення
науку о системах различных объектов. в которых установлены
некоторые чгеб|»ическис операции тс об алгебраических
2.1. Пошггие алгебраической структуры
А1ггбраичкко1/ структурой называется совокупность
трёх множеств Л = (М.	/*). где множество М * 0  носи-
тель структуры . Ь" - совокупность алгебраических операций на
М1ЮЖССТЖ' М. Г  С'ОЖЖМПКХГП. предикатов (ЛОГИЧЕСКИХ функ-
ций) на множестве М
Если Я = 0. Л =(М; F) иатывастся амгброй;
сета / = 0. А ={М;Р) нашвастся лихкть».
В нашем курсе мы бе дем нпчать алгебры с одной и две мя
бинарными операциями (например (,V; t ):(Z: • .)>.
Сначала рассмотрим амгфиы с осВюй бинарной операцнгй
(М, )
Множество Л/ должно быть таикнушо относительно ла-
данном оперший
(Va,»eW)(a heM)
1.2.	Группоид и полугруппа
2.2.1.	/рутапош) наиболее общее понятие На операцию
нс накладываются никакие ограничения. кроме того, что множе-
Прпмер множество R' гфостраистпснных лекторов с
операцией вскторпого проитаслсния или раиюсто векторов, тс
(Я'; х) шш (Я’;
2.2.2.	Яоттеуриим алгебраическая структура (Л/; ).
опрсдсжтаяя на которой операция ассоцматнаиа
(Vo.A.ceA/) (а Л) с^а (Л с)
Отсюда, как было пока шю ап 1.3. следует свойство лил.
шаны относительно операции полу группы.
коммутативна
(Va.AcM) (a b = h а)
Примеры I) (/?’.	- коммутативная полугруппа
Обозначим Л/(ихп) множество квадратных натрии по-
рядка п. операции *+" и " ‘ обычные операции сложения и ум-
ножения матриц
2)	(Л/(лхя);+) - коммутативная ikkiaгруппа
3)	(М(н>и). • J • некоммутативная полугруппа
4)	Пусть II универсальное множество
Тогда	n(N;r>) -коммутативные полугруппы
5)	Птсть М множество всех высказываний Тогда
(W.v) к (М; л) - коммутативные полугруппы
Поияттк iKhmfxi имого гк центов полугруппы
ЗееМ |(VeeM)(a е-е а - а)
(существует не всегда)
Понятие зиЗеипшиеилтнтлтт элемента Я О - Я
Пример I. В теории множеств:
VA А^А’А: Агу А .4
Пример 2. Для логических операций:
VA Av А = А . АлА - А
Можно доказать следующее утверждение в каждо(| ко-
ражненне S иа стр 27)
Докажем еоюк-ткеилость жАт/штьмо.'» зге меняю . Пусть
е, и е, - нейтральные элементы. Тогда
в, е, = е, (если С2 - нейтральный элсмеит):
С, е, с, (если - нс1ггральный элемент)
В силу СДННСП1СИ1ЮСП1 опсраикн отсюда следует, что
2.2.3.	Л/оионтт полугруппа с нейтральным тлсмснтом е.
Примеры I) |JW. ») - коммутативный моноид, е 6
2) (М(яхя);*).пммумпваыймоноид. е -О
3) (м(п X л): •) - некоммутативный моноид. е “ Е
Дтя моноида можно ввести понятие сичыгтричнаго (об-
ратного) iwuenma по отношению к элементу Я:
(а«Л/) (Эо '«Л/)| и а ' =а ' а = е
(существует нс у всякого элемента <0 Элемент моноида, у
Докажем единственность симметричного меме кто.
Пусть о, « а, -симметричные элементы для о. Тогда
а а, =е, а2 а = е
У множая обе чает первого соотношения слева на А. по-
ту чнм (а, а) 0, яяа, е.т.е. с в, а, »,.
Примеры I > (М(л«п);+) - для всякой матрицы Л = (а, t)
су шествует симметричный элемент - А - (- а,, )•
2) (А/(»хя); •) - обратный элемент дтя матрицы
А = (о,,) существует, если | А | « 0; это обратная матрица А"*.
Обозначим Л7(лхи) множество невырожденных квадратных
матриц порядка и
где с в R Нетрудно докатать, что { Л;  } - коммутативный
моноид. С = Л Проверьте соотношения
40
Упражнения
I.	Опрслк.пт mn структуры (Z;* ). если операции •
задана правилом »т • W = (л» + 1)(и +1) - I;
Найти нейтральный элемент и обратимые элементы
2.	Определить тип структуры (Z;*). если операции •
тадана правилом: т*п = (ли-л)(»+л)-л (а#0):
Найти нейтральный элемент и обратимые элементы
3.	Докатать, что множество всех матриц вида
(О Oj
тле Х,уе К отоосителыю операции умножения матриц обра-
зует полугруппу Являете» ли эта полугруппа коммутативной'.'
Укатать в иен нейтральный. идемпотентный и обратимые мо-
мента!. если они имеются
4.	Какую алгебраическую структуру относительно опера-
ции умноженш матриц обрату ют напра.и>ные степени матрицы
А? С колько элементов в ней содержится'' Найти нейтральный,
идемпотентные и обратимые цементы. если они имеются
(-1 О <И
•1 •:
5.	Докатать чтвержлеине в каждой конечной полугруппе
существует цдехиютеитный элемент
2.3. Понятие группы
Поняттк группы важнейшее понятие аисбры и одно из
многих приложений свойство спиметрми объектов Приведем
два примера Современная кристаллография. иду чающая свой-
ства симметрии кристаллов. строится с помощью теории грепп
Квантовая физика широко исполыуст методы теории групп д_зя
23,1. Определение I ру ним Г/tynmi моноид. у когоро-
Пт>рийи<№ ипреЛиение группы - ЭТО хиебра с бинарной
•К>и»|*
1) групповая операция - ассоциативна:
(Vu.ft.ceA/) (я ft) сч (ft с);
(Vue М) (а е е и а).
ратный) элемент:
(УоеМ)(За '«А/)г
повая операция коммутативна
(Уа.ЬеМ) (и h -ft я).
т с шокыватъ для эммвяп группы G: а € G.
Примеры ( Z. з-). (Q > ). (Я .♦); (<М (О).  )
(М(пкл).+ ) - абелевы группы. ^Л/(пхн);-)-
мупггивный моноид. (Л?(яхл). •) - нскомм>дативная гр
имеем шМняямтууи* форму зазики группы, если же операцию на-
зываем уынопсемш/и. иупмитткопштую В следующей таб-
.шик Ч(ИЧЮЛГТК> IUIIMXIU основных понятии II КОЖДОМ I» Л1>>\
			Гай шци 2.1
	"'хттаётГ"'	Сим«1Сгр«гвнмй	Стсясиь
а+Ь	m кк»П ткнет о		пи
а-Ь	сштнвмвмпкят 1	МШИТ а '	а"
233. Степень момента гру ппы Для любого а е G пола-
гаем а" “С,	при neN
Еста /И = -п. где nth', имеем:
а' -и ’ = (о 'У =а ' а ' ... а '
Нетрудно проверить, что а“=(в"У* действительно,
а " ° а" = и' о а ' »...»в|«я»о“...«а=г
операции) Отсюда получаем обычные свойства степеней:
а” оа" = а"**. (а“)Г = а“
коммутативны относительно групповой операции
23.4. Порядок элемента группы. Возьмем произволь-
ный элемент ае(1 и вычислим всевозможные его натуральные
степени а, а2, и ...а*,... Возможны два случая
можно только для бесконечной гру ппы) Если же гру ппа конеч-
кис. что </ =d" (/«<») Умножив обе части последнего равенст-
ва на а ". получим а” " = а‘ = е (Л = п-т)
Мы скажем что элемент ae(i группы имеет /io/wOw
к (| а |= к), если существует иашкныпес к е И. дли которого
в* -е = I (в случае мультипликаттшиогг формы описи груп-
пы) или ка=п (в случае аддлпивноН формы) Если такого нату-
рального числа не существует, алсмснт имеет бесатччяыи ть
ПоряОок кометой ,-/пты | GI - количество элементов
группы Конечную группу можно ладить тай1ицеи Лаг» (анг-
лийский математик. IK2I 1X95) таблицей рстультатов группо-
аой операции
'Гаотца 2.2
Примеры
I.	Задана таблица Кмп
	I b с
	
	
	
И1 таблицы следует
<Г* =с/,Ь'1 «с\с 1 =Л
Множество (tJ. А, I',} с определимой пой таблицей
операцией ’ " обрап ст комму лапищуто (абелеву) тру пт
2. Пусть М - множество квадратных матриц порядка л с
рациональными коэффициентами Алгебраическая система
(*/. )• некоммутативны» моими (« = Е обращая матрица
.тля матрицы 4 не существует. ест .4 |= О),
X Пусть м множество матриц вила л - 1 ‘ |.
где с е К
Алгебраическая система (М. ) абелева группа:
* (о	11<См 3 ,в "Р 2Т>
4. Исследуем множество, образованное натуральными сте-
пенями матрицы
	А	1
А		А
А1	А	А1
Из таблицы видно. что Г" А1. А 1 следовательно, множесгио матриц (zf./l1 = операции умножения образует абелеву грузизу	= 4.(Л’Г=Л’. = е] сттносительио
I Образуют ли группу:
I) |ь.-огрз«аге.зьныс целые числа относительно сложения;
2) нечетные целые числа отиосигелыю слсмкшм.
7) множество чисел вила a+b-Ji . глс и,Ь  рацио-
нальные числа, относительно сложения;
S) множество чисел вида а *ь4з. где а.ь - рацио-
нальные числа, относительно умножения.
фзшиезпами относительно у миоження;
46
II) невырожденные матрицы порядка П с раштональиы-
2.	Докатать с.эедуюшес \тттсржлкш1с если о.Л к С» и
I)	а 'Ь ' -Ь'а':
2)	дли Vim е 2. имеем («Л)" = о*Л".
3.	Докатать с.те дующие утверждетн во какой группе
I)	элементы хг и IX имеют один и тот же порядок;
2)	элементы х и уху ' имеют один н тот же порядок.
3)	элементы худ, уя н яу имеют од..тот же поря-
s. Докатать следующее утверждение
если а е G, | а |= и и о* = е. пю п | т
2.4. Циклические труппы
Группа (i называется трткпгчккой. седи каждый элемент
группы может быть представлен в виде степени некоторого эле-
мента группы О € G:
(• Л е (i )(3ш е 7. ) Л - а" (или А = та).
Элемент а называется поражОотпщнм awuueiunoiM; цик-
лическая группа обо тиачастся G(a) или (а).
Если порождающий элемент а имеет бесконечный поря-
док. получим бесктмнтчнутм тщкшческтю-улттпг
G(o) = {е. в,в' .в’.....а"....}.
все элементы которой - различные.
Примеры I. Группа (Z; + ); в качестве порождающего
элемента можно гиль 0=1. т к (Уя е 7. ) (ш = т • 1) (ана-
логично. можно вить а = -1).
47
2. Пусть М множество матриц вида д. 1 " . где
oeZ
Группа (Л/; ) - бесконечная циклическая; порождаю-
щий элемент группы - матрица 1 *
Если | и = И. получим конечную циклическую группу
<f *е,еГ'*tt а^е ана,еГ‘ *а' сГ
Дтя любого meZ ж = пк +г, где Osrsп-1; поэтому
а"  д' а' “ « Таким образом, если |я|=н.имсем
G(o)={e.«,e’,..., в”} .те. кХ4г)|.я
Конечную циклическую группу порядка П с обрату то-
щим элементом а обозначают G = а В силу коммутатив-
ности степеней, циклическая группа является абелевой группой
ло 1-14-0/- I(cos0 < isinO) 1е!”и непольтуя правило вы-
числения корня и-й степени ю комплексного числа, найдем
множество тначсний V1 Г, <• ’* (*eO,1,..^rr- I).
по умножению, при >том а;, =1. ег, =е„. лзе hi i л A (mod и)
В качестве образующего хтсмсита можно вить о = в,. иосколь-
Полученная группа является циклической. образующий
) является пер-
4. Группа вращений прамтлыюго »-угольника - состоит
• . ПОСКОЛЬК)

Очевидна си* двух последних групп. так как
в, = ?* (4=0.1......Л-1).	Группа вращений правильного и-
угольника играет важную роль при научении геометрических
ирсобраюваннй плоскости и имеет обозначение С,.
Упражнении
I. Обозначим через	множество матриц второго
порядка с целыми коэффициентами и определителем. равным I
Докатать, что это множество представляет собой группу (нсабе-
леву) относительно уэтноження матриц ("специальная линейная
гру ппа степени 2“) Аналогичное у твержденне докатать для спе-
иналыюА линейной гру ппы SL* (Z) степени н
2. Найти порядок матриц
j = ° 1 н /т - ° 1 как элементов группы
SC,(Z).
3. 11айти порядок матриц
ч: -:)»-(: ;)
как элементов группы .V7., (Z)
2.5. Группа подстановок
2.5.1.	Понятие гитлстпнопки.
Пусть А/ = {«,.«,.....в„) • конечное множество Дос-
таточно рассмотреть М (|,2,...,«} Лшклкиктши - втаим-
но-олиотачное отображение множества М на себя (бтккиия)
где at, а,...аи -одна из перестановок чисел 1.2... . п
Свойства подстановок
I) Количество подстановок и! (совладает с количеством
перестановок л хкментов = п'. что известно из комбинато-
рики»
2)	Существует тажОсстпеиная ши>стан»яка
са
3)	Имеется бинарная опсраши npo«iee<>tnur подстановок
(заключается в гослсдовапслвиом их выполнении) Например
Можно проверить, что эта операция ассоциативна. но не
коммутативна (для 3).
4)	Для каждой подстановки < = | 1 2	| существует
действительно. Я Я — е
группа п-ол стетии 5’„
Группа X, = {е. /»,} - Ш1кличсская груши 2-го порядка
(составьте сС таблицу Калн)
2.	Нетрудно доказать форуту ду (зг, Д’;) ' =<т, ' я, '
(докажите эту формулу самостоятельно и обобщите хи любого
числа сомножителей)
3.	ЭдСУКЛГТЫ ГрУ 11ПЫ S,
SO
2.5.2.	.1а.и.нейшие свойства подстановок
I)	Понятие никла. Гкхэстаиовка образует цикл
(о,	<ъ»»м к, если а,,аг......а, • <>е»с пашин* шю пе-
ремещаемые экмстны (остальные остаются на месте. это w-
поОтжные цементы подстановки) и при этом
а, -» о} —» о, -»...-» а„ —> а,
Пример I. Дэя элементов симметрической группы 5,
А =(13). р2 -(1.2), р, =(1.23), р, -(1,3.2). а -(1.3)
Для цикла я длины к яыгипняетси стнппшиенне
л*' = е. таким обратом, эта подстановка как элемент соот-
ветствующей группы подстановок имеет норжиж, /ювиын
<Гшме никла.
Каждую подстановку можно представить в вцде произве-
дения иекипинмых цикюа (нс имеющих общих э.кмсито«). при-
чем единственным образом с точностью до порядка следования
Пример 2
Если подстановка представлена в виде произведения
нескольких незавненмых циклов X
то справедливо соотношение
|»|-«0М|Ж||,1*11.--1Г-1)
(докажип: самостоателыю).
Пример 3 Для подстановки из примера 2 имеем
|<| ММ'(4. 2) 4;
xuidaiiixiii «шо|\ (онычноиголн aiuixtexaralii ou evnedu)
-rou оаКгжгя on. ohm яогхнп хпгапишкаи ипиагляпккк! лига
 wraexaradu оижоп икюнехэгои <м<гжгм vision лои с
•ouoiuxU .iHii.nr.'MKuodii  шмжохтес! онжок гянн ингжел<
цоявонехэгои цонхльм «зхлшян Kiiniirouoircdi шпгжя^ ахээн
ин иэхогахло нявонехэгои нхнэк.их зннчх-ехю z н | пкехэлн
ХМИЭК Kinil«OU.T«l!tU ei£ (cl) ChlMlduL-H 7 fill HIT 1-.Ч1П1 пах»
епяонсхагои тен
-х?ьан ихэонхаь ijowod sseotmiarou юнхаь нхаонхаь ноаоя
Бинго яоятииэп» MinaraoiHodu oxi> sxudModu онжо|х
(l ~ /) п"эиь шзаи*
I'lised ихяоиЕхатои чхлонх»ь / пнигг тлит nff яяшчд
О
аохилпмх яхлоихм и wndou sxuraraduQ > d»Hiid||
•а» цнимп£(кт ояхлльнхоп цпмЬтн пишжтю поклей
omii.icm'OCIuo
iimtoucxarou omdou
Пример 6. Ра пожить подстановке
> произведение транс по яший к определить сС четность
Реш-ине. Представ.заем подетаиовкт и шик ирон заеде-
» = (I.8.4)(17.3HS.*)-
Записываем циклы в шзде произаеден1и тразкполщий
(1Л4).(1.»)-(1,4);
(2.7.3)-(2.7)-(2.3)
Таким обратом, полетаем разложение
» = (1,8)(1,4К2.7)(2.3)(3.в).
посколыл оно содержит 5 транспояшин. отсюда слсдтст. что я
псчСтнаа подстановка И i этого ратложениа кельта определить
ЖСНИИ ЦИКЛЫ № яв.тяютса независимыми
1. Найти порадею подстановки я (с проверкой) и се чёт-
2. Найти порадок подстановки я (с проверкой) и ее чёт-
ii произведение транспопшин и определить сё порядок и
4.	Представить цикл (1,2,3.4) е 5, в виде произведения
транспозиций
5. Представить подстановку '51264’ wu<:
произведения транезюзнинй
6.	Найти подстановку, обратную произведению данные
трех подстановок (двумя способами»
~с::з н::;: ::::
7.	Найти подстановку обратную произведению донных
трех подстановок (двумя способами):
8. Записать ракзичпыс степени подстановки
х =(0.1.2.3,4.5). представив их в виде цикла или проитвсдс-
9.	Найти •г'*, 4.саи ж = (
10.	Найти . если я ~ |
II.	Перемножить подстановки а и fl на множестве
Л/ = {1,23,4,5.6,7.8}. результат представить в виде luiK.ia
а •(1.2.3.4.5). fl и (1.6.7.8)
12.	Перемножить подстановки а п fl иа множестве
М = {0,1.2.3,4.5.6.7|; результат предстамгть в виде никла
a-(0.L23.4) ./?-(0.5.6.7)
13.	Выполнить умножение Результат представить в
виде цикла: (6.5,4,3,2,1.О)(О.1)(О,|.2.3,4.5.6)
14.	Выполнить умножение Результат представить в виде
(6,5,4,3,2,l,0)(l,2)(0,l,2,3,4,5,6)
а) ха = fl; b)ax = р
16. Решить ураытеиие а Я fl = <р. если
17. Докатать. что нодсганоаки X и X ' имеют одинако-
вую четность
2.6. Подгруппы
ЛогТ.уттнпо ( Н) • часть группы (G; ) . сама аа-
лаюшааса группой Проверка того, что { Н: ) аттластса под-
группой группы ( (>	):
1) HqG;
2) Множество Н тамкиуто относительно групповой опера-
ции (сслиг/.А е//. то о ЬьНу.
3) если <чН. то я'е// Отсюда следует, что
а а 1 =с«Я
Примеры I {е} и 6. очеаидио. аа-таютса подгруппами
3. (р(|Л|-1)); ) - подгруппа группы (л(»);).
В пропшольной группе (<>. ) рассмотрим множество,
обраюваижк- асектптожиыми степенями некоторого момента
ae(i- Н = |?,я.я’,о’...).
Это множество обрату ст подгруппу группы <> (проверьте
самостокп.-.п>мо!) и налынаегса тунктнческиб лш*.-р.гл>к>1< .утгитш
гл»
Korndou з;| maowcxorou xeiusi. шкшз чэз iioiuoi. ишиМдо Ч»
-НЖСиГОИ И ЯОЯОНШЗГОН ХНШЗк Х.ЙГ МШ.Ч'.ЮТПОЛи йШ1'ОЯЗО||
(“р тш<л/.‘ пжиэпжЬишвнг) "у Huuidj ouuidnrou - шинок
•oik » жхюнпюгои хкнхоь хм» смимж»1|^ > donudii
MOHO.-H.lllTIMn ХЭЮИПК •) EUU <<Ь {)
иоиииЬ м.м» оз юггаиоэ н сии xd iroti ккяэзьигянп m og
-ОН МИ|М1П'«1 <И <Х30«>11|Л<1(|1 кзэкм ‘у -|о| них ijohi..iho>i эж
-щи 1-тг\о виимЬгои эышн iiiuidirou оалжюынгхкп <м<ньжсм
Упражнения
I.	Проверит,. используя таблицу Кэли для группы
Д={е.(|ДЭ).(1.3.2))={е.А.р.)
Проверить также. что .4. {:•,/>,,/>,) {г./з4,р,}(иив
лическая подгруппа 3-го порядка с образующими />, и.ш р,)
2.	Записать подстановки, обрету ющне гру ппу А,
подгруппу гру ппы St? Составить таблицу Кэли
4. Образуют ли по.астаноаь-и
подгруппу группы Sr? Составить таблицу Кэли
подгруппу гру ппы S.Составить таблицу Кэли
обрадует подгруппу группы невырожденных еятртщ второго
7.	Построить циклическую подгруппу (т) с обрату юлки
8.	Построить циклическую подгруппу (») с образующей
2.7. Итоморфитм групп
некотором смысле одинаково Если это конечные группы, у них
должен быть одинаковый порядок Операции могут быть олре-
(у эпк групп одинаковые таблицы Кэли с точностью до обома-
(олинак
Группы ; ) и (<<,;•) с единичными элементами
е, и е,. соответственно, нюлюрфны. если между их элементами
можно установить вгаимио олноэиачиое соответспмк (бнек-
иию). сохраняющее групповую операцию
Подробгю G, «(7,. если I) G',
«Кг/, 6, )-Н",) •*’(*,)
Отсюда следует:
1)₽1**1<тк ц-ц	теЦ«0“«т>;
2) если а, *-*а, .то а, 1 «-ко,1
(тж. << у-^е1)=с’,=^ц)*<4<<)-т.е.<4ц,)=с1;').
Пример I Все циклические группы одного порядка
а кюморфны между собой Например, группа вращений (\,
правильного п-у голышка и гру ппа значений VI
Пример 2. (д'; •)•(«; +) - достаточно постронть биек-
цию
praolna. те. #>(а)=Inn:

V>(a/>) = ln(«A) = In о + In A = <p(a) + 40(A)» lne + InA.
те </A<->lno*lnA
Пример J. Группа вращений правильного треугольника
(группа . см п. 2.4.. пример 4) Обозначим вершины тре-
угольника А (|), В (2), С'(3). Треугольник переходит в себя
при поворотах вокруг центра О треугольника
ш угол о <р„=е (тожзсствсниос преобразование).
на угол	««(LlJj-Qj’j-A-
на угол	*>-(И,2)-рэ”)-й
Таким образом, группа epaiuciniit С, правильного три-
угольника изоморфна подгруппе {е,/а,,/а,} группы подстано-
вок 5,.те группе А,.
Пример 4. Группа самосовмсшеннй (симметрии) пра-
вильного треуголышка икнк>р||зиа группе А\ Действительно.
треугольник псрехолзгт в себя при преобразованиях:
тождественное преобразование с:
поворот на угол -т
попорот на угол —
симметрия относительно СО
симметрия относительно АО
симметрия относительно ВО
Пример 5. Обобщением групп, рассмотренных в Приме-
рах 3. 4 служат так называемые .‘/гзплы п/нтиз/миизинни Пусть
А/ - произвольное множество fliKtH'ipuunumieu инииттчи
отображение (биекшпо) этого множества на себя Умножением
прсобраюваннй назовем их последовательное выполнение: эта
операция ассоциативна (но не обязательно коммутативна!) Роль
единицы для этотт операции играет тождественное преобразова-
ние г, оставляющее вес элементы на месте Дзя каждого прсоб-
нис , ставящее в соответствие каждому элементу из М его
прообраз при прсобраювании Р, при этом, очевидно, что
РР' -Р 'Р е
Таким образом, совокупность всех преобразований мно-
жества М относительно операции умножения преобразований
образует группу - группу преоб/юаттнН 5(Л/) ыначттва
Если множество Л/ конечно и содержит п элементов,
соответствующая группа прсобраюваннй представляет собой
Важными прззмсрамп трупп преобразования служат груп-
па вращения правильного и-угольиика (см и. 2.4.) и груши
симметрии (сазюсовмсщсмий) правильного и-у зольника /)„
Рассмотрим еще 1
образование можно задать в матричной форме Для этого в про-
странстве Я" зададим некоторый базис	Между
линейными преобразованиями и квадратными матрицами по-
рядка п можно установить взаимно однозначное соответствие
При этом линейное прсобракмзание имеет обритое прсобраю-
этом матрицей обратного прсобра ювання служит обратная мат-
рица А 1 Таким обратом, приходим к .утуиие иель^язжгЗевмыт
щей ей (изоморфной) группе неяырожлеиззых квадратных мат-
риц порядка п относительно операции у миоженпя матриц
Частным случаем изоморфзззхза является оззизозиз/ч/зизи *
изоморфизм группы (I на себя Все автоморфизмы группы (1
обра1уют.7>тт|пу <лп«гимиу1ф«гмгж JutG
Пример 6. Для VX € (/ рассмотрим отображение
у> згз-rgxg ' (xeG); это отображение является ав-
томорфизмом группы (i Действительно, для VyeG из
соотношения i =♦»(») = gxg ‘ мелует x = g 'лх.т.е, ото-
бражение </> - биекция группы G на себя Далее
«>(*>') = gw ' = (кчг ' )(xw ') = «’(*)♦’(.»’);
следовательно. отображение </> является автоморфизмом
На практике встречаются случаи "неполного" изоморфиз-
ма групп (Ц; }h((zi;b)
I) / auauo/зфиги отображение	сохраняю-
щее операцию: (Va.fteG,) ?(<> A)*p(a)*p(h)
2) Члизятрфипг - сюрьсктивный готюморфигм. т е ото-
бражение группы G, на группу G,. сохраняющее операцию
Пример 7. Возьмем группы G, - X.. G, -(1 - мультип-
ликативная группа чисел {I. lj Пусть те\ и рассмотрим
отображение <р: S,з~» (!. построенное по следу ющему закону:
р»( л) - 1. если я - четтзая подстановка.
<»(«) 1 -1 если п - нечезиая подстановка
При ЭТОМ #>(<!»", ) уз(т, )уз(х,) зюэтому р> - ззизмор-
з|иззм группы на группу G .
Пример 8. Пусть (1, = (Л?, (/?),), G, = (й \ (0},-)
Построим отображение V: G, з-> G,. сопоставззв каждой мат-
рице А е Л/, се оарелслззтель .4 | Так как | .4, А, |- Д || А, |.
то <р представляет собой зх»зоморз|итз (j, в (j, Поскольку
для каждого d * 0 существует матрица А е. М,. для которой
| А |= d (например, диагональная натрина
Введем ешс одно важное понятие Полный гзрообраз эле-
мсита е, при оомоморфцтмс <0 : G, з-» G, называется яйрпи го-
иолюрфныа <р я оботочастся Ker tf>
Ker(p- (хеЦ |?(х) = е, J
Можно доказать. что ядро всякого гомоморфи зма является
подгруппой группы (i, (см упражнение 12 га стр. Я).
2.7.2. Теорема Кзлн. Как видно из рассмотренных при-
меров. гру ига подстановок играет в теории гру пл и се притоао:-
ниях особую рол* Имеет место общая теорема, устанактиааю-
шая свя зь между проитволкной впнечной группой и множеством
подстазкнюк
Теорема Кзли. Всякая конечная группа порядка п ию-
морфка некоторой подгруппе симметрической группы \
Докатательстпо Рассмотрим группу (I порядка п отно-
сительно операщзи умяожеизиз
G = {о, = е. о,. аг.
Возьмем произвольный цемент группы
рт: (} н»(qf. где v(k) = <’Х =	..". зХ>
В сзезу замкнутоспз группы (! отноезпельно умзюжеиззя.
вое по.тучениыс произведенззя являются злехкззтамзз этой груп-
справа на g 1 е G. получим. что « = а,. те j - к Таким
образом. полученные прои заслепив представляют собой осе «•
менты группы (т.н мы имеем отображение р(т >~э (У. те под-
становку множества G Перебирая все цементы группы
g = a, {/ = 0.1...П -1). получим п подстановок втиа
°* °'	" а"< . образхюшпх подгруппе грхппы
la„g a,g a,g ...a._,gj
S, (это следует in дальнейшего)
Покажем. что взаимно однозначное соответствие (биек-
ция) <t>(g) сохраняет групповую операцию н поэтому прсдетав-
стаиовок Дзя этого докажем соотношение
«КХ>Я:) = «»(Х|ЫЯ.-)
, Л	Н ад ад «л ••W.
Ч&ц&ад  4,gJ ^адвтадладл-й.да,
а’
«>«> «т«>
( “.Кт «|Я| «аЛ —в.-зЛ \
(ЛХ|Ха в|&& “1Я1Х- i&X»J
что и требова.тоск доказать
ПримерЯ. Группа палстанооочиых матриц тмо порядка
изоморфна группе Л’„ Пметанивочпая лютричч - матрица, в
Каждая такая матрица получается из единичной матрицы
соответствующего порядка некоторой перестановкой строк (тон
показать. 'по произвсдсшк двух подстановочных матриц < од но-
оттершим ум-
рии п-го порядка образует
ставить в соответствие подстановку и-ой степени по следутоще-
му правилу элементу ал = 1 в подстановке а соответствует
соотношение я(з) -1 Например, матрице
соотвстствует подстановка
нню матриц соответствует пронзведенне подстановок: следова-
тельно. это соответствие является изоморфизмом
Пример 9. Рушим нтвеептую головоломку сколькими
Priueioie. Обозначим горизонтали и вертикали шахматной
доски цифрами 1.2....*	Из условия задачи следует, что в каж-
дой строке и каждом столбце доски помешена одна ладья Тогда
каждая искомая потнштя может быть описана некоторой под-
становочной матрицей 8-го порядка ши соответствующей под-
становкой 8-й степени, принадлежащей группе .S’, Порядок
матриц Всякая конечная группа (> порядка я в силу теоремы
•'»„. которая,  свою очередь. июморфна подфуипс группы под-
становочных матриц п-то порядка Таким обр«
стоя соответствие между конечными группами и подстановоч-
ку всякую (имстаиовку молено представить
в виде пронтвелення
независимых циклов. граф подстановки распадается на нссколь-
рицу смежности
и граф (Рис 2 1.Х
Июморфнтм групп как отношение жинвалентности.
Изоморфном групп представляет собой отношение на множестве
всех групп. Нетрудно проверить, что для него выполняются ус-
ловия: рефлексивность. симметричность н транзитивность. сле-
довательно. июморфизм является отношением эквивалентности
изоморфные между собой группы Этот класс можно рассмат-
ривать как абстрактную группу.
Упражнения
I.	Описать rpvnnv симметрии ромба, составить тзблиих
Кали
2.	Описать группу симметрии квадрата составить табли-
3.	Докатать, что все группы порядка 2 изоморфны между
собой
4.	Доказать, что вес группы лорика 3 изоморфны междх
собой
5.	Доказать, что все коммутативные группы порядка 4 де-
лятся на 2 класса групп, изоморфных между собой Это означа-
ет. что всякая коммутативная группа порика 4 июморфна или
клейновской группе = {r.(L2>(3.4).(LJ)(2.4).(l,4)(2.3)}(см
упражнение 3 на стр 39) или группе С, вращений квадрата
2.8. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа
2Л.1 Левые смежные классы. Пусть G -(</.) - груп-
па, Я  (Я: •) -сё подгруппа.. Я«ыи смежный кмктшг по пт>-
группе Н для элемента я с Г» натыкается множество
аН - | л е G | к = ah. h е Я)
Если Я=|/|=«4-'А |-10 “И	Левые
смежные классы производят разбиение группы G на киксы
слкмпосты.
Дзя лосазательсти лого утасразлкния введём на множе-
стве G бинарное отношение р следу юанем образом
apboa = ЬЬ.гж h а Н (т е. 3heH\a = M>t
OTMoriKiHKM зквквалсгпиостн
I)	ара.т.к а = ае (рефлексивность).
2)	apb Ъра , т.к а = bh b = ah ' и Л ' е. Н
(симметричность):
3) apb и Ьрс =»арс. т к. а - bh, и b =ch, ^a=chj\ - ch, .
где А, = Л./г, е Н (траиттивность) Таким обратом, элементы
к и а » G являются эмшш»емтмыив относит»'мно поЛугуппы
И (левая экшига-тентноегь). если х = uh, т е. х е аН
отвстству ющему классу аН . При этом если классы аН и ЬН
пересекаются, то они совпадают
Таким обратом. G-И г а,Н •... < о, ,Н (в правой час-

Класс. совпадающим с подгруппой Н. подучается при
группой Н
2Л.2. Теорема Лагранжа (фраицу текли математик. 1736
1*13). Порядок всякой подгруппы конечной группы G является
делителем порядка группы G
|G|=n. Н - ее подгруппа	Иг построения левых
смежных классов видно. что каждый класс аН содержит М
Пример I. Найти левые смежные классы группы .S' по
подгруппе Н - |е. р,).
Решение. Запишем состав группы .S',
S'. =|е. АЛ./’. Р.Р, I
В пашем случае II = 6, Ш = 2. следовательно. It = J. Ум-
ножая каждый э.техктгт группы <> на все хтсмситы подгруппы Н
слева, получаем
е«-Н.ЛИ.|Л.»).Я.АЯ-0’„Л).
р.п -(л-л|. р.п • {р. рА-р.п - |а-а|
 аким осраюм. iixiocM л .к
*.|л.д|.|а.а)
является делителем порядка ipy ппы (достаточно построить цик-

порядкх группы, и порожденная нм циклическая подгруппа сов-
падает со всей группой).
Следствие 3. Всякая полгрмта циклической группы яв-
ляется циклической
Действительно. собственные подгруппы существуют, если
порядок п группы (i - составное число
(i • « , лХ’ п тк
Из соотношения а" = (г/1 )Г = е следует, что а‘ - мо-
мент порядка т Подеру гига
Н = а' _ = {г,о‘.«*.....в*”1’*}-
циклическая подеру ппа порядка т группы G Можно показать.
справедлив для каждого делителя числа
2.8.3. Правые смежные классы. Вводятся для подгруп-
пы Н группы <> аналогично левым смежным классам:
Ha-{h,a, h,a..ft„</)
Как и левые, правые смежные классы пропиюдят paifinc-
нис гру ппы <i В общем случае левостороннее н правостороннее
разбиения могут нс совпадать, ио каждый класс содержит т
злемситов. еде т Н Н |. Полому количество правых смежных
классов (как и.левых) равно индексу подгруппы Н вгруппс<>
Пример 2. Найти правые смежные классы группы 5, по
подгруппе Н = |е. />,|
Решение. Аналогично решению примера I. находим пра-
вые смежные классы (выполните самостоятельно):
w.{/’ Мл.л)
2.9. Нормальный делитель группы
Может окатиться, что риюиспне группы G на .тевьк и
отвстству ютцип элементу а е G . обоэнача-
Wa,+...+ /fa, ,
этой подгруппе ис совпадают
и. гл
правостороннее разложения труппы
4, и .V, \ А, (миожесттю нечетных подстановок) Оообтпенне
ем. а упражнении 4 на стр. 51
группу порядка I». порожденную элементом U.n качестве
подгруппы Н циклическую подгруппу, порожденную эле-
ментом а’ Найти разложение' группы G по подгруппе И
Определить, является ли подгруппа Н нормальным делителем
Индекс группы Н равен * = 12 = j. отсюда следует, что
качестве подгруппы Н возьмем циклическую подгруппу. по-
рожденную подстановкой X - (1,2) Найти разложение группы
(/ по подгруппе Н Определить. является ли подгру ппа Н
'«скую подгру ппу порядка 2: Н [е, р, | Индекс группы Н
равен к - j дм нахождения левых сыежиых классов дос-
татки» умножать моменты подгруппы Н на моменты группы
(i. не принадлежащие Н
= |Л-АI 	= IА-/1 h 7’^ = |/’.А I • А" = I А-АI
на левые смежные классы имеет вид: <>' = Н + |А-А |+ {/’< Л|
Аналогично находим раможение гру ппы (> по подгру ппе
Н на правые смежные классы (> ~ Н + {/»,./»,} + {/>,,/>,}
Укажем признаки того, что данная подгруппа Н является
нормальным делителем гру ппы G Из определения нормального

(II)
Последнее соотношение
(VActf) а/ш'сН
1эфнкснровав элемент а и меняя geG,
купность всех хтементов he(i. сопряженные и
множсстас (1 есть отношение эквива.к.чпности (докажте это
самостоятельно!) Вследствие этого, классы сопряженности об-
Признак (II) нормального дсл1пеля можно сформулиро-
вать следующим обратом:
Подгруппа Н является нормальным деятелем груп-
держит все элементы. сопряжённые Л. т с класс [Л] (III)
Отсюда следует, что нормальный делитель состоит и»
сы сопряжённости
Н = С [А ] = {А. А. А1 [а ] = { а . а!
Нормальный делитель тру ппы Л. = [е] + [/>, ]
ймечание. Покажем как можно обобщить разбиение
группы на смежные и сопряженные классы Рассмотрим группу
преобразований 'i(M) некоторого множества Л/ (см. п 2 7 1)
,1е1кттел1 группы G на множестве М называется любой го-
моморфизм (см п 2.7.1) а: G >-» S (М).
М о тачает поставить в соответствие каждому элементу
gC(i прсобра юванне of(g)eХ(Л/) таким образом, что
а(хЛ) = а(х)а(Л). при этом единице группы (1 соотвстетву-
Рстультаг npaiMciKHHl ripc<x>pa тоттаиил a(x) к элементу
эквивалентности - (cm. n. 14) no следующему правилу
сио.мы отношения тквива.1ситносгм проверьте самостоятельно!)
Классы экмиталеитности иптываются о/юитаии Таким обра том,
орбита элемента X е М сеть подмножество
Для любой группы Ч можно определить ос действия на
правыми сдвигами r(g)x - ЧГ'1;
мами)а (g)x = gxg '
(соответственно левые) смежные классы по Н
Элементы группы G. эквивалентные относительно дейст-
орбиты этого действия - емп-иио счпрямИниых аге-
2tD 01
niuubroii uuucou мэслде  (+ :z) ouu<d | 'niiunuj
£ = ц auu <dj
-roo ou (<‘z) miuidj omnwoiTud И1исц •„ dowudu
til'll 8-'<in<i'9<u кмзепя милсга хмм. см wiuiedouo
oaociK мне пясомызжЬи aram-oaniodu гаоиатмЬц
•(•rf W л) = я= н
гак» KHodiao) | (9 dac
ихэомжако назекх lutodiaoj | (9 daiuid||)
ИЯ'ЛиИ'Л' KlWHTIUlOM $0 КЗХЖ1Ч» [	‘ ‘с/ "<5 } = ‘и = // О|

Стю» : ‘ = Г) шэ<|Д 01 dawud(j
Н/D «Э1ЯИ.ВН1
•090 и /-/ омаиилг лкомясскЛои 90 ои у нимШ- nouu iUidnui
»оф ИЭ1.ММПГСН еии <di ci£ //	’// зяп «экиа-» пяинэкм'с
книьишпгэ ком. udu : wuvdi uitudgo q iiaunedauo nni им мои
нм-жмкю э | /Л оиэажоин аи> 'uitdauodu oiiiSdmn
4t> = 3 WJ- H=’HS>'H
.ЗШОЗЖОИЛ g wauinr HiwqiTodOH 90 - у cmiwlrrou -cuiimLi
- у Ч1ЭЧ] пия0пгя(> .(кпнчняккт f» гш у rwuM- nuu4U*
яинмои K.-vraaa еинёи оюнмег лнильоихк g
(01 euei i |f| к») тх и пэоаз лиимлеж
-ted Wc)( <KOdcKU чиокостм онмлшкоя онжок (.ооло ен 11130111л
-Ю. Il j М13ЯЖОМП CM NUIlidl ПШЭИОГ ЛМ1НМО11 ,if.4l'0U3||
Поэтому имеем разбиение множества 7. на классы:
Факторгруппа ZIH = ({(’}• +) " гРУппа вычетов по мо-
Упражнения
I. Вы писать «ее подгруппы группы .S',
2. Убедиться. что подгруппа Н — {f. />,} не является
нормальным делителем гру ппы .S',
J. Убедиться, что подгруппа Н = {?,/>,} нс является
нормальным де.тлггслсм гру ппы S',
4.	Доказать. что всякая подгруппа группы < z. имеющая
индекс 2, является нормальным делителем гру ппы (>
5.	Пусть гру ппа G - Я 4 ; в качестве подгруппы // взя-
та циклическая подгруппа порожденная подстановкой
X = (1,2,3) Оп|кдс.ппь является ли подгруппа Н нормаль-
полгруппе Н
6.	Найти расюженпе группы
7.	Показать, что подгруппа .4, является единственным
норма.тьнымдслзггслсм группы S',
нормальиым делителем группы .S', (Аналогичное утверж.депис
- группа невырожденных матриц порядка и
что подгруппа Н
II. Пусть (i - труппа иевырож_инных матриц второго
порядка с действительными коэффициентами и операцией у м-
ножеиня матриц. Н  подгруппа матриц втиа
. где ас й (см. Упражнение6и»tip 39).
Проверить является ли Н нормальным делителем в (»’
12. Докатать, что ядро всякого гомоморфизма
<р: G| t-»G, (см. и. 2.7.1.) является нормальным дслнтс-
3. Алгебраические структуры с двумя бинарными
операциями
Основными из таких структур являются ппьца и поля
3.1.	Понятие кольца
Алгебраическая структура К (Л, * , •) называется
кпшуитг. если выполняются икетюиты китыю
(I)	данная структура по сложению абелева группа (отМн-
тивная грутю кольца):
(II)	по умножению - полугруппа (тс умножение - ассо-
циативно).
(III)	операции "+" и связаны двумя Листрнбутивиьит
(I) (.♦*),—*
(2) c(a-h}.ca<ch
В дальнейшем белом использовать обозначение
Нужно отмстить <тто в литературе а определении кольца
часто откатываются от аксиомы (II). т с от ассоциативности у м-
ноження В соответствии с этим, лиебраи-аееку ю етру ктуру, лит
которой выполняются аксиомы (IHIII). будем называть ассо-
циативный кптьцом. при выполнении только аксиом (I) и (III)
неасс<1ЦЩ1яшты.ч ксинцаи.
76
Рассмотрим важные частные случаи колец (ассоииатив-
Лиииутитзмное «пьцо Чи.Ь е К (ah « ha) Тогда
из дистрибутивного закона ( I) следует (2)
Ноллцоседшшцей Зеш1д-еК| («»«) УаеК
В кольце с едннткй дш некоторых элементов об К
стоуст ийршпнмЯ эмгменлл а ' такой. что
Л(х) = 0- поеле чего необходимо решить
«ее уравнении /(>г) = 0(| = 1.2.и) и объединить множест-
ва полученных решений
В произвольном кольце (элементы которого не являются
числами) по свойство не обязательно выполняется В свят с
этим важную роль играет понятие депонент» нузя
Если ^а,Ь е К . из соотношения ah = 0 следует, что
можно сокращение общих множителей
Ь-С (этот факт докажем позже), аналогично можносократить
равенсзво ha =са
тманое кольцо без делителей пула Пошшю. 'по числовые коль-
мн нелоспюсги Примеры иечтк.товых областей целостности
будут приведены ниже
Свойства кольца
I)	«О-Ои-О:
2)	-(-«)»:
3)
Дока1а1&1ьсгво
I) об - <т(Л । 0) - об • об =>о0 • 0 (• силу сдинстоснно-
сти нулевого элемента).
2)	(-я)+я = О:
3)	(- «)Л ♦ ab = ((- а)+а )Л = Oft = 0. следовательно.
(-а» = -И).
4)	(-«)(-*) -(-«>*	(-И» Я*
Можно обозначить a -ft = я + (-А). Таким обратом, в
кольце всегда выполнимы три арифметические операции
5)	Обобщенный такой дистрибутивности Сначала можно
докатать дистрибутивный такой (I) хм трех н П слагаемых
(я	, +яг + ...+я,)^=я,/> + аг6 + ... + я,Л.
аналогично для закона (2) Затем можно докатать, что суммы
элементов перемножаются по правилу перемножения мпогочле-
(я, + я, я ... • я.МА +*, •  *Л_)=££я,Л

ПМНОСТИ ДЛЯ рбПМОСТИ XK’MCIfTOB
(я - Л)с *ас - he ; а(Л - с)в яЛ - ас
Примеры 1. (ягЛХя ft)-я’ аЛеЛа Л’’-я1 Л!. ес-
ли колыю коммутативно Аналогично, в коммутативном колык
выполняются и другие формулы сокращенного умножения, в
том числе формула бинома Ньютона: (а + Л)Г = ^С;<т*
.™,м.шв,КЛ
2. {М(яхя). ♦ ..) - нокоммттатиююе кольцо с «ти.
т-сэ
(ааюппно м матриц любого горшка) Кольцо таких
„цбхдсм обошачать V. (Z). М. (0. М. (Л) . ти».
2.Д
ТХиЗ»'Л» Z-'Г'*!’ 1 к «юс-:
(МНМ-0 ч)Ьоч-й)*-«
(Vx) xxx «0;
(Vo,Л,cj о х(Л хс) + Л x(i'xd) + с х(охЛ| = 0
(локазательство второго свойства известно из всыорноз. айсо-
ры) Кольцо с указанными свойствами называете» казы*ам .Л
(Софте Ли (1X42-1X99) норвежский математик. создатель тео-
рии непрерывных группу
4. Кольцо А'[-т] многочленов Р„ (х) с коэффициентами
из Л'(коммутативного кольца с единнцей) с обычным определе-
нием операций сложения и умножения. тле
/’ (*) = + "Л + о,х’ *... г а.х‘
Это кольцо без делителей тля
5. Кольцо функции. определенных (непрерывных) на за-
данном отрезке (или всей числовой оси), с обычным определе-
нием операций сложения и умножения функций:
(/ +Х)»“/(х)+х(х); (Лг)х = /(х)х(х)
В качестве ну левого и сдзи1ичиого элементов используют-
ся функции /(х) “ 0 н /(х)я I. соответственно В этом ком-
мутативном кольце имеются делители нуля Например. в случае
отрезка [-1; lj в качестве таких элементов можно взять фу нк-
7.(4"
Очевидно, что /(x)/,(x)a0.
Следующий пример играет важную роль в дальнейшем
исюжсиин и поэтому будет рассмотрен отдельно
12. Кольцо ВЫЧГ10В но данному модулю
« и обозначим <1 = Л (mod л), ест (a-h).n
представляет собой отношение >квиааленпюсп1 на множестве Z
(см. и I 4) и поэтому проииюдит раюиснис 7. in классы жвиаа-
жипюстп С,„С,...С._, («€<’, «если а в i (mod »))
Например, при п = 3 имеем Z	где
С4 ^-хшя4;<;4^-ги74.^4-нчад&4.
Введем операции над классами С0.С,.С,_,	с помощью
следующих правил
I) С, + (', • С\. .w m « It + /(mod л);
2) (\С, «С,, где д м kt (mod n)
Составим таблицы Кхти для операции над классами С
при » 3 (случаи и 4.5 рассмотрите самостоятельно):
_________________________ ГаЛшца.М
	(	с(	
(	св	(	
(	г,	( ,	
	с.	С-	
	С..	с,	(
с*»	с..	fV	(
с,	с..	Cj	(
С:	с„	с,	с ।
Та&шча 3.2
множество классов С образует аддитивную группу.
С„ - нулевой Э.1СМСИТ
Из табл. 3.2 видно, что у множеиие классов - коммута-
тивно. - единичный элемент: делите.кй нуля множество ('
Выполнение закона дистрибутивности можно проверить
кольцо имеет обо июне hik' Z,,
Упражнения
I.	Составить таблицы операции над классами в множест-
ве Z,
2.	Составить таблицы операций над классами в множест-
ве Z,
3.	Докатать. что (a-b)cmac-bc; a(b-c)=ab-ac
4.	В множестве Z кианы операции слоикния н умноже-
ния с помощью следующих правил
(al,4)+(etA)"fa+<>>.V*>b
Докатать, что множество пар с введенными операциями
обрадует коммутативное колыю с единицей и делнгамми нуля
3.3.	Булево кольцо
Ьу.тегши т»л(о.и натыкается ассоциативное кольцо
К	все элементы которого пдемпотенттш. те для
любогоэлемента хе К выполняетсясоотношение
« г	(II)
Отметим основные свинства вутевых катету
1.	Дэя каждого элемента хе К имеем:
х + х = 0.	(3.2)
Действительно, для хе К имеем всилу свойства(3.1):
х+х=(х+х)‘ =х* +2хг -ьх1 =х+2х+х=(х+х)+(х+х).
откуда, в силу единственности нулевого элемента кольца, сле-
дует. что х + х = О
Слелствие 1. Каждым элемент бу левого колыю противо-
положен самому себе: это следует иэ формулы (3.2).
Слелепмк 2. Ит соотношения а - /7 0 следует. что
а Р Дс(»ств1ггелыю. достаточно прибавить к обеим частям
иданного соотношения Р а + (Р У Р) р, тл. а Р (этот
2.	Каждое бу лево коды» коммутативно. тс д» любых
а+/?-(ог+Д’	-<т»^/Ьт/?-(ст+Д»(<^+/5Ь)
дует. что ар + Ра = 0 теперь свойство коммутативности (3.3,
получаем ш Следствия 2.
Пример. Множество /’(.4) всех подмножеств множества
А . тле в качестве опсраикй кольца цело.тыоваиы операции объ-
единения и пересечения множеств
Булево кольцо тесно связано с так iraiunacMoii булевой
дтгеброн (см п. 4.3).
3.4.	Поле
3.4.1.	Понятие поля. Поле (/*.•,) коммутативное
кольцо с единицей. в котором каждый ненулевой элемент коль-
жеиню) При этом считается, что нулевой и ел»
ты поля нс совпадают < е = I,. * 0г). Обе опери
стрнбутивиым законом
Ненулевые элементы поля образуют абелеву труппу по
умножению Таким образом, в поле можно выделить две абе.те-
(Р; + ) - абелева тру ппа по сложению (итМилннштп1 .•руп-
{ Р \ {0); ) - абелева группа по умножению (мульпнпим-
Новое по сравнение с кольцом;
2)	Существует единичный ЭЛС.МСИТ 110.1» t “ I,. * Op .
3)	V<i e A, и * 0, За 1 e A | aa ' = a 'a = lf .
Наименьшее поле содержит дна элемента (о.| | (проверь-
те. что они обрату ют поле)
3.4.2.	Примеры полей
Пример!. Числовые множества
- > •{* «••) (с*.-) -по.»
{Z: +. ) -ис является полем (нет обратных элсмс1гтоа);
коммутативное кольцо с единице» бот делителей нуля.
(2Z. <. ) коммутативное кольцо бел единицы бет де-
лителей нуля.
Поле Гаусса ({а+Л/|а,Ле£>}; >, };еелнже a.fteZ -
i a.beZ iuu a.b e К - ктпырэ
’ a, beQ - пож (i«.k. a‘ * 2Л’)
Проверьте аысха тайные утверждения самостоятельно!
Пример 2. Множества матриц
(М(»хл);+, •) 1К.’КОММ\Т>ПИНОе кольцо с едини-
цей. имеющее делители нуля.
Множество матриц aiua Л «( " * , .Me а. b е Z •
нуля (Для любой матрицы А | А |= и - 2Л «0. поэтому
IА А1-1ДIM, 1*0 >.
обрадует поле (цхии-рьте это!).
определяемые по аналогии с мнимой единицей г для комплекс-
ных чисел; в этом случае, как известно. Г - I При определе-
нии кватернззогюв перемножение мнимых единиц задается сле-
дующей таблицей:
	1	1	
	- 1	к	-J
1	к	_ 1	1
к		i		(	- 1
а&шца 3.3
Для кватернионов определены две операции сложение и
Если I, =в, +^т + с(/ + </,4, х, =а, +b2i ^c^^d.k,
то. по определению.
=(" *"з +*sP + k> +сзМ*(Ч +О*	(J2)
Произведение и нахолзгт ззо правилу умножеиня
многочлена на многочлен и с учетом таблицы 3.3
=(ца -Л,6 v ././>-|./Л	।
+*« -Mb+(М	-<а)*
Можно проверил». это умножение кватернионов ассоциа-
тивно (достаточно проверить это для кватернионов вида
a, hi, с), М ). При этом умножение кватернионов не еоммтта-
лзвно например, з/ = к. но Ji = -к .
В качестве нуте кого хтемсита множества кватернионов
выступает кватернион 2-0 (а - h - с = </= >)) в качестае
едниззчного элемента - кватернион : д I (о = I, b = с =d ’ 0)
«3
Для нахождения обратного кватерниона для -• * О молится по-
нятие сопряппииого ыипи/ниюна. По аналогии с комплексны-
ствс обратного для кватерниона : * 0 можно взять кватернион
(ЛСНСТВИТеЛЬИО, ”
Таким образом множество кватернионов по сложению
гативную группу (для кватернионов
кватернионов обрадует тело
Теорию кватернионов создал нгамснтпый ирландский ма-
тематик У Гамильтон (1805-1X65) Интересно отмстить. что
создание этой теории да.ю большой толчок развитию ясктаршЛ
аяабры Действительно. рассмотрим произведение "чисто век-
торных" кватернионов а = <»,/ * a}j ♦ a,b и b b,i + b, j 4 Л,*
Используя формулу (3.3). нетрудно получить:
* НМ 4<2Л	«Л)/ -цА)Л(цА м)*]
"Скалярную часть" («,А + «А ‘«Л.) полученного
выражения У. Гамильтон назва.1 скаарпы.» п/юизвеРете.» век-
торов а цт т atJ • a,i и Ь b^i т b,j • Ь,Ь (впоследствии
знак *-* в скалярном произведении стали отбрасывать), а "век-
торную	часть"	npoiaBcacinia
(аД - а,Ь,)/ + (яЛ, - «Д ) / + (т^Л, - игЬ, )А яуюмужым п/язнз-
itteter/Mt'u а > Ь упд вектюухм) В таком виде впервые вошли в
матсматикх операции скалярного и векторного произведения
3.4.3.	Свойстпа поля
I)	Так как поле является кольцом, оно обладает всеми
свойствами кольца (см. о 3 1).
2)	Поле нс имеет делителей иу ля
, „ если а * 0, то u'ab = b = 0
ab = 0 =»
если Л * 0, то abb = а = О
Следствие Сокращение формул. Пусть
ah и ас (а * 0).
Тогда a(h с ) = 0, откуда Л - с = 0, те ft = с
3)	Решение уравнения ar = I) (я # 0) Х-а'Ь
Обозначим Л ba ' • a',h Можно доказать обычные
свойства дробей:
|)£.£a»W-*c;
Выпал В поле выполинмы псе четыре арифметические
операции (кроме деления на нулевой элемент)
3.5.	Поле вычетов по простому модулю
сов вычетов прн п=3.4.5. видим. что при п=3 и 5 эти классы об-
разуют поле, а прн п=4 нс образуют Имеет место важная
Теорема Кольцо вычетов Z„ образует поле только при
простом » = /з (поле вычетов Z, К
Доказательство I) Пусть Я «И, к <п,1<Пх»(
тто означает, что в множестве классов имеются делителп нуля,
поэтому оно ис может быть полем
тельно. числа к, 31.31.. . (/»1)А (Л < />) принадлежат различным
классам кольца Zr. гак как кг-кх=(г-х)к нё.р, есчиг^.ч
Поэтому 3/| М = m(modw) => С,С, =
в частности. существует такой класс С,. что - С,.
тс <'/ обратный элемент для
колыю превращается в поле.
наше коммутативное
из поля Z |
уравнения
Аналогично можно решать уравнения бокс высоких сте-
пеней. Известно, что уравнение 1\(х) - 0 имеет в поле Zнс
жители (см. п 3 I)
Например, решим уравнение х‘ + 2х' + 4х! + 3х = 0 в
по ле Zs
Очевиден кореш. X, =0 Уравнение х' + 2х’ + 4х + 3"0
имеет корень X. = I По теореме Бел многочлен
х‘ + 2х' + 4х + 3 делится на X - I .те. на X + 4
х + 2х' +4х + 3 = (х + 4Хх‘ +Зх + 4)
Квадратное уравнение х'+Зх + 4 = 0 имеет корни
х, =3,х, = 4 Окончательно, исходное «равнение имеет корни
х,«0. х, =1.х,«3.х, =4
2)	Решить матричное «равнение в поле
С :н:3
0боиачим .| = ^ |)'в = (з |);
теперь решаем матричное >равнение
ЛЛ' = Я=>Х = ЛЛ
* -‘1. Э-СС Ж 3
3)	Решить систему «равнений в пате

множество матриц втиа
2 Колыю или поле образует множество матриц вша
обратимых элементов копыта образует группу по у множстипо
4.	Докатать этверждешк: если в ассоциативном колите Л'
(VtcAXt = 4 то А' коммутативное колыю (см. п. 3.3)
Z, » теории чисел
I)	В тюле 2 справедливо тождество
(а+0' =«'+>'’
Действительно. по формуле бинома Ньютона
(в**)' •ie‘,a'‘l,‘
Однако при 0 < к < р биномиальный коэффициент
'	М
дслктся на Р (Cj = 0(mod/>)) и вес слагаемые форму*
лы бмнома Ньютона, кроме первого и последнего, обращаются в
нуль
91)
2)	. В поле ZДЛЯ любого элемента «справедливо тож-
дество aF = а; это означает, что для любого а. взаимно про-
стого с Р . выполняется соотношение
ар в а (mod д)
Докажем интересутощее нас соотношение методом мате-
матической индукции Дэя и = 0 и а = I соотношение оче-
видно Пясть при некотором и имеем о1’ =« Тогда в силу
предыдущего пункта и нашего предположения имеем
(« + !}’ = ар +1 = а + 1. «по и требовалось доказать
В качестве примера решим такую пиличну ю задачу: Найти
остаток от деления числа 101" из II
Решение Поскольку 101 - 2 (mod 11). имеем:
101" =2" н2 (mod ll). т е. остаток равен 2
3)	В качестве следствия установим так нашвасмую ма-
тую тспргму Фкрыа аг 1 » 1 (mod р) ; (а, р) - I
Действительно соотношение <тр =О перепишем в виде
а''1 а-а = «(«'' ' -|)=0.
а*'' я I (mod p), m.e. a’’'' -1 = 0(mod p) (3.5)
C'ooriiouKime (3 5) выполняете* при <1 = 1, 2,...,p— I.
т с сравнение (3.5) имеет p I корней: поэтому тождественно
выполняется соотношсиие
а‘-> -1в(а -1)(я -2)...(а - р +1) (mod />)	(3.6)
Положив в (3 6) а = О . ПОЛЛЧКМ
-• -(-ОН) •(-(₽ - 0)=(-0'' (1> - О’ («им» /<)	0.7)
Прн р 2 соотношение (3 4). очевидно, справедливо
Поэтому можно считать. что /» > 2. те р число нечетное,
поэтому (-1)' =1. следоватс.тьно. из (3.7) получаем, что
-I ^(/>-l)!(mod/>).что н требовалось доказать
Легко проверить, что доказанная теорема неверна, если
Тогда (/>-1)’: и . но при этом (р-1)?+1 W:
отношение (♦) не может выполняться
скин математик 1741 17‘>3)
Натуральное число р является простым тогда и только
тогда, когда
только. число 6 - составное Зажим образом. с помощью теорс-
число простым К сожалению, этот способ нс прннсинм на
ведение (р 1)' -огромное число Для проверки простоты чис-
ла в настоящее время используются специально разработанные
методы, ио обсуждение этого вопроса выхолит за рамки на-
стоящего пособия Укажем только, что указанная проблема, как
держащего десятки нэп лаже согни цифр, на простые множите-
например, в вопросах зашиты информации. точнее, в крнпто-
11рн этом, если аддитивным порядок единичного элемента
В поле возможен один из двух случаев
активный порядок зг. ои называется
та^па (т<п\ m<>mo.-<kkn-nfa=0,,
Теорема Если поле конечно, его характеристика и про-
Доказательелмз Конечное поде не может иметь характе-
ристику . равнх ю нулю. Пусть характеристика поля neN.i.c
п иапмеиьшое натуральное. для которого П-  I = 0 Предпо-
ложим. что П = к1,к<П,1<П Тогда, в силу закона обоб-
щенно» дистрибу-пшиостн
п I=1+1 +—И =( I+1 +•• +1)( I+1 +—К	0 =°
поскольку в поле отсутствуют делители нуля, отсюда сле-
дует: 4-1=0 нт /-1 - 0. что противоречит определению ха-
рактеристики поля Поэтому И - простое число (»«/?).
Примеры Пол» (). R. ( ' имеют характеристику О. Пак
Zp имеет порядок р и характеристику р. Су шестку ют и другие
Подробно /’ «/'.если (I) 4, «-» 4 ..
(2) пусть о, ,й| е А,, а} .Ь3 € 4,.
если	Ц*-**	то
ц «-нт, ©Л,, ц />, +»«, *Л.
Отсюда следует
I)	О, о0, (тк а, «О, «-то, ®0,)
2)	- а, «-» -«j (т.к. а, +(-«,)=О, +*аг
3)	е( «-» е, (т.к. а, е, на, *е}).
4)	если в, «-»вг .то ц' «а,1 (т.к. ц eq q1 «-»q ец’ц1).
Примеры I. Множеств сштрпых матриц
л=(о
обрадует поле, июморфткк тюлю Л ((?) Дейсткителыю. это
а.	(а
следует ит бпекиин: а < >
2. Мтюжостпо матриц анда
тует поле, июморфное полю С комплексных чисел.
3. Множество матриц айда
лет пате, июморфиое полю {» + Ь^2 }
4. Множество матриц чиа
обрадует поле, иючорфное полю {» + А%''31
Докатателкство утверждений 2	4 представляется чита-
телю в качестве упражнении
J.9. Приводимые и неприводимые многочлены
Рассмотрим колыю /’[л ] многочленов /’ (х) нал полем
/*. где /',(«)= О„ +а,х + а2х! 4-... + алх", все коэффици-
енты а, е 1‘ (i - 0.1 и), х некоторый символ. Прн обычном
определении оперший над многочленами имеем коммутативное
колыю с елнишкЛ (нулевой элемент кольца многочлен, все
коэффициенты которого равны нулевому элементу поля, едини-
ца кольца - многочлен, у которого а„ - I,.. остальные
",  При X = а € /’ пячеаик многочлена /’,(")« /’ В
частности, если ЛИ-0 . хкмсыт а «в.1»стсм дчуигеи много-
члена /’,(х)
Как и .ъэя числовых многочленов, можно говорэгп. о де-
лимости многочленов о делении с остатком многочпена /’„(х)
на многочлен 7‘„(х)(ягт)
П«-/’.(д)уг.М+я(х).
где многочлен У, ,(х) (неполное) частное. многочлен К(х)
степени <lit - остаток При делении на бином х а преды-
дущее равенство дает
/’.W' C^,WU «)*K
где остаток К многочлен нулевой степени При .( = «€/*
ПО.ПЧИМ Н - /* (а)
Это приводит к яапужмг Лер- для того, чтобы многочлен
/’ (х) делился на бином л - а бет остатка, необходимо н дос-
таточно. чтобы а было корнем многочлена /• (г):
/’ (х) : (х а) О (от) = О
Опрелеленнг Много'ыси степени «21 натыкается гужао-
d».uMM. сети он может быть представлен в виде нронзаелення
многочленов	степеней	ЦЧП,.	где
0</Ц <»,0<^ <», ц +п, -п.
Примеры I. Многочлен х‘ + 4 приводим над нолем У
? >4=(? +4г' +4) -4т» =(? +2)' -4? =(? +2ж+2)(д! -2тг2| .
2. Многочлен V' -2 неприводим над полем у но при-
водим ны полем Я. так как х! 2 = (х 2 )(лг • 2 ).
J. Многоч-тсн г+9 неприводим над полем Я. но при-
водим над по лем f. так как JT1 + 9 « (л + 3))(.« - 3t)
Рассмотрим кольцо многочленов над полем Z „ 1,, [т]
Поскольку у хиюжсн1к многочлена на постояниу ю не влияет на
его приводимость, достаточно <граим<|1ггься миолочлеяами. у
которых коэффициент при старшем члене а, = I.
В пак Z, имеем приводимые многочлены второй степе-
ни X2, Х'+Х. x’+lstr+l)1 : неприводимый многочлен
Аналогично. в поле 7.,
имеем приводимые многочлены
х2, Дх+|)-х* +JT, Дг+З)-? +2х. (x+l)2 -х2 +2ж+1.
(xrlXr»2)=r1+2.(x + 2)! = х2+хт1
Остальные многочлены второй степени - нсприваапым
над нолем Z,: х1 +1, х1 + X + 2, х‘ + 2х + 2.
рой степени над полями 7,. Z,. а также неприводимые много-
члены третьей степени над этими же полями. (См тпражнення
1.2 на стр 67)
Примеры Разложить многочлен на нспрпаоднмые мно-
жители ши данным паяем.
I Многочлен д' *х2 >1 нал полем Z,
Данный многоч кн имеет корень х = I; по теореме Беп
он делится на х -1 или. что то же самое, на х ♦ 2:
х'+х2+1 =(х+2)(х2+2х + 2)
2. Многочлен х‘ + 2х2 + 2х+2 нал полем Z},
Ддипып многочлен имеет корень .V = 2; по теореме Бет*
он делится на X - 2 или на X + 3
х4 +2х’ +2х + 2-(х+3)(х’ +2xJ +х + 4)
(последний ктбнчсскпй MHOIWLICH неприводим, посколькт
он ж имеет корткй в поле Z,)
I. Найти все неприволнмыс многочлены второй степени
над полями Z„ Z-,
тазин мч>т«1й|»| лон и tfOl I Hiaisocoxmi iidu camutraura
-iidini сн (x)fi и (л)/ иомм'ъо.юнк .uiH-noiTcd ucaoi41-оиэн
«•ж* (»‘./)ЯОН " (S‘/)tfOH «янягсапсн «V (I
ЯОООХМ1Э xXeir ей кинго ючлииогчгоиэов
снжок (Я*/) Ж)Н « (X4/) ГГОН «1НЗГЖ0ММ «rtf еммъ
OJOHK ХНННСГ ТОО СН сашгяг IIHdoiOC -11НЯ1М.Э !|МПЧ1|.?К1Я1Н
(Я' /)МОН нмммвт |'|Ь(х)/ мнмымонк х<яг ЛОН
ом|>С№ои1*о Н.1ГМСИ хлглд нзсмиоип хай '.чмнигз nnnaed
хнэипиффсоя H»mdei3 ою исхньэ ига он кгахпжонк ojohhk
VOH илплижк (х)Яи(.г)/ noKM'i.ojoMK \<яг VOH
J у Hamu пи ши1М1>охо11п слаг (Л ОН I xauicdn хини»
мгпчнэннси и (VOH) WMHirair nmnijo iiiinviragiiiiii o|£
NHOrhCUOHK
*2 hx-ou nni iii-мижонк WHMiroaiidu.ni ch autwoi-tcj '$
:+*z++ /z+,x(»’	1+г*г+лг* Л(£
5|+,»(г	:г+*+л+л <i
‘2 кхои геи игзшжонк зян|11Кми<1иан си яшжоту с
1+ж* (* -1+г(£
:|+г(г иг* л* л о
нжиьаюнк
‘2 и-il'OU гаи якашкоик .miMiroaiiduou си	-f
'2 нпжь'ои ген
Паирнхгср. 120 = 8-15. 104 = 813 , откуда ОД(120.104) 8.
НОК(120.104) = 8 15-13 = 1560
Пример I. Найти НОД(/.х) >HOK(/.g) многочленов
Дх)=х‘ -t-x* +2х+2 и х(х)=х’ 4-х-М "ад полем Z ,
Решение Разложим данные многочлены на нсприводи-
мыс множители
/(х)= х'(х +1)+ 2(х + 0= (х ♦ |Хх' + 2)= (х + |У(Х4 2k
<(*)-(*♦ 2/
Из этих разложений следует, что НОД(_/\х)= X + 2:
нсж(/ ,g)= (х 4 l)J(x + 2У = X* + X1 + 1
Для нахождения НОк( / ,g) можно также восиользо-
ВЭТЪСЯ МЕСТНЫМ COOIHLMUCHIICM
2) Для нахождения НОд(/,g) можно вместо разложе-
ния данных многочленов на миожители непа1ьюватк алгоригм
Евклида, известный по вычислению ИОД натуральных чисел:
120 = 104 1 + 16.104=16 6 + 8,
16 = 2 8=>НОД(120,|04) = 8
Алгоритм Евклида заключается в последовательном деле-
нии многочленов с остатком Получаем иеиочку соотионлсинн
/(х) = *(х^(х) + г,(х);
Х(х).г1(х),,(х)4г.(х):
'..з(4=и4«.И*',(х);
='Л*)ч..М
Действие алгоритма Евклида заканчивается тогда, когда
<П|
игм '2 arai«(^/)M0H>'(8,/)V0HunH I
HHiMHXiidux
г+г+«*г*,ч+лг*л+л=(д,)а(г*х*л+г)=
uxmloo пшпси it» kukh
онжок лнпыгсэа окинг.-нзои яогссяпя иш.-чпиЬкю «14/
<»/)ИОК
(x)X(x)f *(« Л.ЧОН
» | + XJ + ,X =(»'J)VOH "««dooMIW1
*z(i**z+л)=*г + л + лг
i+*г+л+(1+* * лгХ*г * л * лг)=(«)*
*г+.'+лг+(г+*Х4*=(*И
m™3 кш&шт кзиняик1и «шатла
1+Х+ /+ ,х+ ,Л+/=(х)йГ‘г+л^+ л+ лг+ /=(*)/
‘2 мои  (Х‘/)МОН и (гС/)1ГОН '«Ч1®Н t d»HHdU
имоиахэаижюна миэпи (x)S 11 (х)/
ннжыионк ИГМ нлдогч оннэоскю опиияд KiiidojL'Y
I + X -(х)!/-(.У /jffOH «««djo n»«l
(х)'Л (х)!/	(х)Х
(г^Хг*х)-|+х+,х
(х)Н»)‘* (»)»	(»)/
t+x+x(|+x+?r) = l+xZ+,x+lx
ud.mudu oj.-im j-Hradu г.н (x)Sii(j)/ аонжъ
-ojoun Цои оитлсжом»! я mnarj lUHdojre iuiH.i>«ud|j
(X)».l(x)/
/(х) = х'+х’+ 2х +2 ,	g(x) = ?+j
2.	Haflui НОД(У,g) ii HOK(/,g) • поле Z,.ccm
/(x).^x'.x.2,	,(i).?+2^l
J. НайтиHOfl(/,g) »Н0ф,к)  поле Z, .если
/(x) = x‘ + l. g(x) = x’»x+l
4.	Найти НОД(ЛХ) н HOK(/,g) в поле Z,. если
/(х)-х**1,	х(х).х’»х"4.3х+Э.
S.	НайтиНОД(Лх)IIнок(/.х)вполе Z..ec.ui
/(x)xx’ il .x(xb? *4Г + 2х>2.
3.11. Конечны* поля (поля Галуа)
3.11.1. Построение конечны! полей. Конечно это поле, содержащее конечное количество элемента поле нагывают ткх /атнг в честь франц.ккого чатом Галуа (IXII 1832). заложившего основы теории групп i	
полей. Поле, содержащее п элементов. принято об <//•'(») или /_ Однако такое поле существует ие пр< натуральном п Простейшим пример /атечнапл тчя поле Z . простое число Существуют и другие конечные поля доказать следующее утверждение Теорема Веяное конечное пате имеет порядок /’	Можно ". глер
простое, не N. Характеристика этого поля равна />. Опишем кратко метод пост|икиня такою поля . Z е и неприводимого нхт этим полем многочлена 1‘ пени п полу чаем конечное по те порядка р". испольэу я	(х) СТС-
от деления прошаольиого многочлена на многочлен объединяя и одни класс эквив;и1сипк>сп1 м1юго<<.тс1Ш • ковыми остатками Достаточно нспольюватъ в качсстт ков многочлены степени п -1. количество ко>ффицнен	/’(х) и с ОДПИ9- 101
лого такого многочлена
п. количество таких многочлетюв
(классов эквивалентности) />'
Все конечные 1к>л« одною порядка июморфны меж.» со-
боб
Таким обратом, существуют конечные пола порядка 2. 3.
4. 5. 7, К. 9 и т д Не схществхк» конечные поля порядка 6, 10,
Ц 14 )5ит Л
Пример Построение поля I', Остатки от
деления много-
Z, [г] на неприводимый над полем Z, много-
член х ’ t л♦ 1: 0, I, X. X 4-1
Колыю Z2(x] распадается на классы многочленов, лаю-
щих при далаини на многочлен X* + X +1 одинаковые остат-
ки: Л", = С, ,С-) На множестве классов вводятся опе-
рации сложения и умножения аналогично тому. как mi опера-
ции вводились для классов вычетов Можно докатать, что мно-
жество классов относительно введенных операций образует по-
F,-Z2[x]/(«‘+x4.|)
Таблицы Кэли для этого поля имеют вид
Таблица 3.4	Таблица 3 5
Характеристика поля Л4 равна 2: (*,+(', =(*„.
Аналогично можно построить конечные поля, содсржа-
• элементов /•, = Zjxpfx' - х э-1) и /•, = Z,[x]/(x' +х* ♦ |).
Пост|>оив таблицы Кэди для этих полей, убедимся, что эти
102
ночной арифметикой" арифметикой над конечным полем Ta-
Начнем с построения конечной плоскости, точнее конеч-
л/и/шшнш плоскости Термин "аффинный". предложенный
ctile Эйлером. означает геометрию, в
"аффинный" будем отекать и говорить о "конечной п.тоско-
"прииадлсжиостм" ("инцидентности") Например, точка .4 при-
(а>Я) При этом можно считать прямые подмножествами
множества всех точек (Л); в этом случае мы приходим к wniw-
иатнческой структуре по Н Бт редки
(3 Я>
см " натывастси конечной {щ/и/тииой! nweimeiHmo. если вы-
полняются три аксиомы
Л, Существуют три точки, нс принадлежащие (те. не лс-
маа h. параие«ыиы данной примой а. Здесь параллельность
103
ся отношением эквивалентности (см. п. 1.4). поэтому множество
свойства конечной плоскости Приведем несколько теорем на
Тсорсма I. Существуют три прямые, попартю пересекаю-
А.Н.С. нс лежащие иа одной примет Мере > точки А.Н прото-
рсеекаются в точке <'. гатимые а и с пересекаются в точке О.
Важиейшес значение имеет следу тощее утверждение
TeofWMa 4. Любые две прямые е и е' конечной п.юско-
Доказательство Каждая нт прямых с и с' пересекается
сопоставим ту точке А' на прямой «•'. которая получается при
ncpcccMOHim е' с прямой, проходящей через точку .4 парал-
Н' на прямой е‘ сопоставить некоторую (единственную) точку
Н прямой е Таким образом. с помощью прямой а у станавлн-
Докатанная теорема 4 позволяет ввести следу юнкс о п р с
104
бой прямой этой плоскости Порядок - важнейшая числовая ха-
рактеристика конечной плоскости Однако в качестве порядка
было гкжаиио. что «юлою построить конечную плоскость, по-
степени <см. ниже) Однако известно, что нс существует конеч-
ном ilhkkoctii порядка 6 Неизвестно. суикствует ли плоскость
порядка Ю (по крайней мерс, по состоянию науки на 1*>Х0 гол.
рядка >1 проходит и +1 прямая
имеется н точек Через точку А проведем » прямых, просо-
пряной а - итого и +1 прямых
держит 1Г точек и и' ♦ п прямых
Пример Конечная плоскость порядка п - 2 содержит 4
Аналогично конечной плоскости можно внести понятие
конечного пространства
некоторых подмножеств 1,т,П,.
.. называемых лючкошт.
для которых выполняются следуюшнс аксиомы
А, Существу тот четыре точки, нс принадлежащие одной
105
мой. проходш единственная плоскость
.4, Ди каждой точки А и прямо«1 / найдется сди1ктвеи-
бо oonna.ia>oi. либо нс имеют общих точек
странствах. аналогичные теоремам 4-7
Теорема 8. Любые две прямые конечного пространства
содержат одинаковое количество точек
стрянспи порядка и содержатся а следующей теореме
все пространство содержит п точек.
к каждой плосмтсти лежат п! + и прямых.
через каждую точку доходит п! • я • I плоскостей:
каждая прямая прнналлежш п +1 плоскостям.
все пространство содержит «' +я’ ж»» плоскостей
имя пространств - к<иу»№лил«иый. Пусть /•  G/4/X') -
106
>’ =tX + ft или уравнению
где комЦяиик'нты
буют проверки, исходя нт определения точек и прямых
Например, нетрудно найти 3 точки плоскости, нс прниад-
можно вит. точки (0.0).(1.0).(0.1) (проверьте. что координа-
ты этих точек не хдоялетворяют линейным уравнениям укажи-
точки плоскости проходит единственная прямая (аксиома 4г >. а
также выполнение аксиомы параллельности (аксиома А,). От-
сюда следует. что определённая выше совокупность точек и
прямых образует конечную плоскость порядка и = р"
Аналогично можно ввести конечное пространство порядка
См точной упорядо'книую тройку чисел (Jf.K, Z). где
где a,b,c,d^b и а,Ь,с нс все равны нулю ПрямЛ. прохо-
дящей черст точку (A'..>i.Z0) и имеющей "иапрааленнс"
(где к,1,т± ! >. назовем множество точек (Х,Х, Z),
удовлетворяющих соотноикннам
(X = *.+*/,
странства выполняются все аксиомы А, - А, . те оно представ-
ляет собой конечное пространство порядка nap*.
дированш и в юл нпровал ни эксперимента.
ПоОтпе подмножество поля, само яки
относительно яланных в нСм операций, т.с
Р" = ( Л'; +, •) - тюдполс паля Z* = { А;
2) множество .4 шикнете относительно операций поля
Поле Р наэывается расширением своего подполя Р' Про-
стое поле - по поле. которое не содержи! никаких подполей,
кроме самого поля Р Примеры простых по.всН - поля Q. 7. г
П/юслюе расширение пом - присоединение к no.no Р
велений пен ас. гас а е Р).
присоединением к полю (4 ирраииоиалыюго числа 2 . корня
сравнения г" - 2  0. к<хя||ф1ии1С1Пы которого принадлежат
Пример 2 Попе комплексных чисел
С = {а + Л/},где а.Ье.П. полхчается присоединением к
полю R "мнимой единицы" 1= I. корня сравнения
х’ +1 = 0 коэффициенты которого прннад.кжат полю R
х равнения с юпффишюнтами и i данного поля (смотри преды-
НЖ
тра!кцеш>гитиы.м.
Дтя всякого неприводимого многочлена над полем
Р существует расширение этого поля, в котором этот много-
член приобретает некоторый корень о. т е становится приводи-
вторяя эту процедуру нужное количество pax можно построить
Поле /* называется итгеЛуляическ» миюгрныи ипм.и. се-
ли все корни любого многочлена с коэффициентами ИЗ этого
поля лежат в поле Р Можно докатать следующее утверждение
для .нового поля существует такое алгебраическое расширение,
которое является алгебраически замкнутым полем (те даль-
нейшего алгебраического расширения нс допускает) - лнтуте.ма
1Лпкииица
Примером алгебраически замкнутого поля является поле
теорсиы аиейры, в силу которой любой многочлен
плскснымн коэффициентами степени П имеет в поле (' э
В качестве следствия » основной теоремы алгебры с по-
мощью теоремы Бел нетрудно покатать, что любой многочлен с
комплексными коэффициентами степени П ткет в поле точ-
ческу ю |амкнутость поля < ’
В разделах 2 и 3 мы изу ши алгебраические сэру кту ры с
одной и двумя бинарными операциями В настоящем райе.к мы
будем и ту чать более сложную алгебраическую структуру, иг-
рающую важную роль в приложениях
К»
ItBhnrwj
iiMiHJhXi iikiuc n»i Himvdauo hit nrcj| nrnirgm
шпиня» ажяш. e кшиннсмта aouinnaix xmc hit NKm»w
япна 3HHH?raaiidu wo ou> UHdiwodu OHr<dia|| I ” 0 гшиак
•aix ear xnaidari» «LiixXdxs важлд ntnipiaodt) dawiidu
0 0 £ и-хш» i«g (||
o= st *i = a+® toi
0>|0 *|a|*0 (6
0 = 0» ’» = 0*» («
иппмпошк» япп
-силгэгэ tcuMUMioum xndoion arr (ndvixidia nunnarc цнн
-ьинигэ н уоаялы) | и о пш.тэ|гс „эмдоэо. ioi<aiMai<)
(внсИощ artiiMKlki) 4 + 0 = 40 'g o = y»0 (4
:(«m«cniidio oioHiirar onnivdu) n - n (9
ипенхэмоаэ нк
-ИПТО1ЛГЯЛ ктеттгдо („ятипмЕо,,) «imvdxio «гсн<1»я«\
ndAiaidia	мадяг >*y'o кшс udu
XaiuiMnovaou raioaet) n = (y-i-0)» •₽ = 90+ » (>
'(шашншптя.'и) о = nt>
•и«ияиг> (d+»)(g + o) = .ig + 0 ‘зо+чп = (з+ч)о (j
:(шон
-аии:ипоме| (,ад)о = л(д») •(л+^)+л= лх(д + />) (г
nniuenogadi имакмйгяэ landoai»’
, шниажлнкх n „ f. ошиажтэ ou eduxxtUa гояцг
1чМияМш.’ пттмп ям .numx'ainnd
иэняннген (   + •ff'j - д edvixadia nmaahiiiKloaji'v
oumcdauo <х vHdoi < <нго и . и _+„ imnrdauo OHMdcHii
MxmuxdM'oo Ц idu-ixdia 01uiwi.itedgairi: niidxoHax*(|
4.2. Реализации бу .темой алгебры
(бу кай) /’(/4) В качестве бинарных операций над акментамн
сечение af\fl множеств: в качестве хмарной операции до-
полнение множества а ло множества .4. принимаемого та утти-
множество 0. роль единичного т.кмента умиверсаиьиое мно-
жество .4 Правша операций над множествами (см п 1.1.4.)
покатывают, что все аксиомы буквой структуры вмпо.тняются
Таким обратом, множество /’(Л) с введенными на нем опера-
илями обрадует простейшую модель булевой структуры
Пример I. Пусть А - {«}.Тогда /’(Л) = {0, {</[j Обо-
значив 0 = 0, («| = I. получим булеву стру ктуру. содержащую
два тлсмета. уже рассмотренную а п. 4.1.
Пример 2. Возьмем в качестве универсального множест-
во А = {о.А) В этом случав /*(Л) = {0.{в|,(А},Л}
Обозначив 0 = 0, (а] - а. {А| = р, А - 1. получасы мо-
дель булевой структуры, еолержащую 4 т.теметгта Ввел» для
операций над множествами стандартные обозначения ”+• н ” ".
можем составить таблицы Кэли для этих операции
Опсраиия " " (дополнение)  этой структуре определяется
следующим образом: 6 = 1. а = 0. Д = сг. 1 = 0
Обобщая примеры I и 2. рассмотрим множество
Л {а|,сг:,...,<га} В гтом случае, как изасстно. булсан /*(Л)
ММ>Й структуры, содержащую 2” элементов Оказывается. по-
рядок любо» конечной булевой структуры является степенью
двойки (см. и. 4.4.)
4.2.2. Алгебр» маекятывяний. Это первая по времени
моде н, булевой структуры, представляющая собой "булеву ал-
гебру" в ужом cwc.ie. те хтемеигарную часть математической
логики Элементами анебры высватываний служат так наш-
вэсмыс просты: влккагывтия. т е утверждения, относительно
каждого нт которых можно сказать. истинно оно или ложно. В
вето элемента играет тождественно ложное. а роль единичного
элемента - тождественно истинное высказывание В качестве
унарной операции используется "отрицание" р высказывания
р Из математической логики известно. что введённые опера-
инн удовлетворяют веем аксиомам булевой структуры, и поэто-
му множество высказываний с операциями сложения (дизъюнк-
ции). умножения (конъюнктив!) и отрицания образуют булеву
структуру Именно это обстоятельство было подробно проана-
лизировано английским математиком Дж. Булем (IXI5-II164) в
его основном сочинении "Исслс.юваиис законов мысли" (1X54
г). в котором автор предпринял попытку построить формаль-
ную логику в Blue "исчисления высказываний", г с создать "ал-
Алтебра логики (алгебра выска шааний) имеет много при-
менений. в том числе технических Наиболее известными из них
Впервые эта идея была высказана и разработана амери-
канским математиком К Шенноном. впоследствии прославив-
шимся созданием теории информации Независимо от К Шен-
нона эту же идею разработал советский математик В. И Шеста-
нс была опубликована. С работами В И Шестакова научная
общественность но знаком1сзась но era статьям IM58-I950 г.
Дм истей настоящего
с» рассмотрено
бой устройство из проводов и контактов (переключателей), ска-
тывающих два полюса, один из которых (А) является входом в
систему, а другой (в) - выходом (такую схему называют еще
w/зекночшнельноА схемой). Каждый переключатель может быть
тамкнут (пропускает элсзгтрззчсский ток) или разомкнут (препят-
ствует прохождению тока)
Переключатели будем обозначать последними буквами
ьттинскимк алфавита (г, у, с итд) Если переключатель ра-
зомкнут. сверху соответствующей буквы будем ставить черточ-
ку (г. V. ? и т 11 Пусть замкнутому переключателю соответ-
ствует I. а разомкнутому - О С помощью этих псрсключате.зь-
ных схем негру дзю рсатнювать логические операции над логи-
таким обраюм реалнпется
Аналогично.
геля X и у. эта схема реализует дизъюнкцию X V V Операцию
отрицания х реализуют с помощью разомкнутого переключа-
теля х Дтя удобства договоримся в этом разделе для дизъюнк-
ции и конъюнкции использовать обозначения и
новныс задачи, свяанные с
дани) ю переключательную схему при помощи ооотвстству ю-
мнзаиии булевых выражении (см 11|)
смотрим коикретну ю задачу подобного рода (см | 111)
большинством голосов. Нужно построить такую псреклзоча-
дим член, голосующий "за". нажимал кнопку и не нажимал её.
голосуя "против* Лампочка должна загореться, если большнн-
Рг1Ш'Н1И'. (Хюзначив переключатели (кнопки), которые
мают члены комитета. соответственно х,у и г, получим
сываюшее ну жну ю схему Ди рсалиашш этой схемы необхо-
тмтный закон (см п 4 1.3))-
.-(?> + #)+ ху(Т ж.-) = x(S> ж ту) + ху
для реализации последней схемы необходимо 7 переклю-
чателей вместо 12. Однако н эту схему можно упростить
Н последнем булевом выражении раскроем скобки и пере-
тру ппиру см слагаемые хуг + х(уг + у)
К выражению в скобках применим второй дистрибутив-
ный закон (см. п. 4.1.3»:
5»+у = (У+у)(хжу) = ух.
Таким образом, наше выражение принимает мы
хуг - х(у + :) =	* ху + хг = ,» (хх - х) + к
Line раз применяя к выражению в скобках второй дистри-
бутивный закон, получим:
»'(х + г) + к, еоотастствуюшая схема изображена на
рис 4.1 Ь) Она содержит «его J переключателей.
рии вероятностей яалается понятие епчийжыи события. сия-
тайного с данным опытом (испытанием) Смысл этого понятия
заключается в том. что при каждом осуществлении опыта (те.
бытие может насту пить нлн нс наступить
Рассмотрим множество случайных событий (коротко "со-
бытий") А.Н.С... связанных с данным опытом В этом множс-
А о втачает попадание в мишень первым стрелком, а событие
Н попадание вторым стрелком, то событие А + Я означает
поражение мишени
Пронмадением 'т событий А и Н называется событие
АН. заключающееся в одновременном наступлении событий
част поряженж мишени обоими стрелками
.4 называется событие Л. заключающееся в «наступлении со-
бытия Л Например, если событие .4 означает поражение ми-
шени. то событие /I это промах (и наоборот)
Роль нулевого элемента "атпебры событий" играет так на-
те проведения испытания осуществиться ж может, а роль ели-
такое, которое в рслльтатс проведения испытания осчшсствля-
чсинс бракованной детали - невозможное.
Исхода из определения введенных операций. нетрудно
юваиис правил алгебры событий помогает выражать один собы-
пи в Blue комбинации других событий Например, если, как и
раньше, событие А означает попадание в мипкнь первым
стрелком, а событие В попадание вторым стрелком, то собы-
nie (' - хота бы один промах можно представить следующим
В проииюлыюй булевой структуре В = (В;
Н, 0o-|S 1.101= 0; 111= I;
И, ест aP = 0,mo}a + flt=\o\*\P^
Пример 1. Рассмотрим. как в п. 4.2.1. множество
.4 = {a,,ot,...,о, J и построим алгебру множеств на основе бу-
лсана /’( А). Условимся считать, что норма каждого подмноже-
ства .¥ е В(А) задаётся количеством к элементов множества
В этом случае 141= 1. 101= 0. т е. аксиома //, выполня-
ется Выполняется и аксиома //,. при этом се смысл становится
совершенно ясным: сели множества X и Г не пересекаются
(те XY = ОХ то число элементов, содержащихся в их сумме
116
X + F. полу чается сложением числа к -XKwmvn множества
(**"*)
Рассмотрим теперь нормированную алгебру событий Нес-
межного событая Норму события Л обозначим /’(Л) и «но-
вей вероятностью события Л В силу нхюженного выше, для
вероятностен событий должны выполняться аксиомы
Н, :0$/>(Л)£|; Р(Н) = О; />(Д)ь I.
Н, Есм ЛЛ = О.ин»/»(Л - W) =/’(Л) + /'(«)
Последняя аксиома выражает правило сложения вероят-
ностей несовместных событий Таким обратом, теории вероят-
торой натыкаются событиями, а их нормы вероятностями этих
событий
Пример 2. Рассмотрим конечное пространство печен-
тарных событий. состоящее нз п попарно несовместных, сдин-
данного опыта Если наступлению некоторого события Л. свя-
занного с данным опытом, благоприятствует к хтсмстаарных
неходок, то в качестве нормы события Л естественно принять
величину /’(Л)  —
Это - так называемое классическое опреРе кнне вероятно-
Имеют место два утверждения, устаиаалнпающне тесную
связь между булевыми структурами и так называемыми буле-
выми кольцами (см. п. 3.3).
I Любая булева структура (алгебра) В (в; ♦ ,  , J яв-
» и ®. опрсдслСнпых чсрс> операции 1адаинон структуры сле-
дующими правилами
a*b ~ ab t lib (симметрическая разность множеств).
a<Zb ' ah
(те операция умножения берется in апебры) При этом нуле-
вой и единичный элементы кольца совпадают с <> и I алгебры
.loKBiaie.ibCiHu. Hi теории множеств 1пвсстны свойства
симметрической раиюстм
I)	a*b=b»a.
2)	(«г»*)»с яа«(Л«с);
3)	в(Л»е) = ah •ас .
4)	а*0 - а
5)	о»о = 0
Учитывая свойства умноження. вялые на алгебры. прихо-
дим к выводу, что множество Н относию-льно операций * и •
обрадует кольцо с слнмгаь'й К = (Н; + .  ).
Полученное кольцо облатаст дополнительным свойством
а' =а а = «.тс является 6>wwmukuwiou
11. Любое булево кольцо с единицей К = ((?;+, ) можно
рассматривать как булеву стру ктуру относительно операций
оФб = а + б + оЛ, о=1+о.
операция умножения берется иэ кольца
Локаыпельства. Можно проверить, ‘по для введенных
операций Ж, -, выполняются вес аксиомы бу.левой структуры
(см. | IS|>. поэтому В (А'; ® , . ) является булевой елрук-
4.4. Булевы структуры и решВткн
В булевой структуре В (Н; + , . ) можно ввести от-
ношение порядка (см. и 1.3) следу юнит обраюм
НИ
прн этом выполнение аксиом порядка непосредственно
проверяется
Как было отмечено а п. 1.6. частично упорядоченное мно-
существуют sup (а,/?) и inf (а, /?). нашвается реш£ткиЬ
Можно показать, что буква структура В (В, ► , , ) с вве-
денным отношением порядка превращается в решетку
Рассмотрим некоторые топы решеток Прежде всего, в
шётчатые" сложение п умножение по следу кшнм правилам
ог-к/Г = sup(a./J). afl = inf(a./T)
тмвности. ассоциативности. идемпотентности и удов.ктпоряют
иконам поглоокния
стся элемент а„ (или О), хи которого выполняется условие
(Vx«L)(«„^x)
рлТннмчным (наибольшим) элеме1гтом решётки шиыпается
(VreL)(x:<M
। uijwiM решетке. Понятно. что в каждой
О a inf (о,, а..а,), I	)
Если в рсшепсс М С) ШССП)) ют нулевой и единичный
Л.Х'МСМТЫ. то. очевидно, выполняются соотмошсмия
Особое место среди решеток с нулем и единицей пита-
ет так называемые решетки с Лппшненияии. для которых вы-
Ешё один важный класс решёток - так нашваехше дист-
рибутмеиак решётки Решётка L называется <>истрийутшшчи.
Докажем, что во всякой дистрибутивной решётке выпот-
нвстся второй дистрибутивный закон a ♦ ftp =(<r 10}(a « x)
Дсйствитслыю. в силу ассоциативности сложеиия  яко-
+z) = (м ♦/»)«♦ (« + Л)/» = «+(«+ />)/ =
Можно доказать также, что а дистрибутивной решётке с
дополнениями дополнение а элемента а всегда единственно;
для операции взятия дополнения выполняются правило двойно-
го отрицания и правила де Моргана:
120
(см , например. |1*|)
111 всего наложенного i п 44 можно сделать вывод, что
булева структура В = (В: + . . ) по введенному в ней отноше-
нию порядка является дистрибутивной |>сшсткой с дополнения-
ми Обратно, поскольку для каждой дистрибутивной репкткн с
вон стру кту ры. каждая днетрнбу тканая решетка с дополнениями
является булевой структурой, в которой булевы сложение и ум-
ножение определены соотношениями
а*р 9Sf{a.p}.afl ий(а.0)
Исполыуя сми> булевых структур с решетками, можно
которой булевой структуре подмножеств некоторого конечного
(число сс элементов) равно 2' (см. |1К|) Таким обратом, пори-
Прилнжгпие 1
Найти шиоичсскую подгруппу Н - группы 5’,. по-
составить таблицу Кэли для этой подгруппы. Описать эеюс и
правое рапоженив группы \ по ОС подгруппе Н Является ли
Поняпк циклической подгруппы Левостороннее и право-
мильного делителя гру ппы
3. Выполнение работы
Подстановка Я представляется в апле прогггпсдсиня иски
внеимых циклов я />„. (1,3)(2,4). отсюда следует, что по-
рядок данной циклической подгруппы Н | я |= 2.
Состав этой подгру ппы Н = (г) = |е, ри |; таб.-ища Кэли
Индекс паггру ппы Н к = ИЯ = 31 = 12
Я 2
Радтоженгк группы (i = S, на левак смежные классы по
подгруппе Н
еН = Н. р,Н =(д.АЛ.| =|А Лт|. !>.Н ={а ИА.| ={А.А.) •
АЯ’{ят1 ЧааЬа*Ча>аа1	-IaaI
122
и тд При магю iiichiih работы студент должен покатать
все выкладки полностью
Разбиение группы G на левые смежные классы:
G="Ча.а-1 Чла-! +{аат)Чал) Ча. а.! +
Чаа-Нал.} *{ал1+|а.а14a.Ai)4a>a)
Аналогично производится разложение группы G = Л', на
правые смежные классы по подгруппе II
н^н.нр, Ча-ал)=1а.а_|. Ф Чааа| Ча а.1
и тл В ипми 1юл\маем разбиение группы (г на правые
смежные классы:
с=яЧа1.а}Ча.а1Ча...а}Ча.а}Ча.а)+
• |а-.а) * |л.а1 ♦ Ia.aI4a.Ai} * 1а»а>)*1 а..а. I
4 Вывод подгруппа Н нс авлястся нормальным дели-
телем в группе G. поскольку разбиения группы G на левые и
правые смежные классы по се подгруппе Н нс совпадают
При выполнеи1П1 работы иепольлуСЬе состав группы 5,:
П2М'| pJM'i Г1»Л pl.u\ p2J4l
' Я'и24Ч Л'(|М4/Л '(|М2} Л"(М23),А'1.14»7
(UN) (UNI (I2M'| (UM) (UM) (I2N)
А Дliwj  Р' ' I 214л)  А Д2М4 ,Г А 42NI ,г А' ’. 24П Г А' ’ I 24111'
(I2N) (UN) (UN) (UN) (UN) (UN)
‘lll24.rA' "(««J’* U(12I4J'A |u4l,l'A,"lNI2,rA' ’1,421'
123
Нириантм Вариант.Vt Найтн циклическую подгруппу рожденную подстановкой я. вычиелг таблицу Кэли дли этой подгруппы Oi южеиня группы 5, по «б подгру ппс па X нормальным делителем? я -1 1 Вариант.\3. Найти шгклическую подгруппу рождённую подстановкой Ж. ВЫЧНСЛ1 таблицу Кэли ди этой подгруппы Oi ЛОЖСИНЯ гру ппы .S\ по об подгру ппс па X нормальным делителем? ж Вариант.\г. Найти циклическую подгруппу рождённую подстановкой я. вычиелг таблицу Кэли для этой подгру ппы Oi ложення гру ппы .S’, по сё подгру ппс па X нормальным делителем? я Вариант .М  Найтн циклическую подгруппу рождённую подстановкой ж вычиелг таблицу Кэли дли этой подгруппы Oi 124	llpu.inurrnue 2 1 Н (*) группы 5,. ПО- ЛЬ сё порядок. составить тисать левое и правое par- д' Являетси ли подфутт- »::) Н	группы .S',. по- тть ее порядок, составить Incan, левое и правое раз- X Является ли подфу п- 3 И - (д} гру ппы 5',. по- гть её порядок, составить тисатъ левое к правое раг- д Является ли иодгруп- 1234 'j 4 Н - {я) группы S4. ПО- ЛЬ её порядок, составгль mean, левое и правое par-
«I
I 11 С I Г “ 1."а1'м*и'аг нжмижЛм» x «u
uidirou nr «эюкгнк x ouuMlifou ?aou huumIi пшажос
•red .wacdu и loan мюиио riiiiiuiirou ikuc hit mixj| iniironii
шипим» xonidou .1.1 iijii Mii.nu -к iMtnoHeiofou мшнм'жхх!
-ou ‘*y huumIi (x) // Mniwlirou oiixm.uiMim hiiihh
t W mumufog
UldlfOU Hl’ «Э11К1«К X .lull Milfoil J9 OU 'g HUll <d l П1НЗЖОС
-nrd .xnedu и ловле usohuo niiuidirou lion nr mixj| inm-gei
ou ’£ niuiidi (x) = fj idirou otvoMiinnum iumuh
Wumandog
I I-£ j । J* * i"seaiHKir ni4M8iin«Jo« x ни
-U Milfoil III- «M-18t-H(f X -lull MllfOU ?» OU HUH Mil П1Н.1ЧПН
-nrd .Kucdu it ioe.it 41801100 Huuidirou цок hit Mix)] imirgei
чшотм» lonidou M чииэмьма '« номонеогои oiuuior'Kod
OU 'g HllUldl (Х)= Ц illUMlirOU <Х<Х1.М1ИГ.Ч1П1 ШМИЦ
f ft-mumdng
. t. -	4 ,,K0l’.1Ull-ar 1МЧНЯ1Т1М1ОН x HU
iiicliroii mi- oi.iia'HK X auu mIii'ou jo ou нии <di штажог
вариант М Я
Найтн циклическую подгруппу Н = (х) гру ппы .S',. по-
рожденную подстановкой я. вычислить се порядок, составить
таблицу Кэли дтя этой подгруппы Описать левое и правое раз-
Найтн циклическую подгруппу Н =(х) группы .S',. по-
рожденную подстановкой я. вычислить се порядок, составить
таблицу Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
вариант М 10
Найти циклическую подгруппу Н - (.т) труппы X,. по-
таблицу Кэли для этот! подгруппы Описать левое и правое раз-
Является ли подгру п-
ложения группы 5, по св подгруппе х
варионтМИ
Найти циклическую подгруппу Н {х}, порожденную
подстановкой я. группы .У,. вычислить се порядок, составить
таблицу Кэли для этот) подгруппы Описать левое и правое ра з-
ложения гру ппы .V, по св подгру ппс х Является ли подгруп-
па X нормальным делителем'1 -
Ul23j
126
НариаптМ 12
Найти циклическую подгруппу H =(^) труппы S',. по-
рожденную подстановкой я. вычислить се порядок, составить
таблицу Кэди для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложения гру ппы S, по ОС подгру ппс я Является ли подгру п-
па х нормальным делителем' _ _ •23^1
"I 42I3J
ПармшяМ 12
Найти циклическую подгруппу Н = {я) группы S',. по-
рожденную подстановкой ж. вычислить сс порядок, составить
таблицу Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложения гру ппы .V, по ее подеру ппе х Является ли подгруп-
па х нормальным делителем'.’ , J 1 г 3 •*
UI24J
ЛцриоитЛЬ И
Найти Ш1к.тп'кскую подгруппу Н - [я} труппы S',. по-
таблнцу Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое раэ-
па х нормальным делителем?
127
Ни/чшпт.М IS
рожденную подстановкой я. вычислить ее порядок, составггть
ВаршштМ 16
Найт» шгклн'тееку ю подгруппу // (л) группы 5',. по-
рожденную подстановкой я. вычислить её порядок. составить
табл ин> Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложения группы 5, по ее подгру пне л Является ли подгруп-
- *
Варнашп.Ц 17
Найти шгклнчсскую подгруппу Н = {л} группы $4. по-
рожденную подстановкой я. вычиелггть ее порядок, составить
таблицу Кэли дм этой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложеиш гру ппы S, по ее подгруппе л Является ли подгруп-
па л нормальным делителем'’ , _ I *234
U43lJ
Париашп.^ 18
Найти иикличсскую подгруппу Н =(л) группы 5,. по-
рожденную подстановкой я. вычислить се порядок, составить
таблицу Кэли для этой подгруппы Описать левое к правое |хи-
.южеиня гру ппы .V, no ti noaipy пне л Является ли подгруп-
па Л нормальным делителем'.' х _| ^^4
Кариант.Ц 19
I2X
Найт шпсигмсжую подгруппу Н = (д) группы .S’t. по-
рожденную паасПИОМОА ж. вычнсппь её порядок составить
таблицу Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложения гру ппы S, по се подгру ппс д Являете» ли подгруп-
па Я нормальным делителем'1 _	'
/<црш»ж .У? М
Найт штюнгаесжую подтруппу Н = (д) группы 5',, по-
рождённую подстановкой я. вычислить её порядок, составить
таблицу Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложения гру ппы V, по сё подгру ппс Д Является ли подгруп-
па д нормальным делителем? _	1 - 3 **
I3421J
Норнами Л4 ’/
Найти циклическую подгруппу Н (д} группы S't. по-
енную подстановкой л. вычислить её порядок, составить
129
НариантМ 22
Найти циклическую подгруппу Н = (х) группы 5',. по-
рожденную подстановкой я. вычислить се порядок, составить
таблицу Кэли для згой подгруппы Описать левое и правое раз-
лаженна гру ппы S, по об подгру ппс л- Является ди подгруп-
па т нормальны м делителем'.' я _| *2 34
HapuaimiM 23
Найт циклическую подгруппу Н ={х) труппы X,. по-
рожденную подстановкой я. вычислить се порядок, составить
таблицу Кали для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
па х нормальным делителем'.’
Лцриавят
Найт циклическую подгруппу Н - (т) труппы X,. по-
таблицу Клли для этой подгруппы Описать левое и правое раэ-
па X нормальным делителем''
Парнанм.М25
Найт циклическую подгруппу И {х), порожденную
подстановкой я. группы .V,. вычислить се порядок, составить
таблицу Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое рад-
южеитит гру ппы .V, по сС подгру ппс X Является ли подгруп-
па х тирмальным делителем''
l-tuaj
13»
НариашнМ’ 26
Найта циклическую подгруппу Н = (т) группы X,. по-
рожденную подстановкой я. вычислить ее порядок, составить
таблицу Кэли для мой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложения гру ппы .V, по сС подгру ппс Я
Является лк подгру п-
Наршшт Лг 27
Найти циклическую подгруппу Н = (я) труппы .S',. по-
рожденную подстановкой я. вычислить се порядок, составить
таблицу Кали для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
ложения гру ппы 5, no ее подгру ппс я Является ли подгруп-
па я нормальным делителем'.’ , J 1 2 3 4
"I 3124 J
Лцрнаит.У?.’»
Найта циклическую подгруппу Н - [я} группы X,. по-
тэблнцу Кэли для этой подгруппы Описать левое и правое раз-
па я нормальным делителем?
При.чикгпие 3
О решении влтебраическн!
уравнений в радикала!
I. Постановка щами Алгебраическим уравнением п и
степени, как еже отмечалось ао введении. называется уравнение
«^гп+О^' *+...+сг. ,х + а_ -О.	(Пр 3.1)
где старший коэффициент ц,*0. а коэффициенте ц,,...,ап
принадлежат какому-нибудь числовому полю ((3./<и.ш С)
Вследствие основной теоремы алгебры сравнение (Пр. 3.1) вес-
том кратных (повторяющихся) корней
Как известно
ах1 + Ах + с = 0	(Пр 3.2)
решается по форму те
зц, =	ж0)	(Пр. jjj
где I) = Л1 - 4<к - /Нкк/нкпчктт ппкукнимолэуравнения
В случае 1) > О уравнение (Пр 3.2) имеет 2 различных
действительных решения
При I) = 0 эти корни совпадают X, = х} = —^
Если же Z)<0. квадратное уравнение имеет 2 комплекс-
ных корня (тс уравнение не имеет гкихтштхижпа- корней)
Общее алгебраическое уравнение третье степени имеет
ajt' +0,1’ +агх+а, = 0, ц, #0
Райе лив обе части «того уравнения на ц, и персобоита-
чив коэффициенты, получим уравнение вида
r'*ar1+ta + c = 0	(Пр 34)
132
В уравнении (Пр 3 4) можно итбав|пъся от слагаемого.
содержащего испжстнос X во второй степени Для этого нуж-
но ввести новую переменную г по форму де х = г - -
При этом уравнение (Пр 3 4) приводится к виду
/+/К+0 = О	(Пр 3J)
Способы решения неполного кубического уравнения (Пр.
3.5) были открыты итальянскими математиками (С Ферро к Н
Тарталья) в начале 16-го века Однако первым опубликовал этот
метод итальянский ученый (математик н врач) Дж Кардано
(1501-1576) в своем трактате "Великое искусство" (1545 г), в
котором были собрата все итвссттгыс к толп времени cacacmui
по алгебре Поэтому формула решения кубического уравнения
(Пр 3 5) носит иатткишс фчриучч Ка/хНтч
му ла (Пр 3 6) даст при любых гмаченнях коэффициентов урав-
нения (Пр. 3 5) три решения Вывеет формулы (Пр 3 6) иесло-
мер. 112))
найденный его учеником .1 Феррари
операций
и операции то-
Все попытки математиков 16-18-го веков найти аналогич-
ные правила для решения алгебраических у равнений 5-й и более
высоких степенен ис увенчались успехом Постегктню вогникло
убеждение, что уравнение степени и г 5 с произвольными ко-
тффиштеитами исаотможно решить в радикалах И только в на-
дать итальянский врач и выдающийся математик-любитель П.
Руффини (1765 - 1X221 в работах 17**** - ISIS годов Однако его
строгое доказательство невозможности решения в радикалах
общего уравнения 5-й и высших степеней подучил в 182-4— 1826
гг замечательный норвежский математик Н Г Абель (181*2
кретине уравнения.
ния 5-й степени узнать, возможно ли его решить в радикалах
ботах францу зский математик Э. Галуа <1X12 1832) (краткое
представление о сто жизни и ранней гибели можно получить из
радикалах. К сожалению, при жизни Галуа полученные км ре-
теорня составляет основу раздела алгебры, носящего название
торос представление об згой теории. Более подробно можно оз-
накомиться с теорией Гапа по специальной литератхре (см.,
например. |.3|. |4|. |11|. 116|)
2 Пошлю группы Гатуа алгебраического урииенш.
Рассмотрим алгебраическое уравнение (Пр 3.1). коэффициенты
которого принадлежат некоторому основному полю /’ В клас-
сической теории Галуа коэффициенты принадлежат полю ра-
исполыовать поле {* Обозначим через	корни
уравнения (Пр 3 1); они принадлежат полю (’ комплексных чи-
134
новок in группы 5, чногочж» (р(к,,»,.
- изменяет.
Пример I. Рассмотрим выражение
д=4(*^л,)=(*.-»»)(».
них подстановок) Д(х,,х,.тг,) нс меняет своего
воисйствием нечетных подстановок меняет знак
nyw функцию от корнет! X(,Xj......алгебраического уравнения
(Пр 3.1): д.4(^..........ц)-Пи -х.)
гру ппы .V. лишь два шачеиия Ли А в тавнснмости от того, бу -
лет действующая подстановка л четной (я € Д,) или нечетной.
Многочлен ^(ХрХ.,
umwxmiu Как известно in алгебры. каждый симметрический
многочлен является многочленом от гак натыкаемых жнчтых
A основные снммстричсскне многочлены в силу форму л
Виета выражаются рационально через коэффициенты алгебраи-
чсскогоуравнения (Пр 3.1):
Таким образом, всякий симметрический многочлен
р(х,.Х;....х.) представляет собой рациональную функцию
корней х^Хр.-.х, уравнения (Пр. 3.1). Отсюда следует, что
дискриминант алгебраического уравнения (Пр 3.1) выражается
рационально через коэффициенты этого уравнения В частности,
для квадратного уравнения ах1 + Ах+с = 0 получаем
/3 =	. в школьном курсе в качестве дискриминанта не*
пользуют выражение Ь! - 4ж Для неполного кубического
уравнения + р: + </ = 0 можно установить следующее выра-
жение дискриминанта
(проверьте последнее соотношение самостоятельно!)
Пример 2. В своем мему аре 'Рассуждения об алгебраиче-
ском рекккии уравнений" (1771-1772) шамеиитый француз-
ский математик Ж Л Лагранж для алгебраические уравнений 3-
й и 4-й степени построил некоторые функции (многочлены) их
корней. инвариантные относительно чётных подстановок кор-
ней (ргзптмгнявы . Ат.уюнжиз и показал, что возможность ре-
шения алгебраического уравнения в радикалах зависит от сушс-
сттюваиия (или нс суизссттювания) подобных выражений
Рассмотрим построение резольвент Лагранжа для непол-
ного кубического уравнения -г /к + </ = 0. имеющего корни
х,. х,, х, Составим выражения
«,=х1+х,+х1;
Vl=»i+P'i+^»<;
Ч,
ГАС р - f ' - псрвообратый корень третьей степени из I (Си.
п 2 4) Нспоерсдствеюю проверяете», что /д, ,t)t и I). ннвари-
антмы относительно подстановок из труппы Л, = {с, ft. ft]
Например. пол BOueiicTBiKM подстановки ft =(1.2.3) много-
ЧЖИ а/, переходит в
ft (<?.) = »> + X*. + Р>х< = р‘ (*. + Р*1 +р‘*г)=р,п,.
Р^) = Р*^'
Аналогично, ft (/;,’) = ft Точно так же для подсгаповки
ft -(1.3,2) имеем ft («’)"«’* ft('7,’) = ft’
Отсюда можно вывести. что многочлены и ij, рацио-
нально выражаю геи через корни лраиисмня rltXj,x, и
Д=А(х1,хг.х,) = (х1-х,)(х,-х,)(х.-х.) (ем. например.
|9|. стр 91-92)
Таким осраюч.
где Л,, W,. Л,, Я, симметрические многочлены переменных
x„Xj,x,. Мы получаем систем)
+х, =0.
/), = х, + рх, + x>Jx, = ^A, + B^;
| г], = х, + p'xj + рх, = (/Л, + Л, А
Решая полтчениуюсистему, мы еыраигм корни исходного
уравнения Х,.Х;,Х, через коэффншкнты этого уравнения, при
ттом будут нсполь кианы арифякпптеские операции и операции
137
граюка. можно выполнить для алгебраического уравнения 4-й
степени и получить формулы. решающие это 'равнение в ради-
Каждому алгебраическому 'равнению (Пр. 5.1 * можно со-
поставить множество тех подстановок его корней .г,.х,....,хя.
группу те. подгруппу группы .V, Действительно, если подста-
новки а и 0 не меняют значение некоторой функции
то же самое будет происходить под воздейст-
Гапа уромення (Пр 3 I). Таким образом. группа Галуа данного
уравнения - эго группа автоморфшмов поля рахюження Г. ос-
элементы поля коэффициентов, те
волможноегн решения уравнения в радикаи
пебраичсского уравнения (Пр 3.1), В теории Галуа рафаботаны
способы решения этой задачи (см |3). |13|, ||9|) Некоторые
3. Простые и paipemuMMC группы Дтя формулировки oc-
наты вается элемент
Легко поверяются свойства коммутаторов
13*
2) оЛ = [в,Л]Ло;
Лоиитяппоя (прониюлная) <>' группы (i - наименьшая
полгруппа, порожлеиная всеми коммутаторами группы Основ-
ные свойства комму танта
I)	(!' являете» норматьным делителем группы (i.
2)	группа G является абелевой тогла и только тогда, ко-
гда (,' = {<•)
логично С/1"* - коммутант группы
таким группам относятся циклические группы простого порял-
(i. гака» группа нс является абелевой
р: эта гру ппа июморфна Ш1кл11чоской гру ппс порядка р
2.	Рассмотрим тнакоперсмепныс группы Я, (напомним.
Нспосрсдстпсиным расчетом можно провсртгть. что
срслстаснно видно. что группа Я, циклическая группа 2-го
<=Г.={е,(12ХМ),(13М24),(14Х23)}.
139
зваиная а честь немецкого математика Ф Клейна (1*49 1925)).
Отсюда видно, что группа zf, нс является проспит
Можно доказать (см. например. (13]). что при «2 5 вое
группы 4. являются простыми Таким обратом. можно сделать
вывод, что при п г 4 псе группы zf„ валяются простыми
Группа Ч называется разрешимое. если при некотором
Н 2 I выполняется соотношение G*“* - (е}.
Основные свойства разрешимых трупп:
I)	любая абелева группа разрешима (поскольку (/' = {е|).
2)	любая циклическая группа ратрешнма (оиа являете»
абелевой);
3)	любая подгру ппа разрешимой труппы - разрешима.
4)	ослы группа имеет порядок p'q’, где p.q - простые
числа, натуральные п.т 2 I. то эта группа разрешима;
5)	всякая группа порядка />* - абелева (и. слслошпслыю.
разрешима)
Примеры. 1. Группа X. - абелева. стсдонатсльно. рацх,-
2. Можно доказать, что X, = Л, при любом » (те. Л,
является нормальным делителем гру ппы Х„).
3. Выше было покатано. что л' -(<]. отсюда X' * Л,' - [с].
т е группа X,
разрешима
Г, - абелева, имеем Г, {е| и А, - (с). поэтому группа Л, -
разрешима
Прн этом X, = |<-|. и группа S, разрешима
Таким образом, все группы А„ и группы X. - разрешимы
5.	Как отмечалось выше, псе группы Л„ при п > 5 явля-
ются простыми Поскольку эти группы «абелевы. имеем
Л, = Л,. следовательно. эти группы неразрешимы
6.	При п > 5 каждая группа 5„ неразрешима ибо со-
держит неразрешимую подгруппу Л..
7.	Основная теорема теории Гату а Пусть задано алгеб-
раическое уравнение (Пр II) нал нолем 1‘ я частном случае,
который мы здесь рассматриваем, предполагаем. что его коэф-
фициенты «, е{?(| =0,1....л);	тогда полем его разложения
является поле С комплексных чисел. Построим группу Галуа
этого уравнения пусть это будет группа (г,
Основная теорема теории Газу а заключается в слсдуто-
Алтебрапческое уравнение «м да и только тогда paipcinn-
мо в радикалах. когда его гру ппа Галуа ралрешнма
Таким образом, для того, чтобы определить, разрешимо ли
дуа (»,, a илем проверить, является ли группа (i, разрешимой
Ди общего алгебраического уравнения степени п его группой
Гапа шляется вся группа 5, Как было отмечено в п 3 настоя-
щего Приложения. при иг5 все группы Хг - неразрешимы
Отсюда следует неразрешимость в радикалах общего алгебраи-
ческого уравнения степени п 2 S.
Однако для кшчукттш алгебраического уравнения сте-
пени м г 5 его гру титл Галуа представляет собой некоторую
подгруппу группы 5В и может оказаться разрешимо!! В атом
Случае это уравнение будет разрешимо я радикалах
Приведем некоторые примеры
Пример !. Найдем группу Гатуа уравнения
/(х)вх' -3x4-1 = 0	(Пр 3 8)
кати решение тгого уравнения
в виде x = /4cos?>. где
А > 0.0 • <р < 180 Используя известную формулу
СМЗф и 4cos* <р _ Заир».
приведем уравнение к ыиу
/ЦЛ1 -4)cos’c»T^cos3p>< I 0. откуда следует, что
.4 = 2, 2cos3f’ =1 Решая пос.тсднсс уравнение, получаем
корни уравнения (Пр. 3.8) в виде
в = 2 cos 40'. Л = 2 cos 80’. с = 2соя1ЫГ
Нетрудно проверить, что найденные корни удовлетворяют
причем тто соотоошсння переходят дру г в друга и потто-
сохраняются	при	подстановках
142
e,ia = (a,b,c)u ю’ =(a,c,A), которые обрагуюг группу А,
Таким обратом. G, - Л,
Укажем другой способ вычисления группы Галуа уравне-
ния (Пр 3.*Х нс требующий нахождения его корней Вос ноль ту-
смея следующим утверждением (| 131. 119|):
Группа Галуа многочлена /(х) тогда и только тогда со-
Д = Д(л;,х».--.х,) t Р. т.е. те когда дискриминант многочлена
/(*) «(/)  Д’ является квадратом некоторого элемента по-
ля коэффициентов /' (в нашем случае паля О) Дэя уравнений
третьей степени го приведенной теоремы следует
Если многочлен /(х) неприводим над полем {>. то
G, =5,. если />(/) ИС является квадратом рационального
числа. (7. = .4,. если О(/) является квадратом «которого ра-
ционального чиста
В нашем примере многочлен /(х) = г’ Зх +1. очевид-
но. неприводим над полем Q. так как ои нс имеет рашюиаль-
ныч корней Вычисляя дискриминант по форму .те (Пр 3.7), име-
ем D(/) = 81 = 9’. следовательно. (>, = А,
Пример 2. Наилем группе Галта уравнения
/(х) = х‘+Зх + | =0
Многочлен /(х)= х'+Зх + 1 неприводим над полем
(2.но в этом случае /2(/) =-135. следовательно, (1, =.S’,
Пример 3. I laiueu группу Галуа уравнения
х'-Юх2 +1=0	(Пр 3.9)
Данное уравнение яатястоя биквадратным и решается
стандартным приемом:
откуда корим ч равнения
143
с. (в,6)-(с.</), (<М')(*.<0. («,*)(*.с). образующих
группу Клейна Г, (см упражнение 3 п 2.6 и упражнение 5
п. 2.7) Таким образом. 6, =
(корпи а, принадлежат некоторому полю ратюження / .
будем считать, что корни простые) кубической резольвентой
называется многочлен «(л) =(зг-а)(х-Д)(т-/)
Чисм
Действнтелыю.
посредственный расчет (с использованием формул Внета для
многочлен а четвертой степени) дает для g(x) следующее вы-
ражение х(г)=?-сг!+(«-4₽)л-*гет4*-<Л‘
В нашем примере многочлен
#(») = *’ + 10Г -4г 4O=(jr + IO)(r’ -4). его корни
а = -10, Р = -2, / = 2 принадлежат полю (3. Полому
6, С З’я (см. 113|. задача на стр. 143). Окончательно. Gf  Г,.
бокого знакня теории групп и теории расширения полей
144
Приведём одну из рекомендаций. пояюлязоших я некото-
рых частных случаях вычислить группу Галуа заданного урав-
нения (см. |13]. стр. (ИХ)
Теорема. Если
1)полс /’ состоит только из лсйстшпельных чисел:
2) многочлен /(х) нспрнаоднм нал полем Р
3)степень и многочлена /(*) является простым чистом;
4) многочлен /(х) имеет только 2 не лейепнгтелыгых
корня. то группой Галуа многочлена /(х) является симметри-
ческая группа .V,
Пример 4. (см 119|. стр 44) Пусть число р > 5 про-
стое Bm6cjx:m положительное чётное т н чётные
ц	, Пусть /(х) = х(х)-2.
где g(x) = (x* +®)(х-д1)...(х-»,,).
Тог.» /(х) удовлетворяет услозигям приведённой теоре-
Для доказательства нсззрнзюднмостн многочлена /(х)
представим его в вито /(х) = х' +alxJ’-’ +...*ар. при этом
вес коэффициенты о,(/ I....р 1) - чётные. ar =-(з«р|« ) ’
нс делзпея на 4
Используем изкестиыГз из учебников алгебры критерий
'^кишт-ана(см., например.) 12|.стр. 353>:
Пусть многочлен /(х) = ц,х” +в|Х" 1 +...♦«. |Х+в,
имеет нсльзе колффишзенты Если дав некоторого простого р
2) коэффициенты в, .О,..ил делятся на р:
3) свободный член о,. делясь за р. не делится зга р:.
145
то мжм’оч.юн /(х) неприводим над полем <J Очевидно. в на-
шем случае достаточно вякть р - 2.
Далее. многочлен я(х) имеет р - 2 действительных кор-
на. его график пересекает ось ОХ в р~2 точках, его
max и min по абсолютной величине больше 2 (так как его »<а-
чсния в нечСтных целых точках по абсолютной величине боль-
ше 2) Отсюда можно впасть, что график функции у = /(х)
пересекает ось ОХ р - 2 рал. т е многочлен /(г) имеет точно
2 мнимых корня Таким обраюм. хтверждеиня Примера 4 дока-
146
Ответы к упрвжжштм
Ралк.т I
Подражая 1.2
I. Л-(0,1,2| 1. A |1;2.3|. 3. А (2.2)
4. А |1;2;3,4| 9. А |1]
8. -4 = {1;2;3) 9. Л = {2;4.8|
10. A |8*|*eZ| II. Л = {1;2;4)
12	АиВ- |-5;3;4),	|4)
13.	АиН (-1,4], 4Пй [1.2].
14.	Л»(0;1).
т «.[*1]^.]
|«. r-|4u[i;l] Il B-[o:j]u(l|
л Е'НМНН
19.
ЛхЯ = |(в.1).(а.2).(а,3);(Л.1);(Л.2).(*.3).(с.1).(с.2).и„1)}.
ЯхЛ = {(1,в);(1.Л);(1.сНга);(2.*).(1с);(3.О);(ЗЛ).(3.С)}
А1 ={(ца);(о.Л);(Л.л)1МЬ
 W j(U);(U);(U);(Zl);(Z2);(2;3);(ll);(3i2);(13)|
Лхв {(х.3)||£х<2);
2,‘ Л’={(x./)|lsxs2,lsjs2}. tf={(3,3)}
147
22. Л»Я=((Л<0.О5Х£|.1^|; «M={(i4i)|lSJrs2.0s>'Sl|
Лш^кгхМст 1.3.1
I. Комм>татвиа. аосошопшна
J. KoMWTanwiia. нсассоииативна
4.	Комлптапиша. нсассоииативна
5.	KoMw>tan«nia. нсжсоциатмвиа
6.	Нсвоммуптана. 1касс«п«лгн1чы
7.	Коммлтапиша. ассош1атнвна
8.	KoMmianunia. ассошапшма
ПоЛ/xrMiei 1.3.1
1. Л J(I,I).(1,2),(I,3).(Z2).(3,3)}.
2. Я'=((1.1).(Х1).(3.1).(Х2).(3.3));
3. /<-|(11|.(1^1Л.(И.(1,!5Л<1.(17|.(2^2^.(2^3^3«»).
4. Я = {(1.1). (1.3) ,(Z2).(24). (3.|).(ХЗ).(4.2).(<4)}.
I4M
ЛЛЛ |(I,1),(1,3),(1,5),(22),(X4),(3,3),(4,4),(5,S)}.
f(U).(1.2)(L3).(L4),(L5MX2).(X4).	1
](Х1).(ХЗ).(15Н4.2).(4.4).(3.1).(5,3),(^5)]
<1 О I О П fl I I 1 Г
O1OIO
ЛПй- 0 0 1 0 0 лил 1 0 I 0 I
0 0 0 1 0
к0 о о о J
0 10 10
J О I О 1,
/7or>/w*)ei 1.4
I.	Л = {1.5} U (2.3.4)
2.	Л-{(11).(22).(24).(ЛЗ).ЦЯ(42).(44Ц313).(Х5))
3.	Л = |1,3,5|и(2.4|
4.	Я={(и).(14).(22).(23).(3.3).(41).(4.4).(42).(«М
Раздел 2
Подрала 22
I.	Коммутативный моноид. нейтральный элемент е = О,
обратимые элементы « - О.а - -2
2.	Коммутативный моноид. нейтральный элемент
е = I - л; обратимые элементы а = I - л, а = -I
3.	Некоммутативная полугруппа: нейтрального элемента
нет; lucMnorcHTHMc элементы ^ ДУаеЛ); обратимых
элементов нет
4.	О р.Л’.Л’|
ного н обратимых элементов нет; идемпотентный элемент А‘.
2) {Л ./Г] абелева группа: единичный и идемпотент-
ПоЛрагдг.,2.3
1.1)	нет (коммутативный моноид).
2)	ист (операция не определена).
3)	нет (коммутативный мононд):
4)	да (абелева группа).
5)	нет (коммутативный мопою).
6)	да (абелева группа):
7)да (абелева группа).
X) нет (коммутативный мононд):
9)	да (абелева группа):
10)	нет (некоммутативный моноид):
11)	да (некоммутативная гру nna)
Лойрггэпсл 24
ISO
2. |Л|=4.|Л|=3
J. |<>4.|/)|=6.
Л.и^юмТст 2. i
I.	|*|=3. четная
2.	*|=6. нечетная
3.	|»|=6; ж=(1.8)(|.4)(|,2)(|.7)(|.3)(5.б).,етпа.
4.	* = (U)(U)(1,4)
5. ж = (l,3)(2,5)(2,6)(2.4)
g л» =(02.4(1.3.5); л> =(Q3)(1.4)(2,5); л* =(0.4.2)(1.5.3).
' ?=(Q,5,4,3,2,l),/-e.
10.	= X
II.	(1.2.3 ,4.5.6.7.8)
12.	(0,1,2,3 .4.5.6,7)
1Л (1.2)
14. (2,3)
Под/MHiiei 2.6
2. Состав ц|ако1крененжж трт ппы Л,
151
4 ЗдпРДмгз! I2143J 4 law/ I
fl»)	ГШЛ Jl234| Jl2M /
' [3IM/R (.32411 4 V34I2J 14132,1 4l 14213
н
J. да (абелева подгруппа).
5. да (абелева подгруппа)
Podptiwtet 2.9
I. Подгруппы группы 5,
2-го порядка {«’. р,}. {«. р,}. {е. р,} (итоморфиы
между собой);
3-го порядка: {е, р,. р,} (июморфна группе врашеннй
прав лреулхзлмтка)
5. нс является, левостороннее разложение:
Н + {*», .а, .а, | ♦ {«, .а, .а, | + [«,,о„ |.
правое торон нс€ рахтоженнс:
Я + {о, ,<ц,а,) + {fl; ,fl, .о»} + {fl, ,fl. ,ц, I
6. Н нормальная подгруппа; =
::
в ЛЧ'ЬЫ+ЬЬЬЬккк-в.ч."..}*
+ {fl;, а, ,о, ,о,} + {<1,, а, .а,,}
152
2. Таблицы операций над классами в колык Z,:
Подрожи 3.6
I. Комметатимюс колыю с единицей без делителей нуля
2. Комметапишое колыю с единицей с делителями тля.
ПоО/ыЮез 3.9
I. Неприводимые «потоплены второй степени ин полем
/.
?+2;*1+3;?+хт|;?+х+2;?+2глЗ;?+2к*4;
? +Зг+Э; ? +3»+< ? +4ж+|; х> +4гт2
Неприводимые многочлены агорой степени над позем
А
? »1, ? >2; ? +4, ? +Х+3, ? «х+Ч Г +т»б; ? +2г+2; ? +2т+3,
д’ +2r+S; ? +Зг+1; +3r+5; / +3r+6i д’ +*+1; ? +4х+5. ? -1гч>.
Г +Sr+Z Г +Sr+J; Г +fc+5, х’ +Л+3; >бг *4 г +<г зб
153
2. Непршюдимые многочлены третьей степени нал полем
Неприводимые многочлены третьей етепени над полем
J. I) (х + 1)’(?+х + |); 2) (x>l)’(x’+x + lf;
3) (х + 1)’; 4) (х+1)“.
4.1) (»*+|)(х’+х+2). 2» (х2+х+2)(хг+2х+2);
3) (х + 2)(х’+2х + 2). 4) (х'+|)(х’+2х-ь2)
5. 1) (х‘+2)(?+Ж+2): 2) (х*+2)(х*+3).
3) (х + г^х2+x+l); 4)(х’+3)(х’+х+2).
/Zm)yw*)e i 3 /0
1.	НОД(/,Х)=(Х+1)’;
НОК(/,Х) = г4+2х'+Х + 2
2.	НОД(Л«)-х’+1;
НОК(/.к) = х* + х’+ х‘+ 2х’+ 2х* ♦ г + 2
3.	НОДС/.Я)-? т-х + 2;
НОК(/.я) = х*+2х*+х+2
4.	НОДС/.Я^х'+З;
НОК(/.к) = х’+х4+X + L
S. нод(/.в>(х*|)*,
НОК(/.я) = х‘+2х’+х + 2
154
Список литературы
I Айзерман М. А. Гусев А. А. и др Логика Автоматы
Алгоритмы М : Фитматтит. 1963. 556 с
2	. Александров П С Введение в теорию грхпп - М.
Наука. 1980 - 143 с
3	Вниберг Э Б Курс алгебры М Факториал Пресс.
2001 -644 с
4	Гопсигатз Б Е Высшая матсматка, Раиса Линейная
алгебра. Курс.тскпий М МИСиС. 1995 КМ с
5.	Ефремов Г О. Алгебра логики и контактные сигмы. -
М Знание I960-32с.
6	Калу ткзтин Л А Введение в общую алгебру М Нат-
ка. 1973 - 447с
7	Кантор И Л.. Солодовников А. С Гиперкомплексные
числа М Наука. 1973	144 с
8	Кашапов И А . Кашапова Ф Р Фоменко Т Н Алгебра
и геометрия. Раысл Общая алгебра. Учеб пособие М МИ-
СиС. 1995 185 с
9	Ксмсни Дж. Снелл Дж. Томпсон Дж Введение в ко-
нечную математику М Мир. 1963 - 486 с
10	Курой А. Г. Курс высшей алгебры М Фитчаттиз.
1962-431 с
II.	Постников М М Теория Галуа - М Физматгиз.
1963 218с
12.	Фоменко Т Н. Алгебра и геометрия. Раздел Общая
алгебра. Учеб пособие М МИСиС. 2000 - 111 с
13.	Шестаков В И Математическая логика и автоматика
Математика в школе". 1958. №6. 1959. №1
14.	Шрейдер К) А Равенство, сходство, порядок - М
Наука. 1971 255 с
15.	Яглоуг И М Конечная алгебра, конечная геометрия и
коды - М : Знание. 1980 - 83 с
16	Яглом И М Булева структура и ее модели М Со-
ветское радио. 1980 - 193 с.
17	J S. Milne. Fields and Galors Theory www
Jtmlne oiy'numh/. 2003 98 c
ГОПЕИГАУЗ Бп/тс Етеетч
ОБЩАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Дт» СТ) ДСИТОВ СПСИИаТЬНОСТИ «МКИШ I
Ренеи кт дон А В Ж\ чин
Редактор ГВ Атмашкииа
Уч.-тад. л 6.5	Тираж IПО эка
Цена «С»Регистрационный
Электростальский политехнический инстип т
(филиал) «Московский государсткиный
институт стати и стотааов)технологический
университет)»
144000. Московская обл . г Электросталь,
ул Псрвомат)ская. д. 7.
156