Обучение счислению и измерению - Эменов В.

Author: Эменов В.

Tags: математика

Year: 1927

Similar

Системы счисления

Системы счисления и двоичная арифметика

Системы счисления

Об измерении величин.

Text

МОСКОВСКИЙ ОТДЕЛ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СОЦВОС
ОБУЧЕНИЕ
СЧИСЛЕНИЮ И ИЗМЕРЕНИЮ
СБОРНИК СТАТЕЙ
КА Б ШЕТА ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ В ЭМЕНОВА
«РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ»
МОСКВА—1927
X

Учебно-методическая литература
Соцвоса Московского Отдела народного
образования издается под общей ре-
дакцией Комиссии Научно - методиче-
ского Совета в составе: А. Н. Дурикина,
Ф. Г. Моночиненкова, М. Н. Орлова и
Н. М. Шульмана.
ГвСуЛ8Рс,в в»ЬпиМ"1 Ч
пс народно*!
ббр и чанию

ОТПЕЧАТАНО В ТИП. «ГУДОК»,
УЛИЦА СТАНКЕВИЧА, 7.
В КОЛИЧ. 6.000 ЭКЗ.
ГЛАВЛИТ № А-1332.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Сборник «Обучение счислению и измерению» составлен из
докладов, проработанных в секции преподавания математики в шко-
ле 1 ст. при Центральной педагогической лаборатории соцвоса
Моно. В работах секции принимали участие тт. Волковский, Бала-
шов, Горьков, Знаменский, Павликовский, Пельпор, Стальков
Слудский, Шелапутина, Эменов и др.
В задачи сборника входит оказание помощи преподавателю в
раскрытии содержания программ по математике для школы 1 сту-
пени и ознакомлении с приемами обучения счислению и измере-
нию. В первой статье «Об обучении детей математике» делается
попытка вскрыть содержание программы, отметить в ней важные
моменты, указать приемы, применение которых содействует повы-
шению успешности занятий.
В следующих статьях, которые являются необходимым допол-
нением к первой, разбираются отдельные вопросы преподавания
математики, напр., дроби, устный счет, использование математики
в комплексе и т. д.
Не все вопросы методики математики здесь одинаково полно
освещены: некоторые из них лишь затронуты, напр., способы обу-
чения геометрии и т. д.
Сборник редактировался руководителем математической сек-
ции I ст. при Центральной педагогической лаборатории т. Эмено-
вым и просмотрен главным образом в' Ц'елях большего приспосо-
бчения материала к массовой школе т. Сироткиным, В. М., и зав.
ЦПЛ т. Дурикиным, А. Н.

ОБ ОБУЧЕНИИ ДЕТЕЙ МАТЕМАТИКЕ.
Чтобы передать детям известный запас знаний и навыков в
какой бы то ни было области, недостаточно самому обладать
этими знаниями: надо еще уметь передать детям требуемые
знания и навыки, — надо знать методику преподавания дан-
ного предмета. Методика основывается на изучении особенностей
детской психики, на опыте преподавания нескольких поколений
учителей. Нельзя думать поэтому, что небольшой личный педаго-
гический опыт рядового учителя, или его педагогические способ-
ности, или даже некоторый запас общих дидактических сведений
(дидактика — наука о преподавании) могут заменить знание ме-
тодики специального предмета. Математика же выделяется из
других школьных предметов как тем, что ее преподавание кажется
непосвященному особенно простым, не требующим никаких мето-
дических указаний, так и теми печальными последствиями, к
каким ведет неумелое обучение математике. Учитель, не знакомый
с ее методикой, будет встречать в своей работе ряд неожиданных
затруднений и не даст учащимся ни достаточно обоснованных зна-
ний, ни твердых навыков, которые им понадобятся в жизни или для
продолжения образования в школе II ступени. Ему не удастся
использовать математику и как средство для развития мышления,
потому что для этого надо очень хорошо знать, какие именно
математические моменты, в какой форме и в какое время надо
поднести учащимся, чтобы они были надлежащим образом воспри-
няты. Мы очень часто встречаем взрослых людей, которые чувству-
ют к математике непреодолимое отвращение. Единственная пр ч-
ччна этого печального явления заключается в том, что благодаря
неумелому преподаванию радостная творческая работа на уроках
математики была заменена их учителями сухой, забивающей ум и
отучающей мыслить формалистикой. Отсюда ясно, какая громад-
ная ответственность лежит на лице, преподающем математику в
школе I ст. Всякая возможность ознакомиться с трудами по методи-
— 6 —
ке математики как наших старых методистов (Гольденберг, Беллю-
стин, Шохор-Троцкий, Егоров), так и новых (Волковский, Воронец,
Грацианский, Кавун, Лебединцев, Зенченко и Эменов) должна быть
использована преподавателем. Для облегчения этой возможности
мы даем ниже список методических сочинений, которые могут
быть полезны учителю I ступени. Эту же цель преследует и настоя-
щая методическая записка, содержащая ряд методических указа--
ний как по общим вопросам преподавания математики во всех
группах, так и по каждой группе в отдельности.
Математика и комплекс.
Математика изучается в школе, как одно из средств, одно из
орудий познания окружающего нас мира. Преподавание матема-
тики должно поэтому: 1) хорошо ознакомить учащихся с самим
орудием, 2) ознакомить с применением этого орудия для решения
практических вопросов. Чтобы достичь последней цели, в недав-
нее еще время считалось вполне достаточным включение матема-
тики в комплекс. Вполне возможным и наиболее соответ-
ствующим общей установке современной школы считалось и самое
ознакомление с математикой, как орудием, на ходу, на практиче-
ской работе.
Опыт нескольких лет показал несостоятельность подобного
рода ожиданий. Стало ясно, что одна разработка комплексной
темы, без специальной тренировки, не может дать ни необходи-
мых математических навыков, ни достаточного умения приложить
их к делу. Для того, чтобы получить навык в сложении, положим,
чисел в пределах сотни, надо сделать десятки и сотни примеров
на сложение, расположенных притом в определенном методическом
порядке. Очередная тема не может дать для этого достаточно
материала, и попытки выжать из нее больше, чем она может дать,
как показал опыт, не достигая цели, приводят только к чрезмер-
ному разбуханию математической стороны темы, к созданию ряда
неестественных задач и вопросов и к большой затрате времени.
Какова же роль комплекса при изучении математики и роль
математики в комплексе? Значение комплексной темы для мате-
матики состоит в том, что ее разработка выдвигает различные
математические вопросы, делает для детей понятным, почему им
надо уметь делать те или иные действия, знать те пли иные
свойства чисел, вообще осмысливает изучение математики.
— 7 —
Роль математики в комплексе заключается, конечно, в математи-
ческой обработке общих тем, поскольку такая обработка возмож-
на в целях всестороннего освещения содержания темы. Отсюда
вытекает следующий план работы по математике в
школе I ступени: а) Комплексная тема ставит перед учениками ряд
задач, требующих математического исследования — импульсирует
разработку ма тематических вопросов, стоящих на очереди согласно
определенному методическому плану, б) Производится разработка
упомянутых вопросов, выработка и укрепление соответствующих
навыков как на материале, доставляемом данной темой, так и на
другом, включая сюда и отвлеченные числа, в) Вырабатывается
умение пользоваться известными уже математическими операция-
ми для решения практических задач. Содержание задач черпается
как из общей темы, так и вне ее. Занятия по двум последним раз-
делам идут обыкновенно параллельно, так как нельзя целые уроки
посвящать упражнениям в механизме действий, но и не 1ьзя эти
упражнения надолго оставлять.
Геометрия в школе I ступени.
Знакомясь с окружающим миром, дети замечают разницу не
только в числе предметов, но и в их размерах и форме. Поэтому
на ряду с вопросами чисто-арифметического, счетного характера
перед ними встают вопросы геометрические — сравнение формы
предметов, их линейных размеров, площадей и об’емов. Эти геоме-
трические вопросы входят в программу 1 ступени, поскольку зна-
юмство с ними выдвигается самой жизнью и поскольку оно необ-
ходимо в качестве фундамента для дальнейшего изучения геомет-
рии. Отсюда не следует, что геометрия должна составлять в школе
отдельный, обособленный от арифметики курс. Не только необхо-
дима самая тесная увязка обоих отделов математики, но возмож-
ностью такой увязки определяется даже выбор геометрического
материала: из геометрических свойств рассматриваются почти
исключительно метрические, т.-е. связанные с измерением; при
этом, если измерение делается непосредственно, то число, являю-
щееся его результатом, чаще всего входит, как одно из данных
арифметической задачи; измерение площадей и об’емов, произво-
димое косвенно, уже само по себе требует арифметического вычи-
•сления. Чтобы уметь измерять фигуры, надо иметь ясное предста-
вление об их форме, а для этою надо знать, какие линии парад-
8
лельны. какие углы прямые и т д.—это ге сведения не метриче-
ского характера, которые составляют остальное содержание про-
граммы геометрии.
Что касается пути, которым добываются детьми геометриче-
ские сведения, то единственно правильным будет путь лаборатор-
ный, т.-е. когда дети подмечают и проверяют геометрические свой-
ства на моделях, по большей части ими же изготовленных, на чер-
тежах, ими вычерченных. Модели из бумаги или картона для этого
складываются, накладываются одна на другую, разрезаются, изме-
ряются и подвергаются всем вообще операциям, необходимым для
обнаружения того или другого свойства. Понятно, что лаборатор-
ный метод требует соответствующего оборудования школы. Необ-
ходимы линейки, угольники, циркули, транспортиры, ножи, нож-
ницы, твердая бумага; желательно иметь клей (синдетикон). Если,
школа не располагает всеми нужными инструментами, то часть их
можно заменить самодельными. Так, при отсутствии линеек они
могут быть заменены свернутыми в несколько раз полосами бума-
ги. Циркуль для классной доски с успехом заменяется веревочкой.
Труднее мириться с отсутствием циркулей для измерения и чер-
чения на ^бумаге: приходится заменять их бумажными линеечками,
причем для отмеривания расстояния, равного данному, на такой
линеечке делаются метки, а для описания окружности делаются
дырочки, в одну из которых вставляется булавка, а в другую—ка-
рандаш.
От оборудованное™ школы чертежными принадлежностями
зависят размеры чертежных навыков, которые может дать детям
учитель. Во всяком случае он не должен забывать, что хотя
основной задачей преподавания математики в школе 1 ступени
является обучение счету, однако и чертежным навыкам следует
уделить достаточно внимания.
Желательно начиная со 2-го года приучать детей к вычер-
чиванию остро очиненным карандашом по линейке всех тех фигур,
с какими они будут знакомиться. Черчение по разграфленной в
клетку тетради не представит для них большого труда. При этом,
помимо приобретения полезных чертежных навыков, учащиеся,
имея перед глазами более точное воспроизведение геометрических
фигур, легче знакомятся с их свойствами.
Геометрические сведения в школе I ступени прилагаются к
измерению земельных участков, чт ению и составлению планов.
Необходимо ознакомить учащихся (на практике) с приемом про-
— 9 —
вешивания прямых линий на земной поверхности. Следует пока-
зать им готовые планы и познакомить с главнейшими условными
обозначениями. С’емку планов можно производить двояко. Если
нет никаких инструментов, снимаемый участок разбивается на тре-
угольники, измеряют стороны этих треугольников и строят за-
тем на плане треугольники по известным сторонам. Но нетрудно
сделать и простейший землемерный инструмент — эккер. Этот
инструмент представляет из себя горизонтально расположенную
крестовину из двух планок, прибитую к вертикальному колу, ко-
торый втыкается в землю. На каждом из четырех концов кресто-
вины воткнуто вертикально по булавке. Смотря через эти булавки,
на земле провешивают перпендикулярно одна к другой прямые и,
перенося их на план, заносят постепенно все подробности снимае-
мой местности. Для ознакомления с порядком производства земле-
мерных работ можно рекомендовать книжку Орлова «Как
мерить и делить землю». Гостехиздат. 1925 г.
Навыки ориентировочные и измерительные.
В< е свои математические представления как геоме грического,
так и арифметического характера ребенок черпает из окружаю-
щего его мира. Задача учителя — помочь ему разобраться в на-
блюдаемых им явлениях, ориентироваться в пространстве, во вре-
мени, научиться различать и сравнивать величину и число наблю-
даемых им предметов. Приобретение первоначальных ориентиро-
вочных навыков играет поэтому видную роль в занятиях матема-
тикой на 1 -м году обучения, продолжается постепенно в следующие
годы и служит основой для изучения геометрических форм, счета
и измерения.
К идее измерения ученик приходит путем сравнения расстоя-
ний: один его товарищ, например, живет против школы, через ули-
цу, а другой — по той же стороне улицы, где и школа, через дом
от нее; кто из них живет ближе к школе? Чтобы без ошибки от-
ветить на этот вопрос, расстояния меряют ся шагами. От «на гураль-
ных» единиц измерения (шаг, четверть) переходят к искусствен-
ным—-метру и сантиметру. Вслед за мерами длины прорабатываются
меры жидкостей—стакан, бутылка, ведро, литр; дальше следуют ме-
ры времени и меры веса. В том же порядке изучаются меры и в сле-
дующие годы, причем количество единиц постепенно увеличивает-
ся (но не за счет неупотребительных единиц вроде декаметра,
— 10 —
стера и т. п.), вводятся квадратные и кубические меры. Указанный
порядок, при котором более конкретные меры изучаются прежде,
чем более отвлеченные, и непосредственное измерение раньше
косвенного, надо признать наиболее соответствующим особенностям
детского возраста.
Само собою разумеется, что обучение измерению должно
иметь практический характер, т.-е. дети должны сами мерить рас-
стояния, жидкие и сыпучие тела, должны взвешивать на весах.
Если в школе нет весов, то более искусный учитель может заме-
нить их самодельными. Остальным же сельским учителям можно
рекомендовать для ознакомления детей со взвешиванием экскур-
сии в кооперативную лавку. Что касается разновеса, то его может
легко сделать всякий сам: для мелкого разновеса можно восполь-
зоваться бронзовыми монетами в 1, 2, 3, 5 коп., которые весят
1, 2, 3, 5 г, и серебряными полтинниками и рублями, весящими
10 и 20 г; для крупного разновеса можно подобрать соответствую-
щего веса мешечки с песком.
Названия метрических мер записываются только сокращенно,
причем можно пользоваться лишь узаконенными сокращениями.
Для обозначения основных единиц — метра, ара, литра, грамма —
употребляются первые буквы их названий. Составные единицы
обозначаются двумя буквами — первой буквой приставки и первой
буквой названия основной единицы, например, см, кг, га. Ни точек,
ни тире в сокращенной записи мер не ставится.
При производстве измерений неизбежно возникает вопрос о
точности измерения. Вначале, особенно на первом году, решение
этого вопроса обусловливается имеющимся у детей запасом чисел
и запасом единиц измерения. Но в дальнейшем необходимо пока-
зать учащимся, что, несмотря на существование мелких единиц,
последние не могут быть использованы при измерении больших
величин, что обычными приемами нельзя, например, измерить дли-
ну класса с точностью до 1 мм, что в числе, выражающем расстоя-
ние от Москвы до Ленинграда, не только единицы, но и десятки
метров трудно получить правильно При измерениях же, произво-
димых учащимися, вполне можно довольствоваться двумя—тремя
значащими цифрами.
Получающиеся числа на 3-м и 4-м годах обучения всегда
должны быть выражены в единицах одного наименования, на-
пример, вместо 7 м 42 см следует писать 742 см или, лучше,
7,42 м. Соединение метрических мер, не более двух разных найме-
11
нований, в составное именованное число может быть допущено
лишь в два первые года, но и то в виде исключения.
Более уместны составные именованные числа при измерении
времени, причем, однако, также не следует брать чисел более,
чем с двумя наименованиями. Обращение с такими числами не тре-
бует никаких особых правил, а потому выделять составные имено-
ванные числа в самостоятельный отдел нет смысла. Задачи на вы-
числение времени решаются теми безыскусственными приемами,
которыми их стал бы решать всякий умеющий соображать чело-
век. Пусть, например, надо узнать в годах и целых месяцах воз-
раст на 26 сентября 1927 г. ученика, родившегося 18 мая 1917 г.
Считаем, что от его рождения до 18 мая 1927 г. прошло 10 лет
(1927—1917) и от 18 мая до 18 сентября—4 месяца, всего 10 лет
и 4 месяца.
Прежние русские меры в настоящее время не подлежат изу-
чению. Но так как они еще не вышли из употребления, то на 4-м
году обучения надо дать простейшие соотношения между употре-
бительными русскими мерами и метрическими, показать прием
составления таблиц перевода русских мер в метрические и упраж-
нять детей в пользовании такими таблицами.
Навыки счетные.
Начавшаяся в 1918 году коренная реформа школы отодвинула
на задний план обучение детей счетным навыкам. Результаты
этого и хозяйственной разрухи, оставившей школу в те годы без
учебных принадлежностей, сказались через несколько лет; еще и
в настоящее время оканчивающие школу не только не получают
достаточных навыков в счислении, но часто не знают даже основ-
ных правил обращения с числами. Многие же вопросы, связанные
со счетом, невидимому, неясны и учителям. Поэтому, настоятельно
рекомендуя преподавателям ознакомиться с посвященными вопро-
су об обучении счету трудами Гольденберга, Бе. ,люстина и других
методистов, даем ниже лишь наиболее необходимые указания в
этой области. %
Обучение счету идет концентрами: сначала в пределах десят-
ка, двух десятков, потом в пределах сотни, тысячи и выше тыся-
чи. В каждом концентре прорабатываются все действия над
числами, причем взаимно-обратные действия изучаются вместе,
т.-е. сложение вместе с вычитанием, умножение — с делением.
— 12
Однако нумерация чисел идет несколько вперед: на 1-м году обу-
чения изучаются действия в пределах двадцати, а нумерация идет
до 100; на 2-м году счет доводится до 1.000, а из действий в пре-
делах 1.000 рассматриваются только сложение и вычитание. Часть
детей во всякой группе окажется знакомой с нумерацией выше
положенного для этой группы предела. Если эта часть группы
значительна, то преподаватель может раздвинуть пределы изучае-
мых чисел. Во всяком случае нельзя считать границы между кон-
центрами незыблемыми и непроницаемыми: жизнь всегда можег
натолкнуть учащихся на более крупные числа, и преподаватель,
когда это возможно, не должен отказаться от их рассмотрения.
При первоначальном обучении счету на первом году крупную
роль играют наглядные пособия—спички, соломинки, пальцы на
руках. От предметов, находящихся перед глазами детей, перехо-
дят к другим конкретным предметам, которых в данный момент
нет в классе, — яблокам, деревьям и т. п.; эти предметы рисуются
в тетрадках в надлежащем числе. Действия над числами предметов
не изображенных и над отвлеченными числами идут после. Не один
раз, однако, приходится возвращаться к наглядным пособиям и в
следующий год, например, для обяснения десятичной системы счи-
сления; для этой цели хорошо могут служить также торговые
счеты, которые на 3-м году переходят уже на роль счетной ма-
шины.
Очень важно во всех группах, начиная со 2-й, обращать вни-
мание детей на приближенность большей части встречаю-
щихся чисел. Мы уже указывали, что результаты всех измере-
ний всегда приблизительны. При счете большого числа предметов,
например, числа жителей города, также редко можно получить
вполне точный результат Но, кроме того, точное число по боль-
шей части ине нужно: число жителей Москвы, например, для
всех практических целей достаточно взять округленным до целых
тысяч, расстояние от Москвы до Ленинграда—с десятыми долями
километра и т. п. Лишние цифры брать не имеет смысла: эта идея
должна быть твердо усвоена учащимися.
Действия над числами производятся, как известно, письменно
и устно. В чем разница? Результат письменного действия соста-
вляется постепенно из отдельных разрядов, чаще всего начиная
с младших; цифры данных чисел служат орудием, при помощи
которого получается результат; письменное вычисление произво-
дится по большей части по общим постоянным правилам. При
— 13 —
устном вычислении результат получается обыкновенно, начиная
со старших разрядов; действие производится различными приема-
ми в зависимости от особенностей данных чисел, причем отдель-
ные разряды чисел не играют столь важной роли, как при пись-
менном счете. Так, для устного вычитания 176 из 332 мы вычи-
1аем 200 из 332, к получившейся разности 132 прибавляем 24
(=200 —176) и говорим 156. Запись данных чисел и результата
не превращает устного счета в письменный, если самое вычисле-
ние сделано по приведенному образцу.
Как письменное, так и устное счисление имеют в жизни свое
определенное назначение. Также строго определенные воспитатель-
ные задачи ставятся изучению того и другого вида счета в школе.
Письменные приемы действий механичны и универсальны. Они
приложимы поэтому ко всем числам, и пользование ими не тре-
бует никакой сообразительности, но как всякий универсальный
инструмент, они часто менее удобны, чем специальные: устное
вычисление во многих случаях скорее и проще письменного. Кроме
того, письменное вычисление требует известных орудий производ-
ства в виде пера, карандаша, бумаги и т. п., которыми не всегда,
когда надо что-нибудь счесть, можно располагать.
Очень ценен письменный счет как воспитательное средство.
Он прежде всего выдвигает перед детьми важное значение система-
тизации, наглядно демонстрируя, к каким плодотворным резуль
татам приводит пользование десятичной системой счисления. Так-
же ценны для математического развития детей идея общности,
заложенная в основу всех приемов действий, и связанный с нею
навык руководствоваться определенными правилами. Самый меха-
низм действий, при надлежащем руководстве со стороны учителя,
приучает детей к порядку и систематичности в записи.
Однако перечисленные достоинства письменных приемов счи-
сления нельзя рассматривать, как их оезусловные преимущества
перед устными. Наоборот, если письменное вычисление приобре-
тает в школе доминирующую роль, то те же особенности этого
гида счета становятся для учащихся чрезвычайно роедными и на-
чинают действовать как яд, постепенно убивающий все воспита-
тельное значение изучения математики. Механизированные прие-
мы действий приучают детей рабски подчиняться данным прави-
лам, отучают соображать, вырабатывают у них ошибочный, взгляд
на математику, как на набор известных правил, и готовят в конце-
концов «людей в футляре», неспособных мыслить Е'наче, Как по
14
навязанным им формам. Только правильное сочетание в школе
обоих видов счета, письменного и устного, может дать учащимся
такое математическое образование, при котором форма не за-
слоняла бы собою сущности дела, которое вдумчивость и сообра-
зительность развило бы наравне с умением пользоваться механи-
ческими приемами.
Место и роль письменного и устного счета в первые 2 года
обучения достаточно ясно определяются всем известными свой-
ствами детской психики, а также и основным на них подбором
математического материала. На 1-м году письменных приемов
действий нет, и все вычисления делаются в уме, с записью или
без записи данных чисел и результата. На 2-м году все действия
также делаются преимущественно устно и только к концу года на
трехзначных числах показываются письменные приемы сложения
и вычитания. Однако и после ознакомления с этими приемами они
не должны вытеснять собою устные. Когда же это удобно, оба
вида счисления комбинируются, т.-е. при письменном счете поль-
зуются приемами, характерными для устного счета—перестанов-
кой слагаемых цифр, округлением и т. п. Навык в устном счете
способствует выработке беглости и уверенности в письменном
счислении. А так как школа имеет своей задачей дать наиболее
жизненные и практически ценные навыки, то она должна не толь-
ко обратить внимание на развитие навыка в устном счете, но и
приучить детей пользоваться счетом в уме во всех случаях, когда
это целесообразно. Для достижения последней цели в школе не-
уклонно проводится следующее правило: всегда, когда можно, счи-
тай в уме.
Остановимся несколько на приемах устного счисления, кото-
рыми следует пользоваться в школе.
Основное правило состоит в том, чтобы первое из данных
чисел не разбивать на разряды. Так, чтобы к 27 прибавить 35. мы
к 2П прибавляем 30 и затем прибавляем 5. Как сделано и в приве-
денном примере, чаще всего действие начинается со старших раз-
рядов. Однако индивидуальные особенности чисел в громадном
большинстве случаев позволяют скорее и проще получить резуль-
тат при помощи особых приемов. Таких приемов бесчисленное
множество, но те, применение которых обязательно, должны удо-
влетворять следующим двум основным требованиям: во-первых,
они не должны быть слишком частыми, т.-е. должны охватывать
достаточно большой круг чисел, во-вторых, не должны быть ис-
— 15 —
кусственными, требующими особого запоминания. Приемов, удо-
влетворяющих этим требованиям, не очень много, но надо, чтобы
дети хорошо с ними освоились и постоянно ими пользовались, а
для этого необходимо упражнять их в устном счете в течение всего
курса по 5 —10 минут ежедневно. Само собою разумеется, что
при подборе упражнений надо заботиться, чтобы ни один из
изученных приемов не оставался обойденным. Что же касается
бесчисленного множества остальных приемов, надо показать уча-
щимся некоторые из них, — не с тем, чтобы они именно эти прие-
мы усвоили, а для того, чтобы они видели, насколько вычисление
облегчается использованием индивидуальных особенностей данных
чисел, и получили привычку всегда отыскивать такие особенности
и изобретать способы ими пользоваться для упрощения действия.
В эту сторону прежде всего должна направляться мысль ученика,
получившего задание сделать то или иное вычисление
При упражнении в устном счете учащиеся практикуются в
воспринимании заданных чисел как с записи, остающейся перед
их глазами, так и со слуха. Последнее, конечно, труднее, а потому
числа надо давать меньше. Чтобы ускорить работу в первом случае,
можно или пользоваться таблицами, образцы которых помещены
в книжке Мартель1), или написать одно число на доске, другое
показывать написанным на карточке.
Очень хорошим и увлекающим учеников средством для упра-
жнения в устном счете служат устные вычисления в несколько
действий, которые постепенно задаются учителем. Например, учи-
тель говорит: «число 18 утройте и не говорите, что получится»;
прождав столько времени, чтобы большая часть группы успела
получить результат, учитель предлагает прибавить к нему 27
и т. д. При такого рода упражнениях можно чрезвычайно разно-
образить терминологию, приучая детей к быстрому схватыванию
смысла всех употребляемых для обозначения действий выражений:
так, для указания деления на 4 можно предложить разделить число
на 4 равные части, найти % числа, уменьшить число в 4 раза,
узнать, сколько раз в нем содержится 4, во сколько раз оно боль-
ше 4 и т. п.
Понятно, что числовой материал, над которым фоизводятся
упражнения в устном счете, постепенно усложняется, причем не
1) Мартель. Приемы быстрого счета.
-надо обходить ни известных детям дробей, ни больших чисел с
нулями: сделать, например, в уме умножение 230 на 40 вполне по-
сильно учащимся 3-го года. Также должны постоянно фигуриро-
вать в такого рода работе метрические меры, 4 действия тад ними,
превращение и раздробление из одних единиц в другие.
Не меньшее значение, чем устное счисление, имеет, как выше
было показано, и письменное. Многие преподаватели не придают
большого значения способу вычисления и порядку записи его
детьми, обращая внимание лишь на правильность результатов.
Такой взгляд на письменное вычисление надо признать глубоко
ошибочным. Вполне очевидно, что, когда у детей лишь формируют-
ся навыки счета, вся забота учителя должна быть устремлена на
го, чтобы эти навыки сформировались правильно. Допускаемое
многими учителями писание вычислений сначала «начерно», для
себя, часто приводит к таким последствиям, о серьезности кото-
рых, к сожалению, мало думают. Первое, меньшее изо всех зол —
это неряшливость и небрежность в письме, которые неизбежно
развиваются у детей при отсутствии контроля учителей над веде-
нием «черновых» вычислений. Второе—дети приучаются к «двой-
ной бухгалтерии», так как ведут подлинную работу для себя и
работу напоказ для учителя. Третье—дети не только не прогрес-
сируют в приемах вычисления, но часто начинают пользоваться
извращенными приемами, иногда поражающими своей чудовищно-
стью. четвертое—являющееся обычным следствием предыдущего,—
притупляется сообразительность, понижается интерес к матема-
тике, а иногда даже возникает отвращение к ней, остающееся за-
тем на всю жизнь.
Программа 1 ступени построена так, что круг изучаемых
чисел постепенно расширяется. Но над числами каждого концент-
ра производятся все 4 действия не только в том году, когда этот
концентр вводится, а и во все следующие годы. Само собой ясно,
что техника вычислений над числами второго концентра, в преде-
лах 1.000, не может быть одна и та же на 2-м и на 4-м году. Тем
более нельзя допустить, чтобы человек всю жизнь вычислял так,
как он вычислял, когда только начал учиться этому искусству.
Отсюда следует необходимость постоянного и непрерывного со-
вершенствования техники вычислений на всем протяжении школы:
оканчивающий школу I ступени должен не только уметь как-
нибудь сделать действие, но должен уметь сделать его более
или менее хорошо в от ношении правильности, результата,
— 17 —

<5
быстроты действия, целесообразности и экономичности употре-
бленных средств. Приведем примеры.
Деление числа 768 на 12 во 2-й группе делается помощью
«лестницы» в 4 строки; но уже в 3-й группе эта лестница должна
укоротиться вдвое, потому что дети должны уметь при делении
на 12, 11, 15 не выписывать произведений делителя на цифры
частного, а сразу писать остатки; в 4-й же группе записываются
только данные и результат. Точно так же деление на 20, для кото-
рою во 2-й группе допустима «лестница», в 4-й группе должно
делаться делением сначала на 10 (перенесением запятой), потом на
2 (в уме). Наблюдение показывает, что громадное большинство
оканчивающих школу I ступени совершенно не знакомо с подоб-
ного рода упрощением вычислений, а очень значительная часть
строит большие лестницы даже для деления на единицу с нулями.
Возьмем технику сложения многозначных чисел. Положим, что
цифры слагаемых какого-нибудь разряда — 3, 4, 2, 3, 5. Складывая
их, дети говорят: «3 да 4 будет 7, да еще 2 —- девять, еще 3 — две-
надцать и 5—семнадцать». Вначале это очень хорошо. Но взрос-
лые складывают не так: показывая последовательно на приклады-
ваемые цифры, они произносят только суммы 7, 9, 12, 17. К этому
необходимо приучйть и детей, и не только к этому, а и к тому,
чтобы они группировали слагаемые в десятки и двадцатки: во взя-
том примере следует сразу усмотреть, что 3, 4 и 3 или 2, 3 и 5 дают
десяток, и тогда сумма получается гораздо скорее.
Обращаем внимание учителя на то, что дети иногда не знают,
что можно складывать одновременно несколько чисел, а вместо
того складывают сначала два числа, к их сумме прибавляют третье
и т. д. Сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел
всегда следует записывать в строчку.
Действия умножения многозначного числа на однозначный
множитель и деления на однозначный делитель также всегда запи-
сываются в строчку. Если встречаются нули в середине множителя,
то на них не множат, а при умножении на следующую значащую
цифру множителя пишут результат с отступлением влево на столь-
ко лишних цифр, сколько было нулей (см. пример далее). Нули
на конце множимого и множителя переносятся сразу в окончатель-
ное произведение (см. пример). Из двух данных для перемножения
чисел в качестве множителя всегда берут число, содержащее мень-
ше значащих цифр. Для умножения или деления числа на
< нулями надо, смотря по обстоятедьсдвам, -припнепэать
единицу
или за-
2
Г«СУЯ«рс7В. С
Обучение счи|
рению и х1змереф^9
18 —
черкивать нули или переносить запятую, но никогда не писать
многострочных таблиц.
Далеко не безразлично, что дети говорят при перемножении
чисел. Пока они не вполне освоились с таблицей умножения, пусть
они говорят «шесть раз восемь» и «два раза семь», и лишь со
временем переходят на выражения «шестью восемь» и «дважды
семь». Когда умножается многозначное число, то вначале действие
будет сопровождаться приблизительно следующими словами:
«шестью семь—42, два пишем, четыре в уме; шестью девять—54,
да 4 в уме, всего 58,—восемь пишем, 5 в уме» и т. д. Но затем надо
перейти к более короткой форме фиксирования последовательных
этапов вычисления, приблизительно такой: «шестью семь—42,
два; шестью девять—54, да 4, восемь», и т. д. Пропускаемые слова
сначала будут произноситься детьми про себя, но потом они от
этого отвыкнут и даже при вычислении про себя не будут произ-
носить лишнего. На приведенной форме можно в I ступени оста-
новиться, хотя желательно, в случае возможности, приучить детей
к тому, чтобы они называли произведение двух однозначных чисел,
не повторяя этих чисел. Тогда приведенное выше умножение будет
сопровождаться лишь следующими словами (вслух или про себя):
«сорок два, пятьдесят четыре, восемь»; подчеркнутые слова
произносятся с большим ударением, так как они соответствуют
тем цифрам, которые пишутся; перемножаемые цифры всякий раз
указываются пальцами, пером или другим орудием письма,
которое находится в руках.
Самое трудное действие — деление. В нем две трудности: пер-
вая состоит в подборе значащих цифр частного, вторая—в поста-
новке в частном нулей, когда они там должны быть. Чтобы с
обеими успешно справиться, очень важно прежде всего достаточ-
но поупражнять детей в делении на однозначное число. Перейдя
затем к двузначному делителю, надо приучить детей всякий раз
округлять его до одной значащей цифры, усиливая, когда надо,
остающуюся цифру. Так, для подбора цифр частного при делении
на 37 мы заменяем делитель числом 40 и делим старшие разряды
делимого (или остатка) на 4; если при этом окажется, что 4
(т.-е. 40) содержится, положим, почти 7 раз, то очень воз-
можно, что 37 будет содержаться 8 раз. Так же на первых порах
надо поступать и при делении на всякий многозначный делитель—
округлять его до одной значащей цифры. Если же учащиеся умеют
уже быстро множить в уме двузначное число на однозначное, то
— 19 —
можно перейти к округлению делителя до двух значащих цифр:
цифра частного при этом будет определяться точнее.
Чтобы уменьшить число ошибок, когда частное содержит
нули, полезно, помимо известного правила, приучить учеников
следить за разрядами частного: так, деля 12.951 на бЗ, мы отде-
ляем сначала 129 сотен и получаем потому в частном сотни,
вслед за которыми должны быть десятки (0) и единицы (5—6).
Заметим, что практическое значение остатка при делении
заключается лишь в том, что в немногих случая-; он свидетель-
ствует о невозможности решения задачи, а в громадном большин-
стве лишь указывает, оставить ли без изменения последнюю цифру
частного, или для большей точности усилить ее одной единицей
Поэтому всегда, когда это выгодно, можно делить делимое и дели-
тель на единицу с нулями: пока дети незнакомы с десятичными
дробями, это будет отбрасывание одинакового числа нулей в дели-
мом и делителе, а с введением десятичных дорбей всегда будут
отбрасываться все нули в конце делителя. Остаток во всех случаях
отбрасывается. •
При действии с простыми дробями необходимо: 1) сокращать
всякую сократимую дробь, 2) для сложения и вычитания смешан-
ных чисел складывать и вычитать отдельно их целые и дробные
части, 3) для умножения смешанного числа на целое, а когда удоб-
но, и для деления, производить эти действия отдельно над целом
и дробной частями данного смешанного числа.
Запись письменных вычислений также должна быть пред-
тетом неослабного внимания со стороны учителя.
В 1-й группе он должен показать правильное и простейшее
начертание каждой цифры: единицу писать в виде одной палочки,
без тонкого штриха перед ней, головки цифр 2 и 9 обводить по
направлению движения стрелки часов. В следующих группах необ-
ходимо постоянно следить, чтобы начертания всех цифр не сбива-
лись, особенно же цифры 4. Большое значение имеет также со-
блюдение определенных размеров цифр: по обычной полусанти-
метровой клетке, на 1-м году обучения цифры.должны быть вы-
шиною в две клетки, на 2-м году—в одну клетку, на 3-м и 4-м
немного меньше одной клетки. При подписывании цифр одной по i
другой на 2-м году между ними оставляют одну свободную клетку,
с 3-го года не оставляют. По горизонтальному направлению каждая
цифра должна занимать особую клетку (или 2 клетки на,1-м году)
Классы отделяются один от другого, но не запятыми и не точками.
— 20 -
а пустыми промежутками в одну клетку. Горизонтальные и верти-
кальные черты всегда должны итти по линейкам тетради. В каче-
стве орудия письма допускается только перо:
карандаш употребляется лишь для черчения по линейке.
Если решается числовой пример в несколько действий, то надо
озаботиться правильным, удобным и красивым расположением от-
дельных действий. При вычислении столбиком можно не перепи-
сывать результат одного действия, чтобы сделать над ним следую
щее действие, а продолжать тот же столбик. Но этого нельзя де-
лать при записи в строчку: запись, например, вроде 3.7—21 -(-
+ 4 — 25 недопустима; вместо нее надо писать: 3.7= 21,
21 4 = 25. Необходимо требовать, чтобы отдельные равенства
выписывались одно под другим, а никак не рядом, т.-е. нельзя
писать:
3.7 = 21; 21- + 4 = 25.
Если равенства коротки, можно допустить запись двумя, но
не более столбцами на странице.
По окончании вычисления отдельно выписывается ответ.
Если ученик заметит какую-либо неправильность в своем
вычислении, то он отнюдь не должен стирать, выскабливать и
переправлять цифры, но должен перечеркнуть их без марания или
даже зачеркнуть все действие и переписать снова. Это требование
вызывается необходимостью приучать детей к предварительному
обдумыванию их поступков (сначала подумай, потом напиши), к
чистоте и аккуратности в записях. Если оно не пред’является, не-
которые учащиеся работают больше резинкой, чем пером или ка-
рандашом, а другие представляют такие работы, где нет возмож-
ности определить значение цифр, несколько раз переправленных.
Комбинаторные навыки и решение задач.
Как уже было упомянуто, научить детей технике вычисле-
ний еще не значит исполнить всю задачу, возложенную на препо-
давателя математики: необходимо научить также применять ма-
тематику к решению конкретных вопросов. Комплексные темы
дают некоторое количество таких вопросов. В Методической за-
писке ЦПЛ под заглавием «Счетные и измерительные навыки»
приводится (стр. 28—29) пример подобного рода задачи — это
задача на определение доходности молочного хозяйства на осно-
— 21
ванпи материала, полученного из наблюдений учащихся. Задач,
связанных с комплексом и настолько же жизненных, как только-
что упомянутая, можно подобрать довольно много для с е л ь-
с к о й школы, где интересы громадного большинства или даже
всех учащихся группируются вокруг общего центра — сельского
хозяйства. Но в городской школе, особенно в школе крупного
города, где большинство учащихся может знакомиться с сельским
хозяйством только через школу, проработку подобной задачи
придется, конечно, значительно сократить, чтобы избегнуть схо-
ластичности, да и число таких задач приходится по тем же со-
ображениям уменьшить. Кроме того, постановка и разработка
каждой подобного рода задачи отнимает у учителя и учеников так
много времени и труда, что и нельзя успеть проработать их в
числе, достаточном для приобретения необходимых комбинатор-
ных навыков, особенно же, когда мти еще не тверды и в счисле-
нии.
По этим причинам, как показывают наблюдения, преподава-
тель избегает давать задачи и большую часть времени посвящает
счетным навыкам. В результате же оканчивающие школу и пере-
ходящие во II ступень не умеют связать двух действий для реше-
ния очень простого вопроса.
Приходится признать поэтому, что на ряду с задачами, кото-
рые ставятся комплексной темой или жизнью самой школы (напр.,
работой школьного кооператива) и требуют для своего решения
длительной исследовательской работы учащихся, необходимы за-
дачи, анализ и решение которых основывается на готовых дан-
ных. Такие задачи частью могут быть связаны с комплексом, ча-
стью же могут черпать свое содержание из самых разнообразных
областей знания, техники, производства, промышленности и хо-
зяйства, под условием, чтобы они были доступны пониманию и
интересны для детей, а по мере возможности и поучительны. Само
собою разумеется, что эти задачй должны быть свободны и от
того недостатка старых задач, за который вместе с виновными и
правые были изгнаны из новой школы: они не должны быть искус-
ственны по своей конструкции, должны содержать не только чис-
ла, взятые из жизни, но и вопросы, которые ставятся жизнью.
Самое ценное в задаче — это анализ ее решения, т.-е. уста
новление, исходя из вопроса задачи, цепи необходимых для ее ре-
шения сведений, доходящей до данных в условии задачи чисел.
Этот процесс, описание которого можно найти в учебниках мето-
22 —
дики, юлжен быть хорошо знаком учителю. Сознательного же
проведения его учащимися можно требовать только на 4-м году
обучения и то лишь для задач, решаемых в 2—3 действия. В бо-
iee младшем возрасте дети способны анализировать лишь одно
действие — по образцу, например, данному в упомянутой выше
Методической записке ЦПЛ для определения доходности молоч-
ного хозяйства. В остальных случаях анализ производится детьми
подсознательно, и дело учителя, во-первых, располагать задачи в
порядке возрастающей трудности их анализирования, заботясь о
том, чтобы на каждую ступеньку было достаточное количество
упражнений, во-вторых, направлять подсознательную работу де-
тей своими указаниями так, чтобы надобность в этих указаниях
постепенно уменьшалась. Так как анализ тесно связывается с
синтезом, а последний для детей проще, чем анализ, то подгото-
вительными упражнениями для решения сложных (решаемых не-
сколькими действиями) задач^вляется решение простых (в одно
действие) задач, вопрос которых не формулирован- имеются такие-
то два данные; что по ним можно узнать? После того переходят
к простым задачам, где нехватает тех или других данных, и уча-
щиеся должны сказать, какие данные надо добавить. После этих
предварительных упражнений можно перейти к решению сложной
задачи в два действия и двигаться дальше по пути усложнения
задачи, не ставя, однако, себе целью научить детей распутывать
всякую задачу, как бы она ни была сложна.
Решение задачи в значительной степени облегчается удачной
записью ее условия. Надо отказаться от принятого в последнее
время, но мало имеющего смысла переписывания учениками пол-
ностью текста задачи. Вместо того следует выписывать только
данные числа с названиями единиц, в которых они выражены, и
очень небольшое число пояснительных слов; запись надо делать
в несколько строк, располагая однородные данные друг
под другом.
Делая подобного рода запись, учащиеся в то же время ориенти-
руются в ее условиях, а очень часто в это же время происходит в их
уме и подсознательная работа анализа решения. Если же эта ра-
бота не произведена, то по записи условия в виде таблицы скорее
и легче добраться до решения задачи, чем перечитывать весь ее
текст. Привычка делать такого рода запись условий задачи очень
ценна будет тем учащимся, которым во II ступени придется изучать
геометрию.
— 23 —
Решение задачи может записываться разными способами.
Общепринятый в прежнее время и упорно держащийся и теперь
способ записи—по вопросам. Хорошая сторона этого способа в
том, что он дает ясный план решения задачи. Недостаток—излиш-
няя шаблонность (повторение всякий раз слова «сколько») и, пожа-
пуй, некоторая наивность. Когда это можно, надо учить детей рабо-
тать так, как работают взрослые. А взрослые, делая какой-нибудь
расчет, никогда не пишут «вопросов»: они только располагают вы-
числение в порядке и около всякого получающегося числа делают
надпись, поясняющую значение этого числа; эта надпись предста-
вляет из себя тот же вопрос, но без слова «сколько» и выражен-
ный в самой краткой форме. К этому надо приучать и детей, со-
хранив, однако, для начала (в двух младших группах) обычную
форму вопросов. Если задача требует вычисления нескольких одно
родных количеств, то наиболее удобной формой записи ее ре-
шения будет форма таблицы. Положим, например, что требуется
составить прейс-курант для шкодьного кооператива, который про-
дает учебные пособия со скидкой в 15% с номинальной цены. Со-
ставляем таблицу, в первой графе которой будет название пред
мета, во второй—его номинальная стоимость, в третьей—10% ее,
в четвертой—5%, в пятой—15%, в шестой—цена со скидкой,
т.-е. ответ задачи. Заметим, что решение такого рода задач по
большей части облегчается помощью составления тех или иных
вспомогательных таблиц. Так, если надо множить или делить не-
сколько разных чисел на одно и то же число, то громадную услугу
для ускорения вычисления и избежания ошибок окажет составле-
ние таблички произведений множителя или делителя на все одно-
значные числа. Если надо вычислить в годах и месяцах возраст
всех учащихся группы, то всего проще сделать это при помощи
таблички, в одном столбце которой будут итти по порядку годы
и месяцы, начиная с месяца рождения самого старшего ученика и
кончая самым младшим, а в другом—соответствующие возрасты
в годах и месяцах (которые будут все время убывать на 1).
На 4-м году решение задач исследовательского характера
может быть дано в форме связного изложения, где текст пере-
плетается с вычислениями.
Независимо от способа записи решения всегда следует тре-
бовать от детей: 1) чтобы всякое получающееся число было со-
провождаемо наименованием единиц, в каких оно выражено;
2) чтобы все вспомогательные действия, кроме сделанных в уме,
— 24
были чисто и в порядке выписаны около основного действия; надо
особенно преследовать часто наблюдаемое желание учащихся
скрывать от учителя так называемые «вспомогательные действия»
посредством писания их на клочках бумаги, на крышках парт
и т. п.: эта привычка не только приучает детей к неряшливости,
но, как показывает опыт, способствует укоренению неправильных
и нежелательных приемов вычисления; 3) ответ всякой задачи
должен быть дан с полной четкостью и ясностью, чтобы читаю-
щему работу не приходилось его разыскивать по всей странице и
догадываться, что именно найдено и в каких единицах выражено;
4) чтобы с самого начала дети критически относились к ответ \
и видели в нем конкретную величину, а не набор цифр, в которых
пусть разбирается учитель: при таком отношении учащихся к
оешению задачи станут невозможны наблюдаемые ныне явления,
когда, например, значительная часть группы дает среднюю длину
шага учащихся — кто 1,4 м, кто 1,4 дм, а кто 1,4 см.
Для приучения детей к разборчивой записи можно реко-
мендовать давать им для проверки работы товарищей.
При об’яснении учащимися решения задач в старших груп-
пах (3-й и 4-й) непременно надо требовать от них (устно) и по-
сильного им обоснования выбора действия, т.-е. указания, напри-
мер, что «надо умножить, потому что 5 кг товара будут стоить
в 5 раз больше, чем 1 кг».
Заметим, что развитию комбинаторных навыков в некоторой
мере служат не только задачи, но и те же самые строчки, кото-
рыми пользуются для укрепления навыков в счете, — с того мо-
мента, когда благодаря введению скобок и условия о порядке дей-
ствий последовательность действий перестает совпадать с после-
довательностью записи. Ту же цель преследуют и вводимые с
3-го года уравнения, где неизвестное находится одним или двумя
действиями, выбор которых предоставляется учащимся. Очень по-
лезно также время от времени давать детям так называемые мате-
матические развлечения: они возбуждают у детей интерес к мате-
матике и способствуют развитию сообразительности и находчи-
вости. Образцы математических развлечений можно найти в кни-
гах А. М. Воронца. Очерки по методике математики и Рабо-
чие книги по математике для 1-го, 2-го, 3-го и 4-го годов
обучения.
— 25 —
Графический метод.
Пользование графичес им методом настолько вошло в оби-
ход нашей школы, что излишне говорить об его пользе и значе-
нии. Наоборот, приходится предостеречь от увлечений графиче-
ским методом, от чрезмерной затраты времени и сил учащихся на
вычерчивание массы диаграмм и графиков разных видов.
Будет вполне достаточно, если школа I ступени научит детей
читать и строить прямоугольные и секторные (круговые) диаграм-
мы и графики температуры. Понятно, что все эти диаграммы и
графики должны достаточно тшательно, при помощи линейки, вы-
полняться на клетчатой бумаге, но стремиться к совершенству
техники, конечно, не следует.
При построении всякого рода диаграмм преподаватель не
должен упускать из вида, что диаграммы вообще имеют назначе-
нием лишь облегчить приближенное сравнение
чисел. Нельзя увлекаться поэтому фигурными диаграммами, так
как составить правильное представление о соотношении о б ’ е-
м о в или даже площадей нарисованных фигур детям очень
трудно, рисовать же фигуры так, чтобы их линейные отно-
шения были равны отношениям данных об’емов, весов, площадей
и т. п., неправильно. Фигурные диаграммы хороши как очень на-
глядное средство сравнения только в самом начале обучения, когда
детям доступно лишь самое грубое сравнение чисел и пока пред-
ставление об об’еме у них неясно.
Что касается прямоугольных диаграмм, то на практике они
строятся всегда так, чтобы вышина прямоугольников была про-
порциональна данным числам, и только при таком построении,
требующем одинаковой ширины всех прямоугольников, диаграмма
удобна для сравнения чисел. Отсюда следует, что ставить ширину
прямоугольников в какую-либо связь с данными числами — значит
только затруднять составление и чтение диаграммы. Поэтому за
одну единицу вначале и за несколько единиц впоследствии надо
принимать не одну клетку, а горизонтальную полоску вышиной
в 1 клетку и по длине равную длине основания прямоугольника.
Для построения вертикальных сторон прямоугольников надо
округлить данные числа, оставив в них по 2 значащие цифры, и
принять вышину клетки за одну или несколько единиц последнего
сохраненного разряда. Положим, например, что надо построить
— 2b —
диаграмму количества скота в СССР по следующим числам голов:
лошадей 49.000.000, рогатого скота—91.600.000, мелкого скота—
135.900.000. Округлив до миллионов, получаем числа 49, 92 и
136 миллионов. Если мы хотим поместить диаграмму в тетрадке,
по длине страницы которой помещается 43 клетки, то будем счи-
тать вышину каждой клетки соответствующей 4 миллионам го-
лов. Тогда первый прямоугольник будет иметь в вышину 12% «л.,
второй—23 кл., третий—39 кл. Ширина прямоугольника произ-
вольная.
Нахождение общего наибольшего делителя нельзя рекомендо-
вать как постоянный метод построения диаграмм, так как поль-
зоваться им во всех случаях в I ступени затруднительно, да и нет
надобности, потому что построение диаграмм не требует абсолют-
ной точности, и мелкие доли выбранной единицы всегда можно
отбрасывать. Однако при удобных для того числах нахождение
их общего наибольшего делителя, в связи с построением диаграмм,
надо считать очень полезным упражнением.
Для построения круговых диаграмм (на 4-м году обучения)
надо пользоваться процентным транспортиром. Изготовить такой
транспортир могут сами учащиеся. Для этого надо на плотной
бумаге начертить окружность радиусом около 5 см, разделить ее
сначала на 4 равные части, затем каждую четверть на 5 частей
(делается это циркулем—путем ряда проб) и каждую такую часть
еще на 5. После того как у точек деления поставлены цифры,
обозначающие десятки процентов, круг вырезается, и в центре
делается маленькое отверстие для карандаша.
Если нет процентного транспортира, то пользуются обыкно-
венным транспортиром. В этом случае надо предварительно перей-
ти от процентов к градусам, считая 1 % соответствующим 3,6°.
Как указано в программе, круговые диаграммы в I ступени
могут служить только для сравнения чисел по величине централь-
ных углов секторов, а не по их площадям. Поэтому диаграмма
всегда состоит из одного круга, радиус которого произволен.
Остается упомянуть о приложении графического метода к
выяснению некоторых арифметических понятий—именно понятия
о проценте и понятия об умножении на дробь. Как для этого поль-
зуются графическим методом, раз'яснено (далее) при обзоре курс 1
4-го года обучения.
— 27 —
Методические замечания по годам обучения.
Прежде чем перейти к рассмотрению особенностей каждого
года обучения, считаем необходимым еще раз напомнить, что по-
мещенный выше перечень навыков по математике, которые долж-
на дать школа I ступени, дает лишь о б ’ е м навыков, а не п о р я-
д о к их приобретения учащимися. При преподавании, как было
указано, не только разнородные навыки постоянно переплетают-
ся, но и в однородных возможны различные перестановки. Указа-
ния относительно порядка деталей разработки содержания ка-
ждого года обучения можно найти в упомянутой выше методиче-
ской записке «Счетные и измерительные навыки».
1-й год.
Из области чисел на 1-м году всесторонне изучаются два пер-
вые десятка, нумерация до 100 и действия с круглыми десятками
в пределах 100. Хотя это и не очень много по об’ему, но необхо-
димо, чтобы этот материал был особенно тщательно проработан,
так как сложение и вычитание в пределах двух десятков служит
фундаментом, на котором строятся сложение и вычитание каких
угодно чисел. Большим числом упражнений должны быть твердо
закреплены в сознании детей результаты сложения всяких двух
однозначных чисел, а также и соответствующие случаи вычитания.
Так же прочно должна быть усвоена таблица умножения в тех же
пределах и соответствующие случаи де пения без остатка. Терми-
нами действий служат на 1-м году «прибавить», «отнять», «по-
вторить», «разделить». Этими же терминами прочитываются зна-
ки действий; знак равенства читают «будет» или «получится».
Названий чисел и результатов действий не вводят.
Кроме целых чисел, дети знакомятся с долями—половиной
и четвертью. Для этого служат сначала палочки, которые можно
ломать, или соломинки, а потом—начерченные отрезки прямой
линии, части метра, литра, килограмма. Никаких относящихся к
дробям терминов, кроме названий «половина», «четвеоть», не вво-
дится, а также не показывается и записи дроби.
Задачи решаются преимущественно в одно действие, причем
зависимость между данными числами и искомым должна быть вы-
ражена так, чтобы это выражение легко переводилось на один из
— 28 —
помещенных выше терминов действий. Исключение составляют за-
дачи на вычитание, вопрос которых может выражать требование
разностного сравнения данных чисел, и обратные им задачи на
сложение. На задачах удобно знакомить учащихся с мерами.
Геометрическое содержание курса 1-го года сводится к выра-
ботке умения ориентироваться в окружающей обстановке, разби-
раться в основных геометрических фигурах, изображать эти фи-
гуры приблизительно и чертить по линейке прямую линию.
2-й год.
На 2-м году у учащихся складываются основные навыки счета
Правильная постановка обучения счету на этом году имеет по-
тому особенно важное значение. Появление трехзначных чисел не
должно служить поводом к немедленному введению приемов пись-
менного счисления. Основным видом счета на npoi яжении всего
года остается устный счет, и лишь к концу года можно ознако-
мить детей с письменным. Необходимо, однако, все время следить,
чтобы письменные приемы действий не вытесняли устных. Упо-
требление письменных приемов должно быть ограничено наиболее
трудными случаями действий с трехзначными числами. Устный
счет остается единственным средством вычисления во всех осталь-
ных случаях и совершенствуется постепенно введением упрощен-
ных приемов. Один из таких приемов — перестановка слагаемых
или сомножителей — ведет попутно к укреплению в сознании уча-
щихся очень важного так называемого переместительного
свойства суммы и произведения.
Для развития техники счета учащиеся решают числовые при-
меры, содержащие по нескольку действий, причем знакомятся и
с употреблением скобок. Очень желательно, кроме того, обучить
детей сложению на торговых счетах (вычитание будет в следую-
щем году): помимо создания полезного практического навыка, поль-
зование счетами очень хорошо укрепляет идею десятичной системы
счисления.
На 2-м же году дети знакомятся с условными терминами дей-
ствий, заменяющими примитивные термины 1-го года. Вместе с тем
вводится понятие о кратном изменении числа. Усвоение различия
между кратным и разностным изменением требует большого числа
упражнений в виде решения соответствующих задач. Задачи даются
уже не только в одно действие, айв два, и в три. Переход от про-
стой задачи (в 1 действие) к сложной очень труден и должен быть.
— 29 —
надлежащим образом подготовлен составлением сначала сложной
задачи учителем в классе, а затем и учениками.
Из дробей изучаются на 2-м году восьмые и десятью доли. На
палочках и отрезках уясняется зависимость между целой единицей,
половиной, четвертью и восьмой долей, также между половиной и
десятой частью. Попутно дети приучаются делить отрезки на
равные части помощью разделенной линейки и на глаз. Дроби запи-
сываются, и с ними проделываются несложные действия, при кото-
рых изменяется лишь числитель.
Соответственно расширению круга чисел увеличивается и
число изучаемых мер. Новые единицы мер вводятся, однако, не для
того, чтобы постоянно комбинировать их со старыми в составные
именованные числа (см. об этом в главе об измерительных навы-
ах), а для того, чтобы всякое расстояние, всякий вес мерить наи-
более удобными единицами. Достаточно внимания надо уделить пе-
реводу простых именованных чисел из одних единиц в другие.
Геометрическое содержание программы 2-го года сводится к
некоторому расширению ориентировочных и чертежных навыков.
Более детально, чем в предыдущем году, изучается прямо-
угольник. Прямоугольники вычерчиваются по заданным числам кле-
ток в стороне, составляются планы комнат, принимая клетку за
ме гр или за полметра. Дети знакомятся с квадратным сантиметром,
чертят его по полусантиметровой клетке тетради, делят на квадрат-
ные сантиметры начерченные ими прямоугольники. Затем делают
модель квадратного метра из 6 палок (4 стороны и две диагонали),
связанных или сколоченных по углам. Этот квадратный метр укла-
дывают по полу класса. При этом часть учащихся сама собой при-
ходит к мысли о возможности косвенного измерения площади пря-
моугольника. Однако формулирование правила и приложение его к
решению задач откладывается до следующего года.
3-й год.
Основная задача 3-го года обучения — ознакомление учащихся
е нумерацией больших чисел (до миллиона) и с письменными при-
емами действий. Одновременно продолжается развитие приемов
устного счета и параллельно с их изучением дети глубже знакомят-
ся с основные и свойствами действий, с зависимостью между дан-
ными числами и результатами действий. Установление такой зави-
симости приводит к простейшим уравнениям и к поверке действий
обратными действиями. При рассмотрении последнего вопроса еле-
30 —
дует 1) указать, что сложение и умножение удобнее поверяются
повторением того же действия над переставленными данными чис-
лами, 2) показать, что поверка вообще не гарантирует безошибоч-
ности результата. Вместе с тем следует отметить важное практи-
ческое значение получения правильных результатов вычислений и
начать приучать детей к ответственности за их работу и к необхо-
димости принимать все меры для получения правильных резуль-
татов.
Изучение дробных чисел на 3-м году идет в двух направле-
ниях — по линии простых дробей и по линии дробей десятичных.
Ряд простых дробей пополняется третьими, шестыми и пятыми до-
лями. Эти доли изучаются на отрезках прямой линии и сравнива-
ются с известными уже учащимся четвертями, восьмыми и десяты-
ми долями. От отрезков переходят к частям чисел. Нахождение
одной части числа не вызывает никаких затруднений. Затем нахо-
дят в два приема несколько частей от данного числа. Упражнения
производятся как на отвлеченных, так и на именованных числах,
и решаются соответствующие задачи.
Десятичные дроби изучаются в связи с метрическими мерами,
главным образом мерами длины. Пользуясь дециметром и санти-
метрами, убеждаются, что одна десятая содержит 10 сотых. При-
соединяя миллиметры, изучают тысячные доли. Из действий над
десятичными дробями прорабатываются сложение и вычитание. 11ри
всех этих действиях десятичные доли разбиваются по отдельным
разрядам, так что о приведении их к общему знаменателю говорить
не приходится.
Само собою разумеется, что задачи, решаемые на 3-м году,
сложнее по числу действий и по характеру зависимости между
входящими в них величинами, чем задачи 2-го года. Однако недо-
статочное еще знакомство учащихся с дробями и с приближенными
числами заставляет давать задачи преимущественно на целые
числа.
Геометрические навыки на 3-м году пополняются черчением
перпендикулярных и параллельных линий в разных положениях
(т.-е. не только горизонтальных и вертикальных, но и наклонных).
Термин «перпендикулярный», однако, не вводится вследствие его
трудности. Работа производится как инструментами (линейкой и
угольником), так и на-глаз, причем на 3-м году можно уже требо-
вать некотопой чистоты исполнения. Дети составляют план комнат,
здания, прямоугольных участков земли, пользуясь масштабом, и

- 31
упражняются в чтении готовых планов, переводя размеры на плане
в натуральные; необходимо ознакомить их с главнейшими из упо-
требляемых на планах условных обозначений.
Отыскание площади прямоугольника делается уже не непо-
средственным измерением квадратной единицей, как на 2-м году,
а вычислением по известны!^ длинам сторон прямоугольника. Под-
ходом к выводу правила должно быть не один раз повторенное уче-
никами непосредственное измерение.
Что касается измерения об’емов, то на 3-м году делается лишь
первый шаг к решению этой задачи: ученики знакомятся с куби-
ческими единицами — кубическим метром, кубическим сантимет-
ром, и устанавливают возможность непосредственного измерения
этими мерами об’ема комнаты, коробки и т. п.
Укажем простейший способ изготовления из бумаги кубиков без
клея. Из плотной бумаги вырезается 6 прямоугольников с отноше-
нием сторон от 1% до 1%. Прямоугольники складываются парами
в виде крестов, и узкие края каждого загибаются так, чтобы ка-
ждая пара сложенных прямоугольников приняла форму квадрата.
Затем прямоугольники разнимают и края их оставляют отогну-
тыми под прямым углом. Один из прямоугольников кладут на стол
и под его длинные стороны подводят загибы двух других прямо-
угольников, стоящих вертикально. К коротким сторонам прямо-
угольника в основании прикладывают две другие боковые стенки
так, чтобы их длинные стороны были горизонтальны и охватыва-
лись снизу загибами основания и чтобы загибы коротких сторон
охватывали стоящие уже две другие боковые стенки. Остается
вплести верхнее основание — и куб готов.
Изготовленные таким образом кубы можно легко соединять
друг с другом загибами стенок и получать из них бруски и слои
4-й год.
На 4-м году заканчивается проработка десятичных .дробей,
после чего они должны стать в руках учащихся столь же привыч-
ным орудием расчета, как и целые числа. Знакомство с десятич-
ными дробями позволяет вместе с тем поставить на надлежащее
место вопрос о приблизительных числах. Еще с 1-го
года обучения учащиеся замечают, что производимые ими изме-
рения длины в большинстве случаев дают лишь приблизительный
результат. Не настаивая на мысли, что измерение всегда толь-
— 32 —
ко приближенно, надо теперь показать, насколько редки случаи
точного (с точки зрения учащихся) измерения, а также обоб-
щить заключение о приближенности измерения на измерения ка-
ких бы то ни было величин. Надо указать также, что не только
измерение, но и счет очень часто приводит тоже лишь к прибли-
женному результату: трудность получения точного большого
числа иллюстрируется опытом пересчитывания пригоршни гороха
по очереди несколькими учащимися; бесцельность точного
значения большого числа можно показать на примере числа жи-
телей СССР, определенного с точностью до 1 человека: настолько
точное число не нужно ни для каких хозяйственных расчетов, а
роме того, число жителей республики меняется на десятки и сот-
ни человек в каждую минуту.
Затем следуют упражнения в округлении чисел — целых и
1робных (выраженных десятичными дробями), а также деление с
заданной точностью. Случаи «невозможности» решения задачи из-
за того, что одно число «не делится» на другое, теперь не могут
иметь места: всякое число «делится» на всякое другое; остаток
всегда отбрасывается; если он больше половины делителя, то
надо только усилить одной единицей последнюю цифру частного.
Этим резко меняется с 4-го года характер решаемых учениками
задач: вместо задач с искусственно подобранными числами по-
являются подлинные задачи из жизни — необходимая последняя
фаза подготовки учащихся к реальному использованию в жизни
имеющихся у них математических навыков.
Как известно, число цифр произведения обыкновенно бывает
больше числа цифр каждого из сомножителей, а при перемноже-
нии десятичных дробей получаются доли более мелкие. Было бы,
однако, ошибочно думать, что если мы измерили стороны прямо-
угольника с точностью до сотых долей метра, то можно вычис-
лить его площадь с точностью до десятитысячных долей квадрат-
ного метра. Чтобы в этом убедиться, достаточно прибавить (или
отнять) по 1—2 тысячных метра к каждой стороне и вычислить
площадь снова: окажется, что она отличается от первоначальной
не только десятитысячными и тысячными долями, а чаще всего
и сотыми. Отсюда следует, что полученные цифры тысячных
и десятитысячных никакого доверия не заслуживают, а потому
логуть быть опущены без особого ущерба для точности вы-
числения. То же бывает и при всяком перемножении приближен-
ных чисел: число верных цифр произведения (не-
зависимо от места запятой) никогда не больше
числа цифр каждого из сомножителей. Так, про-
изведение приближенных чисел 5,27 и 16,2, равное 85,374,
содержит лишь три верные цифры 85, 3, причем последняя из них
лишь приблизительно верная; в произведении 6,13 . 4,8 = 29,424
не стоит сохранять более двух цифр, т.-е. 29 (так как во множи-
теле две цифры), и т. п. Вышеизложенное правило отбрасывания
ь'шних цифр мы не предлагаем давать учащимся I ступени. Но
надо, чтобы учитель имел правильный взгляд на размножающиеся
при всяком перемножении цифры и останавливал бы их размно-
жение в каждом отдельном случае.
Проработка умножения и деления десятичных дробей, когда
учащиеся еще незнакомы со смыслом умножения и деления на
дробь, представляет известные трудности. Рекомендуем вести ее
следующим образом.
Сначала рассматривают умножение десятичной дроби на це-
лое число. Это не представляет затруднений и дает хороший мате-
риал для укрепления в сознании детей связи, существующей ме
жду целыми числами и десятичными дробями. Само собою раз-
умеется, что множатся не только чистые дроби, но и смешанные
числа. Делается наблюдение, что произведение может быть мень-
ше множителя.
Вслед затем делят десятичную дробь на целое число и делают
поверку деления.
Для умножения на дробь берут квадрат со стороною 10 кле-
ток и принимают длину его стороны за единицу. Тогда каждая
клетка будет иметь длину и ширину в 0,1 единицы, а площадь
клетки будет равна 0,01 кв. единицы, так как во всем квадрате- -
квадратной единице—их 100. Затем берут прямоугольник со сто-
ронами, например, 0,3 и 0,2 единицы и находят, что в нем поме-
щаются 6 клеток, а потому его площадь равна 0,06 кв. единиц,
и 0,3 X 0,2 = 0,06. После нескольких такого рода примеров
устанавливается, что от перемножения десятых долей получаются
сотые.
Вслед затем берется произведение 0,13.0,21. Чтобы его
найти, строят часть квадрата со стороною 100 клеток. Хотя
квадрат и не весь помещается на чертеже, но при помощи вы-
числения находят, что в нем 10.000 клеток; поэтому если длину
его стороны принять за единицу, то одна клетка имеет площадь
в 0,0001 кв. единицы. Окажется, что от перемножения данных
Обучение счислению и измерению
3
34
дробей, выраженных в сотых долях, получилось 273 десятитысяч-
ных.
Умножение сотых долей на десятые можно сделать сначала,
раздробив десятые доли в тысячные и отбросив затем нуль в конце
произведения. Вывод: от умножения сотых долей на десятые полу-
чаются тысячные.
Наконец, три получившиеся правила — умножения десятые
долей на десятые, сотых на десятые и сотых на сотые, об’единя-
ются в одно: десятичные дроби перемножаются как целые числа,
а в произведении отделяется справа занятой столько цифр, сколь-
ко их было после запятой во множимом и во множителе вместе.
После этого возвращаются к умножению десятичной дроби
на целое число и исследуют, какое изменение произошло бы с
произведением, если бы во множимом отбросить запятую, и как
из получившегося в этом случае неправильного произведения сде-
лать правильное. Тот же вопрос ставится затем для случая умно-
жения сотых долей на десятые и т. д. В результате получается
подтверждение известного уже правила перемножения десятич-
ных дробей и возможность его распространения и на более мел-
кие доли.
Деление на десятичную дробь делается при помощи увеличе-
ния делимого и делителя в 10, 100, 1000 раз — так, чтобы дели-
тель (но не делимое) стал целым числом.
Вместе с изучением десятичных дробей вводится понятие о
проценте как сотой доле и решается задача о нахождении дан-
ного числа процентов от какого-нибудь числа, причем число про-
центов берется целое. Другие типы задач на проценты мало до-
ступны учащимся I ступени. Рассматривать проценты, как число
единиц со ста, не рекомендуется, потому что такое определение
процентов, не облегчая, а скорее усложняя технику вычислении,
затемняет в сознании учащихся смысл понятия о проценте. Очень
хорошо для иллюстрирования понятия о проценте пользоваться
квадратом в 100 клеток.
Кроме изучения десятичных дробей, на 4-м году системати-
зируются и расширяются сведения о простых дробях. Рассматри-
ваются дроби с любыми однозначными и наиболее употребитель
ными двузначными знаменателями. На отрезках устанавливается
неизменяемость величины дроби при кратном изменении ее числи-
теля и знаменателя. Это свойство используют прежде всего для
сокращения дробей: дети должны привыкнуть не оставлять бе?
— 35 —
сокращения ни одной сократимой дроби, но сокращать не на
наибольший общий делитель числителя и знаменателя, а на тот
делитель, который бросается в глаза, с тем, чтобы в случае на-
добности сократить еще раз. Таг как учение о делимости во-
обще не входит в программу школы 1 ступени, то и приведение
дробей к общему знаменателю делается только по соображению.
Этим исключаются все сколько-нибудь сложные случаи. Однаь>>
свойство общего знаменателя делиться без остатка на все дан-
ные знаменатели должно быть хорошо усвоено чащимися. Так-
же для них должно быть ясно, что на дополните ьный множитель
множатся как числители, так и знаменатели дробей, в резуль-
тате чего величина дроби не меняется.
Умножение и деление на простую дробь не входит в про
грамму.
Затем идет дальнейшее совершенствование в устном счете,
в решении строчек со скобками, уравнений, задач с более слож-
ным содержанием и перевод мер. В числовые примеры вводятся
двойные скобки и дается известное правило о порядке действий,
состоящее в том, что умножение и деление делают прежде, чем сло-
жение и вычитание. Учащиеся упражняются в ведении приходо-
расходных записей по школьному кооперативу и проч.
Большую роль нй 4-м году играет геометрия. Развитие тех-
ники черчения позволит ученикам делать уже без клеток те по-
строения, которые они прежде делали по клеткам. Кроме того,
они знакомятся с мерой угла — градусом, измеряют углы, делят
на равные части и т д. Сведения об углах прилагаются к построе-
нию круговых (секторных) диаграмм (см. главу о графическом
методе).
От знакомой фигуры — прямоугольника — переходят к па-
раллелограму. Для этого из полосок картона приготовляют под
вижной прямоугольник: полоски скрепляются толстыми нитками,
продетыми в маленькие отверстия в картоне (по одному в вершине
каждого угла) и закрепленными узелками с обеих сторон. Можно
с тою же целью воспользоваться складным метром. Из такого
прямоугольника получаются разнообразные параллелограмы. Эти
параллелограмы обводятся на листе бумаги карандашом. Заме-
тив, что их противоположные стороны равны и параллельны, дети
чертят затем параллелограмы в тетради по клеткам.
Для измерения площади параллелограма его вырезают из бу-
маги и, отрезав с одной стороны треугольник, превращают в прч-
3*
— 36 —
моугольник. Устанавливают понятие о высоте параллелограма и
получают правило для нахождения площади.
Также опытным путем — разрезанием бумажного параллело-
грама —- убеждаются, что диагональ делит его на два равных тре-
угольника. Отсюда выводится правило для нахождения площади
I реугольника и делается ряд упражнений на вычисление площадей
начерченных треугольников при помощи измерения их оснований
и высот.
Оканчивающим школу I ступени, особенно в деревне, надо
дать умение сделать хотя бы приблизительный набросок плана
земельного участка. (Простейший способ для этого, не требующий
никаких землемерных инструментов, кроме измерительной ве-
ревки, состоит в том, чтобы разбить участок на треугольники,
обмерить все стороны каждого треугольника и переносить затем
на бумагу один за другим обмеренные треугольники в определен-
ном масштабе. Последнее требует умения строить при помощи
циркуля треугольник по трем сторонам, что и включено в об’ем
навыков.) С’емка производится с помощью или эккера, или мен-
зулы. Площадь участка вычисляется как сумма площадей тре-
угольников.
Наконец, на 4-м году изучается измерение об’емов прямо-
угольных тел. Измерение об’емов дается детям значительно труд
нее, чем измерение площадей, а потому вывод правила можно
обосновать только на произведенном самими детьми заполнении
какого-нибудь, например, ящика кубическими единицами (см. ука-
зания к 3-му году).
Указатель методической литературы.
«Технические навыки письма, чтения и счета». Методическое
письмо еоцвоса Моно. 3-е издание 1927 г.
ЦПЛ соцвоса Моно. «Счетные и измерительные навыки».
Гольденберг. Беседы по счислению *).
ill о х о р-Т р о ц к и й. Методика начального курса математики *).
Беллюстин. Методика арифметики *).
Аржеников. Методика начальной арифметики *).
Лебединцев. Математика в народной школе.
» Введение в современную методику математики.
*) Поскольку окажется возможным достать эти пособия и по-
скольку их содержание не противоречит современным условиям.
— 37 —
Волковский. Руководство к «Детскому миру в числах».
Зенченко и Эм ено в. Методическое руководство к задачникаи
«Жизнь и знание в числах».
Э м е и о в. Как обучать счету.
» Как увязать геометрию с арифметикой.
» Как пользоваться графическим методом в школе I ступ
» Как составлять и решать задачи.
Воронец. Очерки по методике математики.
С л у д с к и й. Как надо считать.
Л а н к о в. Устный счет.
Мартель. Приемы быстрого счета.
Орлов. Как мерить и делить землю
Слудскин, Знаменский, Эменов,
Стальков, Шелапутина.
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МАТЕМАТИКИ В КОМПЛЕКСНЫХ
ТЕМАХ.
Преподава, ie математики в школе I ступени имеет две цели:
1) обогатить ученика числовыми, пространственными представле-
ниями, развить у него мышление, выработать твердые навыки сче-
та и измерения; 2) научить его применять полученные навыки для
познания окружающей жизни, например: измерить величину, про-
извести подсчет, составить расчет. Старая школа делала ошибку
в том, что она совершенно забывала о второй цели преподава-
ния математики, обращала счет в простую гимнастику ума. Но-
вая же школа часто грешит тем, что оставляет в тени первую
цель. Необходимо заботиться о том, чтобы учащиеся имели твер-
дые навыки в области счета и умели бы ими пользоваться при
решении задач, выдвигаемых повседневностью. Этого можно до-
стигнуть только в том случае, если выработка счетных навыков
будет производиться в известной методической последовательно-
сти, каковая достаточно подробно разработана (см. методики
Волковского, Гольденберга, Шохор-Троцкого и др.). При обуче-
нии счету, измерению учитель использует методы, содействующие
пробуждению детской активности, осознанию отдельного приема.
Это достигается тогда, когда производится такой отбор и распо-
южение материала, что ученики сами делают выводы.
Ясно для каждого, что соответствующая постановка препо-
давания математики требует для себя отдельного времени, спе-
циальных занятий.
Вырабатываем же мы у детей навыки и даем им знания для
того, чтобы с их помощью они смогли разумно организовать свою
жизнь. С элементами организации жизни они знакомятся на ра-
ботах, когда требуется проанализировать тот или иной кусок
быта, труда, напр., как они проводят день, потом подсчитать те
3«>
моменты, из которых слагается явление, напр., подсчитать, сколь-
ко они времени расходуют на работу в школе, по дому, на отдьр,
и, наконец, сделать расчет, напр., огда нужно вставать, когда
ложиться спать, сколькэ времени тратить на труд и т. д. Оче-
видно, для анализа, подсчета, расчета потребуются некоторые
знания из области арифметики, геометрии. Следовательно, при по-
становке подобных практических задач знания и навыки детей
будут находить нужное приложение. Работа же по организации
труда и быта будет в свою очередь пробуждать в школьниках
интерес к математике.
Школьный работник просит указать ему жизненные задачи
для работ по каждому отделу математики, напр., сложения в пре-
деле 10, деления на 2 в пределе 20, умножения многозначного чи-
сла на однозначное, деления десятичных дробей и т. д. На этэ
можно ответить так: чтобы разрешить какой-либо жизненный во-
прос, ученики должны уже владеть некоторой суммой математи-
ческих знаний и навыков. Таким образом работа по приобретению
знаний и навыков по математике должна опережать практику ре-
шения жизненных задач; напр., ничуть не плохо, если 4-я группа
будет решать задачи на целые многозначные числа и т. п. Нужно
заботиться о том, чтобы у учеников вырабатывался навык с по-
мощью числа фиксировать явление, производить учет и расчет.
Выработав такой навык, школа сделает большое дело: она подго-
товит крестьянина, рабочего, полагающегося в каждом деле не на
«авось», а на расчет.
Следовательно, заботы преподавателя должны быть напра-
влены на использование математики для решения жизненных за-
дач, выдвинутых темой.
Для первого года обучения можно признать достаточным,
если дети научатся с помощью числа фиксировать явление, напр.,
количество членов семьи, производить прямое (непосредствен-
ное) измерение величин, напр., измерения протяжений с помо-
щью метра.
На втором году обучения они знакомятся с косвенным (по-
средственным) измерением величин, напр., температуры, органи-
зацией учета, напр., удоя молока, расхода корма; в связи с по-
следней задачей дери учатся производить наблюдения пп опреде-
ленным формам.
— 40 —
Вот примеры такого учета:
Работа семьи.
Дни. | Работы в доме и на дворе. Работы в ого- роде и на гумне. Работы в поле. Работы в лесу.
Понедельн. — Обмолотили 4 копны ржи. Вспахали на 5 мер. —
Вторник . . — Провеяли 10 мешков ржи. — —
Среда . . . , — —- — Привезли 6 возов леса.
Четверг . .1 Мать испекла 6 ситников. — - -
Пятница Остригли 8 овец. —
Суббота. . Починили из- городь, 3 пряс- ла.
Наш урожай.
Посеяно. Собрано. Площадь.
Когда. Сколько Когда. Сколько.
Рожь 20/VIII 10 мер. ' 1/V1II 45 мер. 3/4 десятины.
Овес ...... — — — —
Ячмень — — —
Картофель . . . 25.iV 8 мер. 15/IX 86 мер. '/4 десятины.
Лен — — — —
Пенька — — — —
На третьем году обучения продолжается знакомство с кос-
венным (посредс гвенным) измерением, напр., измерением площа-
дей участков, с проведением расчетов, напр., в какой мере насе
ление обеспечено хлебом своих полей, как увеличится урожай от
применения лучшей обработки пашни, внесения удобрения и т. п.
41
Вот примеры для таких расчетов:
Годы обсле- дова- ния. Система полеводства. Сбор сена на 1 голо- ву крупн. рогатого скота в пудах. Число едоков на одну корову» Сред- ние годовые удои в пудах. На 10 мер посева приход, гол. круп, рогатого скота. Уро- жай риса в пудах. Хлеб на одного едока в пуд.
1879 Трехполье . . 45,5 5 60 • 1,37 — 4,6
1898 4-полье . . . 71,75 3,5 60 - 1,41 48 10,2
1917 8-полье . . . — 3,5 107,5 2,56 — —
1922 3,5 107,5 2,8 100 —
II. Обеспечение крестьянской семьи полевыми
продуктами.
Потребность. Урожай. Излишек. Нехватает.
Озимого хлеба 1336 кг 1309 кг — 32 и
Овса 375 . 570 , 185 кг —
Картофеля .... 5574 , 4075 ,, — 1499 „
Льна семян 195 „ 97 . — 98 „
Волокна ... 114 . 114 кг —
г 1 речи или проса . . 652 . 179 „ — 473 „
Четвертый год обучения имеем дело с этими же задачами, но
решаем их более точю, используя свои знания о дробных
числах.
Приведем пример расчета пользы от мелиоративных работ.
В данной таблице показано, что имела семья, состоящая из
1 рех взрослых, одного поппостха- двух—малолеток, дп и после
мелиорации. i Н. К П.
.7. ...< ЛЯ БИБЛАи /Г <А
— 42 —
1 Есть до мелиорации. Будет после мелиорации.
1. Земля: Пашни . . . . 2,3< д. (24% от общ. пл.) 4 д. (41%).Увеличи-
Непок выгон 2,20 . (23% . ) вается за счет непокосного вы- гона. Улучшенный покос
Болот, покос 1,77 .. (1Чо/о , ) 2,34 д. 24%
Суход покос 1,66 . (17% „ ) 1.80 „ (18% , ) 1,66 д 17%
Лес . . . 1,80 д. 18%
П. С к о т:
Лошадей . . . 1 2
Коров . . . . 1 3
Овец 1 2 4
Ягнят . . . . | 2 —
JIJ. Инвентарь:
Соха. ... 1 —
Плугов .... 1 2
Борон . . . 1 (дерев.). 1 (железн.)
IV. Зерновые продукты: Рожь. . налог . 8 п. 35 ф. 13 п. 5 ф.
Овес .... в хозяйствен „ 15 „ на семена . 6 „ 30 „ скоту . 6 „ ' 1 t «. 1 1 1 * R F ю о о "Г 1?4
Ячмень .... в хозяйстве 15 „ на семена 9 „ в хозяйстве 6 „ 20 „ R » t 1 1 1 к ₽ F 71 S
V. Кормовые за- пасы: Сена на семена . 1 „ 2d „ 176 п. о *- Л Г» 1100 „ - .
Соломы . 188 . 262 „ 20 „
Муки посыпки 6 . 20 . - „
VI. Кормов на голову: Сена .... 52 п. — ф. 137 п. 20 „
Соломы . . 55 „ 15 „ 32 „ - .
Посыпки . . . 1 . 30 . 2 . 20 .
VII. На едока:
Молока .... 14 ведер. 60 ведер.
Зерна .... 5 п. 33 ф. 13 п. — ф.
Льняного се- мени . . . 6 . , 1 » ’я .
— 43 —
Ясно, что материал этой таблицы используется для многих
задач на расчеты.
При такой постановке вопроса об использовании математики
в комплексных темах должны украшать класс не диаграммы, от-
ражающие многие вопросы экономической географии, политиче-
ской экономии, а тетради, в которых ведется учет труда и
явлений, сопутствующих ему, напр., календарь погоды, весны,
крестьянских работ, учетная карточка детского труда, приходо-
расходные записи, сметы и т. д.
Очевидно, что некоторые знания и навыки по математике в
этих работах не будут использованы. Не беда: они будут исполь-
зованы в последующей жизни учащегося; сейчас же нам важно
научить первоступенника ставить несложный, учет и расчет.
Чтобы показать, как математика используется в комплекс-
ных темах, приведем примеры. Во 2-й группе школы I ступени во
вторую неделю занятий было проработано:
По математике, как предмету.
По использованию математики
в теме.
Счет. Повторение нумерации
в пределе 10D. Прямой и обратный
счет парами, пятками, тройками,
четверками.
Измерения. Часы. Измере-
ние по часам времени. Изготовле-
ние циферблата со стрелками.
Решение задач на время, когда
требуется определить промежуток
времени между двумя событиями
в пределе суток.
Тема. Организация рабо-
ты на пплугодие Учет рабочих не-
дель, дней в полугодии.
Составление календаря работ. Ре-
жим дня: когда нужно вставать, ло-
житься спать, ск»лько времени рабо-
тать, отдыхать. Заполнение в тече-
ние недели простей хронокарты.
Распорядок дня в школе: урок, пе-
рерыв, учет рабочего времени.
Из приведенного примера видно, что в некоторых частях за-
нятия по математике идут самостоятедьно, напр., счет парами,
пятками и т. п., в других же частях упражнения в счете и изме-
рении являются как бы ответом на вопрос темы.
Здесь занятия как по счету, так и по измерению сначала
могут итти самостоятельно. Дети просто учатся считать и по ча-
сам измерять время. По теме же ведутся беседы о том, что нужно
проработать, какие у - нас должны быть организации и т. д. По-
том, накопив некоторый запас знаний и навыков по математике,
— 44 —
испилозуем его при разрешении различных вопросов, выдвинутых
темой, напр., учитываем количество рабочего времени в полуго-
дии и т. д.
В данном случае, прежде чем приступить к практической
работе, ученики накапливали знания, а потом их начинали при-
менять. Это же правило остается в силе и по отношению к другим
комплексам и всему курсу школы I ступени.
Можно думать, что при такой системе занятий, когда мы
приобретаемые знания по математике используем в комплексных
гемах для фиксации, несложного учета и расчета, мы выпустим
из школы учеников, владеющих определенным запасом знаний и
навыков по математике и умеющих применять последние для ре-
шения задач, выдвигаемых повседневностью
Литература.
ЦПЛ «Счетные и измерительные навыки». Изд. «Новая Москва»,
1927 г., ц. 20 коп.
Э м е н о в. Как обучать счету. Изд. «Новая Москва», 1926 г.,
ц. 20 коп.
Воронец. Очерки по методике математики. Изд. «Раб. просве-
щения», 1926 г., ц. 1 р. 25 коп.
В. Эменов.
ДРОБИ.
Как показал годичный опыт работы в кружках по методике
математики при базовых школах города Москвы, в преподавании
дробей в наших массовых школах имеются моменты, неясные для
преподавателей, методически не проработанные. Нет единства в
методах преподавания дробей, нет единой твердой программы,
определенной последовательности в прохождении отдельных ча-
стей курса. Преподаватели недоуменные вопросы разрешают на
местах самостоятельно по-разному, пользуясь случайно попав-
шейся под руку старой методикой или на основании воспомина-
ния, как когда-то проходились дроби в старой школе. Есть, напр.,
школы, которые «про> одят» простые дроби изолированно на
четвертом году обучения в течение четырех месяцев—февраля,
марта, апреля и мая. В этом году на собрании учителей первой
ступени одного района гор. Москвы была вынесена резолюция, в
которой высказано пожелание о введении на четвертом году обу-
чения курса дробей. В этот курс должно было войти догматиче
ское прохождение умножения и деления на правильную дробь без
выяснения смысла этих действий. Некоторые из учителей, про-
ходя умножение, дают такое давно осужденное определение
умножения: «умножить на дробь — значит из множимого соста-
вить новое число так, как множитель составлен из единицы'?.
Можно было бы еще привести много примеров, как ошибочно
подходят к преподаванию дробей отдельные преподаватели и це-
лые школьные коллективы. Первые годы существования трудовой
школы методика навыков не стояла в центре внимания. Школа
была занята разрешением других вопросов, более общего харак-
тера, но и более важных для того момента. Теперь, когда школа
оформилась, когда выявилась не только в теории, но и на прак-
тике общая система обучения, когда многие вопросы принципи-
4о -
ального характера уже разрешены, необходимо пойти навстречу
законному требованию школьного работника дать ему в руки
четкую, ясную программу по навыкам с указанием методов про-
работки. В настоящее время имеется уже достаточно богатый
опыт работы массовой школы, который позволяет уже ясно себе
представить, во что должен вылиться курс дробей в четырех-
летке и как его следует прорабатывать. Об’ем курса дробей и
распределение его по годам обучения вполне соответствуют новым
программам по математике, изданным Наркомпросом для школ
I ступени.
Настоящая статья имеет в виду исключительно вопросы ме-
тодики навыков дейс гвий с простыми и десятичными дробями в
4-летке, оставляя совсем нерассмотренными вопросы, связанные
с использованием полученных навыков для школьной работы, ре-
шения задач, связи с комплексной темой и т. п.
Замечания общего характера по всему курсу
дробей для 4-летки.
1. В курсе 4-летки глазное внимание должно быть уделено
десятичным дробям, которые при современном уровне культуры
для каждого являются жизненно необходимыми. 4-летка должна
выпускать детей, могущих быстро и уверенно производить дей-
ствия с десятичными дробями и умеющих использовать их при
решении жизненных вопросов. Простые дроби, изучаемые на пер-
вых трех годах обучения, являются методически необходимым
вступлением в. курс десятичных дробей, без которых прохожде-
ние последних было бы затруднено, много потеряло в ясности и
конкретности. Десятичные дроби проходятся в течение второй
половины третьего года обучения (нумерация, сложение и вычи-
тание) и в течение четвертого года обучения (умножение и деле-
ние). Изучение простых дробей распадается на две ступени. Пер-
вая ступень — индивидуальное изучение долей: половина,
четверть (на первом году обучения), Vs, 7™ (на втором). Вторая
ступень —• сокращенный систематический курс простых дробен
на четвертом году обучения, в котором выпущены такие вопросы,
как, напр., разложение на множители, теория наибольшего дели-
теля, наименьшего кратного, деления на дробь и т. п. Подробный
перечень вопросов, подлежащих проработке на каждом году обу-
чения, дается при рассмотрении каждого года отдельно.
47 —
2. Простые дроби на первых трех годах обучения изучаются
подобно числам первого десятка по методу «индивидуального
изучения чисел». С каждой дробью — с половиной, четвертью
и т. д. — дети знакомятся отдельно. Общее понятие о дроби дает-
ся только на третьем году обучения. Индивидуальное изучение
дроби слагается из следующих моментов:
а) восприятие дроби и воспроизведение ее на чертеже, на-
глядных пособиях ит. п.;
б) изучение соотношений между нею и более крупными до-
лями, напр., 2/4 = 1/„;
в) прохождение действий над изучаемой дробью;
г) изображение дроби и запись действий;
д) решение задач.
Ясно, что порядок проработки может быть и иной, что все
пять элементов изучения дроби переплетаются между собой.
3. При изучении дробей следует широко пользоваться гео-
метрическими образами (кругом, квадратом, прямоугольником,
шаром, кубом и призмой и их частями) для наглядного предста-
вления дробей и соотношений между ними. Выполнение черте-
жей, иллюстрирующих соотношение между различными долями,
делает изучение дробей живым, интересным.
4. На всем протяжении четырехлетки следует выдеожать
единую точку зрения на дробь. Методически правильнее опреде-
лить дробь, как часть целого или несколько частей целого. Из
этого определения следует исходить при разработке любого во-
проса. Определение, что дробь получается в результате деления
одного числа на другое, менее доступно детям. Самое слово
«дробь» говорит за первое определение. Дробь то, что получилось
от раздробления целого предмета.
5. Действия над дробями следует включить в круг ежеднев-
ных упражнений в беглом устном счете особенно на третьем и
четвертом годах обучения и добиваться такой же беглости в
счете с долями, какой мы требуем в счете с целыми числами.
6. Материал при прохождении курса дробей следует распо-
ложить концентрически. Каждый год обучения должен строиться
на предыдущем и не забывать интересы следующих годов Всю
работу следует вести так, чтобы можно было обеспечить посте-
пенное усвоение навыков на протяжении всего курса четырех-
летки. А для этого требуется повторение проделанных упраж-
нений на целесообразно подобранном материале.
48
Дроби на первом году обучения.
На первом году обучения дети знакомятся с дробями —
% и %. Лучше всего ввести их в круг упражнений после прохо-
ждения умножения в пределах первого десятка перед деле-
нием на части. % вводится как одна из частей целого предмета,
напр., яблока, листа бумаги, палочки и т. п., разделенного попо-
лам. Дети на наглядных пособиях схватывают и упражнениями
закрепляют, что г/2 Да % будет целое, что целое без половины—
половина. После деления пополам групп предметов и чисел до де-
сяти вводится четверть, как одна из частей целого предмета, раз-
деленного на 4 равные части. Ознакомление детей с четвертью
должно вестись аналогйчно ознакомлению с половиной. На
наглядных пособиях, напр., круге, разделенном на 4 сектора,
квадрате, разбитом на 4 части, яблоке, разрезанном на 4 части,
и т. п., дети усваивают, что две четверти—половина, что поло-
вина без четверти—четверть, что три четверти да четверть—
пелое, что целое без четверти—три четверти, целое без трех
четвертей—четверть. Соотношение, что половина да четверть—
три четверти и т. п., следует отнести на второй год обучения.
То же можно сказать о письменном изображении дробей и за-
писи действий с ними. Упражнения с дробями следует вести в те-
чение всего года. Деление круга и квадрата пополам, на четыре
равные части диаметрами, диагоналями с определением получен-
ных частей (какие, сколько) будет очень хорошим упражне-
нием, способствующим уяснению половины, четверти и 1еоме-
трических фигур (квадрата, круга).
Дроби на втором году обучения.
На втором году обучения проходятся следующие вопросы:
доли—*/8, 1/10, письменное изображение дробей с знаменателями
2, 4, 8 и 10, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаме-
нателями, запись действий с дробями, нахождение одной части
целого.
Доли 4g, Vlo проходятся после умноженья в пределах ста.
Ознакомление детей с этими долями аналогично ознакомлению с
% и %. Дроби эти вводятся как одна или несколько частей це-
49 —
лого, разделенного на несколько равных частей. Для восприятия
1jI0 очень хорошим пособием служит метр, разделенный на де-
циметры, или дециметр, разделенный на сантиметры. Из соотно-
шений усваивается, что в/10=1/2. Как очень хорошее упражне-
ние следует рекомендовать перевод того или другого числа деся-
тых долей метра в дециметры. Дети сначала показывают на ме-
тре, начерченном на доске, скажем, 7/10 метра, потом переводят
в дециметры. Одновременно упражняются в превращении не-
скольких дециметров в доли метра. На раздроблении десятых до-
лей метра в дециметры должно быть основано прохождение сло-
жения и вычитания десятых долей. Если ребнок затрудняется вы-
полнить сложение 3/io м+*/ю м, он должен сначала перевести
3/ю м и г/10 м в дециметры, потом 4 дм, перевести в десятые доли
метра. Конечно, к этому приему приходится прибегать на пер-
вых порах. Для иллюстрации действий над десятыми могут слу-
жить в качестве наглядных пособий еще рубль и гривенники,
круг, разделенный на десять равных секторов, и т. п. Одна вось-
мая вводится как половина одной четверти. Наглядные пособия:
квадрат, круг, стакан емкостью в х/4 литра и литр и т. п. Из со-
отношений между ’/8 и более крупными долями следует пройти
следующее: 2/8=‘/4 и 4/8=‘/2. Действия с восьмыми долями
проходятся аналогично с действиями с десятыми. Изображение
дробей показывается одновременно с их прохождением. Писать
1 1
дроби следует так: g> а не так: /8, х/4. Значение черты
детям не сообщается, термины числитель и знаменатель не вво-
дятся. Следует добиваться только того, чтобы дети правильно
писали дроби. Требовать об’яснений, почему так пишутся, а не
иначе, не следует. Решение задач вроде: «4 мальчика купили кило-
грамм вишен и разделили поровну между собой, сколько пришлось
каждому мальчику?», записывается так, 1 кг : 4 = х/4 кг. Послед-
ним моментом курса дробей на втором году обучения будет на-
хождение одной части целого. Следует пользоваться такой запи-
сью: 20 : 4 = 5. Сначала решают задачи вроде: «Сколько минут
в 1/4, ^lo часа, сколько дней в половине месяца» и т. п., а потом
несложные задачи, в которых нужно найти одну часть. Напр., метр
сукна стоит 24 руб., сколько стоит х/4 метра? На втором году
обучения, как и на первом, следует широко пользоваться геоме-
трическими образами дня представления долей единицы и выясне
Пия отношений между разными долями.
Обучение счислению и измерению
4
50 -
Простые дроби на третьем году обучения.
Курс дробей на третьем году обучения распадается на две
части. Первая, простые дроби, прорабатывается в первую полови-
ну года, вторая, десятичные дроби, — во вторую. В первую часть
входят следующие вопросы: доли */3 и 1/5, сложение и вычитание
дробей с одинаковыми знаменателями, определение дроби, числи-
теля, знаменателя, нахождение нескольких частей целого, нахо-
ждение целого по одной части.
а) Дроби */3 и 1/s проходятся по примеру */4, г1в и 1[3 удачно вво-
дится в связи с аршином и саженью, о которых приходится гово-
рить при изучении десятины. 113 сажени есть аршин. Сажено в
виде веревки с двумя узлами, делящими ее на три части, можно-
протянуть по стене. Кроме сажени, наглядным пособием может
служить круг, разделенный на три равных сектора. Из соотно-
шений прорабатываются следующие: 2/3 + 2/3 = 1; 1 — 2/3 = 2/3;
1 — 2/з = г13, конечно, сперва на наглядных пособиях, потом на
решении соответствующих задач. Для восприятия "в наглядным по-
собием служит метр: 2 дцм=1г, м. Из соотношений усваивается,
что 2/10 — ’/г,- В остальном изучение 1/в аналогично изучению дру-
гих долей единицы.
б) Сложение и вычит ание дробей с од:та-
новыми знаменателями не встретят затрудне-
ШтШт, ний‘ Де™ складывают и вычитают дроби с оди-
наковыми знаменателями, как именованные
числа. Сложение: 2/4 + Д4 = 3/4 дети выпол-
няют так, как, скажем, если бы нужно было вы-
полнить сложение: 2 лт+1 лт=3 кг. Это пра-
вильно. Нужно перебрать все возможные случаи и вводить эти вы
числения на всем протяжении года в задачах. Если результат от
сложения или вычитания можно упростить сокращением, то сле-
дует это сделать на основании изученных ранее соотношений
(2/4 = 1/2 и т. п.). Можно включить и простейшие случаи сложения
и вычитания дробей с разными знаменателями С/2 + х/4, 3/4 + 1/2,
11/, + 3/4 и т. п., особенно такие, которые могут встретиться в
жизни. Необходимо, чтобы дети научились наглядно посредством
чертежа проверять результаты произведенных вычислений. Напр.,
что Д5 + 3/в = 4/в, можно проверить на чертеже.
Данные можно раскрасить для наглядности разными кра-
сками.
— 51
в) Вопрос нахождения части целого расширяется на третьем
году обучения решением примеров и задач, в которых нужно най-
ти несколько частей целого. Нахождение нескольких частей це-
лого решается в два действия: сперва находится одна часть, потом
нужное число частей. Расположение вычислений первое время
ТаКОе: 3/5 . 20 = 8
х/в . 20 = 20 5 = 4
2/5 . 20 = 4 .2 = 8
Точкой здесь обозначается «найти такую-то часть от такого-
то числа". В дальнейшем для небольших чисел можно запись свести
к одной только верхней строчке.
Эти упражнения нужно вести в течение всего учебного года
как при устном счете, так и при решении задач. С приемом на-
хождения части целого дети должны хорошо освоиться. От этого
будут зависеть успех и скорость прохождения умножения на дробь
на четвертом году обучения. Упражнения следует располагать, как
и на втором году обучения. Сначала находить те или другие части
какой-либо единицы меры, напр., 3/4 метра, сколько это сантимет-
ров? z/5 часа, сколько это минут? и т. п.; потом решать задачи и
более сложного характера. Решение обратного вопроса- найти
целое, если известна часть, следует на третьем году обучения огра-
ничить случаем, когда целое ищется по одной своей части, напр.,
«’/а метра сукна стоит 8 руб., сколько стоит метр?» И эти упраж-
нения дотжны найти себе место в беглом устном счете. Следует
здесь же научить читать и решать уравнения вида: V5 х = 20.
Десятичные дроби на третьем >оду
обучения.
Десятичные дроби на третьем году обучения проходятся во
втором полугодии в следующем об’еме:
1) Восприятие и нумерация десятых, сотых и тысячных долей.
2) Сокращение десятичных дробей.
3) Изменение значения десятичной дроби от перенесения за-
пятой.
4) Сложение и вычитание десятичных дробей.
1. Восприятие и нумерация десятичных дробей прорабаты-
ваются следующим образом:
А) Нумерация десятичных дробей, состоящих из целых и де-
сятых
4
— 52 —
С одной десятой дети познакомились еще на втором году
обучения, поэтому упражнения на восприятия десятых долей из-
лишни. Теперь только нужно показать, что 1/1В можно иначе за-
писать так: 0,1; ®/10 так: 0,2 и т. д. Что десятые пишутся вправо
от цел: х на нервом месте, потому что десятая доля в 10 раз мень-
ше единицы, об'яснять не надо. Вывести на основании нумерации
целых чисел, где следует писать десятые, сотые, конечно, детям не
под силу. Здесь только следует об’яснить, для чего ставится запя-
тая, когда на месте целых нужно ставить 0, и добиться путем
упражнений в письме и чтении десятичных дробей, чтобы дети
овладели нумерацией практически. Нужно, чтобы дети умели по-
казывать первое место после запятой‘и формулировать правило:
десятые пишутся на первом месте после запятой вправо.
Б) Восприятие сотых долей.
Лучшим пособием для восприятия сотых является метр, раз-
битый на сантиметры. Сантиметр—1/100 метра. Дети должны на-
учиться показывать на метровой линейке нужное число сотых
метра, переводить в сантиметры и обратно. Здесь же выводится,
что */10 = десяти сотым, что в 1110 десять сотых, что Vlo в 10 раз
больше 1/100. Нужны все эти формулировки. Кроме метра и санти-
метра, в качестве наглядных пособий можно взять рубль и копей-
ки, кв. метр и кв. дециметр. (Последний можно приготовить в виде
деревянной рамы, на квадратные дециметры он разбивается 18-ю
веревками или нитками длиною в метр, закрепленными гвоздика-
ми на раме.)
В) Раздробление десятых в сотые и превращение сотых в де-
сятые.
Эти упражнения необходимы для того, чтобы дети смогли на-
учиться читать и писать двузначные десятичные дроби. Можно
пользоваться теми же наглядными пособиями, которые указаны в
предыдущем пункте. Сначала решаются задачи на раздробление
именованных чисел, вроде: сколько сантиметров в 5 дециметрах,
сколько копеек в 8 гривенниках и т. п. Потом такие задачи, где
раздробляются десятые в сотые: сколько сотых в 5 десятых, сколь-
ко сотых в 8 десятых и т. п. Об’яснение такое: одна десятая — де-
сять сотых, пять десятых—пятьдесят сотых. Таким же образом
прорабатывается превращение: 50 см, сколько дм? 75 коп., сколь-
ко гривенников? (7 гривенников и еще 5 коп.); потом 50 сотых,
сколько десятых? 75 сотых, сколько десятых? (7 десятых и еще
пять сотых) и т. п
— 53 —
Г) Нумерация десятичных дробей, состоящих из десятых и
сотых.
Порядок упражнений такой:
а) О том, что сотые пишутся на втором месте после запятой
сейчас же за десятыми вправо, об этом детям просто сообщается
и показывается, что одну сотую можно иначе записать так: 0,01.
Причем об’ясняется, почему ставится запятая, почему 0 целых и
почему 0 на месте десятых. Впрочем, дети и сами смогут об’яснить
это при удачных наводящих вопросах. Далее следует записать
«без знаменателей» 2/100, 3/100 и т. д. Потом в разбивку.
б) Письмо и чтение десятичных дробей вида 2,54 поразрядно.
Дети читают так: 2 целых, пять десятых и 4 сотых. Таким же
образом по разрядам и диктуются дроби.
в) Чтение дробей с обращением десятых в сотые доли. Об'яс-
нять следует так: напр., 2,75 состоит из двух целых, 7 десятых и
5 сотых. 7 десятых—это 70 сотых, еще 5 сотых, всего 0,75, да
2 целых, будет 2,75 (две целых и семьдесят пять сотых).
г) Письмо десятичных дробей, состоящих из целых, деея+ых
и сотых.
д) Восприятие и нумерация одной тысячной и нумерация де-
сятичных дробей, содержащих целые, десятые, сотые и тысячные,
прорабатываются аналогично.
е) Вопросы нумерации десятичных дробей заканчиваются
упражнениями в записи составных именованных метрических мер
по десятичному счислению и, наоборот, в записи чисел, написан-
ных по десятичной системе счисления, составным именованным
числом. Например, 1 м, 4 дм и 3 см можно иначе написать
1,43 метра. Об’ясненне понятно. Обратный вопрос: 2,75 рубля
сколько целых рублей? 2 рубля 75 коп.
2. Сокращение десятичных дробей и приписывание нулей к
десятичной дроби справа.
Что дроби 0,2 и 0,200 равны между собой, дети убеждаются,
рассматривая каждую дробь поразрядно. В первой дроби две деся-
тых, но и во второй тоже две десятых, потому что сотых и тысяч-
ных нет, что видно из того, что на месте сотых и тысячных стоят
нули. Следует сказать, что зачеркивание нулей справа в десятич-
ной дроби, не меняющее ее значения, называется ее сокращением.
Также легко притти к тому, что величина дроби не изменится, если.
справа приписать несколько нулей.
3. Изменение величины дроби от перенесения запятой.
— 54
Вопрос об изменении значения десятичной дроби от перене-
сения запятой тесно связан с нумерацией и потому соответствую-
щие упражнения нужно проработать именно здесь, а не в связи
с умножением.
а) Сначала нужно показать детям на опыте, что перенесение
запятой действительно меняет величину дроби. Это достигается
сравнением ряда чисел, написанных теми же цифрами, но с раз-
личным положением запятой. Например, 2,5; 0,25; 25 и т. д.
б) Дробь увеличивается в 10 раз, если запятую перенести
вправо на один знак, и уменьшается в 10 раз, если запятую пере-
нести влево на один знак. Об’яснить можно так: когда переносим
запятую вправо (влево), то каждую цифру числа повышаем (по-
нижаем) на один разряд, отчего каждая цифра увеличивает
(уменьшает) свое значение в 10 раз, значит и все число тоже в
10 раз увеличивается (уменьшается). Следует перебрать всевоз-
можные случаи.
1) 2,57 X 10 = 25,7 (запятая переносится).
2) 2,5 X 10 = 25 (запятая пропадает).
3) 0,2 X 10 = 2 (исчезает запятая и нуль целых).
4) 0,25X10 = 2,5 (нуль пропадает, запятая переносится).
При уменьшении возможны такие случаи:
1) 25 : 10 = 2,5 (запятая появляется).
2) 25,7 : 10 = 2,57 (запятая переносится).
3) 2 : 10 = 0,2 (появляются запятая и нуль).
4) 2,5 : 10 = 0,25 (запятая переносится, нуль целых по-
является).
5) 0,5 : 10 = 0,05 (нуль десятых появляется, запятая пере-
носится).
в) Умножение и деление десятичных дробей на 10.
г) Аналогично прорабатывается вопрос об изменении величи-
ны дроби от перенесения запятой вправо, влево на два, три, знака
и умножения и деления на 100 и 1.000. И здесь следует прорабо-
тать все случаи.
1) 2,257 X 100 = 225,7 (только запятая перемещается).
2) 2,25X 100 = 225 (запятая пропадает).
3) 0,25 X 100 = 25 (запятая пропадает и нуль целых про-
падает).
4) 0,225 X 100 = 22,5 (запятая сохраняется, нуль целых
пропадает).
— 55 —
5) 2,5 X 100 = 250 (запятая пропадает, нуль справа по-
является).
6) 0,024 X 100 = 2,4 (нуль пропадает и нуль десятых про-
падает).
7) 0,02X 100 = 2 (пропадают нуль целых, нуль десятых и
запятая).
8) 0,2 X 100 = 20 (пропадает запятая и нуль целых, нуль
справа появляется).
При делении возможны следующие случаи:
1) 125,4:100 = 1,254 (запятая переносится).
2) 228:100 = 2,28 (запятая появляется).
3) 24:100 = 0,24 (появляется запятая и нуль целых).
4) 4 : 100 = 0,04 (появляется запятая и нуль целых и нуль
десятых).
5) 20 : 100= 0,2 (запятая появляется, нуль справа пропа-
дает, а слева появляется).
Эти упражнения должны войти в беглый устный счет и их
следует вести до конца учебного года.
4. Сложение и вычитание десятичных дробей.
Последний вопрос курса дробей третьего года обучения —
•сложение и вычитание десятичных дробей. Порядок расположения
упражнений может быть такой:
1) Сложение десятичной дроби с целым числом.
2) Вычитание из десятичной дроби целого числа.
3) Сложение и вычитание десятичных дробей с одинаковым
числом десятичных знаков без перехода в следующий разряд.
4) Сложение десятичных дробей с разным числом десятич-
ных знаков без перехода в следующий разряд.
5) Вычитание десятичных дробей с разным числом десятич-
ных знаков без раздробления долей высшего разряда в низшие.
6) Сложение десятичных дробей с получением высших раз-
рядов. Например, 0,26 + 0,24.
7) Сложение с переходом в следующий разряд.
8) Вычитание с раздроблением долей высшего разряда в низ-
шие.
9) Вычитание из целого числа десятичной дроби.
При решении задач и примеров на вычитание десятичных дро-
бей следует обратить внимание, что величина десятичной дроби не
зависит от числа десятичных знаков, и вывести правило, что при
равенстве целых та дробь больше, в которой больше число деся-
56 —
тых; если равны и десятые, то та дробь больше, в которой больше
число сотых и т. д. Впрочем, требовать от детей подобной точной
формулировки правила не нужно. Достаточно, если они смогут
при сравнении двух дробей безошибочно сказать, какая из них
больше и почему. Например: 0,3 больше, чем 0,294, потому что
десятых в первой дроби больше, а 94 тысячных меньше одной де-
сятой.
Десятичные дроби на четвертом году
обучения.
На четвертом году обучения заканчивается курс десятичных
дробей (умножение и деление). Умножение и деление десятичных
дробей проходится в первые 2—3 месяца в первой половине учеб-
ного года одновременно с последним концентром целых чисел
(числа любой величины).
А) Изучение умножения десятичных дробей можно разбить на
следующие моменты.
а) Повторение умножения десятичных дробей на 10, 100 и
1000.
б) Повторение выведенных на 3-м году обучения правил об
изменении произведения от увеличения или уменьшения в несколь-
ко раз одного или двух сомножителей одновременно.
в) Умножение десятичной дроби на однозначное целое число,
например, 2,47 X 4. Для устных вычислений этого вида следует
предпочесть способ умножения на множителя 4 каждого разряда
множимого отдельно. Также на первых порах выполняются эти
упражнения и письменно, пока дети не заметят, что для умноже-
ния собственно нужно всегда, не обращая внимания на положение
запятой, перемножить множимое и множитель, как целые числа,
и потом в произведении отделить столько десятичных знаков, счи-
тая от правой руки к левой, сколько их было во множимом. Сле-
дует об’яснить, почему это так, пользуясь правилами пункта «а»
и «б».
г) Умножение десятичной дроби на двузначное число. Здесь
возможен только один прием письменного выполнения этого дей-
ствия. Пусть, например, нужно выполнить умножение 0,25 X 75.
Рассуждаем так. Будем множить так, как множили на однознач-
ное число. Во множимом откинем запятую, множимое увеличи-
вается в 100 раз, от этого должно увеличиться в 100 раз и произ-
— 57 -
ведение. Выполним умножение как с целыми числами, а потом,
чтобы уменьшить произведение в 100 раз, отделим запятой 2 де-
сятичных знака от правой руки к левой. Такое рассуждение дети
повторяют при решении каждого примера, пока не заметят, что
при умножении десятичной дроби на двузначное число всегда при -
) эдится сначала выполнить умножение, как если бы запятой во
множимом не было, а потом в произведении отделить столько зна-
ков, сколько знаков было во множимом. Отдельно нужно здесь
обратить внимание на умножение на круглые десятки и сотни, пере-
брав все случаи.
д) Умножение целого на десятичную дробь.
Здесь мы имеем тоже только способ письменного выполнения
действий. Чтобы умножить 15 на 2,5, откидыванием запятой пре-
вращаем множителя в целое число. От этого множитель увеличи-
вается в 10 раз, во столько же раз увеличивается и произведение.
Выполняем умножение с целыми числами. Потом, чтобы получить
произведение данных сомножителей, полученное произведение
уменьшаем в 10 раз, отделив запятой один знак справа. Это рас-
суждение дети повторяют при решении каждого примера, пока не
подметят, что для выполнения умножения на дробь следует, не
обращая внимания на положение запятой, выполнить умножение,
а потом отделить в произведении столько знаков, сколько их было
во множителе. Заметим, что понятие умножение нами не расши-
рено на случай умножения на правильную дробь, и потому задачи
вроде: «метр сукна стоит 20 руб., что стоит 0,4 метра», нельзя
решать умножением 20 на 0,4. Подобное расширение будет сде-
лано на пятом году обучения. Об’ем применения действия умноже-
ния на десятичную дробь должен быть ограничен задачами, в кото-
рых нужно найти площадь (например: длина прямоугольника 3
метра, ширина 2,5 метра, какова площадь?), или задачами вроде:
«метр сукна стоит 3 руб., сколько стоит 2,5 метра?» Строго рас-
суждая, мы и эти задачи не можем решать умножением, не опре-
делив предварительно, что значит умножить на дробь. Умножить
3 X 2,5, значит 3 взять два раза и прибавить половину трех, полу-
чится 6 + 1,5 = 7,5. Но учитывая, с одной стороны, что по про-
граммным соображениям вопрос об умножении на дробь перенесен
на пятый год обучения (как показал опыт, он трудно дается детям
в 4-й группе), с другой стороны, что многие дети, кончая 4-летку,
тем и заканчивают свое школьное образование и что потому им
нужно дать законченный круг действий с десятичными дробям:’,
— 58 —
приходится научить детей приему умножения десятичных дробей,
оставив в стороне логические тонкости.
е) Умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Здесь
мы тоже имеем способ письменного выполнения действия. После
изложенного в пункте «д» выполнение его не представляет труд-
ностей. Пусть нужно умножить 0,5 X 0,3. Отбрасываем запятые
во множимом и во множителе, перемножаем получившиеся целые
числа, потом в произведении отделяем столько знаков, сколько
было их во множимом и во множителе. После нескольких примеров
с подробным об’яснением дети приходят к известному правилу
умножения десятичных дробей.
Б) Изучение деления десятичных дробей можно разложить на
следующие моменты.
а) Деление целого числа на целое с последовательным раз-
дроблением остатка в десятые, сотые и т. д.
Эти упражнения следует связать с делением целых чисел лю-
бой величины. Когда при делении целых чисел получается остаток
и мы прекращаем деление, мы, собственно говоря, отказываемся
от деления до конца. Мы имеем случай неоконченного деления.
Теперь выясняется, что невозможность окончить деление об’яс-
няется тем, что для дальнейшего деления необходимы доли едини-
цы, что, раздробляя постепенно остаток в десятые доли, остаток
после деления десятых в сотые и т. д., деление можно довести до
конца. Следует первое время предлагать примеры, в которых де-
ление заканчивается десятыми или сотыми долями в частном. От
детей нужно требовать сознательного выполнения действия и об’-
яснения, почему ставится в частном запятая, в какие доли едини-
цы превращается остаток, сколько долей получится, почему и т. д.
б) Округление частного.
После того как дети овладеют рассмотренным случаем, сле-
дует научить их находить приближенное частное, «округлять»
частное. Сначала на примере нужно показать, что сотые, тысячные
доли иногда бывают настолько мелки, что практически с ними
можно не считаться и их отбрасывать. На 0,01 коп. ничего не
купинь, да и такой монеты нет, 0,01 мм даже не увидишь, 0,01
секунды — настолько маленький промежуток времени, что его
нельзя заметить. Тысячные доли будут еще мельче. Вместе с тем
0,01 может быть и заметной величиной, напр., 0,01 рубля—одна
копейка. Величина какой-либо доли единицы зависит от величины
— 59 —
самой единицы. С другой стороны, иногда просто не имеет смысла
учитывать мелкие доли. Расстояние школы от дома ученика изме-
ряется в метрах, и несколько миллиметров для этого расстояния
не имеют никакого значения. При определении расстояния от одно-
го города до другого нужно знать, скольг о между ними км, и, оче-
видно, не имеет никакого смысла говорить, что расстояние между
городами 20 км и 4 см. Величина 4 см слишком ничтожная в
сравнении с величиной 20 км, и ею можно пренебречь. После
такой работы над большим количеством примеров можно решить
такую задачу: «Ученик доходит из дома в школу за 8 минут, рас-
стояние от школы до дома 325 м. Какое расстояние проходит уче-
ник в минуту?» Для решения нужно 325 м : 8 = 40,625 м, или
40 м 625 мм. При определении расстояния, проходимого в одну
минуту в среднем, несколько мм не имеют никакого значения, и
ответ можно округлить, сказав, что в каждую минуту ученик про-
ходит по 40,6 метра. На таких задачах учащиеся учатся оценивать
значение различных разрядов результата и его округлять. Заме-
тим, что вопрос об округлении может встретиться и при решении
задач не только на деление. Пусть, напр., нужно решить такую
задачу: «Один кг сахара стоит 56„5 коп., сколько стоит 1,5 кг?».
Для решения задачи нужно 56,5 X 1,5 = 84,75 коп. Очевидно, что
придется заплатить 85 коп., округлив произведение. Важно, что-
бы дети научились быстро и правильно, когда это нужно, округ-
лять результат. Этот прием имеет большое применение в жизни.
Упражнения с округлением следует предлагать в задачах до конца
года.
в) Деление десятичной дроби на однозначное число.
Для деления десятичной дроби на однозначное число следует
предпочесть прием устного выполнения этого действия поразряд-
ного деления делимого на делителя. Можно практиковать и такой
способ: делить, не обращая внимания на запятую в делимом, по-
том в частном отделить столько знаков, сколько их было в дели-
мом (или перенести запятую на столько знаков влево, сколько
было в делимом). Надо дать возможность учащимся выбирать тот
или другой прием, какой более удобен для данного случая. Напр.,
2,5 : 5. Легче, конечно, 25 : 5, получится 5, потом частное умень-
шить в десять раз, будет 0,5. А если бы нужно было разделить
24,8 : 4, мы бы делили поразрядно. Деление на однозначное число
должно войти в круг устных вычислений.
г) Деление десятичной дроби на двузначное число.
— 60 —
Здесь как нормальный прием следует рекомендовать второй
из указанных в п. «в». Пусть 6,5 : 13. Увеличиваем делимое в
10 раз, превратив его в целое число, делим 65 на 13, получим 5;
чтобы частное исправить, уменьшаем его в 10 раз, будет 0,5. Здесь
особо ну-жно обратить внимание на деление на круглые десятки.
д) Деление целого числа на десятичную дробь.
В случае деления целого числа на десятичное число следует
поступать так. Пусть, напр., 80 : 0,4. Так как учащиеся уже
привыкли к тому, что для того, чтобы выполнить какое-либо дей-
ствие над десятичными дробями, надо сначала отбрасыванием запя-
той обратить их в целые числа, то легко навести, что и в данном
случае следует поступить также. Откидываем запятую и обращаем
делителя 0,4 в целое число 4. Сейчас же выясняется, что частное
от этого уменьшилось в 10 раз. После деления 80 на 4 для исправ-
ления частного увеличиваем его в 10 раз. Можно рассуждать ина-
че. После того как дети убедятся, что частное в 10 раз умень-
шится от обращения 0,4 в 4 целых, для исправления ошибки сей-
час же делимое тоже увеличиваем в 10 раз. Потом выполняем деле-
ние. Частное получится верное. Следует предпочесть второй спо-
соб, имея в виду деление десятичной дроби на десятичную дробь.
е) Деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Следует пользоваться таким приемом. Пусть 0,64 : 3,2. Де-
лителя превращаем в целое число, для чего нужно увеличить его
в 10 раз. Чтобы исправить ошибку, и делимое увеличим в 10 раз.
После делим как на целое число. Следует разобрать все случаи:
1) когда число десятичных знаков в делимом и делителе одина-
ково, 2) когда в делимом число десятичных знаков больше, чем в
делителе, и 3) когда в делимом число десятичных знаков меньше,
чем в делителе.
Заметим, что в виду того, что деление на дробь нами не опре-
делено, нельзя решать с детьми посредством деления таких задач,
в которых нужно найти по части целое.
В) Задачи на проценты.
В 4-й группе задачи на проценты ограничиваются только сли-
чаем нахождения нескольких процентов данного числа. Понятие
о проценте дается как о сотой части какого-либо числа. Найти 4,5
процента 20-ти записывается так:
4,5% (20) =0,9.
1% (20) = 20: 100 = 0,2.
4,5% (20) = 0,2 X 4,5 = 0,9
— 61
Напр., 0,4 арш. сукна стоит 12 руб.,-сколько стоит 1 аршин?
Задачу эту на четвертом году обучения нельзя решать таким обра-
зом: 12 : 0,4 = 30 руб. Задачу эту следует решать в два действия,
предварительно составив уравнения: 0,4.x = 12; решение можно
расположить таким образом.
0,4 . х=12
0,1 .х = 12 : 4 = 3
х=3.10 = 30.
Простые дроби на четвертом году обучения
Простые дроби в четвертой группе проходятся систематически
в следующем об’еме: изменение величины дроби от изменения
числителя или знаменателя, дробь правильная и неправильная, сме-
шанное число, сокращение дробей, приведение к общему знамена-
телю, сложение, вычитание. Общий знаменатель находится без
теории наименьшего кратного «по соображению». Разложение на
множителей, теория общего наибольшего делителя, наименьшего
кратного, умножение и деление дробей выпущены. Дроби берутся
с «употребительными» знаменателями, не превышающими 100.
1. Восприятие дробей с наиболее «употребительными» знаме-
нателями 12, 24, 20, 15, 9 и 7 и т. д. Повторение определения дроби,
числителя и знаменателя. Дробь правильная и неправильная.
Упражнения этого отдела имеют целью не индивидуальное
изучение той или иной доли единицы, а, наоборот, развитие обще-
го представления о дроби и усвоение нумерации дробей. Вместе
с тем упражнения эти должны подготовить легкое выполнение в
будущем разных операций над дробями и раньше всего сокращение
и приведение к общему знаменателю. Потому следует при воспро-
изведении той или другой доли на чертеже, на наглядном пособии
и т. п. устанавливать соотношения между рассматриваемой долей
и более мелкими и крупными долями. С этими упражнениями не
следует спешить; чем большее число разных долей единицы мы
рассмотрим, тем более обеспечим себе успех прохождения дей-
ствий над дробями. Примерная беседа при изучении 1/20 может
быть такая (пособие: метровая линейка, разбитая на длг и полуд/и).
Покажи дм! Какая зто часть метра? Что нужно сделать с
\1С метра, чтобы получить х/20 метра? Покажи одну двадцатую
метра С/ао)! Сколько в дм 20-х долей метра? Сколько 20-х метра
в Ч1о метра? Запиши 112и метра! Покажи 7/,0 м! Запиши 7/,0! Где
написал 7? где 20? Почему? Что обозначает числитель0 знамена-
— 02 —
тель? Покажи х/2 метра! Рассчитай, сколько в V, м 20-х долей
метра? Запиши, что 1/2 метра состоит из 10 двадцатых долей
метра! Рассчитай, сколько 20-х в 2/6 и т. д.
Цель подобных упражнений —• научить детей выражать одну
и гу же дробь в различных долях. Полезно составлять такие ряды:
*/. = \ = 6/10 = 10/20 и т. д., и проверять при помощи чертежа.
Можно давать самостоятельные работы с упражнениями в запол-
1
нении свободных мест в равенствах:-----~ — =----------=------
3 6 12 24
с проверкой на чертеже. Понятие о правильной дроби дается как
о дроби, меньшей единицы, и неправильной—как о дроби, большей
единицы. Из рассмотрения изображений нескольких правильных
дробей следует вывести, что в правильной дроби числитель меньше
знаменателя. Таким же образом для неправильной дроби числи-
тель больше знаменателя.
2. Сравнение величины простых дробей.
а) Если две дроби имеют одинаковых знаменателей, то та из
них больше (меньше), у которой больше (меньше) числитель. Это
положение выводится постепенно. 7/ю м больше, чем 3/10 м, потому
что 7/,0 м—это 7 дм, а 3/10 м—это 3 дм, а 7 дм, конечно, боль-
ше 3 дм. Вывод этот дети делают, имея перед глазами метровую
линейку. Потому же 9/10 м больше 5110 м и т. д. Далее сравниваются
дроби без наглядного пособия. Дети должны понимать, почему,
напр., 7/12 больше s/12, и уметь об’яснить, напр., так: 7/12 потому
больше 5/12, что в 7/j2 больше долей, чем в 5/12, или что в 7/12 больше
числитель. Дети формулируют правило таким образом: та дробь
больше, у которой числитель больше, если равны знаменатели. Та-
ким же образом выводится, что та дробь меньше, у которой мень-
ше числитель, если равны знаменатели.
б) Если две дроби имеют одинаковых числителей, то та из
них больше (меньше), у которой знаменатель меньше (больше)
Упражнения, относящиеся к этому правилу, таковы же, как и в
пункте «а». Эти упражнения имеют много общего с упражнениями
в п. 1-ми могут итти с ними вперемежку.
3. Изменение величины дроби от изменения числителя или
знаменателя.
а) Если числитель одной дроби больше (меньше) в 2, 3, 4 раза,
чем числитель другой, а знаменатели равны, то первая дробь в 2,
3, 4 раза больше второй. Как всегда, упражнения ведутся на нагляд-
— 63 —
ных пособиях. Примерная беседа может быть такова (наглядное
пособие—метровая линейка):
Во сколько раз в/10 м больше ’/к, м? Сколько цм в
®/10 метра? Сколько дм в 3/10 м? Во сколько раз 6 дм больше
3 дм? Значит, во сколько раз ®/10 м больше 3/10 м? Сравни числи-
тели! Во сколько раз 6 больше 3-х? -Далее дроби сравниваются без
наглядных пособий. Следует при дальнейших примерах добиваться
ответа на вопрос: «почему». Напр., ®/7 больше 2/7 в 3 раза (потому,
что в ®/7-х долей в 3 раза больше, чем в 3/7-х, или потому, что чи-
слитель 6 в 3 раза больше числи геля 2). Так постепенно дети при-
ходят к правилу, что во сколько раз больше числитель, если знаме-
натели равны, во столько раз больше и дробь. Подобным же обра-
зом выводится, что во сколько раз меньше числитель, во столько
же раз меньше и дробь, если равны знаменатели.
б) Если числителя дроби умножить на 2, 3, 4 и т. д. (или раз-
делить), то дробь увеличивается (уменьшается) в 2, 3, 4 раза. Во-
просы следует ставить в такой форме. В дроби 2/7 умножь на
3 только одного числителя, знаменателя оставь без перемены! Ка-
кая дробь получится? Во сколько раз ®/7 больше 3/7? Почему?
(Потому, что, умножив числителя на 3, мы долей взяли в 3 раза
больше, чем раньше, или потому, что числитель ®/7 в 3 раза больше
числителя 2/7.) После нескольких упражнений выводится правило.
Таким же образом ведутся упражнения для случая уменьшения
числителя в несколько раз. Для закрепления навыка решаются при-
меры: 2/7.3, 7? • 2 и т. д., ®/7 : 3, % : 4 и т. д.
в) Бели знаменатель одной дроби больше (меньше) в 2, 3, 4
раза, чем знаменатель другой, а числители равны, то первая дробь
в 2, 3, 4 раза меньше (больше), чем вторая дробь.
г) Если знаменателя дроби увеличить (уменьшить) в несколько
раз, то дробь уменьшится (увеличится) во столько же раз. Упраж-
нения, относящиеся к случаям «в» и «г», по характеру ничем не
отличаются от «а» и «б». Примеры для закрепления правил даются
такие: в/4.2, Va. 3 и т. п., 3/8 : 4, ®/8 : 2 и т. д. В заключение сле-
дует обратить внимание детей на то, что умножение и деление
дроби на целое число можно выполнить двумя способами, что сле-
дует выбрать тот способ, который для данного примера дает ре-
зультат скорее и проще. Напр., 4/0 : 2; очевидно, что лучше здесь
разделить числителя на 2, получится 2/о- 7з 2; здесь нужно умно-
жить знаменателя, получится 7в- Дети должны научиться выбирать
каким способом лучше выполнить действие.
— 64 —
д) Если числителя и знаменателя умножить (разделить) ни
какое-нибудь число, то дробь не меняет своей величины. Беседа мо-
жет быть такая. Помножь числителя и знаменателя дроби 112 на 5!
Какая дробь получится? Сравни ’/2 и в/«! После нескольких приме-
ров выводится правило: дробь остается без изменения, если числи-
теля и знаменателя умножить на одно и то же число. То же отно-
сится и к случаю уменьшения числителя и знаменателя в одно и то
же число раз. Дети должны уметь об’яснить, почему дробь не ме-
няется, если числителя и знаменателя умножим или разделим на
одно и то же число.
4. Сокращение дробей и приведение к общему знаменателю.
а) Сокращение дробей есть использование изложенного в
пункте «д». Сперва требования ставятся в такой форме: вырази ®/3
в четвертых долях, 6/1Я—в третьих, сколько в й/12 четвертых долей,
вырази ’/к в более крупных долях и т. п. При решении подобных
примеров дети приходят к тому, что для того, чтобы дробь выра-
зить в более крупных долях, нужно числителя и знаменателя раз-
делить на одно и то же число. Термин «сократить» дробь детям
дается. Определение такое: сократить дробь — значит выразить ее
в более крупных долях, разделив числителя и знаменателя на одно
и то же число.
б) Приведение к общему знаменателю.
Термин привести к общему знаменателю детям первое время
не сообщается. Вместо него мы употребляем выражение «выразить
дробь в одинаковых долях». Различают 3 Случая. 1) Один из знаме-
нателей делится на остальные знаменатели, напр., т/4 + 7/8. 2) Когда
для нахождения общего знаменателя нужно знаменатели данных
дробей перемножить, напр., ’/а + 1/7. 3) Когда знаменатели имеют
общих делителей, напр., х/16 + 1110. Сначала предлагаются такие
примеры, в которых приведение к общему знаменателю дети де-
лают на основании соотношений между различными долями, изучен-
ными ранее, пока не подметят, что для того, чтобы найти общего
знаменателя, надо найти такое число, которое делилось бы на все
данные знаменатели. Желательно, чтобы общий знаменатель был
наименьшим из таких чисел. Первые два случая нужно рассматри-
вать как частные случаи, позволяющие найти общего знаменателя
проще. Приведение к общему знаменателю следует использовать
при решении вопроса, какая из двух дробей больше, если они
имеют разных знаменателей, и при сложении и вычитании
дробей.
— 65 —
5. Исключение целого числа из неправильной дроои и обраще-
ние смешанного числа в неправильную дробь.
а) Деление целого числа на целое об’ясняется так. Пусть, напр.,
нужно 4 : 5. Единица, разбитая на пять равных частей, даст х/5,
4 единицы дадут */в + х/в + */5 + '1* = Одновременно рассужде-
ние иллюстрируется на чертеже.
После нескольких упражнений дети придут к тому, что запись
4 : 5 = ь/в + х/15 + */5 + х/в = 4/5 ложно сократить и писать разом
4:5 = 4/в. Таким образом возникает новая точка зрения на дробь,
как на частное от деления нескольких единиц на несколько равных
частей. На числителя можно смотреть как на делимое, на знамена-
теля—как на делителя. Дробь есть резу штат от деления числителя
на знаменателя. Эта точка зрения в курсе четвертого года обуче-
ния дальнейшего развития не получает. Ее придется использовать
только один раз при превращении простой дроби в десятичную.
б) Исключение целого числа из неправильной дроби
Пусть, напр., hj жно исключить целое число из 28/в. Вопрос пер
воначально ставится в такой форме: сколько целых единиц в г5/в 'и
сверх того 8-х долей единицы Рассуждаем так: 8/в — одна еди-
ница, 18/в — две единицы, г4/в — три единицы, значит, в г5/в — три
целых единицы и еще 4/в. После нескольких примеров дети подме-
чают известное правило: чтобы исключить из неправильной дроби
целое число, нужно числителя разделить на знаменателя, частное
даст целое число, а остаток покажет, сколько останется долей.
в) Обращение смешанного числа в неправильную дробь.
Пусть 45/в нужно обратить в неправильную дробь. Вопрос пер-
воначально ставится так. Сколько всего восьмых долей в 4 и 5/„.
Рассуждение: в одной единице 8/в, в 4-х единицах—32/в, всего, зна-
чит, ь 4-х и 5/в—37/в.
6. Сложение и вычитание дробей.
Сложение и вычитание дробей можно прорабатывать одновре-
менно с изучением приведения дробей к общему знаменателю. Сле-
дует заботиться о целесообразной и выразительной записи
Обучение счислению и измерению
— 66 —
1’/i2 + 24/1Е = 357е«
7,2=7oo
• */ — 1в!
'15 ----------------- /60
51/
<60
Сначала складываются целые числа, затем дроби. Расположе-
ние вычитания с заниманием.
4т/15 —1Ч = 2%0
17» = 114/3о
^“/зо
29/
/30
Запись составляется так. Ученик, не зная, допустим, что 7/tr
меньше половины (7/s), приводит дроби к общему знаменателю.
7/ __ 14/
/16 - 130
1/ --- 18/
'2 — /во
После того как обнаружено, что вычитание сделать нельзя, он
занимает единицу, ставит над 4 точку и единицу приписывает к 7/,0
и к u/is> раздробляет единицу в 15 доли, добавляет к 14/16 и т. д. По-
лучается расположение (1).
Когда дети усовершенствуются в приеме и часть вычислений
будут производить без записи, можно показать и расположения в
одну строчку.
7. Умножение и деление на целое число.
а) Случай умножения и деления правильной или неправильной
дроби на целое число уже был рассмотрен
б) Умножение смешанного числа на целое число.
При умножении смешанного числа на целое число не следует
смешанное число превращать в неправильную дробь, а лучше мно-
жить на целое число отдельно обе части множимого, а потом скла-
дывать. Напр., 2710 X 2 = 4 + 7В = 43/6.
Таким же образом и деление: 354/., : 2 = 17 + 9/1в.
34 : 2 = 17 =17
1-2= */2= в/1п
4/6 : 2= ъ = \0
17 7ю
8. Превращение десятичных дробей в простые и обратно.
— 67 —
Превращение десятичных дробей в простые производится под-
писыванием знаменателя и сокращением. Напр., 0,2 — 2/10 = х/6.
Некоторые соотношения дети должны запомнить, напр., 0,5 = */2;
0,75 = s/«; 0,125 =’/8. Превращение простой дроби в десятичную
производится делением числителя на знаменателя на основании
того, что было изложено в п. 5а.
9. Нахождение целого по нескольким частям.
Деление на дробь из курса четвертой группы перенесено в
пятую, и потому задачи, в которых нужно найти целое по части,
здесь решаются не посредством деления на дробь. Решение таких
задач следует приводить к составлению уравнения вида 2/6х = 10.
Решение уравнения записывается так:
2/5 . х 10
-1/5 . х = 10:2 = 5
5/5 . х = 5x5 =-25
х -25
Задачи на нахождение целого по части можно начать решать
еще в первом полугодии.
Пив 1ИКОВСКИЙ.
5*
УСТНЫЙ СЧЕТ.
В курсе начальной школы долоюм
быть отведено первенствующее зна-
чение устным вычислениям.
Голъденберг.
1. Сказанное Гольденбергом справедливо и сейчас, вернее,
особенно сейчас. Ведь ни для кого не секрет, что устному счету
(как и решению текстовых задач) в современной школе I ступени
уделяется недостаточно внимания.
Это можно отнести без особой боязни почти ко всем школам.
Ко всем потому, что в лучшем случае устный счет употребляется
лишь в качестве случайного вида упражнений по преимуществу
тогда, когда «нехватило материала» для заполнения определенного
времени. А между тем устный счет может дать ожидаемые от чего
результаты лишь при систематическом пользовании им, начиная с
1-й группы и кончая... ну, кончая смертью человека.
Да, это так. Еще Гольденберг справедливо стыдил культурного
человека, который стесняется ошибок в речи, в письме, ноне стес-
няется прибегнуть к мелу или карандашу для производства самых
несложных вычислений.
Это ничуть не устарело и для наших дней. Мы знаем очень
хорошо, что наш современный ученик работает карандашом и ре-
зинкой куда больше, чем головой.
А между тем, кто станет отрицать бесспорное значение уст-
ного счета для развития учащегося вообще и для развития матема-
тического мышления учащегося в частности. При устном счете
учащийся имеет дело с «живым числом», а не с «мертвой» циф-
рой. Искушенный в устном счете ученик реально и живо предста-
вляет себе числа, над которыми ему нужно произвести действия,
расчленяет, разлагает их по своему усмотрению так, чтобы бы-
— 69 —
с грее, лучше, изящнее получить результат Ученик развивает вни-
мание, сообразительность, находчивость, осмотрительность, само-
обладание. Наконец, при устном счете ученик проявляет полную
самостоятельность, применяя свой собственный подход к вычисле-
нию над каждой парой чисел.
Нечего и говорить, что устный счет подтягивает отсталых,
вовлекая их в общую творческую работу. Самый нерадивый уче-
ник, который не может сосредоточить своего внимания на преодо-
лении скучного механизма письменных действий, примет участие
в устном счете наравне с остальными учениками. Да просто вы
попробуйте и убедитесь, что устный счет — любимейшее занятие
детей. •
Вот почему надо умело использовать в руках педагога это
ценное орудие для привития детям счетных навыков, использовать
так, чтобы ученик на всю жизнь сохранил привычку доверяться
своей голове больше, чем мелу и карандашу с бумагой, и во вся-
ком случае не прибегать ни к тому, ни к другому, когда можно
скомбинировать числа так, что результат получается изящно и
быстро и от самого процесса вычисления чувсл вуется одно удоволь-
ствие.
Я думаю, что сказанного достаточно, чтобы убедить в необ-
ходимости устного счета в современной школе. Если же кто счи-
тает необходимыми дальнейшие доказательства на этот счет, тех
я отсылаю к книжкам Гольденберга, Ф. Мартеля, Рачинского, где
читатели найдут более убедительное и талантливое изложение во-
проса о необходимости устного счета в школе I ступени. В своем
кратком очерке попытаюсь наметить как .методические требова-
ния, которые необходимо соблюдать при ведении устного счета,
так и примерный материал для этого счета.
2. На ряде собраний школьных работников I ступени прихо-
дится слышать вопросы: когда надо начинать занятия устным сче-
том, сколько времени этому посвящать, каковы правила для уст-
ного счета, как технически его проводить, наконец, что надо и
можно давать для устного счета в каждой группе. Я попытаюсь
кратко ответить на все эти злободневные вопросы.
Прежде всего начинать считать устно следует с самой млад-
шей группы. В 1 и 2 группах собственно письменных вычислений
в строгом смысле слова не должно быть. Тут все вычисления дол-
жны быть устными, и лишь в примерах с большими числами можно
попускать письменную запись чисел и результат действий, но самые
— 70 —
действия должны производиться устно. Конечно, не все решитель-
но числа в пределах 1.000 поддаются легко устному счету. Поэтому
в качестве целевой установки можно было бы принять следующее
положение: в пределах 100 все действия над любой парой чисел
безусловно должны производиться устно. Что же касается чисел
в пределах 1.000, то тут должно быть произведено устно вычисле-
ние над каждой парой чисел, в отношении которых можно приме-
нить тот или иной «способ устного вычисления».
3. Каковы же эти правила или способы устного счета?
Собственно, общих правил производства устных вычислений
цет. Вернее, способов устного вычисления так много, что научить
учащихся пользоваться всеми ими — это значит сделать устный
счет не средством, а самоцелью. Достаточно заглянуть к Рачин-
скому и Ф. Мартелю, чтобы убедиться, что для отдельных чисел
применимы такие способы устного счета, изучение которых слиш-
ком трудно, а применение их слишком редко.
Правильней была бы такая постановка вопроса:
Прежде всего надо учить детей считать устно независимо от
специальных правил. Пусть ребята считают по-своему, применяя
для каждой пары чисел свой специальный способ устного вычисле-
ния. Для I ступени это, собственно говоря, и будет занимать преи-
мущественное место.
Но, помимо этого, уже в I ступени следует познакомить уча-
щихся с некоторыми типовыми, общепринятыми специальными
способами устного счета.
Не следует лишь увлекаться этими способами, памятуя, что
далеко не все, что в этой области может понравиться и поразить
педагога, является приемлемым для детей, особенно I ступени.
Излагая перечень упражнений в устном счете для каждой
группы, я укажу лишь наиболее общие специальные способы уст-
ного счета, которые облегчат производство вычислений над целым
рядом чисел.
4. Бесспорным является положение, что всякий навык дости-
гается лишь путем систематических упражнений. Устный счет в
I ступени должен быть систематическим. Каждый день ему должно
отводиться от 5 до 10 минут, максимум 15 минут. Устный счет—
любимое занятие детей. Педагог часто поэтому поддается прось-
бам детей «посчитать еще» и забывает, что устный счет требует
более напряженной умственной деятельности детей, чем механи-
ческий письменный, а поэтому он сильнее и скорее утомляет детей
— 71 —
Зот почему надо помнить о систематичности упражнений в
устном счете, но не надо также забывать, что здесь увлекаться ни
в коем случае нельзя.
5- Техника проведения устного счета примитивна и не затруд-
нит, конечно, ни одного педагога. Обычным способом считается
такой технический прием в проведении устного счета: либо педа-
гог ясно и четко диктует числа, над которыми дети должны в уме
произвести действия, ничего решительно не записывая на доске,
либо педагог молча четко записывает на доске числа и дети устно
вычисляют. Спрашивая ответ у учащихся, следует непременно
интересоваться не только результатом, но и выяснять, как этот
результат получен. Это обогащает остальных детей новыми спо
собами «подхода» к каж'дой паре чисел, это поощряет ребят к здо-
ровому соревнованию.
У Воронца в его «Очерках по методике математики в школах
I ст.» описан еще такой метод технического проведения устного
счета: ребята получают на руки по */в или */ie листа бумаги, на
которых они пишут вверху свои фамилии. Слева у края они нуме-
руют столько строк, сколько задач думает им предложить учитель
для устного счета. Затем против каждого номера они пишут полу-
ченный ими от устного вычисления ответ на каждую задачу. Это,
по мнению Воронца, ведет к тому, что все дети принимают уча-
стие в устном счете, и педагог имеет возможность знать успеш-
ность каждого отдельного ученика.
6. Переходя к перечислению (примерному) того, что можно
предложить для устного счета учащимся I ступени, я должен ого-
вориться в двух—трех словах о роли учителя при производстве
устного счета.
Сам педагог должен быть ярким примером того, как надо
пользоваться устным счетом. Всегда и при всех обстоятельствах
(даже там, где ученику устное вычисление не по силам) педагог
должен стремиться производить вычисление устно.
Нечего и говорить, что в момент устного счета в руках педа-
гога не должно быть никаких записей, и сам педагог должен уча-
ствовать на равных основаниях со всеми детьми группы. Педагог
должен воодушевлять, зажигать учащихся, увлекая их за собой,
поощряя к изысканию наиболее быстрых и изящных способов про-
изводства действий над числами.
Все это, конечно, не должно иметь своей конечной целью до-
стижение виртуозности в этой области.
— 72 —
Теперь перейду к краткому перечислению тех видов устного
счета, котооые можно рекомендовать для школы I ступени При
этом я остановлюсь по преимуществу на специальных способах
устного счета, оставляя в полной силе сделанное раньше замеча-
ние о том, что ’эти специальные виды отнюдь не должны оттеснять
на задний тан упражнений в устном счете над любой парой чисел
без применения какого-либо специального способа.
1-я группа.
1. Простой прямой счет.
2. Простой обратный счет.
3. Присчитывание и отсчитывание от числа группы единиц.
4. Прямой счет двойками.
5. Обратный счет двойками.
6. Прямой и обратный счет тройками.
7. Прямой и обратный счет четверками.
8. Прямой и обратный счет пятерками.
Все эю, конечно, вначале связывается с конкретными пред-
метами и лишь постепенно, по мере укрепления привычки к счету
у детей, можно допускать и числа без наименования предмета.
Примеры для этих упражнений легко придумать самому педа-
гогу. Их можно также взять в достаточном числе из книги Ф Мар-
теля, Ланкова, Гольденберга (задачник).
9. Счет прямой и обратный целыми десятками в пределе 100.
2-я группа.
1. Прямой и обратный счет в пределах 100.
2. Прямой и обратный счет двойками, тройками, четверками,
пятерками в пределах 100.
3. Сложение и вычитание любой пары чисел в пределах 100.
4 Умножение и деление в пределах 100.
5. Сложение и вычитание путем округления:
68 27 = 70 4- 27 — 2 = 95
94 — 47 = 94 — 50 -|- 3 = 47.
Конечно, ребята будут по-своему иснользовывать метод округ-
ления. Не надо их в этом отношении стеснять. Надо лишь следить
за тем, чтобы способ, предлагаемый ребятами, был безусловно це-
лесообразен.
6 Счет целыми сотнями в пределах 1.000.
73 —
7. Умножение чисел на 10 и на 100.
8. Деление чисел на 10 и на 100 (полных десятков или полных
сотен).
9. Умножение на значащую цифру с нулем (на 20, 30, 40) как
пример простейшего последовательного умножения.
12 X 30 = 12 X 3 х 10 = 360
10. Умножение на 4 путем последовательного умножения на 2
и еще раз на два.
11. Сложение и
вычитание симметричных чисел.
22-4-33 4-11---66
666 — 222= 444
12. Деление на 4 путем двухкратного деления: на 2 и еще
раз на 2
13. Упрощенный способ умножения на 5 и 25.
12\ 5= 12.-2Х 60
32Х 5 = 32:2Х 10 = 160
24X25 = 24: 4X100= = 600
14. Умножение четного числа на 15.
24 X 15; 24 X10 = 240 ; 240 -|- 120 = 360.
3-я группа.
I0—Ц=864Н В.
1. Счет прямой и обратный в пределах чисел любой вели-
чины. —
2. Счет прямой и обратный парами, тройками, четверками,,
пятерками и т. п. в пределах чисел любой величины.
3. Сложение путем округления. , — — ——_
375-}-489=375 4-
282 -|- 347 = 300 -J- 3^7-4- .18 = 629
4. Вычитание путем округления.
375-303 = 375—300 -3^= 72
225— 97 = 225-^100.4-3 = 128
347 — 225=350 — 225 — 3 = 122
3-’ J -А
5. Умножение и деление на 4, 8 путем последовательного
умножения или деления на 2.
— 74 —
6. Умножение и деление путем комбинирования чисел, вхо-
дящих в действие.
295 X 7 == 300 X 7 — 35 = 2065
225 X 24 = 225 X 4 X 6 = 5400
. 1800 : 36 = 1800 : 18:2= 50
36 X 25= 36 : 4 Х1°0== 900
48 X 15= 480 -|- 240 = 720
7. Перестановка слагаемых.
84 + 37 + 16 84+ 16 + 37 = 137
8. Замена сложения умножением.
196+ 199+ 197 = 200 X 3 — 8 = 592
9. Перестановка сомножителей при умножении.
25 X 7 X 4 = 25 X4 X 7 = 700
10. Округление одного из сомножителей
396 X 3= 400 ХЗ — 12= 1188
11. Умножение на 5, 25 более сложных чисел, чем во 2-й гр.
12. Умножение на 50 четных чисел.
342 X 50 = 342 : 2 X ЮО = 17.100
13. Умножение на 75 и 125.
12 X 75 = 12:4 X 300= 900
56 X 125 = 56 : 8 X 1-000 = 7.000
14. Умножение на 9.
13X9= =13X10 — 13=117
25X9 = 25X 10 — 25 = 225
15. Умножение на 11.
43 X И =4 (7) 3 473
Надо расставить цифры множимого (двухзначного) по краж
а внутри написать сумму (4 + 3) этих цифр.
54 X 11 = 5 (9) 4 = 594
57 X И =5 (12) 7 = 627
В этом случае левая цифра увеличивается на единицу.
— 75 —
16. Умножение на 22, 33, как последовательное умножение на
11 и на 2, 3.
17. Более сложные примеры умножения на 15 четных чисел.
544 X 15 = 544 X 10 4- 2.720=8.160
18. Деление на 6, 15, 21 путем последовательного деления на
2 и 3, на 3 и 5, на 3 и 7.
19. Распространение приемов устного счета на несложные де-
сятичные дроби.
4-я группа.
1. Применение приемов устного счета к десятичным дробям с
целью создания твердой привычки обращаться с ними так же сво
бодно, как и с целыми числами.
Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дро-
бей в уме.
2. Увеличение и уменьшение целых чисел в 10, 10U и 1.000
раз.
3. Увеличение и уменьшение десятичных дробей в 10, 100 и
1.000 раз.
4. Простые дроби. Сокращение простых дробей.
5. Обращение смешанного числа в неправильную дробь и
обратное преобразование.
6. Приведение дробей к одному знаменателю
7. Сложение и вычитание дробей.
8. Умножение и деление дробей.
Вообще все действия над простыми дробями в 4-й группе про-
изводятся по соображению над дробями с несложными знамена-
телями.
9. Нахождение процентов.
10. Превращение простых дробей с знаменателями 8, 3, 9 в
десятичные, пользуясь тем, что 1/s = 0,125; г1з = 0,333;
г/в = 0,111.
11. Использование всех приемов устного счета, накопившихся
у детей от всех лет, для более сложных чисел.
Таков в общих чертах тот материал, который можно предло-
жить детям по группам.
Систематическая работа в этом направлении из года в год
даст требуемые результаты, и дети научатся быстро и свободно
производить в уме вычисления.
— 76 —
При всей этой работе надо помнить, что быстрота счета есть
тоже одна из задач работы этого вида, но было бы большой ошиб-
кой добиваться виптуозности в этом деле.
В заключение я коснусь вопроса о необходимости, помимо
всех перечисленных приемов устного счета, широко использовать
с детьми все виды магических квадратов, арифметических загадок,
математических игр.
Наконец, нужно использовать действия с так называемыми
«интересными числами», обладающими действительно интересны-
ми особенностями.
Для более глубокого ознакомления с вопросом постановки
устного счета в школе I ступени и главным образом для нахожде-
ния достаточного числа упражнений в каждом приеме устного сче-
та я отсылаю интересующихся к следующим книгам:
1. Ф. Мартель Быстрый счет. ГИЗ. 1923 г.
2. Л а нк о в, А. В. Устный счет. Изд. «Раб. проев.». 1925 г.
3. Рачинский, С. А. 1.001 задача для умственного счета.
Изд. 3-е. Петроград. 1899 г.
4. Г о л ь д е н б е р г, А. И. Беседы по счислению 1'13. 1923 г.
5. Воронец. Очерк но методике мате матики в школах 1 ступени.
Изд. «Работн. проев.».
А. Стальное.
л
МЕТРИЧЕСКИЕ МЕРЫ
1. Распределение метрических мер по годам
обучения.
Вполне естественно, что ознакомление учащихся с метриче-
скими мерами должно быть начато в первые же дни после посту-
пления ребенка в школу (с 1-й группы) и итти в течение всех лет
обучения в школе, будучи расположено вполне систематично в
связи с знакомством детей с рядом чисел и понятий. Ясно, что
трудно будет усвоить детям соотношение между километром и
метром, пока не будет им дано представление о тысяче; или стран-
но было бы знакомить детей с квадратным и кубическим метром в
1-й год обучения, а измерение площадей и об’емов проходить с
детьми во 2-й, 3-й годы обучения.
Наиболее целесообразным можно считать такое распределе-
ние изучения метрических мер по группам:
В 1-й год обучения. Метр, килограмм (называя его
«кило»), полкнло, четверть кило, литр, пол-литра; в конце года,
когда дети познакомятся с сотней —сантиметр. Ознакомление
учащихся с этими мерами должно проводиться не отвлеченно, а
на самых мерах—путем измерений. Измерять можно: длину и ши-
рину класса, коридора, школьного здания, школьного двора, пло-
щадки и т. п (конечно, в пределах их умения считать); на весах
можно отвешивать (зерна, песок и т. п.) 1 кило, 2, 5, 3, 6 и т. п.,
определить вес куска дерева и т. п.; литром можно измерять воду.
Важно, чтобы все эти упражнения учащиеся проделали сами,
только тогда это будет и интересно для них и даст более отчетли-
вое представление о мерах; во 2-й половине учебного года, при
ознакомлении учащихся с долями единицы 11-. и llt необходимо
использовать 1 2 кило, ’/4 кило, Ч., литра, как наглядные пособия
для уяснения этих долей единицы; это облегчит детям и понятия о
долях и познакомит чх практически с названными мерами. При
знакомстве детей с сантиметром (в конце, года, когда лети хорошо
— 78 —
знают, сотню) можно рекомендовать измерение самых разнообраз-
ных предметов: книги, крышки столов, окружности головы уча-
щегося, шеи, длины и ширины листа бумаги, тетради и т. п.,. при-
чем предварительно дети считают на самом метре сантиметры,
убеждаясь, что их 100; здесь нужно обратить их внимание на то,
как нанесены эти деления (через каждые 10 сантиметров черта
проходит через всю ширину метра, пятки сантиметров определя-
ются чертой до половины и т. д.). Слово дециметр здесь лучше не
вводить. Очень полезно предложить детям по данному образцу
изготовить из полоски бумаги метр с делениями на санти-
метры.
Во 2-й год обучения. Кроме мер, указанных в 1 году
обучения, вводятся километр, грамм и квадратный метр. Здесь
можно рекомендовать следующие работы с детьми: а) для знаком-
ства с километром указать на знакомом всем детям месте (улица
в городе, расстояние между деревнями, на шоссе и т. п.) расстоя-
ние в 1 километр; лучше это сделать на экскурсии. Измерения с
дегоми целого километра (рулеткой, лентой, цепью, веревкой
и т. п.) производить не следует — это слишком будет утомитель-
но для данного возраста: б) определение на-глаз в километрах
пройденного пути на экскурсии, знакомого расстояния по памяти
и т п. Знакомя детей с километром, следует об’яснить, что слово
«кило» значит «тысяча», отсюда слово «километр» значит «тыся-
ча метров». Когда дети путем взвешиваний на весах мелких пред-
метов познакомятся с граммом и гирями в 1 грамм, 2, 5, 10 и т. п.
(граммовый разновес), указать им полное название «килограмм»
(параллель с километром). Квадратный метр дети усвоят при из-
мерении площади классной комнаты, коридора, участка земли
и т. п.
Здесь же, во 2-й группе, необходимо ввести общепринятую
(конечно, русскими буквами) сокращенную запись знакомых уже
детям названий метрических мер и строго ее придерживаться во
все время обучения, так, чтобы в результате дети имели в этом
полный навык. Они должны твердо усвоить эти обозначения. В сле-
дующих группах сразу после ознакомления учащихся с какой-
либо новой мерой всегда нужно им показывать и ее принятую со-
кращенную запись русскими буквами.
В 3-й год обучения. Вводятся в 3-й группе следующие
метрические меры: дециметр и миллиметр; квадратный сантиметр,
ар и гектар.
— 79 —
Приемы изучения те же, что и в предыдущих группах: дети
знакомятся с мерами по возможности путем непосредственных
измерений. Измерения в дециметрах и миллиметрах детям очень
легко производить в классе на небольших предметах. С аром детей
легко познакомить на школьном дворе, для чего отмерять с ними
квадрат, сторона которого 10 мегров, высчитать с ними, сколько
в аре кв. метров, и тут же можно представить площадь в ар и
иначе—в виде прямоугольника, стороны которого 20 м и 5 м или
25 л и 4 м. На экскурсии можно познакомить детей таким же
способом с гектаром и выяснить, что в гектаре—100 аров.
Кроме того, в 3-й группе следует внимательно пройти соот-
ношения метрических мер между собой, так как здесь начинается
курс десятичных дробей, изучение которых очень облегчается
иллюстрацией метра как целой единицы, дециметра как десятой
доли, сантиметра как сотой и миллиметра как тысячной доли.
Этим способом десятичные дроби становятся для детей более ре-
альными и пегче усваиваются. Хорошо иллюстрировать метриче-
скими мера ли об’яснение действий с десятичными дробями.
В 4-й год обучения. Знакомство детей с кубическим
метром, куб. дециметром и куб. сантиметром; а также вводится
здесь мера веса—тонна. Ознакомление детей с метрической си-
стемой мер в целом и ее историей.
Подбор упражнений для ознакомления с кубическими мерами
не затруднит учителя. После знакомства и упражнений детей с
измерением об’емов надо сказать детям, что куб. сантиметр чистой,
воды весит один грамм, куб. дециметр воды— килограмм и куб.
метр воды—тонна. Здесь же подчеркнуть детям единство метри-
ческих мер и познакомить их со всей системой метрических мер.
После этого весьма уместно будет рассказать детям в самой упро-
щенной форме историю возникновения этих мер.
2. Надо или нет знакомить с русскими мерами?
На этот вопрос можно бы ответить вполне отрицательно, если
бы эти меры были уже совсем изжиты в русской действительности.
Но эти меры еще фигурируют в жизни, и практически школа
не может не затронуть этих мер: она при изучении окружаю-
щего быта столкнется с ними. Вследствие этого школа, поставив
«во главу угла» основательное ознакомление детей с метрическими
мерами, в то же время должна сопоставлять их с теми из прежних
русских мер, без которых еще окружающее население не живет;
причем здесь школа должна дать детям навык легко переводить
русские меры в метрические. Это очень важно для облегчения пере
хода окружающего населения на метрические меры.
Во всяком сдучае школа, не изучая прежних русских мер,
должна научить детей пользоваться таблицами перевода. Это
уместно сделать в 3-й и 4-й группах. Из прежних русских мер
дети должны познакомиться с десятиной (ее соотношение с гек-
таром), верстой (ее соотношение с километром), фунтом (соотн.
с килограммом и граммом), пудом (соотношение с тонной и кило-
граммом) и др. наиботее употребительными теперь мерами.
3. Составные именованные числа в метриче-
ских мерах.
В прежних задачниках нередко можно было встретить в за-
дачах такие составные именованные числа, где имеют место 4 и
даже более названия мер, начиная с километров и кончая милли-
метрами. Невольно подумаешь: где же производились такие точ-
ные измерения расстояний, выражаемых километрами, с точно-
стью до миллиметра? Теперь, когда десятичные дроби вводятся еще
в 3-й группе, совершенно нет необходимости производить действия
с подобными составными именованными числами, их с успехом
можно заменять действиями с десятичными дробями, так как легко
можно выразить составное число в каких угодно одних единицах,
лишь бы ученики предварительно хорошо и наглядно усвоили со-
отношение мер, с каковою целью можно рекомендовать детям из-
готовление мер самими учащимися из бумаги, картона и т. п.
Но отсюда не следует делать вывода, что составные именован-
ные числа и действия с ними можно совсем из’ять из школьной
программы, так как метрические меры не обнимают собой все ви-
ды измерений. Мер времени метрических нет и они не десятичные,
но и здесь, конечно, не следует производить вычисления с числами,
имеющими больше двух наименований. Во всех же метрических
мерах лучше приучать детей составные именованные числа пред
ставлять в виде одного числа и с ним производить требуемые дей-
ствия или, когда это целесообразно, выражать не более как двумя
названиями, напр., в метрах и сантиметрах или в километрах и
метрах и т. п.
JL-fiflyauioe.
ЯВАИЭТЕН |
СОДЕРЖАНИЕ.
Стр.
Предисловие .................................... 3
Об обучении детей математике — Слудский, Знаменский,
Эменов, Стальков, Шелапутина............... 5
Об использовании математики в комплексных темах—Э м е н о в . 38
Дроби—Пав л и ков ский......................... 45
Устный счет-Ст а л ь к о в..................... 68
Метрические меры—Б ал а ш о в.................. 77
2