В. А. ИГНАТОВ
ТЕОРИЯ
ИНФОРМАЦИИ
И ПЕРЕДАЧИ
СИГНАЛОВ
GJ,A. 3<3
V\ ~ь
Утверждено УУЗ МГА СССР в качестве учебника
для студе1-1,тов вузов гражданской авиации

ББК 32.81
И26
УДК 621 ..391
Игнато11 В. А. Теория информации и передачи сигналов: Учебни к д.л.11 ву­
зов. - М.: Сов. радио , 1979.
-
280с.сил.
Снстематнзированно излагаются основные положения теории инфо р мации и
передачи сигнаJiов, дана общая ха рактеристика з адач этой теории . Приводятся
методы математи,1еского описания сообщений, сигналов , помех и кана лов связи,
методы у пра влеиин информационными параметрами сигналов, инфор мационные ·
характернстикн источников сообщений, сигналов, помех и каналов, по мехоустой­
чивость передачи дискретных и непрерывных сообщений, корректирующее коди­
рование. Рассмотрены пр1и-щипы у плотнения линий связи, оце нкн и п овыше ния
эффективности передачи информации , особенности упра1ЗJ1ения ни ф ормацион ­
ными потоками в сетях. В каждом разделе формулируются контр ольные во ­
просы II выводы, приводятся численные примеры, способствующие лучше му
усвоению материала.
Книга нвляется учебником ДJJЯ студентов радиотехшР1еских ф а~,уJJыетов
вузоо гражданской авиации. Она может быть использована студента ми других
~;;узоо н специалистами в области электросвязи, техничес1<0й 1шбе рнетики v
nыч исл11тельноi1 техншш.
Табл. 1О, р11 с . 66, (i116. :1. 18 на :т.
Рецензенты: кафедра авшщионно ii связи Рижс1{ого института ; 1;-;ж ~нероrэ
гражданской авиации (з аведующий кафедрой канд . техн. наук В. А. А наси мов);
докт. техн. 11аук проф. В . И. Васильев (Московский 11-нстнтут ннжене р01; граж ­
дансн,ii авиаци и).
Редакция литературы по вопросам к. осмической радиоэлектрони ~t!
ИЗ0401 - 047
046(01)-79
47-79 )502000000
© ИздатеJ1ьство «Сове тс 1<0е рад11 0» , J979 r.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учеб ник по курсу «Теория информации и передачи сигналов»
предназна чен для студентов, которые специализируются в области
техни чес кой эксплуатации наземного и бортового авиационного
радио об орудования. В основу учебника положены лекции, читае­
мые авт ором студентам радиотехнического факультета Киевского
1шститута инженеров гражданской авиации.
В учебнике систематизировашю излагаются основы теории
анал иза, синтеза и оптимизации таких объектов информационной
техники , как системы и сети электросвязи, информационно - изме­
рите льн ые системы и комплексы, вычислительные системы и ком­
плек сы, информационно-логические системы, подсистемы инфор­
маци ошюго обеспечения автоматизированных систем управления
и т . п. Информационные системы различного назначения широко
прим еня ют в гражданской авиации для выполнения важных и
ответс твенных функций по обеспечению безопасности и регуляр­
ности п олетов. Поэтому курс «Теория информации и передачи
сигна ло в» является одним: из основных при подrотош<е радиоип­
,1,сн еров гражданской авиации.
Пр и написании учебника учтены опыт и методика изложения
материалов всех учебников этого направления. Автор признателен
!Н. Д. Босому/, С. М. Пауку, В. С. Козлову, Э. А. Корнильеву, со­
веты кот орых способствовали улучшению Iшиги. Большую помощь
автору в работе над учебником оказали В. М. Чуприн, М. И. Лу­
юrн а , В. Н. Юдин, И. Ф. Шевченко, А. N1. Николенко. Автор выра­
жает бл агодарность рецензентам В. И. Васильеву , В. А. Анисимову,
А. Н . Лев ину за полезные замечания.

ВВ·Е'ДЕНИЕ
В . 1. Предмет, место и· роль теории . информации и передачи сиг­
налов. Научно-технический прогреос сопровождается интенсивным
ростом объемов информации, необходимой для управления про­
мышленностью, сельским хозяйством, транспортом и другими
отраслями народного хозяйства . Об этом можно судить, к приме­
ру, по увеличению объема информации, связанной с работой
современного аэропорта гражданской авиации, которое пропор­
ционально квадрату увеличения объема перевозок [8].
Важную роль в решении задач, поставленных XXV съездом
КПСС, намеченных в Программе КПСС и сформулированных
в Постановлениях партии и правительства, играют такие виды
передачи информации, как радиовещание, телевидение, телефония,
факсимильная связь, передача данных, в частности, в распростра­
нении научных, технических, экономических и культурных знаний;
в удовлетворении потребности людей в общении.
В теории · информации и передачи сигналов под инфорл1,ацией
понимают совокупность сведений о каких - либо событиях, ·процес­
сах, объектах, явлениях и т. п., рассматриваемых в аспекте их
передачи в пространстве и во времени [ 17]. В более общем смысле
«информация - это содержание связи между материальными
объектами, проявляющееся в изменении состояний этих объектов»
[ 17]. «Информация выступает как свойство объектов порождать
многообразие состояний, которые посредством отражения пере­
даются от одного объекта к другому...» [18].
Информацию передают в виде сообщений. Сообщением назы­
вают информацию, выраженную в определенной форме и предназ­
наченную для передачи от источника информации к адресату.
Примерами сообщений служат тексты телеграмм и фототеJ,е•
грамм, речь, музыка, телевизионное изображение, данные на
выходе ЦВМ, команды в системе управления воздушным движе­
нием и т. д. Отправителями и получателями сообщений могут
быть как люди, так и технические устройства, которые накаплива­
ют, хранят, регистрируют, преобразуют, передают и принимают
информацию.
Сообщения передают с помощью сигмалов - материальны х но­
сrпелей информации. Сигналом может быть любой физический
процесс, параметры которого могут отображать сообщение. Основ­
ными сигналами, которые рассматривают в теории информации и
передачи сигналов, являются электрические сигналы. Однако ме­
тоды этой теории применимы и к другим сигналам, например гид­
роакустическим и оптическим.
Предметом теории информации и передачи сигналов является
и зу чение процессов накопления, и з мерения, переработ к и, хранения,
4

nреобразования, передачи и приема информации. В узком смысле
пре;:~,метом теории информации и передачи сигналов считают изу­
чение тех процессов, ,которые имеют место при передаче информа­
ции на расстояние посредством электрических сигналов.
Теория информации и передачи сигналов тесно связана с тех­
нической кибернетикой. Важными идеями кибернетики, как извест­
но, являются идея о наличии обратной связи в живых и неживых
системах, идея о передаче информации и идея об автоматических
вычислительных машинах, способных выполнять функции, ана­
логичные мышлению человека. Идея о передаче информации явля­
ется одной из центральных идей кибернетики. Управление процес­
сами без получения и обработки информации невозможно, а полу­
чение информации без цели управления в большинстве случаев
бессмысленно. Следовательно, понятия управление и информация
неразрывно связаны. В кибернетике большее внимание уделяется
проблемам управления, а в теории информации и передачи сигна­
лов - проблемам передачи информации.
Высокие требования к качеству передачи информации особен­
но характерны для систем гражданской авиации, которая явля­
ется одной из быстро развивающихся отраслей народного хозяй­
ства. В настоящее время все большие средства вкладываются в раз- .
витие производства и интенсивной э:ксплуатации авиационной тех-·
ники, строительс тво и реконструкцию крупных международных и
магистральных аэропортов, систем межконтинентальной и ближ:­
ней навигации, аэ1ровокзальных 1комш1ексов, высокопроизводитель­
ных погрузочно-разгрузочных систем, автоматизированных систем
управления с использо·ванием ЦВМ и т. д. Непрерывно растут
скорости, интенсивности, высоты, дальности полетов воздушных
судов гражданской авиации.
За последние тридцать лет на порядок увеличилось 1количест­
во приборов для контроля и управления полетами самолетов, в
2-3 раза сократилось время для принятия и ,выполнения ,решения
на борту самолета. Усложнился и возрос темп радиообмена с зем­
лей.
Наблюдаются следующие основные тенденции развития инфор­
мационной техники гражданской авиации: расширение областей
применения и выполняемых функций, освоение новых диапазонов,
усиле ние взаимосвязей между отдельными видами информацион­
ных систем; увеличение удельного веса устройств обработки инфор­
мации на борту; повышение сложности систем наряду с ростом
требований 1к качеству их функционирования; повышение требова­
ний к квалификации радиоинженеров; системный подход к ана­
лизу, синтезу и оптимизации объектов информационной техники на
основе вероятностных и статистических мето,дов.
Курс «Теория информации и передачи сигналов» является осно- .
вой для развития инженерных методов · расчета и проектирования .
конкретных объектов информационной техники в специальных
курсах, поэтому значение и роль этой дисциплины в системе под­
готовки радиоинженеров трудно переоценить.
5

В.2. К.'lассификация объектов информационаой техники. По
функцио нальному признаку можно выделить следующие основные
классы объектов информацио н ной тех н ики :
-
се ти и системы электросвязи (телеграфные , телефонные, те­
.11евизпо нные сети и системы, системы радиовещания, системы пе­
редачи данных и т. п.);
-
информационно-изме р ительные системы и Е:омп л ексы (ра ­
диолока циоюrые, радионавигационны е, радиотехнически е системы
автом атюiеского самолетовождения, радиотелеметрические и т. п.);
-
системы преобразования информации (цифровые и анало ­
говые вычислительные машины, аналого-цифровые и цифроанало­
говые преобра з ователи и т . п.);
--
подсистемы информационного обеспечения автоматизирован­
ных с истем управления;
информационно - поисrювые системы;
-
системы хранения информации;
--
сети и системы экспериментального наблюдения пли иссле -
дован ия (астроном1Р1 ески е , физнческне, мед ицинские и т . п.).
1 i1 t:7il)~ 'Jf/lK
j COflrJJ,Цt,=:!JiJ
A(t) ~,
·
1s(t) 1 Л11ниr
••
rщ1еiJаючuк • 1 c OлJu
-
--~
Приемник
t(t)
Нста ч.чик п(тсх
Рис. B. l . Структурнап схема одноканальной системы передачи инфор ­
ыащm
Наи большее развитие методы теорнн информации и передачи
сигналов получили для анализа и синтеза систем электросвя з и,
та к к ак именно с задач анализа простейших систем электросвязи
началас ь сама тео ри я ин ф ормации. Это направление теории инфор ­
Мi:lц 1111 11 перед,Р1н с11гналов называют статистической теорией свя ­
зи . В настоящее время методы теории информации и передачи
с11гнаJ10в все более успешно применяют для анализа и синтеза и
д р угих объеr,тов информацио нн ой техники.
В.3. Цель, задачи и методы теории информации и передачи сиг­
н аJюв. Для рассмотрения цели, задач и методоБ теории информа­
ции и передачи сигналов используем обобщеаные операторные
уравне ния передачи и обработ1ки информации в однокана Jr ьных и
многок анальных системах, информационных узлах, сетях распре­
деления, накопления и передачи инфо.рмации.
Простейшая структурная схема одноканалыюй системы пере­
дачи информации в одном направлении представлена на рис. В . 1.
Исходн ое сообщение А (1t) с выхода исто ч ника сообщений поступа­
ет на вход передатчика, назначение которо г о - преобразовывать
сообщения в электрические сигналы s U), удобные для передачи по
линии связи. PoJiь лшиtи. связи. может игра ть любая физическая
6

с реда (воз;дух, вода, провода и т. п.), способная проп ус кать сиг ­
на лы. В приемнике принятые из линии связи электрические сиг­
налы z(,t) преобразуются в копии сообщений В (t), передавае мые
получателю сообщений. Копия сообщения В (t) в той или иной
ме ре соответству ет оригиналу А (,t).
Искажения сообщений в з начительной степени обуслов :те ны
по мехой ~ (t). Под помехой понимают все те воздействия, которые
искажают передаваемые сигналы и приводят к тому, что приня тые
с игналы z (t) отличаются от переданных s (t). Совокупность пере ­
да тчик , приемник, лив-ия связи с источником помех - назыв аю т
1<а налом свя з и. Источни,1< сообщений, канал свя з и и пол у ча тель
сообщений образуют одноканальную систему передачи и.ч.форма­
ции (СПИ).
Для вывода обобщенного операторного уравнения, описы ваю ­
щего функционирование одноканальной СПИ, последоват ельно
рассмотрим I<ош<ретные операции преобразования сообщен11 й н
си гналов, которые имеют место, например, при передаче тел е гр аф ­
но го текста по проводным каналам связи. Сообщение А (t) в виде
те леграммы поступает на вход передатчика, который выполняет
оп ерацию кодирования (см. § 1.6) . При 1кодированип пос,1едова­
тель ность букв и цифр преобразуется в последоват ельно с ть эле1< ­
трических импульсов s(t) . Характер s(t) опре~деляетсн видом кода .
Следовательно, в результате кодирования получают электрич ес~кий
си гнал s(t)=K[A(t), sк), где Sн-вектор, компонентами кото рого
являются элементарные кодовые сигналы .
При передаче последовательности импульсов s (t) 110, ,1 1нши
св язи они искажаются из-за воздействия помехи ~ (,t). Эту опера ­
цию воздействия помех на полез ный сигнал обозначим через L,
тогда сигнал на входе приемника можно предсташпь так : z (t) =
=L{K[A(t), Sк], ~(t)}.
После декоди,рования D приемником принятых сигналов nолу ­
"!а ют коттию сообщенv;я
B(t)=D[z('f)]=D{L[K[A(t) , sк], s(t)]}.
(В.1)
Уравнение (В . 1) описывает функционирование одноканальной
С ПИ в операторной форме. Как ,видим, дл я анализа и синтеза
даже простейших одноканальных СПИ необходимо уметь мате­
м атически описывать сообщения, сигналы, помехи , а таюке и раз ­
личные операции преобразования сообщений и сигналов (см. При­
ложение).
Перейдем к рассмотрению операторного уравнения для много ­
кан альной СПИ . Многоканальная СПИ - это совоку пность техни ­
ческ и х устройств, обеспечивающих одновременну ю и взаим н о не ­
зави симую передач у по одной общей линии связи сообщенпй от
м ногих отправителей [8]. Структурная с хе ма многоканал ьной
СПИ с частотным разделением сигналов предста,влена на рис. В.2.
В результате кодирования сообщения в i-м канале 11 моду.1я1Iин
на выходе i-го передатчика образуется сигна л
s;(t)=M;{/(;[A;(t) , s1,;], х;},
7

rде Xi - поднесущая, используемая при модуляции. Канальны~
сигналы si ('t) посту п ают в устройство уплотнения линии связи,
где в соответствии с оператором уплотнения ,И из них и несущей
х образуется многоканальный линейный сигнал s(t)=U[si(t), х].
В линии сигнал s (,t) взаимодействует с помехой s(t). В резуль­
тате сигнал на выходе линии связи z(t)=L[s(i), s('t)]. Из сиг­
нала z (t) устройст,во разделения канальных сигналов в соответст­
вии с оператором разделения ,U-1 выделяет принятые канальные
сигналы Zi (t). Демо1дуляция Dмi и декодирование Dк,i сигнала
zi ('t) приемником позволяют получить копию Bi (t).
Рис. В.2. Структурная схема многоканальной системы передачи ин­
формации
Операторное уравнение, описывающее в целом работу много ­
канальной СПИ, имеет 'Вид
Bi(t)={Dкi[Dмi[U- 1 [L[U[Mi[Ki[Ai(t),sкi], xi], х], s(t)]]]]}. (В . 2)
Следовательно, при анализе и синтезе многоканальной СПИ необ ­
ходимо уметь .математически описывать сообщения, сигналы, по­
мехи и не менее семи операций преобразования сообщений, сиг­
наJюв и помех .
Узел свя з и (информационный узел) предназначен для приема,
хранения, преобразования и передачи информации, является еще
более сложной системой. Помимо приемных и передающих
устройств многоканальных систем, он соде,ржит специализирован­
ные ЦВМ, выполняющие операции выбора кратчайшего пути
( Vп), соблюдения системы приоритетов (Рпр) и накопления инфор­
мации (N,ш) 'ПРИ отсутствии свободных I<аналов. На рис. В.3 по ­
казана упрощенная структурная схема информационного узла в
режиме приема линейного сигнала по j-й линии связи и передачи
линейного сигнала по k - й линии связи информационной сети.
Индексом j помечены входные характеристики информационного
узла, а индексом k - выходные, т
-
число каналов ,в j- й линии
связи, q - число каналов в k-й линии связи.
Принципиальной особенностью информационно го узла являет ­
ся то, что он выполняет сложные логические оп ерации типа Vп,
Рпр и Nин, реализовать которые можно на элементах цифров~й
электронной вычислительной техники. Эти операции формально
описываются на языке теории алгоритмов, поэтому для анализа
8

и синтеза информационных у.:.::лов необходимо применять методы
э т ой теории. Здесь, как видим, :v:етсчrы теории информации и пере­
да чи сигналов тесно переплеrа,огс~ с методами вычислительной
т ехники.
Сеть электросвязи (сеть распределения, накопления и перЕ,дачи
и нформации) является еще более сложным объектом информаци ­
о нной техники. Она предста·вляет конечную совокупность инфор ­
м ационных узлов, соединенных линиями связи. Описывать такие
Рис. В.3. Упрощенная структурная схема информаuнонного узла
с ети удобно с помощью графов. На рис. В.4 по1казан пример графа
информационные сети. Вершины графа Ui, i = Гrr,' отражают
информац ион ные узлы, дуги - линии связи, через Щj,
~ ji обозначе­
ны вектор-параметры линий связи, координатами которых являют­
ся пропускная способность, интенсивность потока сообщений, сто- ·
и мость и т. п. Стре л ки указывают направления передачи инфор-
мации.
•
Информационную сеть обычно рассматривают ка~, сетевую сие~
т ему массового обслуживания [ 18], поэтому основными мето,дами
а нализа и синтеза сетей явля -
ются методы теории графов и
т еории массового обслужива-
1ш я [ 18]. Организация опти-
м алы-юго управления потоками щ
и нформации -в сетях требует
п ривлечения методов теории
оп тимального управления [ 18] .
. Рассмотрение
объектов ин ­
формационной техники и опе­
рат орных у равнений, о п и сы­
Рис. В.4. Граф информационной с ет и
ва ющи х в общем виде и х работу, позволяет сформ ул и ровать
ос 1ювную цель теории инфор.мации и передачи сигналов - созда ­
н ие общих теоретических принципов и методов статистического
ан ал иза, синтеза и оптимизации объекто в информационной тех ­
шгки.
Сущность задач анал иза заключается в том, что необходимо
о пределить, как влияют структура и параметры тех или иных из­
ве с!1rых операторов преобразований, сообщений, сигналов и помех
9

на характе ристики качества передачи информации. Сущность за­
дач синтеза заключается в том, что необходимо найти такие струк­
туры и па,раметры . операторов преобразований, сигналов, которые
обеспечивают требуемое качество передачи информации. Если
обеспечивается экстремум функционала качества, порождаемого
этими операторами, то решается задача оптимального синтеза: вы­
б ора оптимальной структуры или оптимальных параметров опера­
торов. Тогда говорят о структурной или парамет,рической оптими -
зации синтеза объекта.
•
Операторы реализуют с помощью аналоговых и дискретных
функциональны х преобразователей электрических сигналов. По­
этому задачи анализа, синтеза и оптимизации сводятся к анализу,
синтезу и оптимизации структурных схем или параметров этих
преобразователей. Определения преобразования, оператора, функ­
ционала и других, используемых в дальнейшем понятий функцио­
нально го анализа даны 1в Приложении.
Теория информации и передачтт сигналов достигла такого уров­
ня развития, что уже позволяет решать зада чи анализа, синтеза
и оптимизации относительно простых информационных устройств
и систем, таких как приемники, передатчики, модуляторы, демо ­
дуляторы, кодеры, декодеры и др. [6, 7, 12, 13, 18]. Методы опти­
мал ьного синтеза объектов информационной техники интенсивно
раз виваются на основе системного подхода [18], позволяющего
у читывать не только техничеси;ие, но и экономические их характе­
р нстики.
Основными классами задач теории информации и передачи сиг-
налов являются:
1. Анализ и синтез сигналов и помех.
2. Анализ и синтез каналов передачи информации.
3. Анализ информационных характеристик источников сообще­
ний, сигналов, помех и каналов.
4. Анализ и синтез пом ехоустойчивых методов передачи инфор­
мац ии.
5. Анализ и синтез корректирующих кодов (кодов , обнаружива­
ющих и исправляющих ошибки).
6. Создание общих методов анализа и синтеза кон1кретных объ­
ектов информационной техники различных классов (см. п. В.2).
В теории информации и передачи сигналов используют методы
фун кционального анализа; теории вероятностей и математической
стати стики; теории случайных функций и случайных процессов; ста­
тистическ ой радиотехники; теории оптимальных статистических ре­
шений; математического программирования (методы отыскания
экстрему мов функций и функпионалов при наличии ограничений)
и др. [1-16] .
Следовательно, теория информации и передачи си гналов носит
Еомплексн ый характер, ее изучение требует хорошей математиче­
· сr<ой подготовки.
В.4. Связь теории информации и передачи сигналов с другими
дисцн пJшнами. Теоршr информации и передачи сигналов излагает-
!,О

с я на основе знаний, полученных студентами при изучении в ыс шей
математики, физики, теории вероятностей и математической ст ати­
"rики, ращиотехнических цепей и сигналов, статистической радио­
т е хники, радиопередающих и радиоприемных устройств, вычисли-
т ельной техники, импульсных устро&'rств и других дисциплин.
В свою очередь, она СJ1ужит теоретическим фундаментом для
11 зучения таких дисциплин, как теория сетей электросвязи, си ст емы
:мектросвязи, теоретичеокие основы радиолокации, теоретические
основы ради:онавигации и управления воздушным движением, сис­
темы и устройс тва связи аэропортов, системы прово1дной связи, сис­
темы радиосвязи, системы радионавигации и радиолокации аэро­
портов гражданской авиации, связное оборудование летательных
аппаратов; оптимал1,ные сети связи и ряда других.
Поэтому курс «Теория информации и передачи сип1а Jюв » явля­
ется одним из фундаментальных в подготовке радиоинженеров
гражданокой авиации.
В.5. Основные этапы развития теории информации и передачи
сигналов. ПеР'выми фундаментал:ыными иеследования:ми, по сущест­
ву породившими теорию информации и передачи сигналов, являют с я
работы В. А. Котельникова по оптимальным мето1дам приема сигн а ­
лов на фоне помех (1946 г.) и работы К. Шеннона по обоснованию
строгого измерения количества информации и оптимальным спосо­
бам кодирования, обеспечивающим предельно достижимые ско­
рость передачи информации по каналам и вероятность появления
ошибок (1948 г.).
Однако элементы теории инфqрмации и передачи сигналов уже
рассматривались в некоторых более ранних работах Р. Хартли п о
измерению количества информации (1928 г.), В. А. Котельников а
о пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвя з и
(1 .933 г.), Д. В. Агеева по основа,м теории линейной селекции сиг ­
налов (1935 г.) и других авторов .
Дальнейшему развитию теории передачи информации способ­
ствовало появление адеrшатного реальным процессам математич е ­
ского аппарата теории случайных функций и теории статистич ес кн х
решений. Этот аппарат позволил установить строгие колич е ст в е н ­
ные соотношения в теории передачи информации и сделать е е то ч­
ной наукой. К концу 40-50-х гг. уже были хо,рошо известны ст ав ··
шие классическими работы А . Я. Хинчина ( 1938 г.) по теории ко р­
реляции стационарных случайных функций, Н. Н. Колмогоро в а
(1941 г.) и Н. Вивера (1949 г . ) по интерполированию и экстра п о ­
л яции стационарных случайных последоват ел ьно сте1\ А . В альда
(1950 г.) по статистичесюrм р е шающим ф у н к ци я м.
По мере роста числа статей по теории информаци и и пер еда чи
сигналов и числа специалистов, применяющи х ,верояпюстны е и ст а­
т_истические методы в таких задачах, как переда ч а и н ф ормац ии, ав ­
томатическое управление, радиотехничеоких и других, росло и ч и сл о
монографий, книг и учебников. Впервые монографии в этой обл а­
сти появились в 1957 г. (Левин Б. Р. Теория случайных процессов
и ее применение в радиотехнике, Пугачев В. С. Теория случайны х
11

функций и ее применение к задачам а,втоматического управления).
В США в 1958 г. появилась монография В. Б. Давенпорта и
В. Л. Рута «Введение в те,орию случайных сигналов и шумов» ,
в 1960 г. -двухтомная монография Д. Миддлтона «Введение в ста­
тистичес,кую теорию связи». Позднее вышли в овет и учебники по
теории передачи сигналов М. В. Назарова, Б. И. Кувшинова и
О. В. Попова ('1970 г.) , А. Г Зюко и Ю. Ф. Коробова (1972 г.),
Д. Д. Кловского (! 973 г.), а также написанный с современных по­
зиций учебник И. С. Гоноровского «Радиотехнические цепи и сиг­
налы» (1976 г.).
Основными разделами теории информации и передачи сигналов •
вначале были теория структуры сигналов, теория информации и
теория помехоустойчивости . По мере дальнейшего развития теории
и получения новых результатов в таких направлениях, как мате мз ­
тичесrкое описание каналов передачи информации, создание мето,дов
помехоустойчивого и эффективного кодирования, уплотнения линий
связи, распределения, на~юпления и ,передачи информации в сетях,
а также внедрения методов теории информации в информационно­
измерительную технику, 'Все большее внимание уделяется вопроса!vl
системного оптимального синтеза объектов информационной техни­
ки. В настоящее время эти направления находятся на переднем ру­
беже научных исследований [5-16, 118].
Значительный вклад в развитие отдельных разделов теории
информации и передачи сигналов внесли А. Н. Колмогоров,
А. Я. Хинчин, В . А. Котельников, А. А. Харкевич, К. Шеннон,
Н. Винер, Д. Миддлтон, Р. М. Фано, У. Питерсон, Р. Л . Добрушин,
Л. Ф. Бородин, Д. Е . Вакман, Л. М. Финк, Л. С. Гуткин,
Б. Р . Левин, С. Е. Фалькович, Р. Л. Стратонович, А. Г. Зюко,
Н. Л. Теплов, Л. П. Пуртов и многие другие ученые.
В.6. Архитектоника учебника и методичес1ше указания по его
использованию .. Учебник включает предисловие, введение, десять
глав основного текста, заключение, список' литературы, Приложение
и предметный указатель . Все разделы глав включают численные
примеры и сопровождаются контрольными вопросами. Отличитель­
ной особенностью учебника является наличие гл. 1, 9, 10. Назна­
чение гл. 1- подготовить читателя к систематизированному вос­
приятию курса «Теория информации и передачи сигналов», а 9 и
10 глав - для восприятия курсов по многоканальным системам и
сетям связи. В этих главах дается общая характеристика и обсуж­
даются взаимосвязи основных задач теории информации и передачи
сигналов, теории многоканальных систем и теории сетей электро­
связи. Такая архитектоника обусловлена соображениями методи­
ческого характера. Для первого чтения студентам, а также тем ли­
цам, которые не специализируются в области передачи информации,
а хотят иметь лишь общее представление о теории информации и
передачи сигналов, достаточно ознакомиться с Приложением, пре­
дисловием, введением, гл. 1, 9, 10, выводами гл. 2-8 и заключе­
нием. Этот :же материал рекомендуется для установочных лекций
студентам заочного обучения.
12

Указанные материалы создают у читателей необходимые общие
пр едставления о задачах и методах теории информации и передачи
с игналов, теории многоканальных систем, теории сетей электросвя­
з и . Выводы ,к главам позволяют, во-первых, более четко системати·
з ировать эти представления, во-вторых, дают возможность студен­
та м приобщаться 'К творческой переработке информации и само­
ст оятельно делать кра11кие выводы по изучаемым разделам курса,
чт о полезно при использовании других учебников и при работе с на­
учно-технической литературой, и, в-третьих, выводы вместе с при­
ме рами и контрольными вопросами помогают студентам проверить,
насколько усвоен материал.
Выбранная методика изложения приводит к определенной
из быточности. Однако опыт показывает, что на это идти целесооб­
р азно, так как существенно повышается эффективность обучения.
Материалы гл. 2-9 рекомендуется использовать в той или иной
м ере в лекциях, на практических и лабораторных занятиях в со­
от ветствии с конкретными рабочими программами кафедр. Они
также необходимы студентам при самостоятельном углубленном
из учении курса.
Контрольные вопросы
1. Дайте опре д еление понятия информации.
2. Что такое сообщение?
.З. Какая связь сущест,вует между сигналом и сообщением?
4. Определите предмет теории инфор,мации и nередачи сигналов .
. 5. Каковы основные тенденции развития информационной техники гражданской
авиации?
•б. Как классифицируют объекты информационной техники по функциональному
признак.у?
7. Как составляют операторные у равнения, описывающие работу систем пере­
дачи информации? Запишите и поясните опер а торное уравнение для однока­
нальной системы.
'8. Что понимают под линией, каналом, системой передачи информации?
9. Укажите основную цель теории информации и п е редачи сигналов?
'1О. Назовите основные задачи теории информации п передачи сигналов.
11. В чем сущность задач анализа н синтеза систем передачи информации?
. 12. Какие ,методы использует теория инфор,мации и передачи сигналов?
13. Как связана тео.рия информации и передачи сигналов с другими дисципли­
нами?
а 4. Укажите о-сновные этапы раз.вития теории информации и пермачи сиг­
налов.

Глава 1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИНФОРМА ЦИИ
И ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
1.1. МАТЕМАТИ Ч ЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СООБ Щ ЕН ИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
Сообщения и соответствующие им сигналы могут быть дискрет­
ными ИJ,IИ непрерывными. Дискретное сообщение представляет ко­
нечную последовательность отдельных символов (букв), дJJитель ­
ность этой последовательности ограничена . Типичным пр и мером
дискретного сообщения является телеграмма. Дискретные сообще­
ния хара1ктерны д~я телеграфии, передачи данных и тел еметри и.
Для преобразования дискретного сообщения в сигнал необ ходимо
выполнить, ка1к уже отмечалось во введении, операцию кодирова­
ния сообщения (см.§ 1.6).
Непрерывное сообщение описывается непрерывной функцией
.времени. Примерами непрерывных сообщений служат реч ь, музы­
ка, телевизионное изображение. С помощью специа.т~ьных устройств
непрерывные сообщения преобразуются в электрические непрерыв­
ные сигналы. Например, если сообщением служит речь, то микро­
фон преобразует звуковые колебания воздушной среды в электри­
ческие колебания. Электрические сигналы передаются в место при ­
ема или служат модулирующим сигналом д.т~я высокочас тот ного
колебания.
Сущест,вуют системы электросвязи, предназначенные для пере­
дачи непрерывных сообщений дискретными методами. В этих си­
стемах непрерывные сигналы, соответствующие непрерывн ым со­
общениям, с помощью операций диокретизации во времени и кван­
тования по уровню (ом. § 3.6) преобразуют в дискретные, которые
затем передают дискретными методами. В месте приема из приня­
тых дискретных сигналов восстанавливают переданные непрерыв­
ные сигналы .
При математическом описании сообщений формирование дис­
кретных сообщений рассматривают ,как последовательный сдучай­
ный выбор того или иного символа из алфавита источника со об ­
щений, т. е . как формирование с.;rучайной дискретной последова­
тельности. Формирование непрерывных сообщений рассматриваю т
как ,выбор реализаций непрерывной случайной функции . Поэтому
о,сновными математическими моделями дискретных сообщений яв­
ляются дискретные случайные последовательности, а непрерывны х
сообщений-непрерывные случайные процессы [15]. Построение
14

математических моделей сообщений осуществляется вероятност-
11 ы ми методами, а оценка параметров моделей выполняется мето ­
J tами м атематической статистики.
Мате,и атической моделью называют систему математических
соотно шений, описывающих изучаемый процесс или явление. По­
проен ие математических моделей называют iМатематическим моде­
щrрова нием [18]. Для моделирования выбирают подходящие ма­
темати ческие средства - алгебраические, дифференциальные или
ннтеrра лыrые уравнения, теорию множеств, функциональный ана­
лиз. математическую логику, теорию вероятностей, теорию случай­
rrых про цессов и др . Математическими моделями электрических
сигн&ло в, отображающих сообщения, и ·помех также явля·ются слу­
ч айные последовательности и процессы, поэтому математическое
описан ие как полезных сигналов, так и вредных (по;мех) осуществ­
ляется од ними и теми же методами .
В о снове математичеокого описания сообщений, сигналов и по­
мех ле жат методы теории ,вероятностей, теории случайных функ­
ци й и математической статистики. Целью мате.матического опuса-
1-шя явл яется разработка математических моделей сообщений, сш­
на.rюв и помех, необходимых для анализа, синтеза и оптими за ции
объекто в информационной техники . Математические ,модели позво­
.rrяют а нализировать свойства сообщений, сигналов и помех, а так­
же син тезировать сигналы с требуемыми свойствами.
Все реальные сигналы и помехи являются случайными. Несмот­
ря на эт о, в теории информации и передачи сигналов находят при­
менение в качестве простейших моделей сигналов ·и помех несл у­
чайные процессы, полностью известные в любой момент времени.
Такие процессы называют ,детерминированными, их можно рас­
сматр ив ать как вырожденный класс случайных процессов, значе­
ню~ ко торых в любой момент времени известны с вероятностью,
ра в ной единице. Детерминированные процессы обычно используют
J (ат, модели уз:~шполосных сигналов ~переносчи~ков и помех, случай-
11 ы е п ро цессы - как модели полезных сигналов, шумоподобных,
узкоl1ол осных и широкополосных сигна.110в-переносч1шов и помех,
модулир ованных сигналов .
Физи ческими характеристиками сигналов являюто1 длитель­
ность Т, ширина спектра -ЛF с, динамичес~шй диапазон д=
=l0i g(,9J/N) и более общая характеристика-объем сигнала:
Vс=ТЛFсд-
(1.1)
Длител ьность сигнала определяет время его существования, шири­
на сие кт ра - диапазон частот, 'В котором сосредоточена основная
энергия сигнала. Динамический .диапазон характеризует отноше­
ние на ибольшей мгновенной мощности сигнала (.9\,rанс=,9')) к наи­
м еньше й (,9J,шн), допустимое значение которой определяется мощ­
ностью помех ,9Jп(.9'мюr~,9Jп)- Эти х арактеристики сигналов полез­
ны при определении требований, предъявляемых к каналам связи.
Нап ри мер, для неискаженной передачи сигналов емко сть кана ,1;:~
{см .. § 1.3) должна быть не меньше объема сигнала .

Важной характеристикой сигналов является также база
v=2T,ЛFc.
(1.2)
Если v~l, то сигналы называют узкополосными (простыми ).
Если v » ·I, то - широкополосными (сложными).
Сущность большинства задач анализа реальных сигналов за­
ключается в том, чтобы эти сигна,1:t.ы, которые в большинстве слу­
чаев являются сJюжными, ПJ2.~АQ'_q_~ить ,в вид~_QJJ__Q_К.ушю.с..nL.-Щ)О-
,----- ~
,,
стых элементарных сигналов, удооном для последующего анализа
и1ГпрохоЯ(Дения через те или иные цепи. Например, реальный сиг­
нал может быть представлен в виде суммы ортогональных состав­
ляющих (элемента,рных сигналов)
со
s(t)= ~ ako/k(t), tЕ[tl't2],
(1.3)
k=O
бесчисленным количеством способов (см. § 2.1). Интервал [.f 1, f2]
показывает вр емя действия сигнала. Так как система ортогональ­
ных функций {1/Jk (1f) }, применяемая для разложения, заранее из­
вестна, то сигнал полностью определяется набором весовых коэф­
фициентов ak, k=O, 1, 2, ..., для этих функций. При приближенном:
представлении сигналов, что всегда имеет место в инженерной
практике, набор чисел {ak} конечен . Такие наборы чисел называют
спектрами сигналов [8].
Спектры, как известно из теории радиотехнических цепей [7].
являются удобной аналитической формой предста,вления сигналов
в рамках линейной теории. Основная задача - правильный выбор
системы ортогональных функций (базиса), удобной для последую­
щего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и ка­
налы связи. Таким образом, задачи анализа сигналов (анализа
формы сигналов, их внутреннего строения; взаимосвязи элементов.
и т. п.) решают не отвлеченно, а, ка,к правило, с точки зрения их
прохождения через устройсгва передачи информации и спо.собно­
сти передавать информацию и т. п.
Для детерминированных сигналов наибольшее распространение
получили методы спектраль1юго анализа, использующие преобра­
зования Фурье. В этих методах в роли '\jJ1, (t) выступают гармони­
ческие функции, а роль коэффициентов ak играют амплитущы гар­
моник. Для случайных сигналов наибольшее распростр а нение полус
чили метощы корреляционного и спектрального анализа , основанные
на пр еобразо в ании Хинчина- Винера (см. § 2.3). Эти пре­
образования являются результатом распространения метода Фурье
на случайные процессы. При разложении случайных процессов ко­
эффициенты ak являются случайными ,величинамi1, а оптвмальные
б азисы определяются через корреляционные функции этих про­
цессо в .
Задачи синтеза сигналов могут быть двух типов: задачи струк­
турного синтеза сигналов (задачи определения формы сигналов)
и задачи параметрического синтеза (задачи определения парамет -
16

ров сигналов известной формы). Если в процессе синтеза стоит­
з адача обеспечить экстремум того или иного функционала (или. •
функции), ,который характери·зует качество синтеза , то си н тез на­
з ывают оптимальным. Сущность за,дач синтеза сигналов рассмот­
р им на типичных при,мерах. Пер,вая постановка задачи: опр еде ­
л ить такую оптимальную форму сигнала , при которой база сигна­
ла будет минимальна. В этой задаче целевым фуr-rкционалом ·
структурного синтеза служит база сигнала, управляемой пере- ­
менной - форма сигнала. Вторая постановка задачи: известны
импульсная характеристика фильтра и энергия входного сигнала, .
требуется выбрать такую форму входного сигнала, чтобы энергия ,
сигнала на выходе фильтра была максимальна. Третья поста­
новка задачи: импульсная характеристика линейного фильтра и
энергия входного сигнала заданы, требуется определить такую,
форму входного сигнала, при которой сигнал на выходе фильтра
достигает максимума в заданный момент времени.
Рассмотренные постановки задач оптимального синтеза сигна-­
лов показывают, что эти задачи являются задачами на отьюкание
экстремума функции или функционала, в том числе и при наличии ,
ограничений различного характера. Методы решения таких экстре­
малышх задач разрабатываются в теории математического про,·
граммирования. Задачи решают, ;как правило, с учетом того, в ка­
ких цепях будут циркулировать синтезируемые сигналы.
Рассмотренные примеры, конечно, не охватывают всех направ-­
лений синтеза сигналов. В теории информации и передачи сигна­
. лов изучают и задачи неоптимального синтеза, которые пока еще­
не решаются регулярными методами теории математичес1< ого ­
программирования. :К задачам такого типа можно отнести, напри­
;v1ер, задачу получения требуемого числа высокостабильных коле­
баний, обладающих заданными свойствами и играющих роль сиг- ­
налов-переносчиков, задачу получения требуемого числа ортого­
нальных шумоподобных сигналов. По существу, это задачи синте ­
за технических устройств: датчиков опорных частот, генераторов ­
шумоподобных сигналов и др.
Контрольные вопросы
1. Каюrми могут быть сообщения и сигналы?
2. Как рассматривают процессы формирования дискрr:тных п непрерывных
сообщений?
3. Какие м атем атические модели сообщений, сигн алов и помех вспользуют?
4. Какими методамн осуществляете.я п остроение математи ческих моделей сооб -
щений?
5. Какова цель мат ем атического о п ис а ния со о бщений, сигн а лов и помех?
6. Какие используют физические ха р а ктеристик и сигналов?
7. Что такое преобразование и линейность преобразования?
8 . Что та !,ое ф y нR ~.ff- n-~tруикцнональньйГоперато р )
9. В че11 су шrrос т~ з ailJ.~IMШfIOeiлa!ii.? 9И 3 D u;:~; .. ,;c · ': : -·-:;::: 3 :
10. В чем сущност~ за,.
•
;;:,,;:~.ы,;.щ:.о-еи+н~ а--с-инrа-.ле в?- Укажите 'х ара ктср ньн•-
прнмеры поста~ов?r такнх задi1-Ч. ., ••
.•
.-' :\
:i~-
•~
!.~ ;~~
2-886

1.2. МОДУЛЯЦИ,Я К,А1К У-ПРАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫМИ
ПАР,АtМЕТРА•МИ СИГНАЛОВ
Для передачи информации требуется, чтобы сигналы имели
дв а вида параметров: пара1метры селекции (отбора) и информа­
ци онные параметры . Параметры селекции ,позволяют выделить по­
лез ный сигнал из совокупности сигналов и помех. Информацuон­
.н.ые параметры служат для переноса информации - в изменении
эти х параметрQв отражаются сообщения . Управление информаци­
о н ным параметром переносчика в соо11ветствии с законом измене­
НI! Я передаваемого сигнала (сообщения) ·в радиотехнике называют
модул яцией .
Обозначим сигнал-переносчик через x(t), передаваемый сигна л
(соо бщение) через и (t) . При модуляции выполняется преобразо­
ван ие двух сигналов х (it) и и (,t) в один модулированный сигна л
s {t) . Это преобразование обозначим оператором М 1 :
( 1.4)
Дп я выд еления переданного сигнала u(t) из s(,t ) необходимо в ы ­
по:шить де модуляцию Dм - преобра з ование, обратное модуляци и ,
что часто обозначают так: D .. =M~1
-
Тогда
и(t) = D., [s(t)]= 1И~1[s(t)].
(1.5)
В з ависимости от функциональной формы и числа параметров
пе реносчик а может быть большое число различных методов мо­
дул яции . Например, если в роли переносчика (несущей) высту­
п ает гармоничес1юе колебание х(а, ffi, ер; 1t)=acos(,ffi•t+.cp) , то мо­
жет быть, как известно из 1ку,рса радиотехнических цепей , три
мет ода модуляции: амплитудная, частотная и фазовая . Применяют
и комбинированную модуляцию , 1ког,д а в соответствии с измене­
н ием передаваемого сигнала одно,временно изменяются два не з~ ­
ви симых параметра переносчика . •Примеро,м сл~ужит О\П:НОполос­
на я модуляция, в результате которой получают амплитудно-ч а­
стотно-модулированное колебание- однополосный сигнал. Во ·всех
случ аях один из параметров сигнала не должен и з меняться, чтобы
играть роль параметра селекции. Иначе, как уже отмечалось, мо­
дулированный сигнал невозможно бу1дет выделить из множества
други х сигналов и помех. Важно отметить также и то., что один
н т от же сигнал может переносить информацию об из менении п
пол езных сигналов, если он имеет п независимых информацио нн ых
па раметров.
Ес ли под воздействием передавае м ого сигнала информацио н ­
н ый параметр переносчика изменяется непрерывно, все возможные
в иды модуляции являются непрерывными. К ним относят , напри­
:ыер , амплитудную, фазовую и частотную модуляцию гар,мониче ­
•Ского колебания . Если в роли переносчика используют период и ­
че скую последовательность импульсов, то мо,дуляцию называют
им пульсной. Например, к импульсным в идам модуляции о т носят
18

а мплитудно-импульсную, частотно-импульсную и широтно-импуль с­
ную модуляции. Если при модуляции информационный параме тр
принимает счетное число значений, такую модуляцию называю т
дискретной. К диокретным вида:м модуляции относятся амплитуд­
ная, частотная и фазОJвая манипуляции [3]. Если эти счетные зн а ­
чения пронумеровываю! и в виде цифр передают по линии свя зи,.
то говорят о цифровой модуляции. Примерами таких видов моду ­
ляции служат импульсно-кодовая модуляция, дельта-модуляция
[1-3].
Основной задачей управления информационными параметрам и
сигналов является разработ1ка методов и математических м-оделей ,
которые позволяют выполнить анализ и синтез операторов моду­
ляции и демодуляции, желательно совместно с анализом сиrн с: ­
лов u(:t) и s(t) и синтезом сигналов x(,t).
Эти операторы реализуют с помощью функциональных пре об ­
разователей, которые называют соответственно -модуляторами и
демодуляторами. С инженерной точки зрения задачи анализа и
синтеза таких операторов сводятся, по существу, к задачам а н а ­
шва и синтеза модуляторов и демодуляторов, а также и генер а ­
торов сигналов-переносчиков. Так ка;к модуляция и демодуляди н
образуют связанную пару операторов, целесообразно анализир о ­
вать и синтезировать модемы (устройства модуляции и 1де,моду JJН ­
ции) совместно с генераторами сигналов.
Контрольные вопросы
1. Какие виды параметров д олжны иметь сигналы, чтобы они могли перенос ить
информацию?
2. Как записывают в операторной форме операции мо,дуляцию н демо д у ля­
цию?
3. Можно лн с помощью одного сигнала переда,вать информацию от нес ко.пь -­
ких источников?
4. Укажите основные виды модуляции гармоничес-кого [(Олебания и импульс ной
последовательности?
5. К чему сводятся задачи анализа и синтеза операторов м одуляции и демо-·
ду л яцпи?
1.3 . КАНАЛЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
В общем случае под каналом передачи информации поним ают
всю совокупность технических средств, обеспечивающих перед ач у
электрических сигналов от источника сообщений к потребите лю.
При рассмотрении каналов линию связи чаще всего, полагают за ­
данной (считается, что все необходимые х ара·ктерис т и к и л инии
связи известны) и все з адачи анализа и синтеза каналов переда ­
чи информации сводятся к анализу и синтезу операторов преоб ра ­
зования сигналов в передатчике, приемнике и других устройства х.
К:аналы передачи информации классифицируют по различны м
признакам: по назначению, по хара;ктеру линий связи, по диапа­
зону частот, по характеру сигналов на входе и выходе канало в
и т. п. По назначению каналы делятся на телефонные, телеграф-
2*
19

:ные, телевизионные, фототелеграфные, звукового вещания, теле­
метрические, передачи данных и др. В за•висимо,сти от того, рас­
пространяются ли сигналы в свободном пространстве или по на­
правляющим линиям, различают каналы радиосвязи и каналы про­
:водной связи: во31,душные, кабельные, волноводные, световодные
-и др. По воздушным проводным линиям связи передают сигналы
,в диапазоне 0-160 кГц. На более высоких частотах возрастает
влияние помех, резко увеличивается затухание сигналов, сказыва­
ется влияние радиовещательных станций длинноволнового диапа­
зона. Сущест,венный недостатО1к воздушных провмных линий свя­
зи - большая зависимость их характеристик от атмосферных усло­
-.вий. Значительно лучшими характеристиками и большей устойчи­
!ВОстью в работе обладают кабельные линии связи. Они являются
,основой сетей магистральной дальней связи, по ним передают сиг­
налы в диапазоне частот от 600 ,кГц до 60 МГц. С дальнейшим
-увеличением частоты затухание сигналов резко возрастает.
В настоящее ·время ведутся интенсивные теоретические и экс­
:периментальные работы по исследованию металлических волно­
.водов. Полученные результаты позволяют нщдеяться, что эти линии
,связи будут широко использоваться для передачи сигналов в диа­
'П азоне 35-80 ГГц (длина волны 8,6-3,75 м,м). Перспективен
круглый волновод с внутренним диаметром 6 см, по которому мож­
но организовать более 200 ООО стандартных телефонных ,каналоп
(каналов тональной частоты с эффективно используемой полосой
,частот от 300 до 3400 Гц) или около 200 телевизионных 1кана л ов
t[8]. Экономические расчеты показывают, что при организ· ации
телефонных кана-Jiов до 30 ООО еще целесообразно применять коаr< ­
- сиальный кабель, свыше 30 ООО каналов - волновод . Еще большее
,число стандартных каналов можно организовать, используя опти­
· ческие системы связи, в которых применяют сигналы в полосе
· частот 600-900 ТГц (0,5-0,3 мкм) . Используя закрытые направ­
.ляющие системы, которые получили название световодов, можно
..о сущестпить устойчивую связь на большие расстояния. Большой
- практичес,кий интерес представляют диэлектрические гибкие во­
. л,оконные световоды.
Наряду с проводными линиями связи широко использ у ют ра ­
,диолинии различных диапазонов. Эти линии во многих случаях
,более экономичны, позволяют быстро организовать сверхдальнюю
(глобальную) связь без промежуточных станций. Кроме того, и
· это очень важно, - эти линии являются единственным средством
- связи с подвижными объектами (воздушными судами, космически ­
· ми кораблями, морскими судами, •включая и подводные лодки, ав­
томобилями и пр.).
Наибольшее распространение для передачи-1 многоканальных
-~ообщений получили наземные радиорелейные линии, работаю­
щие в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах вошr
на частотах от 60 МГц до 15 ГГц. На этих частотах обеспечива­
· ется широкая полоса тракта передачи, необходимая для много­
канальной телефонной и телевизионной связи, мал уровень ат.мос-
·;20

фе р н ых и промышленных помех. Все это обеспечивает высокую
пом ехоустойчивость передачи информации.
Разновидностью радиорелейных линий являются тропосфер­
,ные линии, в которых принимаются сигналы, отраженные от не­
,одно родностей тропосферы . Использование дальнего тропосферного
р ас п ространения радиоволн позволяет создать линии дальней ра­
диосвязи с расстояниями между ретрансляционными станциями
в нес колько сотен 1километров. Эти линии работают чаще всего
в диа пазоне частот от 0,5 до 6 ГГц.
Перспективны спутниковые линии связи. По принципу работы
-они представляют разновидность •радиорелейных линий, ретран­
сляторы ,которых находятся на искусственных спутниках Земли.
Существенным преимуществом спутниковых линий является боль~
шая дальность связи, которая при одном спутнике (ретрансляторе)
.с ос в вляет около 10 ООО км. При использовании системы спутни ­
ков можно организовать глобальную связь - между любыми
пунктами Земли. Спутниковые линии связи работают в диапазоне
частот 4-6 ГГц. В настоящее время отведено шесть новых частот­
ных диапазонов от 11 до 250 ГГц, освоение которых позволит су ­
ществешю повысить качественные показатели спутниковой связи.
Спутниковые системы связи, особенно с цифровыми методами пе­
реда чи сигналов, перспективны и в гражданской авиации , особен­
но с выходом на воздушные трассы сверхзвуковых пассажирских
судов.
К ак видим, для современных методов и средств передачи
.информации хара,ктерен пере х од на вс е более высокие частоты.
Это обусловлено следующими основными причинами: применение
в ыс ок их частот позволяет получить остронаправленное и з лучение
при малых размерах антенн; в высокочастотных диапазонах м ен ь­
шее влияние оказывают атмосферные и промышленны е помехи;
чем выше несущая частота, тем большее число каналов можно ор­
г ан из овать без взаимных помех; только в высокочастотных диапа­
з он ах , начиная с метрового, можно организовать большое число
широкополосных каналов, та,к их, например, как каналы видеоте ­
л ефонной связи и телевизионные каналы.
Одной из основных задач анализа каналов передачи информа­
:uии является анализ искажений переда,ваемых по ним сигналов.
Более всего на качестве передачи информации сказывюотся иска ­
жени я формы сигналов, определяемые реальными амплитудными
и час тотными характеристика,ми каналов, а также многолучевым
расп ространением радиоволн. Математические модели для полно­
го ан ализа искажений в реальных каналах достаточно сложны.
Для общего приближенного анализа иска:жений канал рассмат­
ривают как эквивалентный четырехполюсник, работа которого
о писывается определенным оператором L. Если входной сигнал
s1(t), то сигнал на выходе канала s 2(:f)=L[s1(t)]. Для более де­
т а льн ого анализа искажений канал связи представляют как по­
следо вательное соединение линейного, в обще~ случае инерцион­
ного, и нелинейного неинерционного четырехполюсника.в, в кото--
21

рых и :происходят линейные и нелинейные искажения си гна ло в .
Если в состав канала входят модулятор и демодулятор ил и учи­
тываются замирания сигналов, то к этим четырехполюсник ам rю­
следовательно ,включают еще и четырехполюсник .с переме нными
параметрами . Если требуется анализировать работу отдельных
устройств канала, число последовательно соединенных четы рехп о­
люсников увеличивают . Например, для анализа радиоканал а пере­
дачи диек,ретных сообщений часто используют струrпурную схему,
представленную на рис . 1.1 ; Канал рассматривается как п ос .педо -
Рис. J.J . Структурная схема канала nередач11 нн фор­
мации
вательное соединение I<одера, первого и второго модулятора , ли-·
нии связи, первого и ~второго демодулятора и декодера . Исп ользо­
вание модели канала в виде эквивалентного четырехполю сника.
(или последовательного соединения четырехполюсников) по зволяет
решить ряд з адач анализа и синтеза каналов ,методами теории
радиотехнических цепей [7] и статистической радиотехники [ 15].
По характеру сигналов на входе и .выходе каналов разли чают
дискретные, непрерывные, дискретно-непрерывные и непрерывно­
дискретные каналы. Дискретным каналом, например в схеме
рис. 1.1, является канал, рассматриваемый от входа кодер а до
выхода декодера или от входа первого модулятора до выхода ,вто­
рого демодулятора . Если рассматривать совокупность технических
средств от выхода п е рвого или второго модулятора до вход а пер­
во го или второго демодулято ра, то в любой системе п ередачи ин­
форм ации эта совоку п ность образует н епреры в1-tый канал. Приме"
ром дискретно-пепрерывного канала служит совокупность техни­
ческих средств от входа первого модулято ра до входа перво го ила
второго демодулятора. Непрерывно-дискретный канал образуется ,
если а нализировать в схеме рис. 1.1 прсхождение сигналов от вы­
хода первого или •вт оро г о модулятора до выход а второго д емоду­
лятора ил и в общем случае до выхода декодера. Таким образо м,
на основе непрерывного канала (на рис . 1.1 он показан штр иховой
22

лини ей ) образуются каналы всех других видов. Поэтому изучению
н епр,е р ывных :к аналов уделяют большое внимание.
Ма тематические модели для исследования каналов строят
с учет ом рассмотренной классификации. По существу разработка
модели сводится к определению структуры и параметров эквива­
лентного оператора преобразования сигнала в канале. В зависи­
мости от типа этого оператора различают каналы: линейные, не­
лине й ные, инерционные, безынерционные, стационарные, нестацио­
на рные , детерминированные, вероятностные и др. На_иболее
изучены линейные инерционные каналы с постоянными парамет­
рами.
Если передаваемый сигнал s (1t) рассматривается как случай-
1-rы й п роцесс, что значительно приближает ~модели сигналов к ре­
ал ьн:ы:,1 , то при анализе прохождения сигнала s(t) через канал не­
о бход 11мо анализировать прохождение случайных процессов через
че тыре хполюсники, описываемые различными операторами. Та'кие
задачи решают в статистической радиотехнике [15], результаты
р ешени я этих задач находят непосредственное применение при
анализ е 'Каналов передачи информации .
К ак и для сигналов, для каналов удобно использовать такие
ф изи ческие характеристики, как время занятости 1<аr-1ала Т", поло­
с а ,ЛF,;. пропускания (прозрачности) канала, диапазон Д" допусти­
мы х уровней сигналов при передаче по каналу, база канала Vн=
=2ТЕ<.ЛF1,, е~шость канала
Vн=Т"ЛР1д".
(1.6)
Контрольные вопросы
I. Как о пределяют канал пере да,rи информ ации?
2. Укаж ите ,призн а ки классификации I<аналов.
3. Назови т е основные типы пооводных линий связи.
4. Назов ите основные ти,пы радиолиний связи .
5. Чем обусловл е на тенденция к переход,у па бол ее высоюrе частоты связи?
6. Ка1, математически описывают ра,боту каналов?
7 . Нар исуйте ·и поясните структурную схему радиокана ла для передачи ди ­
скре тных сообщени й.
8 . Как ие методы испол ьзуют для анаJJиза работы канало в?
9. Как различают каналы по характеру сигналов на их входе и выхо де?
10. Назов ит е основные физические характеристики кана л ов.
1.4 . ИНФОРМАЦИОННЫЕ Х,АР,АЮЕРИСТИКИ ИСТОЧНИКОВ СООБЩЕНИЙ
И КАНАЛОВ
Ос новными информационными хартперистнками являются
rюлич ество информации в сообщениях, избыто ч ность сообщений,
энтро п ия и производительность источника сообщений, скорость
пе р еда чи информации и пропускная способность канала . Одна из
,в ажны х задач теории информации и передачи сигналов - разра­
ботка методов расчета этих характеристик. Рассмотрим указанные
хар аrперистики для случая передачи дискретных сообщений.
Обоз начим объем алфавита А источника дискретных сообще­
ний че рез т . Предположим, что каждое сообщение вкточает п
23

симво ло в. Покаж ем, как определя ется количество информации,
в соо б щениях такого источн ика.
При выборе способа измерения количества информации учи-
'
тывают следующее: сообщения большей длины содержат, как пра -
.
вило, большее количество информации; большее количество инфор­
мации содержится и в тех сообщениях, которые образу ются из
символов алфавита, им ею щего больший объем; формиров ание со­
общений но,сит случайный характер, символы . сообщений могут
'·
появляться с различными вероятностями и могут быть стат иста -
чески зависимыми; более полезные для п олуч ателя информац ии
,
сообшения содержат большее количество информации.
Общее число различных сообщений длиной п N0=mn. Это чис ­
ло можно было бы использовать как некоторую информ а ционную
характеристику источника сообщений, но она неудобна из-за сте - •
пенного характера зависимости N0 от п. Р. Хартли предло жил
в 1928 г. логарифмичес;кую меру количества информации
l=log N 0=n log т.
(1.7}
Формула ( 1.7) Хартли не отражает случайного характера фо рми ­
рования сообщений. Чтобы устранить этот недостаток, необходим()
связать количество информации в сообщениях с 1вероятностями по-­
явления символов. Эту задачу решил в 1946 году К. Шею-юн .
Ес,1и вероятности появления всех символов алфавита один ако ­
вы, то количество информации, которое переносит один симв ол,
l1=Iog т. Вероятность появления символов р=1 /m, следоват ель ­
но, m=lfp. Подставив это значение тв формулу для 11, пол учим
11=-log р. Полученное соотношение уже связывает количе ство
информации, которое переносит один символ, и вероятность появ­
ления этого символа. В реальных сообщениях сииволы появл яют­
ся с различными 'Вероятностями, символ ai появляется с ве роя т­
ностыо р (ai ), aiEA. Количество информации, которое перен осит
этот символ, li=-log р (ai). Среднее r-;:оличество информ ации
Н (А), которое приходится на один символ источника сообщений.
получим, применив операцию усреднения по всему объему а лфа­
вита
171
Н(А)=-~ р(а;)log р(ai).
(1.8)
i=I
Выражение ( 1.8) известно как формула Шеннона для эiiтропии
ucтoчiiuкa дuс1'ретных сообщений. Энтро пия рассматривается как
мера неопределенности ,в поведении источюша.
Как непрерывная функция вероятностей появления символов
энтроп ия обладает следующи ми свойствами: энтропия источника
дис кретных сообщений есть велич ин а вещественная, ограничен­
ная и положительная; энтропия равна нулю, если с вероятностью
единица всегда выбирается один и тот же символ (в этом случае
неопределенность в поведении источника сообщений отсутству ет );
24

энтропия максимальна , если все символы источника появляются
независимо и с одинаковой вероятностью, и равна
Н =-mplog·p=-m
-
1 log-1
=logm.
(1.9)
~х
т
т
Сравнение формул ( 1.7), (1.9) показывает, что спо.соб измере­
ния количес'I'ва информации, предложенный К. Шенноном, являет•
:ея обобщением способа Хартли на случай появления неравнове ­
ро ят ных независимых символов.
Чтобы учесть статистические (корреляционные) связи между
символами сообщений, вводят понятие условной энтропии
т
т
Н (A'IA) =- S р (а;) S р (a'i ja;) log· р (a'/aJ,
(1.1О)
i=l
j=l
где р (а' j Iai) - вероятность появления а' j при условии, что перед
ним поя,вился ai, Условная энтропия (,1.10) - это среднее количе­
ство информации, которое переносит один символ сообщений при
условии, что существуют корреляционные связи между двумя со­
седними симв-олами в сообщениях.
Из-за корреляционных связей между символами и неравнове ­
роятного их появления в реальных сообщениях падает количество
информации, которое переносит один символ. Количественно эти
потери информации хараrктеризуют коэффuцuен.том избыточности
г=(Н1 -Н2) /H1=l-H2/log т,
(1.11)
где Н 1 - максимальное количество информации. 1которое может пе­
рен о сить один символ; Н2- количество информации, которое пе ­
реносит один симв-ол в реальных сообщениях. Для европейских
языков избыточность сообщений г?О,5 .
Как единица измерения количества информации в сообщениях
на и большее распространение получил один бит - максимальное
количество информаци и , которое переносит один символ источника
дискретных сообщений в том случае, rzогда алфавит источника
включает два символа и используется дв о ичная система логариф­
м о в. Слово бит о.бразовалось путем сокращения английского на­
звания Ьiпаrу digit (двоичная цифра).
Среднее количество информации, выдаваемой источником
в единицу времени, называют производительностью источника.
Н'=Н/t[бит/с].
(,1.12)
Для каналов передачи информации вводят аналогичную ха­
рактеристику- скорость передачи информации по каналу (сред­
нее количество информации, которое можно передать по каналу
в единицу времени)
•
R=WН[бит /с],
(1.13)
где W - скорость передачи электрических ,кодовых сигналов; Н - -
среднее количество информации, которое несет один 1кодовый сиг ­
нал .
25

Максимальное з начение скорости передачи информации по ка ­
налу на з ывают пропускной способностью кана л а. Если помехи
и стирания в канале отсутствуют [ см . § 4.3], проп у скная с пособ ­
ность дискретного канала
C=max WH=WmaxH=Wlog т.
(1. 14)
Согласование прои з водительности источника и пропускно й сп о­
собности канала - одна из наиболее важных з адач кодир о ва ни я.
С помощью информационных хара:ктеристик анализир у ют и
сравнивают различны е источни1ш сообщений и каналы, вып о,71ш1.ю т
согласование источников и 1< аналов, определяют влияние по мех н а
передачу информации, создают коды, обеспечивающие макс ималь ­
ную ско,рость или помехоустойчивость передачи информаци и и ре ­
шают другие практически важ н ые з адачи . Разработке сп особо в
оценки (измерения) с точки зре н ия качества и це нности ин форма­
ции уделяется з начительно е внимание.
Контрольные вопросы
1. Назовите 0OIоюIые ивформаш-юнные ха,рактер1Iстш<и нсточнIIков сообщений
и каналов.
2. Что необходнмо уч11тывать прII выборе способа нзмсрсI:I:н J<ол11,rества ин­
формации?
3. Укажите досто.нIIства н недостатки способов, гI рсдло;~;сн11ых Р. Хартлн 11
К. Шс1-1!юн о ~1.
4. Какнм н свойства ~ш обт1 д:~ет энтроп и я нсто1IюIка дисJ<ретных сообщени ii'
5. Почвму вводIIтся nонятIIе ус,юв11ой эIпрошIн, как опреде.'нIют избыточ1юст1,
•сообщений?
6 . Дайте опр еделения производ и тельности н сточшша , скор ос т11 передач и н нф о р ­
~r ашrи 11 проп у с1шой с пособности ка н ала.
1.5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Из- з а влияния помех поJ1 ученные сообщ ения отличаются от ор и­
гиналов . Пол~ехоустойчи.востью системы называют ее спос обнос ть
передавать информацию с задан н ой верностью при во здейст вии п о·
мех. Количественно помехоустойчивость характери зуют ст епень ю
с-оответствия принята.го сообщения переданному. Эту велич и ну на ­
зывают к,ри.тери.ем верности (достоверности) перед ачи ин фор ма ­
ции . При передаче дискретных сообщений влияние помех проя в­
ляется в том, что вместо того или иного переданного симво ла пр и­
нимается другой. Такое случайное событие на з ывают о ш ибко й .
Простейшим критерием вер1юсти при передаче дис1кретны х соо б­
щений является вероятность появления ошибки при п е р ед а ч е од ­
ного символа или о д ного бита информации .
При передач е н е прерывных сообщен:ий степень соо т в е тств и я
переданного и принятого сигналов характери зует случайна я вел и­
чина отклонения принятого сигнала z(it) от перед анного s (t) . М е­
рой о'I'клонения обычно служит расстояние s м еж ду z U) и s (t ) ,
выбранное в функциональном пространстве сигналов [ см . § 2.! О ] .
Критерием вер ности в этом случае является в е роятность Ро того ,
2G

что наб людаемо е отк.rюнение будет меньше не к оторого з аданного
-
t:o: Ро= Р (•t:<•t:o) •
Осно вы теории помехоустойчивости были заложены В. А. Ко­
тельниковым в фундаме!сlтальной работе «Теория потенциальной
пом ехоу стойчивости» ( 1946 г . ). Потенциальной по.мехоустойчи­
вост ыо В. А. Котельников назвал предельно достижимую помехо ­
устой ч пвость передачи информации при заданной па.мехе. Даль­
ней шая разработка методов анализа и синтеза помехоустойчивы х
,спос обов передачи информации - одна из важнейших проблем тео­
ри и ин формации и передачи сигналов. Основными задачами этой
пр обле мы являются: выбор и обоснование критер и ев верности для
ра злич ных условий передачи информации; анали з помехоустойчи­
во сти методов н алгоритмов передачи инфор,мации; синтез помехо­
устойчнв ых м е тодов н алгоритмов передачи информации; техни­
ческ ая реализация оптимальных методов и алгоритмов передачи
инф ор мации (разраб01жа технических средств для оптимальной
п ереда чи информации) и др.
В настоящее время наиболее изучены относительно простые
заданн обработка сигналов в приемных устройствах при наличии
пом ех в линии связи. Их обычно решают в· предположении, что
-с пособ передачи и характеристики помех в каналах априорно и з ­
вестны. Менее и з учены задач и совместного анали з а и оптимально ­
го синтеза способов передачи и способов приема. Это обусловлено
значитель ной сложностью та.ких задач .
Контрольные вопросы
l. I(al, определяют помехоустойчивость пе р едачи информации?
.2 . Что та кое критерий верности?
3. Чт о такое ошиб к а при .передаче дискрет н ых сообщс1l11й?
4. К:ак выбирают щттерии всрностн при персда,J с д нс1,рет11ы х и непрерывных
сообщений?
5. Что понимают под потеrrцнальной по,мехоустойчиво ст ыо ?
•6. Сф ор мулируйте основные задачи теории помехоустойч,ивост11.
'1.6 . КQДИРОВ АНИЕ
Разл ичают эффективное (статистическое) и корректирующее
(:п о мехоустойчивое) кодирование. Целью эффективного кодирова­
ни я яв ляется повышение скорости передачи информации и прибли­
жение ее I< пропускной способности каналов. Теоретической осно ­
вой построения эффективных кодов служит теорема Шеннона, в
которо й утверждается, что для канала без помех всегда можно соз­
д а ть с истему эффективного I<одирования диекретных сообщений,
у кото рой среднее ~,оличество двоичных кодовых сигналов на один
-с нм вол сообщения будет приближаться ка~, угодно близко 1к энт­
ропии псточника сообщений. Целью помехоустойчивого кодиро-ва­
нн я является повышение верности передачи информации путем
обнару)кения и исправления ошибок . Теоретической основой поме­
хоустой чивого код нрован ия является теорема. :.Л r::н,нона, в ;которой
27

утверждается, что и для канала с помехами всегда можно н ай т w
такую систему кодирования, при ;которой сообщения будут пер е­
даны со сколь угодно большой степенью верности, если тол ьк о,
производительность источника не превышает пропускной: спосо бн о­
сти канала.
При кодировании каждый символ дискретного, сообщения про-·
н умеро,вывается и передача сообщений сводится к перед а че после ­
довательностей: чисел, з аписанных в той или иной системе сч ис­
ления . Например, для передачи букв русского алфавита необ ~оди м о.
переда,вать числа от 1 до 32 (твердый знак не передают). О бо­
з начим основание системы счисления через у (например, в дес я­
тичной: системе у=10, в двоичной: у=2) . Любое п-разрядное ч исл о•
х можно записать в ·виде полинома
п
Х=~ а;11,
(1.15),
i=l
где а1 - целые числа, удовлетворяющие условию О< а 1 < у - 1.
Например, число 13 в десятичной: и двоичной: системе записывается:
так: (13\=10 = 1-101 -t-3 -10°; (13),=2= 1-23+1-22+О-21+1•2°=
= 1101.
Когда последовательность элементов дискретного сообщ ен и я,
преобразована в последовательность двоичных чисел, для и х п е­
редачи по -каналу связи необходимы всего лишь два элемента рн ы х
кодовых сигнала: О, 1. Роль таких сигналов могут выполнят ь п о­
СЫЛl!{И постоянного тока разной полярности, колебания с ра зли ,1 -
ными частотами и др. При передаче двоичных сигнало в треб уетс s:~
всего лишь пара проводов. Другим ва:жным преимуще ством дво­
ичного кодирования является простота арифметических опер а ци й
в двоичной системе счисления, которые легко реализуются с по­
мощью простейших логичес ких схем вычислительной тех ни ки .
Сложение .выполняется схемой ИЛИ, а умножение - cxeмo if И .
Более сложные операции реализуются различными сочетан ия ми
схем И и ИЛИ.
Таким образом, кодирование - это процесс преобразов а ния
элементов дискретного сообщения в соответствующие числа , вы­
раженные кодовыми символа,ми. Кодом называют полную сов оку п­
ность условных символов, которую применяют для кодиров а ния
сообщений. Число разли ч ных символов в коде называют основа­
нuеJ',t кода тн, !(одавая ко1v~бинация - эт,о последовательност ь •ко­
довых символов, соответствующая одному элементу дискре тн ог о­
сообщения (число, записанное в системе счисления с осно ван и­
ем тн). Значность кода п - это число · символов в :кодовой ко м­
бинации. Оператор кодирования показывает, какую кодовую ком ­
бинацию присваивают каждому элементу сообщения.
Если mн=2, код называют двоичным (бинарным), при тн >
>2- многопозиционным. Если все кодовые комбинации содерж ат
одина ,ковое число символов, код называют равномерным , в др у гих
28

сл учаях - неравномерным. Для ра,вномерного кода общее число,
различных кодовых комбинаций N=mnк. Например, для равно­
ме рного кода Бодо mк=2, n=5, N 32. Этого числа комбинаций·
доста точно для кодирования всех букв латинского алфавита. Код
Морзе служит примером неравномерного кода. В нем наиб олее ·
часто встречающимся буквам присваиваются наиба.лее короткие ·
1,одовые комбинации. Это сделано для увеличения с1юрости пе ре­
дачи информации.
Рассмотрим сущность идей обнаружения и исправления оши ­
б ок корректирующими кодами. Идея обнаружения ошибок заклю­
чается в следующем . Для передачи используют не все N кодовых
ком бинаций, а только часть из них N 0 , которые называют ,разре­
шенными. Оставшиеся ЛN=N-N0 1комбинаций называют запре ­
щенными. Ошибки обнаруживают тогда, когда на приемном конце
получают запрещенную комбинацию . ВсЯ'кий ,код, у которого
ЛN>О, способен обнаруживать ошибки в ЛN случаях из N. Доля
об наруживаемых ошибок
•
ЛN/N=1-N0 /N.
(1.16)
Если ЛN О, т. е. N~N0 , код не способен обнар уж ивать ошибки и1
его называют примитивным (безызбыточным).
Избыточность корректирующего кода
rн=l-(logN0 ) / п log тн ,
(1 .17)1
Из формул (1.16), (1.17) следует, что корректирующий код обна­
руживает ошиб1ш за счет введения избыточности . Доля обнаружи -­
ваемых ошибок растет по мере увеличения избыточности.
Исправление ошибок корректирую щими кодами основано н а:
дву х операциях: определении расстояния между кодовыми :комби ­
нациями и отыс:кании минимального расстояния. Расстоян,uе1,~ dij,
ме:жду кодовыми комбинациями Ki и Kj называют суммарный ре-­
зу льтат сложения по модулю тн одноименных разрядов кодовых.
1,омбинаций
п
dij= ~ !{ik ЕВ !{jk>
k=l
гд е кil, и Kjk - k -й разряд 1кодовых комбинаций Ki и Kj; симвоЛ'
ffi обозначает сложение по модулю т,,; п - значность кода. Сущ­
ность суммирования по модулю т ,, заключается в том, что резуль ­
тат су м1мирования равен модулю суммы разрядов, ее.ли этот мо­
дуль ме ньше т',,_ . Если модуль суммы больше m1t, то результат по­
лучают вычитанием величины т1с из суммы.
Аналитическая запись сло.жения по модулю mk имеет вид
ffi
_
t1l{ik ±Kjk>
!{ik±Kjk<mk;
l{ ik c::IJ!Cjk -
J..
!{ik .!.. Kjk-mk , !C;k ± !{jk~ mk.
(1.19)

На рис . 1.2 показано условное обоз н ачение логического оператора
сJiож ения по модулю. Таким образом , расстояние получают в ре­
зул ьтате поразрядного суммирования по модулю и обычного сум­
миро вания по формуле (1.18). Для равномерного двоичного кода
кодов ое расстояние - это число символов, на ,которое отличается
одна комбинация от другой. Например, если Ki=10111, Kj=
= 01010, то dij=4.
Идея исправления ошибок за,кшочается ·в том, что, -обнаружи:;
,оши бк у, определяют расстояние от полученной запрещенной комби­
нации /С до всех разрешенных K :i ,
j=l, N0 , и в ,качестве переданной
считают ту из разрешенных комби­
наций, до которой расстояние мень -
rl!!
ше всего. Например, если шin di:i=
-к11r±к;1r-mk
--
нет
=.:lis, j=l , N 0 , то полагают, что бы -
ла передана комбинация Ks.
Задачи анализа и синтеза кодов,
устройств кодирования и декоди­
рования решают на основе соче-
Рис. 1.2. Ло п1tJ ес ю1й оператор тания методов теории информации ,
сложении по мод улю
высшей алгебры и теории конеч-
ных автоматов [18]. Методы тео­
рии информаци и позволяют строить общие алгоритмы ана­
лиза и синт~ з а кодов, методы высшей алгебры (теория групп,
теор ия 1,олец, теория полей) позволяют синтезировать и анали­
зир овать математические модели кодов, методы теории 1конечны х
авто матов - ооздавать 1<онкретные структурные с х емы 1юдеров и
дека.деров.
Контрольные вопросы
1. У кажите цеJ1ь эффективного и ко рректирующего коднровання.
2. Что слу жит теоретиtJес-кой основой эффектив н ого и корректирующего ко­
д1 rрова1111н:>
3. I<:a" сJагr11са1ъ п-разрядное •1исло в вrи,де потшома?
1. Дайте опродс Jr ениn кодирован и я, кода, 1юдовой ко:,..1бинацин, зна чности кода,
о п е ратора кодирования.
5 . В •1 ем сущность обнаруже ни я 01ш 1 боЕ?
6. К~ш определяют расстояние между кодовыми комбинациями?
7. В •юм _ сущность исправJ1ения ош и бок?
8. Как пе ,методы применяют для анат1за и -синт еза ко д ов, ус тройств кодиро­
ва ния и декод и рования?
1.7 . УПЛОТНЕН ИЕ Л ИНИЙ СВЯЗИ. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПО'ТОКИ .В СЕТЯХ
Методы уплотнения линий связи-это, по существу, методы
пост роения многоканальных систем передачи информации. Задачи
анал иза многоканальных систем включают уже рассмотренные за­
дачи анализа одноканальных систем и, кроме того, задачи иссле­
дова ния влияния структуры и параметров операторов уплотнения
и разделения сигналов на характеристики качества передачи
инф ормации. Задачи оптимального синтеза многоканальных сис-
;ЗО

тем включают задачи синтеза одноканальных систем и, кр оме
того, задачи определения оптимаJiьных структур и параме тров.
операторов уплотнения и разделения, которые доставляют экс тре­
мум выбранному функционалу качества при выполнении ряда
технико-экономических ограничений. Отсюда СJiедует, что зад ачи
анализа и синтеза многоканальных систем, задачи разработки эф ­
фективных методов уплотнения линий связи являются более с лож­
ными. Эти задачи рассматривают в курсах «Системы связи » и
«Связное оборудование».
Основная проблема теории многоканальных систе,w - созда н1н:
методов эффек,тивного разделения канальных сигналов. Эти м ето ­
ды разрабатывают в теории селекции сигналов. В роли канальных
сигналов-переносчиков чаще . всего используют ортогональные сиг ­
налы, гармонические колебания, колебания более сложных функ­
ционалы-1ых форм, шумоподобные сигналы, различные импуль сные
последовательности и др . В роли параметров селекции сигналов
обычно используют частоту, фазу, форму, время поступлен ня
и т . п. Многюканальные системы уплотнения линий связи яв,:~яют­
ся системами первичного уплотнения, так ка:к каналы этих снс тем
могут еще раз уплотняться. Уплотнение каналов много1<анальн ых
систем получило наз,вание вторичного уплотнения.
Каналы связи сетей, имеющие устройства уплотнения, в1-:.л о ­
чают также устройства контроля качества передачи ннформа цин,
обнаружения и исправления ошибок, усиления и ретрансляции и
др. Канал связи и устройства передачи и приема сигналов обр а ­
зуют тракт nepeдa<tu инфор;,,~ации. Абонентски;,,ш пункта.юt на зы ­
вают источники и потребители информации с соответствующс~", ап ­
паратурой передачи и приема информации по каналам свя з и. На
одно,м и том же абонентском пункте может находиться как апп з­
ратура передачи, так и аппаратура приема информации. Линии,
связи и абонентские пункты рассматривают как устройства пер е ­
дачи инфор;,,,~ачии.
Соединение (коммутацию) между собой отдельных r,анал ов
связи выполняют устройства распределения информации. Два ила
более тракта передачи информации, скоммутированных пос лед'J­
вательно с помощью устройств распределения информации, обра­
зуют соединительный тракт передачи информации. Если ме жду
двумя абонентскими пунктами образован соединительный тр аю,
то говорят, что между ними с:коммутирован составной канал свя ­
зи. Если коммутируют многоканальные линии связи, то говорят
о широкополосной коммутации линий (~каналов). На рис. 1.3 по ­
казаны основные элементы сетей: линии связи, абонентские лпни и ,
абонентские пункты, каналообразующая аппаратура, устройст ва
распределения и накопления информации. Абонентской линией н а ­
зывают одноканальную Jшнию связи, которая непосредственно сое-·
диняет абонентский пункт с устройствами расnреде ,1е ния и на коп ­
ления информации.
Линии связи развиваемой в настоящее время единой автома ти­
зи рованной сети связи страны (ЕАСС) образуют первичную сетr;.
31

На ее основе с использованием устройств распределения и накоп•
,ления информации создают вторичные сети различного н азначе­
rния . Вторичная сеть связи - это совокупность трех основных эле­
ментов: сети каналов связи, системы коммутации и системы управ­
ления.
Систе;ла ком,wутации предназначена для образования состав­
ных каналов связи или для коммутации сообщений. Система
управления обеспечивает управление информационными потоками
в сети с учетом реально сложившейся ситуации . Ситуацию на сети
/Jllll!JR
,о/ТЗ/1
1
1
ЛIIH/IR
CfJRЗ/1
!Jcmpoifcm!Jll
распрсilсления
11 HllKOПЛC/IIIR
IIH'/J{JДHllЦllfl
l кинилообраэующая
аппаратура.
-
---
-
-
-
--
-
-- --
....J
Лания
с!Jяза
Рис. 1.3 . Основные элементы сети
,оп р еделяют изменения интенсивностей информационных потоков
(интенсивность потока сообщений - это количество сообщений , вы­
рабатываемых в единицу времени источником информации),
исправность и качество работы каналов и узлов связи, приоритет
поступающих сообщений, использование отдельных каналов и уз­
.лов связи, изменение уровней помех и т. п.
Эффективность использования каналов и узлов связи харак­
теризуют коэффициентом использования, который определяется
.как отношение интенсивности входящего информационного потока
,к емкости канала или узла. Под емкостью канала или узла пони­
мают ту интенсивность потока сообщений, которая может быть
передана по этому каналу при заданном качестве передачи инфор­
маци и.
Вторичные сети связи классифицируют по многим признакам:
фу нкциональному назначе н ию, принципу построения и количеству
у р овней иерархии структуры, способу коммутации, способу и дис­
ци п лине обслуживания абонентов, скорости передачи информа­
ци и, способу управления информационными потоками, характеру
.32

изменения во времени структуры и параметров алгори1'МО·в управ­
ления и др . По функ_циональному признаку сети связи граждан­
ской авиации разделяют на авиационные (наземные и воздушные,
предназначенные для непосредственного управления -воздушным
движением), аэропортовые (предназначенные для управления про­
изводственно-технологической деятельностью служб аэропортов),
коммерческие (предназначенные для управления произво,дствен­
ной деятельностью всех звень.ев служб перевозок и коммерческой
эксплуатации), международные (наземные и воздушные, предна­
значенные для обеспечения взаимодействия диспетчерских служб
СССР и других стран при полетах самолетов Аэрофлота и ино­
странных авиакомпаний по международным воздушным линиям),
командно - служебные (предназначенные для обеспечения руковод­
ства предприятиями, организациями и учреждениями гражданской
авиации).
Основные принципы построения структуры сетей следующие:
-
радиально - узловой принцип, когда груп.rа або,нентсюrх пунк ­
тов обслуживается одним общим узлом связи, который через
центральный узел связи осуществляет соединения с другими узла ­
ми и, следовательно, с абонентами других групп; узлы связи уста­
навливают соединение только через центральный узел;
-
принцип соединения узлов сети «каждый с ~каждым»;
-
принцип использования решетчатой структуры (принцип по-
строения распределенных сетей), 1когда все узлы связи, чер е з ко ­
торые проходят большие информационные потоки (узлы первого
класса), соединены по принципу «каждый с ,1~аждым», а абонент ­
ские пункты или узлы с меньшими информационными пото1(ами
(узлы второго класса) соединены с ближайшими узлами первого
класса;
-
иерархический принцип, когда образуется ряд подсетей, об­
разующих по определенному признаку иерархическую структуру.
По способу коммутации различают сети с коммутацией кана­
лов, сообщений, а ' также с коммутацией ·канало,в и сообщений .
Кол,1,лщтацией каналов называют сово;купность операций, состоя­
щих в соединении нескольких каналов связи для получения со­
ставного (сквозного) канала связи, используемого для передачи
информа_ции от источника к потребителю. Составной канал обра­
зуется только на время передачи информации, например на время
телефонного разговора. После использования составного канала
все соединения ликвидируются. Если - один из транзитных каналов
составного канала занят или если занят абонент, передача инфор­
мации не состоится. Следовательно, в сетях с коммутацией кана­
лов имеет место способ обслуживания с отказами в со един е нии .
Такие сети часто называют системами: обслуживания с потерями.
Коммутация сообщений- эrо совокупность операций, состоя­
щих в приеме сообщений, их ншиплении и последующей передаче
в соответствии с содержащимися в них адресами. В адресе ука з ан
номер потребителя информации, категория сообщения (прио р и ­
тет), допустимое число переприемнь!х пунктов и т . п. В сетях
3-886
33

с коммутацией сообщений узлы связи содержат устройства рас­
пределения и накопления инфор,мации. Каждое сообщение поэтап­
но передается и запоминается в узлах связи. Занятость каналов
не играет роли, так как передача сообщения к потребителю выпол ­
няется по мере освобождения каналов тр·ебуемо,го направления .
Следовательно, по способу обслуживания абонентов сети с ком­
мутацией сообщений являются системами обслуживания с ожида­
нием. В узлах связи сетей с коммутацией сообщений передача
информации от входного канала к выходному осуществляется че­
рез запоминающее устройство системы ~коммутации. Такие узлы
связи получили название центров 'Коммутации соо,бщений.
В последнее время все большее •внимание уделяют развитию
сетей с коммутацией каналов и сообщений. По способу обслужи­
вания эти сети являются системами обслуживания с ограничен­
ным ожиданием - с ограниченными потерями. В таких сетях круп­
ные узлы связи выполняют как центры коммутации сообщений ,
а мелкие периферийные узлы как центры 1юммутации каналов.
Развитие элементной базы вычислительной техники, унификация
и стандартизация функциональных узлов систем коммутации и
упра1вления потоками в сетях на основе функциональных узлов
цифровой вычислительной техники позволяют существенно сни­
зить стоимость оборудования центров •коммутации линий и сооб­
щений, что способствует успешному •развитию та,ких сетей.
По скорости передачи информации различают низкоскорост­
ные сети (скорости передачи информации -50, 100 и 200 бит/ с),
среднескоростные (скорости -600, 1200, 2400 и 4800 бит /с), вы ­
со1искоростные (скорости - более 4800 бит/ с) и сети смешанного
типа, скорости передачи информации в различных ве'I'вях которых
изменяются в широких пределах .
По способу управления информационными потоками сети де­
лят на сети с централизованным, децентрализованным и локали­
зованным управлением. При централизованном управлении все
процедуры выбора направления движения информации осущест,в­
ляются в едином центральном узле связи. К сетям с централизо­
ванным упра ·влением относятся, например, диспетчерские сети
управления воздушным движением. При децентрализованном
управлении функции управления распределены между различны­
ми узлами сети. Локализованное (зонное) упра•вление- это про­
межуточный тип управления, фуН1кции управления распределены
между нес•колькими локальными центрами различных зон. Для
сравнения различных способов управления информационными по­
токами и оценки эффективности сетей связи необходимо ввести
понятие качества функционирования сети, под которым понимают
совокупность ее свойств, обусловливающих способность сети удов­
летворять определенные потребнqсти в передаче информации в
соответствии с назначением. Св-ойства сети проявляются при ее экс­
плуатации. Надежность, помехоустойчивость, оперативность, ста­
бильность, экономичность, связность являются характерными овой­
ствами сетей. Для оценки качества сетей используют показатели
34

качества - количественные хара·ктеристики различных свойств (;ко­
эффициент готовности, вероятность появления ошибки, время пе·
редачи информации и т. п.).
Чтобы учесть сразу ряд свойств, •вводят комплексные пока­
затели качества сетей, например время задержки сообщений в се­
ти. Эта величина определяет скорость передачи информации, влия­
ние помех на передачу сообщений, связность (наличие обходных
путей) и надежность сети (при отказе узлов и каналов связи нуж­
ного направления ·время задержки сообщений растет) и многие
другие свойс11ва.
Наиболее общим является интегральный показатель качества
сети - комплексный показатель качества сети, отражающий соот­
ношение суммарного полезного эффекта от эксплуатации сети и
суммарных затрат на ее создание и обслуживание . Выбор крите­
рия качества сети - один из наиболее важных интуитивных эле­
ментов теории сетей . Для рассмотрения сущности задач анализа
и синтеза сетей, оценки их эффективности введем следующий
комплексный пока·затель качества:
•
6=0(Г, /, С, н, :rt, Vп, Рпр, Nип, ...,) ,
(1.20)
где Г - матрица, определяющая размещение источников и потре­
бителей информации; / - матрица интенсивностей потоков инфор­
мации; С - матрица пропускных способностей ветвей; Н - харак­
теристика информационной связности сети, в общем случае учи­
тывающая надежность ее узлов и каналов связи; :rt - матрица,
количесп~енно определяющая помехоустойчивость перед а чи инфор­
мации по различным ветвям; Vп, Рпр, Nин. - соответственно алго­
ритмы ~выбора кратчайшего пути, соблюдения приоритета и накоп­
ления информации в узлах связи.
Совокупность этих алгоритмов для вс-ех узлов свя з и в целом
о бразует общий алгоритм управления информационными пот ок а­
ми в сети . Указанные в выражении (,1.20) характеристи ки я вля-·
ются основными и :в значительной мере определяют качество р а ­
б оты сети. В зависи,мости от конкретного назначения сети набор
этих ха,рактеристик может изменяться . Система управления сетью
должна работать по такому алгоритму, чтобы обеспечивалось экс ­
тремальное значение показателя качества при наличии реально
существующих ограничений технико-экономического ха рактер а .
Например, если в роли функционала качества сети выступает сред­
нее ·время задержки сообщений, то алгоритм управле н ия с ет ь ю
д олжен обеспечивать ,минимальное среднее время з адер жк и со ­
о бщений. Построение такого алгоритма усложняется тем, что па­
раметры /, С, Н, :rt и другие в процессе э'кспл-уатации и з м е н яю т ся
с лучайным образом и по существу являются случайными процес­
с ами . Кроме того, установление самой связи между этими па ра ­
метрами в виде соотношения ( 1.20) также представляет серь ез ную
з адачу .
Сущность задач анализа качества работы сети заключа ет ся в
в ыборе показателя качества, установлении зависимости типа ( 1.20)
3*
35

между параметрами сети и функционалом качества и анализе вли-­
яния характерис1'ик этих параметров на функционал качества .
Если анализируется система управления, то исследуется влияние
стру;ктуры и параметров алгоритмов Vп, Рпр, Nин на поведение
функuионала качества при заданных характеристиках Г, Н, 1, С,
:п. Сущность задач оптимального синтеза сетей заключается в сле­
дующем. Известны матрицы Г, Н, 1, требуется выбрать функцио­
нал качества е работы сети, установить связь этого функционала
1 со структурой и параметрами как самой сети (С, :n:), так и ее сие­
~-темы
управления ( Vп, Рпр, Nин). При структурной оптимизации
~отыскивают оптимальную структуру сети (оптимальные значения
;с и :n:) и оптимальные структуры алгоритмов Vп, Рпр и Nин, до -
1ставляющие экстремум · показателю качества при наличии реально
~существующих ограничений технико - экономического характера.
При параметрической оптимизации для выбранных структур с-ети
и алгоритмов управления отыокивают оптимальные значения пара ­
метров этих структур.
По характеру изменения во времен~ структуры и параметров
алгоритмов управления можно ~выделить сети со статическим и
с динамическим управлением. Если структура и пара,метры алго­
ритмов управления постоянны, то сети называют сетями со стати­
ческим управлением. В сетях с динамическим управлением структу­
ра и параметры алгоритмов управления изменяются с изменением
ситуации на сети. Если алгоритмы управления приспосабли­
ваются к реальной ситуации, их называют адаптивными. Способы
динамического управления и адаптивные алrоритмы находятся
в стадии разрабо,тки и исследований.
Из постановок задач анализа и синтеза сетей следует, что их
решение в полном объеме представляет сложный и трудоемкий
процесс. Эти задачи являются пред1метом фундаментальных науч­
ных и технических исследований. Результаты исследований излага­
ются в 1<урсе «Теория сетей электросвязи».
Контрольные вопросы
1. Что такое ,методы уплот н ения линий связи?
2. Назовите особешюсти задач анализа и оинтеза многоканальных систем.
3. В чем основная проблема теории многоканальных с и стем?
4. Укажите основные элементы сетей овязи и их назначение.
5. Как образуется вторичная сеть связи?
6. Укажите назначение ,сист емы коммутации и системы управления.
7. Дайте определение интенсивности инфор:мационного п отока, емкости канала
(узла) .
8. Назовите приз н аки классификации сетей.
.
9. Как определяют качество функционирования сети?
10. Какие хараJ<теристики сет и определяют ее качество?
11. В чем сущность за,дач анализа сетей?
12. В че11 сущность задач оптимального синтеза сетей'с
13. В чем сущность статического и динамического у.правления?
36

1.8. ВЗАИМОСВЯЗЬ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕЗУ ЛЫ А ТОВ
ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ И ПЕРЕДАЧИ СИ-ГНАЛОВ
Конечная цель решения задач теории информации и передачи
сигналов - создание оптимальных объектов информационной тех­
юши. С этой позиции и расс мот рим взаимосвязь шести основных
классов задач (см. п. В.3) и практическое использование получае ­
мых решений. Поставим в соответствие каждому классу задач
вершину графа; отражающего взаимосвязь задач (рис. 1.4). Через
Vi.i обозначим те результаты, которые пол учают из решения задач
i-го r,ласса и используют для постановки и решения задач j-го
класса. Тогда ветви графа
будут указывать взаимосвя ­
зи зада ч, а стрелки - на­
правления передачи инфор­
мации Yi.i·
Анализ по казывает, что
полученный граф является
СИЛЬНО связным из- за того,
что для решения задач одно­
го класса, как правило, по­
лезно иметь решения задач
других классов. Например,
при решении зада ч первого
класса - задач анал иза и
синтеза сигналов - необхо -
димо знать характеристики
каналов и помех (результа­
ты решения задач второго
класса), информационные
характеристики источников
1
о
Рис . 1.4 . Граф взаимосвязи основных клас­
сов задач
сообщений (результаты решения задач третьего класса), характе­
ристики способов обработки сигналов (результаты решения задач
четвертого кл аса), характеристики кодов (результа ты решения за­
дач пятого класа) и, конечно же, характеристики объекта инфор­
мау;ионной техники, в котором эти сигналы будут использоваться
(результаты решения задач шестого класса).
Поэтому процедура решения задач оптимального синтеза объ- .
ектов информационной техники носит сложный характер и требует
взаимосвязанного рассмотр ения постановок и результатов решения
задач всех классов. По существу эта процедура является мноrо­
ступенчатой и итерационной на всех стадиях проектирования и
производства.
Для решения задач оптимального синтеза на первом этапе
используют аналитический подход и методы параметрического
анализа: задачи одного класса решают, варьируя результаты ре­
шения задач других классов, которые используют как исходные
да нные . На втором этапе применяют синтетический подход: когда
приближенные решения задач всех необходимых классов получе-
37

нь1, эти решения снова уточняют, но уже с позиций решения зада­
чи оптимального синте.за в целом . Такое уточнение позволяет вы­
яснить критичность полученных оптимальных решений к погреш ­
ностям исходных данных и областям изменения существенных
переменных . Итерационную проц едуру прекращают тогда, когда
получают удовлетворительные решения задач шестого класса, так
как именно для их правильного решения ставятся и решаются
задачи первы х пяти классов.
Наличие сильных взаимосвязей между результатами решения
задач различных классов требует применения при проектировании
объектов информационной техники системного подхода. Этот под­
ход нключает четыре взаимосвязанных этапа общей итерационной
процедуры: разработка принципов действия аппаратуры и методов
их инженерной реализации; анализ технико-экономических пока­
зателей качества аппаратуры, выполненный на основе различных
методов; оптимизация решений относительно применяемых прин­
ципов действия, методов их технической реализации, способов
конструирования и производства; анализ эффективности различ­
ных оптимальных решений.
Чтобы правильно формулировать задачи различных классов,
определять необходимые исходные данные, учитывать требуемые
взаимосвязи, выбирать методы решения и получать те результаты,
которые позволяют успешно решать сложные задачи шестого
класса, при постановке и решении задач первых пяти классов
следует постоянно помнить о конечной цели.
Контрольные вопросы
1. К:а,кая конечная цель решения задач теории информации и передачи сиг­
налов?
2. Можно ли независимо решать задачи различных классов? Из каких сооб­
ражений выбирают и учитьгвают необходимые взаимосвязи задач?
3. Какие подходы используют при рассмотрении задач различных классов?
4. В чем сущность системного подхода к решению задач оптимального син­
те з а объектов информационной техники?
11"9. выводы
1. Математические модели сообщений, сигналов и помех раз­
рабатывают для анализа их свойств и синтеза сигналов с требуе­
мыми свойствами. При решении этой задачи используют методы тео­
рии вероятностей, теории случайных процессов, математической
статистики, функционального анализа и др. Формирование сооб­
щений рассматривают как случайный выбор реализаций случай­
ных величин, последовательностей и процессов.
2. Для · передачи информации используют сигналы, имеющие
параметры селекции и информационные параметры. Параметры
·селекции позволяют выделить пол езный[ сигнал из множества
других сигналов и пом ех, а информационные пара метры служат
для перен<У'Са информации. Управление информационными пара­
метрами (модуляцию) выполняют в соотве'Гствии с законом изме-
38

нения передаваемого сообщения. Различают непрерывные, им­
пульсные и цифровые (дискретные) методы модуляции. Основные
задачи исследования методов модуляции: анализ и синтез опера­
торов модуляции и демодуляции, анализ свойств модулированных
сигналов, синтез сигналов-переносчиков с требуемыми свойствами
и др.
3. Разработка математических моделей каналов передачи ин­
формации направлена на определение структуры и параметров
операторов преобразования сигналов в каналах, анализ свойств
каналов и искажений сигналов в каналах, синтез каналов с тре­
буемыми свойствами. Распространенной является модель канала
· в виде эквивалентного четырехполюсника, которая позволяет ре­
шать многие задачи анализа и синтеза каналов методами теории
радиотехнических цепей и статистической радиотехники [6-8, 15].
4. Разработка методов расчета количества информации в со­
общениях, избыточности сообщений, энтропии и производительно­
сти источника сообщений, скорости передачи информации и про­
пускной способности канала позволяет анализировать свойства
различных источников сообщений и каналов, согласовывать источ­
ники с каналами, определять влияние поме х на передачу инфор­
мации, создавать коды, обладающие полезными свойствами, и т. п .
5. Из-за воздействия помех полученны е сообщения отличаются
от п еред аваемых. Поэтому разработка м етодов анализа и повы­
шения поме х оустойчив:1сти ·передачи информации - актуальная
проб лема теории информации и передачи сигналов. Основными
задачами этой проблемы являю1'ся выбор и обоснование критериев
верн ости , анализ и синтез поме-х оуl:тойчивых методов и алгорит­
мов п ереда чи информации, со здан ие технич еск их средств, обеспе­
чивающи х треб уемую помехоустойчивость .
6. Для повышения CKLJpoc~тr и верности передачи информации
разрабатывают методы эффеrстивного и корректирующего коди­
рования. Как правило, задачи анализа и ·синтеза кодов, создания
устройств кодирования и декодирования (кодеров, декодеров) ре­
шают т огда, когда возможности других методов повышения скоро­
спr и верности передачи информации исчерпаны.
7. Разработка методов уплотнения линий связи и методов
оптимального управления информационными потоками в сетях свя­
зи направлена на повышение качества передачи информации. За­
дачи анализа и синтеза многоканальных си-стем и сетей связи
являются предметом научны х и техни ческих исследований в тео­
рии м ногоканальной связи и теории сетей связи. Исследования
проводят на основе достижений тео рии информации и передачи
сигналов.
8. Главная цель решения задач теории информации и переда­
чи сигналов - создание оптимальных систем и сетей связи, инфор­
мационно-измерительных систем и др. Поэтому все задачи на­
правлены на создание теоретической основы оптимального произ ­
водства и эксплуатации изделий информационной техники.

Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
2.1. ЭНЕ ,МЕНТЫ ОБОБЩЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ Т.ЕОРИИ СИ1ГНАЛОВ
Обобщенная спектральная теории сигналов объединяет методы
математического описания сигналов и помех. Эти методы позволя­
ют: обеспечить требуемую избыточность ,сигналов, улучшить филь­
трацию сигналов на фоне помех, облегчить анализ и синтез систем
передачи информации (в том числе и нелинейных), улучшить
синхронизацию в системах связи, создать аналоговые фильтры
без ю~дуктивностей и цифровые фильтры, повысить быстродей,ст­
ьие цифровой обработки сттгналов, решить многие другие практи­
чески важные задачи.
Обобщенной спектральной теорией сиг1-1;алов называют сово­
купность методов представления сигналов в виде ( 1.3). Наиболь ­
шее распространение получили методы, использующие представ ­
ления сигналов в виде колебаний (функций времени) и в виде
спектрального ра зложения на синусоидальные и косинусоидальные
составляющие (преобразования Фурье) . Разложения по гармони­
ческим функциям составляют 1слассичес1~ую ·спектральную теорию.
Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерно­
сти спектрального анализа для различных систем базисных функ­
ций и . рассматривает особенности выбора базисных систем при
решении задач передачи и обработки сигналов.
Представление ( 1.3) называют разложением сигнала по сас:ге­
ме базисных функций. К системе базисных функций предъявляют
следующие основные требования: для любого сигнала ряд должен
сходиться, функции '\jJ1< (t) должны иметь простую аналитическую
форму; коэффициенты ak • должны вычисляться относительно про­
сто.
Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных
функций. У,словие ортогональности функций имеет вид
t,
s t;(t)tk(t)dt=O, i-=pk.
(2.1)
t,
При i=k
t,
st\(t)dt= сk.
(2.2)
t,
Число Сп называют нормой базисной функции '\jJ1< (t).
40

Каждую базисную функцию можно пронормировать по ее нор­
ме, тогда нормированная базисная функция
(2.3)
Новая система {cpk (t)} удовлетворяет не только условию ортого­
нальности, но и условию нормировки , которое имеет вид
t.
5'fi (t) 'Pk (t) dt =oik;
(2.4)
t,
где
-
символ Кронекера . Си·стему {ср1, (t)} называют ортонормирован­
ной.
Рассмотрим , как определяются коэффициенты ak при разложе­
нии сигнала по системе ортонормированных функций. Представим
сигнал в виде
00.
s(t)=~ akcpk(t) , tE:[tl> t 2].
(2.5)
k=O
Умножив обе части уравнения . (2.5) на (j)i•(t) и проинтегрировав
на интервале :[.t1, t2], получим
~
00
~
~s(t)ер;(t)dt=Ь ak~Cfk(t)'fi(t)dt.
t,
k=O
t,
Из у,словия ортонормированнl)сти (2 .4) следует, что в правой
части полученного уравнения в1се интегралы при i=I= k будут равны
О, а при i=li один интеграл равен 1, следовательно,
t.
ak = Ss(t) cp1z (t)dt.
(2.6)
t,
Ортогональное разложение (2.5) называют обобщенным рядом
Фурье, а коэффициенты, определяемые (2.6), -
обобщенными ко­
эффициентами Фурье. Ортонормированные функции удовлетворя­
ют всем трем указанным ранее условиям. Выбор базисных орто­
нормированны х функций - одна из ответственных задач, ее реше­
ние существенно зависит от характера преобразований сигналов
в ·системе.
Коэффициенты а,, пред1ставляют •собой эффективные значения
составляющих спектра (обобщенных гармоник), поэтому средняя
мощно,сть сигнала, выделяемая на сопротивлении 1 Ом,
(2.7)
41

Соотношение (2.7) называют равенством Парсеваля. Из этого ра­
венства следует, что мощность сигнала равна ,сумме мощностей
всех составляющих его ,спектра .
Определим коэффициенты, минимизирующие погрешность орто­
гонального разложения. Используем среднеквадратическую по"
грешность
'
t,[
00
]2
в2= t21 t1S s(t)-1]ak'fk(t) dt.
.
t1
k=a
(2.8)
Для минимизации 8 2 необходимо решить ·систему уравнений
д.82 /дщ,. = 0, k= 0, 1, 2, ... ; при условии, что д82/ да2,,.>0, найти из
решения а,,.опт; подставить эти значения коэффициентов в соотно­
шение (2.8) и определить
t,
00
в\mн=t2 1 t1 5S2 (t) dt- IJа\опт·
'
t,
k=a
(2.9)
Эту задачу решил Фурь~. Он показал, что оптимальными явля­
ются коэффициенты, определяемые по формуле (2 .6) . Если число
членов ·ряда п< оо, то имеется некоторая ср.еднеквадратическая
погрешность, из-за которой
t,
п.
t2 1. t1 s s2 (t) dt>1Jа\опт·
t,
k=a
Бели п-оо, то это неравенство вырождается в равенство Пар ,се­
валя (2. 7), следовательно, в этом случае 82мин-О Таким образом,
бесконечный ряд дает адекватное в среднеквадратическом смысле
ортонормированное разложение сигнала.
Для реальных сигналов в,сегда можно указать такое , обычно
небольшое п, при котором 80-90% мощности сигнала заключено
в гармониках с номерами k~/z. Поэтому ряды, используемые на
практике, конечны, а число членов. ряда определяет допустимые
среднеквадратические погрешности. Относительную погрешность
разложения определяют как отношение мощности ЛР(п) ошибки
аппро1~симации к мощности Р самого сигналг:
(2.1О)
Величина ЛР(п) -та часть мощности сигнала, которая ок з зыв3-
ется за пределами используемой полосы частот и не учитывается
при восстановлении 'сигнала. По величине допустимой относитель­
ной погрешности ба из соотношения о (п) =ба нетрудно определить
число п удерживаемых членов ряда.
42

В качестве базисных используют системы ортогональных функ­
ций Бесселя, Хаара, Уолша, системы ортогональных полиномов
Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лаггера и др. Примеры ортого­
нальных разложений по таким функциям и полиномам рассмотре­
ны в [7].
Реальные сигналы в,сегда ограничены во времени и имеют не­
ограниченный спектр . В теории для удобства изучения сигналы
часто рассматривают не на конечном интервале [t1, 1t2], а на по­
лубесконечном [О, оо] или на бесконечном [-оо, оо] . Для опре­
деленности начало отсчета совмещают с началом ,сигнала или с се­
рединой. Если сигнал имеет конечную длительность T=t2-i1, его
рассматривают или на интервале (О, Т) или на интервале (-Т/2,
Т /2). Реальные сигналы являются случайными. Несмотря на это,
в теории ча,сто рассматривают сигналы, полностью изве-стные
в любой момент времени. Как уже отмечалось, такие сигналы на­
зывают детерминированными. Теория детерминированных сигна­
лов как теория первого приближения удобна для решения про­
стейших практических задач и полезна для развития теории слу- .
чайных процессов.
Для изучения взаимосвязей сигналов используют такие харак­
теристики, ка 1к взаимная энергия сигналов и взаимная мощно-сть .
Взаилтой энергией двух сигналов называют величину
Т/2
Е12= .\ S1 (t) S2 (t) dt,
- Т/2
взаимной лющпостью - величину
Т/2
Р12 =+ -' s 1 (t)s2 (t)dt.
-Т/2
(2.11)
(2.12)
Различают сигналы, ортогональные по энергии, когда Е12=0,
и ортогональные по мощности, когда Р12=0 . Для ортогональных
сигналов ,средняя мощность и энергия суммы обладают свойством
аддитивности, т. е .
Т/2
Р=+ s[s1 (t)+s2 (t)] 2 dt=P1 +P2 ,
-Т/2
Т/2
Е= .\ [s1 (t)+s2 (t)]2dt=E1+E2•
-Т/2
Сигналы, ортогональные по мощности, образуют более широ­
кий класс, частью которого являются сигналы, ортогональные по ·
энергии. Из ортогональности по энергии всегда следует ортого­
нальность сигналов по мощно1сти, но не наоборот. Только на ко­
нечном интервале, когда Т < оо, условия ортогональности по мощ­
ности и ортогональности по энергии выполняются одновременно.
43

Следовательно, ортогональность сигна ло в тесн о свя зана с интер­
вало м и х Qпределения , Напомни м, что энергия сигн алов измеря­
е тся в ватт - секундах (ватт на ге рц), а средняя мощность - в ват­
тах .
Взаимная э нергия и взаимная мо щность характеризуют сте­
пень сходства сигналов. Если два сигнала полностью совпадают,
то Р12= Р21=Р, где Р - мо щность сигналов. Такие сигналы назы­
ваю т полно с тью когерентны ми . Для ортогональных п о мощности
.с игналов Р12=Р21=0, следовател ь но ,. ор то гональны е сигналы пол­
ностью некогерентны. Еслй О<Р12< Р или О<Р21< Р, то сигналы
называют частично-когерентными.
Контрольные вопросы
1. В чем сущ н ость ортогонального р азложения сигнала?
2. За п иш и те условия ортогона :1 ьностн н орт о норм иро ва нн ости фу1-11щий.
3 . Как опр~деляют коэ ффиц иент ы ортонорм11рова нны х разложеннй?
4. Что та кое среднеква,дра ти ческая погрешность ор тоно рмнрова н ного разло ­
жения?
5. Как определяют относительную погрешность орто н ормированного разло­
жения?
6. Как определяют ортогональность и когерентность сиг н алов?
2.2 . ОРТОrОНАЛ Ь'НЫЕ РАЗЛОЖЕН+"IЯ КОТЕЛЬНИ'КОВА
Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных .сигн-алов с огра­
ниче нны ми и полосовыми спект ра ми, так же как и преобразования Фурье дл я
периодическ их и непериод и чес~шх сигналов, являются .примерам-и наиболее рас­
прост раненного пр именения ортогональных разложений . Рассмотрим основные
особе нности ортогональных разложе ний Котельникова .
2.2 .1. Ортогональное разложение l(оте ,н,никова для непр ерывных сигналов
с ограниченными спектрами имеет важно е значение, так как позволяет пред ­
ставлять н епрерывные сигналы в в и де ,ю1nульсных ,последова тельностей . Теоре­
тической основой разложения служит теоре.ма ](отельншсова (теорема отсчет ов):
любая непрерывная функщия s (t), не со,держащая частот выше F, по лнос тью
определяется по следов а т ельнос тью своих значен ий в моменты времени, отстоя ­
Щ,!е друг от д ру га на ннтер-вал Лt=1/2Р. С доказательством теоремы мож но
позн;щомиться в у ч ебн н ках [1 -3]. Общее чи сло о тсч етов для сигнала дли ­
тельностью Т n=T iЛ t=2FT=v, т. е . равно базе сигнала.
Ортогональное р азложение Кот ельникова для с игн ала s'(f) , спектр которого
лежи т в ин тервале [О, F], им еет вид [ 1-3]:
00
s(t)= !J sin27tF(t-kлt)
s (kлt) 2'itF (t - kлt)
•
(2.13)
k=- oo
{ sin27tF(t- k_llt) \ _
где s (kлt) = sk - отсчет сигнала в момент вре~1ени tk;
2'itp (t _ k!lt) (
базис н ая система ортогональны~ функций с общей нормой l /2F; ., Лt=l/2F -
интервал дискрет и заци и, равныи норме базисных ф ующий _ Функции g1, (t) =
=sin 2nF (t-kдt) }'NotFt(t-kЛt ) -- называют фун-кциями отсчетов, а значения
sh - отсчета.ми. Гр афик функции отс ч етов приведен на рис. 2: 1.
44

Ортогональность функц и й отсчетов легко пр оверяется непосредственно пу­
тем вычислени я инте грал а
00
(' sin2т.F(t- kM)
.) 2т.F (t - k!Jt)
sin 2т.F (t-jM)
[1!2F,j=k,
2пF(t-jлt) dt= \ О, j:f-k.
-00
И нт е р вал дисr,рет и за ции, 1<ак ви днм, не превышает половины п е риода на и более
выс о к ой частоты спектра с игн ала .
Из равенства Пар·севаля (2.7) с ,1едует, что эне рг ия непрерывного си гнала
с ограничен н ы м спектром определяется ч ерез отсче ты:
00
00
5 1,.,
Е=
s2(t)dt= 2р~s'k·
(2. 14)
-00
-00
Ещ е раз следует подчеркнуть, что в природе н е т сиг н алов, ко т орые имеют
од новре менно ограничен н ую длительность н ограничен ный опектр . Однако в и н­
же нерных расчетах ,необходамо учиты ­
вать ту часть спектра, в которой сос ре­
д о точено 80-95% энергии ,оигнала. По­
этому чаще в:его боль шинство сигналов
ра,ссматривают как сигналы с ограничен­
ными спектрами. Если сигнал существу­
ет на интервгле [t 1, 1t 2], то число чл енов
ряда (число отсчетов) .выбирают ра,вным .
(t2-t1) /Лt=2TF=,, . На,пример, у теле­
фоююго •сиnнала 95 % энергли сосредо­
точено в :полосе ча·с'J10т ,300-3400 Гц.
Если верхней частотой •считать F=
=34.00 Гц, то частота дискретизации это­
го сиr,нала 2F=6800 Гц.
Достоинства ортогонального разло­
жения Котельнакова (,2.13) ,следующие:
t
Рис . 2.1. График функции от счетов
базисная систе,ма ортогональных функций выбрана так , что ряд ,(2 :13) носит
фор,мальный _характер, т. е . в любой момен т времен и отсчета t1, этот рпд дает
т ольк о одно з нач е н ие Sk, все о с тальные составляющие ряда вырождают,ся в нуJiь;
коэ ффици е нты ряда (2 .13) нет н е обх од имо ст и вычис лять: о ни определяются
непосредственно путем и з-мере ния з начений сигн ала или из е го а на л и т,ической
формы; зная длитель ность сигнала Т и 11р ан ичн ую частоту F, легко о•пределить
тре буемое чис ло отс четов n=2TF и эне рг и ю с игн ала из (2.14); относительная
п ростота ап,па~атурно й реализации как -разложения (сдиокрет и за ц ин) непрерыв­
ного -сигнала в импульсную последоrзателыюсть, так и п о с ледую ще го его вос­
стан овл е ния.
На посл едней особенности, имеющ ей ·важное практическое значение, целе ­
сообраз н о остановитr,ся бoJiee подробно. Для этого рассмо три м физи,1еский
см ысл разложения Котельникова. Кажсды й член суммы разложении (2. 13)
представляет ·собой отклик идеального фильтра нижних частот g1, (рис . 2 . 1)
с частотой с р ез а F на очень ,ко ро 11к ий импул ьс, приходящий в .момент времен и
t1,=kЛI и им ею щий площадь, ~р авну ю S1 (kЛt) . По этому при диск ретной передаче
сиг н ала s (,t ) с ограниченным спектром по каналу связи необ ходимо через рав­
ны е интервалы времени ,.Лt брать отсчеты ,мтновенных зна ч е ни й сигн а ла и пере ­
дав ать по ка налу последовательность достаточно коротких импульсов длитель ­
н остыо т(т/Лt« 1) , амплитуда которых А" в моме нт времен и t,,=kЛ( выби: '
рается та1' , чтобы Akт=s (kЛt) .
В приемном ус тройстве выделенная п оследовательность видеоимпульсов про­
пускается ч ерез филы1р нижнн х час тот, на вых оде кото р ого вос-станавшrвается
пере,данный непре ры вны й сигнал. Длительность н м,пульсов т может быть сколь
угодно -малой, но реально в ыбирае тся исходя нз полосы прозрачности канала
с вязи . Частота ,дискретизац и и {тактовая частота), как у же о тмеч ал ось, рав ­
ла 2F.
45

2.2.2 . Ортогональное разложение Котельникова для непрерывных сигналов
с полосовыми спектрами. Бели сигнал s (t) имеет поло;аовой спектр и ши,рина
полосы спецтра ЛF 1 =f2-f1, то такой непрерывный сигнал :можно представить
в виде следующего ортогонального ,разложения [1-3]
00
~'
( k) sinтсдF,(t- klЛF1)
s(t)= i,,,J 5 ЛF1 тcЛF1 (t-k/ЛF1) Х
k=-oo
ХCOS [Wo (t-Д~l ) +~(Д~t)] •
(2.15)
Здесь среднее значение угловой частоты спектра сигнала Wo=2n(f1+f2)/2;
лt=l/2Лf 1 ; s, (k/.Лf 1 ), r:p( :k/ЛF 1 ) - отсчеты амплитуды и фазы сигнала в момен­
ты времени tk=,kЛt. Следовательно, для сигналов с ,полосовыми спе~страми не­
обходимо через интервал дискретизации отсчитывать не только мгновенные зна­
чения а,м.плитуд, но и uVIгно·венные значения фаз. Так, например, выполняют ди­
скретизацию о~днополосных сигналов, типичных ,сигналов с полосовыми спектра­
ми. Если телефонный •сигнал ра,ссматривают как сиг н ал с лолосовым спектром,
частоту дискретизации выбирают, равной 6200 Гц (см. пример в п . 2.2 .1).
Основные особенности ортогонального разложения Котельникова (2. 15)
следующие: базисная система в,ключает совоку,шюсть ортогональных функций
отсчетов, каж,дая из которых представляет модулированное ·колебание с несу­
щей частотой .w0 и огибающей, определяемой функцией типа gk•(t); .помимо
отсчетов а,м,плитуд, ,берутся и отсчеты фаз; если длительность сигнала Т, то
количество отсчетных точек n=T/Лt=2TЛF1. Ортогональные разложения Ко­
тельникова являются теоретичес1сой основой ,большинства ~методов дискретной
пе,редачи непрерывных сигналов . Они по зволяют с единых позиций ,рассматри­
вать передачу •как дискретных, так и непрерывных сигналов.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему Котельникова.
2. Запишите и поясните ,сущность ,ортогонального рюложения Котельникова
для непрерывных си гн алов с ограниченными спектрами.
3. Укажите достоинства разложения ,(2.13) .
4. Поясните физический смысл разложения 1(2.13).
5. Запишите и поясните сущность ортогонального разложения Котельникова для
непрерывных сигналов с полосовыми спект р ам и .
6. В чем практическая ценность разложений Котельникова?
2.3. l<Оf'i.f'IБЛЯЦИОННЫЕ 1И СПЕКТРА,ЛЬНЫЕ ХАРА1КТЕF\ИСТИКИ СИГНАЛОВ
1И ПОМЕХ
Корреляционные и спектральные ха ра ктеристики случайных процессов де­
тально рассматриваются в статистической радиотехнике. Поэтому здесь целе­
сообразно •кратко систематизировать лишь те сведения о характеристиках, ко­
торые необходимы для изложения последующих разделов.
Корреляционная функция K(t 1, t 2 ) показывает взаимосвязь ,(корреляцию)
значений X(ti)=X 1 и X(t2 )=X2 случайного процесса X(t) ,в моменты времени
t1иt2[7,15]:
00
к (tp t2) = s.\ (Х1 -1111) (Х2 - т2) f2 (Х1, Х2; ti, t2) dx1dX2,
(2.16)
-00
00
где т; = JxJ1 (х;, t;) dx, -математическое ожидание процесса в моменты t;;
-00
46

f1(Xi, ti), f2 ,(Xi, х2 ; t, "
t2 ) - одномерная и двумерная плотности распределения
X(t). Если K(t 1, t2 )=0, сечения Х, и Х2 -некоррелированны.
Для стационарных случайных процессов m,=m2=m, а корреляционная
функция зависит только от т=t2-t 1 [ 1-3], т. е.
00
K('t)= Si(x1-m)(x2-m)f2 (xi, Х2; s:)dx 1dx2•
(2.17)
-00
Часто ие,пользуют нормированную корреляционную функцию р (т) =
=К(т)/К(О), где К(О) является дисперсией q') процесса. Функция р(т) обладает
следующими овойствами: p(O)=l; р(О)~ I Р' (т) 1; р(т)=р l (-т); если m=O,
limp ('t) = 0.
Интегральной характеристикой вре,мени корреляции сечений процесса слу­
жит интер ·вал корреляции
00
дs:= 2 j' lp ('t) 1d't.
о
(2. 18)
Если сечения отстоят друг от друга на расстояние большее Лт, для инженерных
расчетов их считают некоррелированными.
Операцию определения корреляционных функций с помощью интегралов
(2.16), 1(2. 17) называют усреднением по множеству , (по ансамблю). Для сокра­
щения записи обозначим ее через М[ •]. Например, (2.117) сокращенно удобно
за п исывать так:
В эке,периментальных исследо.ваниях характеристики случайных .процессов
получают чаще всего ,у,среднением ,по времени. Эту операцию обозначим через
( • ). Оценка математического ожидания •процесса по j -й реализации длитель­
ностью т
Т/2
m''i(Т) = (Xj(t))=+ J Xj(t)dt.
-Т/2
Оценка ·корреляционной функции
Т/2
(2. 19)
K*j(,:, T)=([Xj(t)-m*][Xj(t+'t)-m*])=+
. \ [Xj(t) - m*][Xj(t+
-Т/2
+'t) - т*]dt.
(2.20)
(Звездочка указывает, что оценки являются случайными величинами, которые
зависят от номера j выбранной реализации и длительности интервала наблю­
дения Т.)
Стационарные случайные процессы, у которых средние по времени совпа­
дают в предельном смысле со средними по множеству, называют эргодическими,
а такое свойство процессов - эргодичностыо. Например, для эргодических про­
nессов для любого j с .вероятностью единица выполняются условия
M[X(t)]=lim(Xj(t)), j=l, 2, ... ,
Т➔оо
М [(Х1 -т) (Х2 -т)] = lim ([Xj (t)-m*] [Xj (t + 't)-m*]).
Т➔оо
(2.21)
Эргодичность процессов имеет ·важное практичес-кое значение потому, что на­
блюдение за большим числом реализаций случайного ,μроцесса можно з ам енить
наблюдением всего лишь за одной, но достаточно .продолжительной реализацией.
Полученные таким образом характеристики процесса (математическое ожидание,
47

дисперсия, корреляционная функция, спектральная плотность и д р.) б уду т с до­
статочной для инженерных расчетов точностью совпадать с теми, ·которые полу­
чают путем 'обработки большого числа реализаций.
Корреляционные и спектральные характеристики случайного процесса свя­
заны соотношениями Хинчина - Вннера [1-3, 15]:
00
00
О (ro) = 5!( ('t) е-iш, d't = 2 S!( ('t) cos ro'td't,
-00
0
1
/( (1:) = 2-.t
ro
оо
5n iш,
lС
"" (ro)е dro = -;-JО(ro) coscмdw,
-ro
(
(2.22)
где Q (w) - спектралы-rан плотность случайного нроц есса. Эти соотношения яв­
ляются преобразованиями Фурье длн • случайных проце ссов . Особенность и х
в том, что в ·инт ег ралах фигурируют не сами проr~ессы, а их корреляционные
функции .
Из (2.22) следует, что дисперсия процесса
00
Ю=!((О)= -
1 fО(ro) dro.
',t
)
о
(2.23)
Интегральной характеристикой с п ект ральной плотности проц есса служит
ширина спектра
00
1\'
дrо = ~ О (w) clro = т.fi)/Qm·
111_
(2.24)
о
Ширина спектра - это основание .прпмоугольника с высотой Qm, площадь ко­
торого равна п ло щади под кривой Q(,w) •(Qm -макси·мальное значение Q(ш)).
Наряду с коррел яционной фунrщией и с11ектральной плотностью используют
взаимно-корреляционные функции н взаимные спектральные плотности процес­
сов. Взаимно-r<орреляциоиная функция двух процессов Х1 (t) и Х2 (t)
f(1 2(т)= М[[Х1(1) - т1] [Х~(t+т)-т2]],
(2.25)
где m 1 и т2 - математические ожидания этих пр оцессов. Взаимная спектраль­
ная пл отность
00
00
0 1 • 2 (ro) = 5К,. 2 (1:) e-i""d't= 2 .\ К,, 2 (1:) _cosro1:d't.
(2.26)
-()О
о
Если взаимные характеристики двух проц ессов, полученные путем усредне­
uия по -множеству, сояпацают с характеристика .ми. полученными путем усред•
нения по времени, то такие процессы на зывают совместно-эргодическими.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение корреляционной функции слу чайного процесса.
2. К ак определшот интервал -I<орреляции?
3. Как экспери ,ментально оценивают хара 1перистики случайных процессов?
4. Какие слу чайные процессы называют с1ргодическими?
5. Какими соотноruешшми связаны корреляционные и спектральные характери-
стики проце::са?
6. Как определить дисперсию процесса по его спе,ктральной плотности?
7. Как определяют ширину с-пектра случайного процесса?
8. Даj1те опр~деление взаимно-корреляционной фушщни и взаимной спектраль­
нои плотности.
48

2.4 . ОСН'ОВНЫе МОДЕ1ЛИ СЛУЧАЙНЫХ 01ГНАЛОS И ПОМЕХ
Наиболее распространенными моделями _ случайны х -сигнало в
и помех являются телеграфный сигнал , белый шум, гауссовский
случайный процесс, гауссовский белый шум. Рассмотрим вероят ­
ностные х арактеристики эти х процессов.
2.4.1. Телеграфным сигналом называют случайную видеопо сл е ­
дователыюсть прямоугольных положительны х и отрицат е льны х
импульсов -со -случай_ными длительностями т1 , т2 и детер м иниров а н­
ными амплитудами а, -а.
Если длительности импульсов распределены по показательным
законам f1 ('t 1), f 2 (-c 2) с параметрами л, и 12 , т. е. f1 (-с,)=л1е•-л1•1,
f2 (-с 2)= л2е-'''', то телеграфный сигнал является стационарным случай­
ным процессом, •который имеет показате льн у ю корреляционную
функцию (1, 15]
(2.27)
где cr2 - дисперсия процес-са; а=л 1 + ,?v2 - пара ме тр, з начения кото­
рого полностью определяют корреляционные и спектральные свой­
ства телеграфного сигнала . ,
Телеграфный ,сигнал обладает важным ,свойством . И з мен е нием
а можно в широком диапазоне изменять 1<орреляц и онные и спек­
тральные характеристики проце-сса. При а->-0 х аракт е ристиiпr те­
леграфного сигнала приближаются к х арактеристик а м постоянной
со·ставляющей, при а-+оо -1< характеристикам белого шума .
Определим интервал корреляции, ,спектральную плотность и
ширину спе-ктра телеграфного сигнала. Интерва л -корр е ляции най ­
дем по форму 'le (2.18)
(2.28)
Из (2.28) след ует, что чем больше а, тем меньше в ре мя корреля­
ции процесса. При а-+0 Лт-+оо и процесс вырождаетс я в детерми ­
нированный. При а-+оо_ Лт-+0 и процесс вырожда ет ся в белый
шум, у которого все сечения, в том числе и соседние , не r<оррели­
рованы.
Спектральную плотность телеграфного сигнала опред ели м с по­
мощью (2.22) :
00
.
п
~2-<ФI
d_2а2а
~~(ш)=2 о е СОSШ'С 'С--2-1-2>
а-г(1)
о
(2.29)
На рис. 2.2 и 2.3 показаны графики ф у нкций К(т) и ,Q (w) при
a1< •az.
4-886
49

В соответ,ствии ·с (2.24) ширина спектра телеграфного сигнала
СХ)
а~•
2а2а d
•
Дw •а
Лш=-22
~+2 ш=а7t, ЛF1=2-= -
а
аw
11:
2•
'
о
(2 .30)
При <t-+0 Леu-+0 и процесс вырождается в постоянную составляю­
щую. При а-+оо Леu-+оо и процесс вырождается в белый шум,
у которого спектральная плотность постоянная в широком диапа­
зоне ча ·стот.
/(('tJ
'('
Р ис. 2.2. Графики K(,r) при а1 <а2
li)
Рис. 2.3 . Графики Q (w) при
а1<•11⁄2
Интересно отметить , что для телеграфного сигнала произведе­
ние
(2.31)
Отсюда следует важный вывод, что спектр случайного процесса
тем шире, чем меньше интервал корреляции процесса.
2.4.2. Белый шум попользуют как модель наиболее тяжелого
вида помехи в каналах связи. Он является стационарным случай­
ным процеосом с постоянной ,спектральной плотностью ,Q•(eu)=Qo.
Название «белый шум» возникло по аналогии с применяемым
в оптике понятием белый свет, который содержит все цвета спек­
тра и все спектральные •составляющие которого имею .т примерно
о динаковую энергию .
Определяя белый шум как предельное состояние телеграфного
сигнала при а-+оо, найдем свойства белого шума. Умножим и раз- .
делим выражение для спектральной плотности телеграфного сиг­
нала на а. Введем спектральную плотность белого шума
Q0 =2cr2 J,a,
(2 .32)
тогда
(2.33)
Из (2.33) следует, что lim 1Q·(,eu) = •Qo, если и cr 2-+oo так , что
lim (a'2/•a)=const.
а11, а;➔ОО
Рассмотрим, как изменяются диспер ,сия и корреляционная
функция телеграфного сигнала при а-+оо . . Используя (2 .32), вы ­
разим через а ди1сперсию
cr2-0,51Qoa=•Q(IЛF1.
(2.34)
50

По физическому смыслу спектральная плотность - это мощ­
ность процесса, которая приходится на 1 Гц полосы частот, так
как Q0=a2 /ЛF1. Из (2.34) следует, что lim а 2---+оо, т. е. мощность.
«➔00
белого шума не ограничена. Подставив значение
(2.34) в (2.27), получим
К (1:) =0,5Q0ae_, . itl .
Так как limae-" 1' 1-o при J1:/=FO, то limK(,:)--,.0.
«➔оо
« ➔ оо, 1,1*0
мощности из
(2.35)
При \,: 1__, О
и а--,. со, но так, что а J,: [= const, lim К(,:)--,. со. Поэтому кор­
«➔оо, 1,1➔0
реляционную функцию белого шума в окрестности точки i:=0 ап­
проксимируют дельта-функцией [ 1, 15] и записывают ее в виде
K(i:)-0,SQoб('t) .
(2.36)·
Определим спектральную плотность белого шума через К (-с):
00
Q(ш)=2 j 22 o(,:)cosш1:d,:=Q0 •
о
(2.37).
Таким образом, белый шум обладает следующими свойствами:
спектральная плотность белого шума постоянна, значения белого ,
шума при любых \-с 1=FO не коррелирова­
ны, дисперсия белого шума бесконечна.
lv'\.ногие помехи в технике связи, вы­
числительной технике и других областях
рассматривают как белый шум. К таким
помехам относят фл'уктуационные шумы,
помехи в многоканальных системах и
сетях связи и др. Важно отметить, что
белый · шум является идеализацией.
В природе не существует источников сиг­
налов и помех, которые могли бы обес­
печить бесконечную мощность сигналов
и помех, а также генерировать реализа­
ции процессов с некоррелированными
близкими отсчетами. Тем не менее, этой
!J((J}
Рис. 2.4 . Графики спектраль­
ных характеристик сигнала­
(!) и помехи (2)
идеализацией можно пользоваться, если действие помехи с шири­
ной спектра Лrо 2 рассматривается в полосе частот ,Лrо 1 полезного­
сигнала или системы и соблюдается условие
Л1rо,/.Лrо2« 1,
(2.38)
а ,спектральная плотность помехи Q2(ro) слабо изменяется на
интервале Лrо 1. На рис. 2.4 эти условия иллюстрируют графики
спектральных характеристик -сигнала (систем,1:,1) и помехи. Харак­
теристиками помехи как белого шума служат спектральная плот­
ность Qo и средняя мощност~ в полосе частот сигнала
4*
(2.39)
5!

Частотные составляющие помехи, которые лежат за пределами
полосы пропускания системы, в инженерных расчетах можно не
учитывать.
2.4.3. Гауссовский процесс. Случайный процесс, п-мерная плот­
ность раопределения которого имеет вид
,
(2.40)
называют гауссовским. Здесь
R11 R,2.
Ru,
А=R2, R22 •
R2п
Rm П.112.
R,,,,
-
определитель; cr 2 - дисперсия процесса; m=O; Ri!,=K (ti, t,,);
Ail, -
алгебраическое дополнение Rik в А.
Для стационарного процесса Ri1,=R1,i=K (т), где т=t,,-ti. По­
этому для гауссовского процесса по корреляционной функции
можно определить плотность распределения любого порядка. Пер­
вые две плотности распределения этого процесса им е ют вид:
f,(x)=Vl е-х'/2'2, хЕ:(-оо, ос),
(2.41)
2тса2
f(
)
1
Г .х:2, + .х:22 + 2о (~) х,.х:2]· (2 42)
2X1:X~,'t =2"a2V1-p2('t) expl--
• 2a2[ 1 -p2('t)j
'
•
где нормированная корреляционна'я функция р(т)=К(т) /cr 2.
2.4.4. Гауссовский белый шум. Если гауссовский процесс явля­
ется белым шумом, все п сечений его некоррелированы, Ai1,= 1,
A=l, Pu,=R1,i=Oi1, (oil, -
символ Кронекера). Поэтому плотность
распределения п-го порядка для гауссовского белого шума опреде ­
ляют как произведение из п одномерных плотностей распреде ­
ления
п
f,, (х,, х,,; t,, t,,) = П f (х;,
i=1
Распределенное по закону Гаусса колебание образуется в резуль­
тате сложения большого числа независимых или слабо коррели­
рованных случайных колебаний .
Контрольные вопросы
1. Какие модели случайных сигналов и помех наиболее ра спространены?
2. Опишите свойства и х арактеристию-r телеграфного сигнала .
3. Опишите свойства н ха рактеристики белого ш ума .
4. Опишите свойства и харак теристики га уссовско го процесса.
5. К:ак определяют многомерную плотность распределения га уссо вского белого
шума?
52

2.5. КАНОНИЧ Е СКИЕ И Н ЕКАНОНИЧ Е СКИЕ РАЗЛОЖЕН'ИЯ СЛУЧАЙНЫХ
СИНfАЛОВ И ПОМЕХ
Каноническим разложением случайного процесса Х (t) называ­
ют ортогональное разложение типа
п
х(t)=s Xk'fk(t), tЕ[О,Т],
(2.44)
k=O
,де {cpk (t) }- си-стема ортогональных или ортонормированных
функций; Т - интервал наблюдения или длительность процесса;
n=2TP, Р - верхняя частота -спектра процесса (если F -+=, то и
n-+=); {Xk} ~ система некоррелированных случайных величин.
Для стационарных случайных процессов наиболее удобны раз­
ложения по гармоническим функциям
п
Х (t) = т +2-i (ak cos шkt-j- bk sinшkt),
k=I
(2.45)
где m=M[X(t)]; M[a1J=M[b,,]=0 М[а2 1,] = МfЬ 21<]=v2k=.®,,­
дисперсия k-й гармоники; W1<=k-w 1 ; w1=л/Т .
Корреляционная функция разложения (2 .45)
"
K(1:)=S '!JJkc.psш,,1:,
(2.46)
k=I
где т:--'t2-f1. Так как дисперсия .® стационарного случайного про­
цесса равна его корреляционной функции в начале координат, то
п
(2.47)
k=I
· Из (2.47) следует, что так же, как и для детерминированного сиг ­
нала (см. (2.7)), мощность случайного сигнала равна сумме мощ­
ностей гармонических составляющих разложения (2.45). Формула
(2.47) показывает, ,как мощность процесса распределена по гармо­
никам.
Покажем, как определяют дисперсию .®,, по I<орреляционной
функции К(т:). Умно.жив п очленно равенство (2.46) на cos Wj'l: и
проинтегрировав результат по т: в пределах от О до Т, получим
т
п
т
JI( (1:) cos Юi't d't = д '!]Jk scos U)k't cos Юi't d1:.
О
k=I
О
При k=I= j интеграл в правой ча-сти равен нулю, а при k=J он ра­
вен Т /2 - норме базисных функций. Поэтому
т
f[)k= J .\K(1:)cosшk1:d1:, k=l, п.
о
(2.48)
53

С увеличением длительности Т процесса число отсчетов п так­
же растет, ,спектр частот процесса становится непрерывным . Слу­
чайные величины в (2.45) необ х одимо заменить бесконечно ма ­
лыми случайными величинами а (w) dw и Ь (w) dw , а сумм у заме­
нить интегралом по ill. Тогда
00
Х(t) =m + S[а(ш) cosшt+Ь (ш) ~inшt] dш.
о
Обозначив бесконечно малую дисперсию !?l)k случайны х величин
a(,w)dw и b(w)dw через ·Q(w)dw, после необ ходимых преобразова­
ний получим уже известное соотношение Хинчина - Винера (2.22)
для . корреляционной функции процесса. Путем предельного пере­
хода при Т-= аналогично получают : соотношение Хинчина -
Винера (2.22) для спектральной плотности .
Нестационарные случайные процессы также можно представ­
лять в виде канонических разложений по гармоничfским функци­
ям. Однако коэффициенты таких разложений получаются уже
коррелированными между собой, что неудобно для решения при­
кладных задач. Поэтому для ортогональных разложений нестацио­
нарных случайных процессов отыскивают другие базисные систе­
мы, которые приводят к некоррелированным коэффициентам . При ­
мером такого разложения служит разложение Лоэва - Карунена.
Рассмотрим физический смысл интервала дискретизации в ка­
ноническом разложении Котельникова для случайны х процессов .
Для этого найдем ,связь интервала дискретизации и интервала
корреляции . Ширина ,спектра непрерывного случайного процесса
с ограниченным спектром Лw=2'JТ,F. Так как Лi=l /2F, то
(2.49)
Ширину спектра процесса выразим через его дисперсию !?l) и мак­
симальное значение спектральной плотности .Q m и з формулы
(2.24), тогда
(2.50)
Дисперсию процесса определим через интервал корреляции и зна­
чение спектральной плотности в начале координат Q (О) из •Соот­
ношения
тогда
2l>=Q·(0) / Лт.
(2.51)
Под:ставив значение диспер,сии из (2.51) в (2.50), найдем
лt = о~;) л't.
(2.52
54

Соотношение (2 .52) играет важную роль, оно устанавливает
связь интервала дискретизации случайного процесса с интервалом
корреляции и з начениями спектральной плотности Qm, ,Q,(O') . Так
как
(2.53)
то и отношение
(2 .54)
Следовательно, если интервал дискретизации ,случайного ,сигнала
выбирать в соответствии с теоремой Котельникова , то отсчеты
будут некоррелированными.
Существенными недостатками канонических разложений слу­
чайных процессов являются большое число ,случайных переменных
и низкая эффективность при анализе нелинейных •систем. Поэтому
разрабатывают и неканонические представления случайных про­
цессов, например в виде нелинейной функции нескольких случай ­
ных аргументов.
Удобное неканоническое представление предложил В . И . Чер­
нецкий. Это представление по зволяет абсолютно точно в рамках
корреляционной теории описывать стационарные случайные про­
цессы в виде детерминированной функции всего лишь трех слу­
чайных аргументов . Рассмотрим основные особенности . этого пред­
с тавления.
Если в разложении (2.45) допустить, что частота также явля­
ется непрерывной случайной величиной, то любой случайный про­
цесс Х (t), как доказано в теореме Чернецкого, можно представить
в виде
Х (t) =m ('t) +а cos wt1+b sin wt,
(2 .55)
где m(t)=M[X(t)], а, Ь, w-независимые случайные величины,
которые определяют по характеристикам процесса. В (2.55) со­
кращение числа случайных переменных и числа гармоник произ­
ведено в результате пере х ода к нелинейному представлению .
Если в представлении (2 .55) М[а] =М[,Ь] =0, М[а2 ] =
=М[Ь 2] =q'J, закон распределеiшя (J)
00
f (ю) = 2~ J' р ('t) e-i"''d't,
(2 .56)
-00
процесс ЛХ (t,) =Х (t)-m (,t) является стационарным, то с помощью
(2 .55) удобно описывать случайные процессы, приводимые к ста ­
ционарным п у тем центрирования - вычитания из процесса его ма­
тематического ожидания . Спектральная плотность процесса
O (w) =2л.9Df(w) ,
(2.57)
следовательно, плотность распределения частоты можно найти и
по спектральной плотности, если известна дисперсия проце с са .
Если обо з начить а-А cos Ф, Ь=А sin Ф и применить формулу
косин у са разности двух углов, то стационарный процесс ЛХ (t)
55

можно представить в виде гармонического колебания, которое имее 1
случайные амплитуду, частоту и фазу,
ЛХ (t) =А cos (wt-Ф),
(2 :58)
где А= Va 2 + Ь2 ; Ф = arctg (Ь/а). Представление (2.58) для стацио­
нарных случайных процессов является удобным для решения мно­
гих инженерных задач. Например, используя (2.58), нетрудно
обобщить результаты анализа всех видов модуляции детермини­
рованной гармонической несущей на случайные стационарные не­
сущие.
Контрольные вопросы
1. Что называют канонически,м разложением <::лучайного процесса, какое раз-
ложение наиqолее удобно для стационарного процесса?
2. Как о:пределяют корреляционную фун1щию ра зложе ния ?
3. Как олределяют дио персии гармоник по корреляционной функции процесса?
4. Как нолучают из канонического разлож ения соотношения Хинчина - Винера,
.5. Как ,авязаны интервал д ис кретиза ции и интервал корреляции процесса?
6. :Назовите особенности неканонического представления Чернецкого?
2.6. УЗКОПОЛОСНЫЕ И АНАЛИТИЧВО~ИrЕ СИiГНАЛЫ
Узкополосные и аналитические сигналы широко используют
как модели реальных сигналов и поме х. Процесс называют узко­
полосным , если
Лw/wo4:..l,
(2.59)
где ширина ·спектра процесса Лw=w2-w1, а средняя частота wo=
= (w2+w1) /2. Реализации узкополосных процессов можно наблю­
дать на выходе схем, работающих на высоких и промежуточных
X(t}
Рис. 2.5. Реализация узкополосного
t
процесса
частотах. На экране осциллографа реали за ция узко полосного про­
цесса имеет вид синусоиды с медленно меняющимися амплитудой
и частотой (рис. 2.5).
Используют две основные равноценные формы аналитического
представления узкополосных процессов: в виде амплитудно-частот­
но-модулированного колебания
Х U) =А (t) cos [ wot1+Ф(t)],
(2.60)
56

где А (i,) - огибающая процесса, Ф(t)
-
фаза, и в виде суммы
двух амплитудно-модулированных колебаний
X(t) =а (t)cos woi+b (t) sin wot,
где
а(t)=А(t)cosФ(t), Ь(t)=А(t)sinФ(t),
А(t) = Va2 (t)+Ь2(t), Ф(t) = arctg[Ь(t)/a(t)],
(2.61)
(2.62)
(2.63)
Нетрудно заметить, что выбор формы связан с выбором систе­
мы координат. В полярной системе координат применяют пред­
ставл_ение (2.60), в декартовой - (2.61). Соотношения (2.62),
(2.63) устанавливают связь между ха рактеристиками узкополос­
ного процесса в полярной и декартовой си~теме координат.
Представление (2.61) можно рассматривать и как частный
случай ортогонального разложения (используется всего лишь одна
гармоника). В то же время введение зависимости коэффициентов
разложения от времени позволяет получить ряд полезных для
описания модулированных ,си гналов свойств. Составляющую а (t)
называют синфазной, а Ь (t) - квадратурной, говорят, что а (t)
и Ь (t) находятся в квадратуре. Функции а (t), Ь (t), А (t), Ф(t.)
являются медленно меняющимися функциями по отношению к гар­
моническому колебанию с частотой wa.
Функции а (t) и Ь (t) можно рассматривать и как ортогональ­
ные составляющие комплексной огибающей
(2.64)
а в более общем случае узкополо·сный процесс Х (t) - как ве­
щественную часть комплексной функции
где
Х(t)= Х(t)+iX(t)= А(t)ехр{i[Ф(i)+ю.f]},
Х(t)= Re[.Х(t)]=А(t) cos[Ф(t)+юi],
Х (f)=lm [.Х (t)] =А (t) sin [Ф (t) + шi]-
(2.65)
(2.66)
Комплексная форма (2.65) записи узкополосного процесса .
является обобщением символической записи синусоидальных ко­
лебаний, в которой А и Ф рассматривают не как постоянные ве­
личины, а как функции времени.
Если Х (t) и Х (t) составляют пару преобразований Гильберта
со
00-
Х(t)=
-
1 ('х(1) d-r,,
.t
J t--r,
Х(t)= ·-
_ 1 sх (10) d-r,,
.t
t-
'r,
-ос
-00
то сигнал .Х (t) называют аналuтuч.ескuм.
(2.67)
57

Если сигнал Х (t) имеет непрерывный спектр
00
Q_(iФ) = sх (t) e-iwt dt,
~00
то спектр сопряженной функщш Х (t)
Q(iФ)= [-i signw]Q(iФ),
где знаковая функция
-
11,
sigПФ= 0,
-1,
w>O,
w=O,
Ф<О.
(2.68)
(2.6,9)
Следовательно, прямое :преобразование Гильберта можно рас­
сматривать как результат про х ождения Х (t) через линейный че­
тырехполюсник, -сдвигающий фазу всех составляющих с11ектра на
угол -л/2. Комплексная частотная и импульсная характеристики
такого четырехполюсника:
X'(.iw) =-i sign w, g(t) = 1/,лt.
(2.70)
Спектр аналитического сигнала Х (t)
(2.71),
Следовательно, спектр аналитического сигнала является одно­
сторонним и -существует только в области положительны х частот.
Это удобное свойство.
Аналитические сигналы называют ортогональн,ьцнu в усилен­
ном . смысле, если справедливо условие
Т/2
+1Xi(t)k·\(t)dt= о, i=1=j,
(2.72)
-Т/2
где звездочка обозначает величину, комплексно-сопря:женную
Xj(t).
Условие (2.72) равносильно совместном у выполнению дву х
условий
Т/2
Т/2
-j- sXi(t)X1(t)dt=0, + .f xi (t) xj (t) dt= о, i ""F j.
-Т/2
-Т/2
Из соотношения (2.69) -следует, что спектры и корреляционные
функции случайных процессов Х (t) и Х (t) одинаковы . Взаимный
58

энергетический спектр Q 12 ( w) =iQ (w), а взаимнокорреляционная
функция
00
К12 ('t) =-
1- ГQ(ш)sinш'td~.
7t)
(2.73)
о
Покажем, . как определяется корреляционная функция узко по­
лосного процесса . Рассмотрим процесс, спектральная плотность
ксп
Рис. 2.6. Корреляционная функция узкополос ного про­
цесса
которо го равномерна на интервале [w 1 , ffi 2 ] и для всех частот по­
лосы Лw=.w2-w 1 равна Q·. Использовав (2.22), получим
К ('t) =-
1-s"'' Q cos (l)'t dш = .Е_(sinш2't- sinш1't) =
~
п~
дroQ
7t
(2.74)
где 2lJ - дисперсия процесса; р 0 (т) =Ко (т) /2!) 0 - нормированная
корреляционная функция огибающей; Ко(т) - корреляционная
функция огибающей.
На рис. 2.6 показан график корреляционной функции (2.74).
Анализ (2.74) и рис . 2.6 позволяет сделать следующий общий
вывод: для определения корреляционной функции узкополосного
процесса необходимо найти корреляционную функцию огибающей
и умножить ее на cos wот.
Контрольные вопросы
1. Запишите и поясн!iте услов ие узкополосности процесса .
2 . Какие две основные формулы аналитического представления узкополосного
процесса исполь зую т?
3. Как овязаны огибающая и фаза с синфазной и квадратурной составляющими
узкополосного процесса?
59

4. Как за п исыва ют узкополосный процесс в комплек сной фор ме ?
5. Какой сигна:1 называют аналитическим?
6. Запишите условие о ртого на л ьн ости сигналов в усилен но м смысле.
7. Как определяют вза имны й э н е рг ет ич ески й спектр и взаимную корреляционную,
фун кц,:ю сигналов, сопряженных по Гилыберту?
8. Как опр едели т ь взаим ный спектр и взаимную корреляционную ф унк цию снг­
налов, сопряженных по Ги льбер т у?
9. Как опреде ,1нт"' корреляцион н ую ф ункцию узкополосного процес са?
2.7 . РАСПРЕДЕЛЕНИЯ О ГИБАЮЩЕЙ И ФАЗЫ УЗКОПОЛОСНЫХ СИ,ГНАЛОВ
Распределения огибаю ще й и фазы ,узкополосных сигналов по лучают как
результат ф унк цио наль н ого преобразования системы случайнЬiх величин а, Ь
в систему случайных величин А, Ф в соответствии с со отношениями (2.62) ,
(2.63). Алгоритм решения этой задач и следу ющий . Определя ют
- совместную­
плотн ость р аспределения f1 2 ( а, Ь) случайных величин а, · ь . Находят якоби а н
о
2
•
•
Э' преобра зо вания от системы координат а, Ь
4
к системе А, Ф. По плотности расп ределе ни я
f12(a, Ь), якобиану преобразования Э' и соот­
ношениям (2 .63) получают совместную плот­
ность ,ра,спределения f 21 (А, Ф). Ин-гегр·ир ова ­
н-ием этой .плотности по «лишней» перемепно1:F
наход ят одно ме рные плотности распределения
огибающей :f1(A) и фаз ы f2(Ф).
Най д ем по этому алго•рит му законы рас­
пределения ог-ибающей и фа з ы гауссо-в•ского,
с т аци онарного уз-ко-полосного процесса. Пред­
положим, что
M[X(t)] =0, M[X2 (t)] =f?lJ,
К12(т) =М [а (t) Ь (t+т)] =0.
Рис. 2.7. Р ас пределен и е Релея Для га уссов ско го стационарного процесса
квадратурные составляющие также будут нор­
ма льными стационарными процессами ,с пар аметрами
М[a(t)]=М [Ь (t)] =0, M[a2.(t) ]=М[Ь2 ( t) ]=f?lJ,
где f?lJ - дисперсия процесса; К 12 (т) - взаимная ко рреляци онная функци я квад­
ратурных соста вляющих.
Совмес_тная плотность распределения a(t) и Ь (t) в силу их некоррелиро­
ванно с т и равна произведен и ю од ном е рных плотностей:
f12 {а,
Якобиан пр еобразования
1-да/дА
:У=
дЬ /дА
да/дф1=lcosф
дЬ/дф siпф
(ь2)
ехр-2:1)=
-Asinфl=A ,
А соsф
(2.75)
(2. 76)
Совместную п лотность f21 • (А, Ф) получим как прои зведение якобиана пре­
об раз ования на сов-местную плотность распределения f 12 (а, Ь), в которой ста­
рые переменные а, Ь заменим на новые А, Ф, используя (2.63). Тогда
А -A•f2f!J
f2,1 (А, Ф) = 21t:JJ е
(2 .77)
6(')

Проинтегрировав (~. 77) по фазе , получим одномерную плотность распре­
деления огибающей
"
.
-А'/2Ю
j•
А
f21 (А, Ф) clt = 7iiе
•
Аналогично получим плотность распределения фазы
00
так как
f2(Ф) =jf21(А,Ф)dA= 2
11t ,
о
00
5~ e-A2/2D dA = 1.
о
(2.78)
(2.79)
На рис. 2.7 показан график •распределения (2.78), которое известно как
распределение Релея, аргументом являет,с я безразмерная перемеинаn - норми-
рованная по среднеквадратиче-скому отклонению огибающая А /cr ( u= V !Z!).
Распреiделение огибающей существует на интервале [О, оо], максимальное зна­
чение ·плотность распределения имеет при A/u=l.
Математич е_ ское ожидание огибающей
дисперсия
00
М [А]= \ Af1 (А) dA = V n_/ 2 а-:-:--- 1,25,,
о
4-1t
Ю [А] = -2 - а 2 -:-:---0,43Ю.
(2.80)
(2.81)
Анализ (2.79) показывает, что распределение фазы является си,,1метричным
и равномерным. Поэтому математич еское ожида н ие фазы
"
М[Ф]= jФf2(Ф)dФ=О,
-1t
д исперсия фазы
(2.82)
Контрольные вопросы
l. Изложите алгоритм определения плотностей распределений огибающей и фа зы
узк ополосного процесса.
2. Проанализируйте ,свойства распределения Релея .
3. Проанализируйте свойства распределе ния фазы нор м ал ь ного узкополосного.
процесса.
2.8. РАСПРЕДЕЛЕН·ИЯ ОГИБАЮЩЕЙ И ФАЗЫ СУММЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО
КОЛЕ•БАНИЯ И УЗ•КОПОЛОСНОЙ ПОМЕХИ
Рассмотрим сигнал
z(t)=ao COS{Oot+s(t),
(2.83}
который представляет сумму («смесь ») гармоническо го колебания с амплитудой
а0 и узкополосной помехи si(t). Найдем ,распределения огибающей и фазы z ( t).
Представим помеху в виде (2.61), тогда
z(t)=·(a 0+a1) cos wot+b1 s in wot,
(2.84}
61

где а1 , Ь1 - квадратурные составляющие помехи . Огибающая н фаза z(t) со­
·ответственно записываются в виде
(2.85)
Используя рассмотренный в § 2.7 алгоритм, находим
(2.86) J
где с,2 - дисперсия помехи; 10 - модифицированная функция Бесселя нулевого
порядка [!).
т,.(Ф)
1!l
f
7t 27t ;;ф
ут
Рис. 2.8 . Распределение фазы
Рас п реде л ение (2.86) называют обобщенным релеевским распределением
или распреде ле ние1,1 Райса. На рис. 2.7 показаны графики этого распределения
при a0 /u=0, 2, 5. Анализ графиков приводит к следую ще му выводу : при ~Малых
отношениях сигнал/шум (a 0 /cr« 1) распределение (2.86) близко к распределе­
нию Релея; при больших отношениях сигнал/шум (a0/u~ 1) оно стремится
к нормальному распределению с математическим ожиданием, равным а0 , и ди­
сперсией u2 .
Плотн о сть распределения фазы
I
(а2)
аcosф[
(а0cosф)]
f2(Ф)= 2" ехр\- 2"; +2°Jf2м2 1+Fк
2"2
Х
( a20 sin2 Ф)
Хехр -
22
'
'
"
(2.87) '.f
где
и
2 s-Z'/2
Fк(и)=у~ е dz.
(2.88)
о
-
ф у н кция Крампа (интеграл вероятности) [2) .
Функц и я Кра1,ша связана с функцией Лапласа Ф л соотношением
Fк(и)=2Фл(и)- 1,
(2.89)
где
и
1+1\-z2/2
Фл(и)=2 у·-- е
dz.
27t .
(2.90)
о
Функции Крампа и Лапласа табулированы [1-3] и, используя их, можно по ве.
личине и найти Fк. (и) [2]. Функция Крампа ·обладает следующими свойствами:
62

limfк: (а)=О, limFк (a)=l,Fк: (-а)=-Fк (а), т. е. функция Крампа яв-
11➔0
U➔OO
ляется нечетной.
На рис. 2.8 приведены графики раопределения (2.87) при а0 /а = 0, 1, 10 .
Анализ графиков показ ы вает, что при малых отношениях сигнал/шум плотность
распределения фазы близка к равномерной, при больших отношениях она стре­
мится к дельта-функции ·в точке, соответствующей начальной фазе гармониче­
ского колебан и я.
Контрольные вопросы
1. Как .ведет себя распределение огибающей смеси гармонического сигнала и
узкополосной помехи при различных отношениях сигнал/шум?
2. Как ведет себя распределение фазы смеси гармонического сигнала и узко­
полосной сrюмехи при различных отношениях сигнал/шу,м?
2.9 . СИНТЕЗ С!ИIГНА1ЛОВ И ПОМЕХ
Задачи синтеза сигналов и помех - это по существу задачи синтеза гене­
раторов сигналов и помех. Задачи синтеза активных помех (в .условиях ра,дио­
противодействия) решают так же, как и задачи синтеза сигналов.
При создании переносчиков наметились две п роти-вопол.ожные тенденции:
создание высокоста,бильных узкополосных колебаний, ширину спектра которых
стремятся сделать как можно ,меньше (приблизить к нулю), и создание широ­
кополосных 1(шумоподобных) сигналов, ширину спектра которых стремятся уве­
личить как можно больше. Это объясняется тем, что использование и тех и
других переносчиков позволяет получить определенные ,преимущества. Р ассмот­
рим современные принципы генерации и особенности применения узкополосных
и широкополосных переносчиков.
Для генерации высокостабильных .узко.полосных колебаний все большее рас­
пространение получают а н алоговые и цифровые синтезаторы частот. Они позво­
ляют получить десятки тысяч высокостаб и льных колебаний в заданном диа,па­
зоне частот. Задачи синтеза таких сигналов сводятся по существу к задачам
оптимального .построения синтезаторов частот, обладающих требуемыми техни­
ко-экономически.ми характеристиками: рабочим диапазоном частот, стабильно­
стью колебаний, гибкостью и оперативностью управления частотой сигналов , тех­
нологичностыо, габаритами, массой, потребляемой мощностью, -приведенными
гс1<овыми расходами, оптовой ценой, эксплуатационными расходами и т. п.
Синтезаторы частот широко применяют в технике связи, информационно­
измерительной технике и других областях. Способы построения синтезаторов
детально рассматрИ1вают в курсе «Радиопередающие устройства». Для и л лю­
страции особенностей синтеза сигналов мы остановимся лишь на одном цифро­
вом методе формирования высокостабилы-1ой сетки частот. Он был предложен
в 1966-1967 гг. зарубежными ,специалистами 3. Блаховицем, А. Эверсом и
советскими учень1tми О. Губернаторовым и В. Пивоваро,М. Сущность цифрового
принципа формирования и -стабилизации дискретного множества частот заклю­
чается в иопользовании свойств системы фазовой авто.подстройки частоты с де­
лителем частоты в цепи обратной связи и с предварительным преобразованием
гармонических колебаний управляемого и опорного генераторов с помощью
формирующих устройств в последовательность видеоимпульсов. Это позволяет
строить .синтезаторы на элементах ,вычислительной техники и называть их циф­
ровыми .
На рис. 2.9 прИ1ведена структурная схема цифрового синтезатора частот.
Работу ,схемы .поясняют временные диаграммы напряжений на выходе каж ,дого
устройства. В схеме имеются два генератора синусоидальных колебаний: управ­
ляемый генератор, ,период колебаний которого Т 1; и опорный генератор, стаби­
лизированный кварцем, период колебаний которого To=kT1.
В формирующих у,стройствах гармонические колебания ,преобразуются в по­
следовательности видеоимпульсов с периодами соответс:гвенно Т 1 и Т0 . Делитель
частоты с ,переменным -коэффициентом деления k преобразует последователь-
63

ность виде оимпу льсов с периодом Т I в последовательность с периодом kT1.
В фа з оим'Пульсном детекторе фазы импульсов полученных пос лед овательностей
с ра вни ваются и на выходе фильтра нижних частот поя вляется пилообразное
напряжение к ак результат рассогла со вания фаз. Это .напряжение че рез упраз ­
л яющ и й элемен т так воз,дей ст вует на управляе.мый генератор, чтобы в устано ­
вившемся .р е жим е соблюдалось рав е н ство T 0=kT1.
Основные до ст оинства цифрового метода синтеза снгналоя следующие : г е не­
рация ско ль угодно густ о й сет:ш высокостабильных колебаний,. возможность
использования унифициро ва нных эл ементов вычислительной техники, выполнен-
ffыxoi!lroil
ог
~мн
- ;,{.,
.YJ
~э %r
l&:fL ~ ~
~J
,...,_,
л.
,,..._,
Рис . 2.9 Структурная схема цифрового синтезатора частот
ных на полупрово дн иковых интегральных и гибридных микросхемах, и прим е­
нени я п:ротрессивной т ех но логии сборки и настройки, малые габариты, масса
и затраты энерг.ии и т . п.
Для генераци и широкополосных • (шумопо;добных) сигналов-переносчиков,
свойства катары ;< бли зк и к сво йствам нормального случайного процесса, исполь­
зуют шумо в ы е и псевдошумовые генераторы (гене р аторы детерминированных
сигналов, постр ое нных ,по о.пределен ным за конам). Ра,бота . таких генераторов
основана на следую щих принцнпах: сложение сиг налов на выходе параллельно
соединенных мульти,вибраторов, амплитуды импульсов которых выбирают так,
чтобы получить требуе,мые корреляционные и спектральные характеристики сум­
марного шумо,подобного ,сигнала; синтез на основе ортогонального ·разложения
Кот ель nи к ова; м одулн ция вы с окостабильного колебания шумоподобным видео­
сигналом; периодич е ское повторение отрезка высокочастотного радиосигнала,
обладающего требуемыми корреляционными и ·спектральными характеристика­
ми, и др.
На рис. 2.10 пр едставлена упрощенная структурная схема генератора широ ­
кополосных сигналов, которая создает сигнал на основе ортогонального разло­
жения Котельнююва. При подаче с генератора на вход узкополосных фильтро в
импу.~ьса с малой длительностью каждый из фильтро,в «вырезает» из непрерыв­
ного спектра этого импульса узкую область частот в соответствии с полосой
прозрачности. Ослабление ./г-го сигнала в k-•м аттенюаторе в ~" раз и задержка
его на время -r" позволяют получить на выходе сумматора шумоподобный сигнал
п
~ sin[Лrо(t-
'tk)/2] iwk (t-, k)
s(t)=I,J~k Лro(l-'tk)/2 е
•
(2.91)
k=I
Каждая составляющая суммы пред,ставляет собой узкополосный процесс в комп­
л ексной форме (2.65), роль огибающей играет прои зведение при показательной
функции . Филырьi имеют полосу ,л.ш и центральную частоту Шн -
64

Рассмотренная схе,ма позволяет син тезировать непрерывные сигналы с огра­
ниченным спек тром любого типа, в том ч исле и шумоподобные. Управляемыми
переменными служа т величины w,,, Л(J), Р1<, -т:, ,, п. Для получения ансамбля таких
сигналов достаточно изменять Bk и 't1<. При больших базах генерируемых сиг­
налов схема ст а~юви·гся rро,моздкой. Е е -можно упростить, пр именяя общие ли­
нию з·адержки и ампл иту дный корректор. Досто инс т вом э того способа форми­
рования си г налов явля ется возможность построения cor л а сованных фильтров
для оптима ль ного ,приема та ких сигналов . Согласованные фильтры составля­
ются из тех же элеме нтов, но с обратным порядком включения.
Рис. 2.1 О. Структурная схема генератора широкополосных сиг­
налов
Пр им енение шумооодобных сигна лов позволяет: принимать сигналы и в тех
слу чая х , когда отношение сигнал/шум гораздо меньше единицы; бороться
с ,вредн;,1м влиянием многол у ч ево го распространения радиоволн; ослабить ВJIИЯ·
ние на пер еда чу информации узкополосных помех; обеспечить высокий коэффи­
циент нсп оль:;,ования пропус-кной способности каналов; использовать модуляцию
сигналов по форме и т. п.
При решении задач синтеза сигналов с общих позиций целесообразно учи ­
тывать не только структуру и параметры сигналов, но и технико - экономические
характе ристи ки генераторов сигналов, овойства модулирующих сигналов, вид
модуляции и характер последующих преобразований модулированных колеба­
ний. Эти задачи находятся в стадии научных исследований.
Контрольные вопросы
1. Какие тенденции наблюдаются в использовании сигналов -переносчиков?
2. В чем сущность задачи синтеза сигналов?
3, Поясните цифровой способ формирования высокостабильной сетки частот .
4. Какие способы иопользrуют пр и генера~ции широкополосных сигналов?
5. Поясните способ синте за ш,грокополосного сигн ала на основе ортогонального
раз ложе ния Котельников а.
2.10 . ПРОСТРАНСТВА СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
При решении задач теории информации и передачи сигналов
ис поль зу ют также векторное представл е ние сигналов и помех, ме­
тод ы аналитической геометрии и векторной алгебры.
Рассмот рим особенности векторного представления сигналов и
помех как элементов ф ункциональных пространств .
Сигналы и помехи рассматривают как векторы - элементы век­
т орны х функциональных пространств, а преобразования сигналов
5-886
65

и помех - как отображения одних пространств в другие. Наряду
с рассмотренными в приложении понятиями функционального ана­
лиза применяют и такие понятия, как метрика пространства, рас­
стояние, норма вектора, проекция вектора и др. Наибольшее рас­
пространение получило использование пространств Евклида, Гиль­
берта и Хемминга.
Если преобразования элементов в функциональном простран­
стве обладают свойством линейности (см. приложение), то про­
странство называют линейным. Линейное пространство называют
метрическuJrt, если для каждых двух его элементов Х и У о п реде­
лено понятие ра1сстояния d (Х, У), которое должно удовлетворять
следующим трем условиям (аксиомам):
d(X, Х) = О, d(X, Y)=d(Y, Х),
d(X, Y)~d(X, Z)+d(Z, У),
(2.92)
где Z - некоторый третий элемент пространства.
Расстояние может быть введено различными -способами . Ме­
трикой пространства называют правило, по которому введено рас­
стояние . В .ра1ссматриваемых пространствах метрика определяется
через опер а цию скалярного произведения векторов . Скалярное
произведение двух векторов в пространстве Евклида - это число:
п
ХУ=~ XkYk,
(2.93)
k=I
где Xk, Ут, - координаты векторов Х, У; п- размерность простран­
ства. При n=З пространство Евклида является математическим
прообразом реального трехмерного пространства. Пространство
Евклида обозначают обычно R2.
Скалярное произведение двух векторов в пространстве Гил ь ­
берта (пространство всех непрерывных функций вр е мени, задан ­
ных на интервале [О, Т]) - это число
т
ХУ=+sх(t)у(t) dt.
(2.94)
о
Пространство Гильберта обозначают обычно L2.
Норму lx вектора Х в пространстве R2 определяют через ска­
лярное произведение следующим образом:
lx=YXX= ViX2k·
(2.95)
k=I
Следовательно, норма вектора - это его длина. Аналогично опре­
деляют норму с вектора Х в пространстве L2:
c- VXX- ( f !x'(t)di.
(2.96)
66

'Если сигнал х (t) имеет размерность напряжения, то норма - это
э ффективное значение напряжения, а квадрат нормы - это сред­
няя мощность сигнала.
Если непрерывный сигнал с ограниченным спектром представ­
л ен в виде разложения Котельникова, то энергия сигнала (см.
(2.7))
т
п
Е= Sx 2 (t)dt= 2~ Ех\.
О
k=l
Так как средняя мощность сигнала P=c2 =EJT, то Е=РТ и
п
~ x\=2FTP=nP.
(2.97)
k=l
Из (2.97) нетрудно установить связь между нормами векторов
в пространствах R2 и L2:
(2.98)
Расстояние между век.торами Х и У в пространстве R2 опреде­
ляют как норму их разности
(2.99)
В пространстве L2 расстояние определяют аналогично
(2.100)
Использованnе расстояния позволяет определять проек.ции
одного век.тора на другой. Рассмотрим два процесса Х (t) и У (t),
которые имеют одинаковую длительность Т и одинаковую гранич­
ную частоту F. Возьмем n=2TF отсчетов Х (t) и У (t) и образуем
вектора Х и У с координатами Хп и Уп•
,
Квадрат ра·сстояния между этими векторами в соответствии
с (2.99) равен
п
п
п
Угол 0 между векторами Х и У определяют из выражения
cos О=ХУ / lxly,
поэтому
d2 (Х, У) =l2x+ l2u-2lxly cos 0.
5*
(2.101)
67

С учетом (2.97) и (2.99) запишем (2.101) в более удобном для
анализа виде
d2(Х, У)= 2TF [Р1 +Р2 - 2 VP1P2cos6],
(2.102)
где Р1, Р2 - средняя мощность процессов Х (t) и У (t).
Анализ (2.102) показывает, что расстояние между сигналами
определяется их базой, мощностью сигналов и значением cos 0.
Если Х (t) и У (.t) - случайные процессы, то cos 0 играет роль ко­
эффициента корреляции векторов Х и У.
! Если cos Н=О (0=:n:/2), векторы не коррелированы, т. е. они
ортогональны, и проекция одного вектора на другой равна нулю.
Если cos '0 = 1 (-0=0), то Х и У полностью коррелированы (совпа­
дают по направлению). Если cos 8=-1 (0=:n:), то Х и У также
полностью коррелированы, но эти векторы противоположно на­
правлены. Такие сигналы называют противоположными, расстоя­
ние между ними наибольшее. Расстояние между ,сигналами играет
существенную роль при разделении сигналов в многоканальных
системах, при выделении полезных сигналов и в других задачах.
Рассмотрим связь элементов пространств R 2 и L2• Если в про­
странстве R2 С координатами векторов xk/Vn, Yk/Vn разме рность
пространства n-+ -oo, то евклидово пространство переходит в гиль­
бертово. Напомним (см. (2.7)-(2.9), (2 .14)), что в этом случае
ортогональное разложение Котельникова непрерывного сигнала
в дискретную последовательность отсчетов дает нулевую средне­
квадратиче.скую погрешность . Отсчет ы непрерывной функции про­
странства L 2 играют роль координат вектора в пространстве Rz.
Ортогональное разложение Котельникова можно рассматривать
как скалярное произведение двух векторов: вектора отсчето в и ба­
зисного вектора. Тогда это разложение устанавливает связь между
элементами гильбертова и евклидова прос транс тва.
При преобразованиях сигналов рассматривают прост ранства
полезных сигналов (сообщений), пространства модулированных
сигналов, пространства приняты х сигналов, пространства демоду­
лированных сигналов и др. Последовательные преобразования ,сиг­
налов рассматривают как взаимные отображения одних пр остранств
в другие, устанавливающие соответст вия между элементами раз­
личных пространств. Например, если сообщение (видеосигнал}
и (t) является непрерывным сигналом с ограниченным спектром,
то он может быть представлен вектором в n1-мерном пространст­
ве, где n1=2T1F1; Т1, F1 - длительность и граничная частота спек-
'
тра. При модуляции сигнал и (t) преобразуется в модулированный
сигнал s (t), следовательно , пространство сообщений прео бразуется
в пространство модулированных сигналов. Если длительность s (t)
равна Т2, а граничная частота F2, то размерность нового про ­
странства n2=2T2F2. В общем случае n2>n1 и только при однопо­
лосной модуляции n2=n1.
Пространство Хемминга (пространство двоичных сигналов) от­
носится к линейным дискретным пространствам , особенностью ко-
68

торых является то, что координаты векто ров могут принимать
лишь дискретные значения. Понятия скалярного произведения и
нормы для таких пространств вводят подобно рассмотренным. Ме­
трику и расстояние вводят на основе операции сложения по моду­
лю одноименных разрядов (см. § 1.6, ( 1.18), ( 1.19)).
Контрольные вопросы
1. Какое пространс'!'ВО называют линейным и какое метрическим?
2. Каким условиям должно удовлетворять расстояние в функциональном про-
странстве?
3. Как определяют скалярное прои зведение в лространствах R2, L2?
4. Как определяют нор,му вектора в пространствах R 2 , L 2?
5. Какой физич еский смысл им еет норма с игнала?
6. Как связаны нормы сигнала в пространствах R2, L2?
7. Ка·к определяют расстояние в .пространствах R 2 , L2?
8. Чем определяется расстояние между двумя сигналами?
9. Какие сиг налы называют -противоположными?
1О. Какая овязь .между элементами пространств R2, L2?
11. Какие ;пространства рассматривают при ,преобразованиях сигналов?
12. Какая основная особенность линейных дискретных пространств?
2.Н. ВЫВОДЫ
1. Обобщенной спектральной теорией сигналов называют -сово­
купность методов аналитического представления сигналов в виде
( 1.3). Это одна И:3 наиболее удобных форм описания сигналов для
анализа линейных и нелинейных систем. Обобщенная спектраль­
ная теория исследует основные закономерности спектрального ана­
лиза, общие для различных ,систем базисных функций, и ставит
задачи оптимального выбора этих систем для успешного решения
задач лередачи и обработки сигн ал ов.
2. Ортогональные разложения Котельникова (2.13), (2.15) для
непрерывных сигналов с ограниченными и полосовыми спектрами ,
так же как и преобразования Фурье для периодических и неперио­
дических -сигналов, являются практически важными частными -слу­
чаями обобщенного ряда Фурье (2.5), примерами практического
применения обобщен но й спектральной теории.
Ряды Котельникова позволяют представить непрерывные сиг­
налы в виде дискретных последовательностей импульсов, отстоя­
щих друг от друга на интервал дискретизации. Этот интервал
полностью определяется верхней граничной частотой для сигналов
с ограниченным спектром и шириной спектра для сигналов с по­
ло-совыми спектрами.
Наиболее важным для практики свойством рядов Котельнико­
ва является относительно п ростая аппаратурная реализация ди­
скретизации и восстановления н е прерывных сигналов. Поэтому
ортогональные разложения Котел ;., никова служат основой для по­
строения дискретных методов перед ач и непрерывных сигналов .
Во многих случаях они позволяют с единых позиций рассматри­
вать переда чу дискретных и непрерывных сигналов.
69

З-. При решении задач теории информации и передачи сиг на ­
лов широко используют такие характеристики сигналов, как к ор ­
реляционная функция, спектральная плотность распределения
мощности, дисперсия, интервал корреляции, ширина спектра, в з аи­
мокорреляционная функция двух сигналов и взаимная ,спектра л ь­
ная плотность распределения мощности двух процессов.
Корреляционная функция показывает характер статистическ о й
связи двух значений случайного процесса, отстоящих друг от др у ­
га на некоторый интервал времени. Для определения корреляцио н ­
ных функций процессов используют операции у среднения по м но ­
жеству (2. 17) и по времени (2.20). Связь между корреляционными
и спектральными характеристиками случайного процесса устанав­
ливают преобразования Хинчина - Винера (2.22), которые явля­
ются аналогом преобразований Фурье для детерминированного
процесса.
4. Для моделирования случайных сигналов и помех в теории
информации и передачи сигналов часто использ у ют телеграфный
сигнал -случайный процесс с показательной корреляционной функ­
цией (2.27), белый шум, гауссовский процесс и гауссовский белый
шум. Случайный процесс с показательной корреляционной ф ун к­
цией обладает полезной особенностью . Из·менением единственн о го
параметра а (2.27) можно в широких предела х изменять корреля­
ционные и -спектральные свойства процесса. При а-+0 процесс в ы­
рождается в детерминир-ованный, при а-+со - в белый шум.
Белый шум является стационарным случайным процессом с по­
стоянной -спектральной: плотностью мощности на всех частотах,
его используют как модель наиболее тяжелого вида помех . Га у с­
совским называют процесс, который имеет нормальное распреде­
ление мгновенных значений: (2 .40) . Нормально р а сп ределенное к о­
лебание образуется в результате сложения большого числа н е за­
висимых или слабокоррелированных случайны х колебаний. Белы й
шум, у которого распределение мгновенны х знач е ний является
нормальным, на з ывают гауссовским белым ш у мом .
5. Канонические (2.44) и неканонически е (2.55) разложе ния
случайных сигналов и помех удобны для решения многих зада ч .
Для стационарных случайных процессов часто использ у ют триго­
нометрические ряды Фурье (2.45), в которых коэффициенты р а з­
ложения являются некоррелированными ,случайными величина м и .
Для нестационарных процессов необходимо выбирать другие ба­
зисные функции, чтобы обеспечить некоррел иро ванность коэффи­
циентов ра з ложения .
В каноническом разложении Котельникова интервал диск рет и­
зации сл учайного процесса определяется его интервалом корр еля ­
ции, максимальным з начением ,спектральной плотности и знач е ни­
ем спектральной плотности на нулевой частоте. Интервал диск р е­
тизации больше или равен интервалу корреляции процесса .
6. Как специальный вид ортогональных разложений
рассматривать представление реальных сигналов и помех
узкополосных (2.60), (2 .61) и аналитических сигналов
70
мо:жно
в виде
(2. 65).

Особенность такого представления пр·оявляется в том, что коэффи­
циенты разложения являются функциями времени. Процесс назы­
вают узкополосным, если ширина •спектра процесса относительно
мала по сравнению со .средней частотой спектра (2.59). Понятие
об аналитических сигналах основано на обобщении символической
записи синусоидальных колебаний в комплексной форме. Спектр
аналитического сигнала существует только в области положитель­
ных частот. Корреляционная функция узкополосного процесса
(2. 74) - равна произведению ко·рреляционной функции огибающей
(см. (2.60)) на cos смr, где шо - средняя частота спектра про1 1 ~сса.
7. Распределение огибающей гауссовского стационарного узко­
полосного процесса является релеевским распределением (2. 78),
распределение фазы - равномерным (2. 79).
8. Распределение оги;бающей суммы гармонического колебания
и гауссовского стационарного узкополосного процесса является
обобщенным распределением Релея (распределением Райса)
(2.86), распределение (2.87) фазы суммы определяется через
фунrщию Крампа (2.88).
9. Задачи синтеза сигналов и помех сводятся к задачам раз­
;:~аботки генераторов ,сигналов и помех . Для получения сигналов­
переносчиков создают: высокостабильные узкополосные колебания
с возможно меньшей шириной спектра и широкополосные (шумо­
подобные) колебания с возможно большей шириной спектра. При­
менение и тех и других переносчиков имеет свои преимущества .
При решении задач синтеза сигналов в общей постановке необ­
хо д имо учитывать не только структуру и параметры сигналов, но
и характеристиюr генераторов, свойства полезных сигналов, вид
модуляции, а также характер последующих преобразований моду­
лированных сигналов.
10. ВектО'рное представление сигналов и помех позволяет при­
менять для решения задач теории информации и передачи сигна­
лов известные методы аналитической геометрии, векторной алгеб­
ры и функционального анализа. Сигналы и помехи рассматрива­
ют как элементы функциональных пространств, а преобразования
сигналов и помех - как отображения одних пространств в другие.
Наибольшее распространение получили пространства Евклида,
Гильберта и Хемминга .

Глава 3
УПРАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
СИГНАЛОВ
3.1 КЛАССИФИIКАЦИЯ МЕТОДОВ МОДУЛЯЦИИ
Исследование различных видов модуляции необходимо для
определения требуемых свойств каналов, ,сокращения избыточ н о­
сти модулированных сигналов и улучшения использования мо щ но ­
сти передат ч иков, определения потенциальной помехоустойчивости,
помех соседним каналам и успешного решения проблем 1электро ­
магнитной совместимости радиосистем; • разработки оптимальных
методов аппаратурной реализации модуляции.
Идеальная непрерывная модуляция - это перенос спектра по­
лезного сигнала в область более высоких частот без нелинейных,
частотных и фазовых искажений. Если полезный сигнал пердста­
вить в виде узкополосного процесса
u(t)-A(t)cos[ы()t+Ф(t)],
(3.1)
то модулированный сигнал в идеальном случае должен иметь вид
s (t) =А (t) cos [ы1t +Ф (t)],
(3.2)
где ы1=ыо + ы2; w2 - средняя частота сигнала - переносчика.
Из соотношений (3.1) и (3.2) ,следует, что при идеальной мо-
. дуляции
законы распределения огибающей и фазы узкополосного
сигнала не должны изменяться, изменяется только средняя часто­
та. Корреляционная функция огибающей не изменяется, частота
«косинусоидального заполнения» корреляционной функции моду­
лированного сигнала равна ы1. Спектр модулированного сигнала
смещается в область средней частоты <01, но не изменяет -своей
формы.
Реально модуляция сопровождается нелинейными, ча-стотными
и фазовыми искажениями. Поэтому, как правило, ширина спектра
модулированных сигналов, больше ширины спектра полезных сиг­
налов, искажаются законы распределения огибающей и фазы, из­
меняются формы корреляционных функций и спектральных плот­
ностей.
Если полезный сигнал является случайным стационарным про­
цессом, а сигнал-переносчик - гармоническим колебанием, то мо­
дулированный сигнал уже является нестационарным случайным
процессом, корреляционная функция и спектральная плотность
которого зависят от текущего момента времени.
72

Для определения средних спеr<тральных и корреляционных ха­
рактер и стик модулированного сигнала необходимо дополнительно
применять операцию усреднения по времени . В этом более общем
случае соо тношения Хинчина - Винера принимают вид
00
Q1 (ю) = 2 5(К(т., t)) cos ют. dт.,
(3.3)
о
00
К1 (т.) =-
1 J(Q (ю, t)) COS ют. dю,
1t
(3.4)
о
где Q·1 (ffi), К1 ( i: ) - средняя спектральная плотно-сть и средняя
корреляционная функция модулированного сигнала.
Корреляционные функции, спектральные плотности, законы
р~спределения огибающей и фазы модулированных сигналов пол у ­
чаю, по заданным операторам модуляции, корреляционным ф у нк­
циям или с п ектральным плотностя·м, законам распределения оп1-
бающих и фаз п олезного сигнала и пе·реносчика.
Таблица
Классы •
Классы и(/)
x(t)
Ав
с
D
Е
F
Gн
---
-
------
----
1
Al
Bl
CI
DI
El
Fl
Gl Нl
---------
-
---
-
2
А2В2С202Е2f'202.Н2
8
F8 081Н8
Для классификации видов модуляции удобно и-спользовап,
следующие признаки: характер полезного сигнала и переносчика
(детерминированный процесс, случайный стационарный процесс,
случайный нестационарный процесс); вид сигналов (аналоговые,
дискретные); вид информационного параметра (амплитуда, часто­
та, фаза, форма, длительность, период и т. п . ) и др.
Не затрагивая прикладной классификации типов модуляции по
МККТТ (Международный консультативный комитет по телефонии
и телеграфии), которая излагается в специальных курсах, рассмо­
трим построение классификационной матрицы (табл . 1) видов мо-
73

дуляции в том случае, когда учитывают два основных признака:
вид модулирующего сигнала и вид переносчика. Условно введем
следующие классы модулирующих сигналов и (t): класс А - де­
терминированные непрерывнозначные процессы, класс 8 - детер­
минированные дискретные последовательности, класс С - случай­
ные стационарные непрерывнозначные процессы, класс D - слу­
чайные стационарные последовательности, класс Е - случайные
нестационарные непрерывнозначные процессы, класс F - случай­
ные нестационарные последовательности, класс G - дискретные
случайные стационарные последовательности, класс Н - дискрет­
ные случайные нестационарные последов а тельности ( см. 1ГОСТ
21878-76 «Случайные процессы и динамические системы»). Ана­
логично введем классы переносчиков х ('t), то для удобства записи
обозначим их соответственно цифрами 1-8 . В соответствии
с введенными обозначениями класс Al включает все непрерывные
виды модуляции, в которых полезные сигналы и переносчики явля•
ются детерминированными непрерывными процессами; класс В 1 -
все виды модуляции, в которых полезный сигнал рассматривают
как детерминированную импульсную последовательность, а пере•
носчик - как детерминированный непрерывный сигнал.
Аналогично объединяют в классы остальные виды модуляции.
Детализацию и углубление этой классификации можно выполнить,
если учесть и другие признаки полезных сигналов и переносчиков.
Если последовательно выполняют несколько различных методов
модуляции (применяют многоступенчатую модуляцию), получив­
шиеся -смешанные классы обозначают СlСЗ, А1А2 и т. д. В настоя­
щее время наиболее изучены простейшие виды модуляции классов
Al, А2, 81, 82, исследуют различные виды модуляции классов Cl,
С2, D 1, D2. В связи с развитием лазерной и космической техники,
спутниковой связи большое внимание уделяют классам СЗ, С4, D3
н D4. Внедрение в технику связи цифровых способов передачи,
развитие сетей связи, исследование возможностей создания инте­
гральных -сетей связи, в которых передачу сигналов и управление
информа.ционны,ми потоками выполняют в цифровой форме, по­
рождают необходимость изучения классов Gl-G4, Hl-H4.
В теории информации и передачи сигналов основное внимание
уделяют тем классам модуляции, в которых полезные сигналы
рассматривают как случайные. Это обусловлено тем, что детер­
минированные сигналы не несут информации. Далее рассматрива­
ются корреляционные и спектральные характеристики модулирован­
ных -случайных сигналов, анализируются характеристики модули­
рованных сигналов классов СЗ, А2, 81, С2, СЗ, D 1, излагается
сущность цифровых •методов модуляции классов Gl-GЗ.
Контрольные вопросы
!. Для чего необходимо .изучать различные виды модуляции?
2. В чем сущность идеальной нвпрерывной модуляции?
3. Какие особенности определения корреляционных и спектральных характери­
стик модулированных сигналов?
74

4. Что нео.бходимо знать для анализа характеристик модулированных сигналов?
5. Укюките признаки классификации видов модуляции.
6. Как строится классификационная матрица видов модуляции?
3.2 . КО~РЕЛЯЦИОННЫЕ И ОПЕ!<ТРIА'ЛЬНЫЕ ХАР,АiКТБРИСТИКИ
МОДУ ЛИРОВ1АННЫХ ОИ~ГНАЛОВ
Особенности опред е ления корреляционных и спектральных характеристик
мод у лированных сигналов рассмотрим для •непрерывных видов модуляции . Для
других видов модуляции эти характеристики изучают аналогично. Для многих
практически важных видов непрерывной модуляции модулированный сигнал
можно рассматривать как узкополосный процесс в виде (3.2). Поэто,му харак­
теристики модулированного сигнала изучают методами, изложенными в § 2.6 .
Покажем, ка-к определяют корреляционную функцию и спектральную плотность
мод у лированного сигнала.
Для определения корреляционной функции применим операцию усреднения
по времени:
Т/2
00
К('t)=limу s· s(t)s(t-
't) dt-:,-:
Т➔ОО
ss(t) s(t-
't) dt.
-Т/2
-
00
Выразим cos [w1t+Ф(t)] в 1(3.2) через показательные функции по формуле
Эйлера, тогда
ei [ro1t+Ф (1)] + e- i [ro1t+Ф (1)]
2
х
ei [ro, (1-,) + Ф (1-,)] + e-i [ro, (1-,) + Ф (1-,)] ,
ХА(t-
't)
2
dt.
После перемножения функций, стоящих под интегралом, получим
К(,)-+{JА(1) А {1-,) ,хр {i [ы,, +Ф (1) + Ф (1 -,)]} щ (2iы,1) dl +
00
+ )А(t)А(t- 't)ехр{-i[ro1't+Ф(t)-Ф(t-
't)]} ехр (-2iro1 t) dt +
-00
00
+ SА (t) А (t-'t) [ехр {i [ro 1't+ Ф (t-'t) -Ф (t)]} +
-оо
+ехр{-i[ro1't+ф(t- 't) - Ф(t)]}]dt}.
В пер ·вых двух интегралах 111,шожители exp,(2i,w 1t) и ехр (-2iro1t) являются
быстро изменяющимися по сравнению с функциями А (t), А (t-i:), Ф(t) и
Ф (t-i:), поэтому значениями этих интегралов можно пренебречь по сравнению
со значением третьего интеграла . Следовательно,
00
К('t) =·;sА(t)А(t-'t)cos[w1't+ф(t- 't)-Ф(t)]dt.
(3.5)
-00
75

Выражение ,(3.5) является основным для определен ия корреляционных функций
модулированных сигналов при различных видах непрерывной модуляции.
Рассмотрим для примера балансную · модуляцию случайным процессом и (t)
с корреляционной функцией /(1 ('t) = юе-r1. 1, ! гармоническ'Jrо колебани;r с еди­
ничной амплиту,дой .x.(t)=cos w 0 t. В этом случае s(t)=u(t) cos wo't и интеграл
(3.5) принимает простой вид:
00
К(,:)= +cosu>0 't Sа (t) и (t- ' t) dt.
-00
1
Интеграл в ,правой части является корреляционной функцией К1 (1:) оги­
бающей u(t), а (cos w01:) /2 - корреляционной функцией К2 (1:) гармонического
колебания. Поэтому, как и следовало ожидать (см. § 2.6), корреляционная функ­
ция гармонического колебания, балансно-модулированноrо случайным процессом,
!( (1:) =К1 ('t) /(2 ('t) = 0,5Юе-r1. 1, 1cosw01:.
(3.6)
Спектральную плотность гармонического колебания, балансно-модулирован­
ного случайным процессом, определим с помощью соотношения Хинчина - Вине­
ра (2.22):
-00
-00
= ~ { 5е' [i (w. - w)+r1.Jd't + Jе' [ i(co.-w)-r1.]d't +
-00
0
+ JO е, [-i (wo+w)+r1.J d't + oos е s[-i(wo+co)-r1.] d't} =_!!}_ [
.
.
1
4 t(w0-w)+а
-
00
0
i(u>0~u>)-а+
-
i (u>0+u>)+а -i(w0tu>)-а].
Окончательно имеем
а[!/)[
1
1
]
О (u>) =-
2- (u>0+u>)2+а2+(u>0-u>)2+а2 •
(3.7)
Следовательно, спектр rармоннчесЕоrо колебания, ,балансно-модулированного
случайным процессом, имеет две боковые полосы частот в области Wo и -wo.
Нетрудно обнаружить аналогию со спектром гармонического колебания, баланс­
но-.модулированного детерминИ'рованным сигналом с полосовым спектром.
Если на основе балансно-,модулированного сигнала образовать анали тиче-
ский сигнал s(t)=[и(t) coswat+iu(t) sinwot] /1/2, его спектральная плотность
будет лежать в положительной области ч:::стот и будет ра1вна
aD
00(w)= 2+(
)2 , u>;;;,,, О.
(3.8)
а
w0 -w
С учетом (2.23) ширина спектра аналишческого м•одулированного сигнала
00
Is
1tD 1taD
Лu>=g 0 0 (w)dw=~()=-D =a1t .
т
о u>o
(3.9)
о
Следовательно, спектр аналитического модулированного сигнала имеет такую
же ширину, что и спектр полезного снrнала (см. (2.30)), но он расположен
76

в об л асти ·w0 . Использование (3.9) позволяет определить условие (2.59) узко­
полосности модулированного сигнала через параметры корреля ционных функций
полезного сигнала и переносчиЕа:
an/wo=a/2Fo4:. ! ,
(3.10)
где F0 - средняя линейная частота переносчика.
Если для балансно - модулированного .сигнала условие (3.10) выполняется,
он может рассматриваться как узкополосный сигнал со средней частотой Fo.
Так и м образом, алгоритм определения корреляционной • функции и опект­
ральной плотности модулированных си гналов прост: для конкретных видов мо­
дуляции необходи.мо вычислить интеграл (3.5) и с по мо щью соотношения Хин­
чина - Винера определить спектральную плотность. Однако для многих видов
модуляции практическая реализация этого алгоритма наталк ива ется на трудно­
сти вычислительного характера.
Контрольные вопросы
1. Как определить корреляционную функцию модулированного сигнала?
2. Запишите и поясните смысл выражения для корреляционной функции баланс ­
но -модулиро ванного сигнала.
3. Запишите и поясните смысл выражения для спектраль ной плотности баланс­
но-модулирован н ого сигнала.
4. Как определ яется условие узкополоснос т и балансно-,модулированного сигнала
через параметры корреляционных фующнй полезног-о сигнала и п ереносчика?
3.3 . СЛУЧАЙНЫЕ И ШУМОПОjДОIБНЫЕ СИГНАЛЫ-ПЕРЕНОСЧИКИ
Широкополосные · (шу.мопо добные ) и узкополосные случайные сигналы все
чаще используют как сигналы-пере носчики . Н а п ример, в оптических системах
связи с н екогерентным и з лучени е м сигнал ы- переносчики являются узкополосными
гауссовскими ,процессами. В многоканальных и многоадресных системах при­
меняют шумоподобные сигналы. Многоадресные системы обеспечивают связь
между любой парой из множества источников и п о л учателей сообщений, раз ­
мещенных в пространстве н езависимо друг от друга . В отличие от многоканаль­
ной сист е мы, в многоадресной с ист е ме сигналы ра з личных абонентов ,поступают
в общий тракт передачи сигналов без уплотнения - без образования из них
группового си гнала .
Необходимым услови е м выделе н ин требуемого полезного сиг нал а я,вляется
взаимная ортогонал ь ность или слабая в з аимная корреляция сигналов различных
адресов. Это достигается для простых сигналов сдвигом во времени или по ча­
стоте, а для сложных (шумоподобных) - селекцией ,по форме. Сущность селек­
ции сигналов по фор-ме заключается в следующем. Определяют в з аимную энер­
гию (см. (2 .1 1)) принятого -сигнала z(t) и передаваемых сигналов s;(t), i=
=1,2,...
(Д л я с л учайных пер е но с чиков взаимн а я э 1-iергия п р опорциональна
взаю,: окорреляцио.нной функции.) Принимают реш е ние, что ,передавался тот сиг­
нал, взаимная энергия которого с ·принятым ,мак с имальна . Наприм е р, ес л и
т
т
ss;(t)z(t)dt> 5sk(t)z(t) dt,
(3.11)
о
u
принимается решение о том, что передавался сигнал s;,(.t) . На практике исполь­
зуют слабокоррелированные сигналы, в з аимная энергия ·которых намного мень­
ше энергии каждого сигнала.
Применение шумоподобных сигналов позволяет ослабить влияние замира­
ний в каналах с -многолучевым распр о странением радиоволн. Например , если
на вход приемника поступают сигналы s(t) и s (t-т) двух лучей со сдвигом
н а время т, то мощность результирующ е го сигнала '
р= <[s(t)+s(t-
't)]2)=2[р1+к(,)]'
(3. !2)
77

где Р 1 -средняя мощность модулированно го сигнала s (t); К ('t) - функция
корреляции s,(t). При ,выполнении условия Т /'t~ 'l (Т - время усреднения)
с ростом 't функция корреляции стремится к нулю тем быстрее, чем шире спектр
сигнала. Следовательно, при Т/'t~ 1 и широкополо сном сигнале
Р=-2Р 1 =const
(3.13)
и сред няя .мощность сигнала остается примерно постоянной, несмотря на за­
мирания.
Шумоподобные сигналы относятся, как уже отмечалоеь, к сложным (много­
мерным), широкополосным сигналам, база которы х v=2fT>2. Эти сигналы не
являются случайными. Однако создаются они по таким алгоритмам\ что их
статистические характеристики близ1ш к характеристикам белого шума : энерге­
тический спектр почти равномерен, а корреля ционная функция имеет узкий осно•в­
ной лепесток и небольшие побочные. Широко е ,применение получ или дис,кретные
шумоподобные сигналы, которые при большой базе позволяют обеспечить вы­
сокую точность синхронизации на передающем и приемном концах. Информа­
ционная по сылка длительностью Т делится на N бинарных сигналов длительн о ­
стью 'to=T / N с полосой f=. ! /'to и базой v > 2. Последовательности длиной Т
являются кодовыми комбинациями, которые строят так, чтобы выполнялось
условие селекции сигналов по форме 1(3.11) .
Широкополосные радиосигналы образуют с :помощью модуляции. Нормиро­
ванная корреляционная функция огибающей этих сигналов имеет главный мак­
симум в области [-'to, 'to] и боковые лепестки, амплитуды которых примерно
равны 1/N.
Эта функция напоминает корреляционную функцию реализаци и «шума»
с полосой F, что и обусло·вило поя•вление термина «шу,моподобные сигналы».
При увеличении N растет различимость шумоподобных сигналов, что поз,воляет
обеспечивать высокую помехоустойчивость передачи .информа ции даже в слу­
чаях, когда уровень помех выше уровня сигналов.
Наибол ее распространенным является сшособ построения дискретных сиr,н а­
лов на основе линейных рекуррентных последовательностей. Среди этих пос ле­
довательностей ·важную ро ль играют псевдослучайные бинарные М-последова­
телыюсти Хаффмена. Они представляют совокупность N ,периодически повто­
ряющихся сим ,волов si, каждый из которых может принимать одно из двух
значений: +1 или - 1. Значение Si определяется взятым с противоположным
знаком произведением значен ий двух или ,большего четного числа п предыду­
щих ,сигналов:
п
si=-Пsi-k• i=п+1, N; n>k.
k=I
(3. 14)
Если в роли исходной используется последовательность s,, Sn, то используя
рекуррентное соот,ношение (3.14), можно построить неповторяющуюся элемен­
тарную последо·вательность {si} из N символо·в, где
Эта последо·вателыюсть ,будет содержать все ком·бинации п символов из двух
элементов (+1, --il), кроме комбинаций, которые состоят из одних отрицатель­
ных единиц. Поэтому каждая последовательность -включает 2п- 1 положите ль­
ных единиц и 2п- 1 -1 отрицательных единиц и су.мма
N
~S;=l.
(3.16)
i=l
Число N является максимальным периодом бесконечной последовательности
Хаффмена. Можно образовать •последовательности и меньшего ,периода. Бели
чи сло символов в сигнале больше N, сим.волы повторяются в соответствии с ре­
куррентным ,соотношею1е.м (3.14), порождающим эту последовательность. Мак-
78

симальное число Мп различных последовательностей максимального периода
для любого п равно
(3.17)
где ер(•) - фушщия Эйлера, равная количеству целых чисел, ,включая единицу,
меньших 2"-1 и взаимно-·простых с числом 2п-1.
Двоичные псевдо.случаfiные последовательности Хаффмена обладают рядом
практически полеЗ"ных свойств: воз,можностью формирования обширного множе­
ства ювазнортогональных сигналов, простотой построения сигналов и хорошими
корреляционными свойствами сигналов. При непрерывно,м излучении нормиро­
ванная корреляционная функция огибающей шумосrюдобного -сигнала, построен­
ного на основе таких последовательностей, имеет главный максимум, равный
единице, в области [-'to, -ro], где 'to - длительность сигналов Si, и одинаковые
по величине боковые лепестки, амплитуда которых рав.на - 1/ N .
Взаимокорреляционная функция для различных последовательностей равна
-1/М. При .выбранном п различ,ные последовательности отличаются как по­
рядко,м чередования символов +1 и -1, так и максимальным значением ампли­
туд боковых лепеспюв ·корреляционной функции корреляции. Обычно отыски­
вают такие последовательности, для которых ма~,симальный уровень боковых
лепестков будет наименьшим среди всех последовательностей, порождаемы х
числом п. Генерирование псевдослучайных лоследовательностей напоминает
процедуру генерирования случайных чисел в ЦВМ и легко осуществляется
с помощью регистров сдвига (см. § 8.2). Наряду с сигналами Хаффмена приме­
няют и другие шумоi!юдобные сигналы.
Особенности образования последовательностей Хаффмена раосмотрим на
примере. Выберем n=2, тогда из (3.14) получим
Si=-Si -2Si -I•
(3 .18)
Для использования рекуррентного соотношения (3.18) выберем исходную по­
следовательность s 1s2=-l-j -1!. Из (3.18), находим
Sз=+l, S4=-l, Ss=+l, s6=+1, . ..
Искомая последовательность имеет вид: -1+1+1-1+1+1-1+1 + ·1
...
Период
этой посл едовательности N=22-1=3, п оэтому набор символов -1+1+1 по­
вторяется через три символа. Так как M=l, то при n=2 может быть образо­
вана только одна .последовательность. Бели ,выбрать n=3, можно образовать
две последовательности (М=2) с .периодом N=7 по пра •вилам
Si=-Si-зSi-2, Si=-Si-зSi-l•
Шумо,подобные сигналы можно подвергать всем простейшим видам пара­
метр ической модуляции. При амплитудной модуляции изменяются амплитуды
всех элементов шумоподобного сигнала, при частотной - сиг налы отличаются
сред,ней частотой, при фазовой - разностью фаз между эле.мента-ми двух по­
сылок. ОсЦнако нанбольшего внимания заслуживает модуляции шума.подобных
сигналов ,по фор,ме ~ (,структурная модуляция). При этой модуляции в качестве
сигналов иопользуют различные последовательности, образованные с помощью
соотношения (3.14).
Сигналы содержат одинаковые элементы (+1, ---'1), но расположение их
вну три составного сигнала определяется соотношением ,(3.14). Например, дво­
ичную ,передачу можно осущест,вить с помощью двух широкополосных сигналов
s1(t)=щ(t) cos wat, s2(t)=u2(t) cos wat, где в роли огибающих u1(t) и щ(t)
используются ,последовательности Хаффмена U'(t), сдвинутые на время -i: 0 , u 1 (t) =
=и(t), u2, (t)=и(t+-i:a). Тогда
т
т
,fU1 (t)U2 (t)dt=sи(t)и(t+-r.0)dt,< ~ .
о
о
Аналогично строят многопозиционные системы, в J<оторых используют т
квазиортогональ ных шумо,подобных сигналов.
79

Контрольные вопросы
!. Где применяются широкополосные и узr,оiюло.сные случайные сигнады-пере­
носчики?
2. В чем сущность селекции сигналов по форме?
3. Почему шумоподобные сигналы позволяют ослабить влияние замирания сиг­
иадов?
4. Какими корреляционными и опектральными характеристиками обдадают шу­
,моподобные сигналы?
5. Укажите особенности линейных ·рекуррентных последовательностей.
6. Укажите полезные свойства дискретных си.гналов, построенных на основе дво­
ичных псевдослучайных последовательностей Хаффмена.
7. Какие виды модуляции шумоподобных сигналов используют?
8. Как осуществить двоичную передачу с помощью широкополосных сигналов?
3.4. А!МЛЛIИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ СЛУЧАйноrо СИГНАЛА
Особенности нвпрерывной амплитудной модуляции (АМ) (модудяция клас­
са С3) (см. § 3.1) случайного процесса рассмотрим при следующих предполо­
жениях. Модулирующий сигнал u(t) является случайным стационарным про­
цессом с математическим ожиданием M[u!(t)]=O и дисперсией M[u2 (t)]=u2 ,
корреляционная фушщия этого сигнала /( 1 ('t). Случайный 111ереносчик х (t) так­
же явдяется стационарным процессом с корредяционной фунI<цией K2 ('t). Про­
цессы и (t) и х (.t) - независимы. Определим корреляционную функцию и
опектральную плотность амnлитудно -мо'дудирова нного случайного сигн ала.
Ампдитудно-модудирова нный •сигнаi s,(t) =Х (t) [l+ти(t)], где т - коэф­
фициент модуляции.
Корреляц1юнную функцию модулированного сигнада получим, применяя
операции усреднения по времени и [Ю множеству. Тогда
К('t)= М[(s(t)s(t+ 't))]= J\II{([1+1+ти(t)][1+ти(t+'t)jх(t)х(t+ 't))}=
= М{([1+ти(t)+ти(t+'t)+m2a (t)и(t+'t)]х(t)х(t+'t))}.
После выполнения операций усреднения полу,чим
.lv('t) =К2('t)+т 2К1 ('t) К2(т) =K~('t) ,[l+m2J(1 ('t)].
(3.19)
Сравнение (3.6) и :(3.19) показывает, что корреляционная функция ампли­
тудно-,мо~дулированного случайного сигнала ,представдяет сумму корреляцион­
ной функции переносчика и корреляционной функции балансно- -модулированного
случайного сигнала. Сдедовательно, зная характеристики балансно-модулирован­
ного случайного сигнала, можно определить корреляционную функцию ампли­
тудно-модулированного случайного сигнала.
Ис·пользуя соотношение Хинчина - Винера, найдем спектральную пл о тность
амплитудно - модулированного случайного сигнала
00
00
g (оо) = 2 sК2 ('t) cos W'Ш't + 2 sт2К, ('t) K2° ('t) cos (J)'td't.
(3.20)
о
о
Первый интеграл в (3 .20) определяет спектральную ПJютность случайного пе­
реносчика, а второй - сnектрадьную пл отность бадансно- м одулированного сиг­
нала. Исnодьзуя теорему о спектре произ веде ния корреляционных функций,
формулу (3.20) можно представить в виде
'
00
О(оо)=02(ro)+m2 S91((J)-v)02(v)dv, ,
(3.21)
-со
Гс/Хе через Q1 обозначена спектральная плотность пол езного сигнала .
80

Найде м спектральную плотность амплитудно-модулированного сигнала дл,.;,,
случая, к огда
К,(,;) =0,5.fl\e-"•'' 1 cosoo1't,
К2 (,;) = О,5Ю2е-"•1' 1cos002,;, 002> w, .
Второй инт~грал в (3.20) можно привести к виду
t')()
00
m2 .f К,(,;) 1(2 (t) e-i"''d,; =
71
~
SЮ,Ю2е-<"•+"•>' cos 001,; cos 002,;e-i"''d,; .
-оо
-00
Воспользуемся формулой для произведения косинусов и пр едставим этот ин -­
теграл в виде суммы двух интегралов
m2.fll1!!)2 [ 005 -<И
(
_J
8
е
cos 002 г
-00
Рис . 3.1. У-рафики зависимости Qo(w)
при различных значения х т
Т акие интегралы ранее вычислялись в § 3.2 при опред еле нии спектра ба -­
л ансно-модулиро.ванного гармонического колебания. Иопользовав эти резуль •­
таты, после необходимых преобра з ований окончательно полу чим
!2 (оо) =Ю2а.2 [а.22+ (~ _
002)" f-а.22+ (~ + 002)2 ] +
сх2 + (00-002+00,)2 + сх2+ (00+002-001)2 ]+
Аналитический модулированный сигнал , соответствующий рассматрив аемо- - .
му де йств и т ель но му амплитудно-модулированному сигналу, имеет с п ектральную ,
плотность
f- 2[сх2+(w2 -oo1 - w) 2]
(3.22)
На рис. 3.1 ,показаны графики Qo(w) при различных значениях коэффи­
циента мо1дуля ции т. Можно заметить аналогию между спект-ром · случайного
перенос чи ка, амплитудно- ,модулированно го случайным сигналом, и спектром
а-мплитудно - модулированного детерминированного колебания [3]. И в том и
в другом случае есть несущая и две боковые полосы частот. О тличие заклю-
6-886
81

чается в том, что спектр амплитудно-модулированного случайного сигнала я;в­
ляется непрерывным, роль несущей играет узко[]олосный случайный переносчик,
,боковые полосы отстоят от средней частоты ш 2 этого сигнала на величину
{J)1 (ш1 -средняя частота модулирующего сигнала). Ширина спектра боковых
полос определяется шириной опектра переносчика и шириной спектра полезного
сигнала ,
Следовательно, зная корреляционные функции переносчика и полезного сиг­
нала, а также оператор модуляции, можно определить корреляционную функцию
и спектральную плотность случайного а,мплитудно-модулированного сигнала.
Корреляционные и ,спектральные характеристики модулированных случайных сиг­
•налов при частотной и фазовой модуляциях определяют аналогично. Для упро­
щения аналитических преобразований случайный переносчик обычно представ­
ляют в ,виде узкополосного процесса.
Контрольные вопросы
1. Запишите и поясните аналитическое выражение для амплитудно-модулирован­
ного случайного сигнала .
.2 . Запишите и поясните аналитическое выражение для корреляционной функции
амплитудно-модулированного случайного сигнала.
3. Нарисуйте и поясните графики спектральной плотности аналитического ампли­
тудно-модулирован н ого сигнала при различных значениях коэффициента мо­
дуляции.
3.5 . АМПЛИТУДНАЯ м,дНИПУЛЯЦИЯ iИ АМПЛIИТУДНАЯ ИМПУЛЬСН,АЯ
МОДУЛЯЦИЯ
Рассмотрение а,м,плитудной ма нипуляции (АМн) и амплитудной импульсной
модуляции (АИМ) позволяет проиллюстрировать особенности анализа моду­
юrрован ных с~rпrало,в -при дискретной и им,пульсной модуляциях.
3.5.1 . Амплитудная манипуляция (АМн). В этом ,виде дискретной модуляции
в р ол и информационного параметра переносчика выступает ам,плитуда , к о торая
изменяется ск ачкообразно под ,воздействием ,модулирующего сигнала (отсюда
и н азва ние - амплитудная манипуляция) [3]. Амплитудная манипуляция отно­
-сится к классу В 1.
Рассмотрим особенности анализа АМн сигнала для случая, когда в роли
переносчика высту,пает гармоническое колебание х (t) =Ао sin (ш2l-f-qJo), а в роли
модулирующего с игнала - периодическая ,последовательность прямоугольных им­
пульсов
ГД,:) i; - длительность им ,пульсов; T=2't -период посmедовательности . В этом
,сл уч<iе амплитуда манипулированного ,сигнала -принимает два значения:
{0,5А0(1+т), 2i-i:<t<(2i+l)'t, .
А-= О,5А0 (1-тп), (2i+l)-i:<t<2(i+l)-i:, i=O, 1, 2, ...
Обычно коэффициент модуляции т при АМн ,выбирают равным единице.
Поэтому амплитуда манипулированпого .сигнала изменяется скачком в моменты
времени t=i't, i=O, 1, 2, . .., и []ринимает два ,значения: А0 и О. На рис. 3,2 по­
, казаны временные диаграммы модулирующего u(t) и ,мюшпулированного s (t)
сигналов. Можно за,метить, что при АМн источник высокочастотных колебаний
работа е т в режиме прерывистой генерации.
Аналитически АМн сигнал записывают так:
(3,23)
82

Определим опектр этого ,сигнала. Пр едставим u(t) в виде ряда Фурье
00
2 \-,
1- cos k1t
и(t)=7 /.J
k
k=I
где w 1 =2л/Т. Подставив (3.24) в (3.23), получим
(1 1'{11- cosk1t .
)
s(t)=А0 2 +-;-l.J
k
sin kt,),t sin (w2t + 'f' ,)
k=I
00
-~,--- cos (w2t + kw1t+ 'f'0),
--А0 ~ 1- cos kтс
2n
k
k=I
(3.24)
(3.25 )
На рис. 3.3 показан построенный по формуле (3.25) спектр -:сМн сигнал а .
Огибающая сп ектра (штриховая линия) представляет ,смещенныи на частот у
w2 спектр одиночного ,видеоимпу,льса 1.д(t) . С очевидными и зменениями пол у ч е н­
ные результаты справедливы для более общих ,случаев, когда и(t) явля е тс я .
/
/
/
/
/
',/
/'
/
'
\
\
\
\
\
\ /·1·, ,
\/
\ ,,.-
Рис . 3.2 . Временные диаграм­
мы модулирующего и манипу­
лированного сигналов
Рис. 3.3 Спектр АМн сигнала
случайной последовательностью знакопе р еменных имrпульсов с детерминирован­
ной амплитудой (см. § 2.4), когда Xi(t) является случайным сигналом и когд а
u(t) и x(t) являются слу ч айными . Для анализа АМн сигналов в таких боле е
общих случаях rприменяют алгоритмы, приведенные в § 3.2 -3 .4 .
Например, -спектр гармонического колебания, амплитудно - манипулированног о
случайным телеграфным сигналом с корреляционной фующией (2 .27) (,мо д уляц ия
класса 1) 1), имеет вид
А20 [
а2сх
]
О(ro)=4 о(ro2- ы)+сх2+(ro2_ ro)2 ,
(3.26)
где б(w2-w) -дельта-функция [3, 15]. Следовательно, ,при АМн спектр (2 .29 )
случайного телеграфного сигнала ,переносится на част-ату w2 и «накладывается»
на спектральную линию гармонического колебания. Ширина спектра ,по - преж ­
нему определяется ,соотношением (2.30) .
6*
83

3.5.2. Амплитудная импульсная модуляция (АИМ). При АИМ роль пере­
:н осчнка выполняет ,периодическая последо·вательность видеоимпульсов:
00
х (t) =А0 д х1 (t-jT, 1:),
/=-оо
•rде Ао - амплитуда импульсов; х 1 (t) - функция, описывающая одиночный им ­
пульс последовательности; Т - период повторения импульсов;
-.
-
длительность
,одн ого импульса . На рис. 3.4 показаны временные диаграммы модулирующего
Р ис. 3.4 . Временные диа­
;r раммы модулирующего и
АИМ сигнала
00
си11нала u(t) ·и АИМ сигнала. Штриховой линией
обозначена не-модулированная импульсная видео­
по -следовательность.
Аналит.ичеС"Кая запись АИМ сигнала (,класс
А2) имеет вид
00
s(t)=А0[!+ти(t)]
j.::::;11 - 00
х1(t- jT,'t),
(3.27)
где т - коэффициент модуляции. Определим
спектр s(,t) . Представим x(t) в .виде ряда Фурье
00
Х (t) = ~ ckeikw,t,
(3.28)
k=-oo
где w2=2n/T - !Круговая частота повторения им­
пульсов. Подставляя значение х (t) из ·(3.28)
в (3д7) и иопользуя преобразование Фурье, нахо­
дим спектр АИМ сигнала
00
00
Q(iw)=
_\ s(t)e-iwtdt= s[I+ти(t)] д
-со ·
-оо
k=- oo
00
00
00
со(w- kw2)+т д ck ).fl(t e-i(w-kw,)tdt.
(3.29)
k=- oo
k=- oo
-оо
Первая сумма в формуле (3.29) представляет спектр немодулированной по­
,след овательности (3.28). Вторая сумма показывает, что амплитудная модуляция
,в ызывает появление возле каждой составляющей этого спектра боковых полос,
.повторяющих спектр модулирующего сигнала. Поэтому спектр АИМ сигнала
представляет упорядоченный набор спектров обычных АМ колебаний, в которых
роль несущих выполняют гармоники частоты следования видеоимпульсов. Для
иллюстрации особенностей АИМ на рис . 3.5 показан типичный вид спектра АИМ
,сигнала для случая, когда и (t) является узкополосным случайным сигналом
(см. § 2.6) со средней частотой со 1 • Штриховой линией показана огибающая
спектра немодулированной последовательности видеоимпульсов. Следует уточ­
нить, что в данном случае спектр АИМ сигнала определен не с помощью пре­
,образования Фурье (3.29), а с помощью преобразования Хинчина - Винера
(3 .3), так как рассматривается модуляция класса С2.
Рассмотрение спектра АИМ сигнала позволяет сделать ряд практически
важ ных выводов. Очевидно, что необходимо выбирать такую минимальную ча­
стоту повторения импульсов
(3.30)
пр и' которой не прои сходит наложения спектров соседних боковых полос . Если
условие (3 .30 ) выполняется, можно выделить составляющие модулированного

.
сигнала с помощью полосовых фильтров и фильтров нижних частот. Практиче­
ски важной особенностью спектра АИМ сигнала (она проявляется· и в других
видах импульсной модуляции) является наличие около частоты w=O составляю­
щих модулирующего сигнала (рис. 3.5). Следовательно, демодуляцию АИМ сиг­
нала можно выполнить фильтром нижних частот без дополнительных преобразо­
ваний. Фильтр должен пропускать частоты от О до Wo""'W2-W1 (рис. 3.5).
Частоте rо 2 мия соответствует период Т макс • Большие в ременньrе интервалы
между импульсами используют для размещения импульсо в других кана­
лов при многоканальной передаче с временньrм разделением сигналов (см.
Ck
Ct
--.
--
-
Cz
,. ___
---
С-:,
......
f
.... ....
'
Со
"
Ck-t,,,,-,,,,,-
о
@
ы2 -rщ
{,}z-ы1
Ыz + Ы1 2Ыz+(,)1
rнс. 3.5. Спектр АИМ сигнала
§ 9.2). Длительность 't импульсов определяется полосой пропускания каналов.
Величину Т /-r называют скважностью, обычно Т /'t~ 1. Чаще всего АИМ видео­
сигнал используют как модулирующий сигнал для создания высо кочас т отных
модулированных колебаний. На первом этапе образуют АИМ с игнал, а н а
втором - полученный АИМ видеосигнал применяют для модуляции непрерывного
высокочастотного переносчика, имеющего частоту w3 ~ w2 . После та к и х преобра­
зований спектр сигнала u(t) переносится на частоту w3 несущего высокочастот­
ного колебания. Анализ модулированных высокочастотных колебаний выполняют
с учетом вида модуляции методами, изложенными в § 3.2 -3 .5 .
)
~
Контрольные вопросы
~
1. В чем сущность амплитудной мани п уляции и амплитудной импульсной мод у-
ля ции?
2. Поясните временные диаграммы и спектры сигналов при амплитудной, частот­
ной и фазовой манипуляции.
3. Поясните временные диаграммы и спектры сигналов при амплитудной, ш иро т­
ной и фазовой импульсной модуляции.
3.6 . ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ МОДУЛЯЦИИ
Цифровые виды модуляции используют для передачи не прерыв­
ных сообщений дискретными методами. Сущность цифровой моду­
ляции заключается в том, что передаваемый непрерывный сигнал
дискретизируется во времени, квантуется по уровню и полученные
после этих операций отсчеты, ,следующие в дискретные моменты
времени, ра -ссматриваются в той или иной системе •счисления как
числа, которые затем кодируются для преобразования их в кодо­
вые комбинации электрических сигналов. Полученной последова-
85

тельностью кодовых видеосигналов аналоговым или дискретным
способом модулируют высокочастотный сигнал-переносчик .
Следовательно, цифровые методы модуляции основаны на трех
необходимых преобразованиях полезных непрерывных сигналов:
дискретизации, квантовании и кодировании. Четвертое преобразо­
вание - модуляцию
-
используют, как п·равило, при передаче сиг­
налов в многоканальных системах. Наиболее распространенными
цифровыми видами модуляции классов G, Н (см. § 3.1) являются
импульсно-кодовая модуляция (ИКМ), дельта-модуляция (ДМ) и
комбинированные виды ИКМ-ДtМ.
Рассмотрим основные достоинства и недостатки, области при­
менения цифровых видов модуляции, особенности представления
непрерывных сигналов числами (кодовыми комбинациями), сущ­
ность дискретизации, квантования и кодирования при И~М и ДМ .
Интенсивное внедрение систем с цифровыми· способами передачи
сигналов началось в 60-х годах, в настоящее время в мире насчи­
тывается несколько миллионов эффективно эксплуатируемых си­
стем с ИКiМ [5, 8]. Быстрое развитие систем с цифровыми спосо­
бами передачи сигналов обусловлено их важными достоинствами :
слабое влияние неидеальности и нестабильности характеристик
аппаратуры на качество передачи информации; высокая помехо­
устойчивость даже при использовании каналов с нестабильными
характеристиками и большим уровнем шумов; возможность реге­
нерации (восстановления) сигналов в узлах связи сетей, что зна­
чительно ослабляет эффект накопления искажений сигналов при
передаче информации по линиям большой протяженности; универ­
сальная форма представления сигналов для различных сообщений
(речь, телевизионные изображения, дискретные данные, команды
управления работой устройства связи и т. п.); низкая чувствител ь­
ность к нелинейным искажениям в групповом тракте многока­
нальных систем; относительно простое согласование этих систем
с ЦВМ и с электронными автоматическими телефонными станция­
ми, что играет важную роль для построения интегральных сетей
связи; возможность автоматизации передачи и обработки сигна­
лов с помощью ЦВIМ; возможность унификации и стандартизации
элементов и устройств систем и сетей связи на основе интеграль­
ной микросхемотехники и цифровой вычислительной техники; при­
менение малогабаритных цифровых фильтров для селекции сиг­
налов.
Основными недостатками систем с цифровыми способами пере­
дачи сигналов являются: значительное расширение занимаемой
полосы частот каналов, необходимость обеспечения точной синхро­
низации сигналов и построения аппаратуры для их регенерации на
линиях большой протяженности. Например, при одинаковом числе
каналов для передачи группового сигнала с ИКМ и временным
разделением сигналов дJIЯ многоканальной системы требуется по­
лоса частот примерно в 15 раз большая, чем в системе с частот­
ным разделением сигналов и однополосной модуляцией [8] .
Фазовые ошибки тактовой синхронизации ограничивают максималь-
86

ную длину тракта передачи информации. Результаты исследова­
ний последних лет показывают, что эти недостатки не играют
определяющей роли и цифровые методы передачи информации бу­
дут применяться все более широко.
Наметились следующие основные области применения цифро­
вых видов модуляции: уплотнение действующих соединительных
линий между Ате, построение интегральных сетей связи с элек-
тронными Ате, радиорелей- '[[
ные линии связи прямой ви - 16
димости и дальние линии
tч
связи, спутниковые системы
связи с многостанционным
доступом, волноводные и оп ­
тичесrше линии многока­
нальной связи, телеметрия.
В настоящее время наиболь­
шее развитие получили си ­
стемы с ИКМ для уплотне ­
ния телефонных линий связи
и в спутниковой связи .
Принципиальная возмож­
ность применения цифровых
видов модуляции обусловле­
на следующими причинами:
абсолютно точная пе р едача
непрерывных сигнало в не ­
возможна из-за искажений
и шумов в каналах связи,
поэтому погрешности ди­
скретизации и квантования
сигналов являются допусти­
мыми; разрешающая спо­
собность и точность работы
устройств и операторов огра­
ничены; непрерывные сигна­
лы обладаю т значительной
избыточностью.
Последовательно рассмо­
трим сущность операций ди­
екретизации, квантования и
кодирования применительно
к цифровой передаче не­
прерывных сигналов.
На рис. 3.6 показаны
временные диаграммы сиг­
налов в системе с ИКМ.
На рис. 3.6,а показаны
исходный непрерывный сиг­
нал с ограниченным спек-
12
10
8
б
t,.
~Р];о101 1 11101100010Т 't
----. ,- ----,-, ~ ~ ~ ,~
fJ1=f !j Oz=5 1 fJ3=14' 1 щ_=fZ о5 =5 1
'I
•
1 t5J1
1
1
t1
1
1
1
1
и;г=i~➔-
t~11 h',::t
~г--~оμ1□iоd__
1
1
1t
l[l
11/
10
ti
2
1
13)1
1
1
1
1
1
1
1
/
1
-,
1
1
1
1/I·,1
1
1
1/1
1
1
1
1
1\
1
1/
j\
1
1
1
1\
1
1
J/1
\1
1
1
\~
1
1
1
i
1
1
о ...._ __..L Ll'- - - L L.1. .- - 1.1. .L__. lLJ._
_J Jl., .--=
i})
t
Рис. 3.6. Временные диаграммы сигналов
в системе ИКМ
87

тром и его дискретизация с интервалом Л,t=l/2F, где F -
верхняя частота спектра сигнала, на рис. 3.6,6 - полученная
в результате квантования и кодирования последовательность
двоичных видеосигналов. Из-за искажений сигналов и шумов
в канале принятая видеопоследовательность (рис. 3.6,в) отли­
чается от переданной. Выбирается порог u0 . Его превышение­
в моменты отсчета (стробирования) значениями сигнала означа­
ет наличие импульса, а непревышение - отсутствие; с помощью
формирующих устройств из принятой видеопоследовательности
создается «очищенная» - регенерированная последовательность
сигналов (рис. 3.6,г), которая поступает на декодер . С выхода де­
кодера импульсы, площадь которых равна соответствующим от- :
счетам исходного ~игналэ (рис. 3.6,д), поступают на демодуля­
тор - в простейшем случае фильтр _ нижних частот, на выходе ко­
торого восстанавливается копия исходного непрерывного сигнала
(штриховая линия на рис. З·.6,д).
Для получения регенерированной кодовой последовательности
отсчеты принимаемого сигнала берут в -середине каждого такто­
вого интервала -с (рис. 3.6,6 _и в) . Это делается для того, чтобы
исключить влияние на работу демодулятора запаздывания и фазо­
вых иск а:жен ий сигналов в канале связи. В результате регенери­
руемая последовательность «задержана» на т:/2 относительно пере­
данной (рис. 3.6,6 и г). Правильное декодирование сигналов тре­
бует также, чтобы были приняты все разряды кодовой комбина­
ции. Из-за этого принятые отсчеты оказываются дополнительно
задержанными относительно передаваемых на интервал дискре­
тизации Лt (рис. 3.6,а и д) . Важную роль играет идентификация
разря дов кодовых комбинаций, выполняемая, счетчиками импуль­
сов , которые делят последовательность видеоимпульсов на комби­
нации требуемой длины. Для синхронизации работы счетчиков пе­
риодически передают легко индентифицируемую (тестовую, кон­
трольную) кодовую комбинацию. .
Дискретизация во времени -это преобразование непрерывногG
сигнала в дискретную последовательность отсчетов (рис. 3.6,а).
Она осуществляется выбором отсчетов Иk=И (tk) сигнала и (t)
в определенные моменты времени tk=kЛt, k=1, 2, ... Интервал
(шаг) дискретизации, как правило, выбирают в соответствии с тео­
ремой Котельникова (см. § 2.2). Погрешности дискретизации опре­
деляют как погрешности ортогональных разложений ,сигналов
(см.§ 2.1) .
Квантование сигналов по уровню - это дискретизация получен­
ной последовательности отсчетов по уровню. Сущность квантова­
ния как нелинейного преобразования заключается в том, что все
отсчеты, попадающие в интервал квантования Лиk, представляют
одним значением u*k, которое называют квантованным (рис. 3.7).
Квантованные значения сигнала указаны на рис. 3.7 точками. Про­
цес с квантования определен, если задана характеристика кванто­
вания (рис. 3.8). Она связывает интервалы квантования и кван­
тованные значения: каждому интервалу квантования Лиk ставится
88

в соответствие квантованное значение u*1t• Часто интервалы кван­
тования выбирают одинаковыми и говорят, что квантование про­
изводится с постоянным шагом. Если выбирать u's1<=(и1<+ин 1 ) /2,
можно упростить схему устройства квантования (квантователя).
Характерной особенностью цифровых видов модуляции являет­
ся то, что из - за погрешностей квантования 1юпия сигнала отлича- .
ется от оригинала даже при полном отсутствии поме х и искаже­
ний в канале. Поэтому вводят такую характеристику, как щумы
квшtтования s(i) и для копии сигнала используют выражение
z(t)=u(t) + s(t).
(3.31)
Если квантование выполняют с равномерным шагом, то область
изменения мгновенных значений шума квантования ( абсолютной
погрешности квантования) e(t) заключена в пределах от -Ли/2
до Ли/2 . На рис. 3.7 показано значение абсолютной погрешности
и/ t--- -----.---1
Рис. 3.8. Характеристика кван­
тования
квантования e1t=U1<-И*1t для момента дискретизации t,,.
Обычно
ошибку квантования считают равномерно распред еле нной в интер­
вале [-Ли/2, Ли/2], поэтому математическое ожидание и диспер­
сия ошибки
М[z(t)]=0, D[в(t)]=
(3.32)
Диспероию ошибки квантова'Ния рассматривают как мощrюсть
шу~мов квантования (мощность помех, обу,словленных кванто·ва ­
нием). Мощность шумов квантования [Iадает с ростом числа уров­
ней квантования и при прав·ильном выборе этого чи1сла может
быть ,пренебрежимо мала по ·сравнению 1с мощностью [IОмех в ка- ,
нале. Обычно при квантовании решают две основные задачи: ана­
лиз погрешностей квантования (анализ искажений полезного
сигнала при квантовании) и оптимизация квантования с учетом
помех в канале (оптимальный :синтез квантователя, обеспечиваю­
щего минимальные погрешности). На практике во многих ·систе­
мах, например в м~ногоканальных системах •с ИКМ, равномерное
квантование не применяют. Это обусловлено рядом причин: рас-
89

пределение ошибки квантования отличает,ся от равно,мерного;
динамический диа1п азон передаваемых ,си гналов различен; для
обеспечения максимальной скорости передачи информации стре­
мя11ся обеспеч'ить появление квантованных значений с одинаковой
вероятностью (см . § 5.1) .
Погрешности квантования можно у~меньшить и при ра:вномер­
ном квантовании . Для э11ого необходимо сжимать динамический
диапазон полезных ,сигналов. Такое ,сжатие называют ком1Пресси­
рованием динамиче,с~юго диапазона. При этом уменьшается ин ­
тервал квантования Ли и соответст,венно падает мощность шумов
квантования (3.32). Ком~прессирование оигналов выполняют перед
квантованием. После декодирования и воостановления сигнала
необходимо выпол ,нить обратную 01Перацию, назыrваемую эк1спан­
-1
-
дированием. Обе операции назы­
вают компандированием сигнала.
Таким образом, влияние шумов
квантования и помех можно
уменьшить, оптимально выбирая
параметры процесса квантования
и искусственно изменяя динамиче­
ский диапазон полезны х сигналов
(применяя
компандирование).
Управляемыми переменными при
,квантовании являются
у ровни
квантования, интервалы кванто­
Рис. 3.9 . Временные диаграммы при вания и квантованные значения .
дельта-модуляции
Более простой по сравнени ю
с ИКМ является дельта - модуля­
ция (ДМ). Она позволяет применить элементарный ,способ де ко­
дирования сигналов и '1-юпользовать меньшую ~полосу частот. С ущ -
1-юсть ДМ заключается в том, что 1в дискретный 'Момент 1времени
взятия отсчета передается положительный импульс, если 1произ ­
водная сигнала в этой точке положительна, и отрицательный
им.пульс, если она отрицательна ('рис. 3.9) . В результате код,иро­
вания в дельта-модуляторе непрерывный сигнал преобразуется
в поеледо:вательность 1Положительных и отрицательных видеоим­
пульсов (:рис. 3.9,6). Так же, как и ,при ИКМ, эта последователь­
ность в случае необходимости ,может быть иопользована для мо­
дуляции высокочастотного ,оигнала..,переносчика. Декодер выпол­
няют как простой интегрирующий ,контур, :который суммирует в,се
импульсы кодовой видеопоследовательности. На выходе контура
получают копию полезного сигнала. Системы ·С ДМ обладают мно­
гими достоинствами ,систем с ИКМ, но 1При~меняемая в нrих а~ппа­
ратура кодирования · 'И декодирования является более простой.
Поэтому раэрабатывают и применяют ком~бинированные виды
модуляции: ИКМ-ДМ.
Для код,ирования N квантованных ,значений ,сигнала :при ИКМ
с 'помощью ~пр и митивного (,некорректи,рующего) 1кода необходимо
так выбирать основание кода т и значность кода п, чтобы mn = N.
90

Бели обеспечена одинаковая :вероятно,сть появления Кlвантованных
значений и интервал ,Л,t дискретизации выбран так, что он~и неза­
в исимы, ма·1~симальная окорость передачи информа'ЦИИ при ИК:М
Rмaнc=(n1ogm)/M=2Fnlogm,
(3 .33)
rде 2F - частота дискретизации полезного ·сигнала. Для двоичного
кодирования 1макС'имальная скорость
R2мaнc=2Fn.
(3.34)
В современных системах ,с цифровыми 1опособами передачи
сигналов начинают применять корректирующее кодирование. Это
приводит к некоторому с1J-J1ижению ,скорости ~передачи информации,
но увеличивает !Помехоустойчивость.
Контрольные вопросы
1. В чем сущность цифровых способов передачи непрерывных сигналов?
2. Назовите достоинства и недостатки систем с ИКМ и ДМ.
3. Где применяют цифровые виды модуляции?
4. На каких операциях основано применение цифровых методов модуляции?
5. В чем сущность ИКМ? Нарисуйте и поясните временные диаграммы.
6. В чем сущность ДМ?
7. Какие особенности использования ИКМ?
8. Что такое шумы квантования и как оценивают их мощность?
9. Почему применяют неравномерное квантование и компандирование сигна­
лов?
! О. Как определяется скорость передачи информации в системах с ИКМ?
3.7 . выводы
1. Анализ видов модуляции и хара1ктеристик модулированных
с игналов ·выполняют для согласования характер·истик ·сигналов и
к аналов, сокращения естественной избыточности ,сигналов, опре­
д еления потенциальной ломехоу,стойчивости различных видов мо­
дуляц·ии, определения ·помех ,сосед~н~им канала,м.
Модулированные сигналы являю"11ся нестационарными ,случай ­
н ыми процес-сами, их характеристики необ ходимо получать 1Пут е м
по·сл ед овательного применения опера'ЦИЙ усреднения 1по множ еству
и 1п о времени. Для определения коррешщионшой функции и ·с:п е к­
т ральной плотности используют обобщенны е 1со·отношения Х1инчи ­
н а-Винера (3.3), (3.4).
Классификационная ма трица видов модуляции (табл. 1) охва­
тывае т все изученные виды непрерывной, дискретной и цифровой
м одуляции •И ·позволяет раз•рабатывать новые виды , полез ные для
р а з вития теории информации и rпередачи сигналов.
2. Для анализа корреляционных и ,спек11ральных х арактеристик
мод улирова,нных оигналов необходимо ·з нать корреляционные и
спектральные характеристики модулирующих ·сигналов и :перенос­
чиков, а та1кже структуру и параметры оператора модуляции.
Спектральную плотность модулированного сигнала получают из
со отношения Хинчина - Нинера (3 .3) по ·его корреляционной
91

функции. Упро·стить опредеJiение корреляционной функции . по­
з1воляет представление модулированного ,сигнала .в виде узк опо­
лосного процесса . Корреляционная функщия балансно-модулиро­
ванного высокочастотного колебания равна произведению кор1ре­
ляционной фующии огибающей на хорреляционную фу,нкцию
высокоча ,стотного сиг,нала.
3. В роли переносчиков часто иопользуют узкополосные и ши­
рокополосные случайные процессы. Широкое ,применение получили
дискретные шумоподобные ,сигналы, построенные на 001-юв е ли­
нейных рекуррентных последовательностей. Например, использо­
вание бинарных М-последовательностей Хаффмена позволя ет по­
лучить сигналы-переносчики, обладающие рядом полезных
свойств. Шумоподобные сигналы наряду ·с известными пара·метри­
ческими :видами модуляции можно подвергать структурной моду­
ляции (модуляции 1по форме).
4. -Спектр узкополосного аналитичеекого -случайного сигнала,
модулированного по ам-плитуде ,случайным 'сигналом, я~вляется
непрерывным. Он сосредоточен в области средней ча1стоты случай­
ной не-сущей и имеет две боковые полосы, отстоящие от этой
ча,стоты на ,среднюю частоту •спектра ,полезного ·сигнала.
5. Анализ АМн и АИМ сигналов позволя ет выявит ь все
основные особенности анали за модулированных ,колебани й при
дискретной и им·пульсной модуляциях. Спектр га·рмонич еок ого
колебания, амплитудно-манипулированного случайным телеграф­
ным сиг-налом, образуется в результате переноса спектр а теле­
графного ·сигнала на час тоту несущей и «наложения» этого
спектра на • спектральную линию гармонического колебания.
Спектр АИМ ,сигнала является упорядоченным набором спектров
амп литуд но-модулиров а нны х колебаний, в которых роль н есущих
выполняют гармоники частоты сJiедования видеоимпульсов.
6. Цифровые виды ,модуля ции применяют для передачи непре­
рывных сообщен и й д искретными методами. При цифровой моду­
шщии производят ди скрети за цию во времени и квантов а н и е па
уровню н епр ерывно го сигнала и полученные квантованные з наче­
ния сигнаJiа кодируют. Основными видами цифровой мод уляции
являются и м пул ьсно - кодовая 1модуляция (ИКМ), дельта - модуля­
ция (ДМ) и н:омбинированные виды (ИКМ-ДМ) . Достоинств ами
систем с цифровым •способом передачи сиг-налов Я'ВЛЯЮ'ГСЯ: ·высо­
кая помехоустойчивость, возм ожн ос ть регенерации сигналов
в узлах ,с'Вязи, низ'кая чувствительность к нелинейным искаже­
ниям; интеграция способов обработки, коммутации и управления
сигналами, унификация функциональных узлов на основе ми кро­
схемотехники и цифровой вычислительной техники. Однак о при­
менение цифровых ме тодов ведет к ра,сширению абонируемой
полосы ча,стот каналов, к необходимости ·точной синхронизации
сигналов и построения ап п аратуры для регенерации .
В настоящее время системы с ИКМ широко :применяют в теле ­
фонии и опутниковой связи. Область иепол ьз о вания цифро1вых
методов ·модуляц ии пqстоянно ра.сширяе11Ся.
92

Глава 4
КАНАЛЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
4.1. АНАЛИЗ НЕПР'ЕРЫВНЫХ К'АНд,лов
Методы и модели анализа непрерывных каналов разрабаты-•
вают на основании изучения физических и статистических хар акте­
ристик реальных ~каналов. Так как :непрерыВ'ные каналы нвляютс я­
основной составной частью всех других 'каналов, результаты ана­
лиза непрерывных каналов ширО'ко иепользуют для решения задач
анализа и синтеза систем, сетей овязи и дpyiriиx объектов инфор­
мационной техники. Основными задачами анализа непрерьшных
каналов являют,ся анализ линейных и нелинейных искажений
сигналов -в каналах и анализ влияния помех :в каналах.
4.1.1. Анализ искажений сигналов. Для анализа искажени й
сигналов в каналах необходимо располагать сведениями о харак­
теристиках 'Входных 1сигналов, структуре и ,параметрах операторов
преобразования сигналов :в канале и изучать характери1стики вы­
ходных ,сигналов. Характери~тики !Входных сигналов определяют·
Ка'к хара·ктеристики модулированных -сигналов (см . § 3.2 -3.6)·.
Структуру и параметры операторов преобразования сигналов,
в канале определяют на основе построения ~математических мо­
делей каналов (•см. п. 4.1.3). Прохождение ·сигналов через каналы
и характеристиrrи выходных сигналов обычно изучают методамИ'
теории радиоте хн ических цепей [7] и статистической радиоте х ни ­
ки [1 -3, 15].
При строгом рассмотрении реальные непрерывные каналы яв­
ляются нелинейными инерционными стохастическими системами:
[ 1-3]. В них реакция на выходе не ,может предшествовать воз­
действию на входе, поэтО'му такие системы ча-сто -называют дина-­
л-tическими . Анализ таких систем пре,п;ставляет сложную :задачу .
Ее решение еще более усложняется, когда в роли входных -воз­
дей ствий выступают случайные модулированные сигналы. Для'
пр·иближенного решения задач анализа искажений непрерывный
канал, 1к а'к уже отмечалось в § 1.3, удобно ра,соматривать как
последовательное соединение линейной ·инерци онной 'С истемы и·
нелинейной, но безынерционной системы. На рис. 4.1 ,по·казана
стру~ктурная схема непрерывного ·канала без 'по мех, где лин ейная
инерционная система предста,влена полосовым фильтро,м Ll, а не-­
линейная безынерционная система - нелиней·ным 1преобраз овате-
9~

лем L2. В статистической радиотехнике U15] показано, как ана­
лизируют прохож'дение случайных сиr-налов через такие системы.
Линейные искажения сигналов появляю'l'ся 1в линейном инер­
uионном четырехполюснике с постоянными параметрами из-за
наличия в нем реактивных элементов. При линейных искажениях
нарушаются существующие частотные · и фазовые •соотношения
между отдельными составляющими сигнала и форма сигналов.
Для отсутствия искажений необходи•мо, чтобы модуль коэффи­
циента передачи и время запаздывания для всех ,составляющих
были одинаковы. Нелинейными называют искажения сигнало·в,
которые возникают в нелинейных безынер1ционных четырех:полюс­
никах с постоянными параметрами из-за нелинейности характе-
Рис. 4 . 1. Эквивалентная схе­
ма непрерывного канала без
помех
X{t)s [t-,(tJ]
z(t,,J
Рис. 4.2 . Эквивалентная схема непре­
рывного ка нала с помехами
ристик активных элементов: ламп, транзисторов и др. В резуль­
тате нелинейных ИС'кажений опектры сигналов расширяются, в них
появляются дополнительные компоненты, растут уровни взаимных
помех ,в каналах.
4.1.2 . Помехи в непрерывных каналах. Для раС'смотрения помех
в непрерывных ,каналах выходной сигнал представляют ,в виде
z(,t, т) =Yi'( ,t)s[t-т(t)] + ,~(t),
(4.1)
где s(t) - •входной сигнал; :Jt(·t) и Ht) - •соотве'!'ственно мульти­
пликативная и аддитивная помехи; -т:(t) -задержка сигнала в ка­
нале. Структурная схема непрерывного канала с помехами
показана на рис. 4.2.
Мультипликативные помехи обусловлены случайными измене­
ниями коэффициента передачи канала из-за изменения характери­
стик среды, в которой раепространяются сигналы, и коэффициен­
тов усиления -схем при изменении питающих напряжений, из-за
за мираний сигналов в результате интерференции и ра з личного
затухания сигналов при многолучевом распространении радиоволн
[;9]. Сущность физичес1ких явлений, вызывающих •мультипликатив­
ные помехи, подробно рассмотрена ·в [1 , 9] . Мультипликативные
помехи бывают «медленные», 'когда
(4.2)
94

и «-быстрые», когда
.Л-rн/,Л'tс ~ 1,
где Лти - интервал корреляции •случайного процесса :Jt (t),
Лтс - интервал корреляции или длительность сигнала, если он
рассматрИ'вается как детерминированный.
Если ·сигнал включает ряд спектральных ком1Понент и Лт; -
интервал корреляции или длительность i-й ком,поненты сигнала,
то в зависимости от значения отношения Лти/,Л-r; ра'Зличают общие
и ,селективные мультипликативные помехи ('замирания сигналов).
Если
... ,
(4.3)
то ,мультипликативную помеху называют общей. Если это отноше­
ние различно для различных компонент, то помеху называют се­
лективной. Если случайный сигнал может быть представлен в ыще
тригонометричеСJКого ряда Фурье (2.45), то 'В роли Лт; ,выступает
период i - й гармоники T;=2n/,ffi;.
Аддитивные помехи обусловлены флуктуационными явлениями ,
связанными ,с тепловыми процессами .в шроводах, ре'Зисторах, лам­
пах, транзисторах и других элементах ,схем, наводками под дейст­
вием атмосферных явлений (грозо·вые, разряды, космическое
излучение, магнитные бури и т. п.) и индустриальных процессов
(работа промышленных установок, линий электропередач, радио­
станций, других линий свя'ЗИ и т. п.) .
Аддитивные помехи делят на сосредоточенные и флуктуацион­
ные. Сосредоточенные аддитивные помехи отличаю'Гся сосредото­
ченностью энергии :помехи в полосе ча1с'Гот (узкополосные ,помехи)
ю1и на отрезке времени (импульсные помехи). Узкополосные по­
мехи в основном обу,сло·влены действием посторонних источников
сигналов - ширина спектра этих помех сраышма или значите л ьно
меньше ширины спектра полезных сигналов. Узкополосные помехи
как ~помехи от соседних ·станций характ е рны для радиоС'вязи. Ста­
тистические овойства узкополосных помех носят такой же харак­
тер, как и у полезных ,сигналов. Борьба ,с узкополосными адди­
тивными помехами ведется методами повышения из-бирательности
радиоприемных устройств и улучшения линейности характеристик
усилителей (нелинейные преобразования помех n>риводят к рас­
ширению их 'Спектра, что вызывает появление частотных компонент
помехи в полосе прозрачности систем, 9тведенной для приема ,по­
лезных сигналов).
Импульсные помехи - это ,случайные последовательности им­
пульсов, создаваемые промышленными установками и атмосфер­
ными источниками сиг1ыло1в. Эти ~помехи характеризуются широ­
ки1м энергетическим ·спектром. Ширина их •спектра, ка'к и·звестно ,
обратно пропорциональна длительности им,пульсов. Энергия опек­
тральных составляющих и1мпулысных ~помех падает в области
оверхнизких и сверхвысоких частот. Это является одной из причин
все более широкого использования радиоволн метрового, деци­
метрового и сантиметрового диа:паэонов.
95

Понятие сосредоточенности энергии помехи относ·ительно. По­
:этому для определенности сосредоточенными аддитивными ·по­
.мехами следует ·считать те, для которых
'дro2/IЛffi11 «l, T2/T1«l,
(4.4)
тде Лffi2 , Т2 - соответственно ширина е,пе1(тра и длительность по­
.
мехи; Л,ffi 1 , Т1 - ши1рина спектра и длительность сигнала. Первое
,соотношение 'В ( 4.4) определяет узкополосную помеху, второе -
импульсную.
Флуктуационная аддитивная помеха характеризуется «размы­
тостью» энергии спектра ,в широком диапазоне частот. Она
•обусловлена главным образом внутренними шумами элементов
.аппаратуры (тепловые шумы, дробовой эффект в электрова,куум­
ных приборах и т. п.). Средняя мощность теплового шума ·в по­
.лосе частот ЛР полезного ,сигнала определяется по формуле
[J) = a2 =4kT0,ЛP,
(4.5)
,спектральная 1плотность
(4.6)
;где k=l,37 -10-23 Дж/град-iПостоянная Бошщмана; Т° - абсо­
лютная температура; при 7'°=290 К ,k7'°=4·10-2 i Вт/Гц. Спект­
ральная плотность помехи на ,положительных ча,стотах Q0 = •2Q.
· Флуктуационную помеху из - за «.внутренней» природы невозможно
_у,странить, можно лишь учесть ее характеристики ,при ·синтезе
такой оптимальной системы, ,в которой наличие флуктуационной
ломех'И меньше всего с1шзывается на качесТ~ве :ттередачи инфор­
мации.
1\1.атематическими моделями сосредоточенных аддитивных по­
.мех являются уз'Кополосные •случайные сигналы и ·случайные по­
•следовательности импулЬ'сов. Математической моделью флуктуа­
ционной аддитивной помехи служит гауссовский белый шум (см.
,П. 2.4.4).
4.1 .3. Модели непрерывных каналов. В настоящее время раз­
.работано большое количество моделей непрерывных :каналов, раз­
.личных по сл~жности математического описания, требуемым
исходным данным и погрешностям описания реальных каналов.
Наиболее распространены следующие модели: идеальный канал,
гауссов канал, гауссов ~канал с неопределенной фазой, гауссов
однолучевой канал ·с замираниями, · гауссов многолучевой канал
.с замираниями и сосредоточенными аддитивными ,помеха1ми. Для
анализа реальных каналов в конкретных · условиях обычно вы­
бирают такую модель, которая приводит 1к не слишком трудоем­
ким решениям задач и в то же время обладает погрешностями,
лопустимыми в инженерных расчетах.
Идеальный канал можно применять .как модель реального не­
пр е рывного канала, если соблюдаются следующие условия: по­
мехи любого вида отсутствуют, оператор L = iL1L2 преобразования
,с игналов в канале является детерминираванным (iсм. ри,с. 4.1),
мощность и полоса сигналов ограничены. Для анализа выходных
:96

сигналов с помощью этой модели необходИlмо знать характери­
стики входных сигнал•ов и операторов L 1, L2 . Модель идеального
канала слабо отражает реальные условия, ее применяют чаще
всего для анализа л:инейных и нелинейных ис:кажений модулиро­
ванных сигналов в многоканальных системах проводной свяэи.
Гауссовский капал. Основные допущения при построении этой
модели следующие: коэффициент передачи и время задержки сиг­
налов в канале не за·висят от времени и я·вляются детермини­
рованными велич•инами, известными в ,месте приема сигналов;
в канале действует аддитивная флу~ктуационная ,помеха - гауссов­
ский белый шум (гауссовский процесс) .
Если на вход гауссового канала поступает узкополосный •сиг­
нал, то выходной сигнал можно ~представить в 1в:иде
где s (t), s(,t) - квадратурные соста,вляющие входного сигнала;
:lt' -
коэффициент передачи канала как функция времени; <p = ffio't ';
ffio - средняя частота входного сигнала; rr - время задержки сиг­
нала в канале; ·~ (i) - гауссовсишй белый шум. Если на вход
гауссова канала поступает широкополосный ,сигнал, для i-й ком­
поненты которого коэффициент передачи канала равен :Jti, а фа­
зовый сдвиг q:>i, то выходной сигнал
п
z (t) = ~ [Xi cos 'fiSi (t)+Xi sin 'Pi3i (t)}+е(t),
(4.8)
l-1
где {j)i = ffii 'ti; ffi; - средняя ча·стота i-й комrпоненты;
't; - время
задержки i-й компоненты; п-число ,камrпонент. Из сравнения
(4 .7) и (4.8) следует, что ·входной сигнал может рассматриваться
как узхополосный, если амrплитудные и фазовые искажения от-
су11ствуют, и :Jti = :Jt, (f)i= ,q:>, i = .1 1,n. Для анализа сигналов на
выходе гауссовых каналов необходимо знать хара:ктеристики вход­
ных ·сигналов, ·значения :Jt; и q:>;, а также слектр ,Q [!О-мехи ,~(t).
Гаусеав •канал применяют как модель реальных ·каналов про­
водной свяэи и однолучевых каналов без замираний или с мед­
ленными замираниями, когда ,можно надежно из1мерить :Jt; и q:>;.
Эта модель позволяет анализировать аМ'плитудные и фазовые ис­
кажения сигналов и влияние флуктуационной ,помехи.
Гауссовскuй канал с неопределенной фазой сигнала. В этой
модели время задержки сигнала в канале ра1ссматривают как
случайную велич'Ину, поэтому фаза в (4.7) также ~случайна. Для
анал·иза •выходных сигналов канала необходимо знать закон рас­
пределения вре1мени задержки или фазы сигнала.
Гауссовский однолучевой канал с замираниями. В этой модели
:Jt' и q:> рассматривают в (4.7) как случайные величины или про­
цессы. Е1сли :Jt (.t) и ер (t) - случайные ~процессы, спектр выходного
с игнала канала шире спектра входного даже [Iр'И отсутствии , по­
мехи из - за паразитных амплитудной и фазовой модуляций.
7~886
97

Введем в (4.7) следующие обозначения для квадрату,рны х
компонент:
Х (.t) = :% (,t) cos ер (,t), У (1t) =:% (1t) sin ер ('t).
(4.9 )
Для реальных каналО'В измеряют · ·с ледующие характеристики этих
процессов: математические ожидания М[ X('t)] =m1, М [iY (t)] =m2.
дисперсии 21) [Х (t)] = •cr2 1, 21) [!У (t)] =cr22 , корреляционные функции
К1 (,:), К2 (,:). В зависимости от измеренных значений характери­
стик, различают обобщенную гауссовскую модель, обобщенную
релеевскую модель и релеевскую модель однолучевого канала
с замираниями.
Для обобщенной гау,ссовской модели канала 1(1(,:) = /(2(,:) =
К(,:) процессы Х ('t), • У (t) являются некоррелированными, гауссов­
r.кими и , стационарными . Для анализа каналов с помощью этой
модели необходимо знать характеристики входных сигналов
m 1, m2 , ,cr2 1, ,о-22, К(,:), юпе·ктр помехи Q. Основная особенность ана­
лиза выходных сигналов заключается в том, что они являются
случайными нестациона•рными процесса.ми, корреляционные функ­
ции и ,спектральные 1пл,отности которых необходимо находить ме­
тодами, изложенными в § 3.2 .
В обобщенной релеевской модели канала 1cr 2 1 :._а 22 = cr 2 , распре­
деление •модуля коэффициента передачи ханала
X=·vx2 +Y2
(4.10)
является обобщенным релеевским распределением (2.86), где роль
величины А играет :Jt, ·а роль величины а20 - параметр ,q2 = (m2 1+
+ 1т22 ) /2cr2 . Раопределение фазы
ep=arctg(Y/X)
(4.11}
имеет ·вид (2.87).
В релеевской модели канала а2 1 =сr22 =а2н/2, m 1=in2=O, по ­
этому распределение величины (4. Ю) являе11ся ра•спределением
Релея (2.78), а распределение фазы равномерное (2.79). Следова­
тельно, обобщенная 1гауссовская модель однолучевого канала
с замираниями является наи·более общей, частными вида·ми этой
модели служат обобщенная релеевская модель и релеевская мо­
дель.
Рассмо11р·енные модели однолучевого канала с зами раниями .
достаточно хорошо описывают свойства рад1иоканалов раэличных
диаJПазонов и проводных каналов ,со случайными, в том числе и
переменными 1Параметра1ми.
Гауссов многолучевой канал с залtuраниями . Эта модель опи­
сывает радиоканалы, распространение сигналов от передатчик а,
к приемнику в 1юторых 1происходит ·по различным «канала ,м» -
путям. Длительности прохождения ,сигналов и коэффициенты пере­
дачи различных «каналов» являются неодинаковыми и случай­
ными. Принимаемый сигнал обра·зуется в результате интерферен­
ции •сигналов, пришедших по различным путнм . Он описывается
соотношением (4.8), в котором Si (:t) и Si (,t) - квадратурные со­
ставляющие передаваемого сигнала, ,прошедшие ~по i-му пути, :Jti
98

и ер; - коэффии:иент ,передачи и фаза для i-го пути, п - число
пу тей распространения радио,волн .
В общем случае частотная и фазовая характеристики канала
з ависят от времени и ча,стоты, поэтому модель 'Коэффициента ,пере­
да чи I(а нала
:JC (w, t) = V[~, :JC1 (ш, t) cos р, (w, t)]'+[ ~,х, (•, t) sin р1 (w, 11]' ,
(4.12)
фазовая характеристика канала
п
S:JC;(ы, t)sin'fi(ы, t)
r.p (ш, t) = arctg •-
·;
-
1--------
S :Jt'; (ы, t) cos 'fi (ы, t)
i=l
(4.13)
С л ед овательно, для описания многолучевых каналов с з амирания ­
ми необходимо задавать в п раз больше статистических характе­
ристик по ·с'Равнению с однолучевыми. Из-за этого задачи анализа
многолучевых ющалов являются значительно более ,сложными.
В то же время модель многолучевого канала ,с замираниями яв ­
ля ется одной из наибол ее общих и пригодна для описания
.сной ств
большинства 'Радиоканало,в и ;проводных канал от~.
Гаусс овский многолучевой канал с замираниями и аддитив­
ными сосредоточенными помехами. В этой модели наряду с флук ­
туапионной помехой учитывают и различного вида 1сосредоточен­
н ые 1помехи. Она является наиболее общей и достаточно полно
отра жа ет свойства многих реальных каналов , Однако ее ,иополь­
з овани е порождает ,сложность и трудоемкость решения задач
. а нали за, а также необходимость сбора и обработки большого
объема исходньiх статистических данных.
В дальнейшем для решения задач анализа непрерывных и
дискретных каналов использую11ся, как правило, ,модель гауссов ­
ск ого канала и ,модель гау-ссавского однолуч1евого канала -с за­
мираниями.
Контрольные вопросы
1. Нарисуйте и поясните структурную схему непрерывного канала без помех.
2. Ка кие искажения сигналов наблюдаются в непрерывных каналах?
3. Нарисуйте и поясните структурную схему непрерывного канала с помехами.
4. Ка ки е помехи наблюдаются в непрерывных каналах?
5. Какие модели применяют для описания непрерывных каналов?
б. Опишите модель гауссовского канала, гауссовского однолучевого канала с за­
мираниями.
7*
99

4.2 . АНАЛИЗ ДИС'КРННО-НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ
Чтобы ~показать особенноrсти анализа дискретно-непрерывных
и непрерывно-ди·екретных каналов, расамотр-им, как выполняется
анализ дискретно-непрерывных каналов . Для определенности вы­
берем дискрет:но-1неп:рерывный 1ка:нал, который образуе'Гся у.с11рой­
·ствами тра·к·та «выход кодера - вход демодулятора 1Dм2» (рис . 1.1).
На вход этого канала поступают дискретные -кодовые сигналы Ьк 1 ,
а ,с выхода снимаются непрерывные сигналы .s ~(it).
Для построения математической модели и а·нализа диокретно­
нвпрерьrвного канала необходи'Мо знать алфавит кодО'вых сигналов
bk 1, ,k= 1,т, вероятности появления кодовых сигналов Р (bk1)',
полосу пропускания ЛFR непрерывного канала, на кото·ром по­
строен ра,ссматриваемый канал, а'Приорную условную плотность
f1 (s Ibk 1) распределения вероятнО'сти появления ·сигнала s 2 (t) при
условии, что передавался сигнал ,bk 1. Первые две . характер·исти:ки
определяют свойства кодера как источника дискретных сообщений.
Полоса пропускания непрерывного ,канала определяет допустимую
скорость W передачи •кодовых сигналов и их искажения . Четвер­
тая характеристика определяется •видом мультипликативных и ад­
дитивных помех и иекажений в непрерывном ,канале.
Результатом анализа дискретно-непрерывного канала яв л яется
определение а,постериорной вероятнос11и P(bk1 1s) того, что при
полученном сигнале s2 (1t) передавался сигнал bk 1. Апостериорная
ве~роят,ность 1раосчитывается по формуле Байеса:
р(Ь Is)= Р(bk1)f1(sJ bk1)
k1
т
•
д Р (bk1)f1 (s J bk1)
k=1
(4.14)
Если решающая ,схема демодулятора Dм2 реализует алгори11м
определения максиму,ма апостериорной вероятности:
max [Р(bk1\s)]=Р(Ь;~ 1s), k = 1, т,
(4.15}
то на выходе демодулятора m:оявляется ,сигнал Ьi!, апостериорная
вероятность появления ~которого Р (1bil ls) больше в•сех остальных .
Скорость передачи сигналов W выбирают и з условия отсутст­
вия межсимвольных искажений (искажений ,соседних импульсов
из-эа переходных процессов в :канале). Ширина ·спектра сигнала
s 2 (t) на выходе непрерывного •канала не может превышать ЛFк.
Такой ,сигнал ,полностью •оп,ределяется отсчета1ми, следующими
с частотой ,ц,иек~ретизации 2ЛFк. Поэтому скорость передачи сиг­
налов должна удовлетворять условию
W~2ЛFк.
( 4:16)
В ди-скретных каналах ,скорость передачи сигналов может быть и
больше чем 2ЛFк (величину 2ЛFк называют пределом Найкви.ста) .
Однако в этом ·случае 'Поя1вляются межсимвольные искажения и
нельзя проводить независимую обработку отдельных сигналов .
10(}

Необходимо применять достаточно сложную а,ппаратуру компен ~
сации искажений . Из-эа наличия , помех полностью устранить ис~
кажения невозможно, что в -конечном итоге приводит к ошибкам
решающей схемы .Dм2 . Знак равенства в (4.16) достигается при
незави,симой обработке о.тдельных ,кодовых сигналов в том случае ,
когда импульсная mереходная характеристика непрерывного ·кана­
ла совпадает с функцией отсчета, т. е. rкогда канал является
идеальным фильтром . Рассмотрение моделей непрерывных каналов
показывает, ,что ,это условие, как ,правило, не выполняется. По ~
этому в реалыных iКаналах W~2ЛFн.
Хара·ктер условной 1плотности f 1 (s l·bk1) ,полностью определяет
свойства дискретно-непрерывного канала. Если для любых соче­
таний s2 (t) и bk1
(4.17)
то такой канал называют стационарным. Бели условие (4.17) не
выполняется, -канал , является нестационарным. Следовательно, для
стациона1рного дискретно-не,прерывного канала усло·вная плотность
f1 (s l1bk1) не зависит от времени.
Если справедливо условие
f1(s/ ,bk1, bk-1,1, bk-2,1, . . . , Ьk-1,1)=1f1(slbk1),
(4.18)
то такой канал называют каналом без памяти. В противном слу­
чае говорят, что •канал обладает памятью . Выполнение условий
(4.17), (4.18) определяется ,свойствами непрерывного канала , на
основе которого построен дискретно-непрерывный .канал. Если
нешрерывяый 1канал является гауссовым, то условия (4.17), (4.18)
выпо.тпrяются и дискретно-непрерывный канал я1вляется стацио­
нарным и без пал1.ятu.
Реальные диекретно-непрерывные каналы обычно являются
нестационарными и с памятью. Несмотря на это, модель дискрет­
но-непрерывного стационарного канала без памяти находит широ­
кое применение благодаря простоте анализа и получения исход­
ных данных.
Контрольные вопросы
1. Какие устройства входят в дискретно - непрерывный канал?
2. Какие исходные данные требуются для анализа дискретно-непрерывных ка -
налов?
3. Что является основным ре зультатом анализа дискретно-непрерывного канала?
4. Как определяют скорость передачи сигналов?
5. Запишите и поясните условия стационарности и отсутствия памяти дискретно ­
непрерывного канала.
4.3 . АНАЛИЗ ДИ<ОКРЕТНЫХ 1КАНАЛО!В
Для анализа дискретных i, аналов разрабатывают И- применяют
специальные математические ,модели и методы. Рассмотрим основ­
ные из них и на примере двоичного канала ~покажем, как опре-
101

\lf.еляюг характерис:тиюи дисюретньrх ,каналов : у1сло1вные ,вероят1но­
сти появления ошибок, 1полные _вероятности появления ошибки и
правильного приема , ,вероятности ,появления различных символов
на выходе диокретного канала и 1д1р.
4.3 . 1. Модели дискретных каналов. Дискретный канал обра­
зуют устройст,ва тракта «вход ·кодера - выход декодера»
(рис . 1.1). На вход канала поступают символы ak1, а с выхода­
аk2 - Nlатематическая модель дискретного канала определена, если
известны следующие характеристики: алфа:вит и априорные веро-
ятности Р (ak 1) ·появления символов а1< I сообщений (,k= 1,т I , т 1 -
объем алфавита); скорость ,передачи символов W 1; алфавит сим-
волов а;2 копии сообщений, i= 1,т 2 , т2 - объем алфа,вита; априор­
ная условная вероятность Р (а; 2 \ а" 1 ) появления сим-вола а; 2 при
условии, что был ,передан а,, 1 .
Как и для диокретно -непрерывного канала, первые две харак­
теристики определяются 1свойствами ист~чника сообщений и по­
лосой припускания непрерывного канала. Объем выходного алфа·­
вита т 2 определяется опособом построения системы передачи ин­
фор,М аци,и. У сло~в'ная ,ве1роятность Р ( а;2 \ а,,1) определяе-гся
в основном свойствами непрерывного канала - и его характеристика ­
ми. Если в системе используют канал обр, атной связи и «стирани е»
символов, то m 2 >m1. Стирание символов ·вводят тогд;э., ~когда из-за
искажений и лqмех не ясно, ~какой символ передавался. Решающее
устройство деходера -Dк выдает сим1вол стирания ,0, если символ
а; 2 на,столько отличается от сим'волов источника . сообщений, что
его нел ь зя ,с большой вероятность~ отождествить ни с одним из
пер ед авае!v1ых. Стирание си·м1волов поз1воляет уменьшить вероят­
ность лоя-вления ошибки, но приводит к уменьшению и вероятности
П'равильного приема. Определены условия, при которых ,стирание
символов ц ел есообразно. Обычно вводят один символ стирания.
Результатом анализа дискретного 1канала является определение
апостериор1-юй условн.ой вероятности Р ( а" 1 1 а;2 ) того, что при по­
лученном символе а; 2 передавал,ся символ а,, 1 . С помощью этих
апостериорных 1вероятностей и априорных вероятностей Р(а,, 1 )
рассчитывают полную вероятность ,появления ошибки ,в ,канале,
полную вероятность правильного приема, вероятность ,появления
символов на выходе канала, информационные хара'Ктеристики
дискретного канала (скорость пер едачи инфьр:мации, ~пропускную
способность, количест,во принятой информации и др. ('см. § 5.2)).
А1постериорная вероятность ра,ссчитывается по формуле Байеса
р(а Iа.)= Р(ak,)F(а;21а,,,)
(4.19)
k1. t2
т1
2: Р (а1<1) Р (ai2 1 ak1)
k=l
Если решающая схема декодера D1, реализует алгоритм определе­
ния мак~симума апостериорной вероятности:
(4.20)
102

то на выходе декодера появляется символ aj 1, апостериорная
вероятность пояiJЗления которого Р ( aj 1 1ai2 ) больше всех остальных . ·
Характер условных вероятностей Р (ai 2 Iа,, 1 ) полностью опре ­
деляет свойства дискретного канала . Если для любых сочетаний
ai2 и а11. 1 эта вероятность не зависит от момента времени t взятия
отсчета, т. е.
(4.21)
то .канал называют однородным. Если условие (4.21) не выпол­
няе11ся, канал я•вляется неоднородным. Если справедливо усл овие
Р (ai21 а11.1, а11.-1,1, . .. ,
а11.-1,1) = Р (ai21 а11.1),
( 4.22)
то канал называют каналом без памяти. Бели условие (4.22) не
выполняется; канал обладает ,па,мятью на l си,м1воло1в . Выполнение
условий (4.21) и (4.22) зависит от того, на каком непреры в ном
канале построен дискретный канал. Например, если непрерывный
канал является ,гауссовым, то условия (4.21), (4.22) выполняются
и построенный на нем диокретный <канал я,вляется однородным и
без памяти.
Реальные дискретные каналы являются неоднородными и с па­
мятью. Это обусловлено следующими причинами: ис'кажением
сигналов и влиянием: помех в непрерывном канале (•см . § 4. 1) ,
задержкой IВО времени выходной посл·едовательности ·сигналов по
отношению к входной__, нарушение,м та1ктовой синхронизации ,пере­
даваемых и принимаемых импульсов (см. § 6.6), ошибками ре­
шающих схем (см. п. 4.3 .3) . О:цнако модель дискретного однор·од­
ного канала без памяти как модель перrвого приближения нашла
широкое применен·ие. Она позволяет упростить методы анализа
и получение исходных данных.
4.3 .2 . Методы определения .характеристик дискретных каналов .
Для -математического · оп•исания дискретных однородных канало в
без памяти необходимо ис,пользовать матрицы типа
Pik=(;::;:: : ;::)'
Рт, Рт2
Ртт
(4 .23)
элементами которых я·вляются условные вероятности /J i 11.=
=
P(ai 2 la11. 1) (1см. rп. 4.3 .1). Совместно с априорными rвероятностя­
ми Р (а11. 1 ) эти вероятности Pik перехода i-го символа в k-й ,пол­
ностью определяют вероятностные хара•ктеристи •ки дискретных ка­
налов . Математичеоким аппаратом, который позволяет исследо­
вать дискретные ~каналы, являе11ся теория марковских цепей [15] .
Она предна·з·начена для описания случайных дискретных последо ­
вательностей. Рассмотрим те элементы этой теории, 1которые ис­
пользуют~ся в дальнейшем.
Бели ,выполнить дискретизацию случайного ~процесса Х (it) с ин­
тервалом Лt=l/2F (см . § 2.2), то значения случайного п·роцес'С а
• Xi = X (ti), взятые в моменты времени ti, образуют случайную
!QЗ

!:Iоследовательно1сть {Xi}. Если случайная последовательность по­
лучена дис1,ретизацией стационарного и эргодическото процесса,
она таюке обладает этими с~войствами. Числовые характеристики
такой последовательности получают использованием операций
уср еднения ,по множеству и по времени (см. § 2.3). Оценка мате­
матического ожидания []Оследова тельности
n•
m=M [Х;[-::-' (Xi) = +~ X;k•
(4.24)
k=l
где при усреднении по множеству п - количество реализаций, из­
меренных в один момент времени ti; X;1i -k-e значение случайной
величи_ны Xi; при ,усреднении по времени п-,- количество ,моментов
времени, раС'сматриваемых для одной реализации.
Если все значения Xi стационарной по·следовательности непре­
рывны и незавиrси~мы, то полной характеристи1Кой я1Вляется одно­
мерная плотность распределения f (xi). Плотности ра1спределения
большей размерности определяют :как [I•роизведение одномерных
плотностей. Бели Xi являются дискретными независимыми ·сим­
волами, что имеет место при определенных условиях 1Передачи
дискретных сообщений, 1полной хара·ктеристикой является распре-
деление вероятностей Pi появления символа Xi, i= 1,п. Так как Х;
образуют полную группу событий, то
п
(4.25)
Равенство (4.25) называют условием нормировки.
Если символы по1следовательности •взаимоза1Висимы (коррели­
рованы), ,помимо вероятностей появления отдельных . симв.олов,
необходимо задавать условные вероятности •Р (Xi IXi-1, Xi-2,
...
...,
Xi - z) появления tВ nосле,довательностrи ~сим1вола Xi [I'РИ
условии, что перед ним появилась группа символов Xi-1, X1i-2, ...
.
.
. , Xi-l• Последовательности, в которых существуют статистиче­
ские свя·зи между символами, называют цепями Маркова или
д1арковскими цепями . Если ,статистическая связь ·суще1ствует толь­
ко между двумя символами i-м и (i-1)-м, то марковскую цепь
называют простой, ее ,поведение полностью описывается матрицей
(4.23) при заданных начальных вероятностях P(a1i1) =Рн• Для
эргодической марковекой цепи вероятно·сти pj появления си·мво­
лов Xj в у,становившемся режиме находят из системы алгебраиче­
ски х уравнений •
т
(4.26)
с использованием условия нормиро1В1ки (4.25).
Для математичес~кого описания дискретных однородных кана­
лов без памяти ИС[IОЛьзуют методы теории марковских простых
однородных цепей.
104

4.3 .3. Двоичный канал. Используя результаты п. 4.3 .1, 4.3 .2,
найдем вероятностные характеристи'Ки двоичного дискретного од­
нород!lого канала без памяти. В этом ·случае m 1 =im2 =2. Для
простоты записи обозначим ·b11=V12 =1b1, Ь21=Ь22=Ь2, Р11=;
= P(b1lb1), Р12=Р(Ь1!Ь2), P21 = P(b2lb1), P22=P(b2lb:z) . Вероят­
ности Р11, р22 - это условные , вероятности правильного приема
символов Ь1, Ь2, а Р12 и Р21 - это условные вероятности появл ·ения
ошибок. Граф преобразования символов при передаче по двоич-
ному каналу пок~зан на рис . 4.3 .
•
8,{t)
А
-А
t, tz
t
t
::Zp":,
22
Рис. 4.3. Граф преобразования сим­
волов в д11скретном дво и чном к ан а ле
Рис. 4.4 . Реаш1зации сигналов s 1 (t):
И S2(t)
Ра•с,смотрим работу решающей ·схемы Dм2 . Реализации сигналов
s1 (t) на выходе первого модуля1'ора и s2 (1t) на входе демодулято­
ра Dм2 (,см. рис. 1.1) . показаны на рис. 4.4. Положительные им­
пульсы соответствуют передаче сим:вола Ь 1 , отрицательные - пере­
даче Ь 2 . Мож,но заметить, что прохождение •сигнала через ~,апал
привело к изменению ,его формы.
Если W<2.ЛF, , искажения сигналов в •канале отсутствуют и
непрерывный канал является гауссовым, то изменение формы сиг­
нала обусл·овлено. лишь действием флуктуационной по~мехи ~ (t),
Сигнал на входе решающей ,схемы ·можно представить в виде
S2(.t)=S1(t) +G(t).
На основании от,счетов напряжения принятого си,гнала s2 (t)'
в моменты времени t 1, t2, . . . , tk, . .. решающая · схема демоJI, улятора
Dм2 должна определить: был юринят импульс с амплитудой · +А
или импульс с амплитудой -А. Та•к как I А I я:вляется детер м и­
нированной величиной, то раопределение •сум1мы IA 1+s(tk) пол ­
ностью определяется одномерным ржпределением помехи f (~) .
Вероятности ошибок и правильного mриема определяются · не
только хара·ктеристиками помех, но и порогом а принятия реше­
ния. Если s2 (tk) <а, то принимается решение о том, что пришел
105

_отрицательный импулыс. Правильные решения принимаются тогда,
1,огда выполняют,ся следующие неравенства
A+Gk>a, Gk>-A+a,
- A+Gk<a, Gт,<А+а. •
(4.27)
(4.28)
_Ошибки 1происходят тогда, когда неравенства (4.27), (4.28) не
выполняются из-за выбросов, обу,словленных помехой. У1словные
вероятности ошибок - это вероятности выполнения противополож­
ных нера'Венст:в, поэтому
-А+а
Р21=Р(~< - А+а) =
.\ f~)d~,
(4.29)
-00
00
Р,2=Р(~>А+а)= .\ f(~)d~.
(4.30)
А+а
Если амплитуды положителЬ'ных и отрицательных импульсов
передаваемого -сигнала ·одинаковы, ' удобно взять а=О. В .этом
случае р 1 2=Р21=Ро- Такой канал называют симметричнЬtм. Услов­
ная вероятность появления ошибки · в симметричном канале
оо
-А
Ро=Jf(~)d~= Sf(~)d~ -+[1 - FK О(~)],
(4.31)
А
-оо
•
,
,
где Vli А/о; о -среднеквадратическое значение помехи;Fк (Vh)-
функция Крампа (2.88) .
Безусловную вероятность ошибки Q определим по формуле
· полной вероятности
Q=P (Ь1) Р21 +Р (Ь2) Р12=Ро -
(4,32)
Из-за симметрии двоичного канала ~полная вероятность ошибки
совпадает ,с условной :вероятностью. Это удобное ,свойст:во сим­
метричного канала, та •к как з начение р0 (одного параметра) пол­
ностью определяет с~войс11ва двоичного однородного :симметричного
канала без памяти. Полная вероятность :правильного приема сиг ­
налов
(4.33)
та,к как P11=l-P12, а P22=I~p21,
Реальный ди1с'Кретный канал 'Можно рассматривать как функ­
циональный преобразователь распределения , вероятностей появ­
ления символов вход1Ного алфавита в рщшределение вероятностей
появления символов выходного алфавита. Идеальный дискретный
канал не является преобразователем, поскольку оставляет ра·с­
пределение символов неизменным и оригиналы и копии дискретных
сообщений сов1падают .
4.3.4 . Вероятность появления в кодовой комбинации q ошибок.
Так как ·символы дискретных сообщений кодируют кодовыми
!06

комбинациями, которые включают п эл~ментарных 1щдо~ых сиг­
налов, предrставляет интерес определенпе вероятности того, что
в ~кодовой комбинации будет q ошибочно ~принятых элементарных
сигналов. Величину q называют кратностью ошибок. Если все
элементарные сигналы :в кодовой комбинации независимы, эта
вероятность определяется биномиальным раопределением и фор­
мулой Бернулли:
(4.34)
где Cqп=n!/q! (п-q) ! - число сочетаний; р0 - вероятность появ ­
ления ошибки при передаче одного элементарного сигнала. (Опре­
деление этой вероятности с учетом группирования ошибок дано
в§ 8.1.)
Среднее число ош»бок
"
М[q]=~ qP,,(р0,q)=про.
(4.35)
q=O
Если р0 << 1, что оправедливо для реальных каналов, маr<:симальной
является вероятность Р п (р 0 , О) того, что ошибок не будет. С рос­
том ,q функция Рп (р 0 , q) монотонно убывает. Поэтому оtпибюr
большой кратнос;ти (1когда q> 1) ·встречаются реже. Этот -вывод
спра·ведлив для однородных каналов без памяти при условии, что
(4.36) '
Поэтому в пеР'вую очередь обращают внимание на обнаружение
и испра~вление ошибок малой кратности.
Контро,льные вопросы
• 1. К:акие характеристики необходимо знать для построения модели дискретного
канала?
2. Что определяют в результате анализа дискретного канала?
3. К:акие дискретные каналы называют однородными и без памяти?
4. К:акой математический аппарат применяют для определения характеристик
дискретных каналов?
5. По каким причинам · реальные каналы отличаются от идеального?
6. К:акне характеристики определяют для двоичного канала?
7. К:ак определить вероятность появления нескольких ошибок в одной кодовой
.
• комбинации?
4.4. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧБРЕЗ ·КАНАЛЫ
Для решения задачи прохождения .сигналов через реальные
каналы в общей постановке необходимо изучать 1прохождение
случайных сигналов через нелинейные стоха-стические инерцион­
ные не-стационарные ·системы. Работа таких систем описывается
нелинейными дифференциальными уравнениями со случайными
переменными коэффициентами и случайной , правой частью. По­
этому решение таких задач является ·сложным, для ~многих реаль­
ных каналов оно является предметом ·современных научных ис-
!О?

следований. Характерные особенности задач анализа прохождения
случайных 'сигналов через каналы обычно ; • ра·ссматривают с по- ·
мощью более простых [Iриближенных моделей: каналов. Например,
как уже отмечалось, для анализа л·инейных и , я_елинейных. иска­
жений си,гналов канал рассматривают как :,по'сщ~довательное- со­
единение линейной инерционной системы и. нелинейной безынер­
ционной ·системы. Прохождение сигналов через та1кие системы
изучают в стати,стцческой радиотехнике [15] •и теории радиотех-
н,ических цепей [7] :
.
•
Для систематизации представлений и иллюстрации основных
особенностей анализа рассмотрим 1Прохождение 1случайных стацио­
нарных сигналов через линейные инерционные системы с 1Постоян~
ными параметрами. Задачи анализа ,прохож,дения ,сигналов через
нестационарные системы рассматри:вают,ся в § 6.6, где изучается
влияние замираний сигналов на помехоустойчивость.
На •помним, что линейной называют систему, 1Подчиняющуюся
принципу супер[lозиции . Примера1ми линейных инерционных пре­
образований являются такие операции, ~как усиление, фильтрация,
дифференц·ирования, интегрирование, которые описывают линей­
ным оператором (см. 1Приложение) . Полное описание работы ли­
нейной -системы 1выполняют ,с ·помощью дифференциального урав­
нения с постоянными коэффициентами. Широкое ра,спростр а нение
получили импульсные 'И ча,стотные хара1ктеристики линейных си­
стем, которые обычно применяют для анализа устано ви вших с я
режи м ов [7]. Задача анализа прохождения случайны х · сигнало в
ч ерез линейную 'систему в полной мере решена , тогда, ·когда п о
заданной п-мерной плотности распределения входного ,сигнала
Х (t) и импульсной g (t) . (или коэффициенту передачи .o/t (i,w))
хара ктеристике линейной системы найдена п-мерная плотность
распр еделения выходного -сигнала У (t). Если входной процес,с
являет,ся гауссовским, то распределение •выходного процесса
остаекя гауссовским. В тех ·случаях, ,когда распределение · вход­
ного сигнала отличается от гауссовского, определение распредел е ­
ния выходного процесса является достаточно - ,сложной з адачей ,
решаемой с ~помощью ,специальных приемов :L17].
В линейных системах прохождение сигнала и аддитивной по­
мехи 1можно рассматривать отдельно, а затем просу,ммировать
полученные О'Гклики. Прохождение детерминированных (регуляр­
ных) сигналов через линейные системы детал ь но рассматривается
в ку рсе «Радиотехнические цепи» [7]. Основное вним а ние мы бу­
дем уделять прохождению случайных сигналов. В ин ж енерной
практике решение задач анализа 1ВЫХодных распредел е ний во мно­
гих ,сл учаях упрощается в результате того, что в узкополосных
лин ей ных системах имеет место «нормализ а ция » выходных ра·с­
пред елений [ 15]. Эффект нормализации проявляется в том, что
вне зависимости от характера входного распределения выходное
распределение тем больше приближается к нормальному, чем уже
полоса пропускания системы :по сравнению с шириной сп ектра
входного случайного :процесса.
108

Ра с смотрим преобразование гауссовского стационарного - сисr'с
нала Х (t) -с корреляционной функцией К1 ('t) и спектральной плот­
ностью Q 1 (ffi) в линейной инерционной с:истеме с ·импульсной
характеристикой g (t) и коэффициентом rrtередачи Х (iffi). Найдем
корреляционную фун,кцию K2 ('t) и спектральную -плотность ,Q2 (ffi)
выходного. ,процесса Y(t) . В роли входщ)го 1сигна,11а .,будем ра·с­
сматривать центрированный процесс X(t), у которого M[iX(t)] =O .
Это вызвано тем, что прохождение ~постоянной (детерминиро:ван­
ной) и переменной (,случайной) 1составляющих через линейньrе си- ·
стемы удобно рассматривать отдельно, а хара'Ктеристики выход-··
нога колебания получать методом ·суперпозиции.
На основании метода Дюа,меля выходной сигнал
00
У(t)= \g(t)Х(t-
,;) d-c,
о
поэтому корреляционная функция
(4.37)
К,(,)=М[lg (•,) Х(t - ,,) d,,Ig (,,) Х(t+, -,,)d,,]- (4.38)
Операции интегрирования -в (4.38) и усреднения 'ПО множеству
можно менять местами, по этому
0000
К2('t)= J.\g(-с1)g('t2)м[Х(t- 't1)х(t+'t -
-с2)] d'tl d't2·
оо
Gледовательно,
0000
К2 (,;)= .\
.\ g ('t1) g (,;2) К1 (,; + 'tl - -с2) d-cl d-c2.
оо
(4.39) ,·
Из (4.39) следует, что при rпрохождении через линейную инер-__ ·
ционную стационарную систему :процесс остается · ·стационарным. -
Ди,сперсия выходного процесса
•
0000
g\= К2 (О)= s5g (-с1) g (,;2) I( 1 (-с1 -
,;2) d-cl d-c2.
оо
(4.40)
'.
Таким образом, для определения· дисперсии выходного сигнала
недостаточно знать дисперсию ·входного ,сигнала и g (t). Требуется
знать корреляционную функцию K1('t) при •*О.
Спектральную плотность 1выходного сигнала определим с ,по­
мощью соотношения Хинчина -Винера (2.22):
109

Учтем:, что
80
Sк(+_)
-iw (,+,1-,,)d -Q ( )
1'С
'tl
't2 е
't-
1(1)'
-оо
""
00
.\ g (-с1) е;"''1 dт.1 =К (iw),
r
( ) -iw,,d
..
(")
.}gt2е
t2= :Jt"" lill,
о
о
где Х* (iю) - величина, комплексно-сопряженная с Jt' (1i,w) . Следо­
вательно,
(4.41)
где IX(iw) 1 -,модуль коэффициента передачи.
Из формулы ,(4.41) следует, что фазовая ха ра;ктеристика ли­
нейной системы не влияет на ·корреляционную функцию и ,с пект­
ральную плотность выходного 1процееса. Поэтому по изменениям
корреляционной функции и спектральной плотности процес,са нель- ,
зя судить о фазовой характеристИ1ке системы.
Дисперсию выходного процесса можно определить и с помощью
формулы (2.23):
00
:!/)2 =-1
-
rQl <(!)) 1.Jc (i(I)) 1 2 dill.
те\
i
(4.42)
о
Если выходной гауссовский процесс центрирован, М [ У (t)] =0 и
дисперсия полностью определяет его одномерную плотность (2.41) .
Для примера укажем характеристики гауесовского белого шу­
ма, прошедшего через полосовой фильтр с граничными частотами
(1) 1, w2, модулем коэффициента передачи Jlo и полосой пропускания
Лw=1w 2~w 1 . Полосовым фильтром ,белый шум преобразуется
в узкополосную помеху- гауесовский стационарный узкополосный
процесс. Дисперсия помехи на 'Выходе фильтра
q)2=2QJl20Лf= 1QoJl2c,Л,f=Jt' 2oq), ,
(4.43)
где Q0 - спектральная плотность белого шума в области положи­
тельных частот; :Л.f = Лw/2л. Корреляционная функция помехи
определяется по формуле (2.74), где !!lJ=!!lJ2 .
Таким образом, анализ прохождения случайных сигналов че­
рез непрерывные каналы связи по . ,существу сводится к последо­
вательному анализу ,методами 'Статистической радиотехники и
теории радиотехнических цепей различных функциональных ,пре­
образ ований случайных сигналов и ·последовательностей. Резуль- · ·
таты анализа ·используют и для 01пределения харак теристик
дискретных КdНалов.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте постановку задачи анализа про х ождения случайных сигналов
чер ез каналы.
2. В чем особенности анализа харак теристик сигналов на выходе линейных и
н~линейных систем?
110

З. Какой метод обычно используют для анализа прохождения случайных сигна­
лов через J);шейные инерционные системы?
4. В чем сущность эффекта нормализаuии случайных сигналов в линейных узко­
полосных системах?
5. Поясните, как изменяются характеристики белого шума после прохождения
полосового фильтра.
б. Как определяют одномерную плотность распределения сигнала на выходе не­
линейной безынерционной системы?
7. Как о,пределяют корреляцион.н у ю функцию и -спектральную плотность сигнала
на в ыходе нелинейной безынерционной системы?
4 .5. ВЬJIВОДЫ •
1. Целью анализа непрерывных 'Каналов является анализ ис­
кажений •сигналов и влияния :1омех в каналах на передачу сиг­
налов. Реальные непрерывные каналы являются нелинейными
инерционными стохастичеекимй системами. Анализ таких систем
при случайных входных воздействиях представляет сложную
проблему, которая является предметом со:временных научных ис­
следований. Для 'Приближенного решения задач анализа непре­
vывные каналы ,представляют в виде последовательного -соедине­
ния линейной инерционной системы и нелинейной безынерционной
системы. Это позволяет для многих !Практически ·важных случаев
оценить линейные и нелинейные искажения сигналов в каналах и
влияние помех. Каналы раесматривают как динамические системы,
реакция на выходе которых не может предшествовать воздействию
на входе.
Помехи в непрерывных т<аналах бывают мультипликативные
и аддитивные. МультипJ!'икативные помехи обусловлены случайны­
ми и зм енениями коэффициента :передачи канала из -за изменения
характеристик линий -связи. Аддитивные помехи вызваны флуктуа­
ционными :Я·влениями, связанными с тепловыми процессами в эле­
ментах аппаратуры, атмосферными и индустриальными процес­
сами, работой ,соседних каналов. Математичес1кими моделями по­
мех -служат узкополосные случайные сигналы, 1случайные 'После­
довательности импульсов, гауссовский белый шум и др .
Для анализа каналов разрабатывают математические модели
каналов, •которые включают описание помех, структур и пара ­
метров линейных и нелинейных операторов, отражающих преобра­
зования сигналов в каналах. Математические модели отличаются
сложностью математичес,кого описания работы канала, требуемыми -
исходными данными для анализа, погрешностями описания и по­
лучаемыми 1с помощью моделей результатами. Принимают следу­
ющие -модел'И: идеальный канал, гауссов канал без искажений
сигналов, гауссов канал с неопределенной фазой, гауссов одно­
лучевой канал с замираниями ·сигналов, гауссов многолучевой
канал •С замираниями и сосредоточенными аддитивными помехами.
Для анализа конкретных ~каналов обычно выбирают такие мо­
дели, к оторые ·приводят 1к относительно ·простым решениям задач
а нализа, но обес,печивают точно·сть, требуемую для инженерных
расчетов . Н аиб ольшее распространение получили различные раз ~
• 111

новидности гауссова канала. В этих моделях пред·полагается, что
могут быть линейные и нелинейные искажения -сигналов /в кана­
лах, аддитивная помеха является гауссовым стационарным слу­
чайным процессом.
• • 2. Основными характеристиками дискретно-непрерывного кана ­
ла являются алфа1вит и вероятности появления входных кодовых
символов, полоса пропускания нелрерывного ~канала, на которо~
построен дискретно-непрерывный канал, априорная плотность
f (s Ibk 1) распределения вероятно'сти появления •сигнала s2 (t) при
условии, что передавался сигнал Ьk~-
Результатом анализа дискретно-непрерывного канала является
определение апостериорной вероятности Р (bk 11s) того, что при
полученном сигнале s 2 (it) передавался кодовый символ bki- Эту
вероятность определяют по формуле Байеса (4.14). Бели решаю­
щая схема демодулятора работает по алгоритму определения мак­
симума апостериорной вероятности, на выходе демодулятора
поя,вляет,ся тот символ, апостериорная вероятность появления :ко­
торого больше других .
Дискретно-непрерывный ка·нал наэывают стационарным, если
условная плотность f (s Ibk 1) не зависит от времени . Если она не
зависит от того, 'Какие символы передавались до bk1, то такой
канал называют каналом без памяти. Если дискретно-непрерыв­
ный канал построен на гауссовском канале, он является -стацио­
нарным и без памяти. Стационарные дискретно-непрерывные
каналы без памяти получили ширО1кое ,применение для ·прибли -
женного анализа реальных каналов.
•
. 3. Основными характеристиками дискретного канала являются
алфа·вит и априорные вероятности 1поя,вления входных кодовых
символов, ,скорость передачи ,этих ,символов, алфавит символов
копии сообщений, условная вероятность Р (ai2 \ak 1) появления
символа ai 2 при условии, что был ,передан aki- Результатом ана -
•лиза дискретного канала
является определение апостериорной
вероятности Р (ak 1\ai 2 ) того, что при полученном символе ai2 пере­
давался ·символ akl• Апостериорные вероятности рассчитывают П()
•формуле Байеса (4 .19). Если решающая •схема декодера работает
по алгоритму определения максимума апостериорной вероятности,
на выходе декодера появляется тот символ, вероятность появления
которого больше других.
Дискретный канал ~ называют однородным, если для любых
сочетаний ai 2 и ak 1 ~ловная вероятность Р (ai21 ak1) не зависит
от момента взятия от:tчета . Если она не зависит от того, какие
символы передавалисьj до ak 1, то такой канал называют каналом
без памяти . Бели диiскретный канал построен на гауссовском
канале, он является tоднородным и без памяти . Однородные
дискретные каналы без памяти получили широкое распростране­
ние для приближенногЬ анализа реальных каналов .
А1постериорные вероятности Р (ak 1\ai 2) и априорные вероятности
Р (ak 1) используют для расчета полной вероятности появления
ошибки в канале, полной вероятности правильного приема, веро-
112

ятностей появления различных символов на выходе канала в уста­
новившемся режиме, ,скорости передачи информации, пропускноir
способности канала и других характеристик . М атематичес:кими,
метода:ми определения характеристик дискретных каналов яв­
ляются методы теории марковских цепей [9, 15, 18].
В связи с широким применением двоичных кодов важное зна­
чение имеют двоичные диокретные каналы. Наиболее распростра ­
ненной являет-ся модель однородного двоичного ~канала без памяти ._
Если условные вероятности появления ошибок равны Р12=Р21=Ро,.
канал называют ,симметричным. Бели для передачи используют
противоположные сигналы с одинаковыми амплитудами, то услов ­
ная вероятность появления ошибки в •:канале полностью опреде-­
ляется отношением амплитуды сигнала к среднеквадратическому
значению аддитивно'й помехи в гауссовском канале . В силу ,сим­
метрии канала полная (безусловная) •вероятность появления,
ошибки совпадает с условной вероятностью появления ошибки.
При р0 ~ 1 и передаче независимых кодовых сигналов вероят­
ность появления нескольких ошибок в одной кодовой комбинаu_ии,
падает . с ростом числа ошибок . Ма1к·симальной является вероят­
ность того , что ошибок не будет. Поэтому основное внимание уде­
ляют обнаружению и исправлению одиночных ошибик и других.
ошибок малой кратности. При коррелированных кодовых сигна­
лах (в каналах •С памятью) наблюдаются иные распределения.
вероятности появления кратных ошибок.
4. Прохождение сигналов через каналы обычно изучают мето ­
дами статистической радиотехники Ul5] и теории ра;п:иотехниче­
ских цепей ,[7]. Если канал ра·ссматривают как последовательное
соединение линейной инерционной системы и нелинейной безынер­
ционной системы, то используют известные в статистическо&
радиотехнике результаты анализа прохождения ,случайных сиг-
3алов через линейные и нелинейные устройства.
Задача анализа прохождения сигналов через канал в полной.
мере решена тогда, когда по заданной п-мерной плотности ра1с­
пределения входного ,сигнала и оператору преобразования с игнала.
в канале найдена п-мерная плотность распределения вы х одного,
сигнала. · На практике используют и определяют более простые
хара 'ктеристики -сигналов: одномерные и двумерные плотности;
распределения, корреляционные функции и ·спектральные ш1от­
ности.
В линейных системах корреляционные функции и спектральные ·
плотности выходных сигналов определить . отно·сит е льно просто , .
слож_нее находить ·плотности распределения выходны х сигналов .
Положение обле,гчают два обстоятельства : Если IВХодной сигнал
является гауссовским , то выходной - также гауссо в . Если ши­
рина ,спектра входно го сигнала значительно превышает полосу
пропускания ,системы , то вне зависимо'Сти от за кона распределе ­
ния входного процесса плотность ра·спределения выходного будет­
близ к а к гауссовской. Этот эффект называю:~- нормали з ацией слу ­
чайных процессов в линейных система х.
8-886
113,

Обычно для выходных сигналов определяют методом Дюамеля
корреляционную функцию и по ней с помощью -соотношения
Хинчина-Винера спектральную плотность. В линейных каналах
прохождение ситнала и аддитивной помехи ра·ссматривают от­
дельно и затем используют метод ,суперпозиции.
Белый шум, ·прошедший через полосовой фильтр, является
узкополосным гауссовским случайным процессом со средней час­
тотой епектра, равной средней частоте полосы •пропускания
фильтра . Дисперсия выходного сигнала (4.43) равна диспер-сии
··белого шума, отсчитанной по полосе пропуС'кания фильтра и
умноженной на квадрат коэффициента передачи фильтра . Дис­
персия прямо пропорциональна спектральной плотности белого
шума и полосе пропускания фильтра.
•
В нелинейных безынерционных системах в отличие от линейных
плотности распределения выходных ,сигналов определить относи­
·тельно просто, сложнее находить корреляционные функции и
,спектральные плотности. После прохождения тауесовского случай­
ного сигнала через нелинейный канал его распределение отли­
чается от гауесовского. Поэтому в данном •случае нельзя найти
плотность ра·спределения выходного сигнала по его корреляцион­
ной функции. Прохождение сигнала и аддитивной помехи через
нелинейный канал уже нельзя рассматрива·ть отдельно, так как
метод суперпозиции :несправедлив. Обычно отыскивают корреля­
;ционную функцию выходного -сигнала, а потом с помощью соот­
ношения Хинчина-Винера определяют его спектральную плот­
ность.

Глава 5
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИСТОЧНИКОВ
СООБЩЕНИЙ И КАНАЛОВ
5.1 . ИНФО"1МАЦ!ИОННЫЕ ХА' Р'АЮЕ'РIИСТИКИ ИСТОЧНИ'КОВ ДИСКРННЫХ
СООIБЩЕНИй
Информационные характеристики источников дискретных со -­
общений были определены в § 1.4 . Их анализ показывает, чт о,
условная энтропия источника дискретных сообщений является его ,
основной информационной характеристикой, через которую
выражают большинство других. Поэтому целесообра з но рассмот­
реть свойства условной энтропии и показать, как влияют на нее ·
неравномерность распределения вероятностей появления символов ·.
сообщений и ,статистические ,связи между символами .
Если появление символа ai зависит толь'ко от того, 1какой был .
в сообщении предыдущий символ aj, то образование сообщений·
описывают простой мар'ковской цепью ,( см . п . 4.3.2). Энтропию­
совместного появления двух •символов определяют, применяя опе­
рацию усреднения по всему объему алфавита:
т.т
Н(А,А')=-дд р(а;,а')logр(а;,а'i),
(5.1) ,
i=I j=I
где р (ai, a'j} - вероятность совместного появления ,символов а;;
и a'j; log р (ai, a'j) - l.{оличество информации, котпрое приходится:
на слог а;а; j•
Так как
р(а;, a'j}= р(а;)р(a'jIа;)=р(a'j)р(а;1a'j),
(5.2),
где p(ai), p(a'j) -вероятности появления ai , a'j; p(a'j\ai) -ве -­
роятность появления a'j при условии, что перед ним появился ai;
р ( а; 1а' j ) - вероятность появления ai при условии, что перед ним,
появи лс я a'j , то выражени е (5 .1) можно представить в виде
тт
Н (А, А')= - д д р (а;) р (a'i !а;) logp(aJ p(a'i Iа;)=
т
т•
т
т
=-др(а;)logр (а;)~ р(a'i [а;) - ~ р(а;)~·р(a'ilа;) log; р(a'il а;)·
i=I
j=I
i=I
j=I
8*

т
В соответствии с условием нормировки (4.25) ~ р (a'i I а;) = 1,
j=I
nоэтому
Н(А, A')=H(A)+H(A'IA),
(5.3)
тде Н (А) - энтропия источника (1.8); Н (А' 1А) -условная энтро­
пия источника. Используя второе п роизведение в (5.2), аналогично
получим
Н(А, А') = Н(А') + H(A IA').
(5.4)
Следовательно, среднее количество информа·ции, которое при­
носят два соседних 'Символа, равно сумме ,среднего количества
информации, которую приносит первый из них, и среднего коли­
чества информации, которую приносит второй, при условии, что
первый уже появил ся.
•
.
Поэтому условная энтропия одного ,символа (1.10) - это то
,среднее количество информации, ,которое приносит последующ ий
символ при условии, что предыдущий уже известен:
H(AIA') = Н(А, А')-Н(А'),
H(A'IA)=H(A, А') - Н(А).
(5.5)
(5 .6)
Условная энтропия обладает 'Следующим свойством: если сим­
,волы ai и а',; взаимо з ависимы, то
Н(АIА')<Н(А).
·Следовательно,
Н(А') +H(A IA') < Н(А') +Н(А).
Только для источников с независимы~и символами
Так как
Н(АIА')=Н(А),
Н(А , А')=Н(А)+Н(А') .
тах Н (А)= log m,
р (ai)
(5.7)
(5 .8)
(5.9)
(5.1 О)
(5 .11)
то ,существуют две причины, из-за кот о рых уменьшается ,среднее
количество информации, переносимое одним символом в реальных
·сообщениях: неравномерность рас п ределения вероятностей появ­
ления различных символов и корреляционные связи между 'сим­
волами. В реальных сообщениях корреляционные связи ,сущест­
вуют не только · между двумя соседними ,символами, а и между
z+1 символами. Говорят, что источник имеет память на l симво­
лов. Формула (1.10) выведена для случая l=,1. Аналогично
определяют условную энтропию для более общих -случаев, ·к огда
1> 1. Для реальных источников энтропия ( 1.8) . и производитель-
116

1-iость (1.12) отличаются от максимальных, а избыточность (1.11)
велика.
Рассмотрим двоичный источник и покажем, как влияют на
энтропию, производительность и избыточность неравно-вероятное
появление ·символов и к.орреля'Ционные ,связи между ними. Обо­
значим символы источни,ка через а 1 , а2 , вероятности их поя,вления
через · р (а 1 ), р (а2 ), соответствующие условные вероятности через
р(а, 1а',), p(a2I а'2), р(а, 1а'2), p(a2I а',).
5. 1.1 . Двоичный источник с независимыми равновероятными
символами. В этом случае р(а 1 ) =р(а2 ) =P='l/2, условные вероят­
ности равны нулю. Энтропия такого источника максимальна:
1
1
1
1
1
·
Нмакс- - 2 log 2 - 2 log 2 =-log 2 =log2=1 бит/симв. (5.12)
Следовательно, 1 бит - это максимальное среднее количество
информации, которое может переносить один символ источника
двоичных сообщений. Производитель-
ность такого источника максимальна,
, избыточност ь отсутствует.
11, оц,:т,/ш115.
5.1.2. Двоичный источник с незави­
симыми неравно-вероятными символа-
•ми.
В это,м случае р(а1 )=р, р(а2 )= 0,75
=1-р, условные вероятности равны
нулю. Энтропия та·кого источника
Н(р) =-Р log p- (1-p)log(l-p).
(5.13)
На рис. 5.1 показан график функции
Н (р). Эта функция достигает макси­
мума Нмакс=l бит/симв. при p=l/2
и равна нулю при р=О и p=l. Так
как Н (р) <Нмакс при р=/== 1/2, то про­
изв·одительность такого
источника
меньше максимальной, а избыточность
о
0,25 IJ,5 tl,7{f /1
Рис. 5.1 . График функции (5 . 13)
r(p) = 1-Н(р) /Нмакс
больше нуля.
Например, если р (а 1 ) =0,125, р (а2 ) =0,875,
=-0,125 log 0,125-0,875 log 0,875=0,576 бит/симв.,
r(p) = 1-0,576=0,42.
(5.14)
то Н(р) =
Следовательно, отклонение распределения вероятностей появления
символов от равноМ'ерного приводит к •снижению энтропии и уве- ·
личению избыточности источника.
5.1 .3. Двоичный источник с коррелированными равновероятны­
ми символам.и. В этом случае р (а1 ) =р (а2 ) =р= 1/2, условные
вероятности не равны нулю . Предположим, что р (а 1 1 а',)=
.
р (a2 J а'2), а р (а, 1а'2) = р (a2 I а'1). Условную энтропию источника
117

найдем ·по формуле (1.10):
Н (А IA') =-р:[р (а11 а'1) log р (а11 а'1) +
+ Р(а21а'1)logр(а2]а'1)]-р[р(а21а'2)logр(а21а'2)+
+р (а11 а'2) log р(а11 а'2)] =2р[р(а11 а'1) log р(а11 а'1) +·
+p(a2la'1)Iog p(a2la'1)1.
(5.15)
Пусть р(а1/а'1)=0,7, p(a2la'1)=0,3, тогда
1
.
Н (А IА')=- 2 2 [0,7 log0,7 + 0,3 log0,3] ,.,.,_, 0,883 бит/симв .,
r = 1 - 0,883 ,.,.,_, 0,12.
Следовательно, наличие статистических связей между симво­
лами также приводит к уменьшению энтропии и у,ве л ичению из­
быточности источника.
5.1.4 . Двоичный источник с коррелированными неравновероят-,
ными символами. Предположим, что р (а 1 1 а'2) =0,1, р (а 1 1 а'1) =0,3~
p(a2la'1) =0,7, p(a2la'2) =0,9. Для определения условной энтропии:
необходимо · опред елить вначале вероятности р (а 1 ) и р (а2 ). Вос ­
поль зу емся форм улой ·по л ной вероятности, тогда
р (а1) =р (а1) р (а11 а'1) + 1Ul-p (а1) ]р (а11 а'2) .
Отсюда
()
р(а, 1а'2)
Ра,= I+р(а,Jа'2)- р(а,1а'1) '
р(а2)= 1-р(а,).
Условная энтропия
Н (А IА') =-.:.р (а1) [р (а11 а'1) log р (а11 а'1) +
+ р(a2 Iа'1)logр(a2 Iа'1)]-р(а2)[р(a2Iа'2)logр(a2Iа'2) +
+ p(a1la'2)Iogp(a1la'2)].
(5.16 )
Подставив численные значения вероятностей, получим
H(AIA') =__: _0,125(0,3 !og 0,3+0,7 log 0,7)-
-0,875 (0,1 log 0,1 +0,9 log О,9) ' =0,51 бит./симв.
Сравнение с данными п. 5.1 .2 показывает, что корреляция
соседних символов источника приводит ·к снижению энтропии и
увели ч ению избыточности. И з -за влияния корреляции и неравно­
м ерности ра с пределения вероятностей появления символов энтро ­
пия в приве д енном прим е ре примерно вдвое меньше макси м аль ­
ной, а избыточность примерно 49%1(см. тт. 5.1.1) .
Рассмотр е ние информационны х характеристик двоичного ис­
точник а пок а з ы в ает, что у величить э нтропию источника и ум ень ­
шить избыточн о сть его сообщений можно двумя способами :
«выравниванием» распределения вероятностей появления .символов
118

и «декорреляцией» символов сообщений--"- устранением корреля­
ционных связей между сим,волами. Эти идеи лежат в основе по­
строения оптимальных эффективных К!Одов (см. § 5.3 ).
Контрольные вопросы
1. Как определяют энтропию двух символов?
2. Как определяют условную энтропию источника с памятью на один символ?
З. В чем причины того, что условная энтропия реальных источников отличается
от максимальной?
4. Как рассчитать условную энтропию, производительность и избыточность двоич­
ного источника с неравновероятными и коррелированными символами?
5. Как повысить производительность источников дискретных сообщений?
5.2 . ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАР:АIКТ'Е·РИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ
Информационные характеристики дискретных каналов опре­
делены в § 1.4 . Кроме того, применяют еще одну характеристи­
ку - коэффициент использования ~<анала
ч=R/С.
(5.17)
Так как О <R < С, то 0< 11< 1. Коэффициент использования
канала показывает, в какой степени скорость передачи информа­
ции приближается к пропускной способности канала.
Ра сс мотрим информационные характеристики дискретных ·кана ­
лов без ошибок и с ошибками, определим избыточность кодов и
длину кодовых комбинаций в дискретных каналах с ошибками ,
а так же пропускную способность двоичного и т-ичного каналов
с ошиб к ами.
5.2.1 . Идеальные дискретные каналы. Идеальным называют
канал, о шибки в котором отсутствуют. Для передачи сообщений
по каналу символы кодируют и преобразуют ,в электричес,кие
кодовые сигналы. Эту операцию выполняет кодер (см. рис. 1.1).
В идеальном канале между элементами кодовы х сигналов на вхо­
де и элементами сигналов на выходе существует одно з начное
соответствие. Скорость передачи информации равна производи­
тельности кодера
(5. 18)
где Wн= 1/.: - скорость передачи кодовых сигналов (,сигн./с); .
Ни - энтропия кодера (бит/сигн . );
't - длительность элементар­
ного 1кодового сигнала.
В соответствии с формулой (1.14) пропускная способность
идеального канала
(5.19)
где тн - основание кода . ПропуС'кная способность является пре­
дельной характеристикой канала. Покажем это . Если основание
кода равно тн, а для передачи одного элементарного кодового
сигнала необходимо время т, то для передачи кодовой комбинации
119

длиной п элементарных сигнаJiов потребуется время T=n.:. Об "
щее число кодовых комбинаций длительностью Т, как обычно ,
равно N (Т) =rтпи. Следовательно, максимальное количество ин~
формации в одной кодовой комбинации Нмаис=n Iog тк . Про-
пускная •способность
•
C=lim п loi тк
n➔сю
пт.
Таким образом, пропускную ·споообность идеального дискрет -:
наго канала полностью определяют скорость передачи сигна лов и
основание кода.
К. Шеннон доказал следующую теорему: если ошибки
в дискретном канале отсутствуют, можно за,кодировать сообщение
на выходе источника так, чтобы передавать информацию со сред­
ней скоростью R, с~оль угодно близкой к С. Передавать инфор­
мацию с R>C невозможно.
Эта теор ·ема ·служит теоретической основой для построения
оптимальных эффективных кодов (см. § 5.3). Если в процессе
кодирования на выходе кодера обеспечить появление равновероят­
ных независимых кодовых сигналов, то каждый элементарный
сигнал будет нести ма1ксималы-rое количество информации, произ~
водительность кодера будет максимальной и скорость передачи
информации приблизится 1к пропус,кной способности.
5.2.2 . Реальные дискретные каналы. В реальных каналах в·сегда
имеются ошибки - и стирания символов (см. § 4.3) при передаче
сообщений; вероятности появления ошибок во многом опреде­
ляются искажениями сигналов и помехами в непрерывных ·кана­
лах, на основе которых построены дискретные каналы, и рядом
других причин. В Р'еальных каналах переда,ваемые сигналы s 1 (.t)
(см. рис. 1.1 и§ 4.4) искажаются и на демодулятор Dм2 поступают
принятые сигналы s 2 (t), которые в той или иной мере отличаются
от передаваемых. На выходе решающей схемы может появиться
кодовый сигнал bk2 , который будет отличаться от переданно го Ьн.
В этом случае говорят, что произошла ошибка. Ошибки приводят
к уМ"еньшению пропускной способности ,каналов и потере инфор­
мации.
Количество информации, которое содержит принятый символ
относительно переданного или в более общем случае один символ
относительно другого, находят с помощью формулы (5.2) для
вероятности совместного появления символов. Когда символы по­
являются неза висимо, условные вероятности в (5 .2) являются
безусловными и вероятность совместного появления ·символов
определяется как прои зведение вероятностей появлени я каждого
символа . В этом единственном случае один символ не несет ни•
какой информации о другом.
Поэтому количест~во информации, которое содержит принятый
сигнал bk2 относительно переданного bil, с учетом (5.2) опре~
120

деляют по формуле
I (bk2, bi1) = log Р (bk2• bi1) - log [р (bk2) Р (bi1)] =
tде р (bk2, bil) - вероятность совместного появления bil, :bk 2;
p(biJ), p(bk2) -вероятности появления bil, bk2; p(bнl 1bk2),
Р (1bk2 Ibil) - •соответствующие условные вероятности. Если симво­
лы появляются независимо, то l(b1, 2 , bi1) =log 1=0. Во всех
остальных случаях один символ несет информацию о другом и
I (bk2, bii) =рО .
·
Среднее количество принятой информации, которое приносит
Qдин символ, получим, усредняя (5.20) по всем i и k,
(5.21) •
Учтя две формы записи дроби (5.20), получим две формы за­
писи для среднего количества информации в принятом символе
т
т
т
k=I
Х log р (bi1 1bk2),
(5.22)
т
т
I(В2, В1)=
-
~ р(bk2)logр(bk2)+~ Р(bi1) Х
k=I
i=I
т
Х ~ Р (bk2 1Ь;1) log Р (bk2 Ibil)-
(5.23)
k=I
Выражения (5.22), (5.23) можно .записать более наглядно
/(82, B1)=H(81)-H(81I В2),
(5.24)
/(82, 81) =H(B2) -H(82I В1).
(5 .25)
Смысл ,выражений (5.24), (5.25) ,следующий. Величина Н (81)-
ето энтрапия кодера, а ,величина Н ( В 1 182 ) - это среднее .количест­
sо .информации, .потерянное в ка,нале из-за ошибок. Следоsатель­
но, с оо тношение (5.24 ) показывает, что ,среднее ~ол,ичество приня­
той в одн0,м символе информации равно ,разности ,среддето коли­
чества переданной информации и среднего количества информации,
потеря,нной в канале ,из-за ошибок. Соотношение (5.25) показы­
,вает, что ,сред.нее количест,во принятой ,в ·одном символе информа­
ции можно вычислить и .как разность энт;ролий принятого ,сиг,нала
.и п0,мехи. Соотношение (5.25) использrуют чаще, так как оно по­
зволяет определить /(В 2 , В 1 ) чер,ез энтропию помехи, которую
определить пр,още.
121

В •соответствии ,с ( 1. 13) скорость передачи информации в р еаль ­
ных каналах R=W1J(B2, В1) . Использовав ('5.24) и (5 .25), по ­
лучим
R=Wк[H(B1)-H(B 11 В2)] =Wн[Н (В2)-Н (В21 В1)] . (5.26)
Бели ошибок .нет, то Н(В1 1 B2)=H(B2I В1)=0 и формул а (5.26)
переходит в формулу (5.18) для .идеального ка,нала.
Пропустшая способность реальных дискретных каналов
C = maxR=max W:к[Н(В 1 )-Н(В 1 / В2)] =
=max Wк [Н (В2)-Н (В2 1 В1)],
(5.27)
где операция отыскания максимума ·выполняется по .всем ,спосо~
бам п ер•едачи и ,обработки сигналов.
Для ,реальных дискретных каналов К. Шеннон дока з а л сле ­
дующую теорему: ,если лроизводительно,сть источника ·сообщений
меньше пропускной ,способности ка,нала, ,соо·бщение можно з акоди­
·ровать в сигналы так, чтобы переда•вать инфор,мацию по дис крет­
·НОМIУ каналу с помехами ,со ,сколь угодно малой ,вероятностью
ошибки . Эта теорема является теоре1:ической основой ко рр екти­
рующего кодирования. В .ней утверждается, 1чт•о ,существует т акой
.код, исполь з ование которого позв-олит ,обнаружить и иоп р авить
практически все ошибки. Задача заключается в отыскани и и по­
строении таких Jюдо'В.
5.2 .3. Избыточность кодов
•и
длина кодовых комб и наций
в реальных каналах . Установим связь, которая должна су щество­
вать в :реальных каналах для обеспечения •сколь угодно высокой
,верности между сре,z:щей длиной по кодовой комбинации, и з,б ыточ­
ностью кода rк и количеством Н (В 1 1 В 2 ) информации, те р яемой
из-за помех.
Чтобы .кодер усп евал преобразовать каждый символ со обще­
ния в кодовую комбинацию, ,с,редней длиной по элЕ\м•ентарных ко ­
до вых ,си,гналов, скорость W1, передачи сигналов : кодером до лж,на
быть .в 110 :раз выше ,скорости Wи ,передачи сим·волов исто чн иком .
Поэтому для ,безошибочного кодирования должно выпо лн ять,ся
условие
(5.28)
КрОiме ,этого 1усло·вия, долж,но выполнятъся ·и условие отсутствия
потерь ,информации при кодировании
Ни(В1)=noH(В1).
(5.29)
.Это
условие о том, что среднее количес т во информации На(В1) ;
которое заключено в одном ·символе •сообщения, должны ,перено ­
сить п0 симнолов кодовой комбинации. Учтем (5. •29), тогда избы-:
точность ,кода для реальных каналов
(5.30)
122

У,слО'вие теоремы Шеннона для реальных каналов с учетом
'{ 5.27) МО)!@О представить в виде
WиНи(В1) < Wк max[H (В1)-Н(В11 В2)]
или иначе
WиНи (В,)
<1
(5 31)
Wк max [Н (В,)- Н (В,1В2)]
•
•
Учтя (5.28) ,и ·разрешив неравенство (5.31) относительно по,
(5.32)
Из неравенства ·(5.32) следует .практически ,важный вывод: ,с ро­
стом среднего .количества информации Н (В 1 1 В 2 ), теряемой в ка-
1нале из-за помех, для обеспечения сколь угодно высо1юй верности
передачи информации должна расти ,средняя длина кодовой ком­
бинации.
Аналогичный вывод спра·ведлив и отное,ит-ельно ·избыточности
-кода (5.30). Если по растет, дробь в правой ча.сти (5.30) умень­
шается , а значение rк увеличивается. Можно установить и непо­
средст в енную связь ,между rн и H(B 1 JB 2). Так как max[H(B 1)-
-H(B 1 JB2)]=1,ogmн-H(B 1 J B2 ), то нера.венство (5.31) можно
представить в виде
(5.33)
Раздел.ив обе части неравенства (5.33) на Wн log тн, получим
WиНи(В1) <l_ Н(В~ 1В2)
(5.34)
Wк log тк
log тк
Учтя (5.28) и поменяв -местами др,О'би 'В неравенстве, получим
l-Ни(В1) /по log mн>Н (В 1 J В2) f\og щ,.
Левая часть неравенства -,коэффициент ,из:быточпости кода
(5.30). Следовательно, для обеспечения сколь угодно высокой вер­
ности ,передачи информации в реальных каналах должно •выпол­
няться неравенство
(5.35)
Таким образом, для обеспечения ,сколь угодно высокой верно­
сти передачи информации в реальных каналах с р-остом потерь
информации Н ( В 1 1 В 2 ) из - за помех должны расти ,средняя длина
:Е-одовой комбинаци.и и избыточность кода.
5.2 .4 . Пропускная способность двоичного и т-ичного реальных
каналов. Определим с помощью соотношения (5 .27) пропускную
способ н ость реального дв-оичного -симметричного канала без па­
rмяти. Предполож,им, что .известна .вероятность Ро поя'вления ошиб­
ки ,в канале (см. п. 4.3.3).
Определим значение max [Н(В2)-Н(В2! В1)]. :Как следует
из (5.12), maxH(B2) = log2=1 бит/сигн. Условная энтропия
123

Н(В 2 \В 1 )-это энтропия помехи [1-3], которая определяется по
формуле (,S . 1,6) :
Н(В2\В1)=-,р(Ь1) [р(Ь11Ь1) logр(Ь11 Ь1) +
+'p(b2I b1)log p(b2 IЬ1)]-,р(Ь2)[Р (Ь2\ Ь2) log р (Ь21 Ь2) +
+ р (Ь11 Ь2) log р (Ь1 l·b2)].
(5.36)
Подставив значения условных вероятностей появления ошибок ,
,получим
'
Н (В21 В1) =-р (Ь1) [ ( 1-ро) log ( 1-ро) +ро log Ро]-
-р(Ь2) [(1-ро)log(1-ро) +Роl·ogРо]=
=---.[р (Ь1) +р(Ь2)] [ (1-ро) log (1-ро) +1Ро log Ро] .
Так как по условию нормировки (4.25) .первая сумма ,равна еди •
нице, то
Н (В2 1 В1) =--'[Ро log Ро+ (1-ро) log(l,-po) ] .
Пропускная способность двоичного реального канала
C2=Wн[l + Ро log Ро+ ( 1-ро) log (1-ро) ].
(5.37 )
(5.38)
Анализ зависимости С2 (ро) показывает , чт,о в диапазоне ре аль ­
ных ,из,менений РоЕЭ[О; 0,5] функция С2 (Ро) является моно тонно
убывающ ей. При ро=О,5, С2 (ро) =0 это означает, что и з - з а в ы со-:.
кого ~уровня помех ,в канале кодовые ,сигналы на входе и н а вы ­
ходе канала ста:новятся 'Не з ависимыми (принимаемые оигна лы не
несут информации о ,передаваемых).
Пропускную способность т-ичного реального канала оп реде­
ляют ана л огично
Cm=W~ [l•og mн+'Ро log Po(mн - l) - 1 + (1-ро) 1og( 1-ро)] .
(5.39)
Из (5.39 ) как ча,стный ·случай ,следует (5 .38) .при mн=2 . Есл и
Ро~О , то п;ропускная способность реально.го канала ,стремит,ся
;к пропускной ,способности идеального ка:нала (5.19).
Средняя длина кодовых комбинаций в двоичном и m- и чно м
реальных к аналах определяет,ся нера,ве~-rств-ом (5.32):
>
Ни(В1)
n82
1+р0iogр0+(1- Ро)log(1- Ро) '
(5.40)
>
Ни (В1)
пот log llZк + Ро log Ро (тк-1)- 1 + (1- Ро) log (1- Ро)•
Следоват ельно , минимальная ,средняя длина кодовы х хо м б ин аци й
-в реаль:ных каналах о.пр,еделяет.ся э нтропией источника, осн ова ние м
кода и вероятностью по5rвления ошибки в канале юри .п ер ед ач е
одног•о кодового сигнала.
Избыточность двоичного кода (см . (5.35)) .
r2> Ро log Ро+ ( 1-ро) log ( 11-'ро),
(5.41 )
124

избыточность многопозиционного кода
_
r >РоlogРо(mк- 1)-1+ (1- Ро)log(1- р0)
т.
Jog тк
Контрольные вопросы
1. Как определяют скорость передачи информации и пропускную способность.
идеального дискретного канала?
2. Сформулируйте и поясните теорему кодирования Шеннона для идеального,
дискретного канала.
3. Как определить количество информации в принятом сигнале относительно пе ­
реданного по реальному каналу?
4. Как определить для реального канала среднее количество информации­
в одном принятом кодовом сигнале?
5. Напишите и поясните соотношения для скорости передачи информации и про­
пускной · способности реального канала.
6. Сформулируйте и поясните теорему кодирования Шеннона для реального дис­
кретного канала.
7. Напишите и поясните формулы для из(5ыточности кода и средней минималь -•
ной длины кодовых комбинаций для реальных дискретных . каналов.
8. Как определяют пропускную способность двоичного и · m-ичноrо реальных дис ­
•
кретных каналов?
9. От каких характеристик зависит средняя минимальная длина кодовых ком ­
бинаций в реальном т-ичном канале?
5.3. ОПТИМАЛЬНОЕ ЭФФЕ·К'ТИВIНОЕ КОДИРОВАНИЕ
Оптимальное эффективное rюдирова,ние поз.валяет ,согласовать.
.исто чник
,с каналом и обеспечить наилучшее использова·ние про-•
пускной -способности ка.нала. Сущность эффективного ,кодироваНИЯ)
заключается ,в том, что не:рав-номерное распределение ,вероятностей
появления 1юррелироваиных символов ,соо'бщен,ий с помощью,
определ-енным образом выбранного кода переводят в равномер­
ное распределение вероятностей .появления ,независимых кодовых
символов.
Ра,ссмотрим оптимальное эффективное кодир,ование ,е,ообщений;
источников без .памяти и с памятью.
5.3.1 . Кодирование сообщений источников без памяти. Символы
,сообщений ,источников -без 1Па1Мяти я.в.ляются ,независимыми. Пока­
жем, чем определяется и как достигается минимальная длина ко ­
~овой комбинации при кодировании ,символов сообщений источни ­
ков без riамяти. Обеспечение ·м,инимальной ,средней дли·ны кодовой~
комбина!ции ·и :равновер,оятного появления ,в ,д•ей .независимых rю­
довых ,символов 1равно·сильно увеличению ,средней скорости пере­
дачи ,информации до мак·сималь-н-ой .потом1у, что -за одно ,и то же·
время коротких кодовых ;комбинаций ~можно передать больше,.
а это при прочих равных условиях ,соответствует· передаче ,боль­
шего ,количества информации.
Минималь,ная •средняя длина пот кодовой комбинации опреде ­
ляется ,совместным выполнением условий (5.29), (5.32):
Нn: (В1 )
пот.;?;: __________=. ...: .- =.; __ __ ___ ___
log mк+ р0 log Ро (mк- I)- 1 + (1-р0) log (1- р0)
(5.42}
125,

:Если ошибки .в канале О'I'сут,ствуют, т-о минимальная
·на комбинации определяется 'I'Олыю условием
Я (В11 В2) _:0_ Поэтому для идеальных ка ·налов
n*om=Hи(B1) /log mк.
.средняя дли-
(5.29) при
(5.43)
Например, лр,и двоичном кодировании •сообщений для идеального
ка,нала
(5.44)
Следовательно, если ,.эrнтропия двоичного кодера максимальна,
-среднее число 1,одо.вых символов в ком~бинадиях минимально и
равно энтропии ист,очника. Оценка (5.44) ере,п:ней длины кодовой
комбинации являет·ся предельной; средняя длина кодовой комби­
,нации не может быть меньше n*rn- Эта r0ценка показывает, к чему
необходимо ,стремиться при выборе ,спосо!ба эффективного коди­
рования . Теорема Шеююна для .идеалиюго ~канала утвер.ждает,
что такие ,способы кодирования ,сущес'I'вуют.
Бели двоичный . канал является реальным, то из - за ошибок
-растет средняя длина ,кодовых ком,бинаций и избыточно-сть кода.
Это ,вызвано необх,одимостью вводить в комrбинации дополнитель­
ные ·кодовые -символы, позволяющие обнаруживать и исправлять
,ошибки. ,В этом случае оценка средней минимальной длины кодо­
вой комбинации подчиняется условию (5.40).
Для увеличения ,скорости передачи информации путем сокра­
щения средней длины кодовых комrбинаций символам сообщений,
ыоторые в,стречаются более час1.10, присваивают кодовые иом,би-на­
дии минимальной длины. Тогда короткие кодовые комбинац,ии бу­
.дут встречаться чаще и средняя длина кодо,вых коибинаций упа­
,дет. !(од Морзе, лапример, построен по этому ,принципу, е:го
,недостаток в ·tом, что приходит,ся передавать разделительные сим­
волы - -символы, обозначающие начало и .конец кодовых ком­
бинаций.
Этого недостатка лишен код Ше+гнона - Фаню. Он пост,роен по
-следующему алгоритму. В.се ,е,имволы алфавита ,сообщений запи-
-сыв 1ают в по·рядJке убывания ,ве:роятност,ей их появления. Получен -
ную ранжированную (упоряд:оченную) последовательность ,симв.о­
лов разби,вают на две группы так, чrобы ,суммы вероят.ностей
групп ·были примерно одинюювыми. Дmя ,символов верх,ней груп­
пы в качестве ,первого символа кодовой ·ком,бинации присваивают
:кодовый ,симнол О, для символов нижней г.рулпы - кодовый сим-
·,
:вол 1. Полу~ченные группы -символов ,сообщений опять разбивают
на две подгру.ппы по указанному принципу и опять кодируют.
Такое разделение продолжают до тех пор, пока в последних под­
группах ,не оста,нется по одному ,сим-волу сообщений. Верхнему
ло-следнему ·оимволу в ,качестве последнего ,символа кюдовой ком-
1бинации присваивае-гся -символ О, нижнему - -с км.вол 1. При ,ко­
_дировании по эт,ом1у алгоритму ,средняя длина кодовой ·комбина­
ции близ·ка к минимальной, ентропия кодера максималь,на (веро­
ятности появления кодовых ,символов О ,и 1 примерно одинаковы),
J26

из-быточность кода ,минимальна, -скорость передачи инфор,маци m
близка к максимальной ,и приближае:т,ся ж пропускной спооо6но­
-сти канала.
Ра,ссмотрим на конкретном примере особенности оптлмалыюг о,,
эффективното 1юдирования по алгоритму Шеннона-Фано. Пред -·
положим, что объем алфавита источника mи=5, основание кода
mк=2 , вероят1юсти появления ,символов : Р1=0,4, ,р2 =0,35, р3 =0,1 ,.
р4=0,1, р5=0,05, канал идеальный. Оценим скорость передач и:
.информации, пропускную ,спосо·бность и коэффициент использова ­
ния идеального ){а,нала для равномерного кодирования и опти­
малыrог,о эффект,ивног,о кодирован,ия.
-Вначале определим информационные характ,еристики источни ­
ка ,сообщений. Энтропия источника,
5
Ни(В1):-- ~ Pi logPi= 1,94 бит/симв.,
i=I
маr~симальное з,начен,ие энтр~опии Ни макс=Iоg mи=log 5~
=2,32 бит/симв., из·быточность источника
.rи= l-Ни(В1) /log mи= 1-1,94/2,32=0,164.
Найдем ха ра:ктеристики ·равн0,мерного двоичного кода. Длин у
кодовых ком,бюi аций определим из условия
(6.45);
согла-сно. которому п необходимо ,выбирать так, что·бы общее чи.с ­
ло кодовых комбинаций ,было 'больше или ра.вно числу -символо в.
алфавита -сообщений. Использовав (5.45), пrолучим, что ближай ­
шим п, которое удовлетворяет условию (5.45), является п 1 =3.
ИЗ'бьпочность равномерного кода
rк1_;l-Ни(В1) /n1 log тн= 1-1,94/•3=0,353.
(r5.Ф6 )i
Энтропия кодера
Н1 (В1) =Ни(В1) /n 1= 1,94/3=0,647 бит/сигн.,
(5.47),
скорость передачи И:Нформации R 1 =WкH1 (В 1 ) =О,647Wк [,бит/с] ~
пропу,скная ,способность канала
С=Wн log mн=Wн.
(5.4,8),
Коэффициент использования канала при равномерном коди ­
ровании
'YJ 1=R1 / С =0,647Wи/ Wн=О,'64 7.
• ·(5.49),
Найдем ха рактеристики неравномерного двоичного кода Шен­
нона - Фана для э·юго случая. Особенности ,процедуры кодиро ­
вания .по~азаны в та,бл . 2 и с .помощью графа код,ирования на
рис . 5.2 . Г;раф кодирования показывает, как «расщепляет,ся» ран-­
жирова,нная последовательность ,символов на ,nрулпы и отдельны е-
127

,,симв.олы и ,ка,кие кюдовые символы iПрисВ'аиваю1>ся группам и от­
дельным символам на каждом шате ,разбиений,
ОпредеJLим избыточность неравномерного кода
Гк2=l~Ни(В1) /tio2 log mк=l-1,94/ 2~0,оз.
Энтропия эффект,Ивлоrо кодера
Н2 (В 1 ) =Ни:(В1) /no2=I ,94 /2_;0,97,
(5.50)
,скорость передачи информации R2 =W1д2(B1)=0;97Wк, 1юэффи­
циент использования канала ri 2=R2 / C_cQ,97Wк/ Wн=О,97.
s. pi
'
S1 0,4
--
rs 2 0,35
.S3 о,1
.s -1,
о,1
s$ 0,05
Таблица 2
ПорядI<овый номер
разбиения
1234
о
--
1о
-
-
11о
--
111о
-
1.111
п.
'
1
2
3
4
4
,;..~
,:~
О,
О,
о,
о,
о,
4
7
3
4
2
Рис. 5.2 . Граф кодирования
Анализ и ,сра,внение резулы1атов ,равно,мер,н:ого и оптимального
:эффективного (неравномерного) кодiИрования для идеального ка­
нала в рассмот:ренном прммере пока:зывают следующее. Энтрю,пия
.эффективного кодера . и скорость передачи информации при не­
равномерном :1юдировании примерно :на 33% выше, чем при рав­
яомерном, избыт,оч1-юсть ~юда - ·на 33% ниже, 1юэффициент ис­
пользования канала :выше на 33% и бJLизок к единице. Средняя
длина no2 кодовых комбинаций (5.44) при не,равномерно,м коди­
,ро.вании близка ·к минимальной: h*o2=1,94. Так как максiИмаль­
.ное :н:оличество юrфо1рмадии, которое может переносить двоичный
кодовый ,сигнал, равно 1 ,би.т, то .важ.но отмет.ить, что энтропия
:эффективного кодера близка к ма1кимальной - каждый код1овый
,с игнал нес ет 0,97 ·бит и:нфо.рмации. Сл,едовательно, в результате
кодирова.ния ·символы О и 1 появляются почти с одина,ковой в~- •
р оя1ч-юстью. Таким образом, эффективный кодер преобразю:вал
л еравновероятные независимые символы ,источника ,сообщений
в равновероят ные неза,висимые :кодовые сигналы.
Важным свойством 1юда Ше:ннона - Фана является от,сутствие
.характер,ных для дрrуг.их кодов трудностей в определении nр·аниц
к•одо'ВЫХ комбинаций. Коды, которые обладают такими снойства­
•ми, называют неприводи.м.ыми , они позволяют однозначно деко­
дировать кодовьrе комбинации. Код Шеннона - Фа,но является
·неприводимым потому, что короткие :комбинации нююгда не явля-
3. 28

ются началом более длинных к одовых ком,бинаций, бла,годаря
эт о му не требуется разделительных знаков между кодовыми юом­
бинация.ми.
Соот:ношение (5.48) может навести ,на мысль, что для двоич­
ного канала пропускная способность равна скорости передачи оиг­
налов во всех ,случаях. Это справедливо для тех случаев, ,когда
вс е к одовые сигналы являют,ся переносчиками .информации. Когда
ес ть сигна л ы , не несущие информации, скорость передачи сигна­
лов и пропускная способность имеют различные 'Значения. Напри­
мер, стартсгопный телеграфный аппарат передает один символ
оообщения ,семью по.сылками : одной ,пусковой длительностью
20 мс, пятью кодовыми длительностью 20 мс каждая и одной сто­
повой длит ельностью 30 мс. Скорость .передачи телеграфных сиг­
налов
Wн = l/.-=l/0,02=50 сигн./с = 50 Бод,
(5 .51)
а пропускн а я способность определяется количеством только кодо­
в ых посыло,к в 1 ·С (пусковая и столовая посытш, которые ислоль­
з уют для синхронизации, информации не ·несут), поэтому
(5.52)
Для сравнения минимальной длины :1юдовых комбинаций
в и деальном и :реальном канала х покажем, как и з менится для
рассмотренног,о примера значение no2, если в канале .есть ошибки
и 1вероят.ность появления ошибки при ,передаче одного кодового
с игнала Ро=О,1. В соответств.ии с (5.42) получим
п'а2 > 1,94 / ( 1+ 0,llog 0,1 +0,9log 0,9) =1,94 /0,75=2,6 сигн./симв.
И з быточность неравномерного кода для реального канала (см.
(5 .30), (5.41))
Гиз > 1-Ни(В 1 ) / n'o2 log т1,=1-1,94/2,6=0,25 .
Энтропия кодера
Нз(В1) <Ни(В 1 ) /n'o2 =1,94/2,6=0,75 ,бит/ситн .
Скорость передачи инфо,рмации Rз<W1дз(В1)=0,75Wк [бит/с],
п р о пускная апосюбность канала
Сз=Wн(l +0,l]og 0,1 +0,9log 0,9) =0,75Wн [бит/с],
коэффициент ,использования ка,нала riз< 1.
Сле,щователь.но, для обнаружения и .исправления ошибок в ка­
н але и обеспечения сколь угодно малой вероятности ошибк,и
из·быточность кодирования должна быть повышена ·более чем на
25% . Энтропия кодера и скорость передачи ашформации при этом
также уменьшается ,более чем на 25%. Интересно отм ,етить, что
из быточность, искусств е н.но вводимая для :коррекции ошибок
в р е а л ьных ,каналах с высоким уровнем помех, может ,превысить
ту естественную избыточн,ость, которая устраняется при опти­
м ал ь ном эффективном кодировании.
9-886
129

5.3.2. Кодирование сообщений источников с памятью. Если
источник имеет память на l 1 символов, то для устранения меж­
символь:ной корреляции применяют у1<:рулнение пер .вичного алфа­
вита. В роли «символов» вторично,го алфавита выступают после­
дователыюсти (блоки) из символов ,первичного алфавита. В ре­
зультате укрупнения обеспечивае'ГСЯ пер,еход ют коррелиро1ванных
символов лервичното алфавита к независимым блокам втор,ичн.ого
алфавита. После та1кой перекодировки независимые неравноверо­
ятные блоки :кодируют слособа,МИ, применяемыми для источников
без памяти.
Следовательно, кодир·ова:ние сообщений источников с памятью
выполняют в два этапа: ,на первом этапе осуществляют раз·бивку
сообщений на блоки длиной l>l1, в результате чего блоки Н!ового
алфавита становятся ·независимыми, а на втор.ом этапе исполь­
зуют оптималь,ные коды, подобные коду ,Шеннона - Фано.
Рассмотрим особенп-юсти перекодировки зависимых ,символов
перв,ичного ал,фа·вита в •независимые блоки В'Горичного. ,Кодирова­
ние :бло·ка длиной l сим•волов ,можно начать лишь тюгда, 1когда он
полностью поступил на декодер. Де1шдирование также м,ожет на­
чаться только после того, как лри:нят весь ·блок. Поэтому время
передачи одного блока
(5.53)
где 't1 - время ПЕ\редачи одного ,символа первичного алфавита;
-ro
-
задержка ,блоков в ка:нале. Производительность источника
блоков
где Ни(!) - е,реднее 11<1оличество ,информа:ции в одном бло,ке.
У,крупнение алфавита не изменяет избыточности соо'бщений.
Однако из~быточность, обу,словле:нная корреляционными овязями
символов первичного алфавита, преобразуется в избыточность
источ:ниКiа блоков, обусловленную ,неравновероятным появлениыvI
независимых ,блоков. Это •объя,сняется тем, что неравномеР'ность
распр,еделения вероятностей ,появления блоков 'бюльше, чем нерав-
. :iюмернюсть
распр·еделения ,вер,оятностей появления символов ,пер­
'ВИчното алфавита. Избыточность соо:бщений, составленных из
блоков,
l _ !Н11 (В1)
log тlи
l- Ни(В1)
log т11 '
(5.54)
где ти2 =m 1и - объем укрупненного алфавита; ти
-
объем пер­
вичного алфавита . Из формулы (5 .54) следует, что избыточность
-сообщений, со·ставленных из символов лервичного и ,втор,ичного
алфавита, одна и та ж,е.
Оптимальное эффективное кодироВJа•ние сообщений почти лол­
,н,остью гу,страня-ет их из-быточность. Из-за этого ·п·роцесс переда1чи
информаци,и становится чувствительным к ,воздействию помех.
Осо·бенно сильно ЛР'оявляется эта особенность при кодиро1ваюш
130

сообщений источниюов с памятью. Ошибки в ,ка:налах могут при­
вести к неправильному деrюдиро.ванию многих ~блоков, ,и следова­
тельно, увеличение ,скорости передачи информации достигается за
счет снижения в~р:ности. Поэтому оптимальное эффективное ко­
дiирование может быть использова·но только для тех каналов, ко­
то;рые близки к ндеалышм.
Контрольнь1е вопросы
1. В чем сущность оптимального эффективного кодирования?
2. Чем определяется минимальная средняя длина кодовых комбинаций при
эффективном кодировании?
3. Какая идея лежит в основе эффективного кодирования?
4. Поясните алгоритм кодирования Шеннона - Фано.
5. Сравните информационные характеристики равномерного и неравномерного
кода.
6. Как влияют ошибки в канале на информационные характеристики эффектив­
ного кода?
7. Укажите особенности эффективного кодирования сообщений источников с па­
мятью .
5.4 . !ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРЛКТЕР,ИСТИКИ ИСТОЧНИКОВ НЕПРЕРЫВНЫХ
СООБЩЕНИЙ
Основные информационные характер,истики источни1юв непре­
рывных сообщений следующие: энтропия, условная энтропия,
эпсилон - энтропия, эпсилон-tПроиз'в-од,итель'Iюсть, избыточность,
объем информации.
Форм улу для энтропии источ1 1ика непрерывных ,сообщений по­
лучают путем предельного перехода из формrулы ( 1.8) для эюро­
пии дискретного источника. Если одном,ерная плотность :распреде­
ления случай·ного ·стационарного прО'цесса Х (t) равна f (х), то
вероят:ность то.го, что Х (t) будет находиться в ,интервале [ Xi,
Xi +Лх], равна f (xi) Лх. Если всего интервалов квантования т, то
энтропия источника непрерывных соабщений
т
Нлх =
-
Li f(х;)дхlogIf(х;)Лх].
i=I
В результате предельного перехода при Лх ___,_ О получим
00
lim Нлх =-
\ f(х)log·f(х)dx-limlogЛх.
Лх➔О
•
Лх➔О
-оо
Первую составляющую
00
Нх=
-
5f(х)logf(х)dx
(5.55)
-00
называют дифференциальной энтропией источника непрерывных
сообщений. Вторая составляющая lim log Лх _,. оо и
показывает
Лх➔О
9*
131

что"'энтропия источника непрерывных сообщений стремится к бес­
конечности.
Скорость передачи информации, пропускную способность
и ,щругие основные информационные характеристики источников
определяют через разность энтропий. Поэтому вторая составляю­
щая 'В этих операциях сокращается и величиной Нх мюжно ха ­
рактеризовать информ,ационные свойства источников -непрерывных
соо:бщен.ий. В отличие от энтропии источников дискретных с оо б­
щений Нх может принимать положительные, отр,ицателыные и ну­
левые значения. Величина Нх изменяется пр.и .изменении масштаб!}
измерения Х (t). Определим ,свойства дифференциальной ЭНТiр,опии
для :конкре11ных ·распр ,еделений.
5.4.1. Энтропия равномерного распределения. Для равномерно­
го ра,спределения f·(x)=(b-a)-1 ,по формуле (5.55) пол учим
Hx=Iog (Ь-а) .
С увеличением интервала Ь-а значение Нх также увел.ичивается .
При отсутст·вии ограничений на знач·ен.ие дисперсии равномерн ое
распределение обладает максимальной энт,ропией среди всех дру­
гих распределений.
5.4.2 . Энтропия нормального распределения. Определим плот­
сr-~ость распределения центрированной случайной величины, обеспе­
чивающую м,аксимум Нх при условии выполнения лорм,ировки и
ограниченности дисперсии процесса.
Необходимо решить вариационную задачу в следующей поста-
оо
новке: заданы целевой фущщионал Нх = -
5f(х)logf(х)dx и
-оо
00
00
ограничения
)f(x)dx=l, Jх2}" (х) с!х = oi. Необходимо найти
-оо
-со
такую f (х), которая доставляет максимум Нх.
Решение этой задачи известно [1-3], искомая плотность рас-
пределения является гауссовской
f()__1
_
-х'/2о•
х- v-е
,
•
а 21t
а максимальная энтропия
нхмакс = log V21teo2 •
(5.56)
Следовательно , среди всех источников с огран,иченной и оди­
на,~ювой мощностью непр е,рывны х сигналов наибольшей энтропией
обладает источник с гауссовскими сигналами; максимальную эн­
тропию полностью определяет мощность u2 сигнала; от среднего
значения сигнала энтропия не зависит.
5.4.3. Энтропию rауссовскоrо белого шума определим как
энтропию п-мерного гауссовского распределения с независимыми
отсчетами, тогда
Нп = log (У 21teo 2)n = nHхмакс.
(5.57)
132

Следовательно, энтропия гауссовского белого шума в п раз боль ­
ше энтропии одного отсчета и является макси.мальной для неnре­
рыв-ных сигналов ограниченной мощности.
Из анализа (5.57) можно сделать следующие выводы: гауссов­
ский белый шум, обладая наибольшей энтропией, является
наиболее вредной помехой, так .как переносит маr~симально воз­
можное количество вредной информации при зад анной ,средней
мощности; наихудшие («пессимистические») оценки качества свя­
зи получаются, если в роли помех использовать белый ш y ::vr; если
в роли сигналов-переносчиков использовать гауссовские сигналы,
по свойствам близкие к белому шуму, можно при одной и той
же средней мощности передать максимальное количество инфор­
мации. Иначе говоря, применение шумоподобны х сигналов-пере­
носчиков дает возможность передать максимум информации при
заданной мощности или уменьшить мощность сигналов при п е ре­
даче заданного количества информации. Из этих выводов понятно ,
почему белый шум широко исполь зу ют как м одель сигналов-пере­
носчиков и помех.
5.4 .4 . Эпсилон-энтропия источников. Реальная чувствительность
приемных устройств, органов чу,вств человека и ра з решающая
способность различных информационно-изм·ерительных си.стем
ограничены. Поэтому воспроизводить непрерывные сообщения
абсолютно точно не требуется. Наличие помех ,и искажений сиг­
нало!3 в реальных каналах делает точное воспр,оиз1ведение сооб­
щений -не1в-оз-можным. Поэтому вводят понятие эпсилон-энтропии.
Эпсилон - энтро,пия - это то ·среднее количество информации в од­
ном ·не з ависимом отсчете непрерывного случайного процесса Х (t),
которое необходимо для воспро,изведения этого сигнала с задан­
ной среднеквадратической погрешностью е 0 .
Рассмотрим подробнее сущность этого по1-1ятия. Предположим,
что переда ,вался сигнал Х (t), а был принят сигнал У (t). Пусть
в канале действует аддитивная помеха ~ (t), тогда У (t) =
=X(t) +~(t). Условно примем, что M[~(t)]=O, М[~ 2 (t)]=в2 •
Используем метрику гильбертова пространства (,см. § 2.10), тогда
расстояние между сигналами Х (t) и У (t) определяется величиной
т
т
Е2=+s[У(t) -Х(t)}2dt=+ j'~2 (t) dt,
(5 .58)
о
о
где У-длительность сигналов . Если е2 ~в 20 , то сигналы называют
ео -·близкими.
Используем ортогональное разложение Кютелы-rикова (см.
§ 2.2) и выполним дискретизацию сигналов. Тогда вместо непре-
рывных сигналов Х (t) и У (t) будем рассматривать отсчеты Х1, Xn
и ~n , Введем следующие обозначения: f1 (х1, Xn) =f1 (Х)­
п-мерная ,плотность распределения Х (,t), f2 (У) - п~мерная плот­
ность :распределения У (t), f 1 (Х IУ) -условная плотно-сть распре­
деления Х при условии, что был принят У, f2 (У IХ) - услювная
плотность распределения У при услов,ии, ч·ю ·был передан Х.
133

Количество информации, ;которое содержит пр,инятый ,сигнал У
о тносительно переданного ,сигнала Х, опреде ля·ется, ка к · и ранее
.(см. п. 5.2 .2) :
/ (У Х)=logf1(ХIУ)f2(У) l f1(ХIУ) log· f2(УIХ)
1•'
f1 (Х) f2 (У)
og f1(Х)
f2 (У)
(5.59)
Вели ч ина (5 .59) является аналогом величины / (Ьк2 , Ь; 1 ) (5.20)
.пр,и п е реда ч е дискретных сиnналов.
·Ср еднее количество принятой и нформации
1(У, Х)=sJ/1(У, Х)f(У,Х)dXdY,
(5.60)
ХУ
где ин тег,р алы я вляются 11-.м ерными; ,со вместная ~пл отность рас­
пределения У и Х
f(Y, X)=f,(X)f2(Y IX)=f2(Y)f,(X IY) .
(5.61)
Используя (5.61), получаем
/(У, X)=Hx-HXIY'
(5.62)
/(У, X) = Hv-HYIX.
(5.63)
Соот но ш е ния (5.62), (5.63) ана л ог и чны соотношен и ям (5.24),
('5.25 ) для с лу чая передачи диокр е тных сигналов . Энтропия Х
(5 .55)
условная энтропия
Нх=\'f1(Х)logf1(Х)dX,
х
НХ/У=- f .\f1(Х /Y)logf1(Х/У)dXdY.
ХУ
(5 .64)
(5 .65)
Условная э'tl т ропия НXJY источников непрерывных сигналов обла­
дает теми же ,с в ойствами, что и у слов·ная энтропия источника
диок ретных сигналов :
(5.66)
где НХУ- совместная энтропия Х и У . Только в том случае, когда
сигналы независИ,мЫ, условная энтропия равна безусловной,
а сов:v~естная энтропия 01гнало,в ·равна ,с у мме энтропий .
Как и для дискретных источников, среднее количество приня­
той информации можно определить двумя способами : как разность
среднего количества переданной информации НХ и информации НXJY'
потерянной в непрерывном r<анале из-за помех (5.62), и как раз­
ность между средним количеством принятой информации Ну и эн-
тропиеtr помехи в канале (5.63) . Заметим, что слагаемые вида
134

lim log ЛХ при определении /, (Х, У), / (У, Х) сокращаются и на
дХ➔О
результат влияния не оказывают .
Эпсилон-энтропия НХе - это то минимальное среднее количест-
во информации min / (У, Х ), которое позволяет считать У (t) и Х (t )
«пох,ожим.и» в ·ср,еднешвадрат,ическ,ом смысле :
Нх =min / (У, Х) =Hx-max HXIY"
1',
f1(X IY) ~
(5.67)
Так как
том у (t)
Поэтому
Х (t) = У (t) - ~ (t), то условная энтропия НXJY при приня­
полностью определяется «шумом» воспроизведения ~ (t) .
max Н
=max Н,
f1(XIY) XJY f,(0 ~
(5.68)
где fз(s) - закон распределения пом,ехи s (t) .
Учте.м, что мощность помехи огра,1-1ичена величиной s20 , тогд а
максимальная энтропия по.мехи, ютнесенная к одному отсчет у,
определяется .по фо.р.муле (5.56)
max н~ = log V21te Ео= <\ log· V21te,
(5.69)
fзШ
где через о~ обозначено среднеквадратическое значение помехи .
С учетом (5.69)
(5 .70)
Э,п,силон-энт,ропия имеет максимальное знач,енне, ко,гд,а процес с
Х (t) также является гауссовским :
max н; =logV21teox-logV2,i:eo~=0,51og(o2x/o\). (5.71)
f1(X)
'о
Отношение сигнал/шум о\/о\ характер,изует то количество по­
лученной информации, при котором принятый сигнал У (t) и пере­
данный сигнал Х (t) «похожи» в среднеквадратическом смысле
с точностью до r:\=o\. В формуле (5 .71) значение эпсилон-энтро­
пии определено для одного независимого отсчета.
5.4 .5 . Эпсилон-производительность источнщ{а. Если источник
выдает лезависимые отсчеты сигнала X(t) 'В дискретные моменты
вр,емен.и со скоростью Wи=l f ,Лt, ·где и·нтервал дискретизации Лt=
=1 /2ЛF (,Л f - поло·са частот сигнала Х (t)), то эпсилон-произво­
дитель·ность источншка
Н'х,. = wинх,. = ivll (Нх - log V21te Е 2о) [бит/ с].
Если время непрерывное, то
H'x,.=2ЛF[Hx-logV21tee\] [бит / с].
(5,72)
(5.73)
1.35

Максимальное значение эпсилон-произ,водительность источника
имеет, когда сигнал Х (t) является гауссовским (см . (5.71)),
w
'
max Н' . =_!!. .log(o2 /в\) [бит/с],
f,(X)
Х-о 2
Х
maxH'x =Flog(o\/в\) [бит/с].
f,(X)
•о
За время Т существования сигнала максимальный объем V инфор­
мации, ,выданной источникюм,
maxV =max Н'х Т = РТ log (о\/в\) [бит].
f,(X)
f,(X)
•о
•
(5.74)
Поэтому объем сигнала является однов.ременно экстремальной
инфо:р.мационной характеристикой оигнала. Объем сигнала - это
максимальн,ое колич,ество информации, которое сигнал может
переносить.
5.4.6 . Избыточность источника непрерывных сигналов опреде­
ляют та ,к же, ,как и для ,источника ди,скретных сигнало'В:
Нх.
r =1-
0
Х
тах Нх••
(5.75)
Из-быт,очность источника равна ,нулю только в случае, когда рас­
пределение сигнала является гауссовским.
При определении эпсилон-характеристик источ:ников непрерыв ­
ных сигна .~юв в качестве меры близюсти двух сигналов было ,вы­
брано ра,сстояние между ними в гильбертовом пространстве. Кри­
терием ,близост,и ,служило ,среднеквадр,атическое отклонение одного
сигнала от другого. Если 1выбрать другую меру близости сигна­
лов - другую ,метр. ику ,пространства сигналов, можно получить
другие эпсилон-характеристики источ.ников. Наибольшее . ,распро­
с1,ранение получил среднеквадратический критерий близости сиг­
налов.
Контрольные вопросы
1. Укажите основные информационные характеристики источников непрерывных
сообщений.
2. Как определяют энтропию непрерывного источника?
3. Какие распределения сигналов имеют максимальную энтропию?
4. Чему равна эн'I'ропия гауссовского сигнала, гауссовского белого шума?
5. Что такое эпсилон-энтропия?
6. Как определяют среднее количество принятой информации для непрерывных
источников?
7. Как определяют эпсилон-энтропию, эпсилон-производительность и избыточ­
ность источника непрерывных сообщений?
8. Как связаны объем сигнала и количество переносимой им информации?
136

5.5 . ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАiРАКТЕРИСТИКiИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ
Оенов:ными информаци·онными ха,рактер:истикам.и ,не:прерынно­
го канала, так же как и д;искретного, являются , скорюсть передачи
информации, пропускная способность и коэффициент использо­
.вания.
5.5.1. Скорость передач·и информации и пропускная способность.
Если Х (t) рассматривать как переданный сигнал, · У (t) - каiк при:.
нятый, а ~ (,t) - к,ак аддитинную пом.еху в непре,рывном канале
(см. § 4.1), то скорость передачи информации по непрерывному
каналу
(5. 76)
где Нх определяется соотношением (5.64), а НxiY и HYIX - соотно,•
шениями типа (5.65).
Пропускная способносiпь непрерьtвного liанала без памяти
C==maxR=== Wиmax [Нх -Нх 1 у] == Wиmax [Ну-Ну 1х]· (5.77)
Для гауссова непрерывного канала с дискретным временем
C===Wиmax[Hy-H~]- Учтем, что max Hy==logV2-ne(o\+o\)
f2(Y)
maxH~ == log 1121еео\,
fз( ~)
тогда
(5. 78)
Если в канале нет искажений и помех, то о\ можно рассматри­
вать как мо ,щлость шум.ов квантования при дискретной передаче
непрерыв-ных сигналов. В канале с 1помехами м.ощность шумов
квантования окладывается •С мощн. остью помех, сле;r,ователы-ю ,
в этом случае а\ · ,необходимо рас-сматривать .как суммарну~
мощность помехи и шума квант,ования.
Для непрерывн·ого канала с •не:прерывным вр .еменем Wп===2ЛF
и формула (5.78) переходит в ,иэве стную форм улу Шен нона для
пропус.ю-rой ·Способ1-юсти гауесова непрерын:ного ка1:нала с флук­
туацио.нной по.мехой:
(5. 79)
Эта формула ,с~вязывает полосу ,сигна,ла, •ОТI-юшение ,сиг,нал /шум и
пропускную спосnбность непрерывного ка~на.ла. Из лее :следует, · чт.о
одну и ту :ж:е пропуск,ную способность можн о ,получит ь при ,раз­
личных соотношениях ЛF и а 2х/ а\. Пропускная слос·обность
линейно за1висит от :полосы ,сигнала, поэтому ,более целесообра 1з·но
обменив?ть мощ110сть ,с,игнала на поло'СУ и. за1данную пропускную
способность обеспечивать за счет применения : ш.ирокополос.ных
(шум.оподобных) сигналов.
137

Ра,ссмот.рим предельные хара1ктерист.ики про·пускнюй ,способно­
сти при изменении ЛF. Так как ,спекnралыrая плотность белого
шума !Jo= о\/ ЛF, то удобно в·вести эквивален,тную полосу шуча
ЛFo=U2x/Qo (,ЛFо-лолоса спектра такого шу.ма, который при
спектральной пло1шости Q0 ,имеет мощность, равную мощности
сигнала). Подставив 1ЛF0 в (5.79), .по.лучим C=ЛFlog(l+ iЛF0 /ЛF).
Лроно,рмируем пр.опускную ,способность по эквивалентной полосе
шума:
С J,ЛFo= (ЛF / ЛFо) log(l +ЛF0 /;ЛF).
Определим
1.
С-1. ЛF1 ·(1+ЛFO\ -1
·
-
С- 1443б
1mЛF-1mЛF og
ЛF)
-
ogе-
00-
'
ит.
ЛF➔оо
о
F➔oo е
На р.и·с. 5.3 показан график зависимости нормированной -без­
размерной пропускной ,способ ности Са=С / ЛFоСоо от отношения
Со
(J
1
2
ЛF /ЛF0 . Из анализа графика следует,
что чем шире спектр сигнала (чем
больше сигнал приближается к бело­
му шуму), тем больше пропускная
способность приближается к предель­
ной. в этом ОДНО ИЗ основных преиму­
ществ применения шумоподобных (ши­
рокополосных) сигналов.
5.5.2 . Пропускная способность ка­
налов с замираниями. В каналах с за­
мираниями модуль коэффициента п~ ­
редачи Х и фаза ер сигнала являются
3 ЛГ/4Fо случайными величинами (см. п. 4.1 .3,
Рис. 5.3. График Со(ЛF/ЛFо) (4.10), (4.11)). Мощность ВЫХОДНОГО
сигнала· равна :Jt 2 и 2x, а средняя мощ­
ность -Х20 и2х, где Хо - среднее значение модуля коэффициента
передачи.
Пропускную способность канала с замираниями определяют
как функцию случайного аргумента :Jt по известному распределе­
нию f (Х). Математисrеское ожидание пропускной способности
00
М[С]= .\ЛFlog(1+
(5.80)
о
Налр,имер, если замира ния релеевские (,см . .п. 4.1 .3) и про,пуокная
способность исчисляется •в натуральных единицах в .секунду
[9], то
00
М[С1]= sЛFln ( 1 + ii::2:~ ) f(JC)d:YC =
о
138

где Ei (х) = f f-dt - табулированная интегральная показательная
-оо
функция [9].
Если о\/о\ ► 1, то
М[С2]~ЛF( 1+::~)(tn::; - 0,5772) .
Если о\/о\ ~ 1, то [9]
М [С3] с:-' ЛFо\/о\ с:-' o\/Q0 •
Р,елеевские зам,ирания ,снижают ,пропускную сло·собность .кана­
ла не более чем на 17% . .Пропу,ск,ную -способность каналов с др у ­
гими видами замираний определяют аналогично.
5.6 . саг ЛАСОВАНИЕ 1ИСТОЧНИ 1КОВ с КАНАЛАМ1И
.Предельные возможности -согласования истючника дискретны х
сообщений с непрерывным каналом определяются теоремой коди­
рования Ш еннона: если промзводительность Н'и ( В 1 ) источник а
дискретных ,соо·бщений меньше пропускной способности непрерыв­
·ноrо канала, т,о -существу,ет ,способ о,птимальноrо кодирова-ния и
декодирования, при .котором вероятность -ошибки ,сколь угодно
мала. При Н'и(В 1 )>С тако·го ,способа нет. Под оптималыным ко­
дирова·нием сообщений для передачи по непрерывному .каналу
понимают преобразо.вание длинных последовательн-ос11ей ,с-имв•о­
лов лсто·ч,н1ша 1в длинные непрерывные -сигналы. Этот ,способ отли­
чается ют посимволь·ного кодиро'ван~ия, так как здесь кодируют
последовательности символов ,большой длины.
Ка:к 'Следует из теоремы Шеннона, для гауссо·ва непр,ерывного
J<анала ско,ро-сть J<одирова :ния
tvr < дF" log (l+cr2x/ a\)
(5.81)
\Vк
•
н (В,)
'
гдiе ЛFн - ,полоса канала. Если кодер выдает равновероятные и
независимые двоичные сигналы, то Н (В 1 ) =Н~ш, с =l и
(5 .82)
Следователыю, при бо л ьших опюшениях .сигнал/шуи скорость
кодирования для непрерывного канала мож-ет лр -евышать предел
Най1~виста 2ЛFн.
Для того чтобы ~оценить, 1<ак использует-ся ,пр'опуошая -способ­
ность непрерывных каналов при передаче дискретных соо·бщений ,
вводят коэффициент эффективности передачи дискретных сообще­
ний У}о, 1<от,орый определяют как отношение .пропускной ,способ-
1_39

ности дискретного канала к пр.опусююй способности непрерыв­
ного канала
WкflogЩ,+РоlogРо(тк-\)-1+(1- Ро)log(1- Po)l (5.83)
7Jo =
дрl< log(l+ a 2,Ja\)
При оптимальном многопозициою-юм кодировании ·в . принципе
мюжтю обеспечить близкие к единице значения 'У}о (см . § 5.6),
однако -техническая ·реализация -га , кого кодирования •сложна.
Предельные возможности согласования источника непрерыв­
ных сообщений е непрерывным канало,м .определяются следующей
теоремой кодирования Шеннона: если эпсиJ10н-,произв.оди11ельность
Н'х,. источника непрерывных сообщений меньше пропускной
способности .канала, -го •сущест.вует ,способ оптималы-юr~о кодиро ­
вания и декоди ,рования, ,при котором с 1вероятностью, сколь угод ­
но близ,кой к еди,нице, переданное и .пр1инятое сообщения не ,будут
отличаться в ередне.квадратическом смысле ·более чем на е, 20 .
При Н'х > С такого способа нет. Под оптимальным кодирова-
••
нием непрерывных ,сообщений в непрерывные ,сигналы понимают
преобразование без предварительной дискретизации по времени
и квантова-ния по уровню. Речь ~идет о ·выборе ,способа аналоговой
модуляции, оптимальное кодирование ,соответст,вует идеальной
модуляции.
Для гауссова канала усло·вие существования оптимального
кодирования принимает вид
(5.84)
где отношение cr\ / Е\ рассматривается на выходе канала (для ко­
пии сообщения), а отношение cr\ / cr\ - в канале. Например, величи­
ну cr\ / E2. можно рассматривать т<аi< отношение сигнал / шум на вы­
ходе детектора, а величину cr\ / cr\ - J<aJ< отношение сигнал / шум на
входе приемника.
Как следует из (5.84), необходимое значение a 2c/s20 можно
обеспечить в у~ко по лосном 1<анале:
Лfн/ ЛF=l,
(5 .85)
и •в широкополооном, для J,оторого ЛF11/ ЛF"2> 1. Чтобы это п,ока­
за-гь, пр едс тавим (5.84) в след у ющем виде:
(5.86)
Если канал уз 1юполосный , необходимо обеспечивать очень боль­
. шие
отношения 02с/о \.
Коэффициент 11 1 эффективности передачи непрерывных сигна ­
лов по непрерывному каналу определяют как 110 (5.83). Для гаус­
сова непрерывного источника 1и ка,нала без памяти
др log [1 + (У'"с/ .У'"ш)2l
7Ji = дРк 101' (1 + (.1"с/.:1"ш)1] '
(5.87)
140

где инде:к:сом 2 обозначено ,отношение сигнал/шум на .выхо де ка­
нала (на выходе приемника), а . индексом 1- в канале (на входе
в ,приемник). Для сокращения записи введены. .мощности сигнала
9'c==G
2
c и ~помехи (шума) PJ'm== а\. По . -существу Y)i характери-
зует эффективность способа модуляции. Для .идеальной модуляции
~11 ==-1 и
(б.88)
Для реальных •непр,ерынных еистем часто ,используют коэффи~
ц.иент эффективности л1,одуляциu
(!Рс/ S<>ш)2
~ == (.;,-~c/Jvш)1 J
н азываемый выигры~ие111, модуляции. Для идеальной cucтeJvLы
[l+(!Pc/SVш) 1 ]AFк/~F-1---
·
,. •··
-
_
(5.89
_
)
:Ро === ·
·
(.5"с/~ "ш)1
•
Если ЛFн. / ЛF== l, что имеет ,место при однополосной модуляци и;
то при любых отношениях (PJ'c/9ru) 1~ 0
.
1. Если ЛFн/ЛF> 1, то'
~о> 1 и растет с ростом отношения (9с/9ш) 1.
Контрольньiе вопросы
1. Назовите основные информационные характеристики непрерывного канала.
.
2. Как о пределяют скорость передачи информации и пропускную способность не•
прерывного I<анал а ?
.
.
3. К а к зависит пропускная способность . непрерывного канала от ширины спектр~
сигнала?
.
•>
4. Сформулируйте две основные теоремы Шеннона об оптимальном кодl-!ровюш и
д л я непрерывного канала.
.
.
,,..,
.5 . Че м у равны коэффициенты эффен:тивности перед ачи дискретных и · непреръш:..
ны х сигналов?
•
·,
,
6. Как определяют эффективность модулящщ? Чему равна эффективность моду•
ляции для идеальной системы?
5.7 . СРАВНЕНИЕ ПРОПУОКНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ ДИСКРЕТНОГО
И НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛОВ
Сравнение нормированных по полосе частот канала 1пропу,с~-
н ых способностей каналов выполним для гауссова .непрерывно.го
. канала .и постр -оенного -на • его основе д,воичного •,симметричного
дискретного канала без па~Мяти~ Нормированная .п.р:опуакная ' ~епо­
.с обность гауссова .непрерывн:,оло . ,канала ,определяется формулюй
(5.79) пр~и условии, что ЛF==ЛFн
с
( //д)
Лf ==log 1+ :;~ (' [бит].
I<
,
Ш
(5 ~90)
Н-о:рмированная пропуск·ная -спюсобность двоичного симм1е'Лричного
ианала, построен.нога на этом ,непрерывном ,канале, определя.етс;я
формулой (5.38)
С2/ ЛFн===2 [ 1+Ро log Ро+ ( 1-ро) 1og ( 1-ро)].
(5.91)
,141

На рис. 5.4 ,показаны графики зависимостей (5.90) и (5.91) от
·отношения сигнал/шум. Можно заметить, что предельное значе­
ние нормир,ованной пропускной способности двоичного дискретно­
го ,ка:нала, равное двум ,битам, дост;игается п,ри 9с/9ш=4-5,
когда р~О, а выражение в .квадратных скобках формулы (5.91)
·ст,ремится к -единице . Нормированн•а,я пропускная спосо·бность
непр,ерывного ,ка,нала Яlвляется монотонно ·возрастающей ,неогра­
ниченной функцией отношения ,сигнал/шум . Оценки нор.мирован­
,ных пропу,скных ,способностей двоичного и 1-1епрерьшното каналов
близки п.р,и малых значениях отношения ,оигнал/шу.м (9 с /9ш=
=0,2-2).
Для мнолоп,озиционных дискретных каналов ха,ракт,ер и з мене­
ния ,но·рми-рованной пропуокной ,способности такой же, из:v~еняется
С/АFк,оит
1
Рис . 5.4.
пускных
скретных
только предельное значение нормирован­
ной пропускной способности, равное
liш (Ст/ЛF1J = 2 log 111",
ll➔OO
где h=9с/9ш. Следовательно , пропуск­
ную способность дискретного канала
можно увеличить путем увеличения числа
по з иций сигналов. При tnк--нх) нормиро­
ванная пропускная способность дискрет­
ного канала стремится к пропускной спо­
собности непрерывного канала. Это объ-
2
ясняется тем, что при тн-------+оо сигналы
3 :l'r;/J'ш на выходе дискретного модулятора при­
Сравнение про­
способностей дн­
и непрерывного
каналов
ближаются по своим свойствам к гаус­
совскому белому шуму.
Следует отметить влияние сосредото­
ченных помех на пропускную способность.
Так как гауссовский белый шум являет­
ся наиболее тяжелым видом помех, то при всех других видах помех
пропускная ,способность будет большей. Если ,одновременно дей­
ствуют сосредоточенные помехи и флуктуационная помеха, то
пропу,скная -способность, естественно, будет меньше. Если непре­
рь!В!ный канал имеет переменные парам ,етры (см. п. 5.5 .2) или с1и­
налы подвергаются линейным ·и нелинейным искажениям, то
,с,редняя м0rщность -сигналов на выходе канала, отношение сиг­
нал / шум и, следовательно, ·пропускная способность канала мень­
ше. Рассмотренные факторы .вЛ1ияют, конечно, и на ,проп у скную
спосо'6ность ).1,иокретных каналов, построенных на основе непре­
рьшных.
Контрольные вопросы
1. Как осуществить сравнени е пропускных способностей д искретного и непрерыв­
ного каналов?
2. Чему равно предельное значение нормированной проп у ск ной способно с ти дис ­
кретно г о канала при h--+oo?
142

3. Когда пропускная способность дискретного канала может быть равна про-
пускной способности непрерывного канала?
.
~
4. Как влияют сосредоточенные помехи и замирания на пропускную спосооность
каналов?
5.8. 'ИСПОЛЬЗОВ 1АНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ХАРАЮЕРИСТИК
' 8 ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ
В информационно-измерительной технике, радиолокации, ра­
дионавигации и в других областях широко используют такие
информац,ионные характеристики, как энтропия, .п:роизводитель­
ность и .избыточность и-сточника, -ско.рость передачи .инфо~рмации
и ,пропускная способность, к;оэффициенты сотласова,ния источни­
ков с каналами и др. Для при.мера ра,ссмотрим особенност,и
использования этих характери-
стик в информационно - измери ­
тельной технике.
Информационно - измеритель­
ная техника (измерительная ин­
формационная техника) предна­
значена для получения опытным Рис. 5.5. Фvнкциональная cxe~ra опе-
ттутем количественно определенной
раций измерения
информации о разнообразных
объектах материального мира [6]. Согласно ГОСТ 16263-70
измерение - это .нахо:ждение значения физичес1юй •величнны опы т ­
ным путем с ,помощью специальных технических ·средств. В ре­
зультате измерения получают чи -сл,енное отношение между изме­
ряемой неличиной и -выбранной единицей 1из.мерения. На.пример,
при измерении дальности в радиолокации в роли измер я емой
величины .выступает расстояние от ·радиолокационной ,ста -1-щии до
объекта, а в роли единицы изм•ерения - метр. Обычно пзмеряе­
мые неличи,ны .рассматривают как случайные.
На рис. 5.5 показана типовая функциональная схема измерения
[6]. Измеряемая величи:на Х при нал~ичии мешающего воздейст­
вия ~ (t) (помехи) ,п·реобразуется в первом блоке в У. Знач ·ения У
сравниваютс-я в блоке сра-внения с образцовыми мерами {х0;}.
В ,результате сравнения определяют значение выходной величи­
ны yj. В блоке принятия решения с использованием критерия Gx
принимается статистическое решение Rx о том, что значение Х яв­
ляется х;. Такой подход к измерению обусловлен тем, что по Y.i
нельзя однозначно ,определить х;. М-ожно лишь по.строить с о во­
ку,пн.о,сть гипот-ез относительно того, каким является х; на сам -ом
деле.
Неопределенность результата 1измерений определяют энт.ро­
пией и расс·читывают .в диск:ретном случа-е по фо,рмуле ( 1.8),
а в непрерывном-по формуле (5.5 -5). По значениям энтропии
до и после измерения нетрудно определить 1ю л ичество информа­
ции / (Х, У), полученной в результате JIЗ\Iерения. Значе н ие
/(У, Х) в д!Иск·ретном случае рассчитывают по формулам (5.24),
143

(5.25), в непрерыв,но.м - по формулам (5 .62), (5.63). Например,
если Х - непре,рывная величина, а У - диокр,етная, для 0П1ределе­
ния количества информации используют формулу
'1\
р(Х, Yi)
/ (У, Х)= J.. .Jр(Х, у)logf(X)p(yj) dx.
/х
Избыточность при измерениях о.бу,словлена наличием вероят­
ностных ,связей .между результатами измерений. Наличие связ,ей
прив.одит к у~величению числа измерений п по сравнению с чис­
лом п0 независимых измерений. Удельное количество информации
на ,один ,отсчет определяют следующим образом:
11 = !/n, f1мaнc=l/no,
где 1- количество информации, полученное при измерениях.
Избыточность измерений
•Г=(/1манс-/1) / f1мaнc=l-no/ n.
(5.92)
Избыточность играет двоякую роль. С одной стор:о:ны, она вызы­
вает появление лишних операций, уменьшение быстродействия,
унеличение емкости у,стройст.в памяти и т. п . , с другой,- она по~
вышает по.мех•оустойчивость и т.очность измерений.
Динамичесюrе свойства информационно-измерительных систем
характеризуют скорость получения информации и пропускная
споооб:ность. Если в течение времени измерений Т получено коли­
чество информации / ( У, Х), то среднюю ,скорость получения ин­
формации определяют по формуле (5.26). Пропускную способ­
ность информациошю-измерителыrой 011стемы определяют по фор­
муле ('5.27). Коэффициент использования пропускной способности
системы рассчитывают с помощью (5.17).
Бели Х являет,ся непрерывным сигналом ,с ·огра,ниченным зна­
чением верхней частоты F и :нормальной плотностью распределе­
ния, 1; - аддитивной погрешностью ,прео·бразования Х 'В У, имею­
щей характер белого шума, то пропускная способ'ность опре­
деляется формулой Шенrюна (5.79). !Максимальное количест,во
информации, полученное в результате измерений, определяют п а
форм уле (5.74) . При малых погрешностях измерений , когда отно­
шение сигнал/шум гораздо больше единицы, максимальное коли­
чество измеренной информации
V 1макс-::::-' FT log (ff>c/ff\).
При больших пог,реш1юстях измерений
v2\laKC ~ РТ log (eff>c/ff>~).
Согласование характеристик различных функциональных узло в
информационно-измерительных си,стем ·выполняют с помощью ,рас­
смотренных соотношений и их фу,нкциональных схем.
!44

Контрольные вопросы
1. Нарисуйте и поясните функциональную схему операций измерения.
2. Укажите основные особенности использования инфор м ационны х ха рактеристик;.
в информационно-измерительной технике.
5 .9. выводы
1.. Основными ,инфор .м аци.онными характеристиками источ,нико в,
дискретных сообщений являются энтропия, ус л овная энтропия ,_
произв-одительно,сть и и з быточность . Энтропия - это среднее .коли­
чес11во информации , приходящееся на один ,символ сообщения ..
Если оимволы ,оообщения 1кор,р,ели,рованы, то энтропия ум еньшает -·
ся . Чтобы это учесть, вБодят понятие условной энтропии. Она,
характеризует среднее количество информации , которое несет
по·следующий еимвол сообщения при условии, что уже и з,вестен ,
ряд предыдущих символо·в. Корреляционные связ,и и неравномер -­
ность расп·ределения в1ероятностей появления символов характе­
ри з ует избыточность источника - отношение ,количества инфо,рма ­
ции, т еряемой из-за IВ•оздействия этих фактоР'о в, .к максимальному
количеству информации, кот,орое не се т один си.м•вол .
2. Основными информационными характеристиками дискрет ­
ных каналов являются ·скорость лередачи инфор м ации, ,пропуск -­
ная ,способность и ,ко.эффициент исполь з ования . Если поме х,и в ка­
нале отсуrствуют, скорость передачи ,информ а ции ра·вна произ·в•о­
дительности .кодера . Пропускной спосо6ностыо .канала б ез шумо в .
называют максим альную скорость передачи информ а ци и при:
фиксирова,нных условиях передачи и ,пр.нема ситналов. Степень.
согласования источник а ,с к аналом х аракт,ери зу ют о т нош е нием
скорости переда·чи информации к проп у,ою-юй ,с,по со бност и r, а н а ла,_
-на з ыва•емым ,к оэффициенто·м ,использования к а на л а .
Сред,нее .количес 11во принятой инф о р ма ци,и о,пр еделяю т как
разно,сть сред,него количества переданной инфо·рмации и среднего.
количест,в а ,1шфо,рмации , п,отерянн о й в кан але и з - за п о:мех. С ко­
рость передачи информации и пропускную способность ,каналов
с шумами определяют через ·среднее количество принятой в еди­
ющу !В р еме ни информа ц ии . Пропуск н ая с п особност ь дискретн ых
каналов ,с шумами полностью определяется скоростью передачи
кодовых символов, вероятностью появле н ия о ш ибк и п1р и ,п ер едач е ·
одного ,символа и основа,н,ием кода. Влия·ние помех проявляется
в то м , чт о для обеспечения 'Сколь угодно малой вероятности
ошибки необходимо у величи в ать и з,быточно сть 1ю да.
3. Сущность оптимал ь ного эффектив,rюго 'I<Оди,р ов ания за,клю ­
ча·ется в том, что разрабатывают такие коды, которые позволяют
перевести неравномерное распределение вероятностей коррелиро­
в анн ых ,с им в олов в равномерное ,распр еделение вер оят ност ей по ­
явления независимых кодо1вых символов. Конечн ая цель опти­
ма л ьн о го ,кодирования - приблизить скор1ос т ь ,п е,р едач и инф о рма­
ции I< пропускной ,способности канала. Наличие шуиов в канале
пр.ивод,ит ,к тому, что эфф екти вность Gптима л ьного кодиро ва ния
10-886
!45i

ладает. Кодирование сообщений дискрет,ных источникив ,с памятью
выполняют в два этапа: на первом устраняют корреляцию симво­
.лов п е,рвич~-юго алфавита, на ,вт.аром •вьnравливают ;распред:еление
вер.оятностей появления независимых .кодовых ,си.м-вол,ов. Эффек­
тивное оптимальное код!ирование ,полезн,о :для тех реальных .кана ­
.лов, в кото,рых отношение ,сигнал/шум значительно пр1евышает
единицу.
4. Осно·вными информационными характ,еристиками ,источни­
ков ,непрерывных •сообщений ·являются энтропия, усл,о:вная энтро­
пия, э поилон-энтропия, эпсилон -пр·оизводительность, из·бьrт.очность
и юбъем информации. Формулу для энтропии источника непрерыв­
ных •сообщений получают нз фирмулы для энтроlПИИ и'сточника
.диок·ретных ,сообщений путем .предельного перехода. Среди rвсех
,источников ,с ,огра,ниченной 1и одинаковой ~мощностью силналО'в
наибольшей энтропией обладает источник с гауссовскими сигна­
.лами. Энтропия гауссовского белого шума является максималь­
ной в классе гауссовских непрерывных сигналов. Поэтому по­
меха типа «гауссовский белый шум» является наиболее
тяжелой и ее часто используют для оценки качества связи
в наихудшем случае. Отсюда же следует целесообtразность при­
менения ,сигнаv1ов-пе,ры-rосчикюв, по овюйствам близких к гау,ссов­
скому ·белому ш уму. Понятие эпсилон-энтропии ,вводят ,потому,
что нево з·м,ож1ю ·передать ,неп.рерывный сигнал абсолютно точно .
.Эпсилон-тпроп-ия ха ракте р·изуе т то среднее кол,ичество 11шфо,р,ма­
ции в одном неза·в исимом отсчете непрерывнО1го случайного про­
цесса, 1<оторое необходимо для воспроизведения этого процесса
.с з аданн о й ср,еднеывадратичес,1юй погрешностью. ,Максимального
зна чения эпсилон-энтропия достигает для гауссовских процессов.
Эпсилон-производительность определяют как произведение сред­
ней скорости выдачи отсчетов на эпсилон-энтропию одного отсчета.
Максимальный объем информации, выданной источником за время
-су ществования сигнала, равен произведению максимальной эпси­
л он-производителы-юс ти на длительность сигнала. Избыточность
источника ха рактериз ую т формулой (5.75) .
5. Основными информационными ха.ра1ктеристиками непрерыв­
ных 1<а ,нало·в, ·как и дискрет,ных, являются скорость передачи
инфармаll!ИИ , пропускная способность и коэффицие-нт использова­
,ния. Проп у с•к'ная ·спо:собность гау,ссова непрерывного 'Канала опре ­
деляется ,его .полосой пропускания и отношением ,сигнал/шум
в , канале. Чем шире •Сп.ектр силнала ·при ,прочих ,ра1в,ных условиях,
тем ближе пропус кна я способность ка,нала к пределы-юму значе-
1шю. Поэт,О'му цел есообразно применять ,ши,рокополосные (шум•о­
.подоб'ные) сиrч-rалы-переносtrи.ки.
6. Предель,ные возможнос'Гlи ,согла>еова:ншя и1сточник,01в с ,ка,на­
ла:ми оцределены в теоремах :кодиро·вания Шеннона. Сущность
этих теорем в том, что ,существуют ,опособы оптимального коди ­
рования, 1При кот,орых вероятности ошибки (или для непрерывных
,сообщений оред'неквадратические -01жлонения приня тых с1игналов
,от переданных) будут сколь угодно малы, есл,и произ·водите,пь-
146

ность ист,очника меньше ,пролуС'кной спо·с·обности канала. Под.
оптимальным кодир-ованием .непрерывных ~сообщений в ,непрерыв­
ные сигналы понимают а•налаговую ·модуляцию (,см . § 3.1) .
Эффективность использова1ния дискретными 'И непрерывными
ист-очникаМlи ,пропускной ,способности ,непрерывного канала харак­
теризуют ~коэффициента-ми (5.83), (5 .87).
7. Сравнение .цро1Пу~скных споеобностей дискретного и ,не1Пре­
рывного каналов показывает, что пропускная способность.
дискретного канала ,в,сегда меньше ·или рав,на .про,пу,ск~н,ой с.посо:б­
иости ,соответствующего непрерывного ;ка,нала. Ра•в,енство имеет­
место толыю тогда, когда и от-ношение сигнал/шум, и о"Снова;ние
кода ,стремятся к беоконечнО1ст,и. Если ,в.место флуктуационной
помехи в ка,нале действует сосредоточенная п1омеха, то п,ропус'К!-rая
способность :канала увеличивается. Бели ш.1еют ,место И"Скажения­
.и замирания ·сигналов в rшнале, то отношеН'ие ,сигнал/шум падает ,
а это приводит .к уменьшению 11ропускной способно1сти ,каналов .
8. Энтропия и производительность источ,шка, скорость пере­
дачи ,информации и пропускная способно·сть r< анала, коэффициен­
ты (5 .83), (5.87) шнроко используют для согласования характе ­
ристик функU;иональных узлов ,ра з личных информационных систем ..

Глава 6
flОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
6.1 . ОСОБЕННОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
Помехоуст,ойчнвость ,передачи дискретных сообщений опреде­
ляется сов.местным действ·ием большою числа взаим·освязанных
факторов: избыточностью оообщений, способом ,кодирова-ния, евой­
ствами -сигналив-переносчиков, ·видом модуляции, характером
,искажений сигналов и пом·ех в ,канале, нарушением синхрониза­
ции передаваемых ·и принимаемых 1сигналов, ,способами демоду ­
ляции и декодирования принимаемых ·сигналов и др. I(а,к уже
отмечалось в § 1.5, проа·нализировать ,помехоустойчивость систем
с учетом всех этих факторов , не уда•ется .из-за сло:жности ·решения
.задач в такой общей 1постмювке . Поэ11ому оценку помехоустой­
чивости ·П1роводят по эта;пам и ,на каждом этапе -определяют влия-
1-ше того ;или иного фактора на помехоустойчивость. Сравнение
полученных результатов позволяет ,сделать выв-од ,о том, ,какие
,факторы являются определяющим:и (,см. § 6.6). Если ,м·ожно по­
. лучить решение задачи в более общей: постюювке, то определяют
,совместное влиялне двух или нес1,,ольких фа ,кто.ров. Таким обра­
.зом, методо~1 шослед:овательных прибли :жений к реалы-1ыУI усло­
_виям по'v1ехоустойчнвость определяют в-се более точно. Р·еше1-н1е
. задач анализа помехоустойчивости ,реальных оrстем и онпеза
:ттроек тир уемых си:стем, ·оптимальных по критериям верности mе­
;редачи сообщений, является предметом многих -научно-техннче­
. скнх иссле дований.
При определении помехоустойчивости важн у ю роль играет
·выбор кр:итерня верности с учетом конкретных условий передачи
,сообщений и исходных данных. Особенности выбора критериев
вер'т-юсти ра•ссматриваются ·в § 6.2 . Задача выбо1ра 1~ритерия во
-многом упрощается благодаря тому, что многие из ,критер :иев
-являются равноценными: их ,использование прив,одпт к одним и
тем же ,ко,нечным рез1ультатам и схемным решениям.
Наиболее изучены задачи определения .помех,оустойчивости
•передач:и сообщений для случаев, когда задан способ передачи и
известны характеристи1ш канала. В этих случаях задача по су­
, ществу свод!ится к оценке верности различных 1с пособов п.риема
-си гналов - способов обработки ,сиг,нало·в в л1риемных устройс т­
вах. Поэтому наиболее разработа1нной ча,стью теории помехо-
Н48

устойч11'вости являет,ся , теория оптимального приема силналов
.в различных условиях ,и для различных ж:ходных данных. При
приеме сигналов различают т,ри оснош-rых .!{Ла•оса задач: обнару­
жение сигналов, .различение сигналов и восстановление сигналов.
При обнар,ужении ,сигналов необходимо установить, имеется на
.входе прием,ника сигнал и помеха ,или только ,помеха. Эта задача,
,например, типична для радиолокации и для ,систем связи с пас­
сивной паузой. При ·различении сигналов необходимо определить,
1какой ,сигнал из м,ножества: известных сигналов имеется на входе
приемника. Сложность решения задачи определяется уже не свой­
ствами ,отдельных 1сигнало :в ,и п·омех, а различие\1 сигналов при
наличии ,помех и искажений. Задачи различения -сигналов типич ­
•ны для дискреишх систем связи ,с ак11ивной паузой. Задача во·с­
ста 1 новления сиг,налов существенно сложнее первых двух, сущ­
ность ее за1ключается в том, что необходимо .на основании а·нали­
за принятого сигнала получить сигнал, который •в том или ином
смысле ,наименее отличает,ся от ттереданного. СтатиС'11ические ха­
,рактеристики передаваемого ,сигнала не всегда известны.
1Методы приема ,сигналов классифицируют п-о ,ряду призна~юв:
наличие информации о форме ,и фазе сигнала, способы додетек­
тарной ·и последетекторной обработ,ют, :виды нопольз уем ых детек­
торов и т. 'П. Различают •когерентный, ,некогерентный, взаимокор­
реляционный, 1юрреляционный и другие :методы приема. Основные
особенности этих методов, а также получ,ивших пра,ктичес~юе
при:v1енение
,неолтимальных
методов
лриема
рассмотрены
в§ 6.3-6.5.
Для иллюстрации ,общих 1особенностей задач ;приема сигналов
расс:vютрим простейшую задачу обнар уже ния ,сигнала. Предполо­
ж1н1, что на фоне аддитивной помехи s(t) требуется обнаруж,ить
с игнал s (t), функциональная форма и все пара,метры 1юто.рого
полностью извеснш. Требует,ся установить, Я'вляется ли .входной
сигнал приемника суммой сигнала и помехи или на вход прием­
ника ,поступает одна ,помеха. Для анализа верности приема сиг­
налов в этой за,даче ·мож-но 'Прнм,енять как ,критерий маr~сималь­
ного правдоподобия, так и критерий полной вероятности ошибки
(см. § 4.3, 6.2). Конечные результаты -решения задачи -одни и
те же. В инженерной пра1ктике для построения оптималь,ных схе!\11
обна ружения используют отношение ,сиг,нал/ шум, i!юторое одно­
знач· но связано с указанными ,критериями.
Обычно принятый ,сигнал z (t) =s (t) + s(t) подвергают такой
обработке, которая математически опи,сывается линейным опера­
тором (см. приложение). В результате на выходе схемы обра6от­
,к и получают две ·с-оставляющие. Одна полностью ОП!ределяется
свойствами сигнала, а другая - -свойства,ми помехи. Отношение
э11их соста 1вляющих можно рассматривать как отношение сиг­
нал/ шум ,после обработки. Решающая схема приемника исп,оль­
зует вьшодной сигнал схемы ,обработки, поэтому целесообразно
отыскивать такой оптимальный операто,р ,обработки принятого
сигнала, который позволяет получить наибольшее отношение сиг-
149

,нал/шум на выходе схемы при фи:к~сированном отношении сиг­
нал/шум 'На ее :вх·оде. Как ,пра:вило, применяют оператор ,интегри­
рования в виде
т
Ezx= Iz(t)Х(t)dt= (zx),
(6.1)
о
где Т-длительность ·сигнала s(t); х(t)-неизвест,ный сигнал ,
который необходимо О'пределить ·в ,результате ,решения по-ста,влен•
ной оптимальной задачи; (zx) - ,сок·ра,щенное обо·з,начение опера­
ции (,6.1).
Под,ста:вив .в (16.l) з•начение z,(t), получим
Е,х= (sx) +(sx) =Esx+~,
(6.2 )
где Es x - постоянная детерминированная величина, отражающая
поле з ный ,сиr,нал; ~ -.помеха на ~выходе схемы. Найдем ,оптималь ­
ный сигнал х (,t), :.vrаксимизирующий функционал
т
E sx=S s(t)x(t)dt .
(6.3)
о
Выражен,ие (6.3) явля·ется нзаимной энергией (2 .11) ,сигна ло в
s ( t) и х ( t) . В § 2.1 ,по·каза·но, что :взаимная энергия максимальна ,
когда -сигналы •пол1-юстыо ,когерент:ны. ,Следователыно, x(t)=кs(t) ,
где :выбор постоянной ,к ·не играет никакой ·роли - при взяти и
отношения 1сигнал/шу,м она сокращается . Поэтому Xoпт( •t)=s(t), а
т
maxEsx=~ s 2 (t)dt=E,
x(I)
О
(6.4)
где Е -энергия СИtГ,нала s (,t) .
Чтобы найти отношение сигнал /шум •На .вых•оде схемы обра­
ботки, найдем •энерлию помехи ~ -
Предположим, что математиче­
ское ожид1ание ,помехи М[s' (,t)]=O, а диспер,сия M[s 2 (t)]=cr2,
тогда М[~]-0. При выводе соотношения для энергии удобно вос­
пользО'ваться тем, что ,оценку интервала корреляции Л~: помехи ~
определяют по формуле
т
. Л-с=-}JК(-с)d-c ,
(6.5)
о
r де К (i:) - •корреляционная функция 'Помехи s(,t).
Для того чтобы использовать (6.5), найдем математическо е
ож,идание ·квадрата шомехи ~ в :виде
150

Поменяв . опера:ции И'нтегрирования и определения математическо ­
го ожид:а•ния :ме,стами, пrолучим
т
т
EI= sS(t)dt.\S(t1)м[~(t)~U1)]dt,.
о
о
т
т
Е1= Ss(t)dt_\'s(t1) К(t- ti)dt,.
о
о
Если ширина спектра ,помехи больше ширины спектра сигнала,
т о за время, равное интервалу корреляции помехи, сигнал не успе ­
е т значительно измениться. Поэтому s (t1) =.s (,t) и
т
т
т
Е1~Js2(t)dt)К(t-t1) dt1 = ЕJК(t- t1) dt1
•
(6.7)
о
о
о
И нтеграл в (6.7) в соответствии с (6.5) равен -а2,Лт, следовательно,
Е1=-Еа 2Лт.
(6.8)
Искомое максимальное отношение сигнал/шум на выходе сх е­
мы обработки
h2 = E2 /Е1=Е2/ Еа2Лт=fРТ /а2Лт=h 1 Т j ,Лт,
(6 .9)
где h1=fP/a2 - отношение сигнал/шум на в х оде схемы обработки.
И з (6 .9) следует, что оптимальный выбор сигнала х (t), максими­
з ир у ющего (6.3), максимизирует и (6.9), так как после сокраще­
н ия на Е знаменатель от Е не зависит.
Вв едем критерий эффективности схе,иы обработки
(6.1О)
Эффективность обработки тем больше, чем больше длительность
с игнала превышает интервал корреляции помех и. Этот вывод ле­
жит в основе различны х методов накопления сигн а лов при обра­
б отке.
Если аддитивная помеха яв л яется белым шумом, то, учи т ыв а я
( 2.36), получаем
т
т
а2д"= 5K(")d"= ~• Io(")d"= ~•
.
о
о
П одставляя результат (6.11) в (6 .9), на х одим
h 2=2E/ Qo=2fPT / Qo=2h1-
(6.11)
(6.12)
Учтем, что Q 0=rr/ЛF, где ЛF - полоса частот сигнала, тогда
h 2=2fJJTЛF/cr 2=2TЛFh 1 =vh1,
(6.13)
g =2TЛF=,'.
(6.14)
151

Следовательно, если аддитивная помеха является белым шумом,
то эффективность обработки равна базе сигнала, т. е. отношение
сигнал/шум на выходе схемы в v раз превышает отношение сиг­
нал/шум на входе.
Для оценки минимальной вероятности ошибки решающей схе­
мы, входным сигналом которой служит выходной сигнал схемы об­
работки, можно пользоваться формулой (4.31) с учетом того, что
h=V h2/2, так как (6.12) является отношением мощностей сигна­
ла и помехи. Энергия белого шума, прошедшего схему обработки,
определяется с учетом (6.8):
(6.15)
Структурная схема оптимального линейного обнаружителя сиг­
нала s (i) на фоне белого шума представлена на рис. 6.1 . Она
iJd
включает генератор опорного сиг-
нала s (t), перемножитель, инте­
гратор, и решающее устройство
с оптимальным порогом Е/2. Кро­
ме того, в состав схемы об ыч но
входит устройство синхронизации,
предназначенное для запуска всей
схемы в момент t=O прихода
Рис. 6.1 . Схема линейной обработки
сигналов
сигнала, подключения решающей
схемы ко входу интегратора при
t=T, возврата схемы в исходное состояние после принятия реше­
ния. Схема реализует алгоритм (6.1). Если сигнал E2s на вы ходе
интегратора превышает порог VE/2, то на выходе решающей схе­
мы отмечается появление сигнала на входе схемы. (Алгоритм об- .
работки рассматривается как последовательность преобразова ний
принятого сигнала, направленных на получение ответа на вопрос:
есть ли сигнал на входе приемннка?) Аппаратурная реализация
линейной обработки сигналов может быть выполнена по раз лич ­
ным схемам (см. § 6.3-6 .6).
В ГОСТ 21878-76 «Случайные процессы и динамические си~
стемы» оценку взаимной ко вариационной функции двух эргодиче ­
ских сигналов s (t) и х (t) определяют по формуле
т
К\х('t)=+5s(t)х(t-
't) dt.
о
Если сигналы центрированы, эта формула дает оценку взаимо­
корреляционной функции. Оценка взаимной энер гии сигналов
Е* sx =TК* sx (О), т. е. пр ямо пропорциональна взаимокорреляцион­
ной функции, коэффициентом пропорциональности служит длитель ­
ность сигналов. В за дачах обработки сигналов различные ковариа­
ционные и корреляционные ф у нкции сравнивают обычно при оди­
наковой длительности сигналов (см. § 6.3-6 .6). Поэтому величину
152

E* sx (О) рассматривают как существенную часть взаимной ковари­
ационной или корреляционной функции, по которой принимают ре­
шение в приемнике, и считают что E*sx (О) с точностью до посто­
ян но го множителя отражает корреляцию сигналов.
Операция (6.1) является общим видом лшtейной обработки
сигналов. Частными случаями служат рассмотренное когерентное
обнаружение, когда x(t) = s(t), интегральный прием , когда x(t) =
= 1; взаимокорреляционный прием, когда х (t) =S (t-т); корреля­
ционный прием, когда сигнал неизвестен и x(t) =Z (t-т); прием на
согласованный фильтр, импульсная характеристика которого
x(i)=s(t-т). Фундаментальное значение операции _ (6.1) в том,
что она используется при различных способах обработки сигналов.
В § 6.3 операция (6.1) используется для оптимального различения
полностью известных сигналов на фоне помехи (оптимальный ко­
герентный прием), в § 6.4 - для оптимального различения сигна­
лов с неопределенной фазой (некогерентный прием), в § 6.6 - дJ!Я
оптимального приема сип~:алов при неполной априорной инфор'ма­
ции.
Контрольные вопросы
1. В чем особенности определения помехоустойчивости передачи дискретных со-
о бщений?
2. Какие задачи определения помехоустойчивости наиболее изучены?
3. Ука жите сущность трех основ н ых задач приема сигналов?
4. Как ставится задача обнаружения сигнала на фоне помехи?
5. Поясните особенности и количественные соотношения лннейной обработки
сигналов.
6,2. КРИТЕ РИИ ВЕРНОСТИ ПЕ РЕДАЧИ СООБЩ Е НИЙ
При анализе помехоустойчивости применяют следующие кри­
терии верности: среднего риска (байесов критерий), полной веро­
ятности правильного приема (критерий идеального наблюдателя
или критерий Котельникова), апостериорной вероятности правиль­
ного приема (критерий максимума апостериорной вероятности),
ми ни максный критерий, критерий Неймана - Пирсона, информа­
ционный критерий, критерий максимального правдоподобия и др.
Рас см отрим сущность и особенности использования этих критери­
. ев и выберем подходящий для последующей оценки помехоустой­
чивости передачи дискретной информации .
6.2 .1 . Критерий среднего риска. Предположим , что передаются
т си гналов: si(t), i=l, т. Через z(t)=si(t)+~(t) обозначим при ­
нятый сигнал, где ~ (t) - аддитивная помеха . Введем многомерную
плотность f (z \ si) распределения z при условии, что передавался Si.
По к ажем, как получают аналитическое выражение для критерия
среднего риска р.
Чтобы иметь возможность принять решение о том, какой сигнал
пришел на вход приемника, все пространство G принимаемых сиг­
н алов необходимо определенным образом разбить на т подпро-
153

странств GiEG, i= 1, т . Если принимаемый сигнал z(t) EGi, пр и­
нимается решение, что передавался S; (t) . Если на самом деле пе­
редавался сигнал Sj (t), а сигнал z (,t) попал в подпространство G;
из-за действия помехи, то имеет место ошибка в принятии реше­
ния, а следовательно, и ошибка в передаче сообщений. Оши бки
определяются свойствами передаваемых сигналов, характерис ти­
ками помех и выбором подпространств принятия решений .
На рис . 6.2 проиллюстрированы основные особенности приня­
тия решения приемным устройством. Рассмотрен простейший слу­
чай передачи двух противоположных сигналов s 1 (t) и s2(:t) с раз­
личными энеDгиями. Показано, как разбито пространство G на два
1t
'
1i,..
~2(
IL
Yz
Рис . 6.2 . Иллюстрация осо­
бенностей принятия реш е ­
ний приемником
подпространства G1 и G2 с границами У 1
и v2 - Размеры этих подпространств раз ­
личны из-за того, что энергии передавае­
мых сигналов ра з личны. Для определен­
ности рассмотрена передача сигнал а
s 1 (t) при маломощной помехе s1 (t) и бо ­
лее мощной s2 (t) . Когда помеха слабая ,
принятый сигнал z 1 (;f) =s1 (,t) +s 1 (t) попа­
дает в область G 1
,
z1(t)ЕG1
.
Приемное
устройство ~принимает правильное р е ше­
ние , что передавался сигнал s 1 (t). Когд а
помеха более мощная, принятый сигна л
Z2 (t) =S 1 (t) +.s2 (t) попадает в область
G2
,
z2(.f)ЕG2
.
Приемное устройство принимает ошибочное реше,
ние, что передавался сигнал s 2(t) . Ошибка произошла из-за того .
что под действием помехи s2 (t) передаваемый сигнал s1 (t) иска ­
зился и принятый сигнал z2(,t) попал в область G2 . Рис. 6.2 на­
глядно показывает также влияние выбора сигналов s, (,t), s2 (t) и
границ 'VI , -у2 на правил ь ность принятия решения . Например , если
бы вместо границы у1 взять v' 1, то и при слабой помехе произошл а
бы ошибка в принятии решения. Если вместо границы v2 выбрат ь
v'2 , то и при мощной помехе ошибки в принятии решения не был о
бы . Аналогично, если бы мощность сигнала s1 (t) выбрать поболь­
ше, скажем, передавать s'1 (,t), то и при мощной поме хе ошибк и н е
прои з ошло бы, так как z'2(1t)EG1.
Условная вероятность правильного приема сигнала
p(si\s;)=S f(zJs;)dz,
(6 .16)
О,;
где интеграл является многомерным . Условная вероятность ошиб­
ки
p(siJs;)=J f(z Js;)dz.
(6.17)
Gj
Введем понятие потерь :rt;j, которые возникают в случае принятия
ошибочного решения, что был принят сигнал Sj, когда на самом
154

деле передавался si. (Естественно принять Лii =0). Условный риск
ири передаче сигнала si
'
т
Pi = ~ 1tiip (si Is;).
j=l
(6.18)
Если р (si) - априорная вероятность передачи сигнала si (t), сред­
ний риск при передаче одного сигнала
т
тт
р= ~PiP(s;)= ~~7t;iP(s;)р(siIs;).
(6.19)
i=l
i=I j=l
С учетом (6.17) получим
тт
Р=~ ~ 7t;ip(s;) Sf(z[s;)dz.
i=l J-1
Gj
(6.20)
Оптимальным по критерию среднего риска является тот способ
п ередачи и приема сигналов, при котором минимизируется средний
ри ск. Управляемыми переменными задач оптимизации являются
характ еристики сигналов, структура и параметры операторов пре­
о бразования сигналов в каналах, границы областей принятия ре­
шений. Исходными данными решения этих задач являются апри ­
орные вероятности р (si ), потери Лij, характеристики помех или
условные плотности вероятности 'f (z I si).
Критерий среднего риска является одним из наиболее общих .
Частными случаями этого критерия являются критерии идеального
набл юдателя, апостериорной вероятности правильного приема и др .
Для использования критерия (6.20) требуется относительно боль ­
шое количество таких исходных данных, которые на практике не
в сегда могут быть получены. Поэтому используют и другие крите­
рии, лишенные этого недостатка.
6.2.2 . Критерий идеального наблюдателя. Если в (6 .20) принять
Лij=l (все ошибки приводят к одинаковым последствиям), то
(6.20) переходит в формулу полной вероятности появления ошибки
т.т
р=~ .~ p(s;) Jf(z / si)dz.
i=I j=l =i
Gj
(6.21)
Вероятность правильного приел,~а
т
Q=l-p=~ J f(z[s;)p(s;)dz.
(6.22)
i=l G;
Оптимальным по критерию идеального наблюдателя является
т от способ передачи сообщений, при котором вероятность появле­
ния ошибки является минимальной, а вероятность правильного
приема - максимальной . Управляемые переменные в задачах оп­
тимизации те же, что и в п. 6.2.1 . Упрощение решения задач дости-
155

гается благодаря тому, что не учитывается различие в последст­
виях ошибок. Максимальное значение Q достигается тогда, 1<огда
решение о том, что принятый сигнал относится к области Gi, при­
нимается при выполнении условия
f(zJ5,)p(5;)>f(zJ5j)p(5j), j=fti.
(6.23)
Анализ т-1 условий (6.23) по существу равносилен построению
алгоритма
(6.24}
Регистрируется тот сигнал 5; (t), для которого априорная плотность
распределения максимал ьна. Оптимальный приемник, работающий
по этому алгоритму, В . А. Котельников назвал идеальным.
•
6.2 .3. Апостериорная вероятность правильного приема. Так как
p(5;)f(zJ5i)=p(5;Jz)f(z), где р(5;Jz)-апостериорная вероят­
ность того, что передавался сиi' нал 5; при . условии, что был принят
z; f (z) - безусловная плотность распределения принятого сигна­
ла, то в соответствии с формулой Байеса
!11l
р(s;1z)=р(s;)f(zIs;) ~
1
р(s;)f(z Is;).
Если оптимальный приемник реализует алгоритм
max [р(siIz)]=р(siIz)
/
(6.25)
(6,26}
и принимает в этом случае решение о приходе сигнала 5; (t) , то­
говорят, что он обеспечивает максиму,н апостериорной вероятности:
правильного приема.
Сравнение алгоритмов (6.24) и (6.26) показывает, что они пр и­
водят к одному и тому же оптимальному решению. Следователь­
но, критерии идеального наблюдателя, максимума априорной плот­
ности распределения и максимума апостериорной вероятности р ав­
носильны. Для решения задач оптимизации по этим критер ия м·
требуются одни и те же исходные данные.
6.2.4. Минимаксный критерий применяется в тех случаях, когда
априорные вероятности появления сигналов в формуле (6.20) не­
известны . Задачу оптимизации решают для наихудшего распреде­
ления вероятностей р (s;), i= 1~, и предполагают такое их
рас­
пределение, которое доставляет максимум среднему риску. Исполь­
зуют критерий
(6.27)
Операция минимизации максимального риска, конечно, может вы­
пош1яться путем выбора и других управляемых п еременных. Ми­
нимаксный критерий не требует знания априорных вероятностей,
но приводит к слишком осторожным решениям.
156

6.2 .5 . l(ритерий Неймана - Пирсона наибольшее распростране -­
ние получил в радиолокации для решения задач обнаружения сиг­
налов на фоне помех (см . § 6.1) . Рассмотрим простейшую двуаль­
тернативную ситуацию. Анализируя сигнал z (t), приемник должеm
принять решение: есть сигнал, отраженный от объекта или нет его .
Наличие сигнала обозначают символом 1, отсутствие - символом:
О . Априорные вероятности р ( 1) и р (О) неизвестны. Могут быть
ошибки двух родов : «ложная тревога» - принятие решения о том ,_
что сигнал есть, когда его фактически нет, и «пропуск цели» -
принятие решения о том, что сигнала нет, когда он фактически­
есть . Последствия этих двух ошибок далеко не равноценны .
Оптимальным по критерию Неймана - Пирсона считают такой~
способ обработки принятого сигнала, при котором ' обеспечивается,
минuиальная вероятность пропуска цели р (О/ 1) = Jf (z 11) dz:
Go
при заданной вероятности ложной тревоги р (11 О)= Jf (z IО) dz .
G,
Приемник реализует алгоритм (6.26), но с учетом ограничения на·
вероятность ложной тревоги. Для двуальтернативной ситуации ал ­
горитм (6.26) существенно упрощается и принимает вид р ( 11 z) >
> р (О Iz). Использовав (6.25), получим еще две равнозначные за­
писи 'Этого алгоритма:
и
p(l)f(zl 1) >p(O)f (zlO)
f(zl 1)/f(zl0)>p(0)/p(l).
Отношение в левой части последнего неравенства называют от ­
ношением правдоподобия и обозначают через Л. Так как отноше­
ние в правой части неравенства неизвестно, его значение Ло выби ­
рают из условия обеспечения заданной вероятности ложной тре­
воги.
Перейдем от переменной z к Л на основании равенств
f(zl l)dz=f(ЛI l)dЛ, f(zl0)dz=f(ЛI0)clЛ.
Правые и левые части этих равенств выражают одну и ту же
условную вероятность принять сигнал z при условии, что отражен­
ный сигнал есть (первое равенство), и при условии, что его нет
(второе равенство). При переходе от z к Л пространство G преоб­
разуется в числовую ось значений Л, на которой значение Ло пред­
ставляет границу областей принятия соответствующих решений ..
Поэтому
Ло
р(О11)= 5f(z[1)dz= Sf(Л11)dЛ,
Go
О
00
р(1 1О)=Jf(zIО)dz= 1f(Л\О)dЛ.
G1
Ло
157

00
Значение Л0 определяют из условия Jf (Л IО) dЛ = ат, где аг - за­
л.
данная вероятность ложной тревоги.
Следовательно, оптимальный приелыщк Неймана - Пирсона
реализу ет алгоритм
Л>Ао.
(6.28)
Если условие (6.28) выполняется, принимается оптимальное реше­
ние о том, что сигнал есть.
6.2.6. Информационный критерий. В роли информационного
.критерия рассматривают отношение количества принятой инфор­
.ма ции / (В2, В1) (5.24) к количеству переданной Н (В 1 ):
P2=l (В2, В1)/Н (В1) =1-Н (В11 В2) /Н (В 1 ).
О птимальным по этому критерию является такой способ передачи
,сооб щений, при котором значение р2 максимально. С учетом (5.37)
можно заметить, что информационный критерий приводит к тем
же результатам, что и критерии (6 .22), (6 .25), при решении многих
зада ч.
6.2.7. Критерий максимального правдоподобия. Функцией прав­
доподобия называют плотность распределения f (z Is;). Наиболее
лравдоподобна та гипотеза, для которой
f(zIs;)=max[f(zIs1)].
(6.29)
j
Оптимальным является такой способ передачи сообщений, при
котором реализуется алгоритм (6.29). Этот алгоритм является ча­
•Стным случаем алгоритма (6.24) при р (s;) =Р (sj)=l/m.
Критерий максимального правдоподобия получил наибольшее
расп ространение потому, что он является относительно простым,
не требует большого объема исходных данных, неплохо отражает
,больш инство реальных условий передачи сообщений, аппаратурная
реализа ция алгоритл10в максиJИдльного правдоподобия относи­
телыю проста, результаты применения этих алгоритмов во многом
-сов падают с теми, которые получают с помощью многих других
критериев. Поэтому в дальнейшем основным критерием верности
,служ ит критерий максимального правдоподобия.
Контрольные вопросы
1. Дайте сравнительную характер истику основных критериев верности.
:2. Почему критерий среднего риска не получил широкого распространения?
.з. В чем сущность и особенности применения критерия максимального правдопо­
добия?
6.3 . ОПТИМАЛЬНЫЙ КОПЕРЕНТНЫЙ П~ИЕМ ,DJИОКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Для оптш,.t,ального когеренпюго приема необходимо выполне­
:н и е следующих условий: передаваемые сигналы полностью извест­
:ны и могут быть точно воспроизведещ,r в приемном устройстве;
[58

канал связи гауссов с постоянными параметрами, искажения сиг-­
налов в канале отсутствуют; спектральная плотность аддитивной
помехи известна; синхронизация принимаемых и опорных сигналов.
является идеальной.
Постановка задачи оптимального когерентного приема дискрет-
ных сигналов следующая. Передаваемые сигналы si (t), i===l, т"
поступают на вход гауссова канала с флуктуационной помехой
~ (:t), принимаемый сигнал
(6.30}
Требуется построить оптимальный алгоритм различения сигналов
приемником и оценить потенциальную помехоустойчивость опти­
мального когерентного приема.
6.3.1. Оптимальный алгоритм когерентного приема. Для постро­
ения оптимального алгоритма используем критерий максимального1
правдоподобия (6.29). Так как передаваемые детерминированные­
сигналы Si (t) в месте приема известны, то функция правдоподобия;
f (z Isi) как плотность распределения принятого сигнала z (t) ·пол-­
ностью определяется п-мерной плотностью распределения помехи
f1 (s). Поэтому
(6.31}
Воспользуемся (2.43), тогда
(6.32)
где cr2 == ·Q0F; Q·0
-
спектральная плотность помехи; ЛF- полоса
пропускания приемника. Выразим функцию правдоподобия (6.32)
через разность принятого и передаваемого сигналов.
Значения ~11- можно рассматривать как отсчеты помехи в орто-·
гональном разло:жении Котельникова. В соответствии с равенством
Парсеваля (2.14) энергия помехи, выделенная за время Т дейст ­
вия сигнала,
т
11,
J~2 (t) dt= 21F t,J ~\.
(6.33)
О
k=l
Отсюда следует, что
п
т
~~\ 2ЛFs~
2
(t) dt,
k=l
О
п
т
т
_1_ 11
~2 === 2/:JF\" ~2(t)dt===_1Сt2(.t)dt
2а2•k
2cr 2
Q'1⁄2
•
.
.
о
k=l
•
О
О
(6 .34}
159

Поскольку ~(t)=z(t)-si(i), то
f(zIs;) - (,s,1')"I' ехр{~ ~.J[z(1)~s; (1)]'dt} ,
(6.ЗБ)
Следовательно, алгоритм оптимального когерентного приема (оп­
"Тимального различения) сигналов
max f (z l:s;) =max {
1 ·;> ехр(-~Sт[z(t) - s; (t)]2dt)}. (6.36)
i
i
(2т;2)11 •
"'о
о
Очевидно, что операция (6 .36) имеет место тогда, когда обеспечи­
вается
(6.37)
Алгоритм (6.37) является опти.малы-tым алгоритмом работы
.приемника Котельникова. Этот приемник обеспечивает минималь­
п-rую полную вероятность ошибки, поэтому он является оптималь­
ным и по критерию идеального наблюдателя. Так как помехоус­
тойчивость такого приемнш<а является максимальной (предельно
достижимой), то говорят, что он обладает «потенциальной помехо­
устойчuвостыо». Все реальные приемники имеют помехоустойчи­
вость ниже потенциальной.
Анализируя алгоритм (6.37), можно заметить, что идеальный
приемник Котельникова определяет в гильбертовом пространстве
·сигналов расстояние между принятым сигналом и всеми сигналами
из ансамбля передаваемых и принимает решение, что передавался
тот сигнал, к которому принятый ближе всего . В основе различных
-структурных схем оптимального приемника обычно лежит рассмот­
ренная в § 6.1 схема линейной обработки сигналов. Отличие схем
,состоит в том, что используется различная аппаратурная реализа­
ция схем линейной обработки.
6.3.2. Оптимальный корреляционный приемник. Рассмотрим по­
.строение структурной схемы оптимального корреляционного при­
·емника двоичных сигналов, в котором вычисляют взаимокорреляци­
.Qнные функции принятых и передаваемых сигналов. Для двоичных
.сигналов алгоритм (6.37) приводит к неравенству
т
т
,\· [z(t)-s1 (t)]2dt<.\[z(t)- s2 (t)]2dt.
о
о
(6.38)
Если (6.38) справедливо, принимается оптимальное решение о том,
что передавался сигнал s 1 (t), если нет, то - сигнал s2 (t) .
. Преобразуем
неравенство (6.38) к виду, более удобному для
:аппаратурной реализации без применения сумматоров и квадра-
11.60

торов. После возведения: разностей в квадрат и сокращения подоб~
ных членов получим
Jz (1) s, (1) dt- Jz (1) s, (1) dt > +[J s', (1) dt- Js', (1) dt]- (6.39)
В левой части неравенства (6.39) взаимные энергии (6.40) приня­
того и опорных сигналов пропорциональны взаимокорреляционнь~'м
функциям
т
т
EIZ= ,)Z(t)S1(t)dt,
о
E2z = Jz(t) s2(t)dt
о
(6.40)
п ри шпого сигнала с передаваемыми. Правая часть неравенства
равна половине разности энергий передаваемых сигналов
(Е 1 -Е 2 ) /2. Если энергии сигналов одинаковы, то неравенство
(6.39) принимает простой вид
E1z > E2z·
(6.41)
Следовательно, при оптимальном различении сигналов решаю­
щая сх~ма выделяет сигнал более коррелированный с принятым.
Функционалы (6.40) полнос тью совпадают с функционалом (6.1).
Рис. 6.3 . Оптимальная структурная
схема корреляционного приемника
s;(t)
Т/2
Тt
Рис. 6.4. Графики сигна­
ла и характеристики со-
гласованного фильтра
Поэтому схема корреляционного приемника включает две схемы
линейной обработки сигналов, нагрузкой которых является реша­
ющая схема, реализующая условие (6.41). Структурная схема оп­
тимального корреляционного приемника показана на рис. 6.3.
6.3.3. Оптимальный приемник на согласованных фильтрах. Не­
достатком схемы корреляционного приемника является необходи­
мость использования опорных сигналов. Этот недостаток можно
11 -886
161

устранить, если при построении структурной схемы приемника ис­
пользовать согласованные фильтры.
Фильтр, импульсная характеристика которого
gi (т) =Si (Т-т),
(6.42)
называют согласованным с сигналом si (t). Импульсной реакцией
его Si (Т-т) является сигнал si (i) в обратной временной последо­
вательности (начиная с момента времени t=T и кончая t=0).
График gi (t) • (рис. 6.4) получается как зеркальное отражение
гра9ик.1 Si (t) относительно вертикали, которая делит интервал
(О, Т) пополам (штрих-пунктирная прямая на рис. 6.4). При t=O
gi (t) =0, так как отклик фильтра
_ __, :::t, Et
не может ~предшествовать воз-
"'-'
действию. При t> Т gi (.t) может
z(tJ
Схшш
Ol!IIX/JOIILIJU
{///(/
о
иметь произвольное значение, так
stftJ как после взятия отсчета в мо-
"--~-sг(t) мент времени t=T выполняется
сброс накопленного на фильтре
значения сигнала, схема обработ­
ки возвращается в исходное со­
Рис. 6.5 . Оптимальный приемник на стояние И готова К следующему
согласованном фильтре
циклу работы.
При воздействии сигнала z(t)
на вход согласованного фильтра значение сигнала на выходе
фильтра в момент отсчета Т равно
т
т
т
Eiz= _\ z(t-
't)gi('t)d't = _\ z(Т-
't)s1(Т-
't)d't = .)z(t)s;(t)dt.
о
о
о
(6.43)
Сигналы (6.43) полностью совпадают с сигналами (6.40), что под­
тверждает возможность использования согласованных фильтров
в схеме оптимального приемника. На первый взгляд кажется, что
схема оптимального приемника двоичных сигналов должна вклю­
чать два согласованных фильтра. Однако схему можно упростить,
если неравенство (6.41) представить в виде
т
Eлs;z=~Z(t)[s1(t)-S2 (t)]dt>О
о
и выбрать согласованный фильтр с характеристикой
g (t) =s1(Т-т)-s2 (Т-т).
(6.44)
(6.45)
На рис. 6.5 показана структурная схема оптимального прием­
ника двоичных сигналов в одном согласованном фильтре. Устрой­
ство синхронизации обеспечивает запуск схемы в момент прихода
сигнала (t=O) и отсчет значения сигнала Е1 на выходе фильтра
в момент i=T. Линейная обработка сигналов согласованным филь ­
тром существенно упрощает схему при емника. Зцдача синтеза оп­
тимального приемника сводится к задаче синтеза оптимального
линейного фильтра с постоянными параметрами. Для ее решения
162

можно применить разложение (6.45) по ортогональным полиномам
и методы теории аппроксимации функций . Согласованньiй фильтр
для сигналов произвольной формы можно построить и на основе
неискажающей длинной линии.
6.3 .4. Частотная и фазовая характеристики согласованного
фильтра. Частотная характеристика
00
:'!{;(iш)=Ss(Т -t)e- i"'1dt= /Х(iш)/ei<p,(w).
(6.46)
-00
Определим связь амплитудно-частотной характеристики фильтра
IK(iw) / со спектральной плотностью сигнала 1Q·(1fro). Введем про­
межуто чную переменную .:=Т-t, тогда
00
,л, trn =
s,;ее
=
-.ш е
'
=(' )
s
() iw~
-iwTdf. Q( ;) -iwT
(6.4 _2')
-00
где Q (- iw) - функция, комплексно-сопряженная со спектром сиг­
нала
00
Q (irn) = f s (t) e-icotdt= /Q (irn) 1е1'!' (со) .
(6.48)
-оо
Сравнение (6.47) и (6.48) показывает, что амплитудно-частот­
ная характеристика согласованного фильтра
1:Jt ('iro) 1= 1iQ (1iro) 1,
(6.49)
а фазочастотная
(JJ1 (w)=-(j) (,ro)-wT.
(6.50}
Выходной сигнал s 1 (1t) фильтра при действии на его входе сиг­
нала s (t)
00
(t)
1 rQ(')Q( •) iw(1-T)d
s1
=~J trn
-
trn е
rn=
-оо
00
= 2~ s \Q(irn) 12 ei"' u~r)drn.
(6.51)
-
00
В соответствии с теоремой Релея при t=T выходной сигнал
00
00
E1 =s1(T)= 2
11t SjQ(im)j2 dm= Ss 2 (t)dt=E.
(6.52)
-00
-оо
П ри t=T все спектральные составляющие выходного сигнала со­
впадают по фазе и в сумме образуют максимальное значение s1 (Т),
равное энергии входного сигнала. Во все другие моменты времени
фазы спектральных составляющих различны Е 1 <Е.
11*
163

Эффективность согласованного фильтра как схемы линейной
обработки сигналов была рассмотрена в § 6.1 . Согласованная
фильтрация может выполняться как для видеосигналов, так и для
радиосигналов. Так как огибающая радиосигналов является «мед­
ленной» функцией по сравнению с высокочастотным колебанием,
то допустимая неточность взятия отсчета для видеосигналов может ­
быть больше. Если берутся отсчеты огибающей радиосигнала на
выходе согласованного фильтра, то согласование фильтра с вход­
ным сигналом может быть выполнено с точностью до фазы. Это
во многом упрощает схему приемника.
•
Для некоторых сигналов согласованные фильтры оказываются
сложными в настройке и регулировке. Поэтому находят примене­
ние квазuоптимальные фильтры, которые согласованы с сигналами
только по полосе пропускания. Например, для радиоимпульса пря­
моугольной формы длительностью Т оптимальная полоса фильтра
с прямоугольной частотной характеристикой &f=l,37/ T. Отношение
сигнал /шум на выходе квазиоптимального фильтра на 15-20%
меньше по сравнению с согласованным фильтром [2, 9].
Если помеха не является белым шумом, то для получения ми­
нимальной мощности помехи на выходе согласованного фильтра
значения коэффициента передачи фильтра должны быть прямо
пропорциональны спектральной плотности входного сигнала и об­
ратно пропорциональны спектральной плотности Q2 (iro) помехи .
В этом случае
N./'(•)
•
1Q(•)
- iwT
иь1 tm = 02(iro)
-
tте
.
(6.53)
Множитель 1/!:J 2 (iro) можно рассматривать как коэффициент пе­
редачи дополнительного линейного фильтра, который включен на
входе согласованного и «выравщшает» распределение спектра по­
мехи.
6.3 .5 . Потенциальная помехоустойчивость оптимального коге­
рентного приемника. Для определения потенциальной помехоустой­
чивости необходимо определить эквивалентное отношение сиг­
нал /шум (6.12) для различения сигнаJiов и использовать соотно­
шение (4.31). Ошибка в различении двоичных сигналов происхо-
дит, когда
Z (il) =S1 (t) +~ (t),
(6.54)
а неравенство (6.39) не выполняется из-за дейспшя помехи. Под­
ставим (6 .54) в (6.39) и учтем, что неравенство не выполняется.
После алгебраических преобразований получим
т
т
...
'
1 1'}
.\Цt)[s.(t)-S2(t)]dt<-тj[s,(t)- S2 (t)]2dt.
(6.55)
о
о
Вероятность выполнения неравенства (6.55) является, очевидно,
.минимальной вероятностью появления ошибки.
Левая часть неравенства представJiяет помеху ~ на выходе со­
гласованного фи.тrьтра, а правая - полезный сигнал, энергия кото-
164

рого равна половине энергии Е0 разности сигналов. Используя (6.4),
(6 .9) и (6.15), получаем отношение сигнал/шум на выходе фильтра
h2=2E2o/EoQo4=Eo/2Qo.
(6.56) '
С учетом (4.31) вероятность появления ошибки
р,=Р ('< -Е0/2)= [l-Fк (VE0 /2Q0)]/2,
(6.57)
где Fк( ·) -функция Крампа (2.88).
Из (6.57) следует, что минимальная вероятность ошибки при
опт~-Jмальном когерентном приеме определяется энергией разности
сигналов и спектральной плотностью помехи.
С учетом (2.100) представим отношение сигнал/шум в виде
h2=d2T/2Qo,
(6.58)
где d - расстояние между сигналами s 1 (t) и s2 (t) в гильбертовом
пространстве . Анализ (6.58) показывает, что минимальная веро­
ятность ошибки падает с ростом расстояния между сигналами и
длительности сигналов и растет, если увеличивается спектральная
плотность помехи. Следовательно, потенциальная помехоустойчи­
вость зависит не толыш от энергии сигналов, но и от их взаимной
энергии (2.11).
6.3.6. Потенциальная помехоустойчивость систем с фазовой те­
леграфией (ФТ), частотной телеграфной (ЧТ) и с амплитудной ма­
нипуляцией (АМн). Рассмотрим, как влияет выбор разности энер­
гии сигналов Ео на потенциальную помехоустойчивость различных
систем. Выразим Е0 через энергию отдельных сигналов Е 1 , Е2 и
нормированную взаимокорреляционную функцию р1 2 сигналов,
гогда
(6.59)
где
Для систем с активной паузой, к которым относятся системы
с ФТ и ЧТ, сигналы имеют одинаковую энергию Е, поэтому
h_2Е(!-Р12) h(l )
2-
200
,
-
Р12 •
(6.60)
Если сигналы одина~<овы по форме, но противоположны, например
S1 (•f)=-S2(,t), то p12=-l и li2=2h1.
(6.61):
Такие сигналы используют в системе с ФТ, когда разность фаз
сигналов равна :п:. Если сигналы ортогональны, что соответствует
чт, то р12=0 и
(6.62)
В системах с пассивной паузой, к которым относится система с ам­
плитудной манипуляцией, Е 1 =Е, Е2=О, поэтому Ео=Е, а
li 2=h1/2.
(6.63)
Условно можно полагать, что для таких систем р12=0,5.
Сравнение потенциальной помехоустойчивости различных си­
стем показывает, что наибольшую помехоустойчивость обеспечи-
165,

вает ФТ. При одинаковой минимальной ~ вероятности ошибки энер­
гия сигналов ФТ может быть в четыре раза меньше энергии АМн
сигналов и в два раза меньше энергии сигналов ЧТ.
6.3.7. Потенциальная помехоустойчивости систем с относитель­
ной фазовой модуляцией (ОФМ). Существенным недостатком си­
стем фазовой телеграфии является возможность режима «обратной
работы»-когда из-за случайного изменения фазы («случайного пе­
рескока фазы») опорного генератора даже при отсутствии помех
[IОЯвляются ошибки в различении сигналов . Это явление долгое
время тормозило широкое практическое использование ФТ. В 1954
году Н. Т. Петрович предложил эффективный метод борьбы с этим
явлением путем использования не абсолютной, а относительной
фазовой модуляции (ОФМ), и системы фазовой модуляции и те­
леграфии начало широко внедряться.
Обычно на вход манипулятора ОФМ подают «двоичную» поGле­
довательность видеоимпульсов, а с выхода снимают высокоча­
стотное (ВЧ) колебание со скачкообразными изменениями фазы
в моменты времени, соответствующие границам видеоимпульсов.
• При подаче на вход манипулятора видеоимпульса с единичной ам­
плитудой на выходе происходит скачок фазы несущего колебания,
а при подаче видеоимпульса с нулевой амплитудой фаза ВЧ коле­
бания не изменяется. В демодуляторе с ОФМ фаза принимаемого
радиоимпульса отсчитывается не относительно фазы опорного ко­
лебания, а сравнивается с фазой предыдущего радиоимпульса. Та­
ким образом, ОФМ отличается специальной перекодировкой сим­
волов в манипуляторе .
Перекодировка символов исходной двоичной последовательно­
с ти сводится к тому, что при передаче символа « 1» происходит из­
менение передаваемого сигнала, а при передаче символа «О» сиг­
нал не изменяется. Например, если исходная последовательность
01101, то последовательность, полученная при перекодировке­
! 001; первый символ исходной последовательности является опор­
ным . Для перекодировки необходима задержка выходной последо­
вательности на время длительности одного сигнала. На выходе
приемника ОФМ символ «1» регистрируется при совпадении по­
лярностей двух соседних посылок, а символ «О» - если полярности
противоположны.
При ОФМ ошибки при перескоке фазы опорного сигнала возни­
кают только в одном символе. Последующие символы регистриру­
ются правильно и режим «обратной работы» отсутствует. Ошибки
при различении сигналов ОФМ возможны в результате появления
одного из двух несовместных событий: знак данного элемента при­
нят ошибочно, а знак предыдущего правильно; знак данного эле­
мента принят верно, а предыдущего - ошибочно. Вероятность каж­
дого из этих событий определяется как Ро ( 1-ро), а вероятность
ошибки при ОФМ как вероятность появления того или другого со­
бытия, поэтому
(6.64)
166

Следовательно, режим обратной работы устраняется путем увели­
чения (примерно вдвое) вероятности появления ошибки. Таким об:
разом, при ОФМ вероятность ошибки
(6 .65)
6.3.8 . Потенциальная помехоустойчивость многопозиционных си­
стем. При различении т сигналов для получения вероятности
ошибки Рт необходимо анализировать условия совместного выпол ­
нения т-1 неравенства типа (6 .3 8). Для симметричного канала
с аддитивной помехой вероятность совместного выполнения этих
неравенств
(6.66)
где Ро - вероятность ошибки в системе с активной паузой и про­
тивоположными сигналами. Так как Ро~ 1, используя формулу би­
нома Ньютона, получим
Рт = (m-l)po.
(6.67 )
Из формулы (6.67) следует, что при одинаковых энергиях сиг­
налов в системах с разными т вероятность ошибки растет линейно
с ростом т. Однако отсюда не следует, что т-ичные системы об­
ладают меньшей потенциальной помехоустойчивостью , чем двоич ­
ные. Необходимо учесть, что один т-ичный равновероятный сим­
вол несет в log2 т раз большее количество информации. Поэтому
сравнение т-ичных и двоичных систем необходимо производить
при одинаковой скорости передачи информации и при одинаковых
энергиях сигналов.
Энергия сигналов т - ичной системы Ет=Е log2 т, где Е - энер­
гия двоичных сигналов. Вероятность ошибки при различении т
сигналов приближенно определяется соотношением
(6.68)
Анализ выражения для вероятности ошибки удобнее произво­
дить, используя асимптотическую формулу для функции Крампа
[ 1], справедливую при больших значениях х
2
( .х;2)
1-Fк(Х)=V2ттх2 ехр -т .
(6.69) •
Тогда
(т- 1)2
(
т
)
Рт--::-- - ~
-~-
-
ехр- 2(т_l)h1logт.
V2ттh1m log т
(6.70)
Из формулы (6.70) следует, что при m-+oo, Рт-+0 h1=const. Это
соответствует выводу, следующему из основной теоремы Шеннона
о существовании оптимального кодирования для канала с шумом.
Из (6.68) как частный случай при m=2 следует (6.57).
167

Сравнение (6.68), (6.70) и (6.57) показывает, что т - ичные си­
стемы имеют более высокую потенциальную помехоустойчивость,
однако техническая реализация многопозиционного кодирования
сложнее. Поэтому многопозиционные сигналы еще не нашли широ­
:кого практического применения, а для повышения помехоустойчи­
вости бинарных систем используют корректирующие коды.
Оптимальный когерентный прием сигналов имеет следующие
~собенности: при равновероятных сигналах ~абота оптимального
приемника не зависит от интенсивности помех - приемник перехо­
дит в инвариантный режим; при флуктуационных помехах не тре­
буется фильтрация входных сигналов; помехоустойчивость опти­
мального приемника не зависит от ширины полосы пропускания .
Контрольные вопросы
1. К:ак ставится задача оптимального различения дискретных сигналов?
2. К:ак определяется функция правдоподобия для когерентного различения сиг­
налов?
3. Зап и шите и поясните алгоритм оптимального когерентного приема.
4. Нарисуйте и поясните работу схемы оптимального , корреляционного при­
емника.
'5. Какие амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики имеет согласо­
ванный фильтр?
6. Нарисуйте и поясните схему оптимального приемника на согласованном
фильтре.
7. Как определяют поте нциаль ную помехоустойчивость оптимального приемника?
8. Сравните потенциальную помехо устойчивость систем с ФТ, ЧТ, АМн и ОФМ .
9. Чем определяется потенциальная помехоустойчивость м н огопозиционных си­
стем?
6,4. ОПТИМАЛЬНЫЙ НЕКОГЕР.ЕНТНЫй ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ си1пндлов
Предположение о том, что все параметры передаваемых сигна­
лов полностью известны на прие мной стороне, на практике не всег-
,да выполняется. Из - за случайного изменения параметров каналов,
' под действием других случайных факторов параметры принятых
сигналов также становятся случайными. Если законы распределе­
ния параметров сигналов могут быть получены путем измерений,
то отыскивают среднее значение функции правдоподобия (6.35) и
•потом это значение используют для отыскания оптимального алго­
ритма приема сигналов. Когда фаза ср принимаемых сигналов яв­
ляется случайной величиной с известной плотностью распределения
' f2 (,ер) (см. § 4.1), то прием сигналов называют некогерентныж.
Среднее значение функции правдоподобия определяют как мате­
матическое ожидание функции случайного аргумента. С учетом
, (4.7) среднее значение функции правдоподобия
M[f(z Js;)]= r 1 п/9 ехр{-~ {~ [г (ср,
J (2.tcr 2) •
"'о J
-~
о
.
)
t)- s; (t)] 2 dt} f2 (ер) dcp.
J
(6. 71)
' 168

6.4.1. Алгоритм и схема оптимального некоrерентноrо приемни•
ка. Алгоритм оптимального некогерентноrо приема принимает вид '-
maxM [f (z I sk)] =M[f (z/ s;)].
(6.72)
k
Если условие (6.72) выполняется, то приемник принимает опти­
мальное по критерию максимального правдоподобия решение, что
был передан сигнал si (,t). После интегрирования по ер в
. (6.71)
фаза при построении , алгоритма
уже отсутствует. Используя (6.71)
и (6.72), можно показать, что оп­
тимальный некогерентный прием-
ник выделяет огибающую взаи- , .
мокорреляционной функции
tttJ
лk= 1Jz(t> s·\(t) dt 1· ,
где s*k (,t) - сигнал, комплексно­
сопряженный с Sk (,t), и решает, Рис. 6.6. Оптимальный некоrерентныi\.
что был передан тот сигнал Si (t),
приемник
для которого Ak имеет наиболь-
шее значение в момент отсчета. Следовательно, приемником реа­
лизуется алгоритм: если
maxAk=A;, k= 1, т,
(6.73)
k
то принят сигнал Si (t).
Структурная схема оптимального некогерентного приемника
приведена на рис. 6.6. Она содержит т согласованных фильтров,
т детекторов и решающее устройство. На выходе k-го фильтра ,
получается значение сигнала, пропорциональное взаимокорреля­
ционной функции
т
вk= Si(t)s*k(t)dt.
(6.74)
о
Амплитудный детектор выделяет огибающую Ak этого сигнала .
В фиксированный момент времени отсчеты со всех детекторов по ­
ступают на решающую схему. Она принимает решение, что переда­
вался сигнал si (t), если соб л юдается (6.73).
6.4.2 . Вероятность ош и бки для оптимального некогерентного
приема. Выразим квадрат модуля взаимокорреляционной функции ,
через принимаемые сигна л ы, передаваемые и сопряженные с ними
по Гильберту сигналы, тогда
А\=[Jz (t) sk (t) dtJ+[Jz (t)sk (t) dtJ
(6.75)
169

Для определенности предположим, что передавался сигнал
s1 ( 1t), тогда
А\= [J S1 (t) S1r, (t) dt +JЦt) S1r, (t)dtJ+
+[J S1(t)s1r,(t)dt+ J~(t)s1r,(t)dtJ, k=2, т.
Если сигналы имеют одинаковую энергию и являются ортого­
нальными в усиленном смысле (см . (2. 72)), то
А\= [Jцt)s1r,(t)dt J+ [Jцt)s1r,(t)dt]"=e\+C\, (6.76)
(6.77)
Используя (6 .15), нетрудно показать, что случайные величины ~k и
~ имеют нормальное распределение с нулевым средним и диспер­
сией EQo/2 . Огибающая А,, помехи распределена по закону Релея
(2.78), который принимает следующий вид
fА)2Ak
( A2.k)
k(k=EQ.ехр
-
EQ.
•
(6.78)
Случайная величина А1 является «смесью» сигнала и помехи, по­
этому она имеет обобщенное релеевское распределение (2.86), ко­
торое с учетом новых обозначений записывается в виде
f1(A1)=1~1 ехр ( _А21Е4;.в2) 1. (2i1 ),
(6.79)
о
\
о
о
где /о ( · ) - функщ1я Бесселя (2.86).
Вероятность ошибки при оптимальном некогерентном приеме
в данном случае является вероятностью того, что не будет выпол­
няться неравенство
(6.80)
Определим вероятность ошибки для простейшего случая m=2,
когда
(6.81)
Так как А 1 и А 2 являются случайными величинами, то для опре­
деления вероятности ошибки необходимо зафиксировать значение
А 1 и определить вероятность р(А1) того, что А2 будет больше этого
фиксированного значения, тогда
00
р (Al) = 1f2(А2) dA2.
л,
(6.82)
170

После вычисления интеграла (6.82) необходимо учесть, что р (А 1 )
является функцией случайного параметра А 1 , и определить сред­
нее значение
00
Р22=М[р(Ai)]= ~р(А,)f,(А,)dA, .
(6.83)
о
После интегрирования (6.82) получим
(6.84)
Используя табличное значение этого интеграла [1, 2], получаем
о 5 -0,5/1,
Р22=,е
,
(6 .85)
где h1=E/Qo.
Аналогично получают формулу для вероятности ошибки в мно­
гопозиционной системе при оптимальном некогерентном приеме
~05(
}) -0 ,5h,
Р2т""" ,.
m-е
•
Следовательно, как и при когерентном приеме,
Р2т = (т-1 ) Р22.
(6.86)
(6.87)
Анализируя (6.76), (6.77), (6.85) и (6.86), можно заметить, что
для определения помехоустойчивости некогерентного приемника
необходимо знать только энергию сигналов и спектральную плот­
ность помехи. Сигнал «оставляет свои следы» в виде «деформа­
ции» ра-спределения Релея в обобщенное распределение Релея.
На рис . 6.7 показаны графики зависимости вероятности ошиб­
ки в двоичной системе с активной паузой от отношения сигнал/шум
на входе приемника при когерентном (кривая 1) и некогерентном
(кривая 2) оптимальном приеме. Анализ графиков позволяет сде­
лать вывод о том, что оптимальный некогерентный прием не столь
существенно отличается по помехоустойчивости от оптимального
когерентного приема. Все же при h 1 =5 вероятность ошибки при
некогерентном приеме p22 =4,l - I0-2
,
что примерно в 4 раза пре­
вышает вероятность ошибки при когерентном приеме . Ув ел ичение
вероятности ошибки является «платой» за неопределенность фа зы
сигнала. В то же время аппаратурная реализация некогерентног о
приема проще.
6.4.3. Помехоустойчивость оптимального некогерентного прие м­
ника двоичных сигналов с ЧМ. Особенности расчета помех оустой ­
чивости некогерентного приема рассмотрим для приемника двоич­
ных сигналов с ЧМ. Предположим, что канал является гауссовым
с постоянными параметрами и флуктуационной помехой со спек­
тральной плотностью Qo=I0-8 мкВ/Гц, сигналы являются равно-
171

вероятными отрезками гармонических колебаний с прямоугольной
огибающей - прямоугольные радиоимпульсы с частотой заполне­
ния {u1 и w2, длительностью -r = 2 мс, амплитуда сигналов на входе
приемника А = 7 мкВ, фильтры в субканалах приемника согласо­
, ваны с сигналами. Рассчитаем вероятность ошибки приемника и
сравним ее с вероятностью ошибки для когерентного приемника,
т. е. реальную помехоустойчивость сравним с потенциальной.
На рис. 6.8 показана структурная схема некогерентного прием­
ника двоичных ЧМ сигналов. Полосовые фильтры настроены на
частоты w 1 и w2, следующие за ними амплитудные детекторы вы­
деляют огибающие А 1 и А 2 . В решающей схеме отсчеты А 1 и А2
сравниваются. Если А1>А 2 , схема принимает решение о том, что
пришел сигнал s 1 (![), или что пришел сигнал s2 (t) .
10-5
. __ _, _.. .. .. .. _.' ----' -----'"' - --'
О 102
to* ht
Рис. 6.7. Зависимости вероят­
ности ошибки бинарной систе­
мы от отношения снгнал/шум
Рис. 6.8 . Некогерентный прием ник бинар­
н ой састемы с ЧМ
Дл я расчета отношени я сигнал/шум на в ходе приемника опре­
делим энергию импульса длительностью •
E=P-r=A 2 -r/2=49. 10-12
-2· 10-3 /2=49. 10-15 В т.
Вычислим отношени е сигна л /шум
h 1=Ej,Q0=49· 10-15 /10-8
-10-6=4 ,9.
Определ и м вероятность ошибки по формуле (6.80)
о 5 -li,/2
05-2,45~0ол3
Ра= ,е
=
,е
-
,rt•
В соответствии с (6.57) и (6.62) вероятность ошибки когерентного
приемника р0 =0,5 [1-Fк (Vh,)]..,,.,, 0,0139. Следовательно , при некоге­
р ентном приеме вероятность ошибки возрастает примерно в 3,1 ра­
за. Интересно сравнить полученные результаты с вероятностью
ошибки при когерентном приеме многопо з иционных сигналов. При
m=5 расчеты по формуле (6.70) дают Р2m=О,ООЗ. Реальная поме­
х оустойчивость двоичного некогерентного приемника примерно
в 13,8 раза хуже когерентного приемника при m= 5. Как следует из
(6.86), реальная помехоустойчивость двоичной системы всего лишь
в четыре раза хуже реальной помехоустойчивости многопозицион-
172

ной системы с m=5. Поэтому некогерентный приемник системы
с m=5 по помехоустойчивости близок к когерентному приемнику
двоичных сигналов.
Таким образом, результаты анализа особенностей оптимального
некогерентного •приема показывают; что «платой» за отсутствие
информации о фазе сигналов является снижение помехоустойчиво­
сти по сравнению с потенциальной. Наряду с этим упрощается
схемная реализация некогерентного приемника.
Контрольные вопросы
l. В каких случаях решают задачу оптимального некогерентного приема?
2. В чем сущность оптимального алгоритма некогерентного приема?
3. Нарисуйте и поясните схему оптимального некогерентного приемника.
4. I<ai< определяют вероятность ошибки для оптимального пекогерентного
приема?
5. I<_aI< связаны вероятности ошибки при некогерентном приеме двоичfIЫх и мно­
гопозищюнных сиri1алов?
6. Сравните помехоустойчивость некогерентного и когерентного оптимальных
приемников при выбранном отношении сигнал/шум .
6.5. НЕОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРИЕМА ДИОК.РЕТНЫХ СИГН'АЛ0i3
В реальных каналах связи из - за погрешностей формирования
сигналов, рассинхронизации, искажений сигналов, . недостаточной
стабильности частоты, аппаратурных погрешностей функциональ­
ных узлов и ряда других причин условия оптимального приема ча­
сто нарушаются. Это приводит к сниженюо помехоустойчивости
приема дискретных сигi.rалов. Когда обеспечить условия оптималь­
ного приема трудно либо когда реализация оптимального приема
связана с большим усложнением аппаратуры, на практике приме­
няют неоптимальные методы приема. Рассмотрим особенности
оценки помехоустойчивости неоптимального когерентного и некоге­
рентного приема дискретных сигналов .
.
6.5.1 . Неоптимальный когерентный прием. Предположим, что
передаваемые сигналы si (1t), i=l, т, равновероятны, ортогональ­
ны и имеют одинаковую энергию Е. В результате нарушения усло­
вий оптимального приема, например из-за искажения сигналов
в канале, на вход приемника поступает сигнал z' (t) =s'i (1t) +~ (1t),
где s\ (t) - искаженный сигнал si (t). По отношению к сигналам
s'.i (t) приемник становится неоптимальным. Допустим, что энергия
искаженных сигналов равна энергии передаваемых сигналов.
Неоптимальный когерентный приемник определяет взаимную
энергию, пропорциональную взаимокорреляционной функции при­
нятого и опорных сигналов,
т
E'kz= Sz'(t)sk(t)dt=Ep'ik+'k•
(6.88)
о
.
173

где
т
р'ik= +\s'r; (t) sk (t) dt,
о
т
Ck= ~Sk(t)Цt)dt,
о
(6.89)
и принимает решение, что пришел тот сигнал S; (t), для которого
величина E'1<z имеет наибольшее значение. Следовательно, неопти­
мальный алгоритлt когерентного приема такой: если
то передавался si (t).
max E'kz=E\z, k= 1, т,
k
(6.90)
Если sU) - гауссовский белый шум со спектральной плотно­
стью Q0 , то E'1<z являются нормально распределенными случайны­
ми величинами с математическим ожиданием M[E'1<z] =Бp'il, и
дисперсией БQ0 /2. Для определенности предположим, что переда­
вался сигнал s 1 (1t), тогда
E'1z=Ep'11+c,, E\z=EP'ik+ck, k=2, т.
Вероятность ошибки при неоптимальнолt когерентном приеме
в данном случае является вероятностью того, что не будет выпол­
нено неравенство
E'1z >E'kz• k=2, т.
(6.91)
Определим эту вероятность для простейшего случая m=2 ,
тогда
Как и ранее (см . § 6.4), E' 1z и E'2z являются случайными величи­
нами, поэтому для определения вероятности ошибки необходимо
вначале зафиксировать значение E',z и определить вероятность
р' (E' 1z) того, что Е'2z будет больше этого фиксированного значе­
ния, тогда
00
p'(E'iz)= st.(E'.z)dE'2z ·
(6.92)
Е'1Z
После вычисления интеграла (6.92) необходимо учесть , что
р' (E' 1z) является функцией случайного параметра E'1z и опреде­
лить ее среднее значение
00
p' •• =M[p'(E'iz)]= 5p'(E',z)f1 (E'iz)dE'iz -
(6.93}
-00
174

Учтем, что функции f1 (E'iz) и f2(E'2z) являются нормально рас­
пределенными, тогда
00 00
р, = s \' _1 _ ехр [-(E'2z-Ep',2)2+(E'iz-EP'11)2] dE' dE' • (6.94)
20
J -л;ЕQ0
EQ0
.
1z
2z•
--оо В' 1Z
Этот интеграл вычисляется приближенно [9], оценка вероятности
появления ошибки при неоптимальном когерентном приеме дво­
ичных сигналов
р'203⁄4 {1- Рк[Vh,(р'11 - р'12)]}/2.
(6.95)
Как частный случай при р'12=0, р' 11 =1 из (6.65) следует (6.57)
е учетом (6.62).
Аналогично получают оценку для вероятности ошибки при не­
оптимально.м когерентном приеме т сигналов:
р'то~ (im-1) р'20.
( 6.96)
Погрешность оценки (6.96) не превышает 15% при m~32 и р'20~
~10-4, что допустимо для инженерных расчетов.
Таким образом, помехоустойчивость неоптимального когерент­
ного приема зависит от степени искажения сигналов в канале. Так
как p\i~l, а p'il,;;:,O, то реальная помехоустойчивость, конечно,
ниже потенциальной. С уменьшением {) 1 ii и увеличением p'il, по-·
мехоустойчивость неоптимального когерентного приема падает.
Для экспериментального определения p'ii, p';k необх,одимо изме­
рять искажения сигналов в реальном канале (см. § 4.4) и затем
рассчитывать нормированные взаимокорреляционные функции.
Из (6.95) следует, что для обеспечения требуемой помехоустойчд­
вости при неоптимальном когерентном приеме требуется увеличи­
вать отношение сигнал/шум, т. е. увеличивать энергию передавае­
мых сигналов.
6.5.2. Неоптимальный некогерентный прием. При неоптималь­
ном некогерентном приеме определяется огибающая взаимокорре­
ляционной функции и в соответствии с (6.73) приемник принимает
решение, что пришел сигнал Si (t), если
(6.97)
где А'kz -
огибающая, полученная с учетом того, что приходят ис­
каженные сигналы. Из-за искажения сигналов, распределение оги­
бающей даже на выходе тех субканалов, в которых нет полезного
сигнала, является распределением «смеси» сигнала и шума, т. е.
обобщенным релеевским распределением .
По-прежнему для определенности предположим, что переда­
вался сигнал s1 (i), тогда
А'2=(р'нЕ+~,)2+,2 ,,
lZ
л::= (~' ,kE +~k)2 +'2k·
(6.98)
(6.99)
175

Если бы сигналы не были искажены, то р'11 =1, p'ik=0 и выраже­
ния (6.98} и (6.99) перешли бы в (6.76) и (6.77).
•
Учтем, что случайные величины A'1z, A'kz имеют обобщенное
ре~еевское распределение типа (6.79). Использовав это распреде­
ление и результаты п. 6.5 .1, после приближенного вычисления ин­
тегралов типа (6.93), (6.94) получим вероятности ошибки при не­
оптимальном некогерентном приеме
1 ,...,
J -li,/2
1
Р22=:2 е /о(р12h1),
(6.100)
т
т
,
,_.,,
1 -h,/2t,\1/(, h)
Р2m= 2m е
~i,JоРik1•
(6.101)
i=lk#i
Когда p\k=O, формулы (6.100) и (6.101) переходят в формулы
(6.85) и (6.86).
Анализируя (6.100) и (6.101), можно заметить, что помехоус­
тойчивость неоптимального некогерентного приема ниже помехо ­
устойчивости оптимального когерентного приема из-за того, что по­
является корреляция между сигналами, обусловленная их иска­
жениями. С ростом p';k растет вероятность появления ошибки не­
оптималцного некогерентного приема. Например, вероятность
ошибки неоптимального некогерентного приема двоичных сигналов
в lo (p'12fi1) раз больше этой вероятности для оптимального :некоге­
рентного приема.
6.5 .3. Схемы неоптимальных некогерентных приемников. Прак-
тическое применение получили схемы узкополосного приема по
•огибающей, узкополосного приема по мгновенной частоте и широ­
кополосного приема с последетекторным интегрированием. Рас­
смотрим особенности этих схем на примере систем с ЧМ.
Схема узкополосного приема по огибающей. В отличие от опти­
мальной схемы неког.ерентного приемника в этой схеме вместо со­
гласованных фильтров стоят несогласованные «разделительные»
фильтры. Такие фильтры проще реализуются, они согласуются
С сигналами ТОЛЬКО :ПО эффективной полосе пропускания Лf, ИХ
называют квазиоптимальными.
Гауссовский белый шум, воздействуя на квазиоптимальный ли­
нейный фильтр, сохраняет на выходе пассивного фильтра (J't0 ~1)
гауссовское распределение мгновенных значений и имеет мощность
Р~ =0.оЛf (см. (4.43)). Амплитуда А2 полезного сигнал а на выходе
фильтра определяется формой огибающей импульса, амплитудой
А 1 и длительностью Т входного сигнала, типом фильтра и его эф­
фективной полосой пропускания Лf. Можно найти такое значение
полосы Лfопт, при котором отношение h2 мощности сигнала к мощ­
ности помехи на выходе фильтра будет максимально в момент от­
счета.
В качестве примера рассмотрим воздействие прямоугольного
радиоимпульса на квазиоптимальный фильтр в виде одиночного
колебательного контура с коэффициентом затухания Х1 =2Лf. Ам-
176

плитуда выходного сигнала фильтра
А2 =А, (1- е-2дf\
Отношение сигнал/шум в момент отсчета t=T
л2, (1 _ е-2дfТ)2
(1 _ е-дfТ)2
h2=
200дf =h, дfТ
•
(6.102}1
Для определения h2макс продифференцируем (6.102) по Лf и.
приравняем результат нулю. Из полученного уравнения найдем
Лfопт=О,65/Т.
(6.103)·
Подставив (6.103) в (6.102), получим
h2макс,;;;:: 0,82h" 9макс = 0,82,
У9макс--::' 0,9,
где Sманс - эффективность квазиоптимальной фильтрации (см _
(6.10)). Сравнение (6.102) с результатом согJiасованной фиJiьтра ­
ции (6.12) показывает, что эффективность квазиоптимальной филь­
трации в данном случае примерно вдвое ниже согласованной.
Расчет оптимальных полос фильтров для других форм сигна­
лов и других типов фильтров выполняют аналогично [9]. Эффек-­
тивность квазиоптимальной фильтрации для различных пар «ра-­
диоимпульс - фильтр» приведена в табл. 3 [2]. Полученные оцен-­
ки эффективности справедливы для случая приема одиночных:
импульсов, когда «перекрытием» соседних импулЬ'сов из - за переход- ­
ных процессов в фильтрах можно пренебречь. При прием е случай­
ной последовательности импульсов необходимо учитывать наличие ·
остаточного напряжения на фильтре из-за переходных процессов ,,
возникших при предыдущих посылках и переходных помехах, кото­
рые проявляются в том, что в момент отсчета принимаемый сигнал:
проходит и в фильтры, настроенные на ча·стоты соседних позиций _
Радиопмпу лье
Прямоугольный
Прямоугольный
Гауссов
Гауссов
' Прямоугольный
Таблица 3
Тип фильтра
Идеальный П-образн ый
1,37
Гауссов
0,72
Идеа л ьный 11-образный
О, 72
Гауссов
0,63
Одиночный резонансный кон- О, 65
тур
0,9!
0,94
0,94
1,0
0,9
Расчеты показывают, что при приеме непрерывной п оследа - ·
в а тельности импульсов ,Лf' опт примерно в два раза шире, че м опти -­
мальная полоса Лfопт при приеме одиночны х сигналов. Следова ­
тельно, узкополосный приеж по огибающей проигрывает по мощ-
12-886
17Т

JНости оптимальному некогерентному приему примерно в два раза,
поэтому вероятность ошибки в данном случае
(6.104)
Схема узкополосного приема двоичных ЧМ сигналов по мгно­
венной частоте состоит из узкополосного фильтра и частотного
детектора . Последний настраивают так, чтобы при равенстве ча ­
,стоты настройки среднеарифметическому (f1+f2) /2 на выходе
фильтра было нулевое напряжение (f 1 и f2 - частоты сигналов
s1 (t) и s2 (it)) . Решение принима-ется в зависимости от знака сиг­
нала на выходе частотного детектора в момент отсчета . Если
'Ф (f Is;) - априорная условная плотность распределения мгновен­
ной частоты f при передаче сигнала s; (t) и характеристика фильт­
ра симметрична относительно f0 , то вероятность ошибки
0
08
р'22 = Sо/(fIsi)df= Sс/>(fIsi)df.
-00
о
Плотность распределения 'Ф (f Is;) зависит от характеристик филь­
тра, девиации часто ты сигнала Л1f 1 =(:f2-f 1 )/2 и отношения сиг­
нал/шум h1.
Эффективная полоса фильтра в схеме с частотным детектором
не менее чем в два раза больше Лf опт разделительных фильтров
в схеме узкополосного приема по огибающей, потому что необхо­
димо без искажений принимать сигналы s 1 (1t) и s2 (i). Отсюда сле­
дует, что помехоустойчивость узкополосного приема по огибающей
и узкополосного приема по мгновенной частоте с симметричным
фильтром примерно одинаковы. Вероятность ошибки оценивают по
,формуле (6 .104) .
z(t)
Рис. 6.9 . Схема с последетекторным интегрированием сигналов до
сумматора
Широкополосный прием с последетекторным интегрированием
применяется при относительно низкой стабильности частоты . Вме­
сто узкополосных разделительных фильтров используют широко­
.полосные. При выборе полос пропускания фильтров учитывают
возможные отклонения частоты сигнала из-за влияния дестабили­
зирующих факторов. Расширение полосы пропускания фильтра
приводит к увеличению мощности шума на выходе фильтра и
_178

к снижению помехоустойчивости :::-!риема. Для повышения помехо­
устойчивости применяют последетекторное интегрирование. Две
эквивалентные по помехоустойчивости структурные схемы приема
с последетекторным интегрированием сигналов приведены на рис.
6.9, 6.10. Схема рис. 6.10 является более простой, поэтому чаще:
применяется на практике.
zш
___
ud__
. S1(t}
,,_н._вт_.-s2 (t}.
Рис. 6.10. Схема с последетекторным интегрированием сигналов по­
сле сумматора
Детектирование сигналов может быть квадратичным и линей­
ным. Помехоустойчивость для обоих видов рассмотрена в [9]. При
Л.fТ» 1 вероятность ошибки при квадратичном детектировании
р'02 'с:' 0,5 (1- FК (Vh1 (2 + ~ЛfТ/ /i\)- 1)],
(6.105}
где 1~~~2. Для одиночного колебательного контура
·~=1, для.
П-образно го фильтра ·~=2. Если h1 »,ЛfТ, то
р', 2 ~ 0,5 (1- Fк(Vh 1/2)].
(6.106)
Следовательно, при квадратичном детектировании имеется проиг­
рыш по мощности сигнала в два раза по сравнению с оптималь­
ным когерентным приемом.
При линейном детектировании и h1 » .Л,fТ помехоустойчивость
схемы с квадратичным детектором приближается к помехоустой­
чивости оптимального некогерентного приема. Вероятность ошиб­
ки в схеме с одиночным колебательным контуром в качестве филь­
тра
р"02 =0,5 [1- Fк (l,39Vkx - 1,24 V ЛfТ)),
в схеме с П-образным фильтром
р"'о2~0,5 [1-Fк(l,22Vh. - 1,1 VЛfT)).
(6.107)
(6.108)
На практике вместо последетекторного интегратора часто приме­
няют фильтр нижних частот, что приводит к зависимости выходно­
го напряжения в момент отсчета от предыдущих посылок. Для
наилучшего усреднения шумов и получения относительно малых
остаточных на п ряжений от предыдущих посыло к берут Л,fT=l,5-
2,5 . Энергетический проигрыш таких схем по сравнению с после­
детекторным интегрированием состав:1яет 2-4 дБ .
Анализ конкретных схем неоптималь ного некогерентного при­
ема дискретных сигналов показывает, что при h1 »Л,fТ эти схемы
по помехоустойчивости приближаются к схемам оптимального не­
когерентного приема.
12*
179,

Контрольные вопросы
а . Из-за чего нарушаются условия оптимального когерентного приема в реаль-
ных каналах?
2. В чем сущность алгоритма неоптимального когерентного приема?
.3. Как рассчитывают помехоустойчивость неоптимального когерентного приема ?
4. В чем сущность алгоритма неоптимального некогерентного приема?
.5 . Как рассчитывают помехоустойчивость неоптимального некогерентного приема?
,6. Сравните помехоустойчивость схем узкополосного приема по огибающей и
по мгновенной частоте.
7. Нарисуйте схему и оцените помехоустойчивость широкополосного приема
с последетекторным интегрированием.
6.6 'ВЛiИЯНИЕ ЗIАМИ'РдНiИй iИ РАIССl-fНХРОНИЗАЦИИ СИГНАЛОВ
НА ПОМ1ЕХОУСТОйЧИВОСТЬ
Ра-ссмотрением влияния замираний и рассинхронизации сигналов
:на помехоустойчивость передачи сигналов завершается анализ
: влияния на поме хоустойчивость тех основных факторов, которые
вызывают существенное отклонение условий приема сигналов от
,идеальных. Полученные ,результаты, рассматриваемые совместно
, с результатами § 6.3 -6 .5, позволяют достаточно полно опреде­
лить реальную помехоустойчивость различных систем.
6.6.1 . Влияние за:мираний сигналов на помехоустойчивость . До
, сих пор рассматривались задачи приема сигналов для каналов
- с постоянными параметрами и аддитивной помехой. Рассмотрим,
как полученные результаты обобщают-ся для каналов с перемен­
ными •случайными параметрами, когда имеются замирания с игна-
. лов (см. § 4.1) . В этом •случае принятый сигнал z(t)=X(t) Х
Xs (t) +s (t). Обозначим математическое ожидание случайного
..пр оц ес са
Х (i) через · Х'о; предположим, что центрированный про­
цесс :Jt1(f) =:Jt (t)-Xo является стационарным случайным процес-
· СОМ
-с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2н. Под-
ставим X1(t) в выражение для z(t), тогда
(6.109)
Отличием рассматриваемого случая от ранее изученных
· является то, что сигнал умножается на ,среднее значение коэффи­
· циента переда чи канала k0, а эквивалентная аддитивная по меха
:;1 (t) уже не является стационарным случайным процессом. Ма-
тематическое ожидание помехи M[s1 (t)] =0, а дисперсия зависит
от времени, так как
м [s21 (t)] =<J2нs2 (t) +м [s2 (f)] .
· Следовательно, цомимо усреднения по множеству, необходимо при­
менять усреднение и по времени.
Взаимная энергия принятого и передаваемого сигналов
т
т
Esz= \Z(t)S(t)dt= .Jt0E+~+\.Jt1(t)S2(t)dt.
6
Ь
(6.110)
11 80

Предположим, что замирания сигнала являют,ся медленными и
интервал корреляции процесса :Jt't (t) намного больше длительно­
сти сигнала, тогда
т
SХ1(t)s2(t)dt~х1(t)Е.
о
Энергия этого сигнала
M[:Jt'21(t) Е2] =Е2М [:Jt'21(t)] =а2нЕ2,
(6.111)
С учетом (6.8) отношение сигнал/помеха на входе решающей
схемы
(6 . 112)
Если ~(it) является гауссовским белым шумом, то Лт<< Т и
h2= 1J;U2o,
(6.113)
где Ио =ан /.ii'о-коэффициент вариации процесса :Jt'(t).
Из (6.113) следует, что отношение сигнал / шум полностью
о пределяется вариацией коэффициента передачи канала. Для рас­
четов вероятностей ошибок необходимо учитывать, что из-за за­
мираний сигнала отношение сигнал/шум и з меняет,ся пропорцио­
нально случайной величине .Yt2 (t) . Поэтому вероятности ошибок
являются функцией случайного аргумента :Jt. Для расчета помехо­
устойчивости необходимо определять математические ожидания
этих функций с учетом одномерного закона распределения коэф­
фициента передачи канала. При релеевсrшх замираниях коэффи­
циент передачи подчиняется распредел е нию (2.78) с учетом соот­
ношений, приведенных в п . 4.1.3, поэто м у м атематическое ожида­
н ие вероятности ошибки при оптимально:vr когерентном приеме
двоичных •сигналов
00
~
s1{
[ :л;
] l 2:J{ - :J-{"2/a\ А
М[р0(Х)]=
-
2 ~1-Fк --;;тVh1(1- р12) 1-,-- е
·
d:К.
1
J.., o
.
ок
о
'
'
Интегрирование по частям дает
М( ]=-1 [1_.:/ ti1(l-p1 2) ]·
Ро2
J" 2+h1(1- Р12)
При h1~ 1 можно применять приближенную формулу
М [Ро] ~[2h11( 1-р 12) ]-1
.
(6 . 114)
(6.115)
При релеевских замираниях (см. п. 4.1.3) и оптимальном неко­
r ерентном приеме двоичных сигналов в системах с активной
паузой

При квазирелеевски х замираниях и оптимальном неког е рент ном
приеме
М [ (Р")]
а.2+1
(
a.
2h,
)
Р22 ;;;,
= h,+2а.2+2ехр\- h,+2а.2+2 '
(6.117 }
где а =Л'2о/ (а2н-Х2о). Формула (6.117) является наиболее общей
для анализа влияния замираний сигналов на помехоустойчиво сть
оптимального некогерентного приема . При а2н/Л'20 »2 она перехо­
дит в (6.116), при н2н/Л'20 <f,; 2 - в формулу средней вероятно стИi
ошибки при слабых (гауссовых) замираниях, когда коэффици ент
передачи распределен по нормальному закону с параметрами
:Jt'o, <J21,•
Кривая 3 на рис. 6.7 показывает влияние релеевски х замира­
ний на среднюю вероятность ошибки (6.115) оптимального I<оге­
рентного приема двоичных систем с активной паузой. Сравне н ие­
кривых 1, 3, показывает, что замирания сигналов существ ен но
снижают помехоустойчивость . Графики, характеризующие поме х о­
устойчивость оптимального когерентного приема при гауссо вых.
з амираниях и обобщенных релеевских, будут находиться в об .'!а­
сти между кривыми 1, 3, так как кривая 1 построена для канал а
без замираний.
Кривая 4 показывает влияние релеевских замираний на по ме­
хоустойчивость (6.116) оптимального некогерентного приема си­
стем с активной паузой. При гауссовых и квазирелеевских зами­
раниях кривые, характеризующие помехоустойчивость некогер ен т­
hого приема, будут лежать в области между кривыми 2 и 4, т ак
как кривая 2 построена лри отсутствии замираний. Сравне н ие­
графиков показывает, что замирания сигналов несколько больше­
влияют на помехоустойчивость оптимального некогерентн ого,
приема.
Используем исходные данные п. 6.4 .3 и рассчитаем поме хо ­
у стойчивость оптимального некогерентного приемника ЧМ сиг на­
лов при релеевских замираниях при условии, что h1=4,9. в · соот­
ветствии с формулой (6.116) М[р22]=1/(2+4,9)=O,145 . Следо ва­
т ельно, р ел ее вские за мирания приводят к тому, что помехоустойчи­
вость рассматриваемого приемника ухудшается в 3, .38 раза по,
сравнению со случаем без з амираний и в 1,42 раза по сравнению
с когерентным приемником при таких же замираниях.
Для борьбы с замираниями используют: автоматическую регу­
лировку усиления (АРУ) сигналов и разнесенный прием сигналов,.
применяют широкополосные (шу мо подобные) сигналы (см . § 3.3),
и другие мето д ы . Действие схемы АРУ сводится к том у, что она
обеспечивает коэффициент усиления сигнал а В (t) =1 /Л'1 (t), тогда
выходной сигнал s2(f)=~(1t):Jt'1(t) s1(t) =s1(t,).
Наличие аддитивной помехи снижает эффективность, так
как линейная обработк а сигнала производится при флуктуирую­
щей мощности белого шума .
Суть разнесенного пр иема заключается в том, что переданное
сообщение в приемнике в оспроизводится не по одному принятому
182

сигналу, а по двум или нескольким, несущим одно и то же сооб·
щение. Обработка таких сигналов сводится к тому или иному виду
суммирования с весом. В частности, это может быть определение
среднего значения сигналов, выбор наибольшего из них и т. п.
Различают методы разнесения по частоте, когда один и тот же сиг­
нал одновременно излучается различными передатчиками на раз­
.личных частотах, по времени - повторение передачи, пространст­
венного разнесения, когда сигналы от одного и того же передат­
чика принимают на антенны, разнесенные в пространстве или
с различной поляризацией.
6:6.2. Влияние рассцнхронизации сигналов на nомехоустойчи­
,вость. Помимо помех, большое влияние на помехоустойчивость ока­
зывает нестабильность параметров приемника, например неточная
,работа схемы синхронизации, которая проявляется в «рассинхрони­
зации» передаваемых и опорных сигналов. Из-за рассинхрониза­
ции вероятности ошибок когерентного и некогерентного приемов
возрастают. Рассмотрим особенности оценки этих вероятностей
при неидеальной временной синхронизации амплитудно-манипу­
.лированных сигналов. Для других видов модуляции эти верып­
ности определяют аналогично [ 14].
Задача ставится •следующим образом: спектральная плотность
Ъ2о белого шума 1; (t,), форма и параметры сигнала s (t) известны
точно, требуется определить, как влияет несовпадение момента t1
прихода сигнала и момента •t2 генерирования опорного сигнала на
вероятность ошибки приемника. Иначе говоря, необходимо опре­
дел и ть влияние закона распределения ш (,:) , т=t2-i1, на вероят­
н ость ошибки. В некогерентном приемнике ,: характеризует по­
грешность времени взятия отсчета огибающей на выходе детектора
(на входе решающей схемы) .
При временном ра,ссогласовании ,: огибающей принимаемого и
о порного сигналов условие принятия решения о приходе сигнала
имеет вид
т
Rsz(1:)= i.\Z(t)S(t- 1:)dt>Z0,
о
(6.118)
где zo - порог сравнения в решающей схеме; нормировка с по­
мощью множителя 2f'Q 0 выполнена для приведения Rsz(,:) к без­
разме рному виду.
Для определения вероятности ошибки как вероятности невы­
п олнения условия (6 .11 ·8) необходимо по известному распределе­
нию ш (,:) найти распределение ш1 (и), где
т
и(1:)= i.ss(t)s(t-
,;) dt,
(6.119)
о
<1 затем распределение шz(Rsz) суммы
183

(6.120)
По распределению cu2(R) определяют мате,матическое ожидание
вероятности ошибки
Zo
М[р,]= .\Ф2(Rsz) dRsz·
(6.121)
о
Бели рассинхронизация обусловлена погрешностью работы схе­
мы автоподстройки частоты приемника, ,то распределение ffi {-t) при
больших отношениях сигнал / помеха на входе приемника можно .
полагать нормальным с нулевым средним и дисперсией cr,.
Для
прямоугольного видеоимпульса длительностью Т и энергией Е•
функция и (т) имеет вид равнобедренного треугольника с основа­
нием 2Т и высотой l1.2=2E /Qo. Следовательно,
't'E [-Т; Т] ,
и (т) Е [О, h2]. Для удобства расчетов введем безразмерное сред- •
неквадратическое значение времени расстройки G= о,/Т . После
выполнения необходимых промежуточных преобразований по­
лучим
() Со
[ (h2- и)2]
(01и=у
ехр- ?h2 2·
'
21tа .
-
2<:S
(6.122)
где с0 - нормировочный множитель усеченного гауссовского рас~
пределения ffi (т).
Распределение ffi2(Rsz) определим как свертку [ 15] •распреде- ·
лений ffi1 (и) и (t)o (~)
00
ш2(Rsz) = Sш1(х)Фо(Rsz - х)dx,
(6.123)
-00
что справедливо при условии независимости помех в цепи ,синхро­
низации и на входе приемника. Вычислив интеграл (6.123) с уче­
том того, ч то ffio (') является гауссовским распределением с нуле­
вым средним и дисперсией /i2=2E /Qo, получим:
(О (R) - [Фл(сх)+Фл(~)-l]со l (R82 -h2) 2 ]
(6124)
2
---=-=====;--е хр - 2h2 ' _, (1 +h2.a 2 )
'
•
Vттh2;(1+[h2cr2)/2
.
где
Фл (·)--функция Лапласа (2.90).
В соответствии ,с (6.121) J,ютематическое ожидание веро ятно­
сти ошибки при бинарных равновероятных сигналах
184

Zo
Sехр [ - 2h2<71+h~~: 2 )] {Фл [а (х)] + Фл[р(х)]} dx} ·
о
Ес,11и •синхронизация
(6. 125) переходит в
{6.62).
(6.125)
идеальная, то cr=O, Zo=h1=E /Q0 и формула
известную '(6.57) при ff2, определяемом из
\
Анализ зависимостей типа (6 . 125) обычно производится чис­
ленными методами с помощью ЦВМ . Численное интегрирование
позволяет построить номограммы М [Рз] =М [Рз (zo, <J, h2)].
Эти номограммы дают возможность определить влияние рас­
синхронизации на помехоустойчивость . На рис . 6.11 показана одна
из таких номограмм. Графики зависимости вероятности ошибки
от отношения сигнал/шум построены в логарифмическом масшта­
бе при значении Zo= h1 = E /Q0 и cr = O (идеальная синхронизация),
o,____ _4
~
0_ _____,lJ~'O __h ..;;,2
. Lg11[Pi
Рис. 6.11 . Влияние рассинхронизации
на помехоустойчивость приема АМн
сигналов
40
80
Рис . 6.12 . Влияние рассинхронизации
на помехоустойчивость приема ЧМ
и ФМ сигналов
о- = 0,1 и 0,2. Помехоустойчивость приемник.а АМн сигналов суще­
ственно зависит от точности синхронизации. Например, при h 2 =60
увели чение рассинхронизации на 20% проводит к увеличению
вероятности ошибки более '):ем на два порядка. Влияние рассин­
хронизации и замираний сигналов на помехоустойчивость пример­
но оди.э:аково. Для ,сравнения на рис. 6.11 показаны аналогичные
кривые (штриховые линии) для оптимального некогерентного
приема. Ра,ссинхронизация примерно одинаково влияет на помехо­
у стойчивость когерентного и некогерентного приемов.
185

На рис. 6.12 показано влияние рассинхронизации на по мех о ­
устойчивость приема Ч!М и ФIМ ,сигналов . Кривые построены для
когерентного приема ЧМ сигналов при 1<J1=0; 0,1; 0,2, штрихов ы е
кривые отражают аналогичные зависимости для некогерент но г о,
приема . Штрих-пунктирные кривые показывают зависимост и в е­
роятностей ошибок для когерентного приема ФМ сигн ал ов при
а=О; 0,1 . Сравнение графиков рис. '6. 11, 6 . 12 позволяет сдела ть
следующие выводы. Р а ссинхронизация больше всего влияе т на
помехоустойчивость прием а АМн сигналов . Влияние рассинхрони ­
зации на помехоустойчивость когерентного и н е когерентного п ри е ­
мов примерно одинаковое, существенное различие проявля етсн
лишь в области больших отношений сигнал /шум на в ходе реш аю­
щего устройства .
Контрольные вопросы
1. Как находят отношение сигнал/шум на входе решающего устройства пр и з а-
мираниях сигналов?
2. Как определяют помехоустойчивость приема сигналов при замираниях?
3. Какие замирания сигналов бол ьше всего влияют на помехоустойчивость?
4. Какие способы борьбы с замираниями сигналов применяют?
5. Как ставится зад а ча ан а лиза влияния рассинхронизации сигналов на по мех о­
устойчивость?
6. Нарисуйте и поясните графики зависимости вероятности ошибки от от нош е­
ния сигнал/шум и нормированного среднеквадратического значения времени
рассин х ро1-ш з ации .
7. Сравните, как влияет рассинхронизация сигналов на помехоустойчивость пр и­
ема АМн, ЧМ и ФМ сигналов.
6.7. выводы
1. Определение помехоустойчивости передачи дискретны х с и г­
налов име е т следующи е о с обенности . Необходимо учитывать бо ль­
шое число взаимосвязанных факторов, определяющих услови я п е ­
редачи сигналов. Из- з а сложности решения задачи в целом оце н­
ку помехоустойчивости выполняют методом последовательны х п р и­
ближений от идеальных условий к реальным. На каждом эта пе
расчета помехо устойчивости обычно учитывают влияние од но го
определяющего фактора . Сравнение получаемых результато в по­
зволяет выделить главные факторы и учесть ,совместное вли ян ие
основны х из них . Наиболее изучены з адачи оценки помехоус той­
чивости для случаев, когда способ передачи задан и характе р и ­
стики канала известны. Эти задачи являются задачами тео ри и
оптимального приема.
Различают три основны е задачи приема сигналов : обнар уж е­
ние , различение и восстановление -сигналов. В решении задач опти­
мального приема важную роль играют соотношения (6.4) , (6.8) -
(6.15), определяющие оптимальную линейн ую обрабо т ку ( 6. 1)
принятых сигналов, которая обеспечивает максимально е отн о ше­
ние сигнал/шум на вы ходе с х емы. Оптимальная линейная о бр а­
ботка сигналов лежит в основе многих оптимальных спосо бов
приема :
186

2. Для определения помехоустойчивости передачи дискретных
,сообщений используют многие критерии верности: байесов крите­
рий, критерий идеального на,блюдателя, критерий максимального
правдоподобия и др. Удобным для практики является применение
критерия максимального правдоподобия, который не требует боль­
шого количества исходных данных. Решения задач во многих слу­
чаях совпадают с решениями, полученными ,с помощью других
критериев.
3. Оптимальный когерентный прием дискретных сигналов на
фоне помех целесообразен, когда форма и параметры передавае­
мых сигналов известны на приемной стороне абсолютно точно,
искажения сигналов в гауссовом канале с постоянными парамет­
рами отсутствуют, спектральная плотность помех известна, син­
хронизация принимаемых и опорных сигналов идеальная, аппара­
турные погрешности отсутствуют. Оптимальный алгоритм коге­
рентного приема сигналов (6.Э7) на фоне помех позволяет опре­
делить в гильбертовом пространстве сигналов расстояние между
принятым ·сигналом и всеми передаваемыми •сигналами и выбрать
тот, к которому принятый ближе всего. Оптимальный приемник,
,работающий по этому алгоритму, обладает потенциальной помехо­
устойчивостью. Наибольшей потенциальной помехоустойчивостью
обладают системы с ФТ, затем идут системы с ЧТ и АМн.
Идеальные условия когерентного приема на практике обычно
не выполняются, поэтому основное значение этот прием имеет как
эталонный.
4. Оптимальный некогерентный прием используют, когда фаза
передаваемых сигналов неизвестна или ,случайна с известным
законом распределения. Сущность алгоритма оптимального неrю­
герентного приема (6.73) заключается в том, что берут отсчеты
-огибающих взаимокорреляционных функций принятого и переда­
ваемых -сигналов и принимают оптимальное решение, что был
передан тот сигнал, для которого отсчет максимален. Некогерент­
ный прием основан на том, что присутствие сигнала «деформи­
рует» ра,спределение Релея (распределение огибающей помехи)
.в обобщенное распределение Релея (распределение огибающей
«смеси» сигнала и помехи).
5. На практике не всегда выполняются необходимые условия
оптимального приема сигналов, поэтому нашли применение неопти­
мальные способы и схемы приема. При неоптимальном когерент­
ном приеме реализуется алгоритм (6.90). Приемник принимает
решение, что пришел тот ,сигнал, взаимоrюрреляционная функция
которого с принятым в момент отсчета имеет максимальное зна­
чение. При неоптимальном некогерентном приеме алгоритм обра­
ботки сигналов (6.73) тот же, однако растет вероятность ошибки
из-за •искажений сигналов и применения неоптимальных схем.
Наибольшее ра·спространение получили схемы узкополосного
приема по огибающей, в которых вместо ,согласованных фильтров
используются квазиоптимальные фильтры, узкополосного приема
187

двоичных ЧМ сигналов по мгновенной частоте, широ~юполосного
приема с последетекторным интегрированием и др.
6. Большое влияние на помехоустойчивость оказывают зами­
рания и «рассинхронизация» сигналов. Для анализа влияния за­
мираний применяют усреднение по множеству вероятности ошибки
с использованием одномерного закона распределения коэффици­
ента передачи канала. Наибольшее влияние на помехоустойчи­
вость оказывают релеевские замирания. Для борьбы с замира­
ниями применяют автоматическую регулировку усиления сигналов,.
шумолодобные сигналы, разнесенный прием и другие способы.
Для анализа влияния рассинхронизации сигналов применяют
усреднение по множеству вероятности ошибки с использованием
одномерного закона распределения времени рассинхронизации .
Рассинхронизация более всего снижает nомехоустойчивость пере­
дачи АМн сигналов и менее всего- ЧМ и ФМ сигналов. Ухудше­
ние помехоустойчивости из-за замираний и рассинхронизации сиг­
налов примерно одинаково.

Глава 7
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙJ
7 J1. ОСОБЕННОСГИ ОГfРЕДfЛ8~Я ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕДАЧИ
НЕПРЕРЫВНЫХ СОО.БЩЕНИЙ
Структурная схема, предназначенная для иллюстрации основ ­
ных особенностей определения помехоустойчивости передачи не­
прерывных -сигналов, представлена на рис. 7. l . 1Модулирующий
сигнал и (t ) и сигнал-переносчик so (!t) поступают на модулятор,.
в результате модуляции получается модулированный сигнал s1 (t) ..
Все последующие преобразования этого сигнала в канале обозна­
чены одним оператором -ф . К этим преобразованиям относятся,
преобразования модулированных сигналов в многоканальных си­
стемах, линейные и нелинейные искажения модулированного сиг­
нала и др. Передаваемый сигнал s[u(t), t] поступает в линию
связи (она представлена сумматором), в которой он взаимодей­
ствует с аддитивной помехой ~ (t). Принимаемый сигнал
z(t}-S[и(,t}, t,]+~(t).
(7. l}
Для восстановления полезного сигнала в приемнике - получения
оценки и* (t) необходимо отфильтровать помеху с помощью филь­
тра и выполнить демодуляцию копии s*[u*(t), t] модулированно­
го сигнала.
Рис. 7.1 . Структурная схема системы передачи непрерывных сигналов
Из \труктурной схемы рис. 7.1 видно, что особенности опре­
деления помехоустойчивости передачи непрерывных сигналов
включают все основные особенности определения помехоустойчи­
вости передачи дискретных сигналов (см. § 6. l). Как и прежде,
основная особенность заключается в том, что наиболее полно изу­
чены задачи оценки верности способов приема сигналов, когда
способы передачи и характеристики каналов известны.
189,

Наряду с этим оценка помехоустойчивости передачи непрерыв­
ных ·сигналов имеет ряд принципиально новых особенностей. Во­
первых, оценивается верность решения самой сложной задачи
приема - восстановления (фильтрации) неизвестного полезного
сигнала из искаженного модулированного сигнала на фоне помех.
Следовательно, качество фильтрации во многом определяет вер­
ность. Во-вторых, основными полезными преобразованиями непре­
рывных сигналов в процессе переда·чи являются модуляция и
демодуляция, поэтому по существу . оценивается помехоус;гойчи­
вость способа модуляции и модема. В-третьих, помимо модуляции
и демодуляции, имеются и другие полезные и паразитные преоб­
разования ,сигналов 'ljJ, которые влияют на качество фильтрации.
В четвертых, требуется уметь определять степень сходства u(t) и
.и* (t), так как точное восстановление полезного сигнала невоз­
можно. Следовательно, верность зависит от выбора метрики про­
странства сигналов, т. е. от того, как определяют расстояние меж­
.ду и (t) и и* (t). В-пятых, верность ,существенно зависит от того,
каr<0е расстояние считается малым, т. е. от того, какие сигналы
.и (t) и и* (t) можно считать близкими, например эпсилон-похожи­
ми (см. § 5.4) . Наконец, в-шестых, выбор критерия верности су­
щественно зависит от цели передачи ,сигналов, назначения ,систе­
мы и последующего использования принятых полезных сигна­
лов u*(t).
Все эти особенности определения помехоустойчивости передачи
непрерывных сообщений приводят к тому, что существенно услож­
няется решение задачи в общем виде. Поэтому конкретные задачи
,ставят так, чтобы использовать накопленный опыт и результаты,
полученные при определении помехоустойчивости дискретных
,систем. Основным методическим приемом является ортогональное
разложение полезного сигнала для того, чтобы задачу получения
-оценки и* (t) свести к задаче совме•стной оценки конечного числа
.случайных коэффициентов •этого разложения. Этот прием лежит
.в основе определения по генциальной помехоустойчивости всех
способов модуляции. Для оценки помехоустойчивости, как и ра-
. нее,
удобно применять критерий максимального правдоподобия
,с последующим представлением оптимальных решений в виде,
полезном для сравнительного анализа передачи непрерывных со-
общений. .
:
Рассмотрим постановку задачи оптимального приема. Если опе­
раторы М и 'ljJ известны, то функция правдоподобия
f(z[s)=сехр{- ~.
f{z_Щ-s [и (1), 1]}' dl} ·
(7.2)
о
.
1Отыскание максимума (7.2) по всем и (t) приводит к оптималь­
,ному алгоритму
min {в2[и(t)]} =min [}J{z (t) - s [и(t), t}}2 dt].
(7'.3)
и(t)
u(t)
0
0
;!90

В качестве оценки и* (t) полезного сигнала принимается та, КО"·
торая доставляет минимум среднеквадратической погрешности.
К:ак и в случае приема дискретных сигналов, задача сводится,
к определению расстояния в гильбертовом пространстве между
принятым сигналом и всеми возможными передаваемыми сигна­
лами s1[ и (t), t] и выбору такого полезного сигнала, который со­
ответствует минимальному расстоянию.
Непосредственно реализовать алгоритм (7 .3) нельзя, так как
неизвестны «возможные полезные ,сигналы». Рассмотрим, какие·
трудности это порождает. : Раскрыв скобки в (7.3), получим
т
т
т
е2=~о{J22 (t)dt-2 .f z(t) s[и(t), t}dt+ss2 [и(t), t}dt}, (7.4)•
о
о
о
Первый интеграл в (7.4) характеризует энергию принятого сигна­
ла, второй - взаимокорреляционную функцию переданногь и при­
нятого сигналов, третий - энергию передаваемого сигнала. Энер­
гия принятого и передаваемого
сигналов известны, неопределен-
1-юсть обусловлена тем, что сиг­
нал s[u(t), t] точно неизвестен и
найти
взаимокореляционную
функцию, как это делалось рань­
ше, невозможно.
Поступают так . Располагая ап ­
риорной информацией о способе
модуляциц и информационном па­
раметре передаваемого сигнала,
так обрабатывают принятый сиг-
s''[ilrtJ,t]
Рис . 7.2 . Схема квазиоптимального,
приемника на согласованном фильтре ·
с переменными параметрами
нал, чтобы дополучить недостаю- .
щую часть информации об s[u(t), t] и найти оценку s*[u(t), tJ.
Эту оценку используют для оценки взаимокорреляционной функ-­
ции получения и* (t). Такая идея лежит в основе работы к.вази-­
оптuмального следящего корреляционного приемник.а и к.вазиопти­
мального прием.ник.а на согласованном. фильтре с переменными ·
параметрам.и.
Покажем, как работает квазиоптимальный приемник на согла­
сованном фильтре с переменными параметрами (рис. 7.2) . Струк­
турная схема »меет основной _информационный канала, который
включает согласованный фильтр с переменными параметрами и
демодулятор, на выходе которого получают оценку и* (t), а также
канал обратной связи, который в зависимости от значения и* (t)
с помощью управляющего элемента (УЭ) обеспечивает такое из­
менение параметров фильтра, чт-обы в любой момент времени до­
стигалось оптимальное согласование фильтра с непрерывно из­
меняемым сигналом s* [ и (t,), t]. Вид демодулятора определяется
способом модуляции. Следовательно, в таком приемнике в резуль­
тате слежения за информационным параметром -схема автомати-
191.

,ческого согла-сования фильтра обеспечивает пол учение текущих
,оптимальных оценок максимального правдоподобия и* (t).
Рассмотрение общей постановки оптимального приема показы­
;вает, что основ!Ной ,операцией является фильтраlll:,ия - восстановле­
ние модулированного сигнала. Применяют непрерывную и дискрет­
,ную фильтрацию. Ра,ссмютрим сущность и основные особ е нности
..этих способов фильтрации.
7.2 . ОПТИ:МАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
7.2 .1 . Оптимальная линейная фильтрация [13]. Покажем и
,сравним три основных подхода к оптимальной линейной филь­
трации: определение частотных и импульсных характеристик опти­
мальных фильтров, восстановление сигнала как решение диффе­
ренц,иалы1-юго ура~вншшя, 1юэффи1циенты кото:рого 'Задаются ста­
тистикой сигналов. Такие задачи относят к задачам линейной
.фильтрации случайных сигналов на фоне помех. Впервые они бы­
:ЛИ корректно поставлены и решены в 40-х годах советским мате ­
матиком А. Н. Колмогоровым и американским ученым Н. Вине­
ром. Результаты решения этих задач легли в основу статистиче­
ской теории линейной фильтрации.
Предположим, что s[u(t), i] может рассматриваться как ста­
;ционарный эргодический ,случайный процесс, корреляционная
~функция K1(-t) или спектральная плотность Q1(ffi) которого из­
вестна. Канал -связи будем считать гауссовым с аддитивной поме­
хой ·s(t), корреляционная функция К2(-т:) или спектральная плот­
-ность ·Q 2 (,w) которой известна. Сигнал и помеха некоррелированны.
Лри'Нятый сигнал аписыв1ает,ся ,соот,ношением (7.1). Нео,бходи­
мо найти такой оптимальный линейный фильтр, который дает
,оценку s*·[u(t), t], а в более общем случае оценку u*(t), в сред­
неквадратическом смыс ле наиболее близкую к переданному сиг­
налу.
Обозначим оператор линейной фильтрации через L1. Предполо­
жим, что допустимо только за п .а з дывание сигналов в процессе
.фильтрации, тогда с у четом эргодичности процессов s (t) и s(t)
,<: реднеквадратическая погрешность примет вид
ai=({L1 [z(t)] -s(t--t0 )}2),
(7.5)
-где to - время запаздывания сигнала. Пр е образуя выражение
(7.5) ,с использованием ранее сформулированных условий, получим
Е2= ({L1[s(t)]- s(t- t0)}2)+({L1[Цt)]}2)= 5'\+ .9?4,
(7.6)
тде flJз - составляющая погреш:rюсти, обусловленная прохождени­
шием чере з фильтр •сигнала; [J)4 - составляющая погрешности,
обу,словленная про хожде нием помехи.
Для минимизации мощности flJ 3 и отсутствия искажений сиг­
нала s (t.) фазочастотная характеристика искомого фильтра долж­
;на быть линейной :
(7.7)
!192

а амплитудно-частотная характеристика Jt(,ffi) должна выбираться
из условия Qз (ffi) = [ 1- Jt (ffi)] 2,Q1(ffi). Мощность [lJ 4 отклика филь­
тра на входной шум от фазовых •соотношений не зависит, ,сп'ектр
помех Q4( ,ffi)=Jt2 (ffi)Q2(,ffi). Суммарный ,спектр сигнала ошибки
(7.6) на выходе фильтра
Q"(ro)= Q1(ro)[1-Х(ш)]2+Q2(ro):я:2(w).
(7.8)
Оптимальную характеристику Jto (ffi) определим, дифференци­
руя (7.8) по Jt(ffi) и приравнивая производную нулю:
Jto(ffi)=Q1(ffi) / [Q1(ffi) +Q2(@) ].
(7.9)
Подставив (7.9) в (7.8) получим, что
Q0 (ш) = Q1 (w) Q2 (ro)/[Q1 (ш) +Q2 (w)].
(7.10)
Минимальная среднеквадратическая погрешность
(7.11)
-оо
Выражение (7.11) дает минимально достижимую среднеквадрати­
ческую погрешность выделения оптимальным линейным фильтром
сигнала из сме,си с шумом. Никакой другой линейный фильтр не
-::>беспечит лучшего в среднеквадратиче,ском смысле отделения сиг­
нала от помехи.
Коэффициент лередачи оптимального линейного фильтра
(7. 12)
Этот фильтр называют оптимальным фильтром Колмогорова -
Винера. Проанализируем характеристики оптимального фильтра.
Для удобства анализа представим выражение (7.12) в виде
,,,
.
J
-iwl0
:Jt'0(LФ)= l+С(00) е
,
(7.13)
где c(ffi)=Q2(ffi) /Q1(,ffi). При io=O оптимальный фильтр физически
нереализуем, так как из-за симметрии его импуль,сной характери-
. ст юш g (,t) относительно вертикальной оси, проходящей через ta,
значение g(t,)#0 при t~O. Если выбрать ta~T, где Т - время
задержки, то можно добиться, чтобы g (t) = 0 при t~O . Такой фи­
зически реализуемый фильтр будет близок к оптимальному.
Рассмотрим предельные характеристики оптимального филь­
тра в зависимости от отношения c(ffi).
1. с (ffi)-+'0 . В пределе sто значит, что ,спектры ,сигнала и поме­
хи не перекрываются и отношение сигнал/шум велико. В этом
случае
со
• 1m Х0(ш)=l, 1ms0
-
9
2ш ш-;:;2•
1•
1·
2-
1 jQ()d- а.,
c(w) ➔O
c(w) ➔O
-7t
(7.14)
-00
13-886
193

Оптимальный линейный фильтр является идеальным полосовым,
его амплитудно-ча-стотная характеристика (АЧХ)
Q 1 (ш)+О,
Q 1 (ш)=О.
Отношение сигнал/шум на выходе h2=fi2мaкc=g;1 /[!2 .
(7.15)
2. c(w)-+= . В пределе это значит, что спектры сигнала и по­
мехи полностью перекрываются, отношение сигнал/шум мало на
всех частотах. В этом случае
00
lim Х0 (ш)=О, lim e\=j- \'Q1 (ш)dш=.о/>1 •
c(w) ➔OO
• r(w) ➔OO
'lt J
-00
Удовлетворительное восстановление сигнала с помощью линейной
фильтрации нево зм ожно, так как квадрат минимальной -средне­
квадратической погрешности фильтрации в пределе равен мощ­
ности полезного ·сигнала и h2=h2мин= l.
3. сь,;;с(w)~=- Это наиболее общий (промежуточный) •случай,
когда спектры сигнала и помехи в той или иной мере перекрыва­
ются, а отношение сигнал/шум варьирует в широких пределах.
В этом случае
O~X'o(w) ~1, [!2~ 'S
20~[!1,
I~li2~[!1J[!2.
(7.16)
Оптимальный фильтр на частотах, где c(w) > 1, ослабляет влия­
ние поме х и потому, что мод уль коэффициента передачи ока з ы­
вается меньшим 0,5 и •С ростом c(w) еще более уменьшается . Он
обеспечивает возможно большее подавление сост а вляющи х спек­
тра поме х и и в то же время возможно меньше ослабляет (иска­
жает) составляющие спектра сигнала.
Анализ результатов линейной фильтрации показывает, что
эффективность фильтрации тем больше, чем больше отношение
1.пирины сп ектра сигнала к ширине ,спектра помехи и чем больше
отношение -сигнал/шум на входе фильтра. Следовательно, для по 0
вышения эффективности линейной фильтрации целесообразно при­
менять широкополосные сигналы и большее отношение сиг-
н ал /шум.
.
Зная форму спектральной плотности поме х и, можно применить
в передатчике предыскажение сигнала - перераспределение мощ­
ности ,сигнала по частотам с помощью линейного фильтра. В ре­
зультате этого преобразования ,сигнала его мощность распреде­
ляется по полосе частот обратно пропорционально спектральной
плотности помехи и эффективность оптимальной линейной филь­
трации повышается. При воспроизведении сигнала в приемнике
для отсутствия частотных искажений необходимо, конечно, при ­
менять предварительный фильтр с характеристикой, обратной ха­
рактеристике предыскажающегЬ фильтра.
194

Импульсная характеристика оптимального фильтра_ находится
из решения интегрального уравнения
t
_f [Ki(-c -у)+К2 ('t - у)] g(y) dy=K1 ("),
(7 .17)
о
которое называют уравнением Винера-Хопфа. Минимальная сред­
неквадратическая погрешность фильтрации
s\ =02+ Jg ('t2) d1: 2{J [К1 ('t2 -
'ti) + К2 ('t2- 1:1)] g ('t1) d't1 - 2К1(1:2)},
(7 .18)
где а2 -дисперсия s[u(t), t] .
Для иллюстрации конкретных особенностей решения (7.17)
рас,смотрим простейший пример линейной фильтрации гауссовско­
го стационарного процесса с корреляционной функцией К1 (,:) =
= 0 2 е-" 1' 1 (см. п. 2.4 .1) при условии, что s(t,) - гауссовский бе­
лый шум со спектральной плотностью Qo/2. Уравнение (7.17) при­
нимает вид
t
r[
1о
]
-<Х1,1
J 02е-" 1 •-и +-fo ('t-y) g(y)dy=o2 e
.
о
(7 .19)
Преобразуем его к виду, удобному для решения:
t
t
е-"' Je"Yg(y)dy+e'" .\ е-"У g(y)dy=e_,,. . -
2~0
2 g(1:).
о
'
Умножив обе части этого уравнения на е'"' и зате~1 дважды про­
дифференцировав по . - , вместо интегрального уравнения получим
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко­
эффициентами:
g.ff (:t)-•1/g (:t) =0,
(7.20)
где ·у2=а2 ( 1 +4cr2 / •aQo). Общее решение (7.20) имеет вид
(7 .21)
где коэффициенты c1(t) и c2(t) находят из системы уравнений,
котора51 получается путем подстановки решения (7.21) в уравне­
ние (7.19) и приравнивания коэффициентов при е-"' и е-" (t-,):
С (t)= (сх+у) (сх-у)2
2
(сх+У)2e2,t _ (сх
_
У)2•
Для r0лределения ,минималыной ·среднеквадратической погреш­
ности оптимальную характеристику go(:t), найденную из (7 .21),
13*
195

подставляют в (7.18). После выполнения громоздких вычислений
для установившегося режима получают
lim,,\ (t) =Q0 (у- а.)/2.
(7.22)
t➔OO
В рассмотренном примере решение уравнения Винера-Хопфа
выполняется относительно просто. Во многих случаях это решение
наталкивается на серьезные трудности. Для аппаратурной ре ал и­
зации оптимальной характеристики фильтра необходимо воспроиз­
водить зависимости е1t и e21 t, что также вызывает трудности.
В 1961 г . интересные идеи были высказаны в работе Р. Е. Каль­
мана и Р. С. Бьюси [13]. Сущность одной из них заключается
в следующем. Вместо определения частотных или импульсных ха­
рактеристик линейных фильтров предложено оценивать непосред­
ственно восстанавливаемый сигнал как решение дифференциаль­
ного уравнения, коэффициенты которого определяются статисти­
кой входных сигналов и оцениваемого. Очевидным преимуществом
способа Кальмана - Быоси является возможность относительно
простого построения аналогового или цифрового вычислителя
искомой оценки в зависимости от вида дифференциального урав­
нения. Оптимальные линейные фильтры выполняют как автомати­
ческие вычислители, с контурами обратной свя з и, 'Которые вклю­
\Чают интеграторы, цепи с переменными во времени коэффициен­
тами передачи, сумматоры, нелинейные безынерционные устрой­
ства, объединенные таким образом, чтобы воспроизвести требуе­
мое соотношение между входными и выходными переменными.
Такие фильтры получили название фильтров Кальмана-Быоси .
Другие преимущества этих фильтров: представление процессо в
во временной области, что позволяет рассматривать конечные
интервалы времени и выполнять фильтрацию нестационарных про­
цессов, какими являются модулированные сигналы; ориентация
на использование ЭВ!М; возможность применения их в более об­
щих задачах нелинейной фильтрации. Существенным f!едо·статком
этого способа являются трудности п_олучения в замкР.утой форме
оценок, аналогичных (7.11) и (7 .22), для среднеквадратических
погрешностей фильтрации, иначе говоря, трудности оценки эффек­
тивности фильтрации.
7.2.2. Нелинейная фильтрация непрерывных сигналов. Основны­
ми недостатками линейной теории фильтрации являются трудно­
сти решения интегральных и дифференциальных уравнений, опре­
деляющих импульсные характеристики фильтров и восстанавливае­
мых сигналов, тре:боваrнiИя линейноrсти л;реоб'ра:з·ова'Нlий и нормалыно­
сти ра,определений сигналО1в и помех и ~рудности ашпаратурной реа­
лизации фильтров для реальных видов модуляции, когда необ х о­
димо выделять нестационарные сигналы. Этих недостатков лишен а
теория нелинейной фильтрации, которая построена в основном
на теории условных марковских процессов, использующей нели­
нейные дифференциальные уравнения [ 18].
196

Точное аналитическое решение дифференциальных уравнений
нелинейной фильтрации может быть пол учено крайне редко, их
основная ценность в том , что они позволяют непосредственно
синтезировать оптимальные структурные схемы приемников, а ког­
да распределения сигналов и поме х близки к нормальным, то и
оценить эффективность фильтрации.
При нелинейной фильтрации прие мники являются автоматиче­
скими нелинейными устройствами, следящими за vнформацион­
ными параметрами сигналов, по существу, аналоговы.ми или циф­
ровыми вычислителями решения нелинейного дифференциального
уравнения фильтрации. Задачи нелинейной фильтрации так же,
как и задачи линейной фильтрации нестационарных процессов,
являются предметом современных исследований.
7.2 .3 . Цифровая фильтрация - это такая разновидность нели­
нейной фильтрации, в которой роль вычислителей решения нели­
нейного дифференциального урав нения фильтрации выполняют
ЦВМ. Методы цифровой фильтрации образуют теорию цифровой
обработки непрерывных сигналов. Цифровые фильтры обладают
рядом преимуществ. Главное из них - возможность получения
таких частотных характеристик, реализация которых с помощью
обычных активных или пассивных фильтров очень сложна или
просто невозможна. Другим достоинством является то, что ча­
стотные характеристики цифрового фильтра определяет всего
лишь один параметр - шаг дискретизации непрерывного сигнала.
Изменяя этот шаг, можно в широких пределах перестраивать
фильтр. Применяя кварцевые генерато ры тактовой частоты, мож­
но обеспечить такую высокую стабильность характеристик цифро­
вого фильтра, которая недостижима для аналоговых фильтров.
Основная трудность широкого практического применения циф­
ровых фильтров заключается в необходимости создания· быстро­
действующих аналого-цифровых и цифроаналоговых преобразова­
телей, а также компактных недорогих ЦНМ. Развитие микроэлек­
троники и вычислительной техники показывает, что эти трудности
будут преодолены.
Контрольные вопросы
1. В чем особенности определения помехоустойчивости передачи непрерывных
сигналов?
2. Как ставится задача оптимального приема непрерывных сигналов?
3. Как работает квазиоптимальный следящий приемник?
4. Как определяют частотные характеристики оптимального линейного фильтра?
5. Как определяют импульсную характеристику оптимального линейного фильтра?
6. Как строят фильтры Кальмана - Бьюси?
7. В чем сущность нелинейной и цифровой фильтрации непрерывных сигналов?
197

7.3. ОП11ИМАЛЬНЫй ПРИЕ·М СИГНАЛОВ ло КАИТЕР'ИЮ МАКСИМАЛЬНОrо
ПР•АIВДОПОДО:БИЯ
Рассмотрим особенности решения задач оптимального приема
непрерывных сигналов ,wетодом максuмалы-юго правдоподобия.
Вначале решим задачу оптимальной оценки одного неизвестного
параметра ,сигнала, -а затем п параметров ортогонального разло­
жения полезного сигнала. :Конечным итогом решения задач б у ­
дем считать определение отношения сигнал/шум на выходе при­
емника, выраж~нного через характеристики полезного ,сигнала и
помехи, и оце&ку потенциальной помехоустойчивости передачи не­
прерывных сигналов.
7.3 .1 . Оптимальная оценка амплитуды сигнала. Такая задача
возникает при измерении амплитуды сигнала или коэффициента
передачи канала. Аналогично оценивают среднюю ча·стоту или
время прихода сигнала, тактовый интервал в синхронных дискрет­
ных ,системах связи и другие параметры. Для определенности
примем, что передаваемый сигнал имел единичную амплитуду,
а после прохождения по каналу его амплитуда приняла знач е ние
k, тогда z (t) ks (,t) +s (t). Наша цель - применить метод макси­
мального правдоподобия для оптимальной точечной оценки k.
Понятно, что точно определить k невозможно. Это обусловле­
но рядом причин: наличием помехи s(t), ограниченностью вре­
мени наблюдения, наличием погрешностей измерительных прибо­
ров и т. п. Поэтому и ставится задача получить точечную оцен­
ку k*, которая является функционалом принятой реализации z (t)
и в той или иной мере отражает истинное значение k . Конечно,
желательно, чтобы в ' соответствии с основным принципом теории
статистического оценивания полученная оценка была бы состоя-
тельной, несмещенной и эффективной [9, 13, 15].
'
При гауссовском белом шуме s(t) со спектральной плотностью
Qo функция правдоподобия имеет вид
Логарифм этой функции
т
L=lnc- ~о 5[z(t)-ks(t)] 2 dt.
о
Дифференцирование L по .k и приравнивание результата нулю
дает следующее уравн,ен,uе максuмальн,ого правдоподобия
т
- ~ s[z (i)-ks (t)] s (t) dt=O.
(7 .23)
о
198

Преобразуем его к виду, удобному для решения:
т
т
-
;~ \z(t)s(t)dt+2~: ss2(t)dt=О.
(7 .24)
о
о
Решение уравнения
т
k'I.·= +5z(t) s(t) dt.
(7.25)
о
Следовательно, для получения оптимальной оценки k* необхо­
димо применить один из видов аппаратурной реализации опти­
мальной линейной обработки (см. § 6.1). Например, можно исполь­
зовать корреляционный приемник, в котором для упрощения схе­
мы коэффициент усиления интегратора следует выбрать равным
1/ Е. Определим качество полученной точечной оценки k*. Под­
ставим в (7.25) значение z (t), тогда
т
т
k'k= ~ s[ks (t)+~(t)] s(t)dt=k ++s~(t) s(t) dt.
о
о
Абсолютная ошибка в оценке k
т
Е=ki❖-k=+s~(t) s(t) dt.
о
Найдем математическое ожидание и дисперсию ошибки
т
М [г]=-} sМ [Цt)] s (t)dt=O,
о
GТ\[] М[2]
1EQ0Оо
;,и8=
8 =Е2-2-= 2Е •
(7.26)
(7.27)
(7.28)
(7.29)
Следовательно, оценка k* является несмещенной. Так как при
Т-ню и Е-+оо, то .® [е]-+0, поэтому оценка асимптотически эффек­
тивна по Т. Итак, k* можно использовать как оптимальную то­
чечную оценку коэффициента передачи k.
7.3.2 . Оптимальная оценка восстанавливаемого сигнала. Обоб­
щим рассмотренный алгоритм получения · точечной оптимальной
оценки одного параметра на случай оценки п параметров орто­
гонального разложения полезного сигнала. По-прежнему будем
считать, что принятый сигнал описывае1'ся соотношением (7.1) .
На интервале .существо:вания [О, Т] ста1циона1р1ный полезный сиг­
нал, спектр которого ограничен верхней частотой F, представим
199 '

в виде канонического разложения (2.45). Положив, что постоян­
ная составляющая и (t) отсутствует, получим
п
и(t) = ~{tv2klf2 cos{ J1t kt}+
k=I
п
+л2k-1 112 sin { J,t (2k- 1) t}} = lJ ik'Pk (t),
(7.30)
k=I
где Лh. - случайные параметры u(,t), точечные оценки которых не­
обходимо получить в процессе решения оптимальной задачи обра­
ботки непрерывного сигнала; (j)h. (t) - ортонормированные гармо­
нические функции; n=2FT - база u(t).
Введем для упрощения записи вектор-параметр л =(л1, ,лп),
тогда принимаемый сигнал можно представить в виде
z{t)-s(л, t)+s(t).
(7.31)
Задача оценки u(t) сводится теперь к задаче точечной оценки
вектор-параметра л или, иначе говоря, совокупности случайных
величин л1, л2, ... , ,лп . Качество оценки u(t) определяется совмест­
ной оценкой п параметров - координат вектора л. Совместные ма­
ксимально правдоподобные оценки определяются из решения си­
стемы уравнений правдоподобия
(7.32)
При флуктуационной помехе в гау,ссовом канале и известной ана ­
литической форме сигнала-переносчика s (t) функция правдопо­
добия
т
f(z/л)=сехр{-
~
0 s[z(t)- s (л, t)]2dt}·
(7.33)
о
Анализ (7.33) показывает, что максимально правдоподобные
оценки при флуктуационном шуме в канале минимизируют функ­
ционал i::2 , т. е. обеспечивают
т
minв 2 =min-ci-J[z(t)-s(л, t)] 2 dt.
'},,
'},, оо
Следовательно, при оп ти мальном приеме непрерывных сигналов,
как и в случае приема дискретных сигналов, приемник выделяет
в результате вычисления оптимальных л* тот полезный сигнал
s* (л*, t), который в гильбертовом пространстве ближе всего
к принятому z (t).
Если помеха отсутствует, то min в 2 = О, и такой приемник точно
'},,
восстанавливает полезные сигналы на выходе детектора.
200

Последовательное логарифмирование (7.33), дифференцирова­
ние по Лk и приравнивание результата нулю дает систему уравне­
ний максимального правдоподобия:
т
.
- ~. s[z (t)- s (11' lп; t)] дs (л~л:п; t) dt=O.
(7.34)
о
Решив эту систему, получим оценки л* 1 , л*п, оптимальные по кри­
терию мак·симального правдоподобия. Анализ показывает, что при
определенных свойствах случайных процессов z (t), на практике
обычно имеющих место, это решение является единственным и
дает •совместно состоятельные, несмещенные и асимптотически
эффективные по Т точечные оценки ,11,*1, л*п [13, 15] :
Максимально правдоподобная оценка восстанавливаемого сиг­
нала
п
п
п
и*(t)= ~ i·xkfk(t) = ~ (1k+д1k)fk (t)= и(t)+~-ЛA-kfk(t), (7.35)
k=I
k=I
k=I
где Л,11, 1, - асимптотически нормально распределенные случайные
величины, как будет показано далее, -с нулевыми средними значе­
ниями. Погр ешность оценки полезного сигнала
п
€(f)= и*(f)- U(t)= ~ДA,kfk(f)
(7.36)
k=I
можно рассматривать как шум на выходе приемника, а дисперсию
3J [V2Лlk]=2.?D-какмощность этого шума на частоте fk.Для
определения дисперсии .!l> [ЛАk] выразим Ллk. через характеристики
передаiваемо1го ~сигнала ,и помехи. Допустим, что .под дейеnвием
слаlбой помех~и 1;1(t) колебашие z(t) ~получит малое прiИращение,
равное этой помехе, т. е.
(7.37)
Тогда координаты ,А1, Лk полезного сигнала на выходе приемника
получат приращения Ллj, которым соответствует приращение ка­
на л ьного сигнала ,Лs (.Лл, t), определяемое соотношением
п
лs(Дл,t)_:_ Е дs~~; t) Д).j•
(7.38)
j=l
Средний квадрат отклонения между колебанием z(t) +Лz (t) и
сигналом s(л, t) + Лs(Лл, t)
т
s2= I[z(t)+дz(t)- s (л, t)-дs(дл, t)]2dt.
(7.39)
о.
201

Дифференцируя (7.39) по ,"л,k, получаем следующие уравнения ма­
ксимального правдоподобия
т
т
.} [z(t)- s(л, t)] дs1~:t) dt= J.[Лz(t)- лs(Лл, t)]дs~~:t) dt,
о
о
(7 .40)
где производная дЛs (Л"л,, t) / длk и порождаемые ею составляющие
не учитываются как величины второго порядка малости.
Учитывая (7.37), (7.38), (7.40) можем записать в виде
т
п
т
_11~(t)дs(л.t)dt= '\lл.~._;_ r дs(л, t) дs(л,t) dt. (7.4l)
ТJ
дЛ.k
/....J 1 Т j дЛj дл.k
О
j=l
О
Используя основное свойство ортогональных разложений, можно
показать, что для всех ре,ально применяемых видов модуляции
функции дs {л, i) / длj и дs (л, t) / длн взаимно ортогональны на
интервале [О, Т]. Поэтому
1
1J дs(л,t)
Лл.k= ( [дs (л, t)/дЛ.1,]•) Т ~ (t) дл.k dt.
Выполнив операции усреднения по множеству и по времени,
получим
М[Лл.k]=О, ~[Л.:tk]=М [Лл.\]= / g 0
•
(7.42)
2Т\ rдs~~/) ] •)
Величину q) [ Лл1~] = а22н-~ = a 221i = а2,, в дальнейшем будем исполь­
зовать как оценку дисперсии параметров л*k канонического раз­
ложения и (t) (7.30). Поэтому мощность шума на выходе детекто­
ра на частоте f1i
о2 (f~) =М [V2л.\k]• =М [V2л.*2k-1]2 = 202k·
Следовательно,
02 {fk) =----g_o
--- -
___
О_о_дf___
т\1дs1~~t) J2)
~[дs1~:t)Г) ,
(7.43)
т ак как смежные спектральные составляющие разложения (7 .30)
сдвинуты по частоте на интервал Лf=l /Т.
Из (7.43) следует, что спектральная плотность шума на выходе
детектора
(7.44)
202

Отношение •средней мощности сигнала к средней мощности шу- .
ма на выходе оптимального приемника
1др
h2=(;::)2= ~ 2 J'Q(f)df,
(7 .45)
где 912 - средняя мощность и (t).
7.3 .3. Оценка потенциальной помехоустойчивости передачи не~
прерывных сигналов. Для оценки потенциальной помехоустойчи­
вости непрерывных приемников широкое распространение полу­
чила такая характеристика, как выигрыш (см. § 5.6)
(7.46)
где (91 /92) 1 - отношение сигнал/шум на входе приемника (в ка­
нале).
По аналогии с (6 .10) ее можно рассматривать как эффектив-
. ность
оптимальной обработки непрерывных сигналов или в более
общем применении как эффективность непрерывных систем связи.
Это обусловлено тем, что, как бы ни выбиралась количественная
мера верности передачи информации, она является возрастающей
функцией этого отношения. Другое дело, что верность определяется
не только одним этим отношением, а и рядом других факторов:
шириной спектров сигналов и помех, характером распределений
амплитуд и фаз сигналов и помех, способом регистрации сигналов
ит.п.
Чтобы учесть различную ширину спектров · сигналов и помех ,
отношение (7.46) нормируют с помощью коэффициента частотной
избыточности модуляции V1-ЛF1/ ЛF, равного отношению полосы :
пропускания входных цепей приемника (ширины спектра моду ­
лированного сигнала) к полосе частот полезного сигнала. Тогда
обобщенный выигрыш (обобщенная оценка эффективности)
(7.47)
Для удобства сравнения различных модулирующих сигналов
их нормируют, чтобы
Имакс U) =Шах/ и (t) /ит/ = 1,
(7.48) •
где Ит- максимальное значение u(t), и вводят пик-фактор по ­
лезного сигнала
п
и,.rакс (t)
=
- -- ;========-
{ +Ja'(t)dt
Из (7.49) следует, что
Имакс (t)
V.:1" ,2
(7.49)
(7.50)
203

а отношение (7.45) принимает вид
[
др
1
=
n2J
дЕ
ll2j. О(t)df
о
г
о
(7.51)
Таким образом, применение метода максимального правдопо­
добия позволяет получить оценки максимального отношения сиг­
нал/ шум на выходе оптимального приемника и по максимально­
му выигрышу. ~ (7.46) или по максимальному обобщенному вы­
игрышу ~1 (7.47) оценить потенциальную помехоустойчивость
различных м е тодов модуляции.
Контрольные вопросы
1. Для чего 11рименяют ортогональное разложение пол е зных сигналов при рас­
смотрении задач обработки непрерывных сигналов?
2. Как методом максимального правдоподобия получают точечную оценку одно­
го параметра полезного сигнала?
3. Как используют метод максимального правдоподобия для оптимального вос­
становления сигнала из аддитивного шума?
4. Как определяют дисперсии коэффициентов ортогонального разложения по ­
лезного сигнала?
5. Каким соотношением определяется мощность шумов и спектральная плотность
сигнала на выходе оптимального приемника?
6. Как определяют выигрыш и обобщенный выигрыш непрерывных систем связи?
7. Как отношение сигнал/шум на выходе приемника связано с пик - фактором
полезного сигнала, полосой спектра полезного сигнала и спектральной плот­
ностью шумов?
8 . Почему отношение сигнал/шум на выходе приемника можно использовать для
оценки потенциальной помехоустойчивости непрерывных систем связи?
7..4. ПОТЕНЦИА Л ЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОВ МОДУЛЯЦИИ
Основным соотношением для определения потенциальной помехо­
устойчивости методов модуляции является выраж:ение (7.51), в ко­
тором величина ([дs (л., t)/д-ik]") полностью определяется характером
оператора модуляции М. Оператор 'Р в приближенных оценках
обычно не учитывают . В соответствии с классификацией К:отель­
никова различают прял1ые и непрямые методы модуляции. Пря­
мыми методами аналоговой . модуляции являются амплитудная
(АiМ), однополосная (ОМ) и фазовая модуляция ( ФМ). В этих
методах модуляции полезный сигнал без всяких преобразований
входит в аналитическое выражение s [и (t), t]. К: непрямому ме­
т оду относится ча·стотная модуляция (ЧМ), при которой полезный
сигнал входит под знаком интеграла в выражение для s [ и (t), t],
поэтому ее часто называют интегральным методом модуляции.
Помимо этого, целесообразно различать линейные и нелиней­
ные методы модуляции - по характеру преобразования u(t)
в s [ и С[), t] с помощью оператора М. По этому признаку однопо-
204

лосная модуляция является линейным в идом , а частотная и фа­
зовая - нелинеиными. В последних модулированный сигнал
s [ и (i), t] получают путем нелинейного (тригонометрического) пре­
образования полезного сигнала и (t).
Задача определения потенциальной помехоустойчивости различ­
ных методов модуляции сводится к определению значения ([дs (л,
t)/д.л,k] 2), вычислению отношения (7.51), оценке выигрыша (7.46) и
обобщенного выигрыша (7.4 7). Определим потенциальную помехо­
устойчивость двух методов модуляции: А'М и ЧМ. Изучим осо­
бенности определения потенциальной помехоустойчивости для пря­
мого (АМ) и непрямого (ЧМ) методов модуляции, для линейного
(ОМ) и нелинейного (Ч!М). Исследование потенциальной помехо­
устойчивости других методов модуляции выполняют аналогично,
по такому же алгоритму.
7.4 .1. Потенциальная помехоустойчивость прямых методов моду­
ляции. Для прямых методов модуляции
f[ дs(л,, t) ] 2)=/{ дs[и(t), t] ди }2)=/{ дs [и(t), t] (t)}2)·
\
дл.k
\
даdЛ.k\ди
(f)k
(7.52)
Так как спектр функции (дs /ди) 2 обычно лежит в области зна­
чительно более высоких частот, чем спектр поле зного сигнала
и (t) (выше частоты гармонического колебания •q>k (t)), то в силу
ортогональ ности функций с неперекрывающимися спектрами сред­
нее значение их произведения равно произведению средних зна­
чений. Следовательно,
\ { дs[иj2• t] }2) (<р\(t)) = \{дs[ид~~),t] }2),
(7.53)
где в силу ортонормированности функций q>k(t) значение((f\(t))=
=1.
Функция (7.53) от частоты не зависит, поэтому спектральная
плотность шума на выходе оптимального приемника равномерна и
определяется соотношением
(7 .54)
Эффективность прямых методов модуляции найдем, используя
(7.51), (7.46), (7.4 7) :
ЛF, <{дs [и (t), t]/du} 2 )
~=
дрп2:у,
'
1
_
< {дs [и (t), t]/ди} 2>
~, --
.
п2.:1,
,
1
(7.55)
где [JJ1 - мощность модулированного сигнала.
Рассмотрим оценку потенциальной помехоустойчивости АМ.
В этом случае s[u(t), t]=a[l+mu(t)] cos (юt+<р). Производная
дs[u(t), t] /ди=аm ·соs (юt+<р),
205

среднее значение квадрата этой производной
(а2т2 cos2 (mt +'f))==a ' n// 2.
Средняя мощность модулированного сигнала
SV 1 =({s[u(t), t]} 2)=a; [l+т2 (u2 (t))]= а; (1+ ;: )·
Так как при АМ ЛF1=2ЛF, то
Лf1
т2
2т2
,п2
Vлм=дrт2+п2 т2+n2 ; !J1лм= · т"+п2.
•
(7.56)
Из (7.56) сле дует, что fJлм и fJ1лм определяются только коэффи­
циентом модуляции и пик-фактором. Значения коэффициентов
эффективности меньше единицы, так как П> 1, m< 1. Например,
для речевого сигнала П=З , m=0,8 и fJлм=О,068, I; 1 лм=0,034.
Следовательно, при А:М необх'одимо говорить не о выигрыше
в отношении сигнал/шум, а о проигрыше. Праигрыш обусловлен
тем, что для передачи используется только часть мощности моду­
лированного сигнала. Аналогичные расчеты для ОМ и амплитуд­
но-импульсной модуляции (АИМ) дают
Vом=Vюм=l, Vлим=v1--::-:I(г.F, V1лим=l,
где -r- длительность импульсов.
Интересно отметить, что из-за линейной зависимости между
модулированным сигналом s [ и (.t), t] и полезным сигналом и (t)
для АМ и ОМ полученные соотношения справедливы как при сла­
бых, так и при сильных поме хах. Для нелинейных методов мо­
дуляции этот вывод несправедлив.
7.4 .2. Потенциальная помехоустойчивость непрямых методов мо­
дуляции. Для определенности рассмотрим интегральную модуля­
цию. В этом случае s[v(t), t]_:s{[j'и:(t)dt], t}. Следовательно,
п
v(t)=д lk5'fk(t)dt.
k=I
(7.57)
Среднее значение
([дv (t)/дlk] 2 ) = ([5 'fk (t) dt]) = 1/ю\,
так как <pk (t) - гармонические функции с частотой ffik (7.30) и
s'fk (t) dt = {- (V~Фk) cos ю,.f,
(V2/Фk) sinrokt ,
Математическое ожидание
({ дs[;~? t] } 2)=({ дs[vд~), t] }2)((1;k)2)=
=-1-/{дs[v(t), t] \2)
ro2k
\
дv
j'
где второй сомножитель от частоты не- зависит.
206

Спектральная плотность шума на выходе оптимального прие.м­
ниrса при интегральной модуляции
(.
(2т.f)2 Q,
Q f) = ({дs [v (t), t]/дv}2) '
(7.58)
т. е. является параболической функцией частоты. Это важный вы­
вод потому, что при многоступепчатых л.~етодах .модуляции, на­
пример при двухступенчатой модуляции типа ЧМ-ОМ, второй
детектор п риемника работает в режиме выделения полезного сиг­
нала из аддитивного шума со спектром (7.58). Помеха уже не
является белым шумом и все полученные соотношения требуют
уточнения.
Выигрыш и обобщенный выигрыш при интегральной моdуля­
ции и оптимальном приеме в соответствии с (7.46), (7.4 7)
ЗЛF1 t дv
(Jдs[v(t),t]}2)
~----,п=с-2.7-,-1 -,-,(2,-п.,..,)2,-д,-;р=,--- ' (7. 59)
дF1({дs[vд~), t] }2)
!) = ------,-д-=F_ _ _ _
п2.5,t (2п)2 Jf2 df
о
1, = 3 (.1 дs [v(t), tJ \2)/п25> (21t)2др
+'1
tдУJ
l
•
•
(7.60)
Рассмотрим оценку потенциалы-юй помехоустойчивости ЧМ.
В этом случае модулированный сигнал s [v (t), t] =а cos [ wt +
+Лwv (t) + ер], где Лw=2пЛf - девиа ция частоты; v (t) = j и (t) dt.
Тогда
({дs [v (t), tJ/дv} 2)=a2дu//2.
Следовательно, выигрыш ЧМ
!Jчм = Здf2дрl;п2дрз =3~2чмдF1/п2др,
!J1чм = З~\м/П2,
(7.61)
(7.62)
где ~чм - индекс ЧМ. Из (7.62) следует вывод о том, что высокая
потенциальная помехоустойчивость ЧМ (!Jчм :::>,> 1) обеспечивается
при фиксированном П благодаря частотной избыточности, так как
v1~= дF1/дF ► 1 и ~"чм ► 1. Ширина спектра ЧМ колебания дF1 -::::
·~2дF~чм
Для сравнения укажем выигрыщ ФМ и ФИМ
Лf1 Р2ФМ
!)ФМ=дР-W-'
~2ФМ
Лf2 1
!)JФМ =~= 4П2ЛF2
О,6'1 3 1
!)ФИМ~.~, .
v\
~ О,бv\
4П2 ' !)JФИМ=:П"'
(7.63)
(7.64)
где ~ФМ = дrр - индекс фазовой модуляции. Так же как и при ЧМ,
выигрыш ФМ обусловлен частотной и.збыточностью.
207

Следует отметить, что расширение спектра •модулирован н ы х
сигналов имеет и отрицательные последствия . При селективных
замираниях (см. § 4.1) имеют место частотные искажения моду­
лированных сигналов, что приводит к значительному снижению
реальной помехоустойчивости по сравнению с потенциальной . По­
этому для непрерывных каналов с селективными замираниями
предпочтение отдают не ЧМ и ФIМ, а ОМ.
При сильных помехах (слабых сигналах) полученные для ин­
тегральной модуляции отношения несправедливы. Вызвано это
тем, что, во-первых, условие (7.37) не выполняется, а во-вторых,
имеет место пороговый эффект из-за нелинейности преобразова­
ния u(,t) в s[u(t), t].
Контрольные вопросы
1. Какое соотношение является основным для определения потенциальной поме­
хоустойчивости непрерывных систем?
2. Как классифицируют методы модуляции?
3. Каков алгоритм определения потенциальной помехоустойчивости передачи не­
прерывных сигналов?
4. Как определяется потенциальная помехоустойчивость прямых методов моду­
ляции?
5. Как определяется потенциальная помехоустойчивость АМ?
6. Как определяется потенциальная помехоустойчивость непрямых методов мо­
дуляции?
7. Как определяется потенциальная помехоустойчивость ЧМ?
8. Сравните помехоустойчивость АМ и ЧМ.
7..5 . ПО'РОIЮ 1ВЫЙ ЭФФЕЮ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ МОДУЛЯЦИИ
Пороговый эффект проявляется для всех нелинейных методов
модуляции в том, что, начиная с некоторого «порогового» отношения
силнал/шум ·на вх,оде приемнюrа, uютенциальшая помех,оустой~ч111вость
м·сщуляции резrю падает и ,ста,новится хуже :помехоу~с:тойч,ивости л,и ­
нейных видов . модуляции. Природа порогового эффекта обуслов­
лена тем, что из-за нелинейности обратного преобразования · «сме­
си» модулированного сигнала и шума в копию полезного сигнала
при больших сигналах на входе отношение (7.46) определяется
мощностью сигналов, а при больших помехах - мощностью помех .
При определенном значении h*1, которое называют пороговым,
возни ка ет точ к а перегиба на графике зависимости h2 от h 1 и h2.
у меньшается более резко по сравнению с линейными видами мо­
дуляции.
Рис. 7.3 иллюстрирует появление порогового эффекта при ФМ .
На рисунке приняты следующие обозначения: А (.t), Ф(t) - оги­
бающая и фаза модулированного сигнала, 1;1 (t) - огибающая ма­
лой помехи, sz (t) - огибающая большой помехи, ЛФ1 (t), ЛФ2 (t) -
приращение фазы модулированного сигнала под воздействием по ­
мех. Когда помеха мала, отношение ЛФ1 (t) /Ф (t) « 1 для всех мо ­
ментов времени. С ростом отношения сигнал /шум на входе растет
и отношение сигнал/шум на выходе. При большой помехе·
208

ЛФ2 (t) / Ф (t) » 1 для всех моментов времени, полезный сигнал «по-­
давлен» помехой и выделить его невозможно. Порог формируется:
при таком отношении
ЛФ(i) /Ф (t)=o,
(7.65)
при котором начинается уверенное (с большой вероятностью) вы­
деление полезного сигнала из шума.
Следует специально оговорить, что увеличение частотной избы­
точности (расширение полосы спектра ЧМ и ФIМ сигналов) не
приводит к невозможности рассмотрения модулированного сигна ­
ла как узкополосного процесса. Это обусловлено тем, что при лю ­
бых v 1 =ЛF1/ ,ЛF отношение ЛF1 /Fo,
где F 0- средняя частота модулиро­
ванного процесса, для практическn
13ажных случаев всегда намного
меньше единицы.
7.5.1. Оценка порогового значения
h* 1. Оценку «снизу» порога h* , по­
/IУЧают,
используя
выражение
(5.89) для идеальной модуляции
(идеальной системы)
[1 + (:fu1/PP2)J' -1 =!Jo (:fu1/:fu2),.
(7 .66)
Рис. 7.3 . Иллюстрация появленит
порогового эффекта
Если частотная избыточность отсутствует, что имеет место.для ОМ,
то ~o=l, v 1=1 и уравнение (7.66) вырождается в тождество. Это,
значит, что пороговый эффект отсутствует и (7.66) удовлетворяет­
ся при произвольных отношениях h,.
Если v 1 > 1 и ~о> 1, решение (7.66) существует. Пороговое зна-­
чение h*1 можно найти из решения приближенного уравнения
v 1 1og(l+li*1) =1og ,h* 1+Iog~o -
(7.67),
Рассмотрим ФМ с v1=50 и П=З (модуляция речевым сигналом) ~
тогда (7.67) имеет вид
50log (1 +h*1) =log h*1 + log (50 / 4. 32),
отсюда h*1=0,13.
В реальных системах пороговый эффект проявляется раньше .
Рассмотрим, как приближенно можно определить h* 1 для реаль­
ных систем. Если помеха является белым шумом, то ее огибаю­
щая, как показано в § 2.7, подчиняется распределению Релея
1f1 (H=(s/1a 2
)
ех:р (-s
2
/2а2 ),
где и2 =!У2 - мощность помехи на входе приемника. Пороговое зна­
чение амплитуды А* полезного сигнала найдем из условия уве­
ренного выделения сигнала из шума. Выберем вероятность того,
что помеха превысит сигнал, равный 10-3, тогда
А
Р (~<А)=\ f1(~) d~= 0,999.
(7.68),
о
Н-886

Вычислив интеграл (7. 78), получим
ехр( -
~:)=10-3, h*1= ~: ~7, N·= у ~ о. (7.69)
7.5.2. Связь h* 1 и ЛF, /3, Qo, Формулы (7.68) и (7.69) опреде­
ляют примерное значение порога для ЧМ и ФМ. Определим, как
пороговое значение мощности сигнала зависит от спектральной
плотности помехи, ширины спектра сигнала и индекса модуляции.
Если спектральная плотность помехи Q 0 постоянна, мощность шу­
ма на входе приемника P2=QoЛF 1 . Величина ЛF 1 зависит от ин­
декса модуляции и ширины спектра полезного сигнала при боль ­
ших индексах модуляции следующим образом:
(7.70)
Поэтому с учетом (7.69)
[J)*1=7fЛ= 14QoЛFf3.
(7.71)
Из соотношения (7.71) следует, что с ростом f3 растет и порого­
вое значение мощности сигнала . Пороговое значение индекса лю­
дуляцuu при заданном отношении сигнал/шум на входе приемника
/3* =f/J*1/ 14Е2оЛ.F =f/J*1/ 14f/J*2~h*1/ 14.
(7.72)
Следовательно, зная характеристики канала и мощность передат­
чика (отношение сигнал/шум на входе приемника), индексы мо­
дуляции необходимо выбирать из условия
f3< 1j3*.
(7.73)
На рис. 7.4 показаны графики, иллюстрирующие пороговый
эффект и условие (7.73). В качестве эталонной используется за ­
висимость h2(h1) для ОМ. Кривые для ЧМ построены при f32 <f3з<
< ,/34. Точки излома графиков соответствуют пороговым значениям
,h'''н и /3'\.
7.5.3. Снижение пороговой мощности сигнала. Для снижения по­
роговой мощности сигнала при заданной помехе применяют ряд
методов. Большинство из них основано на принципе «сжатия»
спектра сигнала в приемнике путем слежения за текущей шириной
-спектра модулированного сигнала. Текущая ширина спектра при­
мерно в f3 раз меньше Л<Р1. Это объясняется статистическими осо­
бенностями реальных полезных ·сигналов. Например, общая поло­
с а ЛF спектра речевого сигнала выбирается обычно равной
3400 Гц, однако в каждый момент времени присутствуют не все
составляющие спектра в пределах этой полосы, а только некото­
рые из них, они и участвуют в модуляции. Из-за этого реальная
-спектральная плотность модулированного сигнала «плавает» во
времени по полосе частот в пределах общей полосы модулирован­
ного сигнала. Слежение за текущей средней частотой узкополос­
ным приемником достигается путем введения обратной связи по
частоте или применением следящего фильтра промежуточной ча­
стоты.
210

Для иллюстрации особенностей аппаратурной реализации ме­
тодов снижения пороговой мощности передатчика или, что то же,
увеличения дальности связи при фиксированной мощности пере­
датчика, рассмотрим структурную схему приемника ЧМ сигналов
с обратной связью по частоте (рис. 7.5) [2]. Обратная связь обес­
печивает изменение частоты гетеродина Г , синхронное с измен е­
нием частоты принимаемого сигнала. Если коэффициент передачи
прямого тракта имеет величину :Jt, а коэффициент передачи цеп и
Рис. 7.4. Зависимость h2 от h1 при
ОМиЧМ
Рис. 7.5 . Фрагмент схемы приемника ЧМ
сигналов с обратной связью по частот е
обратной связи vo, то параметры ЧМ сигнала на выходе усилите­
ля промежуточной частоты ЛР12 и ~2 можно выразить чер ез пара­
метры входного сигнала ЛF 1 и ~1 следующим образо м:
.ЛP12=ЛP1/(l+:Jtvo), ~2=~1/(l+:Jtro).
(7.74)
Следовательно и полоса, и девиация сигнала на вы х оде УПЧ
в (l+:Jtyo) раз меньше, чем на входе приемника. Поэтому полосу
пропускания УПЧ можно соответственно уменьшить, мощность
шумов на входе детектора уп а дет, что согласно (7.71) влечет за
собой и уменьшение пороговой мощности сигнала. Так как
,ЛF1=2ЛF1~1,
то :ЛF12=2ЛF,~1/ (I+:Jt-vo).
(7.75 }
При
(7.76)
и в пределе порог помехоустойчивости может быть снижен в ~ 1
раз . Эксперименты показывают, что реально добиваются сниже­
ния порога на 5-9 дБ.
Контрольные вопросы
1. Как проявляется пороговый эффект?
2. Как приближенно оценить значение порога?
3. Как связано пороговое значение сигнала со спектральной плотностью поме хи,
шириной спектра полезного сигнала и индексом девиации?
-1. Как определить пороговое значение индекса девиации?
5. Какие методы применяют для снижения пороговой мощности сигнала?
6. Какой предельный выигрыш можно получить в приемнике со следящей обрат-
ной связью по частоте сигнала?
-
14*
211

7.6. ПОТЕНЦИА1ЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ МНО.ГОСТУПЕНЧА ТЫХ
МНОДОВ 'МОДУЛЯЦИИ
Во многих реальных системах связи (системы радиосвязи, мно­
i' Оканальные системы , телеметрические и др.) канальный сигнал
~бразуется в результате последовательного применения несколь­
·ких методов модуляции (многоступенчатая модуляция). Модули­
,рующим сигналом для каждой следующей ступени модуляции
является модулированный сигнал, полученный на предыдущей
,ступени . Практическое распространение получили системы с двух­
кратной модуляцией ОМ-АМ, ФМ-АМ, ЧМ-АМ, ОМ-ОМ, ЧМ-ОМ,
·ОМ-ФМ, ОМ-ЧМ, ЧМ-ЧМ, АИМ-АМ, ФИМ-АМ, ИК.М - АМ ,
ИКМ-ЧМ и др. В приведенном обозначении первым указан метод
модуляции на первой ступени.
Рассмотрим, какие особенности возникают при оценке потен­
циальной помехоустойчивости таких систем. Особенности обуслов­
лены в основном тем, является ли модуляция последней ступени
прямым или непрямым методом модуляции. Если на всех ступенях
применяют прямые виды модуляции, то потенциальная помехо­
устойчивость определяется просто - общий выигрыш является
.произведение3⁄4 выигрышей для каждой ступени:
/1,
t)=п 1);,
i=I
п
IJ1 = п IJ1i·
i=I
(7.77)
:Это вызвано тем, что при прямых методах модуляции при демо­
. дуляции шум на выходе . предыдущего демодулятора, который
·является помехой для следующей ступени демодуляции, по-преж­
нему является белым и полностью справедливы рассмотренные со­
, отношения . В роли пик-фактора в системах с многоступенчатой
.модуляцией при анализе последующей ступени модуляции необ­
ходимо использовать пик- фактор модулированного сигнала преды­
дущей ступени.
Если на какой - либо одной или нескольких ступенях применяет -
/ ся непрямой метод модуляции, то помеха на выходе демодулятора
_уже не будет белым шумом, так как ее спектр определяется соот­
ношением (7 .58). В этих случаях полученные ранее аналитические
·соотношения требуют уточнения. Задача определения потенциаль­
·ной помехоустойчивости при флуктуационной помехе с произволь­
ным спектром сводится к рассмотренной ранее задаче с белым
·шумом методом, предложенным В . А . Котельниковым. Сущность
этого метода заключается в том, что ко входу приемника подклю ­
·чают линейный четырехполюсник (выравниватель) с амплитудно­
· частотной характеристикой вида
(7.78)
тде :Jt0 - постоянная. Фазовая характеристика этого четырехпо­
люс ни ка может быть произвольной, так как на конечные резуль­
таты она влияния не оказывает . При прохождении через эт0т
:2 12

линейный четырехполюсник смеси сигнала и помехи каждая состав­
ляющая этой смеси преобразуется. Спектр помехи становится рав-
номерным со спектральной плотностью
•
(7.79)
Если теперь при оценке помехоустойчивости приемника в каче­
стве исходных данных использовать характеристики прошедшего
через четырехполюсник сигнала и помехи со спектром .Yt20, ре­
зультаты оценки потенциальной помехоустойчивости приемника
с таким выравнивающим четырехполюсником полностью совпадут
с результатами решения задачи с помехой, имеющей неравномер­
ный спектр. Поэтому выигрыш при помехе с нера1вномерным спек­
тром определяется по-прежнему полученными ранее соотношения­
ми; но в качестве сигналов рассматриваются сигналы, прошедшие
выравнивающий четырехполюсник (7.78), и помеха со спектраль­
ной плотностью (7.79) . Следовательно, для оценки потенциальной
помехоустойчивости систем с многоступенчатой модуляцией, в ко­
торых применяют непрямые методы модуляции, первоначально
решают задачу прохождения сигнала через соответствующие линей­
ные четырехполюсники (см. § 4.4), а затем уже используют полу­
ченные ранее соотношения и общую оценку выигрыша по форму­
лам (7.77).
Таблица 4
Система 1 Обобщенный выиrр ~rш 1 Система
Обобще.~.-1ный выигрыш
ОМ-АМ
т2/(т2 + п2)
ФИМ-АМ
О,бv2,/П2
ФМ-АМ
1112 + v21
ОМ-ФМ
v2, /4П2
4П2(1 + т2)
Зт2v21
m 2v2,Y2+°""i"n2
ЧМ -АМ
АМ-ФМ
8(П2+т•)(1+т)
4П2(1 + т2)
ОМ-ОМ
БМ-ФМ
v2,/8П2
ФМ-ОМ
v2, ; 4n2
АИМ-АМ
т2/ (П2 + т2)
ЧМ-ОМ
Зv2,/4П 2
ИКМ-АМ
3-2''
v, П22 ln (ЗОF 1)
Данные, характеризующие обобщенный выигрыш систем
с двой ной модуляцией [11, сведены в табл. 4. При расчете этой
таблицы учтено, что пик-фактор ФМ и ЧМ сигналов равен V2
как пик-фактор квазисинусоидального колебания, при АМ пик­
фактор модулированных сигналов
при ОМ
Пом=П,
(7.80)
(7.81)
213

при балансной модуляции (БМ)
ll5м=}12П .
(7 .82)
Сравни м потенциальную поме х оу стойчивость системы АМ-Ф М
и систе м ы ФМ-АМ при передаче р ечевых сигнаJюв. Исходные дан ­
ные сл едующие: m=0,8, v 1=50, 11=3.
Для системы АМ-ФМ получим
m2v2 У2+,;.
~. = S(II2_;m2)(1+т)
о,s2•so2V2+о,s2
-s -(-32_+ _0_,s-2 )-( -1 -+-o-,-S -) - ;-;с 18,7·
Для системы ФМ-АМ
Из сравнения ~3 и ~4 следует, что системы ФМ-АМ при передаче
речевых сигналов обеспечивают в 1,44 раза больший выигрыш,
чем системы АМ - ФМ. Нетрудно заметить, что это в основном обу­
словлено малым пик- фактором ФМ сигналов и лучшим исполь з о­
вание м мощности передатчика . Поэтому системы ФМ-АМ обла-.
дают более высокой потенциальной помехоустойчивостью, чем си­
стемы АМ-ФМ .
Следует отме тить , что порог помехоустойчивости в система х
с двойной мод уляцией будет наблюдаться по обеим модуляциям,
если они непрямые. Если один из методов прямой, то порог опре­
деляет непрямая модуляция. Например, в системе с модуляцией
ЧМ-АМ порог будет определяться ЧМ.
Ко н трольные вопросы
1. Что та к ое многоступенчатая модуляция?
2. В чем осо б енности оценки потенциальной помехоустойчивости систем с мно­
гост у пенч а той модуляцией?
3. Как оценивают общий выигрыш для систем с прямыми методами многосту-
пенчат ой модуляции?
'
4. Как определяют пик-фактор сигналов в системах с многоступенчат о й м о д у­
ляцией?
5. Как поступают при оценке · выигрыша для систем с непрямыми методами мно­
гоступенчатой модуляции?
6. Сравните потенциальную помехоустойчивость любых двух систем с двойной
модуляцией.
7.7 . ПОТЕНЦУ1АЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИIВОСТЬ ЦИФРОВЫХ МЕТОДОВ
МОДУЛЯЦИИ
Для определенности анализ потенциальной помехоустойчивости
выполним для систем с двойной модуляцией типа ИКМ-АМ. Для
других случаев применения ИКМ, а также для систем с дельта­
модуляцией оценку потенциальной помехоустойчивости производят
аналогично.
В таблице 4 дан конечный результат оценки обобщенного вы­
игрыша систем ИКМ-АМ. Покажем, как это выражение получено .
214

Определим через характеристики модуляции сигнала отношение
сигнал /шум на выходе приемника, потом отношение сигнал /шум
на входе и затем обобщенный выигрыш .
-
Если полезный сигнал и (t) нормирован, то все значения его
амплитуд лежат в интервале [-1, l] . Поэтому произведен ие ин­
тервала квантования на число интервалов квантования равно
двум:
(7.83)
При примитивном кодировании N=mn. В дальнейшем будем рас­
сматривать бинарные коды как получившие наибольшее практи ­
ческое применение, следовательно, N=2п. Выразим интервал
квантования через параметры кода, тогда
(7.84)
Величина Ли полностью определяет мощность шумов квантова­
ния (3.32), а мощность шумов f!l 2 на выходе приемника при боль­
ших отношениях сигнал/шум на входе по существу является мощ­
ностью квантования, поэтому в соответствии с (3.32)
f!12=Ли2 /3 •4= 1/3·22
-2 2(n-l)=l /3 -2 2n.
(7.85)
С учетом (7.50) отношение сигнал/шум на выходе приемника
h2=f!l1 /f!l2= 1/П2f!12=3 - 22п /П2.
(7.86)
Теперь определим отношение ,h,1 при ИКМ - АМ. В системе ИКМ '
квантованные значения следуют с частотой дискретизации 2F,
каждое квантованное значение при примитивном кодиров ани и пе­
редается одной кодовой комбинацией длиной п. Поэтому в такой
системе за одну минуту передается 2 •60 Fn кодовых импульсов.
Предположим, что в передаче информации участвуют l ретрансля­
ционных участков и на каждом участке вероятность ошибки при
передаче одного кодового импульса равна р 0 , тогда за минуту
в среднем будет 120p0lFn ошибочно принимаемых импульсов
(ошибок). Обычно при передаче речи допускают одну ошибку
в минуту (это значит, что будет , слышен один щелчок в минуту),
посэтому
Ро=1 / 120Fnl.
Допустим, что система ИКМ должна обеспечивать
устойчивость не хуже помехоустойчивости оптимального
рентного приемника, тогда в соответствии с (6.85)
о 5 -h,/2
Ро=Р22= , е
.
П р иравняв правые части (7.87) и (7.88), получим
h1=2 In (60Fnl) .
(7.87)
помехо­
некоге-
(7.88)
(7.89)
Использовав (7.47), (7.96) и (7 .99), найдем обобщенный выиг­
рыш для системы ИКМ-АМ
Ъ 1 =3-22n/v 1 П22ln (60Fnl).
(7.90)
215

Обозначим длительность одного кодового импульса через т,
тогда максимальное число символов в одной кодовой комбинации
п*=Лt/т,
(7.91)
где :лt- интервал дискретизации. Для передачи радиоимпульсов
длительностью т требуется, как известно, полоса ЛF 1 =-2а/.:, где
а - параметр, определяющий допустимые искажения формы им­
пульсов . В отличие от систем АИМ, ФИМ и ШИМ, где в приемни ­
ке необходимо достаточно точно определять амплитуду, положе­
ние или длительность импульса, в системах ИКМ необходимо
лишь зафиксировать, есть или нет импульса на входе приемника .
Поэтому к форме импульса строгих требований не предъявляется
(это одно из основных преимуществ ИКМ) и параметр а выби­
рают равным 0,5. Тогда
~ 1=1 /;;.
(7.92)
Учтя, что Лt= l/2, n=ЛF 1 /2F=v 1 /2, получим окончательное выра­
жение для обобщенного выигрыша систем ИКМ-АМ
1), = 2v1П2 ln (ЗОЛF,)
2v,П2 ln (ЗOv,F) '
(7.93)
где l принято равным единице.
Анализ выражений (7.90) и (7.93) • позволяет сделать следую­
щие основные выводы. С ростом коэффициента частотной избы­
точности выигрыш систем ИКМ-АМ экспоненциально возрастает,
поэтому такие системы близки к идеальной (см. (5.89), (7.66) ) -
При заданной полосе спектра полезного сигнала и, следовательно,
фиксированном значении интервала дискретизации с ростом длины
кодовой комбинации п сокращается длительность одного кодового
импульса и расширяется полоса ЛF 1 канальных сигналов. Следо­
вательно, увеличение числа N уровней квантования, с одной сто­
роны, приводит к расширению спектра модулированных сигналов ,.
а с другой - к уменьшению мощности помех на выходе прнемни­
ка. Поэтому системы ИКМ-АМ также «обменивают» мощность на
абонируемую полосу- за счет расширения полосы канальных сиг­
налов можно уменьшить их мощность и, следовательно, обеспечить
тот же выигрьrш при меньших отношениях сигнал/шум на входе при­
емника. В отличие от систем с двойной модуляцией, где одной из
ступеней является ФМ и ЧМ, которые тоже используют частотную
избыточность модулированных сигналов, в системах ИКМ-АМ
выигрыш возрастает не по параболическому закону, а по экспо­
ненциальному. Следовательно, системы ИКМ-АМ лучше др угих
осуществляют обмен мощности на полосу и намного эффективнее­
используют частотную избыточность. С увеличением числа уров­
ней квантования N выигрыш систем ИКМ-АМ быстро растет. Уве­
личение основания кода приводит к сокращению полосы каналь­
ных сигналов, но для обеспечения одной и той же помехоустой ­
чивости требует увеличения их мощности.
216

Сравним потенциальную помехоустойчивость систем ИКМ-АМ,
АМ-ФМ и ФМ-АМ при передаче речевых сигналов. Возьмем
исходные данные примера, приведенного в § 7.6. Выберем такое
v 1, чтоб ы помехоустойчивость системы ИКМ -АМ была не хуже
помехоустойчивости системы ФМ-АМ. Тогда в соответствии с (7.73)
и результатом решения указанного примера получим
~s = 3 •2'1/2v1 • 32 ln (ЗОЛf,)-::-' 27.
Предположив, что f ,=3400 Гц, получим, что v*,=15,2. Так как
n=v'~', /2, то, округлив полученное значение v* 1 до ближайшего
целого, получим v 1=]v* 1 [=16, где] · [-операция взятия больше­
го целого. Следовательно, бинарный восьмипозиционный код обес­
печ и вает помехоустойчивость лучшую, чем у системы ФМ-АМ .
В то же время, как нетрудно заметить, полоса канальных сигна­
лов уменьшается в 3,12 раза. Отсюда следует, что система
ИКМ-АМ с числом уровней квантования N=28=254 является бо­
лее помехоустойчивой и более узкополосной, чем системы ФМ-АМ
и АМ-ФМ.
•
Как и для других методов нелинейной модуляции, для ИКМ
наблюдается пороговый эффект. Его нетрудно определить из
условия
(7 .94)
Для телефонных систем ИКМ-ЧМ >Лf 1 =v1f= 14-3400=47,6 кГц
и при l=l
(7.95)
Это соответствует выигрышу ~= 14, что намного больше выигры­
ша других систем при пороговых з начениях мощности входных
сигналов. Порог в системах ИКМ обусловлен тем, что при высо ­
кой интенсивности помех выбросы помех начинают восприниматься
приемником как полезные импульсы. При определенных значе­
ниях спектральной плотности помехи начинает резко расти вероят­
ность появления ошибок при декодировании . При декодировании
сказываются и отклонения характеристики фильтра нижних ча­
стот приемника от идеальной, что также увеличивает порог, но
это явление проявляется незначительно.
При входных отношениях сигнал/шум, превышающих порог,
пропускная способность систем ИКМ с учетом формулы (5.79)
имее т вид
С=ЛF, log (1 +h,) = v,F log (1 +h,) =F log (1 +h,)'1
•
(7.96)
Формула (7.96) дает оценку пропускной способности «снизу»,
так как шум квантования имеет равномерное, а не нормалы-iое
р а с п ределение. Из (7.96) следует, что для увеличения пропускной
способности систем ИКМ также целесообразно не увеличивать
мощность сигналов, а расширять полосу канальных сигналов -
пропускная способность экспоненциально возрастает с ростом ко­
эффициента частотной избыточности.
217

Таким образом, системы с цифровыми методами передачи сиг­
налов обеспечивают при прочих равных условиях наибольшие
потенциальную помехоустойчивость и пропускную способность.
«Платой» за обеспечение высоких помехоустойчивости и пропуск­
ной способности является усложнение технической реализации си­
стем связи. Развитие микроэлектроники и вычислительной техники
показывает, что этот недостаток играет все меньшую poJiь.
Контрольные вопросы
1. Как интервал квантования связан с параметрами кода при ИКМ?
2. Как определяют мощность шумов на выходе приемника ИКМ сигналов?
3. Чему равно отношение сигнал/шум на выходе приемника ИКМ сигналов?
4. Как определяют вероятность ошибки для систем ИКМ?
5. Как определить отношение сигнал/шум на входе приемника ИКМ сигналов?
6. Чему равен обобщщшый выигрыш для системы ИКМ-АМ?
7. Как определить обобщенный выигрыш для системы ИКМ-АМ, зная коэффи­
циент частотной избыточности, пик-ф актор и полосу частот полезного сиг­
нала?
8. Как сравнить потенциальную помехоустойчивость систем ИКМ-АМ и других
систем с двойной модуляцией?
9. Как определить порог для системы ИКМ-АМ, ИКМ-ЧМ?
10 . Как определить пропускную способность систем ИКМ-АМ?
7.8. выводы
1. П1:,инципиыrьно новыми особенностями определения потен­
циальнои помехоустойчивости передачи непрерывных сигналов
являютс я .следующие: форма и параметры передаваемых полезных
сигналов обычно неизвестны; оценка помехоустойчивости зависит
от выбора метрики пространства сигналов и от того, какое рас­
стояние между переданным и принятым сигналами считается ма­
;1ым; основными преобразованиями при передаче непрерывных
сигналов являются модуляция и демодуляция, поэтому по суще~
ству оценивают помехоустойчивость методов модуляции; как и
при передаче дискретных сигналов, наиболее изучены задачи опти­
мального приема сигналов; основной операцией при приеме сигна­
лов является фильтрация.
2. Сущность фильтрации заключается в том, что характеристи­
ки переданного сигнала оценивают по результатам линейного или
нелинейного преобразования принятого сигнала. Различают ли­
нейную и нелинейную фильтрацию. При линейной фильтрации ис­
пользуют оптимальный линейный фильтр, который наилучшим
образом (в среднеквадратическом смысле) выделяет модулиро­
ванный сигнал из принятого, при нелинейной - автоматическую
нелинейную следящую за информационным параметром систему,
которая в реальном масштабе времени решает нелинейное диффе­
ренциальное уравнение фильтрации и на выходе которой получа­
ют оценку по лезного сигнала. Разновидностью нелинейной филь­
трации служит цифровая фильтрация, когда уравнения фильтра­
ции решают ЦВМ. Важное достоинство цифровой фильтрации -
зависимость всех характеристик фильтра только от одного пара-
21

метра - интервала дискретизации. При решении задач фильтра­
ции предполагают, что статистические характеристики модулиро ­
нанного сигнала и помехи известны.
3. Результаты анализа оптимального приема непрерывных сиг­
налов по критерию максимш1ьного правдоподобия позволяют пол­
ностью оценить потенциальную помехоустойчивость непрерывных
систем связи. Оценка производится по обобщенному выигрышу
(7.47) - частному от деления отношения сигнал/шум на выходе
приемника к отношению сигнал/шум на его входе. Частное норми­
ровано по коэффициенту частотной избыточности v1=•ЛF 1 /ЛF моду­
лированного сигнала по отношению к модулирующему. Основным
результатом применения метода максимального правдоподобия
являются соотношения (7.45), (7.47), позволяющие определить
отношение сигнал /шум на выходе . приемника и обобщенный
выигрыш. Эти соотношения играют фундаментальную роль при
оценке потенциальной помехоустойчивости различных методов мо­
дуляции.
4. Определение и анализ потенциальной помехоустойчивости
различных методов модуляции сводится к определению и 1 ~равне­
нию обобщенных выигрышей. Принципиальным отличием непря­
мых и нелинейных видов модуляции является то, что спектраль­
ная плотность шума на выходе демодулятора приемника не по­
стоянна, а параболически зависит от частоты.
5. Пороговый эффект проявляется для всех нелинейных мето­
дов модуляции в том, что при некоторых («пороговых») отноше­
ниях сигнал/шум на входе приемника потенциальная помехо­
устойчивость резко падает и становится хуже помехоустойчипости
однополосной модуляции, единственного линейного вида модуля ­
ции, не имеющего порога. Из-за нелинейности преобразования
принятых сигналов в полезный сигнал при болыших уровнях сиг­
нала отношение сигнал /шум определяется мощностью сигналов,
а при малых - мощностью помех. При некотором «пороговом»
отношении сигнал/шум появляется точка перегиба на графи ке за­
висимости обобщенного выигрыша от отношения сигнал / шум на
входе приемника и при уменьшении этого отношения скорость па­
дения выигрыша резко возрастает . ДJlЯ уменьшения порога при­
меняют «сжатие» полосы пропускания приемника путем слежения
за текущей шириной спектра модулированного сигнала. Уменьше ­
ние полосы приемника приводит к снижению мощности помехи на
входе демодулятора, что эквивалентно относительному увеличе­
нию мощности сигнала и снижению порога.
6. Для анализ· а потенциальной помехоустойчивости систем
с многоступенчатой модуляцией используют соотношени е (7.47)
для обобщенного выигрыша при однократной модуляции. Общий
выигрыш определяют как произведение выигрышей для отдельных
методов, входящих в многоступенчатую модуляцию. В тех слу­
чаях, когда в многоступенчатой модуляции используют непрямые
методы модуляции, формулы (7.45), (7.47), (7.77) требуют уточ­
нения. Сущность уточнения заключается в том, что задачу оценки
219

выигрыша при помехе с неравномерным спектром с помощью .ме­
тода выравнивающего четырехполюсника сводят к задаче с б елым,
шумом . В формулах применяют характеристики, полученные в ре­
зультате использования этого метода. Важная особенность оценки
потенциальной помехоустойчивости многоступенчатых методо в мо ­
дуляции заключается в том, что при анализе последующей ст упени
модуляции необходимо использовать пик-фактор модулирова н ного.
сигнала предыдущей ступени.
7. Потенциальную помехоустойчивость цифровых методов мо­
дуляции оценивают с помощью формулы (7.47). Отн о шени е сиг­
нал /шум на выходе приемника выражают через пик-фактор п о лез­
ного сигнала и мощность шумов · квантования (7 .86) . Отношение
сигнал/шум на входе приемника находят из условия обеспечения
помехоустойчивости, равной помехоустойчивости оптимального,
некогерентного приемника, и выражают это отношение (7.89) че ­
рез полосу спектра полезного сигнала, длину кодовой комбинации
и число ретрансляционных пунктов. Обобщенный выигрыш си­
стемы ИКМ - АМ оценивают по формуле (7.93). Анализ потен­
циальной помехоустойчивости цифровых методов модуляции пока­
зывает, что выигрыш обеспечивается благодаря частотной из бы­
точности канального сигнала. Из всех систем с многоступенчатой
модуляцией системы цифровой передачи обладают самыми вы­
сокими помехоустойчивостью и пропускной способностью. Выигрыш
и пропускная способность этих систем растут экспоненциа .1ыю,
с увеличением коэффициента частотной избыточности, поэтом у они
больше всего приближаются к идеальной системе. Высокое I< аче­
ство этих систем достигается ценой усложнения аппаратуры .

Глава 8
КОРРЕКТИРУЮЩЕЕ КОДИРОВАНИЕ
8.1 . ОСОБЕННОСТИ ПР!ИМЕНЕНИЯ КОР'РЕКТИРУЮЩЕГО КОДИРОВАНИЯ
При корректирующем кодировании для повышения верности·
передачи информации воздействуют как на способ передачи, так
и на способ приема. Применяют его в тех случаях, когда возмож­
ности других способов повышения верности исчерпаны : Это обу­
словлено усложнением систем связи при введении корректирую­
щих устройств, ростом материальных затрат, а в ряде случаев и
снижением надежности аппаратуры. Развитие корректирующего ,
кодирования в значительной мере связано с внедрением автомати­
ческих и автоматизированных систем обработки информации, по­
строенных на ЦВМ. Эти системы обычно являются важной,
составной частью иерархических систем более высокого ранга, та­
ких, как автоматизированные системы управления воздушным дви­
жением, системы бронирования и продажи билетов, систеиьг
управления пр едприятиями и технологическими процессами. Для
нормальной работы автоматизированных систем управления необ- ­
ходим обмен цифровой :информацией между различными ЦВМ по ,
телефонным и телеграфным каналам (передача данных). Допу­
стимая вероятность ошибки при передаче одного бита' информации ­
в современных автоматизированных системах не должна превы­
шать 10-6
-
10-9 , что на 3-4 порядка меньше той, которая наблю­
дается в реальных каналах связи. Корректирующее кодирование ­
направлено на согласование высоких требований к верности пере­
дачи данных и низкого качества реальных каналов, плохо приспо­
собленных для передачи данных . Применению кодирования благо­
приятствует то, что большинство алгоритмов кодирования и де- ­
кодирования может быть реализовано не аппаратурным, а про­
граммным способом в ЦВМ.
Возможности эффективного использования реальных каналов,.
далеко не исчерпаны. При отношениях сигнал/шум 20-30 дБ, ко­
торые имеют место в каналах, теоретическая пропускная способ­
ность каналов при сколь угодно малой вероятности ошибок может­
составлять 6-1 О бит/ с на 1 Гц полосы канала. Следовательно, _
теоретическая пропускная способность телеграфного канала со­
ставляет примерно 900- 1200 бит/с, телефонного- 20--
30 тыс. бит/ с, телевизионного - 30 - 50 млн. бит/ с. Существующие­
системы позволяют получить скорость передачи информации всего,
221

лишь 1-2 бит /с на 1 Гц полосы канала, вероятность ошибки при
передаче одного бита lQ<- 4
-10-5 и выше, если не используется
корректирующее кодирование .
Для корректирования ошибок можно применять те же способы,
что и для повышения скорости передачи информации. Все они на ­
правлены на увеличение объема сигнала и приближение его
к объему канала. Если объем сигнала равен объему канала, то
корректирования ошибок можно добиться только путем уменьше ­
ния скорости передачи иf-iформации, так как часть объема сигналов
должна быть использована для корректирования. Корректирующее
кодирование использует по существу все виды избыточности сиг­
налов - временную, частотную и энергетическую. Если длина ко ­
довой комбинации не фиксирована (скорость передачи информа­
ции не фиксирована), то для корректирования ошибок используют
временную избыточность - кроме информационных сuл1,волов, до­
полнительно вводят еще ряд символов, называемых провероч­
НЫ/vtu, с помощью которых обнаруживают и исправляют ошибки.
Эту способность кодов обнаруживать и исправJiять ошибки назы­
вают корректирующей способностыо.
Если скорость передачи информации фиксирована, ввести про­
верочные символы в rшдовую rшмбинацию бинарного кода можно,
лишь уменьшая длительность элементарных сигналов, что ведет
k расширению их спектра. Следовательно, в этом случае rюррек­
тирующее кодирование использует частотную избыточность. Чтобы
отношение сигнал/шум с уменьшением длительности импульсов
не падало, необходимо увеличивать амплитуду импульсов. Увели­
чивая амплитуду укороченного импу.r~ьса, можно настолько уве­
личить его энергию , что вероятность ошибки при его приеме
уменьшится по сравнению с вероятностью при приеме импульса
неукороченной длительности. Так вводится энергетическая избы­
точность (корректирующая способность кода улучшается в резуль ­
тате повышения энергии импульсов).
Корректирующая способность кода определяется минимальным
кодовым расстоянием d 0 между разрешенными кодовыми комби­
нациями (см. § 1.6). Максимальную кратность q00 обнаруживае­
мых ошибок определяют из следующих соображений. Если рас­
стояние, измеренное между принятой комбинацией и какой-либо
разрешенной, оказывается меньше d 0 , это позволяет рассматри­
вать принятую комбинацию как запрещенную, т. е. обнаружить
ошибку. Ближайшее целое число, меньшее d0 , есть d0 -1 . Поэтому
кратность обнаруживаемых ошибок изменяется от 1 до d 0-i,
максимальная кратность
(8.1)
При исправлении ошибок по критерию максимума правдоподобия
принимаемая комбинация отождествляется с той разрешенной,
к которой она находится ближе всего. Неправильное декодирова­
ние происходит тогда, когда кодовое расстояние от принимаемой
комбинации до переданной оказывается больше, чем до какой - либо
222

другой разрешенной. Это может случиться тогда, когда сочетание
о ш ибок изменит более половины позиций, в которых переданная
'
комбинация отличается от какой-либо другой разрешенной. Поэто­
му код с расстоянием d0 исправляет все сочетания ошибок крат­
ности q1 <do / 2.
Максимальная кратность полностью исправимых ошибок
_
{(d0-
1) /2,
qll -
d./2- 1,
если d 0 Fечетно,
если d0 четно.
(8.2 )
Для обнаружения q0 ошибок и исправления q 1 ошибок должно вы­
полняться неравенство
(8.3)
Увеличение d0 приводит к росту избыточности кода
(8.4)
где r - число проверочных символов, предна значенных для обна­
ружения и исправления ошибок. Наибольшей избыточностью обла­
дают коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки. Для них
основными характеристиками являются вероятность появления
ошибок на выходе декодера, минимальная избыточность, опреде­
ляемая величиной ,d0 , эффективность кодирования (см. § 8.4).
Тип r<анала
Кабельный телефонный
выделенный
То же
"
"
Кабельный телефонный
коммутируемый (ГАТС)
Ради?релейный телефон-
ныи
То же
Тропосферный телефон-
ный
оже
т
радиотелеграфный КВ
То же
..
Вид
модуляции
ОФМ
ОФМ
ОФМ
ЧМ
ОФМ
ЧМ
ОФМ
ЧМ
ЧМ
ЧМ
ЧМ
С1<0рость
Число nepenp;ae,юs
теле графи-
рования,
по НЧ или ,ющ-
Бод
ностъ передатчш,а
1200
1
1200
5
1200
5
1200
две ГАТС1)
1200
3
1200
3
1200
-
1200
-
150
20 кВт
50
5 кВт
150
1 кВт
1 ) ГА ТС-городсJ<ая а~томатическая телефонная станция.
Таблица 5
р·'о
а;<·
2,82- 10-4
0,770
1,29- 10- 4
0,510
5,20- 10- 4
0,710
2,00- 10-з 0,34(}
2,66-10- 4
0,606
7,03- 10-4
0,545
7,3-10 - 4
0,439
7,05- 10- 4
0,449
2;85- 10- 4
0,373
5, 85- 1о- 3 0,320
1,64-10-2
0,550·
Если ошибки независимы, то вероятность появления ошибок
на выходе декодерц определяют как вероятность того, что не бу-
223

-дут исправлены ошибки кратности q1 1+ 1 и более (см. п. 4.3.4):
п
Qo(qн+1,п)= ~ СqпР\(1 - р0)п-q.
(8.5)
q=q11+1
В реальных каналах имеет место группирование ошибок, по­
этому для них оценка этой вероятности [10]
Q,(q11+1,п)-::-. (п/q11+1)1-"'р0,
(8.6}
тде ,а* - показатель группирования ошибок в канале, который оце­
,нивают экспериментально.
В таблице 5 показаны вероятности ошибок и показатели груп­
iПИрования для основных видов реальных каналов [ 1О].
10-L - -... 1. ..-- ... ..L --1L. ..u .. .J-' --i ...J. ---.. &.. .--'..... ..... _. __~ ~
1
2
4 о810 20 40оо80100 1/11
Рис. 8.1. Зависимость вероятностей некорректируемых ошибок от q 11
Формула (8.6) справедлива при (q11 +1) /n<O,3, что обычно
, соблюдается. Для сравнения данных, получаемых по формулам
(8.5), (8.6), на рис. 8.1 [10] показаны зависимости ,Qo(q11) (штри­
_ховые линии) и Q1 (qll) при различных п для радиотелеграфного
канала с параметрами Po=l,37-10- 2, ,а,*=0,449, W2=75 Бод. Ана­
.лиз графиков показывает, что формула (8.5) дает заниженные
. значения вероятностей появления некорректируемых ошибок из-за
того, что не учитывает групповой характер ошибок. О порядке
расхождения можно судить, например, по тому, что при n=l5,
, ql\ = 4 формула (8.5) дает Q0 =10-4, тогда как в реальном канале
-Q11 =7 •10-2
.
Внесение избыточности целесообразно, если применение кор-
• : ректирующего кодирования приводит к повышению верности. Ее.ли
кратность независимых ошибок в кодовой комбинации примитив­
ного кода равна q0, то для гауссова канала при поэлементном
. приеме ортогональных сигналов целесообразные избыточность и
· число проверочных символов [9]
r2o<qo(1+qo) - 1, ro<nqo(l+qo)-1
.
(8.7)
:224

Для коррекции групповых ошибок требуется примерно в 2-3 раза
меньшая избыточность . Аналогичные (8.7) соотношения более
сложного характера получены с учетом группового характера
ошибок и надежности корректирующих устройств. Существует
информационный предел избыточности, который существенно
ниже. Это объясняется тем, что избыточность вводится для наи ­
худшего случая появления ошибок, а реально не все комбинации
имеют ошибки.
С ростом длины комбинации экспоненциально возрастают объе ­
мы памяти кодера и декодера, а также задержки при кодировании
и декодировании. Если использовать непосредственные способы
декодирования и хранить в памяти все разрешенные комбинации,
задача получения оптимальных кодов становится технически не­
разрешимой. Основное направление в теории корректирующего ко­
дирования - создание таких кодов, которые не требуют хранения
в памяти разрешенных комбинаций, а на основе конечного числа
преобразова·ний принятых комбинаций позволяют получать опти­
мальные статистические решения о том, какие комбинации пере­
давались.
Задачи корректирующего коднрованшr обычно решают при
следующих предположениях: избыточность эффективного кода
равна нулю, кодирование выполняется двоичными сигналами, ха­
рактеристики дискретного двоичного канала известны, канал явля­
ется симметричным и в общем случае с памятью (см. '§ 4.3).
Контрольные вопросы
1. Чем обусловлено развитие корректирующего кодирования?
2. Оцените эффективность использования реаль н ых каналов существующими си­
стемами.
3. Что такое корректирующая способность кода?
4. Как связано кодовое расстояние с кратностью обнаруживаемых и испра.вляе -
мых ошибок?
5. Как определяют избыточность корректирующего кода?
6. Как определяют вероятность появления некорректируемых ошибок?
7. Как выбирают целесообразную избыточность кода?
8.2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ 'КОРРЕКТИРУЮЩИХ 11{0ДОВ
8.2.1. Классификация корректирующих кодов. Для коррекции
ошибок неравномерные коды почти не применяют, поэтом у в даль­
нейшем рассматри1Заются только равномерные корректирующие
коды. Их общая классификация приведена на рис. 8 .2. Корректи­
рующие коды делятся на два больших класса: блочные и непре­
рывные. Кодовая последовательность блочных кодов состоит· из
отдельных кодовых комбинаций (блоков), которые кодируются и
декодируются независимо. Непрерывные коды представляют не­
прерывную последовательность кодовых символов, ее разделение
па отдельные кодовые комбинации не производится. Блочные и не­
прерывные коды бывают разделимые и неразделимые. В раздели­
мых блочных кодах информационные и проверочные символы за-
15-886
225

нимают всегда одни и те же определенные позиции (разряды).
Обозначают эти Еоды как (п, k) - коды, где п-длина комбинации,
k - число информационных символов. Неразделимые коды менее­
распространены, к ним относится рекомендованный МККТТ стан­
дартный телеграфный r<ад No 3 - семиразрядный код, каждая ком­
бинация которого содер:жит три единицы и четыре нуля.
Среди разделимых кодов выделяют систематические и несисте­
,иатическuе. Систематическими кодами называют (п, Jг) - коды,.
в которых г=n-,k проверочных символов являются линейными
Коррект11рgющ11е коf!ы
1 XeNMlll/cll. 1·
Бергt:ра
Бoyзa-'iogf!.igp11-Xoк!J11шr:мCi
Рис. 8.2 . Классификация корректирующих кодов
комбинациями информационных. Такое формирование кодовых
комбинаций существенно упрощает техническую реализацию
· · устройств кодирования и декодирования - кодеков. Поэтому си­
стематичес1ше коды являются одними нз наиболее распростра­
н~ нных. Так как новую разрешенную кодовую комбинацию можно
получить линейным преобразованием двух других разрешенных
rшмбинаций, то такие коды часто называют линейныАиt. Подклас­
сами систематических кодов являются коды Хемминга и цикл и че­
с1ше коды, например, коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема. По
установившей ся традиции ряд подклассов корректирующих кодов
обозначают фамилиями тех ученых, которые впервые предложили
и исследовали тот ИJIИ иной вид кодирования. Особенности кодов
этих подклассов будут отмечены в дальнейшем .
8.2 .2 . О технической реализации корректирующего кодирова­
ния. Из основной теоремы Шеннона для каналов с шумами сле­
дует, что может быть обеспечена сколь угодно малая вероятность
ошибочного приема при эффективности использования пропускной
способности канала, близкой к единице (см. § 5.6). Для этого
в симметричном канале без памяти при больших п должно вы­
полняться условие (8.2), тогда все ошибки кратности q11 будут
исправлены. Если непосредственно использовать условие (8.2) ДJJЯ
технической реализации корректирующего кодирования, то необ-
226

"Ходимо применять случайный выбор разрешенных Na=2 1' комби­
наций из· всего множества N=2n [9], это обеспечивает и любую
малую вероятность появления ошибок и сколь угодно близкую
к единице эффективность использования канала.
Однако практически такое случайное корректирующее кодиро­
ван и е неосуществимо, так как для хранения в памяти декодера
всех разрешенных комбинаций при п, обеспечивающем допусти­
мую вероятность ошибки, требуется объем памяти декодера по­
рядка п. 2п бит [9]. Например, при n=30 объем памяти должен
быть 10 10 бит, что намного превышает возможности современной
техники. Именно поэтому все усилия исследователей направлены
на разработку и создание регулярных (детерминированных) мето­
дов . построения кодов, которые по свойствам были бы близки
к случайному коду, но допускали более простую техническую реа­
лизацию. Примером таких регулярных кодов являются линейные
,систематические коды.
8.2.3. Принципы построения линейных кодов. Основным прин­
ципом построения линейных кодов является отыскание таких про­
цедур, которые позволяют при кодировании получать все разре ­
шенные кодовые комбинации путем 1<0нечного числа несложных
.тшнейных преобразований одной или .k исходных разрешенных
комбинаций, а при декодировании для обнаружения и исправления
ошибок не хранить в памяти все разрешенные комбинации, а по­
лучать информацию об ошибках по результатам конечного числа
относительно простых, также линейных преобразований над сим ­
волами получаемых кодовых rшмбинаций. Основная задача опти­
малыюго построения корректирующего кода заключается в таком
выборе числа разрешенных кодовых комбинаций заданной длины,
чтобы обеспечивалось самое минимальное кодовое расстояние.
Тогда получаемый код будет обладать наилучшей корректирую­
щей способностью и минимальной вероятностью некорректируе­
мых ошибок.
В линейных систематических кодах разрешенные комбинации
получают путем суммирования по моду лю 2 различных сочетаний
исходных ~юмбинаций. Проверочные символы получают так же,
как результат суммирования по модулю 2 определенного числа
. информационных символов. Обнаружение ошибок основано на про­
верке соответствия тех проверочных символов, которые получены
из принятых информационных символов, с соответствующими про­
верочными символами, непосредственно принятыми. Если ошибка
есть, суммирование по модулю 2 проверочного символа, получен­
ного в результате суммирования информационных символов и
принятого дает единицу. Эта операция, выполненная для всех
проверочных символов, даст в результате вектор о~иибок - синд ­
ром кодовой комбинации. Нулевой с~тдром соответствует случаю
отсутствия ошибок.
Для исправления ошибок каждому ненулевому синдрому «при­
писывают» наиболее вероятные для данного канала ошибки и при
появлении ненулевого синдрома декодер исправляет приписанные
15*
227

к нему ошибки. Если кодовая комбинация содержит r провероч­
ных символов, то общее число ненулевых синдромов равно 2r- 1
и таблица исправлений включает такое число строк, которое
должно храниться в памяти декодера.
8.2.4. Условия формирования разрешенных кодовых комбина­
ций. В линейном коде сумма по модулю 2 любого конечного чи сла
разрешенных кодовы х ко м бинаций также является разрешенной
I<одовой комбинацией. Поэтому, выбрав k исходных разрешенных
комбинаций, которые на з ывают базисными, и суммируя их в i раз­
личных сочетаниях, можно построить все
k
No=2k =~ C1k
i=O
разрешенных кодов комбинаций.
(8.8)
Чтобы каждое сочетание порождало новую разрешенную ком­
бинацию и чтобы в конечном итоге их общее число равнялось
числу, определяемому (8.8), необходимо выполнить следующие
пять условий: исходные комбинации должны выбираться различ­
ными; нулевая комбинация (комбинация, состоящая из одних н у­
лей) не должна выбират ьс я как исходная; исходные кодовые ком­
бинации должны быть линейно-независимы; вес каждой исходной
комбинации должен быт ь не менее d0 (весом называют число еди­
ниц в комбинации); кодовое расстояние между любыми парами ис­
ходных комбинаций должно быть не меньше d 0 . Если k базов ы х
комбинаций выбраны в соответствии с этими условиями, то они з а ­
дают класс кодов (п, k), который включает 2hr линейны х кодов .
Для выбора определенного кода из этого класса необходимо и з
множества коэффициентов 'Vij (см. п. 8.2 .5), определяющих усло­
вия формирования проверочных символов (разрядов), выбрат ь т е ,
которые минимизируют вероятность появления некоррек т ируемых
ошибок (8.6) или доставляют экстремум друго м у крит ерию опти~
мальности кода.
Общие методы синтеза оптимальных линейных кодов еще не
созданы, но ряд оптимальных кодов при малы х значениях г у ж е
найден. К ним относятся I<Од (п, п - 1), обнаруживающий один о ч­
ные ошибки, код (7.4) - код Хемминга, обнаруживающий две и
исправляющей одну ошибку, код (14, 2), исправляющий оши бки
до четвертой кратности вкл~очительно, и др. [ 1-3, 9, 1О].
8.2.5. Формирование проверочных разрядов. Д,ТIЯ линейных ко-.
дов любой проверочный разряд bj, j=l,r, формируется как ли­
нейная комбинация информационных ai, i=Г°k, поэтому
k
bi= BY;ia;,
(8 .9)
i=l
где Yij - коэффициенты, равные О или 1 и выбираемые определен­
ным образом (см. п. 8.2.4); Е- знак суммирования по модулю 2
228

(1.19). Результат операции (8.9) может быть ра в ен О или 1, так
как нулевая кодовая комбинация в любом линейном коде также
является разрешенной.
8.2.6. Обнаружение и исправление ошибок линейными кодами.
Обнаружение о.шибок основано на проверке условия (8.9). Из при­
нятых проверочных символов b'j и тех bj, которые получены из
принятых информационных а\ с помощью (8.9), образуют сумму
k
Cj=b'/JЭbi = b'iffi ~ У1Р11, j = I,r.
(8 .1О)
i=l
Если для всех j Cj= O, то ошибок нет. Если хотя бы одно значение
Cj = l, то имеются ошибки. Вектор Cz, координатами которого слу­
жат Cj (8.10), называют синдромом 1-й кодовой комбинации. Чис­
ло различных синдромов, соответствующих различным сочета­
ниям ошибок в канале, равно числу всевозможных r-значных пе­
рестановок двоичных чисел, т. е. 2r. При декодировании структура
с и ндрома (число и расположение единиц) показывает, в каких
разрядах произошли ошибки, и позволяет их исправить. При
определенном выборе 'Vij синдром, рассматриваемый как двоичное
число, может указывать непосредственно номер позиции (разря­
да) ошибки. Таблица исправления ошибок содержит 2r-J синдро­
мов. Нулевой синдром в нее не включают, так ка.к он указывает
на отсутствие ошибок.
Процедуры формирования проверочных символов из информа­
ционных и определения синдромов с помощью линейных преобра­
зований (8.9), (8.10), получения всех разрешенных комбинаций из
k исходных также путем линейных преобразований привели к зна­
чительно более простому кодированию и декодированию, обнару­
жению и исправлению ошибок. Существенно сокращаются объемы
памяти кодера и декодера, упрощаются кодеки, алгоритмы коди­
рования и декодирования .
8.2.7. Линейные, коды (7.4). Эти коды называют кодами Хем­
минга, который впервые построил и исследовал характеристики
кодов (7.4), обнаруживающих две и исправляющих одну ошибку.
Выберем матрицу коэффициентов 'V i .i в (8.9) в виде
(
"(15 = 1 У25=O Узs= 1
(Y1i) = У15=O Уз5 = l Уз5=l
Y11= l Y21=l Уз,=1
"(45= 1)
Y.G=1
,
Уи=О
(8.11)
тогда пятый, шестой и седьмой проверочные символы каждой ко­
довой комбинации выразятся через ее информациGНI-IЫе символы
следующим образом:
bs = a1 ffia. ffia4, ьб = а2 ffi аз ffia4, ь7 =а, ffia2 ffiaз. (8 . 12)
Код имеет следующие характеристики: dо= З, число разрешен ­
ных комбинаций N0= 24= 16, число синдромов 2r - J=7, избыточ­
ность r2 = 3 /7 =0,43, вероятность появления
, некорректируемых
ошибок (8.6)
16-886

Одна из передаваемых КОДОВЫХ комбинащi й им еет вид 0010110,
где первые три символа являются проверочным:-:~, с1 последующие
четыре- информационными. Обратная запись комбинации пока­
зывает, что первыми принимают информационные символы для
того, чтобы из них успеть образовать проверочные символы по
правилу (8.9), сравнить их с принятыми проверочными по правилу
(8.1 О) и получить синдромы для каждой кодовой комбинации .
Синдром i - й комбинации
Ci=(Cзl• С21, c1;)=ci(b11ffib'7;, ь.1ffib\;, bs;ffib's;),
где Ь 7 ; - проверочный символ, полученный из (8.9); b'7i - приня­
тый проверочный символ. Приписывая каждому синдрому номер
символа, который может быть искажен с наибольшей вероят ­
ностью, получюьт таблицу исправлений (табл. 6). В первом син-
Таблица 6
Номер ошибоч-
Ноыер
Синдром
· ного разрада
синдро'1а
IЮДОВОЙ tiOM
бннации
1
001
5
2
010
6
3
011
4
4
100
7
5
101
1
6
11О
2
7
111
3
драме не совпадают Ь 5 и b's, поэтому наиболее вероятно, что оши­
бочно принят проверочный символ b's, так как bs, Ь6, Ь1 опреде­
ляются через одни и те же информационные символы, а Ь 6 и Ь1
приняты правильно. Аналогично определяют наиболее вероятные
ошибки для других синдромов .
Таким образом, сущность линейного корректирования ошибок
заключается в том, что каждому синдрому приписывают наиболее
вероятные ошибки, по полученным кодовым комбинациям вычис­
ляют синдромы и по номеру синдрома исправляют «приписанные»
к нему ошибки.
8.2.8. Циклические коды. Существенным недостапшм линейных
кодов является необходимость выбора исходных разрешенных
комбинаций, проверки условий формирования разрешенных ком ­
бинаций, запоминания коэффициентов 'Vij для формирования про ­
верочных символов и синдромов для исправления ошибок. Поэто­
му поиск более простых процедур кодирования и декодирования
продолжается. Он привел к появлению эффективного подкласса
линейных систематических кодов -. циклических кодов. Эти коды
получили такое название потому, что основной операцией кодиро ­
вания и декодирования является цикл. Цикл аппаратурно реали ­
зуют с помощью набора триггеров, объединенных в так называе-
230

мые регистры сдвига, и сумматоров по модулю 2. Цшш является
одной из наиболее распространенных операций в вычислительной
технике. Сущность циклической перестановки заключается в том,
что последний символ кодовой комбинации занимает место перво­
го, первый - второго и т. д. до тех пор, пока предпоследний сим­
вол не займет место последнего . Если циклической перестановке
подвергалась разрешенная кодовая комбинация, то в результате
этой операции появляется новая разрешенная комбинация.
Теория циклических кодов основана на методах вьюшей алгеб­
ры. (С математической точки зрения циклический код является
идеалом в линейной коммутативной алгебре полинома п-го поряд­
ка по модулю xn-1 над полем коэффициентов.) Кодовые ком­
бинации (вектора) длиной п описывают полиномами Vn-1 (х), п - 1
степени, в которых коэффициентами при соответствующих степе­
нях х служат символы кодовых комбинаций. Например, комбина­
ции ()010110 соответствует полином х2 +х 4 +х 5 (высшие степени
полинома порождаются информационными символами, которые
принимают первыми) .
Циклическая перестановка рассматривается как умножение
Vn-l (х) на х. Так как при сложении по моду.'lю 2 xn= I (xnffi 1=
=0), то замена xn на 1 в произведении XVn -iI (х) дает новый по­
лином, коэффициенты которого образуют новую разрешенную ком­
бинацию. Полином g(x) степени ;r= n-k, на который делится без
остатка двучлен l+xn, называют производящим (образующим)
полцномом циклического кода. Результат деления называют про­
верочным полиномом h (х). Произведение
h(x)g(x) = 1+xn= 0,
(8.14)
поэтому полиномы h (х) и g (х) рассматривают как ортогональ­
ные и операцию (8 .14) кладут в основу построения алгоритмов
декодирования.
Кодеры и декодеры циклических кодов строят на основе реги­
стров сдвига, охваченных обратными свя з ями, и сумматоров по
модулю 2. Разрешенные кодовые комбинации получают и з одной
исходной, символами которой являются коэффициенты порождаю­
щего полинома. Сначала выполняют k-1 циклов и получают jг
разрешенных базисных комбинаций . Затем линейным преобразо­
ванием этих k комбинаций получают оставшиеся 2"-k разрешен ­
ных ~юмбинаций. Кодер и декодер циклического кода в основном
выполняют операции умножения и деления полиномов. Использо­
вание цикла для кодирования и декодирования существенно
упростило аппаратурную реализацию кодеров, алгоритмов коди­
ро в ания и декодирования и позволило использовать в технике свя­
зи элементную базу цифровой вычислительной техники.
8.2.9. Циклические коды (7.4). Покажем, как линейные коды
(7.4) (см . п. 8.2 .7) могут быть получены с помощью цикла и как
строят ЦШ(.Лuческие кодеры и декодеры. Теперь уже коэффициен­
ты yij выберем на основе порождающего полинома
g(x)=l +х+-х3 .
(8.15)
16*
231

В том, что (8.15) является порождающим полиномом, нетрудно
убедиться, выполнив дЕ!ление х7 + 1 на g(x) с учетом основной осо-.
бенности суммирования по модулю: xk+xk=xk-xk= (1 + 1)k=
=(1-1)'' =0, тогда
х1+11х3+х+1
х'+х5 +х4
х4 +х•+х+ 1
х5+х4+ 1
х5+х3+х•
х4 +х3 +х•+ 1
х4 +х•+х
х3+х+1
Х3+х+1
о
Так как ' деление выполнено без остатка, то g (х), действительно,
является порождающим полиномов кода (7, 4). Полученный по­
лином
h (х)=х4+х2+х+ 1
(8.16)
является проверочным для этого кода . Произведение
g (х) h (х) =1 +х+х3+х+х2+х4+х2+х3+х5+х4+х5+х7=
=1+x7=1+l7=0.
(8.17)
Выберем исходную кодовую rшмбинацию К, так, чтобы ее сим­
волы соответствовали значениям коэффициентов g (х), тогда
К,=(1101000) ~ 1+х+х3 .
Выполнив цикл один раз, получим
второй раз-
третий paJ-
К2= (0110100) ~ х+'х2 +х4,
Кз • (0011010) ~х2 +х3 +х5,
К4=(0001101) ~х3 +х4 +х6 ,
(8.18)
где~-
знак соответствия двух форм записи комбинаций. Так
как k=4, полученных комбинаций уже достаточно для образова­
ния 2k- k=12 остальных разрешенных комбинаций способом сум­
мирования по модулю 2. В табл. 7 пока заны все разрешенные ко­
довые комбинации, способ их получения и из какой комбинации
можно пол учить выбранную, выполняя один цикл.
\
Важным свойством циклического кода является то, что каждая
разрешенная кодовая комбинация делится без остатка на произ-
232

водящий полином. Это свойство используют для обнаружения и
исправления ошибок. Выполнив деление принятой комбинации на
производящий полином, сразу же можно выяснить, есть ошибки
или нет . Если есть остаток от деления, он свидетельствует о нали­
чии ошибок, но не указывает, какие ошибки.
Комби­
нация
К1
К2
Кз
К"Ks
к.
!(7
к.
к9
к,.
Кн
К12
К1з
к14
K1s
К1в
1в виде вектора J
1101000
0110100
0011010
0001101
101110
1110010
1000110
0101110
1010001
0111001
1100101
0100011
1001011
0010111
1111111
0000000
За,mсь
в виде полtнюма
1+.х+.хз
х+х2+.х"
.х2+.хз+.хs
.х3+.х4+.х6
1+.х2+.х•+х"
1+x+x2.f -x 5
1+~4+.xs
х+.х3+.ж;4+.х 5
1+х 2+х•
х+х 2+х•+х 6
I +х+х4+х6
х+х5+х6
l+x3 +.x5 +.x•
х2+х4+х5+х•
1+х+х2+х3+х4+х5+х•
о
Из f!at<oй
комбинации
nолучена
к9
к,
К2
Кз
К10
Кн
к"Ks
К,2
к.
К1з
К1
К1"к.
K,s
к16
Таблица 7
Как получена
комбинация
базисная
.
.
К1+К2
К1+Кз
К1+К2+К,
К2+Кз
К1+К2+К"
К2+К"
К1+К"
К2+к.+к"
К1+К2+Кз+К"
Кз+К"
к,+к.+к"
К1+К1
Чтобы найти ошибочно принятые символы и исправить их, ис­
пользуют алгоритм исправления ошибок, который включает СJ1е­
дующие операции:
принятую комбинацию делят на производящий полином,
-
определяют вес q остатка от деления,
-
если q~•q11 , то принятую комбинацию складывают по моду-
лю 2 с полученным остатком; сумма является исправленной ком­
бинацией;
-
если q>q11, то выполняют циклический сдвиг принятой ком­
бинации влево на один разряд, полученную комбинацию делят на
производящий полином; если вес нового остатка q'~q11 , то ее
складывают с остатком, выполняют циклический сдвиг вправо на
один разряд и получают исправленную комбинацию;
-
если в результате первого циклического сдвига влево при­
нятой комбинации и деления полученной комбинации на порож­
дающий полином вес нового остатка q'>q11, то операцию цикли­
ческого сдвига и деления получаемых комбинаций повторяют до
тех пор, пока вес остатка не станет равным q11 ;
-
когда вес остатка стал равным q11 , последнюю полученную
циклическими сдвигами комбинацию складывают с остатком, сум­
му сдвигают вправо на столько разрядов, на сколько ранее сдви­
гали влево принятую комбинацию, и получают исправленную ком-
бинацию.
•
Кодер кода (7.4). Структурная схема кодера представлена на
рис. 8.3. Триггеры (триггерные ячейки) и сумматоры по модулю 2
233

С зql(рекпш8iюго
'ЛЯmор
Рис. 8.3. Схема кодера кода (7.4)
обозначены в соответстви и
с ГОСТ 2.743-72 «Обознач е ­
ния условные графические в
схемах. Двоичные логическ ие
элементы».
Действие триггерной ячейк11
заключается в том, что при
каждом воздействии на ее в х од
элемента кодового сигнала ( О
или 1) она изменяет свое со-
стояние на ·противоположно е .
Если в ячейке содержится символ (О) (ячейка находится в нуле­
вом состоянии), то при появлении на ее входе символа 1 она пер е ­
х одит в состояние 1, а символ О появляется на ее выходе. Изм ене ­
ние состояния ячейки называют тактом или шагом . Новое состоя­
ние ячейка сохраняет до следующего шага. Сумматор по модулю 2
на каждом такте выдает суммарный сигнал О или 1 в зависимости
от того, какие поступают входные сигналы.
Табл ица 8
Состояния триггеро в
Номер такта
Вход
регистра
Вход
Положе-
регистра
канала
ние S
Tl1Т21тз
1
1
1
1
о
1
--
--
2
о
о
1
1
о
1
------
3
о
1
1
1
о
--
--
4
1
о
1
1
1
--
-
5
о
о
о
1
1
- ---
6
о
о
о
о
1
2
----
7
о
о
о
о
о
Рассмотрим принцип работы циклического кодера. Предпо л о­
жим, что с эффективного кодера поступает последовательность
информационных сигналов 1001, соответств у ющая кодовой ко м­
бинации К10 (см. табл. 7) .. В табл. 8 показ аны положение вход­
ного переключателя S на каждом такте ; сигналы, поступ а ю ­
щие на вход регистра; состояния триггеров регистра; сигна л ы,
поступающие на модулятор; процесс формирования провероч н ых
сигналов в регистре такт з а тактом с первого по седьмой. В на­
чальный момент времени все триггеры регистра находятся в ну­
левом состоянии.
Декодер кода (7.4). Структурная схема декодера представ л е н а
на рис. 8.4 . Его главное на з начение - обнаруживать две и исправ-
234

J1ять одну ошибку. Основная задача декодера - определить место
ошибочного символа. Все остальные операции - само исправление
ошибки, устранение проверочных символов и выдача на эффек­
тивный декодер информационных сигналов - являются более про­
стыми. Схема рис. 8.4 отражает все основные особенности построе­
ния декодеров. Она включает буферный регистр, объем памяти
которого равен п символов, декодирующий регистр, включающий
три триггера (длиной r), и дешифратор синдромов, предназначен­
ный для определения синдрома принимаемой комбинации и ис­
равления ошибки.
С iJeнoily­
ляmop{l
Рис. 8.4. Схема декодера кода (7.4)
Декодер работает следующим образом. Поступающие с демо­
дулятора п символов кодовой комбинации одновременно запуска­
ют буферный и декодирующий регистры, которые вначале нахо­
дятся в нулевом состоянии. После получения п-го сигнала пере ­
ключатель S1 размыкается и подача сигналов на декорирующий
регистр прекращается. На п-м такте переключатель S2 замыкает­
ся, присоединяя к декодирующему регистру дешифратор синдро­
мов. Если кодовая комбинация принята правильно, то на п - м такте
все триггеры декодирующего регистра находятся в нулевом со­
стоянии, синдром является нулевым, ошибок нет, это фиксируется
дешифратором синдромов и он дает разрешение информационным
символам покинуть буферный регистр без коррекции. Переключа­
тел·ь S2 опять размыкается. Поступающие в буферный регистр
сигналы следующей принимаемой комбинации «вытесняют» на эф­
фективный декодер информационные сигналы предыдущей комби­
нации без коррекции.
Если синдром ненулевой, то хотя бы один из триггеров декоди­
рующего регистра не находится в нулевом состоянии, что указы­
вает на ошибку. Дешифратор синдромов обнаруживает ошибку,
а также разряд ошибки и посылает в выходной сумматор буфер­
ного регистра сигнал «1» на соответствующем такте для исправ­
ления ошибки. Так как на время анализа синдрома имеет место
задержка на несколько тактов, то при непрерывном поступлении
235

на декодер принимаемых комбинаций предусматривается их запо­
минание на время задержки. После завершения анализа переклю­
чатель SJ опять замыкается и поступающие в буферный регистр
сигналы «вытесняют» информационные сигналы принятой комби­
нации с исправлением ошибок в выходном сумматоре. Декоди­
рующий регистр переходит в нулевое состояние, дешифратор син­
дромов отключается переключателем S2. Далее цикл повторяется.
Таблица 9
Состояние триггеров декодирую-
Сигналы на выходе
Номер
Сигналы
щего регжтра
ТЭI\Та
на входе
1
1
1 декодера
декодера
дешифра-
TI
Т2
тз
тора
Ошибок нет
1
1
1
1
о
2
о
о
1
1
3
о
1
1
1
4
1
о
1
1
5
1
о
о
1
6
1
о
о
о
,-----
----------
-----1
7
о
10
о
01
'о
_____ ,
8
о
о
о
о
1
9
о
о
о
о
о
о
10
о
о
о
о
о
о
11
1
1
1
о
о
1
Ошибка есть
1
1
1
1
о
-
-
2
о
о
1
1
-
-
3
1
о
о
1
-
-
4
1
о
о
о
-
-
5
1
1
1
о
-
-
6
1
1
о
1
-
-
7
о
1-~
-
--
---- -----
---- 1
-
-
8
11
о
о:
о
1
-
1--~-
~---i-- - ---о-·
9
-
о
о
о
10
-
о
о
1
1
о
11
-
о
1
о
о
1
1
о
о
Для иллюстрации конкретных особенностей работы декодера
рассмотрим процесс декодирования для двух случаев: когда оши­
бок нет и когда они есть (табл. 9). Предположим, что принятой
кодовой комбинацией является комбинация К1'0 (см . табл. 7), сле­
дующей идет комбинация К1. В табл . 9 показаны qсобенности
декодирования для случая, когда ошибок нет. В конце 7-го такта
переключатель S 1 размыкается, а S2 - замыкается. Дешифратор
определяет по нулевому состоянию всех триггеров, что ошибок
нет (комбинация синдрома обведена в табл. 9 штриховой линией)
и разрешает прием следующей комбинации К 1 и выдачу информа­
ционных символов принятой 1(10 на эффективный декодер .
236

Предположим, что в принятой комбинации К1о имеется ошибка
в пятом разряде - третьем принятом. В табл . 9 показаны особен­
ности декоди:рования в этом случае. Дешифратор синдрома на
7-м такте обнаружил ошибку. Для определения места ошибки
он запускает буферный и декодирующий регистры и заставляет
их выполнить еще несколько тактов. На 10 - м такте, когда третий
информационный символ покидает буферный регистр и поступает
на выходной сумматор (сумматор исправления ошибок), на него
с дешифратора поступает сигнал коррекции «1». В результате
ошибка исправляется: с выходного сумматора поступает правиль­
ный си гнал «О». На время исправления ошибки сигналы комбина­
ции К1 запоминаются.
Декодер аппаратур1ю реализует общий алгоритм исправления
ошибок, рассмотренный ранее. Покажем это. Разделив принятую
кодовую комбинацию на образующий полином с учетом суммиро­
вания по модулю 2, получим
1011110
1011
110
Остаток имеет вес q= 2, что больше q11=l. Поэтому выполняем
циклические сдвипr принятой комбинации влево и деление полу­
чаемых комбинаций на образующий полином до тех пор, пока не
получим остаток от деления с весом q=q 11 =1. Таких сдвигов тре­
буется три:
0111101 \1011
1011
11
1000
1О 11
111
1110101
1011
1011
1011
01
1111010 11011
1011
111
1000
1011
q=2
1110
1011
101
1~
11
q=l
237

Просуммировав последнюю кодовую комбинацию с остатком,
получим 1110100. Выполнив циклический сдвиг этой комбинации
вправо на три разряда, получим исправленную кодовую комбина ­
цию 1001110.
Следовательно, для циклических кодов алгоритмы кодирования
11 декодирования относительно просто аппаратурно реализуются
-с помощью регистров и сумматоров: большие объемы памяти ко ­
дера и декодера не требуются.
8.2 .10. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (коды БЧХ)
-
раз ­
работаны для увеличения минимального кодового расстояния и по­
вышения корректирующей способности. Длина кодовой rюмбина­
ции в них n = 2r+ 1-l, производящий полином находится как наи­
меньшее общее кратное (НОК) неприводимых полиномов щ (х),
i=l, т, где m~d0-2. (Полином называют неприводимым, если он
делится без остатка только на единицу и на самого себя. Наимень­
шим общим крат ным совокупности неприводимых полиномов на­
зывают полином с наименьшим показателем степени, который
делится на каждый из них.) Коды БЧХ обладают хоро шими кор­
ректирующими способностями и позволяют обнаруживать и ис­
правлять ошибки с учетом группирования, что очень важно для
реаль ных каналов.
Рассмотрим код БЧХ с dc,=5, n=Зl [4]. Производящi-rй по­
лином
g·(х) =НОК.{а1 (х) а3 (х) }=х10+х9+х8+х6+х5+хЧ-1.
Число избыточных символов :r~log (п+ 1)~5, избыточность r2~
~r/n=0,161, максимальная кратность обнаруживаемых ошибок
qoo =do-1 =4, полностью исправляемых ошибок ;q11 = 2, вероят­
ность появления некорректируемых ошибок
Q, (3, п)~(п/3) 1 -"' р.~(31/3) 1 _ ,,, р0 •
(8.19)
Циклнческие коды БЧХ получили применение в аппаратуре пе­
редачи данных. Существует рекомендация МККТТ (т.41), согласно
которой в среднескоростных системах передачи данных предлага­
ется применять коды БЧХ с ·do=4 и n=260; 500; 980 разрядов.
Производящий полином этих кодов
(8.20)
Многочисленные испытания кодов БЧХ подтвердили их высокую
эффективность: при передаче данных по коммутируемым каналам
телефонной сети общего пользования с р0 > 10-3 вероятность не­
обнаруживаемых ошибок приема 8-разрядных знаков (байтов), из
которых составлена информационная часть кодовой комбинации,
не превышает 10-6
.
8.2.11 . Выбор длины информационной части кодовых комбина­
ций при обмене информацией между ЦВМ. ЦВМ обычно обмени­
ваются машинными словами
(8.21)
238

где п 1 - целые числа; n2=8 разрядов - машинный слог (байт).
Поэтому длина информационной части кодовой комбинации долж­
на быть равна или кратна байту. Следовательно, число информа­
ционных сигналов
(8.22)
где а 1 - целое число. Однако при выбранном кодовом расстоянии
и числе проверочных разрядов циклические коды не дают возмож­
ности свободно выбирать длину информационной части
Поэтому на практике прибегают к укороченным циклическим
кодам, которые получают из полных, используя для передачи ин­
формации только те комбинации полного кода, которые содержат
слева l нулей, эти нулевые сигналы в канал связи не передают.
Укороченные коды обладают корректирующёй способностью пол­
ных кодов, но циклический сдвиг укороченных комбинаций не всег­
да приводит к образованию разрешенных комбинаций. Поэтому
укороченные коды часто называют псевдоциклическими.
8.2.12 . При мажоритарном декодировании каждый информа­
ционный символ кодовой комбинации можно выразить через дру ­
гие символы с помощью различных линейных соотношений и эти
соот ношения использовать для повышения верности. Из каждого
соотношения оцределяют предполагаемое значение информацион­
ного символа, а окончательное решение о его значении принима­
ется по большинству одинаковых символов для всех соотношений
(методом голосования) . Такая процедура легко реализуется с по­
мощью регистров сдвига и сумматоров, она заметно повышает
верность по отношению к обычному декодированию.
8.2.13. Код с постоянным весом относится к неразделимым не­
систематическим кодам . Разрешенными в нем являются кодовые
комбинации, которые содержат определенное число единиц, оди­
наковое для всех комбинаций. МККТТ рекомендован код .No 3
ДЛЯ передачи телеграфных сообщений ПО КОрОТI{ОВОЛНОВЫМ радио­
каналам, которые обладают значительной асимметрией. Этот код
содержит 35 разрешенных комбинаций длиной п.=7 и весом, рав­
ным 3. Минимальное кодовое расстояние ,d 0=2, поэтому код обна­
руживает все одиночные ошибки и все ошибки нечетной крат­
ности.
В последнее время предпочтение отдается циклическим I{О­
дам, так как при использовании кодов с постоянным весом резrю
у сложняется аппаратура и возрастает стоимость кодеков из-за
неразделимости информационной и проверочной части в комбина­
циях.
8.2.14 . В кодах Бергера, которые являются разделимыми, ми­
нимальное кодовое расстояние d0 та~<же равно 2.
Они также предназначены в основном для асимметричных ка ­
налов. Проверочные разряды кода Бергера представляют собой
запись в двоичной форме числа единиц в информационной части
кодовой комбинации . АнаJюгично формируются проверочные сим­
волы при декодировании. Коды Бергера обладают такой же кор-
23!:1

ректирующей способностью, что и код No 3, но имеют важное до­
стоинство - из - за разделимости кодовых комбинаций существенно
упрощается построение кодеков.
8.2.15 . Непрерь1вные коды. В простейшем непрерывном (рекур ­
рентном) коде информационные символы ai чередуются с прове­
рочными bi в определенном порядке, например
(8.23)
где
b;=a1 ffiai+I"
(8.24)
Коды этого класса называют кодами Финка-Хагельбергера .
От
зффек -
та wого
KOtft'/JC!
Рис . 8.5 . Схема кодера непре­
рывного кода
Рис. 8.6. Схема декодера непрерывног о
кода
Рассмотрим кодирование и декодирование для такого кода .
Структурная схема кодера представлена на рис . 8.5. Синхронный
ключ S управляет работой кодера и чередует выдачу на моду.1я ­
тор информационных сигналов, которые поступают с эффективного
кодера, и проверочных сигналов, которые поступают с сумматора .
Триггер запоминает предыдущий информационный сигнал и выда­
ет его на сумматор для суммирования с последующим. Структур­
ная сх ема декодера представлена на рис . 8.6. Как обычно , она
сложнее кодера и включает два триггера, три сумматора и одну
схему совпадения. Алгоритм работы декодера такой: если (8.24)
не выполняе т ся для двух соседних поверочных символов , то нахо­
дящийся между ними информационный сигнал следует изменить
на противоположный .
Цепной код (8 .23) позволяет исправить все одиночные ошибки
при условии, что между любыми двумя ошибочно принятыми име­
ется по крайней мере три правильно принятых сигнала . Исполь з у я
более совершенные коды и алгоритмы декодирования, можно ис­
правлять групповые ошибки.
Контрольные вопросы
1. Как классифицируют корректирующие коды?
2. Какой основной принцип используется в линейны х кодах?
3. Как формируют разрешенные кодовые комбинации и проверочные символы
линейных кодов?
4. В чем сущность обнаружения и исправления ошибок линейными кодами?
240

5. Как ставится задача оптимального построения корректирующего кода?
6. Поясните работу кодера и декодера циклического кода (7,4).
7. Укажите основные особенности кодов БЧХ .
8. Как выбирают число информационных разрядов в кодовых комбинациях при
обмене информацией между ЦВМ?
9. В чем сущность мажоритарного деко д иров а ния?
10. Назовите особенности кода с постоянным весом и кодов Бергера.
11 . Как строят непрерывные коды, кодеры и декодеры этих кодов?
8.3. АДАПТИВНЫЕ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ кады
Существенным недостатком многих корректирующих кодов яв­
ляется их слабая приспособленность к изменяющимся условиям
передачи информации. Избыточность таких кодов постоянна и вы­
бирается обычно из соображений обеспечения требуемой верности
при наихудших условиях передачи. Если избыточность кода при ­
вести в соответствие с реальным состоянием канала в контролируе­
мом интервале времени (по результатам анализа группирования
ошибок), можно существенно повысить эффективность использо­
вания каналов без снижения верности . Эта идея лежит в основе
построения адаптивных корректирующих кодов.
Различают методы адаптивного декодирования, когда в зави­
симости от числа ошибок в принимаемых кодовых комбинациях
изменяют структуру или параметры алгоритмов декодирования и
функции схем декодеров, и методы адаптивного кодирования,
когда наряду с этим изменяют и структуру или параметры кодов,
алгоритмов кодирования и схем кодеров. Функции адаптивных
декодеров в значительной степени зависят от возможностей орга ­
низации обратного канала, характера искажений сигналов и по­
мех в канале, показателя группирования ошибок и других фак­
торов . Для построения систем адаптивного кодирования тр е буется
канал обратной свя з и, по которому на передающую сторону на­
правляют информацию о качестве канала и об условиях приема .
Обнаружение ошибок адаптивными кодами систем без обрат­
ной связи позволяет обеспечить практически любую з аданную вер­
ность при относительно невысокой сложности оборудования , но
часть информации теряется, так как комбинации с обнаруженны­
ми ошибками потребит·елю не выдаются. Исправление ошибок так­
же позволяет обеспечить требуемую верность передачи, но при
отсутствии потерь информации. Платой за это является з начи­
тельное увеличение длины кодовых комбинаций, до десятков ты­
сяч разрядов, а также существенное усложнение аппаратуры .
Недостатком систем без обратной связи является и то, что пере­
да т чик не получает никаких подтверждений о том, как принята
информация приемником. Поэтому предъявляют очень высокие
тр е бования к надежности систем. Системы без обратной свя з и на­
х одят применение в случаях, когда канал обратной связи невоз­
можно организовать или когда недопустимы задержки при пере­
даче информации. К таким системам относятся, например, неко­
торы е системы спутниковой свя з и .
241

Наиболее · широкое применение получили системы с обратной
связью (см. § 10.2), в которых повышение верности достигается
обнаружением ошибок ш1 приемном конце и повторением только
• неправильно принятых комбинаций. Адаптивное упра ·вление повто­
рением информации существенно приближает избыточность кода
к · информационному пределу. Избыточность минимальна при от­
сутствии ошибок и растет с увеличением числа ошибок.
Основными задачами, которые решают при построении систем
с адаптивными алгоритмами кодирования и декодирования, явля­
ются: разработка методов и аппаратуры контроля с9стояния ка­
налов; оптимизация · использоЕания полученной информации о со-
z(tJ
ti''Ш
Рис . 8.7 . Структурная схема адаптивного приемника
стоянии канала для изменения способа кодирования, параметров
элементов сигналов кода, процедуры принятия решения и т. п.;
разработка стратегпй принятия оптимальных решений в приемни­
ке в зависимости от состояния канала и характера группирования
ошибок; отыскание таких алгоритмов кодирования и декодирова -
ния, при которых системы становятся инвариантными относитель­
но статистических особенностей реальных каналов и позволяют до­
биться оптимальной избыточности; построение методов и аппара­
туры контроля состояния канала, которые не зависят от того,
какие сигналы передают в моменты контроля.
Для иллюстрации особенностей адаптивных корректирующих
кодов рассмотрим простейшую структурную схему адаптивного
приемника систем без канала обратной связи (рис. 8.7). Схема
включает демодулятор Dм, корректирующий декодер Dн 2 и устрой­
ство контроля состояния канала. На вход приемника поступают
высокочастотные с1-1гналы .z ('t), с выхода демодулятора снимается
видеопоследовательность искаженных элементарных сигналов кода
и* (t), а с выхода адаптивного декодера· Dю последовательность
информационньiх символов в соответствии с решениями, принимае­
мыми декодером. Процесс адаптивного декодирования заключает­
. ся в следующем. Последовательность и* (t) обрабатывается
с двойной целью: для определения состояния канала и для при­
нятия решения (для обнаружения и исправления ошибок). Если
при неадаптивном декодировании решение принималось однознач­
но, так r,ак каждому синдрому приписывалось одно наиболее ве­
роятное сочетание ошибок, то при адаптивном декодировании каж ­
дому синдрому соответствует несколько вариантов сочетания оши­
бок в зависимости от состояния канала.
242

Решения о принимаемых комбинациях для одного и того ж е
синдрома могут быть разные- они определяются состояниями ка­
нала. Если канал находится в i-м состоянии, то синдрому припи ­
сывают i-e решение. Так как состояние канала оценивают по сл у ­
чайному сигналу z (t) и случайной последовательности и* (,t), т о
принимаемое решение носит случайный характер. Поэтому опти­
малы-юе решение можно принять лишь с определенной вероят­
ностью, которая в значительной мере определяется качеством ра­
боты устройства контроля канала. Если качество работы этог о ,
устройства высокое, то системы адаптивного кодирования могут ·
обеспечить высокую эффективность передачи информации. ·
Теория адаптивного корректирующего кодирования интенсив­
но развивается, так как позволяет более полно учесть реа,r1ьны е
условия передачи информации .
Контрольные вопросы
1. Почему разрабатывают системы адаптивного корректирующего кодирования ? ·
2. Как клаесифицируют методы адаптивного корректирующего корректирова­
ния?
3. Какие особенности адаптивного кодирования имеют системы без обратно й:
связи и с обратной связью?
4. Какие основные задачи решают в теории адаптивного код иров ания?
5. Поясните сущность адаптивного декодирования.
8.4 . ЭФФЕIКТ.ИВНОСТЬ КОРРЕЮiИРУЮЩЕГО КОДИРОВАНИЯ
Эффективность корректирующего кодирования оценивают длw
различных режимов работы кода (обнаружение, исправление ,..
обнаружение и исправление) с помощью тех или иных критериев .
эффективности. Наиболее распространенными из них являются:
коэффициент повышения верности в той или иной форме записи, .
выигрыш по эквивалентной вероятности и энергетический выю · рыш
[ 1, 9, 1О]. Рассмотрим, как зависит эффективность корректирую­
щего кодирования в режиме исправления ошибок от параметро в .
кода, характеристик канала и других условий передачи инфор­
мации.
Эффективность кода в режиме исправления ошибок [ 1О]
'УJн=Р (:;;,: 1, п) /:Q1(q11 + 1, п) ,
(8.25)
где вероятность р (:;;,,1, п) приема кодовой комбинации с одной и
более ошибками оценивают приближенно при q /п'<'О,3 с nомошью ­
соотношения [ 1О]
р (~ 1, n) 'с:' п'-"''р0,
а вероятность Q1 (q11 + 1, п) появления ошибок на выходе
ра - по формуле (8.6). Подставив (8.6) и (8.26) в (8.25),
следующую приближенную оценку эффективности кода
помечена звездочкой)
(8 .26} -
декаде­
получим
(оценка
(8.27),-
243

Следовательно, в первом приближении эффективность кода можно
,определить, зная показатель группирования ошибок в канале и
максимальное число исправляемых кодом ошибок. Например, оцен­
ка эффективности применения кода с q1 1=6 для телеграфного КВ
:р адиоканала с ·а*=О,55, n=255 равна 'YJ*l{=7° ,45 =2,4. Следова­
тельно, такой код повышает верность примерно в 2,4 раза . По­
этому по физическому смыслу коэффициент (8.25) можно рассма­
тривать как « коэффициент фильтрации ошибок кодом».
2...._ _-' -- --- -.. J'---'- --' - --' - --_J
0,75 0,8 0,850,87 0,9 0,95 о'
Рис. 8.8 . Номограмма ра с чета эффективности кодирования
Введем вероятность Q (q 11, п) исправления кодом всех ошибок
,к ратности l~q ~q11, тогда Q1 (q11 + 1, n)=p(;;,,1, n)-Q (q11, п) и
(8.25) примет вид
'Y)R=p(;;,,1, п) /[р(;;,,1, n)_,Q(q11, п)].
·Соотношение (8 .28) исполь з уют в такой форме
'Y)н=[l-Q (q11, п) / р (;;,,1, п) ]-1
.
(8 .28)
(8.29)
Дробь в з наменателе (8 .29) является удельным значением вероят­
ности исправления ошибок кодом . Для реальных кодов и каналов
э та дробь и з меняется в пределах 0,5-0,9 [10]. Представим эту
, дробь в виде
N,
~Pi
Q(q,,, п) Q(q11, n) i= I
=оо,
(8.30)
р (:;,, 1, п)
N,
N,
дР,~Pi
i=I
i=l
тде Pi - вероятность появления ненулевого синдрома с номером i
(синдромы нумеруют так , чтобы вероятности Pi не во з растали
•с ростом i) ; N 1=2n- 1 - общее число ненулевых синдромов в ко­
довых комбинациях длиной п; N2 -число ненулевых синдромов,
жоторые наиболее вероятны для данного канала; 0~<'5~1 - пока-
244
·~

затель согласования кода с каналом; О~о-~1 - пок азатель наибо­
лее вероятных оши бок в канале.
Эффективность корр ектиру ющего кодирования полностью опре ­
деляют парам етр ы б и ,а:
rJк= (l-бо-)- 1 •
(8.31)
В свою очередь, эти параметры за висят от параметров кода q 11 ,
d0 , ,r, п, характеристик канала р0 , а'", параметров элемента сигна­
ла, вида модуляции и характеристк помех . Параметры б и а
можно определить не только теоретически - по результатам изме-
1'к
8 i------+ -- -+-+ --1-t- -1r---ir----t,<- --1
[j l------+- --+-+- -1 - -t -l-+-+- -r -t,''--t- -j
4 1----+--'<--тt--г;,r-,,<~---t---,
z~~~fft--t--tт 2 f----=l~=t--t-t -t --H
[J..__....__~-~~--~-~--
!lL----'---'-----'---,._,___-'----!
1
2
4 о810 20 40ofJ!ft1 1
fi.)
24о810
li)
Рис . 8.9 . Зависимости 'УJн от q 11 для радиорелейного телефонного канала (а )
и для телеграфного КВ радиоканала (6)
рений Ро, а* и расчетам корректирующей способности кодов, но
и непосредственными экспериментальными исследованиями. По ­
этому для оценки эффективности кодирования удобно пользовать­
ся номограммой (рис. 8.8), которая позволяет по заданным б и ,а
приближенно оценить эффективность rJк •
Исследуем предельное поведение УJк в зависимости от измене­
ния параметров б и а. Предел
lim 7Jк= 1.
Ь->0, cr➔O
(8.32)
Повышение верности не может быть получено в двух случаях: если
код не согласован с каналом и (или) если удельный вес наибо­
лее 'вероятных ошибок пренебрежимо мал среди всех возможных
ошибок.
Если rшд полностью согласован с каналом
lim "fJк=(l -o .) - 1
,
~➔1, cr➔ao
предельное значение эффективности полностью определяется
удельным весом ,о-0 наиболее вероятных ошибок в канале. Если
число наиболее вероятных ошибок в канале стремится к общему
числу возможных ошибок
lim 7Jк= (1- <\) - 1,
о➔о0, cr➔l
245

предельное значение эффектюзности определяется тем, как код
с огласован с каналом.
Если б-+-1 и rcr-+ -1, то 'У)1гr-оо. Это говорит о том, что, правильно
в ыбирая код и оценивая характеристики канала, можно обеспе­
чить сколь угодно высокую эффективность корреrпирующего коди­
рования. Пока для большинства используемых кодов и каналов
'У)н=2-10.
Графики зависимостей эффекти в ности корректирующего коди­
ров ания от кратности исправляемых кодом ошибок для радиоре­
лейного телефонного канала показаны на рис. 8.9,а (р* 0 = 7,01 х ,
Х 10- 4, ,a*=0,Q45), для телеграфного коротковолнового радиокана-
~к
10
'lк
8
tJ
tJ
1,,
4
2
2
о
1/0 §()80100 200 п
20
40 §080100 200 п
d)
tJJ
Рис . 8.10 . З а ви симости 11н от п дJIЯ радиореJiейного теJiефонного канаJiа (а)
и дJiя теJiеграфно го КВ радиоканаJiа (6),
ла - на рис . 8.9,6 (p'''o=l,31 •10- 2 , ru/'=0,449) при различной дли­
не кодовых комбинаций п [ 1О]. Эффективность мала при малых
значениях qli и резко возрастает в области больших з начений
q11>8- l 0. Эффективность кодирования для т елеграфного канала
существенно выше. На рис. 8.10;а" б [10] для тех же канало ц по­
казаны зависим ости эффективности rюдирования от длины кодо­
вых комбинаций при различной избыточности кода r2 . Эффекти в ­
ность корректирующего кодирования увеличивается с ростом
избыточности, однако введение избыточности снижает скорость пе­
редачи информации, так как уменьшается количество информа­
ции ; заключенное в одной кодовой комбинации. Избыточность
кода в телеграфном I{анале используется более эффективно.
Анализ графиков рис. 8.10 показывает, что существенное по­
вышение эффективности в режиме исправления ошибок современ­
ные коды обеспечивают за счет значительного снижения скорости
переда•rи информации. Поэтому аrпуальными остаются задачи по ­
строения оптимальных кодов, обеспечивающих повышение верно­
сти без существенного снижения скорости. Поэтому же широкое
распространение получили системы с обратной связью и режимы
обнаружения ошибок (см.§ 10.2) .
246

Контрольные вопросы
1. Как оценивают эффективность корр ектиру ющего кодирования?
2. Как связана приближенная оценка эффективности с максима л ь ной 1,ратно­
стыо исправляемых кодом ошибок и показателем группирования ошибок
. в канале?
3. Как оценивают эффективность кодирования с помощью парамет ра согласова ­
ния кода с каналом и параметра, характеризующего удельный ве с наиболее
вероятных ошибок?
4. Оцените эффективность кодирования для реальных каналов .
8.5 . выводы
1. Развитие корректирующего кодирования во многом обуслов ­
лено внедрением различных автоматизированных систем управ­
,1 ения, использующих обмен информацией между ЦВМ (переда­
чу данных). Применению кодирования благоприятствует то, что
большинство алгоритмов кодирования и декодирования легко
реализуется программным способом в ЦВМ . Корректирующее ко ­
дирование может использовать все три вида избыточности: вре •
менную, частотную и энергетическую.
Корректирующая способность кода определяется минимальным
кодовым расстоянием между разрешенными кодовыми комбина­
ция м и. С ростом этого расстояния растет избыточность кода. Су­
ществуют условия, которые определяют целесообразную избыточ­
ность кода в зависимости от характера ошибок в канале. О д но й
из основных характеристик корректирующего кода для режим а
исправления ошибок является вероятность некорректиру емых оши­
бок (8.5), (8 .6).
2. Основным принципом построения корректирующих кодов
является использование таких способов , которые позnоляют при
код ировании получать все разрешенные кодовые комбинации пу­
тем конечного обычно небольшого числа неслож ных преобразо­
ваний одной или нескольк их исходных комбинаций, а при декоди ­
ровании для обнаружения и исправления ошибок не хранить в па­
мяти все разрешенные комбинации, а получать информацию об
ошибках по результатам конечного числа относительно простых;
преобразований над символ ам и принимаемых комбинаций. На этом
принципе построены .ТJинейные коды , цикличесrш е коды, коды Б оу­
за -Чоудхури-Хоквингема, укороченны Е'; циклические коды, мажо­
ритарное декодирование, не преры вные коды и др.
3. Избыточност ь корректирующих кодо в обычно выбираю т и з
у словий обеспечения требуемой верности при наихудших условиях
передачи. Есл и же изме нят ь изб ыточность в про цессе пе реда ч и
в за висимости от реальн ого состояния канала, можно существен-
110 повысить эффективность использования 1,ai-raл a, не снижая ве р­
ности. Эта идея лежит в основ е построения адаптивного коррек­
тирующего кодирования и декодирования . Адаптивные коды можно
применять в системах б.ез обратной связи и ~ сист емах с об_рат •
ной связью. Использование обратной связи существ енно уп ро ­
щает алгоритмы кодирования и декодирован ия.
247

Основные задачи адаптивного кодирования включают разра­
ботку методов и аппаратуры контроля состояния каналов, опреде­
ление стратегий принятия оптимальных решений в приемнике в за ­
висимости от состояния J<анала и характера группирования оши­
бок, оптимизацию использования полученной информации о со­
стоянии канала для изменения способа кодирования и декодирова ­
ния и др.
4. Для оценки эффективности корректирующего кодирования
в режимах обнаружения ошибок, исправления ошибок, обнаруже­
ния и исправления ошибок используют различные критерии. Удоб­
ными критериями для оценки эффективности кода в режиме ис ­
правления ошибок являются коэффициенты повышения верности
(8.25), (8.27), (8.28), (8.31).
Эффективность корректирующего кодирования определяется
двумя основными факторами: согласованием кода с каналом и
у дельным весом наиболее вероятных ошибок в канале. Эффектив­
ность кодирования для реальных каналов мала при небоJ]ьших
кратностях исправляемых ошибок и резко возрастает в области
q 11 >8- l0 . Современные коды обеспечивают высокую эффектив ­
ность в основном в результате увеличения временной избыточно-
. сти
и снижения скорости передачи информации. Поэтому актуаль ­
ными являются задачи построения кодов, обеспечивающих суще­
ственное повышение верности без значительного снижения
скорости передачи информации.

Глава 9
УПЛОТНЕНИЕ ЛИНИЙ СВЯЗИ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПОТОКИ
В СЕТЯХ
9.1 . Э11ЕМЕНТЫ ТЕОРИИ Рl'АЗДЕlЛЕНИЯ ОИiГНА~ОВ
Во введении и в § 1.7 отмечалось, что основной проблемой уплотнения линий
связи является проблема разделения канальных сигналов. Рассмотрим элементы
линейной теории разделения сигналов , начало которой было положено Д. В. Агее­
вым в 1935 г. Обозначим i-канальный сигнал в виде
S; (t) =а;Х; (t),
.
(9.1)
где а1 - коэффициент, отображающий передаваемое сообщение; х; (t) - сигнал­
переносчик (так как a;(t) является «медленной» функцией по сравнению с x(t),
то на интервале существования х (t) можно считать, что а; (,t)~a;). Линейный
передаваемый сигнал
п
s(t)=~ aixi(t),
(9 .2)
i=l
где п - число каналов . Этот сигнал в процессе передачи по линии связи иска­
жается из-за отклонения характеристик линии от идеальных и из-за воздействия
помехи ·!; (t) , поэтому сигнал на входе приемника многоканальной системы
'!
Z (t)=~ aiXi(t)+~(t).
(9.3)
i=l
Отличительной особенностью работы многоканальных систем является нали­
чие переходных помех Si i (t), обусловленных прохождением части мощности i-ro
канала в j-й канал из-за несовершенства аппаратуры уплотнения и разделения
сигналов. Эти помехи описывают обычно одной общей флуктуационной помехой
!;(t) (9.3).
Выполним оптимальную линейную обработку (6.1) принятого сигнала с уче­
том (6.4), тогда
т
тп
т
sz(t)Xi(t)dt= s~a;X2i(t)dt+)~(t)Х;(t)dt.
(9 .4)
О
О i=l
О
Если сигналы-переносчики образуют ортонормированную систему функций
(2.4), то
т
т
sz(t) Xi(t)dt=ai+ s~(t)Х;(t)dt.
о
о
(9.5)
Из (9.5) следует, что применение ортонормированных сигналов-переносчюсов и
линейной опти м альной обработки сигналов позволяет вы делить полез ный сиг­
нал а; с максимальным отношением сигнал/шум (6.9) . Мощность ш ум а суще-
• ственно зависит от способа уплотнения сигналов.
,
17-886
249

Условие ортонормированности сигналов - переносчиков является достаточным ,
но не необходимым. Необходимым условием разделимости сигналов является
менее строгое условие линейной независимости сигналов переносчиков
п
~ aiXi (t) _Q
i=l
(9.6)
только тогда, когда все а; одновременно равны нулю. Физический смысл этого
условия определяется соотношением (9.3). Если бы условие (9.6) не выполня­
лось, то принятый сигнал мог содержать только помеху из - за того, что полезные
сигналы «взаимно ком п енсировались» . Это могло случиться тогда, когда подо­
брались бы такие, не равные нулю коэффициенты а;, при которых условие
(9.6) удовлетворяется.
Анализ (9.5) показывает, что приемник многоканальной системы должен вы­
полнять оптимальную корреляционную обработку принятого линейного сигнала
с использованием известных сигналов - переносчиков. Это наиболее общий способ
разделения сигналов - разделение сигналов по форме. Частными случаями этого
способа являются частотное, временное, фазовое, кодовое разделение и др .
[ 1-3, 8].
Контрольные вопросы
1. Как в теории линейного разделения канальных сигналов представляют пере-
даваемый и принятый линей н ые сигналы?
2. Какая обработка принятого линейного сигн а ла является оптимальной?
3. Сформулируйте и поясните необходимое условие разделимости сигналов .
4. Какие частные случаи разделения сигналов по форме используют в много­
канальной связи?
9.2 . ПРИНUJИЛЫ УПЛОТНЕНИЯ ЛИНИЙ СВЯЗИ [1-3, 8]
9.2 .1 . Частотное разделение канальных сигналов . При частотном разделении
канальных сигналов переносчщш имеют различ н ые частоты. Поэтому модулиро ­
ванные (канальные) сигналы занимают не перекрывающие полосы частот в общей
полосе линии свя з и и являются ортогональными. Выделение канальных сигналов
в приемнике производится с помощью полосовых фильтров. Центральные часто­
ты фильтров соответствуют частотам переносчиков, а полосы прозрачности -
ширине спектров модулированных сигналов.
Для эффективного разделения канальных сигналов необходимо, чтобы вы­
полнялись два условия : частоты сигнал.ов-пере н осчиков должны быть различны
и разнесены на интервал, больший или равный ширине спектра модулированного
сигнала; отклонение реальных характеристик полосовых фильтров от идеальных
не должно влиять на качество разделения, поэтому необходимо оставлять защит­
ный интервал частот между каналами.
Для модуляции канальных переносчиков можно применять все известные
способы. Ясно, что более эко н омное использование полосы частот линии связи
имеет место при од н ополосной модуляции, так как в этом случае ширина спект­
ра модулированного сигнала равна ширине спектра полезного сигнала.
В технике радиосвязи применяют двойную модуляцию. Полученным в ре ­
зультате уплотнения линии связи групповым сигналом модулируют основную
несущую, а канальные частоты называют поднесущими. В приемнике сначала
выполняют демодуляцию с целью получения линейного сигнала, а затем уже
производится разделение канальных сигналов. Системы с поднесущими нашли
широкое применение в радиорелейной связи и в телеметрии. Качество передачи
информации в таких системах определяется обоими видами модуляции . При
оценке помехоустойчщюсти двойной модуляции необходимо учитывать и пере­
ходные помехи.
Исследования показали, что система ОМ-ЧМ, получившая распространение
в радиорелейных УКВ линиях связи, обладает сравнительно высокой помехо­
устойчивостью и относительно неплохой эффективностью использования полосы
250

частот линии. Недостатками этой системы являются снижение эффективности
использования полосы частот линии при увеличении индекса модуляции, наличие
порога помехоустойчивости и появление переходных помех при многолучевом
распространении радиоволн. Большое внимание уделяется системе ОМ-ОМ, ко­
торая лишена указанных недостатков. Ее недостатком является усложнение
аппаратуры формирования группового и линейного сигналов, а также аппарату­
ры выделения полезных сигналов . Для многоканальной телеграфной связи
используют и диапазон коротких волн, обычно применяют системы ЧМ-ОМ,
а также ОФМ - ОМ, если число каналов невелико. В радиорелейных линиях связи
для передачи телеграфной информации выделяют часть телефонных каналов,
которые вторично уплотняют телеграфными каналами.
Основные достоинства частотного разделения: простота технической реали­
зации, высокая помехоустойчивость, возможность организации любого числа
каналов, а также последующего его увеличения, если позволяет общая полоса
пропускания линии связи. Недостатки: неизбежное расширение полосы исполь­
зуемых системой частот при увеличении числа каналов, относительно низкая
эффективность использования полосы частот линии из-за потерь на «расфильтров­
ку», громоздкость и высокая стоимость аппаратуры, обусловленные в основном
больш им количеством фильтров.
9.2.2 . Временное разделение канальных сигналов. Многоканальные системы
с временным разделением канальных сигналов широко применяют для передачи
как аналоговой, так и дискретной информации. Сущность временного разделения
заключается в том, что все каналы поочередн о используют одну и ту же полосу
частот линии связи. Временное разделение может применяться только при
импульсной модуляции (см. § 3.5), когда из-за большой скважности между
импульсами одного канала образуется большой интервал времени, в котором
можно разместить импульсы других каналов.
Передающее и приемное устройства многоканальной системы с временным
разделением сигналов имеют электронные переключатели, назначение которых
периодически и синхронно подключать к линии передатчик и приемник ка н алов
системы. Частоту F повторения канальных сигналов (величина, обратная пе­
риоду подключения к ли н ии одного канала) выбирают согласно теореме Котель­
никова. С учетом реальных характеристик устройств обычно
F= (2,5-5)Fмакс,
(9.7)
где F.raкc - верхняя граничная частота полезных сигналов. Для синхронизации
работы переключателей передают вспомогательные синхро1-1нзирующие импуль­
сы, для которых отводят один или несколько каналов.
При временном разделении используют различные виды импульсной моду­
ляции: фазоимпульсную, широтно-им п ульсную, импульсно-кодовую, дельта-моду­
ляцию и др. При использовании радиолиний применяют двойную модуляцию,
на пример ФИМ-АМ, ФИМ-ЧМ, ИКМ- ЧМ, ИКМ - ОФМ.
В системах с временным разделением отсутствуют канальные полосовые
фильтры, стоимость - которых достигает 40% стоимости систем с частотным раз­
делением. При временном разделении каналов просто осуществить выделение ка­
налов на промежуточных станциях, без каких-либо ограничений количества
выделяемых каналов и с сохранением высокого качества передачи. Аппаратура
этих систем имеет малые габариты и массу, что обусловлено щироким приме­
нением микромодулей, интегральных схем, элементов цифровой вычислительной
техники.
Основной недостаток систем с временным разделением - необходимость
обеспечения синхронной работы коммутаторов каналов передатчика и приемни­
ка, относительная сложность изготовления аппаратуры на большое количество
каналов, рост полосы занимаемых частот с увеличением числа каналов, что
обусловлено уменьшением длительности передаваемых канальных импульсов.
Расширение полосы по сравнению с системами с частотным разделением оправ­
дывается высокой помехоустойчивостью импульсных методов передачи (ФИМ,
ИКД, ДМ), что является существенным преимуществом систем с временным
разделением.
Преимущества систем с временным разделением каналов обусловили их ши­
рокое распространение в телефонни, особенно систем с- импульсно - кодовой моду-
17*
251

ляцией и временным делением каналов (ИКМ-ВД). В этих системах применяют
компандирование речевых сигналов (см. § 3.5). В результате общее количество
уровней квантования, необходимое для обеспечения высокого качества, резко
уменьшается . Отличное качество передачи речевой информации при неравномер­
ном квантовании достигается при N1 =27 = 128 уровнях, хорошее - при 64 и
удовлетворительное - при 32. В современных системах используют 8-разрядный
код - семь информационных импульсов и восьмой для передачи сигналов управ­
ления работой автоматических телефонных станций.
Сист·емы ИКМ-ВД находят применение для уплотнения как городских, так
и междугородных телефонных линий. Их используют для передачи речевых, те­
левизионных, видеотелефонных сигналов и высокоскоростной передачи данных.
Восьмизначный код имеет кодовые комбинации, длина которых соответствует
одному машинному слогу (байту). Поэтому системы ИКД-ВД хорошо сопря ­
гаются с входными и выходными устройствами ЦВМ . Непосредственный син­
хронный ввод дискретной информации в ИКМ каналы позволяет получить ско­
рость передачи в стандартном телефонном канале около 64 кБод. При обычном
вводе информации, когда применяют ее двойное преобразование ( аналого-циф­
ровое и цифроаналоговое), максимальная скорость всего лишь порядка 10 кБод.
9.2 .3 . Частотно-временное разделение сигналов применяют для того, чтобы
использовать преимущества как частотного, так и временного уплотнения. Си­
стемы с частотно-временным разделением строят по следующему принципу:
предварительно производится уплотнение по времени, затем образовавшиеся
группы каналов подают на вход системы с частотным уплотнением, в которой
каждая группа каналов работает на своем несущем колебании. При таком ком-
. биниро ванном
методе уплотнения линий связи значительно увеличивается число
каналов системы и су щественно упрощается аппаратура по сравнению с систе­
мами только частотного уплотнения.
9.2 .4 . Разделение канальных сигналов по форме лежит в основе построения
широкополосных систем связи с шумоподобными сигналами-переносчиками
(см. § 3.3). Шумоподобные сигналы разr1шчной формы удовлетворяют условию
(9.6) линейной независимости. Для передачи можно использовать одну и ту же
полосу частот линий связи и передачу производить в одни и те же интервалы
времени. Поэтому эффективность использования линий связи существенно воз­
растает. Для разделения канальных сигналов в · приемн ике наиболее часто
используют квазиортогональность (см. § 3.3) шумоподобных сигналов.
9.2.5. Кодово-адресное разделение канальных сигналов объединяет преиму­
щества частотного и временного разделения и разделения сигналов по форме.
В системах с кодово : адресным разделением, чаще всего использующим УКВ
радиолинии, каждому абоненту (станции) присваивается адрес, который пред­
ставляет определенную кодовую последовательность, известную всем абонентам
системы . Абоненты одновременно используют общую полосу частот линии связи ,
поэтому системы с кодово-адресным разделением называют системами со сво­
бодным доступом . Связь между любыми двумя абонентами может осуществ­
ляться в любое время и вне зависимости от использовании линии в это время
другими абонентами. Основным фактором, сдерживающим рост числа одновре­
менно работающих абонентов, является увеличение уровня взаимных помех.
В качестве сигналов-переносчиков используют ансамбль сигналов, обладаю- ,
щих хоро шими корреляционными свойствами и пре жде всего малыми значениями
взаимокорреляционной функции. Такие сигналы, как уже отмечалось (см . § 3.3),
называют квазиортогональными. В системах с кодово-адресным разделением
используют как непрерывные, так и дискретные сигналы. В системах с непрерыв­
ными сигналами используют шумоподобные сигналы или двоичные псевдослу­
чайные последовательности (см. § 3.3).
Во многих системах с кодово-адресным уплотнением в качестве сигналов
используют набор элементов частотно-временной матрицы. С помощью ФИМ
или ДМ непрерыв ные сигналы преобразуются в последовательность импульсов
определенной длитеJТьности. Формирующее устройство передатчика (шифратор)
кодирует каждый двоичный информационный символ в дискретный адрес - на­
бор нескольких (трех-четырех) импульсов с различной частотой заполнения. ·
Управляемыми параметрами шифратора являются временные интервалы между
импульсами и частоты заполнения видеоимпульсов адресной последовательности :
252

Эти параметры и играют роль параметров селекции при разделении канальны х
сигналов.
.
Общее число время-частотных комбинаций импульсов в адресных последо­
вательностях достигает нескольких десятков тысяч (общее число абонентов) .
В приемнике перед демодулятором стоит дешифратор адресной последователь­
ности, который выделяет информационные сигналы только своего адреса . Демо ­
дулятор преобразует выделенные информационные импульсы в полезные сиг ­
налы. Приемник в таких системах работает как цифровой согласованный фильтр .
Важными достоинствами систем с кодово-адресным уплотнением линий свя­
зи являются высокая эффективность и надежность связи, более низкая стоимость
аппаратуры по сравнению с системами частотного разделения, высокая помехо ­
устойчивость .
Контрольные вопросы
1. В чем сущность· частотного, временного, частотно-временного, кодово-адрес­
ного разделения и разделения канальных сигналов по форме?
2. У1{ажите достоинства и недостатки наиболее распространенных способов раз­
деления канальных сигналов.
9.3 . ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНО!СТЬ УПЛОТНЕННЫХ ЛИНИЙ СВЯЗИ
Идеальное разделение канальных сигналов практически невозможно ни при
каком способе разделения. Поэтому реально всегда имеют место пер е ходные
помехи - на выходе i-ro канала появляются те или иные составляющие сигна­
лов j-ro канала (j=l =i, j = 1, п) . Появление переходных помех обусловлено по­
грешностями формирования канальных сигналов, искажениями сигналов в линии
связи и несовершенством разделяющих устройств приемника . Переходные помехи
независимо складываются и при большом числе каналов образуют гауссовский
флуктуационный шум. Следовательно, при расчете пропускной способности уплот­
ненных линий связи (многоканальных линий связи) необходимо, кроме обычной
аддитивной помехи, учитывать и переходные помехи .
Реальные полезные сигналы имеют или неограниченную полосу спектра при
конечной длительности, или неограниченную длительность . при ограниченной по­
лосе. Это приводит к тому, что и модулированные (канальные) сигналы обла­
дают этими же с в ойствами. Следовательно, всегда будут погрешности формиро­
вания канальны х с и гналов из - за одновременного ограничения и полосы спектра ,
и длительности сигналов , Из-за нелинейных искажений сигналов в лин ии , связи
появляются побочные составляющие, которые, попадая на в х од каналов вмест е
с полезными составляющими, играют роль аддитивного шума . Из-за несовершен ­
ства разделения кана ль ны х сигналов на демодуляторы отдельных каналов « про­
сачиваются» составляющие других сигналов, которые т а к ж е играют роль шуыа .
Обозначим через 1л;; коэффициент взаимного мешающего действия j-го ка­
нала на i - й канал. Этот коэффициент показывает , какая часть мощности сигнала
j-ro канала « просачивается» в i - й канал . Средняя мощность ;JJ; п е ре х одных по­
мех для i-ro канала от j -ro канала
~i = 1Ai;g;1;,
где ;JJ 1; - средняя мощность j-го канального сигнала.
Общая мощность помехи в i-м канале
п
.:l'2i = М [G2i (t)]+~ "-ijS' ,j,
i=l
(9.8)
(9.9)
253

где 1;; (i) - аддитивная помеха в i-м канале. Величдну fi12; и необходимо исполь­
зовать при оценке пропускной способности уплотненной линии связи. Подставив
(9.9) в формулу Шеннона (5.79) для гауссова канала, пол учим
п
С,,=~ Лfilog [!+ $"~i
]•
~
5"2; +~· Лij.Y'1j
j=l
(9.10)
где .Лf; - полоса частот i-ro канала; 9''2 ; =М.[1;2 ; (t)] - мощность флуктуацион­
ной помехи в i-м канале; fi11; - средняя мощность i-ro канального сигнала.
Из общей формулы (9.10) можно получить конкретные формулы для раз­
личных способов уплотнения. Например, есди л;;= •л, fi1ц=fi11;=fi1 1 , f11'2;=
=9''2,
то
п
5'' .
2L
~ Л;j5',j
j=l
п
Сп=I:Лfilog(1 +п~)·
i=l
(9.1 !)
(9. 12)
Условие (9 .1 1) означает, что суммарная мощность переходных помех намно­
го превосходит мощность флуктуационной по мехи . Есди взаимное влияние ка ­
налов одинаково, мощности канальных сигналов и по мех в ра зличных каналах
одинаковы, то нельзя увеличить пропускную способность уплотненной линии свя­
зи, увеличивая среднюю мощность сигналов - необходимо или уменьшать взаим­
ное влияние каналов, чтобы :л--+0, .или идти на уменьшение числа каналов п.
Уплотнение линий связи позволяет существенно повысить эффективность их
использования. Создание линий связи, особенно кабельных, связано со значитель­
ными расходами на сооружение сетей, по этому развитие методов уплотнения
целесообразно и с технической, и с экономической точки зрения.
Контрольные вопросы
1. Назовите основные причины появления переходных поме х ?
2. Как рассчитать пропускную способность уплотненной линии связи?
9.4 . ОПТИМ/ИЗАЦИЯ ПРОПУСКНОЙ СПО'СОБНОСТIИ УПЛОТНЕННЫХ ЛИНИЙ
'В СЕТЯХ СВЯЗИ
Оптимизация пропускной способности уплотненны х линий в сетях связи
является актуальной проблемой. Решить ее можно с помощью теории сетей
связи.
Покажем на простейшем примере, как можно оптимизировать пропускную
способность многоканальных линий связи (МЛС) сетей с коммутацией сообщений
и фиксированной процедурой выбора пути. Задачу оптимизации необходимо рас­
сматривать как технико-экономическую. В качестве критерия оптимальности
в прямой постановке задачи выберем среднее время Т задержки сообщений
в сети (см . § ,J0.4), в качестве ограничения - арендную плату ~ за подьзование
сетью. Необходимо так выбрать пропускную с посо бность МЛС, чтобы при за ­
данной арендной плате обеспечить минимальное среднее время задержки сооб­
щений. В обратной постановке задачи в качестве критерия оптимальности вы ­
ступает ~, а в качестве ограничения Т.
254

Строгое решение задачи вызывает большие трудности. Поэтому примем сле­
дующие допущения: потоки сообщений являются стационарными и пуассонов­
скими, сообщения - одноадресными, законы распределения времени передачи
сообщений во всех узлах связи - показательными , длина сообщений на входе
любого внутреннего узла связи - не зависима и случайна, емкость накопителей
сообщений на узлах - бесконечна. Предположим, что помехи и отказы аппара­
туры линий и узлов связи отсутствуют. Эти допущения позволяют получить
результаты в перво м приближении, полезные для практики.
Введем следующие обозначения: Лi - интенсивность потока сообщений на
входе i-й линии связи (сообщ./сут.); J/!t 11 -средняя длина сообщений, посту -
пающих в i-ю линию связи (слов/сообщ . ); С - щ1формационная пропу скная .
,способно-сть одноканальной линии связи (слов/с ут); С i - эквивалентная инфор­
мационная пропускная способность i-й многоканальной линии связи, рассматри­
.ваемой в определенном смысле как одноканальной (с лов/сут); т - 1юличество
узлов связи в информационной сети; .JltiC - интенсивность передачи сообщений
по одноканальной линиии связи (сообщ./сут); .Jl{iC; - эквивалентная интенсив ­
ность передачи сообщений по многоканальной линии связи (сообщ./сут); ni -
число каналов в i-й многоканальной линии связи; s; - арендная плат.а в единицу
времени за использование единицы пропускной способности i-й линии связи
(руб./слово); W - арендная плата в единицу времени за пользование информа­
ционной -сетью (р уб/ сут· сеть); '\'i; - интенсивность пост у,пления сообщений
в сеть от источника в узле i к адресату в узле j (сообщ./сут); у=~~ Y;i-
j
общая интенсивность поступления сообщений от внешних источников ( сообще­
ний/сут), определяемая суммированием '\'i; по всем источникам и адресатам;
,11{- - средняя длина сообщений по всем источникам; С0 - суммарная емкость
всех линий связи в сети; р =v /.Jl{C 0 - нагрузка сети, для установившегося ре­
жима p<l.
Для строгого определения Т следует рассматривать многоканальную сетевую
систему массового обслуживания с ожиданием. Целесообразен более простой
путь замены сетевой многоканальной системы некоторой эквивале нтной по сред­
не му времени задержки сообщений сетевой одноканальной системой. Если поток
сообщений в i-й многоканальной системе распределяется равномерно между n;
каналами, то приближенно эквивалентная одноканальная i-я система имеет
интенсивность передачи сообщений
(9.13 )
Отсюда
ni=Лi [Ai+.Jlti (С-С;)].
(9.14 )
Среднее время задержки сообщений в сети
т
Т= ~ Т;Л;/у ,
i=I
где Лi/v- опrосительное количество сообщений, которые задерживаются в i-м
узле; Т; - задержка сообщений в i-м узле . Учтем, что Ti = 1/(.Jl{;C;-Лi), тогда
т
'1
Л;
Т= lJ у (J/!t;C; - Л;) [сут/сообщ.] .
i=I
Арендная плата за пользование сетью
т
,f/= ~ s;C; [руб./сут-сеть] .
i=l
(9.15)
(9. 16)
255

Оптимальную пропускную способность МЛС определим методом неопреде­
ленных множителей Лагранжа. Для прямой задачи вспомогательная функция
Лагранжа имеет вид
L(C;, л)= ty(.Att~1-Лt) +л(.'9'*-t sict),
i=I
i=I
(9.17)
где л - множитель Лагранжа; 'l/* -
допустимая арендная плата. Продифферен­
цировав (9.17) по С; и л, получим систему т+ 1 уравнений относительно не-
известных С; (i= 1, т) и л.
~- 1 !J;,o!Jtf/cym-cem1,
10 t--+ -'t-+- - --: .+ - -+.,+--t,,'!P,----,
8t---t----~
5 1-~:t-f~--j - - -,""7'f-71'-f -t-+ ---1
4 ...,..._-+--++--т'l_.__,.,,.__,._..-+--t--+---1
2~~~.____....__~~~--
[},4 о,о о,вt 2
4 о в10 с,-ш5
а}
о;
Рис. 9.1 . Зависимости Т от с; (а) и 'l/ от с; (6)
Решив эти уравнения, получим оптимальную пропускную способность МЛС,
при которой среднее время задержки сообщений минимально,
-Л;
А;
;Sj
Л;sj
-(
тл)/т - ·
С;опт= J/;l; +V .AttCi .'9'* - ~
.Atj
~ V-:л;-• (9. 18)
Тмин=(tv 1/ Y[1(Y*-t
~ ;i )]-!
1=1
.
1=1
(9. 19)
Аналогично получаем оптимальное решение для обратной задачи
•
т
!
Л;
Л;
Л;si
*
Сiопт= ,:,:-+• ~ '1V- уТ ,
JVl/1
r~1.J
.Jltj
j=l
(9.20)
m
(m
)2
,rJмюs= ~ 11:: + (уТ*)-1 ~у1:Ji:i ,
i=l
i=I
(9.21
где Т* - допустимое время задержки. Рассмотренные здесь оптимальные задачи
поставил и решил Л. Клейнрок (Л. Клейнрок. Коммуникационные сети. - М.:
Наука, 1970).
256

Подставляя значение С;опт из (9.18), (9.20) в (9.14) и округляя полученное
зна·чение до ближайшего целого числа, можно приближенно получить оптималь­
ное число каналов в i-й МЛС.
Соотношения (9.18)-(9.21) позволяют для сети с коммутацией сообщений,
заданной структурой и известными инте нсивностями входящих потоков и харак­
теристиками передачи сообщений в узлах приближенно выбирать оптимальное
число каналов МЛС сети, чтобы при заданной арендной плате g'* средняя за­
держка сообщений в сети была минимальна. Если же задано допустимое сред­
нее время задержки Т*, эти соотношения позволяют приближенно выбрать опти­
мальное число каналов МЛС, чтобы арендная плата за сеть была минимальна.
Для иллюстрации зависимостей Т(С;), ~(С;) на рис. 9.1,а, 6 приведены
графики, просчитанные на ЦВМ для одной из сетей. Штриховые линии указы­
вают оптимальные значения С;опт и направления смещения экстремумов Тмин
и 31 мин. Анализ графиков показывает, что выбирая оптимальное значение про­
пускной способности МЛС, можно существенно по высить технико-экономическую
эффективность сетей.
Контрольные вопросы
1. В чем сущность оптимизации пропускной способности уплотненны х лини й
в сетях?
2. Сформулируйте и поясните прямую и обратную постановку задачи оптимиза­
ции пропускных способностей МЛС сети.
3. Поясните графики рис. 9.1 .
9.5.УПЛОТНЕНИЕ ЛИНИЙ И ИНТБГРАЛЬНЫЕ СЕТИ ОВЯЗИ
На данном этапе развития техники связи ' невозможно рассматривать спосо­
бы уплотнения линий без учета особенностей построения сетей связи и управ­
.11ения информационными потоками в них. Поэтому в теории сетей связи способы
уплотнения и концентрации каналов рассматривают совместно. Особое внимание
уделяется созданию интегральных сетей связи [4-6, 11], в которых используют­
ся общие принципы передачи дискретной (телеграфной и цифровой) и аналоговой
(речевой) информации в цифровой форме и единые способы разделения каналов
как при пер едаче сообщений по линиям, так и при их коммутации на автомати­
ческих телефонных станциях. Кратко рассмотрим общую характеристику спосо­
бов уплотнения линий связи в интегральных сетях, покажем связь способов
уплотнения с другими методами повышения эффективности сетей. Детально эти
вопросы излагаются в курсе теории сетей связи.
Концентрация в теории сетей рассматривается как динамическая процедура
распределения каналов, при которой п 1 входных каналов в соответствии с по­
ступающими запросами на их использование дина~ически распределяется меж ду
меньшим количеством n2 выходных каналов (обычно n1/n2= (2-5)). Концентра­
цию осуществляют с использованием коммутации каналов и комбинированных
методов коммутации сообщений. В отличие от уплотнения концентрация преду­
сматривает выравнивание нагрузки и повышение эффективности использования
различных каналов линий связи. Скорости ввода и вывода информащш в кон­
центраторах ие требуют согласования, но важную роль приобретают контроль
и анализ статистической информации об изменении нагрузки и образовании оче­
редей. Уплотнение и концентрация линий являются основными способами управ­
ления информационными потоками в сетях . Концентрацию с использованием
коммутации каналов иногда называют про с транственным уплотнением каналов.
Все большее распространение в сетях связи получают ИКМ и временное
разделение каналов. Применение дискретных методов в сетях связи позволяет
использовать все преи м ущества цифровой вычислительной техники для повыше­
ния эффективности с в я з и: н адежность, модульный принцип построения, использо­
вание интегральны х с хем, простота и др. А это в свою очередь способствует
существенному снижению стоимости каналообразующей аппаратуры. Другим
важным для построения сетей достоинством временного уплотнения каналов
257

является большое число каналов. Временное уплотнение хорошо совмещается
с методами построения систем спутниковой связи, в которых предпочтение также
отдается временному разделению. Например, магистральные линии сети передачи
данных «Datran» имеют емкость 4000 каналов со скоростью передачи данных
4800 бит /с, модульная конструкция каналообразующего оборудования позволяет
увеличить емкость до 8000 каналов . Применение ИКМ обеспечивает регенерацию
сигналов в узлах связи, что исключает накопление шумов.
В сетях связи, где применяют ИКМ и временное разделение каналов, важ­
ную роль играет синхронизация . Аппаратуру временного уплотнения •создают
так, чтобы ошибки в каналах могли вызвать ошибки в передаваемых сообше­
ниях, но не в сигналах синхронизации и управления, так как это ведет к значи­
тельным потерям информации. Это достигается без существенного снижения
пропускной способности каналов связи, в результате применения корректирую­
щего кодирования всех наиболее важных сигналов синхронизации и управления.
Следует отметить применение в сетях связи асинхронного временного уплот­
нения, которое является гибридной формой уплотнения и концентрации. Асин ­
хронное временное у п лот н ение позволяет увеличить эффективность использ ова­
ния каналов связи благодаря тому, что каналы представляются пользователям
только во время их активности. Для асинхронного временного уплотнения не­
обходимо использовать и анализировать статистические данные по текущей
активности абонентов, поэтому его часто называют статистическим уплотнением
[8]. Недостатками этого вида уплотнения явля19тся высокая стоимость з начи­
тельно более сложных схем адресации, управления и накопления данных, воз­
можность потерь информации при высоких нагрузках .
Таким образом, для построения интегральных сетей связи, предназначенных
для передачи информации самого различного характера в цифровой форме, при­
меняют методы синхронного и асинхронного временного уплотнения и методы
концентрации, основанные на коммутации каналов, коммутации сообщений,
а также на коммутации каналов и сообщений. Совместное рассмотрение этих
методов с позиций анализа, синтеза и оптимизации сетей связи выполняется
в теории сетей связи.
Контрольные вопросы
1. Какую роль играют способы уплотнения линий в интегральных сетях связи?
2. Что такое кон центрация? Чем она отличается от уплотнения?
3. Какие способы уплотнения получили в сетях связи наиболь ш ее распростра­
нение?
4. , Как и е меры принимают для повышения н адежности синхронизации и управ­
ления в сетях связи?
9.6, выводы
1. Основной проблемой уплотнения л и ний связи является разделение каналь­
ных сигналов - выделение канальных сигналов из искаженного принятого линей ­
ного сигнала. Необходимым условием разделимости является условие линейной
независимости канальн ых сигналов (9 ,6), достаточным - условие их ортогональ­
ности (2.1) .
2. Наиболее распространенными способами разделения канальных сигналов
являются частотное, временное, частотно-времен н ое разделение, разделение сиг ­
налов по форме и кодово-адресное разделение.
3. Пропускная способность уплотненной линии связи (9 . 10) определяется
погрешностями формирования канальных сигналов , искажениями сигналов и по­
мехами в линии связи, несовершенством разделяющих устройств приемни к ов.
Не.1ьзя увеличить пропускную способность уплотненных линий, увеличивая мощ­
ность канальных сигналов, необходимо уменьшать и взаимное влияние каналов.
4. Рассмотрение уплотнения линий связи с более общих позиций повышения
эффективности сетей связи, построенных на этих линиях , приводит к необходи·
мости оптимального выбора пропускной способности (числа каналов) каждой
258

линии. Решают прямую и обратную задачу оптимизации пропусююй способности
уплотненных .1щний связи. В прямой задаче определяют оптимальную пропуск­
ную способность линии в сети связи, чтобы обеспечить среднее минимальное
время задержки сообщений в сети при ограниченной арендной плате за пользо­
вание сетью. В обратной задаче минимизируют арендную плату за сеть при за­
данной допустимой средней задержке сообщений в сети. Оптимальная пропуск­
ная способность уплотненных линий связи сети растет с увеличением допустимой
арендной платы за сеть, а минимальное среднее время задержки сообщений
падает .
5. Уплотнение линий связи в сетях рассматривают совместно с другими
способами управления информационными потоками и повышения эффективности
передачи информации . Различные способы уплотнения играют важную роль
в создании перспективных интегральных сетей связи, в которых все виды инфор­
мации передаются в цифровой форме.
Наибольшее распространение в таких сетях получают импульсно-кодовая мо­
дуляция и временное уплотнение . В сочетании с методами концентрации (мето­
дами коммутации каналов и сообщений) методы цифровой передачи информации
и различные способы временного уплотнения линий связи играют важную роль
в повышении эффективности сетей . Рассмотрение методов упJJотнения и конuен­
трации с единых позиций производится в теории сетей связи.

Глава 10
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
10.1 . ОСОБЕННОСТИ · ОЦЕНl~И ЭФФЕIПИ 'ВНОСТIИ
Основной особенностью современного этапа развития теории информации и
передачи сигналов является использование системного подхода к оценке эффек­
тивности передачи информации. При этом подходе учитываются все факторы,
влицющие на достижение цели передачи информации и выполнение системой
или сетью связи основных задач. Цель и задачи , решаемые системой, рассматри ­
вают с учетом ее влияния на другие системы, на окружающую среду и, особен -
'
но, на систему более высокого иерархического уровня. Можно опр едел ить одну
из двух главных целей функционирования систем и сетей связи: обеспечение
максимального количества передачи информации при фиксированных затратах
и обеспечение требуемого качества передачи информации при минимальных за­
тратах. И в том и в другом случае необходимо произвести оценку те х нико­
экономической эффективности системы с учетом ее надежности и других факто­
ров, влияющих на качество передачи информаци:-~ [4, 8, 11, 16].
При выборе комплексного показателя технико-экономической эффективности
системы исходят из того, что он должен иметь прямую связь с ее целевым на­
значением, объективно характеризовать все ос н овные свойства, быть чувстви­
тельным к изменению определяющих параметров системы и наряду с этим
должен быть достаточно простым, чтобы им можно было пользоваться на
практике. Трудность заключается еще и в том, что не все цели, системы можно
адекватно отразить в количественной форме. Например, трудно измерить сте­
пень удовлетворения потребности людей в общении с помощью средств связи.
Разработка и исследование комплексных и интегральных показателей каче­
ства передачи информации - одна из важных и а rстуальных проблем. Ей уде­
ляется большое внимание, и в этом направлении уже получены первые результа­
ты. Частные показатели технической эффективности, которые нашли практич е ­
ское применение в задачах оценки эффективности систем и сетей связи, рассма­
триваются в следующих параграфах.
Контрольные вопросы
!. Какой подход к оценке эффективности передачи информации используют на
современном этапе развития теории информации и передачи сигналов?
2. Из каких соображений выбирают комплексные показатели эффективности си­
стем и сетей связи?
'10 .2 . ЭФФЕКJiИВНОСТЬ ПБРЕДАЧ;И ДИОКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
10.2.1. Для . оценки эффективности передачи дискретных сообщений приме­
НIПОТ 1[2] коэффициент использования мощности сигнала
R
~5' =
"'" Q [бит]
v/0
(!О.!)
260

и коэффициент использ о вания полосы ЛFк частот канала
(10.2)
где R - скорость передачи информации; [1J - мощность сигнала; Q0 - спектраль­
ная плотность помехи. Учтем, что Qо= ,а2/ЛFк, [JJ/,a 2 =h1, тогда
(10.3)
Следовательно, показатели технической эффективности ~ и '\' связаны про:
стым соотношением ('10.3), что позволяет пользов аться тем из них, которыи
более подходит для оценки качества системы конкретного типа. Например, для
{)ЦеНI<И эффективности радиосистем чаще применяют показатель !/', а для
{)Ценки эффективности проводных систем связи -
'\'F ·
По физическому смыслу ~;;:0 и Ур - это то удельное количество информации,
которое можно перед ать по каналу при заданном отношении сигнал/шум или
при фиксированной полосе канала.
Предельные оценки р3, 0 и Ура можно получить, используя в соотно шен иях
(10.1}-(10.3) выражение для пропускной способности системы (5.38) вместо R;
например, для двоичных систем, получим
Р3·0=[1+РоlogРо+(1- Ро)log(1- p0)]/fi"
)'Fo = ,(l+Po log Po+(l-po) log (1-ро)]/IЛFкТ,
где h1 =РТ / iQ 0 ; Т- длительность сигнала.
(10.4)
(10.5)
Следовательно, предельное значение коэффициента использования мощности
определяется вероятностью ошибки р0 и отношением сигнал/шум. С ростом р0
и 111 величина ~о уменьшается. Предельное
значение коэффициента использования полосы
канала падает с ,ро·стом Ро и 1базы сигнала.
Для сра.внения на рис. 10.1 [2] показаны Yro
графики зависимостей (10.5) (сплошные кри-
--..,
ФТ,АN11
вые) и (10.4) , (штриховые 1кривые) от р0 при O,f/. f -------, 1 --------+ --- --1 ,~'- JI0,8
фазовой телеграфии, ча,стотной телеграфии и
,;т
амплитудной манипуляции. Как и следовало
_
_ __ .,:_
<Jжищать, мощность наилучшим образом ис- · 0,21----+ ---+ --~- " .::~
пользуется ,в системах ФТ, а rполоса в •систе­
мах ФТ и АМн. Минимальная ширина спектра
высокочастотных сигналов при ФТ и АМн рав­
на 2/Т, а ЧТ сигналов - 4/Т, поэтому кривые
ФТ и АМн для '\'о ,сливаются. Анализ -графиков
показывает, что повышение ,юоэффициента
использования мощности вызывает снижение
коэффициента использования полосы частот .
Рис . 10.1 наглядно иллюстрирует характер «об­
мена» мощности сигнала на полосу занимае­
мых частот.
Di.- =~==-- --=:::....J. ....:. .:.:L..J
t(j-8
Рис. 10.1 . Зависимость
'\'Fo от Ро
10.2 .2 . Для повышения эффективности передачи дискретных сообщений при­
меняют разнесенный прием сигналов, прием в целом, каналы обратной связи,
широкополосные (шумоподобные) сигналы, адаптивную коррекцию характери­
стик каналов и другие способы.
Сущность разнесенного приема рассмотрена в § 6.6. Разнесенный прием су­
щественно повышает эффективность передачи дискретной информации, так как
снижает вероятность ошибки. Вероятность ошибки разнесенного приема по ме-
261

тоду голосования, когда решение принимается по большинству принятых нулей
или единиц,
п
Рп = ~ Ciпio (1 - Po)n-i,
i=k
(! 0.6)
где k - число каналов, в которых произошла ошибка; п-'- число независимых
каналов. Обычно п выбирают нечетным, чтобы упростить схему голосования .
Предположим, что р0 = 10-з, n= 3, тогда р3=3р20=3 •1Q- 6 • Следовательно,
даже в постейшем случае разнесенный прием приводит к уменьшению вероятно­
сти ошибки примерно на три порядка.
Сущность приема в целом заключается в том, что вместо двух решающих
схем в приемнике применяют одну и решение принимают по сигналу, соответст­
вующему всей кодовой комбинации. Эффективность приема в целом выше бла­
годаря тому, что в работе приемника использ уется та часть полезной информа ­
ции с выхода первой решающей схемы, которая при поэлементном прием е
теряется после того, как первая решающая схема приняла решение. Поэлемент­
ный прием и прием в целом равн оценны только в случае кодирования без избы­
точности.
Аппаратурная реализация приема в целом достаточно сложна и требует
применения набора фильтров, согласованных с сигналами, которые соответствуют
всем разрешенным кодовым комбинациям. Поэтому разрабатывают методы при­
ема, промежуточные между поэлементным приемом и приемом в целом, в которых
во второй решающей схеме используется часть информации о непрерывном сиг­
нале на входе первой решающей схемы. Эффективность передачи сообщений
.такими методами возрастает, а сложность аппаратурной реализации остается
приемлемой.
Системы с каналалш обратной связи являются разновидностью дуплексных
систем (системы, в которых может производиться одновременно независимый
двусторонний обмен информацией между пользователями), в которых пропуск­
ную способность каналов обоих направлений частично используют для передачи
дополнительной информации, способствующей повышению эффективно сти пере­
дачи. Обычно по каналу обратной связи передают лишь сигналы, полезные для
коррекции ошибок в прямом канале. Различают системы с информационной
обратной связью (ИОС) и системы с решающей (управляющей) обратной
связью (РОС).
В системах с ИОС по каналу обратной связи непрерывно поступает инфор­
мация о том, в каком виде по прямому каналу принимаются сообщения. По
результатам анализа этой информации передающее устройство принимает ре­
шение о степени соответствия принятого сообщения переданному и изменяет
способ передачи, если имеются ошибки. Например, может быть увеличена мощ­
ность передатчика, выполнено полное повторение ошибочно принятого сообще­
ния, изменена избыточность кода, полностью _ прекращена передача, если прямой
канал находится в плохом состоянии.
Если вероятность ошибки в обратном канале близка к нулю, применение
ИОС может обеспечить существенное повышение эффективности передачи сооб­
щений. Это достигается ценой усложнения аппаратуры и снижения скорости
передачи информации, так как по существу используется временная избьпоч­
ность для повышения верности. .
В системах с РОС в приемнике непрерывно осуществляется оценка верности
передачи сообщений и лишь при появлении ошибки по каналу обратной связи
посылается сигнал запроса повторения. Обратный ка на л используется значитель­
но реже, чем в системах с ИОС. В остальное время он может применять<:'я как
прямой канал обратного направления . Это существенное достоинство систем
с РОС. Использование корректирующих кодов и детекторов качества сигналов
позволяет существенно повысить верность и скорость передачи. Применение
обратной связи упрощает коды, так как они работают в режиме обнаружения
ошибок. Соответственно упрощается и аппаратурная реализация систем.
Применение шумоподобных переносчиков позволяет не только прибли зить
скорость передачи информации к пропускной способности канал.ов, но и сущест-
262

венно повысить верность передачи сообщений, особенно по многолучевым радио­
каналам с сосредоточенными помехами. База шумоподобных переносчиков v =
= 10 2-103 • Используя многолучевое распространение как основу разнесенного
приема, удается существенно повысить верность и в радиоканалах с селектив­
ными замираниями.
В широкополосных системах интервал корреляции коэффициента передачи
'-.
канала гораздо меньше длительности сигналов. Если время взаимного запазды­
вания сигналов будет больше времени их коррел,,:ции, то сигналы отдельных
лучей будут полностью разделены коррелятором. Тогда для использования раз­
несенного приема остается выполнить коррекцию их фаз и амплитуд, а затем
сформировать результирующий сигнал. Повышение помехоустойчивости дости­
гается введением временной и частотной избыточности сигналов.
В одной из первых широкополосных КВ радиостанций «Rake» (1956 г.)
широкополосньrе сигналы создавались на основе линейных рекуррентных после­
довательностей биполярных коротких импульсов длительностью т= 1/F, распо­
ложенных псевдослучайно внутри сигнала общей длительностью Т"'.2:>т (см.
§ 3.3). В системе «Rake» F=lO кГц, Т=22-1О- 3 с, поэтому v/2=220. В настоя­
щее время сигналы создаются с помощью регистров сдвига, охваченных цепями
обратной связи ( см. § 8.2) . Обеспечение верности передачи достигается за счет
ухудшения эффективности использования полосы частот, так как y 0~2/v« 1
(см. (10.5)).
Адаптивная коррекция характеристик каналов заключается в периодическом
зондировании канала испытательным импульсом, который отделен от информа­
ционного пакета сигналов защитным интервалом, в текущем измерении и, если
требуется, в коррекции коэффициента передачи канала. Синхронные системы
адаптивной коррекции каналов сочетают возможности обеспечения высокой ско­
рости передачи дискретных сообщений и временного уплотнения линий связи.
Контрольные вопросы
1. Какие применяют показатели технической эффективности передачи дискрет­
ных сообщений?
2. Сравните эффективность систем с ФТ, ЧТ и АМн двоичными сигналами.
3. Поясните сущность способов повышения эффективности передачи дискретных
сообщений.
'10 .3 . ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПЕРЕ\д!АЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СОО6ЩЕНИЙ
10.3.1. Оценка эффективности. Уже отмечалось, что оценка эффективности
передачи непрерывных сообщений - это оценка эффективности способа модуля­
ции. Для оценки эффективности обычно используют выигрыш по отношению
сигнал/шум и коэффициент использования пропускной способности канала (5.87)
Для оценки эффективности 1) многоступенчатых и цифровых видов модуля­
ции применяют методы, изложенные в § 7.5, 7.6 .
В табл. ,10 ·[2, 3] приведены данные сравнительного анализа эффективности
различных видов модуляции, полученные при 1Jh1~40 дБ и пик-факторе П= V2
для гауссова канала _при оптимальной обработке сигналов. Анализ показывает,
что лучше всего используется пропускная способность канала при однополосной
модуляции, однако потенциальная помехоустойчивость этого вида модуляции
низка (ТJ1 = 1). Фазовая и частотная модуляция при больших индексах прибли­
жаются по потенциальной помехоустойчивости к идеальной модуляции (ИС)
(выигрыш составляет десятки и сотни раз), но коэффициент использования
канала мал (0,19-0,32) из-за большой частотной избыточности модулированных
сигналов.
263

Метод
модуляции
АМ
БМ
ом
ФМ
ФМ
ЧМ
ЧМ
ис
2
2
1
2
20
2
20
20
Таблица 10
1)
0,67 0,36 0,48
--- --- ---
1 0,5. 0,5
--- -
--
1
1
1
-
---
--
1 0,5 0,5
--- -
-
-
!ООО 50 О.,19
--- ---
3 1,5 0,5
--- -
-
-
3000 150 0,32
--- ---
6310 315
1
10.3.2. Повышение эффективностк
передачи непрерывных сообщений.
Основными способами повышения
эффективности передач.и непрерывных
сообщений являются устранение ,11з­
быточности, статистическое уплотне­
ние, применение цифровых видов мо­
ду лящии.
Большая избыто <tность непрерыв­
ных сообщений - одна из основных
пр ·ичин снижения эффективности си­
стем. Поэтому развиваются спо.собы
устранения избыточности. Все они
основаны на _ци~ретной передаче !Не
самоrо •СИ['наЛ:а, а его наиболее ха­
рактерных параметров, из,менение ,1ю­
то-рых во ,времени протекает -гораздо
медленнее, чем изменение ,са'Мого
сигнала. 0тот п-рsнцип используют
в вокодерах, видеокодерах и телеко­
дерах - устройствах для компрессии
спектров телефонных, sлдеотелефо:н-
ных s телевизи·онных сигналов .
Вокодеры (сокращение английского названия «voice соdег» - кодировщик
голоса) - это телефонные системы с пара м етрической ком прессией спектров ре­
чевых сигналов. Вместо текущего спектра передается информация о параметрах
сигналов: спектральных уровнях в узких диапазонах частот сигнала, частотах н
уровнях формант (областей спектра сигнала с увеличенным з начением ампли­
туд), основном тоне, фонемах (элементах речи, воспринимаемых как одно целое
и однородное; для речи фонемы то же, что буквы для письма) и др. Избыточным и
элементами речевых сигналов считают высоту тона, тембр, акцент, интонацию
и т. п . На рис. 10.2 показана структурная схема вокодера. Анализатор сообще­
ний выделяет наиболее характерные параметры речевого сигнала. Формировател ь
тем или иным способом кодирует процесс изменения этих параметров для пере­
дачи по линии связи . В приемнике при декодировании выполняется оценк а
принятых параметров сигнала и полученные оценки используются в синтезаторе
сообщений для воспроизведения копии речевого сигнала.
Источник.
Анализатор
</>орN11роDатсль
cootiщeнuii
cootlщr:ншi
mzpaнr:mpo!J
cootfщr:ншi
Ланшr
Jfсточнак
сDлзи
помех
Получатель
соdбщенаii
Синтезатор
cuotiщe11u.il
Оценка
париметроD
coalfщc1111ii
Рис. 10.2. Обобщенная структурная схема вокодера
Теоретически спектр речевого сигнала можно сжать примерно в 200 раз , что
позволяет использовать полосу 15-20 Гц. Однако предельная компрессия аппа­
ратурно трудно реализуема. Кроме того, теряется узнаваемость речи говорящего .
Разработаны вокодеры с сохранением узнаваемости, которые используют полосу
100-200 Гц, что соответствует 15-3O-кратной компрессии спектра и такому же
увеличению ;11ополнительноrо числа каналов в уплотненных линиях. Например,
один из деиствующих малогабаритных цифровых вокодеров занимает объем:
0,12 :м 3 , включая и источники питания, и обеспечивает высокую натуральность
речи при скорости передачи и нформации 2400 бит/с [8] .
Задачи устранения избыточности видеотелефонных и телевизионны х сообще­
ний еще более актуальны. Достаточно указать, что только двукратная компрес-
264

сия спектра телевизионного сигнала позволяет организовать в освободившейся
полосе частот в 2 МГц дополнительно около 700 телефонных каналов. Передача
видеотелефонного сигнала в аналоговой форме требует полосы около 1 МГц.
Если применить цифровую передачу методом дифференциальной ИКМ, использо ­
вать статистическое кодирование, линейное и нелинейное предсказание сигналов,
можно обеспечить более чем 5-10-кратную компрессию спектра видеотелефон­
ного сигнала. Например, цифровой видеокодер фирмы «Филко - Форд» для пе­
редачи черно-белых малоподвижных изображений (говорящих по телефону
людей) использует стандартный телефонный канал [8]. Успехи в создании теле­
кодеров пока еще не столь значительны.
В обычных системах статистические особенности использования каналов або­
нентами не учитывают. Если эти особенности учесть, можно существенно . повы­
сить эффективность передачи сообщений. Сущность статистического уплотнения
заключается в том, что паузы в передаче и свободные полосы частот, обуслов­
ленные статистическими особенностями источ~шков информации, используют для•
организации дополнительных каналов и передачи дополнительной информа- -
ции [8].
•
Наибольшее распространение получили телефонные системы статистического,
уплотнения, в которых дополнительная аналоговая или дискретная информация
передается в паузах между речевыми сигналами. Передача дополнительной
информации повышает коэффициент использования уплотненных линий с 37 до •
90% (8]. Эффективность статистического упл отнения тем выше, чем -больше ка­
налов. Например, в 12-канальной системе эффектив ность статистического уплот­
нения равна 1,5 (в среднем образуется дополнительных 6 каналов), в 96-каналь- ­
ной системе эффективность статистического уплотнения 2,45, следовательно , до- ­
полнительно организуется около 140 каналов - больше, чем в самой системе .
Управление динамической нагрузкой каналов позволяет повысить эффектив ­
ность статистического уплотнения до 2,74 раза. Сущность этого способа заклю ­
чается в контроле и выравнивании реальной нагрузки различных каналов, в ре­
зультате коэффициенты использования всех каналов примерно одинаковы.
Сейчас уже очевидно, что применение цифровых способов для повышения
эффективности передачи непрерывных сообщений является магистральным на ­
правлением . Развитие интегральной микроэлектроники и цифровой вы числитель ­
ной техники, проникновение в технику связи программных способов у правлени я
процессами передачи сообщений, пруимущества унификацин и стандартизапии
цифровых элементов и модулей аппаратуры, приближение характеристик цифро­
вых видов модуляции к характеристикам идеальной модуляции - все это со­
здает объективные предпосылки для дальней ш е го развития высокоэффективных
цифровых · способов передачи непрерывных сигналов.
Контрольные вопросы
1. Какие применяют пока затели технической эффективности передачи непрерыв­
ных сообщений?
2. Сравните эффективность различных видов модуляции.
3. Поясните сущность и сrавните и звестные способы повышения эффективности
передачи непрерывных сообщений.
10.4 . ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ В СЕТЯХ
Современные сети связи построены с использованием большого числа разно ­
родных систем, узлов и линий связи. Поэтому для оценки и повышения эффек­
тивности передачи информации в сетях находят применение все рассмотренные
ранее методы. Однако этого недостаточно, так как сети связи являются качест­
венно новым видом объектов информационной технцки, что ведет к необходи­
мости разработ ки принципиально новых методов оценки и по вышения эффектив­
ности [11]. Детально все_ эти методы изучают в курсе «Теория сетей связи», мы
рассмотрим лишь характерные особенности оценки эффективности сетей и спо­
собов ее повышения.
18-886
.
265 .

В отличие от систем связи конкретного назначения, для которых скорость
передачи информации и достоверность являются основными техническими харак­
теристиками качества, в сетях связи на первый план выступают такие комплекс­
ные показатели эффективности передачи информации в сетях, как общее число
узлов или конечных пунктов, общая длина линий (каналов), годовой объем
переданной информации, стоимость сети или приведенные затраты, номинальная
мощность сети по пропускной способности, фактическая загрузка сети, время
доставки информации, относительное число потерянных вызывов и задержек,
показатели полезного использования времени абонентов, коэффициенты готов­
ности основных элементов сети 1[16], показатели связности и живучести, пока­
затели использования узлов и каналов, и многие др. '[ 11].
Особенности выбора и использования для оптимизации сети т аких крите­
риев эффективности, как среднее время задержки сообщений и аре ндная плата
за сеть, рассмотрены в § 9.4 . В любой сети изменение скорости передачи инфор­
мациi'i, увеличение времени установления соединения, увеличение уровня помех
в канал«х и искажение сигналов, отказы аппаратуры и другие процессы неизбеж­
но влияю-r на задержку сообщений в сети. Поэтому среднее время задерЖ!(И
сообщений в сети можно рассматривать как комплексный критерий.
Для повышения эффективности передачи информации в сетях могут быть
использованы любые технически и экономически целесообразные способы. В чис­
ле основных способов следует отметить пере ход на автоматическую коммутацию
каналов и сообщений, оптимальное сочетание программных и аппаратурных мето­
дов коммутации и управления, применение цифровы х способов передачи инфор­
мации, коммутации и управления (интеграция принципов работы систем сети),
повышение качества синхронизации и применение асинхронного принципа,
использование все более высоких частот радиоканалов (развитие радиорелейных
линий), применение · спутниковых линий связи для резервирования наземных
линий, оптимальное сочетание методов централизованного и децентрализованного
управления сетями, применение динамического соrласова~шя нагру зки различных
линий и каналов сетей, разработку теоретических методов структурной и пара­
метрической оптимизации сетей с многополюсными потоками, многоадрес ны ми
-сообщ ен ия ми и с приоритетами сообщений, все более широкое внедрение элемен­
тов и устройств цифровой вычислительной техники.
Контрольные вопросы
1. Назовите комплексные показатели эффективности передачи информации
в сетях.
:2. Какие используют способы повышения эффективности передачи информации
в сетях?
10.5 . выводы
1. Оценка эффективности передачи информации была и остается актуальной
задачей теории информации и передачи сигналов. По мере развития теории и
техники связи все более очевидной становится необходимо сть системного подхода
к оценке эффективности. Системный подход позволяет произвести технико-эко­
номическую оценку эффективности с учетом в заимосвязи основных технических
·и экономических показателей качества передачи информации . Это направление
интенсивно развивается.
2. Для оценки эффективности передачи дискретных сообщений практическое
распространение получили коэффициент использования мощ ности сигнала и ко­
эффициент использования полосы частот канала. По физическому смыслу оба
коэффи циента пока з ывают то максимальное удельное количество дискретной
информации, которое можно передать по каналу при фиксированном отношении
-сигнал/шум или при фиксированной полосе частот канала. Увеличение эффек­
тивности использования мощности всегда связано с уменьшением коэффициента
использования полосы.
Эффективность передачи дискретных сообщений можно повысить, применяя
· разнесенный прием сигналов, прием сигналов в целом, широкополосные сигналы,
·266

адаптивную коррекцию характеристик каналов связи, вводя каналы обратной
связи, и другими методами.
3. Оценка эффективности передачи непрерывных сообщений сводится к оцен­
ке эффективности метода модуляции. Для этого обычно используют обобщенный
выигрыш по отношению сигнал/шум и коэффициент использования пропускной
способности канала. При цифровой передаче непрерывных сообщений исполь­
зуют методы оценки эффективности многоступенчатых видов модуляции. Эффек­
тивность передачи непрерывных сообщений повышают, устраняя избыточность
сообщений, применяя статистическое уплотнение, цифровые способы переда­
чиидр.
4. Оценка эффективности передачи информации в сетях является сложной
и малоизученной пробле мой. Особенности выбора и использования таких крите­
риев эффективности, как среднее время задержки сообщений и арендная плата -
- _ за сеть рассмотрены в § 9.4. Эти комплексные критерии связаны со всеми основ­
ными техническими и экономическими показателями качества п е редачи инфор­
мации и могут быть полезны при решении задач анализа эффективности и опти­
малы-rого синтеза сетей.
Для повышения эффективности передачи информации в сетях применяют
большинство рассмотренных методов теории •информации и передачи сигналов,
а также разрабатывают принципиально новые методы, которые в совокупности
образуют теорию сетей связи.

Зд,КЛЮЧЕНИЕ
Рождение теории информации и передачи сигналов как самостоятельной
н ауки относят к середине 50-х годов и связывают с фунда м ентальными работами
В. А. Котельникова и К. Шеннона. За тридцать лет эта наука развилась в такой
степени, что стала учебной дисциплиной во многих вузах нашей страны.
Трудами советских и зарубежных ученых и инженеров созданы и продол­
жают создаваться фундаментальные методы анализа, синтеза и оптимизации
информационных систем. Развивается математическое моделирование процессов
передачи сообщений, разрабатываются и внедряются новые методы модуляции,
методы анализа нестационарных непрерывных кан ал ов, неоднородных асиммет­
ричных дискретных каналов, неоднородных асимметричных дискретных каналов
с памятью, развиваются теория многолучевых радиоканалов, помехоустойчивые
методы и алгоритмы передачи информации, в которых учитываются ненадеж­
ность аппаратуры и отклонение характеристик устройств от идеальных, строятся
математические модели сложных помеховых ситуаций, интенсивно развивается
корректирующее кодирование, дальнейшее развитие получают теория систем
с обратной связью, теория адаптивных систем '[12] и т. д. и т. п.
Методы теории информации и передачи сигналов все шире применяют для
решения практических задач повышения качества п ередачи информации и эффек­
тивности систем и сетей связи, радионавигационных · и радиолокационных систем,
автоматизированных систем управления воздушн ы м движением и посадки само­
.летав, вычислительных систем, информационно-логических измерительных ком­
.плексов и многих др уги х.
Основные тенденщш и перспективы теории информации и передачи сигналов
,следующие:
-
широкое внедрение цифровых методов перед а чи сообщений и временного
_уплотнения каналов и использование в теории и тех ни ке связи методов и средств
,.цифровой вычислительной те хники;
-
рост удельного веса алгоритмических и программных методов управления
. процессами передачи информации;
-
применение широкопо л осных методов и систем передачи и,-1формации;
-
широкое использование детекторов качества сигналов и корректирующего
: кодирования;
-
применение адаптации для оперативной коррекции характеристик кана­
лов, устранения избыточности сообщений, ст а тистического уплотнения и т. п. ;
-
разработка методов оценки эффективности перед ачи информации с пози­
ций системноrо подхода;
-
применение цифрового и статистического моделирования процессов переда­
· чи сообщений для анализа и синтеза информационных систем;
-
широкое внедрение функционально-модульного принципа построения
:информационных систем.
•
Глубокое и всестороннее развитие теории информации и передачи сигналов,
·тесно связанное с практическими потребностями информационной техники, твор­
'Ческое освоение ее методов учеными и инженерами позволяет успешно повышать
,качество передачи информации и эффективность эксплуатируемых и проектируе­
;мых систем.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В теории информации и передачи сигналов широко используют такие фун­
дамент.альные понятия функционального анализа, как преобразование про­
странств, функция, оператор, функционал, функциональный оператор, линейность
и· нелинейность преобразования и др. Поэтому необходимо в систематизирован­
ном и доступном виде кратко изложить основные сведения об этих понятиях.
Рассмотрим два множества математических объектов А и В (чисел, функций
и т. п.) и предположим, что нам известен закон Q, согласно которому любому
<>бъекту А;, принадлежащему множеству А (А;е:А), ставится в соответствие
определенный объект В;еВ.
Преобразование А в В можно отразить формулой
B;=Q(A;).
(П.1)
Это преобразование будет обладать свойством линейности, если выполняются
условия аддитивности
и однородности
Q (А1+А2) = .Q (А1) +Q (А2)
Q (лА;) =лQ (А;),
rде (},,, -
любое произвольное число.
Если объекты А и В- это числа·х и у, то закон Q- это функция
y=Q(x),
которая устанавливает соответствие между числами х и у.
(П.2)
(П.3)
(П.4)
•
Свойством линейности обладает линейная функция y=kx, где k - извест-
ное число.
Если объекты А и В - это функции одной и той же переменной, например
сигналы 5 1 (t) и 52(.t), то закон Q -это оператор, который указывает способ
[!реобразования 51 (t) в 52 (t):
(П.5)
Свойством линейности обладает линейный оператор. Примерами линейных
операторов служат операторы интегрирования и дифференцирования:
d
ds1(t)
• d52 (t)
cff [Л.1s1 (t) +Л.2s2 (t)] = Л, -;JГ +Л.2 -Л-,
(П.6)
J[Л.1s1 (t) + Л.2s2 (t) ]dt = Л, Ss1 (t) dt + Л.2 Is2 (t) dt.
Щ7)
Примерами нелинейных операторов служат операторы логарифмирования и
возведения в степень:
ln'[л1s1 (t) +л2s2 (t)] =F ln[л1s1 (t) ]+ln[л2s2 (t)],
(П.8)
[л1S1 (t) +л2s2 (t)] 2=FЛ21S2 1 (t) +л22s22 (t),
(П.9)
Если элемент А; множества А-это функция f(x), элемент В; множе­
ства В - это число z, то преобразование Q - это функционал
z=Q[f(x)].
(П.10)
Функциональный оператор - это распространение понятия функционала на
более общий случай, когда элементом множества А является функция одной пе-
269

ременной f(x), а элементом Bi множества В - функция другой переменной ер(у) .
Тогда
ер (у)= Q[f(x)],
(П.11)
т. е. функциональный оператор устанавливает взаимное и однозначное соответ ­
ствие функции одной переменной и функции другой переменной. Примерами
' функциональных операторов являются преобразования Фурье, Хинчина - Винер а
(?..22). Функциональный оператор можно рассматривать как одну из форм
функционала потому, что при каждом фиксированном у число ер (у) является
функциона .~ом f (х).
Укажем характерные примеры аппаратурной реализации основных преобра­
зований. Генератор развертки в осциллографе реализует операцию (П.4), он
создает напряжение, которое является линейной функцией времени. Усилитель
реализует (П.5), выходной сигнал усилителя пропорционален входному <;игналу .
Интегратор реализует (П . 10), выходной сигнал интегратора пропорционале н
определенному интегралу от входного сигнала. Анализатор спектра реализует
(П.11), входным сигналом анализато ра является напряжение как функция вре­
мени, а выходным - спектральная плотность как функция частоты.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Кловский Д. Д. Теория передачи сигналов: Учебник для вузов . - М.: Связь,
1973. -
376 с.
2. Зюко А. Г., Коробов Ю. Ф . Теория передачи сигналов: Учебник для вузов . ­
М.: Связь, 11972. -
282 с.
3. Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В. Теория передачи сигналов:
Учебник для вузов. - М.: Связь, 1970. -
386 с.
4. :Передача дискретной информации и телеграфия: Учебник для вузов/
В. С. Гуров, Г. А. Емельянов, Н. П. Етрухин, В. Г. Осипов . - М.: Связь,
1974. -
526 с.
5. Пении П. И. Системы передачи цифр овой информации: Учебное пособие для
вузов. - М.: Сов. радио, 1976. -
386 с.
6. Цапенко М. П. Измерительные информационные системы: Учебное пособие
для вузов. - М.: Энергия, 197 4. -
320 с.
7. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов и цепей : Учеб­
ное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. -264 с.
8. Босый Н. Д., Игнатов В. А. М,ногоканальные системы передачи информа­
ции. - М.: Знан ие, 1974. -
64 с. - (Радиоэл ект роника).
9. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений . - М.: Сов . радио,
1970. -
728 с.
10. Элементы теории передачи дискретной информации/ Л. П. Пуртов , А. С . Зам­
рий, А. И . Захаров, В. М. Охорзин; Под ред. Л. П. П уртова . - М.: Связь,
1972. -
232 с.
11. Давыдов Г. Б. , Роrинский В. Н., Толчан А. Я. Сети электросвязи.~ М.:
Связь, 1977. -
360 с.
12. Репин В. Г., Тартаковский Г . П. Статистический синтез при априорной
неопределенности и адаптации информационных систем . - М.: Сов. радио,
1977. -
432 с.
13. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляци и. В 3-х т.: Пер .
с англ./ Под ред. В. И. Тихонова. - М.: Сов. радио, 1972 . -
Т1. -
744 с.
14. Свириденко С. С. Основы синхронизации при приеме дискретных сигналов . -
М.: Связь, 1974 .-
144 с.
15 . Левин Б. Р. Теоретические основы статистической ради-отехники. В 3-х кн. -
М.: Сов. ради-о, 1974. -
Кн.1. -
2-еизд.- 752с.- 1975. -
J<:ц. 2. -
2изд.-
504 с. - 1976. :..._ Кн. 3. -
288 с.
16. Игнатов В. А., Маньшин Г. Г., Трайнев В. А. Статистическая оптимизация
качества функционирования электронных систем. - М. : Энергия, 197 4. -
264 с.
17. Словарь терминов по информатике/ Г. С. Жданова, Е . С. Колобродова,
В. А. Полушкин и др.; Под ред. А. И. Михайлова. - М.: Наука, 1971 . -
360 С.
18. Энциклопедия кибернетики. В 2-х т. Под ред . В. М. Глушкова. :... _ I ( и ев . :
Гл.
ред. Украинской Советской энциклопедии, 1974. -
Т. 1.
-
608 с.- Т. 2-
620 с.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧ8Н~Я
А (t) - оригинал сообщения
В (t) -копия сообщения
s(t) - передаваемы е модулированные сигналы
z (t) - принятый сигнал
!;(t) - помеха (шум)
/( - оператор кодирования
L - оператор преобра зования сигнала в JJИНИИ связи
Dи - оператор декодирования
М 1 - оператор модуляции
D., -
оператор демодуляции
а;.- i -й си мв ол дискретного сообщения
!(; - i-я кодовая комбинация
Т - длительность сигнала
ЛF с - ширина спектра сигнала
Д - динамиче ск ий диа,пазон сиr,нала (канала)
V - объем сигнала (канала)
v=2TЛF - база сигнала, (канала)
х (t) - сигнал-переносчик
u(t) - полезный сигнал
т - объем алфавита ( основание кода)
п - длина сообщения ( знач ность кода)
N - общее число сообщений (кодовых комбинаций)
I - количество информации
1
Н - энтропия источника
r - коэффициент из , быточности сообщений (кода)
R.-
скорость передачи информации
W - скорость передачи сигналов
С - пропускная способность
Ро - вероятность ошибки при передач е элемента сигнала
Р (ail Iа;2 ) - условная апостериорная вероятность правильного приема,
!20 - -спектральная ,плотность белого шума
d - расстояние
ЕIЭ- символ -сложения по модулю
<->
-
усреднение по времени
М [ •] - усреднение по ансамблю
s 1s 2 - скалярное произведение двух векторов
f1( ·)
-
одномерная плотность распределения
fn(·)
-
п-мерная плотность распределения
f (z Is;) - функция правдоподобия
Е -энергия сигнала (помехи)
:JJ - мощность сигнала (помехи)

ПРf~М·ЕТ'НЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм исправления ошибок 233,
237
-
когерентного приема неоптималь­
ный 174
-
-
-
оптимальный 169
-
некогерентного приема неопти-
мальный ' 175
-
-
-
оптимальный 169
-
,обнаружения ошибок 233
-
принятия оптимального решения
100, 102
Бит 25, 117
Вероятность появления символов 24,
102
-
-
кодовых сигналов 100
-
-
кратных ошибок 106
-
-
некорректируемых ошибок 224
-
-
ошибки 4
-
правильного приема 106
Вес кодовой комбинации 228
Гильберта преобразование 57
-
пространство 66
Декодер 234
Декодирование мажоритарное 239
Декорреляция символов 119
Диапазон динамический 15
Дельта-модуляция 90
Зада1ш анализа 9, 16, 35
-
приема оптимального 149
-
оптимальные 1О, 17, 36
-
теории информации и передачи
сиг,11алов 1О
Замирания сигналов 180
Избыточность измерений 144
-
источника 25
-
кода 29, 124, 125
Искажения сигналов линейные 22
-
-
нелинейные 22
Исправление ошибок 29
Канал гауссовский 37
-
-
многолучевой с замираниями
98
-
-
-
-
и аддитивными помеха -
ми 99
-
-
однолучевой с замираниями 97
-
дискретный 22, 101
-
-
двоичный 105
-
-
-
симметричный 106
-
-
неоднородный 103
-
-
-
с памятью 103
-
-
однородный 105
-
-
-
без памяти 105
-
идеальный 96
-
непрерывно -дискретный 22
-
непрерывный 22
Квантование 88
Код адаптивный 241
-
Бергера 239
-
блочный 225
-
Боуза - Чоудхури
-
Хоквингема
226
-
линейный 226, 229
-
непрерывный 225 , 240
-
неприводимый 128
-
систематический 226
-
с постоянным весом 239
-
Финка - Хагельбергера 240
-
циклический 230, 231
-
ШеНI-юна - Фана 126
Кодер 223
Кодирование корректирующее 27, 221
-
сообщений источников без памяти
125
-
-
-
с памятью 130
-
эффективное (статистическое) 27
-
- -- -' оптимальное 125
Количество информации среднее 116
-
-
принятое 121 , 134·
Колмогорова - Винера фильтр 193
Коммутация каналов 33
-
-
и сообщений 34
-
сообщений 33
Котельникова приемник 161
-
теорема 44
Крампа функция 62
Коэффициент использования канала
119
-
-
мощности сигнала 260
-
-
полосы частот канала 261
-
,эффективности 140
-
-
квазиоптимальной фильтрации
228
•
-
-
модуляции 141
-
-
передачи дискретных сообще-
ний 139
-
~ - непрерывных сообщений 140
Кратность ошибок обнаруживаемых
222
-
-
полностью исправимых 223
Критерий верности 153
--
идеального наблюдателя 155
-
информационный 158
-
максимального правдоподобия 158
-
минимаксный 156
273

-
Неймана - Пирсона 157
-
среднего риска 153
-
среднеквадратической
близости
42, 67
-
эффективности обработки сигна­
лов 151
Манипуляция амплитудная 82
Методы теории информации н пере­
дачи сигналов 10
Модуляция амплитудная 80
-
импульсная 82, 84
идеальная 72
импульсно-кодовая 87
фазовая 204
цифровая 85
частотная 204
Мощность сигналов взаимная 43
-
шумов квантования 89
Обнаружение ошибок 29
Объем алфавита 23
-
сигнала 15
Оценка оптимальная 199
-
мак,сималы-1ого [Jравдо[!одобия 201
Параметр селекции 18
-
информационный 18
Парсеваля равенство 42
Помеха аддитивная 95
-
импульсная 95
-
узкополосная 96
-
мультиплиЕативная 94
Помехоустойчивость потенциальная
160
-
-
модуляции 204
-
-
многопозицион ны х систем 167
-
-
мно го ступенчатой
212
модуля ции
-
-
оптимального приемника 164
-
-
передачи сообщений 203
-
-
систем с ФТ, ЧТ, АМн, ОФМ
165, 166
-
-
цифровой модуляции 214
Предмет теории информации и п ере­
дачи сигналов 4
Прием сигналов 148
взаимокорреляционный 153
интегральный 153
на согласованный фильтр 153
корреляционный 153
оптимальный когерентный 158
-
некогерентный 168
узкополосный по огибающей 177,
178
-
широкополосный 179
Производительность источника 25
Разделение сигналов 249
-
-
временное 251
-
-
кодово-адресное 252
274
по форме 252
частотное 250
-
-
частотно-временное 252
Разложение сигналов
-
-
ортогональное 41
-
-
каноническое 53
Райса распр еделение 62
Релея распределение 6 1
Рассинхронизация сигналов 183
Сигнал аналитический 57
-
гауссовский 52
когерентный 44
ортогональный 43
случайный 77
телеграфный 49
узкополосный 56
шумоподобный 77
Скорость п ередачи информации 25
-
-
сигналов 25
Сложение по модулю 29
Согласование источника с канало м
139
-
кода с каналом 245
Согласованный фильтр 163
Способность пропускания 119, 120 ,
137
двоичного канала 124
канала без памяти 137
канала с замираниями 138
-
-
m-ичного канала 124
-
корректирующая 222
-
-
оптимальная 256
-
-
уплотненной линии 253
Синдром 227
Условие ортогональности 40
-
-
в усиленном смысле 58
Функция корреляционная 46
-
-
узкополосного сигнала 59
-
взаимно-корреляционная 48
-
отсчетов 45
Фурье ряд обобщенный 4 1
-
коэффициенты обобщенные 4 1
Фильтрация дискретная 192
-
линейная оптимальная 192
нелинейная 196
-
непрерывная 192
-
цифровая 197
Хартли формула 24
Хаффмена последовательность 78
Хемминга пространство 68
Хинчина - Вивера пр еобразование 16
Цель теории информации и передач и
сигналов 9
Чернецкого представление 55
Шешюна фо,рмула для энт,ропии 24
-
-
для пропускной способност и-
137
Шеннона теорема кодирования 139
-
-
для канала без поме х 27
-
-
-
с помехами 27
Ширина спектра 15

Шум белый 50
Энергия сигнала: 44
-
взаимная сигналов 43
Энтропия 24
гауссовского распределения 132
-
белого шума 132
ди фференциальная 131
равномерного распределения 132
совместная 115
-
ус ловн ая 116
Эффект нормализации 108
-
пороговый 208
Эффективность
квазиоптимальной
фильтрации 243
-
корректирующего
ко д ирования
243
передачи сообщений 260, 263
-
-
-
в сетях 265

orЛА'В·ЛЕНИЕ
Предисловие
Введение
3,
4
Глава t.
ОБЩАЯ Х1А'РАl<ТЕРИСТИl<А ЗIА,д'АЧ ТЕОРИИ ИНФОРМiАЦИИ И ПЕРЕ-
ДАЧИ сиrнАлов
14
1.1 . Математическое описание сообщений, сигналов и помех
14
1.2 . Модуляция как управление информационными параметрам и
сигналов.......
18
1.3. Каналы передачи информации
.
.
.
.
19•
1.4. Информационные характеристики источников сообщений и к а -
налов..........
23
1.5 . Помехоустойчивость передачи информации
26,
1.6. Кодирование
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
1.7. Уплотнение линий связи. Информационные потоки в сетях
30
1.8 . Взаи мосвязь и практическое использование результатов теор ии
информации и передачи сигналов
37
1. 9. Выводы
38-
Глава 2.
МА Т:ЕМА ТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОИiПНАЛОВ 1И ПОМЕХ . .
40
2.1 . Элементы обобщенной спектральной теории сигналов
40
2.2. Ортогональные разложения Котельникова
.
.
.
.
.
44
_
2.3. Корреляционные и спектральные характеристики сигналов и
помех......
.
.
.
.
.
46,
2.4. Основные модели случайных сигналов и помех
.
.
.
49
2.5 . Канонические и неканонические разложения случайных сигн а-
ловипомех.......
.
53
2.6. Узкополосные и аналитические сигналы
.
.
.
.
.
.
56
2.7. Распределения огибающей и фазы узкополосных сигналов
.
60
2.8 . Распределения огибающей и фазы суммы гармонического кол е -
бания и узкополосной помехи .
61
2.9. Синтез сигналов и помех
.
63
2.10 . Пространства сигналов и пом ех
65
2.11 . Выводы
69
fлава 3.
УПР.ьJВ1ЛЕНИ'Е ИНФОРМАЦИОННЫМИ ПАIРАМЕТРАIМИ ОИIГНАЛОВ .
72
3.1 . Классификация методов модуляции
.
.
.
.
.
.
.
.
72
3.2 . Корреляционные и спектральные характеристики модулирова н -
ных сигналов . . .
.
.
75
3.3 . Случайные и шумоподобные сигналы-переносчики
77
3.4 . Амплитудная модуляция случайного сигнала
80
3.5 . Амплитудная манипуляция и амплитудная имп ульсная моду-
uцм .
~
3.6 . Цифровые методы модуляции
85
3.7. Выводы
91
276

Глава 4.
КАНАЛЫ ПiЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
4.1. Анализ непрерывных каналов
4.2 . Анализ дискретно - непрерывны х каналов
.
4.3 . Анализ дискретных каналов
4.4. Прохождение сигналов через каналы
.
4.5 . Выводы
.
Глава 5.
ИНФОР1МАЦИОННЫЕ ХIАIРА!КТБ~ИОТИК,И ИСТОЧНИ'КОIВ СООБЩЕНИЙ
93,.
93
100,
101
!ОТ
111
И t<IAHAЛOB
11 5,
5 .1 . Информационные характеристики источников дискретных сооб-
щений.......
115
5.2. Информационные характеристики дискретных каналов
.
11 9'
5.3 . Оптимальное эффективное кодирование
.
.
125
5.4. Информа ционные характеристики источников непрерывных сооб -
щений.............
131
5.5 . Информационные характеристики непрерывных каналов
137'
5.6. Согласование источников с каналами
.
.
.
139'
5.7. Сравнение пропускных способностей дискретного и непрерыв-
ного каналов
1.41
5 .8 . Использование информационных характеристик в информа-
ционно-и з мерительной технике .
143
5.9. Выводы
145
Глава 6.
ПОМ Е ХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕ,РЕДАЧ'И ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ .
148
6.1 . Особенности определения помехо ус тойчивости передачи дискрет-
ныхсообщений.......
148
6.2 . Критер и и верности передачи с о о б щений
.
.
.
.
153.
6.3 . Оптимальный когерентный прие м дискретных сигнало в
.
158
6.4 . Оптимальный некогерентный прием дискретных си гн а лов
168
6.5 . Неоптимальные методы приема дискретных сигналов
173
6.6 . Влияние замираний и рассинхронизации с и гналов н а по м е х о-
устойчивость
180-
6.7 . Выводы
.
18 6,
Глава 7.
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕ;Д~ЧИ НБПРЕРЫВНЫХ СООБ ЩЕН ИЙ
7.1 . Осо бе нн о сти определения поме х оу стойчивости пер едач и н епре -
ры в ны х сообщений
.
.
.
.
.
.
.
.
7.2. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов
7.3. Оптимальный прием сигналов по критерию максимального
правдоподобия.............
7. 4 . Поте нци альная помехоустойчивость м ет одов м оду л яци и
.
7.5. Пороговый эффект нелинейных методов модуляции
.
.
7.6. Потенциальная помехоустойчивость многоступенчатых методов
модуляции .
.
.
.
7.7. Потен циальная помехоустойчи вость цифровых методов моду­
JIНции
7.8. Выводы
189'
192'
198
'204
208
212
214
218
271'

Глава 8.
КО Р РЕКТИРУЮЩБЕ КОДiИРОIВАНИЕ
221
8.1 . Особенности применения корректирующего кодирования
221
8.2 . Принципы построения корректирующих кодов
225
8 .3. Адаптивные корректирующие коды
241
8 .4. Эффективность корректирующего кодирования
243
8 .5 . Выводы
247
Глава 9.
УПЛОТНЕНИЕ ЛИНИЙ ОВЯЗИ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПОТОКИ В СЕТЯХ 249
9.1 . Элементы теории разделения сигналов
249
9.2. Принципы уплотнения линий связи [1-3, 8] .
250
9.3 . Пропускная способность уплотненных линий связи
253
9.4 . Оптимизация пропускной способности уплотненных линий в се -
тях связи
254
9.5. Уплотнение линий и интегральные сети связи
257
9.6 . Выводы
.
258
Глава 10.
ЭФФЕКТИВНОСТЬ П ЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
10.1. Особе н ности оценки эффектив н ости
10.2. Эффективность передачи дискретных сообщений
10.3. Эффективность передачи непрерывных сообщений
10.4. Эффективность передачи информации в сетях
l 0.5 . Выводы
Заключение
Приложение. Оон овн ,ые понятия функциона л ьного анализа
Список литературы
Условные обозначения
Предметный указатель
260
260
260
263
265
266
268
269
271
272
273

Игнатов В. А.
И 26 Теория информации и передачи сигналов: Учеб-
ник для вузов . -М.: Сов. радио, 1979.-280 с., ил.
В пер.: 85 к.
Систематизированно излага.ются основные положения теори.и ин­
формации и передачи .сигналов. Излагаются ме11оды математического
описания с.ообщен•ий, с•иrналов, помех и rоаналов- с,вяз•и , методы управ­
ления информационными параме11рами сиг.налGв, информационные ха­
рактеристики ,источник,ов сообщений, сигналов, помех и каналов, по­
мех.оуст,ойчи,вость передачи дискретных и неп-рерывных сообщений,
корректирующее кодирование. Рассмотрены принципы уплотнения ли­
ний связи, оценки и повышения эффективности передачи информа­
ционных потоков в сетях.
К:нига является учеб,rшюм для студентов ра,диотехнических фа­
культетGв вузов гражданской а.виации.
И 30401-047
046(01)-79
47 - 79 1502000000
ББК 32.81
6Ф1

И:Б No 503
ВЛд;ДИ1М'И'Р АU1Е1КIСБЕВIИЧ iИIГНА!ТОВ
Теория информации и передачи сиrнаnов
Редактор Е. В. Вязова
Художественный редактор А. Н. Алтупин
Художник В. В. Волков
Технические редакторы В . А. Позднякова, И. В. Орлова
Корректор Л. А. Максимова
Сдано:в 11абор 16.\0 . .78
Формат 60Х90/,8
Печать высокая.
Тираж1 15 ООО экз.
Подписано в nечать 16.04.79
Т-07057
Бу•.~ага типографская No 2
Гарнитура литерат.
Объем 17,5 усл. n. л., 19,6 уч. -изд. л.
Заказ 886
Цена 85 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография 'No 10 «Союзполиграфпрома»
Государственного Комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.

85 1(,
ffi