/
Text
~J8~
?JJ')~
rл &J~~c1rлu ч1-1оrа о UJг-Jlo Br:11--J}-J~J
.д~r. NJaμ-&1-.,J1⁄4
Б"Б. ГkJllOHDbl!tlЙ
E.}'JJ. Pa5Jнr;н~}!.J
}\;1 rj. ~J~p
Розв'язання та відповіді
до
збірника задач і завдань для
.
...
тематичного оц1нювання з геометра
для 9 класу
авторів: А. Г. Мерзляк, В . Б . Полонський,
Ю. М. Рабінович, М . С. Якір
ПП Вдовиченко
Київ
БJ;І{ 22.1-Н я75
C8J
В;\О!НІ'іСІІІ-0 0 . 10.
СRЗ
Ртв·юа,,11,,. Jадач ;ю :Jбір1111ю, ·.?r~щ•1 та Jaн;ia111, для темал,чноrо
О ІtіІІЮІ\аJ·ІІ!Я · 1 І '~О .\ІС І'Рії ·]ЛЯ<., К!І3С\' 11' !1 21псрс1,ю,1 .д..1·. J\ ;1~[1З!ІЯКа, В.Б. Поло11сько10.
TU. M . І'абі1ювн•:а, М.С.Я,"ра. - К1-•.,· : ,Л І3дов1-1•, ~r,:,n. ·1no.;
-
1J2.: і_л ..
ЗМІСТ
ІЗІДПОІ3Щl НА ТРСНУВАЛЬНІ ВПРАВИ
І3АРІАНТN~ І . --------------------------------------------------------------------- З
13АРІАНТ No·2.
-- •--------------------------------------------------- -- ------------ З8
БАРJАНТ No З --------------------------------- ----------------------------------- 7З
JJЩJЮШДІ НА 3. -ШДШНЯ ДЛЯ ТЕМАТИЧ1/ОГО ОЦІНЮВАННЯ
RЛ РІ Л І -ІТ No, l ----------- ------- ---------------------------------------------- 108
Ні\І'ІЛІІТ.N~ 2
-------·
·-------------·------ -- -------------- ---------------------- 1ІО
І І осі61111к \І і спп- 1, rтв·юа111111 та ві:t 1 10ві:Lі :ю ;6ір111нш 'Задач і ·зnuш1нr,
ц; 1 я ТС\і<ПІІ'ІІІ()І'() ОІtіІІЮНіІІІІІЯ 'j ГС()\ІС Трії .' lJІ Я 9 r,.,acy. ЛвтоjJів: \11ср'3,1ЯІ< л. Г.,
]ІО.ЮІ/СJ, J;іІІЇ В. ь .. l'а6і1ІОВІ1' І JO. :,,1 .. 51i- ir )\11. С.
Лр:н1:а•1сш1й Jl.1Я бал,~-ін, В"І · ІТС.- 1ів і уч,1ів, .1., ;r 1и11-;;:;р::с,а: 1 1:,~ н сср~д11іх
учG<чш;; 3:н,.riaдnx усіх п111і11.
2
ББК 22.121н75
С83
(g ПП. ВдОВН'tСНКО. «Б» 2004
1.
2.
3.
4.
ТРЕНУВАЛЬНІ ВПРАВИ
Варіант 1
6. Ні. Парапс.11, ні прямі рівні.
7. l ·о~ютстія с перетворенням подібності . Відновідь: ні.
8. k= -; BR =2.ВС=2·8= lбсм,АС=2·918см.
•01 І
9. Сторони по.:.(ібних трикутників в і дносяп,ся однаково. Тод і:
1)Р=7k+бk+Зk=lбk.lбk =8,k =0,5.Відповідь:3,5см,3см,1,5см:
2) Зk =6, k =2. Відповідь: 14 см, 12 см, 6 см;
З)7k=28,k =4. Відповідь:28см,24см,12см;
4)7k-3k=20,k =5. Відповідь: 35см,30см, 15см.
1(1. Сторони пtці6111-1х ~шогокутш1ків відносяТІ,С}J однаково. Отже,
Р=4k+5k+7k+8k+9k=99с~1,k=3. Відповідь:12c~t, 15c,,t,21С\І,24см,27см.
11. Сторони подіб111-1 х трикутник і в від1юсятr,ся однаково. Отже, бk = 18, k = 3.
Ві,1повід1, : 12 01, 21 С\І.
12. Стоr1011и 1ro :1i6 111 1:- .: тр11кутник і в в і дносятr,сн о.1наково. В;Jсдс~ю Кщ:фі 11іп1т
11р о1юр11ііі1нкті х. Т(1 ·1і 3х + Зk.х = 36, k =~-І . !Теримстр трику1,1:•ка дорів-
нюс су~1і !Їt.. <' ст•·,,,, : ·. (і;·,"·. k = "j' = f; 1; - І = {-, !: =с 5. Відповul,: с·;·орош•
1te(1:.UOI О .6 : 15 <:•,,, 3) Сл j .!(; <::.,,; д;JУІОJ"'> ; 21 01, 49 C.\t j 56 С\1.
13. Лкщо. :1ва ку1а ('.'lHOf"t) ' і 11,,,_., . ІІ·!К,' ,1ор і внюють ДВО~І K)l і\.\! іlіШО! '·' ·срі!l,)'Т
ника~ то т~1к; ї р 1.1кут~-н-н,11 , J 1л і61;:.
а) L ,\ЕР·= L ])ЕС (і,1< 1;•т :щ.·,с1:,), L ВАЕ = L ССО('заумо 1юю). Тр1шут-
1111;(11 АВЕ і ECD- ІIO .' (i (i<ii:
(\; ...:. ВЕЛ= L ВАС (·ш )'\ЮВОЮ), L АВС-сп.іЛЬІІИЙ. ЛAfic і .\ Bf:1) 11оді611і ;
:i) L. ІШС = L Al3C (3а у,ювою ), L ВСА-спільний. ЛAJJC і 1~l)BC гнцібні.
;•·, . ~· piu1ю6c J l]1cШLX трику1 ш1ках кути 11ри основі рівні і ; ~орівнююл, (] ХО -(Z)/2,
де t z - ку1 при всрш1ші. Отже, якщо кут и при вершш1і ріш1і, трик~т111-11<и 110-
діGні.
15. Я1<що. К)ТІ ·І 11 р11 вершині двох рівнобедрених трикутників рівні, то такі три-
з
кутники подібні (задача No 14). У подібних трикутників відношення сторін
однакове. Введемо коефіuієнт пропорційності х. Тоді,
1)Р=х+4х+4х,х=30.Відповідь:основа -30см,бічна-120см;
2)а)основабільшазабічнусторону:Р=7х+4х+4х,х=18;
б) бокова сторона більша за основу: Р = 4х + 7х + 7х, х = 15.
Відповідь: а) основа - 126 см, бічна - 72 см; б) 60 см і 105 см.
16. Якщо, кути при вершині двох рівнобедрених трикутників рівні, то такі три
кутники подібні (задача No 14 ). Бічна сторона першого трикутника:
✓42 + 32 =5 см. Ог,ке, основа і бічні сторони даного трикутника відносяться
як5:8.ТодіР =8х+5х+5х,х=З.Відповідь:24смі15см.
17. Два прямокутні трикутники подібні , якщо мають хоча б по одному рівному
гострому куту. Отже, Р = 5х + 12х +✓(5х)2 + (12х)2 , х = 4 . Відповідь: 52 см.
18. Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Введемо коефіuієнт пропорційності
х.ТодіЗх+5х+7х=180,х =12.Кутиданоготрикутника:36°, 60°і84°.По
значимо величину першого кута шуканого трикутника- у. Отже, у+ (у+ 24) +
+ (у -24) = 180°, у= 60°. Кути шуканого трикутника: 36°, 60~ і 84°.
Відповідь : трикутники п одібні .
19. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого
трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні .
Отже, Н- =f ={-t, L АВС= L А1В1С1 . Відповідь: трикутники подібні.
20. а)Припустимо, L АВD =а.Тоді L ВАС= 180-2a-L . DBC, L ADB = 180-
-
а-LBAD=180-2а -LDBC;LADB=180-LBDC=а+LDBC.
Звідси,а+L DBC=180-2а - L DBC, L DBC=90 - 1,5а.Маємо:
LBDC=90+О,5а;LADB=90 -О,5а;LBAD=90 -О,5а;LАВС=90-
О,5а.Отже, LBAD=LАВСіLАВD=LАСВ.ЛАВСіЛАВD- подібні;
б) АВ•ВМ =ВС •BN(заумовою),значитьВМ:BN=ВС :АВ, L В-спіль
ний. Трикутники АВС і МВN подібні;
в) ВС: АС= 16: 12 = 4: З, АС: КС= 12: 9 =4: З, L С- спільний. Трикутники
АВС і АКС - подібні.
21. L А= L А1, АВ: А1В1 =3,5 іАС: А1С1 =3,5 (заумовою). Тобто,данітри
кут н ики подібні . У подібних трикутників відношення сторін однакове, зна
чить ВС= 3,5В1С1. ОтжеВ1С1 +3,5В1С1 = 18,В1С1 =4см, ВС= 14 см.
22. У подіб:их трикутників _відношення _сто~ н однаков_е, ~на':ить /40в
AD.АЕ - АВ .АС.Перев1римоце,12.15- 16.20,4 .5--4.5.
Відповідь : трикутники АВС і ADE подібні.
"
23у "6
•
•
"й•Т
•ARВСАС
.
под1 них трикутниюв сторони nропорщ НІ. ОДІ AiBi =в~е;1 = л/1 ,
3
5°=~2 =5
94 , 6 =6 =6. Відповідь : дані трикутники подібні.
24. ~~ =1; = ~;, і~ =1; =;~ , ; =~ =; .У подібних трикутників сторони .
пропорційні, отже трикутники АВС і ACD подібні.
2:,- 1')5_8
_
9 1_1
_
ІТакk-1
.
2)2_5
_
61_,_5
_,_ З
н1·
·
її- 24
-
21,з-з -з·
, -з, s-її -20,4+-її+-10··
.... _
26. У подібних трикутників відношення сторін однакове. 25 : 35: 45 = 5 : 7: 9.
Відповідь : трикутни ки поді бні .
27. Гіпотенуза першого трикутника до рівнює 10 см (за теоремою Піф агор а). Ко -
4
ефіuієнт проrюрuій1юсті k =50: 10 = 5. Тоді катсrи дpyroro трикуrника бу
дуrь 30 см і 40 с,\І. 3&1йдемо висоту дpyroro трикушика. Позна,ншо менший з
відр ізків на які висота ділить rіпотенуJу через х. Тоді 30 2
-
х2=402
-
(50 - х)2,
х = 18 см. Звідси, висота дорівнюватиме ✓302 - І 82 =24 см. 24 = 24.
Відповідь: ці тршсутнню1 подібні.
28_l)АС=А.В:2) BD=А.В=AD.З) АЕ=АС=СЕ.4)АВ=AD
СЕBD.СЕАСАЕ'ADАВBD'
•ВС
!Ж
29. Прямокутні трикутники подібні, якщо мають хоч.а б по одному рівному гост
рому кугу. У паралелограма протилежні кути рівні, отже L А= L С.
Відповід~,: дані трикутннки подібні.
в
r.
30.ВЕ =20см,АВ=15см,вс=30СМ(заумовою),LА=Lс л,,_ 7
(протилеж11і паралелограма). ЛАВК і ЛВСЕ - прямокутні, А к
·,v.:/ D
.
.
.
Е
а прямокуrш трикутники, ЯКІ ,, 1шоть хоча б по одному рш-
номугостромукуту-подібні.ТодіВС:АВ=ВЕ:ВК,ВК=15 •20 :30=1О
см . Відповідь: відстань між більшими сторонами становить 10 см.
31. ЛАВК і ЛВСЕ - подібні (заца:а No30).
/[ 7с
ТодіАВ:ВС=ВК :ВЕ,АВ =іВС.ЗвідсиР =2АВ +2ВС, А к'- ~А,
2 ·3⁄4ВС+2ВС =70,ВС= 20см,АВ= 15 см. Відповідь: 15смі20см.
32. ВЕ =ВС (3ад;1'Ш No28). Отже ВС= 5 · 12: 15 = 4 см.
АЕ AD
Відповідь: менша основа трапеції дорівнює 4 см.
33. BF =ВС (зацачаNo28).ВF=10~=4см.АВ=10-4=6см
AF ..-Ш
5
Відповідь: АВ = 6 см.
34.АС=28см,OD=9см,ВО~5сміВС=.6см(заумовою).
АО=28-ОС.LАПВ=LDBCіLCAD=LАСВ(ВН)'І,
шні рі3носторонні), 3начить ЛВСО і ЛАОD - подібні. Тоді
ос:во=(28- ОС):OD,ос=1Осм,АО=28- 1О=І8С,\І.'"--'
,)\.. - к
,1...,
AD =б· 18: 10 = 10,8 с,,1 . Відповідь: АО= 18 см, ОС= 10 с.,1 і AD = 10,R 01.
35. Трикутники ВОС і AOD - по дібні (3адача No34 ). Тоді
•8
С
АО: ОС= AD: ВС, AD = 2,5ВС. КЕ= (ВС+ AD): 2 (фор -
~
мула се редньої лінії), 2КЕ = 3,5ВС, ВС= 4 см; AD = 10 см.
,~0
Відповідь: 4 см і 10 см.
36. L АВD = L ВСА (3а у~ювою ), L ВСА - спільний, значить
ЛАВD і ЛАВС - п од ібні ('за двома кутами). Тоді АВ : АС=
=AD: АВ; AD =1,5 см. Відповідь: AD =1,5 см, DC =4,5 см.
Л"л
А
D
С
37. Протилежні сторони паралелограма рівні і паралельні. ·ши•11п 1 ·\П - PF .
DE=AF,LEDB=LCFE1LDEB=LFCE.ЛDВЕіЛFЕС
I ІСUІОНІ \ ; t1H"1<1
кутами). ТобтоFC: DE = AJ): DB,FC = 12 •5:(16 -12)= 1'
,.
Відповідь: АС= 20 см.
38. Ромб - паралелогра., 1 із рівними сторонами, 3ш1ч ить АК= ЕР,
КР=АЕ,LPKB=LСЕР=LСАВіLКРВ=L ECP=LЛГR
ЛКВР, ЛАВС і ЛЕ Р С- 1юдібні (за двома кутами). КВ= АВ - І, А,
ЕС=АС-КАТоді(6-КЛ):КА=КА:(3-КА),КА=2см.
_Відповідь: сторона ромба дорівнює 2 см.
5
ААЕС
39. ЕР = %ЕК (за умовою). ЛЕВК і ЛАВС - подіб ні. Тоді
АС•ЕК =ВО •ВНВІ-І =lЕКЕР=130-ВН =4_lЕК
-
•
~
3
~
3
.
~
АРОМ
С
ПідставrL,ю '3Н3'1ення у отри,,шне рівняння і 01римаємо 3⁄4ЕК+1⁄2 ЕК= 4,
ЕК= 4,5 см, ЕР= 2,5 c~J . Відповідь: сторонн прямокутника 2,5 см і 4,5 см.
40.L.АВС =180 -2L.ВАС,звідсиL.АВК =90- L.ВАС.
L.ЕАІ3=2L.ВАС -90,L.ВАС=L.ЕАС+L.ЕАВ⇒
⇒L.ЕАС =90- L.ВАС.ТобтоL.ЕАС =L.АВК,ЛАВКі
ЛАЕС- подібн. АС: АВ =АЕ: ВК = 1,2. Припустимо , бічна
сторснадорішnоє х см; тоді основа- l,2x см. Отже, х2 -(О,6х)' = 10 2. х = 12,5 см.
Відпові;11,: 12,5 см, 12,5 см і 15 см.
41. У рів1-106сдре110;\1у трикутнику висота до основи є бісектрисою і медіаною,
•
✓""
тод-1ВК=АВ--АК" =8см.
l) ЛАМО= L\AOK (за гіпотенузою і катетом), :.!Начить АМ =
=АК=6см,МВ=10-6 =4см.ЛВОМіЛАВК-подібні(за
гостри,,1 кутом). Отже ВО: АВ = ВМ: ВК, ВО= 5 с,,1. r = З см;
2) центр описаного шшколо трикутника кола лежить на сере
динних перпендикулярах до його сторін. ЛАВО - рівнобедре
ний (ВО= АО, як радіуси). Тоді трикутники АВК і МВО -
подібні (· ,1 гострим кутол1), :з начить ВО: АВ = ВМ : ВК, ВО=
= 7,5 см. Відповідь: 1) r =3 см, 2) R =7,5 см.
-п. з тr,икуп-rиків АВЕ і всЕ. АВ2 -АЕ2 = вс2 -ЕС2. вс2 = АВ2 -240.
.
-
·
л
" , ,'У_ ·3Г2=400-АВ2АВ2=320.L.ВАСіL.ВСЕ -рів- ~
ні, значить ЛЛВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні (за гостри~J кутом). д
єс
ТодіАВ:АС=ВЕ:ВС=ВЕ :АВ.Звідси,АВ2=20ВЕ, ВЕ = J6см.
Відповідь: внсота даного трш~утника дорівнює 16 см.
43. Припустюю, JЗС = 8 с~;, то.1і ЕС= 4 см. З поперед11ьої 'Задачі:
.:.\АВС, L\ABE і ЛВСЕ - подібні, значить АС : ВС= ВС : ЕС,
АС= ВС2 : ЕС= 16 см. Відповідь: гіпотенуза дорівнює 16 см.
-1-1. 1'ІЛВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні (за гострим 1,утом). Звідси,
JЗС: АС= J::::C. ВС, ВС2 = 18 •50 = 900, ВС= ЗО см. Тещі
АВ = ✓502 -ЗО" = 40 см. Відповідь: катети дорівнюють 30 см і 40 см.
-15 .Лрипуспшо,ВС =4см,тодіАЕ=6см;АС=6+Г::С.ЛАВС,
_/4
ЛАВЕ і <'ІВСЕ - подібні, зю1,шть АС : ВС = ВС : ЕС,
~
(6+ЕС)ЕС =42, ЕС=2см.ОтжеАС=8сміАВ=4 ..fiсм.
єс
Відповіль: гіпотенуза дорівнює 8 см, катет - . :\ ..fi см.
- 1 6. З триr--угників АВЕ і BCJ::::; АВ2 -АЕ2 = ВС2 -ЕС2, ВС2 = АВ2 -240. З
_/4
ЛАВС-ВС2=400 -АВ2,АВ2=320. ,!_ВАСі L.ВСЕ -рівні, ~
зна,шть <'ІАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні (3а 1·острим куто,ч).
єс
Тоді АВ . АС= ВЕ: ВС= J3E: АВ. Звідси, АВ2 = 20ВЕ, ВЕ = 16 см.
Відновідь: висота даноr·о трикутника дорі1шює 16 C'Vt .
. :\7. ЛАВЕ і ЛАВD - подібні ( L. НАЕ -спільний), ЛВЕD і ЛАВD -
под ібні ( L. Bl)E- спільниіі), 311ач11ть ЛАВЕ і ЛВЕD також подіб
ні. ED = Г3С + (AD- ВС): 2 = 9 см (власпшісл, рівнобі,11-юї тра
Л"'~
АЕ
D
пеuії),АЕ=4с~1.ТодіВЕ:J)E=АЕ:ВЕ,ВЕ=бсмЛВ:AD=АЕ:АВ,
6
АВ = 2.Jїз см. Відповідь: висота дорівнює 6 см, бічна сторона - 2.Jїз см.
48. ЛАВЕ, ЛАВD і ЛВЕD - подібні (задача No47), звідси АВ : AD =
= АЕ:АВ.ЗЛАВD:AD2=45+АВ2.ТодіAD2- 4AD-45=О.
.
•
AD=9см.Отжелв-=4 •9,АВ =6см.ВС=AD-2АЕ=1см.
~
LL:::::1.
дЕ
D
Відповідь: основи трапеції дорівнюють 1 см і 9 см, бічна сторона - 6 см.
49. ЛАВО - прямокуrний, ЕО
-
його діагональ, ЕВ = 3 см, АЕ= 12 см. ~
ЛАВО, ЛАЕО і ЛЕВО - подібні (мають спільні куги). Тоді д7с
АЕ:АО =АО :АВіВО :АВ =ВЕ :ВО.ЗвідсиАО =6✓5смі
;
ВО= 3✓5 см. Відповідь: діагоналі ромба дорівнюють 6✓5 см і 12/5 см.
50. ЛАВО - прямокутний, ЕО
-
висота.ОтжеЛАВО,~ОіЛЕВО- в мс
Е ";:--ге,
подібні(задачаN~49).ТодіАЕ :АО=АО :АВіВО :АВ =ВЕ :ВО. /t''~~ \
Звідси АО= 6..fїз см і ВО=4.Jїз см. Звідси ЕО = МО= КО= 12 см. j ,, ·1( \о
ЛОЕВ = ЛОВМ і ЛАЕО = ЛАОК (за першою ознакою). Тобто ВМ = ВЕ = 8 см
і АК= АЕ = 18 см. Відповідь: основи трапеції- 16 см і 36 см, радіус -12 см.
51. 1)48: 2 =24°; 2)63°; 3) 90°; 4) 127°; 5)а: 2.
52. 1) 17•2 =34°; 2)174°; 3)180°; 4)352°; 5)2а.
53. 1) В даному випадку uеr-rrральний кут дорівнює 360 - 124 = 236°.
Отже вписаний L АВС= 236 : 2 = 118°;
2) uентральний куг дорівнює 94 • 2 = 188°. L АОС = 360-188 = 172°.
54. Вписаний кут дорівнює половин і центрального кута. В нашо,,1у
випадку центральний кут однаковий для обох куrів АВС і ADC,
значить L ADC = L АВС= 42°. Відповідь: L ADC = 42°.
55. Для L АВС центральний кут буде 78 • 2 = 156°. Відповідно, для
L ADC центральний кут складатиме 360 - 156 = 204°. Отже
L ADC = 204: 2 = 102°. Відповідь: L ADC = 102°.
56. У даному трикутнику L А- вписаний, L ВОС - відповідний йому
центральний кут.Оrже: 1) L ВОС=78 •2 =156°; 2) L ВОС=
= 360- 128 • 2 = 104°. Відповідь: 1) 156°; 2) 104°.
57.LС=180-36
-
78 = 66°. L АОВ - центральний до вписаного L С,
L ВОС - центральний до L А, L АОС - центральний до L В.
Відповідь: L АОВ = 132°; L ВОС =72°; L АОС = 156°.
58. L АОВ = L ВОС = 38° (за умовою). L ВСА - вписаний, відпові
дний йому центральний- L ВОС. Отже L ВСА = 38: 2 = 19°.
Тоді L АВС= 180 -2 • 19 = 142°. Відповідь: 19°, 19° і 142°.
59. Хо рда д і лить коло 5 : 7, отже uентральні куги до вписаних кутів
АВСіАЕСтежвідносяться,як5:7.Тоді7х+5х=360,х =30°;
L АОС = 5 • 30 = 150°. Вписаний L АЕС= 150: 2 = 75°, відпові-
дно L АВС=7•30 :2 =105°. Відповідь: 75°і105°.
60. L NOM = 140° (за умовою), Л NОМ-рівнобедрений,значить
L NМО=(180-140):2=20°. L NOK: L КОМ=6:5(заумовою).
Тоді6х+5х+140=360,х =20°; LNOK=120°іLКОМ=Ю.
ЛМОК - рівнобедрений, отже L ОМК = (180 - 100) : 2 = 40°.
Звідси, L NМК = 20 + 40 = 60° . Відповідь: L NМК =60°.
61. Знайдемо градусні міри отриманих дуг, 3х + 5х + 7х = 360, х = 24°.
Звідси, L АОС = 168°, L АОВ = 120° і L ВОС = 72° - центральні,
значить ЛАОС, ЛАОВ і ЛВОС - рівнобедрені. Тоді L ОАС= (180-
о
в,
~
~~~С)
B'q'
~
-
~
~
в~
CQ
~
-
168) : 2 = 6°, LОАВ=30°і LОСВ=54°.Отже LBAC = 6+30=36°,
7
,І
L АВС= 84°, L ВСА = 60°. _Відпові дь:
кути трикутника 36°, 60° і 84°.
прямокугн,. Тод1 L. DCB = 41 + 90 = 131 °.
,'\
62. L. АОВ - центральний і дорівнює 180°, значить ЛАСВ і ЛАСD -
о~
-1
Відповідь: L.DCB=131°.
~
'
63. L COD - центральний і дорівнює 180° , зна чить ЛСКD і ЛСМD -
прямокугні. L. СЕМ= L DEK, зна•:ить ЛСЕМ і ЛDЕК - подібн і .
У подібних трикутників співвідношення сторін ОІ\накове, тобто
МЕ:ЕС =КЕ :ED.ОтжеЛКЕМіЛСЕDтакожподібні,L DCK=
= L.DMK =53°. Тоді L.DCK =180 -90-53=37°. Відповідь:37°.
64. L _ С=78° (заумовою),L A = (l80-78):2=5l 0 .AO=KO=EO=CO
(як радіуси кола), значить ЛАКО, ЛКОЕ і ЛОЕС - рівнобедрені .
Звідси,L. АОК=180- 2 •51=78°; L.СОЕ =180-2 •78 =24°і
L. КОЕ = 180- 78- 24 = 78° . Відповідь: 24°, 78°, 78°.
65. L . CEF - вприсаний прямокутний трикуrник (усі вершини ле-,кать
на колі, а одна із сторін є діаметр), CD 1- АВ (за умовою). Зна,шть
АВіEF1-СЕ. Отже,АВ І[EF.
66. З'єднаємо точки А і В та центри кіл О і 0 1, отримаємо перпенди
кулярні відрізки. Розглянемо ЛАСD: АС= 2АО, AD = 2АO 1 ,
тобто 00 1- середня лінія ЛАСD. Тоді АВ
-
висота ЛАСD,
значить точка В належить в ідрізку CD .
67. ЛАВС - рівнобедрений . Тоді: l) АС -основа . L АОВ = L ВОС =
= 128°, L АОС = 360-2 • 128 = 104°. АО= ОВ = ОС (радіуси),
значить ЛАОС, ЛАОВ і ЛВОС - рівнобедрені . Отже L. АСО=
= LСАО=(180:-104):2=38°, LВАО=LАВО=LВАО=
=LАВО=26°. Звідси, L.САВ =LАСВ=64°і LАВС=52°;
2)АС- бічна сторона. L. ВОС = 128°, L. АОС =L ВОА=(360-128) :2 = 116°.
LВСО=LСВО=(180-128):2=26°, L.ВАО =L АВО=LСАО=L АСО=
= 32°. Звідси, L. АСВ = L АВС= 58° і L. АВС= 64°;
--•.,в
3) усі вершини :лежать по один бік від діаметра. L. ВСА = (360 -
-?'\
-
128): 2 = 116° ( L. АОВ - цешральний відповіщ-ю L АВС). L АВС= ~С
= L ВАС= 32° . Відповідь: 1) АС- основа: 64°, 64° і 52°; 2) АС- бічна А
сторона: 58°, 58° і 64°; 3) вершиш, по одни бік від діаметра: 32°, 32° і 116°.
68. Г еомt:тричн им місцем точок - середин усіх хорд, як, 11роходять (:,І~-~--~."--\_··.
через дану точку кола є коло, це1,тр якого знаходиться на середині '\ > -- · ·..;
відрізка, який з'єднує центр даного кола із даною точкою.
~-~L).,
69. Рішення у задачнику на стор. 128.
70. Проводимо пряму Ь . На ній беремо довільну точку С 1 і
будуємо L. С 1 = L. а. На сторонах кута відкладаємо відріз
ки С1А1 =С1В1. СгЮЛ)"іаЄ~ю точкиА1 іВ1. ЛА1В1С1- рів
нобедрений . На відрізку А 1 В 1 відкладаємо А 1В =а.Прове
демо BD 11 В1С1 L. A1DB = L А1С1В1 - яквнугрішні одно
ст'Jронні при С1В1 11 BDта січній С1. Отже, L A1DB = L а.
с,
О ишемо коло навколо ЛА 1 DВ . Точки А 1 і В - вершини потр ібн ого ·трикут
--,нка. Третя вершина лежить на відстані 11, від відрізка А 1 В. Проведемо пря
\ J)' ІІ І А 1 В на відстані 11, від А 1 В таким ,шноіv1, щоб пряма/ перетинала коло,
описане навколо ЛА 1 ВD . Точки перетину прямої І з колом можуть бути тре-
, , ,1 1 0 вершиною потрібного трикутника. ЛА 1 ВМ і ЛА 1 ВN - потрібні -,-1°нкут-
,1ки,оскільки: L.А1МВ= LA1BN=LA1DB=L а-яквписанівколо
8
кути, що спираються на одну дугу, то,1ки Мі N ,відстоять від А 1 В на відста
ні 11, (за побудовою), А 1 В = а (за побудовою).
71. Хорди АВ і CD перетинаються в точuі Е, зна,шть АЕ· ВЕ = СЕ • DE . Звідси,
АЕ:СЕ=DE:ВЕ, L СЕВ= L AED.Ог,кеЛАЕDіЛСВЕ - подібні.
72. Для нашого випадка: МЕ •КЕ =FE •РЕ, отже 2FE = 12,FE =6см.
Відповідь: FE = 6 см.
73. АМ = 2 см, ВМ = 9 см (за умовою). Позначимо відрізок СМ через х,
тодіDМ=х+ 3. Звідси,2 • 9 =х(х +З), х = Зсм; DM= З+ З =б с~1.
Відповідь: точн:а 1\1 ділить хорду CD на відрізки 3 см і 6 см.
7-f . АО і ВО - радіуси, значить ЛАОВ
-
рівнобедреш1й. Тоді L ОАВ =
= L АВО=(180-58):2=61 °. L ОАа=90°(кутміжрадіусомі
дотичною). Отже, L ВАа = 90 - 61 = 29°. Відповідь: 29ь, 151 °.
75. Частини кола діляться на ,шспши З :7, тоді Зх + 7х = 360, х = 36°,
L DOE = 36 ·З= 108°. ЛDОЕ - рівнобедрений, L DEO = L EDO =
= 36°. ЗвідсиLBDE=LBED =90-36 =54°, L DBE =72°.
Відповідь: 54°, 54° і 72°.
і,о(
в~
76. L АОС - uентральний, відповідний вписаному L АВС, значить
LАОС=74·2 =148°. Звідси,LОАС=LАСО=16°. ТодіLCAD=
= 90- 16 = 74°, L ADC = 180 - 74 -23 = 83°. Відповідь: 23°, 74°, 83°.
77. Гострий кут між хордою і дотичною до кола в кінuі uієї хорди
со
дорівнює половині кута між радіусами, проведеними до кінuів
хорди.Тоді LСОВ=2L CBD. L ВОС- центральний,відпо- А , J 8-
відний вписаному L ВАС. Тоді L ВАС= L СОВ : 2 = L CBD. Отже,
ЛВСD і ЛАВD - подібні (за двома кутами ).
~
FА
78. ЛАКЕ і ЛАКF-подібні (задача No77). Тоді АЕ: АК= АК: AF,
(..4
AF=АК2:АЕ=16:8=2см.Відповід~,:AF=2см.
Е~к
79.АЕ=EF+AF=AF+5.ЛАКЕіЛАКF - подібні(задачаNo77).ТодіАЕ:АК=
=АК:AF,AF =АК2:(AF+5), AF =4см.Відповідь:AF=4см.
80. Сума протилежних кутів вписаного чотирикуrпикадорівнює 180°.
Відповідь: 1) ні, 2) так.
81.L С=180-119=61 °, L D =180-84 =96°. Відповідь:L С=61°, L D=96°.
82. Протилежні кути вписаного чотирикутника в сумі складають 180°. Тоді:
1) 5х + 8х = 7х +4х, 13х і:- l lx. Відповідь: ні;
2;3х+8х=5х+бх,llx= llx.Відповідь:так.
83. l!ротилежні кути вписаного чотиршсутника в сумі складають 180°. Тоді
2х + 7х = 180, х = 20°. Відповідь: 40°, 120°, 140° і 60°.
84. ЛАВD і ЛВСD - прямокутні (вписані кути, які спираються на
діаметр).L ACD=90-52 =38°, L АСВ=90-23 =67°. ЛАВD і
ЛВСD - подібні, значить L CBD = 52° і L ADB = 67°. Звідси
L ВЕС = 180- 52 -67 = 61 °. Відповідь: 61°.
85. L DEC = 180-L BED (суміжні кути), L BAD = 180- ,С:: BED (про-тилежні
кути вписаного чотирикутника), значить L DEC = L ВА]). Отже
ЛАВС і ЛСЕD - подібні (за двома кутами, L С - сп· , ; ;,ний). Тоді
АС:СЕ=АВ:DE,СЕ =2•5:8=1,25см;CD:ВС~ _Е:ЛВ,CD
= 1,5 см. Відповідь: CD = 1,5 см, СЕ= 1,25 см.
86. L ВЕС = 180- 36 = ]44° ; трапеція рівнобічна , значить ЛВЕС -
рівнобедрений, L ЕСВ = (180- 144): 2 = 18°. Тоді .:'.ВАС=
= 180- 54 - 18 = 108°. L BOD - uентральний, відповідний впи-
9
саному L ВСП, L ВO1) = 360 -2 • 126 = 108°. L AOl) -. центральний, відпо
відний в t1 иса~ю,1у L ACl), L AOl) = 360 - 2 • 108 = 144°. Трапеція рівнобічна,
отже L ЛОВ= L СОТ)= 144 - 108 = 36°. Звідси, L АВО= (180-36): 2 =, 72°.
72° < 90°, тобто центр описано го кола лежить поза межами трапеції.
87.1)АС2=52+72-2 •5 •7cos60°=39,АС =.Jзё5см;
2)АС2=(5✓2)2+42- 2.(5✓2).4cos135°=106,АС= ✓!Об С1\І.
52+112-82 41
cos~=-- --=
2 5-11
55
cosy=
52 +82 -112
258
2
5
89. sін 2 а+ cos 2 а= І (3а основною триго1ю,1етр1-1,11-юю тотожністю). ЗІJідси
cosa=±!1-(2-!2)2=±-!- .
І)а2=62+92-2 6 9 (--!-) =153.а =3-✓17см;
" _')
.,
.::,
2) а2 =62 +92 -2 -6-9- -! -=81, а= 9 с~1. Ві,шовідь: 9см або з./її 01.
,
90. L АВС=60° (за умовою), LBC_l) = 120 ° 11і.1.1ю п і д1ю. Тоді за
А0_
'/8
теоремоюкосинусіLJАС2 =81 +102 - 2 •8 •10 cos60° =84,
_( .,..,,.,\,
г;;:-;
,
,
_
о
[)'---'С
АС= 2v.!.І см; вD- =8· +10" +2 •8 •10 cos60°=244,
Bl) = 2.Jбї см. Відповідь: 2.Jїї см, 2Jr,ї см.
91. АВ = ,J4 2 + (2✓5)2 = 6 см (теорема Піфагора). Тоді cos L А=
=·;св=;,ЕА=АС -ЕС=Зсм,Al)=АВ -BD =4см.
.......
_")
ED2 = 32 +42-2-3-4-~ =9; ED = З см. Відповідь: З см.
,
92. АС= ВС= Bl) = 2 см (за умовою). ЛАВС - рівнобедрений і
прямокугний, тобто L АВС= 45°, а L DBC = 180-45 = 135°.
0
Тоді СП2 = 22 +22 -2 ·2 ·2- cosl35'"=4(2+✓2). CD = 2.J2 + ✓2 см.
в
93. Позначимо меншу із невідомих сторін через х. Тоді, за теоремою rшсинусів:
72 =х2+(х+5)2- 2х(х+5)соsбос•::/+5х- 24 =О:х =3см.Більшасторона
доріш-посх+5=8см.ОтжеР,,=3+8+7=18см.Відповідь:18см.
----- --
9➔. Введс~ю коефіцієнт пропорційності х. Тоді третя сторона: ✓9х2 + 25х2 + 15х. З
рівнянш1 пср,шеrра: 15 - 8х = ✓34х2 + 15х. O6,щві частини рівняння вшводимо
у квадрат, отримаємо бх2 -5lх +45 =О, х1 = І, х2= 7,5.
Відповід~,: 1) З см і 5 см; 2) 22,5 см і 37,5 см.
95. ГІО'3начr1мо невідо ,1 у сторону чере:3 х . Тоді, за теоремою косинусів:
72=х2+82-2x-8-cos60'::x2-8х+15=О,х1=3см,х,=5см.
Відпові,11,: 3 см або 5 см.
96. Опусти~ю ·3 вершини В трапеції висо ту на білr,шу основу і отримає мо точку
Е. Тра11еt1ія рівнобічна, значитr, АЕ= (ЛD :_ВС): 2 = 2 см. cos L В= 1~ = 0,2.
ТодіАС=ВJ)= ✓1О"+ 122 - 2 ·10-12 ·0.2 =14 с,,1. Відповідь: 1➔ см.
10
97. З.'\АВК: АВ = cc~sr, , АЕ= ВЕ = -Jc~sr, . За теоремою косинус ів :
1
,.,
.,
,(S
"
І'
ЕС-=а-+~-2-а -"-
.-coscz="- ,cos ~,a+ 1
l Gcos -ci
-+c osCi
l бcos-u
ЕС=- 1
-
.J8cos2а+ І. Відповідь: - "
-.J8cos2 ех+ 1.
4 со·~ (1
---\cosСі
98. ПшшN1шо шуканий кут СУ., а діаrоІJаль - х, толі 11ротнлежний кут - 180 - а,
cos(J80- cz)= - cosa. To:tiх2=а2+d2+2adcosи.іх2=с2+Ь2-2сЬcosа.
llорівняо1011paui •1асп11111 рівнянь: а2 + ll2 + 2ad cos СУ.= с2 + Ь2 - 2сЬ cos СУ.,
222 2
2222
cos CY.= c +І, - а -,І .В ід повідь: cosa=c +ь - а-,!.
:'(асІ+с\1)
2(atl+ cl,)
99. За теоре~юю r,щ;1111усі rз. н2 = Ь2 + с2 -2hc cos и.. Піщ;тави11ю за\1ість лів0·, час
п1ш1 рів1-1я11ш1 праву часншу J\,шого ріІJшшня: ь~ + с2 + l)c = Іі + с2 - 2Ьс cos а,
cos СІ.= - 0,5, СІ.= 120°.
100. На подовжені 111с.1іа1 111 А\,! відю1аде1,ю uідрізок MD, рів111 1й АМ.
Має1-ю , АС = ВГ) = 20 с11 1 (', а побудовою, ABl)C - п аралсло гра~-1).
LABD=180- 120=60°AD2=202+І22-2 -20 120,5=304
(-,а теорс11-ю ю косинусіu ); А]) = 4.JЇ9 С11І . Ві;1пові,11,: ➔m см ,
1(11. Введе\10 косфі11іпп про110р11ійності х, тоді діаго11ш1і дорів11ююл, 6х і 7х.
Сума квадрат і в д і агоrш.:rей паралелогра11ш дор і внює подuоє 1-1ііі сум і кuадра
тіІЗ його сторін. Отже, (6х)2 + (7х)2 = 2(142 + 22 2
), 85х2=1360,х =4.
Відлові;1r,: 2-1 с~, і 28 см.
102 . llсннач1-що 11 1с1-1шу стороІJу п аралелограма 't ерсз х , тоді 6 і л 1, ш а сторона
б:;,,1.::х+5.ЗІ.Jідс11,]72 + І92 = 2(х2+(х+5)2),х2+5х- 150=О,х =10см.
Відповідь: 10 см і 15 см.
103. } Іа подовже11і медіаш1 АМ відкладемо в ідрі:Jок і\1.Е , р івний АМ.
З'с(11аємо отр1шану точку Е '3 всршиню-1 и Сі 13 трrш:;,тника,
сітр1 1маємо парапслоr1Jа,1. Тоді 132 + АЕ 2 = 2(!; 2 + 92), АЕ= 11 см.
В і,1повідь: мспіана дорівнює 5,5 см.
10-1. На подовжс11і медіани ВМ відкладемо І.Jідрізот( МЕ, рівний ВМ.
В [ = 2 І3М (за 1юбудовою ), введе,, ю коефіuі єнг пропорuійності х.
Тоді(4х)2+(7х)2=2(72+9\65х2=260,х =2см.
Відповідь: АС= І➔ см.
105. Piri..rermя аналогічне попередній зацачі. 82 + (2 •6)2 = 2(82 + х2). х = 2-Jwсм.
Вілповідь: 2./Їо см.
106. Мед і ан и трикутника п еретинаються і точкою перети н у
ліляп,сяу відношенні 2: І,тобто ВМ = 10см, АМ =8см.
13А1=І02+82- 2 •lО•8cos60° = 84.Наподовженімедіани
С М3 відкладемо відрізок М3Е, р івний СМ3, отр1-1щ1ємо паралело грам ВЕАМ.
:·одіМЕ2 + 84 =2(81 + 10\J\11: = 2./61 см. СМ= і\1Е =2ММ3,ММ3= ./61 см.
Відповідь: зJі;ї. см,
107. Сторо ни чотирикутника КНРТ є серед німи лініям и трикугників
АВС, ВСЕ , АСЕ і ABE,зr-iaчrm, КН =РТ= АС:2 і КТ= НР= ВЕ:2.
Тоді IW + TT-f
2
= 2(КН2+КТ2)=2(.lАС2+.lВЕ2)= .l(АС2+ВЕ2)
4
4
2
11
АСвс,
.
5✓3 siпL.45 • _ г;;
108. --=--(теоремасинусш), AC=----=>v2 см.
siпL.B siпL.A
siлL.60
109. L В= 180- 135- 15 = 30°.
~=~. АС= З✓
2 ·s:шL.ЗО 3 см.
siпL.C sinL.B •
siпL.135
110 АВ_ВС
.
L.C _13f_13 l
.
-----.sш ----->
. Відпові дь:
ні.
siпL.C siпL.A •
812
111 . L .A=l80-(P+r); si11(180-(P+'Y))=si11(P+r).
~=~=~: АС= a-sinP ; АВ= a-sin'Y
sіп L.C sіп L.В sіп L.A •
sіп(Р +'У) ·
sіп(~ + 'У)
112.АС= АВ =-с__ L.C=l80-P-'Y
~ = ~: AD=c sinф+r).
cosа cosа'
' si11L.C sіпL.D •
cosa •sіп'У
113.ВС=АВcosа; L.ЕСВ =90:2=45°;L.ВЕС =180-(45+а).
с
СЕ=ВС
.
СЕ= c - cosa-siпa.
в4д
sіпL.В siпL.BEC'
sin(45°+a)
114.•АВСD- паралелограм, значить L. ЛСВ = а і L. ЛСD = р,
L.B=l80-P-cx ~=ВС= АВ. АВ = d sina .
• sіп L.В
sіпР sіпа'
sin(P +а)'
ВС= d · siпB . BD= ( d·siпa )2+( d·si11B )2_ 2 d·siнa d·si11B cos(a+B);
sin(B + а)
sіп(В+а) sін(В+а) sін(В+а) sін(В+а. )
BD= .
d .Jsiп 2a.+sin2P-2sin 2cx•sin2P·cos(P+a.).
sш(Р+а)
115. Проведемо висоту ВК, АВ =ВС= :'c:su , L.АВК = 90-сх. Тоді
L. АВС= 2(90-а) = 180-2a,L. ЛЕВ= 180- 180+ 2а- 'і= з;.
Ак
АЕ
sіпL.В
АВ ;АЕ= а•~in2a.
_
sіп L.AEB •
2sin 'f cosa
116. L. С = 180~а-р, L. ВСЕ =L. АСЕ= (180-а-Р): 2, L. ВЕС =
=180-а -(]80-а -р)2=90-%+~~=СВ
-
-
sшLB sшLCEB
~
ВЕ
А
СУ.-~
~-СУ.
l·cos - ,-
и~
~-и
/ · cos-2
-
CB=
-
.
L.AEC=l80 - (90- 1 +1 )=90--, СА= --~
sin~
-
-
2
sina
І· cos ~+а:
АВ=
2 (sina + sin~) .
sіпа · sіп~
117.АВ =_ь_.АВ =BD:BD= Ьsіну
. L.CBD=360-LАВС-L.АВD,
co,rt sів ~ sін )'
coso:. sіп ~
LАВС=90-а,L.ABD =180-р
-
'У,L.CBD=90+а+р+у.ВС=Ь tgcx.
12
CD= (Ь tga)2 +( Ь sіпу )2 -2Ь tga Ь sіну co s(90+a+p+y) =
cos a sir1P
cosa sir1P
Ь . ✓sir1 2 asir1 2 p+sir12 y+2siпa si11Psi11ysiп(a + p+y)
cosa sшР
118. Позначимо меншу сторону через х , тоді більша буде х + 4.
всАВхх+4хН"
г:;
--=--·
--= -
-
·-
-=
-:
x=4(3+2v3).
sinLA siпLC' sіп60° sіп45°' х+4 2.
Відповідь:ВС=4(3+2✓3) ,АВ =8(2+✓З).
119. L вмс=180- L Аме;Sll1L вмс=Sll1L АМС,вм=АМ.
АМ
АС
ВМ
ВС
sіпLМСА siпLAMC ' sі п LМСВ siпLAMC'
AMsinLAMC =АСs і пLМСА; AM s iпLAMC=BCs i пLMCB ;
ACsiнLMCA = BC siнLMCB ; АС: ВС= sir1LMCB : sіпLМСА.
120_ АВ
= АС =ВС.ВС=АВsіпр .АС=ABsir1a
sіп(а+Р) sіна sir1P'
sir1(a + P) '
sіп(а+ Р )
Р=АВ + АВsш р + АВsша АВ=
Psin(a + p)
Аналогічно
sіп(а+Р) sш(а+Р) '
s ina+sin P +sin(a + P)
Psina
Psin p
знаходимо : АС = --------- · ВС = ---------
sina + sinp + sin(a + Р)'
sina+~inp+sin(a+Р)
121. Проти більшої сторони лежить більший кут, отже L С > L А> L В .
122. L С = 180 - 43 - 82 = 55°. Проти б і льшого кута лежить більша сторона,
отже АС> АВ > ВС.
123. Проти мен шо ї сторони лежить менший кут , отже кут С, у будь якому ви
падку , меєбути н айменшим . (180-6 1): 2 = 59 ,5°< 61°. Відповідь: ні.
124. 1) 32 + 42 < 62 (тупокутний); 2) 52 + 62 > 72 (гострокутний);
З) 82 + 152 = 172 (прямокутний) .
125.LА+LС=180-LВ,LCBD=180-LВ,LА+LС=LCBD.
_,.]0
Звідси, L А< L CBD , а проти меншого кута лежить менша
У
сторона. Отже CD > ВС.
д / '----., с
126 . ПодовжІfМО м едіану ВМ за точку М на довжину рівну ВМ.
АВСЕ - паралело гр ам, значить ЛАВЕ = ЛВСЕ. Проти б і льшої
сторони трикугника лежить більший кут, от-ме L АВЕ > L СВЕ.
127. У да н их трикут н иках дві сторони рівні, а АС > КЕ. Кут між рівними сто
ронами тим більше '!ИМ більше протилежна йому сторона. Отже L В> L Р .
; 28. CD - висота, значить ЛАСD і CBD - прямокутні. L А=
=90-LACD;LВ=90-LBCD;LВ>LА.Тоді
L BCD > L ACD. Пр оти меншого кута лежить менша
сторона, отже AD > BD.
АВ
АС
.
.
АВsіпLВ І
129. -_- -
- =-.-
-
(теорема синусш) ; sшLC=---- -: L С = 30".
sшLC sшLB
АС
2
АВВС.
BCsir1LC .Jз . .
•
130. -
-- = ---; sшLA = ---- = -; В1дпов1дь: L А = 60" або 120°.
si11 LC sіп LA
АВ
2
13
.,
131. Бісектриса ділить протилежну сторону на відр і3ки проі10рuійні прилеглим
ло 11еї сто ро~1ам. Тоді:
І)1юзш1чшюЛl)'tepe3х.8:14=х:(11-х):х =4.AD =4см,DC=7см:
2)Лl):DC=/\В:ВС;АВ:ВС~7 S:J\lJ=7 -24.S=21см.АВ=21см;
3)поз1нР1имоЛ])чере·зх,тодіDC=\ +32:3= .\.(х+3),х =б,AD=бсм;
DC=б+З=9см.АС=б+9=15Со!.ле=-=15см:
4)rrозначr.1щJ/\13чсрс·зх,тодіВС=56-\.9:15=х •(56-х).х =21см;
13С=56-21=35см,АС =9+15=2401.AB=2lсм,ВС==35см,АС=24см.
132.АС:ВС=12:15=4:5;AD:DB=б:J2=l:2,4:5*І:2,значитьCD
не єбісекrрисоюL А.СВ, AD < BD. Відпоl3і.Jь: L ACD < L BCD.
133. Бісектриса д ілить к ,rгет у відношенні 2 . І. ·; rшчить rзі д rюшення катета до
гіпотенузи теж будt 2 : І. У прямокутному тр11куп-r11ку де rштст вдвічі ,rен
шн,і за гіпоте н узу гостр і кути дорівrноютr, 30 ° і 60° . Відповідь: 30° і 60°.
134.АЕ:ЕВ=20 :15 =4:3=АС :ВС.ЗвідсиВС =3⁄4АС.Тоді
('за теоремою П іфагора) АС2 + ( 3⁄4АС)2 = (15 + 20)2, АС= 28 см,
ВС=3•28:4=21см.Відповідь:28смі21см.
135. ВЕ: ЕС= 5: 3, ВЕ- ЕС= 6.сл1 (за умовою). Зві.'tси 5 : 3 =
=(ЕС+6):ЕС,ЕС=9см,ВЕ=9+6=15с~1.АС=fЛ.В,за
с
А
д~--~,в
тсореоююПіфагораАВ2-(fАВ)2=(9+15)2,АВ =30см,АС=3•30:5 = 18см.
Відповідь: 18 см, 24 см і 30 см.
136.ВС =✓І02+242 = 26см,АВ=✓72+242 = 25см(затеоремоюПіфагора).
АВ:ВС=АЕ :ЕС=25:26,АЕ=17--ЕС.Тоді(17-ЕС) ЕС=25:26,
ЕС=8~с,1.АЕ=17-8~ = 8{см.Відповіт,:8l3смі8-3
1 см.
.)
.)
.)
137. Діаrоrшль прямокутника розбиває його 11а д 1за рівних прюІОК)"ГНИХ трикут
ника, ·з 1шчиl'І, його сторони відосятr,ся як З : 4 (вю1стивість бісектриси).
Введс~10 коефіцієнт пропорційності х. Тод і 2(3х + 4х) = 42, х = 3. Отже сто-
рони будугь 9 см і 12 см. Діагональ: ✓9" + 12- = 15 см . Відповідь: 15 см.
138. ВК - бісектриса, значить L АВК= L АКВ = 45°. Тоді АВ =
8~
-,
с
г:::;-::--
"~
=АК=10с,,1,вс=АЕ=10+14=24см.АС=viu-+242=
~-------✓ •, к Е
= 26 or (тсорещ1 Піфагора), 3відс н АМ = 26 - МС. АВ: ВС= АМ: МС (вла
спі11і ст1, бі<.: с кт1)1rсн), (26- МС): МС= 10 • 24 МС= \8 ..О.. см АМ = 7 ll см
.
•
'
17
'
17•
в.
.
18 (і
• 711
І,1 П ОВІДІ,:
ЇЇСМІ ЇЇСМ.
139. \ ,\ \1 1-( і .\BCJ\ ·1 - подібні (за двома кутш,111). Зв і дси ВМ: МК =
=ВС:ЛК,ЛК=fВС.АВ=ВС(заущшою),АК2=ВС2- 729;
,У~
А~Е
ВС'-729=І<:ВС'.вс=лв=СЕ=45С\І.АК=4•45 :5=36СТІ-!.АЕ=2•36+
2)
,
+45 =І17с\1.Відпові;1ь:45см,45см,45смі117см.
140. АЕ - ; \іа1 ·011алr, ро,1ба, :шачить і б ісектр иса L А. Тоді, АВ: ВЕ =
=АС:ЕС,НЕ:ЕС=21:15 =7:5;Г-:С=fВЕ.ВЕ+fВЕ=18,
ВЕ = ]0,5 c~J, ЕС= 18 - 10,5 =7,5 с,,1. Відповідь: 10,5 с.м і 7,5см.
14
в
Е,/\Е
/"'л"Ї
д~С
141. L АВК= ]20: 2 = 60°, L ВАК= 60° (суміжні кути парале л о
гра.\Jа), значить ЛАВК - рівносторонній. Тобто АВ = ВК = АК =
= 12 см, АЕ= ВС= 20 см. Тоді АС2=АВ2 + BC2
- 2 AB·BCcosl20° =
,\ - :-::f
,/-\~.·~
= 576 + 400 + 480 = 784, АС= 28 см. ВК- бісектриси, 01Же АВ: АМ =ВС: МС
АМ=АС -МС,(28-МС):МС=20:12,МС=10,5см,АМ=17,5см.
Ві д повідь: 10,5 см і 17,5 см.
142. ЛВЕК і ЛВМЕ - прю10кутні і ріпні (ЕК і ЕМ
-
радіуси, ВЕ -
спільна), зnідси L KBJ::: = L МВЕ, значить ВЕ - бісектриса
L:_ АВС. Тоді АВ :АІ: =ВС :ЕС,АЕ =1ЕС;lfЕС=13,
ЕС=7см,АЕ=6с~1.Відповідь:6смі7см.
1-:/3. Центр nписаного у трнr,ут11ик кола лежиТІ, на перетині
бісектрис, тобто АО, ВЕ і СО - б і сектриси. АС= 2АЕ, ВО=
= 5см,ОЕ=4см,АВ:АЕ=5 :4,АВ =3⁄4АЕ.Звідси,
;іАЕ2- АЕ2=92
'
АЕ=]2см,ле=24см.АВ=12.5:4=15см.
Відповідь: 15 см, 15 см і 24 см.
144. (Мал. до задачі No143). АВ: АС= 7: 10 (заумогюю), знач1-гг1, АВ: ЛС = 7 : 5.
ТодіВО:ОЕ=7:5.130 =i ОЕ.ОЕ+i ОЕ=24.ОЕ =lOс,1.Відгювідь: г=10см.
,
)
,
)
.
145. (Мал. до зада,1і No143). ВЕ = 4OЕ (за умоnою), ВО= ВЕ-ОЕ = 3O Е,
ВО: ОЕ = 3: 1. Тоді АВ: АЕ= 3: 1, АВ = ЗЛЕ, АС= 2АЕ. Звідс11,
2АЕ +ЗАЕ +ЗЛЕ= 72, АЕ= 9 см. Відповідь: 27 см, 27 см і 18 01.
146. AD : АВ = DC : ВС, АВ = 3⁄4ВС (властивість бісектриси).
~
ВС2=BD2 +82
-
ІбВDcos 120°. АВ2=BD2 +62
-
12BD cos 60°
(теорема r<осинусів); 9(BD2 + 82 + 8BD) = l6(ВD2 + 62
-
6BD); BD = 24 см. Відповіm,: 24 см.
147. а= 6 с,1. L.CJ. = 30° (-.;а ,·,,ювою). R =А = 6 с,,1. Відповідь: 6 01.
•
~
·
.::·О . )
148. У рівносторо1-1111,о го тр11к:, тника кут дор і шпоють по 60°,
sin~oo = sin~O" = 3111~ ,
1; = 21<. ;а=Ь=с =F3IZсм.Відповід~,:FJRсм.
149.
_a_= 2R; -R"-= 2si11CY,=.fi .12 ; Sll\0'.=-1!-; сх,=45°,СУ., =135°.
SJП (1.
..,
-
І)а'=--І'+(3✓2)"-?.·--І•з.fіcos45°= 10,а =.Jїосм:
2)а2= -'t"+(3-Л)'- : ·•І·3.ficos135°=58,а=Fsс,,1.
Вішюві.Jь: ✓1( ) с~1 •їіо gg· см.
~в
150. L:_c= 180 -54
-
i\11 =- 6()0 _...ill.L =2AO. ЛІ3 =2 6 -f} =GJ"icм.
•
• sinLc
.:.
м,:.! ~
ЛІС - ІЗІ1С(її3, отже \ \ВК-- пря\І(Ж)lїІІ1Й, у 1 1р11\101,:-01·но"1у
гр,1кутr11-н<у цс,п-р 011,1,.аного ко;1а ;1ежил, 11а 1·і1ю1 с; 1узі і
.11іпитьїї 1ianпiJr. Тоді r = АВ: 2 = 3 .fi 01. Ві,1.повіль: з.Jз ·· r.
і51. .:\13!2!-І - подібний \f;Bc (за гострим куто"1). то.о L. лr ІВ
= 1so-L.нш=180-L.левR. _=
.А11:
АВІl :' , 111 L.\lll',
АЕ =2R sіп L:_ACB
15
д'}~-
іс
в
Е?
si,~u = 2R: si~; ~40 =2R; R=І6,8 см . Відповідь: 16,8 см.
~
,,
152. АС= 24 см, АВ =ВС= 13 см (за умовою), АЕ= 12 см. Тоді
sіпLАВЕ= AE=ll LАВЕ=67°· LАВС= 134°
АВ 13'
'
•
153. АК= (АЕ - ВС) : 2 = 8 см (властивість рівнобічної трапеції), ~
КЕ=АЕ-АК=16см.sіпLАВК=~=f;LАВК=42°.
'"~
/~
ВК = ✓АВ2 -АК2 =4✓5cм,tg LKBE= ~~ = 4f;
о
LКВЕ=61°. Отже, LАВЕ=103°. Тоді LАОЕ=360-103•2 =154°.
АМ=АЕ:2=12см,ЛО=АМ:sіпLЛОМ=12:sіп77° = 12,3см.
15 -1. АВ =ВС= СЕ= АЕ : 2 (за умовою), значить трапеція
~с
АВСЕ рівнобічна. АК= (АЕ - ВС): 2 = 1⁄4АЕ, тоді L АВК
•
~
= 30° (катет вдв ічі менший за гі потенузу). ЛВСЕ -
АКО
рівнобедрений (за умовою), L ВСЕ= L АВС= 30 + 90 = 120° . Тоді L СВЕ =
= (180-120):2=30°, L КВЕ=60°. Отже, LАВЕ=30+60 =90°. Центр
кола описаного навколо прямокутного 1рикутника лежить на його гіпотенузі .
Звідси,АЕ=2R=8см,АВ=ВС=СЕ=4см. ВЕ=АЕsіп60° =4.Jз см.
Відповідь: діагоналі трапеції дорівнюють 4 ✓З см.
155. L АОС = 120°, АО і ОС - бісектриси (за умовою), звідси
L АВС= 180- 2 L САО -2 L АСО= 60° . Rлос = 2sin1л.oc,
AC=2RдocsiпLl20°. RАВс = ]sin~' АС=2RлвсsілL60°.
2RдocsiпL120°=2RлвcsiпL60°; RRлвс = :,sin~;'~0° =І .
.
ЛОС ~sІП ЬІ.
156. За теоремою синусів: ~ = -,.A!L = ~
-
•
SІПLl3 SІПLC SІПLA'
І)АВ=8 •sui56° :Slll48° = 9см, LА=180-48-56=76°, вс=10,4см;
2)LС=180- 17 -54=109°, АС=12•si1154°:si11 109° = 10,3см,ВС=3,7см;
3)ЛС2=ЛВ2+ВС2- 2AB·BC-cos 70° = 80,АС =8,9см,
SlllL. с =9 .si1170°: 8,9 =0,95, L. с =72°, L. А=180-70-72 =38°;
4) АС2 = АВ2 + ВС2 ~2AB·BC·cos110° = 54,7, АС= 7,4 см,
sіп L. с =4 . Slll 110° : 7,4 = 0,51, L. с =30°, L. А= 180-110-30 =40°;
5) cosLA = лв2+.л.с2-вс2 "'0.543 L. А= 57°. cos L. В= 0:2 L. В= 79°
2·.дJ3·АС
,
'
,
•'
'
L.С=180-57-79=44°;
6) cosLA "'0, 806, L. А = З6°, cosL. В=-:-0,458, L. В= 117°,L. С=27°;
7)si11LС=4 •sіл100°:6=0,657,L.С =-11°, L.В=39°,АС=3,8см;
8)si11L С=8 •sіл40°: 9 =0,571, L. С =35°, L. В=105°, АС= 13,5см;
9)si11L. С =6 •sіл20°: 5=0,41, L.С =24°, L. В=136°, АС=10,1см;
10) si11LС=6·si1140°: 3 = 1,29 синус куга С б і льше одиниці. Отже задача
не має р і шення.
157. 1) АС= ✓~6_2 _+_6_2 __ - 2-
-6-
-6-·-co_s4_0 =4,1см;2)AD =АВ sіпL. В=3,9см;
16
3)ВМ=6:2=3см, АМ=✓62+32-2·6·3·cos40 =4,2см;
4) .:'І.АВК - прямоку1ш1й, ВК = АВ cos L f = 5,6 см;
5) І~= 7 АСLВ = 3,2 см: 6) ЛСКО =ЛСОЕ . тоді СС=КС=АС:2 =
_sin
,
•
= 2,05см,ВЕ=3,95см;ОЕ=ВЕ •tgLОВЕ=1,44с,,1.
158.l)LСШ)=LBDA,LBCD=І80-36
-
48 = 96°,
---1К:._- ____!ill__ 13С = 4 · О )-9 () 99 = 2 'СМ
sinLBDC-sinLBCD'
'
'
,-.
1'
CD2=ВС2+BD2- 2BC·BD·cosL.CBD=8.9.CD=3см,
L ADC=36+48=84°,L. BCD=96°,L. ACD=96-48=48°,
_____6Q__
-
____м;:__AD=4 .о74 ()99=3С'1"
s in LACD - sinLADC'
'
'
"'
2)R= 7 . 8Jв,0 =2см:3)EJ)=КD =AJ):2=І.5см.r=EDtoL--';013 =0,7см.
_SJП
L
,
,
,
.__,
~
159. Дуг и від11осят1,ся як І : 4 : 7, -значит~, nротилеж11і їм кути
трикутника відносятr,..: я як- l: 4: 7. Введемо коеф і ~ і єrгr
пропорпійності х, тоді х + 4х + 7х = 180, х = 15. Зпідси,
L. в= 15°, L. с = 60° і L. А= 105°. За теоре~ІОЮ синусів:
Al3=ВС sinLC=5.4см: АС=вс_ sinLВ І6
•
smLA
•
•
s1nLA
'
СМ.
Відповід~,: нсвілочі сторони дорівнююп, 5,4 см і 1,6 см.
160. Лшначюю кут ACJ3 'І Сре3 1, "{ = І 80 - а-~- Тоді
АсаsinBВС аsi1HiП~
.
.
= -;;; -;; -;
= -;;;-;; -·
ооудова1-1 1 трикутники - р1 в но-
сторонні, отже їх кути дорівнюють 60°. Зв і дси, L КАМ =
• бО+сх=о:+ 120 °, L КСЕ=у+ 120 °, L МВЕ=240° -~.
За тео р е~юю коси н ус іu -з на йдемо сторо11и трикутника ЕКМ:
МК=✓АМ2+АК2-2AM·AKcosLКAM = а І +(sii,B)2 - 2siп[J cos(u.+ 120) .
SІП у
SJП у
= -,і! - 1sіп 2 п+ s i1 /R_ 2siпcxsiпRcosl'II+ 120)
sшу V
·
1-- '
1-- '
1
МЕ= )АМ2 + ВЕ2 - 2AM·BEcosLMBE = а 1+ ('inc,)=' - 2 sіпа. cos(240- f<) :
sin і'
sin у
tJ•
Р=а( І +()~nB/: - 2s!пf3 cos(o: + 120) + 1+ (sі.п а.)2 - 2 si_nи. cos(:240- 11 ) +
SІП у
SlП у
smy
Stn?
j-J
+-1
-
s i11 2 u.+si 11 2 r<-2si11as i11R cos(v, +120)). 0у= 180-40 -105 = s'i 0
sшу
j-J
tJ
Р=4( І+(3і111і'}.)2- 2sin1:1:' cos І60•+ 1+cin:'i:)2- 2SІП:~"cos135"' +
S!П .1) ·
S1П _1_"1
•
SІП .1) ·'
SІП .1) .
+-.
-
1-,-- ✓ sіп 2 40° + sіл2 105° -- 2 si1140°siнl05°cosl 55°) =29,4 см.
Slll .1) 0
Відповідь: Р = 29,4 ем.
17
161. а) Не є ламана, точки сполучаються не послідовно;
.
б) проста ламана, немає самоперетинів і точки сполучаються послідовно;
в) ламана, є самоперетини, то,1ки сполучаються послідовно;
І') проста замкнена ламана (многокутник), то чки сполучаються послідовно:
д) не ламана, фігура являє собою дві за:-.,кнені прості ламані;
е) замкнена ламана, є самоперетини, точки сполучаються послідо вно.
162.1)З+5+9=21 >16,можуть;2)2+З+1+З=9=9,неможуть;
З)5+8+2+З=18<19неможуть.
163. З однієї вершини оп уклого многокутника можна провести 11 - З діагоналей.
Отже, з вершини семикутника можна провести 4 діагоналі. Загальну кіль
кість діагоналей можна вичислити за · формулою О,5п(11 - З)= 14.
Відповідь:· у семикутнику можна провести всього 14 діагоналей.
164. З чотирикутника АВСЕ: АВ +ВС+ СЕ> АС+ АЕ+ ВЕ (АВ, ff{jc
ВС, СЕ, АЕ - сторони чотирикутника, АС і ВЕ
-
діагоналі).
8
Е
З трикутників АВК і СЕК - ВК > АК і КС> КЕ. Отже,
А,\
АВ+ВС+СЕ+ЕК+АК<АС+АЕ+ВЕ+ВК+КС.
",к
165. Продовжимо одну з медіан трикутника на };. її довжини і
о
з'єл:наємо отриману точку Е з вершинами тр1шутника.
АОСЕ - пара лелоrрю , (:щ побудовою), АО+ АЕ> ОЕ. ОЕ
=ВО=; ВР, АЕ= ; СК і АО=; АМ (властивість медіан
о
о
о
трикутника. Отже, ; СК+ ; АМ > ; ВР, СК+ АМ > ВР.
о
о
о
166. МС <АС+АММС<ВС+ВМ:ВК<АВ+АКВК<СВ +СК; ~
АЕ<ЕС +ЕА,АЕ <ЕВ +ВА,~тже2(МС +ВК +СМ)<
мЕ
< 2(АВ +ВС+ АС). АМ <АО+ МО, МВ <МО+ ВО,
Акс
ВЕ <ВО+ ОЕ, ЕС< ЕО + СО, СК< СО+ КО, АК< АО+ ОК. Зв ідси,
АВ +не+ АС< 2(СМ +АЕ+ ВК).
Відповідь: АВ+В;+АС <СМ+ ВК +КЕ< АВ +ВС+ АС.
167. Cyi.ia кутів опук;юrо п-кутника дорівнює 180°(11 -2) = 180(5 -2) = 540°,
.9 0° • 5 = 450°. Відповію,: такніі п'ятикутник побудувати не можливо.
168. 180°(п-2) = 180(9 -2) = 1260°, середня величина к:,,тадорівнюватиме
1260: 9 = 140° < 141 °. Відповідь: ні, не може.
169. Якщо, кількість сторін зб ільшиться на З, то і кількість кутів збільшеться
не З. Отжеп=п+З, І80°(п +З - 2)= І80°(п + І).Познач~L,ІО величинуна
яку збільшиться сума кутів чере3 х. Тод і х + І 80°(п - 2) = 180°(11 + 1),
х = 540°. Відповідь: сума кутів збільшиться на 540°.
170. Введемо коефіцієнт пропорційності - х. Тоді 4х + 5х + 6х + 7х + 7х + 8х +
+ 8х = І 80°(7 - 2), х = 20. Відповідь: 80°, 100°, 120°, 140°, 140°, 160°, 160°.
171. Позначимо невідомі кути,якп, Р іу Тоді СІ.= -l,р,у=(-l,Р +Р): 2= 1р.
.)
.
:>
.)
Тоді60+Jр+р+1р=360°, р =60°;п~140°, у=100°.
о
_,
Відповідь: 60°, 140°, 60°, 100°.
172. 180°(н-2), при п> З на кожен кут до суми кут і в додається 180°. Отже
фігура, з найбільшою кількістю гострих кугів - трикутник. Відповідь: трн .
173. Кожен кут опуклого многокутш,ка менший за 180°. Сума кутів п' ят нкут
нию1 дорі внює 540°, 540- 180 = 360° > 180°. Відповідь: ні, не може.
18
174. 180°(ll - 2) = 1620' ll = 11 . Даний ,\Іногокутник має І] кугіІJ, ЗШ1'ШТЬ і 11
сп~рін. Відгюuідно, І І-ти кутник має 0,5 • 11 • (11 - 3) = 44.
Відповідь: заданий многокутник має 11 сторін і 44 діагоналі .
175.0,5н(н - 3)=77,н2- 3н
-
154 =О, н = 14 , відповідно, кількість стор і н дорів
нює І4. S = І 80(14 - 3) = 1980°. Відповідь: кіл ~,кість сторін - 14, S = 1980°.
176. І 80°(н - 2)- сума ВІ·Іутрішніх кутів, 360° - сума зовнішніх куті п многокутни-
ка. Тоді 180(н-2) = 2 • 360°, н = 6. Відповідь: многокутник має 6 сторін.
177. Аналогічно попередній заzщчі, l 80°(н - 2) = 360 + 540, 11 = 7. Відповідь: 7.
178. Ні.
179. Прапильний - многокутник, сторони і кути, якого ріпні. Отже, кожен пра
пильний многокутник можна поділити на дuі однакові половинки.
Відповідь: та~с.
180. L = ІSО(п-]) .1) L13н = 1SЩS-2) = І08°;L3013 = 180 -108 = 7:У :
ll
,)
2)L =1 s,.:c9-2J= 14·0"·.L . =4оо· 3),!,
=1so,12-2)=1-o•:• .L . = ,о •:•
вн
9
'
30В
:
вн
J2
)•·юв
-
•
181. І) 1801;-2) = 168°, н = 30; 2) внутрішній кут дорівнює 180 - І 8 = 162°,
180(;-2 ) =162°, н = 20. Відповідь: 1) 30 сторін, 2) 20 сторін.
182. Позначи мо внуrрішній кут через х, тоді зопнішній дор івнюс f х. Зві.т1си,
~х+х=180°. х = 108°.
18 0(n- 2) =108 °; п= 5 . Відповідь: 5 сторін .
.)
,
.
n
.
183. Позначимо внутріш11ій r<ут через х, тоді зовн ішній до рівню є 180 - х . І од і ,
18011- 180(11- 2)=,.532- х.х =172°.
180(;- 2 ) ; 172°; п= 90. Відповідь: 90.
184. Внутрішній кут правильного шеспшутш1ка дорівнює 120°, L. КFЕ -
= L.КЕF =60°(якзовнішнікути).Тоді L.ЕКF =180 -60-60=60°.
Відповідь: L. AKD = 60°.
185. 1SO(n- 2 ) =160°; н = 18 . Відповідь: 18 сторін.
п
•
186. Центральний кут правильного мноrокуrника дорівнює зовнішньо., ,
·,1,.
1) 180 - І 80(3-2) = роо, 2) 180 - І 80(9-2) = 400, 3) 180 - 180(15-2) = 74,:•
З
•
....
'
9
'
15
....
•
187. Внутрішній кут J1 '1, і•1~с;ОС 180- 1.5 "" 16.5°, 18 0(n-:) = 16.5 °; п = 24.
п
.
188. Чи>< fі;ш,ше кугі ➔ ,., . , .
,;mоїОК_І'І'ІЧ1><, ,;.11. 0 б г.ьше t\oro внутрішній к:-т, під
:0::,ь .1,, :.
, е '1,- -· ,: ' "ний кут - менше. Отжt r.;,,н1·ральний кут І'Іайбільu 1 ий у
мноткуrникu t'3 найменшою кількістю кутів - UL трикутник. У трикутника
центральний кут дор івнює 120°. Відповід~,: 120°.
189. Проведемо про ,\Іені з центра кола через середини сторін даного п'яп1кут
;.шка, точки ri.cpe ·~1•1;y ,.щх променів з колом послідовно з'єднає~ю 3 всрши
шнш п'яти:,уrш1ка, отримає~ю правильний десяп1кут 1шк.
190. Централ 1,н 11й кут восьмикутника дорівнює 4.5° . Отже побудуємо 1Jр>1,,н, JІКІ
прохою· •н'рС3 вершини даної сторони пі д кyro~J 4.5°. На uих прямих uід
кладе1,с ,;л,р1·3 r<и, як; дс; )fв : • юють дан,й сторон~, д1, 1ч1 повторюю п • , - ~ , . - .
з'єдrнгмо отриман і точки і отри:маємо правиш.ний восьмикутник.
191. Чеr, с, . · ~ ·,тр ,,r•A' r,роведемо три пря м і, під 60° одна до ол:ної. Чсрс3 точк и
перетину ,: прямих з колом проведемо перпендикулярні (до , юбудова н их)
19
прю1і. ТО'ІКИ ІJСрспшу uих Пр}L\JШ, будуть верLІІИН,l\Ш шуканого шестикутника.
192. Кшю ,,10жш1 описати тіл1,ки навколо чоп1рш,:,тника, c.y,ia проп1.11сжних кутів
якш·о дорівнює ]80°. L. ВАО = L. ВСО= 1⁄2L. АВС, L. МСО = L. ВСО+
+ L. МСВ, L. МСВ = 180- L.АВС (-юuнішній). Тоді L. МСО + L. МАО=
= L. ВАО + L. ВСО+ L. !\,[СВ= L. ARC+180- L. АВС= 180°.
193. Прнмокуг11ик - многокутник пписаннй у коло, кути нкого рівні, а стороFІи
мают~, рі·шу довжину. Відповідь: так.
194. Сторони отри ,,1ш-юго трикуrника - серсд11і лі11ії рішшх трикутнш6п, утворс
нш; тр1,ома послідош-Jшш верu.шш1~1и даного ~ІІ-ЮГОК)ТЮ1ка. Якшо трнкуп-ш
ки рі1ші, то середні .~інії і 1~ут11 у них також рівні, 3ш1чнт1, отрш~аний ,,нюгоку
пшк - правилший. Кіл1,кіст1, серс.'.(ніх лі11ій співпадас :з кількістю трИІ<::,тни
r<ів, отже кіл~,кість сторін даного і отриманого м1-ю1·ок:тr-1икі11 рівна.
195. Проведемо прнмі чере3 вершини і серед ини протилежних до вершин сторін
даного п'ятикутника, побудовані пря\1і і вісі СИ\-1етрії перстнутr,ся в од11ій точ
uі - ueнrpi описаного (вписаного) кола. Отже п'ятикуrник
-
правильний.
196. Н.=
~ = '; : ;= 4 -J з см . r= аг;= 4г;=; ✓Зсм.Відповідь:±..}зсмі l..)зс.,1.
.. .. i3 ..,;3 .,
-
'2v3
'2v3
_,
3
J
197.
"
-
г.;:2 1О
а5✓22-г;;2 в·
.
10•
✓2=),,JL, а= СМ , Г= 2 = 2 = ,) '\JLCM. ІДПОВІДЬ:
СМІ 2,5 ✓2 см.
198. "f =4✓3, а= 8 01, R =а= 8 01. Відповідь: R=а=8см.
199
·,
8
а
4h
•
8hІRO-
.
~ = ; ~ = ' '1-' : з другого р1ш~я~шя а= ".1tg--'-n·, шдстапюю
у
2s1n ~
~tl!~
п
~п
s..Г,tQ tso
перше рівняш-~я -----= ---
181
0
1 = 8, cos 180 = ..Г,. 180' = ,Ю _11=6. Тоді а= 8./зtgЗО = 8с,,1.
~Sln -
11
2
!І
11
Відповідь: п= 6, а= 8 см.
200.
21gJSO
-~о "
--.
-
11-
= ~ =0,6,тоді cos.!L._ =";-,а
11е нс.,южшшо Вішювідь: ні.
-
''-
co s~
п
-'
2siп.ISO
11
11
201. Для трик:~пшка, R = ';:: = 1 = ..fi. с,,1; для квадрата Н. = '!:: = ✓2. а= 2 С,\І.
V--i
V-.,
"2
,
Ві,1повід1,: pailiyc опнсаного кола= ✓2 см, сторона ква,1рата = 2 см.
202. Н. -г = 8 с.,1 (3а умовою), тоді }з-2':л,=8, n = І 6✓3 с.,1. l< = 16Jl==l6с,,1,
·-
ІбJі-8• В.
•
·16•8
І - 2..Г, - СМ. ІДПОВЩІ, .
.
СМІ СМ.
203. Приr1устю10, сторона вписаного шестиІ<)ТІ-1и~;а дорівнює а, а сторо11а 011и
сш-ю1·0 - l). Да11с коло Є
. ];!51 одного ШССП1К)ТІ111Ка ВПИСШ-ІИ\-1, для і1-111101·0 -
описа1-ш~J, :шідш а = t,f; f, = Jf .Відновідь: Jf.
204. Знайде ,\Ю сторtшу трнкуп-шка а = R J"i ,тоді радіус вписаного кола:
г = R-{J =~-Звідси, сторо11а квадрата а= Rf. Відповідь: а= Rf_2.
2-. Jj
~
~
205. Рал:іус кола оm1ешю1·0 навколо квадрата _: юрі1111юс з..fі. см, сторон а :1:е сти-
20
кутника: а= 2!:; = 6 f = 2✓6 см. Радіус кол.а описаного іншко.~о шестикут-
V:>
.. ,,,р
ника дор івнює його стороні. Відповідь: 2✓6 см.
206. Сторона да ного три~утника а = ✓3·✓3 = 3 см, висота рівностороІ'нього
•
а✓З 3✓3
•
~
трикушика доршнює 2 = 2 см. Отже рад1ус кола вписаного у пооудо -
вш~ий трикутник: г = "г.. = 3 ./J: = -
4
3 с~1. Відповідь: 0,75 см .
.,,
'2v3 4v3
,
207. Впишемо у дванадuятикутни к коло. для шестикугника ue коло буде опи
сш-тим. Знайдемо радіус uьoro кола r = 21R0 = ~ = 2 + ..Jз см . Сторона
.
2tg ,~2
tg)
шестикутника дорівнює радіусу описаного кол.а. Відповідь: 2 + ✓З см.
208. Опишемо шш 1щло восьмикутника кол.о, АС - сторона вписш-юго в ue коло квад-
рата, АЕ - діа.~1етр. Знайдемо радіус цього кола R = ~ = з,J4 + 2✓2 см .
2sшg
АС=R✓2 =3✓4 +2✓2·✓2 =6✓2 +✓2см,АЕ -діаметрАЕ= L.і< ~
= 6 ✓4 + 2✓2 сл1. ЛАВЕ - прял-юк)тний (вписаний, rіпотен,,зіl
-
.'! ; ~ч,,,,.,,·1.
AD =AEsiнL.AED=6✓4+2✓2 sіп 1~5 = 6(✓2 + 1) см.
Відповід~,: АС = 6✓2+ ✓2 с~,, АD=6(✓2+1)см, АЕ=(, ✓ ~+2 ✓ 2 см.
209. Довжина хорди дорівнює 6 см, отже сторони вписаних тr- ·' " ) ншка і к ;: ;;_ · -
рата також дорівнююл, 6 см. Радіус описаного навколо квалрата ко1 ,
R0 = Г2 =3✓2см,навколотрикутника - R6 =}з=2✓3 см 1,,
,,к
uентрами кіл: · 3✓2 sіп 45 с• + 2 ✓3.si п3ос•=з +../з см. Відповіі'L •
210. Радіус вписаного у трикутник кола r = /г,,. Мал. 1~ -
~~~1 = ~L: = 1⁄2(подібність трикутник і в), O1К1 ="//см. Від11uві,,,,: "-;! см.
211. Впишемо коло у квадрат, воно буде вписаним і до восr,микутника, тоді
г= 2✓2 =2+✓2 см. Сторона квадрата: а=4+2✓2 см. Ві11;, ,
1.-J1. 01.
2tg 'r
212. Стор. 130 збірника завдань, мал . 124.
213. Радіус кола, описаного навколо трикутника: R =}з= 2J; с" • , · ,• t i стщюна
шестикутника також буде 2✓3 см. Отже, Р = 12✓3 см. Відповід,· 12,Гз см.
214. Стор . 130 збірника завдань .
215. 1=2nR.1)І=6,28см;2)І=25,12см;3)І=2тгсм;4)І=12см
216.d =2R =І6см,І=3,14 •І6=50,24см.Відповід~,:50,24см
217. l)R=22 =0,32см;2)R= ,5 =0,8см;З)R= _1t =0,5с.,1-І,,.. . ·;_· ,_
: =7.ттrм.
Х
~тт
L~
1\
218. Припустимо, радіус даних кіл дорівнює r, тоді З • 2 л: ; · = 2пІ{ . .rre R - р,щ іус
ш ука ного кола. Звідси, R = 3r.
21
219.
220.
l) 1=4щ довжина збільшищ:ісь вдвічі; 2) І= 2ш· +4тт, збільшилась на 4тт.
l=тсD.тоді AB = j__ АМ=.1.. ВМ=-2. звідси.l=.1.+1 1=1 +1.
-
к,
1е-
-rt
тr 7t
л:,
12
221. Вантаж піднімається за один повний оберт на відстань, яка дорівнює дов
жині кола блока. І = ттD = 18,84 с,ч. Отже, за шість обертів вантаж підні
,,1еться на шість довжин кола, s = 6·l = l 13,(J4 см. Відповідь: 1 м 13 см.
222. Знайдемо відстат,, яку електровоз проходип, за одну хвилину:
s = l00·rcD=628 м. Тоді \' = 6f~~,0 = 37,68 к,ч/год. Відповідь: 37,68 км/год .
223. 1=2rcl:Z.. рад і ус і довжина кола ~шють лінійну залежність,~
значить графіком буде про~Іінь, який виходить з ІlО'tаТІ<у ~
координат.
~І
224. l=11:R11.l) != 6 11:=Оlсм: 2) 1= 6к·l5=15см:
І 81.1
180
'
•
І80
'
•
3)і=бк•120 =12см·4)l=..о!І.-270 =27см 5)1=бте ·330 =33см
18{)
І'
180
110'
18()
•
225.R =l§.2:l=18
1L8•1
•
15 = 47.8 см. Відповідь: 47,8 см .
-m,
7t
.,
Z26.
227.
11 = 180•1 = 18,°"2те = 12° . Відповідь: 12° .
rrR
_")!JJt
п= ІSRО·І = 18
6°· 411: = 120°. Відповідь: шукана дуга містить 120°.
к
те
228. 1= 2rcR 1. 1= тesRo 11. тоді R = ІSО·2теR, = 180•.2
.• 10 = 24 см. Відповідь : 24 см.
•
І
•
mi
І)U
71:. '! .
229. Знайдемо довжину дуги КМ. ВМ = R = ~
2 , звідси КМ= 11:R 11 = ---1..90 = ка
•
_
180
І80
4•
Тоді Р,;.rЕм = тта . Відповідь: периметр КРЕМ дорівнює na .
230. •L. ЕОС - центральний, значить L. ЕОС = 2 L. ЕВС = 72°.
Тоді ll)адусна міра дуги, яка 3ш1ходи1ься 3а межа,,ш трикут-
ника буде 180- 72 = 108°. 1= 3те 108 = 9!' см.
18()
:.-i
Відповідь: 9_:Т см.
~
231. АЕ .l ВС (радіус і дотична), тоді АЕ= АВsіп L. В= 4 ✓3 см.
І 11:4.Jз4- г::;3 в · · _г;:;з
•
=IS(I· )=TT',f.)CM. ЩПОВІДЬ: 11',f.)CM.
232. Знайдемо сторони квадрата та дванадuятикутшша а 0 = 2R = 2 і
а 12 = 21:Z. si11 \8~' "'О, 5 см. Тоді периметри uих фігур будуть а 0 = 2
•4 =8см,а12=12 •0,5 =6см.Довжинакола:І=2ттR=2тс.
□,
Порівнясмо отримані результати і отримаємо 6 < 2 тт < 8, З< тт < 4.
233 15°=_!E_J5=_ .!! .-
~0°=_. E. _~0=l': · 48°=_.Е._48= 4п. 75°=_.Е._75= 5п.
•
І80
12'
.>
І80.J
6'
180 • 15'
І 8(1
12'
] )()О =_!Е_] 2() = 2п . 240°= _.Е._ 240 = 4п
-
•
І80•3'
І80
3•
1so.E ..
234.
---10. = 9°
те
22
1sn~
____ ___:_ _]__=3000: ІSО·Зл: =5400.
7t
,.
7r
235. Для радіанної м іри куга: 1= Rл = 1·3=3 . Відповідь: довжина дуги = 3 .
236. Сума кутів трикутника дорівнює 180°, 1 рад "' = 57°, значить ус і кути
трикутника не можуть дорівнювати uілому числу радіан .
237. S=а2.1)S=122=144см2;2)S=3,52=12,25см2;З)S=m2 см2.
238. S=a2. 1) a=4Jf=2✓2 см, S=8 см2;2) a=5✓2Jf=5см, S=25
3)а=✓2111см S=l.m2 см2
.2
'
2
•
239. S=а·Ь.І)S=12 •8 =96см2;2)S=0,8 •3,4 =2,72см2.
240. l)a=✓1% =14см;2)а= .J7,29=2,7см:З)а= .Jls=3✓2м;4)а=✓m~м.
2-Н.а=12см,S=168 c~i2,тодіЬ =168:12 =14см.Відповідь: 14см.
242. Діагональ прямокугника розбиває його на два прямокутні трикутника,
значить а= 8tg30°= ~ =4Jз см. Тоді s = 64/ 3см2. Відповідь: б43✓3 см2.
v3
.,
.)
243 Введемо коефіuі єнт пропорuійності х, тоді 4х ·7х = 112, х = 2.
Відповідь: 8 см і 14 см.
244. Припустимо, менша сторона прямокутника дорівнює х см , тоді інша -
(4+х)см.Звідси,х(4+х)=21,х =3см.Відповідь:3смі7см.
245. Площа квадрата: S = 82 = 64 см2. З площі прямокутника: а= 64: 16 = 4 см.
Відповідь: 4 см.
2-16. а= ✓2 R, S = ( ✓2 R)2 = 2R2. Відповідь: 2R2.
2-П.Р=4а,S=а2.Тодіа2=4а,а=4.Відповідь:4.
248. "3г і дно малюнка SАвсо =(а+ ь)2. Знайдемо його площу через площі фігуr,
S '"F~I = аЬ, SPCFK = ь2, SFKDE = аЬ, s,\J\ІFE = а2. Звідси, s.!\Всо·= SвPFM + Sрсп, +
•
1
~їКDЕ+SлмFё =а2+2аЬ+Ь2.Отже,(а+ь)2=а2+2аЬ+Ь2.
2-1 9. Я к що квадрати не рівні, то їх сторони не рівні, з начить і площі не рівні.
Ві;щ овідь: ні.
250. ') --= а
2
.
1) S=(7а)2=49а
2
,
збільшиться у 49 разів; 2) S= ({/ = ~: , зме-
ншнться у 16 разів; 3) S= (111а)2 = 11/а2, збільшиться у m2разів.
2:,-1 ·1-d ✓2 d -4d а_,.., r;:;d S-a 2 -d2
• S -~ 2 -8 г;::2d2 ~-16 г;::2
•,-
2. 1-
'
1--' 1.!..
-
-
2' 1-«1 -
'1L•
.
S-
'1L· -
ПЛОШа збільшиться у 16✓2 разів. Р = 4 df = 2✓2d, Р1 = 42✓2d = 8✓2d .
~
•
Р = 4 - периметр квадрата збільшиться у 4 рази.
252. S =аЬ .1)S= ЗаЬ -збільшитьсяуЗрази; 2)S= ~' - зменшиться у5разів;
3)S = 7а·7Ь=49аЬ - збільпшться у 49 разів ; 4)S = 4а·6Ь=24аЬ - збільшить
ся у 24 рази; 5) S= 8а-~=4аЬ - збільшиться у 4 рази; 6)S= ka·pb=kpab . -
збільшиться v kp разів: 7) S = ша·-°-=.!!!.аЬ - зміниться на величину .ш..
~
-
n
n
11
23
253.~=01
: = 3, а1=✓За .Звідси, Р =4а. Р1=4✓3а.
Sа-
Відповідь: ' = .jj.
254. Побудуємо пря~юкутний трикутник, у якого катети дорівнюватимуть сто
ронам даних квадратів. Гіпотенуза отриманого трикутника буде дорівнюва
ти стороні шуканого квадрата.
255. Щоб площа квадрата збільшилась у 3 рази треба його сторону збільшити у
✓З разів (задача No253).
256. Сторона шуканого 1шадрата буде дорівнювати .J;J; (задача 245).
257. Маленькі квадрати треба розрізати по діагоналі, а отримані половинки
СІ(Jlасти сторона,,ш од~ш до одної.
258. R =1і =✓3 см. а O =✓2R =✓3✓2 =✓6 см. S0 =6см2. Відповідь: 6 см2.
259. S0 = al1a = 18·7 =126 см2. Відповідь: 126 см2.
260.а)S=3 •4 =12;б)S=2 •4 =8;в)S=2 •б=12;г)S=4 •2=8;д)S=2 •2=4;
е)S=2 •4 =8;ж)S=2 •2=4.Відповідь:аів;б,гіс;діж-рівніпоплощі.
2Gl. 13исота, 011) щена не більшу сторону дорівнює 11 =9sі.п60°= 9f см. .Звідси,
S =12 9 f =54✓3 см2. Відповідь: 54✓3 см2.
262. Аналогічно попередній задачі, 11 = 5 ✓3 siп60°=1f" см . S = 5 ✓31f" = 7і ✓З см2 .
Відпов;ю,: 75 ✓3 см 2.
2
263. Сторони ромб і в ріnні (за умовою), отже найбілr, ша площа буде при найбі
льшій висоті. Коли висота співпаде зі стороною ромба, вона набуде макси
, 1ruтьного зн;~чення . Отже, найбільша площа буде у квадрата.
264. Припустимо. о;щн з кутів ромба дорівнює х с~1, тоді інш,1й - 3х см,
Зх:х =І80. х =45°. Тоді 11=8sіп45°=4✓2 см. S=8-4✓2 =32✓2см2.
Відповідь: 32✓2 см2.
265. Відстань між сторонами паралелограма дорівнює висоті. 11 3 =~ = ~8 =8 см.
Відповідь: 8 см.
266. 11,, =~=·97=24с.~1. Ь=h:=9
8
6 =12 с~1. Відповідь: 12смі24см.
267. .Задача мас два ро-зІJ'язки: 1) висота ОП)Щена на сторону 9 см. S = 4 • 9 = 36 см,
11 =li =36 =3см:2)ОП)'Щенанасrорону12с~1.S=4 •І2=48см, 113 =~см.
аа11
,
-
:;
в.
·
3
~16
шповшь: см аоо 3 см.
268. Припустимо, сторона паралелограм а дорівнює х см, тоді висота - (х + 3 )см.
х(х+З)=54, х =6см.Відповідь:а=6см,ha=9см.
269So-
'?·S
-
tS-І
·
Ь- r;:;2al ~- ✓2
-
• 4-о
.
So-'VL,0-aJ.0
-ai., а
-'VLla, Ь -2-SШ).
Відповід~,: 45°, 135°, 45°, 135°.
270. Найбільша площа буде у поодинокому випал.к) паралелограма - пря,,•оку-
24
тника. Отже площа паралелограма не може бути більшою за площу прямо
кутника із 3аданими сторонами . 6 ·8 = 48 < 49. Відповідь: ні, не може.
271. Висоти перпендикулярні сторонам, отже кут між сторонами також буде
60 ° а=~= 16-.Гз CJ>,f' s = 10 16-.Гз = ІбО../з см 2 Відповідь· lб0✓3 см2
•
sin 60
31,
3
З
•
•
3
1
•
272. 11 =✓152- 92 =12 см,S=12 •9 =108сл~2. Відповідь: 108см2.
273. Uентром симетрії паралепограма є точка перетину діагоналей, сторони
паралепограма рівні і парапепьні, кути паралелограма попарно рівні . Отже,
пряма перетне протилежні сторони під рівними кутами. Таким чином ми
отримаємо дві рівні фігури по обидва боки від прямої, а у рівних фігур
площі також рівні.
274. S=1⁄2al13 =1⁄2 ·8 -4,5= 18 см2. Відповідь: 18 см2.
275. l1a = 2.s = 2·;4 = 21 см. Відповідь: 21 см.
276. У прямокутному трикутнику катет є висотою проведеною до іншого кате
та. Отже, S = 1⁄2·6 ·9=27 сл?. Відповідь: 27 см 2.
277.а)S=1⁄2•4•5=10;б)S=1⁄2•4•4=8;в)S=1⁄2·4•4=8;r)S=1⁄2•І·8=4;
д)S=1⁄2•2•8=8;е)S=1⁄2•2•4 =4;ж)S=1⁄2·2•6 =6.Відповідь:б,від;гіе.
278. Проведемо висоту до більшо·і сторони. Тоді І1 = 4sін30°= 2 см.
S = 1⁄2·2·7=7 сл/. Відповідь: 7 см 2.
279. Найбільша площа буде у поодинокому випадку - прямокутному трикутш1-
1
-
,
ку,S= 2 -4·8=16 см-. І) 12< 16,може;2) 16= 16,може; 3) 18> 16, не може.
280. S2 =3S1 , S1 =1⁄2·3·8=12CJ\/, S2 = 3·12=36сr.~2.Звідси, l1 2 =~5 = 2.і 6 = 12см.
Відповідь: 12 см.
281. Висота до основи: І1 =✓52 -32 = 4 см. S = 1⁄2-4·6= 12 см2. Відповідь: 12 с~12.
282. Знайдемо площу трикутника та його гіпотенузу. S = 1⁄2·9 · 12=54 см 2 ,
а=.J122+92=15см.Звідси11. = zs=2
1·~4 = 7.2 см. Відповідь: 7,2 см.
<
а
:-,
;
283. S = 1⁄2al1 3 . 1) S = 1⁄2аІ13 , збільшиться у 3 рази; 2) S = т\5-аІ13 , зменшиться у
5 разів; 3) S = 1⁄2'1⁄2а·511а = 3⁄4аІ13, збільшиться у 2,5 рази; 4) S= 5;al1 - , Jбі
льш1пься у 56 разів.
284. АD=fВС(заумовою). S=1⁄2АВl1лв=3⁄4ВСl1вс , S=1⁄2BCl1вc· Звідси,
о ВСІ
ІВСІ hлвзв· .
.
з
6 1.'\В =2 1вс, hвс =2· ІДПОВІДЬ: ВИСОТИ ВІДНОСЯТЬСЯ як 2·
285. S = 1⁄2al1 3 . Отже пдоща має пряму залежність від висоти та сторони до якої
вона проведена. Зна,шн,, при постійній площі, 'ШМ менше одна вели,шш1 тим
більше інша. Тобто більшій стороні трикутника відповідає менша висота.
286. Медіана ділить сторону на два рівні відрізка, тобто у нас утворилося два
25
трикугники з рівшші1 основами та спільною висотою, ЇХ: площі - рівні.
287. Sлво =1⁄2AD·\1, Sвсо =1⁄2ВС-11, Sвос =1⁄2ВС·(І1-l1д0 ), Sлоо =1⁄2АD·І1д0.
Sлво = Sлво -Sлоо = 1⁄2AD·l1 -1⁄2AD·llлo =1⁄2АDО1 -І1ло); Scoo =Sвсо -
-Sвос = 1⁄2ВС-І1-1⁄2ВС-(І1-І1д0 ) = 1⁄2ВСІ1до· Трикутники ВОС і AOD- по-
дібні, тобто ~ = h~::, ВСІ1 AD = AD(l1 - І1д0) .Отже ScoD = Sлво-
288. Бокова сторона трикутника дорівнює 13 см (за умовою). Тоді
11 = .J132 - 52 = 12 С1'і. S= 1⁄2· 13·12=78см2.Відповідь:78 см2.
289. Припустимо, а - бічна сторона, Ь- основа. Тоді t = 3⁄4, а= 3⁄4Ь. Звідси
С3⁄4Ь/ -(1⁄2Ь)2 = !2С, Ь = 18 см. S= 1⁄2· !8· 12=108 C1'i2 . Відповідь: 108 см2.
290. Припустимо, а- бічна сторона, Ь -основа, І1ь- висота до основи.
Ь = 21iьtgJ 5°; 1⁄4·211ьtg!5°·І1ь = 150, І1ь = ,Jl 50(2 + .Jз) с~1, ь = 2✓~152-0С-2г;--~✓З-3-)
-
+~~
= 10.J12-6 ✓
3 см, а= '2si~150 = 10✓6 см. Відповідь : 10✓6 см, 10✓12-6✓3 см.
291. Гіпотенуза даного трикутника буде ~,"s = 15 см , тоді інший катет
✓152- 122 = 9 см. S= 1⁄2·9 ·12=54 см2.Відповідь: 54 см2.
292. Позначимо менший з кате т ів дорівнює х см, тоді інший -(х + 14) см. Тоді,
х2+(х +14/=262: х = 10см. Отже,катетидорівнюють 10смі24см.Звід
си S=1⁄2·10·24=120с,ч 2 . Відп овідь : 120см2.
293. За ознакою косин усів 3"0
= ~:; а= 12✓5 см, 3ь0=f; Ь=6✓5см.·
S =1⁄2· 12✓5·6✓5 =130 сч 2. Відповідь: 180 см 2.
294. ПриП)'Стимо .. а і Ь - катети даного трик)rгника. Тоді 2- = j, __ .
а=.± Ь (влас-
40 30'
З
т1-шість бісектриси). Отже, (4- Ь)2 + Ь 2 = 70 2 :
о
.
Ь=42см,а=4-42 =56см.
S = 1⁄2-42·56=1176 см 2 . Відповідь: 1176 см 2.
295. Uентр вписаного кола лежить у точці перетину бісек
трис. ЛАЕО = ЛАОМ і ЛСОК = L\CMO (за другою
о
ЕВ
ознакою рівності трикутників). Позначимо, МВ через А
мс
х,тодіA.IVl=26-х.Звідси,АЕ=26-х,КС=х,ЕВ =ВК =4сі\1(ЕІ3КО-
квадрат).Отже,(26-х+4)2+(х+4)2=262,х =6см; АВ =24 см,ВС= 10см.
S = 1⁄2·24· 10=120 C1'i2 . Від п овідь: 120 см 2.
296. У прямокутно1'1у трикутнику катет проти кута 30° вд вічі
менший за гіпотенузу, значить ВО= 2КО = 2 ✓3 см. Тоді
ВЕ=/(2✓3)2-✓32=3С-М. АК= Oh =("!✓3+3)см
'\J
tgl 5°
-
~
•
26
~
~~А
м
ВС = ✓3(✓3 + l)см,АС=3(✓3 +l)см; S=1⁄2 ✓З(-JЗ +1)·3(✓3 +І) =9+6✓3 см 2 .
ВідпQвідь: 9+6✓3 см2.
297. Трикут1-шки АВЕ, ECF і AFD - прямокутні, SлEF = Sлвсо - S,\.ВЕ
-
SEcF - S. -\FD·
Sлвсо =142 =196crvi2, SдвЕ =1⁄2·14-4=28см2, SAFo =1⁄2·14·9=63 crvi2,
SEcF = 1⁄2С14-4Х14-9) = 25 см2; SдEF = 80 crvi2. Відповідь: 80 см 2.
298. Аналогічно попередній задачі, знайдемо площу прямокутника, описаного
навколо даного трикуrника і віднімемо площі зайвих трикутників.
S6 = 5·6-1⁄2·5·3-1⁄2 ·3·3-1⁄2·2·6=12. Відповідь: 12:
299. По-значимо сторону квадрата чере'3 х, Sлвс = 1⁄2·6-4=12 см 2 . Тоді
SJ\,n.:pc = S.л..вс -S дкм -SквР , х 2 = 12-1⁄2(6- х)х -1⁄2(4-х)х, х = 2,4 см.
Звідси, Sмкrс = 2,42 = 5,76 cr,/. Відповідь: 5,76 см 2.
300. Припустимо, CD = х, тоді BD = 3х (за умовою) . s.ЛJ3C = Sд0с + Sдво, ви
соп1 усіх трьох трикугників опущені з вершини А співпадають, основи від
носяться як 3 : 1, отже їхні площі також відносяп,ся як 3 : 1. S,шо = 21 см 2
s.ЛJJC = 7 crvi2. Відповідь: 21 см 2 і 7 см 2.
301. Припусп1,чо, бісектриса кута В перепшає сторону АС у точці Е . За влас
ти-вістю бісектриси трикутника: ~ = ~ =1⁄4.Площа ЛАВС ділиться бісект
рисою в тако~1у ж відношенні, як і сторони АВ і ВС. Відповідь: 7: 4.
302. Відрізки АО і ВО рівні, з начить їх проекції на пряму CD також рівні, від-
повідно, рівні і висоти ЛАОС і ЛОDВ, опущені на CD. Тоді, S"юс = 1⁄2·3 ·11,
S
=1- ·5 ·11 Sлос =J. Ві"повідь· 3 • 5
ODB 2
'
Sоов 5•
,~
•
•-•
303. SвcED = SдсЕ -Sдво· З вершин В і С трикутників ABD і Ас
АСЕ на сторону АЕ опустимо висоти ВМ і СК. За
теоремоюФалеса:~~=~ ,СК =А~М =3⁄4ВМ.
Ам
Sдск = 1⁄2·S·3⁄4BM = 9ВМ, S.л..во = 1⁄2·6·ВМ=3ВМ; Sвск.о = 9ВМ- 3ВМ = 6ВМ.
_ s .AJJo = 1⁄4.Відповід~,: 1 : 2.
sвсю -
304. Позначимо сторону квадрата •1ере3 х. Тоді, МС = 3⁄4і СК = f, ЛМСК -
прямокутний, отже 1⁄2·{ ·f = 6; х 2 = 144 crvi2. Відповідь: 14../ см 2.
305. Висоти новоутворених трикутників , з вершини, через яку проходить пря
ма, рівні. Значить площі утворен их трикутників будуть відноситись так, нк і
їхні основи. 1) поділити основу у відношенні 2:1; 2) поділити 2:3.
306. ssAВE =;(за умовою),нехайВК =І1. SдвЕ=-k-АЕ · І1 ,
'.в
с
' BCDE
,
"
ЛіІ·\\_-... .. /
SвоЕ . =-::;-_1 ED·l1, Sвсо =-
2
1 (AE+ED)l1.
_
•__
А
КЕ\О
27
307. Рішення у зб ірнику задач на стор. 130.
308. Ромб розбивається кожною діаrона.плю на два рівних рівнобедрених три-
кутника, значить Sромба = 2 Sд. Sромба = 2·1⁄2 ·5 ·{ = 20 см 2 . Відповідь: 20 см 2.
309. Площа ромба дорівнює половині добуrку діагоналей ромба. Позначимо
меншу діаrопаль ромба - а, більшу
-
Ь. а = 42 - Ь (за у~,..ювою ), звідси маємо
(21-1⁄2) 2 +(1⁄2) 2 =152 ;Ь=24см,а= 18см. S=1⁄2 ·24·18=216см 2.
Відповідь: 216 см 2.
310. Позначимо меншу діаrональ ромба-а, більшу - Ь, а= fzb ('за умовою).
Знайдемо сторону ромба ✓с1⁄2 Ь)2 +(1⁄2fzb)2 = ~~ Ь. S =1⁄2аЬ = і4 Ь2;
S=2S6 =2·1⁄2·;~Ь-60=625Ь;і4Ь2=6іЬ, Ь=156см,а=65см.S=5070см2.
Відповідь: 5070 см 2.
311. Позначимо меншу діагональ ромба-а, більшу- Ь. Тоді Cf)" +Ct)2 =132 ;
Cf )2 = 13 2 - С1⁄2)2 . Даний перпендикуляр є спільним катетом двох трикуrни
ків, звідси Cf) 2 -42 =C1⁄2) 2 -92; Cti=ct/-65. Отже,Ь=6 ✓13см,(f) 2 =52,
а= 4./Їз см (пропорпійність проекпій і похилих). S = 1⁄2·6./Їз-4./Їз = 156 ci, . . i2.
Відповідь: 156 см.
312. L АОВ = 60°, значить L ВОС = 120°. ЕО і КО -бісектриси ЛАВО і
ЛВОС. Зв ідси ЛВОЕ = ЛВКО (за другою ознакою). Позначи~ю меншу сто-
:1>1<(
рону прямокупшка - а, більшу
-
Ь.ТодіВЕ=1⁄2,
ВО= 2f = а (ВЕ - катет проти кута 30°);
Ео _/2 ")2_а./3_ь ВС- г;З •
.
г.;3 _ 12 24г;
--va -(2 -2 :-2
,
- 3"\/5. ВІДСИ, aav5-
,а=
"\/5СМ,
Ь = 2W см. Відповідь: 2-;/з см- і 2:ifff см.
313. S0п = S0 -SвFE -2S_ЛJoD (Л EFD - рівносторонній, з начить
ilAED =iІCDF ). ЕА = AJ)tg]5°= - 1
-
см.ЕВ=І - - 1
-
= І+./3 см.·
-
2+..Г,, •
с.+./3 с+./3
Звідс11, SoEF = 12 -l( І+-1)2 - 2-l- 1 г:; • І =(2.fз -3) с1,/.Відповідь: 2✓3 - 3 см 2.
2 ~+vз
2 2+v3
314. Побудуємо висоту до більшої сторони, ощш з відрізків, на які висота ді-
. лить сторону, позначшю х, тоді інший-30-х. 282-(30-х)с = 262-х2;
х=13,2см. Тоді висотабуде\1 = ✓262 -(656) 2 =22 ,4 см.
S =1⁄2·30·22,4 = 336 с,,12 Відповідь: 336 см2.
28
315. Третя сторона: ft = f: у= 18 см (властивість бісектриси). Побудуємо ви
соту з тієї ж вершини, що і бісектрису. Аналогічно попередній задач і,
182 -(11-х)2=152 -х2:х=1 см. Висота: 11=✓152-12 =4М см.
S =1⁄2·І І-4М = 22М см 2 . Відповідь: 22.Jм см2.
316. Висота трикутника побудована до найбільшої сторони є найменшою. Ана
логічно задачі No314, 72 -(9- х)2 = 82 -х 2; х = 4і см. Тоді висота буде
о
11 =✓82 -(~)2 =~.fio см. Відповідь: :!.Jw см.
.)
~.,
3
317. Кола попарно дотикаються, отже сторони трикутника дорівнюватимуть
26 см, 28 с,,1 і 30 см . Далі рішення аналогі,ше задачі No314. S = 336 см 2.
318. Радіус вписаного кола можна обчислити за формулою r = Jcr-aXr~bXp - c),
дер - полу периметр. р = а+~+с = 15+2: +37 39 см, r =4 см. Тоді, шукані
площі:1⁄2· 15-4=30 см2, 52 см2, 74 см2 . Відповідь: 30 см 2, 54 см2, 74 см 2.
319. S =8; 11 -4 =38 см2. Відповідь: 38 см2.
320. Позначимо невідому основі через х, тоді 15~"-9=168; х=.оJ. см.
-
·"
в.
·
67
ІДПОВІДІ,: -тем.
ld
АЕ
О
321. Позначимо одну з основ трапеції ч е р е:3 х, тоді інша - 5х. х+,5х 4 = 24,
х = 2 см. Відповідь: основи трап ец ії дорівнюють 2 см і 10 см.
322. L . АВС= 120° (за умовою), значить L. АВЕ = 30°. Тоді
ВЕ=ABcosL.АВЕ =4✓Зсм. S=6;12-4✓3 =36✓3см2.
Відповідь: 36 .Jз см 2.
lD
АЕ
О
323. а) Висота трапеції дорівнює ABsi1145 °=4 ✓2 см, менша основа -
ВС= 16-4✓2-✓62-(4✓2)2 = 14-4✓2 см. S= 14 - 4f+16·4✓2 =60✓2 -16 см2;
G) висота дорівнює АВ = 8sіп30° = 4 см, менша сторона: ВС= 6Ji - 8cos30°=
=2✓3 см. S = 2../3;б✓3-4= 1 6✓3 с;.../_ ~ідповідь: а) 60✓2 -16 см 2; б) 16✓3 см2.
324. Трапеція рівнобічна, отже АЕ= ВС+ АD;вс = 18 с;...1. Тоді
СЕ=✓452- 182 = 9Jїї см. S= 9~27 ·9J2Ї =162J2Їсл~2
Відповідь: 162Щ см 2.
325. У зад а,шш,у допущено помилку, слід читати: менша основа трапеції дорі
вшоє: 9 см, інакше зад~'tа не ма є смислу.
L. АВЕ = І35 - 90 = 45°, значить ВЕ =АЕ= 8cos4 5°=4✓
2 см. Трапеція рівно-
бі,ша, отже AD =ВС+2АЕ = 9 + 8✓2 с~1. S = 9+9;s.fi-4✓2 = 36✓2 + 32 см2.
29
Відповідь: 36 ✓2 +32 <;м 2.
326. Трапеція рівнобічна, отже ЛВСК і ЛАКD - рівнобедрені ;
значить L. КВС = L. KAD = 45°. Тоді ВК = ВСsіп45° = 7.fi см,
АК= ADsi.1145° =9✓2 см, ED=l8 - 18 ; 14 = 16см, ВD=Іб✓2см, ~
АЕ
D
БЕ= ✓(16✓2)2 -162 == 16 см. S = 14; 18 • 16=256 см2. Відповідь: 256 см2.
327. L . САВ = L. АСВ (внуrрішні навхрест лежачі, АС - бісек- В
с
трисса), значить ЛАВС - рівнобедрений, АВ = ВС= 10 с.м . ~
АЕ=ло;вс=1см, БЕ=✓102- 12 =зJїїсм.
АЕ
S= 10;1 2 -зJїї = ЗЗ✓ІЇ с.1і. Відповідь: 33.Jїї см2.
328. БL~ьша основа дорівнює 28 + 9 = 37 см. ЛАВС - р і внобед
рений і прямокуrний (АС - б і сектриса), значить АВ =ВС= 28
см. S = 2s;з7 ·28=910 см2. Відповідь: 910 см2. .
329. L. CDE = 60°, значить L. ECD = 30° . Катет проти кута 30°
вдвічі ме 1 Jший за гіпотенузу, ED = 12: 2 = 6 с.м, тоді менша
основа-ВС= 14- 6 =8см.СЕ=CDsiпбU0=6✓3см.
S = 8~ 14 - 6.Jз = 66.Jз·см. Відповідь : 66./1 с,1.
330.!:Ш =ІОсм(заумовою),CD=СЕ+2. Іоді (СЕ+2)2 -
))
✓")/
-СЕ-=10-, СЕ= АВ =24см.AD = 30" -24- = 18см,
ВС=18-10=8см. S=8~ 8
·2 4 =312 см2 . Відповідь: 312 см 2.
331. L.DAB =L.ADC=60°, L.ADB =L.CDB=30°(за
умовою). Позш1,шмо бічну сторону через х. L. DBC = 30°
(внутрішні навхрест лежачі куги), значить ЛВСD - рівно-
бедрений, ВС = CD = х. Тоді, АЕ= f, відповідно AD =2х.
80
А
О.
ва
АЕО
:~
Звідси,х+х +х+2х=50,х =10см;ВЕ=АВsіп60°=s.Jзсм.S=10; 20.5..fj=
= 75✓
3 c1i2. Відповідь: 75✓3 см 2.
332. Трапеція рівноб і чна, отже ЛВСК і ЛАКD - рїш;обедрені,
значитьL.КВС =L.KAD =45°; L.EBD =90 - 45=45°, отже
ЛЕВD також р івнобедрений, ВЕ = ED = 6 см, BD = 6.fi см.
Площа чотирикутника дорівнює половині добуг ку
діагоналей на синус кута між ними, S = 1⁄2(6✓2)2 sіп90"=36 см2.
Відповідь: 36 см 2.
~с
д:..~
АЕ
D
333.ВЕ =АЕ,КD =СК:tg30° =АЕ ✓
3.АЕ+КD =2(за
умовою), АЕ+ АЕ ✓3 = 2, АЕ = ✓3-1 см.
вс
S = б;sс✓з-1)=7✓з-7 c1i2. Відповідь: 7 ✓3 - 7 см 2.
<ГТ:~
/
'>,
АЕК
Г
зо
{·
334 п
...
Т .х+(х+4)4-6
'.
означимо меншу основу тpaIJt~rш через х. од1 -
_-
2-·'=) ; х=12см,
більша основа: 12 + 4 = 16 см. Відповідь: 16 см.
335. Припустимо, АВ = 13 см, ВС= 15 см, CD = 15 см,
AD=29см.АЕ= 14- KD, 132-АЕ2=152-(14-АЕ)2;
АЕ = 5 см. Звідси,ВЕ=.Jlз2 -52 =12см. S= 15 ; 29 -12=
= 264 c~i2. Відповідь: 264 см 2.
336. Центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис кутів
трапеції, отже ЛАРО= ЛАОМ, ЛРВО = ЛВЕО, ЛЕОС =
=ЛСОК, ЛКОD = ЛОDМ (за другою ознакою). Звідси,
АВ=CD=12+З=15см,ВС=З+З=6см,AD=24см.
ЕМ=✓152-(2~-
6 )2 = 12 см. S= 6+224·12=180см2.
Відповід~,: 180 см 2.
337. L.DАВ =30°, тоді АВ =2ВК =4r=16см,вк=2r=8СМ.
АК= ABcos30'0=8✓3 см. Припустимо, ВР= х, АР= 16 -хі
Al\11 = АР ('mдача No336). Тоді 16-х=8✓3 +х., х =8-4✓3 см.
ВС= 16-8✓3 см. AD = 16-8✓3 + '2·8✓3 = 16 + 8✓3 см
S - (16-8 ✓,J+c16+8 ✓,J_8=128
_2 в·
..128z
-
2
СМ . ІдПОВІдЬ.
СМ.
ВЕс
Жл
АКМD
Жк
~
АМ
D
ВЕс
~
338. АК= 21 - HD (за умовою), через висоту зш1йдемо АК.
132 -АК 2 =20 2 -(21-АК)2; АК=5см, НD=16см.
13-ВЕ=ВЕ+5,ВЕ =8см;20-ЕС=ЕС+16,ЕС=2см.
ТодіВС=8+2=10C,\J,AD =5+10+16:=31см;
А КМН
D
BK=.JI32 -52 = 12 см. S= 10 ~ 31 ·12;=246см2 . Відповідь: 246 см 2.
339. Припустимо, ВР= ВЕ = 4 см. АР= Al\11 = 9 С,\І через х (~~ал. до задачі No338).
тоді ВК = .J1з2 -5 2 = 12 см. ЕС+ ЕС+ МD + МD=66--4-l3-9)v!D=20-EC.
З ЛСDН, (МD + СЕ) 2 -(МD - СЕ) 2 = 12 2; МD·ЕС=36, підставимо в отри
мане рівняння значення МD- МD('20-МD)=36; МD=l6cr-1. ЕС=4см.
Звідси,ВС=4+4=8см,AD=9+І6=25см.S=8;25•І2=198см2
Відповідь: 198 см 2.
3-Ю. Центр описаного навколо трапеuії кола лежить на біЛІ,- ~ВС
шій її основі, тобто ВО= 2 см. OD = ВС (за у,човою),
•
ЛВСD - рівнобедрений (BD - бісектриса L. ADC), ВС =
'
•
= CD = OD, значить ЛОСD - рів1-юбедрсний, DK -
АЕО·D
бісектриса, а зr-шчитr, і висота. отже діагоналі OBCD - перпендикулярні, це
ромб.Звідси.АВ=ВС=CD=OD=2см,AD=4см,АЕ= 4;2=1см.
ВЕ= .J22 - 12 = ✓З см. S= 4; 2-.Jз =3✓3 c~r2 Відповідь: 3✓3 см2.
341. Площа ,юп1рик)тника дорівнюс половині добутку між його діагоналями
31
на синус кута між ними S = 1⁄2-4 ·8·sіп30°=8 cJІ.i2. Відповіщ,: 8 см 2.
342. Знайдемо площі фігур з яких складаєrься шестикутник.
SAPEB = Sвнкс = Sлвс +Sнш = 42 = 16 СJІ.12;_АС = Sl~to =
=4✓
2 см.SлсJ-.,ю =(4✓2)2 = 32 сJІ.12 L РАО = 90 + 45 = 135°,
РО= ✓42 + (4✓2)2 -2-4-4✓2cosl35°' = 4 ✓
5 см.
4 2 -PD2 =(4 ✓2/-(4 ✓5-PD) 2 : PD=2:- ✓5 СМ.
..
)
SEH~MOP = 16· 3 +32 + 16·2 = І 12 c,,i2. Відповідь: 112 см 2.
343. S = f✓За 2. Більша діагональ ро збиває правильний шестиr<утник на дві рівні
трапе11ії у ~ких осноІЗи дор і внюють а та 2а (кут при більшій основі трапе11ії
дopiвr-nor 60°), значитr, діагональ d = 2а. Тоді S = t ✓З(f)2 = f✓Зd .
344. а= R·2siп 1~0 =8sі.пІ5°, р= a;n =48sіпl5°см -полупериметр,
r= Ssin1?0
= 4cosl s·: -_
S = 48 sін ]5°-4cos 15°=48 cJІ.i2 . Відповідь: 48 см 2.
2tgl ::, 0
ІГ,2
34-S Іг:;2S_2.S
_3 Г, 2 S,:, _4;1.,a
- l. г:;_
' :,.
л=-
4 v"a: о-а, шест- 2 v5а.
-
-
',/:J
u
о
s0
"2
4
'
s
l..Jзa2
s
')
д_4
-
_
1.
О_а-
_
2Г,
_s___, Г,2-б' -s--,Г,1 -9v5·
шест 2" .,а
шест 2"За -
346. РЕ= ЕК= КМ (за у]І.ювою), тоді ВЕ = ю:./2 . Звідси,
ЕК+ЕК✓2 =1; ЕК = ✓2-1 см. р= \n =4(✓2-l)см:
г=-"-= .Л-І =l.см S=1⁄24(✓2-1)=2(✓2.-l)oi2
2tg1~0 2(-h-1) 2 •
Відповідь: 2(✓2-І)см2.
BUE
кс
р
м
А
D
347. r0 = Rшест· Тоді, r = -4-Г, = ;Jз см, а= R = r0 = ;Jз см. Зоідси знайдемо
2v3
_;
~
J
.
1-Гз-.Гз
рад1ус вписаного у шестикугник кола r = ~ = 1 см.
S = 2 ✓3· 1=2✓3 cJІ.i2. Відповідь: 2✓3 см 2.
348. В опуклоJІ.1у JІ.1ногокуп1ику добуток площ навхрест лежачих трикутннків,
утворених діагоналями чотирикутника, рівний. S,1.мв • Sсмо"' Sвмс • Sлмо,
•S
б·S 12 2в·
.
122
ТОДІ А,\,П) =4 = C,\J . ІД ПОВІДЬ:
СМ.
'+'i+S+!O
349.р=·' •
2 - = 13 см. Площа чотирикутника, ншзко.10 якого можна описати
коло, знаходиться за формулою: S = ✓(Р -а)(р- Ь )(р-с)(р - d) .
S='1(13-3)(13-5)(l3-8)(13-l0) =20 ✓3 СJІ.1 2 Відповідь: 20✓3 см 2.
'3::о. S(F')-- k· 2S(F")·, k
'
scF··,
с')2 " в·
•
1s
_,
•=''( S(І"';)=7
= 49. ЩПОВЩЬ:
~9'
32
351. Позначимо сторону одного і діагональ іншого квадратів 'tерез а, а сторону
ьт .Ь
•4-0_а✓2S(F')(а)22В"
•
.
2
другого -
.
ОДІ =аSl!l ) - -2-.
S(F") = а✓2
=
.
ІДПОВІдЬ. •
2
352. Середня лінія поділяє трикутник на трикутник і трапеuію, у яких висоти
рівні. По:значимо середню лінію -
в,,Мс
І
',Р/,.
І
1
'
_Sд_2аІ,2__І
'ХК
аS =-а]1·S =а+_аl1=-"-al1 s -(, ) -9
. Відповідь:
/·,
'•
Л2'Ч)
2
2•тр
~ah
,.,, ,,
",
2
д~-~ о
S'
1
1
,,
.. ,2
1
353. 5
"0 =k- = 7; SO=а-,деа-сторонаквадрата.Тощ ..L, = -"-;
'О
.)
а"- )
а'= ✓f·8 2 = s.Jf см. Відповідь: 8Jf см.
354. ;:,=k=f; k2 =~; S"=S'+385 (заумовою). 5 ,_; ~ 85 - ~; S'=63cJ\?,
S" = 63 +385 =448 c1>i2. Відповідь: 63 см2і 448см2.
355. Пряма паралельна основі трикутника поділяє його на трикутник і трапе-
uію рівної площі, шуканий відрізок (а)- менша основа трапе'Ьіі S'" = 1⁄2all";
S" = 2S'" = 1⁄2·6 ·11=311, 11 - висота даного трикутника, 11 = І1тр + 11л . Трикут
ники подібні, значить їх відповідні лінійні розміри в і дносяться однаково.
:.'" = k2=2; k=✓2,значить 11=✓211", l1тр =116(✓2-1).
L\
Sл 1⁄4аhд
.
~г,::: . . г;
s=
,
✓2 = 1, а = ~v2 см. В1дпов1дь: 2v3 см.
тр а;оhд( 2-1)
356. Рішення аналогічне попередній задачі. :::: = ]9 ; k = f.
І1rЕкм=І1 rвм-І1Евк; l1 Евк=fl1rвм; l1rЕкм=*l1rвм ·
'
S -1·3РМ·311 - 9 PM·l1
S
_P J\,I+tPM· 4 11 - 20 Рм··11
ЕВК-27 7 РВМ-98
РВМ· РЕКМ -
2
7РВМ- 49
РВМ·
АС= 1; РМ, 11лrм с = l1лвс -l1rвм = fl1рвм · Sдрмс = ~~ РМ·l•rвм ·
SEBJ-; : SPEKM: Sлrмс = 9: 40: 95. Відповідь: 9: 40: 95.
357. АВС - прямокутний, значип, М
-
центр описаного кола.
Тоді АМ =МС= ВМ = 6 см. ~<\ОС =1⁄2АОЮ, 3tvІВС =1⁄2:r,...с-во,
S
=S
= .!..АМ-ВО h."-ЕК = ЕК . І1
-
ЕК\1 ·
АВМ мвс 2
• hлвм
б, АЕК -блвм,
Відповідь: 2✓3 см.
358. Розглянемо ЛАВС, ві:-1 р івнобедрений , АМ і ВК - мед і ани. Звідси,
33
~;f;, -f, :; = f (вла~тивkть медіани трикутника). ЛШvl.Р і ЛАКD - подібні.
Оп!', k- 2 k2
-
4• SAPo
-
4S-4S
-
')4 см2 Відповідь: 2-1 с~12.
,<.:,
-
,
-
'
SвмР -
,
APD -
ВМР--
.,•
•
359. Задача зворотна до задачі No357 .
360 Sлш=k2=(1)2• S
= 25 ·98=50 см2 S
= 48 см2 Відповід~,: 4·3 C~t 2.
• SвЕС
5'ВЕС49
•
ABCD
•
361.1)S=m-
2
= 9ттсм2; 2) S = :n:·n
2
= тf см2;З)S=тт(];)2=4см2.
362. r =-.J3⁄4 =.J3⁄4"' 1,1см. Відповідь: 1,1 см.
,2
1
2 S1_тт9
_
І
363. S =т-; S1= :n:L9 .
-
-
-
-
-
Відповідь : зменшилась у 9 разів.
sm2_9
364. r= -:/-- =~тт=4см. S=:n:r2 =16лсіv/.Відповідь: 16ттсм 2.
.... 1t
L.K
.
s
?
365. r; =..l...= sтт =4 см. r7 = 12тт =бсм.
....!...= 4-тт=.±. Відповідь:
.±9• .
І 21r 2тт
•-
2тт
s2 62тт 9
366. S =1⁄2а-{!а: а=✓4•9;{3=6 см (а-сторона~-рикутника). R= al,c = ~ =
-
-
-. Jj
4S 4·9✓3
=2✓
3 c,\J. ·s0 = :n:R 2 = 12:n: cїvi2. Відповідь: 12 тт см 2.
367 д
R
а✓З ·год1· ~ -_
~_-
. :!.
.
ля правильного шестикутника: = а, r = ~-
-
Si-
тт( 'Jз./ 3 ·
.
2
,
368. S= л( R. : - г 2 )=:n:(36--16) = 20rrcм2 . Відповідь: 20тт см 2.
369 l)S= п·,' ех = тт52 ·20= 25 ттсм 2·2)S= тт52 · 150= 125 ттсм2· З)S= тт52 ·240= 50 ттсм 2
•
36(1
360
18
'
360
12
'
360
3
•
.
,,
,,
itH. 1
?
J
370. SL-, = :n:I<2. І)S=ттR-АО-ттR - .
s=9
= 1 2)S=ттR- . l())-7,J<. -
•
360
9 ' S,:-,
..,.?~ •,
360
24'
7rtH.2
"'
,
1i.'ti'- }_
JL _ _.1:1..._ _
.1_ .
З) s=rcR ".:;10=111rн.'. JL =_.. !_L=ll.
S.:)
r.:R 2
2 -+.
360•-
12 ' Sc:,
ттR2 12.
-
~·~
(l-
_
3.
..171 .
-
3___- -=-
ct=l-160 = 135° Відповідь : 135°.
8' тtR2
S'
s·
•
R2•
ЯЯF
''6 •
360·8 ' Ш'
·
·
.
372.S-
~
60а:R-
0o:s-
lr"•• -
~-
-
3см. Вшповщь: 3 см.
.)
.
Ctrt
) 1.' 11t
.)Т[
373s_тtR2 +S l)S 1 1 1
·,0°-2- 2 S 'Іі:lІІ' ,() 2- 12 2•
.
-
З-бо()', _ 6 .
6 =2a1a=2a·a·sш.J - ) С~І,
=
360- ., ,
-
)=,
,
с1,
•_1
2_.
~ --◊-') _ r,::; 2 _ 1rl1.i2
.., -
') _ ,;; _ 25(31r-1f5:> ~
..
2.
2) S!'. -
2 10 ·sш!.J) -
~)v.! . см, S- 360 1.J)- _)v.! .
-
2
-8 2,:,см,
3) S ., = J... І 02 sіп(ЗGО-210)0'=25 с1,-,2. S = ~1
6°
2210+25"'208,2см2.
l.
'!_
,
-~
U
374.1)11"' = , \ 1 = 4_c1+,✓2j=2(✓2+1)см~1~2 =22+(2(✓2-1))2=J6+8✓2с,,/
-~1
-
~
34
S= rc(l~:~✓2)45-1⁄4·22(✓2 +1)""6 см2;2) l1л =_а_=2✓3см; R2 = 16см.
,
.І
-
2tg~
s = &о.зоо + 1-.2-2.Jз ""45 3 см 2
360
2
'
•
375. Може, якщо сегмент дорівнює половині кола.
_
2Аrc02
2Оrc!2
rc
2
376.а)S.л,.всо =2·6-12см,S0 =36090=псм,S0 =360180=2см.
2
г::; '
12
о
S=12 - те-3⁄4""7,3с~1 ;б)S0 0,0 =1⁄4·6·6si.1160°=9vЗсм-,S0 = ~
6060=Л.6см-,
_
J_З
_
І
,
12
І
-,
-.2
,. .,
,,
✓З
о,
2
S =Е.сс._60=-rссм- S =EL60 = "rccм - S=9 3_л__аrс_,rс=83см·
02 360
З1~03360
21'
63
2
'
:
в) відстань між точками дотику дорів~nоє радіусам кіл, отже uей трикутник -
рівносторонній зі стороною 2 cr,1. S _6 = 1⁄2·2· ✓3 = ✓З сл/. Дуга містить кут 60°,
тоді Scer = ~60°- ✓З =fтс- ✓3 см2. S = ✓3 -З(f п- ✓3) = (4✓3 -211} см2•
377. І1=.J1з 2 -5 2 =12см S =l· ІО·І 2=60см2 r; 2sл =-1:§1.L=lQcм.
'
Л2
'
а+Ь+с 10 + 13·2 3
S,:) =тт(lf)2=1
~
0 тт crvi2. Відповідь: 1~0 тт см 2•
378. r = .J3⁄4 = ~ = ✓6 см, діаметр даного кола дорівнює висоті ромба. Тоді
сторона ромба: а= 2~00 = 2-{f = 4✓2 см. S = 2✓6·4✓2 =16✓3 cr,/.
CQS.)
,у3
2
Відповід~, : 16✓3 см2.
379. Припустимо .. а-дана хорда., r, = .!!.sіп 60 = .!! . • r = .!!.sіп 120 = а ✓З Звідси
•
І224'22
2
4•
'
S
rc(!!.)2
.:J..= --
4-==-1;-.
Відповідь: 1: 3.
S2 rс(" ✓З/ ,
4•
ЗSО. R =..і!..= :#;✓З см, r =-" --- =
__±__ =~✓
3см.S=л((:3⁄4-✓3)2-(~✓3)2) = 12 ттсм2.
Ji -'
2,Jз 2../з -'
-'
.,
3
381. ГІ о будуою трик:,,тник симетричний даному відносно його більшої cтop·o-
rm, отрима н ю п а ралелограм . Знайдемо висоту паралелограма,
~~-~С
J3 2 -AK 2 =15 2 -(l4-AK)2 , АК=5см;
ВК=.J1з: -~52 =12см. r = 6см.S=1⁄2nг2=1⁄2л62=18лсм2. А
В ідповідь: 18тт см 2.
382. Побудова аналогічна попередній задачі, в наслідку отримаємо ромб з і
стороною 6 cr, 1. S л = 1⁄2·6·6 f = 9✓3 cr,/. Висота ромба дорівнює діаметру
вписаного кола. r = *
= з../з см. Тlлоща півкола:
-
2
SOг:; 01
-
,
8.
.
-
2
= ,...; ., - =с;- п"") ci>c rдповrдь: :, см .
~
35
S =lл(3✓3)2 = 27 ттсм2
2
2
В
•
383. Побудуємо вписаний трикутник на даній хорді. Трикуrник
правильний, значить L. АОС = 360 - 2 -60 = 240° (uентральний
кут). АК= г-соs30°=2✓3 см, ОК = r·siл30°=2 см . SAOC =
= J....4-Jз-2-J... се 2 ✓
3см2S= 1t42 240+2✓3 =321r+2✓3 "'37см2
2
2
•
360
3
•
Відповідь: 37 см 2.
384. L АСВ = 60°, значить ЛАВО - рівносторонній. Тоді L. ЕОС= 180 - 90-
6і' = 60°, ос= si~~oo = 6 см. ом= ОР, ОР= OЕsіп30°=1,5 см, МР = 1,5 •2 =3
СР
г:;
1t(6 ✓3 J2
2
С~І,СР=6+3=9см. АС=R =соsзоо =6"3см. S= ~-60=18см.Від-
повідь: 18 см 2.
385. S0 = п2 2 = 4n см 2 . Шукана площа дорівнює різниці площі круга та площі
сегментів, які обмежуються цими хордами. Сегмент хорди на якій побудо-
~
І•-
•
вана квадрат : S1 = ~6-с ·90--;,·(2sш45° ·2)-2cos45°= п-2см-.
_,
І
...
Сегмент хорди на якій побудовано ше.стикутник:
")2
І·
-,
h
,,
So = ~&~- ·60--:::·(2sш30°·2)-2cos30°=
- ; ;'7t-'\/3 см".
-
.)J
.!,
.)
S=S0 -S1 -S2 =4n-(n-2)-(fn- ✓3)=fn+2+ ✓3 zllcм 2.
Відповідь: 11 см 2.
386. Ні. Вони мають безліч спільних точок, або не мають спільних точок взагалі.
387. _ Безліч. Всі вони матимуть спі.~ьну пряму , яка проходить 'tерез дані точки.
388. 1) Так; 2) ні.
389. Ні. Дві прямі перетинаються тільки коли лежать в одній площині. В на
шому випадку ue не так.
390. І) Так; 2) ні.
391. Прямі а і с можуть лежати в С'дній площині , при цьому умова задачі вико-
нується. Відповідь: ні.
392. Безліч. Всі прямі, які належать паралельній площині і проходять через А.
393. Так. Всі прямі, які не належать площинам, яким належить дана пряма .
394. Так. Площнни, які проходять через схрещені прямі.
395. Ні.
396. Безлі'І. Всі площини, яким належить дана пряма.
397. l) A1D1, В1С1, ВС 2)AВ,AD,A1D1,A1B1;3)AB,AD,A1D1,A1B1;4)A1D1,
А1В1,C1D1, С1В1; 5) A1D1, С1В1, AD, ВС; 6) AA1D1,А1ВВ1,В1СС1,C1DD1
398. S = р 'І +2S0сн = (4+4+4+4)-4+2·(4+4 )=80 см 2, V=S'/=4 ·4 ·4=64 см 3.
399. Sбічн =(4 +3+4+3)-5 = 70 см2,S= 70 +2-4·3=94 см2, V=3-5-4=60 см3.
400. Sбічн = (6 + 8 + 6 + 8)·10=280 см 2 . Знайдемо висоту паралелограма,
!1 =6sіп6О (·=3 ✓Зсм. Sосн =8·3 ✓3 =24 ✓3 см2, S=280+48 ✓3 см.
У= 24✓3· 10=240✓3 c~i3 . Відповідь: 280 см2, 280 + 48 ✓3 см 2, 240✓3 см 3.
401. Sбічн. =(6+6+6)-5 =90 см\ S6 =1⁄2·6·6·{ =9 ✓3 см2, V=9✓3·5=45✓3 см 3.
36
,,
402. Другий катет трикутника буде Ь = .J10 2 -62 = 8 см. S6 = 1⁄2·6 ·8 =24 см2,
V= 24·5=120 ot3. Sбічн. = (6 + 8+ 10)·5=120 см2. Відповідь: 120 см2 і 120 см3.
403. Знайдемо площу трапеuії: 11 = .)52 -(12; 6 )2 = 4 см, Sтратт = 6~12
·4=36см2.
S = (5+6+ 12+5)·4+2·36=184 см 2 . V =36·4=144 см 3 . Відп.: 184 см 2 і 144 см 3.
404. І) ABCD; 2) S; 3) AS, BS, CS, DS; 4) ASB, BSC, CSD,ASD.
405. Усі грані піраміди рівні, значить апофема піраміди дорівнює висоті основи
a=8cos60°=4 'зсм S- =l·З-8-4 'з=48 'зсм2 S =l -8 -4
~=16 'зсм2
V5 • DJІШ.
'2
V.J
V.,
,осн.2V~1
Vj
,
S = 48✓3 +16✓3 = 64✓3 см2. Відповідь: 64✓3 см2.
406. S6;,ш =1⁄2-4-4·5=40см2, Sосн =4-4 = 16см2, S=40+16=56с м2.
407. ЛАSВ = ЛВSС = ЛCSD = ЛASD (за першою ознакою рівності трикутників),
зш1'!ить піраміда правильна . Тоді, АВ =ВС= CD = AD = 2·6si.i1 4i0 "'4,6 см;
І
64'
0
5-s
І446----о6 2
апооема а= COS~z · ,)СМ.
бічн. =2• ·,
·),)-), СМ.
Відповідь: 50,6 см 2.
408. V= !·4-4·3=16 см 3.
J
409. Шра~•Ііда правильна, значить ЛМКР-рівносторонній. Sосн =1⁄2 · 6·3✓3 = 9-/з см2;
V = !·9✓3·4 = 12✓3 см3. Відповідь: 12✓3 см3.
J
410. Знайдемо висоту трикутника в основі піраміди 11 = .J13 2 -122 = 5 см.
Sосн = 1⁄2·24·5=60 см2, V= 1⁄2·60 ·5=100 см 3 . Відповідь: 100 см 3•
411. 1)001; 2)АА1;3)ОЕ;4)O1F.
412. S= 2rе5-4+п-52 =65тссм2, V= тс·52-4=100тс см 3. Відповідь: 65ттсм2 і 100ттсм 3.
413. r=6см(заумовою). S=2n·6·10+тс· 62 =156тссм1, V=n6 2 ·10=360cм3.
Відповідь: 156 ттсм 2 і 360 ттсм 3.
414. l)SO;2)AS;3)OB.
-115. S = тс· 15· 17+тс· l52=480ттсм2; 11=.J172 -152 = 8 см, V = +·тс· 152·8=60Оттсм3.
J
418. S = 4тс·62 = 144тт см2; V =4-тс-63 = 288тс c1'-i3. Відповідь: 144 ттсм2 і 288 ттсм3.
J
419. S = 4тт-42 = 64тс см2• V= .±тт-43 = 256 ттсм3. Відповідь: 64ттсм2 і 2_ .
3
56 ттсм 3.
'
3
3
Відповідь: площа збільшилась у 9 разів, об'єм -у 27 разів.
37
1.
2.
3.
4.
~
LhО' О
D
•
ТРЕНУВАЛЬНІ ВПРАВИ
Варіант 2
D'C'= .l DC=2 с.м
2
•.
р
•
5.k="с =Ус ·k=З
"F
YF'
•
6. Так. Через відповідні кінці відрізків провести прямі , точка їх перетину -
центр гомотетії.
7. При k = 1 перетворення под і бності є рухом. Відповідь: ні.
8a)k=вс =.l АВ=.l •10=5см АС= .l •12=6см·
•
В1С1 2'
2
'
2
'
б)k=ввсс =~, ВС= ~ •15 =10см,А1В1=15:~ =22,5см.
ІІ
.,
.,
.)
9. Сторони подібних трикутників відносятьс.я однаково. Тоді:
1)Р=5k+llk+14k=30k.30k =120,k =4.Відповідь:20см,44см,56см;
2)llk=55,k =5. Відповідь:25см,55см,70см:
3)5k=15,k =З.Відповід~,:15см,33см,42см;
4)llk+14k=50,k =2.Відповідь:10см,22см,28см.
10. Сторони подfбних многокутників відносяться однаково. Отже,
Р= бk+ 5k+4k+7k+9k= 124 с.м,k=4. Відповідь: 24 см, 20 см, 16 см, 28 см, 36 см.
11. Сторони подібних трикутників віднос.ятьс.я однаково. Отже, 12k = 48, k = 4.
Відповідь: 20 см, 36 см.
12. Сторони подібних трикутників віднос.яться одшшо1ю. Ввсде~ю коефіцієнт
пропорційності х. Тоді 8х + 8kx = 112 , k = -11-
-
І . Псримt:rр трикугника дорів-
НІОС С\fмі його сторін. Отже k = .!l=l • l± - 1 = .l _х = 8. Відповід~,: сторони
.,
'
Р4'х
4•
першого Л: 32см, 64см і 56 см; другого: 24 см, 48 см і 42 см.
13. Якщо, два кута одного трикутника дорівнюють дво ,,1 кута,,1 іншого трикут
ника, то такі трикутники подібні.
а) L. DAF = L МАN (як вертикальні), L ADF = L . МNА (за умовою) . Трику
тники АМN і AFD - подібні;
б) L. BAN= L. ВСD(заумовою), L. ABN= L. ВКС-внуrрішні навхрсстлежачі.
ЛАВN і ЛВСК - подібні;
в) L. ADB =L. АВС(заумовою), L ВСА-спіш,ний ;.', АВС і ЛDВА- ПС'дібні
14. У рівносторонніх трнкутниках кути рівні. Отж е, якщо куrи трИК)ТІ-ВН. Іо рів-
38
ні, трикутни к и подібні.
15. Якщо, кути при вершині двох рівнобедрених трикутників рівні, то такі три
кутники подібні. У подібних трикутників відношення сторін однакове. Вве
демо коефіuієнт пропорuійності х. Тоді,
1)Р=4х+9х+9х,х=5.Відповідь:основа -20см,бічна-45см;
2)а)основабільшазабічнусторону:Р=4х +Зх+Зх,х =11;
б) бокова сторона більша за основу: Р = Зх + 4х + 4х, х = 10.
Відповідь: а) основа - 44 см, бічна - 33 см; б) 30 см і 40 см.
16. Якщо, кути при основі двох рівнобедрених трикутників рівні, то такі три-
кутники подібні. Бі,ша сторона першоrо трикутника: .J32 + 6 2 = 10 см . От
же, основа і бічні сторони даного трикутника відносяться як 5:8. Тоді Р = 8х
+5х+5х,х=З.Відповідь:24смі15см.
17. Два прямокутні трикутники подібні, якщо мають хо'-!а б по одному рівному
rострому куту. Отже, Р = 7х + 24х + .j(7x/+(24x)2 , х =З.Відповідь: 75 см.
18. Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Припустимо, один з кутів дорівнює
х. Тоді х + х +40 + х -40 = 180, х = 60°. Кути другого трикутника: 60°, 100° і
20°. Введемо коефіuіп~т пропорuійності у. Отже , у+ Зу + 5у = 180°, у= 20.
Куги першого трикутника: 20°, 60° і 100° .
Відпові д~,: трикутники подібні.
19. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другоrо
трикутника і кути, угв орені uшш сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Отже, Н- =t =f, L. ВАС= L. В 1 А1 С1 . Відповідь: трикутники подібні.
20.а)ВС:АВ=16:8=2,АВ:BD=8:4=2, L.В -спільний.ТрикутникиАВС:і
ABD - подібні;
б) CD: ВС= 4, КС: АС= 4, L. С - вертикальний . ЛАВС і ЛСКD подібні;
в) припустимо, L. BCF =а.Тоді L. FBC = L. АВD = 90-а (як вертикальні),
L.DАВ =90-(90-а).Отже, L.BAJ)=L.FCBіL.АВD =L.СШ'.
Відповідь: ЛАВС і ЛАВD - подібні .
21. L.С =L.С1,АС:А1С1=1,5іВС:В1С1=1,5(заумовою).Тобто,данітри
кутники подібні. У подібних трикутників відношення сторін однакове, з на
читьАВ = 1,5А1В1. Отже 1,5А1В1 -А1В1 =3, А1В1=6см,АВ=9см.
22. У поді?~и~ трикутни~ і в відноше~шя_сто~н од_r-~акове, :_начип,
4В
CD.ВС
-
CN . АС. ГkрешрfhЧО це, 7 . 42
-
9.)4,1 .6 -І
.6.
о
Відповідь: тр111,утн11ки АВС і CDN - нодібні.
,.,
с
23. У подібних трикутників сторони пропорuійні. Тоді •1
-181·, = fІн(с: = -,~r( ,
'Ї 'І
ІІ
,-1·І
1t = lf = ~;, 2 = 2 = 2. Відповідь: дані трикутники подібні.
24. Ш=К= ле_ .о.=І=,±. 2 = 2 = 2. У подібних трик\тників сторони про-
rvшАМAD•342•
•
порційні, отже трикугr-1ики АВС і АМD - подібні.
25 !) .2...=.!.2.= 14 l=l=l Так k= l 2) .l=ll=.ll
.l,;cl=l Ні
•
364056'444•
'
4~
223339'2233••
26. У подібних трикугників відношення сторін однакоuе. 27: 33: 48 = 9: 11 : і6.
Відповідь: тр11кутн11ки подібні.
27. Припустимо, дані три1,утники подібні, тоді катети другого трИК)ТНика
також відносяться як З : 4. Введс::мо коефіuієнт пропорuійності х, тоді
39
(3х)2 + (4х)2 =150 2 , х :СС 30. Отже катети дpyroro трикутника будуть 90 см і
120 см. Позначимо менший з відрізків на які висота ділить гіпотенузу через у. ·
Тоді 90 2 -у2 = 120 2 - (150 -у)2, у= 54 см. Звідси, висота дорівнюватиме
. J9 0 2 - 54 2 =72 см. 72 = 72. Відповідь: дані трикутншш подібні.
28_l)ВС_BD _CD:2)АК_АВ
_
ВК:3)ВС_АВ:4)АВ_ВС
_
ВАвкАК"CDвсBDCDАК вкBD
29. Прямокутні трикутники подібні, якщо мають хоча б по одному рівному гост
рому куту . У паралелограма протилежні сторони паралельні, отже L МАВ=
=L CBN. Відповідь: дані трикутники подібні.
30.ВЕ =18см,АВ=60см,ВК=12см(заумовою),LА=LС
(протилежні паралелограма) . ЛАВК і ЛВСЕ - прямокутні , а
прямокутні трикутники , які мають хоча б оо одному рівно
мугостромукуту-подібні.ТодіВС:АВ=ВЕ:ВК,ВС=18•60 :12=90см.
Відповідь: більша сторона паралелограма дорівнює 90 см.
31. ЛАВК і ЛВСЕ - подібні (задача No30).
ТодіАВ:ВС=ВК:ВЕ,АВ=fВС.ЗвідсиР=2АВ+2ВС,
2•fВС+2ВС=64,ВС= 18см,АВ=14см. Відповідь: 14смі18см.
вс мс
~
.
32. -=- (задача No28). Отже ВС= 9 •26: 1_, = 18 см.
AD МD
Відповідь: менша основа трапеції дорівнює 18 см.
CD АВ
7•
7
•
-
33 . -=-(задачаNo28). CN=-CD. CD+ - CD=36,CD= l) см.
CN BN
5
5
Відповідь: АВ = 6 см.
34.OD=llсм,ВО=7сміAD-ВС=16см(заумовою),
L ADB = L DBC і L CAD = L АСВ (внутрішні різносторон
ні), значить ЛВСО і ЛАОD - подібні. Тоді ВС : AD =ВО: OD,
AD=BC+16,ВС=28см,АD=28+16=44см.
Відповідь: основи трапеції дорівнюють 18 см і 44 см.
35. Трик)тники ВОС і AOD - подібні (задача No34 ). Тоді
~к
0
АК:КС=KD:ВК,KD=ВК+10,АК :КС=(ВК+10):ВК,
ВК=8см,КС=8+10=18см.Відповідь:8смі18см.
36. L АВС= L \,fСА(заумовою), L САВ - спільний,значить
ЛАМС і ЛАВС - подібні ('За двома кутами). Тоді АВ : АС=
=АС: А.М; АС= 12 см . Відповідь: АС= 12 см.
37. Протилежні сторони паралелограма рівні і паралельні,
3начнтьМD=QC,DQ=МС,LDQB=LАМDіLQDB=LМАD.ЛDВQі
МDМ- подібні (за двома Кутами). Тобто ВС: QC =АС: АМ,
ВС= 10 • 9: (10-4) = 15 см. -Відповідь: ВС= 15 см.
38. Ромб- оаралелогра~1 із рівними сторонами, зш1,шт1, AD = МN,
DM=AN,L DAN=L МNC=L BDMiL ACB=L І)МВ ЛNМС,
ЛАВС і ЛDВМ-подібні (за двома кутами) . BD = AB-AD,
~оді (20-AD): AD= ВМ: MC,AD=2 см.
ь.
Відповідь: сторона ромба дорівнює 2 см.
АNс
39.ЕР= 5см, ЕК= 8 см, (за умовою). ЛЕВК і ЛАВС - подібні. Тоді АС : ГС =
40
І'
І
в
~
Відповідь: висота трикуrника дорівнює 15 см.
~
во·внвн =lво·во=ЕР+вн =5+1.вово =15см
•
'
3
'
3
'
•
40.LАВС=180-2L.ВАС,3ВЩСИL.АВК=90- LВАС. А РО М
С
L.EAB=2L.BAC-90, L.BAC= L.EAC+ L.EAB ⇒
~
⇒LЕАС=90-LВАСТобтоLЕАС=LАВК,ЛАВКі
~
.
о
ЛАЕС - подібні . АС : АВ = АЕ : ВК = 1,-,.. Припустимо, б1чна
сторонадор і вrпоє х см; тоді основа - l,2х см. Огже, х2 -(О,6х)2 = 30 2
.
х = 37,5см
Відповідь: 37,5 см, 37,5 см і 45 см.
41. У рівнобедреному трикутнику висота до основи є бісектрисою і медіаною,
тодіВК= ✓.4В2-.4К2 = 12 см.
І) ЛАМО= ЛАОК (за гіпотенузою і катетом), значить АМ =
=АК=9см,МВ=15- 9 =6см.ЛВОМіЛАВК-подібні(загос
трим К)ТОм). Ог,ке ВО: АВ = ВМ: ВК, ВО= 7,5 см. r= 4,5 см;
2) uентр описаного навколо трик)тника кола лежить на сере
динних перпендикулярах до його сторін. ЛАВО - рівнобедре
ний (ВО = АО, як радіуси) . Тоді трикутники АВК і МВО -
подібні (за гострим кутом), значить ВО : АВ = ВМ: ВК, ВО=
=9f см.Відповід~,:1)r =4,5см,2)R =93⁄4см.
42. З трикутш,ків АВЕ і ВСЕ, АВ2 -АЕ2 = ВС2 -ЕС2, ВС2 = АВ2 - 585.
ЗЛАВС-ВС2=1521- АВ2,АВ2=468.L ВАСі LСВЕ
рівні, зна ч ить ЛАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні (за гострим ку
том).ТодіАВ:АС=ВЕ:ВС=ВЕ :АВ.Звідси,АВ2=39ВЕ,ВЕ =12см.
Відповідь:. висота даного трикутника дорівн·ює 12 см.
д
43. Припустимо, ВС = 15 см, тоді ЕС = 9 см . З попередньої за -
•
дачі: ЛАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні, значить АС : ВС = ВС :
с
ЕС, АС = ВС 2 : ЕС = 25 см. Відповідь: rіпотенуза дорівнює 25 см.
44. ЛАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні (за гострим кутом) . Звідси, д
ВС:АС=ЕС:ВС,ВС2=10•50 =500.ВС= 10✓5см.Тоді
•
с
АВ = ..jso 2 - ( 1 0 ✓5)2 =20✓5 см. Відповідь: катети дорів-
нюють 10✓5 СМ і 20✓5 СМ.
45. Припустимо, ВС= 18 см, тод і АЕ= 9 см; АС= 9 + ЕС. ЛАВС,
~
ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні, значить АС : ВС = ВС : ЕС,
~
(9 + ЕС)ЕС= 182,ЕС=f(✓17-1)2см.Ог,кеАС=f( ✓17+1) см А Е
і АВ =1⁄2..J.Jїj + І см. Відповідь: гіпотенуза -~(✓17 +l)см, катет-~..J.Jїї +1 см.
46. АС=✓162+122 = 20см.LВАСі LСВЕ-рівні,значить
ЛАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні (за гострим кутом). Тоді
АВ : АС= ВЕ: ВС. Звідси, АВ ·ВС= 20ВЕ, ВЕ = 9,6 см.
Відповідь: висота даного трикутника дорівнює 9,6 см.
47. ЛАВЕ і ЛАВD - подібні ( L ВАЕ -сп і льний), ЛВЕD і ЛАВD -
подібні ( L BDE- спільний), значить ЛАВЕ і ЛВЕD також поді
бні. ED =ВС+ (AD- ВС) : 2 = 9 см (властивість рівнобічної
де
трапеції),АЕ=Ісм.ТодіВЕ:DE=АЕ:ВЕ,ВЕ=3см.АВ:AD=АЕ:АВ,
41
АВ = ./1о см . Відпо~ідь: висота дорівнює З см, бі•ша сторона - ./1о см.
в
с
48. АЕ =✓АВ2 + BD2 =8 см. ЛАВЕ, ЛАВD і ЛВ~D - подібні (зада- fl
чаNo47), звідси АВ: AD =АЕ: АВ, AD = АВ- : АЕ= 26 см.
дЕ
о
ВС= AD - 2АЕ = 1О см. Відповідь: основи тра пеці.і дорівнюють 10 см і 26 см.
49 . ЛАВО- прямокуrний, ЕО- його діагональ, ЕВ = 4 с~1, АЕ = 25 см. д+о
·
ЛАВО, ЛАЕО і ЛЕВО - подібні (мають спільні кути). Тоді
АЕ:АО=АО :АВіВО :АВ =ВЕ:ВО.ЗвідсиАО= 5../29с~1і
ВО= 2✓29 см. Відповідь: діагоналі ромба дорівнюють .,J / 29 см і 10✓'29 см.
подібні (задача N~>49). Тоді АЕ : АО= АО: АВ і ВО: АВ = і)Е : ВО.
·~,~
50. ЛЛВО - прямокуrний, ЕО
-
висота. Отже ЛАВО, ЛАЕО і ЛСВО - ~
ЗвідсиАО=4✓5сміВО =2✓5см.ЗвідсиЕО =МО =КС " 4с1>1. .•
ЛОЕВ=ЛОВМіЛ.1\ЕО =ЛАОК(запершоюознакою). Tt-іл ПМ =ВЕ =2см
іР.К =АЕ •. • '\,:м. Відповідь: основи трапеції- 4см і 16 см, радіус - 4 с~1.
51.1)32:2=10·; ".!.;7,-.
,)90°· 4)160°; 5)~:2.
52.1)21 ·2 =42°;2 ) ]78°;3),~ U ;4) 334 °;5)2~.
53. 1) В дано~1у випадку uентральний кут дорівнює 360 - 136 = 224° .
Отже вписаний L МАN = 224 • 2 = 112°;
2) uентральний Кут дорівнює 129 • 2=258°. L MON = 360-258=102° .
54. Вписан ий кут дорівнює половині центр аль ного кута. В нашо,\Іу
випадку uент ра.~ьний кут однаковий для обох кут ів АКВ і ADB,
значить L ЛDВ = L АКВ = 129°. Відповід~,: L ADC = 129°.
55. Для L АКВ ue,;.-pa,:.,;1 й кут буде 1()7• 2 =214°. Відповідно , для
L ADB uентраль1-шн кvr складатиме 360 - 2 І .; -' ' 56°. Отже
L ADC=156:2=78°. В)дповідь: LADCс·. ':".
56. У даномут;:,и::) т1:ику L Е-вписш-111й, L =:-j[, -відповідний йому
uентральний кут Отже: 1) L DOF=38 •2 =76°; 2)·L DOF =
= 360- 148 •2 =64°. Відповідь: 1; •;0; 2)64°.
57. L DCE = R•! • ::' = 168°. L СОЕ-центр..~1ьний до вписаного L С,
LCO1; = 9· !68: 14= 108°.
Відповідь: L DOE = 168°; L СОЕ = 108°.
58. L ЛОС = 360 - 192 = 168° (за умовою). L АВС - вписаний, підпові
дний йому uентральний - L АОС. Отже L АВС= 168 : 2 = 84°. Тоді
L АСВ = L ВАС= (180 - 84): 2 =48°. Відповідь: 48°, -18° і 184°.
59. Хорда ді лить коло 8 : 7, отже uентральн і кути до вписш 1их кутів
АВС і АЕС теж відносяться, як 8: 7. Тоді 7х + 8х = 360, х =24°;
L АОС=8 •24 =192°. Вписаний L АЕС= l92:2 =96°, відпоІЗідпо
L АВС= 7•24: 2 =84° . Відповідь: 8-1° і 96°.
60. L ВАК = 90° (за умовою). Введемо коефіu і єнт пропорuійності х,
тоді L.i3UK=5x, LAOK= 2x. LАКО=(І80-2х) : 2=90-х,
L ВКО=(180-5х):2=90-2,5х.Звідси, LВАО=90-90-х =х.
Отже,х+(90-2,5х)+(90-2,5х)+(90-х) =90,х =36°. LАОВ=
= 180 - 2 •36 = 108°. Відповідь: 108° і 252°.
~к
61. Впедемо коефіuієнт пропорційності х і ,_іlіайде~ 1 > LlJaдycнi мірн отри
манихдуr,3х+5х+7х+9х=360,х =15°.Звідси, LАОВ=45°,
L ВОС =75°, L СОЕ = 105° і L АОЕ = 135° - t,снтралr,ні, з1шч11тr,
ЛАОС, '\АОВ і ЛВОС- рівнобедрені. Тоді L ОЛ13 = ( 180- 45): 2 = 67,5 ' ,
42
А
L ОВС=52,5°, L ОСЕ=37,5°іL ОЕА=22,5°. ОrжеL ЕАВ=67,5 +22,5 =90°,
L АВС= 120°, L BCL; = 90°, L СЕА =60° . Відповідь: 90°, 120°, 90° і 60°.
62. L ЛОВ - централr,,тй і .:~:ор іннює ]80°, знач ить ЛАВС і ЛАDС -
11рямоІ{утні. Су~, а 1 1 рон1.·1сж1-шх куrів чотирикутника, вписаного у
ко.ІО, дорівнює 180°. Тоді L АВD = 180- 90 -52 ':' 38°.
Відповідь: L ABD =38°.
63. ЛРОК - ріш юбсдрений (ОВ =ак= R), L кав= 180- 2 • 16 = 148° .
Тоді L РАК=(360- 148) 2 = 106°. Звідси, L РАЕ= 106-90= 16°,
L ЕАВ = 48- 16 = 32°. ЛАЕВ - прямокутний (АЕ-діаметр) ,
значитr, L АІ3Е = 90- 32 = 58°. Відповідь: 58°.
64. L С=86°(заумовою),L A=(]80-86):2=47°.Aa=DO=EO=BO
(як радіуси кола), значитr, ЛВЕа і ЛОDА - рівнобедрені і рівні.
Звідси,LВаЕ=180 -2 •47 =86°; LEOD=180-2 •86=8°.
Відповідь: 86°, 8°, 86°.
65. BD J_ АС і СН J_ АВ (за умовою), тоді CF 11 АВ. Значить АВСF -
трапеція , СН - висота трапеції. Звідси, ЛСDН = ЛCFD (за трсrьою
0311акою ). Отже, HD = DF.
66. Якщо вписані у дане коло кути спираються на одну і ту саму хор
ду, то так і куrн рівні. Отже L CED і L CFD - сталі, адже при
будь-яко,1 у положенні EF вони спиратимуться на хорду CD. Зна-
чить,зЛЕСF-LECF =180 - LDEC
-
L DFC - вет1чина стала.
67. .'lDEF - рів11обедрений. Тоді: 1) DE -основа. L DF'E = L DaE : 2 =
= І І6:2=58°. L\DFE- рівнобедрений,отжеL FDE=L FED =
=( 180-58) 2=61°;
2)l)E-бічнасторона.LDFE=LFDE =LDOE:2=І16:2=58°.
Ll)EF= 180-58·2=64°;
3) усі вершини лежать по один бік від діаметра. L DFE = (360 -
-
11 6): 2 = 122° ( L DOE- uентра%ний відпові.дно L DFE). L DEF =
= L El)F=(180- 122):2 =29°.
Відповідь : І) DЕ - основ:.1: 61°, 61° і 58°; 2)DЕ-бічна сторона: 58°,
58° і 64°; 3) верш ини ло один бік від діаметра: 29 °, 29° і 122°.
68. ГеометрІ·І' ІІ-ІИМ місцем точок - середин усіх хорд, як і проходять черР,
дану внутрішню точку кола є коло, центр якого 3 находиться на сере
дині відр і 3ка, який з'єднує центр даного кола і3 даною точкою.
69. Р і шення у 3бірнику задач на стор . 132.
70. Проводюю 11ряму Ь . На ній беремо довільну точку С 1 і
будуємо L С 1 = L а. На сторонах кута відкладаємо в і д
рі-щ1 С1А1 =С181. СполучаємоточкиА1 і81. М181С1 -
рівнобедрениrі. На відрізку А181 відкладаємо А1В = а.
Проведе~ю BD 11 В1С1 L A1DB = L А1С1В1 - як внутрі
шні од1юсторо1-ші при С181 11 BDта січній С1. Отже,
L A 1DB = L <t. Опишемо коло навколо ЛА 1 DВ. Точки
А 1 і В - вершини потрібного трикутника. Третя вершина
с
E,1,. D
_. ,,.;-n,..
І/ \і/\',
LL.;;
ВоА
лежить на в ідстані ш, від середини відрізка А 1 В. Пров едемо дуг_, ·, центрu"'
н точu і а, р~щ і усом 111 0 , таr<им чином, щоб дуга перетинала коло, опи с ан е на
вко.10 :..\/\ 1BD. Точки перетин у дуги 3 колом можуть бути третьо1v верши-
н ою потріб1-10 1'0 трикутника. ЛА 1 В f'-1І і L\A 1BN - потрібні трикутники , оскі -
43
льки:LА1МВ=LA1BN=LA1DB =Lа-яквписанівколокути,що
спираються на одну дугу, то'Іки Мі N відстоять від а на відстані ш,.
71.З'єднаємото'ІкиВ,СіDзцентромколаО,ВО=СО =DO=R.
Звідси, ЛВОС = ЛСОD (за трьома сторонами). Отже центральні
кути до вписаних кутів ВАС і CAD - рівні . Тоді L ВАС = L CAD.
72. Для нашого випадка: АК· КВ= KD • КС, 01Же 8АК = 24, АК= З см .
Відповідь: З см.
73. АЕ= 4 CJ\I, ВЕ = 9 см (за умовою). Позна'!имо відрізок СЕ '!eJJe3 х, тоді
DE = 15-х. Звідси,4 • 9 = х(15-х),х = Зсм;DМ = 15-3 = 12 см.
Відповідь: точка Е ділить хGрду CD на відрізки З см і 12 см.
74. ЕО і DO- радіуси , значить ЛDЕО
-
рівнобедрений. Тоді L. aDE=
= LOED=(180-76):2=52°. LОЕа=90°(кутміжрадіус@і
доти'Іною). Отже, L DEa = 90 - 52 = 38°. Відповідь: 38°, 1.f2°.
75.LС=І80-52
-
26 = 102°. Центр вписаного кола О лежить на
А
перепші бісекrрис, тоді L А1OВ1 = 2 •(90 - 26: 2) = 154°;
А_~
L А1OС1=2·(90- 52 :2)=128°; L В1OС1=2·(90- 102 :2)= ~С1
= 78°. ЛА1OС1, ЛА1OВ1, лв1ас1, -рівнобедрені,звідси
В
В1С
L А1=(180- 154):2+(180- 128):2=39°, L В1=(І80-154):2+(180-
-
78):2=64°,. L С1=180 - 39-64 =77°. Відповідь:39°, 6-t0 і77°.
76. ЛОВС - рівнобедрений (ОС= ав = R), L меа = 90°, з начить
А(О'-71В
LаСВ=LаВС=124 -90=34°. Відповідь: З-t0.
~
77. ЛМЕК і ЛМРЕ - под ібні (за умовою). L КОЕ - центральний,
відповідний вписаному L. КРЕ. Тод і L КРЕ = L kaE: 2.
Гострий кут між хордою і дотичною до кола в кінuі цієї хорди
дорівнює половині кута між радіусами, проведеними до
кінців хорди. Тоді L МЕК= L КОЕ : 2 . Отже МЕ - доти'Іна.
78. ЛDМЕ і ЛКМЕ - подібні (задача No77). Тоді КМ: МЕ= МЕ: DM,
КМ=МЕ2:DM=36:4=9см.Відповідь:КD=5см.
79.ОК= l0см,АO=8см(заумовою), КІ'=2~ =12см.
МР =М:К + КІ' =М:К + 12. ЛМКЕ і ЛМРЕ- подібні (задача
No77). Тоді М:К: МЕ=: МЕ: РМ, МК =МЕ2 : (М:К + 12),
М:К = 2 см. Відповідь: МР = 14 см.
80. Сума протилежних куті в вписаного 'ІОТирикуrникадорівнюс 180°.
Відповідь: 1) ні, 2) так.
мс
81.L А=180-37=143°, L В=180- 106 =74°. Відповідь:LА=1-t3°, L В=74~.
82. Протилежні кути вписаного чотирикутника в сумі сІСІадають 180°. Тоді:
І)Зх+бх=7х+2х,9х=9х.Відповідь:так;
2) 5х +!Ох= 9х + 7х, 15х -:;: Ібх. Відповідь: ні.
83. Протилежні кути впис.аного '!Отирикутника вс.умі складають 180°. Тоді
4х+х =І80,х =36°. Відповідь: 144°, 94°, 36°і76°.
В
8-t . L ADB =180-74-47=59°, ЛВСЕ і ЛАЕD- под і бні, значить
(~С
L ЕСВ = 59°. Звідси L ВЕС = 180-58-59 = 63° . Відповід~,: 63°.
r,.:.';·_
_
_,;D
85. L КРС = 180-L . ВРК (с.у~1іжні кути), L ВАК= 180-L . ВРК (протилежн і кути
вписаного чотирикугника), значить L. ВАК = L КРС. Аналогічно, L МЕВ =
= L ВАК. Отже ЛЕМС і ЛКСР - по.1ібні (за двома кутами, L С - сп ільний).
ТодіСК:СМ=СР:СЕ=КР:МЕ,СК=6•12:9=8см;CD=6 •15:9=10см.
Відповідь: СК= 8 см, СР = 10 см.
44
86. L . ВЕС = 90°; трапе11ія рівнобі,ша, значить ЛВЕС - рівнобедре
ний, L. ЕСВ =L. ВСА = (]80- 90): 2 =45°. L. СОА- uентральний,
відповідний nписш-юму L. АВС, L. СОА = 360 - 2 • 126 =
108°. L . AOD - uентральний, відповідний вписаному L. ACD, L. AOD = 360
-
2 • 108 = 144°. Трапеuія рів1-юбічна,аrже L. АОВ = L. COD = 144 - 108 = 36°.
Звідси, L. АВО= (180 -Зб): 2 = 72°.
72° < 90°, тобто uентр описаного кола лежить поза межами трапеuії.
'
г:;,'
г:;
87. І)ВС-= (2-vЗ)-+4--2- (2v3) ·4соs30°=4,ВС = 2см;
,,
')
.,
г::;
2)вс-=4-+3--2 ·4 .8cos120° = 112,вс= 4--.,7см.
ь2+с2-а2
92 +112 -72 17
88.а2=Ь2+с2- 2Ьсcosа; cosа= -----;cosа=-----=
2Ьс
2 9-11
22'
72+112-92
cosP= - ----
2 7-11
.
~
,
.
.
89. sш-а+ cos-a = 1 (за основною тригонометричною тотожюстю). Звщси
COS(:t. = ±✓J-c'f)2 =±t .1)а2=72 +82 - 2-7-8-(-t)=129, а=✓J29 СМ:
2) а2 =72 +82 -2 7-8·t=97,a = ../97 см. Відповідь: ✓97 см або ../U9 см.
90. L . ВОС = 30° (за умовою), L. АОВ = 150° відповідно. Тоді за
теоремою косинусів ВС2 = 82 +102 -2 •8 • 1ОсоsЗО0= 164-80✓3,
ВС= 2J4J -20✓3 см; АВ2 = 82 +102 -2 • 8 • ]0cosl50°= 164 + 80✓3,
АВ = 2J4 t +20✓3 см . Відповідь: 2J41-2of:j см, 2J41 + 2of:j см.
'
'
'
91. Тоді cos L. А= АВ-~дс--вс- l. АЕ= АС - ЕС= 4 см
_ АВ·АС
S'
•
ED2 = 32 + 42 - 2-3-4-1⁄2 = 22:ED = .fu см. Відповідь: ✓22 см.
92. АС = ВС = АВ = 3 см (за умовою). ЛАВD - прямокутний,
L. В = 60°, тобто L. BDC = 30° . У прямокутному трикутнику
гіпотенуза вдвічі більшаза катет проти кута 30°, BD = З •2 = б см.
AD=6-3=3С,\І.
•
А
В
/~J
~6
93. Позна ч имо ~ 1 ен шу із невідо~ш, сторін через х. Тоді, за теоремою косинусів:
282 =х2+(х+s/-2x(x+8)cosl20c':х2+Sx- 240=О;х =12см.Більшасто
ронадорівнюєх+8=20см.ОтжеРл=12+20+28=60см.Відповідь:60см.
94. Введемо коеф і11ієнт пропорuій н ості х . Тоді, за теоремою косинусів:
352 = (3х)2+(8x/ - 2·3x·8xcos60°: 49х2=352;х =5.Отже,а=З
·5 =15см,
Ь=8•5 =40см.Відповідь:15см і40см.
95 . Позначимо невідому сторону через х. Тоді, за теоремою косинусів:
212 = х2+92-2х -9 -cosl20'0:x2+ 9х-360 =О,х =15см.
Відповідь: 15 см.
96. Опустимо з вер ш ини В трапеuії висоту на більшу основу і отримаємо точку
Е Трапеuіярівнобічна значитьАЕ=(AD- ВС) •2 =]см cosL. В= АЕ =l.
•
'
•
•
АВ
S.
45
Тоді АС= BD = ✓102 .+8 2 -2 -10 · 8·1⁄2 =12 см. Відповідь:· 12 см.
97.ЗЛАВК:АВ= - 3
-. АЕ = ВЕ = _а_. За теоремою косинусів:
2sin% •
4sin~
.,
~
о
O
а
a 2t5-4cosCi)
ЕС=(-3
-)-+(- "-)-
-
2·_а_
COS<X - -----
и•и
и 4sin"°
-
l6•,·n 2Ус '
2sin -2:
-f sin2
2sinт
2
-~
2
ЕС =-" -.J5-4cosc'I.. Відповідь:
-" - ..f5-4cosa .
4sin~
4siвj
98. Припустимо, L В = а., а діа~·о1~аль - х, тоді прош.~ежний кут
-
180 - о:,
cos( 180 - ех:)=
-
cosa.. Тоді cosa. = ,-2-а2-Ь2 • і cosu.. = c2+ct2- x
2 . Порівняємо
:!аЬ '
2cd
\.
Відповідь : (0<І+Ьс)(ас+Ь,І)
аЬ+с,І
(ad+bc)(ac+bd)
ab+cd
99. За теоремою косинус і в, а2 = Ь2 + с2 - 2Ьс cos С'І.. Підставимо замість лівої час-
тини рівпян11я праву частину даного рівняння: Ь2 + с2 - сЬ = Ь2 + с2 - 2Ьс cos а,
cosа= 0,5,u..=60°.
100. На подовжені медіани АМ відкладемо відрі3ок MD, рівний АМ .
Маню, АС= BD = 16 см (заrюбудовою, АВDС- rшралелоrра,1).
LAВD= 180-60= 120°. AD2 =162 +62 -2 16-6-(-0,5)=388
(за теореJ\ІОЮ копшусів): AD = 2..frii см. Відповідь: 2✓97 см.
101. Введемо коефіц і єнт 11ропорuійності х , тоді білr,ша сторони
дорівнюватимуть 8х і І 9х. Звідси, 302 + 50' = 2((8х)2 +(І 9х)2),
850х2 = 3400, х = 4.Відповідь: 32 см і 76 см.
А
ч:{/;, в
Е'
102. Позначимо ,,1е11шу сторону паралелоrрюш 'tepe3 х , тоді біл1,ша сторона
будех+10.Звідси,182+262=2(х2+(х+10)2),х2+ІОх-200 =О,х =1Ос,,1.
Відповідь: 10 см і 20 см.
103. На подовжені мед і ани АМ відкладемо відрі ·зок МЕ, рівний
АМ . З'єднаємо отриману точку Е з вершина-,1и С і В трикуr
ника, отримаємо паралелоrра,1. Тоді 62+ АЕ2 = 2(12 2 + Ні),
АЕ= 2.Jm ем. Відповідь: медіана дорівнює .Jїїї см.
104. На подовжені .медіани ВМ відкладелю відрізок МЕ, рівний ВМ.
ВЕ=2ВМ (за побудовою). Тоді 242+ АС2 =2(142+ 222),
АС= 28 см. Відповідь: АС= 28 см.
105. Рішення аналогічне попередній задачі. 12 2 + х 2 = 2(12 2 + ( 8✓2 )2), х = 20 см.
Відповідь: 40 см .
106. Медіани трикутника перетинаються і точкою перетину
ділятr,ся у відношенні 2: І, тобто АЕ= 40 см, СЕ= 20 см .
На подпвжені ВМ відкладемо відрізок МК = ЕМ. Тоді ,
422 + ЕК2 = 2(202 + 402); ЕК= 2✓559 .Звідси,ЕМ = ✓559
ВМ = З ✓559 см. Відповідь: 3../559 см;
Ci\f ,
107. Припустимо, АВ = а, ВС= Ь і АС= с. Вирази~ю кшідрат кожної медіаш' через
46
сторони трикутника АВС. с2 +(2ВМ1 )2 =2(а2 + Ь2 );
АМ/+вм/+см}
лв2+вс2+лс2
АВ ВС
.
4✓2•siнL45 8 r:;
108. --=--(теоре,,~а синусш). АС =-----=-:::v:> см.
siпLC siпLA
•
•
siлL60
"
109. LС=180-120-І5=45°.
~= ~, АС=6✓З•sінL45=6✓3см.
siпLC siпLA
siлL120
110.
~= ~. sillLB= 9
·3⁄4 = 36 >1. Відповідь: ні.
siпLB sіпд·
735
111. LB=l80-(a. +y): si11(l80-(a+y))=si11(a.+y).
~ =~=~: АС= C·Sin(a+y)_ ВС= c-sina._
siпLC siпLB siпLA .
siny
'
siny
llZ. АВ = АСsіп90 '
sіп ~
Ь
AD -~·
• LAIЗD-msinl3siny
--,
-
.
S111 .
-
Ь
.
sіп~ sіпLABlJ sіпLD•
/sіп%
/sін%
113. LВ = І80-2а., sіпLВ=sіп2а. СЕ=-.--: ВЕ = ---:
sша
sін2а. ·
lsin Ia
lsin Іа
АВ=ВС=--2-· AC= --
2-
sina '
sin2a
114. L АСВ = а, L АСЕ= 180-2(1.-р, LB=l80-p -a ..
~=ВС =АВ .АВ= d·sina . ВС= d·sin~
sшLB sшР sша ·
siп(f3+a)'
sіп(~+ а)
АЕ=АС
.
АЕ = d·sin(2a + ~).
siпLACE siпLACE '
sin(a+~)
115. LA=LC=90 - *, LAEB=l80-(90-{) 2-ci=l35-fп,
тодіLАЕС=!80-135+і.(х.=45+і.сх АЕ= АВ
4
4 •• siпLB si11LAEI3
l·sin(135-3⁄4a) АЕ
АС
l·sin(45+3⁄4a)
АВ=---~.--=-~-:АС=----'--.
sіпа
siпLC siпLAEC
sin(90- ~ I)
116. L ВСЕ= t (У., L ВСЕ= L ACD= f а, LACE=(x. -f-f=
.r
'.,
АС
=..:_а
10 sі1и:::в
АВ АС·а•sіпа.З . LАЕС
- --:
= ---.
ВІДСИ.
=
siпLACB
sіп~
•
"
47
a ·sin.g •
АЕ=а----~.
sin4a
~
117. LDBC=l80-a -l3: si11LDBC=si11(a+l3).
sіп(а+ 13)
CD
Ь sin(a+ ~)
•
BD=
.
.За теоре~юю коеиТ:1~~11-:
sша
sin(a+l3),
2
sin(a+l3)
АВ=(Ь.
)- +с -2 ·с·І)
.
cosy
~па
sna
BD
sша
118. Позначи~ю ~1еншу сторону чере з х, тоді біл1,ша буде х + 8.
~=~;
~= х+~: --2_= ✓
2: x=8(l+ ✓2)
s111LA
s111LC s11130'' sш4) 0" х+8 2
Відповідь: 8(1 + ✓2), 8(2+ ✓2).
119зАВСАВВСАСЗ.... .
•
.
Л
:-.-=
-.- =
-_- .
цю ршносп випливас, що сторони обох
=а =13
=r
•
даних трикутників відносяться однаково, от же вони подібнj_
120. Подовжимо медіану АМ так, що б АМ = РЛ. Тоді
LB =180 - а-13 (властивість паралелогра,,-~а) З ЛАВЕ :
АЕ АВ=ВС .АВ= 2m.si11l3.АС=2msina.
sін(а+І3) sінІ3 sін а '
si11(a+l3)'
sin(a+l3)
вс ( 2ш sінІ3)2 (2ш si.пci) 2 2 (2ш s11113 2111 sша
А)
=
·
+.
-
--
- '- -X -- --)cos(CY. +f-' =
sш(а+ 13) • sш(СУ.+ 13)
sш(и.+ 13) sш(а+ 13)
.
2m
. Jsin 2a + sin 213- 2sinasinl3co~a + 13).
sш(а + 13)
121. Проти біл1,шої сторони лежит~, більший кут, отже L В> L С > L А.
122. L l:3 = 180 - 23 - 89 =- 68° . Проти більшого ку-~а .' Іежи ть біш,11ш еторо11а ,
отже ВС> АС ·> АВ.
123. Проти більшої сторони лежить біш,ший r,:,т, о·і·жс кут В, у будr, яко,1:
випадку, мес б ути н айбільшим. (180- 59): 2 = 60.5° > 59°. Відповідь : ні.
12-! . 1) 52+ 62< 87(тущжутrшй ); 2) 42+ 72> 82(гостро1<упшіі):
3) 52+ 122=13 2(пря~юкугний).
125.З ТО 'tки А нас, L1рону ВС о п устюю висоту ЛК
L J)C,\ > 90° = L ])КЛ.Проти м<::ншого ку·и1 леж 1л1 .
О__
ск
,, 1е111ш1 еторо11а. Отже АЛ> АС.
В
.в
126. Подовжичо ,1оіш-rу АМ за точку М r-шдо11;1,r111 у рів 11 ) АМ. АВ С !: - д.
паршт ело грач. 3r~ачит1, ЛАВ[= ЛВСЕ. Проти 6і:н, шо1с ) куга
м
тр11куп1ика лежrїїr, б і пьшасторо н а, отже АВ > ЛС.
с,
·Е
127. У ~щних тр111,угниrшх дві сторонн ріш1і, а L КМР> L [l)l' Ку1 ,1іж рі1н111,11r
cr орона,,ш тнч 6і.·11,111с чш-1 6і •1ьше прот 1r.•1сж1 ,а 1їо.\І: стоrона. 0 1же l<.I' > 1' 1: _
12Н. ВJ)- висо-~а. ·шачитr , ~\ЛГ,]) і ВСІ ) -11рюнн, , , 11і. L А = 90 -L /\ 13[);
L С =90 - L СВІ)~ 1rротн ,1,r111ю1·0 кута.'Ісжrлr, ,1,rrшa сторо1ш. ЛІ) < СІ)
-з11а,rил, L АВl)<L СВІ) Отже, L ВЛГ) > L ІJCI).
48
'.
129.
АВ ВС
.
.
BCsiпLC ✓2 А 4_0
-------
(теорема синусш} sшLA =----=-· L = ' ~.
siпLC siнLA
-
'
АВ
2'
130. АС
ВС . LB ACsiпLA Jз в·
.
В 61\О , 1200
-- -=- --: sш
=----=-: ~дnов~дь: L = u аоо
.
siпLB siпLA
ВС
2••
131. Біс,жrриса ділип, протилежну сторону на відрізки пршюрuійні прилеrлим
до неї сторошш . Тоді:
І) позна,шмоВК'Іерезх.8: 15 =х: (8-х): х =rз.ВК=2;~ см, КС =52~см;
2)ВК:КС=АВ:АС:АВ:АС=3:7;АВ=З·28:7=12с\1.АВ=12см;
З)позначимоАВчерезх,тодіАС=х+9.4:7=х:(х+9),х =12,
АС=9+12=21см.АС=21см,АВ=12см;
4) ВК = АВ-2,СК = АС-3. АВ: (АВ-2)= АС: (АС-3), АІ3 : АС =2: 3;
ВС=АС-З+АВ-2=2.АС-5 АС+ 1лс+і.лс --5=25
3
'
З
3
•
АВ=6 см, вс= 10 см, ле =9 см.
132.АВ:ВМ =9:5;АС:МС=8:lІ,9:5,'с.8:J1,зна,штьАМнеєбісектри
сою L ВАС, ВМ < СМ Відповідь: L ВАМ< L САМ.
133. Бісектриса д ілит ь катет у в ідношенні 2 : Jз, з на,шть від1юшення катета до
гіпотенузи теж буде Jз: 2. Отже, синус ~д1юго з гострих кутів дорівнює
. /j, зна,шт1, кут дорівнює 60°. Відповідь: 30° і 60°.
134.АЕ :ЕС=12:15=4:5=АВ :ВС.ЗвідсиВС=fАВ.Тоді
(затеоремоюПіфагора )АВ 2 -( 3⁄4АВ)2 =(15 + 12)2, АВ =45 см,
ВС=4 •45:5=36см.Відповідь:36смі45см.
135. ВЕ: ЕС= ]7: ]5, АВ - АС= 4 с.,1 (за умовою). Звідси
17:15=(АС+4):АС,АС=30С"І,АВ~30+4=34см.
За теоремою Піфагора ВС= ✓342 - 30 2 = 16 см.
Відповідь: 16 см, ЗО см і 34 см.
136. Позна'Іимо менш у сто рону трикутник а чере з х, тоді інша - х +З . Тоді,
х 2 -5 2 =(х +2/-92 (за теоремою Піфагора); х = 13 см , інша сторона дорі- ·
вню є 13 + 3 = 16 см .. Позшl'ІИМО, менший відрізок 'Іерез у, тоді більший -
14 -у.у: (14 -у)= 13: 16 , у =6;~ см, тоді біл ь ший відрізок дорівнює -
14 6s_721 в·
.
.
6s
.
721
-
29- 29. ЩПОВЩЬ. 29СМІ 29СМ.
137. Діаrональ прямокутника ртбиває його на два рівних прямокутних трикут
ника, значить відрізки, на як і бісектриса розбиває діагональ відносяться як 3 : 4
(властивість бісектриси) , АМ = 1⁄4МС.Тоді МС - 3⁄4МС= 5,
МС=20см,АМ=20+5=25см.Відповідь:20смі25см.
138.ВК - бісектриса,значитьАВ :АМ=ВС :МС=3:4,АВ =
В
с
=3⁄4ВС. За теоремою Піфагора ВС2 +(3⁄4ВС/= 70 2 : ВС= 56 см, J)~(/!
А
Е
тодіАВ=42см. LАВК=LАКВ=45°. Тоді АК =АВ =42см,КЕ=14см.
Відповідь: 42см і 14 см.
49
139. ЛМКЕ і 1.ШСМ - подібні ('за двома кугами). Звідси ВС: КЕ=
=МС:МК,КЕ=fВССЕ=ВС(заумовою).ЕК2=СЕ2- 729;
ВС2- 729=~~ВС2.ВС=АК=СЕ=45см.ЕК=4•45 :5=36см.
О)
•
АЕ=36+45=81 см.АЕ= J45 2 -362 =27 с~1.
Відповідь: -t5 см, -t5 см, 27 см і 81 см.
140. СК- діагональ квадрата, зна чип, і бісектриса L. С. Тоді,
АС:АК=ВС:ВК,АК:ВК=21 :28 =3:4;АК=3⁄4ВК.
АВ=J282+212=35см.ВК+3⁄4ВК=35,ВК =20см,
АК=3•20:4=15см.Відповідь:15смі20см.
в
с
l-tl ЛВСМ і ЛКМЕ- подібні (за дво~ш куташ1), значить
.
м.. -'1
~~ = ~~ = ~~ . СЕ - бісектриса,отже ~~ = ~~ .Звідси, Ач~,
СЕ=п СЕ=КЕ=9смВЕ2=СЕ2+BC2-2CE·BCcos60°=441 ВЕ=21см
вс вс'
•
'
•
і\.1Е•вм =9 •2., = ~ •8і\.1Е=lвмвм+lвм=21 вм=1)- .l.С'І
.
l
.
➔•_,.
'
8
•
8•
'
•
11 .,-
.
в..
-s
- 1-з
ІДПОВШЬ: :,ЇЇ СМ І :,ЇЇ СМ.
1-t2. ;~ВЕК і ЛВМЕ - пря.,юк}тні і рівні (ЕК і ЕМ
-
радіуси , UЕ
спіш,на), звідси L. КВЕ = L. МВЕ, значить ВЕ - бісектриса
L. АІК. Тоді АВ: АЕ= ВС: ЕС. АВ = 3⁄4ВС; 3⁄4ВС= 35,
ВС=28см,АВ=21см.Відповідь:21смі28см.
~
А
Е
С
143. Uе11тр вписаного у трикутни1, кола лежить на перетині
бісектрис. тобто АО, ВЕ і СО - бісеприси. АС= 2АЕ, ВО= •·
= ОЕ+2.:-\13:АС=АВ:2АЕ=5:8,АВ =3⁄4АЕ.~g =f; · о
ЕО=8с.,1,ВО=10см.Звідси,~~АЕ2- АЕ2=І82,
АЕ=24C,\J,АС=48с.,1.АВ=24 •5:4=30см.Відновідь:30см,30смі48см.
1-t-t. (Мал. л.о задач і N~l43). ВО: ОЕ = 9 : 4 (за у,,ювою), зш1 чить АВ: АЕ= 9: 4,
АЕ= 18 • 4: 9 = 8 с~1, АС= 16 с~1. Відповідь:.16 см.
1-t5. (Мал до задачі .N~143).АС=2ЛЕ =АВ + І5(зау.щ)вою). ВО: ОЕ = 5: 4.
ТодіАВ:АЕ=5:4,ЛВ =jАЕ.Звідси,3⁄4АЕ+15=2АЕ,ЛЕ=2001,
АС=40см,АВ=25с~,.Р=25+25+40=9001.Відповід~,:90см.
1-t6. ЛС: АВ =СЕ: ВЕ, ЛR = 3⁄4АС (нластивість бісектриси).
ЛВ2 = 13Е2 + 162-32ВЕ cos 60°,J\C2 = 162 + EC2-32ECcosl20°
(теорсщ1 косинусів); І 6(13Е2 + 162 - 1бВЕ) = 9( 1f 13Е2 + І 62 + 1(:•-1 ВЕ);
-
,
ВЕ = 4 см, ЕС= 3 см. Відповідь: 7 см.
1.47. а= 5.Jз см. L.u . = 120° (за ,·мовою). R = s,Г,;; = 5 см. Відповіш,: 5 см.
•
J
2- ~3
148. У пр1~1<жугному триr<)Т11111,у. пентр описаного кол~ ;rсж11п, на 1·іпотс11у;і і ділитr,
її навпіл R = ~ ,і~900 = f ·. Віапові,11,: f см.
50
149. si~u =2R; -}=2sі1нх..= l: sіпа=1⁄2; с:1,1 =30°, о:2 =150°.
1)а2=82+(2.Jз)2-2 •8•2.Jзcos30° =28 ,а='2✓7см:
2)а2=82+(2.Jз)2-2 •8 •2.Jзcos150° = 124,а= 2Jїїс~1.
Відповідь: 2✓7 см або 2J:ії см.
150. ВН - висота, отже ЛНВСК
-
прямокуrний, у пря~юкупю ,чу
трикутник у uснтр описаного кола лежит~:, на гіпотенузі і
ділитr,її наш1і;1. Тоді ВС= 2r = 8см. L. А= 180- 77
-
Т,=
= 30°, si~~A =2/\. R = :-~.5 =8см. Відпові.Jь: 8см.
151. si,~ и =2R, АВ =2Rsіна. L.ЛМВ=90+%(стор. 13.\
збірника зада•t). Тоді RAJ\,ffi =, 2 R_sшc~ = Rsi n~, .
~siщ9t.І+ 2 ) cos 2
в
//!\
А
НС
152. АС= 12 см, АВ =ВС= 10 с~1 (за умовою), АЕ= б с,, 1. Тоді sіп L. АВЕ =
АЕ=-?.L.АВЕ =37°· L.АВС=74°.
___
а_= 2R·
~ =2R: R=6.2 см.
АВ .)
-
'
sinu.
'
s1n74°
•
•
Відповідь: 6,2 см.
153. Подовжюю бі• 111і сторони трапепії до їх перетину, центр
вписа н ого у трикутник кола лсжип, на перетині його
бісектрис. Тод і .~РОЕ = ЛЕОМ і ЛОНС = .~ОСМ (за треп,ою
ознакою), СЕ=-!, ВС+-!, АЕ= 15 с.~1 . АК= (24-6): 2 = 9 см
А.
(властнвісп, ріш106ічної трапеції). ВК = .JАВ2 - АК 2 = 12 см, sіп L. КАВ =
= ~~=3⁄4.КЕ =ЛС-АК = 15 см. ВЕ = ✓ВК2+КЕ2 =З.Jіїc~ t. Отже,
R_ вr.
_
1,J:її ,
_
вк_6
,
в· ..ts..m
.
6
-
2sinLК.-\13- -s- C\f.Г
-
2 - см. І;lПОВІДІ,.
-8-СМ І см.
[54. ЛАОЕ ; .ШОС - рШrо6едрс,, ; '"·""'"';":" p;ssuo;,,,,,.,. ,,,-
м
пецн) 1 пря-'Іокутн1 (3а ~ ,\lоrюю), тощ L ЛІ:В = 4)0 . ЛАВ Г:
-
1
0\
вписаний, R = 0 .· -'~\Fв = 5./J = 5 см. Від11овідь: 5 см.
А1. .
•}Е
_SJП••
'1~
-
2
155. З ЛАDС: R,\DC = 2 s~~A. З ЛВDС: RвDC = 25~:в. Звідси,
DC
Rлос = 2 ,іпLА = sin LB . Вілповід1,: відношення радіусів кіл,
Rвос ~ s1nLA
2siнLB
в~
9+:~::~·;._,
.........
'
д __ _._<:::-='~с
опнсаннх навколо ЛАDС і ЛВDС залежить тільки від всл1Рш1111 кутів,
иршіеглих до АВ і не залежить від вибору точки D.
156. За теоремою син,·сі в: ~ =-,-A!L = ~
:
•
SІПLВ SІПLC SІПLA•
І)ВС=12 •sіл39°:sіп74°=7,9см,LВ=J80-39-74=67°..\С =8,2см;
2)LА=І80-21
-
56=103°, ЛС =6 •sін21°:sін103°=2,2см,НС=2,6см;
З) АВ2~АС2 +ВС2-2AC-BC-..:os 80' ,, 108. АВ = 10,~ см,
siлL. А= 9 • sіл 80°: 10,4 = 0,85, L А= 58°, L В= 180-80 -51>- -+2°;
4) АС2 =АВ2 +ВС2 - 2AB·BC-cos 100:• = І02,9, АС= 1-0,1 см,
siлL. С = S • si.!11 00°: 10,1 = 0,78, L С = 51°, L. А= 180-100-51 = 29°;
51
2
2'
-.2
5) cos.LA=AB +ле -в с =0198 LA=79°,cosLB=O,49.. LB = 61°. _
2·АВ·АС
'
'
LС=180-б1-79=40°:
б) cos.LA =0,725. L А= 44°, cosL В=-O,179, L В= 100°, L С =36°;
7) sіл L В= 8 • si11 130° : 5 = 1,22, синус більше одшшuі. Зада'!а не має рішення;
8)siI1LB =б·siпlO°:8=O , 13, LB=8°, LА=162°,ВС = 14,2см;
9)siI1L А= 8· sіп 10°: 7 = 0,198, L. А= 11°, L. С= 159°,АВ = 14,4 см;
1О) siI1 L. А = 8 • sіп 70° : 3 = l ,51 синус більше одиниuі. З,ща'!а не має рішення .
157. 1) L.C=l8O-5O -5O=8O°.AC= ss in 500 =6,2cм:2) LADB =l 8O--5O-
•
SІЛ 80°
•
-25 =105°, AD=АВsіп50:sіп105=6,3см;
С
3)АМ=8:2=4см,АС=6,2см, СМ=✓6,22-42 =4,7см;
4) ЛОВМ - прямокуrний, ОМ = ВМ tg L. 3⁄4= 1,9 см;
5)R= 2si~~c =4,1см.
А
в
158. l) L. ACD= L. АВD= 18O-а - р, L. осв = L. вас= р, L. АВС= 18O-а.
.
п~·_siпu:sin(a-i:з) . .
,
JJ2.= ~ АС= m·s1nct ·2)~=~ ВС= ,шр
= msm(ct-[3;
sin [3 sinех'
sin [3 ' sin LВАС sin LABC'
sin( I80-ctj
sm [3
AD
sinLACD
111 ·.siІK-'sin(I 80-ct-[3)
~ AD= Slll13 _•
•
sin LADC '
sm ct
m·sin(cн[3j
sin[3
3) R = __т._: 4) ED=КD= AD: 2. r = EDto LWB = m·sщcxtjЗ) taf.
2sш[3 •
•
"'
2
sm[3 "'2
159. Дуги відносятr,ся як 7: 8: 9, значитr, протилежні їм кути три
кутника відносяться як 7 : 8 : 9. Введемо коефіuієнт пропор
uійвостіх,тоді7х+8х +9х = 180,х =7,5. Звідси, L В=52,5°,
L. С =60° і L. А=67,5°. За тсорслюю синусів:
,.--J в
A,-('
_j
·,:._.!/
•.І
'с
АВ ACs inLC 44
ВС ACsinLA 47 в·
,
,.,
·
-
•7
.
=
sinLB = ,
см;
=
sinLB =', см.
шповщь: .. , -.
см1.:,, см.
160. Позначимо К)'Т АСВ через ех, ех= 180 - у- р. Тоді
н
с аsinf3 АВ "sinїПб
.q·
Е л·----. К
А =-.-.-А-- : =-.-(-_ -А--. о удоваш НГ\'РИ - квадрати.
1<];, І ·:,!
SІЩ у+!-'} .
SІП ї+І-')
•
•
Р( f......__ E)/i
отже їх кути дор і внюють 90°. Зв ідси, L ЕСН= 360- 18O-у=
~
_ J1/
= 180 -'У, L. КВМ= 180- ~' L. РАО=у+ р За теоремою
\l
косинусів знайдемо сторони ЕН трикутника ЕСІ-1:
0-М
/
7Со
sin[3 7
sin[3
ЕН = -vEC- + •н- -2EC-CHcosL.ECI-I = а (-.--)-+І + 2- .- .- co sy .
.
sm([3+y)
s 1щ[3+у)
РО= (" sin[3)2+(оsiny)2_2аsin[3 оsiny cos(y+~) =
sin([3+y)·
s in(f3+y)
sin([3+y) sin([3+y)
·
= -,--f,--- ✓siп2~ + si11 2у- 2sіп~sін ycos(y + ~)
SШ(р+у)
•
- ✓ 2вм2- 'JKB·BM' ·Л\n3к
-
~2
'J~' R
КМ-КВ +
~
cOSL.1vu.
-
а(.·А
.
) +1+_
.(А
.
costJ •
SІП(1,+У J
SІП ~+у)
•
52
р=б( (sin65_)2+1+2sin65_ cosS0+ (sin50)2+1+2sin5(~cos65+
sшІІ)
s1nll)
sш!І5
sшІІ)
+-,-l..--
11 _ . Jsi.11 2 65 +si11 2 50-2siл65si.1150cosl 15 = 29.бсм. Відповідь : Р = 29,6 см.
sm .)
,
161 . а) Нес ламана, точки сполучаються не послідовно;
б) проста ламана , немає самоперетинів і точки сполучаються послідовно;
в) проста замкнена ламана (многокутник), точки сполучаються послідовно;
г\ ламана, є самоперетини, точки сполучаються послідовно
д) замкнена J1амана, є самоперсrини, точки сполучаються послідовно;
,1
е) не ламана , точки сполучаються не послідовно.
162.І)4+9+11 =24>23,можуть;2)8+1+2+2=13<14,неможуть;
3)5+8+1+3=17=17неможуть.
163. З одні єї вершини оп уклого многокутника можна провести 11- 3 діагоналей.
Отже, з вершини дев'ятикутника можна провести 6 діагоналі. Загальну кіль
кість діагоналей можна вичислити за формулою О,5п(11 - 3) = 27.
Відповідь: у дев'ятикутнику можна провести 27 діагоналей.
164. АМ<АС+ СМ, АВ< ВЕ+ АЕ, вс <ВН + не, СЕ <СК+ ЕК,
ЕН <НМ+ ЕМ, НК <АК+ АН, КМ< ВМ + ВК (сума двох
сторін трикутника , завжди більша за третю сторону). Отже,
АВ+ВС+СЕ+ЕН+НК+КМ+АМ<АС+СМ+ВЕ+АЕ+
+ ВН+ НС+СК+ ЕК+ НМ+ЕМ+ АК+ АН+ ВМ+ВК.
165. Рішення на стор. 133, збірника зацач ..
166. АВ <АО+ ОВ, ВС< ВО +ОС, СЕ <СО +ОЕ, АЕ< АО+ ОЕ,
звідси, АВ+вс;сЕ+АЕ <(АО+ОС)+(ВО+ОЕ).
АС<АВ+ВС,АС<АЕ+СЕ;ВЕ<АВ+АЕ,ВЕ<ВС+СЕ.
Звідси, 2(АС + ВЕ) < 2(АВ +ВС+ СЕ+ АЕ).
Відповідь: Ав+вс;сЕ+АЕ <АС+ ВЕ < АВ +ВС+ СЕ+ АЕ.
167. Сторони шестик)тника рівні, отже рівні і кути між діагоналями . Тоді uей
шсстикутник складається з шести правильних трикутників. Відновідь: ні.
168. І 80°(11 - 2) = І 80(6 - 2) = 720°, середня величина кута дорівнюватиме 720:
: б= 120° > 1І 9°. Відповідь: так, може.
169. Якщо, кількість сторін збільшиться на 7, то і кількість кутів збільшитr,ся
не 7. Отже 11 =11 + 7, І 80°(11 +7 - 2) = І 80°(11 + 5). Позначимо величину на
яr,у збілr, шиться сума кутів через х. Тоді х + І 80°(11 - 2) = 180°(11 + 5),
х = 1260°. Ві;~ повідь: С)'!\-Іа кутів збільшиться на 1260°.
170. Введемо коефіuієнт lJропорuійності - х. Тоді 5х + бх + 7х + 8х + 8х + 9х +
+9х+9х+9х =І80°(9-2),х =18.
Відновідь: 90°, 108°, 126°, 144°, 144°, 162°, 162° 162°, 162°.
171. Пшна,ш.,,ю невідомі к,ти. як ех,, р і у Тоді а= i р_ 'V= -? Р._ Тоді 115 + + 1-< +
-
,
)
,f
"tJ
)t-1
+р+ f P+(f P-f P) 2=540°,Р=125°;а= 175°,у=75°.р..,.у=50°.
Відповідь: 115°, 175°, 125°, 75°, 50°.
172. 180°(11 - 2 ), при 11 > З на кожен кут до суми куті в додається 180°. Отже
опуклий мноrокугник, ·3 найбільшою кількістю гострих кутів - триІ()'ТНИК.
53
173. Кожен кут опуклого многокутника менший за 180°. Сума кутів шестикут
ника дорjвнює 720°, 720 - 360 = 360° = 360°. Відповідь: ні, не може.
174. 180°(11 - 2) = 2340, 11 = 15. Даний многокугник ~1ає 15 кутів, зна,,ить і 15
сторін. Відповідно , 15-ти кутник мас 0,5 • 15 • (15- 3) = 90.
Відповід~,: заданий мноrокутннк має 15 сторін і 90 діагоналей.
175. 0,511(11 - З)= 54, н2 - Зп
-
108 =О. 11 = 21, відповідно , к і лькість сторін дорів
нює 21. S = 180(21 - З)= 3240". Відповідь: кіл ~,кість сторін - 21, S = 3240°.
176. 180°(11 - 2)- сума внуrрішніх кутіп, 360° - сума ·зовніш н іх кутів многокутни-
ка . Тоді 180(н-2) = 5 • 360°, п= 12. Відповідь: многокутник має 12 сторін.
177. N!алогічно попередн.ій задачі, 180°(11 - 2) = 360 + 1080, 11 = І О. Відповідь: 10.
178. Ні.
179. Фігура ~~ає центр симетрії, якщо кожній точ11і Е цієї фігури відповідає така
точка А тієї ж фігури, що відрізок ЕА проходит~, через центр сю1стрії і ді
литr,ся ним навпіл. Отже, симетричними можуть бути мноrок}тники із пар
ною к і лькістю кутів.
180. L = ІSO<:,,-l) .1)Lвн = lSLl(:-c) =135°: L 308 = 180 - І35=45'";
2 )L.
=ISO(I0-2)=! 440._ L. =~б '' ·_ ')L. = 180<І5-2) = І-б ·=··L.
=24 -:,
вн
іО
•
30В-1
• .) ВІ-І
15
)~ЗОR
•
181 . І ) 180(;-2 ) =172°,а = 45; 2) пнутрішній кут дорівнює 180-24 = 156",
І 30(n-Z) 1-6°
1- в·
.
1) 4-
•
2) 1-
•
--n--= )
, 1l = ). шповшь:
, ::, сторш,
::, стор1н.
182. Позначимо внутрішній кут через х, тоді зовнішній дорівнює х - 156 . Звід
си,х-156+х=180°, х =168°.
180(;- 2 ) = 168 ' : п= 30. Відповідь: 30 сторін.
183 . Позш1чшю внутріu111ій кут ,,ерез х, тоді зовнішній дорівнює 180 - х. Тоді,
18011- І80(11-2)=468 - х.х =І08°. ІSO(n-Z) =108'=·:11 =5.Відповідь:5.
•
n
.
184. Внутрішній кут правильного п'ятикутника дорівнює 108°, L ВАС=
= L EAD=(180-108):2 =36°. Тоді L CAD=108-36-36 =36°.
Відповідь: L CAD = 36°.
185. L ОАВ = (180- 15): 2 = 82,5°.
180(;-2) = 165'°; 11 = 24. Відповідь: 24 сторін.
186. Центральний кут правильного мноrокутникадорівню є зовнішньому куту.
1) 180- ІSО(:- 2) =9(J": 2) 180- 180 \1i- 2) =30 "'; З) 180- IS0(;~-
2)=5"'.
187.В •
·~
..
18() 24 1-6° ISЩn-l) ]-6 -
1-
.
нутр1шr-11и r,ут дор1внює
-
,=
:,,-
·-· n
__
• = :, ···;n= :,,
188. Чим більше кутів має і\ІНОrокутник, тим більше його внутрішній кут. Отже
внутрішній кут най,ченший у многОК)'ТНика із найменшою кількістю кутів -
це трикутник . У трикутника внутрішній куг дорівнюс 60°. Відповідь: 60°.
189. Проведемо найбільші діагоналі шесrикугника. Точки перетину діагоналей
і 3 колом 3'с1-1асмо із то,11шми дотику кола із сторонами шесшкутника. Отри
маємо правильний дванадпятикутник.
190. Центральний кут дпанадuятикутника дорівнює 30°. Отже побудуємо пря
м і , які проходять чере·3 першини даної сторони і упюр1_оюп, рівнобедрений
тр и кутник з кутом при першині 30°. На бічній croporri утnореного трикут
ника побудуємо ріпний йому трикутник. Поnторюю побудову до НІХ пір
54
доки ламана, яка склад ається з даних відрізків не станс за.~1кненою. Ця ла
мана і буде правильний дванадцятикутник.
191. Черс3 центр кола проведемо чотири прямі, під 45° одна до одної. Через точки
перетину ШLХ пря.:,1ю: з колом проведемо перпендикулярні (до побудовашtх) пря
мі. Точки перt-·ти1-1у цих прямих будуть верши1ш-v1и шуканого восьМИК)ТНИі,а .
192. Централr,rmй кут правильного многокутника дорівнює :зовнішньому К)ТУ, а
сума зовн ішн ього і н11 уrрішнього К)Тівдорівнює 180°. Отже сума центрально
го і ВН)-трішньо,·о кутів многокутника також дорівнює 180°.
193. З'єднає,,10 кожну вершину многокутника з центром кола і отримаємо 11
рівних трикутник і в (за трt,ома сторонами). У рівних трикутників кути рівні.
Відповідь: ні.
194. З'єднаню вершини 2п-купшка через одну . Отр,шаємо рівнобедрений три
куп-1ик з основою, яка є стороною утвореного .чногокутника. Бачимо, що ко
жна утворена сторона в і дтинає від многокутника одну вершину. Отже, )Тво
рений многокутник - п-кутник.
195. За теоремою, многокутник, який є вписаним у коло і описаним навколо
кола є правильним.
196. R = J5_ = ~ = 3✓2 см, г =1⁄2=1=3 см. Відповід~,: 3✓2 см і 3см.
197. J5_ =2, а= 2✓2 см, г =1⁄2= "f =.Ji см. Відповідь: 2✓2 см і ✓2 см.
198. /-Гз =4./з,а=24см,R= _},, = 8✓3 см.Відповідь:R=8✓Зсм,а=2•
199.~=6,
~
800 = 3✓2 ; з другого рівнянняа =3✓2tg 180 , підст;вюю , .
2sin-
2tl!-
n
11
-
11
.
3✓2tg 180
_
,
пt:рше рівняння---"-= 6. oos.!E'. = ✓2. 180 ' =45''. 11=4. Тоді а =3 ✓2tg45° =3✓2 см.
2sin lSO
-
п2•п
•
І\
Відповідь: п= 4, а = 3 ✓2 см.
200. -"- =2tо.!Ш =2 тоді t0 180 = 1. 180 =45° 11 =4 Відповідь: так, це квадрат.
а
0n
'
i::-n
•
n
'
•
''"180
-
~Jl
201. Для квадрата, г =f =1⁄2=4см: для трикутника R = _}з =4, а 4✓3 см.
Відповідь: сторона трикутника а = 4✓3 см.
202. R- r = 4 см (за vмовою). тоді a-af =4. а= 8 г::см . R=a= ~г::см,
.,
-
-
-
2--vз
2-vз
r= s-J\=8✓3+12см.Вілповідь: 8✓3+16смі8✓3+12см.
2(2-' -13 )
203. Пр ипустимо, сторона вписаного трикутника дорівнює а, а сторона описа-
ного - Ь. Дане коло є для одного трикутника вписшт ,1 , для іншог• ··
-
: ц:а-
ним, 3відси ~ = ьг::; -'-ь" = 1⁄4. Відповідь: 1⁄4.
'V.:'J
2-. . J:i
-
-
204. Знайдемо радіус вписаного у трикутник кола г = 2Jз , тоді сторон а квадріІ
та: al = R ✓2 =-Гб. Звідси, шуканий радіус: r = 2".д,. Відповідь: r = af.j см.
55
205. Радіус кола описаного навколо 111с ст111~\Тr1ик а буде R = а см, сторона три
куrника: . amp = 2 ✓3а см. Радіус ко , rа о mкаr ю1·0 навколо ·трикутника дорів-
нює R = 21• =2а см. Відповідь : 2а см.
206. Сторона даного трикутника а = 8-/3 см, сторона даного квадрата дорівнює
стороні трикутника а = 8✓3 см . От~,е радіус кола описаного навколо квад
рата: R = ✓-і. = 8:Я, = 4✓6 см. Відповідь: 4✓6 см.
207. Опишемо навколо восьмикутника коло , для квадрата ue коло також буде
описаним. Знайдемо радіус uьoro кола R =~= 7 .
~
7 , 0 см. Сторона
2sшg -SІП--,-
•
R r;:;2
a..f5. (І ✓2) в·
.
·
(1 ✓2)
квадрата дор1внюr ak = vL. = 7 " 77
, 0 = а +-;;- см. щповщь.а +-;;- см.
... s1n ____.
_
_
208. Опишемо навколо восьмикутника коло, АС - сторона вписаного в ue коло квад
рата, АЕ - діаметр. Знайдемо сторону квадрата АС = R ✓2 см. АЕ - діаметр
АЕ= 2R см. ЛАDЕ - прямокутний (вписаний, гіпотенуза
-
ді,шетр ),
AD =AEsiпLAED= 2Rsiп 1~5 =R ✓2 + ✓2 см.
Відповідь: АС=R✓2см, AD =2R см, AD =R✓2 +✓2 см.
209. Довжина хорди дорівнює 6 см, отже сторони вписаних трикутника і шес
тикутника також дорівнюють 6 см. Радіус описаного наnколо шестик уrника
кола Rш =а= 6 см, навколо трикутника - R 6 =}з= 2 ✓3 см. Відстань між
uентрами кіл дорівнює радіусу описаного навколо трикутника кола .
Відповід~: 2✓3 см.
в
210. П?знач.имо сторону_ шестикутника - а, ~ен:·ральний його кут н:~/
- ,\~>-.....
дор1внює 60°, внутр1шюй - 120°, зовн1шн1й - 60°. Висоти
\с
трикутників АКЕ і АВС, AED і ACD - рівні , адже ріш-1і самі Е \ D
✓3
\!
трикутники.АН=АКsіп60° = 2 а.AD- діаметр, AD=2R=2а .ЛАЕD -
прямокутний, АЕ - катет і висота на сторону ED. АЕ= 2АDsіп6о •:•= а ✓З см.
Відповідь : 1: 2: 2: 1.
211. Впишемо коло у трикутник, воно буде вписаним і до шестикутника, тоді
r = •г:: см. Сторона шестик,rгника: а= "г:: ./} = .! ! .4 см. Відповідь: -4
" см.
~-.JЗ
•
2v3 ...
212. Стор. 133 збірника завдань, мал . 127.
213. Стор. 134 збірника завдань, мал. 128.
214. Стор. 134 збірника завдань.
215. 1=2лR. І) І= 18,84 см; 2) І= 3,14 см; 3) І= 4тr см; 4) І= 18тf см.
216.R =d - п= псм,І =27t2см. Відповідь:2тт2см.
217. l)R =..L=0 16cм · 2)R=i=l 27см3)R =1~= 1 5 смА)R = 9r?- =4 5псм .
'2 1t
'
'
2rr
'
-
'211:
'
-
27С '
218. Припусrимо , довжини даних кіл дорівнюють 11 і/2 , тоді 1=11 +12 =211(R 1-R
2
),
56
?л:(R1-Rs)
R=-
2к - = R1 -R2 , де R - радіус шуканого кола. Отж~треба побудува
.,
ти коло радіусом, який дор івнює різниuі радіусів даних кіл:
219. І) 1=8nr довжина зб і льшилась у 4 рази; 2) І = 2nr - 8n, зменшилась на 8n .
220. Нехай АІ3 і СЕ - дані хорди. АВСЕ
-
рівнобічна трапеuія, в,..,.------._,с
тодіНЕ=(16- 12).2 =2см По,а,,.,моОМчсре,х,@
О?
?
г::,--:::;
оЕ
КО= 14-х:х-+8-=(14-х)-+62 .х=6см,ОЕ=R=v6-+8~=10см.
мн/
І= 2тrR = 20n см Відповідь: 20псм
221. Довжина одного витка котушки дорівнює довжині кола з радіусом рівним
радіусу котушки. І= 2тrR = 9,42 см. Отже, кількість повних витків склада
тю1е: 11 = 40: 9,42 =4.25. Відповідь: 4 повних витка.
222. Знайдемо відстань, яку велосипедисr проїжджає за одне коло:
s=ІОО·п=314 м. Тоді v=\1~,~
5 = 14,13 км/год. Відповідь: 14 км/год.
223. R= і-л:• радіус і довжина кола мають лінійну зaлeжнicть,Rtf::R=i+::i=i=m=i+TTJ:1
значить графіком буде промінь, який виходить з початку IJ ІВІі
координат.
5101
224. / =л:R 11. J)/= 4л: =..!!..см· 2)l= 41r -45 =lпсм· 3)/= 4-л:•135 =3псм·
1S<J
1S<.І 45
'
180
'
180
'
4)І=1~: •180 =4псм;5)l=1~~, ·345 =2
3
3 псм.
225. R = 180•1 = 1 ~0;8л: = 60 см. Відповідь: 60 см.
m,
~➔ 1t
226. 1l = 1S<RH = 1~0)· 51t = 45° . Відповідь: 45° .
1t
_(л:
227. п= 18,~· / = 1s2 •21r = 45°. Відповідь: шукана дуга містіпь 45°.
TU\..
o1t
228. / =2rrR1, І= ~~, п, тоді R1= ~~: =6;~~о=4см. Відповідь: 4см.
229.ЗнайдемодовжинудугАВіАС.АВ =R =ш,звідсиАВ =;іЬ11=:90=~ ,
1t~
•
АС=....1...J80= mn Тоді Р
= кm +=+ш=ш(_l+тт) Відповідь·m(l+-п\
1SO
2
АВС 2
2
•
•
"/•
230. L. ЕАВ = L ЕВА= L ЕВС = 45°, звідси BE=r=8'°?_ =4✓'2. см.
В
~
/'1' -,
'
\,
··, 1'
j
у
/ , ......
_,,..~-- ''
Т •І т- 4..П.-л:90 2✓2 в· .
.J:i ,
од1 = 18011 = 180
=
псм. шповшь: 2 2псм.
А
Е
С
231. ЛАВС- рівносторонній, LАВС =60" ,ВD=d= ✓б'-з' =зJ3см х1:
3✓3
Е І\)
•
_
л:2 .
= .г,,
,_
.
.
.
✓з
,
~к
Тод1 / _ 180 60 2 тт см. В1дпов1дь. 2 псм.
~0с
232. Знайдемо сторони квадрата та ~ести кутника а 0 = ✓2. R = ✓2 см
.
,,
,,r,, 1·
.
І.
-
4 г;::?
І аб = jз = 3 СМ. ОДІ периметри UИХ ( JІГур оудутr, ао= '\/.!. СМ,
-
z..fз 6 4 r:,
а12- 3
= "J см. Довжина кола:/= 2ттR = 2тт. Порівняємо
57
отримані результати і отримаємо 4✓2 < 2 л < 4✓3, 2✓2 < л < 2✓3 .
233 12°=__1,_12 =..l!. · 45°=__1,_45 =.!!· 72°=__1,_72= 2П. 1O5°=__1,_1O5= 7П.
•
180
15'
180
-1' '
180
5'
J80
12'
135°=__1,_135 = Зп. 330°=__1,_ 1,0 = llп
180
4'
180--
6•
1sofo-
1301' .
1sol'.
1soE.
1sож
234. --=6°: - -
8
=225°·
--
4
= 45°: --
3
= 60°·
--
6
= 150°:
п:
-
тr
'
'
rr.
,
1t
'
7t
,
13021'.
__
4_ = 3150. 180·5л:=9OOо.
л:
,
л:
235. Для радіанної м іри кута : l = R.11 = 2·5=10 см. Відповідь: 10 см.
236. Сума кутів трикутника дорівнює 180(п - 2) 0 , 1 рад "' 57° , 3ш1ч.ить усі кути
мноrокутю-~ка не можуть дор івнювати uілому числу радіан.
237. S=a 2
.
l)S= 16 2 =256см 2;2)S=5,52=3O,25см\3)S= (.J'а) 2 =асм 2.
238.S =а2l)а=6Jf=3✓2см, S=18 см2;2)а=8✓2 .Jf=8см, S=64 см2;
3)а=а✓2.Jf=асм,S=а2см2.
239. S=a·b.1)S=16 •9 =144см2;2)S=0,6 •4,9 =2,94см2.
240. l)а= ✓256=16дм; 2)а =.J6,76 =2,6 см; 3)а = .Jw = 2✓5 м; 4)а = 2-Jь см.
241.а= 8✓2см,S=48см2,тодіЬ=48 :8✓2 =3✓2см.Відповідь:3✓2см.
242. Діагональ прямокугника розбиnасйоrо на два прямокутні триr,утпика,
знач.ить а = 12✓3sіп60°=18 см. Ь = l2✓3cos60°=6✓3 см. Тоді S = 108 ✓3 сл?.
Відповідь: 108✓3 см 2.
243 Введемо коефіuієнт пропорuійності х, тоді х • 8х = 144, х = 4.
Відповідь: 4 см і 32 см.
244. Припусн1мо, сторони прямокуrника дор іnнюют ь а і Ь, тод і а;ь = 7,
а=14-Ь.Звідси,Ь(14-Ь) =48,Ь =6см. Відповідь: 6см і8см.
245. Площа квадрата: S = 6 2 = 36 c,~i2. З площі прямокугника: а= 18: 9 = 2 см.
Відповідь: 2 см.
246. а= 2r, S = (2r)2 = 4r 2 . Відповідь: 4r2.
247.Р =4а,S=а2.Тоді2а2=4а,а=2. Відповідь:2.
248. Згідно малюнка Sлвсо = а2 . Знайдемо його площу через площі фігур:
Sвєкм = SFKPD = Ь(а - Ь), Sєсrк = ь2, SAMKF = (а- ь)2. 'Звідси,а 2 =2Ь(а-Ь)+
+Ь2+(а -Ь)2: а2-Ь2 =(а -Ь)(2Ь+а-Ь)..Отже,а2 -Ь2 =(а-Ь)(а +Ь).
249. Якщо квадрати не рівні, то їх сторони не рівні, знач.ить і площі не рівні.
Відповідь: ні.
250. S =а2.1) S=(3⁄4)2 = ~~ ,зменшитьсяу81раз;2) S=(✓За)2=3а2,збі-
льшиться у 3 рази; 3) S=(па) 2 =п 2а 2 , збільшиться у n2 разів .
-
d✓2
d
..f5.ct
2 ct2.
2ct2S11
2:,1.а=~-d1=9,а1=--тs·S=a =2 ,S1=a1 =162 .s=її-плоша
зменшитьсяу81J>аз. Р=4d.fi. = 2✓
2d Р1=4✓2,і= 2.fi.d
.!l. =l -пери-
2
'
189
•
Р9
58
r_
метр квадрата зменшиться у 9 разів.
252. S =аЬ .1)S=8аЬ -збільшитьсяу8рази; 2)S= 3,ь -зменшитьсяу3рази;
J
З)S = ✓Sa·✓Sb=Sab - збільшиться у 5 разів; 4)S = fї·-fu = /1~
-
зменшиться
y110pюiв: 5)S=.Jsa· ~=2аЬ -збільшнтьсяу2раз11;6)S =_о__ .О. = J!О... -
,
'\/2
mn mn
зменшиться у mn ' разів; 7) S = aak •ь: = takbk - зміниться на величину t.
f\-
431
-
8-83•S-2S
-
642в·
•·
81
-
64
253. Р - -::;;;- -
, а1- а. вщси,
-
а,1-а
.
шnовшь. s -
.
254. S=S1
-
S2
,
с2=а2
-
Ь2, де а, Ь і с - сторони квадратів. 3 отриманого рів-
няння: а - гіпотенуза, Ь і с
-
катети прямокуrно rо трик::,,тн ика. Отже, треба
побудувати тр икутник , де гіпотенуза і од и н з катетів - сто р они да н их квад
ратів, ін ши й катет будt: стороною шукано го квадрата.
2--S1а/1
аО
•
а✓5
::,::,.
3=2
=
5,а1= ~.
тже квадрат з1 стороною 5 - , де а - сторона дано-
а
v-:i
го квадрата, будt: ш ука ним.
256. Сторона шука н ого квад р ата буде дорівнювати J-і;;ь (задача 245).
257. Сторона шукани х квад ратів : S1 = f; а1 = ✓';а, дорівнює. половині діаго-
налі даного квадрата. Отже, дані лінії - це діагоналі даного квадрата.
258. R=}і=4см,а0=2R=8см._S0 =64cl\i2. Відповід~,:64см2.
259. S0 = al1a = 16-9= 144 с~?. Відповідь : 144 см2.
260.а)S=4 4 =16;б)S=З·З=9;в)S=2 •8=16;r)S=З·З=9;д)S=4 •4=16;
е)S=3 •4 =12;ж)S=2 •4=8.Відповідь:а,від;біr-рівніпоплощі.
261. Висо та, опу ще н а н t: більшу сторону дорівнює 11 = 8si 11 (180 -150)=4 см .
Звідси, S = 4· 14 = 56 c~i2. Відповідь: 56 см2.
262. Аналогічно попередній задачі, 11 = 9 ✓2 s і п45 '0=9 см. S = 9✓2·9 = 81 ✓2 см 2.
Відповідь: 81✓2 см2.
263. Найбільша площа буде при найб і льшій висоті, найбільша висота при sіп а= 1,
СУ.= 90 °. Отже, найбіт:.ша площа буде у прямокутника.
264. Припустимо, один з кутів ромба дор івнює х см, тоді інший - (х + 120) см,
х+х +120=180,х =30°. Тоді 11 =6✓3sіп30°=З✓З см. S=6✓3·3✓3 =54см2.
Відповідь: 54 см 2.
265. Відсташ, між сторонами паралелограма дорівнює висоті . а = h~ = ;1 = 4 см.
Відповід~,: 4 см.
266. 110 =~ =\2;' = 8см, l1ь=t=\2;' = 12см.Відповідь:8смі12см.
267 11 = .§. = 56 =7см:h=~ =14✓3см.Відповідь:!і✓Зсм.
•
аа8
•
stn б<.> 0
•3
·
3
268. Припустимо, висота паралt:лоrрама дорівнює х см, тоді сторона - 7х см .
х·7х=112, х =4см. Відповідь: l1a =6 см, а=42см.
59
269S-2S-І
.
І--·
4-0
-
а2✓2So- а2
-
r:::;2 в·
.
.
г:::;2
.
0-а, 0-а13, 13-аsш) __?
_
__
s --2
- -vL щпов1дь.v,;,.
-
о а.fi
•
-2-
270. S
1
= 4-5=20см2, S2 = 6·3=18см2, 20*18, S1 *S2
.
Відповідь: ні, не існує.
271. Висоти перпендикулярні сторонам, отже кут між сторонами також буде
30°. І1ь =аsіп3O° = 12 см; S = 30·12 = 360 см2. Відповідь: 360см2.
272. а= ,Л02
-
82 = 6см.s== 16 •6 =96см2.Відповідь:96см2.
273. S = аІ1 3 , S = ЬІ1ь; аІ1 8 = ЬІ1ь, } = ~ь. Ми отримали зворотну залежність,
•
а
3ш1чить чим менша сторона, т11,ч більша висота проведена до неї.
274. S = 1⁄2аІ18 = 1⁄2·12 ·2,5=15 c~i2. Відповідь: 15 см 2.
275. а = ~s = 2;~s = 14 см. Відповідь: 14 см.
а
276. У прямокутному трикутнику катет є висотою проведеною до іншого кате
та. Отже, S = 1⁄2·8· 17=68 см2. Відповідь: 68 см 2.
277.а)S=1⁄2•4•3=6;б)S=1⁄2·3•4 =6;в)S=1⁄2•2 •8=8;r)S=1⁄2•4•3=6;
д)S=1⁄2•4 •4 =8;е)S=1⁄2•3:4=6;ж)S=1⁄2•2•5 =ІО.Відповідь:а,б,гіе;від.
278. І) 11. = Ьsіп45°=3 ✓
2f=3см. S=1⁄2·9·3=13,5см2;
2) l1a = bsiп(l8O-150)=3✓21⁄2= 3f см,S=1⁄2·9· 3f = 27[2см2.
279. Найбільша площа буде у поодинокому випадку - прямокутному трикутни-
ку, S = 1⁄2· 7 ·6=2 l см 2 . 1)21 <23,неможе;2)2\ =21 ,може;3)2І > 17,може.
280. S
2
= 2S1
,
S1 =1⁄2·6·111=3111 см2, S2 =f112 с~12.Звідси, 1⁄2І12 =6111: ::: =f
281. Основа: а =2 ✓172 -5
2
=4J66 см. S = 1⁄2-4Jб6·5=10 ✓66 см2.
282. Знайдемо площу трикутника та інший катет : а= ✓26 2 -10
2
=24см,
S-1
·24·1O-12O 2з• І
-
2s-2•120 -93 . в·
• ·93
-
2
-
СМ. ВЩСИ 13 --;;-- 26
-
ЇЇ СМ. ІДПОВІДЬ. 13 см.
283. S = 1⁄2al1a. 1) S = 1⁄2al1a, збільшиться у 8 разів; 2) S = іаІ1а, зменшиться у •
5 разів; З) S =1⁄2·12а·1⁄4113 = 1⁄2al1a, збільшиться у 3рюн; 4) S = 2_
~
3 al1a, зме
нш,пься у 63 рази .
284 1 АСІ1
1 ВСІ1
вс= hлс = 2_ Відповідь: сто1>011и відносяться як 2. .
••2
АС=2 вс, АС hвс 7
7
28.::: S 1 аІ1 S 1 Ь11 S =l.cl1 Тод1· i'.=ht, . .о.=~- i'.=hc
-'•
=2'а'
=2 Ь'
2с•
Ьh3'с
hь'с h0•
286. Медіана ділить сторону на два рівні відрізка, тобто у нас уrворилося чоти
ри трикутники з рівними основами та рівними висотами, їх площі - рівні.
287. ЛОВС = ЛАОD і ЛАВО = ЛСОD (за трьома кутами), тобто висоти uих
трикутників попарно рівні. Тоді, l1в с = 11 .л..о = 1⁄2ABsiнLA, І1лв = lico =
60
= 1⁄2BCsiлL.A . S,wo =Scoo =1⁄4AВ·BCsi.ti.L.A , Sвсо =Sлоо = 1⁄4АВ·ВСsіпL.А.
288. Бокова сторона трикутника дорівнює 26 см (за умовою). Тоді
7
·1
7
7
✓2
✓2
7
?
2
11 --18-=(.!! .)- -8 ~-
11 = L+260 . ( L+26Q)-+(.!! .) -=26:
а
2
,а
4
4
2
,
~
(8✓13 )2
~
~ г.;;
а=8v1_, см,11,, =
~+260 =6vl3 cм.S=1⁄2·8vl3·6vl3=312 см 2.
289. а= 1,511а (за умооою) 113 2 +(3⁄4І1а/ = 502; 113 = 40 см, а= 60~м. Звідси
S = 1⁄2·60 -40= 1200 c,-..i2 _ Відповідь: 1200 см 2.
290. Припустшю, а - бі•ша сторона, Ь
-
основа, І1ь- висота до основи.
Ь = 211ьtg60"'; f·211ьtg60°·11ь = 72✓3, І1ь = 6✓2 см, Ь == 2·6✓2·✓3 = 12✓6 см,
а=.h~ 0 =12✓
2 см. Відповідь: 12✓6 см, 12✓2 см.
sш_,о
291 . Введемо коефіlІієнт пропорlІійності х, тоді (3х) 2 + (4х) 2 = 35 2 ; х = 7 см.
Отже, катети дорівнюють 21 см і ·28 см . Звідси S = 1⁄2·21 ·28 =294 см 2.
Відповідь: 294 см 2.
292. Позюl'!имо невідомий катет - х, тоді гіпотенуза
-
(х + 4). Тоді,
(х +4/-х2 =162; х = 6 см. Звідси S=1⁄2·6·16=48 cr- . - t2 . Відповідь: 48 см2.
293. АЕ =ЕС+ 1О (за умовою), ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні. За ознаr<ою
тангенса Е1с,=ЕС121.: ЕС=8см.АЕ= 18см.АС=18+8=26 см.
-
+ lJ.
•
•
•
S = 1⁄2· 12·26 = 156 с~12. Відповідь: 156 см2.
294. : ~ = ~~ = fї (властивість бісектриси), АВ = 187 АС. Звідси,
AC2- -('f=iAC)2 =752, АС = 85см, АВ = 40 см. S=1⁄2-40·75=1500 см2.
Відповідь: 1500 см 2.
·в
,Л\
А
ЕС
в
А
А
С
295. Центр вписаного кола лежить у TO'!lli перетину бісек
трис. ЛАОК = ЛАОМ і ЛСОК = ЛСОЕ і ЛВЕО = ЛВОМ
(3а другою ознакою рівності трикутників). Позна'!имо,
~
СК'!ерезх,тодіАС=24+х,ВС=10+х.(ЕВКО-
в~д
кпадрат).Отже,(24+х)2+(10+х)2=342,х =6см;АС~30см,ВС=16см.
S = 1⁄2·ЗО· 16=240 c1'i2 . Відповід~,: 240 см 2.
296. Це нтр описаного ко:rа лежип, у точlІі перетину бісектрис, L. АВС = 30°.
Тоді, L. ОАС= (90 - 30): 2 = 30°. У прямокутному трикутнику катет проти
кута 30° вдвічі менший 3а гіпотену3у, значить ОК = 1⁄2АО= 4 см. Тоді АК=
= ✓82-42 =4✓3 см. АС =4✓3 +4=4(✓3 +!)см. Отже, АВ =8(✓3 +l)см,
ВС=4(✓З+'J)см; S=1⁄24(✓Зt 1)·4(✓З+3)=16(3+2✓3)см2
297. Трикутники АВК, RCE і IO;D - прямокутні, Sвп1< = Sлвсо- S.ЛJJK - SвсЕ - Sкro
S_.\ВCD = 92 =81 • \,2 , s.дJJI-: = 1⁄2·9-4 =18 cr-i, Sпо = 1⁄2·(9-4 )·5=12 ,5 см2,
61
SвсЕ =1⁄29·3=13,5 см2; SAEI' =37с~/ . Відповідь: 37 см 2•
298. Аналогіqно попередній зада'Іі, 'знайде~ю площу пря,,юкутника, описаного
навколо даного трикутника і віднімемо площі зайвих трикутників.
Sд = 5·6 -1⁄2· 5-4 -1⁄2· 2-4 - 1⁄2·І·б=\3. Відповідь: 13.
299. Позна•шмо сторону квадрата qерез х, S_l\Вc = 1⁄2·6· 3=9 см 2 . Тоді
х2=9 -1⁄2(3-х)х-1⁄2(6-х-АК)х-1⁄2хАК, х =2см.Звідси,
Sшп = 22 = 4 см2. Відповід~: 4 см2.
300. Введемо коефіuієнт пропорuійності х, тоді ВК = 4х. КМ= 3х (за умовою).
SАвс = SАВК + Sвск + SАКМ + Sскм, висоти усіх чотирьох трикутників
опущені з вершин А і С рівні, основи в і дносяться як 1: 3, отже їхні площі
трнкугників, які лежать по одну сторону від медіани, також відносяться ЯІ(
'
2
?
4: 3. 2Sлвк +2·1S.дJ3к = 98, SАвк =28с~1 Sю:м =2lсм-.
Відповідь: 21 см 2, 21 см2, 28 см2 і 28 см 2.
3(11 . Бісекгриса кута А ділить ЛАВС на ЛАВЕ і ЛАЕС. У uих
тр н кут11иків висота АН, опущена на сторону ВС. є спільною.
~, ,r
1.Л.Н-ВЕ
•:,_i,,, = ---- = ВЕ = 2. За властивістю бісекгриси трнкvтннка: АС - ЕС = .±
::;АЕ С }АН·ЕС ЕС 4
'
АВВЕ7•
Відповідь: 4 : 7.
302. І 1 0в = 5si11LCOB, І~до = 6s i11 LAOD, LAOD = LСОВ(вертикальні кути).
s,\OD _ 1⁄29·6si nLAOD
Sосп 1⁄24·5sinLAOD
27 Відповідь: 27 : 10.
10.
303. SnAШ =S oвo-SAoc· S080 =3⁄4-(5+7)(3+8)si.пLBOD = 66siпLВOD;
SNx:: =1⁄28·5siпLВOD=20siп LBOI). SвACD =siпLВOD(66-20)=46siпLВOD.
:'BQQ_ c= б~sinLВOD = 3~. Відповідь: 33: 23.
Sвлсо 40s1nLВOD 2о .
304. Лозначюю сторону квадрата •1 ерез х. Тоді, х2 = 154 , х = .JЇ54 ; ЕВ = 2.Jff
. rз1··
J✓I54 ЛЕВF
"
s• І'✓1542.Jїч4?
І•==--:,-, "
- ПрЯ ~Ю КУГІІІ111, отже EBF = 2
· ~·-
7-· -
=
· СІ>Г.
Ві11повід1.: 4 см 2.
305. Rисотн нснзоугворених трнкупншів. проведених з вершини, через яку прохо-
.1:и л, прнма. рівні. Значить ,ш ощ і )Творених трИК)ТНиків будуть відноситись
так , як і їхні основи. 1) поділити основу у відношенні 1:3; 2) 11оділит11 4:5.
s
.
3 06. s•AІJE =3⁄4(заумовою), 1 1схайВК= l1 . SлвЕ=1⁄4АЕ·І1,
•BCDE•
-
S13coE = Sвсо + Sвor:: = 1⁄2І1(АЕ + 2ED).
307. Ріш с 11 ня у ,бірнику задач на стор. 134.
62
\в
с
308. Рочб ро-збивається кожною діагш1а.'!!1ю 1ш два рівних рівнобедрених трикут
ника. 3Ш1'ШТЬ Sромба = 2 s,., . srхшба = 2·1⁄2·2·5✓2 = 10✓2 с;,.? Відповідь: 10✓2 с~/.
309. Лт1ш,шмо меншу діагон,нь ро.\Іба -х, тоді більша- х + 10 (за улювою).
Ct/+(t +5/=252 : х=ЗОс~1. S=2S,:_ =2·1⁄2 ·30 · 3o;io=60()c;,.i2 _
Відповідь: 600 см 2.
31 О. І !тначюю меншу сторону рщ1ба - а, дану діагональ
-
d, а =fd (зау;,.10-
вою). Знайдемо діагональ ромба 2✓(f d)2 - С1)2 =3⁄4ct . S = аІ1а =fd·24= І 5d;
І"'І
..
"
..
"
·
·
"
2
S=2S6 =2•2
"1d·t=fd-; fd- = 15d. d = 40 с,,1, S = 600 сл~-. Відповідь: 600 см.
311. Даний перпендикуляр є висотою рівн обедре ного трикутника на бічІJу сто
рону,.J152 - 82 = ✓16Ї см. Тоді S=2S6 = 2·1⁄2·І5·✓16Ї ==І5✓16Ї см2.
Відповід~,: 15 ✓161 см.
А
312. L. ЛОВ= 75°, значить L. АОС = 105°, L. АСО = 30°. З
ЛАСН і іІАВН: АС= 2АН, АВ = АН6 _ = 2-Гз,,д.1-1 . Тоді
SШ (J
~.,
//11\
-_ !. 2АН 2-lз,·дJ-! =24, АН= бlfi. см. АВ = 2-Гз;6:іЛ =4ifn см .
С
ОНВ
.!,
.)
.)
,
АС= 2-бlfз = І2lfi. с,,1. Відповідь: 12:ifj см і 4;/її см.
313. Сторони побудованого квадрата утоорюють зі сторонами щtно1·0
чотири р і вні пря~юкутні трикутника 'J гострими кутами 30° і 60°
(3а умовою). По3ІШ'ШМО сторону РН через х, тоді ВН = х sіп 60°,
ВР=хsіп30°. x 2 +4(1⁄2·1⁄2x·f х) =І2; S=x2 =4-2✓3 cj\/ _
Відпо~.;ідь: 4 - 2✓3 см 2.
~с
Ji.dк
АмЕ
314. Побудуємо висоту до більшої сторони, один з відрізків, на які висота ді-
лrпь сторону, позначи~-іо х,тоді інший- І5-х. 142 - (15-х)" = 132 -х2:
х=б.бсм.Тодівисотабуде ;1 =✓132.:._ (~')2 =11,2см. S=1⁄2·15·ІІ,2 =84см2.
Відповідь: 84 см 2.
315. По3Ш1'ІЮЮ л1енший відрізок - у, тоді другий
-
(у+ 3). Третя сторона:
'°~ - ' = W: у= б см (властив ісп бісектриси). Побудуємо висоту з тієї ж вер-
.
.
.
1ш11111. що і бісектrнсу. А11алоrі,іно попередній задачі,
r----
7
-
)
7?
7
✓ 7 77 4г;-;-;:;
21- -(l)+x)- =14- -;с: х =~см. Висота : 11 = 14- -(~)- =-;;-vl 10 см.
_,
.,)
.,)
S =+15· 4 ✓!1() =1о.Jїїо c~i2. Відповід~,: 10Jїїо см 2.
-
·'
316. Висота трнкупшка п обудовш~а до 11ай~1с11шої сторони є найбільш ою . А на
логіч110 ·зa.'ta'ri No314, І 12 -(9- х)2 = 10 2 -х2: х = 1~:i см. Тоді висота буде
~
І1 = ✓102 -(Jf)2 = 2~:i..Ji с.,1. Відповідь: 23° ✓2 см.
.
63
317. Кола попарно дотикаються, отже сторони тр икутни ка дорівнюватимуть
20 см,21 см і23 см. ,1Далі рішення аналоrі,ше'Задач.іNo314. S= ~ см 2.
318. Висоти, опущені '3 ТОУ.КИ О, усі х uих трикутників рівні (радіуси) . Тоді
2·90 = 2·246 = 2·168 зв ідси
АВ ВС
АС'
?
лв+.!lлв+13⁄4 лв
ВС = .11.АВ АС=.dАВ 1)=
15
1-
41' ?_-,АВ._дер -полупериметр .
15
'
15
••
2
•
(90+?46+168)2 = 42 АВ( 42 АВ-АВХ 42 лв-.:Uлвх 42 АВ-1о.АВ) лв = зо см
-
15
15
15
15
15
15
'
'
АС= 56 см, ВС= 82 см. Відповідь: 30 см2, 56 см2, 82 см2.
319. S = 12 ; 15 ·6=81 c1..i2. Відповідь: 81 см 2.
320. Позначимо висоту через х, тод і 9; 11 · х=150 ; х = 15 см. Відповідь: 15 см.
321. Позначимо меншу основу трапеції через х , тоді більша-х + 9. х+;+9 8= 92 ,
х =7 см. Відповідь: основи· трапеції дорівнюють 7 см і 16 см.
322. L САЕ = 30° (за умовою), значить СЕ = 1⁄28✓3 = 4✓3. Тоді
S =8;14 -4✓3 =44✓3 c1..i2 . Відповідь: 44 ✓З см 2.
323. а) Висота трапщії дорівнює АВsіп60 "'= 6 ✓3 см, білдьша основа -
АО=6+1⁄2·12 +.j(З.fії)2- (6✓3)2 = 21см S= 6; 21 ·6✓3 =81./3~м2;
б)ADс'с 1~fo0 = 4✓
3 см, АС = 2CD = 8 см. ЛАВС - рівнобедрений, кут при
.
•
г,
~✓3+4✓3 (
основі 30°. Тоді АВ = ВС =1-~ =~см S= -----·4=:li.Jз см2.
2 cos30°
3
'
2
З
Відповідь: а) 81✓3 см 2; б) ~о ✓З см 2.
324. Трапеція рівнобічна, отже АЕ = АD;вс = 3 см. Тоді
ВЕ=✓172- 32 = 2✓'Ю см. S= 12; 18 ·2✓70 =30✓'Юсм2.
Відповідь: 30✓70 см2.
k1
АЕ
О
325. (Мал. зад. No324). L АВЕ = 120 - 90 = 30°, знач.итьАЕ =1⁄2АВ = 3 см,
ВЕ =АВсоs30°=3✓3 см. Трапеція рівнобічна, отжеАD = ВС+2АЕ = 16 см.
S= 10;1 6 ·3✓3 =39✓3 cr.?. Відповідь: 39 ✓3 см 2.
326. Трапеuія рівнобічна, отже АЕ = АD;во = 7 см . З ЛАВD:
BD2 =252-АВ2: зЛАВЕ і ЛВDЕ:АВ2-92 =BD2 -162;
Тоді АВ2-92 =252-АВ2-162, АВ = 15 см. ВЕ=12 см.
S = 7+;5 •12=192 см2. Відповідь: 192 см2.
327. АС - бісеприса, знач.ить: = ~, :~ = g~, звідси ~g = ~,
64
Л>?:\
~
АЕ
О
'•
AJ:3= ✓2'2 · 50=10.Jlї с,ч АЕ= 50;22 = 14см, BE = 2-fmcм.
S= 22 ~50
- 2. .Jm =72...{5:іб о/. · Відповідь: 72-!226 см2.
328. Менша основа доріnнює 50 - 14 = 36 см . ЛАВD - рівнобед- В
С
рени~1 і 2;~мокут~-шй (~D _
-
бісе~риса)~ знач~тть АВ =AD = 50см. ~
S= -'6~ - - ·)0=21)0см·.В1;11ювць:21::,0см.
~
-
А
ЕD
3:!9. L BCD = 150°, З[Іа'ІІП-[, L. ADC = 30°. Катет проти кута 30°
вдвічі менший за гіпотсІ J)3: , СЕ= 18: 2 = 9 см, ED =
= CDcos30 °·= 9Jз с~ , , нні 6і: 11, 1.11а основа- ВС= 14✓З см.
S =S✓З~l4✓З .9 =1; 1 JjС\1. Ві11ПОВЇдь: l~l ✓J СМ.
330. CD = ВЕ =; АВ, ЛЕ= 9 еч (за умовою). Тоді Ш-(3⁄4АВ)2 =
=92• АВ = 15см, !3Е= 12см. ВС=✓132-122=5см,
ЛD=5+9=14см . S= ~':,1 -+·12=114с~~2.Відповідь: 114см 2.
531.LDЛВ=LЛl)С=60°. LADB=LCDB=30°(за
у,, ювою). Познач1-1.\Іо б іч11: ст орону 'І ерез х . L. DBC = 30°
(ш 1 утр і ш1-1і 11 ш1хрсст ; 1с,ю!' 1 і куги), значить ЛВСD- рівно -
бедрс1111й, ІЗС = С]) = х. To. li , АЕ= f, відповідно AD = 2х.
Відповіа1,: 48.Jз см 2.
332. Трапеuія рів1юбі•1ш1, 1711ачнт1, Е]) до рівню 1 сер~дній лінії
трапе11ії. отже 1\В СК і :~АКІ) - ріn 1 юбсдре11і. з 11ачить
юс
~
АЕ
D
1ЕіАЕ О
в
с
LЮ3С=L КА])=45°; L EBD=90-45 =45°. отже ЛЕВD
також рів1юбсдре11111\ ВЕ = I~D = 8 см, J:31) = 8✓2 см.
/>к:~\
;,,/
"\
АЕ
D
Площа чоп111нк)т11111,а :юрі1н1ює половнні добуп,у діагоналей на синус кута
,,іж 1-11н111, S = {(8✓2)2 sіп9(1 •0 64 см2. Відпові111,: 64 см2.
333.ВЕ =АЕ=8см,КD=СКtg60°=8✓3.АТ)=4+8+8✓3 =
= (12 + 8✓3 )с~1. S= 4+12;s.Jз8= 32(2+✓3) см2.
Ві,1повід1,: 32(2+ ✓3) см 2.
334. ГІозш1чюю ,, 1е 1-Jшу основу трапеuії 'tерез х . Тоді х':,3 " ·9=72 ; х = 4 с м ,
fіі.11.1ш1 осноnа: :1 •4 = 12 см. Відповідь: 4 см і 12 см.
335. ГІр,111устшю, АВ =13 сл1, ВС= 15 см, CD=20 см, AJ) =36 см.
КІJ = 21 - АЕ, 13: -АЕ2 =202-(П-АЕ)"; АЕ= 5 см. Звід-
і.:11.Ші=~ =12СМ.S=15; 36•12=306 С~І2.
Віпповіш, : 306 см 2.
65
336. Центр вписаноrо кqла лежить на перетині бісектрис кутів
трапеції, отже ЛАРО = ЛАОМ, ЛРВО = ЛВЕО, ЛЕОС = ЛСОК,
ЛКОD = ЛОDМ (за другою ознакою). ОМ= r = 8 см,
LМАО=LРОВ==30°,тоді АО= 2OМ =16см,
АМ = 16cos30°=8✓3 см. ВС== 2РВ = 8 см,
S = s+~;-Гз · 16=64(1 + 2✓3) см2.
337. LDАВ=60°, тоді LОАМ=30°, АО= 20М =ЕМ =ВК,
АМ = ВКсоsЗО0= ✓ЗВК АD = ВК ✓З • ВЕ=РВ=-1-ВК.
2
'
'
2✓3 ,
..Lвк+вкJз
ВС = _}зВК. Тоді ✓З 2 ВК =б4✓3, ВК=4✓бсм.
АВ = .....т;_ = 8✓2 см . Відповідь: 8✓2 см 2.
cos30°
338. АК = 28 - HD (за умовою), через висоту знайдемо АК.
262 -АК2 =30 2 -(28-АК) 2 ; АК=10см, Iffi=l8cм.
26-ВЕ =ВЕ+10,ВЕ =8см;30-ЕС=ЕС+І8,ЕС=6см.
ТодіВС=8+6=14см,AD=18+10+14=42см;
Ж<
~
АМО
ж
~
АКМНD
ВЕС
~
АКМНD
ВК = J262 -102 =24 см. S = 14; 42 ·24=672 см2. Відповідь: 672 см2.
339.АЕ=3см,ED=12см(заумовою),тодіЕК=2АЕ=6см(АЕ-радіус,КЕ
-
діаметр) . PD = ED = 12 см. ЛОКС і ЛЕОD - подібні (за rострим
К
.
кс ко
'·'.'
'
'
вс
куrом), ЗВІДСИ ОЕ = ED' кс=~{ =ісм. вс= з + і= Зісм,.
~
зl+15 .
,,
~
S=-3⁄4-·6=561⁄4ct.г. Відповідь: 561⁄4см 2•
АЕМо
340. LAEB =1⁄2 LOEC = 30°, ВЕ = 2ВК = 8 см. Площа трапеції дорівнює добутку
півсуми основ на висоту, вс;лЕ =КЕ. КЕ=8f =іfз см.
S = 4✓3-4=16✓3 см2. Відповідь: 16✓3 см2.
341. Площа ч.отирикутника дорівнює половин.і добутку між йоrо
діаrоналями на си-нус кута між
ними cdsiпa = cd, sіп а = І, а = 90 '0 . Отже, якщо діагоналі перпендикулярні, йо-
го площа дорівнює півдобуrку діагоналей.
342. ЛАВС - рівносторонній, значить АСОМ = AKDB = BFNC,
ЛA.tvlК = ЛDFB = ЛNСО = ЛАВС (за першою ознакою)
Знайдемо площі фігур з яких складається шестикутник. •
-,
.,
І-,
,,
s.ЛJ3DK=ScвFN=а-=4см-,Sлвс=SвoF =2а-=2см-.
S,\KDFNC =3S_ЛJ3DK +4Sлвс = 20см2 . Відповідь: 202 см 2•
??
343. S =.:!!.:. ,де а- сторона шестикутника, а - центральний кут. Позначимо
tgf
меншу діагональ - с. Виразимо сторону шеспщуп-1и1ш через діагональ с :
66
(_с_ _}
а=-с-.Тоді S=2 •2с0•150• =2с2о/.Відповідь: S=2с2см2.
2oosf
tgl5o
3-1-1. а= 2Rsiн 180 = 12 sіп22,5° см, S= 2 а1:0=72✓2 ct.i2. Відповідь: 72✓2 см2.
n
tc, -
;:;, п
•
3-1- S
_
І ,-;;(р)2· S -(р)2. S
3 Г,(р)2
:,, д -~VJ3 :• □ -_ 3 ~•шсст=2 Vj3.
І ..fjp2
Р2
~
=Зо-'
_
І~=
9 =1✓3
Sшест -?s.Jзr2 - 6 . Sшест fs.Jjp2 9
•
\.
3-16 . Зовн ішній кут правильного восьмикуrниrш дорівнює 45° , отж е ззовні во-
сьмикутника утворилися рівнобедрені прямокугні трикутники. Тоді, сторо-
наквадрата:а=2+2·2f =2(1+✓2)см. SO=(2(1+✓2)2 =4(3+2✓2)c~i2.
Відповідь: 4(3 + 2 ✓2) см 2.
3·•7 R
-
·
1·
•R-з.Jі
-
,
-
2 г:;R-2г:;
'
г:.г:.?, nг:.
'
...
о -Ішест· ОДІ, -
. Ji -.)СМ,а--:зv -' - "\J.)C;\t.S=iv3(2v 3Г= lc:sv3c1>Г.
Відповід~,: 18✓3 см 2.
3-18 . В опук.тюму чотирикутнику добуто к п лощ навхрест лежа,шх трl1К)ТІшк.ів ,
утворених ді агоналями чоп1рикуrника, рівний. S,юв • Scoo = Sвос • (Scoo - 9) ,
•S
9•5
І82в·
•
182
ТОДІ • COD =(б-3) = C,\l . 1дпов1дь:
см.
349. р = Нб~S+ІZ = 15 см . Площа чотирикутника, навколо якого можна описати
коло , знаходит1,ся за фор~1улою: S = ,j( p -а)(р- Ь )(р-с)(р -d) .
S = ,j(] 5-4)(1 5-6)(15-8)(15-12)=3ml 012. Відповідь: 3-Jїїї с,-1 2.
350. S(F') = k 2 S(F''); k = f; :~;:.~ = ф2 = ;~. Відповідь:
~;-
351. ПО3на чшю сторону одного трикутника через а, дру гого -a siп60 °=~f .
ST
rla2..fз)2 .
Тоді ..J...J =
•4
= 3⁄4. Відповідь:.:!..
s ,_1 - J (1⁄4("f )2../з)2 "
3
352. Середня лінія ділит ь сторон у та висоту трикутника навпіл і дор івн ює по
ловині основи, з на,шть площі усіх угво рени х т рикутників - рівні. Тоді п ло
щаданого: S = 4S6 = 4-5 =20 см2. Відповідь: 20 c~t2.
353. ::.: = k
2
:
k2
= (1)2
= :~, S" л = :~ ·98=32 см2. Відповідь: 32см2•
354. f =k=-& ; k"=~: 1) дана площа меншого многокутника S" =1⁄4·60= 135 см2; .
2) да на пло ща більшого м1-югокутника S" = .:!.
9
• · 60=26~ c~i2 .
-
,
в'
.
13-
2~26'
2
щповщь: :,смаоо 3см.
355. ПрЯ,\Jа паралельна ос нов і трикутн и ка поді.rшє його н а трикут ник і трап<'- -
•
67
цію площі яких рівні. Sд = S'д + S'1P = 2S'д, Трикутники подібні, значип, їх
відповідні лінійні розміри віднос~ться однаково. S'л = k 2 = +: k = ✓2
Sд
о
2'
значить P' = Pf =14 ✓2 см. Відповідь: 14 ✓2 см.
356. Рішення аналогічне попередній задачі. k = _±. Sєлк = _. :!_
9' Sрлм 81•
І1рюаv1 = l1P.ЛJvI - І1ЕАК ; !1ЕАК = 1⁄2І1рлм; l1 pEJ.:i\,f = f І1РАМ ·
l4
4
8
РМ+~РМ 5
65
SЕАК =2·9РМ9І1рлм =ЇЇРМІ1рлм· SРЕК!'vІ =--2--·9lipлJvl = Іб2РМ· І1рлм·
ВС =~РМ, І1срмв = ~ І1рлм. Sсрмв = -9
5 РМ І1рлм.
о
•
о
SEAK : SPEKM: S срмв = 16: 65: 90. Відповідь : 16: 65: 90 .
357. АМ = МС, ВО - висота, спільна для ЛАВМ і ЛВСМ, отже
Sлвм =Sв см. SкЕвс =17SАЕк (за умовою),
S._
1S
-
9S
Тодіk- '
вм-'·ЕК-'
АВМ-2АВС- ЛЕК·
-
.)
·
ЕК-
.,,
-
.)•
Відповід~,: 3 см .
358. ЛКСF і ЛAFD - подібні (за трьома кутами), ~ = j- = k (за
умовою). Тоді k2 = 7
4" 88ксF=7
4_.
SкcF= 2
4
5·50=8 ci,/.
.,
_:,. ,
.. \FD
_,
•
-
Відповідь: 8 см 2.
4/д
АКМОС
Sлєк_І
І
359. (мал. до задачі No357). - -
-
k=-
8 . Отже, проведемо пряму пара.ле-
3."JЗм - 64 '
льну медіані через ТО'іКУ Е, яка ділить сторону АВ у відношенні 1 : 8.
360. р= 13+1;+15 = 21 см, Sлвс =.J2!(21-13X21- 14Х21-15) =84 см 2 .
Sвкє_ 4
.
S_4
.
,_
2
'
-s - - '57 , вкм --:;-; 84-13,44 см . s.д.ЕКС =S.л.вс - Sв1--.с: =70,56 С.\1°. Відпо-
АВС _)
--'
відь: 70,56 см 2.
361.І)S=т-2=І6ттсм2;2)S=п·(.2)2=.±см2;3)S=п(7::)2=25см2.
7t
п
v1t
362. r = J3⁄4 = ,J!"' 1, 7 см. Від11овідь: 1,7 см.
?
2m/
·''
363.S1=1TTj-; S, = m, .
-, =16, - =4.Відповідь:4:1.
-
-
1tr2-
r2
36..\. r = irr = ~; =3см. S=т-2=9ттсм2Відповідь:9ттсм2•
365.
в.
.
.р
ІДПОВІДЬ . k.
366. S =а2; а= ✓8 =2✓2см(а -сторонаквадрата). R=Л=2см,
S
"
4 'в·
•
2
0 =1rГ = ' ТТСМ-. ІДПОВІДЬ: 4ТТ СМ.
68
1t(- '! -}
367. Для правильного '!Отирикугника: R = '::;- _, r = f_.
Тоді~= _L=2.
vL
s,
rc(f )2
368. S =тт(R2 - r2)=тт(64 - 25)=39ттсм2.Відповідь: 39псм2.
'
'
2
2
369. І)S= ~R
6r... СУ.= ~6
6: •18=-?псм2;2)S= ~
6
6
0 • 135= ~7 псм 2;3)S= ~6
6
0 ·330=33псм 2.
-'
)
_, (_І
~
.:,
-
_,
2
...
2.
5~R 2
.. ..
370. S,- .. =ттR2. 1) S=rcR ·25=)1tR • _§_=......JL=~ -
2) S=rcR2
·165= 11 1tR 2
-
v
360
·72
'
Sc-
1tR 2 72'
360
24'
ll~R 2
5~R 2
_§_=
24 =11- 3)S= nR2 ·225"'51tR2.
_§_
_
8-~
S-::;
1tR2 24'
360
8'sO
1tR2 8•
тtR2
S
8
360(.(_8 .
8
371. S,- .
= 13 ; nR 2 ЇS' а=Ї5·360 =1 92°. Відповідь: 192°.
372. s = 11:R2а· R =✓ЗбОS = Гзбо-45 = ms = li: "'8 5см. Відповідь: 8,5 см.
збо ,
an
V721t VTT ~1t
,
373. S= ~,~ a±S6 . l )S6 =1⁄2al1a =1⁄2a·a·si1160°=16✓3 см2, S = :~ 60 - 16✓3 "'5,8 см2;
2) S6 =+·82 · ,іпІ50",=16см 2, S= :r86....0
' 150-16= 8,0 тт-16z67,8см2;
....
,
,
3) Sд = 1⁄2·82 -siп(360-225)0=16.J2 см2, S = ;:~ 225 + 16✓2"' 148, 3 см 2.
374. 1) l16 =-"--=-61-=3(✓2+1)см; R2 =28+ 6-/2см 2. S = (ZS+~/:)
2
1t-30 -
~~ ,_
,
~~2
---- 1+.fi
-1⁄4·(28+6✓2)·3(✓2 + 1)"' 216,4 см2; 2) 116 =-а-= ✓З см; R2 = 2✓3 см.
....
2tg~
S=E<J.1240+1-2✓3-✓3 =8тт+3 z28см 2
зт
2
•
375. Якщо даний сегмент дорівнює половині кола.
376 )S
-- g-40 2 sO- 2_.. .,.,2_4
2 sC_r..3290_ 9
2
.а
АВСD -)·
-
см, о -ТТГ -11.С - ттсм, о -360 -4ТТСМ.
S=40-4тт-1тт,,,20,4см 2: б)S.АРФ=2152 =1}-✓3 см 2 S~ =~а= ;~бО=1⁄2тт см 2,
';]:__ю2 _о
2сС_тс22 _2
2 cJ)_ 11:12
_
1
2
25 1{j
2
о - 36:1120-.)ТТСМ ,uc - з«,60-зттсм ,uо-зв}20-зттсм. S = бС 3-тт),,,8,6см;
в)01020304- квадрат,:0102=6см,SO=62=36см2:
SOJ _rcR2 _ir3 2 90-9
2_2
_
.9
_
2
о -ЗбОСХ-360 -"=і"ТТСМ .см, S-36 -44тт-7,7см.
377. р = 26+228+30 = 42 см, s6 = .J42(42 - 26)(42- 28)(42 -30) = 336 см2,
r- 2S"
-
_ 2-336 ,
-
8см. R- аЬс
-
26-~~-зо - 65 . см. Відповідь: 8см, 16,25 см.
а+Ь+с 2<,+28+,О
486
4-о,6
4
378. r = ,,/3⁄4 = ~ = 2✓3 см, діаметр даного кола дор івнює висоті трапеції .
•
Тоді сторона трапеції: а = .2
~" ' =8см, менш а основа b~2rtg60=12 см. більша
Slllu.., ,
'
69
d = 2acos60°+b=20 см. S = 12 ~20 4✓3 =64✓3 см2. Відповідь: 64✓3 см2.
-
.
379. Припу стимо , а - дана хорда, Іі = tsi.t1 9
2°=•f;r2=1⁄2sін1~0 = •f .Звідси,
1t(a.fi )2
~
=--
4-=1.. Відповідь: 2: 3.
S2 1t(".fj)2 З
•
4
380. R=а=6см,r = •f =з..Jзсм.S=n(62-(З✓З/)=9псм2.
381. Побудуємо трикутник симетричний даному відносно його середньої сто-
рони, отримаємо паралелограм. З 1шйдемо висоту пар алелогр а- в
с
ма, 132 -АК2 =202 -(21-АК)2, АК=5см; ВК..=✓!32 -52 =12см. ~
r=бсм.S=1⁄2n62 =18псм 2.Відповідь: 18псм 2.
АкЕ
382. Sno =1⁄2nR2 = 1t~
2 = 32n см 2. Висота трикутника: 11 = 8sіп60 ° =4✓3 см,
Sл = 1⁄2· 16·4✓3 = 32✓3 сь~2. S = 32(п- ✓3) "'45 см2. Відповідь: 45 см2.
383. Побудуємо вписаний квадрат на даній хорді . Трикутник правильний , зна
""" L СОВ = 90° (ll'"<pмss:й ,у,) !JC=2CК=2n=<SO-Jif2 щ ~ -~-. А
S0св =(4✓2)2 = 32 сь? . S= ~~~190-32 = l б(п-2)"' 18см2. / С:., )
Відповідь: 18 см 2.
•
С '-----1{. _ , В
384. СР = ✓з2 -12 =2✓2 см. ЛРКО і ЛЕОС; Л.АВС і ЛЕОС
подібні (за ТП ознакою), значить ЛАВС і ЛРКО - також
подібні. ТодіРК = .lcp = ./і см, звідси КО= r = КР =
4
2
·~t
_./і_з./і_з S-(з)2_9 1в• •
.
9
2
-
2 4-4см. -п4 -Їбпс,\1. щповщь. 16псм.
385. S0 = п2 2 = 4n см 2 . Шукана площа дорівнює різниці площі круга та площі
сегментів, які обмежуються цими хордами. Сегмент хорди на якій побудо-
1t72
✓3о? г:; 2•
•-
вано шестикугник: 3i = 360 ·60 - : 2-=зп-vЗ СМ . Сегмент хорди на ЯКІИ
побудовано трикутник : S, = :;26- 2
·(360- 120)+-2
1 ·(2si.t160°·2)-2si.tl30°= !п+ ✓З см 2 .
_,
_,
(J
.)
S = S0 -S1-S1 = 4п-(;п- ✓3)-(4п+ ✓3) =~псм2.Відповідь: "-
3° псм 2.
-
.)
_,
::,
386. Безліч.
387. Одну. Три точки обумовлюють прямі , які перетинаються .
388. 1) Так; 2) так.
389. Ні. Дві прямі перетинаються тільки коли лежать в одній площині. В на-
шому випадку ue не так.
390. 1) Так; 2) ні.
391. Прямі Ь і с можуть не лежати в одній площині. Відповідь: ні.
392. Безліч. Всі прямі, які лежать на перетині площина а з п ло щинами , які
проходять через точку А і не паралельні а.
70
393. Так. Якщо вони лежать у паралельній, до даної, площині .
394. Ні. Площини , можуть перетинатись і бути паралельними пр я .~•;:, а.
395. Ні. Пряма а може проходити під будь яким кутом до площини а.
396. Ні. Пряма а може належати площині р.
397. І) DD1
,
ВВ1 , СС1 ; 2)АВ,СD,ВВ1 ,СС 1 ; 3)CC1,DD1,A1D1,B1C 1; 4)C1 D
1
,
DD1, CD, СС1; 5)AA1,DD1
,
ВВ1 , СС 1 ;; 6)CC1D1 , АА1В1; А1В1С 1; АВС.
398. S = р'/ +2S0сн = (5 +5+5+5)·5+2·(5+5)=120 см2, V=3'! cc:0 ·5 ·5= 125 см3.
399. Sбічн =(5+6+5+6)-4=44см 2,S=44+2·5·6=104см 2, У =!. · 5·6=12(1)см 3.
400. S6і,ш. = (6 + 5 + 6 + 5)·8 =88 см 2. Знайдемо висоту паралелограма,
11 = 6sіп30°=3 см. Sасн. = 5·3 = 15 c1-i2, S = 88 +15 = 103 см2. V = 15·8=120 c1vi3.
Відповідь: 88 см 2, 103 см 2, 120 см 3.
401. Sбічн. =(4+4 +4 +4)·3=48 см2,So = 42 = 16.см2, V=16·3=48 см3.
402. Висота трикутника буде Ь = ✓52 -42 = 3 см. Sл = 1⁄2·8·3 =12 см2,
V= 12· 12=144 c1-i3 . Sбічн = (5 + 5+8)- 12=216 см2. Відповідь: 144 см2 і 216 см3.
403. Знайдемо площу трапеuії : І1= ✓17 2 -(15-10)2 = 2../66 см,
Sтрап = 10
;
15
· 2../66=25../66 см 2. S=(l0+17+15+2.Jєi;)-6+2•25/f:i,=252+62Mcм 2.
V= 25../66·6 = 150../66 см 3. Відп. : ( 252 + 62.Jі;б) см2 і 150.Jбб см 3.
404. 1) DEF; 2) М; 3) DM, ЕМ, FM; 4) DМF, DМЕ, ЕМF.
405. Усі грані піраміди рівні, значить апофема піраміди дор і внює висоті грані
а = 4 cos60Q=2✓3 см. sбічн =1⁄2-4-4·2✓3 =16✓3 см2,SОСН =42 =16с м2,
S = 16✓3 + 16 = 16(✓З+ 1) см2. Відповідь: 64✓3 см2.
406. Sбічн = 1⁄2·3·2·3=9 см2, Sосн = 1⁄2·2·2sіп60°=✓3 см 2, S = 9 + ✓3 см 2.
407. ЛАDВ = ЛВDС = ЛСDА (за першою ознакою рівності трикутників), значить
пірам іда правильна. Тоді, АВ = ВС = CD = 4 см; апофема
а =4sіп60'0=2✓3 см. S6і,1Н =1⁄2·3-4·2✓3=12✓3 см2. Відпов ідь: 12✓3 см2.
408. V=1⁄2·J ✓3·2 2·10=20✓3 см3.
409.SOCH =4 2 =16см2; V={ ·1 6·5= 8~см 3 . Відповідь: 26-"-3' см 3.
.
,
,
410. Знайдемо основу трикутника в основі піраміди а= 2 ✓!72 -82 = 15 см .
Sосн = 1⁄2· 15·8=60 см2, V = 1⁄2·60·6= 120 c1vt3. Відповідь: 120 см3.
411. 1)001; 2)СС1; 3)ON; 4)01М.
412. S=2n:·6·5+2n·62 =132ncм2,V=n62·5=1Юrccм 3. Відповідь: 132псм 2 і 180псм 3.
413. r=І2см(заумов ою). S = 2n·l2 ·8+2n·l22 =480nc1vr2, V=n12 2 ·8=1152ncм3.
Відповідь: 480 псм 2 і 1152 ттсм 3.
414. !)МО; 2)DM; 3)OD.
71
415. І= ✓122 + 52 = 13 см, S = 1і:· 12· І З+тс· 122=300ттсм2; V= +·тс· 122·5=24Оттсм3.
,
416. 1 = ✓242 +102 =26см, S= тс·10·2~тс- ІО2 =36<лтсм2; V = +тс·ІО2·24=800ттсм3.
,
V l7t·n2·m
417. V =lтс-112·111" V =l.тс-1112-п- -1..=-
3- -= .!l Відповідь·!!!.
1З
'
2З
'
v2 l1t·m2 ·n
m•
•
n
з
.
418. S = 4тс·72 = 196ТТсІ\t2; V = 4,тс-73 = 13!2те=457-31·ттсм3.
.
,
,
419. S = 4тс·б2 = 144тс см2; V = 4,тс-63 = 288тс сл~3. Відповідь: 144 ттсм2 і 288 ттсм3.
,
420 S2 = 47t(iJ2 = ..l_ .
V2 = 17tФ3 = ...L
•S1
4m2
16' v1
. 1m3
64•
•
3
Відповідь: площа зменшилась у 16 разів, об'єм - у 64 рази.
ДЛЯ НОТАТКІВ
72
,,
І
1.
2.
3.
4.
ТРЕНУВАЛЬНІ ВПРАВИ
Варіант 3
Ni
МN'=2МN =6 см
о~
N
•
5. k=ч=.И..• k=З
"Q YQ'
•
6. Так. Чере·3 кі rщі паралельних діаметр і в даних кіл провести прямі, точка їх
перетину - uентр гомотетії.
7. Ні. Гомотет і я с перетворенням по діб ності, отже подібні фігури - гомотетичні .
8а)k=АС =1. А1В1=l. ·4 =10смВ1С1=.і •5 =125см·
•
л,с, 5'
2
•
'
2
'
'
б) k= АС =1. АВ= 1. ·6=9см А1В1 =11• 1. = 71-см
А1С1 2'
2
'
•З
3•
9. Сторони подібних трикутників відносяться однаково . Тоді:
1)Р=7k+5k+9k=21k.2lk=42,k =2.Відповідь:14см,10см,18см;
2) 9k = 27, k =З.Відповідь: 21 см, 15 см, 27 см;
З) 7k = '28, k =4. Відповідь: 28 см, 20 см, 36 см;
4)9k+5k=84,k =6.Відповідь: 42см,35см,63см.
10. Сторони подібних многокутників відносяться однаково. Отже,Р=Зk+7k+
+2k+ 5k+l lk+4k= 124 см , k=4. Відповідь: 12см, 28 см, 8 см, 20см, 44 см, 16. см.
11 . Сторони подібних тр~шутників відносяться однаково. Отже, 4k =24, k = 6.
Відповідь: 48 см, 54 см.
12. Сторони подібних трикутників відносяться однаково. Введемо коефіцієнт
пропорuійності х. Тоді 4х + 4kx = 56, k = 1; -1 . Периметр трикутника дорів-
1-поє СУМі його сторін . Отже. k = _РР =i: l±-1
_= i, х = 10. Відповідь: сто1юни
,
,
.І
).х
-
)
першогоЛ: 20см, 30смі40см;другого: 8;м, 12смі 16см.
13. Якщо, два кута одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикут-
ника, то такі трикутники подібні.
•
а) L АКВ = L СКD (як вертикальні), L АВК= L КDС (за умовою) . Трику
тники АМN і AFD - подібні за трьома кутами;
б) L CDN = L АВС (за умовою), L С - спL~ьний. ЛАВN і ЛВСК
-
подібні;
в) L АВD = L-ACB (за умовою), L А - спLQьний. ЛА.ВС і ЛDВА- подібні.
14. У рівнобедрених трикутника,х кути при основі рівні, значить кути при вер
шині також рівні. Якщо кути трикугн иків рівні, трикутники подібні .
15. Якщо , кути при верши н і двох рівнобедрених трикутників рівні , то такі три-
73
кутники подібні. У подібних трикутників відношення сторін однакове. Вве
демо коефіцієнт про порційності х. Тоді,
1)Р=2х+5х+5х,1; = 12.Відповідь:основа -2-4см,бічна-60см;
2) а) основа більша за бі·-н,у сторону: Р = !Ох+ 7х + 7х, х = 6:
б)боковасторонабільша:;аоснову: Р=7х + 1Ох +ІОх,х =5{.
J
Відповідь: а) основа - 60 см, бічна - -42 см; б) 37 1⁄2 см і 531⁄2 см.
16. Якщо, куги при основі двох рівнобедрених трикутників рівні, то такі трикутни
ки гюдіб!іі. Бічна сторона першого тр1шутника: ✓122 + 52 =13 см. Отже, основа
і бічні сторони даного трикутника від носяться як 10: 13. Тод і Р = !Ох+ 13х + 13х,
х=2.Відповідь:26смі20см.
17. Два прямокутні трикугники подібні , якщо мають хоча б по одно~1 у р і вному
гострому кугу. Отже, Р = 12х + 35х +.j(l2:,:)2 +{3 5x)2 , х = 5. Відповідь: 185 см.
18. Сума кутів трикутника дорівнює 180° . Припустимо , один з кутів дор івню є х.
Тодіх+х+35+х- 35=180,х =60°. Кути другого трикуп-шка:60°, 95°і25°.
Введемо коефіцієнт пропорційності у. Отже, 5у + 12у + l 8y = 180°, у= 3f . Ку-
ти першого трикутника: 25t 0
,
бltOі92f0
•
Відповідь: ні.
19. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого
трикутника і кути , утворені цшш сторонами, рівн і , то трикутники подібні.
Отже, 1і =1f =2, L АВС= L А1 В 1 С1 . Відповідь: трикутники подібні.
20. а) L АВС = L CAD (за умовою), L С-спільний. Трикутники АВС і АВD
подібні за трr,ома кутами ;
б)АО:OD=2,СО :OF =2, L О-вертикальний.ЛDFOіЛАОСподібні;
в) ЛАС 1 0 і ЛСА 1 С- прям окутні, L АОС 1 = L СОА1 (як вертикальні), значить
вони подібні. ЛА1 О С1 і ЛАОС; л С1 В А1 і ЛАВС - попарно подібні (затрьома
кутами).
21. L В=L В1, АВ :А1В1 =2,5 і ВС: В1С1 =2,5 (заумовою). Тобто,дані три
кутники подібні. У подібних трикутників відношення сторін однакове, зна
читьА1С1=2,5АС.Отже2,5АС-АС =10,5,А1В1=17,5см,АС=7см
22. У подіб~их трикутників _відношення_сто~н однакове, ~нач~~ть ~В.
ВК.АВ- BD.ВС.Перев1римоде,16.24 - 12.18,2.3 - 2. -'·
.
0
Відповідь: трикутники АВС і DBK - подібні.
А
с
23. У подібних трикутників сторони пропорційні. Тод і ;4вн =вв11 : =-4f - ,
.
·"І І
І·І ·"ІІ
6_7
_
s 1_1
_
Ів·
·
.
·
·
'б•
18- 21
-
24,3
-
3-3
.
щповщь. даю трикутн ики под1 н1.
24 АВ = BD = AD 36 =20 =ll 2 =2 =2 У подібних трИК)'ТНИКів сторони
•ВОCDВС'18109'
•
'
•
пропорційні, отже трикутники АВD і BCD - подібні.
25. 1) З~J=~6 =3
7
5, t=t=t-Так,k=t;2)~=;~ =~~,1⁄2;с1⁄2*t.Ні.
26. У поді 6 ш1х трикутників відношення сторін однакове. 24 : 32: 36 = 6 : 8 : 9.
Відпов і д ь: трикутники подібні.
27. Припус тимо, дан і трикутн ики по д ібні , тоді катети другого трикутника
в ідн осят1,с я як 12 : 35. Введемо коеф-іцієнт проп о рційно ст і х, тоді
74
(12х)2 +(35х)2 = 13692 , х = 37. Отже катети другого трикутника будуть 444 см
і 1295 см. Позначимо менший з відрізків на які висота ділить rіпотену;у через
у. Тод і 444 2 -у'= 1295 2 - ( 1369 -у)', у = 144 см. Звідси, висота дорівrнова-
тиме ✓4442 -1442 =420 см. 420 = 420. Відnовідь: дані трикутюtюt n од ібні.
МКМА МFМАAF,~FAМАMF МАМК
28. l)- = -:2)-
.-
=-
=-:.,) -
=-
= -:4)-= -.
МN МF.
МN МК KN. NК МК МJ\f..
FA КN
29. Прнмокугні трикутники подібні, я1шю мають хоча б по одному ріпному 1 ·о ст
рому куLу. У паралслогра,\Іа протилежні сторони паралельні, отже L В СК =
= L CDF (навхрестлежачі). Відповідь: дані трикутники подібні.
30.ВК =J(Jсм,АВ=12см,ВС=16см(заумовою),LА=LС
_k
r.
(протилеж1:1і паралелогра.,1,~). ЛАВК і ЛВСЕ - прямокутні, а д ?μ С
пря~юкуп-н трикутники, яю ~шють хоча б по одному ршно-
V
~1угостро~1укугу-подібні.ТодіВС:АВ =ВЕ:ВК,ВЕ =16•10:12 = 4:1см.
-
'
Відповідь: діагональ на меншу стор_ону паралелограма дорівнює 13 1⁄2 см.
31. ЛАВК і ЛВСЕ - подібні (задача No30).
ТодіАВ:ВС =ВК :ВЕ.АВ=~ВС.ЗвідсиР =2АВ+2ВС,
•
ь
2•fВС+2ВС=44,ВС= 12см,АВ=10см.Відповідь: 12смі10см.
ВС LB
•_
32.
-
=-
(задачаNo28).ОтжеAD=4 •12 :) =9,6см.
AD LA
Відповідь: більша основа трапеції дорівнює 9,6 см.
33. CD=АВ(задачаNo28).ВМ =3_АВ.АВ+3_АВ =20,АВ =12см.
см вм
з
з
Відповідь: АВ = 12 см.
34.BD=15см,АС=20см,AD=14см,ВС=6см(заумо
вою), L ADB = L DBC і L CAD = L .АСВ (внугрішні різно
сторонні), значить ЛВСО і ЛАОD - подібні. Тоді ВС: AD =
= ВО OD,ВО= 15-OD,OD=10,5см,АО=14см.
Відповідь: діагональ АС поділяєтьс51 на: 4,5 см і 10,5 см, BD: 6 см і 14 см.
35. Трикугники ВМС і AMD - подібні (зада,ш No34 ). Тоді
-
ВМ: МD=ВС: АІ),ВС= 16-AD;BM:МD =(16- AD): AD,
AD=12см,ВС=І6- 12 =4см.Відповід~,: 4смі12см.
36. L АВС= L САК (за умовою), L С-спільпий, значить
ЛАКС і ЛАВС - поді бн і (за двома кутами). Тоді АС : КС=
~
D
~
= ВС : АС; АС= 6 см. Відповідь: АС= 6 см.
в
к
с
37. Протилежні сторони паралелограма рівні і паралельні,
значитьМР=NC,МN =СР,LВРМ=L ВСАіLРВМ=L СВА.ЛМІЗРі
ЛАЕС - подібні (за двома кутами). Тобто МР : АС = ВР : ВС,
МР= !О· (12-3): 12 =7,5 см . Відповідь: МР=7,5см.
38. Ромб - паралелограм із рівними сторонами, зна чит ь CD = FK,
DK = CF,L ВF'K=z. КDА =L ACBiL АВС=L АКІ> . ЛКFВ,
ЛАВС і ЛАКD- подібні (за дво~~а кутами). КF = АС - CD, Тоді
(АС -4): АС= DK: ВС, АС= 9,\- см. Відповідь: АС = 91⁄2 см.
,
•
І
75
39. АС= 10 см, ВО= 7 см, (за умовою). ЛЕВК і ЛАВС - по-
'
•
дібні. Тоді АС: ЕК= ВО: ВН, ЕК =-1
~
1ВН;ВН=7-ЕР,
10-ЕР •
~
ЕК=10-ЕР ±=--7 • ЕР= 14см ЕК=8см
А РОМ
С
7·7
ЕР"
'
•
Відповідь : сторони прямокугника дорівнюють 8 см і 14 см.
40. L АВС=180-2L. ВАС,звідси L АВК=90- L. ВАС. L ЕАВ=2L ВАС-90,
LВАС=LЕАС+LЕАВ⇒LЕАС=90-LВАС.Тобто
L ЕАС=L АВК,ЛАВКіЛАЕС- под.ібні.АС:АВ=АЕ:ВК=1,2.
Припу стимо, бі ч.на сторона дорівнює х см; тоді осн ова - l ,2x с~1 .
Q-r,кe, :?-(О,6х)2 = 402. х = 50 см. Відповідь: 50 см, 50 см і 60 см .
4 1. У рівнобедреному трикутнику висота до осно в и , бі сектр исою і мед іан ою,
тодіВК=✓.4В2-АК2=24см.
1) ЛАМО= ЛАОК (за rіпотеНузою і катетом), значить АМ =
=АК= 7 см,МВ =25-7 = 18 см. ЛВОМ і ЛАВК- подібні (за гос
трим кутом). ОnкеВО: АВ = ВМ: ВК,ВО= 18,75 см.г= 5,25 см;
2) центр описаного навколо трикутника кола лежить на сер е
динних перпендикулярах до його сторін. ЛАВО - рівнобедре
ний (ВО = АО, як радіуси). Тоді трикутники АВК і МВО -
подібні (за гострим кутом), значить ВО: АВ = ВМ: ВК, ВО=
= 13;8 см. Відповідь:1)r=5,25см,2)R=13Js см.
42. Зтрикутників АВЕ іВСЕ,АВ2-АЕ2 =ВС2-ЕС2,ВС2 =АВ2- 544.
ЗЛАВС-ВС2=1156-АВ2,АВ2=850.L ВАСі LСВЕ-
рівні, значить ЛАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - под і бні (за гостр им ку
том). ТодіАВ: АС= ВЕ: ВС=ВЕ:АВ.Звідси,АВ2 = 34ВЕ, ВЕ =25 см.
Відповідь: висота даного трикутника дорівнює 25 с м.
д
43 . Припустимо , ВС = 12 см, тоді ЕС = 8 см. З попередньої за-
да,tі : ЛАВС . ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні. знач.ить АС : ВС=
с
=ВС : ЕС, АС= ВС2 : ЕС= 18 см . відповідь: гіпотенуза дорівнює 18 см.
44 . ЛАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ- под і бні (за гострим кутом). Звідс и,
вс:АС=ЕС :вс,ВС2=6 •30 =180,вс=6✓5см.Тоді
АВ=✓зо2- (6✓5)2 =12✓5 СМ.
Відповідь: катети дорівнюють 6✓5 см і 12✓5 см.
45. Припустимо, ВС =6 см, тодіАЕ= 5 см; АС= 5+ ЕС. ЛАВС,
ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні, значить АС : ВС = ВС : ЕС,
(5+ЕС)ЕС =62,ЕС=4см.ОrжеАС=9смі АВ=✓55см.
Відповідь : гіпотенуза - 9 см, катет-Js5, см.
46. АС= .J52+122 =13см.LВАСі LСВЕ-рівні,значить
ЛАВС, ЛАВЕ і ЛВСЕ - подібні (за гострим кутом ). Тоді
АВ:АС=ВЕ:ВС.Звідси,АВ·ВС=13ВЕ,ВЕ=4-fзсм.
Відповідь : висота даного трикутника дорі внює 4fз см.
Ас
47. ЛАВЕ і ЛАВD- подібні ( L ВАЕ · -спільний) , ЛВJ:]) і МЕШ- подібні ( L BDE -
спільний), значить ЛАВЕ і ЛВЕD також подібні. ЕІ) =В С +
76
/,
.
+ (AD - ВС): 2 = 16 см (в:~астивість рівнобічної трапеції),
АЕ=4см.ТодіВЕ:DE=АЕ:ВЕ,ВЕ=8см.АВ:AD=АЕ:АВ,
АВ = 4✓5 см. Відповідь: висота дорівнює 3 см, бічна сторона - 4-/s см .
48. 1~ АВЕ, ЛАВD і ЛВЕD - подібні (задача No47), AD = АЕ+ 1О,
!sf
звідсиАВ:(АЕ+10)=АЕ:АВ,АЕ=8см.AD=8+10=18см.
~
~--
АЕ
D
BC=AD-2AE = 2 см, ВЕ = ✓122 -82 = 4✓5 см.
Відповідь: основн трапеції дорівнюють 2 см і 18 см, висота -4 ✓5 см.
ЛАВО, ЛАЕО і ЛЕВО - подібні (мають спільні кути). Тоді д
O•с
49. ЛАВО- прямокутний, ЕО- його діагональ, ЕВ = 8 см, АЕ = 18 см. ~
АЕ:АО=АО :АВіВО :АВ =ВЕ :ВО.ЗвідсиАО=6JЇЗсмі
ВО= 4JЇЗ см. Відповідь: діагоналі ромба дорівнюють 12JЇЗ см і МЗ см.
50. ЛАВО - прямокутний, ЕО
-
висота. Отже ЛАВО, ЛАЕО і ЛЕВО - ~
подібні(задачаN~49).ТодіАЕ :АО=АО :АВіВО :АВ =ВЕ :ВО.
•\
•
ЗвідсиАО=lМ9см іВО=4✓'29см.ЗвідсиЕО =МО =КО =20см.
ЛОЕВ = ЛОВМ і ЛАЕО = ЛАОК (за першою ознакою). Тобто ВМ = ВЕ = 8 см
і АК= АЕ = 50 см. Відповідь: основи трапецїї- 16 см і 100 см, радіус - 20 см.
51.l)38:2=19°;2)71°;3)90°;4)113°;5)у:2.
52. 1)23 • 2=46u; 2) ]52°; 3) 180°; 4) 334°; 5)2"(.
53. ])Центральний куг дорівнює 152°, вписаний L АМВ = 152: 2 = 76°;
2)вписаний куг дорівнює 73°. L АОВ = 73 • 2 = 146°.
54. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута. В нашому
випадку центральний кут однаковий для обох кутів АМВ і ANB,
значить L АМВ = L АNВ = 63°. Відповідь: L АNВ = 63°.
55. Для L ANB центральний куг буде 82 • 2 = 164°. Відповідно, для
L АМВ центральний кут складатиме 360 - 164 = 196°. Отже
L АМВ=196:2 =98°. Відповідь: L АМВ=98°.
56 . У даному трикутнику L С - вписаний, L АОВ - відповідний йому
центральний куг. Отже: l) L АОВ =54•2 = l08°; 2) L АОВ=
= 360- 136 • 2 = 88° . Відповідь: 1) 108°; 2) 88°.
57. L АОВ =62 •2 = 124°(L АОВ - центральнийдовписаного L С),
L. СОВ=48•2 =96°, L АОС=(180-48-62)•2 =140°.
Відповідь: 124°; 96° і 140".
58. L АОС = l 00° (за умовою). L АВС - вписаний, відповідний йому
центральний -L . АОС. Отже L АВС = (360 - 100): 2 = 130°. Тоді
L АСВ = L ВАС= (180 - 130): 2 = 25°. Відповідь: 25°, 25° і 133°.
59. Хорда ділить коло 5 : 13, отже центральні кути до вписаних кутів
АЕСіАВСтежвідносяться,як5:13.Тоді5х+lЗх0=360,х =l0°;
L АОС = 10 • 10 = 100°. Вписаний L АЕС= 100: 2 = 50°, відпові
дно L АВС= 26 • 10: 2 = 130°. Відповідь: 50° і 130°. ,
60. L ВМА = (360 - 260): 2 = 50°. Введемо коефіцієнт пропорційності х,
тоді L. ВОМ=7х , L АОМ = 18х. L ВМО= (180- 7х): 2 = 90-3,5х,
L АМО =(180- 18х): 2 = 90 - 9х. Звідси, L АВО= 10+ 3,5х. От
же,І80- 2(90...., 3,5х)+18х=100,х =4. L МВА=76-24 =52°.
Відповідь: 52°.
.
~~м
~
~
~мв
9'!fc'1=
в~J
А
м~А
61. Введемо коефіцієнт пропорuій 1 юсті хі знайдемо 1-радусні міри отримани х дуг,
2х+9х+7х=360,х =20°. Звідси,L АОВ=40°, L. ВОС =180°,L СОА=140° -
77
центральні, зна,1ить ЛАВС - прямокуrннй. Тоді L. В СА = (180-
-
140): 2 = 20° , L.АВС=90-20=70° .
Відповідь : 90°, 20° і 70°.
62. L . ЛОВ - центральний і дорівнює 180°, значить ЛАМВ - прямо кутний ,
L. АМВ =90°. L. ВМN = L. АМN - L. АМВ =20°. Відповідь: L. ВМN =:11°.
63. L. АОС = 50. 2 = 100° (центральний ДО L. ADC). L вас= 20. 2 =40°
с
(ценгральний до L. ВКС). L. ВОА = 100-40 = 60°, АО = ВО= R,
В
·.ша'-!Ить ЛАВО- рівносторон ній. Оrже L. BAD = 60°. Відповідь: 600.
64. L В= 62°(заумовою),L А= (180-62): 2 = 59°. АО= 00 =ЕО = ВО
(як радіуси кола), значить ЛВЕО і ЛОDА - рівнобедрені і рівні.
Звідси, L ВОЕ-=180- 2 •62 =56°; L EOD=180-56-62 =62°.
Відповідь: 62°, 56°, 62°.
65. ЛРАЕ і ЛНЕС - подібні (прямокуrні, L СЕН і L АЕР- верти
кальні). У подібних трикутників кути рівні , отже L МСВ =
= L ВАК, ці куги вш:сані. L МСВ і L МFВ спираються на хорду
МВ, L ВАК і L BFK спираються на хорду ВК, отже L МСВ =
=LМFВ=LВАК=LВFК.
ЕD
,,,,;.
66. Якщо вписані у дане коло кути спираються на одну і ту саму
,-------....G-.. к
хорду, то такі кугирівні. Оrже L. СМD = L. CED і L. СКD = м~-
/'.
= L. . Значить ЛЕСF і ЛМDК - подібні, а у подібних трикутни-
•F
ків кути рівні. L. ECF = L. МDК.
D
67. ЛАВС - рівнобедрений . Тоді : 1) ВС - основа. L. ВАС= L. ВОС : 2 =
= 32:2=16°, отжеL. АВС =L. АСВ =(180-16):2=82 °;
2)ВС-бічнасторона.L.ВАС=L.АВС=L.ВОС:2=32:2 =16°.
L. АСВ= 180-16 · 2= 148°;
3) ус·і вершини лежать по один бік від діаметра. L. ВАС= (360 -
-
32): 2 ~ 164° ( L. БОС-центральний відповідно L. ВАС). L. АСВ =
= L. АВС=(І80-164) : 2 =8°.
Відповідь: 1) ВС - основа: 82°, 82° і 16°; 2) ВС-бічна сторона: 16°,
16° і 142°; 3) вершини по один бік від діаметра: 8°, 8° і 164°.
~с
JZ;)'д
в
68. Геометричним місцем точок - середин усі..х хорд, які проходять чере-з дану вну
трішню точку кола є коло, центр якого зна.ходиться на середині відрізка, який
з'єднує центр даного кода із даною точкою.
69. Побудуємо два кола з . центрами О і 0 1 такі, що L. COD =
L.CO1D=2~ідваколазцентрами02і03такі,що
L. АO2В = L. АО3В = 2а. Точки перетину цих пар кіл бу
дуть шуканим геометричним місцем точок.
70. Проводимо пряму Ь. На ній беремо довільну точку С 1 і
будуємо L. С 1 = L. а_: На сторонах кута відкладаєм о
відрізки С1А1 = С1В1. Сполучаємо точки А1 і В1. ЛА1В1С1
-
рівнобедрений. На відрізку А1В1 відкладаємо А1В = а.
Проведемо BD 11 В1С1_ L. A1DB = L. А1С1В1 - як внутрі
шні односторонні при С1В1 11 BDта січній С1. Отже, L. A1DB = L. а. Точки
· А 1 і В- вершини потрібного паралелограма . В ідкладемо на nо.'~:овжен і в ід-
різків BD і A1D відрізки HD і MDтакі, що BD = МD і A1D = НО. Отримаємо
ще дві вершини шуканого паралелограма .
71. CM=2R-R-MO =R-MO, СМ · МЕ=АМ • МВ. Зв ідси ,
АМ . МВ = (R-MOXR + МО)= R2 -MO2.
78
~
72. ДrJЯ нашого випадка: АМ •МВ = МD •МС, ог,ке бМВ = 72,
МВ=12см,АВ=6+12 =18с.~1.Відповідь:12см.
73. АЕ-діаметр. РВ= 11 + 7 = 18 см, CD = 18 см (за умовою). Позначимо
відрізок СР 'Іерt:зх, тодіDР = 18-х. Звідси,4 • 18 = х(18-х), х = 6 см ;
DM= 18-6= 12 см.
Відповідь : то чка Р ділип, хорду CD на відрізки 6 см і 12 см.
74. АО і ВО-радіуси, значить ЛАВО - рівнобедрений . Тоді LOBA=
= L ОАВ=(180-46):2 =67°. L ОЕа""90°(кутміжрадіусоі\1і
доти ,шою ). Отже, L АВа = 90 - 67 = 23°. Відповідь: 23°, 157°.
75. Введемо коефіu і єнт пропорuійності х, тоді BN = 5х, AN = ІЗх.
ЛАОВ і ЛВОN - подібні (за rостr,им кутом), звідси BN: ВО=
= ВО : АВ, ВО= ✓BNAB = 3Мх . За визначенням
косинуса·cosLOBN= BN = -2L = ../Іо L OBN=58°
•
во з.,/Jох б '
•
L\Ві'ЛN - рівнобедрений, -значить L. ВМN = L. ВNМ = (180 - 2 •58) : 2 = 32°.
Відповідь: 32°, 32° і 116°.
в
76. ОС .1 СК (куг 1' Ііж радіусом і дотичною), тоді L ОСВ = L СВК = 25°.
/А~
1.'.ОВС - рівнобедрений (ОС = ОВ = R), L СОВ - uентральний до \k}rjj;}_(
L САВ, -значить L ВАС=(180- 2 •25): 2 =65°. Віщ~овідь:65°. В1;_,---f'c
77. NЛ •ВМ =МН •МК,МН =МО - R,МК=МО+R. Звщси
~~М
маоюМА•МВ =(МО - RXMO+R)=МО2- R2.
~О)Н
78. ЛМКІ' і ШКЕ ~ пплlбні. Тоді КМ• МЕ а МF •КМ.
@"
МF=КМ2:МЕ=52 : 12 = 2ї1⁄2' Сі\І. Відповідь:MF=21⁄2 см.
Е
к
79. ЛМКЕ і ЛМКА - подібні. Тоді МК : МА= МА: МЕ,
MUKЕ
МК = 12- КЕ, МА = tКЕ (за умовою), 12(12- КЕ)=% КЕ2,
1'1.,_
/
КЕ=9см. ТодіМА=6см.Відповідь: МА=6см.
80. Сума п ротилежних куrів вписаного чоти рикуrн ик1_1дорівmоє 180°.
Віап овідь: 1) так, 2) ні.
•
81. L А= 180-38 = 142°,LB = 180-134 = 66°. Відповідь: L А= 142°, L В=66°.
82. Протиле жн і кути вписаного чотирикутника в сумі складають 180°. Тоді :
і)4х+ ІЗх =9х +8х, l7x = 17х. Відповід~;: так;
2)6х+ l0x = Sx + 7х, lбх -f:. l5x. Відповідь: ні.
83 . Протилежні кути вписаного чотирикутни ка в сумі складають 180°. То ді
4х + llx = 180, х =12°. Відповідь: 48°, 961>, 132° і 84°.
В
8-k "\ВСЕ і ЛАЕD - подібні, значить L. ЕВС = 35 °. АС - діаметр
('/f!})C
кола, значить ЛАВС - прямокутн ий, L В= 90°. Зв ідси L АВЕ = t,;.
D
= 90-35 =55°, L ВАС= 180-(180- 64)-55 =9°. Відповідь: 9°.
8:. АМ •АС =AN•АВ,звідсиАМ :АВ =AN :АС. СторонитрикутниківАВСі
.І\МN відносяться однаково, ог,ке ці трикутники подібні. Звідси АМ = їїlО =
.. = 31⁄2см, AN=її9 =3смВідповідь:АМ=31⁄2,AN=3см.
86. L ВЕС = 180- 80 = 100°; трапеція рі-вuобічна , значить ЛВЕС -
рівнобедрений, L ЕСВ =(180-106): 2 =40". Тод і L ВАС=
= 18◊- 130-40 = 10°. L BOD - uентральний, відnов.іднпй
вписаному L BCD, L BOD = 360 - 2 •,!J(}-= 100°. L AOD - центральний ,
79
відповідний вписаному L ACD, L АСЮ = 360 - 2 • (130 -40) = 180°. ЛАСD -
прямокутний, отже uентр описано го кола лежить на більш ій основі трапеuії.
87.l)AB2= (4✓2)2+52- 2 •(4✓2) •5cos45° = 17,АВ =✓17см;
2)АВ2=82+112- 2 ·8 •11 cos120° = 273,АВ =Jіїїсм.
Ь2+с2-а2
102+152-92 61
88. а2=Ь2+с2- 2Ьсcosа.; cosа=----: cosa= -----=
2Ьс •
2·10 ·15
75
•
92 +152-102 103
92+102-152 11
cos~=-- -- -=-·
cosy = -----= --.
2·9·15
135'
2-9 -10
45
89 . sіп 2 а:+ cos 2 а = 1 (за основною тригонометричною тотожністю). Звідси
cosa=±✓l-C-fs-)2 =±~ . 1) a 2 = 52 +82 -2 - 5 ·8 · ( -t)=l53, а= ✓153см;
2)а2=52+82- 2 ·5 ·8 ·f =25,а=5см.Відповідь:5смабо✓153см.
90. L АВС= 45° (за умовою), L BCD = 135° відповідно . Тоді за
~с8
теоремою косинусів АС2 = 72 +(6 ✓2) 2 -2 • 7 • (6 ✓2) cos45°=37, ~
АС=Jїїсм;BD2=72+(6✓2)2- 2 •7 •(6✓2)cosl35°= 205,
BD = ..fios см. Відповідь : Jїї см , Jios см.
2
2
2·
2
2
2
91 ТодіcosLА=АВ+АС-ВС cosLА=AN+АМ-МN
•
,----
2АВ·АС '
2АN·АМ '
/
2
2,
-
2
2
2
АВ= -v252-72 =24
24 +25 -1- = (25+)) +(24+3) -МN .
.
см. 2·24 -25
2(25+5)·(24+3) '
СN
~
АВМ
Iv1N =f..fios см. Відповідь : 3⁄4 ✓205 см.
92. АС = ВС = АВ = З см ( за умовою). Медіана рівносторон нього трикутника є
•
-
А
бісекrрисою і висотою і дорівнює з f см, L BCD = 120°, тоді
~
BD 2 = 32 + (3f/-2 ·3 · 3f cos120°=3⁄4(7+2 ✓3),BD=1⁄2 ✓1+2.Jз см. D В
93. Позначимо ме ншу із невідомш, сторін через х . Тоді, за теоремою косинусів :
'
2
2
..fЇ9
79 = х- + (х + 4) - 2x(x + 4)cos120°;4x +16х-63=0;х = 2+-2
-
см.Біль-
ша сторона дорівнює х + 4 = 6 + .fi_j см. Рл= 2+ ✓'! +6+ ✓'! +.,/79= 8+ 2.,/79 см.
Відповідь: 8 + 2✓79 см.
94. Введемо коефіцієнт пропорційності х. Тоді, за теоремою косинусів:
302=(3✓2х/ +(7х)2 - 2-3✓2х·7х cos45°; х =6. Оrже, а= З .f5.
·6 = 18✓2 см,
Ь=7 •6 =42 см. Відповідь: 18✓2 см і 42см.
95. Позначимо невідому сторону через х . Тоді, за теоремою косинусів:
76=х2+62- 2x ·6·cosl20°; х2+6х-70 =О,х =2.fi§см.
Відповідь: 2✓'79 см.
96. Опустимо з вершини В трапеції висоту н а більшу основу і отримаємо точку
Е. Трапеuія рівнобічна,значитьАЕ =(AD- ВС): 2 = З см. cos L А= ~ =f .
80
Тоді АС= BD = .J102 + 52 -2 -10 :5 ·3⁄4= )65 см. Відповідь: ../65 см.
97. З ЛАВК АС= 2bcosa, АЕ= ВЕ = l. За теоремою косинусів :
7
7
ьO
ь
7
0
ь2
єс-= (2bcosa)~ + (2
)--
2 •2bcosa •
2
·cosa = 2ь-соs- а+
4
;
ЕС= 1✓8cos2 а+ І. Відповідь: ~✓8cos2a + 1 .
98. Припустимо, L В= а, тоді протиле_жний кут-180-а, cos(l80-a) = -cosa .
АС-діагональ, АС 2 ~АВ 2 + а 2 -2АВ·а·соsа ,АС2 =AD2 +а 2 + 2AD·a ·cosa
Порівняємо праві ,шспши рівнянь: Ав2 +а2 -2АВа·соsа.=АІУ +а2 +2АDа·оою,.,
АВ-АD = 2а cosa. Відповідь: 2acosa.
99. За теореl'.ЮЮ косинусів, Ь 2 = а2 + с2 - 2ас cos а. Підставимо замість лівої части-
•
.
•
?
2
r::;')
2?2
ни ршняння праву частину даного ршняння: а·+ с + ас v .с. = а + с - ас cos а,
cosа=-
..fi ·а= 135°
2'
•
100. На подовжені медіани A..l'vl відкладемо відрізок МD, рівний АМ. Маємо, АС=
BD= 10 см (за побудовою, АВDС- паралелограм). L АВD = 180 - 45 = 135°.
о""
..fi
r::;
А
AD-=10"+7--210 -7 (--c;=-)=149+70v2 (за теоремою
______.---:;;11
~
~~ C~1t_;JB
косинусів); AD = ✓149 + 70✓2 см. Відповідь: .Ji49~7o✓2 см. ~
101. Введемо коефіuієнт пропорuійності х, тоді діагоналі
дорівнюватимуть хі 7х. Звідси, х2 + (7х)2 = 2(9 2 + 122),
100х2 = 225, х = 7,5.Відповідь: 7,5 см і 52,5 см.
о
102. Позначимо меншу сторону паралелограма через х, тоді більша сторона буде
х+2.3відси,22+62=2(х2+(х+2)2),х2+2х-8 =О,х =2см.
Відповідь: 2 см і 4 см.
103. На подовжені медіани АМ відкладемо відрізок МЕ, рівний
АМ. З'єднаємо отриману точку Е з вершинами С і В трикут
ника, отримаємо паралелогра~-1. Тоді 14 2 + АЕ2 = 2(13 2 + 15 2),
АЕ= 2./її см. Відповідь: медіана дорівнює ./sз см.
104. На подовжені медіани АК відкладемо відрізок КЕ= АК. АЕ=
~А
Е~В
А
= 2 АК (за побудовою), АВ = її ВС. Тоді 282 + ВС2 =2(222 + ;ZJ3C 2), ефо
ВС=24см,АВ=14см.Відповідь:24смі14см.
Е
105. Рішення аналогічне попер~дній зада чі. 102 + (2 • 8)2 = 2(х2 + х2), х = ../89 см.
Відповідь : ✓s9 см.
106. Медіани трикутника перетиншоться і точкою перетину д іляться у відно
шенні 2 : 1. тобто АО = 4 см. СО = б~ см. На подовжені ВМ відкладемо від-
-
,
,
.)
:iio:i:2=+~~~); ~~~к~:;~:::00~: ~і~~:н: :~
0
~шє рішення, ~
отже трикутни:а з тат<ими ~араметрами не існує.
А~С
к
81
107. Сторони Ч()Шрикуrника КНГТ є сеr,е,:шіми лініями трикуrни
ківАВС,ВСЕ,АСЕіАВЕ,значитьКН=РТ =АС:2іКТ =НР =
= ВЕ:2. Тоді КР2+ТН2=2(КН2+КТ2)=2({АС2+1⁄4ВЕ2)=
= 1⁄2(АС2+ВЕ2 ). Припустимо, діагоналі перпендикулярні, тоді КНРТ - квадрат,
отже ТН= К ? . З відси 4КР2 = АС2+ВЕ 2 , значить, якщо сума квадратів діаго
налей трапеції в 4 р,ни більша за квадрнт середньої лінії, то діагоналі трапеції
перпендиr,уляр r,і
АВ .,~
.
7✓2-si11L.120 г:;
108. -- =--(теоремасинусш). АС=
_
=7-vЗсм.
sillLC sillLB
-
•
siнL45
109. LА=180-75-60=45°. ~ = ~. ВС=9✓З.sінL45 9✓2см.
si11LC siпLA •
sі.нLбО
АСВС.
g.l 24
.
.
110. --=--- .sшLB=-5 =-<1 . В1дповщь:так.
siпLB si11LA •
15 75
111. LC = 180-(а+ Р); sіп(І80-(а + р)) = sіп(а + Р)-
АВ
АС
ВС
---= -
-=---
siпLA'
s iпLC sіпLВ
АВ = b·sin(a + 13). ВС= b·sina.
sinl3
'
sinl3
112. АС=аsі.па.АВ=~
siпLD
ос :; LD= 180 _р- <р, DC = asina·s_in(l3+<p)
siпLCAD .
sшІ3
.
/si!145° /✓2
113. LB =90-a, s111LВ=cosu. СЕ = -.--= -.- ;
-
=а 2=а
ВЕ= /sіп45° = /✓2 : АВ= lsin(45+a\ АС= lsin(135-a) _
cosa
2cosa ·
cosa
sina
114. LACB=P, LACD=a, LB = l80 - P-a .
~= ВС =АВ .АС= a·sin(l3+а). ВС=a·sina..
sінLВ sіна sінр'
sinl3
'
sinP '
~-
А~С
аЬс
Ащ
а
·
,
В
115. LA=LC=90--, LAEB=l80 - (90 - *)·2-a=l35-ia ,
й
2
.
-
.
ч
АЕ=АВ
: АЕ = b·sina
sіпLВ si пLAEB
sin(lЗS-3⁄4a)
А
С
11б. LC= 180 - а - р, LBCE=LACE= 90-f-%,LAEC=90-ta-%,
А(: =~=~- АС= (а+ b)·sinl3.
siпLB siпLC siпLA'
sin(a+l3)
СЕ
АЕ СЕ= a·sina .
si11LA si пLACE '
cos(I+~)
ВС= (а+ b)·sina.
sin(a + 13)
в
~bN\
/t:2. c
J:Ш
CD ВС
117. LBCD= l80-a-l3; si11LBCD = si11(a+l3).
=-
-
s іп (а.+Р) sіпа. - sінР'
82
BD=a sіп(а+~) BC=asinp_
АС ВС AC=a~cos<p
sіп а
sіп а sіп(9O - <р) sіп <р'
sin <р
LACD = 36O-(18O - а -Р)-9O = 90 +а+ р . За теоремою косинусів:
sinA
.?
sin2 (а+ А)
BD= а (-_-..., ctgJ)- + 1+2· --_-_...,_
~па
sna
118 . Позначимо одні з сторін через х, тоді інша сторона буде х + 2.
ВС АС
х
х+2х✓2
г;;
-----·
------·
----· х-2(1+ ✓ 2)
siпLA siпLB' sіп15O ° sіп45 °' х+2 2 '·
•
Відповідь : 2(1 + ✓2), 2(2+ ✓2).
119. Подовжимо бісектрису СМ за точку М на відрізок BD = CD.
--6!2... = __J2Q__ DC=ADsinLA.
_lill__ = ~ DC= BDsinLВ .
sinL% sinLA'
,;;in L% ' sinL°t
sin LВ'
sin L%
Тоді DC2 = AD·BDs inLA,in LВ
sin2%
о/\
д~С
~ос~
.
в
120. -.-=-.-=-.-
, отже трикутники 1 з сторонами АВ,
,л.
sшу sшр sша
siny _, / ~ sina..
ВС, АС і sіпа, sillp , sілу - гюдібш У подібних трикутни ків
/а. у
куrи рівні, значить такий трикутник скласти можна.
Аsin~С
121 . Проти більшої сторони лежить більший кут, отже L А> L С > L В.
122. L . А= 180 - 56 - 35 = 89° Проти більшого кута лежить більша сторона ,
отже ВС> АС>~.
123. Проти б і льшої сторони лежить більший кут, отже кут А , у будь якому
випадку, меє бути найбільшим. (180 - 58): 2 = 61 ° > 58° . Відповідь: ні.
124. 1) 52 + 82 < 10 2 (тупокутний); 2) 92 + 10 2 > 12 2 (гострокутний);
3) 72+ 242 = 252 (прямокутний).
•
125 .В ідкшщем о на подовжені сторони А.В від точ ки В відрізок ВЕ = АМ, :uді
АМ = АВ. З ЛЕСМ: L АСМ> L. САМ . Проти меншого кута лежить менша
сторона. Отже АВ > СМ.
126AD-BD•CD-BD
•AD•/А-CD•"С
·
----В -
·
LA' ----В -
.
LC, ТОДІ
SlllL -
SШ L-
,
smL2 sm
smL2 sш
·cдDD = stn LALC. За умовою AD < CD, значить siпLA > siпLC .
sш
.
Синус тим більший, ч.им більший кут, отже LA > LC. .
127. При даних умовах задачі L Р може бути б ільшим за L В.
128. CD - висота, значить ЛАСD і BCD - прямокутні. L. А= 90 - L. ACD;
L В = 90 - L . BCD; проти меншо.го куга лежить менша сторона, AD < BD,
значить L ACD<L BCD.Отже, LА> L.В.
~ос
.
.
ос~~ .Ji
129. --=--~ (теорема
синусш); sшL.B =---- --: L. В = 45°.
siпL.B siпLA
АС
2•
130 АС
вс . /А BCsiпL.B ✓2 в·
.
в 4-0 б. 13-0
.
--- = ---: SlllL = ----= -
; ІДПОВІДЬ.:L = ::, аО
::, •
sіпL.B sinLA•
·
АС
2
131. Бісектриса ділить протилежну сторону на відрі з ки пропорційні прилеглим
83
до неї сторонам. Тоді:
1
1)пшначимоВК,1ерезх.10:х=12~(11-х);х=5.ВК=5см,КС=6см;
2)ВК:КС=АВ:АС;АВ:АС=4:9;АС=16•9:4=36сл1.АС=36см;
3)ВК:КС=АВ :АС,ВК=КС+4,тоді(КС+4):КС=5:3,КС =6см,
ВС=6+(6+4)=16см.ВС=16см;
4)АС=68-АВ,АВ:(68-АВ)=8:9,АВ =32см,АС=68-32=36см;
ВС=ВК+КС=8+9=17см.ЛВ=32см,ВС=17см,ЛС=36см.
132.АВ :BN=6:5;АС:NCсе8:6,6:5"#8:6,значитьANнеєбісектри
сою L ВАС, BN <CN. Відповідь: L BAN <L CAN.
133. Бісектриса ділить катет у відношенні 2 : .Ji, значить відношення катета до
гіпотенузи теж буде .Ji: 2 . Отже, синус одного з гострих кутів дорівнює
f ,3начить кут дорівнює 45°. Відповідь: 45° і 45°.
134.АЕ:ЕС=30 :40=3:4=АВ :ВС.ЗвідсиВС=3⁄4АВ.Тоді
')
.. .,
.,
.,
г::;
. (3атеоремоюПіфагора)АВ- - ( 1АВ)- = (30+40)-,АВ =40v7 см,
ВС=3•40✓7 :45= 30✓7см.Відповідь: 30✓7смі 40✓7см.
135.ВЕ:ЕС=8:15,ЕС -ВЕ =14см(заумовою).Звідси
8:15=ВЕ:(:ВЕ+14),ВЕ =16см,ЕС=16+14=30см.
АВ:АС=8:15,АВ;,, fsАС,ВС=46см.ЗатеоремоюПіф~-
гораАС2-(ft-AC)2 =462, АС= 30исм,АВ= 16и см.
136.АВ = ✓82 +62 = 10см,АС = ✓82 +152 = 17см. АЕ-бісектриса,
АВ:ВЕ =АС :ЕС.Тоді, ВЕ =WЕС,затеоремоюПіфагора
EC+]jEC=21, ЕС =lЗ3⁄4см, BE= 7fсм. •
137. Діагональ п рямо Кутника розбиває його на два р і вних прямокуr
них трикутника, зн ачит ь сторони прямокутника в і дносяться як
7:24,АВ =l_4ВС.ТодіВС- l_4ВС=34,ВС=48см,
АВ=48-34=14см.Відповідь:14смі48см.
138.ВК - бісектриса,значитьАВ :ВС =АК :КС=13:5,АВ =
с
=1fBC . ЗатеоремоюПіфагора(1f ВС)2 - ВС2 = 362; ВС= 15 см, тоді р~ .
АВ=39 см. ВМ=АВ: 2= 19,5 см.СМ=1⁄2✓2·152+2·362-392 = 8
МА
= 195см ВМ·ЕМ = ВС·(СМ - ЕМ) ЕМ _ = 8llcм СЕ= 39 -Ш=ll .l... cм .
'
••
•
'
23'
223
46
в· • ·811
• 111
ІДПОВІДЬ. 23 СМ І
46 СМ.
139. ЛАМК і ЛВСМ - поді б н і (за двома кутами). Звідси ВС: АК =
=ВМ :МК = 4 : 5. Трапеція рівнобічна, АК= АЕ;вс
. Звідси,
_вs;:__ =.:±)~; БАЕС =17 . Відповідь: 17 .
АЕ-ВС
-2-
84
140. АК - діагональ ромба, зна,шть і бісектриса L. А. Тоді,
~в
АО= АМсоsЗО0=3✓3 см, АК= 2АО = 6 ✓З см. L. КАС = L. АСК =
А
С
= 30°. ЗШ1ЧИТЬ кс= АК=6✓Jсм.вк=АКsіп30°=3✓3см.
АВ=✓(6✓3)2-(3✓3)2 =9 см, АС : СК= АВ : ВК, АС= 18 см. ВС =9✓3 см.
Відповідь: 9 см, 9✓3 см і 18 см.
141 ЛВСМ і ЛКМЕ- подібні (за двома кутами), значить
КМ_МЕ
_
КЕ
_
4✓2 ~
•
•
В
С
1,лс - вм
-
вс , КЕ - -7-~С СМ - б1сектриса, отже
щ
вм=МЕЗвідси СЕ =КЕ СЕ =КЕ = 4..fi.ВС
ВС СЕ•
'
ВС ВС.'
7
•
А
Е
(4✓2 + 7)2 = (~ВС)2 + вс 2 -2BC~BCcos45°; вс =f.J81 + 56✓2 см ,
КЕ== 3⁄4✓162+112✓2 см. АК== f.Js1 +56✓2 -t.J162 + 112✓2 см.
142. ЛВЕК і ЛВМЕ - прямокутні і рівні (ЕК і ЕМ - радіуси, ВЕ-
спільна), звідси L. КВЕ = L МВЕ, значить ВЕ - бісектриса
·
~
.
'
к
L АВС. ТодіАВ : АЕ= ВС: ЕС,АЕ = h ЕС;
І'
7
?
•
Е
С
ЕС+ 1~ ЕС= 15, ЕС= 79 см, АЕ = 89 см. Відповідь:
77
•82
9смсм1 9см.
14 3. Центр вписаного у трикутник кола лежить на перетині
бісекrрис, тобто АО, ВЕ і СО - бісектриси . АС = 2АЕ,
АЕ:ОЕ=АВ:ОВ,АЕ= 1; АВ. АЕ2-(187АЕ)2=252:
АЕ=281см АС=561смАВ=вс=17•281 •8 =60 5 см
3~
.
3•
3•
2-J
•
14 4. (Мал . до задачі No143). АЕ= .j262 -202 = 2No см . ВО: ОЕ = 13: .J69,
значить ~ОЕ+ОЕ =20, r =ОЕ =J,;(13✓69 -69)см.
~No
~
145. (Мал. до задачі No143). ВЕ - ОЕ = ВО =4 см (за умовою), АЕ: ОЕ = 20: 5,
ОЕ =1⁄4АЕ. Тоді 20 2 =(4+1⁄4АЕ)2 +АЕ 2 ; АЕ = : ~( ✓409-1) см. Трикутник
рівнобедрений, отже Р = 2(АВ +АЕ)= 1~ (4 ✓409 + 81) см.
І?
?
•
146.АС=,у24-+1s- = 30см.АС:АВ=СЕ:.ВЕ.СЕ= ,?ВЕ
•
'
(властивість бісекrриси). ВЕ + ~ ВЕ = 24. ВЕ = 9 см,
'
•
тодіАЕ=.J1s2 + 92 = 9✓5 см. Аналогічно, АС: ВС= АК: КВ, АК= 3⁄4ІШ;
КВ+3⁄4КВ=18, КВ=Sсм, CK=.j24 2 +82 =8 ✓10см.
147. а= 5✓2 см, La = 45° (за умовою). R = 52✓-Jl =5 см. Відповідь: 5 см.
148. а= 2Rsінс1. . АВ =2·8✓2· .Jf =16 см. Відповідь: 16 см.
.
85
J!...=AC= 1 sinP.= 'з· sinP. = ✓
3. Р. = 60° Р. =120°·
R
·
R
-
JJ V-',
JJ '?
'
!JJ
'
JJ2
'
149.
-
•
s_= АВ =2sіпу= 2-Гз. sіпу= ✓З . у =35° у =145 °
RR
З,
З'І
,
2
•
60 + 145 > 180, 120 + 145 > 180, отже зацача має два ріщення:
1)а2=122+82-2 •12 •8cos85°"' 191,а "'14см;
2)а2=122+82- 2 •12 •8cos25°"' 34,а"'6см.
Відповідь: 6 см або 14 см.
150. LBDC=180-105-15=60°. Тоді ВС =2·8✓
6 sіп60 = 24✓2 см.
LBAC=l80-105-30=45° R =~= 24✓2' 2 =48см .
,
АВС sшLВ
✓2
Відповідь: 48 см.
151. АС = 2·5·siпLAHC, LB = 180 - LAHC, звідси
R = 2-S·sinLAНC . 10см. AB = 2·10·siпLC,
АВС sinLAHC
LАНВ = 180- LC, R
= 2•ІO·sinLC = 20 см.
АНВ sшLC
152. Висота р і внобедреного трикуrника розбиває його на два р і вні прямокутні
трикуrника,тодікутпривершині: sіп1} = ~~; L1} = 71°, а=142°.
R = ~ 7014~0 "'57 см. Відповідь: 57 см.
.t,SlП .!,
153. Подовжимо бічні сторони трап еції до їх перетину, центр
вписаного у трикутник кола лежить на перетині його
бісектрис. Тоді ЛРОЕ = ЛЕОМ і ЛОНС = ЛОСМ (за третьою
ознакою),СЕ=1⁄2ВС+1⁄2АЕ=15см.АК=(14- 2):2=6см •
А~
(властивість рівнобічної трапеції), ВК = ✓АВ2 -АК 2 = 8 см, sіп L КАВ=
= ~~ =t.КЕ= АЕ-АК=8см.ВЕ=✓ВК2+КЕ2=8✓2см.Отже,
R= ВЕ
5✓2 см. Відповідь: 5✓2 см.
2sinLKAВ
154. Позначимо меншу основу через х. КЕ= 2\ - " = { , то-
/
=
•
li,/їs =
діСК=v(2х/-({)2="~
15 , siпLE = \х = ~.Звідси
АС = 2R siпLE = 2·8· .Ji_! = 4✓15 см. Відповідь: 4../її см.
155. З ЛАОВ: Rлов = 2 sin- ~AOB. З ЛВDС: Rдвс = 25~~с. Звідси,
R
- - ,A!L-
.
лов = 2sшL2C = sшLC = 1· siпLC = si11L2C LC = 600.
Rлвс 25t,~c
sшL2C '
,
156.Затеоремоюсинус і в: _АLВС = _АВLс = _вLсА;
SlП
SЩ
SШ
1)АВ=10•sіп26°: sіп62° = 5см, L А=180-26-62=92°, ВС=11,3см;
2)L С=180-38-49=93°, АС= 16•sіп49°: sіп93° = 12,1 см,ВС=9,9 см;
3) АС2 =АВ2+ВС2.-
2АВ-ВС·соs 65° = 188, АВ = 13,7 см,
86
si.пLА=8•sii165°: 13,7 =0,53, L А=32°, LС=180 -65 -32 =83°;
4) АС2 =АВ2 + ВС2 -2AB·BC·cos 96° = 153,9, АС =.12,4 см,
sі.пLС=7 •sіп96°: 12,4 =0,56, L С=34°, L А=180-96-34 =50°;
2
2
2
5)cosLA=АВ +АС -вс ""0579 LА=55° cosLВ=0206 LВ=78°
2·АВ·АС
'
'
'
'
'
'
LС=180-55
-
78 = 47°;
6)cosLA=0,821,L А=35°, cosLВ=--0,364,L В=111°,L С=34°;
7)sі.пLС=18·sіп110°:20=0,846,L С=58°, LВ=12°, АС =4,4см;
8)siпL С= 12 •si.1150°: 15 =0,613, L С=38°, L В=92°, АС= 19,6 см;
9)si.J.1LС=14 •si.J.125°:8=0,74,LС=48°, LВ=107°,АС=20,4см;
1О) sіп L А= 28 • si.11 35°: 12 = 1,34 синус більше одиниці. Зада,ш не мас рі.шення.
157. 1) L С = 180-70-70 =40° АВ = IO·sin 4oo = 6,8 см· 2)ВК= BCsin 40 =6.4 см:
,
sш 70°
,
sш 90
,
-
З)АМ = 10: 2 = 5 см,ВМ = ✓АМ2 +АВ2 -2АМАВсоs70 =6,9см;
.J J!An
5)R= _____fill_ =5,3см·6)r=ОК =ABsin_~S =24см.
.М
2sшLC
'
2sш))
'
А
КВ
4)LADB=180 -70-35=75° AD=AВsin_?O =66см:
'
sш7)
'
-
158. ·1) LACD=l80-74-42=64°: LАВС = 180- 74 = 106° • AD = ACsinб 4 = 5 6 см
,
'
sш 74
'
'
АВ=CD=ACsin42 =42СМ ВС=ACsin32 =33см:
SШ 74
'
'
SШlUб
'
-
2) R =~=3 1 см: З) РЕ= CEsi~32 РЕ= (4,2-CE)sinlб_
2sшІ06
'
-
stn)8 '
sш 74
'
CEsin32 = (4,2-CE)sin]б · СЕ = І З
.
sin 58
sin74 '
'
СМ,
r =РЕ= CEtg32°=0,8 см.
159. Дуги відносяться як 2 : З : 7, значить протилежні їм кути трикутника відно
сяться >!К 2: З: 7 . Введемо коефіцієнт пропорці йності х, тоді 2х + Зх + 7х = 180,
х=15.Звідси, LВ=45°, L С=105°і2.А=30°. За теоремою синусів:
АВ АСsinLC lQ9 ВС АСsinLA 5?
в·.l09
.-7
=
sinLВ
,
см;
=
sinLВ= ,.СМ.
ІДПОВІДЬ: , СМ І :І, СМ.
160. Позначимо куг АВС через~ ,~ = 180 ~а. Тоді
а sin<p
а sіпа
.
.•
АВ= -.-
1--. ; ВС=-.-(--). Побудоваш ф1гури - квадрати.
sm:1r+щ
sш q>+и,
..
•
отже їх центри - точки перетину діаГОf!алей, значить ЛАЕВ,
ЛВКС і ЛАСМ - рівнобедрені і прямОК)'ТНі. ~L МАЕ = 90 + а,
LКСМ=90+<р,LЕВК=90+~= 270-<р
-
а. За теоремою
косинусів знаrщемо сторони ЕК трикушика ЕВК:
МЕ= ✓АМ2 +АЕ2 -2АМ·АЕсоsLМАЕ = а ✓2?2 г(-_...,s(i_n_q,_)_)_2 _+_1_+_2_ __s(-in _q,_) _s_i1 _1_a .
-
SШ q>+Cl
SШ q>+CY.
ЕК= ( а sin<p ✓2)2+( а sina. ✓2)2+ 2 а sin<p ✓2 а sina. ✓2.sіп( +а)=
sm(<p+a) 2
sш(<р+О'.) 2
sш(<р+а) 2 sm(<p+a) 2 (j) •
= 2 .•'(/; ) .jsiп2 <p+sin 2 a+ 2si11<psi11asi11(qнa);
sш +у
КМ= .Jкс2 + СМ2 - 2KC-CMcosLМCK = ~
87
(sіпс,)2l2sіпУ••
sіп(qнс,) + + siп(q,+u) Slll<р '
+-. -
1-
sіп2q,+sіп2а,+2sіпq,siнasiп(q,+а) .~ =180- !ОО
-
50 = 30°.
sш(<р+а)
~ ---------
р = З✓2( с::~:~~)2 + 1 + 2 ::~:~~sin 50 + (s~~n1~0
0)2+І+25~~n1~0
0 sin100 +
+-1 -v'siп 2 IOO+siп 2 50+2siпl00siп50siпl50 = 35.5 см. Відповідь: Р=35 , 5 см .
s~l~
•
161. а) Не є ламана, точки сполучаються не послідовно;
б) проста ламана, немає самоперетинів і точки сполучаються послідовно;
в) ламана, точки сполучаються послідовно є самоперетини ;
г); ламана, є самоперетини, точки сполучаються послідовно
д) замкнена ламана, є самоп~ретини, точки спо лучаються послідо в н о ;
е) не ламана, точки сполучаються не послідовно.
162.1)2+4+7=13>12,можуть;2)З+8+5=16<17,неможуть;
З)ll+5+4+6=26=26неможуть.
163. З однієї вершини опуклого многокуrника можна провести 11- 3 діагоналей.
Отже, з вершини десятикутника можна провести 7 діагоналі. Загальну кіль
кість діагоналей можна вичислити за формулоІQ О,5н(н- З)= 35.
Відповідь: у десятикутнику можна провести 35 діагоналей.
164.АВ<ВЕ+АЕ,вс<вн+не,СЕ<ск+ЕК,ЕН<ЕА+НА,
НК < ВК + ВН, АК< АС+ СК (сума двох сторін трикутника ,
завжди більша за третю сторону). Отже,
АВ+вс+СЕ+ЕН+нк+АК<ВЕ+АЕ+вн+не+
+СК+ЕК+ЕА+НА+ВК+ВН+АС+СК.
165. Подовжимо медіану за точку перетину із третьою стороною на довжину меді
ани, отримаємо паралелограм. Далі рішення на стор. 133, збірника задач .
166. Рішення до задачі No165 В -1, стор. 18.
167. 90 > lSO(n- 2); 11 < ,i . Відповідь: так, це буде трикутник.
n
.
168. 180°(11 -2) = 180(7 -2) = 900°, середня величина кута дорівнюватиме 900:
: 7 "' 129° < 136°. Відповідь: ні, не може.
169. Якщо, кількість сторін збільшиться на 2, то і кількість кутів збільшиться
не 2 . Отже 11 = п+ 2, 180°(11 +2 - 2) = 180°11. Позначимо величину на яку збі
льшиться сума кутів через х. Тоді х + 180°(11 - 2) = 180°11, х = 360°.
Відповідь: сума кутів збільшиться на 360°.
170. Введемо коефіцієнт пропорційності - х. Тоді 3х + 5х +4х + 7х + 2х + Зх =
= 180°(6 - 2), х = 30. Відповідь: 90°, 150°, 126°, 120°, 210°, 60°, 90°.
171. llозначимоневідомікути,яка,~''Уі<р. Тодіа= ~+30,у=~+10,<р =~+20.
Тоді~+30+~+~+10+~+20=360°, ~ =75°; ci=l05°,у=85°. <р =95°.
Відповідь: 105°, 75°, 85°, 95°.
172. Задача зворотна до задачі No167, 11 = З.Відповідь: 3..
173. Кожен кут опуклого многокутника менший за 180°. Сума кутів чотирику
тника дорівнює 360°, 360 - 180 = 180°. Відповідь: ні, не може .
174. 180°(11 - 2) = 2700, 11 = 17. Даний многокутник має 17 кутів , значить і 17
сторін. Відповідно, 17-ти кутник мас 0,5 • 17 • (l 7 - З)= 119.
Відповідь: заданий многокутник має 17 сторін і 119 діагоналей.
175. 0,511(11- З)= 152,112 - Зп
-
304 =О, 11 = 19, відпові дно, І( ількість сторін дорів
нює 19. S = 180(19 -2) = 3060°. Відповідь: кількість сторін - 19, S =3060°.
88
176. 18O°(н - 2)- сума внутрішніх кутів, 360° - сума зовніш1 1іх кутів многокутни-
ка. Тоді 180(11- 2) = 4 • 360°, 11 = 10. Вілповідь: многокутник має 10 сторін.
177. Аналогічно попередній :sадачі, 180°(11 - 2) = 360 + 720, ll = 8. Відповідь: 8.
178. Ні.
179. Фігура має uентр симетрії, якщо кожній точuі Е uієї фігури відповідає така
точка А тієї ж фігури, що відрізок ЕА проходить через uентр симетрії і ді
литься ним навпіл . Отже, uентр симетрії можуть бути многокутники і з пар
ною кількістю кутів . Вісь симетрії мають всі правильні мно гокутники адже
сторони і кути у них рівні.
180. L = 180\;1- 2) .1)Lвн = 180
~-
2) = 120~; L30в=.180-120 =60"';
2) L = 180(24-2) = 16- o·L
=150. 3). L
= 180(10-2) = 144· o.L
= ::\бо
вн
24
:,,зов
~
вн
lо
, зов
-
•
181. 1) lS0(;- 2) = 164°, н = 22,5, такий п-кутник не є правильний; 2) внутрішній
кут: 180-12 = 168°. l SO(n- 2) =168°, 11 = 15.
•
n
182. Позначимо внутрішн і й кут через х, тоді зовнішній дорівнює х - 156. Звід
си,х- 156+ х = 180°, х = 168°. lSO(n- 2) =168,:':11 =30. Відповідь: 30сторін.
n
•
183. Позначимо внутрішній кут через х, тоді зовнішній до р івнює 180 - х . Тоді,
18011 - 180(11- 2) = 468 - х. х = 108°. ISO(n- 2) =108°; 11: = 30. Відповідь: 30.
•
n
18 4. Внутрішній кут пр авильного п'ятикушшса дорівнює 108°, L МDЕ =
=L MED=180-108=72°. ТодіLEMD=180-72-72=36°.
Відповідь: L EMD = 36°.
185. 18 0(n-2 ) = 162 '0 : 11 = 20. Відповідь: 20 сторін.
n
.
186. Центральний куг правилr,ноrо мноrот<утника дорівнює зовнішньому куту.
1) 180 - 180(5- 2) =72с. 2) 180- 180(8- 2) =45°·· З) 180- 180С4О-2) =--9 ··
5
'
8
'
40
187. Внутрішній кут дорівнює 180 - 20 = 160°, 1so~ -
2) =160,:,; n = 18.
18 8. Llим менше кутів має многокутник, тим менше його зовнішній кут. Олке
зовнішній кут найбільший у ,,н1 оrокутника із найменшою кількістю кутів -
ue трикуrник. У трикутника зовнішній ·куг дорівнює 120° . Відповідь: 120°.
189. Проведемо серединні перпендикуляри до сторін шестикутника. Точки
перетину uих перпендикулярів із колом з'єднаємо із точками дотику кола із
вершинами шестикутника . Отримаємо правильний дванадuятикутник .
190. Центральний кут п'ятикутника дорівнює 72°. Отже побудуємо прямі, які
проходять через вершини даної сторони і )Творюють рівнобедрений трику
тник з кутом при вершині 72° . На бічній ·стороні утвореного · трикутника по
будуємо рівний йому трикутник . Повторимо побудову до тих пір , доки ла
мана , яка складається з даних відрізків не стане замкненою. Ця ламана і бу
де правильний п'ятикутник.
191. Чере3 uентр кола проведемо шістr, прямих, під 30° одна до одної. З'єднаємо точки
перетину uих прямих з колом. Отримані точки - вершинами дванадwrrикутника .
192. LBMC =140°, тоді внутрішній куг даного многокуrник а дорівнюватиме
89
180- 180 ; 140 = 160°. lSO(n- 2) = 160°, п= 18. Відповідь: 18 сторін.
-
n
•
193. З'єднаємо кожну вершину многокутника з uентром кола і отримаємо п
рівних трикутників (за трьома кутами). У рівних трикутників сторони рівні.
Відповідь: ні.
194. З'єднаємо середини сторін мноrокуrника. (}гримаємо рівнобедрений трикуrник
з основою, яка є стороною утвореного многокутника_ Бачі-імо, що кожна утворена
сторона відтинає від даного многокутника одну вершину і утворює рівнобедрен ий
трикутник, побудовані трикутники рівні. Ог,ке, даний многокуrник - правильний.
195. Дві вісі симетрії розбивають чотирикутник на чотири рівних чотирикут
ника, таке можливо, коли сторони і кути даного чотирикутника рівні. Чоти
рикутник у якого сторони і кути рівні - квадрат.
196. R =-Г2=-Б=з./ісм, r=1⁄2=f =Зсм.Відповідь:3✓2смі3см.
197. 1⁄2
= 8, а=16см, R = -Г2 = 8!j- =.4..fi.см. Відповідь: 16смі4✓2см.
198. а=R=s.Jзсм,r= "f =7,5см.Відповідь:а=5✓Зсм,R=7,5см.
199. ~ = 12, ----3⁄4w = 6 ✓3; з другого рівняння а= 12 ✓3tglШ, підставимо у
2sш~
2tg-n-
n
12.JзralШ
перше рівняння~= 12, cos 180 = Jз23 , 180' = 300, 11=6. Тоді а =!2✓3tg30°=!2 см.
2sш~
п
п
11
Відповідь: n=6, а = 12 см.
200.
•
2tg l80
--
11-= cos 180 =0.8. Відповідь: так, існує.
•
n
•
2sі.п 1 80
п
20 1. Для квадрата, R = ~ = 4f = '2✓2 см; для трикутникаR= }з =2✓2, а= 2✓6 см.
В ідповідь: сторона трикутника а= 2✓6 см.
202.R+r = 12см(заумовою),тоді }з+2:r, =12,а=8✓3см.
г = s./з.Г,,3 =4 см. Відповідь: 4 см і 8 см.
?'
-
,
R= ~ =8см,
""
203. Припустимо, сторона вписаного квадрата дорівнює а, а сторона описаного
-
Ь. Дане коло є для одного квадрата вписаним, для іншого - описаним,
звідси ~ = %; -'-ь" = f .Відповідь: ./f-.
v2
-
-
-
204. Знайдемо сторону квадрата а= R ✓2, тоді радіус вписаного у квадрат ко-
.
а R✓2С
.
R г:;3 R✓б в·
.
.
R✓б
л ,1. rk = 2 =--т-- торона трикутника. а 6 = 6 -v:> =---т- щповщь. ~см.
205. Радіус кола описаного навколо трикутника буде R= }з =2см, сторона шес-
тикутника: аш = 2_}з = 4f см. Радіус кола описаного навколо шестикутника
90
•
R- -4✓3 в·
.
.
4✓3
доршнює -а -3 см. шповшь.-3
-
см.
206. Сторона даного трикутника а = 4✓3·✓3 = 12 см, сторона побудованого
трикутника дорівнює а = 12sin60 = 6✓3 см: Тоді радіус кола описаного на-
вr<оло цього трикутника: R = аг. = 6./j = 3 см . Ві дповідь: З см.
2v3 2v3
207. Впишемо у восьмикутник коло, для квадрата це коло буде описаним .
Знайдемо радіус цьоr_о кола R = ~ = . {2 _0 см. Сторона квадрата дорів-
2sш8 sш ,:,
нюєаk =R✓2 = . 3:(!50 = 6 + 3✓2 см. Відповідь: (6+ З,/і.) см.
s1n_ . ..,
208. Оm1шемо навколо восьмикутника коло, знайдемо радіус описаного кола:
8tg775 1'
а=8tg22.5°, R =~ = -
3J см. AC-crnrnнa вш1с,шоrо в це коло квадрата.
,
2sш22,5
.
,
АЕ-діаметр. Знайдемо сторону квадрата ,\С = 13_:,-'
2 см. АЕ-діаметр
о
АЕ= 2R = 2"6 см. ЛАDЕ - прямок:,,тний (вписаний, гіпотенуза - діаметр),
J
AD =AEsu1LAED = 2Rsiн 135 = 8 СМ
2
•
вш·повш·ь· АС = 13✓2 см АЕ= 81-см AD =8 см.
•
3
'
3'
209. Довжина хорди дорівнює 2 см, отже сторони вписаних квадрата і шести
кутника також дор і внюють б см. Радіус описаного навколо шестикутника
кола Rш =а= 2 см, навколо квадрата - R 0 = }з = 2f см. Відстан~ між
центрами кіл дорівнює сумі відстаней вщ центрів кіл до сторін даних фігур Ь.
Ь =F, Ьш =R ✓373 =./З; Ь =2-(і +✓3 =5-(', см. Відповідь : 5✓33 см.
о
-
~
'.)
210. Побудуємо дотичні до даних кіл, точки перетину дотичних із в□
с
сторонами квадрата - вершини правильного восьмикутника.
.
•
Позначимо сторону восьмикутника - а, знайдемо сторону восьми-
кутника: r = 1⁄2, аш = Jj = •f . ЛАВС - рі_внобедрений з кутом при вершині
90°. Центр вписаного у трикутник кола лежить на перетині бісектрис. Звід
си. r = aшtg22, 5°= а.Jзг;; = ~✓З(.Ji ~ 1). Відповідь: "-
3° ✓3(✓2 -1).
•
~
3(1+,;2) о
•
211. Впишемо коло у трикутник , воно буде вписаним і до шестикутника, тоді
г = 5-!} см. Сторона трикутника: а = 5-!} 2✓3 = 15 см. Відповідь: 15 см.
212. Сторона квадрата вписаного в трикутник не може бути паралельна стороні
трикутника, вона може належати їй. Така побудова описана на стор. 133 збі
рника завдань, мал, 127.
213. Опишемо навколо квадрата коло. Тоді R = Ji_ = з.Jі см. Утворений вось-
микутник також буде вписаний, його сторона: а = 2✓3·2sul22,5° . Отже пе
риметр восьмикутника: Р = 8·4✓3 sіп22.5°"' 21 . 2 см. Відповідь : 21,2 см.
91
214. Стор . 134 збірника завдань.
215. 1=2nR. 1) 1= 18,84 см; 2) 1= 50,24 см; 3) 1= 2тr✓ТТсм; 4) 1= 1Oсм.
216.R =d -3=3см,1=6п см.Відповідь:6ттсм.
?
217. l)R=....i ..=O 64см· 2)R = ...О... = 191см·3)R = it2 = 1 57см"4)R= ~ =...!..см .
27t
,
'
21t
'
'
27t
'
'
2л: if
218. Припустимо, довжини даних кіл дорівнюють 11 ,12 і/3 , тоді І =11+!2-13 =
-
2(R R R) R-21t(R1+RгRз)
-
п1+2-З
,
-
27t
R1+R2- R3 , де R- радіус шукано-
ro кола. Отже, треба nобудуваги коло рад і усом, який дорівнює різниці суми
радіусів перших двох даних кіл і радіуса третього кола.
219. l)l=f m довжина зменшил~сь у 3 рази; 2) І =2m--2n, зменшилась на 2n.
220. Нехай дані відрізки дорівнюють а 1 , а2 , а3 , ... , а11 , тоді
/=n(a1+a2+a3+...+an)=10тr.
221. Довжина одного оберта блока дорівнює довжині кола з радіусом рівним
рад іусу блока . І= 2nR = 31,4 см. Отже, за 8 обертів вантаж підніметься:
11 = 8·31,4=251 ,2 см. Відповідь: вантаж підніметься на 251,2 см .
222. Знайдемо відстань, яку колесо проїжджає за один оберт: / = O,9·n=2,83 м.
т.
2sз-25060 424- / в·
.
424·· /
ОД! V= ---'iooo"
=
, ) км rод. ІДПОВІДЬ: ' :, км год.
223. D= L, д іаметр ; довжина кола мають лінійну
7t
залежність, значить rра ф і'<ОМ буде п ромі н ь, який
-
5
10/
виходить з початку коордишп.
224 /_1tR11 1)/- o7t 2 - 4псм·2)/- S1t-.2O- 8тrcм· "')/- S1t·l2)"- 50тrcм·
.
- їїо.
-їїо" - 45 , --ЇSО
-
9 ,-'
-
180 -9
.
,
4) f=k·24O = 32 тrcм· 5) /= k·315~14тrсм
180
3
'
180
•
225.
226.
R = 180-1 = 1so-20 = 240 см. Відповідь: 240 см.
7tn
15:.
р;
п
11=180•1=180·1r = 45° вш·повш· ь·45°
1tR
407t
'.
.,.
227. 11=1: 1=18~:'· =-,~~
. J.J іідпо відь :
щукана дуга містить 135°.
228. І = 2nR1, І= г;0 і,, тоді R = 36:R, = 3~~-і 2 = 32 см. Відповідь: 32 см.
229.ЗнайдемодовжинудуrАВ=ВС=CD=AD.АВ =D =а,звідси
,r12
АВ=18~n =; 01<ІП-
·'; - Тоді РАВС = 4 ~ = 2па . Відповідь: 2т~а.
в
230. L А = 40°, звідси R =АС:2 = 5см. Тоді і =1;0n=};,4O=fncм.
Відповідь: 1l тrсм.
~1
,І~-с
231. І1лс = R = 6si: :-'1°=1 см. Тоді І= й-45= 1.п см Відповідь:
180
4
•
232. Знаrщемо сторn, ,,
,,.... ;,w_цяти- та шестикутника а6 = R = 1см
і а 12 =2Rsін15° =O,52см. Тоді периметри цих фігур будуть
3
4 тrсм.
Р6=6·1=6см, Р12=- п52·12=6,24см.Довжинаrюла:/=2nR=2n. о
92
Лорівня см о отри~~а ні результати і отри~шсмо 6< 2 те <6,24, 3< те <3,5 . .
233. ]0°=----" -:-10=_!':.: 20°=----"с-20=.:!!· 54°=_1,___54= 3ТТ· 60°= ----"с-60=.:!!:
І 8<.І
18•
18<.>
9'
І80
10'
І SL<
3
125°=_1,___І25 = 25 п: 330°=...Е...ЗЗО = зтт_
18<.>
36•
180
2
1soE.
1soE.
1soE
1solE
1so~
234.
-
1-5 = 12°: _!_О= 18°·
--" = 45°: --
3 = 120°·
-
·-
3 = 300°·
7t
~
7t
,
7t
,
1t
'
1С
,
1sol!!.
1sо·2тс
--
4- =315°: --5
-
=324°.
те
•
те
235. Для радіанної ~1іри куга: / = Rл = 1·6=6 см. Відповідь: 6 см.
236. Сума кутів чотири к:тника дорів нює 180(11 - 2)°, 1 рад == 57°, значить усі
кути чотирикутника н е можуть дорівнювати uілому числу радіан.
237.S=а2.l)S=142=196см2;2)S=2,52=6,15см2;3)S=а2с,,12.
:CJ8.S=а2
.
1)а=6';=3✓2см,S=18см2;2)iJ=6✓2 ';=6СМ,S=36см2;
3)а= 'а✓2=Бсм S=.,.,,:. см2.
~
va2
2
~
2
239. S=аЬ.І)S=І5•5 =75см2;2)S=0,3 •4,2 =1,26с~12.
240. І)а=✓225=15дм;2)а=.J6.76=2,6см;З)а=✓'24 =2✓6м;4)а =J;;см.
2-Н.а=14см,S=210см\тодіЬ=210:14=І5см.Відповідь:15см.
24 2. Ді а гональ прямокуrника розбиває його на два прямокутні трикутника,
значит~, а = l0 tg60°=10✓3 см. Тоді S = 100✓3 c ,,i2. Відповідь: 100 ✓3 см2.
2Н В ведемо коефі цієнт пропорuійності х, тоді Зх • 8х = 96, х = 4.
Відповідь: 12 см і 32 см.
244. Припуст юю, сго ро1-1и пря:vюк)тника дорівнюють а і Ь , то:.~:і а= Ь- 3 . Зв ід
си,Ь(Ь-3)=88,Ь =ІІсм.Відповідь:8смі11см.
245. Л:юща кв;щрата: S = 12 2 = 144 c~i2. З площі прямокугника: а= 144: 13 = 1~см.
в.
.
· 111
ЩПОВІДЬ. ЇЇ СМ.
246. а= Js . R =-j;_ =.J1⁄2 . Відповідь: {s
,п:·.
2·'7d ✓2.,
'
Т•✓2~
.. fi. в·
·
.Ji
➔. =а2-,~=а. од1а;=а-;а=2. 1дпов1дь: 2-
.
248. Згідно ,,~алю нка Sлвсо = а2 . Знайдемо йоrо площу через площі фігур:
s~ІВКР=SFDEP= Ь(а -Ь),SкcFP =Ь2,S,(~'1PE= (а - ь)2·.Звідси,а2= 2Ь(а -Ь)+
+Ь2 +(а -Ь)2: (а-Ь)2 =а2 + Ь2 -2аЬ:. Отже,(а-Ь)2 =а2 + Ь2-2аЬ.
249. Площа пря м окут ника дорівнює добутку його сгорін, отже сгорони uих
прямокугників можуть бут и нерівними. Відповідь: так.
250. S =а2.І)S=(5а)2=25а2,збільшитьсяу25раз;2) S=(~)
2
="9
2
,
змен-
"•
'
•
шиться у 9 разів; 3) S =(,°- )2 = ь~ , зменшиться у а2 разів.
а
а-
93
зменшитьсяу4раз.Р=4ctf=2✓2d, Р1=4· v;d =d✓2 .} =1⁄2-пери
метр квадрата зменшиться у 2 рази.
252. S =аЬ .1)S=4аЬ -збільшитьсяу4рази; 2)S= •; -зменшиться у6разів;
З)S = ;.~ = "l -зменшиться у 9разів; 4)S= За·5Ь=15аЬ -збільшиться у 15
разів; 5) S = }·1⁄2= :~
-
зменшиться у 18 разів; 6) S = аш·Ьп=аЬпш - збіль
шиться у аЬ разів; 7)S= ta·f=fab - зміниться на величину f.
,
253 ~=~=5
.js3•Р4S4.js2в·
•
Pi ✓5
•
S
а2
, al= а. ВІДСИ,
= а, 1= )а . ІдПОВІДь:р =
::, .
254. S =S_1
-
S2,
с2
=а
2
-
Ь2 , де а, Ь і с - сторони квадратів. З отриманого рів-
нян ня : а - гіпотенуза, Ь і с - катети прямокутного трикутника. Отже, треба
побудувати трикутник , де гіпотенуза і один з катетів - сторони даних квад
ратів , інший катет буде стороною шука ного квадрата.
,
255. } = : 1; = 5, а1 =a✓S. Отже квадрат зі стороною a✓S, де а - сторона да-
ного квадрата , буде шуканим.
256. Сторона шуканого квадрата буде дорівнювати .J;J; .
2
257. Площа квадрата : . S = а 2 , площі прямокутників рівні S0 = 2:;---, отже старо -
,
ни одного з прямокутників : а і } , тоді двох інших: 1⁄2і 23
"
.
258. R = .Гz = j =~см, ад=RJз=~✓З=./'3j см. Відповідь: ./'3j см2•
259. S0 = аІ1 а = 14-8=112 см2. Відповідь: 112 см2.
260.а)S=6·З=18;б)S=4 •5 =20;в)S=5 •5=25;г)S=2 •9=18;д)S=5 •5=25;
е)S=З·6=18;ж)S=5 •4=20.Відповідь:.а,гіе,біж;від-рівніпоплощі
261. Висота, опущена не б і льшу сторону до рівнює 11 = 8sin45 =4✓2 см. Звідси,
S = 4✓2· 14 = 56✓2 см2. Відповідь: 56 ✓2 см2.
262. Аналогічно попередній задачі, l1=7✓2siг(l80-135)=7 см. S=7✓2·7=49✓2 см 2.
Відповідь: 49✓2 см2.
263. Найбільша площа буде при найбі льшій висІ)ті, н:~йбільша висота при sіп а= 1,
а= 90 °. Отже, найбільша площа буде у щ,я,:окутника.
26 4. Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді х + 2х = 180, х = 60°. Тоді
l1 = 6sі116О 0=Зсм. S=6·3=18см 2 . Відповідь: 18см 2.
265. Відстань між сторонами парал елограма дорівнює висоті. 11а = ~ = 5
8
6=7см.
Відповідь: 7 см .
266. 118 =~ =~ =8см,Ь =hsь =~ =10см.Відповідь:8смі10см.
267 l)S = 8· 6=48cм 2• h = '!і. = 48 = 48см·2)S=10·6=6Осм 2• 11 =!i.=ffl.=75cм
•
'
аа10
'
'
'
аа8
'
Відповідь: 4,8см або 7,5 см.
94
268. Припустимо, висота паралелограма дорjв н :оє х см, тоді сторона - х + 4 см .
х·(х+4)=45, х =5см.Відповідь:h0 = 5см,а=9см.
269.So =аЬ,So=аЬsіпа; :~ = аь:~nCL=2 ,sіна =1⁄2, а=30° . Відповідь:30°.
270. S 0 = 7·9=63см 2 <64см 2 . Відповідь: ні, не може.
271. Висоти перпендикулярні сторонам, отже кут між сторонами також буде
45°.а=
. h4ь50 = 12✓2 см·, S = 14-12 ✓2 = 168✓2 crvi2. Відповідь: 168 ✓2 см2.
SШ'
-
272. l1a =✓252- 7
2
= 24 см, S = 24 •7 = 168 см2.Відповідь: 168см2.
273. S
1
= 1⁄2= •~• , висота для паралелограма і його частин однакова, отже сто
рона частин : 1⁄2. Аналогічно, для другої сторони. Значить дана пряма про
ходить через середини протилежних сторін паралелограма і uентр симетрії .
274S-1
,
-1-1O-з--17-,.2в·
•·1752
.
-
2ап.-2
,)-
,) см . ІДПОВІДЬ.
,
СМ.
275. 118 = ~s = 2·12 =46см. Sідповідь: 46см.
276. У прямокугному трикутнику катет є висотою проведеною до іншого кате
та. Отже, S=1⁄4·5·11=27,5 см2 . Відповідь: 27,5 см 2.
-
/
.
277.а)S=1⁄2•4·З=6;б)S=1⁄2·6 •2 =6;в)S=1⁄2·4 •5=10;r)S=1⁄2•4·З=6;
д)S=1⁄2•10-2 =lu; .:)S=1⁄2·2 •6=6;ж)S=1⁄2·4 •5 =10.Відповідь:а,б,гіе;в,діж.
278. 1)11. = bsiн60°=6f = 3✓3 см. S=1⁄2·5·3✓3=7,5✓3 см2;
2) 11 8 =bs iп(lSO-135)=3 ✓2 см, S=1⁄2·5·3 ✓2=7,5 ✓2 см 2.
279. Найбіл 1,1 1 ш площа буде у пооди нокому випадку- прямокутному трикутни-
ку,S=1⁄2·5·12=30елі.1)24<30,може;2)30=30,може;З)42>30,неможе.
280. S2 =1⁄2S1, S1=1⁄2·10-4=20см2, S2 =1⁄28112 crvi2. Звідси, 4112 =::щ h2 = 5см.
281. Висота: І1а =✓102- 82 = 6 см. S=1⁄2·16·6=48 см2.
282. Зш1 іідемо площу трикутника та гіп отенузу: а = ✓152 + 82 = 17 см,
S=1⁄2·]5·8=60о/.ЗвіJ,си 113 = ~,s = 2;~0
=7
1\ см. Відповідь: 7 1\ см.
283. S = 1⁄2al1a. 1) S = 1⁄4al1a, зменш11ться у 2 рази; 2) S = 2а11 а, збіп.шиться у 4
рази; З) S=1⁄2Aa·1⁄4l1 3 =1⁄2а!12 ,зменш иться ·у f рази; 4) S= 2.~7 аІ18 , змен-
ш·иться у 27 рази.
284. 1⁄2ACllдc = 1⁄2ВС11вс, вдсс = hhлc =3⁄4-Відповідь : висоти відносяться як f.
вс-
-
285. S =1⁄2al1 a, S =1⁄2bliь, S= 1⁄2cl10 .Toдi {=:: ; ~=::; ~=::
286. Медіана ділить сторону на два р ів н і в ідрізка, тобто у нас утворилося чоти-
95
ри трнкутшнш з рівви r-.ш основами та рівними висота~ш, їх п лоші - рівні.
287. ЛАО В = ЛСОJ), значить ЛВОС = ЛАОD (за і ознакою), тоді ЛАВС =
ЛАСD (за трьощ1 сторо на.\ш), зна ,іить їх куги також рів н і. Отже ВС 11 AD .
288. Бокоuа сторова три кутник а дор івню є 10 см (за умовою). Тоді
І~')')'")-,
І
І
Г,7;
а - -2 - =Ь--8 - ; ь -=а-+60. а -+60=10- , а=2v10см ,
І1а = ,.fп✓ІО)2 - 22 = 6 см.S= 1⁄2·2✓10·6=6.Jїосм2.
. -,-;
-, ,;
,,
.
:
,,
l
,,
289. Ь=ї4 а(заумовою) (ї~ а)--f = 48-; а=28см. S= 2 ·28-48=672cr-.г.
Відповідь: 672 см 2.
290. Припустюю, а - бічна сторона, Ь
-
освова, liь- висота до основи.
l1ь=asi11 1 80;120 =t; Ь=2асоsзо=·=а ✓З , S=1⁄2·f·a ✓3=20✓3 , а 2 =80 ,
а= 4✓5 С,\І, Ь = 4 ✓5.Jз = 4.Jїї см. Відповідь: 4✓5 см, 4/Is см.
291. Гіпотену3а трикутника: Ь =_а_= с1 66 = 8;' см. Тоді. друrий катет дорівнює
-
sшСі '·
.)
,
с = /( 8~1) 2 - 16 2 = 6,4 см. Отже, S = *· 8;' • 6,-1 =284.±9• cr,/. Відповідь: 284.:!.
9
•
см2.
'\J_')
j
-
:J:>
292. По:значимо перший катет - _ х, тоді другий катет - (47-х). Тоді,
(47-х)2+х2=372; х =35 см. ЗвідсиS=1⁄2·35·12=21Осм2. Відповідь: 210см2.
293. АЕ =16см,ЕС=9(заумовою),ЛАВЕіЛВСЕ-подібні. ~~ = ~ ;
в
вс - .2._АВ Т
•. АВ2 (.2._АВ)2 - ?
-
2- АВ
-
4,:ю г:;-::;;;
-16
•
ОДІ
+16
·
--) '
-
337-YJJ/ СЛІ.
вс= .2 ._ . 4(10$ = 225 ~ см S=l- 4((1✓337. 225✓337 = 133179 СМ2
/л
А
ЕС
·
1б 337
337 "\/.:,.:,І
•
2 337
337
3371 •
294. ;~ = ~~, ~ = ~i (властивість бісектриси), АВ = f ВС
з·
nr-2 (4уу-,)2 _ 3
-2 r:,r,_
63
АВ_84
ВІДСИ, п-., + 3.uv
-
) , .uv-5cм,
-
5 СМ.
S={- ~•];=]05~ cr-.i 2. Відповідь: 105,84 см 2.
.;,
.))
_)
295. Центр вписаного кола лежить у точuі перетину бісек-
с
тр11с. ЛАОК = ЛАОМ і ЛСОК = ЛСОЕ і ЛВЕО = ЛВОМ Е~
(·3адругою ознакою ріuності трикутників). (ЕСКО- ква- ~
драт),СК=r=7см,1одіАК=35-ВМ,ВЕ =ВМ.
вм
А
о
,
о-
'5 7 г:;'і
7;7+.fїї)
Отже,(42-ВМ)-+(7+13:VfY=35-, ВМ =~см;АС= -'-
2-- см,
вс= 7(1-.Jїї:, . s- .l. ю+.fїї). 1,:1-.fїїJ =12 2- , 2 в·
.
.122-2
2 . С1'1.
-
2
2
2
, ) СМ . ІдПОВІдЬ.
, ::,СМ.
296. Центр вписаного кола лежить у точuі пер~тину бісекrрис., L АСВ = 30°.
Тоді, L ОАВ = (90 - 30): 2 =30°. У прямокутному трикутнику катет проти
кута 30° вдві чі менший за гіпотенузу , значить АО= 2КО = 8 ✓З с.~ 1. Тоді
АК=✓(8✓3)2-(4✓3)2 = 12 см. АВ =4✓3 +12 =4(✓3 +З)см.Отже,
АС=8(✓3 +3)см. ВС= A~u
-
= 16(✓3+І)см;
'
CQS.)
96
S=1⁄24(✓З+3)·16(✓3 +1)=64(3+2✓3)см2.
297. L АВС= 120°,АК. = ✓102 +22 -2·2· 10cosl20°=2 ✓31 см .
КМ= ✓82 +42 - 2·8-4·cos60 = 6 см, АМ= ✓102 +62 - 2·6 · 10cosl20 =14 см.
Проведемо висоту КР, АР= х, МР.= АМ- х. (2.Jзі)2 -х2 =62-(14 -х)2;
х= ~1 см. Тоді КР =.Jс2.fїї)2-(lf-)2 =f✓llS см, S= 1⁄2· 3~• 14=3 .Jїїs см2.
298. Знайдемо площу прямокугника, описаного навколо даного трикутни ка і
віднімемо площі зайвих трикугників. Sл = 7·3 -1⁄2·2 ·2 - 1⁄2· 7- 1-1⁄2· З·5=8.
Відповідь: 8.
299. Позначимо сторону квадрата через х, Sлвс = 1⁄2· 12 · 16=96 см2,
АС = ✓162 +122 =20 см, 1\л.с =9,6см. х2 = 96-1⁄2(9,6-x)x-1⁄2(20-- ~- AN)x -1⁄2 xAN,
х = ;~0 см. Звідси, SwEF = 23і 2 = 42 /3°;9 с.м2 . Відповідь: 42 !3°J9 см 2•
300. Введе мо коефіцієнт пропорційності х, тоді АК = 2х, КС = 5х (за умовою).
Sлв с = SАВК + Sвск, висоти усіх трьох трикугників
в
А~"\, С
опу ще ні з вершини В рівні, основи відносяться як 2 : 5,
отже їхні площі трикугників АВК і ВСК також
КЕ
відносяться як2: 5. Sвск +fSвск = 42, Sвск =30 см2 Sлвк = 12 см2.
Відповідь : 12 см 2, 30 см 2.
301. Б і сектриса кута С ділить ЛАВС на ЛАВЕ і ЛАЕС. У цих три кутників висо-
s
lвЕ·СЕ
та СН, опущена на сторону АВ, є спільною. sВСЕ = -:- -= ~ . За
АЕС 2АЕ•СЕ
властив і стю бісектриси трикутника: ~~ = ~='її). Відповідь : 7: 10.
302. l1лк = ЗKDsinLAKC , І~кв = KDsiпLВKD , LАКС=LВКD(вертикальні
S.
1⁄4AK ·ЗKDsinLAКC ,
куги). лек = •
= 2._
Відпо відь: 3 : 2.
Sкво 1⁄2·2AК-КDsinLAКC 2
303. 11.л.в = 12siпLCAB , l1лм = ЗsіпLСАВ . SАВС =1⁄2Ю 12sіпLСАВ=60sін LСАВ,
Sлмк =1⁄26· 3sілLСАВ = 9sіпLСАВ. ~:~ · = ios~ ~n~~~ = }0 . Відповідь: 3: 20.
304. Позначи.мо сторони паралелограма через хі у. Тоді, АЕ= 4у, ВЕ = у, АК= 2х,
KD = 5х .. l1AD = 5ysiпLDAB , l1лк = 4 ysiпLDAB. Sлю=1⁄27х·5уsіпLDАВ,
s
1⁄47x ·5ysinLDAВ
SАЕК =f2x-4ysiнLDAВ. Тоді лво =~ · - -- - -
-
SАЕк 1⁄22x ·4ysinLDAВ
35
8'
S
35s •354-17-
2в·
•
11s 2
АВО=s АЕК=8 • -
,) СМ . ІДПОВІДЬ:
,
см.
305. Висоти новоугворених трикугників, проведени х з вершини, чеr 1 яку прохо
дить пряма, рівні. Значить площі угворених трикутників будуть I дносит<1сь
так, як і їхні основи . l) поділити основу у відношенні 4;1; 2) поділити 3:4.
97
306. 55лвЕ =-
4
1 (за умовою), нехай ВК = 11. Sд.вЕ =1⁄4AE·l1,
BCDE
'
-
SвоЕ =1⁄2ED·l1, Sвсо =1⁄2(AE+ED)l1.
307. Треба побудувати трикутник з бічною стороною рівною стороні даного
трикутника і висотою до цієї бі'!ної сторони, яка дорівнює ,Гз висоти про-
веденої до даної сторони даного трикутника.
308. Ромб розбивається кожною діаmнаЛЛJо на два рівних рівнобедр ених трикут-
1-шка, зна'!ИТЬ sjX>Mбa = 2 s,,, . spo'16a = 2·1⁄2·6·7 = 64 с~? Відповідь: 42 см2.
309. Позначимо меншу діагональ ромба - х, тоді більша
-
х + 8 (за умовою).
(і)2+(}+4)2 = 202; х =24см. S=2Sл =2·1⁄2·24· 24;8 =384см2.
Від повідь: 384 см 2.
31 0. f3 13едемо коефіцієнт пропорційності х. ( 1 ;х/ +<3;") 2 = 742; х = 8 Знайде-
щ> діагоналі ромба с = 12·8=96 см, d = 280 см. S=2Sл =2·1⁄2 · 96· 2~O =13440см2 .
В і,~ повідь: 13440 см 2.
311 . Даний перпендикуляр є висотою прямокутного трикутника на гіпотенузу.
Тоді а2 -162 = Ь2 -252, а2 = Ь2 -369,де а і Ь - половини діагоналей ром-
ба._Ь2+Ь2-369 =412, Ь =5дlсм,а=4Д!см.
S ;, 4Sд = 4·1⁄2 ·5дl-4дl = 1640 см2. Відповідь: 1640 см.
312.LАОВ=30°, значитьLВОС=150°, LАСВ=15°.
AB=BCtgl5°, Sлвсо =AB2 tgl5°, АВ=2 ✓10+5 ✓
3 см,
вс =2✓5(2- ✓3) см.
313. LBCK _= LМCD = 90; 60 = 15°. ВС= CKcosl5°=0,97 см.
S =а 2 =0,93 см 2. Відповідь: 0,93 см 2.
ВЕс
f§<JD
314. Побудуємо в и соту до більшої сторони , од ин з відрі з ків , на які висотаді
тпь сторону, позначимо х,тоді інший- 8 - х. 72 -(8- х)2 =32 -х2;
х= 1,5 см. Тоді висота буде 11=✓32-(1,?)2 = І,sfз см. S=1⁄2·8· 1,5✓3 = 6J3см2.
Відповідь: 6✓3 м2.
315. Третя сторона : f = ~i , а= 15 см (властивість бісекгрнси). Побудуємо
висоту з тієї ж вершини , що і бісекrрис у . Аналогічно попередній зада'Іі,
252- (16+х)2=152- х2; х=4,5см.Висота: 11=✓152-4,52 =1⁄2./9їсм. ·
S =1⁄2· 16·1⁄2 ✓9Ї = 12./9Ї. см2. Відповідь: 12.J9Ї см2•
98
316. Висота трикутника побудована до найменшої сторони є найбільшою. Ана
логічно 'Задачі No314, 15 2 - (13- х)2 = 14 2 -х2; х = Jj см. Тоді висота буде
11 = ✓142 -(Jj)2 = \~8 = 12 :~см . Відповідь: 12 :; см.
317. Кола попарно дотикаються, отже сторони трикутшн<а дор івнюватимуrь
1,5 crv1, 3,5 см і 4 см . Далі рішення аналогічне задачі No316. S =f.Ji см2.
318. Висоти, опущені 3 точки О, усіх цих трикутників рівні (радіуси). Тоді
р=ІЗ+І;+15= 21 см, (р - півпериметр), r = ✓(р-а)(р~ЬХр-с) = 4 см.
Si =1⁄2·13-4=26см2, S2 =1⁄2·14-4=28см2, S3 = 1⁄2·t5·4=30crvi2.
Відповідь: 26 см2, 28 см 2, 30 см 2.
319. S =10; 14 ·5 =60 см2. Відповідь: 60 см2.
320. Позначимо основу 'tерез х, тоді 1 2;х ·7 =98; х = 16 см. Відповідь: 16 см.
321. Позначимо меншу основу трапеції через х, тоді більша -4х. х+24х 5 = 50,
х = 4 см. Відповідь: основи трапеції дорівнюють 7 см і 16 см.
322. 11 = 6sіп45°~3✓2 см. Тоді S= 1; 9•3✓2 =24✓2 cl\-r2.Відповідь: 24✓2 см2.
323. а) Висота трапеції до рівню є АВsіп30°=6см, б і лдьша основа-
АD=7+ .Jf·12 +.J102 -62 =15+6✓3 см. S= 7+15;б✓З·6 =66 +18✓3 см2;
б)СD = АВsіп45°=4см, AD=3+4✓2cos45°=7cм. S= 3 ; 7 -4=20 o i2.
Відповідь: а) 66+ 18✓3 см2; б) 20см2. •
32-1. Тр ап •: ція рівнобічна, от-ме АЕ= AD/C = 5 см. Тоді
ВЕ =✓372 -52 =s,Jiї см. S =30;40 -s,Jiї =280,Jії см2.
Відповідь: 280.Jїї см2.
325. (Мал. зад. No324). L АВЕ = 90 - 60 = 30°, значитьАЕ = 1⁄2АВ= 5 0 1,
ВЕ =АВсоs30°=5✓3 см. Трапеція рівнобічна, отжеАD=ВС+2АЕ = 17 0 1.
S= 10;11 .5✓3 = 1~5 ✓3 cl\i2. Відповідь: 67,5✓3 см2.
326. Трапеція рівнобічна, отже АЕ = AD;BD ~ 4 см. З ЛАВD:
BD2 =202-АВ2; зЛАВЕіЛВDЕ:АВ2-42 =BD2-162;
ТодіАВ2-42 =202-АВ2-162,АВ =4✓5см.ВЕ =бсм.
S = 12; 20 -6=72 см2. Відповідь: 72 см2.
ll~
АЕ
О
327 ВС 5·
.
.
АВ_AD ВС_CD
•
ВС_АВ
.
-
1секгриса, значшь вк - DK , вк - DK, звщси со - АО,
АВ= ✓4-10 =2.Jlo см. АЕ = 10; 4 =3crv1, ВЕ= ✓АВ2 -АЕ 2 =,/її см.
99
S = 4 ; 10 -.Jїї = 7.Jїї см 2. Відповідь: 7.Jїї. см2.
.
328. Більша основа дорівнює 12 + б = 18 см. ЛАВD - рівнобед-
рений і прямокутний (АС - бісекrриса), значить АВ =ВС= 12 см.
S = і 2; 18 •12 =180 см2. Відповідь: 180 см2.
329. LBCD= 135°,значить LADC=45°.CD= с4Е50 =10✓2_ см,
sш
ED = CD = І 0✓2 см, тоді менша основа - ВС= 24-10✓2 см.
S 24-1°[2+24 ·10✓2=240✓2 -lООсм. Відповідь: 240✓2-lООсм.
330. ED = ✓172 - 82 := 15 см. Введемо коефіцієнт пропорційності
х, тоді 5х-2х=15, х=5см. Отже, ВС= 10 см, AD = 25 см.
S = 10; 25 -8=140 см2. Відповідь: 140 см2.
331. Трапеuія рівнобічна, значить ED дорівнює середній лінії трапеuії, отже
ЛВСК і ЛАКD - рівнобедрені , значить L КВС = L KAD = 30°; ~
L EBD=90-30 =60°, тодіED=ВЕtg60°=21см.
к
S =1⁄221·7✓3=73,5✓3 см2 . Відповідь: 73,5✓3 см 2•
332. Трапеція рівнобічна, значить ED дорівнює середній лінії
трапеції, отже ЛВСК і ЛАКD - рівнобедрені, значить
LКВС=L КАD=45°; L EBD=90 -45=45°, тодіЕD =
= ВЕ = lОсм. S=1⁄2l0 2 =50cм 2. Відповідь: 50см 2.
333. АЕ+ KD = 18-8 = 10 см,КD = 10-АЕ. ВЕ=СК,
ВЕ = AEto3Q 0 СК= КDtоб0° АЕ =(10-АЕ' 'з АЕ = 7 5см
t,
,
о '✓З
}\J.J ,
,
•
ВЕ = 7}з = 2,5✓3 см. S = s;is 2,5✓3 = 32,5✓3 см2.
Відповідь: 32,5✓3 см2.
АЕ
D
~
АЕ
D
вс
/П
АЕКD
334. Позначимо меншу основу трапеції через х. Тоді x+;+s ·б= 108; х = 14 см,
більша основа: 14 + 8 = 22 см. Відповідь: 14 см і 22 см.
335.Припустимо,АВ =28см,ВС=8см,CD=26см,AD=22 см.
вс
KD= 14-АЕ, 282 -АЕ2 =262 -(14 - АЕ) 2 ; АЕ = 1;см.Звід-
си,ВЕ=✓282-(776)2 =t~см. S= 1; 0 -Jsw см2.-
/П
АЕКD
336. Центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис кутів трапеції, отже
ЛАРО=ЛАОМ,ЛРВО=ЛВЕО,ЛЕОС =ЛСОК,ЛКОD =ЛОDМ В Е с
(задругою ознакою), тодіВС=2ВР=18см,АD=2АР= 32см, ~
АК= 32-18 =7см ВК =✓252 -72 =24см
~
2
•
'
А КМН [..,
S = 9+16 ·24=300 см2. Відповідь: 300 см2.
2
100
337. (мал. до задачі No336) L DАВ = 45°, тоді АК= ВК, ОМ= ВК : 2,
вс= 2 вк to22 5°=ВК( '2 -1)
ВЕС
2о'
'\JL,
'
~
AD = BK(✓2 -1 )+2BK=BK(✓2+1). Тоді
~
ВК(✓2-І~ВК(✓2+І )ВК=50✓2, ВК2 =50, ВК=.ЕіJсм .
АКМНD
Відповідь: Fo см 2.
338. АК= 2ВС- HD (за умовою), через висоту знайдемо АК.
262 -АК 2 = 30 2 -(28-АК)2 ; АК =10см, І-Ю =18см.
26-ВЕ=ВЕ+10,ВЕ =8см;ЗО-ЕС=ЕС+18,ЕС=6см.
ТодіВС=8+6=14см,AD=18+10+14=42см;
А
АКМНD
ВК==✓262 -102 = 24 см. S = 14; 42 ·24 =672 см2. Відповідь: 672см2.
339.АЕ =Зсм,ED=12см(заумовою),тодіЕК=2АЕ =6см
(АЕ - радіус, КЕ
-
діаметр).PD=ED =12см.ЛОКСіЛЕОD-
подібні (за гострим К)'ТОм) звщ·си кс = ко КС = 3•3 = 1. см
'
.ОЕ ED'
124•
_
3_3
_
33⁄4+ІS. _ І
2•
•
.
12
ВС- З+ 4-34см,. S--2
-
6=56 4 см . Вшповшь. 56 4 см.
тАЕМD
340. LAEB = 1⁄2LOEC = 30°, ВЕ = 2ВК = 8 см. Площа трапеції дор івню є добуrку
півсуми основ на висоту, вс;АЕ = КЕ . КЕ=81 =іfз см.
S =4 ✓3·4=16 ✓3 см 2. Відповідь: 16✓3 см2.
341. Площа чагирикугника дорівнює половині добутку між його діагоналями на си
нус кута між ними cdsiпa = cd, sіпа = 1, а = 90°. Діагоналі перпендикулярні.
342. Знайдемо площі фігур з яких складається шестикугник. ЛDFB = ЛАВС (за
перu:ою ознакою) S.л.вDк =ScвFN = а 2; Sлвс = SвDF = 1⁄2а 2.
SAКDFNC = 2SAВDK + 2S.л.вс = За 2 . Відповідь: 3а 2 см 2•
'
Г,; 2
•
343. S == f vЗа , де а - сторона шестикутшіка. Позначимо меншу діагональ
-
с.
Виразимо сторону шестикутника через діагональ с: •
а-с
-
с✓З.Тоді S- 3✓3(°.Jз)2- ✓3с .
2cos30°
З
2
З
2
•
344. а = 2f:: = 2.J}r , S =3⁄4✓За2= '2✓3r2=3'2✓3см2.Відповідь:
" '1/j
.)
....
32✓3 см2.
34' · S= -41 г;За2л., S-a2. S-з r;a2
1⁄4.Jза2д 1· .':.f).__ 1_4 r;-
.
..,
.
'\J _j
u
-
О, -2v'_ j, шест·
-
2--=,
-
, -.J _j,,
аO
ао~
101
fJзa2 шест"
І; ___!:J]_= ✓2m
ашест
2
346. Правильний шестикуrш1 к под іля ється трьома більшими діагоналями на
шість рівносторонніх тр и кутників зі стороною а= 3 см (за умовою). Тоді,
площа трьох новоуrворених трикуrників 3S 6 = 1⁄2 Sшест Звідси,
S-І5S
_
ззг.;2_81г:; 2в·. ..s1г:::3 z
-
,
шест. - 2 ··г.J.53 - 4
"\/ 5 СМ. ІДПОВІДЬ. 4 v.:, СМ .
А
347. Rд =rшест·Тоді, r = ~ см, а= 1:;✓Зr =.fсм.S=22° ✓З(У = 3?✓3см2.
vj
.,
.)
.)
.)
Відповідь: 3; ✓3 см2.
348. В опуклому чотирикуrнику добуток площ навхрест лежачих трикутників,
утворених діагоналями ч.отирикутника, рівний. Sдмв • Sомс = Sвмс • Sдмо,
тоді Sвмс = 4·~ 2 = f см2. Відповідь: 51⁄2см2.
349. р = 1+24 ; 20 + 15 33 см . Площа '!Отирикутник а, навколо якого можна опи
сати коло, знаходиться за формулою: S = .J(p - а)(р - Ь )(р - с)(р -d) .
S = .j(33- 7)(33 - 24)(33- 20)(33-15) = 234 см 2. Відповідь: 234 см 2.
350. S(F') =k2S(F")· k =1.-
S(F'J = (1.) 2 = .± Відповідь· .:!.
'
З' S(F") З
9•
•9•
351. Позна'!имо діагональ одного квадрата 'Іере з а, діагональ другого - 2а. Тоді
a..fi 2
ь- . 450-•✓2 ь·- г:::2
s(F) - <тJ
-
1в·
..i
~аsш --? -,
-
avL. S(F') -
~
---
ІДПОВІДЬ.-4.
-
(av2)- 4
352. Середня лінія ділить сторону та висоту трикутник а навпіл і дорівнює по-
.
S(д)_; 1⁄2ah 2_
.
.
.
·
.
ЛОВИНl основи. S(д') -( l.l• .lh) -16. Вшповшь . 16. 1.
.
222
S'
2?
'
?
9
?5
'
2
353. S":: = k ; k- =(f)- = 25 , S"шест= 9 ·72 =200 СJ\С Відповідь: 200см.
-
,,
о?9
s ?,80222?
2
3::,4. ~ =k=i; k- =
25 ; І) дана площа меншого многокутника " =
9·=
9см ;.
2) дана площа більшого многокутника S" = ls ·80=283⁄4 см 2 .
Відповідь: 2223⁄4см 2 або 28f см 2.
355. Пряма паралельна основі трикутника по д іля є йо го на трикутник і тра п е
uіюfплощіякихвідносятьсяяк І :4.S'л =1⁄2аl1д; S6 = S'6 +4S'6 = 5S'д ,11-
висота даного трикутника, 11 = 11 -тр + 11,; . Трикуr ники подібні , ·3 1шчить їх
відповідні лінійні розміри відносятг,ся однаково. :.: = k2 = 5; k = ✓5.
значить Р = P'✓S = 20✓5 см. Відповідь: 20✓5 см.
102
356. Рішення аналогі•ше попередній задачі. Sєлк = 1- k = l
Srлм 9'
з·
А
є/\к
ВС= 2РМ , li crJІ,iв = !~Авс -І1rлм = І1rАМ· Sсrмв =1⁄2 РМ·І1рлм ·
SE-'\h :Sra.1vi :Sсрмв = І: 8. 27. Відповідь: 1 : 8 : 27.
357. ЛМ =МС, ВО - висота, спільна для ЛАВМ і ЛВСМ, отже
SАвм =Sвсм. Sl(EBC =fSAE f:; (за умовою), зв ідси
S -12S
S -lS
-
б S Т·од·1
.-\ВС-5 ЛЕК• АВМ -2 Л!3С-5.\ЕК·
k = Jf. ~~ = Jf; ЕК= Jзо .Відпові,11,: .Jзо см.
Yl
L:JJ.j~
АКМОС
3-g
, -.,rn· лNМС
·-
·с
)смзk(
)
:, . Л1-uvUJ 1 и.
·-
подюНІ за трьома кута~ш , A,v! = 8
=•
за у1,ю вою .
1~
• k.2
_..2_ Sm1c -..2.. s
_64_1
,.,=256 2 в·
-
.
8-1
_2
ОДІ
-
•,,S
-
,,,•_д.]І,П)-9
-
,
С"! . ІДПОВІдЬ.
:)JСМ•
'-'"'
A1'- !D
'-'"'
о
359. (мал. до задачі N~357). sS.чк = 1⁄4, k = 1⁄4. Отже, проведемо пряму пара л е-
лвм
-
льну мед і ані через точку Е , яка ділить сторону АВ навпіл.
360. р= l(н-!;+24 = 25,5 см, s.<\ВС = ✓25; 5(25,5-10Х25,5-17Х25,5-24) = 12, 75..fзї см 2.
~т:;=3⁄4; Sвкм = 4~ - 1 2,75JзЇ =~~JзЇсм2• Sмм:;=Sлвс-Sвкм=т-:-Гзїсм2•
Відповідь: 2;;6
5 .Jїї см2.
7
2
-
7
,.
2
7?
2
361. 1)S=т- =9ттсм ;2)S=тт·(і->-=-;см;3)S=тт(✓т/ =49см.
362. r = fI = fii"' 2.3 см. Відповідь: 2,3 см.
•{і 'І/тт •
364. r = _J_ =!Ол:=5см S= лт2 =25тт см2 Відповідь: 25тт см2.
21t
27t
•
•
?
365. r1= ~ =~см, r2= flсм.-1
11 = 11:,Д_: = -'-ь'. Відповідь: -ь• .
V~ 'І/і
'І/і 2
~-
11: -
•
..
Jt
366. S =1⁄2a· fа;а=✓4·j,3=4 см (а-сторонатрикутника). r = 2.$ = 2f см,
S_2
_
4
2в·
.
.4
2
'о-ттr
-
зтт см . ІдПОВІдЬ. з тт см
.
S_R
__
11:(J/ __ 4
367. Для правильного трикутника: R = ....L r = -" - .
Тоді -
.Jз' 2.Jз
s,
11:(.....L )2 •
2 -./з
103
368. S = n(R2 - r2) = 1t(49 - 9) = 4O7t см2. Відповідь: 2Oп см2.
2
2
'
2
2
369 І)S = .!E!'La = 2E±.._ - 4O=.!Qпсм2·2) S=2Е±.._.ІОО= 40псм2• 3)S = 2Е±.._.300= 40 псм2
•
360
360
9
'
360
9
'
360
3
•
о
о
7<R2
2
о
370. S
= nR 2 І) S=1rR- · 15=1tR-.
i=--11 . . ..= _L- 2) S=1'1L·ІIO= 111tR- .
О
•
360
24 ' S() 1tR2 24'
360
36'
111<R2
.,
2
21<R2
s= 36 =11.3)s=1tR- ·240-21tR. s = з
=2
So
1tR 2 36'
360
3'So
1tR2 3.
7<R2
371 5- 9 • 360CL=..2_.
а= 290 ·36O=162°.Відповідь:162°.
•So-20'1tR220'
372. S = ~~~ а; R =p~~s = ✓3~~~0=~ =~ "'11,3см. Відповідь: 11,3см.
1tR 2
1
І·
г;:; 2 1tІО2
-
г;::
Z
373. S= 360 а±Sд. l)Sд = 2 al1a = 2 a·a·sin45°=25v2 см , S= 360 45-2)v2 "'3,9 см ;
2) S = l..ІO2·sinl2O°=25✓3 см2 S = 1rio2120-?5✓3 = 25C31t- 2
. ./rJ "'61 4 см2•
д2
'
360
-
2
'
'
3) Sд =1⁄2· ІO2·sin(36O-24O)0=25✓3 см2, S = ~1i: 240+ 25 ✓3"' 252, 7 см2.
374 1)11 =_а_=-8
-
=4✓
3см· R2=64 см2 S= 641t·6O- 1.-8·4✓3"'5 8см2•
•
д 2tg°'
2-.L
'
•
360
2
•
'
2
./з
2) l1д=2
;J; = 4(1+ ✓2)см; R2 =32(2+✓2) см. S= 1t3;:12)225+{8·4(1+✓2)"'253см2
2
-
375. я"кщо об'єднання uих секторів утворює половину кола.
376. а) Sлвсо =42
=16см2,BD=4✓2см, r=tg2;f,50=4-2✓2см.S~ =rtr2=
=щ4-2✓2)2 =1l(24-16✓2)см2, sg = та..2.;J-/ 90 = 2nсм2 . S=16-26n+16n✓2 "'5,2см2;
S _✓32_
r::;3
2SA_1tR2 _1t2260_2
2 nn_1tl29()_1 2
б). Авс -4 4 - 4 v-'CM. о - 360а-360 - 3:Л:СМ,~0-360 -4:n:см ,
,С 1tІ2 І
2 •Г::. 13
·-
•2.
.
-
~\, =
30060=6:n:см. S=4-v3-i2:n:"'3,:,cм, в) сторони 60 10 20 3. 0 10 2 - 5 см,
0 20 3 = З см і 0 10 3 = 4 см, знач.ить 60р203 - прямокуrний. Sд =1⁄2З-4=6 с~?.
siпLO = 2 L0 ,,,37° L0,=9O-37=53° s01 =1tR 2 a = 1t32 37 = 37 :n:cм2
І5'
І
'
о
•
О 360
360
40
•
s02 ==п2253==11:п:см2 s02 =1tІ290=1::п; s=6 - 127:п:"'о 46см2
О 360
90
'
О 360
4
72
'
•
37,7. р = 2о+з24+4Z 48 см, Sд = ✓48(48-20)(48-34)(48-42) =336см 2,
r~....&_ = ~ = 7см R = аЬс = ZО·3Ф42 = .§2.см Відповідь · 7см 2125см
. ,, . а+Ь+<: 21,}+34+42
•
4S11 4-336 4 •
•
'
'
•
378, 41 ·= -J3⁄4 = ~ = 4 см, діаметр даного кола дорівнює висоті трапеuїї. ':'оді
сторона трапеuії: а sir(І~ІSO) 16см, менша основа b=2rtg 1 ~ю;1 50 =8(✓2-· l)см ,
104
більша d = 2acos_30°+8( ✓2-1 )=8(2../з + ✓2 -1) см.
S _sc.fi-i)+sc2..Гз+.fi-1 Jg-64( r::::з r::::2 1) 2 в·
•
·
64( г:;3+ r:::2 1) 2
-
.
2
-
..Jj +vl. -
см . ІдПО ВІДЬ.
vJ v.L. -
см.
379. Припустимо, а - дана хорда, Ij = {sін 62°= {; r2 = 1⁄2si11 9~1 = "[ . Звідси,
( а-,
S1- л:4І
-
1в·
.
.1.2
S - ----:rг- - с,- ІДПОВІДЬ.
•
•
2 л:("/)2 -
380.R=Ji_=f✓
2 см,г=1⁄2=fсм.S= тr((f✓2)2-ф2)= 2} ттсм2.
381. Побудуємо трикутник симетричний даному відносно йо го
більшої сторони, от рима ємо шJра лелограм. Знайдемо висоту
паралслогращ1, 102 -АК2 = 172 -(21-АК)2, АК =6см;
Ж=✓lrі-62 =8см. r=4см. S = 1⁄2тr4 2 = 8тr см2. Відповідь: 8ттсм2.
Jf\,v c
~
АКЕ
382. S0 = 52тт = 25тт с~12• ЛАВО - рівност~р~нній (АО= ВО = r, Jr~
L ОАВ = 60°). Тоді ВК =АВsін60°=)fсм,ВС=5смі ;:,/
~І~::
-
ко
,_
АЕ=10 cr-.:1. Sгр = 5~10
-
5{' = 7}../з см2. S= :'../з-25тrz440,5 см2.
Відповідь: 440,5 см 2.
383. Побудуємо вписа ний шестикутник на даній хорді. Шестикут
ник правильний, зна чит ь L АОВ = 360 -60 = 300° (централь -
ний кут). 11 = г ·sіп60 °=6../з см, S6 =1⁄2· 12·6../з =36../з .см 2 .
S= ~1
6
2r2 300 + 36../з = 1201[ + 36../з "'439 c~i2: Відповідь: 439 см 2.
о)
384. L Л"\1В - вписан ий, відповідний йому центральний дорів
нює360- 120 =240°, значить L A.t\tlВ =240:2 = 120°. Тоді
ЛАВС = ЛАМВ, МС - діаметр вписаного кола. Звідси,
~
д;,;,-В
М:::=d=2АСsіп30с=4см, S = тт2 2 = 4n::см2 . Відповідь: 4ттсм 2.
385. Припустимо, АВ і СЕ - дані хорди. ЛАВС
-
рівн осторо нній,
значить МТ - висота , медіана і бісектриса, ОМ= R = 6 см,
ОТ = 1⁄2ОМ= З см. Сторона трикуrника: АВ = R../з = 6../з см .
Сторона квадрата: СЕ= R✓2 = 6✓2 см. SO = тт62 = 36n см2,
с
s ."' -8 = ;:~1240+1⁄23-6../з=24тт+9✓3 см2,Sсв = ;:~ 90- 1⁄26✓2· 3✓2 =9тт-18см2•
S = S0 -Sлв -Sсв = 36n-(24n+ 9_/3) - (9тr- 18) = Зп + 18-9../з = 11;85 с~/ .
Відповідь: 11,85 см 2.
386. Безліч.
387. Одну. Одра:зу дві прямі, що перетинаються, лежать в одній площині"
388. 1) Так; 2) ні, вони можуть бути мимобіжними .
389. Ні. Дві пря1,1і пер1:.'Тинаються тільки коли лежать в одній площині. В на
шому випадку це не так.
390. 1)Так;2)ні.
105
391. Прямі а і с можуть лежати в різних nлощинах, nри uьому умова задачі не
виконується. Відповідь: ні.
392. Безліч. Всі nрямі, які лежать на nеретині nлощини а і nлощин, які nро-
ходять через пряму а.
393. Ні. Вони можуть перетинатись і водночас бути паралельними площині а .
394. Ні . Площини, nаралельні даним nрямим можуть nеретинатись.
395. Так.
396. Ні. Дві площини, як і перпендикулярні до даної, можуть перетинатись.
397. 1) А1А, С1С, D1D; 2)ВС, AD, A1D1, В1С1; З)АВ,ВС, А1В1,В1С1;4)A1D1,
А1А, D1D, AD; 5)А1В1,C1D1, АВ,CD; 6)AA1D1, ВВ1С1;А1В1С1;АВС .
398. S = р'/+2S0сн = (6+6+6+6)·6 +2 ·(6+6)=168 см 2, V=S'/=6·6 ·6=216 см3 .
399. sбічн =(6+8+6+8)-10=28Осм2,S=280+2· 10-6=400 см 2, V= 10·6·8=480 см 3 .
400. Знайдемо висоту ромба, 11 = 4sіп30°=2 см . Sбічн = (4 +4 +4 + 4)·9=144 см 2
Sосн_=4-2 =8см2, S=144+16=160см 2 . V=8·9=72см 3 .
401 . sбі•ІН = (6·2)·9=108 см2, sш = 1⁄2.fi-2
2
=6✓
3 см2, V= 6✓з·9=54✓3 см3.
402. Припустимо, висота опущена на більшу сторону трикутника розбиває її на
відрізки х і 15 - х. Тоді 142 -(16-,:)2_= 132 -х2; х = 6,6 см, 11= ✓132-6,62 =11,2см.
s,,., = 1⁄2· 15· 11,2=84 c1vi2, V= 84·6=504 c1vi3. sбічн. = (13 + 14 +15)·6=252 c1vt2.
Відповідь: 252 см 2 і 504 см 3.
403. Бічна сторонатрапеції : а= ~ s-:;i00 = 4 см, 11 = 4sіп 60° = 2.fi см, Sтpan =
~SШ.:>
'
•
= 4;,8 ·2✓3=12✓3 c1vi2. Sтpan = S=(4+4+4+8)-lo+2·12✓3=200+24✓3 см2 .
V= 12 ✓3· 10=120.fi см3 . Відповідь: (200+ 24 ✓3) см 2 і 120✓3 см 3.
404. 1) АВСDЕ; 2) S; З)АS, BS, CS, DS; ES; 4)ASB, BSC, CSD, DSE, ASE.
405. Усі грані піраміди рівні , значить апофема пірамі,ци дорівнює висоті основи
а =2cos60°= ✓3 см.Sбічн =1⁄2·З-2 ·✓3 . 3✓3 см2 ,Sосн =1⁄2·2·✓3 = ✓3 см2,
S =3✓3 + .fi=4.fi см2. Відповід~.,: 4✓3 см2.
406. ЛАSВ = ЛВSС = ЛCSD = ЛASD (за першою ознакою рівності трикутників),
значить пірамі да правильна. Тоді, АВ = ВС= CD = AD = а= 8 см (бокові
грані - рівносторонні трикутники); апофема а =8sіп60°=4✓3 см. Sо;н =64см2,
S = 1⁄2-4 ·8·4 ✓з+64 = 64(1+ ✓3) см2 Відповідь: 64(1+ ✓З) см2
407. Гр ані і кути при вершині піраміди рівні, значить піраміда правильна. Тоді,
апофема а =8cos 3~
0
"'7,7 см, сторона основи АВ = 2·8sіп 3~
0
"'4,1 см.
Sбічн. = 1⁄2·5·4,1·7,7 "'79 см 2 . Відповідь: 79 см 2•
408. V = 1⁄2· .JJ62·6=18✓3 см3•
409. Sосн. = 3f 32 • = 2} ✓З см2; V=1⁄2 · 2} .fi-6 =27.fi см3. Відповідь: 27✓3 см3.
106
410. Знайдемо в исоту трикутника в основі п іраміди h = BCtg( 180; 120 ) = 4'[3 см.
.S
= l.g. 4✓3 =1.§_. fi см2 V= l . Jб✓З ·9=16.fi см3 Відповідь· 16✓3 см3.
осн.
2
3
3.
'
ЗЗ
•
•
411. 1)001;2)ММ1,КК1; З)ОВ; 4)O1А.
412. S = 2л·8· 1 0+л·82=224л см2, V = л·82·10=640лсм3.
Відповідь: 224тrсм 2 і 640тrсм 3.
413. r = 2см(заумовою). S = 2л·2· 14+л·22=60лсм2, V = л22·14=56лсм3.
Відповідь: 60 тrсм 2 і 56 тrсм 3.
414. 1) SO; 2) MS; З) ОМ.
415. S = л· 1 0·26+л· 102=360тrс~2; 11 = ✓262 - 102 = 24 см. V =~-л- 102·24=800ттсм3.
.
,.
416. r = 1⁄2=4см, І=11= cos~50 =4✓2 см, S=л·4·4✓2+л-42=16ТТ(✓2 +1)см2;
V = ';;л-4 2·4✓2=З2✓2тrсм3.
,
419. S =4л·52 = lООл см2; V=-=!сл-53 = 5?0л c~i3 . Відповідь: 100 тrсм2 і 1662.3
-
ттсм3.
,
.
,
!mЗ
•
420 l........1._ = 8 .:L=2 ~=41t(2г)- =4
• !т-3
'
r
•S
4щ-2
'•
3
Відповідь: радіус треба збільшити у 2 рази, площа збільшиться у 4 рази.
ДЛЯ НОТАТКІВ
107
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ТЕ М АТ ИЧ НОГО
ОЦППОВАННЯЗНАНЬ
Варіант 1.
Тематичне оцінювання No1.
] АВ =____ш;:_ = АС •АС =-48·6 =12см, В1С1= .±810=5см.
• --'ч В1
В1С 1 А1С1'
2. LAJЗC
-
в писаний, LAOC - відповідний йому центральний.
ТОІlі LАВС = LAOC =146 =730
~А
-
2
2
•
с
З.Знайде~юкоефіцієнтподібності:Р=4+7+8=19см, k=f, = іl=3.Тоді
а'=ak =4·3=12см, Ь'=7·3=21см, с'=8·3=24см.
4. ЛАВО і ЛВСО - подібні (за двома кутами), тоді ~~ = ~~;
АО=-4 -· АО 2 +6АО-16=0· АО=?см ОС=2+6=8см
4
АО+б '
'
.. ..
J'
'
АС= lОсм. АВ=✓42+22 =4.Js см, ВС = ✓82;42 =4.Js см.
5.ОВ =5c1v1,АО=СО=9см,МС-АМ =1, (заумовою).Тоді
МС=І+АМ, АС=1+2АМ, АВ =1⁄2+ АМ, ВМ =1⁄2 см.Звід-
си, ОВ=✓52 -ф2 = 1⁄2✓11 см. АС =2✓92 -(1⁄2✓11)2 =33⁄4см
Тематичне оцінювання No2.
1. а2·=42 +82 - 2·4·8·cos60°=48; а=4✓3 см.
2.
_ _а_=
_J2__: Ь = 4sin~35° = 4-[5_ см.
sina sшВ -
sш"0°
~
АО
С
siпLC= AB~~LA = бs;;1іо0 "'0,424, LC=25°. LB=l80 - LA-: --LC=45° .
r
4. LBAC = LACE і LBCA = LCAE (внутрішні навхрестлежачі) .
Тоді LB = 180 - а- р, si:~ = si~C = si~~A; АВ = si~;:!~);
ВС= ds inCl .
Stn(Cl+ ~)
5. ЕК= CKsin30°=1⁄2CK, трапеція рівнобічна: АК = ВС+ 2ЕК.
Тоді АК=ВС+1⁄2·2СК=ВС+СК, АК-СК=lО(заумовою),
АК-СК= ВС. Отже, ВС = 10 см.
108
0А ЕК
Тематичне оцінювання No3.
1.1-)L =І SO(n- 2) = Іsocs -2J=l35°;2)L = 180-L
= 180- 135=45°.
вн.
n
8
зовн.
вн.
2. І= ~-n= ; ~; ·54=4,8тт см.
З. Lвн. = 11L30вн, Lзовн. + 11L3овн = 180°, Lзовн = 15°, Lвн. = 165°.
_
ISO(n-2).
_
360 _
Lвн. - --n-, ll - 180-165 - 24
·
4. Для трикутника дане коло буде описа н им, для шестикутника - вписаним .
Тоді R = ...!!_ = 5../з = 5 см сторона шестикутника: а = 2R = 2•5../з = N.Jз см.
✓3 ✓3
'
Ш✓3
33
5. R=--•_
.
r =-•
-
. 2RsinШ=2rtg1so.
cos1so=L=-з-=.Jз 180 =600
2s in180 '
2tg 180
n
n'
nR2✓3
2'n
'
n
п
Lвн=180- 2І~О=180- 2·30=120°. n =18~~~20 =6. а=R=3см.
Тематичне оцінювання No4.
1. hь = asin30°=4·1⁄2 = 2 см,S= Ьhь =6·2=12 см2.
2. Знайдемо основт а = 2✓152 -92 =24 см , тоді S=1⁄2·24·9= 1 08см2.
З.r = 2'{3= 8'{3=4✓3см,S=ттr2=тr(4✓3)2=48ттсм2.
4. Многокутники подібні отже .Р_ = k = 1. -
~=k2=25 Тоді
'
Р1
7' S1
49.
S +11S =296 S =196см2 S=li·I96=100cм 2
І49І
'
І
'
49
•
5 БЕ-бісектриса тоді АВ = вс. AB =liBC=l.BC Звідси
•
'
АЕ СЕ'
20
4•
'
(1.ВС)2+ВС2=352• вс=28см АВ=2 ·28;21см
4
'
'
4
•
S == lAВ-BC=l·2 1 ·28=294 см 2
2
2
•
Темати чне оцінювання No5.
~
АЕ
С
1 l'; 11.=6см · 2) а= /82 +(11.) 2 = lОсм· 3) sіпа=..О..=О 6 ' 4) S= l ·8·12=48cм2
•
2
,
v2
,
10 ,,
2
•
2. Середня за величиною висота трикутника буде проти середньої сторони.
Позначимо ·один з відрізків на які uя висота розбиває сторону трикутника
<rерезх,тоді452-(42-х)2=392 -х2, х=15см. 11=✓392-152 = 36 см.
з. _АВLс= _BLCA; sinL.A= 6✓3s~nзoc ../з. LA=60° або LA=l20°
sm
sш
2'
1) АС2 = 62 + (6✓3)2 - 2·6·6✓З·соs60°=36(4-✓3), АС = 6✓4 - ✓З см;
2) АС2 = 62+ (6✓3)2 -2·6·6✓3·cosl20°=36(4+/З), АС=б,J4+✓3 см.
109
4. LBAD = 180-120 = 60°, ЕК= АВsі116О0=6✓3 ./_f = 9 см. Центр
вЕс
вшюшого кола лежить на перетині бrсектрис, ЛАНО = ЛАОК і ~
ЛОІ-ІВ = ЛОВЕ (за гострим кутом). АР = ABcos60°=3✓3 см,
A~D
ОЕ=1⁄2ЕК=f см. ВЕ =OEtg30°= f ·-/з= 3f см, ВС=2· 3f =3✓3см.
AD =ВС+ 2АР=9 'зсм. S= а+Ь!1 = з../з+9.Jз.9=54 'з см2
vJ
2
2
vJ
•
Варіант 2.
Тематичне оцінювання No1.
1 АВ =вс= АС · АС=]5__ ·21=7· см, А1В1 =.У.6=18см .
•
А1В1 В1С1 А1С 1'
,
~
2. LEDI• - вгшсаш1й, LfOF - відповідний йому Ltентральний. Тоді
LЬOF=2LEDF=2·39=78°.
3. Знайде ,\Jо коефіuішт подібності: Р = 4+ 7 +8 = 19 см,
4. ЛАDС і ЛВСD - подібні (за двома кутами), тоді ~ = ~g;
ВС2 =АВ-ВD=12·8=96, ВС=4✓б см, АС= ✓122 - (4✓6)2 =4✓3 см.
CD= ✓(4✓6)2 -82 =4 ✓2 см.
5.АО=СО=бсм, РС =5см, АР=4см, (заумовою).Тоді
АС = 4 + 5 = 9 с,,1, АВ =1⁄2АС=1⁄2с.~1. ВР=1⁄2см. Звідси,
OB= ✓62 -(f)2 =1⁄2..fi c1v1.OP= ✓ф2 +(1⁄2..fi)2 =4 см .
Тематичне оцінювання No2.
,.,
')
,,
~
1. а - = 4- + б~ - 2-4·6·cosl20°=76; а = 2v19 см.
2__а_=_ь_. b=3 ✓2 sin45° 2.Jзсм .
sin et
sinf3'
sin 60°
3. ."С = 180-LB-LA = 120°.
- -,fJL. =_ж_=~- ВС= ABsinLA =
sшLC smLA s шLB'
sinLC
= 9·sin40° = б. 7 СМ АС= AВsinLВ = 9:sin20° = З.б СМ .
sш120°
-
'
sшLC
sшl20°
,
4. LBAC =LACE і LBCA ~ LCAE (внуТрішні нaG xpe~.r.e,e.uч i :
ТодіLl:3=180-а -~~=---,Ш-=~-: ЛS=- ~
~::n_[~.
' sшLВ
sшLC sinLA-
s1Ea -
АС= asin(a+J3) .
sшet
11О
~Е
F
5. ВС =АВ+б(за умо1юю). Тоді 21 2 =АВ2 +(АВ+6/
-2АВ(АВ+ 6)cosl2O' ; АВ = 9 см, ВС= 9 +б= 15 с1,1.
ВЕ2 = 92 +·152 - 2·9· 1 5·cos6O°=3✓!9 см.
Темати-чне оцінювання No3.
К7·с
/,'х,;
А
Е
1 1) / =ISO(n-2)=180(10-2)=l 4. 4 o. 2) /
180 /
180 ]44 ,с
·
Lвн.
n
10
,
Lзовн. =
-
Lвн. =
-
••=_,,·,•
2. R =180/ =1so-10=]_м
тсп 225л: те •
3. Lво,. =Lзовн.+108,Lзовн.+Lзовн.+108=І80'°, L30"11_= 36°, L611_= і ,Ц
_
І S0(n-2).
_
360 _lO
Lвн. - --n- -' 11 - 180-144
-
•
4. Для шссп1кут11ика дане коло буде описаним, для квадрата- вписаним . Тоді
Н.=а=4см,сторонаквадрата: а0=2R=2·4 =8см.
5. R=--"-; r=-a -. 2RsiлIS('=a; 8=2-4 ✓2sіп 180 _ si.11 180 = ✓2_ 1~0 =45°.
2sin@ •
2to ISO
n
•
n,
n
2•п
,
11
~11
L =180 - 2 180 =180-2-45=90°. п- 360 -4 r-a -4см
вн.
n
-
І S0-90
-
.
-
2-
'•.
Тематичне оцінювання No-4.
1. S=";ь11= 8;-1·3=18см 2 .
2. Знайдемо висоту: 11 = ✓172 -82 = 15 см, тоді S = 1⁄2· 16·І 5=120 012.
3
а6✓3г:;S2(Г,)2,.,
2
.
г= 2.rз= 2.3 =v.,см, . =ттr =71:v.5 =.,псм.
4М
·~
•
sk24.Рk2
• : НОГОК)'ТНИКИ ПОДІОf-11, ОТЖе 5' =
=9, ·i'J'= =з·Тоді
Р1-fР1=47, Р1=141 см2, Р=f· 141=94с1,?.
5. АЕ - 6ісскrриса, тоді ~~ = ~і; АВ = -&АС = fАС. Звідси,
2 ...,
'
'")
..
АС -(fAC)-=16-: АС=2Oсм,АВ=f·2O=15см.
~
А
С
Тематичне оцінювання No5.
1. J)1f=6см;2)а=2.J13" - 122 =10с~1;3)coscx=fз;4)S=1⁄2·5·12=30с1,/.
2. Найменша висота трнкупші,а буде проти н,)йменшої стороLІн. По:шач1що
один з ві.дрізків iJa які uя uисота розбиває сторону трикутника через х, то-
ді372 -(15+ х)2 = 262 - х2, х=!5,бсм. І1=✓262-15.62 =2O,Sсч.
111
З. si.J.12 a+cos2 a=l·, cos2a=l-(2✓6)2 =J...-
cosa =l
5
25'
5
.
с2 =92 + 142 - 2·9·14·1⁄2=226,6, с = .j226,6 см.
4. LCEA = l80- 150 = 30°, СЕ = см300 =2·12·2 =48см. Центр
SШ
вписаного кола лежить на перетині б і сектрис, ЛКОС = ЛСОН
і ЛЕОН = ЛЕОР (за гострим куrом) . КС = KOtgl5°=6✓3 см,
ВК=r =12см. ВС =12+6.Jзсм, МЕ =48·f=24✓3см,
~АРМ Е
АЕ =12 +6✓3 +24✓3 = 12 + 30✓3 см . S= 3 -;" h 124з~2+зм ·24=144(2+3✓3)см2.
112
··,
І'
')
·,•