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Author: Karoui N.E. Gobet E.
Tags: finance economie stochasticité théorie économique marchés
ISBN: 978-2-7302-1579-4
Year: 2011
Text
Nicole El Karoui - Emmanuel Gobet
Les outils stochastiques
des marchés financiers
Une visite guidée
de Einstein à Black-Scholes
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Les outils stochastiques
des marchés financiers
Une visite guidée
de Einstein à Black-Scholes
Nicole El Karoui et Emmanuel Gobet
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Ce logo a pour objet d'alerter le lecteur sur la menace que représente
pour l'avenir de l'écrit, tout particulièrement dans le domaine univer-
sitaire, le développement massif du « photocopillage ».
Cette pratique qui s'est généralisée, notamment dans les établissements
d'enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au
point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres
nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd'hui menacée.
Nous rappelons donc que la production et la vente sans autorisation,
ainsi que le recel, sont passibles de poursuites.
les demandes d'autorisation de photocopier doivent être adressées à
l'éditeur ou au Centre français d'exploitation du droit de copie:
20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70.
(Ç) Éditions de l'École Polytechnique - Février 2011
91128 Palaiseau Cedex
INTRODUCTION
Depuis 40 ans, les outils mathématiques probabilistes ont montré leur rôle central
dans l'analyse et la gestion des risques financiers de tout ordre. Le cœur des outils pro-
babilistes réside dans le calcul stochastique, qui n'est autre qu'un calcul différentiel,
mais adapté aux trajectoires des processus stochastiques qui sont non différentiables
(car très erratiques comme le sont les cours boursiers). Il existe de nombreux ou-
vrages d'introduction à ces mathématiques probabilistes, et de leurs applications à la
gestion des risques. Néanmoins, la théorie mathématique sous-jacente est difficile et
rentrer dans ce domaine nécessite un investissement important, qui peut décourager
de nombreux étudiants.
Dans ce livre, nous proposons une approche différente concernant les outils stochas-
tiques, en privilégiant les arguments les plus élémentaires, sans pour autant sacrifier
à la rigueur. Alors que bien souvent dans les autres ouvrages, en préambule aux ap-
plications financières, il est nécessaire de digérer un arsenal de résultats probabilistes
avancés (qui demandent eux-mêmes des pré-requis importants), nous proposons une
approche plus directe du calcul stochastique, avec une technicité bien moindre, sui-
vant les idées de Follmer [10]. Certes, cet angle d'attaque ne permet pas de pousser
aussi loin l'analyse qu'avec les outils puissants du calcul stochastique traditionnel,
mais c'est suffisant pour résoudre complètement les problématiques de valorisation
et couverture de produits financiers, dans les modèles stochastiques de base utilisés
dans les salles de marché. Nous espérons ainsi qu'un lecteur non initié pourra plus
facilement rentrer dans ce sujet complexe, avant de s'orienter vers des lectures plus
spécialisées.
La première partie de ce cours (chapitres 1 à 5) est davantage mathématique. Nous
définissons le mouvement brownien et démontrons quelques-unes de ses propriétés
remarquables, en remontant à ses origines avec Brown, Einstein, Bachelier, Wiener,
Lévy... Le calcul stochastique associé y est ensuite développé, suivant l'approche de
Follmer, ainsi que les liens avec les équations aux dérivées partielles (représentations
de Feynman-Kac), notamment l'équation de la chaleur. Des extensions des modèles
browniens (brownien géométrique, processus d'Ornstein-Uhlenbeck) sont détaillées.
Nous incorporons ensuite des sauts dans les modèles (de type Poisson composé) et
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
revisitons les résultats précédents. Mentionnons aussi l'excellent livre de Breiman [3],
où les propriétés sur le mouvement brownien et le processus de Poisson sont exposées
avec une pédagogie remarquable. Nous terminons la partie mathématique avec les
changements de probabilité, couramment utilisés pour l'analyse mathématique des
produits dérivés : les résultats sont exposés pour les deux classes de processus (avec
ou sans sauts).
La seconde partie (chapitres 6 à 10) traite des premières applications en finance
de marché. Nous présentons d'abord quelques facettes des produits dérivés (typologie,
utilisation, utilité . . .). La détention de ces produits dérivés comporte des risques inhé-
rents à cette activité et les outils stochastiques permettent de donner un cadre robuste
d'analyse et de gestion de ceux-ci. Nous suivons l'approche fondamentale de Black-
Scholes : un portefeuille de couverture permet de s'immuniser parfaitement contre les
risques de fluctuations des cours, et gérer sans risque les options. Des applications aux
options d'achat/vente sur action sont développées, avec des extensions aux options
exotiques (options barrière et lookback) et aux différents marchés (taux d'intérêt,
crédit). Enfin, nous prenons en compte les modèles à sauts dans la couverture des
produits dérivés. Tout au long de cette partie, nous privilégions les calculs explicites
(de type formule de Black-Scholes, et ses variantes) : ce type de formule explicite joue
un rôle crucial dans les salles de marchés car leur évaluation sur un ordinateur est
instantanée et c'est bien ce délai de réponse qui est demandé en pratique quand il
s'agit de réagir aux mouvements financiers...
Dans notre présentation des problématiques, nous ne restons pas indifférents à la
crise financière actuelle, bien au contraire. Ce contexte difficile nous permet de mieux
illustrer que la méthodologie de gestion des risques à la Black-Scholes, bien que robuste
en situation normale, a aussi des limites et qu'elle a été bâtie à partir d'hypothèses
spécifiques d'efficience des marchés (pas de risque de liquidité, de contrepartie, pas de
risque systémique...). Nous en parlons plus en détail au chapitre 6.
Ce livre trouve ses origines dans un cours donné à l'Ecole Polytechnique entre
2000 et 2008, et à l'Ensimag entre 2005 et 2010. Cette version a pu profiter des
remarques/questions des étudiants de chaque école et des collègues (notamment Hervé
Guiol) : qu'ils en soient tous remerciés.
Chaque chapitre contient une rubrique POUR EN SAVOIR PLUS, qui approfondit
ou généralise certains notions. Cette rubrique peut être sautée en première lecture.
Enfin, à la fin de chaque chapitre, sont regroupés quelques exercices, qui permettent de
manipuler les notions du chapitre. Les exercices indiqués avec une * sont en général
plus longs: ils sont rédigés comme un problème de synthèse et proviennent d'anciens
contrôles de connaissances posés aux étudiants. Ces exercices * sont corrigés en fin
d'ouvrage. Tout cela constitue un bon entrainement pour le lecteur soucieux de bien
assimiler le cours.
Paris, décembre 2010.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A Fayçal,
A Sophie,
M eriem, Hakim, N oureddine,
Khalil et [men.
Alexandre, Marion,
Maxime et Antoine.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Le mouvement brownien
1.1 Bref historique du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le mouvement brownien et ses trajectoires. . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition................ . . . . . .
1.2.2 Propriétés de la courbe brownienne.. ..........
1.3 Invariance par translation et propriétés de Markov . . . . . . . . .
1.3.1 Mouvement brownien avec dérive . . . . . . . . . . .
1.3.2 Un premier résultat d'invariance par translation .....
1.3.3 Le principe de symétrie: une version simplifiée . . . .
1.3. 4 Temps d'arrêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Le résultat général d'invariance par translation . . . .
1.3. 6 Application...........................
1.4 Propriétés de la courbe brownienne . . . . . . . . .. .....
1.4.1 Comportement à l'infini . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Irrégularité des trajectoires . . . . . .
1.4.3 Les zéros du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Construction du mouvement brownien . . .
1.5.1 L'approximation par marche aléatoire
1.5.2 Pont brownien ....................
1.5.3 Convergence de l'approximation par pont brownien [0,1] :
construction de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Décomposition du mouvement brownien en séries de Fourier. .
1.6 Exercices ..................................
2 Équation de la chaleur et formule d'Itô
2.1 Introduction............... . . . .
2.2 L'équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Le cas simple de fonction f(x) ...............
2.2.2 Le cas général de fonction f(t, x) . . .. ....
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34
VI
TABLE DES MATIÈRES
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.2.3
2.2.4
A pplication à l'équation de la chaleur dans un intervalle . . . .
Équation aux dérivées partielles pour le mouvement brownien
avec dérive . . . . . . . .
2.2.5 Commentaires ........... . . . . . . . .
Variation quadratique . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Notations et définitions . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Convergence . . . . .
La formule d 'Itô .......... . . . .. .........
Intégrale de Wiener. . . . . . . . . . . . . . .
Formule d'Itô pour d'autres processus . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Le cas uni dimensionnel . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Le cas multidimensionnel . . . . . . .
Mouvement brownien vectoriel .........
2.7.1 Mouvement brownien vectoriel standard
2.7.2 Mouvement brownien vectoriel corrélé . . . .
Exercices ....................
3 Quelques processus continus essentiels
3.1
3.2
3.3
3.4
Mouvement brownien géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définition et propriétés ......................
3.1.2 Équation aux dérivées partielles pour le mouvement brownien
, ' t '
geome rIque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Formule d'Itô pour le mouvement brownien géométrique. . . .
Processus d'Ornstein- Uhlenbeck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Le mouvement brownien physique ou processus d'Ornstein-
Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Propriétés du processus d'Ornstein- Uhlenbeck. . . . . . . .
3.2.3 EDP associée au processus d'Ornstein-Uhlenbeck .
Equations différentielles stochastiques .........
3.3.1 Définition.....................
3.3.2 La transformation de Lamperti (1964)
3.3.3 La représentation de Doss (1977)
Exercices ..................
4 Processus à sauts
4.1 Processus de Poisson composé. . . . .
4.2 Modèle mixte brownien-Poisson . . .
4.2.1 Définitions ................
4.2.2 Propriétés...........
4.3 Équation de la chaleur intégro-différentielle
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TABLE DES MATIÈRES
VIl
4.4
4.3.1 Modèle mixte brownien-Poisson arithmétique
4.3.2 Modèle mixte brownien-Poisson géométrique
Formule d 'Itô . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Notations sur les sauts . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Formule d'Itô . . . . . . . . . . . . . . . . .. .....
4.4.3 Applications au processus mixte brownien-Poisson géométrique
Exercices ..................................
4.5
5 Changements de probabilité
5 1 G ' , l . t '
. enera 1 es ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Notions élémentaires et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Changement de probabilité et changement de tribus
5.2 Modèles gaussiens .......... . . . . . . . .
5.2.1 Le cas des gaussiennes réelles . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Le cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 La formule de Cameron-Martin . . . . . .
5.2.4 Un exemple d'application statistique . . . . . . . . . . . .
5.3 Modèles poissonniens. . . . . . . .. ............
5.4 Modèles mixtes browniens-Poisson . . . . . . . . .
5.5 Exercices ............... ..............
6 Marchés financiers et produits dérivés
6.1 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 De l'Antiquité au XIxe siècle. . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Le bouleversement des années 70 . . . . . . . . . . .
6.2 Produits dérivés ........ ............. . . . .
6.2.1 Un peu de typologie . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Mais encore. .. ..... . . . . . . . . . .
6.2.3 Les dérivés de crédit . . . . . . . . .
6.2.4 Utilisation et utilité des produits dérivés . . . . . .
6.3 Le vendeur d'options: quelle gestion du risque? . ....
6.4 Hypothèses de la gestion dynamique efficace. ......
7 Couverture à la Black-Scholes-Merton
7.1 Marché sans friction et absence d'arbitrage ...............
7.2 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Espace de probabilité et mouvement brownien .........
7.2.2 Modélisation du titre sous-jacent . . . . . . . . . .
7.3 Portefeuille dynamique. . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Vll1
TABLE DES MATIÈRES
7.3.2 Traduction du problème de couverture parfaite de l'option. . . 120
7.3.3 Résolution par équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . 121
7.4 La formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.1 Résolution de l'EDP par la formule de Feyman-Kac ...... 121
7.4.2 Une ré-interprétation avec un point de vue risque-neutre. 123
7.4.3 Les formules fermées . . . . . . . . . 124
7.4.4 Les grecques .......... . . . . . . . . . 125
7.4.5 Résultats numériques ...... . . . . . . 127
7.5 Le cas de titres versant des dividendes . . . . . 129
7.5.1 Le cas de titres versant un taux de dividende continu 129
7.5.2 Le cas de titres versant des dividendes discrets 131
7.6 Exercices ............................... 134
8 Mise en pratique
8.1 Estimation de la volatilité
8.1.1 Volatilité historique .....
8.1.2 Volatilité implicite
8.1.3 Conclusion .....
8.2 Couverture dynamique . . .
8.3 Volatilité implicite et Risk-Management
139
139
139
140
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144
9 Au delà des options d'achat et de vente
9.1 Options barrières . . . . . . . . . . . . . .
9 .1.1 Introduction ............
9.1.2 EDP et espérance risque-neutre. . . . .
9.1.3 Prix des DIC regular (D < K) dans le cas 1 = 1 (r = q)
9.1.4 Prix des DIC regular (D < K) dans le cas général
9.1.5 Prix des DIC reverse (D > K) . . . .
9.2 Taux d'intérêt: modèle de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Obligation zéro-coupon ............. .....
9.2.2 Le modèle de Vasicek [32] pour le taux court . . . . . . . . . .
9.2.3 Propriétés de (rt)t . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Prix des zéro-coupons . . . . . . . .
9.2.5 Courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.6 Modèle de Hull-White à 1 facteur.
9.3 Risque de crédit : modèles structurels ..
9.3.1 Modèle de la firme de Merton . . .
9.3.2 Extensions du modèle de la firme . . . . .
9.4 Options lookback . . . . . . . . . . . . .. .......
9.5 Cali sur zéro-coupon dans un modèle de Vasicek
147
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LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
TABLE DES MATIÈRES
IX
9.6 Exercices ...........
164
10 Modèles financiers avec sauts 167
10.1 Modèle mixte brownien-Poisson géométrique.. .... 167
10.1.1 Modèle de Merton [23] . . . . . . . 168
10.1.2 Modèle de Kou et Wang [18] ..... ............ 168
10.2 Couverture d'option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.2.1 Les sauts comme nouvelles sources de risque. . . . . . . 169
10.2.2 Couverture parfaite dans le cas d'un nombre fini de sauts possibles 170
10.2.3 Couverture imparfaite en moyenne quadratique . . . . . . . . . 172
10.3 Formule de Merton pour les Calls . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.4 Exerci ces ............... . . . . . . . . . . . 1 76
A Appendices 185
A.1 A propos des gaussiennes . . . . . 185
A.1.1 Variables gaussiennes . . . . . 185
A.1.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . 186
A.1.3 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . 187
A.2 Quelques rappels de théorie de l'intégration . . 187
A.2.1 Tribus et variables aléatoires . . . 187
A.2.2 Mesures et distributions de probabilité . . . . . . . . . . . 188
A.2.3 Indépendance et conditionnement . . . . . . . 189
A.2.4 Fonctions aléatoires et loi temporelle. . . . . . . . . 190
A.3 Formule de Lévy- Khintchine . . . . . 191
A.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.4.1 Simulation de variables aléatoires . . . . . . . . . . . 192
A.4.2 Calcul d'espérance par méthode de Monte Carlo 196
B Correction des exercices 201
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
1
Chapitre 1
Le mouvement brownien
1.1 Bref historique du mouvement brownien
Historiquement, le mouvement brownien est associé à l'analyse de mouvements
qui évoluent au cours du temps de manière si désordonnée qu'il semble difficile de
prévoir leur évolution, même dans un intervalle de temps très court. Il joue un rôle
central dans la théorie des processus aléatoires, parce que dans de nombreux problèmes
théoriques ou appliqués, le mouvement brownien ou les diffusions que l'on en déduit
fournissent des modèles limites simples sur lesquels de nombreux calculs peuvent être
faits.
\.
) .
Robert Brown (1773-1858)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
2
1.1. BREF HISTORIQUE DU MOUVEMENT BROWNIEN
C'est le botaniste anglais Robert Brown (1773-1858) qui le premier décrit en 1827
le mouvement erratique de fines particules organiques en suspension dans un gaz ou un
fluide. Au XIxe siècle, après lui, plusieurs physicie:ns reconnaissent que ce mouvement
est très irrégulier et ne semble pas admettre de tangente; on ne pourrait donc pas
parler de sa vitesse, ni a fortiori lui appliquer les lois de la mécanique!
/
t
,
Louis Bachelier (1870-1946)
En 1900 [1], Louis Bachelier (1870-1946) introduit le mouvement brownien pour mo-
déliser la dynamique des prix des actions à la Bourse, mais sa démarche est ensuite
oubliée jusque vers les années 1960... Sa thèse, "Théorie de la spéculation" est le point
de départ de la finance moderne.
Mais c'est la physique du début du siècle qui est à l'origine du grand intérêt porté
à ce processus. En 1905, Albert Einstein (1879-1955) construit un modèle probabiliste
pour décrire le mouvement d'une particule qui diffuse: il trouve que la loi de la position
à l'instant t de la particule, sachant que l'état initial est x admet une densité qui
vérifie l'équation de la chaleur et de ce fait est gaussienne. Sa théorie sera rapidement
confortée par des mesures expérimentales de constantes de diffusion satisfaisantes. La
même année qu'Einstein, une version discrète du mouvement brownien est proposée
par le physicien polonais Smoluchowski à l'aide de promenades aléatoires.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
3
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Norbert Wiener 1 (1894-1964).
En 1923, Norbert Wiener (1894-1964) construit rigoureusement "la fonction aléatoire"
du mouvement brownien; il établit en particulier que les trajectoires sont continues.
Dès 1930, en suivant une idée de Paul Langevin, Ornstein et Uhlenbeck étudient la
fonction aléatoire gaussienne qui porte leur nom et qui apparaît comme la situation
d'équilibre naturelle à associer au mouvement brownien.
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Paul Lé vy 2 (1886-1971)
C'est le début d'une recherche mathématique théorique très active. Paul Lévy
(1886-1971) découvre ensuite, avec d'autres mathématiciens, de nombreuses proprié-
tés du mouvement brownien [20] et introduit une première forme des équations diffé-
1. Source: archives du "Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach"
2. Source: archives du "Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach Il
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
4
1.2. LE MOUVEMENT BROWNIEN ET SES TRAJECTOIRES
rentielles stochastiques, dont l'étude sera ensuite systématisée par K. Itô (1915-2008) ;
ses travaux sont rassemblés dans un traité paru en 1948 devenu très célèbre [16].
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Kiyosi Itô 3 (1915-2008)
Mais l'Histoire connaît parfois des rebondissements incroyables. En effet en 2000,
l'Académie des Sciences a ouvert un pli resté scellé depuis 1940 appartenant au jeune
mathématicien Doeblin (1915-2008), télégraphiste français mort pendant l'offensive
allemande. Ce pli regroupait en fait ses recherches récentes, rédigées sur un simple
cahier d'écolier depuis son camp de cantonnement entre novembre 1939 et février 1940.
A l'ouverture de ce pli, il a été réalisé que Doeblin, qui avait déjà marqué la théorie
des probabilités . par ses travaux remarquables sur les lois stables et les processus de
Markov, avait découvert avant' Itô les équations différentielles stochastiques et leurs
liens avec les équations aux dérivées partielles de Kolmogorov. Le calcul d'Itô aurait
pu peut-être s'appeler calcul de Doeblin...
Dans ce chapitre, nous étudions les propriétés de base du mouvement brownien et
de ses trajectoires.
1.2 Le mouvement brownien et ses trajectoires
La première observation qui conduit à la modélisation par un mouvement brow-
nien est celle de la trajectoire du phénomène étudié, c'est à dire de la fonction réelle
ou vectorielle qui décrit l'évolution au cours du temps de l'observation. Le caractère
continu mais très erratique est caractéristique de la trajectoire brownienne.
3. Source: archives du "Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach"
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
5
Quelques précisions :
Par définition, une fonction aléatoire (réelle ou vectorielle) (f.a. en abrégé) modélise
un phénomène dépendant du hasard, qui évolue au cours du temps. Par conséquent, si
T est l'espace des temps, 0 l'espace des épreuves et E l'espace d'états du phénomène,
en général JR ou JRd), une fonction aléatoire est une application de T x 0 dans E,
(t,w) -+ Xt(w) t E T,w E 0
Processus aléatoire, signal aléatoire en sont synonymes.
L'état du système à la date t est décrit par la v.a. Xt.
On appelle trajectoire la fonction de T dans E, obtenue en fixant w,
t -+ Xt(w) t E T
(1.2.1)
En général, les phénomènes que nous modéliserons auront des trajectoires continues,
ou à variations finies.
Exemple
Si Al, ....An' <Pl, ......<pn sont n variables aléatoires réelles (v.a.r.) positives et n angles
aléatoires définis sur un espace (0, A), la formule
n
St(w) = L Am (w)sin[27r/ m t + <pm (w)]
1
définit un signal aléatoire réel, dépendant du temps t E JR, dont les trajectoires sont
une superposition de sinusoïdes de fréquences lm fixes (lm E JR); les phases et les
amplitudes sont aléatoires. Les signaux aléatoires de ce type, servent à étudier les phé-
nomènes de bruit dans la transmission d'ondes radar, ou des phénomènes oscillatoires
de consommation en économie.
1.2.1 Définition
Le caractère très erratique des trajectoires qui est propre au mouvement brownien
est en général associé à l'observation que le phénomène, bien que très désordonné,
présente une certaine homogénéité dans le temps, au sens où la date d'origine des
observations n'a pas d'importance. Ces propriétés sont reprises dans la définition.
Définition 1.2.1 (du mouvement brownien standard) Un mouvement brownien
(standard) réel (sur T = IR+ ou [0, T]) est une j.a.r. {W t ; t E T} à trajectoires conti-
nues, telle que
- W o = 0 ;
- Tout accroissement W t - W s où (0 < s < t) suit une loi gaussienne centrée, de
variance (t - s).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
6
1.2. LE MOUVEMENT BROWNIEN ET SES TRAJECTOIRES
- Pour tous 0 = to < tl < t2..... < t n , les accroissements {W ti + 1 - W ti ; 0 < i <
n - 1} sont indépendants.
Remarques Il Y a beaucoup d'informations dans cette définition qui demandent à
être détaillées.
1. L'état du système à la date t, W t , est une v.a. gaussienne, de moyenne 0,
(JE(W t ) = 0), et de variance JE(W?) = t d'autant plus grande que le système a
évolué longtemps.
2. La probabilité pour que W t appartienne à un petit intervalle [x, x + dx] est
donnée par la densité gaussienne
1
P(W t E [x, x + dx]) = g(t, x)dx = V2iri exp( -x 2 j2t)dx
21ft
En particulier, avec une probabilité d'au moins 95%, IWtl < 2Vi4 (voir Figure
1.1). Cela n'exclut pas qu'au bout d'un temps très court on ait un grand mou-
vement, mais cela est peu probable. Ce genre d'encadrement joue un très grand
rôle en finance.
(1.2.2)
15
-----------
----
5
....... .... ....... ...... ............ .....-
............
........'
"...-
/,/--
---------
10
o
-5
\
'.
......,............
. .... .... ...................... .... -...... """ "'-
...-........-...........--....-
.......-..........---
-10
---...
-....-------...-
-15
o
5
10
15 20 25 30 35 40 45 50
FIGURE 1.1 - Simulation brownienne et les deux courbes Il (t) = 2Vi et 12(t) = -2Vi.
3. La v.a. W t est la somme de ses accroissements, c'est à dire la somme de v.a.
indépendantes et de même loi gaussienne. Cette décomposition infinitésimale
est à la base du calcul différentiel stochastique.
4. Cette propriété est la conséquence d'un résultat classique sur les gaussiennes, de loi N(m, ( 2 )
P( -2u < X - m < 2u) > 0,95.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
7
1.2.2 Propriétés de la courbe brownienne
Nous commençons par quelques propriétés qualitatives de la courbe brownienne,
que nous justifions à la fin du chapitre.
1. La trajectoire brownienne entre [0, T] est comprise entre les deux courbes
fl(t) = 20 et f2(t) = -20 avec une probabilité de 90%5 : la figure 1.1
montre un exemple typique.
2. La trajectoire brownienne oscille entre +00 et -00, mais moins vite que t.
3. Les trajectoires sont très irrégulières, p.s. non différentiables.
Suivent quelques propriétés d'invariance, classiques et très utiles (l'invariance par
translation sera développée au prochain paragraphe).
Proposition 1.2.2
i) PROPRIÉTÉS DE SYMÉTRIE
Si {W t ; t E )R+} est un mouvement brownien standard, il en est de même de
{-W t ; t E )R+}.
ii) PROPRIÉTÉS D'ÉCHELLE
Si {W t ; t E )R+} est un mouvement brownien, pour tout c > 0, il en est de même
du processus {W{; t E )R+}
W C -l W
t = C c 2 t .
(1.2.3)
iii) RETOURNEMENT DU TEMPS
-T _
Le processus retourné à l'instant T, W t - WT - WT-t est un mouvement
brownien sur [0, T] .
iv) INVERSION DU TEMPS
- -
Le processus {W t = tW 1 / t , t > 0, W o = O} est un mouvement brownien.
La propriété d'échelle est particulièrement importante. Elle montre que € fois W t se
comporte comme un mouvement brownien lu en €2t. Elle montre aussi la dimension
fractale des trajectoires. Cet effet est visible sur les simulations.
PREUVE :
i) Par construction, {-W t ; t E JR+} est un processus à accroissements indépendants et
stationnaires; comme la loi gaussienne de moyenne 0 est symétrique, - W t a même loi
que W t . C'est donc un mouvement brownien.
ii) Par construction Wc est un processus à trajectoires continues et à accroissements
5. En fait, on a le résultat beaucoup plus fort,
P[sup IWtl > c] < 2 P(IWTI > c).
t T
que nous montrerons dans la Proposition 1.3.9.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
8 1.3. INVARIANCE PAR TRANSLATION ET PROPRIÉTÉS DE MARKOV
indépendants. W t C est une v.a. gaussienne, centrée, de variance c2t = t. Le processus
Wc est donc un brownien.
iii) Les accroissements du processus retourné sont les opposés d'accroissements du pro-
cessus direct. On retrouve donc toutes les propriétés d'accroissements indépendants,
stationnaires et gaussiens.
-
iv) Pour montrer que West un brownien, montrons que les accroissements, qui sont
manifestement gaussiens, sont stationnaires et indépendants. Nous montrons la sta-
tionnarité et laissons l'indépendance au lecteur.
- -
Wt+h - W t = t[W 1 - W!] + hW 1 est la somme de deux gaussiennes indépendantes,
t+h t t+h
et donc de variance
- - 2 1 1 h 2 1 2
Var(Wt+h - W t ) = t (- t + h + t) + t + h = t + h [ht + h ] = h
La continuité en 0 est montrée à la fin du chapitre.
D
1.3 Invariance par translation et propriétés de Mar-
kov
1.3.1 Mouvement brownien avec dérive
Pour commencer, il sera intéressant de pouvoir considérer des mouvements brow-
niens ayant une valeur initiale différente de 0, éventuellement aléatoire.
Définition 1.3.1 (du mouvement brownien issu de Xo) Un mouvement brow-
nien issu de Xo est un proc ssus de la forme Xt = Xo + W t , avec une condition
initiale Xo indépendante'du brownien W.
.
Dans beaucoup de situations, la valeur initiale Xo = x sera déterministe. Plus géné-
ralement, les phénomènes observés ne sont pas aussi normalisés que ceux décrits par
un mouvement brownien standard.
Définition 1.3.2 (du mouvement brownien avec dérive) Un mouvement brow-
nien, issu de X o , de dérive (ou tendance) b et de coefficient de diffusion a est un pro-
cessus de la forme Xt = Xo + aW t + bt, avec une condition ini"tiale Xo indépendante
du brownien W (voir Figure 1.2, avec Xo = 0 et a = 1).
X est aussi appelé mouvement brownien arithmétique (dénomination à mettre en
rapport avec celle du mouvement brownien géométrique, voir chapitre 3). C'est en-
core un processus à accroissements indépendants, stationnaires et gaussiens, mais non
centrés.
Toutefois, sauf mention contraire explicite, W t désignera dans la suite un mouve-
ment brownien standard.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
9
2.5
Tendance = 0 -
tendance = 1 _mm
Tendance = 2 ........
o
; t'=:
. .:.: /")':'-!"\ :.: ! .
;>. ,/i\./!V'
',:/ . ':.-f. :
2
1.5
1.
1.
1 .
. l,
I . ::
: '''', :
V
0.5
-0.5
o
0.2
0.4
0.6
0.8
FIGURE 1.2 - Simulation brownienne avec dérive.
1.3.2 Un premier résultat d'invariance par translation
Après avoir considéré dans le paragraphe précédent des transformations spatiales
du mouvement brownien, nous étudions maintenant des translations en temps.
Proposition 1.3.3 (Invariance par translation) Le mouvement brownien trans-
laté de h > 0, {W t h == Wt+h - Wh; t E )R+} est un mouvement brownien, indépendant
du mouvement brownien arrêté en h, {W s ; s < h}.
Autrement dit, {Wt+h == Wh + W t h ; t E )R+} est un mouvement brownien issu de
Wh.
Remarque: ce résultat est associé à la propriété de Markov faible 6 puisqu'il est
établi que la loi du futur de W après h ne dépend du passé que par la valeur présente
Wh.
PREUVE :
Le caractère gaussien est évident. L'indépendance des accroissements de {W t h ; t E JR+}
résulte de celle des accroissements de {W t ; t E JR+}.
Montrons maintenant le résultat général d'indépendance de Wh par rapport à la tribu 7
engendrée par {Ws; 8 < hl. Pour cela, considérons des instants 0 < 81 < ... < 8j < h
et 0 < tl < ... < tk. L'indépendance des accroissements de W assure que (Wt , Wt -
-h -h -h . ,
W t1 ,'" , W tk - W tk _ 1 ) = (W t1 +h - Wh,. .. , Wtk+h - W tk _ 1 +h) est Independant de
. -h -h -h .,
(W S1 ' W S2 - W S1 ,.'. ,W s ; - WS;_l)' Mals alors (W t1 , W t2 ,..' ,W tk ) est Independant
6. l'adjectif faible est là pour indiquer que l'instant h est déterministe, en contraste avec la pro-
priété de Markov forte (montrée dans la suite) valable si h est un temps d'arrêt.
7. Une tribu est un sous-ensemble de l'ensemble des parties de n, qui contient n, stable par
passage au complémentaire, et par réunion dénombrable (voir Appendice A.2)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
10 1.3. INVARIANCE PAR TRANSLATION ET PROPRIÉTÉS DE MARKOV
de (W Sl ' W S2 , . .. , W Sj )' Pour conclure à l'indépendance de (Wt , Wt , . .. , Wt ) par
rapport à la tribu engendrée par {Ws; s < hl, nous utilisons le résultat suivant montré
en Appendice A.2.
Lemme 1.3.4 Pour qu'une v.a. Y soit indépendante de la tribu 7(X i , i El), il faut
et il suffit qu'elle soit indépendante de toutes les sous-familles finies (X j , j E J) de
v.a. Xi.
D
1.3.3 Le principe de symétrie: une version simplifiée
Le premier résultat donne une majoration de la distribution du maximum du
mouvement brownien constaté à un nombre fini de dates ta = 0 < tl < ... < tN = T,
majoration qui ne dépend pas de la subdivision mais uniquement du temps final T.
Proposition 1.3.5 Pour tout y > 0, on a :
JP>[sup W ti > y] < 2JP>[WT > y] = JID[lWTI > y].
i N
(1.3.1)
PREUVE :
L'égalité de droite provient de la symétrie de la loi de WT. Démontrons maintenant
l'égalité de gauche. Notons t le premier instant tj où W dépasse le niveau y. Nous
remarquons que {SUPi N W ti > y} = {t < T} et {t = tj} = {W ti < y, V i < j, W tj >
y}. Pour chaque j < N, la symétrie des.accroissements browniens donne P[W T - W tj >
0] = !. Puisque le mouvement brownien translaté (W: j = W tj + t - W tj : t E JR+) est
indépendant de (W s : s < tj), nous avons
N
IP( UP W ti > y] = IP(t; < 11 = LIP(t; = tj]
N j=O
N-l
= IP(Wti < y, i < N, WT > y] + L IP(W ti < Y, V i < j, W t ; > y]IP(WT - W t ; > 0]
j=O
N-l
= IP(Wti < y,i < N, WT > y] + L IP(W ti < Y, V i < j, W t ; > Y, WT - W t ; > 0]
j=O
N-l
< JP>[W ti < y, i < N, WT > y] + L JP>[W ti < y, V i < j, W tj > y, WT > y]
j=O
= JP>[t: < T, WT > y] = JP>[W T > y].
Dans les deux dernières lignes, nous avons utilisé {W tj > y, WT - W tj > O} C {W tj >
y, WT > y} et {WT > y} c {t < T}. D
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
Il
Passons maintenant à un ensemble de constatations égal à [0, T]. Dans ce cas, la
majoration de la proposition 1.3.5 devient une égalité. En d'autres termes, nous dé-
terminons complètement la loi du maximum du mouvement brownien sur un intervalle
de type [0, T]. L'argumentation de la preuve tourne encore autour d'un argument d'in-
variance par translation du type précédent, mais le lecteur attentif pourra déceler une
faille dans sa justification, à laquelle nous remédierons juste après.
Proposition 1.3.6 (Principe de symétrie) Pour tout y > 0, on a :
JP>[sup W t > y] = JP>[lWTI > y].
t T
(1.3.2)
En d'autres termes, pour chaque T, les variables aléatoires B sup W t et IWTI ont même
t T
loi.
PREUVE :
Notons Ty le premier instant où W atteint le niveau y : on a alors
JP>[sup W t > y] = JP>[T y < T] = JP>[T y < T, WT < y] + JP>[T y < T, WT > y].
t T
y... .............. .......................
w TlI
",':
1 .
Ty
T
-7',
FIGURE 1.3 - Mouvement brownien (WTy+t = W t y + y : t E )R+) partant de y et son
symétrique.
Maintenant, remarquons que le mouvement brownien translaté (WTy+t = w;y + y :
t E JR+) est un mouvement brownien issu de y, indépendant de (W s : s < Ty).
Ainsi, la symétrie du mouvement brownien appliquée à (W;y : t E JR+) (voir Figure
1.3) assure que les évènements {T y < T, WT < y} et {T y < T, WT > y} ont même
8. Il convient de noter qu'on ne peut pas avoir égalité en loi des f.a. {sup Wt; T E IR+} et
t T
{IWTI; T E IR+} puisque la première est croissante mais pas la seconde.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
12 1.3. INVARIANCE PAR TRANSLATION ET PROPRIÉTÉS DE MARKOV
probabilité, ce qui conduit à JP>[SUPt T W t > y] = 2 JP>[T y < T, WT > y]. De l'inclusion
{WT > y} C {T y < T}, il découle alors que
JP>[sup W t > y] = 2 JP>[WT > y] = JP>[lWTI > y].
t T
D
En réalité, ce qui demande à être justifié plus précisément dans la preuve précé-
dente, est le fait que (W[Y : t E )R+) soit encore un mouvement brownien. En effet,
l'invariance par translation et la propriété de Markov ont été jusqu'à maintenant
démontrées pour des temps h déterministes.
Il s'agit maintenant de les généraliser au cas où le temps h est aléatoire. Il est
facile de se convaincre que cette propriété {W t U = Wt+u - Wu; t E )R+} est encore
un mouvement brownien ne peut pas être satisfaite pour n'importe quel temps U
aléatoire. Néanmoins, cette propriété d'invariance par translation reste vraie pour
une vaste classe de temps aléatoires U : les temps d'arrêt.
1.3.4 Temps d'arrêt
Nous nous intéressons maintenant aux temps d'arrêt: ils joueront dans toute la
suite un rôle essentiel. Nous les définissons sans formalisme (pour une présentation
rigoureuse à l'aide des filtrations, voir [27] par exemple).
Définition 1.3.7 (Temps d'arrêt)
Un temps d'arrêt (t.a.) est une v.a. U > 0, à valeurs éventuellement infinies, telle
que pour tout t > 0, l'évènement {U < t} ne dépend que des valeurs du mouvement
brownien {Ws; s < t} avant la date t.
Un temps d'arrêt U est discret lorsqu'il ne prend qu'un nombre dénombrable de
valeurs (u 1, . .. , Un, . . . ).
En d'autres termes, pour savoir si l'évènement {U < t} s'est produit, il suffit
d'observer le mouvement brownien jusqu'en t.
Exemple.
. L'exemple le plus classique de t.a. est le premier temps de passage du brownien au
dessus d'un niveau donné:
Ty = inf{t > 0; W t > y}
où on fait la convention habituelle que l'inf du vide est infini.
La continuité des trajectoires browniennes assure que l'évènement {T y < t} = {3s <
t, W s = y} ne dépend que des valeurs de W antérieures à t : Ty est donc un t.a..
. En revanche, si U = sup{t < 1 : W t = O} est défini comme le dernier instant avant 1
où le mouvement brownien s'annule, ce n'est pas un t.a. car l'évènement {U < t} fait
appel non seulement à de l'information entre 0 et t, mais aussi entre t et 1.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
13
1.3.5 Le résultat général d'invariance par translation
Proposition 1.3.8 Soit U un temps d'arrêt. Sur l'évènement {U < +oo}, le mouve-
ment brownien translaté de U > 0, {WtU = Wt+u - Wu; t E jR+} est un mouvement
brownien, indépendant de {W t ; t < U}.
En d'autres termes, {Wt+u;t E jR+} est un mouvement brownien issu de Wu.
Remarque : ce résultat s'énonce sous le nom de propriété de Markov forte.
Comme on l'a vu précédemment pour la version simplifiée du principe de symétrie
(Proposition 1.3.6), cette propriété est facile à cOlI!prendre intuitivement lorsque U =
Ty est le temps d'atteinte du niveau y : dans ce cas, WT y = y et la f.a. {Wt+T y ; t E jR+}
est un mouvement brownien issu de y (voir Figure 1.3).
PREUVE :
L'objectif est de montrer que pour tous temps 0 < tl < . . . < tk et 0 < SI < . . . < Sl,
tous réels (Xl, . .. ,Xk) et tous boréliens (BI, . .. ,Bl- l ), on a
-u -u
JP>(W t1 < Xl,'" , W tk < Xk, W S1 E BI,. .. , W Sl _ 1 E Bl-l' Sl < U < +00)
=JP>(W: 1 < Xl,' .. , W: k < Xk)JP>(W S1 E BI,' .. , W Sl _ 1 E Bl-l' Sl < U < +00),
(1.3.3)
pour un mouvement brownien standard W' indépendant de W.
Considérons d'abord la situation plus facile où U est un t.a. discret à valeurs dans les
réels (Un)n l' Dans ce cas là, on a
-u -u
JP>(W t1 < Xl,'" , W tk < Xk, W S1 E BI,". , W Sl _ 1 E Bl-l' Sl < U < +00)
,,-u -u
L...,. P(W t1 < Xl,' .. , W tk < Xk, W S1 E BI,' . . , W Sl _ 1 E Bl- l , Sl < U, U = Un)
n
LJP>(Wt n < Xl,'" , Wt n < Xk, W S1 E BI,." , W Sl _ 1 E Bl- l , Sl < U, U = Un)
n
LJP>(W: 1 <Xl,." ,W: k <Xk)JP>(W S1 EBl".. ,W Sl _ 1 EBl-l,Sl < U,U=U n )
n
JP>(W: 1 ' < Xl,... ,W: k < Xk)JP>(W S1 E BI,.'. ,W Sl _ 1 E Bl-l' Sl < U < +00)
en appliquant à l'avant-dernière égalité le ré&ultat d'invariance par translation au
temps déterministe Un, en notant que {W S1 E BI,' .. , W Sl _ 1 E Bl- l , Sl < U, U = Un}
ne dépend effectivement que des valeurs de W antérieures à Un.
Pour traiter le cas d'un t.a. U général, considérons la suite (Un = [n +l )n O décrois-
sante vers U : Un est un encore t.a. car {Un < t} = {U < [tn]/n} ne dépend que
des valeurs du mouvement brownien {Ws; S < [tn]/n} avant la date [tn]/n < t, et
il est manifestement à valeurs discrètes. L'application du cas discret fournit l'égalité
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
14 1.3. INVARIANCE PAR TRANSLATION ET PROPRIÉTÉS DE MARKOV
suivante, valable pour chaque n,
- Un - Un
JP>(W t1 < Xl,'. . ,W tk < Xk, W S1 E BI,' .. , W Sl - l E Bl-I' Sl < Un < +00)
=JP>(W: 1 < Xl,". , W: k < Xk)JP>(W S1 E BI,." , W Sl _ 1 E Bl-I' Sl < Un < +00).
(1.3.4)
Lorsque U < +00 (ou de manière équivalente Un < +00), la continuité des trajec-
toires de W justifie que wtUn converge, lorsque n tend vers l'infini, vers W t U pour tout
t avec probabilité 1. Le passage à la limite de chaque côté de (1.3.4) est donc possible
pour obtenir l'égalité (1.3.3) cherchée, dès que (Xl,. .. ,Xk, Sl) est un point de conti-
nuité de la fonction de répartition JP>(Wt < Xl,' .. , Wt < Xk, W S1 E BI,' .. , W Sl _ 1 E
Bl- I , Sl < U < +00). Cela est suffisant pour déduire (1.3.3) pour tous (Xl,' .. ,Xk, Sl)'
D
1.3.6 Application
Nous sommes maintenant en mesure de montrer plus rigoureusement le principe
de symétrie sous une forme plus générale.
Proposition 1.3.9 (Principe de symétrie)
a) Pour tout y > 0 et tout x < y, on a :
JP>[sup W t > y; WT < x] =JP>[WT > 2y - x],
t T
(1.3.5)
JP>[sup W t > y] =JP>[lWTI > y].
t T
(1.3.6)
b) La loi conditionnelle de SUPt T W t sachant WT est donnée pour y > max(x,O)
par
y(y - x)
JID(sup W t > ylW r = x) = exp ( - 2 T ).
t T
(1.3.7)
La simplicité de la loi conditionnelle du supremum est particulièrement utile pour sa
simulation.
PREUVE :
Reprenons les notations de la version simplifiée du principe de symétrie pour montrer
l'égalité (1.3.5). Le temps d'atteinte Ty du niveau y par West un t.a. fini et donc, par
la Proposition 1.3.8, (WTy+t = w;y + y : t E JR+) est un mouvement brownien issu
de y, indépendant de (W s : S < Ty). Par symétrie (voir Figure 1.4), les évènements
{T y < T, WT < x} et {T y < T, WT > 2y - x} ont même probabilité. L'égalité (1.3.5)
en découle en remarquant que {T y < T, WT > 2y - x} = {W T > 2y - x} pour X < y.
Pour montrer b), un calcul direct montre
8xJP>[SUPt T W t y, WT :::; x] _ 8 x JP>[W T 2y - x]
8 x JP>[W T < x] 8 x JP>[W T < x]
P(sup W t > ylW T = x)
t T
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
15
2y-x
WTlI
. ' .
III " .. .
__ __ __....... _.... ____ __ ____ _.___... ._......_ ____... __._ ...___...... __ _....._ __ _. ...__ __ __ ___... __ J., ___ ........ ____ __ __ ___._ _.__...
,:,: ....,"'...... ",.-"
:::.....,::' '..,'
y
Ty
T
x
-7',
FIGURE 1.4 - Mouvement brownien (W Ty + t = W t y + y : t E )R+) partant de y et son
symétrique.
et la formule (1.3.7) découle après simplification.
D
+ +
POUR EN SAVOIR PLUS
+
1.4 Propriétés de la courbe brownienne
Les résultats de ce paragraphe fournissent les preuves des propriétés de la courbe
brownienne que nous avons énoncées au paragraphe 1.2.2. Beaucoup d'entre elles se
déduisent de la décomposition infinitésimale.
Le premier point est évidemment le comportement à l'infini. Pour les points à distance
finie, puisque la continuité est acquise, il s'agit d'estimer le module de continuité.
1.4.1 Comportement à l'infini
Proposition 1.4.1 Le mouvement brownien oscille entre +00 et -00 lorsque le
temps augmente indéfiniment, c'est à dire que 9
p.s.
lim sup W t = +00, lim inf W t = -00.
t-++ex> t-++ex>
9. Rappelons que
lim su p f (t) = lim sup f ( u).
t-.+oo t-.+oo u t
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
16
1.4. PROPRIÉTÉS DE LA COURBE BROWNIENNE
PREUVE :
Donnons une première preuve qui s'appuie sur le principe de symétrie (Proposition
1.3.9). Considérons la suite de variables aléatoires (MT = SUPt T Wt)T O. Quand
T i 00, cette suite est croissante donc convergente, notons Moo sa limite p.s.. Le
résultat annoncé avec la limsup revient à montrer que Moo = +00 p.s.. Le même
raisonnement fonctionnerait avec la lim inf. En appliquant aux deux premières égalités
ci-dessous le théorème de convergence monotone, on obtient
JP>[M oo = +00] = lim P[Moo > y] = lim ( lim JP>[M T > y])
yf+oo yf+oo Tf+oo
= lim ( lim JP>[lWTI > y]) = 1.
yf+oo Tf+oo
Donnons maintenant une seconde preuve, exploitant directement l'indépendance des
accroissements de W. Notons limsuPt-.oo(W t - Ws) = Cs' Comme la f.a. aléatoire
(W t - Ws; t > s) est un mouvement brownien, les deux v.a. Co et Cs ont même
distribution. Elles sont positives (ce qui se justifie comme dans la première preuve).
Mais, par définition, Co = W s + Cs et Cs est indépendante de Ws. En regardant les
transformées de Laplace de ces deux v.a. > 0, il vient que
JE[e-ÀCO] = JE[e-ÀCS]JE[e-ÀWS] = eÀ2s/2JE[e-ÀCO],
puisque la transformée de Laplace de la gaussienne W s vaut e À2 s/2. Cette égalité ne
peut être satisfaite que si JE[e- ÀCO ] = 0, soit Co = +00 p.s.. Le même raison-
nement montre que liminft-.+oo W t = -00. D
La loi des grands nombres nous donne une information sur la vitesse de convergence
le long des suites entières. En effet, puisqu'on peut toujours décrire la v.a. W n comme
somme des accroissements W i - W i - 1 , qui sont des v.a. indépendantes et de même loi
(intégrables), la loi des grands nombres montre que n converge presque sûrement
(p.s.) vers O. Cette propriété reste vraie même si on ne se restreint pas aux suites
entières.
Proposition 1.4.2 La vitesse de divergence est moins grande que celle de t,
W t o
t '
p.s. t +00
PREUVE :
La loi des grands nombres montre la convergence p.s. le long de suites de nombres
rationnels. Pour pouvoir passer à la limite le long des suites réelles quelconques, nous
introduisons les v.a. Mn = sUPn<t<n+l (W t - W n ) et M = sUPn<t<n+l (W n - W t ) et
montrons que n et converge t p.s. vers O. -
La Proposition 1.3.9 montre que Mn et M sont intégrables. Pour montrer que n
converge p.s. vers 0, on applique le lemme de Borel-Cantelli en justifiant que pour tout
é, L JP>[M n > né] < +00. En effet, cette propriété implique que pour tout é, à partir
n
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
17
d'un certain rang, p.s., la suite n est plus petite que e. Comme cette propriété est
vraie pour tout e rationnel, cela assure la convergence vers O.
La condition de Borel-Cantelli est satisfaite puisque
)(»[Mn > né] = )(»[Ml > né] < 1E[ 1 ] < +00.
n l n l
D
1.4.2 Irrégularité des trajectoires
Le premier point est que p.s. les trajectoires ne sont pas différentiables. Comme
un changement d'échelle permet d'établir une correspondance entre le comportement
à l'infini et le comportement en 0 des courbes browniennes, ce point est en rapport
avec le comportement à l'infini du mouvement brownien.
..-.... ..-....
Proposition 1.4.3 Le processus {W t = tW 1 / t , t > 0, W o = O} est un mouvement
brownien.
En particulier, le mouvement brownien n'est pas dérivable en zéro, et donc par sta-
tionnarité en aucun point. Plus précisément,
. W t + h - W t
hmsup 1 h 1 = +00 p.s.
h!O
PREUVE :
Nous avons déjà montré à la Proposition 1.2.2 les propriétés de stationnarité, d'indé-
pendance et de loi des accroissements de W. Reste à prouver la continuité en 0 des
-
trajectoires. Mais la convergence vers 0 de Wh lorsque h tend vers 0 est équivalente à
celle de vers 0 lorsque t = * tend vers l'infini, établie dans la Proposition 1.4.2.
De même, la non différentiabilité des trajectoires est acquise, puisque
-
limsuPt!ol ';t 1 = limsuPt!oIW1/ti = +00
-
Cette propriété, établie pour le brownien West valable pour tout brownien, car c'est
une propriété de la loi de la trajectoire.
En particulier, elle est vraie pour le mouvement brownien translaté {Wt+h-W t ; h > O},
ce qui montre que p.s. les trajectoires du mouvement brownien ne sont pas dérivables.
D
Le résultat précédent dit seulement que pour un temps t donné, p.s. W n'est pas
dérivable en ce temps là. Mais l'ensemble de probabilité nulle dépend de t, ce qui ne
permet pas d'affirmer que
P( w : 3to tel que t 1---+ W t (w) est différentiable en to) = 0,
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
18
1.4. PROPRIÉTÉS DE LA COURBE BROWNIENNE
c'est à dire que p.s. W n'est nulle part différentiable. Toutefois, ce résultat est vrai et
est du initialement à Paley-Wiener-Zygmund (1933). Le résultat suivant est de même
nature: il affirme que p.s., il n'existe pas d'intervalle sur lequel West monotone.
Proposition 1.4.4 (absence de monotonie) On a
P(w : t 1---+ Wt(w) est monotone sur un intervalle) = O.
PREUVE :
Définissons MI,t = {w : u Wu(w) est croissant sur l'intervalle] s, t[} et M;,t de ma-
nière analogue. Nous remarquons que
M = {w : t Wt(w) est monotone sur un intervalle} = U (MI,t U M;,t),
s,tEQ,O s<t
et comme l'union est dénombrable, il suffit de montrer JP>(MI t) = JP>(M; t) = 0 pour
, ,
conclure JP>(M) < Es,tEQ,O s<t[JP>(MI,t) + JP>(M;,t)] = O. Si pour n fixé, on pose
ti = s + i(t - s)/n, alors JP>(MI,t) < JP>(W ti + 1 - W ti > 0,0 < i < n). Les accroissements
étant indépendants et centrés, on a JP>(MI,t) < n l JP>(W ti + 1 - W ti > 0) = 2 ' L'en-
tier n étant quelconque, on conclut JP>(MI t) = O. Le même raisonnement vaut pour
JP>(M; t) = O. ' D
,
Il est possible d'obtenir une description très précise du comportement du mouvement
brownien au voisinage de l'origine. Pour un t fixé , nous savons bien que W t est dans
l'intervalle [-1.960,1.960] avec probabilité 95%, mais cela ne décrit pas comment
toute la trajectoire au voisinage de 0 est encadrée. En réalité, avec probabilité 1, elle
s'approche infiniment souvent de la courbe h(t) = y 2tloglogt- 1 et -h(t). C'est le
résultat suivant.
Proposition 1.4.5 (loi dite du logarithme itéré) Pour un brownien standard,
nous avons
1 . Wt 1
lmsup h( ) =
t!O t
p.s.
et
1 . · f Wt 1
lm ln h( ) = -
t!O t
p.s.
PREUVE:
Voir exercice 1.9.
D
1.4.3 Les zéros du mouvement brownien
L'étude précédente du comportement de W à l'origine montre qu'en particulier,
il passe infiniment souvent par 0 au voisinage de l'origine. Cela suggère que les zéros
du mouvement brownien ont une structure assez complexe.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
19
Proposition 1.4.6 (zéros du mouvement brownien) Notons X = {t > 0 : W t =
O} l'ensemble aléatoire des zéros de W. Alors avec probabilité 1 :
a) la mesure de Lebesgue de X est nulle;
b) X est un ensemble fermé non borné;
c) t = 0 est un point d'accumulation de x;
d) X n'a pas de point isolé (en particulier il est non dénombrable), donc est dense
dans lui-même.
PREUVE:
Par le théorème de Fubini, on a
1E(100 ItExdt) = 1 00 JI»(t E x)dt = 1 00 JI»(W t = O)dt = 0
car W t est une v.a. à densité (pour t > 0). En conséquence, la v.a. Jo oo ItExdt est po-
sitive et d'espérance nulle, donc nulle p.s.. Cela montre le a). Pour le b), X est l'image
réciproque de {O} par la fonction continue t W t , donc c'est un fermé. Il est non
borné à cause du comportement de W en l'infini (proposition 1.4.2). Le c) se montre
avec la loi du logarithme itéré. Le d) découle du c) et de la propriété de Markov fort. D
1.5 Construction du mouvement brownien
Nous finissons ce chapitre par donner des constructions et approximations de la
courbe brownienne. Ce paragraphe peut-être omis en première lecture. Nous com-
mençons par voir le brownien comme la limite d'une marche aléatoire (utilisée dans
les méthodes numériques de valorisation sous le nom de méthodes d'arbre binomiale),
puis nous donnons la construction de Paul Lévy basée sur la notion de pont brownien
(par ailleurs très utile en méthodes de Monte Carlo pour valoriser des contrats finan-
ciers complexes dépendant de toute la trajectoire). Nous terminerons par un point de
vue traitement du signal avec une décomposition en série de Fourier.
1.5.1 L'approximation par marche aléatoire
Un des modèles les plus élémentaires de processus à temps discret est probablement
la marche aléatoire symétrique définie par
n
Sn = LXi
i=l
avec des v.a.i.i.d. (Xi)i de Bernoulli P(X i = xl) = . Comme le mouvement brow-
nien, c'est un processus à accroissements indépendants stationnaires, mais pas gaus-
siens. Quand on renormalise la marche et qu'on fait tendre n vers l'infini, on observe
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
20
1.5. CONSTRUCTION DU MOUVEMENT BROWNIEN
toutefois que Jk converge en loi vers une gaussienne centrée de variance Var(X 1 ) = 1.
Le fait que cela soit égal à la loi de W 1 n'est pas une coïncidence, puisque nous al-
lons justifier que la trajectoire de la marche aléatoire convenablement renormalisée
converge vers celle d'un mouvement brownien (résultat connu sous théorème de Dons-
ker, voir Breiman [3]), voir figure 1.5.
Proposition 1.5.1 Définissons (ytn)t le processus constant par morceaux
1 n
ytn = Vii LXi.
i L nt J
(1.5.1)
Le processus (ytn)t converge en loi vers un mouvement brownien (Wt)t quand n tend
vers l'infini. En particulier, pour tout fonctionnelle continue <P, on a
lim IE(<p(ytn : t < 1)) = IE(<p(W t : t < 1)).
n-+cx>
Le dernier résultat donne un moyen simple d'évaluer numériquement des espérances
de fonctionnelles du mouvement brownien. C'est le principe des méthodes d'arbre
binomiale (la terminologie binomiale provenant du fait que pour t fixé, ytn a une
distribution binomiale décalée).
.
,
D.S
.u .u
.u
-1 -1
.1.5 .1
.1.5
.
1.5 1.5 1.5
FIGURE 1.5 - La marche aléatoire renormalisée en temps et espace. De gauche à
droite: le processus yn pour n = 50, 100, 200. Les parties de même type/couleur sur
les graphes sont construites avec les mêmes Xi,
PREUVE:
Pour prouver ce résultat, nous partons d'un mouvement brownien W et construisons
des (Xi)i ad hoc. Pour n fixé, nous posons To = 0 et
W t n = Vii W .!. ,
n
(1.5.2)
(1.5.3)
(1.5.4)
(1.5.5)
Ti+l = inf{t > Ti : wt - W Ti = ::i:1},
Xi = W Ti + 1 - W Ti ,
n
- 1 -
Yin = vn L.J Xi.
i lntJ
(avec la convention de inf 0 = +(0).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
21
Lemme 1.5.2
Pour chaque n, nous avons
a) W n est un mouvement brownien standard.
b) (Ti)i est une suite de temps croissante qui prend des valeurs finies avec probabilité
1.
c) Les v.a. (Xi)i sont des v.a. indépendantes de m me de loi de Bernoulli que (Xi)i.
d) Les processus yn et Y ont m me loi.
PREUVE:
Le a) découle de l'invariance par changement d'échelle. (Ti)i est une suite de
temps d'arrêt (par rapport au brownien W n ). Sur l'évènement Ti < 00, Ti+1 -Ti
est le temps d'atteinte de ::i:1 pour le mouvement brownien translaté W n Ti , donc
il est fini avec probabilité 1. Cela prouve b). Par définition des T i + 1 , Xi = ::i:1
et par symétrie du brownien, JP>(X i = ::i:1) = . Ces variables sont indépendantes
car wn Ti est indépendant de (wt : t < Ti), ce qui donne le c). Le d) découle
des assertions précédentes. D
Puisque yn et yn ont même loi, il suffit de montrer que yn converge presque sûrement
vers W. Notons 'Ti = . En jouant sur les changements d'échelle en temps et espace,
nous remarquons que
Ti+! = inf{t > Ti : W t - W"-i = ::1: Jn }, Yin = W"-LntJ+l"
Montrons maintenant qu'à t fixé
lim 'TLntJ+l = t p.s..
n--+ ex>
(1.5.6)
Pour cela, remarquons que 'TLntJ+1 = Ei LntJ ('Ti+1 - 'Ti) et que ('Ti+1 - 'Ti)i sont des
variables indépendantes et de même loi. Leur loi commune est celle de . Il est possible
de montrer (voir exercice 2.3) que Tl est d'espérance 1 et a des moments finis de tout
ordre. On déduit alors d'une part que IE('TLntJ+1) = Ei LntJ = Lnt +l . D'autre part,
en utilisant que les v.a. ('Ti+1 - 'Ti - )i sont centrées et indépendantes, on obtient
lntJ + 1 4 E l 2 1 2
IE('TLntJ+1 - ) = 2 IE('Ti+1 - 'Ti - -) ('Tj+1 - 'Tj - -)
n n n
i<j LntJ
14
+ L..J IE('Ti+1 - 'Ti - n )
i LntJ
=2 E
i<j LntJ
[IE(T 1 - 1)2]2 + IE(T 1 - 1)4 < C .
n 4 L..J n 4 - n 2
i LntJ
Il d , l ,, ( L nt J +1 ) 4 d " ( L nt J +l ) 4
en ecou e que L.."n>l .ICI 'TLntJ+1 - n < 00, onc L.."n>l 'TLntJ+1 - n < 00
p.s. . En particulier la érie de terme général ('TLntJ+1- Lnt +1 )4 tend p.s. vers O. Comme
Lnt +l -+ t, on conclut à (1.5.6).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
22
1.5. CONSTRUCTION DU MOUVEMENT BROWNIEN
Dans (1.5.6), il reste à passer d'un ensemble Nt de probabilité nulle pour chaque t à un
ensemble N de probabilité nulle pour tous les t. C'est possible en utilisant la croissance
de t 7LntJ+l (voir la preuve de la Proposition 2.3.3). Nous obtenons alors qu'avec
probabilité 1, lim n -+ oo 7LntJ+l = t pour tout t. Cela conclut la preuve de convergence
p.s. de yn vers W. D
1.5.2 Pont brownien
Le pont brownien est un processus gaussien qui joue un très grand rôle dans les
applications et les simulations numériques.
Définition 1.5.3 Soit W un mouvement brownien standard. Le pont brownien entre
o et 1 est le processus gaussien défini sur [0, 1] par
B ,l = W t - tW 1 .
(1.5.7)
C'est un processus à trajectoires continues, qui vaut 0 aux temps 0 et 1. Sa fonction
de covariance est donnée, pour 0 < s < t < 1,
COV(B ,l, B ,l) = 8(1 - t).
Plus généralement, B 'v désigne le pont brownien entre u et v, c'est à dire un processus
gaussien construit à partir de W, et contraint à valoir 0 en u et v, soit pour u < t < v
uv ( ) t-u ( )
Bt' = W t - Wu - W v - Wu .
v-u
(1.5.8)
Sa fonction de covariance est alors égale pour u < 8 < t < v à
K ( s t ) = C ov ( BU,V BU,V ) = (s - u)(v - t)
, s' t ( ) .
v-u
Pour comprendre l'importance du pont brownien, remarquons que le mouvement
brownien conditionné à valoir 0 en 1 est un pont brownien.
Proposition 1.5.4
1) Soit W un mouvement brownien standard. Le pont brownien B ,l = W t - tW 1 est
indépendant de W 1 .
2) La loi conditionnelle de {W t ; 0 < t < 1} sachant que W 1 = y est la loi d'un pont
brownien translaté de ty, c'est à dire la loi de B ' 1 + ty. En particulier, la loi de
{W t ; 0 < t < 1} sachant que W 1 = 0 est celle du pont brownien.
3) Plus généralement, B 'v est indépendant de (W z ; z > v), et de (W z ; z < u) et pour
u<t<v
t-u v-t
W t = W v + Wu +B 'v
v-u v-u
(1.5.9)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
23
En particulier, si les intervalles ([Ui, Vi])iEI sont disjoints, les ponts browniens
(BUi,Vi )iEI sont indépendants.
PREUVE :
i) Comme West un processus gaussien, le couple (W t - tWl, Wl) est un couple gaus-
sien, dont les coordonnées sont indépendantes, car Cov(W t - tW 1 , Wl) = t - t x 1 = O.
Cette propriété suffit à justifier que le pont brownien est indépendant de Wl.
ii) On peut donc reconstruire le brownien comme une fonction déterministe du temps,
du pont brownien et de la v.a. indépendante W 1 . Par les propriétés des lois condition-
nelles, la loi de W sachant que Wl = y est celle du processus ty + B ' 1. En particulier,
le brownien conditionné à valoir 0 en t = 1 a la loi d'un pont brownien.
iii) Les propriétés d'indépendance sont montrées en vérifiant que les covariances du
pont brownien avec des coordonnées de W d'indices supérieures à v ou inférieures à u
sont égales à O. D
1.5.3 Convergence de l'approximation par pont brownien
[0,1] : construction de Lévy
Dans cette section, nous détaillons la construction de Lévy du mouvement brow-
nien, par pont brownien. Basée sur la décomposition (1.5.9), elle consiste à construire
le mouvement brownien sur les dyadiques, en raffinant à chaque étape la représenta-
tion. Nous suivons de très près la présentation et les notations de S. Perez [25].
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
2 points -
4points ____u_
8 points -
16 points
0.2
0.4
0.6
0.8
FIGURE 1.6 - Construction récursive du brownien par utilisation de ponts, pour n =
1,2,3,4.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
24
1.5. CONSTRUCTION DU MOUVEMENT BROWNIEN
Étude du mouvement brownien discrétisé sur les dyadiques. Désignons par
II»n = {k/2n : 0 < k < 2 n } l'ensemble des nombres dyadiques d'ordre n. Cet ensemble
peut être vu comme un raffinement de l'ensemble des dyadiques d'ordre n-1, puisque
un dyadique d d'ordre n, qui n'est pas d'ordre n - 1 est compris entre les deux
dyadiques d'ordre n - 1, d+ = d + 2- n et d- = d - 2- n (voir la figure 1.6).
D'après l'équation (1.5.9), il est nécessaire que
1 (d+ d-)
Wd = 2 (W d + + W d - ) + B d '
où la v.a. B d+ ,d-) est gaussienne, de variance 2-(n+l), indépendante de tout ce qui
se passe en dehors de l'intervalle [d-, d+].
Construction par raffinement du mouvement brownien sur les nombres
dyadiques. Pour la construction, nous nous donnons donc une «base» de v.a. gaus-
siennes N(O, 1) (Zd; d E II») indépendantes, qui jouent le rôle des v.a. B d+ ,d-) nor-
malisées.
Soit W o = 0 et W 1 = Zl. Dans le procédé inductif, pour chaque n nous cherchons à
construire Wd pour d E II»n, tel que
- Pour tout r < s < t dans II»n, les accroissements gaussiens W t - W s sont
indépendants de W s - W r ;
- Wd pour d E II»n sont globalement indépendants de Zd pour II» \ II»n.
Supposons la construction faite jusqu'en n - 1. Nous définissons pour tous les d E
II»n \ II»n-l la v.a. Wd par
1 (n+l)
Wd = 2 (W d + + W d -) + 2- 2 Zd. (1.5.10)
Par construction ! (W d + - W d - ) et 2- (nt l ) Zd sont des gaussiennes indépendantes de
variance 2-(n+l). Leur somme et leur différence Wd - W d - et W d + - Wd sont donc
aussi des gaussiennes indépendantes mais de variance 2- n .
Construction des courbes approximantes. Nous donnons une représentation
de la courbe approchée en interpolant entre les valeurs (Wd; d E II»n) uniquement en
termes de (Zd; d E II»n) .
Formellement, cela revient à introduire les f.a. Fo(x) = XZl et pour n > 1
{ 2- (nt l ) Zd pour x E ID>n \ ID>n-l,
Fn(x) = 0 pour x E ID>n-l,
linéaire pour deux points consécutifs de ID>n.
Ces fonctions sont continues sur [0,1] et pour tout n et d E ID>n
n 00
Wd = LFi(d) = LFi(d)
i=O i=O
(1.5.11)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
25
car par récurrence, comme pour 0 < i < n -1, Fi est linéaire sur [d- , d+], Fi (d) = (Fi ( d-) +
Fi(d+)) et
n-l n-l n-l
L Fi(d) = (L Fi(d-) + L Fi(cP-)) = (Wd- + W d +).
i=O i=O i=O
(n+l)
Comme Fn(d) = 2---r- Zd, nous avons exactement la formule (1.5.10)
Convergence uniforme. Il reste à montrer que la série (1.5.11) est uniformément
convergente. Utilisant la majoration exponentielle pour les queues des v.a. gaussiennes
c 2 n
JP>[lZdl > cyln] < exp ( - 2 )
(1.5.12)
nous voyons que la série En EdED n JP>[lZdl > cvnJ converge si c > y 210g 2. D'après le
lemme de Borel-Cantelli, il existe un nombre aléatoire N, fini p.s., tel que pour tout n > N
et d E ID>n et donc IIFnlloo < cyln2- n / 2 . La série E:o Fi(t) est uniformément convergente
sur [0, 1], et a une limite continue pour tout réelle long des dyadiques que nous notons W t .
Propriétés du processus limite. Pour montrer que le processus ainsi défini est à
accroissements indépendants et stationnaires, on utilise que les propriétés des distributions
gaussiennes montrées sur les dyadiques passent à la limite p.s.
Nous avons donc construit un mouvement brownien sur [0,1].
.i
D
1.5.4 Décomposition du mouvement brownien en séries de
Fourier
Nous terminons par une autre représentation du mouvement brownien comme une su-
perposition de signaux gaussiens.
Proposition 1.5.5 Considérons (Gm)m O une suite de variables gaussiennes centrées ré-
duites indépendantes. Alors
W t = Co + fi L sin(mt) Cm
Vi y; > m
m_l
est un mouvement brownien standard sur l'intervalle [0, 7r].
PREUVE:
Nous esquissons la preuve. La série est p.s. convergente car c'est une suite de Cauchy
dans £2 du fait de l'indépendance des variables gaussiennes :
ilL
ml m m2
sin(mt) G m ll1 =
m 2
ml m m2
sin 2 (mt) <
m 2 - L..J m 2
ml m
converge vers 0 quand ml tend vers l'infini. La limite est gaussienne car c'est la limite
p.s. de gaussienne (voir Proposition A.1.1 en appendice). De même, le processus W
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
26
1.6. EXERCICES
est gaussien. Il est centrée et sa covariance est la limite de la covariance des sommes
partielles (encore Proposition A.l.l). On obtient donc
(W; w: ) _ ts 2 sin(mt) sin(ms)
\L.OV t, s - + L..J .
7r 7r m m
m l
Il reste à prouver que cette série est égale à min(s, t) pour (s, t) dans [0,7r]. Cela
se montre de manière standard en calculer les coefficients de Fourier de la fonction
t E [-7r, 7r] min(s, t) (s fixé). Pour montrer que West continue, il reste à montrer
la convergence uniforme de la série, ce que nous laissons au lecteur. Au final, West
un processus continu gaussien centré avec la bonne fonction de covariance: c'est un
mouvement brownien standard. D
1.6 Exercices
Exercice 1.1 Quelques identités remarquables sur les variables gaussiennes.
1. Transformation de Box-Muller. Soient p et 8, deux variables aléatoires indépen-
dantes, la première de loi &(1/2) et la seconde de loi uniforme sur [0, 27r]. Montrer que
JPsin(8) et JPcos(8) sont deux v.a. normales N(O, 1) indépendantes.
En déduire une manière de simuler deux v.a. normales indépendantes à partir de deux
v.a. de loi uniforme sur [0, 1] indépendantes.
2. 1ère application. X et Y désignent deux v.a. normales centrées réduites indépen-
dantes. Montrer que X/Y a la loi de Cauchy, c.à.d. de densité
1
7r(1 + x 2 ) .
3. 2nde application. Montrer que
Z = 2XY X 2 - y 2
et W=
V X2 + Y2 V X2 + Y2
définissent de nouveau deux v.a. N(O, 1) indépendantes.
Exercice 1.2 Variables aléatoires log-normales.
Soit X = e Y où Y est de loi N(J.L, a 2 ). On dit que X est de loi Log-Normale.
1. Trouver
(a) la fonction de densité f de la v.a. X;
(b) IE(X) et Var(X).
2. M<;>ntrer que si Xl, ..., X n sont indépendantes de loi Log-Normale, alors leur produit
est aussi de loi Log-Normale.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
27
3. Un contre-exemple célèbre, d'après W. Feller. On prend J.L = 0 et u = 1. Soit lai < 1
on définit
fa(X) = (1 + asin(21r log(x))) f(x).
(a) Montrer que fa est une densité de probabilité.
(b) Montrer que fa admet des moments de tout ordre qui ne dépendent pas de a.
( c) U ne variable aléatoire est-elle caractérisée par ses moments polynomiaux?
(d) Trouver des fonctions <p : 1R .-+ 1R non nulles dont la projection orthogonale
sur l'espace vectoriel des polynômes de degré n est nulle (projection au sens du
produit scalaire induit par la loi log-normale de X), c'est-à-dire
JE( <p(X)X n ) = 0,
'fin E N.
Exercice 1.3 Une autre définition du mouvement brownien.
a) Montrer qu'un processus (Xt)tEIR+ à trajectoires continues est un mouvement brow-
nien si et seulement si :
i') Xo = 0,
ii') (Xt)tEIR+ est un processus gaussien centré,
iii') Cov(Xs, X t ) = inf(s, t).
b) En déduire que si W t est un mouvement brownien, Xt = t Wl l'est aussi.
t
Exercice 1.4 Superposition de mouvements browniens.
1. On considère deux mouvements browniens indépendants (WI,t)t O et (W2,t)t O. Pour
un paramètre fixé p E [-1, 1], on définit le processus B par
Bt = pWI,t + V I - p2W2,t.
Montrer que B est aussi un mouvement brownien.
2. Calculer la corrélation entre les variables aléatoires Bt et WI,t (à t fixé).
3. Considérons maintenant n( > 2) mouvements browniens indépendants (WI,t)t O, .. .,
(Wn,t)t O, et notons A une matrice orthogonale de taille n x n (A* A = ln où *
correspond à la transposition). Posons
BI,t
WI,t
=A
Wn,t
Bn,t
Montrer que chaque Bi = (Bi,t)t O est un mouvement brownien.
4. Calculer la corrélation entre Bi,t et Bj,t (à t fixé) pour 1 < i < j < n.
5. Etendre les résultats des questions 3) et 4) au cas où A n'est pas une matrice ortho-
gonale.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
28
1.6. EXERCICES
Exercice 1.5 Invariance par translation.
- Pour quel type de temps U > 0, {W t U = Wt+u - Wu; t E lR+} est-il un mouvement
brownien standard ?
- Donner un exemple de U où WU n'est pas un mouvement brownien.
Exercice 1.6 Invariance par changement d'échelle.
Pour y > 0, soit Ty = inf{t > 0 : W t = y} le temps d'atteinte de y par W.
2
1. Montrer que Ty a même loi que J,2 .
1
2
Indication: on pourra montrer que JP>(T y < t) = JP>(suPs5t W s > y) = JP>( J, < t), en
jouant pour la dernière égalité sur les propriétés du supremum du brownien.
2. Prouver que Ty est une variable aléatoire avec densité donnée par
y y2
hy(t) = ...n;;t3 exp( -- 2 )lJR+ (t).
21rt 3 t
3. Quels moments de Ty sont finis?
Exercice 1.7 Soient (Ws)s>o un mouvement brownien, a, b E 1R et 0 < tl < t < t2. Montrer
que W t sachant W t1 = a et W t2 = b est de loi normale de paramètres
t - tl (b ) 2 (t2 - t)(t - tl)
J.L=a+ -a etu = .
t2 - tl t2 - tl
Exercice 1.8 Les trajectoires browniennes sont holdériennes d'exposant -.
Nous établissons que pour tout a < , il existe une variable aléatoire Cex (positive et finie),
telle que
IW t - Wsl < Cexlt - slex, \7'(s, t) E [0, 1].
(1.6.1)
Pour cela, nous rappelons le lemme (de nature déterministe) de Garsia-Rodemich-Rumsey
(Indiana University Mathematics Journal, Vo1.20(6), p.565-578, 1970). Pour une fonction
continue f, posons AI = fol fol I :I J-Y ds du avec m > 0 et 'Y > O. Alors
11(t) - l(s)1 < 8A}I'Y m + 2 It - slm h , \1'(s, t) E [O,IJ.
m
1. Donner une condition suffisante sur m et 'Y pour que la variable aléatoire Aw prenne
presque sûrement des valeurs finies.
2. En déduire le résultat (1.6.1) cherché.
Exercice 1.9 Comportement du brownien en 0 : loi du logarithme itéré (Khint-
chine, 1924).
Nous prouvons la propriété suivante :
1 . Wt 1
Imsup - ( ) = + p.s.,
t!O <p t
1 . . f Wt 1
Imln - = - p.s.
t!O <p( t)
où <p(t) = V 2t log(log 1ft).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN
29
1. Déduire le résultat de la limite inf de celui de la limite sup.
Pour démontrer la limsup, nous aurons besoin du lemme de Borel-Cantelli. Considérons une
suite d'évènements (An)n :
- (sens direct) En l JP>(A n ) < +00 implique JP>(A n infiniment souvent) = 0;
- (réciproque) si de plus les évènements (An)n sont indépendants, alors En l JP>(A n ) =
+00 implique JP>( An infiniment souvent) = 1.
2) Soit 8 > O. Commençons par prouver que
JP> ( lim sup w; ( t ) < 1 + 8 ) = 1. (1.6.2)
t!O <p t .
Posons t n = qn pour q E]O,l[, C n = {W t > (1 + 8)<p(t) pour un t E [tn+l, t n [} et
Mn = SUPt<t W t .
_n
e- x2 / 2 -3: 2 /2
2a) Montrer JI»(W t > x.../i) < ..j27i ' Vx > 0 et JI»(W t > xVi) "''''-+00 e "f21f .
X 211" x 11"
2b) En déduire la majoration
c
JP>(C n ) < 2JP>(W tn > (1 + 8)<p(t n +l)) <
(n + l)À v l og (n + 1)
avec À = q( 1 + 8)2, pour un certaine constante c.
2c) Des questions précédentes, établir (1.6.2). Conclure.
3) Soit 8 > 0, montrons
JP> ( limsu p w; ( t ) > 1 - 8 ) = 1.
t!O <p t
Pour cela, définissons Zn = W tn - W tn + 1 .
3a) Supposons que pour tout € > 0, nous avons
JP> (Zn> (1 - €)<p(t n ) infiniment souvent) = 1.
Déduire alors (1.6.3), et conclure.
3b) A l'aide du lemme de Borel-Cantelli, prouver (1.6.4).
(1.6.3)
(1.6.4)
Exercice 1.10 Convergence des gaussiennes.
a) Soit (an)n une suite de nombre réels, telle que pour tout À E lR, exp(iÀa n ) converge.
Montrer que la suite (an)n converge.
b) Soit (Xn)n une suite de v.a.r. gaussiennes qui converge en loi vers une v.a. X. Montrer
que X est une v.a. gaussienne dont les moyenne et variance sont les limites de celles
de (Xn)n. Que dire si X n tend vers X dans L2 ou en probabilité?
c) Montrer que, si (Xn)n est un processus gaussien convergeant vers X en probabilité,
alors X est gaussien et la convergence a lieu aussi dans L 2 .
d) Application. Quelle est la loi de fol Wsds?
En utilisant l'invariance par changement d'échelle, donner celle de f; W s ds pour t > 0
fixé.
Exercice 1.11 * A propos du maximum du mouvement brownien et de ses temps
d'atteinte.
La notation X loi y signifie que les v.a. X et Y ont même loi.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
30 1.6. EXERCICES
. 1ère question. On étudie l'égalité
loi . W
sup W t = vT SUp t,
O t T O t l
(.)
où T est un temps positif (éventuellement aléatoire).
la) Justifier que (.) est vrai si T est un temps déterministe.
1 b) Prouver que le résultat (.) est encore vrai si T est une v.a. positive indépendante de
W.
Dans la suite de la question 1), nous exhibons un contre-exemple à l'égalité (.). Pour cela,
nous introduisons le temps d'arrêt px = inf{t > 0 : W t = x} (pour x > 0), avec la convention
inf 0 = +00.
1c) Justifier que px prend des valeurs finies avec probabilité 1.
Id) Prouver les relations suivantes:
JP>( Viii. sup W t < 1) > JP>(PI < 1/4, P2 > 1) > JP>(PI < 1/4)JP>(PI > 1).
O t l
le) Conclure que T = Pl fournit un contre-exemple à (.).
. 2ème question. Dans cette question, Tl désigne une v.a.r. de loi exponentielle £(A)
indépendante du mouvement brownien W. Nous rappelons que la loi de Tl a pour densité
Ae-Àtlt O sur 1R+ et que la loi exponentielle symétrique de paramètre A (notée £S(A)) est
associée à la densité e-Àltl sur 1R.
2a) Pour une v.a. X de loi £S(A), calculer sa fonction caractéristique JE(e iuX ) (u E 1R).
2b) Montrer que WTl a la loi exponentielle symétrique avec un paramètre qu'on précisera.
2c) En déduire la loi de sUPO t Tl W t .
2d) Pour y > 0 et x < y, montrer que
JP>( sup W t > y, WTl < x) = _ 2 1 e -V2À(2y-x) .
O t Tl
2e) Identifier la loi conditionnelle de sUPO t Tl W t sachant WTl = x.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ
31
Chapitre 2
Équation de la chaleur et
formule d'Itô
2.1 Introduction
Les premières propriétés du mouvement brownien mises en évidence par Bachelier et Ein-
stein concernent le lien entre la distribution du mouvement brownien issu de x, et l'équation
de la chaleur.
En fait, ces auteurs déduisent de la propriété d'accroissements indépendants et de la sta-
tionnarité du phénomène modélisé que la densité Pt(x, y) de la loi de x + W t , qui n'est pas
supposée gaussienne a priori, ne dépend que de y - x et vérifie l'équation de convolution,
L Pt(x, y)ph(Y, z)dy = Pt+h(X, z)
(2.1.1)
Citons les arguments de Bachelier, dans "Théorie de la spéculation" pour justifier cette
relation.
«Désignons par Pt (x)dx la probabilité pour qu'à l'époque t le cours se trouve au
niveau x, c'est à dire plus exactement soit compris dans l'intervalle élémentaire
[x, x + dx].
Cherchons la probabilité pour que le cours z soit coté à l'époque t + h, le cours
x ayant été coté à l'époque t. En vertu du principe de la probabilité composée,
la probabilité cherchée sera égale au produit de la probabilité pour que le cours
x soit coté à l'instant t multipliée par la probabilité pour que le cours x étant
coté à l'instant t, le cours z soit coté à l'instant t + h, c'est à dire multipliée
par Ph(Z - x)dz. La probabilité cherchée est donc
Pt(X)Ph(Z - x)dxdz.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
32
2.2. L'ÉQUATION DE LA CHALEUR
Le cours pouvant se trouver à l'époque t dans tous les niveaux x possibles, la
probabilité pour que le cours z soit coté à l'instant t + h sera
(+oo
Pt+h(Z) = J -00 Pt (X)Ph(Z - x)dx.
»
Bachelier conclut en montrant que cette équation est vérifiée par les fonctions de la forme
A2 2
Ate-1I" t X pour lesquelles la fonction A est inversement proportionnelle au temps. Il n'en-
visage pas a priori d'autres types de fonctions.
L'argument heuristique de Bachelier ne serait plus accepté comme une démonstration à
notre époque. Les hypothèses exactes qui garantissent qu'un phénomène à accroissements
indépendants homogènes et centrés soit un mouvement brownien demande d'introduire une
hypothèse supplémentaire 1, à savoir que
lim !JP>(IWtl > e) = 0
t-+O t
(hypothèse qui n'est pas vérifiée pour le processus de Poisson, qui est bien pourtant à accrois-
sements indépendants et stationnaires). Ce résultat montre néanmoins la grande généralité
des situations qui peuvent être modélisées par un mouvement brownien.
2.2 L'équation de l(), chaleur
Revenons à la loi de x+ W t de densité gaussienne g(t, x, y) := g(t, y-x) = v' 1I"t exp( -(y-
x)2/2t), souvent appelée dans ce contexte noyau de la chaleur. L'une des propriétés fonda-
mentales de ce noyau est la propriété de convolution exploitée par Bachelier,
g(t + s, x, y) = L g(t, X, z)g(s, z, y)dz
(2.2.1 )
qui traduit que x + Wt+h est la somme des variables gaussiennes indépendantes x + W t et
Wt+h - W t .
Un calcul direct sur la densité montre que le noyau gaussien est solution de l'équation de
la chaleur, c'est à dire de l'équation aux dérivées partielles (EDP)
g (t, x, y) = g;y(t, x, y),
g (t, x, y) = g ",(t, x, y).
(2.2.2)
La densité gaussienne satisfait à l'équation de la chaleur (2.2.2), par rapport aux deux
variables x et y. Cette propriété est étendue à une vaste classe de fonctions construites à
partir du mouvement brownien.
1. La preuve peut être trouvée dans le livre de Breiman [3].
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 33
2.2.1 Le cas simple de fonction f(x)
Théorème 2.2.1 Considérons la fonction u(t, x, f) = JE[f(x+ W t )] = IR g(t, x, y)f(y)dy, où
f est une fonction borélienne et bornée 2. La fonction u est indéfiniment dérivable en espace
et en temps pour t > 0 et vérifie l'équation de la chaleur,
u (t, x, 1) = t4",(t, x, 1), u(O, x, 1) = f(x). (2.2.3)
PREUVE :
La fonction u(t, x, f) = JE[f(x+ W t )] = IR g(t, x, y)f(y)dy est très régulière pour t > 0,
car la densité gaussienne (le noyau de la chaleur) est indéfiniment dérivable, à dérivées
bornées pour t > a (a > 0). Il vient par dérivation sous le signe intégral que
u (t, x, 1) = L g (t, x, y)f(y)dy,
u ",(t, x, 1) = L g ",(t, x, y)f(y)dy.
Utilisons maintenant que g(t, x, y) satisfait l'équation de la chaleur en x, alors
(t, x, 1) = u ",(t, x, 1), u(O, x, 1) = f(x). (2.2.4)
D
Lorsque la fonction considérée est régulière, une autre formulation peut être donnée à
cette relation, qui jouera un rôle important dans toute la suite.
Proposition 2.2.2 Si f est une fonction bornée de classe C (2 fois dérivable à dérivées
bornées 3 ), on a
u (t, x, 1) = u(t, x, f:,'",),
soit sous une forme plus probabiliste
lE[f(x + W t )] = f(x) + lot 1E[ f:,'",(X + Ws)]ds.
(2.2.5)
PREUVE :
Représentons la fonction u(t, x, f) comme
u(t, x, 1) = lE[f(x + W t )] = L g(t, 0, y)f(x + y)dy = L g(t, x, z)f(z)dz
et dérivons sous le signe intégrale, pour une fonction f deux fois dérivable, à dérivées
bornées. On a
u (t, x, f)
L g(t, 0, y)f:,'", (t, x + y)dy = u(t, x, t:",) = L g ",(t, x, z)f(z)dz,
L g (t, x, z)f(z)dz = L g ",(t, x, z)f(z)dz = u(t, x, f:,'",),
u x(t, x, f)
2. Cette condition peut être relaxée en 1!(x)1 < C exp ( 1; 2 ) pour tout x, avec des constantes
positives C et et : dans ce cas-là, la régularité de la fonction u est assurée pour t < et seulement.
3. Comme pour le théorème 2.2.3, l'hypothèse de bornitude peut être relâchée en la condition
1!(x)1 + 1! (x)1 + 1!:x(x)1 < C exp ( 1; 2 ) pour tout x, avec des constantes positives C et et > t.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
34
2.2. L'ÉQUATION DE LA CHALEUR
en utilisant que 9 satisfait l'équation de la chaleur. Pour avoir l'équation intégrale, il
suffit d'intégrer par rapport à t et d'expliciter les fonctions u(t, x, f:) et u(t, x, f:::IJ
comme des espérances. D
2.2.2 Le cas général de fonction f{t, x)
La Proposition 2.2.2 se généralise facilement au cas où f dépend aussi du temps. Nous
laissons la preuve au lecteur.
Proposition 2.2.3 Si f est une fonction bornée de classe C ,2 (1 fois dérivable en temps et
2 fois dérivables en espace, avec des dérivées bornées 4), on a
lE(f(t, x + W t )] = f(O, x) + l t lE(f:(s, x + Ws) + f:",(s, x + Ws)]ds.
Si l'on permute intégrale et espérance, l'égalité précédente se ré-écrit
lE(f(t,x + W t )] = f(O, x) + lE [l t U:(s,x + Ws) + f:",(s,x + Ws))dS] .
(2.2.6)
Il sera particulièrement intéressant de pouvoir utiliser ce résultat même si t est aléatoire. En
toute généralité, ce ne sera vrai que si t est un temps d'arrêt borné.
Théorème 2.2.4 Si f est une fonction bornée de classe C ,2, on a
lE(f(U,x + Wu)] = f(O,x) + lE [lU U:(s, x + Ws) + f:",(s,x + Ws))dS]
(2.2.7)
pour tout temps d' arrét borné U.
PREUVE:
Commençons par donner des variantes de la relation (2.2.6). Remarquons qu'elle aurait
aussi pu être écrite dans le cas où la condition initiale Xo est aléatoire, pour donner
par exemple :
1E(IAof(t, Xo+W t )] = lE [IAof(O, Xo) + IAo l t U: (s, Xo + Ws) + f:",(s, Xo + Ws))dS] ,
avec W indépendant de Xo et l'événement Ao ne dépendant que de Xo. Dans le même
esprit, il est tout aussi intéressant d'écrire cette relation sur le mouvement brownien
translaté {wt = W t + u - Wu; t E )R+} indépendant de la condition initiale x + Wu
(Proposition 1.3.3) : cela conduit à
1E(IA,J(t + U,x + Wu + Wn] IE[ IAuf(u,X + Wu) +
IAu l t U:(u+ s, x + Wu + W.n + f:",(U + s,X + Wu + W;'))dS]
4. l'hypothèse de bornitude peut être affaiblie en la condition I/(s, x)1 + Il:(s, x)1 + 1/ (s, x)1 +
I/ x(s, x)1 < C exp ( 1 2 ) pour tout (s, x) E [0, t] x IR, avec des constantes positives C et et > t.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ
35
pour tout évènement Au ne dépendant que des valeurs de {Ws : s < u}, soit encore
lE(lA,J(t+U,X+ Wt+u)] =1E[lA,J(U, X + Wu)
(t+u 1 ]
+ lAu lu U:(s,x+ Ws) + 2f ",(s,x+ Ws»ds .
Après ce préambule, posons Mt = f(t, x+ W t ) - f(O, x) - /;(f:(s, x+ Ws) + !f:x(s, x+
Ws))ds : observons alors que le calcul préliminaire nous a conduit à montrer
JE(lAu(Mt+u - Mu)) = 0
(2.2.8)
pour t > O. En particulier, en prenant Au = 0, nous obtenons que la f.a. (Mt )t>o est
d'espérance constante 5, égale à JE(M t ) = JE(M o ) = O. L'énoncé du théorème consiste
à étendre ce résultat pour t = U temps d'arrêt borné 6, disons par T.
Considérons d'abord le cas où U est un t.a. discret à valeurs dans {O = Uo < Ul <
. . . < Un = T} : alors
n-l n-l
JE(Mu) = LJE(MuI\Uk+l - MUI\Uk) = LJE(lu>Uk(M uk + 1 - M Uk )) = 0
k=O k=O
en appliquant l'égalité (2.2.8) puisque {U < Uk} (et donc son complémentaire) ne
dépend que des valeurs de {Ws : s < Uk} par définition d'un temps d'arrêt.
Si U est un t.a. borné plus général, on passe par une approximation 7 de t.a. (Un)n l
du type précédent convergente vers U. Le théorème de convergence dominée permet
alors de conclure: en effet, d'une part, MUn converge vers Mu car M est continu, et
d'autre part, (M t )o5t5T est borné par hypothèse sur la fonction f. D
Des exemples d'application du résultat précédent sont donnés en exercice, notamment
pour déterminer la loi de certains temps d'atteinte ou étudier la récurrence et la transience
du mouvement brownien multidimensionnel.
2.2.3 Application à l'équation de la chaleur dans un intervalle
Nous explicitons maintenant les solutions de l'équation de la chaleur dans un intervalle:
c'est une généralisation partielle 8 du Théorème 2.2.1, qui les caractérisait lorsqu'elles étaient
définies dans tout l'espace. L'introduction de donnée frontière de type Dirichlet est reliée au
temps de passage du mouvement brownien par cette frontière.
5. en fait, (2.2.8) montre que M est une martingale.
6. ce résultat sous une forme plus générale est connu sous le nom de théorème d'arrêt.
7. comme dans la preuve de la Proposition 1.3.8, on peut prendre {Un = (nU]+l )n>O décroissant
n -
vers U.
8. en effet, le résultat donne l'unicité et non l'existence.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
36
2.2. L'ÉQUATION DE LA CHALEUR
Proposition 2.2.5 (Équation de la chaleur avec condition de Dirichlet)
Considérons l'équation aux dérivées partielles
{ u (t, x) = u x(t, x), pour t > 0 et x E)a, b[
u(O, x) = f(O, x) pour t = 0 et x E [a, b).
u(t, x) = f(t, x) pour x = a ou b, avec t > O.
Si il existe une solution u de classe Ct,2 ([0, T] x [a, b)), alors elle est donnée par
u(t, x) = JE[f(t - U, x + Wu)]
avec U = Ta 1\ Tb 1\ t (selon les notations précédentes, Ty est le premier temps d'atteinte de
y par la f.a. (x + Wt)t o),
PREUVE:
Il convient d'abord de prolonger la fonction u à l'extérieur de l'intervalle [a, b], en une
fonction de classe Ct,2([0, T] x 1R) : la manière de procéder est en fait arbitraire car
seules ses valeurs à l'intérieur de l'intervalle [a, b) vont intervenir.
Il est clair que U est un t.a.. Appliquons maintenant l'égalité (2.2.7) à la fonction
(s, y) .-+ u( t - s, y) = v( s, y) de classe Ct,2 ([0, t] x 1R), satisfaisant v (s, y) + V;y (s, y) =
o pour (s, y) E [0, t) x [a, b]. On en déduit:
lE[v(U, x + Wu)] = '11(0, x) + lE [foU (v (s, x + Ws) + V;y(s, x + Ws))dS] = '11(0, x),
puisque pour s < U, (s, x + Ws) E [0, t] x [a, b]. Pour conclure, on vérifie facilement
que v(O,x) = u(t,x) et v(U,x+ Wu) = f(t - U,x+ Wu). D
2.2.4 Équation aux dérivées partielles pour le mouvement
brownien avec dérive
L'EDP obtenue pour le mouvement brownien standard (voir l'équation de la chaleur du
Théorème 2.2.3) s'étend sans difficulté au mouvement brownien avec dérive {Xf = x + bt +
uW t , t > O} introduit au paragraphe 1.3.1.
Pour cela, il convient de déterminer l'EDP satisfaite par la densité de la loi de X t , qui
est une loi gaussienne de moyenne x + bt et de variance u 2 t :
gb,u2 (t, x, y)
1 (y - x - bt) 2
exp-
V 21ru 2 t 2u 2 t
g(u 2 t, x + bt, y) = g(u 2 t, x, Y - bt).
Nous introduisons le générateur associé à ce processus, c'est-à-dire l'opérateur du second
ordre défini par
Lb.u2cP(X) = 0"2cP "'(X) + bcP (x).
(2.2.9)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 37
puisque 9(t, x, y) satisfait l'équation de la chaleur, la fonction x ---+ 9b,q2 (t, x, y) vérifie
Ôt9b.u2 (t, x, y) = U2 9 ",(U2t, x + bt, y) + b9 (U2t, x + bt, y) = Lb,u29b,u2 (t, x, y).
Proposition 2.2.6 Considérons une fonction f borélienne bornée. La fonction
Ub,u 2 (t, x, f) = IE[J(x + bt + uW t )] = L 9b.u 2 (t, x, y)J(y)dy
(2.2.10)
satisfait l'équation aux dérivées partielles
{ u (t, x, f)
u(O,x,f)
L b ,q2U(t, x, f) = !a2u x(t, x, f) + bu (t, x, f),
f(x).
(2.2.11 )
De plus, si f est une fonction de classe C ,2 et U un temps d'arrêt borné, alors
IE[J(t, X:)] = J(O, x) + l t IE[Lb,u2J(S, X:) + J:(s, X:)]ds,
IE[J(U, Xu)] = J(O, x) + IE[ lU Lb,u2J(S, x:) + J: (s, X:)ds].
(2.2.12)
(2.2.13)
PREUVE :
Pour obtenir (2.2.11), il suffit d'intégrer par rapport à la mesure f(y)dy, l'EDP satis-
faite par la aensité 9b,q2 (t, x, y) (considérée comme une fonction de x) . Nous laissons
en exercice les preuves de (2.2.12) et (2.2.13), qui se démontrent comme à la Proposi-
tion 2.2.3 et au Théorème 2.2.4. D
2.2.5 Commentaires
La représentation de la solution de l'équation de la chaleur (2.2.3) comme E[f(x + W t )]
montre que la trajectoire brownienne joue pour cette équation le même rôle que les caracté-
ristiques, solutions d'équations différentielles du premier ordre, pour la résolution des EDP
du premier ordre.
Mais l'étape la plus importante est de passer de ce calcul, vrai en espérance, à un calcul
trajectoriel.
Cette étape amorcée par Paul Lévy dans les années 30 a été complétée par K. Itô dans
les années 50. Plus précisément, Itô interprète la quantité
It(f) = J(x + W t ) - J(x) - l t J ",(x + Ws)ds
(2.2.14)
qui mesure la différence trajectorielle entre les deux membres de l'équation (2.2.5), comme
une intégrale stochastique. Ce faisant, il introduit un calcul différentiel stochastique, le calcul
d'Itô, vrai sur les trajectoires et non plus seulement en moyenne.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
38
2.3. VARIATION QUADRATIQUE
Si nous considérons une fonction {x(t); t E [0, T]}, dérivable en temps et f une fonction de
classe CI, par la règle de différentiation composée, nous savons que
f(Xt) = f(xs) + i t f (xu)x du.
(2.2.15)
Dans le cas déterministe ou stochastique, la justification de cette décomposition repose sur
l'étude des variations infinitésimales des fonctions aléatoires. Pour justifier le terme en dérivée
seconde qui apparaît dans le formule avec le mouvement brownien, nous étudions d'abord
les propriétés de la variation quadratique du mouvement brownien.
2.3 Variation quadratique
2.3.1 Notations et définitions
Les accroissements du mouvement brownien dans un petit intervalle (t, t+h) sont des v.a.
gaussiennes centrées de variance h, qui se comportent donc comme Vli. La variation totale
n'existe pas, car les trajectoires ne sont pas différentiables, mais la variation quadratique a
des propriétés intéressantes.
Pour la définir et pour la bonne suite du chapitre, nous allons considérer des subdivisions
particulières du temps.
Définition 2.3.1 (Subdivision dyadique d'ordre n) Pour n entier, posons ti = i2- n .
La subdivision de IR+ définie par ID>n = {to < . . . < ti < . . . } est appelée subdivision dyadique
d'ordre n. Le pas n de la subdivision est donné par n = 2- n .
Définition 2.3.2 (Variation quadratique) La variation quadratique d'un mouvement
brownien W associée à la subdivision dyadique d'ordre n est définie, pour t > 0, par
n = L (W ti + 1 - w ti )2.
ti t
(2.3.1 )
2.3.2 Convergence
On a alors le résultat remarquable suivant.
Proposition 2.3.3 (Convergence ponctuelle) Avec probabilité 1, on a
Hm n = t
n--. 00
pour tout t E IR+.
Remarque : Lorsque x est une fonction continûment différentiable de IR+ dans IR, la va-
riation quadratique n = Eto<t[X(ti+l) - X(ti)]2 tend vers 0 avec le pas de la subdivision.
1._
En effet, d'après le théorème des accroissements finis, n = Eto<t[x'(ti)(ti+l - ti)]2 <
1._
K2 n(T+ 1), où K est un majorant de Ix'(t)1 sur [O,T+ 1] et tend donc vers 0 si n tend
vers O.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ
39
PREUVE :
Montrons d'abord la convergence p.s. pour un temps t fixe, et notons n(t) l'indice de
la subdivision dyadique d'ordre n tel que tn(t) < t < t n (t)+l'
Remarquons alors que ytn -t = E; tJ Zj +( t n (t)+l -t) en posant Zj = (W tj + 1 - W tj )2_
(tj+l - tj). Le terme t n (t)+l - t converge vers 0 avec le pas de la subdivision. Quant
aux variables aléatoires Zj, elles sont indépendantes, centrées et de carré intégrable
(car W tj + 1 - W tj de loi gaussienne a des moments d'ordre 4) : la propriété d'échelle
de la Proposition 1.2.2 assure de plus que E(ZJ) = C2(tj+l - tj)2 pour une constante
positive C2. Alors
( ) 2
n(t) n(t) n(t)
lE Zj = IE (ZJ) = C2(tj+1 - tj)2 < C2(T + l)On.
Cela justifie la convergence dans £2(0, JP» de E; tJ Zj vers O.
On obtient aussi Ln 2: 1 lE (L; tJ Zj ) 2 < 00, c'est-à-dire que la série Ln2:1 (L; tJ Zj ) 2
est d'espérance finie: en particulier, avec probabilité 1, elle est convergente et donc
son terme général tend vers O. On a donc montré que pour chaque t fixe, il existe un
ensemble négligeable Nt tel que pour tout w fi. Nt, ytn(w) -+ t.
Reste à passer des négligeables Nt dépendant de t à un négligeable valable pour
tout t. L'ensemble N = UtEQ+N t est un candidat possible puisque JP>(UtEQ+N t ) <
EtEQ+ JP>( Nt) = O. Considérons maintenant un réel t arbitraire, vu comme la limite de
deux suites monotones de rationnels (rp)p l et (Sp)p l. Exploitant la croissance de
t ytn à n fixe, on déduit pour tout w fi. N
rp = lim Vr (w) < liminfytn(w) < limsupytn(w) < lim Vs (w) = sp.
n--.oo n--.oo n--.oo n--.oo
Reste à passer à la limite en p pour conclure.
D
Comme conséquence de cette propriété, nous avons la formule qui donne la décomposition
de wl.
Proposition 2.3.4 (Une première formule d'Itô) Soit W un mouvement brownien
standard. Avec probabilité 1, on a pour tout t > 0
W t 2 = 21 t WsdW s + t (2.3.2)
où l'intégrale stochastique J; WsdW s est la limite p.s. de Eti t W ti (W ti + 1 - W ti ), le long
des subdivisions dyadiques.
PREUVE :
Reprenant la notation avec n( t), on a
W t 2 W t 2 - W t 2 n (t>+1 + L(Wt +l - Wt )
ti t
W t 2 - Wt (t>+l + L(W ti + 1 - W ti )2 + 2 L W ti (W ti + 1 - W ti ).
ti t ti t
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
40
2.3. VARIATION QUADRATIQUE
Le premier terme du membre de droite tend vers 0 par continuité des trajectoires
browniennes. Le deuxième terme est égal à ytn et converge vers t. Par suite, le troi-
sième terme du membre de droite converge p.s. vers un terme que nous désignerons
par intégrale stochastique et que nous noterons 2 J; WsdW s . D
La f.a. ytn considérée comme fonction de sa borne supérieure t est croissante et peut
s'identifier comme la fonction de répartition de la mesure positive ponctuelle
L(W ti + 1 - W ti )2<5 ti (.) = tt n (.)
i O
vérifiant J.Ln(f) = Ei O f(ti)(W ti + 1 - W ti )2.
La convergence des fonctions de répartition de J.L n (.) (montrée à la Proposition 2.3.3)
peut alors être étendue à celle d'intégrales impliquant des fonctions continues (pouvant être
aléatoires). C'est l'objet du résultat suivant qui est de nature déterministe.
Proposition 2.3.5 (Convergence en tant que mesure positive) Pour toute fonction
continue f, on a avec probabilité 1
Hm L f(ti)(W tH1 - W t .)2 = t f(s)ds
n--.oo Jo
t.<t
1._
pour tout t > 0, la limite étant calculée le long des subdivisions dyadiques.
PREUVE :
La propriété est manifestement vérifiée sur les fonctions de type f(s) = Al]Tt. T 2](s)
puisque Et.<t f(ti)(W ti + 1 - W ti )2 = A ( - VT ) -+ A(r2 - rI) lorsque n tend vers
1._
l'infini. Par linéarité, cela reste encore vraie pour des fonctions étagées.
Maintenant, si f est continue, il existe une fonction étagée fe telle que SUPSE[O,t] If(s)-
fe(s)1 < €/(6t). Si l'on note Et.<t f(ti)(W ti + 1 - W ti )2 = J; f(s)J.Ln(ds), on déduit
1._
l t f(s)p,n(ds) -l t f(s)ds
< l t (f(s) - f.(s»p,n(ds) + l t f.(s)p,n(ds) -l t f.(s)ds + l t (f.(s) - f(s»ds
<:t vt + l t f.(s)p,n(ds) -l t f.(s)ds + :t t.
Pour n assez grand, le premier terme est majoré par €/3, le second par €/2 (conver-
gence dans le cas de fonctions étagées), le troisième par €/6, et donc la somme des
trois par €. D
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 41
2.4 La formule d 'Itô
Le calcul différentiel s'étend à d'autres fonctions que la fonction x -+ x 2 . Ce calcul est
nécessaire pour représenter trajectoriellement les variations infinitésimales de f (x + W t ),
mais à la formule classique du cas déterministe il faut ajouter un terme supplémentaire, dû
au fait que la variation quadratique limite n'est pas nulle.
Théorème 2.4.1 (Formule d'Itô) Soit f E C 2 (IR), une fonction deux fois dérivable. Alors
avec probabilité 1, on a pour tout t > 0
J(x + W t ) = J(x) + l t J (x + Ws) dW s + l t J::",(x + Ws) ds.
(2.4.1 )
Pour des fonctions f dépendant aussi du temps de manière régulière, la formule se généralise
sous la forme
J(t, x + W t ) =J(O,x) + l t J (s, x + Ws) dW s + l t J:(s,x + Ws) ds
1 r t " ( )
+2Jo fxx s,x+W s ds.
(2.4.2)
Le terme It(f) = J; f (s, x + Ws)dW s s'appelle l'intégrale stochastique de f (s, x + Ws) par
rapport au mouvement brownien: c'est la limite p.s. de
l';'(f, W) = L f (ti,X + Wti)(Wti+l - W ti )
ti t
le long de la subdivision dyadique d'ordre n.
Lorsque f a des dérivées bornées, l'intégrale stochastique It(f) est centrée: E(It(f») = 0
(comparer avec (2.2.6) et voir les commentaires autour de l'égalité (2.2.14»).
PREUVE :
Nous montrons le cas général où f dépend du temps.
Introduisons l'indice n(t) de la subdivision dyadique d'ordre n tel que tn(t) < t <
t n (t)+l; on peut alors écrire
f(t, x + W t ) = f(O, x) + [f(t, x + W t ) - f(t n (t)+l' x + Wtn(t>+l»)
+ L[f(ti+l,X + W ti + 1 ) - f(ti,X + W ti + 1 »)
ti t
+ L [f(ti, x + W ti + 1 ) - f(ti, x + W ti »).
ti t
(2.4.3)
- Le second terme du membre de droite [f(t, x+W t )- f(t n (t)+l' x+Wtn(t>+l») converge
vers 0 par continuité de f(t, x + W t ).
- Le troisième terme s'analyse à l'aide d'une formule de Taylor à l'ordre 1 :
f(ti+l,X + W ti + 1 ) - f(ti,X + W ti + 1 ) = f:(Ti,X + W ti + 1 )(ti+l - ti)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
42
2.4. LA FORMULE D'ITÔ
pour Ti E]ti, ti+l [. L'uniforme continuité de (W8)0 8 t+l assure que SUPi If: (Ti, X +
W ti + 1) - f: (ti, x + W ti ) 1 tend vers 0 : on en déduit alors
lim '" f: (Ti, x + W ti + 1 )(ti+l - ti)
n--.oo
ti t
lim '" f: (ti, x + W ti )(ti+l - ti)
n--.oo
ti t
lt J: (s, x + Ws)ds.
- Une formule de Taylor à l'ordre 2 permet de ré-écrire le quatrième terme de (2.4.3) :
on a
f(ti, x + W ti + 1 ) - f(ti, x + W ti )
f (ti, x + Wti)(Wti+l - W ti )
+ J;.,(tï, x + i)(Wti+l - W ti )2
où i est un point aléatoire de l'intervalle non ordonné (W ti , W ti + 1 ). Comme précé-
demment, la quantité SUPi If x(ti, x + i) - f x(ti, x + Wti)1 =-E n converge vers 0 et
conduit à
L (f::x(ti, x + i) - f::x(ti, x + Wti»(Wti+l - W ti )2 < En n,
ti t
lim L J;.,(ti, x + Wti)(Wtï+l - W ti )2) = r J;.,(s, X + Ws)ds,
n--.oo Jo
ti t
en appliquant enfin le résultat de convergence de V n en tant que mesure positive
(Proposition 2.3.5).
A noter que L f (ti,X + Wti)(Wti+l - W ti ) est nécessairement convergente en tant
ti t
que différence de termes convergeant.
Le fait que It (f) soit centrée sous des hypothèses supplémentaires sur f provient de
la comparaison des égalités (2.2.6) et (2.4.1). D
Il est maintenant facile d'en déduire une formule d'Itô pour le mouvement brownien avec
dérive {X: = x + bt + aW t , t > O}.
Corollaire 2.4.2 Soit f une fonction de classe C 1 ,2(IR). Alors avec probabilité 1, on a pour
tout t > 0
f(t, xt)
J(O, x) + lt J (s,X;)udWs + lt J (s,X;)bds
+ lt J:(s, X;) ds + lt u 2 J;.,(s, X;) ds.
PREUVE:
Une application directe de (2.4.2) à la fonction (t, y) g(t, y) = f(t, x + ay + bt)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ
43
donne le résultat puisque g (t, y) = f:(t, x + O'y + bt) + bf (t, x + O'y + bt), g (t, y) =
O'f (t, x + O'y + bt) et g y(t, y) = 0'2 f;y(t, x + O'y + bt). 0
Les fonctions u(t, x, f)
important.
E[f(x + W t )] introduites dans ce chapitre jouent un rôle très
Corollaire 2.4.3 Soit f une fonction continue, satisfaisant les hypothèses de croissance du
Théorème 2.2.1 et u(t, x, f) = E[f(x+ W t )] la fonction de classe C 1 ,2 pour t > 0 étudiée dans
le théorème précité.
La v.a. f(x + WT) admet une représentation comme intégrale stochastique
f(x + WT) = E[f(x + T)] + i T u (T - s, x + W., f)dW..
.(2.4.4)
Il s'agit de ce qu'on appelle un théorème de représentation d'une v.a. comme intégrale sto-
chastique. Il convient de bien noter que dans cette représentation la fonction intégrée dans
l'intégrale stochastique n'est pas la dérivée de la fonction f mais celle de la solution de l'EDP
u(t, x, f).
Ce théorème est particulièrement important en finance, car il permettra de construire
des stratégies de couverture de produits dérivés.
PREUVE :
Nous appliquons la formule d'Itô à la fonction régulière v(t, x, f) = u(T - t, x, f) où
u(t, x, f) = E[f(x + W t )] est solution de l'EDP
u (t, x, f) = u ",(t, x, f)
(2.4.5)
pour t < T. Ceci nous donne immédiatement que
u(T - t, x + W t , f) = u(T, x, f) + i t u (T - s, x + W., f)dW.,
pour tout t < T. Il reste à passer à la limite lorsque t tend vers T. Pour cela, il faut
remarquer que grâce à la continuité de f, on peut justifier 9 que v (t, x) est continue en
t = T et vaut f(x) à la limite.
Ici, l'intégrale stochastique foT u (T - s, x + Ws, f)dW s est définie comme la limite de
f; u (T-s, x+ Ws, f)dW s = limn--.ex> Et.<t U (T-ti, x+ W ti , f)(W ti + 1 - W ti ) lorsque
-
t tend vers T. Il n'est pas clair à ce niveau que c'est aussi limn--.ex> Eto<T U (T-ti, x+
-
W ti , f) (W ti + 1 - W ti ). Ces difficultés peuvent être levées avec la construction générale
de l'intégrale stochastique [27]. 0
9. si f est bornée, c'est une application directe du théorème de convergence dominée; si les hypo-
thèses de croissance sur f sont relâchées, il faut travailler sur v avec soin, à l'aide de sa représentation
comme intégrale contre une densité gaussienne.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
44 2.5. INTÉGRALE DE WIENER
2.5 Intégrale de Wiener
En général, il n'est pas possible de décrire explicitement la loi de l'intégrale stochastique
J; f (s, x+ Ws)dW s . Le Théorème 2.4.1 nous assure seulement que si f est à dérivées bornées,
c'est une variable aléatoire d'espérance nulle. Il existe pourtant une situation très importante
(au moins en finance) où l'intégrale stochastique à l'instant t a une loi gaussienne centrée :
c'est le cas de f (s, x) = h(s) indépendant de x. Dans ce cas, 1; h(s)dW s est appelée intégrale
de Wiener. Ses propriétés sont résumées dans le résultat suivant.
Proposition 2.5.1 (Intégrale de Wiener et intégration par parties) Soit f unefonc-
tion dérivable, à dérivée bornée sur [0, T].
1. Avec probabilité 1, on a pour tout t E [0, T]
lt Ws/'(s)ds + lt f(s)dW s = f(t)W t .
(2.5.1)
Le terme d'intégrale stochastique J; f(s)dW s est la limite p.s. de If(f, W) =
L f(ti)(W ti + 1 - W ti ) le long de la subdivision dyadique d'ordre n.
ti5t
2. La f.a. {J; f(s)dW s ; t E [0, T]} est un processus gaussien (voir Appendice A.l), à
trajectoires continues, centrée, de carré intégrable et de fonction de covariance
{t {S (SAt
CCOV(Jo f(u)dW" , Jo f(u)dW,,) = Jo f2(U)du.
(2.5.2)
3. Pour une autre fonction g analogue, on a
{t {S (SAt
<Cov(Jo f(u)dW u , Jo g(u)dW u ) = Jo f(u)g(u)du.
(2.5.3)
PREUVE:
La première partie est une application directe de la formule d'Itô (Théorème 2.4.1) à
la fonction (t, x) f(t)x.
Il reste à montrer le caractère gaussien et la convergence des moments. Pour ce faire,
rappelons (voir Proposition A.1.1 en Appendice A.1) que toute limite p.s. de v.a gaus-
siennes est une v.a. gaussienne, et que les moments d'ordre 1 et 2 convergent. Nous
appliquons cette propriété aux approximations gaussiennes Et. < t f (ti) [W ti + 1 - W ti ]
1._
dont la limite est l'intégrale stochastique. C'est donc une v.a. gaussienne, centrée et
de variance égale à la limite des variances Et. < t f2 (ti) (ti+ 1 - ti) des approximations.
1._
Il nous reste à appliquer les propriétés de l'intégrale de Stieltjes des fonctions conti-
nues pour voir que cette limite est 1; f2(S)ds. Cela montre les propriétés sur la v.a.
1; f(s)dW s . Pour avoir celles du processus, les arguments sont analogues. D
REMARQUES :
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 45
- Dans le cas déterministe, il suffit que la fonction f à intégrer soit continue, pour que les
sommes de Riemann convergent vers l'intégrale (voir la preuve ci-dessus). Dans le cas
stochastique, nous supposons que la fonction f est dérivable pour avoir la convergence
p.s. des sommes de Riemann vers l'intégrale stochastique.
- L'intégrale stochastique f; f(s, Ws)dW s s'appelle intégrale de Wiener pour f(s, Ws) =
f(s) déterministe et s'appelle intégrale d'Itô dans le cas général f(s, Ws) aléatoire.
- La relation IE(f; f(s)dW s )2 = J; f2(S)ds définit une isométrie entre les variables gaus-
siennes centrées et les fonctions f de carré intégrable. Notre construction de l'intégrale
de Wiener pour les fonctions f dérivables peut donc s'étendre à toute fonction f de
carré intégrable, en gardant les propriétés énoncées. En effet, pour f de carré inté-
grable, prenons une suite (fn)n de fonctions régulières convergeant quadratiquement
vers f : f;(f - fn)2(S)ds -+ O. Cette suite de fonctions est de Cauchy dans £2([0, t], ds)
et par l'isométrie, la suite de variables aléatoires (f; f n (s )dWs)n est de Cauchy dans
£2(0, JP». Notons sa limite de f; f(s)dW s . Chaque variable aléatoire f; fn(s)dW s est
une intégrale de Wiener, donc de loi gaussienne centrée et de variance f; f (s ) ds : cette
propriété gaussienne se préserve à la limite (voir Proposition A.1.1 en Appendice A.1),
ce qui montre que J; f(s)dW s est de loi gaussienne centrée et de variance f; f2(S)ds.
t t
POUR EN SAVOIR PLUS
t
2.6 Formule d'Itô pour d'autres processus que le
mouvement brownien
On aura remarqué que la propriété centrale pour la preuve du Théorème 2.4.1 est que le
mouvement brownien est à variation quadratique finie. En fait, cette propriété est satisfaite
par de nombreux processus stochastiques bâtis autour du mouvement brownien, ce qui sous-
entend qu'une formule d 'Itô est également valable pour ces processus.
2.6.1 Le cas uni dimensionnel
Dans ce paragraphe, nous considérons seulement des processus qui prennent des valeurs
réelles. L'extension multidimensionnelle est faite après.
Définition 2.6.1 (Variation quadratique d'un processus) Un processus continu X
est dit à variation quadmtique finie si pour t > 0, la limite
ytn = L(X ti + 1 - X ti )2
ti t
(2.6.1)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
46
2.6. FORMULE D'ITÔ POUR D'AUTRES PROCESSUS
le long des subdivisions dyadiques d'ordre n, existe presque sûrement et est finie 10. Cette
limite est notée (X)t et est appelée le crochet 11 de X au temps t.
Dans le cas brownien X = W, nous avons (X)t = t. De manière plus générale, il n'est pas
difficile de voir que le crochet (X) est un processus continu et croissant. On peut lui associer
une mesure positive d(X)t de sorte à étendre immédiatement la Proposition 2.3.5 à X.
Proposition 2.6.2 (Convergence en tant que mesure positive) Pour toute fonction
continue f, on a avec probabilité 1
lim L f(ti)(X tH1 - X ti )2 = r f(s)d(X}s
n--.oo Jo
t.<t
-
pour tout t > 0, la limite étant calculée le long des subdivisions dyadiques d'ordre n.
En reprenant la preuve du Théorème 2.4.1, on montre alors
Théorème 2.6.3 (Formule d'Itô pour X) Soit f E C 1 ,2{IR) et X un processus à varia-
tion quadratique finie. Alors avec probabilité 1, on a pour tout t > 0
f(t, X t ) = f(O, Xo) + l t f (s, Xs) dX s + l t f:(s, Xs) ds + l t f::",(s, Xs) d(X}so (2.6.2)
Le terme J; f {s, Xs)dXs s'appelle l'intégrale stochastique de f {s, Xs) par rapport à X
c'est la limite p.s. de
L f {ti, Xti){Xti+l - X ti )
ti5t
le long de la subdivision dyadique d'ordre n.
La formule d'Itô (2.6.2) peut aussi s'écrire sous forme différentielle
df(t, X t ) = f (t, X t ) dX t + f:(t, X t ) dt + f::",(t, X t ) d(Xh-
PREUVE:
Nous reprenons la preuve du Théorème 2.4.1, en supposant pour simplifier les écritures
que f ne dépend pas de la variable temps. L'indice n{ t) de la subdivision dyadique
d'ordre n est défini tel que tn(t) < t < t n (t)+l' Alors, on peut alors écrire
f{X t ) - f{Xo) =[f{X t ) - f{X tn (t)+l») + L[f{X ti + 1 ) - f{X ti »).
ti5t
- Le premier terme du membre de droite converge vers 0 par continuité des trajectoires
de X.
10. notre définition n'est pas standard par rapport à la littérature sur le sujet, où en général la
subdivision n'a pas besoin d'être dyadique et la convergence peut avoir lieu en probabilité seulement.
Nous privilégions ici les idées, au détriment du cadre général.
11. cette quantité joue un rôle important dans la théorie des martingales.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 47
- Une formule de Taylor à l'ordre 2 permet de ré-écrire le second terme: on a
f(X ti + 1 ) - f(X ti )
f;(XtJ(Xti+l - XtJ + f::",(Çi)(Xti+l - XtJ2
où Çi est un point aléatoire de l'intervalle non ordonné (Xti' X ti + 1 ). Pour presque
tout w E n, (Xs(w))s est continu, donc uniformément continu sur le compact [0, t +
1]. Cela assure que En = SUPi If x(Çi) - f X(Xti)1 tend vers 0 lorsque n -+ 00. Il en
découle
1 E f::x(Çi)(X ti + 1 - X ti )2 - E f::X(Xti)(Xti+l - X ti )21 < En Vin -+ 0,
t.<t t.<t
t_ t_
avec probabilité 1. Ainsi
lim E f::x(Çi)(X ti + 1 - X ti )2 = lim "" f::X(Xti)(Xti+l - X ti )2
n-+ ex:> n -+ ex:> L...J
ti t ti t
= l t t::",(Xs)d{X)sl
en exploitant la convergence de la variation quadratique (Proposition 2.6.2).
On a ainsi montré
f(Xt) - f(Xo) = J!. E f;(X t J( X t i+l - XtJ + i t t::",(Xs)d{X)so
t. <t 0
t_
D
La question qui vient maintenant est omment calcule-t'on pratiquement le crochet
d'un processus X? Le résultat suivant regroupe les règles de calcul les plus courantes.
Proposition 2.6.4 (Calcul de crochet) Considérons deux processus continus A et M
ayant les propriétés suivantes .-
- A est à variation finie 12 ;
- M est à variation quadratique finie.
Alors
1. (A)t = O.
2. si Xt = x + Mt, alors (X)t = (M)t.
3. si Xt = ÀM t , alors (X)t = À2(M)t.
4. si Xt = Mt + At, alors (X)t = (M)t.
5. si Xt = f(At, Mt) avec f E CI, alors (X)t = f;[f:n(A s , Ms)]2d(M)s.
PREUVE :
Pour montrer le 1), majorons
E(A ti + 1 - A ti )2 < sup IAti+l - Atil E I At i+l - Atil.
t.<t ti t t.<t
t_ t_
12. c'est à dire la limite de t. <t IAti+l - A ti 1 existe et est finie. C'est le cas lorsque A est el.
t_
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
48
2.6. FORMULE D'ITÔ POUR D'AUTRES PROCESSUS
Le premier facteur de droite tend vers 0 car A est uniformément continu sur le compact
[0, t). Quant au second facteur, il converge car A est à variation finie.
Les assertions 2) et 3) découlent de la définition du crochet.
Quant au 4), en développant le carré dans la somme Et _ < t (X ti+ 1 - X ti ) 2 , viennent
'1.-
trois contributions:
- Et.<t(A ti + 1 - A ti )2, qui tend vers O.
'1.- 2 .
- E t -<t(M ti + 1 - M ti ) , qUI converge vers le crochet de M.
'1.-
- les doubles produits 2 E t -<t(A ti + 1 - Ati)(Mti+l - M ti ) qui sont bornés par
'1.-
2suPt_<t I M ti+l - MtiIEt-<t I At i+l - Atil. Le premier facteur tend vers 0 car M
'1.- t_
est continu et le second est converge car A est à variation finie.
Cela montre l'assertion 4).
Pour la 5), il suffit d'appliquer une formule de Taylor en combinant les arguments
précédents. D
On peut ainsi déduire les crochets (et donc les formules d 'Itô) dans les cas importants
suivants :
Corollaire 2.6.5 (Crochets du mouvement brownien arithmétique et géomé-
trique)
- Pour le mouvement brownien arithmétique Xt = x + bt + aW t , on a
(X)t = (aW)t = a 2 (W)t = a 2 t.
Ainsi
df(t, X t ) = U:(t, X t ) + f (t, Xt)b + f:",(t, Xt)u 2 )dt + f (t, Xt)udW t .
En particulier, pour f(x) = exp(x), on a
1 2
d[exp(X t )) = exp(Xt)(b + 2a )dt + exp(Xt)adW t .
(2.6.3)
- Pour le mouvement brownien géométrique Xt = Xo exp(bt + aW t ), on a
(X)t = lot u 2 X;ds.
Ainsi, d'une part par (2.6.3), on a
1 2
dX t = Xt(b + 2a )dt + XtadW t .
D'autre part, une nouvelle application de la formule d'It générale donne
df(t, Xt) = U:(t, Xt) + f (t, Xt)(b + U2)Xt + f:",(t, Xt)u 2 Xndt + f (t, Xt)uXtdW t .
A noter que dans le cas du mouvement brownien arithmétique, nous retrouvons le Corollaire
2.4.2 via le Théorème 2.6.3 plus général.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 49
2.6.2 Le cas multidimensionnel
Maintenant, le passage au cas de processus continus X prenant des valeurs dans ]Rd est
aisé.
Définition 2.6.6 (Variation quadratique d'un processus multidimensionnel)
Un processus continu X = (Xl,..., X d ) à valeurs dans ]Rd est dit à variation quadratique
finie si pour t > 0, la limite de
(Xk,Xl) = L(X +l -X )(X:i+l -X: i )
t.<t
't_
(2.6.4)
le long des subdivisions dyadiques d'ordre n, existe presque s'O,rement et est finie, pour tout
1 < k, l < d. La limite est notée (X k , Xl)t et est appelée le crochet croisé de X k et Xl au
temps t.
Quelques propriétés faciles :
- Le crochet croisé est symétrique: (X k , Xl)t = (Xl, Xk)t.
- Lorsque k et l sont égaux, (X k , X )t coïncide avec la définition unidimensionnelle du
crochet (Xk)t. Dans ce cas, nous utiliserons la notation unidimensionnelle plus courte.
- Le crochet croisé peut aussi être défini par la formule de polarisation:
{Xk,XI)t = ({X k + Xl)t - (X k - Xl)t) .
(2.6.5)
- Le crochet obéit aux règles de bilinéarité :
(Xi + xj, Xk + Xl)t = (Xi + Xk)t + (Xi + Xl)t + (X j + Xk)t + (X j + Xl)t.
De ces définitions/propriétés et de la Proposition 2.6.2, on déduit naturellement le résultat
sur la convergence des variations quadratiques croisées :
Proposition 2.6.7 Pour toute fonction continue f, on a avec probabilité 1
lim "f(ti)(X;. +l - X;.)(X:. + 1 - X:.) = i t f(s)d{Xk,XI)s
n -. 00 L...J 't 't 't 't
t.<t 0
't_
pour tout t > 0, la limite étant calculée le long des subdivisions dyadiques d'ordre n.
Nous pouvons à présent énoncer la formule d'Itô multidimensionnelle.
Théorème 2.6.8 (Formule d'Itô pour X multidimensionnel) Soit f E C I ,2(]R+ X
]Rd, ]R) et X un processus d-dimensionnel à variation quadratique finie. Alors. avec proba-
bilité 1, on a pour tout t > 0
d i t i t
f(t,X t ) = f(O,X o )+ L f k(S,XS) dX: + f:(s,X s ) ds
k=l 0 0
d t
+ L 1 f::k,Xl(S,Xs)d(Xk,Xl)s.
k,l=l 0
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
50
2.6. FORMULE D'ITÙ POUR D'AUTRES PROCESSUS
Sous forme différentielle, cela peut aussi s'écrire
d d
df(t, Xt) = L f k (t, X t ) dXt + f: (t, Xt) dt + L t::k,XI (t, Xt) d{X k , X1k
k=l k,l=l
Les termes E =l f f k (8, Xs) dX: s'appellent les intégrales stochastiques de f k (8, Xs) par
rapport à X k et sont les limite p.s. de
d
L L f k(ti,Xti)(Xt+l - xt)
k=l ti t
le long de la subdivision dyadique d'ordre n.
La preuve est très proche de celle du Théorème 2.6.3 : elle s'appuie sur une formule de Taylor
à l'ordre 2 et la convergence des variations quadratiques croisées (Proposition 2.6.7). Nous
laissons les détails au lecteur.
Nous terminons ce paragraphe en énonçant quelques règles supplémentaires de calcul des
crochets croisés.
Proposition 2.6.9 (Calcul de crochet croisé) Considérons des processus continus ayant
les propriétés suivantes .-
- A = (Al, A2) est à variation finie;
- M = (Ml, M 2 ) est à variation quadratique finie.
On a les résultat suivants.
1. siXI=MI+A I etX 2 =M 2 +A 2 , I(X I ,X 2 )tl <V (XI)t V (X2)t.
2. (A k , Al)t = 0 et (A k , Ml)t = O.
3. si Xl = Ml + Al et X 2 = M 2 + A 2 , alors
(Xl, X2)t = (Ml, M2)t.
4. si xl = f(Al, Ml) et xl = g(A ,Ml) avec J,g E el, alors
{Xl, X2)t = i t f:"'(A , M: )g:"(A , M;)d{M I , M 2 )s.
5. si Ml et M 2 sont deux mouvements browniens indépendants, alors
(Ml, M 2 )t = O.
Les second et troisième résultats justifient que les composantes à variation finie ne rentrent
pas en ligne de compte dans le calcul des crochets croisés des processus. Le quatrième résultat
donne un moyen de calcul de crochets entre deux intégrales stochastiques.
PREUVE :
Le premier résultat découle de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
1 L(Xf i + 1 - Xf i )(X;i+l - X;i) 1 <
t.<t
't_
L(Xl i + 1 - Xl i )2
t.<t
't_
L(Xt i + 1 - Xt i )2.
ti t
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ
51
L'inégalité annoncée s'obtient en passant à la limite lorsque n ---+ 00.
Le second résultat peut se déduire du premier, puisque A k est à variation quadratique
nulle.
Le troisième résultat s'obtient par bilinéarité du crochet et application du point pré-
cédent.
Pour justifier le quatrième point, on part de la définition de (Xl, x 2 )f en décomposant
les accroissements de Xl et X 2 de manière similaire à la preuve du Théorème 2.6.3.
Cela donne d'abord
lim l "(Xl. + l - Xf.)(X;. + l
n-+oo L...J 't 't 't
t.<t
't_
- X;i) - L f:n(A: i ,Mf i )(Mf i + 1 - Mli)g:n(A i,M )(M +l - M )I = O.
ti t
Puis, on conclut au résultat annoncé, en utilisant la convergence des crochets croisés
(Proposition 2.6.7).
Enfin, pour démontrer le dernier résultat, on utilise la formule de polarisation (2.6.5) :
{Ml, M 2 h = ({Ml + M 2 h - (Ml - M2h).
On remarque que (MI + M 2 ) et (MI - M 2 ) sont deux mouvements browniens
standards 13 (voir exercice 2.4 du Chapitre 1). On en déduit alors que (Ml + M 2 )t =
(Ml - M 2 )t = (V2)2t, et par conséquent (Ml, M 2 )t = O. D
2.7 Mouvement brownien vectoriel
Nous précisons les résultats du paragraphe précédent dans le cas du mouvement brownien
vectoriel, en commençant par le cas le plus standard. Nous ajoutons également le lien avec
l'équation de la chaleur multidimensionnelle. Les principales difficultés sont de notation. Les
propriétés des matrices symétriques joueront un rôle important.
2.7.1 Mouvement brownien vectoriel standard
Définition 2.7.1 On appelle mouvement brownien vectoriel standard une f. a. à trajectoires
continues, à valeurs dans ]Rd, {W t = (Wl, wl, .... Wl); t E ]R+} telle que
- Wo = 0 ;
- tout accroissement W t - W s où (0 < s < t) suit une loi gaussienne sur ]Rd, centrée de
matrice de covariance (t - s )Id, où Id est la matrice identité.
- Pour tout 0 = to < tl < t2..... < t n , les accroissements W ti + 1 - W ti avec (0 < i < n)
sont indépendants.
13. de plus, ils sont indépendants.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
52
2.7. MOUVEMENT BROWNIEN VECTORIEL
Une conséquence immédiate de la définition est que les f.a. des coordonnées ({Wl; t E
]R+}, i = 1, .. .d) sont des mouvements browniens réels indépendants, et réciproquement des
mouvements browniens réels indépendants engendrent un mouvement brownien vectoriel.
-10
-20
-30
-40
-50
-60
FIGURE 2.1 - Simulations de mouvement brownien standard dans]R2 et ]R3.
Équation de la chaleur. La densité de la loi du brownien vectoriel est la densité
gaussienne sur ]Rd, centrée, de matrice de covariance, Id x t, soit
1 ( 1 d 2 )
g(t, Xl, X2, ...Xd) = d exp -2 L IXil .
(21rt) 2" t i=l
Les liens avec l'équation de la chaleur (voir Théorème 2.2.1) sont étendus sans restriction
à condition de se référer au Laplacien multidimensionnel, qui est la somme des dérivées
secondes unidimensionnelles, 6. x = E:=l Ô iXi' L'équation de la chaleur pour la fonction
u(t, X, f) = JE[f(t, X + W t )] associée à une fonction f borélienne bornée définie sur ]Rd devient
{
u (t, x, f) = E:=l U iXi (t, X, f) = 6.xu(t, x, f),
u(O,x) = f(x), X = (Xl,X2, ...Xd).
Lorsque le mouvement brownien vectoriel est associé à des mouvements browniens dé-
centrés, indépendants, de tendance (bi; i = 1....d) et de coefficient de diffusion (ai; i = 1....d)
({X; = (Xl + bIt + al wl, ..., Xd + bdt + adWtd); t E ]R+}), l'EDP devient
{
u (t, x, f) = E:=l a u iXi (t, x, f) + E:=l biU i (t, X, f),
u(O,x) = f(x), X = (Xl,X2, ...Xd),
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ
53
soit en introduisant le générateur de ce processus
Lg(t, x)
d d
L U g:iXi (t , x) + L big i (t , x),
i=l i=l
u (t, x, f)
Lu(t, x, f).
La formule d'Itô pour {Xi = (Xl + bIt + al Wl, ..., Xd + bd t + adWl); t E )R+}.
Il s'agit d'une application directe de la formule d'Itô générale (Théorème 2.6.8). Il suffit d
calculer les crochets croisés entre les composantes de Xx. De la Proposition 2.6.9, pour i f:. j
on déduit (Xi,xj)t = (aiWi,ajWj)t = aiaj(W i , wj)t = 0 car les mouvements browniens
W i et wj sont indépendants. Cela a pour conséquence que les dérivées secondes croisées
f::iXj (i f:. j) n'apparaissent pas dans la formule d'Itô. Cela donne, pour des fonctions f de
classe C l ,2 (JR+ x ]Rd, ]R), ·
d i t d i t
f(t, Xf) =f(O, x) + L f i (s, X:) ai dW; + L f i (8, X:) bi d8
i=l 0 i=l 0
i t d t
+ f: (S, X:) ds + L 1 u t:iXi (s, x:) ds.
o i= 1 0
(2.7.1)
Applications. Le résultat suivant renseigne sur la capacité du mouvement brownien mul-
tidimensionnel à visiter un point donné, son voisinage ou bien à partir à l'infini. Comme pour
la marche aléatoire simple sur Zd, les comportements possibles dépendent de la dimension
d.
Théorème 2.7.2 (Récurrence et transience) En dimension 2, le mouvement brownien
visite infiniment souvent tout ouvert non vide 14 avec probabilité 1 (on dira qu'il y a récurrence
sur les ouverts), alors qu'en dimension 3, le nombre de visites est fini avec probabilité 1, c' est-
à-dire que le mouvement brownien part à l'infini (on dira qu'il y a transience).
La preuve est proposée en exercice 2.7.
2.7.2 Mouvement brownien vectoriel corrélé
La modélisation des phénomènes physiques conduit souvent à introduire des bruits de
perturbation corrélés. En termes de mouvement brownien, cela revient à introduire les pro-
cessus vectoriels suivants:
Définition 2.7.3 On appelle mouvement brownien vectoriel (corrélé) une fa. à trajectoires
continues, à valeurs dans ]Rd, {Bt = (BI, Bl, ....Bt); t E ]R+} telle que
-Bo=O;
- tout accroissement Bt - Bs où (0 < 8 < t) suit une loi gaussienne sur ]Rd, centrée de
matrice de covariance (t - 8) K, où K est la matrice de covariance du vecteur gaussien
BI.
14. mais il ne visite pas les points.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
54
2.7. MOUVEMENT BROWNIEN VECTORIEL
- Pour tout 0 = ta < tl < t2..... < t n , les accroissements Bti+l - B ti avec (0 < i < n)
sont indépendants.
Cette définition est valable que la matrice de covariance K soit inversible, ou non.
La fonction aléatoire associée à la coordonnée d'indice i, Bi est un mouvement brownien
unidimensionnel, de coefficient de diffusion a = Var(B ) = Kii, où Kii est le i-ème terme
de la diagonale de la matrice K. Si de plus, pour tout i, Kii est égal à 1, ces mouvements
browniens sont des browniens normalisés. Mais contrairement au cas du brownien vectoriel
standard, les coordonnées ne sont plus indépendantes.
Proposition 2.7.4 Soit B un mouvement brownien d-dimensionnel dont les coordonnées
sont des browniens corrélés.
- Il existe une matrice orthogonale P telle que la matrice P* K P = 6. soit diagonale.
- Soit VIi- 1 la matrice diagonale dont les termes sont les inverses des racines carrées
des valeurs propres de 6. lorsqu'elles sont non nulles, et zéro sinon. La f.a {W t =
(VIi)-1 P* Bt; t E [0, T]} est un mouvement brownien, dont les coordonnées sont des
browniens normalisés indépendants, dont certains peuvent étre nuls.
- Soit A = P( VIi). La matrice A est une racine carrée de K, au sens où AA * = K et
Bt = AW t .
Remarque : le mouvement brownien W n'est pas unique, car toute transformation or-
thogonale d'un mouvement brownien est encore un mouvement brownien (voir exercice
1.4). Par suite, si C = pC VIi est une racine carrée de K, c'est à dire vérifie CC* =
pC VliVli* (p c )* = pC 6.(p c )* = K, alors B = CW C où WC = (pC)-1 B.
PREUVE:
Comme la matrice K est symétrique et positive, il existe une matrice orthogonale P
telle que K = P 6.P* où 6. est une matrice diagonale, dont les valeurs propres sont
positives.
La f.a. vectorielle {Wl = p- l Bt; t > O} est à trajectoires continues et à accroissements
indépendants gaussiens, de matrice de covariance p-l K p = 6. car p-l = P*. Par
suite, la matrice de covariance de wl est diagonale.
Il reste à réduire (au sens probabiliste) W l , pour en faire un vrai brownien vectoriel
standard, en multipliant W l par la matrice (VIi)-1 de telle sorte que W = (VIi)-IW I
est un mouvement brownien standard.
La matrice A = p(VIi) vérifie par construction AA* = K. C'est une racine carrée de
K. Par construction encore, nous avons Bt = A W t . D
Exemple. Le mouvement brownien à 2 dimensions (voir exercice 1.4). Soit
(BI, B2) un mouvement brownien bi-dimensionnel, normalisé, de coefficient de cor-
rélation p E] - 1,1[, c'est à dire que Cov(BI, Bl) = pt = cor(BI, Bl).
Une manière d'associer un mouvement brownien standard à B est d'utiliser le procédé
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ
55
d'orthogonalisation suivant. On pose
wl = BI ,
-w: 2 _ Bl - pBI
t - V I _ p2 '
ou de manière équivalente
BI = wl ,
B: = pwl + V l- p 2 W t 2 .
t + 2t - 2 2t
W t 2 est une v.a. gaussienne de variance t = i 2 P .
-p
La f.a. {Wl; t E JR+}, qui est à accroissements indépendants et stationnaires est donc
un mouvement brownien standard. Un calcul de covariance montre que W 2 est indé-
pendant de W 1 .
Notons que cette représentation n'est qu'une parmi les possibles de B à l'aide d'un
brownien standard.
L'EDP vectorielle. Considérons des browniens décentrées corrélées de tendance J.L et de
matrice de covariance K : Xt = x+J.Lt+Bt = x+J.Lt+AW t avec les notations précédentes. Par
changement de variable dans l'EDP de la chaleur, nous déduisons que la fonction u(t, x, f) =
JE[f(x + J.Lt + Bt)] est solution de l'EDP
d d
u = L aiiU iXj + L aijU iXj + L /l-iU i
i=l l i<j d i=l
où aij est le terme général de la matrice de covariance K.
La formule d'Itô pour Xt = x + J-Lt + Bt = x + J-Lt + AW t . Pour le brownien corrélé
décentré, la formule d'Itô se généralise aussi par changement de variables à partir de (2.7.1).
On peut aussi la déduire directement de la formule d'Itô générale, en prenant le soin de
calculer les crochets croisés. En appliquant les règles de calcul associées (Proposition 2.6.9),
on obtient
i. i. k l k l
(X , X')t = (B , B')t = (L....J Ai,k W , L....J Aj,l W )t = L....J Ai,kAj,l (W , W )t
k l k,l
= A. k A. k t = [ AA * ] . .t '= K. .t
L....J , " ". ,'
k
= ai,jt.
Cela conduit à
d r t d t
f(t, Xf) = f(O, x) + L Jo f i (s, X:) dB; + L 1 f i (s, X:)!-ti ds
i= 1 0 i= 1 0
r t d t r t
+ Jo f:(S,x:)dS+ Ll ai,if:iXi(s,X:)ds+ L Jo ai,;f:iXj(s,X:)ds.
o i=l 0 l i<j d 0
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
56
2.8. EXERCICES
La formule d'Itô pour le mouvement brownien géométrique corrélé. Ce
processus est défini comme l'exponentielle, composante par composante, du précédent mou-
vement brownien arithmétique corrélé, à savoir Xt = (exp( Xl + /-LI t + BI), . . . , exp( x d + /-Ldt +
Bt)). D'une part, dxl = xl (/-Li + ai,i)dt + XldBl. D'autre part, le crochet croisé se calcule
via l'item 4 de la Proposition 2.6.9 : on a (Xi, Xj)t = f X:X ai,jds. Il en découle
d t d t
f(t,X t ) =f(O,Xo) + Li f i(S,Xs)X;dB; + Li f i(S,XS) (/-Li + 4 ai ,i)X;ds
i=l 0 i=l 0
i t d i t
+ f: (s, Xs) ds + 4 L D-i,ï{x;)2'f: i ",.(s, Xs) ds
o i=l 0
i t
i " "
+ L ai,jXsX JXiXj(s,Xs)ds.
l<i< "<d 0
_ 3_
2.8 Exercices
Exercice 2.1 On considère une fonction J : JR+ X JR+ ---+ JR de classe 0 1 ,2 telle que, pour
une constante 0 > 0,
IJ(t, x)1 + IJ:(t, x)1 + IJ (t, x)1 + IJ:,x(t, x)1 < 0 exp(Olxl)
pour tout (t, x) E JR+ X JR. Si T est un temps d'arrêt borné, rappelons que
1E(f(T, W T » = f(O,O) + lE [lT1f:(s, WB) + 4f:,,,,(s, WB)] dS] .
(2.8.1)
1. Lorsque T est un temps d'arrêt borné, calculer JE(WT) et JE(Wf).
2. Montrer que si T est un temps d'arrêt tel que JE(T) < +00, alors JE(WT) = O.
Indication: on pourra travailler avec la suite localisante de temps d'arrêt (Tn :=
min(T, n))n, dont chaque élément est borné par n, et qui converge vers T en croissant.
3. Pour tout réel a f:. 0 on pose
Ta = inf{t > 0 : W t = a}.
Est-ce un temps d'arrêt fini? borné? Déduire de la question 2) que JE(T a ) = +00.
4. De la question 1), déduire la valeur de P(T a < Tb), pour a > 0 et b < O.
5. En utilisant wl, montrer que Ta 1\ Tb est d'espérance finie, égale à -ab.
Exercice 2.2 Soit y > 0 : posons T = inf{t : IWtl = y}. En appliquant le Théorème 2.2.4 à
>.,2
la fonction J (t, x) = cosh( Àx)e - ""2 t, déterminer la loi 15 de T.
Exercice 2.3 En appliquant la formule d'Itô, montrer que (Wl- t)t O et (W t 4 - 6tWl +
3t2)t O sont des intégrales stochastiques. Si T = inf {t > 0; IW t 1 = a} calculer JE( T) et JE( T2).
15. en travaillant un peu plus, on pourrait aussi montrer que les variables aléatoires W T et T sont
indépendantes et que W T = :I:y avec probabilité 1/2.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 57
Exercice 2.4 Soit t n) = {i 2 ' 0 < i < 2 n } la subdivision dyadique de [0, t] d'ordre n. On
sait que, p.s.,
2 n -1 t
n oo f(Wt n»)(Wt )l - Wt n») = i f(Ws)dW s ,
lorsque f est CI.
2 n -l
1. Calculer 8 0 = lim """ W t (n) (W t (n) - W t (n»).
n-++oo L.J " " + 1 "
i=O 't 't 't
2 n -l
2. Pour € E [0,1], calculer Se = n oo L «1 - €)Wt!n) + €Wt! )l )(Wt! )l - Wt!n»).
i=O 't 't 't 't
Le cas é = correspond à l'intégrale dite de Stratonovitch.
3. En considérant les espérances, montrer formellement que l'on pouvait s'attendre à ces
résultats différents.
Exercice 2.5 Intégration par parties et processus gaussien.
Soit f : JR+ --+ JR+ une fonction continue. On pose Xt = J f(s)W s ds.
a) Montrer que (Xt)t O est un processus gaussien, continu, centré, de variance
lE(xi) = i t i t f(u)f(v) min(u, v) dudv.
b) Pour tout t > 0, déterminer une fonction 9t : JR+ --+ JR+ telle que Xt = J 9t(S) dW s .
Retrouver alors les résultats de a).
Exercice 2.6 * Temps d'atteinte d'un niveau par un mouvement brownien avec
dérive.
Soit J.L E JR et b > O. On considère Wf = W t + J.Lt et on pose TIl- = inf {t : Wf = b}.
a) Montrer que TIl- est un temps d'arrêt.
b) Montrer que, pour tout a E JR, Mt = exp (aW t - a2t) s'écrit à l'aide d'une intégrale
stochastique. En déduire que
lE (ex p (UW T" - ( U2 + p,u)(t 1\ T IL ))) = 1.
c) Prouver que si a > (-2J.L)+, on a
lE ( lT,,<+oo exp ( -( U2 + P,U)T IL ) ) = exp( -ub).
d) En déduire que IP (TIl- < +(0) vaut 1 si J.L > 0 et exp(2J.Lb) si J.L < O.
e) Quelle est la loi de SUPt O Wf ?
f) Établir que si J.L > 0, on a pour tout ,X > 0,
JE (exp( -'xTIl-)) = exp(-b( V J.L2 + 2,X - J.L)).
(on peut enfin montrer que cette expression coïncide avec la transformée de Laplace
de la densité t --+ exp(- (b-;;t)2 ), qui est donc celle de TIl-).
21T't
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
58
2.8. EXERCICES
Exercice 2.7 Récurrence et transience du mouvement brownien.
Nous donnons d'abord une extension de (2.8.1), la formule d'Itô en espérance, au cadre
multidimensionnelle. Si J est une fonction bornée de classe Ct,2 et U un temps d'arrêt borné,
on a
lE (f(U,x + Wu)] = f(O, x) + lE [lU U:(s,x + Ws) + b.:cf(s,x + Ws»dS] .
(2.8.2)
On pose Ta = inf{t > 0 : lx + Wtl = a} pour le premier temps d'atteinte de la boule de
rayon a par le mouvement brownien issu de x.
1. Pour 0 < a < Ixl < b, montrer que
IP'(Ta < Tb) = {
log(b)-log Ixl
log b-Iog a
IxI 2 - d _b 2 - d
a 2 - d _b 2 - d
si d = 2,
si d > 3.
Indication: appliquer le résultat précédent à la fonction J(t, x) = log Ixl ou J(x) =
Ixl 2 - d selon que d = 2 ou d > 3.
2. En déduire que
IP'(Ta < 00) = { ( 1:' r- 2
si d = 2,
si d > 3.
3. Conclure (voir Théorème 2.7.2) qu'en dimension 2, le mouvement brownien visite infi-
niment souvent tout ouvert non vide 16 avec probabilité 1 (récurrence sur les ouverts),
alors qu'en dimension 3, le nombre de visites est fini avec probabilité 1, c'est-à dire que
le mouvement brownien part à l'infini (transience). Comparer avec la marche aléatoire.
Exercice 2.8 Les intégrales stochastiques ne sont pas toujours d'espérance nulle.
On définit
1 ( x 2 )
g(t,x) = yI(1- t) exp - 2(1- t) ,
et on considère Lt = g( t, W t ) pour 0 < t < 1.
a) Calculer JE(L t ) et JE(L ) pour t E [0, 1).
b) Montrer que Lt est une intégrale stochastique. Que dire de la limite de Lt lorsque t
tend vers 1 ? Comparer avec Lo et conclure.
Exercice 2.9 * Loi du premier temps d'atteinte de deux niveaux.
On considère (Wt)t O un mouvement brownien standard réel issu de O. On note Wr
W t + J.Lt, le mouvement brownien avec dérive constante positive J.L > 0 et on introduit T'.t,
son premier temps d'atteinte du niveau a ou b (avec a < WC = 0 < b) :
TIl- = inf{t > 0 : Wr = a ou Wr = b},
avec la convention inf 0 = +00.
16. mais il ne visite pas les points.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 2. ÉQUATION DE LA CHALEUR ET FORMULE D'ITÔ 59
Le but de l'exercice est de déterminer la loi jointe de (T'.t, W;/-L), en calculant
E ( exp( - ÀTP ) 1 w " =a) et E ( exp( - ÀTP ) 1 w " =b) pour n'importe quel À > O. On intro-
duit maintenant l'équation différentielle
{ UIl(X) + tLU'(x) = 'xu(x)
u(a) = a et u(b) = 1.
pour x E [a, b],
(2.8.3)
On admet pour le moment qu'il existe une solution régulière u). à cette EDP, solution bornée
et à dérivées bornées sur [a, b].
1. Justifier que TI-L est fini avec probabilité 1.
2. Déterminer un processus (hs)s o tel que
\;It < TI-L :
exp(-Àt)u>.(Wi) = u>.(O) + i t hsdW s .
3. Démontrer avec soin que u>.(O) = E (exp(-ÀTP)lw ,,=b) .
4. Soit'x > O. Si Tl et T2 sont les deux racines de l'équation y2 + tLy = ,x, vérifier que la
solution de (2.8.3) est donnée par :
( ) exp(Tlx + T2a) - exp(Tla + T2X)
U). x = .
exp(Tlb + T2a) - exp(Tla + T 2 b)
5. En déduire la valeur de IP(W;/-L = b), puis celle de IP(W;/-L = a).
6. Calculer JE( exp( - 'xTI-L)) pour ,x > a (on exprimera le résultat en fonction de Tl, T2, a, b).
7. On suppose dans cette question que -a = b > O. A partir des questions précédentes,
montrer que les variables aléatoires W;/-L et TI-L sont indépendantes.
Exercice 2.10 * Un processus ressemblant au mouvement brownien (d'après K.
Hamza et F.C. Klebaner 2007).
On considère trois mouvements browniens standards indépendants (Bt, Et, W t )t O et on
définit un processus X de la manière suivante:
{ Bt
Xt = Vi [BI cos(W1og(t» + ih sin(W10g(t»]
L ' objectif de l'exercice est d'étudier les propriétés de ce processus. Nous commençons par
des résultats préliminaires.
si t < 1,
si t > 1.
Question 1. Le but de cette question est de calculer explicitement les espérances condi-
tionnelles JE(cos(Wt)IF%,,) et JE(sin(Wt)IF%,,), où F%" = a(W u : a < u < s) est la tribu
engendrée par (Wu: a < u < s).
la) Appliquer la formule d'Itô à cos(W t ).
lb) On pose met) = JE(cos(W t )). Trouver l'équation différentielle ordinaire satisfaite par
m( t). La résoudre explicitement.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
60 2.8. EXERCICES
1c) En exploitant les propriétés de W, calculer explicitement E( exp( iW t ) IF%,,) et
E(exp( -iW t ) IF%,,) pour a < s < t.
Id) En déduire une expression explicite de E(cos(Wt)IF%") et E(sin(Wt)IF%") pour a <
s < t. Comparer avec les résultats de la question 1b).
Question 2. On revient à l'étude de X.
2a) (Xt)t O est-il un processus continu?
2b) Calculer la fonction caractéristique de la variable aléatoire X t , pour t > 1. En déduire
la loi de Xt (pour tout t > a fixé).
Dans la suite, on introduit la filtration (Ft)t O suivante:
{ a(Bu,Bu,O < u < t)
Ft=
a(Bu, Bu, a < u < 1; Wu, a < u < log(t))
si t < 1,
si t > 1.
On veut maintenant justifier que (Xt)t O est martingale dans la filtration (Ft)t O, c'est-à-dire
E(XtIFs) = Xs a < s < t.
(M)
3a) Prouver que E(XtIFs) = Xs pour a < s < t < 1.
3b) Prouver que E(XtIFs) = Xs pour 1 < s < t.
3c) En déduire la propriété de martingale (M) pour tout a < s < t.
4a) Résumer les propriétés sur le processus X. Pourquoi X n'est-il pas un mouvement
brownien? Argumenter.
Indication : par exemple, on pourra examiner la loi de Xt - Xl.
4b) Calculer la variation quadratique de X.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 3. QUELQUES PROCESSUS CONTINUS ESSENTIELS
61
Chapitre 3
Quelques processus continus
essentiels
Nous présentons quelques autres processus uni-dimensionnels, à trajectoires continues, qui
dérivent du mouvement brownien:
1. le mouvement brownien géométrique,
2. le processus d 'Ornstein- Uhlenbeck,
3. les équations différentielles stochastiques.
Nous donnons ensuite les formules d'Itô et les équations aux dérivées partielles associées à
ces processus.
Le premier exemple est essentiel dans la modélisation des cours d'actions et autres ac-
tifs financiers. Le second est un exemple important d'application en physique et en finance
(pour modéliser les courbes de taux d'intérêt, les volatilités stochastiques ou tout phéno-
mène stochastique de retour à la moyenne). Enfin, le dernier correspond à une famille encore
plus générale, englobant formellement les deux premiers exemples, au détriment éventuel des
propriétés explicites.
3.1 Mouvement brownien géométrique
3.1.1 Définition et propriétés
Définition 3.1.1 (du mouvement brownien géométrique) Un mouvement brownien
géométrique, de valeur initiale So > a déterministe, de coefficient de tendance (ou dérive) J.L
et de coefficient de diffusion a, est un processus (St)t > a défini par
S - S (Il- !( 2 )t+ uW t
t - oe ,
(3.1.1)
où {W t ; t > a} est mouvement brownien standard réel.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
62
3.1. MOUVEMENT BROWNIEN GÉOMÉTRIQUE
Comme l'argument de l'exponentielle est de loi Normale, la variable St (à t fixé) est dite
Log- Normale.
C'est un processus à trajectoires continues, qui prend des valeurs strictement positives.
Comme nous le verrons dans le chapitre 7, le mouvement brownien géométrique sert couram-
ment de modèle de prix d'actifs financiers (voir Samuelson [30]). Ce choix se justifie d'une
part, par la positivité de S et d'autre part, par les propriétés gaussiennes simples de ses
rendements :
- les rendements Log(St)-Log(Ss) suivent une loi gaussienne de moyenne (J-L- a2)(t-s)
et de variance a 2 (t - s).
- Pour tout 0 < tl < t2..... < t n , les accroissements relatifs { Sit l ; 0 < i < n - 1} sont
1
indépendants, et de même loi.
L'hypothèse de rendement gaussien est invalidé en pratique (voir les travaux de Mandelbrot
dès 1963), ma s néanmoins, ce modèle reste très utilisé dans toutes les salles de marché, nous
y reviendrons.
Densités de transition du processus. Des propriétés d'indépendances des ac-
croissements browniens, il est facile de montrer que (St)t est un processus de Markov.
Son noyau de transition Q(t, So, dy) est défini par JE[J(St) ISo] = IJR J(y)Q(t, So, dy) =
IR g;,u 2 (t, So, y)J(y)dy avec une densité de transition g;',u 2 (t, So, y) qu'on peut déterminer
explicitement en fonction de la densité gaussienne g(t, y) = V 1rt exp( _y2 /2t). En effet, on a
lE[f(8t)180] = L f(80eCiL-tu2}t+Y)g(u2t, y)dy
= ( J(z)g(a 2 t, log(z/ So) - (J-L - _ 2 1 a2)t) dz ,
JJR+ Z
d'où
S ( 2 12 ) 1
gl1-,U 2 (t, So, y) = 9 a t, log(y/ So) - (J-L - 2 a )t y ly>o.
(3.1.2)
Pourquoi appeler J-L le paramètre de tendance de S alors que c'est J-L - a2
qui apparaît dans la moyenne des rendements? Il faut chercher la raison dans la
décomposition d'Itô de S qui s'obtient à partir de la formule d'Itô sur le brownien. Appliquons
le corollaire 2.4.2 au mouvement brownien arithmétique Xt = log(So) + (J-L - a2)t + aW t
et à la fonction "p(t, z) = exp(z) ("p (t, z) = 0, "p (t, z) = "p z(t, z) = "p(t, z)) ; on obtient que
St = "p(t, Xt) satisfait
8t = 80 + i t 8 s u dW s + i t 8 s (1£ - U2) ds + i t U2 8 s ds
= 80 + i t 8s1£ds + i t 8 s udW s .
Très souvent, l'écriture intégrale est transformée sous forme différentielle
dS t
St = J-Ldt + adW t .
dS t = J-LStdt + aStdW t ,
ou bien
(3.1.3)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 3. QUELQUES PROCESSUS CONTINUS ESSENTIELS
63
C'est cette dernière représentation qui justifie l'appelation de J.L comme paramètre de ten-
dance.
3.1.2 Équation aux dérivées partielles pour le mouvement
brownien géométrique
Le générateur associé à ce processus est donné par
L .U2<P(X) = [UX] 2 <p ",(X) + p,x<P (X).
(3.1.4)
C'est cet opérateur différentiel du second ordre qui donne la forme des EDPs que nous allons
écrire. En effet, <:>n vérifie par un calcul simple à partir de l'expression (3.1.2) de 9;',u 2 (t, So, y)
que (pour y > 0 fixé)
âtg .u2 (t, So, y) = [uSo]2â o.sog .u2 (t, So, y) + /l'soâSog .u2 (t, So, y)
= L ,u29;',u2 (t, So, y).
Ainsi l'équation satisfaite par u(t, So, f) = JE[f(St) ISo] = fJR+ 9;',u2 (t, So, y)f(y)dy est
8 t u(t, So, f) = L ,u2U(t, So, f). L'opération de dérivation sous l'intégrale se justifie par le
théorème de dérivation de Lebesgue, sous des hypothèses appropriées de croissance de ce qui
apparaît sous le signe intégrale. Il suffit par exemple que SUPy>o I! I < +00 pour un p > O.
Proposition 3.1.2 Considérons une fonction f avec SUPy>o I! I > 00 pour un p > O. La
fonction (t, So) u(t, So, f) = JE[f(St)ISo] satisfait l'équation aux dérivées partielles
{ u (t, x, f)
u(O,x,f)
L ,U2U(t, x, f) pour (t, x) E]O, oo[x]O, 00[,
f(x) dans ]0,00[.
(3.1.5)
De plus, si f est une fonction de classe Ct,2 et U un temps d'arrêt borné, alors
!E[f(t, St)] =f(O, So) + l t !E[L .u2f(s, Ss) + f:Cs, Ss)]ds,
!E[f(U, Su)] =f(O, So) +!E[ lU (L ,u2f(s, Ss) + f:(s, Ss»ds].
(3.1.6)
(3.1.7)
Nous avons déjà montré (3.1.5). Les équations (3.1.6) et (3.1.7) s'obtiennent comme à la
Proposition 2.2.3 et au Théorème 2.2.4.
3.1.3 Formule d'Itô pour le mouvement brownien géométrique
Puisque St est une fonction du mouvement brownien W t , f(St) est aussi une fonction de
W t . La décomposition d'Itô de f(St) s'obtient donc immédiatement à partir de la formule
d 'Itô sur le brownien, en composant les fonctions (ou bien en appliquant la forme générale
du Théorème 2.6.3). On obtient ainsi
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
64
3.2. PROCESSUS D'ORNSTEIN-UHLENBECK
Théorème 3.1.3 (Formule d'Itô) Soit f E C 1 ,2(JR+ X JR+, JR), une fonction contin'O,ment
dérivables une fois en t et deux fois en x. Alors avec probabilité 1, on a pour tout t > 0
f(t,St) =f(O,So) + 1 t f;(s,Ss)uSsdW s + 1 t [f: +L ,u2f](s,Ss)ds
=f(O, So) + 1 t f;(s, Ss)dS s + 1 t [f:(s, Ss) + [USs]2 t:,As,Ss)]ds.
(3.1.8)
(3.1.9)
Le terme J f (s, Ss)SsdW s est une intégrale stochastique: c'est la limite p.s. de
L f (ti, Sti)Sti (W ti + 1 - W ti )
t.<t
't_
le long de la subdivision dyadique d'ordre n. Lorsque f a des dérivées bornées, cette intégrale
stochastique est centrée (comparer avec (3.1.6)).
La forme intégrale (3.1.8) s'écrit aussi sous forme différentielle
d[f(t, St)] = f (t, St)aStdW t + [f: + L ,CT2f](t, St)dt.
(3.1.10)
3.2 Processus d 'Ornstein- Uhlenbeck
Revenons à la physique et au mouvement brownien introduit par Einstein en 1905. Afin
de proposer une modélisation plus adéquate du phénomène de diffusion des particules, nous
introduisons le processus d'Ornstein-Uhlenbeck et ses principales propriétés.
3.2.1 Le mouvement brownien physique ou processus d'Orn-
stein- Uhlenbeck
Nous avons construit le mouvement brownien comme un modèle pour une particule mi-
croscopique en suspension dans un liquide soumise à l'agitation thermique. Une critique
importante faite à cette modélisation concerne l'hypothèse que les accroissements du dépla-
cement sont indépendants, ignorant les effets de la vitesse de la particule au début de la
période, dus à l'inertie de la particule.
Introduisons la masse m de la particule et sa vitesse X (t). La variation de la quantité de
mouvement mX(t + 8(t)) - mX(t) est égale à la résistance du milieu pendant le temps 8t,
-kX(t)8t, plus la variation de mouvement due aux chocs moléculaires, qu'on peut supposer
à accroissements indépendants, stationnaires, et donc associée à un mouvement brownien
non normalisé. Le processus ainsi modélisé s'appelle parfois le brownien physique.
L'équation des accroissements devient
m8[X(t)] = -kX(t)8t + ma8W t .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 3. QUELQUES PROCESSUS CONTINUS ESSENTIELS
65
Les trajectoires du mouvement brownien n'étant pas différentiables, nous donnons un sens
à une telle équation de manière intégrale
mX(t) = mX(O) + i t -kX(s)ds + moW t .
X(t) est donc solution de l'équation différentielle stochastique linéaire (dite équation de
Langevin)
Vi = "Va - a i t V"ds + o-W t
où a = ::" . Nous ne savons pas a priori si cette équation admet une solution, puisque W n'est
pas différentiable. Mais cette dernière difficulté peut être levée par un simple changement de
variable, en posant Zt = Vi - aW t , qui nous conduit à la nouvelle équation
Zt = Vo - a i t (Zs + o-Ws)ds,
qui est une équation différentielle linéaire ordinaire que l'on peut résoudre trajectoire par
trajectoire. La méthode de variation des constantes donne la représentation de l'unique
solution de cette équation comme
Zt = Voe- at - 0- i t ae-a(t-s}Wsds.
La solution de l'équation initiale est donc
Vi = Voe- at + o-W t - 0- i t ae-a(t-s}Wsds.
Cette dernière intégrale aussi se transformer par la formule d'intégration par parties en une
intégrale de Wiener (voir Proposition 2.5.1) :
i t easdW s = eatW t -i t aeasWsds.
On obtient ainsi
TI' _ TI' -at + i t -a(t-s) dW
Vt - voe a es.
o
3.2.2 Propriétés du processus d 'Ornstein- Uhlenbeck
Revenons à l'équation de Langevin et décrivons les propriétés du processus de vitesse
solution. Nous avons maintenant tous les éléments pour étudier simplement ce nouveau
processus et montrer en quoi il diffère fondamentalement du mouvement brownien. Dans
toute la suite, nous supposons a > O.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
66
3.2. PROCESSUS D'ORNSTEIN- UHLENBECK
Théorème 3.2.1
1. L'équation de Langevin
dVi + a Vidt = adW t
(3.2.1)
possède pour toute condition initiale Vo donnée, une solution unique donnée par
TI' _ TI' -at + W i t -a(t-s) W d - TI' e - ta + i t -a(t-s) dW
v t - vo e a t - aa e s s - vo a es.
o 0
La f. a. continue V est appelée processus d 'Ornstein- Uhlenbeck.
2. Si V o est une v. a. gaussienne indépendante de W, la f. a. V est un processus gaussien,
de paramètres
JE(Vi)
Va (Vi)
<Cov(Vi, )
= JE(VO)e-at,
2
= Var(V o )e- 2at + (1- e- 2at ),
2a
= e-a(t-s)Var( ) pour t > s.
(3.2.2)
G' est un exemple de processus gaussien stationnaire, c'est à dire dont la fonction de
covariance est donnée par
KO,U (s, t) = e-a(t-s) KO,u (s, s).
3. Distribution invariante. En particulier, si la variable Vo est une v. a. gaussienne centrée
et de variance V ar(V o ) = : , pour tout t Vi a m me distribution, qui est appelée la
distribution invariante du processus d' Ornstein- Uhlenbeck. La fonction de covariance
vaut alors KO,u (s, t) = e-a(t-s) : . On parle aussi d'Ornstein-Uhlenbeck stationnaire.
4. Si Vo est une v.a. gaussienne indépendante de W, alors quand t ---+ +00, JE(Vi) converge
a 2
vers 0, et Var(Vi) converge vers 2a ' et donc la v.a. Vi converge en loi vers la distri-
bution invariante, qui est la distribution d'équilibre.
Sur la figure 3.1, nous avons représenté quelques trajectoires de ce processus, permettant
de visualiser le phénomène de retour à moyenne nulle (les procédures de simulation sont
expliquées au paragraphe A.4 en appendice).
PREUVE:
Le 1) a déjà été établi.
Preuve du 2). Les propriétés gaussiennes résultent de la décomposition explicite de la
solution comme
TI' TI' -ta -at { aS dW
Vt = VOe +ue lot e s,
la dernière intégrale étant une intégrale de Wiener, soit un processus gaussien (voir
Proposition 2.5.1). Cette représentation donne aisément les moments d'ordre 1 et 2 :
mt IE[Vt] = IE[VO]e-at, Var(Vt) = Var(Vo)e- 2at + 1 t u 2 e- 2a (t-s)ds,
Cov(Vt, V s ) Var(VO)e-a(t+ s ) + l s u 2 e- a (t-u+s-u)du
e-a(t-s) (Var(V o )e- 2as + l s u 2 e- 2a (S-U)du) , t > s.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 3. QUELQUES PROCESSUS CONTINUS ESSENTIELS
67
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-
o
-0.2
o
1
5
10
15
20
FIGURE 3.1 - Trajectoires d'Ornstein-Uhlenbeck avec va = 1, a = 2 et a = 0.1.
Preuve du 3). Pour étudier la distribution invariante, il suffit de remarquer que sous
les hypothèses faites sur Vo, la loi de Vi est gaussienne, centrée de même variance que
celle de Vo.
Preuve du 4). Il est clair que ces paramètres sont les limites quand t tend vers +00 des
paramètres d'espérance et de variance de Vi (voir Proposition A.l.l de l'appendice).
L'important est de remarquer que ces paramètres ne dépendent pas des caractéris-
tiques de la condition initiale. D
Exemple. (Construction d'un processus O.V. stationnaire.) Soit (B(t); t E )R+)
un mouvement brownien et Xt = e- t B(e 2t ). (Xt)t est un processus à trajectoires
continues, dont la distribution stationnaire est donnée par la loi N(O, 1). La fonction
de covariance de X vaut K(s, t) = E(XtXs) = e-(t+s)e 2t = e-(s-t) si s > t : X. est
donc un processus d'O.U. stationnaire, de force de rappel 1 et de diffusion a 2 = 2.
Montrer en utilisant la formule d'intégration par parties que Yi = Xt - Xo - f; Xsds =
2t
fIe }u dB(u) est un mouvement brownien de variance 2, noté v'2w t , indépendant de
Xo = BI. En déduire la représentation dX t = -Xtdt + v'2dW t .
3.2.3 EDP associée au processus d'Ornstein-Uhlenbeck
Comme dans le cas du mouvement brownien, il est aisé de décrire l'équation aux dérivées
partielles satisfaite par les fonctions v(t, x, f) = E[f(Vi)IVo = x].
Proposition 3.2.2 L'opérateur elliptique associé au processus d'Ornstein-Uhlenbeck est de
la forme
Lg(t,x) = U2g ",(t,x) - axg (t,x).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
68
3.2. PROCESSUS D'ORNSTEIN-UHLENBECK
3
2.5
2
1.5
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20
FIGURE 3.2 - Trajectoire de Xt = e- t B(e 2t ).
Pour une fonction f borélienne bornée 1 donnée, l' ED P satisfaite par v (t, x, f) = E[f (Vi) 1 Vo =
x] est
V (t, x, f) = Lv(t, x, f) pour (t, x) E 1R+ X 1R, v(O, x, f) = f(x) pour x E 1R.
PREUVE :
Nous utilisons la représentation du processus O.U, qui privilégie sa dépendance par
rapport à la condition initiale :
v(t, x, f) = E[f(Vi)IVo = x] = E[f(xe- at + Ut)]
où Ut = a I; e-a(t-s)dW s est une v.a. gaussienne de loi N(O, Vt) avec Vt = a 2 (1_ :2at) .
La densité de la loi de ce processus est p(t, x, y) = Y(Vt, xe-at, y) de telle sorte que
p (t,x,y)
p (t, x, y)
' ( -at ) 2 -2at , ( -at ) -at
Yt Vt, xe ,y a e - Yx Vt, xe ,y axe ,
, ( -at ) -at " (t ) " ( -at ) -2at
Yx Vt, xe ,y e , Pxx, x, y = Yxx Vt, xe ,y e .
La densité du processus d'O.U. satisfait donc l'EDP
p (t, x, y) = U2p ",(t, x, y) - axp (t, x, y).
Par intégration en y, on déduit l'EDP satisfaite par v(t, x, f) = IR f(y)pt(t, x, y)dy :
{ v (t, x, f)
v(O,x,f)
a2v X(t, x, f) - axv (t, x, f),
f(x ).
D
1. Cette condition peut être relaxée en If(x)1 < C exp ( 1; 2 ) pour tout x, avec des constantes
2
positives C et Q > a '
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 3. QUELQUES PROCESSUS CONTINUS ESSENTIELS
69
Notes bibliographiques
Le livre de Nelson [24] comporte une importante discussion sur le mouvement brownien
et le processus d 'Ornstein- Uhlenbeck, tant sur le plan des propriétés mathématiques que sur
leurs capacités à modéliser correctement le phénomène physique de diffusion des particules.
t t
POUR EN SAVOIR PLUS
t
3.3 Equations différentielles stochastiques
3.3.1 Définition
Nous commençons par donner une définition informelle des solutions d'équation différen-
tielle stochastique (EDS) qui généralisent les équations différentielles ordinaires x = b( t, Xt).
Définition 3.3.1 La I.a. réelle (Xt)O t T est solution de l'EDS avec point initial x, coeffi-
cient de dérive b(., .) et coefficient de diffusion a(., .) si pour t E [0, T]
Xt = x + l t b(s, Xs)ds + l t o-(s, Xs)dW s
où (Wt)t est un mouvement brownien standard réel.
Nous avons déjà rencontré plusieurs exemples de telles équations:
- mouvement brownien avec dérive (définition 1.3.2) : prendre b(t, x) = b et a(t, x) = a.
- mouvement brownien géométrique (définition 3.1.1) : prendre b(t, x) = /-LX et a(t, x) =
aXe
- processus d'Ornstein-Uhlenbeck (théorème 3.2.1) : prendre b(t, x) = -ax et a(t, x) =
a.
Résoudre une EDS (existence, unicité) avec des coefficients b et a généraux est possible sous
des conditions ad-hoc mais cela dépasse largement le cadre de ce livre. Ces questions sont
traitées dans de nombreux ouvrages de calcul stochastique (voir par exemple [27]).
3.3.2 La transformation de Lamperti (1964)
Dans certains cas, la solution d'une EDS se construit simplement à partir du mouve-
ment brownien, en se mettant sous la forme Xt = h(t, Wo + W t ), c'est-à-dire une fonction
du brownien (c'est le cas par exemple du brownien géométrique). Cela s'obtient à partir
d'un changement de variables, connu dans ce contexte sous le nom de transformation de
Lamperti. Toutefois, cette situation n'est pas générique et les solutions d'EDS sont plutôt
des fonctionnelles de la trajectoire brownienne comme le laisse deviner le cas du processus
d'Ornstein-Uhlenbeck Vi = Voe- at + aW t - aa J; e-a(t-s)Wsds.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
70
3.3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES
Théorème 3.3.2 (Résolution, formule d'Itô, EDP) Soit une fonction 2 h : [0, T] x
:IR J--+ E de classe 0 1 ,2 et telle que pour tout t, la fonction y J--+ h(t, y) est un difféomor-
phisme; notons H(t,.) son inverse, de classe 0 2 de E dans 1R. Alors pour tout x E E,
Xt = h(t, H(O, x) + W t )
est solution de l'EDS
Xt = x + l t b(s, Xs)ds + l t u(s, Xs)dW s
avec b(t, y) = [h (t,.) + h x(t, .)] 0 H(t, y) et a(t, y) = [h (t, .)] 0 H(t, y). 3
Si de plus on définit Li' opérateur différentiel associé à X par
Lg(t, x) = U2 (t, x)g :J:(t, x) + b(t, x)g (t, x),
alors pour toute fonction f à support compact, l'EDP satisfaite par v(t, x, f) = E[f(Xt)IXo =
x] est
v (t, x, f) = Lv(t, x, f) pour (t, x) E :IR+ X E, v(O, x, f) = f(x) pour x E E.
Le processus X est à variation quadratique finie et son crochet est égal à
(X)t = l t u 2 (Xs)ds.
La formule d'It6 appliquée à X s'écrit:
df(t, X t ) = (f (t, Xt)b(Xt) + f:.,(t, Xt)u 2 (t, Xt) + f:(t, Xt»dt
+ f (t, Xt)a(t, Xt)dW t
= (f: + Lf)(t, Xt)dt + f (t, Xt)a(t, Xt)dW t .
PREUVE:
La détermination de b et a se fait comme pour le mouvement brownien géométrique
(voir équation (3.1.3)), nous laissons la preuve en exercice.
Pour l'EDP, il suffit de déterminer comme auparavant l'EDP satisfaite par la densité de
transition p(t, x, y) de X. Elle s'exprime explicitement à l'aide de la densité gaussienne :
p( t x y) = g(t,[h(t,.)]-l(y)-[h(O,.)]-l{x» L'h yp othèse de su pp ort com p act sur f P ermet
, , [h (t,.)]o[h(t,.)]-l(y).
de justifier facilement la dérivation de v(t, x, f).
Le calcul du crochet s'effectue par application de la Proposition 2.6.4, item 5). La
formule d'Itô découle de la formule générale (Théorème 2.6.3) ou de celle du brownien
(Théorème 2.4.1) en différentiant les changements de variables. 0
2. dans les exemples précédents, E = JR ou E = JR+ .
3. Inversement, partant de u(t, y), la fonction H est définie par H(t, x) = Je: u(i,y) dy, à une
constante additive près.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 3. QUELQUES PROCESSUS CONTINUS ESSENTIELS
71
Lien processus/EDP. Ce que nous pointons dans le théorème précédent, c'est un lien
systématique entre la dynamique de X (via ses coefficients b et a) et les coefficients de l' opé-
rateur L de l'EDP associée. Nous l'avions observé sur quelques exemples (comme l'équation
de la chaleur et le brownien) ; l'écrire dans un cadre général d'EDS montre la généricité de ce
lien. Ces représentations de solution d'EDP sous forme d'espérance sont connues sous le nom
de formules de Feynman-Kac (voir Durrett [7] par exemple) et sont le point de départ d'in-
nombrables réflexions d'ordre théorique (techniques probabilistes pour obtenir des résultats
sur les ED Ps, ou bien techniques ED Pistes pour avoir des informations sur les lois des pro-
cess us ) ou d'ordre numérique (utiliser des outils déterministes ou stochastiques pour calculer
la solution stochastique ou déterministe). Le cadre multidimensionnel (que nous ne décrivons
pas ici) est similaire. Enfin, nous ferons aussi la lumière sur cette relation processus/EDP
dans le cadre du processus de Poisson (voir chapitre 4).
3.3.3 La représentation de Doss (1977)
Une autre technique de construction de solution d'EDS en dimension 1 est celle de Doss.
La solution X est construite comme une fonctionnelle explicite du mouvement brownien, à
l'aide d'équation différentielle ordinaire (EDO). Pour cela, nous supposons que les coefficients
b et a sont indépendants du temps, bornés, deux fois continûment dérivables, à dérivées bor-
nées, de sorte que les quantités introduites ci-dessous sont bien définies (pour les hypothèses
précises, voir [27] par exemple).
Notons u(x, y) la solution à l'EDO (à Y fixé)
u (x, y) = a(u(x, y)), u(O, y) = y.
(3.3.1)
Cette solution est strictement croissante en y et permet de définir la fonction p(x, y) par
u (x,y) = (1 )'
P x,y
(3.3.2)
Introduisons alors f(x, y) = p(x, y)(b - aa')(u(x, y)), et notons (Yi)t le processus solution
de l'EDO
y: = f(W t , Yi), Yo = Xo.
(3.3.3)
Le résultat est alors le suivant:
Théorème 3.3.3 Le processus (X t := u(W t , Yi))t est solution de
Xt = Xo + l t b(Xs)ds + l t u(Xs)dWso
On peut aussi vérifier que ce processus est à variation quadratique finie. Les expressions de
son crochet et sa formule d'Itô sont identiques à celles données au Théorème 3.3.2.
PREUVE :
On applique la formule d'Itô multidimensionnelle (Théorème 2.6.8) à la fonction u et
au processus (W t , Yi)t qui est à variation quadratique finie (car W l'est et Y est à
variation finie). Seule la dérivée seconde en x apparaît car (W, Y)t = (Y, Y)t = O. En
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
72
3.4. EXERCICES
utilisant que u x(x, y) = (a(u(x, y))) = a'(u(x, y))u (x, y) = a'(u(x, y))a(u(x, y)),
on obtient
dX t = u (Wt, Yi)dW t + u (Wt, Yi)dYi + u ",(Wt, Yi)d(W)t
= u(u(W t , Yi»dW t + p(W , Yi) f(W t , Yi)dt + u( u(W t , Yi»u' (u(W t , Yi»dt
= a(Xt)dW t + b(Xt)dt.
Comme u(W t , Yi)t=o = u(O, Y o ) = Xo, le résultat annoncé est prouvé.
D
3.4 Exercices
Exercice 3.1 Un calcul fondamental de la finance de marché sur les variables
log-normales.
.Si Z est une variable gaussienne de moyenne m - et de variance V > 0, alors
lE(xe Z - K)+ = xe m N [ Jv In(xe m j K) + V; ] - KN [ Jv ln (xe m j K) - V; ] .
où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
De plus, les dérivées par rapport et x et K ont les formes simples:
8",IE(xé - K)+ = e m N [ Jv In(xe m jK) + V; ] 1
Z N [ lm JV ]
8KIE(xe - K)+ = - JV In(xe jK) - 2 .
Exercice 3.2 Processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec coefficients inhomogènes en
temps.
a) Soient f, 9 : :IR+ :IR deux fonctions de classe CI. A l'aide de la formule d'intégration
par parties sur l'intégrale de Wiener,_ montrer la relation suivante:
l t f'(s) [l S 9(U)dWu] ds = f(t) l t g(s)dW s -l t f(s)g(s)dW s .
Pourquoi la formule précédente est-elle encore valable si 9 est seulement continue?
b) Utiliser la formule du a) pour trouver le processus continu X solution de l'équation
dX t = atX t dt + at dW t ,
Xo =x
par la méthode de la variation de la constante (a et a sont deux fonctions définies sur
:IR+, a est continue et a dérivable).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 3. QUELQUES PROCESSUS CONTINUS ESSENTIELS
73
Exercice 3.3 Soit (Wt)t O un mouvement brownien réel. Montrer que les processus ci-
dessous vérifient les EDS correspondantes :
1
a) Xt = exp(W t ); dX t = 2Xtdt + XtdW t et Xo = 1.
W t Xt 1
b) Xt = 1 + t ; dX t = - 1 + t dt + 1 + t dW t et Xo = o.
c) Xt = exp(t)W t ; dX t = Xtdt + exp(t)dW t et Xo = O.
1 2 . ( Xl ) 1 ( xl ) ( xl )
d) (Xt, X t ) = (cosh(W t ), slnh(W t )); d xl = 2 xl dt + xl dW t et
(xJ, X5) = (1,0).
Exercice 3.4 Résoudre les EDS suivantes :
a) d ( ) = ( ) dt+ ( ;l ) dW t , avec (XJ,X5) = (X 1 ,X 2 ).
b) dX t = Xtdt + dW t et Xo = x.
c) dX t = -X tdt + e xp(-t)dW t et X o = x.
d) dX t = ( V I + X'f + Xt)dt + V I + X'fdW t et Xo = x.
Pour chaque cas, on admettra que la solution X est unique, continue et qu'elle se décompose
bien comme un processus A à variation finie plus un processus M à variation quadratique
finie.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 4. PROCESSUS A SAUTS
75
Chapitre 4
Processus à sauts
Dans ce chapitre, nous étudions les processus à sauts les plus simples, à savoir les pro-
cessus de Poisson composés. Nous nous restreignons aux intensités de saut indépendantes
du temps. Nous insistons sur les transformations exponentielles, qui permettent d'identifier
les lois marginales, ou qui seront à la base des changements de probabilité du chapitre 5. Du
point de vue modélisation, nous introduisons ensuite des modèles mixtes superposant des
sauts et une partie brownienne. Enfin, comme dans le cas brownien, nous établissons une
formule d 'Itô et le lien avec les EDPs.
4.1 Processus de Poisson cOlllposé
Nous rappelons qu'un processus de Poisson (Nt)t de paramètre À > 0 est un processus
de comptage défini par
Nt = L ITk t
k l
où les v.a. (Tk-Tk-l)k O sont des v.a. i.i.d. de loi exponentielle £(À) (par convention To = 0).
C'est un processus continu à droite avec des limites à gauche (on utilise souvent l'acronyme
càdlàg). On utilise aussi la définition suivante, qui est équivalente.
Définition 4.1.1 Processus de Poisson. (Nt)t est un processus de Poisson de paramètre
À>Osi
- No = 0 ;
- N est un processus à accroissements indépendants;
- pour t > s, Nt - N s est une variable de Poisson de paramètre À(t - s) :
IP'(N t - N s = k) = e-À(t-s} [>,(t S)]k .
N est le prototype de processus à sauts (sauts de taille 1 uniquement). Il est intéressant de
pouvoir considérer des sauts plus gén éraux, d'amplitude aléatoire réelle de loi décrite 1 par la
1. on suppose dans la suite 1/( {O}) = 0, c'est-à-dire que les sauts sont différents de O! !
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
76
4.1. PROCESSUS DE POISSON COMPOSÉ
mesure de probabilité v(dy). Cela conduit à la définition du processus de Poisson composé:
Définition 4.1.2 Processus de Poisson composé. (Xt)t est un processus de Poisson
composé de caractéristiques (À, v) si
Nt
Xt = L Yi
i=1
avec (Yi)i des v.a. i.i.d. de loi v, N un processus de Poisson de paramètre À > 0, (Yi)i et N
étant indépendants.
Le résultat suivant caractérise complètement la loi du processus X.
Proposition 4.1.3 (Xt)t est un processus à accroissements indépendants et stationnaires.
La loi de Xt est donnée par sa fonction caractéristique: pour u E :IR, on a
E( iuXt ) _ ÀtlE(e iuY -1)
e - e .
En particulier, si Y est d'espérance finie, on a
E( X t) = ÀtE(Y).
Si Y est de variance finie, on a
Var(Xt) = ÀtE(y 2 ).
PREUVE:
la propriété d'accroissements indépendants et stationnaires découle facilement de celle
de N et de l'indépendance de Y et N, nous laissons la preuve détaillée au lecteur.
Caractérisons maintenant la loi de X t. Les propriétés d'espérance conditionnelle (voir
Proposition A.2.5) donnent
A.. ( ) .- E( iuXt ) - -Àt [Àt]k E( iu E.f l Yj lN - k)
V/Xt U.- e - e k! e t - .
k O
Nous utilisons l'indépendance des (Yi)i et de N pour obtenir
cPXt (u) = L e- Àt [ t lE(eiuE =l Y;) = L e- Àt [ t (IE{eiuY))k = eÀtE(e'UY>-À\
k O k O
ce qui montre le premier résultat annoncé.
Le calcul de l'espérance de Xt peut se faire de manière analogue, pour obtenir E(X t ) =
E( Nt )E(Y) = ÀtE(Y).
De manière alternative, on peut identifier E(X t ) et E(X ) par un développement limité
de la fonction caractéristique autour de 0 : E(e iUXt ) = 1 + iuE(X t ) - 2 E(X ) +
ou-+o(u 2 ). Ainsi, sous l'hypothèse de variance finie, on a
eÀtlE(eiUY -1) = eÀt(iulE(Y)- U22 1E(y2)+o(u2)}
= 1 + >.t{iulE{Y) _ 2 lE(y 2 )) _ (>'tu (YW + o(u 2 ).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 4. PROCESSUS A SAUTS
77
L'identification donne E(X;) = ÀtE(y 2 ) + (ÀtE(y))2, d'où l'on déduit l'expression de
la variance de Xt. 0
Pour une fonction f donnée, définissons
Nt
Xt(f) := L f(Yk).
k=l
(4.1.1)
Clairement, (Xt(f))t est un processus de Poisson composé, avec des sauts d'amplitude f(Y).
De la proposition 4.1.3, on obtient donc
Proposition 4.1.4 Pour tout u E :IR et toute fonction f, on a
E( iuXt(!» ) _ ÀtIE(eiuj(Y)-l)
e - e .
4.2 Modèle Illixte brownien-Poisson
Souvent, les phénomènes stochastiques à modéliser en finance sont la juxtaposition de
périodes à trajectoires continues (de type mouvement brownien), intercalées par des sauts
représentant des chocs imprévus (modélisés par les sauts d'un processus de Poisson composé).
Dans ce paragraphe, nous définissons de tels modèles mixtes et donnons quelques-unes de
leurs propriétés.
4.2.1 Définitions
Définition 4.2.1 (Modèle mixte brownien-Poisson arithmétique) Un processus mixte
brownien-Poisson arithmétique de caractéristiques (J-L, a, À, v) s'écrit sous la forme
Nt
Xt = x + J-Lt + aW t + L Yi,
i=l
où
1. (Wt)t est un mouvement brownien standard;
2. (E l Yi)t est un processus de Poisson composé avec intensité de saut À et loi commune
v pour les sauts (Yi)i ;
3. les deux processus sont indépendants.
Ce modèle correspond à la simple superposition d'un mouvement brownien et d'un pro-
cessus de Poisson composé. C'est encore un processus à accroissements indépendants et
stationnaires. En passant à l'exponentielle, on obtient le processus mixte brownien-Poisson
géométrique.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
78
4.2. ïvIODÈLE ïvIIXTE BROWNIEN-POISSON
Définition 4.2.2 (Modèle mixte brownien-Poisson géométrique) Un processus mixte
brownien-Poisson géométrique de caractéristiques (J-L, a, À, v) s'écrit sous la forme
( 1 )
St = So exp (p, - 2U2)t + uW t + In(l + li)
(4.2.1)
où
1. (Wt)t est un mouvement brownien standard;
2. (L lln(1 + Yi))t est un processus de Poisson composé avec intensité de saut À et loi
commune v pour les sauts (Yi)i;
3. les deux processus sont indépendants.
On suppose que Yi > -1 p.s. (autrement dit, le support de la mesure v est dans] - 1, oo[).
On peut écrire aussi
( 1 ) Nt
St = So exp (p, - 2 U2 )t + uW t il (1 + li).
Interprétons cette identité lorsque S modélise le cours d'un titre financier. Entre deux sauts,
le titre se comporte comme un mouvement brownien géométrique. A des intervalles de temps
de loi exponentielle de paramètre À (correspondant par exemple à l'arrivée d'informations
importantes dans le marché), le titre varie de Yi % (pour rendre compte de l'impact de ces
informations) .
(4.2.2)
4.2.2 Propriétés
Nous énonçons maintenant des résultats sur les deux premiers moments et les propriétés
de martingales de ces modèles mixtes. La propriété de martingales est importante pour les
aspects valorisation de produits financiers (voir Chapitre 7).
Proposition 4.2.3 (Propriétés dans le modèle mixte brownien-Poisson arithmé-
tique) Supposons que Y ait les deux premiers moments finis. Dans un tel modèle, les
moyenne et variance de Xt = x + J-Lt + aW t + L l Yi sont données par
JE(X t ) = x + J-Lt + ÀtJE(Y),
Var(Xt) = a 2 t + ÀtJE(y 2 ).
De plus, (Xt)t est martingale (dans sa filtration naturelle) si et seulement si J-L+ÀJE(Y) = O.
PREUVE:
Les moyenne et variance se calculent facilement à l'aide de la Proposition 4.1.3.
Comme X est un processus à accroissements indépendants, la propriété de martingale
est équivalente à la constance de t J---+ JE(X t ) : en effet, pour t > s, on a
JE(XtIX u : u < s) = Xs + JE(X t - XslXu : u < s) = Xs + JE(X t - X s ).
o
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 4. PROCESSUS A SAUTS
79
Proposition 4.2.4 (Propriétés dans le modèle mixte brownien-Poisson géomé-
trique) Supposons que Y ait les deux premiers moments finis. Dans un tel modèle, les
moyenne et variance de 8t = 80 exp ((p, - a2)t + aW t + L lln(l + Yi») sont données
par
JE( St) = Soet(JL+ÀIE(Y» ,
Var(St) = [E(St)]2 (e t (u 2 +ÀIE(y 2 » - 1).
De plus, (St)t est une martingale (dans sa filtration naturelle) si et seulement si JL + ÀJE(Y) =
O.
PREUVE :
Les calculs de moments se basent seulement sur JE( eU Wt) = e! u 2 t et JE( e u Ef l f (Yi») =
eÀtIE(eU!(Y)-l) (voir proposition 4.1.4). On en déduit
E (S ) - S e (JL-!u2)t !u2t ÀtIE(e 1n (1+Y)-1) - S t(JL+'xIE(Y»
t - 0 e e - oe .
De manière similaire,
JE (S 2 ) - 8 2 2(JL-!u2)t 2u 2 t ÀtIE(e 21n (1+Y)-1) _ 8 2 t(2JL+u2+ÀE(y2+2Y»
t - oe e e - oe .
L'expression de la variance de St en découle.
Pour montrer la propriété de martingale, on s'appuie sur l'indépendance et la station-
narité des accroissements de log( S) : ainsi pour t > s, on a
St St JE(St-s)
JE(StISu : u < s) = SsJE( Ss ISu : u < s) = SsJE( Ss ) = Ss So .
La propriété de martingale de S est donc équivalente à la constance de t t-+ JE( St),
c'est-à-dire JL + ÀE(Y) = 0 d'après le calcul précédent sur la moyenne. 0
4.3 Équation de la chaleur avec noyau intégro-
différentiel
L'objectif de ce paragraphe est de mettre en évidence la connexion entre espérance de
processus et EDP. Pour cela, nous énonçons des résultats de type formule d'Itt5 en espérance
(voir Proposition 2.2.3 dans le cas brownien).
4.3.1 Modèle mixte brownien-Poisson arithmétique
Ici, nous considérons le cas où le processus X est la somme d'un mouvement brownien
avec dérive JL et coefficient de diffusion a, et d'un processus de Poisson composé de caracté-
ristiques (À, l/) (avec indépendance des 2 processus) :
Nt
Xt = x + JLt + aW t + L Yi.
i=l
(4.3.1)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
80
4.3. ÉQUATION DE LA CHALEUR INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLE
Pour exhiber le lien avec les EDPs, nous n'étudions d'abord que la partie avec sauts (J-L =
a = 0).
Proposition 4.3.1 Si X est un processus de Poisson composé (À, v) issu de x, alors pour
toute fonction 2 f E 0:,0 on a
1E(f(t, X t » = 1(0, x) + lE (lot [1:(8, Xs) + À k (f(8, Xs + y) - 1(8, Xs»V(d Y )] d8) .
(4.3.2)
PREUVE:
Il s'agit de calculer la dérivée de JE(f(t, X t )) en temps, puis de réécrire la fonction
comme l'intégrale de sa dérivée. On a
1E(f(t,X t » = L::e->. t!À:t lE [J(t, x + tYi)],
k O i=l
( )) " -Àt [Àt]k [ 1 )] "-Àt [Àt]k [ ]
8 t JE(ft,X t = e MJEft(t,x+ Yi -À e MJEf(t,x+ Yi)
k O i=l k O i=l
[Àt]k-l k
+ÀL (k_l)! IE[/(t,x+ LYi)].
k l i=l
Comme les sauts sont indépendants, la dernière somme peut se réécrire
[Àt]k 1 k
LM JE [f(t, x + LYi+y)]V(dy).
k O R i=l
En regroupant les termes ensemble et en revenant au processus X dans les équations, on
obtient finalement 8 t JE(f(t, Xt)) = JE(f:(t, X t )) +ÀJE[fR(f(t, Xt +y) - f(t, Xt))v(dy)].
o
Théorème 4.3.2 Si X est un processus mixte brownien-Poisson arithmétique de type
(4.3.1), alors pour toute fonction 3 f E 0:,2 on a
1E(f(t, X t » = 1(0, x) + IE( lot [1:(8, Xs) + J.t/ (8, Xs) + U2 1:,'",(8, Xs)
+ À L (f(8, Xs + y) - 1(8, Xs»V(d Y )] d8).
(4.3.3)
2. si la mesure v intègre toute fonction à croissance exponentielle en l'infini, alors on peut re-
lâcher la condition de bornitude sur f et sa dérivée en temps en une condition de croissance sous-
exponentielle en l'infini.
3. là encore, on peut relâcher les conditions de croissance sur f en fonction d'hypothèse supplé-
mentaire sur v.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 4. PROCESSUS A SAUTS
81
Remarque 4.3.3 C'est la généralisation de ce que nous avons obtenu individuellement pour
le mouvement brownien (égalité (2.2.12)) et pour le processus de Poisson composé (égalité
(4.3.2)).
Comme pour le théorème 2.2.4, on peut remplacer dans le résultat précédent le temps t dé-
terministe par un temps d'arrét U borné.
PREUVE :
Nous allons appliquer les formules individuelles en exploitant l'indépendance de la
partie brownienne et de la partie à sauts. Nous utilisons à plusieurs reprises l'égalité
suivante (voir Appendice A.2) : si (X, Y) sont des v.a. indépendantes, alors
E(4)(X, Y)) = E(cp(X)) avec cp(x) = E(4)(x, Y)).
Posons u(t, z) = E(f(t, z + L l Yi). Remarquons alors que
1. u est une fonction de classe C ,2. En effet, la régularité en z s'obtient en dérivant
sous l'espérance (a u(t, z) = E(a f(t, z + L l Yi)) et celle en t a été montrée
dans la proposition 4.3.1.
2. E(f(t, X t )) = E(u(t, Xo + J-Lt + aW t )).
Ainsi l'égalité (2.2.12) dans le cas brownien avec dérive donne
8 t lE(f(t, X t )] = 1E((u + p,u + U2U ",)(t, Xo + p,t + uW t )].
Mais l'égalité (4.3.2) montre que Eu (t, Xo + J-Lt + aW t ) est égal à
( [ Nt Nt Nt ]
lE lE f:(t,z + Yi) + À L (f(t, z + Yi + y) - f(t,z + Yi))v(dy)
= lE [f:(t, X t ) + À L (f(t, Xt + y) - f(t, Xt))v(dy) J.
Z=XO+/Lt+uW. )
On procède de même pour Eu (t, Xo + J-Lt + aW t ) = Ef (t, Xt) et Eu x(t, Xo + J-Lt +
aW t ) = Ef::x(t, Xt), ce qui mène à la formule annoncée. 0
Nous pouvons maintenant représenter la solution d'EDP intégro-différentielle comme
espérance de fonction de processus mixte brownien-Poisson. La nouvelle qualification intégro-
différentielle provient de la présence du terme intégral en v( dy).
Corollaire 4.3.4 (Formule de Feynman-Kac) Si u est une fonction de classe C ,2 so-
lution de l'EDP intégro-différentielle
u (t, x) + p,u (t, x) + U2U ",(t, x) - ru(t, x)
+À L (u(t, x + y) - u(t,x))v(dy) = 0 pour (t, x) E]O, T(xlR,
u(T, x) = g(x) pour x E :IR,
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
82
4.4. FORrvIULE D'ITÔ
alors
u(O,x) = E (e- rT g(x + J.tT + OWT + Yi») .
PREUVE:
Il suffit d'appliquer la formule (4.3.3) à la fonction f(t,x) = e-rtu(t,x).
o
4.3.2 Modèle mixte brownien-Poisson géométrique
Par un changement de variable exponentielle St = exp(X t ) (en changeant un peu la
forme des sauts et de la tendance), on déduit l'analogue des résultats précédents dans le
cadre qui nous intéresse en finance. Nous énonçons les résultats sans preuve.
Théorème 4.3.5 Si S est un processus mixte brownien-Poisson géométrique (/-L, a, À, v)
( 1 ) Nt
St = So exp (J.t - "2 U2 )t + uW t TI (1 + Yi),
alors pour toute fonction f E C ,2 on a
E(f(t, Sd) = 1(0, So) + E( l t [1: (s, Ss) + J.tSs! (s, Ss) + U2 S; 1:", (s, SS)
+ À L (f(s, Ss(1 + y» - I(s, Ss»V(d Y )] dS).
Corollaire 4.3.6 (Formule de Feynman-Kac) Si u est une fonction de classe C ,2 so-
lution de l'EDP intégro-différentielle
u (t,x) + J.tXu (t,x) + U2X2U .,(t,X) - ru(t,x)
+À L (u(t, x(1 + y» - u(t, x»v(dy) = 0 pour (t, x) E]O, T[x]O, 00["
u(T, x) = g(x) pour x E]O,oo[,
alors
u(O, So) = E (e- rT 9(ST») .
4.4 ForIllule d'Itô
Nous passons maintenant de la décomposition temporelle en espérance de f(t, Yi) (où
y = X ou Y = S) à une décomposition temporelle trajectorielle : c'est la formule d'Itô.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 4. PROCESSUS A SAUTS
83
4.4.1 Notations sur les sauts
Nous avons besoin de notations préalables spécifiques aux processus à saut.
Définition 4.4.1 Un processus (Zt)t est dit càdlàg (continu à droite avec des limites à
gauche) si avec probabilité 1, pour tout t on a
- lims!t Zs = Zt;
- la limite limstt Zs existe: on la note Zt-.
Le saut en t est défini par b.Z t = Zt - Zt-.
Les processus mixtes brownien-Poisson arithmétiques t géométriques sont des exemples
typiques de processus càdlàg.
- Dans le cas arithmétique Xt = x + J-Lt + aW t + L l Yi, on a b.X t = Yi si t est le
i-ième instant de saut.
- Dans le cas géométrique St = Soexp ((J-L - !a 2 )t + aW t ) n l(1 + Yi), on a b.S t =
St- Yi si t est le i-ième instant de saut.
Si (Ti)i l désigne la suite des instants de sauts (avec la convention To = 0), on définit Y à
tout instant par
Yi = Yi pour t E]Ti-l, Ti],
(4.4.1)
et YO = O. On notera que Y est continu à gauche. Avec ces notations, on a b.X t = Yi et
b.S t = St- Yi.
4.4.2 Formule d'Itô
Nous commençons par définir l'intégrale par rapport au processus de Poisson (Nt)t.
Comme N est un processus croissant, nous avons juste besoin d'une intégrale au sens de
Riemann-Stieljes.
Définition 4.4.2 (Intégrale par rapport au processus de Poisson) Si (gt)t est une
fonction continue à gauche, alors pour tout 0 < r < t
1 g(s)dN s = L g(s)tlN s = Lg(Ti)l r <Ti9'
]r,t] r<s t i l
(4.4.2)
Proposition 4.4.3 (Formule d'Itô pour le processus de Poisson composé) Consi-
dérons 1 : (t, x) E IR+ X :IR une fonction de classe Cl,o et Xt = x + L l Yi : alors
I(t, X t ) = 1(0, x) + i t f:(s, Xs- )ds + { (I(s, Xs- + Y,,) - f(s, Xs- »dN s .
o J]O,t]
PREUVE :
Ce résultat est de nature déterministe. On écrit I(t, X t ) - 1(0, x) comme une somme
téléscopique sur les instants de sauts: I(t, Xt)- 1(0, x) = Lk O(/(t/\Tk+l' Xt 1\ Tk + 1 )-
l(t/\Tk,XtI\Tk))' Les différences sont non nulles si Tk < t. Dans ce cas, sur l'intervalle
[Tk, t /\ Tk+l[ Xs est constant et égal à XTk' En s = t /\ Tk+l, X éventuellement saute
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
84
4.4. FORrvIULE D'ITÔ
(si s = Tk+l, c'est-à-dire b.N s = 1) : le saut est alors de taille . De ces remarques,
il découle
f(t,X t ) - f(O,x) = L ITk t(f(t /\ Tk+l,X t I\Tk+l):I: f(t /\ Tk+l,XTk) - f(Tk,XTk))
k O
=LITk t ( f (f(s,Xs-+ )-f(s,Xs-))dNs
k O J]Tk,tI\Tk+l]
+ tATk+ 1 f:(s,Xs-)dS ) .
JTk
o
Remarque 4.4.4 Dans la formule d'Itt5 ci-dessus, écrire Xs- ou Xs dans l'intégrale en ds
n'a pas d'importance, car les deux processus diffèrent seulement aux instants de sauts qui sont
en quantité dénombrable (en fait finie ici) donc négligeables pour la mesure de Lebesgue. Par
contre, c'est crucial d'écrire Xs- dans l'intégrale en dN s comme on peut s'en rendre compte
dans la preuve.
Si X comporte en plus une partie Brownienne, alors on utilise la même décomposition té-
lescopique, mais entre deux instants de sauts, on applique la formule d'Itô pour le mouvement
brownien avec dérive (corollaire 2.4.2). Cela donne:
Théorème 4.4.5 (Formule d'Itô pour le processus mixte brownien-Poisson arith-
métique) Considérons f : (t, x) E :IR+ X :IR une fonction de classe 0 1 ,2 et Xt = x + J.1.t +
aW t + L 1 Yi : alors avec probabilité 1, on a pour tout t > 0
f(t, Xt) = f(O, x) + l t u: (s, Xs-) + p,f (s, Xs-) + a2 t:",(s, Xs- ))ds
+ l t af (s,Xs-)dWs + r U(s,X s - + Ys) - f(s,Xs-))dN s .
o J]O,t]
L'intégrale stochastique par rapport à West la limite de
L f (ti,Xti)a(Wti+l - W ti )
t.<t
t_
le long de la subdivision dyadique d'ordre n.
En comparant la formule trajectorielle précédente avec celle en espérance (égalité (4.3.3)),
on observe que si f E 0:,2, alors
1. l'intégrale stochastique par rapport à West d'espérance nulle;
2. celle par rapport à N a pour espérance JE[f; fJR(f(s,Xs +y) - f(s,Xs))Àv(dy)ds].
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 4. PROCESSUS A SAUTS
85
4.4.3 Applications au processus mixte brownien-Poisson géo-
métrique
Appliquons le résultat qui précède à la fonction f(t, x) = exp(x) pour déduire la décom-
position d'Itô de S. On obtient
Corollaire 4.4.6 Soit St = exp ((JL - a2)t + aW t ) n l (1 + Yi) un processus mixte
brownien-Poisson géométrique de caractéristiques (JL, a, À, v). Alors
St = So + i t p,Ss-ds + i t aSs-dWs + f Ss- YsdN s
o 0 J]O,t]
ou de manière équivalente
dS t
St- = JLdt + adW t + YidN t .
A partir du Théorème (4.4.5) on peut aussi déduire la décomposition d'Itô de v(t, St)
(par composition de fonctions f(t, x) = v(t, exp(x)) et en ajustant la tendance et les sauts
de X).
(4.4.3)
Corollaire 4.4.7 Soit St = exp ((JL - a2)t + aW t ) n l (1 + Yi) un processus mixte
brownien-Poisson géométrique de caractéristiques (JL, a, À, v). Alors pour v : (t, x) E lR+ X lR+
une fonction de classe 0 1 ,2, on a
dv(t, St) = (v (t, St- )+p,St-v (t, St-) + U2 S _ v ",(t, St- »dt + USt-v (t, St- )dW t
+ (v( t, St- (1 + Yi)) - v( t, St-) )dN t . (4.4.4)
C'est tout à fait l'analogue de la décomposition du Théorème 3.1.3 à laquelle on ajoute la
contribution des sauts. C'est également à comparer avec la version en espérance (Théorème
4.3.5) .
4.5 Exercices
Exercice 4.1 Superposition de processus de Poisson composé.
Nous considérons Xl et X2 deux processus de Poisson composé indépendants, de caractéris-
tiques respectives (À l , VI) et (À2, V2)'
1. Superposition. Montrer que Xl + X2 est un processus de Poisson composé dont on
déterminera les caractéristiques.
2. Modèle double exponentielle de Kou-Wang (2004). Déterminer Xl et X2 pour
que la somme soit un processus de Poisson composé de caractéristiques
(À, p1]le - TJ1Y 1 y >ody + q1]2eTJ2Y1y<ody)
avec À > O,p > 0, q > O,p + q = 1,1]1 > 0,1]2 > O.
En déduire une procédure de simulation de la somme.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCH S FINANCIERS
CHAPITRE 5. CHANGEMENTS DE PROBABILITÉ
87
Chapitre 5
Changements de probabilité
Les changements de probabilité sont d'un usage courant en statistique et probabilité. La
théorie de l'estimation par maximum de vraisemblance repose sur l'étude des densités du
modèle paramétrique par rapport à une probabilité de référence. Cette fonction qui s'appelle
la vraisemblance traduit le taux de dépendance du modèle par rapport aux paramètres.
Dans les modèles discrets, les changements de probabilité sont fréquents, mais ils corres-
pondent à des transformations tellement simples, qu'il n'est pas vraiment nécessaire de les
énoncer comme telles. Toutefois, ils jouent un rôle important dans les techniques de réduction
de variance dans les méthodes de Monte-Carlo (voir le paragraphe A.4 sur les simulations).
Les applications les plus spectaculaires apparaissent dans la théorie des espaces gaussiens,
du processus de Poisson, et plus généralement dans l'étude des martingales. De nombreuses
propriétés des solutions d'équations différentielles stochastiques en découlent.
La finance est un des domaines appliqués qui utilise le plus les changements de proba-
bilité. Harrison et Pliska (1981,1983) [12, 13] les premiers ont montré l'importance de cette
technique, qui est maintenant bien connue dans les salles de marché: pour évaluer les prix
de contrats financiers, on calcule des espérances sous une probabilité "risque-neutre", qui est
seulement équivalent à la probabilié historique de départ. Au chapitre 7, nous reviendrons
sur ces aspects fondamentaux en finance de marché.
Ce chapitre présente d'abord des généralités sur les changements de probabilités, puis
nous étudions le cas des processus gaussiens et processus de Poisson.
5.1 Généralités
5.1.1 Notions élémentaires et exemples
Nous travaillons sur un espace de probabilité de référence (0, F, IP). Ce peut être l'es-
pace correspondant à une des hypothèses d'un test statistique. En finance, c'est l'espace dit
"univers historique", en référence auquel on fait les tests statistiques.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
88
5.1. GÉNÉRALITÉS
Définition 5.1.1 Une probabilité Q sur l'espace (O,:F) définit un changement de probabilité
(par rapport à JP> ), s'il existe une v. a. Y, positive, telle que
Q(A) = JE[YIA] si A E :F.
(5.1.1)
La v. a. Ys' appelle la densité ou la vraisemblance de Q par rapport à JP>. On note en général
Q = y . JP>, ou dQ = Y dJP>,
dQ
ou dJP> = Y.
On dira que les probabilités JP> et Q sont équivalentes, si la v. a. Y est strictement positive JP>
p.s., ce qui entrafne que JP> est un changement de probabilité par mpport à Q, de densité y-le
Remarquons que pour Q soit une mesure de probabilité (de masse 1), il est nécessaire que
JEHD(Y) = 1. Réciproquement, avec la contrainte de positivité, cette condition est suffisante
pour définir une mesure de probabilité Q.
Lorsque les probabilités sont équivalentes, la densité Y est souvent représentée sous la
forme de e Z , où Z s'appelle la log-vraisemblance.
EXEMPLES
1. Le modèle de Bernoulli. Le modèle le plus simple est évidemment celui de Ber-
noulli : la tribu :F est celle engendrée par une v.a. U qui ne prend que les valeurs 0
et 1, avec les probabilités (1 - p) et p respectivement. Les v.a. strictement positives,
mesurables par rapport à cette tribu sont de la forme Y = e Z , où
Z = h(U) = h(l)l{u=l} + h(O)(l - I{U=l}) = aU + (3(1 - U).
La condition JE[Y] = 1 avec Y = (eQ)U (e13)l-U implique que a et {3 doivent satisfaire
la relation
pe Q + (1 - p)e 13 = 1.
Reste à définir la loi de U sous Q. On a
t11\ (U 1) JE[ Q U+13(l-U) 1 ] Q
q = = = e {U=l} = pe ,
1 - q = Q(U = 0) = (1 - p)e 13 .
Réciproquement, la densité de probabilité
y = ( ) U ( 1 - q ) (1- U)
P 1-p
(définie sur cette tribu) donne bien une probabilité Q équivalente à JP>.
2. Le modèle binomial. Nous généralisons ce changement de probabilité au modèle
binomial, engendré par n v.a. Ul, U2...U n indépendantes de même loi de Bernoulli de
paramètre p et de somme Sn. La v.a.
Y n = ( )Sn( 1 - q )(n-Sn)
p 1-p
= ( )Ul ( 1 - q )(l-Ul) x ( )U2 ( 1 - q )(1-U2) .....( )u n ( 1 - q )(l-U n )
p 1-p p 1-p p 1-p
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 5. CHANGEMENTS DE PROBABILITÉ
89
est un produit de v.a. indépendantes et d'espérance 1. C'est donc une v.a. d'espérance
1, qui définit un changement de probabilité Q.
Sous cette probabilité, les v.a UI, U2...U n sont toujours indépendantes mais de loi de
Bernoulli de paramètre q. En particulier, la v. a. Sn suit une loi binomiale de paramètre
q.
Réciproquement, une probabilité Q sur la tribu engendrée par Sn, qui est telle que Sn
suit une loi binomiale de paramètre q est équivalente à JP> de densité Y n . Pour le voir,
il suffit d'expliciter
Q(Sn = k) = C qk(l - q)n-k = C ( )k( = : )(n-k)pk(l - p)n-k = IEIl'[Yn 1 {Sn=k}].
Remarquons qu'avec ces exemples de changement de probabilité, la variance est modifiée, ce
qui sera aussi le cas dans le modèle poissonnien, mais pas forcément dans le modèle gaussien.
5.1.2 Changement de probabilité et changement de tribus
Il arrive fréquemment que nous ayons à calculer les probabilités d'événements qui ne
dépendent que d'une partie de l'information a priori disponible. Dans le cas où interviennent
des probabilités équivalentes, il est important de préciser comment sont modifiées les densités
dans ce contexte.
Nous précisons le cadre mathématique de cette étude: les événements que nous souhai-
tons évaluer sont mesurables par rapport à une sous-tribu Q de :F. D'autre part, Q est une
probabilité équivalente à JP> sur :F, de densité Y, :F-mesurable.
On désigne par JEllD[ZIQ] l'espérance conditionnelle d'une v.a. Z positive ou intégrable, par
rapport à la sous-tribu Q, c'est à dire l'unique v.a. à une égalité p.s. près, Q-mesurable, qui
vérifie:
ve E Q,
JEllD [ Z 1 c] = JEllD [JEllD [ Z 1 Q] 1 c] .
iThéorème 5.1.2 Sous les hypothèses précédentes, la restriction de la probabilité Q à la tribu
Q admet une densité par rapport à JP>, donnée par
yI = JEllD[YIQ].
La règle de Bayes donne le calcul de l'espérance conditionnelle,
JE [ZIQ] = JEllD[ZYIQ]
Q JEllD[YIQ]
avec la convention habituelle que g = o.
PREUVE :
Il s'agit d'une simple vérification: pour tout A E Q
Q[A] = JEllD[YIA] = JEllD[JEllD[YIQ] lA] = JEllD[yIIA].
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
90
5.2. MODÈLES GA US SIENS
Quant à la règle de Bayes, elle se montre de la même façon
[ 1 JEllD[ZYIQ] ]
JEQ[ZlA] = JE llD[ZY1A] = JEllD[JEllD[ZYIQ]lA] = JEI? Y JEllD[YIQ] lA
[ JEI?[ZYIQ] ]
=JEQ JEllD[YIQ] lA .
Le calcul est justifié, car JEllD[ZYIQ] est nul lorsque JEllD[YIQ] s'annule.
D
5.2 Modèles gaussiens
5.2.1 Le cas des gaussiennes réelles
Dans les modèles gaussiens, il existe des changements de probabilité qui conservent le
caractère gaussien des v.a. Ceci est évident dans le cas d'une gaussienne réelle à partir de la
forme de la densité.
Proposition 5.2.1 (Changement de probabilité et de moyenne) Soit U une v.a. gaus-
sienne de moyenne m = mllD et de variance u 2 > 0 sous IP. Posons
À 2
Y = exp[À(U - m) - 2u 2 ].
y est une v.a. positive, d'espérance 1, qui définit une nouvelle probabilité Q, sous laquelle U
est une v. a. gaussienne de variance u 2 , et de moyenne
mQ = mllD + Àu 2 .
(5.2.1)
PREUVE:
Par le calcul de transformée de Laplace de gaussienne, on vérifie que Y est d'espérance
1 sous IP. Sous la probabilité Q, la v.a. U admet une loi de densité donnée par
exp[À(x - m) - À 2 u 2 ](211"u 2 )-! exp ( - (x _ m)2 )
2 2u 2
qui se transforme en
(27ru 2 )-! exp ( - (x - m - À U 2 )2 )
2u 2
ce qui prouve globalement le résultat.
D
Les changements de probabilité dont les log-vraisemblances sont des polynômes d'ordre 2
conservent aussi le caractère gaussien, mais modifient à la fois l'espérance et la variance,
comme le montre le résultat suivant.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 5. CHANGEMENTS DE PROBABILITÉ
91
Proposition 5.2.2 (Changement de probabilité et de moyenne/variance) Soit U
une v.a. gaussienne de moyenne m = mllD et de variance a 2 a > 0 sous IP. Pour
o E] - 00, 2 2 [ et À E IR, posons aô = 1- :0"2 > 0 et
a 2 À 2 2
Y = - exp[O(U - m) + À(U - m) - -aQ]'
aQ 2
y est une v.a. positive, d'espémnce 1, qui définit une nouvelle probabilité Q, sous laquelle U
est une v.a. gaussienne de variance aô, et de moyenne mQ = mllD + ÀaÔ'
PREUVE :
Vérifions que Y est d'espérance 1 sous IP. En effet,
1 ,2 ( ) 2
a 2 /\ 2 x-m 2 1
JEllD(Y) = - exp[O(x - m) + À(x - m) - _ 2 aQ] exp[- 2 2 ](27ra )-2 dx
R a
1 ,2 ( ) 2
2 1 2 /\ 2 x-m
= R (27raQ)-2 exp[O(x - m) + À(x - m) - 2 aQ ] exp[- 2a 2 ]dx
1 2 1 (x - m - ÀaÔ)2
= (27raQ)-2 exp[- 2 2 ]dx = 1.
R a Q
Un calcul similaire montre que la Q-Ioi de U est gaussienne avec les paramètres
(m + ÀaÔ, aô). D
Dans la suite, concernant les changements de probabilité gaussienne, nous nous restreignons
au cas où seule la moyenne est modifiée (0 = 0). Ce choix se justifie par le fait que concernant
le mouvement brownien, seules les moyennes sont modifiables par changement de probabilité
(voir Théorème 5.2.4 ci-après). Nous mentionnons toutefois que le changement de variances
pour les vecteurs gaussiens est possible et a des applications en simulation d'évènements
rares par échantillonnage préférentiel (voir paragraphe A.4).
Changement de probabilité et changement de variable
Une autre manière d'interpréter les résultats précédents est la suivante. Dans le cadre
de la Proposition 5.2.1, la variable aléatoire translatée U + Àa 2 sous la probabilité IP est
gaussienne, de variance a 2 et de moyenne mllD + Àa 2 = mQ. Elle a donc la même loi que la
v.a. U sous la probabilité Q.
De manière plus explicite, cela signifie que pour toute fonction f (borélienne) positive
2 À 2 2
JEIP[f(U + Àa )] = JEQ[f(U)] = JEllD[exp(À(U - m) - 2 a )f(U)].
(5.2.2)
Ainsi le calcul de toute espérance relative à la v.a (U + Àa 2 ) se ramène au calcul d'une
espérance relative à la v.a U. Sans changer la v.a. U, en pondérant sa distribution d'un
poids donné par Y, on peut modifier sa moyenne. Ce point est particulièrement important
dans certaines expériences de statistique ou dans certains calculs menés par des méthodes
de Monte-Carlo.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
92 5.2. MODÈLES GAUSSIENS
5.2.2 Le cas vectoriel
Nous nous intéressons maintenant à la manière dont le même changement de probabilité
transforme la loi d'un vecteur gaussien. Le caractère gaussien est conservé, ainsi que la
matrice de variance/covariance, mais les moyennes sont modifiées.
Proposition 5.2.3 Soit (Xl, X 2 ...X n , U) un vecteur gaussien. Sous la probabilité Q, de
densité Y par rapport à JP>, où
1
Y = exp(U - JEHD(U) - 2"Var HD (U»
le vecteur (Xl, X 2 ...X n ) est gaussien, de m me matrice de covariance sous JP> et sous Q, et
de vecteur des espémnces
1EQ[X i ] = <COVHD(X i , U) + JEHD[X i ],
En particulier, pour toute fonction f borélienne positive,
JEHD[f(X I + <COVHD(X I , U)........, X n + <COVHD(X n , U»] = JEQ[f(X I , X2..., X n )]
1
JEHD[exp(U - JE(U) - 2VarHD(U»f(XI,X2...,Xn)].
PREUVE:
Comme toujours dans le cas des vecteurs gaussiens, il est très efficace de travailler
avec les transformées de Laplace, qui font intervenir des combinaisons linéaires des
v.a. Z = L.: =l aiX i . On a
n 1
JEQ[exp(L aiXi)] = JEHD[exp(U - JEHD(U) - 2" VarHD(U» exp(Z)]
i=l
= exp[JEHD( Z + U) - JEHD(U)
1
+ 2" (VarHD(Z + U) - VarHD(U»] (puisque Z + U est gaussienne)
1
= exp[JEHD(Z) + <COVHD(Z, U) + 2" VarHD(Z)]
en utilisant que VarHD(Z + U) = VarHD(Z) + VarHD(U) + 2<COVHD(Z, U). La transformée de
Laplace du vecteur (Xl, X 2 ...X n ) sous la probabilité Q est celle d'un vecteur gaussien
de même matrice de covariance que sous JP>, et dont l'espérance est donnée par
n n
JEQ[L aiXi] = Lai (JEHD[X i ] + <COVHD(X i , U».
i=l i=l
D
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 5. CHANGEMENTS DE PROBABILITÉ
93
5.2.3 La formule de Cameron-Martin
Les applications de ce théorème sont très nombreuses. L'exemple le plus spectaculaire
est celui du mouvement brownien, que nous décrivons ci-dessous.
Théorème 5.2.4 (Formule de Cameron-Martin) Soit {W t ; t E }R+} un mouvement
brownien standard, par mpport à une probabilité IP, et f une fonction contin(lment déri-
vable sur [0, T].
La v.a. LT = exp[fo T f(s)dW s - ! faT f2(S)ds] est une densité de probabilité, qui défi-
nit une nouvelle probabilité Q par rapport à laquelle la fonction aléatoire {W t Q = W t -
l tAT f(s)ds; t E )R+} est un mouvement brownien.
En d'autres termes, sous Q le mouvement brownien W se représente comme une f.a d'It de
décomposition
{tAT
W t = WtQ + Jo f(s)ds.
Nous énonçons ce résultat pour des fonctions f dérivables, car c'est pour de telles fonctions
que nous avons contruit en détail l'intégrale de Wiener faT f (s )dW s . Mais nous savons (voir
les remarques après la.propriété 2.5.1) que cette intégrale a un sens si f est seulement une
fonction de L 2 ([0, T], dt) : c'est sous cette hypothèse minimale que la formule de Cameron-
Martin est connue.
PREUVE :
Il s'agit en fait d'une simple application de la proposition précédente avec U =
faT f(s)dW s de loi gaussienne N(O, faT f2(S)ds), une fois remarqué que <Cov(U, W t ) =
IElP'(W t l T f(s)dW s ] = l tAT f(s)ds d'après le calcul de Wiener (voir Proposition
2.5.1). D
En particulier, pour toute fonction F définie sur l'espace des fonctions continues, nous avons
que
IEIP'(F(W. + LAT f(s)ds)] = IEIP'(LTF(W.»)
Exemple. Étude du sup d'un mouvement brownien décentré.
Pour étudier la loi du sup de W t = W t + bt sur [0, T], il suffit de connaître la loi du
couple (WT, SUPt T W t ). En effet, d'après la formule de Cameron-Martin,
IP(sup(W t + bt) > x) = JEHD[e bWT - !b2TlSUPt<T Wt x]'
t T -
Extensions. Le théorème 5.2.4 s'étend immédiatement au cas multidimensionnel en
considérant un brownien d-dimensionel et un vecteur ligne f.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
94 5.2. MODÈLES GAUSSIENS
5.2.4 Un exemple d'application statistique
Supposons que m(.) représente un signal temporel (déterministe) intéressant, susceptible
d'être présent ou absent tandis que W représente un bruit additif. La modélisation de cette
situation conduit évidemment à considérer les deux fonctions aléatoires W correspondant
à un bruit pur, et m{.) + W. correspondant à un "signal utile", plongé dans un bruit. La
probabilité IP donne la loi du bruit.
L'observateur de son côté n'a accès qu'à l'une de ces deux fonctions aléatoires dont il observe
une trajectoire W = (Wt; t E [0, T]), et en général, il ignore laquelle des deux fonctions est en
jeu, son problème étant précisément de le détecter.
Aussi, au lieu de considérer les deux fonctions aléatoires W et X = m(.) + W. dont la loi est
mesurée par la seule probabilité IP, il lui est équivalent de considérer qu'il observe une seule
fonction aléatoire X, qui modélise son observation, sous deux probabilités différentes. Ainsi
la trajectoire observée W possède une probabilité a priori d'être observée égale à IP(dw) ou
Q(dw) suivant les cas.
Supposons que West un processus de Wiener sous IP, et m(t) la primitive d'une fonction
J.L(.) de carré intégrable, de telle sorte que m(t) = f J.L(s)ds. La fonction m(t) est associée à
la covariance de la variable U = foT J.L(s)dW s avec le mouvement brownien (Wt)t avec une
covariance donnée par <COVHD(U, W t ) = m(t).
Sous la probabilité Q = LT . IP, où LT = eXPllT JL(s)dW s - 41 T JL2 , (s)ds] West un
processus décentré, dont le paramètre de décent l'alité est m(.).
La vraisemblance associée à l'observation de west donnée par LT, qui vaut 1 s'il n'y a
pas de signal, et qui peut être très grand s'il y a effectivement un signal. On en déduit une
règle de décision, basée sur cette remarque:
au vu de l'observation w, on décide que le signal était présent si
{T 1 1 (T 1
U = Jo JL(s )dW s > 2 Varll'(U) = 2 Jo JL2(s)ds = 20"2. (5.2.3)
Cette règle n'est pas infaillible! Si le signal m(.) est réellement absent, la probabilité de
prendre une mauvaise décision vaut
1
p := IP[U > 2 VarHD(U)]
tandis que si le signal m est réellement présent, la probabilité d'erreur vaut
1
q := Q[U < 2 VarlP(U)]
(5.2.4)
(5.2.5)
puisque suivant les cas, c'est la probabilité IP ou Q qui régit l'expérience. Ces deux probabilités
se calculent facilement en fonction de la variance de U, 0"2 = l T JL2(s)ds, qui dépend non
plus de m directement mais du carré de ses variations au cours du telnps.
Proposition 5.2.5 Les probabilités p et q sont égales à N( - ; ), où N est la fonction de
répartition de la loi normale
1 / x
N(x) = . HL. e- 2 dy.
V 27r -00
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 5. CHANGEMENTS DE PROBABILITÉ
95
En particulier, pour que la règle de décision soit satisfaisante (p, q < 5%) il suffit que a > 4.
PREUVE:
La première probabilité mesure
11 2 1
p := JP>[U > 2 Varp(U)] = JP>[aç > 2 a ] = JP>[ç > 2 a ]
où ç suit une loi N(O, 1).
Sous la probabilité Q, U suit une loi N(a 2 , a 2 ) d'après le Lemme 5.2.1 et donc
1 212
.- Q[U < 2 Varp(U)] = JP>[aç + a < 2 a ]
1
JP>[ç < -2a] = p
q
par suite de la symétrie de la loi gaussienne.
Le dernier résultat provient de ce que N( -x) = 1 - N(x) = 5% si x 2.
D
Notons que pour le test soit réellement efficace, il faut que la dérivée du signal lui-même ait
une norme dans L 2 ([0, T], dt), Le. foT J.L2(s)ds, suffisamment grande.
5.3 Modèles poissonniens
Nous en venons maintenant au changement de probabilité pour les processus de Poisson
composé. Comme dans le cas brownien, les changements de probabilité possibles sont nom-
breux et nous n'en décrivons qu'un certain type, connu sous le nom de transformation de
Esscher.
Théorème 5.3.1 Transformation de Esscher. Soit X un processus de Poisson composé
de caractéristiques (À, v) et f une fonction borélienne tels que fR eJ(Y)v(dy) = JE(eJ(Y» <
.too. Soit (Ft)O t T la filtmtion générée par (Xt)O t T. La v.a.
LT = exp[XT(f) - £ (ef{Y) - l)ÀTv(dy)]
est une densité de probabilité sur FT, qui définit une nouvelle probabilité Q (équivalente à JP> )
par rapport à laquelle (Xt)O t T est un processus de Poisson composé de camctéristiques
Q Q ( { J() eJ(Y)v(dy) )
(À , v ) = À JI!/. e y v(dy), II!/. ef{Y)v(dy) .
Ainsi, ce changement de probabilité modifie l'intensité des sauts et la loi des sauts.
PREUVE :
1) LT est bien une densité de probabilité car d'une part, LT est positive et JEIP(LT) = 1.
En effet, comme pour la proposition 4.1.4, on peut montrer que
IEp(exp[XT(f)]) = ex p [£ (ef{Y) - l)ÀTv(dy)].
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
96
5.4. MODÈLES MIXTES BROWNIENS-POISSON
2) Calculons maintenant la loi des accroissements (X t1 - Xto, . .. , X tn - X tn - 1 ) sous
Q pour to = 0 < ... < t n = T. La fonction caractéristique sous Q de ce vecteur au
point (Ul,' .. , Un) est donnée par
cP(Ul, . .. , Un) =IEQ (e iU1 (Xtl -Xto)+...+iun{Xtn -Xt n _ 1 »)
=lEp ( eXT(f)- fR{e!(II) -l)ÀTv{dy)+iul (X t1 -Xto)+. ..+iun{Xt n -Xtn_1»)
=lEp (eEj=diUj{Xtj -Xtj_l )+Xtj (f)-X'j_l (f)- f R {e!(IIL l)À{tj -tj-dV{dY»))
n
= II lEp (eiUjXtj-tj_l +X tj -tj-l (f)- fR{e!(II) -1)À{tj-tj_1)V{d Y »)
j=1
car sous IP, les accroissements de (X t , Xt(f»t sont indépendants et stationnaires.
Avec les mêmes arguments que précédemment, on montre que lEp (eiUjXt+Xt{f))
efR(eiUjY+!(Y) -1)'xtv(dy) d'où
,
n .
A.. ( ) II ]; R (e UjY+!(Y) -1-(e!(Y) -1»'x(t , . -t , . -l)v(dy)
'P Ul, . .. , Un = e
j=1
n .
- II fR(e UjY-l)'x(tj-tj_l)e!(Y)v(dy)
- e .
j=1
La forme produit prouve que les accroissements sont indépendants. Ils sont station-
naires car la quantité précédente ne dépend que des différences (tj -tj-l)j. Ainsi, (Xt)t
sous Q est un processus de Lévy : pour le caractériser, il suffit d'identifier la loi de Xt
(voir Théorème A.3.1). Le calcul précédent donne JEQ(e iuXt ) = efR(eiUY-l)'xte!(Y)v(dY) =
fR(e iUY -l),XQtv Q (dy) D
e .
5.4 Modèles Illixtes browniens-Poisson
Nous terminons le chapitre en précisant comment changer de probabilités dans un modèle
mixte brownien-Poisson.
Théorème 5.4.1 Soit X un processus de Poisson composé de camctéristiques (À, v) et W
un mouvement brownien standard indépendant de X. On désigne par (:F t )o5t5T la filtm-
tion générée par (X t , W t )o5t5To Soit f une fonction borélienne tels que IR ef(y)v(dy)
JE( ef(Y» < +00 et g une fonction de carré intégrable sur [0, T]. La variable aléatoire
LT = exp [lT g(s)dW s - lT l(S)dS] exp [XT(f) - L (e/{Y) -1). TV(dY)]
est une densité de probabilité sur :FT, qui définit une nouvelle probabilité Q (équivalente à IP )
par rapport à laquelle :
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 5. CHANGEMENTS DE PROBABILITÉ
97
1. (Xt)O t T est un processus de Poisson composé de caractéristiques
( 1 ef(Y)v(dy) )
(. Q, v Q ) = À ef(Y)v(dy), ;
IR IIR ef(Y) v( dy)
2. (W t Q = W t - i t g(s)ds)o$t$T est un mouvement brownien standard;
3. les deux processus X et W sont indépendants.
PREUVE :
la preuve est similaire aux précédentes et nous la laissons au lecteur.
D
5.5 Exercices
Exercice 5.1 Application du théorème de Cameron-Martin au mouvement brow-
nien avec drift J.l constant.
Pour W mouvement brownien, on pose wt = W t + J.lt et Mt = sUPO t T wt.
a) On considère f une fonction positive bornée et on s'intéresse à la quantité JE(f(W )).
al) A l'aide du théorème de Cameron-Martin, montrer que
JE(f(W )) = JE(f(WT )e JLWT -!JL 2 T).
a2) Retrouver cette égalité en écrivant les espérances à l'aide d'intégrales et en effec-
tuant un simple changement de variables.
b) On souhaite maintenant calculer la densité du couple (W ,M ).
bl) A l'aide du théorème de Cameron-Martin, transformer la quantité JE(f(W , M ))
pour se ramener au cas J.l = O.
b2) En déduire la densité cherchée.
b3) Montrer que la loi conditionnelle de M sachant W = x dépend de x et T, mais
pas de J.l. Généraliser ce résultat.
Exercice 5.2 * A propos de certains polynômes du mouvement brownien.
Dans cet exercice, West un mouvement brownien standard. Nous définissons une suite
d'applications (Hn)nEN sur JR2 par la formule de dérivées partielles
an l 2
Hn(t,x) = aO'. n exp(O'.x - 20'. t)/a:=o,
en faisant la convention ::0 f = f.
Nous admettons 1 que les applications Hn sont des polynômes 2 en t et x, tels que
Hn(O, O) = O. Le calcul montre que Ho (t, x) = l et H 1 (t,x) = x.
1. ce qui se démontre sans difficultés par récurrence.
2. ce sont les polynômes d'Hermite temps-espace.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
98
5.5. EXERCICES
. 1ère question (connexion entre les polynômes Hn et des intégrales sto-
chastiques multiples).
la) Calculer explicitement H2(t, x). Montrer que H2(t, W t ) est une intégrale stochastique.
lb) Pour n > 2, montrer que :x Hn(t,x) = nHn-1(t,x), puis ::2 Hn(t,X) = n(n-
I)H n -2(t, x).
Rappel éventuel: la formule de Leibniz de dérivation d'un produit de fonctions s'écrit
an n k a k an - k
axn (f(x)g(x» = Ek=o C n ax k f(x) ax n - k g(x).
lc) Pour n > 2, montrer que %t Hn (t, x) = - n(n 2 -1) Hn-2(t, x).
" . 3 r t
Id) EtablIr que Hn(t, W t ) = Jo nHn-l(S, Ws)dW s .
. 2ème question (application à la représentation des dérivées d'espérance
comme des espérances)
2a) Justifier par un changement de probabilité l'égalité suivante
l 2
JE(f(WT) exp(aWT - 2 Q T» = JE(f(WT + aT»,
valable pour tout a E 1R.
2b) En déduire que si f est bornée et continûment dérivable avec dérivée bornée, on a
JE(f(WT)H1(T, WT» = TJE(f'(WT».
Généraliser ce résultat aux dérivées d'ordre supérieur.
. 3ème question (application à la représentation des Grecques comme es-
pérance)
On considère une option 4 d'échéance T et de payoff h(ST), avec (pour simplifier les preuves)
que la fonction h est à support compact et continûment dérivable. Comme d'habitude, S dé-
signe le titre risqué de dynamique risque-neutre d t = adW t (on suppose les taux d'intérêt
nuls et a > 0).
3a) Montrer que le Delta de l'option à la date 0 se réécrit
o = JE(h' (ST )ST/SO).
3b) En appliquant les résultats précédents, établir que
o = lE (h(ST) u ;J .
3. Cela montre que Hn(t, Wt) est une intégrale stochastique multiple puisque en itérant, on obtient
{t {SI {Sn-2 (Sn-I
Hn(t, Wt) = n! Jo (Jo ... (Jo (Jo dWSn)dWsn_I)... )dW S1
4. nous anticipons ici un peu sur la chapitre 7.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 5. CHANGEMENTS DE PROBABILITÉ
99
Exercice 5.3 * Formule de symétrie Call-Put (avec les prérequis du chapitre 7).
On considère un marché financier avec un titre risqué 8 négociable (versant un dividende
au taux continu q) et des liquidités rémunérées au taux d'intérêt constant égal à r. Le titre
risqué a pour dynamique (sous la probabilité risque-neutre CQ)
d8 t
8t = (r - q)dt + adW t
avec a > O.
On note Call(O, x; T, K) et Put(O, x; T, K), les fonctions prix de CalI et Put dans ce
modèle et on rappelle que Call(O, x; T, K) = JEQ(e- rT (8T - K)+18 0 = x) et Put(O, x; T, K) =
JEQ(e-rT(K - 8T)+180 = x).
1) Démontrer la relation de symétrie
Call ( t xe -v(T-t). T K ) = P ut ( t K e -v(T-t). T X )
, " , '"
où 1/ = r - q désigne le coût de portage.
2) Calculer explicitement Lt = 8te- vt 180.
3) On introduit une nouvelle probabilité CQS par la relation
CQSI:FT = LTCQI:FT'
Justifier la validité de ce changement de probabilité.
4) A partir de W, définir W S un nouveau mouvement brownien sous CQs.
5) Montrer que KILt est un mouvement brownien géométrique sous CQs, de tendance
nulle et de volatilité a, partant initialement de K.
6) Des questions précédentes, exprimer Call(O, xe- vT ; T, K) comme une espérance sous
CQS et retrouver la relation de symétrie Cali-Put de la question 1).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 6. MARCHÉS FINANCIERS ET PRODUITS DÉRIVÉS
101
Chapitre 6
Marchés financiers et produits
dérivés
Ce chapitre constitue une introduction descriptive aux marchés financiers et aux produits
dérivés, retraçant brièvement leurs évolutions depuis leurs origines jusqu'à nos jours. Un
produit dérivé est un produit financier, défini à partir d'un autre produit financier plus
simple appelé sous-jacent comme par exemple une action, un indice, une devise, une matière
première ou un taux d'intérêt pour les sous-jacents les plus naturels. Le produit dérivé le
plus simple est le contrat à terme où un acheteur et un vendeur s'entendent pour échanger à
une date fixée un sous-jacent à un prix déterminé à l'avance. Le contrat optionnel, ou option,
est une autre catégorie de produit dérivé, expliqué ultérieurement.
Dans cette présentation, il s'agit aussi de discuter de l'utilité et de l'utilisation des pro-
duits dérivés dans les sphères économique et financière: pourquoi et par qui sont-ils utilisés?
Il Y a de nombreux ouvrages sur le sujet; ici nous nous inspirons du livre remarquable de
Chabardes et Delclaux [5], il est vrai peu récent, mais pourtant ô combien en prise avec
l'actualité dans son analyse.
Evidemment, dans cette description, nous ne restons pas indifférents à la crise que nous
traversons, depuis l'explosion des sub-primes à l'été 2007. Ce contexte difficile nous permet
de mieux illustrer l'importance des hypothèses de modélisation et de calcul d'où dérivent
les outils stochastiques pour la gestion dynamique des risques financiers. En effet, cette
période de crise a mis à jour des risques souvent sous-estimés (risque de liquidité, risque
systémique. . .), risques qui en période normale paraissent effectivement marginaux, mais qui
en situation extrême prennent une place essentielle vis-à-vis des risques de marché (c'est-à-
dire de fluctuations habituelles des cours financiers). A la fin du chapitre, nous discuterons
des hypothèses de modélisation et calcul, à la lumière de la crise actuelle. Globalement, les
outils présentés dans cet ouvrage répondent de manière satisfaisante aux problématiques de
gestion des produits dérivés, dans des périodes normales.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
102 6.1. UN PEU D'HISTOIRE
6.1 Un peu d'histoire
6.1.1 De l'Antiquité au XIxe siècle
Les premières formes des produits dérivés remontent aux origines de l'Antiquité: ils
portaient essentiellement sur les produits agricoles. Dans son roman Sinouhé l'égyptien
(1945) basé sur des recherches historiques minutieuses, Mika Waltari rapporte l'existence
des contrats à terme sur les matières agricoles à l'époque du pharaon Akhénaton (quatorze
siècles avant Jésus-Christ) : on pouvait acheter et vendre le blé, avant même le début de la
semaille.DansLesPolitiques.Aristote raconte que le mathématicien et philosophe grec Tha-
lès de Milet, dont chacun connaît le célèbre théorème, serait l'auteur de la première grande
spéculation, sept siècles avant Jésus-Christ, concernant les olives. Par ses connaissances en
astronomie, il anticipa dès l'hiver que la récolte suivante serait abondante; alors il loua à
bon prix tous les pressoirs de Milet et de Chios, avant de les sous-louer le temps venu aux
très nombreux cultivateurs, imposant un prix élevé. Cet exemple illustre l'utilité des calculs
de prévision à des fins économiques. Un autre exemple de produit dérivé remonte aux temps
des Romains, qui finançaient de grands travaux par la vente d'obligations garanties par des
terres publiques. Bien plus tard, au XVIIe siècle en Hollande, le commerce de bulbes de
tulipe était très actif. A chaque printemps, le prix des bulbes pouvait varier fortement à la
hausse ou à la baisse, selon que l'hiver précédent avait été froid ou doux. Au lieu de proposer
seulement des achats/ventes à terme des bulbes, les négociants innovèrent en introduisant
les premières options de vente donnant le droit (et non l'obligation) de vendre les bulbes à
une date fixée et à un prix convenu à l'avance. Mais suite à un hiver particulièrement doux
conduisant à l'effondrement des prix des bulbes, les producteurs exercèrent avantageusement
leurs options de vente. Dans l'impossibilité d'honorer les prix garantis, les négociateurs furent
rapidement ruinés, mettant fin à ce marché d'options. Mentionnons aussi l'existence dès le
XVIIe siècle des marchés à terme sur le riz au Japon, ou sur le blé et le bétail aux USA dès
le XIX e siècle.
6.1.2 Le bouleversement des années 70
Jusqu'à la fin des années 60, les produits dérivés sont écrits surtout sur les matières
premières et agricoles, dans des volumes infimes comparés à ceux qui sont échangés aujour-
d'hui. Ce sont les accords de Bretton Woods de 1944 qui instaurent un système de parité
entre l'or et le dollar américain, et une stabilité des taux de change entre les principales
monnaies mondiales. Mais ce système est abandonné en 1971, rendant instables les taux de
change. Les déséquilibres macro-économiques qui en résultent conduisent à des tensions sur
les taux d'intérêt, devenant à leur tour volatiles. A la fin des années 60, les fluctuations des
taux de change et des taux d'intérêt sont comparables, voire supérieures à celles des cours
des matières premières. Par ailleurs le 1er choc pétrolier de 1973 contribue lui aussi à des
variations importantes des cours des matières premières.
Ceci est concomitant avec une volonté politique internationale d'ouverture et de déré-
glementation. Ainsi, le monde bascule rapidement dans un environnement financier dé régulé
et déréglementé. Les entreprises industrielles et commerciales sont soumises à des risques
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 6. MARCHÉS FINANCIERS ET PRODUITS DÉRIVÉS
103
accrus, liés par exemple aux taux de change très variables: cette situation d'incertitude
croissante est inconfortable, tout particulièrement lorsque recettes et dépenses sont libellées
dans des monnaies différentes (disons Dollar et Euro si on se replace dans le contexte ac-
tuel). Pour les aider et plus généralement pour permettre aux compagnies d'assurance et aux
banques de couvrir ces nouveaux risques, ont été créés des marchés organisés, les autorisant
à intervenir massivement pour échanger des produits assurant contre les variations des taux
de change par exemple.
Les premiers marchés de contrats à terme sur taux d'intérêt, portant sur des titres à
revenus fixes, obligations du Trésor et contrats à 90 jours en dollars ont été créés en 1977
et 1981 à Chicago. Maintenant toutes les maturités sont facilement négociées. En 1982, à
Kanzas City s'ouvre le premier marché sur indices boursiers. En dehors des Etats-Unis, des
marchés de taux voient le jour dans les différentes places. A Londres, le LIFFE ouvre en
1982, à Paris, le MATIF en 1986. Progressivement se développent des marchés proposant
de nouveaux produits, en particulier les options négociables. En 1973 est créé à Chicago le
premier marché d'options, le Chicago Board Options Exchange, qui connait rapidement un
grand succès. Mais le nombre de sous-jacents et de produits traités reste pendant longtemps
très limité par les autorités de surveillance. L'excellent livre de Y. Simon [31], sur les marchés
de dérivés, vous permettra d'approfondir cette période passionnante, qui voit la naissance et
l'essor des marchés de nouveaux instruments financiers, dits produits dérivés.
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ri ri ri ri ri ri ri ri ri ri
._O ._O ._O ._O ._O ._O ._O ._O ._ ._O
FIGURE 6.1 - A gauche, nombre de transistors présents dans les processeurs Intel. A
droite, volume journalier de transactions (moyenné sur 1 mois) des titres composant
l'indice Dow Jones Industrial Average. Période: 1970-2010. Les axes des ordonnées
sont en échelle logarithmique.
Mentionnons enfin le facteur technologique qui a accompagné et rendu possible l'émer-
gence de ces nouveaux marchés et nouveaux instruments financiers. Les progrès informa-
tiques, concernant tant les aspects communication que stockage des données ou bien puis-
sance de calculs, ont donné des moyens appropriés pour traiter l'information liée aux masses
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
104
6.2. PRODUITS DÉRIVÉS
considérables de transactions et aux calculs complexes des produits dérivés. D'ailleurs, les
institutions financières sont de grands clients des constructeurs informatiques. Sur les graphes
de la Figure 6.1 avec l'axe des ordonnées en échelle logarithmique, le lecteur remarquera la
similitude entre les croissances exponentielles de la puissance des ordinateurs (ici mesurée en
nombre de transistors, illustrant la loi de Moore 1) et celles des volumes échangés de titres
composant le célèbre indice Dow Jones.
6.2 Produits dérivés
6.2.1 Un peu de typologie
En général, ils sont décrits par un échéancier donnant les dates de paiement des flux
financiers qui caractérisent le contrat. Dans les cas simples, il y a une seule date; dans les cas
plus avancés et notamment sur les taux d'intérêt, les dates sont multiples (trimestrielles). La
fin du contrat est appelée la maturité ou échéance. Les produits dérivés sont essentiellement
de deux types.
1. Les contrats à terme. A la signature, l'acheteur et le vendeur conviennent de
l'échange à une date ou un échéancier donné d'un sous-jacent à un prix fixé. Du
point de vue des risques tout au long de la vie du contrat, la situation est symétrique
pour l'acheteur ou le vendeur, chaque pouvant supporter des pertes. L'échange peut
s'effectuer avec livraison physique du sous-jacent (physical settlement), ou bien avec
règlement monétaire de l'équivalent financier (cash settlement), nous ne rentrerons pas
dans ces détails. Les exemples de tels contrats sont:
- les contrats forwards. Ce sont des contrats de gré à gré (Over The Gounter ou OTC).
Le prix d'échange fixé à signature est réglé à maturité, en échange du sous-jacent.
L'exemple du blé au temps des égyptiens, cité au début du chapitre, rentre dans ce
cadre. Ils étaient utilisés de manière régulière en 1860 à Chicago pour le commerce
des céréales et à Londres pour celui des métaux.
- les contrats futures. Le principe est analogue aux contrats forwards, mais la diffé-
rence principale tient au fait que ce sont des contrats standardisés échangés sur des
marchés organisés. La création des chambres de compensation fut une innovation
majeure qui favorisa l'essor de ces marchés. En présence d'une chambre de compen-
sation dès que deux opérateurs (disons A et B) ont négocié la vente ou l'achat d'un
contrat, la transaction est enregistrée par l'organisme qui se substitue à l'acheteur
et au vendeur et devient ainsi leur unique contrepartie. Cela permet à l'acteur A
de pouvoir revendre son contrat à un autre intervenant, C par exemple, sans avoir
à rechercher la contrepartie B avec laquelle il avait initialement négocié. En com-
pensation, la chambre de compensation exige des garanties financières de chaque
contrepartie, pour que le contrat puisse être honoré. Des appels de marge sont réa-
lisés quotidiennement pour régulariser les éventuelles pertes de chacun. Ce système
assure une très grande sécurité aux intervenants. Il favorise la liquidité.
1. qui prédisait dans les années 60 que le nombre de transistors par circuit doublerait environ
tous les 2 ans.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 6. MARCHÉS FINANCIERS ET PRODUITS DÉRIVÉS
105
- les swaps. Ces contrats de gré à gré permettent d'échanger un sous-jacent à un
prix fixe, tout le long d'un échéancier donné. Typiquement, par un swap de taux
d'intérêt, on échangera le paiement de taux variable contre un taux fixe, sur un
nominal donné. Les swaps ont fait leur apparition en France au milieu des années
80.
2. Les options. Contre le paiement d'une prime, l'acheteur d'option a le droit (mais
pas l'obligation) d'acheter (ou de vendre selon le sens de l'option) un sous-jacent à
un prix convenu dans le contrat optionnel. L'option d'achat standard dit Gall est le
prototype des options les plus utilisées et elle servira de base pour le développement
des chapitres suivants sur la gestion des risques. Illustrons celle-ci dans le contexte
évoqué précédemment d'une entreprise cherchant à se protéger contre la hausse du
taux de change Dollar/Euro. Notons St la valeur de ce taux de change à la date t
(1 $ = St € ). L'entreprise, détentrice du CalI, aura le droit d'acheter 1 $ au prix
d'exercice de K € (K, appelé aussi strike, est une caractéristique fixe du contrat) à
l'échéance future T fixée. Deux cas de figure se présentent à l'échéance.
(a) Si 1 $ vaut moins que K € , alors l'entreprise n'a pas intérêt à exercer son droit
et il est préférable pour elle d'acheter directement 1 $ sur le marché des changes.
Dans ce cas, le gain conféré à l'entreprise en T via le contrat optionnel est nul.
(b) Si au contraire ST > K, il vaut mieux exercer le droit à acheter 1$ au prix K €,
ce qui équivaut à recevoir un flux financier égal à ST - K € (différence entre le
cours réel et le cours garanti).
Ces deux cas de figure peuvent se résumer pour l'entreprise détentrice du CalI à recevoir
en T un montant égal à max(O, ST - K) := (ST - K)+ € . Dans le cas d'une option
de vente (Put) donnant un droit de vente, l'équivalent monétaire pour le détenteur du
Put est max(K - ST, 0) := (K - ST)+ € .
Autrement dit, une option est une assurance contre les mouvements défavorables du
prix du sous-jacent. Cette assurance a un coût (appelé la prime) que l'entreprise verse
initialement (à la date 0 disons) au vendeur de l'option.
Sur cet exemple, il apparaît clair que du point de vue des risques, la situation est
dissymétrique entre acheteur et vendeur d'option. L'acheteur ne peut rien perdre à
maturité, alors que le vendeur peut devoir faire face à une hausse défavorable (ou
baisse) des cours dans le cas d'un CalI (ou Put).
6.2.2 Mais encore. . .
De tels contrats CalI et Put sont très usuels entre intervenants du marché : on les appelle
options vanilles, en référence au parfum de glaces qu'on trouve de partout. A l'inverse, les
options les moins standards (souvent OTC) sont appelées options exotiques. Leur flux à
maturité revêt des formes différentes d'où elles tirent leur noms. On peut citer par exemple :
- les options digitales. Leur exercice donne un flux constant selon que le sous-jacent est
au-dessus ou en dessous du prix d'exercice. C'est un produit très risqué (fort effet de
levier), car près de l'échéance et du prix d'exercice, le contrat peut valoir rapidement
tout ou rien.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
106
6.2. PRODUITS DÉRIVÉS
les options barrières. Leur sont attachés des droits d'exercice dépendant d'une clause
supplémentaire liée au fait que le sous-jacent a dépassé, à la hausse ou à la baisse, un
certain niveau prédéfini, appelé barrière. Nous étudions leurs valorisations au Chapitre
9. Elles sont très utilisées sur les marchés des changes. Du fait de la barrière, elles sont
en général moins chères que l'option vanille associée.
les options asiatiques. Leur flux à échéance dépend de la moyenne du sous-jacent sur
une période. De ce fait, elles sont moins sensibles aux variations du sous-jacent. Elles
sont courantes dans les marchés des commodités.
les options lookback dépendent du minimum et maximum du sous-jacent, cela en fait
des options chères en général. Nous en valoriserons certaines au Chapitre 9.
les options quanto. Leur sous-jacent est libellé dans une devise et le flux de l'option
est réglé dans une autre devise.
De plus, les options avec exercice à date fixe sont dites à exercice européen, alors que l'exercice
est dit américain quand il peut intervenir à tout moment, au choix du détenteur. Dans cet
ouvrage, nous n'étudierons que le premier type d'exercice.
Alors que les contrats de gré à gré (OTC) sont signés directement entre deux interve-
nants, avec des caractéristiques sur mesure résultant de l'entente des deux parties, les autres
produits (futures et options standards) sont échangés sur des marchés organisés. Leurs ca-
ractéristiques sont moins variées (ce sont des produits dits listés), ce qui a pour effet positif
de concentrer les échanges sur ces produits et en augmenter ainsi la liquidité. Dans ces
marchés organisés, les prix d'échange sont connus de tous, ce qui fournit de la transparence
aux intervenants. Par ailleurs, un système de chambre de compensation garantit que chaque
contrepartie assurera ses engagements : cela écarte ainsi le risque de contrepartie.
Les sous-jacents peuvent être eux aussi classifiés en grande catégorie :
marché de taux d'intérêt, avec comme sous-jacent des taux d'intérêt 3 mois ou 10 ans,
des taux de swap, des obligations, etc. . . ;
marché de changes (ou FOREX pour FOReign EXchange), avec comme sous-jacent
des devises;
- marché d'actions (ou Equity), prenant les actions et indices comme sous-jacent;
marché des matières premières (métaux, pétrole, céréales, etc. . .).
Cette classification n'est pas stricte. Il est fréquent que les produits soient décrits à travers
plusieurs marchés. Prenons deux exemples :
un fonds à formule, produit commercialement destiné aux particuliers, offre au sous-
cripteur au bout de quelques années un gain lié à la performance d'un panier d'actions
ou d'indices internationaux, avec une clause de garantie plancher de type obligataire.
Clairement, ce produit mélange des composantes actions, devises et taux d'intérêt.
une obligation convertible est un instrument de dette d'une entreprise: l'obligation
peut être convertie en action, mélangeant ainsi des problématiques actions et taux
d'intérêt. En fait, ce type de produit intègre une dimension nouvelle par rapport à ce
que nous avons décrit, à savoir le risque de contre-partie. En effet, il est possible que
l'entreprise fasse faillite, et ne puisse pas rembourser tout ou partie de sa dette; pour
les entreprises fragiles, ce risque est même très important. Ce risque-là, appelé risque
de crédit, est de nature différente du risque marché décrit auparavant (risque lié aux
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 6. MARCHÉS FINANCIERS ET PRODUITS DÉRIVÉS
107
fluctuations des cours) : par exemple, on peut se couvrir naturellement contre la hausse
future du dollar, en achetant aujourd'hui du dollar, réduisant ainsi son exposition au
risque. Face à un risque de défaillance, la couverture est plus complexe, et parfois
même impossible.
6.2.3 Les dérivés de crédit
Précisément, un nouveau marché du risque du crédit s'est développé à la fin des an-
nées 90, aux USA puis en Europe, pour répondre aux besoins de transfert et de couverture
des risques de défaillance. Les produits de base sont les CDS (Credit Default Swap), qui
permettent en échange du paiement d'un taux fixe sur un certain nominal de recevoir un
montant de ce nominal en cas de défaillance d'une entreprise. Mais rapidement bien d'autres
produits dérivés voient le jour (Collateralized Debt Obligations, Asset Back Securities, Cre-
dit Link Notes, etc. . .). Cela se développe à vitesse exponentielle 2, aidé par un mécanisme
sophistiqué de titrisation, qui permet de passer du contexte de défaillance d'entreprises à
un cadre bien plus général de défaillance. Ainsi, sans rentrer dans le détail du montage, on
peut réaliser un découpage de risques variés, puis un transfert à des investisseurs poten-
tiels sous forme de titres financiers (titrisation). Ainsi, dans Le Monde du 5 novembre 2005,
lit-on qu'Axa s'est déchargé d'une partie de ses risques sur l'assurance automobile via ce
mécanisme de titrisation. On apprend en juin 2006 que l'Unedic a fait de même avec ses
futures cotisations d'assurance-chômage. Les exemples sont nombreux, sortant de la sphère
strictement financière pour toucher toute la sphère économique.
6.2.4 Utilisation et utilité des produits dérivés
Les produits dérivés sont utilisés de deux manières.
- La couverture du risque. Dans l'exemple précédent de l'entreprise internationale
exposé à la hausse du dollar contre l'euro, l'acquisition d'un produit dérivé va lui
permettre de s'immuniser contre ce risque. Les produits dérivés sont aussi utilisés
par des professionnels (traders) pour se constituer des couvertures sur mesure face à
certains risques.
L'investissement et la spéculation. Le sens du terme spéculateur mérite d'être
clarifié car il peut être compris de plusieurs manières. Dans le sens courant, le spécu-
lateur fait plutôt référence à un individu qui joue en bourse, en prenant des risques
éventuellement importants; nous sommes ici dans le registre du jeu, voire de la loterie.
Dans le milieu financier, le spéculateur se définit différemment: c'est un individu qui,
à partir d'anticipations ou prévisions économiques et financières, va prendre des dé-
cisions d'investissement, en misant un montant faible et en attendant des plus-values
substantielles. C'est typiquement l'activité des sociétés de gestion.
2. La British Bankers' Association (http://www.bba.org.uk/publications/books-reports-
subscriptions) indique dans son rapport 2003/2004 une augmentation vertigineuse des produits dé-
rivés de crédit sur la période 1997-2004. Le montant nominal estimé des risques assurés passe de 180
milliards de dollars à 5021 milliards de dollars!
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
108 6.3. LE VENDEUR D'OPTIONS: QUELLE GESTION DU RISQUE?
Concernant les produis dérivés, une de leurs caractéristiques est d'avoir en général un
fort effet de levier : une fois versée la prime initiale, les gains (et pertes) à maturité
peuvent être très importants en regard du montant de la prime. Ces produits offrent
un rendement potentiellement élevé, mais aussi un risque tout aussi élevé. Pour des
intervenants ayant des anticipations d'évolution spécifique de cours (les spéculateurs),
ce sont des outils naturels d'investissement.
Quelques facettes de leur utilité ont été illustrées à travers les exemples mentionnés
précédemment.
- Transfert des risques. Une entreprise exposée au risque de change pourra trouver
intérêt à transférer ce risque à une contrepartie spécialisée dans la gestion des risques.
C'est très facile à réaliser par un produit dérivé. Les marchés organisés permettent
plus généralement aux intervenants d'échanger des risques, parfois dans l'intérêt des
deux parties.
- Economie de fonds propres. Par ces mécanismes de transfert, les entreprises
peuvent se recentrer sur leurs activités industrielles et commerciales spécifiques, en
se déchargeant des risques dont elles ne sont pas spécialistes. Elles dégagent ainsi des
réserves qui peuvent être réinvesties dans leur activité principale.
- Spécialisation des investisseurs. Par les produis dérivés, les investisseurs peuvent
transférer des risques qu'ils ne souhaitent pas gérer, et ainsi se concentrer dans des
secteurs précis pour lesquels ils développent des compétences aiguës.
- Effet de levier pour spéculateurs. Comme indiqué précédemment, les spéculateurs
à la recherche de produits à rendement élevé, trouveront dans les produits dérivés des
solutions ad-hoc.
6.3 Le vendeur d'options: quelle gestion du risque?
Nous en venons maintenant à la méthodologie de gestion dynamique de risque, par
exemple liée à la vente d'une option. Deux questions se posent aux intervenants de ces
marchés :
1. quel est le prix de tel contrat optionnel (ce qui détermine le montant de la prime
que l'acheteur doit verser au vendeur à la signature du contrat) ? C'est la question de
valorisation.
2. quelle attitude doit adopter le vendeur une fois qu'il a vendu un tel produit et ainsi
endossé (à la place de l'acheteur) le risque d'une hausse du taux de change dollar/euro
à maturité? C'est la question de couverture du risque.
En fait, nous verrons au Chapitre 7 que ces deux problèmes sont très liés et nous les résou-
drons simultanément. Comment couvrir un risque, comment diversifier une exposition? Si
Bachelier avait établi dès 1900 dans sa thèse 3 [1] la connexion entre le prix de ce type d'ins-
truments financiers et des calculs probabilistes associés à certains processus stochastiques,
3. Louis Bachelier, Théorie de la spéculation, thèse soutenue à la Sorbonne en 1900.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 6. MARCHÉS FINANCIERS ET PRODUITS DÉRIVÉS
109
la question de la couverture du risque n'a été vraiment résolue qu'avec les travaux [2] [21]
de Black, Scholes et Merton 4 en 1973.
Diversification statique. À l'époque, l'idée de diversification du risque est déjà dans
l'air, grâce aux travaux pionniers de Markovitz 5 en 1952 sur l'optimisation de portefeuille:
il propose une diversification statique du risque, fondée sur un grand nombre d'actifs. Mar-
kovitz définit une allocation optimale, en lien avec une frontière efficiente dans le plan rende-
ment/risque. La problématique est encore différente en assurance de sinistres: la diversifica-
tion s'appuie sur le grand nombre d'assurés (modélisés comme indépendants pour faire agir
la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale). Mais ce type de diversification
ne peut être la réponse adéquate pour le vendeur d'une option, car il n'a à couvrir qu'un
seul contrat sur un seul sous-jacent.
Diversification dynamique. Le point de vue novateur de Black, Scholes et Merton,
qui constitue encore aujourd'hui la clé de voûte de la finance moderne, consiste à diversifier
le risque sur le temps de manière infinitésimale (entre aujourd'hui et l'échéance), c'est-à-dire
à mettre en œuvre une stratégie d'investissement dynamique. Pour le CalI sur le taux de
change, cela se réalise en achetant ou en vendant des Dollars à chaque instant. Le miracle est
complet lorsque Black, Scholes et Merton aboutissent à l'existence d'une stratégie dynamique
optimale, qui supprime tous les risques possibles dans tous les scénarii de marché. Ce sera
détaillé au Chapitre 7.
Ce pas de géant a rendu possible l'explosion des nouveaux marchés organisés, dont nous
avons vu que le premier d'entre eux s'ouvre à Chicago en 973 (le CBOE, Chicago BOard
Options Exchange), suivi rapidement par bien d'autres, aux États-Unis d'abord (Chicago,
Philadelphie, .. .), puis partout. La France emboîte le pas et crée le MATIF en 1986 (MArché
à Terme International de France) puis le MONEP en 1987 (Marché des Options NÉgociables
de Paris). Les progrès technologiques (informatique, communications...) et théoriques (ma-
thématiques) ont aussi largement favorisé ces développements spectaculaires.
6.4 Les hypothèses sous-tendant une gestion dyna-
lllique efficace
Nous insistons dès maintenant sur les hypothèses de la méthodologie qui va être présentée
dans les chapitres suivants, car précisément, la crise financière actuelle illustre concrètement
le sens de ces hypothèses et laisse bien voir ce qui peut se passer si l'une de ces hypothèses
n'est plus valable. Dans cette discussion, il ne s'agit pas de démontrer que ce cadre mé-
thodologique rend toute application impossible, mais au contraire que cette méthodologie
fonctionne bien dans des situations de marché normales. En résumé, il y a des précautions
d'usage, qui sont parfois oubliées par les praticiens.
Le jeu d'hypothèses de travail est celui d'un marché sans friction, à savoir:
4. pour cela, les deux derniers ont reçu le Prix Nobel d'Économie en 1997 (Black est mort en
1995) .
5. Prix Nobel d'Économie en 1990.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
110
6.4. HYPOTHÈSES DE LA GESTION DYNAMIQUE EFFICACE
1. il n'y a pas de coûts de transaction;
2. il n'y pas d'impôts ou taxes (sur les transactions, ou les plus values) ;
3. il n'y a pas d'écart entre prix d'achat et prix de vente des titres (fourchette de prix
nulle) ;
4. les transactions sont instantanées;
5. les titres négociables sont très liquides et indéfiniment fractionnables;
6. il n'y a pas de restriction sur les ventes à découvert;
7. les participants du marché sont preneurs de prix (ils n'influencent pas les prix par leurs
achats et ventes).
Du coté de l'analyse mathématique, la remise en cause d'une ou partie de ces conditions fait
l'objet de recherches actuelles qui dépassent largement le niveau de cet ouvrage. Discutons
plutôt de la validité de ces hypothèses en pratique.
1.2. L'absence de coûts de transaction est manifestement fausse pour les particuliers. En
revanche, les professionnels des salles de marché, par l'intermédiaire d'accords globaux
entre eux, ne supportent pas de coûts de transaction concernant les marchés liquides.
Concernant les taxes ou impôts, leur prise en compte concernant les plus-values serait
possible. La prise en compte au niveau de chaque transaction relèverait de la même
problématique que celle des coûts de transaction.
3.4.5. Les hypothèses 3 à 5 traduisent une caractéristique de grande liquidité du marché.
En effet, s'il y a beaucoup d'intervenants actifs sur un marché, on peut considérer
que le prix de vente demandé par les vendeurs égalise à tout instant le prix d'achat
des acheteurs, donnant lieu ainsi à un seul prix. Sur le marché des changes qui est le
plus liquide, cette hypothèse est tout à fait pertinente, les cours de change sont cotés
avec plusieurs chiffres après la virgule. Pour d'autres marchés, la réalité peut être
légèrement différente: la fourchette de prix n'est pas exactement nulle, puisque les
prix cotés sont arrondis, au centime d'euro par exemple; néanmoins l'approximation
reste excellente pour les marchés très liquides. Signalons enfin que cette hypothèse
de fourchette quasi-nulle s'est retrouvée plusieurs fois en défaut depuis le début de la
crise. Une illustration de ce phénomène est donnée sur la Figure 6.2 : on y voit un saut
des taux interbancaires pendant l'été 2007, indiquant la préférence accrue des banques
pour conserver leurs liquidités à horizon 3 mois.
L'instantanéité des transactions est une hypothèse idéalisée traduisant que le délai
entre la prise de décision d'achat/vente et l'achat/vente lui-même est extrêmement
court, de sorte que les prix n'ont pas eu le temps de varier. A la vue des progrès
technologiques, on peut considérer cette hypothèse relativement bien satisfaite.
Enfin, l'indéfinie fractionnabilité des titres est une hypothèse mathématique, qui per-
met de définir des stratégies de couverture comportant des nombres réels arbitraires .de
titres négociables. En pratique, seul un nombre entier de titres (ou un nombre décimal
dans le cas de parts d'OPCVM par exemple) est possible. Mais pour des portefeuilles
de taille importante, ces approximations d'arrondi n'ont pas beaucoup d'impact. Cette
hypothèse de fractionnabilité est donc réaliste.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 6. MARCHÉS FINANCIERS ET PRODUITS DÉRIVÉS
111
1,2
0,8
0,8
0,4
0,2
o
1 1 III 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
FIGURE 6.2 - Différence hebdomadaire entre le taux EURIBOR 3 mois (taux de prêt
moyen à 3 mois, entre banques de la zone euro) et le taux EONIA (taux de prêt inter-
bancaire sur 24 heures), au cours de l'année 2007. Les deux augmentations en mars et
juin 2007 correspondent à deux hausses des taux directeurs de la Banque Centrale Eu-
ropéenne de 0.25%. En dehors de ces anticipations, cette différence EURIBOR 3 mois
/ EONIA se situe autour de 0.1%. La hausse importante pendant l'été 2007 indique
une réticence des banques à se prêter entre elles à horizon de quelques mois, marquant
un manque de liquidité. Source: Euribor-EBF (http://www.euribor-ebf.eu/).
En revanche, la très grande liquidité supposée des titres signifie également qu'il n'y
pas d'effet de taille du portefeuille de couverture: le prix d'une option donnant À fois
le flux FT est égal à À fois le prix de l'option donnant le flux FT. C'est vrai si À est de
grandeur raisonnable, mais évidemment faux si À est à ce point grand qu'on atteint
des tailles comparables aux actifs du marché. En d'autres termes, des produits dérivés
de nominal très grand sont, toutes choses égales par ailleurs, beaucoup plus délicats
à couvrir que ceux de nominal faible. Quand on examine la Figure 6.3 relatant les
positions des produits dérivés et leur évolution au fil des années, on veut bien croire
que le risque de liquidité devient de plus en plus palpable au fil du temps et que la
croissance du marché des dérivés finit par devenir elle-même une nouvelle source de
risques quand des tailles critiques sont atteintes.
Par ailleurs, un autre effet indirect de la croissance des volumes des produits dérivés
a été une moindre surveillance des risques associés à chacun.
6. Cette hypothèse est importante: elle assure une cohérence des prix et des stratégies de
couverture. Cela supporte la règle de linéarité de valorisation de produits financiers:
si un produit dérivé donne un flux F.}., un second Ff, leur différence de prix est le prix
du produit dérivé de flux F.}. - Ff. Cela justifie aussi que deux stratégies ayant même
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
112
6.4. HYPOTHÈSES DE LA GESTION DYNAMIQUE EFFICACE
1000
c
en
=>
Q)
't:J
(/)
'E
.
.e
Q)
't:J
.
'e
c:
Q)
...
c:
S
c:
o
1
1986 1989 1992 1995 2001 2004 2007
100
10
FIGURE 6.3 - Evolution des positions (en milliers de milliards de dollars US) sur les
marchés des produits dérivés de gré à gré, pendant la période 1986-2007. Sources:
[5] et BIS Quaterly review, Dec 2007, International banking and financial market
developments (http://www.bis.org).
flux à maturité se valorisent de la même manière aujourd'hui (prendre F,j. = Ff dans
le raisonnement précédent). C'est le fondement de la règle de prix unique pour tout
produit financier (ou d'absence d'opportunité d'arbitrage).
Voici une autre illustration plus concrète: pour se couvrir contre la baisse d'une action,
il est nécessaire de vendre maintenant l'action pour s'immuniser contre la baisse future
possible. Ainsi, interdire les ventes à découvert ne permet plus de couvrir les Puts, et
ce n'est qu'un exemple. A certains moments forts de la crise, la vente à découvert a été
interdite, dans le but d'enrayer la baisse des cours. L'effet secondaire était de limiter
les couvertures possibles des risques.
7. Etre preneur de prix indique qu'on n'a pas d'influence sur le marché: c'est le cas d'un
petit investisseur. Cette hypothèse est en lien avec la taille des nominaux à couvrir,
déjà mentionnée. Elle est donc réaliste tant que les nominaux des produits dérivés sont
raisonnables.
Nous espérons qu'en ayant rappelé ces précautions d'usage, le lecteur cernera mieux
les limites d'application de la méthodologie que nous allons développer dans les chapitres
suivants.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
113
Chapitre 7
Couverture de produits
financiers : le point de vue de
Black-Scholes- Merton
Nous exposons en détail l'approche de Black-Scholes pour valoriser et couvrir une option,
en nous concentrant sur les Calls/Puts. Dans la suite, nous considérons uniquement le marché
de la zone euro, où les prix sont exprimés en € . Evidemment, ce choix de marché est
arbitraire. En revanche, nous ne considérons pas dans cet ouvrage le cas plus complet de
marchés internationaux où différentes devises sont échangées (par exemple du dollar, de
l'euro, de la livre Sterling, du yen. . .). La méthodologie est similaire mais les notations sont
plus lourdes, ce qui complique les écritures.
Les produits dérivés étudiés sont écrits sur des sous-jacents de type action ou taux d'in-
térêt. Les options sur taux de change ou matières premières ont des spécificités que nous ne
discutons pas ici.
7.1 Marché sans friction et absence d'arbitrage
Dans toute la suite, nous supposerons que le marché est sans friction : nous en rappelons
la définition, qui a été discutée au chapitre précédent.
Définition 7.1.1 (Marché sans friction) Un marché financier est dit sans friction si
- il n'y a pas de coûts de transaction;
- il n'y pas d'impôts ou taxes (sur les transactions, ou les plus values) ;
- il n'y a pas d'écart entre prix d'achat et prix de vente des titres (fourchette de prix
nulle) ;
- les transactions sont instantanées;
- les titres négociables sont très liquides et indéfiniment fractionnables ;
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
114
7.1. MARCHÉ SANS FRICTION ET ABSENCE D'ARBITRAGE
- il n'y a pas de restriction sur les ventes à découvert;
- les participants du marché sont preneurs de prix (ils n'influencent pas les prix par leurs
achats et ventes).
L'AOA (Absence d'Opportunité d'Arbitrage) est un des axiomes de base de la finance
de marché. Il exprime l'idée simple qu'on ne peut pas faire de profit sans prendre
de risque: si tel était le cas, des acteurs du marché (les arbitrageurs) exploiteraient ces
opportunités, ce qui amènerait des corrections de prix faisant disparaitre ces opportunités.
Cette hypothèse est assez naturelle dans un marché sans friction.
Hypothèse 7.1.2 (Absence d'Opportunité d'Arbitrage) Dans un marché sans fric-
tion, il y a A DA, c'est à dire qu'il est impossible de gagner de l'argent de façon certaine à
partir d'un investissement initial nul.
Cette loi de marché est importante car elle assure une cohérence forte des prix de mar-
ché des produits déjà existants, mais aussi des options que nous cherchons à valoriser. En
pratique, des opportunités d'arbitrage peuvent apparaître momentanément, mais elles sont
si rapidement éliminées qu'on peut considérer que l'AOA prévaut tout le temps.
Corollaire 7.1.3 (Unicité des prix) En AGA, si les valeurs de deux portefeuilles coïn-
cident de façon certaine à une date donnée, alors ces deux portefeuilles ont la méme valeur
à toute date intermédiaire.
PREUVE:
En effet, si le premier portefeuille avait une valeur supérieure au second à une date in-
termédiaire t, alors on vendrait le premier et achèterait le second, la différence D. > 0
étant placée au taux sans risque. C'est une stratégie d'investissement initial nul. A
l'échéance T, le portefeuille global vaudrait D. capitalisé entre t et T, ce qui consti-
tuerait une opportunité d'arbitrage. Le même raisonnement s'applique si le second
portefeuille a une valeur en t supérieure au premier. Ainsi, les deux portefeuilles ont
mêmes valeurs à toute date. D
Voici deux exemples importants d'arbitrage, de type statique, c'est-à-dire correspondant
à des compositions de portefeuille restant fixes au cours du temps.
Exemple 1 : prix d'un contrat à terme. Nous désignons par Ft(S, T), le prix fixé
par contrat à la date t auquel sera négocié le titre S à la date T. C'est le prix à terme, ou le
prix forward de S en T.
La notion de prix forward est à différencier de celle de prix comptant, correspondant à
un réglement immédiat. Un raisonnement d'arbitrage statique permet de comparer le prix
de ce contrat au cours de S à la date t. Il faut pour cela utiliser le zéro-coupon d'échéance
T, dont le prix en test B(t, T) : c'est un instrument de taux d'intérêt qui permet de recevoir
à coup sûr 1 € en T.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
115
Proposition 7.1.4 Supposons que le titre S ne verse pas de dividende. Alors le prix forward
de S en T vaut
St
Ft(S, T) = B(t, T) .
(7.1.1)
PREUVE:
Mettons en place une stratégie d'arbitrage statique entre les dates t et T.
En achetant 1 contrat forward et en vendant À titres à la date t, le portefeuille en t
vaut Ft(S, T)B(t, T) - ÀS t (le flux Ft(S, T) en T étant équivalent à Ft(S, T)B(t, T) en
t). En particulier pour À = Ft(S, T)B(t, T)/St, l'investissement initial en t est nul.
Le bilan en T est la détention de 1 - À titres. C'est donc une opportunité d'arbitrage
statique si À < 1, puisque dans ce cas le bilan est toujours positif. Cela impose donc
À > 1, soit St < Ft(S, T)B(t, T). Un raisonnement similaire peut être fait en vendant
1 contrat forward et en achetant À titres, ce qui conduit à St > Ft(S, T)B(t, T). Il Y
a donc égalité. D
Nous remarquons que la détermination du prix du contrat forward est indépendante de tout
modèle! De même, l'exemple suivant n'utilise aucun modèle particulier.
Exemple 2 : relation de parité CalI-Put. Par analogie avec l'option d'achat (CalI),
l'option de vente (Put) donne le droit au détenteur du contrat de vendre un titre sous-jacent S
au strike K à échéance T, ce qui équivaut pour l'acheteur du Put à recevoir un flux (K -ST )+.
Pour l'acheteur du Put, c'est une assurance contre la baisse de l'actif sous-jacent.
Un raisonnement d'arbitrage statique permet de relier à une date donnée le prix du Call
et du Put avec mêmes caractéristiques.
Proposition 7.1.5 Notons Callt(T, K) et Putt (T, K) le prix en t des Call et Put de prix
d'exercice K et d'échéance T, écrit sur le titre de cours S.
Si le titre ne distribue pas de dividende, la relation de parité Call-Put est donnée par
Callt(T,K) - Putt(T,K) = St - KB(t,T).
(7.1.2)
Plus généralement, on a
Callt(T, K) - Putt (T, K) = (Ft(S, T) - K)B(t, T).
(7.1.3)
PREUVE :
Montrons seulement la relation générale. En effet, (7.1.2) découle de (7.1.3), en utilisant
Ft(S, T)B(t, T) = St lorsque S ne verse pas de dividende (Proposition 7.1.4).
Comparons deux stratégies.
- La première consiste, à la date t, en l'achat d'un CalI et la vente d'un Put, tous
deux de maturité T et de strike K. Par la proposition 7.1.4, le prix forward en t de
cette stratégie est égal à ca ( ) - p ( ) . A maturité, la valeur liquidative de
ce portefeuille vaut (ST - K)+ - (K - ST)+ = ST - K.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
116
7.2. MODÉLISATION PROBABILISTE DU MARCHÉ
- La seconde stratégie consiste, à la date t, en l'achat à terme du sous-jacent S et
l'emprunt à terme de K € . Le prix forward en t de cette stratégie est égal à
Ft(S, T) - K, alors qu'en T, la position est évaluée à ST - K.
Les deux stratégies conduisent donc à la même valeur en T; par unicité des prix, elles
ont même prix forward en t, ce qui donne la relation annoncée. D
Par des raisonnements d'arbitrage statique, on peut également montrer les relations
suivantes.
Proposition 7.1.6 On a
1. (St - KB(t,T))+ < Callt(T,K) < St (relation de hedge),-
8Callt(T, K) .
2. 8K < 0 (relat'ton de Bull spread),-
8 2 Callt(T, K) .
3. 8K2 > 0 (relat'ton de Butterfly spread);
8Callt(T, K)
4. 8T > 0 (relation de Calendar spread) si les taux d'intérét court terme sont
positifs.
PREUVE:
Voir exercice 7.3.
D
7.2 Modélisation probabiliste du lllarché
Notre objectif est maintenant de donner un prix au option d'achat, option de vente,
et plus généralement à tout contrat financier dont le flux terminal (en T) est de la forme
h(ST), où (St)t est un titre négociable 1 comme une action par exemple. Pour y parvenir, il
est nécessaire de définir un modèle probabiliste d'évolution des cours. Dans cette démarche
de modélisation, soulignons qu'il y a une différence importante avec ce qu'on peut observer
dans d'autres domaines scientifiques: le phénomène à décrire n'obéit pas à une loi physique,
comme la loi de Fourier décrivant la répartition stationnaire de la température dans un milieu
thermiquement conducteur, ou bien la loi d'Ampère en électrostatique, ou encore les lois de
la mécanique... Dans ces derniers cas, les phénomènes physiques décrits sont immuables,
alors que les cours de bourse résultent d'un processus complexe d'offres et demandes, non
stationnaire et changeant dans le temps. Là encore, il convient d'être prudent sur la valeur
accordée à un modèle stochastique de finance : il permet de développer une méthodologie de
gestion des risques et d'obtenir des outils d'aide à la décision, qu'il est nécessaire de tester
sur des historiques 2 pour vérifier l'adéquation à la situation courante. Toutefois, ce qui est
remarquable, c'est la grande robustesse de cette approche en pratique.
1. C'est sur ce point qu'une option sur taux de change demande un traitement particulier, le taux
de change n'étant pas un titre négociable: on peut acheter des Euros ou des Dollars mais on ne peut
pas acheter le taux de change EuroDollar.
2. ce sont les dits backtests.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE A LA BLACK-SCHOLES-MERTON
117
7.2.1 Espace de probabilité et mouvement brownien
Nous réalisons la modélisation des aléas du marché financier via un espace de espace de
probabilité filtré (0, F, Ft, IP) :
- 0 est l'ensemble de tous les scénarii de marché possibles.
la tribu F représente la structure d'information globale disponible sur le marché.
-
les aléas sont générés par un mouvement brownien réel (Wt)O t T, qui engendre une
filtration croissante (Fo C Ft C FT), décrivant l'information disponible pour tous les
acteurs du marché au fil du temps (toute le monde a la même information, pas de délit
d'initié).
la probabilité IP est appelée probabilité historique ou objective.
7.2.2 Modélisation du titre sous-jacent
En 1900, Louis Bachelier [1] a proposé une modélisation des cours comme des trajectoires
aléatoires. Son modèle brownien rend bien compte de l'aspect imprévisible des cours d'actifs
financiers mais présente l'inconvénient de donner des prix négatifs. Samuelson [30] en 1965
remédie à ce problème en prenant pour modèle l'exponentielle du brownien, c'est-à-dire
un mouvement brownien géométrique (voir Chapitre 3). C'est un processus à trajectoires
continues, qui confère au cours la propriété d'avoir des rendements gaussiens, indépendants
et stationnaires. Finalement, c'est un modèle, qui en terme de nombre de paramètres, est
des plus parcimonieux : il dépend seulement de
1. la tendance j.L, correspondant au rendement (annualisé) du titre espéré par unité de
temps.
2. la volatilité a, qui rend compte de la variabilité du titre. Sa valeur (annualisée)
dépend énormément du type de marché (pour les actions: entre 20 et 50%; pour le
change : entre 10 et 30 % ; pour les taux d'intérêt : entre 5 et 20 %; pour les matières
premières : entre 50 et 300 %).
Définition 7.2.1 (et Proposition) Le modèle de Black-Scholes-Samuelson est défini sous
forme de rendement instantané par
d8 t -
St = j.Ldt + adW t
-
avec 80 = x, où (Wt)t est un mouvement brownien standard sous IP. Sous forme intégrée
(voir les équations (3.1.1) et (3.1.3)), cela devient
1 2 -
S - (p,- '2 u )t+uWt
t - xe .
C'est un modèle log-normal dont les deux premiers moments valent
JEIP(St) = xeP,t, JEIP(8 ) = x 2 e(2P,+U 2 )t, V ar lP(8 t ) = [JEIP(8 t )]2 (e u2t - 1).
Notons r le taux d'intérêt sans risque 3 ; alors la prime de risque du titre vaut
j.L-r
.À = .
a
3. taux de rémunération de l'argent placé sans risque au jour le jour.
(7.2.1)
(7.2.2)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
118
7.3. PORTEFEUILLE DYNAMIQUE
La dynamique de S se réécrit alors
dS t --
St = rdt + a(dW t + Àdt),
en recentrant le rendement de S autour du taux sans risque.
(7.2.3)
7.3 Portefeuille dynaInique
Focalisons nous sur le cas du CalI, ce qui nous donnera l'occasion d'introduire les concepts
fondamentaux et le vocabulaire de circonstances.
Le vendeur de l'option, en échange de la prime versée par l'acheteur à la signature (au
temps 0), doit verser en T le flux (ST - K)+ (appelé plus généralement payoff), s'exposant
ainsi au risque de forte hausse du titre sous-jacent. Pour minimiser ce risque, à l'aide de
la prime reçue il va se constituer un portefeuille dynamique de couverture en ache-
tant/vendant le titre. La valeur liquidative (ou Mark-to-Market) du portefeuille au cours
du temps est notée (Vi)t. L'erreur de couverture eT (ou tracking error) est la différence
entre le valeur du portefeuille constitué et le flux promis :
eT = VT - (ST - K)+.
Son objectif est évidemment d'avoir une erreur de couverture nulle.
7.3.1 Portefeuille de couverture
Formalisons mathématiquement la notion de portefeuille dynamique du vendeur de l'op-
tion. VO est le montant initial de son portefeuille. Puis son investissement à la date t consiste
en
- 8(t) parts d'actif risqué St. Si 8(t) > 0, il est long du titre (acheteur) ; si 8(t) < 0, il
est short du titre (vendeur).
- 8°(t) parts d'actif sans risque s2 = e rt de rendement r entre [t, t + dt], rémunérant
les liquidités (ou cash). Si 8°(t) est positif, c'est un placement de liquidités; s'il est
négatif, c'est un emprunt.
Ces deux processus (8°(t),8(t)) définissent la stratégie de portefeuille.
En pratique, les nombres de part sont ajustés tous les jours ou toutes les semaines,
disons à des dates de négociation (ou de trading) 0 = to < tl < t2 < t3 < ... < t n = T
où T est l'horizon de couverture. Le nombre de parts (8°(t),8(t)) = (82,8k) détenus sur la
période ]tk, tk+l] dépend des conditions de marché à la date tk et de ce qui s'est passé avant.
Mathématiquement, cela se traduit par prendre (82,8 k ) adaptés à :F tk . Autrement dit, les
stratégies n'anticipent pas sur le futur. Si ces quantités sont constantes dans le temps, la
gestion est statique sinon elle est dynamique. Dans la suite, nous supposons que le titre S ne
verse pas de dividende (voir le paragraphe 7.5.1 pour enlever cette hypothèse).
Définition 7.3.1 (et propriétés) Une stratégie simple de portefeuille investi dans le titre
S et dans le cash est la donnée de deux processus (8° (t), 8 (t)) de la forme
8(t) = 801[0,tlJ(t) +... + 8k1Jtk,tk+lJ(t) +... + 8n-I 1 Jt n _l,t n J(t)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE A LA BLACK-SCHOLES-MERTON
119
(et de manière analogue pour 8°) où les variables 82, 8k sont :F tk -mesurables. La valeur
liquidative à la date t du portefeuille associé est égale à
Vi = 8°(t)S + 8(t)St,
ou bien sous forme de valeur actualisée = oO(t) + o(t) :p .
Les propriétés qui en découlent sont:
1. (8°(t),8(t))t est continue à gauche et :Ft-adapté.
2. Vi est:F t - adapté 4 .
3. Pour t E]tk-l, tk], intervalle sur lequel 8°(t) et 8(t) sont constants, la variation de la
valeur du portefeuille s'écrit 5
Vi k - Vi = OLl(S k - S ) + Ok-l(Stk - St) = l tk oO(u)dS + o(u)dS"
(7.3.1)
ou de manière équivalente, sur les valeurs actualisées,
Vi k Vi ( Stk St ) { tk ( ) ( Su )
SO - SO = 8k-l 80 - SO = 8 u d. 80 .
tk t tk t t 11,
(7.3.2)
En fait, les variations de (8°(t), 8(t)) ne peuvent pas être quelconques: nous devons notam-
ment traduire que l'apport d'argent extérieur au cours de la gestion de la couverture n'est
pas possible. Autrement, les variations de la valeur du portefeuille sont uniquement dues aux
variations du titre et du cash.
Cette contrainte, dite d'autofinancement, se traduit sur les stratégies simples par
égalité des valeurs liquidatives avant et après négociation, soit
82-1S k + 8 k - 1 S tk = 82s k + 8 k S tk .
En utilisant la continuité à droite du prix de S, observons que cette condition se traduit par
la continuité à droite de V
Vi k = lim Vi.
t!tk
Ainsi, les équations (7.3.1) et (7.3.2) sont valables même pour t = tk-l et par recollement
des intervalles, cela devient
Vi - Vo = l t oO(u)dS + o(u)dS u , - va = l t o(u)d ( g ) .
L'intégrale stochastique f; o(u)dS u ou f; o(u)d ( ) ci-dessus est simplement une somme
de Riemann car (8(u))u est constant par morceaux.
Un portefeuille dont la stratégie satisfait cette condition d'autofinancement sera dit por-
tefeuille autofinançant. Nous résumons ces propriétés dynamiques:
4. ici, V est continu à gauche car S est continu. Pour les modèles à sauts, V n'est a priori pas
continu à gauche mais juste pourvu de limites à gauche.
5. ici, on utilise que détenir le titre n'apporte pas de flux supplémentaires de type dividende.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
120
7.3. PORTEFEUILLE DYNAMIQUE
Définition 7.3.2 (et proposition) La valeur d'un portefeuille autofinançant a pour dyna-
m'l,que
Vi = Vo + l t oO(u)d + o(u)dS",
= Vo + l t rV",du + l t o(u)(dS", - rS",du)
(7.3.3)
(en utilisant dS = rS du et Vu = 8°(u)S +8(u)Su). Sur les valeurs actualisées, cela s'écrit
e-rtVi = = va + l t o(u)d ( ) = Vo + l t o(u)d(e-r"'S",).
(7.3.4)
Le processus (Vi)t est complètement déterminé par Vo et (8(t))t (le montant en cash se déduit
par S28°(t) = Vi - 8(t)St).
Ces équations ont été complètement établies pour des stratégies simples (constantes par mor-
ceaux). Dans la suite, nous prenons cette équation comme définition générale de
stratégie de portefeuille autofinançant, en autorisant des stratégies (8°(t), 8(t))t à varier
en continu. Dans ce cas-là, une définition générale de l'intégrale stochastique f; 8(u)dS u est
nécessaire, sous des conditions précises de mesurabilité et d'intégrabilité de (8(u))u, condi-
tions plus faibles que celles que nous avons rencontrées au chapitre 2 : cela va au delà de ce
livre introductif et renvoyons le lecteur intéressé à des ouvrages spécialisés comme [27].
En fait, dans la suite de ce livre, nous aurons juste besoin de 8(u) sous la forme u (u, Su),
auquel cas l'intégrale stochastique f; u (u, Su)dS u a bien un sens (voir les chapitres 2 et 3).
7.3.2 Traduction du problème de couverture parfaite de l'op-
tion
Le vendeur de l'option doit déterminer un processus de couverture (8(t))t et une richesse
initiale Vo tels que
dVi = rVidt + 8(t) (dS t - rStdt)
avec une erreur de couverture nulle ET = 0 = VT - h(ST), où h(ST) = (ST - K)+ dans le
cas de la vente d'un CalI, h(ST) = (K - ST)+ dans le cas de la vente d'un Put ou encore
h(ST) = lST>K pour un CalI binaire (ou CalI digital).
S'il existe un tel portefeuille de couverture, l'option et le portefeuille de couverture ont
même valeur en T avec probabilité 1. En vertu de l'AGA, leurs valeurs à toute date inter-
médiaire coïncident. En particulier, Vo est la valeur de l'option aujourd'hui.
Dans le prochain paragraphe, nous donnons la solution à ce problème de cible aléa-
toire 6, en cherchant un portefeuille dont la valeur à la date t serait une fonction de la valeur
du titre St : Vi = v(t, St). Il se trouve que v doit résoudre une équation aux dérivées partielles
dont on connaît la solution.
6. on vise la valeur VT = h(ST) en agissant sur (o(t»t.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE A LA BLACK-SCHOLES-MERTON
121
7.3.3 Résolution par équation aux dérivées partielles
Théorème 7.3.3 Soit h une fonction mesurable, à croissance au plus linéaire, pour laquelle
l'EDF ci-dessous admet une solution régulière v(t, x) sur ]0, T[x]O, +oo[ :
{ a2x2 v x(t, x) + r x v (t, x) + v (t, x) - rv(t, x) = 0,
v(T, x) = h(x).
(7.3.5)
Le flux h(ST) est répliquable par un portefeuille autofinançant, dont la valeur à la date test
v(t, St), et celle du portefeuille de couverture est 8(t, St) = v (t, St).
PREUVE:
La formule d'Ito pour S (voir équation (3.1.9)) et l'EDP donne
dv(t, St) = v (t, St)dt + v (t, St)dS t + a2 S v x(t, St)dt
= rv(t, St)dt + v (t, St)(dS t - rStdt).
(7.3.6)
Ainsi v(t, St) est bien la valeur en t d'un portefeuille autofinançant, de stratégie
8(t, St) = v (t, St). Il couvre bien le flux h(ST) puisque v(T, ST) = h(ST).
On pourrait montrer réciproquement que, si le portefeuille de couverture est de la
forme Vi = v(t, St) avec v régulière, alors v est solution de l'EDP donnée. D
De manière surprenante, la fonction prix v(t, x) ne dépend pas du rendement J.L du titre: la
stratégie de portefeuille dynamique qui suit l'évolution du marché a permis d'annuler l'effet
de la tendance. En revanche, le processus de prix v(t, St) dépend bien de la tendance, via
St.
En conséquence, seule la volatilité a devra être évaluée par le vendeur de l'option pour
déterminer la fonction prix.
7.4 La formule de Black et Scholes
7.4.1 Résolution de l'EDP par la formule de Feyman-Kac
Afin d'aboutir à des formules explicites, nous ré-interprétons la solution de l'EDP comme
une espérance: cette représentation porte le nom de formule de Feynman-Kac.
Théorème 7.4.1 (formule de Feynman-Kac) Soit (St)t un titre fictif de dynamique:
dS t
--;:;- = rdt + adW t ,
St
avec W un mouvement brownien sous une probabilité auxiliaire Q. Alors la solution de l'EDF
d'évaluation est donnée par
v(t, x) = JEQ [e-r(T-t) h(ST )ISt = x].
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
122
7.4. LA FORMULE DE BLACK ET SCHOLES
PREUVE :
Nous rappelons la formule (3.1.6), en l'écrivant entre t et T : pour toute fonction f de
classe C J2, on a
lEQ[f(T, ST )ISt = x] = f(t, x) + [T IEQ[L u2f(s, Ss) + f: (s, Ss)ISt = x]ds.
Nous supposons que la solution de l'EDP (7.3.5) est régulière avec des dérivées à crois-
sance raisonnable (ce qui peut-être vérifié a posteriori), de sorte à pouvoir appliquer
cette formule à la fonction f(t, x) = e-rtv(t, x). Comme L; u 2 est un opérateur dif-
férentiel qui n'agit que sur la variable d'espace, on a L; u 2 f(8, y) = e- rs L; u2V(s, y).
J J
Par ailleurs f:(s, y) = e- rs ( -rv(s, y) + V (8, y)). Par l'EDP satisfaite par v, on déduit
L; u 2 f(8, y) + f: (s, y) = O. Ainsi,
J
JEQ[f(T, ST )ISt = x] = f(t, x),
ce qui prouve le résultat. A noter que nous avons prouvé l'unicité de la solution de
l'EDP, pourvu que des conditions de régularité et d'intégrabilité soient satisfaites. D
Commentaires sur la fonction prix.
- Le règle de prix reste linéaire par rapport au payoff h, ce qui est satisfaisant vis-à-vis
de l'AGA.
- Le titre fictif S n'a aucune réalité financière et ne sert qu'à représenter la fonction prix
de l'option.
- Si le titre S avait pour tendance jj = r, alors le prix aujourd'hui de l'option serait
Vo = JEIP(e- rT h(ST )), ce qui se relit comme "le prix de l'option est la moyenne des flux
futurs actualisés", régIe intuitivement raisonnable. Ce cas-là correspondant à un titre
neutre au risque car sa prime de risque À = I-L-;;r = 0 est nulle.
- Si le titre S a une tendance jj # r, alors la règle précédente VO = JEIP ( e -rT h( ST ) )
de moyennisation sous la probabilité historique n'est plus valable. Pour relier VO à
moyenne sous la probabilité historique IP, il est nécessaire de changer de probabilité.
Rappelons que d'après (7.2.3), on a
St = xe(I-L-!u 2 )t+ uW t = xe(r-!u 2 )t+u(Wt+ Àt ).
D'après le théorème 5.2.4 de Cameron-Martin, W t = Mlt + Àt définit un mouvement
brownien avec dérive sous IP et un mouvement brownien standard sous une probabilité
Q appropriée équivalente à IP sur :FT. La probabilité Q correspondante est donnée par
dQ - 1 2
dIP = exp( -ÀWT - 2 À T).
:FT
Ainsi St = xe(r-!u 2 )t+uw t , c'est-à-dire que S a même loi sous Q que S. Cela permet
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE A LA BLACK-SCHOLES-MERTON
123
d'écrire
Vo = JEQ(e-rTh(ST))
= JEQ(e-rTh(ST))
- 1 2
JE ( -rT -ÀWT--À T h(S ))
= IP' e e 2 T .
(7.4.1)
La règle de valorisation reste donc une moyenne actualisée des flux futurs, mais avec
- 1 2
une pondération e-ÀWT-2À T des scénarii de marché.
- La probabilité Q porte le nom de probabilité risque-neutre (ou probabilité neutre
au risque) car sous cette probabilité, S a pour tendance r (d'où une prime de risque
nulle) .
7.4.2 Une ré-interprétation avec un point de vue risque-neutre
Nous donnons maintenant une autre preuve de l'égalité (7.4.1), en mettant en jeu non pas
l'EDP mais des propriétés d'intégrale stochastique. C'est l'approche moderne de la finance
quantitative, qui remonte sous cette forme aux travaux [12, 13] de Harrison et Pliska au
début des années 80.
Nous commençons par un résultat simple de martingale.
Lemme 7.4.2 Sous la probabilité Q, l'actif actualisé (e- rt St)t est une intégrale stochastique
:Ft -martingale :
JEQ(e- rt Stl:Fs) = e- rs Ss (s < t), d(e- rt St) = e- rt StadW t .
Compte-tenu de cette propriété, Q s'appelle aussi probabilité martingale.
PREUVE:
Lorsqu'on écrit la dynamique de St avec le mouvement brownien standard W sous Q,
on obtient
-rt s _lu2t+uWt -rs S _lu2(t-s)+u(Wt-Ws)
e t = xe 2 = e se 2 .
Comme W t - W s est indépendant de :Fs et de loi gaussienne N(O, t - s), on déduit
1EQ(e- rt Stl:F s ) = e-rsSse-!u2(t-s)JE(eO"(Wt-Ws») = e-rsS s . Cela montre la propriété
de martingale.
On note aussi que (e-rtSt)t est un mouvement brownien géométrique de paramètres
(0, a) dont la différentielle d'Itô est donnée par (3.1.3). D
Au vue de l'équation d'autofinancement (7.3.4) sous forme actualisée entre 0 et T, le
problème de réplication devient
e-rTh(ST) = e-rTVT = va + l T o(u)e-ruSuudWuo
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
124
7.4. LA FORMULE DE BLACK ET SCHOLES
Sous Q (et non sous IP), le dernier terme est une intégrale stochastique. On sait dans les bons
cas 7 que cela définit un processus d'espérance nul. Formellement, on obtient, par passage
à l'espérance sous Q, que
JEQ( e -rT h(ST)) = VQ.
Nous retrouvons ainsi la représentation précédente. Toutefois, cette approche a des différences
importantes avec celle par EDP.
- Par l'EDP, on montre qu'il existe une stratégie de couverture, on donne sa forme et
on détermine le prix de l'option. C'est une approche constructive.
- Par la probabilité risque-neutre en admettant l'existence d'une stratégie de réplication,
on déduit seulement (mais directement) le prix du portefeuille associé, sous forme
d'espérance. Par différence avec l'approche EDP, il n'est pas nécessaire d'avoir un
payoff comme simple fonction du titre en T, on pourra ainsi valoriser des payoffs
complexes dépendant de toute la trajectoire de S, payoffs dit path-dependent (voir le
chapitre 9 sur les options barrière et lookback).
7.4.3 Les formules fermées
La formule de Black et Scholes concerne plus spécifiquement les prix des Calls et des
Puts, que nous explicitons ci-dessous.
Théorème 7.4.3 (formule de Black-Scholes)
1. La fonction prix d'un Gall de maturité T et de prix d'exercice K est donnée par
Call(t, x, T, K) = xN [d 1 (T - t, xer(T-t), K)] - K e -r(T-t) N [do(T - t, xer(T-t), K)]
avec
1 x 1 h
do (7, x, y) = J;; ln( -) - - 2 ay t, dl (7, x, y) = do(r, x, y) + aVT
ayr y
où N est la fonction de répartition de la loi normale, centrée réduite.
2. De plus, cette option est couverte par un portefeuille qui contient
8(t) = Call (t, St, T, K) = N[d l (T - t, Ster(T-t) , K)]
parts de titre S.
3. De même, la fonction prix d'un Put de mêmes caractéristiques est donnée par
Put(t, x, T, K) = K e-r(T-t) N[d l (T - t, K, xer(T-t»)] - xN[do(T - t, K, xer(T-t»)]
avec une couverture de 8(t) = Put (t, St, T, K) = -N[do(T - t, K, Ster(T-t»)] parts de
titre S.
7. il faut des conditions sur (<5(u»u, conditions ici difficilement vérifiables car nous ne connaissons
pas ce processus.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE A LA BLACK-SCHOLES-MERTON
125
PREUVE:
Prix. Montrons seulement la formule du CalI pour t = O. Introduisons l'ensemble
d'exercice de l'option
£' = {ST > K}
1 2 WT 1 1 2
= {(r - 2u )T + aWT > log(Kjx)} = { .jT > u.jT 0og(Kjx) - (r - 2u )T])
= { - < do (T, xe TT , K) } (7.4.2)
avec - loi N(O, 1). Au vue de la représentation (7.4.1) et en linéarisant le payoff
du CalI avec £', on déduit
Call(O, x, T, K) = JEQ(e- rT ST 1 t:) - e- rT KQ(£').
La forme (7.4.2) de l'ensemble d'exercice donne directement Q(£') = N(do(T, xe rT , K)).
Pour calculer l'autre terme JEQ(e- rT ST1t:) = xJEQ(eUwT-!u2Tlt:), introduisons la
nouvelle probabilité Q* donnée par d2; 1FT = exp(aWT - a2T), sous laquelle wt =
W t - at est un mouvement brownien standard. Alors JEQ(eUwT-!u2Tlt:) = Q*(£').
L'ensemble d'exercice s'exprime avec W* sous la forme £: = { - A < dl (T, xe TT , K) } 1
ce qui conduit à JEQ(e- rT ST1t:) = xN(d l (T, xe rT , K)).
Couverture. Pour calculer la couverture, il faut dériver
Call(O, x, T, K) = JEQ(e- rT (xe(r-!u 2 )T+UW T - K)+)
par rapport à x. La v.a. e- rT (xe(r-!u 2 )T+UW T - K)+ est presque sûrement déri-
vable par rapport à x et de dérivée e-!u 2 T+ uwT lt:. Par une application du théorème
de dérivation de Lebesgue, on déduit 8 x Call(O,x,T,K) = JEQ(e-!u2T+uwTlt:). Cette
quantité vient d'être calculée juste avant et vaut N ( dl (T, xe rT , K) ). D
7.4.4 Les grecques
Il est important pour la gestion des risques de disposer d'indicateurs pertinents de ces
risques. On utilise très souvent la sensibilité ou les dérivées de prix par rapport aux différents
paramètres du modèle. On appelle communément ces indicateurs les grecques car on les note
avec des lettres de l'alphabet grecque.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
126
7.4. LA FORMULE DE BLACK ET SCHOLES
Proposition 7.4.4 (grecques) Les paramètres de sensibilité sont définies et données par
Call = Delta = 6. = N(dl) E]O, 1[,
Call = -e-r(T-t)N(do) < 0,
" 1 N ' ( )
Call xx = Gamma = r = dl > 0,
xa y T - t
Call = Vega = x y T - tN'(d l ) = rx 2 a(T - t) > 0,
Call = Theta = e = - xa N'(d l ) - rKe-r(T-t)N(do) < 0,
2 yT - t
Call = Rho = p = (T - t)Ke-r(T-t)N(do) > 0,
en omettant les arguments des fonctions do et dl.
On remarque que le prix de CalI est convexe en le titre et croissant en la volatilité. Ces
différentes fonctions de prix et de sensibilités sont représentées sur la Figure 7.1.
25 25
"""AI 1-
p ....- 20
20 15
10
15 5
0
10
0.3
0
10 85 10 15 100 lOS 110 115 120
0.18
0.16
0.8 0.14
0.12
0.6 0.1
0.4 0.08
0.06
0.2 0.04
0.02
0 0
0.3 0.3
FIGURE 7.1 - Prix de Cali. En haut à gauche: profil de prix Cali et payoff (x - K)+.
En haut à droite: surface de prix en fonction de x et T. En bas à gauche: surface du
6. en fonction de x et T. En bas à droite: surface du r en fonction de x et T.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
127
7.4.5 Résultats numériques
Pour évaluer numériquement la fonction de répartition N(x) de la loi normale, on peut
utiliser l'approximation suivante (voir [15] p.271) : pour x > 0
1 1 x 2 2 3 4 S
N(x) = 1 - . /tC e- 2 (alY + a2Y + a3Y + a4Y + asy ),
V 2 1r
1
avec y = 1 + 0.2316419x ' al = 0.319381530, a2 = -0.356563782,
a3 = 1.781477937, a4 = -1.821255978, as = 1.330274429.
Elle est précise à 10- 7 . La suivante est précise à 10- s (voir [33] p.110) : pour x > 0
1 1 x 2 2 3
N(x) = 1 - . /tC e- 2 (ay + by + cy ),
v21r
1
avec y = 1 + 0, 33267x ' a = 0,4361836,
b = -0,1201676, c = 0.937298.
Pour x < 0, on utilise le fait que N(x) = 1 - N( -x).
Exemple. Prenons les paramètre suivants: x = 1000 , r = 2%, a = 25%, T = 0.5 (6
mois), pour un CalI et un Put avec différents prix d'exercice.
Valeurs Call Call Call Put Put Put
à t = 0 K=95€ K = 100€ K = 105€ K = 95€ K = 100€ K = 105€
Prix 10.2 € 7.52 € 5.37 € 4.27 € 6.52 € 9.33€
Montant en titres 66.8 € 55.8 € 44.7€ -33.2€ -44.2€ -55.2€
Montant en cash -56.6 € -48.28€ -39.33€ 37.47€ 50.72 € 64.53 €
Delta 0.668 0.558 0.447 -0.332 -0.442 -0.552
Gamma 0.0205 0.0223 0.0224 0.0205 0.0223 0.0224
Vega 25.7 27.9 28 25.7 27.9 28
Theta - 7 .54 - 7 . 94 -7.78 -5.67 -5.96 -5.70
Rho 28.3 24.1 19.7 -18.7 -25.4 -32.3
A la vue de ces valeurs numériques, il y a des observations simples mais importantes
à faire :
1. pour couvrir un CalI (protection contre la hausse), le vendeur a besoin d'acheter
le titre ( > 0). Pour financer cette position, il devient emprunteur (montant en
cash négatif). La situation est inversée pour le vendeur de Put, qui vend le titre
et se retrouve prêteur de cash.
2. la différence du delta d'un CalI et d'un Put de même prix d'exercice vaut 1 :
cette propriété est liée à la relation de parité CalI/Put. Cette même relation de
parité assure que le Gamma et le Vega sont égaux pour un CalI et un Put de
mêmes caractéristiques.
3. la volatilité afall de l'option définie comme le processus satisfaisant
dCall(t, St) = Call(t, St)(. . . dt + afalldW t )
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
128
7.4. LA FORMULE DE BLACK ET SCHOLES
est donnée par
CalI _ Call (t, St) S
O't - Call(t, St) 0' t
(l'identification vient en comparant avec l'équation d'autofinancement (7.3.6)).
Prenons un exemple avec K = 100 : cela donne O' alI 185%. Cela illustre bien
l'effet de levier des options: la volatilité (mesurant les fluctuations des cours) a
été multipliée par un facteur supérieur à 7 en passant du sous-jacent à l'option.
30
25
20
'"
.,,'" ,J1
15
. '"
",'''' 1-.
10 ('
1 \
A"lx Cali 5
0
-5
-10
-15
-8
'"
- - y --' -
'" --
'" - -
'" --- - - -
.- --
- //////y
fJ
- - - - - - - - - 120
/ 105
1? 100 ot
95
0.6 0 7 O.a:'O':9 1 .0
FIGURE 7.2 - La nappe correspond à la surface de prix d'un Cali, i.e. Call(t, x, T, K),
comme fonction de t et de x. La courbe en bleu foncé est une simulation de prix du
titre (St)O<t<T pendant la durée de vie de l'option. Pour avoir le processus de prix de
l'option (Callt = Call(t, St, T, K))O t T au cours du temps, on évalue la fonction prix
le long du cours du titre (on projette sur la surface ce qui donne la courbe rouge) :
la réalisation correspondante du processus de prix de CalI est la courbe verte. Les
paramètres de l'option sont So = K = 100, a = 25%, r = 2% et T = 1 an.
Remarque 7.4.5 Une très bonne approximation du prix d'un Gall de prix d'exercice égal
à la monnaie forward (K = xer(T-t)} est donnée par la formule de Brenner-Submhmanyam
(1994) (voir exercice 7.5) :
Call(t, x, T, K) 0.4xO' V T - t.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
129
. .
POUR EN SAVOIR PLUS
.
7.5 Le cas de titres versant des dividendes
Jusqu'à maintenant, nous avons supposé que le titre S ne verse pas de dividende. Dans ce
paragraphe, nous étendons l'analyse précédente au cas de sous-jacent versant des dividendes.
Nous donnons trois exemples où il est nécessaire de considérer des dividendes.
1. Le premier est le plus évident. C'est celui d'une action qui détache un dividende à
une date connue (dividende discret). Par extension, c'est le cas des indices composés
de titres versant des dividendes discrets: dans ce cas, il n'est déraisonnable de faire
l'approximation que l'indice verse un taux de dividende continu.
2. Le second exemple est lié au fait que la vente à découvert d'actions, bien qu'autorisée,
n'est pas gratuite. Il y a un taux de prêt (noté q dans la suite et appelé taux repo) que
paie le vendeur et que reçoit le prêteur de titres. Ainsi, détenir une action revient à
percevoir un taux de dividende continu en sus.
3. Le troisième exemple est plus subtil et concerne le marché des changes: bien que non
abordé dans cet ouvrage, nous expliquons brièvement ce cas. Un taux de change n'est
pas un titre négociable (on négocie l'une ou l'autre des devises). Toutefois, un raison-
nement d'arbitrage entre marchés internationaux montre que, valoriser une option sur
taux de change dollar-euro se ramène (d'un point de vue du marché € ) à une option
sur un titre versant un dividende continu égal au taux d'intérêt du marché $.
Dans la suite, nous reprenons la valorisation de Calls/Puts lorsque le sous-jacent verse
un taux de dividende continu, puis des dividendes à des dates discrètes.
7.5.1 Le cas de titres versant un taux de dividende continu
Nous reformulons les principales définitions et résultats dans le cas de dividende continu.
Définition 7.5.1 (et proposition) Un portefeuille autofinançant investi dans le cash et le
titre S (versant un dividende continu au taux q par unité de temps) a pour valeur
liquidative en t Vi = oO(t)S2 + o(t)St, et sa dynamique est
Vi = Vo + l t OÜ(u)dS + o(u)(dS u + qSudu)
= Vo + l t rVudu + l t o(u)(dS u + (q - r)Sudu).
(7.5.1 )
PREUVE :
Il suffit de reprendre la construction de stratégies simples dans ce cadre, en repartant de
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
130
7.5. LE CAS DE TITRES VERSANT DES DIVIDENDES
l'équation (7.3.1). Pour t E]tk-l, tk], les nombres investis en cash et titre ne changent
pas, ce qui conduit à
o 0 0 {t k
Vi k - Vi = Ok-l (Stk - St) + Ok-l (Stk - St + lt qSudu)
[ t k
= t oO(u)d + o(u)(dS.. + qS..du).
En ajoutant la condition d'autofinancement, on obtient le résultat annoncé. D
Comme précédemment, le problème de couverture du contrat financier de flux h(ST) se
traduit pour le vendeur du contrat par trouver le montant initial de la prime (V{)) et la
stratégie de couverture, de sorte que son portefeuille autofinançant ait pour valeur h(ST) à
échéance :
dVi = rVidt + o(t)(dS t - (r - q)Stdt) avec VT = h(ST).
Alors, il n'est pas difficile de voir que les théorèmes 7.3.3 et 7.4.1 deviennent dans un cadre
avec dividende continu :
Théorème 7.5.2 Soit h une fonction mesumble, à croissance au plus linéaire, pour laquelle
l'EDP ci-dessous admet une solution régulière v(t, x) sur ]0, T[x]O, +oo[ :
{ a2x2 v x(t, x) + (r - q) xv (t, x) + v (t, x) - rv(t, x) = 0,
v(T, x) = h(x).
Le flux h(ST) est répliquable par un portefeuille autofinançant, dont la valeur à la date test
v(t, St), et celle du portefeuille de couverture est o(t, St) = v (t, St).
De plus, si (St)t un titre fictif de dynamique df.t = (r-q)dt+adW t avec W un mouvement
brownien sous une probabilité Q, alors la la solution de l'EDP d'évaluation est donnée par
v(t,x) = JEQ[e-r(T-t)h(ST)ISt = x].
Là encore, on peut interpréter la règle de prix à l'aide d'un changement de probabilité, nous
omettons les détails. Nous retiendrons simplement que sous la probabilité risque-neutre Q,
les portefeuilles autofinançants actualisés sont des intégrales stochastiques mais pas le titre
risqué actualisé (à cause du dividende) : la dynamique du titre sous Q est
dS t
St = (r - q)dt + adW t
(même dynamique que S). La quantité v = r - q s'appelle le coût de portage.
Un calcul explicite à l'aide des lois gaussiennes permet de donner une formule fermée
aux prix de CalI et Put. Les fonctions do et dl sont inchangées.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
131
Théorème 7.5.3 (formule de Black-Scholes avec dividende continu)
1. La fonction prix d'un Gall de maturité T et de prix d'exercice K sur un titre versant
un dividende au taux continu q est donnée par
Call(t, x, T, K) =xe -q(T-t) N [dl (T - t, xe(r-q)(T-t) , K)]
- K e -r(T-t) N [do (T - t, xe(r-q)(T-t) , K)] .
2. De plus, cette option est couverte par un portefeuille qui contient
o(t) = Call (t, St, T, K) = e-q(T-t) N[dI (T - t, Ste(r-q)(T-t), K)]
parts de titre S.
3. De méme, la fonction prix d'un Put de mémes caractéristiques est donnée par
Put(t, x, T, K) =K e -r(T-t) N[dI (T - t, K, xe(r-q)(T-t»)]
- xe-q(T-t) N[do(T - t, K, xe(r-q)(T-t»)]
avec une couverture de
o(t) = Put (t, St, T, K) = _e-q(T-t) N[do(T - t, K, Ste(r-q)(T-t»)]
parts de titre S.
7.5.2 Le cas de titres versant des dividendes discrets
Supposons maintenant que le titre 8 S(6,y) détache un dividende aux dates discrètes
connues 0 < tl < ... < t n < T. Le montant est supposé être une fonction affine du titre: en
d'autres termes, à la date ti, le dividende comporte un montant fixe Oi > 0 et un montant
proportionnel égal à YiS( 'Y) (Yi E [0, ID. Ainsi, le montant global de dividende en ti vaut
t.
1.
S (6,y)
Vi + Yi t . - ,
1.
ce qui implique (par absence d'opportunité d'arbitrage) que le titre S saute vers le bas à la
valeur
S :,y) = S : ) - [Oi + YiS : )] = S : ) (1 - Yi) - Oi (7.5.2)
juste après le paiement de dividende.
Pour couvrir un CalI, le vendeur d'option met en oeuvre une couverture dynamique
comme précédemment. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier les détails. Au final, la
prime initiale de l'option (prix du CalI à t = 0) vaut
JE(e-rT(S¥'Y) - K)+)
où S(6,y) suit une dynamique risque-neutre entre deux dates de dividendes (dS 6,y) =
rS 6,y) dt + aS 6,y) dW t ), et le prix à une date intermédiaire s'écrit de manière analogue.
A cause des dividendes discrets, S¥'Y) n'est plus log-normale: c'est une somme de v.a.
log-normales corrélées dont la loi n'est pas explicitement connue. En effet, un calcul simple
par récurrence (sur le nombre de dates) permet de montrer l'identité suivante.
8. l'exposant (ô, y) fait référence aux dividendes définis après.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
132
7.5. LE CAS DE TITRES VERSANT DES DIVIDENDES
n
Lemme 7.5.4 Posons 1ri,n = II (1 - Yj) = (1 - Yn)'.' (1 - Yi+l) pour 0 < i < n avec la
j=i+l
convention n;=n+l (1 - Yj) = 1 (de telle sorte que 1r n ,n = 1), et notons St = So exp((r -
a2)t + aW t ) le cours risque-neutre de l'actif sans dividende. Alors
n
(6,y) S
S = 1rO,nS - L.J Oi 1r i,n S'
i= 1 ti
PREUVE :
Remarquons d'abord
S (6,y) -
t -
St si t < t 1 ,
S(6,y) St = ( 1 _ Y . ) S(6,y) St - do St · si t.; < t < t'; +l P our i < n
ti S ti - S S .. ..
ti ti ti
ou ti < t < T pour i = n.
Cela prouve le résultat pour une seule date de dividende. Supposons maintenant que
l'identité est vraie pour n( > 1) dates (ti)l i n arbitraires et considérons un dividende
supplémentaire au temps t n +l E (t n , T]. Alors, on a
S(6,y) _ ( 1 _ Y ) S(6,y) S _ 0 S
- n+l tn+l - S n+l S
tn+l tn+l
( ) S [ S Stn+l ] S
= 1 - Yn+l S 1rO,n tn+l - L.J Ui 1r i,n S - On+l S '
tn+l i=l ti tn+l
ce qui aboutit au résultat annoncé pour n + 1 dates.
D
Remarquons que si la partie fixe Oi des dividendes est nulle, alors S¥'y) = 1rO,nS reste
log-normal et le prix du CalI JE(e-r (s¥,y) -K)+) est encore donné par une formule de type
Black-Scholes, où l'on remplace So par S01rO,n. Dans le cas Oi i= 0, le calcul exact n'est pas
possible : on peut avoir recours à des méthodes de simulations Monte Carlo mais on peut
aussi développer des approximations s'appuyant sur l'hypothèse --+ O.
Théorème 7.5.5 (Développement du prix au premier ordre en 0) Posons
0 ,.. 0 r ( -t. )
o - o#Yro e 1.
- 1I ,n
et
n
K(6) = K + 2: 6 i.
i=l
Alors le prix d'un Gall sur un actif avec dividende discret est relié au prix Black-Scholes sans
dividende et à ses grecques par rapport à K :
lE(e- rT (ST - K)+) =Call Bs (0, 1I"O,nSo, T, K(6»)
n
+ 2: Ji (8kCallBS (0, 1I"o,nSoeu2(T-ti), T, K(6»)
i=l
-8kCall BS (0, 1I"o,nSo, T, K(6»)) + O( s p ( ;: )2).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
133
PREUVE :
Nous en donnons une esquisse, et renvoyons à [9] pour les détails. Nous allons montrer
que si h est une fonction régulière (disons bornée à dérivées bornées) alors
JE[e-rTh(S¥'Y) - K)] =JE[e- rT h(1rQ,nST - K(6»)]
(7.5.3)
n
+ E Ji (8klE[e-rTh(1ro,neU2(T-ti) ST - k)] Ik=K(6)
i=l
-8k lE [e- rT h( 1r o,nST - k)] Ik=K(6») + O(s pof).
Puis, en utilisant un argument d'approximation de la fonction x x+ par des fonctions
payoffs régulières, il resterait à prouver que l'approximation (7.5.3) s'étend au CalI: ce
passage est technique et nous ne le détaillons pas. Pour dériver l'approximation (7.5.3),
nous utilisons un proxy donné par SSJ,6) = 1rQ,nST - E =l 8 i , obtenu en moyennant la
contribution des dividendes fixes. En posant Mt = exp(aW t - a2t), écrivons
n
S¥,Y) =S¥',6) - EJi( T -1).
i=l ti
Par une formule de Taylor à l'ordre 1, nous obtenons
JE[e-rTh(S¥'Y) - K)] = JE [e- rT h(SSJ,6) - K)]
- tJi lE [ e- rT h'(SSJ,6) - K)( MT -1) ] + O(suP(O JE( MT _1)2)).
Mt. i Mt.
i=l 1. 1.
(7.5.4)
Le terme d'erreur est un O(SUPi ol) car les accroissements des modèles log-normaux
ont des moments finis de tout ordre. Reste donc à simplifier la somme en i. Pour
chaque i, nous avons
lE[e- rT h'(S¥',6) - K)( : - 1)] =1E[e-rTh' (S¥,,6) - K) : ) -1E[e-rTh' (S¥,,6) - K»).
Le second terme à droite n'est autre qu'une dérivée par rapport à K (en appliquant
le théorème de dérivation sous l'espérance) :
JE[e- rT h'(SSJ,6) - K)] = -8 k JE[e- rT h(1rQ,nST - k)J!k=K(c5)'
Quant au premier terme, il se calcule en interprétant le facteur comme un chan-
1.
gement de probabilité sur :FT (voir chapitre 5). Sous la nouvelle probabilité <Qi,
W t = W t - J; alti s Tds est un mouvement brownien: ainsi, ST sous <Qi a la même
loi que STe u2 (T- t i) sous <Q. Alors
n
lE[e- rT h'(S¥',6) - K) MT ] =IE[e-rTh'(1ro,neu2(T-ti)ST - EJ i - K)]
M ti i=l
8 JE[ -rT h( u2(T-ti) S k)] 1
= - k e 1rQ,n e T - k=K(c5) .
Regroupant les différents termes, nous finissons la preuve de (7.5.3).
D
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
134
7.6. EXERCICES
L'avantage de cette approximation en petit dividende est sa facilité d'utilisation car tous
les termes à évaluer relèvent de la formule explicite de Black-Scholes. Comme on le voit
dans la preuve, la clé pour avoir un développement explicite est l'utilisation du théorème
de changement de probabilité de Cameron-Martin. Sur le même principe, il n'est pas très
difficile de poursuivre le développement limité à l'ordre 2, 3 . ... Nous renvoyons à [9]. Par
exemple, le terme d'ordre 2 à ajouter à la formule précédente est égal à
( L SiSj eu2(T-tiVtj) CallBS (0, 1ro,nSoeu2(2T-ti-tj) , T, K(6»)
l i,j n
n n
- 2 (L J j ) L Ji a CallBs (0, 'Tro,nSoeu2(T-ti), T, K(6»)
j=l i=l
+ ( 6j) 2 8 CallBs (0, 1rO,nSO, T, K(6») )
avec une erreur d'ordre 0 ( SUPi ( ) 3) .
7.6 Exercices
Exercice 7.1 Pour un titre ne distribuant pas de dividende, la relation de parité CalI-Put
s'écrit
Callt(T,K) - Putt(T,K) = St - KB(t,T).
Comment est modifiée cette relation si le titre verse un dividende de manière continue ou
discrète (voir définitions au paragraphe 7.5.1) ?
Exercice 7.2 Collar.
Un Collar dégage le flux à maturité min(max(ST, KI), K 2 ). Montrer que cette option est un
spread de Calls plus un contrat forward. En déduire son prix en t < T.
Exercice 7.3 Propriétés qualitatives des Calls.
Par des raisonnements d'arbitrage statique, montrer les relations suivantes :
1. (St - K B(t, T))+ < Callt(T, K) < St (relation de hedge);
aCallt (T K) .
2. aK ' < 0 (relatIon de Bull spread) ;
a 2 Callt (T K) .
3. aK2 ' > 0 (relatIon de Butterfty spread);
aCallt (T, K)
4. aT > 0 (relation de Calendar spread) si les taux d'intérêt court terme sont
positifs.
Exercice 7.4 Prix arbitrables.
Un stagiaire vient présenter son dernier programme pour calculer le prix de CalI et Put
vanilles (Le. européens). On suppose que le titre ne verse pas de dividende. Pour un titre
valant x = 100€ aujourd'hui, avec r = 1%, T = 1 (1 an). Pour un CalI et un Put avec
différents prix d'exercice :
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
135
Valeurs CalI CalI CalI Put Put Put
aujourd 'hui K = 95€ K = 100€ K = 105€ K = 95€ K = 100€ K = 105€
Prix Il € 9.5 € 7.27 € 6.95 € 10.51 € 9.83€
Le but de l'exercice est de détecter des aberrations dans ces prix. Si cela correspondait à des
prix de marché, quelles seraient les arbitrages à réaliser en termes de
- arbitrage entre Calls;
- arbitrage entre Puts;
- arbitrage entre CalI et Put.
Exercice 7.5 Approximation à la monnaie forward de prix de Call.
Dans un cadre asymptotique de petite volatilité ou maturité courte, discuter la précision des
approximations de Brenner-Subrahmanyam (1994) pour un CalI de prix d'exercice égal à la
monnaie forward (K = xer(T-t») :
C(t, x, K, T) 0.4xa v T - t,
(t, x, K, T) 0.5(1 + 0.4a vT - t).
Exercice 7.6 Primes de risque et absence d'opportunité d'arbitrage.
On considère deux titres risqués de cours (SI )t O, (S )t O, dont la dynamique est
dsl -
8 1 = J-L1dt + a1dW t ,
t
dS -
S = J-L2dt + a 2 dW t ,
-
avec W un mouvement brownien standard. On supposera que les volatilités al et a2 ne
s'annulent pas. Les primes de risque des titres sont définies par .À1 = #l-l-r et .À2 = .
0'1 0'2
On constitue un portefeuille autofinançant composé à la date t de oO(t) parts de cash,
0 1 (t) parts du titre 1, 02(t) parts du titre 2.
1. Quelle est la valeur liquidative Vi du portefeuille à la date t?
2. Ecrire l'équation d'autofinancement de Vi (on ne fera pas intervenir OO(t)).
3. Quelle relation doivent satisfaire 01(t) et 02(t) pour que le portefeuille soit non risqué?
4. En utilisant, l'AOA, déduire que les primes de risque ne dépendent pas du titre
.À1 = .À2.
Exercice 7.7 * Assurance perpétuelle contre la baisse d'un titre.
On considère un marché financier avec un titre risqué S négociable (ne versant pas de divi-
dende) et des liquidités rémunérées au taux d'intérêt constant égal à r > O. La dynamique
de (St)t O est celle d'un mouvement brownien géométrique
dS t
St = J-Ldt + adW t
avec a > O.
Une assurance perpétuelle contre la baisse du titre est un contrat financier qui
permet à son détenteur d'avoir le droit de vendre le titre S au prix d'exercice K dès que le
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
136
7.6. EXERCICES
titre descend au niveau D < K (avec D > 0). L'échéance du contrat n'est donc pas fixe mais
est aléatoire et égale à
D = inf{ t > 0 : St < D}
le premier instant de franchissement de la barrière D par S (avec la convention habituelle
inf0 = +00).
la) Donner une condition suffisante sur les paramètres du modèle qui assure D < +00
avec probabilité 1.
Ib) En appliquant la formule d'Itô, montrer que Vi = (K - D) ( ) est la valeur d'un
portefeuille autofinançant, dont on déterminera les quantités investies dans le titre et
le cash.
lc) On se place sous les conditions suffisantes où D < +00 avec probabilité 1. Justifier
que Vi est bien le prix de l'assurance perpétuelle contre la baisse du titre.
Il Y a une suite à l'exercice, avec l'incorporation de composantes de sauts dans le modèle
(voir exercice 10.6).
Exercice 7.8 * Effet de levier.
On étudie dans cet exercice des stratégies avec fort effet de levier. Pour un horizon T fixe,
on considère une fonction déterministe t E [0, T[ Qt, dérivable sur [0, T[ (la fonction peut
avoir des singularités en T).
On pose At = f; Q ds. Cette quantité est finie pour t < T.
Etude de It == J ctsdW s pour t < T.
1. Quelle est la loi de It à t fixé?
2. Décrire le plus complètement possible le processus (lt)t<T.
3. On suppose dans la suite que la fonction Q ne s'annule pas. Pourquoi peut-on définir
(Cs)s l'inverse de (At)t :
C At = t pour t < T?
4. On définit le processus B par Bs = les' Montrer que (Bs)s est un processus gaussien
continu centré.
5. Calculer sa fonction de covariance. En déduire que (Bs)s est un mouvement brownien.
6. On suppose que AT = faT Q ds = +00. Montrer alors que
limsuplt = +00 p.s.
tfT
Application aux effets de levier. Jérome, trader, gère de manière autofinançante un
portefeuille de valeur initiale Va = l€ . Il a mis au point une stratégie selon lui infaillible,
permettant d'obtenir 5 Milliards d'euros avant T = 1 an!! Cela consiste à investir dans le
titre risqué un montant de plus en plus grand à l'approche de l'horizon T : précisément, le
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 7. COUVERTURE À LA BLACK-SCHOLES-MERTON
137
montant investi dans S à la date t est égal à vi-t € . On suppose que le titre S a pour
dynamique
dS t
St = J.Ldt + adW t .
7. Donner la dynamique d'Itô de e-rtVi, la valeur liquidative actualisé de ce portefeuille.
8. En déduire la décomposition e-rtVi = g(t) +It avec 9 une fonction déterministe à pré-
ciser et l un processus comme décrit précédemment avec une fonction 0 à déterminer.
9. En déduire qu'avec probabilité 1, avant l'horizon de gestion T, le portefeuille atteindra
effectivement la valeur de 5 Milliards d'Euros.
10. Pourquoi en pratique cette stratégie n'est-elle pas si infaillible?
Exercice 7.9 La sur-réplication en temps discret.
On considère un portefeuille autofinançant de valeur initiale x à l'instant 0, consistant en la
détention de 6t actifs de cours St à l'instant t. x,cS est la valeur de ce portefeuille à l'instant
t.
On dit que le portefeuille sur-réplique l'option européen de flux terminal g(ST) si
v;'cS > g(ST) p.s.
Lorsque le marché est complet (avec des transactions en temps continu), on sait qu'un
portefeuille de réplication existe (pour lequel V;,cS = g(ST) p.s.) et la sur-réplication coÏn-
cide avec la réplication. On suppose maintenant que
1. les transactions ne peuvent avoir lieu qu'aux instants discrets 0 = to < . . . < t N = T
2. les stratégies considérées sont donc statiques sur chaque intervalle ]ti, ti+l] (6 t = 6 ti si
ti < t < ti+l)
3. l'actif risqué suit la dynamique d t = J.Ldt + adW t sous la probabilité historique JP>,
alors que le taux d'intérêt sans risque est constant et égal à T.
L'objectif est de déterminer xo, le prix aujourd'hui d'un portefeuille de sur-réplication
de l'option de flux terminal g(ST), à savoir
Xo = inf{x : 3 une stratégie à temps discrets 6 telle que V;,cS > g(ST) p.s.}.
1. Majoration de Xo sur des exemples.
Montrer que pour le CalI g(x) = (x - K)+, on a Xo < So, et pour le Put g(x)
(K - x)+, on a Xo < K.
2. L'enveloppe concave de la fonction g.
On considère maintenant une fonction payoff 9 plus générale, supposée seulement
continue, et on lui associe la fonction définie sur ]O,oo[ :
C 9 (x) = inf (0 + {3x),
{a:,,8)EA
où l'ensemble A = {(o, {3) E ]R2 : 0 + {3z > g(z) Vz > O} est supposé être non vide.
2.a. Montrer que C9 est concave.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
138 7.6. EXERCICES
2.b. Montrer que C9 domine g.
2.c. Montrer que C9 est la plus petite fonction concave qui domine g.
2.d. Montrer que ccg = C 9 .
2.e. Calculer C 9 pour un CalI, un Put.
3. Minoration de xo.
3.a. On notera x,cS = exp( -rt) x,cS et St = exp( -rt)8t les valeurs actualisées du
portefeuille et de l'actif risqué. Montrer qu'un portefeuille à stratégie discrète
vx,cS vérifie
i-l
- cS - -
\7'1 < i < N ' = x + L.J 6tj (8tj+l - 8tj)'
j=O
3.b. Soit vx,cS un portefeuille à stratégie discrète sur-répliquant g(8T)'
Montrer que l > C9(8 tN _ 1 ) p.s., puis que ,cS > C9(8 i ) p.s. pour tout
i < N - 1.
Conclure que xo > C9(80).
3.c. Quel est le prix de sur-réplication d'un Cali? d'un Put?
3.d. Quel est le prix de sur-réplication d'un CalI Spread g( x) = (x - KI) + - (x - K 2) +
(KI <K2)?
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 8. MISE EN PRATIQUE
139
Chapitre 8
Mise en pratique
Ce chapitre complète le précédent sous un angle plus opérationnel. Nous discutons de
l'estimation des paramètres (calibration), de la performance de la couverture dynamique et
de l'impact du risque de modèle sur la couverture.
8.1 Estimation de la volatilité
Ce paramètre n'est pas observable instantanément sur le marché, il faut donc l'en extraire
par une voie ou une autre. Comme nous l'avons vu dans la formule de Black et Scholes, le
paramètre de volatilité joue un rôle très important; on va jusqu'à dire que les traders vendent
ou achètent la volatilité.
8.1.1 Volatilité historique
La première voie est la plus naturelle, elle consiste à estimer a statistiquement à partir
de l'observation des cours. Cela conduit à la volatilité historique. D'un point de vue
pratique, on utilise que les rendements logarithmiques du modèle de Black-Scholes-Merton
sont gaussiens et indépendants :
LOg(Sti+l) - Log(St.) loi N (JL - U2)(ti+l - ti), U 2 (tiH - t i ») .
On peut ainsi calculer un estimateur du maximum de vraisemblance conduisant à l'écart-
type empirique. Le graphe 8.1 montre le résultat de cette estimation sur les données de
l'indice français CAC40 sur la période 1990-2010. Ce qu'on observe, c'est un manque de
stationnarité dans les données, ce qui impose de restreindre les observations à une plage
récente (60 jours sur le graphe). Mentionnons qu'en plus des cours d'ouverture et de clôture,
on peut utiliser aussi les plus hauts et plus bas (ce qui de toute façon ne résout pas le problème
de stationnarité). Cette durée d'estimation de 60 jours n'est pas vraiment compatible avec
la notion de volatilité instantanée, dont nous avons besoin a priori.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
140
8.1. ESTIMATION DE LA VOLATILITÉ
70%
80%
50%
40%
20%
30%
10%
0%
Jenv. 80
sept. 82
Juin 85
m.... 88
d6c. 00
sept. 03
Juin OB
m.,. 08
FIGURE 8.1 - Volatilité historique annualisée du CAC40 calculée à partir des cours
de clôture des 60 derniers jours.
8.1.2 Volatilité implicite
En fait, la méthodologie précédente n'est pas adoptée par les financiers dans le cadre de
la couverture d'options. On privilégie une approche implicite, qui extrait le paramètre de
volatilité des prix d'options cotés sur le marché par l'intermédiaire de la formule de Black et
Scholes :
Cali (t, St, T, K, Uimpl) = Callt(T, K)
(pour une cotation de l'actif St).
On obtient ainsi la volatilité implicite Uimpl. Ce paramètre est celui qui est révélé par
les prix d'options cotées et que, d'une certaine manière, le marché anticipe pour la période
future [t, T]. La volatilité implicite est une représentation intrinsèque des prix de marché,
qui permet une comparaison facile des prix pour différents prix d'exercice, bien que ceux-ci
ne soient pas du même ordre de grandeur. Le calcul effectif de Uimpl repose sur une inversion
de la formule de Black-Scholes, ce qui est validé par le résultat suivant.
Proposition 8.1.1 La fonction U 1--+ Call(t, St, T, K, u) est une bijection croissante de
[0, +00] dans [(St - Ke-r(T-t»)+, St]. De plus, les bornes d'arbitrage (relation de hedge)
donne que le prix de marché Callt(T, K) E [(St - Ke-r(T-t»)+, Sd. Il existe donc une unique
volatilité Uimpl égalisant prix du modèle et prix du marché.
PREUVE:
La propriété de bijection croissante découle de la stricte positivité du Vega. L'intervalle
image de U 1--+ Call(t, St, T, K, u) se calcule avec les formules explicites. 0
Exemple. Si le prix de CalI est coté à Callt(T, K) = 4.98€ pour K = 100€ , une maturité
T - t = 0.25 (3 mois), un titre de valeur St = 98.1€ , un taux d'intérêt r = 2%, alors
Uimpl = 28.7% car Call(t, St, T, K, Uimpl) = 4.98€ .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 8. MISE EN PRATIQUE
141
Remarquons que par la relation de parité CalI/Put, la volatilité implicite est la même si on
considère un CalI ou un Put, toutes choses égales par ailleurs.
55
50
45
,1
Vollmp 40 \
\J
35 !
30 \
35
34
33
32
31
Vollmp 30
29
28
27
26
1.5
-'
3 -
0,6 7
o. 08
. 0 9 1.0
Snke/SI 1.1
1.2
1.31.4
1.5
1.0
25 1
0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 116
Srike/9)
4 5
2 3 Maturite
1 9 10
6 8
USDJPV
Bloomberg BGN
Pricing Date 11/19/10
Calendar Weekdays
1 . .. "r.-
Start Date 01/20/11
End Date 10V 11/!9J:20
Ii.
1\
JS.
1..,
... /'
IlSO CaIl/l'ullOlw,lId 1II>Ila Wll!lQIJllWl'mhlll1 adlU\lmcnl
FIGURE 8.2 - Des exemples de surface de volatilité implicite (T, K) 1---+ Uimpl (0, T, K).
En haut à gauche : l'EUROSTOXX50. En haut à droite : le cacao. En bas (Source :
Bloomberg) : le taux de change Dollar-Yen.
Sous cette forme, le paramètre O"impl semble dépendre de (t, T, K), mais devrait être
constant si le modèle est bien celui de Black-Scholes-Merton. La Figure 8.2 montre le calcul
de la volatilité implicite
K 1--+ O"impl(t, T, K)
pour différents prix d'exercice pour des Calls, invalidant ainsi l'hypothèse de modèle de
Black-Scholes-Merton. Le phénomène est connu sous le nom de smile de volatilité (volati-
lit Y smile), à cause de la forme vaguement parabolique d'un sourire. La volatilité implicite a
tendance à être plus élevée pour les prix d'exercices dans ou hors la monnaie 1 correspondant
1. on parle alors de CalI OTM (out-of-the-money) ou ITM (in-the-money).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
142
8.2. COUVERTURE DYNAMIQUE
à Boe TT « K et Boe TT » K, alors qu'elle l'est moins à la monnaie 2 Boe TT K. Sur certains
actifs sous-jacents (comme les indices, voir l'Eurostoxx50 sur la Figure 8.2), on observe plutôt
un skew de volatilité (volatility skew) correspondant à une surface oblique, décroissante
avec K. Ce phénomène s'explique ainsi: la plus grande valeur de volatilité implicite pour
K « Bo traduit une sur-cote relative des prix de Put pour de tel prix d'exercice. Cette
pression à la hausse sur les prix de Put n'est qu'une réponse au grand nombre d'investis-
seurs acheteurs de protection contre une chute des cours (nombreux gestionnaires de fond
se couvrent contre un krach boursier). Inversement, sur certaines matières premières (voir
le cacao sur la Figure 8.2), les entreprises ou investisseurs se protègent contre une envolée
des cours: ainsi, il y a une pression acheteuse sur les Calls pour K » Bo, induisant un
skew inversé. Enfin, sur les marchés des changes, vue la symétrie du échanges, en général la
surface de volatilité implicite ressemble davantage à un smile.
8.1.3
Conclusion
Le modèle de Black-Scholes-Merton n'est pas valide, il reste néanmoins très utilisé pour
définir des représentations de prix (via la volatilité implicite et des conventions de marché
analogues). U ne des principales raisons est de disposer de formules fermées pour le prix et la
couverture, donc rapides à évaluer. Ce modèle est aussi très utilisé comme première approxi-
mation, autour de laquelle on va pouvoir développer des variantes/perturbations et atteindre
des modèles plus avancés, qui seront en meilleure adéquation avec les données de marché.
Dans le chapitre 10, nous incorporons par exemple des sauts dans la dynamique de prix et
étudions ces implications. Mais il existe bien d'autres modèles (modèles à volatilité locale,
à volatilité stochastique...), dont le traitement détaillé dépasse le niveau de cet ouvrage. Un
tel modèle est étudié dans l'exercice 9.6.
Signalons un point important: le rejet du modèle de Black-Scholes-Merton en tant que
modèle ne remet pas en cause la méthodologie de couverture du risque, par un portefeuille
de couverture dynamique. Ce principe s'étend à toute une variété de modèles.
En observant les graphes de données de la figure 8.2, le lecteur pourrait s'interroger
sur le sens de calculer des prix de CaUs avec un modèle, puisque les prix sont
déjà connus sur le marché. Dans les années 1980, la volatilité implicite était utilisée
pour calculer la couverture de l'option. Depuis ces dernières années, les contrats d'options
standards, encore appelés vanilles, sont devenus tellement liquides qu'il n'est plus vraiment
nécessaire de les couvrir, puisqu'on peut les revendre dès qu'on veut s'en débarrasser. Ils
sont utilisés en couverture d'options plus exotiques. En fait, les modèles sont nécessaires
pour valoriser et couvrir les contrats de gré à gré, les prix de CalI ne servant alors que de
références pour calibrer le modèle et ses paramètres. On cherche ainsi des modèles cohérents
avec les smiles de volatilité.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 8. MISE EN PRATIQUE
143
8'reur de couverture avec N= 52 dates (mu« r)
0.5
8'r ur de couverture avec N= 252 dates (mu« r)
0.1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.4
0.3
0.2
0.0
-4 -2 0 2 4
8'reur de couverture avec N= 52 dates (mu= r)
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-4 -2 0 2 4
8'reur de couverture avec N= 252 dates (mu= r)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-4 -2 0 2 4
8'reur de couverture avec N= 52 dates (mu» r)
-4 -2 0 2 4
8'reur de couverture avec N= 252 dates (mu» r)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-4
-2
o
2
4
-4
A l
-2 0 2
,
4
FIGURE 8.3 - Distributions des erreurs de couverture avec re-balancement hebdoma-
daire (gauche) ou quotidien (droite). L'influence du rendement du titre J.L est aussi
comparée (1ère ligne: J.L = -30% « r, 2ème ligne J.L = r, 3ème ligne J.L = -30% » r).
Les paramètres de l'option sont 8 0 = K = 100, a = 25%, r = 2% et T = 1 an.
8.2 Couverture dynamique
Alors que nous avons trouvé une solution mathématique à la couverture de l'option par
un portefeuille autofinançant, cette solution nécessite des adaptations pour être mise en
pratique. En effet, pour un CalI par exemple, la solution trouvée préconise de détenir à toute
date t un nombre Call (t, St, T, K) de titres, ce qui conduit à deux considérations pratiques:
1. là encore, il est nécessaire de connaitre la volatilité du modèle (le Delta en dépend),
volatilité qu'on aura au préalable estimée (voir la discussion précédente).
2. le réajustement de la couverture doit être continu en temps, ce qui évidemment ne
peut être satisfait parfaitement.
C'est ce second point que nous discutons. En pratique, un re-balancement quotidien ou
hebdomadaire des positions est réalis é: cela induit une erreur de couverture (tracking error).
2. on parle alors de CalI ATM (at-the-money).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
144
8.3. VOLATILITÉ IMPLICITE ET RISK-MANAGEMENT
Plus le re-balancement est fréquent, plus cette erreur est faible, jusqu'à devenir nulle à la
limite en temps continu. Sur la figure 8.3, nous reportons les distributions de cette tracking
error, calculées par simulations, dans plusieurs cas. La colonne de droite correspond à un
réajustement hebdomadaire (52 jours/an), alors qu'à gauche c'est quotidien (252 jours/an).
On observe effectivement une diminution de l'erreur de couverture lorsque la fréquence de
re-balancement augmente. Dans le cas du CalI, on peut montrer que cela décroit comme la
racine carrée de cette fréquence. Par ailleurs, en dépit des apparences, ces distributions ne
sont pas gaussiennes.
L'influence de rendement historique J.L du titre est notable, et conduit à des distributions
significativement différentes. Lorsque J.L est très positif, on observe de plus un biais négatif
de la distribution de l'erreur de couverture.
Pour terminer, mentionnons que les praticiens n'utilisent pas que la couverture en Delta
(immunisant contre les variations d'ordre 1 des cours), mais la combinent à des insensibili-
sations d'ordre 2 ou par rapport à d'autres paramètres (volatilité...) : ce sont les stratégies
dites en Delta- Gamma, Delta- Vega... Pour cela, les calculs de grecques sont utiles.
8.3 Volatilité iITlplicite et Risk-ManageITlent
Le paramètre de volatilité implicite est un outil clé du Risk-Management, puisqu'il permet
à partir de la connaissance d'un prix d'option de mettre en place les stratégies de couverture
et les mesures de sensibilité associées, par le biais des grecques.
Le Vega est une mesure de l'exposition à une mauvaise estimation de la valeur de la
volatilité. Rappelons qu'il est "proportionnel" au Gamma. C'est un outil de mesure du
risque de modèle, calculé par la tracking error, représentant la différence entre la valeur du
portefeuille de couverture mis en place avec de mauvais paramètres et le payoff de l'option.
Proposition 8.3.1 Supposons que l'on utilise à tort la formule de Black et Scholes avec une
volatilité constante a BS alors que la "vraie" volatilité instantanée de l'actif est at éventuel-
lement aléatoire, mais inconnue, pour donner le prix CBS d'un produit dérivé dont le payoff
est h(ST).
La stratégie de couverture est mise en place à l'aide de la volatilité aB S ,. cela conduit à une
erreur de réplication (tracking error) à maturité, donnée par
eT = VT( B8(h» - h(ST) = l T er(T-t) (u B8 )2 - un S r B8 (t,St,U B8 )dt. (8.3.1)
Dans le cas des CaUs, on peut exploiter les liens entre Gamma et Vega pour transformer
l'équation
l T BS ( 2 )
_ r(T-t) a at BS BS
eT - 0 e 2(T _ t) 1 - (a BS )2 Vega (t, St, a )dt.
PREUVE:
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 8. MISE EN PRATIQUE
145
Nous appliquons la formule d'Itô à la fonction CBS et au sous-jacent St. Il vient que
dC BS (t, St) = BS (t, St, O'BS) (dS t - r Stdt)
+ ( u S r BS (t, St, u BS ) + r Stt!.BS (t, St, u BS ) + cfs (t, St, uBs»dt.
L'équation aux dérivés partielles satisfaite par CBS permet de remplacer la dérivée en
temps de CBS en fonction de dérivés en espace. La tracking error et = Vi - CBS (t, St)
vérifie donc
det = ((uBS)2 - u )S r BS (t, St, uBs)dt + retdt.
Le résultat final s'obtient en résolvant cette équation linéaire.
Dans le cas des Calls on peut exploiter le fait que x 2 r = (j Vega. La tracking error
s'écrit alors
1 BS ( 2 )
a O't BS BS
det = r etdt + "2 T _ t 1 - (O'BS)2 Vega (t, St, a )dt
d'où le résultat.
D
Cette estimation de l'erreur peut être utilisée pour justifier de certaines approximations
faites dans le marché sur les volatilités. De nombreux produits dont la volatilité est struc-
turellement aléatoire sont évalués avec une formule de Black Scholes. Lorsque la volatilité
choisie majore la vraie volatilité, le résultat est favorable au trader (dans (8.3.1), on a eT > 0)
si le Gamma est positif, c'est à dire si le prix est convexe. Nous savons que cette propriété
vraie pour les Calls s'étend à tous les payoffs convexes.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE
147
Chapitre 9
Au delà des options d'achat et
de vente
Nous présentons dans ce chapitre quelques morceaux choisis en mathématiques finan-
cières, allant des options exotiques jusqu'au risque de crédit en passant par les taux d'inté-
rêt. Là encore, nous privilégions des modélisations à partir du mouvement brownien et nous
aboutissons à des formules fermées pour le prix et couverture de produits associés.
9.1 Options barrières
9.1.1 Introduction
Les options barrières (barrier options) sont des exemples très standards d'options exo-
tiques, c'est-à-dire des contrats financiers dont le flux à échéance dépend de toute la trajec-
toire du cours du titre entre aujourd'hui et l'échéance. Ces options sont aussi connues sous
le nom d'options à déclenchement (trigger options). Ces options OTC sont très liquides sur
le marché des changes, car les intervenants s'appuient sur l'analyse technique (introduisant
des niveaux de support et de résistance, Le. les barrières) pour développer des anticipations.
- Un Down-In Gall (DIG) donne le droit à son détenteur d'acheter le titre en T au prix
K (Gall) et son droit est activé seulement si le titre franchit (ln) une barrière basse
D (Down) pendant la durée de vie du contrat. Son exercice revient à recevoir un flux
égal à (ST - K)+lTD T où TD = inf{t > a : St < D}.
- C'est un Down-Out Gall (DOG) si la clause d'activation est de ne pas descendre en
dessous de D (l'option est alors désactivée) : le payoff vaut alors (ST - K)+lT<TD.
- Le contrat devient Up-In Gall (UIG) si le titre doit franchir une barrière haute U (Up),
avec pour flux équivalent (ST - K)+lTu T où TU = inf{t > a : St > U}.
- En combinant les Up/Down, ln/Out, CalI/Put, on obtient ainsi 8 variantes. On consi-
dèrera aussi des options barrières binaires. Par exemple, un Binary Down- ln Gall
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
148
9.1. OPTIONS BARRIÈRES
(BinDIC) a pour flux lsT K1TD T'
- Parfois, pour les options à barrière désactivante, une prime est versée en compensation,
on parle d'option barrière avec rebate.
- Enfin, au lieu de constater en temps continu le franchissement de la barrière, cela
peut être fait seulement à certaines dates de fixing. Ces options barrières discrètes ne
bénéficient pas de formules fermées comme leurs analogues continues dans le modèle
de Black-Scholes. Dans la suite du chapitre, nous considérons seulement le cas continu.
Une autre manière de classer les options barrières consiste à regarder leur payoff à la barrière.
1. Si celui-ci est nul, ce sont des options barrières dite regular. C'est par exemple le cas
d'un DOC/DIC avec K > D.
2. Si celui-ci est non nul, elles sont de type reverse. C'est par exemple le cas d'un
DOC/DIC avec K < D.
Les options barrières sont des contrats difficiles à couvrir en général, car près de la
barrière et de l'échéance, on ne sait pas si le droit va être activé ou pas, et selon les cas,
les flux à court terme sont très différents. Dans le cas reverse, on peut montrer que le D. de
l'option peut tendre vers l'infini (! !), ce qui est très délicat en pratique. Le cas regular est
plus simple car le D. reste borné.
Les options barrières sont moins chères que les Calls et Puts équivalents sans barrière,
car il y a une clause supplémentaire d'activation ou de désactivation.
Pour la valorisation, il est équivalent de valoriser un ln ou un Out avec mêmes caracté-
ristiques : en effet, comme (ST - K)+lT T + (ST - K)+lT<T = (ST - K)+, par AOA les
prix en t sont liés par la même relation en faisant intervenir celui d'un Call :
DOC t + DIC t = Callt.
(9.1.1)
Dans la suite, nous donnons des prix explicites à ces options. C'est beaucoup plus délicat
que dans le cas des Calls et Puts, car le payoff dépend non seulement de ST mais aussi du
franchissement ou non de la barrière... Nous autorisons le titre à verser un dividende continu.
9.1.2 EDP et espérance risque-neutre
Théorème 9.1.1 (Prix des options barrières: EDP et espérance risque-neutre)
Considérons une option barrière Down-Out-Call (DOC) de payoff (ST - K)+l TD >T sur un
titre S log-normal de tendance J-L, de volatilité a et versant un dividende au taux q.
1) EDP. Le prix à l'instant t du contmt est donné Vi = 1t<TD v(t, St) où v est solution de
l'EDP
{ a2x2 v x(t, x) + (r - q) x v (t, x) + v (t, x) - rv(t, x) = 0,
v(T, x) = (x - K)+,
v(t, x) = 0,
L'option est couverte par l'achat de c5(t) = 1t<TDv (t, St) titres S.
2) Valorisation risque-neutre. Notons <Q la probabilité risque-neutre équivalent à JP>, sous
laquelle le titre (St)t a pour dynamique .-
dS t
St = (r - q)dt + adW t ,
t E [0, T], x > D,
x> D,
t E [0, T], x < D.
(9.1.2)
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE 149
(avec W un Q-mouvement brownien). Alors la solution de l'EDP d'évaluation du DOC est
donnée par
v( t, x) = IEQ [e -r(T-t) (ST - K)+ IT<TD ISt = x]
où rD = inf{s > t : Ss < D}.
PREUVE :
Voir exercice 9.4.
o
Par la relation d'arbitrage (9.1.1), on déduit que le prix d'une DIC à l'instant ° est
DIC(O, x, T, K, D) = IEQ [e -rT (ST - K)+ IT TD ISo = x] .
(9.1.3)
Nous nous intéresserons aussi à son analogue digitale, la BinDIC dont le payoff est
lST>KIT TD' Remarquons que
lST>KIT TD = -BK [(ST - K)+lT TD] ,
ce qui induit par AOA la même relation sur les prix à toute date intermédiaire, c'est-à-dire
BinDIC(O, x, T, K, D) = -BK DIC(O, x, T, K, D)
= -BKIEQ[e-rT(ST - K)+lT TDISo = x]
= IEQ[e-rTlsT>KlT TD ISo = x].
(9.1.4)
(9.1.5)
Le même raisonnement tient aussi pour les CalI/Put binaires de payoff lST>K et lST<K :
BinC(O, x, T, K) = -ôKCall(O, x, T, K) = e- rT N [do (T, xe(r-q)T, K)] .
BinP(O, x, T, K) = BK Put(O, x, T, K) = e -rT N[dl (T, K, xe(r-q)T)].
(9.1.6)
(9.1.7)
Dans la suite, nous déterminons des formules fermées pour les prix de DIC et BinDIC. Par
AOA, on peut directement déduire celles pour les UICet BinUIC de mêmes caractéristiques.
Des formules analogues existent pour les autres options barrières. Les résultats s'expriment
en fonction de prix de CalI/Put standard et d'un paramètr e 'Y donné par
1 l' = 1 - où v = r - q.1 (9.1.8)
Il Y a deux approches pour obtenir des formules fermées.
1. Calculer l'espérance sous Q du payoff qui dépend de ST = xe(r-q- u2)T+uWT et
{rD < T} = {mintETSt < D} = {xemintET[(r-q- u2)t+uwtJ < D}. Ainsi, on voit que
la connaissance de la loi jointe de «r -q- a2)T+aWT, mintET[(r-q- a2)t+aWt])
devrait permettre (après un calcul d'intégrale double) d'obtenir des formules explicites
(comme pour le CalI standard). Dans le cas où r - q - !a 2 = 0, cette loi jointe est
reliée directement à celle de la valeur en T d'un brownien standard et son minimum
sur l'intervalle. Nous l'avons obtenue par le principe de symétrie au chapitre 1. Dans
le cas r - q - a2 i= 0, il faut en plus faire un changement de dérive/changement de
probabilité via le théorème de Cameron-Martin. Ces calculs sont possibles, mais ils
sont longs et fastidieux. Nous renvoyons par exemple à [29].
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
150
9.1. OPTIONS BARRIÈRES
2. Notre présentation suit de près celle de [8], qui exploite des formules de symétrie sur
les barrières, développées initialement par Carr, Ellis et Gupta [4].
Au préalable, nous commençons par énoncer quelques propriétés simples des Calls et
Puts standards, propriétés qu'il est facile de justifier à partir des formules fermées.
Lemme 9.1.2 (Propriétés simples des CalI/Put standard)
1. Symétrie CalI-Put. On a
Cali ( t, xe -v(T-t) , T, K) = Put( t, K e -v(T-t) , T, x).
(9.1.9)
2. Homogénéité des fonctions prix. Pour tout À > 0, on a
Call(t, ÀX, T, ÀK) = ÀCall(t, x, T, K) et Put(t, ÀX, T, ÀK) = ÀPut(t, x, T, K).
(9.1.10)
9.1.3 Prix des DIC regular (D < K) dans le cas / = 1 (r = q)
Proposition 9.1.3 Considérons la fonction prix du DIC regular (D < K) dans le cas r = q.
1. Si x < D, l'option est activée immédiatement et se tmnsforme en Call :
DIC(t, x, T, K, D) = Call(t, x, T, K).
La réplication est statique et consiste à acheter un Call de camctéristiques (T, K).
2. Si x > D, on a
K D 2
DIC(t, x, T, K, D) = D Put (t, x, T, K)
K D 2 Kx
= D Call(t, K,T,x) = Cali (t, D,T, n)'
(9.1.11)
La couverture consiste (tant que Su > D) à l'achat de Puts de camctéristiques
(T, n: ), puis à l'instant où l'option est activée, à l'achat d'un Call de caractéristiques
(T, K) .
PREUVE:
Le cas 1) est clair. Pour le cas 2), il faut vérifier que la stratégie indiquée couvre bien
le DIC dans tous les scénarii de marché possibles.
- Le titre n'atteint pas la barrière D avant T. Nous conservons les Puts de carac-
téristiques (T, n: ) jusqu'à échéance: leur payoff terminal vaut ( n: - ST )+. Cette
quantité est nulle car ST est nécessairement au dessus de D et f < 1. Cela couvre
bien le DI C dans ce cas.
- Le titre atteint la barrière D à l'instant TD avant T. Nous conservons les Puts
jusqu'à cet instant TD (où STD = D), et achetons un CalI de caractéristiques (T, K).
C'est possible de le faire de manière autofinançante car à cet instant, la valeur
liquidative du portefeuille vaut
K D 2
D PUt(TD' D, T, K) = Put (TD' K, T, D) = Cali (TD , D, T, K)
en utilisant le lemme 9.1.2. A échéance, on a bien alors un CalI comme requis.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE 151
Les différentes formules (9.1.11) pour DIC(t, x, T, K, D) sont basées sur la symétrie
CalI-Put et l'homogénéité. 0
9.1.4 Prix des DIC regular (D < K) dans le cas général
Lorsque l'option est activée immédiatement (x < D), le DIC est équivalent à un CalI, il
n'y a donc rien de plus à justifier par rapport à avant.
Pour x > D, c'est différent et modifié ainsi.
Proposition 9.1.4 Considérons les fonctions prix du DIC et BinDIC regular (D < K).
Pour x > D, on a
DIC(t,x,T,K,D) = ( r-lCall(t,D,T, x ),
BinDIC(t, x, T, K, D) = ( rBinC(t,D,T, x ).
On rappelle que les formules fermées pour les prix des Calls binaires BinC sont donnés en
(9.1.6) .
PREUVE :
On montre les formules en t = O. L'idée est de se ramener au cas sans coût de portage
(11 = 0) par un changement de variable.
On commence par les BinDIC. Supposons d'abord que 'Y > O. Comme (r - q - a2) =
2
- 'Y ,on remarque que
M - S 'Y - 'Y «r-q-!u 2 )'Y t +'Y uW t _ 'AS -!<'Y u )2 t +'Y uW t
t - t - X e - 1V10e .
(Mt)t a la loi d'un titre sans coût de portage, avec volatilité 'Ya. Notons avec un
exposant M les prix d'option écrite sur ce titre (fictif). Etant données les règles de
valorisation sous espérance risque-neutre (9.1.5) et (9.1.6), le prix d'un BinDIC (resp.
d'un BinC) avec caractéristiques (T, K, D) sur S est le même qu'un BinDIC (resp.
d'un BinC) avec caractéristiques (T, K'Y, D'Y) sur M = S'Y. Ainsi
BinDIC(O, x, T, K, D) = BinDIC M (0, x'Y , T, K'Y, D'Y)
= -âkDIC M (0, x'Y, T, k, D'Y) Ik=K'Y (égalité (9.1.4))
M kx'Y
= -âkCall (O,D'Y,T, D'Y )lk=K'Y (égalité (9.1.11))
_ x'Y . M 'Y K'Y x'Y
- D'Y BlnC (0, D ,T, D'Y ) (égalité (9.1.6))
x'Y Kx
= D'Y BinC(O, D, T, D ).
Si 'Y < 0, le raisonnement est analogue mais on passe par une option BinUIP sur M.
Enfin, le cas 'Y = ° est obtenu comme limite des formules lorsque 'Y --+ O.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
152
9.2. TAUX D'INTÉRÊT: MODÈLE DE VASICEK
On déduit maintenant le prix du DIC. En comparant (9.1.3) et (9.1.5), on peut écrire
DIC(O,x,T,K,D) = lEQ(e-rT(ST - K)+lT rD] = Loo lEQ[e-rTlsT>klT rD]dk
= Loo BinDIC(O, x, T, k, D)dk
roc ( X ) "'(. ( kx ) ( X ) "'(-1 ( K x )
= lK D BlnC O,D,T, D dk = D CalI O,D,T, D .
o
9.1.5 Prix des DIC reverse (D > K)
Il reste à donner les formules dans le cas reverse pour x > D.
Proposition 9.1.5 Considérons les fonctions prix du DIC et BinDIC reverse (D > K).
Pour x > D, on a
BinDIC(t, x, T, K, D) = BinC(t, x, T, K) - e-r(T-t)
+ BinP(t, x, T, D) + BinDIC(t, x, T, D, D),
DIC(t, x, T, K, D) = Call(t, x, T, K) - Call(t, x, T, D) - (D - K)BinC(t, x, T, D)
+ DIC(t, x, T, D, D) + (D - K)BinDIC(t, x, T, D, D).
Les options barrières à droite de l'égalité sont de type regular, on connaît donc leur prix sous
forme fermée.
PREUVE:
Il s'agit de décomposér le payoff terminal avec des options binaires et barrières regular
seulement. Une vérification (simple mais fastidieuse) montre que
1ST>K1T TD = 1S T >K - 1 + 1S T <D + 1ST>D1T TD'
Par AOA, les prix associés en t sont égaux aussi. Pour le DIC, on applique le même
type de décomposition des payoffs. 0
9.2 Taux d'intérêt: lllodèle de Vasicek
Nous donnons dans ce paragraphe une brève introduction à la modélisation stochastique
des taux d'intérêt.
Les instruments de base sont les obligations zéro-coupon de diverses échéances T. Nous
relions la modélisation de leur dynamique à celle du taux d'intérêt court terme (rt)t (ou
taux spot). Nous détaillons le modèle de Vasicek [32] pour celui-ci, puis son extension
moderne (modèle de Hull & White). Dans la rubrique POUR EN SAVOIR PLUS, nous abordons
la question de la valorisation des Calls sur zéro-coupon.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE 153
9.2.1 Obligation zéro-coupon
B(t, T) désigne le prix en t d'un zéro-coupon d'échéance T, c'est-à-dire le prix à payer
en t pour recevoir 1 € en T. Si le taux court est (rt)t déterministe, alors on a par AOA :
B(t,T) =exp(-lT rsds).
(9.2.1)
En effet, le placement de exp( - ft T rsds) en cash à la date t donne après capitalisation 1 €
en T.
Lorsque (rt)t est aléatoire, la quantité exp( - ft T rsds) dépend du futur après t et ne peut
pas être le prix en t. Pour satisfaire la propriété d'adaptation à la filtration :Ft et respecter
l'AOA, il est nécessaire de prendre
B(t,T) =IEQ (exp(-lT rsds) 1Ft)
(9.2.2)
avec un calcul sous la (une) probabilité risque-neutre Q. Nous ne rentrons pas dans une
argumentation détaillée de cette relation qui découle de l'arbitrage. Nous l'admettons et
mentionnons seulement que cette propriété est en fait analogue à ce qui a été obtenu dans le
cadre de la modélisation à la Black-Scholes-Merton. En effet au lemme 7.4.2, nous avons établi
que le titre actualisé est une :Ft-martingale sous Q. Dans le cas du zéro-coupon St = B(t, T),
cela s'écrit
e - IJ Tsds B( t, T) = e - IJ Tsds St = IEQ (e - Il' Tsds ST l:Ft) = IEQ (e - loT Tsds l:Ft)
puisque B(T, T) = 1. Le facteur exp( - f; rsds) étant :Ft-adapté, on peut simplifier l'égalité
ci-dessus par ce terme et ainsi obtenir la relation (9.2.2).
Cette relation semble donner une importance cruciale à la modélisation du taux d'intérêt
court terme. D'autres points de vue (Heath-Jarrow-Morton [14], modèles de marché ...)
cherchent à mieux comprendre la structure par termes, en cohérence avec l'AOA, ce qui est
fondamental pour la gestion efficace des produits de taux d'intérêt.
9.2.2 Le modèle de Vasicek [32] pour le taux court
Sa structure est très simple. Ce modèle rend compte d'un phénomène de retour à la
moyenne du taux d'intérêt court terme, en utilisant naturellement un processus d 'Ornstein-
Uhlenbeck (voir chapitre 3).
On suppose que (rt)t a pour dynamique sous la probabilité risque-neutre Q
drt = a(b - rt) dt - a dW t
Ta = T
(9.2.3)
(avec W un Q-mouvement brownien). Cela correspond à un modèle sous la probabilité his-
torique JI!> de la forme dTt = a(b - Tt) dt - a dW t avec b = b - ua).. '
Mettre a à la place de -a ne change pas la loi du processus (rt)t car -West encore un
mouvement brownien. En fait le signe - devant a est plutôt une convention d'écriture, qui
assure par la suite une volatilité positive du zéro-coupon (voir théorème 9.2.3).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
154 9.2. TAUX D'INTÉRÊT: MODÈLE DE VASICEK
9.2.3 Propriétés de (rt)t
Nous résumons dans le résultat suivant les principales propriétés du taux court.
Proposition 9.2.1 La solution de l'équation (9.2.3) est donnée par:
Tt = b + (TO - b)e- at - u lt e-a(t-s)dW s .
(9.2.4)
1. C'est un processus gaussien, avec
2
IEQ(Tt) = b + (TO - b)e-at, VarQ(Tt) = ;a (1 - e- 2at ),
CCovQ(r s , rt) = e-a(s-t)Var(rt) (s > t).
2. La variable I(t, T) = ft T rs ds est gaussienne, de moyenne (conditionnellement à rt)
m(T - t) et de variance E 2 (T - t), où :
1 - e-a(T-t)
m(T - t) = b(T - t) + (rt - b) ,
a
2 2 ( 1 -a(T-t) )
E2(T_t)=_ (1_e-a(T-t»)2+ T-t- -e .
2a 3 a 2 a
PREUVE:
1) Ces relations découlent des résultats du chapitre 3 sur le processus d'Ornstein-
Uhlenbeck, en notant que Vi = rt - b satisfait l'équation de Langevin (3.2.1) (en
mettant -a à la place de a).
2) I(t, T) est l'intégrale d'un processus gaussien, c'est donc une gaussienne. C'est
encore vrai si on conditionne par rt (car le processus gaussien conditionné reste un
processus gaussien). Il reste à calculer les deux premiers moments (conditionnels) de
I(t, T). Au lieu d'un calcul direct à partir des caractéristiques gaussiennes de (rt)t, il
est plus astucieux de passer par l'équation différentielle stochastique, en notant que
aI(t, T) = -(TT - Tt) + ab(T - t) - U lT dW s .
Reportons dans cette équation la forme intégrale (9.2.4) du taux spot rT en fonction
de rt. Il vient:
1 - e-a(T-t) l T 1 - e-a(T-s)
I(t, T) = b(T - t) - (b - rt) - a dW s .
a t a
l T 1 - -a(T-s)
L'intégrale de Wiener est centrée et de variance a 2 ( e )2ds. On en dé-
t a
duit les expressions de m(T - t) et E 2 (T - t). 0
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE 155
9.2.4 Prix des zéro-coupons
De l'égalité B(t, T) = lEQ (ex p ( - ft Tsds)jTt ) et des propriétés gaussiennes de I(t, T) =
ft T rsds conditionnellement à rt, on déduit que B(t, T) se calcule comme une transformée de
Laplace
B(t, T) = e- m (T-t)+!E 2 (T-t)
ce qui conduit à
Théorème 9.2.2 (Prix des zéro-coupons dans un modèle de Vasicek) Dans le mo-
dèle de Vasicek, le prix d'un zéro-coupon d'échéance T est donné par :
[ 1 -a(T-t) 2 ]
B(t,T)=exp- Roo(T-t)-(Roo-Tt) -e a + 3 (1_e-a(T-t»2
où
a 2
Roc = b - 2a 2 .
Une formule d'Itô permet de déduire la dynamique des zéro-coupons et donc leur volatilité.
Proposition 9.2.3 (Volatilité des zéro-coupons) Dans le modèle de Vasicek, on a
dB(t, T)
B(t, T) = rtdt + r(t, T)dW t
1 -a(T-t)
avec r ( t T ) = a -e
, a.
Le fait que r(t, T) s'annule lorsque t -+ T traduit qu'à échéance, le prix du zéro-coupon
devient déterministe (1 € ).
PREUVE:
Il faudrait appliquer la formule d'Itô à f(t, rt), qui n'est pas une fonction seulement
de (t, W t ), ce qui est notre cadre usuel d'application de la formule d'Itô. Toutefois, r
reste un processus à variation quadratique finie, auquel on peut appliquer la formule
d'Itô plus générale vue au Théorème 2.6.3. Cela donne
g(t, Tt) = g(O, TO) + l t (g;(s, T s ) + g ",(s, Ts)u 2 )ds + l t g (s, Ts)dTs
(9.2.5)
pour toute fonction 9 E 0 1 ,2. En appliquant cette formule à g(t, x) = exp - [Roc(T-
t)-(Roc- x ) 1_e-:(T-t) + ::3 (1_e- a (T-t»)2] , on obtient la décomposition annoncée. 0
9.2.5 Courbe des taux
Le zéro-coupon B(t, T) est relié au taux actuariel R(t, T) défini par
B(t, T) = e-(T-t)R(t,T-t).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
156
9.2. TAUX D'INTÉRÊT: MODÈLE DE VASICEK
13 "
12 '\\.
....
"
10 '"
: -':- =:: =:: :: ; ; : : ; ; ;
RO=4% -
RO=7.5% -------
RO=8.5% On n on
RO=13% ................
Taux long -.-.-.-.
11
7
6
5
4
0 2 4 6 8 10 12 14
FIGURE 9.1 - Différents types de courbe de taux possibles dans un modèle de Vasicek.
La courbe des taux actuariels à la date t est la fonction
1
8 R(t,8) = -8 In[B(t, t + 8)].
Par la forme explicite des prix des zéro-coupons, nous déduisons
Proposition 9.2.4 (Courbe des taux dans un modèle de Vasicek) La courbe des taux
de la date t est donnée par :
( ) ( ) 1 - e- a8 a 2 ( -a8 ) 2
R t,8 = Roo - Roo - rt a8 + 4a 3 8 1 - e
avec lim8-+oo R( t, 8) = Roo pour tout t.
Le graphe 9.1 montre différentes courbes de taux possibles dans un tel modèle. Cela ressemble
à bien des configurations de marché, mais ne couvre pas le cas de courbes inversées où un
creux apparaît à moyenne maturité: c'est un défaut majeur de ce modèle. Une autre critique
du modèle est que la courbe des taux dépend linéairement du taux court, ce qui n'induit
au fil du temps que des déplacements parallèles de la courbe des taux. En réalité, il y a
aussi des facteurs de pente et courbure. Enfin, le modèle ne prend comme donnée initiale
que le taux court aujourd'hui, alors que c'est toute la courbe des taux qui est donnée a
priori, pour satisfaire l'absence d'opportunité d'arbitrage. En fait, autoriser le coefficient b à
dépendre du temps permet de répondre de manière satisfaisante aux premières et troisièmes
critiques: c'est le modèle de Hull & White à 1 facteur. Mais il y a bien d'autres modélisations
cohérentes avec l'arbitrage...
9.2.6 Modèle de Hull-White à 1 facteur
Nous re-développons brièvement le modèle de Vasicek en autorisant le paramètre b à
dépendre du temps. Il s'agit de spécifier la forme de (b(t))O t T pour que la courbe des
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE 157
taux initiale du modèle coïncide avec celle observée sur le marché. Pour bien différencier les
valeurs du modèle et celles du marché, nous rajoutons en exposant Mark. (pour Market) ou
Mod. (pour Model) quand nécessaire. Introduisons la famille de taux court forward
fHark.{t, T) = -âr ln {B Hark . {t, T» ou BHark.{t, T) = exp{ -lT fHark.{t, s)ds).
En particulier, l'observation de la courbe des taux en t = 0 est équivalente à celle de
(fMark. (0, T))O T. Nous définissons alors le modèle de taux court par
r od. = fHark.{O, t) - ue- at lt easdW s + ;:2 (1 - e- at )2,
Reste à justifier que cela conduit bien à des prix de zéro-coupons cohérents avec les prix de
marché observés à la date initiale. D'abord, en appliquant la formule d'Itô à e- at J easdW s ,
on obtient la forme différentielle
(9.2.6)
2
dr od. = [ôt/Hark,{O, t) + afHark.{O, t) + ;a (1 - e- 2at ) - ar od')dt - udW t ,
pourvu que t fMark. (0, t) soit dérivable. Cette représentation correspond bien à un modèle
de Vasicek généralisé avec coefficients déterministes dépendant du temps. Ensuite, par un
calcul de transformée de Laplace de loi gaussienne comme dans le modèle de Vasicek, on
obtient une expression explicite de
BMod.{t, T) = 1EQ (ex p { -lT r:od'ds) 1 F t ) ,
Sans rentrer dans le détailles calculs, cela conduit à l'identité
BMod.{t, T) = :: \ , i exp ( - 1 - e a(T-t) (r od. - fMark.{O, t»)
x exp ( - ::3 (1 - e- 2at ){1 - e- a (t-t»2) .
En prenant t = 0, et puisque rS Od . = fMark. (0,0), on retrouve bien B Mod . (0, T) = B Mark . (0, T)
pour toute maturité T, montrant bien la cohérence du modèle de taux court (9.2.6) avec la
courbe des taux du marché. Un calcul d'Itô direct montre que l'équation de la dynamique
des zéro-coupons (BMOd.(t, T))O t T est identique à celle du modèle de Vasicek (Proposition
9.2.3) .
9.3 Risque de crédit : modèles structurels
Le risque de crédit peut se définir comme le risque de solvabilité d'un émetteur de dette.
Les principales préoccupations sont de mesurer le risque de crédit et de le valoriser à des
fins de transfert. Depuis une dizaine d'années, l'activité autour du crédit et des produits
dérivés de crédit n'a cessé d'augmenter à une allure exponentielle pour atteindre en 2005
plus de 8000 milliards de dollars d'encours (près de 5 fois le PIB de la France !). La crise
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
158
9.3. RISQUE DE CRÉDIT : MODÈLES STRUCTURELS
des subprimes a été un coup d'arrêt à cette croissance devenue déraisonnable et a révélé de
nombreuses faiblesses dans le système de mesure et gestion des risques sous-jacents.
Nous faisons une brève introduction aux modélisations sous-jacentes et renvoyons à [28]
pour de nombreuses références et un tour d'horizon sur le sujet. En fait, notre présentation
est axée sur les modèles dits structurels. Ce sont des modèles de risque de crédit où
une entreprise considérée fait défaut (cessation de paiement) lorsque la valeur de ses actifs
ne suffit plus à faire face à sa dette. Les modèles de référence sont celui de Merton [22],
CreditGrades de JP Morgan ou Moody's KMV. Ces modèles sont aussi appelés modèles de
la firme.
Les obligations émises par l'entreprise étant plus risquées que celles émise par l'état, leur
rendement est plus élevé. La différence de rendement définit le spread de crédit, donnée
observable sur le marché que nous cherchons à retrouver à travers un modèle.
9.3.1 Modèle de la firme de Merton
Dans ce modèle simplifié, on suppose que le capital de l'entreprise a été structuré en
deux parties 1 :
- une partie action (equity) ;
- une partie dette (debt) sous la forme d'un zéro-coupon de nominal B et d'échéance T.
On note Et la valeur en t de la partie action et Dt celle de la dette. On suppose que la valeur
totale
Vi = Et + Dt
des actifs de l'entreprise suit un modèle log-normal:
dvt
Vi = p,dt + adW t .
On suppose que le défaut ne peut intervenir qu'à l'échéance T, lors du remboursement des
obligations à leurs détenteurs. Le défaut a lieu seulement si VT < B. Deux cas se produisent:
1. il y a défaut en T : les actionnaires ne reçoivent rien et les créanciers reçoivent VT.
2. il n'y a pas défaut en T : les détenteurs d'obligations récupèrent le nominal B et les
actionnaires le reliquat VT - B.
Du point de vue des créanciers, ils reçoivent à échéance un flux égal à
min(VT,B) = B - (B - VT)+.
Pour évaluer la valeur de la dette, nous suivons l'approche de valorisation des options (cha-
pitre 7), en supposant implicitement que la valeur totale des actifs de l'entreprise est un titre
négociable sur le marché, ou du moins qu'il est répliquable par des titres négociables. La
valorisation de la dette s'effectue par un calcul risque-neutre (Q. Dans cette perspective, nous
supposons que le taux d'intérêt court terme de la banque centrale (non risquée) vaut r.
1. il n'y pas de possibilité de convertir la dette en actions (obligations convertibles).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE 159
Théorème 9.3.1 Dans un modèle de la firme de Merton, la valeur de la dette Dt est la
différence d'un zéro-coupon et d'un Put sur V de prix d'exercice B :
Dt = !EQ(e-r(T-t) min(VT, B)lvt)
= Be-r(T-t) - Put(t, St, T, B)
= vtN( -dl) + Be-r(T-t) N(do)
1 v; r(T-t) 1
avec dl = uVTCt ln( te B ) + 2u y T - t et do = dl - u yT - t.
La valeur de la dette peut s'exprimer aussi en fonction du levier d'endettement (leverage
. B -r(T-t)
rat o) lt = e Vt :
Dt = Be-r(T-t) ( N(ZdI) +N(d o )).
PREUVE:
La formule découle de celle de Black-Scholes. On rappelle que ]EQ(e- r (T-t)VT1vT<Blvt)
= vtN( -dl) et Q(VT < Blvt) = N( -do). D
Le taux actuariel Y(t, T) de la dette se définit par Dt = B exp( -Y(t, T)(T - t)). Comme
Dt < Be-r(T-t), on a Y(t, T) > r. Le spread de crédit S(t, T) = Y(t, T) - r en mesure la
différence.
Proposition 9.3.2 Dans un modèle de la firme de Merton, le spread implicite 2 de crédit
vaut
1 B
S(t, T) = T log( - D ) - r.
- t t
En particulier, à l'échéance le spread de crédit a deux comportements distincts :
1. limt-+T S(t, T) = 0 si VT > B ;
2. limt-+TS(t,T) = +00 si VT < B.
PREUVE :
La limite s'obtient simplement en observant que limt-+T Dt = min(VT, B). D
On peut aussi déduire la valeur des paramètres usuels en risque de crédit.
Proposition 9.3.3 Dans un modèle de la firme de Merton,
1. la probabilité de défault (probabilité de subir une perte) est
Pt = Q(V T < BIVi) = N( -do);
2. le taux de recouvrement (recovery rate) en cas de défaut est
6 - ]EQ(VT1vT<BIVi) _ vtN(-d l ) .
t - B Q(VT < BIVi) - Be-r(T-t)N( -do) ,
2. le terme implicite fait référence ici au spread obtenu via un modèle et non via des données de
marché.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
160
9.3. RISQUE DE CRÉDIT: MODÈLES STRUCTURELS
0.1
Vol. 10%
Vol. 20%
Vol. 50%
i
f
0.05
1
3
5
7
maturite (aooee)
FIGURE 9.2 - Courbe de spread implicite en fonction de la maturité T - t, pour
différentes volatilités. Le spread est croissant avec la volatilité. Paramètres: V o = 100,
B = 80, r = 2.5%.
3. le taux de perte en cas de défaut (Loss Given Default ou LGD) vaut
- ]EQ((B - VT)lvT<BIVi) _ 1 _ 6
Wt - B Q(VT < BIVi) - t.
PREUVE:
Le calcul est assez immédiat à partir des formules de ]EQ(e-r(T-t)VTlvT<Blvt) et
Q(VT < BIVi) rappelées précédemment. D
9.3.2 Extensions du modèle de la firme
On pourrait aussi considérer que le défaut a lieu dès que la valeur des actifs devient
inférieure à un certain niveau Bt défini dans le contrat de la dette (modèle de Black-Cox
1976). Autrement dit, le défaut est le premier temps de passage d'une barrière:
T = inf{t : Vi < Bt}.
Le créancier perçoit alors une fraction f < 1 du nominal soit à l'instant de défaut, soit à
échéance. Pour le créancier, cela revient à détenir une option barrière. En effet, dans le
cas de recouvrement à échéance T, le flux pour le créancier est
f BIT T + BIT>T.
Le calcul de la valeur de la dette se ramène ainsi à celui du prix des options barrières (voir
paragraphe 9.1 et exercice 9.5).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE
161
Ces approches ne sont pas entièrement satisfaisantes car d'une part, il est délicat de
déterminer correctement les paramètres définissant la valeur totale des actifs, de prendre
en compte complètement les conditions d'émission de la dette, l'impact de la procédure de
liquidation dans le calcul de la perte sachant le défaut... d'autre part, le spread implicite
à maturité courte peut s'annuler (voir figure (9.2)), ce qui n'est conforme aux résultats
empiriques (qui exhibent plutôt des spreads non nuls, traduisant un défaut possible à horizon
très court). En fait, ce dernier point est propre à la modélisation choisie pour les instants
de défaut: quand la valeur des actifs s'approche de la barrière, on pressent le défaut. Pour
éviter de prévoir le défaut, on peut prendre une barrière aléatoire de loi log-normale. C'est
l'approche Credit Grades de JP Morgan.
Une alternative consisterait à ajouter des sauts log-normaux à la dynamique de la valeur
totale des actifs V. On renvoie au modèle à sauts de Merton (voir chapitre 10).
+ +
POUR EN SAVOIR PLUS
+
9.4 Options lookback
Ce sont d'autres exemples très standards d'options exotiques. Leur flux à échéance sont
fonctions du plus bas ou du plus haut du titre sous-jacent (ou des deux) sur la période de
vie du contrat. Pour un Call1ookback par exemple, cela permet d'avoir le droit d'acheter le
titre au plus bas sur la période! Le flux terminal est ST - minO t T St. Ce sont des options
chères en général. Leur prix peuvent se déduire de celui des options barrières.
Nous appliquons l'étude des prix d'options barrières aux options lookback, de payoff
(ST - KmT)+ avec mT = minSt.
t T
Cette section peut être sautée en première lecture. Nous admettons 3 qu'il existe un porte-
feuille de couverture de ce produit et que le prix du portefeuille de couverture correspondant
est l'espérance sous la probabilité risque-neutre du payoff actualisé:
MinCall(O, x, T, K) = ]EQ(e- rT (ST - KmT )+)
(la dynamique de S sous Q est donnée par (9.1.2)).
Théorème 9.4.1 (Prix d'une option lookback)
1. Si K < 1, alors MinCall(O, x, T, K) = (1 - K)xe- qT + KMinCall(O, x, T, 1).
3. on peut le montrer comme pour les cas précédents, en passant par un argument d'EDP à
réinterpréter comme espérance ensuite.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
162
9.4. OPTIONS LOOKBACK
2. Si K > 1, alors selon le signe de LI = r - q on a
MinCall(O, x, T, K)
= x { Call(O, 1, T, K) + 2 Put(O, K 2V / U :, T, 1; v, 12vful)
Call(O, 1, T, K) + Call(O, K 2v / u , T, 1; LI, 12L1/al)
si LI > 0,
si LI < O.
PREUVE :
Le payoff est linéaire en x donc le prix en 0 également. Il suffit donc de le calculer pour
x = 1.
Le cas 1) est aisée car si K < 1, (ST - KmT)+ = ST - KmT = (1- K)ST + K(ST-
mT)+ en utilisant ST > mT. La conclusion découle de l'AOA.
On suppose donc maintenant K > 1. On a l'identité suivante (déterministe), qui
décompose le payoff du MinCall comme intégrale de payoff de BinDIC :
(ST - KmT)+ = 1 00 lST>k>KmTdk = 1 00 lST>klTk/K'5,Tdk.
Par AOA, il découle MinCall(O, 1, T, K) = Jaco BinDIC(O, 1, T, k, ; )dk.
- Pour k > K, l'option BinDIC de caractéristiques (T, k, ; ) est simplement un CalI
binaire (activation immédiate), d'où BinDIC(O, 1, T, k, ; ) = BinC(O, 1, T, k). On
obtient alors
{CO . k (co.
1 K BlnDIC(O, 1, T, k, K )dk = 1 K BlnC(O, 1, T, k)dk = Call(O, 1, T, K).
- La partie de l'intégrale avec k < K implique seulement des BinDIC regular. La
proposition 9.1.4 donne donc
{K. k (K ( K ) 'Y. k
la BlnDIC(O,l,T,k, K )dk= la k BlnC(O, K ,T,K)
= (e- rT 1 K ( r 1 ST>Kdk)
= JEQ ( e-rTIK>K2/STK'Y [K k-'Ydk )
1 K2 / ST
( -rT 'Y [K1-'Y - (K 2 / ST )l-'Y] )
= 1EQ e I l >K/ST K 1
-"1
= KlEQ (e-rT [ 1- ( S;)l-'Y L) .
Comme 1-"1 = , «K/St)l-'Y = Kl-')'e(V- (2v/u)2)t-2v/uWt)t peut-être vu comme
2v
un titre de valeur initiale K;;'I, de loi log-normale avec tendance LI et volatilité
12L1/al. La dernière espérance se ramène donc à un calcul de Put ou CalI sur ce
sous-jacent (selon le signe positif ou négatif de 1 - "1).
D
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE 163
9.5 CalI sur zéro-coupon dans un modèle de Vasicek
Nous étendons maintenant les formules de Black-Scholes-Merton au cas où le titre sur
lequel on a l'option d'achat d'échéance T, est un zéro-coupon d'échéance T + B. Le payoff
associé est donc (B(T, T + B) - K)+.
Pour la valorisation, nous suivons la méthodologie par EDP, en incorporant un nouvel
ingrédient. Une résolution élégante passe par un changement de référence monétaire (chan-
gement de numéraire), c'est-à-dire qu'au lieu d'évaluer les portefeuilles en € (de valeur
Vi), on les évalue en nombre de zéro-coupon d'échéance T (de valeur B( :T» )'
Réécrivons la contrainte d'autofinancement dans ce cadre, en se restreignant à des stra-
tégies investies uniquement dans les zéro-coupons d'échéance T et T + B. Les quantités in-
vesties correspondantes à la date t sont (6 T (t), 6T+8(t)). La valeur liquidative du portefeuille
est Vi = 6 T (t)B(t, T) + 6 T + 8 (t)B(t, T + B) € , ou bien dans le nouveau numéraire
Vi = 6T (t) + 6 T + 8 (t) B(t, T + B) .
B(t,T) B(t,T)
La contrainte d'autofinancement conduit à
d ( Vi ) = 6T+8(t)d ( B(t, T + B) ) .
B(t, T) B(t, T)
(9.5.1)
L'objectif de couverture du vendeur du contrat est d'avoir à échéance
VT = (B(T, T + B) - K)+ = ( B(T, T + B) _ K )
B(T, T) B(T, T) B(T, T) +
en utilisant que B(T, T) = 1. On introduit Xt pour la valeur du zéro-coupon d'échéance
T + B dans le nouveau numéraire :
x _ B(t, T + B)
t - B( t, T) .
Proposition 9.5.1 (EDP d'évaluation) S'il existe une fonction régulière u (t, x) E
]0, T[x]O, +oo[ u(t, x) solution de l'EDP
{ x2[r(t, T + B) - r(t, T)]2U x(t, x) + u (t, x) = 0,
u(T, x) = (x - K)+,
alors le flux (B(T, T + B) - K)+ est répliquable par un portefeuille autofinançant dont la
valeur à la date t est Vi = u(t, Xt)B(t, T) € . La couverture consiste en 6T+8(t) = u (t, X t )
et 6 T (t) = u(t, X t ) - u (t, Xt)X t .
PREUVE:
Xt est une fonction régulière de (t, rt). On peut appliquer la formule d'Itô (9.2.5) pour
(rt)t et déduire celle pour (Xt)t :
g(t, Xt) = g(O, Xo)+ lt (g (s, Xs) + g .,(s, Xs)[r(s, T + 0) - r(s, T)]2 X;)ds
+ lt g (s, Xs)dXso
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
164
9.6. EXERCICES
Dans le cas où 9 = u, cela se simplifie en du(t, X t ) = u (t, Xt)dX t . Donc u(t, X t )
est la valeur en t dans le nouveau numéraire d'un portefeuille autofinançant avec
6T+8(t) = u (t, X t ). Il réplique le CalI sur zéro-coupon car u(T, XT) = (XT - K)+. D
Ce qui est remarquable dans l'approche précédente, c'est qu'avec un bon choix de numéraire,
on a pu s'affranchir des problèmes d'actualisation entre t et T. Remarquons aussi que les cal-
culs précédents sont également valables pour le modèle Hull-White introduit au paragraphe
9.2.6.
L'EDP précédente est très semblable à l'EDP d'évaluation (7.3.5) du CalI sur un titre
standard. La différence essentielle est que le paramètre de volatilité r(t, T + 9) - r(t, T) n'est
pas constant mais variable dans le temps (tout en restant déterministe). Toutefois, cela ne
change pas la possibilité d'un calcul de la solution sous forme fermée. Il suffit de remplac er
dans la formule Black-Scholes le terme u par t,T = J T:t ftT Ir(u, T + 6) - r(u, T)I2du.
Théorème 9.5.2 (Prix de CaU sur zéro-coupon) Le prix d'une option de maturité T,
de prix d'exercice K sur zéro-coupon de maturité T + 9 est donné par
Callzc(t, K, T, T + 9) = B(t, T + 9)N(dl) - KB(t, T)N(do),
1 B( t, T + 9) 1
do = t,T\IT_tLog( KB(t,T) ) - 2 t,T V T-t,
dl = do + Et,T V T - t,
2 1 I T 1 2
Et,T = T _ t t r(u, T + 9) - r(u, T)I du.
La couverture consiste à la date t en l'achat de N(d l ) zéro-coupons d'échéance T + 9 et en
la vente de KN(do) zéro-coupons d'échéance T.
9.6 Exercices
Exercice 9.1 CalI forward-start.
Par définition, un CalI forward-start de maturité T et de paramètre 9 < T donne un flux à
maturité égal à max(ST - S8, 0).
1. Expliciter le prix de cette option à la date 9.
2. En déduire le prix de l'option aux dates 0 < t < 9.
3. Calculer aussi le delta et le gamma.
Exercice 9.2 Évaluation et couverture d'options sur moyenne.
On considère une option sur moyenne (dite aussi asiatique) dont le flux terminal en Test
foT St dt.
1. Vérifier que la stratégie de couverture
Ot = (1 - e-r(T-t»
(dans le cas r i= 0, et 6t = T - t si r = 0) permet de couvrir le payoff en T.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 9. AU DELÀ DES OPTIONS D'ACHAT ET DE VENTE
165
2. Retrouver ce résultat par un calcul risque-neutre du prix du portefeuille de réplication,
duquel on déduira la stratégie.
Exercice 9.3 * Option asiatique.
On considère un marché financier avec un titre risqué S négociable (ne versant pas de di-
vidende) et des liquidités rémunérées au taux d'intérêt constant égal à r. On considère un
CalI sur moyenne géométrique (option dite asiatique) d'échéance T dont le payoff en Test
l I T
WT = ( exp ( T 0 log(St)dt) - K) +
pour un paramètre K fixé. Nous admettons que le prix initial d'un tel contrat se calcule
comme
Vo = ]E(e-rTWT)
où le calcul a lieu sous la probabilité risque-neutre sous laquelle le titre S a pour dynamique
dS t
St = rdt + adW t
avec a > O.
1) Montrer que foT Wtdt = foT (T - t)dW t . En déduire complètement la loi de foT Wtdt.
2) En déduire que I T = foT 10g(St/So)dt est une variable gaussienne dont on donnera
les paramètres.
3) En faisant le moins de calculs possibles, en déduire la valeur explicite de Vo à l'aide
de la fonction prix de CalI standard dans un modèle de Black-Scholes.
Exercice 9.4 Les options barrières : l'EDP et l'interprétation comme espérance.
On considère maintenant le problème de la valorisation de l'option barrière Down-Out-Call
promettant à l'échéance ITD>T(ST - K)+, avec 'rD = inf{t > 0 : St < D}. Son prix à
l'instant 0 sera noté simplement DOC(So, K, D).
1. Pour couvrir le DOC, nous cherchons un portefeuille autofinançant dont la valeur
s'écrit Vi = v(t 1\ 'rD, StATD) pour une certaine fonction régulière v. Déterminer l'EDP
satisfaite par v (attention aux conditions aux limites qui prennent en compte la bar-
rière) ainsi que la couverture associée.
2. On considère Q la probabilité risque-neutre. Calculer lEQ(e-rTATDv(T 1\ 'rD, STATD))
et montrer que
DOC(So, K, D) = lEQ (e -rT ITD >T(ST - K)+ ) .
3. En déduire que
DIC(So,K,H) = lEQ (e-rTITD:::;T(ST - K)+) .
Exercice 9.5 Dans un modèle de Black-Cox de risque de défaut, déterminer la valeur de la
dette lorsque le seuil est une barrière actualisée Bt = Bo exp(mt).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
166
9.6. EXERCICES
Exercice 9.6 * Modèle log-normal décalé (Displaced log-normal diffusion,
d'après M. Rubinstein 1983). W désigne un mouvement brownien standard sous la
probabilité risque-neutre. On supposera que le marché est parfait et que le taux d'intérêt
court-terme r est nul.
L'évolution du cours d'une action (ne versant pas de dividende) est modélisée par l'équa-
tion différentielle stochastique :
dS t = (St + a)udW t
où So est donnée, a et U sont deux paramètres positifs.
1) Quelle est la volatilité instantanée de S? Est-elle croissante ou décroissante lorsque le
cours de l'action diminue? Commenter.
2) Résoudre de manière explicite l'équation satisfaite par S.
3) On admet que le prix d'un CalI sur ce sous-jacent se calcule comme
C(t, St; T, K) = E((ST - K)+ISt).
Exprimer C(t, St) à l'aide d'une formule de Black-Scholes, dont on précisera avec soin
les paramètres. Quelle est la couverture à la date t?
4) Dans cette question, on souhaite obtenir des informations aujourd'hui (t = 0) sur la
volatilité implicite uimp(T, K) du modèle, notamment à courte maturité (T 0) et à
la monnaie (K So) : on rappelle que la volatilité implicite est définie par
C(O, So; T, K) = Call(O, So; T, K; uimp(T, K); r = 0).
(Vol Imp)
4a) En utilisant une approximation de Taylor des prix de CalI à courte maturité
T 0, démontrer à partir de la question 3) et de (Vol Imp) que
lim uimp(T, So) = U ( 1 + S a ) .
T O 0
4b) Par le même type de raisonnement puis en utilisant la question précédente, cal-
culer
lim 8KUimp(T, So)
T O
en fonction de u, a et So. Commenter le signe de la valeur limite.
4c) En déduire un procédé simple de calibration du modèle à partir des prix de
marchés de CalI/Put.
5) Etendre les résultats de la question 3) aux options barrières.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
167
Chapitre 10
Modèles financiers avec sauts
Nous avons vu au chapitre 8 que, la modélisation des titres par un mouvement brownien
géométrique ne permet pas de rendre compte de smile ou skew de volatilité implicite. Une
solution partielle consiste à introduire des sauts dans la dynamique de prix. Ce chapitre
se concentre sur le cas de modèle mixte brownien-Poisson composé. Nous soulignons les
difficultés de réplication parfaite dans ce cadre avec sauts. Les outils de calcul stochastique
associé, de connexion avec les EDP intégro-différentielles et de changement de probabilité
sont tirés des chapitres 4 et 5.
10.1
Modèle Illixte brownien-Poisson géoIllétrique
Nous rappelons la définition d'un processus mixte brownien-Poisson géométrique de ca-
ractéristiques (Ji., a, À, v). Il s'écrit sous la forme
( 1 ) Nt
8t = 80 exp (p, - 2 U2 )t + uW t TI (1 + Yi)
(10.1.1)
où
1. (Wt)t est un mouvement brownien standard;
2. (E lln(l + J'i))t est un processus de Poisson composé avec intensité de saut À et loi
commune v pour les sauts (J'i)i, avec J'i > -1 p.s.;
3. les deux processus étant indépendants.
Entre deux instants de sauts, le modèle évolue comme un mouvement brownien géométrique.
Puis, à des intervalles de temps de loi exponentielle t'(À) des sauts se produisent, induisant
une variation de S de Y%.
Les propriétés de ses moments sont résumées ainsi (voir chapitre 4).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
168
10.1. MODÈLE MIXTE BROWNIEN-POISSON GÉOMÉTRIQUE
Proposition 10.1.1 Supposons que Y ait les deux premiers moments finis. Dans un tel
modèle, les moyenne et variance de St sont données par
E(St) = Soet( +.xIE(Y» ,
Var(St) = [E(St)]2 (e t (u 2 +.xIE(y 2 » - 1).
De plus, (e- rt St)t est une martingale (dans sa filtration naturelle) si et seulement si J.L +
.xE(Y) = r.
La propriété de martingales est importante car on a déjà vu que la valorisation de produits
financiers se fait à l'aide de nouvelle probabilité sous laquelle le titre actualisé est martingale
(quand il n'y a pas de dividende).
10.1.1 Modèle de Merton [23]
C'est un modèle standard où les sauts (1 + Yi)i sont des variables log-normales de para-
mètres (In(l +m), a?) (m > -1) : In(l + Yi) loi N(ln(l +m) - a? /2, a?). Ainsi, le paramètre
m s'interprète comme la moyenne des sauts Y : m = JE(Y).
Proposition 10.1.2 Dans un modèle de Merton,
- conditionnellement à un nombre k de sauts, St a la loi log-normale avec paramètres :
Loi(ln(St/So)IN t = k) loi N( (p, - i u2 )t + (ln(l + m) - 0. 2 J2)k, u 2 t + cik). (10.1.2)
- (e- rt St)t est martingale si et seulement si J.L + .xm = r.
PREUVE :
Exercice.
D
Le cas de sauts constants (et égaux à m) est atteint en prenant a = 0
10.1.2 Modèle de Kou et Wang [18]
Dans ce modèle, les sauts (In(l + Yi))i ont une loi double exponentielle
v(dy) = P'fJ1e-111Yly>ody + q'fJ2e112Yly<ody
(10.1.3)
avec p > 0, q > O,p + q = 1, 'fJ1 > 1, 'fJ2 > O.
Proposition 10.1.3 Dans un modèle de Kou- Wang, (e- rt St)t est martingale si et seule-
ment si J.L +.x( 1 - +1 ) = r.
111 - 112
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
169
PREUVE :
Il suffit de calculer JE(Y) et d'appliquer la proposition 10.1.1. On a
IE(Y) = 1. eYv(dy) - 1
= P L oc 'f/leYe-1/1Ydy + q fO 'f/2e Y e1/ 2Y dy - 1
o J -00
= P 'fJ1 + q 'fJ2 _ 1 = P q .
'fJ1 - 1 'fJ2 + 1 'fJ1 - 1 'fJ2 + 1
La condition 'fJ1 > 1 assure que St est bien intégrable (car JE(Y) < 00).
o
Ce modèle a été développé plus récemment que le modèle de Merton : il a l'avantage de
conduire à des procédures numériques simplifiées de valorisation, notamment pour les options
barrières, et ce, grâce aux bonnes propriétés des lois exponentielles (voir exercice 10.6).
10.2 Couverture d'option
10.2.1 Les sauts comme nouvelles sources de risque
La méthodologie de couverture par un portefeuille dynamique autofinançant reste va-
lable, indépendamment de la présence ou non de sauts dans les cours des titres. Par contre,
alors que dans le chapitre 7 avec un portefeuille investi dans le titre risqué (et le cash), il
avait été possible de suivre les fluctuations browniennes du marché de sorte à annuler par-
faitement l'erreur de couverture, ce n'est pas plus possible lorsqu'il y a des sauts. Voyons
cela en cherchant un portefeuille de couverture d'une option de payoff h( ST ), dont la valeur
liquidative à la date t serait de la forme Vi = v(t, St). L'équation d'autofinancement est à
comparer avec la formule d 'Itô :
dVi = rVidt + 6(t)St-((p, - r)dt + adW t + YidN t ),
dv(t, St) = Av(t, St-)dt + aSt-v (t, St-)dW t + (v(t, St-(l + Yi)) - v(t, St-))dN t
en notant
1 2 2
A4>(t, x) = 8 t 4>(t, x) + p,x8 x 4>(t, x) + "2a 8xx4>(t, x). (10.2.1)
Si l'on essaye d'égaliser les parties browniennes d'un côté, et les parties sauts de l'autre, on
obtient
aSt-6(t) = aSt-v (t, St-),
6(t)St- Yi = v(t, St- (1 + Yi)) - v(t, St-),
et ce, pour tout scénario de cours St- et de saut Yi. Les seules solutions v(t, S) vraisemblables
sont les fonctions affines en S, qui évidemment ne permettent pas d'obtenir à échéance
n'importe quelle fonction flux, comme h(S) par exemple.
Ce petit calcul informel montre que chaque saut possible est un risque à part entière qui
nécessiterait une couverture spécifique.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
170 10.2. COUVERTURE D'OPTION
10.2.2 Couverture parfaite dans le cas d'un nombre fini de
sauts possibles
Supposons ici que les sauts Yi ne prennent qu'un nombre M fini de valeurs possibles
YI, . .. , YM : 1/( {YI, . .. , YM }) = 1. Pour couvrir ces M sources de risque supplémentaires,
l'idée est d'avoir recours à M autres instruments négociables ( )I i M. Ce sont par exemple
des options (CalI et Put) écrites sur le titre S. Supposons que leur prix est une fonction
régulière de (t, St) :
= 4Ji(t, St).
Leur dynamique est
d = A4Ji(t, St-)dt + 8x4Ji(t, St-)aSt-dW t + [4Ji(t, St- + yt) - 4Ji(t, St-)]dN t .
Considérons un portefeuille autofinançant de valeur Vi investi en nombre 6(t)
6 1 (t) t
de titres
(et le reste en cash). Par convention, le titre M + 1 est
6M+1(t) +1
simplement le titre risqué initial : +1 = St (4J(t, x) = x). La dynamique du portefeuille 1
est
M+l
Vi = rVidt + L 6i(t)(d - r dt)
i=1
= rVidt + 6(t) .
dt + 6 ( t) .
8x4JM+l (t, St-)
A4Jl (t, St) - r t
8x4Jl (t, St-)
a St- dW t
A4JM+l(t, St) - r +1
4Jl (t, St- (1 + yt)) - 4Jl (t, St-)
+ 6(t) .
4JM+l (t, St- (1 + yt)) - 4JM+l (t, St-)
dN t .
Point de vue EDP de valorisation. Cherchons un portefeuille dont la valeur serait
une fonction v de (t, St), soit
dv(t, St) = Av(t, St-)dt + v (t, St-)aSt-dW t + (v(t, St-(l + Yi)) - v(t, St-))dN t .
Pour que les termes browniens et sauts soient les mêmes pour tout St- et yt E {YI, . .. , YM },
il suffit de prendre 6(t) = 6(t, St-) avec la fonction (vectorielle) de couverture 6(t, x) définie
1. il s'agit ici simplement de l'extension de (7.3.3) pour 1 titre risqué au cas de M + 1 titres
risqués.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
171
par
8x4JI (t, x)
4JI(t, x(I + YI)) - 4JI(X)
8x4JM+I(t, x)
4JM+I(t, x(I + YI)) - 4JM+I(X)
6(t, x)
4JI(t,x(l +YM)) - 4JI(X) 4JM+I(t,x(I +YM)) - 4JM+I(X)
V (t,X)
V(t, x(I + YI)) - v(t, x)
v(t, x(I + YM)) - V(t, x)
Pour peu que la matrice de gauche soit inversible (ce qui signifie d'une certaine manière que
les titres (<P )I i M+I ne sont pas redondants entre eux), on obtient
M
6(t, x) = a(t, x)v (t, x) + L ai(t, x)(v(t, x(I + Yi)) - v(t, x))
i=1
= a(t, x )v (t, x) + 1. (3(t, x, y)( v(t, x(l + y» - v(t, x »v(dy)
pour certaines pondérations vectorielles a, ai, (3 provenant de la résolution du système. Les
valeurs exactes nous importent peu ici mais plutôt la forme. L'égalisation des termes en dt de
A4JI(t, x) - r4JI(t, x)
dv(t, St) et dVi conduit enfin à Av(t, x) = rv(t, x)+6(t, x).
A4JM+I(t, x) - r<pM+I(t, x)
ce qui équivaut à
v (t, x) + (p,x - a(t, x »v (t, x) + U2V ",(t, x)
= rv(t, x) + 1. P(t, x, y)(v(t, x(l + y» - v(t, x »v(dy)
pour certaines fonctions Q et p. Si on ajoute une condition terminale v(t, x) = h(x), on
obtient une EDP intégro-différentielle bien posée: la fonction v solution fournit alors une
stratégie de couverture optimale (il suffit de remonter les calculs).
Conclusion. La construction d'une stratégie de couverture parfaite a été possible car nous
avons cherché une couverture du risque avec autant d'instruments négociables (ici M + 1)
que de sources de risque (à savoir un brownien et M différentes valeurs possibles de saut). Si
en revanche il y a une infinité de sauts possibles (modèle de Merton ou Kou-Wang),
alors le vendeur du contrat ne peut pas couvrir parfaitement sa position. On
parlera de marché incomplet 2.
2. tout contrat financier raisonnable n'est pas répliquable parfaitement.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
172
10.2. COUVERTURE D'OPTION
Point de vue valorisation risque-neutre. Si on admet que le corollaire (4.3.6)
reste valable pour des coefficients J.L,).., v dépendant de (t, x), on voit que l'EDP intégro-
différentielle ci-dessus s'interprète comme l'espérance de e- rT h(ST) pour un certain pro-
cessus S mélangeant une partie brownienne et une partie sauts. Avec les outils vus jusqu'à
maintenant, il n'est pas possible de définir correctement le processus en question: il aurait
une tendance locale et une mesure de sauts locale (Le. dépendant de la valeur courante de
S). Ce calcul s'interprète aussi comme un changement de probabilité et on pourrait vérifier
que la probabilité de valorisation est risque-neutre (les titres actualisés (e-rt<p )l i M+l
sont martingales). Tout ceci va au delà de cet ouvrage. Nous renvoyons à [17] pour de plus
amples détails.
10.2.3 Couverture imparfaite en moyenne quadratique
U ne alternative à la couverture parfaite (générant une tracking error nulle) consiste à
minimiser (dans un certain sens) l'erreur de réplication. On propose de regarder ici le cas
d'un CalI avec un critère quadratique pour la minimisation :
]E(VT - (ST - K)+)2.
Pour que les calculs soient plus simples, on suppose que la probabilité historique est risque-
neutre (ce qui n'a pas raison d'être vraie en pratique), c'est-à-dire que J.L - r + )..]E(Y) = 0
(voir proposition 10.1.1). Nous suivons la présentation de [19].
On commence par introduire une certaine ED P intégro-différentielle de valorisation.
Proposition 10.2.1 Soit v la fonction définie pour t < T et x > 0 par v(t, x)
]E(e-r(T-t)(ST - K)+ISt = x). Alors v est de classe COO([O, T[x]O, ooD et est solution de
l'EDP
v (t, x) + p,xv (t, x) + U2X2V :J: (t, x) - rv(t, x)
+À L (v(t, x(l + y» - v(t, x»v(dy) = ° pour (t, x) EJO, T[xJO, 00[,
v(T, x) = (x - K)+ pour x E]O,oo[.
De plus, v est croissante convexe en x et v est bornée par 1.
PREUVE:
Concernant l'EDP, c'est à peu de choses près la réciproque du corollaire 4.3.6. Nous
admettons la preuve. Pour la régularité C oo , c'est analogue à l'équation de la chaleur
(Théorème 2.2.1). La croissante et la convexité de v(t, x) par rapport à x découlent de
celles de la fonction x (ST - K)+ = (xexp ((J.L - a2)t + aW t ) Il l (1 + Yi) - K)+
(w par w). Enfin comme ST est linéaire par rapport à St et que le CalI a un payoff
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
173
Lipschitzien, on a pour x > y
o < v(t,x) - v(t,y) = ]E(e-r(T-t) [(ST - K)+ - ( y ST - K)+ISt = x)
x
< ]E(e-r(T-t)ST(I- y )ISt = x)
x
y
= x(1 - - ) = x - y,
x
en utilisant la propriété de martingale de (e- rs Ss)s. Cela montre la borne sur v . 0
Théorème 10.2.2 Considérons un portefeuille autofinançant de valeur initiale Vo, investi
seulement dans le cash et le titre S, la stratégie (6(t))t étant :Ft-adaptée continue à gauche
et bornée. Alors l'erreur quadratique de couverture du Call de caractéristiques (T, K) par ce
portefeuille vaut
]E[e-rTVT - e-rT(ST - K)+]2
=[Vo - v(O, SO)]2 + E( 1 T e- 2rs S:_U2[V (S, Ss-) - o(s)]2ds
+ 1 T À L e-2rs[V(S,Ss_(1+Y»-V(S,Ss_)-O(S)YSs_]2V(dY)dS).
PREUVE:
La formule d'Itô (4.4.4), appliquée à la fonction (t, x) e-rtv(t, x) et au processus S,
donne
e-rT(ST - K)+
= v(O, So) + 1 T e-rt(v (t, St-) + J1'st-v (t, St-) + iU2 S:_ v ",(t, St-) - rv(t, St-»dt
+ {T e-rtuSt_v (t,St_)dWt+ ( e- rt (v(t,St-(1+Yi»-v(t,St-»dN t
Jo O,T]
= v(O,So) + {T e-rtuSt_v (t,St_)dWt + ( e-rt(v(t,St_(l + Yi» - v(t,St-»dN I
Jo O,T]
-1 T e-rlÀ L (v(t,St-(l +y» - v(t,St-»v(dy)dt.
Du côté de l'équation d'autofinancement et en utilisant la condition de neutralité au
risque J.L - r + -XJE(Y) = 0, on a
e-rTVT=VO+ (T o(t)e-rtSt_«J.t-r)dt+udW t ) + { o(t)e-rtSt_YidNt
Jo J]O,T]
= Vo + 1 T e-rluSt-o(t)dWt
+ { o(t)e-rtSt_YidN t - {T Ào(t)e-rtSt_ { yv(dy)dt.
J]O,T] Jo JJR
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
174
10.3. FORMULE DE MERTON POUR LES CALLS
Nous énonçons (sans preuve) des résultats L 2 sur les intégrales stochastiques 3 .
Lemme 10.2.3 Si (gt)t, (ht)t sont ft-adaptés continues à gauche avec !E(JoT g dt) <
00 et !E(JoT JJR 4>2 (ht, y)v(dy)dt) < 00 (pour une fonction continue 4», alors les inté-
grales stochastiques
MT = l T g(t)dW t
et M = { rjJ(h t , Yi)dN t - {T À ( rjJ(ht, y)v(dy)dt
J]O,T] Jo JJR
sont d'espérance nulle. De plus,
IE(MTM ) = 0, IE(M ) = lE(l T g dt), IE([M ]2) = lE(l T À L rjJ2(h t ,y)v(dy)dt).
Ainsi, on remarque que l'erreur de couverture actualisée e-rTVT - e- rT (8T - K)+ a
trois contributions: Vo - v(O, 8 0 ), une intégrale stochastique de type MT et une de
type M!.r (les conditions d'intégrabilité sont vérifiées). En utilisant les identités sur les
seconds moments, on obtient la formule annoncée. 0
Corollaire 10.2.4 (Couverture en moyenne quadratique) Le portefeuille optimal de
couverture d'un Call en moyenne quadratique a pour valeur initiale va = v(O, 8 0 ) et stratégie
(t) = 1 ( 2 , (t 8 ) + ' 1 v(t, 8t-(1 + y)) - v(t, 8t-) (d ))
u 2' r 2 (d ) a V x , t- .1\ Y s v y .
a +.1\ JJR Y V Y JR t-
PREUVE:
Il suffit de mInImIser en Vo et 6(t) l'erreur quadratique obtenue. On vérifie en-
suite que 6(t) est bien borné : en effet, puisque 0 < v < 1 on a 0 <
JJRy V(t,St-(l+.s -V(t,St-) v(dy) < JJRy 2 v(dy), d'où 0 < 6(t) < 1. 0
Nous remarquons que s'il n'y a pas de sauts (À = 0), nous retrouvons bien la couverture en
usuelle. Par contre, la présence de sauts modifie la couverture. Par exemple si les sauts sont
tous positifs (Y > 0 p.s.), on peut s'attendre à couvrir avec plus de titres qu'en standard.
C'est effectivement le cas, car v(t, x) étant convexe en x, on a
{ y v(t, St- (1 +:)) - v(t, St-) v(dy) > v (t, St-) ( y2 v (dy),
JJR t- JJR
et donc 6(t) > v (t, 8t-).
10.3
ForIllule de Merton pour les Calls
Dans le cas de sauts log-normaux (modèle de Merton [23]), il est possible de donner des
formules quasi-explicites aux prix de CalI. Nous admettons pour cela (voir la discussion du
3. le calcul du second moment a été montré dans le cas de l'intégrale de Wiener, chapitre 2.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
175
.II 60 70 BO 110
OO O :l0 30
0.11
0.6 1 j 0.6
\ 1
0.11
0.11
1
\
1 0.4
0.4 \ 1
1
0.3
0.3
1 .II
60 1
70 1
BO 1
110
OO 1
O 1 0.11
:l0
30
FIGURE 10.1 - Une surface de volatilité implicite dans le modèle de Merton, montrant
un smile.
paragraphe précédent) que le prix est donné par l'espérance du payoff (ST - K)+ actualisé,
calculée sous une probabilité neutre au risque Q rendant le titre actualisé martingale. On
supposera que sous Q, le titre suit encore un modèle de Merton : en particulier (en supposant
qu'il n'y a pas de dividende) on a
Ji. + )..m = r
(voir Proposition 10.1.2).
Théorème 10.3.1 (Formule de Merton pour les CaUs) Dans un modèle de Merton
risque-neutre sans dividende, le prix d'un Call à la date 0 est
1W1'O. ( -rT (S K) ) "-)"T [)"T]k C ll( S ( ) k -m)"T 2 2 a?k )
JlJIIJ! e T - + = e k! a 0, 0 1 + me, T, K; aBS = a + T
k O
où CalI est la formule de Black-Scholes avec volatilité V a2 + o. 2 klT.
PREUVE:
On conditionne par le nombre de sauts sur la période de l'option: EQ(e-rT(ST -
K)+) = Ek Oe-)"T [).. ]k EQ(e-rT(ST - K)+INT = k). Mais conditionnellement à
NT = k (égalité (10.1.2)) ST est log-normale: précisément
ST loi So exp(N«p, - u2)T + (In(l + m) - a? /2)k, u 2 T + ah»
loi ( II. - r ) T + k In ( l + m ) N([r - _ 2 1 (a2 + o. 2 kIT)]T, a 2 T + o. 2 k)
= Soe ,- e .
Ainsi, calculer JEQ(e-rT(ST - K)+INT = k) revient à calculer le prix d'un CalI sur
un titre de valeur initiale Soe(p.-r)T+k In(l+m) et de volatilité carrée a 2 + 0. 2 kiT. On
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
176
10.4. EXERCICES
obtient la formule annoncée en reportant J.L - r = -)..m.
o
Sur la figure (10.1), nous représentons la volatilité implicite dans un tel modèle. On
observe que la présence de sauts dans la dynamique permet de reproduire un smile, comme
on peut en observer dans le marché.
10.4
Exercices
Exercice 10.1 On considère un modèle mixte brownien-Poisson géométrique de caractéris-
tiques (J.L, a, ).., v) sous une probabilité JP>. Définir une famille de probabilités Q équivalentes
à JP>, sous laquelle (e- rt St)t est martingale.
Exercice 10.2
1. Quelles sont les changements de probabilités qui assurent que le titre suit un modèle
de Kou-Wang avant et après changements de probabilité?
2. Idem avec le modèle de Merton.
Exercice 10.3 Montrer que l'EDP ID issue d'un modèle mixte brownien-Poisson géomé-
trique de caractéristiques (J.L, a,).., v) est régulière sous l'hypothèse a > 0 .
Exercice 10.4 On suppose que le titre S suit un modèle mixte brownien-Poisson géomé-
trique, avec a > 0, ).. > O. Nous considérons un portefeuille de couverture d'un CalI sur S,
dont la stratégie est constituée uniquement du cash et du titre. On définit
v(t, x) = JE(e-r(T-t)(ST - K)+ISt = x)
où l'espérance est calculée sous la probabilité risque-neutre.
1. Montrer que si la couverture est parfaite alors pour tout 0 < s < T
v(s, Ss-(l + y)) - v(s, Ss-) - v (s, Ss-)ySs- = 0
avec probabilité 1, pour v-presque tout y.
2. Montrer que v est convexe en x.
3. En déduire qu'il n'y a pas de couverture parfaite.
Exercice 10.5 * Quelques formules dans un modèle de Merton.
Dans cet exercice, on considère le modèle de Merton pour modéliser l'évolution d'un actif
risqué (St)t : c'est un modèle mixte brownien-Poisson géométrique de la forme
( 1 )
8t = 80 exp (p, - 2 U2 )t + uW t + 8 1n (1 + Yï)
défini sous la probabilité JP> par
- W un mouvement brownien standard;
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
177
- N un processus de Poisson standard de paramètre À ;
- des sauts Yi aléatoires de loi log-normale décalée: In(l + Yi) loi N(ln(l +m) - a2, a 2 )
(ou autrement dit 1 +Yi = (l+m) exp(aG i - a2) avec G i gaussienne centrée réduite).
- (W, N, Yi : i > 1) indépendants.
Les paramètres du modèle sont (J.l, u, À, m, a).
Option sur puissance.
1. Rappeler la décomposition d'Itô de 8 t .
2. Soit k un paramètre réel. Déterminer la décomposition d 'Itô de (8 t ) k .
Notation: on pourra aussi noter 8k,t = (8 t )k.
3. Montrer que (8f)t suit encore un modèle de Merton avec des paramètres (J.lk, Uk, Àk, mk, ak)
à déterminer.
4. On note Ck(J.l, u, À, m, a, 80, K) = E(8 - K)+. Les payoffs dans l'espérance corres-
pondent à ceux de Power Option. En déduire la relation entre les fonctions Ck et CI.
Brièvement, comment calculer CI ?
Payoff d'échange. La suite de l'exercice a pour but de faire le lien entre la fonction Ek
et la fonction Ck, où Ek est donnée par Ek(J.l, u, À, m, a, 80, K) = E(8 - K8T)+ (payoff
d'échange) .
5. Calculer explicitement E(8T).
6. A quelle condition sur les paramètres le processus (Lt = 8t/80)t est-il martingale sous
JI!>? Dans la suite, on suppose cette condition satisfaite.
7. On définit maintenant une nouvelle probabilité Q, dont la densité par rapport à JI!> en
restriction à :FT est égale à LT :
Q = LT . JI!>.
Justifier brièvement pourquoi cela définit bien une nouvelle probabilité.
8. Décrire précisément les nouveaux paramètres J.lQ et UQ du modèle de Merton pour 8
sous Q.
9. Même question avec les paramètres de sauts.
Indication: pour faciliter l'identification, on pourra raisonner sur les variables Yi =
In(l + Yi).
10. Déduire des questions précédentes la relation entre Ek et Ck-l.
Exercice 10.6 * Suite de l'exercice 7.7.
Dorénavant, la dynamique de 8 suit un modèle mixte brownien-Poisson de type Kou-Wang
Nt
8t = 80 exp(X t ) où Xt = J.lt + uW t + L Yi
i=l
défini sous la probabilité JI!> par
- W un mouvement brownien standard;
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
178
10.4. EXERCICES
- N un processus de Poisson standard de paramètre À;
- des sauts Yi aléatoires de loi double exponentielle
v(dy) = P1}le-'1J1Yly>ody + q1}2e'1J2Yly<ody
(avec P + q = 1, P > 0, q > 0, 1}1 > 1, 1]2 > 0 ;
- (W, N, Yi : i > 1) indépendants.
. 2ème question. Dans cette question, on s'intéresse à une variante de l'assurance per-
pétuelle de vente. L'échéance du contrat est fixe égale à T et la possibilité de vendre le titre
au prix d'exercice K a lieu au temps T. Le payoff WT du contrat financier en T est de la
forme de celui d'une option barrière Down ln Put
WT = 1mino:5t:5T st5:D(K - ST )+.
2a) A quelle condition sur J.l, 0', r, p, q, 1]1,1]2 le titre (e- rt St)t est-il une martingale sous la
probabilité JP> (on dira alors que JP> est une probabilité risque-neutre) ?
Dans le reste de la question 2, on suppose que JP> est une probabilité risque-neutre et que le
prix initial de l'option est donné par l'espérance du payoff actualisé sous cette probabilité:
Vo = JE( e -rT W T ).
On introduit
W(So, T, K, D; J.l, 0', p, q, 1]1,1]2) = JP>(ST < K, min St < D)
05:t5:T -
la fonction de répartition de (ST, mino5:t5:T St), en indiquant la dépendance par rapport
aux paramètres du modèle. On admettra que ces quantités peuvent être calculées de façon
explicite dans ce modèle double exponentielle.
2b) Sur la tribu FT, on définit une nouvelle probabilité JP>* équivalente à JP> par la relation :
* 1 -rT ST 1[]) 1
JP> :FT = e So .Ir :FT'
Justifier la validité du changement de probabilité. Déterminer complètement la loi de
(W, N, (Yi)i) sous JP>*.
2c) Montrer que le prix Vo peut s'écrire sous la forme Vo = e- rT KW1 - SOW2 où les
quantités W1 et W2 seront exprimées en fonction de w.
. 3ème question. Pour obtenir le prix de l'assurance perpétuelle, nous commençons par
étudier la loi de temps d'atteinte de X et de certaines quantités apparentées. Pour b > 0, on
notera 7 le premier instant de franchissement du niveau -b par X :
7 = inf{t : Xt < -b}.
Dans la suite, nous allons nous intéresser tout particulièrement à la loi de ce temps de
franchissement 7 et du dépassement -b - X r de X à cet instant (voir la figure 10.2).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
179
x
T
t
.-- saut
----{
-b-X T
FIGURE 10.2 - Exemple de franchissement du, niveau -b. A la différence de processus
continu, il est a priori possible que X r < -b, en particulier si le franchissement a lieu
à cause d'un saut négatif comme sur cet exemple.
Dans les calculs, on utilisera la fonction G définie par
G : {3 E \ {1]1, 1]2} G ((3) = J.L{3 + _ 2 1 0- 2 ,82 +'\'(p "11,8 + q "12,8 - 1).
1]1 - 1]2 +
3a) Soit {3 E + \ {1]1, 1]2} et f une fonction de classe G (bornée à dérivées 1ère et 2nde
bornées) coïncidant avec e- 13 (x+b) pour x > -b. Etablir que pour tout temps d'arrêt
borné U vérifiant de plus U < T p.s., on a l'égalité
lE(e- rU f(Xu)) = f(O) + lE(lU e-rSe-P(Xs+b)dS) (G(-,8) - r)
+ ,\,qlE( lU e- rS e-'12(X s +b)dS) ([° 00 'f/2f(z - b)e'12Z dz - 'T/2 ,8 ). (10.4.1)
Indication: on cherchera à appliquer la formule d'Itô en espérance et évaluer l'intégrale
de la partie saut en la découpant en trois morceaux : saut positif, petit saut négatif
de taille entre "-b - Xs" et 0, grand saut négatif.
On admettra 4 que l'équation G( -(3) = r admet exactement deux racines {31 et {32 telles que
{32 > 1]2 > (31 > O.
3b) Soient Al et A 2 deux constantes arbitraires et 9 une fonction de classe G coïncidant
avec A1e- 131 (x+b) + A 2 e- 132 (x+b) pour x > -b. Justifier que pour tout temps d'arrêt
4. en menant une étude rapide de la fonction G et en traçant son graphe, il est facile de le montrer.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
180
10.4. EXERCICES
borné U avec U < T p.s.
1E(e- rU g(Xu)) = Ale- 1hb + A2e- 132b
+ >,qlE(l U e-rSe-7I2 (X S +b)ds )
x ( fO 7]2g(z - b)e 7l2Z dz - Al 7]2 (3 - A 2 7]2 (3 ) .
J -ex) 1}2 - 1 1]2 - 2
(10.4.2)
(10.4.3)
3c)
Sous la condition Al + A 2 = 1, étendre l'égalité (10.4.3) au cas où g(x) = 1 pour
x < -b. Indication: on pourra s'aider d'un dessin de la fonction g.
En prenant 9 comme dans la question précédente et en faisant le choix Al = 2- 1
'1]2 2 - 1
et A2 = à ({32 -'1]2) ( vérifiant Al + A 2 = 1 = Al '1]2 + A 2 '1]2 ) déduire q ue
'1]2 (132-131) '1]2-131 '1]2-132 '
3d)
'ffi" ( -r(rAp) (X )) _ {32 (1]2 - (31) -131 b + {31 ({32 -1]2) -132 b
.ICI e 9 (rAp) - ( ) e ( ) e
1}2 {32 - {31 1]2 {32 - (31
pour tout p > o.
3e) Obtenir finalement
1E(e-rr) = {32 (1]2 - (31) e-131b + {31 ({32 -1]2) e-132b.
1]2 ({32 - (31) 1]2 ({32 - (31)
(10.4.4)
3f) Montrer de la même façon que pour y > 0
'ffi" ( -rr l ) _ -'1]2Y (1]2 - (31)((32 - 1]2) ( -131b _ -132 b )
.ICI e X.,.<-b-y - e ({3 (3 ) e e .
1}2 2 - 1
(10.4.5)
. 4ème question. Nous appliquons les résultats précédents au calcul du contrat d'assu-
rance perpétuelle de vente. Nous admettons que le prix initial du contrat est la moyenne du
payoff actualisée en ÇD (instant d'exercice du Put) sous la probabilité JI!> :
V(80) = 1E(e-r D (K - 8 D)+)'
On suppose que 80 > D (sinon ÇD = 0 et V(8 0 ) = K - 8 0 ).
4a) En remarquant que T = ÇD lorsque b = log(80/ D), montrer que
Ke- rr - De- rr l r <+oo(l-l+ oo e-Ylxr<-b-ydy) = e-r{D(K - S{D)+'
4b) Montrer (en faisant le moins de calculs possibles) que le prix V (8 0 ) se met sous la
forme
V(SO) = BI ( )131 + B 2 ( )132
pour des constantes BI et B 2 qu'on ne cherchera pas à expliciter.
4c) Calculer la décomposition d'Itô de 8;13 pour (3 > O.
4d) Montrer que V(8 t ) n'est pas la valeur d'un portefeuille autofinançant investi unique-
ment dans le titre 8 et les liquidités. Donner une interprétation financière à V (8t).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
CHAPITRE 10. MODÈLES FINANCIERS AVEC SAUTS
181
Exercice 10.7 * Stratégie du coussin.
On considère un marché financier avec un titre risqué S négociable (ne versant pas de di-
vidende) et des liquidités rémunérées au taux d'intérêt constant égal à r. Le titre risqué a
pour dynamique (sous la probabilité historique JP»
dS t
St = J.ldt + udW t
avec u > O. On considère des portefeuilles autofinançants normalisés avec va = 1€ .
. 1ère question. Nous étudions la stratégie dite du coussin. La valeur plancher (Pt)t est
donnée par Pt = Ne rt (avec N < 1€ ). Le coussin (Ct)t est alors défini comme la différence
entre la valeur liquidative du portefeuille et le plancher:
C t = Vi - Pt.
On note que Co = 1 - N > O. L'objectif de gestion est de garantir que le coussin reste
positif, de sorte que le portefeuille garde une valeur Vi toujours supérieure au plancher Pt.
Pour cela, nous décidons que le montant investi dans le titre S est égal à mCt, c'est-à-dire
une proportion du coussin. Le paramètre m > 1 est appelé le coefficient multiplicatif du
COUSS'l,n.
la) Interpréter financièrement le plancher.
1b) Exprimer 8(t) (le nombre de titres détenus à l'instant t) en fonction de C t et St.
1c) En utilisant l'autofinancement, montrer que (e-rtCt)t a la dynamique d'un mouvement
brownien géométrique dont on donnera les caractéristiques (tendance et volatilité). En
déduire une forme explicite de C t en fonction des paramètres et de W t .
Id) Conclure que le portefeuille a une valeur toujours supérieure au plancher. Le porte-
feuille est-il plus ou moins volatile que le titre?
le) Calculer JE(VT) et Var(VT).
If) Supposons que J.l > r. Que nous laisse espérer cette stratégie si l'on augmente le
coefficient m du coussin? Quel est le danger en pratique?
. 2nde question. On suppose maintenant que le titre suit un modèle mixte brownien-
Poisson géométrique :
dS t
- s = J.ldt + udW t + Yt,dN t .
t-
La stratégie du coussin reste inchangée, du moins tant que le portefeuille est au dessus du
plancher; après, tout est placé en liquidités. Nous cherchons à calculer la probabilité de perte
(c'est-à-dire que le portefeuille passe sous le plancher).
2a) Montrer qu'un saut de Y% dans le cours du titre induit un saut de mY% dans le
niveau du coussin. Indication: on pourra utiliser l'équation d'autofinancement pour
trouver la dynamique de e-rtC t .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
182
10.4. EXERCICES
2b) En déduire l'égalité suivante entre évènements:
1
{ pour un t < T, C t < O} = { pour un t < T, Yi < --}
m
2c) On note Ut = E 11{Yi<- }. Justifier que (Ut)t est un processus de Poisson composé.
Montrer qu'en fait c'est un processus de Poisson standard d'intensité ÀJP>(YI < - ),
où À est l'intensité de (Nt)t.
2d) En déduire que la probabilité de perte vaut
IP'(VT < PT) = 1 - exp ( - ÀIP'(Y 1 < - )T) .
2e) Calculer cette probabilité de perte dans le cas du modèle de Kou-Wang: pour In(l+Yi),
la loi est double exponentielle v(dy) = p1]le-'1JlYly>ody+q1}2e'1J2Yly<ody avec p > 0, q >
0, p + q = 1,1]1 > 1,1]2 > O.
2f) Même question dans le cas du modèle de Merton, c'est-à-dire In(l + Yi) loi N(ln(l +
mo) - a? /2, a?).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
183
Quelques mots de conclusion
Cette visite guidée se termine et nous espérons que le lecteur aura apprécié ce tour
d'horizon introductif. Bien sûr, beaucoup reste à être dit sur le calcul stochastique, dans sa
version traditionnelle (nous renvoyons par exemple au livre de Revuz et Yor [27]), et sur ses
applications à la valorisation et couverture d'options. Ce domaine est très actif au niveau de
la recherche académique.
Mais cela ne concerne pas uniquement, comme nous l'avons traité dans cet ouvrage,
l'évaluation et la gestion de produits dérivés. Ce qui est important (et impulsé sous les
recommandations du Comité de Bâle), c'est une vision globale des risques au niveau bancaire,
c'est-à-dire l'agrégation des risques au niveau le plus haut. Ainsi, le trader va gérer le risque
du produit dérivé échangé, puis le risque et la couverture vont être agrégés au niveau de son
portefeuille, puis au niveau de la salle de marché où il travaille, puis enfin au niveau de la
banque. Cette vision globale a été adopté dès 1998, avec la Value At Risk (V@R), indicateur
de risque mesurant le seuil de pertes potentielles à un horizon donné et pour un quantile
donné. Cet indicateur réglementaire est relié au montant de fonds propres à immobiliser en
regard des risques pris, pour faire face à des pertes a priori rares. Il est crucial alors de bien
appréhender et modéliser les dépendances complexes entre les différentes activités.
La crise a montré l'existence de nouveaux risques, laissés longtemps de coté. Comme
expliqué au chapitre 6, le risque de liquidité doit être intégré dans la modélisation de la
gestion des risques. Quand les praticiens et les marchés s'organisent autour d'une même
vision des risques à travers un même modèle (copule gaussienne pour le risque de crédit
par exemple), il devient aussi crucial d'analyser le risque de modèle. Le nombre limité de
banques de financement et d'investissement, chacune ayant les autres comme contrepartie,
induit un risque systémique (effet domino de contagion). La modélisation et l'analyse de
tous ces risques sont de vrais défis à relever, pour mieux guider les prochaines évolutions
réglementaires et permettre de nouveau aux marchés financiers de faire jouer à plein leur
rôle de financement du monde économique.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
185
Annexe A
Appendices
A.l
A propos des gaussiennes
Nous commençons par rappeler quelques propriétés élémentaires des v.a. gaussiennes.
A.I.I Variables gaussiennes
Les variables gaussiennes réelles sont des variables aléatoires X dont la loi admet une
densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur JR donnée par
1 (x - J.l)2
9I£,U 2 (X) = V21f exp [- 2 2 ] x E R, (p, E R, (J' > 0). (A. 1.1)
0' 211" 0'
Dans ce cas, JE( X) = J.l et V ar( X) = 0'2.
On dit aussi que X suit la loi N (J.l, 0'2).
Par convention, nous considérons les v.a. X, p.s. constantes comme des gaussiennes, auquel
cas X = JE(X) = J.l, p.s. et Var(X) = O. Évidemment dans ce cas, la loi, qui est la masse de
Dirac au point J.l n'admet pas de densité.
La transformée de Fourier d'une v.a. gaussienne, ou plus généralement sa transformée de
Laplace a une forme particulièrement simple.
1 22
x(a) = JE[exp(aX)] = exp[aJ.l + 2a 0' ] a E C.
(A.l.2)
Réciproquement, par suite de l'injectivité de la transformée de Fourier (a imaginaire pur)
ou de la transformée de Laplace (a réel), une variable dont la loi admet une transformée de
Fourier (resp. Laplace) de cette forme est une gaussienne telle que JE( X) = J.l et V ar( X) = 0'2.
Nous rappelons un résultat important sur la convergence des variables gaussiennes.
Proposition A.I.I (Convergence des gaussiennes) Soit (Xn)n l une suite de v.a.r.
gaussiennes, chacune de loi N(J.ln, O' ), qui converge en loi vers une v.a. X.
Alors, J.ln et O' convergent vers J.l et 0'2, et X est une variable gaussienne de loi N (J.l, 0'2).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
186
A.1. A PROPOS DES GAUSSIENNES
PREUVE :
La convergence en loi de X n montre que la fonction caractéristique X n (iÀ) =
exp(iÀJ-Ln - U À2) converge pour tout À E JR : ainsi, il suffit de montrer la convergence
de J-Ln et u pour prouver le caractère gaussien de X avec pour paramètres la limite
des paramètres.
Le module de xn(iÀ) vaut exp(- u À2) et est convergeant: en prenant À f= 0, la
convergence de u en découle. On en déduit alors que exp(iÀJ-Ln) converge pour tout
À, tout comme
1 1
exp(iÀJ-Ln) exp( -À)dÀ = 1 .
o - 'l,J-Ln
par une application du théorème de convergence dominée. La convergence de J-Ln est
prouvée. D
A.l.2 Vecteurs gaussiens
Un vecteur d-dimensionnel X = (Xl, X 2 , ...Xd) est gaussien, si toute combinaison linéaire
d
de ses coordonnées < c, X >= L CiX i est une variable gaussienne réelle.
i=l
En particulier, l'injectivité de la transformée de Laplace sur JRd i plique qu'une condition
nécessaire et suffisante pour qu'un vecteur X soit gaussien est que
cpx(a) = lE(exp« a,X »] = exp[< a,JL > + a* Ka]
a E JRd
(A.l.3)
où J-L est un vecteur de JRd, nécessairement égal au vecteur des espérances J-L = JE( X), et K est
une matrice symétrique positive, nécessairement égale à la matrice de variance covariance
des coordonnées, de telle sorte que
Var« a,X » = a* Ka = LLaiajCov(Xi,Xj).
i j
(A.l.4)
Une des propriétés fondamentales des vecteurs gaussiens est le critère d'indépendance sui-
vant :
Proposition A.l.2 (Critère d'indépendance) Soit X un vecteur gaussien de la forme
k
X = (Z 1 , Z2, .. Z k) où Zi est un vecteur de JRd i , (L di = d). Une condition nécessaire et
i=l
suffisante pour que les vecteurs (Zi) soient indépendants est que la matrice de covariance de
X se décompose par blocs, ou encore si a = (al, a2, ..ak)
k k
Var« a,X » = LVar« aj,Zj » = LajKjaj.
j=l j=l
En particulier, un vecteur gaussien de matrice de covariance diagonale a ses coordonnées
indépendantes et réciproquement.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
187
A.l.3 Processus gaussien
Une fonction aléatoire réelle ou vectorielle (ou processus) (X t E IR ou IRd)tET est gaus-
k
sienne si toute v.a. de la forme E aiXti est gaussienne réelle ou vectorielle.
i=l
Nous associons donc naturellement à une f.a. gaussienne X sa fonction moyenne I-£t = JE(X t )
(pour t E T), et sa fonction de covariance
K(s, t) = <Cov(Xs, X t )
pour (s,t) ET x T
où <Cov(X, Y) = JE(XY) - JE(X)JE(Y).
A priori, nous ne supposons pas nécessairement que les trajectoires de cette f.a. sont conti-
nues. Toutefois, si nous supposons la fonction moyenne continue, ainsi que la fonction de
covariance, il est aisé de déduire que (X t ) est continu dans n.? au sens où
JEIX t - Xsl2 = II-£t - I-£sl2 + trace(K(t, t) - K(s, t) + K(s, s) - K(s, t)] a si s t E T
La fonction aléatoire est dite continue en moyenne quadratique, ce que nous supposerons
toujours par la suite.
L'espace n.?(O) des classes (pour la relation p.s.) de v.a. joue un rôle important dans la
théorie des f.a. gaussiennes, notamment à cause de sa structure d'espace de Hilbert associée
au produit scalaire
X, Y »= JE(XY)
et parce que toute limite dans JL2(O) de v.a. gaussiennes est une gaussienne (démonstration
facile à partir des transformées de Laplace).
A.2
Quelques rappels de théorie de l'intégration
Nous donnons dans cet appendice quelques rappels sur la théorie de l'intégration abstraite
et les tribus. Fondamentalement, l'introduction des espaces probabilisés donne un cadre et
un formalisme rigoureux, pour rendre compte de certains phénomènes complexes. Bien que
d'un accès assez rébarbatif, les rappels qui suivent se proposent d'énoncer les propriétés
fondamentales dans une forme qui permet leur application directe dans le cadre de cet
ouvrage.
A.2.1 Tribus et variables aléatoires
La notion d'espace probabilisé (0, F, P) a été introduite par Kolmogoroff en 1933, pour
formaliser la notion d'espérance conditionnelle. Ces trois termes représentent
- l'espace 0 de tous les résultats possibles de l'expérience aléatoire que l'on observe,
- F la tribu des événements aléatoires, dont la probabilité de réalisation est mesurée par
la probabilité P.
. Une tribu est, rappelons le, un ensemble de parties de 0, qui contient l'espace, est stable
par passage au complémentaire et réunion dénombrable.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
188
A.2. QUELQUES RAPPELS D'INTÉGRATION
. Quand l'espace est un espace topologique, comme ]Rn par exemple, il est, sauf mention
contraire, muni de la tribu borélienne, c'est à dire de la plus petite tribu qui contient les
ouverts; ( on dit encore engendrée par les ouverts)
. De manière générale, étant donnée une famille C de parties de 0, on appelle tribu engendrée
par C, et on note r(C), la plus petite tribu qui contient C.
. Une v.a. vectorielle X : 0 ]Rd, définie sur un espace de probabilité (0, F, JP» est une
application qui respecte les structures mesurables de}Rd et de 0, au sens où pour tout borélien
A de ]Rd
{w : X(w) E A} = X-l(A) E F.
De plus, la classe r(X) := ({X E A}, A borélien de ]Rd) est une sous-tribu de F, qui repré-
sente l'information apportée par X. Elle est appelée tribu engendrée par X. On a d'ailleurs
le lemme suivant
Lemme A.2.1 Étant données deux v.a. vectorielles X : 0 ]Rd et Y 0 ]Rn sur
(0, F, JP» , les conditions suivantes sont équivalentes
- a) Y = f(X) pour une fonction borélienne f : ]Rd ]Rn,
- b) r(Y) C r(X).
Ces deux conditions expriment chacune à leur façon que Y est moins informative que X.
PREUVE :
Pour montrer que a) entraîne b), il suffit d'utiliser la composition des applications, car
y-l(A) = X-l(f-l(A» E r(X) car f-l(A) est borélien.
Pour la réciproque, il suffit de considérer le cas où n = 1. Par hypothèse, pour tout
rationnel r E Q, il existe un borélien Ar tel que {Y < r} = {X E Ar}. Il suffit alors
de définir f : ]Rd Ji par f(x) = inf(r : r E Q, x E Ar), pour voir que
f(X(w» = inf(r: r E Q,X(w) E Ar) = inf(r: r E Q, Y(w) < r) = Y(w).
f est borélienne car {f < b} = U (Ar; r E Q, r < b) est borélien comme réunion dé-
nombrable de boréliens. D
A.2.2 Mesures et distributions de probabilité
. Une mesure J.t finie, définie sur un espace mesurable (0, F) est une fonction d'ensemble,
qui applique F sur ]R+, a-additive. Si de plus, elle est de masse 1, c'est une probabilité.
. La loi d'un vecteur aléatoire X est une probabilité J.tx sur ]Rn caractérisée par
J.tx (A) = JP>(X E A).
Le théorème d'unicité suivant joue un rôle très utile dans les applications.
Théorème A.2.2 (Théorème d'unicité) Considérons deux mesures finies, J.tl et J.t2 dé-
finies sur un espace mesumble (0, F). Si ces deux mesures coïncident sur une classe C stable
par intersection, qui contient 0, elles coïncident sur la tribu engendrée par C.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
189
PREUVE:
- Rappelons que les intervalles] - 00, t] forment une classe stable par intersection qui
engendrent la tribu borélienne de IR. Par suite deux mesures qui vérifient
J.t 1 (] - 00, t]) = J.t 2 (] - 00, t]),
\lt E IR,
sont égales.
- Rappelons que sur ]Rn, l'identification peut aussi se faire par l'intermédiaire des
transformées de Fourier
J.tl(e i <a,x» = J.t2(e i <a,x»,
\la E IR n .
D
A.2.3 Indépendance et conditionnement
INDÉPENDANCE
Comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, la notion d'indépendance joue un rôle
très important. Nous la formulons dans le cadre où nous l'utiliserons le plus souvent.
Définition A.2.3 Soit (Bi; i E 1) une famille de sous tribus de (0, F, JP». Nous dirons que
ces tribus sont indépendantes si pour toute sous-famille finie J = (jl,j2, ...jn) de l et toute
famille (B j1 , B j2 , ...B jn ; B ji E B ji )
P(B j1 n B j2 n ....B jn ) = P(B j1 ) x P(B j2 ) x ....P(B jn ).
(A.2.1)
Il suffit que cette condition soit vérifiée lorsque les Bi parcourent des classes Ci stables par
intersection qui engendrent les tribus Bi.
Dans la théorie des processus aléatoires, il est utile d'associer à une famille quelconque de
v.a. (Xi, i E 1) la tribu r(Xi, i E 1) dite tribu engendrée par ces v.a., qui est la plus petite
tribu qui contient les tribus r(Xi),(i El). Par exemple, pour un mouvement brownien W,
la tribu du passé jusqu'à l'instant t , que l'on notera Fr' dans la suite est définie comme
Fr' = r(W s , s < t).
Le résultat suivant est une simple conséquence de la définition de l'indépendance très utile.
Corollaire A.2.4 Pour qu'une v.a. Y soit indépendante de la tribu r(X i , i El), il faut et
il suffit qu'elle soit indépendante de toutes les sous-familles finies (X j , j E J) de v. a. Xi.
PREUVE :
Il suffit de noter que les sous-familles finies de v.a. engendrent des classes stables par
intersection, qui engendrent la tribu r(X i , i El). D
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
190
A.2. QUELQUES RAPPELS D'INTÉGRATION
ESPÉRANCE CONDITIONNELLE
Une notion complémentaire de la notion d'indépendance est celle de conditionnement. En
effet, lorsqu'on ne possède a priori aucune information sur la situation aléatoire considérée,
la meilleure approximation (au sens JL 2 ) d'une v.a. Y est son espéra:nce.
Par contre, si on observe une v.a. X, ou plus généralement si on a accès à l'information
décrite par une tribu A, la meilleure approximation de Y compte-tenu de cette information
est une v.a. A-mesurable, appelée l'espérance conditionnelle de Y sachant A. Elle est notée
JE(YIA).
Lorsque Y est indépendante de A, l'approximation n'est pas meilleure que si on n'observait
rien et JE(YIA) = JE(Y).
Proposition A.2.5 Soit Y une v. a. positive ou intégrable. Pour toute sous-tribu A il existe
une unique ( à une équivalence près) v.a. A-mesumble, notée JE(YIA) telle que
VA E A JE[lAY) = JE[lAJE(YIA»).
(A.2.2)
Si Y est A-mesumble, Y = JE(YIA) p.s..
Si y est indépendante de A, JE(Y) = JE(YIA) p.s..
Exercice. Soit Z une v.a. indépendante de A et <p(w, z) une famille de v.a. A-mesurable.
Montrer que, si Y = <p(w, Z), JE(YIA)(wo) = JE[<p(wo, Z») p.s..
A.2.4 Fonctions aléatoires et loi temporelle
A un instant t donné, la valeur prise par une f.a. Xt(w) définit une v.a. que l'on note
simplement Xt. Elle décrit l'état du système à l'instant t.
Les lois de probabilités de ces v.a., et plus généralement celles des vecteurs (X t1 , X t2 ..., X tn )
vont jouer un rôle primordial; leur donnée permet en effet de calculer les espérances de la
forme
L F[X.(w») dIP'(w)
où F est une application de l'espace des trajectoires dans IR ( F[x.) = SUPTXt ou F[x.) =
fT I X tl 2 dt par exemple) en approchant ces fonctionnelles de manière "régulière" par des
fonctionnelles qui ne dépendent que d'un nombre fini d'états Xt.
Résumons toutes ces propriétés par
Définition A.2.6
. Une fonction aléatoire, définie sur un intervalle réel T muni de la tribu borélienne BT et
sur l'espace de probabilité (0, F, JP» est une application mesumble
(t,w) Xt(w)
de (T x 0, Br Q9 F)
dans IR ou IR d .
En particulier, ses valeurs ou coordonnées w Xt(w) sont des v.a. sur (0, F).
. La loi temporelle de cette f.a.r. est définie par la donnée des lois de probabilités de tous les
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
191
vecteurs aléatoires (X tl , X t2 ..., X t n ), (t 1 < t2 < ... t n ) dans T. Elles déterminent uniquement
la probabilité sur la tribu engendrée par les coordonnées
:F X = r(Xs, s E }R+).
PREUVE :
Si nous désignons par CT l'ensemble des fonctions continues (Xt) réelles définies sur T,
muni de la tribu la plus petite qui rend mesurable les coordonnées, la loi temporelle
de la f.a.r. X est la probabilité pX sur CT, image de P par X. Le théorème d'uni-
cité, (deux probabilités qui coïncident sur une classe stable par intersection coïncident
sur la tribu engendrée par cette classe), appliqué à la classe des ensembles qui ne
dépendent que d'un nombre fini de v.a. montre que cette probabilité est uniquement
déterminée à partir des lois temporelles des vecteurs ne dépendant que d'un nombre
fini de coordonnées. D
A.3
ForInule de Lévy-Khintchine
Dans le chapitre 5, nous utilisons le résultat suivant qui caractérise les Processus à
Accroissements Indépendants et Stationnaires (voir Breiman [3]).
Théorème A.3.1 (Formule de Lévy-Khintchine) Soit (Xt)t un processus de Lévy,
c'est-à-dire à accroissements indépendants et stationnaires et continu en probabilité, alors
il existe un unique triplet (ï, a 2 , £IL (dx» (dit triplet de Lévy) tel que
JE(eiUXt) = et(i')'U-!u2u2+fR(eiUY-l-iUYlIYI 1)VL(dY»,
où £IL (dy) est une mesure positive sur IR \ {O} (pas nécessairement une mesure de probabilité)
telle que IR (1 A y2)VL(dy) < +00 (£IL peut avoir une singularité en 0) :
- ï est un paramètre de dérive;
- a est associé à une partie brownienne;
- £IL est appelé mesure de Lévy et modélise les sauts (leur intensité et leur taille).
Quelques exemples :
1. Mouvement brownien arithmétique Xt = ït + aW t (voir Chapitre 1) : la mesure de
Lévy £IL est nulle.
2. Processus de Poisson composé de caractéristiques (À, v) (voir Chapitre 4). Il convient
d'identifier l'expression de JE(e iUXt ) ci-dessus avec etfR(eiUY-l)Àv(dy) (Proposition
4.1.3). Cela conduit à
a = 0, vL(dy) = Àv(dy), ï = ( YVL(dy).
J[-lJ 1 ]
Inversement, pour passer de la mesure de Lévy du processus de Poisson composé à
l'intensité des sauts et à leur loi, on note que À = IR £IL (dy) et v(dy) = J:t ) .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
192
A.4. SIMULATION
A.4
S iInulat ion
Ce paragraphe est destiné à donner quelques notions sur la simulation de processus en lien
avec les applications en finance. L'évaluation et la couverture des produits financiers peuvent
se ramener à évaluer des espérances ou leurs dérivées: rapidement, l'utilisateur se retrouve
en dehors du cadre des formules exactes et doit avoir recours aux méthodes numériques. Les
méthodes de Monte-Carlo, qui s'offrent à lui, présentent l'avantage d'être flexibles et faciles
d'implémentation. En contrepartie, elles sont connues pour converger lentement. Dans ce
chapi tre, nous faisons le point sur quelques méthodes de simulation et d'accélération de
convergence. Un panorama plus complet est donné dans [11].
A.4.1 Simulation de variables aléatoires
La simulation informatique de variables aléatoires, aussi complexes soient elles, repose sur
la simulation de variables aléatoires indépendantes très simples, auxquelles nous appliquons
des transformations adéquates.
Ces v.a. (Ui )iEN de référence suivent la loi uniforme sur [0, 1] : elles sont générées par le
générateur de nombres pseudo-aléatoires random() de l'ordinateur 1 (en langage C, fonction
drand48(». Dans [26], on trouvera des générateurs pseudo-aléatoires robustes, de période
considérée comme infinie pour les applications usuelles. Le générateur Mersenne Twister 2
est un générateur plus récent, robuste et rapide, avec période 219937 - 1! --
Nous rappelons maintenant quelques méthodes de base utilisées lorsqu'on souhaite simu-
ler une variable aléatoire (plus généralement, voir [6]). La première s'appuie sur l'inversion
de la fonction de répartition.
MÉTHODE D'INVERSION
Proposition A.4.1 Soit X une v.a. réelle de fonction de répartition F(x) = JP>(X < x),
dont l'inverse est défini par F-l(U) = inf{x : F(x) > u}.
Si U est v.a. de loi uniforme sur [0,1], alors F- 1 (U) a même loi que X.
PREUVE :
pour tout x E IR, on a JP>(F- 1 (U) < x) = JP>(U < F(x» = F(x) = JP>(X < x). D
Exemples.
- Variable exponentielle. Une v.a. de loi exponentielle de paramètre À (c'est-à-dire
F(x) = (1 - exp( -Àx»lx o), se simule par
X loi - ln(l - U) loi - In(U).
1. en réalité, ces nombres sont donnés par une suite déterministe, dont la construction sophistiquée
assure que ces randomO se comportent comme de vrais variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1]
indépendantes.
2. http :j jwww.math.scLhiroshima-u.ac.jpjrvm-matjMTjemt.html
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
193
C'est utile pour simuler les temps de sauts d'un processus de Poisson.
- Supremum du brownien. Le supremum Ms = SUPtE[O,s] W t d'un mouvement brow-
nien conditionné par Wo = a et W s = b a pour fonction de répartition
IP'(M s > xlW o = aj W s = b) = exp ( -2 (x - a (x - b» )
pour x > max(a, b) (voir Proposition 1.3.9). On le simule donc par
(a + b + y' (a - b)2 - 2 s In(U») .
Cette procédure est très utile en finance, pour évaluer le prix d'une option dont le Pay-
Off dépend du supremum du processus sur une période (option barrière et lookback).
- Variable gaussienne. Ni la fonction de répartition d'une v.a. N(O, 1), ni son inverse,
ne sont connus explicitement. Toutefois, Moro (1995) en propose une approximation
précise. Elle s'écrit:
N-l(u) NM ro(U) =
E =o a n ( u - 0.5)2n+l
1 + E =o bn(u - 0.5)2n'
S
L cn(log( -log(l - u»)n,
n=O
-N- l (l - u),
0.5 < u < 0.92,
0.92 < u < 1,
o < u < 0.5
avec al = 2.50662823884, a2 = -18.61500062529, as = 41.39119773534, a4 =
-25.44106049637, b l = -8.4735109309, b2 = 23.08336743743, bs = -21.06224101826,
b 4 = 3.13082909833, CI = 0.337475482272615, C2 = 0.976169019091719, Cs
0.160797971491821, C4 = 0.0276438810333863, C5 = 0.0038405729373609, C6
0.0003951896511919, C7 = 0.0000321767881768, Cs = 0.0000002888167364 et Cg
0.0000003960315187. Ainsi, on a
-1 loi
NMoro(U) N(O, 1).
Des méthodes de simulation exacte de v.a. gaussienne sont présentées dans la suite.
Comme nous le constatons sur ces exemples, la méthode d'inversion présente de l'intérêt
seulement si F-l(X) est assez explicite et si son évaluation est peu couteuse. Sinon d'autres
méthodes de simulation sont nécessaires.
MÉTHODE DE REJET
Ici, nous supposons que la loi de la v.a. (éventuellement multidimensionnelle) qui nous
intéresse a une densité f connue. Le principe de la méthode est le suivant : pour en obtenir
une réalisation, on simule une autre v.a. Y de densité 9 qui domine dans un sens à préciser
f et on accepte la simulation de Y obtenue en effectuant un test aléatoire sur le rapport
f (Y) / g(Y). La proposition suivante donne une formulation précise :
Proposition A.4.2
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
194
A.4. SIMULATION
i) Soient f et 9 deux densités de probabilité par rapport à la mesure de Lebesgue À sur
}Rd, telles qu'il existe une constante c( > 1) satisfaisant pour tout x E]Rd :
c g(x) > f(x) p.p.
(A.4.1)
Soient Y une v.a. de densité 9 et U une v.a. de loi uniforme sur [0,1] indépendante
de Y. Alors la loi conditionnelle de Y sachant {c U g(Y) < f (Y)} a pour densité f.
ii) Pour une v.a. Z et un événement A de probabilité non nulle, considérons (Zn, An)n l
la suite d'éléments aléatoires indépendants de même loi que (Z, A). Notons LI = inf{n >
1: An est réalisé} : alors, la v.a. Zv a la loi conditionnelle de Z sachant A.
PREUVE:
Montrons i). Soit A = {c U g(Y) < f(Y)}. Pour B borélien de }Rd, on a
1 [
- g(y) l[O,l](U) dy du
P(A) {(y,u):YEB,c u g(y)<f(y)}
1 (f(y) 1 (
IP'(A) } B g(y) C g(y) dy = c IP'(A) } B f(y) dy.
P(Y B 1 A) = P(Y E B; A)
E P(A)
Le choix B = ]Rd conduit à c P(A) = 1 , et donc P(Y E B 1 A) = JB f(y) dy pour tout
B.
Prouvons maintenant ii) : pour tout borélien B, on a
P( Zv E B)
L P(Zn E B; A ; . . . ; A -l; An)
n l
L(l _1P'(A»n-l IP'(Zn E B; An) = IP'(ZIP' ; A) = IP'(Z EBlA).
n l
D
L'algorithme de simulation de la v.a. de densité f découle de la proposition précédente:
Répéter (avec des simulations indépendantes)
Simuler Y n de densité 9
Simuler Un de loi uniforme sur [0, 1]
Jusqu'au premier n = n' tel que Ung(Y n ) < cf(Yn).
Alors Y n , a la même loi que X.
Lors de la mise en pratique de la méthode de rejet, il est relativement facile, pour une
densité f donnée, de trouver une densité 9 et un nombre c vérifiant c g(x) > f(x) pour
tout x. Néanmoins, les choix de 9 seront satisfaisants si la constante c est petite: en effet,
le nombre de passages dans la boucle Répéter... Jusqu'à suit la loi géométrique Q(1/c),
d'espérance c.
Une situation importante couverte par la proposition est la simulation de v.a. uniforme
sur D C ]Rd (de densité f(x) = À(b) ID (x» par rejet de v.a. uniforme sur D' (de densité
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
195
g(x) = À(1,) ID' (X», avec D c D'. On voit facilement que la simulation de la v.a. U dans
la boucle Répéter. .. Jusqu'à est ici inutile et l'algorithme devient simplement:
Répéter
Simuler Y de loi uniforme sur D'
Jusqu'à Y E D.
Le nombre moyen de passage dans la boucle vaut À(D')/À(D).
Nous finissons ce paragraphe par un exemple important, qui interviendra dans la simu-
lation de v.a. gaussienne.
Exemple: simulation d'une v.a. de loi uniforme sur le disque D = {x 2 +y2 <
1}. On utilise pour cela une v.a. uniforme sur le carré D' = {-1 < x < 1; -1 < Y < 1}.
Répéter
X = 2 * Random() - 1
Y = 2 * Random() - 1
Jusqu'à X 2 + y 2 < 1.
Le nombre moyen de passage dans la boucle vaut 4/7r 1,27.
SIMULATION D'UNE V.A. GAUSSIENNE
Nous nous restreignons au problème de la simulation d'une v.a. gaussienne réelle,
centrée, de variance 1, car un vecteur gaussien dans ]Rd peut se déduire de d gaus-
siennes centrées réduites indépendantes.
Les 2 algorithmes que nous présentons sont basées sur le résultat suivant, qu'on
prouve à l'aide de la formule de changement de variables pour les densités de v.a.
Proposition A.4.3 Soient (X, Y) une v.a. bidimensionnelle de loi uniforme sur le
disque D = { x 2 + y2 1}, R et () ses coo rdonnées p olaires correspondantes. Alors :
1. G I = J -21n(R2) cos(()) et G 2 = J -21n(R2)sin(()) sont deux v.a. gaussiennes
centrées réduites, indépendantes.
2. R 2 et () sont des v.a. indépendantes de loi uniforme sur [0, 1] pour la première
et de loi uniforme sur [0,27r] pour la seconde.
Le premier résultat de cette proposition conduit à l'algorithme de Marsiglia de
simulation de gaussiennes (en simulant (X, Y) par méthode de rejet sur le disque).
% Algorithme de Marsiglia
Répéter
X = 2 *" Random() - 1
Y = 2 * Random() - 1
S = X 2 + y2
Jusqu'à S < 1.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
196
A.4. SIMULATION
z = V -21og(S)/S
G I = Z * X
G 2 = Z * Y.
Si l'on combine les deux résultats de la proposition précédente, on obtient
l'algorithme de Box-Muller:
% Algorithm e de Box-Muller
R' = V -21og(Random())
() = 27r * Random()
G I = R' * cos(())
G 2 = R' * sin(()).
Alors que le premier algorithme semble plus long que le second (en nombre de lignes et
du fait du rejet), il est en général plus rapide: cela s'explique en partie par une moindre
utilisation de fonctions chères telles que V, log, cos et sin. A titre d'illustration, la
simulation de un milliard de gaussiennes indépendantes avec un processeur 2.66 Ghz
Intel Core 2 Duo dure 55 s. via l'algorithme de Marsiglia et 65 s. via l'algorithme
de Box-Muller : le premier est environ 20% plus rapide. Ces performances relatives
varient selon les ordinateurs et compilateurs.
A.4.2 Calcul d'espérance par méthode de Monte Carlo
Nous cherchons à évaluer JE(X), où X est une v.a. réelle satisfaisant pour simplifier
Var(X) < +00.
LE PRINCIPE
Pour cela, nous simulons des v.a. (Xi)iEN*, des copies indépendantes de X (en
utilisant par exemple les méthodes de simulation du paragraphe A.4.1) : on déduit
que
X M = Xi JE(X)
(A.4.2)
pour M assez grand, puisque cette moyenne empirique converge p.s. vers JE(X) (c'est
la loi des grands nombres). L'erreur d'approximation moyenne est contrôlée par le
théorème de la limite centrale,
M oo JI» ( V V;X) ( X M -IE(X)) E [a,b J ) = IP'(G E [a,b]),
où G est une v.a. gaussienne centrée réduite. On retiendra la règle heuristique que
pour M grand, avec probabilité 95%, on a
[ - Jvar(x) - Jvar(x) ]
JE(X)E XM-1,96 M ,XA1+ 1 ,96 M .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
197
Enfin, il est utile de noter qu'avec les mêmes simulations, on peut aussi évaluer Var(X)
par M 1 ( f; x; - X ), le facteur M/(M - 1) servant à rendre cette estima-
teur 3 sans biais.
Exemple: calcul de prix d'option. On souhaite calculer par méthode de Monte
Carlo
lE (e- rT (80 e(r-!a 2 ) T+a WT -K)+),
où (Wt)t O est un mouvement brownien standard. C'est simplement le prix d'un CalI
de maturité T, de prix d'exemple K, dans un modèle de Black-Scholes où le taux
d'intérêt r est constant et l'actif risqué a une volatilité a et une valeur initiale So.
La Figure A.1 représente les intervalles de confiance à 95% obtenus, en fonction du
nombre M de simulations, lorsque So = 1000, K = 800, r = 0,05, a = 0.2 et T = 1.
300
1
,
1
1
1 Prix exact' _
Intervalle de confiance n__n_
260
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1
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1.
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240 r. : t\ ........ ,..J\:,,'.........-..........,....-.......... ,,, .........--.."....---....--.-.----...--.--.-----'---------.----
H " . ,,' .. ..,....-.
','
r
t
220 i
200
o
III 1
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
FIGURE A.1 - Intervalle de confiance à 95% pour le prix d'un CalI, en fonction du
nombre de simulations.
On a vu que X M - IE(X) est en moyenne de l'ordre de Jva ) : ainsi, si l'on
souhaite augmenter la précision absolue d'un facteur 10, il apparaît nécessaire d'aug-
menter M d'un facteur 100, c'est-à-dire de laisser tourner les simulations 100 fois
plus longtemps. Évidemment, cela n'est pas toujours compatible avec des contraintes
3. en effet, on a
( M )
1 2 -2 M-l
lE -EX i - X M = Var(X) .
M i=l M
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
198
A.4. SIMULATION
opérationnelles. Une autre alternative est de diminuer la variance des simulations en
simulant X' au lieu de X, avec IE(X') = IE(X) mais Var(X') « Var(X) : derrière
cette idée simple, se cachent les méthodes de réduction de variance. Avant de les pré-
senter, gardons en tête qu'en pratique, la simulation de telle v.a. X' peut entraîner une
inflation importante de la complexité, de sorte qu'on s'est éloigné en fait de l'objectif
"meilleure précision possible en un temps de calcul donné".
LA MÉTHODE DES VARIABLES DE CONTRÔLE
Nous allons introduire la méthode en considérant le cas de l'évaluation de
IE(g(8 T )), où 8T est une v.a. dont l'espérance est connue et vaut, disons, 8 0 ,
- 1 2
Dans l'exemple du prix d'option, on avait 8T = 8 0 eU WT-2 u T et g(x) =
e- r T (e r T x - K)+. Plus généralement, sous certaines hypothèses, une espérance
de cette forme pourra être le prix d'une option de maturité T, sur l'actif risqué 8
réactualisé du taux d'intérêt r et cet actif (8t)t 0 en tant que processus sera une
martingale, donc d'espérance constante, égale à 8 0 = 8 0 connue.
Le principe de la méthode consiste à, étant donnée une simulation de 8T, calculer
X'({3) = g(8 T ) - {3 (8 T - 8 0 ) avec un certain (3 réel, au lieu de X = g(8 T ) (C 1 =
8 T -8 0 sera dite variable de contrôle). D'une part, ici, la complexité de l'algorithme est
manifestement inchangée. D'autre part, il est facile de vérifier que IE(X'({3)) = IE(X) et
que Var(X'({3)) est un polynôme du second degré, dont le minimum est atteint pour la
valeur (3* = S;» . Ainsi, la moyenne empirique des (XH(3)h::;i::;M va converger
au ssi vers IE( X), mais avec une erreur absolue moindre, puisque proportionnelle à
v V ar (X'({3)).
En général, on ne sait pas calculer exactement le coefficient (3* car cela suppose
de connaître IE(X). Mais en pratique, il peut lui aussi être évalué par méthode de
Monte Carlo, en utilisant les M' premières simulations (M' < < M) pour obtenir
1 M' - -
" M, E--1Xi8iT-XM,80 . . .
{3* (3* = 11,- M' ":2 2 ; pUIS, avec les M - M'autres sImulatIons, on
M' Ei=l 8i,T - 8 0
évalue IE(X) par M M' E M'+l X ( *) (par exemple, M' = 100 et M = 10000).
Exemple. Sur la Figure A.2, on compare le prix d'un CalI (avec le même jeu de
paramètres qu'auparavant) obtenu avec ou sans réduction de variance. Ici, {3* = 0,895.
La variance avant réduction (resp. après) vaut environ 37000 (resp. 607), soit un gain
d'un facteur 61 en temps de calcul pour un ordre de précision donnée.
Cette méthode sera d'autant plus efficace que les v.a. X et 8 T seront corrélées
(Le. 1{3* 1 grand) : ainsi, si l'on reprend l'exemple précédent avec K > > 8 0 , le gain
de variance sera très faible. Pour ce type de situation, l'échantillonnage préférentiel
donnera de meilleurs résultats (voir paragraphe A.4.2).
La généralisation à plusieurs variables de contrôle (Ci)l i n (c'est-à-dire des v.a.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
A. APPENDICES
199
300
240 {.v: \.\ ".'... b'!\:..'........---....-......-..-..........- ." ...._....--.....'.-.-. ---...,- --. -- -..--------.- _"_u .--- -.-0-
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Prix exact --......
Intervalle de confiance SANS reduction de variance mun
Intervalle de confiance AVEC reduction de variance -
,..... -- -...- .........--_... -........... -""... ---... -...... -..... --... --..........................
200
o 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
FIGURE A.2 - Intervalle de confiance à 95% pour le prix d'un CalI, avec et sans
variable de contrôle.
centrées) est bien sûr possible, de sorte à simuler X - {3.C == X - Li (3i Ci au lieu
de X seul. Souvent le bon sens et l'intuition permettent de trouver les variables de
contrôle Ci.
LA MÉTHODE DE L'ÉCHANTILLONNAGE PRÉFÉRENTIEL
L'approche que nous développons maintenant est particulièrement adaptée au cas
où, lors du calcul par méthode de Monte Carlo de IE(X), peu de simulations conduisent
effecti vement à X =1= 0 : généralement, dans ces situations, l'erreur relative mesurée
par VV ar( X) / ( VM IE( X)) restera importante, même pour M très grand.
La nouvelle idée directrice est d'effectuer des simulations sous une probabilité
différente, appropriée au problème: le théorème de Cameron-Martin 5.2.4 (ou plus
généralement théorème de Girsanov) permet d'écrire mathématiquement ce change-
ment de probabilité dans le cas brownien (voir chapitre 5). Autrement dit, on remplace
le mouvement brownien standard W t initial par un mouvement brownien avec dérive
W t + J-Lt (J-L > 0), de sorte à pousser les trajectoires du processus vers les régions où
X =1= 0 : on simule de préférence les trajectoires critiques.
Exemple. Si l'on reprend encore l'exemple du CalI, on a en prenant une dérive
constante J-L
lE (e- r T (8 0 e(r-!u 2 ) T+u WT - K) +)
lE (e- r T (8 0 e(r-!u 2 +u p,) T+u WT _ K) + e-p' WT-! p,2 T) .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
200
A.4. SIMULATION
9
.
1 1 Prix exact _____u
Intervalle de conliance SANS reduction de variance ........
Intervalle de conliance AVEC reduclion de variance -
6
8 \
7 \!
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5
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................:....................................:................
4
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...........
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2
1000
1
1
1
1
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000 9000 10000
FIGURE A.3 - Intervalle de confiance à 95% pour le prix d'un CalI, avec et sans
échantillonnage préférentiel.
La Figure A.3 présentent les résultats avec et sans échantillonnage préférentiel, lorsque
K = 1500, toutes choses égales par ailleurs. Le choix de la dérive J-L, qui peut être
optimisé, est J-L = 3. La variance avant (resp. après) réduction vaut 817 (resp. Il,2)
soit un gain d'un facteur 73 en temps de calcul pour un ordre de précision donné.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
201
Annexe B
Correction des exercices
Exercice 1.11 : à propos du maximum du mouvement brownien et de ses
temps d'atteinte.
la) Comme le paramètre T est fixé, le processus W t = VTw t / T est encore un M.B.
(invariance par changement d'échelle). On a donc
loi -.
sup W t = sup W t = vT sup W t .
O t T O t T O t l
1b) Nous montrons l'égalité des fonctions caractéristiques. Pour u E , on a
IE( e iu SUPO t T w t )
= IE(IE( e iu SUPO t T W t IT)) (propriété de l'espérance conditionnelle)
= IE(IE(eiuVTsuPO t l WtIT)) (propriété lorsque T est constant)
= IE(eiuVTsuPO t l w t ).
1c) Comme lim SUPt-++cx:> W t = +00 et West à trajectoires continues, Px < +00
p.s.
Id) La première inégalité découle de l'inclusion suivante
{pl < 1/4,p2 > 1} = {Pl < 1/4, sup W t < 2} C {.JP1 sup W t < 1}.
O t l O t l
Pour la seconde inégalité, nous utilisons la propriété de Markov forte satis-
faite par W au temps d'arrêt Pl < +00 p.s. Le mouvement brownien translaté
{Wfl = W p1 + t -1, t E +} est un mouvement brownien standard indépendant
de {W t : t < Pl}' Ainsi, si l'on note Pl le temps d'atteinte de 1 par WPl, on a
( ) _ loi
a Pl = Pl ;
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
202
(b) Pl est indépendant de Pl ;
( c) P2 = Pl + Pl ;
Ainsi {Pl < 1/4,p2 > 1} = {pl < 1/4, Pl + Pl > 1} :=) {Pl < 1/4, Pl > 1} d'où
JP>(PI < 1/4, P2 > 1) > P(PI < 1/4)JP>(PI > 1).
le) D'une part, par définition de Plon a JP>(suPO t PI W t < 1) == 0 (en fait
sUPO t PI W t == 1). D'autre part, la question Id) donne JP>(VP1sUPO t 1 W t <
1) > 0 car JP>(PI < 1/4) == JP>(sUPO t I/4 W t > 1) == JP>(I W I / 4 1 > 1) > 0 (en
utilisant sUPO t I/4 W t loi IW I / 4 D et JP>(PI > 1) == JP>(IWII < 1) > O. On ne peut
d . TXT loi _ f'ih TXT
onc aVOIr sUPO t PI YY t = V Pl sUPO t l YY t.
2a) On a
IE(e iuX ) = f+OO >. e->.teiutdt + 1 0 >. e>.teiutdt
Jo 2 -ex:> 2
1 [ À À ] À2
= 2 À - iu + À + iu == u 2 + À2 .
2b) De l'indépendance entre W et Tl, on déduit que WTI conditionnellement à Tl
a loi gaussienne N(O, Tl)' Il en découle
. W . W u2 T 1 + ex:> \ u 2 2À
lE(e tU Tl) == lE(lE(e tU Tl )IT I ) == lE(e- T 1) == Àe-Ate-Ttdt = .
o 2À + u 2
Cela prouve que WT 1 a la loi £8(V2À).
2c) De 1b) et de sUPO t 1 W t loi IWII, on déduit sUPO t TI W t loi .JTîlWII. En pro-
cédant comme au 1b), on montre que .JTîlWll loi IWT11. La loi de sUPO<t<T I W t
est la loi exponentielle (standard) £ ( V2À). - -
2d) La probabilité cherchée est connue quand Tl est déterministe, grâce au principe
de symétrie. Le résultat avec Tl aléatoire indépendant de W s'obtient par un
calcul conditionnel
JP>( sup W t > y, WT I < x) == lE ( JP> [ sup W t > y, WT I < xITI ] )
O t Tl O t TI
= lE (JP> [WT 1 > 2y - xITI]) = JP>(W T1 > 2y - x),
et l'on conclut avec WT I de loi £8 (V2À).
2e) Pour y > 0 et x < y on a
( 1 ) 8xJP>(sUPO<t<Tl W t > y, W T1 < x)
JP> sup W t > Y W T == X == - -
O t TI - 1 V2À2e-V2Xlxl
! V2Àe- V2X (2y-x)
== 2 == e-2V2X(y-x+)
V2Àe-V2Xlxl .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
203
Ainsi, la loi cherchée est celle de x+ + t'S(2 ).
Exercice 2.2. Considérons le t.a. U = T /\ t borné par t! ! La fonction f proposée
n'est pas à dérivée bornée mais comme on l'évalue en (s, Ws)s:::;u E [0, t] x [-y, y]
compact, cela suffit pour pouvoir appliquer la formule (2.2.7). Comme fI + f::x = 0,
il vient lE (cosh(>.WTAt)e- >-22 (TAt») = 1 pour tout t > O. Prenons en la limite lorsque
À 2 À 2
t tend vers l'infini: clairement cosh(ÀWTAt)e-T(TAt) converge vers cosh(ÀWT)e- TT
avec probabilité 1 (car T < 00 p.s), tout en restant borné. Le théorème de conver-
gence dominée donne donc lE (e- >-22 T) = cosh 1 (ÀY) ' en tenant compte de la parité de
cosh(.) et de W T = :l:y. Nous avons obtenu une expression pour la transformée de
Laplace de T, à savoir
lE (e- ILT ) = 1
cosh( y) .
Si l'on cherche la densité de sa loi, il est possible de l'exprimer sous forme de séries
mais nous arrêtons ici les calculs.
Exercice 2.6 : temps d'atteinte d'un niveau par un mouvement brownien
avec dérive.
a) L'évènement {Tt: > t} = {Ys < t : W s + J-Ls < b} est Ft-mesurable.
b) La décomposition d'Itô de M est dMt = uMtdWt. La formule d'Itô en espé-
rance (exercice 2.1) prise au tATIL s'écrit lE (M tAT {;' ) = 1 et conduit â la formule
de l'énoncé.
c) La formule précédente étant valable pour tout t > 0, passons à la limite lorsque
t 00. Le passage à la limite sur l'espérance se justifie par le théorème de
convergence dominée. En effet, pour tout a > (-2J-L)+, on a
i) exp (aW T{;' - ( a2 + J.La)(t A Tt:)) < exp(ab) pour tout t
ii) limt-+oo exp (aW T{;' - ( a2 + J.La)(t A Tt:)) = IT{;'<+oo exp (ab - (!a 2
+ J-Lu)Tt:).
d) Par convergence dominée ou monotone, on justifie que
JP> (Tt: < +00) = lim JE ( 1 1-t < +cx:> exp ( - ( 2 1 a2 + J.La )Tt: ) )
u!( -2/-L)+ b
= exp( -( -2J-L)+b).
e) On a JP>(SUPt O wt > b) = JP> (Tt: < +00) = exp( -( -2J-L)+b). Si J-L > 0,
SUPt O wt = +00 avec probabilité 1; si J-L < 0, SUPt O wt suit une loi ex-
ponentielle de paramètre 21 J-L 1.
f) On pose À = a2 + J-LU et on applique c) en prenant en compte que IT:<+cx:> =
1 p.s.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
204
Exercice 2.9 : loi du premier temps d'atteinte de deux niveaux.
1. Comme J-L > 0, WI-L > WO et le MB standard W O atteint n'importe quel niveau
positif (et par exemple b) en temps fini p.s..
2. La formule d'Itô donne directement hs = exp(-Às)8 x u,\(W,f), en utilisant
l'équation satisfaite par u,\ pour simplifier les intégrales en ds.
3. La formule d'Ito en espérance appliquée au temps d'arrêt Tn = min(n, TI-L)
(bornée par n) donne u,\(O) = JE (exp(-ÀTn)U,\(W-t)). Il reste à passer à la
limite lorsque n tend vers l'infini. On applique le théorème de convergence
dominée. Tn converge p.s. vers TI-L car TI-L est fini p.s.. Quant à la domina-
tion, IW-tl < sup(b,-a), donc exp(-ÀTn)U,\(W-t) < sUPxE[a,b] lu,\(x)1 (puisque
À > 0). On déduit u,\(O) = JE (exp( -ÀTI-L)u,\(W IL)). Enfin, W IL vaut a ou b,
mais u,\ s'annule en a et vaut 1 en b. Cel a finit d e prouver la formule.
4. Comme À > 0, les racines rI = -J-L - V 2À + J-L2 et r2 = -J-L + V 2À + J-L2 sont
distinctes et les solutions de l'équation différentielle du second ordre linéaire
U"(X)+J-LU'(X) = Àu(x) forment un sous-espace vectoriel engendré par exp(rIx)
et exp(r2x) : cela prouve que u,\ est donc bien une solution du l'équation du
second ordre. Les conditions en a et b sont clairement satisfaites pour u,\, ce qui
achève de démontrer que u,\ est LA solution.
5. Par convergence monotone, on obtient : JP>(W IL = b) = lim,\!o u,\(O). Par
ailleurs, un calcul simple à partir de la forme de u,\ montre que lim,\!o u,\(O) =
eXP( ;:) :::( 2ILa) ' De IP(W:,. = a) + IP(W:,. = b) = 1, on obtient IP(W:,. =
a ) = exp( -2I-L b )-1
exp( -2I-Lb)-exp( -2I-La) .
6. On procède comme avant, avec un rôle symétrique de a et b, pour écrire
lE (exp( ->'TIL» = lE (exp( ->'TIL) l w ;,. =b ) + lE (exp( ->'TIL)lw;,.=a)
exp(rix + r2a) - exp(ria + r2x) exp(rib + r2x) - exp(rix + r2b)
+
exp(rib + r2 a ) - exp(ria + r2 b ) x=O exp(rib + r2 a ) - exp(ria + r2 b )
x=o
7. Il suffit de justifier que lE (ex p ( - >'TIL) 1 w;,. =b) = lE ( exp( - >'TIL» IP(W:,. = b)
pour tout À > O. En effet, une égalité similaire aurait forcément lieu avec a à
la place de b. Cela prouverait finalement l'indépendance cherchée. Pour établir
l'égalité proposée, en partant des résultats précédents, il reste à vérifier
1 - exp(2J-Lb)
(exp( -r2 b ) - exp( -r1b) + exp(r1b) - exp(r2 b » (2 b) (2 b)
exp - J-L - exp J-L
= exp( -r2b) - exp( -rIb).
C'est bien le cas, en utilisant la simplification -2J-L = rI + r2.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
205
Exercice 2.10 : un processus ressemblant au mouvement brownien.
la) d cos(W t ) = - sin(Wt)dW t - cos(Wt)dt.
lb) La formule d'Itô en espérance s'écrit: IE(cos(W t )) = 1 - IE J cos(Ws)ds.
Comme la fonction sous le signe intégrale est bornée, on peut permuter l'in-
tégrale et l'espérance, pour obtenir: m(t) = 1 - J m(s)ds. La solution est
m(t) = exp( - t).
lc) W étant à accroissements indépendants, centrés gaussiens, on a
IE(exp(iWt)IF;") = IE(exp(iW s ) exp(i(W t - Ws))IF;")
= exp(iWs)IE(exp(i(W t - Ws)))
= exp(iW s ) exp( -(t - s )/2).
De même, IE(exp( -iW t ) IF;") = exp( -iW s ) exp( -(t - s)/2).
Id) Ecrivant cos(.) et sin(.) sous forme trigonométrique, on obtient à partir de lc) :
IE(cos(Wt)IF;") = cos(Ws)exp(-(t - s)/2),
IE(sin(Wt)IF;") = sin(W s ) exp( -(t - s)/2).
Pour s = 0, on retrouve la formule pour m(t).
2a) Le seul point à vérifier est que limt!l Xt = limtTI X t , ce qui est direct.
2b) Pour u E , en utilisant l'indépendance de BI, BI et W1og(t), on a
IE(exp[iuXd) = IE(IE(exp[iuJt(B I cos(W1og(t») + BI sin(Wlog(t»)))lWlog(t)))
1 2 2 1 2 . 2
= IE( exp( - 2 u t cos (W1og(t»)) exp( - 2 u t SIn (W1og(t»)))
1 2
= exp( - 2 ut).
C'est aussi vraie évidemment pour t < 1 car Xt = Bt. Ainsi pour tout t > 0,
Xt a la loi gaussienne N(O, t).
1. Avant l'instant 1, X coïncide avec le mouvement brownien B et par indépen-
dance des accroissements browniens et des browniens B et B entre eux, on a
IE(XtIFs) = IE(X t - XsIFs) + Xs = IE(X t - Xs) + Xs = XS.
3b) En utilisant les résultats de la question Id), on a
IE( Jt[B I cos(W1og(t») + BI sin(W1og(t»)]lF s )
=JtBlIE(coS(W10g(t») IFs) + JtBlIE(sin(W10g(t») IFs)
= Jtexp( -(log(t) -log(s))/2)(BI cos(W1og(s») + BI sin(W1og(s»))
"V'
vs
=Xs'
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
206
3c) Les cas 0 < s < t < 1 et 1 < s < t sont traités en 3a) et 3b). Reste le cas
o < s < 1 < t : en utilisant 3b) puis 3a), on a IE(XtIFs) = IE(IE(XtIFI)IFs) =
IE(XIIFs) = Xs, ce qui prouve la propriété.
4a) C'est une martingale continue, avec des marginales de loi gaussienne. Mais ce
n'est pas un processus gaussien : par exemple Xt - Xl (pour t > 1) n'est pas
de loi gaussienne N(O, t - 1), puisque
2
U 1-+ IE(exp[iu(X t - Xl)]) = lE (exp ( - (t - 1) + u 2 ( Vi cos(W1og(t) - 1»
u 2
=1= u exp(--(t -1))
2
(l'égalité pour tout u signifierait que la transformée de Laplace de la v.a.
yltcos(Wiog(t») - 1 coïncide avec celle de la v.a. égale à 0, impliquant l'éga-
lité des deux lois, ce qui est manifestement faux).
X n'est donc pas un mouvement brownien.
. ..., 2
4b) d(X)t = It ldt + It>l(-B I sln(W1og(t») + BI cos(Wiog(t»)) dt, renforçant les
arguments pour dire que ce n'est pas un mouvement brownien.
Exercice 5.2 : à propos de certains polynômes du mouvement brownien.
la) Le calcul montre que ta. exp(ax - a2t) = (x - at) exp(ax - a2t) et que
t;2 exp(ax - a2t) = [(x - at)2 - t] exp(ax - a2t), ce qui donne H 2 (t, x) =
x 2 - t. La première formule d'Itô donne donc H 2 (t, W t ) = 2 J WsdW s .
1 b) La seconde égalité découle de la première appliquée deux fois. Montrons donc
la première. Comme l'application de (t, x, a) est infiniment différentiable sur 3 ,
le théorème de Schwarz autorise à permuter l'ordre des dérivations partielles.
Ainsi
aa n 1 2 ana 1 2
-- exp(ax - -a t) = -- exp(ax - -a t)
ax aa n 2 aa n ax 2
an 1 2
= -aexp(ax - -a t)
aa n 2
an 1 a n - l 1
= a âan exp(ax - 2 a2t ) + n âa n - l exp(ax - 2 a2t )
par la formule de Leibniz. En a = 0, on obtient la relation cherchée.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
207
lc) De même, on a
88 n 1 2 a n 8 1 2
8t8a n exp(ax- 2 0'. t) = 8a n 8t exp (ax- 2 0'. t)
18 n 2 1 2
= ---a exp(ax - -a t)
2 8a n 2
1 8 n 1 8 n - 1 1
= __[0'.2- exp(ax - -a 2 t) + 2an exp(ax - -a 2 t)
2 8a n 2 8a n - 1 2
8 n - 2 1
+ n(n - 1) ÔOl. n - 2 exp(OI.x - 2 01. 2 t)]
et le résultat suit en prenant a = O.
Id) Cela découle de la formule d'Itô, puisque d'après Ib) et lc), les termes en dt
disparaissent.
2a) On définit la probabilité jp>0 par d:; = exp(aWT - 4 a2T ). Alors W t O =
Wt-at est un jp>°-mouvement brownien. Ainsi, IEIP'(f(WT) exp(aW T - 4a2T)) =
IEIP'Q (f(WT)) = IElP'(f(WT + aT)).
2b) C'est le théorème de dérivation de Lebesgue qu'il faut appliquer aux deux
membres de l'égalité de la question 2a). Le terme de droite se traite sans pro-
blème. Pour le terme de gauche, la vérification de la domination revient à contrô-
ler sUPlol 118o exp(aWT - 4 a2T ) 1. C'est égal à sUPlol ll(WT -aT) exp(aW T -
4 a2T ) 1 < (IWTI +T)(exp(WT) +exp( -WT)) qui est intégrable. Pour les ordres
supérieurs avec des dérivées bornées pour f, on a
IE(f(WT)Hk(T, WT)) = TkIE(f(k) (WT))'
3a) On sait que
Llo = 8s o IE(h(ST)) = 8soIE(h(SoeUWT-!u2T))
= IE(h' (Soe UWT - !u 2 T)e UWT - !u 2 T),
les hypothèses permettant la dérivation sous l'espérance.
1 2T
3b) En posant f(x) = h(Soe UX -"2 U ), on note que
1 2 T 1 2 T
f'(x) = h'(Soe UX -"2 U )Soae UX -"2 U .
D'où Llo = IE(f'(WT)/(aSO)) = IE(f(W T ) u ;T )'
Exercice 5.3 : formule de symétrie CalI-Put.
1) C'est un des résultats du chapitre 9.
2) La forme explicite de Lest Lt = exp(aW t - 4a2t).
3) L T est bien positive et IEQ(L T ) = 1 (car L est une martingale exponentielle), ce
qui rend valable le changement de probabilité.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
208
4) D'après le théorème de Cameron-Martin, Wts = W t - at est un MB standard
sous (Qs.
5) On a KILt = K exp( -aW t + 4a2t) = K exp( -aWts - 4a2t).
6) On a
Call(O, xe- vT ; T, K) = IEQ(e-rT(STe- vT - K)+ISo = x)
= IEQs(e-rT(STe-vT IL T - K/LT)+ISo = x)
= IEQs (e-rT(x - e- vT Ke vT 1 L T )+).
Or d'après 5), (e-VTKevtILT)t est (sous (QS) un MBG de tendance v et de
volatilité a, partant de K e- vT . On a donc Call(O, xe- vT ; T, K) = IEQ(e-rT(x -
ST)+ISo = Ke- vT ).
Exercice 7.7 : assurance perpétuelle contre la baisse d'un titre.
la) Une condition suffisante est J.L - 4a2 < O. En effet, St = So exp((J.L - 4a2)t +
aW t ) < So exp(aW t ). Comme lim inf t -++ oo W t = -00 avec probabilité 1, on
a liminf t -++ oo St = 0 et Ç,D < +00 p.s.. La condition est nécessaire car si
J.L-4a2 > 0, alors (J.L-4a2)t+aWt t'V (J.L-4a2)t ---+ +00 (car limt-++oo Wtlt = 0).
Ainsi, il est possible que S n'atteigne jamais D.
1b) La formule d'Itô sur le mouvement brownien géométrique d(f(St)) =
f'(St)dS t .+ 4a2St f"(St)dt appliqué à f(x) = x- conduit à
2r
2r 2r S - 2r 2r 2r
- t - -
d[St eT ] = -2 8 dS t + r( 2 + l)St eT dt = rS t eT dt
a t a
2r
2r S;
- - (dS t - rSt dt )
a 2 St
d'où
2r Vi
dVi = rVidt - 2- 8 (dSt - rSt dt ).
a t
On reconnait ainsi l'équation d'autofinancement d'un portefeuille, constitué de
c5(t) = - ¥; titres S (vente) et le reste Vi(l + ) placé en liquidités.
1c) Vi est bien un portefeuille autofinançant. A l'instant Ç,D « +00), le vendeur du
contrat a un portefeuille de valeur liquidative D = K - D (car S D = D),
ce qui permet précisément de donner la possibilité au détenteur du contrat de
vendre le titre au prix K alors qu'il vaut D sur le marché. Par AOA, le prix du
contrat est unique.
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
209
Exercice 7.8 : effet de levier.
1. Comme a est déterministe, It est une intégrale de Wiener. It a donc la loi
gaussienne centrée et de variance At.
2. (It)t<T est un processus gaussien continu centré, de fonction de covariance
KI (s, t) = Cov(Is, It) = Jomin(s,t) a dr = Amin(s,t).
3. Comme a ne s'annule pas, A est strictement croissante, 2 fois continûment
dérivable. A définit donc une difféomorphisme croissant C 2 de [0, T[ sur [0, A T [,
d'inverse C bien défini.
4. Pour tous temps (ti)i et réels (ai)i, ECLF aiBti = ECLF ailcti est de loi
gaussienne car l est un processus gaussien (les C ti sont des temps déterministes).
Donc B est un processus gaussien. Il est continu car composé de deux fonctions
continues (1 et C), centré car l l'est.
5. On a Cov(Bs,Bt) = KI(Cs,C t ) = Amin(Cs,Ct) = ACmin(s,t) = min(s,t) en utili-
sant à la 3ème égalité que C est croissant. B est un processus gaussien centré
continu et de même fonction de covariance que le MB : d'après le polycopié,
c'est un mouvement brownien.
6. Par définition de l'inverse de A, on a lim s -++ oo Cs = T. Ainsi, comme B est un
mouvement brownien, on a p.s. limsuPst+oo Bs = +00 = limsuPst+oo Ic s
lim SUPttT It.
7. Par définition de la stratégie, (s)Ss = vies . Cela donne donc d(e-rtvt) =
-rt
(t)d(e-rtSt) = (t)e-rtSt((J.L - r)dt + adW t ) = ((J.L - r)dt + adW t ).
8. En effet, il reste à poser Qt = a ,J.;; et g(t) = Vo + J J;; (J.L - r)ds, fonction
croissante bornée sur [0, T].
9. On a AT = +00; par les questions précédentes et comme g est bornée, on a
1 . -rtTT +
ImSUPttT e Vt = 00 p.s..
10. En fait, le portefeuille prendra aussi avant T des valeurs négatives arbitrairement
grandes, ce qui risque de limiter au bout d'un moment l'autonomie du trader,
d'une part pour des questions de limites des risques de la banque et d'autre part
pour des questions de liquidité sur le marché. Coté théorie, ce genre de stratégie
sont à exclure des portefeuilles autofinançants car il crée des arbitrages.
Exercice 9.3 : option asiatique.
1) L'intégration par parties de l'intégrale de Wiener donne
l T Wtdt = TWT - l T tdW t = l T (T - t)dW t .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
210
Par propriété de l'intégrale de Wiener, foT Wtdt est une variable gaussienne
centrée de variance foT (T - t)2dt = foT t 2 dt = T 3 /3.
2) De la forme exponentielle de S, on déduit
I T = l T (r - ( 2 )tdt + ; l T Wtdt,
de sorte que la loi de IT est N((r - 4a2)T/2,a2T/3).
3) On a V o = IE(e-rT(Soe IT -K)+). On se retrouve dans un calcul analogue à celui
d'un CalI standard, dans un modèle où la volatilité serait a / J3 et le dividende
q serait donné par r - q - 4(a/J3)2 = (r - 4a2)/2, soit q = r/2 + a 2 /12. On
obtient alors
VO = CallBs(So, 0, K, T;Taux court = r, Taux de dividende = r /2 + a 2 /12,
Vol = a/J3).
Exercice 9.6 : modèle log-normal décalé.
1) La volatilité instantanée est (St!ta)u = a(l+ St )' Ainsi, quand St diminue (chute
de cours), la volatilité locale augmente. C'est conforme à la réalité des marchés
actions (dépendance négative entre volatilité et action).
2) On remarque que (St + a)t o suit l'équation d'un mouvement brownien géomé-
trique, sans drift et volatilité a :
1 2
St = (So + a) exp(aW t - 2 a t) - a.
3) Il suffit de remarquer que ST - K = (ST + a) - (K + a) avec ST + a v.a. log
normale. On a ainsi
C(t, St; T, K) = Call(t, St + a; T, K + a; a, r = 0).
La couverture s'obtient en identifiant dans l'autofinancement le terme en dS t :
par la formule d'Itô générale, ce terme est la dérivée de C(t, S; T, K) en S au
point St, d'où
1 St + a 1
Ot = âsCall(t, 8t+ a ; T, K +a; a, r = 0) = N( V log( K )+ 2 a vT - t).
a T-t +a
4a) On omet d'écrire r = 0 dans les formules de BS. D'un coté par la question 3),
on a
C(O, So; T, So) = Call(O, So + a; T, So + a; a, r = 0)
1 1
= (80 + a)(N( 2 aVT ) - N( - 2 aVT))
1
= (So + a) rrc aVT + O(T).
v21r
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
211
De l'autre coté par l'égalité (Vol Imp), on a
C(O, Bo; T, Bo) = Call(O, Bo; T, Bo; uimp(T, Bo))
1 1
= So(N( 2 Uimp(T, So)VT) - N( - 2 Uimp (T, So)VT»
1
= Bo . /CC uimp(T, Bo)VT + O(T).
v21r
En égalisant les deux expressions et en prenant la limite lorsque T tend vers 0,
on déduit la limite cherchée.
4b) On différencie l'égalité (Vol Imp) des prix par rapport à K avec K = Bo. D'un
coté, par la question 3)
8 K C(O, Bo; T, K)IK=So =8 K Call(O, Bo + a; T, K + a; u, r = O)IK=So
1
= -N(--uVT)
2
1 1 U
= - - + --vT+O(T).
2 V'ii2
De l'autre coté, on a
8 K C(O, Bo; T, K) IK=So
=8 K [Call(O, Bo; T, K; uimp(T, K))] IK=So
=8 K Call(O, Bo; T, Bo; uimp(T, Bo))
+ 8 u Call(O, Bo; T, Bo; uimp(T, B o ))8 K U imp(T, Bo)
1 . . 1 u mp(T,Bo)
=-N(- 2 Uimp (T,So)vT)+SovT V'ii exp (- 8 T)8 K U imp(T,So)
1 1 uimp(T, Bo) 1 ( ) ( )
= - - + . /CC vT + BovT . /CC 8 K U imp T, Bo + 0 T .
2 V 21r 2 V 21r
En égalisant les deux expressions et passant à la limite en T = 0 (en utilisant
4a), on obtient après simplification
lim 8KUimp(T, Bo) = - a: 2 .
T-+O 2ùo
Qualitativement, la pente de la volatilité implicite est négative, ce qui est
conforme avec le skew négatif observé sur les marchés actions.
Quantitativement, le résultat se lit ainsi : à court terme et à la monnaie, vol
implicite et vol locale sont égales, et la pente de la vol locale est double de celle
de la vol implicite. C'est vrai de manière général dans les modèles à volatilité
locale: d t = u(t, Bt)dW t .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
212
4c) On tire des prix de marché (à court terme) la volatilité implicite à la monnaie
K = So et sa pente par rapport à K. On identifie ces deux quantités avec
a(l + 80 ) et - 2a , pour obtenir a et a.
Exercice 10.5 : quelques formules dans un modèle de Merton.
1. dS t = St- [Jldt + adW t + YidNtJ.
2. Appliquons la formule d'Itô au processus (St)t et à la fonction f(x) = x k . Si k
est positif, la fonction f est bien Coo. Sinon, elle l'est sauf en 0, mais ce n'est
pas un problème car le processus S ne s'annule pas. Cela donne
dSk t-
,
1 22
= kSk-l,t-St-[Jldt + adW t ] + 2 k (k - l)a Sk-2,t-St_dt
+ [S:_(l + Yi)k - S:_]dN t
1
= Sk,t-([kjL + 2 k(k - 1)a 2 ]dt + kadW t + [(1 + yt)k - 1]dN t ).
3. Il suffit d'identifier les décompositions d'Itô. Coté rendement historique, on a
Jlk = kJl+ 4 k (k -1)a 2 . Coté volatilité, on a ak = ka. L'intensité des sauts n'est
pas modifiée: Àk = À. Le processus d'amplitude de sauts Yk,t vaut (1 + Yi)k -1.
Cela signifie que les sauts (Yk,i)i du nouveau processus sont tels que 1 + Yk,i =
(l+Yi)k = m k exp(akG i -4 a2k ) = m k exp(4(ak)2-4 a2k ) exp(akG i -4(ak)2) :
ils sont donc log-normaux décalés avec mk = m k exp(4a2k(k - 1)) et ak = ka.
La valeur initiale de S: est S .
4. Ck(Jl,a,À,m,a,So,K) = Cl(Jlk,ak,Àk,mk,ak,S ,K) avec les paramètres de
la question précédente. CI est donnée par la formule explicite de Merton.
5. On a IE(ST) = SoeJLTIE(e-!u2T+uWT)IE(n (l + Yi)) = SoeJLTeE(Y)ÀT =
Soe(JL+Àm)T.
6. Il faut et il suffit que Lt soit d'espérance égale à Lo = 1, ce qui par la question
précédente donne la condition Jl + Àm = O.
7. L T est bien un v.a. positive et son espérance sous JP> vaut bien 1 par la question
précédente.
8. L T = exp( -4a2t + aW t ) exp(E I" t l l n (l + Yi) - Àm). Sous Q, W = W t - at
est un mouvement brownien. La volatilité a est donc inchangée et le rendement
devient JlQ = Jl + a 2 .
9. La JP>-loi de Yi est gaussienne N(ln(l + m) - 4a2, ( 2 ) ; de plus, avec les nota-
tions du poly, le changement de probabilité correspond à une transformation de
Esscher avec f(Yi) = Yi (Théorème 4.4.1 du poly). La densité de la Q-loi des
sauts Yi vaut donc ce f (Y)e-!(y+!o:2- l n (1+m»2/o:2, soit c'e-!(y-!o:2-ln(1+m»2/o:2
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
213
(à des constantes de normalisation c, e' près). On en déduit donc aQ = a et
-4a2 - In(l + m) = 4a2 - In(l + mQ), soit 1 + mQ = (1 + m) exp(a 2 ). Tou-
jours par les résultats sur les changements de probabilité, on sait enfin que
ÀQ = ÀIEIP(exp(Y)) = ÀIEIP(l + Y) = À(l + m).
10. Par changement de probabilité, on a
Ek(J.L, a, À, m, a, 8 0 , K) = 8 0 IEIP(L T (8k-1,T - K)+) = 80IEQ(8k-1,T - K)+.
La dernière espérance est donnée par la fonction Ck-1 avec des paramètres
(J.LQ, aQ, ÀQ, mQ, aQ, 8 0 , K), ou de manière équivalent par la fonction CI avec
des paramètres J.Lk-1 = (k - l)J.LQ + 4(k - l)(k - 2)aô, ak-1 = (k - l)aQ,
Àk-1 = ÀQ, mk-1 = m -l exp(4aÔ(k - l)(k - 2)), ak-1 = (k - l)aQ et 8 -1.
Exercice 10.6.
2a) Le titre actualisé est martingale si et seulement si J.L+ 4a2 +À( - ) = r.
2b) LT = e- rT t- est positive, d'espérance 1 sous JP> : cela définit bien un changement
de probabilité. On vérifie qu'il se met sous la forme
LT = exp (UWT - u2T) exp ( ? Yï - L (e Y - l)ÀTV(dY)) .
Sous JP>*, (W, N, (Yi)i restent indépendants. De plus, sous JP>*
(a) wt = W t - at est un mouvement brownien: celà conduit à Xt = (J.L +
a 2 )t + aWt + E f"'t 1 Yi.
(b) Nt est un processus de Poisson d'intensité À* = ÀJ eYv(dy) = À(P 17; l +
q 17; 1 ).
(c) Les sauts (Yi)i ont pour loi commune
v*(dy) = eYv(dy)
J eYv(dy)
P'fJ1 -(171- 1 )Y1 d + q'fJ2
+ -IlL e y>O Y + -IlL
P 171 -1 q 172+1 P 171- 1 q 172+1
. .
=p*'fJ e-171Y1y>ody+q*'fJ e172Y1y<ody
e(172+ 1 )Y1 y <ody
...2U...- -2ZL
* - P 711 -1 * - q 712 + 1 * - 1 0 t * - 1
avec p - ...2U...- + , q - ...2lL + , 'fJl - 'fJ1 - > e 'fJ2 - 'fJ2 + >
p 711- 1 q 712+ 1 P 711 -1 q 712+ 1
O.
Sous JP>*, le modèle est encore de type Kou-Wang, avec des paramètres J.L*
11. + a2 a* = a et P * q * 'fJ * 'fJ * définies ci-dessus
,..." , , l' 2 .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
214
2c) En linéarisant le payoff à l'aide de la région d'exercice {ST < K}, on a
e-rTlmino:5;t:5;T St5:D(K - ST)+ =e- rT K1sT5:K 1mino:5;t:5;T St5:D
- SoLTlST5:K 1mino:5;t:5;T St5:D.
On en déduit
VO = e- rT KJP>(ST < K, min St < D) - SOJP>*(ST < K, min St < D)
05:t5:T 05:t5:T
= e- rT KW(So, T, K, D; J.L, a,p, q, 'f}1, 'f}2) - Sow(So, T, K, D; J.L*, a* ,p*, q*, 'f} , 'f} ).
3a) La formule d'Itô en espérance appliquée à la fonction (t, x) e- rt f(x) s'écrit
lE(e- rU f(Xu» = f(O) + IE( lU e- rs [ - r f(Xs) + p,f'(X s ) + u2 f"(Xs)
+ À L [f(Xs + y) - f(Xs)JV(d Y )] dS).
Pour s < U < 7, Xs > -b par définition de 7. Ainsi, la fonction f et ses dérivées
calculées en Xs coïncident avec celles de e-,8(x+b). Un calcul direct montre alors
que
- rf(X s ) + p,f'(X s ) + u2 f"(Xs) - À L f(Xs)v(dy)
1
= e-,8(X s +b) ( -r - J.L{3 + -a 2 {32 - À).
2
De plus, en découpant l'intégrale sur y en J ;'-X. , J b-X. et Jo+ oo , on obtient
L f(Xs + y)v(dy)
= l:-X. q172f(X s + y)e'12Ydy + l:-x. q172 e -/3(x.+y+b)e'12Ydy
+ 1+ 00 P17l e-/3(x'+Y+b) e- 1J1 Ydy
=qe-172(Xs+b) j o 172f(z _ b)e'12Zdz + q 'fJ2 (e-/3(x.+b) _ e- 1J2 (X'+b»
-00 'f}2 - (3
+ P 'f}1 e-,8(X s +b).
'f}1 + (3
En regroupant les termes semblables, on obtient
- r f(Xs) + p,f'(X s ) + u2 f"(Xs) + À L [f(Xs + y) - f(Xs)Jv(dy)
= e-,8(Xs+b)(G( -(3) - r) + À q e- 172 (Xs+b)( j O 'fJ2f(z - b)e'12Zdz _ 172 )
-00 'f}2 - {3
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
215
ce qui conduit à la formule donnée.
3b) C'est la même démarche que précédemment avec la somme de deux fonctions de
type e-,8(x+b). Le choix spécifique de (3 satisfaisant G( -(3) = r fait disparaitre
un des termes de (10.4.1).
3c) La condition Al + A 2 = 1 assure que la nouvelle fonction g définie est juste
continue mais pas C 2 . Il faut suffit de prendre une suite (gn)n Ct vérifiant
(10.4.3) et convergeant uniformément vers g. Comme (10.4.3) ne dépend pas
des dérivées de gn, il est facile de passer à la limite sous l'espérance.
3d) C'est la conséquence de la question 3c) en prenant le temps d'arrêt U = 7 /\ P
borné par p. Le second terme en (10.4.3) s'annule car J oo 7]2g(Z - b)e 172Z dz = 1.
3e) Nous passons à la limite lorsque p ---+ +00 en appliquant le théorème de conver-
gence dominée. D'une part, e-r(TI\P)g(X(TI\P») est bornée uniformément par
1 et converge vers e- rT . En effet, si 7 = +00, e-r(TI\P)g(X(TI\P») converge
vers 0 = e- rT (car r > 0). Si 7 < +00, X T < -b c'est-à-dire g(X T ) = 1,
e-r(TI\P)g(X(TI\P») converge vers e- rT g(X T ) = e- rT .
3f) On suit le même cheminement qu'aux questions 3c-d-e) en posant g(x)
lx<-b-y avec Al +A 2 = 0 (continuité de g en -b) et e- 172Y = Al 172"!!,81 +A 2 172 "!!,82
4a) En effet quand 7 < +00, on vérifie que 1 - Jo+ oo e-Ylx-r<-b-ydy = 1 -
Jo-b-X-r e-Ydy = eb+X-r, d'où
1 +00
-rT -rT -y _ -rT b+X-r
Ke - De lr<+oo(l - 0 e lXT<-b-ydy) - lr<+ooe (K - De )
- 1 -rT (K Cf x-r ) - -rT (K S )
- T<+ooe - ùoe - e - T +,
en utilisant IT<+ooe- rT = e- rT (r > 0).
4b) Une application du théorème de Fubini combinée à 4a) mène à
(+oo
V(So) = (K - D)IE(e- rr ) + D Jo e-YIE (e-rrlxT<_b_y) dy.
En reportant les expressions (10.4.4) et (10.4.5) et en notant que e- f3b = ( fa ) f3,
on obtient ce qui est demandé.
4c) On a
d[S;f3] = -{3S;!((p,+ (2)dt+udWt) + {3({3+ 1)S;!u 2 dt
+ ([St_eYt]-,8 - S;!)dN t .
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
216
4d) La formule d'Itô nous conduit à
1
d[V(St)] = - (B 1 {31 (D / St- )/31 + B 2 132(D / St- )/32)((JL + 2 ( 2 )dt + udW t )
1
+ -a 2 (B 1 {31({31 + 1)(D/S t _){31 + B 2 {32({32 + 1)(D/S t _){32)dt
2
+ BI ([De- Yt /St_]{31 - [D/S t _]{31 )dN t
+ B 2 ([De- Yt /St_]{32 - [D/St_](32)dN t .
Pour que V(St) soit la valeur d'un portefeuille autofinançant investi dans c5(t)
titres S, il faudrait que les coefficients de dW t et dN t soient respectivement de
la forme c5(t)aSt- et c5(t)St_eYt, ce qui n'est pas le cas. V(St) est le coût associé
à une couverture (imparfaite) en moyenne quadratique.
Exercice 10.7 : stratégie du coussin.
la) Cela correspond à un placement initial de N € en liquidités.
1b) On a c5(t)St = mCt.
1c) Comme d(e-rtC t ) = d(e-rtvt - N) = d(e-rtvt) = c5(t)e-rtSt((J.L - r)dt +
adW t ) = me-rtCt((J.L - r)dt + adW t ), e-rtC t est bien un MBG de tendance
m(J.L - r) et de volatilité ma. Le passage à la forme exponentielle donne
1
e-rtC t = (1 - N) exp((m(JL - r) - 2 m 2 ( 2 )t + muW t ).
Id) Comme Co > 0 et que C est un MBG, le coussin reste toujours positif, et donc
vt > Pt. Comme m > 1, le portefeuille est plus volatile que le titre.
le) On a directement IE(VT) = Ne rT + (1 - N)e(r+m(p,-r»T et Var(VT) = (1 -
N)2e2(r+m(p,-r»T(em2u2T - 1).
If) Lorsque m tend vers l'infini, la moyenne du portefeuille tend aussi vers l'infini.
De plus, si l'on choisit N = e- rT , on assure dans tous les scénarii de marché au
moins PT = 1 € à échéance, avec une espérance de gain tendant vers l'infini, ce
qui paraît très attractif! ! En théorie, il faut réajuster le portefeuille continûment
dans le temps, ce qui est impossible en pratique. En particulier, il y a des
risques importants d'enfoncer le plancher si le titre chute brutalement et si le
réajustement du portefeuille n'a pas eu le temps d'avoir lieu.
2a) Comme d(e-rtC t ) = c5(t)e-rtSt_((J.L - r)dt + adW t + ytdN t ) = me-rtCt_((J.L-
r)dt + adW t + ytdN t ), on déduit la relation cherchée.
2b) La forme explicite de C t devient
Nt
e-rtC t = C o e(m(p,-r)-!m 2 u 2 )t+muW t II (1 + mYi).
i=l
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
B. CORRECTION DES EXERCICES
217
La relation demandée en découle.
2c) La première assertion est un résultat du chapitre sur les sauts car (Ut)t se
met sous la forme E ft l !(Yi). Ainsi c'est bien un processus à accroissements
indépendants et c'est de plus un processus de comptage: c'est donc un processus
de Poisson standard. Son intensité se calcule par le théorème de superposition
ou par la fonction caractéristique de U I qui vaut
iul 1 .
JE( e iUU1 ) = e À fR(e Y<- m -I)v(dy) = eÀIP(Y l <- )(e'tu_I).
2d) On a simplement P(Y I < - ) = P(ln(l + YI) < In(l- )) = q(l - )1}2.
2f) Dans ce cas P(Y I < - ) = P(ln(l + YI) < In(l- )) = N( [ln(l- )-
(In(l + mo) - Q2/2)]).
LES OUTILS STOCHASTIQUES DES MARCHÉS FINANCIERS
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Physique statistique et illustrations en physique du solide. - C. Hermann - 292 pages - ISBN 978-2-7302-1022-5
Bases physiques de la plasticité des solides - J.-C. Tolédano - 264 pages - ISBN 978-2-7302-1378-3
Physique des électrons dans les solides. Structure de bandes, Supraconductivité et Magnétisme. H. Alloul -
Tome 1 - 360 pages - ISBN 978-2-7302-1411-7
Physique des électrons dans les solides. Recueil d'exercices et de problèmes. H. Alloul
Tome 2 - 272 pages - ISBN 978-2-7302-1412-4
www.editions.polytechnique.fr
Achevé d'imprimer en février 20 Il. Dépôt légal : 1 er trimestre 20 Il
ISBN 978 - 2 -7302 - 1579 - 4. Imprimé en France
Mathém Iques appliquées
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El Karoui
Emmanuel
Gobet
Nicole El Karoui est professeur à l'Université Pierre et Marie Curie, après avoir été pendant dix ans
professeur à l'École Polytechnique. Spécialiste du contrôle stochastique, elle a orienté ses recherches
depuis une vingtaine d'années autour des problèmes d'optimisation en finance. À l'École Polytech-
nique, elle a créé l'équipe de recherche en mathématiques financières, qui a maintenant un rayon-
nement international, grâce notamment aux professeurs E. Gobet et N. Touzi et au soutien financier
des banques via la Fondation du Risque et la Fédération des Banques Françaises.
C'est par le biais du DEA de Probabilités et Finance, (Paris VI-École Polytechnique) qu'elle a monté en
1990 avec H.Geman, qu'elle s'est fait connaître dans les marchés financiers du monde entier, allant
jusqu'à faire la «une» du Wall Street Journal en 2006. Les « quant s » français sont très appréciés
dans les banques d'investissement, même si parfois ils ont été accusés d'être à l'origine de la crise. Le
present ouvrage est une introduction aux outils de la finance de marché.
Emmanuel Gobet est ancien élève de l'École Polytechnique. Il a été successivement enseignant-
chercheur à l'Université Pierre et Marie Curie, à l'École Polytechnique, à Grenoble INP- Ensimag.
Il est actuellement professeur de mathématiques appliquées à l'École Polytechnique. Il est spécialiste
des processus stochastiques notamment sur les problématiques de simulation, d'approximation ou
d'estimation, en lien avec les applications notamment en finance. Par ailleurs, il a de multiples colla-
borations industrielles avec les établissements financiers, assurances ou énergéticiens.
Depuis 40 ans, les outils mathématiques probabilistes ont montré leur rôle central dans le develop-
pement d'outils d'aide à la décision pour les marchés financiers. Ils offrent un cadre méthodologique
robuste de modélisation et calcul des risques associés aux produits dérivés, ces fameux instruments
financiers qui dépendent de manière plus ou moins complexe d'autres produits financiers plus simples
(actions, indices, taux de change, taux d'intérêt, matières premières ...). Cet ouvrage se veut être une
introduction aux outils stochastiques de la finance de marché, et à leurs utilisations dans la gestion
dynamique des produits dérivés. Pour le développement des outils probabilistes du calcul stochas-
tique, nous suivons une approche élémentaire à la Fôllmer, qui permettra à un lecteur ayant juste
des bases de probabilité de rentrer plus facilement dans le sujet. Pour autant, cette grande simpli-
fication permet de traiter de manière complète des applications aux options (simples ou exotiques)
sur actions, à la modélisation des taux d'intérêt ou du risque de crédit. À travers l'expérience de la
crise financière actuelle, nous expliquons l'importance des hypothèses sous-tendant l'utilisation de
ces outils en salle de marché.
Le niveau prérequis à la lecture de cet ouvrage est celui de niveau Master 1, ou 2 e année d'école
d'ingénieurs. Cet ouvrage, nous l'espérons, intéressera aussi des étudiants plus avancés ou des en-
seignants-chercheurs, désireux de dégager des idées et arguments simples pour exposer des outils
avancés dans le domaine de la finance de marché.
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Illustration de couverture:
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ÉCOLE
POLYTECHNIQUE
Pal'isTech
ISBN 978-2-7302-1579-4
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9 782730 215794