2013
1Пичност^
в'Устории
ISSN 0869-5814
llllllllllllllllllllll
770869 581002
К*ё’А I’S'S
Игры, конкурсы и советы
для развития
твоих способностей'
Присоединяйся!
Твои замечания
и предложения помогают
сделать наш сайт лучше.
Пиши на web@klepa.ru
Можно и о себе рассказывать, и
4 свои фотографии публиковать! Ч
Это по мне!
Такой миленький сайтик!
f Оп-па-ля! |
Добро пожаловать
на новую площадку
для нашего
ОБЩЕНИЯ!
Вместе - интереснее.'
Заходи на сайт WWW.klepa.ru
Журнал »Клёпа° № 10, 2013 год
Для детей от 6 до 12 лет
У-редитали: СОЗ «КЛЕПА». Дубинина Н.Ю
Издатель: ООО «Сосе-Кл
Главный редвгор,
генеральный дирегор кздателвстеа
Ча-алия Дубинина
Замес-италь -лаз-сго редак-сра
Елена Корифеев
Выгуааюиий редагтор:
Александр Моамк-Мсн-вид
Дизай-, еаэс-ка предп&втнае гдэгс-свка
Мари® Сарлз
Корректор:
Е»з-еринз A.ietree-c«
Над номером работали:
А. Галагане. 3. Ко-сватов £ ₽еэ-инеч«о
Саеченков П. Ceeapuos, С. Хрибар
Исгользсааны фото и рькр-ки
из аренде реда<ции.
О-дел рекламы: maragerSMepa п.
Адрес р=дв«1ми
Россия. 123СО1. г Мсскеа
ул. 5. Садовая, £46.
Гея фа«с: (495)699-1239
Эл. гонга кйраЭЬера ru
Зп. вере» waw«ере п.
Теридднчнос-ъ: 12 выгусив/год
Тираж 25 000 за.
Задание арегистрирсванс
е Комите-е ₽Ф по печати в 1SGO г
Рет.: ЛИ 77-5)93 от 10.08.2000 г.
Налоговая льгота - общерохийзий
клэо:м:и«а-ср продутый OK-OOS-SG.
том 2; 852300
Оте-а-аю ОСО «ВиЕа-С-ар»
Зз»нз Чг 126253. Цена договорная.
Содержание журнала аацииэно авторс-
ким правом и не макет использоваться без
письменного согласия иадга--я
эьлу» издз-ия <к-,иес*Е.-ён гри финан-
совой поддержке Федерального агентс*ва ПО
пенатм и маооэвыи комыуиика_иям
йедахи® агрсэе .т,6ликовгт8 лсбые гри-
дганньд на ее адрес гросаерания и гисгиа
Факт лвресалки оэ-ачзе- согласие их аа-орз
на передачу эеда»ми всех иэжнгелиьх
прав на нргользсеаниа произведен» е лю-
бой форме и любым способом.
2
4
6
8
Редакционная подписка
самая выгодная и надёжная
см. стр. 32
Подписные индексы:
Роспечать - 20394
Межрегиональное агентство
подписки - 12456
Книга-Сервис - 15512
(^держание
Клёп-тема
Царство математики
Клёп-история
10
12
14
[[и^аГор и еГ° iKKojia
^наменитые задачи пр-
Заклёпки
][нтересные числа
Личность в истории
Л-С- понщряГин
Семейные странички
"Династии математик^
Открытия Капи-Капи
Математика и красота
16
18
Клёп-игротека
Эко-клёп
20
22
24
26
30
Клёп-тур
Клёп-опыт
^-jtjAeca ленты \feoujjca
Клёп-комикс
^{атеМатика и телепатия
Клёп-читалка
[еГенда о шахматной Доске
Клёп-мнфо
Арифметика изучает чис
ла. Если математика - ца
рица всех наук, то арифме
тика - царица математики
А как же иначе, если числа -
основа математики?
Кибернетика - наука об
управлении. Без неё невоз-
можно было бы делать ро-
ботов. Современные кибер-
нетики пытаются создать
искусственный интеллект!
Великий учёный Гаусс не зря назвал
математику царицей всех наук!
Здесь перечислена только малая
часть разделов математики!
VfauieMamuKu
Геометрия исследует фигуры
и их свойства. В переводе с
греческого слово «геометрия»
означает «измерение земли», j
Топологию называют «резино-
вой геометрией». Она изучает те
свойства фигур, которые не из-
меняются при сжатиях и растяже-
ниях. Топологию применяют при
разработке микросхем, составля-
ющих основу электронной техники,
а также в медицине и генетике, j
Алгебра занимается различными
операциями с числами. Причём
конкретные числа и действия над
ними в ней заменяются буквами и
символами.	j
Математические методы исподьзу-
ются во всех естественных науках
и во многих гуманитарных! Знание
математики необходимо в большин-
стве современных квалифицированных
профессий!
Теория вероятностей
позволяет рассчитать,
каковы шансы, что про-
изойдёт какое-ли-
бо событие. Она - \дГ;
основа математиче-
ской статистики.
V
S
Египет, чтобы
Пифагор
Думаю, числа не
управляют миром,
но хорошо его
описывают!
Пифагор был не только математиком
но и философом, и политиком,
и мистиком! Его ещё называли
«величайшим эллинским мудрецом».
Жизнь Пифагора овеяна многими легендами. Родил-
ся будущий великий математик и философ в 570 году до
н. э. на греческом острове Самос. Известно, что с ран-
него детства он проявлял интерес к музыке, живописи
и литературе. В 18 лет Пифагор уехал в
обучаться у жрецов и постигать древ-
ние премудрости, и прожил он там
22 года. В 525 году до н. э. пер-
сидский правитель Камбиз за-
хватил Египет, и Пифагору
пришлось на какое-то время
смириться с ролью раба и
перебраться в Вавилон. Одна из древних ле-
генд гласит, что в Вавилоне Пифагор позна-
комился с персидскими магами и идеями
восточной мистики и мифологии.
Пифагор глубоко верил в то, что миром
управляют числа, а в основе мироздания ле-
жит математика. Считается, что он пришёл к
этому убеждению, наблюдая за различными
явлениями жизни. Однажды, проходя мимо
кузницы, Пифагор прислушался к ударам мо-
лота по наковальне. Мудрец задался вопро-
сом: от чего зависит высота звука? Результатом
его размышлений и последующих опытов стало
открытие законов гармонии. Наиболее благозвуч-
ные интервалы связаны с определёнными чис-
ловыми отношениями длины струн музыкальных
инструментов, заключил Пифагор.
А ещё Пифагор одним из первых понял, что
Земля имеет форму шара. Он
считал, что она, как и другие
планеты, вращаются вокруг
Центрального огня. Движе-
ния планет подчиняются
на греческой марке

строгим числовым законам и рождают особую гармонию -
музыку сфер.
Самое известное открытие Пифагора - его знаменитая
теорема. По преданию, доказав её, учёный так обрадо-
вался, что принёс в жертву богам гекатомбу - 100 быков.
Вернуться на родной Самос он смог лишь в 56-лет-
нем возрасте. В Греции Пифагор не только стал зани-
маться наукой самостоятельно, но и собрал вокруг себя
очень много учеников.
Пифагорейская школа отличалась строгими прави-
лами. Некоторые из них были вполне разумными и очень
прогрессивными для своего времени: так, у пифагорейцев
мужчины и женщины пользовались равными правами, вся собственность раз-
делялась между членами общины. А вот другие кажутся нам теперь непонят-
ными и смешными. Пифагорейцам запрещалось есть бобы, прикасаться к
белому петуху, ходить по большой дороге... Правда, некоторые историки
считают, что эти правила понимались не буквально, а символически.
Например, правило «огня ножом не вороши» могло означать «не за-
девай гневливых людей». Пифагорейцы верили в переселение душ.
Причём душа человека, по их представлениям, могла возродиться и в
животном. Поэтому они не употребляли в пищу мяса.
Пифагор и его ученики хранили свои знания в тайне от непо-
§ свящённых. Известны же они стали благодаря одному из нера-
2 дивых учеников, KO-
S' торый потерял деньги
5 общины и, чтобы по-
£ крыть недостачу, стал
$ зарабатывать препода-
ванием геометрии.
Примечательно, что Пи-
фагор и его последователи
хотели изменить жизнь в гре-
ческих городах в соответствии
со своими взглядами. Это и погуби-
ло великого учёного. Школа пифа-
горейцев была разгромлена поли-
тическими противниками, многие
его ученики погибли. По одним
сведениям, среди погибших был
и сам Пифагор. А по другим - он,
удручённый гибелью соратников,
уморил себя голодом.
ФА. Бронников «Гимн пифагорейцев
восходящем у солнцу»

В XVII веке во Франции
жил шевалье де Мере, азартный игрок в
кости. Эта простая игра состоит в том, что
сагд7ь игроки поочерёдно бросают два кубика, а по-
беждает тот, у кого выпало больше очков. Де Мере очень хотел знать, како-
вы шансы на то, что выпадет определённое число очков. Это ему было нуж-
но для того, чтобы делать правильные ставки, ведь в кости играли на деньги.
Кроме того, он интересовался, как справедливо разделить выигрыш между
игроками, если игра не окончена.
С этими вопросами де Мере обратился к двум своим великим соотече-
ственникам, Блезу Паскалю и Пьеру Ферма. Математики быстро решили
предложенные задачи, но не остановились на этом. Между ними завязалась
оживлённая переписка, в процессе которой они ставили и решали новые,
более общие проблемы. Её результатом стало появление нового раздела
математики - теории вероятностей.	,
.	М. Черкхюцци
'Солдаты, играющие в кости-
Хорошо поставленная задача может |
привести к возникновению
новой теории!

В XVIII веке в городе Кёнигсберг (теперь он называется Калининград)
было семь мостов. Среди кёнигсбержцев в те годы была популярна такая
задача: как пройти через все мосты и вернуться на прежнее место таким об-
разом, чтобы не переходить ни один из них дважды? Авторство этой задачи
приписывают жителю Кёнигсберга, великому философу Иммануилу Канту.
Многие горожане пытались решить задачу практически, во время прогулок,
но никому это не удавалось.
О задаче семи мостов узнал великий математик Леонард Эйлер. Она
оказалась очень сложной. «Никто ещё до сих пор не смог это проделать,
но никто и не доказал, что это невозможно... Для решения недостаточны ни
геометрия, ни алгебра, ни комбинаторское искусство»,- писал Эйлер. В кон-
це концов, учёный сумел доказать, что задача не имеет решения. Для этого
ему пришлось создать новый раздел математики - теорию графов.
Вскоре после этого проблему семи мостов «решил» немецкий
кайзер Вильгельм. Когда ему рассказали об этой задаче, он просто
приказал построить восьмой мост. После того, как в Кёнигсберге поя-
вился мост Кайзера, пройти по всем мостам ровно по одному разу не
составляло труда.

•йцдаеуесные чи
Каждое число интересно
по-своему! Но некоторые
из них всё же особенные!
Пифагорейцы (о них мы уже писали на с. 4) при-
писывали всем числам глубокий мистический смысл.
Числа, например, делились на мужские (нечётные)
и женские (чётные). Число 5 в этой
ft	системе символизировало брак,
союз женского (2) и мужского
(3) начал. Единица же счита-
>	лась числом универсальным.
)	Но самым важным, священ-
д	)	ным числом пифагорейцев
было 36, а клятва числом 36 -
Jf iU самой страшной клятвой.
У дружественных чисел сумма всех делителей первого числа равна
сумме всех делителей второго числа. (Напомним: делитель числа - это
то число, на которое оно делится без остатка). С древних времён была
известна пара таких чисел: 220 и 284. (Проверим: 220 делится на 1, 2,
4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, а 284 - на 1, 2, 4,
71 и 142. 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,
а 1+2+4+71+142=220). По преданию,
на вопрос, кого следует считать другом, от-
ветил: «Того, кто является моим вторым
Я, как числа 220 и 284». В Средние века
эти два числа считались талисманами,
которые способствуют укреплению
любви и дружбы. Следующие друже-
ственные числа, 17296 и 18416, ста-
ли известны лишь через столетия. А
в конце XIX века итальянский мальчик
Никколо Паганини (тёзка великого
скрипача) открыл пару дружествен-
ных чисел 1184 и 1210, которую не
заметили знаменитые математики.
Ещё одна категория чисел, кото-
рым придавался мистический смысл -
совершенные числа. Они дружественны
самим себе, то есть равны сумме соб-
ственных делителей. Первое из таких чи-
сел - 6. В Греции и Риме на пирах шестое
место предоставлялось самому почётно-
му гостю. Если верить Платону, шестёрка
была в особом почёте у жителей Атланти-
ды. Следующее совершенное число - 28.
Именно столько членов было в академии,
основанной последователями Пифагора.
Без числа 7Г (пи, от греческо-
го названия окружности) невоз-
можно измерить длину окруж-
ности или площадь круга. Для
упрощения говорят, что оно рав-
но 3,14. Долгое время матема-
тики пытались найти его точное
значение, а некоторые вычисли-
тели потратили на это всю свою
жизнь! И только в XIX веке было
установлено, что десятичное
разложение 7Г - бесконечно, а
его абсолютно точное значение
вычислить невозможно!
Г Чтобы запомнить первые цифры разложения
л, достаточно запомнить стишок:
«Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны».
I Количество букв в каждом слове - это
Простые числа делятся толь-
ко на самих себя и единицу. Это
2, 3, 5, 7, 11, 13... Ещё древнегре-
ческий математик Евклид доказал,
что их бесконечно много. Самое
большое известное сейчас простое
число состоит из 17 425 170 цифр!
Чтобы его записать, не хватило
бы нашего журнала! Числами-
близнецами математики называ-
ют такие простые числа, которые
отличаются друг от друга на 2. На-
пример, 11 и 13, 17 и 19. Есть даже
числа-тройняшки: 3, 5 и 7. Сколь-
ко существует чисел-близнецов,
науке пока не известно.
Великий математик родился в простой московской се-
мье. Его отец был мелким служащим, а мать - портнихой.
Детство Понтрягина пришлось на трудные годы Первой Ми-
ровой и Гражданской войн. Когда Лёве было 14 лет, у него
в руках взорвался примус, который мальчик хотел починить.
Результатом стали тяжёлые ожоги и полная потеря зрения.
Татьяна
Андреевна
Понтрягина
После этого несчастного
случая «глазами» Понтря-
гина на долгие годы стала
его мама, Татьяна Андреев-
на. Она едва знала грамоту,
но ради сына выучила ино-
странные языки (на которых
в то время печаталась боль-
шая часть математической
литературы) и разобралась
в сложной системе матема-
тических обозначений. Она
читала ему книги по высшей математике и
писала под его диктовку научные статьи.
Лев Семёнович
Понтрягин
(1908-1988)
Мемор иол ьная
доска на доме,
Понтрягин всегда ста-
рался жить так, как будто
у него не было тяжёлого
физического увечья. Он не
пользовался специальны-
ми приспособлениями для
слепых, старался ходить один, без посторонней помощи,
из-за чего постоянно получал ушибы и ссадины, катался
на лыжах и коньках, плавал на байдарке. Университетские
лекции Понтрягин запоминал, а ночами восстанавливал их
где жил в памяти, анализировал и формулировал собственные вы-
Л.С. Понтрягин воды. Порой слепой математик оказывался наблюдатель-
нее своих зрячих коллег. Однажды, например, он, единственный из студен-
тов, заметил ошибку, сделанную преподавателем в чертеже. Видеть чертёж
он, естественно, не мог и определил неточность на слух, по стуку мела.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА
В ОПТИМАЛЬНОМ
УПРАВЛЕНИИ
.7mw
. Cc.wnomt'ta
'оптрягина,
Л.С.Понтрягнн
Научная работа, как правило, ВЦ
требовала от меня предельного
напряжения сил и сопровождалась
тяжёлыми эмоциональными нагрузками...
Радость приходила значительно позже, да
и она омрачалась порой опасением, что в
сделанном содержится ошибка >.
(Л.С. Понтрягин)
Книги Л.С. Понтрягина
Долгое время Лев Семёно-
вич занимался топологией -
одним из самых сложных и
абстрактных разделов мате-
матики. Но затем, уже будучи
всемирно известным учёным,
сменил область деятельности
и занялся прикладной наукой -
в частности, теорией управ-
ления. Он поступил так пото-
му, что хотел, чтобы его ра-
бота находила применение на
практике и приносила людям
непосредственную пользу.
Лев Семёнович не замы-
кался в математике, а актив-
но занимался общественной
деятельностью. Свои мнения
Понтрягин отстаивал даже
тогда, когда это сулило ему серьёзные неприятности. Например, откры-
то поддерживал коллег, оказавшихся в опале. Из-за своей резкости и
бескомпромиссности он нажил немало врагов.
Именем Льва Семёновича названа
улица в Москве и многие важные матема-
тические объекты: характеристические
классы Понтрягина, принцип максимума
Понтрягина, поверхность Понтрягина,
двойственность Понтрягина, критерий
Понтрягина-Куратовского.
Математический институт
академии наук, в котором
работал Л.С. Понтрягин
1908
1922
1925
1935
1958
1988
Родился 21 августа (3 сентября) в Москве
Ослеп в результате несчастного случая
Поступил в Московский университет
Стал профессором МГУ
Открыл принцип максимума Понтрягина
Умер 3 мая в Москве
Самая извест-
ная математическая ди-
настия - швейцарская
семья Бернулли. Она
дала миру девять выда-
ющихся математиков и
физиков. Некоторые из
них работали в России,
пятеро были членами
Якоб Бернулли
Даниил Бернулли
звал «гордостью
рии и всего человечества»,
и Даниил, открывший
физический закон,
носящий его имя.
Петербургской акаде-
мии наук. А кафедру математики в
Базельском университете предста-
вители разных поколений Бернулли
занимали больше 100 лет! Самыми
выдающимися учёными из рода Бер-
нулли были Якоб, занимавшийся те-
орией вероятностей и теорией чисел,
Иоганн, специалист по математиче-
скому анализу, которого Вольтер на-
Швейца-
А.Марков-младший А. Марков-старший
Одни из самых
известных российских
математиков - отец и сын
Андреи Андреевичи Марковы.
В энциклопедиях и матема-
тических книгах их, чтобы не
перепутать, называют Марков-старший
и Марков-младший. Марков-отец про-
славился, в первую очередь, изучени-
ем теории вероятностей. Его именем
назван очень важный математический объект - марковская цепь. Мар-
ков-сын очень много сделал для развития вычислительной техники. А в
ободное от занятий математикой время он писал ироничные стихи.
Отец великого Блеза Паскаля, Этьен, был та-
лантливым математиком-любителем. Он вписал
своё имя в историю науки, открыв и исследовав
новую кривую, которую назвали «улитка Паскаля».
Этьен Паскаль не хотел, чтобы сын начал учиться
математике слишком рано, несмотря на его прось-
бы познакомиться с этой наукой. Тогда Блез стал
изучать геометрию самостоятельно, безо всяких
книг и учебников. Застав ребёнка за этим заняти-	Блез Паскаль
ем и увидев, что тот сам доказывает сложные те-
оремы, Этьен Паскаль сдался и принялся за его
обучение. Своими научными открытиями Блез Па-
скаль прославился ещё подростком. Когда ему было
19 лет, он, чтобы облегчить работу отцу, которому
приходилось делать много расчётов, создал одну из
первых в мире счётных машин, «паскалину».
И всё
f же наследственность
в математике - не главное!
Большинство математиков
. выросли в самых обычных
•Ч.. семьях!
Математик фаркаш Больяи, в
отличие от Этьена Паскаля, начал
обучать математике сына, Яноша, с
самого раннего возраста. Когда тот
вырос, отец уговаривал его не заниматься од-
ним из важнейших вопросов геометрии, аксиомой
параллельности: «Она
| №ц.и зп.а'5
Памятник
отцу и сыну Больяи
ра-
жиз-
про-
может
может отнять у тебя всё
время, здоровье,
зум, все радости
ни. Эта чёрная
пасть в состоянии,
быть, поглотить тысячу таких титанов, как
Ньютон...» Янош Больяи не послушался отца
и стал одним из создателей новой, неевклидо-
вой геометрии. Правда, в чём-то Больяи-отец
оказался прав: научный мир долгое время не
признавал открытия Яноша, а тот очень тяжело
г это переживал и больше не публиковал своих
математических работ.
____t b
a+b
относиться K a,
как а относится к b
Фо/,
1
1 <«» • !!	I’A	-4-
xpcuo/Kj описывается
if/' - математикой! Возьмём обыЧНЫ^^Ч
отрезок. Его можно ре!
делить на две части сама
разными способами. Но одно из таких I
>	лений - особенное. Когда большая часть I
4Я» резка относится к меньшей части так же, как в|
отрезок - к большей части, это называют золот]
сечением. Число, которое получается при таком J
лении длин получившихся отрезков, равняется nd
V мерно 1,62 и обозначается ср («фи»). Такой «значок» он
 получило в честь древнегреческого скульптора Фиди
F (от первой буквы его имени), который любил использова
' его в своих творениях. Термином же «золотое сечение» г
обязаны Леонардо да Винчи, также активно применяете
его в композициях своих шедевров.
Пропорции золотого сечения использовали как дра
ние зодчие и художники (очевидно, интуитивно), так
I их современные коллеги, вооружённые математическ
L ми знаниями. Их можно найти и в египетских пирам
Ж дах, и в афинском Парфеноне, и в лучших современн
Ж зданиях, и на картинах всех стилей и жанров.
Великий учёный Иоганн Кеплер говорил: «Геометрия владе-
ет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым
сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой
золота, то второе - с драгоценным камнем».
Оказывается, фигуры, построенные на его ос-
нове, обладают для большинства людей наибольшей ]
привлекательностью, они кажутся более красивыми, чем
остальные! Попробуй начертить несколько разных прямоуголь-
ников, выбрать среди них тот, который нравится тебе больше дру- W
rfF гих и посчитай соотношение сторон. Скорее всего, оно будет близко
к числу ср. Принцип золотого сечения используется не только в искус-
V стве, но и в дизайне самых обычных предметов. К нему, например, близко
f соотношение сторон у большинства книг и журналов, экг
Г телевизоров, и многих других вещей. Немного потренир
будешь различать золотую пропорцию в окружающем мире
Золотое сечение встречается и в пропорциях человечески
тела. На это обращали внимание многие художники эпохи В
рождения. Особое значение ему придавал Альбрехт Дюр
А в XIX веке математик и поэт Адольф Цейзинг, измерив пи
порции нескольких тысяч человек и обработав статистику, пи
шёл к выводу, что в среднем пупок человека делит его тел^
пропорции золотого сечения. Он считал, что чем ближе
соотношение к ср, тем фигура красивее. Подтверждение эт<
факту учёный искал в лучших античных статуях.
Пропорции золотого сечения Цейзинг находил и в
тах наиболее красивых лиц, и в человеческих руках
пример, по этой теории, отношение расстояний от
l чика подбородка до верхней линии бровей и от вер
к линии бровей до макушки в идеальном лице будет
Ж но <р. А для всех пальцев руки, кроме большого,
число даёт отношение двух первых фаланг пальи
оллон
>ельведерский»
Однажды, в 1852 году,
математик Фрэнсис Гутри
раскрашивал карту графств
Англии и заметил: для того, чтобы все сосед-
«4 Краски»
ние графства были разного цвета, достаточно всего 4 красок. Гутри задумал-
ся: а можно ли раскрасить четырьмя красками любую карту? Доказать, что
это возможно всегда, математики смогли только 124 года спустя. Разумеется,
если подойти к раскрашиванию необдуманно, 4 красок может и не хватить.
Каждый может попробовать решить задачу четырёх красок самостоя-
тельно. Для этого достаточно взять любую нераскрашенную карту и 4 цвет-
ных карандаша. Если карты под рукой нет - не беда, её можно придумать
и нарисовать самому, а потом раскрасить.
Ещё интереснее играть в «4 краски» вдвоём. Игроки по очереди рисуют
и раскрашивают примыкающие друг к другу области любого цвета, но так,
чтобы соседние области были раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот,
Игру «Рассада» придумали математики-
топологи. Несмотря на это, её правила очень
просты. Для начала на листе бумаге ставит-
ся несколько точек (для начинающих игроков
хватит трёх или даже двух). Потом игроки по
очереди делают один из следующих ходов:
1. Соединяют линией две точки.
2. Рисуют петлю (линию, которая начинается и
заканчивается в
одной точке).
Оказывается, математики
придумали множество
интересных игр!
При этом линии не могут
пересекать друг друга. На ка-
ждой вновь проведённой линии
ставится новая точка, она уча-
ствует в игре так же, как и пер-
воначальные. Есть одно очень
важное ограничение: из точки не может выходить боль-
ше трёх линий. Тот, игрок, который не может сделать
ход, соблюдая эти правила, проигрывает.
Пример:
• Игрок №1
• Игрок №2
Игрок №1 победил
fl
Поэтому многие птицы
• С наступлением осенних хо-
лодов насекомые прячутся, реки
• замерзают, и для многих птиц на-
• ступает голодное время. Конеч-
но, некоторые пернатые-домоседы
• (например, дятлы, клесты, воро-
• ны), в любую погоду найдут, что
поесть. Но не все могут долбить
• стволы, лущить шишки и поедать
• падаль.
(особенно, насекомоядные, около-
• водные и водоплавающие) меняют
• место проживания.
Отнюдь не все перелётные пти-
• цы осенью улетают на юг. Известно
• немало исключений. Так, гнездящи-
еся в Подмосковье озёрные чайки
• разлетаются в самых разных на-
• правлениях. Многие из них летят не
на юг, а на запад, на свободную ото
• льда часть Балтики. На незамер-
ф зающей Москве-реке чаек можно
видеть и зимой, ведь птице нужно
• не столько тепло, сколько возмож-
ф ность кормиться.
Серая ворона всегда найдёт,
I ся в кочующихИ С1оед“₽,1“1аЮ''‘ •
I пропитание в коп.. ’ Находо •
“«ах. 0 "о^~"амП°'
окне зимовали 10здС	•
Ьи, скворцу, зя^иХ Р бИННИ'
Зачем улетатЛ И заРян’<и. •
прошлого века этап К0Нца * 1
е Деиетеу^^Г’3 уже • I
> "вРв<5ираютаВлХ*е^ • |
!еку. Птичкм ™ иже к чело- I
традиции меняются, л |
Озёрная
чайка
Зимующий
д^озд-рябцННик

Речная крачка
На пляжах Египта в январе
можно встретить
белую цаплю..
Но есть среди птиц и неисправимые непоседы. Так, крачки (небольшие
длиннокрылые родичи чаек) улетают за многие тысячи километров. Гнездя-
• щаяся в средней полосе речная крачка долетает до экватора, но ей далеко
до рекордсмена среди перелётных птиц - полярной крачки. Та гнездится в
• Арктике, а зимует у берегов Антарктиды, куда летит, огибая материки.
" выпь, которую на роднЛ
увидеть не просто
Путешествуют птицы, обычно, стая- ф
- ми. У многих видов мигрирующая стая
располагается в воздухе характерным •
клином - так легче преодолевать со-
противление воздуха. Причём, летящий ®
•_ на острие клина вожак - «должность»
сменная. Маршруты мигрирующих стай
- зависят, прежде всего, от того, откуда ф
и куда летят птицы, но внутри широко-
го движущегося фронта заметны некие ф
сгущения - пролётные пути. Учёным-ор-
нитологам известны места, где раз- •
нообразие пролетающих птиц бывает
чрезвычайно велико.	•
Сигналом к отправлению в путь ф
служит изменение длины светового
дня. Осенью темнеет раньше - пора ф
на зимовку. Весной день удлиняется -
возвращаемся на родину.	•
Вернувшись, уцелевшие после
перелётов птицы устраивают гнёзда
там, где сами они появились на свет, ф
Такая привязанность к своей малой
родине, называемая филопатрией ф
(дословно - любовь к отечеству),
свойственна многим животным. Но у ®
перелётных птиц она достигла выс- ф
шей степени, и испытания дальними
странствиями это подтверждают. А
45


В КЛЕП-ТУР ПО ЖЕЛЕЗНЫМ
Хотите
отгадать
загадку?
' Их общая '
длина - едва
с лишним раза
больше
. экватора! ,
Хочу!
Очень
люблю
загадки!
Гаф! .
гТолько ’
не очень
сложную!
Кюи! J
Что бы
это могло
ч быть?
Такие
длинные?!
ОАО «РЖД» - одна из круп-
нейших транспортных компа-
ний в мире, а отечественная
система железных дорог - одна
из самых протяжённых. Железно-
дорожный транспорт - основной
вид транспорта для России. Его на-
родно-хозяйственное, социальное
и оборонное значение невозмож-
но переоценить. Ведь наша страна
имеет огромную территорию, ко-
торую связывают воедино именно
железные дороги; они проложены
Очень важный момент - слож-
ные климатические условия России.
Железнодорожный транспорт, в от-
личие от других видов транспорта,
работает днём и ночью, в любую
погоду, в любом климате, от тундры
до субтропиков. Другие общепри-
знанные преимущества железных
дорог - экономичность, экологич-
ность и безопасность движения.
Именно благодаря Российским
железным дорогам большинство
пассажиров и грузов нашей стра-


•	Общая протяжённость железных дорог России - 85,2 тысячи
километров
•	ОАО «РЖД» занимает первое место в мире по протяжённости
электрифицированных линий - 42,9 тысячи километров
•	За год Российские железные дороги перевозят 1 миллиард
58 миллионов пассажиров
•	В железнодорожной отрасли работают более миллиона человек

ленты
Август
Фердинанд
Мёбиус
Однажды, в 1858 году, служанка в
доме профессора математики и астро-
номии Августа Фердинанда Мёбиуса
совершила ошибку. Девушка неправиль-
но сшила ленту, перекрутив её. Однако
Мёбиус вовсе не рассердился, а даже
обрадовался такой ошибке. Он понял,
какими необычными свойствами обла-
дает перекрученная лента. Ведь оказа-
лось, что у неё - только одна сторона!
Одновременно с Мёбиусом в том же году
к тому же открытию пришёл и другой
математик, Иоганн Бенедикт Листинг.
Иоганн
Бенедикт
Листинг
Лента Мёбиуса имеет огромное значение в то-
пологии. Но она интересна не только математикам.
Её очень любят современные художники и скульп-
торы, а также писатели-фантасты. Находит она и
практическое применение: например, в форме лен-
ты Мёбиуса делают иногда полосы конвейеров, что-
бы они изнашивались равномерно; используется она
и в аттракционе американские горки.
Лента Мёбиуса в
символе переработки
Памя тник ленте
Мёбиуса в Белорусии

^зГощовление ленты
Возьми бумажную полоску, по-
верни один её конец на пол-оборота
и склей концы между собой. Полу-
чится кольцо, лицевая поверхность
которого переходит в изнаночную;
другими словами, у него только
одна сторона. Можешь в этом легко
убедиться, если проведёшь по нему
линию, не отрывая карандаша: она
вернётся к своему началу, ни разу
при этом не заходя за край.
Эксперимент первый.
Разрежь ленту Мёбиуса вдоль по
средней линии. Получится одно
большое узкое кольцо с двумя полу-
оборотами. Такое кольцо называют
Афганской лентой.
2 Эксперимент второй.
Разрежь ленту Мёбиуса вдоль, от-
ступив от края на 1/3 ширины. Полу-
чатся два сцепленных кольца: узкая
и длинная Афганская лента и лен-
та Мёбиуса той же длины, но на 1/3
уже первоначальной.
3 Эксперимент третий.
Возьми бумажную полоску, сделай
небольшой надрез по средней линии
и пропусти в него один конец поло-
ски. Затем склей ленту Мёбиуса. Раз-
режь её по средней линии. Получатся
две узких ленты Мёбиуса.
Д Эксперимент четвёртый.
Склей под прямым углом ленту Мё-
биуса и пропущенное сквозь неё
обычное кольцо. Разрежь кольца по
средней линии, начиная с кресто-
образного надреза в месте склейки.
Получится квадратная рамка!
к л
Ко
*
о
ТеЛепагпия
и Математика
Я ЛЕГКО ОТГАДАЮ ЛЮРОЕ
ТРЕХЗНАЧНОЕ ЧИСЛО,
КОТОРОЕ РЫ ЗАГАДАЕТЕ.
ТОЛЬКО РСЕ ЦИФРЫ Р Нём
ДОЛЖНЫ РЫТЬ РАЗНЫМИ.
СЕЙЧАС Я ПРОДЕМОНСТРИРУЮ
ИСКУССТВО ЧТЕНИЯ МЫСЛЕЙ?
РОТ,
ЗДОРОРО'
А ТЫ
ЭТО УМЕЕШЬ?
ИСКУССТРО ЧТЕНИЯ
МЫСЛЕЙ НАЗЫРАЮТ
ТЕЛЕПАТИЕЙ'
ПРАРДА, НАУЧНЫХ
ПОДТРЕРЖДЕНИЙ
ЕМУ НЕТ.
Я ПРОЧИТАЛ РАШИ МЫСЛИ,
Я НАЗОРУ НЕ ЕГО, А ТО
ЧИСЛО, Р КОТОРОЕ ОНО
ПРЕРРАТИТСЯ'
ЗАПИШИТЕ ЗАГАДАННОЕ
ЧИСЛО ЗАДОМ НАПЕрёД.
ТЕПЕРЬ ОТНИМИТЕ ОТ
РОЛЬШЕГО ЧИСЛА МЕНЬШЕЕ.
ЗАПИШИТЕ ОТРЕТ ТРЕМЯ
ЦИФРАМИ, ДАЖЕ ЕСЛИ
ПЕРРАЯ ЦИФРА НОЛЬ.
А ТЕПЕРЬ ЗАПИШИТЕ
ПОЛУЧЕННОЕ ЧИСЛО ЗАДОМ
НАПЕРёД И СЛОЖИТЕ ДРА
ПОСЛЕДНИХ ЧИСЛА.
ГОТОРО'
ЭМ
И НИКАКОГО
ЧТЕНИЙ
МЫСЛЕЙ'
выходит, у
МЕНЯ НЕТ
НИКАКИХ ТЕЛЕ...
СПОСОБНОСТЕЙ?
НЕ УГАДАЛА'
у ПЕНЯ ИХ ТОЖЕ НЕТ? J ( А КАК ЖЕ
ЕГОРКА УЗНАЛ
НАШЕ ЧИСЛО?
ЭТО БЫЛ
ПРОСТО
числовой
Фокус?
(А Г и ни у кого нет»! \ I
ЕСЛИ ПРОДЕЛАТЬ ЭТИ
ДЕЙСТВИЯ С ЛЮБЫМ
ТРЁХЗНАЧНЫМ ЧИСЛОМ
ИЗ РАЗНЫХ ЦИФР,
ПОЛУЧИТСЯ dOS9? МОЖЕТЕ
УБЕДИТЬСЯ САМИ?
Л2.Ъ
Ъ2-Л
Ъ9Л
^1089
ПЯ.И. Перельман
еГенда
щах\1алШоЦ ДосКр
(из книги «Живая математика»)
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индус-
ский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её
остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь при-
казал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это
был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от
своих учеников.
Я желаю достойно вознагра-
дить тебя, Сета, за прекрасную
игру, которую ты придумал, -
сказал царь.
Мудрец поклонился.
- Я достаточно богат, что-
бы исполнить самое смелое
твоё пожелание, - продол-
жал царь. - Назови награду,
которая тебя удовлетворит,
и ты получишь её.
Сета молчал.
- Не робей, - ободрил его
царь, - выскажи своё жела-
ние. Я не пожалею ничего, чтобы
исполнить его.
- Велика доброта твоя, повелитель. Но дай
срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я
сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он
удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
-	Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую
клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
-	Простое пшеничное зерно? - изумился царь.
- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за
третью 4, за четвёртую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32...
- Довольно, - с раздражением прервал его царь. - Ты полу-
чишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему же-
ланию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай,
что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую нич-
тожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею ми-
лостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший
пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги
мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот
дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал
узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
- Повелитель, - был ответ, - приказание твоё исполняется.
Придворные математики исчисляют число следуемых зёрен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его
исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь ещё раз осведомился, давно ли
Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
- Повелитель, - ответили ему, - математи-
ки твои трудятся без устали и надеются
ещё до рассвета закончить подсчёт.
- Почему медлят с этим делом? -
гневно воскликнул царь. - Зав-
тра, прежде чем я проснусь, всё
до последнего зерна должно
быть выдано Сете. Я дважды
не приказываю.
Утром царю доложили, что
старшина придворных мате-
матиков просит выслушать
важное донесение.
Царь приказал ввести его.
- Прежде чем скажешь о
твоё м деле, - объявил Шера м, -
я желаю услышать, выдана
ли, наконец, Сете та ничтож-
ная награда, которую он себе
назначил.
- Ради этого я и осмелил-
ся явиться перед тобой в столь
ранний час, - ответил старик.
- Мы добросовестно исчисли-
ли всё количество зёрен, кото-
рое желает получить Сета.
Число это так велико...
- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, -
житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть
выдана...
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные же-
лания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, какое
потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не
найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли.
И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то
прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прика-
жи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега,
покрывающие далёкие северные пу-
стыни. Пусть всё пространство
их сплошь будет засеяно пше-
ницей. И всё то, что родит-
ся на этих полях, прика-
жи отдать Сете. Тогда он
получит свою награду.
С изумлением внимал
царь словам старца.
- Назови же мне это
чудовищное число, -
сказал он в раздумьи.
- Восемнадцать
квинтильонов четы-
реста сорок шесть
квадрильонов семь-
сот сорок четыре
триллиона семьде-
сят три миллиарда
семьсот девять мил-
лионов пятьсот пять-
десят одна тысяча
шестьсот пятнадцать*,
о, повелитель!
18446744073709551615
дома, ни в дороге
С планшетами TurboKids
можно познавать, играя!
Г Как миленько!
С планшетом я могу
вдоволь почири-
кать с друзьями! А
Т Люблю поиграть
на компьютере!
Теперь на нашем сайте
есть игры от «Руссобит»:
www.klepa.info/klep-games!
Ты, конечно, слышал о план-
шетных компьютерах. Но знаешь
Детские планшеты умеют всё то же самое,
что и планшеты взрослых. Ты сможешь выходить
в Интернет, смотреть мультики, фотографиро-
вать и общаться с друзьями. А мамы и папы мо-
гут не волноваться: благодаря функции роди-
тельского контроля они будут уверены, что ты
не заиграешься с планшетом слишком долго.
альные планшеты для детей?
Они круто выглядят и имеют мно-
жество интересных и полезных
функций. С таким помощником
можно не только погрузиться в
огромный, захватывающий мир
игр и приключений, но и изучать
такие нужные предметы как ма-
тематика, родной и иностранные
языки и многие другие. С ним
тебе точно не придётся скучать
ни
TurbckidS 52
Узнай подробности о детских планшетах на сайте
Проведи чётные и нечётные числа, подсчитывая их суммы.
Передавать эстафету можно только своим. Найди верный путь.
Музыкальный
Ш	™ т.41300400,4-300410
L/)TGflTP www?,x'tvn/^>
ВЛАДИМИРА НАЗАРОВА I
Л ЙйЗмВ
юзикл
Октябрь 12, 13
Ноябрь 16, 17
Декабрь 21, 22
Начало в 12:00 и в 16:00
-----— —»
В1
т'т'мл КЗ «ИЗМАЙЛОВО»

1 и
йй
s
s
о
£
с
<
a
таьлицу умножения
должен знать
КАЖДЫЙ?
есё тдкое
солёное,
что есть
нельзя?
я же ьсё
по рецепту делдлА'
Я НА КАЛЬКУЛЯТОРе
посчитала... л5 ложек...
ТАК, если НА ОДНУ
ПОРЦИЮ НАДО 3 ЛОЖКИ
соли, то сколько
потреьуется на три?
сейчАс посчитдем?
ЬОТ ещё? А
КАЛЬКУЛЯТОРЫ
НА ЧТО?
ты, нАьерное, нажала
не ту кнопку?
теперь понимдешь, что
таблицу умножения
лучше ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ?
Внимание! Подписка! Редакционная подписка - самая выгодная и надёжная!
Извещение
ООО «Союз-К»
123001, г. Москва, ул Большая Садовая Д- 2/46
ИНН 7703513577, КПП 770301001
Р/сч: 40702810800000003402 в КБЗАО«Русский
Международный банк», г. Москва
К/сч: 30101810200000000328
БИК 044583328	г-------------
| «Клёпа»
ПОДПИСНОЙ КУПОН на журнал (индекс издания)
Кассир
Кому ____________________
(фамилия и инициалы)
Квитанция
ООО «Союз-К»
123001, г. Москва, ул Большая Садовая д. 2/46
ИНН 7703513577, КПП 770301001
Р/сч: 40702810800000003402 в КБ ЗАО «Русский
Международный банк», г. Москва
К/сч: 30101810200000000328
БИК 044583328	-------------
| «Клёпа»
ПОДПИСНОЙ КУПОН на журнал (индекс издания)
ОБЩАЯ СУММА		
(на2013год по месяцам)
Кассир
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
											
Куда	______________
(почтовый индекс)	(адрес)
Кому ____________________
(фамилия и инициалы)
«зо/ютай осень»
Чего только не едят
китайцы! И всё так
вкусненько!
Солнце уже не греет,
А листья желтеют, краснеют.
Всё чаще дождик моросит.
Осень в окна к нам стучит.
Зорин Илья
Эти стихи об осени
нам прислали ребята
из города Вилючинск
Камчатского края.
В монастыре
Шаолинь живут
непревзойдённые'
мастера
единоборств!
Наступила осень, листья пожелтели.
В дальнюю дорогу птицы полетели.
Тёплых дней осталось, видимо, немного,
А зима всё ближе - рядом у порога.
Глинков Андрей
Китай - это
чудесная
и очень необычная
страна!
Китайцы очень
почтительны к
старшим! Особенно
к родителям!
Осень пришла, золотая волшебница!
Одела лес в прекрасные наряды.
Ты, словно, фея, а, может быть, художница
Твоим твореньям все мы рады!
Мельник Надя



Сделать вокзалы не только пунктом отправления и прибытия пассажиров, но и местом, где можно
с удовольствием и пользой провести свободное время - именно такую цель ставит перед собой
ОАО «РЖД». Для этого разработана стратегия преображения вокзалов, в рамках которой
благоустраиваются привокзальные площади, а на самих вокзалах теперь можно сделать все
необходимые покупки, от еды до книг, и пообедать по доступным ценам во всемирно известных
сетевых ресторанах. В будущем планируется появление на территории некоторых вокзалов
кинотеатров и даже целых развлекательных центров.
На правах рекламы.