Физика. Вопросы-ответы. Задачи-решения. Часть 1, 2, 3. Механика - Трубецкова С.В.

Author: Трубецкова С.В.

Tags: физика механика

ISBN: 5-9221-0316-4

Year: 2003

Similar

Физика. Вопросы-ответы. Задачи-решения. Электричество и магнетизм. Часть 5, 6

Физика задачи с ответами и решениями

Вопросы и задачи по физике

Задачи по физике с решениями

Text

УДК 530.10@75.4)
ББК 22.3я7
Т77
Трубецкова С. В. Физика. Вопросы — ответы. Задачи —
решения. Ч. 1, 2, 3. Механика: Учеб. пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. - 352 с. - ISBN 5-9221-0316-4.
Представлены первые три части выпускаемой серии методических реко-
рекомендаций к решению задач по физике. Пособие призвано помочь усвоить
основные законы механики. Контрольные вопросы в сочетании с приве-
приведенными ответами являются дополнением к основному учебнику физики.
Приведены алгоритмы решения большого количества типовых задач. Кроме
того, для самостоятельной работы подобраны задачи различной трудности,
которые могут быть использованы учителем для работы с учениками.
Пособие предназначено учащимся 9-го класса для самостоятельной
работы, для подготовки к единому государственному экзамену,
а также может быть использовано абитуриентами для подготовки
к вступительным экзаменам.
Ил. 281. Библиогр. 19 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
ISBN 5-9221-0316-4 © С. В. Трубецкова, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Часть I. Кинематика материальной точки 7
Общие рекомендации по решению задач 8
Действия с векторами 9
1. Равномерное движение 15
Содержание теоретического материала 15
Вопросы к теоретическому материалу 15
Ответы 17
Основные формулы 24
Методика решения задач 25
Примеры решения задач 28
2. Неравномерное движение материальной точки по пря-
прямолинейной и криволинейной траектории 41
Содержание теоретического материала 41
Вопросы к теоретическому материалу 41
Ответы 43
Основные формулы 50
Методика решения задач 51
Примеры решения задач 56
3. Кинематика равномерного движения материальной
точки по окружности 77
Содержание теоретического материала 77
Вопросы к теоретическому материалу 77
Ответы 78
Основные формулы 83
Методика решения задач 83
Примеры решения задач 84
4. Задачи для самостоятельного решения 88
Равномерное движение 88
Неравномерное и равнопеременное прямолинейное
движение 94

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Свободное падение тел 99
Движение тела, брошенного под углом к горизонту и
брошенного горизонтально 102
Равномерное движение по окружности 105
Ответы 108
Часть П. Динамика материальной точки 118
1. Законы движения 119
Содержание теоретического материала 119
Контрольные вопросы 119
Ответы 121
Основные формулы 135
Методика решения задач 136
Примеры решения задач 140
2. Законы сохранения в механике 159
Содержание теоретического материала 159
Контрольные вопросы 159
Ответы 162
Основные формулы 177
Методика решения задач 179
Примеры решения задач 183
3. Задачи для самостоятельного решения 213
Применение законов Ньютона к поступательному дви-
движению 213
Применение законов Ньютона к вращательному дви-
движению 225
Закон всемирного тяготения 228
Импульс тела 231
Работа, мощность, коэффициент полезного действия .. . 237
Кинетическая и потенциальная энергии 241
Ответы 250
Часть III. Элементы статики твердого тела и гид-
гидродинамики 258
1. Основы статики 259
Содержание теоретического материала 259
Вопросы к теоретическому материалу 259
Ответы 262
Основные формулы 278

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Методика решения задач 279
Примеры решения задач 280
2. Давление. Жидкости. Газы 297
Содержание теоретического материала 297
Вопросы к теоретическому материалу 297
Ответы 299
Основные формулы 310
Методика решения задач 311
Примеры решения задач 313
3. Задачи для самостоятельного решения 322
Статика твердого тела 322
Давление. Жидкости. Газы 332
Выталкивающая сила Архимеда 337
Ответы 343
Приложение 348
Список литературы 350

ПРЕДИСЛОВИЕ
Представленные методические рекомендации к решению за-
задач по физике к разделу «Механика» предназначены для того,
чтобы помочь в самостоятельной работе учащегося со школьным
учебником 9-го класса. После разбора теоретического материала
по учебнику надо проверить себя по приведенным в книге кон-
контрольным вопросам. Составлены разные контрольные вопросы:
простые — на проверку основных формулировок и законов — и
более сложные — для ответа на них надо применить полученные
знания. Для самопроверки приведены подробные ответы на все
вопросы.
После овладения теоретическим материалом и формулами
можно переходить к решению задач, что является хорошим
средством творческого применения теории на практике. Зада-
Задачи разнообразны по содержанию, но можно выделить группы
типовых задач, методика и способы решения которых приведе-
приведены в пособии. Даются задачи разного уровня трудности, начи-
начиная с простых и кончая довольно сложными. Таким же образом
подобраны и задачи для самостоятельного решения. Кроме того,
приводятся и нестандартные задачи повышенной трудности.
Следует отметить, что вопросы статики твердого тела и
гидродинамики (часть III) школьники изучают в 8-ом классе,
когда им еще трудно понять фундаментальную роль законов
Паскаля и Архимеда. Часть III данного пособия способствует
более глубокому пониманию этих разделов механики.
Методические рекомендации к решению задач по физике
также могут быть использованы педагогами для работы с уче-
учениками на уроках и для домашних заданий.
Основной структурный раздел книги — часть. Нумерация
разделов, формул и задач в каждой части своя.

Ч асть I
КИНЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1. Решение задач всех разделов удобно начинать с краткой
записи условия, где необходимо отразить не только данные чис-
числовые значения, но и все дополнительные условия, которые
следуют из текста задачи: неизменность или кратность каких-
либо параметров, их граничные значения, условия, которые
определяются физическим содержанием задачи (например, от-
отсутствие трения, постоянство ускорения и т. п.).
Очень важно правильно поставить вопрос к задаче. Возмож-
Возможны следующие варианты:
1) найти значение какого-либо параметра (при постановке
такого вопроса трудностей не возникает);
2) на сколько одна величина больше другой (здесь надо най-
найти разность двух значений одного параметра — скорости, силы
и т. д., то есть Ах = x<i — х{)\
3) во сколько раз одна величина больше или меньше другой
(надо найти отношение x<ijx\ или x\jx<i)\
4) если стоит вопрос: «Как изменился какой-либо параметр?»,
то можно выбрать второй или третий вариант вопроса в зави-
зависимости от данных задачи; если в условии дана кратность ряда
параметров, то надо найти отношение искомых величин.
2. Надо проверить, все ли заданные величины в задаче на-
находятся в одной системе единиц. Если величины даны в разных
системах, их следует выразить в единицах системы, принятой
для решения. Предпочтение отдается системе СИ, но не всегда.
3. Обязательно надо нарисовать рисунок к задаче, на кото-
котором следует обозначить те параметры (расстояния, силы, раз-
размеры тел и прочее), которые даны, и те, которые нужно найти.
Рисунок особенно необходим, если используемые уравнения
заданы в векторной форме. В этом случае надо нарисовать
систему координат, относительно которой следует записать век-
векторное уравнение в проекциях. Рисунок в большинстве случаев
сильно облегчает процесс решения задачи.
4. Необходимо обдумать физическое содержание задачи,
выяснить, к какому разделу она относится и какие законы в

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ 9
ней надо использовать. Задачи могут быть комбинированные,
решение их требует использования законов нескольких разде-
разделов физики. В задачах механики обычно первый вопрос, кото-
который надо поставить перед собой: каков характер движения?
5. Далее следует записать формулы, соответствующие
используемым в задаче законам, не следует сразу искать неизвест-
неизвестную величину; надо посмотреть, все ли параметры в формуле
известны. Если число неизвестных больше числа уравнений,
надо добавить уравнения, следующие из условия и рисунка, то
есть свести задачу от физической к математической.
6. Решение задачи чаще всего следует выполнять в общем
виде, то есть в буквенных обозначениях. Решение «по действи-
действиям» может не получиться, так как некоторые неизвестные по-
побочные параметры могут сократиться лишь при решении до
конца в общем виде. Поэтому не надо бояться вводить парамет-
параметры, не фигурирующие в условии задачи. Если же преобразо-
преобразования очень громоздки, то можно произвести промежуточные
числовые расчеты.
7. Получив решение в общем виде, нужно проверить размер-
размерность полученной величины. Для этого в формулу подставить
не числа, а размерности входящих в нее величин. Ответ должен
соответствовать размерности искомой величины (смотрите в
примерах).
После проверки формулы на размерность следует подста-
подставить численные значения входящих в нее величин и произвести
расчет.
Далее нужно проанализировать и сформулировать ответ.
ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
Физическая величина, которая характеризуется только поло-
положительным или отрицательным числом, называется скалярной.
Примером являются время, длина, площадь, масса, температура
и т. д. Значение скалярной величины зависит от выбора систе-
системы единиц. Над скалярными величинами можно производить
любые алгебраические действия. Полученные в результате та-
таких операций новые величины всегда будут скалярными.
Физическая величина, которая характеризуется не только
численным значением, но и направлением в пространстве, на-
называется векторной величиной или вектором. Над векторной
величиной ставится стрелочка (например, а или V). В расчет-

10
ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
ных задачах обычно требуется найти численное значение векто-
вектора (модуль его), модуль вектора обозначается: \а\ или просто «а».
На чертеже вектор представляется отрезком прямой со стрел-
стрелкой в конце; длина вектора пропорциональна его численному
значению.
В задачах механики приходится складывать векторы, вычи-
вычитать или находить составляющие вектора по заданным направ-
направлениям, то есть найти векторы, сумма которых равна данному
вектору.
Сложение векторов. Пусть требуется сложить два векто-
вектора а и 6, расположенных под некоторым углом друг к другу
(рис. 1.1а), то есть найти вектор с = а + Ь.
Для этого вектор b перенесем параллельно
самому себе так, чтобы его начало совпадало
с концом вектора а, и соединяем начало
вектора а с концом вектора Ь. Получив-
Получившийся отрезок и есть вектор суммы: с =
= а + Ь (рис. 1.16). Векторы а и b можно
сложить и по правилу параллелограмма
(рис. 1.1 в). В этом случае вектор b перено-
переносим параллельно самому себе так, чтобы
его начало совпало с началом вектора а.
На векторах а и b строим параллелограмм.
Диагональ, проведенная через точку сов-
совмещения векторов а и b является резуль-
результирующим вектором или вектором суммы:
с = а + Ь. Векторы а и b называются
составляющими векторами.
Для нахождения результирующего век-
вектора надо воспользоваться теоремой коси-
косинуса или теоремой Пифагора, если а = 90°
(рис. 1.1 г). Предпочтительнее второй способ
сложения, так как здесь удобнее отметить
угол а между векторами.
Вспомним теорему косинуса: квадрат
с _
Рис. 1.1
длины любой стороны в треугольнике равен сумме квадратов
длин двух других сторон минус удвоенное произведение длин
этих сторон на косинус угла, лежащего против искомой стороны
Л-2): 2 2М 2 9
z = х +у — 2ху cos j.

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
11
X /
/v
л
У
а
\z
\
X
К
^90o
¦
\z
\
У
б
а
а
1 j WI
а
b
b с
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Если два вектора а и b параллельны и направлены в одну
сторону (рис. 1.3 а), то результирующий вектор с* направлен в
ту же сторону и модуль его равен сумме модулей составляющих
векторов \с\ = \а\ + \Ь\ (рис. 1.3 б).
Вычитание векторов. Пусть в пространстве заданы век-
векторы а и 6, надо найти с*, равный разности
векторов а и Ь: с = а — Ь (рис. 1.4а). Пере-
Перенесем вектор b параллельно самому себе и
совместим его начало с началом вектора а
(рис. \Аб). Концы векторов соединим. Век-
Вектор, начало координат которого в конце
вектора 6, а конец — в конце вектора а, и
есть вектор с: с = а — Ь.
Вычитание вектора b из вектора а мож-
можно заменить сложением вектора а с векто-
вектором (—6): с = а — (—6). Вектор (—6) равен по
величине вектору 6, но направлен проти-
противоположно (рис. 1.4 в). Используя правило
параллелограмма, построим вектор с. Его
величину можно найти, воспользовавшись
теоремой косинуса или теоремой Пифагора
(если « = 90°).
Если два вектора антипараллельны, то
есть направлены в противоположные сторо-
стороны (рис. 1.5 а), то результирующий вектор
направлен в сторону большего вектора и модуль его равен раз-
разности модулей векторов b и а (рис. 1.5 б): \с\ = \Ь\ — \а\.
Рис. 1.4
Рис. 1.5

12
ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
Проекции точки и вектора на координатную ось.
Проекцией точки на некоторую прямую или координатную ось
называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точ-
точки на ось (рис. 1.6 а).
.А
хА
IB
Рис. 1.6
Основанию перпендикуляра соответствует некоторое число,
определяющее расстояние от начала координат до точки А. Дан-
Данное значение ха называется координатой точки А.
На рис. 1.6 б-эю изображен вектор с?, лежащий в одной плос-
плоскости с осью Ох. Для того, чтобы найти проекцию вектора с
на ось, надо поступить следующим образом: из начала (т. А) и
конца (т. В) вектора с опускаем перпендикуляры на ось, точ-
точки Ах и Вх — это проекции точек А и В на ось Ох. Дли-
Длину отрезка АХВХ между проекциями начала и конца вектора с
называют проекцией этого вектора на ось Ох. Обозначается про-
проекция вектора той же буквой, что и вектор, но без стрелки над
ней и с индексом, соответствующим оси, т. е. сх.
Величина проекции вектора сх равна разности координат на-
начала (жд) и конца (хв) вектора: сх = хв —%л-
Пусть вектор с составляет некоторый угол а с положитель-
положительным направлением оси.

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
13
Тогда, если 0°<се<90°, то сж>0 (так как хв>ха) (рис. 1.6 #).
Если же 90° < а < 180°, то сх < 0 (так как хв < ха) (рис. 1.6 в).
То есть если вектор направлен вдоль оси, то проекция этого век-
вектора положительна, если против оси — проекция отрицательна.
Величина проекции вектора в первом случае сх = с-cosсе, а во
втором случае: сх = с -cos A80° — а).
Если вектор с перпендикулярен оси, то величина проекции
вектора на ось равна нулю (рис. 1.6 г, д).
Если же вектор параллелен оси и направлен вдоль нее (рис.
1.6 е), то величина его проекции равна величине вектора с: сх = с.
В том случае, когда вектор параллелен оси и направлен против
нее (рис. 1.6 ж), то сх = —с.
Разложение вектора на составляющие. Пусть тело дви-
движется на юго-запад в направлении, составляющем некоторый
угол к меридиану, г — вектор перемещения тела (рис. 1.7 а). При
таком движении тела оно одновременно перемещается и в запад-
западном и в южном направлениях: гю и г3 (рис. 1.7б).
Запад
Запад г3
Юг
Сх х
Рис. 1.7
Другой пример: тело лежит на наклонной плоскости
(рис. 1.7 в), на него действует сила тяжести F (F = тд), направ-

14 ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
ленная вертикально вниз. Сила тяжести, с одной стороны,
оказывает давление на опору, а с другой стороны, способствует
скатыванию тела вниз по наклонной плоскости. Поэтому мож-
можно выделить составляющие силы тяжести в направлении Ох —
вдоль наклонной плоскости (эта составляющая обеспечивает
движение вниз — Fx), и в направлении Оу, перпендикулярном
к опоре тела (эта составляющая обеспечивает давление тела
на опору — Fy)- Из рис. 1.7 б и г видно, что векторная сумма
составляющих векторов равна данному вектору: гю + г3 = г\
Оси, по которым надо разложить заданный вектор с?, могут
быть ориентированы произвольно, и начало координат не обя-
обязательно совпадает с началом вектора. На рис. 1.7 д сх и су —
составляющие вектора с по направлениям х и у. Для нахожде-
нахождения составляющих векторов по двум взаимоперпендикулярным
направлениям надо найти проекции начала и конца вектора с.
Затем построить векторы, направленные по оси от проекции
начала вектора с к проекции его конца (на рис. 1.7 д) (это век-
векторы Сх И Су).
Величины составляющих векторов можно выразить через
величину вектора с с помощью тригонометрических функций
угла а: .
|сж| = \с\ -cosce; \Су\ = \с\ -since.
Бывают задачи, когда надо найти составляющие вектора
по двум направлениям, между которыми угол ip не равен 90°
(рис. 1.7 в). Для удобства начало координат совместим с началом
вектора с, а оси обозначим ОХ и OY (в отличие от прямоуголь-
прямоугольной системы координат). На прямых ОХ и OY построим парал-
параллелограмм, диагональю которого является вектор с\ сх и су —
составляющие вектора по направлениям ОХ и OY. Величины
составляющих векторов в таких случаях находятся по теореме
косинуса.

1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Содержание теоретического материала
Механическое движение. Поступательное движение тел. Ма-
Материальная точка. Определение положения тела в пространстве:
тело отсчета и система координат. Система отсчета. Траекто-
Траектория. Перемещение и путь. Равномерное прямолинейное движе-
движение. Скорость. Единица скорости. Уравнение координаты при
равномерном прямолинейном движении. Графическое представ-
представление движения: графики зависимости от времени скорости,
координаты, пути и перемещения. Относительность механичес-
механического движения. Теорема сложения скоростей.
Вопросы к теоретическому материалу
1.1. Что называется механическим движением? Приведите
примеры механического движения.
1.2. Какие объекты могут быть названы материальной точ-
точкой?
1.3. Перед конструктором космической лаборатории постав-
поставлены три задачи: какова вероятность попадания в лабораторию
метеорита? За какое время лаборатория переместится с Земли
на орбиту? Как сильно может разогреться оболочка от движе-
движения воздуха? Какие из этих вопросов он может решить, считая
лабораторию материальной точкой?
1.4. Можно ли сваю принять за материальную точку, если
подъемный кран ее: а) поднимает с земли за один конец; б) пе-
перемещает горизонтально?
1.5. Что называется телом отсчета? Как определить поло-
положение тела: а) на плоскости, б) в пространстве? в) в каком
случае положение движущегося тела можно определить одной
координатой?
1.6. Кладоискатели нашли записку: монеты зарыты на рас-
расстоянии 5 шагов от старого дуба, глядя на заходящее солнце;
копать на 7 штыков лопаты. Нарисуйте план и укажите на нем
положение клада. Что в данном случае является телом отсчета и
как удобно направить оси координат?

16
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1.7. Объясните, верны ли в известном мультфильме «33 по-
попугая» слова удава: «... А в попугаях я длиннее!»
1.8. Какие элементы включает в себя система отсчета?
1.9. Что такое траектория движения?
1.10. Нарисуйте траекторию падающего в движущемся ва-
вагоне тела в системах отсчета, связанных: а) с пассажиром,
сидящим в вагоне, б) с электрическим столбом у дороги.
1.11. Нарисуйте траекторию конца винта самолета относи-
относительно а) другой точки винта, б) летчика, в) наблюдателя на
Земле.
1.12. Нарисуйте траекторию точки на ободе колеса дви-
движущегося автомобиля в системе отсчета, связанной а) с осью
колеса, б) с наблюдателем на Земле.
1.13. Что собой представляет любая запись в тетради?
1.14. Что такое длина пути (путь)? Что такое перемещение?
1.15. Траектории центров двух тел пе-
пересекаются. Столкнутся ли тела?
1.16. Траекторией тела является окруж-
окружность радиуса R (рис. 1.8). Чему равна дли-
длина пути и модуль вектора перемещения,
если: а) тело переместилось из точки Л
в точку В! б) из точки А в точку G?
в) вернулось в точку Л?
1.17. В каком случае величина пути численно равна модулю
вектора перемещения?
1.18. Постройте проекции вектора перемещения г* на оси Ох
и Оу и найдите их величины во всех случаях (рис. 1.9).
У
Рис. 1.8
Z _*
У*
f
У*
О х О х О х О
а б в г
Рис. 1.9
1.19. Какое движение называется равномерным прямоли-
прямолинейным?
1.20. Что называется скоростью равномерного движения?
1.21. Как определяются координаты тела при прямолиней-
прямолинейном равномерном движении?

ОТВЕТЫ 17
1.22. Нарисуйте графики скорости, координаты и пути (или
перемещения) в зависимости от времени при равномерном пря-
прямолинейном движении для двух тел, движущихся из одной точки
в противоположных направлениях с разной скоростью (напри-
(например, Vi > V2).
1.23. В чем заключается относительность механического дви-
движения? Приведите примеры. Как понимать относительность
покоя?
1.24. Сформулируйте теорему сложения скоростей. Приве-
Приведите примеры.
1.25. Человек на ходу должен спрыгнуть с подножки дви-
движущегося поезда. Как ему надо прыгнуть: по ходу поезда или
против, чтобы уменьшить последствия падения? Куда должно
быть обращено лицо? Ответ обоснуйте.
1.26. По реке плывет весельная лодка и рядом с ней плот.
В каком направлении надо грести, чтобы расстояние между лод-
лодкой и плотом быстрее стало равным 10 м? Скорость лодки от-
относительно воды неизменна при движении по течению и против
течения.
1.27. Опытный игрок в бадминтон, принимая быстро летя-
летящий волан, стремительно пятится. Почему в этом случае ему
удается точнее парировать удар?
Ответы
1.1. Механическим движением называется изменение поло-
положения данного тела относительно других тел или изменение
положения одних частей тела относительно других его частей.
1.2. Тело, размерами которого можно пренебречь в условиях
данной задачи. Примеры: а) в одной задаче рассматривается
движение поезда через мост, в другой — тот же поезд движется
из Москвы в Санкт-Петербург; в первом случае поезд нельзя
считать материальной точкой, во втором случае — можно;
б) в одной задаче рассматривают движение спутника Земли,
в другой — движение Земли вокруг Солнца; во втором случае
Землю можно считать материальной точкой, а в первом — нет.
Кроме того, при поступательном движении тела все его точ-
точки движутся одинаково. Поэтому для изучения движения в
этом случае достаточно проследить за движением какой-либо
одной точки тела, которую тоже можно рассматривать как гео-
геометрическую точку, обладающую некоторой массой.
2 С. В. Трубецкова

18
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1.3. Во втором случае. В первом и третьем существенны раз-
размеры и форма траектории.
1.4. В первом случае нельзя, так как движение сваи являет-
является поступательным. Напомним, что поступательным называется
движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым
параллельным траекториям. Во втором случае движение сваи
будет поступательным. Поэтому ее движение в целом можно
определить, рассмотрев любую точку сваи.
1.5. Тело, которое мы принимаем за неподвижное при изу-
изучении какого-либо движения. Надо с телом отсчета связать
систему координат: а) двумерную, в) трехмерную, в) при дви-
движении тела вдоль прямой.
1-6. Основание
дуба _ 1 2 3 4 5 Запад
Расстояние
(в шагах)
Клад
Глубина
(в штыках лопаты)
Рис. 1.10
1.7. Нет, так как при измерении длины удава попугаями, мар-
мартышками и слоненками берутся разные эталоны (или единицы)
длины.
1.8. Тело отсчета, связанная с ним система координат и ука-
указание начала отсчета времени представляют собой систему
отсчета.
1.9. Непрерывная линия, по которой перемещается мате-
материальная точка в выбранной системе отсчета, называется тра-
траекторией.
Выделенные слова в данном определении обычно забывают
сказать, а они очень существенны. Это будет ясно, если вы об-
обдумываете ответы на три последующих вопроса.
1.10.
Рис. 1.11

ОТВЕТЫ
19
1.11.
1.12.
а
Точка
О
Окружность
Рис. 1.12
Спираль
Окружность
Циклоида
Рис. 1.13
Рис. 1.14
1.13. Траектория конца ручки в системе отсчета, связанной
с тетрадью.
1.14. Путь — длина траектории, описанной материальной
точкой за некоторый промежуток времени. Если ниточку вы-
выложить вдоль траектории, а затем растянуть и померить, то
получим величину пройденного пути.
Путь — величина скалярная. Величина
пройденного пути относительна, то есть
зависит от выбора системы отсчета.
Перемещением называется вектор,
соединяющий начальную и конечную
точки движения, начало вектора — в
исходной точке Л, конец вектора — в конечной точке В (рис. 1.14).
Модуль вектора перемещения равен расстоянию между точка-
точками А и В.
1.15. Однозначно ответить нельзя,
пока неизвестны параметры тел и время
их прихода к точке пересечения траек-
траекторий.
1.16. а) 51 = 2тгЯ/4 = 0,57гЯ; |п| =
= г • л/2 (по теореме Пифагора из
АЛВО); б) s2 = 2nR/2 = тгЯ; \г2\ =
= 2R; в) s3 = 2nR; |f3| = 0 (рис. 1.15).
1.17. При прямолинейном движении в одном направлении
s = \f\.
Рис. 1.15

20
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1.18. а) гх = г • cos се; гу = г • since; б) гх = г; гу = 0;
в) гж = —r-cosce; ry = —г -since; г) гх = 0; гу =—г (рис. 1.16).
У \
ГУ
У\
б
о
Рис. 1.16
ГХ
в
О
гх=0
г
1.19. Равномерным прямолинейным движением называют
такое движение, при котором материальная точка, двигаясь вдоль
прямой, за любые равные промежутки времени проходит пути
равной длины.
1.20. Строго говоря, следует отличать скорость перемещения
тела в пространстве и скорость движения тела вдоль траекто-
траектории. Скоростью перемещения при равномерном прямолинейном
движении называют векторную величину, равную отношению
перемещения тела г к промежутку времени, в течение которо-
которого было совершено перемещение:
v = f/t.
Направление вектора скорости перемещения совпадает с нап-
направлением вектора перемещения (рис. 1.17 а).
г
а
1 м
Рис. 1.17
Скоростью движения тела вдоль траектории (иногда гово-
говорят — путевая скорость) называется отношение пути, пройден-
пройденного телом, ко времени, за которое данный путь пройден:
v = s/t.
Выше мы отметили, что величина вектора перемещения и
пройденный путь совпадают при прямолинейном движении в
одном направлении. Поэтому в таком случае и значение скорости
перемещения совпадает со скоростью движения.

ОТВЕТЫ
21
Пусть тело движется по криволинейной траектории и из
точки 1 в точку 2 перемещается за 2 с (рис. 1.17б). В приведен-
приведенном масштабе величина вектора перемещения равна 3 м, а
путь — 6 м. В соответствии с этим значение скорости перемеще-
перемещения — 1,5 м/с, а скорость движения вдоль траектории — 3 м/с.
Для рис. 1.17 а значения той и другой скорости совпадают и рав-
равны 2 м/с (* = 2 с).
Из рис. 1.17 6 видно, что величина вектора перемещения и
его направление меняются от точки к точке, и соответственно
величина скорости перемещения тела и направление ее вектора
также меняется. Поэтому можно говорить о средней скорости
перемещения тела за данный промежуток времени. О средней
скорости будем еще говорить ниже при рассмотрении неравно-
неравномерного движения.
В большинстве задач, если нет никаких специальных ого-
оговорок, речь идет о скорости движения вдоль траектории.
1.21. Пусть тело движется прямолинейно и равномерно со
скоростью v (рис. 1.18). В момент времени, когда за телом начали
наблюдать, тело находилось в точке Л, на расстоянии xq от
тела отсчета (т. О). С телом отсчета связана одномерная система
координат — ось Ож, направленная вдоль скорости. Координата
тела в начальный момент времени — xq — называется начальной
координатой. За время t тело в направлении оси пройдет путь
s = v • t. Координата возрастает и в момент времени t станет
равной (рис. 1.18 а)
О А
О
Рис. 1.18
О х0
Если вектор скорости v направлен противоположно оси Ох, то
в этом случае (рис. 1.18 б)
х = xq — s = xq — \v\ • t.
Объединив оба случая, уравнение координаты для равно-
равномерного прямолинейного движения можно записать так:

22
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ИЛИ
X =
Знак « + » или « —» определяется направлением скорости по
отношению к оси Ох.
Если скорость направлена под углом к осям х и у, то пере-
перемещения, совершенные точкой в направлении осей sx = \vx\ •?,
sy =
\vy\-t, и уравнения координат для этого случая будут
(рис. 1.18 в) иметь вид
x = xo±\vx\-t, у = уо ±\vy \-t.
1.22. Движение равномерное прямолинейное, поэтому ско-
скорость с течением времени не меняется. Из рис. 1.19 а видно,
что |iTi| > |#2|; проекция вектора скорости v\ положительна, сле-
следовательно, тело движется вдоль выбранного направления Ох
(во втором случае — против оси Ох).
а
1
2
t
х ,
х0
О
у1
б
Рис.
S >
О
ТЛЯ
1/
/ 2
1 \
в
t
Г t
О
/1
А
/ 1
2
г
t
О
Уравнение координаты: х = хо ± \vx\ • t. В соответствии с
уравнением график координаты представлен на рис. 1.19 6.
Прямая 1 соответствует знаку « + » в уравнении, а прямая 2 —
знаку « —». Координата первого тела возрастает, так как оно
движется вдоль оси Ох. Координата второго тела убывает, так
как скорость его направлена против оси Ох. В момент време-
времени t' второе тело проходит мимо тела отсчета.
Пройденный телом путь является скалярной величиной и
определяется формулой s = \v\ • t, он может быть только поло-
положительным, независимо от направления движения тела. В со-
соответствии с формой графики пути представлены на рис. 1.19 в.
Величина проекции вектора перемещения определяется
формулой г = х — #о, где х — координата конечной точки
перемещения. Нетрудно понять, что при движении тела вдоль
оси г > 0, а против оси — г < 0 (рис. 1.19 г). Обратите внимание,
что угол наклона графиков 1 и 2 к оси абсцисс (см. рис. 1.19 6^)
не одинаков; величина угла наклона зависит от скорости, боль-
большей скорости соответствует больший угол наклона.

ОТВЕТЫ 23
1.23. Описания движения тел относительно разных систем
отсчета отличается в том случае, когда эти системы движутся
относительно друг друга. В системе отсчета, связанной с Землей,
сидящий в движущемся вагоне пассажир движется, а относи-
относительно системы, связанной с вагоном, тот же пассажир будет
неподвижным. Всякий предмет, неподвижный относительно
Земли, движется вместе с ней относительно Солнца.
Два движущихся относительно Земли тела можно считать
неподвижными относительно друг друга, если расстояние меж-
между ними и взаимное их расположение не меняются. Пример:
два автомобиля, движущиеся по дороге в одном направлении с
одной скоростью, относительно друг друга находятся в относи-
относительном покое. Таким образом, абсолютного покоя нет: одно и
то же тело одновременно совершает различные движения от-
относительно разных тел, то есть говорить и движении или покое
можно тогда, когда указано и тело отсчета.
1.24. Скорость движения тела относительно неподвижной
системы отсчета (г?) равна векторной сумме скорости этого те-
тела относительно подвижной системы отсчета (щ) и скорости
самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной
системы (vo)'.
-
v = г
Примеры: 1) скорость самолета относительно Земли (г?)
равна векторной сумме скорости самолета относительно возду-
воздуха (vi) и скорости воздуха (ветра) (щ) относительно Земли;
2) скорость лодки относительно берега (г?) равна векторной
сумме скорости лодки относительно воды (собственная скорость
лодки — iTi) и скорости воды (скорость течения — v?) относи-
относительно берега.
1.25. Ответ начнем с цитаты из книги бывшего разведчика
В. Суворова «Аквариум»: «По нашему заказу Академия на-
наук разработала методику прыжков с поезда... Математические
формулы тебе не нужны, пойми только вывод: из стремительно
несущегося поезда надо прыгать задом и назад; приземляться
на согнутые ноги, стараясь сохранить равновесие и не коснуться
земли руками. В момент касания земли надо мощно оттолк-
оттолкнуться и несколько секунд продолжать бег по ходу поезда, по-
постепенно снижая скорость. Тренированность и физическая сила
при этом должны быть отменными». Прыгать надо «задом и
назад» для того, чтобы уменьшить в момент приземления свою
скорость относительно Земли (у). Поэтому при отталкивании
скорость человека (щ) должна быть направлена противопо-

241. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ложно скорости поезда (fy). По теореме сложения скоростей
v = v\ + V2 (в векторной форме), а
< Vl в проекциях на ось Ох для данного
2 > случая v = V2~v\ (рис. 1.20), то есть
скорость человека относительно Зем-
q х ли меньше скорости поезда на вели-
Рис j 20 чину скорости человека относительно
поезда v\. Лицо при прыжке должно
быть обращено в сторону возможного падения, так как для избе-
избежания падения человек должен бежать по ходу поезда.
1.26. Быстрее лодка и плот удалятся друг от друга на 10 м в
случае, если грести против течения, так как их относительная
скорость (скорость удаления) будет равна сумме их скоростей
относительно Земли.
1.27. Движение игрока по ходу волана уменьшает скорость
волана относительно ракетки. Поэтому увеличивается время
движения волана до ракетки и игрок имеет возможность лучше
приготовиться к удару.
Основные формулы
Скорость перемещения
v = rp « = М. A.1)
Скорость равномерного движения тела вдоль траектории (путе-
(путевая скорость) _ s
При прямолинейном движении тела в одном направлении
значения этих скоростей совпадают.
Уравнения координаты для равномерного движения
х = xq±v •?, A-2)
х — координата в момент времени ?, xq — начальная координата.
Путь при прямолинейном движении в одном направлении
(или модуль вектора перемещения)
s = \х — хо\. A-3)
Аналогично находится расстояние г между точками с задан-
заданными координатами xi и Ж2:
г=\х1-х2\. A.3')
Теорема сложения скоростей:
#=#1+^2, A.4)

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 25
v — скорость движения тела относительно неподвижной системы
координат, v\ — скорость тела относительно подвижной систе-
системы координат, V2 — скорость подвижной системы координат
относительно неподвижной.
Методика решения задач
Задачей кинематики является определение параметров,
характеризующих движение тела, без рассмотрения причин,
вызывающих движение (сил). Кинематическими параметрами
являются скорость, координата, путь (или перемещение) и время,
при равнопеременном движении еще и ускорение.
В большинстве задач кинематики движущееся тело можно
рассматривать как материальную точку. Если же размеры тела
сравнимы с величиной пройденного пути, то это надо учесть при
решении задачи.
1. Если после анализа условия задачи установлено, что тело
движется равномерно и прямолинейно, то число используемых
формул невелико: A.1)—A.3).
Законом движения (уравнением движения) материальной
точки является зависимость координаты от времени, заданная
уравнением или графиком.
По заданному уравнению движения, сравнивая его с уравне-
уравнением A.2) в общем виде, можно найти значение скорости, направ-
направление скорости по отношению к направлению оси ж, начальную
координату. Можно построить график зависимости координаты
от времени. Так как график — прямая, то для его построения
достаточно двух точек. Надо задать два произвольных, но удоб-
удобных для расчета момента времени t\ и t<i, и вычислить значе-
значения соответствующих координат х\ и ^2. Затем надо поставить
точки на заготовленную систему координат с нанесенным на
оси масштабом. Через эти точки {t\ — х\, t<i — х<х) провести пря-
прямую, которая и представит нужный нам график.
2. Задачи, в которых рассматривается независимое движе-
движение нескольких тел относительно друг друга или относительно
некоторого тела отсчета, решать удобно с помощью уравнения
для координаты. Для того, чтобы записать уравнение для ко-
координаты для первого и второго тела, надо сделать следующее:
а) сделать к задаче рисунок и определить систему отсчета:
выбрать тело отсчета, с ним связать начало системы координат;
при прямолинейном движении достаточно одномерной системы

26 1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
координат; ось координат удобно направить параллельно ско-
скорости тела;
б) определить начальные координаты первого и второго тела;
в) выбрать начало отсчета времени и записать фактическое
время движения каждого тела;
г) в уравнение A.2) подставить значение начальной коор-
координаты тела и скорости. Если вектор скорости направлен вдоль
оси, то в уравнении A.2) берется знак « + », если против оси,
то « —». Время t оставляют аргументом. Получаем законы дви-
движения для первого и второго тела;
д) использовать специальные условия задачи, если они есть.
Например, если требуется найти место встречи, то, следователь-
следовательно, надо приравнять координаты двух тел; если задана разность
времен движения двух тел, то выразить t\ и t<i в общем виде
и найти их разность и т. д.;
е) решить уравнение или систему уравнений относительно
искомого параметра, получить формулу в общем виде.
Задачи такого типа можно решить и графически, что будет
сделано ниже на конкретных примерах.
3. Затруднения обычно вызывают задачи на относительность
движения с использованием теоремы сложения скоростей. Надо
отметить, что значения скоростей различных тел, которые дают-
даются в условиях задачи, являются обычно скоростями тел относи-
относительно Земли (если нет специальных оговорок).
Рассмотрим сначала задачи, где тела движутся параллельно
в одном направлении или навстречу друг другу.
а) Найдем относительную скорость движения (то есть ско-
скорость сближения) двух тел, движущихся со скоростями v\ и V2
относительно Земли в одном и том же направлении.
Скорость первого тела v\ относительно Земли равна век-
векторной сумме скорости этого тела относительно второго Щ-2 и
скорости второго тела V2 относительно Земли:
Запишем полученное векторное уравнение в проекциях на
ось ж (рис. 1.21 о): Vl = Vl_2 + V2.
Отсюда относительная скорость двух движущихся в одном
направлении тел
г>1-2 = г>1-г>2-
б) Найдем относительную скорость движения двух тел, дви-
движущихся со скоростями v\ и V2 относительно Земли навстречу
ДРУГ Другу.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 27
V2
Рис. 1.21
Векторное уравнение, соответствующее данному случаю, по
теореме сложения скоростей точно такое же, как и в предыду-
предыдущем случае: -, -,
Vi = ^i
Запишем полученное векторное уравнение в проекциях на
ось х (рис. 1.21 б):
V } V\ — V\-2 — V2-
Тогда скорость сближения тел, движущихся навстречу друг
другу (относительная скорость)
г>1_2 = Vi +V2-
Отсюда можно сделать вывод, что при движении тел навст-
навстречу друг другу их относительная скорость равна сумме их
скоростей относительно Земли, а при движении тел в одном
направлении их относительная скорость равна разности этих
тел относительно Земли.
Представьте себе, что вы идете со скоростью 1 м/с навст-
навстречу трамваю, скорость которого относительно Земли 2 м/с.
Расстояние между вами и трамваем каждую секунду уменьшает-
уменьшается на 3 м, то есть относительная скорость (или можно сказать —
скорость трамвая в системе отсчета, связанной с идущим челове-
человеком, то есть скорость их сближения) равна 3 м/с. С точки зрения
относительности движения для решения задачи можно считать,
что трамвай стоит, а вы к нему приближаетесь со скоростью
3 м/с, или наоборот, вы стоите на остановке, а трамвай прибли-
приближается с той же скоростью.
Используя понятие относительной скорости, решение зада-
задачи, где рассматривается движение двух тел, можно упрощать
следующим образом: одно тело можно считать неподвижным, а
другое движется по отношению к нему со скоростью, равной их
относительной скорости.
в) Пусть тело движется со скоростью #i, которая направле-
направлена под углом а к скорости другого тела V2 (с которым связыва-
связывается подвижная система координат).
Те скорости, которые даются в условии задачи, обычно есть
скорости относительно Земли. Из вашего рисунка, используя
тригонометрические соотношения в треугольнике, теорему Пи-

28
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
фагора или теорему косинуса, можно найти связь между задан-
заданными величинами с неизвестными.
Часто в таких задачах удобным может быть и следующий
подход: с движущимся телом или с Землей связывается прямо-
прямоугольная система координат. Направление осей координат вы-
выбирают так, чтобы удобнее было находить проекции скоростей.
Из одного векторного уравнения получают два уравнения в
проекциях, из которых получают нужную величину.
В некоторых задачах можно обходиться без теоремы сложе-
сложения скоростей, а использовать принцип независимости движений:
если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то
каждое из них совершается независимо от остальных. Напри-
Например, лодка, переплывающая реку, участвует в двух движениях:
одно — под действием тяги мотора поперек реки, другое — под
действием течения вдоль реки. Причем время движения от бе-
берега к берегу не зависит от скорости течения реки, а зависит
только от составляющей скорости лодки в направлении, пер-
перпендикулярном берегу.
Примеры решения задач
1. Поезд движется мимо наблюдателя на земле в течение 8 с,
а мост длиной 200 м он проезжает за 18 с. Определите скорость
поезда.
Движение поезда относительно Земли равно-
равномерное, прямолинейное. В первом случае наб-
наблюдатель является материальной точкой по
сравнению с поездом, поэтому при движении
,_? мимо наблюдателя поезд проходит путь s\ =
= ln = v -t (рис. 1.22 а), /п — длина поезда. Во
втором случае мост нельзя считать материальной точкой, поэто-
поэтому поезд проходит путь S2 = 1и + 1м = v '^2 (рис. 1.22 б').
*х = 8 с
t2 = 18 с
/м = 200 м
Начало т
наблюдения
О
Конец °
наблюдения
S\ = In
Мимо наблюдателя (т. О)
1п — длина поезда
О
In
1 s2 = Im +
Через мост
/м — длина моста
б
Рис. 1.22

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ29
)
Отсюда
v = /м/(*2 —*i); [v] = м/(с —с) = м/с; г; = 20 м/с.
2. Уравнение движения велосипедиста имеет вид: х\ =
= E10 — 5?), м, а движение по той же дороге мотоциклиста:
Х2 = 12t, м. На каком расстоянии они находились в начальный
момент времени? С какими скоростями и в каком направлении
они двигались? Где и в какой момент они встретились? Ответ
получите аналитически и графически. Уравнения записаны в
системе СИ.
Сопоставляя законы движения для
Х1 = E10-5*), м
м
велосипедиста и мотоциклиста с уравне-
уравнением координаты B), можно найти зна-
значения Xq И V.
х = xo±vt;
xB-ltv-l
#oi = 510 м; Ж02 — 05 ^i = 5 м/с; г>2 = 12 м/с.
Начальная координата мотоциклиста равна нулю, поэтому
начало координат совместим с его начальным положением
(рис. 1.23); V2 > 0, вектор щ
направлен вдоль оси ж, а жо2 ^oi
v\ < 0, поэтому v\ направ- 0 v v 500 %•> м
лен против оси х. Расстояние > <
в начальный момент времени Рис. 1.23
г = 510 м.
В момент встречи координата велосипедиста и мотоциклиста
одинакова, что является дополнительным условием для нахож-
нахождения места хв и времени встречи tB:
510 —5*в = 12*;
tB = 30 с.
Координата места встречи хв = 12?; хв = 360 м.
Найдем для построения каждого графика по две точки:
t = 0; х\ = 510 м; Х2 = 0.
t = 40 с;

30
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
По этим точкам построим графики движения велосипедиста
и мотоциклиста (рис. 1.24). Местом встречи является точка пере-
пересечения графиков xi и Ж2. Ей соответствуют значения, получен-
полученные аналитически: tB = 30 с; хв = 360 м.
ж, м
^02
10
20 30
Рис. 1.24
40
50
3. По прямолинейному шоссе движется велосипедист со
скоростью 5 м/с. В некоторый момент времени он находился
на расстоянии 100 м от автомобиля, который спустя 1 с поехал
навстречу велосипедисту со скоростью 20 м/с. Графически и
аналитически определите: а) место и время движения вело-
велосипедиста до встречи; б) кто из них раньше пересек среднюю
точку между исходными пунктами движения и на сколько
раньше; в) где находился велосипедист, когда автомобиль был
на расстоянии 20 м от своего исходного пункта; г) какую точку
автомобиль пройдет на 2 с раньше велосипедиста; д) какое будет
расстояние между ними спустя 4 с после выезда велосипедиста.
Движения велосипедиста и авто-
автомобиля равномерные, прямолинейные.
За тело отсчета примем точку Л, из
которой выехал автомобиль. Совмес-
Совместим с ней начало координат, ось х
направим в сторону движения авто-
автомобиля (рис. 1.25). На чертеже обозна-
обозначим направления скоростей v\ и v<i-
В подобных задачах, где рассмат-
рассматривается одновременное движение
двух тел, при нахождении места и вре-
времени их встречи удобно использовать уравнение координаты A.2).
Vi
V2
Г =
At
а)
б)
в)
г)
д)
= 20, м/с
= 5, м/с
=100, м
= ^2 — ^1 ^ 1, С
Д?в • tg .
ж' = 50м; Д*'-?
xi = 20 м; Ж2 = ?
Д<" = 2 с; ж2 - ?
*2 = 4 с; г = ?

А
г
В
V2
X
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 31
Определим кинематические параметры автомобиля и вело-
велосипедиста.
Координаты автомобиля и велосипедиста в любой момент
времени t (текущие координаты)
обозначим х\ и х<х\ координаты в
начальный момент времени: для
автомобиля xqi = 0, велосипедиста
#02 = г\ знаки vi и V2 определя-
Риг* Т 2^
ются их направлением по отноше- ' '
нию к оси х: v\ > 0, a V2 < 0 (рис. 1.25); время начинаем отсчи-
отсчитывать от начала движения велосипедиста (в соответствии с
вопросом задачи): t<i = t; так как автомобиль вышел позже, то
t\ = t — At. Все это можно обобщить в следующей форме записи:
I. x\\ #oi — 0; vi = 0; t\ = t — At;
П. Х2] xo2 = r; V2<0; ti = t.
Теперь запишем уравнение координаты для автомобиля и
велосипедиста: /,
x1 = v1-(t
Или в числах: ^ = 2O.(t-l),
а) Так как в момент встречи х\ = Х2 = жв, то
vi-(tB-At) = s-v2-tB;
v2) = t2;
Им + м -с/с м j. /i о
= -^ = ^=c; tB = 4,8c.
м/с м/с
Для нахождения места встречи найденное время подставим
в любое из уравнений — для х\ или х^-
хв = х\ = vi • (tB — At); [x] = — • с = м; хв = 76 м.
Графическое решение осуществляется с помощью графика
зависимости координаты обоих тел от времени. Для равномер-
равномерного движения такая зависимость представляется прямой. Для
ее построения достаточно задать две точки:
? = 0; Ж1 = -20м; х2 = 100 м;
t = 6 с; х\ = 100 м; Х2 = 70 м.
По полученным данным ставим точки а и b для построения
первого графика, а также точки тип для второго графика

32
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
(рис. 1.26). Точка с пересечения двух графиков даст место и вре-
время встречи tB = 4,8 с, хв = 76 м).
б) Зная координату точки (хг = 50 м), найдем время ее про-
прохождения автомобилем t\ и велосипедистом t<i из системы
уравнений (а):
X:, м ,
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20 <
т
*\
х'
1
/
/
/!
М
\
1 X
; \
II
i I i i i
2 4 6 8 10 12 14 16 t, с
/
la
х\ = х' =
— At);
= X1 = S-V2 -
Отсюда
t\ = 3,5 с.
, s — х
Тел *
L2 1
V2
р^ 1 М — М
м/с
t2 = Ю с.
At = t2-h
Следующие
м • с
м '
= 6,5 с.
вопросы за-
Рис. 1.26
дачи постарайтесь выполнить самостоятельно, проверив пра-
правильность по приведенному решению.
в) В условии задачи координата некоторой точки х\ = 20 м.
Из первого уравнения системы (а) найдем время движения
автомобиля до момента, когда х\ = 20 м:
х\ = v\ • (t\ — At)' t\ = — + At.
Теперь найдем координату точки, в которой в это время был
велосипедист — Х2'-
[Х2] = м— -(-^-
С \ М/С
= м;
Х2 = S — '
Х2 = 90 м.
г) Автомобиль проходит некоторую точку х" на At" = 2 с
раньше, чем велосипедист:
t2-h = At". (б)
В этом случае
(в)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
33
X = S — V2'L2.
Из (в) и (г) выразим t\ и t^
II II
. X . д | | «S Ж
Т>\ = Т~ L\t\ 62 = •
Vi V2
Подставим найденные выражения в (б) и найдем х":
(г)
Vi +V2
\„пл — (м/с) • (м - (м/с) • с - (м/с) • с) _ (м/с)-м _ „ _ пс,
\Х — : : — : — М, X — Об М.
L J м/с + м/с м/с
д) Координаты автомобиля и велосипедиста в момент вре-
времени to'. /,
По формуле (З7):
Г = \xi — Х2\ = \V\ • (t2 — At) — 5 + ^2 '^2 |; Г = 20 M.
Решение пунктов б, в, г, д можно проверить по графику.
4. На рис. 1.27 приведены графики зависимости координат
от времени для двух тел в
ж, м
2000 ]
II
системе отсчета, связанной
с Землей. Напишите урав-
уравнения для координат I и II
тел в системе отсчета, свя-
связанной с Землей, и урав-
уравнение координаты первого
тела в системе отсчета,
связанной со вторым те-
телом, и постройте соответст-
соответствующий график.
Из рис. 1.27 видно, что
#01 = 400 м, XQ2 = 0. Для
того, чтобы найти скорос-
скорости v\ и V2, надо найти координаты тел через некоторое время
после начала движения и воспользоваться уравнением A.2):
* = 60 с; xi = 1000 м; х2 = 1200 м.
vi = (х\ — xoi)/t; vi = 10 м/с.
V2 = 20 м/с.
20 40 60 80 100
Рис. 1.27
3 С. В. Трубецкова

34
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Уравнения I и II тела в системе координат, связанной с Зем-
Землей, будут иметь следующий вид:
ж1 = D00 + 10-*), м; х2 = 20*, м.
Из рис. 1.27 и результатов подсчета видно, что оба тела дви-
движутся в одном направлении (vi > 0, v2 > 0). Из теоремы сло-
сложения скоростей мы ранее получили, что если два тела движутся
в одном направлении, то их относительная скорость равна раз-
разности их скоростей относительно Земли:
^1-2 = v2 - vi; г>1_2 = Ю м/с.
Расстояние между телами в начальный момент времени
400 м, поэтому и xq = 400 м. Сле-
Следовательно, уравнение движения I
тела в системе отсчета, связанной
со II телом, запишется:
м.
80 t, с
Рис. 1.28
Знак « —» перед скоростью соот-
соответствует тому, что тела сближа-
сближаются, то есть координата первого
тела уменьшается при выборе вто-
второго тела за начало отсчета. Найдем координаты двух точек
графика зависимости х\-2 от времени:
? = 0; Ж1_2 = 400м; * = 60 с; хХ-2 = 200 м.
По этим точкам построим график (рис. 1.28).
Из графиков I и II (рис. 1.27) видно, что спустя 40 с тела
поравнялись (сравните с рис. 1.28).
5. По двум параллельным путям равномерно движутся два
поезда: грузовой, длиной 500 м, со скоростью 36 км/ч и пасса-
пассажирский, длиной 250 м, со скоростью 72 км/ч. Какова относи-
относительная скорость движения поездов, если они движутся в одном
направлении? в противоположных направлениях? В течение ка-
какого времени один поезд проходит мимо другого в обоих случаях?
Пусть vr и vn — скорости грузо-
грузового и пассажирского поездов от-
относительно Земли, г>п-г — скорость
пассажирского относительно грузо-
грузового поезда. Используем теорему о
сложении скоростей (формула A.4)):
скорость движения относительно не-
неподвижной системы координат (г?п)
1г
In
Vr
Vn
= 500 м
= 250m
= 36 km/
= 72 km/
tf-
-? ?"-?
ч =
ч =
-Г
10
20
?
M/
M,
'c
/c

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
35
равна векторной сумме скорости данного тела относительно под-
подвижной системы координат (vn-r) и скорости самой подвижной
системы относительно неподвижной (vr):
1. Выше мы уже разобрали, что при движении двух тел в
одном направлении относительная скорость равна разности их
скоростей относительно Земли:
v'n_r = vn- vr; v'n_r = 10 м/с.
Исходя из принципа относительности движения, можно счи-
считать, что первый поезд стоит, а второй движется к нему со ско-
скоростью ^п-г5 ПРИ обгоне второй поезд проходит путь, равный
сумме длин поездов: s = 1Г + 1П (рис. 1.29). Поэтому время обгона
vn
Vr
s
/r
lu
1
Начало обгона
a
Рис.
I
.29
Конец
обгона
б
2. Если два поезда движутся навстречу друг другу, то ско-
скорость их сближения (относительная скорость) равна сумме их
скоростей относительно Земли:
v'^_r = vn + vr; vn-r = 30 м/с.
Аналогично тому, как и в случае (а), путь, пройденный при
этом, s = 1Г + /п и время прохождения товарного поезда мимо
пассажирского
tn = (lr + ln)/vn ' t/f = 25c.
6. Скорость движения теплохода вниз по реке 21 км/ч, а
вверх — 17 км/ч. Определите скорость течения воды в реке и
собственную скорость теплохода.
, Пусть г>в — скорость течения воды от-
1— ', носительно Земли, vT — скорость теплохода
2 ~ ' относительно воды, то есть собственная ско-
скорость теплохода, v\ и г>2 — скорости теплохода

36
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
относительно Земли при движении вверх и вниз по течению.
В соответствии с законом сложения скоростей:
a) vi = vT + vB] б) v2 = vT + vB.
(уравнения в векторной форме одинаковы). В проекциях на
vb
Рис. 1.30
ось х (рис. 1.30 а и б) эти уравнения запишутся следующим об-
образом: . / ч
к vi = vT + vB; (a)
v2 = vT-vB. (б)
Решая совместно уравнения (а) и (б), получаем
vT = (г>1 + у2)/2; vT = 19 км/ч;
^в = (vi - v2)/2; vB = 2 км/ч.
7. Моторная лодка имеет скорость относительно воды
10 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. В каком направлении
будет перемещаться лодка и с какой скоростью, если она держит
курс перпендикулярно берегу?
1. В соответствии с теоремой сложения
скоростей скорость лодки относительно Зем-
Земли (г?) равна векторной сумме ее скорости от-
относительно воды (гТл) и скорости течения воды
относительно Земли (гТт) (рис. 1.31):
(а)
ул = 10 км/ч
vT = 2 км/ч
/м = 200 м
а
-? 7,-
Из рис. 1.31 видно, что v = \Jv\ + v%; v = 10,2 км/ч.
Направление зададим величиной угла
между результирующей скоростью и ско-
скоростью течения:
tga = vn/vT = 5; а = arctg 5 « 79°.
2. Решим задачу с помощью проекций
векторов на оси системы координат хОу.
Напишем векторное уравнение (а) в проек-
проекциях на оси координат:
vx = vT = v -cosa; vy = г>л = v -since, (б)
Из полученных уравнений найдем г>, возведя в квадрат и сло-
сложив эти уравнения:
Рис. 1.31

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
37
v =
(cos2 a + sin2 a = 1);
v = 10,2 км/ч.
Разделив уравнения (б) одно на другое, найдем
tga = г>л/г>т = 5; а = arctg 5 « 79°,
8. Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют
полосы, наклоненные под углом 30° к вертикали. При движении
трамвая со скоростью 18 км/ч полосы от дождя вертикальны.
Найдите скорость капель дождя в безветренную погоду и ско-
скорость ветра.
При движении трамвая капли на
стекле оставляют вертикальные поло-
полосы, так же как в безветренную по-
погоду. Это значит, что скорость трам-
трамвая относительно воздуха равна нулю.
То есть скорость ветра равна скорости
трамвая, и дует ветер в направлении движения трамвая, vB =
= vT = 5 м/с.
По теореме сложения скоростей можно записать (рис. 1.32)
а =
vT =
Р =
vK-z
30°
= 18
90°
,-?
км/ч =
vB — .
5
м/с
скорость капель относительно Земли vK-3 равна векторной сум-
сумме скорости капель относительно воздуха vK и скорости воздуха
(ветра) относительно Земли vB.
Из рис. 1.32 можно найти
скорость капель:
vK = ^в-ctgce; vK = 8,66 м/с.
/а
9. Вертолет держит курс на
северо-восток под углом 15° с
направлением на север, но пере-
перемещается точно на север. Най-
Найдите скорость восточного ветра, если скорость вертолета в сис-
системе отсчета, связанной с движущимся воздухом равна 90 км/ч.
Рис. 1.32
Рис. 1.33
= 90 км/ч
v\ — собственная скорость вертолета, или его
скорость относительно воздуха.
Из рис. 1.33 видно, что
V2 = v\- sin се; V2 = 23,4 км/ч.
10. Лодочник, переправляясь через реку шириной 400 м из
пункта Л в пункт 5, все время направляет лодку под углом 30°

38
1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рис. 1.34
к берегу (рис. 1.34 а). Найдите скорость лодки относительно воды,
если скорость течения реки 2 м/с, а лодку снесло ниже пунк-
пункта В на расстояние 50 м.
Нарисуем прямоугольную систему координат
с началом в точке Л (рис. 1.34 б). Лодка движет-
движется равномерно. Результирующая скорость лод-
лодки относительно берега равна векторной сумме:
v = г)л + г}р. Координаты лодки х и у меняются
с течением времени по закону
х ") у У '
Найдем составляющие скоростей в направлении осей Ох
и Оу:
их —
d = 400 м
а = 30°
Vp = 2 м/с
/ = 50м
vy = -Уду + Vpy = vn • sin a.
За время t лодочник переплыл реку, то есть координаты
ли равными , , ( ч
х = Z; y = d. (a)
С учетом вышесказанного система уравнений (а) перепи-
перепишется следующим образом:
d = г>л • sin a • t.
В полученной системе уравнений две неизвестных величи-
величины: Vji и t. Исключив t, найдем г>л:
Ул = d -Vp/(l • sin a + d -cos a);
[vji] = (m• m/c)/m = м/с; Vji = 2,2 м/с.
11. На рис. 1.35 изображены лодка и бревно, движущиеся по
реке со скоростями 3 м/с и 0,5 м/с соответственно. Лодка дер-
держит курс под углом 30° к течению реки. Запишите уравнения
координат для движущейся лодки в системе, связанной: 1) с де-

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
39
35 м
Рис. 1.35
ревом на берегу; 2) с плывущим бревном. Рассмотрите случаи,
когда лодка движется по течению и против течения. Время от-
считывается от момента, соответствующему чертежу. Сила тяги
мотора против течения больше, чем по течению, что обеспечива-
обеспечивает лодке одинаковую скорость относительно Земли по течению
и против течения.
20 v2x 30
Рис. 1.36
40 tflx 50
б = 0,5 м/с
i = V2 = 3 м/с
= 30°
Нарисуем схематично вид сверху
(рис. 1.36): v\ — вектор скорости лодки
при ее движении по течению, V2 — против
течения, щ — скорость бревна по течению
реки.
С деревом на берегу связана система
координат хОу. Из рис. 1.36 видно, что начальные координаты
лодки в этой системе будут: xq = 35 м, уо = 20 м, а составляю-

40 1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
щие вектора скорости по осям х и у можно найти, используя
тригонометрические функции угла а:
vix — vi -cosa = 2,55 м/с; v\y = v\ -since = 1,5 м/с.
V2X = V2 - cos a = —2,55 м/с; V2y = —V2 • sin a = —1,5 м/с.
Уравнения координат x и у с учетом данных задачи запи-
запишутся следующим образом:
ж = 35±2,55-?; y = 20±l,5-t.
Знак « + » в уравнениях соответствует движению лодки по тече-
течению, « —» — против течения.
Движение лодки относительно бревна можно рассматривать с
помощью теоремы сложения скоростей. В таком случае с Землей
связана неподвижная система координат, а с бревном — подвиж-
подвижная. Поэтому можно записать
П = у[+щ, A)
то есть скорость лодки относительно Земли равна векторной
сумме скорости лодки относительно бревна и скорости бревна
относительно Земли; v[ и v'2 — скорости лодки относительно
бревна при ее движении по течению и против течения.
В проекциях на ось О'х' векторные уравнения A) и B) за-
запишутся следующим образом:
'
= v'lx + v6; -v2x = v'2x + v6.
Отсюда получим
vlx = V±x - V6', vlx = 2?05 M/c-
V2x = ~V%x - V& v'2x = -3,05 м/с.
Из рис. 1.36 видно, что начальная координата x'q = 30 м.
Запишем уравнение координаты по оси О'х' движения лодки
относительно бревна для первого и второго случая:
х[ = 30 + 2,05 • ?; х'2 = 30 - 3,05 • t.
В проекциях на ось О'у' уравнения A) и B) запишутся сле-
следующим образом:
viy = v'ly; ^ = 1,5 м/с; v2y = v'2y; v'2y =-1,5 м/с.
(так как v^y = 0).
Начальная координата лодки по оси О'у' равна нулю (j/q — 0).
Поэтому уравнения координаты вдоль этой оси будут следую-
l/i = l,5t; i^2 = -1,5*.

2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ
И КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ
Содержание теоретического материала
Понятие неравномерного движения. Средняя и мгновенная
скорости. Равнопеременное движение. Ускорение, его физичес-
физический смысл, размерность и единица измерения. Перемещение при
равнопеременном движении. Уравнение для координаты при
равнопеременном движении. Вывод формулы, связывающей
перемещение и скорость. Свободное падение тел. Кинематика
движения тел, брошенных под углом к горизонту и горизон-
горизонтально.
Вопросы к теоретическому материалу
2.1. Какое движение называется неравномерным?
2.2. Что показывает средняя скорость неравномерного дви-
движения? Как ее найти?
2.3. Дайте определение мгновенной скорости. Как найти эту
скорость?
2.4. Какое движение называется равнопеременным? равно-
равноускоренным? равнозамедленным?
2.5. Что называется ускорением?
2.6. Как направлен вектор ускорения и вектор скорости в
случае возрастания скорости и убывания скорости?
2.7. Запишите уравнение скорости при прямолинейном рав-
равноускоренном движении в векторной форме и в проекциях на
некоторую ось.
От чего зависят знаки проекций при записи уравнения в
скалярной форме?
2.8. Скорость тела — величина относительная. Является ли
ускорение величиной относительной?

42
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.9. Как определяется средняя скорость равнопеременного
движения?
2.10. Напишите формулу зависимости проекции вектора
перемещения от времени (закон равнопеременного движения).
2.11. Напишите уравнение координаты для равноперемен-
равнопеременного движения.
2.12. Получите связь между величиной пути и скоростью
при равнопеременном движении.
2.13. Какое движение называется свободным падением?
2.14. Запишите формулы скорости, перемещения и коор-
координаты тела, падающего свободно для случаев: а) начальная
скорость направлена вертикально вниз; б) начальная скорость
направлена вертикально вверх; в) начальная скорость отсутст-
отсутствует.
2.15. Тело брошено вертикально вверх. Как найти время
подъема и максимальную высоту подъема?
2.16. Нарисуйте графики зависимости от времени ускоре-
ускорения, скорости, координаты, перемещения и пути при равнопере-
равнопеременном движении.
2.17. На рис. 1.37 точками отмечены положения пяти дви-
движущихся слева направо тел через равные промежутки времени.
Интервалы времени между двумя отметками на всех полосах
одинаковы. Охарактеризуйте каждое движение и отметьте, на
какой полосе зарегистрировано равномерное движение с наи-
наибольшей скоростью.
Рис. 1.37
2.18. Сравните ускорения для каждого из графиков скорос-
скорости, изображенных на рис. 1.38. Какому графику соответствует
наибольшее ускорение?

ОТВЕТЫ
43
2.19. Два поезда идут навстречу друг другу: один — уско-
ускоренно на север, другой — замедленно на юг. Как направлены
ускорения поездов?
2.20. Как движутся тела 1, 2, 3, графики для которых даны
на рис. 1.39?
2
О
О t
Рис. 1.39
О
2.21. По графику ускорения (рис. 1.40) постройте график за-
зависимости скорости от времени. (Тело имело начальную ско-
скорость.)
О
1 \
3
г 1
4
1
5
1
t, с
Рис. 1.40
2.22. По графику скорости (рис. 1.41) постройте график за-
зависимости ускорения от времени.
Ответы
2.1. Движение называется неравномерным, если за равные
промежутки времени тело совершает неодинаковые перемеще-
перемещения.
2.2. Средняя скорость показывает, чему равно перемещение,
совершенное телом в среднем за единицу времени г>ср = |г|/?;
при прямолинейном движении величина перемещения равна
пройденному телом пути, поэтому величина средней скорости
vcp = s/t, где s — весь путь, пройденный телом, t — все время,

44 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
затраченное на прохождение данного пути, даже если тело в пу-
пути останавливалось.
Если весь путь можно разбить на участки si, s2, ..., sn, то на
прохождение этих отрезков пути затрачено время ti, t<i-> •••, tn.
В таком случае средняя скалярная скорость
Величина средней скорости не зависит от характера движе-
движения на всем пути и на отдельных его участках.
2.3. Мгновенной скоростью переменного движения называют
скорость, которую тело имеет в данный момент времени (и сле-
следовательно, в данной точке траектории). Мгновенная скорость —
предел, к которому стремится средняя скорость, когда промежу-
промежуток времени стремится к нулю:
r As
v = lim ——.
At
Из математики известно, что предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда последнее стремится
к нулю, является производной данной функции. Если задан
закон зависимости пути от времени, то мгновенную скорость
можно определить, взяв первую производную пути по времени:
v = — = sf (sfn—-— одно и то же, то есть разное обозначе-
ние производной J.
2.4. Движение называется равнопеременным, если за любые
равные промежутки времени скорость изменяется на одну и ту
же величину.
Движение называется равноускоренным, если за равные про-
промежутки времени скорость возрастает на одну и ту же величину,
равнозамедленным — если убывает на одну и ту же величину.
2.5. Ускорением называется векторная величина, равная
отношению изменения скорости тела к времени, за которое это
изменение произошло. Численно ускорение равно изменению
скорости за единицу времени:
а = (v- г?о)/*5 Ы = м/с2,
щ — начальная скорость, v — скорость спустя время t.
2.6. При равноускоренном движении вектор ускорения а
направлен так же, как и вектор скорости (рис. 1.42 а), а при рав-
нозамедленном движении — направлен противоположно скорости
(рис. 1.42 6).

ОТВЕТЫ 45
v х vq v х
Рис. 1.42
2.7. В векторной форме v = щ + а • t. В проекциях г>х =
= ±vOx±axt.
Знаки определяются направлением векторов щ и а по от-
отношению к выбранной оси координат. Если ось координат нап-
направить вдоль начальной скорости (рис. 1.43), то уравнение для
скорости запишется так: v = vq ± a • ?, « + » перед ускорени-
ускорением соответствует равноускоренному движению, « —» — равноза-
медленному.
а а
щ щ
Рис. 1.43
2.8. При переходе от одной системы координат к другой,
движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно,
изменяется и начальная скорость г^? и конечная — v на одну и
ту же величину. Если vc — скорость одной системы относитель-
относительно другой, то
Av = V — Vq ; Av' = V1 — Vq = V — Vq ,
Av и Av' — изменение скорости в той и другой системе коорди-
координат. Мы показали, что изменение скорости, а следовательно и
ускорение, не меняются при переходе от одной системы к другой,
то есть ускорение абсолютно.
2.9. vcp = (vo + v)/2.
2.10. г = vq • t + at2/2. Это векторное уравнение. Если его
записать в проекциях на некоторую ось ж, то оно примет вид
rx = VQX-t + ax -t2/2, (a)
^Ож? &ж — величины проекций векторов щ и а на ось х.

46
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Если вектора щ и а направлены параллельно оси, то
r = ±v0t±at2/2,
знак « + » соответствует направлению векторов щ и а вдоль
оси ж, а знак « —» — против оси х.
Рассмотрим зависимости г от времени (рис. 1.44).
Рис. 1.44
1. Знаки перед первым и вторым членом формулы одина-
t2/2
= -v0t-at*/2.
В данных случаях график является положительной (для
знаков « + ») или отрицательной (для знаков « —») ветвями па-
параболы. Из графиков видно, что модуль перемещения в обоих
случаях возрастает с течением времени. Это значит, что тело не
меняет направления движения.
Мы уже говорили выше, что при движении тела в одном
направлении величина вектора перемещения равна пройденно-
пройденному пути. Поэтому путь при равнопеременном движении в одном
направлении , ,о /о
^ s = vot + at /2.
2. Знаки перед первым и вторым членом формулы (а) раз-
НЫ6: r = v0t-at2/2 (б)
r = -v0t + at2/2. (в)
Уравнению (б) соответствует график 3 на рис. 1.44 б^, а урав-
уравнению (в) — график 4. Из графиков видно, что величина пере-
перемещения сначала возрастает по величине, а затем с момента tf
начинает убывать, так как тело меняет направление движения.
В момент времени t" перемещение стало равно нулю: значит,

ОТВЕТЫ
47
тело вернулось в исходную точку. Обратите на это внимание: тело
все время двигалось, а перемещение стало равно нулю; путь, прой-
пройденный телом, сколько бы времени оно не двигалось, не может
уменьшаться и стать равным нулю. Величина пройденного пути
возрастает и может быть только положительной.
2.11. Из рис. 1.45 видно, что координата точки х в конце
движения описывается уравнением х = xo±rx, xq — коорди-
координата в начальный момент времени (начальная координата), гх —
величина проекции вектора перемещения на ось х\ выбор зна-
знака « + » или « —» определяется направлением вектора переме-
перемещения по отношению оси х. Используя формулу (а), запишем:
х = xq ± vqx -t±ax • t2/2.
О
О
Рис. 1.45
б
2.12. Путь при равнопеременном движении можно найти
через среднюю скорость:
Из формулы v = vq ±at найдем время движения:
t=(v-vo)/(±a).
Тогда
Vq + V V — Vq V — Vq
S ~ 2 ±a ~ ±2a
или
v2-vl = ±2as.
Знак « + » соответствует равноускоренному движению, знак
« —» — равнозамедленному.
2.13. Свободным падением называют падение тел в безвоз-
безвоздушном пространстве (вакууме) из состояния покоя (то есть без
начальной скорости) под действием притяжения Земли. Свобод-
Свободное падение является прямолинейным равнопеременным движе-
движением с ускорением д « 9,8 м/с .

48
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.14. Вектор ускорения свободного падения всегда направ-
направлен вертикально вниз. Поэтому движение вниз является рав-
равноускоренным, вверх — равноза-
медленным (рис. 1.46). Если ось х
направить вдоль начальной скорос-
А ти, то требуемые уравнения будут
I I записаны следующим образом:
a) v = vo + gt; s = vGt + gt2 J2\
2%
Рис. 1.46
6) v = vq — gt; s = vot — gt2/2;
v2-vl = -2gs,
(формула для пути в случае (б)
справедлива только для подъема — то есть при движении тела в
одном направлении; если тело, достигнув верхней точки, начало
двигаться вниз, то уже используется соответствующая формула
из пункта а);
в) если начальная скорость отсутствует, то тело падает:
v = gt; s = gt2/2; v2 = 2as.
2.15. В точке наибольшего подъема скорость становится
равной нулю, и при таком условии можно найти время и высоту
наибольшего подъема:
О = ^0 - g
-vl = -2#/i
hmax =
2.16. Если ось х направить вдоль начальной скорости г>о, то
графики для ускорения (рис. 1.47 а) 1 и 2 соответствуют рав-
равноускоренному движению (а\ > 0, a<i > 0), график 3 — рав-
нозамедленному (аз < 0). Графики скорости представлены на
рис. 1Л7 б: скорости в случаях 1 и 2 возрастают, причем график 2
возрастает круче, так как \а,2\ > \а>\\- В случае 3 скорость сначала
убывает, в момент t' становится равной нулю, затем тело меняет
направление движения, скорость становится отрицательной, а
величина ее теперь возрастает (вспомните, как движется тело,
брошенное вертикально вверх). Этому же случаю соответствует
график координаты (рис. 1.47 г).
Графики 47 д и е — графики перемещения; легко понять,
как они получаются, если вспомнить, что г = х — xq] графики 1
и 2 соответствуют прямолинейному движению в одном нап-
направлении, график 3 — направление движения в момент време-
времени tf — меняется, в момент времени tn тело возвращается в
исходную точку (г = 0), а затем движется дальше.

ОТВЕТЫ
49
О
О
О
О
¦2
¦ 1
>0
Рис. 1.47
О
х0
О
г t
О
О
vo>0
t' \t"
\
\
Для случаев 1 и 2 графики пути совпадают с графиками
перемещения (рис. 1.47ж). Для случая 3 графики пути и пере-
перемещения совпадают до момента времени t' (рис. 1.47з). Затем
перемещение уменьшается, а путь продолжает увеличиваться.
Пройденный путь может быть рассчитан как сумма: s = s± + «§2,
s± — путь, пройденный от начала движения до момента време-
времени tf при равнозамедленном движении, «§2 — путь, пройденный
телом от момента времени t' и далее — равноускоренно.
4 С. В. Трубецкова

50
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.17. На рис. 1.37 а, г, д — равномерное движение, на
рис. 1.37 г — скорость наибольшая; на рис. 1.37 6 — движение
замедленное, на рис. 1.37 в — ускоренное.
2.18. п2 > «45 &4 = &55 «1 =0; аз < 0. Графику 3 соот-
соответствует наибольшее по величине ускорение.
2.19. Одинаково, на север (рис. 1.48).
1 2.20. 1 — тело покоится, 2 — движется
равномерно, 3 — равноускоренно.
Юг 2.21. Рис. 1.49.
Рис. 1.48 2.22. Рис. 1.50.
Север
Рис. 1.49
Рис. 1.50
Основные формулы
Средняя скорость неравномерного движения
Сер — г>/ б, ул.±j
t — время, затраченное на прохождение пути s, независимо от
характера движения на данном пути.
Средняя скорость равнопеременного движения
vcp = (vQ + v)/2. B.2)
Путь при равнопеременном движении
, (г^о + v) • t /o q\
s = vCn-t = ; \Z'3)
s =
2
,2
a • t
Ускорение равнопеременного движения
а = (v — vo)/t.
Из B.5) V ;/
B.4)
B.5)

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 51
v = vo±at, B.5')
B.6)
ИЛИ 9 9 ,
v2-vl = ±2as. B.б7)
Знак перед ускорением в этих формулах определяется видом
движения: « + » — равноускоренное движение, « —» — равнозамед-
ленное.
Величина перемещения
r = ±vot±^f. B.7)
Если задача решается координатным методом, то использу-
используется уравнение координаты
x = xo±vot±at2/2, B.8)
и формула для скорости
v = ±vo±at. B.5")
В формулах B.5"), B.8) знак перед v и а определяется
направлением соответствующих векторов по отношению к оси
координат, а перед хо — положением начальной координаты по
отношению к телу отсчета.
Для свободного падения справедливы все эти формулы,
только надо учесть, что а = д = 9,8 м/с .
Высоту наибольшего подъема тела, брошенного вертикально
вверх, и время подъема можно найти из B.5) и B.6), положив,
что в точке максимального подъема v = 0:
B.9)
B.10)
Методика решения задач
Перед началом решения любой задачи по кинематике первый
вопрос, на который надо ответить, каков характер движения —
равномерное, неравномерное или равнопеременное.
1. При решении задач на неравномерное движение весь
пройденный путь надо разбить на участки, в пределах которых
тело двигалось либо равномерно, либо с постоянным ускорением.
Найти время прохождения телом этих участков, либо наоборот,
зная время прохождения каждого участка, найти пути. Обычно

52
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
в таких задачах требуется найти среднюю скорость. Тогда надо
воспользоваться формулой
_ S _ Si+S2 + ... + Sn
п — число участков.
2. В формулах, характеризующих равнопеременное движе-
движение, используются 5 кинематических параметров: s, г>о, v, a, t.
Все основные формулы B.3)-B.7) содержат по 4 параметра в
разных комбинациях. Поэтому перед решением задач полезно
потренироваться в выборе нужной формулы при разных ком-
комбинациях данных. Для этого можно воспользоваться таблицей.
Последние два задания решаются только в два этапа. Таб-
Таблица все возможные варианты не исчерпывает. Поэтому можно
поступить следующим образом: нарезать 5 карточек, написать
на них по одному параметру (s, г>о, v, a, t). Вытягивая одну
из карточек, подобрать формулу, объединяющую оставшиеся
величины. Из выбранной формулы выразить поочередно все
параметры.
Таблица
Данные задачи
v; vo; t
v; vo; a
v; vo; s
a; v; t
vo; s; t
s; t; vo
s; t; a
v; s; a
v; s; t
Неизвестная
величина
a
s
t
V
a
V
V
t
a
_ ?
_?
_?
_ ?
_?
_?
Формула
o = (v-vo)/t
v2-v2 = 2as
s = (v + vo)t/2
v = vo =Ь at
s = vot-\- at /2
s = (vo + v)t/2
s = vot-\- at /2
v2-v2 = 2as>\
v = vo~\-at J
s = (г^о + v) • t/2
г; = г;0 + at
}
Выражение
s = (v2-v$)/Ba)
t = 2-s/(v + v0)
vo = v — at
a = 2(s-vot)/t2
v = 2s/t-v0
vo = (s-at2/2)/t
vo = Vv2 — 2as 1
t = (v-vo)/a J
^0 = 2s/t-v }
a = (v-vo)/t J
3. При решении задач на равнопеременное движение надо
обращать внимание на «скрытые данные». Например: «поезд,
отходя от станции...», «тело от начало движения...», «свободно

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 53
падающее тело...» — во всех таких случаях в условие надо запи-
записать, что vq = 0. Или: «тормозной путь...», «пуля застревает...»
и т. д. — в этих случаях конечная скорость равна нулю {у = 0).
Следует отметить одновременность начала движения тел (t\ =
= ?2 = ?), равенство координат, если тела встретились [х\ = Х2)
и пр.
4. Обязательно следует сделать рисунок, на котором отме-
отметить отрезки путей, которые даны и которые требуется найти:
надо иметь в виду, что в точках, разделяющих два соседних
участка, конечная скорость одного участка является начальной
скоростью другого.
5. Во многих задачах, особенно в которых рассматривается
одновременно движение двух тел, удобно пользоваться уравне-
уравнением координаты (хотя иногда можно решить не координатным
методом). Для того, чтобы записать уравнения координаты, надо
сделать следующее:
1) на чертеже указать траекторию движения тела, обозна-
обозначить направления скоростей и ускорений;
2) выбрать точку отсчета — обычно либо в начальной точке
движения, либо на поверхности Земли; начало координат сов-
совместить с этой точкой, а ось координат (так как движение пря-
прямолинейное, то достаточно одной оси) направляют параллельно
векторам скорости и ускорений;
3) охарактеризовать все параметры движения тел в выбран-
выбранной системе отсчета: обозначить текущие координаты, начальные
координаты, знаки скоростей и ускорений, определить время
движения каждого тела, записать уравнения координаты для
обоих тел;
4) записать в виде уравнений дополнительные условия за-
задачи, при необходимости добавить кинематические уравнения.
Если формулы получаются громоздкими, то можно произве-
произвести вычисления вспомогательных параметров, чтобы подставить
их значение в окончательное выражение.
6. Особую группу представляют задачи, в которых рассмат-
рассматривается движение тела, брошенного горизонтально или под
углом к горизонту, причем на тело действует только сила его
притяжения к Земле — сила тяжести. В таких случаях тело
участвует одновременно в двух движениях: равномерном дви-
движении в горизонтальном направлении и равнопеременном дви-
движении с ускорением д = 9,8 м/с в вертикальном направлении.
Рассмотрим данный вопрос более детально.

54
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Пусть тело брошено со скоростью щ под углом а к горизон-
горизонту (рис. 1.51). Вектор скорости щ нужно разложить на состав-
составляющие вектора в горизонтальном, Ож, и вертикальном, Оу,
направлениях:
vox = v
Рис. 1.51
Так как горизонтальная составляющая скорости vx не меняется
(г>Ож = vix = V2X = const), то путь, пройденный телом в горизон-
горизонтальном направлении за любое время, и координата определя-
определяются по следующим формулам:
Вертикальная составляющая скорости по мере подъема тела
убывает, уменьшается угол наклона результирующей скорос-
скорости к горизонту; результирующая скорость также меняется по
величине и направлена вдоль касательной к траектории тела
(рис. 1.51). Величина результирующей скорости для каждой точ-
точки определяется через составляющие скорости по теореме Пи-
Пифагора:
v =
Так как в вертикальном направлении скорость меняется с уско-
ускорением д = 9,8 м/с , то при подъеме тела до наивысшей точки 2
ее можно определить по формуле
Vy = voy-gt.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
55
Угол наклона результирующей скорости в каждой точке
может быть найден через любую из тригонометрических функ-
функций данного угла:
а = arctg (vy/vx) = arcsin^/v) = arccos (vx/v).
Высота подъема и координата у определяется по формулам
h = voyt - gt2/2; у = у0 + voy • t - gt2/2.
Примечание: знаки перед vqv и д будут другими, если сме-
сменить направления осей координат.
В точке наивысшего подъема вертикальная составляющая
скорости равна нулю, а горизонтальная составляющая остается
той же самой, что и в начале движения. Из этого условия можно
найти время движения тела до точки наивысшего подъема:
vy = 0; t = vOy/g.
Далее тело начинает одновременно падать и продолжает
двигаться горизонтально, вертикальная составляющая и ре-
результирующая скорости возрастают; причем значения vy
будут отрицательными, что соответствует смене направления
движения.
Нетрудно показать, что время подъема на высоту h равно
времени падения.
Подобным же образом дви-
движется тело, брошенное горизон-
горизонтально с высоты h (рис. 1.52):
начальная скорость щ, направ-
направленная горизонтально, не ме-
меняется по величине во время
движения тела. В вертикаль-
вертикальном направлении тело движет-
движется равноускоренно с ускорени-
ускорением д = 9,8 м/с без начальной
скорости (проекция вектора щ
на ось Оу равна нулю). рис 152
Для выбранной (рис. 1.52)
системы координат уравнения для координат х и у запишем
следующим образом:
x = vot, y = gt2/2.
В момент падения на Землю координата х = s = v$t, а ко-
координата у = h = gt2 /2.

56 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Примеры решения задач
1. На второй половине пути автомобиль двигался со ско-
скоростью, в два раза большей, чем на первой. Средняя скорость
движения равна 40 км/ч. Найдите скорости на первом и втором
участках пути.
Движение в целом неравномерное, хотя
v2 = 2v\
Sl = s2 = s/2
vcp = 40 км/ч
на каждом участке автомобиль двигался рав-
равномерно (рис. 1.53). Поэтому
В уравнении (а) неизвестны все 5 па-
параметров и нет скоростей v\ и v2, которые
надо найти. Используя данные задачи,
получим следующие уравнения:
*2 =
v2 = 2v\.
Получили 6 уравнений, в которых 7
неизвестных величин. Если числитель
и знаменатель формулы (а) выразим
1 2 через одну переменную s, то сократив
Рис- 153 ее, можно решить задачу:
s\-\-s2 = s\ t\ = s\/v\ = s/2v\\ t2 = s2/v2 = s/2v2\
tl+t2 = s±i±^i.
LV\•V2
С учетом условия задачи
Отсюда
vi = Зг>ср/4; v\ = 30 км/ч;
v2 = 2v\\ v2 = 60 км/ч.
2. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину
пути он проехал со скоростью 12 км/ч. Далее половину оставше-
оставшегося времени он проехал со скоростью 6 км/ч, а затем до конца
пути шел пешком со скоростью 4 км/ч. Определите среднюю
скорость велосипедиста на всем пути.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
57
v\ = 12 км
81 = 8/2
S2 + S3 = S
l>2 = 6 Км/
г>з = 4 км/
«cp~?
Л
/2
4
4
Движение на всем пути неравномерное.
Весь путь можно разбить на три участка, на
каждом из которых движение равномерное
(рис. 1.54). Средняя скорость
_ S1+S2
V
Добавим к этому уравнению уравнения,
следующие из условия и чертежа:
s/2
s/2
Так же, как и в предыдущей задаче, выразим знаменатель
через s. Тогда
I I (Л t I |^ I /О
Не забудьте, что t2 = ts;
v2 • т2 -\- v% • т2 = «s/ z;
Рис. 1.54
С учетом этого
Vr.r> =
СР 2^1+^2
[vcp] = км/ч;
7 км/ч.
3. Через сколько секунд от начала движения поезд достиг-
достигнет скорости 50 км/ч при ускорении 0,5 м/с2? Какой путь он
пройдет при разгоне?
г; = 72 км/ч = 20 м/с
а = 0,5 м/с
?-? s-7
v = vq + at;
так как г>о = 0, то t = v/a;
м-с
= с;
= 400 с;
^2-^2 = 2а5;
[; 5 = 400 м.
4. Пуля вылетает из ствола винтовки длиной 80 см со ско-
скоростью 800 м/с. Считая движение внутри ствола равноуско-
равноускоренным, определите время движения пули внутри ствола и
ускорение.

58
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
0
v = 800 м/с
/ = 0,8 м
(так как
'о = О);
[*] = :? = ¦
г -I М М #
^ ^ С • С с2 '
= 2l/v
* = 0,002 с;
а = 4000 м/с2.
5. Первый вагон трогающегося поезда проходит за 3 с мимо
наблюдателя, находящегося у начала вагона. За сколько времени
пройдет мимо наблюдателя весь поезд, состоящий из 9 вагонов?
Движение считайте равноускоренным.
*i = 3 с
<2"?
Так как ускорение постоянно, то по данным за-
задачи можно записать дважды уравнение B.4):
Если / — длина вагона, то
Поделив одно уравнение на другое, получим
9 = <!/<?; t2 = 3*i; <2 = 9 с.
6. Лыжник спускается с горы длиной 56 м. Сколько времени
займет спуск, если ускорение будет 0,4 м/с2, а начальная ско-
скорость равна 1,2 м/с?
l = v0t + at2/2.
Относительно времени данная формула яв-
является квадратным уравнением. Приведем это
уравнение к стандартному виду:
2 + Ьх + с = 0.
/ =
а =
vo--
ten
56
:0,
= 1
м
4 м/
,2 м
с2
/с
Получим
! + 2^о-^-2/ = О.
Решать квадратное уравнение удобно, подставив численные
значения известных параметров: 0,4?2 + 2,4? — 112 = 0; поделив
все члены уравнения на 0,4, получим
-280 = 0; ti,:
! = 14 с; *2 = -20 с;
-6 ± л/36 + 1120 -6 ±34
2 2 '
*сп = *i = 14 с.
Отрицательное значение корня физического смысла не имеет.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
59
7. Автомобиль движется равномерно по горизонтальному
участку дороги, а затем начинается спуск, длина которого
562,5 м. Ускорение автомобиля при спуске составляет 20 см/с2,
скорость в конце спуска равна 90 км/ч. Сколько времени длился
спуск?
s = 562,5 м
a = 20
v = 90
*-?
см/с2 =
км/ч =
о,
25
2 м/с2
м/с
Формулы, связывающей дан-
данные задачи с искомой величиной,
нет. Поэтому сначала по данным
задачи найдем начальную скорость
по формуле B.6):
v0 = Vv2-2as; v0 = 20 м/с.
А теперь по одной из формул B.3), B.4) или B.5) найдем время:
t = (v — vo)/a; t = 12,5 с.
8. Шарик скатился с уклона длиной 7 м за 2 с, а затем про-
прокатился по горизонтальному участку еще 4 м. Найдите ускоре-
ускорение на каждом участке пути. Нарисуйте график зависимости
скорости от времени.
Перед записью условия изобразим траекторию
шарика и обозначим граничные точки первого и
второго участков пути (рис. 1.55).
По параметрам, известным для 1-го участка,
можно найти а\:
h
t1
h
= 0
= 7
= 2
= 3,
-?
м
с
5 м
а\ • 1
так как v\ = 0, то
h
а\ = 2li/tf; [а\ = м/с ;
ai = 3,5 м/с .
Для нахождения ускорения a<i на
втором участке недостаточно данных.
Скорость в точке 2 является конечной
для 1-го участка и начальной скоростью 2-го участка (рис. 1.55).
Найдем V2'.
Рис. 1.55
2 L 2
[v2] = м/с;
Теперь можно найти а^
= 7 м/с.

60 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
9 9
щ - ч = -
„2 _
Vo г п М М гу I 2
«2 = ^f; [а] = -2— = -г; «2 = 7 м/с .
^*2 С -м С
Для построения требуемого графика надо найти t^
2
г, -I M • С , -,
fo] = -^r = c; i2 = lc-
v, см -с
Построение графика (рис. 1.56) не требует особых пояснений.
9. Заданы уравнения движения двух тел:
хг = B-2-?2+3-?), м, х2 = B-?2-4-?), м.
Найдите начальные координаты тел, начальные скорости и
ускорения. В какой момент и в каком месте встретятся тела?
Какое перемещение совершит первое тело от начала движения
до встречи, и какой при этом оно пройдет путь? Нарисуйте гра-
график зависимости скорости от времени для обоих тел.
Сравнивая данные уравнения с
уравнениями координаты B.8), мож-
можно найти требуемые параметры дви-
движения. Для удобства сравнения поме-
поменяем местами слагаемые в заданных
уравнениях:
х = xo±vot±at2 /2;
xi = B-2t2
x2 = Bt2-4:
Ж(I — ? Ж(J ~
i>oi — ? ^02 ~~
ж-? г-?
П-? ii-?
-?
?
, м
м
#01 = 2 м;
= -4 м;
= -4 м/с2;
= 3 м/с;
а2 = 4м/с2.
м;
, м;
VQ2 = -1 м/с;

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
61
#02
-4 -3 -2 -1 О
^02
Рис. 1.57
Нарисуем ось координат ж, обозначим на ней начальные ко-
координаты 1 и 2 тела, укажем направления скоростей и ускорений
(рис. 1.57).
Из анализа рисунка видно, что тела начали двигаться в проти-
противоположные стороны, оба равнозамедленно (так как направления
скоростей и ускорений противоположны). Значит, в какие-то
моменты времени они должны остановиться и поменять нап-
направления движения, начав двигаться равноускоренно навстречу
ДРУГ Другу.
Чтобы лучше понять ха-
характер движения, нарисуем
график для координаты 1
и 2 тела (рис. 1.58), либо ис-
используя производную, либо
по точкам.
Судя по графику, тела
встретятся в момент време-
времени t « 1,8 с в точке с ко-
координатой х « 0,8 м. Это
можно проверить математи-
математически, найдя время встречи
из условия равенства коор-
координат, Х\ = Х2'-
2 + 3* - 2?2 = -4 -1 + 2?2;
4?2-4?-6 = 0;
ti и 1,82 с; <2 =-0,82 с.
Место встречи можно найти, подставив значение t\ в уравне-
уравнение координаты х\ или х^- Вычисления дадут значение х « 0,8
м, что соответствует точке пересечения графиков 1 и 2. Второй
момент времени соответствует встрече, которая могла быть до
начала наблюдения за телами.
Как подсчитать перемещение и путь в случае, если тело ме-
меняет направление движения, подробно рассмотрено при ответе
X
-1
, м t
4
3
2 1
' 0
_4 \
/^\ I1
1 \\
1 Л2 4 >
П 3 *,с
-2 / Ч
-3 /
J
Рис. 1.58

62
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
s2 = |ж-ж
на вопрос 2.16. Проекция вектора перемещения равна разности
координаты места встречи и начальной координаты:
7-1 = ж-жо = 0,8-2 = -1,2 м.
Знак « —» говорит о том, что к данному моменту времени
тело сместилось в направлении, противоположном оси х
(рис. 1.58).
Величина пройденного пути s равна сумме пути s\ вдоль
оси х и пути «§2, который пройдет тело после смены направле-
направления движения до встречи:
3 = SI + S2',
~ |3,1-2| = 1,1 м;
|0,8-3,1| = 2,3 м;
з = 3,4 м.
Запишем уравнения зависимос-
зависимости скорости от времени:
v = ±г>о ±а?;
vi = C — 4*), м/с;
v2 = (_i + 4t), м/с.
Для построения графиков вы-
вычислим значения скоростей для
двух моментов времени:
t = 0; г;х=3 м/с; v2 = — 1 м/с;
t = 2 с; vi =—5 м/с; v2 = 7 м/с.
Поставим эти точки на системе координат и проведем прямые,
соответствующие графикам
(рис. 1.59).
t
8 -
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8 -
v, м -с 1
/
к /
X1
\
3
2 4 *, с
Х 1
Рис. 1.59
ь г;, м/с
10. На рис. 1.60 даны гра-
графики зависимости скорости
движения двух тел от време-
времени. Запишите уравнения зави-
зависимости скорости и координа-
координаты от времени для 1-го и 2-го
тела. Первое тело находится в
начальный момент там же, где
и тело отсчета, второе — на расстоянии 5 м от него в направле-
направлении оси х.
0,5 1,0
Рис. 1.60
1,5

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
63
#01
ХЪ2
Xl{
= 0
= 5
м
?
По графикам можно вычислить ускорение,
найдя изменение скорости за произвольно выб-
выбранный промежуток времени А*:
А* = 0,5 с; г>01 = 1 м/с; v\ = 2 м/с;
г>02 = 2,5 м/с; г>2 = 2 м/с.
Воспользовавшись формулой B.5), найдем ускорения:
а\ = 2 м/с2; а2 = —1 м/с2.
Подставим полученные значения в уравнение для скорос-
скорости B.57) и координаты B.8), время остается аргументом:
Vl = A + 2*), м/с; v2 = B,5-*), м/с;
#1 = (* + *2), м; Х2 = E + 2,5* — 0,5*2), м.
11. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один,
имея скорость 18 км/ч, поднимается в гору равнозамедленно с
ускорением 20 см/с2, другой, имея скорость 5,4 км/ч, опускается
равноускоренно с тем же по величине ускорением. Через какое
время велосипедисты встретятся и в каком месте? Расстояние
между велосипедистами вначале — 130 м.
Вспомним, что такое система
отсчета; тело отсчета, связанная с
ним система координат и задание
момента, от которого отсчитываем
время. Определим систему отсчета
в нашей задаче. Телом отсчета вы-
выберем точку на Земле, где был 1-й
велосипедист в начале наблюдения.
Ось координат направим вдоль скорости 1-го тела. 2-й велосипе-
велосипедист находится на расстоянии s в
начале наблюдения, то есть на-
начальная координата 1-го велоси-
велосипедиста #oi — 0, начальная ко-
координата второго равна #02 = s
(рис. 1.61). Начали велосипедисты
движение одновременно, то есть
время движения у них одинаково.
Обозначив координаты велосипе-
велосипедистов х\ и Ж2, можно все параметры уравнений их координат
охарактеризовать следующим образом:
1. х\\ #oi — 0; г>01 > 0; а\ < 0; *.
. Х2'ч з?02 — з; ^02 ^ и? ci2 ^ и; т.
S =
vQ1
^02
хх
*-
130
= 18
= 5,<
= CL2
= х2
Ч х-
м
км/ч =
4 км/ч =
= 0,2м/
.?
5
= 1
с2
м/
,5
'с
м/с
Рис. 1.61

64
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Знаки проекций скоростей и ускорений на ось х зависят от
направления векторов скоростей и ускорений по отношению к
выбранной оси. Запишем теперь уравнения координат (учтем,
что а\ = п2 = а):
Так как х\ = x<i-> то
а • t
; = S - Vq2 ' t -
о
a-t
(а)
(б)
at
, at
= S-VQ2-t-—.
Найдем отсюда время, спустя которое велосипедисты встретятся:
4 ' м '
* =
Чтобы найти координату места встречи, подставим время
t = 20 с в уравнение (а) или (б). Получим х = 60 м.
12. Тело двигается прямолинейно с постоянным ускорением.
За первую секунду оно прошло 1 м, за вторую — 2 м. Какова его
начальная скорость?
Вычислим среднюю скорость за первую се-
секунду, за вторую и за две секунды:
г>Ср1 = -г^-; ^cpi = 1 м/с;
- ——; ^ср2 — 2 м/с;
Si +#2 1 К /
а-
Ai
S2
Ai
vo
- const
= 1м
ii = lc
= 2 м
12 = 1 С
_?
Запишем формулы для средних скоростей через скорость
начальную г>о, скорости в конце первой и второй секунды — v\
и г>2 (рис. 1.62):
и 1 ^ Vn^ = — -; (а)
S2
Рис. 1.62
_ 171 Ч- г;2 ,
^cpl-2 =
(б)
(в)
Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
^(b vi-> V2- Решим ее, чтобы найти г>о- Результат получим быстро,
если поступим следующим образом: сложим уравнения (а) и (в)
и вычтем уравнение (б). Тогда получим:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
65
V0J-V2
Vq = 0,5 м/с.
13. Тело, имея начальную скорость 4 м/с, прошло за шестую
секунду 15 м. Определите ускорение тела.
I способ
Решим сначала задачу с помощью уравнения
координаты. Начало координат совместим с точ-
точкой, из которой вышло тело (рис. 1.63): жх,Ж2,
жз, #4, хь-> xq — координаты тела спустя 1 с, 2 с,
и т. д. от начала движения тела. Путь, пройден-
пройденный за шестую секунду, найдем так:
s = xq-x^. (a)
At
s =
а —
= 4
= 1
15
м/с
с
м
о
Х\
XQ X
Рис. 1.63
Запишем уравнение для координаты движущегося тела, опре-
определив сначала кинематические параметры в выбранной систе-
системе отсчета: х — текущая координата; xq = 0; г>о > 0; а > 0; t.
, . at2
X = VQ-t+—.
Найдем координаты тела в конце 5-й и 6-й секунды движе-
движения:
at к
(б)
2
, CLIq / \
(очевидно, что t§ = 5 с, t^ = 6 с).
Имеем 3 уравнения с неизвестными Ж5, Жб, а. Найдем уско-
ускорение а:
;-*5)+ !(<§-<§);
_ 2[8-vo(t6-t6)].
^^
г п _ м-(м/с)-с _ м .
И - С2_С2 - ?.
5 С. В. Трубецкова

66 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
II способ
По формуле B.5') можно найти скорости в конце 5-й и 6-й
секунд: , , , ч
^6 = ^0 + а*б- (б)
Имеем 2 уравнения с неизвестными г>5, г>б, а, поэтому добавим
еще уравнение B.3):
s — —-—At. (в)
Решая эту систему, получим формулу для ускорения:
Bs о \ 1 г и /м м\ 1м о / 2
а = [ -— — 2v() ; а = — — — • - = -о-; а = I м/с .
\А^ / ^5 + ^6 Vc с/ с с2
с2
Покажем, что формула, полученная при решении первым
способом, такая же, как и во втором:
= 28-2^ofa-^5) = 28-2^ofa-^5) . 1 = /2s _ 2
14. Тело, имея некоторую начальную скорость, движется
равноускоренно. За время t тело прошло путь s, причем его
скорость увеличилась в п раз. Найдите ускорение тела.
I способ
Запишем формулу зависимости пути от вре-
времени: а^2
s s = VQ.t+—.
V = П •
К этому уравнению добавим еще два:
а— (
v = vo + at; v =
Получим 3 уравнения с неизвестными а, г>, г>о-
Решение даст формулу для ускорения а:
„_ 2а(п-1)
а — —^ .
Мож;но решить эту задачу и с помощью других уравнений
кинематики. Без пояснений приведем их.
II способ
V = Vq + at\
s = (v + v
V = П • Vq.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
67
't/2
.}
)-t/2 = s.
_
2«(n-l)
III способ
v0 =
2s(n-l)
a = —^ ^
15. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 19,6 м/с.
Найдите высоту наибольшего подъема и время подъема. Найдите
скорость при падении в ту же точку и время падения.
В наивысшей точке скорость тела равна
нулю, что и записано в условии задачи (v = 0):
v2-vl = -2gh] h = vl/2g; h = 19,6 м.
v = vo-gt1; O = vo-gt1; t1 =
Vq =
V =
9 =
h-
v2-
= 19,6
0
9,8 м
? ti-
- ? t2 -
м/с
/c2
?
-?
(знак « —» определяется тем, что движение
вверх равнозамедленное).
При падении начальная скорость равна нулю, движение рав-
равноускоренное. Высота, с которой падает тело, найдена выше.
h = v0 • t2 + gtj/2; h = gtl/2- /Щ
V2~Vq= 2gh;
t2 = л/Щд = 2 с.
V2 = л/2дТг; V2 = 19,6 м/с.
Получили, что время подъема равно времени падения, ско-
скорость при падении равна скорости, с которой было брошено тело
(если нет сопротивления воздуха).
16. При свободном падении первое тело находилось в поле-
полете в 2 раза меньше времени, чем второе. Сравните скорости тел
и их перемещения.
= ^02 = 0
*1 =
Запишем формулы B.57) и B.4) для каждо-
каждого тела с учетом того, что начальная скорость
того и другого тела равна нулю:
vi=gti; v2--

68 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
17. Два тела брошены вертикально вверх с начальной ско-
скоростью 19,6 м/с с промежутком во времени 0,5 с. Через какое
время после бросания второго тела и на какой высоте встре-
встретятся тела?
Движение тел равнопеременное с
^01 = ^02 = 19,6 м/с
At = 0,5 с
-l хв-1
2
ускорением д = 9,8 м/с . За начало
отсчета примем точку бросания тел —
точку О. Ось координат направим вер-
вертикально вверх (рис. 1.64). Для решения
воспользуемся уравнением координаты B.8).
Охарактеризуем параметры движения каждого тела, отсчи-
отсчитывая время от начала движения второго тела — ?; х\^х2 —
координаты тел.
2. х2] а?02 — 0; ^02 ^0? 9 ^ 0? t2 = t.
Знаки скоростей и ускорений определяются
направлением соответствующего вектора по от-
отношению к оси ж, причем l^oil = |^02| — ^о-
С учетом сказанного уравнения координаты
первого и второго тел запишем так:
J J
q ^01 Щ2 2
2. ж2 = г;(г*-^-.
Рис. 1.64 D 2 о
В полученных уравнениях о неизвестных вели-
величины: жх, Х2-) t. Поэтому добавим уравнение, следующее из усло-
условия задачи: х\ = х2 (так как надо найти место встречи). Решив
уравнения, найдем tB:
xi = х2 = хв;
=
Подставив время в уравнение координаты для 2-го тела
(или 1-го), получим координату места встречи:
xB = v0-tB-^; xB = 19,05 м.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
69
18. Тело, находящееся в точке В на высоте 45 м от Земли,
начинает свободно падать. Одновременно из точки Л, распо-
расположенной на расстоянии 21 м ниже точки 5, бросают другое
тело вертикально вверх. Определите начальную скорость второго
тела, если известно, что оба тела упали на Землю одновременно.
Движение тел равнопеременное. За начало
отсчета примем точку падения тел на Землю. Ось
направим вертикально вверх (рис. 1.65).
Для решения воспользуемся уравнением ко-
координаты. Время отсчитываем от момента бро-
бросания тел. Охарактеризуем параметры движения
каждого тела:
1. жи жО1 = Л; ^oi = O; g < 0; t.
2. х2; хо2 = h-r; vOi > 0; д < 0; t.
С учетом этих параметров запишем
уравнения координаты 1-го и 2-го тел:
h =
г =
<1 =
45
21
= <2
= 0
_?
м
м
= *
X ,
А'
г
h
В условии задачи сказано, что тела рис j §§
упадут на Землю одновременно, то есть
спустя время t координаты обоих тел станут равны нулю:
0 = /i-^-; (a)
-°4- (б)
Из уравнения (а) найдем время:
= с;
t«3 с.
Из уравнения (б) найдем
м
-;
е
it /
= 7 м/с.
19. Свободно падающее тело через время t после начала
падения находится на высоте 1100 м, а еще через 10 с на высо-
высоте 120 м над поверхностью Земли. С какой высоты падало тело?

70
2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
#2 = 1100 М
At = 10 с
#3 = 120 м
д = 9,8 м/с2
#!-?
I способ
Место падения тела выберем за точку
отсчета, ось Ох направим вертикально вверх
(рис. 1.66). Время начнем отсчитывать от на-
начала падения тела. Исходя из чертежа и
условия задачи, можно охарактеризовать па-
параметры, входящие в уравнение координаты:
х\ xq = Hi; vq = 0; д < 0; t.
Запишем его:
По условию в некоторый момент времени t тело будет в
точке 2 с координатой х2 = Н2, а спустя время At = 10 с —
в точке 3 с координатой х% = Яз. В соответствии с этим урав-
уравнения координаты для указанных точек
запишутся следующим образом:
LJ _ тт „+2 /О. U — U 9(t + At)
п2 — tii— дг /А ^з — tt-i — .
А
В полученных уравнениях две неиз-
неизменные величины: t и Hi. Вычтем из
первого уравнения второе и найдем t:
Я2 - Я3 _ А^.
g-At !~;
#1
V
X ,
#2
Л3
•2
3
О
Рис. 1.66 [6J
Из первого уравнения найдем
^2
v ¦ — с = с;
(m/cz)-c
Ях = 1222,5 м.
II способ
Для участка 2-3 известны 3 кинематических параметра: д, At
и длина участка 2-3, равная (Hi — #2) • Для этих данных запишем
формулу B.4), в которую входит еще начальная скорость для
участка 2-3, то есть скорость в точке 2:
Отсюда найдем
О
/ М -С \ 1 М А(\ I
= (м-м- —— I • - = -; V2 = 49 м/с.
\ г» / С С

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
71
Скорость в точке 2 является начальной для участка 2-3 и
конечной для участка 1-2. Поэтому для участка 1-2 известны
теперь 3 параметра: v\ = 0, г>2, д- Отсюда можно записать B.б7):
v\-v\ =
где h — длина отрезка 1-2. Найдем его:
v2
h = —; h = 122,5 м.
Из рис. 1.66 видно, что
Hi = 1222,5 м.
20. Тело, свободно падая, за последние 2 с прошло 100 м.
С какой высоты упало тело и сколько времени оно падало?
г;х =0
h2 = 100 м
to = 2 с
t-t
I способ
Начало координат выберем в точке паде-
падения тела, ось х направим вертикально вверх
(рис. 1.67). Время начнем отсчитывать от момен-
момента падения тела. Кинематические параметры
движения тела следующие:
х; xq = h; vq = 0; д < 0; t.
Запишем уравнение координаты:
В точку 2, координата которой равна ну-
нулю (х2 = 0), тело попадает спустя время ?, а
в точку 1 с координатой hc — спустя время
(t — t2). Поэтому уравнения координаты для
этих точек запишем так:
2
для точки 2: 0 = h — -—;
1
для точки 1:
= h —
Рис. 1.67
Имеем два уравнения с неизвестными h и t. Решение их
даст следующие выражения:
, _ h2 ,*2.
n~ 2 '
.+С = С,
(m/cz)-c
h = 180 м.
= 6c.

72 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
II способ
Известны параметры, характеризующие второй участок пу-
пути: д, ^2, h,2. Отсюда можно найти скорость в точке 1:
v\ « 40 м/с.
Скорость в точке 1 является конечной скоростью первого
участка пути, тогда для 1 участка теперь известны 3 парамет-
параметра: vq = 0, г>1, д. Можно найти h\\
v^ — Vq= 2gh\] h\ = v\/2g\ [hi] = M2'c = м; hi « 80 м;
с • м
h = hi + /125 Л. = 180 м.
Время падения с высоты h найдем из формулы:
.2
Л = vo -t+ ^—^
9
21. Тело брошено с высоты h горизонтально со ско-
скоростью vo. Как зависят от времени координаты тела и его
полная скорость? Получите уравнение траектории движения.
Найдите скорость тела при его падении на Землю и угол па-
падения.
Выберем начало координат в точке бро-
'1 сания тела, ось Ох направим горизонтально,
ось Оу — вертикально вниз (рис. 1.68 а). Так как
движение по горизонтали является равномер-
равномерным и хо = 0, то уравнение координаты B.8)
для этого случая запишем следующим образом:
>-? а-?
В вертикальном направлении тело движется
без начальной скорости равноускоренно с ускорением д (уо — 0):
Если же начало координат выбрать на поверхности Земли
(рис. 1.68 б), то начальная координата в таком случае равна высо-
высоте h (xq = h) и уравнение для координаты у запишется в виде
y6=h-gt2/2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
73
Рис. 1.68
Уравнение для координаты х в данной системе координат
такое же, как и на рис. 1.68 а.
Величина горизонтальной составляющей скорости остается
неизменной, равной г>о:
vx = vq = const.
Вертикальная составляющая для системы координат на
рис. 1.68 а
Vya =
а для рис. 1.68 б
(Знак определяется направлением вектора д по отношению к
оси Оу.)
Результирующая скорость в любой момент времени t опре-
определится через составляющие vx и vy по теореме Пифагора:
Уравнение траектории тела на плоскости хОу должно дать
зависимость координаты у от х: запишем уравнения координат
для обоих рассматриваемых случаев и, исключив время ?, по-
получим искомую зависимость:
y6=h-gt2/2.
v0
t- x •
v
2
g • x
2v0
По виду полученной формулы видно, что траектория явля-
является параболой.

74 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Для того, чтобы найти скорость в момент падения г>, надо
найти время падения тела с высоты /i,
и воспользоваться полученной зависимостью v(t):
v =
(можно найти vy по формуле B.57) и сложить векторно с vx,
получится то же самое).
Угол падения тела на Землю можно найти через состав-
составляющие скоростей vx и vy:
tga = ^-; а = arctg (—] = arctg ( — ).
VX \VX/ \Vo/
22. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы
дальность полета была наибольшей?
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти за-
зависимость пути от угла
бросания a: s(a). Путь в
горизонтальном направ-
направлении определим по фор-
формуле равномерного дви-
движения (рис. 1.69):
s = 2vox-t,
t — время подъема те-
тела до наивысшей точки.
В этой точке вертикаль-
у
Рис. 1.69
ная составляющая ско-
скорости равна нулю:
то
Так как
г?0Ж = vq • cos се; v$y = vq -since,
s(a) = 2vq -cosce -sina/g или s(a) = v$ -sinBa)/g
(в соответствии с тригонометрической формулой: sin2ce =
= 2 sin се -cos ce).
При заданной скорости vq максимальному пути будет соот-
соответствовать максимальное значение sinBce), которое равно 1.
sin2ce = 1; arcsinl = тг/2;

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
75
Получили, что максимальная дальность полета при любой ско-
скорости vq будет при угле бросания тг/4.
Вопрос о максимальной дальности полета можно решить и с
помощью производной, которая равна нулю при smax. Найдем
производную от пути по а:
sf(a) = 2v% • cos Bа)/д; sf(a) = 0.
Найдем, при какой величине угла а производная равна нулю:
cos Bа) = 0; arccosO = тг/2;
2а = тг/2; а = тг/4.
23. Артиллерийское орудие расположено на горе высотой Н.
Снаряд вылетает из ствола со скоростью г>о, направленной под
углом а к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
определите дальность полета в горизонтальном направлении.
Начало координат выберем в точке выстрела,
оси координат направим по вертикали и горизонтали
(рис. 1.70).
а I способ
. _ ?
Снаряд движется равномерно в горизонтальном
направлении, при подъеме он проходит путь si, при
падении — S2-
Если время подъема снаряда до высшей точки ti, а время
падения — t<i-> то
У'
Щу
h
H
{о
/ / .¦¦ / /
1
'1
si
\ X
\
S2 !
Найдем время подъ-
подъема до наивысшей точ-
точки t\ из условия, что вер-
вертикальная составляющая
скорости в этой точке рав-
равна нулю:
ti = vOy/g.
Достигнув высшей точ- Рис j 7q
ки, тело начинает падать
с высоты (Н + /i), где h — высота подъема снаряда над орудием.
Найти h можно по формуле

76 2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
h = v20y/Bg).
Найдем время падения с высоты (Я + h):
(H + h)=gt22/2; <2 =
Учитывая, что
v0x — ^о *cosa•> v0y — ^о * since,
Найдем 5, 5 = 51 + 52-
-sine*-cost*
vo-cosaJ2gH + v*-sm2a
= *
s = vq • cos се (г>о • sin се + y2gH + v$ • sin2 ce
II способ
Уравнения для координат х и у снаряда в выбранной систе-
системе координат выглядят следующим образом:
У
?/ 0 '
•cos се
Ь
9?
1
В момент падения тела на Землю х = 5, у = —Н.
С учетом этого уравнения координат запишем следующим
образом:
s = г>о -cosсе • ?;
2
— Я = г>о -since • ? — ^—.
Из второго уравнения найдем время ?, а затем путь s:
gt2/2-v0sma-t-H = 0;
gt2-2v0sma-t-2H = 0;
^l 2 = U'o since ± д/г»п -sin a + Iqn q.
'V v u / /
Из формулы видно, что одно значение времени, соответст-
соответствующее знаку « + », будет положительным, а другое, соответ-
соответствующее знаку « —», отрицательным. Так как по смыслу нам
подходит положительное значение, то дальность полета снаряда
s = t'ocoscef^o sin a + yv^sm2а
2дН ) /д.

3. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО
ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПО ОКРУЖНОСТИ
Содержание теоретического материала
Определение криволинейного движения, направления пере-
перемещения, скорости и ускорения при криволинейном движении.
Движение по окружности. Единица измерения угла — радиан.
Угловая скорость — физический смысл, размерность. Частота
и период равномерного движения по окружности, связь между
ними. Связь между угловой скоростью, периодом и частотой.
Линейная скорость вращательного движения, ее связь с перио-
периодом и частотой. Центростремительное ускорение, его величина и
направление.
Вопросы к теоретическому материалу
3.1. Какое движение называется криволинейным?
3.2. Каково направление скорости тела при криволинейном
движении?
3.3. Почему равномерное движение по криволинейной тра-
траектории является ускоренным?
3.4. Движение по окружности является частным случаем
разных криволинейных движений. Почему криволинейное дви-
движение можно описать с помощью закономерностей вращатель-
вращательного движения?
3.5. Какое движение называется равномерным движением
по окружности?
3.6. Что называется угловой скоростью вращения?
3.7. Что за единица измерения угла — радиан? Выразите в
радианах углы, заданные в градусах.
3.8. Какова размерность угловой скорости?
3.9. Что называется периодом и частотой вращения? Как они
связаны между собой?
3.10. Как связана угловая скорость вращения с периодом и
частотой?

78 3. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ
3.11. Что называется линейной скоростью равномерного
вращения? Как она связана с периодом и частотой?
3.12. Как связана линейная скорость вращения материаль-
материальной точки с угловой скоростью?
3.13. Как определить центростремительное ускорение при
равномерном движении тела по окружности? Как направлено
центростремительное ускорение?
3.14. Получите связь между центростремительным ускоре-
ускорением, периодом, частотой и угловой скоростью.
3.15. При разработке измерительного стрелочного прибора
конструкторы решили удлинить его стрелку и сделать шкалу
дальше от центра. Как должно повлиять
это на чувствительность прибора?
3.16. На рис. 1.71 линия MN — тра-
траектория движения тела с постоянной ско-
скоростью. Укажите направления векторов
скоростей и ускорений в точках 1, 2, 3.
3.17. Для того, чтобы подальше за-
забросить донную удочку или начало ар-
аркана, рыбаки и ковбои раскручивают их
над головой, постепенно удлиняя враща-
вращающуюся часть. Почему они так делают?
3.18. Где на поверхности Земли находятся точки, в которых
линейная и угловая скорости равны нулю?
3.19. Сравните линейные и угловые ско-
скорости точек на поверхности Земли, распо-
расположенных на широте Москвы и на широте
Волгограда.
3.20. При каком условии искусственный
спутник Земли будет казаться неподвижным?
Траектория спутника лежит в плоскости эк-
экватора.
3.21. Как движется тело, если его точки А и В1 (рис. 1.72)
имеют неодинаковые скорости (va > ^в)?
Ответы
3.1. Движение, происходящее по криволинейной траекто-
траектории, называется криволинейным.
3.2. В каждой точке траектории скорость тела направлена
вдоль касательной к траектории в выбранной точке (рис. 1.73).
Рис. 1.71
Рис. 1.72

ОТВЕТЫ
79
Следовательно, при криволинейном движении направление ско-
скорости постоянно меняется.
Рис. 1.73
Рис. 1.74
3.3. Скорость — величина векторная, то есть характеризу-
характеризуется величиной и направлением. При криволинейном движении
вектор скорости все время меняет свое направление (рис. 1.73).
На рис. 1.74 изображена часть траектории тела. Значение скорос-
скорости при движении по криволинейной траектории не меняется, то
есть для обозначения точек 1 и 2 можно записать: \щ\ = |г?2|-
Ускорение определяется формулой а = Av/At, где Av = v<i — v\.
На рис. 1.74 найдена разность векторов v<i и v\. Из рисунка вид-
видно, что даже при постоянном значении скорости разность Av
отлична от нуля, следовательно, и ускорение не равно нулю:
3.4. Движение по любой криволинейной траектории можно
приближенно представить как совокупность движений по дугам
окружностей разных радиусов (рис. 1.75).
3.5. При таком движении величина скорости считается не-
неизменной, а траекторией движения является окружность.
Рис. 1.75
Рис. 1.76
3.6. Пусть материальная точка равномерно вращается по
окружности радиусом R (рис. 1.76). При перемещении точки из
положения 1 в 2 радиус, соединенный с движущейся точкой,
повернется на угол tp за время t. Угловой скоростью и назы-
называется отношение

80 3. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ
и = ip/t. (a)
Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса,
связанного с вращающейся точкой, за единицу времени.
3.7. Угол в 1 радиан есть центральный угол, стороны ко-
которого ограничивают дугу длиной в 1 радиус (рис. 1.77). Чтобы
найти значение угла в радианах, надо дли-
R I ну дуги /, заключенную между сторона-
сторонами угла, поделить на величину радиуса R
В полной окружности содержится
JL— = 2тг = 6,28 радиусов.
К
Следовательно угол в 360° содержит 2тг
Этим можно воспользоваться для пе-
перевода значения угла, заданного в градусах, в радианы:
ж рад. — ip°- Х ~ 360° ~ 180° '
Радиан — безразмерная единица измерения угла.
3.8. [ио] = рад/с. Так как радиан — безразмерная величина,
то можно записать, что [оо] = 1/с = с.
3.9. Время, за которое материальная точка совершает один
полный оборот, называется периодом (обозначается Т). Если за
время t материальная точка совершает п оборотов, то
Т = t/n. (б)
Количество оборотов, совершенных точкой за единицу вре-
времени, называется частотой [и):
v = n/t. (в)
Сравнивая формулы (б) и (в), можно найти связь между перио-
периодом и частотой:
3.10. За время, равное периоду (t = Т), радиус, связанный с
вращающейся точкой, поворачивается на угол if = 2тг. Поэтому
в соответствии с формулой (а) угловая скорость может быть
вычислена по формуле
со = 2тг/Т, или ио = 2тпу. (г)

ОТВЕТЫ
81
3.11. Скорость движения материальной точки по окруж-
окружности называется линейной скоростью. Она равна отношению
длины / дуги окружности, пройденной точкой, ко времени про-
прохождения t: v = l/t. За время, равное периоду (? = Т), точка
совершит один полный оборот, то есть пройдет путь
поэтому линейная скорость
v = 2ttR/T или v = 2ttRu. (д)
3.12. Сравнивая формулы (д) и (г), можно получить связь
между линейной и угловой скоростями:
v = ujR. (e)
3.13. При равномерном движении тела по окружности
вектор ускорения в любой точке траектории направлен перпен-
перпендикулярно вектору скорости (рис. 1.78). Так как в этом случае
проекция вектора ускорения на направле-
направление движения равна нулю, то величина ско-
скорости не будет изменяться, но постоянно
меняется направление движения. Поскольку
скорость направлена вдоль касательной к
окружности, а касательная перпендикуляр-
перпендикулярна к радиусу, то ускорение направлено вдоль
радиуса к центру окружности (рис. 1.78).
Поэтому ускорение при движении матери-
материальной точки по окружности называется центростремитель-
центростремительным. Строгий вывод, приведенный в учебнике, дает выражение
для величины центростре-
центростремительного ускорения:
2
Рис. 1.78
3.14. а =
4tt2R
= 4тг2х
II О
I О
40
3.15. Чувствительность
прибора возрастает (рис. 1.79),
так как при любом угле по-
поворота стрелки перемещения
ее вдоль шкалы II будут
больше, чем по шкале I (так как длина дуги конца стрелки
пропорциональна радиусу).
Рис. 1.79
6 С. В. Трубецкова

82 3. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ
1
Рис. 1.80
3.16. Обратите внимание (рис. 1.80), что вектор ускорения во
всех точках различен, так как он
уменьшается с увеличением ра-
радиуса (\v\ — const).
3.17. При удлинении верев-
веревки возрастает линейная скорость
вращения груза, находящегося
на конце веревки. Линейная ско-
скорость при забрасывании будет
являться начальной скоростью,
а дальность полета возрастает с
увеличением начальной скорости.
3.18. На полюсах, так как в этом случае точки находятся на
оси вращения.
3.19. Каждая точка на поверхности Земли вращается по
круговым орбитам в плоскости, перпен-
дикулярной оси вращения. Из рис. 1.81
видно, что радиус траектории Волгог-
Волгограда больше, чем у Москвы, а следо-
следовательно, и линейная скорость боль-
больше. Угловые скорости определяются
только периодом суточного вращения
Земли.
Рис. 1.81 3.20. Если угловая скорость спут-
спутника равна угловой скорости Земли
(то есть одинаковы периоды), траектория спутника лежит в
плоскости, перпендикулярной оси Земли, и направлены ско-
скорости в одну сторону (рис. 1.82).
В
vCn
о
Рис. 1.82
Рис. 1.83
3.21. Тело вращается вокруг точки, лежащей на прямой А В
заточкой В (рис. 1.83).

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 83
Основные формулы
T = t/n; C.1)
T = l/i/; C.2)
u; = ?>/* = ^ = 27Г1/; C.3)
ujR; C.4)
йц = ^ = ^ = 47r2^2R = ^ C 5)
В этих формулах Т — период; п — число оборотов за t се-
секунд; v — частота; и — угловая скорость; <р — угол поворота
радиуса, связанного с вращающейся точкой, за время ?; v —
линейная скорость движения точки вдоль окружности; ац —
центростремительное ускорение; R — радиус вращения.
Методика решения задач
Для решения задач раздела 3 надо понять, как получаются
формулы, тогда их легко записывать для любого случая, для
любой комбинации данных.
При вращении абсолютно твердого тела все его точки дви-
движутся по окружностям, центры которых лежат на одной непод-
неподвижной прямой, называемой осью вращения. Кроме того, все
точки твердого тела совершают вращение с одинаковой часто-
частотой, периодом и угловой скоростью; линейная скорость точек
тела пропорциональна расстоянию от оси, то есть радиусу их
вращения.
При решении задач полезной может оказаться информация,
полученная при разборе некоторых вопросов к данному разделу.
В ряде задач без указания условия надо самим записать
периоды вращения в следующих случаях:
секундная стрелка часов — 60 с,
минутная стрелка часов — 1 час,
часовая стрелка — 12 часов,
суточное вращение Земли — 24 часа.

84 3. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ
Примеры решения задач
1. Найдите радиус вращающегося колеса, если известно, что
линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше
линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса
(рис. 1.84).
Точки 1 и 2, лежащие на одном радиусе, имеют
одинаковые периоды вращения и разные линей-
линейные скорости:
vi = 2,5г>2
Д/ = 5 см
Я-?
2n(R-Al)
v2 =
Используя соотношение, данное в усло-
условии задачи, запишем:
_о к 2тг(Я-Д/)
Рис. 1.84
Произведя сокращения, можно найти
радиус R:
Я = 5-Д//3;
[Я] = м; R w 8,33 м.
2. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки меньше
угловой скорости минутной стрелки?
7\ = 12 ч
Т2 = 1 ч
^1 _ 7
С учетом формулы C.3), запишем:
2тг 2тг
~002 ~ Т\ ~ 12'
Угловая скорость часовой стрелки в 12 раз меньше угловой
скорости минутной стрелки.
3. Радиус кривизны колодезного ворота в 3 раза больше
радиуса вала, на который наматывается трос (рис. 1.85). Какова
линейная скорость конца рукоятки при поднятии ведра с глу-
глубины 10 м за 20 с?
Линейная скорость конца рукоятки (форму-
(формула C-4))
(б)
Rl
h =
t =
Vl-
:10
20
-?
R2
м
с
а точек на поверхности вала

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
85
Период вращения вала и рукоятки одинаков, поэтому, поде-
поделив (а) на (б), получим:
Отсюда
Vi = V2R1/ R2-
Линейная скорость точек на по-
поверхности вала равна скорости равно-
равномерного подъема ведра:
V2 = h/t.
Тогда
3/г.
t '
Ri
t-R2 t-R2
[vi] = ^; vi = 1,5 м/с.
4. Какова линейная скорость то-
точек поверхности Земли, соответствую-
соответствующая широте г. Минска при суточном
вращении Земли, если город располо-
расположен на широте 54°, а радиус Земли
6400 км.
Рис. 1.85
Рис. 1.86
a
R
T
v ¦
= 54°
= 6,4-
= 24ч
-?
106
M
,64-
104c
Из рис. 1.86 видно, что радиус
окружности, по которой вращается
рассматриваемая точка земной по-
поверхности,
г = R cos a.
Линейная ско-
рость рассматриваемой точки
V =
м
5. С какой скоростью и в каком направ-
направлении должен лететь самолет над эквато-
экватором (рис. 1.87) на высоте 10 км над Землей,
чтобы Солнце летчику казалось неподвиж-
неподвижным, то есть находилось все время на одной
и той же высоте над горизонтом? Радиус Земли — 6400 км.

86 3. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ
h = 7 км
Т = 24ч
R3 = 6400 км
v —
Солнце будет находиться в покое от-
относительно самолета, если их скорости
относительно Земли будут направлены
одинаково (с востока на запад) (рис. 1.87) и
период обращения самолета равен перио-
периоду суточного вращения Земли — 24 часам.
Поэтому линейная скорость самолета
г 1 м
v = 1677,3 км/ч = 465,9 м/с.
с
6. Велосипедист едет с постоянной скоростью по прямоли-
прямолинейному участку дороги. Найдите мгновенные скорости точек
Л, 5, С, ?), лежащих на ободе колеса
(рис. 1.88), относительно земли.
При качении колеса по земле все его
точки участвуют одновременно в двух
движениях: вдоль земли с постоянной
скоростью гТ, направление которой все
время горизонтально, и вокруг оси с ли-
линейной скоростью гТл. Скорость каждой
точки определится как векторная сум-
сумма поступательной скорости колеса v
и вектора линейной скорости в данной
точке vn (рис. 1.89 а). Надо иметь в виду, что при качении без
проскальзывания величины v и ул равны: |гТл| = \v\.
Рис. 1.8
<??*><><
a
Рис. 1.89
В точке А скорости v и vn направлены в противоположные
стороны, поэтому
в точке В составляющие скорости направлены в одну сторону:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
87
В точке С векторы v и ул расположены под углом 90°, по-
поэтому для нахождения результирующей скорости в этой точке
воспользуемся теоремой Пифагора:
Для подсчета результирующей скорости точки D вынесем
часть дуги с данной точкой отдельно (рис. 1.89 б). Значение угла
/3 = 90 —се. Величину вектора vp можно найти по теореме ко-
косинуса:
= у v\ + v2 - 2г>л • v • cos (90 - а) =
= л/2г>2A — since) = v • л/2A — since).
7. Волчок, вращаясь с частотой 360 об/мин, свободно падает
с высоты 19,6 м. Сколько оборотов он сделает за время падения?
Волчок участвует одновременно в
двух независимых движениях: свободно
падает и вращается. Время падения вы-
вычислим по формулам
За это время волчок совершает число оборотов
= 12 оборотов.
г>о =
V =
h =
п —
--0
360
19,6
?
об.
мин
м
= 6
об.
с
п = iy -t = iy • а —;

4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Равномерное движение
1. Движущийся равномерно автомобиль делал разворот, опи-
описав половину дуги окружности. Сделайте чертеж, на котором
укажите пути и перемещения автомобиля за все время разворота
и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за
указанные промежутки времени, больше модулей векторов соот-
соответствующих перемещений?
2. Человек последовательно прошел на север 3 км, на вос-
восток 4 км, на север 1 км и на запад 1 км. Найдите пройденный
путь и величину перемещения.
3. Какому виду движения соответствует каждый график
на рис. 1.90? С какой скоростью двигались тела, для которых
зависимость пути от времени изображается этими графиками?
, км
ж, м ,
4
3
2 ¦
1
/
/
1/
/
/
/
У
/
'3
/
/
/1
- 4
w
1 2 3 4 ?, с и 12 3 t,4
Рис. 1.90 Рис. 1.91
4. Какому виду движения соответствуют графики на
рис. 1.91? Какой физический смысл имеет точка пересечения
графиков? Какой из графиков соответствует движению с боль-
большей скоростью? Можно ли по данным графикам определить
направление движения?
5. На рис. 1.92 показана траектория ЛВС D движения мате-
материальной точки из Л в D. Найдите координаты точки в начале
и конце движения, пройденный путь, перемещение, проекции
перемещения на оси координат.

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
89
Ж, М t
8'
6
4
2
0
У
/
2 4
Рис
/
5
. Т.
/
/
/
/2
/
8 10 t,c
93
ж, м >
8
6
4
2
0
I/
с
ш
1 1
1
II
1
Рис
V
\
V" .
5 8 10 t,c
1.94
6. Охарактеризуйте движения тел, графики которых изоб-
изображены на рис. 1.93. Каковы скорости движения этих тел? На
каком расстоянии находились они в начальный момент? На
сколько второе тело вышло позже первого и третьего? Может
ли второе тело догнать первое? На каком расстоянии находи-
находились 1-е и 3-е тело, когда начало
двигаться второе тело? Напишите
уравнения координат для всех тел.
7. График прямолинейного дви-
движения изображен на рис. 1.94. Что
можно сказать о I, II и III частях
графика? Определите весь путь и
величину перемещения на каждом
участке и за все время движения.
8. Поезд длиной 120 м, идущий
со скоростью 18 км/ч, проезжает мост за 100 с. Какова скорость
автомобиля, если он проходит тот же мост за 38 с?
9. Вагон шириной 3,6 м, движущийся со скоростью 15 м/с,
был пробит пулей, летевшей перпендикулярно направлению дви-
движения вагона. Смещение отверстий в стенах вагона относитель-
относительно друг друга равно 9 см. Определите скорость движения пули,
считая ее постоянной.
10. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км,ч, проезжает
мост за 1 мин. Товарный поезд проезжает тот же мост за 40 с.
Какова длина поезда, если его скорость 117 км/ч?
11. За сколько времени поезд пройдет туннель длиной
200 м, если длина поезда 100 м, а скорость 36 км/ч? Допустимо
ли в этой задаче рассматривать поезд как материальную точку?

90 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
12. Пассажирский поезд длиной 120 м проходит туннель
за 40 с, двигаясь со скоростью 21,6 км/ч. Товарный поезд дли-
длиной 180 м проходит тот же туннель за 1 мин 40 с. Какова
скорость товарного поезда?
13. Вдоль оси Ох движутся две точки: первая — по
закону х\ = D + 2?), м, вторая — по закону x<i = B4 — 3?), м.
На каком расстоянии тела находились в начальный момент
времени? С какими скоростями и в каком направлении они
двигались? Где и в какой момент встретятся точки? Решите за-
задачу аналитически и ответы проверьте графическим способом.
14. Два тела движутся вдоль оси Ох. Уравнение коор-
координаты для первого тела — х\ = B0 + ?), м, для второго тела —
Х2 = E? —20), м. На каком расстоянии тела находились в на-
начальный момент времени? С какими скоростями и в каком
направлении они двигались? Через сколько времени и в каком
месте 2-е тело догонит 1-е? Решите задачу аналитически и от-
ответы проверьте графическим способом.
15. Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью
36 км/ч, через 30 мин. по тому же направлению вышел экспресс,
скорость которого 72 км/ч. Через какое время после выхода то-
товарного поезда и на каком расстоянии от станции экспресс наго-
нагонит товарный поезд? Решите задачу аналитически и графически.
16. Над пунктом Л пролетел самолет со скоростью 300 км/ч.
Через 1 час в том же направлении пролетел второй самолет со
скоростью 400 км/ч. Какой самолет раньше прилетит в пункт В,
если расстояние Л В = 1200 км?
17. Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг
другу со скоростями, соответственно, 20 и 5 м/с. Расстояние
между ними в начальный момент времени равно 250 м. Напи-
Напишите уравнение координаты для автомобиля и велосипедиста,
х = x(t). Изобразите эти зависимости в виде двух прямых на
одном чертеже. Систему отсчета свяжите с Землей. Считайте,
что положение автомобиля при t = 0 совпадает с началом от-
отсчета, а ось х направлена в ту же сторону, что и скорость
движения автомобиля. Графически и аналитически опреде-
определите: а) место и время их встречи; б) расстояние между ними
через 5 с; в) кто из них раньше пройдет сотый метр и на
сколько раньше; г) где находился автомобиль в тот момент,
когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м;
д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль
был через 7,5 с после начала движения; е) в какие моменты

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
91
времени расстояние между ними было 125 м; ж) какую точку
автомобиль прошел раньше велосипедиста на 12,5 с?
18. По прямому шоссе движется мотоциклист со ско-
скоростью 15 м/с. В некоторый момент времени он находился
на расстоянии 250 м от пункта ГАИ. Спустя 10 с от пункта
вдогонку выехал другой мотоциклист со скоростью 90 км/ч.
Напишите уравнения движения мотоциклистов в системе от-
отсчета, связанной с Землей, приняв за начало координат пункт
ГАИ. Ось координат направьте вдоль направления движения
мотоциклистов. Время отсчитывайте от момента выхода вто-
второго мотоциклиста. Постройте на одном чертеже графики
движения обоих мотоциклистов. Найдите аналитически и про-
проверьте графически следующее: а) через сколько времени после
выезда и в каком месте второй мотоциклист догонит первого?
б) расстояние между ними через 20 с; в) спустя какое время
второй мотоциклист будет на расстоянии 50 м от первого?
19. На рис. 1.95 приведены графики движения двух тел в
системе отсчета, связанной с Землей. По графикам найдите ско-
скорости тел, напишите уравнения зависимости их координат от
времени. Когда тела находились в одной точке и где находилась
эта точка? Чему равна относительная скорость тел? Напишите
уравнение движения второго тела относительно первого.
ж, м ,
л
3
2
1
/
/
/
Г
0 1 2 3 4 *, с
Рис. 1.95
Ж, М
25
20
15
10
5
\
\
/
У
Л
/
V2
1
4 6 8 t, с
Рис. 1.96
20. На рис. 1.96 приведены графики движения двух тел в
системе отсчета, связанной с Землей. По графикам найдите ско-
скорости тел, напишите уравнения зависимости их координат от
времени. Чему равна относительная скорость движения тел?
Напишите уравнения движения второго тела в системе отсчета,
связанной с первым телом.

92 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
21. Когда два тела равномерно движутся навстречу друг
другу, то расстояние между ними уменьшается на 16 м за каж-
каждые 10 с; если тела с прежними по величине скоростями будут
двигаться в одном направлении, то расстояние будет между ними
увеличиваться на 3 м за каждые 5 с. Каковы скорости тел?
22. Колонна войск во время похода движется со скоростью
5 км/ч, растянувшись по дороге на расстояние 400 м. Командир,
находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с пору-
поручением к головному отряду. Велосипедист отправляется и едет
со скоростью 25 км/ч, и, на ходу выполнив поручение, сразу
же возвращается обратно с той же скоростью. Через сколько
времени после получения поручения он вернулся обратно?
23. Скорость течения реки 3 км/ч. Моторная лодка едет
против течения со скоростью 10 км/ч. С какой скоростью дви-
двигалась бы она по течению реки?
24. Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость встречного
ветра 4 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной
с велосипедистом?
25. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями
36 км/ч и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде,
замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 6 с.
Какова длина второго поезда?
26. По двум параллельным путям идут товарный поезд дли-
длиной 600 м со скоростью 48,6 км/ч и электропоезд длиной 160 м
со скоростью 102,6 км/ч. В течение какого времени один поезд
проходит мимо другого в случаях: а) поезда движутся навстре-
навстречу друг другу; б) электропоезд обгоняет товарный состав.
27. Между двумя пунктами, расположенными на расстоя-
расстоянии 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по
течению, проходит это расстояние за 4 ч, а идя против тече-
течения — за 10 ч. Определите скорость течения реки и скорость
катера относительно воды.
28. Пароход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 су-
суток, а обратно 7 суток. Как долго будет плыть плот от Ниж-
Нижнего Новгорода до Астрахани? Рассмотрите идеальный случай,
когда стоянки и задержки в движении исключены.
29. Теплоход длиной 300 м движется равномерно по прямо-
прямому курсу в неподвижной воде. Катер, имеющий скорость 90 км/ч,
проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его
носа и обратно за 37,5 с. Определите скорость теплохода.

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 93
30. Пассажирский катер проходит 150 км между двумя
пристанями по течению за 2 ч, а против течения — за 3 ч.
Определите скорость катера в стоячей воде и скорость течения.
31. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на
нем пассажира в течение 3 мин. По неподвижному эскалатору
пассажир поднимается за 6 мин. Сколько времени будет подни-
подниматься пассажир по движущемуся эскалатору?
32. С катера, идущего по течению, спустили спасательный
круг, когда он проплывал под мостом. Через 0,5 ч катер повер-
повернул обратно и встретил круг на расстоянии 1,5 км от моста.
Определите скорость течения реки, считая, что при движении
в обоих направлениях мотор катера работал одинаково.
33. Шар-зонд поднялся за 4 мин. на высоту 900 м, при
этом был отнесен боковым ветром в сторону на расстояние
600 м. Найдите: а) перемещение шара относительно точки за-
запуска; б) скорость ветра, считая ее постоянной.
34. Трактор движется со скоростью 18 км/ч. С какой ско-
скоростью относительно земли движутся: а) верхняя часть гусе-
гусеницы; б) нижняя часть ее; в) точка, которая в данный момент
движется вертикально вверх.
35. Человек шагает по плоту со скоростью v\ относитель-
относительно шалаша, на нем находящегося. Плот движется равномерно
со скоростью г>2 относительно дерева на берегу. Найдите пере-
перемещение человека относительно дерева за время t в случаях,
когда: а) человек движется вдоль плота по направлению его
движения; б) человек движется по плоту перпендикулярно те-
течению реки.
36. По реке плывет плот шириной 10 м со скоростью
3,6 км/ч. По плоту перпендикулярно к течению реки идет
человек. За 20 с он проходит от одного края плота до другого
и обратно. Каковы скорость, перемещение и путь, пройденный
человеком: а) относительно плота; б) относительно берега?
37. С высоты 1 км равномерно опускается на землю па-
парашютист со скоростью 4 м/с при отсутствии ветра. С какой
скоростью он будет двигаться относительно земли при гори-
горизонтальном ветре, скорость которого равна 3 м/с? На какое
расстояние отклонится от точки приземления парашютист под
действием ветра?
38. Ширина реки 100 м. На что потребуется больше време-
времени: проплыть вниз по течению 100 м и вернуться обратно или

94 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
переплыть реку туда и обратно перпендикулярно к берегам?
Скорость пловца в неподвижной воде 50 м/мин, а скорость те-
течения реки 30 м/мин.
39. От бакена отошли две лодки во взаимно перпенди-
перпендикулярных направлениях. Одна лодка движется вдоль реки,
другая — поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от
бакена, лодки возвращаются обратно. Как отличаются време-
времена движения лодок, если собственная скорость каждой лодки
в 1,2 раза превышает скорость течения?
40. Самолет летит относительно воздуха со скоростью
800 км/ч. С запада на восток дует ветер со скоростью 15 м/с. С
какой скоростью будет двигаться самолет относительно Земли и
под каким углом к меридиану надо держать курс, чтобы переме-
перемещение было: а) на юг; б) на север; в) на запад; г) на восток?
41. Рыбак переплывает на лодке реку шириной 300 м.
Скорость течения реки 1,2 м/с, скорость лодки 1,6 м/с. На какое
расстояние относит лодку вниз по течению? Какой путь прой-
пройдет лодка относительно берега?
42. На какой угол надо отклониться от перпендикуляра к
течению реки и сколько времени нужно плыть на лодке, чтобы
переплыть реку по кратчайшему пути, если скорость лодки от-
относительно воды 3 м/с, скорость течения 1,5 м/с, а ширина русла
реки 400 м?
43. Пловец переплывает реку шириной 400 м. Под каким
углом к направлению течения он должен плыть, чтобы перепра-
переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Где он
в этом случае окажется и какой путь пройдет, если скорость те-
течения реки 0,5 м/с, а скорость пловца относительно воды 1 м/с?
44. По прямолинейному шоссе со скоростью 108 км/ч дви-
движется автомобиль. Пешеход находится на расстоянии 40 м от
шоссе и 400 м от автомобиля. С какой минимальной скоростью
и в каком направлении он должен бежать, чтобы встретить
автомобиль?
Неравномерное и равнопеременное прямолинейное
движение
45. По графикам, приведенным на рис. 1.97, охарактери-
охарактеризуйте соответствующие движения (вид движения, начальную
скорость, ускорение, сравните скорости для графиков 1 и 2).

НЕРАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
95
v, м/с ,
15
10
5
0
v, м/с |
15
t
15
10
5
к v, м/с
/
7
2/
i».
» г;, м/с
1
2
15
10
5
6 ?, с 0 2 4 6 ?, с
10
5
О
v, м/с
6
4
2
О
-2
v2
1
t
1 К
15
10
5
6
\ v, м/с
2
2
/
15
^ 10
5
. V, м/с
^7
7_
2 4 6 ?, с 0 2 4 6 ?, с
>
6
4
2
0
-2
к г;, м/с
\
/
/
/
/
1
/
/
\
2\
4
\
6
*, с
а г;, м/с
6
4
2
0
-2
t, с
а, м/с 4
4
2
0
Рис. 1.97
, 9
а, м
2 4 6 t, с
2
1
0
1
2
4
6
8
10 t, с
Рис. 1.98
46. Графики зависимости ускорения тела от времени имеют
форму, изображенную на рис. 1.98 а и б. Начертите графики за-
зависимости скорости тел от времени. Начальная скорость тела
равна нулю.
47. Мотоциклист проехал 108 км со скоростью 72 км/ч,
затем произошла поломка и он занимался починкой 2,5 часа.

96 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
После этого оставшиеся 300 км пути он проехал со скоростью
50 км/ч. Найдите среднюю скорость, с которой пройден весь
путь.
48. Велосипедист проехал 21 км со скоростью 7 км/ч, 20 км
со скоростью 10 км/ч и 18 км со скоростью 12 км/ч. Определите
среднюю скорость велосипедиста за все время движения.
49. Поезд движется на подъеме со скоростью 25 м/с. Какова
средняя скорость поезда на всем пути, если длина спуска в 2 ра-
раза больше длины подъема?
50. Один поезд прошел половину пути со скоростью
90 км/ч, а другую половину со скоростью 40 км/ч; другой
поезд шел половину времени со скоростью 60 км/ч, а полови-
половину времени со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость
каждого поезда?
51. Автомобиль проехал первую половину пути со ско-
скоростью 10 м/с, а вторую — 15 м/с. Найдите среднюю скорость
на всем пройденном пути.
52. Автомобиль проехал половину пути со скоростью
60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со
скоростью 15 км/ч, а последний участок со скоростью 45 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
53. Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью
10 км/ч, вторую треть — со скоростью 20 км/ч, а последний
участок пути — со скоростью 60 км/ч. Определите среднюю
скорость на всем пути.
54. Велосипедист начал свое движение из состояния покоя
и в течение первых 4 с двигался с ускорением 1 м/с2, затем
в течение 0,2 мин он двигался равномерно и последние 8 м —
равнозамедленно до остановки. Найдите среднюю скорость за
все время движения. Постройте график зависимости скорости
от времени.
55. Один автомобиль движется равноускоренно с началь-
начальной скоростью 3 м/с с ускорением 0,25 м/с2, а другой —
равнозамедленно с начальной скоростью 15 м/с и ускорением
1,25 м/с2. Постройте графики их движения и по графикам
определите, через сколько времени они будут иметь одинаковую
скорость и какую именно. Проверьте ответ расчетом. Какой путь
пройдет каждый автомобиль за это время?

НЕРАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 97
56. Поезд через 10 с после начала движения приобретает
скорость 0,6 м/с. Через сколько времени от начала движения
скорость поезда станет 3 м/с? Какой путь при этом пройдет
поезд?
57. Скорость поезда за 20 с уменьшилась с 72 до 54 км/ч.
Найдите ускорение и путь, пройденный за это время.
58. Тело движется равномерно со скоростью 3 м/с в тече-
течение 5 с, после чего получает ускорение 20 см/с2. Какую скорость
будет иметь тело через 15 с от начала движения? Какой путь
оно пройдет за это время?
59. Поезд, достигнув скорости 54 км/ч, стал двигаться рав-
нозамедленно с ускорением 0,4 м/с2. Через сколько времени
скорость его уменьшится в 3 раза и какой путь он пройдет за
это время?
60. Камень брошен по гладкой поверхности льда со ско-
скоростью 12 м/с. Сколько времени будет двигаться камень до
остановки, если ускорение при его движении равно 0,6 м/с2?
Какое расстояние пройдет камень до остановки и какова средняя
скорость его движения? Движение считать равнопеременным.
61. Груз поднимают лебедкой с поверхности земли. Пер-
Первые 2 с груз движется ускоренно без начальной скорости с уско-
ускорением 0,5 м/с2, следующие 11 с — равномерно, последние 2 с —
замедленно с ускорением 0,5 м/с2. На какую высоту был поднят
груз?
62. Тело начало двигаться равноускоренно и в течение пя-
пятой секунды от начала движения прошло 45 м. С каким ускоре-
ускорением оно двигалось? Какова скорость в конце пятой секунды?
Какой путь прошло тело в первую секунду своего движения?
63. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в земля-
земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени
двигалась пуля внутри вала? С каким ускорением? Какова была
ее скорость на глубине вала 18 см?
64. Реактивный самолет в течение 20 с увеличил свою ско-
скорость с 240 до 1300 км/ч. С каким ускорением летел самолет и
какое расстояние он пролетел за это время?
65. При посадочной скорости 180 км/ч длина пробега са-
самолета равна 2,5 км. Определите ускорение и время пробега на
посадочной полосе аэродрома, считая движение самолета равно-
равнопеременным.
7 С. В. Трубецкова

98 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
66. Шарик, скатываясь с наклонного желоба из состояния
покоя, за первую секунду прошел путь 10 см. Какой путь он
пройдет за 3 с?
67. Ружейная пуля при вылете из ствола длиной 60 см имела
скорость 300 м/с. С каким ускорением и сколько времени двига-
двигалась пуля?
68. Тормозной путь автомобиля при скорости 36 км/ч ока-
оказался равным 20 м. Найдите ускорение при торможении и время,
в течение которого он останавливается.
69. Автомобиль, двигаясь по шоссе, начинает тормозить с
ускорением 1 м/с2. Через сколько времени после начала тормо-
торможения скорость станет равной 18 км/ч, если путь, пройденный
при торможении 187,5 м.
70. Мальчик съехал на санках с горы длиной 40 м за 10 с,
а затем проехал по горизонтальному участку еще 20 м до оста-
остановки. Найдите скорость в конце горы, ускорения на каждом из
участков, общее время движения.
71. Тело трогается с места с ускорением 1 м/с2 и проходит
расстояние 12,5 м; затем оно движется равномерно в течение
15 с, после чего до полной остановки равнозамедленно прохо-
проходит 20 м. Найдите скорость и путь равномерного движения,
время всего движения, ускорение на последнем участке.
72. Тело, двигаясь прямолинейно из состояния покоя с уско-
ускорением 2 м/с2, достигло скорости 10 м/с, затем, двигаясь замед-
замедленно, через 10 с от начала движения остановилось. Определите
путь, пройденный телом за время движения.
73. Реактивный самолет летит со скоростью 720 км/ч. С не-
некоторого момента самолет движется с ускорением в течение 10 с
и в последнюю секунду проходит путь 295 м. Определите уско-
ускорение и конечную скорость.
74. За вторую секунду от начала движения автомобиль про-
прошел 1,2 м. С каким ускорением он двигался? Какой путь пройдет
автомобиль за десятую секунду от начала движения? За 10 с?
75. Тело движется прямолинейно с ускорением 0,6 м/с2.
Какой путь оно пройдет в первую и пятую секунды, если на-
начальная скорость была равна нулю?
76. Зависимость скорости от времени задана уравнениями:
a) vi = D*-2), м/с; б) v2 = E- 3?), м/с;

НЕРАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
99
в) г>з = 4м/с; г) v± = A0 + 5*), м/с.
Какой вид движения соответствует каждому уравнению? Чему
равны начальная скорость и ускорение? Нарисуйте графики
зависимости скорости от времени для всех случаев. Напишите
уравнение координаты для всех случаев, считая, что в началь-
начальный момент времени тело находилось на расстоянии 3 м от тела
отсчета в направлении оси координат (для всех четырех случа-
случаев). Нарисуйте графики пути, перемещения и координаты.
77. На рис. 1.99 а-г изображены зависимости скорости от
времени. По графикам определите, каков характер движения тел,
найдите значения начальных скоростей и ускорений. Напишите
уравнение координаты для всех случаев, считая, что тела на-
начинают движение от точки отсчета. Нарисуйте графики коор-
координат, пути и перемещения тел.
V, М/
10
5
0
15
5 10 t,c
10-
5
0
к v, м/с
/
1 2
/
/
3
?, с
3
2
1-
0
-1
-2
kV, M/C
V
\
\ 4 6
2 V t, с
\
п и, м/с
20
10
0
-10
-20
10/15
t, с
Рис. 1.99
78. Зависимость координат от времени для четырех тел за-
задана уравнениями:
а) х = A1 + ?2-6?), м; б) х = (t2 + 3*-4), м;
в) х = E-?2-2?), м; г) ж = C + ?), м.
По уравнениям найдите начальные координаты всех тел, скоро-
скорости и ускорения. Каков характер движения в каждом случае?
Напишите уравнения зависимости скорости от времени. Нари-
Нарисуйте графики зависимости скорости от времени.
79. Заданы уравнения движения двух тел: х\ = (t2 —
— 2t — 2), м и Х2 = tD — ?), м. Найдите начальные координаты
тел, начальные скорости и ускорения. В какой момент времени
и в каком месте встретятся эти тела? Напишите уравнения
зависимости скорости от времени и постройте соответствующие
графики. Постройте графики координаты, пути и перемещения.
80. Ответьте на все вопросы задачи 79 для следующих пар
уравнений координат:

1004. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
а) хх = (?2 + 8 + 6?), м; х2 = E-6? + ?2), м;
б) Ж1 = ?(? + 3), м; х2 = (?2 + 2? + 2), м.
81. Первый вагон трогающегося поезда проходит за 3 с
мимо наблюдателя, находящегося до отхода поезда у начала
этого вагона. За сколько времени пройдет мимо наблюдателя
весь поезд, состоящий из 9 вагонов? Движение считать равно-
равноускоренным, промежутками между вагонами пренебречь.
*
82 . Тело движется прямолинейно с постоянным ускоре-
ускорением. За первую секунду оно прошло 2 м, за вторую — 3 м.
Какова его начальная скорость?
83 . По наклонной доске шарик пустили снизу вверх. На
расстоянии 0,3 м от основания наклонной плоскости шарик
побывал дважды: через 1 с и 2 с после начала движения. Оп-
Определите начальную скорость и ускорение шарика, считая его
постоянным.
84. Человек бежит со скоростью 18 км/ч. Когда он порав-
поравнялся с велосипедистом, тот начал двигаться. Какова скорость
велосипедиста в тот момент, когда он догонит бегуна? Движе-
Движение велосипедиста равноускоренное.
85. По одному направлению из одной точки одновременно
начали двигаться два тела: одно равномерно со скоростью
25 м/с, а другое равноускоренно без начальной скорости с
ускорением 10 м/с2. Через какое время второе тело догонит
первое?
86. Два автомобиля вышли с остановки через время с ин-
интервалом в 1 мин, и шли с ускорением 0,4 м/с2 каждый. Через
какое время после выхода первого автомобиля расстояние меж-
между ними станет 4,2 км?
87 . С какой начальной скоростью двигалось тело, если при
равноускоренном движении на половине пути оно имело ско-
скорость 5 м/с, а в конце этого пути — 7 м/с?
88 . Два бегуна стартуют так, что один из них запаздывает
на 6 с. Первую половину дистанции они преодолевают одновре-
одновременно. Определите, на какое время один из бегунов опередит
другого в конце дистанции, если в течение первой половины
Звездочкой обозначены задачи повышенной трудности.

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ 101
дистанции они двигались равноускоренно, а вторую половину —
равномерно.
*
89 . Тело начинает движение и, двигаясь прямолинейно с
постоянным ускорением, проходит п одинаковых участков. Пер-
Первый участок тело пройдет за время t\. За какое время тело
проходит n-й участок?
90 . Мимо наблюдателя, стоящего на платформе, проходит
поезд с длиной вагонов по 12 м. Первый вагон прошел мимо
наблюдателя за 1 с, второй за 1,5 с. Найдите скорость поезда в
начале и в конце наблюдения, а также ускорение поезда, считая
его равнопеременным.
Свободное падение тел
91. На Луне ускорение свободного падения примерно в 6
раз меньше, чем на Земле. Сравните время падения и конечные
скорости тел при падении с одной и той же высоты.
92. При свободном падении первое тело находилось в полете
в 2 раза больше времени, чем второе. Сравните конечные ско-
скорости тел и их перемещения.
93. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с.
Определите время и высоту подъема тела, скорость, с которой
тело упало на Землю и время падения.
94. Тело свободно падает в течение 5 с. С какой высоты
оно падает и какую скорость будет иметь при падении на Землю?
95. Сколько времени будет падать тело с высоты 4,9 м?
Какую скорость будет иметь тело при падении? Какова средняя
скорость движения тела?
96. Свободно падающее тело в момент удара о землю дос-
достигло скорости 39,2 м/с. С какой высоты тело упало? Сколько
времени оно падало?
97. Одно тело падает с высоты в 4 раза меньшей, чем дру-
другое тело. Во сколько раз скорость падения на землю второго тела
больше скорости падения первого тела? Во сколько раз время
падения второго тела больше времени падения первого тела?
98. С крыши дома высотой 28 м брошен вверх камень со ско-
скоростью 8 м/с. Определите скорость падения камня на землю.
Сопротивлением воздуха пренебречь.

102 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
99. Стрела, пущенная из лука вертикально вверх, упала на
землю через 6 с. Какова начальная скорость стрелы и макси-
максимальная высота подъема?
100. Во сколько раз надо увеличить начальную скорость
брошенного вверх тела, чтобы высота подъема увеличилась в
4 раза?
101. Мяч был брошен вертикально вверх два раза. Во второй
раз ему сообщили скорость в 3 раза большую, чем в первый
раз. Во сколько раз выше поднимался мяч при втором бро-
бросании?
102. С балкона, находящегося на высоте 25 м над поверх-
поверхностью земли, бросили вертикально вверх мяч со скоростью
20 м/с. Напишите формулу зависимости координаты от времени,
выбрав за начало отсчета: а) точку бросания; б) поверхность
земли. Через сколько времени мяч упадет на землю?
103. С балкона бросили мячик вертикально вверх с на-
начальной скоростью 5 м/с. Через 2 с мячик упал на землю. Опре-
Определите высоту балкона над землей и скорость мячика в момент
удара о землю.
104. Упругий шар, падая с высоты 78,4 м, после удара о
землю отскакивает вертикально вверх со скоростью, равной 3/4
скорости его при падении. На какую высоту поднимется шар?
Сколько времени пройдет от начала движения шара до второго
его удара о землю?
105. Аэростат поднимается вертикально вверх с ускорением
2 м/с2. Через 5 с от начала его движения из него выпал предмет.
Через сколько времени этот предмет упадет на землю? Ускоре-
Ускорение силы тяжести принять 10 м/с2.
106. Падающее тело в некоторой точке имело скорость
19,6 м/с, а в другой точке 39,2 м/с. Определите расстояние
между этими точками и время прохождения данного расстояния.
107. Два тела упали с разной высоты, но достигли земли в
один и тот же момент времени, причем первое тело падало 1 с,
а второе — 2 с. На каком расстоянии от земли было второе тело
в тот момент, когда первое тело начало падать?
108. Камень падает в шахту. Через 6 с слышен стук камня
о дно шахты. Определите глубину шахты, если скорость звука
равна 330 м/с.

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ 103
109. Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты
650 м. Какова начальная скорость пули? Выстрел произведен
вертикально вверх, скорость звука 340 м/с.
110. Какую начальную скорость надо сообщить камню при
бросании его вертикально вниз с моста высотой 20 м, чтобы он
достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось
бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной
скорости?
111. Какова высота телевизионной башни в Останкино, если
шарик, падая с башни без начальной скорости, последние 185 м
пути пролетел за 2 с? Сопротивление воздуха не учитывать.
112. Тело падало с некоторой высоты и последние 196 м
пути прошло за 4 с. Сколько времени падало тело? С какой
высоты оно падало? Сопротивление воздуха не учитывать.
113. Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости.
За какое время тело проходит первый метр, последний метр
своего пути? Какой путь проходит тело за первую, за последнюю
секунду своего движения?
114. Сколько времени падало тело, если за последние 2 с
оно прошло 60 м?
115. В последнюю секунду свободного падения тело прош-
прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой
высоты оно падало?
116. Определите, на сколько путь, пройденный свободно па-
падающим телом в п-ю секунду, будет больше пути, пройденного в
предыдущую секунду.
117. С башни бросают тело со скоростью 1 м/с вертикально
вверх. Через 2 с бросают другое тело со скоростью 1 м/с вер-
вертикально вниз. На каком расстоянии будут друг от друга тела
через 5 с с момента бросания первого тела?
118. Из точек Л и 5, расположенных по вертикали (точ-
(точка Л выше) на расстоянии 100 м друг от друга, бросают од-
одновременно два тела с одинаковой скоростью 10 м/с: из Л —
вертикально вниз, из В — вертикально вверх. Через сколько
времени и в каком месте они встретятся?
119. Тело свободно падает с высоты 10 м. В тот же момент
другое тело брошено с высоты 20 м вертикально вниз. Оба тела

104 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
упали на землю одновременно. Определите начальную скорость
второго тела.
120. Тело, находящееся на высоте 46 м от земли, начинает
свободно падать. Одновременно из точки, расположенной на
расстоянии 21 м ниже исходного положения первого тела, бро-
бросают второе тело, вертикально вверх. Определите начальную
скорость второго тела, если известно, что оба тела упадут на
землю одновременно.
121. С высоты 10 м без начальной скорости начинает па-
падать камень. Одновременно с высоты 5 м вертикально вверх
бросают другой камень. С какой начальной скоростью брошен
второй камень, если известно, что камни встретились на высо-
высоте 1 м над землей?
122. Одно тело брошено вертикально вверх с начальной ско-
скоростью г>о, другое падает с высоты Н без начальной скорос-
скорости. Движения начались одновременно и происходят по прямой.
Найдите зависимость расстояния между телами от времени.
123. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки,
одно вслед за другим с интервалом в 2 с с одинаковыми началь-
начальными скоростями 20 м/с. Через сколько времени встретятся тела?
124. Тело брошено вертикально вверх с начальной ско-
скоростью 3 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из
того же пункта с начальной скоростью 4 м/с бросили вверх вто-
второе тело. Определите, на каком расстоянии от точки бросания
встретятся тела.
125. С крутого берега реки бросают вертикально вверх ка-
камень со скоростью 15 м/с. Найдите координату камня, когда его
скорость будет направлена вниз и станет равной 25 м/с.
126. Из одной точки без начальной скорости свободно пада-
падают два предмета с интервалом в 3 с. Через какое время после
начала движения первого предмета расстояние между ними
будет в 3 раза больше, чем оно было в момент начала движения
второго предмета?
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
и брошенного горизонтально
127. С крутого берега реки высотой 20 м бросают гори-
горизонтально камень со скоростью 15 м/с. Через сколько времени
камень упадет в воду? С какой скоростью он упадет в воду?

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ 105
Какой угол составит вектор конечной скорости камня с поверх-
поверхностью воды?
128. С башни высотой 19,6 м в горизонтальном направле-
направлении брошено тело со скоростью 10 м/с. Запишите уравнение
траектории тела. Чему равна скорость в момент падения? Какой
угол образует эта скорость с горизонтальным направлением?
129. Самолет летит горизонтально на высоте 8 км со скоро-
скоростью 1800 км/ч. За сколько километров до цели летчик должен
сбросить на землю груз, чтобы попасть в нужное место? Как из-
изменится это расстояние, если высота полета будет вдвое больше?
130. Мяч, брошенный горизонтально с высоты 2 м над зем-
землей, упал на расстоянии 7 м. Найдите начальную и конечную
скорости мяча.
131. Камень брошен в горизонтальном направлении. Че-
Через 3 с направление скорости составило угол 45° с горизонтом.
Какова начальная скорость камня?
132. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со
скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты бро-
брошено тело?
133. Пуля вылетает из горизонтально расположенного
ружья со скоростью 300 м/с. На каком расстоянии от места
выстрела упадет пуля, если высота ружья над землей 1,2 м?
134. Мальчик бросил горизонтально мяч из окна, находя-
находящегося на высоте 20 м. Сколько времени летел мяч до земли
и с какой скоростью он был брошен, если он упал на расстоя-
расстоянии 6 м от основания дома?
135. Камень бросают горизонтально с вершины горы, имею-
имеющей уклон а. С какой скоростью должен быть брошен камень,
чтобы он упал на гору на расстоянии L от вершины?
136. Камень брошен с горы горизонтально со скоростью
15 м/с. Через сколько времени его скорость будет направлена
под углом 45° к горизонту?
137. Пуля, выпущенная горизонтально в тонкий фанер-
фанерный лист (вплотную к нему), пробивает второй такой же верти-
вертикальный лист, расположенный на расстоянии 20 м от первого.
Пробоина на втором листе оказалась на 5 см ниже, чем в первом.
Определите скорость пули.

106 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
138. Тело бросили со скоростью vq под углом а к гори-
горизонту. Запишите уравнение траектории тела в прямоугольной
системе координат. Начало координат расположите в точке бро-
бросания, ось х — горизонтальная, ось у — вертикальная.
139. Тело бросили со скоростью vq под углом а к горизонту.
Найдите: а) зависимость скорости от времени; б) время поле-
полета; в) зависимость от времени угла между вектором скорости
и горизонтом; г) максимальную высоту полета; д) дальность
полета; е) убедитесь, что время подъема равно времени спуска.
140. Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 30° к
горизонту. Определите высоту наибольшего подъема, время по-
полета, дальность полета.
141. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, что-
чтобы высота его подъема была равна дальности полета?
142. Тело брошено с начальной скоростью г>о под углом а к
горизонту. Найдите скорость тела в высшей точке подъема v\ и
в точке его падения на землю v<i- Под каким углом к горизонту
упадет тело?
*
143 . Тело падает с высоты 4 м. На высоте 2 м оно ударя-
ударяется о закрепленную площадку, расположенную под углом 30°
к горизонту. Найдите полное время движения тела и дальность
его полета, если считать, что после удара скорость тела не ме-
меняется.
144. С высоты h над поверхностью земли брошено тело
под углом а к горизонту со скоростью г>о- С какой скоростью
тело упадет на землю?
145. Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной
скоростью 20 м/с. Через сколько времени оно будет двигаться
под углом 45° к горизонту?
146. Камень бросили под углом 30° к горизонту со ско-
скоростью 10 м/с. Через какое время камень будет на высоте 1 м?
147 . Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом а = 45°
к горизонту. На какой высоте скорость будет направлена под
углом /3 = 30° к горизонту?
148. Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом а = 60°
к горизонту. Через сколько времени скорость будет иметь нап-
направление под углом /3 = 30° к горизонту?

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ 107
149. Камень брошен с башни под углом 30° к горизонту со
скоростью 10 м/с. Каково кратчайшее расстояние между местом
бросания и местом нахождения камня спустя 4 с после бро-
бросания?
150 . Маленький шарик начинает свободно падать и, про-
пролетев расстояние 9,8 м, сталкивается с поверхностью наклонной
плоскости. Сразу после удара направление движения становится
горизонтальным, а величина скорости не изменилась. На каком
расстоянии от места падения шарик вновь ударится о наклон-
наклонную плоскость?
151 . С башни высотой 1,7 км под углом 30° к горизонту
вниз бросают тело со скоростью v\. Одновременно с поверхнос-
поверхности земли под углом 30° к горизонту бросают второе тело со
скоростью г>2 навстречу первому. Определите, на каком расстоя-
расстоянии от подножия башни находится место бросания второго
тела, если оба тела столкнулись в воздухе?
Равномерное движение по окружности
152. Угловая скорость приводного шкива 65,5 рад/с. Най-
Найдите период вращения шкива и число его оборотов в минуту.
153. Найдите угловые скорости: а) суточного вращения
Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на
часах; г) секундной стрелки часов.
154. За какое время колесо, имеющее угловую скорость
8 рад/с сделает 40 оборотов?
155. Угловая скорость лопастей вентилятора 20 рад/с. Най-
Найдите число оборотов за 30 мин.
156. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки боль-
больше угловой скорости суточного вращения Земли?
157. Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной.
Каково соотношение между линейными скоростями концов этих
стрелок?
158. Шкив диаметром 30 с делает 600 оборотов в 0,5 мин.
Определите период вращения, угловую и линейную скорости
точек на окружности шкива.
159. Сколько оборотов в секунду делают ведущие колеса
локомотива диаметром 1,5 м при скорости движения 72 км/ч?

108 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
160. За 10 с точка прошла равномерно половину окруж-
окружности, радиус которой 100 см. Определите линейную скорость.
161. Какова линейная скорость точек земной поверхности
на широте Санкт-Петербурга F0°) при суточном вращении
Земли? Радиус Земли — 6400 км.
162. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке
длиной 0,5 м, в вертикальной плоскости, делая 3 об/с. На какую
высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент,
когда скорость была направлена вертикально вверх?
163. Цепь, на которой висит колодезное ведро, наматывает-
наматывается на вал диаметром 20 см. При подъеме из колодца рукоятка
совершает 10 оборотов. Какова глубина колодца?
164. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии
0,5 м друг от друга, вращается с частотой 600 об/мин. Пуля,
летящая вдоль оси, пробивает оба диска, при этом отверстие от
пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом
диске на угол 12°. Найдите скорость пули.
165 . Горизонтально летевшая пуля пробила вертикальный
барабан, вращающийся с частотой 100 с, по его диаметру, ко-
который равен 1 м. Какова скорость пули внутри барабана, если
расстояние по окружности между пробоинами в нем оказалось
равным 0,942 м.
166. Определите радиус маховика, если при вращении ско-
скорость точек на его ободе — 6 м/с, а скорость точек, находящихся
на 15 см ближе к оси вращения — 5,5 м/с.
167. К валу, радиус которого 10 см, прикреплена нить. Через
5 с от начала равномерного вращения на вал намоталось 3,14 м
нити. Определите частоту вращения вала.
168. Линейная скорость точек окружности вращающего-
вращающегося диска равна 3 м/с, а точек, находящихся на 10 см ближе к
оси вращения, 2 м/с. Сколько оборотов делает диск в минуту?
169. Ультрацентрифуга для исследования крови человека
совершает 6-104 оборотов в минуту. Определите частоту, период,
угловую и линейную скорости вращения.
170. При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты
искусственного спутника Земли период его обращения увели-
увеличится в 8 раз. Во сколько раз изменится скорость движения
спутника по орбите?

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ 109
171. Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой
скоростью едет велосипедист, если колесо велосипедиста делает
120 об/мин? Какова угловая скорость вращения колеса при
этом движении?
172. Две материальные точки движутся по окружности,
радиусы которых отличаются в 5 раз. Сравните их центрост-
центростремительные ускорения в случаях: а) равенства линейных ско-
скоростей; б) равенства их частот.
173. Определите центростремительное ускорение точек
земной поверхности на экваторе, на широте 45° и на полюсе,
вызванное суточным вращением Земли.
174. Период вращения одного колеса вдвое меньше перио-
периода вращения другого колеса, а его радиус втрое больше радиуса
вращения другого колеса. Сравните центростремительные уско-
ускорения для точек обода обоих колес.
175. Радиус одного колеса 20 см, другого — 40 см, а ли-
линейные скорости точек на ободе колес, соответственно, равны
5 м/с и 10 м/с. Во сколько раз центростремительное ускорение
на ободе одного колеса больше, чем на ободе другого?
176. Найдите центростремительное ускорение точек колеса
автомобиля, соприкасающихся с дорогой, если автомобиль дви-
движется со скоростью 72 км/ч и частота вращения колеса 8 с.
177. Найдите центростремительное ускорение точки, если
угловая скорость ее вращения 3 рад/с, а линейная — 2 м/с.
178. Как изменится линейная скорость и центростремитель-
центростремительное ускорение при движении точки по окружности, если угло-
угловую скорость увеличить в 2 раза, а расстояние от точки до оси
вращения уменьшить в 4 раза?
179. Шарик подвешен на нити длиной 1 м. Шарик раскру-
раскрутили так, что он начал двигаться равномерно по окружности
в горизонтальной плоскости с периодом 1,57 с. Угол, образо-
образованный нитью с вертикалью, равен 30°. Определите линейную
скорость и центростремительное ускорение при движении ша-
шарика по окружности.
180. Маленький шарик, привязанный к нити длиной 50 см,
описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея пос-
постоянную скорость. Частота вращения шарика 4 с, скорость
движения вдоль окружности 6,28 м/с. Определите, на какой
угол нить при вращении отклонена от вертикали.

110 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
181 . Стержень длиной 0,5 м вращается вокруг перпен-
перпендикулярной к нему оси, при этом один его конец движется с
линейной скоростью 0,314 м/с. Найдите линейную скорость
другого конца стержня, если частота вращения 0,5 с. Срав-
Сравните центростремительные ускорения концов стержня.
182. На вал намотана нить, к концу которой подвешена
гирька. При равномерном движении гирьки за 10 с с вала раз-
размоталось 1,2 м нити. Каков радиус вала, если частота его вра-
вращения 6 с? Определите величину ускорения точки.
183. Волчок свободно падает с высоты 4,9 м, вращаясь с
периодом 0,02 с. Сколько оборотов сделает волчок за время
падения?
184. Автомобиль при торможении начинает скользить так,
что колеса продолжают вращаться. Верхняя точка одного из ко-
колес имеет относительно земли скорость 110 км/ч, нижняя точ-
точка — скорость 10 км/ч (направлена вперед по движению). Каковы
скорость автомобиля и линейная скорость вращения колеса?
Ответы
1. В тг/2 раз; в тг/3 раз.
2. 9 км; 5 км (на второй вопрос легко ответить, если сна-
сначала найти проекции вектора перемещения на оси координат,
направленные на восток и на север, а затем по теореме Пифагора
найти величину вектора перемещения).
3. Равномерное движение: v\ = 1 м/с; г>2 = 2 м/с; v% = 1 м/с;
4. Равномерное; место встречи I и II тела; v\ = 20 км/ч,
г>2 = 40 км/ч; тело I движется вдоль оси Ож, тело II — против
оси Ох.
5. ха = 2 м; у а = 2 м; хо = 6 м; ^=2м; s = 20 м; \г\ = 4 м;
гх = 2 м; гу = 0.
6. Движение равномерное; v\ = 1 м/с; г>2 = 1 м/с; v% =
= -0,5 м/с; 8 м; 3 с; нет; 3,5 м; х\ = ?; X2 = (t — 3), м; х% =
= (8-0,5*), м.
7. I — движение равномерное вдоль оси Ох\ II — тело по-
покоится; III — движение равномерное против оси Ох\ s = s± +
+ 53 = 4 + 7= 11м; пж=4м; г2х = 0; г3ж = -7 м; г = -3 м.

ОТВЕТЫ 111
8. 10 м/с. 9. 600 м/с. 10. 400 м.
11. 30 с; нет. 12. 3 м/с.
13. 20 м; v\ = 2 м/с, вдоль оси Ох; v2 = 3 м/с против
оси Ож; 12 м от начала координат, через 4 с от начала наблю-
наблюдения.
14. 40 м; v\ = 1 м/с, г>2 = 5 м/с, оба вдоль оси Ож; через
10 с в точке с координатой 30 м.
15. 60 мин; 36 км.
16. Самолеты в пункт В прилетят одновременно.
17. Ж1 = 20?, м; х2 = B50 - 5*), м; а) 10 с; 200 м; б) 125 м;
в) автомобиль; на 25 с; г) х = 100 м; д) спустя 20 с после
начала движения; е) через 5 с и 15 с после начала движения;
ж) х = 150 м.
18. xi = B50 + 15(* + 10)), м; х2 = 25*, м; а) через 10 с на
расстоянии 1 км; б) 200 м; в) через 35 с.
19. vi = 1 м/с; v2 = 4 м/с; х\ = A + *), м; х2 = D + 4*), м;
тела были в начале координат за 1 с до начала наблюдения за
ними; 3 м/с; ж = C + 3*),м.
20. vi = 2,5 м/с; v2 = -5 м/с; жх = E + 2,5*), м; ж2 = B5-
—5*), м; v2-i = 7,5 м/с; #2-1 = B0 — 7,5*), м.
21. 1,1м/с; 0,5 м/с. 22. 2 мин.
23. 16 км/ч. 24. 14 м/с.
25. 150м. 26. Юс; 56с.
27. 7,5 км/ч; 17,5 км/ч. 28. 35 суток.
29. 15 м/с. 30. 62,5 км/ч; 12,5 км/ч.
31. 2 мин. 32. 1,5 км/ч.
33. 1000 м; 2,5 м/с.
34. а) 36 км/ч; б) 0; в) «25,4 км/ч.
35. а) п = (^1 + ^2)*; б) r2
36. а) 1 м/с; 0 м; 20 м; б) « 1,4 м/с; 20 м; 28 м.
37. 5 м/с; 750 м.
38. *i = 6,25 мин; t2 = 5 мин; *i > *2-
39. Двигаться вдоль берега в 1,8 раза дольше, чем поперек
реки.

112
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
40. а), б) 798 км/ч; а = arcsin 0,0675 = 3°52'; в) 746 км/ч;
90°; г) 854 км/ч; 90°.
41. 225 м; 375 м.
42. Путь лодки будет кратчайшим, если перемещение ее пер-
перпендикулярно берегу; 30°; 155 с.
43. Начало координат поместим в том месте, где пловец
входит в реку, ось Ох направим по течению, Оу — перпен-
перпендикулярно берегу, а — угол между направлением скорости
пловца vu и скорости течения vT (рис. 1.100 а). Результирующую
скорость пловца находим по теореме сложения скоростей: v =
= vn + vT. Координаты пловца меняются с течением времени
по закону , , / ч
*/ гр /11 . + ni /11 . + I о 1
X — Ux 6, у — Uy • i. ycXJ
Из рис. 1.100 а видно, что
vx = vT — vux = vT — vu • cos a, vy = vu • sin a,
[vux = \vn -cosA80 — ce)| = |г;п • (—cosa)| = vn -cosce).
Когда пловец попадает на другой берег, его координаты ста-
станут равными у = of, х = I (I — расстояние, на которое течение
снесет пловца, of — ширина реки). Поэтому систему уравне-
уравнений (а) можно записать следующим образом:
/ = (г>т — vu • cosce) • ?,
d = vn -since -t.
Время переплывания найдем из второго уравнения: t =
= d/(vU'Sma). Оно будет минимальным, когда since будет
максимальным, то есть при се = тг/2 (рис. 1.100 б):
*min = 400 С.

ОТВЕТЫ
113
Течение за это время снесет пловца на расстояние I = vT -1 =
= 200 м. При этом величина пройденного пути s = \Jl2 + d2;
s w 447 м.
Примечание: найти, при каком угле а время переплывания
будет минимальным, можно, взяв производную t'a и приравняв
ее нулю:
t'a = d- cos a/(vT -sin2 a) = 0; cosa = 0; a = тг/2.
44. « 3 м/с; перпендикулярно к дороге.
46.
V, М/
12
8 -
4
0
6 t,c
Рис. 1.101
47. 40,8 км/ч. 48. 9 км/ч.
49. 17 м/с. 50. 53,3 км/ч; 60 км/ч.
51. 12 м/с. 52. 40 км/ч.
53. 18 км/ч.
54. 3,2 м/с; зависимость скорости велосипедиста от времени
представлена на рис. 1.102.
v, м/с,
4
2
0
5 10 15 20 t, с
Рис. 1.102
v, м/с
15
10
5 ]
0
-5 ^
12
J6
Рис. 1.103
55. 8 с; 5 м/с; 32 м; 80 м; зависимости скоростей от времени
представлены на рис. 1.103.
8 С. В. Трубецкова

114 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
56. 50 с; 75 м. 57. 0,25 м/с2; 350 м.
58. 5 м/с; 55 м. 59. 25 с; 250 м.
60. 20 с; 120 м; 6 м/с.
61. 13 м.
62. 10 м/с2; 50 м/с; 5 м.
63. 1,8-Ю с; -2,22 • 10 м/с2; 282 м/с.
64. 13,3 м/с2; 4000 м.
65. 0,5 м/с2; 100 с.
66. 90 см. 67. 75 км/с2; 0,004 с.
68. 2,5 м/с2; 4 с. 69. 15 с.
70. 8 м/с; 0,8 м/с2; -1,6 м/с2; 15 с.
71. 5 м/с; 75 м; 28 с; 0,625 м/с2.
72. 50 м. 73. 10 м/с2; 300 м/с.
74. 0,8 м/с; 7,6 м; 40 м.
75. 0,3 м; 2,7 м. 81. 9 с.
82. 1,5 м/с. 83. 0,45 м/с; 0,3 м/с2.
84. 36 км/ч. 85. 5 с.
86. 205 с. 87. 1 м/с.
88. Зс.
89.
90. 3,2 м/с2 (движение равнозамедленное).
91. На Луне время падения в 2,4 раза больше, а конечная
скорость в 2,4 раза меньше.
92. V!/v2 = 2; Л1/Л2 =4.
93. 2 с; 20,4 м; 20 м/с; 2 с.
94. 122,5 м; 49 м/с.
95. 1 с; 9,8 м/с; 4,9 м/с.
96. 78,4 м; 4 с.
97. В 2 раза больше и скорость, и время падения второго
тела.
98. 24,8 м/с. 99. 30 м/с; 45 м.

ОТВЕТЫ 115
100. В 2 раза. 101. В 9 раз.
102. а) х = B0-?-5?2), м; б) х = B5 + 20?-5?2), м; 5 с.
103. 10 м; 15 м/с. 104. 44,1 м; 10 с.
105. 21 с. 106. 58,8 м; 2 с.
107. 14,7 м. 108. 165 м.
109. 350 м/с. 110. 15 м/с; на 1 с.
111. 533 м. 112. 7 с; 240 м.
113. «0,45; «0,023; «4,9 м; «40 м.
114. 4 с. 115. 30,6 м.
116. 9,8 м. 117. 165 м.
118. 5 с; на 75 м ниже точки В.
119. «7,2 м/с. 120. 7 м/с.
121. «3,7 м/с. 122. r = \vot-H\.
123. Зс. 124. 0,4 м.
125. х = —20 м (начало координат совпадает с точкой, из
которой брошено тело, и ось направлена вертикально вверх).
126. 6 с. 127. 2 с; 20 м/с; 53°.
128. y = g-x2/Bv%); 22м/с; «63°.
129. 20 км; увеличится в 2 раза.
130. « 11 м/с; « 13 м/с.
131. «29 м/с. 132. «20 м.
133. «150 м. 134. 2 с; 3 м/с.
135. г>о = y/L • д -cos2a/B-sina).
136. 1,5 с. 137. «200 м/с.
138. у = x-tga-gx2/BvQ -cos2a).
139. a) v = Jvq — 2vogt-sina + g2t2; б) t = Bvq • sina)/g;
в) а = arctg (tga — gt/Bvo • cosce)); r) h = v$ • sin2ce/Bg);
д) s = v$-sinBa)/2g.
140. 1,2 m; 1 с; 8,7 м/с.
141. a = arctg4«76°.
142. v\ = vq -cosce; V2 = vq; a.

116 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
143. 10,1с; 5,64 м.
144. v =
145. 0,75 с.
146. 0,28 с; 0,75 с.
147. h = ^(tg2 a -tg2 /3) • cos a/\2д); Ь6,8м.
148. t = vq -cosa • (tga — tgf3)/g; t = 1,2 с
149. ^68м.
150. / = 4Ял/2; / ~ 54,9 м (примечание: так как после уда-
удара о плоскость скорость шарика меняет направление на 90°,
то угол наклона плоскости к горизонту равен 45°).
151. / = #л/3; / = 2,89 км.
152. 0,096 с; 625 с.
153. а) 7,3 • 10 рад/с; б) 14,5 • 10 рад/с; в) 1,74 х
х 10~3 рад/с; г) 0,1 рад/с.
154. 31,4 с. 155. 1,8 • 104 оборотов.
156. В 2 раза. 157. 1С/1М = 20.
158. 0,05 с; 125,6 м/с; 18,8 м/с.
159. 4,2 об/с. 160. 0,314 м/с.
161. 230 м/с. 162. 4,5 м.
163. 12,56 м. 164. 400 м/с.
165. v = 7rD2iy/GrR2±l); 125м/с; 500м/с.
166. 1,8 м. 167. 1с.
168. 96 оборотов.
169. 1000 об/с; 0,001с; 6,28-103 рад/с; 1256 м/с.
170. Уменьшится в 2 раза.
171. ^5 м/с; ^25 с.
172. а) 1/5; б) 5.
173. 3,4 -ИГ2 м/с2; 2,33- ИГ2 м/с2; 0.
174. В 12 раз. 175. В 2 раза.
176. 1 км/с2. 177. 6 м/с2.
178. Уменьшится в 2 раза; не изменится.

ОТВЕТЫ 117
179. 2 м/с; 8 м/с2.
180. 30°.
181. 1,256 м/с; a2/ai=4.
182. 6,4- 1(Г3 м; 9 м/с2.
183. 50 оборотов.
184. 60 км/ч; 50 км/ч.

Часть II
ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ

1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
Содержание теоретического материала
Взаимодействие тел. Первый закон Ньютона. Инерциальные
и неинерциальные системы отсчета. Ускорение тел при взаимо-
взаимодействии. Инертность и масса тел. Сила как мера интенсивности
взаимодействия тел. Второй закон Ньютона. Третий закон Нью-
Ньютона. Виды сил: сила тяжести, сила упругости, сила трения. Закон
всемирного тяготения. Вес тела и сила тяжести. Динамика тела,
движущегося по окружности.
Контрольные вопросы
1.1. Что означают слова: «относительный покой» и «относи-
«относительное движение»?
1.2. В чем заключается содержание I закона Ньютона?
1.3. Какие системы отсчета называются инерциальными?
1.4. Что такое инерция?
1.5. Почему при сплаве леса бревна часто выбрасываются на
берег на поворотах рек?
1.6. Как объяснить опускание столбика ртути при встряхи-
встряхивании термометра?
1.7. Почему при сборе корнеплодов их надо вытаскивать из
почвы без рывка, постепенно?
1.8. Что такое сила? Какие бывают силы по характеру взаи-
взаимодействия?
1.9. Какой величиной — векторной или скалярной — является
сила?
1.10. Как измерить силу?
1.11. Какая сила называется равнодействующей?
1.12. Используя понятие силы, сформулируйте I закон Нью-
Ньютона.
1.13. Что такое масса тела?

120 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
1.14. Назовите основную единицу измерения массы тела в
системе СИ.
1.15. Сформулируйте II закон Ньютона.
1.16. Почему нагруженный автомобиль движется по неров-
неровной дороге более плавно, чем такой же автомобиль без груза?
1.17. Сформулируйте III закон Ньютона.
1.18. Два резиновых мяча лежат на гладком полу, прижатые
друг к другу. Когда их отпустили, они раскатились, причем за
одно и то же время один мяч откатился на большее расстояние.
Какой отсюда можно сделать вывод? Обоснуйте его.
1.19. Всегда ли сила реакции опоры равна по величине силе
тяжести? Всегда ли сила реакции опоры равна по величине си-
силе давления?
1.20. В чем содержание закона всемирного тяготения?
1.21. Какой физический смысл гравитационной постоянной?
1.22. Что такое сила тяжести? Где находится точка прило-
приложения этой силы?
1.23. Что такое ускорение свободного падения и от чего оно
зависит?
1.24. Какая сила называется весом тела?
1.25. Какими силами скомпенсирована сила тяжести, если
тело находится на опоре или подвешено?
1.26. Мы обращаемся к продавцу: «Взвесьте нам...» незави-
независимо от того, какие перед ним весы — чашечные или пружин-
пружинные. Если говорить строго, верен ли наш вопрос в обоих случаях?
1.27. В чем заключается состояние перегрузки?
1.28. Когда наступает невесомость?
1.29. Человек стоит на горизонтальной платформе пружин-
пружинных весов. Что покажут весы в начале быстрого приседания
человека? При его остановке? При быстром распрямлении?
1.30. Мальчик высоко подпрыгнул. На каких этапах прыжка
(при отталкивании от пола, подъеме, в верхней точке, движении
вниз, торможении в момент приземления) предметы, находящие-
находящиеся в карманах его костюма, находятся в состоянии невесомости?
1.31. Какие бывают виды деформаций?

ОТВЕТЫ 121
1.32. Какие силы называются упругими? Какова их при-
природа?
1.33. В чем заключается содержание закона Гука?
1.34. Когда возникает сила трения? Какова природа этой
силы?
1.35. Когда возникает сила трения покоя? От чего зависит
величина этой силы?
1.36. Когда возникает сила трения скольжения?
1.37. Нарисуйте график зависимости силы трения от вели-
величины внешней, приложенной к телу, силы тяги.
Рис. П.1
1.38. На рис. П.1а изображены силы тяготения, действую-
действующие между двумя телами одинаковой массы т. Одно из тел
заменили другим, масса которого вдвое больше. Верно ли на
рис. 11.1 б изображены силы, действующие на каждое из тел?
Ответы
1.1. Тела находятся в состоянии относительного покоя, ес-
если не меняется их взаимное расположение и расстояние между
ними. Это может быть, если: а) тела покоятся относительно
Земли и любых тел, закрепленных на Земле; б) тела движут-
движутся равномерно с одинаковой скоростью в одном направлении;
в) тела движутся с одинаковым ускорением в одном направле-
направлении (начальные скорости тел также должны быть одинаковыми).
Из кинематики мы должны помнить, что тело может по от-
отношению к одним телам находиться в покое, по отношению к
другим — двигаться равномерно, а по отношению к третьим —
двигаться с ускорением. Например, стоящий на остановке авто-
автобуса человек находится в покое относительно деревьев, домов
и т. д.; он же удаляется или сближается с постоянной скоростью
с любым проходящим мимо него человеком или автомобилем;
он же с переменной скоростью удаляется или сближается с

122 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
транспортом, тормозящим перед остановкой или, наоборот, от-
отходящим от остановки с ускорением.
1.2. Существуют такие системы отсчета, относительно кото-
которых тело находится в состоянии покоя или движется равномерно
и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или
действие других тел компенсируется.
1.3. Системы отсчета, относительно которых тело при ком-
компенсации на него внешних воздействий покоится или движет-
движется прямолинейно и равномерно, называются инерциальными.
I закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах
отсчета. В примере, рассмотренном в ответе 1.1, на человека, сто-
стоящего на земле, действует притяжение Земли и реакция опоры,
которая не дает ему падать вниз. Данные два действия скомпен-
скомпенсированы. При этом человек относительно деревьев, домов и т. д.
находится в покое, а с равномерно проходящим транспортом
также равномерно сближается или удаляется. То есть системы
отсчета, связанные с Землей, деревьями, домами, а также с дви-
движущимися равномерно телами, являются для человека инерци-
инерциальными. Очевидно, что для каждого тела можно подобрать
множество инерциальных систем.
1.4. Инерция проявляется в том, что тело сохраняет неизмен-
неизменным состояние движения или покоя по отношению к некоторым
(инерциальным) системам отсчета. Если же воздействия других
тел не скомпенсированы, то свойство инерции проявляется в том,
что изменение скорости происходит постепенно, а не мгновенно.
1.5. Двигаясь по инерции прямолинейно, бревна на повороте
выбрасываются на берег.
1.6. Капелька ртути по инерции стремится сохранить состо-
состояние покоя, опускаясь в конец термометра.
1.7. Потому, что возможен обрыв стебля, а корнеплод по
инерции остается в почве, и нужно некоторое время действия
силы, чтобы сообщить ему ускорение (правда, нельзя здесь за-
забывать еще и о силе трения).
1.8. Все окружающие нас тела находятся во взаимодейст-
взаимодействии. Взаимодействие является причиной ускорения тел. Так тела,
падающие свободно, движутся с ускорением, причиной которого
является нескомпенсированное взаимодействие с Землей. Шай-
Шайба, лежащая на льду, приобретает ускорение в результате взаи-
взаимодействия с клюшкой. При своем движении по льду скорость
шайбы уменьшается, но уже за счет взаимодействия с шерохо-

ОТВЕТЫ
123
ватой поверхностью льда. При падении тело находится на не-
некотором расстоянии от Земли (бесконтактное взаимодействие),
а шайба находится в непосредственном контакте и с клюшкой,
и со льдом (удар и трение). Вам хорошо известно взаимодей-
взаимодействие магнита с железными предметами на расстоянии. Итак,
взаимодействия бывают бесконтактными, посредством силовых
полей разной природы (гравитационного поля, магнитного поля
и других полей, о которых речь пойдет позже), и контактными
при соприкосновении взаимодействующих тел.
Таким образом, силы бывают разного вида:
1) силы, возникающие при непосредственном контакте тел,
в результате чего тела могут изменять форму и размеры (удар
клюшки о шайбу — должны происходить кратковременные де-
деформации); такие силы называются упругими;
2) силы, возникающие при движении одного тела по поверх-
поверхности другого; это тоже контактные силы — силы трения;
3) бесконтактные силы — то есть возникающие при взаи-
взаимодействии тел на расстоянии, за счет полей разной природы,
окружающих тела.
Количественную меру действия материальных тел друг на
друга, в результате которого взаимодействующие тела приобре-
приобретают ускорения, называют силой.
1.9. Сила характеризуется не только величиной, но и направ-
направлением. Изменяя взаимодействие тел, можно изменять не только
величину скорости, но и направление движения. Следовательно,
сила — векторная величина, обозначается обычно как F.
1.10. Возьмем упругую пружину. При ее одинаковом рас-
растяжении она всегда создает одну и ту же упругую силу. Если
упр2
на тело, связанное с пружиной, подействовать внешней силой,
(рис. П.2), то пружина растянется (или сожмется) на определен-

124 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
ную величину. В положении, когда тело остановилось, действие
внешней силы F скомпенсировано силой упругости пружи-
пружины ^упр (в соответствии с I законом Ньютона). То есть величи-
величины сил равны, но направлены они в противоположные стороны
Пользуясь этим, можно сравнить с силой упругости эталон-
эталонной пружины силы другого вида.
1.11. Если на тело действуют несколько сил (Fi, F2, ..., Fn),
то можно подобрать одну силу F, эквивалентную по воздействию
совокупности сил. Такая сила называется равнодействующей.
Величина равнодействующей силы равна векторной сумме всех
действующих на тело сил:
F = Fi + F2 + ... + Fn, или F =
г=1
1.12. Существуют системы отсчета, относительно которых
тело движется прямолинейно и равномерно или находится в по-
покое, если равнодействующая всех сил, действующих на тело, рав-
равна нулю: п
г=1
1.13. Если брать тележки с разными грузами, а воздействие
оказывать сжатой до определенных
. _> размеров пружиной (то есть дейст-
—fflffiffl-l ¦ | вующая на тележку сила одна и та
|
Q 0 же), то приобретаемые тележками ус-
7 укорения будут разными (рис. П.З).
Ускорения, получаемые телами, за-
зависят от некоторого свойства, прису-
присущего самому телу. Это свойство на-
называется инертностью. Инертность —
свойство тел препятствовать измене-
изменению скорости под действием силы (то
^^_^^ аз есть способность тела к проявлению
1 ' А. инерции — см. вопрос 1.4). Чем мень-
х//••• ////// ше ускорение под действием опреде-
Рис ц з ленной силы, тем больше инертность
тела.
Если теперь на тележку с одним и тем же грузом действо-
действовать разными силами Fi, F<i-> ..., Fn, то тележка получит разные

ОТВЕТЫ 125
ускорения: ai, a2, ..., an (рис. П.4). Отношение модуля силы к
модулю сообщенного ускорения для данного тела является ве-
величиной постоянной:
т=т=...=&!=«„St.
ДА
Так как для данного тела это
отношение является величиной пос-
постоянной, то оно может служить
характеристикой данного тела. Ве-
Величина, равная отношению модуля
силы, действующей на тело, к
модулю ускорения, вызванного этой
силой, называется массой, которая
и является мерой инертности тела.
Обозначается масса буквой т: ///////у //// /V// /
m = \F\/\a\. Рис. П.4
Из формулы видно, что чем больше ускорение тела при не-
некоторой заданной силе, тем меньше масса тела.
1.14. В период принятия метрической системы (конец
XVIII в.) была определена основная единица массы — кило-
килограмм — как масса 1 кубического дециметра чистой воды при
4° С в вакууме. В 1799 г. был изготовлен эталон килограмма —
платиновая цилиндрическая гиря, высота которой равна ее ди-
диаметру. Сейчас существующим эталоном является платиново-
иридиевая гиря, высота и диаметр которой равны 39 мм.
Хранится эталон в Международном бюро мер и весов в Париже.
Широко используется тысячная доля килограмма (кг) —
грамм (г): 1 г = 10~3 кг.
При изучении свойств атомов и молекул пользоваться кило-
килограммом как основной единицей массы неудобно, так как массы
частиц очень малы. Поэтому в качестве эталона выбрана 1/12
часть массы атома углерода, которая называется атомной еди-
единицей массы (а. е. м.):
1 а.е.м. w 1,66-ИГ27 кг.
1.15. Ускорение тела прямо пропорционально равнодейст-
равнодействующей приложенных к нему сил и обратно пропорционально
его массе. Тело приобретает ускорение, направление которого
совпадает с направлением равнодействующей приложенных сил:
а = F /га.

126 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
При решении задач часто II закон Ньютона записывают в
виде
F = ma, или )^ Fj = та.
г=1
В правой части равенства находятся величины, относящиеся к
движущемуся телу (га, а), а в левой — силы, определяющие дейст-
действие окружающей среды.
1.16. Увеличение массы автомобиля уменьшает ускорения,
сообщаемые ему толчками со стороны неровности дороги.
1.17. Все действия тел друг на друга являются двусторон-
двусторонними. Пытаясь сдвинуть какой-либо тяжелый предмет, мы испы-
испытываем ответное действие; растягивая пружину, мы чувствуем,
что она тянет руку в противоположную сторону; пуля, пробивая
углубление в стенке, одновременно деформируется сама за счет
ответного действия стенки. Многочисленные опыты приводят к
заключению:
1) при взаимодействии двух тел всегда возникают силы, при-
приложенные к каждому из тел;
2) эти силы направлены в противоположные стороны;
3) они равны по величине.
Изложенное выше сформулировано в III законе Ньютона:
если какое-то тело действует на другое с силой /\, то второе
тело действует на первое с ответной силой F2, равной по величине
силе F\ и противоположно ей направленной:
F\ = — F2.
Кратко III закон Ньютона можно сформулировать так:
сила действия равна по величине и противоположна по нап-
направлению силе противодействия.
Надо помнить, что сила «действия» и сила «противодейст-
«противодействия» приложены к разным телам.
1.18. По III закону Ньютона силы, действующие на каждый
из мячей при расталкивании, одинаковы (F\ = F2)^ а ускорения,
которые они приобретут по II закону Ньютона, обратно пропор-
пропорциональны массам.
Пусть rai > m2l тогда а± < а2 (mi/rri2 = а2/а±). В резуль-
результате этого скорости мячей в конце взаимодействия будут раз-
разные: v2 > v\ (у = at), а путь, пройденный мячом с большей
массой, будет меньше.

ОТВЕТЫ 127
1.19. Нет, только на покоящейся или движущейся равно-
равномерно горизонтальной опоре;
да, в соответствии с III законом Ньютона.
1.20. Между всеми без исключения материальными телами
действуют силы взаимного притяжения, которые названы гра-
гравитационными силами, или силами всемирного тяготения. Закон
всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном следую-
следующим образом:
два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропор-
пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними:
1^*. 777,1777,2
г2
где 777,1,777,2 — массы тел, г — расстояние между телами, j —
коэффициент пропорциональности, называемый гравитацион-
гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная была измерена
экспериментально и для всех тел имеет одно и то же численное
значение. В системе СИ
7 = 6,67-КГ11 Н-м2/кг2.
Взаимное притяжение тел является следствием того, что
каждая частица одного тела притягивает каждую из частиц
другого тела. Любое протяженное тело можно рассматривать
как совокупность частиц, и сила, действующая на тело, является
геометрической суммой сил, действующих на все частицы тела.
Ньютон показал, что для двух однородных сфер формула пра-
правильно описывает силу взаимодействия, если г — расстояние
между центрами сфер. Кроме того, если размеры тел малы по
сравнению с расстоянием между ними, то формула закона
всемирного тяготения также хорошо выполняется.
Силы притяжения действуют на каждое из взаимодейству-
взаимодействующих тел (рис. П.5) и направлены вдоль прямой, соединяющей
центры этих тел. Силы F\ и F<i равны по величине и противопо-
противоположны по направлению (в соответствии с III законом Ньютона).
7П2
г \ г 2
Рис. П.5
Взаимодействие тел, обладающих массой, находящихся на
расстоянии друг от друга, осуществляется посредством поля,

128
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
называемого гравитационным. Гравитационное поле создается
любым материальным телом, окружает его и заполняет все
пространство. Любое другое тело испытывает действие силы со
стороны гравитационного поля первого тела.
1.21. Гравитационная постоянная выражается формулой
J = \F\r2 /(m1m2).
Отсюда виден ее физический смысл: гравитационная постоянная
численно равна силе, с которой два тела массой по 1 кг взаимо-
взаимодействуют на расстоянии 1 м.
1.22. Сила тяжести — это сила притяжения всех тел к Земле
в результате действия закона всемирного тяготения:
тМ
где т — масса тела, М — масса Земли, /?з — радиус Земли,
h — высота подъема тела над поверхностью Земли, G?з + h) —
расстояние от центра Земли до тела (рис. П.6)
Рис. П.6
Если тело находится вблизи Земли (h <C
Рис. П.7
, то сила тяжести
Силу тяжести можно рассматривать как равнодействующую
сил тяжести, действующих на все частицы тела. Сила тяжести
тела приложена к точке, неизменно связанной с твердым телом,
в которой приложена равнодействующая сил тяжести, дейст-
действующая на все частицы тела. Эта точка называется центром
тяжести.

ОТВЕТЫ 129
Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз к Земле.
Будем подвешивать тело на нити, прикрепляемой к разным точ-
точкам тела, и отмечать каждый раз направление нити (рис. П.7 а, б).
Так как подвешенное тело покоится, то сила тяжести FT
равна по величине и противоположна по направлению силе
натяжения подвеса. То есть каждый раз сила тяжести будет
направлена вдоль подвеса. Если подвешивать тело за разные
точки, то направление силы тяжести относительно тела меняется,
но точка приложения остается неизменной. Она совпадает с
точкой пересечения направления нитей при разных положениях
тела. Центр тяжести однородного тела симметричной формы
совпадает с центром симметрии тела.
1.23. Если на тело действует только сила тяжести, то оно
совершает свободное падение. Величину ускорения свободного
падения д можно найти по II закону Ньютона:
Из этой формулы видно, что ускорение свободного падения не
зависит от массы падающего тела и, следовательно, одинаково
для всех тел в данном месте. Ускорение свободного падения
уменьшается при подъеме тела над Землей. Вблизи поверхности
Земли {h = 0) \д\ = jM/Щ. Кроме того, Земля имеет не строго
сферическую форму, она несколько сжа-
сжата вдоль оси вращения, поэтому уско-
ускорение свободного падения зависит от
географической широты. Так, у полюсов
о « 9,83 м/с , на экваторе — 9,78 м/с2.
Таким образом, сила тяжести тела
) Ф
тд
1.24. Весом тела называется сила, с
которой тело вследствие его притяжения
к Земле действует на горизонтальную
опору или вертикальный подвес, удержи-
удерживающие тело от свободного падения (на
рис. П.8 Р — вес тела). .
Вес тела — это сила, приложенная не к
телу, а к опоре или подвесу. ^ис- ^ ^
1.25. Тело, лежащее на опоре или подвешенное, оказывает
воздействие на опору или подвес. По III закону Ньютона опора
и подвес должны действовать на тело с такой же силой, с
9 С. В. Трубецкова

130
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
какой тело действует на опору или подвес. Это так называемые
сила нормальной реакции опоры N
(нормальной — то есть направленной
вдоль нормали к поверхности соприкос-
соприкосновения) и сила натяжения подвеса Fu
(рис. П.9).
1.26. На чашечных весах (рис. 11.10 а)
сравнивается масса груза с массой эта-
эталона — гирей. На пружинных весах оп-
определяется вес тела — по растяжению пружины (рис. 11.10 б) или
ее сжатию (рис. 11.10 в). Правда, проградуированы весы в двух
последних случаях в единицах массы, которая пропорциональ-
пропорциональна определяемому весу (т = Р/д)-
>
«
/ /~7 /
>
/ / / /
fmg
t mg
Рис. П.9
77
а б в
Рис. 11.10
1.27. В системе отсчета, связанной с Землей, движется
лифт с ускорением а, направленным вверх
(это равноускоренный подъем или равно-
замедленный спуск — в зависимости от на-
направления скорости) (рис. 11.11). На полу
лифта лежит груз массой т. По II закону
Ньютона для тела можем записать урав-
уравнение
Оё fmg mg + N = та.
Рис- П11 В проекциях на ось Оу это уравне-
уравнение запишется следующим образом: N — тд = та.
Отсюда найдем силу реакции опоры N:
N = тд + та = т(д + а).
>
<
V
^ тд

ОТВЕТЫ 131
По III закону Ньютона сила давления тела на опору (вес
тела) равна по величине силе реакции опоры:
Р = N = тд + та = т(д + а).
Из последней формулы видно, что вес тела Р больше силы тя-
тяжести на величину (та). В таких случаях говорят, что тело
испытывает перегрузку. Если ускорение в к раз больше ускоре-
ускорения свободного падения (а = kg), то
Р = т(д + кд) = тд(к + 1).
Вес тела на Земле Рз — ™9-
Перегрузка показывает, во сколько раз вес тела при равно-
равноускоренном подъеме или равнозамедленном спуске больше веса
тела на Земле:
тд
1.28. В системе отсчета, связанной с Землей, движется лифт
с ускорением а, направленным вниз (это равноускоренный спуск
или равнозамедленный подъем — в зависимости от направления
скорости (рис. 11.12)).
Для тела запишем уравнение по II закону Ньютона:
тд + N = та.
В проекциях на ось Оу это уравнение запишется следующим
образом:
тд — N = та. ~
Отсюда сила реакции опоры
N = тд — та = т(д — а).
По III закону Ньютона вес тела найдем
по формуле
Р = N = тд — та = т(д — a).
у
тд
Из последнего соотношения видно, что в
лифте, движущемся с ускорением, направ-
направленным вниз, вес тела меньше силы тяжести на величину (та).
Если лифт свободно падает, то есть а = д, то
Р = т(д-д)=0.
При таком условии опора с телом не взаимодействует. Это сос-
состояние называется невесомостью.
1.29. Используя рассуждения, аналогичные приведенным в
ответах 1.27 и 1.28, можно показать, что в первом случае вес тела

132
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
будет меньше силы тяжести человека тд, во втором случае —
равен, в третьем случае — больше.
1.30. При движении вверх и вниз.
1.31. Любые изменения формы и размеров тел при действии
сил называются деформациями. Упругие деформации полностью
исчезают после прекращения действия внешней силы (мячик,
стальная линейка, пружина и пр.). Неупругие или пластические
деформации полностью или частично сохраняются после пре-
прекращения действия внешних сил (медная и алюминиевая прово-
проволока, пластилин и пр.).
1.32. Силы, действующие внутри деформированного тела,
приводящие к восстановлению его формы и размера, называются
упругими силами.
Появление упругих сил объясняется наличием между атома-
атомами тела сил взаимодействия. При сжатии тела атомы сближают-
сближаются, силы отталкивания между ними преобладают, что заставляет
атомы разойтись и занять прежние места; это приводит к восста-
восстановлению формы тела. При растяжении тела преобладают силы
притяжения между атомами, которые также приводят к восста-
восстановлению прежней формы и размеров тела. Силы притяжения
и отталкивания между атомами имеют электрическую природу.
Упругими по природе являются рассмотренные ранее сила
натяжения подвеса и сила реакции опоры.
1.33. Все упругие деформации подчиняются закону Гука:
сила упругости, возникающая при деформации, прямо про-
пропорциональна величине этой деформации и направлена в
сторону, противоположную де-
деформирующей внешней силе
(рис. 11.13, FBH — внешняя си-
сила, ^упр — сила упругости):
|Fynp| = -k\Al\.
А/ — вектор перемещения кон-
конца деформированного тела
(пружины) по величине равен
удлинению: |Д/| = |/2 — /i|, h —
начальная длина, l<i — длина
деформированного тела, к — коэффициент пропорциональнос-
пропорциональности, называемый жесткостью. Знак минус указывает на проти-
противоположность направлений векторов Fynp и А/ (рис. 11.13).
УПР2
ВН2
Рис. 11.13

ОТВЕТЫ 133
Размерность жесткости в СИ:
k = \Fynp/Al\; [к] = Н/м.
1.34. Силы трения возникают при движении одного тела по
поверхности другого или при попытке вызвать движение. Если
поверхности тел шероховатые, то при движении выступы одного
тела зацепляются за неровности другого. При этом возникают
упругие деформации тел. Кроме того, в местах, где расстояния
между частицами обоих тел оказываются малыми, проявляет-
проявляется действие сил межмолекулярного взаимодействия. И силы
упругости, и силы межмолекулярного взаимодействия имеют
электрическую природу. Кроме того, силы трения (или сопро-
сопротивления) возникают при движении твердых тел в жидкостях
или газах. Эти силы действуют по всей поверхности тела, нап-
направлены вдоль касательных к его поверхности и зависят от
скорости движения тела.
Сила сопротивления, возникающая при движении тел в
жидкостях и газах, сильно зависит от формы тела и структуры
его поверхности.
1.35. Трение покоя возникает при отсутствии относительно-
относительного движения соприкасающихся тел при попытке вызвать
двиэюение.
Пусть на тяжелое тело, находящееся в соприкосновении с
другим телом, действуют постепенно возрастающей силой F,
параллельной плоскости соприкосно-
соприкосновения (рис. 11.14). При изменении этой | | р
силы от нуля до некоторого значения FTp
движения тела не возникает. Следо- "frTT.
вательно, по I закону Ньютона на Рис. 11.14
тело, кроме внешней силы, все время
должна действовать другая сила, равная по величине силе F и
противоположно ей направленная. Такой силой является сила
трения покоя, которая неоднозначна по величине: при попытке
вывести тело из состояния покоя сила трения покоя меняется
от нуля до некоторого максимального значения FTp.max так же,
как и внешняя сила.
Таким образом, сила трения покоя всегда равна по величи-
величине и направлена противоположно силе, приложенной к телу, и
действует вдоль поверхности соприкосновения с опорой.
Величина максимальной силы трения покоя пропорциональ-
пропорциональна силе нормального давления тела на опору
->

134
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
На рис. 11.15 сила нормального давления N равна составляющей
силы тяжести на нормаль к поверхности соприкосновения тела.
N
тд
N
Рис. 11.15
Из рис. 11.15 а видно, что в случае наклонной плоскости сила
нормального давления N = тд cos а; если тело лежит на гори-
горизонтальной поверхности, то N = тд (рис. 11.15 б). Надо помнить,
что сила нормального давления действует на опору, а не на тело.
Коэффициент пропорциональности // называется коэффициен-
коэффициентом трения. Его величина зависит от состояния соприкасающихся
поверхностей, от материала, качества обработки, наличия между
ними инородных веществ. Коэффициент трения /i — величина
безразмерная.
1.36. Сила трения скольжения — это сила, возникающая при
скольжении одного тела по поверхности другого; направлена
она вдоль поверхности соприкасающихся
v тел в сторону, противоположную перемеще-
перемещению (рис. 11.16).
При решении задач вводят упрощения,
считая, что максимальная сила трения по-
покоя примерно равна силе трения скольже-
скольжения. На самом деле максимальная сила
трения несколько больше силы трения
скольжения. Так для того, чтобы тело
сдвинуть, надо сначала сообщить ему уско-
ускорение. Кроме того, величина силы трения скольжения незна-
незначительно зависит от скорости. Этой зависимостью обычно
пренебрегают. Силу трения скольжения находят по формуле
N = тд
Рис. 11.16

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
135
' тр.
max
Рис. 11.17
1.37. На рис. 11.17 представлена зависимость величины силы
трения от величины внешней силы.
При возрастании внешней силы F ^
от 0 до ^тр.тах тело покоится,
затем начинает двигаться. При F =
= ^тр.тах тело движется равномер-
равномерно, а при F > FTp.max — равноуско-
равноускоренно. Угол наклона начальной час-
части графика к горизонтальной оси
равен 45° (так как пока тело не на-
начало двигаться, величина внешней силы равна величине возни-
возникающей силе трения покоя).
1.38. Неверно, так как для сил тя-
тяготения справедлив III закон Ньютона:
силы, приложенные к каждому из тел,
равны по величине и противоположны
по направлению. Нетрудно с помощью
формулы закона всемирного тяготения
показать, что силы, действующие на каждое из тел, возрастут
в 2 раза (рис. 11.18).
Рис. 11.18
Основные формулы
Условие, соответствующее состоянию покоя или равномер-
равномерного прямолинейного движения (I закон Ньютона),
п
Y,Fi=° (или F1 + F2 + ... + Fn = 0). A.1)
t=i
Условие, соответствующее движению с ускорением (II закон
Ньютона),
(или F± +F2 +... +Fn = та). A.2)
г=1
Равномерному движению вдоль окружности также соот-
соответствует II закон Ньютона, причем ускорение в этом случае
является центростремительным:
п
Y,Fi=ma4, A.3)
г=1
п в A.1), A.2) и A.3) — число действующих на тело сил.

136 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
III закон Ньютона
Fi = -F2, A.4)
F\ и F<z — силы, приложенные к каждому из двух взаимодейст-
взаимодействующих тел.
Сила всемирного тяготения, действующая межу двумя точеч-
точечными телами массами тп\ и Ш2, находящимися на расстоянии г
|i?l = 7^, A.5)
7 = 6,67-10-иН-м2/кг2.
Сила трения скольжения (или максимальная сила трения
покоя)
\FTp\ = n\N\, A.6)
/1 — коэффициент трения, TV — сила нормального давления тела
(по модулю равна силе нормальной реакции опоры в соответст-
соответствии с III законом Ньютона).
Закон Гука:
|F| fc|A/| A.7)
к — коэффициент жесткости (или просто жесткость), |Д/| =
— \h — h\ — величина перемещения конца деформированного
тела (пружины, троса, стержня), которая равна его удлине-
удлинению: 1\ — исходная длина тела, 1<х — конечная. Часто величину
удлинения называют деформацией тела.
Методика решения задач
I. Решение задач на использование законов Ньютона скла-
складывается в основном из следующих этапов.
1. Нужно кратко записать условие задачи, отобразив все
его детали и скрытые данные.
2. Выбрать систему единиц (как правило — СИ) для решения
задачи и перевести все численные данные в эту систему единиц.
3. Сделать рисунок, поясняющий условие задачи, обозначить
векторы скоростей и ускорений; нарисовать векторы всех сил,
действующих на тело или систему взаимодействующих тел в
рассматриваемый момент времени.
При поступательном движении тела все его точки описывают
одинаковые траектории и поэтому реальное тело можно считать
материальной точкой. Все силы, действующие на тело, рисуют
приложенными к выбранной точке (часто это центр симметрии
или центр тяжести тела).

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 137
На любое тело действуют силы со стороны тел, его окру-
окружающих: со стороны Земли действует сила тяжести тд (или
она же выражается в соответствии с законом всемирного тяго-
тяготения A.5)), со стороны опоры всегда действует сила нормаль-
нормальной реакции опоры и сила трения, со стороны подвеса — сила
натяжения (если подвес изменил свою длину, то величина силы
натяжения может быть определена по закону Гука A.7)).
В случае, если имеется система связанных тел, то со сторо-
стороны связи действуют силы натяжения на каждое из тел. Таким
образом, надо помнить, что к рассматриваемому телу приложе-
приложено столько сил, сколько имеется других взаимодействующих с
ним тел.
4. Выяснить, каков характер движения тела, и записать в
векторной форме соответствующий закон Ньютона:
п _+
I закон Ньютона: ^2 Fi = 0 — равномерное прямолинейное
г=1
движение или покой, v = const или v = 0.
п _,
II закон Ньютона: ^2 Fi = та — движение тела с ускорением.
г=1
Надо отметить, что в объеме школьного курса рассматри-
рассматривается равнопеременное движение (а = const), то есть когда
векторная сумма всех действующих на тело сил остается неиз-
неизменной. Если равнодействующая сила меняется, то меняется и
ускорение тела.
Если тело движется равномерно по окружности или по дуге
окружности, то также используется II закон Ньютона, где уско-
ускорение — центростремительное.
5. Перейти от векторной формы записи уравнения динами-
динамики к скалярной. Для этого надо выбрать систему координат,
которую чаще всего связывают с Землей, поместив начало коор-
координат для удобства проектирования сил в место, где в данный
момент находится материальная точка или центр тяжести тела.
Направления осей выбирают так, чтобы уравнения в проекциях
были максимально простыми. В случае покоящегося относи-
относительно Земли тела одну из осей направляют вдоль поверхности
соприкосновения его с другим телом, другую ось — перпендику-
перпендикулярно ей. При равномерном движении тела одну из осей направ-
направляют вдоль траектории движения (вдоль скорости), а другую —
перпендикулярно ей. При движении тела с ускорением по прямо-
прямолинейной или круговой траектории одна ось направляется вдоль
вектора ускорения, другая ось — опять же перпендикулярно ей.

138 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
6. Записать уравнение динамики в проекциях на оси Ох
и Оу. Вместо одного уравнения в векторной форме получаются
два уравнения в скалярной форме (в некоторых случаях для
решения достаточно одной координатной оси):
^ - - l^tiy = may.
г=1 г=1
При этом надо помнить, что если вектор перпендикулярен
оси координат, то его проекция на эту ось равна нулю; если
вектор совпадает по направлению с осью, то его проекция равна
модулю вектора; если вектор направлен противоположно оси,
то его проекция на ось отрицательна по знаку, а величина равна
модулю вектора; если вектор направлен под некоторым углом
к оси координат, то с помощью тригонометрических функций
этого угла надо выразить значение проекции вектора через
этот модуль.
7. В случае, если в задаче рассматривается движение систе-
системы связанных тел, то пункты 3-6 надо выполнить для каждого
из тел системы. Чаще всего в задачах такого типа делаются
следующие допущения:
а) нить невесома — это значит, что ее массой пренебрегают
при составлении уравнений;
б) нить нерастяжима — следовательно, связанные тела име-
имеют одинаковые ускорения.
8. Если число неизвестных окажется больше числа записан-
записанных уравнений в проекциях, то недостающие уравнения берут
из кинематики.
9. Решить систему уравнений в общем виде, получить фор-
формулы для искомых величин.
10. Проверить размерность.
11. Подставить численные значения в формулы для иско-
искомых величин и произвести расчет.
12. Сформулировать и обосновать ответ.
II. В задачах, связанных с нахождением веса тела, необходи-
необходимо помнить, что вес тела Р в соответствии с III законом Нью-
Ньютона по модулю равен силе нормальной реакции горизонтальной
опоры или силе натяжения вертикального подвеса (|Р| = \N\ или
|Р| = |Рн|)? но направлен в противоположную сторону и прило-
приложен не к телу, а к опоре или подвесу (Р = —N или Р = — FH)
(см. ответы на вопросы 1.24, 1.25 и рис. П.8, П.9). Поэтому при

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 139
нахождении веса тела надо составить векторное уравнение, со-
соответствующее состоянию тела (по I или II закону Ньютона).
Найти из уравнений N или Fu и вспомнить про III закон Нью-
Ньютона.
Если в задаче стоит вопрос, с какой силой тело давит на
опору или растягивает подвес, — это тоже соответствует нахож-
нахождению веса тела.
Если тело находится в системе, движущейся с ускорением,
то оно может испытывать перегрузки. Перегрузка — это состо-
состояние, когда вес тела в данной системе больше веса тела на Земле.
Если вес тела в системе Р = т(д + а), а на Земле Рз — га9-) то
перегрузка П = Р/Р3 = (9 + а)/д
(см. ответ на вопрос 1.27).
В ряде задач требуется найти условия, при которых тело
будет находиться в невесомости. Невесомость — это состояние,
при котором тело не взаимодействует с опорой и, следователь-
следовательно, величина силы реакции опоры равна нулю. При этом в урав-
уравнении закона Ньютона положить N = О или Fu = О и решить
задачу относительно интересующего параметра (см. ответ на
вопрос 1.28).
III. Задачи на использование закона всемирного тяготения
бывают двух типов.
1. В задачах, связанных с вычислением ускорения свобод-
свободного падения на некоторой высоте h от поверхности планеты
массой М и радиусом /?, используется то, что сила тяготения
является силой тяжести:
тМ
Отсюда о
M/(R + hJ (a)
Для вычисления ускорения д на поверхности планеты в
этой формуле полагаем h = О, то есть
g = ^M/R2. (б)
Эти же соотношения используются и в обратных задачах
(то есть нахождение высоты по известному значению ускорения
свободного падения).
2. В задачах, связанных с вычислением линейной скорости
вращающихся космических тел и с определением параметров
их вращательного движения (периода вращения Т, частоты v^
круговой частоты cj, линейной скорости вращениям), исполь-

140 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
зуется то, что сила тяготения в этом случае играет роль цент-
центростремительной силы:
,_, тМ
г
тМ
(в)
г
Отсюда
ац — центростремительное ускорение, г — радиус орбиты. Па-
Параметры, характеризующие вращательное движение, вводятся
в последнюю формулу из кинематики.
В ряде задач на вращение спутников около Земли дается ее
радиус, но не дается масса Земли. В таких случаях удобно для
расчетов из соотношения (б) выразить произведение:
7м = 5/г|, (г)
д — ускорение свободного падения на поверхности Земли (д «
« 9,8 м/с2, Rs — радиус Земли).
Примеры решения задач
1. Тело массой 2 кг лежит на горизонтальной поверхности.
Какую по величине горизонтальную силу надо приложить к
телу, чтобы оно стало равномерно двигаться? Коэффициент
трения равен 0,01.
На тело действуют силы: сила тяжести тд,
сила нормальной реакции опоры TV, внешняя си-
сила F, сила трения FTp (рис. 11.19).
В этой и последующих задачах (если нет спе-
специальных оговорок) систему координат свяжем с
Землей, а начало координат с положением центра
тяжести тела в начальный момент времени. То есть с течением
времени движущееся тело меняет свое
положение относительно системы коор-
динат. Ось Ох направим вдоль вектора
скорости, ось О у — вертикально вверх.
Так как скорость постоянна, то I за-
кон Ньютона для данной задачи имеет
та
ВИД _ _
Рис. 11.19 mg + N + F + FTp = 0.
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси Ох и О у:
т =
V =
F-
= 2 кг
const
0,01
?
тр

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
141
(а)
(б)
на ось Ож: 0 + 0 + F - FTp = О,
на ось Оу: — тд + TV+ 0 + 0 = О,
fF-FTp = O,
[N -7710 = 0.
Из уравнения (а) следует, что F = FTp. Так как FTp =
то F = /iN. Найдем N из уравнения (б): N = тд. Следова-
Следовательно
F = цтд; [F] = кг- (м/с2) = Н; F = 0,196 Н.
2. Магнитный брусок массой 400 г прилип к вертикальной
железной стенке. Коэффициент трения бруска при перемеще-
перемещении по этой стенке — 0,098. Найдите величину силы магнитного
притяжения.
т = 0,4 кг
// = 0,098
На брусок действуют силы: сила магнитно-
магнитного притяжения FM, сила тяжести тд, сила тре-
трения FTp, сила нормальной реакции опоры TV
(рис. 11.20). Так как брусок покоится, то запишем
I закон Ньютона:
В проекциях на оси выбранной системы координат это урав-
уравнение запишем следующим образом:
на ось Ox: FM - N = 0,
на ось Оу: FTp — тд = 0.
Добавим к этим двум уравнениям, кото-
которые содержат неизвестные FM, TV, FTp,
выражение для силы трения:
FTp = /iN.
Решив систему уравнений, получим
^м = гпд/ц; [FM] = кг • м/с2 = Н;
FM = 40H.
F
N
У>
гр t
О
X
X
X
\ X
х
X
\
Рис. 11.20
3. Трамвайный вагон движется по горизонтальному пути
со скоростью 6 м/с. Каков должен быть коэффициент трения,
чтобы остановить вагон на расстоянии 10 м?

142
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
^0 =
V =
s =
ц-
= 6
о
10
?
м/с
м
На вагон действуют силы: сила тяжести тд,
сила нормальной реакции опоры N, сила тре-
трения FTp (рис. 11.21).
Ось Ох направим вдоль вектора ускорения,
ось Оу — вертикально вверх.
Так как вагон перед остановкой движется равнозамедленно,
то применим II закон Ньютона. Для данной задачи в векторной
форме он имеет вид
тд + N + FTp = та.
Запишем это уравнение в проек-
проекциях:
на ось Ox: FTp = та,
на ось Оу: N — тд = 0.
Добавим к имеющимся уравнения
формулу для силы трения, FTp =
= /iN, и формулу из кинематики, связывающую данные задачи
и ускорение:
v2-vl = ±2as.
С учетом условий задачи получим
„2 _
У *
i
О*
////¦¦ / / / / / /
>
f тд
Рис.
ТТ.
<—
FT
V
а
>•
o , или vo=2as.
Теперь имеем систему четырех уравнений:
FTp = та,
N = тд,
FTp = /iN,
^Vq = 2as.
При решении этой системы масса сократится, и получится
формула для коэффициента трения:
М
= 1;
с -м/с ) -м
Получили, что /1 — безразмерная величина, как и должно быть:
// = 0,18.
4. С какой силой надо тянуть сани массой 50 кг за веревку,
которая расположена под углом 60° к горизонту, если коэффи-
коэффициент трения полозьев о снег 0,1? Движение равномерное.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
143
т = 50 кг
« = 60°
На сани действует сила тяжести тд, сила
реакции опоры N, внешняя сила F, сила тре-
трения FTp (рис. 11.22).
р _7 Ось Ож направим вдоль вектора скорости,
ось Оу — вертикально вверх.
Так как скорость постоянна, то используем I закон Ньютона.
В векторной форме для данной задачи запишем его следую-
следующим образом:
= 0.
Это уравнение запишем в проекциях:
на ось Ох: 0 + 0 + Fx - FTp = 0,
на ось Оу: -тд + N + Fy + 0 = 0,
Fx и Fy — проекция силы F на соответствующие оси. Из
рис. 11.22 видно, что Fx = F cos се и Fy = F sin се; кроме того,
•Тогда rFco8a_/JjN = 0^ (a)
\ F sin а - тд + N = 0. (б)
Решив полученную систему уравнений, найдем силу F:
т = кг_м = н. F = 83^5 н_
FTp =
F =
ц sin a + cos a
1
Ftp
//¦¦'// / / /
У *
N *
о
>
7
/а
!
1
^FX
У / / / / / / / / ¦¦' / / /
1 тд
т9) у
тд
Рис. 11.22
Рис. 11.23
5. Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с укло-
уклоном 30° под действием силы тяги 7 кН. Коэффициент трения
между шинами автомобиля и поверхностью шоссе равен 0,1.
Найдите ускорение автомобиля.
На автомобиль действует сила тя-
тяжести тд, сила реакции опоры N, сила
тяги F, сила трения FTp (рис. 11.23).
Ось Ох направим вдоль вектора ус-
ускорения, то есть вдоль наклонной плос-
плоскости, ось Оу — перпендикулярно ей.
т
F
а
а-
= 1т =
= 7кН
= 30°;
= 0,1
_?
103
= 7-
кг
103 Н

144 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
Запишем II закон Ньютона в векторной форме:
тд + N + F + FTp = та.
Запишем это уравнение в проекциях на оси Ох и Оу:
на ось Ox: —(mg)x+0 + F — FTp = ma,
0
на ось Оу: —(
и (тд)у — проекции силы тяжести на оси Ох и Оу.
Надо помнить, что составляющая силы тяжести на нормаль
к поверхности (тд)у равна силе нормального давления тела на
поверхность. Сила реакции опоры TV, которая действует на тело,
равна по величине в соответствии с III законом Ньютона силе
нормального давления и противоположно ей направлена.
Из рис. 11.23 видно, что (тд)х = mgsma и (тд)у = тд cos a.
Кроме того, FTp = /iN.
С учетом этого система уравнений (а) будет иметь вид
{F — тд sin a — jiN = та,
N — тд cos a = 0.
Решая эту систему уравнений, найдем ускорение автомобиля:
F — тд (sin а + /л cos a)
а = 5
т
г 1 Н- кг -м/с2 кг-м /2 Л о / 2
[а] = — = -5 = м/с ; а = 1,2 м/с .
кг с • кг
6. Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, прик-
прикреплен к потолку вагона, движущегося с ускорением 0,98 м/с2
относительно Земли. Найдите угол наклона нити к вертикали.
а = 0,98 м/с2 1спосо6
Решим задачу в инерциальной системе от-
отсчета хОу, связанной с Землей, относительно
которой точка подвеса и сам шарик движутся с ускорением. На
шарик действуют две силы: сила тяжести тд и сила натяжения
нити Fu (рис. 11.24). Равнодействующая этих сил должна быть
направлена вдоль ускорения.
Запишем II закон Ньютона для данной задачи:
FH + mg = та.
Ось Ох направим вдоль ускорения а, ось Оу — вертикально
вверх.
а — <

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
145
J
о
У
г Ну i
0
ъ
' тд
а
V
X
О
динат:
(а)
Рис. 11.24
Запишем это уравнение в проекциях на оси системы коор-
на ось Ox: FHX = та,
на ось Оу: Fuy — тд = 0.
Из рис. 11.24 видно, что Fnx = FHsin«, FHy = Fncosa.
Система уравнений (а) с учетом этого запишется следую-
щим образом: rFlisma = ma,
\ FHcosa = тд.
Поделив первое уравнение системы на второе, получим
tga = а/д = ОД; а = arctgO,l « 6°.
II способ
Решим задачу в системе отсчета, связанной с вагоном х'О'у'
(рис. 11.25). Эта система уже не является инерциальной, так как
она движется относительно Земли с ускорением.
Fu
О
У''
Риу.
FuA
—ж !
л
' тд
а
V
х'
о
Рис. 11.25
I и II законы Ньютона выполняются в инерциальных систе-
системах отсчета. В школьном курсе физики рассматриваются только
10 С. В. Трубецкова

146 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
силы взаимодействия тел, то есть всегда можно указать, со сто-
стороны каких тел оказывается воздействие на рассматриваемое
материальное тело.
При подобном разборе вопросов о перегрузке и невесомости
мы говорили, что вес тела может быть больше или меньше силы
тяжести (см. ответы к вопросам 1.27 и 1.28). Тело, находящееся
в движущемся с ускорением лифте, относительно лифта поко-
покоится (то есть силы, действующие на него, должны быть равны).
Но сила тяжести, действующая на тело, не равна силе реакции
опоры, приложенной к тому же телу (если ускорение направлено
вверх, то N > тд] если же ускорение направлено вниз, то N <
< тд — см. рис. 11.11 и 11.12). Это значит, что в неинерциальной
системе в первом случае к силе тяжести надо прибавить какую-
то силу, а во втором — вычесть. Такой силой является сила
инерции. Мы ранее разбирали вопрос о том, что тело препятст-
препятствует изменению скорости (инертность тела), и эта способность
зависит от свойства тела, называемого массой.
Сила инерции FHH = —та, т — масса тела, а — ускорение
системы, относительно которой рассматривается движение те-
тела; направлена сила инерции противоположно ускорению сис-
системы.
В соответствии с вышеизложенным для нашей задачи надо
считать, что к шарику приложена, кроме силы тяжести и силы
натяжения, еще сила инерции: FHH = —та, которая стремится
сохранить неизменным положение шарика относительно сис-
системы у101 х1, связанной с вагоном (рис. 11.25).
Шарик относительно вагона покоится, поэтому векторная
сумма всех сил, в том числе и силы инерции Рип, должна быть
равна нулю:
F + F
В проекциях на оси системы координат х'О'у' это уравнение
запишется следующим образом:
наось Ож: Fux — FHH = 0, (Fusina =
или <
наось Оу: Fny 0 [F
Получаем тот же результат, что и при решении первым спосо-
tga = - = ОД; а = arctg(J,l « о .
7. Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверх-
поверхности под действием груза массой 5 кг, прикрепленного к концу

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
147
mi
m2
» =
a —
F-
=
=
0
?
?
2
5
,1
кг
КГ
нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок.
Коэффициент трения бруска о поверхность 0,1. Найдите уско-
ускорение движения тела и силу натяжения нити. Массами блока и
нити, а также трением в блоке пренебречь.
Имеем систему двух связанных тел. Запи-
Запишем уравнения движения для каждого тела от-
отдельно.
На брусок действуют сила тяжести т\д, си-
сила нормальной реакции опоры TV, FHi — сила
натяжения нити, FTp — сила трения (рис. 11.26).
Так как система движется с ускорением относи-
относительно Земли, то можно записать II закон Ньютона для бруска:
mg + N + FHi + FTp = m\a\.
Систему координат свяжем с Землей, ось Ох направим вдоль
вектора ускорения ai, ось Оу — вертикально вниз.
Запишем для бруска систему уравнений в проекциях на оси:
наось Ож: FHi — FTp =
на ось Оу: т\д — N = 0,
где FTp =
N
мтр
О
77110
ИЛИ
Fni —fimig = mia2. (a)
На груз действуют сила тя-
тяжести т2д, сила упругого натя-
натяжения нити FH2 • Векторное урав-
уравнение для груза имеет вид
ах
Fm
а
\а2
а
Рис. 11.26
В проекциях на ось Оу это уравнение запишем следующим
образом (на ось Ох проекции векторов д, Fu2 и а2 равны нулю):
m2g — Fu2 = m2a. (б)
Так как по условию задачи нить является нерастяжимой, то
Также по условию задачи пренебрегаем массами блока и нити,
следовательно,
ю*

148
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
В последующих задачах можно учитывать сразу, что ускорения
одинаковы для обоих грузов и одинаковы силы натяжения
каждой нити. Учитывая это, объединим уравнения (а) и (б) в
lm2#-FH = m2a.
Сложив почленно уравнения системы, можно найти а:
(т2 — /imi) g = (mi + 7712)^,
а =
а =
кг-м
= м/с
771i
2
кг-с
а = 1,2 м/с .
Найдем величину FH из уравнения (б):
Fu = m2(g-a), [FH] = ^^ = Н;
H = 4,3H.
8. Два груза массами 3 и 6,8 кг висят на концах нити, пе-
перекинутой через блок. Первый груз находится на 2 м ниже вто-
второго. Грузы пришли в движение без начальной скорости. Через
какое время они окажутся на одной высоте?
На каждый из грузов действует кроме силы
тяжести сила натяжения нити (рис. 11.27).
Запишем уравнения по II закону Ньютона
для обоих грузов:
FHi + miff = miai, Fh2 + m2g = m2a2.
Учитывая, что |ai| = \a2\ = а и |FHi| =
= |FH2| = FH, можно записать эти векторные уравнения в про-
проекциях на ось Оу:
mi
т2
1 =
vq --
t-
2
= 3
= 6
м
0
кг
,8 кг
^т2д
Рис. 11.27

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
149
{FH-m2g = -m2a.
Решая эту систему, можно получить формулу для ускорения:
а = д(т2 — mi)/(mi + т2); [а] = м/с ; а = 3,8 м/с .
Из рис. 11.27 видно, что до момента, когда грузы окажутся на
одной высоте, каждый из них пройдет путь s = 1/2 = 1 м. Учи-
Учитывая, что г>о = 0, найдем искомое время:
= at2/2;
? = 0,7 с.
9. Найдите силу натяжения нити в устройстве, изображен-
изображенном на рис. 11.28, если массы тел 100 и 300 г. Найдите ускорения
каждого груза. Пусть блоки и нити невесомы, а нить нерастя-
нерастяжима.
Данная система представляет собой сово-
совокупность неподвижного Л и подвижного В
блоков. Так как т2 > mi, блок В равноуско-
равноускоренно опускается вместе с грузом. Запишем
уравнения по II закону Ньютона для первого
и второго тел:
mi = 0,1 кг
ГП2 = 0,3 КГ
2Fn + m2g = m2a2.
В проекциях на ось Оу эти уравне-
уравнения запишутся следующим образом:
77110
{2Fn-m2g = -m2a2.
Ускорения а\ и а2 неподвижного и
подвижного блоков разные, так, если
первое тело поднимается на высоту /ii,
то второе тело опускается за то же вре-
время на расстояние h2: h2 = h\/2. Так
как пройденные пути пропорциональ-
пропорциональны ускорениям (s = а?2/2), то h\/h2 =
= а\/а2 = 2, то есть а\ = 2а2.
Решая с учетом последнего соотношения систему уравнений,
получаем _, 1/л ч
FH = Ът\т2д / Dmi + ш2);
[FH] = кг • кг • м/(с2 • кг) = Н; FH = 1,26 Н;
Рис. 11.28

150
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
= 2(га2 - 2mi) g/'Dmi + га2);
[ах] = м/с2;
[а2] = м/с2;
= 5,6 м/с ;
= 2,8м/с2.
10. Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущем-
движущемся вертикально вверх с ускорением 1 м/с2. Определите силу
давления человека на пол кабины. Какую перегрузку испыты-
испытывает человек?
На человека действуют сила тяжести тд и
сила нормальной реакции опоры TV (рис. 11.29).
Ускорение направлено вверх. Запишем для че-
человека уравнение II закона Ньютона в вектор-
векторной форме: ^
тд + N = та.
Ось у свяжем с Землей, направим вертикально вверх (для
данного случая достаточно одномерной системы координат).
В проекциях это уравнение запишет-
га
а
П
= 70
= 1 м
'_"/
кг
/с2
N
t mg
ся так:
откуда
/V — тд = та,
= тд + та = т(д + а).
Но в задаче требуется найти силу дав-
давления человека на пол. Эта сила равна по
величине, противоположна по направле-
направлению силе нормальной реакции опоры N
и приложена к опоре (по III закону Нью-
Ньютона):
F N
ис' ' Если бы в задаче требовалось найти
вес человека в лифте, то она решалась бы точно так же, посколь-
поскольку вес тела — это сила, с которой оно действует на горизонталь-
горизонтальную опору или вертикальный подвес в результате притяжения
к Земле. То есть вес человека в данном случае Р = F^ = 770 Н.
Сравнивая с величиной силы тяжести (тд = 700 Н), видим, что
при данном движении вес больше силы тяжести, то есть чело-
человек испытывает перегрузку:
т(д + а) д-
П =
= 1,1.
тд д
11. Определите силу давления летчика на сиденье в верхней
и нижней точках петли Нестерова, если масса летчика га, а

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
151
радиус петли R. Скорость самолета считать постоянной и рав-
равной v. При какой скорости vq летчик в верхней точке будет
находиться в невесомости?
т
R
v
F2-?
На летчика действуют сила тяжести тд и сила
реакции опоры TV (рис. 11.30). Траекторией движе-
движения является окружность; запишем II закон Ньюто-
Ньютона (формула A.3)):
тд + N = тац, (а)
где ац — центростремительное ускорение. Ось Оу
направим вертикально вниз. Уравнение (а) в проек-
проекциях на эту ось запишется следующим
образом:
TVi + mg = шйць
Для нижней точки 2 уравнение (а) в
проекциях имеет вид
-N2 + mg = -таЦ2.
Выразим TVi и N2 учитывая, что
\a4i\ = \ац2\ = v2/R;
N2 = m(v21 R + g).
Сила давления летчика на сиденье
по III закону Ньютона равна по вели-
величине силе реакции опоры и противоположна ей по направлению:
Так как в состоянии невесомости N = 0, то из уравнения
динамики для верхней точки 1 получим:
Отсюда
тд =
или д = ац.
= \fgR-
12. Небольшой тяжелый шарик подвешен на нерастяжимой
и невесомой нити, длина которой 50 см. Шарик движется рав-
равномерно по окружности в горизонтальной плоскости, при этом
нить отклоняется от вертикали на угол 30°. Найдите время од-
одного оборота шарика.

152
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
= 0,5 м
= 30°
Т — ?
На шарик действуют сила тяжести тд и сила
натяжения нити FH (рис. 11.31). Движение по ок-
окружности соответствует II закону Ньютона:
FH + mg = та. (а)
Систему координат, как и в предыдущих задачах, свяжем с
Землей, начало координат совмес-
совместим с каким-либо мгновенным по-
положением шарика (например, как
на рис. 11.31).
Ось Ох направим вдоль цент-
центростремительного ускорения, т. е.
вдоль радиуса к центру, ось Оу —
^, вертикально вверх. Запишем век-
.---'' торное уравнение (а) в проекциях:
на ось Ox: Fnx+0 = тац,
на ось Оу: FHX — тд = 0.
' тд
(б)
Рис. 11.31
Из рисунка видно, что
Fuy = Fucosa.
Перепишем с учетом этого систему (б):
{Fnsina = тац,
FHcosa = тд.
Поделим почленно первое уравнение на второе:
Выразим центростремительное ускорение через период и под-
подставим в полученную формулу:
R — радиус окружности; из чертежа видно, что R = /since. Тогда
tga = 4,7r2lsina/(T2g).
Отсюда
= 2тг
= 2тг
= 1,32с.
13. Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окруж-
окружности радиусом 40 м. Под каким углом к горизонту он должен
наклониться, чтобы сохранить равновесие?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
153
V =
R =
a —
10
40
?
M/
M
с
На конькобежца действуют силы: сила тя-
тяжести тд, сила нормальной реакции опоры TV,
сила мышечной тяги конькобежца, сила тре-
трения скольжения и сила трения, препятствующая
скатыванию конькобежца с траектории, FTp (рис. 11.32). Если
сила трения мала, то конькобежец падает
и скатывается с траектории по направле-
направлению от центра; поэтому для движения по
окружности сила трения, направленная
к центру, должна иметь достаточное зна-
значение. Сила мышечной тяги и сила тре-
трения скольжения взаимно уравновешивают
друг друга, так как движение конькобежца
вдоль траектории равномерное. Поэтому
в дальнейшем мы их рассматривать не
будем. Угол наклона конькобежца к зем-
земле должен быть таким, чтобы равнодейст-
равнодействующая FTp и TV проходила через центр
тяжести тела (точка О). При этом усло-
условии конькобежец не будет поворачиваться относительно точки
опоры. То есть, если угол наклона больше, чем нужно при дан-
данной скорости, конькобежец упадет, если меньше, то уменьшится
скорость, если выпрямится, то поедет прямолинейно. Из рис. 11.32
видно, что
tga =
N
тр
(а)
Перенесем все силы, действующие на конькобежца, в центр
его тяжести и запишем II закон Ньютона:
N + FTp + тд = тац. (б)
Начало системы координат поместим в центр тяжести О,
ось Ох проведем вдоль вектора центростремительного ускоре-
ускорения, ось Оу — вертикально вверх. Запишем векторное уравне-
уравнение (б) в проекциях на оси:
на ось Ox: FTp = таЦ1
на ось Оу. N — тд = 0.
(в)
Из первого уравнения системы (в) видно, что сила трения
является центростремительной силой (FTp = тац = Fjj). Она
направлена по радиусу к центру дуги и не дает конькобежцу
соскользнуть в сторону, противоположную его наклону. Из вто-

154
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
рого уравнения системы получим: N = тд. Подставим все это в
gR
¦ I'( 1 |.М I V =
таи аи R
/ \ rnQ Q гтп ^2 QR
уравнение (a): tga = = —. 1ак как ац = —, то tga = —.
ТПСЬ СЬ Г1 V
[tga] = —9 9 = 1;
с
9 9
см
ц СЬц
tga = 4;
a = arctg 4 « 76°.
14. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение
свободного падения равно 1 м/с2? Радиус Земли 6400 км, уско-
ускорение свободного падения у поверхности Земли 9,8 м/с2.
gh = 1 м/с2
м
= 9,8 м/с2
Сила тяжести есть сила, с ко-
которой тело притягивается к Земле
вследствие действия закона все-
всемирного тяготения:
тМ
= 7"
m — масса тела, М — масса Земли,
+ hJ. (a)
В условии задачи не дана масса Земли. Ее можно найти
следующим образом. Силу тяжести тела на поверхности Земли
(h = 0) также можно записать, как силу тяготения (с. 139, 140):
mg = jmM/ Щ.
Отсюда можно найти сразу произведение
Тогда соотношение (а) запишется так:
g
Отсюда
h = Дз(д/91'9h — 1); [h] = м
= м;
h = 13600 км.
15. Средняя высота спутника над поверхностью Земли —
1700 км. Определите его скорость и период обращения. Радиус
Земли — 6400 км.
В соответствии с предложенной методи-
h = 1700 км кой (с. 140) запишем:
R3 = 6400 км тМ
тац = 7"
v — (
Т — ?
m — масса спутника, М — масса Земли,
(R3 + К) — радиус орбиты спутника. С уче-
учетом формулы для центростремительного ускорения получим

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
155
= 7
М
о
v =
Так как масса Земли в условии не дана, воспользуемся тем
же приемом, что и в предыдущей задаче для нахождения про-
произведения
д — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Тогда
и
м
М = м
= м/с; v = 7,1 • 103 м/с.
Для нахождения периода воспользуемся связью между v и Т:
v = 2тг(Я3 + h)/T; Т = 2tt(R3 + h)/v;
/с
с.
16. Время обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз
больше времени обращения Земли. Каково расстояние от Юпи-
Юпитера до Солнца, если расстояние от Земли до Солнца 150 • 106 км?
Орбиты считать круговыми.
Так как в условии дана связь между
периодом Юпитера и Земли, то запишем
для каждой из планет соотношение (в)
(с. 140):
М3^ МзМс мю^
7~ьо
R3-_
= 1,
Rk>
5
Тс =
150-
•1011
¦ ?
= 12
106
м
кг
км =
лз
л
Произведем сокращения:
ю
л
ю
Выразим скорость через период: г; = 2тт/?/Т, тогда
Поделим первое уравнение на второе:
Отсюда
тз Ею
2;
= Gз/ТюJ;

156
1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
= м; Яю ~ 7,86 • 10й м.
17. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке тра-
траектории, соединяющей центры Земли и Луны, ракета будет
притягиваться Землей и Луной одинаково? Масса Луны —
7,3 • 1023 кг, масса Земли — 5,96 • 1024 кг, расстояние между цент-
центрами Земли и Луны — 3,84-105 км.
Пусть х — расстояние от ракеты до
центра Луны. Тогда расстояние от ра-
ракеты до центра Земли равно (г — х)
(рис. 11.33).
Сила притяжения ракеты Землей
F3 = jmM3/(r-xJ,
а Луной
= 7,3-1023кг
М3 = 5,96-1024кг
г = 3,84-105 км
х — <
(гп — масса ракеты).
нл
Рис. 11.33
По условию задачи F3 = Fj\. Поэтому
тМд
(г — х)
Произведя сокращение, получим:
М3 _ Мл
(г — х
2 х2
л
Найдем х:
х2М3 = (г-хJМл; л/х'2М3 = л/(г-хJМл;
хл/Щ= (г-х)УМл; х(л/Щ+л/МЛ) = г л/Мл;
х = —
= м;
ж^0,99-108
км.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
157
18. Какова первая космическая скорость для планеты с та-
такой же плотностью, как у Земли, но вдвое меньшим радиусом?
Радиус Земли — 6400 км, ускорение силы тяжести у поверхнос-
поверхности Земли взять равным 9,8 м/с2.
Первой космической скоростью называет-
называется скорость, которую надо сообщить телу,
чтобы оно превратилось в спутник Земли или
другой планеты и двигалось по окружности,
центр которой совпадает с центром планеты.
Радиус орбиты примерно предполагается
равным радиусу планеты (то есть h <C Rn).
Центростремительной силой в этом случае является сила тяго-
тяготения: 9
Рп = Рз
Rn = Яз/2
R3 = 6400 км
д = 9,8 м/с2
таи =
= 7"
тМ
R ' R2
где т — масса тела, М — масса планеты.
Как показано в задачах 12, 13, произведение G^) —
С учетом этого получим выражение для 1-й космической ско-
скорости:
Запишем полученное выражение для указанной планеты и
Земли:
Поделим v\u на v\^ и произведем преобразования:
В соответствии с предложенной выше методикой (с. 140) за-
запишем формулы для ускорения свободного падения на поверх-
поверхности планеты и Земли:
С учетом этого получим
Выразим массу планеты и Земли через плотность и радиус:
4 q 4
Г\ ¦
н 3

158 1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
Произведя преобразования и учтя условия задачи, получим:
- = # = 0'5-
ЩЗ R3
Отсюда первая космическая скорость планеты
vln = 0,5^i3 = 0,5л/#з7гз;
[v\n] = i/m2/c2 = м/с; v\n w 4000 м/с.

2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Содержание теоретического материала
Импульс силы и импульс тела. Закон сохранения импульса.
Механическая работа. Мощность. Кинетическая энергия. Потен-
Потенциальная энергия тела, поднятого над землей. Потенциальная
энергия деформированного тела. Закон сохранения механичес-
механической энергии.
Контрольные вопросы
2.1. Какие тела представляют собой систему?
2.2. Какие силы называются внутренними, какие внешними?
2.3. Какая система тел называется замкнутой?
2.4. Что такое «импульс силы»?
2.5. Что такое «импульс тела» или «количество движения»?
2.6. Получите из II закона Ньютона связь между импульсом
силы и импульсом тела.
2.7. Какое взаимодействие тел называется ударом?
2.8. Какой удар называется абсолютно неупругим, какой
абсолютно упругим?
2.9. Получите закон сохранения импульса.
2.10. В чем заключается принцип реактивного движения?
Как он следует из закона сохранения импульса?
2.11. Усилий нескольких человек достаточно, чтобы сдви-
сдвинуть с места автобус (увеличить его импульс). Почему этот же
автобус не сдвигается с места от попадания снаряда, пробиваю-
пробивающего его навылет, то есть действующего с силой, значительно
большей, чем сила, прилагаемая людьми?
2.12. Как может человек, стоящий на идеально гладкой ле-
ледяной горизонтальной площадке, сдвинуться с места, не упираясь
острыми предметами в лед?

160 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
2.13. Что произойдет, если надутый резиновый шар, не за-
завязывая отверстие, выпустить из рук?
2.14. Герой книги Э. Распе барон Мюнхгаузен рассказывает:
«Схватив себя за косичку, я изо всех сил дернул вверх и без
большого труда вытащил из болота себя и своего коня, которого
крепко сжал обеими ногами, как щипцами». Можно ли таким
образом поднять себя?
2.15. Что называется механической работой? Какая фор-
формула выражает смысл этого понятия? Какова единица работы
в СИ?
2.16. Какова работа силы тяжести при одном полном коле-
колебании маятника?
2.17. Тело свободно падает с некоторой высоты. Одинаковую
ли работу совершает сила тяжести за равные промежутки вре-
времени?
2.18. Представим себе, что к центру Земли прорыли шахту.
Какую работу надо совершить, чтобы вытащить тело массой 1 кг
из центра Земли на поверхность? Радиус Земли — 6400 км. Чему
равна работа силы тяжести?
2.19. Что такое мощность? Единицы ее измерения.
2.20. Как связана мощность механизма с величиной разви-
развиваемой силы тяги?
2.21. Что характеризует коэффициент полезного действия?
2.22. Единицу какой физической величины выражают в
киловатт-часах?
2.23. Если на тело действует нескомпенсированная сила, то
оно движется с ускорением, то есть изменяет свою скорость.
Как связана работа внешней силы с изменением скорости?
2.24. Чему равна работа силы тяжести при движении тела в
результате ее действия (движении по вертикали)?
2.25. Чему равна работа силы тяжести, если тело движется
не по вертикали, а, например, вдоль наклонной плоскости или по
более сложной траектории?
2.26. Чему равна работа силы тяжести при движении тела
по замкнутой траектории?
2.27. Чему равна работа силы упругости при ее действии на
деформированную пружину или другое упругое тело?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 161
2.28. Что называют энергией?
2.29. Какие виды энергии входят в понятие механической
энергии?
2.30. В чем заключается закон сохранения механической
энергии? При каком условии он выполняется?
2.31. Что происходит с механической работой тела при
действии на него внешних сил?
2.32. Выполняется ли закон сохранения энергии в случаях
абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара?
2.33. Тело брошено вертикально вверх с начальной ско-
скоростью г>о- Начертите на одной координатной плоскости гра-
графики зависимости от времени кинетической, потенциальной и
полной механической энергии (силами сопротивления воздуха
пренебречь).
2.34. Два автомобиля с одинаковыми массами движутся со
скоростями v и 2v относительно Земли. Чему равна кинетиче-
кинетическая энергия второго автомобиля в системе отсчета, связанной
с первым автомобилем, если они: 1) движутся в одном направ-
направлении; 2) навстречу друг другу?
2.35. Может ли совершать работу
сила трения скольжения? Сила трения
покоя?
2.36. Тело массой т равномерно
поднимают по путям I, II, III на высо-
высоту Н (рис. 11.34). По какому пути совер-
совершается большая работа? Какая энергия
изменилась в процессе подъема? Чему
равна величина совершаемой работы?
2.37. Ледокол колет только тонкий лед. В иных случаях он
вползает на ледяное поле и проваливает его. За счет какого вида
энергии в этом случае разрушается лед?
2.38. За счет какой энергии увеличивается скорость стрелы,
вылетающей из лука?
2.39. С вышки бросают большой надувной шар так, что
один раз ему сообщают начальную скорость, направленную
вертикально вверх, а другой раз — такую же скорость, но нап-
направленную вертикально вниз. В каком случае в момент уда-
удара шара о Землю его вертикальная скорость будет больше?
11 СВ. Трубецкова
о Рис. 11.34

162 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
2.40. Можно ли поднять с Земли тело, приложив к нему
силу, равную силе тяжести?
Ответы
2.1. Группа тел, движение которых рассматривается одно-
одновременно и взаимосвязанно, называется системой. Например,
Солнце и планеты образуют солнечную систему; любое тело
вблизи Земли и Земля составляют систему; любые два или
больше взаимодействующих тел также образуют систему.
2.2. Тела, составляющие систему, могут подвергаться дейст-
действию различных сил. Силы, создаваемые телами, принадлежащи-
принадлежащими к одной системе, называются внутренними силами системы.
Силы, действующие со стороны тел, не принадлежащих к рас-
рассматриваемой системе, называются внешними силами.
2.3. Если на систему тел не действуют никакие внешние
силы, или действие внешних сил скомпенсировано, то такая
система тел называется замкнутой или изолированной.
2.4. Импульсом силы называется временная характеристи-
характеристика ее действия, равная произведению силы на время ее дейст-
действия: Ft.
2.5. Импульсом тела (или количеством движения) называ-
называется произведение массы на скорость тела: т • v.
2.6. Используя основную формулу для ускорения (а =
= (г?2 — vi)/t) и И закон Ньютона, можно получить
F = m(v2-v1)/t,
v\ — скорость тела массой т в начале действия силы, щ —
скорость тела спустя время t после начала ее действия:
Ft = mv2 — mv\, Ft = A(mv).
Получили, что импульс действующей на тело силы равен
изменению импульса тела и имеет одинаковое с ним направле-
направление. Это соотношение иногда называют законом изменения им-
импульса; оно является просто другой формой записи П-го закона
Ньютона.
2.7. Столкновением, или ударом называется любое кратко-
кратковременное взаимодействие тел. При этом не обязательно, чтобы
тела касались друг друга. Так, например, говорят о соударении
молекул, хотя они взаимодействуют, находясь на достаточно
большом расстоянии, и это взаимодействие осуществляется пос-

ОТВЕТЫ 163
редством электрических полей. При столкновении предполага-
предполагается, что силы взаимодействия между телами так велики, что
можно пренебречь всеми другими силами.
2.8. При ударе оба тела деформируются, скорости тел из-
изменяются под действием сил упругости. Когда скорости тел
сравняются, их взаимодействие, а следовательно, и деформации
прекращаются. Неупругий удар на этом заканчивается. Абсолют-
Абсолютно неупругим называется удар, в результате которого возникшие
в телах деформации полностью сохраняются и после удара тела
движутся как единое целое (с одинаковой скоростью).
Если же взаимодействуют два упругих тела, то возникшие
при ударе силы упругости восстанавливают полностью форму
и размеры тел; при этом силы упругости сообщают ускорения
телам. После окончания взаимодействия тела опять приходят в
движение. Скорости тел после упругого удара могут изменить-
измениться по величине и по направлению, каждое тело движется неза-
независимо от другого.
2.9. Рассмотрим изолированную систему из двух упругих
тел с массами mi и ГП2- Эти тела движутся со скоростями щ
и V2 (рис. 11.35 а). При столкновении тела действуют друг на
а) до удара
б) удар
в) после ^
упругого Ш11
удара
после
неупругого
удара
Рис. 11.35
друга с силами F\ и F<i в течение времени t (рис. 11.35 б). Сна-
Сначала под действием сил тела движутся равнозамедленно, пока
11*

164 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
скорости тел не сравняются (относительная скорость тел рав-
равна нулю). Затем тела начинают двигаться равноускоренно под
действием сил F\ и F<i- Запишем формулу для импульса силы,
действующей на каждое из тел:
F\t = miVi — mivi,
(а)
F2t =
v'x и v2 — скорости тел после взаимодействия (рис. 11.35 в).
По III закону Ньютона силы упругости F\ и F2 связаны
соотношением F\ = —F2. Время взаимодействия t — одно и то
же, поэтому можно записать
Так как левые части уравнений (а) равны по величине и про-
противоположны по знаку, то такому соотношению подчиняются и
правые части этих уравнений:
miv[ —miVi = —{m2V2 — 777-2^2)-
Раскрыв скобки и переставив местами члены выражения,
можно получить
mivf1 + m2V2 = mivf1 + m2Vf2. (б)
Отсюда видно, что геометрическая сумма импульсов тел
остается постоянной при любых взаимодействиях изолирован-
изолированной системы тел.
При неупругом ударе оба тела движутся после окончания
взаимодействия вместе (рис. 11.35 г), то есть v[ = v2 = щ v —
общая скорость тел после удара. Поэтому соотношение (б) мож-
можно записать для неупругого взаимодействия следующим об-
образом:
+ 1712V2 = (mi + ГП2) v.
2.10. Принцип ракетного движения вытекает из закона со-
сохранения импульса.
Любой реактивный двигатель (рис. 11.36) состоит из головной
отделяемой части ракеты 1 и части 2, где находится запас топ-
топлива. Топливо поступает в камеру сгорания 3. Один конец
камеры снабжен насадкой с отверстием особой формы — реак-
реактивным соплом 4. При сгорании топлива в камере образуются
газы, имеющие высокую температуру и давление. Вследствие
разности давлений внутри камеры сгорания и вне ее газы с
огромной скоростью вырываются из сопла.

ОТВЕТЫ 165
При запуске ракеты с Земли перед поджиганием топлива
общий импульс системы топливо-оболочка отно-
относительно Земли равен нулю. Вытекающая струя
газа имеет большую скорость vr и большую ве-
величину импульса (mrvr). При этом оболочка
приобретает импульс, равный mo^vo^. Закон
сохранения импульса в этом случае запишем
следующим образом:
Отсюда можно получить скорость оболочки ра-
ракеты при выбросе струи газа массой тг:
Знак минус показывает, что направление ско- ^ис- ^-36
рости реактивного двигателя противоположно
направлению скорости вытекания газов; величина скорости
двигателя зависит от скорости истечения газа и от соотноше-
соотношения тг и гао5. Реально соотношение для расчета скорости долж-
должно быть сложнее, так как не все топливо сгорает мгновенно, не
учтена сила сопротивления воздуха.
В реактивном двигателе происходит преобразование хими-
химической энергии топлива в энергию движения газовой струи.
Реактивный двигатель — единственное транспортное средство,
которое может двигаться, не взаимодействуя ни с какими дру-
другими телами, кроме как с продуктами сгорания топлива.
2.11. Снаряд действует с большей силой, но очень кратко-
кратковременно. Поэтому он сообщает очень малый импульс,
Ft = rnAv.
Люди же действуют длительное время и могут сообщить авто-
автобусу больший импульс.
2.12. Надо отбросить от себя какой-либо тяжелый предмет.
2.13. Шарик полетит в сторону, противоположную скорости
выброса сжатого воздуха из отверстия (по принципу реактив-
реактивного движения).
2.14. Импульс тела может изменяться только за счет дейст-
действия внешних сил. Силы, возникающие между рукой и косичкой,
являются внутренними силами и они не могут изменить ско-
скорости тела ни по величине, ни по направлению.

166
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Fcosa s
Рис. 11.37
2.15. Работа постоянной силы определяется произведением
А = \F\\s\ cosa,
а — угол между направлением силы F
и перемещением тела s. Работа являет-
является пространственной характеристикой
действия силы.
Произведение |F|cosce дает величину проекции силы на
направление перемещения (рис. 11.37).
При изменении угла а работа меняется по величине и знаку
(Таблица).
Таблица. Изменение характера работы в зависимости
от величины угла
Угол, а
0
0 < а < 90°
90°
90° < а < 180°
180°
Рисунок
F 8
F
LJE~I
LJ!—'
<
cos а
1
0 < cos а < 1
0
— 1 <cosa<0
-1
Работа
Fs
А >0
0
Л <0
Характеристика
работы
Работа силы
положительна
Сила работы
не совершает
Работа силы
отрицательна
Из таблицы видно, что если вектор силы или его проекция
на направление перемещения совпадают с вектором перемеще-
перемещения, работа положительна, а если противоположны — отрица-
отрицательна.
Например, при равномерном движении автомобиля по дороге
на него действуют сила тяги мотора, сила трения, сила тяжести
и сила реакции со стороны дороги. Работы двух последних сил
равны нулю, так как обе силы перпендикулярны направлению

ОТВЕТЫ 167
перемещения. Работа силы тяги положительна (а = 0°), а силы
трения отрицательна (а = 180°). Так как при равномерном дви-
движении эти силы равны по величине, то и их работы равны по
величине и противоположны по знаку.
За единицу работы в системе СИ принимается работа силы
в 1 Н на пути в 1 м, если направление силы совпадает с нап-
направлением перемещения. Называется единица работы в СИ —
джоуль (Дж). Получим размерность этой единицы:
г л п т т КГ • М 9/9 т-г
[Л] = Н • м = —5- = кг •м /с = Дж-
с
2.16. Положительная работа силы тяжести при его движе-
движении вниз равна отрицательной работе при движении вверх (за
один период). Поэтому в сумме за период работа силы тяжести
равна нулю.
2.17. Нет, так тело движется равноускоренно и за равные
промежутки времени проходит разные пути. С помощью формул
кинематики можно показать, что si : S2 - s% = 1 : 3 : 5. В таком
же соотношении будут работы силы тяжести на этих участках.
2.18. Сила тяги при равномерном подъеме тела вдоль шахты
изменяется от 0 в центре Земли до тд на ее поверхности. Поэто-
Поэтому при подсчете работы надо взять среднюю силу: F = тд/2.
Путь равен радиусу Земли R. Поэтому работа силы тяги равна:
Л = (mgR/2) cos 0°; Л = 31 МДж.
Работа силы тяжести при этом будет равна:
*Ж°. Л = _3i МДж.
2.19. Часто бывает важно знать не только величину совер-
совершенной работы, но и скорость ее выполнения. Величина, числен-
численно равная работе, выполняемой в единицу времени, называется
мощностью. Для подсчета мощности N надо величину совершен-
совершенной работы поделить на время ее выполнения:
N = A/t.
В СИ за единицу мощности принята такая мощность, при
которой в 1 секунду совершается работа в 1 Дж. Называется
единица мощности — ватт (Вт):

168 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Для выражения мощности сильных механизмов использу-
используются кратные единицы:
киловатт (кВт) — 1 кВт = 103Вт;
мегаватт (МВт) — 1 МВт = 106Вт.
2.20. Так как работа силы тяги равна Л = Fs, то мощность
можно выразить следующим образом:
N = — = — = Fv.
t t
Здесь направление скорости совпадает с направлением силы.
Если тело движется равномерно, то скорость v — неизменна.
Если же тело движется с ускорением, то для подсчета мощности
по этой формуле следует подставлять среднюю скорость:
vo + v
^сР = —^—, N = Fvcp.
2.21. Двигатель любого механизма выполняет работу не
только по прямому назначению механизма, но и работу по прео-
преодолению сил трения в частях двигателя, трение о почву, сопро-
сопротивление воздуха и т. п.
Работа, совершаемая по прямому назначению механизма, на-
называется полезной работой Лп, а вся работа, совершенная двига-
двигателем или устройством, называется затраченной работой — Л3.
Коэффициент полезного действия равен отношению:
Коэффициент полезного действия (КПД) показывает, какую
часть полезная работа составляет от затраченной. Обычно КПД
выражают в процентах:
КПД можно выразить через мощность, так как полезная и
затраченная работы совершаются в течение одного и того же
времени:
2.22. Совершенную механизмом работу можно вычислить
через мощность. Если механизм работает долго, то работа, вы-
выраженная в джоулях, представляет большое число. Поэтому ис-
используются внесистемные единицы работы, называемые Вт-час,

ОТВЕТЫ
169
кВт-час, МВт-час. Найдем связь этих единиц с основной —
джоулем:
1 Вт • ч = 1 Вт • 1 ч = 1 Вт • 3600 с = 3600 Дж;
1 кВт -ч = 1 кВт • 1 ч = 103 Вт • 3600 с = 3,6 • 106 Дж;
1 МВт-ч = 1 МВт-1 ч = 106 Вт-3600с = 3,6-109 Дж.
2.23. Пусть на тело массой т действует сила F, которая
вызывает перемещение тела на расстояние s в направлении
действия силы. Работа в этом случае равна: А = Fs. Используя
П-й закон Ньютона и формулу из кинематики равнопеременного
движения, пЛ я.2
V2 ~
можно получить
А =
mv
mvt
2 2' «
Величину, представленную половиной произведения массы
тела на квадрат скорости, называют кинетической энергией
тела.
Обозначим кинетическую энергию буквой VKK, тогда выра-
выражение (а) будет иметь вид
A = WK2-WKl. (б)
Из последнего выражения видно, что работа внешней силы
равна изменению кинетической энергии тела. Это утверждение
называется теоремой о кинетической энергии.
Из выражений (а) и (б) видно, что если работа силы поло-
положительна, то кинетическая энергия тела возрастает г>2 > v\.
Если же работа силы отрицательна (то есть сила действует в
противоположном перемещению направлении), то кинетическая
энергия убывает.
2.24. Пусть тело массой т
движется в поле тяготения
Земли, то есть на него дейст-
действует сила тяжести. При этом
тело перемещается из положе-
положения 1 в 2 (рис. 11.38). В этом
случае работа силы тяжести
равна:
А = т\д\ s = m\g\(hi -
:
mg
Mi
1 mg
К
\N
Рис. 11.38
где s — перемещение, совершенное телом под действием силы
тяжести, /ii и /i2 — высоты точек 1 и 2 над уровнем МN (напри-

170
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
мер, это стол). Если же высоту тела отсчитывать относительно
другого уровня KL (например, пола), то работа силы тяжести
у\ о T3XJ р\ *
А = т\д\ s = m\g\(h[ - Л'2),
h[ и h'2 — высоты точек 1 и 2 над уровнем KL (например, пола).
Сравнивая два последних выражения, можно прийти к вы-
выводу: работа силы тяжести не зависит от того, от какого уровня
отсчитываются высоты. Работа силы тяжести равна:
A = m\g\hi-m\g\h2.
Произведение массы тела на модуль ускорения свободного
падения и на высоту /i, относительного некоторого уровня, назы-
называется потенциальной энергией (обозначим Wn) тела, поднятого
на высоту h:
= m\
\h.
За изменение любой величины принимают разность между
ее конечным значением и исходным. Поэтому
A = -(m\g\h2-m\g\hl); A =-(Wn2-Wnl).
Вывод: работа силы тяжести равна взятому с противополож-
противоположным знаком изменению потенциальной энергии тела.
Из соотношений и вывода следует, что при положительной
работе силы тяжести (тело опускается) потенциальная энергия
убывает и, наоборот, при отрицательной работе силы тяжести
(тело поднимается) потенциальная энергия возрастает. Уровень,
от которого отсчитывается высота, называется нулевым уров-
уровнем потенциальной энергии: h = О, следовательно, и Wn = 0.
2.25. Пусть тело массой т поднялось по наклонной плоскос-
плоскости, совершив перемещение s
(рис. 11.39). Работа силы тя-
тяжести в этом случае равна
А = т\д\ \s\ cos се,
а — угол между направле-
направлением векторов тд и s.
Из рис. 11.39 видно, что
h = |s\ cos a,
где а — расстояние между
положениями 1 и 2 движу-
движущегося тела вдоль вертикали. С учетом этого работа силы
тяжести при движении тела вдоль наклонной плоскости равна
Рис. 11.39

ОТВЕТЫ
171
A = m\g\h = m \g\(hi - h2) =
= -(m\g\h1-m\g\h2) = -(
Пусть тело движется по криволинейной траектории (рис. 11.40).
= 0
Рис. 11.40
Ее можно представить в виде малых участков, каждый из ко-
которых является маленькой наклонной плоскостью. Сложив рабо-
работы по всем участкам, можно получить выражение, аналогичное
тем, которые получены в ответах к вопросам 2.23 и 2.24:
A = -(Wn2-Wnl).
Вывод: работа силы тяжести не зависит от формы траекто-
траектории движения тела, а всегда равна произведению модуля силы
тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях
относительно нулевого уровня.
Силы, работа которых не зависит
от траектории движения тела, назы-
называют консервативными, а поле, соз-
создающее такие силы — потенциальным.
Сила тяжести является консервативной,
а поле тяготения — потенциальным.
2.26. Пусть тело движется по
произвольной замкнутой траектории
(рис. 11.41) из точки А и возвращается
в ту же точку. Работа в этом случае
будет равна нулю, так как высота начальной точки относитель-
относительно любого выбранного уровня одна и та же (hi = h2):
A = m\g\(hi-h2) = 0.
Рис. 11.41

172
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Кроме того это можно понять, если вспомнить, что работа
силы тяжести вверх (от точки А к В) отрицательна, но равна по
величине положительной работе силы тяжести от точки В к А.
Поэтому можно записать:
2.27. Если пружину растянуть действием внешней силы F,
то в ней возникает сила упругости, препятствующая ее растя-
растяжению (рис. 11.42 а). Величина де-
деформации (удлинения) пружины
равна А1\. Если отпустить тело,
связанное с пружиной, то оно бу-
будет двигаться под действием си-
силы упругости (пружина сжимает-
сжимается). В какой-то момент времени
величина деформации станет А/2
(рис. 11.42 б', в). По закону Гука си-
сила упругости при этом изменяется
и равна
F2 = -kAl2.
Сила упругости меняется при
сокращении пружины. Поэтому
для вычисления работы силы уп-
Рис. 11.42 ругости при перемещении тела на
расстояние s надо взять среднее значение силы упругости Fcp:
Fi + F2
= к
Д/2
Путь s, пройденный телом при сокращении пружины,
s = Ah-Al2.
Найдем работу силы упругости:
Д/1+Д/2
Л = Fcps = к
¦(Д/1-Д/2) =
k{Al2f
Выражение —-—— называется потенциальной энергией уп-
руго деформированного тела.
Работа силы упругости равна взятому с обратным знаком
изменению (приращению) потенциальной энергии пружины:

ОТВЕТЫ 173
fk(Al2J
2.28. В трех рассмотренных выше случаях B.23, 2.24, 2.27)
речь шла о переходе тел из одного состояния в другое: в первом
случае под действием внешней силы изменялась скорость тела,
во втором случае под действием силы тяготения изменялось по-
положение тела, в третьем — то же самое, но под действием силу
упругости. При переходе тела из одного состояния в другое со-
совершается работа сил, причем величина этой работы однозначно
связана с характеристикой состояния тела, которую называют
энергией. Сравнивая полученные выражения, видим, что вели-
величина совершенной работы численно равна изменению энергии
тела. Таким образом, энергия — это физическая величина, ха-
характеризующая способность тела совершить работу при пере-
переходе из одного состояния в другое.
Кинетической энергией обладают только движущиеся те-
тела (v ф 0). Понятие потенциальной энергии относится к тем
системам, у которых способность совершать работу зависит от
взаимного расположения взаимодействующих тел или частиц.
В случае 2.24 мы рассмотрели вопрос о потенциальной энергии
гравитационного взаимодействия тела с Землей, интенсивность
которого зависит от расстояния тела от Земли. В случае 2.27
разобран вопрос о потенциальной энергии упругого деформи-
деформированного тела. Здесь уже надо говорить о взаимодействии
атомов и молекул тела. Интенсивность взаимодействия зависит
от расстояния между частицами и обуславливает появление
силы упругости при деформации тела.
Обратите внимание, что при разном виде взаимодействия в
случаях 2.24 и 2.27 окончательные выражения для работы со-
совершенно идентичны: работа силы взаимодействия равна взя-
взятому с противоположным знаком изменению энергии. Об этом
надо будет вспомнить, когда речь пойдет о работе сил, дейст-
действующих на заряженные тела в электрическом поле: будет по-
получено точно такое же соотношение между работой и энергией.
Это говорит о единстве общих закономерностей для различных
по природе процессов.
2.29. Механической энергией системы тел называют сумму
потенциальной энергии упругого или гравитационного взаимо-
взаимодействия и кинетической энергии тел системы.
2.30. Рассмотрим изолированную систему: какое-либо те-
тело — Земля. Если тело обладает кинетической энергией, то оно

174 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
может подняться. При этом кинетическая энергия убывает
(уменьшается скорость), а потенциальная энергия возрастает
по мере подъема. В точке наивысшего подъема кинетическая
энергия равна нулю, потенциальная — максимальна, то есть
вся кинетическая энергия перешла в потенциальную. При паде-
падении тела наоборот — потенциальная энергия убывает, кинети-
кинетическая — возрастает.
Аналогично происходит и при действии на тело силы упру-
упругости: при деформации, например, пружины тело, связанное с
ней, обладает потенциальной энергией. При исчезновении де-
деформаций возникает перемещение и потенциальная энергия
деформированного тела переходит в кинетическую.
Для изолированной системы можно записать:
A = WK2-WKl,
A = -(Wn2-Wnl),
Л — одна и та же работа силы тяжести или упругости. Поэто-
Поэтому можно сказать, что приращение кинетической энергии равно
убыли потенциальной энергии или наоборот: убыль кинетичес-
кинетической энергии равна приращению потенциальной энергии:
= -(Wu2-Wul).
Это выражение можно переписать следующим образом:
или
W = WK + Wn = const,
W — полная механическая энергия системы.
Закон сохранения механической энергии формулируется
следующим образом:
сумма кинетической и потенциальной энергии тел остается
постоянной, если тела составляют замкнутую систему и взаимо-
взаимодействуют друг с другом силами всемирного тяготения и упру-
упругости (или другими консервативными силами, см. ответ 2.25).
Закон сохранения механической энергии выполняется толь-
только в замкнутых (изолированных) системах.
2.31. Если на тела системы действуют внешние силы
(например, сила тяги, сила трения и т. д.) или взаимодействуют
неупругие тела, то механическая энергия не остается постоян-
постоянной. Если на тело действует сила тяги, то тело движется с уско-

ОТВЕТЫ 175
рением, возрастает механическая энергия тела. Действие силы
трения уменьшает механическую энергию тела: уменьшается
скорость тела или, если тело падает, и сопротивлением среды
нельзя пренебречь, ускорение меньше д = 9,8 м/с . Это приво-
приводит к тому, что полная механическая энергия тела уменьшает-
уменьшается: она необратимо затрачивается на нагревание и деформацию
тел. При нагревании тел происходит увеличение кинетической
энергии молекул, при деформациях изменяется расположение
частиц, что изменяет потенциальную энергию, связанную с
взаимодействием частиц. Таким образом, действие сил сопро-
сопротивления или деформации тел приводит к тому, что часть
механической энергии переходит во внутреннюю энергию этих
тел — то есть энергию частиц, из которых состоят тела. При
этом работа внешних сил равна изменению механической энер-
энергии тела:
А = W2 - Wx = (WK2 + Wn2) - (WKl + Wnl).
2.32. При неупругом ударе часть механической энергии без-
безвозвратно переходит во внутреннюю энергию тел — на совер-
совершение деформаций и нагревание. Поэтому закон сохранения
механической энергии не выполняется, и можно записать еле-
W\ — исходная механическая энергия системы тел, W2 — в
некотором конечном состоянии после взаимодействия тел, А —
работа, затраченная на нагревание и деформацию тел.
Если же взаимодействуют упругие тела, то возникшие силы
упругости восстанавливают полностью форму и размеры тел,
после окончания взаимодействия тела опять приходят в движе-
движение. При этом работа сил упругости увеличивает механическую
энергию тел до прежней величины. Или, иначе сказать, внутрен-
внутренняя энергия частиц тел переходит в механическую. При абсо-
абсолютно упругом ударе соблюдается закон сохранения механичес-
механической энергии: полная механическая энергия тел до взаимодействия
равна полной механической энергии после их взаимодействия:
или
2.33. С помощью кинематических формул выразим зависи-
зависимость кинетической, потенциальной и полной механической энер-
энергии от времени:

176
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
mv
-к- 2 ,
VKn = mgh;
v = vo-gt;
Найдем полную механическую энергию тела:
Алгебраические преобразования, которые приведут к этому ре-
результату, проделайте сами. Из последнего выражения видно, что
полная механическая энергия тела от времени не зависит, оста-
остается неизменной, равной начальной кинетической энергии тела.
Из выражений для WK и Wn видно, что графики той и другой
зависимости — параболы, так как аргумент t — во второй степени.
WK
W
V V
/\ /\
/ \ / \
W
Wk
Wn
т
t = vo/g l
Рис. 11.43
Анализируя эти формулы, можно построить графики, при-
приведенные на рис. 11.43.
2.34. Скорость второго автомобиля в системе отсчета, свя-
связанной с первым автомобилем, в первом случае равна г>, а во
втором случае Зг>. Поэтому кинетическая энергия второго авто-
автомобиля в этой системе отсчета равна: 1) mv2/2; 2) 4,5тг>2.
2.35. Сила трения скольжения работу совершает, причем
она отрицательна, так как угол между направлением этой силы
и направлением перемещения равен 180°, cos 180° = — 1. Работа
силы трения покоя равна нулю, так как в этом случае нет пере-
перемещения.
2.36. Во всех трех случаях работа одинакова; при равно-
равномерном подъеме возрастает только потенциальная энергия;
Л = тдН.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 177
2.37. За счет потенциальной энергии, которую он приобре-
приобретает при вползании на лед.
2.38. За счет потенциальной энергии упругой деформации
корпуса натянутого лука и тетивы.
2.39. При сообщении скорости, направленной вертикально
вниз, скорость при падении будет больше, так как на меньшем
пути совершается работа сил сопротивления воздуха.
2.40. Нет. Чтобы тело начало двигаться вверх, ему вначале
надо сообщить ускорение. Поэтому сила должна быть равна:
F = тд + та. Затем, при достижении нужной скорости, тело
будет двигаться равномерно при равенстве внешней силы и
силы тяжести.
Основные формулы
Закон изменения импульса:
Ft = mv2 — mvi, B.1)
v\ — скорость в начале действия силы на тело массой m, V2 —
спустя время t после начала ее действия.
Закон сохранения импульса:
для абсолютно упругого удара —
mivi + Ш2?2 = mii?! + m2v'2; B.2)
для абсолютно неупругого удара —
m\v\ + 1712V2 = (mi + ГП2) v, B.3)
при разделении (например, взрыв) тела (или системы тел)
на части —
(mi +7712)??= miv^ +Ш2?2, B.4)
#b #2 ~~ скорости тел до взаимодействия, v[, v'2 — скорости тел
после взаимодействия, v — общая скорость двух тел до их раз-
разделения или, наоборот, после их слипания при абсолютно неуп-
неупругом ударе.
Механическая работа
A = |F||Slcosa, B.5)
F — сила, действующая на тело, s — перемещение тела, а —
угол между направлением перемещения и направлением дейст-
действия силы.
12 С. В. Трубецкова

178 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Мощность
N = j, B.6)
t — время, за которое совершается работа Л,
N = Fvcosa. B.7)
Если эта формула используется для равномерного движения,
тогда v = const, а если для мгновенной мощности равнопере-
равнопеременного движения, тогда v — мгновенная скорость. Если же надо
рассчитать среднюю мощность при равнопеременном движении,
то
7Vcp = Fvcpcosa, B.7 a)
где
Коэффициент полезного действия
B.8)
Лп — полезная работа, то есть работа механизма по его наз-
назначению; Л3 — затраченная работа. Из этой формулы можно
получить
П = ^. B.8а)
Кинетическая энергия движущегося тела
WK = ^f, B.9)
т — масса тела, v — его скорость.
Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей
Wu = mgh, B.10)
h — высота тела над поверхностью Земли (или над условно
выбранным в задаче «нулевым» уровнем потенциальной энер-
энергии).
Работа внешней силы, действующей на движущееся тело,
A = WK2-WKl = AWK. B.11)
Работа силы тяжести
A = -{Wn2-Wnl) = AWn. B.12)
Закон сохранения механической энергии:
W = WK + Wn = const,
или

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ179
B.13)
W — полная механическая энергия изолированной системы.
Работа всех внешних сил над телом или системой тел
A = AW = W2-WU B.14)
W\ и W2 — начальная и конечная механическая энергия тела.
Потенциальная энергия деформированной пружины
B.15)
к — жесткость пружины, А/ — величина деформации.
Работа силы упругости деформированной пружины
/fc(A/2J fc(A/iJ\ _ fc[(A/iJ-(A/2J]
А--{— —)- г
Методика решения задач
При решении задач, где удобно использовать понятие импуль-
импульса силы и импульса тела, следует придерживаться следующей
методики.
1. Определить систему взаимодействующих тел и выяснить,
какие силы для них являются внутренними, какие внешними.
Если внешние силы нескомпенсированы, то система не является
изолированной, и нужно использовать закон изменения импуль-
импульса (формула B.1)).
Закон сохранения импульса B.2)-B.4) используется в слу-
случае изолированной системы, а также при следующих условиях:
а) внешние силы малы по сравнению с внутренними;
б) система не является изолированной, но можно выбрать
направление (ось), на которое сумма проекций внешних сил
равна нулю. Вдоль этого направления выполняется закон со-
сохранения проекции импульса.
2. Выбрать систему отсчета. В большинстве случаев ее свя-
связывают с Землей. Если же речь идет о скорости относительной,
то бывает удобно связывать систему отсчета с одним из дви-
движущихся относительно Земли тел.
3. Сделать к задаче рисунок:
а) если система неизолированная, то нарисовать условно
тело, обозначить внешние силы, приложенные к телу, показать
12*

180 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
направления скоростей до начала действия сил и после окон-
окончания их действия;
б) если система тел изолированная, то удобно сделать два
рисунка: на первом обозначить тела и их скорости до взаимо-
взаимодействия, на втором — после взаимодействия тел.
4. Нарисовать систему координат. Направления осей коор-
координат удобно выбрать следующим образом:
а) если система неизолированная, то одну из осей удобно
направить вдоль внешней силы (ее чаще всего в задачах и тре-
требуется найти);
б) если система тел изолированная, то оси направляют
вдоль скоростей тел или так, чтобы проекции скоростей находи-
находились просто через функции углов, о которых в задаче идет речь;
в) если система тел неизолированная, но надо применить
закон сохранения импульса, то ось выбирают так, чтобы проек-
проекция внешних сил на эту ось была равна нулю.
5. Записать в некоторой форме уравнения, соответствую-
соответствующие условию: закон изменения импульса B.1) для неизоли-
неизолированной системы, закон сохранения импульса B.2)-B.4) для
изолированной системы.
6. Записать векторные уравнения в скалярной форме — в
проекциях на выбранные оси. К уравнениям в проекциях при
необходимости можно добавить кинематические уравнения.
Если из условия задачи не ясно, в каком направлении после
взаимодействия двигалось одно из тел, то направление можно
выбрать произвольно. Если при вычислении скорость этого те-
тела получилась со знаком минус, то это значит, что при выборе
направления мы ошиблись: истинное направление скорости про-
противоположно выбранному.
Если требуется вычислить работу, то рекомендуем следую-
следующие этапы решения задач.
1. Выяснить, какая сила совершает работу и какой угол она
составляет с направлением движения.
2. Далее нужно решить динамическую задачу по определе-
определению величины силы. Если движение равномерное, то надо за-
записать 1-й закон Ньютона, из которого чаще всего получается,
что /^тяг — ^тр? ПРИ движении тела по поверхности другого,
и ^тяг — т9 ПРИ равномерном подъеме тела. Если тело дви-
движется равноускоренно, то сила тяги находится по П-му закону
Ньютона.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 181
3. Решить кинематическую задачу по определению вели-
величины перемещения.
4. Подставить все величины в формулу для работы; прове-
проверить размерность и вычислить значение работы.
5. В задачах, связанных с вычислением мощности, пользу-
пользуются формулами B.6), B.7), B.7 а), B.8 а).
Если мощность вычисляется по формуле B.6), то работа
определяется в соответствии с пунктами 1-4, время вычисляет-
вычисляется из кинематических формул; если же — по формулам B.7)
и B.7 а), то сила тяги находится по 1-му или по П-му закону
Ньютона (в соответствии с характером движения), скорость по
кинематическим формулам. Так же решаются и обратные за-
задачи: по известной мощности находится сила, время, скорость,
ускорение.
6. В задачах, где дан КПД или его требуется найти, сна-
сначала выяснить, какая работа является затраченной, исходной,
какая полезной. Полезной является работа по прямому назначе-
назначению механизма, затраченная работа — та, за счет чего механизм
приходит в действие. Записать выражения для полезной и за-
затраченной работы, подставить их в формулу B.8) или B.8а),
если найдена мощность, и решить относительно неизвестной
величины.
7. Если тело равномерно изменяет свое положение отно-
относительно Земли и сила сопротивления отсутствует, то работа
внешней силы равна по модулю работе силы тяжести относи-
относительно исходного положения.
Так же решаются задачи по вычислению работы силы тя-
тяжести. Надо помнить, что если тело поднимается, то работа си-
силы тяжести отрицательна; если же тело опускается, то работа
силы тяжести положительна (в первом случае а = 180°, а во
втором а = 0°).
С использованием понятия энергии многие задачи динами-
динамики, решаемые с помощью законов Ньютона, математически
получаются много проще. Однако сложнее анализировать те
процессы, которые рассматриваются в энергетических задачах.
Рекомендуем использовать следующие этапы при анализе усло-
условия и решении.
1. При решении задач, связанных с вычислением энергии
тела, прежде всего надо ответить на вопрос: является ли рас-
рассматриваемая система тел изолированной или нет. Если сис-
система тел изолированная, то механическая энергия системы во

182 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
всех ее состояниях неизменна (формула B.13)); если на систему
тел или тело действуют внешние силы, то изменяется механи-
механическая энергия: работа внешней силы равна изменению меха-
механической энергии системы — формулы B.11), B.12), B.14).
2. Выбрать ту систему отсчета, относительно которой даны
скорости тел.
3. Выбрать «нулевой» уровень потенциальной энергии —
тот горизонтальный уровень, относительно которого отсчиты-
ваются высоты расположения тел. Чаще всего это уровень, на
котором находится тело в наинизшем своем состоянии. Для ма-
маятника — это уровень его положения равновесия. Если же тело
может находиться в положении ниже «нулевого» уровня, то по-
потенциальная энергия в этих состояниях отрицательна.
4. Выбрать два или более таких состояний системы, чтобы
в число их параметров входили как известные, так и искомые
величины.
5. Записать значение энергии в каждом состоянии относи-
относительно выбранного нулевого уровня.
Формула B.11) используется, если тело движется по гори-
горизонтали под действием внешних сил, изменения потенциальной
энергии не происходит.
Если тело изменяет свою высоту над поверхностью Земли и
при этом движется равномерно под действием внешних сил, то
используется формула B.12).
Если же под действием внешних сил изменяются и кинети-
кинетическая и потенциальная энергии, то надо воспользоваться фор-
формулой B.14).
Для изолированной системы тел можно записать закон
сохранения механической энергии B.13). Его можно использовать
для математического маятника, так как работа внешней силы
натяжения подвеса при его колебаниях равна нулю (а = 90°), а
сила тяжести является внутренней для системы тело — Земля.
В одной задаче могут быть выделены участки движения те-
тела, где система изолированная, а на других участках начинают
действовать внешние силы.
6. При решении задач на вычисление сил упругости и их
работы при деформации пружины используется формула B.16)
и, при необходимости, закон Гука A.7).
7. В задачах, в которых рассматривается преобразование
механической энергии во внутреннюю (при неупругих взаимо-

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 183
действиях), вопросы могут быть сформулированы следующим
образом:
а) на сколько изменилась механическая энергия тела или
системы тел?
б) какая часть механической энергии потеряна (или перешла
во внутреннюю)?
в) какая часть механической энергии осталась?
В этих случаях искомую величину следует искать следую-
следующим образом:
a) AW = W2-WU б) -— = !—- , в) —,
W\ — механическая энергия системы тел до неупругого взаи-
взаимодействия, W2 — после взаимодействия.
8. В задачах, связанных с преобразованием энергии, может
идти речь о КПД. Так же, как в пункте 6, надо четко выяс-
выяснить, какая работа является полезной, то есть по прямому наз-
назначению, какая полной, затраченной. Работа вычисляется по
формулам B.5), B.6), B.11), B.12), B.14). Подставить найден-
найденные выражения для Лп и Л3 в формулу для КПД и найти
неизвестный параметр.
Примеры решения задач
1. Шарик массой 200 г падает вертикально без начальной
скорости с высоты 5 м. Найдите импульс силы, действующей
при ударе, в случаях: а) абсолютно неупругого удара (пласти-
(пластилиновый шарик); б) если после удара шарик подпрыгнул на
высоту 50 см; в) в случае абсолютно упругого удара.
т = 0,2 кг
м
Шарик движется в поле тяготения Зем-
Земли и до падения система «шарик-Земля»
представляет собой изолированную систему.
В момент падения возникают внешние по от-
отношению к данной системе силы: сила соп-
о) Ii2 — U,о м ротивления опоры, силы упругости, которые
изменяют характер движения шарика. По-
Поэтому в момент удара система не является
а) v2 = 0
б) /i2 =
в) v2 =
изолированной.
(Ft)-? или
A(mv) — ?
На рисунке к задаче обозначим направ-
направления скоростей v\ и V2, высоты h\ и /i2- Начало координат
свяжем с Землей. Ось у направим вертикально вверх — вдоль

184
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
силы, действующей в момент удара на шарик со стороны Земли
(рис. 11.44).
О
-о
-о
а б в
Рис. 11.44
Так как система не является изолированной, то используем
формулу B.1): Ft = mv2 — mv\.
Для случая неупругого удара (а) скорость шарика после его
падения на опору равна нулю (рис. 11.44 а). С учетом этого запи-
запишем уравнение B.1) в проекциях на ось у:
(Ft) = O-m(-vi) = mvi.
Из кинематики следует, что v\ = \/2gh\. Тогда Ft = m\/2ghi.
Размерность импульса силы — (Н • с). Проверим размерность
полученной формулы:
кг-м
кг-м-с
= Нс;
= l,98H-c.
Примечание: при проверке размерности мы умножили чис-
числитель и знаменатель на единицу времени секунду (с), чтобы
получить размерность единицы силы — ньютон (Н).
В случае (б) уравнение в проекциях на ось у будет иметь
вид (рис. 11.44 6')
(Ft) =
Так как V2 =
[Ft} =
, то
(Ft) =
кг-м-с
= Н-с;
= 2,6H-c;
В случае (в), так как \щ\ = \v2\ = \/2gh\ (рис. 11.44 в), то
(Ft) = mv2 + mvi = 2m^2gh; (Ft) = 9,9 H • с

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
185
2. Молекула массой 5-10 26 кг, летящая со скоростью
500 м/с, ударяется о стенку под углом 30° к перпендикуляру
и упруго отскакивает от нее под тем же углом и с той же
по величине скоростью. Найдите импульс силы, полученный
стенкой при ударе.
По III закону Ньютона сила, действую-
действующая на стенку при ударе молекулы, равна
по величине и противоположна по направ-
направлению силе, действующей на молекулу и из-
изменившей направление ее движения. Най-
Найдем эту силу, используя формулу B.1):
FMt =
т ¦¦
v =
а =
(Ft
= 5-10
= V2 =
:500 м
= 30°
,)-?
6КГ
V
/с
I — mvi = m{V2 — vi).
Запишем это уравнение в проекциях на ось у, связанную со
стенкой и направленную перпенди-
перпендикулярно к ней (рис. 11.45): у и
(FMt) = m(v2y - (-viy)) =
viy — V2y = v cos a;
(FMt) = 2mvcosa;
Fct = -FMt;
(Fct) = (FMt) = 4,35 • 103 H • с
После удара
Рис. 11.45
3. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль же-
железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с
песком массой Юти застревает в нем. Какую скорость получит
вагон, если он двигался со скоростью 7,2 км/ч в направлении,
противоположном движению снаряда?
Система «снаряд-вагон с песком»
является изолированной, между тела-
телами этой системы действуют внутрен-
внутренние силы: сила давления со стороны
снаряда на песок и сила трения со
стороны песка на снаряд. Внешними
силами являются сила тяжести и сила
реакции опоры, но они скомпенсированы. Движение в системе
происходит только по горизонтали, и проекция силы тяжести
mi = 100 кг
Vl = 500 м/с
1712 = 10 Т = 104 КГ
V2 = 7,2 км/ч = 2 м/с
v — [

186
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
и силы реакции опоры на горизонтальное направление равна
нулю.
На рис. 11.46 обозначим скорости тел до взаимодействия и
после. Систему координат свяжем с Землей, ось х направим
ВДОЛЬ V2-
До удара
J2L
После удара
Рис. 11.46
Так как удар неупругий, то используем формулу B.3):
m\V\ + ni2V2 = (mi + Ш2) V
v — скорость платформы вместе со снарядом после удара.
Предположим, что после удара направление движения плат-
платформы не изменилось, то есть направление v совпадает по на-
направлению с v<i- Ось х направим вдоль вектора V2 (рис. 11.46),
тогда уравнение B.3) запишем в проекциях на ось х
777,2^2 —
+1712V2 = (mi +rri2)v;
v =
с-кг с
Знак минус означает, что скорость движения платформы
после удара снаряда имеет направление, противоположное вы-
выбранному.
4. Охотник стреляет с покоящейся в стоячей воде лодки.
Выстрел произведен с кормы под углом 60° к горизонту. Мас-
Масса лодки вместе с человеком 250 кг, масса вылетевшего снаря-
снаряда 10 г, скорость снаряда 600 м/с. Найдите скорость лодки после
выстрела.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
187
V =
а =
mi
ГП2
V2 =
vi-
0
60°
= 250 кг
= 10 г = 0,01 кг
=600 м/с
_?
Система «лодка-охотник-ружье-
снаряд» представляет собой изолиро-
изолированную систему, взаимодействие осу-
осуществляется посредством сил, возни-
возникающих внутри этой системы в момент
выстрела. Проекция внешних для этой
системы сил — силы тяжести и силы
Архимеда — на любую ось в горизон-
горизонтальном направлении равна нулю. Для данного случая исполь-
используем формулу B.4):
(mi +rri2)v = m\Vi +m<iv<i-
Ha рис. 11.47 представлены скорос-
скорости снаряда и лодки после выстрела.
Ось х свяжем с землей и ориентиру-
ориентируем вдоль vi. До взаимодействия им-
импульс системы относительно воды
равен нулю (лодка покоится). Поэто-
Поэтому уравнение B.4) в проекциях на ось х запишем следующим
образом:
0 =
cos a
Рис. 11.47
где V2X — проекция V2 на ось х. Из рис. 11.47 видно, что
V2x = V2 COS а.
Тогда
О = mivi — 1712V2 cos a; v\ =
г 1 КГ-М /
[Vl] = —- = м/с;
mi
=0,012 м/с.
5. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя мас-
массой 500 кг и головного конуса массой 10 кг. Между ними по-
помещена сжатая пружина. При испытаниях на Земле пружина
сообщила конусу скорость 5,1 м/с по отношению к ракете-
носителю. Каковы будут скорости конуса и ракеты, если их
отделение произойдет на орбите при движении со скоростью
8000 м/с?
Система «конус-ракета» является изо-
изолированной, так как в момент отделения
действует только внутренняя сила — сила
упругости сжатой пружины. Проекция си-
силы тяжести на направление взаимодейст-
взаимодействия равна нулю.
тр = 500 кг
гак = Ю кг
vK-p = 5,1 м/с
v = 8000 м/с

188 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Ось координат х свяжем с Землей и направим вдоль векто-
вектора v (рис. 11.48). В системе координат, связанной с Землей, запи-
запишем закон сохранения импульса:
До
отсоединения
После
отсоединения
Рис. 11.48
vK и Vp — скорости конуса и ракеты относительно Земли после
отделения. Так как скорость конуса после отделения относи-
относительно ракеты-носителя дана и равна г>к-р = 5,1 м/с, то в со-
соответствии с теоремой сложения скоростей можно записать:
г>к-р = vK — Vp. Отсюда vK = г>к-р + vp. С учетом этого запишем
векторное уравнение в проекциях на ось х:
(mp + mK) v = mK(vK-p + Vp) + mpVp.
Отсюда
_ (mp + mK)v-mKvK-p
vv — : 5
^ ?71p + ?71K
[Vp] = кг'м/с = M/c; ^p = 7999^9 M/c>
КГ
Найдем скорость конуса: vK = vK-p + vp = 8005 м/с.
Можно решить эту задачу по-другому, записав закон сохра-
сохранения импульса в системе отсчета, связанной с ракетой до от-
отделения, то есть движущейся со скоростью v в направлении
полета ракеты относительно Земли. В этой системе отсчета до
отделения конус и ракета покоились, а после отделения будут
двигаться со скоростями vfK и v'p. Поэтому
По условию vfK = ^к_р + г>р. С учетом этого векторное урав-
уравнение можно записать в проекциях:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 189
О = mpv'p + ШК (vK-p + Vfp).
Отсюда
, mKvK-p r n кг -м/с
' =^; [v'\ =
v' =
р
= ¦—^-; [v
р тк + тр p
r n кг -м/с ,
[v'\ = — = м/с;
pj кг
v'p = -0,1 м/с; v'K = 5,1 -0,1 = 5 (м/с).
В соответствии с теоремой сложения скоростей можно вы-
вычислить скорости конуса и ракеты в системе координат, связан-
связанной с Землей:
Vp = vp + v = 7999,9 м/с; vK = v'K + v = 8005 м/с.
6. Человек массой 80 кг переходит с носа на корму в лодке
длиной 5 м. Какова масса лодки, если она за время этого пере-
перехода переместилась в стоячей воде в обратном направлении на
2 м? Начальная скорость лодки относительно воды равна нулю.
Систему «лодка-человек» можно считать
изолированной; во время движения человека
возникают внутренние силы (силы взаимодей-
взаимодействия ступни с дном лодки). Внешние силы
скомпенсированы (см. задачу 7).
Вначале система находилась в покое, и, сле-
следовательно, сумма импульсов равнялась нулю.
Ось х свяжем с Землей и направим вдоль v4 (рис. 11.49).
тч
1 =
s =
V =
тл
=
5
2
0
—
80 кг
м
м
?
ТТ
Рис. 11.49
Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:
0 = rn4v4 + rnJ1vJ1,
v4 и vn — скорости человека и лодки относительно Земли.
Человек участвует в двух противоположных по направлению
движениях: вдоль оси х он движется со скоростью г>ч_л отно-
относительно лодки, и вместе с лодкой движется в противоположном

190
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
направлении со скоростью ул. В соответствии с теоремой сло-
сложения скоростей его скорость относительно Земли равна: v4 =
= г>ч_л — г>л. С учетом этого запишем векторное уравнение в
проекциях на ось х:
О = гач(г>ч_л - ул) - тлул.
Так как ^ g
уч-л--, и ул--
(t — время перехода человека по лодке), то
4\t t) л t
Отсюда
или
0 = тчA — s) —
гал =
m4(l-s)
r 1 кг-м
[тл\ = = м;
м
тл = 120 кг.
7. Лодка массой 100 кг плывет без гребца вдоль пологого
берега со скоростью 1 м/с. Мальчик массой 50 кг переходит с
берега в лодку со скоростью 2 м/с так, что векторы скорости
лодки и мальчика составляют прямой угол. Определите ско-
скорость лодки с мальчиком и направление ее движения.
Когда мальчик шагнул в лодку, происхо-
происходит взаимодействие между ступней мальчика
и дном лодки — это внутренние силы. Внеш-
Внешними являются сила тяжести лодки с мальчи-
мальчиком и сила Архимеда, действующая на лодку,
которые компенсируют друг друга.
Так как рассматриваемое взаимодействие
можно отнести к разряду неупругих (после
взаимодействия оба объекта движутся вместе), то запишем
формулу B.3): ^
тл --
^л =
гам
^м =
v — г.
а —
= 100 кг
1 м/с
= 50 кг
-2 м/с
>
?
v — вектор общей скорости, направленной под углом а к бе-
берегу.
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси дву-
двумерной системы координат хОу (рис. 11.50):
ось Ох: тлул = (гам + mn)vx,
(а)
ось Оу: тмум = (тм + тл)уу.
Из рис. 11.50 видно, что скорость лодки вместе с мальчиком v
можно найти через составляющие этой скорости vx и vy по тео-
теореме Пифагора: v =

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
191
Найдем vx и vy из системы уравнений (а):
vT =
Vy =
mMvM
v =
1лУлJ + (тмумJ в
+ тл
г 1 1/кг2-м2/с2 м ,
Ы = -1 L = —; V и 0,93 м/с.
кг с
Найдем величину угла се через одну из функций этого угла,
например, через тангенс:
vx и Vy найдены выше из системы уравнений (а):
, mMvM
tga = ; tga = l; a =
тлул
до взаимодействия
до
разрыва
М(
после взаимодействия
Рис. 11.50
Рис. 11.51
8. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью 12 м/с, ра-
разорвался на две части, массы которых 10 и 5 кг. Скорость боль-
большего осколка 25 м/с и направлена под углом 30° к горизонту вниз
и вперед. Найдите величину и направление меньшего осколка.
В результате внутренних сил снаряд разры-
разрывается на две части. Поэтому запишем закон со-
сохранения импульса в виде B.4):
(mi +m2)v"= mivi +Ш2#2- (а)
Направление скорости меньшего осколка вы-
выберем произвольно: вверх и вправо (рис. 11.51).
Численное решение покажет, правильно ли мы
сделали выбор.
V =
mi
ГП2
VI =
«1 =
Oil ~
12 м/с
= 10 кг
= 5 кг
= 25 м/с
= 30°
_?
_?

192
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Прямоугольную систему координат свяжем с Землей, ось Ох
направим горизонтально. Запишем векторное уравнение (а) в
проекциях на оси выбранной системы координат:
ось Ox: (mi + m2)v =miVix + m2V2X,
(б)
ось Оу: 0 +
Из рис. 11.51 видно, что
0 = —
Из системы уравнений (б) найдем V2X и V2
(mi + rri2)v — rriiVix (mi + 777,2) v —
=
m2
= -8,3 м/с;
= 25 м/с.
Знак минус говорит о том, что направление скорости V2 на
рис. 11.51 выбрано ошибочно:
составляющая V2X < 0, зна-
значит, вектор V2 должен быть
направлен против оси Ох
(рис. 11.52). Из рис. 11.52 вид-
видно, что величину г>2 можно
найти по теореме Пифагора:
V2 « 26 м/с.
Угол наклона меньшего
осколка к горизонту найдем,
вычислив одну из тригонометрических функций угла ОС2'-
Рис. 11.52
9. Груженая шахтная клеть массой 10 т поднимается с ус-
ускорением 0,5 м/с2. Определите работу по подъему клети за
первые 10 с движения.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
193
т
а
t~-
А
= 10
= 0,5
= 10 с
-?
т
м
= 104
/с2
кг
Работу по подъему шахтной клети
совершает сила натяжения троса FH
(рис. 11.53), которая составляет угол
а = 0° с направлением движения, сле-
следовательно, cos a = 1 и
А = FHs.
Запишем П-й закон Ньютона в векторной форме:
FH + mg = та.
В проекциях на ось Оу, сонаправленную с вектором ускоре-
ускорения а он будет иметь вид
FH — тд = та.
Отсюда
FH = m(g + a).
Найдем величину перемещения s за первые 10 с движения:
at2 ( ч
s = — (так как г>о = 0).
Найдем величину работы:
А =
м м
кг-м
кг-м
м = Дж;
Л = 26,25 • 105 Дж = 2,625 МДж.
г
1 тд
Рис. 11.53
У*
¦'/////////
\
JP
1 тд
Рис. 11.54
10. Найдите, какую работу совершает человек за 2 часа,
если тянет сани (рис. 11.54) общей массой 300 кг со скоростью
3,6 км/ч. Коэффициент трения полозьев о снег 0,1. Веревка сос-
составляет угол 30° с направлением движения.
13 С. В. Трубецкова

194 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Работу совершает сила натяже-
натяжения веревки FH, которая составляет
угол а = 30° с направлением переме-
перемещения. Тогда
А = Fnscosa.
Так как сани движутся равномер-
равномерно, то можно записать (рис. 11.54) 1-й
закон Ньютона: -+
F N F 0
т =
t =
ц =
v =
а =
А-
-- 300 кг
2 ч = 7200 с
0,1
3,6 км/ч = 1
30°
?
м/с
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси Ох
У' ось Ox: 0 + FH:E+0-FTp = 0,
ось Оу: -тд + FHy + N + 0 = 0.
Так как Fnx = FHcosce, FHy = FHsince, FTp = //TV, то систе-
система уравнений в проекциях будет иметь вид
{FHcosce — 11N = 0,
В этих уравнениях два неизвестных: FH и N. Выразим из
второго уравнения N и подставим в первое:
N = тд — FH sin се;
FHcosce — ji(mg — FHsince) = 0.
Найдем отсюда силу натяжения FH:
_ цтд
cos a+ /i sin a
Найдем перемещение при равномерном движении: s = vt. Рабо-
Работа равна
А = :—vt cos a;
cos a + \i sin a
[А]=КМ^.«.С=Н^!=ДЖ;
-L C С
Л = 2400000 Дж = 2,4 МДж.
11. Учебный самолет должен иметь для взлета скорость
108 км/ч. Время разгона для достижения этой скорости рав-
равно 12 с. Масса самолета 2000 кг. Коэффициент трения при
разгоне равен 0,05. Определите среднюю мощность двигателя
самолета, нужную для разгона.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
195
V =
t =
m =
M =
108 км/ч =
12 c
=20¦103 кг
0,05
— ?
30
м/с
I способ
Средняя мощность
Ncp = A/t; A = FTs,
FT — сила тяги мотора, s — переме-
перемещение.
Найдем FT (рис. 11.55):
TV + тд + FT + FTp = та.
Запишем это уравнение в проекциях на оси Ох и Оу:
ось Ох: 0 + 0 + FT - FTp = та,
ось Оу: N-
или
{FT — jiN = та,
N = тд,
FT — jimg = та,
трг
О
FT =
так как vq = 0.
A = FTs = т{-
N
тд
Рис. 11.55
vt A
—; Ncp = - =
v
- + fig
\ v
) -.
II способ
Средняя мощность
7Vcp = FTvcp.
Сила тяги найдена при первом способе решения, а средняя ско-
скорость равнопеременного движения равна
vcp = v/2 (г;0 = 0).
Тогда
V
-;
Глг1 /м м\м кг-мм кг-м2 Н-м Дж „
Л^ср = кг • + _)._ = — = —^ = = ^- = Вт;
^J Vc-c о11 с с2 с с3 с с
N = 90000 =9-104 Вт.
12. КПД двигателей электровоза и передающих механизмов
равен 0,8. Электровоз движется со скоростью 54 км/ч, и при
этом двигатели развивают мощность 900 кВт. Определите силу
тяги электровоза.
13*

196
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
7] =
V =
N3
FT
= 0,8
= 54 км
= 900
-?
/4 =
кВт
15
= 9
м/с
¦105
Вт
КПД равен
А„
траченную работу:
Развиваемая двигателем мощ-
мощность характеризует полную, за-
Полезная работа — та, которая идет на перемещение элект-
электровоза:
FTvt FTv
FT=
' 3
Вт Дж^=1Г«
м/с с-м м
= 3,2-104 H.
/1 =
к =
А/
А-
- 10 см
500 Н
= h =
.?
= 0,1 м
/м
0,1 м
13. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружи-
пружину длиной 10 см и жесткостью 500 Н/м вдвое?
При деформации пружины направле-
направление силы совпадает с направлением пе-
перемещения (се = 0°), поэтому
А = Fs = FAL
Так как по мере удлинения пружины воз-
возрастает сила упругости, то в соответствии с III законом Ньютона
внешняя сила тоже должна возрастать пропорционально удли-
удлинению, и при подсчете работы в этом случае надо брать среднее
значение силы:
A = FcpAl = ^±^AL
Сила упругости возрастает от F\ = 0 до F<i = к А/. Тогда
Л = /л/ = ;
2 2 '
— п м — ,^-1,ж, /\ — z,o дж.
-
м
14. Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле
однородный стержень длиной 6 м и массой 100 кг поставить
вертикально?
/ = 6 м
т = 100 кг
Задачу решаем в соответствии с пунктом 7
методики данного раздела. На рис. 11.56 видно,
что высота подъема центра тяжести равна:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
197
=l- и А = тд1- = 3000 Дж.
Ў та
^2
тд
Рис. 11.56
Рис. 11.57
hX = h
ho = 2h
15. С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с
высоты Л, чтобы он подпрыгнул на высоту 2/i? Удар упругий.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Так как мяч движется только под действием
силы тяготения (сопротивлением воздуха пренеб-
пренебречь), то систему «мяч-Земля» можно считать
изолированной. Кроме того, в момент удара о
Землю не происходит потери механической энер-
энергии (удар упругий). Поэтому для любых положений мяча можно
применить закон сохранения механической энергии B.13). Уро-
Уровень «нулевой» потенциальной энергии выберем у поверхности
Земли (рис. 11.57):
Для точки 1
Vq- Г
WKl =
Для точки 2 наивысшего подъема
= mgh.
= 0; Wu2 = mg2h = 2mgh.
Так как WKl + Wnl = Wk2 + Wn2, то
mv.
- + mgh = 2mgh.
Делаем преобразования:
vo = v/2gh; [v0] = J-^-m = m/c.
16. Найдите кинетическую и потенциальную энергии тела
массой 300 г, упавшего с высоты 50 м, на высоте 30 м от поверх-
поверхности Земли. На всем пути на тело действует сила сопротивле-
сопротивления воздуха, равная 2 Н.

198
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
т = 300 г = 0,3 кг
hi = 50 м
h2 = 30 м
FC = 2H
WK2-?Wn2-7
Так как на тело действует не только
сила притяжения Земли, но и сила соп-
сопротивления воздуха, то система «тело-
Земля» не является изолированной и
закон сохранения механической энергии
не выполняется. Используем соотноше-
соотношение B.14):
А — работа силы сопротивления (рис. 11.58). Найдем Л, W\ и W2:
г А = Fc5cosl80° = -Fcs;
¦--г-
i
2Г-Ч
= WK1 + Wni =0 + mgh1 =
Рис. 11.58
WK2 = Wni - Wn2 - Fcs =
Потенциальную энергию в точке 2
можно вычислить по данным задачи:
Wn2 = mgh2 = 90 Дж.
Подставим все это в соотношение B.14)
и найдем \Ук2:
- Wn2 - Fcs;
м
[Wk2] = кг---м-Дж-Н-м = Дж; Wk2 = 20 Дж.
с
17. Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На ка-
какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы
при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Шнур
может выдержать натяжение в 550 Н.
Данную систему можно считать изолиро-
изолированной (см. с. 182, п. 5). Уровень «нулевой» по-
потенциальной энергии совместим с наинизшим
положением тела (рис. 11.59).
Запишем закон сохранения энергии:
т = 25 кг
/ = 2,5м
FH = 550 Н
h-1
В положении 1: WKi = 0; Wn\ = mgh.
В положении 2: Wk2 = mv2/2; Wn2 = 0.
Следовательно mgh = mv2/2, и h = v2/Bg).
Скорость можно найти из II закона Ньютона для вращатель-
вращательного движения:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
199
= та
mv
ц;
I — длина нити, она равна радиусу дуги, по которой движется
груз. Отсюда
2 _ (FH-mg)l
Найдем h:
т
h =
(FH-mg)l
2тд
Н-м
Не2
кг • м • с
с2 -кг
= м;
L J I 1
кг -м/с кг
h = 1,5 м.
Примечание: в задачах на
свободно отклоняющееся тело можно применить закон сохра-
сохранения механической энергии, если отсутствуют какие-либо
внешние силы, или работа внешних сил равна нулю.
18. Пуля, масса которой 10 г, ударяется о доску толщиной
4 см со скоростью 600 м/с, а вылетает из доски со скоростью
400 м/с. Найдите среднюю силу сопротивления доски.
В данной задаче закон сохранения
энергии не применим, так как на пулю
действует внешняя сила сопротивления
со стороны доски (рис. 11.60).
Воспользуемся соотношением B.11):
А = WK2 — WK\. В соответствии с B.5)
выражение для работы: Л = Fcs cos a.
Так как а = 180°, то Л = -Fcs,
т
s -
V\
V2
Fc
= 10 г
= 4 см
= 600
= 400
-?
=
м
м
0
о,
/с
/с
,01
04
кг
м
Подставим все в B.11):
Отсюда
mvt
Рис. 11.60
г 1 кг м кг-м
[Fc\ = Т = —5— = Н; Fc = 25 Кн.
2s ч А L J м с2 с2
19. Тело, брошенное с высоты 250 м вертикально вниз с
начальной скоростью 20 м/с, погрузилось в Землю на глуби-

200
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
hi =
l°-
m =
FC2
= 250 м
: 20 м/с
2 кг
_?
ну 20 см. Определите среднюю силу сопротивления почвы, если
масса тела 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.
На первом участке пути hi на тело действу-
действует только сила тяготения, являющаяся внутрен-
внутренней силой для системы «тело-Земля». На вто-
втором участке h2 начинает действовать внешняя
сила сопротивления почвы (рис. 11.61). Поэтому
для всего пути движения воспользуемся фор-
формулой B.11): работа сил сопротивления почвы
равна изменению механической энергии тела.
«Нулевой» уровень потенциальной энергии выберем в горизон-
горизонтальной плоскости, содержащей конечную точку движения — 2.
A = W2-Wi.
Найдем А,\?ъ\?2\
А = Fc2h2cosa = -Fc2h2
(так как а = 180°)
Тогда
vc
- ° Отсюда
Рис. 11.61
м
кг-м
м с
кг-м
= Н; Fc2 = 26900 Н.
20. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со
скоростью 15 м/с. Найдите потенциальную и кинематическую
энергии камня спустя 1 с после начала движения, если масса
камня 200 г. Сопротивлением воздуха пренебречь.
hi = 25 м
vr = 15 м/с
* = 1 с
т = 200 г = 0,2 кг
F, = 0
Wn2-?WK2-?
В соответствии с условием систему
«камень-Земля» можно считать изолиро-
изолированной, так как сопротивление воздуха
пренебрежимо мало. Поэтому к данной
задаче можно применить закон сохра-
сохранения механической энергии. «Нулевой»
уровень потенциальной энергии примем
у поверхности Земли (рис. 11.62). Тогда

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
201
hi
Рис. 11.62
ИЛИ
Найдем VKKi и
Найдем Wn2:
Wn2 = mgh2 = mg(hi - s),
где s — путь, пройденный камнем за 1 с,
(так как в вертикальном направлении камень падает с ускоре-
ускорением д без начальной скорости). Поэтому
1 м ( м-с2\кг-м
= кг • — • м — = —— • м = Н • м = Дж;
Wu2 = 39,4 Дж.
Wk2 найдем из закона сохранения энергии:
WK2 = WKl + Wnl - Wn2 = ^
- Wn2]
21. Найдите величину работы, которую надо совершить,
чтобы втащить на гору с уклоном 30° груженые сани мас-
массой 30 кг. Коэффициент трения полозьев о снег 0,05. Высота
горы 20 м.

202
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
/3 = 30°
т = 30 кг
// = 0,05
Л = 20м
I способ
Считаем, что сани тянут равномерно, поэто-
поэтому для нахождения силы тяги запишем I закон
Ньютона (рис. 11.63):
А-1
(F — внешняя сила тяги, TV — сила реакции опоры, FTp — сила
трения).
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси сис-
системы координат хОу:
ось Ox: F — FTp — (тд)х = О,
(а)
ось Оу: N — (тд)у = 0.
Так как
FTp = /iN, (тд)х = mgsin/З, (тд)у = mgcos/3,
то систему уравнений (а) мож-
можно переписать следующим об-
образом:
{/у / / /\/ iryi П Q1Т1 /I Г|
о п ^
N — тд cos р = 0.
Решая систему (б), найдем
величину силы тяги:
F =
n\
ру>С,
V
к
Л
тд
\(т9)у
\
\
h
р тт ^о Путь, пройденный санями
при подъеме, равен: s = h/ sin /3.
Угол меж;ду силой тяги F и направлением перемещения ра-
равен нулю: а = 0, поэтому при вычислении работы надо учесть,
что cos а = 1. Работа силы тяги равна А = Fs;
А = тд (sin C + /1 cos C) ——- = mgh(l + //ctg /3);
Sin ID
M
[А] = кг-^т-м = Н-м = Дж;
с
II способ
А = 6,35 кДж.
Решим эту задачу, используя понятие энергии.
На сани действует сила притяжения к Земле (внутренняя
сила), и внешние силы — сила тяги и сила трения. В соответст-
соответствии с формулой B.14) можно записать, что

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
203
(в)
А — работа силы тяги, ЛТр — работа силы трения.
Систему отсчета свяжем с Землей; уровень нулевой потенци-
потенциальной энергии выберем у основания горы. Относительно этого
уровня, при перемещении саней из точки 1 в точку 2, изменение
энергии равно:
AW = mgh; \Уг = 0; W2 = mgh. (г)
Найдем работу силы трения:
sinp
Лтр = FTp«scosl80° = —
Из рис. 11.63 TV = тд cos f3. Поэтому
^4тр — —fimgctgfl. (д)
Подставив (г) и (д) в формулу (в), получим такое же, как при
решении первым способом, выражение:
А = тд h(l + fictgfi).
Очевидно, что решение вторым способом получается проще.
22. С горы высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки,
которые останавливаются, пройдя горизонтальный путь 35 м от
основания горы. Найдите коэффициент трения.
Система неизолированная, внешней силой яв-
является сила трения. Сани, обладая потенциальной
энергией в начале движения, останавливаются в
результате работы силы трения Лтр (рис. 11.64).
Поэтому л JJZ JJZ i ч
J ATp = W2-Wi. (a)
I = 5 м
s = 35 м
Уровень нулевой потенциальной энергии выберем у основа-
основания горы. Тогда

204 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Wr = mgh- W2 = 0. (б)
Работа сил трения складывается из работы на двух участ-
участках S\ И S2\ л л л
Работа силы трения на наклонном участке равна
угол 180° — между направлением перемещения и силой тре-
трения, TVi — сила нормального давления на склоне горы, равная
составляющей силы тяжести на нормаль (численно равна силе
реакции опоры), s± — длина склона горы. Из рис. 11.64 видно, что
1
TVi = rng cos ср; cos ср = —.
С учетом этих соотношений получим формулу для работы
силы трения на первом участке:
Ai = —итд — si = —umgl.
si
Работы силы трения на горизонтальном участке равна
На горизонтальном участке сила нормального давления рав-
равна силе тяжести. Поэтому
А2 = —/imgs2.
Работа силы трения на всем пути равна сумме:
A = Ai + A2 = —/img(l + s2). (в)
Подставим формулы (б) и (в) в (а) и найдем коэффициент
трения \л\
h м
—Himg(l + s2) = —mgh'1 // = ; М = — = 1; // = 0,05.
/ + S2 М
23. В неподвижный маятник, имеющий массу М, попадает
пуля массой т, летящая горизонтально со скоростью v\. Оп-
Определите, на какую высоту поднимется маятник и какая часть
механической энергии летящей пули превратится в энергию ма-
маятника с пулей?
лг Колебания маятника, происходящие под
действием силы тяжести и силы натяжения
нити, подчиняются закону сохранения меха-
механической энергии (см. с. 182, п. 5). Поэтому
11
±-?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
205
высоту подъема маятника можно найти из закона сохранения
энергии. Относительно обозначенного «нулевого» уровня можно
записать (рис. 11.65):
6
= 0
До попадания
После попадания
Рис. 11.65
(М + m)v2
2 '
W2 = (M + m)gh,
где v — скорость маятника после попадания пули, h — высота
наибольшего подъема. Следовательно
(M + m)v2
= (М
откуда
Найдем скорость маятника вместе с пулей — v. Удар пули
с маятником является неупругим ударом. Поэтому можно за-
записать закон сохранения импульса (в проекции на направление
взаимодействия):
mv\ + Mv2 = (га + M)v,
v\ — скорость пули, V2 — скорость маятника перед ударом. Так
как V2 = 0, то
V =
т + М
Тогда
h =
т у-.
Г|1 кг
кг2-м2-с2
= М'
с -кг • м
Механическая энергия маятника с пулей равна

206
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
M)v2
M)m2vl
т
2 2
2(m + MJ
Кинетическая энергия пули
поэтому
2,.2
т v
mvt
т
Wo 2(m + M) * 2
+ М'
24. Два одинаковых свинцовых шарика подвешены на длин-
длинных нитях, причем /х = /2 = /. Один шарик отклонили так, что
нить составила угол 60° с вертикалью. На какую высоту под-
поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара? Как из-
изменится механическая энергия шаров после удара?
Используя закон сохранения механичес-
механической энергии (см. задачу 23), найдем скорость
отклонения шарика непосредственно перед
ударом v\ (рис. 11.66 а):
m
h
a
hi
1 = П
= h
= 60c
-?
%2 =
= 1
)
m
-?
mghi =
»?.
(а)
Найти h\ можно, используя тригонометрическую связь
между /, х и углом а (рис. 11.66 а): х = Icosa;
hi = I — х = 1A — cos се). (б)
#2=0
Рис. 11.66
В момент неупругого удара шарики деформируются и даль-
дальше движутся вместе. Запишем для этого взаимодействия закон
сохранения импульса (рис. 11.66 б'):

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ207
v — скорость шаров после удара. Так как mi = т2 = т, то в
проекциях это уравнение запишется следующим образом:
mvi = 2mv; v\ = 2v; v = v\/2. (в)
Найдем теперь высоту подъема слипшихся шариков после удара
по закону сохранения энергии (рис. 11.66 в):
2mv2 Л v2
= 2mgh2;
2 —"*-*i -* 2д
Подставим соотношения (в), (б) и (а) в последнюю формулу
для h2. Получим
h2 = 0,25/A -cosa) = 0,25/A -cos60°); h2 = 0,125/.
При ударе свинцовых шариков они деформируются, нагрева-
нагреваются. Эти изменения необратимы: часть механической энергии
переходит во внутреннюю. Найдем, во сколько раз уменьшилась
механическая энергия:
W\ = mgh\ = mgl(l — cos се) = 0,f
W2 = 2mgh2 = 2m#0,125/ = 0,
^1 = 2
W2
Механическая энергия шаров после удара уменьшится в
2 раза.
25. Два стальных шарика подвешены на параллельных
нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются друг с
другом. Масса одного шарика в два раза больше, чем друго-
другого. Тяжелый шарик отвели от положения равновесия так, что
нить составляет угол 60° с вертикалью. Затем его отпустили.
На какую высоту отклонится каждый шарик после их упругого
столкновения?
= 2т2
а = 60°
Шарик массой rai при отклонении на
угол а\ приобретает потенциальную энер-
энергию
= m\gh =
— I h2 — l (см. рис. 11.66 a; подробно это выражение по-
получено при разборе задачи 24 этого раздела).
Когда шарик отпустили, потенциальная энергия переходит в
кинетическую. Из закона сохранения энергии можно получить

208
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
скорость первого шарика в наинизшем положении, то есть перед
взаимодействием с более легким вторым шариком (рис. 11.67а):
до удара
после удара
Wn=O
Рис. 11.67
=vw
-cosa)
(а)
Теперь можно записать закон сохранения импульса для
упругого взаимодействия шариков. Второй шарик после удара
будет двигаться вправо, а первый шарик может либо сменить
направление своего движения (рис. 11.67б), либо с меньшей
скоростью двигаться в прежнем направлении (рис. 11.67 в). Рас-
Рассмотрим подробно первый случай. Запишем закон сохранения
импульса в векторной форме для упругого удара, а затем в про-
проекциях на ось х (второй шарик перед ударом покоится: г>2 = 0):
, v2 — скорости шариков после удара,
В это уравнение входят две неизвестных величины: v[ и vf2. По-
Поэтому для их нахождения нужно еще одно уравнение, которое
запишем, используя закон сохранения механической энергии:
¦ + ¦
f
\mivl = mi(v[J + m2(v2J.
F)
Полученная система приведет к квадратному уравнению. Про-
Произведем преобразования, которые дадут более простое второе
уравнение:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
209
J
v[) = m2(v2
Поделим второе уравнение на первое. Произведя сокращения,
получим
J
Vl-Vr1=vr2.
Используя полученное уравнение и первое уравнение систе-
системы (б), можно найти v'i и v2:
f f
-v[ =vf2
Так как по условию mi = 2m2, то первое уравнение систе-
системы (в) упростится:
j 2г>1 = v2 — 2v[,
Отсюда
vi-v[ =v2.
V!
Знак минус говорит о том, что направление движения шарика
массой mi выбрано неверно; после удара он движется в прежнем
направлении, т. е. соответствует рис. 11.67 в.
Рекомендуется самостоятельно произвести решение и полу-
получить те же ответы (но без « —» перед г>^), записав закон сохра-
сохранения количества движения для рис. 11.67 в.
Теперь, опять используя закон сохранения энергии и соот-
соотношение (а), получим высоты hi и /i2, на которые поднялись
шарики после соударения (рис. 11.67 г):
h КJ v\
/A-cosa)
9
:0,ll/(l-cos60°) = 0,055/;
W2J = H
25 %
16/A "C0SQ)
9
1,77/A-cos60°) = 0,88/.
14 С. В. Трубецкова

210
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Я
26. Если положить на верхний конец спиральной пружины
гирю, то она сожмет пружину на величину 1$. На сколько
сожмет пружину та же гиря, брошенная вниз с начальной ско-
скоростью Vq С ВЫСОТЫ Я?
Когда гиря положена на пружину, ее сила тяжести
скомпенсирована упругой силой (рис. 11.68 а). Поэтому
можно записать, что
тд = FyUp, или тд = kl$. (a)
После падения гири пружина сжимается. Уро-
Уровень отсчета потенциальной энергии расположен в горизонтали,
где находится центр тяжести гири в наинизшем ее положении
(рис. 11.68 в). Относительно этого уровня механическая энергия
гири для ситуации, соответствующей рис. 11.68 б', равна
W6=mg(H + x) + ^.
х —
тд
Когда гиря сжала пружину, вся ее энергия превратилась в по-
потенциальную энергию деформированной пружины (рис. 11.68 в):
На гирю действует сила тяжести и упругая сила. Так как
трение отсутствует, то можно записать закон сохранения меха-
механической энергии:
W6=We; ^ ^
Найдем жесткость пружины из уравнения (а) и подставим в
последнюю формулу. После преобразований получим квадрат-
квадратное уравнение относительно деформации х:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 211
дх2 - 2glQx - 10BдН + v%) = 0.
Решая его, найдем требуемую величину:
X = Iq-
(второе значение корня отрицательно и физического значения
не имеет).
Проверим полученное выражение по размерности:
3 2
[и I су су М * С
Х\ = М + \ Mz + Mz H Ту = М + М = М.
1/ с -м
27. Поезд массой 600 т, отойдя от станции на 2,5 км, при-
приобретает скорость 60 км/ч. Какую среднюю мощность развивает
локомотив, если коэффициент трения равен 0,005?
В данном случае на поезд дейст-
действуют две внешние силы: сила тяги FT
и сила трения ^Тр. Работа этих сил
равна изменению энергии:
AT + ATp = W2-W1. (a)
АТ = FT5Cos0° = FTs;
т = 600 т = 6
5 = 2,5 км = 2
v = 60 км/ч =
// = 0,005
Л^ср-?
•10
,5-
16.
5 кг
103
7 м,
м
/с
= FTp«scosl80° = —
W2 = mv2/2; Wr = 0.
Подставим все это в основное соотношение (а):
(б)
Мощность локомотива можно найти по формуле
Силу тяги FT найдем из соотношения (б), учитывая, что
p = /img (так как поверхность горизонтальная):
„ „ , mv2 , mv2
FT = FTp + ^— +
_ Vq-\- V _ V
Тогда
mv
14*

212
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
/ м
(-2
с" с •
7Vcp^5,2-105 Вт.
28. Найдите работу, которую надо совершить, чтобы растя-
растянуть пружину, коэффициент жесткости которой равен 30 Н/см,
на 20 см из недеформированного состояния.
Работа силы упругости
к, —
Ah
А/2
А-
30 Н
= 0
= 20
?
/см
см
= 30
= 0,2
•102
м
Н/м
--м2 = Н-м = Дж,
м
А1 = -0,6 Дж.
Знак « —» определяется тем, что при растяжении пружи-
пружины сила упругости совершает отрицательную работу, а работа
внешней силы положительна и равна А = 0,6 Дж.
29. Подъемный кран приводится в действие двигателем
мощностью 10 кВт. Сколько времени понадобится для достав-
доставки на высоту 50 м груза массой 2 т, если КПД двигателя ра-
равен 75%?
N = 10 кВт = 103 Вт
Л = 50м
m = 2 т = 2 • 103 кг
v = 75% = 0,75
КПД определяется по формуле
v = —
где Аи — работа по подъему груза
на высоту /i, равная изменению по-
потенциальной энергии груза. Если
уровень «нулевой» потенциальной
энергии выбрать на поверхности Земли, то Ап = mgh] A3 —
работа двигателя: А3 = Nt. Тогда
mgh
?-?
Отсюда
mgh
t =
rjN '
кг • м • м
с2 Вт
Nt
Дж
Вт '
Дж-с
Дж
= с;
t = 130 с.

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Применение законов Ньютона к поступательному
движению
1. Во всех нижеприведенных случаях (рис. 11.69) охарактери-
охарактеризуйте движение тела по действию нескольких сил: равномерное
или равнопеременное; укажите направление ускорения. Допол-
Дополнительные построения к задаче произведите, предварительно
перерисовав чертеж в тетрадь.
Рис. 11.69
2. Мяч после удара футболиста летит вертикально вверх.
Укажите и сравните силы, действующие на мяч: а) в момент
удара; б) во время полета мяча вверх; в) во время полета мяча
вниз; г) при ударе о землю.
3. Коэффициент трения между бруском и горизонтальной
поверхностью равен 0,2. Масса бруска 5 кг. Какая сила трения

214 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
возникает, если на брусок подействовать горизонтальной силой
а) 7 Н? б) 10 Н? в) 15 Н? Каков характер движения бруска
во всех этих случаях?
4. Укажите и сравните силы, действующие на шарик в сле-
следующих случаях: а) шарик лежит на горизонтальном столе;
б) получает толчок от руки; в) катится по столу; г) летит со
стола.
5. С какой силой надо подействовать на тело массой 500 г,
чтобы оно начало двигаться с ускорением 1 см/с2?
6. Какой силой надо подействовать на тело массой 2 кг,
чтобы из состояния покоя оно прошло за 5 с путь в 25 м?
7. Какой силой надо подействовать на тело массой 5 кг, дви-
движущееся равномерно со скоростью 0,5 м/с, чтобы за 5 секунд
действия силы скорость тела стала равной 35 м/с?
8. Под действием какой силы тело массой 7 кг может равно-
равномерно подниматься?
9. Какова должна быть сила сопротивления воздуха, чтобы
воздушный шар массой 5 г равномерно опускался?
10. Какую массу должно иметь тело, чтобы под действием
силы 4,9 Н оно двигалось равномерно по горизонтальной по-
поверхности? Коэффициент трения равен 0,01.
11. Найдите величину тормозящей силы, действующей на
автомобиль массой 3 т, если при скорости движения 20 м/с тор-
тормозной путь был равен 40 м.
12. На покоящееся тело массой 0,2 кг действует в течение
5 с сила 0,1 Н. Какую скорость приобретает тело и какой путь
оно пройдет за указанное время?
13. Под действием силы в 5 Н тело движется с ускорением
1 м/с2. С каким ускорением будет двигаться это тело под дейст-
действием силы в 15 Н?
14. Поезд массой 2000 т, движущийся со скоростью 36 км/ч,
остановился; время торможения равно 80 с. Определите вели-
величину тормозящей силы и тормозной путь.
15. Под действием некоторой силы тело массой 2 кг движет-
движется с ускорением 0,5 м/с2. Каково будет ускорение тела массой
0,5 кг под действием той же силы?

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 215
16. Масса легкового автомобиля равна 2 т, а грузового 8 т.
Сравните ускорение автомобилей, если сила тяги грузового ав-
автомобиля в 2 раза больше, чем легкового.
17. Магнитный брусок массой 500 г прилип к вертикальной
стальной плите. Найдите силу магнитного притяжения, если
коэффициент трения бруска о плиту 0,098.
18. Магнитный брусок массой 1,5 кг лежит на горизонталь-
горизонтальной стальной плите. Сила магнитного притяжения бруска к
плите 100 Н. Коэффициент трения бруска о плиту 0,2. Какую
силу надо приложить для равномерного передвижения бруска
по плите?
19. Магнит массой 50 г прилип к вертикальной стальной
плите. Для равномерного скольжения магнита вниз прикладыва-
прикладывают силу 1,5 Н. С какой силой магнит притягивается к плите?
Какую силу надо приложить, чтобы равномерно перемещать
магнит вертикально вверх? Коэффициент трения равен 0,2.
20. Лодку массой 50 кг тянут к берегу двумя канатами,
расположенными в горизонтальной плоскости. Угол между ка-
канатами 60°. Силы, приложенные к канатам, по 100 Н каждая.
С каким ускорением лодка приближается к берегу?
21. С каким ускорением летит самолет, если на него дейст-
действуют четыре силы: по вертикали — сила тяжести 200 кН и подъ-
подъемная сила 210 кН; по горизонтали — сила тяги двигателя 20 кН
и сила лобового сопротивления воздуха 10 кН. Как направлено
ускорение?
22. Человек, стоя в лодке, тянет к себе с помощью веревки
вторую лодку. Определите пути, пройденные первой и второй
лодками за 5 с, если масса первой лодки 200 кг, второй — 100 кг,
а сила натяжения веревки 100 Н. Силами трения пренебречь,
воду считать покоящейся, а движение лодки равноускоренным.
23. Мальчик, стоя на тележке, тянет к себе с помощью ве-
веревки вторую тележку с постоянной силой 100 Н. Определите
скорости первой и второй тележек через 2 с после начала дви-
движения, если масса тележки с мальчиком 100 кг, а масса второй
тележки 80 кг. Трением пренебречь.
24 . Один шар-зонд, когда его отпускают, движется с уско-
ускорением ai, другой — с ускорением а^- Подъемная сила у них
Звездочкой обозначены задачи повышенной трудности.

216
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
одинаковая. Найдите ускорение в том случае, если они соеди-
соединены вместе.
25. На рис. 11.70 дан график за-
зависимости скорости движения авто-
автомобиля массой 3 т. Определите силу
трения.
26. По данным рис. 11.71 напи-
напишите уравнения координат для 1-го
и 2-го тел, взяв за точку отсчета по-
v (м/с),
8
6
4
О
10 20 t (с)
Рис. 11.70
ложение 1-го тела в данный момент. Через сколько времени тела
столкнутся?
mi = 2 кг
7712 = 3 КГ
2 м
F2 = 12 Н
#01 = #02 = О
Рис. 11.71
27. На рис. 11.72 дан график скорости движущегося тела.
Что можно сказать о действующих на это тело силах?
С D
v (м/с) t
10
Рис. 11.72
О 5 10 15 20 t (с)
Рис. 11.73
28. На рис. 11.73 дан график изменения скорости тела мас-
массой 2 кг. Найдите силу, действующую на тело, на каждом участ-
участке пути.
29. Электровоз на участке пути длиной 600 м развивает си-
силу тяги 150 кН. Скорость поезда при этом возрастает от 36 до
54 км/ч. Определите силу сопротивления движению, считая ее
постоянной. Масса электровоза равна 1000 т.
30. На горизонтальном участке пути длиной 225 м скорость
автомобиля возросла с 10 до 15 м/с. Определите силу сопротив-
сопротивления движению, если масса автомобиля 9340 кг, а сила тяги
двигателя равна 15700 Н.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 217
31. Электровоз двигает с места состав массой 1600 т. С ка-
каким ускорением движется поезд, если коэффициент сопротивле-
сопротивления равен 0,005, а сила тяги 400 кН?
32. Автомобиль массой 14 т, трогаясь с места, проходит пер-
первые 50 м за 10 с. Найдите силу тяги, если коэффициент сопро-
сопротивления равен 0,05.
33. Поезд массой 1000 т отходит от станции. Какой скорости
достигнет этот поезд на расстоянии 1 км, если паровоз развивает
силу тяги в 220 кН, а коэффициент трения 0,005? Через сколько
времени будет достигнута эта скорость?
34. Камень, скользящий по горизонтальной поверхности
льда, остановился, пройдя расстояние 48 м. Определите началь-
начальную скорость камня, если коэффициент трения скольжения
камня о лед равен 0,06.
35. Тело массой т движется прямолинейно с ускорением а
по горизонтальной плоскости под действием некоторой силы,
образующей с горизонтом угол а. Определите величину этой
силы, если коэффициент трения между передвигаемым телом и
плоскостью равен //.
36. Груз массой 100 кг перемещают равноускоренно по го-
горизонтальной поверхности, прилагая силу 200 Н, направленную
под углом 30° к горизонту. С каким ускорением движется тело,
если коэффициент трения равен 0,1?
37. Груз массой 100 кг равномерно тянут по горизонталь-
горизонтальной поверхности с силой 300 Н, направленной под углом 30° к
горизонту. Найдите коэффициент трения скольжения.
38. Груз массой 100 кг перемещают равномерно по гори-
горизонтальной поверхности, прилагая силу, направленную под уг-
углом 30° к горизонту. Определите ее величину, если коэффициент
трения о поверхность равен 0,3. Что выгоднее — тянуть или
толкать этот груз с той же силой?
39. Тело массой 10 кг тянут по горизонтальной поверхности
силой 40 Н. С каким ускорением будет двигаться тело, если сила
приложена под углом 30°? Коэффициент трения о поверхность
равен 0,1. Каким будет ускорение, если тело толкать той же си-
силой под углом 30° к горизонту?
*
40 . Тело массой 12 кг под действием силы 80 Н, придавли-
придавливающей его к горизонтальной поверхности и действующей под

218 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
углом 30° к горизонту, движется равномерно. Определите, с ка-
каким ускорением будет двигаться то же тело, если его тянуть, а
не толкать с той же силой, действующей под тем же углом к
горизонту.
41. Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой
2 т и, двигаясь равноускоренно, за 50 с проехал 400 м. Найдите
удлинение троса, соединяющего автомобили, если его жесткость
2 • 106 Н/м. Трение не учитывать.
42. При помощи динамометра поднимают груз массой 2 кг
с ускорением 2,5 м/с2, направленным вверх. Найдите удлинение
пружины динамометра, если ее жесткость 1000 Н/м.
43. Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по
деревянной доске с помощью пружины жесткостью 10 Н/м. Ко-
Коэффициент трения 0,3. Найдите удлинение пружины.
44. Жесткость пружины 500 Н/м. Если с помощью этой
пружины равномерно тянуть по полу брусок массой 5 кг, то
пружина удлиняется с 10 до 15 см. При этом пружина образует
с горизонтом угол 60°. Каков коэффициент трения бруска
о пол?
45. Два груза, массы которых равны 0,98 и 0,2 кг, связаны
нитью и лежат на гладком столе. К первому грузу приложена
сила 5 Н, ко второму в противоположном направлении 3 н. Чему
равно натяжение нити?
46. Два груза массами 3 кг и 5 кг лежат на гладком гори-
горизонтальном столе, связанные шнуром, который разрывается при
натяжении 24 Н. Какую максимальную силу можно приложить
к первому грузу? Ко второму грузу? Как изменится ответ, если
учесть трение? Коэффициенты трения грузов о стол одинаковы.
47. Два груза массами 0,2 кг и 4 кг связаны нитью и лежат
на гладком столе (трением пренебречь). К первому грузу прило-
приложена сила 0,2 Н, ко второму в противоположном направлении —
сила 0,5 Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова
сила натяжения соединяющей их нити?
48. Два тела с массами 50 кг и 100 кг связаны нитью и
лежат на гладкой горизонтальной поверхности. С какой силой
можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать
силу натяжения 5 Н, не оборвалась? Изменится ли результат,
если силу приложить ко второму телу?

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 219
49. Три одинаковых бруска связаны нитью и положены на
гладкий стол. К первому бруску приложена сила 100 Н. Опре-
Определите силу натяжения нитей, соединяющих первый и второй
бруски и второй с третьим. Силой трения пренебречь.
50. Тело массой 1 кг падает с ускорением 9 м/с2. Чему равна
средняя сила сопротивления воздуха?
51. Тело массой 100 г, падая с высоты 9 м, приобрело ско-
скорость 12 м/с. Найдите среднюю силу сопротивления воздуха.
52. Парашютист массой 85 кг при раскрытии парашюта
опускается с постоянной скоростью. Чему равна сила сопротив-
сопротивления воздуха?
53. Камень массой 1 кг при падении с высоты 30 м имел
скорость в момент падения 23 м/с. Чему равна средняя сила
сопротивления воздуха при падении камня?
54. Тело, брошенное вертикально вверх с начальной ско-
скоростью 30 м/с, достигло высшей точки подъема спустя 2,5 секун-
секунды. Определите среднее значение силы сопротивления воздуха,
действовавшей на тело во время полета, если масса тела 40 г.
55. Тело массой 0,1 кг, брошенное вертикально вверх со
скоростью 40 м/с, достигло высшей точки подъема через 2,5 с.
Определите среднее значение силы сопротивления воздуха.
56. Какой массы балласт надо сбросить с равномерно спус-
спускающегося аэростата, чтобы он мог равномерно подниматься с
той же скоростью? Вес аэростата с балластом 16 кН, подъемная
сила аэростата 12 кН. Силу сопротивления воздуха считать оди-
одинаковой при подъеме и спуске.
57. При каком ускорении разорвется трос, прочность которо-
которого на разрыв равна 15 кН, при подъеме груза массой 500 кг?
58. Подвешенное к тросу тело массой 10 кг поднимается вер-
вертикально вверх. С каким ускорением оно движется, если сила
натяжения троса 118 Н?
59. Шахтная клеть массой 3 • 103 кг поднимается с ускорени-
ускорением 0,5 м/с2. Определите натяжение каната, при помощи которого
поднимается клеть. Каково будет натяжение каната в начале
спуска клети с тем же ускорением и при ее движении с постоян-
постоянной скоростью?

220
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
м/с
3
2
1
60. С каким максимальным ускорением можно поднимать с
помощью веревки тело массой 200 кг, если веревка выдерживает
неподвижный груз массой 240 кг?
61. Какой груз можно поднять равноускоренно за 10 с си-
силой 1000 Н на высоту 10 м? Каково будет натяжение веревки,
если этот груз с таким же ускорением будет опускаться вниз?
62. Максимальная нагрузка, которую выдерживает веревка,
равна 80 Н. Какой наибольший груз можно опустить с ее по-
помощью вниз с ускорением 4,9 м/с2?
63. При помощи троса можно поднять груз массой 1 т с
максимальным ускорением 0,2 м/с2. Какой наибольший груз
можно опустить с ускорением 0,8 м/с2?
64. Груз массой 15 т опускают в трюм парохода. График из-
изменения скорости дан на рис. 11.74.
Определите силу натяжения тро-
троса в следующие промежутки вре-
времени: а) от начала движения до
конца пятой секунды; б) от на-
начала шестой секунды до конца
тринадцатой; в) от конца три-
тринадцатой секунды до конца пят-
пятнадцатой.
65. Определите вес груза, поднимаемого в лифте, если его
масса 150 кг, а лифт поднимается с ускорением 0,66 м/с2. Какое
давление оказывает груз на пол кабины при опускании лифта
с тем же ускорением?
66. Космический корабль массой 103 т при вертикальном
подъеме за 10 с набрал высоту 3 км. Определите силу тяги дви-
двигателей. Как отличается вес космонавта при подъеме от его веса
на Земле (т. е. найти перегрузку)?
67. На определенных участках пути при вертикальном
взлете космическая ракета движется с ускорением 49 м/с2. Ка-
Какую перегрузку испытывает при этом космонавт?
68. Шахтная клеть в покое весит 2500 Н. С каким ускоре-
ускорением опускается клеть, если ее вес уменьшился до 2000 Н?
69. Груз массой 150 кг лежит на дне кабины спускающегося
лифта и давит на его дно с силой 1800 Н. Определите величину
и направление ускорения лифта.
0
5 10
Рис. 11.74
15 t, с

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 221
70. В лифте находится груз массой 100 кг. Каков будет вес
этого груза, если лифт: а) поднимается вертикально вверх с
ускорением 0,3 м/с2; б) движется равномерно; в) опускается с
ускорением 0,4 м/с2; г) свободно падает?
71. Веревка выдерживает груз массой 200 кг при подъеме
его с некоторым ускорением по вертикали и груз массой 800 кг
при опускании его с таким же по величине ускорением. Какой
груз можно поднять на этой веревке с постоянной скоростью?
72. Какое ускорение нужно сообщить космическому кораб-
кораблю, чтобы космонавт испытывал четырехкратное увеличение
своего веса? Разберите случаи вертикального взлета и верти-
вертикального спуска.
73. В лифте установлены пружинные весы, на которых
подвешено тело массой 1 кг. Что будут показывать весы, если:
а) лифт движется вверх ускоренно с ускорением 4,9 м/с2;
б) лифт движется вверх замедленно с ускорением 4,9 м/с2;
в) лифт движется вниз ускоренно с ускорением 2,45 м/с2;
г) лифт движется вниз замедленно с ускорением 2,45 м/с2?
74. Три тела массами 1,96 кг, 3,92 кг и 0,98 кг связаны ни-
нитями. Какую силу надо приложить к первому телу, чтобы рав-
равномерно поднимать все тела вертикально вверх? Чему равны
при этом натяжения нитей?
75. Две гири массами 2 кг и 1 кг соединены нитью и пере-
перекинуты через неподвижный блок. Найдите ускорение, с которым
движутся гири, и натяжение нити. Трением в блоке пренебречь.
Нить считать невесомой и нерастяжимой.
76. Через неподвижный блок перекинута нить с двумя гру-
грузами, масса одного из которых в два раза больше массы друго-
другого. С каким ускорением движутся грузы, чему равны их массы,
если сила натяжения нити равна 26,15 Н?
77. К концам шнура, перекинутого через неподвижный
блок, подвешены гири массами 7 и 11 кг; гири находятся на
одной высоте. Через какой промежуток времени после нача-
начала движения более легкая гиря поднимется на 10 см? Массой
блока и весом нити пренебречь.
78. На концах нити, перекинутой через неподвижный блок,
подвешены тела, каждое из которых имеет массу 240 г. Какую

222 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
массу должен иметь добавочный груз, положенный на одно из
тел, чтобы каждое из них прошло за 4 с путь, равный 160 см?
79. Через блок переброшена нить, к концам которой подве-
подвешены гири массой по 200 г каждая. Какую вертикальную силу
надо приложить к одной из гирь, чтобы система начала дви-
двигаться с ускорением 50 см/с2?
80. Одинаковые грузы массой по 120 г прикреплены к
нити, переброшенной через блок. На один из грузов положили
кусочек проволочки массой 4,8 г. Какой путь пройдет каждая из
гирь за 2 с и какую приобретет скорость?
81. На концах нити, перекинутой через блок, висят на оди-
одинаковой высоте две гирьки массой по 96 г каждая. Если на одну
из гирек положить перегрузок, вся система придет в движение
и через 3 с расстояние между гирьками станет 1,8 м. Определи-
Определите ускорение тел, массу перегрузка, силу натяжения нити, силу
давления перегрузка на гирьку при движении и силу давления
на ось блока.
82 . Через неподвижный блок перекинута нить с двумя
грузами, масса одного из которых в 2 раза больше другого.
С каким ускорением движутся грузы, чему равны их массы и
какова сила натяжения нити, если сила давления на ось блока
равна 52,3 Н?
83 . Через неподвижный блок перекинута веревка, к одному
из концов которой привязан груз массой 60 кг. На другом
конце повис человек массой 65 кг, который, выбирая веревку,
поднимает груз, оставаясь при этом на одном и том же рассто-
расстоянии от пола. Через сколько времени груз будет поднят на вы-
высоту 12 м?
84 . Маляр массой 60 кг работает в
подвесном кресле, масса которого 10 кг.
Ему понадобилось срочно подняться вверх.
Он принимается тянуть за веревку с такой
силой, что сила его давления на кресло
уменьшается до 300 Н. Найдите ускорение
маляра.
Рис. 11.75 85 • Определите ускорения, с которы-
которыми движутся грузы mi и Ш2, и силы натя-
натяжения нитей (рис. 11.75). Трением и массой блоков пренебречь.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 223
Нить считать невесомой и нерастяжимой, масса первого груза
больше.
86. Два груза массами 3 кг и 2 кг, лежащие на горизонталь-
горизонтальном столе, соединены нитью,
параллельной плоскости сто-
стола. На нити, прикрепленной ко
второму грузу (рис. 11.76) и пе-
перекинутой через неподвижный
блок, подвешен груз 2 кг. Оп-
Определите ускорение системы
грузов, силу натяжения обеих
нитей. Коэффициент трения
грузов о горизонтальную по- гис- 11/и
верхность равен 0,2.
87. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам
которой подвешены два груза, масса меньшего из них 150 г. На
него поставлен перегрузок 50 г. Грузы движутся с ускорением
2 м/с2, причем больший из грузов опускается. Определите мас-
массу большего груза, силу натяжения нити, давление перегрузка
на меньший груз. Трением в блоке, сопротивлением воздуха, мас-
массами блока и нити пренебречь.
88. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с уг-
углом наклона 30°. Определите коэффициент трения тела о плос-
плоскость.
89. Тело соскальзывает с трением по наклонной плоскости.
Угол наклона плоскости равен 45°, ее длина 11,2 м, а коэффи-
коэффициент трения равен 0,2. Начальная скорость тела равна нулю.
Найдите время спуска тела с наклонной плоскости.
90. Деревянный брусок находится на наклонной плоскости
с углом наклона к горизонту 45°. С какой наименьшей силой,
направленной перпендикулярно наклонной плоскости, нужно
прижать брусок, чтобы он оставался в покое? Масса бруска 1 кг,
коэффициент трения покоя между бруском и наклонной плос-
плоскостью равен 0,2.
91. Какую силу нужно приложить к автомобилю, чтобы
удержать его на наклонной плоскости длиной 8 м и высо-
высотой 3 м, если масса автомобиля с грузом равна 5 т, а коэф-
коэффициент трения равен 0,02? Направление силы параллельно
наклонной плоскости.

224 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
92. Какую силу нужно приложить к автомобилю парал-
параллельно основанию наклонной плоскости, чтобы удержать его
на наклонной плоскости? Данные взять из предыдущей задачи.
93. На тело массой 100 г, лежащее на наклонной плоскости,
которая образует с горизонтом угол 40°, действует горизонталь-
горизонтальная сила 1500 Н. Определите: а) силу, прижимающую тело к
плоскости; б) силу трения тела о плоскость; в) ускорение, с
которым поднимается тело. Коэффициент трения равен 0,1.
94. Груз массой 1,5 кг поднимается по наклонной плоскости
под действием силы 12 Н, направленной параллельно наклонной
плоскости. Наклонная плоскость составляет угол 30° с горизон-
горизонтом. Коэффициент трения равен 0,25. Найдите ускорение груза.
95. Вагонетка массой 2 т равномерно поднимается по эста-
эстакаде, угол наклона которой 30°. Чему равна сила натяжения
троса, с помощью которого поднимают вагонетку, если коэф-
коэффициент трения равен 0,05?
96. Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой 2 т
и, двигаясь равноускоренно, за 50 с проехал 400 м. Найдите уд-
удлинение троса, соединяющего автомобили, если его жесткость
равна 2 • 106 Н/м. Трение не учитывать.
97. Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по
деревянной доске с помощью пружины жесткостью 10 Н/м. Ко-
Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пружины.
98 . Невесомый блок укреплен на вершине наклонной плос-
_ кости, составляющей угол 30°
с горизонтом. Две гири мас-
массой по 1 кг соединены нитью
и перекинуты через блок
(рис. 11.77). Одна гиря дви-
движется по поверхности плос-
плоскости, другая опускается.
Найдите ускорение, с кото-
которым движутся гири, и натя-
Рис. 11.77 жение нити. Трением в блоке,
а также трением гири о наклонную плоскость пренебречь.
99 . Решите предыдущую задачу при условии, что коэф-
коэффициент трения гири о наклонную плоскость равен 0,1.
100 . Тело массой 2 кг тянут вверх с ускорением 0,1 м/с2
по наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом,

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 225
с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент тре-
трения между телом и плоскостью равен 0,3. На сколько удлинит-
удлинится пружина? Ось пружины параллельна наклонной плоскости.
101. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости,
образующей угол 30° с горизонтом, действует сила 1,5 кН, на-
направленная вверх под углом 30° к наклонной плоскости. Опре-
Определите силу трения тела о плоскость и ускорение, с которым
поднимается тело. Коэффициент трения равен 0,1.
Применение законов Ньютона к вращательному
движению
102. Тяжелый танк массой 50 т движется по мосту со ско-
скоростью 45 км/ч. Определите силу давления танка на мост,
если под его тяжестью мост прогибается, образуя дугу радиу-
радиусом 600 м.
103. Автомобиль массой 1000 кг движется по выпуклому
мосту, имеющему радиус кривизны 50 м, со скоростью 36 км/ч.
С какой силой давит автомобиль на середину моста? С какой
наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль для того,
чтобы в верхней точке он перестал оказывать давление на мост?
104. Сколько весит мальчик массой 40 кг, катящийся на сан-
санках, при движении в положении Л и В (рис. 11.78), если Ri = 20
м, v\ = 10 м/с, /?2 = 10 м, г>2 = 5 м/с?
Рис. 11.78
105. Лыжник массой 50 кг движется со скоростью 10 м/с
по вогнутому, а затем по выпуклому участкам дороги с радиу-
радиусом кривизны 20 м. Определите вес лыжника в средней точке
каждого участка.
106. Трактор массой 10 т проходит по мосту со скоростью
10 м/с. Какова сила давления трактора на середину моста, ес-
15 С. В. Трубецкова

226 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ли мост: а) плоский; б) выпуклый с радиусом кривизны 100 м;
в) вогнутый с таким же радиусом кривизны?
107. Найдите наименьший радиус дуги для поворота авто-
автомашины, движущейся со скоростью 36 км/ч, при коэффициенте
трения скольжения колес о дорогу равном 0,25.
108. Гиря массой 500 г прикреплена к концу стержня длиной
100 см, который вращают в вертикальной плоскости с частотой
3 об/с. Какова сила натяжения стержня, когда гиря проходит
самую высокую и самую низкую точки траектории?
109. Шар массой 4 кг прикреплен к концу стержня длиной
0,5 м, который вращают в вертикальной плоскости. Стержень
разрывается при силе натяжения 90 Н. При какой угловой ско-
скорости произойдет разрыв стержня?
110. Камень, привязанный к веревке длиной 50 см, равно-
равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найдите, при ка-
каком числе оборотов в секунду веревка разорвется, если известно,
что она разрывается при нагрузке, равной десятикратному весу
камня.
111. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается
в вертикальной плоскости. Найдите массу камня, если известно,
что разность между максимальным и минимальным натяжени-
натяжением веревки равна 10 Н.
112. На горизонтальной вращающейся платформе на рас-
расстоянии 1,25 м от оси вращения лежит груз. Коэффициент
трения между грузом и платформой равен 0,2. При каком числе
оборотов груз начнет скользить?
113. С какой максимальной скоростью может двигаться по
окружности радиуса 12 м велосипедист при коэффициенте мак-
максимального трения покоя 0,5? Под каким углом к вертикали
наклонится при этом велосипедист?
114. Вычислите угол наклона самолета, совершающего в
горизонтальной плоскости разворот радиусом 5 км при скорос-
скорости 200 м/с.
115. Шоссе имеет вираж с уклоном 10° при радиусе за-
закругления дороги, равном 100 м. На какую скорость рассчитан
вираж;?
116. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со ско-
скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом с кривизны 100 м. На

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 227
сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть при
повороте?
117. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке дли-
длиной 1 м в вертикальной плоскости так, что скорость его движе-
движения минимально возможная. В момент подъема, когда веревка
располагается горизонтально, мальчик выпускает ее. На какую
максимальную высоту поднимется камень, если ось вращения
находится на расстоянии 1,5 м от поверхности Земли?
118. Камень массой 0,5 кг, привязанный к веревке длиной
50 см, вращается в вертикальной плоскости. Натяжение веревки
в низшей точке окружности 44 Н. На какую высоту поднимется
камень, если веревка обрывается в тот момент, когда скорость
направлена вертикально вверх?
119. Ведерко с водой вращают в вертикальной плоскости на
веревке длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно
его вращать, чтобы при прохождении ведерка через высшую
точку дном вверх вода из него не выливалась?
120. Самолет, летящий со скоростью 360 км/ч, описывает
«мертвую петлю» радиусом 200 м в вертикальной плоскости.
Как велика сила, прижимающая летчика к сиденью, в наивыс-
наивысшей и наинизшей точке петли, если масса летчика 70 кг?
121. Самолет описывает «мертвую петлю» в вертикальной
плоскости. Определите наименьшую скорость самолета, при ко-
которой летчик в верхней части петли испытывает невесомость.
Радиус петли 250 м.
122. С каким максимальным периодом можно равномерно
вращать в вертикальной плоскости шарик, привязанный к нити
длиной 2,45 м?
123. Шарик, привязанный к подвесу, описывает в горизон-
горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Оп-
Определите скорость шарика и период его обращения, если длина
нити 1 м, а угол ее с вертикалью составляет 60°.
124. Шарик подвешен на нити длиной 50 см и, равномерно
вращаясь в горизонтальной плоскости, образует с вертикалью
угол 60°. Сколько оборотов сделает шарик за 10 с?
125. Камень массой 40 г, прикрепленный к резиновому шну-
шнуру длиной 50 см, вращаясь в горизонтальной плоскости, удлинил
шнур на 10 см. Найдите жесткость шнура, если частота враще-
вращения 60 об/мин.
15*

228 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
126. Тело массой 50 г, прикрепленное к пружине длиной
30 см, вращается в горизонтальной плоскости. При какой час-
частоте вращения пружина удлинится на 5 см, если жесткость
пружины 300 Н/м?
127. При каком периоде вращения Земли вокруг своей оси
тела на экваторе находились бы в невесомости? Радиус Земли
6400 км.
Закон всемирного тяготения
128. Найдите силу притяжения между двумя протонами,
находящимися на расстоянии 10~10 м друг от друга. Масса про-
протона 1,67 • 10~27 кг. Протоны можно считать точечными заря-
зарядами.
129. Во сколько раз планета Плутон притягивается к Солн-
Солнцу слабее Земли, если Плутон удален от Солнца на расстояние,
в 40 раз большее, чем Земля? Массы Земли и Плутона пример-
примерно одинаковы.
130. Во сколько раз уменьшится сила притяжения тела к
Земле при удалении его от поверхности Земли на расстояние,
равное радиусу Земли?
131. С какой линейной скоростью будет двигаться спутник
Земли по круговой орбите: а) у поверхности Земли? б) на вы-
высоте 200 км? Найдите период обращения спутника при этих
условиях. Радиус Земли равен 6400 км.
132. Луна движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Рас-
Расстояние от Земли до Луны около 384000 км. Определите по этим
данным массу Земли.
133. На каком расстоянии от поверхности Земли сила при-
притяжения космического корабля к ней станет в 100 раз меньше,
чем на поверхности Земли?
134. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60
земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Зем-
Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, тело будет
притягиваться ими с одинаковой силой?
135. Найдите ускорение свободного падения на поверхности
малой планеты радиусом 200 км, если плотность вещества пла-
планеты равна 8 • 103 кг/м3.

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 229
136. Вычислите ускорение свободного падения тела, нахо-
находящегося на расстоянии 100 км от поверхности Земли. Ускоре-
Ускорение свободного падения у поверхности Земли принять равным
9,8 м/с2; радиус Земли равен 6400 км.
137. Подлетев к неизвестной планете, космонавты придали
своему кораблю горизонтальную скорость 11 км/с. Эта скорость
обеспечила полет корабля по круговой орбите радиусом 9100 км.
Каково ускорение свободного падения у поверхности планеты,
если ее радиус равен 8900 км?
138. Во сколько раз сила тяжести на Земле больше силы
тяжести на Луне? (М3 = 5,96 • 1024 кг, Мл = 7,3 • 1023 кг, R3 =
= 6,4-106 м, Ял = 1,74-106 м).
139. Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а
масса — 0,11 массы Земли. Найдите ускорение свободного паде-
падения на Марсе.
140. Определите массу земного шара, приняв радиус Зем-
Земли равным 6400 км, а ускорение силы тяжести — 9,8 м/с2. Чему
равна средняя плотность Земли?
141. Радиус планеты Марс примерно в два раза меньше
радиуса Земли, а масса Марса составляет примерно 0,1 массы
Земли. Сравните вес тела одинаковой массы на Земле и на
Марсе.
142. Радиус малой планеты 250 км, средняя плотность
3 г/см3. Определите ускорение свободного падения на поверх-
поверхности планеты.
143. Во сколько раз больше средняя скорость движения
Венеры по круговой орбите вокруг Солнца, чем Земли? Радиус
орбиты Земли равен 1,5 • 108 км, радиус орбиты Венеры ра-
равен 1,1-108 км.
144. Определите среднюю плотность Земли, если ее радиус
равен 6370 км, а ускорение свободного падения — 9,8 м/с2.
145. Искусственный спутник Земли движется на высоте
670 км по круговой орбите. Найдите скорость спутника и его
период. Радиус Земли равен 6400 км.
146. Определите массу Солнца, зная, что средняя скорость
Земли по орбите равна 30 км/с, радиус орбиты Земли равен
1,5-108 км.

230 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
147. Определите массу планеты, вблизи поверхности кото-
которой ускорение свободного падения 7 м/с2. Радиус планеты равен
4-Ю6 км.
148. Чему равен вес человека массой 70 кг на высоте 600 км
от поверхности Земли? Радиус Земли равен 6400 км.
149. Определите расстояние от поверхности Земли до точки,
в которой ускорение силы тяжести в 4 раза меньше, чем на
Земле. Радиус Земли равен 6400 км.
150. Вычислите продолжительность года на Марсе. Расстоя-
Расстояние от Марса до Солнца на 52% больше радиуса орбиты Земли.
151. На экваториальной орбите вокруг Земли вращается
спутник с периодом обращения 24 часа. Какова высота орбиты
над поверхностью Земли? Радиус Земли равен 6400 км.
152. Определите радиус круговой орбиты искусственного
спутника Земли, период обращения которого равен Т. Радиус
Земли R.
153. Ракета поднялась на высоту 800 км. На сколько умень-
уменьшилась сила тяжести корпуса ракеты по сравнению с силой
тяжести на поверхности Земли, если ее масса равна 8,1 • 106 кг?
154. Радиус Луны приблизительно в 3,7 раза меньше, чем
радиус Земли, а ее масса в 81 раз меньше массы Земли. Чему
равно ускорение силы тяжести на поверхности Луны?
155. Чему равно ускорение силы тяжести на поверхности
Солнца, если его радиус примерно в 110 раз больше радиуса
Земли, а средняя плотность Солнца относится к средней плот-
плотности Земли как 1 : 4?
156. Какой путь пройдет свободно падающее тело на Марсе
за 10 с падения, если масса планеты Марс равна 0,64-1021 т, а
его радиус равен 3400 км?
157. Определите радиус круговой орбиты искусственного
спутника Земли, если он, вращаясь в плоскости земного эквато-
экватора с запада на восток, кажется с Земли неподвижным. Радиус
Земли равен 6400 км.
158. Вычислите первую космическую скорость ракет, стар-
стартующих с Земли. Радиус Земли равен 6400 км.
159. Какова первая космическая скорость для планеты,
масса и радиус которой в два раза больше, чем у Земли?

ИМПУЛЬС ТЕЛА 231
160 . Найдите среднюю плотность планеты, у которой на
экваторе пружинные весы показывают вес тела на 10% мень-
меньше, чем на полюсе. Сутки на планете составляют 24 часа.
161 . На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое
меньше, чем на полюсе. Плотность вещества этой планеты равна
3 г/см3. Определите период обращения планеты вокруг своей
оси.
162 . Спутник движется по круговой орбите в плоскости
экватора на высоте, равной радиусу Земли. С какой скоростью
должен перемещаться наземный наблюдатель, чтобы спутник
появлялся над ним каждые 5 часов? Направление движения
спутника и вращения Земли совпадают. Радиус Земли равен
6400 км.
Импульс тела
163. Два тела с одинаковыми объемами — стальное и
свинцовое — движутся с одинаковыми скоростями. Сравните
импульсы этих тел. Плотность стали равна 7,8-103 кг/м . Плот-
Плотность свинца равна 11,3 • 103 кг/м .
164. Поезд массой 2000 т, двигаясь прямолинейно, увели-
увеличил скорость от 36 до 72 км/ч. Найдите изменение импульса.
165. Шарик массой 100 г свободно упал на горизонтальную
площадку, имея в момент удара скорость 10 м/с. Найдите изме-
изменение импульса при абсолютно неупругом и абсолютно упругом
ударах.
166. Шарик массой 100 г движется с постоянной скоростью
1,5 м/с; после удара о преграду он движется обратно, не меняя
скорости по модулю. Определите изменение импульса шарика.
167. Мяч массой 150 г ударяется о гладкую стенку под уг-
углом 30° к ней и отскакивает без потери скорости. Найдите силу,
действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча
10 м/с, а продолжительность удара равна 0,1 с.
168. Падающий вертикально шарик массой 200 г ударился
об пол со скоростью 5 м/с и подпрыгнул на высоту 46 см. Най-
Найдите изменение импульса шарика при ударе.
169. Молекула массой 4,65 • 10~26 кг, летящая перпендику-
перпендикулярно к стенке сосуда со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку

232 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найдите из-
изменение импульса молекулы за время удара.
170. Шарик массой т, летящий со скоростью г>, ударяется
о стенку под углом а к ней и отскакивает под тем же углом
без потери скорости. Определите направление и модуль векто-
вектора изменения импульса шарика за время удара.
171. Тело массой 1 кг равномерно движется по окружности
со скоростью 10 м/с. Найдите изменение импульса: а) за чет-
четверть периода; б) половину периода; в) целый период.
172. Футболист, ударяя мяч массой 700 г, сообщает ему ско-
скорость 15 м/с. Считая продолжительность удара равной 0,02 с,
определите силу удара.
173. Молоток массой 10 кг свободно падает на наковальню
с высоты 1,25 м. Сила удара равна 5 кН. Какова длительность
удара? Удар абсолютно неупругий.
174. Через сколько времени остановится автомобиль мас-
массой 1000 кг, движущийся со скоростью 72 км/ч, если выклю-
выключить двигатель? Средняя сила сопротивления движению равна
0,2 кН.
175. Снаряд массой 6,2 кг вылетает из орудия со скоростью
680 м/с. Чему равна средняя сила давления пороховых газов,
если время движения снаряда внутри ствола орудия принять
равным 0,008 с?
176. Два тела, массы которых 2 и 6 кг, движутся навстречу
друг другу со скоростями 2 м/с каждое. С какой скоростью и в
какую сторону будут двигаться эти тела после неупругого удара?
177. Два тела, массы которых 4 и 6 кг, движутся навстречу
друг другу со скоростями 7 м/с и 2 м/с соответственно. С какой
скоростью и в каком направлении будут двигаться эти тела
после неупругого столкновения?
178. Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 0,3 м/с,
нагоняет вагон массой 30 т, движущийся со скоростью 0,2 м/с в
том же направлении. Какова скорость вагонов после взаимо-
взаимодействия, если удар неупругий?
179. Пуля из винтовки вылетает со скоростью 865 м/с. Ка-
Какова скорость винтовки при отдаче, если ее масса в 470 раз
больше массы пули?

ИМПУЛЬС ТЕЛА 233
180. Два человека на роликовых коньках стоят друг против
друга. Масса первого человека 75 кг, второго 70 кг. Первый
бросает груз массой 10 кг со скоростью, горизонтальная состав-
составляющая которой равна 3 м/с относительно Земли. Определите
скорость первого человека после бросания груза и скорость вто-
второго после того, как он поймает груз.
181. Вагон массой 25 т движется со скоростью 2 м/с и стал-
сталкивается с неподвижной платформой массой 15 т. Какова ско-
скорость совместного движения вагона и платформы после того,
как сработает автосцепка?
182. Неупругий шар движется со скоростью v и сталкива-
сталкивается с таким же по массе шаром. Какова будет скорость их
совместного движения, если второй шар перед столкновением:
а) был неподвижен; б) двигался навстречу с такой же по моду-
модулю скоростью, что и первый; в) двигался в том же направлении,
что и первый шар, но в 2 раза медленнее?
183. Вагон массой 50 т движется со скоростью 12 км/ч и
встречает стоящую на пути платформу массой 30 т. Вычислите
расстояние, пройденное вагоном и платформой после сцепления,
если коэффициент трения равен 0,05.
184. Из орудия в горизонтальном направлении вылетает
снаряд со скоростью 500 м/с. Определите скорость орудия в
начале отката и расстояние, на которое откатится орудие, если
сила трения равна 4500 Н, масса орудия — 1500 кг, масса сна-
снаряда — 12 кг.
185. Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на
два осколка. Большой осколок, масса которого составляла 60 %
массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направ-
направлении, но с увеличенной скоростью 25 м/с. Найдите скорость
меньшего осколка.
186. Снаряд, имеющий скорость 100 м/с, в верхней точке
траектории на высоте 100 м разорвался на две части массами 1
и 1,5 кг. Скорость большего осколка равна 250 м/с и совпадает
по направлению с начальной скоростью. Определите расстояние
между точками падения обоих осколков. Сопротивление воздуха
не учитывать.
187. Железнодорожная платформа движется со скоростью
9 км/ч. Из орудия, закрепленного на платформе, производится
выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда равна 25 кг, его скорость

234 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
относительно орудия равна 700 м/с. Масса платформы с оруди-
орудием равна 20 т. Определите скорость платформы после выстрела,
если выстрел произведен: а) в направлении движения платфор-
платформы; б) в противоположном направлении.
188. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль
железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в плат-
платформу с песком массой Юти застревает в нем. Какую скорость
получит платформа, если она: а) стояла неподвижно; б) дви-
двигалась со скоростью 36 км/ч в том же направлении, что и
снаряд; в) двигалась со скоростью 36 км/ч в направлении, про-
противоположном движению снаряда.
189. Вагон массой Юте автоматической сцепкой, движу-
движущийся со скоростью 12 м/с, догоняет такой же вагон массой
20 т, движущийся со скоростью 6 м/с, и сцепляется с ним. Дви-
Двигаясь дальше вместе, оба вагона сталкиваются со стоящим на
рельсах третьим вагоном массой 10 т. Найдите скорости движе-
движения вагонов на разных участках.
190. На вагонетку массой 800 кг, катящуюся по горизон-
горизонтальному пути со скоростью 0,2 м/с, насыпали сверху 200 кг
щебня. На сколько при этом уменьшилась скорость вагонетки?
191. Человек, стоящий на неподвижном относительно Земли
плоту массой 5000 кг, пошел со скоростью 5 м/с относительно
плота. Масса человека 100 кг. С какой скоростью начал двигаться
плот по поверхности воды?
192. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина
которой равна 5 м и масса — 280 кг. Человек переходит на нос
лодки. На какое расстояние лодка передвинется относительно
воды?
193. К свободно висящему аэростату массой М привязана
веревочная лестница длиной /, на нижнем конце которой нахо-
находится человек. Какова масса человека, если, поднявшись до кон-
конца лестницы, он сместился относительно земли вверх на 0,9/?
194. Орудие, стоящее на гладкой горизонтальной площадке,
стреляет под углом 30° к горизонту. Масса снаряда 20 кг, его
начальная скорость равна 200 м/с. Скорость орудия в начале
отката равна 7 м/с. Какова масса орудия?
195. Охотник стреляет с легкой надувной лодки. Какую ско-
скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотни-
охотника с лодкой равна 70 кг, масса дроби — 35 г, начальная скорость

ИМПУЛЬС ТЕЛА 235
дроби равна 320 м/с. Ствол ружья во время выстрела направ-
направлен под углом 60° к горизонту.
196. С судна массой 750 т произведен выстрел из пушки в
сторону, противоположную его движению, под углом 60° к гори-
горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд мас-
массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?
197. Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по
направлению ее движения. Какую скорость имела лодка, если
она остановилась после двух быстро следующих друг за дру-
другом выстрелов? Масса охотника с лодкой равна 200 кг, масса
заряда — 20 г. Скорость вылета дроби и пороховых газов равна
500 м/с.
198. Мальчик, бегущий со скоростью 4 м/с, догоняет те-
тележку, движущуюся со скоростью 3 м/с, и вскакивает на нее.
Масса мальчика равна 50 кг. Масса тележки — 80 кг. Найдите
скорость тележки в тот момент, когда мальчик вскочил на нее.
Чему будет равна скорость тележки, если она двигалась навст-
навстречу мальчику?
199. Тележка массой 120 кг движется по горизонтальной
плоскости со скоростью 5 м/с. С тележки соскакивает человек
массой 80 кг под углом 60° к направлению ее движения в го-
горизонтальной плоскости. Скорость тележки при этом становится
равной 4 м/с. Какова была скорость человека во время прыжка
относительно Земли?
200. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду,
бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со
скоростью 8 м/с. Найдите, на какое расстояние откатится при
этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед
равен 0,02.
201. Какую скорость относительно ракетницы приобретает
ракета массой 600 г, если газы массой 15 г вылетают из нее со
скоростью 800 м/с?
202. В ракете общей массой 600 г содержится 350 г взрыв-
взрывчатого вещества. На какую высоту поднимется ракета, если
выход газов произойдет со скоростью 300 м/с мгновенно? Соп-
Сопротивление воздуха уменьшает высоту подъема в 6 раз.
203. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г,
взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Опреде-

236 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
лите скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание
заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г.
204 . Бильярдный шар, движущийся со скоростью 10 м/с,
ударился о такой же покоящийся шар. После удара шары ра-
разошлись. Линии их движения после удара образуют с перво-
первоначальным направлением движения первого шара следующие
углы: а) первый 45°, второй 45°; б) первый 60°, второй 30°.
Найдите скорости шаров после удара в каждом случае.
205 . Два абсолютно неупругих шара с массами 0,6 кг и
0,4 кг, движущиеся по горизонтальной плоскости со скоростями
5 м/с и 10 м/с, направленными перпендикулярно друг другу,
сталкиваются и после удара движутся как единое целое. Оп-
Определите: а) импульс системы после удара; б) скорость систе-
системы после удара; в) угол между первоначальным направлением
движения первого шара и новым направлением движения сис-
системы. Сопротивлением движению системы пренебречь.
^к
206 . Метеорит и ракета движутся под углом 90° друг к
другу. Ракета попадает в метеорит и застревает в нем. Масса
метеорита т, масса ракеты т/2, скорость метеорита г>, ско-
скорость ракеты равна 2v. Определите скорость метеорита после
попадания ракеты, направление его движения и общий импульс.
207. Снаряд массой 50 кг, летящий вдоль рельсов со ско-
скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком массой Юти
застревает в песке. Вектор скорости снаряда в момент падения
образует угол 45° с горизонтом. Определите скорость и направ-
направление движения платформы после попадания в нее снаряда,
если платформа двигалась навстречу снаряду со скоростью
10 м/с.
*
208 . Граната брошена под углом 45° к горизонту со ско-
скоростью 20 м/с. Через 2 с после момента бросания граната раз-
разрывается на два осколка, масса одного из них в 2 раза меньше
массы другого. Меньший осколок в результате взрыва получил
дополнительную скорость 50 м/с, направленную горизонтально
вдоль направления бросания гранаты. Определите дальность
полета большего осколка, если известно, что меньший осколок
упал на расстоянии 83 м от места бросания.
209 . С высоты Н без начальной скорости падает шар мас-
массой М. На высоте Я/2 в шар попадает пуля массой т <С М,
имеющая в момент удара скорость г>, направленную вниз под

РАБОТА, МОЩНОСТЬ, КПД
237
углом а к горизонту. Полагая, что пуля застревает в центре ша-
шара и продолжительность импульса ничтожно мала, определите,
с какой скоростью шар упадет на землю.
Работа, мощность, коэффициент полезного действия
210. Подъемный кран равномерно поднимает бетонную пли-
плиту размером 320 х 100 х 10 см3 на высоту 10 м. Вычислите ра-
работу, совершаемую при подъеме плиты, если плотность бетона
равна 2400 кг/м3.
211. Тело массой 2 кг движется равномерно по горизонталь-
горизонтальной поверхности под действием силы тяги, направленной под
углом 60° к горизонту. Коэффициент трения между телом и
плоскостью равен 0,2. Определите, какую работу совершает си-
сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения, сила тяги, когда
тело пройдет расстояние 1 м.
212. По графикам зависимости силы от перемещения
(рис. 11.79) найдите работу этой силы при перемещении тела
на 5 и 10 см.
/,Ht
2
1
0 5 10 ж, см 0 5 10 ж, см
а б
Рис. 11.79
0 5 10 ж, см
213. Вычислите работу силы трения, при торможении поез-
поезда массой 1200 т до полной остановки, если его скорость в мо-
момент выключения двигателя была равна 72 км/ч.
214. Под действием двух взаимно перпендикулярных сил
3 Н и 4 Н тело равномерно переместилось на 20 м по направле-
направлению равнодействующей. Найдите работу каждой силы в отдель-
отдельности и их совместную работу.
215. Лифт массой 1500 кг начинает подниматься с ускоре-
ускорением 1 м/с2. Вычислите работу двигателя лифта в течение пер-
первых 2 с подъема.
216. Груз массой 50 кг поднят при помощи каната верти-
вертикально вверх за 2 с на высоту 10 м. Вычислите работу, совер-

238 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
шенную силой натяжения каната, если движение: а) равномер-
равномерное; б) равноускоренное.
217. При вертикальном подъеме груза массой 2 кг на высо-
высоту 1 м с помощью постоянной силы была совершена работа
80 Дж. С каким ускорением поднимали груз?
218. На пружине длиной 30 см висит груз массой 4 кг. При
увеличении нагрузки до 10 кг пружина растягивается до 36,5 см.
Определите работу по растяжению пружины.
219. Определите работу силы упругости при сжатии на 5 см
буферной пружины железнодорожного вагона, если для сжатия
ее на 0,5 см требуется сила 1,5 • 104 Н.
220. Найдите работу, которую надо совершить, чтобы сжать
пружину, жесткость которой равна 29,4 Н/см, на 20 см.
221. Для растяжения пружины на 4 мм надо совершить ра-
работу 0,02 Дж. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть
эту пружину на 4 см?
222. При подвешивании к пружине груза в 4 кг длина ее
равна 30 см. При увеличении нагрузки до 10 кг пружина рас-
растягивается до 36,5 см. Определите работу по растяжению пру-
пружины.
223. Какую работу совершает человек при поднятии пред-
предмета массой 2 кг на высоту 1 м с ускорением 3 м/с2?
224. Сани массой 60 кг, скатившись с горы, проехали по
горизонтальному участку дороги 20 м. Вычислите работу силы
трения на горизонтальном участке, если коэффициент трения
полозьев о снег равен 0,02.
225. Тело массой 50 кг скользит с трением по наклонной
плоскости с углом наклона к горизонту 30°. Двигаясь с посто-
постоянной скоростью, тело проходит путь длиной 6 м. Вычислите
работу силы тяжести при этом движении и работу силы трения,
действующей на тело.
226. Какую работу надо совершить при равномерном подня-
поднятии грузов массой 500 кг до верхнего края наклонной плоскости
длиной 4 м, если угол ее наклона к горизонту равен 30°? Трение
не учитывать.
227. Вагонетку с рудой массой 300 кг поднимают равномерно
по наклонной эстакаде длиной 20 м и высотой 5 м. Коэффициент

РАБОТА, МОЩНОСТЬ, КПД 239
трения равен 0,05. Вычислите работу силы тяги, силы тяжести
и силы трения.
228. Какую работу совершит подъемный кран, чтобы столб
длиной 7 м поставить вертикально? Кран поднимает столб, за-
зацепив его за один из концов. Масса столба равна 100 кг.
229. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы
кубик с длиной ребра 10 см и плотностью 2 • 103 кг/м перевер-
перевернуть с одной грани на другую?
230. Ящик массой 100 кг перемещают равномерно по го-
горизонтальной поверхности на расстояние 50 м. Коэффициент
трения равен 0,3. Веревка, с помощью которой тянут ящик, сос-
составляет с горизонтальной поверхностью угол 30°. Какая работа
затрачивается на перемещение ящика?
231. Ящик тянут равномерно по горизонтальной поверхнос-
поверхности. Веревка, с помощью которой тянут ящик, образует с гори-
горизонталью угол 30°. Сила натяжения веревки равна 25 Н. Какая
работа проделана при перемещении ящика на расстояние 52 м?
232. Какую работу нужно совершить для равномерного пе-
перемещения по горизонтальной поверхности на расстояние 500 м
тела массой 200 кг? Коэффициент трения равен 0,02, направле-
направление силы совпадает с направлением движения.
233. Какую работу совершает человек, везущий по горизон-
горизонтали санки массой 50 кг за 0,5 часа, если угол между горизонтом
и веревкой равен 30°, коэффициент трения саней о лед — 0,02?
Скорость саней — 3 км/ч.
234. Во время тяжелой физической работы сердце сокра-
сокращается до 150 раз в минуту. При каждом своем сокращении
сердце совершает работу, равную поднятию груза массой 0,5 кг
на высоту 0,4 м. Определите развиваемую сердцем мощность.
235. Тяжелоатлет поднимает штангу массой 150 кг с груди
на вытянутые руки {h = 65 см) в течение 1,5 с. Какая средняя
мощность при этом развивается?
236. Подъемный кран равномерно поднимает гранитную
глыбу массой 3 т на высоту 15 м в течение 2 минут. Какова по-
полезная мощность двигателя подъемного крана?
237. Электромолоток делает 2400 ударов в минуту. Опре-
Определите мощность электромолотка, если за каждый удар совер-
совершается 5 Дж работы.

240 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
238. Автомобиль массой 1500 кг начинает разгоняться из
состояния покоя по горизонтальному пути с ускорением 1 м/с2.
Коэффициент сопротивления движению равен 0,02. Определи-
Определите: а) работу, совершенную за 10 с движения; б) среднюю мощ-
мощность, развиваемую за этот промежуток времени; в) мгновенную
мощность, развиваемую в конце 10-й секунды; г) расстояние,
пройденное автомобилем до остановки после выключения дви-
двигателя в конце 10-й секунды.
239. Поезд массой 500 т поднимается со скоростью 30 км/ч
по уклону высотой 10 м на 1 км пути. Коэффициент трения
равен 0,002. Определите мощность, развиваемую тепловозом.
240. Подъемный кран приводится в действие двигателем
мощностью 10 кВт. Сколько времени потребуется для достав-
доставки на высоту 50 м груза массой 2 т, если КПД двигателя ра-
равен 75%.
241. При помощи подвижного блока груз массой 75 кг
поднимают на высоту 10 м. КПД блока равен 60%. Определите
полезную и затраченную работу.
242. Самолет для взлета должен иметь скорость 25 м/с. Дли-
Длина пробега перед взлетом равна 100 м. Какова должна быть
мощность мотора при взлете, если масса самолета равна 100 кг
и коэффициент сопротивления равен 0,02? Движение самолета
считать равноускоренным.
243. Поезд, отходя от станции, за 5 мин развил скорость
64,8 км/ч. Определите мощность локомотива при этой скорости,
если масса поезда равна 600 т, а коэффициент трения равен 0,004.
244. Поезд массой 2000 т, двигаясь с места с ускорением
0,2 м/с2, достигает нужной скорости через 1 минуту. Опреде-
Определите мощность тепловоза при разгоне и при установившемся
движении, если коэффициент сопротивления равен 0,005.
245. Мотор с полезной мощностью 1,5 кВт, поставленный
на автомобиле, может сообщить ему при движении по хорошей
дороге скорость 90 км/ч. Тот же мотор, поставленный на мо-
моторной лодке, может сообщить ей скорость не выше 15 км/ч.
Определите сопротивление движению автомобиля и моторной
лодки при данных скоростях.
246. Два автомобиля одновременно трогаются с места и
движутся равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы. Во
сколько раз средняя мощность первого автомобиля больше

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ 241
средней мощности второго, если за одно и то же время первый
автомобиль развивает скорость, вдвое большую, чем второй?
Сопротивлением движению пренебречь.
247. Моторы электровоза при движении со скоростью
54 км/ч развивают мощность 9 • 105 Вт. Определите силу тяги
моторов, если КПД моторов и передающих механизмов ра-
равен 80%.
248. Мощность мотора электровоза равна 10 МВт, КПД
передающих механизмов равен 80%. Определите, с какой ско-
скоростью он может двигаться, если коэффициент трения равен
0,005, а масса состава электровоза равна 8 • 103 т.
Кинетическая и потенциальная энергии
249. На какой высоте над поверхностью Луны тело будет
обладать такой же потенциальной энергией, как на высоте 80 м
над поверхностью Земли? Ускорение силы тяжести на Луне рав-
равно 1,6 м/с2.
250. Как надо изменить скорость тела, чтобы его кинети-
кинетическая энергия увеличилась в 4 раза?
251. На тело массой 20 кг в течение 10 с в горизонтальном
направлении действовала сила 4 Н. Определите кинетическую
энергию тела в момент прекращения действия силы, если в на-
начале действия тело находилось в покое.
252. На балконе третьего этажа, расположенного на высоте
12 м от земли, находится тело массой 5 кг. Найдите его по-
потенциальную энергию относительно поверхности Земли, относи-
относительно пятого этажа, высота которого 18 м, и относительно дна
котлована глубиной 4 м.
253. Тело свободно падает с высоты 50 м. На какой высоте
от поверхности Земли кинетическая энергия и потенциальная
энергия тела окажутся равными?
254. Определите полную механическую энергию космичес-
космического тела массой 2 т, движущегося на высоте 300 км со ско-
скоростью 8 км/с.
255. Найдите потенциальную и кинетическую энергии тела
массой 3 кг, падающего свободно с высоты 5 м, на расстоянии
2 м от поверхности Земли.
16 С. В. Трубецкова

242 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
256. С какой скоростью надо бросить мяч с высоты 5 м,
чтобы он подпрыгнул на высоту 10 м? Удар о землю считайте
абсолютно упругим.
257. Камень брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с.
На какой высоте кинетическая энергия камня будет равна по-
потенциальной энергии?
258. Тело массой 1 кг брошено вертикально вверх с началь-
начальной скоростью 30 м/с. Определите кинетическую и потенциаль-
потенциальную энергии тела через 2 с после броска.
259. Тело массой 5 кг свободно падает вниз. Определите ско-
скорость тела перед ударом о поверхность Земли, если в начальный
момент оно обладало потенциальной энергией 490 Дж.
260. Какой кинетической энергией обладает свободно падаю-
падающее тело массой 1 кг по истечении 5 секунд от начала падения?
На сколько и как изменилась при этом его потенциальная энер-
энергия?
261. Тело, брошенное вертикально вверх, упало обратно
через 4 секунды после начала движения. Определите кинети-
кинетическую энергию в момент падения и потенциальную энергию в
верхней точке, если масса тела равна 200 г.
262. Камень массой 2 кг упал с некоторой высоты. Падение
продолжалось 1,43 с. Найдите потенциальную и кинетическую
энергии камня в средней точке пути. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
263. Брошенное вертикально вверх тело упало на Землю
спустя 1,44 с. Найдите кинетическую энергию тела в момент
падения на Землю и потенциальную энергию в верхней точке
траектории. Масса тела равна 200 г.
264. К телу, масса которого равна 4 кг, приложена направ-
направленная вертикально вверх сила 49 Н. Определите кинетическую
энергию тела в момент, когда оно окажется на высоте 10 м над
Землей. В начальный момент тело покоилось на поверхности
Земли.
265. Определите кинетическую энергию тела массой 1 кг,
брошенного горизонтально со скоростью 20 м/с, в конце чет-
четвертой секунды его движения.
266. Какую работу надо совершить, чтобы заставить движу-
движущееся тело массой 2 кг: а) увеличить свою скорость от 2 м/с
до 5 м/с; б) остановиться при начальной скорости 8 м/с?

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ 243
267. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью
2 м/с, прошел до полной остановки 20,4 м. Найдите коэффици-
коэффициент трения льда, считая его постоянным.
268. Какой путь пройдут сани по горизонтальной поверх-
поверхности после спуска с горы высотой 15 м, имеющей угол накло-
наклона 30°? Коэффициент трения саней о поверхность равен 0,2.
269 . Шайбу бросают снизу вверх по ледяной горе, состав-
составляющей с горизонтом угол а. За время t шайба поднимается по
горе на высоту /i, после чего соскальзывает вниз. Каков коэффи-
коэффициент трения скольжения между льдом и шайбой?
270. Шофер автомобиля начинает тормозить в 25 м от пре-
препятствия на дороге. Сила трения в тормозных колодках постоян-
постоянна и равна 3840 Н. Масса автомобиля 1 т. При какой предельной
скорости автомобиль успеет остановиться перед препятствием?
Трением колес о дорогу пренебречь.
271. Тело массой 1,5 кг, брошенное вертикально вверх с
высоты 4,9 м со скоростью 6 м/с, упало на Землю со скоростью
5 м/с. Определите работу сил сопротивления воздуха.
272. Хоккейная шайба, имея начальную скорость 5 м/с,
скользит от удара о борт площадки 10 м. Удар считать аб-
абсолютно упругим, коэффициент трения шайбы о лед равен 0,1,
сопротивлением воздуха пренебречь. Определите, какой путь
пройдет шайба после удара о борт площадки.
273. Пуля, летящая с определенной скоростью, углубилась
в стенку на 10 см. На сколько углубится в ту же стенку пуля,
которая будет иметь вдвое большую скорость?
274. Действуя постоянной силой 200 Н, поднимают груз
массой 10 кг на высоту 10 м. Какую работу совершает сила?
Какой потенциальной энергией обладает поднятый груз? Чему
равна кинетическая энергия тела на этой высоте?
275. Камень массой 500 г, падая с высоты 10 м, имел у
поверхности Земли в момент падения скорость 12 м/с. Какая была
совершена работа по преодолению силы сопротивления воздуха?
276. Тело массой 100 г, брошенное вертикально вниз с вы-
высоты 20 м со скоростью 10 м/с,, упало на Землю со скоростью
20 м/с. Найдите работу по преодолению силы сопротивления
воздуха.
16*

244 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
277. Тело массой 500 г, брошенное вертикально вверх со
скоростью 20 м/с, упало на Землю со скоростью 16 м/с. Опре-
Определите работу по преодолению сопротивления воздуха.
278. Тело массой 2 кг падает с высоты 240 м и проникает в
грунт на глубину 0,2 м. Сила сопротивления грунта при движе-
движении в нем тела равна 10 кН. Выясните, совершало ли тело сво-
свободное падение.
279. Камень массой 50 г, брошенный с высоты 5 м над зем-
землей со скоростью 18 м/с под углом к горизонту, упал на землю со
скоростью 24 м/с. Найдите работу силы сопротивления воздуха.
280. Тело брошено с поверхности Земли под углом а к го-
горизонту со скоростью vq. Найдите его скорость на некоторой
высоте /г, если сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
281. Пуля массой 10 г летит горизонтально и попадает в
дерево толщиной 10 см, имея скорость 400 м/с. Пробив дерево,
пуля вылетает со скоростью 200 м/с. Определите силу сопротив-
сопротивления, которую испытывает пуля, пробивая дерево.
282. Самолет массой 5 т при горизонтальном полете двигал-
двигался со скоростью 360 км/ч. Затем он поднялся на высоту 2 км.
При этом скорость самолета уменьшилась до 200 км/ч. Найдите
работу, затраченную мотором на подъем самолета.
283. Самолет поднимается в воздух и на высоте 5 км дости-
достигает скорости 360 км/ч. Во сколько раз работа, совершаемая при
подъеме против силы тяжести больше работы, затраченной на
увеличение скорости?
284. С вершины наклонной плоскости высотой h и длиной /
толкают тело, сообщая ему скорость vq. Найдите скорость тела
в конце наклонной плоскости в случаях: а) трение пренебрежи-
пренебрежимо мало; б) коэффициент трения тела о наклонную плоскость
равен II.
285. Сани массой т, скатившись с горы высотой /i, остано-
остановились. Какую работу надо совершить, чтобы поднять их опять
на гору?
286. С наклонной плоскости высотой 1 м и длиной 10 м сколь-
скользит тело массой 1 кг. Найдите кинетическую энергию у основа-
основания плоскости, скорость тела у основания плоскости, расстояние,
пройденное телом по горизонтальной части пути до остановки.
Коэффициент трения на всем пути равен 0,07.

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ 245
287. Санки скатываются с горки высотой 3 м и углом нак-
наклона 30°. В конце горки санки ударяются о препятствие и от-
откатываются назад. До какой высоты по наклонной плоскости
поднимутся санки, если коэффициент трения равен 0,05? Удар
санок о препятствие считать абсолютно упругим.
288. Определите работу силы тяжести при отклонении ма-
маятника длиной 30 см на угол 60°, если его масса равна 100 г.
289. На нити длиной / подвешен шарик. Какую горизон-
горизонтальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он отклонился
до высоты точки подвеса? Сопротивлением воздуха пренебречь.
290. Груз массой 10 кг, подвешенный на нити, отклоняют
на угол 60°. Найдите натяжение нити в момент прохождения
грузом положения равновесия.
291. К нити длиной 1 м подвешен груз массой 1 кг. На какую
высоту нужно отвести груз от положения равновесия, чтобы при
прохождении груза через положение равновесия нить испыты-
испытывала натяжение 15 Н?
292 . Математический маятник длиной / и массой т рас-
раскачивают так, что каждый раз, когда маятник проходит поло-
положение равновесия, на него в течение короткого промежутка вре-
времени t действует сила F, направленная параллельно скорости.
Через сколько колебаний маятник отклонится на 90°?
293. На нити, разрывающейся при силе натяжения 25 Н,
подвешена гиря массой 1 кг. В натянутом состоянии нить с ги-
гирей из вертикального положения была переведена в горизон-
горизонтальное и отпущена. Уцелеет ли нить при движении гири через
положение равновесия?
294. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью 400 м/с,
попадает в брусок, подвешенный на нити длиной 4 м, и застре-
застревает в нем. Определите величину угла, на который отклонится
брусок, если масса пули равна 20 г, а бруска — 5 кг.
295. Для определения скорости пули используют баллисти-
баллистический маятник. Определите скорость горизонтально летевшей
пули перед попаданием в маятник, если он после попадания пули
отклонился на угол 15°. Длина нити подвеса равна 4 м. Масса
пули равна 20 г, баллистического маятника — 5 кг.

246 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
296. Шарик массой mi, двигавшийся поступательно со ско-
скоростью г>1, налетает на неподвижный шарик массой m<i-
а) Определите скорости шариков после абсолютно упруго-
упругого центрального удара. Проанализируйте зависимости скоростей
шариков от соотношения их масс.
б) Покажите, что в случае абсолютно упругого удара о мас-
массивное тело направление скорости меняется на противоположное.
297. Два шара массами 1 кг и 2 кг движутся поступательно
вдоль горизонтальной прямой в одном направлении со скорос-
скоростями 7 м/с и 1 м/с, соответственно. Определите скорости шаров
после абсолютно упругого удара.
298. Частица массой т, движущаяся со скоростью г>, нале-
налетает на покоящуюся частицу массой т/2 и после упругого уда-
удара отскакивает под углом 30° к направлению своего первона-
первоначального движения. С какой скоростью начнут двигаться обе
частицы? Какой угол будет между направлением движения обе-
обеих частиц?
299. Два груза массами 10 и 15 кг подвешены на нитях
длиной 2 м так, что они соприкасаются друг с другом. Мень-
Меньший груз отклоняется на 60° и отпускается. На какую высоту
поднимутся оба груза после удара? Удар считать неупругим.
Какое количество механической энергии перейдет при этом во
внутреннюю энергию грузов?
300 . Два упругих шарика одинаковых размеров подвешены
на параллельных нитях одинаковой длины / так, что они
соприкасаются друг с другом. Масса одного шарика в 3 раза
меньше массы другого. Легкий шарик отклонили так, что нить
составляет угол 45° с вертикалью, и затем отпустили. На какие
высоты отклонятся шарики после их упругого соударения? Как
отклонятся после удара шарики, если массы у них одинаковы?
301. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях
так, что они касаются друг друга. Меньший шар отводится
на 90° от первоначального положения и отпускается. После уда-
удара шары поднимаются на одинаковую высоту. Определите массу
меньшего шара, если масса большего равна 0,6 кг, а удар абсо-
абсолютно упругий.
302. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально, попадает в
подвешенный на нити шар массой 2 кг, а пробив его, вылетает
со скоростью 400 м/с, причем шар поднимается на высоту 0,2 м.

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ 247
Определите: а) с какой скоростью летела пуля; б) какая часть
кинетической энергии пули при ударе перешла во внутреннюю?
303. Пуля массой 10 г, летящая со скоростью 300 м/с, уда-
ударяет в подвешенный на нитях деревянный брусок массой 6 кг и
застревает в нем. Определите высоту подъема бруска; сколько
механической энергии перейдет во внутреннюю?
304. С помощью копра массой 200 кг, падающего с высоты
3 м, забивают сваю массой 100 кг. Определите среднюю силу
сопротивления грунта, если при одном ударе свая погружается
на 2 см. Сопротивлением воздуха пренебречь, удар считать не-
неупругим.
305. Вагон массой 20 т, движущийся по горизонтальному
пути со скоростью 2 м/с, догоняет вагон массой 40 т, движущий-
движущийся со скоростью 1 м/с и сцепляется с ним. На сколько изменится
механическая энергия вагонов при сцепке?
306. Человек стоит на неподвижной тележке и бросает гори-
горизонтально камень массой 8 кг со скоростью 5 м/с относительно
Земли. Определите, какую при этом человек совершает работу,
если масса тележки вместе с человеком равна 160 кг.
307. Свинцовый шар массой 500 г, движущийся со скоростью
10 см/с, сталкивается с неподвижным шаром из воска, имеющим
массу 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Определите
кинетическую энергию шаров после удара и изменение внутрен-
внутренней энергии шаров.
308. Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и ударя-
ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар неупру-
неупругим, найдите, какое количество механической энергии переходит
во внутреннюю энергию тел.
309. Тело массой 5 кг ударяется о неподвижное тело массой
2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической
энергией 5 Дж. Считая удар упругим, найдите кинетическую
энергию первого тела до и после удара.
310. Какая энергия пошла на деформацию двух столкнув-
столкнувшихся шаров одинаковой массы в 4 кг, если они двигались
навстречу друг другу со скоростями 3 м/с и 8 м/с, а удар был
неупругий?
311. На горизонтальной плоскости лежит кубик массой 100 г.
Его пробивает летящая вертикально пуля массой 10 г. При этом

248
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ее скорость меняется от 100 до 95 м/с. Определите, на какую
высоту подпрыгнет кубик.
312. Шарик массой т скатывается без трения по рельсам,
образующим круговую петлю радиусом г (рис. 11.80). Какую ра-
работу совершает сила тяжести к моменту, когда шарик достигает
высшей точки петли 5, если в начальный момент он был на
высоте h над нижней точкой петли Л?
Рис. 11.80
313. Так же как и в предыдущей задаче, шарик скатывает-
скатывается без трения по рельсам, образующим круговую петлю радиу-
радиусом г. С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы
не оторваться от петли в верхней точке?
314 . Веревка длиной 4 м наполовину свешивается с отвес-
отвесного ледяного обрыва высотой 3 м, затем соскальзывает без
трения. Найдите скорость горизонтального движения веревки
по дну обрыва.
315 . На горизонтальном столе лежит однородная веревка
длины /, один конец которой свешивается со стола. Веревка на-
начинает скользить без начальной скорости по столу. Определите
скорость веревки, когда она полностью соскользнет со стола. Ко-
Коэффициент трения скольжения веревки о стол равен /i. Веревка
нерастяжима.
*
316 . Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины
полусферы радиусом 3 м. На какой высоте тело оторвется от
поверхности полусферы?
317. Пружина жесткостью к имеет длину Iq и расположена
вертикально. На нее из состояния покоя падает тело массой т,
сжимая ее до длины /. С какой высоты упало тело?

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ 249
318. Пружина детского пистолета имеет в свободном состоя-
состоянии длину 15 см. Жесткость пружины пистолета равна 980 Н/м.
Какова будет высота взлета шарика массой 10 г при вертикальном
выстреле, если им зарядить пистолет, сжав пружину до 5 см?
319 . Между двумя шарами, лежащими на гладкой гори-
горизонтальной поверхности, находится сжатая пружина. Когда пру-
пружине дали возможность распрямиться, один шар покатился со
скоростью 2 м/с, а другой — 0,5 м/с. Чему равна масса каждого
из шаров, если энергия сжатой пружины равна 3 Дж?
320 . Зажатая между двумя телами пружина обладает энер-
энергией 100 Дж. Масса одного тела равна 900 г, другого — 100 г.
Как распределится энергия после освобождения пружины, ес-
если пружина передает телам всю энергию? Тела движутся без
трения.
321. Определите полезную мощность водяного двигателя,
КПД которого 80%, если вода поступает в него со скоростью
3 м/с и вытекает со скоростью 1 м/с на уровне, находящимся на
1,5 м ниже уровня входа. Секундный расход воды равен 0,3 м3.
322. Вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 2 м/с,
в конце запасного пути ударяется о пружинный амортизатор.
Насколько он сожмет пружину, если ее коэффициент жесткости
равен 2,25 • 105 Н/м?
323. С какой скоростью двигался вагон массой 20 т, если при
ударе о стенку пружина буфера сжалась на 10 см? Жесткость
пружины равна 9,8 • 105 Н/м?
324. Найдите мощность двигателя, приводящего в действие
насос, подающий 270 т воды в час на высоту 15 м, если КПД
установки равен 60%.
325. Посредством неподвижного блока груз массой 100 кг
поднят на высоту 1,5 м. Определите полезную и затраченную
работу, если КПД блока равен 90%.
326. Самолет, мощность двигателей которого равна 3 МВт,
при силе тяги 4,5 кН пролетел 600 км за 0,5 ч. Определите
КПД самолета.
327. Мощность гидроэлектростанции равна 73,5 МВт, коэф-
коэффициент полезного действия равен 75%. Определите, на какой
уровень плотина поднимает воду, если расход воды равен 1000 м3
в 1 секунду.

250 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Ответы
3. а) 7 Н, покоится; б) 10 Н, движется равномерно; в) 10 Н,
движется равноускоренно.
5. 0,005 Н. 6. 4 Н.
7. 3 Н. 8. 68 Н.
9. 0,049 Н. 10. 50 кг.
11. 15 кН. 12. 2,5 м/с; 6,25 Н.
13. 3 м/с2. 14. 2,5-105Н; 400 м.
15. 2 м/с2.
16. У легкового в 2 раза больше.
17. 50 Н. 18. 230 Н.
19. ЮН; 2,5 Н. 20. «3,4м/с2.
21. «0,7 м/с2; под углом 45° к горизонту.
22. 6,25 м; 12,5 м. 23. 2 м/с; 2,5 м/с.
24. а = Baia2 + g(ai + a2))/(ai + a2 + 2g).
25. 1,2 103 Н.
26. Ж! = B,5*2)м; ж2 = B + 2?2)м; 2 с.
28. 4 Н; 0; -2 Н. 29. 46 кН.
30. 13 кН. 31. 0,2 м/с2.
32. 21 кН. 33. 18 м/с; 108 с.
34. 7,5 м/с.
35. F = т(а +цд)/(cos a + цsin а).
36. 0,82 м/с2. 37. 0,3.
38. 300 Н; 428 Н. 39. «2,6 м/с2; 2,2 м/с2.
40. «2,4 м/с2. 41. 1,6 мм.
42. 2,5 см. 43. 6 см.
44. 0,46. 45. 3,94 Н.
46. 38,4 Н; 64 Н. 47. 0,12 м/с2; 0,22 Н.
48. 7,5 Н; 15 Н. 49. « 67 Н; « 33 Н.
50. 0,8 Н. 51. 0,18 Н.

ОТВЕТЫ 251
52. 833 Н. 53. 1 Н.
54. 0,088 Н. 55. 0,6 Н.
56. 800 кг. 57. 20 м/с2.
58. 2 м/с2.
59. 31 кН; 28 кН; 29,4 кН.
60. 2,2 м/с2. 61. 100 кг; 960 Н.
62. 16,3 кг. 63. 1110 Н.
64. 141 кН; 150 кН; 172,5 кН.
65. 1569 Н; 1371 Н.
66. 69,8 • 106 Н; в 7 раз больше.
67. 6. 68. 2 м/с2.
69. 2 м/с2; ускорение направлено вверх.
70. 1010 Н; 980 Н; 940 Н; 0.
71. 320 кг. 72. Зд; Зд.
73. 14,7 Н; 4,9 Н; 7,35 Н; 12,35 Н.
74. 68,6 Н; 49 Н; 9,8 Н.
75. 3,27 м/с2; « 13 Н.
76. 3,27 м/с2; 2 кг; 4 кг.
77. 0,21с. 78. Юг.
79. 0,2 Н. 80. 40 см; 40 см/с.
81. 0,2 м/с2; 4-10Kr; 0,96 Н; 3,8-10Н; 1,92 Н.
82. 3,27 м/с2; 4 кг; 2 кг; 26,15 Н.
83. 5,42 с. 84. 2 м/с2.
85. F = 3mim2#/Bmi + m2); а\ =
а2 = Bmi - т2) д/Dmi + т2).
86. 1,4 м/с2; «16,8Н; « 6,72 Н.
87. 0,3 кг; 2,4 Н; 0,6 Н.
88. 0,58. 89. «2 с.
90. 27,7 Н. 91. 17,5 103 Н.
92. 18,6 кН.
93. 1,7 кН; 0,17 кН; 3,4 м/с2.

252 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
94. 1,1 м/с2. 95. 11 кН.
96. 1,6 мм. 97. 6 см.
98. 2,45 м/с2; 7,35 Н.
99. 2,02 м/с2; 7,77 Н.
100. 14 см.
101. 11,6 Н; 7,9 м/с2.
102. 520 кН.
103. 7800 Н; «22,3 м/с.
104. 600 Н; 300 Н.
105. 740 Н; 240 Н.
106. 100 кН; 95 кН; 105 кН.
107. «40 м. 108. 173 Н; 182 Н.
109. 5 рад/с. 110. 2,1 об/с.
111. 0,5 кг. 112. « 12 об/мин.
113. «7,7 м/с; a = arctgO,5«27°.
114. a = arctgO,8«39°.
115. 47 км/ч. 116. 22°.
117. 2 м. 118. 2 м.
119. 2,2 м/с. 120. 2,9 кН.
121. 50 м/с. 122. «3,14 с.
123. 3,8 м/с; 1,4 с. 124. 10 оборотов.
125. «9,5Н/м. 126. «4,7 с.
127. «1,41 час. 128. 1,88 ¦ 10~4 Н.
129. В 1600 раз. 130. В 4 раза.
131. 8 км/с; 7,75 км/с; 1 час 24 мин; 1 час 28 мин.
132. «61024 кг. 133. 9R3.
134. 6Д3 от центра Луны.
135. 0,47 м/с2. 136. 9,65 м/с2.
137. 14 м/с2. 138. В 6 раз.
139. 3,8 м/с2.
140. 6,08-1024кг; « 5,5-103 кг/м3.

ОТВЕТЫ 253
141. Р3/^м = 2,5. 142. 0,209 м/с2.
143. г;в = 1Д7г;з. 144. 5500 кг/м3.
145. 7,5 км/с; « 1,6 часа.
146. 2-1030кг. 147. 16,8-1029кг.
148. 574 Н. 149. 6400 км.
150. В 1,87 раза больше земного года.
151. 8300 км.
152. R= ^
153. На1,67Ю7Н. 154. 1,65 м/с2.
155. 270 м/с2. 156. 200 м.
157. 42400 км. 158. « 7,9 км/с.
159. « 7,9 км/с. 160. 180 кг/м3.
161. 9,7-103 с.
162. At = 5 часов; Т = 24 часа; г;н = J— - 2тгЯ (-^- ± ^);
и 104 м/с; <w 1100 м/с. *
163. Импульс свинцового тела больше в 1,5 раза.
164. 2-Ю7 кг-м/с.
165. 1кг-м/с; 2 кг-м/с.
166. 0,3 кг м/с. 167. 15 Н.
168. 1,6 кг-м/с.
169. 5,6-103 кг-м/с.
170. 2m^since.
171. 14 кг-м/с; 20 кг-м/с; 0.
172. 525 Н. 173. 0,01 с.
174. 100 с. 175. 583 кН.
176. 1 м/с; в направлении движения большего тела.
177. 1,6 м/с; в направлении движения меньшего тела.
178. 0,24 м/с. 179. 1,84 м/с.
180. 0,4 м/с; 0,375 м/с.
181. 1,25 м/с. 182. 0,5?;; 0; 0,75?;.
183. ^4,ЗН. 184. 4 м/с; ^ 2,7 м.

254 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
185. 12,5 м/с. 186. 1695 м.
187. 1,625 м/с; 3,375 м/с.
188. 5 м/с; 15 м/с; —5 м/с.
189. 8 м/с; 6 м/с.
190. На 0,04 м/с. 191. «0,1м/с.
192. 1 м. 193. т = М/д.
194. 500 кг. 195. 0,08 м/с.
196. 0,02 м/с. 197. 0,1 м/с.
198. 3,4 м/с; 0,3 м/с.
199. 13 м/с. 200. 0,3 м.
201. 20 м/с. 202. 1470 м.
203. ^217 м/с.
204. а) 7,1 м/с; 7,1 м/с; б) 5 м/с; 8,7 м/с.
205. а) 5 кг-м/с; б) 5 м/с; в) а = arccos 0,6 « 53°.
206. 2л/2^/3; 45°; у^ш.
207. 7,8 м/с; направление движения платформы сменилось
на противоположное.
208. 19 м.
209.
210. 77кДж.
211. 0; 0; -2,9 Дж; 2,9 Дж.
212. а) 0,1 Дж; 0,2 Дж; б) 50 мДж; 0,2 Дж; в) 50 мДж;
0,125 Дж.
213. -2,4 108 Дж.
214. 36 Дж; 64 Дж; 100 Дж.
215. ЗЗкДж.
216. и 5 кДж; к 7,5 кДж.
217. 30 м/с2. 218. 4,8 Дж.
219. -375 кДж. 220. 60 Дж.
221. 0,2 Дж. 222. й4,5Дж.
223. 26 Дж. 224. -240 Дж.

ОТВЕТЫ 255
225. 1500 Дж; -1500 Дж.
226. и 9,8 кДж.
227. 18 кДж; -15 кДж; -3 кДж.
228. 3,5 кДж. 229. 0,41 Дж.
230. 12,5 кДж. 231. 1,1 кДж.
232. 19,6 кДж. 233. и 8,8 кДж.
234. и 5 Вт. 235. 0,64 кВт
236. 3,7 кВт. 237. 0,2 кВт.
238. а) и 90 кДж; б) 9 кВт; в) 18 кВт; г) 260 м.
239. «500 кВт. 240. «130 с.
241. «7,5кДж; и 12,5 кДж.
242. 83,1 кВт. 243. 1080 кВт.
244. 3-Ю6 Вт; 1,2 106 Вт.
245. 589 Н; 3533 Н.
246. В 4 раза. 247. 48 кН.
248. 20 м/с. 249. 490 м.
250. Увеличить в 2 раза.
251. 40 Дж.
252. 600 Дж; -300 Дж; 800 Дж.
253. 25 м. 254. «7-107кДж.
255. 60 Дж; 90 Дж. 256. 10 м/с.
257. 2,5 м. 258. 50 Дж; 400 Дж.
259. 14 м/с.
260. 125 Дж; уменьшилась на 125 Дж.
261. 40 Дж; 40 Дж. 262. 96 Дж; 96 Дж.
263. 5Дж; 5Дж. 264. 98 Дж.
265. 1 кДж.
266. а) 21 Дж; б) -64 Дж.
267. 0,01. 268. 49 м.
269. ц = Bh)/(gt2sm2a)-l)tga.
270. 13,8 м/с. 271. -80,2 Дж.

256 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
272. 2,7 м. 273. 40 см.
274. 2 кДж; 1 кДж; 1 кДж.
275. 14 Дж. 276. « 5 Дж.
277. -36 Дж.
278. Нет. Ускорение тела при движении в воздухе равно
4,16 м/с2. Это может быть при действии на тело внешних сил,
препятствующих падению: силы натяжения подвеса или силы
сопротивления.
279. -3,8 Дж. 280. v =
281. 6 кН. 282. 8,1 • 107 Дж.
283. В 10 раз.
284. a) v = ^vl + 2gh\ б) v = у^ + 2gh - цд\/12 - Р.
285. 2mgh.
286. 2,94 Дж; 2,2 м/с; 4,3 м.
287. 2,53 м. 288. -0,15 Дж.
289. v = y/2gl. 290. 200 Н.
291. 0,25 м. 292. п = my/2gl/BFt).
293. Нет, так как сила натяжения в нижнем положении
равна 30 Н.
294. a = arccosO,97^13°.
295. 410 м/с.
296. a) vll = (mi—m2)vil(mi+m2)] vf2 = 2mivi/(mi + m2)]
б) еСЛИ 1712 ^> ™>1ч ТО v[ = —V\.
297. -1 м/с; 5 м/с.
298. vi = t;/a/3; v2 = 2v/^ 60°.
299. и 0,16 м; и 58,8 Дж.
300. h\ = /12 = 0,25/A — cosa) ^0,07/; если массы равны, то
скорость первого шарика станет равна нулю, а второй шарик
поднимется на высоту h = 1A — cos a) « 0,29/.
301. 0,2 кг.
302. а) 800 м/с; б) 0,56.
303. 0,0125 м; 449,25 Дж.

ОТВЕТЫ 257
304. 203 кН. 305. 6,7 кДж.
306. 105 Дж.
307. 1,8-10Дж; 0,7-10~3Дж.
308. 12 Дж. 309. 5,62 Дж; 0,62 Дж.
310. 120 Дж. 311. 1,25 см.
312. A = mg(h-2r).
313. h = 2,5г. 314. «7 м/с.
315. v =
316. 2 м.
317. h = (l-
318. «49 м. 319. 0,8 кг; 3,2 кг.
320. 80 Дж; 20 Дж. 321. 4,4 кВт.
322. 0,83 м. 323. 0,7 м/с.
324. 18,4 кВт. 325. 1500 Дж; 1670 Дж.
326. 25%. 327. Юм.
17 С. В. Трубецкова

Часть III
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИКИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
И ГИДРОДИНАМИКИ

1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Содержание теоретического материала
Сложение сил. Разложение сил на составляющие. Момент
силы. Условия равновесия тел. Виды равновесия. Простые ме-
механизмы.
Вопросы к теоретическому материалу
1.1. Какие вопросы рассматриваются в разделе физики, на-
называемом статикой?
1.2. Какая сила называется равнодействующей, какие —
составляющими?
1.3. Какая сила называется уравновешивающей?
1.4. Какое тело называется абсолютно твердым?
1.5. Как найти равнодействующую двух сил, приложенных
к телу? Рассмотрите случаи, когда две силы приложены к одной
точке и направлены: а) в одну сторону; б) в противоположные
стороны; в) под углом друг к другу; когда две силы приложе-
приложены к разным точкам тела и направлены: г) под углом друг к
другу; д) параллельно в одну сторону; е) параллельно в про-
противоположные стороны (антипараллельно).
1.6. Как найти составляющие заданной силы по известным
направлениям?
1.7. В чем заключается условие равновесия невращающе-
гося тела?
1.8. Как ведет себя тело с закрепленной точкой под дейст-
действием силы?
1.9. Какая физическая величина называется моментом
силы?
1.10. В чем заключается условие равновесия тела, имеюще-
имеющего неподвижную ось?
1.11. Что такое «пара сил»?
17*

260
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Рис. III.1
1.12. Для чего гайку-барашек
снабжают лопастями (рис. III. 1)?
1.13. У теплохода два двигателя.
Как будет двигаться теплоход, если
будет подана команда: «правый дви-
двигатель — полный вперед, левый дви-
двигатель — полный назад!»? Силы тяги
обоих двигателей одинаковы.
1.14. Какая точка тела является его центром тяжести?
1.15. Какое равновесие тел называется неустойчивым? Ус-
Устойчивым? Безразличным?
1.16. На рис. III.2 изображены простейшие аптекарские
весы. Почему подвижная система этих весов имеет положение
устойчивого равновесия сил?
L
J
Рис. III.2
1.17. В каком положении яйцо будет находиться в состоянии
устойчивого равновесия и почему?
1.18. В чем заключается условие равновесия тела, имеюще-
имеющего площадь опоры?
1.19. Почему трудно ходить на ходулях?
1.20. Что собой представляет рычаг?
1.21. Отличаются ли работы приложенных к рычагу сил
друг от друга при его равномерном вращении?
1.22. В каком направлении будет вращаться рычаг с осью,
проходящей через точку О (рис. III.3) под действием приложен-
приложенных сил F\ и F<i- Во всех случаях плечо силы F\ в два раза
больше плеча силы F<i- Какого рода этот рычаг?

ВОПРОСЫ К ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ МАТЕРИАЛУ
261
Fi F2 Fi
\Fi\ = \F2\
a
О
= 2|F2
О
= 3|F2|
в
F2
^2
l^l| = l^2|/2
г
Рис. III.3
1.23. В каком направлении будет вращаться рычаг с осью
в точке О (рис. Ш.4а-г) под действием приложенных сил F\
и F2? Какого рода этот рычаг? Во всех случаях плечо силы F\
в два раза меньше плеча силы F<i-
О
о
О
0
1^1 = 1
\Fx\ =
= 3|F2|
г
Рис. III.4
1.24. В каком направлении будет вращаться тело, закреп-
закрепленное в точке О (рис. III.5), под действием каждой из действу-
действующих сил? Перерисовав чертеж; в тетрадь, найдите плечи всех
сил.
Рис. III.5
Рис. Ш.6
1.25. Бревно уравновешено на тросе (рис. III.6). Какая часть
бревна окажется тяжелее, если его распилить в месте подвеса?

262 1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Ответы
1.1. Статика — это раздел механики, в котором изучаются
условия равновесия твердых тел. Равновесием называют такое
состояние тела, когда оно находится в покое, движется равно-
равномерно прямолинейно или равномерно вращается вокруг какой-
либо неподвижной оси.
Методы статики применяются в самых различных областях
деятельности человека. При различных инженерных и архи-
архитектурных проектах необходимо рассчитать силы, действующие
на фундамент и отдельные элементы зданий, мостов, станков,
автомобилей, самолетов и пр. Это объясняется тем, что любой
материал может деформироваться и разрушаться, если воз-
воздействия окажутся слишком большими. Знание сил, действую-
действующих в мышцах и суставах человека, важно для медицины —
при лечении травм, при протезировании различных органов, в
частности, конечностей; не менее важно использование методов
статики для научного подхода к занятиям спортом.
1.2. Действие нескольких сил на тело можно заменить одной
силой, называемой равнодействующей. Силы, которые эта рав-
равнодействующая заменяет, называются составляющими.
1.3. Пусть равнодействующая нескольких сил, действующих
на тело, отлична от нуля, и тело не находится в равновесии. Мож-
Можно приложить еще одну силу, которая уравновесит совокупность
всех сил. Такая сила называется уравновешивающей. Она равна
по величине равнодействующей силе и направлена противопо-
противоположно ей.
1.4. Абсолютно твердым называется тело, размеры и форма
которого не меняются, какие бы силы на него не действовали.
1.5. В вопросах а-е требуется найти равнодействующую
силу R = F\ + F<z- Для первых трех случаев нахождение равно-
равнодействующей приведено на рис. III.7 а-е. Если забыты правила
сложения векторов, то можно обратиться к I части, «Кинема-
«Кинематика материальной точки», где приведены соответствующие
правила;
г) прямая, проведенная через точку приложения силы в нап-
направлении действия этой силы, называется ее линией действия
(прямая на рис. III.8 а).
Опыт показывает, что действие силы на абсолютно твердое
тело не изменится, если точку приложения силы перенести

ОТВЕТЫ
263
Рис. III.7
вдоль линии ее действия (рис. III.8 а). Для сложения любых двух
сил, приложенных к одному телу, их надо перенести в одну точ-
точку — точку пересечения линий их действия ( на рис. III.8 б это
прямые M\N\ для силы F\ и M2N2 для силы F2] точка О —
точка пересечения линий действия). В точке О производится
векторное сложение сил по правилу параллелограмма, находит-
находится равнодействующая сила R. Полученную равнодействующую
можно перенести в любую точку тела вдоль линии ее действия.
N
R
Рис. Ш.8
Величина равнодействующей, так же как и в случае в), оп-
определяется по теореме косинуса;
д) сложить так, как рассмотрено выше, параллельные си-
лы F\ и F<x не удастся, поскольку линии их действия парал-
параллельны. Поэтому поступают следующим образом.

264
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Если к телу приложить две силы F'h Fn', равные по вели-
величине и противоположные по направлению, то это не изменит
состояния тела, так как F' + F" = О (рис. III.9).
F' О F"
Рис. III.9
Найдем две равнодействующие силы: R± = F± + F1', R2 =
= F2 + F". Из рис. III.9 видно, что R\ и /?2 не параллельны,
и поэтому можно найти равнодействующую R = R\ + R2 мето-
методом, рассмотренным выше. Очевидно, что R = F\ + F2, так как
F' + F" = 0. Точка О приложения равнодействующей может
оказаться за пределами тела. Перенесем полученную равно-
равнодействующую R вдоль линии ее действия в любую точку тела,
например, в точку С. Разложим в точке О силу R± на состав-
составляющие ее силы Fi и F', а силу R2 на F2 и F"; F' и F" —
взаимно компенсируются, а силы F\ и F2 направлены вдоль
прямой, параллельной линиям их действия. Следовательно, рав-
равнодействующая сил F\ и F2 равна их сумме и направлена в ту
же сторону: \R\ = |Fi| + |^2|-
Найдем соотношение между отрезками d\ и о?2, на которые
точка приложения равнодействующей делит расстояние меж-
между точками приложения сил — А и В. Рассмотрим две пары
заштрихованных треугольников, которые подобны (рис. III.9).
Напишем соотношения между сторонами треугольников:
(а)

ОТВЕТЫ
265
\ОС\ _ \F2\
^2 \F"\
Поделив уравнение (а) на уравнение (б), получим
d2 |A|
(б)
Таким образом, равнодействующая двух параллельных, оди-
одинаково направленных сил, параллельна им, направлена в ту же
сторону и равна их сумме; точка приложения равнодействую-
равнодействующей делит расстояние между точками приложения сил на части,
обратно пропорциональные величинам сил;
е) в случае сложения антипараллельных сил F\ и F<i рассуж-
рассуждения аналогичны тем, что приведены в предыдущем случае.
Поэтому построение равнодействующей без объяснений приве-
приведем на рис. III.10.
Рис. III.10
Вывод может быть сделан следующий: равнодействующая
двух параллельных сил, направленных в противоположные сто-
стороны, параллельна им, направлена в сторону большей силы,
равна по величине разности этих сил. Расстояние от точки, где
приложена равнодействующая до точек, где приложены силы F\
и F<i-> обратно пропорциональны величинам этих сил:

266
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
1.6. Для того чтобы найти составляющие заданной силы F
на два направления А\В\ и А^В^^ надо поступить следующим
образом: через начало и конец вектора F надо провести по две
прямых, параллельных каждому из направлений разложения
(пунктирные линии на рис. III.11 а).
Рис. III.11
Каждая пара линий ограничит на прямых А\В\ и A<iB<i
составляющие векторов F\ и F<i- Проще найти составляющие
вектора F, если его начало совместить с точкой пересечения
прямых (рис. III. 116). Величины составляющих векторов нахо-
находят, используя тригонометрические соотношения в треугольни-
треугольниках, образованных векторами F, F\ и F<i-
1.7. В соответствии с I законом Ньютона любое вращаю-
вращающееся тело будет находиться в равновесии, если векторная сумма
всех сил, приложенных к телу, равна нулю: J2 Fi — О (П ~~ число
г=1
действующих на тело сил). При этом условии сумма проекций
этих сил на любую ось координат также равна нулю. Если вы-
выберем прямоугольную систему координат, то имеем два условия
равновесия для проекций действующих на тело сил:
г=1
г=1

ОТВЕТЫ
267
1.8. Тело, имеющее одну закрепленную точку, не может дви-
двигаться поступательно. В этом случае тело под действием силы
может прийти во вращательное движение вокруг оси, проходя-
проходящей через закрепленную точку О (рис. III.12 а). Тело будет по-
поворачиваться до тех пор, пока линия действия силы MN не
пройдет через закрепленную точку (рис. III.12 б).
м
N
Рис. III.12
Часто на практике мы сталкиваемся с телами, которые имеют
закрепленными совокупность точек, лежащих на одной прямой
(оси вращения). Таковы все двери, окна, колеса, различные ме-
механизмы и пр.
Пусть на тело, имеющее закрепленную ось, действует про-
произвольно направленная сила F. Спроектируем эту силу на оси
прямоугольной системы координат: ось Ох лежит в плоскости,
перпендикулярной оси вращения, ось Оу лежит в плоскости,
проходящей через ось вращения (рис. III. 13). Вращение диска
Рис. III.13
вокруг оси вызывает только составляющая Fx, перпендикуляр-
перпендикулярная оси вращения. Поэтому дальше мы будем говорить только
о силах, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

268
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Составляющая Fyi параллельная оси вращения, должна была
бы перемещать саму ось вращения. Но мы ее считаем закреп-
закрепленной, поэтому сила Fy будет скомпенсирована силой реакции
опоры в местах закрепления оси.
Если открывать дверь, прикладывая силу F\ так, как указа-
указано на рис. III.14 а, можно убедиться, что чем больше величина
силы Fi, тем быстрее открывается дверь.
I
Fi
а б в
Рис. III.14
Если теперь прикладывать силу F<z той же величины, что
и Fi, но в точке, расположенной ближе к косяку с петлями, то
дверь будет открываться уже не так быстро (угловая скорость
двери станет меньше): то есть эффект действия силы стал мень-
меньше (рис. III.14 б').
На рис. III.14 в на дверь поочередно действуют одинаковыми
по величине, но направленными по-разному силами Fi, F3, F4.
При действии силы F± дверь не открывается совсем (линия
действия силы проходит через ось вращения. Под действием си-
силы Fs дверь открывается медленнее, чем при действии силы F\.
Таким образом, вращающее
действие силы зависит не только
от величины этой силы, но и от ве-
величины, называемой плечом силы.
Плечом силы называется крат-
кратчайшее расстояние от оси враще-
вращения до линии действия силы (на
рис. Ш.14а-в для всех сил обозна-
обозначены их плечи d\—d^). Для того,
чтобы найти плечо силы, надо из
центра вращения опустить пер-
перпендикуляр на линию действия силы. Расстояние от центра
вращения до основания перпендикуляра и есть плечо силы (на
F2 (d2 = 0)
Рис. III.15

ОТВЕТЫ 269
рис. III. 15 плечи сил обозначены: di, ^2? ^з? °Ц — 0, так как ли-
линия действия силы F^ проходит через ось вращения).
Таким образом, вращающее действие силы зависит от вели-
величины силы и ее плеча.
1.9. Моментом силы относительно оси вращения называется
произведение модуля силы на плечо:
M = \F\d.
Специальной единицы для момента силы нет, его размерность
в системе СИ есть
= Н-м.
Таким образом, чтобы получить нужный нам момент враще-
вращения при минимальном усилии, надо стараться приложить силу
как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем самым пле-
плечо силы.
Примечание. В вопросе 1.5 говорилось, что силу можно
переносить вдоль линии ее действия. Такой перенос не изменя-
изменяет плеча силы и, следовательно, ее момента, поэтому тело не
меняет своего состояния.
1.10. Условились считать моменты сил, вращающих тело
по часовой стрелке (рис. III.16 а), отрицательными, а против ча-
часовой стрелки — положительными.
Fi F1
a 6
Рис. III.16
Условие равновесия тела, имеющего закрепленную ось вра-
вращения, заключается в следующем (правило моментов): тело,
имеющее закрепленную ось вращения, находится в равновесии,
если алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на
тело относительно закрепленной оси, будет равна нулю:
М\ + M<i +... + Мп = О
(п — число действующих на тело сил). Или

270
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
г=1
Изложенное выше условие вместе с условием, приведенным
в 1.7, составляют два условия равновесия тел.
1.11. Две одинаковые по величине антипараллельные си-
силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил
(рис. III.17а).
Рис. III.17
Под действием пары сил тело поворачивается вокруг закреп-
закрепленной точки. Если направление сил не меняется, то поворот
происходит до тех пор, пока линии действия сил не совпадут: в
этом случае обе силы окажутся действующими противополож-
противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения
тела (рис. III.17б'). Найдем величину момента пары сил. Для
рис. III.17 в на тело действуют два момента силы:
Учитывая, что
суммарный момент пары сил М равен
М = М1 + М2 = F{d1 + d2) = Fl^0,
I = (d\ + d2) — плечо пары сил.
Следовательно, тело не находится в равновесии под дейст-
действием пары сил.
1.12. Для увеличения момента силы при закручивании пу-
путем увеличения плеча силы.
1.13. Теплоход будет поворачиваться против часовой стрел-
стрелки.

ОТВЕТЫ
271
1.14. В части II, «Динамика материальной точки», центр
тяжести был определен как точка, в которой приложена равно-
равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы тела.
Если тело подперто так, что линия действия силы реакции опо-
опоры проходит через центр тяжести (рис. III.18 а), то тело будет
находиться в равновесии. В этом случае выполняются оба усло-
условия равновесия (см. ответы к вопросам 1.7 и 1.10):
N
тд
Рис. III.18
1) векторная сумма действующих на тело сил равна нулю:
2) через точку опоры пройдет ось, вокруг которой может
повернуться тело, если выйдет из состояния равновесия.
Поэтому справедливо второе условие равновесия: алгебраи-
алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил равна
нулю. В данном случае равны нулю моменты силы тяжести и
силы реакции опоры (так как равны нулю плечи этих сил). Но
вопрос можно рассмотреть и по-другому. Любое тело можно
условно разбить на несколько частей; на каждую часть дейст-
действует сила тяжести. При равновесии тела алгебраическая сумма
моментов сил тяжести, действующих на отдельные части тела,
равна нулю относительно точки опоры (рис. 111.18^). Поэтому
центр тяжести тела можно определить как точку, относительно
которой сумма моментов сил тяжести, действующих на отдель-
отдельные части тела, равна нулю.
1.15. На любое тело действует сила тяжести, и оно может
находиться в равновесии, если она будет скомпенсирована какой-
либо силой. Это может быть сила реакции опоры. Рассмотрим
разные случаи равновесия.

272
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
1) Шарик находится на вершине выпуклой поверхности
(рис. III.19 а). Сила тяжести тд и сила реакции опоры TV, дейст-
действующие на шарик, равны по величине и противоположны по
направлению, равнодействующая в этом положении равна нулю.
Если шарик немного сместить, то равнодействующая R будет
уже отлична от нуля и направлена в сторону от равновесного
положения; шарик, предоставленный себе, не вернется в исход-
исходное положение.
N
тд
N
тд
тд
тд
1 тд
а б в
Рис. III.19
Состояние равновесия, в котором находился шарик на вер-
вершине выпуклой поверхности, называется неустойчивым.
Если же шарик находится на дне вогнутой поверхности
(рис. 111.19^), то он самопроизвольно займет положение, где
он находится в равновесии (N + тд = 0). Если шарик немного
сместить, то равнодействующая сил TV и тд окажется направ-
направленной к положению равновесия. Под действием равнодействую-
равнодействующей R шарик вернется в положение равновесия. Такое положение
называется устойчивым.
При смещении шарика по горизонтальной поверхности в лю-
любом положении он будет находиться в равновесии (рис. III.19 в).
Такое состояние равновесия называется безразличным.
2) Пусть однородная прямоугольная пластинка имеет за-
закрепленную ось вращения (точка О на рис. III.20 а-в).
Тело, имеющее закрепленную ось вращения, находится в
равновесии, когда линия действия силы тяжести проходит через
ось вращения тела. В этом случае плечо силы тяжести равно
нулю и равен нулю вращающий момент силы тяжести. Момент
силы реакции опоры в точке закрепления всегда равен нулю
(так как плечо силы реакции опоры равно нулю).
Если пластинку вывести из положения равновесия, то мо-
момент силы тяжести уже станет не равным нулю (так как d ф 0,

ОТВЕТЫ
273
тд
о
т
тд
тд
N
О
тд
Рис. III.20
рис. III.20 а, б). В случае, соответствующем рис. III.20 а, плас-
пластинка повернется так, что точка подвеса окажется наверху, то
есть пластинка не вернется в исходное равновесное положение.
В случае, изображенном на рис. 111.20^, под действием силы
тяжести пластинка, выведенная из положения равновесия, сама
вернется в исходное положение.
Закрепим пластинку в точке, где находится центр ее тяжести
(рис. III.20 в). Пластинка может сколь угодно долго находиться
в любом положении. Это объясняется тем, что плечи силы тя-
тяжести и силы реакции опоры равны нулю, поэтому пластинка
поворачиваться не будет.
Аналогично тому, как в предыдущем примере (с шариком),
положение равновесия, соответствующее рис. III.20 а, будет не-
неустойчивым, рис. III.20 б' — устойчивым, рис. III.20 в — безраз-
безразличным.
Обобщая разобранное в обоих случаях, можно сформулиро-
сформулировать следующее.
Равновесие, при котором незначительное отклонение тела
в любую сторону приводит к опусканию центра тяжести тела
(рис. III.19 а и III.20 а), будет неустойчивым. Тело само не мо-
может вернуться в положение с большей потенциальной энергией
(то есть в положение, где центр тяжести расположен выше).
Равновесие, при котором незначительное отклонение тела в
любую сторону приводит к подъему центра тяжести (рис. III. 19 б
и 111.20^), будет устойчивым. В этом случае тело, обладая по-
потенциальной энергией относительно исходного уровня, переходит
в положение, где его потенциальная энергия минимальна.
18 С. В. Трубецкова

274
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Если при отклонении тела в любую сторону высота распо-
расположения центра тяжести не меняется, положение равновесия
является безразличным (рис. III.19 в и III.20 в).
1.16. Ось вращения (точка О) коромысла должна быть рас-
расположена выше центра тяжести (точка С) коромысла с чашками
(рис. 111.21).
Рис. III.21
1.17. Центр тяжести яйца расположен ближе к его тупому
концу (точка О, рис. III.22). В положении «на боку» центр тя-
тяжести расположен в низшем из возможных положений, поэтому
такое положение равновесия будет устойчивым.
Рис. III.22
тд
Рис. III.23
1.18. Тело, имеющее площадь опоры, также может находить-
находиться в состоянии неустойчивого и устойчивого равновесия. Пусть
однородный брусок наклонили на малый угол а (рис. III.23).

ОТВЕТЫ
275
В этом случае он будет поворачиваться относительно одно-
одного из ребер. Поэтому можно рассматривать брусок как тело,
имеющее закрепленную ось. При повороте центр тяжести подни-
поднимается. Если брусок отпустить, то под действием пары сил (N
и тд) он вернется к исходному положению равновесия, перейдя
в положение с меньшей потенциальной энергией (рис. III.23 а, б').
Поэтому положение равновесия, соответствующее рис. III.23 а,
является устойчивым.
Если брусок отклонить на угол /3 такой, что линия действия
силы тяжести пройдет через точку опоры, то брусок будет так-
также находиться в положении равновесия. Но это положение будет
неустойчивым. Из положения, соответствующего рис. III.23 в,
брусок при малейшем смещении в любую сторону перейдет в
положение, где центр тяжести расположен ниже и, соответствен-
соответственно, величина потенциальной энергии меньше.
При отклонении бруска на угол, больший /3, линия действия
силы тяжести вышла за пределы площади опоры. Брусок в этом
случае под действием пары сил (TV и тд) повернется и упадет
(рис. III.23 г, д). Сравнив рис. III.23 б' и г, можно сказать, что те-
тело, выведенное из положения равновесия, не упадет, пока линия
действия силы тяжести проходит через площадь опоры тела.
б
Рис. III.24
Степень устойчивости тел зависит от величины угла C. Чем
больше площадь опоры тела и ниже центр тяжести тела, тем
больше угол /3, при повороте на который тело перейдет из ус-
устойчивого положения равновесия в неустойчивое. Это видно из
сравнения рис. III.24 а, б и рис. III.25 а, б.
18*

276 1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Из примеров, рассмотренных в ответах 1.15 и 1.18, можно
сделать важный вывод: самым устойчивым состоянием тела яв-
является то, в котором его потенциальная энергия минимальна.
1.19. Подъем человека на ходули сильно поднимает точку
центра тяжести над землей и уменьшает площадь опоры, поэто-
поэтому положение на ходулях не является устойчивым.
1.20. Рычагом называют твердое тело, имеющее неподвиж-
неподвижную ось вращения. На рычаг обычно при его использовании
действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг оси. Разли-
Различают три вида рычагов, в зависимости от того, где помещается
точка опоры (закрепленная ось). Рычаги I рода имеют точку
опоры между точками приложения сил, а силы направлены в
одну сторону (рис. III.26 а). Примерами рычагов I рода могут
служить равноплечные лабораторные весы, коромысло, желез-
железнодорожный шлагбаум и т. д.
Fl
О
Of
Рис. III.26
В рычагах второго и третьего родов ось вращения находится
по одну сторону от точек приложения сил (рис. 111.26^, в), а
силы направлены противоположно друг другу. Обычно с по-
помощью таких рычагов минимальным усилием F\ преодолевают
действие большей силы F<z- Это рычаги II рода (рис. III.26 6).
Примерами являются гаечные ключи, щипцы для орехов и пр.
В рычагах III рода, наоборот, достаточно большим усилием F\
надо оказать очень нежное воздействие на какой-либо объект
(рис. III.26 в). К рычагам III рода относятся пинцеты различно-
различного назначения.
Для равновесия рычага необходимо, чтобы момент силы,
вращающий рычаг по часовой стрелке, был равен моменту силы,
действующей против часовой стрелки:
Fidi = F2d2,
или

ОТВЕТЫ
277
(a)
Из последнего соотношения видно, что при равновесии рычага
величины приложенных сил обратно пропорциональны длинам
плеч соответствующих сил.
1.21. Пусть рычаг под действием приложенных сил придет
в равномерное движение (считаем, что сила трения отсутству-
отсутствует). При этом точки приложения сил F\ и F<i пройдут пути s\
и «§2, соответственно (рис. III.27а, б). Из подобия треугольников
А\В\О и А2В2О можно записать, что
di
Рис. III.27
Сравнивая это выражение с формулой (а) из предыдущего
ответа A.20), можно записать
F2 si'
Отсюда видно, что приложенная к рычагу сила F<i во столь-
столько раз меньше преодолеваемой силы F\^ во сколько раз прой-
пройденный ею путь «§2 больше пути s\. Или иначе: при действии
на длинное плечо рычага мы выигрываем в силе, но во столько

278
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
же раз проигрываем в расстоянии (это утверждение называется
«золотым» правилом механики). При этом работы, совершаемые
силами F\ и F2, равны друг другу (если пренебречь силами
трения):
1.22. а) Против часовой стрелки; б) не будет вращаться;
в) по часовой стрелке; г) против
часовой стрелки; рычаг I рода.
1.23. а) Против часовой стрел-
стрелки; б) не будет вращаться; в) про-
против часовой стрелки; г) по часовой
стрелке. В случаях (а, в) — рычаг
II рода, (б, в) — III рода.
1.24. Сила F2 вращения не вы-
вызовет; F% — по часовой стрелке;
F\, F4 — против часовой стрелки.
Плечи сил обозначены на рис. III.28.
F2 d2
1.25. Правая часть окажется тяжелее; моменты сил правой
и левой частей равны, но у правой части короче плечо силы тя-
тяжести, поэтому величина силы тяжести правого куска больше.
Основные формулы
Два условия равновесия тела:
1) геометрическая сумма всех сил, действующих на тело,
равна нулю:
п
Y,Fi=0 (F1 + F2 + ... + Fi + ... + Fn = 0); A.1)
t=i
2) алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на
тело, относительно любой точки тела равна нулю:
A.2)
г=1
Момент силы F равен
где а — плечо силы.
= \F\d,
A.3)

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 279
Методика решения задач
1. При решении задач на определение равнодействующей
нескольких произвольно направленных сил нужно следовать
изложенным ниже правилам:
а) сделать рисунок, обозначить на нем все силы, действую-
действующие на тело; путем параллельного переноса вдоль линии действия
все силы свести в одну точку;
б) геометрически сложить силы по правилам сложения век-
векторов; если на тело действуют больше двух сил, то складывать
их поочередно;
в) вычислить модуль равнодействующей силы.
2. В некоторых задачах, наоборот, надо найти составляю-
составляющие силы по заданным направлениям. В этих случаях:
а) сделать рисунок, обозначить на нем все силы, действую-
действующие на тело; путем параллельного переноса вдоль линии дейст-
действия все силы свести в одну точку (удобно в центр тяжести тела);
б) записать первое условие равновесия в векторной фор-
форме A.1);
в) выбрать начало прямоугольной системы координат в
центре тяжести тела или в другой удобной точке; направления
осей координат расположить таким образом, чтобы углы между
силами и осями были известны, а часть проекций обратилась
бы в нуль;
г) записать векторное уравнение A.1) в проекциях на оси
выбранной системы координат, используя нужные тригономет-
тригонометрические функции;
д) решить полученную систему уравнений относительно
неизвестных сил.
3. Если тело под действием совокупности сил находится в
равновесии (силы приложены в разных точках тела), и при ис-
исчезновении какой-либо из сил тело может повернуться, то надо
использовать условие равновесия A.2).
Поступать в таких случаях можно следующим образом:
а) сделать рисунок, обозначив на нем все силы, действую-
действующие на тело; особенно надо обратить внимание не только на
количество и направление сил, но и на то, в каких точках тела
эти силы приложены, как проходят линии действия сил;
б) при равновесии тела правило моментов можно записать
относительно любой оси (то есть проходящей через любую

280 1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
точку тела), так как относительно любой оси сумма моментов
действующих сил должна быть равна нулю. Обычно ось враще-
вращения выбирают в точке, через которую проходит линия дейст-
действия одной из неизвестных сил (очевидно, если не надо найти
величину этой силы). Момент этой силы относительно выбран-
выбранной точки будет равен нулю, что уменьшит число неизвестных
в уравнении.
Выбирая разные центры вращения тела, можно составить
столько уравнений, сколько необходимо для решения задачи.
Кроме того, можно кроме условия равновесия A.2), исполь-
использовать условие равновесия A.1);
в) решить полученную систему уравнений относительно
неизвестных величин.
4. При решении задач на определение положения центра
тяжести тела сложной формы необходимо помнить: центром
тяжести тела произвольной формы называется точка внутри
тела (или вне его), относительно которой сумма моментов сил
тяжести, действующих на отдельные части тела, равна нулю.
Таким образом, если закрепить тело в центре его тяжести, то
оно будет находиться в равновесии.
При решении задач такого типа тело сложной формы надо
представить в виде нескольких простых частей (правильной
геометрической формы). Центр тяжести однородного тела сим-
симметричной формы находится в центре симметрии. Нужно выб-
выбрать точку внутри тела, где ориентировочно может быть распо-
расположен центр тяжести (она должна находиться ближе к силе
большей величины, так как плечо ее относительно центра тя-
тяжести должно быть меньше). Положение центра тяжести можно
отсчитывать от какой-либо точки тела, обозначив расстояние
как х. Относительно предполагаемой точки надо записать мо-
моменты всех сил тяжести, действующих на отдельные части
тела, и записать второе условие равновесия A.2). Далее нужно
решить уравнение моментов относительно х.
Примеры решения задач
1. На парашютиста массой 90 кг в начале прыжка дейст-
действует сила сопротивления воздуха, вертикальная состаляющая
которой равна 500 Н, а горизонтальная — 300 Н. Найдите рав-
равнодействующую всех сил.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
281
На парашютиста действуют силы: сила
тяжести тд и сила сопротивления воздуха,
вертикальная и горизонтальная составляющие
которой даны в условии задачи (рис. III.29).
Для нахождения равнодействующей нес-
нескольких сил их складывают поочередно: для данного случая
сначала сложим силы, действующие вдоль одной прямой: тд
т =
FB =
Fr =
R-
90 кг
= 500
= 300
?
н
н
Их равнодействующая R! направлена в сторону большей силы
тд и равна по величине разности:
R' = mg-FB; Я; = 400Н.
Теперь R! сложим с Fv\
Поскольку угол между R! и Fv равен 90°, то для нахождения
их суммы пользуемся правилом параллелограмма и теоремой
Пифагора:
/ [Я] = Н;
тд
Рис. III.29
Рис. III.30
2. Баржа удерживается двумя канатами. С какой силой ве-
ветер действует на баржу, если каждый канат натянулся с си-
силой 8 кН? Канаты составляют угол 60° по отношению к берегу
(рис. 111.30).
I способ
Перенесем силы F\ и F<i вдоль ли-
линий действия в точку их пересечения.
По правилу параллелограмма найдем
их равнодействующую R: R = F\ + F<i
F =
a =
FB-
= \F2
:8KH
60°
_?
= F

282
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
(рис. III.31 а). Величину равнодействующей можно найти по
теореме синуса (угол, противолежащий Я, равен 120°):
Рис. III.31
Я = 13,85кН.
Поскольку баржа находится в равновесии, то сила давления
ветра должна уравновешивать силы натяжения канатов, то есть
она равна по величине Я, приложена в той же точке и противо-
противоположно направлена:
\FB\ = \R\ = 13,85 кН.
II способ
При действии на баржу сил FB, Fi, F2 она остается в рав-
равновесии. Поэтому запишем условие равновесия A.1):
Выберем систему координат (рис. III.31 б'), направив ось Оу
вдоль вектора искомой силы FB. В проекциях на эти оси урав-
уравнение (а) запишем следующим образом:
ось Ox: F2x- Fix = 0;
ось Оу: FB-Fly-F2y = 0.
Из рис. III.31 б' видно, что Fiy = F2y = Fcos (ce/2). С уче-
учетом этого из второго уравнения системы найдем FB:
FB = Fly + F2y = 2F2y = 2Fcos (a/2);
FB = 2Fcos30° = Fa/3; Fb = 13,85 кН.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
283
3. По окружности диска вдоль радиусов к центру действу-
действуют шесть сил под углом 60° друг к другу. Определите величину
и направление равнодействующей этих сил, если они последо-
последовательно равны 1 Н, 2 Н, 3 Н, 4 Н, 5 Н и 6 Н.
В задаче требуется найти равно-
равнодействующую всех сил:
R — F\ + F2 + F3 + F4 + F5 + Fq .
Перенесем все шесть сил вдоль
линии их действия в центр тяжести
диска (рис. III.32 а, б). Удобно складывать попарно силы, дейст-
действующие вдоль прямой, то есть найти равнодействующие:
_ ?
^45 ^2,5 — Fi + Fb'i ^3,6 — ^3
Рис. 111.32
Так как каж;дая пара сил направлена вдоль прямой в проти-
противоположные стороны, то эти равнодействующие направлены в
сторону большей силы и равны (рис. III.32 в)
^3,6 — ^6 — ^з — 3 Н.
Получили, что найденные равнодействующие равны между
собой, и углы между соседними векторами равны 60°.
Теперь полную равнодействующую можно найти как сле-
следующую сумму: - - - ^
По правилу параллелограмма мож;но слож;ить крайние силы:
R — ^3,6 + ^1,4-
Равнодействующая R! будет направлена вдоль диагонали
ромба, острый угол которого равен 60°, и значение ее равно
R = /?з б = *1\ 4 == 3 Н.

284
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
Из рис. III.32 г видно, что R! направлена вдоль /?25- Поэто-
Поэтому полная равнодействующая равна
r = r' + Л2,5; R = R' + Я2,5 = 6 н-
Направлена равнодействующая всех сил вдоль вектора F§.
4. На гвоздь, вбитый в стену перпендикулярно к ней, дейст-
действует сила в 200 Н под углом 30° к стене. Найдите составляющие
этой силы, из которых одна вырывает гвоздь, а вторая изги-
изгибает его.
F = 200 Н
« = 30°
С точкой приложения силы свяжем начало
прямоугольной системы координат. Горизон-
Горизонтальная составляющая силы F\ вырывает
гвоздь из стены, а вертикальная составляю-
Fi-? F2-?
щая F2 изгибает гвоздь (рис. III.33). Из рисунка видно, что
Fi = /since = 100 Н; F2 = Fcosa = 170 Н.
А О
Bj
' тд
тд
Рис. III.33
Рис. III.34
5. Определите натяжение в тросах А В и С В, на которых
висит груз массой 10 кг, если угол ZABC между тросами ра-
равен 120° (рис. III.34 а). Массой тросов пренебречь.
т = 10 кг
ZABC = 120°
На груз действует сила тяжести, которая
уравновешена силами натяжения тросов F\
и F2 (рис. III.34 б"). Так как груз находится
в состоянии равновесия, то
-? F2-?
Силу тяжести груза перенесем в точку 5, где он подвешен.
Совместим с этой же точкой начало прямоугольной систе-
системы координат хОу.
Запишем условие равновесия в проекциях на оси выбранной
системы координат:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
285
на ось Ох:
на ось Оу:
F2y-mg =
Из рисунка видно, что а = 120° - 90° = 30°, F2x = F2s'ma
и F2y = F2cosa. С учетом этого запишем полученную систему
уравнений: (F2sma-F1=0,
\ F2 cos a — тд = 0.
Отсюда
[F2] = H; F2 = 115,6 Н;
тд
cos a'
F\ = F2sina; [F\] = Н; F\ = 57,8 Н.
6. Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С ка-
какой силой, направленной перпендикулярно наклонной плоскос-
плоскости, надо прижать брусок, чтобы он оставался на ней в покое?
Масса бруска равна 2 кг, длина наклонной плоскости 1 м, высо-
высота 60 см. Коэффициент трения бруска с наклонной плоскостью
равен 0,4.
На брусок действуют: тд — сила тяжес-
тяжести, TV — сила реакции наклонной плоскости,
^тр — сила трения, F — сила, прижимающая
брусок к наклонной плоскости (рис. III.35). Так
как брусок не может вращаться, то для его
равновесия достаточно выполнения первого ус-
т =
1 =
h =
F-
= 10
1 м
0,6
0,4
?
кг
м
ловия равновесия:
(а)
тд
Рис. 111.35
Начало координат свяжем с центром тяжести тела, оси Ох
и Оу направим вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно
ей. Запишем уравнение (а) в проекциях на оси Ох и Оу:

286
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
ИЛИ
откуда
на ось Ох: (гпд)х — FTp = О,
на ось Оу: —(тд)у + N - F = О,
Г тд sin се — FTp = О,
[N — тд cos се - F = 0.
Так как FTp = /llN, to, решая систему, получим
Г F = N — тд cos се,
\тд sin се — /iN = 0,
)¦
/since
= mg ( cos ce
[
V fj,
ттток • Л ЛЛ2-/*2
Из рис. 111.35 видно, что since = —; cos се = :
I \fA
КГ-М /
= ~ • (м —
м-с
кг • м
13,7 Н.
7. К плоскому телу, имеющему форму квадрата, приложе-
приложены пять сил:
F 2H F 3H F 28H Д
(рис. III.36). Стороны квадрата — 2 м.
Определите моменты указанных сил
относительно осей, проходящих че-
через вершины квадрата перпендику-
перпендикулярно плоскости рисунка. В каком
направлении будет поворачиваться
^ис-
тело под действием всех пяти сил в каждом из случаев?
1) Найдем плечи всех сил, действующих
на плоский квадрат, относительно оси, про-
проходящей через точку А:
1 = 2
F\ =
F2 =
F3 =
F± =
Fb =
MA-
Mc-
M
2
3
2,
5
1
_?
_?
H
H
8H
H
H
Mb-?
MD-1
(по теореме Пифагора из А АО В); сЦ = 0;
d§ = 0 (линии действия двух последних сил
проходят через точку А).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 287
Мысленно «вбив гвоздик» в вершину Л квадрата, будем по
очереди действовать каждой силой.
Можно представить, что под действием силы F\ квадрат
повернется по часовой стрелке, а под действием сил F2 и F% —
против часовой стрелки. Силы F± и F§ воздействия не окажут,
так как оЦ = ^5 — 0. Поскольку моменты сил, вращающие тело
по часовой стрелке, считаются отрицательными, а против часо-
часовой стрелки — положительными, то можно записать, что
Mi = -Firfi = -Frl- Mi = -4 H • м;
М2 = F2d2 = F2l- M2 = 6 Н • м;
М3 = F3d3 = Fsl/лД; М3 = 4 Н • м;
М4 = 0; М5 = 0.
Сумма моментов всех сил относительно точки А равна
5
г=1
Так как результирующий момент положителен, значит тело
повернется против часовой стрелки.
Без подобных объяснений приведем анализ для точки В.
Постарайтесь предварительно решить самостоятельно, прове-
проверив затем ход своих рассуждений по приведенному решению.
Для точек С и D дадим только ответы.
2) Найдем моменты сил, действующих на тело, относитель-
относительно оси, проходящей через точку В:
d\ = Z; d2 = 0; d% = 0; d± = 0; d§ = I;
M1 = -F1l; Mi = -4H-m;
M2 = 0; M3 = 0; M4 = 0; Mb = Fbl; М5 = 2Н-м;
5
5^Mi = -2H-M.
Тело будет вращаться по часовой стрелке.
5
3) Относительно точки С ^2 Mi = —8 Им.
г=1
5
4) Относительно точки D ^ Mi = 16 Н-м.
г=1

288
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
8. Стальной вал длиной 2,4 м и массой 48 кг лежит на ящике,
выступая за края ящика с правой стороны на 0,8 м, а с левой —
на 0,6 м. Какие силы нужно приложить, чтобы поднять вал с
правой или с левой стороны?
Если вал будем поднимать за левый
конец, то кроме силы тяжести тд будет
действовать внешняя сила Fi, и вал будет
вращаться вокруг точки О2 (рис. III.37).
Воспользуемся условием равновесия A.2):
М\ — момент силы F\, который действует по часовой стрел-
стрелке, Мт — момент силы тяжести, который вращает вал против
часовой стрелки;
т
/ =
h
h
F\
= 48
= 2,4
= 0,6
= 0,8
-?
кг
м
м
м
F2-?
с
( h >
1/2
h
/ / / /7
/
/
/
/
/
/
\
А
/
/
/
/
/
А
1 то
h
Рис. 111.37
=
mg(l-2l2)
(I — l2) — плечо силы F\ отно-
гл A 1 \
сительно точки U2, ( 12\ —
плечо силы тяжести относитель-
относительно точки 02-
Подставим М\ и Мт в урав-
уравнение (а):
= 117,6 Н.
тд[--12 -
Силу F2 найдем, записав уравнение моментов относитель-
относительно центра вращения Ол:
Р F M + M 0
F2 =
= 156,8 H.
9. Двое рабочих несут бревно длиной 3 м и массой 120 кг.
Один поддерживает конец бревна, другой — на расстоянии
0,5 м от другого конца. Какая нагрузка приходится на каждого
рабочего?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
289
т = 120 кг
/' = 0,5м
На бревно действуют сила тяжести тд
и силы реакции опоры со стороны первого
и второго рабочего: N\ и Л^ (рис. III.38).
I способ
Так как бревно находится в
равновесии, то сумма момен-
моментов всех сил относительно лю-
любой точки равна нулю. Выберем
сначала центр вращения в точ-
точке О\:
М2 + Мт = О
(момент силы N\ относительно
точки О\ равен нулю);
О\ <
1
Л
у
о2
f
1 ma
Л
'F2
Рис. III.38
2'
N2 =
mgl
2A-1'У
кг-м-м
N2 = 705,6 H.
Теперь выберем центр вращения в точке О2: относительно
этой точки момент силы N2 равен нулю:
Мт + Mi = 0;
КГ * M * М
с • м
т т
= Н;
= 470,4 Н.
По III закону Ньютона силы F\ и F<i-> действующие на ра-
рабочих, равны по абсолютной величине и противоположны по
направлению силам реакции опоры N\ и N2-, которые действуют
на бревно.
II способ
Выберем центр вращения в точке О — точке приложения
силы тяжести. Относительно этой точки равен нулю момент
силы тяжести:
19 С. В. Трубецкова

2901, ОСНОВЫ СТАТИКИ
М2 + Mi = 0;
Получили уравнение с двумя неизвестными, поэтому надо
добавить сюда 1-е условие равновесия:
или
N1-mg + N2 = 0.
Получим
i + N2 = mg.
Решая эту систему, получаем
N2 = mg- TVi; N2 = 705,6 H.
Получили тот же самый результат:
|Fi| = |7Vi| = 470,4 H; \F2\ = \N2\ = 705,6 H.
10. Два шарика массами 3 кг и 5 кг скреплены стержнем
массой 2 кг. Определите положение общего центра масс, если
радиус первого шара 5 см, второго 7см, длина стержня 30 см.
Эту систему можно представить как со-
совокупность трех простых тел: два шара и
цилиндрический стержень. Центр тяжести
каждой из частей находится в ее центре сим-
симметрии (точки Oi, O2l O3) (рис. III.39 а).
Центр тяжести системы — это точка, от-
относительно которой сумма моментов сил тя-
тяжести всех частей тела равна нулю. То есть,
если закрепить сложное тело в центре его
тяжести, то оно будет находиться в равновесии. Очевидно, эта
точка будет находиться между т2д и т%д, так как т2д —
самая большая по величине сила, и для равновесия ее плечо
должно быть самым малым.
mi =
т2 =
ш3 =
Ri =
R2 =
/ = 0,
х — ?
3
5
2
0
0
3
кг
кг
кг
05 м
07 м
м

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
291
Пусть х — расстояние от поверхности большего шара до
центра тяжести системы. Тогда относительно точки С на сис-
систему действуют следующие моменты сил: Mi, М2 и Мз;
М2 = -т2д\О2С\ = -m2g(R2
М3 = т3д\О3С\ = т3д(- - ж);
(Внимательно по рис. III.39 б рассмотрите, как находятся плечи
сил — кратчайшие расстояния от центра вращения до линий
действия соответствующих сил.)
Моменты Mi и Мз вызывают вращение против часовой
стрелки относительно точки G, М2 — по часовой. Следова-
Следовательно
^--x^ =0;
Найдем х:
х = -^1
г п кг•м
[x] = —— = m;
КГ
x = ОД м.
19*

292
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
11. Шесть шаров размещены вдоль стержня длиной 2 м.
Центры шаров находятся на одинаковом расстоянии друг от
друга. Массы грузов равны: mi = 1 кг, гп2 = 4 кг, тз = 5 кг,
Ш4 = 1 кг, Ш5 = 2 кг, rriQ = 3 кг (рис. III.40). Масса стержня
пренебрежимо мала. Найдите положение центра тяжести сис-
системы.
Мы не можем без расчетов ска-
сказать, где расположен центр тяжес-
тяжести этой системы. Поэтому поступим
следующим образом.
Предположим, что центр тяжес-
тяжести этой системы грузов находится
между третьим и четвертым грузом
на расстоянии х от левого края (рис. III.41 а).
1 = 2 м
mi = 1
га3 = 5
ra5 = 2
x-1
кг; ГП2
кг; 777,4
кг; те
= 4
= 1
= 3
кг;
кг;
кг;
Рис. 111.40
77110
т2д
N к
т2д
т6д
Рис. 111.41
Если в точке, где расположен центр тяжести, стержень под-
подпереть, то система грузов будет находиться в равновесии; сила
реакции опоры N будет силой, уравновешивающей равнодейст-
равнодействующую всех сил тяжести.
Пусть ось вращения проходит через точку опоры О\. Отно-
Относительно этой оси силы тяжести 1-го, 2-го и 3-го грузов будут

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 293
вызывать вращение системы против часовой стрелки (следова-
(следовательно, М\ > 0, М2 > 0, Мз > 0), а силы тяжести остальных
грузов — по часовой стрелке (М4 < 0, М§ < 0, Mq < 0). Учи-
Учитывая, что расстояния между каждой соседней парой грузов
одинаковы и равны //5, можно записать моменты всех дейст-
действующих сил относительно точки О\\
М2 = т2д [х - -J;
= т3д[х - jJ; М4 = -тАду— - х);
4/ \
у М6 = -
Мдг = 0 (плечо силы реакции опоры равно нулю).
Запишем второе условие равновесия для этой системы гру-
грузов:
( 1\ ( 21 \ /3/ \
migx + т2д\^х - -) + т^д\^х - —) - т±ду— - х) -
41 \
Y~x) -m6g(l-x) =0.
Сократив на д и произведя алгебраические преобразования,
найдем х:
/(?7l2 + 2?7l3+3?7l4+4?7l5+5?7l6) г п М • КГ
х = — '—: \х\ = = м;
5(mi +7772+ тз + т4 + т5 + т6) кг
Получили, что центр тяжести системы находится в середине
стержня, и наше предположение о примерном расположении
центра тяжести верно.
Ответ не изменится, если предположим, что он находится
в любом другом месте, например, между 5-м и 6-м грузами
(рис. III.4:16). Положение центра тяжести будем отсчитывать
от правого конца стержня. Ось вращения выберем проходящей
через точку О2. Без подробных пояснений приведем решение
для этого случая:
41
3/ \ ., /21
) М4 = т4д {j~xp
М5 = -тьд[--х); М6 = -т^дх;

294
1. ОСНОВЫ СТАТИКИ
т2д
4/ \
т3д {j-xj-
2/
--х} -т6дх = 0;
/у»
х —
+ГП2 + ГП3
г i м-кг
/у» Л/Г *
\х\ — — м,
кг
Нашли, что центр тяжести системы расположен в середине
стержня A м от правого конца). Попробуйте сами выбрать по-
положение центра тяжести в любом другом месте. Отсчитывать
расстояние х можно не от края, а от любого тела системы. Ось
вращения можно выбрать также в любом месте, а не обяза-
обязательно в точке предполагаемой опоры. Правда, в этом случае
не будет равен нулю момент силы реакции опоры. И поэтому
придется добавить уравнение, соответствующее первому усло-
условию равновесия.
12. Однородная плоская пластинка имеет форму круга
(диск) радиусом Я, из которого вырезан круг вдвое меньше-
меньшего радиуса, касающийся первого круга. Определите положение
центра тяжести пластинки с отверстием.
R
г = R/2
Пусть х — расстояние от центра тяжести
сплошного диска радиусом R (точка О) до
центра тяжести диска с отверстием — точка О2
(рис. Ш.42а).
Если вставить вырезанную часть пластинки на прежнее мес-
место, то силу тяжести сплошного диска тд можно представить
х —
т2д
тд
Рис. 111.42
как равнодействующую двух сил: силы тяжести т\д вырезан-
вырезанной части и силы тяжести т<хд оставшейся части (рис. III.42 б").
Центр тяжести сплошного диска находится в центре его сим-

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
295
метрии — точке О. Относительно этой точки запишем второе
условие равновесия:
+ М2 = 0; Mi = -migr = -
m1gR
х =
М2 = т2дх;
2 ' ^ ' 2т2
Пусть р — плотность материала однородной пластинки, S —
площадь всей пластинки, S\ — площадь выреза, h — толщина
пластинки. Тогда
т = pV = pSh = pnR2h;
mi = pV\ = pS\h = p7rr2h = р7г/?2/г/4;
m2 = m — mi = pirR2h — pirR2h/4 = 3p7rR2h/4:.
Учитывая это, найдем х: х = R/6.
Следовательно, центр тяжести расположен на расстоянии R/6
от центра пластинки.
13. Под каким наименьшим углом к горизонту может стоять
прислоненная к стене лестница, если известно, что коэффициент
трения между лестницей и соприкасающимися с ней поверхнос-
поверхностями равен 0,25?
= 0,25
а —
У
На лестницу действуют силы: сила тяжести тд,
силы реакции опоры со стороны пола N2 и верти-
вертикальной стенки TVi, силы трения в местах сопри-
соприкосновения с полом FTp2 и со стен-
стенкой FTpi (рис. 111.43).
Так как лестница находится в
равновесии, то можно записать 1-е
условие равновесия:
тд + Ni + FTpi + N2 + FTp2 = 0.
Запишем это векторное урав-
уравнение в проекциях на оси прямо-
прямоугольной системы координат Ох
и Оу:
на ось Ox: TVi — FTp2 = 0,
на ось Оу: FTpi + N2 — тд = 0.
Так как
FTp2 = fiN2, FTpl = /j,Nu Рис. 111.43
то проекции уравнения равновесия перепишем в виде системы:

2961. ОСНОВЫ СТАТИКИ
(а)
В этих уравнениях нет искомого угла а. Для того чтобы
его ввести, запишем 2-е условие равновесия, например, отно-
относительно точки О\. Относительно этой точки равны нулю мо-
моменты сил N\ и F'xpi (плечи этих сил равны нулю — рис. III.43).
Найдем моменты силы тяжести Мт, силы реакции опоры
в точке О2 — Mn2 и силы трения в этой точке — Мтр2; плечи
всех сил обозначены на рис. III.43:
Мт = -mgdT; MN2 = N2dN2; Мтр2 = -FTp2dTp2.
Из рис. III.43 можно найти тригонометрическую связь меж-
между плечами всех сил и длиной лестницы:
dT = 0,5/ cos a; d^2 = /cos a; dTp2 = /since.
С учетом этого моменты сил равны
Мт = — 0,5mg/cosce; М^2 = N2l cos ce;
Л^тр2 = —FTp2/since = — /iN2lsma.
Теперь можно записать 2-е условие равновесия:
N2l cos a — 0,5mgl cos a — /iN2l sin a = 0.
Преобразуем это выражение и найдем tga:
Найдем величину силы N2 из системы уравнений (а):
Используя последнее выражение, найдем tga:
tga = -Ц^; tga = 1,875; а = arctg 1,875 и 62°

2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
Содержание теоретического материала
Давление. Единицы давления. Гидростатическое давление.
Закон Паскаля. Гидравлический пресс. Действие жидкости и газа
на погруженное в них тело. Закон Архимеда. Условие плавания
тел в жидкости и в воздухе. Давление атмосферы. Опыт Тори-
Торичелли.
Вопросы к теоретическому материалу
2.1. Что называют давлением? Какая формула определяет
эту физическую величину?
2.2. Векторной или скалярной величиной является давле-
давление?
2.3. Какова единица давления в СИ?
2.4. Как формулируется закон Паскаля?
2.5. Чему равно давление жидкости на дно и стенки сосуда?
2.6. Сила давления на дно сосуда может быть больше или
меньше веса жидкости в сосуде. В каких случаях это бывает и
чем объясняется?
2.7. Какие сосуды называются сообщающимися? Сформу-
Сформулируйте законы сообщающихся сосудов для однородных и
разнородных несмешивающихся жидкостей.
2.8. Сделав пояснительный рисунок, объясните принцип
действия гидравлического пресса. Установите формулу, связы-
связывающую силы, приложенные к поршням гидравлического прес-
пресса, с площадями этих поршней.
2.9. Отличается ли работа силы F<i гидравлического прес-
пресса от работы приложенной силы F\l
2.10. Получите формулу для силы, действующей на тело,
погруженное в жид кость или газ. Сформулируйте закон Архи-
Архимеда.

298
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
2.11. Где находится точка приложения силы Архимеда?
2.12. Как ведет себя неоднородное тело при погружении
в жидкость? Рассмотрите случаи, если: а) плотность неод-
неоднородности больше плотности
тела; б) плотность неоднород-
неоднородности меньше плотности тела
(рис. 111.44).
При каком положении тело
будет находиться в состоянии
устойчивого равновесия?
Рис. 111.44
2.13. При каком условии тело, погруженное в жидкость или
газ и предоставленное самому себе, поднимается? опускается?
плавает внутри жидкости или газа?
2.14. Прибор для измерения плотности жид-
жидкостей называется ареометром. Он представляет
собой стеклянный запаянный сосуд (рис. III.45),
на дно которого насыпана дробь.
В жид кости ареометр будет плавать; значе-
значение плотности жидкости можно узнать по шкале,
имеющейся в узкой части сосуда, напротив гра-
границы раздела жидкость — воздух. Объясните,
почему значения плотностей на шкале увеличи-
увеличиваются сверху вниз?
2.15. Как изменяется осадка судна при пе-
переходе из реки в море? Меняется ли при этом
величина силы Архимеда?
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
Рис. 111.45
2.16. Как обеспечивается устойчивость плавающих судов?
2.17. Как впервые было экспериментально показано су-
существование атмосферного давления?
2.18. Назовите внесистемные единицы давления.
2.19. Как должна измениться высота столба ртути в опыте
Торичелли при переносе места опыта от подножия горы на ее
вершину?
2.20. Что собой представляют приборы для измерения дав-
давления — ртутный и металлический барометры?

ОТВЕТЫ 299
Ответы
2.1. Взаимодействие между слоями жидкостей (или газов),
их взаимодействие с твердыми телами, а также взаимодействие
твердых тел друг с другом происходит по всей поверхности со-
соприкосновения. Для характеристики этого взаимодействия вво-
вводится физическая величина, называемая давлением.
Давлением называется величина, равная отношению силы,
действующей перпендикулярно к поверхности, к площади этой
поверхности (рис. III.46 а), формулы B.1), B.17).
Рис. 111.46
Если сила направлена под углом к площадке, то для подсче-
подсчета давления надо взять составляющую силы на перпендикуляр
к поверхности Fn (нормальную составляющую) (рис. III.46 б').
2.2. Сила давления всегда направлена перпендикулярно
площадке независимо от ее расположения. Поэтому давление ха-
характеризуется только численным значением и является скаляр-
скалярной величиной.
2.3. За единицу давления в СИ принимают давление, оказы-
оказываемое силой в 1 Н в направлении, перпендикулярном к данной
площадке, если величина площадки равна 1 м2.
Называется единица давления в СИ — паскаль (Па). Размер-
Размерность этой единицы:
[р] = Н/м2 = Па.
2.4. Пусть на твердое тело оказывается давление некоторой
силой F. Это давление передается телом другим телам, нахо-
находящимся с ним в контакте в направлении действия силы. На-
Например, ящик, лежащий на столе, оказывает на стол давление
действием силы тяжести. Это давление стол передает полу
(вертикально вниз). Пол давит на стеновые блоки также верти-
вертикально вниз и т. д. То есть твердые тела передают производимое

300
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
на них давление по направлению действия силы, вызывающей
это давление.
В жидкостях и газах дело обстоит иначе. Рассмотрим изо-
изолированный сосуд с газом, закрытый с одной стороны подвиж-
подвижным поршнем. Давление газа создается хаотическими ударами
молекул о стенки сосуда. При действии внешней силы поршень
вдвигается в сосуд, объем газа уменьшается, при этом плот-
плотность молекул в замкнутом объеме возрастает. В результате
большой скорости и хаотичности движения молекул плотность
возрастает равномерно по всему объему газа. Поэтому по всем
направлениям возрастает число ударов о стенки сосуда и, соот-
соответственно, возрастает давление.
То же самое происходит и в жидкостях, частицы которой
обладают большой подвижностью.
Закон Паскаля был сформулирован в XVII веке и его содер-
содержание следующее.
Неподвижные жид кость или газ, находящиеся в замкнутом
сосуде, передают производимое на них внешнее давление по
всем направлениям одинаково (то есть без изменения).
Если на поверхность жидкости оказывается давление внеш-
внешней силой, например, равное 5 Па, то на такую же величину
5 Па возрастает давление на все стенки сосуда по всем направ-
направлениям.
2.5. С увеличением глубины внутри жидкости увеличива-
увеличивается давление, созданное силой тяжести
вышележащего столба жидкости.
Давление р на некоторую площад-
площадку S, созданное силой тяжести лежащего
выше площадки столба жидкости высо-
h |= -j-rrTrJ^L^ той /i, равно (рис. III.47)
Л /
~~ } ¦
Массу жидкости можно выразить через
плотность и объем:
Рис. 111.47 т = pV = phS,
h, S — высота и площадь основания столба жидкости, соответ-
соответственно. Используя это, получим формулу давления жидкости
(так называемого гидростатического давления):
р = pgh.

ОТВЕТЫ
301
Гидростатическое давление на боковую стенку сосуда уве-
увеличивается с глубиной. Если взять сосуд с отверстиями на
боковой стенке (рис. III.48), то напор
струи увеличивается при увеличе-
увеличении высоты столба жидкости h.
У самой поверхности давление
жидкости равно нулю (h = 0), у
дна сосуда — pgh. Поэтому давле-
давление на боковую стенку определяют
как среднее давление (если речь не
идет о давлении на боковую стенку
на указанном уровне):
_ 0 + pgh _ pgh ^" ///W
Рб 2 ~~ ~~2~* Рис- ш-48
Давление на дно не зависит ни от формы, ни от площади дна
сосуда, в котором содержится жид кость. Для одной и той же
жидкости оно полностью определяется высотой вышележащего
столба h. График зависимости гидростатического давления р
(рис. III.49) от глубины h в одной и той же жидкости одинаков
для сосудов любой формы.
h
О
Рис. 111.49
2.6. Так как давление жидкости не зависит от формы сосуда,
то оно не должно зависеть от силы тяжести жидкости, налитой
в сосуд. Этим объясняется так называемый «гидростатический
парадокс»: сила давления на дно может быть и меньше, и больше
веса жидкости в сосуде (рис. Ш.50а-в). Это объясняется тем,

302
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
что жидкость действует на боковую стенку силой давления,
которая перпендикулярна плоскости боковой стенки. По III за-
закону Ньютона стенка действует на жидкость равной по вели-
величине и противоположной по направлению ответной силой F,
также перпендикулярной плоскости стенки. В сосуде (а) эти
силы сжимают жид кость. В сосуде (б) эти силы имеют го-
горизонтальную и вертикальную составляющие: горизонтальная
составляющая Fv сжимает жидкость, а вертикальная состав-
составляющая FB направлена вверх и уравновешивает частично дейст-
действие силы тяжести. В этом случае сила давления на дно сосуда
будет меньше силы тяжести налитой жидкости. В сосуде (в)
вертикальные составляющие сил F направлены вниз и увели-
увеличивают действие силы тяжести на дно сосуда.
2.7. Система из двух (или больше) сосудов, соединенных в
нижней части так, что жидкость может
свободно перетекать из одного сосуда в
другой, называется сообщающимися сосу-
сосудами. Если лить однородную жидкость в
один из сообщающихся сосудов, то она рас-
распределится между ними (рис. III.51). При
этом выполняется закон сообщающихся со-
сосудов для однородной жидкости: свобод-
свободные поверхности покоящейся жидкости в
Рис III 51 сообщающихся сосудах любой формы нахо-
находятся на одном уровне, и давления во всех
точках, расположенных в одной горизонтальной плоскости, оди-
одинаковы.
Рис. III.52
Нальем в сообщающиеся сосуды жидкость с плотностью pi,
уровень свободной поверхности в обоих коленах будет одина-
одинаков (a-af) (рис. III.52). Дольем в одно из колен трубки жид-
жидкость другой плотности р2 (р2 < Pi)- Уровень первой жидкости

ОТВЕТЫ
303
в правом колене понизится, а в левом — повысится относитель-
относительно исходного уровня ао!. Граница раздела жидкостей устано-
установится на уровне bbf.
Высоты столбов первой и второй жидкостей относительно
границы их раздела bb' обозначим h\ и h2. Граница раздела
жидкостей устанавливается так, что гидростатические давления
в обоих коленах относительно уровня bb' одинаковы:
= p2gh2; p\hi = p2h2;
Получили закон сообщающихся сосудов для разнородных
жид костей:
в сообщающихся сосудах высоты столбов разнородных жид-
жидкостей над уровнем границы раздела обратно пропорцио-
пропорциональны плотностям жидкостей.
2.8. Гидравлический пресс представляет собой два сообща-
сообщающихся сосуда разного диаметра с жидкостью (рис. III.53). Со-
Сосуды закрыты поршнями с площадью Si и S2 (Si < S2). Если
> к F2
Рис. III.53
на малый поршень действует сила Fi, то в жидкости возникает
давление р = Fi/Si, которое по закону Паскаля передается во
все стороны, в том числе и на больший поршень. На большой
поршень действует давление
P = F2/S2.
По закону Паскаля F\/ S\ = F2/ S2, или
Во сколько раз S2 > Si, во столько же раз сила F2 > Fi.
Таким образом, гидравлический пресс представляет собой ма-

304
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
шину, преобразующую сравнительно малые силы, действующие
на малый поршень пресса, в значительную сжимающую силу
большого поршня.
2.9. При действии силы F\ малый поршень опускается, и
жидкость перетекает в широкий сосуд. Так как жид кость прак-
практически несжимаема, то объем жидкости, вытесненной из ма-
малого колена, равен объему жидкости, поступившей в широкое
колено (рис. III.53):
V\ = V2, или S\hi = S2^2,
где hi и /i2 — перемещения малого и большого поршней, соот-
соответственно. Последнее соотношение можно переписать так:
Сравнивая полученное соотношение с формулой (а) из от-
ответа на вопрос B.8), можно записать, что
F2 h
i
= —, или
h
Из последнего соотношения видно, что величины работ, со-
совершаемых большим и малым поршнями, одинаковы. При ра-
работе гидравлического пресса выполняется «золотое» правило
механики: во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз
проигрываем в расстоянии.
С помощью гидравлического пресса можно создать очень
большие силы, используемые для прессования различных изде-
изделий из металлов и пластмасс.
2.10. В жид кости, плотность которой рж, находится тело
_ объемом V и плотностью рт. Для
простоты допустим, что тело име-
— ет форму прямоугольного парал-
3" лелепипеда (рис. III.54).
z_ На все его грани действуют
г^ силы гидростатического давле-
— ния. Силы, действующие на две
— пары боковых граней равны по
— величине и взаимно компенсиру-
компенсируют друг друга.
Силы, действующие на верх-
верхнюю и нижнюю грани, противоположны по направлению и не
равны по величине:
п 1UZ
Рис. III.54

ОТВЕТЫ
305
FB = pBS =
hB, hH — высота столба жидкости, лежащего над верхней
и нижней стенкой погруженного тела (рис. III.54). Так как
hn > hBl то FH > FB. Результирующая сила, действующая на
тело, направлена вверх и по величине равна
Из рис. III.54 видно, что hn — hB = hT — высота тела; произ-
произведение (ShT) есть объем тела V.
С учетом этого получим формулу для силы, выталкиваю-
выталкивающей тело из жидкости (направлена сила Архимеда вертикально
BBepx): F = f
Произведение (рждУ) есть вес жидкости, вытесненной те-
телом. Эти рассуждения справедливы и для тела, находящегося в
воздухе или другом газе.
Закон Архимеда: на тело, погруженное в жид кость или газ,
действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа,
вытесненного телом. Если в жидкость погружена только часть
тела, то выталкивающая сила равна весу жидкости, вытеснен-
вытесненной погруженной частью тела.
2.11. Точка приложения силы Архимеда совпадает с цент-
центром тяжести вытесненного объема эюидкости. Она совпа-
совпадает с центром тяжести тела только в том случае, если тело
однородное и погружено в жидкость полностью.
2.12. Если тело неоднородное, то точка приложения силы
тяжести и силы Архимеда не совпадают. На рис. III.55 а изоб-
тд _
Рис. III.55
ражено тело, которое имеет неоднородность, плотность которой
больше плотности тела, на рис. III.55 б' — наоборот, неоднород-
20 С. В. Трубецкова

306
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
ность представляет собой воздушную полость. Поэтому центр
тяжести шара не совпадает с центром симметрии. В результате
этого в обоих случаях возникает вращающий момент, и тело по-
поворачивается до тех пор, пока сила тяжести и сила Архимеда не
расположатся вдоль вертикали. При таком положении момент
обеих сил равен нулю. Кроме того, занятое положение будет
устойчивым, так как центр тяжести расположен в наинизшем
положении.
Проведенные выше рассуждения применимы к решению
вопроса об устойчивости, например, подводной лодки и других
водоплавающих и воздухоплавающих устройств.
2.13. В зависимости от соотношения величин силы тяжести
и силы Архимеда тело, погруженное в жидкость или газ, ведет
себя по-разному:
а) если сила Архимеда больше силы тяжести (Fa > m9i
рис. III.56 а, б\ то тело равноускоренно поднимается вверх (ко-
(конечно, если силами трения можно пренебречь). По мере того,
как тело выходит из жидкости, уменьшается объем погружен-
погруженной части тела. Следовательно, уменьшается величина выталки-
выталкивающей силы. Тело прекращает свое движение вверх и плавает
на поверхности, если величина выталкивающей силы станет
равной силе тяжести: Fa = тд.
_ Т тд
а б в г
Рис. III.56
То есть тело плавает на поверхности жидкости, если вес
жидкости, вытесненной погруэюенной в жидкость частью те-
тела, равен силе тяжести тела.
Тело будет подниматься в жидкости или газе, если Fa > тд.
Выразим Fa и т через плотности жидкости и тела (рж и рТ,
соответственно):

ОТВЕТЫ
307
> ртдУ, или рж> рт-
При этом условии тело будет подниматься вверх в жидкости
или газе, а в жидкости затем плавать на ее поверхности;
б) если тело полностью погружено в жидкость и может бес-
бесконечно долго находиться на любой глубине в состоянии без-
безразличного равновесия, то это возможно только тогда, когда
Fa = mg (при полностью погруженном теле — рис. III.56 г):
рждУ = ртдУ,
отсюда _
Рж — рт'-,
в) тело будет опускаться в жидкости или газе, если mg > Fa
(рис. III.56 в). По аналогии с предыдущим, это будет при следую-
следующем соотношении между плотностями жидкости и тела:
Рт > рж-
2.14. Средняя плотность ареометра должна быть несколько
меньше плотности измеряемой
жидкости — поэтому ареометр
плавает, верхняя его часть вы-
выступает наружу. Центр тяжести
ареометра находится довольно
низко, так как основная его
масса расположена в нижней
части, там где насыпана дробь
(рис. III.57). Точка приложения
силы Fa расположена выше,
поэтому ареометр находится в
состоянии устойчивого равно-
равновесия. При любой глубине по-
погружения прибора выполняет-
выполняется условие плавания: Fa = гпд,
или рждУпогр — mg (w* — мас-
масса ареометра, рж — плотность
жидкости, Vnorp — объем погру-
погруженной части ареометра). От-
Отсюда видно, что во сколько раз
больше плотность жидкости, во
столько раз должен быть мень-
меньше объем погруженной части ареометра, чтобы выполнялось
условие плавания. Поэтому в жидкости меньшей плотности глу-
глубина погружения прибора должна быть больше (то есть боль-
больше должен быть объем погруженной части V^orp? рис. III.57а).
20*
N
f -1,14
= — 1,16
= — 1,18
= -—1,20
= J-1,22
Pi
mg
Р2 > pi
mg
Рис. III.57

308
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
При увеличении плотности жидкости сила тяжести ареометра
компенсируется весом меньшего объема вытесненной жидкости,
поэтому он погружается на меньшую глубину (рис. III.57 6^). Так
как значение плотности отсчитывается по шкале ареометра на-
напротив уровня поверхности жидкости, то, очевидно, между чис-
числами М и TV, отсчитанными по шкале напротив границы раз-
раздела в обоих случаях, должно выполняться соотношение М < N.
2.15. Осадка судна уменьшится, так как плотность морс-
морской воды больше, и сила тяжести судна будет скомпенсирована
весом меньшего объема вытесненной жидкости (как и в преды-
предыдущем случае, это видно из соотношения: тд = РждУиогр^ т —
масса судна). Величина силы Архимеда при переходе из реки
в море не меняется, так как неизменна масса судна.
2.16. Из ответа на вопрос 2.11 видно, что при плавании
судно будет находиться в состоянии устойчивого равновесия,
если центр его тяжести находится ниже точки приложения вы-
выталкивающей силы. На кораблях это условие обеспечивают низ-
низким расположением двигателей и грузов. На яхтах, у которых,
кроме всего, нужно уравновесить момент силы, приложенной к
парусу, ставят тяжелый низко расположенный киль. На парус-
парусных судах, у которых нет тяжелых двигателей, днище заливают
цементом.
2.17. Земля окружена атмосферой — воздушной оболочкой,
состоящей из смеси различных газов.
Молекулы газов в соответствии с зако-
законом всемирного тяготения притягивают-
притягиваются к Земле. Вследствие этого верхние
слои атмосферы оказывают давление на
нижележащие, и в результате этого на
поверхность Земли действует давление,
называемое атмосферным.
Атмосферное давление впервые из-
измерил итальянский ученый Торичелли
(в XVII веке). Опыт Торичелли состоял
в следующем: запаянную с одного кон-
конца стеклянную трубку длиной около 1 м
заполняют ртутью. Предварительно за-
закрыв второй конец трубки, переворачи-
переворачивают ее и опускают в чашу с ртутью. Если теперь открыть
отверстие, то часть ртути выльется в чашу, а оставшийся в
трубке столбик ртути имеет высоту h « 760 мм (рис. III.58).
В
Рис. III.58

ОТВЕТЫ
309
Над ртутью в трубке образуется безвоздушное пространство с
парами ртути. Чаша с трубкой представляют собой сообщаю-
сообщающиеся сосуды. Так как ртуть находится в равновесии, то на
свободной поверхности Л В давление в чаше и трубке одинако-
одинаково. Давление в трубке создается столбом ртути высотой /г, а
на свободную поверхность в чаше действует атмосферное дав-
давление. Отсюда вывод, что давление столба ртути высотой h
уравновешивает атмосферное давление. Наблюдения показали,
что высота столба ртути зависит от погодных условий и от вы-
высоты местности.
Атмосферное давление, уравновешивающее давление столба
ртути высотой 760 мм, условно принимают за нормальное и
называют физической или нормальной атмосферой.
2.18. В соответствии с опытом Торичелли используется еди-
единица давления — 1 мм ртутного столба (мм рт. ст.).
Физическая (или нормальная) атмосфера (атм) равна давле-
давлению, производимому столбом ртути высотой 760 мм:
1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,013 • 105 Па;
1 мм рт. ст. « 133,ЗПа.
Иногда используется единица, называемая технической ат-
атмосферой (ат):
1 ат = 9,8-104 Па.
2.19. У подножия горы высота
столба ртути в трубке Торичелли
должна быть больше, чем на вер-
вершине. Это объясняется тем, что при
подъеме уменьшается давление ат-
атмосферы на свободную поверхность
ртути в чаше.
2.20. Ртутный барометр состо-
состоит из двух параллельных, располо-
расположенных вертикально и соединенных
внизу трубок, наполненных ртутью.
Конец одной из трубок запаян и не
содержит воздуха (рис. III.59). Под
действием атмосферного давления
ртуть опускается в открытой трубке и поднимается в закрытой
до тех пор, пока столб ртути высотой h не уравновесит атмос-
атмосферное давление.
Y=~JV
г -
h
Рис. III.59

310
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
Металлический барометр состоит из камеры с эластич-
эластичной крышкой-мембраной, которая гер-
герметически ее закрывает (рис. III.60). В
камере К воздух разрежен. Мембра-
Мембрана М оттягивается наружу пружиной.
При изменении давления атмосферы
прогиб мембраны меняется, и приходит
в движение стрелка, которая передви-
передвигается вдоль шкалы прибора, програ-
Рис. III.60
дуированной в каких-либо единицах давления.
Основные формулы
Давление, оказываемое силой F на площадь 5,
Fn Fcos a
ИЛИ
B.1)
B.1')
а — угол между нормалью к поверхности и силой (рис. III.61).
Давление жидкости на дно сосуда (гидростатическое дав-
давление)
p = pgh, B.2)
р — плотность жидкости, h — высота столба жидкости.
Среднее давление жидкости на боковую стенку сосуда
p9h
Р =
Гидравлический пресс:
*§2 /ll
B.3)
B.4)
B.5)
Рис. 111.61
$2 и Si — площади малого и большо-
большого поршней, соответственно; F\ — внешняя сила, действующая
на малый поршень, F<i — сила давления, развиваемая большим
поршнем; h\ и h<z — перемещения малого и большого поршня,
соответственно.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
311
Закон сообщающихся сосудов для разнородных жидкостей
(рис. 111.62): ,
? = **, М
">2 Pi
h>i, h>2 — высоты столбов жидкостей отно-
относительно границы раздела.
Сила Архимеда
Рж(г) — плотность жидкости или газа, в ко-
котором находится тело, VT — объем тела, если
оно погружено полностью, или объем погруженной части тела,
если оно плавает на поверхности жидкости.
Методика решения задач
1. При решении задач, связанных с вычислением давления,
пользуются формулами B.1)—B.3). В задачах вопросы форму-
формулируются двояким образом:
а) вычислить давление жидкости (гидростатическое давле-
давление) на дно, боковую стенку..., или
б) вычислить давление на дно, боковую стенку или полное
давление.
В первом случае надо вычислить только давление жидкости,
а во втором учесть атмосферное давление, действующее на по-
поверхности жидкости: р = Ратм +Рж-
Давление на боковую стенку на определенном уровне
также зависит от высоты лежащего выше столба жидкости
(формула B.2)). Если требуется найти силу гидростатического
давления или просто силу давления, то ее находят из форму-
формулы B.1): F = pS.
2. При решении задач на гидравлический пресс пользуются
формулами B.4) и B.5). Надо помнить, что работа, совершенная
при перемещении большого поршня Л2 = F^h^^ является по-
полезной работой, а работа малого поршня А\ = F\h\ — затрачен-
затраченной работой. Коэффициент полезного действия гидравлического
пресса поэтому равен А
V = ^- B.8)
3. Задачи, связанные с движением тела в жидкости или
плавании, решаются так же, как задачи динамики и статики,
только необходимо учитывать выталкивающую силу.

312
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
Если тело плавает на поверхности жидкости или находится
внутри ее в состоянии безразличного равновесия, то использу-
используется первое условие равновесия:
г=1
Если при равновесии на тело в жидкости действуют только
сила тяжести и Архимеда, то
FA + mg = 0, B.9)
или Fa = mg.
В случаях, когда тело не полностью погружено в жидкость,
точка приложения силы тяжести (центр тяжести) не совпадает
с точкой приложения силы Архимеда (рис. III.63 а). Напомним,
что точка приложения силы Архимеда находится в центре тя-
тяжести вытесненного объема эюидкости. Кроме того, при
равновесии сила Архимеда и сила тяжести действуют вдоль
одной вертикали. При ответе на вопросы 1.5 и 1.9 отмечалось,
что действие силы на тело не изменится, если ее перенести
вдоль линии ее действия в любую другую точку тела. Поэтому
для удобства на рисунках к задачам такого типа точку при-
приложения силы Архимеда можно перенести к центру тяжести
(рис. III.63 6).
mg
>
^А
1 mg
- -~
Рис. III.63
Если тело всплывает или погружается в жидкость с ускоре-
ускорением, то используется II закон Ньютона:
= та.
г=1
4. Если в задаче говорится о весе тела в жидкости, то тело
удобно изображать лежащим на дне или подвешенным к пру-

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
313
жинному динамометру. При этом сила реакции опоры или сила
упругости пружины численно равны весу тела.
Сравним вес тела в жидкости и вес тела в воздухе.
Запишем условие равновесия для тела в воздухе (рис. III.64 а):
F\ — сила упругости пружины в воздухе, которая по третьему
закону Ньютона равна силе, с которой тело растягивает пру-
пружину, то есть весу тела Pi: Pi =
= тд.
Запишем условие равновесия
тела в жидкости (рис. 111.64^):
F2
F2 = mg-FA,
F2 — сила упругости пружины
в жид кости, равная весу тела в
жидкости Р2, FA — выталкиваю-
выталкивающая сила Архимеда,
Р2 =
тд
тд
а б
Рис. III.64
Из сравнения выражений для Р\ и Р2 видно, что вес тела
в жидкости меньше веса тела в воздухе на величину выталки-
выталкивающей силы:
Pi-P2 = FA. B.10)
Все сказанное выше для жидкостей относится к воздуху или
газам. Обычно для тел в воздухе сила Архимеда очень мала по
сравнению с силой тяжести, так как мала плотность воздуха.
Сила Архимеда начинает сказываться для тел очень больших
объемов, имеющих малую среднюю плотность, например, для
аэростатов, воздушных шаров.
Примеры решения задач
1. Какую силу давления испытывает плотина длиной 150 м
и высотой 8 м, если вода имеет такую же высоту? Атмосферное
давление нормальное.

314
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
/ =
h =
Р =
Рат
F-
150 м
8 м
103 кг/м3
= Ю5 Па
.?
Полное давление на плотину складыва-
складывается из гидростатического давления и давле-
давления атмосферы:
Р = Р,
pgh
Сила давления F равна
Н
м
= l,68-108H.
2. В сосуд цилиндрической формы диаметром 20 см налита
жидкость. Определите высоту жидкости в сосуде, при которой
сила гидростатического давления на дно равна силе гидроста-
гидростатического давления на стенку.
Сила гидростатического давления на дно равна
d = 20 см 2
\^— = 7rpghd2/4;,
h — 1 SA — площадь дна, рд — гидростатическое давле-
давление на дно.
Сила гидростатического давления на стенку равна
FCT = PctSqt = ndh = 7rpgh2d/2,
pCT — гидростатическое давление на боковую стенку цилинд-
цилиндра, SCT — площадь боковой поверхности цилиндра, соприкасаю-
соприкасающейся с жидкостью. По условию Fft = FCT:
npghd2 _ 7rpgh2d
После сокращения получим
h = d/2;
= 10 см.
3. Для подъема груза на высоту 0,45 м воспользовались
гидравлическим прессом с КПД 75%. Сколько ходов сделает
малый поршень, ход которого 0,2 м, а площадь меньше площади
большого поршня в 100 раз?
КПД гидравлического пресса г\ = А2/'А\,
где А\ — работа по перемещению малого
поршня, А2 — работа, совершенная большим
поршнем:
h2 -
V =
s2/
п —
= 0,45 м
0,75
L =0,2 м
Sx = ЮО
?
hi — полное перемещение малого поршня,

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
315
— перемещение при совершении одного хода малого порш-
поршня, п — число его ходов.
А2 = F2h2 — работа большого поршня по подъему груза на
высоту h2. Подставим А\ и А2 в формулу для КПД:
Отсюда
п =
F2h2
FinAhi'
F2 H2
rjAhi'
Используя формулу B.4) для гидравлического пресса, полу-
чаем
n =
S2 h2
г] Ah 1
г п ММ
N = — - =
м2 м
п = 300.
4. Диаметр одного из сообщающихся сосудов в 2 раза
больше диаметра второго. В эти сосуды налили ртуть, а затем
в узкий сосуд налили столб воды высотой 50 см. Определите,
насколько изменится уровень ртути в обоих сосудах.
Из закона сообщающихся сосу-
сосудов B.6) следует, что
hi _ р2
h2 pi
Так как hi = Ahi + Ah2 (рис. III.65),
то Д/ii + Ah2 p2
~ Pi'
hi = 50 см = 0
Pi = 13,6
Р2 = 103
Hi-I
•103
кг/м3
,5
КГ
м
/м3
h2
В этом уравнении два неизвестных: Ahi и Ah2- Второе
уравнение получим, приравняв объем ртути, вытесненной из
тонкого колена, к объему ртути, поступившему в широкое ко-
лено: V V; S
Рис. III.65
и ^2 — площади сечений трубок; Si = Trd\/4, S2 = 7rd2/4:;

316
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
Так как d\ = 2d2l то 4^А/11 = d^^, или
Подставим это выражение в закон сообщающихся сосу-
сосудов B.6): д.
pi
5ДЛ1
ho
?1
pi'
Отсюда
А/ц =
/ / 3\
г a i п м * (КГ/М )
[А/ц] = —v '„ ; = м;
КГ/М
A/11 = 0,037 м = 3,7 cm; A/i2 = 4ДЛХ = 14,8 см.
5. В море плавает льдина, часть которой объемом 195 м3
находится над водой. Определите объем всей льдины и ее под-
подводной части.
На льдину действует выталкива-
выталкивающая сила и сила тяжести. Так как
льдина погружена не полностью, то
точка приложения силы Архимеда не
совпадает с точкой приложения силы
тяжести (рис. 111.66 а).
= 195м3
кг/м
3 кг/м3
V-l V2-?
В соответствии с методикой решения подобных задач
(с. 311, 312) перенесем силу Архимеда в точку приложения
силы тяжести (рис. III.66 б). В дальнейшем на рисунках к зада-

1
в

Vi
^А
1 ^:
1 тд
—
Рис. 111.66
чам такого типа выталкивающую силу будем сразу изображать
приложенной к центру тяжести тела.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
317
Запишем условие плавания: Fa = тд.
Fa = РВ9У2; гп =
РлУ- (а)
В уравнении (а) две неизвестные величины: V2 и V. Поэто-
Поэтому добавим к уравнению (а) следующее равенство: V = У\ + У2-
Получим систему уравнений:
Решив систему уравнений, найдем
(кг/м3)-м3
кг/м
У2 = 1350 м3;
У = 1545 м3.
6. С каким ускорением всплывает тело с плотностью
0,95-103 кг/м3 в жидкости с плотностью 1,15-103 кг/м3? Силой
трения при движении тела в жидкости пренебречь.
Так как тело всплывает с ускоре-
ускорением, то запишем II закон Ньютона
(рис. 111.67):
Рт =
Рж '-
а —
--о,
= 1
?
95-
,15
103
•103
кг/
кг
м3
/м3
= та.
В проекциях на ось Оу это уравнение будет иметь вид
Fa — тд = та.
Отсюда _ |:z^ a p ^^
а =
FA-mg
m
Fa = рждУ, rn = pTV,
V — объем тела.
Подставим выражения для Fa и т в
формулу (а):
РтдУ _ g(pj -/Qt).
ртУ рт
1 М
Ы = ?;
7. Вес куска стекла в воздухе 1 Н, а в воде 0,8 Н. Найдите
плотность стекла.

318
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
Рг--
Рг--
Рв =
Рст
= 1 Н
= 0,8
= 103
_?
н
кг/м
Тогда
Отсюда
Рст =
В соответствии с п. 4 методических ука-
указаний к данному разделу запишем:
Учитывая, что Р\ = тд, найдем V:
_ т _ Pi
Рст Рст9 '
Рст
Р1-Р2
[рст] =
кгН
м^-(Н-Н)
кг
м3'
8. Полый стеклянный шар плавает в воде, наполовину по-
погруженный. Наружный объем шара 200 см3. Найдите объем
полости шара. Плотность стекла 2,5-103 кг/м3.
На шар действуют сила тя-
тяжести и выталкивающая сила,
точки приложения которых не
совпадают (рис. III.68). Но для
удобства, так как и при разбо-
разборе задачи 5, мы можем силу
Архимеда перенести в центр
Уп =
V =
Рст -
Рв =
Уо-
V/2
200 см3 =
= 2,5 -103
103 кг/м
?
= 2-
КГ/
3
Ю-4 м3
/м3
тяжести шара. Шар плавает, следовательно
РвдУ
т =
= Pct{V-Vq).
Так как наружный объем шара равен
сумме объема полости Vb и объема
стекла VCTl то V = Vq + VCT; отсюда
VCT = V-V0.
С учетом приведенных выражений запишем условие плавания:
тд -
Рис. III.68
Отсюда
•о = 1,65 ¦ 10~4 м3.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
319
9. Какой массы камень нужно положить на плоскую льди-
льдину толщиной 20 см, чтобы он вместе с льдиной полностью по-
погрузился в воду, если площадь льдины равна 1м2? Плотность
льда равна 0,9 • 103 кг/м , плотность камня — 2,2 • 103 кг/м ,
плотность воды — 103 кг/м . С какой силой давит камень на
льдину в воде?
В данной системе действуют силы
тяжести на камень ткд и на лед тлд,
а также сила Архимеда на лед Fa-л и
на камень Fa-k (рис. III.69).
Так как система находится в равно-
равновесии, то
Fa-л + ^А-к + ткд + тлд = 0;
Fa-л + ^А-к - ткд - тлд = 0. (а)
d =
S =
Рл =
Рк z
Рв =
тк
0,2 м
1 м
= 0,9-103 кг/
= 2,2-103 кг/
= 103 кг/м3
-? F-?
/м3
/м3
Fa-л =
^А-крвдУк =
Рк
тл = рлУл = pjiSd.
Подставим полученные выражения в условие плавания (а) и
выразим затем массу камня:
—
1
. _
У i
>
ш
—у
— }
^i^l^A-к
f —>
1 ткд
—
Рис. III.69
(Рл~ PB)SdpK

У >
>
}
1 гпка
—
Рис. III.70
г 1 _ кг-м -м-кг-м _
[тк\ — з—з ~ кг'
м м кг
рв - Рк " ' м" • мГ • кг
тк = 36,7 кг.
На камень действуют силы: сила тяжести ткд, сила Архи-
Архимеда Fa-A;5 сила реакции опоры, действующая на камень со
стороны льдины, TV (рис. III.70). Запишем условие равновесия:

320
2. ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ
N = ткд - FA_k = mKgV - pBgV = mKg -
= mKg(l-—\
Рк
N = 196,2 H.
По III закону Ньютона сила, с которой камень давит на лед,
равна численно силе реакции опоры TV, действующей на камень,
но противоположно ей направлена и приложена к льдине:
F = N = 196,2 Н.
10. Однородный стержень шарнирно укреплен одним кон-
концом на вертикальной стенке сосуда с жидкостью. Другой конец
стержня находится в жидкости. Стержень отклоняется от стен-
стенки на некоторый угол так, что погруженная часть составляет
половину объема стержня, равного 20 см3 (рис. III.71). Плотность
жидкости равна 960 кг/м3. Определите плотность материала
стержня и силу реакции в шарнире.
рж = 960 кг/м
На стерж;ень действуют сле-
следующие силы: сила тяжести тд,
приложенная в центре симметрии
стержня; выталкивающая сила F&,
которая приложена в центре по-
груженной части стержня (или в
центре вытесненного объема жидкости); сила реакции опоры
в шарнире TV (рис. III.72).
— :
Рис. III.71
Стержень имеет закрепленную ось вращения в точке С и
находится в равновесии. Запишем второе условие равновесия
относительно указанной оси:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ321
МТ = О, (а)
Мт — момент силы тяжести, Мд — момент выталкивающей си-
силы. Момент силы N относительно точки С равен нулю (так как
плечо силы TV равно нулю). Найдем моменты указанных сил:
Мт = —mgdi, Мд =
i з
Из рис. III.72 видно, что d\ = - since, d<i = -1 sin a (I — дли-
длина стержня).
С учетом этого запишем условие равновесия:
3 /
Fa -1 sin a — тд - sin a = О,
или , ч
l,5FA-mfl = 0. (б)
Выразим величины Fa и т через соответствующие плот-
Fa = рждУп = 0,5рждУ; т = pCTV. (в)
Подставляя Fa и т в уравнение (б), получим:
Отсюда найдем плотность стержня:
рст = 0,75/9ж; [рст] = —; рст = 720—.
м м
Для нахождения силы реакции TV запишем первое условие
равновесия:
В проекциях на ось Оу это уравнение будет иметь следую-
щийвид: yv
°ТСЮДа N = mg-FA.
Используя выражения (в), можно записать
N = gV{pCT - 0,5рж) = 5^@,75рж - 0,5рж); N = 0,25рждУ;
ГлП КГМ о КГ-М тт лт ЛА..ТТ
[N] = —г -^ - м3 = —5- = Н; TV « 0,047 Н.
L J м3 с2 с2
Примечание. Силу реакции в шарнире можно найти, ис-
используя второе условие равновесия относительно точек прило-
приложения сил тд или выталкивающей силы Fa- Проделайте это
самостоятельно и сравните ответы.
21 С. В. Трубецкова

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Статика твердого тела
1. Две силы 10 и 25 Н приложены к одной точке и действуют
по одной линии в противоположных направлениях. Чему равны
равнодействующая и уравновешивающая силы и в какую сто-
сторону они направлены?
2. На самолет действуют сила тяги мотора 1500 Н, сила
сопротивления воздуха 1100 Н и сила давления бокового ветра,
направленная под углом 90° к курсу и равная 300 Н. Найдите
равнодействующую этих сил.
3. Найдите графически и вычислите равнодействующую и
уравновешивающую двух сил Fi = 6 Н и F2 = 8 Н, приложен-
приложенных к телу под прямым углом друг к другу. Определите угол
между равнодействующей силой и силой F<i-
4. Произведите сложение двух сил по 50 Н каждая, направ-
направленных друг к другу под углами 0°, 30°, 45°, 90°, 135°, 180°.
5. Найдите равнодействующую сил: F\ = 100 Н, F<i = 50л/3 Н
и F% = 50 Н. Величины углов указаны на рис. III.73.
120°
150°
Рис. III.73 Рис. III.74
6 . Найдите равнодействующую трех сил F\ = 40 Н, F<i =
= 40/л/З Н, F3 = 50 Н (рис. III.74).
7. К абсолютно жесткому диску приложены радиально три
силы под углом 30° друг к другу. Средняя сила равна 100 Н,

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
323
крайние по 50 Н (рис. III.75). Найдите величину, направление
и точку приложения уравновешивающей
силы.
8. На лодку, привязанную к дереву на
берегу веревкой длиной 5 м, действует си-
сила течения реки 160 Н и сила давления
ветра, дующего с берега перпендикулярно
к нему, в 120 Н. Определите силу натяже-
натяжения веревки и расстояние от берега, на котором находится лодка.
9. Две силы по 5 Н приложены к одной точке тела под уг-
углом 90°. Под каким углом надо приложить две силы по 4 Н,
чтобы они уравновесили первые две силы?
10. Под каким углом на тело должны действовать две силы
по 5 Н, чтобы их равнодействующая также равнялась 5 Н?
11. К кольцу приложены три равные силы, направленные
по радиусам под углом 120° друг к другу. Как будет двигаться
кольцо под действием этих сил?
12 . На материальную точку О (рис. III.76) действуют че-
четыре силы: Fi = 20 Н, F2 = 20л/3 Н, F3 = 30 Н, F4 = 30л/3 Н.
Определите величину равнодействующей силы.
О
<FA
Рис. III.76
Рис. III.77
13 . На материальную точку О (рис. III.77) действует пять
сил, которые направлены по двум сторонам и трем диагона-
диагоналям правильного шестиугольника. Величина наименьшей силы
равна F. Определите величину и направление равнодействую-
равнодействующей силы.
14. Самолет тянет на буксирах два планера с постоянной
скоростью. Полет самолета и планеров происходит в одной го-
горизонтальной плоскости, причем углы между линией полета и
21*

324
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Рис. III.78
буксирными тросами одинаковы и равны 30°. Сила натяжения
каждого буксирного троса 500 Н. Сила сопро-
сопротивления воздуха движению самолета при дан-
данной скорости равна 400 Н. Найдите силу тяги
двигателя.
15 . Найдите равнодействующую сил F\ =
= 50 Н, F2 = 50 Н, F3 = 135 Н и F4 = 100 Н.
Величины углов показаны на рис. III.78.
16. Найдите вертикальную и горизонталь-
горизонтальную составляющие силы 10 Н, направленной
под углом 37° к горизонту.
17. Груз под действием силы перемещается горизонтально
при помощи каната, образующего угол 30° с горизонтальным
направлением. Определите горизонтальную и вертикальную
составляющую силы, если сила натяжения каната равна 50 Н.
18. Горизонтально натянутая антенна AD и оттяжка АС
действуют на мачту А В ^ к которой они при-
прикреплены, с силой F = l,6 кН. С какой силой
натянута оттяжка и какова сила натяжения
антенны? Высота мачты \АВ\ = 12 м, длина
отрезка \АС\ = 15 м (рис. III.79).
19. Мальчик толкает садовую косилку с
силой 180 Н. Рукоятка образует с землей
Рис. III.79 угол 45°. Найдите составляющие силы, тол-
толкающие косилку вперед и прижимающую ее к земле.
20. Груз массой 10 кг подвешен к кронштейну А В С, у кото-
которого \АС\ = 150 мм, \ВС\ = 250 мм. Определите силы упругости,
возникающие в стержне АС и укосе ВС (рис. III.80).
1С
Рис. 111.80
Рис. 111.81
21. К кронштейну ABC подвешен фонарь массой 5 кг.
Определите силы, действующие на брус А В и проволоку ВС
(рис. 111.81).

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
325
22. Груз массой 5 кг удерживается с помощью тросов Л В
и ВС. Найдите натяжение тросов, если а = 60° (рис. III.82).
Рис. III.82
23. Фонарь массой 20 кг подвешен на двух одинаковых тро-
тросах, угол между которыми равен 120°. Найдите силу натяжения
тросов (рис. III.83).
24. Вертикальную силу 180 Н разложите на две составляю-
составляющие, одна из которых — горизонтальная — должна быть 100 Н.
Найдите величину и направление другой составляющей.
25. Горизонтальную силу, равную 200 Н, разложите на две
силы, одна из которых, направленная вертикально вверх, долж-
должна быть равна также 200 Н. Найдите величину и направление
другой составляющей.
26. С какой минимальной силой, направленной горизон-
горизонтально, нужно прижать плоский брусок к стене, чтобы он не со-
соскользнул вниз? Масса бруска 5 кг, коэффициент трения между
стеной и бруском 0,1.
27. Груз массой 50 кг прижат к вертикальной стене си-
силой 118 Н. Какую минимальную силу необходимо приложить к
грузу, чтобы удержать его в покое? чтобы поднимать равномер-
равномерно вверх? Коэффициент трения скольжения равен 0,3.
28 . Какой угол должно составлять направление силы с
горизонтом, чтобы при равномерном перемещении груза по го-
горизонтальной плоскости сила тяги была наименьшей? Сила при-
приложена в центре тяжести груза, коэффициент трения равен //.
29. Тело массой 5 • 103 кг находится на наклонной плоскос-
плоскости длиной 8 м и высотой 3 м. Какую силу надо приложить к
телу, чтобы удержать его на плоскости, если она направлена:
а) параллельно наклонной плоскости; б) параллельно основа-
основанию наклонной плоскости? Коэффициент трения покоя при-
принять равным 0,02.

326
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
30. Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости.
С какой силой, направленной перпендикулярно к плоскости,
необходимо прижать брусок, чтобы он не соскользнул с нее?
Масса бруска 2 кг, коэффициент трения бруска о плоскость
равен 0,4, угол наклона плоскости к горизонту равен 60°.
31. Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости.
С какой силой нужно прижать к ней брусок, чтобы он оставался
в равновесии? Масса бруска 2 кг, длина наклонной плоскос-
плоскости 1 м, высота 60 см, коэффициент трения равен 0,4.
32. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с
углом наклона 30°. Чему равен коэффициент трения?
33. Какой груз можно удержать на наклонной плоскости
длиной 1 м и высотой 0,5 м силой 49 Н, направленной парал-
параллельно наклонной плоскости, коэффициент трения равен 0,4?
Как изменится ответ, если силу приложить перпендикулярно
наклонной плоскости?
34 . На столе стоит цилиндр, высота которого вдвое боль-
больше его диаметра. Один край стола постепенно поднимают. Что
произойдет раньше: опрокидывание цилиндра или его соскаль-
соскальзывание? Коэффициент трения покоя равен 0,6.
35. На наклонной плоскости, которая составляет угол а с
горизонталью, стоит цилиндр радиусом г. Какая наибольшая
высота цилиндра, при которой он еще не опрокинется, если он
сделан из однородного металла?
36. Автомобиль массой 1 т с включенными тормозами спус-
спускается по склону холма с постоянной скоростью. Уклон состав-
составляет 1 м на каждые 10 м пути. Определите силу трения.
F2
Fi
в
Рис. III.84
37. Перерисуйте рис. III.84 а, б', в. Найдите плечи всех сил
относительно указанной оси вращения О. В каком направлении

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
327
(по часовой стрелке или против) каждая сила вызывает вра-
вращение?
38. К пластинке, располо-
расположенной в горизонтальной плос-
плоскости и свободно вращающейся
вокруг вертикальной оси, про-
проходящей через точку О, прило-
приложены силы так, как изображено
на рис. III.85. Силы равны: F\ =
= 3 Н, F2 = 2 H, F3 = 3 H, F4 =
= 10 Н. В каком направлении
будет вращаться пластинка?
О
Рис. III.85
39. Пользуясь рисунком, определите момент силы F = 50 Н,
если \ОА\ = 1,2 м и а = 150° (рис. 111.86).
Рис. III.86
Рис. III.87
40. По данным, указанным на рис. III.87, определите мо-
момент пары сил, если каждая сила равна 20 Н, расстояние между
точками приложения сил равно 0,8 м и угол а = 30°.
41. Передняя колесная пара трактора давит на почву си-
силой 7,5 кН, а задняя — с силой 2,8 кН. Какова сила тяжести
трактора и где находится его центр тяжести, если расстояние
между осями равно 217 см?
42. Масса автомобиля 3,6 т. Его центр тяжести делит рас-
расстояние между осями колес на отрезки, находящиеся в отно-
отношении 1:3. Найдите силу давления каждой колесной пары на
дорогу.
43. Найдите величину и точку приложения равнодейст-
равнодействующей двух параллельных противоположно направленных
сил 20 и 5 Н, если расстояние между точками их приложения
равно 45 см.
44. Какую силу надо приложить, чтобы поднять за один
конец брус массой 70 кг?

328 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
45. Железную балку начинают поднимать с земли, зацепив
трос подъемного крана за один из концов балки. Сила натяже-
натяжения троса оказалась равной 1200 Н. Оцените массу балки.
46. Железный лом массой 10 кг и длиной 15 м лежит на
ящике, выступая за его края слева на 0,4 м, справа на 0,6 м.
Какая потребуется сила, чтобы приподнять его левый конец?
правый конец?
47. Однородная балка массой 10 кг подперта на расстоя-
расстоянии 1/4 ее длины. Какую силу, перпендикулярную балке, надо
приложить к ее короткому концу, чтобы удержать балку в
равновесии?
48. Балка весом 8000 Н имеет длину 4 м и подперта на
расстоянии 1,9 м от ее левого конца. На каком расстоянии от
правого конца на балку должен встать человек массой 80 кг,
чтобы балка осталась в равновесии?
49. Рельс длиной 10 м и массой 900 кг, расположенный го-
горизонтально, поднимают на двух параллельных тросах. Найдите
силу натяжения тросов, если один из них укреплен на конце
рельса, а другой — на расстоянии 1 м от второго конца.
50. На стержень действуют две параллельные силы 10 Н
и 20 Н. Расстояние между линиями действия сил равно 1,2 м.
Определите, в каком месте и какую силу надо приложить к
стержню, чтобы он находился в равновесии.
51. На стержень действуют две антипараллельные силы
15 Н и 60 Н. Расстояние между линиями их действия равно
90 см. Найдите равнодействующую и точку ее приложения.
52. Какие грузы уравновешены на концах рычага, если
плечи их равны 50 см и 70 см, а сила давления на точечную
опору равна 78 Н?
53. Двое рабочих несут за концы шест длиной 3 м, к кото-
которому подвешен груз. На долю одного рабочего приходится вдвое
большая нагрузка. Где подвешен груз?
54. Две параллельные силы 20 Н и 30 Н приложены к кон-
концам твердого стержня длиной 1,5 м. Определите величину рав-
равнодействующей силы и точку ее приложения.
55. Груз массой 400 кг лежит на балке на расстоянии 1/4 ее
длины от конца. С какой силой давит груз на обе опоры балки?

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 329
56. На балке, лежащей на двух опорах, необходимо подве-
подвесить груз 14000 Н. Длина балки 7 м. Где следует подвесить
данный груз, чтобы на одну из опор он давил с силой 5000 Н?
57. К стержню длиной 120 см приложены три параллельные
силы одинакового направления: у левого конца стержня 30
Н, в середине 80 Н и у правого конца 90 Н. Чему равна
равнодействующая этих сил? Где лежит точка ее приложения?
58. Концы балки, длина которой 10 м и масса 10 т, лежит на
двух опорах. На расстоянии 2 м от левого конца на балке лежит
груз массой 5 т. Определите силу давления на опоры.
59. Труба длиной 16 м и массой 2100 кг лежит на двух
подкладках, расположенных на расстоянии 4 м и 2 м от ее кон-
концов. Какие силы надо приложить поочередно к каждому концу
трубы, чтобы приподнять ее?
60. Два однородных шара массами 10 кг и 12 кг и радиу-
радиусами 4 см и 6 см соединены однородным стержнем массой 2 кг
и длиной 10 см. Центры шаров лежат на продолжении оси
стержня. Найдите центр тяжести системы.
61. Штанга состоит из цилиндра длиной 50 см и массой 2 кг
и двух скрепленных с ним шаров радиусами 3 см и 6 см и мас-
массой 1,5 кг и 12 кг. Найдите центр тяжести штанги.
62. Два шара одинакового объема, цинковый и алюминие-
алюминиевый, скреплены в точке касания. Радиусы шаров равны R.
Найдите положение центра тяжести системы.
63. Стержень цилиндрической формы длиной 40 см состоит
наполовину своей длины из свинца и наполовину — из железа.
Найдите центр тяжести стержня.
64. Стержень цилиндрической формы длиной 40 см состоит
на 1/4 своего объема из свинца и на 3/4 — из железа. Найдите
положение центра тяжести стержня.
65. На конец стержня длиной 30 см прикреплен шар, ради-
радиус которого 6 см, а центр лежит на продолжении оси стержня.
Где находится центр тяжести этой системы, если массы стержня
и шара одинаковы?
66. На концах однородного стержня массой 1 кг и длиной
60 см подвешены грузы массой 1 кг и 2 кг. Где нужно подпереть
этот стержень, чтобы он остался в равновесии?

330
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
67. На доске длиной 4 м и массой 30 кг качаются два маль-
мальчика массой 30 кг и 40 кг. Где должна быть у доски точка опоры,
если мальчики сидят на концах доски?
68. От однородного вала отрезали конец длиной 40 см. Куда
и на сколько переместится центр тяжести?
69. Бревно длиной 12 м можно уравновесить в горизонталь-
горизонтальном положении на подставке, отстоящей на 3 м от его толстого
конца. Если же подставка находится в 6 м от толстого конца и на
тонкий конец сядет рабочий массой 60 кг, бревно снова будет в
равновесии. Определите массу бревна.
70. Доска, масса которой 8 кг, прислонена к стене под углом
а = 17° (рис. III.88). Человек тянет доску в горизонтальном на-
направлении с силой, приложенной к ее середине и направленной
горизонтально. Какой величины должна быть эта сила, чтобы
человек смог отодвинуть верхний конец от стены?
Рис. III.?
Рис. III.89
71. Стержень шарнирно закреплен одним концом. Для того
чтобы отклонить его от положения равновесия на угол 30°, на
нижний конец подействовали перпендикулярно к стержню си-
силой 2,5 Н (рис. III.89). Какова масса стержня?
72 . У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестни-
лестницы о стенку ii\ = 0,4, коэффициент трения лестницы о землю
/12 = 0,5. Центр тяжести лестницы находится на середине ее
длины. Определите наименьший угол, который лестница может
образовать с горизонтом, не соскальзывая.
73. На какую максимальную высоту может подняться чело-
человек по лестнице длиной 4 м, приставленной к гладкой стене под
углом 60°? Коэффициент трения между лестницей и полом ра-
равен 0,33. Массой лестницы пренебречь.

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
331
74. На нити длиной 1 м висит шар радиусом 27 см, опираю-
опирающийся на вертикальную стенку. Нить образует
со стенкой угол 30° и касается шара в точке С
(рис. III.90). Определите коэффициент трения
покоя шара со стенкой.
75 . Шар, сила тяжести которого 1 кН, а
радиус 0,5 м, необходимо перекатить через вер-
вертикальную ступеньку высотой 0,1 м. Какую наи-
наименьшую силу необходимо приложить к шару и
в какой точке, чтобы оторвать шар от пола?
* Рис. III.90
76 . Для вкатывания тяжелого цилиндри-
цилиндрического катка радиусом R на прямоугольную ступеньку приш-
пришлось приложить к его оси горизонтальную силу F, равную силе
тяжести Р, действующей на каток. Определите максимальную
высоту ступеньки.
77. Определите положение центра тяжести однородной
пластинки с квадратным отверстием. Размеры пластинки и
отверстия указаны на рис. III.91.
4 см
3 см
о
со
II
III
il
Рис. III.91
Рис. III.92
78. Определите положение центра тяжести однородной
пластинки, размеры которой ука-
указаны на рис. III.92.
79. Найти центр тяжести од-
однородной пластинки с вырезом,
размеры которой указаны на
рис. III.93.
80. Определите положение
центра тяжести однородного дис-
диска радиусом Я, из которого вырезан круг радиусом
Рис. 111.93

332
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Центр круга находится на расстоянии 2/?/3 от центра большо-
большого диска.
81 . Определите положение центра тяжести диска, ради-
радиус которого /?, в котором сделаны два круговых отверстия
(рис. III.94). Радиусы вырезанных отверстий равны R/2 и R/4.
Рис. III.94
Рис. III.95
82. Определите положение центра тяжести однородной
квадратной пластинки со стороной а, в которой вырезано круг-
круглое отверстие радиусом а/4 так, как показано на рис. III.95.
83. Пять шаров, массы которых равны т, 2т, Зт, 4т
и 5т укреплены на стержне так, что их центры расположены
Рис. III.96
на расстоянии / друг от друга. Пренебрегая массой стержня,
найдите центр тяжести системы (рис. III.96).
Давление. Жидкости. Газы
84. Какое давление на дно и боковую стенку сосуда ока-
оказывает слой керосина высотой 0,5 м? Чему
равно полное давление на дно? Найдите силу
давления керосина на дно и боковую стен-
стенку. Сосуд представляет собой цилиндр с диа-
диаметром основания 10 см.
85. Высота воды в сосуде 5 м. Стенка со-
сосуда имеет ширину 1,5 м и наклонена под
углом 30° к вертикали (рис. III.97). Найдите силу давления на
боковую стенку. Атмосферное давление нормальное.
Рис. III.97

ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ 333
86. Высота воды в стакане 8 см. Какое давление на дно стен-
стенки и на его боковую стенку оказывает вода? До какого уровня
надо налить ртуть, чтобы она оказывала такое же давление?
87. На какой глубине в море гидростатическое давление
равно 4,12-105 Па? Чему равно полное давление на этой глу-
глубине? Атмосферное давление нормальное.
88. Напор воды в водокачке создается насосами. На какую
высоту поднимается вода, если давление, созданное насосом, рав-
равно 400 • 103 Па?
89. В аквариум высотой 32 см, длиной 50 см и шириной
20 см налита вода, уровень которой ниже края на 2 см. Рассчи-
Рассчитайте: а) давление жидкости на дно; б) силу гидростатичес-
гидростатического давления на дно. Найдите полное давление на боковую
стенку.
90. На какой глубине в пресной воде гидростатическое дав-
давление в 2 раза больше атмосферного, которое равно 105 Па?
91. В высокий цилиндрический сосуд до уровня 10 см нали-
налита ртуть, сверху — такие же объемы воды и керосина. Каково
давление жидкостей на дно сосуда?
92. В цилиндрический сосуд диаметром 25 см налито 12 л
воды. Каково давление воды на стенку сосуда на высоте 10 см
от дна?
93. Водолаз в жестком скафандре может погружаться на
глубину 250 м, искусный ныряльщик — на 20 м. Определите
давление воды в море на этих глубинах. Чему равна сила гид-
гидростатического давления на поверхность скафандра, если пло-
площадь его поверхности 2,5 м2?
94. Стеклянная трубка диаметром 5 см, нижний конец
которой закрыт пластинкой, опущена вертикально в воду на глу-
глубину 80 м. Какого веса груз надо положить на пластинку, чтобы
она отпала? Весом самой пластинки пренебречь.
95. Стеклянная трубка с одной стороны закрыта пластин-
пластинкой и опущена этим концом вертикально в воду на глуби-
глубину 0,68 м. Какой высоты надо налить в трубку ртуть, чтобы
пластинка отпала?
96. Сосуд кубической формы наполнен жидкостью весом Р.
Определите полную силу гидростатического давления на дно
сосуда и все его боковые стенки.

334 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
97. В полый куб с ребром а налита доверху жидкость плот-
плотностью р. Определите силу гидростатического давления на все
грани куба.
98. До какого уровня надо налить жидкость в цилиндри-
цилиндрический сосуд, диаметр дна которого равен 20 см, чтобы сила
гидростатического давления на дно сосуда была в 2 раза боль-
больше силы гидростатического давления на боковую стенку?
99. В сосуд с квадратным дном, длина стороны которого а,
и с вертикальными стенками налита жидкость. Какова высота
уровня жидкости в сосуде, если сила давления на дно равна
силе давления на боковую поверхность сосуда?
100. В прямоугольную банку, площадь дна которой 100 см2,
налита вода. Высота уровня воды 20 см. На поверхность воды
опущен плотно прилегающий к стенкам поршень, на котором
стоит гиря массой 2 кг. Определите давление на дно банки.
Атмосферное давление нормальное.
101. В баке, наполненном керосином, имеется отверстие,
площадь сечения которого равна 10 см2. Центр отверстия на-
находится на 2 м ниже уровня жидкости. Определите силу давле-
давления на пробку, закрывающую отверстие.
102. С какой силой выталкивается вода из иглы медицинс-
медицинского шприца, если на поршень действует сила 6 Н? Площадь
поршня равна 3 см2, площадь отверстия иглы равна 2 мм2. Гид-
Гидростатическим давлением пренебречь.
103. Давление воды в кранах водопровода ( на уровне пола)
на втором этаже шестиэтажного дома равно 250 кПа. Опреде-
Определите высоту уровня воды в баке водонапорной башни над уров-
уровнем земли, а также давление воды у пола шестого этажа. Высоту
одного этажа принять равной 4 м.
104. У основания здания давление в водопроводе равно
0,05 Па. Под каким давлением вытекает вода из крана на чет-
четвертом этаже здания на высоте 15 м от основания? С какой силой
давит вода на отверстие крана площадью 0,5 см2?
105. В сосуд, имеющий форму прямоугольного параллеле-
параллелепипеда, налиты в равных весовых количествах ртуть и вода.
Высота слоя ртути равна 6 см. Определите: а) высоту слоя во-
воды; б) давление жидкостей на дно сосуда; в) гидростатическое
давление на стенку сосуда на высоте 4 см от дна.

ДАВЛЕНИЕ. ЖИДКОСТИ. ГАЗЫ 335
106. В цилиндрический сосуд налита ртуть, а сверху масло.
Вес масла в два раза меньше веса ртути, а общая высота жид-
жидкостей равна 30 см. Определите давление жидкостей на дно
сосуда.
107. В высокий цилиндрический сосуд налит слой ртути
высотой 1 см, сверху — такая же масса воды, а затем — такая
же масса керосина. Каково давление жидкостей на дно сосуда?
108. В цилиндрический сосуд налиты равные по массе
количества воды и ртути. Общая высота столбов жидкости в
сосуде Я. Чему равно гидростатическое давление на дно сосуда?
109. Барометрическая трубка наклонена под углом 30° к
горизонту. Какова длина ртутного столбика в ней при нормаль-
нормальном атмосферном давлении?
110 . Барометрическая трубка сечением 1 см2 опущена в
чашку со ртутью. Как изменится уровень ртути в чашке, если,
не вынимая конца трубки из ртути, наклонить ее под углом 45°
к вертикали? Диаметр чашки равен 6 см, атмосферное давление
нормальное.
111. Из отверстия в крышке бака цилиндрической формы
выходит вертикальная трубка длиной 6 м. Высота бака рав-
равна 0,6 м. Бак и трубка наполнены водой. Во сколько раз давле-
давление на дно бака больше нормального атмосферного давления?
112. Объем цилиндрического бака равен 314 литров, диа-
диаметр дна равен 1 м. Через отверстие в его верхней крышке
заливают вертикальным шлангом воду. При полном заполнении
бака в шланге остался столб воды высотой 2 м. Найдите давле-
давление воды на дно бака.
113. В [/-образную трубку налита ртуть. Когда в одно из
колен трубки налили воду, уровень ртути в этом колене опус-
опустился на 1 см. Какова высота столба налитой воды?
114. [/-образная трубка с коленами равной длины напол-
наполнена до некоторой высоты ртутью. В длинную часть трубки
наливают масло плотностью 900 кг/м3, причем ртуть в корот-
короткой части поднимается на 1,5 см относительно первоначального
уровня. Определите высоту столба масла.
115. В два колена [/-образной трубки налиты вода и масло,
разделенные ртутью. Поверхности раздела ртути и жидкостей
в обоих коленах находятся на одинаковой высоте. Определите
массу столба воды, если высота столба масла равна 20 см.

336 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
116. В сообщающихся сосудах налиты вода, ртуть и керо-
керосин. Какова высота слоя керосина, если высота столба воды
равна 20 см, и в правом колене уровень ртути ниже, чем в левом,
на 0,5 см?
117. Ртуть находится в [/-образной трубке, площадь сече-
сечения левого колена которой в 3 раза меньше площади правого.
Уровень ртути в узком колене находится на расстоянии 30 м от
верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути
в правом колене, если левое доверху залить водой?
118 . В сообщающихся сосудах находится ртуть. Диаметр
одного сосуда в 4 раза больше диаметра другого. В узкий сосуд
налили воду, при этом уровень ртути в узком сосуде понизился
на 4,8 мм, а в широком повысился на 3 мм. Определите высоту
столба налитой воды.
119. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх нее
в один сосуд — столб масла высотой 48 см, в другой — столб
керосина высотой 20 см. Определите разность уровней ртути в
обоих сосудах.
120. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх нее в
один сосуд налит столб воды высотой 0,8 м, в другой — ке-
керосин. Разность уровней ртути в сосудах — 5 см. Определите
высоту столба керосина.
121. В сообщающихся цилиндрических сосудах одинако-
одинаковых диаметров и высоты находится ртуть. В одном из сосудов
поверх ртути налит столб воды высотой 32 см. Как будут
расположены относительно друг друга уровни ртути в обоих
сосудах, если они доверху залиты керосином?
122. В двух сообщающихся трубках разного сечения налита
сначала ртуть, а потом в широкую трубку сечением 8 см2
налито 272 г воды. Найдите разность уровней ртути в трубках.
123. С какой силой надо подействовать на малый поршень
гидравлического пресса, площадь которого равна 40 см2, чтобы
давление на прессуемую деталь было равно 250 кПа?
124. Большой поршень гидравлического пресса площадью
189 см2 действует с силой 18 кН. Площадь малого поршня рав-
равна 4 см2. С какой силой действует малый поршень на масло в
прессе?

ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ СИЛА АРХИМЕДА 337
125. Малый поршень гидравлического пресса под действием
силы 500 Н опустился на 15 см. При этом большой поршень
поднялся на 5 см. Какая сила действует на большой поршень?
126. Большой поршень гидравлического пресса, площадью
100 см2, должен действовать на деталь с силой 2 кН. Каково
должно быть давление малого поршня на масло в прессе?
127. При подъеме груза массой 2 т с помощью гидравли-
гидравлического пресса совершена работа 400 Дж. При этом малый
поршень сделал 10 ходов, перемещаясь за один ход на 10 см.
Во сколько раз площадь большого поршня больше площади
малого поршня, если КПД пресса равен 1?
128. При подъеме с помощью гидравлического пресса груза
массой 2 т была совершена работа 4,9 кДж. Найдите число
ходов малого поршня, перемещающегося за один ход на 10 см,
если КПД пресса равен 90%, а площадь большого поршня
больше малого в 100 раз.
129. На малый поршень гидравлического пресса сила
давления передается с помощью рычага, плечи которого равны
1,35 м и 0,15 м. К концу длинного плеча рычага приложена
сила 200 Н. Площади поршней равны 4 см2 и 400 см2. КПД
пресса равен 85 %. Определите силу давления большого поршня.
130. Какая сила давления может быть получена на гидрав-
гидравлическом прессе, если к длинному плечу рычага, передающему
давление на малый поршень, приложена сила 100 Н. Соотноше-
Соотношение плеч рычага равно 9. Площадь большого поршня в 100 раз
больше площади малого. КПД равен 0,8.
Выталкивающая сила Архимеда
131. Вычислите выталкивающую силу, действующую на
гранитную глыбу при полном погружении в воду, если ее объем
равен 0,8 м3.
132. Гранитная глыба имеет объем 1,6 м3, а бетонная пли-
плита — 0,8 м3. Сравните выталкивающие силы, действующие на
них при полном погружении в воду.
133. Определите объем куска меди, который при погруже-
погружении в бензин выталкивается с силой 1,4 Н.
134. Кусок железа весит в воде 1,67 Н. Найдите его объем.
22 С. В. Трубецкова

338 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
135. Железобетонная плита размером 4 • 0,3 • 0,25 м3 по-
погружена в воду наполовину своего объема. Какова архимедова
сила, действующая на нее?
136. Один брусок имеет размеры 2-5- 10 см3, а другой —
0,2-0,5-1 м3. Как отличаются выталкивающие силы, действую-
действующие на эти бруски при их полном погружении в керосин?
137. Как изменится натяжение троса при поднятии из воды
железобетонной плиты объемом 2,4 м3?
138. На тело, погруженное в воду, действует выталкиваю-
выталкивающая сила, составляющая седьмую часть его веса. Чему равна
плотность тела?
139. Бак наполнен доверху водой. Если положить кусок де-
дерева в воду, то выливается 200 литров воды. Чему равна масса
куска дерева?
140. Кусок льда равномерной толщины плавает в воде, вы-
выступая наружу на 2 см. Какова масса куска льда, если площадь
его основания равна 200 см2.
141. В море плавает льдина, часть которой объемом 1350 м3
находится под водой. Найти объем всей льдины и ее надводной
части.
142. Айсберг плавает в море, выступая на 200 м3 над по-
поверхностью воды. Чему равны объем всего айсберга и его масса?
143. Полый медный шар плавает в воде во взвешенном со-
состоянии. Чему равен вес шара в воздухе, если объем воздушной
полости равен 17,75 см3? Выталкивающей силой воздуха прене-
пренебречь.
144. Медный шар с внутренней полостью весит в воздухе
2,59 Н, а в воде — 2,17 Н. Определите объем внутренней полос-
полости шара.
145. Полый шар (внешний радиус Я, внутренний — г), сде-
сделанный из материала с плотностью pi, плавает на поверхности
жидкости с плотностью р2- Какова должна быть плотность ве-
вещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара,
чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жид-
жидкости?
146. Железный брусок плавает в ртути. Какая часть его
объема погружена в ртуть?

ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ СИЛА АРХИМЕДА 339
147. Плавающий в ртути куб погружен на 1/4 своего объе-
объема. Какая часть объема будет погружена в ртуть, если поверх
нее налить слой воды, полностью закрывающей куб?
148. Куб, плавая в жидкости плотностью pi, погрузился в
нее на глубину 20 см, а в жидкости плотностью р2 — на 30 см.
На какую глубину он погрузился, плавая в жидкости, плотность
которой равна среднему арифметическому плотностей двух
первых?
149. Сплошной однородный куб плавает на границе раздела
ртути и масла так, что он наполовину находится в ртути, напо-
наполовину — в масле. Определите плотность материала куба.
150. Сплошной однородный кусок железа плавает на гра-
границе воды и ртути, полностью погрузившись в жидкость. Какая
часть объема куска железа находится в воде и какая — в ртути?
151. Плавающий на воде деревянный брусок вытесняет
объем воды, равный 0,72 м3, а будучи погруженным в воду це-
целиком — 0,9 м3. Найдите плотность бруска.
152. Вес тела в воде в 5 раз меньше, чем в воздухе. Какова
плотность вещества тела?
153. Кусок стекла весит в воздухе 1,4 Н, а в воде — 0,8 Н.
Найдите плотность стекла.
154. Тело плавает в керосине, погрузившись до 2/3 своего
объема. Найдите плотность вещества тела.
155. Какую работу надо совершить при медленном подъеме
камня объемом 0,5 м3 в воде с глубины 1 м? Плотность камня
равна 2,5-103 кг/м3.
156. Льдина, площадь основания которой равна 1м2, и тол-
толщина равна 0,4 м, плавает в воде. Какую наименьшую работу
нужно совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?
Трением о воду пренебречь.
157. Шар радиусом 6 см удерживается внешней силой в
воде так, что его верхняя точка касается поверхности воды.
Плотность материала шара 500 кг/м3. Какую работу произве-
произведет выталкивающая сила, если отпустить шар и предоставить
ему свободно плавать?
158. Тело, имеющее массу 2 кг и объем 1000 см3, находится в
озере на глубине 5 м. Какая минимальная работа должна быть

340 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
совершена при его подъеме на высоту 5 м над поверхностью
воды?
159. Какую силу надо приложить, чтобы поднять под во-
водой камень весом 3000 Н, объем которого равен 0,015 м3?
160. Какую силу нужно приложить, чтобы удержать в
воде камень массой 10 кг? Плотность вещества камня равна
2,6-103 кг/м3.
161. Пароход после отгрузки опустился в воду на 1 м. Ка-
Каков вес груза, принятого пароходом, если площадь поперечного
сечения парохода на уровне ватерлинии равна 1800 м2, а борта
на этом уровне вертикальные?
162. Сколько весит пароход с грузом, имеющий площадь
поперечного сечения на уровне ватерлинии 1200 м2, если при
переходе его из реки в море глубина осадки уменьшилась
на 0,15 м?
163. Пароход массой 6,18-106 кг переходит из моря в реку.
Какой груз надо снять, чтобы глубина осадки не изменилась?
164. Морская вода на 3% тяжелее речной. Чтобы пароход
при переходе из моря в реку не изменил своей осадки, с него
сняли 90 т груза. Определите вес парохода вместе с оставшимся
на нем грузом.
165. Бревно, имеющее длину 3,5 м и диаметр 30 см, плавает
в воде. Какова масса человека, который может стоять на бревне,
не замочив ноги? Плотность дерева равна 700 кг/м3.
166. Какое наименьшее число бревен длиной 10 м и пло-
площадью поперечного сечения 300 см2 надо взять для плота, на
котором можно переправить через реку грузовую машину мас-
массой 5 т? Плотность дерева — 600 кг/м3.
167. Определите массу пробкового пояса, способного удер-
удержать человека массой 60 кг в воде так, чтобы голова и плечи
(это примерно 1/8 объема человека) не были погружены в воду.
Плотность тела человека принять равной 1007 кг/м3. Плотность
пробки — 200 кг/м3.
168 . Кусок железа массой 11,7 кг, связанный с куском
пробки, масса которой 1,2 г, вместе с пробкой полностью погру-
погружен на нити в воду. Определите плотность пробки и ее объем,
если сила натяжения нити равна 0,064 Н.

ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ СИЛА АРХИМЕДА 341
169. Прямоугольная коробочка из жести массой 76 г с пло-
площадью дна 38 см2 и высотой 6 см плавает в воде. Определите
высоту надводной части коробочки.
*
170 . В цилиндрический сосуд с водой опустили железную
коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся на 2 см.
На сколько опустится уровень воды, если коробочка утонет?
171. Алюминиевый шарик весит в воздухе 0,52 Н, в воде
0,32 Н, в растворе медного купороса 0,29 Н. Определите плот-
плотность раствора медного купороса.
172. Для определения плотности неизвестной жидкости
однородное тело подвесили на пружинных весах в этой жид-
жидкости, а затем в воздухе и в воде. Вес тела в жид кости оказался
равным 1,66 Н, в воздухе 1,8 Н, в воде 1,6 Н. Найдите плотность
жидкости и тела. Силой Архимеда в воздухе пренебречь.
173. Гранитный камень весит в воде 3,2 Н, в бензине 3,8 Н,
в растворе медного купороса 2,9 Н. Определите плотность бен-
бензина, раствора медного купороса и вес камня в воздухе. Плот-
Плотность гранита равна 2,6 • 103 кг/м3.
174. Деталь отлита из сплава железа и никеля. Определите,
какой процент по объему составляет железо и никель, а так-
также объем всей детали, если деталь в воздухе весит 33,4 Н, а в
воде - 29,4 Н?
175. Пузырек газа поднимается со дна озера с постоянной
скоростью. Найдите силу сопротивления воды, если объем пу-
пузырька равен 1 см3.
176. Стеклянный шарик падает в воде с ускорением 5,8 м/с2.
Найдите плотность стекла, если вода пресная. Сопротивлением
воды пренебречь.
177. Шарик, плотность которого 400 кг/м3, падает в воду
с высоты 9 см. На какую глубину шарик погрузится в воду?
Силой сопротивления воздуха и воды пренебречь.
178. С какой высоты должно падать тело, плотность кото-
которого 400 кг/м3, чтобы оно погрузилось в воду на глубину 6 см?
Силы сопротивления воды и воздуха не учитывать.
179. С каким ускорением всплывает тело плотностью р в
жидкости с плотностью ро?

342 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
180. Кусок льда погрузился в воду на глубину 0,9 м. На ка-
какую высоту над поверхностью воды подпрыгнет кусок льда после
того, как всплывет? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.
181. Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за
верхний конец. Нижняя часть палочки погружена в воду, при-
причем равновесие достигается тогда, когда палочка расположе-
расположена наклонно к поверхности воды и в воде находится половина
палочки. Какова плотность материала, из которого сделана
палочка?
182. Деревянная палочка длиной 20 см закреплена шарнир-
шарнирно на одном конце, а свободный конец опущен в воду. Плотность
дерева 800 кг/м3. Какая часть длины палочки будет находиться
при равновесии в воде? Определите силу реакции в шарнире.
Площадь сечения палочки равна 0,5 см2.
183 . На стержне длиной / прикреплены на нитях два
разных по размеру шара ра-
радиусом R. Правый шар опус-
опустили в сосуд с жидкостью
плотностью р (рис. III.98).
Материал левого шара име-
имеет плотность р\, а правого —
92 (pi > 92)- Масса стержня
Рис III 98 равна т. Где нужно подпе-
подпереть стержень, чтобы он на-
находился в равновесии? Как изменится положение точки прило-
приложения равнодействующей, если жидкость постепенно выливать?
184. Определите минимальный объем шара, наполненного
водородом, который может поднять человека массой 70 кг на
высоту 100 м за 30 с. Масса оболочки и корзины 20 кг, плотнос-
плотности воздуха и водорода равны 1,3 и 0,1 кг/м3. Сопротивлением
воздуха пренебречь, подъем считать равноускоренным.
185. Воздушный шар объемом 600 м3 находится в равно-
равновесии. Какое количество балласта нужно выбросить за борт,
чтобы шар начал подниматься с ускорением 0,1 м/с2? Сопротив-
Сопротивлением воздуха пренебречь. Плотность воздуха 1,29 кг/м3.
186. Аэростат объемом 4000 м3 наполнен гелием. Вес конст-
конструкции, оборудования и экипажа равен 30 кН. Плотность воздуха
1,2 кг/м3, гелия — 0,18 кг/м3. Найти полезную грузоподъем-
грузоподъемность аэростата.

ОТВЕТЫ 343
187. Аэростат, наполненный водородом, поднимается с уров-
уровня земли с ускорением 1 м/с2. Вес аэростата с оборудованием,
экипажем и грузом равен 7 кН. Определите объем аэростата.
Плотность воздуха равна 1,29 кг/м3, водорода — 0,09 кг/м3.
188. Аэростат объемом 2500 м3 содержит перед подъемом
2000 м3 водорода. Масса всего оборудования с командой рав-
равна 2750 кг. Определите ускорение, с которым начнет подни-
подниматься аэростат.
189 . Два аэростата поднимают вверх одинаковые грузы.
Первый движется вверх с ускорением а = д/2, а второй — с
постоянной скоростью. Плотность газа в аэростатах одинакова
и равна половине плотности воздуха р. Объем первого аэрос-
аэростата V\. Чему равен объем второго аэростата? Сопротивлением
воздуха пренебречь.
Ответы
1. 15 Н; 15 Н; равнодействующая направлена в сторону
большей силы, а уравновешивающая сила — противоположна ей.
2. 500 Н.
3. ЮН; ЮН; а = arctgO,75 и 37°.
4. 100 Н; ^97Н; 92 Н; и 71 Н; и 38 Н.
5. 0. 6. ^25Н.
7. « 185 Н; противоположно F<i-
8. 200 Н; Зм. 9. ^58°.
10. 120°.
11. Кольцо будет находиться в равновесии — состоянии по-
покоя или равномерного прямолинейного движения.
12. 20 Н.
13. 6F; вдоль средней диагонали.
14. 1266 Н. 15. ^85 Н.
16. ^6Н; ^8Н. 17. 43,3 Н; 25 Н.
18. 2кН; 1,2 кН. 19. 127,3 Н; 127,3 Н.
20. 75 Н; 80 Н. 21. 170 Н.
22. 28,8 Н; 57,7 Н. 23. 200 Н.

344 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
24. 206 Н; под углом 29° к вертикали.
25. « 283 Н; под углом 45° (вниз) к горизонтальной силе.
26. 490 Н. 27. 455 Н; 525 Н.
28. a = arctg/x. 29. 17,5 кН; 18,8 кН.
30. ^32 Н. 31. 14 Н.
32. ^0,58. 33. 312 Н; 127 Н.
34. Опрокидывание произойдет при ц>\ > arctgO,5 « 27°,
а соскальзывание произойдет при у? 2 > arctgO,6 « 31°. Таким
образом, опрокидывание произойдет раньше.
35. h = 2rctga. 36. 1 кН.
38. Пластина находится в состоянии покоя.
39. -30 Нм. 40. -8 Нм.
41. 10,3 кН; « 66 см от передней оси.
42. ^9кН; ^27кН.
43. 15 Н; 9 см за большей силой.
44. 343 Н. 45. ^240 кг.
46. 27 Н; 32 Н. 47. 100 Н.
48. 3,1 м. 49. 4 кН; 5 кН.
50. 30 Н; 0,4 м от точки приложения большей силы.
51. 45 Н; на расстоянии 2,7 м от большей силы.
52. 45,5 Н; 32,5 Н.
53. На расстоянии 1 м от рабочего, которому тяжелее.
54. 50 Н; 60 см от большей силы.
55. 3000 Н; 1000 Н. 56. 4,5 м; 2,5 м.
57. 200 Н; на 18 см вправо от середины.
58. 90 кН; 60 кН. 59. 7 кН; 9 кН.
60. 1,75 см от середины стержня в сторону большего шара.
61. 10 см от центра большого шара.
62. @,537?) от центра цинкового шара.
63. « 1,8 см от середины стержня в свинцовой части.
64. « 8,5 см от границы раздела внутри железной части.
65. Внутри стержня на расстоянии 4,5 см от поверхности
шара.

ОТВЕТЫ 345
66. 37,5 см от конца с грузом в 1 кг.
67. 0,2 м от середины доски.
68. На 20 см к другому концу.
69. 120 кг.
70. ^25Н.
71. 1 кг.
72. а = arctg [A - //i//2)/B//2)] = arctg °?8 ~ 39°-
73. ^0,4м.
74. 0,96.
75. 296 Н; на конце диаметра, проведенного через точку
касания со ступенькой.
76. 0,29Я.
77. На расстоянии 0,27 см влево от центра большого квад-
квадрата.
78. 0,7 см от центра большого квадрата.
79. На 2,5 см влево от центра пластинки.
80. На расстоянии R/12 от центра диска.
81. На расстоянии ЗЯ/22 справа от центра диска.
82. На расстоянии х = 0,25тгб/ л/2/A6 - тг) « 0,086а от
центра квадрата влево.
83. На расстоянии 8//3 от тела массой т.
84. 4кПа; 2 кПа; 104,3 кПа; 31,4 Н; 314 Н.
85. 1887 кН. 86. 800 Па; 400 Па; 6 мм.
87. 40 м; 5,13-105Па. 88. 40 м.
89. 3 кПа; 300 Н; 102,8 кПа.
90. 20 м.
91. 15,092 кПа. 92. 2 кПа.
93. 2,52 106Па; 2,02 Ю5 Па; 6,3 106Н.
94. 15,4 Н. 95. 5 см.
96. Зр. 97. Зрда3.
98. 5 см. 99. h = 2a.
100. 1,05 105 Па. 101. 16 Н.

346 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
102. 0,04 Н. 103. 29 м; 90 кПа.
104. 3,5 Па; 17,5 Н.
105. 81,6 см; 16,3 кПа; 13,6 кПа.
106. 7,197 кПа. 107. 4,08 кПа.
108. 2рврртдН/(рв + ррт).
109. 1,52 м.
110. Понизится примерно на 11 см.
111. В 1,54 раза. 112. 24 кПа.
113. 0,272 м. 114. 45,3 см.
115. 0,18 м. 116. 33,5 см.
117. 0,58 м. 118. 0,7 м.
119. 2 см. 120. 0,15 м; 1,85 м.
121. 0,5 см. 122. 2,5 см.
123. 1 кН. 124. 400 Н.
125. 1,5 кН. 126. 200 кПа.
127. 50. 128. 225.
129. «150кН. 130. 72 кН.
131. 8 кН.
132. В 2 раза (или на 8 кН) выталкивающая сила, дейст-
действующая на гранитную глыбу, больше.
133. 200 см3. 134. 25 см3.
135. 1,5 кН. 136. В 1000 раз.
137. Увеличится на 23,5 кН или в 1,8 раза.
138. 7 103 кг/м3. 139. 20 кг.
140. 4,6 кг. 141. 1545 м3; 195 м3.
142. 1584,6 м3; 1426,14 т.
143. 1,96 Н. 144. 13 см3.
145. p=R3(p2-pi)/r3 + pi.
146. «0,57. 147. 0,19.
148. 24 см. 149. 7,25-103 кг/м3.
150. 0,45У; 0,55У. 151. 800 кг/м3.

ОТВЕТЫ 347
152. 1,25-103 кг/м3. 153. 2,5-103 кг/м3.
154. 530 кг/м3. 155. 73,5.
156. ?3 7,84 Дж. Примечание. При равномерном по-
погружении льдины равномерно возрастает выталкивающая сила
и, следовательно, должна возрастать величина внешней силы.
Поэтому при подсчете работы надо взять среднее значение
внешней силы.
157. 0,17 Дж. 158. 150 Дж.
159. 2850 Н. 160. 61,5 Н.
161. 1,8107Н. 162. ^6,2107Н.
163. 180 т. 164. 3000 т.
165. ^74 кг. 166. 42.
167. 2,7 кг.
168. 235 кг/м3; 5-Ю м3.
169. 4 см.
170. Уровень опустился на « 1,74 см.
171. «1,15-Ю3 кг/м3.
172. 700 кг/м3; 9000 кг/м3.
173. 700 кг/м3; 1,13-103 кг/м3; 5,2 Н.
174. 25%; 75%. 175. 9,8 мН.
176. 2450 кг/м3. 177. 6 см.
178. 9см. 179. а = д(ро-р)/р.
180. 10 см. 181. 750 кг/м3.
182. 0,55; 25 мН вертикально вверх.
183. Стержень надо подпереть влево от центра стержня на
расстоянии
х =
3m-47rR3(p-p1-p2)'
Если жидкость постепенно выливать, то точка опоры должна
смещаться вправо.
184. 77 м3. 185. 7,82 кг.
186. 10 кН. 187. 645 м3.
188. «1 м/с2. 189. Vo =

ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1. Плотности твердых веществ и жидкостей
Вещество
Алюминий
Гранит
Дерево
Железо
Железобетон
Лед
Латунь
Вода пресная
Вода морская
Бензин
Керосин
Плотность,
хЮ3 кг/м3
2,7
2,6
0,8
7,9
2,2
0,9
8,5
1,0
1,03
0,7
0,8
Вещество
Медь
Олово
Свинец
Серебро
Сталь
Стекло
Цинк
Нефть
Ртуть
Спирт
Масло
машинное
Плотность,
хЮ3 кг/м3
8,9
7,3
11,3
10,5
7,8
2,5
7,4
0,8
13,6
0,79
0,9
Таблица 2. Значения тригонометрических функций
Угол
0°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
sin
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
cos
tg
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
ctg
ctg
57,29
28,64
19,08
14,30
11,43
9,514
8,144
7,115
6,314
tg
cos
1,0000
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
sin
90°
89
88
87
86
85
84
83
82
81
Угол

ПРИЛОЖЕНИЕ
349
Таблица 2 (окончание)
Угол
10°
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
sin
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
cos
tg
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
ctg
ctg
5,671
5,145
4,705
4,331
4,011
3,732
3,487
3,271
3,076
2,904
2,747
2,605
2,475
2,356
2,246
2,145
2,050
1,963
1,881
1,804
1,732
1,664
1,600
1,540
1,483
1,428
1,376
1,327
1,280
1,235
1,192
1,150
1,111
1,072
1,036
1,0000
tg
cos
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
sin
80°
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
Угол

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Балаш В. А. Задачи по физике и методы их решения. — М.:
Просвещение, 1983.
2. Бендриков Г. А., Буховцев Б. Б., Керженцев В. А., Мяки-
шев Г. Я. Задачи по физике для поступающих в вузы. —
М.: Физматлит, 2000.
3. Гладкова Р. А., Добронравов В.Е., Жданов Л. С, Цоди-
ков Ф. С Сборник задач и вопросов по физике. — М.: Наука,
1988.
4. Гольдфарб П. И. Сборник вопросов и задач по физике. —
М.: Высшая школа, 1988.
5. Гурский И. П. Элементарная физика с примерами решения
задач. — М.: Наука, 1989.
6. Гутман В. И., Мещанский В. Н. Алгоритмы решения задач
по механике в средней школе. — М.: Просвещение, 1988.
7. Гуща A.M., Путан Л. А. Пособие по физике для подгото-
подготовительных отделений. — Минск: Вышейшая школа, 1984.
8. Дэюанколи Д. Физика. — М.: Мир, 1989.
9. Кашина С. П., Сезонов Ю. И. Сборник задач по физике. —
М.: Высшая школа, 1996.
10. Кемеровский Г. С, Галко СИ., Ткачев Л. И. Пособие по
физике для поступающих в вузы. — Минск: Изд-во БГУ,
1972.
11. Коган Л. М. Учись решать задачи по физике. — М.: Высшая
школа, 1998.
12. Мустафаев Р. А., Кривцов В. Г. Физика. — М.: Высшая
школа, 1989.
13. Мякишев Г. Я. Физика (механика). — М.: Дрофа, 2002.
14. Мясников СП., Осанова Т.Н. Пособие по физике. — М.:
Высшая школа, 1989.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 351
15. Рымкевич А. П., Рымкевич П. А. Сборник задач по физи-
физике. — М.: Просвещение, 1994.
16. Тарасов Л. В., Тарасова А.Н. Вопросы и задачи по физи-
физике. — М.: Высшая школа, 1990.
17. Тульчинский М.В. Качественные задачи по физике. — М.:
Просвещение, 1972.
18. Фурсов В. К. Задачи-вопросы по физике. — М.: Просвеще-
Просвещение, 1977.
19. Цедрик М.С., Китпунович Ф.Г., Микулин А. С, Качинс-
кий А. И. Пособие по физике для поступающих. — Минск:
Вышейшая школа, 1978.

Учебное издание
ТРУБЕЦКОВА Софья Васильевна
ФИЗИКА.
Вопросы — ответы.
Задачи — решения
Ч. 1, 2, 3. Механика
Редактор М. Б. Козинцова
Оригинал-макет Л. К. Попковой
Оформление переплета: А. Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 21.05.2003.
Формат 60 х 90/16. Бумага типографская. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 22. Заказ №
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»
140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403
ISBN 5-9221-0316-4
9785922 103169