Author: Кронин Дж. Гринберг Д. Телегди В.
Tags: физика математическая физика теоретическая физика издательство комкнига
ISBN: 5-484-00040-8
Year: 2005
Text
J. A. Cronin, D. F. Greenberg, V. L. Telegdi
GRADUATE PROBLEMS IN PHYSICS WITH SOLUTIONS
University of Chicago
Дж. Кронин
Д. Гринберг
В.Телегди
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Сборник задач
с решениями
Перевод с английского
кандидата физико-математических наук
Г.В.Даниляна
Под редакцией
доктора физико-математических наук
/7 Л Крулчицкого
Издание третье, стереотипное
МОСКВА
URSS
ББК 22.31я73
Кронин Джереми, Гринберг Дэвид, Телегди Валентин
Теоретическая физика. Сборник задач с решениями: Пер. с англ. / Под ред.
П. А. Крупчицкого. Изд. 3-е, стереотипное — М.: КомКнига, 2005. — 336 с.
ISBN 5-484-00040-8
В настоящем сборнике сформулированы задачи по всем разделам
классической и современной физики, а также по смежным дисциплинам (математической
физике и электронике), и даны решения поставленных задач. Исключение
составляют методические задания для экспериментаторов, на которые решения
не приводятся ввиду многообразия вариантов решений и их связи с развитием
экспериментальных методов физики. Сборник отражает двадцатилетний опыт
приема экзаменов на физическом факультете Чикагского университета.
Рекомендуется студентам старших курсов, аспирантам и преподавателям
физических факультетов вузов.
2-е издание выходило иод заглавием «Сборник задач но физике с решениями».
Издательство «КомКнига». II73I2, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Подписано к печати 12.05.2005 г. Формат 60x90/16. Печ. л. 21. Зак. Г* 77-
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД». 117312. г. Москва, пр-т 60-летня Октября, д. НА, стр. II.
ISBN 5-484-00040-8
© Г. В.Данилян, перевод
на русский язык, 1975, 2005
© КомКнига, 2005
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Е-тоаЯ: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
URSS Теп/факс: 7 (095) 135-42-46
2874 ID 27619
785484ll00040lH>
СОДЕРЖАНИЕ
6
Предисловие
ЗАДАЧИ
• . 7
1. Математическая физика
• •««•■ id
2. Механика
3. Электромагнетизм
4. Электроника
„ _ 36
5. Оптика
40
6. Квантовая механика
48
7. Термодинамика
8. Статистическая физика °4
9. Атомная физика "
10. Физика твердого тела "*
11. Ядерная физика 64
12. Экспериментальная физика 74
РЕШЕНИЯ
1. Математическая физика 85
2. Механика 112
3. Электромагнетизм 147
4. Электроника 182
5. Оптика 186
6. Квантовая механика 196
7. Термодинамика 231
8. Статистическая физика 252
9. Атомная физика ... ... 267
10. Физика твердого тела 284
П. Ядерная физика oofi
Приложение . ччд
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Начиная с 1947 г. аспиранты физического отделения
Чикагского университета, прежде чем приступить к
выполнению исследований на соискание ученой степени
доктора философии, должны сдать исчерпывающий экзамен по
основам классической и современной физики. Этот
экзамен, называвшийся сначала основным, а сейчас
официально именуемый кандидатским, сдается дважды в году.
Ежегодно назначается комиссия в составе четырех членов из
профессорско-преподавательского состава с целью
выработки нового теста.
Здесь мы приводим избранные задачи для этих
экзаменов, а также их решения. Мы надеемся, что сборник будет
полезен аспирантам для проверки своих знаний и для
более глубокого понимания предмета. Однако цель будет
достигнута только при правильном использовании
задачника. Беспорядочное чтение решений не принесет пользы;
лишь в случае безуспешности честных попыток решить ту
или иную задачу следует ознакомиться с решением.
Мы пытались сделать так, чтобы решение каждой
задачи было самосогласованным и последовательным,
кроме того, мы старались избегать воспроизведения
материала, который можно найти в обычных учебниках.
Трудно сказать, каков предполагаемый уровень знаний
читателя, однако мы рассчитывали в основном на уровень
знаний аспирантов второго года обучения Чикагского
университета.
Решения задач выполнены Дж. Крониным и Д.
Гринбергом. Проф. В. Телегди помог привести решения разд. 1
и 2 к окончательному виду. Он также ознакомился с разд. 6,
9 и 11. Все три автора извлекли большую пользу из бесед
со своими коллегами по Чикагскому университету. В
частности, они признательны доктору Краснеру за его большую
помощь. Они благодарны физическому отделению
Чикагского университета за поддержку и поощрение и
секретарям Института имени Энрико Ферми за помощь в
подготовке рукописи.
Чикаго, июнь 1967 г.
Дж. А. Кронин
Д. Ф. Гринберг
В. Л. Телегди
ЗАДАЧИ
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
I | Некая община регулирует рождаемость детей
следующим своеобразным способом: каждая пара родителей
продолжает рожать детей до тех пор, пока не родится сын.
Как только это случится, дальнейшее прибавление в семье
прекращается. Каково соотношение между мальчиками и
девочками в общине, если в обычных условиях, когда
рождаемость никак не регулируется, 51% родившихся детей —
мальчики?
1.2. Игральная кость представляет собой кубик, все
шесть граней которого окрашены в разные цвета.
а. Сколько существенно различающихся игральных
костей такого типа может быть изготовлено с использованием
шести определенных цветов?
б. Каково число вариантов изготовления пары
игральных костей?
1.3. Грани правильного восьмигранника должны быть
окрашены в различные цвета. Сколько различных
восьмигранников можно изготовить, имея краски восьми
различных цветов?
1.4._ Колода карт состоит из четырех мастей, по 13 карт
каждой масти. Какова вероятность, что при раздаче такой
колоды карт двум командам (каждая команда состоит из
двух партнеров) определенная пара партнеров получит
целиком одну масть?
веппя™НеКИЙ пооцесс обладает следующим свойством:
(/ / + мСТЬ Т°Г°' ЧТО пР°ИЗойДет событие в интервале
тие в ИНТе38"3 независимо от того, произошло ли собы-
finn«»P nw, Рвале (Oi 0. Предполагается, что вероятность
нТьн^ высшГ ^ЫТИЯ В интеРваЛе С < + *> пропорцио-
Л—0 onS п°Рядкам no h. Перейдя к пределу при
мен и / ппп1^Л-ИТЬ ^Роятиость того, что к моменту вре-
ния п и п* пп„ i61" " Со°ытий. Вычислить средние значе-
» и „ для функции распределения v да
7
1.6. Невооруженным глазом на небе наблюдается
6500 звезд. Иногда две звезды появляются очень близко
друг к другу, хотя тщательные исследования не
обнаруживают между ними физической связи. Принято такую пару
звезд называть оптической двойной звездой.
а. Предполагая, что звезды на небесной сфере
распределены случайным образом, вычислить ожидаемое число
оптических двойных звезд с расстоянием между
компонентами не более Г по дуге.
б- Определить вероятность наблюдения двух
оптических двойных звезд.
в. Грубо оценить вероятность наблюдения оптической
тройной звезды.
1.7. Найти: а) собственные значения и б) нормированные
собственные векторы матрицы
0 0
М = \ ° °
0 1
1 0
1.8. Пусть \t(i *= 1, 2, 3)— собственные значения
матрицы
/ 2 -1
//= _1 1
\ —3 2
Вычислить суммы 2^ и 2^'-
1.9. Вычислить T'=Sp(e,°a elob ), где компоненты а—
три стандартные матрицы Паули et для спина 1/2.
1.10. Пусть Т— симметрический тензор второго ранга
с компонентами Tik(i, k = 1, 2, 3).
а. Показать, что с тензором Т связаны три инварианта
(обозначим их /0, /х и /а) по отношению к преобразованиям
координат
х] =2 £/„*,.
/
б. Найти связь поверхности 1 = ^Tlhxtxh (д^
—декартовы координаты) с тензором Т. Воспользовавшись
свойствами этой поверхности, дать геометрическую
интерпретацию трем ранее найденным инвариантам.
1.11. Найти вычеты функций e°*/z6 и l/sin3z в точке
г=0.
8
1.12. Вычислить
+о>
для а>0.
п ах
—да
I 13. Вычислить +оо
—оо
1.14. Вычислить интегралы
00
С xdx I _ Г **<**
о °
1.15. Разложить функцию /(ж) = cos х8 в интеграл
Фурье.
1.16- Используя обратное преобразование Лапласа,
найти функцию /(/):
о
1.17. Вычислить \ ¥— для следующих случаев:
J о + cos у
о
а. а> 1.
б. а = а0 + U (где а0 и е — действительные, е > О
и 0<а0< 1 при е->-0.)
в. а = — 1.
1.18. Вычислить интегралы
+00 +00
/,= Г -* „ /3= Г _JE_.
J chx J ch»*
1.19. Вычислить интеграл
2п
••20. Гамма-функция определяется соотношением
со
Г(х)= J t^e-'dt. Rejc>0.
е
Показать, что для 0 •< х < 1
Г t*-* cos/ dt = Г(х) cos — , Г /*-' sin / dt = T(x)sin -^- .
1.21. Показать, что
со
С sh (ax) . 1 . а _ ^
I i—— dx= — tg — , — т: < а < тс.
о
интегрируя функцию ea*/sh(jt2) по подходящему контуру.
1.22. Интегрированием по контуру вычислить
о
хи dx
1 + **
о
Показать выбранный вами контур, все полюсы и разрезы
в комплексной плоскости.
1.23. Методами контурного интегрирования вычислить
ряд
(—1)" ^— 7г4
п' ~~ 720
Указание. Воспользоваться тем, что функция 1/sin (яг)
имеет полюсы на действительной оси в точках г = 0, ±1,
±2, ... В качестве контура интегрирования выбрать
контур, показанный на рис. 1.
Ч-4-+
-з -z
—*i ^
Рис. 1
1.24. Исследовать аналитическую функцию
/Чг)=р(г)1п|^1--^-(1-р(г))].
где р (г) = 1/(г — и)/а, z — действительное
положительное число. В качестве линии разреза для р(г) выбрать
действительную ось от — оо до 0 и от а до оо.
Щ
Исследовать свойства римановой поверхности функ-
ЦИ я Показать, что имеется один лист, где F(z) может быть
представлена в виде
F(z) =F{z0) + (z-z0) f W W ds>
a
и найти W(s).
1.25. Вычислить
dx
lim^n f —*
fl-»oo J (1 + ■
где л —целое положительное число.
со
1.26. Вычислить /(а, Ь) = Г (e^fl — е~**) —.
о
1.27. Найти сумму следующего бесконечного ряда:
S = 1 + 2х + Зх2 + 4х3 + ... для \х\ < 1.
1.28. Производящая функция F(x, t) полиномов Эрмита
Нп(х) имеет вид
F(x, 0 =е"-(/-'>* - V £iiUiL.
а. Выразить Нп(х) через контурный интеграл.
б. Доказать, что Нп(х) удовлетворяет
дифференциальному уравнению Эрмита
*н 2х-^-+2л// = 0.
dx* dx
в. Вывести рекуррентное соотношение
dHn (х)
dx
= 2пНп_1(х).
1.29. Производящая функция для полиномов Лежандра
*i W, где х = cos fl, имеет вид
^•""тат^г^"™. iri<i.
11
Доказать, что хР, (х) = /V-, (х) + lPt (х), где
р,{х)—— ■
1.30. Ряд Лорана для функции еМ2) u",/?) задан в ви-
+О0
де V ^n 2"> где ^n = Л» (l*)- Выразить функцию Бесселя
GO
/n(ji) через интеграл от тригонометрической функции с
пределами интегрирования от —я до я.
1.31. Функция <р(х, у) задана на плоскости 2 = 0.
Найти для z >0 решение ф(х, у, г) уравнения Лапласа,
которое на плоскости г = 0 сводится к функции ср(х, у).
1.32. Показать что
I
удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка и
мнимого аргумента, т. е. Ко(х) = Jo(ix). Показать, что
асимптотический предел Ко(х) для очень больших х равен
De~*lYx~. Определить значение постоянной D.
1.33. Вычислить интеграл JrdA по поверхности тора.
1.34. Вычислить объем V четырехмерной единичной
сферы
*! = г sin ф2 sin ф, cos ф;
хг = г sin ф2 sin ^ sin ф;
х3 = г sin ф2 cos фх;
хк = г cos фг-
1.35. Газообразный гелий без турбулентности протекает
со скоростью v по трубе (рис. 2). Конец трубы соединен с
атмосферой. На очень
малых расстояниях от
конца трубы гелий
быстро смешивается с воз-
Не * | | духом практически до
нулевой концентрации.
Составить и решить
дифференциальное
уравнение для концентрации
рис. 2 воздуха в трубе
(расстояние отсчитывать от
конца трубы). Считать, что: 1) имеется равновесие, 2)
температуры гелия и воздуха одинаковы; 3) трением о стенки
12
х<0 х=0 х>0
концевыми эффектами можно пренебречь и 4)
коэффициенты диффузии 02 и N2 в Не одинаковы и равны D.
1 36. Уравнение, описывающее плотность нейтронов в
ядерном реакторе, имеет вид
V2n + К2п = 0.
а. Найти радиус сферического реактора для заданного
значения коэффициента К при следующих граничных
условиях: плотность нейтронов вне реактора равна нулю,
внутри реактора она везде конечна и положительна.
б. Теперь предположим, что реактор окружен тонким
слоем вещества толщиной / и что плотность нейтронов в
этом слое вещества описывается уравнением
у2п — р.2л = 0.
Предположим далее, что на границе раздела плотность
нейтронов п и grad n непрерывны. Сохраняя условие, что
вне реактора, окруженного тонким слоем вещества,
плотность нейтронов равна нулю, найти для фиксированных
значений К, ц и / выражение для радиуса внутренней
области реактора. Предполагая /(<^ц, вывести приближен*
ное выражение для разности радиусов реактора при
наличии поверхностного слоя вещества и без него.
1.37. Точечный источник нейтронов, расположенный
на оси длинной графитовой колонны квадратного сечения
со стороной 150 см, излучает 10е нейтронов в секунду.
Вычислить поток нейтронов в точке на оси, удаленной от
источника на расстояние 1 м, если коэффициент диффузии
нейтронов D = Хи/3, где v — скорость нейтронов, \ =
~ 2£ см —средняя длина свободного пробега рассеяния
нейтронов в графите. Эффектами замедления и захвата
нейтронов можно пренебречь.
*- МЕХАНИКА
*-1- Вывести закон Стокса с помощью теории размер-
wn-ea в предположении, что сила не зависит от плотности
ве ДК>СТИ" ^та пРоиз°йдет, если это предположение не-
глуб ^азоВыи пузырь, образовавшийся в результате
Т ^ИНаН{бГо п°Дводного взрыва, осциллирует с периодом
воды Р вС' где Р — статическое давление, d — плотность
' е полная энергия взрыва. Найти а, Ъ и с.
13
2.3. Спутник выведен на круговую околоземную орбиту.
Сила трения, действующая на спутник в верхних слоях
атмосферы, равна Fv = Axf- , где v—скорость спутника.
Замечено, что скорость изменения радиального
расстояния г {drldt =— С, где С — положительная величина),
обусловленная воздействием этой силы, достаточно мала,
так что потеря энергии на один оборот мала по сравнению
с полной кинетической энергией спутника Е. Найти
выражения для А и а.
2.4. Материальная точка массой т, на которую не
воздействуют внешние силы, невесомой нитью прикреплена
к цилиндру радиусом R. Первоначально нить была
намотана на цилиндр, так что материальная точка касалась
цилиндра. В какой-то момент времени к массе т приложен
импульс силы в радиальном направлении так, что нить
начала разматываться (рис. 3). Найти:
а) уравнение движения материальной точки в наиболее
удобных обобщенных координатах,
б) общее решение, удовлетворяющее начальному
условию,
в) момент количества движения материальной точки
относительно оси цилиндра, воспользовавшись
результатом, полученным в п. б.
Рис. 3 Рис. 4
2.5. Разбрызгиватель для поливки газона имеет
сферическую насадку (а0= 45°) с большим числом одинаковых
отверстий (рис. 4), через которые вытекает вода со
скоростью i>o- Очевидно, что газон будет поливаться
неравномерно, если отверстия на насадке распределены
равномерно. Какова должна быть зависимость числа отверстий на
единицу площади р от угла а, чтобы круговой газон
поливался равномерно? Предполагается, что радиус разбрызги-
14
ей насадки значительно меньше размеров газона и
8аЮ1насадка расположена на одном уровне с газоном.
ЧТ°2 6 Вывести дифференциальное уравнение удерживаю-
" поверхности, на которой материальная точка
осциллирует с периодом, не зависящим от амплитуды.
2 7 Три частицы (массами ти т2, щ) расположены в
'инах равностороннего треугольника и
взаимодействуют друг с другом по закону Ньютона. Найти
вращательное движение системы, оставляющее относительное
расположение частиц неизменным.
2.8. Частица массой т движется по круговой орбите
падиусом /"о в поле центральных сил, потенциал которого
равен kmlrn. Показать, что если п < 2, то круговая
орбита устойчива по отношению к малым колебаниям (т. е.
частица осциллирует около круговой орбиты).
2.9. Две частицы движутся друг относительно друга
по круговым орбитам с периодом т под влиянием
гравитационных сил. В заданный момент времени движение
внезапно прекращается и частицы начинают падать друг на
друга. Доказать, что они столкнутся спустя время х/А\^2
после момента остановки.
2.10. Если гз и рз—соответственно радиус и плотность
Земли, то радиус и плотность Луны равны соответственно
0,275гз и 0,604 р3. Человек, стоящий на Земле, сгибая
колени, опускает свой центр тяжести на 50 см. Собрав все
силы, он подпрыгивает, поднимая центр тяжести на 60 см
выше нормального положения. Как высоко он может
подпрыгнуть таким способом на Луне?
А =%
Рис. 5
*-П. Однородный тонкий негнущийся стержень весом W
оддерживается в горизонтальном положении двумя
ментИКаЛЬНЫМИ 0П0Рами У концов стержня (рис. 5). В мо-
котопВ')еМе"И ' = ® одна из опор сбивается. Найти силу,
моме де^ствУет на вторую опору сразу же после этого
2 12 Т
лельны одинаковых цилиндра, оси которых парал-
Чилинлоа°ПРИКаСаЮТСЯ друг с ДРУГ0М по образующим. Два
же цилин И3 Трех Лежат на шероховатой плоскости, третий
•индр покоится на этих двух (рис. 6). Найти мини-
15
мальный угол между направлением силы, действующей со
стороны плоскости на цилиндры, и вертикалью, при
котором цилиндры еще не разойдутся.
2.13. Катушка покоится на горизонтальной
поверхности (рис. 7). Небольшая горизонтальная тяга действует
на нитку так, что катушка катится без скольжения. В
каком направлении она катится и почему?
Рис. 6 Рис. 7
2.14. Горизонтально расположенный круглый диск
массой М может вращаться вокруг вертикальной оси,
проходящей через точку на его ободе. Показать, что если собака
массой т совершит один оборот по ободу, то диск
повернется вокруг оси на угол
!4m cos- ^df
3M/2-f-4mcos*7
О
2.15. Слой пыли толщиной h см (h мало по сравнению с
радиусом Земли) образован изотропным падением на
Землю метеоров. Используя момент количества движения,
показать, что относительное изменение продолжительности
дня приблизительно равно bhdIRD, где R — радиус Земли,
D и d — плотность Земли и пыли соответственно. Пусть
начальные значения величин имеют индексы 0, а конечные
значения — индекс 1. Момент инерция сферы
относительно оси, проходящей через центр, равен 2MR2/b, а момент
инерции тонкостенной полой сферы массой т и радиусом R
равен 2/л#2/3.
2.16. Простой гирокомпас представляет собой гироскоп,
вращающийся вокруг оси с угловой скоростью ш • Пусть
момент инерции гироскопа относительно этой оси равен С,
а относительно поперечной оси — А. Подвешенный
гироскоп плавает в ртути, так что лишь воздействие крутя-
16
j
шеГо момента удерживает его ось в горизонтальной плос-
SSth. Показать, что если такой гироскоп поместить на
Stop Земли, вращающейся с угловой ск0ростью S"Jo e™
S будет осциллировать в направление __'™ его
£йти период колебаний для малых амвдИтуд. Напомним"
ЧТо в данном случае приближение ш »Q является хо:
рошим.
2.17. Поверхность сферы медленно колеблется таким
образом, что главные моменты инерции являются
гармоническими функциями времени.
2тгъ ...
/« ^—Г-^1 +6cos(«0,
где е < I. Одновременно эта сфера вращается vrjInRn«
скоростью fi(0. Показать, что Qz осгает^™^3^^
но постоянной, a Q(/) прецессирует вокРуг 0£и г с ^^_
той прецессии шя =-^Н*-cos и/ при условИи X2Z>W.
2.18. Три жесткие сферы соединены «,„_,,..,,„ „ л
«w. ,р„с. 8). ^отношение «^™ м™6^
т1: т2: т3 = 1 : 2 : 1.
Описать нормальные моды колебаний систо».1л „ „™
частоты этих колебаний. стемы и определить
Рис. 8
полп'рп^..Твердый однородный брусок маета м „ „„ ,. г
noS ИВается в состоянии равновесия r M И ДЛИН0Й L
положении двумя невесомыми пружинами гоРИЗоНтальном
ми к концам брускя fn«r q\ n£i ™ и« прикрепленны-
S:*cyfc™62?—ад.- и
тикаль"?"0^ л"шь в направлении ПЯпЦеНТРа ТЯЖеСТИ
ик^ь„ои оси х. Найти нормальные модь,^?™"™ ВеР'
^ы и частоты коле-
17
баний системы для случая, когда движение возможно лишь
в плоскости xz.
х
Рис. 9
2.20. Частица массой М подвешена на одном конце
струны, масса которой равна т, а длина L. Другой конец
струны закреплен. Частица с помощью небольшого
горизонтального смещения б выведена из состояния покоя.
Составить дифференциальные уравнения и сформулировать
граничные условия для движения струны и частицы.
Составить трансцендентное уравнение для определения
собственных частот и решить это уравнение для случая
т <£ М.
2.21. Сформулировать вариационный принцип для
частоты и колебаний мембраны с поверхностным
натяжением Г и поверхностной плотностью массы а, края которой
закреплены, т. е., другими словами, найти интеграл по
поверхности мембраны, экстремальное значение которого
равно частоте колебаний мембраны.
2.22. Если часы поднять на большую высоту, будут ли
они спешить или отставать?
2.23. Тело массой т прикреплено к невесомой струне,
длина которой L, поперечное сечение S и прочность на
разрыв Т. Тело, удерживаемое вблизи точки закрепления
второго конца струны, внезапно освобождается и падает
вниз. Каково должно быть максимальное значение модуля
Юнга Е для струны, чтобы она при таком падении тела
не разорвалась?
2.24. Поезд массой М, движущийся со скоростью v,
тормозится буфером, представляющим собой спиральную
пружину, которая имеет длину (в отсутствие сжатия) /0
и коэффициент упругости k0. Последний остается
постоянным вплоть до полного сжатия пружины. Однако при пол-
18
атии О <£ 'о) коэффициент упругости скачком воз-
ноМ °т становясь много больше k0. Допуская свободный
растае 'значения k0, найти минимальное значение /0 при
выбор что максимальное торможение по своей абсолют-
У55й°величине не должно превышать ошкс.
2 25. а- Цилиндр радиусом R, длиной h и плотностью р
лавает в вертикальном положении в жидкости плотностью
о0 Какова будет частота ш
(незатухающих)
гармонических колебаний цилиндра, если
последнему сообщить
направленное вниз смещение с
амплитудой х?
б. Показать, что в случае
малых колебаний движение
жидкости вблизи
осциллирующего цилиндра
распространяется наобласть размером
8 ~ V^VtPo*") • считая от края
цилиндра. Максимальный
градиент скорости жидкости
вблизи цилиндра равен
— « -^- . Пренебрегая
трением у основания цилиндра,
показать, что максимальная
величина тормозящей силы
вязкости жидкости,
действующей на цилиндр,
приблизительно равна
2.26. Жидкостная пленка
с поверхностным натяжением
унатянута между двумя круглыми рамками радиусом а.
папишите уравнение для профиля пленки г{г). При какой
величине отношения d/a показанная на рис 10
конфигурация стабильна?
ным Прямая вертикальная опора длиной / и попереч-
каза сечением а X а жестко закреплена в основании. По-
живяГЬ' ЧТ° Максимальный вес W, который она может удер-
жени1Ь 1^,веРХнем торце, не изгибаясь, определяется выра-
риала *"пВа4£/48'2- Здесь Е — модуль Юнга для мате-
• из которого изготовлена опора.
Рис. 10
19
2.28. Прямоугольная балка с поперечным сечением a xa
и длиной L одним концом прикреплена к кирпичной стене.
Вычислите прогиб свободного конца балки под действием
собственного веса. Плотность материала, из которого
изготовлена балка, равна р, а модуль Юнга Е. Прогиб
предполагается малым.
2.29. Однородная тонкая труба, вертикально стоящая
на Земле, падает, вращаясь относительно точки опоры.
Показать, что сечение трубы в любой ее точке подвержено
изгибающему усилию, и вычислить наиболее вероятную
точку излома трубы при ее падении.
2.30. Открытая поверхность жидкости находится под
постоянным давлением. Показать, что если несжимаемую
жидкость налить в цилиндрический сосуд и затем сосуд с
жидкостью вращать с постоянной угловой скоростью со,
то поверхность жидкости примет форму параболоида
вращения.
2.31. Ангар полуцилиндрической формы (рис. 11)
длиной L = 70 м и радиусом R = 10 м подвергается действию
ветра, скорость которого на бесконечности vm= 72 км/ч
строго перпендикулярна к оси ангара. Какая сила
действует на ангар, если дверь, расположенная на участке
А, открыта? Поле скоростей задано потенциалом
Ф = — o(r + -j-) cos 6.
Плотность воздуха равна 1,2 кг/м*.
Рис. 11
2.32. Температура воздуха над горизонтальной
границей раздела равна 280° К. Внизу воздух имеет Т = 300° К-
Предположим, что появление синусоидальных волн на
границе раздела обусловлено гравитационными волнами
длиной волны X и малой амплитуды. Найти фазовую
скорость этих волн как функцию длины волны X, считая, что
граница раздела расположена достаточно далеко от других
20
лдаых границ раздела. Предполагается, что воздух
несжима • ^ взаиМНО перпендикулярные полубесконечные
ы ОА и ОВ (рис. 12), пересекающиеся в начале коорди-
016110 преграждают путь двухмерному гидродинамическому
НЗТ ку несжимаемой жидкости плотностью р от точечного
"°™чника интенсивностью К, расположенного в точке с
координатами (а, Ь). Рассчитать давление на стены.
А
I
I
I
i
■*-5
Рис. 12
2.34. Обозначим массы Солнца и Луны соответственно
Мит; расстояния между Солнцем и Землей, между Луной
и Землей — соответственно R и г. Каково отношение
амплитуд приливных волн, индуцированных Солнцем и
Луной, на экваторе?
2.35. Найти основной период колебаний
изолированного несжимаемого водяного шара (радиус шара равен
6300 км), колеблющегося под действием собственного
гравитационного притяжения. Предполагать, что поток
скоростей безвихревой.
2.36. Системы координат St и Ss движутся в
направлении оси х соответственно со скоростями vt и t»a
относительно системы координат S. Измеренный в системе
координат S интервал времени, за которое стрелка часов в
системе координат Sx сделает один оборот, равен t. Каков этот
„,£, 1еН1еРвал вРемени t2, измеренный в системе
координат оа?
ракет г межзвезДн°е пространство стартует с Земли
кеты Устя КоР°ткое время после старта ускорение ра-
Ракетя13^6""06 пассажиРами! оказывается постоянным,
ванном направлена на звезду, находящуюся на фиксиро-
Сколько'5аССТОЯНИИ ОТ ^емли» и Движется прямолинейно.
■^ чтоб ВРемени по часам пассажиров понадобится раке-
иоы достигнуть звезды? Обозначить D — фиксиро-
21
ванное расстояние от Земли до звезды, а а'— постоянное
ускорение в системе отсчета, связанной с ракетой.
2.38. Частица массой покоя т движется вдоль оси х
инерциальной системы отсчета и притягивается к началу
координат О с силой (производная от импульса по времени)
/и<о2х. Частица начинает осциллировать с амплитудой а.
Выразить период этого релятивистского осциллятора через
определенный интеграл и вычислить приближенное
значение этого интеграла.
2.39. Антипротоны после остановки поглощаются
дейтерием по реакции р + D-> n + я0 (мы здесь пренебрегаем
другими возможными реакциями). Определить полную
энергию п°-мезонов. Массы покоя: Mjr= М = 938,2 Мэв,
MD°= 1875,5 Мэв, М„= 939,5 Мэв, М„. = 135,0 Мэв.
2.40. Рассмотреть процесс образования электрон-по-
зитронной пары.
а. Определить скорость системы, в которой пара имеет
нулевой импульс (система центра масс).
б. Вывести выражение для энергии частицы в этой
системе отсчета.
в. Вывести выражение для величины относительной
скорости частиц, т. е. для скорости одной частицы,
измеряемой в системе отсчета, связанной с другой частицей
пары.
2.41. Быстрый (ультрарелятивистский) электрон входит
в конденсатор под углом а (рис. 13).
Г
а
L
Рис. 13
Вывести уравнение траектории электрона, если
приложенная к пластинам разность потенциалов равна V, а
расстояние между пластинами й.
2.42. Нейтральный п -мезон (масса покоя М)
распадается на два r-кванта. Угловое распределение т-квантсв
изотропно в системе покоя л°-мезона. В лабораторной
системе координат я°-мезон имеет скорость v, направленную
по оси 2. Какова вероятность P(6)dQ вылета фотона в те-
22
сныи уГ0Л dQ под углом б при распаде мезона на лету?
Здесь б — угол в лабораторной системе координат между
направлением вылета г-кванта и осью г. Скорость мезона v
может быть сравнима со скоростью света.
2.43. а. Какова должна быть минимальная энергия нейт-
понов, рожденных во взаимодействиях космических лучей
на расстоянии одного светового года от Земли, если они
достигают последней с вероятностью не менее 1/е?
б. Если эти нейтроны распадаются на лету, то каков
максимальный угол между направлением вылета электрона
распада и первоначальным направлением полета нейтрона?
в. Каков максимальный угол вылета нейтрино распада?
г. Какова максимальная энергия нейтрино,
вылетевшего под максимально возможным углом?
2.44. Прецессия перигелия траектории планет была
предсказана общей теорией относительности. Однако даже
специальная теория относительности предсказывает такой
эффект вследствие зависимости инерциальной массы от
скорости. Вывести формулу специальной теории
относительности, описывающую прецессию перигелия для планеты с
заданным моментом количества движения L, массой
покоя m и энергией Е. Планета движется в гравитационном
поле Солнца.
Указание. Использовать полярные координаты и = Mr
и б и составить дифференциальное уравнение, в которое
время не входило бы явно.
2.45. Баллон с гелием свободно плавает в замкнутом
сосуде, наполненном воздухом при нормальных давлении
и температуре. Сосуд, в свою очередь, находится в
межзвездном пространстве и движется в заданном направлении
с ускорением, равным по величине гравитационному
ускорению на поверхности Земли. В каком направлении
движется баллон с гелием относительно вектора ускорения?
г. электромагнетизм
3.1. Ребра куба представляют собой одинаковые
сопротивления R, соединенные друг с другом в вершинах. Два
Ротивоположных угла одной грани куба присоединены
батарее. Каково эффективное сопротивление такой
беек ^ электрическую цепь, представляющую собой
ячей°Н*ЧНо протяженную плоскую сетку с прямоугольной
икой (рис. 14), через точку А подводится, а через точку С
23
снимается ток I. Найти силу тока, протекающего по
проводу АС.
с
* '
Рис. J 4 Рис. 15
3.3 Имеются два одинаковых стальных бруска, один
из которых намагничен, а другой нет. Каким образом можно
определить, какой из брусков намагничен, не используя
внешнее магнитное поле? (Имеется возможность измерять
силы.)
3.4. Проводник заряжается электрическим зарядом при
многократном соприкосновении с металлической пластиной,
которая после каждого соприкосновения дозаряжается
до величины заряда Q. До какой конечной величины
зарядится проводник, если после первого соприкосновения его
заряд оказался равен q?
3.5. Переменный конденсатор присоединен к батарее с
з.д.с, равной Е (рис. 15). С0 и q0— начальные емкость и
заряд конденсатора. В дальнейшем емкость конденсатора
изменяется во времени так, что ток в цепи / остается
постоянным. Вычислить мощность, потребляемую от батареи,
и сравнить ее со скоростью изменения во времени энергии,
запасенной в конденсаторе. Если сравниваемые величины
различаются, объяснить — почему.
3.6. После погружения конденсатора в среду с
проводимостью g сопротивление между его зажимами оказалось
равным R. Показать, что независимо от формы его пластин
имеет место соотношение RC = efg, где е —
диэлектрическая постоянная среды, а С —емкость конденсатора в
среде.
,£ и
24
Рис. 16
ч 7 В цилиндре радиусом Ь просверлено отверстие
м а(а<.Ь). Ось отверстия параллельна оси ци-
радиусо ^ сТоЯНие между осями равно d (рис. 16). По
линдр 11 |g4eT ток /. Какова напряженность магнитного
SS на оси отверстия?
3.8. Проводник
имеет форму
бесконечной проводящей
плоскости с
полусферическим выступом
радиусом а. Над
центром выступа на
расстоянии р от
плоскости расположен заряд
д. Вычислить силу,
действующую на
заряд.
3.9. Имеется
толстостенный
полусферический колпак,
внутренний и внешний
радиусы которого
равны соответственно а
и b (рнс. 17). Колпак
однородно
намагничен вдоль оси
симметрии (ось г на
рисунке). Показать, что
помещенная в начало _t_^_X ) l__.«__r
координат небольшая ~" ~——
стрелка компаса
будет свободно
вращаться.
3.10. Тонкий
однородный
металлически Диск лежит на
бесконечной
проводящей плоскости.
Однородное гравитаци-
XoV™6 Направ-
koj, еРПенДикулярно к плоскости. Вначале диск и плос-
Каков Н6 заРЯЖены> к ним медленно подводится заряд,
полноЭ Аолжна быть плотность заряда, чтобы диск
прибился над плоскостью?
Рис. 17
25
3.11. Вычислить емкость С сферического конденсатора,
внутренний и внешний радиусы которого равны
соответственно /?i и /?2. Конденсатор наполнен диэлектриком с
диэлектрической проницаемостью
е = е0 + в± cos2 6,
где 6 — полярный угол.
3.12. Длинный прямой провод, по которому течет ток /1г
расположен на расстоянии а над полубесконечной
магнитной средой с магнитной проницаемостью ц. Вычислить силу,
действующую на единицу длины провода, и определить
направление этой силы.
3.13. Коэффициент самоиндукции круговой петли из
тонкой проволоки (столь тонкой, что потоком через
проволоку можно пренебречь) измеряется в следующих случаях:
а) плоскость петли совпадает с плоскостью ху, которая
представляет собой раздел сред с магнитной
проницаемостью и = 2(г < 0) и |л =1 (вакуум, г > 0);
б) петля находится в среде сц = 1.
Каково отношение коэффициентов самоиндукции L в
этих двух случаях?
3.14. Внутри металла с проводимостью о0 имеется
небольшое включение с проводимостью ах (рис. 18). Это
включение возмущает электрическое поле, которое в отсутствие
включения было бы постоянным. Найти зависимость
возмущения от расстояния до включения. (Решить задачу
только для случая установившегося состояния.)
3.15. Длинный проводник, имеющий форму полого
цилиндра радиусом а, разрезан по образующим на две поло-
26
разделенные небольшим расстоянием. К
поломкам приложены потенциалы Vx и V2. Показать, что
В тенииал в любой точке внутри цилиндра определяется
выражением
Уг-У
п=1
igswr-**-™
е г _ расстояние от точки до оси цилиндра (см. рис. 19).
3.16. Найти, каким образом убывает во времени
начальная плотность заряда в любой точке внутри
проводника. Оценить время, в течение которого первоначальный
заряд внутри медного проводника исчезает (удельное
электрическое сопротивление меди равно 1,7-10"* ом-см).
Если проводник совершенно изолирован, то как
распределяется заряд?
3.17. Небольшая сфера радиусом а и поляризуемостью а
расположена на очень большом расстоянии от сферы
радиусом Ь, изготовленной из проводящего материала, которая
поддерживается при потенциале V. Найдите приближенное
выражение для силы, действующей на сферу из
диэлектрика, справедливое при условии а <Сл, где г —расстояние
между сферами.
3.18. Вывести соотношение Клаузиуса—Моссотти,
связывающее диэлектрическую постоянную е с
поляризуемостью среды а.
3.19. В простой кубической решетке постоянная
решетки равна 2А, а показатель преломления (скажем, для длины
волны излучения натрия) равен п = 2,07. Предположим,
что среда подвергается такому давлению, что происходит
двухпроцентное удлинение вдоль одного из ребер куба и
однопроцентное сокращение вдоль двух других ребер.
Вычислить показатель преломления деформированной
решетки для случаев, когда электрический вектор Е
направлен а) параллельно и б) перпендикулярно к главной
°си деформации. Считать атомную поляризуемость а
постоянной скалярной величиной.
?заАШе* Локальное поле, действующее на атом в опи-
вим"0" сРеде' МОЖНо найти следующим образом.
Предстаем себе сферическую полость, окружающую атом и шесть
непД,1НХ ат°мов. Вне этой полости среду можно считать
л РеРь,вной и изотропной. Локальное поле в центре по-
^и может быть выражено в виде
27
ел=е + е' + 2е;,
где Е —приложенное поле, Е' и Е/' —поля, вызванные
соответственно поляризованным континуумом вне
сферической полости и диполем, индуцированным в /-м атоме
б
внутри полости. В анизотропной среде VE/ не обращается
/=i
в нуль. Более того, эта величина зависит от направления
приложенного поля Е.
3.20. Каков критический угол полного отражения для
коротковолнового рентгеновского излучения с длиной
волны Я., падающего на металлическую пластину, в которой
все N электронов в единице объема являются «свободными».
3.21. Ионосферу можно рассматривать как
ионизованную среду, содержащую N свободных электронов в
единице объема. Показать, что если линейно поляризованная
волна распространяется в ионосфере в направлении,
параллельном направлению слабого однородного магнитного
поля Земли Н, то плоскость поляризации волны будет
поворачиваться на угол, пропорциональный пройденному
волной расстоянию. Вычислить коэффициент
пропорциональности.
3.22. Показать, что электромагнитные волны могут
распространяться внутри полой металлической трубы
прямоугольного поперечного сечения, стенки которой
полностью проводящие. Каковы групповая и фазовая скорости
распространения? Показать, что имеется граничная
частота н что электромагнитные волны с частотой меньше
граничной не могут распространяться по такому волноводу.
3.23. Предположим, что внутри сверхпроводника
вместо закона Ома (J = оЕ) справедливы уравнения Лондона
для плотности тока J:
с rot (X J) = - В, — (К J) = Е
(в гауссовой системе), К мы считаем константой. В остальном
уравнения Максвелла (с в = 1, ц = 1) и соответствующие
граничные условия остаются неизменными. Рассмотрим
бесконечную сверхпроводящую пластину толщиной 2d
(—d ^ г -^ d), вне которой имеется постоянное магнитное
поле, параллельное плоскости:
Нх = Нг — 0, Ну — Н0
28
/ знаковые как для г >d, так и для г < —d), и Е = D -
о езде Вычислить Н и J внутри пластины, если поверх-
^этных токов и зарядов нет.
ч 24 Поляризованный свет распространяется вдоль оси
стеклянного цилиндра длиной L, который^ вращается во-
vr-своей оси с угловой скоростью 2. Найти угол, на
копий повернется плоскость поляризации на выходе нз
тЗлиндра. (Предполагается, что показатель преломления
постоянный, а магнитная проницаемость равна единице.)
Рис. 20
3.25. Щелевая линза (рис. 20) имеет отверстие, длина
которого значительно превышает его ширину у0. Слева от
линзы электрическое поле равно £ц справа Е2. Пучок
заряженных частиц, сфокусированный на расстоянии xt
от щели слева, за щелью вновь фокусируется на
расстоянии х2 справа от нее. До щели частицы ускоряются
разностью потенциалов V0. Показать, что
V0S>ElXl и V0>£2*2,
хх и х2»#0.
3.26. Ион движется по спиральной траектории вокруг
оси Длинного соленоида, намотанного так, что величина
29
поля на траектории иона постепенно возрастает от значения
Вх до значения Вг. При каких условиях ион будет
отражен?
3.27. На рис. 21. показано сечение цилиндрического
анода (радиусом Ь) и цилиндрического катода (радиусом а)
магнетрона. Катод заземлен, а потенциал анода равен V.
Однородное магнитное поле Н направлено вдоль оси
цилиндра. Электроны испускаются катодом с нулевой
начальной скоростью и под действием приложенных полей
движутся в направлении анода по некоторым
криволинейным траекториям. Определить величину потенциала V,
ниже которого ток будет подавляться магнитным полем Н.
Рис. 21 Рис. 22
3.28. Магнитная квадрупольная линза, сечение которой
показано на рис. 22, обладает свойством фокусировать
пучок заряженных частиц, движущихся почти параллельно
оси z. Фокусировка происходит или в плоскости х = О
или в плоскости у = 0 в зависимости от знака заряженных
частиц. Определить простейшее распределение магнитных
«полюсов», которые аналогичным образом фокусируют
нейтральные частицы с магнитным моментом ц, поляризованные
параллельно (или антипараллельно) оси х.
3.29. Хорошо сколлимироваиный пучок протонов имеет
форму цилиндра радиусом R. Скорость протонов в пучке
равна v, а их число в единице объема р. Найти силы,
действующие на протон на расстоянии г от оси пучка.
Качественно исследовать стабильность пучка.
30
3 30- Вывести нерелятивистское уравнение движения
ктически заряженной частицы около фиксированного
ЭЛгнитного монополя с силой Г. Найти интегралы движе-
НИ 3.31- Стандартным методом калибровки орбит заряжен-
ых частиц с импульсом р в статических магнитных полях
является метод эмпирического определения конфигурации
полях достаточно гибкой проволоки, по которой течет
ток / при натяжении Т. Дать физическое обоснование
этого метода.
Указание. Вывести общие дифференциальные уравнения
для орбиты частицы d?r/ds* и для равновесного положения
токонесущей проволоки.
3.32. Атом со сферически симметричным
распределением заряда находится во внешнем магнитном поле Н.
Показать, что поле на ядре, обусловленное диамагнитным
током, равно ДН = —(еН/3/нс2)<р(0), где <р(0)
—электростатический потенциал, создаваемый на ядре атомными
электронами. Грубо оценить величину ДЯ/Я для атома с
Z=50.
3.33. Заряд, распределенный в ограниченном
пространстве сферически симметрично, пульсирует в радиальном
направлении с некоторой частотой <•>. Как можно
зарегистрировать эти радиальные пульсации? Пояснить ответ.
3.34 Маховик радиусом R, на ободе которого
равномерно распределен заряд Q, вращается с угловой скоростью <•>.
Какова интенсивность излучения энергии?
3.35. Покажите, что, согласно классической теории
излучения, при столкновении нерелятивистских
бесспиновых тождественных частиц невозможно электрическое
или магнитное дипольное излучение.
3.36. Линейно поляризованная плоская волна
электромагнитного излучения падает на атом с поляризуемостью а.
Определить в рамках классической электромагнитной
теории электрическое поле рассеянной волны на большом
расстоянии и полное сечение рассеяния.
3.37. Тонкое медное кольцо вращается вокруг оси,
перпендикулярной к однородному магнитному полю Н0
фис. 23). Начальная скорость вращения равна ш0. Вычис-
ить время, за которое частота вращения уменьшится в
раз, считая, что энергия расходуется на джоулено тепло
^проводимость меди равна о = 5-10" СГСЭ, плотность
р ** 8.9 г/см\ Я0= 200 гс).
31
^-d±±>
Ось Вращения
Рис. 23
3.38. Частица массой т и зарядом е подвешена на нити
длиной L. На расстоянии d под точкой подвеса находится
бесконечный плоский проводник. Вычислить частоту
колебаний маятника при условии, что амплитуда их достаточно
мала, так что применим закон Гука, и потери энергии в
единицу времени на излучение материальной точкой,
колеблющейся с малой амплитудой а.
3.39. Семь антенн, излучающих как электрические
диполи, поляризованные по направлению оси г,
расположены на оси х в точках х — О, ±Л/2, ±Х, ±ЗХ/2. Все
антенны излучают волны с длиной X и возбуждаются в фазе.
а. Вычислить угловое распределение излучаемой
мощности как функцию полярного 6 и азимутального q> углов
(пренебрегая постоянными множителями).
б. Начертить примерный график зависимости
излучаемой мощности от угла ф в плоскости ху.
в. Определить направление, в котором интенсивность
излучения максимальна 1) для данной конфигурации
антенн и 2) для одной единственной антенны. Каково
отношение этих интенсивностей?
3.40. Показать, что потеря энергии на излучение за
один оборот частицы с единичным зарядом пропорциональна
L_ P3 _^_
(1 _ р*)а " R '
где R — радиус орбиты, (3 = vie, a r0= eVmoC2.
3.41. Пучок света интенсивностью /0 и частотой v0,
направленный вдоль положительной полуоси г, отражается
под прямым углом от идеального зеркала, движущегося
вдоль положительной полуоси г со скоростью о. Каковы
интенсивность / и частота v отраженного света,
выраженные соответственно через /0 и Vp?
32
3.42. Два тонких параллельных бесконечно длинных
непроводящих стержня, разделенные расстоянием а
(рис. 24) и имеющие одинаковую постоянную плотносхь
заряда Л на единицу длины в системе покоя стержней,
движутся со скоростью v, не обязательно малой по сравнению
со скоростью света. Вычислить силу взаимодействия
стержней, приходящуюся на единицу длины, в покоящейся и
в движущейся системах координат и сравнить их.
Т
а
1
Рис. 24
3.43. Электрон движется в зависящем от времени
аксиально симметричном магнитном поле с Ва = 0. Каким
условиям должен удовлетворять лагранжиан
L = _тс^1_|_ул +J2LA (B-vxA).
чтобы электрон двигался по фиксированной в пространстве
круговой орбите с постоянным по времени радиусом?
Каковы угловая частота и энергия электрона на такой орбите?
Исследовать устойчивость круговых орбит.
Предполагать, что форма поля вблизи орбиты может быть
представлена выражением Вг = B0{rjr)n, где Вг—мгновенное
значение поля на равновесной орбите г = г0, г —ось
симметрии, п —положительное число, а В(г, г, /) = B(r, z)T(t).
Считать, что внешнее поле мало меняется за время одного
оборота электрона по орбите.
а- Показать, что если п > 1, то орбита неустойчива по
отношению к радиальным колебаниям.
б. Показать, что сумма квадратов частот радиальных
и вертикальных колебаний равна квадрату частоты обра-
ц№ния по равновесной орбите.
3.44. Найти ковариантное обобщение а) силы Лоренца
F *= е(Е -f [vB]) и б) уравнения движения частицы со
спином S
dt 2m l
где о __
8 —гиромагнитное отношение.
33
т
I
Рис. 25
Рис. 26
Рис. 27
4. ЭЛЕКТРОНИКА
4.1. Электронная лампа и LC-цепь используются обыч-
ым способом как радиочастотный генератор. Каков поря-
"ок величины верхней граничной частоты такого
генератора если к электродам приложена разность потенциалов
200 в, а расстояние между электродами около 1 мм?
4.2. Показать, что бесконечная цепь индуктивностей L
и емкостей С (рис. 25) действует как фильтр низких частот.
Выразить граничную частоту югр через собственную
частоту соо= VV LC.
4.3. Необходимо ослабить сигнал, вырабатываемый
электронной схемой, с минимальными искажениями формы
сигнала (максимальной шириной полосы). Использовать
для этого показанную на рис. 26 высокоомную схему
ослабления, дополнив ее необходимыми элементами.
Определить величины этих элементов.
4.4. Триод в схеме генератора с настроенным анодом
(рис. 27) имеет коэффициент усиления ц и внутреннее
сопротивление Rp. На какой частоте будет работать генератор?
При каких условиях произойдет срыв генерации?
Указание. Предполагать, что сеточный ток триода
равен нулю.
1-об
Рис. 28
4.5. На вход А диодной схемы (рис. 28,а) подается
периодический сигнал (рис. 28,6). Предполагая, что в на-
льный момент конденсаторы не заряжены, нарисовать
висимость напряжения от времени в точках В и D в те-
ение трех периодов входного сигнала. Считать, что диоды
Редставляют собой идеальные ключи. Каково предельное
ачение напряжения в точке В?
35
S. ОПТИКА
5.1. Тонкая линза с показателем преломления п и
радиусами кривизны /?! и Rs расположена на границе
раздела двух сред с показателями преломления пх и пг (рис. 29).
Пусть Si и S2—соответственно расстояния от объекта до
линзы и от изображения до линзы, а/,и /2—
соответствующие фокусные расстояния. Показать, что в этом случае
справедливо соотношение fi/St + /2/S2 = 1.
л,
Ч
\
Si
7
V
.1-.
r i^
s2
<
Рис. 29
5.2. На поверхность раздела двух сред под прямым
углом падает свет так, что волна с единичной амплитудой в
среде 1 отражается от поверхности раздела с амплитудой г,
а в среду 2 проходит волна с амплитудой /. Аналогично
волна с единичной амплитудой в среде 2 отражается от
поверхности раздела с амплитудой г' и проходит в среду 1
с амплитудой t'. Используя принцип суперпозиции и
инвариантность по отношению к обращению времени, вывести
соотношения Стокса r2-f tt' = 1 и г = —г'.
5.3. Полубесконечный диэлектрик, покрытый пленкой
толщиной d, помещен в вакуум; на него нормально падает
плоская электромагнитная волна. Предполагается, что
р. = 1 для обеих сред и что пленка и диэлектрик имеют
показатели преломления, равные соответственно Я] и пг-
Выразить амплитуду отраженной в вакуум волны через
показатели преломления пг и п2 и длину волны в вакууме К.
При каких условиях амплитуда отраженной волны
обратится в нуль?
5.4. Метод цветной фотографии был предложен Липпма-
ном в 1881 г. Сущность этого метода заключается в
следующем. Фотопластинка состоит из слоя чрезвычайно
мелкозернистой эмульсии, нанесенной на стеклянную
пластину. Эмульсию, в свою очередь, покрывают тонким сло-
36
ути, образующим отражающую поверхность. При
еМ Рнир°'вании фотопластинка обращена к свету стеклян-
ЭКйП<поверхностью (рис. 30). После проявления пластина,
пежнему покрытая слоем ртути, освещается белым
П°ртом и в отраженном свете наблюдается цветное
изображение.' Объяснить, как это происходит.
Свет
III
Стекло
Эмульсия
Ид
Рис. 30
5.5. В камере с малым отверстием расстояние от
отверстия до фотопластинки равно 10 см. Необходимо
получить изображение Солнца в видимом спектре (Л = 5000 А).
Какого диаметра должно быть отверстие, чтобы
разрешение было наилучшим?
5.6. Для анализа спектра натрия используется
дифракционная решетка шириной 5 см. Свет падает на эту
решетку нормально. Определить минимальное число линий,
необходимое для того, чтобы разрешить в первом порядке
дублет D натрия, компоненты которого имеют длину волны
соответственно 5890 А и 5896 А. Каково в этих условиях
угловое расстояние между двумя компонентами дублета?
5.7. Микроволновый детектор расположен на берегу
озера на высоте 0,5 м над уровнем воды. При медленном
восхождении над горизонтом радиозвезды, излучающей
микроволны с Л = 21 см, детектор регистрирует
чередующиеся максимумы и минимумы интенсивности сигнала.
*фи каком угле 6 над горизонтом находится радиозвезда
в момент регистрации первого максимума?
5.8. Две очень узкие параллельные щели в
непрозрачном экране разделены расстоянием d. Экран освещается
Длинной прямой светящейся металлической лентой /
ширили W, расположенной на расстоянии L перед экраном 3
vPhc. 31). Цветной стеклянный светофильтр 2 пропускает
вт длиной волны h. Прошедший свет дает интерференци-
нную картину на экране 4, расположенном на большом
37
расстоянии за непрозрачным экраном. При увеличении
расстояния между щелями оказалось, что при значении
d = d0 интерференционные полосы исчезают. Определить
ширину W светящейся ленты.
/'
/'
'\
\п
Рис. 31
5.9. В дифракционной решетке N щелей; длина каждой
щели равна половине длины предыдущей. Расстояние между
щелями d. Каково угловое распределение интенсивности
света с длиной волны ^?
5.10. Рассмотрим отражающую решетку, бороздки
которой хотя и расположены на равном расстоянии, но имеют
следующую чередующуюся отражательную способность:
1 + а, 1 — а, 1 + а, I — а и т. д. Как будет изменяться
дифракционная картина, если а увеличивать от 0 до
некоторой величины, значительно меньшей единицы?
5.11. Черный экран с круглым отверстием радиусом с
расположен в плоскости ху так, что центр отверстия
совпадает с началом координат. На экран падает плоская
волна ■ф = е'*г, k = 2n/h. Найти точки на положительной
оси (г ^> а), где интенсивность приблизительно
равна нулю.
5.12. Свет проходит через ряд идеальных
поляризаторов. Плоскости поляризации выстроены в фиксированном
направлении, но имеются случайные отклонения в
направлении двух соседних плоскостей поляризации,
подчиняющиеся гауссовому распределению Be'06*, где 6
—относительный угол отклонения. Найти средний коэффициент
38
ослабления системы в расчете на один поляризатор для
°уцка света, прошедшего первый поляризатор.
Предполагается, что а»1.
5.13. Плоская монохроматическая волна падает на
несовершенную линейную дифракционную решетку с N
идентичными щелями. Несовершенство решетки обусловлено
тем, что апертуры щелей независимо друг от друга
колеблются в плоскости решетки. Среднее положение щелей
соответствует идеальной линейной решетке с расстоянием между
щелями d. Время фотографирования дифракционной
картины очень велико по сравнению с периодами колебаний.
Распределение вероятности для отклонения апертуры от ее
среднего положения является гауссовым, причем средне-
квадратическое отклонение одинаково для всех апертур.
Показать, что распределение интенсивности (т. е.
интенсивность как функция угла между направлением падения
и направлением наблюдения) на фраунгоферовой
дифракционной картине для такой решетки может быть
представлено в виде
/=ф/0+ЛЧ1-Ф)/0,
где /о— распределение интенсивности для идеальной
решетки, образуемой щелями, когда они находятся в своих
средних положениях, i0—распределение интенсивности
на дифракционной картине для одной щели. Выразить <р
через среднеквадратическое отклонение.
Рис. 32
(Ои ъ' ^Вет с часТОТ°й А излучаемый источником Р
ГЬ 32), проходит через показанную на рисунке систему.
верхнему трубопроводу со скоростью и течет жидкость,
39
имеющая показатель преломления п, а в нижнем
трубопроводе та же жидкость покоится. Каково минимальное
значение скорости и, при которой в точке Р' будет происходить
деструктивная интерференция?
Сбет
1
га
сг
Рис. 33
UU
Направление
оптических
осей
кристаллов
Плоскость
поляризации
Рис. 34
5.15. Для того чтобы наблюдать Солице в
монохроматическом свете, французский астроном Лио изобрел двояко-
преломляющий фильтр, состоящий из ряда двоякопрелом-
ляющих кристаллов С (рис. 33).
Каждый последующий кристалл в
два раза толще предыдущего. На
концах системы н между
кристаллами установлены поляризующие
пленки. Все кристаллы
смонтированы так, что их оптические оси
параллельны и составляют прямой
угол с направлением
распространения света. Оси поляризации
пленок также параллельны друг другу
и составляют угол 45° с направлением оптических осей
кристаллов (рис. 34). Через такую систему может пройти
свет лишь в определенном интервале частот.
Вычислить пропускание фильтра, состоящего из S
элементов, для света с длиной волны %. Найти ширину ДЯ,
полосы частот, которые могут пройти через фильтр, а
также расстояние между такими полосами.
6. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
6.1. Пусть квантовомеханические операторы В к С
антикоммутируют
[В, С}+ = ВС + СЯ = 0
и пусть ф — собственное состояние обоих операторов В
и С. Что можно сказать о соответствующих собственных
значениях? Если В является оператором барионного числа.
40
q зарядового сопряжения, то имеют место
соотношения \В, С}+ = 0 и Са= 1. Применить к этому случаю
полученный результат.
6.2. Три матрицы Мх, Му. Мг, каждая из которых
-остоит из 256 строк и столбцов, подчиняются
коммутационным правилам [Мх, Му] = Шг (с циклической
перестановкой х, у, г). Собственные значения одной матрицы,
скажем Мх, равны ±2 (одно значение); ±3/2 (8 значений);
-£l (28 значений); ±'/2 (56 значений); 0 (70 значений).
Определить 256 собственных значений матрицы М2 =
= М\ + М\ + М\.
6.3. Найти собственные значения матрицы
\th = [xh [L\ xh] ]; L2 - [rp]* (i, k = 1, 2, 3).
6.4. При рассмотрении систем, способных испускать
частицы с полуцелым спином, приходится иметь дело с
оператором U, подчиняющимся коммутационным
соотношениям
[U,j,]=-Lu, 0)
[[(/, J»], J*] = -L(C/J« + 34/) + ^' (2)
где J — момент количества движения испускающей
системы. Найти из соотношений (1) и (2) правила отбора в
матричном представлении, в котором Jг и J2 диагональны;
собственные значения этих операторов равны
соответственно т и /(/'+ 1). Другими словами, какие из матричных
элементов {m'j'\U\mj) отличны от нуля?
Указание. Использовать Х} = /(/ + 1).
6.5. Доказать, что все волновые функции,
соответствующие максимальному собственному значению квадрата
оператора полного спина системы из N электронов,
симметричны по отношению к спиновым координатам
отдельных электронов.
6.6. Доказать правило сумм Томаса — Рейха — Куна
M^Jl(£n-£0) = l.
и*
М'мма берется по полному набору собственных состояний
ч>п с энергией £„ частицы массой т, движущейся в
потенциальном поле; ij>0— связанное состояние.
6.7. Показать, что уравнения Максвелла в отсутствие
сточников поля могут быть представлены в дираковской
4!
форме
(р — оператор импульса) введением вектора Крамерса F =
= Е -f- iH, F* = Е — iH и подходящим выбором
матрицы S. Использовать это представление электромагнитного
поля, чтобы показать, что спин фотона равен единице.
6.8. Использовать правило квантования Бора — Зом-
мерфельда, чтобы вычислить допустимые энергетические
уровни мяча, упруго подпрыгивающего в вертикальном
направлении.
6.9. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор
имеет собственные значения энергии /гсо (л + 8/2), где п =
= О, 1, 2,... Какова степень вырождения квантового
состояния л?
6.10. Три материальные точки с одинаковой массой т
движутся по кругу радиусом г. Взаимное расстояние между
ними фиксировано и одинаково, так что они образуют
равносторонний треугольник. Эти материальные точки
подчиняются статистике Бозе и не имеют спина. Исследовать
вращательные энергетические уровни системы.
6.11. Вывести выражение для энергии диполь-диполь-
ного магнитного взаимодействия между протоном и
антипротоном, находящимся на фиксированном расстоянии а,
в зависимости от полного спина системы, используя
значение магнитного момента протона ц. 0. Энергия
взаимодействия двух магнитных диполей определяется выражением
6.12. Найти и классифицировать собственные значения
гамильтониана
Н = А [аи + ojj -f- Во,о2,
где alf ог2— спиновые матрицы Паули соответственно для
частиц 1 и 2 (принцип Паули во внимание не принимать).
6.13. Система состоит из двух различных частиц со
спинами 1/2. Спин-спиновое взаимодействие частиц
определяется выражением Уа,^. гДе J —постоянная. К
системе приложено внешнее магнитное поле Н. Магнитные
моменты частиц соответственно равны aat н (Зста. Найти
точные собственные значения энергии этой системы.
42
6.14. Внутри сферы радиусом R имеется электрон. Ка-
ово"давление Р, оказываемое на поверхность сферы, если
к еКТр0н находится а) в наинизшем s-состоянии? б) в наи-
низшем р-состоянии?
6.15. Частица массой т движется в потенциальном поле
V(r)={~V° ДЛЯ Г<а'
\ О для г>а.
Найти наименьшее значение V0, при котором имеется
связанное состояние с нулевой энергией и нулевым моментом
количества движения.
6.16. Для одномерного уравнения Шредингера с
потенциалом
V(*) =
— <о2 дг2 для х > О
-f- оо ДЛЯ ДГ<0
найти собственные значения энергии.
6.17. Электрон движется в вакууме под действием
однородного магнитного поля В. Найти энергетические
уровни. Показать, что для больших орбит магнитный поток
через электронную орбиту квантуется. Спин электрона
не учитывать. Показать также, что, зная энергетические
уровни в нерелятивистском приближении, можно
определить релятивистские поправки к этим уровням.
6.18. Квантовомеханическая система, когда возмущений
нет, может находиться в одном из двух состояний: 1 или 2 с
энергиями соответственно Ех н Е2. Предположим, что на
систему действует возмущение, не зависящее от времени,
v-(° Ч
причем V21 = V12. Пусть в момент t = О система находится
в состоянии 1. Определить амплитуды обоих состояний в
любой последующий момент времени t.
6.19. Использовать вариационный принцип для оценки
Энергии основного состояния частицы, находящейся в
потенциальном поле
[ оо ДЛЯ X < О,
[сх для х > 0.
г»
качестве волновой функции взять функцию хе~ах.
-С
43
6.20. Электрон с зарядом е и массой т может двигаться
по окружности радиусом г. Движение его возмущено
однородным электрическим полем F, направленным
параллельно плоскости окружности. Найти возмущение
энергетических уровней вплоть до членов порядка F2. Обратить
внимание, в частности, на аномальное поведение первого
возбужденного состояния.
6.21. Если приложенное электрическое поле F в
эффекте Штарка для основного состояния слабое, то
энергетический уровень смещается на величину,
пропорциональную квадрату напряженности приложенного поляР, т. е.
Д£ =• —(aF*)l2, где а — поляризуемость атома. Получить
выражение для поляризуемости атома водорода в основном
состоянии, используя теорию возмущений.
Приблизительно оценить верхний и нижний пределы для
поляризуемости, показав, что 4а3<а < (16/3)а3, где а — радиус
боровской орбиты.
6.22. Две тождественные частицы со спином 1/2
подчиняются статистике Ферми. Они заключены в куб со
стороной Ю-8 см. Между парой частиц действует потенциал
притяжения Ю-3 эв, если расстояние между
частицами меньше 10~10сл*. Используя нерелятивистскую теорию
возмущений, вычислить энергию и волновую функцию
основного состояния (массы тождественных частиц считать
равными массе электрона).
6.23. Пусть атом с одним 2р-электроном помещен в
электрическое поле с ромбической симметрией. Потенциал
поля равен V = Ах2 -f By2 — (А + В)г2. Показать, что
среднее значение Lz равно нулю. Спин электрона не
учитывать. Предполагать, что V мал по сравнению с атомным
потенциалом.
6.24. Два идентичных плоских ротатора с координатами
6ц 62 связаны так, что гамильтониан системы имеет вид
Н = А (р§, + р£) - Bcos(81 - ед
где А и В — положительные константы (заметим, что
6t+ 2л эквивалентно Qt). Определить из уравнения Шре-
дингера собственные значения энергии и собственные
функции для В <£ Ah2 (учитывать лишь члены, линейные по
В, остерегаться вырождений) и для В > АН2 (свести задачу
к задаче об осцилляторе, малые колебания).
6.25. Частица массой т движется в двухмерной
потенциальной яме
44
V<*,y)=( °ДЛЯ Ul " |У|<"'
I oo в остальной области.
Определить средние значения операторов х, у для основного
состояния, когда приложено малое возмущение V —
^_ р х + Fty {Ft и F2 — константы). Учесть члены только
в первом порядке по Fx и F2. Матричные элементы
вычислять не надо, достаточно их выразить в интегральном виде
и указать, какие из них отличны от нуля.
6.26. Рассмотреть два идентичных линейных
осциллятора с коэффициентами упругости k. Потенциал
взаимодействия задан выражением Н — схххг, где хг и ха—осцилля-
торные переменные.
а. Найти точные значения энергетических уровней.
б. Считая, что с < k, определить в первом порядке
теории возмущений два нижних возбужденных состояния.
(Энергии уровней определить в первом порядке, а
собственные функции — в нулевом порядке теории
возмущений.)
6.27. Гамильтониан двумерного осциллятора равен
H=-j-(pl + Pi) + ~(1 + &«/)(*"+ У2>.
где Й = 1, а б <^ 1 • Определить волновые функции для трех
нижних уровней энергии в случае 8 Ф 0. Вычислить
смещение этих уровней для б ф 0 в первом порядке теории
возмущений.
6.28. В однородном магнитном поле, параллельном
оси г, находится электрон. Измерения показали, что в
момент времени t « 0 спин электрона был направлен по оси х.
Провести квантовомеханический расчет вероятности того,
что электрон в момент / > 0 будет в состоянии
6.29. Тритий 3Н спонтанно распадается с излучением
электрона, максимальная энергия которого примерно
равна 17 кэв. Остаточным ядром является 3Не. Вычислить
вероятность того, что единственный электрон этого иона
остается в состоянии с главным квантовым числом 2. Отдачей
ядра пренебречь. Атом трития до распада находился в
основном состоянии.
6.30. Атом с J = Чг, mj = V2 находится в однородном
агнитном поле. Поле мгновенно поворачивается на угол
* = 60°. Вычислить вероятность того, что сразу же после
45
изменения направления поля атом окажется в одном из
подсостояний с mj = ±1/2 относительно нового
направления поля.
6.31. Каково физическое обоснование правила отбора,
согласно которому переход с излучением одного фотона из
одного состояния с нулевым моментом количества движения
в другое состояние с нулевым моментом количества
движения запрещен? Имеется ли какая-либо другая возможность
перехода 0 ->0с излучением света? Какова физическая
причина того, что радиационный переход, при котором
необходимо большое изменение спина, происходит медленно?
6.32. Показать, что сечение фотопоглощения атома с
отрывом электрона с К-оболочки изменяется как Z6 при
больших по сравнению с энергией связи К-электрона
энергиях фотона. Использовать теорию возмущения. Отдачей
можно пренебречь.
6.33. Трехмерная прямоугольная яма имеет глубину V0
и радиус с. Частица с положительной энергией Е и
массой т захватывается в состояние с орбитальным
моментом L Ф 0. Пренебрегая орбитальным моментом внутри
ямы, вычислить время жизни т частицы.
6.34. Квантовомеханическая система находится в
состоянии с орбитальным моментом Ьг=0. Система
распадается с излучением электрического дипольного фотона,
переходя в более низкое состояние с орбитальным
моментом L2 = 1. Это состояние спустя некоторое короткое
время, в свою очередь, распадается также с излучением
электрического дипольного фотона, переходя в основное состояние
системы с орбитальным моментом La = 0. Оба фотона
регистрируются детекторами. Вычислить вероятность W
того, что направления квантов образуют угол <р. Зависит
ли результат от того, является система атомом или ядром?
Указание. Использовать теорию возмущений во втором
порядке.
6.35. Проанализировать рассеяние частицы на простой
кубической решетке с периодом й. Взаимодействие частицы
с узлами решетки имеет вид
V — 2ваьа
от
Анализ провести в борновском приближении. С помощью
полученного результата показать, что рассеяние имеет
место лишь тогда, когда выполняется условие Вульфа —
Брэгга.
У^г-г,).
46
6.36. Выражение
2/ni
оГ^ределяет вероятность того, что через единичную
поверхность, перпендикулярную к направлению J, в единицу
времени пройдет одна частица. Пучок частиц с одинаковой
скоростью v попадает в некоторую область, в которой часть
частиц поглощается. Это поглощение можно описать
введением в волновое уравнение постоянного комплексного
потенциала V,— \V,. Показать, что сечение поглощения на
атом равно а = 2VtlhNv, где N — число поглощающих
атомов в единице объема.
6.37. Частица рассеивается полностью поглощающей
(«черной») сферой, радиус которой больше длины волны
де БройляХ/2л = \lk. Какова зависимость параметров т]/
и б, амплитуды рассеяния
со
/(б)=-£г 2(2/+!) (^e2i8'-i) p*(cose>
1=0
от /? Вычислить сечение упругого рассеяния, сечение
поглощения и полное сечение.
6.38. Вычислить дифференциальное и полное сечения
рассеяния бесспиновой частицы с массой т, падающей на
бесконечно тяжелую и бесконечно жесткую сферу
радиусом а. Рассмотреть случай, когда частица движется
достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь сдвигом
фазы D-волны. Ответ представить в виде полинома от ka
и оставить лишь члены более низкого, чем аг{ка)* порядка.
Можно воспользоваться следующим рекуррентным
соотношением, справедливым как для регулярного, так и для
нерегулярного решения: если Ft удовлетворяет
уравнению
FUx)+JLF](x) + Ft{x)h-l(L±±-\ = o,
то
FM(X)=-x'-^-[Fl(x)x-4
в.39. Пучок бесспиновых частиц рассеивается на
жесткой сфере радиусом а с потенциалом
v __ | оо для r<Za,
\ 0 для г>а.
47
Для случая а < % найти полное сечение, если % — l/k.
Рассмотреть случай а ^> %. Показать, что в
направлении вперед различные парциальные волны дают
когерентный вклад в амплитуду рассеяния /(0), создавая тем самым
дифракционную картину фраунгоферовского типа.
Полезные формулы:
Рп (cos 8) « J0 (п8) для больших п и малых 8,
-^-[zn+1Jn+1(z)]=z^Jn(z),
аг
6.40. Определить связанные состояния для случая
одномерного притягивающего потенциала в виде б-функции.
Предполагается, что слева на яму падает поток частиц.
Определить относительные интенсивности рассеянного и
прошедшего пучков.
7. ТЕРМОДИНАМИКА
7.1. Вывести следующие соотношения (уравнения
Максвелла):
\dV )s \dS }v' \ dP }s \ dS )f
\ dT jv \ dV }t ' \ dT )p \ dP )j
TdS=CvdT+T(^j-\ dV
(1)
и
7.2. Вычислить коэффициент Джоуля — Томсона! )
для газа Ван дер Ваальса, для которого
RT а
Р =
В V»
7.3. Замечено, что в определенных фазовых переходах
энтальпия Н или объем V не претерпевают скачкообразных
48
изменений, в то время как их первые производные по
температуре изменяются скачком. Вывести два
термодинамических соотношения, которые заменяют собой уравнение
Клапейрона — Клаузиуса. Фазы обозначить индексами
1 и 2.
7.4. Для воды при Т =. 27°С — (—\ = 0,00013 град-1.
Определить изменение температуры большой массы воды
прИ Т = 27° С, если она течением перенесена на глубину
1 км.
7.5. Рассмотреть диаграмму зависимости давления от
объема для данной массы вещества, на которой приведено
семейство адиабатических кривых. Показать, что ни одна
пара кривых из этого семейства не может пересекаться.
7.6. Один моль Н20 охлаждается от температуры 25° С
до 0° С и замерзает. Все тепло, полученное охлаждающей
машиной, работающей с максимальной теоретически
допустимой эффективностью (энтропия не увеличивается),
передается другому молю Н20 при 25° С, в результате чего
его температура повышается до 100° С.
а. Сколько молей Н20 переходит в пар при 100° С?
Теплота испарения X' при 100° С равна 9730 кал/моль.
Теплота плавления льда X при 0° С равна 1438 кал/моль.
б. Какую работу должен произвести рефрижератор?
7.7. Две колбы объемами Vx и Vz наполнены одинаковым
идеальным газом, находящимся при одном давлении Р, но
при различных температурах Тх и Т2. Число частиц N в
обеих колбах одинаково. Определить изменение энтропии
после того, как колбы соединены и система пришла в
равновесие.
7.8. Газонепроницаемый поршень с малой
теплоемкостью скользит без трения внутри термически
изолированного цилиндра. Объемы А и В (соответственно под и
над поршнем) наполнены одинаковым количеством
идеального одноатомного газа. Предположим, что в начальный
момент температура газа в объеме А равна Т0, а в объеме
° — 37V Пусть система все время находится в состоянии
механического равновесия и с течением времени она при-
Ходит в тепловое равновесие.
Каково отношение объемов А и В в начальный момент и
ПРИ t = оо? Как изменится энтропия системы в целом в
Расчете на один моль газа за время от t — 0 до t — оо?
^акую полезную работу могла бы совершить система (при
ПоДХодящем переходе) в расчете на один моль газа при
49
условии, что передача тепла от одного объема к другому
полностью обратима?
7.9. Выразить изменение температуры свободно
расширяющегося одноатомного газа через начальный и конечный
объемы и константы уравнения Ван дер Ваальса для
газа. Оценить приблизительно изменение энтропии и
энтальпии.
7.10. Один грамм воды, находящейся при температуре
20° С, выдавливается через изолированную пористую
пробку под давлением Ю4 атм в большой сосуд, где
давление равно 1 атм. Определить состояние, в котором
находится вода, вытекающая из пробки. Плотность воды
предполагается неизменной как при давлении 101 атм, так и
при давлении 1 атм. Теплота испарения равна 540 кал/г.
7.11. Колба наполнена газообразным гелием при
температуре 10° К (выше критической точки) и термоизоли-
рована. Газ может медленно вытекать через капиллярную
трубку до тех пор, пока давление в колбе не станет
равным 1 атм, а температура 4,2° К (точка кипения гелия).
Предполагая, что газ идеальный, найти начальное
давление газа в колбе Pit если в конце процесса колба
оказывается полностью наполненной жидким гелием. Удельная
теплота испарения для Не при температуре 4,2° К
равна 20 кал/моль. Для газообразного гелия Cv =
= 3 кал/(моль-град).
7.12. Тонкий длинный металлический стержень
колеблется с основной частотой продольных колебаний. В какой
области частот колебания будут изотермическими? Модуль
Юнга для материала, из которого изготовлен стержень,
Е = 1012 дин/см2, плотность р = 10 г/см3, удельная
теплопроводность К — 1 кал/(см-град-сек) и удельная
теплоемкость С =0,1 кал/(г-град).
7.13. Две колбы одинакового объема V соединены
трубкой (рис. 35) длиной L и малым поперечным сечением А
(LA <^ V). Первоначально одна из колб наполнена смесью
Рнс. 35
50
СО и N2 с парциальными давлениями соответственно
Гр3 р __ Р0, в то время как другая колба наполнена N2
ппи давлении Я. Коэффициент диффузии СО в N2 или N2
Pf-Q равен D. Определить зависимость парциального
давления СО в первой колбе от времени.
7.14- Стальной шар радиусом 20 см равномерно
нагревается до температуры I0CP С, а затем температура
поверхности шара поддерживается постоянной и равной 0 С
Определить температуру в центре шара спустя 15 мин после
того, как началось охлаждение. Отношение удельной
теплопроводности к удельной теплоемкости на единицу объема
К/Со =0,185 в единицах СГС (р — плотность шара).
7.15. Шар радиусом R погружен в бесконечно
протяженную жидкость с температурой Т„. В начальный момент
времени t = 0 температура шара Тл >. Т0 и поддерживается
таковой в дальнейшем. Теплопроводность жидкости
равна К, удельная теплоемкость С, плотность р.
Выразить температуру в любой точке среды вне шара в
момент времени />0 в виде определенного интеграла.
Найти в явной форме предельное распределение
температуры в среде при /->- то.
7.16. Найти зависимость плотности электромагнитной
энергии Е от температуры в резонаторе с идеально
отражающими стенками, воспользовавшись
термодинамическими соображениями.
7.17. Шарообразный спутник радиусом г, окрашенный
в черный цвет, вращается по круговой орбите вокруг
Солнца. Расстояние между спутником и центром Солнца равно D
{г <^ D). Солнце представляет собой шар радиусом R,
излучающий подобно черному телу при температуре Го =
— 6000° К- Угол, под которым Солнце видно со спутника,
составляет 2а =32'. Какова равновесная температура
спутника?
7.18. Можно предположить, что свободная энергия F
(функция Гельмгольца) ферромагнетика в отсутствие
внешнего поля зависит от намагниченности следующим
образом:
F = F0 + a[T-TK)AP+$№. (1)
где Т — температура ферромагнетика, близкая к
температуре Кюри Тк; а и fl — положительные величины, почти
Це зависящие от температуры; F0— свободная энергия в
Ненамагниченном состоянии, может приближенно
рассматриваться как не зависящая от температуры. Вывести зависи-
51
мость от температуры средней намагниченности М(Т),
которая следует из уравнения (1), если флуктуациями
пренебречь. Как влияют флуктуации на М(Т)? Определить
также магнитную восприимчивость выше точки Кюри.
7.19. Скорость звука v в парамагнитном газе изменяется
под воздействием приложенного магнитного поля Н.
Вычислить [v(H) — t»(0)l/y(0) в предположении, что
намагниченность одного моля газа в низшем порядке по у равна
М = тЯ/7\ Удельную теплоемкость газа (для Я = 0)
можно считать не зависящей от температуры.
7.20. Согласно Мейсснеру, в сверхпроводнике В = 0.
В нормальном состоянии намагниченность М пренебрежимо
мала. При фиксированной температуре Т < 7"к, если внеш-
> нее поле Н
уменьшается до значения,
меньшего критического
значения НК(Т) =Я0[1 —
— (Т/Тк)*], нормальное
состояние (фаза / на
рис. 36) претерпевает
фазовый переходе
сверхпроводящее состояние
(фаза 2). Показать, что
эта точка зрения
правильна. Для этого
определить разность
функций Гиббса (функция
Рис- 36 Гиббса при наличии
магнитного поля
определяется выражением G = U — TS — НМ) для
нормального и сверхпроводящего состояний металла при Т^Тц,
т. е. вычислить величину GH(T, Н) —GC(T, H). Определить
теплоту перехода L из нормального состояния в
сверхпроводящее при Я = 0 и скачок удельной теплоемкости при
таком переходе. Является ли этот фазовый переход
переходом первого или второго рода?
7.21. Определить, пользуясь термодинамическими
принципами, давление пара Рт для капли жидкости с очень
малым радиусом г, выразив его через давление пара Ра
большой массы той же жидкости, для которой отношение
поверхности к объему пренебрежимо мало.
- Указание. Для очень малых количеств вещества
отношение поверхности к объему растет и, следовательно,
поверхностные явления становятся доминирующими.
52
7.22. В космическое пространство запущена ракета
массой 1000 кг. В предположении, что все звездные тела
в среднем имеют массу порядка 1080 кг и движутся в среднем
с произвольно направленной скоростью 10 км/сек,
определить среднюю скорость ракеты спустя достаточно долгое
время после запуска (вероятность падения ракеты на
какую-либо звезду мала).
7.23. Имеется газообразный водород при температуре Т
(близкой к температуре жидкого азота) и давлении Р
(примерно 1 см pm. cm.) с концентрацией ортоводорода х.
Вывести уравнения а) для молярной удельной теплоемкости
этого газа и б) для теплопроводности К этого газа. Кроме
величин Т, Р, х и фундаментальных констант выведенные
выражения должны содержать только три параметра,
характеризующих молекулу Н2: массу молекулы М,
межатомное расстояние R и сеченне столкновения а. Можно
предположить, что при температуре жидкого азота число
молекул, находящихся во вращательном состоянии (У > 2),
пренебрежимо мало.
7.24. Вычислить отношение теплопроводности
газообразного гелия при давлении Р =0,1 апгми температуре
300° К к его теплопроводности при давлении Р = 0,5 шпм
и той же температуре. Вычислить также отношение вязкос-
тей при этих давлениях.
7.25. Определить среднюю векторную скорость молекул
газа, выходящих через малое отверстие в полости,
поддерживаемой при температуре Т. Число частиц в единице
объема полости равно Л'.
7.26. Небольшое круглое отверстие радиусом а (радиус
мал по сравнению со средней длиной свободного пробега
молекул ртути) просверлено в стенке очень тонкостенного
прямоугольного сосуда, содержащего пары ртути при
температуре Т и очень низком давлении Р. На расстоянии h
Рис 37
53
над отверстием параллельно стенке сосуда расположена
металлическая собирающая пластина (рис. 37), охлаждаемая
до такой температуры, что попадающие на нее атомы ртути
конденсируются. Вывести выражение для поверхностной
плотности ртути на собирающей пластине в момент времени t
как функцию полярного угла 6 между нормалью к плоскости
отверстия и радиусом-вектором точки на собирающей
пластине.
8. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
8.1. Сколькими различными маршрутами можно пройти
от пункта А к пункту В, расположенному на т кварталов
восточнее и на л кварта-
^лов севернее пункта А
(рис. 38), если никогда не
идти в направлении,
противоположном
направлению к пункту В?
8.2. Согласно
закону Стефана — Больцмана,
энергия излучения
полости (черного тела) зависит
от температуры Т как Т*,
где К = 4. Заменить
обычную трехмерную полость
W-мерной (N — целое). По-
рис 38 лучить показатель
степени К в зависимости
энергии от температуры для
фотонного газа, заключенного в М-мерную полость.
8.3. Если предположить, что Солнце подобно черному
телу с диаметром 106 км и температурой 6000° К, то какова
будет мощность микроволнового излучения с длиной
волны 3 см при ширине полосы 1 Мгц.
8.4. Три частицы со спином 1/2 расположены по углам
равностороннего треугольника. Гамильтониан
спин-спинового взаимодействия трех частиц определяется выражением
Составить систему энергетических уровней для такой
системы с указанием значений полного спина и степени
вырождения. Определить функцию распределения Z.
Л-Ь
ш
1
54
8.5. В объеме V имеется газ, находящийся при
температуре Т. Он состоит из N различных частиц с массой
покоя, равной нулю; энергия и импульс частицы связаны
соотношением Е = рс. Число одночастичных
энергетических состояний в интервале импульсов (р, р + dp) равно
faVp^dplh*- Вывести уравнение состояния и найти
внутреннюю энергию газа. Сравнить результат с
соответствующими параметрами для обычного газа.
8.6. Слабовзаимодействующие бесспиновые идентичные
частицы (масса каждой частицы равна массе электрона)
подчиняются классической статистике. Частицы заключены
в куб со стороной, равной I0"6 см. Каждая из частиц
испытывает потенциальное взаимодействие двух типов с
кубом. Первый тип взаимодействия характеризуется
притяжением и приводит к связанному состоянию с энергией
— I эв, локализованному вблизи центра куба. Второй тип
взаимодействия — это сильное отталкивание, которое
препятствует выходу частиц через стенки. Определить
температуру, при которой давление в кубе равно I атм.Число
частиц равно 1010.
8.7. Металлическая поверхность нагрета до
температуры 800° С. Сталкиваясь с нею, атомы натрия испаряются
и с вероятностью 0,99 ионизируются. Атомы же хлора при
столкновении с той же поверхностью превращаются в
отрицательные ионы лишь с вероятностью 10"в. Потенциал
ионизации Na равен (р =5,1 эв. Определить электронное
сродство хлора.
8.8. Атомы гелия могут адсорбироваться поверхностью
металла, работа выхода из которой для атома гелия равна ф.
Движение атомов гелия по двухмерной поверхности
металла происходит совершенно свободно, без взаимодействия.
Сколько атомов гелия в среднем адсорбируется единицей
площади поверхности металла, если такую поверхность
привести в контакт с газообразным гелием, находящимся
пРи Давлении Р} Равновесная температура для всей
системы в целом равна Т. Ответ должен быть выражен через
приеденные в задаче величины и фундаментальные
константы.
_^ 8.9. £С-контур используется в качестве термометра.
Ри этом измеряется возникающее в цепи шумовое напря-
ение на индуктивности и емкости, включенных параллель-
°' Вывести соотношение, связывающее среднеквадра-
чное значение шумового напряжения с абсолютной тем-
55
8.10. Твердое тело состоит из N не взаимодействующих
между собой ядер со спином 1. Каждое ядро, следовательно,
может находиться в одном из трех квантовых состояний,
характеризуемых квантовым числом т {т = 0, ±1).
Вследствие электрического взаимодействия с внутренними
полями, имеющимися в твердом теле, состояния cm =+l
вырождены, т. е. имеют энергию е > 0, в то время как
энергия состояния cm =0 равна нулю. Вывести
выражение для энтропии N ядер как функцию температуры Т и
выражение для теплоемкости в пределе е//(У <^ 1.
8.11. Рассмотреть систему трехмерных ротаторов (с
двумя степенями свободы, но без поступательного движения),
находящихся в тепловом равновесии в соответствии со
статистикой Больцмана. Учесть квантование энергии.
Вычислить свободную энергию, энтропию, энергию и
теплоемкость (приходящуюся на один ротатор) для случая
высокой температуры. Использовать в расчетах аппроксима-
ционную формулу Эйлера:
J—0 0
8.12. Средняя энергия системы, находящейся
в.тепловом равновесии, равна <£>. Доказать, что
среднеквадратичное отклонение энергии от •<£>, <(£ — <£>)2>
дается выражением <(£— <£>)2> —kT2Cv, где Cv —
теплоемкость системы в целом при постоянном объеме.
Используя полученный результат, показать, что энергию
макроскопической системы обычно можно считать
постоянной, если система находится в тепловом равновесии.
8.13. Ансамбль из N частиц со спином 1/2 выстроен по
прямой линии. Взаимодействуют лишь соседние частицы.
Это взаимодействие равно /, если спины соседних частиц
параллельны, и — J, если антипараллельны. (На языке
квантовой механики это означает, что энергия
взаимодействия двух соседних частиц i и /равна Jа\ ai).
Определить функцию распределения Z ансамбля, находящегося
при температуре Т.
8.14. Согласно сильно упрощенной теории,
температурная зависимость молярной удельной теплоемкости С,
обусловленной переходом ионов со спином s = 1/2 из
парамагнитного состояния в ферромагнитное, определяется
56
Рис. 39
„киией, график которой приведен на рис. 39, т. е. С =
^clc(2777V-l) для TJ2<T<T* н С = 0 при всех
^угих значениях Т. Выразите Смакс через
фундаментальные константы.
8.15. Показать, ка- С к
ким образом из
соответствующих функций
распределения можно
получить статистику
Ферми—Дирака и
статистику Бозе —
Эйнштейна. Найти также
распределение,
вытекающее из «парастатисти-
ки», при которой не
более двух частиц могут характеризоваться данным набором
квантовых чисел.
8.16. Как бы изменилась теория Дебая удельной
теплоемкости твердых тел, если бы фононы (кванты звука)
подчинялись статистике Ферми — Дирака (вместо статистики
Бозе — Эйнштейна)? При этом предположении найти
зависимость удельной теплоемкости от температуры для
случаев очень высокой и очень низкой температуры по
сравнению с дебаевской. (Постоянные множители можно
опустить.)
8.17. Предположим, что электроны внутри металла
можно представить как находящиеся в прямоугольной
потенциальной яме. Исходя из принципа Паули, получить
зависимость распределения электронов по скоростям от
температуры. Вывести формулу для тока в вакуумном диоде
с плоскими электродами при отрицательном анодном
напряжении.
8.18. Показать, что нейтринную звезду, если она
достаточно плотная, можно рассматривать как вырожденный
газ релятивистских фермионов. Вывести выражение,
связывающее массу и радиус такой звезды при равновесии.
8.19. Вывести выражение для магнитной восприимчи-
в°сти слабого раствора постоянных диполей, магнитный
Момент каждого из которых равен М, в предположении, что
Диполи а) ориентированы произвольно относительно
направления слабого магнитного поля и б) ориентированы
лишь
вдоль поля или против него.
8-20. Если к газу из незаряженных частиц,
подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, со спином 1/2 и маг-
57
нитным моментом \i приложено магнитное поле Н, то
спины выстраиваются, создавая удельный магнитный момент
(магнитный момент, приходящийся на единицу объема).
Вывести общие выражения для удельного магнитного
момента при произвольных Т и Н. Затем определить
магнитную восприимчивость газа в пределе, когда магнитное поле
стремится к нулю, справедливом для достаточно низкой
температуры вплоть до членов порядка Тг. Заметим, что
С УЕМ _ _2_ .•/. Г, . _£_ /ilY8 . 1
о
8.21. Капля масла радиусом 0,0001 см находится в газе
вязкостью 180 мкпз при температуре 27° С. Найти
среднеквадратичное смещение капли за 10 сек. Гравитационными
эффектами можно пренебречь.
8.22. В горячей плазме все атомы можно считать
полностью ионизованными. Хотя между ионами действуют
дальнодеиствующие силы, обусловленные кулоновским
взаимодействием, однако макроскопически плазма
электрически нейтральна. Это обстоятельство наводит на мысль,
что кулоновское взаимодействие экранируется и поэтому
становится короткодействующим.
Оценить приближенно область действия этих сил.
9. АТОМНАЯ ФИЗИКА
9.1. Получить схему энергетических уровней атома
водорода для значений главного квантового числа 1, 2 и 3,
пренебрегая релятивистскими эффектами и считая, что
протон является точечным зарядом. Получить аналогичную
схему для тех уровней атома гелия, которые соответствуют
возбуждению лишь одного из двух электронов. Чем схожи
и чем различаются эти две схемы и почему?
9.2. Найти три низших терма атома углерода,
пренебрегая спин-орбитальной связью. Написать волновые
функции для этих трех термов.
9.3. Найти три низших терма атома азота.
9.4. Найти электронные конфигурации атомов
циркония и гафния и объяснить, почему трудно разделить эти
два элемента химическими методами. Атомные номера
циркония и гафния соответственно равны 40 и 72.
58
9.5. Предположим, что низшие термы в натрии
(выраженные в обратных сантиметрах) имеют следующие
значения:
41448,
24484,
12 274,
15 705,
11 180,
6 897,
6858,
8246,
6 407.
Указать, какие переходы будут наблюдаться, если атом
натрия возбуждается в результате а) облучения светом
(X =4123 А); б) бомбардировки электронами с энергией
3,3 зв при условии, что первоначально атомы натрия
находились в состоянии 3s.
9.6. Вывести приближенное выражение для
энергетического сдвига основного состояния атома водорода,
обусловленного конечными размерами протона, предполагая,
что протон представляет собой равномерно заряженную
сферу радиусом Я = 10"1S см.
9.7. Электрон находится в потенциальном поле
3s W
*Р %рч,
3d аД.
4s 4S
4р V,,..
Ad*D4m
4/ 2/ч.
5s *Vi
5р «P1/it
•/.
•/,
V.
V.
V.
V.
V = - — + а{х*+ ?) + №,
е1
г
где 0<а< — Р<£е2/ао- Спином электрона
пренебрегаем. Каковы пять низших орбитальных состояний?
Показать схематически их относительное расположение.
Вычислить линейный эффект Зеемана, если поле В
параллельно а) оси г; б) оси х.
9.8. В водородоподобном атоме энергии уровней 2S
и 2Р отличаются на небольшую величину Д, обусловленную
малым эффектом экранирования, которое несущественно
влияет на волновые функции этих состояний. Атом помещен
в электрическое поле Е. Пренебрегая влиянием более
удаленных уровней, получить общее выражение для энергети-
Ческого сдвига уровней с п = 2 как функцию
напряженности приложенного электрического поля Е.
59
Указание. Спином электрона можно пренебречь.
Любые отличные от нуля интегралы не надо вычислять
детально.
9.9. Спектральная линия ртути с длиной волны 1849 А
в магнитном поле напряженностью 100 гс расщепляется
на три компонента, отстоящих друг от друга на 0,0016 А.
Определить, является ли эффект Зеемана нормальным
или аномальным.
9.10. Электрон и позитрон имеют одинаковый (по
абсолютной величине) магнитный момент, но
противоположные g-факторы. Показать, что «основное состояние» атома
е*е~ (позитрония) —дублет ^о, sSj —не может иметь
линейный эффект Зеемана. Использовать оператор
полного магнитного момента.
9.11. Получить точное выражение для собственных
значений энергии дублетного Я-уровня (скажем, атома
натрия), помещенного в магнитное поле В, пренебрегая
сверхтонкой структурой.
Гамильтониан системы имеет вид
tf =iiSL + n0(L+2S)B.
где е —величина расщепления при В = 0.
9.12. Вычислить сверхтонкое расщепление
энергетических уровней атома водорода. Предположить, что
электрон находится в «-состоянии.
9.13. Основное состояние атома водорода расщеплено
на два сверхтонких состояния, отстоящих друг от друга на
величину Д£ = 1,42-109 гц. Каково сверхтонкое
расщепление в атоме дейтерия?
9-14. Терм De/t в оптическом спектре |9К имеет
сверхтонкую структуру, состоящую из четырех компонентов.
а. Каково значение спина ядра?
б. Какое следует ожидать соотношение интервалов в
сверхтонком квадруплете?
9.15. Атом, не обладающий собственным магнитным
моментом, называется диамагнитным. Если пренебречь
спином электрона, то каков будет индуцированный
диамагнитный момент атома водорода в его основном состоянии
в слабом магнитном поле В?
9.16. а. Найти величину доплеровского уширения
линии для аргоновой трубки свечения при температуре
300° К- Длину волны излучения аргона принять равной
0,5 мкм.
СО
б. При каком давлении уширение, обусловленное столк-
вениями атомов, станет по величине одинаковым с допле-
Н°вским уширением для рассматриваемого аргонового ис-
Р° ниКа? Считать атомы аргона твердыми шариками радиу-
9.17- Найти отношение интенсивностей
последовательных линий в полосатом электронном спектре следующих
молекул, находящихся в идеальном тепловом равновесии:
1Н2, 2Н2, зНе^, *Нег.
Предполагается, что kT столь велико, что можно
пренебречь изменением интенсивности, связанным с фактором
Больцмана.
9.18. Потенциал двухатомной молекулы, ядра которой
имеют соответственно массы М2 и Мг, можно
аппроксимировать следующим выражением:
^._w.(j._j_).
где р = г/а (а —характеристическая длина). Найти
вращательные, вибрационные и вращательно-вибрационные
энергетические уровни молекулы для малых колебаний,
используя разложение эффективного потенциала в
степенной ряд.
9.19. Дальний инфракрасный спектр НВг состоит из
ряда линий, отстоящих друг от друга на расстоянии 17 см'1.
Найти расстоние между ядрами в молекуле НВг.
9.20. Энергия диссоциации молекулы Н2 равна 4,46 эв,
а молекулы D2—4,54 эв. Найти энергию колебаний
молекулы Н2.
9.21. Электрический заряд мюона равен заряду
электрона, а его масса примерно в 200 раз больше массы
электрона. Известно, что ц-мезоатом водорода может
существовать. Также известно, что такой атом может соединиться
с протоном и образовать мезомолекулу Нг, состоящую из
Р • Р+, ц ". Предполагая, что мюон ведет себя в такой моле-
Куле подобно электрону в Нг, сделайте разумные оценки
Равновесного межъядерного расстояния г, энергии
колебаний молекулы с п — 0 и энергии связи молекулы.
Используйте следующие данные: межъядерное расстояние в
модуле Нг равно I А, энергия колебаний с п = 0 равна
у»14 эв и энергия связи —2,7 эв.
61
10. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
10.1. Многие металлы могут иметь как
объемноцентрированную, так и гранецентрированную кубическую
кристаллическую решетку. Замечено, что переход от одной
структуры к другой сопровождается лишь незначительным
изменением объема. Предполагая, что в таком переходе объем
вовсе не изменяется, найти отношение Dj/D2, где Dx
и D2—наименьшие расстояния между атомами металла
соответственно в гранецентрированной и объемноцентри-
рованной решетках.
10.2. Тольман экспериментально определил отношение
е/тдля электронов методом, в котором металлический
образец получал механическое ускорение. Предполагая
электроны в металле свободными, объяснить, как это можно
сделать.
10-3. Определить электронное сродство F атома хлора,
если известны следующие свойства: энергия решетки
хлорида лития А = 192 ккал/моль; теплота образования LiCl
В — 97 ккал/моль; потенциал ионизации атома лития С =
= 5,29 в; теплота сублимации лития D = 38 ккал/моль;
теплота диссоциации молекулы хлора Е = 58 ккал/моль.
10.4. Для германия эффект Холла не имеет места.
Какая часть тока в образце переносится электронами, если
подвижность электронов в германии равна 3500смУ(в- сек),
а подвижность дырок 1400 смУ(е-сек)?
10.5. Кристаллическая структура железа при комнатной
температуре представляет собой объемноцентрированную
кубическую решетку (фаза 1). Она переходит в
гранецентрированную кубическую решетку (фаза 2) при
температуре 910° С. Теплота перехода L равна 253 кал!моль.
Добавление небольшого количества углерода понижает
температуру перехода. Оценить изменение температуры перехода,
обусловленное добавлением 0,1 % атомарного углерода.
(Растворимость углерода в гранецентрированной
кубической решетке железа значительно больше, чем в объемно-
центрированной.)
10.6. Кристаллическое тело в состоянии возбуждения
упругих тепловых колебаний можно рассматривать как
систему N различных независимых квантовогармонических
осцилляторов с одинаковой угловой частотой (о (модель
Эйнштейна). Вывести выражение для закона
распределения системы. Вычислить среднюю энергию системы при
высоких и низких температурах. Найти удельную молярную
62
пл0емкость С для обоих предельных случаев и проана-
те ,рОВать справедливость модели в этих случаях.
^И 10-7. Удельная теплоемкость решетки определенной мо-
ифцкации углерода зависит от температуры как Т2, а
^е как Т3, что обычно имеет место для твердых тел. Что
можно сказать о структуре этой специфичной фазы угле-
10-8. Проводимость чистого полупроводника при 7*!=
г= 273° К равна 0,01 сим. Из оптических измерений
известно, что валентная зона лежит ниже зоны проводимости
на 0 1 5е. Вычислить проводимость полупроводника при
Гг= 500° К.
10.9. Параллельный пучок электронов с энергией 25 $в
падает на тонкий поликристаллический экран,
изготовленный из металла, имеющего кубическую решетку с
постоянной решетки, равной 5 А. Когда была сделана фотография
дифракционной картины, образованной прошедшими через
экран электронами, обнаружилось, что угловой диаметр
наименьшего круга равен 120р. Какова глубина
потенциальной ямы для данного металла?
10.10. В электрическое поле напряженностью Е
помещен кристаллический изолятор. Показать, что электрон
в кристалле будет осциллировать в соответствии с
уравнением
e(x-x0)E = e(k0-f ^-e(k0)>
где с и к0 —соответственно энергия и импульс электрона.
Оценить характерные для таких колебаний амплитуду и
период.
10.11. Позитроны аннигилируют с электронами в
конденсированных средах с сечением o(v) = o^c/v, где v —
относительная скорость аннигилирующих частиц.
Предположим, что большая часть позитронов аннигилирует,
находясь в состоянии покоя, и что два аннигиляцнонных
фотона излучаются изотропно в системе центра масс электрона
и позитрона.
а- Показать, что если с позитронами аннигилируют
лишь внешние (валентные) электроны, то два аннигиляци-
°нных фотона излучаются в противоположных
направлениях в угловом конусе с полушириной б рад, гдеб « 1/137.
б. Вывести функцию распределения W(t) для металла,
^Держащего известное число электронов проводимости в
63
единице объема. Будет ли температурный эффект в этом
случае?
10.12. Рассмотреть в рамках модели свободных
электронов распространение звуковой волны с частотой ы и
волновым числом к в металле с N атомами в единице объема.
Получить выражение для скорости звука в металле.
Численный расчет провести для алюминия, атомный номер
которого равен 27, а число валентных электронов равно 3.
Указание. Решетку рассматривать как «тяжелую»
плазму, экранированную электронами.
11. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
11.1. Пионы и мюоны с одинаковыми импульсами
140 Мэв/с проходят сквозь прозрачное вещество. Найти
диапазон показателя преломления этого вещества, так чтобы
излучение Вавилова —Черенкова давали лишь мюоны.
Использовать следующие данные: mnc2= 140 Мэв, /nucs=
= 106 Мэв.
11.2. Чтобы объяснить ядерные силы, Юкава
предположил существование частицы с отличной от нуля массой
покоя —мезона. Получить соотношение между радиусом
действия ядерных сил и массой мезона, воспользовавшись
принципом неопределенности. Оценить массу мезона.
11.3. Пучок высокоэнергичных антипротонов попадает
в жидководородную пузырьковую камеру длиной /.
Предположив, что сечение упругого рассеяния ое\ и полное
сечение о не зависят от энергии, вывести выражение для
Р2(/) — вероятности того, что падающий антипротон дважды
испытает упругое рассеяние и выйдет из камеры.
11.4. Время жизни нестабильного ядра определяется
интервалом времени между двумя событиями: образованием
и распадом ядра. Среднее время жизни можно определить
следующим образом: каждый импульс от детектора,
регистрирующего акт образования нестабильного ядра,
пройдя через линию задержки с известным временем, поступает
на схему совпадений. На другой вход схемы совпадений
поступает каждый незадержанный импульс от детектора,
регистрирующего акт распада. Измеряется скорость счета
совпадений при двух значениях задержки /г и t2.
Предположим, что фоном и случайными совпадениями в данной
задаче можно пренебречь. Кроме того, предположим, что
скорость распада К приближенно известна и схема совпаде-
64
ИЙ такова, что 1/А, значительно больше разрешающего
воемени схемы совпадений.
Как определить К по наблюдаемым скоростям счета
совпадений Сг и С2, соответствующим задержкам tt и /2? Если
суммарное время на измерение равно 7\ то как
распределить его между двумя измерениями величин Сх и С2?
(Предполагается, что одновременно измерять обе величины
невозможно.) Какие задержки tx и tz целесообразно
использовать?
11.5. Эксперимент (реакция срыва дейтрона)
показывает, что основное состояние ядра "О образуется из
основного состояния 1бО присоединением к нему нейтрона с
орбитальным моментом 1 — 2. Первое возбужденное
состояние образуется присоединением нейтрона с орбитальным
моментом / = 0. Что можно сказать на основании этих
данных о спине и четности основного и первого
возбужденного состояний ядра 170?
11.6. Могут ли частицы
/о (JP./)=(2+,0);
ш° (Л/)=(1-,0);
■п° Up,/)=(o-,o)
распасться на два пиона? Аргументировать ответ в каждом
случае. (J и Р —соответственно спин и четность частицы,
/ —изотопический спин. Предполагать, что
изотопический спин и четность в распаде сохраняются строго.)
11.7. Частица А благодаря сильному или
электромагнитному взаимодействию распадается на частицу В и
частицу С. Доказать, что если спин частицы А равен 1/2, то
продукты распада должны разлетаться изотропно даже в
том случае, когда частицы А поляризованы.
^11.8. Зная, что спин я"-мезона равен нулю, а четность
Дейтрона положительная, показать, каким образом из
факта существования реакции
х~ (остановившаяся) + d-*-n+ n
определить четность л "-мезона.
И'9. Элементарные частицы д, р, я, я+, я0, я" имеют
Следующие собственные квантовые числа (/ —изоспин,
в третья компонента изоспина, S —странность):
65
Мультиплет
Л
N
п
Частица
А
Р
п
71+
Я»
я"
S
—1
0
О
1
О
1
2
1
1,
О
1
+ т
1
~ 2
+ 1
О
—1
Слабый нелептонный распад
А-*-N -{- 7z
подчиняется правилам отбора
|S,-S,| =1; | /,--/, | =^-
(индексы < и/ обозначают соответственно начальное и
конечное состояния) и, конечно, закону сохранения заряда.
Вычислить следующее отношение вероятностей распадов:
. Вероятность распада Л -* рт~
Вероятность распада Л -> ля°
Сильные взаимодействия сохраняют /, /3» S и
электрический заряд. В частности, эти квантовые числа должны
сохраняться и в реакции
K + N-+K + &,
обусловленной сильным взаимодействием. Показать, как
из известного отношения сечений
о (тГ р -» К0 А) _ о
о (тси л -* К° Л)
можно определить изоспин /("-мезона.
11.10. В оболочечной модели ядра предполагается, что
нуклоны в ядре движутся в общем ядерном потенциале
(рис. 40). Спины и орбитальные моменты частиц связаны
взаимодействием —2aSL, где а —положительная по-
66
иная. Воспользовавшись этой моделью, предсказать
Учения спинов и четностей следующих ядер:
а) ?Н; б) iLi; в) "ЬВ; г) '?N.
Рис. 40
EftMaKfWMO
Рис. 41
11.11. Предложить серию экспериментов, которые
позволили бы измерить энергии излучаемых (3"-частиц и
т-квантов в распаде, схема которого показана на рис. 41,
и проверить справедливость этой схемы.
11.12. Излучение определенного радиоактивного
вещества исследовалось на (3-спектрометре. Бета-спектр был
разделен на две компоненты с граничными энергиями
0,61 Мэв и 1,436 Мэв. Высокоэнергичная компонента
оказалась в четыре раза интенсивнее низкоэнергичной. Когда
геометрия была изменена так, что т-кванты,
сопровождающие Р-распад, падали на тонкую серебряную фольгу,
расположенную на месте источника спектрометра, то
наблюдались следующие пять фотоэлектронных линий:
Фотоэлектронная линия
А
В
С
D
Е
Е. Мэв
0,216
0,237
0.801
0.822
1.042
Интенсивность
Сильная
Слабая
»
Очень слабая
» »
нергии связи К- и L-оболочек в серебре соответственно
Равны 25 и 4 кэв. На основании этих данных составить
правдоподобную схему распада для исследуемого
радиоактивного вещества.
67
11.13. Показать, что конверсия высокоэнергетичного
фотона в электрон-позитронную пару может происходить
лишь в присутствии третьего тела.
11.14. Пионы рождаются в ядерных взрывах (звездах)
и регистрируются в фотоэмульсиях. Обнаружено, что
с кинетической энергией меньше 5 Мэв из ядер серебра
фотоэмульсии вылетают лишь отрицательные пионы.
Почему не наблюдаются положительные пионы с
кинетической энергией меньше 5 Мэв?
11.15. Ядро ?JSi переходит в «зеркальное» ядро ?^А1
путем позитронного распада. Максимальная энергия
позитронов равна 3,48 Мэв. Предполагая, что радиус ядра
определяется выражением г0А1>', где А —массовое число,
оценить значение г0 из этих данных.
11.16. Ядро "N в результате 0 "-распада переходит в
возбужденное состояние "О. Максимальная энергия jj-час-
тиц равна 3,72 Мэв. Возбужденное состояние 170, в свою
очередь, распадается с испусканием нейтрона. Ядро "F
претерпевает позитронный распад с максимальной
энергией позитронов 1,72 Мэв. После этого распада других
излучений не наблюдается. Различие в массах:
п—1Н =0,78 Мэв, (1)
"N — 170 = 8,80 Мэв, (2)
ieO -f »Н — "F = 0,59 Мэв. (3)
Ядро 160 имеет следующие возбужденные состояния: 6,05;
6,13; 6,9; 7,1 Мэв и выше.
а. Пользуясь лишь приведенными данными, вычислить
энергию испускаемых нейтронов в лабораторной системе
координат.
б. На схеме уровней ядер с А = 17 показать все
уровни, участвующие в цепочке распадов.
в. Какие качественные особенности схемы уровней для
ядер с А = 17 следуют из зарядовой независимости
ядерных сил? Показать на схеме уровни, которые можно
предсказать на основе зарядовой независимости ядерных сил.
11.17. Порог реакции MN(«, 2n)13N равен 10,6 Мэв.
Предположим, что азот воздуха облучается радиоактивным
источником, содержащим следующие а-излучатели:
Элемент
X
Y
Z
Период
полураспада, сек
101°
1
103
Энергия о-частиц.
Мае
5,0
Не измерялась
10,0
68
«*лм/но ли при этом ожидать образования l3N за счет реак-
11.18. Ядро можно рассматривать как сферу с заря-
м 2 и радиусом а, которая взаимодействует с
нейтроном или протоном при соударении. Вычислить отношение
сечений реакций ор/оп в рамках классической
механики.
ц.19. Заряженная частица, попав в фотоэмульсию,
замедляется от скорости 10е см/сек до тепловых скоростей.
Возрастает или убывает при этом плотность зерен, если
частица является а) электроном и б) ядром с зарядом
11.20. Вычислить в классическом и нерелятивиетском
пределах дифференциальное сечение рассеяния на малые
углы для быстрых магнитных монополей с зарядом g,
рассеивающихся на неподвижных ядрах с зарядом Ze.
Вычислить энергетические потери dE/dx монополя, который
проходит через диамагнитный образец, содержащий N ядер
в единице объема.
11.21. Получить формулу для дифференциального
сечения рассеяния при низких энергиях на потенциале, в
поле которого возможно образование одного
слабосвязанного состояния с рассеивающейся частицей.
11.22. Нейтрон связан с силовым центром силой
притяжения, действующей на расстоянии r0= 10"13 см.
Энергия связи основного состояния этой системы равна 1 кэв.
Каково сечение рассеяния нейтрона на таком силовом
центре при нулевой энергии? Предполагается, что функция,
описывающая потенциал, не имеет особенностей.
11.23. Пучок нейтронов с энергией 100 кэв, пройдя
сквозь слой графита толщиной 10 г/см*, ослабляется в два
раза. Что можно сказать о фазе s-волны при рассеянии
нейтронов на ядре углерода?
11-24. Необходимо быстро оценить (без таблиц сечений)
Долю нейтронов с энергией 14 Мэв, упруго рассеиваемых
(на любые углы) свинцовым экраном толщиной 2 см
(плотность свинца 11 г/см3), помещенным на пути нейтронов с
энергией 14 Мэв. Сделать наилучшую оценку, перечислив
Все предположения.
П.25. Толстая мишень марганца бомбардируется
пучком дейтронов (ток i) в течение времени / с целью пронз-
^Дства ядер 56Мп с периодом полураспада ТЧг. Вычислить
число активных ядер в мишени к моменту окончания
облучения, предполагая, что пробег дейтронов в мишени ра-
69
вен R, а сечение, усредненное вдоль пробега
дейтронов, а. Использовать следующие числовые значения: i =
= 4,8-10"» а; Ту, = 2,6 ч\ t = 5,2 ч\ R = ПО мг/см2; о =
= Ю"25 см*.
11.26. Проведя детальный расчет сечения рассеяния
тепловых нейтронов на орто- и параводороде, показать,
каким образом можно определить относительный знак трип-
летной и синглетной длин рассеяния.
11.27. Предположим, что дифференциальное сечение
do/dQ реакции р + р-*-л+ + Е)в системе центра масс
описывается при энергии Е выражением А + В cos26. Каким
будет дифференциальное сечение do/dQ обратной реакции
л++ D -+р + р при той же энергии в системе центра
инерции. Эксперимент выполняется с неполяризованными
пучками.
11.28. Нейтроны могут рассеиваться в кулоновском
поле ядер из-за наличия у них магнитного момента.
Выписать гамильтониан взаимодействия и вычислить в борновс-
ком приближении дифференциальное сечение рассеяния,
усредненное по спиновым состояниям (вычисления провести
для нерелятивистского случая).
11.29. Предположим, что атом железа имеет средний
магнитный дипольный момент на единицу объема, равный
\iig(r), гдец!—магнитный момент атома железа. Тепловые
нейтроны с импульсом к0, поляризованные
перпендикулярно к направлению своего движения и параллельно
направлению уц, рассеиваются железом. Заметим, что рассеяние
происходит как за счет ядерных сил, действующих между
нейтронами и ядрами железа, так и за счет магнитных сил,
действующих между нейтронами и атомами железа.
Вычислить относительный вклад этих двух взаимодействий
в сечение рассеяния и полные сечения рассеяния с
переворотом и без переворота спина. Считать, что рассеяние
обусловлено только одним атомом железа. (Вектор-потенциал
А(г) магнитного диполя ji равен lfir]/r3.)
11.30. Доминирующий распад 2 "-гиперона (спин
равен 1/2) —электромагнитный:
Хотя электрическое дипольное излучение запрещено,
так как 2 "-гиперон не имеет заряда, тем не менее распад
может происходить с излучением магнитного диполя
благодаря эффективному взаимодействию
70
"~ (М„+МА)С £0Л
t s — оператор, который переводит 1° в Л. Вели-
a eefiof(Mj» + Ma)c может быть интерпретирована
ЧИк магнитный момент перехода, взаимодействующий с
магнитным полем В = IvAl поля излучения. Считая
амплитуду излучения фотона плоской волной*
вычислить время жизни 2 "-гиперона для g — I. Массы
частиц равны:
МЕ„ = U92 Мэв и МА = 1116 Мэв.
11.31. Элемент с небольшим атомным номером Z
распадается, испуская позитрон и нейтрино. Максимальная
кинетическая энергия позитрона равна W = 50 кэв.
Вероятность распада в секунду равна Г,. Используя теорию
Ферми Р-распада (для разрешенных переходов), вычислить
вероятность К-захвата для того же ядра.
11.32. Система, массу которой можно считать
бесконечно большой, спонтанно излучает две различные
частицы с релятивистскими энергиями. Предполагая, что
распределение энергии между этими двумя частицами
определяется целиком фазовыми объемами (матричный элемент не
зависит от энергии), вывести выражение для
энергетического спектра частиц как функцию освобождаемой в
процессе излучения частиц энергии Е и масс покоя
испускаемых частиц т1 и тг. Применим ли полученный результат
к Р-распаду?
11.33. Мюон распадается на электрон и два различных
нейтрино со скоростью перехода, определяемой
выражением
« _ 2« / я \» Vp2 dp dn
h \ V ) 2ita ' fe3
dta
gji. *__B этих единицах eVfic = 4я/137. В системе единиц, где
/йс — 1/137, амплитуда равна
=-Ш"
веНкх-а>П
71
где g —константа связи; V —фазовый объем; to
—суммарная энергия трех испущенных частиц; р —импульс
электрона.
а. Вычислив число конечных состояний нейтрино на
единичный интервал энергии dn/dm, получить выражение
для спектра импульсов электрона (считая, что энергия
электрона приближенно равна рс).
б. Вычислить g2, исходя из среднего времени жизни
мюона
* =2,2 • 10~в сек (т^ = 207 те) .
11.34. Частица с зарядом, равным заряду электрона е,
спином 1/2 и массой покоя М спонтанно распадается на
электрон (масса т) и фотон. Среднее время жизни частицы
равно Т (в системе покоя). Предположим, что возможен
и обратный процесс, т. е. частица может образоваться при
облучении электронов электромагнитным излучением
соответствующей частоты. Какова должна быть частота
фотона (о0, если электроны (практически) покоятся? Какова
вероятность этого процесса, т. е. скорость переходов в
секунду на один электрон, если энергия падающих фотонов
в интервале частот £?а> и на единицу объема равна
C(co)rf(o? Каким будет ответ на второй вопрос, если спин
тяжелой частицы равен не 1/2, а 3/2?
11.35. В устройстве, состоящем из гомогенной смеси
урана и графита, протекает цепная реакция. Нейтроны
деления имеют среднюю скорость v и среднюю длину
свободного пробега Л = 10 см. В среднем они поглощаются после
100 столкновений. Коэффициент размножения равен k =
= 1,04. Вывести дифференциальное уравнение для
изменения плотности нейтронов во времени. Найти
критические размеры устройства, если известно, что оно имеет
форму куба.
11.36. Нейтроны замедляются в водороде.
а. Какова средняя энергия нейтронов и распределение
числа нейтронов на единичный интервал энергии рп(Е)
после п соударений? Предполагается, что рассеяние
нейтронов протонами сферически симметричное в системе
центра масс.
б. Найти установившийся поток нейтронов
(произведение плотности нейтронов на их скорость) как функцию
энергии и сечений рассеяния и поглощения, если дано,
что в 1 см3 замедлителя в 1 сек образуется q монохромати-
72
х нейтронов с энергией Е0 и известна энергетическая
4 исимость сечений рассеяния и поглощения нейтронов.
заВЦ.37. Медленные положительные и отрицательные мюо-
(ц'*■ И ) в вакУУме имеют среднее время жизни т0 по
Ношению к РаспаДУ на электрон и два нейтрино. Отрица-
^1пьные Мюоны могут, кроме того, захватываться на
атомные оболочки с последующим быстрым переходом на
/(-оболочку, с которой благодаря малому расстоянию от ядра
оНи захватываются ядром (/(-захват мюона).
а. Сделав реалистическое предположение, что
вероятность поглощения ядром пропорциональна доле времени,
которое мюон проводит внутри ядра, выяснить, каким
образом эта вероятность зависит от атомного номера
вещества в котором мюон останавливается.
б. Если время жизни на /(-оболочке водорода равно Тн,
то чему равны времена жизни т+ и т_ положительного и
отрицательного мюонов в цинке (Z = 30)? т„= 2,2- Ю-6 сек,
тн= 2,076-10~6 сек (временем перехода с внешних
оболочек на /(-оболочку можно пренебречь).
11.38. Циклотрон дает пучок дейтронов с энергией
200 Мэв. При бомбардировке дейтронами этого пучка берил-
лиепой мишени за счет реакции срыва (вследствие ядерного
соударения протон отрывается от нейтрона, позволяя
нейтрону продолжать первоначальное движение) получается
узкий нейтронный пучок. Вычислить приближенно
угловой разброс нейтронного пучка, обусловленный
внутренним движением в дейтроне. Использовать в вычислениях
упрощенную форму волновой функции дейтрона (предел
нулевого радиуса). Энергия связи дейтрона равна 2,18 Мэв.
11.39. Исследовать вибрационные возбуждения ядра с
атомным весом А и зарядом Z в модели жидкой капли с
учетом эффектов кулоновского отталкивания и
поверхностного натяжения. Вывести Критерий для нестабильности
по отношению к делению ядра. Для определения
поверхностного натяжения ядра воспользоваться тем, что оно
входит в полуэмпирическую формулу для массы ядра в
виДе члена
Мп = и0Аг/',
где
U0 = 14 Мэв
Указание. Воспользоваться решением задачи (2.35).
73
12. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА*
12.1. Сконструировать специальную печь и устройство
для точного измерения температуры, предназначенные для
исследования электрических свойств твердых веществ в
интервале температур 1800—2300° С. Рабочий объем печи
должен быть равен 10 см3. Предусмотреть возможность
исследования поправок на концевые эффекты,
обусловленные электрическими подсоединениями к исследуемому
образцу.
12.2. Сконструировать спектрофотометр для измерений
в интервале длин волны 1500—2000 А. В проект должны
быть включены источник (или источники света),
диспергирующее вещество и детектор (или детекторы).
12.3. Предложить серию экспериментов, в которых
измерялись бы механические свойства так называемой
«подскакивающей замазки» —кремниевого соединения,
которое подскакивает при ударе о твердую поверхность, но в
то же время растекается под действием собственного веса.
12.4. Сконструировать синхротрон с сильной
фокусировкой для ускорения протонов до энергии 50 Гэв, обратив
особое внимание на размер магнита, значения градиентов
поля, отношение длин прямолинейных секторов и круговых
секторов, накопление энергии в магнитном псле,
радиочастотную систему и стабильность орбиты.
12.5. Сконструировать радиочастотный датчик ядерного
магнитного резонанса для атомных пучков,
предназначенный для измерения ядерного спина и магнитного момента
одного из следующих изотопов: 8eRb, 24Na или 13*Cs.
12.6. Сконструировать магнит, стабильность и
однородность поля которого в интервале полей 1000—20000 ее
равны ±0,01%. Рабочая область, где поле В должно быть
постоянным, имеет следующие размеры: диаметр —12,5 см,
высота 2,5 см. Разработать также измерительную систему
для определения напряженности поля В с погрешностью
±0,05%.
12.7. Необходимо измерить мельчайшие нормальные
смещения поверхности. Опишите три наиболее
чувствительных метода и оцените минимальное смещение, которое
* Большая часть задач, собранных в этом разделе, допускает
различные варианты решения. Более того, п связи с техническим
прогрессом ответы на некоторые из вопросов сильно зависят от
уровня развития методики физического эксперимента. Поэтому в
сборнике нет решений этих задач.
74
зарегистрировать каждым из предложенных мето-
дов- Сравнить относительные достоинства кварцевой
ы и вакуумного спектрографа с отражательной диф-
пРи^0ННОй решеткой для следующих применений:
Р яля наблюдения тонкой структуры, обусловленной эф-
лмпом Лэмба — Ризерфорда;
яля исследования ультрафиолетовых полос молекулы СО
я интервале между 1300 и 1550 А;
для исследования в полярном сиянии эффекта Доплера,
вызванного частицами, пришедшими от Солнца;
для измерения спектральных интенсивностей методом
вращающегося секторного диска.
12.9. Предположим, что Вы подозреваете существование
•«■-квантов с энергией примерно 0,5 Мэв в излучении Солнца.
Пусть поток этих Т"квантов на орбите Земли равен
5 см~*-сек~1, а коэффициент поглощения их в воздухе
составляет 0,1 см2/г. Предложите эксперимент для
доказательства существования такого излучения. Докажите, что
это именно ^-кванты и что они действительно излучаются
Солнцем. Эксперимент должен быть практически
выполним. Какие могут быть источники фона в предложенном
эксперименте? Оценить чувствительность аппаратуры.
12.10. Описать любую возможную серию
экспериментов, которые позволили бы определить фундаментальные
постоянные е. т, с и А. Оценить достижимую в этих
экспериментах точность измерений.
12.11. Какие методы Вы использовали бы для измерения
а) магнитного поля в диапазонах от 10~3 до 10-1гс, от
1 До 10 кгс, от 100 до 250 кгс;
б) температуры в диапазонах от 10 "2 до Г К, от 1
До 4° К, от 1000 до 5000° К. Сформулируйте
экспериментальные особенности, благодаря которым Вы предпочитаете
тот или иной метод.
12.12. Предложить метод для определения числа Аво-
ГаДро с погрешностью лучше 5%.
12.13. «Классическим» экспериментом для определения
периода полураспада нейтрона является измерение скоро-
сти Накопления водорода в предварительно откачанном
^УДе, помещенном в реактор. Перечислить три обстоя-
ельства, затрудняющие постановку такого эксперимента.
12.14. Какие ядерные реакции наблюдаются при бом-
зрДировке лития протонами (нейтронами)? Как лучше
Детектировать эти реакции?
75
12.15- Какие методы годятся для измерений высокоом-
ных, низкоомных и промежуточных сопротивлений? В
каком диапазоне значений сопротивления каждый из методов
является наилучшим? Какова приблизительно точность
измерений в каждом из перечисленных методов?
12.16.* Каков принцип работы ускорителей на высокие
энергии, которые сейчас строятся в мире? Какие основные
трудности, по Вашему мнению, встречаются при
строительстве ускорителей каждого из перечисленных типов? Для
какого рода экспериментов наилучшим образом
приспособлен каждый из строящихся ускорителей? Предложите
программу исследований на одном из этих ускорителей.
Тщательно, в деталях, разработайте какой-либо эксперимент
из предложенной Вами программы. Что нового, по Вашему
мнению, внесут эти машины в наше понимание физики?
12.17. Какие методы Вы бы использовали для измерения
длины волны электромагнитного излучения в разных
частотных диапазонах? Опишите вкратце устройства,
необходимые для измерения в каждом из диапазонов.
12.18. Сконструировать звуковой генератор и источник
питания к нему для работы при номинальной частоте 50 кгц.
Звуковой генератор не должен содержать индуктивности.
Выходная мощность генератора на нагрузке в 200 ом
должна быть равна 3 вт.
12.19. Метод ядерного магнитного резонанса для
измерения ядерных магнитных моментов оказывается
пригодным для измерения магнитного поля в зазоре между
полюсами магнита с максимально возможной абсолютной
точностью. Предложить способ проведения таких измерений
напряженности поля порядка 10 кгс и проанализируйте
причины, ограничивающие точность измерений. Диаметр
полюсов магнита принять равным 15 см, расстояние между
полюсами 2,5 см.
12.20. Для эксперимента по исследованию
распространения света в движущейся среде желательно иметь
устройство, обеспечивающее движение воды по трубе с
внутренним диаметром 2,5 см и длиной 150 см с максимально
возможной скоростью. На концах трубы должны быть окна
для наблюдения. Сконструировать такую трубу и
соответствующее устройство и оценить величину максимально
достижимой скорости потока.
* Эта задача впервые была предложена в 1948 г.
76
91 Предложить эксперимент для измерения времени
12 образующегося в результате облучения медленными
,кИ„зНИ ами 6-активного вещества с предполагаемым перио-
нейтрон пада порядка 0,1 сек. Учесть возможное
придем по^-^овольно интенсивной долгоживующей компонен-
суТ°Шенить точность, с которой будет определено время
^.зни в предложенном эксперименте.
12.22. Батисфера представляет собой камеру, которая
жет быть опущена на большие глубины моря или океана
^служить там безопасным пристанищем для наблюдателя,
исследующего эти глУбины- Сконструировать такую бати-
пЪеру для глубин до 1000 м, обратив особое внимание на
конструкцию таких деталей, как иллюминаторы,
осветительное оборудование, устройство для регенерации
воздуха и т. д. Дайте по возможности наиболее завершенную
конструкцию.
12.23. Сконструировать сейсмограф для регистрации
трехмерных сейсмических перемещений с максимальной
амплитудой 1 мм и с максимальным периодом 30 сек.
12.24. Имея в распоряжении трехфазную линию с
напряжением 380 (±5%) в, сконструируйте источник
питания для магнита и сервопривод для управления магнитным
полем циклотрона с диаметром магнита 1 м.
Предполагается, что температура окружающей среды изменяется в
пределах (30 ± 10) С, максимальная напряженность поля
составляет 18 кгс, минимальная 15 кгс. Выберите марку
мягкой стали для магнита. Система управления магнитным
полем должна обеспечивать стабильность поля во времени
в пределах 0,1%.
12.25. Электроны ускоряются в синхротроне до энергии
3-108 эв. Сконструировать прибор для измерения формы
спектра if-квантов, излучаемых тонкой внутренней
вольфрамовой мишенью, бомбардируемой электронным пучком.
12.26. Сконструировать спектрометр для исследования
Дифракции, преломления и отражения рентгеновского
излучения с длиной волны 40 А.
12.27. В ядерной фотоэмульсии, экспонированной в
ысоких слоях атмосферы, зарегистрированы тяжелые ядра.
седедовать характеристики этих ядер другими экспери-
ентальными методами, не используя фотоэмульсионный
етод регистрации. Предложить экспериментальный метод,
оторый позволил бы определить источник этих ядер, и
^оды анализа экспериментальных данных, которые необ-
Димо будет использовать для интерпретации полученных
77
результатов. Подробно описать все аспекты эксперимента
и оценить ожидаемые интенсивности.
12.28. Предложить реально осуществимый эксперимент
для регистрации нейтральных мезонов, рождаемых в бе-
риллиевой мишени при облучении ее пучком протонов с
энергией 450 Мэв. Ток протонов на мишени составляет
1 мка. Вычислить минимальное сечение образования
нейтральных мезонов, которое можно измерить с помощью
предложенной Вами методики. Показать, каким образом Вы
отличите эти мезоны от нейтронов и Tf-квантов, которые
неминуемо будут присутствовать в исследуемом пучке.
12.29. Какова максимальная глубина скважины,
которую можно пробурить в Земле? Что ограничивает эту
глубину? Сконструировать соответствующее оборудование,
необходимое для бурения и сохранения скважины.
I \ 0,10
l \
J0'sceK I
Рис. 42
12.30. Высокоомный импульсный генератор генерирует
периодические импульсы, форма которых показана на
рис. 42. Частота следования импульсов 10* имп/сек,
амплитуда импульсов 0,1 в. Разработать принципиальную
схему осциллографа для наблюдения этих импульсов так,
чтобы характеристики импульса могли быть измерены с
погрешностью ±5%. Чувствительность
электроннолучевой трубки составляет 8 в/см. Нарисовать основные
схемы с обозначением параметров и вычислить или
приблизительно оценить параметры отдельных узлов.
12.31. Необходимо измерить нейтронные резонансы у
различных ядер в области энергий нейтронов 1—100 эв.
В качестве источника можно использовать ядерный реактор,
78
в защите которого имеется цилиндрический канал
диаметром а см. На выходе канала имеются как тепловые
нейтроны, так и нейтроны с энергиями вплоть до 10* эв. Резонансы
следует измерять с помощью кристаллического
спектрометра. Нейтроны регистрируются пропорциональным
счетчиком, наполненным газом BF3.
Начертить расположение экспериментальной установки
с указанием всех необходимых деталей, а также привести
(приблизительно) размеры установки, исследуемого
образца и т. д.
Разработать теорию кристаллического спектрометра.
Оценить разрешающую способность, ограничение пучка по
телесному углу, эффективное проникновение нейтронов
в глубь кристалла. Обсудить требования, предъявляемые
к интенсивности потока нейтронов в пучке, и проблему
измерения естественной ширины резонанса.
12.32. Сконструировать прибор для измерения лэмб-
ризерфордовского сдвига линии Не (I (Не*) с длиной волны
4868 А. Погрешность измерений должна составлять 10%.
Лэмб-ризерфордовский сдвиг для уровня водорода с п — 2
составляет примерно 1000 Мгц.
12.33. Сконструировать прибор для измерения скорости
света с погрешностью Ю-6, основанный на измерении
скорости распространения микроволнового излучения по
резонатору. Показать, как можно использовать
поглощение микроволнового излучения в аммиаке для
стандартизации частоты.
Привести схему установки в целом и рассказать, как
проводятся измерения.
Описать наиболее существенные детали установки и
указать необходимые меры предосторожности для
получения требуемой точности измерения.
12.34. Какие трудности возникли в эксперименте,
выполненном в лаборатории Чок-Ривер, описание которого
приведено ниже? Показать, как можно повысить
экспериментальную достоверность процесса распада, если
использовать методику совпадений. В какой связи находится
этот эксперимент с проблемой испускания нейтрино?
Радиоактивный распад нейтрона
Дж. Робсон, лаборатория Чок-Ривер.
Положительная частица. сопровождающая
радиоактивный распад нейтрона, была идентифицирована по измерениям
отношения заряда к массе н оказалась протоном. Коллимированный
лучок нейтронов из реактора «Чок-Ривер» проходил в зазоре между
79
двумя электродами, помещенными в откачанный бак. Один из
электродов поддерживался при положительном потенциале вплоть
По 20 кв, тогда как другой был заземлен н одновременно служил
входной апертурой спектрометра с тонкой магнитной линзой, ось
которого перпендикулярна к пучку нейтронов. Положительные
частицы от распада нейтрона фокусировались иа первый электрод
электронного умножителя. Скорость счета фона составляла
60 имп/мин. Максимум счета с числом отсчетов 80 имп/мин над
фоном наблюдался при значении магнитного поля в спектрометре,
соответствующем фокусировке протонов с энергией, ожидаемой в
результате ускорения в электростатическом поле. При перекрытии
пучка нейтронов тонким борным фильтром максимум в счете
исчезал. Предварительный расчет эффективности сбора и фокусировки
протонов н нейтронного потока указывает, что минимальное
значение времени жизни нейтрона составляет 9 мин. а максимальное —
18 мин.
12.35. В космическом излучении присутствуют
отдельные частицы с единичным зарядом и с неизвестной массой.
Энергия этих частиц составляет I09 эв. Сконструировать
аппаратуру для определения массы этих частиц с
погрешностью 5%, основанную на отклонении частиц в
электрическом и магнитном полях. Обсудить возможные источники
погрешностей. Предполагаемая масса этих частиц
составляет примерно 200 те.
12.36. Проникающий ливень с полной энергией 1010 эв
состоит из 5 заряженных мезонов, 5 нейтральных мезонов
и 2 протонов. Описать подробно прибор, с помощью
которого можно идентифицировать эти частицы и определить
их энергию.
12.37. Новый фотопроводящий материал РЬТе имеет
длинноволновый порог поглощения света около 6 мкм.
Какова ожидаемая зависимость соответственно фотосигнала
и шума от длины волны света и температуры? Сравнить
наилучшее отношение сигнала к шуму при комнатной
температуре с таким же отношением для термопары при
температуре сухого льда и температуре жидкого воздуха. Какие
эксперименты необходимы, чтобы определить: 1) является
ли фотопроводимость внутренним свойством этого
материала или же она обусловлена примесями? 2) является ли
этот эффект объемным, поверхностным или контактным?
3) знак носителей заряда, их удельную плотность, длину
свободного пробега и другие существенные параметры?
Каковы энергия активации и другие свойства этого
материала, используемого в качестве полупроводника?
12.38. Пучок нейтронов с энергией 2 Мэв и потоком
N см~2-сек~г падает под прямым углом на пленку из гли-
церолтристеарата СИН110 Ов (плотность 0,862 г/см3 тол-
80
щиной 100 мкг/см*, выбивая из него протоны отдачи в газ.
Предложить теорию и сконструировать детектор и
регистрирующую систему, основанные на измерении ионизации от
протонов отдачи, для измерения падающего потока
нейтронов N и максимальной энергии £макс- Обозначить
пороговую энергию детектирующей системы £„, энергию
падающих на пленку нейтронов Еп. Описать свойства
отобранного для измерений детектора. Посчитать ожидаемую
чувствительность детектора к протонам отдачи. Начертить
поперечный разрез детектора, указав все детали с
соответствующей спецификацией (размеры, материал и т. д.).
Начертить структурную схему электронной аппаратуры
с указанием функций, выполняемых всеми узлами
схемы. Привести спецификацию деталей схемы с указанием
рассчитанных или оцененных значений. Какова
эффективность е пленки? Какова энергия протонов отдачи,
летящих под углом 0° к направлению падающего пучка
нейтронов в детекторе? Каково амплитудное распределение
импульсов в детекторе? Какова эффективность счета
детектора? Показать, как в таких измерениях можно определить
фон ложных событий, имитирующих протоны отдачи?
12.39. Рассмотреть реакцию
1в7Аи + п -> 168Аи —► tS8*Hg -^ ie8Hg.
Период полураспада для возбужденного состояния ртути
равен Ю"8се«. Описать экспериментальное устройство, с
помощью которого можно было бы измерить этот период
полураспада. Каковы источники погрешностей и что
ограничивает точность измерений?
12.40. Пусть имеет место реакция ш1 + п -*-1281-> X.
Этот распад, для которого дочернее ядро неизвестно,
происходит с периодом полураспада 25 мин. Описать
эксперименты, с помощью которых можно было бы установить
полную схему распада 1281, образующегося в реакции
захвата нейтрона ядром 1271. Каковы ограничения и
погрешности в предложенном Вами методе?
12.41- Критически проанализировать по крайней мере
три экспериментальных факта, свидетельствующих в
пользу конечного возраста видимой Вселенной.
12.42. Рассмотреть возможность создания в
лабораторных условиях магнитного поля напряженностью 10е гс.
Объяснить, чем обусловлены ограничения, и указать
наиболее существенные соображения, положенные в основу
предлагаемого метода. Описать основные узлы аппаратуры
81
и их особенности, которые существенны для достижения
заданной напряженности поля, или той максимальной,
которая, по Вашему мнению, возможна.
12.43. Сконструировать криостат для проведения
измерений удельной теплоемкости при гелиевых температурах.
12.44. Сконструировать прибор для измерения
зависимости вязкости от температуры и давления в газообразном
азоте при давлении около 5000 атм.
12.45. Кислород является парамагнетиком, т. е.
обладает уникальным (для газов, составляющих атмосферу)
свойством. Сконструировать прибор, в котором
использовалось бы это свойство, для анализа потребления
кислорода человеком в процессе дыхания.
12.46. В настоящее время скорость света известна лишь
с погрешностью до нескольких миллионных долей.
Предложить эксперимент, в котором скорость света измерялась
бы с погрешностью Ю~7. Какое для этого нужно
оборудование? Какие поправки необходимо внести в результат?
Попытаться сделать этот эксперимент выполнимым.
12.47. Предположим, что нейтрон имеет постоянный
электрический дипольный момент. Предложить
эксперимент, в котором такой момент мог бы быть обнаружен, если
бы он был больше, чем электрический дипольный момент,
создаваемый двумя элементарными зарядами
(положительным и отрицательным), разделенными расстоянием 10"" см*.
Чем вызван интерес к вопросу о существовании
электрического дипольного момента у нейтрона?
12.48**. Какие шесть фундаментальных экспериментов
были выполнены после окончания второй мировой войны?
Перечислить их и объяснить значение каждого из них.
12.49. Какое имеется экспериментальное
доказательство того, что атомный номер химического элемента равен
заряду его ядра.
12.50. Указать и вкратце обсудить один хороший метод
для регистрации каждого из следующих пучков:
электронов с энергией 100 эв', фотонов с энергией 10"7 эв\ фотонов
с энергией 10"3 эв; фотонов с энергией 10е эв; метастабиль-
ных атомов; тепловых нейтронов; антинейтрино;
позитронов с энергией 10е эв; свободных радикалов; щелочных
атомов; фононов; нейтронов с энергией 107 эв; Л-частиц;
спиновых волн.
* В настоящее время 10~24 см (Прим. ред).
** Эта задача была предложена в 1956 г.
82
12.51. Исследовать приведенный на рис. 43 узел схемы.
Вычислить среднеквадратическое значение шума,
генерируемого в сеточной цепи этого высокоомного усилителя
постоянного тока при температуре 300" К. Параметры лампы
считать обычными. Какие упрощающие задачу
предположения Вы сделали? Какие нужны меры предосторожности
при использовании такого
каскада? Перечислить другие
возможные источники шумов на
первой ступени усиления.
12.52. Ротор центрифуги
Бимса вращается со скоростью
150 000 об/мин. Предполагается,
что скорость вращения
постоянна в пределах 0,1% в течение
любого пятиминутного
интервала времени. Рассчитать и
сконструировать прибор,
стабилизирующий скорость. Как его
использовать?
12.53. Какого типа детектор
Вы используете в каждом из
следующих случаев:
а) детектирование протонов и ($-частиц с одинаковой
эффективностью и с одной и той же амплитудой импульсов;
б) эффективная регистрация электронов с энергией
20 Мэв и одновременно нулевая эффективность
регистрации протонов с энергией 50 Мэв;
в) эффективная регистрация протонов с энергией 50 Мэв
и одновременно нулевая эффективность регистрации
электронов с энергией 20 Мэв;
г) эффективная регистрация -[-квантов с энергией 5 Мэв
с нулевой эффективностью регистрации а-частиц с энергией
5 Мэв;
ц) эффективная регистрация осколков деления с
нулевой эффективностью регистрации а-, ($-, -у-излучения.
12.54. Сконструировать постоянный магнит для
использования в исследовании космического излучения. Поле в
зазоре магнита шириной 2,5 см должно составлять 10 000 гс.
Полюсные наконечники должны быть круглыми с диаметром
25 см. Форма ярма магнита показана на рис. 44, а. Форма
и размеры отдельных частей магнита, за исключением
полюсных наконечников, произвольная. Петли гистерезиса
для мягкой стали и альнико приведены соответственно на
83
Рис 44
графиках рис. 44, бив. Проект магнита должен включать
в себя:
а) длину и поперечное сечение полюсов из альнико;
б) поперечное сечение ярма, изготовленного из мягкой
стали;
в) необходимые приборы и процедуру намагничивания.
Обсудить возможность изготовления каждой детали.
84
РЕШЕНИЯ
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
1.1 Этот своеобразный метод регулирования
рождаемости не воздействует на соотношение полов, поскольку
вероятность рождения мальчика равна 51%, а каждый
случай рождения является независимым событием.
Следовательно, искомое отношение в общине равно 51 : 49.
1.2. а. Выберем краску определенного цвета, скажем
цвета А, и используем ее для окраски верхней грани
игральной кости. Возьмем краску цвета В для окраски
нижней грани. Очевидно, имеется пять вариантов выбора
цвета В. Далее, покрасим обращенную к нам грань краской
цвета С. Оставшиеся три грани уже строго зафиксированы
по отношению к покрашенным. Мы можем распределить
оставшиеся три цвета для трех неокрашенных граней
шестью способами (3! = 6). Следовательно, всего имеется
30 различных вариантов.
Можно также для оценки числа вариантов
воспользоваться вращательной симметрией игральной кости. Если бы
не было вращательных вырождений, мы имели бы 6!
способов различной окраски. Однако имеется шесть граней,
каждая из которых может быть выбрана в качестве верхней,
и как только такой выбор сделан, любая из четырех граней
с помощью поворота может быть обращена к нам. Этим
исчерпываются все вырождения, и в результате мы имеем
61/6-4 = 30 способов различной окраски игральной кости.
В общем случае, для фигуры с N гранями, окрашенными
в N различных цветов, число вариантов равно NUR, где
R —число дискретных поворотов, не изменяющих
пространственное расположение фигуры.
б. Здесь необходимо принять во внимание то
обстоятельство, что игральные кости неразличимы. Так, если
игральная кость может быть окрашена N различными
вариантами (из первой части задачи мы знаем, что N = 30),
то число различимых пар игральных костей равно
65
/V(/V + l)/2 =465.
1.3. Рассмотрим правильный восьмигранник в свете
решения предыдущей задачи. В данном случае особенно
полезен подход с использованием симметрии фигуры. Если
одну из шести вершин восьмигранника направить вверх
(это можно сделать шестью способами), то все еще
остается четырехкратное
вращательное вырождение,
дающее 24 неразличимых
расположения
восьмигранника в пространстве. Или
рассуждаем иначе. Если
зафиксировать в
пространстве одну из восьми
граней (очевидно, для этого
имеется восемь способов),
то у восьмигранника
остается трехкратное
вращательное вырождение. И
первый, и второй пути
рассуждений дают один и тот же
Рис. 45 результат: у
восьмигранника имеется 24
вырожденных положения в
пространстве. Следовательно, имея краски восьми различных
цветов, можно изготовить 8!/24 = 7!/3 различающихся
восьмигранников.
Другой способ вычислений требует большей
тщательности. На рис. 45 изображена условная проекция
восьмигранника на плоскость. Пунктирные линии представляют
собой развертку нижней половины восьмигранника.
Окрасим одну грань в некоторый цвет (на рисунке она
затемнена) и повернем восьмигранник так, чтобы окрашенная
грань оказалась наверху. Теперь окрасим все грани, за
исключением граней А, В и С. Поскольку все другие грани
расположены относительно трех граней А, В а С вполне
однозначно, то возможное число сочетаний красок равно
7-6-5-4. Теперь для окраски граней А, В и С остается
только два варианта. Действительно, если какой-либо
определенный цвет выбран для любой из этих граней, то с
помощью поворота на место выбранной грани можно
поставить любую из трех. Таким образом, окраска первой из
трех граней не дает дополнительных возможностей, в то
86
ПЛРМЯ как для оставшихся двух граней имеются лишь два
варианта окраски. В итоге суммарное число вариантов
paBJ"i Полное число различных вариантов раздачи
кололи из 52 карт равно 52! Полное число вариантов сдачи
определенной команде двух наборов карт определенных
мастей равно
а = (26!) • (26!).
Число вариантов сдачи одной команде одной определенной
масти независимо от того, сдан ей или не сдан другой
полный набор, равно
Ь =(391). (261)/131
Тогда число вариантов, когда команде будет сдан
только один полный набор карт определенной масти, равно
Ь За. Член За представляет собой число вариантов
получить дополнительно полный набор карт одной из
остальных трех мастей. Если мы не интересуемся тем, какая из
мастей может быть сдана команде, то вероятность, что
команда получит лишь один полный набор карт любой из
четырех мастей, равна
р, = 4 (Ь — За)/52!
Вероятность получить целиком любые две масти равна
Рг~ 6а/521 (множитель 6 возникает из-за того, что имеется
шесть возможных пар мастей). Вероятность получить по
крайней мере одну масть целиком и, возможно,
дополнительно вторую масть целиком равна
Ру + Р2 = (46 — 6а)/52!
Заметим, что очень хорошим приближением является
пренебрежение вероятностью целиком получить две масти.
1.5. Вероятность того, что события имели место в п
определенных интервалах времени длительностью h, в то
время как в остальных интервалах событий не произошло,
равна (ЯЛ)"(1 — "Kh)N-nt где N — Ifh —полное число
интервалов. Число способов размещения п интервалов среди
полного числа интервалов N равно N\/n\(N — я)! и,
следовательно, вероятность того, что к моменту времени t
произойдет п событий, равна
Р"= ,,/' U №0->Л)У-".
п\ (N — л)!
87
Устремив N к бесконечности, воспользовавшись формулой
Стирлинга
М « V2^NNN e"v
и тем, что
lim (1 — WN)" =е-*',
получим распределение Пуассона
on
Заметим, что У Р„ = 1.
П=0
Среднее значение п равно
<n> = e~w V -^1 = е-" (X/) ew = W,
п=0
а среднее значение л2
<*> = е~" V -££21 = e~w (X/)_*_ [x/ew] =
= (X/)2 -f X/.
При Я,/ ^> 1 распределение Пуассона переходит в
распределение Гаусса для |х|<^ hi, для которых
их Г —ха "
dP = ехр ,
где п = Kt + х.
1.6. а. Две звезды, угловое расхождение которых равно
6 = Г, лежат в телесном угле ю = л82. Следовательно,
вероятность того, что две звезды образуют некоторую пару
с угловым расстоянием Г, равна р = ю/4л « 2,1-10"8.
Если двойную звезду определить как изолированную пару,
т. е. не как часть триплета, квартета и т. д., то вероятность
того, что некоторые две звезды образуют дублет, будет
равна р(\ —p)N~2. Множитель (1 —p)N~2 представляет собой
вероятность того, что оставшиеся звезды не образуют с
парой триплета, квартета и т. д. Если, однако, в качестве
двойных звезд принять также те пары, которые являются
составной частью триплета, квартета и т. д., то вероятность
88
таких двойных звезд будет равна просто р.
наблюдения тики ^ ^ 65оо) и, таким образом, и то,
в угой заАдссмотрения дают практически одну и ту же
вероятность Р-■ симых пар, которые можно образовать из
Число незли j^ Следовательно, ожидаемое
JW^}1_ р & JH. р == х= 0,45.
2 2
" веооятность того, что некоторые две пары звезд,
например (о» и (тб). гдеа, JI, т. б -обозначения звезд,
SniavioT две различные двойные звезды, в то время как
оставшиеся звезды не образуют с ними мультизвезд, равна
Рв = р*<1 -p)U- 2^ - П - (# - 3) р).
Действительно, если на небесную сферу дополнительно
поместить л-ю звезду, где л >4, то часть сферы, на
которую ее можно поместить так, чтобы она не входила в
комбинации с а, (3, т. б или другими звездами, будет составлять
1 —(п —3)р. Заметим, что если (N —3)р > 1, то PiZ =0,
поскольку в этом случае звезды расположены настолько
плотно, что невозможно их изолировать, чтобы они
образовали лишь две двойные звезды. В пределе Np <^ 1
можно получить интересное выражение для
X = (l-p)(l-2p)...[l~(N-3)p).
Л/—3
Возьмем 1пХ = 2 In(1-/р). Тогда, поскольку \р « 1
«-/Тпшто^у СправеДлиВо Разложение 1п(1-/р)«
/V-3
In Л ss - р V ,- ^ (дг_3) lN _2) pN2
^^^А ^ *•** *~~~ ——— _ — д,
и. следовательно. У _ -х
порядка /уэра / ^ — е , если пренебречь членами
Число независимые ЗЗДаче ^V « 1,2 • 10"*).
звезд равно ИМЫх способов образования двух пар из N
2 2iiT^T^
69
Таким образом, вероятность наблюдения любых двух
двойных звезд, но не более, дается распределением Пуассона
DP„ = _L (Л2Л2 х = -L l? e"* = 0.063.
2 \ 2 j 2
в. Обозначим три определенные звезды а, Р и f.
Вероятность того, что звезды $ и f лежат в пределах Г по дуге
от а, равна р\ Если определить тройную звезду как
изолированную от всех других звезд, т. е. она не является
составной частью высших мультизвезд, то вероятность
того, что рассматриваемые три звезды образуют тройную
звезду, равна р\\ —р)ы"г- Однако, если не заботиться о
том, чтобы триплет не был составной частью высших
мультизвезд, то искомая вероятность равна просто р2. Так как в
данной задаче Np ^ 1, то оба варианта рассмотрения
практически приводят к одной и той же вероятности р2. Число
независимых триплетов, которые можно образовать из N
звезд, равно
31 (N — 3)! 31
Следовательно, вероятность наблюдения триплета равна
yV3p2/3l=2- 10"5.
1.7. а. М = М + и М + = М ~\ т. е. матрица М эрмитова
и унитарна. Поэтому собственные значения ее ph равны ±1.
Далее, так как Sp М = 2 Мп = 0, то Ер* = 0и четыре
значения ^ следующие: +1, +1, —1, —1. Напишем
выражение для собственного вектора
для ^ = -J-1, хх— xi и х3— х2, следовательно,
'-*(!)■'-*(!
являются двумя подходящими решениями.
90
Аналогично А»" ■»
—1
о, !-
* /2
О
1
— 1
О
и *
/2
1
О
о
— 1
б. Три»
L тгТОИТ В ТОМ, ЧТОбЫ СОСЧИТЭТЬ
сальный подход состоит
Л ^
то
2
следующее: * _ 2|*« + » = 0*" ~ !)1
°:det,W и п* диагонализованы одновременно. i
1.8. Если W и па собственных значений Я .
£Х? представляет собой СУ >ены без диагонаЛизацин.
2Гмк онТ Й^Гинвариангами. Следовательно,
VxI=Sp//wtar = 2//" =6,
и —
Здесь учли, что матрица Н симметрична, поэтому HifHit -
"" l.ft Для вычисления используем следующие свойства
матриц Паули: о? = 1 и Sp (о, ofc) = 28,fc. Разлагая
экспоненту и учитывая первое свойство матриц Паули, получим
е1"* = cosa + i -2L sin a,
а
где, а •= |а|. Отсюда
gioa etob
■cosa cosfr — («ОИ») sinQ sinfca.
aft
+ 1-2L
cosЬ sin a + 1 -Si sin & cosa.
опустим члены77инейн^1еЫ--СВ-ЙСТВОМ ШТРИи Паут "
по о:
Далее воспользуемся
опустим члены, лине
7*-2,
■ cos о спч Ь 2аЬ ■ - к
cos о -sine smb.
ab
91
1.10. а. Из свойства определителей
detA6 = deti4 det Б,
где А и В —произвольные квадратные матрицы, следует,
что определитель тензора второго ранга инвариантен
относительно преобразования координат
I
Действительно, если А' = UAU, где detf/ =det(/ = ± 1,
то det A' = det А. Здесь U — транспонированная матрица
по отношению к матрице U. Итак, определитель
det (T —XI) представляет собой кубическую форму по Я,
и является инвариантом относительно данного
преобразования. Более того, коэффициенты перед членами с
различными степенями Я, являются инвариантами, поскольку эти
члены линейно независимы. Эти коэффициенты приведены
ниже:
/0 = detT;
'l== ' 22' 33 "Т" '33' 11 "Т" ' 22' Ц ' 12' 21 — '13' 31 — '23' 82»
б. Геометрический смысл /0 хорошо выявляется в
системе координат, где Т —диагональная матрица.
Обозначим в этой системе диагональные элементы так:
'U- Q2. '22 -. 'S3 J-
Тогда легко видеть, что уравнение поверхности
1=2 Тм xt xh
определяет эллипсоид с главными осями с, & и с. Объем
этого эллипсоида равен
3 3 [ТцТ^Т83J
Следовательно, /0= (4n/3Q)'.
Сечение плоскостью xlt xz определяет эллипс, уравнение
которого имеет вид
1 = Тпх* + Тггх\ + 2Т12хгх2 (х3 — 0).
Площадь этого эллипса Ла определяется уравнением
ъ21А\ = Ти Т22 — Т\г.
92
Таким образом- > + JLV
онЫ аналогичным образом. Геометри-
л и А* определены ^^ цто есЛИ ЭЛЛИПСоид рас-
где Ак ™ысл заключается (незамкнутая поверх-
^n^S^^^S^ плоскосгей), вершина
нГсть Образуемая пер«* эллипСОида, то сумма обрат-
^^^«^«^"^ений „е зависит от ориентации
ных квадратов пли»
трехгранника. антн0сть /, эквивалентна утвержде-
Аналогично. инвари ды (три взаимно перпен.
нию, что для ортогон- которой совпадает с центром
дикулярные "Р^Гобратных квадратов длин отрезков до
J5S2S Поверхностью эллипсоида не зависит от
ориентации триады бенность которой в точке г0
предтвляГЖй полюс n-го порядка, может быть раз-
лпжрна в ояд Лорана
ложена в ряд Лорана
где
При интегрировании /(г) по замкнутому контуру,
охватывающему только эту особую точку г0, остается лишь член
1/(2 —г0) и интеграл равен
Вычет в точке z =» г0 определяется по формуле
1 d<n-l>
eSifr^6 е"/г8 и l/sin° * в точке г - 0 равны соот-
1.12. Подынтегральное выражение —аналитическая
функция, имеющая полюсы в точках, показанных на
рис. 46. Контур интегрирования деформируем так, чтобы
он не пересекал особые точки. При е ->- 0 полюсы находятся
в точках k — ±а. При замыкании контура на бескон еч
/7\
Рис. 46
ности в верхней полуплоскости контур охватывает лишь
полюс при k = -\-а. Тогда интеграл равен вычету
подынтегральной функции в точке k — а, умноженному на 2л»:
ftdJL.jq ' ] =.
21 dfe2 L (k + a)3 Jfc=0
3ri
8aB
1.13. Так как подынтегральное выражение в точке
г = 0 —аналитическая функция, то
/ _ С si ns г
dz,
где С —контур интегрирования, изображенный на рис. 47.
2-й
КУ
Рис. 47
На этом контуре
sin3 2
sin z = — (е'г — е"'*) и
2i '
(ез1* _ Зе'г + Зе"'г — е_з1г).
(2i)8
Далее применяем лемму Жордана. Члены с положительным
(отрицательным) мнимым показателем экспоненты вычис-
94
контура полуокружностью бесконеч-
л„ются замыканием (нижней) полуплоскости. Но вклад
ного радиус в верхи ^ каК контур, замкнутый в ниж-
последннх равен ну» 'охва1Ъ1ваег особенностей. Члены же.
ней полуплоскости. замкнутому в верхней полу-
интегрируемые "° чет'в точке г = О, и, следовательно,
плоскости, имеют
интеграл равен ^ ^__^ , _ы_ 6(ip _ 3.
~)а (2i)3 '2 4 '
1.14. а. Рассмотрим интеграл J ^ Л (контур С по-
\ Замкнут на
f бесконечности
Рис. 48
казан на рнс. 48). Контур замкнут на бесконечности, и,
так как он не охватывает особенностей функции г/(ег —1),
получаем
Взяв действительную часть, получим
С xdx р xcjx п
ydy
о ■ о 2
:тво, что действительная часть
(Замечание:^ то обстоятельс
интеграла Г уаУ_ япп
^ eiy __, является простым интегралом, есть
следствие удач нот ™л
Теперь^аеТя докТаГ^
доказать простое соотношение
(* Xndx со
1 ёйГГТ = О — 2-"\ Г *"«**
о +| 'J ?TZ7' n>°-
95
из которого окончательно имеем
00
xdx т?
I
I
б- Используя тот же контур и аналогичную
аргументацию, а также вычисленный интеграл 1Х, можно показать,
что 1а— я4/15. Стоит заметить, что интеграл /8 встречается
при вычислении плотности энергии излучения черного тела.
1.15. Обратное преобразование Фурье равенства
дает
—«»
00
—со
Пусть f(x) = (е"" 4- е""*) / 2, тогда
</е-да/4 + у,е1*-/4
F(k) =
4г
где
+СО
—Св —00
Здесь использована подстановка у =(1 + \)s/Y^.
Контур интегрирования изображен на рис. 49.
Интегрирование по круговым дугам в пределе больших s дает
нулевой вклад. Окончательно имеем
Рис. 49
96
1.16. Функция F{p) = o2/(p2 + о2) аналитична всюду,
за исключением точек полюса р = ±ia. Это позволяет
написать следующее выражение:
■;
с условием, что а >0. Используя обратное преобразование
Фурье по отношению к k, имеем
00
е-* f(t) = — Г е'*' F (о + Щ dk для t > 0.
2я J
—00
Интеграл может быть взят методами контурного
интегрирования. Для этого необходимо замкнуть контур
полуокружностью большого радиуса в верхней полуплоскости.
Функция F(a -f- \k) имеет полюсы при k = ±а + icr.
Проинтегрировав, получим
или /(/) = a sin аЛ
1.17. Пусть г = fi<p, тогда
2л
J a + cos <f • J
dz
г2 -f- 2ог -f 1
о
Интеграл берется по окружности единичного радиуса \г\ =■
= 1 в комплексной плоскости г. Знаменатель имеет корни
при г — — а ± У а2— I.
а. Для а > 1 корень — а -J- ]/а2 — I расположен
внутри единичной окружности, в то время как второй корень
находится вне этой окружности. Таким образом, в интеграл
дает вклад лишь полюс в точке г — — а-\-У а?— 1. Вычет
подынтегрального выражения в этом полюсе равен —
—i (а2—I) ,/'. Тогда окончательно получим /=2тс(<х2—1) v\
б. Для | а | < 1 запишем корни знаменателя в виде
z± — — а ± i ]/l — а2. Теперь для а = а0 -f- ie, где
О < а0 < I и е > 0, будем иметь при е -»- О
97
2± « — (<*„ + ie) ± i |/ 1 _ ^ ±
a„e
в первом порядке по е
Ы2 = ^ 2е
Таким образом, корень 2+ находится внутри единичной
окружности, а корень г_ — вне ее. Следовательно, в интеграл
дает вклад лишь полюс при г = г+. Вычет в этой точке
равен— (l — <хо) ''', а интеграл / = — 2ni (l — oo)~v*.
в. Для а= —1 можно записать —l+cos<p= —2sin2-^-.
«/2
Тогда интеграл /=—21 расходится.
J sin2 6
о
1.18. Сделав подстановку и = sh x, получим
СО +00
1 J l + «a J (1 + «2)2
—00 —00
В таком виде эти интегралы значительно легче берутся
методами комплексного интегрирования. Оба интеграла
могут быть замкнуты в верхней полуплоскости, причем
подынтегральное выражение первого интеграла 1Х имеет
полюс при и = -f i с вычетом l/2i, а подынтегральное
выражение второго интеграла /3 имеет полюс второго порядка
при и — -И с вычетом
d
du
Окончательно имеем
Г ' 1 =-L.
L (" + 0я J«=«i 4i
, 2к\ , 2т к
/, = = те и /о = = .
1 2i 3 4i 2
1.19. Пусть г = e'f. Тогда интеграл преобразуется в
контурный интеграл по единичной окружности
J \г (г+ Ь/а) (г + а
2Ьг
/Ь)2аЬ
98
Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках
2=0, zi= — a/b и 22 = — Ыа.
а. Пусть |а|>|6|. Тогда внутри контура находятся два
полюса при г = 0 и гг— —bla и, следовательно, интеграл
равен
1 а(Ь*/а* + l) + 2fc(— Ыа)
Ыа — bja + alb
2ab L
ol = 0.
+ 0 -
б- Пусть теперь |6|>|о|. Внутри контура окажутся
полюсы при 2 = 0 и гх— —alb, и интеграл будет равен
/ =
2п
2а Ь
а(а*1Ь*+ \) + 2Ь(—а1Ь)
Ыа — а/Ь
2*.
Ь
+
1.20. Проинтегрируем выражение г^'е-* по контуру,
изображенному на рис. 50. Поскольку внутри контура не
имеется особенностей, то
f
zx-l е-г dz = д.
При устремлении радиуса
выреза RT к нулю I ->■ 0.
Аналогично, f -*■ 0 при RT -> оо.
г,
равен
Рис. 50
Интеграл по 1\
00
f t*-le-'dt, а по Г3
0 09
J (it/Г1 е-'у idy = - е'*"2 Г r-1 e-l> <Л/.
». о
Следовательно,
f /*-* e~* dt = ei,uc/! f y» e-'y Л/ = Г (*).
Умножив на ехр(—injc/2) и взяв действительную часть,
получим искомый ответ.
99
1.21. Возьмем в качестве контура интегрирования
прямоугольник со сторонами у — 0, у = 1, х = ±R и с
выемками в точках (0, 0) и (0, 1), как показано на рис. 51. Тогда
Ч
1
г, rz г3
Рис. 51
$^ = °= 1 -'■ + •■• + '-
где
Г|+Г,+ ... +Г,
ах ,
1 J eh(«) J sh(*x) ' 3_J
—R • (
е*" dx
sh(wc)
/4 + A
J Alii
,fl(R+«f)
8 J sh[*(fl + i</)J
о
mfdy +
0
j *l*(-R + iy)]
dy-*0
при R-
■ -R
С ea(x+l) Г eo(jr+l) __
/б + 7' = J Л [«(* + !)] dX + J sh[«(x + l)] ~
(* + W
—•
я elaeajc /• е1ае-од
= — \ dx— \ dx.
J sh[*(x+i)l Jsh[*(—x + i)]
В окрестности точки z = 0 еог / sh (tcz) = 1/тсг, а в
окрестности г = i e°*/sh (rcz) = — eeVn (z — i). Следовательно,
Далее,
так что
к 2я
ie01.
sh [re (i + x)] = — shicx = — sh |rc(i — *)],
R R
eiaeaxdx С tfe-^dx
/ . / _ f e'° e"* d* Г
sh (iuc)
100
и, следовательно, при R -*■ той е -> О имеем
°° ela(tax—e-ax)dx
•>+~+4iJ^rL+S
sh(icjr)
+
Таким образом,
00
■dx
+ i (е^ — 1) = 0.
J
1
sh ax dx 1_ е'а —1 1_ . о
~ 2i * е*а + I ~~ 2 2
2sh (их) J sh (тс)
о о
1.22. Подынтегральное выражение имеет полюсы
первого порядка при z = ±i. Так как в числителе имеется
квадратный корень, сделаем разрез вдоль действительной
Рис. 52
оси от 0 до то. Показанный на рис. 52 контур охватьшает
полюс в точке z = i и нигде не пересекает разрез. Интеграл
по контуру равен
CD
£ z'*dz_n(l+i) ,. С х'Ых
9?тт—yi—(14_0j i^tit'
откуда
С xl'-dx _ к
J (*2+l) V2
Здесь мы использовали то обстоятельство, что |/T=(l-f-
+ 0//2.
101
1.23. Функция I/sin (яг) имеет полюсы при г = п (п —
целое число), вычеты в которых равны (—1)я/л. Интегрируя
функцию l/2iz*sin(n2) против часовой стрелки вдоль
контура, охватывающего особенности лишь в точках г = п
(п = 1, 2, 3,...), получаем
-rf
г* sin (кг)
Сумма по л равна
.'-._Лв±1Л1
2
(—1)" 1 Г Л
г^
пя 2i j zi sin (кг)
где С —контур, приведенный в задаче (см. рис. 1). Этот
контур можно замкнуть полуокружностями над
действительной осью и под ней. Обход этих дуг не даст вклада в
интеграл, и, следовательно,
£N (—1)" i £ йг
ч* 4i T z* sin Ыг)
п* 1 С
где С — контур с направлением обхода по часовой стрелке,
охватывающий лишь одну особенность в точке г = 0.
Функция 1/г4зт (яг) имеет вычет в точке г = 0, равный
14я8/720. Следовательно,
V1 (—')" ^ _ 7"*
^4 n* ^ 720
1.24. а. Многозначность функции ^(z) обусловлена
двумя причинами:
1) многозначностью, скрытой в определении логарифма,
так как
In ш => In | ш | + iG + 2*1/?.
где u> = | u> | e'" при — я < б < it; p — целое число,
2) двузначностью p(z).
Мы определим pi (г) = ]/ (г — а)/г. где
lim p. {x -f ie) =. + 1 / ж~а для х < 0 и х > а.
102
Тогда на втором листе p(z) мы примем pn(z) = —pi (г).
Для фиксированного р функция F(z) двулистная.
Значение F(z) на первом листе равно
а на втором
где
Можно показать, что
")+(г)ш.(2)= I, (1)
ш+(дг) и ш_(дг)<0 для х>а, (2)
ш+(дг) и ш_(д:)>0 для дг<0. (З)
Так как разрез логарифма накладывается на разрез
функции p(z), то функция F(z) имеет разрезы по z <! О и
а -К г. < оо. Разрью F\ на левом берегу разреза равен
(*<0)
D„ (*) = lim [Fl (x + it)-Ft(x- ie)l =
= У^ГПп<«.(x) + In<«+ (*)] = trip ]Л^-.
Последнее равенство следует из свойств (I) и (3) и
определения логарифма для фиксированного р. Разрыв F\ (г) на
правом берегу разреза равен (х >а)
D„ (х) = lim f Fl (x + ie) - Fl (x - ie)l =
= 1/ * [In ш_(a: ■+- id) -\- In u>_ (x — id)].
Но для х>>а co_(x) отрицательно и можно определить
знак мнимой части ш_(х ± id), чтобы решить, является ли
мнимая часть логарифма величиной in + 2nip или
величиной — in 4- 2nip. Простые выкладки убеждают, что
мнимые части ш_(х —id) и ш.(х + ю) положительны.
Следовательно,
D„(х) = (2iri 4- 4itip) у х~а для х > а.
ЮЗ
Легко показать, что разрывы для Fu такие же, как и для
Fi , но противоположного знака.
б. Функция С (г) = —^-^—Ю- аналитическая всюду
z — г0
на конечной плоскости, за исключением линии разреза
F(г). Следовательно, для точки г, не находящейся на линии
разреза, имеем
G (г') d?
°<»=iH^
(контур интегрирования показан на рис. 53). Так как
функция G(z) стремится к нулю при |г| -*■ оо, полукруговые
части контура могут быть устремлены в бесконечность и
при интегрировании дадут нулевой
вклад. Вследствие этого приведенный
контур (см. рис. 53) сводится к
контуру! изображенному на рис. 54, и
•Z
F{z)-F(z0) 1
z — z0 27ci
г О
DA (s) ds
т
J
(s—*o)(s—z)
Рис. 53
+
Г Da (s) ds "1
J (s-e0)(s-z)
a J
На одном листе, для которого Dn (s) = 0 (именно на
главной ветви In со), мы имеем
/Ч*)-/^+ (*-*> f , '?* . ■
J (« —Ze)(s —г)
о с
Рис. 54
1.25. Сделаем подстановку у = \/гпх. Тогда интеграл
примет вид
dy
lim Г —
П-с. J (1
+ уг1п)п
104
Отсюда, учитывая равенство
Нт ! = е"И ,
л-*ш (1 + У*/П)п
получаем
—о»
Другой, более трудоемкий способ вычисления интеграла
заключается в применении сначала методов
с dx
J (1+хТ
—00
контурного интегрирования с последующим устремлением
к пределу.
1.26. Заметим, что Да, b) = f{bld) = —/(а/6). Пусть
у = Ыа. Взяв производную, получим
так что
/'(!/)= j e-**dx=~.
о
Интегрирование дает f(y) = In у + С. Подставляя у = 1
или а = Ь, получим
/(1) = о = In 1 = 0 + С или С = 0.
Следовательно, Да, Ь) = In (b/a).
1.27.
= (1-*)-'.
1.28. а. Разделив производящую функцию F(x, f) на
tnH и проинтегрировав в комплексной /-плоскости по
замкнутому контуру, охватывающему начало координат,
получим
105
б. Можно образовать величину
". + И-2--2**!.
дх* dt дх
Легко убедиться, что она тождественно равна нулю.
Используя разложение F по Нп, можно это тождество
представить в виде
S
[Hn(x)-2xH'n(x) + 2nHn{x)\l"
= 0
для всех /. Следовательно, #„(*)— 2хН„(х)+2пНп(х) = 0.
в. Дифференцируя интегральное представление для
Нп(х), получаем выражение
dH„ 2л[(л-1)|| Г elx<-<t-x>4
ST** м У 7» dt-
из которого очевидно, что
dH
dx
s- = 2пНп_, (х).
!.29. Дифференцируя G по г и х, получаем
соответственно
37- = V '' Л' (*)• (2)
I
Исключая (1 — 2хг + г2)"1' из (1) и (2), получаем
2(х-г)г'/>,'(*) =2/г'Я,(ж)
После приравнивания коэффициентов перед членами с
одинаковыми степенями г имеем
xP',(x)^P'l-i(x)+lPl(x).
1.30. Разделив равенство
—оо
106
на г"*1 и проинтегрировав по единичной окружности в
г-плоскости, получим
Однако на этой окружности г = е". После подстановки
интеграл примет вид
и
К (v) =■ — f cos tii sin 6 — nB] dB.
—и
1.31. Функция Грина для этой задачи находится из
уравнения
-VaG(r, г') = 4т:8(г—г')
е условием, что G(r, г') = 0 при г — 0. Решение уравнения
yfy = 0, где ф задана на плоскости г — 0, имеет вид
<${х,у, г) = — [dx'dy,q>(x/, «/)-—•
Используя метод изображений, широко распространенный
в электростатике, можно получить
G = [(х - х')2 + (у - «Л2 + (г - г')2]"'" — Ц* - x'f +
+ (у-у,)г + (г + гУ]-',\
Тогда
ф (*, у, z) = -±- f d*' dy' ф (х'. #') [(х - х')2 +
+ {у-у'? + г*\"'*.
1.32. Функция Бесселя л-го порядка Jn(x)
удовлетворяет уравнению
х2 /п (х) + /„ (х) + (*а - л2) Jn (х) = 0
Следовательно, K0(x)=J0(\x) удовлетворяет уравнению
к2 Ко ■+ jc/Co— х2 /(„ = 0. Пусть
о
107
тогда
Ко= J сЬаФе-лсЬ^ф
Ко = -
f СПф
е у йф.
Интегрируя по частям /(0 легко показать, что х2Ко +
-+• х/(о — д:2/(0 = 0. Чтобы получить асимптотическое
выражение вида К0 — De'x/x'*', сделаем подстановку ф =
= у/У~х в интеграле для К- Тогда имеем
со
—xch -
/J
<ty-
Для больших х справедливо разложение
1.2
xch
у
V*
= х +
У
+ 0(уЧх).
Следовательно, для х ]^> 1
/C0«-^ je-^dy и D- |^,/2^ = (~),/'.
о о
1.33. Согласно теореме Гаусса—Остроградского,
f г • dA = f div rdV = 3 Г dV = 3V,
где V —объем тора. Обозначим внутренний и внешний
радиусы тора соответственно R^ и R2 (рис. 55). Вычислим
У
Рис. 55
108
объем V, воспользовавшись теоремой об объеме тела
вращения. Рассмотрим окружность в плоскости ху с центром
в точке у = 0, х = (/?i + /?2)/2 и с радиусом (R2— #x)/2.
Объем фигуры, получающейся при вращении этой
окружности вокруг оси у, согласно теореме об объеме тела
вращения, равен произведению площади фигуры на путь,
описываемый центром масс этой фигуры при вращении, т. е.
r (AirL)a *2к (-^р-) —т Wi + ад <я. - ад2-
Следовательно, интеграл равен (Зя2/4) (/?! + R2) (Rz—Ri)2-
1.34. Объем четырехмерной единичной сферы дается
выражением V = ^dxldx2dx^ixi. В трехмерной системе
координат dxxdxydxa = 4np2dp, где р = г sin
<p2—трехмерный радиус. Тогда объемный интеграл равен V — 4np2dpdx4.
Но по аналогии с двухмерной геометрией dpdx4 = rdrdyz.
Следовательно,
V = f dr 4тсг3 f dф2 sin2 ф2.
Теперь осталось найти пределы интегрирования по ф2. Из
условия р^. О следует, что преобразование между х и ф
однозначно. Тогда 0 ^ ф2^ л и, следовательно,
У = 4*
Г \ йф281п2ф2 \ r3dr = —
В более общем случае n-мерной сферы с координатными
осями xlt..., хп объем единичной сферы вычисляется с помощью
интеграла
+°° / 2 , .2\ «"г2 г2
J e-<Jr' + " + '">dH->» J е"^ ... е_< d^ ... d*„ =
vn
= TCn/2 = Г е-"" ЛЯ""1 d#,
I
где А необходимо определить.
Сделаем замену у = R2. Тогда интеграл будет равен
J е- у<""'>'2 у-'Ыу - 4 j е- sT- dy - А г (f).
109
Следовательно, А = 2л"/2/Г(п/2) и объем n-мерной сферы
единичного радиуса равен
J п пТ (п/2)
О
Частный случай. Пусть п — 2N (т. е. п четное). Тогда
r(N) = (N —1)1, a V = nN /Nl, что отображает забавное
свойство: при стремлении N к бесконечности объем
единичной сферы в 2#-мерном пространстве стремится к нулю.
1.35. Обозначим плотности воздуха и гелия в точке х
внутри трубы соответственно п^х) и пг(х). Из условия рав
новесия и отсутствия градиента температуры приходим
к выводу, что п^х) 4- пг(х) = N — const; в противном
случае существовал бы градиент давления в трубе. Поток
воздуха в трубе дается выражением
Первый член — D —- обусловлен диффузией воздуха в ге-
их
лии, а второй член описывает конвекцию воздуха гелием.
В установившемся состоянии уравнение непрерывности
имеет вид V* = 0. т- е- ~^ = 0 в нашем случае, и решение
дх
для плотности воздуха в трубе пх(х), которое стремится к
нулю при *-»- — оо, равно л,(х) = Nev*'°, где Ж = пх(0),
так как ранее отмечалось, что п2(0) = 0.
Таким образом, концентрация воздуха при х < 0 равна
пх(х) ~qv*id
"i (*) + nz (х)
1.36. а- Решение низшего порядка получается
подстановкой п = sin (kr)/r. Но п (R) = 0, так ч-rokR =* пр(р —
целое число). Следовательно, R = n/k. Решения с р>1
приводят к отрицательным значениям плотности и должны
быть отброшены.
б. Плотность нейтронов в поверхностном слое л2(г),
удовлетворяющая граничному условию n2(R +0 = 0, равна
/!,(,•) = у-8П|ц (Г-Я-/)!.
110
Внутри реактора плотность нейтронов n^r) = (B/r) sin (kr)
с граничными условиями
or or
откуда следует, что
1) В sin (kR) = —И sh(^).
2) В/г cos (£#) = И^ ch (^)-
Радиус внутренней области реактора R найдем из
соотношения
Htg(/s#)=-*th(n/),
которое для ц> k допускает приближение
kRt&K —(/г/ц) th
(последовательно, новый радиус меньше на величину th(ji/)/n-
1.37. Выберем прямоугольную систему координат с
осью г, совпадающей с осью симметрии. Тогда решение
уравнения диффузии в стационарном состоянии — Dy2n =
= Q6 (г) равно
п (х, у, г) = —^- > , х
У' 2Dfl* ^ ЬЛ
xcos (2'+1)** cos <2fe+1)"» ,
2а 2о
где Q = 10е сект*; а = 75 сиг, 6/ft = — |/(2/+1)2+(2/г+ I)2.
Использовались следующие граничные условия: п == 0.
если х — у = ±а.
Поток нейтронов на оси z дается выражением
и» _ q ^ -fc
7. *W
Интересно отметить, что если г <^ с, то сумма в предыдущем
выражении может быть заменена интегралом
2-ъл\А а2
е '■ — —-- для г<Са.
,-. * 2™*
Действительно, при г <£ а имеет место сферическая
симметрия источника и, следовательно,
ill
1ж-*—гт для z<^a-
Однако для г = 100 см достаточно хорошим приближением
является сохранение лишь первого члена в сумме. Заметим,
что ответ не зависит от коэффициента диффузии.
2. МЕХАНИКА
2.1. Мы хотим вычислить силу, действующую на сферу
радиусом г, движущуюся со скоростью v в жидкости с
вязкостью т). Перечисленные величины имеют следующие
размерности:
■"-[■£]• м"[т]- м-[т]- и-и.
Формула, выражающая силу лишь через перечисленные
параметры, должна иметь вид F = Сх\а flx>\, где С
—безразмерная величина. Приравнивая размерности слева и
справа
\F} = [riftrf[v)\
получим, что а = 0 = f =■ 1. Следовательно, F = Cr\rv
(фактически С = 6я). Если в качестве параметра включить
плотность жидкости, то из имеющихся величин можно
образовать безразмерную величину R = гф/rj, и,
следовательно, в этом случае F = C(R)i)ro, где С —функция R.
Однако для ламинарного потока следует ожидать, что
плотность жидкости не должна существенным образом
влиять на силу, действующую на сферу. По мере роста R,
когда последнее достигает определенной критической
величины, поток становится турбулентным и закон Стокса
более неприменим. Величину R принято называть числом
Рейнольдса. Как видим, возможности теории размерностей
ограничены, поскольку даже в том случае, когда имеется
достаточное число физических величин, чтобы образовать
безразмерное число, необходимо прежде всего выяснить,
существенны ли они и в какой мере.
2.2. Физические величины, приведенные в задаче,
имеют следующие размерности:
ш-и. w-[£]. wi-[f]. и-р?]-
Уравнивая показатели степеней m, l и t в уравнении
размерностей 1Т\ = [/?Hdl4elr, получим систему уравнений
112
a + ft + с = О,
a+ 3ft —2c=0,
2a + 2c = — 1,
решением которой являются:
a = — 5/6, ft = 3/6, с = 2/6.
2.3. Напишем выражение для скорости потери энергии
Е спутником:
& = Fv = Ava+l = -^L -*- = _ С— = — С
В'
-,.(<*)
в-И
Это тождество по г справедливо только тогда, когда а = 3.
Итак, —C(GMm/2) = A(GM)*.
Можно воспользоваться также уравнением для момента
количества движения
• • ••
которое приводит к значению /^ = т (2г 0 -f- г 8). Но
0 = (GM/r3)1' и /?ё = ЗС6/2. Подставляя сюда F% = Av ,
получим те же самые выражения для а и А.
2.4. Чтобы найти уравнения движения, можно
воспользоваться лагранжианом
<£ = — Я2У8= — т/2фа-
2 2 2Яа
и тем самым исключить из рассмотрения натяжение нити.
В качестве обобщенной координаты удобно выбрать длину
размотанной нити /.
а. Уравнение движения
& dl dl
сводится к следующему:
d
(II) = 0.
it
ИЗ
б. Общим решением, удовлетворяющим начальным
условиям / = 0 и в = [)0 в момент t =» 0, является /2 = 2Rvot.
в. В любой момент времени момент количества
движения относительно оси цилиндра дается выражением
Другой вариант решения. Натяжение нити
определяется выражением
Т = ^1 (1)
Момент силы относительно центра диска равен
TR = m-L{vl). (2)
at
Но сила натяжения нити Т всегда направлена
перпендикулярно к траектории частицы, так что-^-=0. Исключив Т
из равенств (1) и (2), получим
at i
Еще один вариант решения. Так как сила натяжения Т
перпендикулярна к скорости, то скорость постоянна.
Остается кинематика. Предположим, что, после того как нить
размоталась на длину /, начинает разматываться отрезок
нити длиной dl. Тогда
dl . • . v0dt
— =dq>=q>df =-^—.
Следовательно,
Idl = v0Rdt ->P = 2voRt.
2.5. Поливаемая под углом а область газона имеет
радиус R = у02 sin 2cJg, а малое приращение радиуса этой
области с углом, очевидно, равно dR = 2и02 cos 2ada/g.
Количество воды, падающей на кольцо радиусом R и
шириной dR, пропорционально
р (a) sin ado. = CRdR,
где С = const. Чтобы эта величина не зависела от а,
необходимо, чтобы
р(а)~^?-, 0<а<45°.
sin а
114
2.6. Уравнение движения для частицы, находящейся
на некоторой поверхности, имеет вид
ms = — mgsinO = — /ng-f, (1)
CIS
Рис. 56
где s —длина пути, на который перемещается частица,
у —высота (координата частицы по вертикали) (рис. 56).
Поскольку движение частицы должно быть периодическим,
то
s = — co2s. (2)
Из (1) и (2) имеем
s ds
Решением этого уравнения является у = (oa/2g)se. Далее
из (1) и (2) непосредственно получим s = — sing Из этих
уравнений следует, что кривая имеет максимальную высоту
Y = g/2toa.
2 7. Пусть Гц г2, г3—координаты частиц в системе
центра масс. Сила, действующая на частицу 1,
Р _ Gr^m-i (r2—ri) Gmitnb (r8 — rQ
1 5 + d^ '
где d —постоянное расстояние между частицами, равное
длине стороны равностороннего треугольника. Перегруппи-
115
ровав соответствующие члены, можно силу Ft записать
в виде
_ GmxMR GmxMtx
г, = ,
1 <Р d3
где R = О — радиус-вектор центра масс (считаем, что центр
масс помещен в начало координат), М = tnt + т2 + т9.
Тогда
^=-™-Г1. (1)
dt* d3 1
Аналогичные выражения можно написать и для г2 и г8.
Кроме того, для вращения системы в целом около центра
масс
&L = [Q [Qr,]] = Q (Qr£) - Q%. (2)
Чтобы уравнение (2) было совместимо с уравнением
движения (1), необходимо положить Qr,= 0 и fia = GM/d3.
Следовательно, ось вращения должна проходить через
центр масс и быть перпендикулярной к плоскости
треугольника. Угловая скорость вращения должна быть равна
2 = (GM/d3)"2.
2.8. Для частицы, движущейся в поле центральных
сил, эффективный потенциал имеет вид
•'«-"w + iSr-
Круговая орбита возможна при таких значениях г, для ко-
торых д/. = 0; она устойчива, если ■ ^ положитель-
тельна. В данном случае
1/Г km , L? ^'эфф kmn
д^эфф _ kmn(n + \) 3La
Ппиоавнивая нулю neDBVio пооизнопную.
Й^вфф
* -°-
116
найдем, что —— >0, если 3 —(л + 1)>0, откуда
дг*
п<2.
2.9. Из закона сохранения энергии следует, что
ц / дг \2 Gmi/na С/пгт2 ,...
Где г —относительная координата частиц, (Л =
= тхтт!{тх -f- тг) —приведенная масса. Константа г0
определяется из выражения для центробежной силы
F = GrriytnJ rl = \мЧг0>
т. е. (третий закон Кеплера)
^ _ G (/яг + тг) т*
Из уравнения (1) определим время, по прошествии которого
частицы столкнутся:
f=C
j {Xlr-Ur0)"* ' ГАе С V 2Gmim2
Пусть r = r0sin86, тогда
*/2
/ = 2rf С | sin2 ЫЬ = 2С -J- rf =
-tV-
ri
2Gm1m2
Привлекая теперь равенство (2), получим / = т/4^"2~.
Другой вариант решения. «Падение к центру»
рассматривается как предельный случай эллиптического движения.
Когда эксцентриситет орбиты приблизится к единице,
ее форма будет такой, как
показано на рис. 57 (X —
точка столкновения), так
что время до столкновения
равно половине периода.
Теперь используем то, 4tg
период для кеплеровских Рис- 57
орбит пропорционален
(— Е)~3/2, где Е = Т + V — полная энергия. Это
соотношение может быть получено из третьего закона Кеп-
117
лера (2). Кроме того, необходимо учесть, что когда
частица, движущаяся по круговой орбите,
останавливается и допускается падение к центру, ее энергия
удваивается. Это происходит потому, что когда частица
останавливается, ее кинетическая энергия стремится к
нулю и она оказывается более сильно связанной,
следовательно, (—Е) возрастает. Удвоение энергии
частицы, следует из того, что потенциал ~1/г. Таким
образом, для круговой орбиты £|= Vt/2, а когда частица
останавливается, она обладает лишь потенциальной
энергией, т. е. Ef= V t= IE v Окончательно мы имеем
т = т(1;Г=-ИтГ-'=^-
2.10. Предположим, что человек прыгает каждый раз
под действием одной и той же силы. Предположим далее,
что точно такую же силу он развивает перед прыжком,
будучи на поверхности Луны. Учтем, что ускорение силы
тяжести на Луне равно
Рл гл _ Вз
Тогда, поскольку на Земле действует такая же сила, как
на Луне, то работа, совершенная этой силой, одна и та же:
Mgji(hn + 50) = Mg3 (60 -f- 50). Следовательно, Лл= 6,1 м.
2.11. Пусть ускорение центра тяжести стержня,
направленное в этот момент вниз, равно к. Тогда
W — F = тх (1)
Из уравнения для момента количества движения получим
^ = /ё. (2)
2 '
где / —момент инерции стержня относительно одного из
концов, равный mLV3. Для малых в или, что то же самое,
спустя малое время после момента /=08 = 2x/L. Тогда
из соотношений (1) и (2) получим F = W/4.
2.12. Вертикальная сила реакции Fx плоскости на
цилиндр равна 3U7/2, где W —вес одного цилиндра. Так как
мы хотим минимизировать угол, образуемый суммарной
силой реакции плоскости с вертикалью, то нам
необходимо минимизировать горизонтальную составляющую этой
118
силы F(. Из диаграммы сил (рис. 58) имеем уравнения
для вертикальных и горизонтальных составляющих:
W + F2cos30° -г Fy sin30° = —,
Fi + Л cos 60° = F и + f i cos 30°.
Очевидно, что Ft имеет минимум при /г1= 0, откуда
получаем Рц = Н7/(4 + 21^3 ), и, следовательно,
минимальный угол определяется из соотношения tg 6 = (2 -f J^3~)/3.
Рис. 58
2.13. Катушка катится в направлении тяги. При
качении без скольжения мгновенная скорость нижней точки Р
катушки равна нулю. Вращение вокруг фиксированной
оси, проходящей через точку Р, определяется моментом
относительно этой оси. Но лишь сила F имеет отличный от
нуля момент относительно этой оси. Следовательно,
вращение будет происходить по часовой стрелке и центр тяжести
будет перемещаться вправо.
2.14. Пусть В —точка, фиксированная на ободе диска,
0 — угол, на который переместилась собака по диску,
и а — угол поворота диска (рис. 59). В момент времени
/ = 0 момент количества движения равен нулю.
По теореме о параллельных осях момент количества
движения диска относительно фиксированной в простран-
119
стае оси, проходящей через точку В, равен (3Af#2/2)a.
Момент количества движения собаки относительно той же
оси равен
la LUm^sin2-!-.
Поскольку момент
количества движения
сохраняется, то сумма
моментов количества
движения диска и
собаки равна нулю, по-
т этому
da _ <Ф „
dt 2di
Am sin* (P/2)
3M/2 + 4m sin2 (J3/2)
Рис 59
, 2к
или
4m sin8 (P/2)
3M/2 + 4m sin8 (P/2)
•dp.
Сделаем замену fl/2 = т. Тогда угол поворота диска равен
(• Am cos2 т
3M/2 + 4mcos2t
dt.
Заметим, что угол поворота зависит лишь от отношения
масс диска и собаки.
2.15. Из закона сохранения момента количества
движения следует, что /0«"о = I®. где
/0 = -fM£2
о
и /==^+^
Но
2УИ 8я тп 2т 8л ,™i.
= — RZD и = — dRrk.
5 15 3 3
Следовательно,
ш„ / . 5dh
DR
120
и Т-Т0 = J5ftd
Т0 DR '
2.16. Так как Земля вращается с угловой скоростью Q,
момент количества движения в системе координат,
связанной с Землей, удовлетворяет уравнению
— = N — [OL],
dt
где N —полный вращающий момент. Пусть гироскоп
находится на экваторе, Q направлена вдоль оси у, а ось z
направлена вертикально (рис. 60). Тогда можно написать
следующие выражения для L:
1х
^
к
= Сш sin ф та Сшф,
= Сш cos ф та Сш
= — Aq>.
для |<р|С 1.
В этих выражениях отброшены члены порядка Й/ссС 1.
Так как в плоскости ху нет сил, то NZ=Q и уравнение
для Lz примет вид
— Лф = Сш2ф.
Следовательно, ф
осциллирует с угловой частотой v,
причем v2= CcdQM.
2.17. Полный момент
количества движения в инер-
циальной системе координат
удовлетворяет уравнению
(-) ~°-
\dt /ннерц
ные моменты инерции заданы
в системе координат, связанной с телом и, следовательно,
вращающейся с угловой скоростью Q по отношению к инер-
Однако глав-
Рис. 60
инерц
циальной системе координат. Связь между [—|
(— имеет вид
\ dt /тела
tJL) =(<L) + QxL=0.
\ dt /инерц \ dt /тела
Тогда в системе координат, связанной с телом, имеем
и
121
■£(/«A)-o. (i)
dt xx * 2
4*'*А> + 4" 70еуег e COS «* = 0» (2)
-~ CyySy) \- /ДАE cos «./ - 0, (3)
где /0= 2mrVb. Уравнение (1) имеет решение Qz =
= А0г/(1 + e cos со/), и, следовательно, поскольку e ^ 1,
QE слабо изменяется во времени. Из уравнений (2) и (3)
видно, что 2^ + Qyy вращается с угловой частотой
<i>_ = — ей, cos <s>t, если пренебречь —— и ——, т. е.
когда Qz > со.
2.18. Для достаточно малых смещений продольное
движение (вдоль соединяющих стержней) отделяется от
поперечного движения. Обозначив смещения вдоль стержней хх,
Хъ, xs, а смещения в направлении, перпендикулярном к
стержням, ylt у2, Уз, можно написать лагранжиан
% = — \\ + 2*, + *3 + ух + 2ул + yj-
f K*i - х*)* + Ос, - х2)*) - ~ [{у, - уа) - (ft - уз)]а.
Последний член составлен так, что он обращается в нуль,
когда все три частицы оказываются на одной прямой.
Движение в направлении х определяется следующими
уравнениями:
rax, + k (хг — х2) — 0, тх3 + k (х3 — дг2) = 0,
2тхг — k (2xg — xr — xa) = 0.
Из закона сохранения импульса следует, что хг + 2ха +
+ х3 = 0. Это условие означает, что в направлении х
имеются лишь два нормальных колебания:
xi — хз с частотой (k/m)m
и
*! — 2х2 -f х3 с частотой (2k/m)m.
122
Движение в направлении оси у определяется законами
сохранения момента количества движения и импульса.
Следовательно, в этом направлении имеется лишь одна мода
собственных колебаний с частотой (Ak'/m)1/2. Все три
моды схематически проиллюстрированы на рис. 61.
О > О Щ О О > щ О О» О О О
I f
Рис. 61
2.19. Обозначим вертикальное смещение от положения
равновесия х1ъ хг. Движение центра тяжести С описывается
выражением
— (*1 + *з) = — kfa + xj — mg. (1)
Для малых Xi и х2 условие, накладываемое на момент
кручения, имеет вид
-£- & - *i) = ^ * (*■ - х,), (2)
где /0 = ML2/12—момент инерции бруска относительно
центра тяжести С. Гравитационный член в выражении (1),
определяющий лишь длины нерастянутых пружин, может
быть отброшен, поскольку он не влияет на моды. Из
выражений (1) и (2) очевидно, что имеются лишь две моды:
симметричная Хг= хг + х2 с частотой сос= (2АШ)'/*;
антисимметричная Х2= хг—х2 с частотой (oa=(6ft/M),/"-
2.20. Эта задача впервые была решена Бернулли.
Применение второго закона Ньютона для малого элемента
dx струны дает уравнение
^- = -'-{т(х)Щ, (1)
дР ц дх \ W дх У W
где Т —натяжение струны; ц = mIL —линейная
плотность струны. Поскольку струна находится в состоянии
равновесия в отношении движения в продольном
направлении, то
T(x)=£|m(l--^ + M].
Соответствующие граничные условия для у(х, t):
123
y{L,0) = b, M±°L=q,
dt
,(0.0-0, Й&Д-а
Второе из них удовлетворяется, если положить у(х, 0 =
= у(х) cos со/. Тогда у(х) удовлетворяет обычному
дифференциальному уравнению
-'•f [rw^l + -V = a (2)
Подстановкой y=f[V T(x)) это уравнение сводится к
уравнению Бесселя нулевого порядка
г + -1=г + |1(И-у/-о.
с общим решением
где N0—функция Неймана нулевого порядка, имеющая
логарифмическую особенность в нуле. Первое и третье
граничные условия дают следующие коэффициенты:
„ _ g N0 (ft') /„ (fe (x)) - J<, (ft') N0 (ft (x))
Jo(k")No(b')-Jo'(b')N0(k") *
где
g * К
Четвертое граничное условие дает трансцендентное
уравнение для со.
В случае m <£ М аргументы функций Бесселя
—большие и, следовательно, можно использовать
асимптотические разложения
■^о (г) « —zzz (c0S 2 + sin г),
N0 (г) « —rr: (cos 2 — sin 2)
V"tiz
124
при условии, что г неограниченно растет. В пределе
и = 8 — cos wt.
а Ь
Вместо четвертого граничного условия, которое
удовлетворяется тождественно, мы воспользуемся эквивалентным
условием
—£. = — o-z- при х = L
дР * дх v
и получим wa= g/L.
2.21. Колебания волны на натянутой мембране
подчиняются дифференциальному уравнению
с JUL = Tv*y.
Полагая у = и(х, у) cos со/, получаем
— <оаоц = Туа«-
Следовательно,
mi _ _ J S "У* udA
о S и2А4
Приближенное значение собственной частоты мембраны
можно получить методом подбора функции и, которая
должна удовлетворять граничным условиям, т. е. в данном
случае на краю мембраны и = 0.
2.22. На поверхности Земли момент инерции маховичка
часов несколько увеличен по сравнению со своим
значением в вакууме, потому что из-за отличной от нуля вязкости
воздуха маховичок вовлекает в движение окружающий
его воздух. Часы, предназначенные для работы на
поверхности Земли, регулируются так, чтобы скомпенсировать этот
эффект. Когда такие часы оказываются на большой высоте,
момент инерции маховичка несколько уменьшается и часы
начинают немного спешить.*
* По словам проф. Аллисона, этот эффект был обнаружен
лроф. Раби, который очень гордился тем, что его часы всегда
ходили чрезвычайно точно. Но однажды, когда он поднялся на
вершину горы для участия в эксперименте с космическими лучами,
его часы стали несколько спешить. Раби предложил эту задачу
профессору Ферми, когда они вместе ехали в поезде, чтобы развлечь
его, так как Ферми терпеть не мог езду в поезде. (Это было в военное
время, и из соображений безопасности они не могли в вагоне
обсуждать деловые вопросы, а лететь самолетом не могли — тоже из
соображений безопасности). Ферми тотчас же дал объяснение этому
эффекту, а по прошествии примерно часа разработал полную
количественную теорию явления.
125
2.23. Согласно закону Юнга, AF/S = EAL/L, где Д£ —
— удлинение струны; А/7 —сила, приложенная к струне
при торможении тела. Максимальное удлинение
определяется законом сохранения энергии
откуда
mg(L + M)=±EL(^.J,
L SE y \SE ) SE
Чтобы предотвратить разрыв струны, необходимо
обеспечить выполнение условия &F/S < Г и, следовательно,
£<
2.24. Поезд должен быть остановлен раньше, чем
пружина будет полностью сжата. В противном случае при
достаточно большом скачке коэффициента упругости
пружины торможение может превысить значение аМкс. При
сжатии пружины F — k0(l0—0 = Ма и а тем больше, чем
меньше /, т. е. ускорение по своему абсолютному значению
становится максимальным в момент полной остановки
поезда. Из закона сохранения энергии следует, что
— ^о (*о — 0а = — М°2- Исключая fc0, получаем
так как / < /0 .Следовательно, минимальное значение /0
определяется выражением /0= оа/аМакс-
2.25. а. Воспользуемся законом Архимеда. Тогда
pnR2hx — —PognR*x. Следовательно, со2= Pog/ph.
б. Рассмотрим слой жидкости .толщиной dr и площадью
А, который примыкает к боковой поверхности цилиндра.
Результирующая сила, приложенная к этому слою (рис. 62),
благодаря вязкости жидкости
,г ' дг*
должна быть равна poAdr-^-. Для синусоидальной
зависимости скорости от времени имеем уравнение
126
Ч — = 1р0<оо,
решением которого является о = о0е~(г/8) <1+1), где длина
затухания дается выражением 5 = y^Tj/Po*»-
Результирующая сила вязкости, действующая
на цилиндр, следовательно,
равна
/г"
' ^гнйг
х(-Л±1)ь,
Абсолютное значение F равно
2.26. Рассмотрим часть поверхности пленки,
заключенную между плоскостями г = гх и г = гг (рис. 63). Что-
Рис. 62
^ -у.
Рис. 63
бы существовало равновесие вертикальных составляющих
сил, необходимо выполнение условия
2 т cos в 1 2лг!= 2 х cos 6 г 2 лга,
т. е. г cos в = const, где
Следовательно, уравнение поверхности пленки имеет вид
(t)' = ' + (£)'-
127
для которого общим решением является
г = г0 ch (z/r0)
(начало координат 2 = 0 взято посередине между рамками).
Вычислим г0 из условия а = г0 ch (d/r0). Пусть х =
= d/r0. Тогда х удовлетворяет уравнению ax/d = ch х,
которое имеет решение лишь при условии, что aid больше
некоторого минимального значения. Это легко увидеть,
представив функции ch лг и ax/d в графическом виде.
Кроме того, при минимальном значении отношения aid решение
существует только тогда, когда aid = sh х, т. е. графики
axld и chx пересекаются лишь в одной точке.
Следовательно, значение х, соответствующее значению отношения aid
в точке пересечения, определяется из соотношения х =
= cth х, откуда находим х» 1,2, а значение aid получаем
из равенства (ald)2(xz —1) = 1. Итак, максимальное
значение отношения dla, при котором такая конфигурация
еще стабильна, равно 0,66.
2.27. Пусть изгиб определяется величиной у, как
показано на рис. 64. Сначала необходимо вычислить
изгибающий момент в сечении опоры на высоте х. Рассмотрим
Средняя плоскость
Рис. 64
профиль опоры на расстоянии г от средней плоскости.
Длина хорды в сечении, когда опора изогнута на угол 8, равна
(R -f z)8. Следовательно, относительная деформация
равна (R -f z)/R, а возвращающий момент
128
N = l£- T (R + z)zdz = 1*-.
R J V ' 12/?
-aft
Радиус кривизны R определяется выражением
R dx* [ \dx j J
Будем рассматривать лишь бесконечно малые деформации,
для которых [-ату <£!• Тогда возвращающий момент на
высоте х равен
л/ — ^sL £М-
~ 12 ' йхъ
Чтобы участок опоры выше этой высоты находился в
равновесии, возвращающий момент должен быть равен
крутящему моменту силы тяжести относительно точки х, т. е.
величине W(e —у), где е = у([). Следовательно, мы можем
написать уравнение
12 dx» ч и/
общим решением которого является
у = A sin сох + В cos сох + е,
где со = (12W7£fa4)'/«. Из граничных условий
у(0) = 0-*В = — е, ^ (0) = 0-*-Л = О,
у (/) = е -»• A sin о/ -f В cos о/ = 0
определяем Д, В и о.
Окончательно общее решение имеет вид у — е(1 —
— coS(ox), причем ecoS(o/ = 0.
При (о / <; я/2 условие е cos (<о/) = 0 может быть
удовлетворено лишь тогда, когда е = 0, т. е. только
вертикальное положение является устойчивым. Однако по мере
роста W, когда а I = я/2, уже становятся возможными
бесконечно малые деформации. Следовательно, W = я2£а4/48/2
является началом неустойчивости.
2.28. Принятые обозначения указаны на рис. 65. Из
закона Юнга следует, что сила, необходимая для изгиба
сегмента площадью adu и длиной dz на угол dQ, равна
EaudQdu/dz, а суммарный момент этих сил относительно
точки Р, действующих перпендикулярно к плоскости,
проходящей через прямую АВ (рис. 65), равен
М
_ С ЕаиЧЬйи _Еая rftt
~ J dz ~ 12 ' dz
129
Для малого изгиба <29 = dz ^- и, следовательно,
дга
М
£g» d*ft
12 ' dz*
Рис. 65
Чтобы часть балки правее точки г находилась в равновесии
относительно вращения, необходимо, чтобы
М
{z)=\jm4L-zf)dz'.
Следовательно,
£L = -%i-(L*-2Lz + z*).
flz* Еа
Используя граничные условия Л(0) = А'(0) = 0, получим
Л(г) =
pg
2Еа
(6Laza — 4Lz8 + z4),
2£а
Заметим, что момент М и сила dM/dz на свободном конце
обращаются в нуль.
2.29. Пусть труба разломилась на расстоянии х от
Земли (рис. 66). Вращение трубы как целого относительно
точки 0 удовлетворяет уравнению
130
^L=MLSmB или<и-&5£1
3 2 2L
Аналогично для нижней части трубы имеем
МхМ _ Mx*g sin i
3Z. 2Z.
где F — изгибающая сила,
j — внутренний
изгибающий момент в точке х.
Вращение верхней части
трубы относительно
центра тяжести удовлетворяет
уравнению
M(L-x)* £ =
\2L
+ xF — f,
(1)
(2)
(L-x)F
+ Т- (3)
Из уравнений (1) — (3) по- О
лучим
р _Mg(L — x)sin 8
Рис. 66
(L-x)sin8 r(L-x)» ^1
z.»a+*) L 4 J
_ Mx(L— x)»gsin8
4L*
Так как труба предполагается тонкой, т. е. <о ^ L, где
ш —диаметр трубы, то силы, ответственные за -у»
значительно больше F. Поэтому -уЛо 3> ^- Тогда излом
произойдет в точке х = U3, где -у максимально.
2.30. Рассмотрим небольшой элемент объема жидкости
вблизи поверхности (рис. 67). Потенциальная энергия на
единицу объема равна
V =№ Р»1*1-
Уравнение поверхности получим, приравняв
потенциальную энергию константе (в данном случае из-за
специального выбора начала координат эта константа равна нулю).
Следовательно,
131
У
i]
Рис. 67
2.31. Из выражения для потенциала <р можно
определить компоненты скорости ветра
Так как дверь открыта, давление внутри и вне ангара
одинаково и равно Р0- Согласно уравнению Бернулли для
ламинарного потока, давление в любой точке наружной
поверхности ангара равно
p + -i-P^(e) = p0,
откуда получим давление как функцию угла б
(Р-Ро)= ~^Ф)-
Тогда
F = j (P0 - Р) dS = ±-Pvl (ii^71)2 j RL sin» 6dQ =
0
= 2pv 1>LR — = pwlLR = 2,1 • 107 «.
2.32. Пусть плотность верхней среды равна р1ъ а
нижней — р2. Так как воздух несжимаем, то давление везде
удовлетворяет уравнению у2Р = 0. Колебания границы
132
раздела по закону т) = а ехр [i(kx —©01 (рис. 68) вызовут
небольшое изменение давления по сравнению со
статическим значением, которое, однако, будет затухать по мере
удаления от границы раздела. Следовательно,
г
k
i
1
-щ т* i *с т* -х
Рис. 68
^i = — Pi&z + Pi ехр l—kz+i(kx — to/)]
и
Р* = ~ РШг + h ехР lkz +4kx — в/)],
где Pi и р2 — малые константы, которые стремятся к нулю
при 1J-»- 0. Напишем граничные условия:
1) Рх = Ра при г=%
2) из уравнения р { —] = — уР получим
dPi " дР2
Поскольку ■») мало, граничные условия можно записать
в виде
(1) — hSa + Pi = — №<*■ + 0»
(2) — u>V=£Pi и o>V=%.
откуда
ша _ (Р2 —Pi)feS
(Р2 + Pl)
Заметим, что если Pi>P2. то частота мнимая, а, значит,
колебания неустойчивые. Этого следовало ожидать,
поскольку более тяжелая среда стала бы опускаться. Фазовая
скорость v = ш/& определяется соотношением
v = Г (P»-Pi)gT'« = Г (Pa-Pi)g* Т/.
L (рг + Pi)* J L 2n(Pa + Pl) J
Чтобы выразить плотность воздуха р через температуру,
133
можно использовать закон для идеального газа р = k/T
и, следовательно,
|><7«+7\)J
2.33. Полагаем движение потока безвихревым. Тогда
v = v<P и vv — №КХ — а) (У—Щ- Из-за наличия
стен поток должен быть таким, чтобы выполнялись условия
»Л0. У) - 0 и иу(дг, 0) = 0.
Эти граничные условия будут удовлетворены, если мы
представим поток в интересующей нас области как сумму
потоков от первичного источника и мнимых источников с
координатами
(—а, Ъ), (—а, —Ь) и (а, —Ь).
Для источника с интенсивностью К решением уравнения
V2<P=J№-a), (у~Ь)\
является
Потенциал скоростей для потока с указанными
граничными условиями [скорость стремится к нулю по мере
удаления от точки (а, Ь)) равен
<*> = тг Г,п У{х~а)*+(у-Ъ)* +
+ 1пУ(* — аУ + (у + Ь)* + In У(х + а)* + (у— Ь)* +
+ 1п У (х + а)* + (у+Ь)* 1.
Воспользуемся уравнением Бернулли, чтобы связать
скорость с давлением, т. е.
-£-(vq>)* + P=P0,
где Р0—давление при v -> 0. Таким образом, давление
на стены определяется выражениями
Роз =Р„-ТР (TJ [bl + (x_a)t + b.+ (je + a).J •
134
2.34. Рассмотрим систему Земля —Луна (рис. 69).
форма поверхности воды описывается сферическими
координатами р, 6. В системе центра инерции, вращающейся
с угловой скоростью «о, масса воды вблизи ее поверхности
! ** Центр \ L>
•К_ ^.^^J^E4E4^^t^X—
Рис. 69
подвержена воздействию гравитационных и инерциальных
сил, определяемых потенциалом
где
Ул =
— Gm
■ GM*
■ гравитационный потенциал
Земли,
„ —гравитационный потенциал
<r» + p» + 2rpcos6)/. jfyHbIt
центробежный потенциал
У.~
Ш*1)*
(■»;» = р» -f Х* + 2ДГр COS 6).
Чтобы выразить ш через заданные константы, заметим, что
— GM3 m
/И„иАс = —-— и
з гг
X —
т
М + т
г.
Необходимо отметить, что ось вращения системы Земля —
Луна и ось вращения Земли вокруг своей оси
предполагаются перпендикулярными к плоскости рисунка. Этот выбор
приводит к тому, что максимальные приливные изменения
будут наблюдаться с 24-часовым периодом, определяемым
периодом изменения угла в.
Из соображений простоты выкладок расчет амплитуды
прилива произведем для экватора. Разлагая Кп по сте-
135
пеням р/г и пренебрегая членами более высокого порядка,
чем (р/га), получаем
1^л«— — fl —-^-cosG + -£!-(3cos«0- 1) + ..."].
Чтобы вычислить р(6), заметим, что поверхность воды
должна быть эквипотенциальной. Таким образом,
потенциал
V/(p,Q) = -Cm(2^ + 3m)--^l(3cos^e-l)-
p2
2,s
следует приравнять на поверхности воды константе.
Подставляя р = r0+ ft и пренебрегая членами выше первого
порядка по ft и членами порядка [(Мз + т)/Мз Кг,,8//-8),
получим уравнение для ft
Cmr? C(M3+m)/g , CM3/i
(3 cos8 0 — 1) 1 5— = const.
2л8 2rs il
3mr J cos* 6
Следовательно,
Л = h° + 2iM3 г»
Приливные вариации определяются выражением
ДА = А (0) — ft (—\ = -^ .
W ^ 2 / 2М3г*
Отсюда отношение амплитуды приливных волн,
индуцированных соответственно Солнцем и Луной, равно
(ДЛ)С Мгз _ Q 4
(ДЛ)Л mR*
Наличие cos2 6 в выражении для ft(6) указывает на то, что
за период 24 ч происходит два прилива.
2.35. Малую, но произвольную деформацию поверх-
л
ности обозначим Л (п), как показано на рис. 70. Функция
л
Л(п) может быть разложена по сферическим гармоникам
136
l.m
Гравитационная энергия
Рис. 70
Пусть р(г) = р0(г) +бр(г), где р0—плотность однородной
сферы радиусом R. Тогда гравитационную энергию можно
представить в виде
U = U0 + Ut + иг,
где
l/e-~£- f_MliAi£l dVdV
2 J | г — r' |
не зависит от h,
Ui = -G Г JiL^L dVdV = — Г Sp (r') <p (r') dV\
(q>(r') = G i —^2-^—dV — гравитационный потенциал, со-
J I г — г I
адаваемый однородной сферой),
и ±с *?(')&?(п war.
2 J |r-r'|
Здесь надо заметить, что бр(г) отлично от нуля лишь в
заштрихованных областях, и в этих областях бр = ±Ро.
знак которого определяется в зависимости от того, поло-
137
жительно или отрицательно Л. Таким образом, выражение,
например, для U2 имеет вид
Л Л
R + hJn) /H-ft(n')
-ft(n) R+h (n'>
Разлагая интеграл в ряд Тейлора и оставляя члены
второго порядка по ft, получаем для Ut выражение
Л Л
(/2a=-^glf м-иго dQdQ>.
2 2 J |r-r'|
Аналогично выражение для С^ с учетом членов второго
порядка по А имеет вид
Окончательно полная гравитационная энергия в
приближении второго порядка по ft равна
U = £/0-р„СМ J (Rh + -£) d2-
_ *S* Г Ип)/»(пО ЛЛ#
2 J |r-r'|
Так как вода несжимаема, справедливо также равенство
R+h
V r*drdQ = 0,
R
которое во втором порядке по ft имеет вид
R f h (n) dQ - - J Ла (n) dSL
Подставляя это выражение в (1) и учитывая, что
(2)
I
окончательно получим
4яСр2/?»
U = U°+ ~8 2j£T7 **А»
^йТГ^
138
Следует заметить, что вследствие условия (2) мода с / = О
не независима. Так, если все моды с / Ф 0
обращаются в нуль, то в нуль обратится и мода с / = 0. Если же моды
с1ф0 отличны от нуля, то отлична от нуля и мода с / = 0,
но она второго порядка малости. Кроме того, мода с I =1,
соответствующая однородному смещению сферы, не
изменяет гравитационную энергию.
Для безвихревого потока несжимаемой жидкости, для
которого v = уф и yv = 0, кинетическая энергия
ia- j | v |2 dV равна -^— ( <p — dQ. Чтобы определить
ф, заметим, что
' дг
и, разлагая у = 2j blm[-^) Y,m(n), получим ft,m=/?M,m//.
Таким образом, кинетическая энергия равна
Полный гамильтониан для малых колебаний равен сумме
кинетической и потенциальной энергий, т. е.
"-2 Иг к-к
4kpIGR*(1— I)
3(2/+I)
■ г» ' v ' A' A
Частота моды Alw следовательно, равна
ш2__8*РоС/(*-1)
1 3(2/+1)
или, выражая ее через гравитационное ускорение
имеем
' R (21 + I)
Период низшей моды колебаний (/ = 2), очевидно, равен
х = 2*/ш8 = я (bR/g)4' = 5640 сек.
139
2.36. Исходя из релятивистских преобразований
координат, можно написать
t = Ti & + хрх), x = Tl (Xj + VjtJ;
далее-
Ho Xi= 0, так как часы покоятся в системе координат Sx.
Эти уравнения легко решаются. Получим fa=» тгО ~ViV2)t.
2.37. Пусть скорость ракеты в момент времени t в
покоящейся системе отсчета, связанной со звездой, равна с.
Рассмотрим преобразования Лоренца из этой системы в
инерциальную систему отсчета, движущуюся со
скоростью V,
х = т (х' + vt') и / = т (? + vx1).
Тогда
dx1 dV
v + -
dx dt' d*x dP
И
dt
При dx'ldt' = 0 преобразование для ускорения,
направленного вдоль движения, имеет вид а = а'т~3, а
преобразование для временных интервалов dt* = dtl-[. Полное
время, прошедшее по часам в ракете, равно
С2
или
Г--1У+*7'.
2а' 6 \-Vflc
где V/ — конечная скорость ракеты в системе отсчета,
связанной со звездой, а' — постоянное ускорение, измеренное
в системе отсчета, связанной с ракетой. Чтобы вычислить
ну, заметим, что пройденное ракетой расстояние от Земли
до звезды определяется выражением
D-f «ft- Г _Е^ L Г °»
J J а а' J (l-t>*)"'«
140
или 1 / I \
Исключив су из выражения для 7", выразим 7" через D и а'.
2.38. Период т определяется выражением
. е dx
х = 4
р ах
где скорость v определяется из уравнения для энергии
хР \-Vt . mo»2*2 о . тш2а2
1 = тг*Л- i
s/i f2 \-v« . "К"2*2 „a
2
Таким образом, подставляя значение скорости в интеграл,
получаем
г = — f l+^Ce2-*2)/^ ^
о» I »/, Г «>8 l'/«
J (rf-vll + ^w-*)]
Разложив подынтегральное выражение по степеням со гаУс2,
получим в качестве главных членов выражения для периода
2.39. Определим 4-вектор
Р = Рп + Рп = РЪ + Pd ,
где в лабораторной системе р — (гщ + то , 0) = (М, 0).
Далее рп= р —рп. Возведя в квадрат, получаем
ml - pi - (р - pj2 = (М - £я)2 -
-р1 = М*-2Е«М + пй.
Следовательно,
M2 + m2_%2
2Л!
1,24 Гэв.
Скалярное произведение ррп было вычислено в
лабораторной системе координат, так как оно лоренц-инвариантно,
можно было выбрать любую инерциальную систему.
141
2.40. а. Скорость центра инерции любой совокупности
частиц определяется выражением
Ир
которое очевидно из преобразования Лоренца для импульса
/>'|1вТ(Р|| — Ev), p\=px.
Выберем v параллельно р, тогда р' = 0 при v = р/Е.
В случае образования электрон-позитрониой пары имеем
v = (p+ + P-)/(E+ + E-),
где р+(_) и Е+(_} — соответственно импульс и энергия
позитрона (электрона).
б. Полные энергия и импульс составляют 4-вектор;
следовательно, величина (£+ + Е_ )2 — (р+ + р_ )2
является инвариантом. Система центра масс —это такая
система, в которой р+ + р1_ = О, и, так как т+ =* т_,
в ней Е'+ = Е_. Таким образом, 4£+ = (Е+ -f £_)2 —
—(Р+ + Р-)2« или окончательно
£__ К(£+ + £-)г-(Р* + р_)»
2
,2
в. Рассмотрим инвариант / = (р+ -— р_)а —(£+—£_)'
В системе, где электрон покоится, р. = О и Е_— т, и
мы находим, что £+ = m/jA —и*, где и —относительная
скорость частиц. Таким образом,
, 2т* о ,
откуда
[. 1 -1'/»
2.41. Выберем систему координат, ось х которой
направлена вправо, а ось у вверх. Уравнения движения имеют вид
— (р cos 6) = 0 и — (р sin 8) = —^— .
dt ' dt d
142
таким образом, р cos в = ро cos a —интеграл движения;
йз второго уравнения получим -^- pocos a tg в = —eV/d.
Воспользуемся соотношением tg в —-jf" и приближен-
d й г,
ным выражением -тг^с -^-, где с —скорость света.
Последнее выражение является достаточно хорошим
приближением для релятивистского электрона, поскольку его
скорость на всем пути приблизительно равна с. Итак,
— eV
ds\dx)
р0 cd cos a
dx* cp0d cos a [ \ dx ) J
Общим решением этого уравнения является у = А —
—g- ch Р(дс —а), где j3 = eV/{cp(4 cos а). Постоянные А
и а вычисляются из граничных условий
ax
2.42. Пусть один из фотонов имеет импульс р в
лабораторной системе и импульс р'—в системе покоя л°-мезона.
Для фотона |р| = Е. Преобразование Лоренца связывает
р и р следующим образом:
р sin 6'= p sin e,
р' cos 8' *= p(cos в — v),
р'= р(\ —v cos 8).
Поделив первое соотношение на второе и второе на третье,
получим
tg8' = -! ?HLL_ и cos6'= cos*~v
f cos 8 — v 1 — v cos в
Вероятность вылета под данным углом — величина
сохраняющаяся, так что
P(Q)dQ = P'(Q)dQ'.
Поэтому
Р (8) = Р' (6) dcos6'
dcosG
143
= Я'(8) \ = !
■Г*(1— о cos 6)* 47^2 (1 — v cos 6)*
есть нормированная плотность вероятности.
2.43. а. В одном году 3,15-107 сек. Следовательно,
/3 = т/п = т - Ю3 сек = 3,15 • 1(7 сек,
откуда f = 3,15-10*. Значит, в лабораторной системе
координат (связанной с Землей) энергия нейтрона в
3,15-10* раз больше массы покоя, что составляет примерно
30 000 Гэв.
б. Пусть переменные в системе покоя нейтрона будут
со штрихами, а в лабораторной системе без штрихов; 6 и
8' — углы вылета продукта распада по отношению к
направлению скорости нейтрона (скорость нейтрона
направлена вдоль оси г). Тогда
tge = -I- H'sin0'
■j и' cos 6' -J- v
где и'—неизвестная скорость продуктов распада. Это
соотношение было выведено в предыдущей задаче, но оно
может быть получено также из формулы Эйнштейна для
сложения скоростей. И нейтрино, и электрон распада —
ультрарелятивистские в штрихованной системе координат. Для
электрона —— = 0 означает, что cos 6' = Тогда
1 _~ т*
tg бмакс =
^цм У 1 — (u'/v)* Тим
макс
Так как тц„ = 3,15 • 104, (те)ШКс = 2,6, получим в,
= 10"* рад.
в. Способ вычисления, использованный в пункте «б»,
неприменим в случае, когда и >v, так как это привело бы
к cos 8 '< —1.
Максимальное значение угла 8 равно л, что имеет место
для случая вылета нейтрино под углом 1809 в системе покоя
нейтрона.
г. В системе покоя нейтрона максимально возможная
энергия нейтрино равна
£„ да Мп — Мр— М,= 0,8 Мэв.
Для нейтрино, вылетевшего под углом 180° к
направлению полета нейтрона в лабораторной системе, имеем
144
ft..—r<£, + viO=»£'i<i-«0**' |/-^«
2Т,
Е' 12,7 эв.
им
2.44. Начнем с грубой оценки порядка величин. Из
закона Кеплера следует, что v~ Е3'\ где Е—энергия
без учета массы покоя. Изменение v, обусловленное
релятивистским эффектом, в первом порядке равно
dv
V
_ 3
~~ 2
3 с*
d£ 3 8 " с2 9
Е 2 GM 16са
2«
_ 9 GM _ 60о
8 Кс2 ~ 2я '
(37
СУЙ
2Я
откуда 660« 2nGM/Rci. Этот результат не точен.
Релятивистские эффекты могут проявляться или через ускорение
частицы, находящейся на нерелятивистской орбите, или
через вращение перигелия. Действительно, именно эти
эффекты имеют место для круговых орбит. Для орбиты с
эксцентриситетом перигелий должен прецессировать, и
скорость прецессии грубо определяется выражением,
приведенным выше. Ниже дается более строгий вывод.
Уравнение для радиальной составляющей силы имеет
вид
Время из этого выражения можно исключить,
воспользовавшись уравнением для момента количества движения
L = ттг28 с учетом того, что L есть интеграл движения:
did
В переменных
откуда
dt
и = \1г
dhi .
г i
rf(J*
и е
d2u
rf(J2
и =
ту2 dO
уравнение для силы
L2u*
E — V
L2c2
2 dV
ди
ди
сведется
к
145
Здесь использовано выражение для энергии Е = тсг^+ V.
В гравитационном поле (пренебрегая эффектами общей
теории относительности) потенциальная энергия V =
= —GMmlr = —ku и уравнение для силы примет вид
и" Л-и (\ —V
\ c*L* J
Ek
решением которого является
" = T=^ll+£C0Sa(e-e<>)b
где а = (1 — A7c2L2)'/«« 1 - £72с21А
За один оборот 8 увеличивается на 2л, следовательно,
перигелий за один оборот перемещается на угол б =
= 2л(1 — а) = nkVc2Lz. Для почти круговой орбиты
радиусом R угол
vGM
Re2
что составляет одну шестую величины, предсказанной
общей теорией относительности.
Другой вариант решения. В нерелятивистской кепле-
ровской задаче имеются два хорошо известных интеграла
движения: энергия и момент количества движения. Однако
имеется еще один интеграл движения, а именно
A = r + -JM-.
km
л
который может быть получен из равенства -—■ = *-Ц- н
л
закона Ньютона. Из последнего следует, что р = — kr/r2.
Необходимость в дополнительном интеграле движения
вытекает из «случайного» вырождения кулоновского
потенциала; уравнение Гамильтона —Якоби (в квантовой
механике уравнение Шредингера) допускает разделение
переменных как в сферических, так и в параболических
координатах. Вектор А направлен всегда на перигелий
орбиты; его длина равна эксцентриситету е орбиты. А
принято называть вектором Рунге — Ленца*.
* Lenz W. Z. Physik, 24, 197 (1924); Paul! W. Z. Physik, 36,
336 (1926); Greenberg D. F. Amer. J Phys., 34, 1101 (1966).
146
В специальной теории относительности А уже не
сохраняется. Если К —система отсчета, движущаяся с угловой
скоростью б w прецессии перигелия, то
\ di /к \ dt /11Нерц
\ dt )К тг* \ у ) '
л
Так как (-^-1 = ^Ц-, то
/инсри mV
Л
f8<o [Lpll
km
ИЛИ ,. Л
2тл8
Мы выбрали 8w так, чтобы среднее значение ( )
было равно нулю. При усреднении по нерелятивистской
орбите член с р обращается в нуль и, следовательно,
L<p«//',>
<5*>> =
Ъп
В пределе, когда нерелятивистское движение происходит
по круговой орбите радиусом R,
2т№ 2
а прецессия определяется углом А8 = 2лби>Ло = л$2.
Но и2 = GM/i? и, следовательно, АО = nGM/Rcz.
2.45. Баллон движется в направлении ускорения, так
как ускорение системы отсчета, согласно принципу
эквивалентности, производит такое же действие, как и
однородное гравитационное поле, направленное в
противоположную сторону. Следовательно, можно считать, что
сосуд покоится на поверхности Земли. Тогда баллон с
гелием поднимается.
3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
3.1. С учетом симметрии куба направления токов через
сопротивления можно представить так, как показано на
Рис. 71. Из закона сохранения тока следует, что
/ = 2х + у, у = 2г,
147
Рис. 71
где / — полный ток в цепи. Из условия, что разность
потенциалов между точками А и В не зависит от пути,
получим дополнительное уравнение 2xR = 2(у + z)R. Из этих
трех уравнений найдем, что х = 3//8, у = 1/4 и г = 1/8.
Сопротивление между
точками А и В равно 2xR/I, a
следовательно, J?ab=3#/4.
3.2. Если ток i
подводится через точку А, а
снимается на
бесконечности, то из соображений
симметрии по проводу АС
течет ток {"/4. С другой
стороны, если с точки С
снимается ток г, подводимый
к сетке на бесконечности,
то очевидно, что по
проводу А С будет течь ток /74.
Таким образом,
суммарный ток по проводу АС
равен i72.
3.3. Расположим
бруски как показано на рис. 72.
Тогда, если намагничен
брусок /, то вследствие
симметрии между брусками
притяжения не будет. Если
же намагничен брусок
2, то благодаря
индуцированному в бруске / полю
они будут притягиваться.
3.4. Вследствие
линейности уравнений электро-
Рис. 72 статики имеем следующие
выражения для зарядов
соответственно на проводнике и на пластине, после того
как они приведены в контакт:
qx =C1V, q2=C2V,
1
2
где V — общий для проводника и пластины потенциал.
Таким образом, qjq^ = CJC2 = const. После первого'
соприкосновения qx — q и <72—Q— q, но, в конце концов,
<?2 -»- Q и, следовательно, qx -*■ Qql(Q — q).
148
3.5. От батареи потребляется постоянная мощность
р =zEI. Электростатическая энергия конденсатора U —
=s qE/2 изменяется во времени со скоростью
_Д/___Е_ dq_ _ Ш_
dl ~ 2 ' dt ~ 2 "
Таким образом, работа, произведенная батареей, в два
раза превышает энергию, запасенную конденсатором.
Наблюдаемая разница объясняется тем, что конденсатор
производит работу над внешним агентом, вызывающим
соответствующее изменение емкости.
3.6. Пусть Q — величина заряда на пластине, а о —
поверхностная плотность заряда на этой пластине.
Обозначим /и У соответственно ток и плотность тока между
пластинами, а V — разность потенциалов, приложенную к
пластинам. Тогда
(здесь использовали закон Гаусса). Следовательно,
RC = e/g.
3.7. Линейность уравнений Максвелла позволяет
считать, что магнитное поле возникает от двух токов: от тока
с плотностью / = //л (б2— я2), протекающего по цилиндру
радиусом Ь, и от тока с плотностью —у, протекающего по
цилиндру радиусом а. Сумма плотностей этих токов
представляет собой распределение токов в просверленном
цилиндре. Из закона Ампера для циркуляции $Hdl =
= (Ал/с) jjdA найдем, что ток с плотностью у создает в
центре отверстия магнитное поле напряженностью Н —
— 2Idlc{b2—а2), в то время как ток с плотностью —у не
создает в центре отверстия магнитного поля.
Следовательно, результирующая напряженность магнитного поля Н
определяется выражением Н = 21dfc(b2— а2).
3.8. Задача решается методом изображений.
Предположим, что внутри проводника имеются фиктивные заряды,
величина и расположение которых выбраны так, чтобы
поверхность проводника была эквипотенциальной. Чтобы
сделать эквипотенциальной поверхность выступа,
необходимо поместить фиктивный заряд </' = —qalp на
расстоянии аУр от начала координат на линии, соединяющей
начало координат с зарядом q (начало координат выбрано в
Центре полусферического выступа, рис. 73). Однако для
"■"ого чтобы при этом сохранить эквипотенциальность плос-
149
кости, необходимо дополнительно поместить фиктивные
заряды —q', —q на расстояниях соответственно —а*/р и —р
Рис. 73
внутри проводника. Тогда сила, действующая на заряд q,
определится выражением
- q* |_^£ +
= -А-
Up
Ур)2 Р(р + а21р)2
4аар8 , I
VJ
о4)2 4р'
н-
3.9. Напряженность магнитного поля в начале
координат определяется выражением
-P*=- + J-
rda
м
(1)
где рм — — уМ = 0 и daM = MrfA — соответственно
объемная и поверхностная плотности намагниченности. На
каждой из поверхностей колпака |г| постоянен, и
da
da
— — М cos 0 sin Odbdy.
Подставив это значение в выражение (1), получим Н =0.
3.10. Согласно закону Гаусса, Е = 4л з, где а —
поверхностная плотность заряда. Е направлено
перпендикулярно к плоскости. Когда диск приподнимается над
плоскостью на бесконечно малую высоту dx, энергия поля
уменьшается на величину, равную произведению образо-
150
вавшегося объема на плотность электростатической
энергии: dU =—E2Adx/8n, где А — площадь диска.
Следовательно, появляется отталкивающая сила
dx 8* 8я
Диск начнет подниматься над плоскостью, когда эта сила
превысит силу тяжести диска.
Другой вариант решения. Поле образуется двумя
источниками — зарядом на диске и зарядом на плоскости.
Первый из них не может вызвать силу, действующую на
диск. Вычислим поле, обусловленное зарядом на диске,
и вычтем его из суммарного поля, определяемого законом
Гаусса. Потенциал на оси диска на расстоянии х под
плоскостью равен
R
V(x)=[ 2xiar<U— = 2*о [(Я2 + **)''« - х],
J (Л2 + Х*)'/г
о
где R — радиус диска. Тогда
£(0) = - —I =-2™( х- Л =2тс
Следовательно, напряженность поля Е, действующего на
диск, равна 2«т, а сила, с которой оно действует,
F^a jErfA= 2iwM.
3.11. Электростатический потенциал ф(г) является
функцией лишь радиуса, потому что 0(/?lt в, ф) = Vt не
зависит от в и ф. Следовательно, продолжение этой
функции на область, занимаемую диэлектриком, также не
должно зависеть от 8 и ф. Таким образом, на поверхности
радиусом R электрическое поле радиально и постоянно по
величине по всей поверхности. Применив закон Гаусса к сфере
радиусом R(Rt < R < /?2), получим
-I
J DrfA = 4*Q = — 2kR*E j" (e„ + ex cos2 8) d (cos 8) =
+i
4иЯа
:toj.
Ефь^ + Ъу),
откуда £ =3Q/(3e0 -f e^/?2. Разность потенциалов между
пластинами равна
151
J (3e0 + e.) RtRt С
Следовательно,
3<K2-«,)
3.12. Из уравнения Н =— \у, поскольку
бесконечный провод с током [у в пустоте создает поле бе = 2/,/г
(закон Ампера), получим
Ф = —211\пл \r\{x 4- \у)
с точностью до постоянной. Введя фиктивный ток /а,
протекающий внутри магнитной среды на расстоянии а
от границы раздела (рис. 74), получим
h
-*-г
Рис. 74
Ф = —21 Mi* — а) + \у] — 2/2lnf(.v + a) + \д],
(h = —2/3lnl(jc — а) + iyl,
где ф и ф2— соответственно потенциалы в вакууме и в
среде. Далее из непрерывности тангенциальной компоненты Н
и нормальной компоненты В =цН следует
и + 1 I* + 1
Сила, действующая на ток It, в точности равна силе,
создаваемой фиктивным током /2. Поле, созданное током /а
на проводе с током /lt равно
В = -^- = fr-0'i
Г (U+ 1)0 "
152
Отсюда получаем выражение для силы, действующей на
единицу длины провода:
L
= /tB =
и + 1
Эта сила является силой притяжения.
3.13. Используем индексы 1 и 2 соответственно для
обозначения среды с коэффициентом ц =1 и ц = 2.
Помещение петли на границе раздела (рис. 75) вызывает
фиктивные токи в том же
самом месте, где течет
реальный ток, и это
обстоятельство изменяет величину,
но не характер поля В.
Действительно,
источниками поля В являются,
с одной стороны, плотность
реального тока j, а с
другой стороны, величина
[уМ1, где М —
магнитный момент единицы
объема. Однако М
пропорционален Н, а [уН] равно
нулю везде, кроме области
с j ф 0. Теперь используем
соотношение $Ш1 = /реал
по любой петле, где /—
замкнутый ток.
В случае а)
В? « р,^-= ^ и Bg»feH* = 2H„
а в случае б)
Рис. 75
B? = H,
в!
н.
Выберем линию, где |В| = const, в качестве контура, по
которому берется криволинейный интеграл в законе Ампе-
Ра. Тогда
/ =
=. (Vdl=2 (Vc/
т \Kdl=*
153
Следовательно, В? = 4В?/3. Если обозначить Ф
магнитный поток через петлю, то
Фа _ L4__ J^_ _ S Badl _ _4_
Фб _ Lbl ~ L6 ~ JB^dl ~~ 3
3.14. На большом удалении от включения
электрическое поле может быть записано в виде Е = Ео — yV,
где Ео— постоянное электрическое поле. Эффект
возмущения поля включением представлен потенциалом, который
может быть разложен по сферическим гармоникам
l.m
Начало координат выбрано внутри самого включения.
Теперь определим первый ненулевой член в этом разложении.
Легко показать, что член с / = 0 равен нулю.
Действительно, jEdA по поверхности, охватывающей включение,
равен 4л Л 0. Если он не равен нулю, то заряд будет покидать
включение со скоростью jjdA = a^EdA = 4яа0/10 и
условие стационарности будет нарушено. Поэтому /10= 0
и главным членом разложения возмущения будет член с
/ =1:
т
Следовательно:
|Е-Ео1~^г-
3.15. Разделяя переменные в уравнении
находим
00
V = ^] (-^)W Hmcos (m6) + Вп sin (mb)\,
откуда
со
V(г = а, 6) = V [Ат cos (т В) + Вт sin (m G)J.
Bm=0, так как 1/<в>= I/ <—в)- Коэффициенты Ат могут
154
быть вычислены, если проинтегрировать произведение
у(а, 8) cos(n8) по 6:
«/2 Зя/2
Г V, cos (л G) dQ + Г V2cos(nO)dO =
—я/2 it/2
л 2
и «(Ve 4- ^i) ==• 2^i40. Таким образом,
2л — I \ а )
х cos [(2л — 1)0].
Наконец, стоит заметить, что ряд может быть
просуммирован. Это выполняется с помощью соотношения
се
У(-1Г1^с08[(2/г-1)9] =
= Re|^-£(ii/e«er1^
О п=\
которое, если воспользоваться разложением
со
—Х— = \Л х" для | х | < 1,
примет вид
х
о
Проинтегрировав, получим
со
V (~ 07 х2»-1 cos Ц2п - 1) 0] = — Im in ^~r =
^ 2л —1 v 2 1 — 1лге,(*
1 . 2х соз О
= — arete .
т 2 * I-*2
1аким образом,
V(r, G) = К' + ^ + *-* arctg 2a'cos6 .
а* — /*
Это выражение может быть также получено с помощью
функции Грина.
3.16. Комбинируя закон Гаусса div E = 4яр, закон
Ома J = <тЕ и уравнение непрерывности -=т-+ div J = О,
получим временную зависимость плотности заряда р:
р = Рое-<-'.
Следовательно, характеристическое время утечки заряда
равно 1/4по. Для меди оно равно 1,5-10"18 сек. Это время
столь короткое, что для его реализации, т. е. для
перемещения носителей заряда на очень малое расстояние,
необходимо, чтобы их скорость превышала скорость света.
Следовательно, такое решение неприменимо, что, в свою
очередь, является следствием нарушения закона Ома.
Поскольку заряд не может находиться внутри проводника, то в
случае, когда проводник полностью изолирован, заряд
распределится по его поверхности с определенной
поверхностной плотностью.
3.17. Сфера из проводящего материала является
источником электрического поля Е — bV/rz, которое
поляризует диэлектрик. Индуцированный таким образом
диполь р имеет энергию U = —рЕ/2 в поле Е. Но р = аЕ,
и, следовательно, сила, действующая на диэлектрик,
определяется из уравнения Е = —VU- Следовательно,
Р JE. — 2*Ь2У2
г~ дг ~ г*
3.18. Р = ШЕлокал = N<x (EMflKp + 4*Р/3), где Емакр-
макроскопическое электрическое поле. Далее, еЕмакр^г
= Емакр + 4яР, так что
е — 1 3
Отсюда
(е— 1)/(е + 2) = 4«Мх/3.
3.19. Поле атомов, находящихся вне рассматриваемой
полости, вычисляется с использованием средней
плотности макроскопической поляризации Р в предположении,
что среда обладает поверхностной плотностью зарядов
л
a = Pn и объемной плотностью зарядов р = —уР.
Таким образом,
о л л
/_ р nW — ri\dA
E'=J i V. +E, + E,,
156
_e S — поверхность полости. Первый член обусловлен
поверхностной плотностью заряда <т (направление п
выбрано наружу из области), члены Es и Ev— соответствен-
но вкладами от других поверхностных границ диэлектрика
и от объемной плотности р = — уР. Существенно теперь
считать Р константой в непосредственной близости от
рассматриваемой полости. Тогда сумму Е + Es + Ey можно
отождествить со средним макроскопическим полем Емакр.
Кроме того,
Л Л
( — Рп)(-п)<*Л __ 4яР
1
Таким образом, Е + Е' = EMflKp -+- 4яР/3. Электрическое
поле, обусловленное соседними атомами, расположенными
вточкех i с дипольными моментами р,-, равно
3(pjx,)xi-xf Рг
Е" =
*?
В случае (а) два атома имеют координаты |х ;| = х1г в то
время как другие четыре атома находятся в точках с
координатами |х /| = х2. Все диполи имеют одинаковую
величину и направлены вдоль поля Е. Таким образом,
Е" = 12p(*2~~Xl) для (Xl - х2) « xv
Кроме того, р = аЕ„ и Р = NaEA и, следовательно,
_ Емакр
•-л ==
. _4яЛ^ (*2 — *i)^
з " 4
Коэффициент преломления п определяется из выражения
Р = МхЕ = Е~~1 Е
4л
где е = л2.
Из приведенного значения постоянной решетки
получаем N = 1,25-Ю23 см~3, а из значения п для недеформи-
Рованной решетки имеем а =0,83-10_м см3. Тогда для
случая, когда Е параллельно главной оси деформации,
получим п = 2, что меньше значения коэффициента
преломления для недеформированной решетки. В случае (б)
J57
E" = 6p (xt — x^/xl
и, следовательно, равно половине величины Е" для случая
(а) и, кроме того, имеет противоположный знак. После
соответствующей подстановки получим п =2,1.
3.20. Критический угол определяется законом Снеллиу-
са. Но для этого необходимо знать показатель
преломления л(Х). Чтобы его определить, запишем
тх —elL — еЕ„е = — тх^шге ,
где (о = 2пс/К. Предполагается, что электрон осциллирует
с частотой, равной частоте рентгеновского излучения, а
амплитуда осцилляции равна х0. А^аксимальный
индуцированный дипольный момент для одной пары ион — электрон
в предположении, что ион покоится, равен
/Яш*
При наличии связи знаменатель в выражении (1) будет
содержать дополнительный член тщ, где <о0—
характеристическая частота связи электрона с ионом.
Поляризация металла равна Р = —Ne^Eo/mw*, а его
поляризуемость а = Р/Е = —Ne?/ma>z. Далее,
D = еЕ = Е + 4т:Р = Е(1 + 4™),
откуда
„ . 4яЛ/е2 . _..
"а —е= 1--гт «1>
ты*
Согласно закону Снеллиуса n1cos &г = л2 cos 82 (здесь
углы измеряются по отношению к поверхности), критический
угол Эр для которого угол преломления 8а=0,
определяется выражением
cos2 GK = tv = 1
к а
ИЛИ
^И^Г-т-
где <оп— плазменная частота. Для случая <о <С«П
показатель преломления чисто мнимый и, следовательно, имеет
место полное отражение при всех углах падения.
3.21. Пусть поле Н направлено вдоль положительной
полуоси г. Пренебрежем магнитным полем распространяю-
158
щейся волны по сравнению с полем Земли. Уравнение
движения электронов ионосферы
а\ — iu>/ e
т —- = <>Ее -\ [vH],
at с
где Е соответствует суперпозиции право- и левополяризо-
ванных пучков Е0 ^х ± \у) е . Движение электронов
происходит в плоскости г = 0, и его зависимость от
времени должна быть такой же, как и зависимость Е. Из этих
соображении v можем предстагить равной v0 \x ± iyj e
Тогда
[\\l] = ±iHv0[x±iy)e'inJ
и
с0 (— imo) zp \etllc) = еЕа.
Оедовательно,
т (ш ± и>0) тс
Плотность тока J0 = Nev0 = \NezE0/m(i» ±ш0). Но
. „ I дЕ 4тг/ _^ jo
с dt с с
1 —
ш (u> ± и>0)
гдешп2 =4п№г/т — квадрат плазменной частоты. С
другой стороны, в отсутствие тока, но в диэлектрической
среде
rotH = — .JL=_J2LE.
с dt с
Сравнивая эти два выражения, получим
» 1 п
е, = Л, = 1 .
1 ш (ш ± ш0)
Право- и левополяризованные пучки распространяются с
различными фазовыми скоростями с/п+ и с/л_, поэтому
электрический вектор Е вращается. Если при г = О
вектор Е = Е+ + Е_ направлен по оси х, то на расстоянии г
Е+ + Е_ = Е0 {х[е^"^-" + е»»<«-*/'-<> ] +
+ iy [еи"+г/':-') _ eM«-«/f-o 1] f
159
что означает поворот на угол 8, определяемый
соотношением
tgG =!± - '-.
Подставив в это выражение /1 + —п_ =бл, получим
tge = —tg(w6 nzllc) или 6 = —<dzSn/2c.
3.22. Рассмотрим решение (поперечное электрическое)
уравнения Максвелла внутри полости (рис. 76):
Из волнового уравнения
v с2 д<2
получим
\дх* ду* ) ' ^ с2 ) ' v
Решение, удовлетворяющее граничным условиям,
гласящим, что поперечная составляющая Е и продольная
составляющая Н обращаются в нуль, имеет вид
г- г- ппх . тки ,-, ., ппх тжи
с, = £01 cos sin —— , Ег = EfQsm cos —— .
a b a b
160
Здесь пЕ01/а + mE02/b = 0, чтобы удовлетворялось
уравнение уЕ, = 0. Тогда уравнение (1) перепишется в виде
In, т — целые числа и считаем а > Ь). Так как в случае
распространения электромагнитных волн по волноводу
£2>-0, то существует минимальная частота, равная ш0 =
sscn/o- Для фазовой и групповой скоростей имеем
следующие выражения:
Аналогичный результат получается и для поперечной
магнитной моды (Нг = 0), однако граничная частота в этом
случае выше. Легко заметить также, что v^ur = с2.
И
■*~г
н
Рис. 77
3.23. Плотность тока J постоянна во времени, поскольку
Ь = 0 везде. Так как пластина бесконечная (рис. 77),
" и J могут зависеть только от г. Из уравнения Максвелла
rotB =
п°лучим
V2B
4тсВ
4tcJ
с2=0.
1С1
(Здесь мы использовали соотношение rot rot = grad div—^?2.)
Запишем решение, удовлетворяющее граничному условию
b(±d) = Н0:
1 + е"*" ° ch kd
где/fe2 — 4л/Х,с2. Плотность тока определяется из уравнения
4tJ ,0 л ИВ Л,„ shftz
= rot В = — х = — xkH.
с dz ° ch kd
Поле Н обусловлено лишь внешними токами и,
следовательно, Н = Н0 везде. Здесь нет противоречия, поскольку
В = Н -+- 4яМ, гдеМ — магнитный момент единицы
объема, который должен удовлетворять уравнению c[yMl=J.
Это легко проверить, поскольку [уН] = 0:
hM-T-ivBi-f -^- = -
4тг 4г. с с
и все согласуется. Легко видеть, что В ограничено
поверхностным слоем глубиной \lk и, следовательно,
сверхпроводник «выталкивает» поле.
3.24.*. Рассмотрим уравнения Максвелла
VD = 0, (1)
VB = 0, (2)
lvE] = -'f. (3)
с at
[VH1=J-.J» (4)
с at
Если Р — поляризация в системе, где цилиндр покоится,
то в первом порядке по vie имеем
D = Е + 4*Р и Н-В — 4тМ.
[Pv]
* Эта задача впервые была рассмотрена (корректно) Э. Ферми
[(см. Rend. Lincei., 32(1) (1923)]. Ферми включил ее в кандидатский
минимум 1948 г. в качестве стандартной задачи. Один из студентов
отыскал оригинальную статью Ферми, перевел ее и стал первым
нэ студентов, кто дал правильное решение задачи.
162
Таким образом, в первом порядке по vie можно написать
D = eE + (e-1) -i^L. (5)
с
н = в + (е-1)-!^- (6)
с
йЛи в более удобной для нашей цели форме
E = -i-JD-(e-l)ML], (5')
Н - В + -!=i • -ta . (б')
е С
Уравнения (5) и (6) являются нерелятивистским пределом
уравнений Минковского для движущихся сред (см. Л а н-
д а у Л. Д. и Л и ф ш и ц Е. М. Электродинамика
сплошных сред. М., Физматгиз, 1959).
Теперь найдем решения с круговой поляризацией вида
D = ^,(I±jJ)e,<*±w0, Dz = 0;j
Легко видеть, что уравнения (1) и (2) удовлетворяются.
Подставим решения (5') и (6') в уравнения (3) и (4) и
воспользуемся тем свойством, что
(V IvAj] = IQA],
где А = А(г, (), Аг = 0, v = [Qrl, Q постоянно вдоль
оси z. Тогда
— IvD] — -^- [12В] = - — • —- (3')
е ее С dt
И
[VB] + izi [QD] = -L - -^. . (4')
ее С ОТ
Для решения с круговой поляризацией типа (7) эти
уравнения примут вид
±4^о±^^Во=^А, О")
и
±k±BoT Ц*—'> Du - - -!=- D0. (4")
ее с
163
Если эта система однородных уравнений для D0 и В0 имеет
решение, то определитель из коэффициентов при D0 и Вй
должен обращаться в нуль. Таким образом,
Волна, которая при z = О поляризована вдоль оси х (т. е.
л\
Е(0) — Е0\), при z == L превращается в
E(L) = ^-[x(eife+L +el"-L) + i у (e'*+L - elfci) ] •
Следовательно, плоскость поляризации поворачивается на
угол 8 = (£_ —k+)L/2 в том же направлении, в котором
вращается цилиндр. Используя равенство (8), получим
л с
где п — ]/"е —показатель преломления диэлектрика.
3.25. По условию V0> £1*1 и £2-^z» поэтому можно
считать траектории частиц прямолинейными всюду, кроме
непосредственно примыкающей к щели области, где на
частицы действует поперечное электрическое поле, которое
изгибает их траекторию. Это поперечное электрическое
поле может быть найдено, если воспользоваться
уравнением уЕ = 0, справедливым в центре щели. Но в этой об-
ласти [—— ] я» —- — , где / — толщина линзы. С дру-
\ дх /0 t
гой стороны, разлагая Еу вблизи у — О, можно написать
£у« ау. Таким образом, уравнение уЕ — 0 означает, что
а « —(£2—Ej)/t. Следовательно, частица с зарядом е,
входящая в щель на высоте у, испытывает силу, равную
— е(£2 — EJy/t.Эта сила действует в течение времени tlv
{и —скорость частицы). Тогда суммарный импульс,
переданный частице, равен Др = —<?(£2—EJy/v, что
приводит к изменению траектории на угол 6ф = —lS.plр (рис. 78).
Следовательно, частица вновь пересечет ось х в точке
у 1 в»
х2 = — или — = —-.
б2 *2 у
Подставляя G2 = Sep — 8j и 6, = у/хг, получаем
хх ха pv 2Vn
1С4
Рнс. 78
3.26. Так как напряженность магнитного поля
возрастает постепенно, можем предположить, что в плоскости,
перпендикулярной к оси соленоида, движение происходит
почти по кругу. Угловая частота вращения есть
циклотронная частота
(0= . (1)
тс
Кроме того, цилиндрическая симметрия соленоида
обеспечивает сохранение проекции момента количества движения
вдоль оси симметрии, принятой за ось г. Таким образом,
Л Л Г / е М ег2В
z[гр] = z г (mv -\ А) = тг2ш -\ = const.
Воспользовавшись равенством (1), получим
тг2ш = WjiDj, (2)
где m^(0i/2 —момент количества движения в точке, где
В — Вг. Кроме того, при движении в магнитном поле
кинетическая энергия постоянна, т. е.
1 2,1 о о
— mv, A w2ur
2 ' 2
I 2.1 22 /оч
Если точка отражения (где и, = 0) имеет место при
значении В, то из равенств (1) —(3) получим
vl = vu ("Л" - 0' где t'i/ = ''iloi-
'эк как В <^ Вг, то отражение иона в какой -либо точке
165
внутри соленоида произойдет, если будет выполнено условие
3.27. В цилиндрической системе координат уравнение
для 8-компоненты запишется в виде
JL(w»Q) = -i. г?Н, (1)
at с
а закон сохранения энергии требует, чтобы
— т{ гг + г'ё2) — eV (г) = 0. (2)
Координата z электрона не изменяется в процессе
движения. Уравнение (1) имеет решение тг% = (еН/2с)(г*—а2).
Подставив это решение в уравнение (2), получим
-H',+b£r)v-o8,sHm
Пороговое значение потенциала Va определяется из
условия г = 0 при г = Ь. Следовательно,
Vn = еН2(Ь2 — о*)"/8отЛ>*.
3.28. Рассмотрим сначала квадрупольную линзу.
Магнитное поле Н определяется производной от потенциала:
Н — —grad U. Так как
div Н = 0, (1)
потенциал U есть гармоническая функция, т. е.
функция только z = х •+■ tj/, а не г* = х — \у, или наоборот.
Далее, любой полином по z является решением уравнения
Лапласа в двухмерном случае. Нужная экспонента
выбирается из соображений симметрии. Квадрупольная линза
симметрична по отношению к повороту на угол я, и
выбранный потенциал должен отражать эту симметрию. Поэтому
мы выбираем V = кгг. Как действительная, так и
мнимая части потенциала V являются решением уравнения
(1), но лишь мнимая часть соответствует граничным
условиям, приведенным на рис. 22, а именно, что линии
ху = const представляют собой эквипотенциальные линии.
Силы определяются по уравнению Лоренца F = ^IvBl/c
Положительно заряженные частицы фокусируются в
плоскости уг и дсч)юкусируются в направлении оси х, для
отрицательных частиц—наоборот. С другой стороны, нейт-
16С
ральная частица с магнитным моментом ц в неоднородном
Магнитном поле испытывает воздействие силы,
определявши выражением F = — \ (—рВ) = (р.у)В. Для сохранения
фокусировки, аналогичной фокусировке для заряженных
частиц, необходимо, чтобы
_ dHJ dW
гх = — ц, —— — х или ~ у,
л
когда р = fix х. Это _
наводит на мысль, s*J V3/
что надо взять U =fo?
и выбрать
действительную часть.
Такой потенциал
симметричен по
отношению к повороту на
угол 2я/3, в чем
легко убедиться,
написав выражение в
полярных координатах ^ ^J>
г =ге'е. Шестиполюс-
♦>
<-
ная линза (рис. 79) Рис. 79
обладает требуемой
симметрией (такие линзы действительно используются для
фокусировки нейтронов и нейтральных атомов). Пучок,
представляющий собой смесь частиц с магнитными
моментами, направленными параллельно и антипараллель-
но оси х, может быть поляризован с помощью такой линзы,
поскольку одна из компонент будет фокусироваться, а
другая дефокусироваться.
3.29. Для системы движущихся со скоростью v зарядов,
создающих электрическое поле Е, магнитное поле
определяется выражением В = [vEl/c. Сила, действующая на
Данный заряд, определяется уравнением Лоренца
,-.(Е+И1)-.[,-ф-]Е-*.
Электрическое поле Е может быть найдено из закона Гаусса
jEdA = 4n9 (Ч — охватываемый заряд), откуда получаем
^=2ярег. Таким образом, имеется равнодействующая
сила, направленная наружу, которая приводит к
нестабильности пучка в отсутствие фокусирующих устройств.
3.30. Магнитные монополи можно ввести в
электромагнитную теорию, изменив одно из уравнений Максвелла:
167
divB =4щум.
Изолированный монополь создает поле В, которое по ана-
логии с электростатикой может быть записано в виде
Г л
В =— г.
Электрически заряженная частица с массой т и зарядом q
подчиняется уравнению движения
т
*L = <7[VB] = -2L[vrA].
At н ' г* L J
Кинетическая энергия сохраняется так же, как и
компоненты вектора Фирца
*-([Рр] + #
3.31. Выведем уравнение для орбиты частицы.
Уравнение движения заряда имеет вид — = — [vB]. Так как
dt с
vF = 0, то |v] = const, и мы можем написать р—р
v = v—-h— — v—-, где ds — элемент пути. Тогда
as at as
уравнение сил имеет вид
ds
J* -£_Г*.В1.
as2 pc \_ ds J
Для равновесия
токонесущей проволоки (рис. 80)
необходимо, чтобы
п-
Рис. 80
получаем —— = • — В .
' ds2 7c [ds J
J-[d\B] + Tf^-
Разлагая
168
г- i Те
Таким образом, / = .
3.32. В слабом магнитном поле система электронов
совершает дополнительное вращение вокруг ядра с угловой
скоростью Я = —eW2mc (известное как ларморова
прецессия) по сравнению со случаем, когда такое поле
отсутствует. Величину Я можно определить путем перехода во
вращающуюся систему отсчета, в которой магнитная сила
компенсируется кориолисовой силой. Формулы
преобразования от инерциальнои системы к вращающейся имеют
вид
(£) - (£) +IQrl
/Ах /AN +2[q(«L\ 1 + Г0[0г]1
\ d/2 /инерц \ Л2 /вращ L V«И /инерцJ L J
Сила e[vHl/c может быть скомпенсирована кориолисовой
силой, если выбрать Я — —еН/2тс. Таким образом, облако
электронов вращается (членами порядка Я2 пренебрегаем,
поскольку задача решается для слабого поля). Это
вращение создает магнитное поле в начале координат, которое
определяется выражением
ДН = — f [i (~r)1 dV, где j = pv = p [Qr].
с J r3
Следовательно,
ДН =—J- f P"Orlr] J_ С Qr*-r(rQ)
Но р(г) сферически симметрична, поэтому интеграл от
рг(гЯ)/л3 равен интегралу от Ярл2/3л3. Окончательно
дн = —*-r *£-—*L,<q>.
3mc2 J г Зтс2 ТХ '
Пусть Ф(0) » Z*/#, тогда АН/И = —ZeVmc2R = —ZrJR
(ro = e2/mc2— классический радиус электрона). Для Z = 50
и R ~ Ю"8 cju ДЯ/// =—Ю"3.
3.33. Электрическое поле вне распределенного заряда
продольно (из соображений симметрии) и постоянно (закон
Гаусса). Следовательно, эксперимент, с помощью которого
можно было бы зарегистрировать пульсации в какой-либо
точке вне области распределения заряда, невозможен.
109
Прибор должен зондировать само распределение заряда,
находясь внутри области, где распределен заряд.
Требования к прибору зависят как от протяженности
распределения, так и от частоты <о. Для случая очень большого
радиуса распределения и малой частоты пульсаций можно
воспользоваться электроскопом. В случае микроскопической
системы может оказаться необходимым использование
движущейся заряженной частицы, взаимодействие которой
с электрической структурой системы могло бы служить
в качестве детектора пульсаций.
3.34. Излучения не будет. Это очевидно, поскольку как
распределение заряда, так и распределение тока
постоянны во времени.
3.35. Интенсивность электрического дипольного
излучения пропорциональна где D — электрический
дипольный момент. Но D = е(гу -+- г2) и производная по
времени равна нулю, поскольку D пропорционален
радиусу-вектору центра масс. Магнитный момент равен
1=1 1=1
Таким образом, магнитный момент М пропорционален
моменту количества движения системы, который постоянен.
Интенсивность магнитного дипольного излучения пропор-
циональна и, следовательно, равна нулю.
I <М I
3.36. Пусть падающее излучение монохроматично, т. е.
Е = Е0е—,ш'. Тогда индуцированный дипольный момент
равен Р = аЕ0е ш . Если п — единичный вектор в
направлении наблюдателя, находящегося на большом
расстоянии R, то электрическое поле равно
cm Лл [I'PnJnl au,4[E0nJnl
fc(/\, П) = -————-- = — -——————— •
Усредненная по времени полная мощность, излученная рас-
сеивателем, равна |Р|2/Зс3 = о2ш4£0 /Зс3. Обозначим о
отношение рассеянной в единицу времени энергии к потоку
падающей энергии
170
— 3ca _ 8яа2 /ш\*
8л
оаМетим, что для свободных электронов о = еУтиР.
Окончательно получим томсоновское сечение
г„е /■„= е2/тс2 — классический радиус электрона.
3.37. Электродвижущая сила, развиваемая в кольце
при вращении с угловой частотой со, равна
g = _ J «L
«" с dt '
где Ф — магнитный поток через кольцо.
После подстановки получим
б = 2 sin со/ = JR,
с
где Я — электрическое сопротивление кольца, г Э — ток
в кольце. Средняя потеря энергии на джоулево тепло за
один оборот кольца равна
p = <j3/?> = — .
2сгЯ
Единственным источником этого тепловыделения является
кинетическая энергия кольца /ш2/2, где / = таг/2 —
момент инерции относительно оси вращения. Согласно закону
сохранения энергии
а /тю2и>а //gn»a<o>2
dt ' 4 ~ 2с*/?
Решением этого уравнения является со = ">ocr'/x, где
т =mRc2/(nH0a)\ Но т =2яО/4р, а /? =2яа/аЛ и,
следовательно, т =4р с2/аЯа0 = 1,6 сек.
3.38. Потенциальная энергия системы, состоящей из
Заряда и его изображения (рис. 81), для малых колебаний
Равна
„ = _ £_ <* e*LQ*
Ah ~ 4(d— L) 8(d—L)a'
171
Кинетическая энергия равна К = mL26a/2. Таким образом,
частота определяется выражением
ша = еУ4тЦс1 — Lf.
Рис. 81
При расчете потери энергии на излучение необходимо
«включить» поле излучения изображения заряда так,
чтобы электрическое поле было направлено перпендикулярно
к проводящей плоскости. Если начало сферической
системы координат поместить на плоскость посередине между
зарядом и его изображением, то для излучаемого в
направлении п электрического поля в верхней полуплоскости
получим выражение
Суммирование производится как по источнику, так и по
его изображению (обозначим р11СТ = —р„з0бр = еа)
ведя выражение (1) в квадрат и проинтегрировав
получим, что средняя мощность пропорциональна
|ea|2sin6rfefcos2e + s,n2e
Воз-
по <р.
-] sin2 (kh cosB).
172
гделав замену переменных cos в = х и воспользовавшись
-ождеством sin2 х = (1 — cos 2я)/2, получим для мощности
излучения
Р = Я1 ел |а f (1 + jc2) [ 1 — cos (2£/ijc)] rfx.
Отсюда можно определить константу пропорциональнос-
^ X, поскольку, если опустить интерференционный член,
пропорциональный cos 2khx, то это выражение должно
сводиться к мощности излучения диполя, т. е.
Р-+- .
Зс3
Следовательно, К =to4/4cs. Конечно, можно было бы
использовать выражение (1) с множителями, даваемыми
теорией излучения, но результат оказался бы таким же. Хотя
теперь интеграл может быть взят, однако мы будем
довольствоваться приближением 1 — cos 2khx w 2k2hzx2,
справедливым при kh <^ 1. С учетом выражения для о) условие
kh < 1 примет вид e*/L <£ 4/исг.
Окончательно мощность излучения равна
4<?a«>ea2fta e*a2
Р =
15с5 240т3са/,аЛ'
3.39. Для одной антенны, расположенной в точке с
координатой г/,
E = -fe2ln|npyJj-2 {Вп|.
|R-r,|
Здесь п — единичный вектор, направленный из точки г/
к точке, где измеряется поле, р7- — электрический диполь-
чый момент, k = 2я/Хи R — радиус-вектор точки, где
измеряется поле (рис. 82, а). Поля антенны складываются
к°герентно. В зоне излучения
_ _ ft* [n InpJ I '*« Х^ -!ЛпГ/
t £ e £е
Сумма фаз равна
/=i
Ыпх ^ i-tox*)l Шпх ,_е 7хппх
е Ze =е =1=г-
173
2
е-»-/Г =,
sin2 I— sin0cos<f)
sin2 I — sinO cosy)
*~x
2/7 4/7 E/7C0Stp\
6
Рис. 82
а. Средняя мощность излучения в телесный угол dQ
равна
cfe4P„
dP = —2L sin2 в
8ir
/7к \
sin21 — sin 0 cos <f I dSl
sin2 I — sin 0 cos у]
174
б. В плоскости ху
dii sin<
("J cos,)
в. Отношение интенсивностей равно 49 : 1 (рис. 82 б).
Для конфигурации из семи антенн максимальная мощность
«злучается в направлении оси у, а в случае одной
антенны — изотропно в плоскости ху.
3.40. Чтобы вычислить излучаемую релятивистской
частицей мощность, можно воспользоваться тем
обстоятельством, что излучаемая мощность инвариантна.
Действительно, Р = и после преобразования из покоящейся
dt
системы в движущуюся dE' = -{dE и dt' =ydt. Следователь-
dE' dE
лучения равна
dE' dE D
но, —- = • В нерелятивистском случае мощность из
2е*
3/л«
№■ «>
где р — импульс частицы. Лоренц-инвариантное
обобщение, сводящееся к этому в нерелятивистском пределе, имеет
вид
3/л* ^ d-r J w
где dx = dtff — собственное время, рц— 4-импульс.
Так как dE = §dp, выражение (2) равно
Для движения по круговой орбите dpldx — 0, в то время как
d-r ' dt ' Vi
Подставив это значение в (3), получим
_ 2егт2»>2Рг _ 2еур«
~ 3/л* ~ ЗЯ2
"ергия, излучаемая за один оборот, равна (в единицах
ос )
175
3.41. Для наблюдателя, который находится в дви>ку.
щейся системе координат, связанной с зеркалом, частота
падающего на зеркало света кажется меньшей (длина вод,
ны — большей), в соответствии с выражением v' ^
— ТоО — v)- Здесь с = 1. При отражении частота не изме!
няется. Наблюдатель, находящийся в покоящейся системе
воспринимает отраженный свет с еще меньшей частотой
v» = Tv'(l-a) = v0-L=iL.
Интенсивность пучка есть поток энергии, пересекающий
единицу поверхности в единицу времени. Эту величину
можно вычислить двумя способами.
Способ А. Пучок света рассматриваем как свободную
электромагнитную волну, для которой |Е| = |Н|. Если
Е — электрическое поле в системе, где источник
электромагнитной волны покоится, то зеркало воспринимает поле
E' = f(E + [vB]):=-|/izLLE.
Но Е' не изменяется при отражении, в то время как В'
изменяет свое направление на обратное. Наблюдатель,
находящийся в покоящейся системе, воспринимает отраженное
поле
Е"= -,/IEIe'^-^e.
у 1 +v 1+tr
Плотность энергии пропорциональна интенсивности и
зависит от Е квадратично.
Следовательно, / = /0[(1 — v)l(\ -f- v)\%.
Способ Б. Пучок света рассматриваем как пучок
фотонов, каждый из которых имеет энергию,
пропорциональную v; фотоны отделены друг от друга расстоянием Zo
вдоль направления пучка. Если в момент t = 0 какой-то
фотон отражается от зеркала, то следующий фотон
достигает зеркала в момент времени t, определяемый из
уравнения t =z0 + vt или t = z0/(l —v). Расстояние между
первым и вторым фотонами теперь равно t -f- vt ==*
= z0(l 4- v)/(l — v). Скважность, с которой фотоны
достигают наблюдателя, обратно пропорциональна расстоянию
между ними и, следовательно, зависит от скорости зеркала
I7C
(1 — уУ0 + v)> Частота (а следовательно, и энергия)
^тонов преобразуется аналогичным образом, так что
интенсивность пучка уменьшается по закону
/=»/0[(1-о)»/(1+р)«1.
3.42. В системе координат, связанной со стержнями,
ла на единицу длины F определяется выражением
F ss ХЕ, гДе Е — электрическое поле на одном из проводов,
изданное другим проводом. Его легко найти с помощью
закона Гаусса
J EdA = 4itQ,
где Q — охватываемый заряд. Таким образом, Е = 2К/а,
а отталкивающая сила F = 2%21а. В системе, в которой
стержни движутся со скоростью v, в дополнение к
электрическому полю Е' имеется и магнитное поле В' = [vE']/c.
Суммарная сила на единицу длины равна
Г = Х'(е'+-^1]=Х'(1-^-)е'.
Однако £* = 2Я,7с, где К'— плотность заряда в новой
системе (X'=y^ из-за лоренцева сокращения длины). Таким
образом,
р, = 2Х'"(1— рУс2) = Ъ?_ _ р
а а
Это можно легко понять, если рассуждать иначе. Если в
собственной системе координат один из стержней мог бы
Двигаться под действием силы FL, то он приобрел бы
импульс dp=FLdt,a в неподвижной системе dp' =F'L'dt'.
Но dp =dp', так как импульсы, перпендикулярные к
направлению оси, вдоль которой происходит преобразование
Лоренца, инвариантны по отношению к этому
преобразованию, a dt' = fdt. Отсюда LF =yF'L'. Кроме того, V =
** Uy из-за лоренцевского сокращения длины и,
следовательно, F =F.
3.43. В цилиндрической системе координат уравнения
•^агранжа имеют вид
*И'--£П-«*('--5Г+
177
'И-уГ+т1]-0- ».
d/
Так как Вь = О, то лишь Аь взято отличным от нуля
Поэтому
Если г = 0, то уравнение (1) сводится к
^(,-4Т'"+т-т^-* "■>
а уравнение (2) — к виду
-«('--т-Г—г* «
Исключая из уравнений (Г) и (2') член, содержащий т,
получаем
£ Ме) - \ (3)
Из соотношения (р Adl = j BdA следует, что
1-
1 *
и тогда уравнение (3) примет вид
BM-&L, (4)
где (Bz) — среднее значение Вг по площади орбиты,
^о— радиус равновесной орбиты.
В дополнение к условию (4) необходимо также, чтобы
в плоскости орбиты Вг — 0 (для выполнения условия
г =0).
Угловая частота 6 определяется из уравнения (1 )
(5)
где се = eB0fmc — циклотронная частота. Кинетическая
энергия частицы равна
178
^[(.-^r-.j—K.^-.]-
цтобы посчитать радиальные колебания, предположим, что
решение r(t) имеет вид
r(0-r0[l+t(/)| c|e|«l,
й сохраним лишь члены низшего порядка по е. Для левой
части уравнения (1) тогда имеем
тг0=
в то время как правая часть с учетом уравнения (2) равна
Далее следует разложить обе части в ряд по степеням е.
Теперь определим Ле(г) из выражения
Тогда
А ВЛ I *
9~ (л-2) г»—» + , '
где К = const. Постоянная К может быть найдена из
условия
Таким образом, К = В0г0* (п — 1)/(я — 2). Разлагая по
е» получим
Для малых колебаний уравнение (1) примет вид
mr„(l+^i)"-;__^L(„-1)e.
воспользовавшись уравнением (5) для 0 и определением
Циклотронной частоты, последнее уравнение можно
продавить следующим образом:
179
; + _=iiL=«ii-_ a (6)
(i + ^i*) lD)
Как видно, уравнение (6) имеет ограниченные
синусоидальные решения лишь при п< 1. В этом случае радиальная
частота со, определяется выражением
иг = ! '—. (7)
' (l + rg-Vc») M
Для малых колебаний вдоль оси z имеем уравнение
mz^l+-^-j = 2_fl,(z)ree, (8)
которое получается из уравнения для силы
%- - -г[vB1-
а/ с
Чтобы найти fl (z), воспользуемся тем, что в окрестности
орбиты |^В] =0 и, следовательно,
[vB].=i^_^=0,
v Je дг dr
откуда
дВт _ дВг яВ0
дг дг г0
Таким образом, Вг = —тВ&1гй. Подставив это выражение
в уравнение (8), получим
z -\ = 0.
(l + 㧫>»/е»)
Следовательно,
<о* = я£ и ша + ша = G».
3.44. а. Найдем обобщение силы Лоренца. Пусть р„—
4-импульс, обладающий свойством
РиРи = р2 — F = — т2.
Сила — естественным образом обобщается 4-вектороМ
dp
~~, где t — собственное время. Эта величина должна быть
приравнена к некоторой функции тензора электромагнит-
180
„0ro поля F^ «= д^Ач — dvA^ и вектора pv. Желательно
}ке> чтобы искомое выражение было линейным по F^.
L.0 обеспечивается выбором
Ох '
Здесь е1""—полностью антисимметричный тензор,
причем е1234 ^ *• Пространственная часть этого уравнения
имеет вид
^ « от (Е + [vB]) + Щт (В — [vE]).
Так, взяв а = е/т и ft = О, можно получить силу Лоренца.
Член, пропорциональный ft, должен давать силу,
действующую на магнитный монополь, если таковой существует.
Так как при пространственной инверсии р -*- —р, Е -*• —Е,
В -*• В, то в теории с сохраняющейся четностью а —
скаляр, четный по отношению к пространственной инверсии,
a ft — псевдоскаляр. Окончательно ковариантное
обобщение силы Лоренца имеет вид
(к т
б. Введем теперь 4-вектор S^ с нерелятивистским
пределом (О, S). Заметим, что Supvl = 0 в системе покоя и,
следовательно, равно нулю в любой системе координат.
Ковариантное обобщение -гг есть -р-. Таким образом,
по аналогии с выкладками, сделанными в предыдущей
части, положим, что
■Линейный по ри член необходим, чтобы обеспечить
выполнение условия Рц5ц — 0. Таким образом, из
d dS dp,, dp,, „
п°лучим b =e(g~2)pliF^vSy, 12m3. Ковариантное уравне-
Hl* Для спина тогда примет вид
181
Интересно написать в явном виде уравнение для компонец.
ты Si~\S0 = iSp/po = «Sv в случае, когда Е =0. Тогда
(g-2)BlvS].
Спиральность Sv сохраняет-
ся, когда g = 2. Это утвер.
ждение пояснено рис. 83
(жирная стрелка обозначает
направление спина). Как для
электрона, так и для мюона
g отличается от 2 на малую
величину. Поэтому
спиральность сохраняется не
полностью. Это обстоятельство
было использовано в ЦЕРНе для точного измерения величины
g мюона.
По заданным в системе покоя компонентам спина (0, S)
частицы можно легко найти компоненты в движущейся
со скоростью v =р/£ системе, используя два лоренц-ин-
вариантных соотношения: pJS^ — О и S^S^ = —S2.
Заметим, что благодаря дополнительному условию pjb^ =
= 0, которое накладывает ограничение на компоненты
4-вектора, число независимых компонентов спина в
любой системе равно трем. Именно три компоненты
необходимы для описания спина трехмерным вектором в
системе покоя, а число независимых компонентов не должно
зависеть от системы, в которой находится наблюдатель.
4. ЭЛЕКТРОНИКА
4.1. Схема перестанет работать как генератор, когда
частота станет столь высокой, что электроны не смогут
реагировать иа изменения потенциала сетки, т. е. при
от > 1, где т — время, за которое электроны, испущенные
катодом, достигают анода. Это время при заданных
параметрах соответствует частотам о > 3000 Мгц.
4.2. Решим более общую задачу, где вместо L и С
используются произвольные импедансы 1Х и 22. Пусть Z -"
импеданс контура. Тогда, воспользовавшись симметрией
цепочки, можно написать
Z, + -М_ = Z,
d(Sv) i
Рис. 83
182
откуда
v z, + V z\ + 4Z,z2
2
ПереД корнем оставлен положительный знак, поскольку
при %г— О Z = Zx. В данной задаче Zx = ioL, Z2 = —i/шС.
Подставив эти значения, получим
Z = 1/ — o)2L2 +-—.
2 2 J/ С
Пройдя через я цепочек, входной сигнал ослабляется до
амплитуды Vn = V(l — Z1/Z)n=anV, где
_ — <o>I + J-4l/C — *>*!*
mL + KlL/C —o»*/.2
Легко видеть, что |a| = 1 при о < 2а>0, но |а| < I при
© > 2о^. Следовательно, схема работает как фильтр,
пропускающий низкие частоты о < 2ш0= <огр без затухания.
4.3. Из-за емкости С0 коэффициент усиления VBblx /VBx
будет зависеть от частоты. Эту зависимость можно
исключить, присоединив параллельно сопротивлениям Rlf R2
и R3 емкости соответственно Си С2 и С3 и должным
образом подобрав их величины. Импеданс Z параллельно
включенных сопротивления и емкости определяется из
соотношения
Z R R '
Очевидно, что если емкости выбрать так, чтобы RyCy =
== RZC2 = RsC3= RoC0, то зависимость импедансов RC-
иепочек от частоты будет одинаковой. Коэффициент
усиления (отношение импедансов) в этом случае не будет за-
висеть от частоты, а его величина будет такой же, как для
с*емы, состоящей лишь из сопротивлений. Другими сло-
ами, эффект емкости С0 в усилении компенсируется вве-
Аением других емкостей.
4.4. Эквивалентная схема генератора показана на
Рис. 84. Триод в ней заменен источником напряжения. По-
1R3
скольку сеточным током пренебрегаем, сопротивление утеч,
ки сетки и шунтирующая его емкость опущены. Из схем^
очевидно, что 1L Zl = Ic%c и //.+ /«? = А откуда / ^
= II (1 + Zl IZc). Благодаря взаимоиндуктивности
Et = 1lZm = iWW//,,
Рис. 84
а из закона Ома следует, что
{л/t ZM be ^ = /tfp + lL ZL = / Jtfp I
1 +
*l
) + *]•
Следовательно, импедансы определяются из соотношения
V-Z
м
=*>(1 + t)
+ Zi..
(1)
Но Zc = —i/ooC и Zl = /? + icoL. Приравнивая
действительные и мнимые части равенства (1), получаем два
уравнения
*-гИ, + £) - м-
RRpC + L
Из выражения для М можно вывести условие для
появления нестабильности. При М > {RRpC + Ц1ц имеет место
генерация. Это легко видеть, если решить уравнение (О
с помощью подстановки ш = <о i + iw2. Так как
зависимость от времени определяется как ехр (foOi TO колебания
возможны при о2 < 0. Подставляя это значение © в ура8'
нение (1), получаем решение для со2
184
ji.W — RRPC— L
— (u, = •
1RPLC
Таким образом, u>2<0, если М > (ЯЯрС 4- L)/^.
Колебания прекратятся, когда М < (ЯЯ С 4- /0/ц.
4-5- Разобъем процесс на три этапа а, Р и Т (рис. 85).
д течение первой четверти периода потенциал в точке А
"J? J Замкнут
Разомкнут
_J
Ъ-v,
*
Разомкнут
"Г
Разомкнут
VB'Const
Разомкнут
Замкнут
« И у И « I /5 IН / I«I * 1уМ
Рнс. 85
^л растет, причем Va >Vd "> 0. Диод Лг. следовательно.
Разомкнут, и, поскольку Vdb > 0. Диод Дг остается
замкнутым. В этой фазе Vd = Vb . Далее Va начинает падать,
**> все еще остается больше нуля, следовательно, Д2 будет
Разомкнутым. Но VD уменьшается, так что Дх размыкается.
1ак как заряду, накопившемуся на конденсаторе, некуда
Драться, Vb остается постоянным и Vad остается постоян-
Ь1М и равным W2 из тех же соображений. Эта фаза
провожается до тех пор, пока Vd не достигнет нуля. Но
о-<0 невозможно, так что Vd = 0. Первая половина
J-Риода завершена. Теперь Va снова возрастает от значе-
я — V0 и снова Vad постоянен и равен — Vo (мы снова
185
в Р-фазе) и Vb >Vd , так как он поддерживается при V„/2 л
тех пор, пока Vo, возрастая, не достигнет Vb- Когда V0Z*
= Vb , то на этом завершается (3-фаза и начинается новГ
а-фаза. Каждый период проходит через фазы а — (3 ""-7—-я
в таком именно порядке. Схема не периодическая по вре
мени; как показывает анализ кривых, Vb достигает 2]/
в геометрической прогрессии. Эта схема известна как у*0
воитель напряжения.
S. ОПТИКА
5.1. Расстояние от объекта до первой поверхности линзы
равно Sj. Тогда расстояние от объекта до второй поверх-
ности линзы равно S/, где St' определяется из закона Снел-
лиуса для малых углов
Л] . П П — «i
Sj Sj 7?i
С другой стороны,
— Я , «2 я2 — Я
Сложив эти два равенства, получим
П\ , Пг П — П, Яг — П
0| Og /V] Kj
Фокусные расстояния получаются из этого выражения.
Таким образом, при S2 -*■ оо
/, =
(Л— «,)/У?, +(П.2 — л)//?2
и при S, -*- оо
/|-
лг
(Л— Л,)//?х + (Пг — П)/Яй
Отсюда следует, что
i + A-i.
S| S2
Если л, = пг, то /, = /2 = / и — + — = —.
5.2. На рис. 86, а схематически показаны падающий*
отраженный и прошедший лучи. Из инвариантности Р°
186
нотению к обращению времени следует, что возможен
°дУ„ай, показанный на рис. 86, б. Но принцип
суперпозиции
рис
позволяет представить случаи, показанный на
. 86, б, как сумму случаев, показанных на рис. 86, в и г.
LL A± JtL АЛ
Г г rt\ г Г
U r't\ It
6 В
Рис. 86
Рис. 87
Приравнивая соответствующие амплитуды для входящих
и уходящих волн, получаем соотношения Стокса
r% + W = I и г + г' = 0.
5.3. Если Е —амплитуда падающего света, то
амплитуда после первого отражения от поверхности раздела
вакуум — пленка А равна ЕгА, а амплитуда прошедшего
света равна EtA (рис. 87). Прошедший свет претерпевает
многократные отражения от поверхностей А и В
(поверхность раздела пленка —диэлектрик), но часть егс снова
^вращается в вакуум. Доля эта определяется
показателями преломления и пропускания гА , rA, rb и fe, iA. Сум-
Марная амплитуда отраженного в вакуум света равна
Е, = ErA + EtA fA тв е*« \\ + гАгв е**- +
+ {гл rBe*l*d)' +...] =
187
a E E*A *A 'ве*Ш e'a+'b****** *A *'A~ 'A '*]
В этом выражении k = 2nnxfks а Я, —длина волны пада^.
щего света в вакууме. Множитель e2iftd описывает изме.
нение фазы волны при прохождении расстояния 2d в ди.
электрике с коэффициентом преломления пг. Воспольз0.
вавшись соотношениями Стокса, выведенными в преды,
дущей задаче, г'А= —тА и tA U + А = I, получим
Ет гА+гвё
21Ы
Е \ + rA rBe*iW
Теперь выразим коэффициенты гд и гв через показатели
преломления пх и п2. Для этого необходимо
воспользоваться граничными условиями, удовлетворяющими
уравнениям Масквелл а. Так, на поверхности раздела А
тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей
должны быть непрерывны при переходе через поверхность:
Е + ErA ~ EtA или 1 + rA = tA , (1)
// + //,= //,. (2)
Для плоской волны Н = Е, Нг = —Ег (изменение знака
обусловлено изменением направления распространения
отраженной волны) и Н, = П\Е{. Таким образом, равенство
(2) примет вид 1 —гА = nxtA и, следовательно,
А 1 + п/
Аналогично
r __ "i —"г
В "i+Ла
Условия, при которых амплитуда отраженной волны
обращается в нуль, имеют вид
1) тА = — гв, е21**^ + 1 или
Выразим эти условия через показатели преломления
1) п2 = 1, rixdl'K = р/2 или
188
2) nt= n\, nydl\ = (2p + l)/4,"
L —целое число. Следует напомнить, что £/£можн(
г^ /^ вычислить, рассмотрев электромагнитное поле стоя
1й волны в диэлектрике с показателем преломления л:
решив систему уравнений, определяемых согласованней!
"Лничных условий на поверхностях раздела /4 и В. Так,
г^ электрического поля
^ на поверхности /4 Е,-{- Е — Ех + Ег;
„а поверхности Я Elelkd+ £8e~,fc/— £,.
м3 условия непрерывности магнитного поля (подставив
[j m пЕ), ПОЛУЧИМ
на поверхности А Е —£,.=> niE1—пхЕг',
на поверхности В л1£,1е1*' —n1£2e",*d= я2£,.
Исключив из этих четырех уравнений £„ £2 и Et,
получим приведенное выше выражение для £г/£.
6.4. В слое эмульсии образуются стоячие волны.
Следовательно, свет с определенной длиной волны Я будет
облучать в эмульсии слой на глубине А(2л + 1)/4 (я=> I, 2...),
где его интенсивность максимальна. При освещении
фотопластинки белым светом от каждого слоя серебра
отражается небольшая доля света, большая часть света проходит.
Волна с данной длиной Я будет отражаться когерентно лишь
от слоев, расположенных друг от друга на расстоянии Я/2,
от других слоев отражение будет некогерентным. Таким
образом, воспроизводится первоначальный цвет. Метод
обладает серьезным недостатком: при проявлении
эмульсии и из-за температурных эффектов цвет искажается.
Объяснение процесса Липпмана в рамках квантовой
теории поля можно найти в работе Ферми 1см. Revs. Mod.
Phys., 4, 87 (1932JJ.
б.б. Рассмотрим Солнце в качестве источника света Р
(рис. 88). Изображение этого источника размазывается по
области с линейным размером 6х = D -f IK/D, где D —
Диаметр малого отверстия. Первый член в выражении для
1
PQ-лг
А—*
1
6х
л
Рис. 88
189
6л: обусловлен прохождением лучей через отверстие. Кроц.
того, из-за дифракции на отверстии появляется отклони
ние иа угол, приблизительно равный 7JD и, следовательно
Ьх увеличивается примерно на величину /X/D. Призначе'
нии D = УЖ 6х имеет минимум по D. Для X = 5000 А
и / = 10 см получаем D « 0,22 мм.
5.6. По критерию Рэлея две линии разрешимы, если
максимум интенсивности одной из них совпадает с миниму.
мом другой. Главный максимум m-го порядка наблюдается
при d sin в = тК (рис. 89)
Свет
г и
XdL
Решетка
Рис. 89
Здесь trik —разность в дди.
нах пути для света, попада-
юшего в данный максимум от
двух соседних щелей. Если
решетка состоит из N щелей,
то эта разность для лучей от
противоположных концов
решетки составит NmK.
Предположим, что угол в
немного увеличился, так что
разность в длинах путей для
лучей от противоположных
концов решетки стала Nn& +
+ X. Тогда, как легко
видеть, дифракционная картина
будет иметь нулевую
интенсивность. Лучи от верхней
и центральной щелей
будут отличаться в длинах путей на А/2 и, следовательно,
будут гаситься. Аналогично будут уничтожаться
амплитуды от других пар щелей, давая в итоге нулевую
интенсивность. Согласно критерию Рэлея, этот минимум
должен иметь место при том же угле, при котором в этом
же порядке имеется максимум для волны с длиной А, + Д^
Следовательно,
mWX + X = mN (X + ДХ), откуда N = —— .
шАХ
Чтобы в первом порядке (т = 1) разрешить дублет D
натрия, в решетке должно быть 982 щели. Заметим, что
результат не зависит от постоянной решетки. СоответствуюШее
угловое расстояние равно Ю-5 рад.
5.7. Луч 1, показанный на рис. 90, изменяет фазу прй
отражении от поверхности воды. Следовательно, разность
190
между двумя лучами, достигающими детектора, равна
2nd О — cos 26)
«Pi — <Рг = « +
XsinB
КоПД3 звезДа только появляется над горизонтом, разность
Ааз равна я, волны находятся в противофазе и,
следовательно, интенсивность регистрируемого детектором сигнала
Детектор
Рис. 90
минимальна. По мере увеличения угла в растет и
интенсивность сигнала. Максимум достигается при угле в,
определяемом соотношением sin 6 = A/4d, т. е. при в = 6°.
5.8. Каждый атом ленты излучает независимо от других
атомов. Следовательно, каждая точка источника создает
свою собственную дифракционную картину, которые
перекрываются на экране. Интерференционная картина
исчезает, когда первый максимум интерференционной картины,
обусловленной излучением точки А ленты, совпадает с
первым минимумом от излучения точки В ленты (критерий
Рэлея). Центральный максимум интерференционной
картины на экране, созданной излучением точки А ленты,
расположен при угле 6л= —W/2L, а первый минимум
расположен при угле 6в± №2d. Центральный
интерференционный максимум от точки В расположен при угле в в =
= W/2L. Интерференционная картина исчезает, когда
вл+ Я/2с(<6в или W >Lk/2d. Если с увеличением
расстояния d интерференционная картина исчезает при d = d0,
то
ИР» Л .
5-9. Пусть амплитуда света от единичной щели равна а,
j! разность фаз между лучами света от соседних щелей
" °* {2n/\)d sin в. Тогда полная амплитуда равна
191
A-a[l + ±<? + ±^ + ... + ^гге—>^
— a .
l-e,R/2
Интенсивность света определяется выражением
,1Р j I + 1/4^-cos №/2^-"
1Л1 - a 5/4-coso
5.10. Полная амплитуда равна
А = а [(1+ а) + (1 - а) е1Ь + (1 + а)е2,ь +
+ (1-а)е31Ч...+(1-сс)еИЛ'-,)г1
(обозначения те же, что и в предыдущей задаче, N
—четное). Ряд конечный, поэтому можно перегруппировать
члены следующим образом:
= ae' w~l} * [sin ^5/2> _ iasin №/2)Л
L sin (6 /2) cos(b/2)J'
Интенсивность пропорциональна величине
AA* = a2 Г sin»(Nb/2) a2 »»fl»(J№/2) I
[ sin(S/2) cos2 (6/2) J'
которую можно записать в виде
0 Na sin* (Ь/2) I 2 /
Эффект от а наиболее значителен при 6 « (2к + 1)л, когда
/ = а2/о-
5.И. Амплитуда прошедшей через отверстие волны на
положительной оси z определяется выражением
где do —элемент площади отверстия, г —расстояние от
элемента do до точки наблюдения (рис. 91). Это выражение
следует из упрощенного варианта теории Гюйгенса—Фре'
192
Где наклон прямой, соединяющей элемент da с точ-
не?я,ндблюдения, считается постоянным (справедливо для
*°*// 1). Воспользовавшись равенством da = 2лрф =
^vhrdr и проинтегрировав, найдем, что
,j> = — «Д,Х [exp [\k У а3 + г8) — ехр (i/ег)].
дмплитуда <J> обращается в нуль при Y<& + zz = г + rik,
А„ я положительное целое число. Таким образом,
где п
г = (а* — п2У?)12пК.
■ л
Рис. 91
5.12. После прохождения через поляризатор, который
поворачивает плоскость поляризации на угол 8 относительно
плоскости поляризации предыдущего поляризатора,
интенсивность пучка света уменьшается в cos2 8 раз.
Следовательно, ослабление этого поляризатора равно 1 —cos2 8.
Вероятность того, что относительный угол лежит в
интервале 8, 8 + dQ, равна Be ~°e'd8, где В выбирается так,
чтобы полная вероятность была равна единице. Среднее
ослабление в расчете на один поляризатор,
следовательно, равно
+~
А= J (l-cos8e)£e-°e'de.
—со
Интегрировать надо в пределах от —л до +я, но поскольку
а3>1, то достаточно хорошим приближением будет, если
пРеделы интегрирования устремить к бесконечности. Кроме
Того, подынтегральное выражение велико лишь в
окрестности 8=0, что позволяет сделать еще одно приближение
Cos 8 « I —82. Тогда среднее ослабление равно
+ 00 +00
А = Г В* Be-*'dQ = — В— I' e-^'de.
193
Интеграл в правой части как функция а равен f e-4**^
—оо
= Са~',г, где С — некоторая константа ( С — Г е~в\эд\
Таким образом, В = а1* IС и
Следовательно, средний коэффициент ослабления на одцп
поляризатор равен 1/2а.
5.13. Для идеальной решетки с постоянной d
амплитуда дифрагированной волны равна
^=afl + e'4e2,i + ... +е,(Л,-'>»],
где a —амплитуда волны, дифрагировавшей на одной щели,
б = (2nd/K) sin e = /fed sin 6-
Следовательно, интенсивность равна
■ Л |» _ a2 rin* (№/2) ■ л |2 ""' Р sin' (ОТ/2)
1 ' sin» (8/2) ' о1 р» " sin2 (8/2) '
где р = (ndA) sin в, а Л0—амплитуда для одной щели в
направлении 6=0. Когда данная щель сместится на
величину х от среднего положения, амплитуда от нее будет
равна
а/2+х
iA \ky sin 6 . , я
-d/2+x
Тогда
N—I
1>
А= v Ale,tof«,,nBe,we sinp
т=0
Средняя интенсивность за время наблюдения, большое по
сравнению с периодом колебаний, равна
/ = <|Л|*>=М0|г-^- V eMm-n>*<e,fts,ne (*«.-«>>
Предполагая, что отклонения отдельных щелей не корРе
лированы и описываются распределением е~*,/2°*, где О"
среднеквадратичное отклонение, получаем
194
(e'ft ( xm-*n)sln e) =
s= &m«» ^ 2яо2 J .)
—OS —CD
S 1/1 S ч „-ft'o* sin» в
= Bmn + (l —Bmn)e
Следовательно, / = ф/0 + N (/ — ф) «0, где
_*.„» sin'B . . |Л2 sin'P . sin» (JVt/2)
^e . «o-l^ol-pT и /0_,0—_—_ .
5.14. Скорость света в нижнем трубопроводе равна
cln. В лабораторной системе координат скорость света в
верхнем трубопроводе (с учетом релятивистской формулы
сложения скоростей) равна
cln Л-и
{cln) и
i(T + ")(,-=-)-f + -(,-v)'
Тогда К J = cln и kj = с/л + u(l — 1/л8).
На выходе из трубопроводов оба луча отличаются по
фазе на величину
<р - 2*L(- !_\ = 2*-^- . — (л« - 1).
\ х, х»; с с
Первый дифракционный минимум появится при ф = л или
с 2/./(л*— 1)
5.15. В двоякопреломляющем кристалле
электромагнитная волна распространяется с различной фазовой
скоростью в зависимости от того, поляризована она
параллельно или перпендикулярно к оптической оси кристалла. Так,
линейно поляризованная волна Е0(х + у)/у 2,
пропущенная через один поляризатор, на расстоянии г описывается
выражением
/л In+Ju л 1п_*г\
Е ЕДхе 4-уе /е—*
ъ л л
-здесь у выбрано параллельно оптической оси. а х —пер-
ПеНдикулярно к у и к направлению распространения волны.
базовые скорости волн, поляризованных вдоль х и у.
195
обозначены соответственно с/п+ и с/п_. Плоскость поляо
заторов параллельна п = (х + у)/К2. После прохождеН11
п-го кристалла амплитуда волны, которая пропускаете
л
Ъ
поляризатором, равна En, где
Еп = ^(е'^ЛЧе,''-*Л)==
= Е0 exp [\kd 2"-1 (п+ + п.)) cos (2я ф)
и ф=(п+ —n_)kdI2. Следовательно, коэффициент ослаб-
ления интенсивности света, прошедшего через все S
элементов, равен
Т — [совф • cos2<p...cos(2s_l ф)]2.
Воспользовавшись несколько раз равенством cos 6 =
= sin 20/2 sin 8, получим коэффициент пропускания:
e rSin( 2*y)ja
[ 2s sin у J
Анализ показывает, что Т(ф) = Г(ф + п) и пропускание
имеет место в основном при ф = рл, где р —целое число.
Ширина полосы 6ф « 2n/2s. Таким образом, система
пропускает свет с шириной полосы 6X/Xw2/2sp при длине
волны К = (л+ —п^уир.
6. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
6.1. Если операторы В и С антикоммутируют, то
произведение соответствующих собственных значений должно
быть равно нулю be — 0. Так как С?=» 1, то с = ± 1, и,
следовательно, Ь = 0. Поэтому состояние может быть
собственным состоянием зарядового сопряжения, если
только барионное число равно нулю.
6.2. Матрица М = (Мх, Myt Mz) вследствие
коммутационных соотношении представляет собой матрицу
момента количества движения. Очевидно, что каждая
матрица не образует неприводимое представление, вернее, они
образуют несколько неприводимых представлений.
Если воспроизводится состояние со спином J, то
матрица Мх имеет 2У + 1 собственных целочисленных
значений. Следовательно, нет состояний со спином больше 2>
лишь одно со спином 2 и восемь со спином 3/2; одно из 2°
196
bix значений ±1 соответствует состоянию со спином 2,
данН _овательно, имеется 27 представлений спина J — 1.
и* «лгично имеется 56—8 = 48 представлений спина
AH1 1/2 и 42 - спина J = 0.
^ ~кажД°е из собственных значений М2, соответствующих
hv J' Равно •'(•' + *)'■ в кажА°м представлении имеется
oT-t- 1 'таких величин. Окончательно можно построить
лпедУЮЩУ10 таблицу:
J Ы+П
6
15/4
2
3/4
0
2-/-Ы
5
4
3
2
1
Число
представлений
1
8
27
48
42
Число
значений
5
32
81
96
42
2
3/2
1
1/2
0
6.3. Воспользовавшись многократно коммутатором
\ln xs) = izrsl х, и соотношениями \АВ, С)=А[В, С] + [А, С] В
и tyfc e,mn = Ь)т 8fcn — Syn 8fcm, получим
\tk = 2(ribtk — xlxk),
гдег? = Zt xlKv Если в—собственный вектор этой матрицы,
i
соответствующий собственному значению К то 2г2г —
— 2г(гв) = къ. Таким образом, можно выбрать два
вырожденных собственных вектора с собственными значениями
2г». перпендикулярных к г. Собственный вектор,
параллельный г, имеет собственное значение X = 0.
6.4. Взяв матричные элементы уравнения (1) между
состояниями с различными т, получим
(jm \U\i' tn') (m' — m — Va) = 0,
или m' = т + V2, если (jm \ U
Уравнения (2) получим, что (jm
если
/' т')ф0. Аналогично из
U \j' m') отлично от нуля,
То эквивалентно уравнению
l/^+l)-/'(/'+l))2 = -j-[/(/+l) + /'(/'+l)+-g-].
Рвением которого является / = /' ± 1/2.
197
6.5. Все 2SMaKC + I волновые функции, принадлежа
щие S„aKC, имеют одинаковую симметрию, поскольку п '
вышающие и понижающие операторы Sx± iSynpoeKu.u,!
Sz—симметричные функции операторов отдельных чаг.
тиц (например, оператор Sx= Su+ ...+ Snx симметри*
чен по отношению к перестановке частиц).
St достигает своего максимального значения N12 лицц.
в том случае, когда каждое S и ориентировано вдоль оси г
т. е. если
*=Чт- т)Чт- т)"*"(т- т)-
где аргументами волновых функций отдельных электронов
являются спин и его проекция на ось г. Теперь ф полностью
симметрична относительно перестановки спиноров и,
следовательно, с учетом утверждения, сделанного вначале,
все волновые функции, принадлежащие максимальному
собственному значению квадрата оператора полного спина
системы, можно считать симметричными по отношению к
спиновым координатам отдельных электронов.
6.6. Из равенств для операторов
* = —. х = —- [Н, х] и [х, рх) = ih.
т и
где [А, В)=£АВ—ВА, получим [х\Н, х\\ = Нг1т.
Раскрывая коммутаторы и взяв среднее значение для
состояния ф0, получаем
<0|2 хНх — хгИ — Я х2|0> = —.
т
Теперь введем полный набор промежуточных состояний
<0|x//x|0> = 2<0|x|n><n|x|0>£n=2|xnop£n,
л л
<0|#х2|0) = <0|х2Я|0> =
= 2<0|х|п><л|х|0)£0 = 2|^о1а£о.
откуда ^ | хп012 (£п — £0) = £-,
л
что и требовалось доказать.
6.7. В отсутствие источников уравнения Максвелла
принимают вид
ИМ—Г-1Г. НЮ-—Г-1Г' VE=VB = 0-
cm с at
198
поле выразить через F и F* (которые линейно незави-
E^v то уравнения Максвелла запишутся так
СЙ i dF M, i dF*
с dt с dt
div F = div F* = 0.
Так как
. g = -g—, уравнение для F примет вид
Оператор импульса равен рр= —idB. Тогда
Для фиксированного {3 множитель —ie представляет
собой ЗхЗ-матрицу S?ia, T>. Подставив ее в уравнение для
F, получим
PpSpF = (pS)F=-L.-|-F.
Этот вид называется дираковскои формой уравнений
Максвелла из-за аналогичности с уравнениями Дирака для леп-
тонов
Последние два уравнения имеют одинаковый вид, когда
Дираковское поле является безмассовым (т. е. т = 0).
Используя стандартное определение tlJk : tlik = + 1(—1)
если i,j,k, — четные (нечетные) перестановки чисел 1.2.3
и е</* = 0 в остальных случаях, получим представленье
Для матриц:
*х
199
Легко можно убедиться, что матрицы S подчиняются Ко
мутационным соотношениям для момента количества nJ4"
жения IS, Si = iS и, более того, что Sa = S? + Si -f- S? ^
= 2/, / —единичная матрица. Отсюда следует, что ур^*5
нение описывает частицу со спином 1, для которой
Sa = S (S + 1) /•
6.8. Из правила (£ pdx = лл и закона сохранения энеп.
гии р72т + mgx = Я получим
E/mg
2 f [2ю (£— rngjc)]7' dx = ли.
о
Таким образом, Е — (9mg2h2nV32)lf; где л —целое число.
6.9. Состояния трехмерного осциллятора однозначно
характеризуются набором трех неотрицательных чисел пъ
«2t «3t удовлетворяющих равенству пг + л2 + "з = л!
Числа лх, пг, п3 — квантовые числа гармонического осцил-
лятора для возбуждений соответственно вдоль осей х,
у и 2. При фиксированных л3 и л число пар (л^г),
удовлетворяющих равенству ла+ л2 = л —"з» равно
Л—пг
2 1 = л — л, + 1.
л,=0
Наконец, суммируя по л3, получаем полную степень
вырождения dn:
п
п(п+1) _(п+2)(п+1)
2 2
л3=0
6.10. Гамильтониан этой системы определяется
выражением Н = Ц/21, где / = 3mra, L2 —момент количества
движения, направленный перпендикулярно к плоскости
вращения. Собственными функциями являются е'7', где
/ —целое число, и, следовательно, энергетические уровни
даются выражением Е = йа/*/2/. Но поскольку частицы -~
бозоны и волновая функция инвариантна по отношению к
повороту на 120°, то / = Зл, где п —целое число, и Е^
= 9л2ля/2/.
6.11. Магнитный момент протона равен цг = 2p(£v
в магнитный момент антипротона |х2= —2uoS2. ВыбраВ
за ось г прямую, соединяющую' обе частицы, получи1*'
200
V=-^-[-4S1S2+12S1A,l-
далее для частиц со спином 1/2
2SUS2, = S| 1-, 28,52 = 5(5+1)--!-.
Собственными состояниями являются S — О, SZ = О и
с s: 1, Sz = 1, 0, —1. Соответствующие значения энергий
v =o v = _z*i у e*L
•'о, о "• "i, о аз ' *Ч ±1 аз •
6.12. Операторы полного спина Sz = (о1г + о2г)/2 и
§«= («! + »г) /4 коммутируют с гамильтонианом, что
можно легко проверить. Гамильтониан может быть выражен
через эти операторы:
Н = 2ASZ + B(2S2 — 3)
с учетом равенства а2х = а* = а\= 1. Таким образом,
для синглетного состояния S2 = Sz = О и Et = —-ЗЯ, а
для триплетных состояний S2 = 2 и Е3 = 2ASz-\- В, где
Sz=± 1,0.
6.13. Выбрав за ось г направление магнитного поля В,
можем записать гамильтониан
Н = - ^ (°i* + °Ь)Б ~ ^ (3i* -°u>B + J0,0,.
Перейдя к представлению, где Sg и S2 диагональны и
S = («1 + вг)/2, можно переписать гамильтониан в виде
H = -(* + V)BS, + ±(4S*-6>)-^±B(ou-o2,).
Первые два члена диагональны в этом представлении и
Кроме того, триплет S = 1 и синглет S = 0 имеют
определенные четности по отношению к перестановке частиц
• и 2 местами (соответственно четная и нечетная). Таким
образом, единственный отличный от нуля матричный
элемент последнего члена (нечетный по отношению к
перестановке) —это матричный элемент перехода между синглет-
нЫм и триплетным состояниями. Прямое вычисление дает
о(1)Р(2)-Р(1)а(2) а(1)(3(2)+Р(1)а(2)
(о1г _ 0гг) = 2
Y2 /2
20!
Единственным отличным от нуля матричным элемента
последнего члена в выражении для Н является м
(Ю1.Я100) = — (а — $)В.
Следовательно, S = 1, Sz = ± 1 — собственные состояни
с собственными значениями Е±= Т(а + $)В + J, в ■£.
время как для состояний с Sg = 0 гамильтониан может быть
представлен матрицей
l-(«-P)S -SJ I
где недиагональные элементы обусловлены смесью триплета
и синглета. Собственными значениями этой матрицы
являются
Е± (S, = 0) = - J ± [4P + (« - Р)2 В"]'/.
6-14. Решив уравнение Шредингера, можно найти
энергию E(R). Теперь предположим, что сфера равномерно
расширилась на малую величину. Для этого понадобилось бы
совершить работу
dW = PdV = 4nR*PdR = — dE{R) = — ^& dR.
dR
1 dE
Следовательно, P = . . Для наинизшего
4r.fl2 dR
s- состояния
sin (fcr)
fcr
Граничное условие ty(R) = 0 означает, что £/? = я. Тогда
fc2 ft8 я» Л2
£ =
2/л 2/л/?2
откуда Я = nHVlmR5.
Наинизшим р-состоянием является
cos (fcr) sin (fcr) йф
T1 кг (fcr)2 d{kr)
В этом случае условие fy(R) = 0 означает, что
kR ctg (kR) — 1. Это уравнение легко решить численно,
что дает kR яз 4,5 и Я = (4,5)2/г2/4ят/?е. Численное
решение упрощается, если определить наименьшее отличное от
нуля значение величины у, для которой у = tg у. Решени-
202
является точка пересечения двух графиков, как показа-
.а оис. 92. Вначале мы предполагаем у — Зл/2 = 4,71,
fl° "_еМ находим «нулевое приближение» для точки пересе-
8 3иЯ, решая уравнение tg у = Зл/2 относительно у, и
"^льнейшей итерацией находим хорошее приближение.
Рис. 92
Одной или двух итераций бывает достаточно, если
«угаданное» значение близко к истинному и функции являются
гладкими вблизи точки пересечения.
6.15. Так как момент количества движения равен нулю,
то уравнение Шредингера сводится к уравнению
• 1 ф = £ф (вне ямы)
2/л \ дг* г дт У Y v '
и
- -£ (£ + т ■ it) *= v* + Е) *(внутри ямы)-
Сделав замену и — гф, преобразуем уравнения к виду:
ы" — а2и = 0 для г > а
где
ы* + р2ы=0 для 0<г<а,
" \ л« / ' L ft2 J
203
Нас интересует предел при Е -*■ —0. Решением Этц
уравнений являются *
1> =
А е "■■ Аля г>а.
о sin (И „ ^.
В J-1- для г< а
(отброшено сингулярное решение в нуле). Из условия не-
прерывности ф и ее производной при г — а (эквивалентно
и легче для анализа рассмотрение непрерывности и и ее
производной) следует, что 0 ctg (|3а) = —а. При
Е -*- О а ->- 0, следовательно, ctg(fla) -*• 0. Это имеет место
при 0а = я/2 или V0= пЧЧ&та*.
6.16. В области х >0 ф описывается тем же дифферен-
циальным уравнением, что и обычный гармонический
осциллятор, однако приемлемы только те решения, которые
обращаются в нуль в начале координат. Следовательно,
собственными значениями энергии являются те значения
для обычного гармонического осциллятора, которые
принадлежат нечетным волновым функциям. Четность волновых
функций простого гармонического осциллятора чередуется
по мере увеличения п, начиная с четного основного
состояния. Спедовательно,
ЕпШЬ, „ = 0, 1....
6.17. Выбрав ось г вдоль магнитного поля В, можно
гамильтониан представить в виде
Введя новые переменные
о-ШЬ-ть). '-(-гП'»~г4
найдем, что [Q, Р] — \h, т. е. Р и Q — канонические пере'
менные. Гамильтониан в новых переменных запишется так:
ев P'i
fl = ^L(p2+Q2)+_L.
Ъпс 2т
Член в скобках описывает гармонический осциллятор в
QP-пространстве. Движение в направлении г не квантуется-
Таким образом, уровни энергии определяются выражение
204
Ы)
В.Л*1п+±.) + Л.
„а орбита большая, то можно воспользоваться полу-
яссическим приближением. Предположим, что орбита
^мкнута. Тогда, согласно правилу квантования Бора —
Зоммерфельда, имеем
nh = ф prfr = &(т\ + ~-)dr,
гае я ■—целое число. Но интеграл $Adr = J BdA = Ф
представляет собой магнитный поток, охватываемый
орбитой. Интеграл
ф mvdr = (j) mv*dt = — (j) mr ~ dt
dv 6 r n,
вследствие уравнения движения /n^-=—[vB] примет вид
(j)mvdr= -фг-^-tdrB] = -ф-1-[Вг]^г =
= --^-j[VlBr]]dA.
Если В = const, [v[Br]] = 2B. Тогда окончательно
$ pdr = —еФ/с, и, следовательно, магнитный поток про-
квантован в единицах hole. Предсказанное Лондоном
квантование потока подтверждено экспериментами со
сверхпроводниками, однако единица квантования потока
оказалась равной hc/2e, т. е. в два раза меньше предсказанного
Лондоном значения. Этот факт был объяснен на базе двух-
электронных корреляций в спиновом и импульсном
пространствах для сверхпроводящего состояния. В то время как
значения энергий в нерелятивистской квантовой механике
определяются соотношением
в Релятивистской квантовой механике они определяются
Уравнением
= 2mENR + m2c\
205
откуда
*.--(«+^Г
6.18. Пусть С, и Сг — амплитуды для состояний 1 Ц2
Тогда
I—— = HZlCl + Htspz = Vl2Ct + Е£г.
Если С, = Л, е-1"1 и С2 = Л2е-|а" , то
А(й? - Ег)- ^Иг - 0. АУа + (£2 - IF) Л2 = 0.
Из условия самосогласования следует, что
V,2 _ W — E,
W-Et V^~
ИЛИ
U7 _ gi + £a +[(£i-£t),+4|yl,p],/'
*±~ 2 2
Тогда можно написать
С, = Л, е-'ш+' + В, е-'ш-', С2 = Л2е-""+г + Вге~ыц.
Коэффициенты связаны соотношениями (не все из них
независимы)
*i ___ 2V^
As (£v _ £,) + ViEt-Ej* + 4 I VI2 Iя '
Яа <£„ -Ex) - У(Е,-Е^ + 41^1*
и
Л, + В,= 1, Л2+В2 = 0,
Al + Bt + Al+ Bl=l, Л,Я, + Л252 = О.
Решение этой системы уравнений для коэффициентов
л,=
(£!-£,)* + 41 У„|« + (£,- £,) ^ (£i -£*)* + 4 | Vu |*
206
2|V18p
Bi " (£, - ^a)2 + 4 I V„ |» - (£2 - £x) /{£, - £2)2 + 41 Vl8|*
V*
л - - - a.
/(£,-£2)* + 41Vl2|S
6.19. Для волновой функции типа
| 0 для л:<0,
I лге-"-* для л:>0
среднее значение энергии определяется выражением
ее
ft» <P
J-T-f
2m *.+")*■**
<£>- . ~ 2а + 2m •
J" л? е-**" ах
о
Эта величина минимальна при а = (Зст/2/г2),/\ Таким
образом, энергия основного состояния больше или равна
9 / 2ftac2 V/.
4 [ Зт )
6.20. Невозмущенные собственные функции и энергия
определяются выражениями
*„ = (2*)-''е'"\ £„ = -£■! = .*-,
2mrs a
где п —целое число. Заметим, что состояния с + п и —п
вырождены. Возмущающее взаимодействие
V = eFr cos 6
имеет матричные элементы
<М"|п> -Т5Г{«••«"*Ч",Л -^< V * + Vh. .) ■
о
Гак как (й|У|&) =0, а V не имеет матричных элементов,
Связывающих вырожденные состояния, то поправки к
^ргетическим уровням в первом порядке по F обращаются
* нУль. Смещение по энергии во втором порядке
определяется выражением
207
Д£п . V <"'H0<I|VI«») , если Ет не вырождено.
4Л En~El
Однако согласно правилам теории возмущений для выро*
денных состояний необходимо диагонализовать
i
по отношению к вырожденным состояниям л и л'. В нащещ
случае единственное отличное от нуля Нпп- с Еп = £ ,
и пф п' имеет место при п = +1 и п = —1 или л = -_i
и п = +1. Следовательно, чтобы получить (корректно)
смещение в энергии состояний ел = ±1, необходимо
диагонализовать матрицу
aeaFV» f 2
-1 1
2
Собственные значения равны 5ае*/7Яг*/12 и —ctf2FV/12.
Для тех состояний |л), для которых |л| Ф 1,
энергетический сдвиг определяется выражением
Д£ ■ <1»1У|я+1)<я-ЩУ|||) .
<п|У|я —1)(п—1|У1я) ae'FV»
£n-£n-i ~ 2(4пя-1) "
6.21. Направив электрическое поле вдоль оси z,
возмущающее взаимодействие V можно представить в виде
V — eFz. Поправка к энергии в первом порядке
обращается в нуль, т. е. (lS|e|lS) = 0. Во втором порядке имеем
Д£- * flJr2- УЧ |<15|У1Я/Ш>Р
2 ZA Еп-Ег
где|л/т) —собственное состояние атома водорода с
главным квантовым числом п, орбитальным моментом / и про*
екцией орбитального момента 1г— т. Энергетические уроВ"
ни атома водорода Еп определяются выражением Еп"*
= -те*/2Н2п*. Так как «IS \V\nlm)\2 всегда полоЖй-
208
a En монотонно возрастает, то
^%^\{^\z\nlm)\^<^<-I^-i-^i\{lS\z\nlm^.
^ определении нижнего предела предполагалось, что
ПР1' оМ от непрерывного спектра можно пренебречь. Так
в состояния \nlrn) образуют полный набор (в прене-
каК«ении непрерывным спектром), то
2(l5|2|n/m)(n/m|2|lS) = <lS|22|lS).
разив состояние |1S> в сферических координатах,
получим
<1S | z21 IS) = -Ц- Г-— г4 e_2r/fl dr = а2.
Так как Ех~ —е2/2а и £2—£х = Зе3/8а, окончательно
получим 4а3 < а < 16а3/3. Экспериментальное значение
равно а = 4,5 а .
6.22. Полный спин системы коммутирует с
гамильтонианом системы, следовательно, полную волновую функцию ty
можно представить так:
♦ -0fri. /-2)x(1.2),
где 0 —функция пространственных переменных, х —
спиновая волновая функция двух частиц. Однако полная
волновая функция ф должна быть антисимметричной, так
что после выбора полного спина S = 1 спиновая волновая
функция xOt 2) будет полностью симметричной и,
следовательно, фл (Ги /"г) должна быть полностью
антисимметричной. Аналогично для S = О х(^2) антисимметрична и
05 (rlt Tg) должна быть симметричной. Спедовательно, мы
располагаем двумя типами пространственных волновых
Функций 0s и Фа Для расчета энергии.
Когда частицы не взаимодействуют друг с другом,
волновая функция ф{гу, г2) определяется симметризованным
произведением
Фт (<*i) Фп (Г2) ± 0„ (Г,) 0т (Га),
0„(r)=(-7) «n-^s.nJLL|,n-L-
JЭнергией, равной л2й2(п2+m*)/2Md*, d = Ю^сл; /л,, п, —
^ые числа; n = (nlt п2, п3) и т. д. Взаимодействие между
209
двумя частицами определяется потенциалом
V(r,
_. [ 0 для |гх — г2[>а,
I — V0 для |г, — г2|<а,
где а = 10~10 см; V0= Ю-3 эв. Следовательно,
4г. a* V0
I
Vfo-r^r^-
3
Отсюда следует полезное приближение
V(г, - г,)---^Ь-*»<*-«■).
Поправка к энергии в первом порядке теории возмущений
равна
Д£ = J ф* (rlf Га) V (г, - Гг) 0 (г1? Гг) d»^ d3r2.
Так как взаимодействие отлично от нуля лишь при r,= гг,
а антисимметричная функция rlf r2 обращается в нуль при
Ti = г2, то энергетические уровни состояний с S = 1
оказываются несмещенными. Однако энергия симметричных
состояний смещена на величину
Л£5=-
4п 0з у0
J|0(r„ r2)|2d3iv
Для любого набора квантовых чисел n, m состояние с
S — 0 всегда имеет меньшую энергию, чем состояние с
S = 1. Энергия основного состояния (п, == mt = 1) тогда
равна
0 Md2 2d3 v
6.23. Возмущение V может быть переписано в виде
у_ {А + В)г* 3(А + В)? {А-В)(х*-у*)
2 2 2'
При V = О имеются три вырожденных уровня с L == '•
L2= 0, ±1- Среднее значение Lz равно нулю при наличия
возмущающего поля V, если собственные функции имеют
вид
% = \L=l, /.. = 0).
*± = |L=1. L,= + 1)±|L=1, L, = -l)
и при условии, что они не вырождены (состояниями с глав*
ным квантовым числом п Ф 2 мы пренебрегаем). Так как
210
сТояния с Lz, равным +1 и —1, равновероятны, то среднее
00аЧение Lz равно нулю. Важно показать, что ф+ и ф_ не
9^_0ждены, иначе их линейные комбинации (как, напри-
еР. Ф+ "Г" Ф-) будут собственными функциями c(Lz) ф О
ГялЯ Ф+ + Ф- ^* = "т*^- Первый член в выражении для V
коммутирует как с L2, так и с Lz. и, следовательно, его
оклад в энергию трех состояний с Lz= 0, ±1 одинаков.
Следующий член коммутирует с Lt, так что
энергетические уровни, обусловленные этим членом, все еще
являются собственными функциями Lr, но уровень с Lz = О
смещается от уровней с Lz — ±1. Заметим, что уровни
с £г= ±1 вырождены, так как V—четная функция г.
Наконец, последний член (в сферических координатах
/j»—у2) =» r2sin20 cos 2 ф) имеет отличные от нуля
матричные элементы лишь между Lz= +1 и Lz = —1 (это
обусловлено тем, что \LZ= т) ~ е1"1' и зависимостью
cos 2ф). Таким образом, последний член в выражении для
V имеет собственные функции ф± = |/,г=-т-1) ±l\Lz —
= —1 >, которые отличаются друг от друга разностью
энергий, пропорциональной А —В. Следовательно, в
общем случае, т. е. когда А Ф В, функции <}>+ и ф_ не
вырождены, поэтому (Lz)= 0.
6.24. Введя новые переменные дс=01-Ь02И# = 01-0 2.
обнаружим, что в гамильтониане переменные разделяются
Н = - 2Ah*{ — + JL.)-Bcosy.
Невозмущенные собственные функции (соответствующие
В = 0) имеют вид
♦,я—^e^e1"" (1)
с собственными значениями энергии
г*'ии —целые числа, одновременно четные или
нечетные, чтобы обеспечивалась однозначность ф:
ф(0ж + /2«, вя + А2*)вф(в1,в1),
* У и k —уже произвольные целые числа.
^ Для В <£ Afi* зададимся возмущающим полем V =
~~ *—В cos у, матричные элементы которого равны
211
2it
2it
(rm'|V|/m) = --^r|'dei fcosCBj-ej x
x e 2 2 de2,
где Am = m— m' и Л/ = / — /'. Эти матричные элементы
отличны от нуля, лишь если А/ = 0. При этом
{1т' | V11т) = — [8 (т' — т — 2) + в («' — /и + 2)]. (2)
Чтобы продвинуться дальше в первом порядке теории
возмущений, необходимо диагонализовать (lm \V\ lm) по
отношению к вырожденным состояниям с т'Ф т, но с Е1т- =
= Е1т. Из выражения (1) найдем, что Elm = £,m. c
т' Ф т означает, что т' = —т, в то время как
(I —m|V|/m) отлично от нуля, лишь когда т = -±_\%
как легко видеть из выражения (2). Таким образом, для
т Ф ± 1 энергетический сдвиг Д£,т = {lm\V\lm) = 0,
гогда как для |т| = 1 базис (|/, 1> ±| /, —1) )/|/2 диа-
гонализует I/ по отношению к вырожденным уровням, а
сдвиг А£/±= =FB/2. Окончательно в первом порядке по В
собственные функции и энергетические уровни для \т\ Ф1
определяются соответственно выражениями
Ф|т='
Y (в,+в,»+ ^ (в,-»,»
(2п)2
£/т —
Ah*
(I2 + m%
в то время как для \т\ = 1 имеем
it =
2п
cos-i-(e,-e2)
isin-i-tej —ej
- (в,+в,)
е
*i*«=F-f + -^a4-l).
Теперь пусть В > Ли2.
212
длЯ малых колебаний, когда |Gi—G2K I. cosy»
!г^,^12. Было показано, что уравнение Шредингера
** «еляется, поэтому решением его является
/ — целое. Заметим, что поскольку колебания малые
т^е. 8i ~ в*)» необходимо, чтобы волновая функция была
Позначной и имела вид
I/ (*44*)/2 _ 1/Л/2
с — с ,
аК что / должно быть целым. Уравнение Шредингера для
/((/) имеет вид
^го уравнение для гармонического осциллятора с
частотой «о = (4ЛВ)7» и с собственными значениями энергии
Йй)(л -f '^t гАе я = 0, I, ... Следовательно,
£/п = - fl + -^- + ft (4Л5)7" (л + 1/2)
с нормированной собственной функцией
1
У2я
Y (0i + е2)1 я. (в, - е2),
где Нп{у) —нормированная волновая функция
гармонического осциллятора.
6.25. В первом порядке по F волновая функция
основного состояния имеет вид
**0
где <j>ft—невозмущенные волновые функции частицы в
Яме' У*о— ^Ло + FiUha —матричный элемент V перехода
Ме*кду состояниями ^ft и ф0. Таким образом, в первом
порядке по F среднее значение для х определяется
выражением
<♦'!*! W-aJ]
при
выводе которого использованы следующие свойства:
213
1) (фоНфо) = 0 — это следует из того, что основн
состояние имеет определенную четность, т. е. °в
.1 ял пи
фп = — cos cos —— ;
Y0 а 2а 2а
2) матричные элементы х„0 = <<I>ft|x|(J>0) действител
ны (как следствие выбора действительных собственнь*
функций). Далее, если хк0Ф 0, то yh0= 0, и наоборот. Эт*
справедливо, поскольку если хЬоФ 0, то фА должна За°
пи _
висеть от у как cos -^- и, следовательно, yh0= 0. Тогда
Здесь
где
С = 2 ж' *°"
'S
п+0
а
_ 1
ln0 = "*0п
а
1 ялх «л .
ЛГПП = \ * Sin COS dX
a 2a
и
£о-£п=-г4-(1-4п2).
8/па*
6.26. a. Полный гамильтониан системы имеет вид
ft* / а* ^ \ * / 2 2\
Введя новые переменные £, ц, определяемые соотношениями
представим гамильтониан в виде
Таким образом, точные значения энергетических уровней
определяются выражением
Е = rtjftwj + n2ftu>8 -f —• (<«! 4- ^г).
214
- и пг—положительные целые числа, а
2 k — С 2 fc + C
<о* = , <о2 = —*— .
' т т
б. Теперь, так как с < k, можно считать Н' воз-
.щением. Невозмущенные собственные функции имеют
ВЙА |n./b>=V„tK)6/„i(x2),
_е {/ —волновые функции простого гармонического
осциллятора с энергетическими уровнями
где <о* — Ыт- Первое возбужденное состояние о энергией
2fto» дважды вырожденное. Это состояние соответствует
(л» пг) - (1. 0) или (0, 1).
Матрица гамильтониана возмущения, взятая по
отношению к невозмущенным состояниям, равна
"-П-
где
а = <10|Я'|01> = с<0К|1)<1|хг|0>.
Вместо того чтобы определить а вычислением интеграла
lx(JiU9dx, представим а следующим образом:
a = c<0|x|l><l|x|0>=c<0|*2|0>.
это действительно так, поскольку (л|лг|0)=£0, только
если п => 1. Следовательно, условие полноты 2|л)(л| =
в 1 приводит к равенству
<0|**|0>=2<0|*|п><пИ0> = <0|*|1><1|х|0>.
Матричный элемент х* может быть выведен из квантовоме-
Ханического варианта теоремы вириала, согласно которой
среднее значение потенциальной энергии равно половине
полной энергии. Таким образом,
<0|*2|0> = -L.-i-/to-
К 4
Окончательно энергетические состояния, соответствующие
^Лновым функциям
I Ю> ±101)
*±"—yf—'
215
равны 2/z<o (1 ± c/4ft) в первом порядке по с. Заметим, Чт
эти значения равны соответствующим первым членам р^0
ложения точного решения по с.
6.27. Три низших собственных состояния, характер»,
зуемые квантовыми числами пит, описываются следуй
щими выражениями:
d> — 1 (Г- <*■+*■>/»
♦ta-"|/?«-«WW2
с соответствующими значениями энергий £"00 = 1, £10 =
= £"oi = 2. Гамильтониан возмущения равен Н' =*
= (&ху/2)(х2 + у2)- Уровень (00) сдвигается на величину
(00|#'|00) вследствие симметрии по отношению к
отражению. Уровни (1 0) и (0 1) вырождены, и, следовательно,
2 X 2-матрица
/<10|//'|Ю> <10| Л/'|01> \
V<01|W'|10> <01|W'|0l)j
должна быть диагонализована. Диагональные элементы
обращаются в нуль вследствие симметрии по отношению к
отражению; недиагональные элементы одинаковы и
равны 36/4. После диагонализации Н' имеет диагональные
элементы 36/4 и —36/4. Возмущение, следовательно,
расщепляет вырожденные уровни, энергии которых теперь
равны
а соответствующие волновые функции имеют вид
*± = -^<*о..±*..о).
6.28. В качестве гамильтониана электрона возьмем
Н = ц оВог, где ц о— магнитный момент электрона, В -~
напряженность магнитного поля. Кроме того, выберем
следующее представление:
216
иНовая волновая функция удовлетворяет уравнению
,!■-'*'* ♦-^«(.i)+ttcw(-D-
, а С должны быть определены так, чтобы А (0) = е141
£iq\ = 0. Только в этом случае в момент времени / = 0
лш электрона будет находиться в собственном состоянии
5 = 1/2. Из уравнений движения получим iA (t) = р0ВС
ig(() = РоВА, подходящим решением которых является
Л(/)=е|Ь cos |x0B/,
C(f) = — iel8sin[i0B/.
Таким образом, вероятность того, что a) Sx = -f V2; б) Sx =
— — V2; в) S2 = + V2 равна соответственно: а) Р+ =
= [A (0 I8 = cos2 (H Bt); 6) P. = | С (/) |2 = sin2 (^Bt);
Другое решение. Мы знаем, что средние значения кван-
товомеханических операторов описываются
соответствующими классическими уравнениями движения (теорема Эрен-
феста). Следовательно, можно написать уравнение ■■ •- =
— К V" > В], где |i = 2ji„ S — магнитный момент
электрона. Учитывая, что при / = 0 < Sx > = V2, < Sy > =
= <SZ> =0, найдем решение этого уравнения:
< Sx > = -L cos (2^50. < Sy > = ^- sin (2^0.
<S,>=0.
Чтобы найти искомые вероятности, необходимо
воспользоваться определением < Sx> = (P+ —Р.)12 и Р++Р_ = 1
и аналогичными выражениями для <Sy> и <SZ>. По-
лУченное таким способом решение совпадает с предыдущим.
в.29. Электрон с энергией в килоэлектронвольтной
облети удаляется от дочернего иона так быстро, что его влия-
ием на волновую функцию атома можно пренебречь. Если
РеДПоложить, что распад происходит за пренебрежимо
алое время, то справедливо приближение «мгновенного
Змущения» и волновая функция связанного электрона
сос^Чение пеРех°Да остается неизменной. Если начальное
^ояние л = 1, z = 1, то амплитуда вероятности нахож-
217
дения электрона в состоянии п = 2, г = 2 сразу же после
распада равна
/4=<л = 2, 2 = 2|п = 1, 2=1>.
Нормированными состояниями являются
| п = 1, z = 1 > = (^-"V"0
jn=l>z=2>==(ltfl3)-'/2^_^
е-,/а
где а —боровский радиус для атома. Таким образом,
амплитуда определяется выражением
А = -L- f A*r*dr( 1 - -Це"2"" L.
«a3 J V а ) 2
о
Следовательно, вероятность обнаружить электрон в
состоянии п = 2, z = 2 определяется выражением
1 ' 4
6.30. Пусть первоначальное направление поля В
определяет ось z, а направление после поворота —ось г . В
приближении, в котором изменение поля происходит за
пренебрежимо малое время, волновые функции атома до
поворота и сразу же после поворота поля должны быть равны.
Первоначально ф = (i) по отношению к оси г. Однако
в представлении, в котором Jz- диагонально,
cos —
2
sin —
2
Этот результат получен из условия, что волновая функция
л л
<!> — собственное состояние on, где п направлено по *>
т. е. из уравнения
/ costp —sincp \ ,
И» в Ф-
\ — smtp — costp }
Вероятности обнаружения т./= +1/2 или ttij — —^
неответственно равны cos2(<p/2) = 3/4 и sin2((p/2) = 1/4- ^
218
ge формальный подход состоит в том, чтобы использовать
что среднее значение J z' не изменяется сразу после то-
д как приложено поле, и определяется выражением
Р+ + Р. = 1- Здесь Р+ и Р_ — вероятности
обнаружь щ = ± 1/2 по отношению к оси г'. Таким образом,
_ 1 + COS Ф «Ф г, I — COS Ф - а Ч>
Р = —- — = COS8-2-, Р. = — =Sln8-1-.
г+ 2 2 2 2
6.31. По закону сохранения момента количества
движения при переходе 0 -*■ О излучаемый фотон должен иметь
полный момент количества движения, равный нулю. Но
фотон имеет спин, равный 1 (описываемый вектором
поляризации е), и, следовательно, для того чтобы полный
момент J был равен нулю, фотон должен находиться в
состоянии с L= 1 (описываемом волновым вектором к). Таким
образом, амплитуда, перехода пропорциональна
скалярному произведению ек, которое равно нулю из-за условия
поперечности электромагнитного поля vA = 0.
Следовательно, невозможно испускание одного фотона в состоянии
с J = 0 и переход 0 -*■ 0 с излучением одного фотона
запрещен. Радиационный распад может происходить с
излучением по крайней мере двух фотонов. Хорошо известный
пример запрещенного перехода 0 -*- 0 — переход в водо-
родоподобном атоме, для которого переход из состояния 2S
в основное с излучением одного фотона запрещен. Однако
распад может происходить с испусканием двух фотонов.
Действительно, экспериментально наблюдали такой распад
состояния 2S однократно ионизованного гелия [Lipeles M.
et al. Phys. Rev. Letters, 15, 690 (1965)].
, Другим примером перехода 0 -*- 0 с излучением двух
Фотонов является распад п° -^- т ~г" Т-
Переходы, при которых J —большое, происходят
медяно потому, что матричный элемент перехода стремится
нУлю с ростом J как (R/k)J—1, где К —длина волны излу-
емого фотона, a R —характерный размер излучающей
йенГеМы' ^то легК0 видеть, если разложить матричный эле-
т перехода
</|е1кЧ(г)Ч'>
219
no мультиполям, где je(r) —электромагнитный ток
излучающей системы.
6.32. Скорость перехода в теории возмущений
определяется выражением
Г = 2*|я;,|2р.
где Н' — гамильтониан возмущения; р—фазовый объем.
Для электромагнитных процессов гамильтониан
возмущения получается из принципа минимальности
электромагнитного взаимодействия (гипотеза Ампера) р -*
->р — М/с. Тогда в первом порядке по е гамильтониан
имеет вид
Я = Я0__£_(рА + Ар).
2тс
В координатном представлении р —оператор градиента.
Можно выбрать А так, чтобы div А = 0. Тогда
возмущающий потенциал может быть взят в виде Н' = —(е/тс) Ар.
Он действует между начальным состоянием
3/2 ^-гпЪа,
и конечным состоянием, которое, по предположению, имеет
вид плоской волны е|рг. Тогда, выписывая лишь члены,
зависящие от Z, получим
H'll~Z5'2^-,'ir-z"2a'd?r,
где q = р — к (к — импульс фотона). Взяв интеграл,
получим
25/2
Н'<~ (,- + Z-/40S)' '
Если энергия фотона достаточно велика, то Z2/4a20 <£ <Л
поэтому вторым членом в знаменателе можно пренебречь.
Тогда Hft ~ Z5'2. Кроме того, при условии, что энергией
связи и отдачей пренебрегаем, плотность конечных
состояний не зависит от Z и, следовательно, сечение
пропорционально Z5.
6.33. Трехмерная прямоугольная яма может
рассматриваться как одномерная, если заменить ее потенциал эф"
220
фективным потенциалом
внутри ямы.
ямы.
[ (hV2mr2) L (L+\) вне ям
Коэффициент прохождения, т. е. отношение потока вне
ямы к потоку внутри ямы, определяется в приближении
ВКБ (Венцеля —Крамерса —Бриллюэна) как
Т-( Е Y* е-2$*<*><".гле-^-У-В,
и, следовательно,
Здесь Ь —точка, в которой подкоренное выражение
обращается в нуль. При ударе о стенку частица, которую будем
представлять себе движущейся внутри ямы, может
покинуть яму с вероятностью Т. Число ударов о стенку в
секунду равно v/2a = [(2/m)(£ + V0)Y'2/2a, так что
х [ 2ma« J
После замены переменных интеграл в выражении для Т
примет вид
Точное интегрирование несколько утомительно, однако в
случае, когда т < 1,
т
Окончательно выражение для времени жизни принимает
внд
\ Е ) [ 2ma*E J
6.34. Амплитуда перехода во втором порядке теории
в°змущений равна
221
M~2</|elP|L = 1. m,><L= 1, m,|e2p|t>.
Гамильтониан взаимодействия возьмем в виде И =
= —eA.jp/mc и воспользуемся дипольным приближением.
И начальное и конечное состояния имеют L = 0, в то
время как промежуточное имеет L = 1. Так как матричные
элементы < Z.|p|0 > равны нулю, если только
орбитальный момент L не равен 1, то суммирование может быть
распространено на полный набор промежуточных состояний.
Таким образом,
M~</KeiP)(e2P)|'>-
Однако начальное и конечное состояния (с L = 0)
сферически симметричны, так что
M~-L44<f\Pz\i>-
Скорость перехода Г получаем, суммируя \М\2 по
конечным спиновым состояниям фотонов:
Из рис. 93 видно, что
Г ~ 1 + cos2 <p.
Другой путь вычисления зависимости А от угла ф
состоит в том, что при суммировании по спиновым состояниям
необходимо учесть следующее:
г
^•'^-«„--т?- (»./- 1,2,3).
о=1
Рис 93
Что это так, легко видеть, поскольку сумма преобразуется
подобно тензору второго ранга и, следовательно, равна
222
AbtJ + Bktkj.
Коэффициенты А и В определяются из условий поперечнос-
ти ке(а>== 0 и нормировки |е|2 = 1. Тогда сумма по
спинам равна
«•/ «р <■/■ \
--ТТЛ ''""Г")= + ~^Г =* +cosф
2
Следовательно, №(ф) =— (l-fcos2q>), где W(<p) норми-
от.
рована так, что f W (tp) dtp = 1.
6.35. Амплитуда рассеяния в первом порядке борновс-
кого приближения равна
/(6,Ф) = --^]>(г)е,Кг^г,
где К = к4 —ку. Следовательно, подставив выражение
для V, получим
/ (6, Ф) = a S J 8 (г - rde1Kr dh = 2e,Kr<.
t i
Максимальное рассеяние будет иметь место, когда вклады
в рассеяние от различных узлов решетки находятся в фазе.
Выберем систему координат так, чтобы координата узла
/Л Л Л\
была равна г4 = \П{К + ЩИ + пъг) d, где п( — целые числа.
Тогда условие максимального рассеяния принимает вид
Л Л Л
Kxd = 2it/, Kyd = 2rcm, Kzd = 2«n,
где I, m, n —целые числа (миллеровские индексы). Таким
образом, К должен быть направлен перпендикулярно к
плоскостям решетки, определяемым числами /, m, n
(рис. 94). Величина К должна удовлетворять соотношению
Kd = 2« (Р + т2 + п2)|/2 . (1)
Выражая К через угол рассеяния по отношению к
отражающей плоскости
К2 = (kj — k,)a = 2£2 (1 — cos 20) = 4£2 sin2 6,
223
получим kds'm 0 = п(Р + m2 -f- л2)1'2, что и является
условием Вульфа —Брэгга для отражения от набора
плоскостей с периодом
d(Z"+/n» + n«>
-1/2
Рис 94
6.36. Имеем
и
но
2im
■[ФЧФ-Wl
VJ
2im
[фЧЧ-фу'Л.
-£.r* + <y,-iVdt-\-SL
0)
(2)
(За)
■£-у2ф* + (^ + ^)ф* = -1-|1
(36)
Умножим (За) на <{>*, а (36) на ф и вычтем одно из другого.
Тогда уравнение (2) примет вид
-3r№*W + vJ = —£-M>
Таким образом, частицы поглощаются в единице объема
со скоростью 21Л^*ф//г. Согласно определению сечения
поглощения, эта скорость должна быть равна Navty*ty.
Следовательно, а = 2Vt/flNv.
6.37. Квазиклассическое рассмотрение показывает, что
падающая частица взаимодействует со сферой, если / ^
■^ /о = 2яа/Я; парциальные волны высшего порядка не
взаимодействуют со сферой. Таким образом, 8,-0 при
/ > /0 и для этих парциальных волн г\, = I, т. е. нет рассея-
224
ния, поскольку нет взаимодействия. Однако парциальные
волны с / < /0 просто выводятся из пучка. Это означает,
что t]j = 0 для / < /0. Тогда амплитуда рассеяния равна
/(в)---^ V (2/+ 1) Я, (см 9).
та?
Сечение упругого рассеяния для больших 10 равно
'.-Jl/Wf
la dQ = Л V (2/ + 1) « —^ = *аа.
fe2 .^hJ fea
Полное сечение взаимодействия может быть получено из
оптической теоремы:
lm/(0) = -^-.
Вспомнив, что Р;(1) = 1, получим at = 2яаа. Сечение
поглощения тогда равно аа= ot—ае= яа8.
6.38. Симметрия задачи наводит на мысль, что можно
воспользоваться следующим разложением: ty(r, 6) =
= У£/;(г)Р, (cos 6), где Ut{r) удовлетворяет уравнению
U] (г) + -1 U\ (г) + [*• - -^±^-] С/, (г) = О,
a &a = 2тЕ1№. Наиболее общим решением этого уравнения
является
Ut (г) = Л, [jl (kr) cos 8, — yj; {kr) sin 8,].
где все сферические функции Бесселя получены из
рекуррентного соотношения и из решений для / = 0:
kr kr
Так как Ut{a) = 0, то tg6/= jt (каУц^ка) определяет
сдвиги фаз. Поскольку мы решили пренебречь D-волной,
то остается вычислить лишь сдвиги фаз для двух
парциальных волн
8o = tgS0 = -tg/ja,
х ~f«x fea —tgfea (fca)8
о, W tg o, = 2 ^ 1—£_
1 6 * 1 + featgfeo 3
225
Дифференциальное сечение рассеяния равно
= "Fl2(2/+1)e'R'sin8'p'(cose)
dQ fe*
= J-1 e-'** sin ka + 3e-,(*fl),/3 sin -^~ cos 6 Г =
ft2 | 3 I
= a211 — -& + 2 (fca)2 cos 6 + 0 [(A:a)2]J.
Полное сечение определяется выражением
-j-|-e-^»-Ja.+..).
6.39. В случае a <C ^ мы имеем дело с рассеянием при
малых энергиях, при которых преобладает S-волна.
Радиальная волновая функция U = sin (kr +&0)/r должна
обращаться в нуль на поверхности сферы, так что60=—ka.
Тогда амплитуда рассеяния /(6) = —а, а полное сечение
рассеяния а = J|/l2dQ = 4ла2.
Для а > К наоборот, мы имеем дело с рассеянием при
высоких энергиях, в которое дают вклад все парциальные
волны. Так как, согласно классическому рассмотрению,
частицы, прицельное расстояние которых больше а, не
взаимодействуют, то следует ожидать, что 6, = 0 для
Ift >hka. Однако те частицы, для которых ln<hka,
будут отклоняться от направления вперед. Этот интуитивный
классический аргумент наводит на мысль, что для расчета
рассеяния вперед (и только) следует использовать следующие
значения:
\ 0 для Kka.
В действительности эти соображения можно
сформулировать более строгой тогда можно показать, что для
рассеяния на жесткой сфере (полностью отражающей) мы
получим дифракционный пик как для рассеяния вперед, так
и для рассеяния назад, в то время как для черной сферы
(полностью поглощающей) дифракциоршый пик наблюдается
лишь в направлении вперед.
Используя результаты, полученные в задаче 6.38,
вычислим сдвиги фаз из условия
Vi (а) = /, (ka) cos 8, — rn (ka) sin S, = 0. (2)
226
Для ka 3>1 можно воспользоваться асимптотическим
разложением, и, следовательно, для / > ka > 1 имеем
Hka)—О и r\i(ka) > 1, и уравнение (2) решается, если
для ka > / имеем
/,« — sin (ka -| и -л,» cos (ka —V
" ka \ 2 ) " ka \ 2 )
Уравнение (2) в этом случае решается с 8, ~ — ka-\ .
Таким образом, при более строгом подходе имеем
е2,*< = | 1 для/>£а»1, 3
[e'aIfta для &z»Z.
-21»,
Это выражение для е ' надо подставить в формулу для
амплитуды рассеяния
со
/(6) = ~- V (2/ + 1) (е2,8< - 1) Р, (cos 6)«
«-^ VJ (2/ + 1) (e21R« - 1) P,(cos6).
/=о
В направлении вперед P,(cos8) » I для всех /, что дает
небольшое различие при использовании значений е2'8' = 0
или (—l^e-21*0, так как последнее выражение
—знакопеременное и, следовательно, его вклад пренебрежимо мал
ka
по сравнению с суммой \(21 + 1). Таким образом, и тот
1=0
и другой выбор приводит к одному и тому же результату:
ka
/(6)~ L V(2/+ \)Pt{соьЩ для малых 6.
2ik ^^1
Для ka > 1 можно использовать дальнейшее приближение,
заменив сумму интегралом
ka
f(Q)tt—£xPx(cosB)dx,
о
227
и, воспользовавшись приближением Pn(cos8) = Jo(n, 8),
получить
ко.
f (6) » -L j *J0 (*6) dx^-fj, (kaB).
о
Таким образом, —— = | / |а» а4&2 в направлении вперед и
быстро падает с ростом угла в интервале углов 0 < 8 ^Uka.
Рассмотрим теперь направление назад. Для черной
сферы е2|В г» 0 при / <zka и, следовательно, амплитуда
рассеяния равна
'«а
/ч (6) ** ~ ~k S(2/ + ° р'(cos 6)'
Однако для 8 « л имеем Pt(—1) = (—1)', и
знакопеременные члены взаимно сокращаются, тем самым не
создавая пика в направлении назад. Но в случае жесткой сферы,
как было показано, е2|В» ^ (—1) е~2'*а, и поэтому в
направлении назад имеем
/ж (6) ^ - -^ У) (2/ + !) pi (cos Ч».
где <р = л —8- Следовательно, в случае жесткой сферы
получаем дифракционную картину, размеры и форма
которой одинаковы как для направления вперед, так и для
направления назад.
6.40. Волновое уравнение имеет вид
— — -Ь У0а8(х)<|> = £ф внутри ямы, (1)
1т dx*
h2 d4i
1_ = £ф вне ямы. (2)
Чт dx* Y '
Используем параметр (Voo) с размерностью энергии,
умноженной на длину, чтобы описать силу потенциала.
Поскольку введение б-функции в волновое уравнение
затрудняет прямое решение уравнения (1), исключим ее,
проинтегрировав уравнение (1) по х от —е до +е, а затем
устремив е к нулю:
—*
228
Вне ямы волновая функция имеет вид
Пх)==\«/г(ГаХ Для*>0,
1а'Ле+"длях<0,
+»
причем f | «J* |a rfJC = I. Подставив это значение в уравне-
—со
ние (Г), свяжем а с силой потенциала: а = —m0Va/h2.
Тогда уравнение (2) определит значение энергии
связанного состояния (для притягивающего потенциала V0):
Таким образом, потенциал в виде б-функции имеет лишь
одно связанное состояние. Замечательно то, что если мы
возьмем V0= —e2a, то получим энергию основного
состояния атома водорода, а волновая функция для х >0 будет
волновой функцией атома водорода (радиальная часть).
Для того чтобы решить задачу с рассеянием потока
частиц, введем для области х < 0 падающую и отраженную
волновые функции, а для области х >0 —прошедшую
волновую функцию
4(x<0) = e*lk* + Re-1**,
ф (х > 0) = Те1**.
Подставив их в уравнение (Г) и воспользовавшись
условием t}> (х -> — 0) = ф {х -> + 0) (откуда 1 + R = Г), получим
Я = - Г* .. , 7--. !
(1 — h'ik/mVffl) (1 + imVtfl/kh*)
Интенсивности отраженной и прошедшей волн,
следовательно, равны соответственно
|Я|2= '
1Л2==
1 + (h2k/mV0a)*
1
1 + (mV0a/h*k)*
По мере роста силы потенциала по сравнению с энергией
с = fizkzl2m падающей волны интенсивность отраженной
волны стремится к единице. С другой стороны, при Voa-*-0
коэффициент пропускания стремится к единице, т. е., как
229
и следовало ожидать, потенциал не влияет на пучок.
Интересно отметить, что \R\ и \Т\ не зависят от знака V0
и полюс в R или Т при k = —imVoa/fta приводит к
образованию связанного состояния с энергией Е = h2k?l2m =
=—т(У&?12Н*.
Другой вариант решения. Получим решение волнового
уравнения в импульсном пространстве. Волновое
уравнение в координатном пространстве для всех х имеет вид
-•£ • ^?+v^Hx)^(х)=£ф(х)-
Умножим его на е'"*'11 и проинтегрировав по всем х в
предположении, что при интегрировании первого члена
по частям ф (х) и ■ ' стремятся к нулю при х -*■ оо,
получим волновое уравнение в импульсном пространстве:
-£- 0 (р) + У>ф (х = 0) = Еф (р),
со
0(р)= | ty(x)e,p/bdx.
—«•
Таким образом,
2т1/0оф (х = 0) __ 2тУ0а\> (х = 0)
VKPt p* — 2mE ~ p* + 2mW '
где №== — £ = |£|>0. Далее
+СО
—со
= 1ЛлФ U = 0) 1 — .
—CO
Интегрирование можно провести в комплексной плоскости»
замыкая контур в нижней полуплоскости для х >0 и в
верхней полуплоскости для х < 0:
*пК„оф (х = 0) /5^ e<*)/U
ф (*) = ——— е ,
ic/i /2mU?
где в(х) = 1(—1) при х >0 (<10). Требование, чтобы
ty(x -*• + 0) = ф(х -> —0) = ty(x = 0), дает условие
самосогласования
230
mV0a mtfa*
I = ■===r или W = = — E.
h V2mW 2ft»
Заметим, что связанное состояние возможно лишь тогда,
когда V0 отрицательно.
7. ТЕРМОДИНАМИКА
7.1. Термодинамические потенциалы определяются
следующим образом: I) —внутренняя энергия; Н =
= U + PV —энтальпия; F = V —TS —свободная
энергия (функция Гельмгольца); G = Н —TS —функция Гиб-
бса. Величины
dV = TdS —PdV,
dH = TdS + VdP,
dF = —PdV—SdT,
dG = VdP —SdT
являются полными дифференциалами. Из них сразу же
получаются уравнения (1). Можно также получить
равенства
\дТ )р \ дР )т
Чтобы получить соотношения (2), разложим TdS и
воспользуемся уравнениями (1):
TdS=T(—) dV + T(—) dT =
\dV }т \дТ )v
= Т(—) dV + CvdT.
\дТ }v v
Так же, воспользовавшись уравнением (1), получим
TdS = dU + PdV, т(—\ =P + (J*L) =
\dV )т \dV Jt
\дТ )v
7.2. При обращаемом бесконечно малом изменении
состояния имеем
TdS = dU + PdV,
231
Если
V — В V2 \dV )т V
7.3. Рассмотрим бесконечно малые изменения состояния
вдоль границы фаз. Из равенства dVl = й\/г имеем
Обозначим
V \дТ Jp r V \дР )т
соответственно коэффициент объемного расширения и
коэффициент объемной сжимаемости. Тогда
UP а± — а2
~^fZ= Pi-Pi '
Равенство d#! = dtf2 означает, что dSx = dS2 в
фазовом переходе при постоянном давлении. Тогда
или
"~ ШЛЯХ] ~т№),-№]~
Эти два выражения для -=* известны как уравнения
Эренфеста.
7.4- В предположении, что вода опущена на глубину
1 км без теплообмена (AS = 0), изменение температуры
определяется выражением ДГ = (Ar/AP)sAP, где
АР = pgAA = 9,8-107 дин/см2.
Воспользовавшись уравнением Максвелла, можно написать
следующее выражение:
232
\6P }s \ dS Jp \dT }p\ dS )p
\dT )p _ V \дТ )р _
Cp Cp IV
= 300 ■ 0,00013 см3 • г рад/кал = Ю-8 cm2 • град/дин.
Следовательно, ЛГ « Г С.
7.5. Если бы две адиабаты пересекались, то их можно
было бы соединить изотермой. Рассмотрим цикл вдоль
такой замкнутой кривой. Затраченная работа равна площади,
охватываемой замкнутой кривой, а тепло поглощается вдоль
изотермы. Таким образом, в этом цикле поглощается тепло
и совершается работа без выделения тепла. Эффективность
такого процесса равна 100%, что противоречит второму
закону термодинамики.
7.6. а. Можно написать следующее равенство:
S = Cpln~ *_ + Cpln —+ —= 0,
р 298 273 р 298 373
откуда п — 0,1 моль.
б. Теплота, полученная при замерзании одного моля
воды с температурой 25° С, равна
Qt = Ср Д7\+ X = 18 - 25 каЛ л град +
моль • град
+ 1438-^1-=» 1888 кал,
моль
в то время как для нагрева одного моля воды от 25° С до
100° С, требуется теплота
Q2= СЯЛГ2 + пК = 2320 кал.
Следовательно, рефрижератор должен произвести работу
Qz—Qi — 432 кал.
7.7. Энтропия конечного состояния не зависит от того,
как достигнуто это конечное состояние, поэтому вычислим
энтропию, считая, что конечное состояние достигнуто
изобарически. Это возможно, поскольку конечное давление
Р/ = Р. Тогда отдельно для каждой колбы имеем
TdS = СР dT.
233
Следовательно,
AS1 = Cpln-^- и ASz = СрIn -~.
Но Tf --= (7\ + 7^/2, а Ср = 5Ш2, откуда
AS = ASt + AS2 = — Wfc In (-^-) = 5Mfe In -liHi ,
2 \ Г, Га / 2 VT^7\
что, как и следовало ожидать, обращается в нуль, если
Тг= 7Y
7.8. Из условия механического равновесия следует,
что Va/Vb= 1/3 в начальный момент времени и Va/Vb = 1
при / = оо.
Конечная температура равна Та = Тв = 2Т0. Процесс
изобарический, и, следовательно, для каждого объема
TdS = CpdT.
Интегрируя, получаем
*SA = СрIn -?е- и ASn=CDln ■2Гв
Г0 ~~в "'" зг0
Полное изменение энтропии, следовательно, определяется
выражением
4 5 „. 4
-^- = ^гЯ1п —.
3 2 3
Cpln-^- = 4-tfln-
Если бы передача тепла происходила обратимо, то
было бы
С CvdT С dV
AS = О или 1 —у h R \ -у = О,
откуда
Г2 V2
Cvln „i, + flln „ ' =:0.
v J A ' В VA VB
Положив
Vf=[VA+VB)l2, V.A = Vf/2, VB = 3Vf/2,
получим
7l_3rt(|-)-w''-3T?(-l)-
Полезная работа, которая могла бы быть совершена
системой, равна
234.
г2 / 4 Y-2/3
W = Ut - Vf = Cv (4Г0 - 2Tf) = 3R (2T0~ Tf).
7.9. При свободном расширении работа не производится.
Следовательно, dV = 0. Но
\dT)v \dV)T v V
(см. задачу 7.2). Поэтому
Свободное расширение —необратимый процесс, и для того
чтобы вычислить изменение энтропии AS, необходимо найти
подходящий обратимый процесс, связывающий начальное
и конечное состояния. Результат не зависит от процесса,
так как dS является полным дифференциалом. Удобно
рассмотреть такой процесс: 1) расширение газа от начального
объема до конечного при постоянной температуре, затем
2) охлаждение газа до конечной температуры при
постоянном объеме. Тогда
CvdT
Первый член обусловлен только расширением, второй
только охлаждением. Подставляя
■-2- и | ) =аУ, получаем
Р = RT
V — b
Энтальпия Н = U + PV и Д/У = Д(/ + b{PV). Однако
&U = 0 и, следовательно,
АН
-РЛ-^-^.-Г,)-^—1-)^
7.10. Описанный процесс представляет собой
дросселирование, в котором энтальпия Н — U + PV сохраняется.
Начальная энтальпия 1 г воды равна Н t = U t + PtV-
Если х —та часть воды, которая переходит в пар при точке
235
кипения воды Tf— 100° С, то конечная энтальпия
определяется выражением
Н, = [U, + С(Т, - Т<) + P,V] + xL
где L —удельная теплота испарения. Член, заключенный
в квадратные скобки, представляет собой энтальпию 1 г
воды при Pf = 1 атм \\Tf= 100° С, a xL есть изменение
энтальпии, обусловленное изменением фазового состояния
х г воды. Таким образом,
С(Т, - Г,) + xL - (Р, - P,)V,
где С = \ кал/{г- град)-, L = 540 кал/г; V — 1 см3,
\pf—P^ « 10* стл « 1010 дин/смг\ 1 кал = 4,18- Ю7 *рг.
Из этого уравнения находим, что х « 0,3.
7.П. Предположим, что энтропия оставшегося газа не
изменяется. Изменение энтропии в процессе охлаждения
определяется выражением
TdS = CvdT+ PdV,
которое в сочетании с уравнением состояния идеального
газа дает
ASox. = (Cv-b/?)ln^-£lnJV.
Изменение энтропии в процессе ожижения равно AS0)K=
= —LITf. Однако AS0XJI + AS0lK =0в силу сделанного
предположения. Таким образом,
7.12. Предположим, что температура центра сжатия в
любой момент времени на величину Д7" превышает
температуру центра растяжения. Расстояние между этими
точками равно Х/2, где X —длина волны колебаний. Тогда за
время т/2 (т — период колебаний) имеем приближенно для
потока тепла от гребня к впадине
Поток тепла, необходимый для повышения температуры
на величину ДТ
236
фг = рА— СДТ.
Колебания стремятся быть изотермическими, когда поток
тепла достаточен, чтобы выровнять температуру за время
т/2. Таким образом, КАТ —— > ЛрХС (условие изо-
А 2
термичности), или, если ввести частоту колебаний / = 1/т,
' ^ РСХа
Но частота и длина волны связаны соотношением Д =
= |/£/р. Следовательно, исключив X,, это неравенство
можно переписать в виде
/»-^-=5-101о«ж-Ч
7.13. Пусть «! и «2 —концентрации СО соответственно
в первой и второй колбах. Тогда поток СО из первой колбы
во вторую определится выражением
I _ _D (пг — п2) А
L
которое должно быть равно — V—— , но п2 + п2 = п =■■
dt
= const, так как полное количество СО неизменно. Таким
образом,
dni __ 2DA , DAn
Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному
условию «,(0) = п (первоначально все количество СО
находилось в первой колбе), является
„.^JLll+e-2^).
и так как парциальное давление пропорционально
концентрации, то
7.14. Уравнение для потока тепла
VH + Ср — = 0,
^ е dt '
237
где Н = —КуТ, имеет сферически симметричное решение
для />0 в виде
Т(г, 0 = 2 4>e-n,"'a' sin(7//?>
я=1
с граничным условием T(R, f) = 0°C. В этом выражении
а = K/CpR*, R —радиус шара. Коэффициенты Ап можно
найти из начального условия Т(г, 0) = Т0 = 100° С для
r<R:
2*
п
пю
sin =
R
и из ортогональности решения
А« =
Следовательно,
н
Sin -— dr
R
2Т0 Г . пкг .
—- \ г sin dr =
Я J R
0
i
= T0rt
-«-Г
(-1)""
•
2T0/?
ТСЛ
T(r, t) = *b*L ± ±=i>^- e^"* sin -2=
1» I
—n***at
T(0,/)="27„2 (-0n+1e-
При / = 15 мин n*at — 1.85-900/202 — 4,16.
Следовательно, достаточно хорошим приближением будет первое
приближение
Г(0,15 мин) « е^'16 • 200° С . 3,1° С.
7.15. Распределение температуры описывается
уравнением теплопроводности
v«7-e_L. Л =0,
где а2= К/Ср. В сферических координатах Т является лишь
функцией радиуса г, поэтому v*=(—jf)' Решение УРав*
нения может быть представлено в виде
238
T(rtt)=T0 + ^-Q{r.t),
где © (л 0 удовлетворяет уравнению
**-±*--о. (1)
д/г a* dt
Граничные условия для 0 следующие:
в(Я, t >0) - 7\—То. в(г >fl, / = 0) = 0.
решение уравнения (1), выраженное через функцию Грина
G(r, t\r',t'), удовлетворяющую уравнениям
G(r,t\r',t') = 0 при V>/, (3)
G(r,t\ R,t') = О, (4)
где г и г' >R, имеет вид
в(г. О = f 6(7?, О *?fr.'l*.0 ^.
Of?
1'
Это можно проверить, умножив уравнение (1) на G,
уравнение (2) на 0 и проинтегрировав по г' и /' с использованием
условий (3) и (4). Для того чтобы вычислять G, рассмотрим
функцию G0, определенную так, чтобы удовлетворять
уравнениям (2) и (3):
С0 (г — г', / — /') = j" / (k, t -1') е'* <r ~ ''»dk.
Далее,
i a/ g(/— r>
' a» d< 2n
с решением
/(*,/-/')= — в(/-Пе-**а,<'-Г).
2л
где
1 ; \ 0 для *</'.
Таким образом, имеем
G0 = — 6 (t — f) I e dft =
239
и если G задано в виде
G = G0(r-r\ t-n-G0(2R-r-r', t-t')
(метод изображений в электростатике), то уравнения (2)
(4) будут удовлетворяться в области г, г1 > R. Тогда
д0(г,/|/?.О _ (г — R)6и — t') -{r-Ky/wu-n
Ж 2а JAT (/-*')''• е
и температура определяется выражением
Т(г, 0 = Т0+ *lT*-TJ1r-K) х
2аг У к
*1
е at
v-nm
которое можно упростить, сделав замену переменных
T(r,f) = T0+2R<T>ZT'] f e—Л.
'/« J
<л-/?)/2в VT
В пределе при /-*•«> интеграл стремится к своему пре-
00
дельному значению f е~ *' dx = Vn/2 и, поэтому Т -*> Т0+
4- (7\ — Т0) Rlr, как и следовало ожидать, для
статической задачи с граничными условиями Т (R) =■ 7\ и
Г(со) = Г0.
7.16. Отправной точкой для решения является
уравнение для энергии U = EV:
Давление определяется выражением Р = £/3.
Следовательно,
\дТ )v \ дТ }v/ \ dV )т
240
Подставив эти выражения в уравнение (1), получим
AEIT = —,
дТ
откуда Е = kT*.
Другой вариант решения. Рассмотрим бесконечно малый
цикл Карно для фотонного газа. При бесконечно малом
приращении dP — dE/З произведенная работа равна
площади, охватываемой контуром в плоскости PV (рис. 95),
т е. W = dPdV = dEdV/З. Пог- р.
лощенное тепло равно Q = ''
= EdV + PdV = 4£dV/3.
Следовательно, эффективность
машины равна.
_ W_ _ dE dT
dV_ pT
\PJ
lP-dPJ-dT
Q 4£ T Рис. 95
Решением этого уравнения является Е = kT4. Здесь tj было
приравнено к dTIT, поскольку эффективность всех
обратимых тепловых двигателей равна dTIT. Константа k не
может быть определена из термодинамических
соображений; ее можно вычислить, пользуясь квантовой
статистикой. Однако мы можем связать ее с постоянной Стефана —
Больцмана о. Представим себе небольшое отверстие в
стенке полости, из которого излучается энергия. Поток
энергии равен
_с£_ _ ckT* _ цр __ оу,4
4 4
откуда k — 4о/с.
7.17. Спутник поглощает в 1 сек энергию, равную
4л^го7,04лг2/4л^2, а излучает энергию оТЧяг2. Отсюда
получим равновесную температуру спутника
Г4 = То#2/4£>2 = а2 ТУ А или Т = 288°К.
7.18. Вероятность наблюдать намагниченность,
заключенную между М и М + <Ш, пропорциональна dMe~F'kT.
Таким образом, наиболее вероятное значение
намагниченности М0 такое, для которого функция F(M, T) имеет
минимум по М. Кроме того, при пренебрежении эффектами
флуктуации средняя намагниченность
Ж = ? /We" ",ы йМ II е~ mi dM~M0, (l)
-1
241
поскольку функция распределения е F/kT велика лишь в
окрестности М0. Минимизируя F(M, T) по М, найдем, что
М0 = \
Нг{Тк - Г)Гдля т<Тк'
О для Т>ТК.
Чтобы оценить роль флуктуации при вычислении М,
рассмотрим разность М —М0 для а) Т < Тк и б) Т >7,к.
а. Пусть 7,<7V Определим новую переменную х
следующим соотношением:
М = Мо + Х [2а{т*-Т)]''
где
Тогда, разлагая ^(М, Г) в окрестности М0, получим
/? = F0 - — (Гк - Г)2 + W U8 + хЧВ + хЧАВ%
где
В = №(Тк — Т)2/$кТ]1'2.
Из уравнения (1) находим, что
? - (*» + *"/й + *4/4В'> .
хе dx
Л4—Л40 _ -д
М0 f - (*» + х>/В + х*/4В')
file ax
—в
Точное вычисление этих интегралов как функции В
невозможно, однако в пределе при В ^> 1 в низшем порядке
на MB имеем
^ _ и' + хЧВ + х*/*&) 1 ?.-**.
хе rfx« I x*e dx«
—в -в
со
— I х4е
в J
dx.
Таким образом, в пределе при В ^ I получаем
242
— f x*e-*'dx
Тл~мп _ = з щт
~~*» В* ] е-*"«л Ш 4аЧГк-Г)2'
б. Введем новую переменную у, определяемую
равенством
Тогда
и
Р = Р0 + кТ(у>+уЬ/В*)
[«(Г-Гк) J
J e-<V + vVB')dj,
о
где /3 такое же, как было определено для случая а). В
пределе при В > 1 получим
М»
Г kT VI*
[ш(Т-Тк)\
При наличии магнитного поля необходимо добавить к F
член, равный —МН. Следовательно, выше точки Кюри
средняя намагниченность определяется выражением
М(Н) =
1'-"
dy
где членами порядка \1В < 1 мы пренебрегли. Таким
образом, в первом порядке по Н
М(Н) = Н
2а (Т — Тк)
(закон Кюри —Венсса). Магнитная восприимчивость опре-
243
деляется выражением
— ^Е.
Х ~ дн
Заметим, что этот результат мог быть также получен из
термодинамического соотношения
Н = — = 2а (Т — Тк) М + 4рМ3.
Действительно,
1 = [2а(7-Тк) + 12РМ21-^ .
он
откуда следует, что
дм
дН
2а (Г — 7\>)
н=о v к'
7.19. Скорость звука вычисляется по формуле для
адиабатического модуля упругости при постоянном
магнитном поле Н
' е \ov Is, н
Начнем с того, что покажем справедливость хорошо
известного соотношения
/ дР\ = СР, н I дР\
[ dV )s. и Cv. н{дТ )v
которое справедливо и при наличии магнитного поля,
так как теплоемкости вычисляются при постоянном поле Н.
Разумеется, удельные теплоемкости зависят от Н, и именно
поэтому происходит изменение скорости звука.
Напишем следующие соотношения:
(JL\ =/iL\ +(^L) l*L\ =
\ dV )s. н { dV )т. н \ dT jv. и \ dV )s. и
= I*L) Jl+/-*U (*L.\ (JL) 1 (1)
\ dV }t. m\ \dP )t. h \ dT Jv. н \ dV )s. нУ w
(JL) (JL) = -(—) , (2)
\ dP )t. h V dT Jv. н \дТ Jp.h w
IHL\ (JL\ =-(-™-\ (3)
\ dV Js. н\дТ Jv. н \ dV }t. h'
244
Подставив равенства (2) и (3) в (1), получим
IJL\ -(Л) \i+-L-(J!L\ (JL\1
[ дУ Js. и \ dV )т. н L Cv. и \ дТ )р. н \ 3V )т Г
где дополнительно использовано равенство
\ ОТ Jv. н
Кроме того, из определений
Ср. н - ^ дт ]р н [дТ jv. н [ 3V }т. и \ дТ )р. н
и
следует соотношение
Т \w)t. н (~дт)р. и = Ср' "~Cv-"'
Таким образом,
{ dV )s. н [ dV ]т. н [ cv,H J
ср, н I дР
cv. н \ dV /т. и
Теперь необходимо вычислить CPih,/Cv,h> Для этого
вычислим энтропию S и воспользуемся соотношениям
р- " \ дТ )р, н v \дТ Jv. н
Из соотношения
TdS = dU — HdM + PdV
найдем, что термодинамический потенциал Ф = V —
— TS — НМ удовлетворяет уравнению
d<2> = — MdH —SdT —PdV. (4)
Кроме того, дано, что М = -[HIT. Интегрируя уравнение
(4) при постоянных температуре и объеме, получаем
Ф(7\1/,//) = Фо(7\10-^,
где Ф0(7\ V) не зависит от И. Тогда энтропия определяется
245
выражением
[dTjv.H ° Ч.Т
Наконец
cp. н cl +1"*!?*
где Cp и Cv —удельные теплоемкости в отсутствие
магнитного поля. В предположении, что магнитное поле не
воздействует на уравнение состояния, связывающее Я,
V и Т (т. е. PV — RT для идеального газа), ( ) не
зависит от Н и, следовательно,
01 ;~ (i+T/Wc°r) '
откуда в низшем порядке по itP/CT2 получим
ц(//)-„(0) _-7//а(С°-С°)
у(0) ~ 2С°,РС°>
7.20. Поскольку в нормальном состоянии М « 0,
можно предположить, что функция Гиббса для нормального
состояния не зависит от Н, т. е.
GH(7\//) = GH(7\//K). (1)
Более того, в фазовом переходе не происходит скачка в
значении G, т. е.
GC(T,HJ = GH(T,HK). (2)
Внутри сверхпроводника В = 0 = Н + 4лМ, откуда М =
= —///4л. Следовательно, при постоянной температуре
dGi = HdH/4n. Проинтегрировав dGj от Н < Н„ до //к
при постоянной температуре Г ■< 7V , получим
Gc(7\tf)-Gc(7\//K) = -f---^-.
йя оя
Однако из равенств (1) и (2) следует, что Gc(7\ //„) =
= G„(7\ //). Таким образом, Gc(7\ //) — G„(7\ //) =
= //78л — //„2/8л. Эта разность при значениях поля ниже
критического отрицательна, а при значениях поля выше
246
критического положительна. Это обстоятельство указывает
на то, что сверхпроводящее состояние энергетически
выгодно при Н < Я,„ а нормальное состояние —при Н >НК.
Стабильным при заданных значениях магнитного поля и
температуры является лишь то состояние (нормальное
или сверхпроводящее), для которого функция Гиббса
минимальна.
Выведем аналог уравнения Клапейрона, чтобы
вычислить температуру перехода. При изменении Н и Т вдоль
фазовой границы изменение функции Гиббса должно быть
одинаковым как для нормального, так и для
сверхпроводящего состояния, т. е. dGn = dGc, причем dG — —SdT —
—MdH. Поэтому вдоль фазовой границы
dHK _ SB — Sc
dT Mc—M„ '
Но теплота перехода определяется выражением
L = (SH - Sc) T
и, следовательно,
Скачок в удельной теплоемкости определяется выражением
Заметим, что при Н „ = 0, т. е. при Т = Тц, теплота
перехода обращается в нуль, в то время как скачок удельной
теплоемкости отличен от нуля. Таким образом, при Н = О
фазовый переход является переходом второго рода.
7.21. Различие между Я, и Ра должно быть
обусловлено поверхностным натяжением т. Для процесса с
заданными Р и Т функция Гиббса минимальна. Для капли
радиусом г и массой Mlt находящейся в равновесии с паром
этой же жидкости массой Мг, функция Гиббса равна
G = Migi + Mzg2 -|- 4лтг2.
^Десь gt и g2 —соответственно функции Гиббса для
единичной массы жидкости и пара. Последний член в этом
247
выражении описывает поверхностные эффекты, поскольку
энергия капельки равна U0 + 4ятг2 (U0—энергия в случае,
когда поверхностными эффектами можно пренебречь).
Полагая 6G = 0 и требуя, чтобы масса сохранялась,
получаем
гс = о = [а/и, (g, - а) + e^r ^-] =
где Pi—плотность капли. Следооательно, при равновесии
g2—gx — 2-\/ptr. Но для данной фазы справедливо ра-
— I =У>
дЯ /г
так что [—) = —. Итак, дифференцируя по Р при по-
\дР 1т pi
стоянной температуре, получим
J 1_ 2j_ _&_
Pa Pi Pi'2 дР
Здесь р2 — плотность пара. В предположении, что р2 <£ р!
и пар является идеальным газом, имеем
откуда после интегрирования
Р = Р„е2М1Г/р,*г', (1)
где М —масса одной молекулы рассматриваемого
вещества. При заданных температуре и давлении в равновесии
с паром находится лишь капля радиусом г, определяемым
выражением (1). Капли меньших размеров испаряются
полностью, т. е. имеется тенденция к установлению равновесия
путем повышения давления Р. Но это приводит к
дальнейшему уменьшению равновесного радиуса г. Наоборот,
капли большого размера стремятся стать еще больше.
7.22. Вселенную можно рассматривать как звездный
газ с приблизительно одинаковой средней энергией
«молекул» каждого вида. Следовательно, кинетическая энергия
ракеты будет стремиться к средней энергии звезд:
248
Таким образом,
т л?(т — 1) «^ 5-10",
а vp& с-
7.23. Из статистических соображений для ортоводорода
j = 1, 3, 5, ..., а для параводорода J = 0, 2, 4...
Относительная заселенность уровней J = 2 и У = 0
определяется соотношением
((2./+1) е- 'w+»*/«*«-b_2 :i
или ое • ! — "г • "о>
где т = /W/2; yV0 — число молекул в одном моле газа.
Тогда
п0 + n2 = ;V0(1 —х)
и
„ ^о С - *)
2 1 WlmR*kT
а. Пусть £,_,, = 0. Тогда £1= 2#УтЯ* и £2= 6%VmR2
и, следовательно, полная энергия вращения определяется
выражением
£,«-^[2* +30(l-x)e-6№/?W],
откуда получаем выражение для удельной теплоемкости»
обусловленной энергией вращения:
с, = dlL = 180^ (1 - х) (_»- ^ ~-6ft2'm«w
J дТ \mR*kT
Для получения молярной теплоемкости к Cj необходимо
добавить удельную теплоемкость, обусловленную
кинетической энергией, Скин = ЗЯ72, где R'= NJt.
б. Для вывода формулы для теплопроводности
воспользуемся простой одномерной моделью. Пусть X —средний
свободный пробег. Число молекул, пересекающих
единичную площадь данной плоскости в заданном направлении
в единицу времени, равно ри/4, где р —плотность частиц,
а v —средняя скорость. Суммарная энергия, переносимая
частицами, равна
_L~ ir-«\ a m Р^ dE pvk dE dT
~Т^1ЕЩ—Ь{—Щ = -^- — = о тг •-:-.
q 2 dx 2 dT dx
249
n ,, pvk dE
По определению, теплопроводность равна л = -— • .
Вклад, обусловленный кинетической энергией частиц, равен
ЗриШ4. Так как X == 1 /ро и v = Y^kT/M , имеем
3k /~3kT
Вклад от вращательных состояний Кг = (M2)pvdEj/dT
пренебрежимо мал, так как Cj <С Скик, как было
показано выше. Заметим, что мы считали {Ю постоянным,
поскольку при равновесии не должно быть переноса вещества.
7.24. Так как необходимо вычислить отношения
одинаковых величин, то численные множители можно
опустить. Пусть изменение температуры на расстоянии длины
свободного пробега X равно dT. Тогда скорость передачи
энергии через единичную площадь в плоскости z = const
пропорциональна
по
(-*-£)-"*£(-£)•
где nv —поток молекул, пересекающих плоскость в любом
направлении; —А.—т разность средних энергий
молекул на расстоянии длины свободного пробега; -,—
теплопроводность газа К- Таким образом, К ~ nvkC, где
С —молярная удельная теплоемкость.
Средняя длина свободного пробега X = Una. Кроме
того, С = 3£/2 для одноатомного газа и v =
Окончательно имеем К ~ VT, т. е. не зависит от
давления и, следовательно, искомое отношение равно 1.
Коэффициент вязкости может быть получен из анализа
переноса поперечного импульса через единичную площадь
в плоскости г = const в единицу времени. В тех же обозна-
, dU
чениях эта величина пропорциональна —nvmk-j~, где
m —масса молекулы, U —поперечная скорость. По
определению, -т- и есть коэффициент вязкости ц. Таким
образом, как и в случае теплопроводности, r\ ~ Ут (не
зависит от давления) и искомое отношение равно 1.
Приведенный анализ показывает также, что для идеального газа
ц/К = const и не зависит ни от температуры, ни от давления.
250
7.25. Частицы подчиняются распределению
Максвелла — Больцмана. Число частиц, имеющих скорость в
интервале (v, v + dv), равно
Заметим, что J" n(v)dv = N. Средняя векторная скорость
(v,) = — N[ 1 e ч " dv.dbx
J vze dvz = y -
^x
2nm
7.26. Распределение атомов ртути по скоростям дается
кинетической теорией газов:
dN(v) = N(p(v)dv,
где
rv ' \2itkT )
— то»/2/гГ
N0—плотность атомов ртути и, как следует из уравнения
состояния для идеального газа, N0= P/kT. В момент
времени / число атомов, вылетающих со скоростью v в
телесный угол dQ под углом 0, равно
dn = (яа2 cos 6 )vtNop(x)v*dvdQ.
Однако из этого числа атомов dn' = (па2 cos 6) rN0X
X p{v)i?dvdQ атомов еще не дошли до пластины. Кроме того,
чтобы атомы за время / дошли до пластины, их скорость,
должна удовлетворять неравенству vt >r. Следовательно,
за время i полное число попавших на коллектор атомов в
телесном угле dQ равно
dn (/) = («a8 cos 6) N0dQ f o2P (v) (vt — r) dv.
С помощью ряда преобразований интеграл можно свести
к виду
W —
f (r, /) = Г v\ (v) (vt — г) dv = — е"
J 4я
vt л— 4га/та>42
J v \v^ v1-" — ')ии = ■
fit
251
-1-Е
4л
( vtn''> J
где v = 4n f v3p (v) do =» [ ) ' — средняя скорость,
E(x) = f e y dy— интеграл ошибок,
причем £(0) = 1. Заметим, что в пределе vt > г выражение
для /(г, /) сводится к виду (vt —г)/4л, что и следовало
ожидать. Наконец, телесный угол dfi связан с элементом
поверхности коллектора выражением dQ = da cos Q/r2.
Таким образом, масса, собранная за время t на единичной
площади коллектора, определяется выражением
dM _ т.тРФ cos« О
do ~~ h4T
8. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
'(-V0-
V cos Q /
8.1. На каждом перекрестке можно идти или на север,
или на восток. Следовательно, маршрут характеризуется
последовательностью (с, с, в, с, .... в), где с может
встречаться п раз , а в —т раз. Например, путь, показанный
на рисунке, характеризуется последовательностью (в, с,
с, с, в, в, с). Число различных вариантов составления
такой последовательности и, следовательно, число возможных
маршрутов равно (т + п)\1п\т\
8.2. Предположим, что излучение представляет собой
стоячие волны, заключенные в TV-мерный куб со стороной а.
Тогда векторы поля изменяются в пространстве
следующим образом:
N N
|~] sinftfrjtj = |~] sin
/=i
N
где V /г. = —, п, — целые числа. Представим себе TV-мер-
Md с2
1=1
ное пространство, в котором каждая гармоника
определяется точкой с координатамипи .... nv. Плотность точек
в этом пространстве равна единице. Число состояний с
252
частотой, заключенной в интервале (со, © + d©), без учета
направления равно интегралу по углу от
дифференциального элемента объема. Эта величина должна быть удвоена,
если учесть оба значения поляризации гармоник. Также
необходимо учесть, что гармоника, полученная заменой
л,, не является независимой от гармоники с /г,,
тельно, в число состояний включается лишь 1/2^
следовательно
часть сферической ячейки. Тогда
dV = 2-N+l ARN-ldR,
где А — константа, определенная в задаче 1.34, и
N 2 ■->
i—l
Тогда dV = 2Л (a/2-xcf ш" ' du>. Энергия
с Т с/ ч л/ 2AaNh "г «>N du>
Е = Е (ш) dV = \
i (2тгС)" J eft»/" _ ,
-**-^№У1&
ггпс)
Следовательно, К = N + 1.
8.3 Число состояний в единице объема в полосе частот
с шириной df при средней частоте / равно
2 —i— dp = —— df,
(2izhf с»
где р = £/с = hf/c. а множитель 2 возникает от учета
двух возможных поляризаций фотона. Для тех состояний,
для которых hf <^ kT (что достаточно хорошо
удовлетворяется для данного излучения при такой температуре),
средняя энергия определяется равенством Е — kT.
Следовательно, плотность энергии излучения с полосой частот
df при частоте, удовлетворяющей неравенству ft/ <^ kT,
равна
dU = ML kTdl.
с3
Мощность, излучаемая с единичной площади поверхности,
Равна dU(f)c/4 и, следовательно, полная излучаемая
мощность для df = I Мгц равна
253
dp = Ml kTdf — 4*tf2 = 18,5 • 108 в/п.
c3 4
8.4. Энергия, выраженная через оператор полного
спина системы S = (ffi -f- a2 + ^зУ2. определяется выражением
W = (4S2—9)Х/6;
з
для S = —, Е = X степень вырождения равна 4;
для S= —, Е—— X степень вырождения равна 4.
Тот факт, что в последнем случае степень вырождения
равна четырем, а не двум, обусловлен тем, что существует
два независимых способа образовать из трех частиц со
спином 1/2 состояние со спином 1/2.
Функция распределения имеет вид
Z=ye-£«/W=8ch-i-
*J kT
8.5. Уравнение состояния и все другие
термодинамические характеристики могут быть найдены из функции
распределения. Предположим, что частицы друг с другом
не взаимодействуют. Тогда
а-^л/ л, d3Pi • • • d3P/v .
Z=[<TE,kTdV1...dVN
h™
*)"-Ш(т)Г-
Функция распределения связана с термодинамическими
характеристиками выражениями
F = — kT In Z и dF = — PdV — SdT,
откуда
д In 1 NkT
dV V
Внутренняя энергия определяется выражением
U = dJ^L- = 3NkT.
d(l/kT)
Давление такое же, как и в случае обычного газа, но для
обычного газа энергия равна U0= 3NkT/2, т. е. в два
раза меньше.
254
8.6. Функция распределения
ZaLw+*£_'? е-*»*г рЧр\\
-е у = ] эв. Следовательно,
d\nZ NkT
P = kT
dV
[i+ h3eU/kT V
[ V (27zmkT)'/' J
Дальнейшие выкладки читатель может продолжить
самостоятельно.
8.7. Когда электрон покидает атом натрия и входит
в металл, выигрыш в энергии равен ф — W, где W
—работа выхода с поверхности металла. Тогда
„(Na+) =е(^)/^=1()2 (1)
n(Na) v
Аналогично для случая, когда электрон покидает металл
и «прилипает» к нейтральному атому хлора, образуя
отрицательно заряженный ион С1~, выигрыш в энергии равен
W—V, где V—электронное сродство хлора.
Следовательно,
im = е'"--'* = 1<Г«. (2,
я(С1)
Исключив W из равенств (1) и (2), получим
e(v-<e),kT = 10_4 или у _ ф e _ 92 kT
Подставив Г = 1073°К, найдем, что V = 4,25 эв.
8.8. При рассмотрении процессов, в которых число
частиц непостоянно, полезно вводить химический
потенциал ц, определяемый следующим образом: если в процес-
се. проходящем при постоянных температуре Т и объеме V,
число частиц увеличивается на dN, то приращение
свободной энергии равно dF = \idN. Для рассматриваемой в
задаче системы поверхность —газ
dF = dFr + dFn = prdNr + \>.ndNn.
Равновесие наступает при dF = 0. Однако dNT= —dN„,
и< следовательно, условие равновесия принимает вид
255
dF dF
Vt = hr ИЛИ -ттт- = .
F определяется из функции распределения, которую мы
сейчас вычислим
7 _ 1 Г С d3pd3r _wno»/aw ]'vr _ (V (2тшЖТ)/&<)''*] "r
г will *з
Л/_ 1 1.) ft3 Л/г •
Z '
w„i
9/fe7 С d2pdh -mv
J "*
?/2kT n _
_ [(2*Лт*Г/й')е+9/*Т"
Л/п1
Полная функция распределения Z =Zr Z„. Заметим, что
мы использовали «корректное больцмановское вычисление»,
чтобы избежать парадоксального результата (т. е. мы
считаем частицы неразличимыми). Свободная энергия равна
f - - кт ш z - - кт In, in \v l^—-)'1'] +
+ A'„l„(i^Le'"r)-ln(A-rl)-ln№!)}.
Воспользовавшись формулой Стирлинга для
аппроксимации In М и подставив цг= цп, получим
—— = (2r.mkT) e
г
Следовательно, число частиц, адсорбированных единицей
площади поверхности, равно
hP I \ VI. 9/и
п =
kT
( ' Г е*
Если бы мы подсчитывали состояния некорректно, то
условие равновесия не содержало бы Л',, или Nr; мы
получили бы результат, содержащий лишь заданные величины-
Очевидно, это неправильно; парадокс, на самом деле,
эквивалентен парадоксу Гиббса. Оба парадокса разрешаются,
если считать корректно. Читатель должен подумать,
почему удается обойтись без аналогичных парадоксов в
большинстве расчетов с использованием функции
распределения (вычисление давлений и т. д.).
256
8.9. Гамильтониан, характеризующий колебания в
контуре (рис. 96), имеет вид
2 \ dt ) 2С
е q —заряд иа конденсаторе. Легко видеть, что этот
гамильтониан описывает гармонические колебания с
частотой to = (LQ~~4*. Следовательно собственными значениями
энергии являются £„ = feoX
X (п + '/г), а средняя энер- °~
гия в контуре равна
S£e'£»/W СО М С=Г
_ fto) fto>
2 eft'°/ft7'_i Рис- 96
Но энергия £/ определяется выражением
2 Х 2 ' Х 2 '
Таким образом,
4 / 2С 2feT ч ' 2L 2ftT
В классическом пределе kT > £© и этн выражения
сводятся к следующим:
<V">e*LH (/8> = ^l.
В пределе при kT < foo получим
4 ' 2С Ч 2L
Величина (У2)1'» и есть среднеквадратичное напряжение
Шума.
8.10 Имеем следующие термодинамические
соотношения:
е "' =(1+2е ) .
F = — kT In Z = — NkT In (l + 2e~*/W")
257
dF „L, f, , п--./*г\ . 2Ne c-i'kT
S = --^ = yVfeln (l + 2e-i/*r) +
dT V ' т 7 ,+2e-£/*r
2Nee~t/kT 2№
u =
l+2e
для £ <£ kT. Тогда
дТ ЭйГ2 9 \ tr У
8.11. Функция распределения определяется выражением
— A*J (У+1)//г7 /IV-fftr
Z = 2i(2^+l)e =2e
U + —)е
X
J=0 ч '
где v42 = /j,2/2/, а / —момент инерции ротатора.
Воспользовавшись формулой Эйлера, получим
Z = 2е П ue du
В
(— + -)■
\ 2Л2 24 /
+ £-
/1»/4*Г / fer
= 2е
Интересующие нас термодинамические величины могут
быть вычислены по формулам
F = —kT\nZ, S=^-^ = -—,
Т дТ
аг аг
8.12. Из равенства ((£ — (£))2> = (£2 — 2£<£> + (£>2>
имеем ((£ — <£»2> = (£2> — (£)2. Но
S£ne-£«/ftr 1 52
s <rEnlkT г m
где Еп — энергетические состояния системы
Z=ye-C«/ftr и J--Л7\
258
Аналогично
S£ e "' i Л27
(£2> - п
S е-5"/*7, 2 60а
Таким образом,
Ы \ б<£>
(£8> - <£>2 = — f- —"| = —
4 ' ч ' до \ z т )
т
но
ао ar <эг v
Окончательно
<(£-<£))*> ^ЛГ2^.
Теперь рассмотрим макроскопическую систему со средней
энергией (£). Относительное отклонение энергии
системы от средней равно
Чтобы оценить эту величину, положим, что (Е) ~ NkT
(особенно при высоких температурах). Тогда CV = Nk
и мы имеем
L (яу J
что очень мало для систем макроскопического размера,
Для которых N « 1023.
8.13. Заданный ансамбль представляет собой модель
Изинга для ферромагнетизма. Так как имеется N спинов,
то, следовательно, имеется N — 1 взаимодействующих пар.
Из этого числа N^ и N^ —число пар с параллельными
и антипараллельными спинами. Поскольку
% + % = #-1,
70 энергия данной конфигурации равна
£п и = J [N^ - Nu) = J (2JVTt +\-N).
фУНкция распределения определяется выражением
259
(суммирование по всем состояниям). Имеется (N — 1)!
перестановок для N —1-й пары частиц, но из них лишь
(N — 1) 1/Nfj ! Ntf ! различны. Следовательно,
"-1 ,., .. -^tr1-1-"»
= 2 2
<*-»■ c- kT
_ 2еУ (w-i)/*7 "у (УУ-1)! c~2WTT/fer
Общий множитель 2 обусловлен тем, что изменение
направления всех спинов на обратное не меняет Nu или Л^, но
приводит к новой конфигурации. В приведенном выше
выражении сумма представляет собой разложение функции
Г -ai/ftr]"-1 .
11 + е ] . Функция распределения, следовательно,
имеет вид
z = а/<"-«>/" f] + е-^г-. = 2* ^ _^_р_
8.14. Энтропия связана с удельной теплоемкостью
соотношением
dT
так что изменение энтропии при изменении температуры
от Т = 0°К до Т > Т0 равно
AS= f -^Ц-= Смакс (I - 1п2).
I
Для того чтобы определить Смакс, необходимо вычислить
Л5 другим, независимым способом. Это можно сделать, если
воспользоваться формулой Больцмана для энтропии S =
= k In W, где W —число различных состояний системы-
Благодаря ферромагнитным свойствам при температуре
Т = 0°К все спины выстроены. Следовательно, WiGPK.)^
= 1. Однако мы видим, что при температуре выше То
система имеет максимальную энтропию, так как она более
не может поглощать тепло. Таким образом, все спины
оказываются не коррелированными и W(T > Т0) = 2Л, где
N —число спинов (для одного моля N —число Авогадро)*
260
Таким образом, Д5 = Nk In 2 = R In 2, что в сочетании
с предыдущим выражением для AS дает
Г _ Д'"2
Ч.8КС- j_,n2 •
8.15. Рассмотрим состояние, описываемое полным
набором квантовых чисел, с собственным значением энергии е.
Если состояние заселено р невзаимодействующими
частицами, то энергия равна ре. Поскольку, согласно статистике
Ферми —Дирака, лишь одна частица может иметь данный
набор квантовых чисел, что функция распределения для
этого состояния равна Zx= 1 + ег*1кт. Статистика Бозе —
Эйнштейна допускает в данном состоянии неограниченное
число частиц. Следовательно,
28 = 2
— пш/КГ 1
е = —
Парастатистика, позволяющая двум частицам находиться
в данном состоянии, имеет функцию распределения
Z3 = l+e-'/ftr +e-2"*r.
Энергия определяется выражением
d\nZ
U = (kTf
d(kT)
Подставив соответствующие функции распределения,
получим
[ 1 + e-/W + e-/ftr J '
Множители, заключенные в квадратные скобки,
представляют собой статистические множители. (Следует подчерк-
нУть, что до сих пор неизвестны примеры систем, подчи-
Няющихся парастатистике. Природа, по-видимому,
предпочитает два крайних случая).
8.16. Для простоты предположим, что продольная и
°£еРечная моды колебаний распространяются с одинако-
й скоростью с, и пренебрежем дисперсией (т. е. предполо-
261
жим, что с не зависит от частоты). Согласно теории Дебая,
для бозе-фононов,
hV °Ча,сс о>адш
£= *?<? J Лы/kT , ' (1>
Верхний предел интегрирования определяется из равенства
йсомакс — к®' где 0 —дебаевская температура. Если бы
фононы были фермионами, мы бы имели
hV "г3"0 msdw
При высоких температурах по сравнению с дебаевской
выражение (1) приводит к постоянной удельной теплоемкости,
в то время как выражение (2) дает теплоемкость,
стремящуюся к нулю. При низких температурах, сделав замену
х = %volkTt найдем, что в обоих случаях с — Т3.
8.17. Число частиц в единице объема в интервале
скоростей dv равно
... _ 2тл а\
где Еф —энергия Ферми.
Плотность тока электронов, покидающих катод и
попадающих на анод, равна
СО
со
Vxdvx
>[[(mvV2)-Es>\/kT)+l
где mu2/2 = Еф + Ф + eV —полная кинетическая энергия,
которой должен обладать электрон, чтобы достичь анода.
Здесь 0 —работа выхода, а V —тормозящий потенциал.
Предполагая, что е(ф+ У» kT, получаем
- * (т)
и
262
3 £Ф /*7 » -mv\/2k1
е vxe dvx x
CO
. 2e (-fj eE* 'kr 2* Ш-J ^^ =
— 4кет e
hs
Сравните этот результат с результатом, полученным в
предположении о справедливости статистики Больцмана;
обратите внимание на зависимость тока от температуры.
8.18. Энергия Ферми, определенная из выражения
Еф/с
о
равна
* \ З2*8дз ) *
где R —радиус звезды. Если плотность звезды достаточно
высокая, то энергия Ферми значительно превышает среднюю
тепловую энергию, и до энергии выше уровня Ферми
возбуждается лишь небольшое число электронов.
Следовательно, звезду можно считать вырожденным газом. Энергия
основного состояния и давление соответственно равны
о
р __ дЕ __ NE9
dV W
Но давление Р может быть получено из условия
гидростатического равновесия: если звезда расширяется, то
уменьшение гравитационной потенциальной энергии должно быть
равно работе, совершенной давлением. Следовательно,
4лЯ2р ^ GM2/R2 (по порядку величины). Здесь М
—гравитационная масса. Она отлична от нуля, поскольку пол-
Ная кинетическая энергия нейтрино равна Мс2 = U —
Ss ЗЛ/£ф/4. Чтобы имело место равновесие (т. е.
устойчивость звезды), оба выражения для давления должны быть
Равны, откуда получаем условие равновесия
2G3
ЗСЛ/£Ф GM .
= 1, или = 1.
4/?с4 tfc8
Проведенный анализ можно распространить на случай,
когда лептоны имеют массу покоя (теория Чандрасекара
для белых карликовых звезд). Можно показать, что в этом
случае для массы звезды имеется верхний предел.*
8.19. В случае а) равнодействующий магнитный момент
равен
М\ cos 6 ем»™«'\ (cos о)
<McosO)= J мн*»ы*ги1 м =
\ е d(cosO)
[ kT MH J ЪкТ
при MH<£kT. Следовательно,
Х~\дН )н=о ~ ЪкТ '
В случае б)
Ш\ - М(емн'*г-е-мн"'1) _ №Н
v"/ ~ МИ/кТ —МН/кТ ""
е + е
кТ
для слабых полей Н. Магнитная восприимчивость равна
X =М VkT.
8.20. Энергия частицы, магнитный момент которой
параллелен (антипараллелен) магнитному полю Н,
определяется выражением
2т
Поскольку энергетические уровни системы заселяются
в соответствии с функцией распределения
f W = eW-b/kT + , ■
а плотность уровней равна (4nV/A3)p8dp, то полное, число
* Chandrasekhar S. Introduction to the Study ol Stellar
Structure. University of Chicago Press. 1939. Chap. XI.
264
частиц и удельная намагниченность определяются
выражениями
N = -*¥-§p[f(U- + f(UJ]dp. (1)
4кУ
Л3
-£ ~^jfi\f(U--nuj]dp.
(2)
Из равенства (1) может быть найдено £ как функция N,
у, Я и затем S можно подставить в равенство (2), что
позволит определить M/V как функцию N, Т и Я. Введя новую
переменную интегрирования Е = р2/2т и
воспользовавшись приведенной в задаче формулой разложения
интеграла, справедливой при низких температурах, найдем, что
равенство (2) преобразуется в выражение
JH = В* (2^)7. | у. Г ^ /__^_у1 _
<^>"-[1+f(^
8 \е—ця,
которое после разложения по степеням Я и сохранения
лишь первого члена примет вид
+
+
/_М \ = Sit,!» (2/я»)''« ^,,и Г j _ _£_ / fe7-V
I У / Л3 [ 24 \ 6 J
4- члены порядка Я3.
При Я = О равенство (1) имеет вид
v ък> v ' I в V е У
Разрешая относительно £, получаем
"Ч'-ИтГ+4 .
где £0 —энергия Ферми при Т = 0° К и #*
= 3/i3n/16n(2m3)7». Тогда восприимчивость равна
м
+
X =
УН
2£о L 12 I €0 j J
8.21. Рассмотрим в одномерном случае уравнение сил
Для частицы
(1)
М
й2к
at
гДе р = 6л/?т] (закон Стокса), F(t)
сила, обусловленная
265
флуктуациями в столкновениях молекул. Уравнение (1)
можно переписать в виде
2 dP \ 2 ) dt w
При усреднении по большому числу капель (среднее по
ансамблю), это уравнение примет вид
2 dl xdt ' М \2МГ dt ' V '
где (xF({)) = 0, потому что х и F(t) некоррелированы,
а среднее значение F(t) равно нулю. Интегрируя уравнение
(2), получим
Пренебрегая нестационарным членом, получим решение
уравнения (3) в виде (г8) = 2kTi/6nRi\. Так как
вследствие симметрии (х?) — (у2) = (z2), то суммарное
среднеквадратичное смещение равно
<r«> = <*«> + <^> + <2»> = JIL.
Подставляя в это выражение Т = 300° К, / =» 10 сек,
г\ = 180-10"5 н-сек/мг и R — Ю~* см, получим
^8>'Л = 2,7 . 10-я см.
8.22. В целом плазма электрически нейтральна. Тем
не менее имеют место локальные отклонения в плотности.
Рассмотрим электрический потенциал <р(г) в окрестности
какого-либо иона. Энергия другого иона с зарядом е в этом
потенциале равна вф(л). Следовательно, плотность частиц
вблизи рассматриваемого иона равна
n(r) = nc-e*lr)'kT. (1)
Константа п должна быть равна средней плотности плазмы,
поскольку с ростом тепловой энергии kT влияние потен
циальной энергии на плотность будет падать. Каждый тип
ионов описывается уравнением (1) с подстановкой заряда еа
и плотности па (г). С другой стороны, из уравнения
Пуассона, связывающего потенциал с плотностью заряда
У2Ф (О = — 4гс 2 па еа, (2)
266
можно получить соотношение между потенциалом ф(г)
и плотностью па. В предположении, что плазма очень
горячая, уравнение (1) можно переписать в виде
Подставив па (г) в уравнение (2), получим уравнение Гельм-
гольца
2
a fc7
которое имеет решение <р (г) = е1оп .
Следовательно, эффекты электромагнитного
взаимодействия между ионами ограничиваются сферой с радиусом /г-1
(радиус Дебая — Хюкеля).
9. АТОМНАЯ ФИЗИКА
9.1. Энергетические уровни атома водорода даются
формулой
р 13,6 Эв _ 1 9
П2
Если электроны не взаимодействуют друг с другом,
энергетические уровни одноэлектронного возбуждения в атоме
гелия будут такими же, как и для атома водорода с зарядом
ядра Z = 2. Однако взаимодействия нарушают эту
аналогию. Наиболее сильное из них —это кулоновское
отталкивание е2/г12 между электронами. Качественно эффект
кулоновского отталкивания можно понять, вычислив
среднее значение величины е2/г12 между невозмущенными
волновыми функциями. Спиновые эффекты принимаются во
внимание лишь в той мере, в какой они касаются
статистики. Уровень (п = 2, / = 0) [один электрон находится
на уровне (п = 1, / = 0), а второй —на уровне (п — 2,
' = 0)J без учета кулоновского отталкивания имеет два
вырожденных спиновых состояния: S = 1 и S = 0. Куло-
Новское отталкивание снимает вырождение, приводя к
Энергетическим сдвигам (У + К), U —К), где
J = f "io(ri)«»(r8) — "io^i) «20 (/--г) rfr,rfr2,
J '12
2G7
Я= \ и10 (гг) «го (л2) — Uu^Uso^dr^rs.
Первый сдвиг соответствует синглетному
пространственно-симметричному состоянию S = 0, а второй —триплет-
ному пространственно-антисимметричному состоянию
S = 1. Так как К >0, триплетные уровни расположены
ниже синглетных. Физическая причина этого очевидна:
из-за кулоновского отталкивания большую энергию имеют
те состояния, в которых электроны с большей вероятностью
находятся близко друг от друга.
£,зд Е,э6
О--
-1,5 — П=3
-3,Ь П'1
-13,6 —'/?-; -#,.
Водород Парагелий Ортогелий
Рис. 97
Р-уровни расщепляются аналогично расщеплению
уровней с я = 3 и т. д. Кроме того, поскольку
электромагнитное взаимодействие коммутирует с полным спином
электронов, то радиационные переходы между синглетным и
триплетным уровнями абсолютно запрещены в отсутствие
спин-орбитальной связи. Таким образом, для атома гелия
имеются два независимых спектра. Схема энергетических
уровней для синглетного (парагелий) и триплетного
(ортогелий) состояний гелия приведена на рис. 97.
9.2. Атом углерода имеет шесть электронов. В
соответствии с принципом Паули основное состояние имеет
конфигурацию ls82s22pa. Два электрона в р-оболочке могут
комбинировать так, чтобы образовывать S = 0,1 и L =
= 0, 1, 2. Состояние с нулевым спином антисимметрично
•Р 'Л
П'З
—-n-z
л=7
268
по отношению к перестановке электронов, а состояние со
спином 1 симметрично; состояния с L = 0,2 —симметрич-
Hbl6i с L = 1 —антисимметричные. Допустимыми состоя-
ииями являются состояния 1D2 с L — 2, S = 0; 3P0i lt 2
с L = 1. S = 1 и ^о с L = S = 0. Низшие термы
определяются правилами Хунда: S и L должны быть
максимальными, a J —минимальным. Первые два правила
направлены на минимизацию кулоновского отталкивания
электронов, тогда как третье минимизирует энергию,
обусловленную спин-орбитальной связью. Последней мы пренебрегаем,
что равносильно пренебрежению разницей в энергии
состояний 3Р. В порядке возрастания энергии низшими
термами являются 3Р, Ю2, lS0.
Найдем теперь волновые функции. Сначала построим
орбитальную часть волновой функции. Рассмотрим
состояние D. Мы должны скомбинировать два (L = 1)-состояния,
чтобы получить L = 2. Следовательно, должно быть пять
волновых функций, по одной для каждого возможного
значения tnL = 0, ±1, ±2. В общем случае
\2,mL)= £ C(2,mL\ml,mi)0(\,ml)^(l,m2),
где коэффициенты С должны быть определены, 0 и ф —
одночастичные волновые функции. Некоторые из
коэффициентов могут быть легко получены. Действительно
волновая функция состояния с L = 2 должна быть
симметричной, так что
|2,2> = 0<1, 1Ж1.1),
12, -2) = 0(1. _ 1)4,(1,-1),
|2,1) =_L. [0(1,о)«^(1Л) + 0(1,1Ж1,О)ь
|2,-1) =_i_[0(1,0) ф(1,- 1)+0(1, 1)ф(I. 0)1.
Для того чтобы получить оставшееся состояние,
воздействуем на волновую функцию |2, 1) понижающим
оператором:
L \J,M+l) = VJ(J+l) — M(M+ l)\JM)
Тогда
|2,0)== 1/гт0(1,,ж,,~1) + 1/Ч~0(1,О)ф(1,О) +
269
+ T/"-g-0(i,-imu>.
Синглетная спиновая волновая функция, которая в
отсутствие LS-связи просто умножается на орбитальную часть
волновой функции, имеет вид
1 Н1Ж2)-«(2)Р(1)].
VT
Повторим выкладки для Р-состояний. В этом случае
мы должны сложить два момента, равных единице, чтобы
получить момент, равный единице. Это сделать просто
потому, что состояния должны быть антисимметричными,
Следовательно,
|1,1)=-!гг[0(1,О)ф(1,1)-0(1Л)ф(1,О)],
ут
11.0) = -Lr [0(1.1)^(1.-1)-0(1,-1)ф(1Л)],
ут
|1.-1>=-~[0(1,ож1,-1)-0(1,-1Ж1,О)].
Заметим, что состояния 0(1, 0) не использовались при
конструировании волновой функции |1, 0), потому что
невозможно использовать 0(1,0) ф (1,0) и в то же время
сохранить антисимметричный характер состояния.
Состояние |0, 0) должно быть симметричным и,
следовательно,
10,0) =00(1,1) Ф0.-1) + 60(1,0) <М1,О)-И0(1,-1)ф(1,1)
Кроме того, состояние |0, 0) должно быть ортогонально
состоянию |2, 0). Отсюда мы получим, что Ъ = —а.
Таким образом,
|0,0> =
= _JL_ [0(1,1)^(1, -1)_0(1,о)ф(1,о)+ 0(1, -1)Ф(1,1)]-
ут
Состояние |0, 0) в комбинации с (S = 0)-спиновым
состоянием образует состояние XS0. Три Р-состояния должны
быть скомбинированы соответствующим образом с тремя
трнплетными амплитудами
270
|l,l) = a(l)a(2),
|1.0) = —L-la(l)P(2) + «(2)P(l)].
|1,-1) = P(1)P(2),
чтобы получить правильные У-состояния. Это та же
проблема суммирования двух моментов, равных единице, чтобы
получить момент, равный 0,1, 2. Например, состояние 3Р2
с Мг= 2 описывается функцией |1, 1) |1, 1) и т. д.
9.3. Основное состояние атома азота имеет
конфигурацию ls22s22p3. Разные термы обусловлены тремя р-элект-
ронами, каждый из которых характеризуется квантовыми
числами / = 1 (т,= 0, ±1) и s = 1/2 (ms= ±1/2) и
может находиться в одном из следующих шести состояний,
характеризуемых квантовыми числами (mlt mv):
а = (1. 1/2), Ь = (1, —1/2), с = (0, 1/2),
d = (0, -1/2), е = (-1, 1/2), / = (-1, -1/2).
Определенное состояние получается как комбинация трех
из них с квантовыми числами (ML, Ms ) = (2 М;, 2 Ms).
Согласно принципу Паули, два состояния не должны
иметь одинаковых квантовых чисел. Поэтому
а + b + с =» (2, 1/2), а + Ь + d = (1, 1/2), а + с + е =
= (0, 3/2), в + Ь + е=(1, 1/2), a+d + e=(0, 1/2),
6+ с + е = (0, 1/2),
а + с + f = (0, 1/2).
Состояния с отрицательными значениями Ml или Ms
опущены, так как они не дают новую информацию.
Существование состояния (2, 1/2) и отсутствие состояний с большими
значениям ML или Ms указывает на терм 2D. С ним
связаны два состояния: (1, 1/2) и (0, 1/2). Второе состояние
(1, 1/2) указывает на присутствие 2Р-терма, который
связан со вторым состоянием (0, 1/2). Оставшиеся состояния
(0, 3/2), (0, 1/2) отождествляются с 45-термом. Из правила
Хунда следует, что
E(2P)>E(2D)>£(4S).
9.4. Каждый уровень, характеризующийся главным
квантовым числом п, имеет подуровни, определяемые
квантовыми числами /, принимающими значения от 0 до л —1.
Согласно принципу Паули, на каждом подуровне могут
находиться 2(2/ -Ь 1) электронов. Для построения
конфигурации перечисленных атомов этого достаточно.
Конфигурации имеют следующий вид:
271
Zr : 4s24p64d4; Hf : 5s25p65d*.
И тот и другой атомы имеют по четыре электрона в
незаполненной d-оболочке, и именно поэтому они имеют
одинаковые химические свойства.
9.5. а. Энергия фотонов с длиной волны 4 123 А,
выраженная в обратных сантиметрах, равна 24 300 см'1.
Поскольку фотон должен быть поглощен полностью, то атом
не возбуждается.
б. Энергия электронов (выраженная в обратных
сантиметрах) равна E/hc = 28 000 еж-1 (£ = 3,3 эв). Однако
электрон может передать лишь часть своей энергии на
возбуждение и, следовательно, будут иметь место переходы
3s ->• Зр и 3s-*- 4s. Энергия электронов недостаточна для
возбуждения более высоких уровней атома.
9.6. Электростатическая потенциальная энергия
точечного электрона и равномерно распределенного заряда
радиусом R равна
— при г>/?,
U = —eV{r) = — e х
т'т-(1--^-)приг</?-
Для того чтобы приближенно вычислить энергетический
сдвиг основного состояния, мы воспользуемся теорией
возмущений в первом порядке:
Д£ = <ф|5[/|ф)и W = U-Ulf
где иг—энергия взаимодействия электрона с точечным
ядерным зарядом;
W
0 при г>/?.
Следовательно,
тша ^ \ г Ч R* 2 R }
2е> R
\ е (2г -+ — 1 dr.
Так как R = 10"13 см <^ (1/2)- Ю-8 см = а, то можно
принять, что e_2/"/Q» 1. Следовательно,
272
aa\ 5 / о a \ a J
« — • (13,5 Эв) ■ (2- 10"5)2 » 4,4 • 10-» эв.
5
9.7. В сферических координатах заданный потенциал
имеет вид
V(r) = — — + г* [а 4- (р — a) cos2e],
где0 —полярный угол. Неравенства 0 < а < —0 <С е8/а0я
позволяет рассматривать гармонический член как малое
возмущение к невозмущениому гамильтониану атома
водорода. Невозмущенные волновые функции ип1т имеют вид
1 —г/а
uioo 7=: e '
У ко*
1 /_ г \ -г/Ъа
УШи-< \ а I
1 , -г/Ча
"21п= ■ • — е cos И,
]Л32
iaj"
а
1 г -г/2о ±19 . -
ы„ .. = — е е sin 6.
г1±1 ifzzz^s a
У64;
1Ш"
Возмущение не будет смешивать уровни с различными т,
поскольку V коммутирует с L,— — • —. В первом поряд-
ке теории возмущений
Л£100 = (2а + Р) а\ ДЕ^ = 14(2а+ Р) а2,
ДЕ210 = 6 (2а + Зр) а», Д£я,±, = 6 (4а + Р) а2.
Следовательно, уровни расщепляются, как показано на
Рис. 98. В случае, когда магнитное поле В направлено вдоль
°си г, оно приводит к расщеплению уровней с mt= 1 и
%mi~ —1. Этот сдвиг определяется добавлением члена
%= (еВ%/2тс)т, к приведенным выше энергиям уровней,
о случае, когда поле В параллельно оси х, энергия
магнитного взаимодействия определяется выражением £м =
153 (eB%l2mc)Lx. Так как матричные элементы Lx для
перекодов между состояниями с определенными тг отличны
273
от нуля, лишь если Дт = ±1, то это азаимодействие не
смешивает вырожденные уровни с /п,= ±1. Таким
образом, в этом случае нет линейного эффекта Зеемана.
1-U
h
1-
п
--о
-h
-t,
Рис
тг = ±1
тг"0
1=0.
. 98
я-г,
9.8. Если мы пренебрегаем всеми состояниями, кроме 2S
и 2Р, то полный гамильтониан атома в электрическом поле
имеет вид
/ 0 — аЕ\
где для удобства принято, что энергия 2Р-состояния равна
нулю и а — (2S \ez\ 2P, пгг = 0). Это выражение для а
следует из вида потенциала возмущающего
взаимодействия V = eEz. Другие матричные элементы V обращаются
в нуль или из соображений сохранения четности, или
потому, что сохраняется Jz. Как следствие уровни |2Р, тг =
= ±1) оказываются несмещенными. Диагонализуя
матрицу Н, можно найти, что уровни 2Р сдвинуты на величину
[Д—{Д2 4- 4а2Б2)'/«]/2, в то время как 25-уровни
сдвигаются на величину
[(Д2 + 4а2Е2)'/* — Д]/2.
Заметим, что для сильных полей (аЕ ^> Д) получается
линейный эффект Штарка (сдвиги пропорциональны Е)-
Однако в случае слабых полей (аЕ «С А) сдвиги
квадратичны по Е.
9.9. Энергия, обусловленная взаимодействием
орбитального момента количества движения с магнитным полем,
находится из принципа минимальности
электромагнитного взаимодействия, который приводит к правилу замены
р -*■ р —еА/с в гамильтониане. В первом порядке по полю
дополнительная энергия равна (е/тс)Ар. Но для
однородного поля можно принять, что А = [Brl/2. Тогда
274
д£ = ~L|Brl p = ~hB [rpl = £■Bm"
zmc zmc zmc
где осью квантования для Lz является направление В.
Электрические дипольные переходы подчиняются правилу
отбора Дт,= 0, ±1, согласно которому компоненты
нормального эффекта Зеемана сдвигаются на величину Д© =
__ eB/2mc = 8,8-109 сек'1. Этот сдвиг как раз и наблюдается
в данном случае. Приведенных выше аргументов
недостаточно для переходов, в которых существен спин. В этом
случае эффект Зеемана называется аномальным*.
9.10. Взаимодействие с магнитным полем, ответственное
за линейный эффект Зеемана, имеет вид Н = —цВ, где
н = 2{i0(S+—S~); S* и S" —соответственно операторы
спина для позитрона и электрона.
Спиновые волновые функции для невозмущенного
состояния имеют вид:
о(+)о<-)
»<+)P(-) + q(-)P(+)
триплет \ yY" '
Р(+)Р(-)
синглет / ■<+>*<-> —{-)»+>.
( VT
Энергетический сдвиг, обусловленный линейным эффектом
Зеемана, определяется выражением {ty\H\ ф), но оно
обращается в нуль для всех приведенных спиновых состояний,
потому что оператор S+ —S~ нечетен по отношению к
перестановке. Можно вычислить среднее значение Н и
непосредственно, используя выражения
S,a=a/2, S,p= — 0/2
(ось г выбрана вдоль поля В). Ясно, что и такое вычисление
также дает нуль для всех (ф|Я|ф).
911. Используя повышающие и понижающие операторы
^± = Sx ± iSy и L.J. = Lx ± \Ly, гамильтониан можно
представить в виде
Н - ]~ SZLZ + ъ (Lz + 2SZ) в] + -y (S+L_ + S_L+).
Аномальный эффект Зеемана наблюдается в слабых магнит-
■х Полях, когда существенно спин-орбитальное взаимодействие.—
11 Рим. ред.
275
Если В направлено вдоль оси г, то Jz коммутирует с Н
и может быть использовано для характеристики состояний
Собственные значения Jz будем обозначать mj . Для
случаев с mj = ±3/2 матричные элементы второго слагаемогс
обращаются в нуль, а первое слагаемое дает только
диагональные матричные элементы. Энергетические уровни для
этих двух случаев равны £±«/, = е/3±2цо£- Для
случаев с \mj | = V2 имеются два состояния
для каждого mj . Здесь Lz и Sz выбраны диагональными,
a j/i"—орбитальная волновая функция для Р-состояния.
Если взять в качестве базиса ($j), то матричные
элементы первого члена чисто диагональны, в то время как
последний член не имеет диагональных матричных
элементов. Недиагональные элементы даются выражением
<fc|ff|*i>-<ti|tf|to-
= -|-<«|S+IP>K--l-|i_K + -f->,
которое, если использовать матричные элементы
повышающих и понижающих операторов
(J, mj ± 11 J± | J, m,)=J/J (J + 1) — mj (m, ± 1) ,
сводится к
<*iiffi*i>=-j- j/2~(";-t) *
Мы вкратце поясним, как получается этот результат.
В базисе с диагональными J, Jz коммутационное
соотношение
[J±,JZ\~±J±
показывает, что J. (/_) связывает состояние |/,Л1)
только с состоянием \J, M + 1) (|J, M —1)). Все другие
матричные элементы /± обращаются в нуль. Значение
неисчезающего матричного элемента определяется с
помощью матричного элемента (JM\J2\ JM) и соотношений
276
[J.. J.) = 2JZ, P = J+J~ + JJ+ + J».
Таким образом, гамильтониан, который должен быть диа-
гонализован, имеет вид
Н =
Приводя к диагонализованному виду, находим, что
собственные значения энергии равны
<г= ^~ • О)
откуда получаем для слабого (цоВ <С е) и сильного полей:
Е^ (слабое) « — — + ^Bttij ± — I е + - 1.
E*j (сильное)« {10Б (m, ± -i-j.
Можно убедиться, что такие же выражения получаются
и при использовании теории возмущений. Подходящим
базисом в случае слабого поля является базис с
диагональными J8 и Jz, в то время как для случая сильного поля
предпочтительнее базис с диагональными Lz и Sz.
9.12. Рассмотрим влияние магнитного поля,
создаваемого электроном, на протон. Энергия взаимодействия равна
W== — lipJp(r)B(r)dr,
гдецр —полный магнитный момент протона; р(г)
—распределение плотности магнитного момента в протоне,
нормированное так, что jp(r)dr = 1. Функция распределения
р(г) должна быть сферически симметричной. Магнитное
поле, создаваемое электроном, обусловлено орбитальным
движением и собственным магнитным моментом электрона.
Первое из них представляет собой ток J ~ у*у$ — ^Vi**»
который обращается в нуль для s-состояния, поскольку ф
277
можно считать чисто действительной. Однако точечный
магнитный диполь создает вектор-потенциал
с В(г) = (vA(r)J. Таким образом, распределение плотности
магнитных диполей М (г') создает вектор-потенциал
AW —Г[М(От1^]*'.
который в случае электрона в состоянии ф(г') принимает
вид
А«—fwj-}*^*']—"•"•»
где
J I г — г I
Выражение для энергии примет вид
= V-p j Р (г) ItMTV — (P»V) V*Pl <*г-
Заметим, что, так как |ф(г')|2 сферически симметрично,
то и ф(г) сферически симметрично. Тогда, взяв р(г) также
сферически симметричным, проинтегрируем следующим
образом:
Следовательно,
Я = "у I*/, Ре \ Р (О VVr«
и, если воспользоваться соотношением у2Ф — —4л |ф(г)|а,
получим
w=-T№J,p(r)l<I'(r),8dr-
Но |ф (г)|2 слабо меняется по объему протона и,
следовательно,
278
(формула Ферми), где п —главное квантовое число, а
= jf/mez —боровский радиус и цр= 2,79 ц#,
= С
+ 1 для триплета,
1 3 для синтлета.
Разница в энергии синглетного и триплетного состояний
равна
где
a«eVftcw 1/137.
9.13. Взаимодействие спина электрона S = 1/2 (L =0)
с ядерным спином / = 1/2 влияет на основное состояние
атома водорода так, что оно смещается на величину
4AyLp[LeSpSe, тогда как A£(D) = 2AliDiie^o^e-
Следовательно, расщепление в атоме водорода равно Д£(Н) =
= 4i4(Ap(Ae, а в атоме дейтерия AE(D) = 3j4jjid |Jt^- Взяв
отношение этих величин и учтя значение сверхтонкого
расщепления для водорода, получим
A£(D) = 0,33 • 10е щ.
9.14. Полный момент количества движения электрона
J = 5/2. Если / —спин ядра, то мультиплетность равна
наименьшему из чисел 2J + 1 или 2/ + I, Но 2У -f 1 = 6,
а так как обнаружено лишь четыре компоненты, то
2/ + 1 = 4 и, следовательно, / = 3/2. Энергетический
сдвиг в сверхтонкой структуре обусловлен
взаимодействием магнитного момента ядра g магнитным полем,
создаваемым электроном. Следовательно, Д£ — 2IJ = F(F +1) —
— /(/ + 1) —J (J + 1), где F = I -f J принимает
целочисленные значения от 1 до 4. Отсюда находим
AE{F = 1) = 2 + С, A£(F = 2) = 6 + С,
A£(F = 3) = 12 + С, A£(F = 4) = 20 + С.
Разности между ними соответственно равны 4, 6 и 8.
Следовательно, интервалы в сверхтонком квадруплете
относятся как 2:3:4.
9.15. Гамильтониан электрона, находящегося во
внешнем магнитном поле и в кулоновском поле ядра, равен
279
H_ (р-еА/с)» с»
2т г
Выберем масштаб так, чтобы А = [Вг]/2, где В
—постоянное магнитное поле, и определим Н0 = р2/2*и —еУг,
тогда гамильтониан примет вид Н = Н0 + Ни где
И _ eLB , е* [Вг]и .
/7| —- — ———^ -4- - ........ ^
2тс втс8
L = [гр]. Рассматривая Нх как возмущение, найдем сдвиг
энергии основного состояния
A£-<1S|//,11S>- ea<1Sl8^8|1S> ,
где было использовано соотношение L| 1S>^=0.
Воспользовавшись равенством \\S)= {пс?)~Ч1е~г1а (где а—бо-
ровский радиус), получим
I2icmc!os J 4mc2
Диамагнитный момент определяется выражением
а (ДЕ) еаа" в
^ дВ 2/пс2
9.16. а. Доплеровское смещение в пределе малых
скоростей равно v'=v (1 ± р), откуда ДХ/ i = 2р. Среднее
значение р дается кинетической теорией:
Р2 = 3kT/nu*.
При комнатной температуре Р= 1,4-10**, следовательно,
ДХ = 0,7-10 "2А.
б. Из принципа неопределенности следует, что (Дсо)(Дт)«
« 1. Вследствие столкновений атомов в газе Дт = L/v,
где L = 1/4л;р/?2 —средний свободный пробег атомов.
Таким образом, ДЯМ2 = 2PRz$/kT. Доплеровское уширение
и уширение за счет столкновений становятся равными при
Р = kT/R2K.
9.17. Каждая из перечисленных в задаче молекул
состоит из одинаковых ядер. Молекулы, ядра которых имеют
целый (полуцелый) спин, подчиняются статистике Бозе
(Ферми), и поэтому полные ядерные волновые функции
должны быть симметричными (антисимметричными)
относительно перестановки ядер местами. Следовательно, про-
280
изведение вращательной и спиновой волновых функций
должно быть симметричным (антисимметричным).
Вибрационная часть волновой функции симметрична во всех
случаях, так как она является функцией лишь расстояния
между ядрами в молекуле.
Рассмотрим сначала случай с целым спином. Ядерные
состояния с полным ядерным спином N = 0, 2, 4, ...
симметричны и, следовательно, для того чтобы полная
волновая функция была симметричной, необходимо, чтобы
вращательный момент принимал одно из значений J = О, 2,
4, ... Аналогично состояния с N = 1, 3, 5, ...
антисимметричны и необходимо, чтобы J = 1, 3, 5, ... Из полного числа
(2/ + I)2 спиновых ядерных состояний (2/+ 1)(/ + 1)
состояний симметричны, а /(2/ + 1) антисимметричны.
Учитывая, что вращательное состояние с моментом J имеет
(2/ + 1)-кратное вырождение и интенсивность
пропорциональна степени вырождения (т. е. е-EjlkT «1),
получаем
Интенсивность (2/ -* 2/ — 2) _(/+!) (4/ + 1)
Интенсивность (2У — I —> 27—3) ~~ /(4/ — 1)
Аналогичные рассуждения в случае полуцелого спина
приводят к следующему соотношению:
Интенсивность (2/ — 1 -» 21 — 3) _ / (4/ + 1)
Интенсивность (2/ -+ 2/ — 2) ~ (/ + 1) (4/ — I)'
Для больших значений спина J, которые преобладают при
высоких температурах, эти отношения сводятся
соответственно к следующим: (/ + 1)// и //(/ + 1). Итак:
1Н2 : спин протона / = 1/2, отношение равно 1 : 3;
2Н2: спин дейтрона / = 1, отношение равно 2:1;
3Не2 : / = 1/2, отношение равно 1 : 3;
4Не2 : ядра являются а-частицами, 1 = 0.
В последнем случае нет антисимметричных волновых
функций и возможны лишь значения J = О, 2, 4. Следовательно,
каждая вторая линия в спектре отсутствует.
9.18. Введя вспомогательную функцию u(r) = rty(r),
можно написать уравнение
-^-^+[--.(f-i7)+
2h-uV J
281
где fi = М1Мг1{М1 + Мг) —приведенная масса.
Эффективный потенциал заключен в квадратные скобки. Он имеет
минимум при
Разлагая его вблизи минимума, получим
у (р) = - Mi + вг + v0(\ + В)-3(р-Ро)а.
Волновое уравнение тогда примет вид
-^ + ^[Е + V0(\ + Brl~V0(\ + B)-3(p-Po)V =0.
Оно имеет форму уравнения одномерного гармонического
осциллятора и, следовательно,
£+^(1 + В)-1 = Л1//"|^(1 + В)-3 (п + ~У
Для малых В имеем
ft»L(L+I)(« + -^)
3
2 ^а*ш0
где ш0 = у 2У0/\ш* .
9.19. Дальний инфракрасный спектр является
вращательным. Вращательные энергии определяются
выражением
Е h*J(J + \)
J 2mr*
где m = масса протона. Линии, следовательно, разделены
расстоянием ff/mr2 — 2nftcA(l/X), откуда после
подстановки соответствующих величин получим г— 1,4- Ю-8 см.
9.20. Энергию двухатомной молекулы можно
аппроксимировать выражением
£ = —А + Иы(п + 1/2) + BJ(J + 1) + ...
Опущены члены высшего порядка. Энергия диссоциации
представляет собой разность между энергией основного
состояния молекулы (л = 0, J = 0) и энергией системы
282
двух невзаимодействующих атомов. Таким образом,
энергия диссоциации равна Е' = + А —fco/2. Коэффициент А
зависит лишь от расстояния между ядрами в молекуле и
зарядов двух ядер. В адиабатическом приближении можно
пренебречь движением ядер. Массы ядер в этом случае не
играют роли. Поскольку ядра Н и D различаются только
массой, то в этом приближении Ин= ^d- Следовательно,
Частоты даются выражением ю =У^к/ц, где k
—константа, зависящая от распределения заряда; jx —приведенная
масса двух ядер. Таким образом,
ftu,H[l-o>D/oH) ^ /to.H [1 - 1/1/2") ^
2 2
Энергия нулевых колебаний молекулы Н2 тогда равна
Ашн = 0,27 эв.
9.21. Для того чтобы точно решить задачу, необходимо
использовать электронно-вычислительную машину*. Мы
ограничимся приблизительными оценками. Ядра в
двухатомной молекуле связаны друг с другом
электростатическими силами. Поэтому очевидно, что межнуклонное
расстояние в молекуле должно быть такого же порядка, что и
атомный радиус валентного электрона. Воспользовавшись
моделью Бора для оценки этой величины, получим
rjre — те/ти « 1/200.
Таким образом, размер мезомолекулы чрезвычайно мал
по сравнению с размером обычной молекулы. Аналогично
отношение орбитальных энергий (для одинаковых
квантовых чисел) равно
^- = ^-«200.
£орб е те
Вибрационные энергии молекулы можно описать
константой взаимодействия, величина которой, как легко
показать, приближенно равна k= eVr3. Следовательно, к$.1ке=
• Kolos W., Roothaan С. C.J., Sack R. A. Revs Mod. Phys.
32. 178 (1960).
283
= (r^/гц)3 = 8 • 10а и отношение энергий нулевых
колебаний E0JE0e = У kjke = 2,84 ■ 103. Таким образом, г^ =а
= 5 • 10"11 см и £0ц = 400 эв. Приведенные данные для
молекулы На позволяют представить энергетический спектр
в виде
и = -Ае + Еое@п+ 1) + ».
(опущены малые члены), где Ае = 2,84 эв, Е0е — 0,14 эв.
Так как величина А определяется энергией электрона на
орбите и включает в себя энергию электрона в поле двух
ядер, а также энергию кулоновского отталкивания двух
протонов, то А^1Аета 200. Таким образом, энергетический
спектр мезомолекулы дается выражением
^ = -Ai+£ou(2i+l).
где у4ц = 568 эв. Энергия связи, следовательно, равна
DM = i4u-£0M= 168 58.
10. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
10.1. Пусть Ах и А 2 —соответствующие постоянные
решеток. Тогда из простых геометрических соображений
следует, что
Di=^-A1 KD2=¥fA2.
Далее, в гранецентрированном кристалле на одну ячейку
приходится четыре молекулы, в то время как в объемноцент-
рированном кристалле —лишь две. Так как, по
предположению, изменение объема при переходе от одной структуры
к другой пренебрежимо мало, то объем, приходящийся на
одну молекулу, не изменяется и, следовательно, A\lA =
— А\!2. Поэтому
DXIDZ = 1/2/3 (2)v* = 1,029.
10.2. Пусть металлическому образцу сообщено
ускорение — а. В системе координат, связанной с образцом,
электроны испытывают ускорение в обратном направлении,
т. е. а, и, следовательно, эквивалентное электрическое поле
равно Е = тл/е. Это поле создает ток с плотностью J =
— masJe, который может быть измерен. Поскольку а из-
284
вестно из электрических измерений, то в таком опыте
можно определить величину elm.
10.3. Рассмотрим реакцию одного моля твердого лития
с половиной моля газообразного хлора, приводящую к
образованию хлорида лития. Реакция может быть разбита
на следующие стадии (цикл Борна —Хабера):
LiIB + £>->Linap;
Linap + WC+Li+-f Ne,
— С12 + —£->С1,
2 2 2
CI + Ne -*■ CI' + NF\ LP + CI" -+ L iClTB + A
Здесь N— число Авогадро. Просуммируем эти равенства:
LiIB + ±C\2 + D+NC + -i-£-^LiClIB + NF + А.
Кроме того,
LiTB + -^-Cl2->LiClTB + S.
Вычтя из первого второе, получим
NF = В — А + D + NC + EI2.
Суммирование можно проводить, если все величины
выражены в одинаковых единицах. Переведя калории в злект-
ронвольты, найдем, что F = 4,07 в.
10-4- Пусть ток течет по направлению оси у, а
магнитное поле направлено вдоль оси z. Тот факт, что в германии
не проявляется эффект Холла, означает, что ток в
направлении оси х равен нулю. Рассмотрим электрическое поле
вдоль оси у. Скорость электронов и дырок в направлении
оси у соответственно дается выражениями: ve= —реЕ
и "л — Цд£- Приложенное магнитное поле действует на
эти заряды с силой, направленной вдоль оси х и равной
Fe — — eveH и Fa = evKH.
Вследствие этого возникает поперечная составляющая
скорости
v'e = — V-eVeH = +v?HE и va = \>?НЕ,
и индуцируется ток, направленный вдоль оси х и равный
/' = епр'а — enev'e = еНЕ ( п^ — пе^е).
285
Очевидно, что этот ток равен нулю, когда
"л^д=Л^- (1)
Суммарный ток в направлении оси у равен / = е(цдяд +
+ iyte)£, а часть его, переносимая электронами, равна
/ = t*g"g =(\ + ^д"д Y"1
Воспользовавшись равенством (1), получим
10.5. Пусть обе фазы находятся в равновесии при
температуре Т. При равновесии химические потенциалы обеих
фаз должны быть равны, т. е. [л3 = pi (индекс 3 введен для
раствора). Предположим, что углерод неограниченно
растворяется в фазе 2 и вообще не растворяется в фазе 1.
Предположим также, что атомы углерода и железа химически
инертны по отношению друг к другу. Тогда цг можно
получить из функции Гиббса для фазы 1, но [л3 будет иметь
дополнительный член, обусловленный присутствием
углерода.
Для того чтобы вычислить этот избыточный член,
необходимо, во-первых, найти приращение энтропии,
обусловленное примесью углерода. Если N и п —полное число
атомов соответственно железа и углерода, то число способов
размещения атомов углерода в фазе 2 равно Р = -—-■ ■'■ .
п\ NX
Энтропия дается формулой Больцмана S = k In P »
&k[{N + n)ln(N + л) — Win N] для N>n. В
отсутствие примеси и при равновесии \iv = ц2. Но введение
примеси сдвигает равновесную температуру от Т до
Т + Д7\ изменяя химические потенциалы от ц до
[л + ДГ — I. Следовательно,
где ц' — химический потенциал, обусловленный примесью
\dN }3 dN N
286
Таким образом,
nkT
N
dS
dN
(1)
Кроме того,
_ _ф_ д_ / dG \ _
дТ ~ dN [ дТ}~
равно энтропии, приходящейся на одну молекулу. Если
умножить равенство (1) на число Авогадро, то получим
kT{S2— SO = —cRT, где S —молярная энтропия. Но
скрытая теплота определяется выражением L = T[SZ—SJ.
Следовательно, А Г = —cR'P/L, где с = nIN = 10~3.
Подставив числовые значения, найдем,что температура
перехода понизится на 11° С.
10.6. Энергия гармонического осциллятора
определяется выражением Еп = п%а>. Заметим, что мы пренебрегли
энергией нулевых колебаний, как несущественной, но
усложняющей рассмотрение. Вероятность заселения данного
уровня равна *
VI ~Еп/кТ VI -nhw/kT
Z ле 2л"
ле
<Я> - 1 -E-W =
*1кТ V t.-nhmlkT
2* "' 2
е
^ -nhm/ltl
;2.е
d(h<»/kT)£0 е-Л«./*г(,_е-А«./*г)-г
^ —nhw/kT (| е_hta/kr \~l
п=0
&hu>/kT _ j
Каждая молекула имеет три моды колебаний. Следовательно,
(£> = ЗЩш/(е^и - I).
При высоких температурах Е = 3NkT = 3nRT, где п —
число молей, a R —газовая постоянная. При низких
температурах
Е = ЗЛ^йше-^/*7.
Таким образом, при высоких температурах
1 дЕ
С = — • = 3R « 6 кал!(моль-град).
п дТ
287
При низких температурах
-3*(тг)'
Выражение для удельной теплоемкости при высоких
температурах согласуется с эмпирическим законом Дюлонга
и Пти; при низких температурах С -»- 0 в согласии с
экспериментом. Однако зависимость С от температуры при
малых Г, предсказываемая выведенным здесь выражением,
не согласуется с экспериментом. Более усложненный расчет
(модель Дебая) дает результат, лучше согласующийся с
экспериментом.
10.7. Энергия, связанная с колебаниями решетки,
определяется выражением
(nog (ca) йш
„-J.
еЬш/АГ_ j '
где g((n) —плотность состояний для фононов. При низких
температурах именно низкочастотная зависимость g(co)
определяет температурную зависимость энергии. Для
трехмерной решетки
а (ш) du> = = == ,
в (2к)э (2к)3 (2т:)3 с3
где с —скорость звука. Таким образом, £(ю) ~wa, откуда
следует, что энергия зависит от температуры как Т4, а
удельная теплоемкость пропорциональна Г3. Однако, если
твердое тело состоит из двумерных кристаллов (каким
является графит), то #(ю) ~ю, откуда следует
квадратичная зависимость удельной теплоемкости от температуры.
Таким образом, квадратичная зависимость теплоемкости
от температуры указывает, что углерод в этой фазе
представляет собой двумерный кристалл.
10.8. Проводимость определяется выражением
0 = е{пе\>.е + лд[1д), где пе и ре(пл и ^
соответственно плотность и подвижность электронов
(дырок). Но для чистого полупроводника пе— пК и
"•--И
p*dp
ехр((Д+р»/2ш#~-С)/*7,}+1
Вероятность рд {Е) того, что дырка будет заселять
состояние с энергией Е, равна вероятности того, что электрон не
288
займет это состояние, т. е.
Рл(£)=1-р,(£).
где Е — —р2/2/лд. Следовательно,
p2dp
П^1^[
ехр \(р*12тк + i)/kT) + I
В предыдущих выражениях А = 0,1 эв (энергетическая
щель), а (■—энергия Ферми. Если (Д—%)lkT > 1 и
\ > kT, что справедливо в данном случае, выражения
для пе и па сводятся к следующим:
n^~w\
_ р'/2тд+с
^е *г dp.
Равенство пе = пд означает, что
2 UJ
Тогда плотность электронов проводимости равна
п, = ИГ,/'е-А/2М\
где /1 —постоянная, не зависящая от температуры.
Окончательно, зависимость проводимости от температуры
определяется выражением а = а0Та/' е~&/2кТ и, следовательно,
°(Га) = [^у/* ел(7«-г.)/2*г,г.
о (Г,
Выразив Д через соответствующую температуру, найдем,
что Ык = 1160° К. Окончательно
^^- = 6,5.
'(7*1)
10.9. В вакууме скорость электронов определяется
выражением то„2 = 25 эв, в то время как в кристалле она
возрастает согласно выражению mv% / 2 = 25 + ф- Таким
образом, величина У (25+ q>)/25 представляет собой
показатель преломления для электронов. Пройдя через
кристалл, электроны отклоняются согласно закону
289
Снеллиуса т. е.
sin 6j = ]/
и 6Х = 26 (рис. 99).
25
25 + ?
sin 60°,
4
Рнс. 99
Дифракция от группы плоскостей кристаллической
решетки с миллеровскими индексами (Л, k, l) описывается
уравнением Лауэ:
X2
sin2 6 = —— (ft2 + Л2 + /2) =
4а2
4а2
(а —постоянная решетки). Однако длина волны, входящая
в это уравнение, не равна длине волны электронов в
вакууме, а определяется выражением
V*o = Рс/Рк = К25/(25 + ф).
Подставляя в уравнение Лауэ численные значения
величин, получаем sin2G = 1,5 А/(25 + ф). Но
cos6, = 1—2sin26 = I—ЗЛ/(25 + Ф),
12Л»
25 + ф =
8Л —25
Так как ф положительно, то А >3. Далее, из условия
12А2 — 25(8/1 —25) >0, или (6А — 25)(2Л —25) >0,
получаем А < 25/6 или А > 12,5. Таким образом,
наименьший круг соответствует отражению от плоскости (200).
290
Соответствующая глубина потенциальной ямы равна <р =
= (17/7) эв. Тот факт, что не имеет места отражение от
плоскости (100) (если бы оно имело место, оно должно бы
быть при меньших углах), можно объяснить, если кристалл
имеет гранецентрированную кубическую структуру, так как
в этом случае максимальное расстояние между соседними
плоскостями равно половине постоянной решетки.
10.10. Из закона сохранения энергии следует, что de =
= eEdx. Следовательно,
е(0-б(0) = еЕ(х-х0).
Но е (0) = s (k0) и е (/) = е (k (/)). Кроме того, можно
написать, что ftk = еЕ, откуда k = eEtlh + k0. Таким образом,
° (к0 + -^-) - е (к0) = еЕ (х - х0).
Заметим, что функциональная зависимость е от к не
обязательно должна быть такой, как для свободной частицы; она
зависит от зонной структуры. Типичная дисперсионная
кривая показана на рис.
100. Рассмотрим
электрон, который в момент
( — 0 находится в
центре зоны Бриллюэна, т. е.
^о=0. С ростом t
увеличиваются кие;
следовательно. Ах = х —х0
возрастает, причем Дх
становится
максимальной, когда электрон
достигает границы зоны
Бриллюэна, т. е. к=кв .
Тогда электрон
претерпевает брэгговское
отражение и его импульс равен к = —кБ. При дальнейшем
увеличении к г и Дх уменьшаются. Таким образом,
амплитуда колебаний равна Дд; = е(^б )/е£, а период
определяется выражением
еЕ*
= 2kr
т. е.
т =
2khh
~7Ё~
Для оценки по порядку величины можно положить
е(/гБ) ~ %г/та2, где kB = л/а; а « 10~8 см —постоянная
291
решетки; т —масса электрона. Подставив значения,
получим е(ЛБ) ~ 10"" эрг «бае. Если размерность £
вольт на сантиметр, то
6 4
Дх « —см, х ж — • 10~7 сек.
Е Е
Такое решение справедливо лишь при условии, что длина
кристалла значительно больше Д*. Для кристалла длиной
6 см это означает, что Е > 1 в/см.
10.11. а. Пусть один из аннигиляционных фотонов
излучается под углом 6 по отношению к направлению скорости
электрона, претерпевшего аннигиляцию с покоящимся
позитроном (рис. 101). Если
/ бы скорость v электрона
pj была равна нулю, то изза-
Г\ . кона сохранения импульса
^у у следовало бы, что два из-
» Г) ——J лучаемых фотона должны
й й быть антипараллельны и
каждый из фотонов должен
иметь импульс р = тс.
В случае v =f= 0 имеется пер-
рис. id пендикулярный к
направлению вылета первого
фотона импульс Др =mvs'm 6,
который должен уноситься другим фотоном. Таким образом,
в первом порядке по vie фотоны не будут
антипараллельными и угол отклонения равен
й Др v . л
8 = —— = — sin 8.
Р с
Оценим среднее значение vie. Связанный в атоме электрон
имеет среднюю кинетическую энергию («1^/2), равную
энергии связи Zaaamc2/2n2, где а = eVfe « 1/137, п —
главное квантовое число. Возьмем Z = 1, так как мы
предполагаем, что в аннигиляции доминируют электроны
внешней оболочки. Тогда бмакс = v^c ^ oJn « 1/137.
Другой подход состоит в вычислении скорости Ферми 1»ф
как функции плотности электронов проводимости с
дальнейшим использованием выражения бмакс ^ tWc- Так как
эта величина понадобится при получении функции
распределения, вычислим ее здесь. Для газа свободных электро-
У
292
нов при температуре Т = 0° К плотность электронов дается
выражением
о о
"~ з l"5S"y '
откуда
2r.ft I Зи V/.
"•=—Ur) •
Для оценки Уф мы выберем п = \/аа, где a = ff/tne* —
боровский радиус. Тогда уФ/с = (Gn*)V*a « a = 1/137.
б. Получим теперь функцию распределения Щб).
Скорость переходов в металле равна
Г = б X поток х плотность фазового объема.
Произведение о х поток не зависит от скорости и,
следовательно, Г зависит только от фазового объема.
Поскольку вероятность
данного углового
разлета зависит лишь
от вероятности того,
что электрон имеет
соответствующую
скорость в направлении
биссектрисы угла
между импульсами
фотонов, то
направление Др
представляется весьма удобным
для выбора оси г.
Тогда Щб) зависит лишь
от распределения
вероятностей р(уг).
Можно записать са = i»i + х?г, где v± — компонента
скорости в плоскости, перпендикулярной к vz. Заметим,
здесь мы неявно предполагаем, что все измерения
проводятся в одной плоскости. На рис. 102 показано расположение
счетчиков Су и С2. Это действительно необходимо для
точных измерений, поскольку 6 мало.
Множитель, представляющий фазовый объем, равен
Р ( v± ,о,) dvx йьг = v± p ( vx , ф, va) dvx dtp dv„
293
где р = 0 вне поверхности Ферми. Поскольку угловая
корреляция зависит лишь от vz, вычислим
Р (Чг) do, = dvz j* vx p (vх , ф, va) dvx dip.
При Т = 0° К р = const внутри поверхности Ферми.
Следовательно, р(уг) пропорционально площади сечения
поверхности Ферми, перпендикулярного к направлению vz.
Таким образом, угловая корреляция, определяющая р(уг),
дает информацию о поверхности Ферми. Для изотропного
металла
Сф
РЮ = A j vx dvx = A j vdv = ^-[v%- vl).
\
Следовательно,
IF(fi) = const X (уф-са8*), 8<^-.
Так как при температуре, отличной от нуля, фермиевское
распределение имеет вид
P(V) = ыр[т{*-г?ф)/2кТ] + 1 •
то, очевидно, имеется слабая зависимость угловой
корреляции от температуры. При обычных температурах
распределение р(у) отличается заметно от предыдущего лишь для
скоростей у «Уф. Следовательно, поведение W{b) как
функции температуры можно представить в виде двух
графиков, показанных на рис. 103. В действительности
доминирующим фактором температурной зависимости 1^(6)
является тепловое движение позитронов.
Т*0'К
уф/с &
294
10.12. Рассмотрим длинноволновые плазменные
колебания решетки. Движение отдельного иона удовлетворяет
уравнению, Mv = ZeE, которое можно переписать в виде
d\ Z*e* A/E ...
Л ~ М ' {Ч
где j = ZeNv —плотность тока ионов. Кроме того,
движение ионов должно удовлетворять уравнению сохранения
заряда
Vl + P = 0. (2)
Комбинируя уравнения (1) и (2), получим
±JJLVE + P = 0. (3)
Далее необходимо учесть влияние эффекта экранирования
электронов на диэлектрическую постоянную. Для плоской
волны
Е = Е(к, ю)е/(кж—°
и плотности зарядов в решетке
р = р (ft, ш) е
имеем vE = 4яр/е(й, ©). Подставим полученный результат
в уравнение (3):
ш2 = , где Уя = .
ч(к, ш) А1
Для тяжелого иона следует ожидать, что электроны будут
следовать за движением иона адиабатически и,
следовательно,
ша« .
«(*. 0)
Скорость звука определяется выражением va =lim -£-.
Таким образом,
Уз = lim
** о кч (к, 0)
Теперь необходимо вычислить диэлектрическую
постоянную e(ft, 0). Пусть в электронном газе имеется посторонний
статический заряд с плотностью р0(х) = Рое'к*. Тогда
результирующая плотность заряда равна ро/е, а индуциро-
295
ванная плотность заряда электронов выразится в виде
Ре~ РоО —еУе- Электростатический потенциал,
удовлетворяющий уравнению vaV = —4лро/е, определяется
выражением
V = 4кр* . (4)
к2 (1-е) W
Для того чтобы найти е, необходимо еще одно соотношение
между V и ре. Такое соотношение получается с помощью
метода Ферми —Томаса, в котором плотность электронов
определяется выражением
,. 1 г dp
" W ~~ (2тг h)° ' J exP l(P*/2m ~ eV M ~ еф)/ kT\ + l-
В предельном случае вырожденного газа, когда £ф^> кТ,
получим
п(х)~[Еф+еУ(х)]*<>, (5)
в то время как для классического предела,
соответствующего горячей плазме,
n(x)~eeVM/k7. (6)
Выражение (6) неприменимо к электронам в металле,
которые ведут себя подобно вырожденному газу; этот случай
обсуждался в задаче 22 разд. 8 в связи с радиусом Дебая —
Хюкеля. Из выражений (5) в первом порядке по V имеем
Р, (X) = - еЬп (х) = - ЪеЩх) п/2Еф.
Подставляя это выражение в уравнение (4), получим
е<к, 0) — 1 + 6*е2л / £ф ».
Окончательно скорость звука равна
/ Ч1Еф у/2 / Zm у/2
■■""ГалЛ вМ"а/й/
(здесь использовано равенство п — ZN). Так как т/М <^ 1,
то скорость звука всегда значительно меньше скорости
Ферми.
11. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
11.1. Излучение Вавилова —Черенкова имеет место,
когда скорость частицы превышает фазовую скорость света
в данном веществе с/п, где п —показатель преломления.
296
Следовательно, для того чтобы лишь мюоны давали
излучение Вавилова —Черенкова, необходимо, чтобы clvK>
у*п >с/уи. Скорости пионов и мюонов определяются
выражением рс(р2 + mV)~1/2 и соответственно равны
с с
——- и .
VI II + (Ю6/140)*11/2
Следовательно, показатель преломления должен
удовлетворять неравенствам
1,414^2>„>[1 + (-^)*]"! = .,26.
11.2. Согласно принципу неопределенности
Ьх Ар « h.
Когда мезон излучается одним нуклоном и поглощается
другим, его координата в таком переходе остается
неопределенной с погрешностью, равной расстоянию между
взаимодействующими нуклонами, т. е. радиусу действия ядерных
сил. Таким образом, для оценки по порядку величины
можно написать
Ах « г и Ар « тс,
где г —радиус действия ядерных сил. Следовательно,
г « Уте.
11.3. Пусть N —число протонов в 1 см3. Тогда
вероятность, что антипротон упруго рассеется в первый раз в
интервале dxlt а второй раз —в интервале dx2, равна
dP = е~х" let dxx е-*'*-*» lel dx2e-4t-Xt),
где К = l/No, Kel = UNoe„ О < хг < /, *, < х2 < /.
Интегрируя по хх и хг получаем
Pa(/)=>J/e-x72.
В общем случае вероятность «-кратного упругого
рассеяния равна Рп(1) = Х", e-x'/nl, а вероятность, что анти-
протон не поглотится на длине /, равна VPn(/) =
«1=0
11.4. Так как С = Ле~х', то К = 1п {Сг/Сг)/{(г—/,).
Если на измерение скорости счета совпадений С^Сг) вы-
297
делено время Тх{Тг), то суммарное число отсчетов будет
равно #!= C^T^Nz = С2Т2) и, следовательно,
среднеквадратичное отклонение Л\(/У2) равно ог* = Л\(о2а — N2).
Далее, поскольку погрешность в значении функции
/(*» y)i обусловленная погрешностями в значениях
аргументов х и у, определяется выражением
(8/)2==(l7)8(fi;c)2 + ("|")a(8y)a'
то
\CJ \ T,N2 )
И
Это выражение необходимо минимизировать при условии,
что Tj + Т% = const. Следовательно, Тг/Т2 = (CyCO"8.
Из этого выражения видно, что большее время необходимо
потратить на измерение малой скорости счета. Если
суммарное время измерений равно Т, то погрешность равна
с* (d/Ca) ^ 1 / 1 1 у
(d/c,)* т [ус; ycj
и
/с, + VCi
!W=-^r
-г
■<l) J
/С1! КС, Св-
Но Cj ~ е-х'* и С2 ~ е-*1*, следовательно, os (X) будет
минимальным для ti =0. Тогда о2(Х) имеет минимум при t2,
удовлетворяющем уравнению
/iiJL_l\e^=l.
Решение этого уравнения дает Ki2/2 = 1,28 или t2 = 2.56Д.
11.5. Основное состояние 160 имеет нулевой спин, спин
нейтрона равен 1/2. Следовательно, нейтрон с орбитальным
моментом / = 2 вносит полный момент количества
движения J = 3/2 или 5/2. Спин основного состояния ядра 170
должен быть равен одному из этих двух значений. Первое
возбужденное состояние формируется s-нейтронами,
полный момент которых равен / = 1/2. Таким образом, спин
первого возбужденного состояния "О равен 1/2.
298
Нуклоны имеют положительную четность. Такая же
четность и основного состояния кислорода. Четность
начального состояния (свободный нейтрон +160),
следовательно, определяется четностью угловой части нейтронной
волновой функции Ylm(—cose) = (—1)'K/m (cose),
поэтому оба состояния четные. Поскольку сильные и
электромагнитные взаимодействия сохраняют четность, то
четными будут и основное, и первое возбужденное состояния
ядра "О.
11.6. Изотопический спин пионов равен / = 1. Два
пиона могут находиться в состояниях с изоспином / = 0,1
или 2. Поэтому ни один из трех приведенных в задаче
распадов не запрещен законом сохранения изоспина.
Так как пионы подчиняются статистике Бозе, полная
волновая функция двух пионов должна быть симметричной
относительно перестановки пионов. Состояние с / = 0
симметрично относительно перестановки и, следовательно,
пространственная часть волновой функции системы пионов
должна быть также симметричной. (Спиновой волновой
функции в данном случае нет, поскольку пионы являются
бесспиновыми частицами.) Отсюда следует, что допустимы
состояния с L = 0, 2, 4, ...
Четность этих состояний равна (—l)L, поскольку все
пионы имеют одну и ту же внутреннюю четность. Поэтому
двухпионный распад возможен для частиц с квантовыми
числами J = 0+, 2+ и т. д. Таким образом, распад на два
пиона разрешен лишь для /°-мезона. Если отказаться от
предположения о сохранении в распаде изоспина, то распад
(о°->я 4- я также будет допустим. Такой распад может
происходить через электромагнитное взаимодействие,
которое не сохраняет изоспин. Распад же г\ -> я -f л
запрещен законами сохранения четности и момента
количества движения.
11.7. Если описать начальное состояние со спином 1/2
спинором ф — (в)» то наиболее общее выражение для
вероятности (просуммированной по проекциям спина
частиц В и С в конечном состоянии) того, что данная частица
Л
испускается в направлении п, имеет вид
Р (п) = «{Л М (п) ф,
где М —эрмитова 2 х 2-матрица, так как вероятность
должна быть действительной. Поскольку любая 2' х 2-матрица
299
может быть разложена на единичную матрицу и о-матрицы,
Л
то матрица М должна иметь вид /VI = А + Вап(А и В—
л
действительные константы, не зависящие от п), чтобы
обеспечить инвариантность по отношению к вращению. Если бы
начальное состояние было поляризовано вдоль оси г, то
л
Р (п) = А + В cos 9. Однако поскольку распад
происходит благодаря электромагнитному или сильному
взаимодействиям, то четность должна сохраняться и, следовательно,
л
Р (п) должна быть четной. Таким образом В = 0, так как
Л Л Л Л
<|>+егпф является нечетной (п->—п, а ег->ег, так, что егп->-
л
->• — on) и, следовательно, распад изотропен. В распаде за
счет слабого взаимодействия, которое не сохраняет четность,
коэффициент В не обращается в нуль, и в распаде будет
наблюдаться асимметрия. Типичным примером является
слабый распад Л -»- р + я-.
11.8. Относительная четность системы if d равна
Р (Я- ф = (— 1)р* (— 1) *" (— 1)'. Однако / = 0, поскольку
захватываются остановившиеся if -мезоны. Кроме того,
известно, что четность дейтрона положительна.
Следовательно, P(if d) = P(if). Полный момент количества
движения в начальном состоянии равен J (it" d) =SK -f Sd + 1,
откуда J (if d) = 1.
Так как в реакции момент количества движения
сохраняется, то J(nn) — 1. Результирующий спин S двух
нейтронов может быть равен 0 или 1 и при сложении с
относительным орбитальным моментом должен привести к
состоянию с / = 1. Таким образом, возможны лишь состояния
'Si, Vi. Vi и *DV
Поскольку нейтроны являются фермионами, два нейтрона
должны находиться в состоянии, антисимметричном по
отношению к перестановке. Спиновые состояния S = О
и S = 1 соответственно антисимметричны и симметричны
по отношению к обмену. Аналогично S и D —симметричные
состояния, а Р —антисимметричные. Следовательно, из
приведенных возможных состояний, по соображениям
статистики, остается лишь состояние aPv Четность этого
конечного состояния равна —1, так как произведение
внутренних четностей двух тождественных частиц является
четным.
300
Таким образом, четность единственно возможного
конечного состояния 3PU отрицательна, и поскольку в этой
реакции четность сохраняется (как и во всех других
процессах, обусловленных сильным взаимодействием),
приходим к выводу, что четность пиона отрицательна.
11.9. Изоспин Л-частицы равен 0, в то время как
состояния ря~ и пя° являются линейными комбинациями
состояний с определенным спином, т. е. эти состояния сами
по себе не являются собственными состояниями
оператора I2. Изоспин нуклонов равен 1/2, тогда как изотопический
спин пионов равен 1. Система пион —нуклон,
следовательно, может иметь такие значения изотопического спина,
которые даются правилами сложения изотопического спина
(или момента количества движения) для комбинации
значений / = 1 с / = 1/2, т. е.
1ф_!_ = _!_ф_1.
^ 2 2Ш 2
Вследствие правила Д/ — 1/2, Л-частица может
распасться только в состояние с /= 1/2. Состояния пион —
нуклон можно разложить, следующим образом:
|_L, —lT) = a\P*-)+b\n*°),
|-i-. — -L> = fe|pir-> — a|n*°),
где а и Ь —амплитуды состояний ря" и пя° в комбинации
с / = 3/2. Коэффициенты в разложении состояния / =
= 1/2 выбраны так, чтобы состояния с / — 1/2 и / = 3/2
были взаимно ортогональны. Условием нормировки
является a2 -f Ь2 = 1. Тогда отношение скоростей распада равно
. _ скорость распада (А -» ргс~) \Ь 1а
~~ скорость распада (Л -* пп°) \ а |а
Коэффициенты а и Ь не зависят от детальных свойств
элементарных частиц, а зависят лишь от свойств
изотопического спина. Мы учтем это обстоятельство, введя следующие
обозначения:
И°Нт- --Н,,0)-
301
В этих обозначениях
.-•{->-.
)!,-!) +
+ Ь
-■Г>1.о>.
Коэффициенты, зависящие только от трансформационных
свойств изотопического спина, не могут зависеть от того,
являются ли базисные состояния «элементарными» или
сложными. Например, коэффициенты не могут зависеть
от того, запишем ли мы состояние в виде [1,—1) или
в виде 11/2, —1/2) | 1/2, —1/2). Следовательно, каждое
из состояний с / = 1 можно записать в виде
соответствующей линейной комбинации состояний с / = 1/2:
1
"Г>
1.
I
2
1
т
--L) = p(2)P(3),
+
-т>
1
~2~
J_
2
> +
V2
При такой записи имеем
3
~2
[а(2)Р(3)+Р(2)а(3)Ь
-4-> = aa(l)P(2)P(3)+_L
2 yj
Р(1)х
Х[а(2)Р(3) + Р(2)а(3)1,
где индексы 1, 2 и 3 обозначают состояния. Здесь
необходимо вспомнить результат решения задачи 6.5, по которому
если п частиц со спином 1/2 комбинируют так, чтобы
суммарный спин системы оказался равным п/2, то все In -f l
состояния системы являются симметричными по отношению
к перестановке любой из частиц со спином 1/2.
Аналогичный результат имеет место при сложении состояний с
изотопическим спином 1/2.
Приведенное выражение для состояния |3/2,—1/2)
уже симметрично по отношению к перестановке частиц
(2, 3). Чтобы оно было симметричным и по отношению к
302
перестановке (1,2) или (1, 3), необходимо выполнение
условия а = bY% откуда А = ЬУа2 = 2. Переходы я~р->
-+ /С°Л, я°п -> АГ°Л происходят благодаря сильным
взаимодействиям и, следовательно, изотопический спин должен
сохраняться. Так как системы я"р и я°« могут иметь
изотопический спин / = 1/2 или / = 3/2, то изотопический спин
/С°-мезона должен быть равным / = 1/2 или 3/2. В первом
случае отношение сечений реакций будет равно
в а (f р -* К° Л) _2
а (it°n -+К°А)
в то время как во втором случае В = 1/2.
11.10. Из вида потенциала V(r) следует ожидать, что
для малых возбуждений уровни V(r) приближенно
совпадают с уровнями трехмерного гармонического осциллятора.
Энергетические уровни трехмерного гармонического
осциллятора определяются выражением
Е = hw (т1 + т2 + Щ Н ) •
Основное состояние, соответствующее тх — тг = та=0,
сферически симметрично и, следовательно, имеет
орбитальный момент количества движения, равный L = 0. Первое
возбужденное состояние, соответствующее mx -f- m2 +
-{- щ3 = 1, трехкратно вырождено в силу (2L + 1)-крат-
ного вырождения состояния с L = 1. Также видно, что
спин-орбитальная связь понижает энергию состояний с
параллельными S и L. Следовательно, состояние Pt!t
расположено ниже состояния Р./,. Таким образом, схема
нескольких первых уровней следующая:
Уровни
^1/2
''з/г
Sl/2
Вырождение
2
4
2
Четность
— 1
—1
+ 1
Согласно данной модели протоны и нейтроны заполняют
эти уровни независимо друг от друга.
303
а. Два нейтрона полностью заполнили уровень Si/„
причем Уп— 0- Протон в состоянии S<u имеет Jp= 1/2,
и, следовательно, полный спин и четность ?Н равны
Jp = 1/2+.
б- Состояние S./, полностью заполнено протонами и
нейтронами. В состоянии Р*/ш находятся один протон и два
нейтрона. Так как волновая функция нейтрона должна быть
антисимметричной, то единственно возможными
значениями Jn являются 2 или 0. Момент количества движения
протонов равен Jp — 3/2, и, следовательно, полный спин и
четность ядра 3L1 могут принимать значения Jp= 7/2",
5/2", 3/2", 1/2". Если, кроме того, воспользоваться тем
обстоятельством, что нейтроны, находящиеся в одном и
том же состоянии, спариваются так, чтобы в основном
состоянии было Jn= 0, то получим для основного состояния
ядра зЬ] Jp = 3/2~.
в. Шесть нейтронов полностью заполняют состояния Si/,
и Рчг, тогда как пять протонов полностью заполняют
уровень Sl/t и имеют «дырку» на уровне Р*/г. Таким образом,
момент количества движения нейтронов (протонов) равен
нулю (3/2). Следовательно, спин и четность ядра ^В Jp —
— £1
~~ 2 -
г. Восемь нейтронов полностью заполняют уровни S</t,
Р«/, и Pi/t, тогда как на уровне P./t находится лишь один
протон. Таким образом, JP= l/2" для ядра ljN.
11.11. Граничная энергия Р-спектра может быть
измерена счетчиком Гейгера, перед которым устанавливаются
алюминиевые экраны разной толщины (предполагается, что
соотношение пробег —энергия известно). В таком
эксперименте будет установлено наличие Рг-частиц с граничной
энергией 1,54 А1эв. Наличие двух т-квантов может быть
проверено с помощью сцинтилляционного счетчика, который
позволит также измерить энергии этих квантов. Граничная
энергия спектра (^-частиц может быть определена тем же
методом, которым определялась граничная энергия спектра
(32-частиц, но регистрировать надо лишь fl-частицы,
импульсы от которых приходят в совпадении с импульсами от
Y-квантов с энергией 1,3 Мэв, что позволит исключить фон
Рг-частиц. Чтобы завершить проверку правильности
схемы, необходимо с помощью изложенной методики показать,
что т-кванты с энергией 2,1 Мэв находятся в совпадении с
Эг-частицами.
304
11.12. Так как имеются две (3-группы, то справедлива
схема распада, приведенная на рис. 104. В таблице показа-
А, 0,61Мэ6
рг ЦЗбМэО
)///
/Л
0,82£Мэ6
0,ММэО
i
Рис I04
но, какими переходами обусловлены фотоэлектронные
линии:
Фотоэлектронная лнкня
А
В
С
D
Е
Переход
П
И
I
I
III
Оболочка
К
L
К
L
К
Таким образом, наблюдаются лишь три т-перехода.
П. 13. Рассмотрим переход в системе покоя пары е*е~.
По определению, суммарный импульс пары в этой системе
равен нулю. Следовательно, фотон в этой системе не имеет
импульса. Но для фотона энергия и импульс
пропорциональны, и, следовательно, фотон не имеет ни энергии, ни
импульса и, очевидно, не может существовать. Таким
образом, все переходы фотона в частицы с массой покоя,
отличной от нуля, запрещены.
305
11.14. Заряд я+-мезона имеет тот же знак, что и заряд
ядра Ze. Следовательно, я+-мезон после распада
приобретает дополнительную кинетическую энергию (порядка
ZeVR), обусловленную кулоновским отталкиванием. Таким
образом, следует ожидать малый выход низкоэнергичных
я +-мезонов.
11.15. Из зарядовой независимости ядерных сил
следует, что единственное различие в массах ядер ?4Si и ?^А1
обусловлено кулоновской энергией. Предположим, что
ядро представляет собой равномерно заряженную сферу
радиусом R и зарядом Ze, для кулоновской энергии получим
£„ = 3ZV/57?.
Следовательно, ожидаемое различие в массах этих двух
зеркальных ядер равно
-^1 [14*-13*1=-^.
5/? ' 57?
Подставив сюда R = г0 АЧа, получим 27е2/5г0. Выразив
27
энергию позитрона через массу, получим г0»— ге, где
35
ге — классический радиус электрона, re = e2/mca =
= 2,8 ■ 10"13 см.
11.16. а. Из приведенных данных следует, что
«N - 1вО* + п + Тп + 3,72 Мэв,
»F = 170+ 1,72 Мэв
(поправками к энергии, обусловленными отдачей,
пренебрегаем). 1бО* может быть возбужденным состоянием ядра
160, и задача тогда сводится к нахождению энергии
нейтрона Тп. Из этих двух уравнений и равенств (1) —(3)
следует, что
Тп = 1,99 Мэв — И160*) - т(1вО)].
Поскольку m(l60*)—m(i60) > 6,05 Мэв, то испускание
нейтронов возможно лишь при переходе на основное состояние
*вО, и тогда испускаются лишь монохроматические
нейтроны с энергией 1,99 Мэв.
б, в. Приведенные данные позволяют построить
показанную на рис. 105 схему уровней (пунктиром обозначены
уровни, ожидаемые из соображений зарядовой
независимости ядерных сил). То обстоятельство, что основные
состояния ядер 170 и "F расположены так близко, следует
306
из зарядовой независимости ядерных сил; ядра "О и 17F
образуют изоспиновый дублет. Различие в энергиях
обусловлено кулоновским отталкиванием; большим значениям
Z соответствуют большие энергии.
W.
%*"
17и
Г?п».
8,8 Мэд
5,08МэВ
* *0-Л
17с
$у2Мэд
Рис. 105
Из тех же соображений следует ожидать существование
возбужденного состояния ядра 17F с энергией,
определяемой из равенства: m("F*) —m(l70*) = 1,72 Мэв. Ядро
"N имеет Тг = —3/2. Таким образом, по крайней мере еще
три состояния образуют изомультиплет с Т = 3/2. Этими
тремя состояниями являются более высокие возбужденные
состояния ядер 170 и "F и основное состояние ядра 17Ne.
11.17. Для того чтобы вычислить энергию а-частиц,
излучаемых элементом У, предположим, что период
полураспада а-излучателя и энергия распада связаны
соотношением, даваемым теорией Гамова для предельного случая
высокого кулоновского барьера, т. е. 1/т = ае~$/У~Ё, где
а и 0 считаются постоянными. В действительности (3
пропорционально Z, но в этой задаче нет данных относительно
Z, и поэтому предположим, что изменение Z при переходе
от одного источника к другому незначительно и им можно
пренебречь. Более удобной для таких целей формой записи
соотношения между периодом полураспада и энергией
является выражение lg т = А + BE'1!*. Из данных,
приведенных для излучателей X и Z, находим
10 = А + ВфГ"'* и 3= А + В(!0Г''' (1)
тогда как энергия излучателя Y определяется из
уравнения
307
A + BE'4, = 0. (2)
Из уравнений (1) и (2) находим, что Е = 14,8 Мэв. Энергия
связи нейтрона в ядре UN равна кинетической энергии
системы (п, UN) в системе центра масс при пороговой
энергии, т. е.
В = — • 10,6 Мэв « 10 Мэв.
15
Предполагается, что ядро 14N покоится в лабораторной
системе координат. Энергия системы (a, 14N) в системе
центра масс равна
Т = -И. 14,8 Мэв& 11,5 Мэв.
18
Таким образом, реакция 14N (a, an)13N энергетически
возможна. Следует отметить, однако, что для а-частиц имеется
кулоновский барьер порядка 4- 7eVR л* 14 Мэв и реакция
подавляется этим барьером, но тем не менее она возможна,
так как, согласно квантовой механике, частица благодаря
туннельному эффекту может пройти через такой барьер.
11.18. Сечение реакции для нейтрона равно оп== па2
и представляет собой площадь поперечного сечения ядра-
мишени. Если нейтрон в пучке находится в пределах этой
площади, то он попадет в ядро-мишень и вызовет реакцию.
—* '—тА
ь / V \
Г т~ о ~7
Рис. 106
Однако протон, который первоначально движется так, что
его путь пересекает площадь поперечного сечения ядра,
может не попасть в ядро из-за кулоновского отталкивания.
Следовательно, сечение реакции будет меньше па2. Чтобы
вычислить это сечение реакции, обратимся к рис. 106, на
котором Ь обозначен наибольший возможный
прицельный параметр, который допускает столкновение протона
308
с покоящимся ядром-мишенью. При таком Ь протон
столкнется с ядром касательно поверхности и, следовательно,
траектория полета будет перпендикулярна к радиусу в
точке касания. Если Е —полная кинетическая энергия
протонов на бесконечности, то из закона сохранения
энергии следует, что
к тг?а f Zei
в точке а.
Кроме того, из закона сохранения момента количества
движения относительно точки О следует, что начальный
момент количества движения L = pb = Ьу2т£ должен
быть таким же, как и момент количества движения в точке
касания, т. е. L = а]/г2тКа. Таким образом,
Это уравнение совместно с уравнением, вытекающим из
закона сохранения энергии, позволяет найти Ь:
Окончательно
1 — для Е > ,
аЕ а
О для £<—^—.
а
11.19. Плотность зерен возрастает по мере замедления
электрона. Для ядра с зарядом Z = 11 это не так,
поскольку ядро по мере замедления «обрастает» электронами,
которые экранируют заряд ядра и тем самым уменьшают рост
ионизации.
11.20. В системе покоя ядра имеется электрическое поле
Е = Zer/r2. Сила, действующая на магнитный монополь
с зарядом g, равна
(в-^)
Следовательно, уравнение движения в системе покоя ядра
(рис. 107) имеет вид
it-- _ z-a-. J=L. (1)
dt с г» v '
309
Для рассеяния на малые углы правая часть уравнения (1)
может быть вычислена, если принять
v = (v, О, 0) и
*
Ze
0
i
г = (vt, a, 0).
Тогда уравнение (1) сводится
к следующим:
dyt leg av
di ~ тс (а2+ v> f*)v» '
d/
di
Рис. 107
Проинтегрировав и приняв во
внимание, что vг (— оо) = 0,
получим
тса [_
+
Тогда
__J? 1
М*»)=« —
2Z*g
mca
б
М°°)
2Zeg
tncav
Таким образом, получили единственное соотношение между
прицельным параметром а и углом рассеяния 6. Далее,
если обозначить / падающий поток частиц, то из закона
сохранения частиц следует, что
f-2itada = — f— • 2*d(cos G).
dQ
Левая часть представляет собой число частиц, падающих в
единицу времени на кольцо радиусом а и шириной da.
Правая часть воспроизводит скорость рассеяния в
телесный угол dQ = —2nd cos 6. Разрешив относительно
сечения рассеяния, получим
do а I da I ^ а I da I _ / 2Zeg
dQ ~ sin 0 | dO | ~ в I dO \~ { mcv
где [——) —резерфордовское сечение. Заряженные час-
\ dQ )р
тицы теряют энергию главным образом за счет
столкновений с электронами ввиду малости массы электрона, это
310
же справедливо и для монополей. Передаваемый электрону
импульс при рассеянии на малые углы равен 2eg/ca, а
соответствующая передаваемая энергия равна (Ар)2/2т =
= 2(eg/mca)2. Число электронов в полом цилиндре
радиусом а, толщиной стенки da и высотой dx равно 2nNZadadx.
Интегрируя по а, получаем потерю энергии
i£. = __ 4tt NZ (eg)2 ln flMaKC
dx тс2 амнн
Омакс и аМИц определяются так же, как и в случае, когда
рассматриваются потери энергии заряженными частицами.
11.21. Рассмотрим волновое уравнение Шредингера для
s-волны и" + (k2 —2tnV)u = 0, где волновая функция ф =
= и/г. Если V — короткодействующий потенциал, тогда
для области вне потенциала решением уравнения является
sin(ftr + б), где б = 0, если V — 0. Амплитуда рассеяния
дается выражением / = (e2i8— l)2i£, а дифференциальное
сечение
jfo sin8 а
do. ~ k2
Чтобы исследовать влияние близости связанного состояния
на рассеяние, запишем решение волнового уравнения в виде
" = 4"f0(*)e1*'-0(-k)eJ*4 ,
где и — действительное, т. е. 0(fc*) = 0(—k*). Когда
k — i \r2mB—\'(, что соответствует связанному состоянию о
энергией — В, то 0(—if) должно быть равно нулю, чтобы
существовало решение ы-»-е~г при г->оо. Разложив
0(—k) в ряд Тейлора вблизи этой точки, получим
0(—k)~\a(—k 4- if), где а — действительное. Это
вытекает из равенства 0(/г)=0*(—k*). Следовательно,
фаза определяется выражением
Щ ~ Re0(*) ~ т '
которое для малых k сводится к выражению б — —klf.
Вводя определение длины рассеяния а как б = —ka,
найдем, что а ~ l/f. Полное сечение тогда равно
о = SinaS = .
к2 k2 + I/a2
311
11.22. Из предыдущей задачи имеем
ft* + ia 7а
В данном случае
> при я2->0.
, = _ 2тЕы e 5 p 1021 j.
Следовательно,
о = 2,5 • 10-" ел2 = 2500 барн.
В этом решении поправка на радиус действия сил не
вводится, так как Л>Т С 1-
11.23. Можно ожидать, что при этой энергии наиболее
существенно s-рассеяние. Поэтому
У = /0 е , где о =
fta
Подставив приведенные в задаче данные, получим Nt =
— 5- Ю23 атом/см2,1 = /о/2, откуда о = \п2/Ш = 1,4 барн.
Но А:2 = 2тЕ = 5- Ю23 еж-2. Следовательно, sin б = ±0,23.
11.24. Ядра свинца являются дважды магическими, и
следовательно, можно ожидать, что сечение неупругого
рассеяния будет мало. Предполагая, что доминирует лишь
упругое s-рассеяние, можно записать о = 4nR2 [R«
« (1,4- Ю"13)/!'/' см, А = 208), откуда о = 8,6-10'24 см*.
Число атомов свинца в 1 см3 определяется из выражения
п — pNo/A, где #о — 6,02- Ю23, а р = 11 г/см3.
Интенсивность пучка нейтронов, прошедших через экран как
функция толщины экрана, получается в виде
/ = /0е-по'=/0е-0-55 = 0,58/0.
Следовательно, 42% нейтронов, падающих на экран, упруго
рассеются и выйдут из пучка. Эффектом многократного
рассеяния мы пренебрегаем.
11.25. Пусть А —облучаемая площадь мишени, Ф =
= i/Ae —поток частиц (е —заряд дейтрона), NM(t) —
полное число ядер 56Мп, накопившихся в мишени к моменту
времени /, А, = In 2/T>,t. Первоначальное число ядер ssMn,
с которыми пучок дейтронов может взаимодействовать на
длине R, равно NS5 = RA/M, где М —масса ядра 55Мп.
Заметим, что пробег дейтронов задан в единицах г/см2.
Уравнения, описывающие накопление ядер 66Мп, имеют вид
312
dA/™ =0о^Б5-Х^м,
di
dN6t dNM
di dt
Решением этих уравнений, удоааетворяющим условиям
#б»(°) = RA/M и #5e(0) = 0, является
А7 1*\ ЛЛ0О / —фа* —Щ
М (Л — 0 „)
Подставим числовые значения: Л0= i/e = 4,8- 10"*/1,6х
X Ю"19 = 3 • 1013 сек~и, RIM = (6,02 • 10аз) -0,11/55 =
= 1,2-1022 см^2; Л. = In 2/2,6 ч = 7,4-10"• сек. Заметим,
что для разумных значений облучаемой площади мишени
(А > 1 см2) имеем % > фа и для *«5ч 0а/«0.
Физически это означает, что для данной, относительно
кратковременной экспозиции в слабом потоке можно пренебречь
убылью ядер иМп в мишени. Таким образом,
ЯЛ0о / 1 \
NH (5,2 ч) = -jg- (l - —) = 3,7 • 10».
11.26. Рассмотрим сначала рассеяние нейтронов
атомарным водородом. Амплитуда рассеяния может быть (в
пределе k -*- 0) представлена в виде
д= qt (3 + gn a/i) ac(i—gngft)
4 4
Здесь о, иАс обозначены длины рассеяния соответственно
для триплетного и синглетного состояний системы п —р.
Заметим, что в триплетном (синглетном) состоянии onolt~
= 1(-^).
Дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных
нейтронов на некоррелированных ядрах водорода равно
4я
2
2</М|0</М10*»2«8рМЛЧ.
/. f
где суммирование производится только по начальному и
конечному спиновым состояниям нейтрона.
Воспользовавшись свойствами
SpOi(n) = 0 и Spjaj(n).ay(n)}^28iy,
получим
313
9
, :(3flT + ac)2/16 + (at-aT)affAsh/16 =
= (3aT + cc)2/16 + 3(ac — atfl 16 ш. (3e? + aS) /4.
Таким образом, измерение сечения на одном ядре водорода
не позволяет определить относительный знак ае и а,.
Однако рассеяние на молекулярном водороде когерентно,
поскольку длина волны нейтрона при k -*■ 0 значительно
больше расстояния между ядрами в молекуле. В этом
случае полная амплитуда когерентного рассеяния на двух
протонах (пренебрегая эффектами отдачи) равна
Аг =- - (Зй, + ас)12- (о, -ac)ah(s, + *д14. (1)
Полное сечение определяется выражением
-i- = -Lsp(s;&)~ ^+^ +(^-"c)asa
4п 2 г v ' z/ 4 4
где S = (»! + Сг)/2 —суммарный ядерный спин двух
протонов. Таким образом, измеряя сечения рассеяния для
орто- (S = 1) и пара- (5— 0) водорода, можно определить
относительный знак ас и ат, поскольку в это сечение
входят члены (Зат + ас)2 и (ат—ас)я, чувствительные к
относительному знаку амплитуд. В действительности
выражение (I) для А2 не совсем правильно, поскольку при
выводе его пренебрегли общим множителем, обусловленным
эффектом, связанным с приведенной массой, который
возникает из-за того, что масса молекулы Нг в два раза
превышает массу одного протона. Однако этот общий
множитель сократится, если взять отношение
°оРто _ j , 2(gT—Ос)8
°пара (3от + Ос)а
Последнее отношение совместно с данными аса и ата,
полученными из подгонки экспериментально измеренного
полного сечения рассеяния медленных нейтронов на протоне
вполне достаточно для определения относительного знака
ас и а,.
11.27. Пусть прямая и обратная реакции имеют вид
А + Я-* С + D, (I)
314
С + D -*■ А + В. (II)
Опуская постоянные множители, имеем
/fa = V4 \м\*ъ<» {Рл + Рв — Рс~Рр)а>Рс<рРр
dQ 2U ф
спины
где М —матричный элемент, Ф—падающий поток.
Предположим, что матричные элементы прямой и обратной
реакции инвариантны по отношению к обращению времени,
т. е. по отношению к операциям переворота спина и
изменения направления импульсов на обратные. Тогда
амплитуда для процесса
(Рл< Рв- V 8в)-*-(Рс ро> sc- sd)
равна амплитуде для процесса
(—Рс. -PD- ~sc> — sd)-*"(—Ра> —Рв' ~sa> ~sb)-
При измерениях сечений реакций спины не детектируются.
Поскольку мы предположили, что падающие пучки непо-
ляризованы, то суммирование по спиновым состояниям
включает в себя суммирование по конечным спиновым
состояниям и усреднение по начальным. Но сумма содержит
как члены с s так и члены с — s, следовательно,
спины спины
В силу этого отношение сечений не зависит от деталей
взаимодействия. Для прямой реакции падающий поток равен
(рА I ЕА + рв I Ев),, тогда как для обратной (рс / Ес +
+ PdIEd)u-
Фазовый объем для прямой реакции пропорционален
2 *>, „ (P)Y
р/ dE Pc/Ec + pDIED '
где
Р|-|Рс|ЧРо|-
Аналогично
Для обратной реакции фазовый объем равен
315
PaI ЕА + Рв1 ЕВ
Из-за усреднения по всем начальным спиновым состояниям
необходимо учесть вырождение по конечным спиновым
состояниям. Тогда
А
^L (^IL-Y = (Pf)2(2sc+1)(2sp + 1) = _3_
dQ { dQ ) {p}l)'{2sA+l)[2,B+l) 4
3 , {E-ml-ml)2-Amlrt?D
4 £a (£a — Ami)
11.28. Будем пользоваться системой единиц, где
% = с = 1. Рассеивающие центры будем считать
неподвижными. Гамильтониан системы (в низшем порядке по v)
равен
Н = — ц В, где В = — [vE].
Магнитный момент нейтрона равен ц=ц0о, где ах, ау,
ог —матрицы Паули. Гамильтониан системы может быть
переписан в более удобной форме
Н = — \х0а[Ер]/т.
Амплитуда рассеяния равна
А = (f\H\i) = -^Lcr,, j dxq, • [v("f)(- IV)]*i.
где
*/| = <Х/Мх») и ф, = е,к«\ ^ = е'^К.
Xt> и |х/> — начальное и конечное спиновые
состояния. Окончательно амплитуда рассеяния сводится к виду
m I k/ — k> la
По определению, дифференциальное сечение рассеяния есть
—— = —, где Ф = — поток падающих частиц, ш =
dQ Ф т
= 2к | А |2 р (£) — скорость переходов в телесный угол d£2.
а плотность состояний равна
vy (2it)3 dE (2it)3
316
Таким образом,
da
dQ
Просуммировав по конечным спиновым состояниям и
воспользовавшись соотношением
= (-йЗлг)'"«^..Г
|k<-k/|2 = 2Aa(l-cose).
получим окончательно
-*- = (u Zc)2 cos2W2>
dQ. Го sin2(e/2)
11.29. Гамильтониан взаимодействия состоит из
ядерного и магнитного членов. Ядерное рассеяние можно
описать постоянной длиной рассеяния а. Для очень медленных
нейтронов, для которых преобладает s-рассеяние, такое
описание является достаточно хорошим приближением.
Однако магнитное рассеяние будет вычислено в борновском
приближение. Таким образом, если принять ft = 1, то
амплитуда рассеяния равна
где q=k0 — k/f Нт (г) — гамильтониан магнитного
взаимодействия (магнитный момент нейтрона равен ц):
Нт(г) =- j' g(r + y^ifv-^py-
Проинтегрировав, найдем
(/|/(q)|0=a(/IO + -^fJsLliIlqlli/«q]].
где
g(q) = Jg(r)e""rfr и |1„~</||фЛ.
Начальное и конечное спиновые состояния нейтрона соот.
ветственно равны \i) и |/). Так как g(0) = I и
рассматриваемая область значений q такова, что Iqlflo'C 1. то
можно использовать приближение g(q) « 1 (а0—боров-
ский радиус). Амплитуда рассеяния с переворотом спина
тогда примет вид
-~ V-i № l^/i 411 •
я"
317
что равно (—2/n/(72)(niq)(n//q), так как ^lfA/, = 0 в
случае рассеяния с переворотом спина (в этом легко убедиться,
взяв прямоугольную систему координат, в которой к0
Л Л Л ЛЛ
направлено вдоль к, щ — вдоль i и ц^,/^ = j + i к).
Полное сечение рассеяния с переворотом спина равно
=1"
|"dQ = -|-«(Mmi)».
Амплитуда рассеяния без переворота спина равна
и, следовательно, полное сечение рассеяния без переворо-
та спина равно
"•s I 3 т 15 J'
11.30. Матричный элемент перехода равен
«-<TA|ff|g>- (<ЦП.А)« ('У^""'"'"*)
Квадрат модуля этого матричного элемента,
просуммированный по спиновым состояниям Л-частицы, в конечном
состоянии равен
V I МI2 = ^ х
х ^ «* a Ikej ыл «* ff|ke|us .
од = ±1
Воспользовавшись соотношением полноты
которое можно непосредственно проверить,
(J)<"»+(>"-(J!)-
и свойством (стА)2 = А2, справедливым для любого вектора
А, для которого 1АА| = 0, можно свести суммы к
выражению
318
|M|2==.fi^ft3 |k_«P
°лг= ±1
2ш1/ (Мъ+М^у
не зависящему от начальной поляризации 2 "-гиперона.
Как следствие условия поперечности электромагнитного
поля ке = О имеем Ikel2 = k2 = ©Vc2. Множитель,
обусловленный фазовым объемом, равен
/ЕЛ ^ dSP
Р (Е) — . ——.
' (2itfc)3 d£
Поскольку распад изотропный, можно провести
тривиальное интегрирование по углам, и тогда
. _. У со» dio
г ' 2я»с3 йЕ '
Из законов сохранения энергии и импульса следует, что
и, следовательно,
do» do. Ml + М\
йЕ й (МЕ с3) 2М\ h
Скорость перехода дается выражением
Г=-^р(Е)У|М|а,
Z
где суммирование производится по поляризационным
состояниям Л и по двум поляризационным состояниям
фотона. Комбинируя приведенные величины, получим
х 4 4nftc hM\ ( Мг + М& у
Подставляя значение % = 6,6-10"22 Мэв-сек, получим
г = 3-10~19 сек. Заметим, что Л-гиперон рассматривался в
нерелятивистском приближении, поскольку мы
использовали спиноры Паули. Это, однако, является хорошим
приближением, так как кинетическая энергия А-гиперона
составляет лишь 2,5 Мэв.
11.31. В нерелятивистской теории 0-распада Ферми
матричный элемент слабого взаимодействия для п-> р +
+ е~ + v имеет вид
319
Hfi = &l % <*) Фп (*) Ь М Ь (*)W-
Если нуклоны находятся в связанном состоянии в ядре,
то соответствующее обобщение матричного элемента на
этот случай приводит к выражению
Hfi = -J- J Ь (ж, ... хп) (т, + \хД 4>7 (*,... хп) х
х Ь (*i) <?v (*i) rfx,... dxn = ^ j M (д)ф* (ж)<j>, (д) At,
где (xj + ix2)/2 переводит нейтрон в протон (т. е. оператор
повышения изотопического спина), фг и ty—начальная и
конечная ядерные волновые функции.
Разрешенными являются такие переходы, для которых
М== Г М{х)йхфО.
Вероятность процесса Z-**(Z—l)+e+-f-v дается
теорией возмущений
|а dN
„г,=^
н
Л| dw
dN
где плотность конечных состояний. Здесь
dp. «to Y1
(2r.hf
-[4-4
Следовательно, пренебрегая отдачей ядра, получим
<W (4г.)* (У - Р; / 2m) P р2 dPg
dlT ~ (2яЛ)в с3
Так как объем ядра мал, то
I
М(х)Це(х)Мх)<1х~^>
что справедливо, если волновые функции электрона и
нейтрино являются плоскими волнами, т. е. ф = eihr/]/V.
Полная вероятность тогда равна
г 4g*IA4|" С - / р.2 V ^|Л<|'^0
1 (2r.)3 ft' са ,) е Ре \ 2т ) 105 (2r.)3c3h7m* '
320
где Ро—максимальный импульс испускаемых электронов.
Матричный элемент процесса захвата электрона из водо-
родоподобного lS-состояния определяется выражением
1 yv
где ф(0) = (Z3/na03)l/2 —значение электронной волновой
функции на ядре; а0= filmed —боровский радиус.
Плотность конечных состояний равна
(2nft)3 (2nft)3c
где pv —импульс испускаемого нейтрино, который можно
определить из закона сохранения энергии в применении к
процессам |3-распада и /^-захвата:
а) испускание позитрона: Е .—Е,= р02/2т + роС +т/:2;
б) iC-захват: Е £+ тес2—В = Ef+ pv с,
где Е t и Ef—начальное и конечное энергетические
состояния ядра; В —энергия связи электрона на lS-оболочке.
Таким образом,
о с = 2/п.с2 — В + р0с + — «2mec2.
2т
Вероятность перехода определяется выражением
r.--r|W/iP-~=^-|A'Pfii|tWP 4"
h * '* dW h ' ' ° ' г " (2яА)8 с3
Следовательно,
что можно переписать в виде
Г,
где W = р0У2те.
11.32. Вероятность перехода равна
ft ' ' d£
Динамика процесса заключена в М, а в данной задаче его
можно считать постоянным. Фактор —, учитывающий ко-
dE
321
нечные состояния, есть плотность состояний в фазовом
пространстве. Импульс испускаемых частиц может не
сохраняться, так как бесконечная масса излучающей
системы может поглотить любой импульс отдачи без
соответствующего увеличения энергии. Следовательно,
Элемент объема в фазовом пространстве равен
d2n = 1 бяр? dpxp\ dpz I ft9.
dn
Однако для того чтобы вычислить -т^-, более удобно
перейти от переменных рх и р2 к переменным Е и pv Считая р1
фиксированным, получим
dE =
откуда
dE - ■* г •* ■ -z Лв
~\Ы*р\рг\Е-У7^Ц\-^\
или
— m| ]'Л dPl. (1)
Именно в этом выражении заключена энергетическая
зависимость вероятности распада. В случае (3-распада
(например, п-**р + е~ + v) распадающийся нуклон можно
считать бесконечно тяжелым по сравнению с лептонами.
Кроме того, т2 = m(v) = 0. Тогда
1 d*n
— .—-~{Е~ЕеГ.
р, dcdpi
Это позволяет ввести (следуя Кюри) величину
/ 1 d*n У и
д= __ ] ~Е~-Ее.
\ р? dEdPl )
322
Такое представление приводит к линейной зависимости
(рис. 108). Из выражения (1) легко видеть эффект малой
массы нейтрино тг Когда Е— |/ р, + т, мало, то ——
dEdpi
будет меньше для случая тгФ0. Это приводит к обрыву
Hi
тг*0
Рис. 108
спектра вблизи его верхней границы, как показано
пунктиром на рисунке. Но прежде чем по форме такого графика
делать вывод относительно возможного отличия от нуля
массы нейтрино, необходимо ввести поправки на
возможное искажение спектра вследствие кулоновского
взаимодействия. Правда, эти поправки существенны главным
образом для мягкой области спектра.
11.33. а. Число конечных состояний нейтрино при
фиксированном ре определяется формулой dn = VdpVj / (2к%)3.
Для того чтобы вычислить —, выразим dpv через I p I =
du> ' iii
= pvi, cose и ю, где ш = (jPe[ + |pvi| + |pvJ)c;
cos 0 = pe pv / pe pv , a pVj определяется из закона
сохранения импульса pv + pv> + Ре = 0- Тогда получим
(Mc)2
8с
dn =2nVsinedep» dp
ч. = 2r.V sin 0d6 x
(Mc-2pf
dW
2 (Mc — pe) (pe cos 6 — pe) + Mc*
(Mc — pe+pe cos 6)4
где W = M<? (M —масса мюона) —полная энергия,
освобождаемая в распаде. Интегрируя, наконец, по 6,
получим
323
to =
2п
t
P24P
■ (3M2c2 — GMcp + 2р\
h " 2n4ft3 (2nft)3 6c
Таким образом, число электронов распада в интервале
импульсов от р до р + dp равно dne = Ap2{3W2 —6Wp +
+ 2p2)dp, причем максимально возможный импульс
электрона равен р = Мс/2.
Рис. 109
Другой путь решения этой задачи, содержащий меньше
алгебраических выкладок, предложен Ферми и состоит
в следующем: n(W) пропорционально jdpv, , причем
P,, + Pv,+ Pe = ° и |P..I + |Pj + |P.| = W/c- Сле-
довательно, n(W) пропорционально объему эллипсоида,
показанного на рис. 109. Главные оси этого эллипсоида
равны
a = {W—p)l2, b = c =±-VW*—2Wpe.
Объем его равен
■£- аЬс = JL (W - ре) (VP* - 2WPe).
Таким образом,
йп
dW
пропорционально
dW
\{W ~ pe) {W* - 2Wpe)) = [3W* - №ре + 2tf)
б- Интегрируя приведенное для Г выражение по ре
в допустимых пределах (0 < ре^. W/2), получим
J_ _ 7APc4ga
откуда g = 3-10~49 эрг-см3.
11.34. Обозначим ц тяжелую частицу массой М, а
е легкую частицу массой т. Чтобы определить пороговую
324
<?.*
частоту ш0 для реакции е + т -»* и • необходимо
потребовать, чтобы суммарная энергия фотона и электрона в
системе центра масс была бы равна М. Следовательно, из
лоренц-инвариантности величины (ре+ р,,)2 = —М2
получим (ш0 + т)2 —о)02 = /И2, т. е. ш„= (/И2—т2)/2т.
Ключом к нахождению
скорости переходов е + т-»> ц
является инвариантность по
отношению к обращению
времени. Обозначим Ss^.s^edt-^e+i)
матричный элемент распада
покоящегося мюона (с поля- (~\p.tsu CVv
ризациейвц) на электрон и фо- ^-^ ^-^ J
тон с поляризациями
соответственно se и е (рис. 110, а),
a Ss^,se. е (е + -у ->-|д) —ма- <V£ /yt£
тричный элемент для
обратного процесса (рис. 110, б).
Вследствие инвариантности
по отношению к обращению
времени
"м
Рис. ПО
12
2 \\..,..^<+i4
- 2 lsvv« + ^>l
Время жизни мюона определяется выражением
2« ^ с dQ
(2.„ -f 1) ^ J (2^)3 d£
xlSvv(^e + ^r-
где p — импульс одной из конечных частиц, Е — р +
4- V^P2 + ^2 = М — полная энергия. Таким образом,
_1_ 1 / Л1» — т" \г / At2 + m2 \
х ~ ЧЧ + 1) I 2Л1 j [ 2№ )
х 2 |5*.-..>^в + т>Г-
325
Для обратного процесса в случае неполяризованных
фотонов скорость переходов в системе покоя мюона равна
Гп =
TF Slsw.(e + ^rtr
2(2se+ 1) 4U I W ' "I dE
dN
где плотность заселенных начальных состояний в
dE
системе центра масс; Е — энергия в системе центра масс.
Таким образом, из выражения
н равенств
где ш' — частота в системе центра масс, найдем, что
dN _ ЛР + т* U (ш0)
dE 2Л1а
"о
Возникновение множителя |^(1 —v)/(\ + v) в выражении
для dN связано с тем, что плотность фотонов преобразуется
подобно четвертой компоненте 4-вектора при переходе в
систему центра масс (точно так же, как и доплеровский
сдвиг частоты). Это объясняется тем, что полное число
фотонов является инвариантом по отношению к лоренц-
преобразованиям.
Далее, дифференциальный элемент объема dx в
эвклидовом трехмерном пространстве является скаляром по
отношению к поворотам на 90° в трехмерном пространстве,
и то же самое справедливо и в четырехмерном пространстве
с соответствующей единицей объема d4x = dxdt. Таким
образом,
dN J d4* ,,
dV dV dV
т. е. плотность фотонов преобразуется аналогично времепи-
подобной компоненте 4-вектора. Заметим, что тот же самый
аргумент можно использовать для того, чтобы вывести
законы преобразования для плотности заряда. Из
приведенных выражений получим:
Г ь, Ч. + ' , № _1±Ы__±_
0 ч 2se + 1 (М* — от»)» ш0 т
326
Однако это выражение определяет скорость переходов в
системе центра масс. Введем поправку на эффект
сокращения времени, чтобы получить скорость переходов в
лабораторной системе:
Г± 8r.*(2S|t-H)M3m^K)
1 л.с — т — (2se + 1) (уИ8 — т2)2 (М* + т2) ш0х '
Если подставить s — se = 1/2, то (2s + 1) / (2$е + 1) = 1;
3 * 1 \ v- /
если же s^ = —, se = —, то (2^ + l)/(2s, + 1) = 2. Эта
задача была предложена в тот период, когда обсуждалась
возможность распада ц-мезона ц-*-е + т. Сейчас
известно, что такой распад не происходит. Однако задача по-
прежнему представляет интерес в связи с проблемой
фоторождения барионных резонансов с высокими значениями
спинов (не менее s/g).
11.35. Обозначим плотность нейтронов п, а полный
объем реактора Q. Тогда за время dt произойдет nQxxit/X
соударений и, следовательно, чистый прирост в числе
нейтронов в единицу времени, вызванный этими соударениями,
будет равен nQv(k — l)/XN. Однако за это же время
nvAdt/A нейтронов достигнут поверхности реактора и
выйдут за его пределы (А — площадь поверхности реактора).
Таким образом, уравнение изменения плотности нейтронов
во времени имеет вид
йп I
= па [
dt \
fe—1) А_
IN 4Q
Реактор является критическим, если >0. Это условие
dt
выполняется, когда
AKN
Q>
4(*-1)
Для кубической формы реактора Q = L3 и А = 6L2.
Следовательно, необходимо, чтобы
, ^ 6- 10- 100 0 _к 1Л.
L > = 3,75 • I О4 см.
4 • 0.04
11.36 а. Рассмотрим нейтрон, рассеянный на угол 6
в системе центра масс (нерелятивистский случай).
Первоначально покоящийся протон приобретает энергию отдачи
327
iiplcos2 e +—(i — cos e)2].
Усреднив эту величину по углам 6, получим, что средняя
потеря энергии при одном соударении нейтрона с
энергией Е0 с покоящимся протоном равна £0/2. Следовательно,
после п соударений
(fi^-IStsL, {En_1) = <£f*L, ... , {Е1) = -Е^-.
Таким образом, (£„) = (Vg)" E0. Чтобы вычислить рп (£),
заметим сначала, что в одном столкновении нейтрон с
энергией Е рассеивается в системе центра масс изотропно,
т . е. вероятность того, что нейтрон рассеется в телесный
угол dQ, равна dQ/4n. Следовательно, вероятность p(£)d£
того, что рассеянный нейтрон имеет энергию в интервале Е,
Е + dE, равна dElE', где 0 ■< Е ■< £'. Это можно доказать,
продифференцировав выражение Е = £' (1 —cos6)/2.
Вероятность того, что нейтрон будет обладать энергией Е
после п соударений, равна
где интегрирование проводится в интервалах Еп < £n-i^
■< ... Ег «С Е0. Но этот интеграл является
симметричной функцией £„_„ £„_2, ..., Ех и пределами при
каждом интегрировании можно взять Еп ^ £ ■< £0, если
сам интеграл разделить при этом на (п —1)1, что является
числом возможных перестановок в последовательности
£n-i. £п-2> ••■» ^1- Таким образом,
Рп(£)=—J— Г-f^ f-f^- f-f^-
(л—1)1 .1 £„_, .) , £„_2 J Et
ЕЕ Е
(л-1)1 I £ /
б. В установившемся состоянии число нейтронов на
единичный интервал энергии не зависит от времени,
следовательно, число нейтронов, приходящих в единицу
времени в интервал dE, должно быть равно числу нейтронов,
выходящих из него:
328
Nn (E0) v0 os (£0) 1L + N\f (F) «, (F) dE' J- -
£
= yV/(£)K(£) + oe(£)ldF (1)
В этом выражении N —полная плотность рассеивателей,
п(Е0) —плотность нейтронов с энергией Е0, f(E)dE —поток
нейтронов с энергией в интервале (Е, Е + dE). Задача
состоит в том, чтобы вычислить этот поток на единичный
интервал энергии, зная, что скорость образования нейтронов
с энергией £0 равна q нейтрон!'(см3-сек).
Дифференцируя уравнение (1) по Е, получаем
дифференциальное уравнение
J-[f(E)ol(E)}+ ГЮ*Ю =0, где or = os + oa. (2)
Решением этого уравнения является
Eot (Е) ! J о/ Е J
Постоянная интегрирования, найденная после подстановки
в уравнение (1), равна А = n(E0)v0os(E0)/E0. Остается
связать это выражение для Acq. Это можно сделать, если
воспользоваться условием, что число образующихся в
единицу времени нейтронов с энергией Е0 должно быть
равно числу убывающих нейтронов, т. е.
q=Nn(E0)v0[cs(E0) + oa(E0)}.
Следовательно,
A = qcs(E0)/E0Nct(E0).
11.37. Очевидно, что
-L = J_ _L = J-4- —
*+ to ' т- то XZ '
Предположим, что каждый протон взаимодействует с мюо-
ном независимо от других протонов и что ядро является
точечным. Тогда, вычислив волновую функцию мюона в ос-
329
новном состоянии, получим 1/tz = Z4/th . Множитель Z3
возникает при нормировке волновой функции мюона, а еще
один множитель Z появляется вследствие учета полного
числа протонов, с которыми мюон может
взаимодействовать. Таким образом,
J_=J_ _Z*_
*_ *о ТН
тогда как t+ = т0, поскольку ц +-мезон не поглощается
ядром. В цинке т+ = 2,2- Ю~е сек, т_ = 2,5-10~12 сек. Более
точные вычисления должны учитывать конечные размеры
ядра, используя для г >/? кулоновскую силу, а для
области внутри ядра —силу, изменяющуюся по
гармоническому закону.
11.38. В пределе нулевого радиуса дейтронная волновая
функция имеет виде"т7г, где?2 = тВ (В —энергия связи
дейтрона, т —масса нейтрона). В системе покоя дейтрона
эта волновая функция приводит к импульсному
распределению нейтронов, пропорциональному dp/(p2 + т2)2- При
Т <£ Ро. где р0= [4т(200 Мэв)]'Г* —импульс дейтрона,
угол между направлением движения нейтрона и
первоначальным направлением пучка дейтронов мал.
Действительно, если р, обозначить поперечный импульс, которым
обладает нейтрон в момент срыва протона, то этот угол равен
6 « Р//ро- Распределение по поперечным импульсам
нейтронов можно получить из импульсного распределения
нейтронов dp/(p2 + т2)2 интегрированием по продольным
импульсам. Такое интегрирование приводит к распределению
по поперечным импульсам вида ptdptl{p? 4- fT'*, или,
если выразить его через угол 6, нормированное
распределение имеет вид (f/po)6d8/(82 -|- т^Ро2)*'*- Здесь
использована малость угла6 » sine и, следовательно, В dQ fvdQ/2n,
где dQ —элемент телесного угла. Окончательно
вероятность того, что нейтрон попадает в телесный угол dQ, равна
dP--J— dQ
Из формулы видно, что нейтроны ограничены в конусе в
направлении вперед с углом раствора б « -у/ро- В данном
случае f/p0 «* 1/20.
11.39. В задаче 2.35 мы исследовали свободные
колебания жидкой капли, обусловленные собственным гравита-
330
ционным притяжением. Получим кулоновскую энергию,
подставляя в решение задачи 2.35 для гравитационной
потенциальной энергии (3Ze/4nR3)2 вместо Gp02. Но, кроме
этого, необходимо вычислить приращение потенциальной
энергии за счет поверхностного натяжения Т. Когда капля
подвергается деформации Л(п) [в обозначениях, принятых
для решения задачи (2.35)], площадь ее изменяется на
малую величину dA, а потенциальная энергия деформации
равна и = \TdA. Приступим к вычислению изменения
площади поверхности капли, вызванного малой
деформацией. Телесный угол и площадь связаны соотношением dA =
Л
= r*dQ/nr, единичная нормаль п к поверхности
определяется из уравнения поверхности /(г, 0, <р) = const. Здесь
более удобно пользоваться сферическими координатами.
Тогда, воспользовавшись тем обстоятельством, что В и <р
можно считать независимыми переменными и г = г(б, <р),
можем написать
df Л , 1 df л 1 б/ л
v/ = -arr + — • ж"° "»-rikTF*"5Гsp =
df /л 1 / дг \ л 1 / дг \ л |
' i^4fl[1+^)'+-br(i)T-
Тогда
л 1
пг =
Г — (—V 1 / дг у Т/.
I + г* [ ее J + I* sin* е [ a? J J
4rw+Awf/, + *(*b-?ir(SJ,da
Так как [ —— J = I——) уже содержит h во втором
порядке, то можно сделать замену \——\ h2 —[ ) IR2,
а квадратный корень разложить в ряд Тейлора. Тогда во
втором порядке по h
Л = Л, -J- А2 -{■ Л3,
331
где
и
M«1'+iM(-£-)'+i^/]}da
А2 + А» = f (2#А + A2) dQ.
Ядра можно считать несжимаемыми. Следовательно,
f/?AdQ= — f A2da
как и в решении задачи 2.35. Таким образом,
А2+ i4j=— J A2 da
Собрав все члены, получим
Интегрируя по частям, получим
ЬА = -^L[+AL2A —2Л2],
где
-L2 = -i
а / . 0 в \ , i а*»
— [sin 0 — I ч .
т \ вь ) йпг о а?2
sin I
Этот оператор обладает хорошо известным свойством
U Ym - /(/ + I) Ym. Поскольку А = R ]? Л,т К^
I. т
ТО
2
I, m
TR*
2
(. т
2 (/-!)(/ + 2) Ат^«-
В выражении для гамильтониана воспользуемся
кинетической энергией, которая приведена в решении задачи 2.35
I, m
4г. (2/+ I)/? J ""J
332
Частота гармоники Alm равна
ш2^4п/(,-1)Г 2) »№!> 1,
ЗАтр [ 2г.(2/+ l)R» J
Так как для / = 2 /я изменяется от —2 до +2, принимая
целочисленные значения, то низшая гармоника имеет пять
степеней свободы. Следовательно, энергия гармоники с
/= 2 равна
Е = fco^n, + ... + "б + -j) = Ъ»г(п + —) •
Таким образом, гармоника с / = 2 ведет себя подобно
пятимерному гармоническому осциллятору с расстоянием
между уровнями, определяемым выражением
л 2 П,\ЗАтр[ IOkR* \l
Колебания остаются ограниченными до тех пор, пока со
действительно. Однако, когда
Г(/ + 2)<- ^
2п (2/ + I)/?»
то со становится мнимым, что соответствует
неограниченным колебаниям, т. е. делению. Если воспользоваться
условием несжимаемости и считать, что R = RoA4; где
R0= 1,2 х 10~13 см, и Т = и0/4л/?02, то условие,
определяющее деление, примет вид
1S>L>ii0A
io/?0 "^ °
Подставив приведенные в задаче данные, получим условие
стабильности ядра по отношению к делению: Z2IA <Z 39.
Для нестабильных ядер, таких, как, например, 926U,
Р/А « 36. Такое согласие следует считать хорошим,
учитывая упрощенный характер модели.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Основные физические постоянные
Гравитационная постоянная G = 6,67- 10"" дин-сма-г~*
Скорость света в вакууме с= 3 • 10*° см>сек~1
Число Авогадро N„ = 6,02 • Ю23 моль'1
Универсальная газовая постояиная R =» N0k = 2 кал-моль'1 -градЛ »
= 8,3- 10? 9рг-моль"1-град~х
Постоянная Больцмана k = 1,38- 10"» зрг-ерад'1
Постоянная Стефана — Больцмана с = (я»/60) (fe*/ftaca) =
= 5,7- 10"* эрг-см~%-сеК~1-гра&~*
Постоянная Планка h = 6,62- 10_и эрг-сек
Постоянная Ридберга R = 109737,31 ел-1
Заряд электрона е = 4,8 • Ю-10 ед СГСЭ =1,6- 10-» к
Масса электрона те = 9,1 • 10"28 г = 0,51 Мэв
Масса (а-мезона т = 207 те == 106 Мэв
Масса я-мезона /пп = 270 те = 140 Мэв
Масса протона М = 1,67 • 10~M г = 938 /Ида
Боровский радиус а„ = ft*/me е* = 0,53 - 10"8 см
Классический радиус электрона re = e2/m»ca = 2,82 • Ю-" ел
Комптоиовская длина волны электрона К — h/tnec=* 3,86 ■ 10"11 ел
Магнетон Бора цБ« ^/2/^ = 9,2/ • 10"*' эрг-гс*
Ядерный магнетон ^ = eft/2/Wc = 0,505 ■ 10-м эрг>гс~*
Магнитный момент протона Цр = 2,79 (х.
Магнитный момент нейтрона рп = — 1.91 ця
Соотношение между некоторыми единицами
1 А = 10"» см
1 год s*i« • 104 сел
1 ее = 1,6 • КГ» врг
1 кал = 4,2 дж
1 атм= 10» дин-ел-*
Формула Стирлинга
«I % У2кп [ —) для больших п
Сферические гармоники (для L = 0,1,2 J
334
Yp = T У-L sin в е±'*; K±' = + j/^t cos 0 sin в е±»^
K§ = l/-^ (2 cos» в - sin» 6); Kf 2 = l/-j^- sin* 6 e±21* .
Волновые функции атома водорода
Нормированные волновые функции определяются выражением
tynlm — Rni (r) Y™ ■ Низшие состояния описываются следующими
радиальными частями:
Я,. И -[—)''''&-*"•;
-»-ffl"\t~?l'r"*t
\ 2а0 / а0 КЗ
Векторные соотношения
V (FG) - (FV) G + (GV) F + [F [VG] ] + [G [VF] ]
V (?F) = <PVF + FV?
V[FG] = G[VF]-F[VG]
[VW] = «P[VF]-[WF]
[V [FG] ] = F (VG) - G (VF) + (GV) F - (FV) О
[V [VH 1 = V (VE) - VaF
J-f-'-J*™*
Электромагнитные единицы
Мы использовали гауссову систему единиц или систему
единиц МКСА, которые, как иам кажется, наиболее удобны для
решения задач. Основные уравнения теории в этих двух системах имеют
следующий вид:
335
Система
Гауссова
МКСА
••
1
10"»
36*
V*
1
4*. 1<Г7
D. Н
D = E +
+ 4*Р
Н=В—
— 4тсМ
D=6D£+
+ Р
H--L-
Но
— Л1
Уравнения Максвелла
^D = 4яр
4*
IvH] = — J +
1 dD
+ Т"~дТ
уВ = 0
m + ' • ? -о
с о/
(,vh, = j + _)
уВ = 0
dB
lvE]+_ = 0
Сила
Лоренца
,(*!?)
<? (E + IvB])
Величина
Заряд
Потенциал
Магнитный поток
Магнитная индукция В
Напряженность магнитного
Емкость
поля Н
Единицы
МКСА
1 К
1 в
1 вб
1 вб/л»
1 а-вит/м
1 *
Гауссовы
единицы
3-10 СГСЭ
1/300 »
108 мкс
W гс
4п-10-а s
9.10" см