овые
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
л
О
| Модули римановых
< поверхностей,
^ вещественных
и алгебраических кривых
и их супераналоги

Новые
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
О
СП
<
U
Модули римановых
поверхностей,
вещественных
алгебраических кривых
и их супераналоги
МОСКВА
мцнмо
2003

УДК 515.17 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.15 {издательский проект № 02-01-14098).
НЗЗ
Натанзон С. М.
НЗЗ Модули римановых поверхностей, вещественных алгебраических
кривых и их супераналоги—М.: МЦНМО, 2003.— 176 с: ил.
ISBN 5-94057-058-5
Книга посвящена исследованию топологической структуры пространств модулей
римановых поверхностей и близких к ним пространств: вещественных
алгебраических кривых, пространств отображений и супераналогов всех этих пространств.
Исследованы также важные для приложений топологические свойства тензорных полей
и 6-дивизоров вещественных алгебраических кривых. Многие из этих вопросов ранее
содержались лишь в отдельных журнальных статьях.
Для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в
алгебраической геометрии, топологии и математической физике.
ББК 22.15
© С. М. Натанзон, 2003.
ISBN 5-94057-058-5 © МЦНМО, 2003.

Оглавление
Введение 5
1. Модули римановых поверхностей, пространства типа Гур-
вица и их супераналоги 15
§ 1. Фуксовы группы и их последовательные образующие ... 15
§ 2. Геометрия фуксовых групп 18
§ 3. Свободные фуксовы группы ранга 2 22
§ 4. Пространства типа Фрике—Клейна—Тайхмюллера .... 27
§ 5. Модули римановых поверхностей 32
§ 6. Пространство голоморфных морфизмов римановых
поверхностей 35
§ 7. Поднятие фуксовых групп на SL(2, R) 39
§ 8. Топологическая классификация функций Арфа и пар
функций Арфа 44
§ 9. Топологическая классификация независимых систем
функций Арфа на компактных поверхностях 48
§ 10. Пространство модулей спинорных оснащений 50
§11. Суперфуксовы группы, суперримановы поверхности и их
топологические типы 53
§ 12. Модули суперримановых поверхностей 56
§ 13. N = 2 суперфуксовы группы. N = 2 суперримановы
поверхности и их топологические инварианты 60
§ 14. Модули N = 2 суперримановых поверхностей 62
§ 15. Суперголоморфные морфизмы римановых
суперповерхностей 66
2. Модули вещественных алгебраических кривых и их
супераналоги. Дифференциалы, спиноры и якобианы
вещественных кривых 69
§ 1. Топологический тип вещественных алгебраических кривых 69
§ 2. Модули вещественных алгебраических кривых 73
§ 3. Функции Арфа на вещественных алгебраических кривых 77
§ 4. Поднятие вещественных фуксовых групп 82
§ 5. Спиноры ранга 1 на вещественных алгебраических кривых 86
§ 6. Голоморфные дифференциалы на вещественных
алгебраических кривых 91
§ 7. Аналоги рядов Фурье и теорема Штурма—Гурвица на
вещественных алгебраических кривых произвольного рода 95

4
§ 8. Якобианы и 9-функции вещественных алгебраических
кривых 98
§ 9. Примианы вещественных алгебраических кривых 102
§ 10. Униформизация вещественных алгебраических кривых
группами Шоттки 107
§11. Пространство модулей спинорных расслоений ранга 1 на
вещественных алгебраических кривых 110
§ 12. Вещественные алгебраические N = 1 суперкривые и их
пространство модулей 115
§ 13. Вещественные алгебраические N = 2 суперкривые 120
§ 14. Пространство модулей вещественных алгебраических
N = 2 суперкривых 124
3. Пространства мероморфных функций на комплексных и
вещественных алгебраических кривых 128
§ 1. Накрытия с простыми критическими точками 128
§ 2. Накрытия с единственным сложным критическим
значением 133
§ 3. Пространства комплексных мероморфных функций .... 138
§ 4. Топологическое строение вещественных мероморфных
функций 143
§ 5. Компоненты связности пространства вещественных
мероморфных функций 153
Литература 168

Ирине с любовью и
благодарностью
Введение
Книга посвящена исследованию топологических свойств пространств
модулей римановых поверхностей и близких к ним пространств
алгебраических кривых, пространств отображений и супераналогов всех этих
пространств.
На протяжении всего 20 века пространства модулей римановых
поверхностей являлись объектом постоянного интереса математиков. В
последние два десятилетия эти исследования получили новый стимул в связи с
открытием глубоких связей пространств модулей римановых поверхностей
с теорией струн — современного варианта единой теории поля [87]. Теория
струн приводит к рассмотрению некоммутативного аналога римановых
поверхностей: римановых W = 1 суперповерхностей [27], [6]. Математическая
часть теории при этом сводится к изучению «струнной» меры на
пространстве модулей римановых N = 1 суперповерхностей [7], [88]. Дальнейшее
развитие теории приводит к появлению римановых N = 2
суперповерхностей [25], [29].
Согласно стандартным определениям вещественной
алгебраической кривой называется комплексная алгебраическая кривая (то есть
компактная риманова поверхность) Р, наделенная вещественной
структурой (то есть антиголоморфной инволюцией комплексного сопряжения
т: Р —> Р). Категория вещественных алгебраических кривых изоморфна
категории клейновых поверхностей [1], [66]. Исследования вещественных
алгебраических кривых были начаты в работах Клейна [40]. В
дальнейшем на протяжении значительного периода времени исследователи
интересовались в основном плоскими (то есть вложенными в аффинную
или проективную плоскость) вещественными кривыми. Систематическое
изучение «общих» вещественных алгебраических кривых возобновилось
лишь в 70-е годы [24], [1], [53], [54], [55], [90]. Открытый в 70-е годы в
работах С. П. Новикова и его школы метод алгебро-геометрического
интегрирования уравнений математической физики поставил перед теорией
вещественных кривых ряд новых задач и значительно стимулировал ее
развитие [14], [21], [18], [22], [65], [71], [78]. Другой областью
приложения теории вещественных кривых является конформная теория поля и, в
частности, теория струн [13], [91], [13].
Естественным обобщением пространства модулей являются
пространства отображений алгебраических кривых и римановых поверхностей.
В случае тождественных отображений эти пространства совпадают с

6
Введение
пространствами модулей. В случае отображений на сферу они совпадают
с пространствами мероморфных функций, рассматривавшимися в работах
Гурвица [32]. В последние годы выяснилось, что пространства
голоморфных отображений играют центральную роль в двумерной топологической
теории поля: к ним и к их обобщениям, по-видимому, сводятся
полупростые фробениусовы многообразия в смысле Дубровина [20].
Естественной структурой фробениусова многообразия обладают, в
частности, пространства квантовых когомологий четной размерности [41],
[89]. Для изучения квантовых когомологий нечетной размерности
необходим супераналог фробениусова многообразия [41], [46]. Это делает
актуальным исследование пространств суперголоморфных отображений
римановых суперповерхностей. Другим источником возникновения
суперголоморфных отображений являются суперконформные инстантоны [48],
[49], [50].
Вещественные (то есть сохраняющие вещественную структуру)
голоморфные отображения вещественных алгебраических кривых также
возникают во многих вопросах математики и математической физики.
Вещественные отображения на Риманову сферу (вещественные мероморфные
функции) играют, например, важную роль в теории матричных конечно-
зонных дифференциальных операторов [97].
В книге исследована топологическая структура пространства
модулей римановых (супер)поверхностей и вещественных алгебраических
(супер)кривых и исследованию топологической структуры пространства
(супер)голоморфных отображений римановых поверхностей. В том числе
отображений, сохраняющих вещественную структуру. Кроме того,
исследуются важные для приложений топологические свойства мероморфных
тензорных полей на вещественных алгебраических кривых и
топологические свойства 0-дивизора вещественных алгебраических кривых.
Как правило, мы рассматриваем только случай гиперболических
поверхностей и алгебаических кривых рода больше 1. Для
негиперболических поверхностей и кривых (сфер с менее чем тремя проколами и торов)
соответствующие проблемы проще, но требуют других методов
исследования. Построение топологических инвариантов римановых
суперповерхностей и алгебраических суперкривых основано на исследовании семейств
функций Арфа. Вещественно-аналитическая структура компонент
связности пространств модулей (супер)римановых поверхностей, алгебраических
(супер)кривых и их отображений исследуются с помощью теории (су-
пер)фуксовых групп.
Первая глава называется «Модули римановых поверхностей,
пространства типа Гурвица и их супераналоги». Она состоит из 15
параграфов.

Введение
7
В первых двух параграфах, следуя в основном [38], [52], [55],
исследуются свойства стандартных образующих фуксовых групп на плоскости
Лобачевского А. Основываясь на результатах §§1 и 2, мы переходим к
исследованию пространства Mgtk,m модулей (классов биголоморфной
эквивалентности) римановых поверхностей рода g с k дырами и т проколами.
В §§3, 4 рассматривается пространства Tg£,m стандартных
образующих фуксовых групп Г таких, что Л/Г е MgXm. Мы параметризуем
пространство TgXm специальным, удобным для наших целей образом.
Далее, используя эту параметризацию, доказывается аналог классической
теоремы Фрике—Клейна [28] о том, что пространство Tg%k%m гомеоморфно
/^6g+3*+2m-6 В § 5 исследуется действие на пространстве Tgtktm
группы Modgt*>m гомотопических классов автогомеоморфизмов поверхности
Р е MgXm и воспроизводится теорема Фрике—Клейна [28] о том, что
Mgtk,m = TgXm/ b\oigXm, где действие ModgAm дискретно.
Параграф 6 посвящен голоморфным отображениям (морфизмам)
одной римановой поверхности на другую. Два таких отображения fx: Р\—>Р\
и /2: Рг—*Рг считаются совпадающими, если существуют биголоморф-
ные отображения ср: Р\->Р2 и ср: Рх—>Р2 такие, что ср/,=/2ср. Морфизмы
(Р\, f\, Р\) и (Р2, /2, P2) называются топологически
эквивалентными, если существуют гомеоморфизмы ср: Р\-+Р2 и ср: Р\-+Р2 такие, что
ср/,=/2ф. Класс топологической эквивалентности морфизма называется
его топологическим типом. Зафиксируем топологический тип t и
рассмотрим множество Н1 всех морфизмов этого топологического типа. Мы
вводим естественную топологию на пространстве Н1 и доказываем, что:
Пространство И{ гомеоморфно Rn/ Mod, где Mod — дискретная
группа.
Реализуем плоскость Лобачевского Л как верхнюю полуплоскость
{ze C| Imz > 0}. Тогда группа автоморфизмов Aut(A) совпадает с
PSL(2, R). Обозначим через У: SL(2, R) -> PSL(2, R) = Aut(A)
естественную проекцию. В § 7 для произвольной римановой поверхности
PeMgtktm изучаются подгруппы T*cSL(2, R) такие, что КегУПГ* = 1
и Р = Л/У(Г*). Доказано, что такие группы находятся во взаимно
однозначном соответствии с функциями Арфа на Р, то есть с
отображениями ф: Я,(Р, Z2)->Z2 (где Z2 = Z/2Z={0, 1}) такими, что ф(а + 6) =
= ф(а) +(й(Ь) + (а, Ь) и (.,.) — индекс пересечения в НХ{Р, Z2).
В §§8 и 9 изучаются топологические инварианты функций Арфа и
наборов функций Арфа (<i>i, ..., <о„). Согласно [4], [51]. На компактных
поверхностях функции Арфа о однозначно соответствуют 9-характеристикам и их
единственный топологический инвариант Arf(o) e Z2 совпадает
с четностью соответствующей 9-характеристики, на некомпактных
поверхностях функции о обладают дополнительными топологическими

8
Введение
инвариантами, описанными в §8. Там же приводится нужная для
дальнейшего полная система топологических инвариантов пары (<оь ю2). В §9
доказано, что на компактных поверхностях полная система топологических
инвариантов невырожденной системы функций Арфа (о,, ..., ю„) состоит
из набора чисел {Arf(o/ -I- о, + ог) | /, у, г = 1, ..., п).
Результаты предыдущих параграфов используются в § 10 для описания
топологической структуры пространства Sg,*,m пар (Р, ё)у где P^MgXmy
а е: Е—>Р— одномерное спинорное расслоение. Доказано, что
компоненты связности пространства SgXm находятся во взаимно однозначном
соответствии с топологическим типом функции Арфа на P^MgXm- (Для
компактных поверхностей это следует из [4], [51]). Далее мы доказываем,
что:
Компонента связности S пространства Sgiktfn гомеоморфна
TgXJb\ods, где Mods с Mod^,m.
Заключительные параграфы главы посвящены римановым
суперповерхностям. Мы придерживаемся подхода [6], [45], согласно которому
римановы суперповерхности представляются в виде суперпространства
орбит Р = Л5/Г суперфуксовой группы Г на суперплоскости
Лобачевского As. Каждой римановой суперповерхности Р отвечает обычная риманова
поверхность Р#.
В § 11 мы показываем, что N = 1 риманова суперповерхность Р
порождает функцию Арфа 6>а>: #i(P#, Z2) —» Z2. Более того, для каждой
функции Арфа о: Hx(Qy Z2) —► Z2 на римановой поверхности Q существует
риманова суперповерхность Р такая, что Р# = Q и ыР = о. Топологический
тип t функции Арфа о^ мы называем типом римановой
суперповерхности Р. Ему отвечает топологический тип #/ = (gy ky m) соответствующей
римановой поверхности Р# е MgXm.
В § 12 мы доказываем, что:
Множество римановых N = 1 суперповерхностей произвольного
топологического типа t, где #t = (gy ky m), представляется в
виде VI Mod', где суперпространство V сильно диффеоморфно
суперпространству #<6iH-3*+2m-6|4*+2*+2,n-4)/Z2 и группа Mod< c Mod^,m
действует дискретно.
Параграфы 13 и 14 посвящены N = 2 римановым суперповерхностям.
В § 13 мы связываем с произвольной N = 2 римановой суперповерхностью
Р пару функций Арфа (о},, ю2) и показываем, что для всякой пары функций
Арфа (о1, о2) на римановой поверхности Q существует N = 2 риманова
суперповерхность Р такая, что Р# = Q и (о),, о2) = (о1, о2). Топологический
тип t пары функций Арфа (о},, о2) мы называем топологическим типом
N = 2 римановой суперповерхности Р.
В § 14 мы доказываем, что:

Введение
9
Множество римановых N = 2 суперповерхностей
произвольного топологического типа t представляется в виде Г'/Mod', где
суперпространство V сильно диффеоморфно суперпространству
/?(fllft)/(Z2)2 и группа Mod' e Mod#, действует дискретно.
Зависимости размерности (а\Ь) и группы Mod' от t также указаны.
Последний § 15 главы посвящен супернакрытиям, то есть
суперголоморфным отображениям /: Р->Р N=\ римановых суперповерхностей,
индуцирующим голоморфные (без ветвлений) накрытия /#: Р# —> Р#. Два
суперголоморфных морфизма fx: Рх —* Р\ и /2: Р2 —> Рч считаются
одинаковыми, если существуют суперголоморфные изоморфизмы ср: Р\ —* Р2 и
ср: Р\ —* Р2 такие, что cp/i = /2ср. Будем говорить, что f\ и /2 имеют
одинаковый топологический тип, если существуют гомеоморфизмы ф#: Pf —* Pf
и ф#: Pf —> Pf такие, что ty#ff = /f ф# и с*/,, = ор2ф#.
Мы доказываем, что:
Множество супернакрытий одинакового топологического
типа t образует связное супермногообразие вида V/ Mod/, где V —
суперпространство, сильно диффеоморфное /?(a|ft)/Z2 и Mod/ —
дискретная группа.
Вторая глава называется «Модули вещественных алгебраических
кривых и их супераналоги. Дифференциалы, спиноры и якобианы
вещественных кривых». Она состоит из 14 параграфов.
В § 1 мы описываем, следуя Вайхольду [93], топологические
инварианты (g, ky е) вещественной алгебраической кривой (Р, т). Это род
g поверхности Р, число k компонент связности (овалов) множества
Рх = {р е Р\тр = р} вещественных точек кривой (Р, т) и
{О, если Р\РХ — связно (неразделяющая кривая),
1, если Р\РХ — несвязно (разделяющая кривая).
Единственными ограничениями на набор (g, k, г) являются 0 ^ k ^ g
при е = 0 и l^fc^g+l,fc = g+l (mod 2) при е = 1. Если k — g+ 1, то
кривая (Р, т) называется М-кривой.
В §2, используя результаты §§ 1—4 главы 1, мы доказываем, что
Множество вещественных алгебраических кривых
топологического типа (gy k, г) образует связное пространство вида
TgjkJModgtitte, где TgXt гомеоморфно /?3*"3, a Mod^e — дискретная
группа.
Впервые формулировка эквивалентного утверждения содержится в
статье Earle C.J. [24]. Однако приведенное там доказательство
основано на неверной работе [42]. Первое правильное (основанное на других

10
Введение
идеях) доказательство содержится в [53], [54], [55]. Другое независимое
доказательство этой теоремы содержится в [90].
Параграф 3 посвящен функциям Арфа на вещественных
алгебраических кривых (Р, т), то есть функциям Арфа о: /У|(Р, Z2) —* Z2 таким, что
от(а) = о(а) для всех а е Н\(РУ Z2). Это важное для дальнейшего понятие
эквивалентно вещественной 9-характеристике в смысле [30]. Мы
строим набор топологических инвариантов функций Арфа на (Р, т), полнота
которого доказывается в § 11. Для каждого такого набора (названного
топологическим типом) указано число соответствующих^функций Арфа.
Пусть SL±(2, R) = {А е GL(2, R) | det A = ±1} и Aut(A) группа изоме-
трий плоскости Лобачевского Л = {г е С | Imz > 0}. Продолжим
построенный в §7 главы 1 эпиморфизм У: SL(2, R) —* Aut(A) до эпиморфизма
У: SL±(2, R) —> Aut(A), положив У(~0 i) = —z. В §4 исследуются
группы Г* с SL±(2, R) такие, что КегУ ПГ * = 1 и Л//(Г*) = Р/(т). Выявлена
их взаимосвязь с функциями Арфа на (Р, т). Кроме того, доказано, что
группа Г* определяет ориентацию на овалах кривой (Р, т).
Результаты §§3 и 4 позволяют установить в §5 взаимно однозначное
соответствие между вещественными (то есть инвариантными относительно
антиголоморфной инволюции) спинорными расслоениями над
вещественной кривой (Р, т) и неособыми функциями Арфа на (Р, т). Симметричные
относительно антиголоморфной инволюции т голоморфные сечения
вещественного спинорного расслоения называются вещественными
спинорами. Мы доказываем, что вещественные спиноры индуцируют ориентацию
на овалах вещественной кривой. Более того, эта ориентация, а также
четность числа нулей спинора на овале определяется значениями
соответствующей функции Арфа на явно указанных циклах. Это позволяет строить
вещественные спиноры с предписанными свойствами.
Параграф 6 посвящен вещественным дифференциалам на
вещественных кривых (Р, т), то есть симметричным относительно т голоморфным
дифференциалам на Р. Ориентируем овалы Рх вещественной
алгебраической кривой таким образом, чтобы при е(Р, т) = 1 ориентация Рх
индуцировалась ориентацией одной из компонент связности дополнения Р\РХ.
Симметричная (то есть ти(р) = и(р)) локальная карта z: U —»С переводит
вещественные точки Рх C\U овала с С Рх в вещественную прямую R С С.
Выберем локальную карту так, чтобы ориентация овала с задавала на
множестве z(Px П U) ориентацию по возрастанию значений R. В такой
локальной карте вещественный дифференциал принимает вещественные
значения на овале, причем знак этого значения не зависит от произвола
в выборе карты. Результаты §5 позволяют доказать, что на неразделя-
ющих кривых вещественные голоморфные дифференциалы реализуют все

Введение
11
комбинации знаков значений на овалах. Исследованы ограничения,
возникающие на разделяющих кривых и, в частности, доказано, что:
Для всякого вещественного дифференциала на М-кривой
существует овал, на котором он во всех точках положителен, и овал,
на котором он во всех точках отрицателен.
В §7 на произвольной разделяющей вещественной алгебраической
кривой строятся вещественные тензоры sin*(jt), cosjj(jc) веса X е Z U (Z 4- 1/2),
обобщающие классические тригонометрические функции. Они строятся
«симметризацией» тензорных полей, использованных И. М. Кричевером и
С. П. Новиковым [43] для построения конформной теории поля на
комплексных алгебраических кривых. Для построенных нами функций мы
доказываем аналог теорем сложения тригонометрических функций, аналог
теорем Фурье о разложении в ряд вещественных периодических функций
(в нашем случае вещественных тензоров) и следующий аналог теоремы
Штурма—Гурвица [33]:
Пусть (Р, т) — вещественная алгебраическая кривая типа
(gy ky 1). Пусть X ф О, 1 или п > |. Тогда тензор F = Y^(aicos* +^/sm])
(a,, bi е Ш) имеет на овалах Рх не менее 2п - g нулей.
В §8 мы используем найденные в §6 свойства вещественных
голоморфных дифференциалов для описания вещественных и мнимых торов
якобиана произвольной вещественной кривой. Указывается явный вид этих
торов и то, какие из них пересекаются с 0-дивизором. Впервые это было
сделано в [26] для разделяющих кривых и в [21] для неразделяющих. Эти
результаты были использованы в дальнейшем для описания важных для
физики решений уравнения Кадомцева—Петвиашвили [22].
В §9 результаты §§6 и 8 используются для описания вещественных
торов примианов вещественных кривых (Р, т) с голоморфной инволюцией
а: Р—>Р, ат = та, имеющей ровно 2 неподвижные точки. В этом случае
(Р/(а), т/(а)) — вещественная кривая некоторого типа (g, fe, г). Мы
доказываем, в частности, что:
При г = 0 все вещественные торы примиана пересекают В-ди-
визор. При I = 1 не более одного вещественного тора примиана не
пересекает в-дивизор, причем при k = g+ 1 такой тор всегда
существует.
Эти результаты используются в [65] для описания неособых
потенциалов вещественных двумерных операторов Шредингера типа Веселова-
Новикова.
Разработанная в главе 1 §§ 1—4 параметризация пространства Фри-
ке—Клейна—Тайхмюллера была использована А. И. Бобенко [9], [10] для
параметризации «типа Шоттки» пространства вещественных алгебраиче-

12
Введение
ских кривых. В § 10 мы воспроизводим конструкции А. И. Бобенко. Их
аналог для кривых с инволюциями был использован в [65] для построения
вещественных двумерных операторов Шредингера.
В § 11 мы возвращаемся к спинорам и доказываем, что:
Компоненты связности пространства модулей вещественных
спинорных расслоений ранга 1 взаимно однозначно отвечают
(определенным в §3) топологическим типам неособых вещественных
функций Арфа. Каждая компонента S диффеоморфна ]R3*-3/ Mods,
где g— род кривых Р, a Mods — дискретная группа.
Последние три параграфа главы 2 посвящены вещественным
алгебраическим суперкривым. Мы определяем их как пары (Р, т), где Р—риманова
суперповерхность с компактной числовой частью Р#, а т: Р-+Р—суре-
рантиголоморфная инволюция.
В § 12 мы сопоставляем вещественной N = 1 суперкривой (Р, т)
вещественную алгебраическую кривую (Р#, т#) и вещественную функцию Арфа
(о = <о(Р, т) на (Р#, т#). Топологический тип функции Арфа о называется
топологическим типом суперкривой (Р, т). Мы доказываем, что:
Компоненты связности пространства модулей вещественных
алгебраических N = 1 суперкривых взаимно однозначно отвечают
топологическим типам неособых вещественных функций Арфа.
Каждая компонента S имеет вид Т/ Mod5, где Т — сильно диффео-
морфно суперпространству ]R(3*-3|2*-2)/Z2, g— род
соответствующих суперкривых, a Mods — дискретная группа.
В § 13 описывается система инвариантов N = 2 вещественных
суперкривых, которую мы называем топологическим типом вещественных
алгебраических N = 2 суперкривых. В § 14 мы доказываем, что:
Топологические типы взаимно однозначно отвечают
компонентам связности пространства модулей вещественных
алгебраических N = 2 суперкривых. Каждая компонента S имеет вид 7/Mods,
где Т — сильно диффеоморфно суперпространству /?(а,Ь)/(2У2, а
группа Mods действует дискретно.
Найдена также зависимость размерности (а\Ь) и группы Mods от
типа 5.
Третья заключительная глава называется «Пространства мероморф-
ных функций на комплексных и вещественных алгебраических кривых».
Глава состоит из 5 параграфов.
Мероморфную функцию на комплексной алгебраической кривой Р
можно рассматривать как голоморфное отображение /: Р—>5 на сферу
Римана 5 = CUoo. Мероморфные функции (Р,, /,) и (Р2, /2) считаются
совпадающими, если существуют биголоморфное отображение ср: Р\ —> Р2
такое, что fx = /2ср. Точки р е Р, где df(p) = 0, называются критическими

Введение
13
точками /, а их образы f(p) eS — критическими значениями f.
Критические значения seS, где прообраз /~'(5) состоит из deg/- 1 точек,
называются простыми критическими значениями. Множество //£„ всех
мероморфных функций рода g степени п обладает естественной
топологией. Подмножество /У°„, состоящее из функций с простыми полюсами и
простыми конечными критическими значениями, называется
пространством Гурвица. Оно является открытым подмножеством, замыкание
которого совпадает с //£„. Согласно классической теореме Гурвица [32]
H°gn — связное множество.
В первых трех параграфах главы 3 мы исследуем обобщеннное
пространство Гурвица Hg(r\t ..., rk) с //£„, состоящее из мероморфных
функций с простыми конечными критическими значениями и с дивизорами
полюсов вида Г\рх +... + rkpk. Группа Aut(C) естественно действует на
Hg(ru ...,/*) сдвигами /н-> Af + В (А е С\0, В еС). Согласно [19], [20]
пространства HR{r\, ..., rk) обладают естественной структурой фробени-
усова многообразия, а их естественные обобщения описывают все такие
многообразия [74].
Первые два параграфа посвящены доказательству топологической
эквивалентности (в смысле главы 1 §6) функций из Hg(r\y ..., rk).
Используя этот факт и результаты §6 главы 1, мы доказываем, что:
Пространство Hg(ru ..., rk) связно, а пространство Hg(r]y...
4(£+п-2)-2£(гу-1)
... , rk)f Aut(C) гомеоморфно Т/ Mod, где T = R '=' и Mod —
дискретная группа.
Для случая лорановских полиномов (рациональных функций рода 0 с
дивизором полюсов, состоящим из 2 точек) этот результат был получен
ранее В.И.Арнольдом [3] с помощью глубоких методов теории
особенностей.
Параграфы 4 и 5 посвящены описанию компонент связности
пространства вещественных мероморфных функций. Вещественная мероморф-
ная функция — это набор (Р, т, /), где (Р, т) — вещественная
алгебраическая кривая, а (Р, /) — мероморфная функция такая, что f(\p) =f(p).
Функции (Р|, Т|, /|) и (Р2у т2, /г) считаются совпадающими, если
существует биголоморфное отображение ср: Р\ —* Р2 такое, что f\ = /2ф и cpxi = т2ср.
Определение вещественной мероморфной функции является
аксиоматизацией свойств вещественной алгебраической функции, т.е.
алгебраической функции f = f(z)y задаваемой уравнением
а0(г)Г + а1(г)р-1+... + аа(г)=0,
коэффициенты которого at{z) — полиномы с вещественными
коэффициентами. Инволюция (/, z) —* (/, z) задает антиголоморфную инволюцию

14
Введение
т: Р—>Р римановой поверхности Р функции /(z), причем f(ip)=f(p).
Нетрудно показать, что так может быть построена любая вещественная
мероморфная функция.
Если (Р, т, /) — вещественная мероморфная функция, (Р, /) е Н^п и
Ci,...,c* — овалы кривой (Р, т), то f(Cj) С S0 = Ш U оо. Это позволяет
определить степень ii функции (Р, т, /) на овале сг При (Р, т) е Mgtkto
топологическим типом функции (Р, т, /) назовем набор (g, я, 0|/|, ..., /*)•
В случае (Р, т) е MgX\ возникает ряд новых топологических инвариантов
(в частности, степени на овале можно приписать знак), которые
формируют набор (g, я, 11/,,..., /*|х), также названный топологическим типом
функции (Р, т, /). Мы находим все возможные значения топологических
типов и доказываем что:
Множество вещественных мероморфных функций (Р, т, /)
одинакового топологического типа образует связное топологическое
пространство размерности 2(g + п — 1), где g и п — род и степень
функций.
Благодарности
Я благодарен В. И. Арнольду, Э. Б. Винбергу, С. П. Новикову,
А. С. Шварцу, познакомивших и заинтересовавших меня проблемами,
которым посвящена эта книга.
Работа над книгой была поддержана грантами РФФИ-01-01-00739,
РФФИ-02-01-14098, NWO 047.008.005 и INTAS-00-0259.

Глава 1
Модули римановых поверхностей,
пространства типа Гурвица и их супераналоги
§ 1. Фуксовы группы
и их последовательные образующие
Напомним, что верхняя полуплоскость
A = {zeC|Imz>0}
обладает метрикой Лобачевского постоянной отрицательной кривизны
ds= -—-. Ее геодезические—это полуокружности и полупрямые,
ортогональные R. Группа голоморфных автоморфизмов Aut(A) = PSL(2, R)
совпадает с группой сохраняющих ориентацию изометрий метрики
Лобачевского.
Множество Aut(A) \ id распадается на подмножества эллиптических
Aut0(A), параболических Auti(A) и гиперболических Aut2(A)
автоморфизмов, имеющих, соответственно, 0, 1 и 2 неподвижные точки на абсолюте
aA = R U оо.
Параболический автоморфизм с конечной неподвижной точкой
а е R имеет вид
С(г)
_ (1 -ау)г + а2ч
-тг + (1+аТ)'
где у называется параметром сдвига. Автоморфизм С назовем
положительным, если у > О- В этом случае С(г) > г при г € R \ а. На верхней
полуплоскости автоморфизм С удобно
изображать как на рис. 1.1.1, где 1(C) =а. i(Q
Гиперболический автоморфизм с конечной £,q
неподвижной притягивающей точкой а и
конечной неподвижной отталкивающей точкой р имеет а а р
вид
г ы (Xtt-p)z+(l-X)otp Рис, 1ЛЛ
^yZ) (X-l)z + (a-Xp) '
где X > 1 называется параметром сдвига. Автоморфизм С назовем
положительным, если a < р. В этом случае С(г) > г при г е R \ [а, р] и
С(г) < г при re (a, P). На верхней полуплоскости автоморфизм С удобно
изображать как на рис. 1.1.1, где £(С) С А — единственная инвариантная
относительно С геодезическая геометрии Лобачевского.

16
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Для автоморфизмов С|, С2 с конечными неподвижными точками на R
положим С\ < С2, если все неподвижные точки С\ меньше любой
неподвижной точки С2. Набор {С|, С2, С3} С Aut^A) U Aut2(A) назовем
упорядоченным, если С| • С2 • С3 = 1 и существует D е Aut(A) такой, что
автоморфизмы С, = DCfD'1 (i= l, 2, 3) имеют конечные неподвижные точки,
положительны и С{ < С2 < С3- Упорядоченный набор {Сь С2, С3}
назовем последовательным, если {C|C2Cj"', C|, C3} — также упорядоченный
набор. Набор {Сь ..., С„} назовем последовательным типа (О, fe, га),
если для любого i = 1, ..., п - 1 наборы {С\... С,_|, С,, С,+|... Сп} —
последовательные, причем п = k + га, С, G Aut2(A) при i ^ £ и С,- G Aut|(A)
при / > k.
Для геометрических рассуждений удобно перейти от верхней
полуплоскости А к внутренности круга Н = {z е С | \z\ < 1}. Группа ее голоморфных
автоморфизмов Aut(#) также распадается на эллиптические (Aut0(W)),
параболические (Aui\(H)) и гиперболические (Aut2(W)) автоморфизмы,
имеющие, соответственно, 0, 1 и 2 неподвижные точки на абсолюте
дН = {z е С | \z\ = 1}. Биголоморфный изоморфизм ф: Л —► Н
переводит метрику на Л в инвариантную относительно Aut(#) метрику на //, в
которой геодезические — это дуги окружностей, ортогональные дН. При
этом
Autl(^) = 9Autl(A)9-1.
Для Се Aut,(W)uAut2(W) положим £(С) = ф(%-'Сф)). Набор {С,,...
... , Сп} е Aut(W) назовем последовательным, если {ф~'С|ф, ...
..., Ф"'Сяф} G Aut(A) — последовательный набор. Согласно нашим
определениям, ему отвечает рис. 1.1.2, где
/=С/С/+,...СЯ-|СЯ(/(С|))
лежит между £(Cf-\) и £(Cj).
Напомним, что дискретная подгруппа
группы Aui(H) или Aut(A) называется фук-
совой группой. Мы будем рассматривать
только фуксойы группы без эллиптических
элементов. Поэтому далее под фуксовой
группой мы понимаем дискретные
подгруппы Aut(W) или Aut(A) без эллиптических
элементов.
Лемма 1.1. Последовательный набор V= {С,, ..., Сп} с Aut(W)
типа (О, k, т) порождает фуксову группу Г. При этом Н/Т —
сфера с k дырами и m проколами.

§ 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ И ИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ
17
Доказательство. Пусть сначала k > 0. Рассмотрим точку 0\ с
с£(С\) и положим О/= С/С/+| ...Ся(0|) (см. рис. 1.1.2). Пусть г, —
пересекающий £(С() геодезический луч с началом в точке О, и концами в
точке абсолюта. Тогда d( = С,"1/*, — геодезический луч с концом 0|+|. Лучи
{г,, di (i = 1, ..., п)} ограничивают некомпактную область М. Наше
определение гарантирует, что последовательность многоугольников
Му С,М, СХС2М, ..., С,...СЯ_,Л*
реализует однократный обход вокруг точки 0\. Согласно [95] отсюда
следует, что М — фундаментальная область для порожденной {Сь ..., Сп}
группы Г. Автоморфизм С, отождествляет г, и diy образуя на
поверхности НIГ дыру при i < k и прокол при / > k. Эта конструкция годится и в
случае k = 0, если в качестве точки 0\ взять точку, достаточно близкую к
неподвижной точке параболического автоморфизма С\. □
Последовательным набором типа (gy ky m) назовем набор
{Л,, Я,,..., Л,, Я,, С,,...,СЯ}
такой, что Л,, Я;f (i = 1, ..., g) — гиперболические автоморфизмы и
{Аи яиг'яг1..... л*. вша-1в;\ сь •••• СЛ
— последовательный набор типа (0, 2g + fe, m).
Поверхность рода g с k дырами и т проколами назовем
поверхностью типа (g, fe, т). Будем говорить, что фуксова группа Г с Aut(W)
(соответственно, Г С Aut(A)) имеет тип (g, k, т), если Я/Г
(соответственно, Л / Г) — поверхность типа (g, ky m).
Теорема 1.1 ([38], [52]). Последовательный набор типа (gy ky m)
порождает фуксову группу Г типа (gy k, m).
Доказательство. Пусть {А\у Яь ..., Agy Bgy Cg+\y ..., Сп} е
е Aut(W)— последовательный набор типа (gy m, k). При g = 0
утверждение следует из леммы 1.1. Пусть g > 0. Положим С, = [ДЯ, ] (i = 1, ..., g).
Наши определения гарантируют расположение геодезических £(А;)У £(В^У
£(С()У показанное на рис. 1.1.3. Пусть 0\ е£(С\) и М — многоугольник,
построенный при доказательстве леммы 1.1.
При i < g заменим лучи riy dt на геодезические сегменты с вершинами
0„ А^А~'01у B-*Ar>Oiy Л-'О,, BiAiBriA~iOi = 0/+I.
В результате получим новый многоугольник М (см. рис. 1.1.3). Наши
определения гарантируют, что многоугольники
Му ДМ, A\BsMy АХВХА?М, С,М, СХА2МУ С,А2В2МУ
С\А2В2А^МУ C,C2Af, ..., С,С2...СЯ_,Л1

18
Глава 1. Модули римановых поверхностей
реализуют обход вокруг точки 0\ и, следовательно (см. [95]), множество
{Л|, ..., Сп} порождает фуксову группу Г. Легко проследить, что каждая
пара (Д, Bi) порождает ручку поверхности Н/Г. Поэтому Н/Т —
поверхность типа (g, ky m). □
Рис. 1.1.3
§ 2. Геометрия фуксовых групп
Пусть Р—поверхность типа (gy ky m). Систему образующих
v = {aiy bi (i= 1, ...,g), Ci (i = g+ 1, ..., n)}
группы 7ii(P, p) назовем стандартной, если v порождает к\(Ру р) с
определяющим соотношением
и представляется набором простых контуров
v = {aiy hi (i= 1, ...,g),c, (* = g+ 1, ..., л)}
со следующими свойствами:
1) контур Ci гомологичен 0 и отсекает от поверхности Р одну дыру при
i^ g + k и один прокол при i> g + k\
2) а, П 6У = а, П су = 6, П су = с, П с} = р\
3) в окрестности точки р контуры v расположены как на рис. 1.2.1.

§ 2. Геометрия фуксовых групп 19
В этом случае набор контуров v расположен на Р, как показано на
Рис. 1.2.1 Рис. 1.2.2
Пусть теперь Г с Aut(#) — фуксова группа, Р = Н/ГУ Ф: Н—> Р —
естественная проекция v\q еФ~1(р). Сопоставим автоморфизму С е Г
ориентированный геодезический отрезок lq(C) С Я с началом q и концом C(q).
Соответствие С»-+ Ф(£д(С)) порождает изоморфизм Ф^: Г —* К\(РУ р).
Лемма 2.1. Пусть V = {А,, Д, (i = 1, ..., g)y Ct (i = g + 1, ...,
непоследовательный набор типа (g, k, m), Г — фуксова группа,
которую он порождает, и Р = Н/ Г. Тогда vq = Фд(У) — стандартная
система образующих группы к\(Р, р).
Доказательство. Рассмотрим фундаментальную область Му
построенную при доказательстве леммы 1.1 и теоремы 1.1 (см. рис. 1.1.3).
При i>g соединим точки О, и Oi+l попарно непересекающимися
отрезками d С М (здесь 0„+i = Oi). Рассмотрим на Н геодезические сегменты
ai = [Oh ДД-Мг'О,], bi = [AiB^A~lOh BTxATxO\
Тогда естественная проекция Ф: И—*Р порождает стандартную систему
образующих
Ко, = {*(*/). Ф(6/) (i = 1, .... Й, Ф(с,) (i = g+ 1, ..., я)}€*,(Р, Ф(0,)).
Непрерывный перенос точки 0\ в q переводит V0i в стандартную систему
образующих Vq. D
Цель настоящего параграфа — доказать обращение этой леммы.

20
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Теорема 2.1 ([52], [36], [37], [38]). Пусть Г с \и\(Н) — фуксова
группа типа (gy ky т), Р = И / Г, Ф: Н -> Р — естественная проекция и
v = {aiy bi (i = 1, ...,g),c, (/ = g+ 1, ..., я)}
— стандартная система образующих группы щ(РУ Ф(*7)). Тогда V =
= &~](v) — последовательный набор типа (gy ky m).
Для доказательства, основанного на [52], нам понадобится несколько
дополнительных определений и лемм.
Пусть а — контур, представляющий элемент
а ек\(Ру Ф(<7)). Будем обходить контур а,
начиная с точки Ф(^), «поднимая» этот обход на Ну
начиная с точки q. После бесконечного числа
обходов в обоих направлениях мы получим линию
1(a) С М с концами в неподвижных точках
автоморфизма А = Ф~*(а) (см. рис. 1.2.3).
Лемма 2.2. Если а не имеет
самопересечений, то h£(A) и 1(A) не пересекаются при всех
AG Г.
Доказательство. Пусть hl(A) и 1(A)
пересекаются при h е Г. Тогда hl(a) и 1(a) также пересекаются (см.
рис. 1.2.3). □
Лемма 2.3. Пусть контуры а, Ъ представляют элементы а, Ь е
е 7i|(P, Ф(*7)). Пусть существует малая деформация контуров a ub,
переводящая их в непересекающиеся контуры. Тогда
Доказательство. Если
то 1(a) и 1(b) пересекаются так, что их пересечение нельзя исключить
малой деформацией (см. рис. 1.2.3). □
Лемма 2.4. Пусть контуры С\, с2, с3 не имеют
самопересечений и представляют элементы с,, с2, с3 Gk,(P, Ф(^)) такие, что
С\ - с2- с3 = 1. Пусть существует малая деформация контуров 1\, с2
и с3, переводящая их в попарно непересекающиеся контуры. Тогда
или набор
{Ф,-'(С.),Ф7'(С2),Ф,-,(С»)}.
или набор
{Ф-,(с3-,),Ф-,(с2-|),Ф-|(сГ1)}
является последовательным.

§ 2. Геометрия фуксовых групп 21
Доказательство. Положим С1 = Ф~](с(). Согласно лемме 2.3,
£(С\) Г\£(С2) = 0. Предположим, что £(С\) и £(С2) расположены как на
рис. 1.2.4.
Рассмотрим дуги а=(а!,а2) и р = (р,,р2) на дН. Тогда С^аСа,
С2а С а, откуда С^'а = С\С2а С а. Аналогично С^'Р С р. Таким образом,
£(С3) проходит так, как показано пунктиром на рис. 1.2.4. Но тогда
согласно лемме 2.2, С^(Сз) С Л^ и, следовательно, С$2 € N\. Это невозможно,
поскольку
c,p2 = C3-,c2-,p2 = c3-,pcyv2.
Таким образом, £{С\) и £{С2) расположены как на рис. 1.2.5 или рис. 1.2.6.
Рис. 1.2.4 Рис. 1.2.5 Рис. 1.2.6
Аналогичное утверждение верно также для пар (С2, С3) и (С3, С\).
Отсюда следует, что или набор {Сь С2, С3}, или набор {С^\ Q"1, Cj"1}
являются упорядоченными в смысле § 1.
Аналогично, упорядоченными являются наборы {С\С2С\\ Сь С3}
или наборы {Сз"\ С\\ CiQr'Cj-1}. Среди наборов {Сь С2, С3} и
{Сз-1, Cj"1, C\C2]C^]} упорядоченным может быть только один. Таким
образом, или наборы {С\у С2, С3}, {С\С2С^\ Сь С3}, или наборы
{Сз-1, С2\ С^]}> {Q"1» С^\ С\С2*С~^1} являются упорядоченными. □
Доказательство теоремы 2.1. Положим А( = Ф~](а()у В, =
= ф-,(6/), С,-= Ф~,(с|). Рассмотрим наборы
{*,, ...,^+я} = {а,, bxa;]b;\ a2, ..., Ьеа~]Ь~\ cg+]y ..., с„}
и
{*.,..., W = {Л„ ДИг'ДЛ ^2,..., ^Л;,Б;1, С,+|,.... Ся}.
Применяя лемму 2.4 к наборам
\Х\ • . . . • */_|, Xt, Xi+\ • . . . • *g+n},
находим, что или все наборы вида
{Х\ •... • X/_i, X/, Xi+\ •... • Xg+„},

22
Глава I. Модули римановых поверхностей
или все наборы вида
{Xg+n * ••• *^/+i» %£ » %i-
г...-хт1}
являются последовательными. То есть или набор {Х\, ..., Xg+n}, или набор
{Xg+n> • • •» ^Г1} является последовательным. В последнем случае,
согласно лемме 2.1, контуры, представляющие a,, ft,-, с,, расположены не так,
как на рис. 1.2.1, и, следовательно, именно набор {Х\, ..., Xg+n} является
последовательным набором типа (0, 2g + ky т). Значит, набор
{А, Д (/=l,...,g), Cy(/ = g+l,...,n}
является последовательным типа (gy ky т). □
§ 3. Свободные фуксовы группы ранга 2
Согласно теоремам 1.1 и 2.1, всякий последовательный набор типа
(gy ky m) порождает фуксову группу типа (g, ky m) и всякая фуксова группа
типа (g, k, m) порождается последовательным
набором. В этом параграфе мы найдем все (с
точностью до сопряженности в Aut(A))
последовательные наборы типов (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2)
и (1, 1,0), что дает описания всех фуксовых групп
ранга 2.
Лемма 3.1. Всякий упорядоченный набор
{С\у С2, С3} является последовательным.
Доказательство. Неподвижные точки
сдвигов С, разбивают абсолют на 6 дуг у/,
изображенных на рис. 1.3.1.
неподвижные притягивающая и отталкивающая точки
Рис. 1.3.1
Пусть а и р-
сдвига С\С2С^\ Тогда
е(С,С2С;]) = САС2) и PgY4UY5UY6.
С другой стороны,
САС2) = С^С2-Ч(С2) = С^1(С2) и PGY3UY2Uy.UY6.
Таким образом, р е Y6- Аналогично, a G Y6- То €СТЬ {C|C2Cj , С|, £*3/ ТЗК-
же упорядоченный набор. □
Лемма 3.2 ([55]). Пусть
Ctz^\,z (X,>1), C2(z)
_ (X2a-P)z+(1 -X2)otP
(Х2-1)2+(а-Х2р)
С3 = (С,С2)-1.
(Х2 > 1)

§ 3. Свободные фуксовы группы ранга 2
23
Тогда {С\у С2, С3} — последовательный набор, если и только если
°<(тт^)!е«°<е<- <м>
При этом С3 6 Aut|(A), если и только если
/>A7+yftA2B
Доказательство. По условию
Ч W-Л, (X2_,)z+(a_X2p) •
Неподвижные точки С3 — это корни уравнения С3\х) =x, то есть
(Х2- ^-(Хгр-а-Х.р + Х.Хгсфс + ХДХг- 1)ар = 0. (1.2)
Следовательно: 1) С3 6 Aut2(//), если и только если
(а + Х,Х2а - Х,р - Х2р)2 - 4Х,Х2(р - а)2 > О,
то есть
2) С3 G Aut\(H)y если и только если
(а + Х,Х2а - Х,р - Х2р)2 - 4Х,Х2(Р - а)2 = О,
то есть
а = , . \ J P или а = JL- : р.
Пусть теперь {Сь С2, С3} — последовательный набор и а^р — корни
уравнения (1.2). Тогда 0 < a < р < а (рис. 1.3.2),
откуда
Х2р - a - Xip 4- XjX2a = a + р Q
2(Х2-1) 2 Р*
pa p
То есть, ввиду Х|Х2 - 1 > \\ -I- Х2 - 2, имеем Рис. 1.3.2
Х,+Х2-2 Х,4-Х2-24-2(1-лА^) =
a Х,Х2-1 Р Х,Х2- 1+2(1 ->/hb) P
h 4- Х2 - 2лА1Х^
Х|Х2 — 2уХ|Х2
+ 1Р V лДДг - 1 /

24
Глава I. Модули римановых поверхностей
Следовательно,
Пусть теперь
и а^р — корни уравнения (1.2). Соотношение р<а эквивалентно паре
соотношений
ар>р2, (1.3)
(Х2 - 1)Р2 - (Х2р - а - Х,р + Х,Х2а)р + Х,(Х2 - 1)ар > 0. (1.4)
Соотношение (1.3) очевидно ввиду неравенства
->-»*>Ц$££)>>С
Соотношение (1.4) следует из неравенства
Х2р2-р2-Х2р2 + ар + Х1р2-Х1Х2ар + Х1Х2ар-Х1ар = (Х1-1)(р2-ар)>0.
Таким образом, р < а. Знак С3 совпадает со знаком С3(0) = C^'Cf'(0) > 0.
Следовательно, {Сь С2, С3} — упорядоченный набор, который согласно
лемме 3.1 является последовательным. □
Лемма 3.3. Пусть
С,(г) = \г (Х>1), С2(2) = ^7ГТЙ (Y>0)
и С3 = (С|С2)"1.
Тогда {С]у С2, С3} — последовательный набор, если и только если
ау ^ —= . При этом С3 G Aut|(#), если и только если ау = —~ .
v X — 1 v X — 1
Доказательство. По условию
c3(z)=x(l-flT;f+fl2y.
Неподвижные точки С3 — это корни уравнения
ух2 - (1 + ау - X + \ау)х + Xa2Y = 0. (1.5)
Следовательно,
1) С3 G Aut2(W), если и только если
(1 -I- ау - X 4- Хау) > 4Хагу , то есть ау >
vfi-Г

§ 3. Свободные фуксовы группы ранга 2
25
2) Сз G Aut^W), если и только если
(1-1- ау — X -I- Хау)2 = 4Ха2у2, то есть ау
у/\- Г
Пусть теперь ау ^ —^= и а^р— корни уравнения (1.5). Тогда
v X — 1
ар = Ха2 > а2 и уа2 - (1 + ау - X 4- Хау)а -I- Ха2у = а(Х - 1) > 0.
Следовательно, 0 < а < а и {С\у С2, Сз}—упорядоченный набор, который согласно
лемме 3.1 является последовательным. □
Лемма 3.4 ([52]). Пусть
Л(~\ = ^А*А ~$a)z + (\ - Хл)алрл р/гч _ (XflQtfl - $b)z + 0 ~ Хд)адРд
л^; <Ь-\)г + (*А-\АРл) ' K) (Xfl-l)2 + (afl-Xflpfl)
C-l=[A,B](z) = \z (X,,Xfl,X>l).
7Ьгда {/4, Б, С} является последовательным набором типа (1, 1,0),
если w только если
-оо < ал < pfl < Рл < afl < 0, (1.6)
£d<VX, ^<VX, (1.7)
Рл afl
Х, = ^"Р\ Xfl = pflV^-afl, (1.8)
p^vX-a^ aflvX-pfl
aePflX - [(a, + P„)(afl + pfl) - a^ - aflpfl]VX + a^ = 0, (1.9)
причем в этом случае
A(z) = (ал 4^)^2-0^(^+1) = (ад4рд)г-адрд(у^4 1)
(Л41)2-(ал4рл) ' (^4 1)2-(ая4ря)^Х '
Доказательство. Пусть {Л, В, С} — последовательный набор
типа (1, 1,0). Тогда {/4, ВА~]В~\ С} — последовательный набор, откуда
-оо < ola < pfl < afl < 0 (см. рис. 1.3.3).
Рассмотрим А = АВАВ~^А~^ = АС. Тогда
(Хлал - рл)(1/Х)г 4(1- Хл)алрл = д( , = (\А*-Р)г + (\ -Хл)ар
(X, - 1)(1/Х)2 4 Ы - Хлрл) К ' (X, - 1)2 4 (а - X^P) '
(где а < р — неподвижные точки А). Отсюда
(1 -Хл)алрл = (1 -ХЛ)ар
(1/Х)(Хл - 1) (Х„ - 1)

26
Глава I. Модули римановых поверхностей
(оц-рл)2 1
(«-Р)2 *'
Первое равенство влечет о^Рл = г- ар и, следовательно,
(ос + Р)2 = (а - р)2 + 4ар = Х(а, + р,)2.
Таким образом, равенство
- I в _ (Х/)" - Р) - (& ~ Х^Р) = ' А(^«м - Рл) - («м - хлРл)
Р Хл-1 1/Х(Х„-1)
влечет
(Х,а,-р,)-Х(а,-Х^) = ^ + м
(Х/4 — 1)
Ввиду \/\ф\, отсюда следует
уК_ рл - алХл -алХл _ ац_
ад - рА\А -р^Хл р^ '
то есть
^ _ о^У^Х-рл
р^лД-а^
Аналогично
•V Ра>Д - afl
Лд — 7=
aflVX - ре
и
ад
Таким образом,
A(z) = fa+Pj)vfiz-<Mft«(vfl+l) ~ v = (ад + Рд)г - адрд(у^4- 1)
(v£+l)z-(ou+ftO ' (v^+l)z-(afl4-pfl)v^ '
Соотношение [Л, £](z) = Xz влечет (1.9).
Пусть теперь выполняются (1.6)—(1.9). Положим
д(г) = (ал+Рл)У^-сцРл(уА+1) £, , = (ад + pfl)z - aflpfl(yft + 1)
(^Х+Ог-^+рл) ' (v^+i)z_(afl+pfl)v^-
/(/1) /(в) t(BA -'в"')
Pfl Рл а
Рис. 1.3.3

§ 4. Пространства типа фрике—клейна—тайхмюллера
27
Тогда A(ola)=olA9 А(рА)=рАу_В(<хв) = *в и В($в)=рв. Согласно (1.9),
[Л, В] = С~1. Поэтому {Л, ВА~ХВ~\ С} — упорядоченный набор,
который согласно лемме (3.1) является последовательным. Таким образом,
{Л, В, С} — последовательный набор типа (1, 1,0). Как уже доказано,
д2= (Хлоц - Pa)z + (1 - Хл)алрл
(кА- \)z + (aLA-\ApA) '
где
г _ 0LAy/\-fiA -
*а — z—1= — ла>
$А\/\-(ХА
Следовательно, А = А. Аналогично В = В. П
§ 4. Пространства типа
Фрике—Клейна—Тайхмюллера
1. Пусть у*,* — группа, порожденная образующими
f = f*.n = {fli, h (i= 1, ...,g), Ci (i = g+ 1, ..., n)}
с определяющим соотношением
Пк&,]Пс, = 1.
i=i i=g+i
Положим Ci = [a,, bi\ (i = 1, ..., g).
Пусть n = g + k + m и 6g + 3fe + 2m > 6. Обозначим через fgtkm
множество мономорфизмов ф: v —* Aut(A) таких, что ф(и)—
последовательный набор типа (gy ky т). Для d e ygtn и D e Aut(A) положим
Пусть k + т > 1. Рассмотрим вложение
определенное условиями
cp(a,) = a,, (f(bi) = bt (i = 1, ..., g)y
ср(^+|) = ся_,сп, (f(Ci) = c^c'^c^Cn-iCn (i = g + 2y ..., я- 1).
Рассмотрим также вложение ср: уо.з —* Y*.n» определенное условиями
ф(с,) = с"1^,, ф(с2) = ся_,, ф(с3) = с„.
Гомоморфизм ф G fgtfe,m порождает гомоморфизмы
Ф(ф) = фф, Ф(ф) = фф.

28
Глава I. Модули римановых поверхностей
Для ф'ЕФ(^,т) обозначим через Фу ограничение отображения Ф на
Ф-'(Ф')-
Положим
(k\ т') = (k + 1, т - 2), (£, т) = (1, 2) при т ^ 2,
(k\ m') = (ky 0), (£, tn) = (2, 1) при т = 1,
(A/, m') = (fe - 1, 0), (£, т) = (3, 0) при т = 0.
Лемма 4.1. Ф(Те,к,т) = fg,k'.m'- Для любого ф' е 7^/,т/
Ф^(ф-|(ф/)) = ^^(С|,ф/(^|)),
причем отображение Фф/ взаимно однозначно.
Доказательство. Пусть ф е fgkm и Г = ф(тя,л)• Согласно
теореме 1.1, Г — фуксова группа, а Р = Н/Г — риманова поверхность рода g
с k дырами и га проколами. Согласно лемме 2.1, множество ty(vgtn)
порождает стандартную систему образующих
v = {ah hi (i= 1, ...,g), di (i = g+ 1, ..., n)}
группы К\(Р). Отсюда (см. рис. 1.2.2) следует, что набор
{d,, ..., dr} = {au bsa-xb\\ ..., agy bga~]b~\ cu ..., cn}
таков, что при любом 1 < i < g + п элементы
d\ ...dt-\, dt, d,+, ...dr
могут быть представлены простыми контурами без попарных пересечений.
В этом случае набор
{d,, ..., d2g, dr_xdr, d;*d^id2g+\dr-]dn ..., d;xd;\dr.2dr-\dr}
также обладает этим свойством. Согласно лемме 2.4, отсюда следует, что
фср — последовательный набор. Таким образом,
Величины (k\ га') легко найти из геометрии набора v (рис. 1.2.2).
Аналогично доказывается, что
Ф¥(Ф-1(Т8м)) С %Л,А,{си ф'(^,)).
Осталось доказать, что
Ф(ТхХт) ^> Tg%k',m'

§ 4. Пространства типа фрике—клейна—тайхмюллера
29
и для каждого ф' е Tg,k',m' построить отображение
7,о.м(сГ1.Ф'(се+,))-ф-|(Ф'),
обратное к Фф/. Пусть
феГ0)^(сГ,,ф,(^+.)).
Рассмотрим набор сдвигов ф(^,я), заданный условиями
Ф(а,) = ф/(в|), ф(*|)=ф/(**) (|'=1,...,Й,
ф(с,) = ф,(ся_,сяс|_,с;,с^|) (f = g + 2, ..., л - 2),
ф(ся_,)=ф(с2), ф(ся)=ф(с3).
Из определений следует, что это последовательный набор,
порождающий tytfgxm, причем Ф(ф) = ф'. Таким образом, Ф(^1т)3^(Л/у.
Нетрудно видеть, что соответствие ф *-+ ф порождает отображение,
обратное к Фф/. П
2. Пусть g>0. Рассмотрим вложение ср*: vg-\,n—>Vg,nj определяемое
условиями <р*(а,) = а,, ср*(Ьк) = b( (*=1, ...,g- l),cp*(cl) = cl (i=g, ..., я).
Рассмотрим также вложение ф*: yi.i —> У^я» определенное условиями
9*(fli) = а*, Ф*(*0 = **. 9*fa) = <*.
Гомоморфизм ф е Tgxm порождает гомоморфизмы
П(ф)=фф*, П(ф)=фф*.
Для ф' €il(Tgkm) обозначим через Пу ограничение отображения U на
о-'(Ф').
Лемма 4.2. fl(fgJ,m) = fg_uk+l_m. Для любого ф' е fg_,,*+i,m
Пу(П-,(ф')) = Л,1,о(с„ф'(сй)),
причем Пф/ —взаимно однозначно.
Доказател ьство. Соотношение Q(fgtktm) С Tg-\tk+\,m сразу следует
из наших определений. Осталось доказать, что
\,k+\,m
и для каждого ф' е Tg-\fk+\,m построить отображение
^.о^.ФЧ^-^п-ЧФ'),
обратное к Оф/. Пусть
феГи,о(с1,ф,(^)).

30
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Построим набор сдвигов ф(#, я), заданный условиями ф(а,) =ф'(а,),
ф(6,) = ф'(*,) (I = 1, ..., g - 1), ф(а,) = ф(а,), ф(*,) = ф(*,), ф(с,) = фЧс)
(/ = £ + 1, ..., я). Из определений следует, что это последовательный
набор, порождающий ф е fgAmy причем П(ф) = ф'. Таким образом,
Нетрудно видеть, что соответствие ф i—► ф порождает отображение,
обратное к Пф/. □
3. Параметризуем теперь пространство fg,*,m, следуя [55].
Пусть ф е fgAm un = g + k + m.
При т = О сопоставим мономорфизму ф набор чисел
б)(ф) = (Х,, ..., Х„_,, 5i, т)|, ei, ..., 5*. *Ь е*> а«» Рь •••> а*+*-|>Р*+*-|)>
при m = 1 — набор
о(ф) = (Хь —, Хя_|, 5i, т)|, ei, ...,5g,T)g, £g, ot|, Pi, —, <Xg+*_l,Pg+*_l,cig+*),
и при m > 1 — набор
о(ф) = (Х,,...,Хя_|Д|,т)|,е|,...,^,т)г,ег,а|,Р|,...,аг+л,рг+л,аг+л+|,...,ая_2).
Эти числа определяются следующими условиями:
+^« = ^^да- х'>0 ™р»'>*+*.
, , хЫ _ (X?S/-7)/)z-(l-Xf)StT)t
44 ,м ' (xf-i)2+fe-x?b)
Таким образом, мы сопоставили мономорфизму ф набор о(ф) из 6g +
+ 3k + 2га — 3 чисел.
Лемма 4.3. Пусть ф|, ф2 € f^m и <о(ф|) = о(ф2). 7Ъгда ф] = ф2.
Доказательство. Согласно определениям величины о(ф)
непосредственно определяют ф(с,). Уравнения (1.8) и (1.9) позволяют
однозначно найти ф(а,), ф(6,) через ф(с,) и о(ф). П
Таким образом, о(ф) дает глобальную систему координат на TgXm.
Группа Aut(A) действует на TgXm сопряжением по правилу ф н-> А*ф, где
ф е TgXm, h e Aut(A), h*ty(d) = hif{d)h-\ Положим
TgAm = fgXm/hui(K).

§ 4. Пространства типа фрике—клейна—тайхмюллера 31
Если б)(ф) = (Х,, ..., Х„_,, £,, т),, ..., а„_2), то <о(А*ф) = (Х,, ..., Х„_,, A£i,
Ат)|, ..., /ш„_2).
Это позволяет отождествить
7о,о,т = {фе f0,o,m | ф(С|С2)(0) = 0, ф(с,с2)(оо) = оо, а, = —1},
7o,i,m = {ф € fo.i.m I «| = оо, р, = 0, а2=1},
LXm = {ф G f ,,,,т | а, = оо, р,=0, 5. = 1}
и в остальных случаях
TgAm = {ф G 7V*.m I а, = оо, р, = 0, а2 = 1}.
Опишем теперь отображение
Ф: Г^,т->К6^зл+2т-6.
При g = k = О положим
»(ф) = {X,, Х3, Х4, ..., Хт_,, а3, ..., ат_2} С R2m"6.
При g = О, fe = 1 положим
»(ф) = {X,, Х2, ..., Хт, а3, ..., ат_,} С R2m"3.
При g = k = 1 положим
»(ф) = {X,, ..., Хт+1, Т),, е,, а2, р2, а3, а4, ..., ат} С К2т+3.
При g > 1, k > 1, т = О положим
Ф(ф) = {Х,, ..., Xg+*_,, 5i, т),, е,, ..., lgJ r\gJ zgJ
p2, а3, p3, ..., а,+А_,, Р^_,} С К6**3*"6.
При g > 1, k > 1, т = 1 положим
Ф(ф) = {X,, ..., Х,+ь 5i, t)i , ei, ..., ZgJ r\gJ zgJ p2,
аз, Рз, • • •» <*g+k-\> Ря+л-i, ая+*} с К6*+3*~4.
В остальных случаях положим
Ф(ф) = {X,, ..., X^+m-i, 5i, Т),, е,, ..., 5«, V £*, Рг,
«3, Рз, • • • , а£+Ь Pg+Ь ag+*+l, • • • , ag+k+m-2S CKg .
Образ отображения Ф обозначим
' g,k,™ = ^\*£,Л,/и/"

32
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Теорема 4.1 ([55]). Отображение Ф: TgXm —> tgXm является
диффеоморфизмом и Tgxm является открытой областью в Ц£6£+з*+2т-б^
вОМеОМОрфной R<*+3*+2m-6
Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по
2g+k + m. Для T\tl0y Годе Т0Х\, Т0\Л утверждение теоремы следует из
лемм 3.2—3.4. Докажем утверждение для TgXm в предположении, что оно
верно для всех Tg>#%m>, где 2g' + k' + m' < 2g + k + m. Пусть g > 0. Тогда,
согласно лемме 4.2, fgtkm = {ф} представляется в виде расслоения над
Tg-\,k+\,m со слоем, гомеоморфным T\Afi(c\\ ty(cg)). Таким образом, TgAm
представляется в виде расслоения над Tg_lk+]m со слоем, гомеоморфным
{ф€Г,.,.о|ф(С|)(2)=Х12}.
Согласно лемме 3.4, последнее множество гомеоморфно R3. По
предположению индукции отсюда следует, что
TgJtm9*RW+2m- 6.
Пусть g = 0. Тогда, согласно лемме 4.1, f0Jtjn = {ф} представляется в
виде расслоения над fo,*',m' со слоем TQ-kA(c\\ ф(С|)). Таким образом, Т0Хт
представляется в виде расслоения над Tq^^i со слоем, гомеоморфным
Тодо^Г1, Ф(^|))» TQX\{c\\ ф(с0) или То,\,2(с^\ ф(С|)). Согласно леммам 3.2
и 3.3, последние множества гомеоморфны, соответственно, IR3, R2 и R1. По
предположению индукции отсюда следует, что
ToXm = R3*+2m-6. D
Замечание. Неравенства, ограничивающие tgXm в %ъ+и+2т-ь^ ста_
новятся линейными и квадратичными, если перейти от параметров X, к
§ 5. Модули римановых поверхностей
1. Пусть tyef =Tgxm- По определению это отображение ф: v—*
—►Aut(A), где v = vgig+k+m, наделенное некоторыми специальными
свойствами. Положим
МЫФ = ModJ^ = {а е Aut(y) | фа <Е f},
где у — группа, порожденная v.
Отображению ф G Т отвечает фуксова группа Гф = ф(у) и риманова
поверхность РФ = А/ГФ. Рассмотрим группу Gp автогомеоморфизмов Рф,
сохраняющих точку р е Рф, ориентацию Яф и переводящую дыры в
дыры и проколы в проколы. Рассмотрим подгруппу Gfp с Ср, состоящую из

§ 5. Модули римановых поверхностей
33
гомеоморфизмов, получающихся из тождественного гомотопией,
сохраняющей р. Положим Mod* = GP I G'p.
Лемма 5.1. Группы Mod* и Mod* изоморфны.
Доказательство. Рассмотрим униформизацию Ф: А —► Р*. Пусть
^€Ф_,(/7). Сопоставим элементу у € Г* элемент Ф(^т) G 7i|(P*, р), где
^тсА — отрезок, соединяющий q и у(<7)- Соответствие у*-+Ф(£у)
порождает изоморфизм Ф^: Г* —*Я|(Р*, р). Пусть теперь <х€ Mod*. Согласно
лемме 2.1, последовательному набору ф(у) отвечает стандартная система
образующих группы К|(Р*, р). Представим ее контурами, не
пересекающимися вне р. Их прообраз высекает на Л фундаментальную область М
с вершиной q. Аналогичную область Ма порождает последовательный
набор фа(у). Таким образом, существует гомеоморфизм Л: Л—►Л такой,
что А(М) =Ма и у4Г*у4_| =Г*. На поверхности Р* он порождает
автогомеоморфизм сра е Mod*.
Соответствие аь-кра порождает гомоморфизм ер,,: Mod* —► Mod*.
Нетрудно видеть, что это мономорфизм. Эпиморфизм следует из
теоремы 2.1. П
Лемма 5.2. Пусть ф, ф' е Т. Тогда Mod* = McTd*\
Доказательство. Пусть ср,,: Mod*—> Mod* и ср£: Mod*'—► Mod*,—
изоморфизмы, построенные при доказательстве леммы 5.1. Рассмотрим
стандартные системы образующих и и v' групп К|(Р*, р) и Ъ\(Р*\ р').
Рассмотрим гомеоморфизм р: Р —* Р\ переводящий v в v'. индуцирует
изоморфизм (3: Mod*—►Mod*,. Согласно нашим определениям и лемме 5.1,
ср = ср~!р_1ф^/ порождает изоморфизм ср: Mod*7 —► Mod*. □
Следуя лемме 5.2, мы будем писать Mod вместо Mod*.
Всякий Асу порождает принадлежащий Mod автоморфизм d н-> hdh~x
группы у- Пусть IMod с Mod — подгруппа всех таких автоморфизмов и
Mod = M^d/IMSd.
Аналогично, всякий h е гс(Р*, р) порождает принадлежащий Mod*
автоморфизм d н-> hdh~* группы К|(Р*, р). Пусть IMod* с Mod* —
подгруппа всех таких автоморфизмов и Mod* = Mod* / IMod*. Движение точки р
задает естественные изоморфизмы между группами Mod*, отвечающими
разным р. Таким образом, каждая из них естественно изоморфна группе
ModJ = Mod* / IMod*, где Mod* — группа сохраняющих ориентацию
автогомеоморфизмов Р*, переводящих дыры в дыры и проколы в проколы,
a IMod* С Mod* — подгруппа гомотопных тождественному
автогомеоморфизмов. Переводящие дыры в дыры и проколы в проколы гомеоморфизмы
2 Натанзон СМ.

34
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Рф —> Р*' порождают естественные изоморфизмы Mod ф —* Mod f.
Поэтому в дальнейшем мы будем опускать значки ф и считать Mod* = Mod*,
Mod, = Modt. Из леммы 5.1 вытекает
Следствие 5.1. Группа Mod = Mod^m естественно изоморфна
группе Mod, = Mod*'*'"1 гомотопических классов, сохраняющих
ориентацию автогомеоморфизмов поверхности типа (gy ky m),
2. Перейдем теперь к описанию пространства модулей (то есть классов
биголоморфной эквивалентности) римановых поверхностей.
Теорема 5.1. Группа Mod^m естественно действует на Tgtktfn
диффеоморфизмами. Это действие дискретно. Фактормножество
Tgxm I Mod^m естественно отождествляется с пространством
модулей MgXm римановых поверхностей типа (g, ky m).
Доказательство. Согласно лемме 5.2, группа Mod = Mod^m
естественно действует на множестве f=fgkm. На этом же множестве
действует группа Aut(A). Нетрудно видеть, что Mod П Aut(A) = IMod.
Таким образом, группа Mod естественно действует на множестве Т = Tgxm-
Введенные в § 4 координаты на 7^*т = {ф} явными аналитическими
формулами описывают последовательный набор ф(у) как подмножество
(PSL(2, JR))2*+*+m_l. Поэтому аналитичность действия Mod на Т следует
из аналитичности операции в группе PSL(2, R).
Рассмотрим отображение Ф: f —> М = М8^ту где Ф(ф) = Рф. Очевидно,
что Ф принимает одинаковые значения на орбитах действия групп Aut(A)
и Mod. Таким образом, Ф индуцирует отображение Ф: Г/Mod—>М.
Согласно теореме униформизации, всякая поверхность РеМ имеет вид А / Г,
где Г — фуксова группа. Таким образом, согласно теореме 2.1, Ф(Т) =
= Ф(Т) = М.
Докажем теперь, что Ф(*) ф Ф(х') при хфх'. Действительно, пусть
ф е Jt, ф' е х' и Ф(ф) = Ф(ф')- По определению это означает, что римано-
вы поверхности Рф и F*' биголоморфно эквивалентны. Следовательно, ф
и ф' можно выбрать таким образом, чтобы униформизирующие группы Гф
и Гф/ совпадали. Таким образом, существует а е Mod* такой, что ф' = фа.
Следовательно, согласно лемме 5.2, a G Mod и, значит, х — х'.
Сопоставим каждому ф е Т набор длин геодезических на
поверхности Рф. Длина геодезической, отвечающей С е Гф, равна 1п(1/4)(Х + 1/X +
-I- \А + 1/Х — 2), где X — параметр сдвига С [94]. Таким образом,
дискретность действия Mod относительно наших координат следует из
дискретности множества длин геодезических [94]. □
Согласно теореме 5.1, введенная в §4 аналитическая структура на Т
порождает аналитическую структуру на пространстве модулей М. Именно

§ 6. Пространство голоморфных морфизмов
35
эту структуру мы будем иметь ввиду, исследуя топологию М. Теоремы 4.1
и 5.1 дают
Следствие 5.2 ([28]). Пространство модулей римановых
поверхностей типа (g, ky т) диффеоморфно Ц£6£+з*+2т-б / Мос^Лт, где
Mod^/n — дискретная группа.
§ 6. Пространство голоморфных морфизмов
римановых поверхностей
1. Голоморфным морфизмом степени d мы назоваем тройку (Р, /, Р),
где Р и Р—римановы поверхности, а /: Р—>Р—голоморфное
отображение степени d такое, что f(P) = Р. Морфизмы (Р,, /,, Р\) и (Р2, /2, Рг)
считаются совпадающими, если существуют биголоморфные отображения
ср: Р, —* Р2 и ср: Р\ —* Р2 такие, что cpf\ = /2ср.
Морфизмы (Р\у /i, Р|) и (Р2, /2, Р2) называются топологически
эквивалентными, если существуют гомеоморфизмы ср: Р, —> Р2 и у:Р\—>Р2
такие, что ф/i = /2ф. Класс топологической эквивалентности называется
топологическим типом. Зафиксируем топологический тип / и рассмотрим
множество И1 всех морфизмов этого топологического типа.
Пример. Если Р — сфера Римана, то (Р, /, Р) — это мероморфная
функция на Р. Если Р—тоже сфера Римана, то /—рациональная функция.
Если, кроме того, /~' (оо) = оо, то /— полином. Критическим значением
полинома называется число /(jc), где d/(jc) = 0. Если все эти числа различны,
то говорят, что это полином общего положения. Все такие полиномы
топологически эквивалентны. Однако в общем случае характер критических
значений не определяет топологический тип полинома [96]. К множествам
вида Н1 относятся также лорановские полиномы общего положения [3]
и пространства мероморфных функций с фиксированным типом полюсов
[59], [63], [75], возникающих в топологической теории поля [19].
Топологический тип однозначно определяет топологический тип
(g, ky т) поверхности Р, накрываемой морфизмом (Р, /, Р) е И1. Кроме
того, t определяет число Ъ критических значений
В = В(Р, /, Р) = №) еР\реР, df{p) = 0}.
Далее мы считаем, что Ь < оо. Тогда соответствие (Р, /, Р) н-> Р\В задает
отображение
В §5 мы ввели топологию в пространстве Mgtktm+b. Введем теперь
топологию в пространстве //', считая, что открытыми в Н1 являются лишь
прообразы Ф_,(^) открытых множеств U с Mgtkm+b.

36
Глава 1. Модули римановых поверхностей
2. Пусть теперь ф е ТёХт+ь и у — подгруппа индекса d группы у = Y*.n,
где п = g + k + m + Ь. Положим
Гф = ф(у), Гф = ф(у), РФ = А/ГФ и РФ = Л/ГФ.
Тогда естественное вложение Т\ С Гф индуцирует морфизм
степени d. Заклеим теперь проколы на Рф и Р^ф, порожденные
параболическими сдвигами ф(ся+*+т+|), ..., ф(ся). В итоге получим морфизм
(Р?, /*, Рф)*.
Лемма 6.1. Всякий голоморфный морфизм имеет вид
где ф е fgXm+b иуС ygtfi.
Доказательство. Пусть (Р, /, Р) — произвольный голоморфный
морфизм. Положим Р* = Р\В(Р, /, Р) е MgXm+b и Р* = f-*(P*). Согласно
теореме 5.1, существует фе Tgxm+ь такой, что Р* = Р*. Согласно
теореме 2.1, можно считать, что ty(cg+k+m+\)y ..., ф(с„) отвечают проколам из
множества В = В(Р, /, Р) С Р.
Группа Гф = ф(у) является группой монодромии универсального
накрытия Ф: А—*Р*. Ввиду универсальности накрытие Ф может быть
«пропущено» через произвольное накрытие поверхности Р* и, в частности,
существует универсальное накрытие Ф: Л—* Р* такое, что Ф = /Ф. Пусть
Гф с Гф — группа монодромии этого накрытия. Положим у = ф_,(Гф).
Тогда
(Р^,/?,Рф) = (Р*,Г,^),
где /* =/|я*« Заклеивание проколов В порождает
(P;,/J, P*)b = (P, /, Р). П
Лемма 6.2. Пусть ф, ф' е TgXm+b и у С ygin — подгруппа. Тогда
(Р^ф, /J, Рф)ь w (Р£ , ft , Р*')ь имеют одинаковый топологический тип.
Если, кроме того, существует А е Aut(A) такой, что у4ф(ш)у4_| =
= ф'(до) для всех w e vgtfl, то
(Р^/?,Рф)ь = (Р?,,/?,,Рф,)ь.
Доказательство. Положим v = vgtg+k+m+b. Согласно лемме 2.1,
наборы ф(у) и ф'(у) при естественных накрытиях Ф: А—* Рф, Ф': А—* Р*'

§ 6. Пространство голоморфных морфизмов
37
переходят в стандартные системы образующих групп к\ (Рф, р) и К\ (Р*'\ р').
Следовательно, существует гомеоморфизм ср: Рф —* Р*', переводящий одну
стандартную систему в другую. Проекции Ф^ и Ф^ «поднимают» его до
гомеоморфизма А: А —► А такого, что у4ф(до)у4_| = ф'(до) для любого w e v.
Отсюда следует, что у4ф(у)у4_| = ф'(у). Следовательно, А индуцирует
гомеоморфизм ср: Р* —► Р+' такой, что ср/ = /'ср. Если, кроме того, А е Aut(A),
то ср и ср — голоморфные отображения и, следовательно,
(Р?, /?, рф)" = (/^/, /?',/*')'. □
Выделим в группе у = Y*.n» порожденной
^,я = {а|-, bi (i= 1, ...,g), Ci: (i = g+ 1, ..., /i)},
подмножество с элементов вида Ас/А-1, где /> g + fe + m, A e у.
Положим
Mod!U«+* = {<* ^ M°<W+ft | а(с) = с}.
Лемма 6.3. Морфизмы (Р^ф, /*, Р+)" и (P*„ /+„ Рф)" шкею/п одм-
наковый топологический тип, если и только если у' = <х(у), где
Доказательство. Пусть ср: Р* —> Р*, и ср: Р* —> Р* —
гомеоморфизмы, порождающие топологическую эквивалентность (Pt*, /^, Рф)ь и
(Ртф/, /J/, Р*')6. Естественные накрытия Ф: А -> Р? -> Рф и Ф': А -> Р*, ->
—► Рф поднимают их до гомеоморфизма А: А —> А такого, что ф(у) =
= Лф(у)Л-1 и ф(у') = Лф(у)у4_|. Обозначим через А*: ф(у) —* ф(у)
гомоморфизм Л*(А) =у4Ау4_| и положим а = ф_,Л*ф: у —* Y- Тогда
a G Mod^m+, и а(у) = у'. ^
Пусть теперь у' = а(у), где а е fAodbgkm+b. Положим ф' = фа е
Тогда
причем, согласно лемме 6.2, (Pj , $ , P*')ft и (Р*, $, P*)ft имеют
одинаковый топологический тип. □
Лемма 6.4. Пусть (Р>, /J, Р*) G Я'. 7Ъг<Эа
Я' = {(Р*,,/*,,Р*,Пф'е7;,Лт+Л.
Доказательство. Согласно лемме 6.2,
{(/f.tf.^VlfeWJc//'.

38
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Докажем обратное включение. Пусть (Р, /, Р) G //'. Согласно лемме 6.1,
(Л/,я) = (я*;,/*;,рф/)*,
где, согласно лемме 6.3, у' = а(?) А™ а € Mod^m+ft. Положим ф* = ф'а.
Тогда
и ф* G TgXm+b. П
3. Для подгруппы у С у = Y*.* положим
Mod^ = {a G ModJiftim+d | ау = ?},
IMod^,m,ft = Modb^ n IMod«^+*
Автоморфизм а G IMod^mb переводит ф G f*,*,«+* в А*ф G fgtktm+by где
А*ф(до) = Аф(ш)А_| и А е Aut(A). Поэтому группа M.odrgkmb действует на
Tg,k,m+b-
Пусть N(gy пу d) — множество подгрупп индекса d группы у^,я- На этом
множестве действует группа Mod^m+fe. Обозначим через n(gy ky ту by d)
число орбит этого действия.
Пусть Hgdkm — пространство голоморфных морфизмов (Р, /, Р) таких,
что Ре Hgtktfny степень / равна d и число критических значений / равно Ь.
Теорема 6.1. Пространство H = Hgdkm распадается на n(gy ky m,
by d) компонент связности. Каждая из них является классом
топологической эквивалентности голоморфных морфизмов и гомео-
морфна TgXm+b I Mod^mb> где Mod^mb действует дискретно.
Доказательство. Согласно леммам 6.4 и 6.3, каждая компонента
связности пространства Н имеет вид
H' = {(P*,ft,P*)"\^efgAm+b}
и число таких компонент равно n(gy ky m, by d). Рассмотрим отображение
Ф: TgXm+b-^H1, где Ф(ф) = (Р-ф, /£, P*)b. Согласно лемме 6.2, она
индуцирует отображение Ф: TgJtjn+b-^>Hl. Нетрудно видеть, что слой
отображения Ф является орбитой группы Mod^mft. Дискретность действия Mod^mft
следует из дискретности действия Mod^,mtft на TgXm+b (теорема 5.1). П
Следствие 6.1. Пространство всех голоморфных морфизмов
фиксированного топологического типа связно и гомеоморфно W /Mod,
где Mod — дискретная группа.

§ 7. Поднятие фуксовых групп на sl(2, r>
39
Замечание. Частные случаи этой теоремы были известны ранее: 1) для
многочленов Лорана общего положения [3]; 2) для мероморфных функций
общего положения (вместе с описанием группы Mod) [60]; 3) для g = 0
[83]; 4) для компактных поверхностей [84].
§ 7. Поднятие фуксовых групп на SL(2, R)
1. Для исследования спинорных расслоений и суперримановых
поверхностей нам понадобится решение следующей задачи. Пусть
Г с Aut,(A) U Aut2(A) С Aut(A) = PSL(2, R)
— конечно порожденная фуксова группа. Требуется описать все ее
поднятия на SL(2, R), то есть подгруппы Г* с SL(2, R), на которых естественная
проекция У: SL(2, R) —► PSL(2, R) индуцирует изоморфизм Г* —* Г.
Для начала положим
Aut; =y-,(Auti(A)) С SL(2, R) (/= 1, 2)
и свяжем с каждой матрицей С е Aut* число а(С) е {1, — 1}, однозначно
определяемое следующим условием: матрица С сопряжена матрице
где X > 0 (если С е AutJ), или матрице
о(С)(; ;),
(если С е Aut*). Таким образом, знак а(С) совпадает со знаком следа
матрицы С.
Лемма 7.1. Пусть элементы Сь С2, С3 е SL(2, R) такие, что
{/(С|), У(С2), /(Сз)} — последовательный набор типа (0, k, m).
Тогда С\С2Сз = 1, если и только если а(С\)а(С2)о(С^) = — 1.
Доказательство. Предположим сначала, что С|, С2 € AutJ. После
сопряжения пары (Сь С2) матрицей из SL(2, R) можно считать, что
Г о(С2) /(Х2а-Р) (1-Х2)«р\
2"V5S(a-p)V(X2-l) (а-Х2р)У'
где Х|, Х2 > 1, а < р. Следовательно,
rr a(Ci)a(C2) /X!(X2a-P) X,(l-X2)ap\
' 2"v/54M<x-P)V (X2-1) (a-X2p) )'

40
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид
х2 - (Х2р - а - Х,р + Х,Х2а)л: + Х,Х2(а - р)2 = 0.
Его корни имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком числа
Х2р — a — XiP -|- X|X2a.
Согласно лемме 3.2,
°<^g)W<P<».
Следовательно,
„ > (Vh + Vr2\* (s/h-Vr2\* Xi+x2-2
откуда
Х2р - a - Х,р + Х,Х2а > 2(Х2 - 1)р > 0.
Таким образом,
а{С,С2) = а(С,)а(С2) sign(a - р) = -а{С,)а{С2),
и условие Q"1 = С|С2 эквивалентно
a(C3) = a(C3-1) = a(C,C2) = -а{С,)а{С2).
Аналогично, если С\ е Aut2, C2 e Aut*, то после сопряжения элементом
из SL(2, R) можно считать, что
с=.«у(<';«>(|£т)),
где X > 1, у > 0. Следовательно,
r r _ o(C|)a(C2) /X(l -ay) Xa2Y \
Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид
х2 - [Х( 1 - aY) + (1 + aY)) + XaY = 0.
Его корни имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком числа
Х(1 - ay) + (1 + ay). Согласно лемме 3.3,
ау > ^+' _ (А+1)2
ау*Л-\~ х-1 •

§ 7. Поднятие фуксовых групп на sl(2, r)
41
откуда
Х(1 - ау) + (1 + ау) = (1 + X) + ау(1 - X) ^ (1 + X) - (\/Х + I)2 < 0.
Таким образом,
а(С\С2) = -а(С|)о(С2),
и условие Q"1 = С\С2 эквивалентно
а,(С,)а(С2)а(С3) = -1.
Приведенные рассуждения доказывают лемму в случае k > 0. Если
k = 0, то после сопряжения можно считать, что
C^oiCi)^ jJ, C2 = a(C2)(~4 5J.
Откуда
о(С^С2) = -о(С^)о(С2). П
Лемма 7.2. Я*/сть Л, Б, С е SL(2,IR) такие, что {J (A) J (В) J (С)} —
последовательный набор типа (1, 1,0). Тогда [А, В]С= I, если и
только если а(С) = -1. Кроме того, а(АВ) = а(А)а(В).
Доказательство. По определению а(А) = а(ВА~1В~]) и {J(A)y
J(BA~]B~])y J(C)} — последовательный набор типа (0,3,0). Поэтому
первое утверждение леммы 7.2 следует из леммы 7.1. Докажем, что
а(АВ) = а(А)а(В). После сопряжения элементом из SL(2, R) можно
считать, что
, о(Л)/Х 0\ 1{А)\
В
\/Х7
о(В) /(Х2а-Р) (1-Х2)ар\
1{В)
V5S(a-P)V(*2-l) (а-Х2р)У' а 0 р
где X,, Х2 > 1, р < 0 < а (см. рис. 1.7.1). Рис. 1.7.1
Следовательно,
, о(А)о(В) /Х,(Х2ос-р) Х,(1-Х2)ор\
VTO»-pA (^2 - 1) (a-X2p) )'
Корни характеристического уравнения этой матрицы имеют одинаковый
знак, совпадающий со знаком
X,(X2a-p) + (a-X2p)>0.
Таким образом,
о(АВ) = о(А)о(В). □

42
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Теорема 7.1. Пусть {Aiy Я, (/ = 1, ..., g)y С, (/ = £+1, ..., л)} С
cSL(2,R)} i/ {У(А),У(Д,) (/=1,...,£),У(С,) (i = «r+l я)} —яо-
следовательный набор типа (gy ky m). Тогда
если и только если или п = g, или
п
'=£+1
Доказательство. Согласно лемме 7.2, а([Д, Д-]) = — 1. Поэтому
утверждение теоремы достаточно доказать для g = 0. В этом случае
воспользуемся индукцией по п. Для п = 3 утверждение следует из леммы 7.1.
Шаг индукции также следует из леммы 7.1, если применить ее к набору
{С,,...,СЯ_2, СЯ_,,СЯ}. □
2. Свяжем теперь с поднятием фуксовой группы
rcAut2(A)uAut,(A)
функцию
^(A/r,Z2)->Z2,
где Z2 = Z / 2Z = {0, 1}. Итак пусть Р = А/ГиГ*с SL(2, R) —
подгруппа, на которой У индуцирует изоморфизм У: Г* —► Г. При выбранной точке
q е Л униформизация Ф: Л —* Р индуцирует изоморфизм Ф^: Г —► щ(Рур)у
где р = Ф(*7) (см. §2). Построим функцию со: щ(Рур) —*Z2, положив
/0, еслиа(У-,(ф-,(с)) = -1,
(0(C) = < - , ,
У) \\у еслиа(У-,(ф-1(с))=1.
Обозначим через (. ,.): Н\(РУ Z2) x W2(P, Z2) —*Z2 билинейную форму
индекса пересечения в Н\(РУЪ2). Естественная проекция К\(РУ р) —*
—* /У,(Р, Z2) переносит (.,.) на к,(Р, р).
Лемма 7.3. Пусть с,, с2, с3сР — простые контуры такие, что
с, п с7 = р, и отвечающие им с, е it|(Р, р) такие, что схф\ и С\С2с$ = 1.
Тогда со(с3) = со(с,) + со(с2) -I- (с,, с2).
Доказательство. Согласно теореме 2.1, сдвиги Ф"1^,)
образуют последовательный набор типа (0, ky m) или (2, 1,0). В первом
случае (сь с2) = 0 и (о(с3) = со(с,) -I- со(с2) ввиду леммы 7.1. Во втором случае
(с,, с2) = 1 и (о(с3) = со(С|) -I- 6>(с2) + 1 ввиду леммы 7.2. □

§ 7. Поднятие фуксовых групп на sl(2, r>
43
Лемма 7.4. Пусть d,, d2e гс,(Р, р) представляют один и тот же
элемент группы Я,(Р, Z2). Тогда co(d,) = co(d2).
Доказательство. Рассмотрим стандартную систему образующих
v = {aiy bi (i= 1, ...,g), c,(/ = g + 1, ..., п)}
группы К\(РУ р). Рассмотрим функцию оу: Н\(РУ Z2) —* Z2, совпадающую
с со на у и удовлетворяющую условию оу(а 4- ft) = оу(а) -I- oy(6) -I- (а, 6)
для любых a, b e H\(Py Z2). Эти условия однозначно определяют юу.
Рассмотрим скручивания Дена [17], то есть преобразования одного из трех
типов:
1. а\ I—>Я|6|;
2. а| I—> а\а2а\а^а\х,
Ь\ н-> а\а^а\ а^ b\0^ aj~ ,
а2 •—* а^г^р ,
fc2 •—* ^2^2~,аГ^
3. ag^bgxcxbgxc^bg,
bg^b-ysbgc^bgagb-2c-'bg,
с, ^>b~xcxbg.
Они переводят у в другие стандартные системы образующих v. Из
леммы 7.3 следует, что оу- = оу. С другой стороны, при помощи
последовательности скручивания Дена и перенумераций можно получить из v
любую стандартную систему образующих и, в частности, такую, что ах —
любой наперед заданный простой контур, не лежащий в ядре (.,.), а cg+\ —
любой наперед заданный простой контур, гомологичный дыре или проколу.
Таким образом, й = о^т), где т): К\(Р,р) —* #,(P,Z2) —естественная
проекция. □
Согласно лемме 7.4, функция со индуцирует функцию о: Н\(РУ Z2) —*
—* Z2. Из леммы 7.3 сразу следует
Следствие 7.1. о(а + Ь) = о(а) -I- ы(Ь) + (а, Ь).
Функции о: Н\(РУ Z2) —* Z2, удовлетворяющие этому свойству,
называются функциями Арфа [23]. Таким образом, наша конструкция
сопоставляет всякому поднятию Г* группы Г некоторую функцию
Арфа G>r*: W,(А/Г, Z2) ->Z2.
Теорема 7.2 ([70]). Соответствие Г* н-> юг* является взаимно
однозначным соответствием между поднятиями группы Г w
функциями Арфа на Я,(А/Г, Z2).
Доказательство. Из конструкции очевидно, что разным
поднятиям отвечают разные функции Арфа. Сопоставим теперь произвольной

44
Глава 1. Модули римановых поверхностей
функции Арфа о поднятие Г* такое, что юг* = о. Для этого рассмотрим
произвольный последовательный набор
V = {A„B,(i=\,...,g), Ci(i = g+l,...,n)} = {Du...,Dg+n},
порождающий Г. Рассмотрим матрицы
i/* = {d;,...,d;+„}€SL(2,r),
однозначно определенные условиями
J{D-) = Di и a(D*) = j
Согласно лемме 7.3 и теореме 7.1,
Пи;,5*]Пс; = 1.
-1, если ш(Ф,(Д)) = О,
1, еслиш(Ф,(Д)) = 1.
"=й+|
Ввиду того, что
ПИ'.ВЛП С=1
— единственное определяющее соотношение в Г, отсюда следует, что
ограничение гомоморфизма У на группу Г*, порожденную V*, индуцирует
изоморфизм Г* —* Г. По построению юг* = о. □
§ 8. Топологическая классификация
функций Арфа и пар функций Арфа
В предыдущем параграфе мы свели описание поднятий фуксовых групп
к функциям Арфа, то есть отображениям о: Н\(РУ Z2) —*Z2 таким, что
о(а 4- Ь) = о(а) -I- o(6) -I- (а, 6),
где Z2 = Z / 2Z и (а, Ь) е Z2 — индекс пересечения а и Ь в Я, (Р, Z2).
Автогомеоморфизмы ср: Р —* Р действуют на множестве функций Арфа. Цель
этого параграфа — найти орбиты этого действия.
Итак, пусть Р—поверхность типа (g, ky m). Базис
v = {ah bi (i= 1, ...,g), c{ (i = g+ 1, ..., л)}
группы W|(P, Z2) назовем стандартным, если он является образом
стандартной системы образующих
»| = {а;,*;(1 = 1,...,в),с;(1 = в+1,...,п)}е111(Р,р)
при естественной проекции it|(P, р) —* #i(P, Z2).

§ 8. Топологическая классификация функций арфа
45
Рассмотрим группу автогомеоморфизмов Mod(P) поверхности Ру
переводящих дыры в дыры и проколы в проколы. Она порождает группу А(Р)У
эффективно действующую на множестве функций Арфа. Элемент группы
А(Р) однозначно определяется образом стандартного базиса v.
Образующие Дена [17] группы Mod(P) определяют образующие группы А(Р). Они
разделяются на 5 типов и однозначно определяются тем, в какой
стандартный базис
v = {aiy Ъ{г (/ = 1, ..., g)y с{(i = g+ 1, ..., я)} С Я,(Р, Z2)
переходит фиксированный стандартный базис
v = {а,, Ь{(i = 1, ..., g)y a (i = g + 1, ..., п)} С Я,(Я, Z2).
Эти образующие состоят из следующих 5 типов преобразований:
(1) а, = а, + bi\ (2) а, = biy hi = а,;
(3) а, = а, -I- а]у b, = Ь]у а, = а1У Ь{ = Ь{ + bfy
(4) а, = о, + cr\ (5) Ci = cjy Cj = ciy
где ak = aky bk = bky ck = ck при k ф iy j.
Положим 8 = 8(P, о) = 0, если существует стандартный базис v такой,
что
g
^2^(diMbd = 0 (mod 2).
В остальных случаях положим 8=1.
Множество дыр cg+\y ... у cg+k делится на два множества
Do = {ci | <d(c,) = 0}
и
D, = {c,|wfo)=l}.
Обозначим через ka = кл(Ру о) мощность множества Da. Аналогично,
проколы Cg+*+i, ..., сп делятся на 2 множества вида
fa = {^ | (*(Ci) = a}.
Пусть ma (a = 0, 1) — мощность множества Еа. Типом функции Арфа
(Ру о) назовем набор (gy 8, k0y k]y т0у m,). Положим па = ka + та.
Лемма 8.1. Набор (gy 8, kay та) является типом некоторой
функции Арфа, если и только если
1) k\ +m, = 0(mod 2);
2) 8 = 0 при п\ >0.

46
Глава 1. Модули римановых поверхностей
В этом случае существует стандартный базис v такой, что о(а,) =
= 0(6,) =0 для i > 1, о(а|) =о(6,) = &, о(с,) =0 при g+\<:i^:g + koU
g + k0 4 ki 4 1 ^ i ^ g 4 k0 4 *, + m,.
Доказательство. Условие £| -f m! =0 (mod 2) следует из
£«(с,) = «(£с,)=«(0) = 0.
Докажем теперь, что существует стандартный базис v такой, что ^(а,) =
= б)(6/) = 0 при />1 и <й(а\) =(й(Ь\) =0 при П!>0. Нетрудно видеть,
что используя преобразования (1)—(3), можно перейти от произвольного
стандартного базиса v к стандартному базису v такому, что ю(а/) =ю(6,) =0
при i > 1 и <й(а{) = (й(Ь\). Если при этом о(а,) =о(6,) = <•>(£/) = 1, то
преобразование й\ = а\ 4 с,, Ь\ = Ь\ 4 с,- дает нужный базис. Если /^ = 0, то
преобразования (1)—(5) сохраняют четность суммы
g
и, следовательно, тип (gy 1, k0y О, m0, 0) существует. □
Пусть теперь (Р, о,, о2) — пара функций Арфа, причем о, ф о2. 7мяол
этой пары назовем набор (gy Ъ\у S2, k^y m^), где &, = 8(Р, о,), fecp— число
дыр Ci таких, что <й\(с() = а, <о2(с/) = р, и т^ — число проколов с, таких,
что о, (с,-) = а, 6>2(С/) = р, где а, р е {0, 1}. Положим п<$ = k^ 4 m^.
Лемма 8.2. Набор (g,b\,b2, k^, m<$) является типом
некоторой пары функций Арфа, если и только если наборы (gy 8|, ka0 4 ka\y
ma0 + ma\) и (gy S2, fcoa + k\ay moa 4 mla) являются типами
некоторых функций Арфа. В этом случае существует стандартный
базис v такой, что: 1) если п|04п0|>0, то <o7-(at) = 0,(6,) = &7,
<оДа,-) = <oy(fc/) = 0, где /=1,2, />1; 2) если я|О = яО|=0 w яп>0,
mo <o;(a/) = <0y(fc/) = 0 яри /=1,2, />1 w о,(6,) = ю2(а,) = ю2(6,) = 0,
с&ч(а,) = 1; 3) если п0\ =п]0 = пи = 0, то о,(а,) 4о2(а,) = 1, о,(а2) =
= 0|(62) = о2(а2) = о2(62) = г, о,(6,) = о2(6,) = 8 (где е = 0, если Ь= \, и
Ы\(а\) = 1, если Ъ = 0) и ол(а/) = <о*(Ь,-) = 0 при i > 2.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть (Р, 0|, о2) —
пара несовпадающих функций Арфа. Рассмотрим эпиморфизм о=(о14(о2):
Н\(РУ Z2) —>Z2. Используя преобразования (1)—(5), нетрудно перейти от
произвольного базиса к базису
v = {ahbhci}cHl(P,Z2)
такому, что
<o(fri) =<о(а,-) =<o(frj) =0 для i>\

§ 8. Топологическая классификация функций арфа
47
и
ю(а,)=0 при Яо|+я|0>0.
Пусть п0\ 4- яю > 0. Тогда о|(а|) = ю2(а/) и о|(6|) = о2(6,).
Преобразования (1)—(3) дают базис v такой, что
<о*(а,-) = ол(6/) = 0 для i > 1
и
б),(а,) = (0,(6,) = б)2(а,) = (о2(6|).
Используя, если необходимо, перестройки а, = а, 4- ck и 6, = 6, 4- с*,
получаем о*(а,) = о*(6,) = 8*. Пусть теперь я01=я10 = 0 и 6сР —
простой контур, представляющий Ь\. Тогда функции ы\ и ю2 равны на
Р\Ь и, согласно лемме 8.1, существует базис у е//,(Р, Z2) такой, что:
1) <o*(af) = <o*(frj) = 0 при />2; 2) о|(а2) = о|(62) = о2(а2) = о2(62) =е,
ю,(6,) = о2(6,) =8, о,(а,)+о2(а,) = 1 и е = 0, если 8=1 или я,,>0.
Если П\\ > 0, то при подходящем k перестройка Ъ\ =b\+ck дает 8 = 0.
Если 8 = 0, перестройка а, =а, 4- fci дает о,(а,) =1. П
Два набора функций Арфа (ю,, ..., ю„) и (Ц, ..., oj,) на Р
назовем топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм
а е Mod(P) такой, что oj = ю,а.
Теорема 8.1 ([76], [74]). Функции Арфа и пары функций Арфа
топологически эквивалентны, если и только если они имеют
одинаковый топологический тип.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что
преобразования (1)—(5) сохраняют топологический тип функций Арфа и пар функций
Арфа. Эти преобразования порождают группу А(Р). Следовательно,
топологический тип не меняется под действием a G Mod (P). Пусть теперь о и
ю' имеют одинаковый топологический тип. Тогда, согласно лемме 8.1
существуют стандартные базисы v = {у,} и v' = {yj} группы гс,(Р, р) такие, что
о(У/) = 6>'(yJ). Рассмотрим а е Mod(P) такой, что а(у,') = vh Тогда о' = оа
и, значит, о' и о топологически эквивалентны. Аналогично с
использованием леммы 8.2 доказывается второе утверждение теоремы 8.1. □
Особенно важен случай компактных поверхностей, который мы и
рассматриваем до конца этого параграфа. В этом случае согласно нашим
определениям топологический тип функции Арфа описывается элементом
8(<d) е {0, 1}, называемым Арф-инвариантом [2].
Лемма 8.3. Пусть {ah Ь{ (I — 1, ..., g)} — произвольный
стандартный базис Н\(РУ Z2). Тогда
g
8(б>) = ^co(a,)(i>(&,) (mod 2).

48
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Доказательство. Правая часть сравнения инварианта
относительно преобразований (1)—(5). С другой стороны, эти преобразования
порождают группу, транзитивно действующую на множестве всех
стандартных базисов. □
Для случая компактных поверхностей теорема 8.1 и лемма 8.2 дают
Следствие 8.1. Функции Арфа на компактной поверхности
топологически эквивалентны, если и только если их Арф-инварианты
совпадают. Пары функций Арфа на компактной поверхности
топологически эквивалентны, если и только если их Арф-инварианты
совпадают
В следующем параграфе мы докажем аналог этого утверждения для
произвольного числа функций Арфа.
§ 9. Топологическая классификация
независимых систем функций Арфа
на компактных поверхностях
Под функцией Арфа в этом параграфе мы понимаем функцию Арфа
на фиксированной компактной поверхности Р рода g. Сумма четного
числа таких функций является линейной формой вида НХ(Р, Z2) -> Z2. Сумма
нечетного числа функций Арфа — снова функция Арфа.
Набор функций Арфа
П = ((!>(), <•>!, ..., 6>„)
назовем независимым, если равенство
п
^2 «««I=о,
/=0
где a, G {0, 1}, влечет oto = а! = ... = а„ = 0. Цель этого параграфа —
доказать следующую теорему:
Теорема 9.1 ([77]). Наборы независимых функций Арфа П1 =
= (oq, ..., ы\) и Q,2 = (oq, ..., о*) топологически эквивалентны, если и
только если Цы]0 + ы] + о]) = Цы>1 + о? 4- oj) для всех /, / = 0, 1, ..., п.
Для доказательства рассмотрим Н\(РУ Z2) как векторное
пространство И над Z2. Индекс пересечения индуцирует на И невырожденную
симметричную билинейную форму (.,.): Н х Н —► Z2 такую, что (а, а) = 0.
Базис
{ahbl(i=U...,g)}cH
назовем симплектическим, если (a,, aj) = (biy bj) = 0, (а,, bj) = 8l7.
Пусть V = (vi, ..., vn) С H — набор линейно независимых векторов.
Опишем процедуру «ортогонализации» V. Ее результатом будет множество

§ 9. Топологическая классификация систем функций арфа
49
W= W(V) = {sh ti (i= 1, ..., r), Si (i = r+ 1, ..., r + A)}, которое
строится рекурсивно, начиная с V0 = V.
Переход от
v*-1 = {*,, м* = 1, ...,*-о, У*-\..., <;!,}
дается следующими правилами.
Если все у?-1 попарно ортогональны (то есть (у?~\ у*-1) = 0), то
положим
В противном случае:
1) выберем vkm~] с наименьшим номером /, не ортогональный хотя бы
одному vkm~\
2) выберем у^-1 с наименьшим номером /' такой, что (у?-1, у*_,)=1,
3) положим sk = v*'*, tk = vkf~\
4) дат ^ /, / положим y£, = t;*-1 - (ym_,> 5*)'* + (Pkm~\ '*)**•
Лемма 9.1. Пусть наборы линейно независимых векторов V =
= (v i,..., vn) и V = (v\, ..., v'n) таковы, что (vhvl) = (v'0,v'j) для
всех i, j. Пусть о и о' — функции Арфа такие, что 8(ю) = &(о') и
о(У/) = ю'(у-) для i = 1, ..., п. Тогда существует изоморфизм ср: Н —>
-> Н такой, что (а, Ь) = (ср(а), ср(6)), сУср = о w cp(y,) = ср(у-) для всех
ау ЬеН, Vi с V.
Доказательство. Пусть
W(V) = {shti(i=l,...,r),sl(i = r+l,...,r + h)}
и
W = {s!,<!(i=l r),s[(i = r+l г + Л)}.
Тогда из o(yl)=o,(yJ) следует o(s/) =o'(s[), ю(/,) = ю'(/-). Кроме того,
(5|, 5/) = (/„ /,.) = (*;, s;) = (/;, /;) = о, (5<, /,.) = (*;, ф = &/у и, значит, w(V)
и ЩУ") можно дополнить до симплектических базисов
{а„6,(1=1,...,й}, {a;,6!(i=lf...ftf}.
Используя условие &(о) =8(6)') и повторяя рассуждения леммы 8.1,
нетрудно убедиться, что дополняющие векторы можно выбрать так, что
о(а/) = o'(aj) и 0(6,) = <о'(^) для всех /. Соответствие а, н-> а[, 6, н-> 6[
порождает изоморфизм ср: Н —* Н с нужными свойствами. □

50
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Символом * мы будем обозначать двойственные относительно формы
(.,.) объекты. В частности, если о' и о" — функции Арфа, то о' -I- о" е Н*
и (<■>' + <■>")*€//.
Лемма 9.2. Пусть {о0, о,, о2}— функции Арфа. Тогда
1) Оо((оо + о,)*) = &(о0) + &(о,);
2) 8(б)0 + о, 4- о2) = &(о0) 4- &(<•>,) + &(о2) 4- ((о0 4- to,)*, (о0 4- о2)*).
Доказательство. Пусть {а,, 6, (/= 1, ..., #)}— симплектический
базис Н такой, что а, = (о0 -I- о,)*. Тогда о, = о0 4- а* и, следовательно,
о, (а,) =оо(а/) при всех /, 0,(6,) = 00(6/) при / > 1, и 0,(6,) =о0(6,) -I- 1.
Таким образом,
8(о0) + &(<«>,) =оо(а,)о0(6,) 4- о,(а,)о,(6,) =о0(а,) =о0((о0 4- о,)*).
Следовательно,
8(о0 4- о, 4- о2) 4- 8(о0) + 8(о,) 4- &(о2) =
= (8(о0) 4- 8(о0 4- о, 4- о2)) 4- (8(о0) + 8(о,)) 4- (&(о0) 4- 8(о2)) =
= о0((о, + о2)*) + о0((оо + о,)* + Оо((оо + о2)*) =
= Оо((о0 4- о,)* 4- (оо 4- о2)*) 4- Оо((о0 4- о,)*) 4- о0((о0 4- о2)*) =
= ((о0 + о,Г, (o0-ho2)*). П
Доказательство теоремы 9.1. В одну сторону утверждение
теоремы очевидно. Пусть теперь наборы П1 и Q,2 такие, что
8(о0 + oj + о') = &(о* 4- о? 4- о^)
и, в частности, 8(oJ) = &(о?) для всех /, / = О, 1, ..., п.
Положим
^ = (Ч+ <■>!)* и V = &,...,</„).
Тогда, согласно лемме 9.2,
(v\,v)) = (vlv2l) и о0(4)=о^).
Таким образом, согласно лемме 9.1, существует изоморфизм ср: Я—►Я,
сохраняющий форму (.,.), переводящий К1 в К2 и такой, что Ооф = о0.
Используя скручивание Дена [17], легко показать, что сохраняющий форму
(.,.) автоморфизм ср порождается гомеоморфизмом ср: Р—* Р. □
§ 10. Пространство модулей спинорных оснащений
1. Пусть е: Е —* Р—одномерное локально тривиальное векторное
голоморфное расслоение над римановой поверхностью Р. Униформизация
Л —* Л / Г, где Г с PSL(2, JR) — фуксова группа, переводит е в расслоение
ё: Ё —► Л. Оно допускает тривилизацию, то есть биголоморфное отображе-

§ 10. Пространство модулей спинорных оснащений
51
ние Ф: Ё —► А х С, переводящее ё в естественную проекцию X: (А х С) —►
—►Л. Таким образом, расслоение е изоморфно расслоению,
получающемуся факторизацией расслоения (Л х С) по группе Г, где элемент у^Гс
С PSL(2, R) действует на (Л х С) по правилу:
'az + b
Tfe-»-(SS.«T.^-x).
Функция /: Г х Л —> С* = С\0 называется функцией перехода.
В частности, если Е—кокасательное расслоение, то можно выбрать X
таким образом, чтобы
/(T^) = (g)" =(« + *'
Если функции перехода / и g отвечают расслоениям Е —> Р и F —» Ру то
расслоению Е ® F —> Р отвечает функция перехода / • g.
Линейное расслоение Е —► Р называется спинорным, если расслоение
£ <£)£ —► Р изоморфно кокасательному. Таким образом, его функция
перехода имеет вид /(у, z) = а(а, Ь, су d)(cz + d)y где а2(ау Ьу су d) = 1.
Расслоение с фиксированной «униформизацией» описанного типа
назовем оснащением. Таким образом, оснащение определяется функцией
перехода /:ГхЛ—► С*. Спинорным оснащением назовем оснащение
/(у, г) = а(ау Ьу су d)(cz + d)y где а2(а, Ьу с, d) = 1. Сопоставим отобра-
, ч az + b «
жению y(z) = -т из Г матрицу
/;(T) = o(a,6,c,d)-(° J)eSL(2,R).
Лемма 10.1. Отображение JJ: Г—► SL(2, R) определено
корректно и является мономорфизмом.
Доказательство. Корректность У* означает, что а(-а, -Ьу -с, -d) =
= —a(aybycyd). Это, в свою очередь, сразу следует из определения /. Если
Y,(Z)-Clz + d,' Y2(Z,-C22 + d2'
то
/ v az + b (a b\ (а\ Ь\\(а2 &г\
Таким образом,
YiY2(z, *) = (т^г^, /(YiY2, г)х) = (^~=, о(ау by cy d) (cz + d)).
\cz + d / \cz + d /

52
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Но, с другой стороны,
= I"** 3> a(a«» *■' СЬ d')(C'?!"!"w2 + <*l)q(fl2, &2, С2, d2)(C2Z + d2)A
V cz + а V c2z + а2 / /
Следовательно,
а(а, 6, с, d)(cz + d) = а(а\у Ь\у сь ^)а(а2, b2y c2, d2)(cz + d)
и
o(aybycyd)(^ j)=a(al,6,,cl,dl)a(a2, 62, c2, d2)(^ ^)(^2 ^2J.
Таким образом, У,* — гомоморфизм. Если У: SL(2, Ш) —► PSL(2, R) —
естественная проекция, то УУ^* = id и, следовательно, JJ —
мономорфизм. □
Согласно лемме 10.1, J J (Г) — поднятие группы Г. Рассмотрим функцию
Арфа о/: Н\(А/ГУ Z2) —>Z2, отвечающую этому поднятию (см. §7).
Теорема 10.1 ([70], [74]). Отображение f н-> ю/ устанавливает
взаимно однозначное соответствие между спинорными оснащениями
и функциями Арфа на римановой поверхности Р = А/Г.
Доказательство. Теорема 7.2 устанавливает взаимно
однозначное соответствие между функциями Арфа на Р и поднятиями группы Г.
Докажем, что отображение f^Jj(T) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между спинорными оснащениями и поднятиями группы Г.
Для этого достаточно сопоставить каждому поднятию У*: Г—►SL(2, R)
спинорное оснащение / такое, что JJ =У*. Такое оснащение определяется
функцией перехода /(у, z) = (cz + d)y где У*(у) = ( У\- П
Замечание. Для компактных поверхностей спинорные оснащения
взаимно однозначно соответствуют спинорным расслоениям. В этом случае
другое описание соответствия /н-> о/ содержится в [4], [35], [51].
2. Рассмотрим теперь множество Sp всех пар (Л/Г,/), где /:
Г х А -> С*—спинорное оснащение. Будем считать, что (Л/Г', /') =
= (Л/Г,/), если существует автоморфизм h e Aut(A) такой что Г" =
= hTh~] и f'(hyh~\ hz) = /(у, z). Согласно теореме 10.1, оснащение
(Л/Г, /) определяется парой (Р, о), где о — функция Арфа на Р=Л/Г.
Таким образом, топология пространства модулей римановых поверхностей
индуцирует топологию на Sp. Пусть (gy 8, kay ma) удовлетворяет условиям
леммы 8.1. Обозначим через S(gy 8, kay ma) множество всех спинорных
оснащений (Л/Г, /) таких, что о/ — функция Арфа топологического типа
t = (g, 8, kay ma).

§11. Суперфуксовы группы, суперримановы поверхности
53
Теорема 10.2 ([74]). Пространство S(gy 8, kay ma) гомеоморфно
Tt I Mod/, где
Т ~ Т ~ U$6g+3(*,+*2)+2(m,+m2)-6
'/ — '£.*|+*2'ml+m2 — Я*' »
и
Mod/cModgi/k|+/k2,m|+m2
— подгруппа конечного индекса.
Доказательство. Пусть k = fe, + k2, m = m\ + m2, n = k + m + g
и феГ^п. По определению это означает, что ф G Hom(y, Aut(A)), где
группа у = Yff.n порождена образующими vgjn = {а,, Ь( (/ = 1, ..., g),
с,- (/ = g+ 1, .... я)}. Пусть
vR,n = {aiy k (i = 1, ..., g), c{ (i = g + 1, ..., я)}
— отвечающий ему базис //, (Р, Z2), где Р = Рф = Л / ф(у)- Рассмотрим на
Р функцию Арфа о = Оф такую, что о(а/) = 0(6,) = 0 при i < gy ы(а8) =
= u>(bg) = 8, (о(су) = 0 при g+\ ^j ^g+k0y g+k+l^j^g + k + m^ и
o(cy) = 1 в остальных случаях. Согласно теореме 10.1, функции Арфа оф
отвечает спинорное оснащение /ф: £ф —* Рф. Соответствие ф н-> /ф
определяет отображение
Ф: ^^-> S(g, 8, *«, ma).
Согласно лемме 8.1,
nTgAm)=S(gJbJkajma).
Прообраз каждой точки s e S(gy 8, kay ma) состоит из орбиты группы
Aut(P+) = Modg*m, сохраняющей функцию Арфа Оф. Таким образом,
S(g, 8, kay ma) = TgXm I Modb
где Mod/ —дискретная группа. □
§ 11. Суперфуксовы группы, суперримановы
поверхности и их топологические типы
Пусть L = ЦК) — грассманова алгебра над полем К с бесконечным
числом образующих 1, lit £2у ... Каждый элемент а е ЦК) является
конечной линейной комбинацией мономов lix Л... Л lin с коэффициентами
из К, то есть
а = а* + ^2 atei + X* aiiei л ei + • • •
'7
Соответствие a i-* a# определяет эпиморфизм #: L(K) —► К.

54
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Моном lix Л... Л £in ф О называется четным, если п четно, и
нечетным, если п — нечетно. Константы также считаются четными мономами.
Линейные комбинации с коэффициентами из К четных (нечетных) мономов
порождают линейное пространство L0(K) четных (L, (К) нечетных)
элементов алгебры ЦК). Супераналог линейного пространства — это множество
К^т) = {(ги ..., *я|в,, ..., вм): г{ е Ц(К)У 9, е Ц(К)}.
В качестве поля К будем рассматривать поле комплексных чисел С
или вещественных чисел R.
Множество
A"s = {(z|9,, ..., BN) e C(,|/V) | Im z# > 0}
называется верхней N-суперполуплоскостью. В этом параграфе мы
будем иметь дело с 1-суперполуплоскостями AS = A,S. Группа
автоморфизмов Aut(As) суперобласти As состоит из преобразований А =
= А[ау Ьу су dy а\гу Ъ] вида
Л(г|9) = (^-М7^|82)9|^^(е + е + 8г+1е8е)),
1 \cz + d (cz + df \ cz + d \ 2 J J
где a, by су deL0(R)y а = ±1, е, SeL,(]R), (ad- be)* > 0, а символом \/Д
обозначается элемент из L0(R)y однозначно определяемый свойствами
(у/А)2 = А и (\/Д)# > 0 (см. [6], [7]).
Соответствие
л л# л*/ \ a^z + b*
Лн->Л#, где A#(z) =
cwz + а*
порождает эпиморфизм
#: Aut(As) -> Aut(A).
Элементы множества
Aut,(As) = (#)-'(Aut,(A))
называются суперпараболическими, а элементы множества
Aut2(As) = (#)-'(Aut2(A))
— супергиперболическими.
Подгруппу Г с Aut(As) мы называем суперфуксовойу если Г# =
= #(Г)— фуксова группа и #:Г—*Г#— изоморфизмом. В этом
параграфе мы будем рассматривать (не оговаривая это специально) лишь

§11. Суперфуксовы группы, суперримановы поверхности
55
суперфуксовы группы, состоящие из суперпараболических и
супергиперболических автоморфизмов As.
Сопоставим автоморфизму А = А[ау Ьу с, dy a|e, 8] матрицу
Лемма 11.1. Пусть Г — суперфуксова группа. Тогда
соответствие 7: Г—* SL(2, R) является мономорфизмом и, следовательно,
определяет поднятие У*: Г# —* Г = /(Г).
Доказательство. Прямая выкладка показывает, что
7—гомоморфизм. Кроме того, # = У о 7 и мономорфность # влечет мономорф-
ность 7. □
Пусть TcAut(As) — суперфуксова группа. Фактормножество As/r
называется римановой суперповерхностью (или N = 1 суперримановой
поверхностью). Суперповерхности Р\ = As / Г\ и Р2 = As / Г2 считаются
совпадающими, если Г\ и Г2 сопряжены в Aut(As). Проекции #: As —* А
и #: Г —*Г# определяют проекцию #:Р—>Р#=А/Г#.
Согласно теореме 7.2, поднятие У* задает функцию Арфа
ыР: НХ{Р#, Z2)->Z2.
Топологический тип (g, 8, fea, ma) этой функции Арфа назовем
топологическим типом суперповерхности Р.
Теорема 11.1. Пусть Q — риманова поверхность и о: HX(Q, Z2) —*
—► Z2 — произвольная функция Арфа. Тогда существует риманова
суперповерхность Р такая, что Р* = Q и о^ = о.
Доказательство. Пусть Q = Л / Г, где Г — фуксова группа. Тогда,
согласно теореме 7.2, существует поднятие У*: Г —* SL(2, R),
порождающее функцию Арфа о. Сопоставим теперь автоморфизму у^Гс Aut(A)
автоморфизм у5 € Г с Aut(As) вида
**>-(5#|=Ь)- - СЭ-™-
Тогда множество
rs = {Yshrer}cAut(As)
является группой. Кроме того (ys)# = Y и» следовательно, Г5 —
суперфуксова группа. Положим P = AS/ Vs. Тогда Р* = Q и ыР = о. □
Согласно теореме 11.1, множество V римановых суперповерхностей
типа
t = (g, 8, kay ma)
непусто для каждого /, удовлетворяющего условиям леммы 8.1. Наша
ближайшая задача — описать множества V.

56
Глава 1. Модули риманш'мх поверхностей
§ 12. Модули суперримановых поверхностей
1. Простейшие супергиперболические и суперпараболические
автоморфизмы имеют вид
1°х(2\()) = (\г\оЛв)
И
дав) = (* + Н°в).
гдеа = ±1,Х,ц€1о(К)Д#> 1, Ц* > 0.
Прямой выкладкой нетрудно доказать, что всякий
А 6 Aut2(As)
со свойством Л#(оо) ф оо имеет вид
Л-/(о, X, а, р|е, 8),
гдеХ, а, (3 6L0(K),e, 8€L,(R), а = ±1,Х#> 1, а* ^Р* и
А(?\й\ - f(Xot-p)2 + (l-X)gp
(Х-1)2 + (а-Хр)
Х(«-р)2(е + 8г)6 I оУХ(а-р) /а , . , ., , 1.
((X - 1)2 + (а - Хр))2 I (X - 1)2 + (а - Хр)
Положим
/(а, X, оо, 0|0, 0) = Ч.
Аналогично, всякий
yl€Aut,(As)
со свойством А*(оо) ф оо имеет вид
Л=У(о,Х,а|е,8),
где X, а 6 L0(R), е, 8 6 L,(R), а = ±1, X* > 0 и
л/2,|йч= /(1 -otX)2 + a2X _ (е + 8г)9 1 а(9 + е + 8г+ (1/2)е89)\
1 |и' \,-Хг+(1+аХ) (_хг + (1+а2))2| -Хг+(1+аХ) У
Мы используем эту параметризацию множества Aut|(As) U Aut2(As) для
построения супераналога пространства Фрике—Клейна—Тайхмюллера.
Пусть, как и раньше, ygn — группа, порожденная образующими
ve,n = {a,, bi(i=l,...,g),Ci(i = g+l,..., n)}
с определяющими соотношениями
Положим Ci = [а,, bi] (i= 1, ..., g).

§ 12. Модули суперримановых поверхностей
57
Пусть п = g + k + m, 6g -I- 3k + 2m > 6 и t = (g, 8, kay ma) —
топологический тип некоторой функции Арфа на поверхности типа (g, k, m).
Согласно лемме 8.1, это означает, что
1) k = k0 + k\, m = т0 + m,, k{ + rn{ = 0 (mod 2);
2) 8 = 0 при ki + m, >0.
Обозначим через V множество мономорфизмов ф: v^n —* Aut(As)
таких, что
1) (ФК.п))# € tgXm\
2) суперриманова поверхность P = AS/ ф(Гя,л) порождает на Рф
функцию Арфа о = (йР типа /;
3) естественная проекция (ф(уя,я))# —*/Л(Я#, Z2) переводит vg>n в
стандартный базис {а,, Ь{ (/= 1, ..., g), с, (/ = g + 1, ..., п)} такой, что
G)(at) = 0(6,) = 0 для i > 1, to(ai) = о(6|) = 8 и <о(с,-) = 0, если и только
если g + 1 ^ i ^ g + k0 или g + k+ 1 ^ / ^ g + fc + m0.
Соответствие фн->ф#, где ф#(^) = (ф(^))#, порождает отображение
#: Г —* fg,*,m. Согласно теореме 11.1,
#(F) = W
Группа Aut(As) действует на V сопряжениями. Положим
r = f/Aut(As).
Для любой тройки точек
(z.|9,), (z2|92), (z3|93)GlR(,|,)
существует h e Aut(As) такой, что
А(2,|в|) = (оо|0), А(22|в2) = (0|0) И А(23|в3) = (1|в).
Кроме того, автоморфизмы, сохраняющие точки (оо|0), (010) и
переводящие точки вида (119) в точки такого же вида, совпадают с инволюцией
(z 18) н-> (z | — 9). Это позволяет отождествить V с множеством V / Z2, где
1) при g = k = 0
Р = {ф € ГЩсхс2) = II ф(с.) = J(au Xlf -1 |е, 8)};
2) при g-= 0, k = 1
Р = (Ф € Р|ф(с.) = /Г,', ф(с2) =/(a2f X2, 1 |е, 8)};
3) при g = k = 1
Г' = {ф€ Р |ф(с,) = £,', ф(6,) = /(а, Х2, 1, р|е, 8)};

58
Глава 1. Модули римановых поверхностей
4) в остальных случаях
f = (Ф € Р |ф(с,) - /?,', ф(с2) = /(о2, Х2, 1, р|е, 5)}.
В этих обозначениях числа а, аь а2 однозначно определяются типом t.
Опишем теперь отображение
ф- ft _>]j£(6£+3*+2m-6|4g+2*+2m-4)
Для этого представим элементы ф(^,т), где ф е Р> в следующем виде:
ф(с,-) = /(о,-, X,, а,-, р, |х,, */,) при К g + *,
ф(с,) = /(о,-, Х„ ak\xh yi) при / > g + fe,
ф(а,) = /(of, X-", »lt 4,1x7, ^),
ф(6/)=/(а?,Х?,е,ДК^?).
При g = fe = 0 положим
Ф(ф) = {*ь хз, -.., Хт_,,а3, ..., ат_2|
*,, Уи *3, »3, .... Xm-I, ^-l}CR(2ffl-6|2m"4).
При g = 0, fe = 1 положим
»(Ф) = {X,, Х2, ..., Хт, а3, ..., ат_, |jc2, у2, ..., jcm, ym} С R^"3!2™-2).
При g = k = 1 положим
Ф(Ф) = {Х|, ..., Хт+Ь Т),, е,, а2, р2, а3, а4, ..., ат|
*2, #2, ..., *т, уту xl yl х\, у\) с r<*»+W>.
В остальных случаях: при т = О положим
Ф(ф) = {Х1,...,Хг+Л-1,51,т),,е,,...,^, т)^, е^,р2, <х3,рз,..., <Vf*_i, ря+*_, |
*2, л,..., *,+*_■, */,+*_,, <, */?,..., **, у*} С R(^+3*-6l W*-*),
при m = 1
Ф(ф) = {Х1,...,Хг+лД1,т)1,е1,...,^,т)г,е^р2,аз,рз,...,аг+л_,,рг+л_1,а^|
а в остальных случаях
Ф(ф) = {Х|,...,Хг+л+т-|Д1,т),,е,,...,^,^^»
Рг, аз, Рз, • • •, а^+ь Р*+*» а*+*+ !»•••» а*+*+ш-21
*2, 02, • • • , *!+*+- 1 • %+*+- I • *i • Я• ''' > 4 # С R^^2-6!^2^2-4).
Положим
f = Ф(7*)-

§ 12. Модули суперримановых поверхностей 59
Будем говорить, что область Q с К(г|/) сильно диффеоморфна JR(r|/),
если <?#— диффеоморфна W и Q = #-'(#(£)).
Теорема 12.1 ([62], [64], [73]). Отображение Ф: Р -> Р — взаимно
однозначно и Р — сильно диффеоморфно
]j£<6g+3*+2m-614g+2*+2m-4)
Доказательство. Тип / однозначно определяет величины a,, а?, af.
Параметры X,, a,, р,, a,, jc,, */, однозначно определяют ф(с,) при / < я, а
следовательно, и отображение
Ф(с.)=(Цф(с,)) •
Это позволяет определить по формулам (1.6)—(1.9) параметры X?, Xf
и &,, которые вместе с параметрами *?, */?, xh */, однозначно определяют
ф(а,) и ф(6/). Таким образом, отображение Ф взаимно однозначно. Все
ограничения на параметры сводятся к ограничениям на их числовые части.
Таким образом,
Г = #-'(#(7")).
Кроме того, согласно теореме 4.1,
Из нашей конструкции сразу вытекает
Следствие 12.1 ([74]). Пусть t — топологический тип функции
Арфа на поверхности типа (g, ky т) и М1 — множество всех
суперримановых поверхностей типа t. Тогда М1 представляется в виде
VI Mod', где V сильно диффеоморфно
]j£(6£+3*+2m-6|4g+2*+2m-4) / ^
а группа Mod' дискретно действует на V. Если о — функция Арфа
типа t, то
Mod' = {a e Mod^,m | <о<х = ы}.
Пример. Рассмотрим пространство Mg суперримановых
поверхностей Р таких, что Р* — компактная риманова поверхность рода g> 1. На
компактных поверхностях рода g > О существуют функции Арфа ровно
двух типов. Таким образом, Mg распадается на две компоненты связности,
каждая из которых диффеоморфна
R«*-«l«*-«> / Mod,
где Mod — зависящая от компоненты дискретная группа.

60
Глава 1. Модули римановых поверхностей
§ 13. N = 2 суперфуксовы группы.
N = 2 суперримановы поверхности
и их топологические инварианты
Обозначим через А[а, by cy dy £\г] отображение А: А25 —► А25 вида
аг + 6 + 5пе, + 5,262
)•
м,\ъ ь\ /аг + Ь + 8"е|+8|2е2
с2 + ^ + 82|е,+522в2 ' cz + d + 52le, + 522e2
где а, b,c,de L0(R), £ e GL(2, Ц(Щ), e", 8" G L,(R).
Согласно [45], группа автоморфизмов Aut(A2S) суперобласти A2S
состоит из А[а, b, с, d, £\е], где
(-с а\Л" 5|2\ _ (г2' г"\/е" £,2\
\-d Ь) U21 52V ~ Ve22 t") {t2] I22)
ad-be- e"e12 - e2le22 = £"£22 + £2,£12 + 8"822 + 8I2821 = Д,
где Д* > 0,
^21 + JIIJ2I = £«2^22 + 8I2822 = Q
Прямой выкладкой нетрудно показать, что
Лемма 13.1. Автоморфизм А[а, Ь, с, d, £\е] относится к одному
из двух типов:
1) (нескрученных) (У2)* = (£21)* = 0;
2) (скрученных) (/")# = (f2)* = 0.
Нескрученный (скрученный) автоморфизм однозначно
определяется параметрами а, Ь, с, d, е'', £" (соответственно, а, Ь, с, d, г1', £[2).
Эти параметры могут принимать произвольные значения такие,
что а, Ь, с, d, £" € L0(R), e* e L,(R), (ad - be)* > 0, (£" + £{2)* ф 0.
Лемма 13.2. Пусть (г,\В), 92) GR(I|2), i = l, 2, 3 и zf^zf при 1ф\.
Тогда существует А € Aut(A2s) такой, что A(z\ |0|, 02) = (0|0, 0),
Л(г2|92, в2) = (оо10, 0) и A(z3\V3, в2) - (119\ в2).
Положим
Aut^ = {he Aut(A25) | A(0|0, 0) = (0|0, 0),
A(oo|0, 0) = (oo|0t 0), A(l |0, 0) = (110', 02)}.
Лемма 13.3. Группа A%s состоит из элементов вида h(z\%\ О2) =
= (z\[iQ\ [i~lQ3~l), где \i e L0(R), [1#^0м/ равно 1 или 2.

§ 13. Л/= 2 СУПЕРРИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
61
Доказательство. Определение А™ влечет h = Л[1, 0, 0, 1, ^|0],
откуда £п£2Х = £Х2£22 = О, £и£22 + £Х2£2Х = 1. Следовательно, или £Х2 = £2Х = 0,
£и£22 = 1, или ^п = ^22 = 0, £Х2£2Х = 1. П
Соответствие А »-> Л#, где
Л = Л[а, 6, с, d,/|e], Л#(г) =
c^z
+ d#'
порождает эпиморфизм #: Aut(A25) —► Aut(A). Элемент множества
Autj(A25) = (#)~'(Aut|(A)) называется суперпараболическим, а элемент
множества Aut2(A25) = (#)_,(Aut2(A)) — супергиперболическим.
Подгруппа Г с Aut(A25) называется N = 2 суперфуксовой, если Г# =
= #(Г) — фуксова группа и #: Г —► Г# — изоморфизм. В этом параграфе
мы будем рассматривать (не оговаривая это специально) лишь N = 2 су-
перфуксовы группы, состоящие из суперпараболических и
супергиперболических автоморфизмов А25.
Из соотношений на £ij следует, что (^n^22)# ^ 0, (ll2l?l)#^0 и или
(£")# = (£22)# = 0, или (£Х2)# = (£2Х)# = 0.
Сопоставим автоморфизму А = А[ау by cy dy £\г] матрицу
где a = sign(^M + £n + £2Х + *22)#.
Лемма 13.4. Пусть Г е Aut(A25) — N = 2 суперфуксова группа.
Тогда соответствие У: Г —► SL(2, R) является мономорфизмом и,
следовательно, определяет поднятие У*: Г# —►Г = /(Г).
Доказательство. Прямая выкладка показывает, что У —
гомоморфизм. Кроме того, # = У о У и мономорфность # влечет мономорф-
ность У. □
Пусть Г с Aut(A25) — N = 2 суперфуксова группа. Фактормножество
А25 / Г называется римановой N = 2 суперповерхностью или N = 2 су-
перримановой поверхностью. Две N = 2 суперповерхности Р{ = А25 / Г,
и Р2 = А25/Г2 считаются совпадающими, если Г| и Г2 сопряжены в
Aut(A25). Проекции #:А25—>А и #:Г—>Г# определяют проекцию
#: Р^Р# = А/Г#.
Согласно теореме 7.2, поднятие У* задает функцию Арфа
uj,: W,(P#, Z2)^Z2.
Рассмотрим теперь функцию
fi:r^Z2 = {0, 1},

62
Глава 1. Модули римановых поверхностей
сопоставляющую автоморфизму А[ау Ьу с, dy £\s]e Г значение 0, если
(*'2)# = (^2i)# = оэ и значение 1, если (€")# = (f2)* = 0. Нетрудно видеть,
ЧТО $1 — ГОМОМОрфиЗМ, ИНДуЦИруЮЩИЙ ГОМОМОрфизМ (Op! W|(P#, Z2) —>Z2.
Обозначим через со2? функцию Арфа <о)> + <»>£.
Теорема 13.1. Пусть Q — риманова поверхность и (о'.о)2:
H\(Q, Z2) —> Z2— произвольные функции Арфа. Тогда существует
риманова N = 2 суперповерхность Р такая, что P* = Q и <!>{, = со1,
2 2
(Ор = ОТ.
Доказательство. Пусть Q = А / Г, где Г — фуксова группа. Тогда
согласно теореме 7.2, существует поднятие У*: Г—► SL(2, R),
порождающее функции Арфа о)1. Сопоставим теперь автоморфизму у^Гс Aut(A)
автоморфизм у5 € Aut(A2S) вида
s/^|A лч (az + b\ 9, вз-i Л
гдеС Э=у*(т)и
Г 1, если ^'(у) = (о2(у),
*~ 12, еслии'Мт^2^).
Так как to1 + <о2— гомоморфизм, то r5 = {Y5|Y^T} является N = 2
суперфуксовой группой и Р = А25 / Г5 является римановой N = 2
суперповерхностью. При этом Р# = Qy to), = to1 и (Ор = о)2. □
Риманову N = 2 суперповерхность Р назовем нескрученной,
если б)°=0. Ее топологическим типом назовем топологический тип
(g, 8, fea, гаа) функции Арфа <о)> = <0р. Если <о° ^ 0, то риманову
поверхность назовем скрученной. Ее топологическим типом назовем
топологический тип (g, 8|, 82, k^y m^) пары функций Арфа (<d)>, <а2р).
Наша ближайшая задача — описать множества M2t римановых N = 2
суперповерхностей произвольного топологического типа /.
§ 14. Модули N = 2 суперримановых поверхностей
Простейшие супергиперболические и суперпараболические
автоморфизмы суперобласти А25 имеют вид
/x(z|e,, e2) = (Xz|/Ne, + *,2е2, *2,е, + *22е2)
и
jl(z\9u92) = (z + \L\il%+il%9e%+e2e2),
где XfixGMR). **>1 К#>0, /GGL(2,Lo(R)) и £п£2Х = £'2£22 = 0,
Z11*22 + Z12*21 равна X для 1{ и 1 для /'.

§ 14. Модули n = 2 суперримановых поверхностей
63
Всякий А G Aut2(A25) со свойством Л#(оо) ф оо имеет вид
А = /(/, X, а, р|е) = Л[(Ха - р), (1 - а)ар, (X - 1), (а - Хр), /|е],
где X,a,pGZo(R). X* > 1, а#^р#, £ G GL(2, Z-o(R)), е G GL(2, L,(R)).
Положим
/(^, X, оо, 0|0)=/<.
Всякий Л G Aut|(A25) со свойством Л#(оо) ф оо имеет вид
A = J(£y X, а|е) = Л[(1 - аХ), а2Х, -X, (1 +аХ), /|е],
где X, a G Z-o(R), X* > 0, / G GL(2, L0(R)), e G GL(2, L,(R)).
Как и в случае N = 1 суперповерхностей, мы используем эту
параметризацию множества Aut|(A25) U Aut2(A25) для построения N = 2
супераналога пространства Фрике—Клейна—Тайхмюллера.
Обозначим через Р( множество мономорфизмов ф: vgtn —► Aut(A25)
таких, что:
1) (Ф(М)# е fgXm-
2) Р = А25 / ф(Уя,л) — риманова N = 2 суперповерхность типа /;
3) естественная проекция (ф(у^.л))# —► Н\(Р*> Z2) переводит vg/l в
стандартный базис {a,, bt (i = 1, ..., g)y ct (i = g + 1, ..., n)} такой, что
Wi = <i>j, удовлетворяют условиям леммы 8.1 (если суперповерхность не-
скручена) или условиям леммы 8.2 (если суперповерхность скручена).
Соответствие ф»-+ф#, где ф#(й) = (ф(й))#, порождает отображение
#: Р1 -> TgXm. Согласно теореме 13.1, #(Р') = TgXm.
Соответствие Ф: ф »-> А25 / ф(у^л) переносит топологию с
пространства Р1 на пространство Af2/ N = 2 суперримановых поверхностей типа /.
Рассмотрим теперь пространство f2/, определенное условиями:
1) при g = k = 0
Pt = {^ePt\^clc2) = Ii^(cl)=J(£ly\u-\\s)};
2) при# = 0, *= 1
Р1 = {ф G 7*|ф(с,) = /'J, ф(с2) = /(/2, Х2, 1 |е)};
3) при g = k = 1
^ = {ф€7»'|ф(с,) = ^,ф(61) = /(АХ2, l|e)};
4) в остальных случаях
Р' = {фе 7*'|ф(с,) = /£, ф(с2) = /(/2, Х2, 1, р|е)}.

64
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Опишем теперь отображение
ф2/. fit _^ Щ(г1\г2)а
Для этого представим элементы ф(^,ш), где ф е Г2', в следующем виде:
ф(с,-) = /(€,, Х„ ам р, |2,-) при / ^ g + fe,
ф(с,-) = /(4, Х„ а,- |z,-) при / > g + Л,
4i(ai)=/WfXff8Jfi|,|2f)f
Согласно лемме 13.1 при заданном топологическом типе / матрицы
£у lh £% £\ определяются величинами
/,/b^,^GAo(R),
где
с положительной числовой частью I*, £?y (<?)#, (^?)# > 0.
Для нескрученного топологического типа / при k = m = 0 положим
*(ф) = {Х„ .... Х,_„ г», $,...,$, £ 5., т)ь е Дг, т)в, е„
р2, а3, рз, • • •, а,-|, р,_. |г2 z,_„ 2?,..., ^} С R<*-e"*-«».
Для скрученного топологического типа / при k = m = 0 положим
Ф(ф) = {X. Х,_,, II Ц, %,...,%, ё"е, $,, т),, е , $,, т)в, е„
pj, а3, рз, ..., а,.,, р,_, \z2 z,_„ г»,..., z£} с R<8«-7l8«-8>.
При g = k = 0 положим
Ф(ф) = {/,/,,/3,...,
2,,23 Zm_,}CR<3m-7|4m-8).
При g = 0, k = 1 положим
*(ф) = {/„/2,...,/«Д|,Х2 Xm,a3,...,am_1|22,...,2m}cK<3m-3|4m-4).
При g — k — 1 положим
*(Ф) = {h, • • •, /«+|, X , Xm+1, t„ l\, I),, е,, а2, р2, а3, ..., ат|
22, ...,2т, Z?, 2?} С R(3m+5|4m+4).

§ 14. Модули n = 2 суперримановых поверхностей
65
При т = О положим
*(Ф) = i^g+i» •••» 4?+*-ь ^ь •••»^g+*-i» ^и Л» •••» ^g» £ь Ль Ei» •••»sg» Ля»
е„ р2, оз, рз, • • •, ag+*_,, pg+A_, \z2 zg+k_,, z«,..., zj} С R«*+«*-'l*+«-»>.
При m = 1 положим
Ф(ф) = {/г+1>...
P2, аз, Рз ag+*-., pg+*_,, a,+*|z2 zg+*, 2? 4} С R«*+4*-4|*+4*-4)e
При га > 1 положим
Ф(ф) = {lg+i, ..., lg+k+m-l* X|, ..., Xg+fc+m_|, ^, <,, . .., ^g,
5l» Л'» El» • • • » Sg> T)g» E£» Р2» «3, Рз, . . . , CLg+k, Pg+Ь ag+*+b • • • » #g+JM-m-2|
2i, ... , Zg+t+m_„ Z?, .... Z;} С К«*-«*+3«-7|.Ц.4Ц.4«-8»#
Положим
f*' = *(f*').
Теорема 14.1. Отображение Ф: f2' —> f2'— взаимно однозначно и
Р1 — сильно диффеоморфно
jra(8g+4JM-3m-& 18g+4*+4m-8)
где: 1) 6 = 6, если k = m = 0 и t — нескрученный топологический тип;
2) Ь = 7 в остальных случаях.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 12.1.
Группа Aut(A25) действует на Т2* сопряжениями. Положим
7*' = 7*7АиЦА25).
Для любой тройки
(2,16!, в?), (22|в^ 61), (23|0^, Of) GR("2>
существует h Е Aut(A25) такой, что
Л(2,|9!, 9?) = (оо|0, 0), h(z2\$, в|) = (0|0, 0), Л(23|9з, ^) = (1|в', 92).
Таким образом, всякой точке из Т21 отвечает хотя бы одна точка из f2/.
Кроме того, группа
AlTt(A25) = {he Aut(A2S)\h(P<) = Р'}
3 Натанзон СМ.

66
Глава 1. Модули римановых поверхностей
состоит из отображений, переводящих точки (оо|0, 0), (0|0, 0), (1101, О2)
в точки такого же вида, и, следовательно, порождается отображениями
лх: (2|е,,е2)нч(2|хе,,х-,е2),
к1:(г\9\&)~(г\Ф,в1),
и
h2:(z\Q\e2)»(z\-Q\-Q2).
Группа отображений вида Лх эффективно действует на f2', если / — тип
скрученных пар функций Арфа, и действует тождественно на f2', если / —
тип нескрученных функций Арфа.
Согласно теореме 14.1, отсюда следует
Теорема 14.2 ([72], [74]). Множество Т21 сильно диффеоморфно
jj£(8g+4*+3m-6(/)|8g+4*+4m-8) / /^ \2
где: 1) b(t) = 6, если k = m = 0 и t — тип нескрученной пары
функций Арфа; 2) b(t) = 8, если t — тип скрученной пары функций Арфа;
3) b(t) = 7 в остальных случаях.
Таким образом, получаем
Следствие 14.1. Пусть t — топологический тип функции Арфа
на поверхности типа (g, fe, т) и M2i — множество всех N = 2 супер-
римановых поверхностей типа /. Тогда М1 представляется в виде
Т211 Mod2', где Т21 сильно диффеоморфно
]f£(8g+4*+3m-&(+)|8g+4*+4m-8) / /^ \2
а группа Mod2/ дискретно действует на Т21. Если (а>|, о2)— пара
функций Арфа типа t, то
Mod2/ = {a e Mod^>m | <i>|0i = а>|, <о2а = <о2}.
§ 15. Суперголоморфные морфизмы
римановых суперповерхностей
1. Пусть 0 = {(z, 0)} и U = {(z, 0)} —две суперобласти в С(,|,).
Рассмотрим отображение /: U —> 0. Оно называется суперконформным, если
z = u(z) - u'(z)z(z)Qy
0 = v^(ij(e + e(z) + ±e(z)e'(z)Q),
где u(z) e L0(C), e(z) G L,(C) (см. [88]).

§ 15. МОРФИЗМЫ РИМАНОВЫХ СУПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
67
Согласно [45], группа суперконформных автоморфизмов А5 совпадает
с Aut(As).
Пусть теперь Г с Aut(A5) — суперфуксова группа, Р = As / Г — рима-
нова суперповерхность, ср: Л5 —> Р — естественная проекция и ср#: Л—>
—> Р# — ее числовая часть. Рассмотрим U с Р, компоненту связности К
прообраза (ср#)_,(^#) и (7= (#)_,(К). Множество (/ назовем
окрестностью точки peU, если U = (f(U). В этом случае отображение е: (/—»
—>С(,|,) называется локальной картой, если еср: (7—>С(,,,)
суперконформно и e#(/?f) 7^e#(pf) при pf^pf. Покрывающую Р систему
локальных карт {е,} назовем атласом на Р.
Пусть теперь Р— другая риманова суперповерхность и {ё,}— атлас
на ней. Отображение f: P—> P назовем суперголоморфным морфизмом,
если /(Р) =Р и / суперконформно в картах атласов {е,} и {ё,}.
Обратимый суперголоморфный морфизм назовем суперголоморфным
изоморфизмом.
Два суперголоморфных морфизма /i: Р| —> Р| и /2: Р2-^Р2
считаются одинаковыми, если существуют суперголоморфные изоморфизмы
(о: Р| —> Р2 и to: Р| —> Р2 такие, что /2ф = ср/|. Будем говорить, что /| и /2
имеют одинаковый топологический тип, если существуют гомеоморфизмы
ф#: Pf —> Pf и ф#: Pf —> Pf такие, что /f ф# = ф#Л* и <0| = <о2ф#, где
о), — функция Арфа, отвечающая Р,.
Суперголоморфный морфизм / назовем супернакрытием [69], если /#
не имеет критических точек. Всякому суперголоморфному морфизму /
отвечает супернакрытие /0: Р\ В —> Р' \ £', где £' = (#)_|({множество
критических значений морфизма /#}) и В = f~x(B'). Как и в классическом
случае (см. §6), суперголоморфный морфизм полностью определяется
соответствующим супернакрытием и указанием, какие из проколов
накрытия /# надо заклеить. Поэтому в дальнейшем мы рассматриваем только
супернакрытия.
Замечание. В отличие от классического случая, в суперслучае не
каждый прокол р е Р# супернакрытия f: P—> P можно заклеить. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы значение функции Арфа <о: #i(P#, Z2) —>
—> Z2 на проколе р и значение функций Арфа &: Н\(Р*У Z2)-+Z2 на
проколе (/#)_,(р) равнялись 0. При выполнении первого условия
последнее условие эквивалентно нечетности степеней ветвлений в точках
(/*)-■(/>).
2. Перейдем теперь к описанию классов топологической
эквивалентности супернакрытий.
Пусть / — топологический тип функции Арфа на поверхности типа
(g, fe, га). Рассмотрим подгруппу у С ygfk+m = yR,ny ф G Г и Р = As / ф(у^).
3*

68
Глава 1. Модули римановых поверхностей
Функция Арфа, отвечающая Р, порождает функцию <о: yg,n —> Z2. Положим
Mod(Y'w) = {a e ModgXm | <оа = а>, ау = у}
и
Mod(YW) = Mod(Y'w) / (Mod(Y-w) П IMod,Am).
Повторяя рассуждение §6, получаем
Теорема 15.1. Множество супернакрытий одинакового
топологического типа образуют связное супермногообразие вида
V I Mod(T,w). Каждой паре (у, <о) отвечает компонента связности
пространства суперголоморфных накрытий. Компоненты,
отвечающие парам (у, w) и (у7, <о'), совпадают, если и только если они
переходят друг в друга под действием группы Mod^m.

Глава 2
Модули вещественных алгебраических кривых
и их супераналоги. Дифференциалы, спиноры
и якобианы вещественных кривых
§ 1. Топологический тип вещественных
алгебраических кривых
1. Вещественной алгебраической {неособой) кривой называется
пара X = (Р, т), где Р = Х(С) — компактная риманова поверхность
(называемая комплексификацией кривой Л), а х = хх: Р —>Я — антиголоморфная
инволюция (называемая инволюцией комплексного сопряжения).
Неподвижные точки Х{Ш) = РТ этой инволюции образуют множество
вещественных точек кривой. Неособой плоской вещественной алгебраической
кривой F(xy у) = 0 соответствует, например, пара (Р, х), где Р —
нормализация и компактификация поверхности {(*, у) е C2\F(x, у) = 0}, а х
порождена инволюцией (х, у) »-> (£, у).
Вещественные алгебраические кривые Х\ = (Рь Х|) и Х2 = (Р2, *с2)
считаются совпадающими, если существует биголоморфное отображение
ф: Р\ —> Р2 такое, что фх| = х2ф.
Кривая X называется разделяющей (тип I в классификации Клейна),
если множество Л'(С) \ Х(Ж) не связно. В противном случае кривая
называется неразделяющей (тип II в классификации Клейна).
Топологическим типом вещественной алгебраической кривой X
называется набор (g, fe, e), где g = g(X) — род кривой, то есть род
поверхности Л'(С), k = k(X) —число компонент связности множества вещественных
точек X(R) и
Г 0, если X — неразделяющая кривая,
е = г(Х) = <
I 1, если X — разделяющая кривая.
В дальнейшем мы будем часто пользоваться тем, что всякая
риманова поверхность Р биголоморфно эквивалентна поверхности Н/Г, где
Н — сфера Римана С, комплексная плоскость С или верхняя
полуплоскость Л = {ze C| Imz > 0}, а Г — дискретная группа, действующая без
неподвижных точек. Стандартная метрика постоянной кривизны на Н
индуцирует метрику постоянной кривизны на Р = Н / Г.
Приведем два примера вещественных алгебраических кривых.

70
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Пример 1.1. Пусть Р — поверхность рода g с k дырами. Наделим Р
структурой римановой поверхности Р+. Рассмотрим атлас голоморфных
карт
{(t/„z,)}, P+ = \JUh *,:«/,-> С.
Атлас {((/,, 2,)} задает на Р структуру другой римановой поверхности Р~.
Естественное отображение а: Р+—>Р—>Р~ является антиголоморфным.
Комплексная структура поверхностей Р+ и Р~ порождает на них
метрики постоянной кривизны, относительно которых а — изометрия. Окружим
каждую дыру поверхности Р+ геодезической. Геодезические высекают
компактную поверхность Р+ С Р4" с границей дР+. Положим Р~ = аР4".
Отождествим границы дР+ и дР~ с помощью а. В результате
получим компактную риманову поверхность P^k рода 2g+ k — 1, на которой а
индуцирует антиголоморфную инволюцию Tgtk: Pg.k~^Pg,k- Таким
образом, Xgk = (Pg,k, ig,k) — вещественная алгебраическая кривая, причем
Xgk(R) = дР+=дР~. Следовательно, Х$т — вещественная
алгебраическая кривая типа (2g + k— 1, fe, l).
Пример 1.2. Повторяя конструкцию примера 1.1, рассмотрим рима-
новы поверхности с границей Р+, Р~ и антиголоморфное отображение
а: Р+ —> Р~. Граница дР+ состоит из контуров сь ..., ck. Рассмотрим изо-
метрии без неподвижных точек а,-: с{ —> сх такие, что а? = 1. Пусть теперь
0 < т < к. При / < т отождествим конуры с-, и ас-, с помощью
отображения а. При / > т отождествим контуры ct и ас, с помощью отображения аа,.
В итоге опять получится некоторая вещественная кривая Y^k = (P£k, xJ?J
m
того же рода. Но теперь Yg^R) = \J с{ и, следовательно, Y^k — кривая
топологического типа (2g + k — 1, га, 0).
2. Вещественные кривые (Р,, ij) и (Р2, х2) называются топологически
эквивалентными, если существует гомеоморфизм ср: Рх —*Р2 такой, что
Х2ф = фХ|.
Наша ближайшая цель—доказать, что любая вещественная
алгебраическая кривая топологически эквивалентна кривой из примеров 1.1 или 1.2.
Лемма 1.1. Множество X(R) вещественных точек вещественной
алгебраической кривой Х = (РУ х) распадается на простые попарно
непересекающиеся замкнутые гладкие контуры (называемые
овалами).
Доказательство. Комплексная структура поверхности Р
индуцирует метрику постоянной кривизны, относительно которой х — изометрия.
Если х е X(R)y то инволюция касательной плоскости dxx: Тх —> Тх
является отражением относительно некоторой прямой v e Тх. Обозначим через

§ 1. Топологический тип вещественных алгебраических кривых
71
£с Р геодезическую, проходящую через х по направлению прямой £. Все
ее точки неподвижны относительно т,ив малой окрестности х нет других
неподвижных точек т. Таким образом, всякая точка х е X(R) лежит
ровно на одной максимальной геодезической без самопересечений ^cA'(IR).
Ввиду компактности Р всякая такая геодезическая является замкнутым
гладким контуром. □
Теорема 1.1. Пусть (Р, х) —вещественная кривая типа (gy k, 1).
Тогда l^k^g+l, k = g+l (mod 2) и (P, х) топологически
эквивалентна кривой (Pg,k, tgtk) из примера 1.1, где g= ~(g+ 1 — *)•
Доказательство. Согласно лемме 1.1, множество Р\РТ
распадается на две поверхности Р, и Р2 рода g с k дырами. Отсюда g = 2g + k — 1
и, следовательно, k^g+ 1, k = g-\- 1 (mod 2). Рассмотрим гомеоморфизм
ср,: (Р, U Рт) -> Р+. Положим
(jc)= J>'W> если xGP, U Рт,
I х£,*ф|х(*)> если х € ?*•
Нетрудно видеть, что ср реализует нужную топологическую
эквивалентность. □
3. Займемся теперь кривыми неразделяющего типа. Далее до конца
параграфа Q — риманова поверхность рода gen дырами и р: Q—> Q —
антиголоморфная инволюция без неподвижных точек.
Простой замкнутый контур acQ назовем инвариантным, если
Ра = а.
Систему попарно непересекающихся инвариантных контуров А =
= (Д|, ..., ат) назовем полной, если множество Q\A — несвязно.
Очевидно, что в этом случае Q \ А состоит из двух поверхностей Q\ Q" рода
-(g - т + 1) с т + -п дырами, причем р<?' = <?".
Лемма 1.2. а) Существует хотя бы один инвариантный контур
acQ; б) если g>0, то существует инвариантный контур Ь С Q
такой, что Q\b — связно; в) существует полная система,
состоящая из g + 1 инвариантных контуров; г) если А = (аи ..., ат) C.Q —
полная система инвариантных контуров и т > 2, то существует
b с Q такой, что (аь ..., ат_3, Ь) — тоже полная система
инвариантных контуров.
Доказательство, а) Без ограничения общности можно считать,
что п > 2. Рассмотрим на Q функцию f(x) = р(х, р*), где р — расстояние в
стандартной метрике постоянной отрицательной кривизны на Q. Функция /
достигает минимума f{z) = с>0. Если £—минимальная геодезическая,
соединяющая z и pz, то а = £ U fi£ — инвариантный контур.

72
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
б) Пусть acQ — контур, построенный в пункте а),и(?\а — несвязно.
Тогда Q \ а = Q' U (?", где Q\ Q" — поверхности положительного рода и
PQ; = Q". Соединим точки х Е а и хх линией без
самопересечений £с Q', такой, что Q' \£ связно (см. рис. 2.1.1).
Тогда b = £Ux£ — инвариантный контур и Q\b
связно.
в) Пусть Ь — контур, построенный в пункте б). Тогда
Q\b — поверхность рода g — 1, к которой при g— 1 >
> 0 опять применимо утверждение пункта б). При g = 0
применим пункт а).
г) Множество Q\A распадается на поверхности Q' и Q" (см. рис. 2.1.2).
Пополним их граничными контурами. При этом контуру а, с А
отвечают контуры а\ с Q' и а" с Q". Пусть qu q2y q$— точки контуров am_2,
Дт-ь а>т и q\ —
соответствующие точки контуров a^_3+i.
Обозначим через т, одну из
двух дуг, на которые точки q\ и
Р(^) разбивают контур а\.
Соединим точки Р(<7;,) и q2
линией £\C.Q' и точки Р(^7з) и Яъ
линией £2 С Q' так, чтобы £х и
£2 не пересекались между
собой, не имели
самопересечений и не пересекались (кроме
концов) с 3Q'. Соединим точки
Р(<73) и q\ линией без
самопересечений £ъ, гомотопной линии
Рис. 2.1.2 (т\£\т2£2тг)~1 и не имеющей
с ней и с 8Q' общих точек, кроме концов (это всегда можно сделать,
так как множество Q' \ (£\ \J£2) —связно). Замкнутый контур без
самопересечений £ът\£хт2£2тъ разбивает поверхность Q' на две части Q\ и
Q2. Рассмотрим теперь инвариантный контур Ь = £\${£2)£ф{£\) £${£$) С Q.
Тогда Q\(b, au ... у am_3) распадается на поверхности Q\ ир(<?2) и
<?2up(<?',). п
Теорема 1.2. Пусть (Р, х) — вещественная алгебраическая
кривая топологического типа (gy га, 0). Тогда для любого т< k^g+ 1,
k = g+ 1 (mod 2) кривая (Р, х) топологически эквивалентна кривой
(P?ky xJJ из примера 1.2, где g = -(g+ 1 - k).
Доказательство. Используя лемму 1.2, находим на
поверхности Р\РТ полный набор инвариантных относительно х контуров А =

§ 2. Модули вещественных алгебраических кривых
73
= (am+i, ..., ak). Поверхность Р\(РТ1)А) распадается на две
поверхности Pj и Р2 рода g с k дырами. Рассмотрим теперь гомеоморфизм
cpi: (P| UPT UА) —у Р+ такой, что cpi(PT) = (C|, ..., с*)- Положим
rcp,(jc), если хеР, иРтиЛ,
Ф _ \ x^cp,x(jc), еслихеР2.
Нетрудно видеть, что ср реализует нужную топологическую
эквивалентность. □
Примеры 1.1, 1.2 и теоремы 1.1, 1.2 дают
Следствие 1.1 ([93]). Вещественные алгебраические кривые
топологически эквивалентны, если и только если они имеют одинаковый
топологический тип. Набор (g, k, г) является топологическим
типом некоторой вещественной алгебраической кривой, если и только
если или г=\, I ^k^g-\- \, k = g-\- I (mod 2), или z = 0, О ^ k ^ g.
Замечание. Неравенство k ^ g + 1 для плоских вещественных
алгебраических кривых было впервые доказано Харнаком [31] и носит его имя.
§ 2. Модули вещественных алгебраических кривых
1. Далее мы рассматриваем лишь кривые рода g> 1. Случаи g^ 1
много проще, но требуют других подходов.
Вещественные алгебраические кривые рода g > 1 униформизируются
дискретными группами изометрий метрики -—- плоскости Лобачевского
А = {z eC| Imz > 0}. Полная группа изометрий Aut(A) состоит из
голоморфных (Aut(A)) и антиголоморфных автоморфизмов.
Дискретные подгруппы Г с Aut(A) называется неевклидовыми
кристаллографическими группами (НЕС-группами) [44]. Далее нам
понадобятся лишь NEC-группы Г такие, что Г = Г П Aut(A) — фуксова группа,
состоящая из гиперболических автоморфизмов, Г ^ Г и Р = А / Г —
компактная поверхность. Мы будем называть такие группы Г
вещественными фуксовыми группами. В этом случае Г \ Г индуцирует
антиголоморфную инволюцию т = Ф(Г\Г)Ф_|: Р—> Р, (где Ф: А—>Р— естественная
проекция). Таким образом, вещественная фуксова группа Г порождает
вещественную алгебраическую кривую (Р, х) = [Г].
Лемма 2.1. Всякая вещественная алгебраическая кривая
порождается некоторой вещественной фуксовой группой.
Доказательство. Пусть Г с Aut(A) — фуксова группа, униформи-
зирующая риманову поверхность Р, и Ф: А—>Р— естественная проекция

74
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
(см., например, § 2 главы 1). Ввиду односвязности А существует элемент
с Е Aut(A) \ Aut(A) такой, что Фа = хФ. Пусть Г — группа, порожденная
а и Г. Тогда (Р, х) = [Г]. □
2. Пусть MgXt — пространство модулей вещественных алгебраических
кривых типа (g, fe, е). Наша ближайшая цель — построить естественное
отображение Ф*А: fgtk -> AfgtM, где g = -(g + 1 - к).
Пусть n = g + ky tyefgtk и {AhBi (i=l g), С, (i=l *)} =
= {ф(в|). ФМ (*=1 £). Ф(с,-) (* = £+! л)}. Обозначим через
С, Е Aut(A) \ Aut(A) отражение (в смысле геометрии Лобачевского)
относительно геодезической l(Ci). Пусть Гф = ф(у&я) и Г£— группа,
порожденная Гф и С|, ..., С*.
Лемма 2.2. Гф — вещественная фуксова группа и [Гф]Е М^|.
Доказательство. Пусть {а,, 6/ (/= 1, ..., g)} — образующие
g
группы Yg.o, порождающие ее с определяющим соотношением ГН^ь ^/1= "•
i=i
Положим
ф(а,) = СяВ*+.-Д, ф(6,-) = СЯ^+,_Д (/=1 £),
ф(а,) = Л,^, ф(6,) = Я,_, (/ = £ + 1 2g),
ф(а,) = ЩС№, Щд = W^Wr* (i = 2g+ l 2g + fe),
где Д = СД, U^i= П DfaDT1 (см. рис. 2.2.1).
/(D.C-'D"1) ЦСпВМ 1{СпАхСп) i{Al) t(Bx) i(Ci) l{Cn-x)
ИГ\ГГ\\\ /Т\\ГХ\)Г\
Рис. 2.2.1
Тогда
Д[ф№). Ф(*|)] = СЯЦ[Я^
/=1 /=g /=1 /=1 /=Л

§ 2. Модули вещественных алгебраических кривых
75
ввиду ПИ«-Я«-1 П с«-= !• Кроме того, (ф(й|), ф(М,'&,') ф(ав),
ф^я^Г1^1))— последовательный набор типа (0, 2g) (см. рис. 2.2.1).
Таким образом, ф е fgt0 и, следовательно, Р = А / ф(у*,о) £ A'g.o- Группа Г£
порождена группой ф(Тя.о) и инволюциями С,, причем С,-ф(ув,о)С|- = $(y*.o)-
Следовательно, Г£— вещественная фуксова группа, а образы 1(С{)
образуют овалы кривой [rj]. По построению эти контуры образуют границу
поверхности рода g. □
Таким образом, соответствие ф »-> [Гф] задает отображение Vkgk: fgik —>
-*меХХ.
Лемма 2.3. 9kUJt(fBjt)=M8Xl.
Доказательство. Пусть (Р, х) е Mgtkti- Согласно лемме 2.1, (Р, х) =
= [Г] для некоторой вещественной фуксовой группы Г. Пусть Г е Г П
П Aut(A), Ф: А—> А/Т = Р — естественная проекция, $(q) =риФ,:у->
-^к\(Рур) — изоморфизм, переводящий Л е Г в образ Ф(^) отрезка
£ = [qy hq] с А. Овалы Рт разбивают Р на две поверхности Рх и Р2. Пусть
р е Р\ и v = {а„ bi (i = 1, ..., g), ct (i = g + 1, ..., n)} — стандартная
система образующих группы к(Р\у р) в смысле §2 главы 1. Согласно
теореме 2.1 главы 1 V = $~l(v)— последовательный набор типа (gy k)y то
есть V = ф(у), где ф е fg%k. Но тогда [Г£] = (Р, х). □
Согласно § 4 главы 1,
Тй* = ?й* / Aut(A) ^ R6*+3*-6 = К3*"3.
По очевидным причинам отображение
индуцирует отображение
*gy-fij,->MgXl
9gy.TgJt->MgXl
Нам понадобится также отображение
определенное равенствами
оф(а,) = рф(^,_,)р, аф(6/) = РФ(<£,-,)Р («" = 1, • • •. 5).
аф(с,) = шрф^+^.ОРш-1 (i = g + 1, ..., g + k),
где Р(г) = —г и ш = аф(П(а,, 6,-м. Пусть Modglk— группа
автоморфизмов Tg*. порожденная ModgJk и а. Тогда ind(Modg* : ModgA) = 2. Кроме

76 Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
того, из конструкции видно, что [rj] = [rj,], если и только если ф' = уф,
где у € Mod^. Таким образом, из лемм 2.2 и 2.3 следует
Теорема 2.1 ([53], [54], [55]). MgXl = Тй%к / Mod^, где Mod^
действует дискретно.
3. Займемся теперь описанием пространства Mgtm$. Для этого построим
отображение
*£: fetk->M/Tgtmt0,
rjxe m<ky k = g-\- I (mod 2) и g= ~(g+ 1 - k).
Пусть, как и раньше, мономорфизму ф G 7^,* отвечает
последовательный набор
{AhBt(i=l g), С,(<=1 *)} =
= {ф(А/),ф(ад(«'=1 #,<K*i)(« = g+l я)}.
Положим С, = С,-\/С,-, где \/С, — гиперболический автоморфизм такой,
что (\/С/)2 = С,. Пусть Гф = ф(у&л) и ГфЛ — группа, порожденная Гф,
^1» • • • » ^т И ^т+1» • • • » ^Л»
Лемма 2.4. ГфЛ — вещественная фуксова группа и [Гф л] G Afg,m>0.
Доказательство почти дословно повторяет доказательство
леммы 2.2. Единственное отличие состоит в том, что образы l(Ci) образуют
овалы, если и только если / ^ га, и ввиду этого [Гу>л] — неразделяющая
кривая. □
Таким образом, соответствие ф »-> [Г£\k] задает отображение
Лемма 2.5. Ф^?*,*) = Л1,ж0.
Доказательство. Пусть (Р, х) G Мв>да,0. Согласно теореме 1.2,
существует набор инвариантных контуров А = (ат+\ч ...yak)eP\PT
такой, что Р\(РтиЛ) распадается на две поверхности Р\ и Р2 рода
£=-(g+ I— fc). Завершающая часть доказательства почти дословно
совпадает с соответствующей частью доказательства леммы 2.3. □
Теорема 2.2 ([53], [54], [55]). MgM = Tgtk / Mod™*, где Mod?*
действует дискретно и ind(Mod^nMod^ : Mod^) = С£.
Доказательство. Отображение Ф™л: fgyk —► Af^m0 очевидным
образом индуцирует отображение Ф£л: 7^* —► А^т>0. Пусть Ф£*(ф) = Ф^(ф').
То есть (Р, х) = [Гф J = [Гф, k] = (Р\ х'). Рассмотрим мономорфизмы ф, ф' G
G Т^о- Тогда ф' = фу, где у принадлежит группе Mod^, порожденной
группой {у G Мос1я>о | У*с = ту} и а, причем для любого у G Mod^ Ф£л(фу) =

§ 3. Функции арфа на вещественных алгебраических кривых
77
= Ф?л(ф). Рассмотрим теперь подгруппу Mod^nMod^, состоящую из
автоморфизмов группы Mod*^, сохраняющих множества с{ (i — 1, ..., т).
Нетрудно видеть, что ее индекс в Modj^ равен С™. □
Сопоставляя теоремы 2.1, 2.2 с §4 главы 1У получаем
Следствие 2.1 ([53], [54], [55]). Пространство модулей
вещественных алгебраических кривых рода g > 1 распадается на компоненты
связности Mgtkx, где (g, ky e) — произвольный топологический тип
вещественной алгебраической кривой. Каждая компонента диффео-
морфна №~3 ModgXe, где Mg%kx — дискретная группа
диффеоморфизмов.
Замечание. Утверждение следствия 2.1 о топологической структуре
компонент связности пространства вещественных алгебраических кривых
впервые приводится в [24]. Доказательство, приведенное в [24],
использовало теорию квазиконформных отображений и основывалось на теореме
из [42], которая впоследствии оказалась неверной. Основанное на теории
квазиконформных отображений верное доказательство получено в [90].
§ 3. Функции Арфа на вещественных
алгебраических кривых
1. При исследовании спинорных расслоений и суперримановых
поверхностей важную роль играют функции Арфа (§§7—13 главы 1). С
вещественными алгебраическими кривыми связаны специальные функции
Арфа, к описанию которых мы и переходим.
Пусть Р—поверхность рода g=g(P) с k дырами. Базис v = {aiybi
(i=l gib (i=g+\ g + k)} группы Я, (P,Z2) (i7№Z2 = Z/2Z=
= {0, 1}) назовем стандартным, если образующие с{ отвечают дырам
поверхности Р, (a,, aj) = (biy bj) = 0, (а,, b}) = 8/у, где (.,.) е Z2 — индекс
пересечения гомологии из Н\(РУ Z2).
Функцией Арфа на Р называется функция <о: /Л(Р, Z2) —>Z2 такая,
что о)(а + Ь) = а)(а) + <o(fc) 4- (а, Ь). Будем говорить, что функция Арфа <о
четна и положим 8 = 8(Р, <о) = 0, если существует стандартный базис v
такой, что
g
Y^<*(ai)<u(bi) = 0 (mod 2).
В противном случае положим 8 = 8(Р, о>) = 1 и будем говорить, что <о
нечетна. Обозначим через ka = ka(Py to) (a = 0, 1) число элементов с{
стандартного базиса v таких, что а)(с,) = а. Набор (g, 8, ka) называется
топологическим типом функции Арфа <о.

78
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Согласно § 8 главы 1 набор (g, 8, ka) является топологическим
типом некоторой функции Арфа, если и только если fe|=0(mod2) и
8 = 0 при kx > 0. Причем существует стандартный базис v такой, что
о)(а/) = o)(fc/) = 0 при / > 1 и а>(а|) = <o(fc|) = 8.
Функции Арфа о)| и <о2 на Р называются топологически
эквивалентными, если существует гомеоморфизм ф: Р —> Р, индуцирующий
автоморфизм ф: Н\(РУ Z2) —* Н\(РУ Z2) такой, что о>| = <о2ф.
Согласно § 8 главы 1, функции Арфа топологически эквивалентны, если
и только если они имеют одинаковый топологический тип.
2. Пусть (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая. Далее мы
будем обозначать одной и той же буквой простой контур и его класс
гомологии в W|(P, Z2). Инволюция W|(P, Z2) —* И\(РУ Z2), индуцированная
инволюцией х: Р —* Р, также будет обозначаться той же буквой х.
Функцией Арфа на вещественной алгебраической кривой (Р, х)
(или просто вещественной функцией Арфа) назовем функцию Арфа
to: W|(P, Z2) —> Z2 такую, что <ох = <о.
Лемма 3.1. Пусть (Р, х) —вещественная кривая, С\у с2 С Р —
простые замкнутые контуры такие, что х(с,) = ch ct Г\РТ=0,С\Г\с2 = 0
и to — произвольная функция Арфа на (Р, х). Тогда <о(С|) = <о(с2).
Доказательство. Согласно теореме 1.2, существует набор
попарно непересекающихся простых контуров с3, • • •, сг с Р \ (с\ U с2) таких, что
г
х(с{) = Ci и Р \ U ct распадается на по-
верхности Р\ и Р2, где xPj = P2.
Соединим контуры С\ и с2 линией без
самопересечений £сР\. Пусть d — простой
замкнутый контур вида
d = l\Jfx Ux^U/2,
где // С ciy отрезок, соединяющий
точки £C\Ci и -zinc; (см. рис. 2.3.1). Тогда
x(d) = d 4- С| 4- с2 и, следовательно,
o)(d) = <o(d) 4- <»>(ci) 4- <о(с2). П
Функцию Арфа со на (Р, х) назовем особой, если существует простой
замкнутый контур с такой, что х(с) = с, с П Рт = 0 и <о(с) = 0.
Лемма 3.2. £Ъш Рт ^ 0, то любая вещественная функция Арфа
на (Р, х) неособа.
Доказательство. Пусть с С Р— простой контур такой, что х(с) = с
и с П Рт = 0. Пусть с' с Рт — один из овалов вещественной кривой (Р, х).
Рис. 2.3.1

§ 3. Функции арфа на вещественных алгебраических кривых
79
Тогда, согласно теореме 1.2, существует набор попарно
непересекающихся простых контуров С|, ..., сг е Р\ (с U с') такой, что х(с,) = с-, и
г
Р\ (с U с' U (J Ci) распадается на поверхности Рь Р2, где хР| = Р2. Со-
единим контуры с и с' линией без самопересечений £сР\. Пусть d —
простой замкнутый контур вида d = £ U / U х£у где / с с. Тогда x(d) = d + с
и, следовательно, <o(d) = <o(d 4- с) = o(d) 4- <*(с) 4- 1. □
Лемма 3.3. Особая вещественная функция Арфа принимает
значение О на всех инвариантных контурах.
Доказательство. Пусть <о — особая функция Арфа на
вещественной алгебраической кривой (Р, х). Предположим, что существует контур
с е Р такой, что тс = с и <о(с) = 1. Согласно леммам 1.2 и 3.2,
существует полная система инвариантов контуров с, ciy ..., cgy разбивающих Р на
сферы с дырами Р\ и Р2. Соединим контур с, с контуром с отрезком £t С Р\
и положим
di = £i U i£i U r, U г,
где г,- с с, (г С с)—дуги, соединяющие точки pi = £iC\ci и хр,
(соответственно р = £{f П с и хр). Рассмотрим диск D| с Р\. Отождествим граничные
контуры поверхности Р\ (Д UxDj) с помощью инволюции т. На
полученной поверхности Р инволюция х индуцирует инволюцию х с овалом с = dD\.
Соединим с с с отрезком £_ С Р\ и положим d = IU xl U г, где г с с — дуга,
соединяющая точки р = £Пс и хр. Контуры {о, dt (i = 1, ..., g), с, d}
образуют базис //j(P, Z2). Рассмотрим функцию Арфа & на Р такую,
что (Ь(с,) =о)(с/), o>(d/) =o)(d/), <о(с) = <o(d) = 0. Тогда 6>(с) = £)^(ci) =
— Z)(0(c') = w(c)» &(td) = &(d + c)= &(d) 4- &(с) 4- 1 = &(d) и, следова-
i=i
тельно, о — вещественная функция Арфа. Согласно лемме 3.2, отсюда
следует, что & равна 1 на всех контурах с' поверхности Р \ с таких, что
хс' = с'. Но на этих контурах <о и & и совпадают и, следовательно, <о
неособа. Полученное противоречие доказывает, что о(с) = 0. □
Теорема 3.1 ([76]). Особая функция Арфа на вещественной кривой
(Р, х) типа (g, fe, е) существует, если и только если k = е = 0. В этом
случае существует 2е вещественных функций Арфа, и все они
четные.
Доказательство. Условие k = e = 0 для особых функций Арфа
следует из леммы 3.2. Пусть теперь k = е = 0. Рассмотрим построенный
при доказательстве леммы 3.3 стандартный базис {ciy d{ f (/ = 1, ..., g)} с
g
С Hi (P, Z2) такой, что хс, = ciy xd, — dt +£,- + £ c'- Положим w(ci) = 0 при

80
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
всех /, присвоим co(di) (/ = 1, ..., g) — произвольные значения из Z2 и
продолжим со на Н\(РУ Z2), считая что о(а + Ь) = <о(а) 4- <o(fc) 4- (а, Ь). Тогда
G)(xd/) = o)(d/) и, следовательно, <о — особая четная вещественная
функция Арфа. Согласно лемме 3.3, эта конструкция дает все особые функции
Арфа на (Р, х). □
3. Топологическим типом неособой функции Арфа <о на
вещественной кривой (Р, х) типа (g, ky 0) назовем набор (g, 8, fea), где 8 = 8(Р, <о) и
ka (а = 0, 1) — число овалов с, е Рт таких, что а)(с,) = а.
Теорема 3.2 ([76]). Набор (g, 8, ka) является топологическим
типом некоторой неособой функции Арфа на вещественной кривой
типа (g, ky 0), если и только если k = k0 + k\ ^ g и k0 = g+ 1 (mod 2).
В этом случае число таких функций равно Ckk° • 2g~l.
Доказательство. Пусть (Р, х) — вещественная кривая типа (g, fe, 0).
Согласно теореме 1.2, существует набор попарно непересекающихся про-
k
стых контуров (С|, ..., cg+\) таких, что Рт = (J ct и х(с,) = с,-. Этот набор
/=|
разбивает Р на две сферы с g 4- 1 дырами Р| и Р2, причем хР| = Р2. Пусть
to — неособая функция Арфа на (Р, х). Тогда, согласно §8 главы 1,
функция Арфа со |/>( принимает значение 1 на четном числе дыр. Следовательно,
если to неособа, то k\ + (g + 1 - k) = 0 (mod 2), то есть kQ = g + 1 (mod 2).
Пусть теперь (g, 8, fea) — произвольный набор такой, что kQ + kx ^ g и
fe0 = g4- 1 (mod 2). Соединим контуры с, и cR+\ отрезком tt С Р,.
Рассмотрим простой контур dt — £i U x^ U r{ U г^+1, где гу с сг Тогда x(d,) = dt 4-
4- c*+i 4- 0Ltciy где a, = 0 при / < А и a,- = 1 при / > fe.
Положим теперь g)(c/) = 0 для произвольного набора из k0 контуров
среди C\...ck. Положим <о(с/) = 1 на остальных контурах из C\y...ycg.
Ввиду k0 = g 4- 1 (mod 2) такие контуры существуют. Пусть сг — один из
них, то есть <о(сг) = 1. Зададим произвольные значения G)(dj) при //ги
положим
<o(dr) = 8 - ]Г (u(Ci)(u(di).
Продолжим to на все /Л(Р, Z2), считая, что
a)(a 4- fc) = <o(a) 4- <o(fc) 4- (a, fc).
Нетрудно видеть, что эта конструкция дает все вещественные неособые
функции Арфа типа (g, 8, ka). □
4. Функции Арфа на кривых разделяющего типа (все такие функции
автоматически неособые) обладают дополнительными топологическими
инвариантами.

§ 3. Функции арфа на вещественных алгебраических кривых
81
Пусть (Р, х) — вещественная кривая разделяющего типа и Р, и Р2 =
= Р\РТ. Соединим овалы ciy ct е Рт отрезком £ц С Р\. Рассмотрим
контуры йц = 1цих1ц. Овалы ct и с} назовем подобными относительно функции
Арфа о) на (Р, х), если G)(diy) = 0.
Теорема 3.3. Отношение подобия определено корректно и
разбивает овалы на не более чем два класса эквивалентности.
До к аз а т ел ь с т в о. Пусть £ц с Р\ —другой отрезок, соединяющий с{
и ch dij = 1Ц U \1ц и Ь С Р\ U Рт — замкнутый контур, составленный из £ijy £ц
и частей овалов ct и сг Тогда G)(d/y 4- diy) = <o(fc 4- xfc) = 2<o(fc) = 0, откуда
w(diy) = G)(d/y 4- da) 4- <o(d,y) = <o(rf/y).
Таким образом, определение
подобия не зависит от выбора отрез- (?^У
ка £ц. Пусть теперь а с Р\ U Рт — \,
замкнутый контур, состоящий из >у
отрезков £Цу £jky £ki и частей ова- / I
лов cly cjy ck (см. рис. 2.3.2). Тогда / I
o)(d/y 4- dlk 4- d*,) = <о(а 4- xa) = 2<o(a) = 1 \
= 0, откуда a)(d/y) = u(dik) 4- *>(</*;). V *зг
Таким образом, если ct — (не) подо- \.
бен ck и ck — (не) подобен cjy то с,
подобен Cj. U рИс. 2.3.2
Зафиксируем какой-нибудь овал с е
е Рт. Пусть Вс — множество овалов, подобных с. Обозначим через
feo = fe°(P, x, to) (соответственно, k[ = k[(Py x, <о)) число овалов с, в
множестве Вс (соответственно, в множестве Рт \ Вс) таких, что <о(с,) = a.
Набор чисел /£(а, уе {0, 1}) определен с точностью до одновременной
замены kl i-> k[~ry связанной с выбором контура с.
Топологическим типом функции Арфа <о на вещественной
кривой (Р, х) типа (gy ky 1) назовем набор (gy 8, fej), где fej = fe£(P, x, <o),
8 = 8(P,,a)|Pl) иР,иР2 = Р\Рт.
Теорема 3.4 ([76]). Набор (gy 8, ftj) является топологическим
типом некоторой функции Арфа на вещественной кривой (Р, х)
типа (gy ky 1), если и только если (gy 8, fe° + kla) является
топологическим типом некоторой функции Арфа на поверхности рода g =
= l/2(g + 1 — k) с k дырами. В этом случае число таких функций
Арфа равно
C*0.C*8.C*?.2g-2.(2<? + m)>
где т = 2ё, если k\ > 0, т = 1, если 8 = 0, и т = -1, если kx = 0 и 8 = 1.
Четность функций Арфа совпадает с четностью k®.

82
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Доказательство. Если (g, 8, ftj) является топологическим
типом функции Арфа на вещественной кривой (Р, х) типа (gy ky 1), то
набор (ё>Ьу k^ + kl) является топологическим типом функции Арфа о)^,:
//,(Р,, Z2) -> Z2, где Р\ Рт = Р, U Р2. Пусть теперь (Р, х) —
вещественная кривая типа (g, fe, 1), P\PT = P,UP2, to://,(РЬ Z2)-> Z2 —
функция Арфа на Р, типа (g, 8, fe° + fei) и v = {aiybi (i=l g), c} (j =
= g + 1, ..., g + k)} С H\(PU Z2) — стандартный базис. Произвольным
образом разобьем овалы ct на группы Л£, Л^, Л°, Л|, где АI содержит ftj
контуров. Соединим овалы ct и с* отрезками tt С Р| и положим d, = tt U x^-.
Будем считать, что <о(с/)=а, если С/еЛ^иЛ,, и <i>(d,-) = 0, если с, и ck
принадлежат одному и тому же множеству вида Л^иЛ". В противном
случае положим G)(d,) = 1. Положим, наконец,
<о(ха,) = <о(а,), а)(х^) = <o(ft/) (/ = 1 g).
Равенство
о)(а + Ь) = а)(а) + <*>(£) + (а, 6)
позволяет однозначно продолжить <о до функции Арфа на (Р, х). Нетрудно
видеть, что о) имеет тип (g, 8, fej), причем эта конструкция дает все функции
Арфа этого типа. Функция <о четна, если k\ = О, а при fe| > 0 ее четность
равна четности числа контуров из Л? (напомним, что tf\ + k\ четно). □
§ 4. Поднятие вещественных фуксовых групп
1. Обозначим через
У: SL(2, R) -> PSL(2, R) = Aut(A)
естественную проекцию. Пусть
Г с Aut(A)
— фуксова группа, состоящая из гиперболических автоморфизмов.
Подгруппу Г* с SL(2, R) назовем поднятием Г, если /(Г*) = Г и /|г*: Г* —>
—> Г — изоморфизм.
Согласно §7 главы 1 поднятию Г* отвечает функция Арфа
<ог*: //|(А/Г, Z2)->Z2.
Она определяется следующим образом. Пусть а' е Г и а е /Л (А /Г, Z2) —
образ а' при естественной проекции Рг: Г—>Л|(А/Г) —>//j(A/r, Z2).
Пусть
Л=У",(а,)ПГ*

§ 4. Поднятие вещественных фуксовых групп
83
и Sp(A) — след матрицы А е SL(2, R). Положим
О, если5р(Л)<0,
если Sp(A) > 0.
Г 0,
Согласно теореме 7.2 главы 1, соответствие Г* i-> <ог* является
взаимно однозначным соответствием между поднятиями группы Г и функциями
Арфа на Р = А / Г.
2. Рассмотрим теперь
SL±(2, R) = {А е GL(2, R)| det A = ±1}.
Продолжим проекцию У до гомоморфизма У: SL±(2, R) —> Aut(A), считая,
что
Пусть Г — вещественная фуксова группа. Подгруппу Г* С SL±(2, R)
назовем поднятием Г, если У(Г*) = Г и У |г*: Г* —>Г — изоморфизм.
Очевидно, что поднятие Г* группы Г индуцирует поднятие Г* = Г * П
П SL(2, R) группы Г = Г П Aut(A) и, следовательно, функцию Арфа <Df * =
= <ог*: //,(А/Г, Z2)->Z2.
Лемма 4.1. Функция Арфа <Df* является неособой функцией Арфа
на вещественной кривой [Г].
Доказательство. Функция Арфа <Df * вещественна, поскольку для
любых а е Г * \ Г*, а' G Г и а = Рг(а') выполнятся
(Of*(та) = Sp(ot(y-V) ПГ>-') = Sp(y V) ПГ*) = Wf.(a).
Докажем, что <Df* неособа. Пусть с С Р\РТ — простой контур такой, что
хс = с и С с Г—его образ при естественном изоморфизме щ (А / Г, р) —* Г.
Пусть
б'=/-'(£)nf = g *),
где С = Су/С (см. п.4 §2). Тогда
/-'(С)пг- = (с-)2 = (;;*2).
Следовательно,
Sp(/-'(C)nr*)>0 и о(с) = 1. П

84
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Поднятия Г* и f J вещественной фуксовой группы Г назовем
подобными, если (Г; \ Г*) = -(Г* \ Г*).
Лемма 4.2. Пусть <о — неособая функция Арфа на [Г]. Тогда
существует ровно два поднятия Г* группы Г таких, что <Df * = <о, причем
эти поднятия подобны.
Доказательство. Согласно § 7 главы 1, существует единственное
поднятие Г* cSL(2, R) группы Г = Г nAut(A) такое, что <ог* = о>.
Поэтому всякое поднятие Г* группы Г с условием <Df * = <о порождено Г* и
матрицей а такой, что /(a) е Г \ Г. Если (J(a))z= flf , то а = ±(а ,).
Вещественность функции Арфа <о дает Sp(oL4a_l) = Sp(A) для А е Г*,
откуда аГ*а_| = Г*. Следовательно, группа Г*, порожденная Г* и а, является
поднятием группы Г. □
Из лемм 4.1 и 4.2 следует
Теорема 4.1 ([80]). Соответствие Г * i-»<i>f * устанавливает
взаимно однозначное соответствие между классами подобия
поднятий вещественной фуксовой группы Г и неособыми функциями Арфа
на вещественной кривой [Г].
3. Естественный изоморфизм Л|(А/Г, р) —>Г сопоставляет классу
свободной гомотопии контура с е Р — А / Г класс сопряженности Гс с Г,
не зависящий от выбора р. Таким образом, каждому простому
геодезическому контуру с е Р отвечает множество Гс с Г, причем Ф(£(С)) = с, если
С е Гс и Ф: А —> Р — естественная проекция.
Пусть теперь Г — вещественная фуксова группа и с — овал кривой
(Р, х) = [Г]. Рассмотрим С € Гг. Заменяя группу Г на сопряженную, можно
считать, что £(С) = I = {z e A| Re z = 0}. Тогда группа Г содержит
инволюцию P(z) = -z. Поднятие Г —> Г * переводит р в матрицу вида <*(~0 i),
где о = ±1. Наделим полупрямую / ориентацией по возрастанию
значений Imz, если о= 1, и противоположной ориентацией, если а= — 1.
Проекция Ф переносит ориентацию на контур с = Ф(/). Эта ориентация
полностью определяется поднятием Г* и будет называться ориентацией овала,
порожденной поднятием Г*.
Лемма 4.3 ([67]). Пусть Г* — поднятие вещественной фуксовой
группы Г, (Р, х) =[Г], С|, с2 — овалы инволюции х, наделенные
ориентацией, порожденной Г*, и асР — пересекающий сх и с2 простой
ориентированный контур такой, что та = -а. Тогда а имеет
одинаковые индексы пересечения с сх и съ если и только если <Df*(a) = 1.

§ 4. Поднятие вещественных фуксовых групп
85
Доказательство. Заменяя группу Г на сопряженную, можно
считать, что Га э Л, где A(z) = \z и X > 1 (см. рис. 2.4.1).
В этом случае (ввиду та = —а, с(Па/0иС(С Рт) Гс. э С,, где
с,=
<х,(Х, + 1)г + <х?(Х,-1)
(Х,-1)г + а,(Х, + 1) '
Х,>1, С, = =-
и А=С,С2. Положим Л* =У-'(Л) ПГ *, С* =У-'(С,) ПГ*, С* = /-'(С,) ПГ*.
Тогда по определению ориентации, порожденной Г*, С* = —( _, ')
и, значит,
л-СЪ-{* ° )
/(С,)
Рис. 2.4.1
С другой стороны, индексы пересечения
контура а с овалами сх и с2 совпадают, если и только
если неподвижные притягивающие точки ot| и
а2 имеют одинаковый знак. Это эквивалентно
Sp(A') > О, то есть <Df*(a) = 1. □
4. Пусть теперь с с Р— инвариантный контур кривой (Р, х) = [Г] такой,
что с П Рт = 0. Рассмотрим С Е Гс. Как и раньше, заменяя Г на
сопряженную группу, можно считать, что £(С) = I. Следовательно, группа Г
содержит отображение вида P(z) = -Xz, где X > 0. Поднятие Г —> Г * переводит
Р в матрицу вида
/-Х,/2 0 \
Ч 0 Х-'4
где а = ± 1. Как и раньше, наделим / ориентацией по возрастанию значений
Imz, если о= 1, и противоположной ориентацией, если а=— 1.
Проекция Ф переносит ориентацию на контур с = Ф(1). Она зависит лишь от
поднятия Г* и будет называться ориентацией инвариантного
контура, порожденной поднятием Г*.
Теорема 4.2. Пусть Г* — поднятие вещественной фуксовой
группы Т и (Р, х) = [Г]— вещественная алгебраическая кривая типа
(g, fe, 0). Пусть (С|, ..., cR) — набор попарно непересекающихся про-
k
стых контуров таких, что Рт = (J с{ и х(с,) = с/. Тогда существует
i=i
непересекающийся с ними инвариантный контур cg+\, который
вместе с контурами (сь ..., cg) разбивает поверхность Р на сферы с
дырами Р|, Р2 таким образом, что порожденная Г* ориентация
контуров С\, ..., cg совпадает с их ориентацией как границы одной
из поверхностей Р/.

86
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Доказательство. Рассмотрим существующий, согласно лемме 1.2,
набор попарно непересекающихся инвариантных контуров с\ч ..., cg, с С Р
k , g v
_^^ такой, что Рт = (J с{; и Р \ ((J Ci U с) — рас-
iUci4 падается на две сферы с дырами. Снаб-
Г'-с'\ дим К0НТУРЫ C\,---<,Cg ориентацией, поро-
/^.;: п" 1 жденной поднятием Г*. Их образы на по-
/ верхности Р — P\U Ci представляются па-
Z^^^ Рами контуров противоположной ориентации
с\, с", где с\ и с'} лежат в одной связной ком-
Рис. 2.4.2 поненте поверхности Р\с (см. рис. 2.4.2).
Симметрично меняя контур с так, как показано на рис. 2.4.2, можно
перейти от контура с к симметричному контуру cg+i, разделяющему контуры
разной ориентации. □
§ 5. Спиноры ранга 1 на вещественных
алгебраических кривых
1. Напомним, что линейное расслоение е: Е—>Р называется
спинорным расслоением ранга 1, если его тензорный квадрат является кокаса-
тельным расслоением. Далее, если не оговорено противное, под спинорным
расслоением понимается спинорное расслоение ранга 1 над римановой
поверхностью Р.
В § 10 главы 1 установлено взаимно однозначное соответствие между
поднятиями Г* фуксовой группы Г и спинорными расслоениями на Р =
= А / Г. Спинорное расслоение ет+, соответствующее Г*, имеет вид
(АхС)/Г->А/Г,
где Г* действует на (А х С) по правилу
Таким образом, соответствие еГ* —> Г* —> <ог* устанавливает взаимно
однозначное соответствие е —> <ое между спинорными расслоениями и
функциями Арфа на Р = А / Г.
2. Спинорным расслоением на вещественной кривой (Р, х)
называется пара (е, р), где е: Е—>Р — спинорное расслоение, а р: Е —>£ —
антиголоморфная инволюция такая, что eft = те. Два спинорных
расслоения (еь Pi) и (е2, Р2) на кривых (Рь Х|) и (Р2у х2) соответственно считаются

§ 5. Спиноры ранга i на вещественных алгебраических кривых
87
изоморфными, если существуют биголоморфные отображения ср£: Е{ —> £2
и ср/>: Р\ —> Р2 такие, что
e2(p£ = (p/>eb р2ф£ = ф£рЬ "С2Срр = фрХ|.
Обычно мы не будем различать изоморфные расслоения.
Сопоставим теперь каждому поднятию Г* вещественной фуксовои
группы Г спинорное расслоение е?* на вещественной кривой (Р, х) =
= [Г]. По определению, расслоение е^* имеет вид (er*,Pf*), где Pf *:
(А х С) / Г* —> (А х С) / Г* порождается отображением
<*.,)-(g±|. <*+«>*). С2К\г.
Лемма 5.1. Соответствие Г* *-^е?* устанавливает взаимно
однозначное соответствие между классами подобия поднятий Г*
вещественной фуксовои группы Г и спинорными расслоениями на
(Р,т)=[П
Доказательство. Пусть (е, Р) — произвольное спинорное
расслоение на (Р, х). Согласно § 10 главы 1, существует единственное
поднятие Г* группы Г = Г П Aut(A) такое, что
е: (АхС)/Г->А/Г.
Меняя группу Г на сопряженную, можно считать, что Г содержит
отображение вида
где [i ^ 1. Пусть [im — минимальное среди всех таких \i. Положим v = дДЦ".
Тогда группа Г* и матрицы ±(~л ) порождают поднятия Г+ и Г*_
группы Г. Это единственные содержащие Г* поднятия группы Г. Кроме того,
е?* = еу причем изоморфизм между е?* и е?*_ порождается инволюцией
(2, х) »-> (2, -X). П
Согласно лемме 2.1 и теореме 4.1, отсюда сразу следует
Теорема 5.1 ([67], [80]). Соответствие е »-> <ое устанавливает
взаимно однозначное соответствие между спинорными расслоениями
и неособыми функциями Арфа на вещественной кривой (Р, х).
Пусть (е, р) — спинорное расслоение на вещественной кривой (Р, х).
Используя леммы 2.1 и 5.1, построим изоморфизм
(e,p)->(ef*,pf*),

88
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
где Г* — поднятие вещественной фуксовой группы Г и (Р, х) = [Г].
Наделим овалы и непересекающие их инвариантные контуры кривой [Г]
ориентацией, индуцированной поднятием Г* (см. §4). Таким образом, спинорное
расслоение (е, р) на вещественной кривой (Р, х) порождает ориентацию
на овалах и непересекающих их инвариантных контурах кривой (Р, х). Она
определена с точностью до одновременного обращения ориентации на всех
овалах и инвариантных контурах.
3. Голоморфное сечение т\: Р —>Е спинорного расслоения е: Е—>Р
называется спинором. Сечение т) произвольного спинорного расслоения
(е, Р) на вещественной кривой (Р, х) называется вещественным
спинором, если рт) = т)х. Пусть {f*, f £} — класс подобия, отвечающий, согласно
лемме 5.1, расслоению (е, р). Тогда спинор т) можно рассматривать как
сечение спинорного расслоения ег.у где r*=f|nfj. При этом т) будет
инвариантен относительно одной из инволюций Pf? и антиинвариантен
относительно другой. Пусть для определенности (3ffT) = T)x. Ориентацию,
порожденную поднятием f J" на овалах и инвариантных контурах (Р, х),
будем называть ориентацией, порожденной т).
Локальную карту «:(/-»Св окрестности вещественной точки р0е
е Рт назовем вещественной, если xU = U и и(хр) =и(р). В этом случае
u(UC\PT) ClR. Будем говорить, что локальная карта согласована со
спинором т), если порожденная спинором ориентация овала аэр0 переходит под
действием и в ориентацию по возрастанию вещественных значений IRcC.
Локальная карта на римановой поверхности задает локальную три-
вилизацию кокасательного расслоения и, следовательно, локальную три-
вилизацию спинорного расслоения. Таким образом, в локальной карте и
спинору отвечает функция f(u) е С.
Лемма 5.2. Пусть (е, Р) — спинорное расслоение на вещественной
кривой (Р, х) и т) — вещественный спинор этого расслоения. Тогда в
любой вещественной карте и: U —> С, согласованной с г\, спинор т)
описывается функцией f(u) такой, что f(ux) = f(u).
Доказательство. Положим ie: (z, x)*-*(iz, х). Согласно
леммам 2.1 и 5.1, можно считать, что
(/>,т) = [Г], е = (АхС)/Г-[Г1, (~iJ)ef*\r*
и eie: (—/А х 0) —> Р порождает вещественную карту иу согласованную с
т). В ней соотношение рт) = т)х имеет вид
(их, Щ) =pf.(M, /(£/)) = (их, /(их)),
откуда f(u) = f(ux). Переход к любой другой вещественной карте,
согласованной с т), сохраняет это соотношение. □

§ 5. Спиноры ранга i на вещественных алгебраических кривых
89
Теорема 5.2 ([78], [80]). Пусть (е, Р) — спинорное расслоение на
вещественной кривой (Р, х), т) — вещественный спинор этого
расслоения и а — овал кривой (Р, х). Тогда четность числа нулей спинора т)
на овале а противоположна четности <ое(а).
Доказательство. Согласно леммам 2.1 и 5.1, можно считать, что
(Р,т)=[Г], е = (ЛхС)/Г*->[Г],
(~0 ?)Gf*\r*, а = //Г, rneI = {zeA\Rez = 0}.
В локальной карте и, порожденной проекцией е: (Л х 0) —> Р, спинор
т) представляется в виде (и, f{u)), где и е Л и f(u) — голоморфная функция
такая, что
для любой матрицы ( £ ] G Г*.
Контуру а отвечает матрица
Л=а(а)(^х°_1)еГ->
где
Г 1, если <о(а) = 1,
о(а) = <
I —1, если <о(а) = 0.
Таким образом, f(k2u) = o(a)f(u). Кроме того, естественная проекция
Л —> А/Г устанавливает взаимно однозначное соответствие между
интервалом (у, \2v] e I и контуром а. Следовательно, количество нулей
спинора т) на а равно числу нулей функции f(u) на интервале (у, Х2у] G /.
С другой стороны, отображение е\ (Л х 0) —> Р порождает вещественные
карты в окрестности каждой точки овала а и, следовательно, согласно
лемме 5.2, функция f(u) вещественна на (vy \2v] e /. Таким образом, число
нулей / на интервале (vy\2v]el четно, если о(а) = 1, и нечетно, если
а(а) = -1. □
4. Теорема 5.3 ([78], [80]). Пусть сх, ..., ck — ориентированные
овалы вещественной алгебраической кривой (Р, х) типа (gy ky 0). Пусть
k
0 ^ т ^ fe, аь ..., аЛ G Z2, и £ а/ = £ + 1 (m°d 2). Тогда существует
/=|
вещественный спинор т) на (Р, х) такой, что 1) ориентация
овала сь порожденная т), совпадает с первоначальной ориентацией, если
и только если i ^ га; 2) четность числа нулей спинора Т) на овале с-,
равна а,.

90
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Доказательство. Согласно теореме 1.2, существует набор
попарно непересекающихся инвариантных относительно х контуров сь ..., cg+i,
разбивающих Р на сферы с дырами Р{ и Р2. Ориентация Р,
порождает на дР\ = {с\у ..., Cg+i} некоторую новую ориентацию. Без
ограничения общности можно считать, что на сх она совпадает с исходной.
Соединим контуры Cg+i и ct отрезком tt с Р\ и рассмотрим простой
контур di = £-, U xli U г, U rg+I, где гу с сг Положим ьъ(с) = 1 - а, при / ^ ky
о(с/) = 1 при k<i^g. При 1 ^ / ^ т положим <!>(</,•) = О, если и только
если ориентация, порожденная Ри совпадает с первоначальной ориентацией
с,. При т <i^k положим a)(d/) = 0, если и только если ориентация,
порожденная Р|, противоположна первоначальной ориентации ct. При k<i^g
положим o)(d/) = 0. Функция <о однозначно продолжается до функции Арфа
k
to: W|(P, Z2) —>Z2, причем o)(cg+I) = 1 ввиду £а,- =g-\- 1 (mod 2). Кроме
того, xd/ = -dt + Cg+i + с,, где i=l
Г 0 при / ^ fe,
{ Ci При I > R.
Таким образом, o)(xd/) = G)(-d/ + cg+I + с) = <i>(d,-), и, следовательно, <о —
вещественная функция Арфа. Согласно лемме 3.3, она неособа. Согласно
лемме 2.1, (Р, х)=[Г], где Г — вещественная фуксова группа. Согласно
лемме 4.2, <о = <Df*, где Г* — некоторое поднятие группы Г. По
определению о)е = о), где (е, р) = (ег*у Pf*)-
Наряду с о) рассмотрим вещественную функцию Арфа <о' такую, что
G)'(Ci) = (o(c/), to'(di) = 1 — G)(d;). Ей отвечает вещественное спинорное
расслоение (е\ р;) такое, что av = <о'. Кроме того,
g
8(a))+ 8(0)0 = X^a)(^) = 1
ввиду ^ot,- = g + 1 (mod 2). Следовательно, или 8(<о) = 1, или 8(<о') = 1.
Пусть для определенности 8(<ое) = 8(<о) = 1. Согласно [4] и [51], отсюда
следует, что расслоение е имеет голоморфное сечение );. Тогда одно из
сечений т) = ^ + р£ или т) = /(£ - р£) является вещественным ненулевым
сечением расслоения (е, Р). Согласно лемме 4.3 и теореме 5.2, оно
удовлетворяет свойствам, указанным в формулировке теоремы 5.3. □
Теорема 5.4 ([78], [80]). Пусть (Р, х) — вещественная
алгебраическая кривая типа (g, fe, 1). Ориентируем ее овалы С\, ..., ck как
границу связной компоненты Р\ множества Р\ Рт. Рассмотрим
набор <Х|, ..., a*eZ2, содержащий четное число нулей, причем ot| =a*=0.

§ 6. Дифференциалы на вещественных алгебраических кривых 91
m
Пусть l^.m<k u^2aii = m-\- 1 (mod 2). Тогда существует веществен-
ный спинор т) на (Р, х) такой, что: 1) ориентация овала cif
порожденная спинором т), совпадает с первоначальной, если и только
если i^m, 2) четность числа нулей спинора г\ на овале ct равна а,.
Доказательство. Соединим овалы с, и ck отрезком ttcP\ и
положим di = £i\Jx£i (i= 1, ..., k — 1). Рассмотрим произвольную функцию
Арфа о)| на Р\ такую, что С0|(сх) = 1 — а,- (такая функция существует ввиду
леммы 8.1 главы 1). Продолжим ее до функции Арфа <о на Р, считая, что
(о(хш) = о)(ш) при w e W|(P|, Z2) и o)(d/) = 1, если и только если / ^ т.
Тогда 8(a)) = 1. Завершение доказательства совпадает с соответствующей
частью доказательства теоремы 5.3. □
§ 6. Голоморфные дифференциалы
на вещественных алгебраических кривых
1. В этом параграфе мы считаем, что овалы вещественной
алгебраической кривой X = (Р, х) наделены ориентацией. Эта ориентация
индуцирована ориентацией одной из связных компонент множества Р\РТУ если
г(Х) = 1. Будем считать, что вещественная карта и: U —>С согласована
с ориентацией множества Р\ если и переводит ориентированный отрезок
t = UC\PT в отрезок и(&) С.Ж, ориентированный по возрастанию
вещественных чисел.
Напомним, что голоморфным дифференциалом на римановой
поверхности Р называется сечение );: Р—>Т* кокасательного расслоения
/: Т* —> Р. Пусть теперь (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая.
Инволюция х индуцирует антиголоморфную инволюцию х*: Т* —> Т* такую,
что /х* = х/. Дифференциал ^ называется вещественным, если х*^ = ^х.
В вещественной карте он имеет вид ^ = f(u)duy где f(u)=f(u). В
частности, f(u(p)) e R при р е Рт. Знак числа f(u(p)) e R одинаков для всех
вещественных карт, согласованных с ориентацией множества Р\ и будет
называться знаком дифференциала ^ в точке р е Рт.
Будем говорить, что вещественный дифференциал ^ положителен
(неотрицателен, неположителен, отрицателен) на овале а е Р\
если он положителен (соответственно неотрицателен, неположителен,
отрицателен) в каждой точке овала.
Лемма 6.1. Пусть г\ — вещественный спинор на кривой (Р, х).
Тогда <Е> = г\2 — вещественный дифференциал, неотрицательный на
овале а е Р\ если ориентация, порожденная г\, совпадает с
исходной, и неположительный на овале а, если ориентация, порожденная
т), противоположна исходной.

92
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Доказательство. Если в вещественной карте и: U —>С,
согласованной с ориентацией Р\ спинор т) описывается функцией f(u)y то ); =
= р(и)с!и. Если, кроме того, ориентация овала а порождена т), то, согласно
лемме 5.2, f(ux) =f(u) и f2 неотрицателен на а. Изменение ориентации
овала меняет знак у f2. □
Теорема 6.1 ([65], [80]). Пусть (Р, х) — вещественная
алгебраическая кривая типа (g, fe, z) с овалами С\у ..., ck, где k = fe+ + fe_ + fe0,
£o < g> причем k+ • fe_ ^ 0 я/ш e = 1. Тогда существует вещественный
дифференциал на (Р, т), неотрицательный на ct при i ^ fe+, неяо-
ложительный на ct при fe+ < / < fe+ 4- k- и имеющий нули на ct при
i> k+ + fe_.
Доказательство. Согласно теоремам 5.3 и 5.4, существует
вещественный спинор т), имеющий нули на с*++*_+ь ..., ck и порождающий на
остальных овалах ct ориентацию, совпадающую с ориентацией Рх при /^fe+
и противоположную ориентации Рх при k+ < i ^ k+ + fe_. Тогда, согласно
лемме 6.1, дифференциал ^ = т)2 обладает всеми нужными свойствами. □
2. Рассмотрим более детально вещественные М-кривыеу то есть кривые
типа (g, g+ 1, 1).
Лемма 6.2. Пусть сХу ..., с^+1 — овалы М-кривой рода g и 1 ^ а ^
^я<р^£+ 1. Тогда существует вещественный дифференциал £ь
положительный на са, неотрицательный на ciy ..., с„,
отрицательный на ср и неположительный на сп+\у ..., cg+|.
Доказательство. Согласно теореме 5.4, существует
вещественный спинор т), порождающий на сх, ...,сп ориентацию, совпадающую с
исходной, порождающий на c„+I, ..., cg+\ ориентацию, противоположную
исходной, и имеющий нули на овалах си где / ф а, р. Но суммарное
число нулей спинора равно g— 1 [51]. Следовательно, т) не имеет нулей на
са и Ср. Таким образом, согласно лемме 6.1, вещественный дифференциал
^ = т)2 удовлетворяет всем условиям леммы. □
Отсюда сразу следует
Лемма 6.3. Пусть С\у ..., cg+\ — овалы М-кривой рода g и 1 ^ п <
<g+ 1. Тогда существует вещественный дифференциал );,
положительный на С|, ..., сп и отрицательный на сп+\у ..., cg+\.
Лемма 6.4. Пусть а\ < ... < a2g+2 — вещественные числа, h(x) =
2£+2
= П(х — а,-), Р— риманова поверхность алгебраической кривой у2 =
= h(x) и х: Р—>Р — антиголоморфная инволюция, порожденная
соответствием (jc, у)»-+ (Jc, */). Тогда (Р, х) — вещественная М-кривая
рода g, всякий вещественный дифференциал которой положителен
на одном из овалов.

§ 6. Дифференциалы на вещественных алгебраических кривых
93
Доказательство. Овалы кривой (Р, х) отвечают отрезкам [а2/_|,а2/].
Вещественные дифференциалы на (Р, х) имеют вид
• _ f(x)dx
где / — многочлен с вещественными коэффициентами степени не выше
g — 1. Если f(x) > О, то на овалах, отвечающих соседним отрезкам,
дифференциал имеет разные знаки. Поэтому если дифференциал £/ на каждом
овале не является положительным, то / имеет более g — 1 нулей. Это
невозможно, поскольку deg/ < g — 1. □
Теорема 6.2 ([65]). Для всякого вещественного дифференциала на
М-кривой существует овал, на котором он положителен, и овал, на
котором он отрицателен.
Доказательство. Пусть М — множество всех Af-кривых рода g
с упорядоченным множеством овалов С\у ..., cg+\. Рассмотрим
расслоение ё: Ё—>М со слоем ё~1(Ру х), состоящим из всех вещественных
дифференциалов на (Р, х). Рассмотрим базис слоя ё~х(Р, х), состоящий из
дифференциалов £,- = ^(Р, х) таких, что <р ^ = 8/у (/, у < g). Соответствие
£/(Р, х) »-* ЫР'> "О определяет связность F на ё.
Вещественный дифференциал назовем дифференциалом типа А
(типа В), если на каждом овале имеются точки, где он неположителен
(соответственно, отрицателен). Пусть МА (соответственно, Мв)— множество
Af-кривых, имеющих дифференциал типа А (типа В). Тогда МА —
замкнутое множество. Используя связность /\ нетрудно доказать, что Мв —
открытое множество. Кроме того, МА э Мв. Докажем, что МА с Мв. Пусть
(Р, х) С МА и ^ — дифференциал типа А на (Р, х). Ввиду равенства
g+
ST' r
дифференциал отрицателен хотя бы в одной точке. Пусть с — овал,
содержащий такую точку. Согласно лемме 6.3, существует вещественный
дифференциал у» положительный на с и отрицательный на всех
остальных овалах. Тогда ^ 4- ау — дифференциал типа В при достаточно
маленьком а. Таким образом, МА = Мв — открытое и связное множество в М.
Но, согласно теореме 2.1, М — связное множество и,
следовательно, если МА ф 0, то МА = М. Последнее противоречит лемме 6.4,
согласно которой множество М\МА содержит гиперэллиптические кривые.
Таким образом, МА = 0, то есть любой вещественный дифференциал на

94
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Af-кривой положителен на одном из овалов. Аналогично доказывается,
что он также отрицателен на одном из овалов. □
Теорема 6.3 ([65]). Пусть 1 ^ k ^ g+ 1 (mod 2), k = g + 1 (mod 2) и
m^k- ^ . Тогда существует вещественная алгебраическая
кривая типа (g> k, 1) с овалами ciy ..., ck, на которой всякий
вещественный дифференциал, не имеющий нулей на овалах сх, ..., ст,
обязательно на одном из овалов вещественной кривой положителен, а
на другом — отрицателен.
Доказательство. Рассмотрим риманову поверхность Р кривой
уА -2у2[(х -р,). ....(*-рт)- (х- а,) .....(х- а„)] +
+ [(x-pl)-...-(x-pm) + (x-*,)-...-(x-an)f = 0,
где <Х| < ... < а„ ^ Pi < ... < рт € Ж, п > О, п, т = О (mod 2). Она
получается разрешением особенностей из множества
((х, y)eC2\y = ±V(x-0L,)-...-(x-an)± ^-(*~Pi) ••■••(*-Pm)).
Соответствия
х: (хуу)»(х,у)у
Ta:(x,±y/-(x-al)-...-(x-an)±y/(x-fa).....(x-pm))~
■-» (х, Т>/(х-*\)'-'-'(х-*п) ± л/—(-^ — Pi) -... - (jc — р«))
и
хр:(х, ±v/-(jc - а,) •... • (х - а„) ± д/(-^ - pi) •... • (х - pm)) i->
*-» (*, ±л/(*-а|)-...-(х-ая) T vM*-Pi) •••••(*-?«))
задают коммутирующие инволюции на Р.
Нетрудно видеть, что (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая
типа (g, fe, 1), где
( п + т- 1 при а„ <р,,
\ я + га — 2 при а„ = Pi
и
Гдг приая<рь
\ п — 1 при а„ =Р|.
Инволюция ха сохраняет каждый овал, а инволюция хр попарно
переставляет все овалы при a„<Pi и сохраняет ровно один овал при ал=Р|.
Занумеруем овалы сь...,с* так, чтобы хс/ = с*+|_/. Предположим, что
существует вещественный дифференциал );, положительный на овалах

§ 7. Теорема штурма—гурвица
95
Ci, ..., сп/2> и не являющийся отрицательным на остальных овалах.
Тогда дифференциал ^ 4- <ф не является отрицательным на каждом овале.
Инволюция х индуцирует антиголоморфную инволюцию х: Р —*Р на
поверхности Р= РI (р). Нетрудно видеть, что (Р, х) — Af-кривая рода - — 1.
Дифференциал \ + £р индуцирует вещественный дифференциал кривой
(Р, х), не являющийся отрицательным ни на одном овале. Противоречие с
теоремой 6.2 доказывает, что такого \ не существует. □
§ 7. Аналоги рядов Фурье
и теорема Штурма—Гурвица на вещественных
алгебраических кривых произвольного рода
1. Простейшей вещественной алгебраической кривой является
сфера Римана C = CUoo с антиголоморфной инволюцией хс: z»-+ -. Кривая
(С, хс) имеет единственный овал
с = {г G С | |z| = 1} = {г|ф | ф G R}.
Мы будем рассматривать мероморфные функции /: С—>С такие, что
f(xcz)=f(z). Простейшие из них — это функции, голоморфные вне 0 и
оо. Они представляются в виде рядов Фурье
оо
f(z) = ^(cinCniz) + bnsn(z)),
где
cn(z)=l-(zn + z-n)
и
sn(z) = ±i(z"-z-n).
Ограничения sn и сп на с — это классические тригонометрические функции
sn(e*) = sin яф, сп(е1*) = cos яф.
2. Пусть теперь (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая
типа (gy ky 1) с точками /?+, /?_ G Р\РХ общего положения такими, что
х/?+=/?_. Вместо функций мы будем рассматривать тензоры целого
и полуцелого веса X, то есть мероморфные на Р и голоморфные на
Р = Р\ (/?+ U/?_) сечения линейного расслоения £02Х—>Р, где (£, р) —
вещественное спинорное расслоение на (Р, х) и 2Х е Z. Пусть Мх —
пространство таких тензоров. Согласно [43], если X ф 0, 1 или \п\ > g/2, то

96
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
для любого целого п + g/2 существует единственный тензор /J G Мх с
асимптотиками
fxn = zin-s(l + 0(z±))(dz±f
в окрестности z± точек /?±, где s = s(X, g) =g/2 - \(g- 1).
Инволюции p и x индуцируют инволюции рх: £®2Х_>£®2Х и хх: Мх —>МХ, где
хх/(р) =Рх/(хр). Нетрудно видеть, что хх/^ = Дл. Тензор ^ G Мх
называется вещественным, если хх£ =!;. В вещественной локальной карте он
имеет вещественные значения на Рт.
Аналогами cos azjc и sin nx являются вещественные тензоры
<* = 5(£+Л.) и s* = h^ -£«>•
где п ^ 0. Аналогом теоремы сложения тригонометрических функций
является
Теорема 7.1. Пусть Хь Х2, Х| 4- Х2 ^ 0, 1 или (п{ 4- я2) > £• Тогда
*/2 g/2
ГХ, Х2 _ «X, Х2 _ V^ * *1+*2 ГХ, Х2 ..^г-Х, _ V^ Q*i+X2
Ln[cn2 Л| 12 ~~ / у "л^+лг-л» ^л^лг л2^л, ~~ / _j Г1ллл,+л2-л»
n=-g/2 n=-g/2
где 8„, т)„ GR.
Доказательство. Согласно [43] имеем
Ф
Inlm / _j 4n,m In+m—k'
k=-g/2
Равенство xx/£ = pLn влечет
Таким образом,
4 • ~Л| "2 I —П2' 2^'п\'п2 /—Л|/— Л2/
Я/2 Я/2
_! V^ (rihM>n i 7>Х|,х2,л\/1:Х,+х2 . fX|+x2 ч_ V^ ts x,+x2
9 / ^ vV-n1,-n2 i Vn,,n2 /\/л,+л2-л i l-n\-n2+n) / j ил^л,+л2-л»
л=-я/2 л=-я/2
где Ьп = 2 Re Q*\*22,n. Второе равенство доказывается аналогично. □
Аналогом теоремы Фурье является

§ 7. Теорема штурма—гурвица
97
Теорема 7.2 ([79]). Всякий вещественный тензор /* веса Х^О, 1
однозначно представляется в виде
оо
где а*, 6Л е Ш.
Доказательство. Согласно [43],
оо оо
л=0 л=0
где а„ = а„ + р„ и bn = i(an - р„). Равенство т/* = /* влечет р„ = ая, откуда
Следующая теорема является аналогом классической теоремы
Штурма—Гурвица [33].
Теорема 7.3 ([79]). Пусть Х^О, 1 или п > |. 7Ьгда вещественный
тензор
оо
*=л
имеет на овалах РТ не менее 2п — g нулей.
Доказательство. Пусть D — дивизор тензора с\. Он имеет вид
D = D, + D0 + D2, где D0 G Р\ Р \ Рт = Р, U Р2, D, е Р„ xD, = D2. Пусть
/?+ Е Рь Аг0 — степень D0 и Я| — сте-
оо
пень D|. Положим G = ^2 а*/£, где а* =
= -(ak- ibk). Рассмотрим систему
попарно непересекающихся дуг и
контуров L с Р\ такую, что Q = P\\L — одно-
связная область (см. рис. 2.7.1). Пусть
с С Q — простой не гомотопный 0
контур на Q — р+. Функция /= G / c\ имеет
в области, ограниченной контуром с, нуль
в /?+ кратности 2п и не более пх полюсов. Поэтому контур f(c) обходит 0 не
менее 2п — пх раз и, следовательно, пересекает Im С = {z e С | Re2 = 0} не
менее 2(2п — пх) раз. Устремляя с к границе области Q, находим, что /(Рт)
пересекает Im С не менее 4п - (2пх + п0) = 2п - g раз. Но если р € Рт и
/(/?) elm С, то
Рис. 2.7.1
F(p) = G(p) + (xG)(p) = c](p)(f(p) +f(x{p))) = 0.
Следовательно, F имеет на Рт не менее In — g нулей.
□
4 Натан юн СМ.

98
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Замечание. В случае g = X = 0 теорема 7.3 была доказана Гурвицем
[33]. В этом случае она неоднократно передоказывалась различными
способами в связи с важными приложениями в теории особенностей.
Приведенное выше доказательство аналогично первоначальному доказательству
Гурвица для случая g = X = 0 в интерпретации В. И. Арнольда.
§ 8. Якобианы и 9-функции
вещественных алгебраических кривых
1. Напомним некоторые факты классической теории римановых
поверхностей [26]. Пусть Р— компактная риманова поверхность рода g.
Базис гомологии
КМ/=1 g)}G//,(P,Z)
назовем симплектическим, если индексы пересечения циклов имеют вид
(а„ ау) = (bh b}) = О, (а,, bj) = 8/y.
Будем говорить, что базис 5i.---.5g пространства голоморфных
дифференциалов на Р порожден симплектическим базисом {а,, 6,-}, если (р 5/ =
Jak
= 2тЬц. В этом случае матрица B = (Bkj), где Bkj= <f> 5/. симметрична
Jbk
и имеет отрицательно определенную вещественную часть Re£ = (ReB/y).
Это позволяет определить 0-функцию 0: С* —> С равенством
6(2) = 9(г|В) - £ ехр{1(ВЛ/, Л/) + (Л/, 2>},
/vez*
где
g
<(*■ **). (ffi %)> = $!*/№•
/=i
Пусть G — группа, порожденная векторами
4 = 2iu(&*i bkg) и Л* = (В*, Bkg) (k=l g).
Комплексный тор У = У(Р) =Cg / G называется якобианом
поверхности Р. Пусть Ф: С*—>У— естественная проекция.
Неупорядоченный набор из k точек на Р называется
(положительным) дивизором степени k. Пусть Sk — множество всех положительных
дивизоров степени k. Зафиксируем на Р точку q и сопоставим дивизору

§ 8. Якобианы и вещественных алгебраических кривых
99
к
D = Y^Pi точку якобиана
*да-чГ? 0-)=*Ш'1 Л)-
Тогда Aq(Sg) = У, причем в общей точке отображение Абеля Ад обратимо.
Образ Кя на У вектора {Кхг ..., К*), где
называется вектором римановых констант. При этом 2/С^ = -/^(D^),
где D5 — дивизор нулей произвольного (голоморфного) дифференциала ^
на Р. Множество
(Q)=Aq(Sg_l) + KqeJ
совпадает с образом на У множества нулей 0-функции и называется 0-
дивизором. Подмножество Е С У назовем особым, если Е П Aq(Sg-\) 7= 0.
В этом случае множество Е 4- Kq содержит нуль 0-функции.
2. Пусть теперь (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая. В этом
и двух следующих параграфах мы будем рассматривать лишь кривые с
вещественными точками. Пусть qePT— одна из них. Нам понадобится
согласованный с х симплектический базис
КМ<=1 g)}c//,(P,Z),
который будет называться вещественным базисом гомологии. Для
кривых типа (g, fe, 0) — это базис со свойствами: 1) х(а,) = а, (/ = 1, ..., g),
-z(bi) = -bt (i = 1, ..., k - 1), x(bi) = —bi + at (i = ky ..., g); 2) овал, на ко-
g
тором лежит точка qy гомологичен J2a'- Для кривых типа (g, fe, l) —это
/=|
базис со свойствами: 1) х(а,) = а,, х(6,) = —6,- (/ = 1, ..., k — 1), х(а,) =
= а,-+«, т(й/) = -ft,+m (/ = fe, ..., k 4- m - 1), где га = ^(ё+ 1 - *0; 2) овал,
на котором лежит точка q> гомологичен J2 at.
i=\
Лемма 8.1. Вещественный базис существует
Доказательство. Пусть (Р, х) — вещественная кривая типа (g, fe, 0).
Тогда, согласно лемме 1.2, существует набор попарно непересекающихся
контуров а0, аь ..., ag такой, что
* g
x(ai) = ah PT = |Ja/ и P\(Ja,
i=0 /=0
4*

100
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
распадается на компоненты Р, и Р2. Занумеруем контуры так, чтобы q e а0.
Положим bi = Ci U iCi U г,, где с, С Р\ соединяет а0 и ah а г, с а, соединяет
Pi = Ci Па,- и xpi. Случай (g, ky 1) разбирается аналогично. □
Из определений сразу следует
Лемма 8.2. Пусть {апЬг (*=l,...,g)}— вещественный базис
алгебраической кривой (Р,х) muna_(g,k,z). Тогда hj = hj при j^k-l,
hj = hj-£j при E = 0,y = fe,...,g и hj = hj+m при e= l,/ = ft,...,ft + m—1.
Далее в этом параграфе мы считаем базис гомологии вещественным.
3. Пусть (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая типа (g, ky е)
и J = J(P). Рассмотрим инволюцию х: С* —>Cg, которая в базисе (£iy hi)
(/=l,...,g) пространства IR2^ = Cg задается линейным отображением
£} »-> £h hj »-> -hh если у ^ k - 1 или е = 0; 1} »-> ^+да, Лу »-> -Л/+т при е = 1,
у = Л, ..., k + га - 1 и ^; »-> 4_т, Лу »-> -Лу_т при е = 1, у = £ + га, ..., g.
Согласно лемме 8.2, отображение х индуцирует инволюцию xR: У—>/. Из
этой же леммы следует, что отображение Абеля Aq отождествляет xR с
инволюцией Sg —> Sg, сопоставляющей дивизору D eSg дивизор xD.
Неподвижные точки инволюции xR называются вещественными
точками якобиана кривой (Р, х). Они образуют вещественную часть JR
якобиана.
Теорема 8.1. Вещественная часть якобиана вещественной
алгебраической кривой (Р, х) типа (g, fe, е), где k>0, распадается на 2*"1
вещественных торов вида
Ф(7-. + 5),
где
8=±][>йу, 8у€{0, 1},
/=|
причем TR = iRg, если е = 0 и Гк = {(jt|, ..., xg) е С8 \х} е Ж при у ^
^ k — \, xk = —Xj+m при k^j ^k + га}, если е = 1. Такой тор неособый,
если и только если е = 1, k — g + 1, 8| = ... = 8g = 1.
Доказательство. Уравнения на вещественную часть находятся
прямым вычислением. Если р е Р, то
ар ПР rP ftp \
5.+ / 5 • / Ъ + ^ €Г«-
Если р G ау, то
Gfl Г5«И*<-
Поэтому хеФ(Тк + Ь)у если и только если x = Aq(D), где De/?e =
= {£> Е Sg |xD = D, четность степени дивизора D П ау равна 8,}.

§ 8. Якобианы и вещественных алгебраических кривых
101
С другой стороны, Rb П Sg_i = 0, если и только если
то есть k = g+ 1, 8, =... = 8g= 1. П
4. Наряду с инволюцией xR рассмотрим инволюцию ti = -tr: У—>У.
Неподвижные точки этой инволюции образуют мнимую часть Jx якобиана У.
Теорема 8.2. Мнимая часть якобиана вещественной
алгебраической кривой (Р, х) типа (gykys)t где k>0, распадается на 2*_|
вещественных торов вида Ф^ 4- 8), где 8 = ш(8|, ..., 8*_|), 8, е {0, 1},
причем Ti = Rg, если г = 0, и TY = {(хи ..., xg) е Cg\xf е Ш при j ^ k - 1,
Xj = —Xj+m при k^j^k + т}, если е = 1. При е = 0 все торы особы.
При е = 1 среди них есть ровно один неособый тор, отвечающий
8, =82 = ... = 8Л_| = 1.
Доказательство. Уравнения на мнимую часть находятся прямым
вычислением. Рассмотрим множество / = {D е Sg\D + xD = (дивизор
нулей мероморфного дифференциала, голоморфного вне q и имеющего в q
полюс порядка 0 или 2)}. Тогда, ввиду равенства xRKq = Kq, Aq(I) =J\.
По определению, дивизору Del отвечает мероморфный
дифференциал £D. Пусть A\\jA2 — произвольное разбиение множества овалов
А = (а0, ..., а*_|). Обозначим через /AltA2 = 1а2,а1 С / подмножество
таких Del, что дифференциал £D или дифференциал -£D неотрицателен
на овалах из А\ и неположителен на овалах А2. Лежащие на овалах
нули и полюсы дифференциала £D имеют четную степень и, следовательно,
Согласно теореме 6.1, для любого разбиения А = Л, U Л2, где Л, ф 0,
А2 Ф 0, существует голоморфный вещественный дифференциал );,
неотрицательный на А\ и неположительный на А2. Прибавляя дифференциал X);
к произвольному дифференциалу £D, Del, легко доказать, что lA[tA2 ф 0.
Таким образом, / = [j/A[tA2 состоит из не менее чем 2*-1 компонент
связности. Но, как уже доказано, множество J\ = Aq(I) - Kq состоит из 2*-1
компонент связности. Таким образом, всякое lAxtA<2 —связно. Если А\ ф 0
и А2 Ф 0 или е = 0, то, согласно теореме 6.1, существует D е 1АьА2 такой,
что £D — голоморфен. В этом случае q e Д
Aq(D)=Aq(D\q)eAq(Sg__l)
и, следовательно, компонента IA{tA2 особа. Если Ах = 0 или А2 = 0, то
условие Aq(D) с Aq(Sg_\) означает, что дифференциал £D голоморфен и
имеет одинаковые знаки на всех овалах. Это невозможно при е = 1 ввиду
X) Я/ = 0. Следовательно, при е = 1 компонента Aq(I0tA) неособа.
/=0

102
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Найдем, какому вектору 8 отвечает эта компонента. Пусть сначала
k=g+\ и (Р, х) — гиперэллиптическая кривая. Тогда мнимая часть
якобиана кривой (Р, х) совпадает с вещественной частью якобиана кривой
(Р, ах), где а: Р—>Р—гиперэллиптическая инволюция. Будем считать, что
(7GPTnPax — неподвижная точка этой инволюции. Из теоремы 8.1 следует,
что неособый мнимый тор якобиана кривой (Р, х) (он же неособый
вещественный тор якобиана кривой (Р, ах)) отвечает вектору 8=ти(1, ..., 1).
Этот вектор не меняется при непрерывной деформации кривой (Р, х).
Ввиду связности множества Afgig+iti (теорема 2.1) этот же вектор отвечает
неособому тору мнимой части якобиана для любой М-кривой.
Случай k < g + 1 сводится к случаю k = g + 1 следующим образом.
Рассмотрим простой контур а такой, что a U xa высекает на поверхности Р
поверхность Р рода k — 1 с 2 дырами. Рассмотрим непрерывную
деформацию кривой (Р, х), стягивающую контур а в точку. В процессе деформации
вектор, отвечающий неособому тору мнимой части якобиана, не меняется.
В пределе он дает вектор, отвечающий Af-кривой, то есть ти(1, ..., 1). □
Замечание. Число действительных и мнимых торов якобиана впервые
найдено в [16]. Число особых и неособых торов найдено для е= 1 в [26],
для е = 0 в [21], [65]. Другим способом это было доказано в [92].
§ 9. Примианы вещественных алгебраических кривых
1. В классической алгебраической геометрии (см., например, [26])
кривым с автоморфизмами сопоставляют похожие на якобианы, но не
совпадающие с ними алгебраические многообразия — примианы. Мы
рассмотрим лишь простейший, но важный для приложений пример таких
многообразий.
Пусть Р — компактная риманова поверхность рода 2g и a: P—>Р —
голоморфная инволюция с двумя неподвижными точками q\ и q2. Сим-
плектический базис {а,, Ьк (/= 1, ..., 2g)} назовем симметричным, если
aa, = — a/+g, abt = —bi+g (i = 1, ..., g). Отображение дивизоров D i-> a(D)
индуцирует инволюцию a*: Sg —> Sg. Отображение Абеля Aq[ переносит ее
на У = /(Р), порождая инволюцию а*: У —> У. Подмножество
Рг = Рг(Р, а) = {х е У | а*х = -х}
называется примианом поверхности с инволюцией (Р, а). Примианы
изоморфны тору Cg IG, где G — решетка, порожденная векторами tt и вектор-
столбцами ?/ матрицы
Ач= [Ъ + Zi+g 0\/= 1 8)
в обозначениях §7.

§ 9. Примианы вещественных алгебраических кривых
103
2. Вещественной кривой с инволюцией (Р, хь а) называется
компактная риманова поверхность Р рода 2g с двумя коммутирующими
инволюциями, одна из которых Х| —антиголоморфна, а другая а — голоморфна
и имеет ровно две неподвижные точки qx, q2y причем X|<7i — q2. Положим
х2 = Х|<х. Пусть среди овалов инволюции х, имеется г, овалов,
инвариантных относительно а, и 2/, овалов, попарно переставляемых инволюцией а.
Тогда
(Лт) = (/>/(а),т1/(а))
— вещественная алгебраическая кривая типа (gy ky e), где k = t\+rx +
+ /2 4- г2. При этом прообраз множества Р* совпадает с /*' U Р*2. Он
разбивает Р на две части, если и только если е = 1. Набор (gy e, tXy гь /2, г2)
назовем типом вещественной кривой с инволюцией (Р, хь а).
Пример 9.1. Пусть (Р, х) — вещественная кривая типа (gy ky 1) и
fe = /, -|- n 4-12 4- г2, где Г| + г2 = 1 (mod 2). Рассмотрим компоненту
связности Р| множества Р \ Рт и двулистное накрытие ср|: Р| —> Р| с
единственной точкой ветвления qx G Р|, двулистное на гх 4 г2 контурах сХу ..., сг,+Г2 G
едР\ и однолистное на остальных граничных контурах сг,+Г2+|, ..., с$,
где fe = T| 4- г2 4- 2/| +2/2. Используя конструкцию примера 1.1, постро-
им вещественную алгебраическую кривую (Р, х) такую, что Р* = (J с,
разбивает Р на Р| и Р2 = хРх. Накрытие ср| индуцирует двулистное
накрытие ф: Р —> Р, где фх = хф. Пусть a: P —> Р— инволюция перестановки
его листов. Она коммутирует с х и имеет ровно две неподвижные
точки qx и q2 = Tqx. Разрежем поверхность Р по контурам сГ|+|, ..., сг,+Г2
и сГ|+Г2+2/|+|, ..., сГ1+Г2+2/,+2/2 и склеим граничные контуры по
отображению ах. На полученной поверхности Р инволюция х индуцирует инволюцию
Х|: Р—>РУ коммутирующую с а. Положим х2 = ахь Нетрудно видеть, что
(Р, Х|, а) — вещественная кривая с инволюцией типа (gy 1, tu rXy t2y r2).
Нетрудно видеть также, что справедлива следующая лемма.
Лемма 9.1. Конструкция примера 9.1 позволяет построить все
вещественные кривые с инволюцией типа (gy 1, /,, rXy t2y г2).
Пример 9.2. Пусть (Р, х) — вещественная кривая типа (gy ky 0) и
k = t\ 4 Г\ 4- t2 4- г2у где ri 4- r2 = 1 (mod 2). Используя лемму 1.2,
построим набор попарно непересекающихся контуров C|,...,cg+i таких,
_ k
что тс; = с, и Pi = (J Ci. Рассмотрим компоненту связности Р, множества
/=|
. e+i
Р \ U с*}И двулистное накрытие ср|: Р\ —* Р\ с единственной точкой ветвле-
/=|
ния q\ е Р\у которое двулистно на контурах сХу ..., сГ{+Г2 и однолистно на

104
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
остальных контурах сг,+Г2+|, ..., cv. Используя конструкцию примера 1.2,
построим вещественную алгебраическую кривую (Р, х) такую, что Р\ \J ct
разбивает Р на Pj и Р2 = хРь причем Р* = U с„ где £ = rj + r2 + 2Ч -f 2/2.
Дословно повторяя разрезы и склейки, описанные в примере 9.1, получаем
вещественную кривую с инволюцией (Р, хь а) типа (g, 0, ч, г,, /2, Ы-
Лемма 9.2 ([66], [12]). Конструкция примера 9.2 позволяет
построить все вещественные кривые с инволюцией типа (g, 0, ч, гь /2, ^)-
3. Пусть (Р, Х|, а) — вещественная кривая с инволюцией типа (g, e, ч,
гь /2, г2). Пересечение примиана Рг= Рг(Р, а) СУ(Р) =У с вещественной
частью якобиана кривой (Р, Х|) называется вещественной частью
примиана вещественной кривой с инволюцией (Р, хь а). Ее связные
компоненты называются вещественными торами примиана кривой (Р, хь а).
Они составляют неподвижные точки инволюции (xi)R|Pr: Рг —> Рг.
Теорема 9.1. Вещественная часть примиана вещественной
кривой с инволюцией (Р, Х|, а) типа (g, е, /ь гь /2, г2), где ft = /| + Г| + /2 +
+ г2>0, распадается на 2*-1 вещественных тора размерности g.
Доказательство. Выберем симметричный базис Д = {а,, bt (i =
= 1> • • • у ё)} пары (Р, а) таким образом, чтобы проекция циклов {ah bt (i =
= 1, ..., g)} давала вещественный базис А вещественной кривой (Р, х) =
= (Р/ (a), xj / (а)) типа (g, ft, e). Пусть {£iy dt} — образующие решетки
примиана Рг вещественной кривой с инволюцией (Р, хь а), отвечающей
базису Д, и {lh ht} — образующие решетки якобиана 7 вещественной
кривой (Р, х). В этих базисах инволюции (tti)r|Rr: Рг—> Рг и xR: I—>/
описываются одинаковыми формулами и, следовательно, имеют
одинаковое число неподвижных торов. □
4. Пусть (Р, Х|, а) — вещественная кривая с инволюцией типа (g, e, /ь
Г|, /2, г2). Занумеруем овалы а[, ..., а2/.+г. инволюции ху так, чтобы аа{ =
= a't.+t при / ^ /у. Дивизор D С Р степени g отнесем к множеству fi, если
X|D = D и olD + D — дивизор нулей мероморфного дифференциала £D,
голоморфного вне неподвижных точек q{, q2 инволюции а и имеющего в
этих точках полюс порядка 0 или 1. Будем говорить, что £D
положительно определен на овале а = а]у где />2/ь если £D неотрицателен на а,
или существует точка /? е а П Д которая вместе с точкой ар разбивает
контур а на две открытые дуги таким образом, что та из них, на
которой дифференциал положителен, в окрестности р содержит четное число
точек дивизора D. В противном случае будем говорить, что £D
отрицательно определен на а. Будем говорить, что £D положительно (отрицательно)

§ 9. Примианы вещественных алгебраических кривых
105
определен на овале а?, если он неотрицателен (неположителен) на нем как
вещественный дифференциал кривой (Р, х2).
Разобьем множество
1 12 2
а2/, + И ' ' ' » а2/,+г,» а1' * * * » а2/2+г2
на подмножества Ах и Л2. Пусть
8 = (8, 8,,)eZ2'.
Обозначим через fi(8, Ль Л2) подмножество fi, состоящее из дивизоров
D e fi таких, что дифференциал £D или дифференциал — £D положительно
определен на Ль отрицательно определен на Л2 и четность степени
дивизора D П а) при / ^ /| совпадает с четностью 8,.
Лемма 9.3. Каждое из множеств fi(8, Ах, А2) непусто.
Доказательство. Докажем сначала, что на любой вещественной
алгебраической кривой (Р, х) с овалами сь ..., cky где k = fe+ 4- fe- 4- ko>
и для любой пары точек q{^q2y где q2 = Tqiy существует мероморф-
ный вещественный дифференциал );, голоморфный вне qiy q2y имеющий
в этих точках полюс степени не выше 1, неотрицательный на сх при
/ ^ fe+, неположительный на ct при fe+ < / ^ fe+ + fe_ и имеющий нули на
ct при / > k+ 4 fe_. Для этого окружим точки <7i и <72 непересекающимися
окрестностями Ut э qt такими, что zil\ = U2, и склеим границы
поверхности P\(U\ U(/2) с помощью инволюции т. Граница переходит при этом
в овал с0 новой вещественной алгебраической кривой (Р;, х'). Применяя
к ней теорему 6.1, находим вещественный дифференциал );' с нужными
свойствами на овалах сь...,сл. Вырождая овал с0, получаем нужный
дифференциал на кривой (Р, х).
Применяя только что доказанный результат к вещественной кривой
(Р, х) = (Р/ (a), xj / (а)), находим мероморфный дифференциал,
голоморфный вне образов qiy q2 точек q[y q2y имеющий не более чем простые
полюсы в этих точках, неотрицательный на образах овалов из А\у
неположительный на образах овалов из А2 и имеющий нули на остальных овалах.
Его прообраз ^ на Р является мероморфным дифференциалом,
голоморфным вне q\ и q2y имеющим не более чем простой полюс в этих точках,
положительно определенным на овалах из А\ и отрицательно
определенным на овалах из А2. Его дивизор нулей, пересеченный с а\ Uaa] (i ^ /|),
имеет положительную степень, кратную 4, и симметричен относительно а.
Следовательно, существует такой D ett> что £D =);, и четность степени
дивизора DП а] совпадает с четностью 8, при / ^ t\. □
Теорема 9.2 ([65], [78]). Пусть (Р, х, а) — вещественная кривая с
инволюцией типа (g, е, /ь гь /2, г2), где k = t\ + Г\ + t2 + г2 > 0. Тогда:

106
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
1) при е = 0 все вещественные торы ее примиана особы;
2) при г = 1 существует не более одного неособого
вещественного тора примиана;
3) при е = 1, k = g + 1 неособый вещественный тор примиана
всегда существует;
к
4) при е = 1, t\ + Г\ ^ - существуют кривые (Р, хь а) типа (g, е,
t\y r\, t2y г2), среди вещественных торов примиана которых имеется
неособый.
Доказательство. Нетрудно видеть, что
П(8, Л,, Л2)ПП(8', Л;, Л'2)^0,
если и только если 8' = ЪУ А\= Л2, Л'2 = Л |, причем в этом случае эти
множества совпадают. Таким образом, число не пересекающихся множеств
вида fi(8, Ль А2) равно 2*_|. С другой стороны, вещественная часть
примиана кривой с инволюцией (Р, Х|, а) совпадает с U АЯх (fi(8, A \, А2)) — КЯх
и, согласно теореме 9.1, состоит из 2*_| компонент связности. Таким
образом, согласно лемме 9.3, каждый вещественный тор примиана имеет вид
АЩхЩЪ% Аи А2)) - Кщх.
Тор особый, если и только если существует D e fi(8, Aiy A2) такой, что
olD + D — дивизор нулей голоморфного дифференциала на Р.
1) Пусть 6 = 0 и Т = АЯх(ЩЪу Аь А2)) — КЯх—произвольный
вещественный тор примиана. Пусть Л,-— образ множества Л, на вещественной
кривой (Р, х) = (Р/ (а), Т| / (а)). Согласно теореме 6.1, существует
голоморфный вещественный дифференциал \ на (Р, х), неотрицательный
на Ль неположительный на Л2 и имеющий нули на остальных овалах.
Его прообраз ^ на Р является голоморфным дифференциалом,
положительно определенным на овалах из Л! и отрицательно определенным на
овалах из Л2. Его дивизор нулей, пересеченный с а\ Uaa] (i ^ /|), имеет
положительную степень, кратную 4, и симметричен относительно а.
Следовательно, существует Deft(8, Ах, А2) такой, что £о = £ и Т — особый
тор.
2) Пусть е=1 и Т — Л<71(0(8, Ль Л2)) — КЯх—любой тор, отличный
от Л<71(П(8, Л, 0)) — КЯ{, где 8 = (1, ..., 1). Тогда, повторяя рассуждение,
использованное в случае е = 0, находим, что Т — особый тор.
3) Пусть е = 1 и k = g + 1. Докажем, что при 8 = (1, ..., 1)
вещественный тор АЯ{(ЩЬ, Л|, 0)) — КЯ{ — неособый. Действительно, в противном
случае существовал бы вещественный голоморфный дифференциал ^ на Р,
положительно определенный на всех овалах инволюций Х| и х2, где он не
имеет нулей, и такой, что а); =);. Он индуцирует голоморфный
вещественный дифференциал | на М-кривой (Р, х) = (Р/ (а), Х| / (а)), положитель-

§ 10. УНИФОРМИЗАЦИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ ГРУППАМИ ШОТТКИ 107
ный на всех овалах, где он не имеет нулей. Но, согласно теореме 6.2, таких
дифференциалов не существует.
4) Пусть е = 1 и /, + k\ ^ k/2 и Т — вещественный тор вида
Aq{(Q(b, Аи 0)) - КЯх, где 8 = (1, ..., 1). Если Т — особый, то повторяя
рассуждение, использованное в случае k = g + 1, находим
дифференциал \ на вещественной кривой (Р, х) = (Р/ (a), xj / (а)), неотрицательный
на t2 + k2>k/2 образах овалов из множества А\ и имеющий нули или
положительный на остальных овалах кривой. Пример 9.1 показывает, что
в качестве кривых (Р, х) могут выступать любые вещественные кривые
и, в частности, кривые, построенные в теореме 6.3, на которых таких
дифференциалов не существует. □
Замечание. При малой деформации кривой с инволюцией (Р, хь а)
неособый тор переходит в неособый. Поэтому кривые с инволюцией
(Р, Х|, а), обладающие неособым вещественным тором примиана,
образуют открытое множество в пространстве всех кривых данного типа.
§ 10. Униформизация вещественных алгебраических
кривых группами Шоттки
1. Пусть ф е 7V*, где k > 0, и {Л„ fl, (i = 1 g), С,- (i = 1 *)} =
= ф(у^) — соответствующий последовательный набор сдвигов. Положим
Д = {ЛьЯ,-(|=1 #,С,(|=1 *-1)}.
Инвариантные прямые ^(Д) набора Д изображены на рис. 2.10.1.
/ТТЛ Г7ТЛ Л 7\
Рис. 2.10.1
Согласно §§1—3 главы 1 для любого DeA существуют круги SD
и SD. с центром на R U оо такие, что SD П €(Д) С ^(D), SD. П €(Д) С ^(D),
D(t(A)\t(D))cSD и Д-,(^(Д)\^Ф)) cSD.. Методами, описанными в
§§ 1—3 главы 1, легко показать, что круги SD и SD* можно выбрать таким
образом, чтобы
So, П SD2 = SD* П SD2 = SD* П SD; = 0 при D, ф D2
и D(dSD.)=dSD. В этом случае fi = CUoo\ (J (SDUSD.) будет фун-
даментальной областью группы Шоттки G, порожденной Д. На фактор-
поверхности Р = ПIG рода g = 2g+ k — 1 инволюция z»->z индуцирует
разделяющую инволюцию т: Р —> Р с k овалами.

108
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Для того чтобы доказать, что конструкция дает все разделяющие
вещественные алгебраические кривые, достаточно построить для такой кривой
(Р, х) систему разрезов на связной компоненте Рх поверхности Р\РТ,
превращающую Р\ в половину фундаментальной области группы
Шоттки нужного вида. Такая система разрезов приведена в [9] и изображена на
рис. 2.10.2.
Рис. 2.10.2
Таким образом (см. [9J, [10]), соответствие ф»-> (Р, х) определяет
отображение
Ф*: TUJk-*MgJktU
где Vk(Tg,k) =MgtkA.
Аналогичное описание неразделяющих кривых с вещественными
точками получается, если систему образующих Д группы Шоттки G заменить
набором
д- = {А,в,(/=1 #,с,(| = 1 *),c;(i = * + i *-i)},
где С* получается из
с ы = (X/a/-P/)2-(l-X)afpf
u,w (X.-lJz + to-X^)
заменой X, на —X,. Система Д* порождает группу Шоттки G*. На фак-
торповерхности Р* =Г1 / G* инволюция z »-> z индуцирует неразделяющую
инволюцию х*: Р* —» Р* с k + 1 овалами. Таким образом, соответствие
фн-> (Р*, х*) порождает отображение
Ф*+,: Tgik->Mgj+l0.
Равенство
Vk+\(Tg,k) = Mgj+l0
доказывается по той же схеме, что и в случае разделяющих кривых. Надо
лишь дополнить множество овалов кривой (Р*, х") до системы попарно
непересекающихся инвариантных контуров С\, ..., ck так, чтобы поверхность

§ 10. УНИФОРМИЗАЦИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ ГРУППАМИ ШОТТКИ 109
к
Р* \ U с' распадалась на две компоненты связности. Таким образом, вся-
/=|
кое пространство модулей Mgjt имеет представление
Mgkt = *-k{TgM).
Вместе с теоремой
Т- = т?6^3*-6
(см. [55], [85]) это дает другое доказательство следствия 2.1:
Af^e^/?6^6/Mod^e.
2. Униформизация Шоттки дает возможность решить проблему Шот-
тки для вещественных алгебраических кривых, то есть найти матрицы Bijy
описанные в §8.
Опишем матрицу, отвечающую системе образующих
Д = {Д,Я;(/=1 g),Q(i=l *-1)} = {Д(|=1 2g+k-l)}
группы Шоттки g описанного выше вида. Пусть
п ы = (XiOi-Pi)z-(l -X)ajPi
UiK'} (X,- l)z + (ai-XiPi) *
Обозначим через Gmn подмножество группы G, состоящее из элементов
вида
где ji ф 0, i\ ф га, ik Ф п. Положим
{у у у у 1 - (21 -^Н^-**)
1 J (2| - 24)(22 - 23)
Тогда согласно, [5] и [11 ], отвечающая образующим А матрица Якоби (Впт)
алгебраической кривой ft / g дается сходящимися рядами
Впп = \пК + Y, И01- Р"> Dot"> DM (2Л)
0€Crtrt
И
Впт = Y, |п<<*т, Р«, D*n, DM при га ^ п. (2.2)
Таким образом, формулы (2.1), (2.2) вместе с явным описанием
пространства TStk в координатах {a,, p,, \ (i = 1, ..., 2g + k)} (§§ 3—4
главы 1) позволяют найти якобианы алгебраических вещественных кривых и
с помощью формул из §8 их вещественные и мнимые торы.
Модификация этого подхода позволяет описать примианы
вещественных кривых [65].

по
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
§11. Пространство модулей
спинорных расслоений ранга 1
на вещественных алгебраических кривых
1. Напомним, что фуксовы группы, униформизирующие римановы
поверхности рода 0, имеют вид ф(уо,*+|), где уо^-ы — группа, порожденная
образующими C|,...,cg+i с определяющим соотношением сх ...cg+,_= 1,
и ф: Yo,g+i —* Aut(A) — мономорфизм, принадлежащий множеству fo^+i
(§§ 1—2 главы 1). Такому мономорфизму отвечает группа Tj (k^g),
порожденная ф(уо,е+|) и отображениями
г — / ^' ПРИ 1 ^ *'
\ С, при / > ky
где С/ = ф(с/). Положим Di = Cg+\Ci (/=l,...,g). Естественный
изоморфизм Г£ -> щ(Р, /?), где Р = А / Г{, переводит {С,, Д (i = 1, ..., g)}
в образующие {ciy dt (i = 1, ..., g)} группы 7i|(P, /?), порождающие ее с
определяющим соотношением
/■= I /=£
Лемма 11.1. Пусть Г* — поднятие вещественной фуксовой
группы Г, где [Г] = (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая
типа (gy ky 0). Тогда существует мономорфизм фе f0,£+i такой, что
Г = Г£ w (Of* (rf/) = (Of* (rfy) (Зля всех i, у ^ g.
Доказательство. Рассмотрим набор контуров сх, ..., с^+!,
обладающий свойствами, описанными в теореме 4.2. Пусть Р\ —сфера с g+ 1
дырами, граница которой дР\ состоит из контуров сх, ..., cg+\ с
ориентацией, порожденной Г*. Рассмотрим связанную с ними стандартную
систему образующих (С|, ..., Cg+i) группы п(Р\у р). Отождествим ct со
стандартными образующими группы То^-ы- Тогда естественный изоморфизм
тс,(Р, р) -> Г индуцирует ф е foj>+\- Нетрудно видеть, что Г£ = Г.
Найдем теперь (Of*(d/). Положим С* =J~l(Ci) nf*. Заменяя Г на
сопряженную группу, можно считать, что
где [ig+\ > 0, a^+i =±1. Сдвиги Сь ..., C^+i образуют последовательный
набор (см. §2) и, следовательно, их инвариантные прямые 1{С^
расположены как на рис. 2.11.1.

§11. СПИНОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 1 1 1
Таким образом,
Ci = FiCg+\Fi \
где
р = (Х/а/ + оц)г - (1 - Х/)а? = а/(Х/ + 1)2 + (X/ - 1)а?
' (1 - Х/)г + (а/ + Х/а/) (1 - Х/)2 + а/(Х/ + 1) '
Положим
Тогда
«_ /Ч(Х/ + 1) (Х/-1) \
Г' - V(l-X/) a/(X/-f {))'
где [I/ > 0, а/ = ±1. Докажем, что при / ^ g, а, = -1. Действительно, по
построению ориентация контура с,, порожденная Г*, совпадает с его
ориентацией как границы поверхности Рх. Эта ориентация индуцирует
ориентацию линии £(Ci), указанную на рис. 2.11.1. Отображение F~l переводит
ее в ориентацию мнимой оси / по направлению убывания значений Im z
(см. рис. 2.11.1). А это и означает, что а, = — 1.
UCe+i) -
а
—~\F'
«о l(C,) t{Cf)
—а
Рис. 2.11.1
Таким образом,
откуда
<■*.(</,) = sign(Sp(D/)) = sign(Sp(q+1C;)) = -a,+ I
и, следовательно, Of * (d,-) одинаков для всех / < g. П
Лемма 11.2. Пусть о— неособая функция Арфа на
вещественной алгебраической кривой (Р, х) типа (gy k, 0). Тогда существует
стандартный базис
{c,,d,(i=l g)}e//,(P,Z2)

112
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
такой, что ciy ..., cg — попарно непересекающиеся инвариантные
контуры, x(di) = dt + cg+\ + cit где
f О при i ^ k,
di = \ • и
\ Ci при i > k,
и G)(d/) = <u(dj) для всех /, у < g.
Доказательство. Согласно лемме 2.1, существует вещественная
фуксова группа Г такая, что (Р, х) = [Г]. Согласно лемме 4.2, существует
ее поднятие Г* такое, что <Df* = <о. Поэтому утверждение леммы 11.2
следует из леммы 11.1. □
2. Пусть (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая. Функции
Арфа о)| и со2 на (Р, х) назовем топологически эквивалентными, если
существует гомеоморфизм ср: Р—> Р такой, что срх = хср и индуцированный
автоморфизм ср: Wi(P, Z2) —> W|(P, Z2) удовлетворяет условию <0| = <о2ср.
Теорема 11.1 ([76]). Все особые функции Арфа на произвольной
вещественной кривой (Р, х) топологически эквивалентны.
Доказательство. Согласно лемме 3.2, Рт = 0. Поэтому,
согласно лемме 1.2, существует набор попарно непересекающихся инвариантных
£+1
контуров С|, ..., Cg+i такой, что Р \ U с, распадается на две сферы с дыра-
/=|
ми Р| и Р2. Соединим контур с, простым отрезком lt с Р| с контуром cg+\.
Рассмотрим простой замкнутый контур dt = tt U x4 U r, U rg+,, где гу с су.
Пусть о)| и о)2 — особые функции Арфа на (Р, х). Согласно лемме 3.3,
<i>i(C|) = (о2(с/) = 0. При каждом /, где а>|(</,-) ^ ^(d,), применим к Р
скручивание Дена по ciy то есть разрежем Р по с, и склеим с поворотом на 2п
по этому же контуру. Нетрудно видеть, что полученный гомеоморфизм ср
коммутирует с х. С другой стороны, для таких /
o)2(cp(d/)) = G)2(d/ + ci) = a)2(d/) + Цс,) + 1 = <» i (</,-).
Таким образом, <о2ср = а>|. П
Теорема 11.2 ([76]). Пусть (Р, х) — вещественная алгебраическая
кривая типа (gy ky 0). Тогда неособые функции Арфа на (Р, х)
топологически эквивалентны, если и только если они имеют одинаковый
топологический тип (g, 8, ka).
Доказательство. Пусть g>i и <о2 — неособые функции Арфа на
(Р, х) типа (g, 8, ka). Используя лемму 11.2, свяжем с функцией Арфа <от
стандартный базис {c^.d™ (i= l, ..., g)}, где с™ — попарно
непересекающиеся инвариантные контуры и о)т(^) =^m{df) для всех i,j^g.

§11. СПИНОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 1 13
После перенумерации можно считать, что с™, ..., c%0+ki — овалы,
причем <Am(c™) = О при i^k0 и (йт(с?) = 1 при / > k0. Согласно теореме 3.2,
k0 = g-\- 1 (mod 2) и, следовательно,
g+i g
Таким образом, o)|(dy!) =8 = o)2(dy). Согласно лемме 1.2, набор cf, ..., с™
можно дополнить контуром с£+| до полного набора инвариантных контуров.
Пусть
*+|
Выберем С^+1 таким образом, чтобы гомеоморфизм ср: Р\ —>Р?
продолжался до коммутирующего с х гомеоморфизма ср: Р1 —>Р2, переводящего
{с\, d\) в {с*, d*}. Тогда <о, = <о2ср. П
Теорема 11.3 ([76]). Пусть (Р, х) — вещественная алгебраическая
кривая типа (g, fe, 1). 7Ъгда функции Арфа на (Р, х) топологически
эквивалентны, если и только если они имеют одинаковый
топологический тип (g, 8, kl).
Доказательство. Пусть (Oj и <о2— функции Арфа на (Р, х) типа
(ё> Ъу kl). Овалы Рт разбивают Р на две связные компоненты Р\ и Р2. По
условию, cot |/>, и со2|/>, имеют одинаковый топологический тип и,
следовательно, согласно § 8 главы 1 существует гомеоморфизм ср|: Р\ —> Рь
переводящий G)||/>, в о)2|/>,. Совпадение топологического типа функций а>| и о>2
позволяет выбрать ср| так, чтобы овалы, подобные относительно о>|,
перешли в овалы, подобные относительно <о2. Положим теперь ср2 = xcpjx: Р2 —>
—► Р2. Тогда cpi U ср2: Р —> Р коммутирует с х и переводит <0| в <о2. П
3. Далее в этом параграфе под спинорным расслоением мы всегда
понимаем спинорное расслоение ранга 1.
Теорема 5.1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между
спинорным расслоением на вещественной алгебраической кривой (Р, х) и
вещественными функциями Арфа на ней. Типом спинорного расслоения
назовем тип соответствующей функции Арфа.
Пространством модулей спинорных расслоений на вещественных
алгебраических кривых называется пространство пар ((Р, х), (е> £)),
где (Р, х) — вещественная алгебраическая кривая, а (е, Е) —
спинорное расслоение на (Р, х). Согласно теореме 5.1, на вещественной кривой
существует лишь конечное число спинорных расслоений, и поэтому
топология пространства модулей вещественных кривых индуцирует топологию
в пространстве модулей спинорных расслоений на них.
5 Натанзон СМ.

114
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Теорема 11.4 ([67J). Пространство спинорных расслоений на не-
разделяющих вещественных алгебраических кривых распадается на
связные компоненты Sp(g, 8, ka), где (gy 8, ka) — произвольный
топологический тип неособой функции Арфа на неразделяющей
вещественной кривой. Каждая из компонент S(gy 8, ka) диффеоморфна
IR3*-3/Modff,Me,
(где Modg,5t*a — дискретная группа диффеоморфизмов) и (С£° •2g_l)-
листно накрывает Mg>kt0, где k = k0 + k\.
Доказательство. По определению, каждому ф G 7o,£+i отвечает
последовательный набор
V = (CX Cg+l)e Aut(A)
типа (0, g+ 1), который вместе с
с = {9 при [ ^*'
\ С, при / > k
порождает вещественную фуксову группу f = rj^+l. На вещественной
кривой (Р, х)=[Г] рассмотрим базис гомологии {ciy dt (i = 1, ..., g)} G
G H\(Py Z2), отвечающий сдвигам {(С,, Dt = Cg+\Ct (i = 1, ..., g)}.
Рассмотрим неособую вещественную функцию Арфа <о = о>ф, определенную
условиями g)(c/) = 0 при / ^ k0y a)(c/) = 1 при / > k0y <i)(di) = 0 при / < g,
a)(dg) = 8. Согласно теореме 3.2, k0 = g + 1 (mod 2); отсюда сразу следует,
что о) — неособая вещественная функция Арфа типа (g, 8, ka). Согласно
теореме 5.1, ей отвечает спинорное расслоение П(ф) €Sp(gy 8, ka).
Соответствие ф i-> П(ф) индуцирует отображение Q: T0tg+i —> Sp(g, 8, fea).
Докажем, что Q(T0tg+]) = Sp(g, 8, fea). Действительно, согласно
теореме 2.2 отображение
Ф: Tqj+x —► Sp(g, 8, ka) —► MgJtt0,
где Ф — естественная проекция, таково, что
ЩТ0л+1) = МвМ.
Слой отображения Ф представляется группой fAodgtkt0 всех
автогомеоморфизмов кривой (Р, х), то есть автогомеоморфизмов Р, коммутирующих с т.
Согласно теореме 11.2, эта группа fAodgtkto транзитивно действует на
множестве неособых вещественных функций Арфа типа (g, 8, ka) и,
следовательно, ввиду теоремы 5.1 транзитивно действует на слоях Ф_,((Р, т)).
Таким образом,

§ 12. Вещественные алгебраические /v= i суперкривые
115
где
M°dg.8,*« с Mod^o.
Согласно § 4 главы 1, пространство Т0^+\ диффеоморфно IR3*-3. Согласно
теореме 3.2, индекс подгруппы Modgt5*a в Modg>*0+*|t0 равен Ckk°28~l. П
Теорема 11.5 ([67]). Пространство спинорных расслоений на
разделяющих вещественных алгебраических кривых распадается на
связные компоненты Sp(gy 8, /£), где (g, 8, kl) — произвольный
топологический тип функции Арфа на разделяющей вещественной
алгебраической кривой. Каждая из компонент Sp(gy 8, ft J) диффео-
морфна R3g~3 / Modg5)itT (где Modgj^ — дискретная группа диффео-
k°' c*o * ^*! * ^ x
x (2* 4- га), где m = 2й, если k\ > 0, m = 1, если 8 = 0, m = -1, если ft] = 0
и 8 = 1, fta = k°a + kl k = k0 + ft,, g = 2g + ft - 1.
Доказательство. По определению, каждому ф е fetk отвечает
последовательный набор V_ = {Л,, Bi (i = 1, ..., g), С,- (/ = 1, ..., k)} типа
(g, ft), который вместе с Q (i = 1, ..., k) порождает вещественную фуксову
группу Г = Гф. На вещественной кривой (Р, х) = [Г] рассмотрим базис
гомологии {a„ bh а\, Ъ\ (1=1 g), ch di (i = 1 k - 1)} e W,(P, Z2),
порожденный сдвигами
{A, Bi,CkAiCkyCkBiCk{i=\ g), ChCkQ(i=l ft- 1)}.
Пусть для определенности k\ > 0 (остальные случаи рассматриваются
аналогично). Рассмотрим вещественную функцию Арфа <о = о)ф,
определенную условиями: 1) а)(а,) = а)(6,) = Ца,') = а>(Ь-) = е,-, где е, = 0 при / < g и
е, = 8 при / = g; 2) <о(с,) = 0 при / ^ ft0, а)(с,) = 1 при / > ft0; 3) G)(d,) = 0
при / = k°Q 4- 1, ..., k0 или / = k0 4- ft? 4- 1, ..., k — 1 и to(di) = 1 в
остальных случаях. Согласно теореме 5.1, ей отвечает спинорное расслоение
П(ф) G Sp(gy 8, ft*). Завершающая часть доказательства почти дословно
совпадает с соответствующей частью доказательства теоремы 11.4. □
§ 12. Вещественные алгебраические
N = 1 суперкривые и их пространство модулей
Напомним некоторые определения (§11 главы 1).
Пусть L = ЦК) — грассманова алгебра над полем К с бесконечным
числом образующих 1,^|,4, • • • Каждый элемент а е ЦК) является конечной
линейной комбинацией мономов lix А ... Л £in с коэффициентами из К, т.е.
а = а* 4- У^ ^iei + 22 a'ie' Л ei "*" * * *
ч
Соответствие an a# определяет эпиморфизм #: ЦК) —> К.
5*

116
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
Моном ^ Л... Л tln ф О называется четным, если п четно, и
нечетным, если п — нечетно. Константы также считаются четными мономами.
Линейные комбинации с коэффициентами из К четных (нечетных) мономов
порождают линейное пространство L0(K) четных (L|(K) нечетных)
элементов алгебры ЦК). Супераналог линейного пространства — это множество
к(я"и> = {(2, 2я|в, е^|2;емк),е,емк)}.
В качестве поля К будем рассматривать поле комплексных чисел С
или вещественных чисел R.
Множество
Л"5 = {(2|в, %)е С01"* | Imz* > 0}
называется верхней N-суперполуплоскостью. В этом параграфе мы
будем иметь дело с 1-суперполуплоскостями А5 = А15. Группа
автоморфизмов Aut(A5) суперобласти А5 состоит из преобразований А =
= А[а, by cy d, a|e, 8] вида
Л(2|9)=(^-<^1М(^9|^^(9 + е + 8г+1е50))>
v ' \cz + d (cz + d)2 \ cz + d \ 2 //'
где а, Ьу с, deL0(R),o = ±1, е, 8eL,(IR), (ad- be)* >0, a символом у/А
обозначается элемент из L0(IR), однозначно определяемый свойствами
(ч/Д)2 = Д и (^)#>0.
Соответствие
А~А#, где A*(z) = ^±^,
cwz + dw
порождает эпиморфизм
#: Aut(A5)-> Aut(A).
Элементы множества Aut2(A5) = (#)_,(Aut2(A)) называются
супергиперболическими.
Сопоставим автоморфизму А = А[ау by cy dy a|e, 8] матрицу
Подгруппу Г С Aut(A5) мы называем суперфуксовой, если Г# =
= #(Г) —фуксова группа и #: Г —>Г# — изоморфизм. В этом параграфе
мы будем рассматривать (не оговаривая это специально) лишь супер-
фуксовы группы, состоящие из супергиперболических автоморфизмов А5.
Фактормножество Р = А5/Г называется (N = \) римановой
суперповерхностью (или суперримановой поверхностью). Соответствие У

§ 12. Вещественные алгебраические n = 1 суперкривые 117
порождает поднятие
/*:r#->r*cSL(2, R).
Тип соответствующей функции Арфа <ог = <ог* на Р# = А / Г# называется
типом суперповерхности.
1. Пусть теперь Aut(A5) — группа, порожденная Aut(A5) и
инволюциями
а±: (z|0)i->(-2| ±6).
Если CeAut2(A5)— гиперболический автоморфизм, то существует ge
е Aut(A5) такой, что g~lCg(z) = (Xz|\A0), где Х# > 0. Положим
С± = go±g-\ С± = у/СС± е АЙ(А5),
^e^,v/Cg(2[0^=(V/X2:|v/Xe). Продолжим #: Aut(A5) -> Aut(A) до
#: Aut(A5) —> Aut(A), считая, что #(а±) = а±: z i-> -2.
Подгруппу Г с Aut(A5) назовем вещественной суперфуксовой
группой, если Г# — вещественная фуксова группа. Вещественной
суперфуксовой группе Г отвечают суперфуксова группа Г = Г П Aut(A5), риманова
суперповерхность Р = А5/Г и вещественная алгебраическая
суперкривая [Г] = (Р, х), где х = (Г \ Г) / Г: Р —> Р— суперантиголоморфная
инволюция. Суперкривой (Р, х) отвечает вещественная алгебраическая кривая
#(Р,Т) = (/>#,!*)= [Г*],
называемая подложкой суперкривой (Р, х). Нетрудно видеть, что <ог —
вещественная функция Арфа на (Р#, х#). Ее топологический тип
называется топологическим типом вещественной суперкривой (Р, х).
2. Пусть t = (gy 8, ka) — топологический тип римановой
суперповерхности рода g с k дырами. Обозначим через М1 множество всех таких
суперповерхностей. Оно «униформизируется» пространством
Р = Р/ Aut(A5),
где V — пространство мономорфизмов ф: у&л —*Aut(A5) (где n = g + k)
таких, что ф(^,л)# — последовательный набор типа (g, k) и А5 /ф(т&л) €
Е М', а группа Aut(A5) действует сопряжениями.
Множество Q называется сильно диффеоморфным R{p^q\ если
существует вложение QcR{p^q) такое, что Q# диффеоморфно W и Q =
= #-l(#(Q)). Согласно § 12 главы 1, V сильно диффеоморфно
RW«> / Z2 = RW+3*-6|4*+2ft-4) / j^.

118
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
При этом
М' = (Г) I Mod,,
где Mod/—дискретная группа.
Теорема 12.1 ([67], [73]). Пространство модулей вещественных
алгебраических суперкривых с неразделяющей подложкой
распадается на связные компоненты S(g, 8, ka), где (g, 8, ka) — произвольный
топологический тип неособой функции Арфа на неразделяющей
вещественной кривой. Каждая из компонент имеет вид
S(g, 8, ka) = TgAka I Modg)Me,
где Теыл сильно диффеоморфна R(3g_3|2g-2) /Z2 и ModeAAe —
дискретная группа.
Доказательство. Положим t = (О, 0, k0, g+ l - k0). По
определению каждому ф G Р отвечает набор
V = (Ci C,+ I)G Aut(A5)
такой, что К# = (Cf, ..., Cf+l) — последовательный набор типа (0, g+ 1).
Этот набор вместе с
( СУ при i < ky
Cf при k<i<gy
С+ при i = g, 8 = 0,
С," при / = g, 8 = 1
(где fe = kQ + fei), порождает вещественную суперфуксову группу Г. На
вещественной кривой (Р#, х#) =[Г#] рассмотрим базис гомологии
Krf, (i=i g)}etf,(P,z2),
отвечающий сдвигам
{С„ А = С,+,£,(*=1 0}.
Тогда функция Арфа <о = <ог удовлетворяет условиям а)(с,) = 0 при / ^ k0y
<i>(c,-) = 1 при / > k0, to(di) = 0 при i< g и o)(dg) = 8. Таким образом,
соответствие ф i-> [Г] индуцирует отображение
П:(7*)->5(&М.).
Сопряженные ф переходят при этом в одинаковые суперкривые и,
следовательно, определено отображение
n.(P)->S(gyb,ka).
Докажем, что ЩР) =S(g, 8, ka). Пусть
(P,x)GS(g,8,fea).
С,= <

§ 12. Вещественные алгебраические n = 1 суперкривые
119
Из леммы 1.2 и теоремы 11.2 следует, что существуют простые
замкнутые контуры {ciy di (/= 1, ..., g)} на (Р#, х#) такие, что: 1) т#(с/) = сь
# *
(Р#)т = (J с,; 2) представляющие их элементы //|(Я#, Z2) удовлетворяют
g
условиям x*(d/) = -di + с + ci4 где с = £ ^ь
А _ Г 0 при / ^ fe,
' \ ct при / > k\
3) функция Арфа <о = <ог удовлетворяет условиям
ГО при I.
v " \ 1 при г
o)(d/) = 0 при i<g, o)(dg)=8. Контуры {с,} разбивают поверхность Р*
на компоненты Pf и Pf. Положим Рх = #~l(Pf). Согласно § 12 главы 1,
Р\ = As I ф(то,е+|), где ф G V. Из наших конструкций непосредственно
следует, что П(ф) = (Р, х), причем П(ф') = Ю(ф), если и только если ф' = фа,
где а е Modg)Ma и Modg)8)*a — группа из теоремы 11.5. □
Теорема 12.2 ([67], [73]). Пространство модулей вещественных
алгебраических суперкривых с разделяющей подложкой распадается
на связные компоненты S(gy 8, ftj), отвечающие произвольным
топологическим типам t = (g, 8, ftj) функций Арфа на разделяющих
вещественных кривых. Каждая из компонент имеет вид
r/Modg,MI,
где V сильно диффеоморфно IR^-3!2^-2) / Ъ2 и Mod^,^ — дискретная
группа.
Доказательство. Положим k0 = k°Q + kxQy k\ = fe° + fej, k = k0 4- k\,
g = -(g -f l - k) и t = (g, 8, ka). По определению, каждому ф = V
отвечает набор V = (Л,, В-х (i = 1, ..., g), Cj (i = 1, ..., k)) С Aut(A5) такой, что
l/# = {(A?, flf (i = 1, ..., g), Cf (/ = 1, ..., fe)} — последовательный
набор типа (g, k). Вместе с
' C+ при / ^ k°Q или k0 < i^ fe0 4- &?,
при feo < * ^ ^o или / > k0 4- fe?.
Iq-
Набор К порождает вещественную суперфуксову группу Г. Соответствие
ф i-> [Г] определяет отображение Q: V —> S(g, 8, ftj). Завершающая часть
доказательства повторяет с очевидными модификациями соответствующую
часть доказательства теоремы 12.1. □

120
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
§ 13. Вещественные алгебраические
N = 2 суперкривые
1. Напомним некоторые определения из § 13 главы 1. Обозначим через
А[а, Ь, с, d, £\г] отображение А: A2S —> A2S вида
ЛЫА fn- (аг + ^-bS"9,+81292
/"вЦ-^ва + ^^ + е12 e%+P42 + z2xz + t
22
се -ft/ + 8*'0, +Б^92 ' cz + d + 8*'0, + 8**02
).
где a, fc, с, d e L0(R), / G GL(2, L0(R)), е'7, 8" € L,(R).
Согласно [45], группа автоморфизмов Aut(A2S) суперобласти A2S
состоит из А[а, Ь, с, d, £\г], где
(-с а\(Ъи 8,2\_/е2' t"\fl" tl2\
\-d b) U2' 822J " U22 e,2J U2' *22J
ad-ftc-eIIeI2-e2Ie22 = /II/22 + /27I2 + 8II822 + 8I282I=A,
где Д# > 0,
tuex + 8n82' = г,2г22 + s,2s22 = о.
Прямой выкладкой нетрудно показать, что автоморфизм А[а, Ь, с, d, £\s]
относится к одному из двух типов:
1) (нескрученные) (il2)# = (i2l)# = 0; (*"*22)# > 0;
2) (скрученные) (/")# = (f2)# = 0; (*,2*2,)# > 0.
Нескрученный (скрученный) автоморфизм однозначно определяется
параметрами а, Ь, с, d, е'7, £и (соответственно а, Ь, с, d, £'7, t12). Эти
параметры могут принимать произвольные значения такие, что а, Ь, с, d, £ij €
е Lo(R), е" € Lx (К), {ad - be)* > 0, (/" + *,2)# ^ 0.
Соответствие А »-» Л#, где
порождает эпиморфизм #: Aut(A2S) —> Aut(A). Элемент множества
Aut2(A2S) = (#)_,(Aut2(A)) называется супергиперболическим.
Подгруппа Г с Aut(A2S) называется N = 2 суперфуксовой, если Г# =
= #(Г)— фуксова группа и #: Г—>Г# — изоморфизм. В этом
параграфе мы будем рассматривать (не оговаривая это специально) лишь N = 2
суперфуксовы группы, состоящие из супергиперболических
автоморфизмов A2S.

§ 13. Вещественные алгебраические yv = 2 суперкривые
121
Сопоставим автоморфизму А = Л[а, Ь, с, d, l\z\ матрицу
где о = о(А) = sign(*n 4- Iх2 4- £21 4- £22)#.
Если Г е Aut(A2S) есть N = 2 суперфуксова группа, то соответствие
У: Г—>SL(2, E) является мономорфизмом и, следовательно, определяет
поднятие У*: Г# —> У (Г).
Пусть Г с Aut(A2S) есть N = 2 суперфуксова группа.
Фактормножество A2S / Г называется римановой N = 2 суперповерхностью или
N = 2 суперримановой поверхностью. Две N = 2 суперповерхности
Р, =A2S/Ti и P2 = A2S/r2 считаются совпадающими, если Г\ и Г2
сопряжены в Aut(A2S). Проекции #: A2S —>А и #: Г—>Г# определяют
проекцию #: Р —> Р# = А / Г#.
Согласно §7 главы 1, поднятие У* задает функцию Арфа
g>J,://,(P#, Z2)->Z2.
Определим функции fif- = Ю,(Г): Г —> Z2 = {О, 1} (/ = 1, 2), положив
О, если ]Г (л")#<0,
П|(^4) = { /./е{1.2}
1 в противном случае,
ЩА) = П1(А) + П2(А)
<
О, если Л12 = Л21 = О,
если Л" = Л22 = 0.
Нетрудно видеть, что fti индуцирует <aj, и £1 — гомоморфизм,
индуцирующий гомоморфизм 0)^: //i(P#, Z2) —> Z2. Обозначим через и>2р функцию
Арфа (о), 4- <о£, порожденную ft2.
Риманову N = 2 суперповерхность Р назовем нескрученной, если
о)р = 0. Ее топологическим типом назовем топологический тип (g, 8, fte)
функции Арфа (о), = o)p. Если ыр ^ 0, то риманову поверхность назовем
скрученной. Ее топологическим типом назовем топологический тип
(g, 8ь §2, *оэ) пары функций Арфа (a)),, o)p), где 8, = 8(Р#, g>,) и Л^—
число дыр Ci поверхности Р* таких, что g>i(C/) = а, g>2(c,) = (3 (§8 главы 1).
2. N = 2 супераналогом группы Aut(A#) является группа АиЦЛ25),
порожденная Aut(A25) и отображением a: (z|0i, б2) »-» (—z|0i, б2).
Продолжим #: Aut(A25) —> Aut(A) до гомоморфизма #: Aut(A2S) —> Aut(A),
считая, что #(а): г »-> -г. Подгруппа Г с Aut(A2S) называется
вещественной N = 2 суперфуксовой группой, если Г = Г П Aut(A2S) — это N = 2

122
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
суперфуксова группа, Г ф Г и А# / Г# — компактная поверхность. В этом
случае пара (A2S/l\ f /Г) называется вещественной алгебраической
N = 2 суперкривой.
Вещественные N = 2 суперкривые (A2S /Г,, Г,^/Г,) и (A2S / Г2, Г2 / Г2)
считаются совпадающими, если существует h £ Aut(A2S) такой, что Г2 =
= ht\h~l. Проекция # переводит вещественную суперкривую (Р, т) =
= (Л / Г, Г / Г) в вещественную кривую (Р#, т#) = (Л# / Г#, Г# / Г#).
Пусть (Р, т) = (A2S / Г, Г / Г) — вещественная N = 2 суперкривая и
С с Г отвечает овалу или инвариантному контуру (не
пересекающему овал) с. Заменяя Г на сопряженную группу, можно считать, что
С(г|01, б2) = (X^IA'Gy, А2бз_/). В этом случае группа Г содержит
элемент Sc вида Sc(z|6,, G2) = (-рг\1% /2ё3_,), где р# > 0,14* = р2, причем
р = 1, если с — овал, и (Sc)2 = С, если с — инвариантный контур. Положим
[l(c) = О, если / = 1, и \i(c) = 1, если / = 2.
Если а>1 = о)2 (где о), = o>J>), то [i(c) одинаково для всех овалов и
инвариантных (не пересекающих овалы) контуров с. Это позволяет определить
инвариант ц(Р, т) = \i(c).
Если o)i^o)2, то ядро гомоморфизма £1: Г—>Z2 образует
подгруппу Г* индекса 2. На поверхности Pf = Л# / rf инволюции из
множества {F = Sc | [i(c) = [l} порождают инволюцию xjf ([ieZ2). Положим
b(P,i)=t(P*,x*).
Отнесем к множеству М(g, e) вещественные алгебраические N = 2
суперкривые (Р, т) такие, что g(P#) = g, е(Р#, т#) = е £ Z2. Структура N = 2
суперкривой задает 2 функции Арфа о), = о)^,: /Л(Р#, Z2) —► Z2. Положим
Х(Р) = 0, если o)i = о)2, и х(Р) = 1, если o)i ^ <»>2. Инвариант х € Z2
разбивает Af(g, е) на подмножества Af(g, е, х) = {(Л "О € Af(g, e) |х(Р) = х}-
Согласно теореме 3.2, число овалов с со свойствами о),(с) = 0 имеет ту
же четность, что g + 1. Для (Р, т) £ M(g, О, 0) обозначим через МЛ т)
число овалов с таких, что o)i(c) = о)2(с) = ot€ Z2. Разобьем множество
M(g, 0, 0) на подмножества
М(g, О, О, Л., 8, у) = {(Р, т) € Af (g, 0, 0) |
МЛ *) = *.. »(*>i) = 8(о)2) = 8, ц(Л т) = у}.
Для (Р, т) G M(g, 0, 1) обозначим через &^(Р, т) число овалов с с Рт
таких, что
о),(с) = а, о)2(с)=р, ^х(с) = и- ^ z2-
Положим
Af(g, 0, 1, /£р, 8„ р,) = {(Р, т) е Af(g, 0, 1) |
*Ь(Л т) = /^, 8(0),) = 8„ р,(Р, т) = р,}.

§ 13. Вещественные алгебраические л/ = 2 суперкривые
123
Согласно [66] и [12], M(g, О, 1, k^, 8,, р,) = 0, если pi = р2 = 1 или если
*oi + *?о + *oi + *!о > 0 и р, + р2 > 0.
Пусть (Р#, т#) — вещественная алгебраическая кривая такая, что
е(Р#, т#) = 1, и со: //i(P#, Z2) —► Z2— функция Арфа такая, что а>(т#а) =
= <о(а) для всех а € //i(P#, Z2). Овалы сь ..., ck разбивают Р# на
компоненты Pf и Pf. Положим
Ч.(Я*,т*) = 8(А?,ы').
где со' — ограничение а> на Pf. В частности, т)ы(Р#, т#) =0, если
существует овал с такой, что Цс) = 1.
Положим
M(g, 1,0, ^т|,^) = {(Р, x)€Af(g, 1,0)|
/£(Р*, т*, *>,) = /£, т|М1 (Р, т) = т), ц(Р, т) = у}.
Пусть теперь (Р, т) е М(g, 1, 1). Обозначим через &^(Р, т)
(соответственно &i£(P, т)) число овалов с,-, подобных Ci относительно a>i
(соответственно, не подобных С\ относительно g>i), таких, что (Oi(c,-) = а, g>2(c,) = (3,
^(с,) = jx. Набор чисел /££ = /££(Р, т) определен с точностью до
перестановки /££ i->/^Т|\ связанной с выбором сх. Положим
Af(g, М, *3f, i)i) = {(^ *) € Af(g, 1,1)| ££(Р, т) = *3J, т^ДР, т) = т),}.
Таким образом, мы получили следующую теорему:
Теорема 13.1 ([82]). 1) Множество M(g, e, 0) вещественных
суперкривых (Р, т) рода g со свойством g>i(P) = <a2(P) распадается на
подмножества M(g, 0, 0, &в, 8, ц), Af(g, 1, 0, /£, т|, ^), где а, у, 8, 7), \± е Z2,
0 < /г0 Ч- /г, <g, l<Zkl<g+l,Y^kl = g+l(mod2),ko = g+l(mod2),
/$ + &i = g + 1 (mod 2) и г\ = 0 при k°{ + k\ > 0. Среди них совпадают
лишь множества M(gy 1, 0, /£, т), ц), и M(gy 1, 0, /^-T, т), ц).
2) Множество M(gy e, 1) вещественных суперкривых (Р, т)
рода g со свойством g>i(P) ^ а)2(Р) распадается на подмножества
М<£, 0, 1,/^, 8„ р,), Af(g, 1, 1, *£,!),), где а, р, у, И.'. 8» Рь Ч' € Za,
= Е^ = Е^ = ё + • (mod 2), Pl + р2<2, р, = р2 = 0 при Ag, +AJ, + *?„ +
4- £|0 > 0, т), = 0 при Ylk]t > ° и т)2 = 0 яры ]£/£? > 0. Среди них
совпадают лишь множества M(gy 1,1, /££, т),-) w Af(g, 1,1, £jjj"T,l\ 7),).

124
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
§ 14. Пространство модулей вещественных
алгебраических N = 2 суперкривых
1. Пусть (Я, т) — вещественные алгебраические кривые. Двойной
функцией Арфа на (Я, т) назовем пару (<а, а), где <а: /Л(Я, Z2) —>Z2—
функция Арфа на (Я, т), а а: //,(Я, Z2) —>Z2— гомоморфизм такой, что
ат = а. Двойные функции Арфа (о)ь oti) на (Яь i\) и (<а2, а2) на (Я2, т2)
назовем топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм
(р: Я1 —> Я2 такой, что срт = тер, a>i = G)2cp, ai = a2cp.
Согласно §13, вещественные алгебраические N = 2 суперкривые
порождают двойную функцию Арфа (a>/>, ot/>) = (a)),, a>p) на (Я#, т#).
Теорема 14.1 ([82]). Вещественные алгебраические N = 2
суперкривые Я| и Я2 порождают топологически эквивалентные двойные
функции Арфа, если и только если их топологические типы Рх и Я2
совпадают или отличаются друг от друга одновременной заменой
\кна 1 - [I, k^ на k^ и ££ на k$-*.
Доказательство. Все топологические инварианты, связанные с
суперкривой Я, кроме \х(с) для овалов и инвариантных контуров с,
однозначно определяются парой функций Арфа (a)),, и>2р) и, следовательно,
сохраняются при согласованных с if гомеоморфизмах ср: Pf-+Pf.
Таким образом, из топологической эквивалентности двойных функций Арфа
(to),, о)р.) следуют описанные в теореме ограничения на типы Рх и Я2.
Доказательство обратного утверждения в случае z(Pf, if) = 1
повторяет доказательство теоремы 11.3. Докажем обратное утверждение для
кривых (Pf, if) типа (g, /г, 0). Рассмотрим существующие согласно
теореме 1.1 стандартные базисы
{a;,ft}(/=i,...,2r),c;,d;(/=i,...,s)}€//,(Af,z2),
где
k
(/f)T'#=Uc/- s-k^l,
/•=1
S
где с1' = S c/ и
Tf(di) = -di + c' + ci при5>*.
Согласно теореме 11.2, эти базисы можно выбрать таким образом, чтобы

§ 14. Модули вещественных алгебраических n = 2 суперкривых 125
при всех/^5. Выполнение условий теоремы 14.1 позволяет
перенумеровать с) и d) таким образом, чтобы
при всех / и т = 1, 2. Кроме того, согласно теореме 8.1 главы 1,
выполнение условий теоремы 14.1 позволяет, не меняя cj, dj, перейти к базису
того же вида, где
при всех /. Тогда гомеоморфизм ср: Pf —*Pf, переводящий один базис в
другой, порождает топологическую эквивалентность двойных функций
Арфа. □
2. Напомним описание пространства модулей N = 2 суперримановых
поверхностей (§14 главы 1).
Пусть 2/ — топологический тип римановой N = 2 суперповерхности
рода g с k дырами. Обозначим через М множество всех таких
суперповерхностей. Оно «униформизируется» пространством
7*' = 7*7 Aut(A2S),
где f21 — пространство мономорфизмов ф: y^n —► Aut(A2S) (где п = g + k)
таких, что ф(^,л)# — последовательный набор типа (g, &), Л25/ф(у^п) €
€ М2\ а группа Aut(A2S) действует сопряжениями (§ 14 главы 1). Согласно
§ 14 главы 1, Т2* сильно диффеоморфно
ШШ /%2 = R(W-4*-6(2/)H«+4*-8) / (^^
где b(2t) равно 8 для поверхностей скрученного типа и 7 — в противном
случае. При этом
М2' = (7*) / Mod2/,
где Mod2/—дискретная группа.
3. Перейдем теперь к описанию пространства модулей вещественных
алгебраических N = 2 суперкривых.
Теорема 14.2 ([82]). 1) Пространство модулей M(g, e, 0)
вещественных алгебраических N = 2 суперкривых (Я, т) рода g с
условием о>1 (Я) = <о2(Р) распадается на компоненты связности M(g, 0, 0,
*., 8, [i)t M(g, 1, kl% 7), у), где а, у, 8, т), ц € Z2, 0 < £ = k0 + /г, < g, 1 <
<£*:<£+!> * = ££ = £+1 (mod 2), £0 = g + 1 (mod 2), *8 + *J =
«T ay
= g-h 1 (mod 2) w т| = 0 Azpw &° + &| > 0. Среди них совпадают лишь

126
Глава 2. Модули вещественных алгебраических кривых
компоненты M(gy 1, 0, /£, 7), \i) и M(g, 1, 0, kla~r, 7), \i). Каждая
компонента М(х) имеет вид Т(х) / Mod(x), где Т(у) — сильно диффео-
морфно rh*-3+h*|4*-4) / (%2yz u Mod(x) — дискретная группа.
2) Пространство модулей M(g, е, 1) вещественных
алгебраических N = 2 суперкривых (Р, т) рода g с условием o>i(P) ф <o2(P)
распадается на компоненты связности вида M(g, О, 1, /^, 8,, р,-),
A*(g, 1,1, *£, !),■), где а, р, у, Ц. /, 8„ р„ i), € Z2, 0 < £*£ < g, 1 < £/$ <
<g+l E*3f = «+i (mod2), E*5» = E^ = E*5f = E*S=«+i
«Эти 1*Р Ц<* Т1Ф ТЦа
(mod 2), р, + р2 < 2, р, = р2 = 0 при k°0l + kl0l + /ft, + Л|0 > 0, т), = 0 яри
Е *Тр > 0 и 7)2 = 0 Azpw Ё ^Ii* > 0- Среди них совпадают лишь мно-
жества M(gy 1,1, /££, т),) w M(g, 1,1, k^rMy т),). Каждая компонента
М(х) имеет вид Т(у) / Mod(x), где Mod(x) — дискретная группа, а
Чх) — сильно диффеоморфно R<4*-4+*' И*-4> / (Z2)2 и Ь> равно £ /$ или
«Эт
Доказательство. Пусть Г — вещественная Л/= 2 суперфуксова
группа, (Р, т) = [Г], с — овал или не пересекающий овал инвариантный
контур кривой (Р#, т#) и С с Г = Г П Aut(A2S) — отвечающий ему сдвиг.
Заменяя Г на сопряженную группу, можно считать, что C(z|9i,92) =
= (р2|^Д, 403-/)- Обозначим через Ccf \Г элемент, удовлетворяющий
условиям: 1) ССС~Х = С; 2) С2 = 1, если с — овал; 3) С2 = С, если с —
инвариантный контур. Если \i(c) = О и с — овал, то
C(z|9,,92) = (-z|±9,,±92).
Если [l(c) = О и с — инвариантный контур, то
C(z|9,, 92) = (-y/pz\ ± Vl^]9„ ±у/ЩВ2).
Если [i(c) = 1 и с — овал, то
С(г|6,,е2) = (-2|Л92, /г'9,).
Если [i(c) = 1 и с — инвариантный контур, то
С(г|9„02) = (-^Р2|Л92, y/ph-%).
Дальнейшее доказательство состоит в повторении доказательства
теорем 12.1 и 12.2 с заменой пространств V на Т2* и теорем 11.2, 11.3 на
теорему 14.1. Единственное существенное различие возникает лишь при
сопоставлении сдвигу С, из набора
{^,А1-(/=1,...,в),С/(/=1,...,т)} = ф(^.1Я), ф€7^,

§ 14. Модули вещественных алгебраических n = 2 суперкривых 127
отображения С,. Приведенные выше аргументы показывают, что если
^i(Ci) = О для контура с,-, отвечающего С,, то отображение С, определяется
сдвигом С, с тем же произволом, что и в случае N = 1 (§ 12). При \i(ci) = 1
выбор С, зависит от одного произвольного дополнительного параметра
h e L0(R). Если, однако, с{ — не овал, то условие С\ = С, фиксирует один
из принадлежащих L0(R) параметров, от которых зависит произвольный
С, £ Aut2(A2S). Это и определяет размерность суперлинейных пространств,
униформизирующих компоненты связности пространства модулей
вещественных N = 2 суперкривых. □

Глава 3
Пространства мероморфных функций
на комплексных и вещественных
алгебраических кривых
§ 1. Накрытия с простыми критическими точками
I. Пусть /: Р —>S — я-листное накрытие с ветвлениями сферы S
компактной поверхностью Р рода g, Af с Р — множество его критических
точек (точек ветвления), a Bf = f(Af) — множество критических значений.
Критическое значение s еШ называется простым, если прообраз
/~'(s) состоит из (п - 1) точек, и сложным — в противном случае.
Критическая точка р е Af называется простой (сложной), если ее образ f(p) —
простое (сложное) критическое значение.
Под отрезком будет пониматься подмножество поверхности, гомео-
морфное отрезку, а под контуром — простой замкнутый контур. Под го-
мотопией или деформацией отрезка будет пониматься гомотопия с
закрепленными концами.
Замкнутый контур ас Р назовем исчезающим относительно /, если
f(a) — отрезок, пересекающийся с множеством Bf лишь в концевых точках,
причем один из концов — простое критическое значение.
Подмножество £с Р назовем однолистным, если оно связано и
ограничение /|/ — взаимно однозначное отображение.
Звездой с центром в точке р* с Р - f~l(Bf) назовем набор
однолистных отрезков L = {£\, ..., £г}, каждый из которых £t имеет концами
точки р* и Pi € Ah причем: 1) /(/,) n fl, = /(/?,) (/ = 1, ..., г); 2) /(/,) П /(/,) -
= /(/?*) (1ф'}= 1, ..., г); 3) при g > О все р{ — простые критические точки;
4) при g = О среди точек pt не более одной сложной критической точки.
Лемма 1.1. Пусть s0e Bf и все критические значения в множестве
Bf - So — простые. Тогда на поверхности Р существует исчезающий
контур. Если, кроме того, g>0, то существует исчезающий
контур, не содержащий точек множества /~'(5о)-
Доказательство. Пусть р* с Р — /_| (Bf). Среди всех звезд с
центром в точке р* выберем звезду L = {£\, ..., £г}, не являющуюся частью
никакой другой звезды. При каждом / множество /~'(/(4)) содержит
компоненту связности £t, содержащую точку р* и критическую точку pt e Af.
Кроме точки /?*, компонента £{ содержит еще по крайней мере одну точку р*
множества f~x(f(p*)).

§ 1. Накрытия с простыми критическими точками
129
Предположим, что все точки р* попарно различны. Тогда п - 1 ^ г.
С другой стороны, согласно теореме Римана—Гурвица, число v простых
критических точек на Р — /"'(^о) удовлетворяет соотношению
v = 2(g + n-l)- £ (i>,-l)f
где vp — число ветвлений функции / в точке р. Следовательно,
v ^ 2(g - 1) + 2дг - п + 1 ^ 2g + г.
Таким образом, существует критическая точка рф pt (/ = 1, ..., г) такая,
что набор (pi, ..., рГ1 р) содержит не более одной сложной критической
точки, причем р ф. /~'(5о) при g > 0.
Ввиду р*фр* при гф] множество /~'(/(L)) может быть непрерывно
стянуто по себе самому к подмножеству множества /~'(/(Р*))- Таким
образом, множество Р — /~'(/(L)) связно. Следовательно, существует
однолистный отрезок £ € Р с концами р* и р такой, что
Д*)П (В, U £.)=/(?) U/(?*).
Таким образом, звезда L не максимальна. Это доказывает, что среди
точек /?*, ..., pi есть совпадающие, например, р* = р2- Но тогда
множество f~x{£\ и£2) содержит исчезающий контур а с критическими точками рх
и р2. □
2. Пусть а с Р — исчезающий контур. Пополним множество Р — а
двумя экземплярами контура а. Получится связная или распадающаяся на две
компоненты связности поверхность с двумя граничными контурами ах и а2.
Отождествим те точки контура а,, которые под действием накрытия /
переходят в одну точку (/ = 1, 2). Получается одна или две поверхности без
края. Пусть Р—одна из них. Накрытие / задает накрытие /: Р—> S.
Поверхность Р и отображение / назовем редукцией поверхности Р и
отображения f no контуру а. Контурам а, (/= 1, 2) отвечают на
поверхности Р один или два однолистных (относительно/) отрезка £}а (/= 1, 2),
которые назовем следом, редукции. Отрезок sa = f(£la) = f(a) назовем
отрезком редукции.
Лемма 1.2. Пусть g > 0, s0 e Bf и все критические значения в
множестве Bf — So — простые. Тогда существует исчезающий контур а
такой, что s0 e f(a) и Р — а — связное множество.
Доказательство ведется индукцией по числу листов п. При п = 2
все критические точки накрытия — простые. Прообраз a = f~x(£) любого
отрезка £ € S — s0, соединяющего критические значения и не
содержащего других критических значений, является исчезающим контуром, причем
поверхность Р — а — связна.

130
Глава 3. Пространства мероморфных функций
Пусть утверждение леммы 1.2 доказано при n<dwn = d>2.
Согласно лемме 1.1, существует исчезающий контур асР такой, что s0£f(a).
Предположим, что Р — а — несвязное множество. Тогда существует
редукция /: Р—> S отображения / по контуру а такая, что род g поверхности Р
больше нуля. Применяя предположение индукции, находим исчезающий
относительно отображения / контур b с Р такой, что Р— b — связное
множество. Ввиду sa П Bf = 0, существует гомотопия по множеству S - Bj
отрезка f(b) в отрезок I такой, что £C\sa = 0. Прообраз ]~х{£) содержит
контур fc, гомотопный Ь. Нетрудно видеть, что b — замкнутый контур
поверхности Р, причем Р — b — связное множество. □
3. Отрезок £ с S назовем исчезающим относительно /, если прообраз
f~l(l) содержит исчезающий замкнутый контур at. Для накрытия /, не
имеющего двух сложных критических значений, контур at определен
однозначно и называется контуром, исчезающего отрезка £.
Исчезающий отрезок £ назовем отсекающим, если множество Р — а£
распадается на две компоненты связности, одна из которых Ut, называемая
пленкой отрезка £, однолистна. Редукцию /: Р —>5 по контуру а*, где
РэР-Ui, назовем редукцией по отсекающему отрезку £. След bt
этой редукции назовем следом отрезка £.
Аналогично определим редукцию и ее след по набору попарно
непересекающихся отсекающих отрезков.
Лемма 1.3. Пусть накрытие f имеет не более одного сложного
критического значения, g = 0 и п> 1. Тогда существует
отсекающий отрезок.
Доказательство. Согласно лемме 1.1, на поверхности Р
существует хотя бы один исчезающий контур. Выделим среди всех исчезающих
контуров такой контур а, одна из редукций /: Р—>S по которому имеет
минимальное число листов п. Предположим, что п > 1. Тогда, согласно
лемме 1.1, существует исчезающий относительно / контур Ь. По крайней
мере один из концов отрезка редукции sa не содержится в множестве Bj.
Следовательно, существует монодромия по множеству S — Bj отрезка f(b)
в отрезок £, не имеющий с отрезком sa общих внутренних точек.
Прообраз f~x{£) этого отрезка содержит исчезающий относительно / контур fc,
разбивающий поверхность Р на две части. След редукции £а целиком
лежит в одной из этих частей U. Поэтому b — замкнутый контур на
поверхности Р, отсекающий от нее область U' = P—U. Число листов
ограничения f\Ui =f\w меньше п. Следовательно, одна из редукций
отображения / по исчезающему контуру b имеет меньше чем п листов.
Полученное противоречие доказывает, что п = 1 и sa — отсекающий
отрезок. □

§ 1. Накрытия с простыми критическими точками
131
Лемма 1.4. Пусть g = О, s0e Bf и все критические значения в
множестве Bj — So — простые. Тогда существует отсекающий отрезок
£3s0.
Доказательство ведется индукцией по п. При п = 2 утверждение
леммы 1.4 очевидно. Пусть утверждение доказано при n<dv\n = d^3.
Тогда, согласно лемме 1.3, существует отсекающий отрезок £\. Пусть
s0 ф.£\'. Рассмотрим редукцию f: P-+S отражения / по отрезку £х. Пусть
а — контур отрезка £х и £а с Р—след редукции. Согласно предположению
индукции, существует отрезок £' э s0, отсекающий относительно
отображения /. Ввиду £\ П Bj = 0, существует монодромия по множеству S - Bf
отрезка £' в отрезок £, не пересекающийся с<| и такой, что пленка Ut<zP
отрезка £ относительно отображения / не содержит отрезка £а. Но тогда
отрезок £ — отсекающий относительно отображения /. □
Лемма 1.5. Пусть п > 2, s0 e Bj и все критические значения в
множестве Bf — So — простые. Тогда существует отсекающий отрезок
£3s0.
Доказательство ведется индукцией по g. При g = О утверждение
леммы 1.5 следует из леммы 1.4. Пусть утверждение леммы 1.5 доказано
при g<d и g = d>0. Тогда, согласно лемме 1.2, существует не
содержащий сложных критических значений исчезающий контур ас Р такой,
что Р — а — связное множество. Пусть /: Р—>S — редукция накрытия /
по контуру а. Согласно предположению индукции, на сфере S существует
отсекающий относительно / отрезок
£3s0.
Ввиду п > 2, множество Bj
содержит не менее трех точек. Пусть
U с S — связная область,
содержащая sai £ и s e Bf — £, причем
U C\_Bj c_£ U s. Рассмотрим
отрезки £' и £" с U, расположенные как
на рис. 3.1.1. Отрезки £, £' и £" —
отсекающие относительно накрытия /,
причем пленки {//, (У//, (У/// сР
содержат попарно различные прообразы отрезка sa. Следовательно, хотя бы
одна из пленок этих отрезков не содержит след редукции £}а по контуру а.
Отрезок, отвечающий этой пленке, — отсекающий относительно
накрытия /. □
4. Лемма 1.6. Пусть все критические точки отображения f
простые, Si, ..., smeS - Bf и f~l(sk) = {pkx, ..., pkn) (k= 1, ..., m). Тогда
существует набор исчезающих отрезков £\, ..., £g+n-\ таких, что:
so
i
• s
Г
Рис.
3.1.1
\Sa\ i

132
Глава 3. Пространства мероморфных функций
1) £{г П lj = 0 при 1ф\\ 2) /i, ..., /„_2 — отсекающие отрезки; 3)
контуры а, отрезков £n+i~2 (/= 1, ..., g+1) в совокупности
отделяют от поверхности Р компоненту связности Un_\ с Р -\Jaif не
содержащую пленок (У, = Uti отрезков £{ (i = 1, ..., п - 2); 4) pf с (У/
(/= 1, ..., п - 1; k= 1, ..., m).
Доказательство. Будем доказывать индукцией по п. При п = 2
утверждение леммы очевидно. Пусть утверждение доказано для п < d и
п = d >2L Тогда, согласно лемме 1.5, существует отсекающий отрезок £.
Пусть /: P^+S — редукция отображения / по этому отрезку, а — его
контур и £а сР—след редукции. Согласно предположению индукции,
существуют попарно не пересекающиеся исчезающие относительно / отрезки
£\, ..., tg+n-2, которые обладают теми свойствами, что 1Х% ..., £п_ъ —
отсекающие отрезки и контуры а, с Р отрезков £,+<-з (/ = 1, ..., g + 1) отде-
_ *+1
ляют от поверхности Р компоненту связности Un_2 сР- |J а,, не содер-
i=i
жащую контуров отрезков £j (i = 1, ..., п - 3). Ввиду £C\Bf = 0,
существует гомотопия отрезков £{ в отрезки £\ (i = 1, ..., g + n — 2), которые
удовлетворяют тем же свойствам 1)—3), что и отрезки £i% но £а ф. Utt сР
(/ = 1, ..., п - 2), где lit — образ области (/„_2 при деформации £{ —> £\.
Но тогда набор отрезков
{^ь ..., £g+n-\} = {£, £[,..., ^+„-2}
удовлетворяет условиям 1)—3) леммы 1.6.
Деформации отрезков {£}, в процессе которых они не пересекаются,
сохраняют свойства 1)—3). Используя такие деформации, нетрудно
добиться выполнения условия 4) леммы 1.6. □
Теорема 1.1 ([15]). Пусть /,: Р, —>S (/= 1, 2) — накрытия с
одинаковым числом листов п поверхностями одинакового рода g,
имеющие только простые критические точки. Тогда существуют
гомеоморфизмы срр: Р\ —> Р2 и cps: S —> S такие, что /2срр = cps/i •
Доказательство. Согласно лемме 1.6, существуют наборы
исчезающих отрезков £\, ..., ^+я_, С Р, (/ = 1, 2), удовлетворяющие
требованиям 1)—3) этой леммы. Пусть cps: S—>S — такой гомеоморфизм, что
Ъ{£\)=£] (/=l,...,g + AZ-l).
Ввиду требований 1)—3) леммы 1.6, контуры отрезков £\ разбивают
поверхности Р\ и Р2 на однолистные области U\ (/=1,2; /=1,...,я)
с одинаковой относительно / схемой склейки листов. Равенство ср/ =
—/2~l(Ps/i определяет согласованные на границах этих листов
гомеоморфизмы U) —> U]. Их объединение задает гомеоморфизм срр: Рх —> Р2 такой,
что/2срр = ср5/,. □

§ 2. Накрытия с единственным сложным критическим значением
133
5. Пусть /: Р—>S — я-листное накрытие, £сР — отрезок,
однолистный относительно / и £ = f(£). Рассмотрим компактификации Р и S
поверхностей Р — £ и S — £ замкнутыми контурами ар с Р и as с S. Пусть
срр: Р—>Р и ср.,: S—>S— естественные непрерывные отображения такие,
что
<?р\?-ар--(Р-аР)->(Р-е) и <t,\s-a.'-(S-a,)-+(P-l)
— взаимно однозначные, а
<?р\ар:ар-+£ и (ps|as:as->^
— двулистные накрытия. Тогда существует гомеоморфизм cpa: ap —>as
такой, что f(fp\ap = фяфа- Обозначим через Р поверхность, получающуюся из
множества PUS отождествлением контуров ар и as с помощью
гомеоморфизма cpfl. Накрытия f(fp и cps индуцируют (п + 1)-листное накрытие
/: Р —> S, которое назовем расширением накрытия f no отрезку £.
Теорема 1.2. Для любых g^O и п> 1 существует п-листное
накрытие /: Р—>S поверхностью Р рода g, имеющее лишь простые
критические точки.
Доказательство ведется индукцией по п. При п = 2 — это
хорошо известное гиперэллиптическое накрытие. Пусть утверждение
теоремы доказано для п <d и n = d>2. Рассмотрим (п — 1)-листное
накрытие /': Р' —>S поверхностью рода g, имеющее лишь простые критические
точки. Пусть £с Р' — однолистный относительно /' отрезок такой, что
f'(£) П By = 0. Тогда расширение /: Р —> S накрытия /' по отрезку £
является я-листным накрытием, имеющим лишь простые точки ветвления. □
§ 2. Накрытия с единственным
сложным критическим значением
I. Лемма 2.1. Пусть s0 e В/, множество /"'(^о) состоит из одной
точки ро и все критические значения в множестве Bf — s0 —
простые. Тогда существует набор исчезающих отрезков £{, ..., £g+n-i
такой, что: 1) £(П£-, = 0, если i> п— 1 или j > п — \\ 2) ltn£,- = s0
при i^n — 1, j^ п — 1; 3) 1\, ..., £п-2 — отсекающие отрезки; 4)
совокупность контуров а, отрезков £n+i-2 (i= 1, ••-,£+ 1) отделяет
от поверхности Р сферу с дырами Un_\ С Р - |J ait не содержащую
1=1
контуров отрезков £{ (i = 1, ..., п - 2).
Доказательство ведется индукцией по п. При п = 2
утверждение леммы очевидно. Пусть утверждение доказано при n<dwn = d>2.

134
Глава 3. Пространства мероморфных функций
Тогда, согласно лемме 1.5, существует отсекающий отрезок £,
содержащий точку s0 = f(p0). Пусть /: Р—>S — редукция по этому отрезку, а —
его контур и £а с Р — след редукции. Согласно предположению
индукции, существуют исчезающие относительно / отрезки £\, ..., £g+n-2 такие,
что: 1) £хЛЛ £j = 0, если / > п - 2 или / > п - 2; 2) £( П £L= s0 при / ^ п — 2,
у;^ п — 2; 3) £\, ..., £п-з_— отсекающие относительно / отрезки; 4)
совокупность контуров а, с Р отрезков 4,+,_з (i'■= 1, • • •, g + 1) отделяет от
поверхности Р сферу с дырами
*+■
Un-2CP-\Jah
1=1
не содержащую контуров отрезков £{ (i = 1, ..., п — 2).
Так как один из концов отрезка £ не принадлежит множеству Bh то
существует гомотопия отрезков £t в отрезки £h которые удовлетворяют тем
же свойствам 1)—4), что и отрезки £, но не пересекаются с множеством
£ — s0. Компонента ип__2 переходит при этом в множество Un_2-
Обозначим через Ui: = Ut. с Р (i = 1, ..., п - 3) пленки отрезков lt- относительно
п-2
отображения /. Если £а ф. \] Uiy то £, £х, ..., £g+n-2 — требуемый в лемме
i=i
набор отрезков.
Предположим, что £а с Ut. Гомотопией по множеству S — £t переведем
отрезок £ в отрезок £ такой, что £П £хf = 0 (/ = 1, ..., g + n - 2), а между
отрезками £ и £t нет отрезков вида £{
.'""".- -С^ч (рис. 3.2.1). Отрезок £а еР в процес-
/' у'у-''"" ~~~^ч X \ се гомотопии деформируется в отрезок
/ / / Х? liV -' N N ^a* оставаясь на пленке Ut. Следова-
/ / / \ /у'' \ \ тельно, £ — отсекающий относитель-
• ; ; 1 \>\ - i*' но f отРезок> а la—след редукции по
\^_J *" контуру а отрезка £. Изображенная на
рис. 3.2.1 деформация по множеству
Рис. 3.2.1 S - Bf отрезка £t в отрезок £\
переводит пленку Ut в пленку U' с Р, не содержащую отрезка £а. Следовательно,
£, £(у £i (i Ф t) после перенумерации превращается в нужный набор
отрезков. □
Лемма 2.2. Пусть s0 eS, /~'(so) = {pi, ..., рт}> где т > 1 u kt —
порядок ветвления отображения f в точке pt (/= 1, ..., т), и пусть
все критические значения в множестве Bf — s0 — простые. Тогда
существует набор g + п - 1 исчезающих отрезков £\Л, ..., Л,*-ь 4,ь •••
. . . , ^2,Л2-1» ^3,0» • • • » £з,к3-\у • • • » *т,0> • • • » £m,km-\, ^m+l.O» • • • » £g+m-\,0 maKOU,
что: 1) ehJl П£hh = 0, если /, • /2 = 0; 2) s0 = 4,,/, П lhh, если /, • /2 > 0;

§ 2. Накрытия с единственным сложным критическим значением
135
3) в окрестности точки s0 отрезки £ц расположены как на рис. 3.2.2;
4) при />0 1ц — отсекающий отрезок; 5) контуры а||>У| и а,2>/2
отрезков lixjx и £i2j2 пересекаются, если и только если i\ = i2 и jx • /2 > О,
причем в этом случае а|>л П а|>/2 = pt\ 6) при 3 ^ / ^ т контур а|>0
отрезка 4о отсекает от поверхности Р сферу с дырой Ui такую, что
atj с Ui, если и только если t = i, j > 0;
7) контуры am+i>0, ..., am+g_i>0
отрезков 4h-i,o, • ••, 4н-я-1,о разбивают
поверхность Р на две сферы с дырами,
одна из которых Ux содержит все
контуры вида dij, а другая U2 — все контуры
вида а-ц, где 2 < / < т.
Доказательство ведется индукци-
т
ей по k = Yliki - 1)- При k = 0 утвержде-
ние леммы 2.2 следует из леммы 1.6. Пусть
утверждение леммы 2.2 доказано при k < d Рис 322
и k = d > 0. Тогда, согласно лемме 1.5,
существует отсекающий отрезок £ Э s0. Пусть
а — его контур и pt = anf~l(s0). Рассмотрим редукцию /: Р—>S
отображения / по отрезку £, и пусть £а с Р— след редукции. Применяя
предположение индукции, находим набор исчезающих относительно отображения /
отрезков {1ц}, удовлетворяющий всем_требованиям леммы 2.2. Контуры
отрезков £0J рассекают поверхность Р на сферы с дырами Ut э £ц Э Pi
(j > 0). Ввиду pt с £а и f(£a — pt)_ с S — Bf, существует деформация по
множеству S - Bj набора отрезков £ц в набор отрезков £ц такой, что отрезок £а
принадлежит множеству Uty отсекаемому контуром отрезка £tfiy но не
принадлежащий пленкам отрезков вида 1ц (/' > 0). Эту деформацию можно
выбрать таким образом, чтобы после соответствующей нумерации
отрезков £ и £ц получился набор отрезков, требуемый в лемме 2.2. □
2. Теорема 2.1. 1) Пусть g^ 0, п > 1, s0 e S и £х, ..., £g+n-\ cS —
набор отрезков такой, что: a) £t П £} = 0, если i> п — 1 или j > п — 1;
б) £t П £j = So при i ^ п — 1, / ^ п — 1. Тогда существует
компактная поверхность Р рода g и такое п-листное накрытие /: Р—>S,
что множество /~'(5о) состоит из одной точки p0eAf, все
критические значения в множестве Bf - s0 простые, а отрезки £t
(i = 1, ..., g + п - 1) образуют набор исчезающих
относительно f отрезков, удовлетворяющих требованиям 1)—4) леммы 2.1.
т
2) Пусть g^ 0,n> \,s0eS, т> 1, п = ^&, (где kt > 0) и£хл, ..., Л,*,-ь
£2,\, ..., £g+m-\,o С S — такой набор отрезков, что a) £iuh П 42>/2 = 0,

136
Глава 3. Пространства мероморфных функций
если /i • /2 = 0; б) £iun П 42t/2 = s0, если jx • j2 > 0; с) в окрестности
точки s0 отрезки £ц расположены как на рис, 3.2.2. Тогда существует
компактная поверхность Р рода g и п-листное накрытие f: P-+S
такое, что все критические значения в множестве Bf — S0—
простые, /~'(so) = {Pi, ••••, Рт}> причем порядок ветвления отображения
f в точке pi равен kh а отрезки £ц (i= 1, ..., g + т - 1, /' = 0, ..., kt)
образуют набор исчезающих относительно f отрезков,
удовлетворяющий требованиям 1)—7) леммы 2.2.
Доказательство. 1) Пусть /0: Р0 —>5 — двулистное накрытие
поверхностью Р0 рода g такое, что s0 e Bfo. Тогда требуемое в формулировке
теоремы накрытие /: P-+S получается последовательным расширением
накрытия /о по отрезкам 1и ..., £g+n-i>
2) Пусть /0: Р0 —► 5—двулистное накрытие поверхностью Р0 рода g
такое, что s0 ф. S - Bf. Расширением по отрезкам lSt0, • • •, ^+m-i,o построим
m-листное накрытие fx: Р\ —► S. Пусть /j~'(so) = {Рь • • •, Рт) и 4/ —
содержащая точку Pi компонента связности прообраза /j~'(4v) (* = 1, ..., /я,
/ = 1, ..., k{; — 1). Тогда требуемое в формулировке теоремы накрытие
f: Р -+ S получается последовательным расширением накрытия /i: Рх —► S
по отрезкам £t/ (/ = 1, ..., m, / = 1, ..., k - 1). □
т
Следствие 2.1. Пусть s0cS, g^O, п^\ и n = Y^kh где k{ > 0,
/=1
т > 0. Тогда существует п-листное накрытие /: P-+S сферы S
поверхностью Р рода g такое, что все критические значения в
множестве Bf — So — простые, а множество /~'(5о) распадается на т
точек, в которых отображение f имеет ве-
__~^\ твления порядков k\, ..., km.
""))/] 3. Лемма 2.3. Пусть g = 0, n = 3 и р\, p2cAf,
\ У J причем р2 — простая критическая точка. Тогда
*|\—' существует отсекающий отрезок £, контур at
которого содержит точки рх и р2.
Рис. 3.2.3
Доказательство. Положим s, = /(/?,) (/ =
= 1,2). Если S\ —сложное критическое значение, то
утверждение леммы 2.3 следует из леммы 2.1. Пусть S\ —простое
критическое значение. Тогда, согласно лемме 1.6, существуют непересекающиеся
отсекающие отрезки £х и £2. Если s, e£( (/ = 1, 2), то отрезок £у
изображенный на рис. 3.2.3, также отсекающий. □
Лемма 2.4. Пусть п > 2 и р\, р2 £ Af, причем множество Bf — f(px)
состоит из простых критических значений. Тогда существует
отсекающий отрезок £, контур которого содержит точки рх и р2.

§ 2. Накрытия с единственным сложным критическим значением
137
Доказательство. Будем доказывать индукцией по g + n. При
g + я = 3 утверждение леммы 2.4 следует из леммы 2.3. Пусть
утверждение леммы 2.4 доказано при g + n < d и g + n = d>3, причем не
существует отсекающего отрезка, контур которого содержит точки рх и р2.
Тогда, согласно леммам 2.1 и 2.2, существует исчезающий отрезок £°у
контур которого не содержит точек /?h /?2 и является или отсекающим
отрезком, или отрезком, контур которого не разбивает поверхность Р.
Пусть £°— отсекающий отрезок, /: Р—> S — редукция по этому отрезку,
а0 — его контур и £% сР—след редукции. Согласно предположению
индукции, существует отсекающий относительно / отрезок £ С S, контур а с Р
которого содержит точки р\ и р2. Так как •££ П Bj с f(P\), то существует
деформация по множеству S — Bf отрезка £ в отрезок £, пленка которого не
содержит следа редукции £°а. В этом случае £ — отсекающий относительно
/ отрезок, контур которого содержит точки рх и р2.
Пусть теперь /(/?,) <£. /(а0), а Р - а0— связное множество, /: Р—► S —
редукция по контуру а0 и £\ £2 сР—ее след. Согласно предположению
индукции, существует отсекающий относительно / отрезок £ с S, контур
асР которого содержит точки рх и р2. Для завершения доказательства
достаточно показать, что существует деформация по множеству S — Bf
отрезка £ в отрезок £, пленка которого не содержит следа £х U £2 редукции.
Необходимые рассуждения полностью аналогичны соответствующим
рассуждениями при доказательстве леммы 1.5. □
Лемма 2.5. Пусть все критические точки отображения f —
простые, Bf = {а,, £,, ..., ag+n-\bg+n-X}\ s,, ..., sm eS - Bf и f~l(sk) =
= {p\, ..., pkn} (k = 1, ..., m). Тогда существует набор исчезающих
отрезков £х, ..., £g+n-\, удовлетворяющий всем требованиям
леммы 1.6 и такой, что ait bt — концы отрезка £{ (i = 1, ..., g + п — 1).
Доказательство леммы 2.5 полностью аналогично доказательству
леммы 1.6 с той лишь разницей, что вместо леммы 1.5 используется лемма 2.4.
4. Теорема 2.2. Пусть /,: Р, —>S (/= 1, 2) — накрытия с
одинаковым числом листов п поверхностями одинакового рода g. Пусть
точки Si € S (/=1,2) таковы, что множества Bf. — s, состоят из
простых критических значений накрытий /,. Пусть At = /Г'(5<) и^/,
и ср: Л, —уА2 — взаимно однозначное соответствие такое, что
ф(/Г'(51)) = /^'(^г) и для любой точки р е Ах порядок ветвления
отображения /i в точке р равен порядку ветвления отображения
f2 в точке ср(р). Тогда существуют гомеоморфизмы <?р: Р\-+Р2 и
cps- 5 —► S такие, что ср^л, = ср и cps/i = /гфр-
Доказательство. Будем доказывать индукцией по п. При я = 2
утверждение теоремы 2.2 очевидно. Пусть утверждение доказано при п < d

138
Глава 3. Пространства мероморфных функций
и я = d > 3. Тогда, согласно лемме 2.4, существуют отсекающие
относительно // отрезки £h контуры а, которых содержат точки р\, р'{ е Afi такие,
что /,(/?;) = 5/, <р(р\) =р'2н ср(р',') = P'i- Пусть fi: Pt -* S — редукция по этим
отрезкам, а (1а с Р — след этих редукций. Ввиду р\ е (1а и согласно
предположению индукции, существуют гомеоморфизмы cps- 5 —►S и ср^: Р—>Р
такие, что cps/i = h<Pfr <PpU-p{' = «PpI/-'^)^ = <Pk-/>i' и срМО = С ВвиДУ
однолистности пленок U£iJ отображение ср^ однозначно продолжается до
гомеоморфизма <рР: Р\ —>Р2, удовлетворяющего всем требуемым в
теореме 2.2 свойствам. □
Следствие 2.2. Пусть /: Р—>S — п-листное накрытие
поверхностью Р рода g, s0 e S, множество Bf - s0 состоит из простых
критических значений, а множество f~l(s0) — из точек р0, рх, ..., рт,
где ро е Af. Тогда существуют попарно непересекающиеся
исчезающие относительно f отрезки £Ху ..., £т такие, что при всех i
контур отрезка £t отсекает от поверхности Р гомеоморфную сфере
область Uit причем (У, П /~'(5о) = Pi-
Доказательство. Пусть &0, k\, ..., km — порядки ветвлений
отображения / в точках ро,...,рт и S\,...,sq — отличные от s0
критические значения /. Обозначим через /0: Po-+S двулистное
накрытие с критическими значениями s0j sb ..., s2g+\. Положим p0 = f~\s0).
Пусть ab...,amcS — попарно непересекающиеся отрезки с концами
S2g+2, S2g+3, • • •, s2g+m+i, U c ^o — связная компонента прообраза /o~'(a<)
и /i: Р\—> 5 — расширение накрытия /0: Р0 —► S по отрезкам аь ..., ат.
Пусть Ui С Р\ — пленка отрезка а, и р{ = /~'(so) П {/,-. Обозначим через
rfi.i, • ••> ^ш,ь • ••, dm,km-\ cS отрезки, которые попарно не пересекаются
между собой, не пересекаются с отрезками ах, ...,ат и соединяют
точку So с точками s2(g+m+i), • • •, sq. Положим йц = fx~\di:i) П (У, и обозначим
через /: Р —► S расширение накрытия / по отрезкам йц.
Согласно теореме 2.2, существуют гомеоморфизмы ср/>: Р —► Р и cps • S —►
—>S такие, что (fP(pi)=pi и ^s} = f^P. Отрезки 4 = cps(fli) удовлетворяют
всем требованиям следствия 2.2. □
§ 3. Пространства комплексных
мероморфных функций
I. Если не оговорено противное, Г — компактная риманова
поверхность рода g, S = CUoo — сфера Римана и /: P-+S — я-листное
голоморфное отображение. Пара (Р, /) называется п-листной мероморфной
функцией рода g. Две мероморфные функции (Р,, /,) и (Р2, /г) считаются
совпадающими, если существует биголоморфное отображение ср: Рх —>Р2
такое, что fx = /2ср.

§ 3. Накрытия с единственным сложным критическим значением
139
Обозначим через Н^п множество всех я-листных мероморфных
функций рода g. Другими словами, Н^п — это множество всех мероморфных
функций степени п на неособых неприводимых комплексных
алгебраических кривых рода g.
Пусть Р0 — компактная ориентируемая поверхность рода g и /?£„ —
наделенное компактно-открытой топологией пространство всех дг-лист-
ных накрытий /: P0-+S. Накрытия fx: P0-+S и /2: Р0—>S назовем
эквивалентными, если существует гомеоморфизм ср: Р0-+Р0 такой, что
/, = /2ф. Обозначим через Н^п топологическое факторпространство
пространства Н^п по этому соотношению эквивалентности.
Согласно теореме Керекъярто [39], для любого я-листного накрытия
/: Р0 —>5 существует единственная комплексная структура на P0l
относительно которой /—голоморфное отображение. Это позволяет установить
взаимно однозначное соответствие между множествами Н^п и //£„ и ввести
таким образом на //£„ топлогическую структуру.
2. Лемма 3.1. Пусть U и V — множества, гомеоморфные
замкнутому кругу А = {z е С | \z\ ^ 1}, Oil и 0V — их границы и <?ср: 0V —>
—у 0U — п-листное накрытие. Тогда для любых точек рХу ..., рп_х с
С U - dU (pi ф р, при 1ф\) существует п-листное накрытие ср: V —>
—► U с простыми критическими значениями рх, ..., рп_х такое, что
<f\dv = dy.
Доказательство. Пусть /(со) =а)п + ап-\ььп~х +... + a0 —
полином с попарно различными критическими значениями z, такими, что |z,| < 1
(/ = 1, ..., п — 1). Тогда множество V = f~l(A) гомеоморфно А, множество
0V = /-,(с?А), где ЗА = {z с С | \z\ = 1}, гомеоморфно окружности, а
отображение f\y\ V —> А— дг-листно. Следовательно, существуют
гомеоморфизмы ф^- А —> U и tyv: V —у V такие, что ф^Дг,) = Pi и <?ср = (ф*//фу') \ev-
Положим ср = ф^/фу/. □
3. Лемма 3.2. Пусть (Р, /) — мероморфная функция, //£„ D W э
Э (Л /) — ее произвольная окрестность и Po€Af — сложная точка
ветвления порядка k. Тогда существует мероморфная функция
(P',f')cW такая, что: 1) By П Bf = Bf - f(p0); 2) для любой
точки seBf-f(po) существует взаимно однозначное соответствие
ср: /~'(s) —► (/')"'(5) пгакое, что порядок ветвления функции f в точке
р € /~'(5) равен порядку ветвления функции f в точке ср(р); 3)
множество By — Bf состоит из k — 1 простых критических значений.
Доказательство. Пусть U — окрестность точки р0 такая, что
f(U)nBf = f(po). Применяя лемму 3.1, построим непрерывное я-листное
отображение /': Р—> S, совпадающее с отображением / на множестве
P-U и имеющее на множестве U(k-\) простых критических точек.

140
Глава 3. Пространства мероморфных функций
Отображение удовлетворяет свойствам 1)—3). С другой стороны, согласно
теореме Керекъярто, поверхность Р может быть наделена
комплексной структурой, относительно которой /' — голоморфное отображение.
Выбирая окрестность U достаточно малой, можно добиться того,
чтобы полученная мероморфная функция (Р', /') принадлежала
окрестности W. □
Следствие 3.1. Пространство //£„ совпадает с замыканием
пространства Hgn мероморфных функций, имеющих лишь простые
критические значения.
Лемма 3.3. Пусть (Р, /) е //£„, 5Ь ..., ske Bf — простые
критические значения и 1{г. [О, 1 ] —► S (/ = 1, ..., k) — непрерывные
отображения такие, что: 1) 4(0) = s,; 2) 4([0, 1]) С Р — отрезок; 3) содержащие
точку pi = f~l(si) nAf связные компоненты lt прообраза /_|(€,-[0, 1])
не пересекаются; 4) при / = (0, 1] Щ) eS - Bf. Тогда существует
непрерывное отображение Ф: [0, 1]—► Н^п такое, что мероморфные
функции (Р/, //) = Ф(0 удовлетворяют условиям: 1) (Р0, /0) = (Р, /);
2)В// = (В/-Ц^)и(у4(0).
Доказательство. По условию, существуют попарно
непересекающиеся окрестности (Л(Р) отрезков 1{ такие, что (У, C\Af = pt. Применяя
лемму 3.1 для каждого /€[0, 1], построим такое непрерывное я-листное
отображение ftk: Р —► S, что
''U.^U,, и flA = (fl/-U*')u(U«w).
Согласно теореме Керекъярто, поверхность Р может быть
единственным образом наделена комплексной структурой Р/, относительно которой
// — голоморфное отображение. Непрерывность полученного отображения
/ —> (Р/, //) следует из определения топологии на пространстве //£„. □
4. Обозначим через
пространство всех мероморфных функций (Р, /) е //£„, дивизор полюсов
которых f~l(oo) содержит попарно различные точки рь ..., pk кратности
г,, ..., rk соответственно. Очевидно, что
п
Hcgn{ru...,rn) = 0 при Ylri>n-

§ 3. Накрытия с единственным сложным критическим значением 141
k
Теорема 3.1. При Ylri^n пространство Н^п(ги ..., rk) непусто,
/=i
k
связно и его вещественная размерность равна 4(£+я-1)-2 ][](/•,-1).
/=i
Доказательство. Согласно лемме 3.2, множество H^n(riy ..., rk)
является замыканием пространства
Hln(ru...,rk)cHln(rll...,rk)1
состоящего из мероморфных функций (Р, /) е Н^п таких, что: 1)
множество В/П С состоит из простых критических значений; 2) дивизор /"Ч00)
k
состоит из точек кратности гь ..., rk и п — ^2 г, точек кратности 1.
/=1
Положим
k k
m = /i-J>,-l) и / = 2(£ + /!-1)-£(гу-1).
/=1 /=1
Согласно следствию 2.1, для любого набора точек sb ..., st с С = S — сю
существует непрерывное я-листное накрытие /: Р0—>S поверхностью Р0
t
рода g такое, что: 1) Bf=\Jsiy где 50 = сю; 2) множество /~'(5о) рас-
1=0
падается на т точек р\, ..., рт\ 3) порядок ветвления отображения / в
точке Pi равен г, при i^k и 1 при / > k. Согласно теореме Керекъярто,
существует единственная комплексная структура на Р0» относительно
которой / — голоморфное отображение. Возникающая при этом мероморфная
функция (Р, /) принадлежит множеству Н^п(гх, ..., rk) и, следовательно,
Н^п ф 0. Описанной конструкцией получаются все функции из
множества Н^п(г\, ..., rk). Непрерывные параметры конструкции — это точки
5i,...,5/CC. Таким образом, вещественная размерность пространства
Hgjri, ..., rk) равна
k
2/ = 4(в + л-1)-25>,-1).
/=i
Докажем связность пространства Н^п(ги ..., гл). Пусть
(PufdtHW •'■*) («=•. 2)
и p/t/—точка кратности гу дивизора /^'(оо). Тогда, согласно леммам 2.1
и 2.2, существуют упорядоченные наборы Lt исчезающих относительно /,
отрезков, удовлетворяющих требованиям 1)—4) леммы 2.1 или
требованиям 1)—7) леммы 2.2. Ввиду этих свойств, наборы Lx и L2 таковы, что

142
Глава 3. Пространства мероморфных функций
существует непрерывное семейство гомеоморфизмов dt: S-+S(t e[a, b])
со свойствами: 1) da = 1; 2) db(L\) = L2\ 3) dt(oo) = со при всех / е [а, Ь].
Отрезок [а, Ь] можно разбить на отрезки [a, t\], [t\, t2\ ..., [/*, Ь] такие,
что отрезки вида d[tjttj+i]Si с S, (где 5,еб/-50) попарно не
пересекаются. Применяя к этим отрезкам лемму 3.3, находим непрерывный путь
Ф: [а, Ь\^Н1п{ги ..., rk). Положим (Р„, П) = Ф(Ь).
Множества fb~l(L2) = fb~l(db(L\)) и f2l(L2) разбивают поверхности Р6
и Р2 на однолистные компоненты с одинаковой схемой склейки листов.
(Эта схема полностью определяется требованиям лемм 2.1 и 2.2 к наборам
отрезков L\ и L2.) Таким образом, существует биголоморфное отображение
ср: Рь -> Р2 такое, что fb = /2ср и, следовательно, (Pb, fb) = (Р2, /2). □
Замечание 3.1. Из доказательства теоремы 3.1 следует, что точка
общего положения пространства Н^п(гх, ..., rk) зависит от набора конечных
простых критических значений. Эти значения можно рассматривать как
полный набор координат в окрестности точки общего положения, что
задает на Hgn(r\, ..., rk) структуру комплексного пространства. Комплексная
размерность этого пространства равна
k
2(* + /i-1)-5>7-1).
/=1
Замечание 3.2. Обозначим через //+ (гь ..., rk) с //£„
пространство всех мероморфных функций (Р, /) е Щп таких, что Bf П {z с С | Imz ^
^ 0} с (-/), а прообраз /"'(-О распадается на точки ри ..., р*
кратности гь ..., г*. Модифицируя доказательство теоремы 3.1, нетрудно
доказать, что пространство Н^п(гх, ..., г*) связно. Это утверждение
потребуется в § 5.
5. В топологической теории поля [19] важную роль играет пространство
Не(г\у ..., rk)y состоящее из мероморфных функций с простыми
конечными критическими значениями и дивизоров полюсов вида гхрх + ... + rkpk.
Группа автоморфизмов комплексной плоскости
Aut(C) = {hAB | hAB{z) = Az + В, А e С \ 0, В e C} ^ (C \ 0) x С
действует на Hg(r\, ..., rk) по следующему правилу: сопоставим меро-
морфной функции (Р, /) £ Hg(r\, ..., rk) с конечными критическими
значениями sx, ..., sk и hAB e Aut(C) набор отрезков t{: [0, 1 ] —> S, где
4(/) = (1+/(Л- l))s, + /B.
Согласно лемме 3.3, набор {4} определяет семейство мероморфных
функций (Р/, //) е Hg(rx, ..., гл). Положим
hAB(P,f) = (Puf{).

§ 4. ТОПОЛОГИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
143
Положим
Н8(гх, ..., гк) = Нв(ги ..., rk) / Aut(C).
Из теоремы 3.1 этой главы и теоремы 6.1 главы 1 сразу следует
Теорема 3.2. Пространство Hg(rXy ..., rk) гомеоморфно Т/Mod,
4(g+n-2)-2X>y-l)
где Т — гомеоморфно R /=| , a Mod — дискретная группа.
Для случая лорановских полиномов (рациональных функций рода 0 с
дивизором полюсов, состоящим из двух точек) этот результат был получен
ранее В.И.Арнольдом [3] с помощью глубоких методов теории
особенностей.
§ 4. Топологическое строение
вещественных мероморфных функций
I. Вещественной мероморфной функцией на вещественной
алгебраической кривой (Р, т) называется мероморфная функция /: Р —>S
такая, что f(ip) =f(p) при всех р £ Р. Вещественные мероморфные функции
(Р\у "Сь /i) и (Р2, т2, /г) считаются совпадающими, если существует биго-
ломорфное отображение ср: Р\ —> Р2 такое, что f\ = /2ср и cpxi = т2ср.
Определение вещественной мероморфной функции является
аксиоматизацией свойств вещественной алгебраической функции, т.е.
алгебраической функции / = /(г), задаваемой уравнением
а0(2)Г + М2)Г~'+ ... + an(z) = О,
коэффициенты a,(z) которого — полиномы с вещественными
коэффициентами. Инволюция (/, z) —> (/, z) задает антиголоморфную инволюцию
т: Р—>Р римановой поверхности Р функции /(г), причем f(ip)=f(p).
Нетрудно показать, что так может быть построена любая вещественная
мероморфная функция.
Обозначим через //*„ множество всех вещественных мероморфных
функций (Р, т, /), где Р — поверхность рода g, а / — я-листное
отображение. Для того чтобы ввести топологию на множестве //*„, нам понадобится
Теорема 4.1. Пусть ix\ Рх —> Рх —меняющий ориентацию инво-
лютивный гомоморфизм компактной поверхности Рх, т2: Р2 —> Р2 —
антиголоморфная инволюция компактной римановой поверхности
Ръ /• Р\ -*Рч— непрерывное п-листное накрытие (возможно, с
ветвлением) такое, что fix = т2/. Тогда поверхность Рх может быть
наделена комплексной структурой, относительно которой ix
—антиголоморфная инволюция, a f — голоморфное накрытие.

144
Глава 3. Пространства мероморфных функций
Доказательство. Сопоставим каждой точке s £ Р2 пару (Vs, Ф1),
состоящую из окрестности V5 точки 5 и биголоморфного отображения
ф5: Vs —> А0 = {z е С | \z\ < 1}, такую, что: 1) т2^ПК$ = 0, если т25 ф s\
2) t2Ks = Vs. ф5("С15) = tys(s), если t2s = s, 5 € Ks; 3) множество V5 П В/ или
пусто, или совпадает с точкой s. Для р е Р\ определим Up как содержащую
р компоненту связности прообраза /~'(V/(/>))- Тогда Up— гомеоморфная Л0
окрестность точки р. Согласно теореме Керекъярто [39], группа наложений
Нр накрытия f\Up\ Up-+Vf{p) изоморфна Z*, где k — порядок
ветвления отображения / в точке р, а орбита Нр(р) совпадает с (f\Up)~*(f(p))
при всех ре ир. Следовательно, если ixp = p, то i\Hpix = Нр.
Согласно обобщению теоремы Керекъярто [39], отсюда вытекает, что существует
гомеоморфизм срр: Up —> Л0 такой, что (ррНр(р~1 —группа, порожденная
поворотом z —> z ехр(2ти/&), причем если ixp = р, то ^pz\^~l(z) = z для всех
z £ Л0. Таким образом, отображение ф/^/ср^1: Л0 —> Л0 может быть
представлено в виде 7)*0p, где r\k(z) = zk (ze Л0), а гомеоморфизм 8„: Л0 —► Л0
такой, что Qp(z exp(2m/k)) = Qp(z)exp(2m/k) и Qp(z)=Qp(z). Положим
срр = Qp(fp: Up —> Л0. Тогда /ср~': Л0 —> Vfip) — голоморфное отображение,
причем (рР(т,р)=(рр(р), если i\P = p и р е Up. Набор {(Up, <?Р)\реР}
задает на Р\ комплексную структуру, удовлетворяющую всем требованиям
теоремы 4.1. □
Пусть теперь Р0 — компактная ориентируемая поверхность рода g.
Обозначим через //"я множество пар (т, /), где т: Р0—>Р0 —
инволюция, меняющая ориентацию, а /: Р0—>S — я-листное накрытие, причем
f(xp) =f(p) для всех р £ Р. Введем на множестве /?*„ структуру
топологического пространства, считая, что последовательность (т„, /„) сходится
к паре (т0, /0), если последовательности т„ и /„ сходятся к
отображениям т0 и /о в смысле компактно-открытой топологии соответствующих
пространств отображений. Пары (ti,/i) и (т2, /2) назовем
эквивалентными, если существует гомеоморфизм ср: Р0-+Р0 такой, что f\ =/2cp и
cpxi = т2ср. Обозначим через Н*п топологическое факторпространство
пространства //"я по этому соотношению эквивалентности.
Согласно теореме 4.1, паре (т, /) е Н*п отвечает единственная
комплексная структура на поверхности Р0, относительно которой / —
голоморфное, а т — антиголоморфное отображение. Это позволяет установить
взаимно однозначное соответствие между множествами #£„ и //£„ и ввести
таким образом на //"я структуру топологического пространства.
2. Лемма 4.1. Пусть U и V — множества, гомеоморфные
замкнутому кругу А = {z е С | \z\ ^ 1}, iu • U —> U и \v: V —► V —
меняющие ориентацию инволютивные гомеоморфизмы. Пусть 0U с U,
dVcV — границы кругов и ду: 0V —>dU — п-листное накрытие

§ 4. Топология вещественных мероморфных функций
145
такое, что т^дср = дсрту. Тогда для любых попарно различных точек
{pi, ..., Рп-\} С U\dU таких, что
уП—\ ч П—\
*u[\JPi)=\JPh
существует п-листное накрытие ср: V —> (У с простыми
критическими значениями такое, что y\QV = 9ср и срт^ = т^ср.
Доказательство. Множество {pXl ..., рп-\} состоит из kx
точек, инвариантных относительно т^ и k2 пар точек, переходящих друг в
друга под действием т^. Пусть /(a)) = сУ + ап-Хььп~х -f ... + a0 — полином
с вещественными коэффициентами, все критические значения которого
Z\, ..., z„_i попарно различны, \z\ < 1 и среди них ровно kx вещественных.
Тогда множество \/ = /_,(Л) гомеоморфно Л, а множество с?К = /~'(с?Л)
гомеоморфно окружности. Инволюция комплексного сопряжения
индуцирует меняющие ориентации инволютивные гомеоморфизмы 1у\ V —► V и
тл: А —► А, причем fxy = тл/.
Так как все меняющие ориентацию инволюции круга сопряжены в
группе гомеоморфизмов круга на себя (топологически эквивалентны) [39], то
существует гомеоморфизм ф^у: Л —> U такой, что
tutyu=Ф<лЛ и фЛ Uг')= U л-
\=1 / 1=1
Отображения <?ф = (tyuf)\av и <?ср— я-листные накрытия над 8U, причем
с?фту = т^9ф и ду\у = 1ид<р. Следовательно, ввиду топологической
эквивалентности инволюций Ту и iu существует гомеоморфизм фу,: V —> V такой,
что dty = d<p(tyv\ev) и tyviv = tvtyv- Положим ср = ф^/ф^1. П
Лемма 4.2. Пусть (Р, т, /) € //£„ w p ePx C\Af, U — окрестность
точки f(p) такая, что: 1) замыкание окрестности U гомеоморфно
кругу Л; 2) U = U; 3) U nBf = f(p). Тогда замыкание содержащей
точку р компоненты связности V прообраза f~l(U) гомеоморфно кругу
AutV=V.
Доказательство очевидно.
Лемма 4.3. Пусть (Р, т, /) е Н*п\ рх,р2 — простые критические
точки накрытия f, i(px Up2) =P\ Up2 " U — содержащая точки f(px)
и f(p2) окрестность такая, что: 1) замыкание окрестности U
гомеоморфно А; 2) U = U; 3) U C\Bf = px \Jp2; 4) точки рх и р2
принадлежат одной компоненте связности V прообраза f~l(U). Тогда iV = V,
причем или f\v — двулистное отображение, или f\v — трехлистное
отображение и замыкание множества V гомеоморфно кругу.
Ь Натанзон СМ.

146
Глава 3. Пространства мероморфных функций
Доказательство. Равенство iV = V следует из i(px Up2) =P\ Up2.
Стянув в точку каждую из компонент связности границ множеств U и V,
получаем л-листное накрытие }: V —> 0 компактной поверхностью V
рода g сферы О. Накрытие / имеет не более трех критических значений,
из которых два — простые, а третье s0 — образ границы окрестности U.
Применяя формулу Римана—Гурвица, находим, что
т
g - 1 = -п + i ]Г(/г, -!) + != -й + 1д - 1/п + 1,
1=1
где т — число точек в множестве /_,(50). Таким образом, получаем, что
\^m = 2(2-g-^n\=4-2g-n и n^3-2g. Если п > 2, то g = О,
п = 3 и т = 1. Следовательно, граница множества V связна, и его
замыкание гомеоморфно кругу А. □
Теорема 4.2. Размерность любой связной компоненты
пространства Н*п равна 2(g + n - 1).
Доказательство. Пусть // — связная компонента пространства
//"я и (Р, т, /) е Н. Критические значения функции / образуют множество
5°, ..., s°0, s|, ..., s[, s*, ..., s2k, где s? = s? и s\ = sf. Пусть U\ Э s\ —
такие окрестности, что: 1) U} = (/?, U\ = (/?; 2) il\\ П {/£ = 0, если /, ф /2 или
/, ^/2; 3) U\C\Bf = s\. Используя леммы 4.2, 3.1 и 4.1, построим
непрерывное я-листное накрытие /': Р—>S такое, что: 1) /' и / совпадают на
множестве Р \ /"' (|J (УП; 2) накрытие /' имеет лишь простые критические
^ и '
точки; 3) f'(tp) =f'(p) при всех р е Р. Согласно теореме 4.1, поверхность Р
может быть наделена комплексной структурой Р', относительно которой
/' — голоморфное, а т' — антиголоморфное отображения. Выбирая
окрестности U\ достаточно малыми, можно добиться того, чтобы построенная
вещественная мероморфная функция (Р', т', /') £ //" принадлежала
любой наперед заданной окрестности (Р, т, /) с W с //*„.
Функции общего положения из окрестности W зависят от г,
вещественных и г2 пар комплексно сопряженных точек, где гх + 2г2 = 2(g + п- 1) —
число критических значений я-листного накрытия общего положения
поверхностью рода g. Таким образом, dim Н = 2(g + п — 1). □
Замечание 4.1. Зададим на пространстве Н^п инволюцию 6: //£„—►
—> //£„, положив 0(Р, /) = (Р, tr, /), где tr : S —> S — инволюция
комплексного сопряжения, а Р—риманова поверхность, получающаяся из
поверхности Р заменой каждого голоморфного локального параметра (УсР,
ср: U —> С на комплексно сопряженный ткср: (У —> С. Инволюция б антиго-
ломорфна относительно комплексной структуры на //£„ (замечание 3.1).

§ 4. ТОПОЛОГИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
147
Таким образом, пару (//£„, 9) можно рассматривать как «вещественное
пространство». Вещественные точки этого пространства, то есть
неподвижные точки инволюции 9, образуют пространство Н*п.
3. Напомним, что во введении топологический тип вещественной
мероморфной функции (Р, т, f) е //"я был определен как набор чисел
(g, я, e|/i, ..., h), где (g, fe, e) —топологический тип кривой (Р, т), а /у —
индекс функции / на овале а} с Рт кривой (Р, т), т.е. число обходов
(взятое со знаком, при е = 1) точкой f(p) контура S0 = Ш U оо при однократном
обходе точкой р контура а.
Через //(g, дг, e|/i, ..., ik) обозначается пространство всех
вещественных мероморфных функций топологического типа (g, я, е|/ь ..., ik).
Очевидно, что компонента связности пространства Н*п состоит из
мероморфных функций одинакового топологического типа.
Мероморфную функцию (Р, т, /) е Н*п отнесем к множеству Н#п,
если: 1) накрытие / имеет лишь простые критические точки; 2) на овалах
положительного индекса нет критических точек; 3) на овалах нулевого
индекса ровно две критические точки; 4) образ f(a) любого овала нулевого
индекса — отрезок.
Мероморфную функцию (Р, т, /) £ Н£п отнесем к множеству //*„, если
образы f(a) и f(b) любых двух овалов нулевого индекса а и Ь не
пересекаются: f(a) П f(b) = 0.
Для (Р, т, /) € //* положим <?(Р, т, /) = max (Fx(s) + F2(s)) + F3, где
K' seRUoo
Fi(s) — мощность множества f~l(s) ПРТ; F2(s) = — 2г, где г — число
овалов нулевого индекса, содержащих точки множества f~l(s)\ F3 — число
сложных критических точек накрытия /.
Лемма 4.4. Пусть И — компонента связности пространства Н*п.
Тогда И П Н\А ф 0.
Доказательство. Докажем сначала, что НПН*пф 0. Пусть
(g, я, e|/i, ..., ik)—тип мероморфных функций из множества Н. То-
k
гда для (Р, т, /) £ Н выполняется неравенство (?(Р, т, /) ^ ]Г] |/у|, причем
k /='
(Р, т, /) G // П //#„, если и только если <?(Р, т, /) = £ |/у|. Пусть (Р, т, /)
€ // и <?(Р, т, /) > X) |/у|. Тогда имеет место хотя бы один из следующих
/=1
случаев: 1) накрытие / имеет сложную критическую точку; 2) овал
положительного индекса содержит простую критическую точку; 3) овал нулевого
индекса содержит 3 простые критические точки; 4) существует овал
нулевого индекса а такой, что f(a) = S0. Докажем, что в каждом из этих случаев
существует функция (Р', т', /') е И такая, что <?(Р', т', /') ^ <?(Р, т, f) - 1.
6-

148
Глава 3. Пространства мероморфных функций
В случае 1) мероморфная функция (Р', т', /') строится так же, как
при доказательстве теоремы 4.2. Если накрытие / имеет лишь
простые критические точки, но удовлетворяет одному из условий 2)—4),
то множество /?0 С 50, на котором функция F\(s) + F2(s) достигает
максимума, распадается на конечное число отрезков. Пусть £— один из них.
Рассмотрим его окрестность U, замыкание которой гомеоморфно кругу
A, U=U и UC\B[C£. Концы отрезка £у S\ и s2— простые
критические значения. Пусть Vt (/= 1, 2), содержащая точку Pt = f~l(si) C\Afj —
связная компонента прообраза /~'(^0- Пусть V\ = V2 и f\v^
—двулистное накрытие. Тогда a = f~x(£)PiV\—овал нулевого индекса, не
содержащий отличных от р\ и р2 критических точек. Следовательно,
отрезок £ не может быть связной компонентой множества
максимальных значений функции F\(s) + F2(s). Если накрытие f\V] не двулистно
или V\ ф V2, то, согласно леммам 4.2 и 4.3, замыкание К,
гомеоморфно кругу А. Применяя лемму 4.1 и теорему 4.1, можно построить
деформацию (Р/, т/, //) функции (Р, т, /) в функцию (Р', т', /') такую, что
ftlp^ =f\p\v}> причем или By C\S0 = BfnS0 - (s, Us2) (если Vx = V2),
или f(Vx П (P')T') nf(V2 П (Р'У) ф 0 (если Vx ф V2). В обоих случаях
Q(P\ т', /') ^ <?(Р, т, /) - 2. Таким образом,
k
ming(P,T,/) = ^//, НПН#пф0.
/=i
Пусть (Р, т, f) е И П Hfn, аь ..., ar — овалы нулевого индекса
функции (Р, т, /), s\ U s'; = а, C\Bf _(/ = 1 г) и и\-э s,', Щ э s'l — такие
окрестности, что: 1) U\ = U\, W{ = U\'\ 2) U'i\^Bf = s'n Щ П В, = <>,"; 3)
U\U U" D£i = /(a,); 4) и\пи] = 0 при [ф]. Обозначим через Vt
содержащую критическую точку связную компоненту прообраза f~x{U").
Применяя леммы 4.2 и 4.1 к окрестности Vh построим непрерывное
семейство накрытий /}: Р —> S (0 < t < 1) такое, что
fo = /, Г,\р\у,=Г\р\уп Г,Ш)=Ш. в^пигси1,.
Согласно теореме 4.1, гомеоморфизмы /} порождают непрерывную кривую
Ф,:[0, !]-«*
такую, что
Ф,(0) = (Р, т, /), Ф|(1) = (Р|,ть//).
Овалы аи ..., аг переходят при этом в овалы а) такие, что /Да}) =/(ау),
если /^/ и //(aj) с U]. Применяя это рассуждение последовательно при
/ = 1, ..., г, получим функцию
{Р',т\Г)еНПН*п,

§ 4. ТОПОЛОГИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
149
множество а\,...,а\ овалов нулевого индекса которой удовлетворяет
условию У(а\) с U[ и, следовательно, (Р', т', f) £ НП H*n. D
Лемма 4.5. Пусть (Р, т, f) е Н*, s\ ..., sk е Bf, причем ( (j sm ) П
* \n=l '
n ( U s™) = 0- Пусть cpm: [0, 1 ] —> S (m = 1, ..., k) — непрерывные
отображения такие, что: 1) cpm(0)=5m; 2) срш([0, 1]) — отрезок;
3) содержащие точку рт = f~l(sm) C\Af связные компоненты £т
прообраза /_,((РШ([0» I])) попарно не пересекаются и £т П Рт = 0; 4) яры
/ € (0, 1), cpm(/) eS - Bf. Тогда существует непрерывное
отображение
Ф:[0, 1 ]->//;„ (Ф(/) = (Р„ т„ /,))
такое, что
{Ро, то, /о) = (Р. х, /)
В/.< = В/ - \J(sm U ^ + UWW и<Г(0)-
£слм, кроме того, £т = срт([0, 1]) — отсекающий относительно f
отрезок, то при любом t < 1 cpm([/, l]) —отсекающий относительно ft
отрезок.
Доказательство. Рассмотрим набор окрестностей U™, ...,U™m,
покрывающий в совокупности отрезок £т = срт([0, 1]) такой, что: 1) (/£|-i П
n(RUoo)=0,U% = U%, (i= 1, ..., (rm- l)/2); 2) f/f П f/f ^ 0, если и
только если |/ - /| = 1; 3) U?nBf = sm, U1? П В, = 0 при 1 < / < гт\ 4)
множества U™ П ^т связны; 5) замыкание окрестности U? гомеоморфно
кругу Л; 6) V™] П V™2 = 0 при тх ф т2, где К/" — пересекающаяся с
множеством £т компонента связности прообраза /~'(^Г)> т=\, ...у г. Пусть
'Г ^ [°. 1] —такая точка, что S? = срш(/Г) ^ ^Г n ^5+i-
Применяя лемму 3.1 к множествам V™ и тК,ш, построим непрерывное
семейство накрытий //: Р —> S (0 < / ^ 1) таких, что
Р\ U (^Uxl^f") />\ 0 (VJ"UtVT>
/п=1 /п=1
при ре Р и BftnUT = (fm(t). Согласно теореме 4.1, накрытие// порождает
непрерывную кривую Ф: [0, t\] —> Н*п (Ф(/) = (Р/, т/, //)) такую, что
k t
h =B,- \J(smus*) + U((pm(0 и^чо),

150
Глава 3. Пространства мероморфных функций
причем, если срш([0, 1]) — отсекающий относительно / отрезок, то при всех
t € [0, /j], cpm([/, l]) — отрезок, отсекающий относительно /,.
Так как £т П Рт = 0, то т/, Vf ф V? и, следовательно, т,, К2т П К2т = 0.
Применяя лемму 3.1 к окрестностям V™ и т,, V™, находим непрерывное
семейство гомеоморфизмов /,: Р/, —> S (t\ < / ^ /2) таких, что
А: А:
// I Р„ ~ U ( ^ U Х'. ^ = //, к, - (J ( ^ U Т,, 1^), /,(Т,, Р)=Щ
т=\ т=\
при р е Ри BftnU£ = cpm(/). Применяя теорему 4.1, находим непрерывную
кривую
такую, что
k k
В/, = B,-\J{smu^) + (J(cpm(0 игЧО),
причем, если cpm([/i, 1])—отсекающий отрезок относительно //,, то при
всех / е [t\, t2] cpm([/, lj) —отсекающий отрезок относительно //.
Проводя аналогичные рассуждения для окрестностей (У3, UA и т.д.,
получаем непрерывную кривую Ф: [0, 1] —> //*„, удовлетворяющую всем
требованиям леммы. D
4. Опишем 6 операций, связанных с вещественными мероморфными
функциями.
1) Пусть /: Р—>S — мероморфная функция на компактной римановой
поверхности Р, ас Р — исчезающий относительно / контур и /': F —>S —
редукция по этому контуру. Тогда структура римановой поверхности на Р
определяет структуру римановой поверхности на Р', относительно которой
/' — голоморфное отображение. Пусть (Р, т, f) е Н*п и £ с S —
исчезающий относительно / отрезок такой, что £ = £. Редукцией функции (Р, т, /)
по отрезку £ назовем вещественную мероморфную функцию (Р', т', /'),
где Р7 — редукция поверхности Р по контуру at отрезка £, а т' и /' —
отображения поверхности Р', индуцированные отображениями т и /.
Аналогично определяется редукция функции (Р, т, f) € Н*п по
совокупности L = {£\, ._.., £т} с S попарно непересекающихся исчезающих
отрезков такой, что L = L.
2) Пусть /: Р-+ S — я-листное накрытие и L = {£и ...£k}cP-Af —
набор попарно непересекающихся отрезков. Обозначим через /: P-+S —
(п + &)-листное накрытие, получающееся расширением накрытия / по
отрезкам £,, ..., £k. Если (Р, т, /) — вещественная мероморфная функция, и
L = L, то инволюция т вместе с инволюцией комплексного сопряжения на
S порождает инволюцию т: Р —>Р такую, что /т(р) =}{р) для всех ре Р.

§ 4. Топология вещественных мероморфных функций
151
Согласно теореме 4.1, поверхность Р может быть наделена комплексной
структурой, превращающей (Р, т, /) в вещественную мероморфную
функцию. Назовем эту функцию расширением функции (Р, т, /) по отрезкам
3) Положим
S+ = {z е С | Imz > 0}, S_ = {z е С | Imz < 0}, S± = S± U S0,
R+ = {z€R|z>0}, Е_ = {ze R | г < 0}, Ro = RUoo.
Пусть (Р, т, /) — вещественная мероморфная функция и £\, £2 С Р —
— Л/ — непересекающиеся отрезки такие, что f(£x) = f(t2) С S0 и т£\ = £2.
Рассмотрим компактификацию Р дополнения Р — (1Х и 4) граничными
контурами С\ и с2. Отождествив те точки контуров, которые
переставляются инволюцией т, получим мероморфную функцию (Р7, т', /'), которую
назовем склейкой функции (Р, т, /) по отрезкам tx и £2.
Аналогично определяется склейка функции (Р, т, /) по совокупности
L = {t\,t\ СОср-л,
попарно непересекающихся отрезков таких, что
/(О =/ЮсSo, т/;=/?.
4) Пусть (Р,, /,) и (Р2, /2) — комплексные мероморфные функции и
ф: Pi —»Р2 — обратимое антиголоморфное отображение такое, что /2ср(р) =
= fi(p) при всех р. Пусть cb...,crcPi —попарно пересекающиеся
отрезки такие, что f\(£j)cS0. Рассмотрим компактификацию Р\ допол-
г _
нения Рх — (J Ci контурами с[, ..., с\ и компактификацию Р2 дополнения
г _
Ръ — U ф(с') контурами с^, ..., с2г. Отождествив границы поверхностей Р\
i=i
и Р2 по отображению ср, получим компактную риманову поверхность Р, на
которой отображение ср индуцирует инволюцию Т\: Р —> Р, а накрытия /| и
/2 — накрытие /: P-+S. Будем говорить, что вещественная мероморфная
функция (Р, т, /) получается из функций (Рь /i), (P2, /2) и отображения ср
склейкой по отрезкам сх, cp(ci), ..., сг, ср(сл).
5) Пусть Р+ и Р_ — компактные римановы поверхности, возможно,
совпадающие; ср: Р+—>Р_ — обратимое антиголоморфное отображение,
инволютивное при Р+ = Р_ и /±: P±^>S — мероморфные функции
такие, что /_ср(р) =/+(р) при всех р е Р+, причем если Р+ = Р_, то /+ = /_.
Пусть а± С Р± (это и аналогичные соотношения надо понимать как два
соотношения а+ с Р+ и а_ с Р_) —такие однолистные относительно /±
отрезки, что ср(а+) = а_ и db ..., dk С S — непересекающиеся с f±(a±) и

152
Глава 3. Пространства мероморфных функций
между собой отрезки такие, что dt = dh причем пересечение dt П S0
состоит из одной точки. Положим b± =f±(a±). Пусть Р±— компактификация
дополнения Р± — а± граничными контурами а± и S — компактификация
граничными контурами Ь± дополнения S - (b+Ub_). Продолжим
функции /± до непрерывных функций /±: Р± —► S и отождествим контуры а±
с контурами Ь± по функциям /±|а-±- На полученной связной поверхности
Р0 отображение ср индуцирует антиголоморфную инволюцию т0: Р0^Р0.
Накрытие /± и тождественные накрытия на S индуцируют голоморфное
накрытие /0: Ро —> S. Пусть (Р, т, /) — вещественная мероморфная функция,
получающаяся из вещественной мероморфной функции (Р0, т0, /0)
расширением по отрезкам d,, ..., dk с S. Будем говорить, что функция (Р, т, /)
получается из функций (Р+, /+), (Р_, /_) и отображения ср вклейкой овала
по отрезкам а+, а_, du • • •, dkcS. Вещественный контур S0 С S
переходит при этом в овал индекса k + 1 функции (Р, т, /).
6) Пусть (Р, т, /) — вещественная мероморфная функция такая, что
BfnSo = 0, пусть Р' — связная компонента прообраза /"'(5+) и аь...
... , ат — его граница. Отождествим контур а} с границей S0 области S_
и продолжим отображение f\a, с границы S0 до накрытия /y:S_—>S_
так, чтобы Bf.D(-i). В результате получим накрытие /: P^S такое,
что Bj П S_ э (-/) и f\Pi = /|р/, которое назовем стандартным продол-
функции (Р, т, f) через границу области Р\
Теорема 4.3. Пусть Н — связная компонента пространства
k k
H(g, n, eI«1» • • •, ik)» где П Ц Ф® — причем или г = О, или ]Г |/у| < п - 2.
7Ъгда существует функция (Р, т, /) € Н П //*„ с овалами Рх = {а\, ...
... , ал} w попарно непересекающиеся исчезающие относительно f
отрезки Ьх, ..., fc* с S+ такие, что контуры отрезков bj и Ь}
отсекают от поверхности Р гомеоморфную сфере область Ujf где
Ujnf-i(S0) = aj,j=\,...,k.
Доказательство. Пусть (Р, т, f) е Н П Н*п. Дефектом
компоненты связности Р+ прообраза /~'(S+) назовем степень отображения / на
части границы дР+ — Рт. Дефектом функции (Р, т, /) назовем максимум
дефектов всех компонент связности прообраза /~'(S+), содержащих хотя
бы один овал кривой. Пусть (Р, т, /) — вещественная мероморфная
функция, реализующая максимум дефекта [i на множестве Н П Н*п. Пусть Р+ —
содержащая овал а компонента связности прообраза /~'(S+), степень
отображения / которой равна [i на части <?Р+ - Рт границы.
Докажем, что ^ ^ 2. Действительно, если [i = О, то Р = Р+ UtP+, ot-
куда е = 1 и ]Г] |/у-| = п. Предположим, что [i = 1. Тогда fc = <?Р+ - Рт —
/=1

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций
153
однолистный относительно / замкнутый контур. Пусть Р_ —содержащая
контур Ь компонента связностипрообраза /~'(S_). Если дР- ПРХ ^ 0, то
дефект поверхности тР_ с /~'(S+) равен 1, и дР- — Рх = Ь.
Следовательно, если дР_ ПРх^0 или дР. =Ь,тоР= (Р+ U P_) U т(Р+ U Р_), откуда
k
f~l(S0) — Рт = b U xfc. В частности, е = 1 и ]Г] |/у-| = я — 2, что противоречит
i=i
условию теоремы.
Таким образом, дР- ПРХ = 0 и <?Р_ ^ fc. В частности, ограничение
f\P_ не однолистно и, следовательно, Af П Р_ ^ 0. Соединим точку s0
множества f(Af П Р_) с точкой 5i С S+ отрезком ер: [0, 1] —► £ с (S - Bf) U 50,
пересекающим контур S0 ровно в одной точке. Содержащая точку р0 =
= f~l(s0) ПР_ связная компонента £ прообраза f~x{£) не пересекает
множество Рт. Применяя лемму 4.5, находим непрерывный путь
Ф:[0, 1]->Я^(Ф(/) = (Р/,т/,//))
такой, что
(Ль то, /о) = (Л т, /) и fl// = fl/-(SoUSo) + (<p(/)U^).
В процессе деформации компонента Р+ переходит в компоненту Р\ с
c/j~'(S+), граница которой содержит те же овалы, что и компонента Р+.
Дополнение Ьх = дР\. — Р]1 также состоит из одного контура, но индекс
функции /i на этом контуре равен сумме индексов функции / на двух
компонентах связности множества /_,(S0)nP_, пересеченных отрезком
£. Таким образом, дефект поверхности Р\ больше 1, что
противоречит предположению о максимальности функции (Р, т, /). Следовательно,
Рассмотрим стандартное продолжение /+: Р+ —> S функции (Р, т, /)
через границу области Р+. Тогда согласно леммам 2.1, 2.2 и
следствию 2.2, существует исчезающий относительно /+ отрезок Ь, который
отсекает от поверхности Р+ гомеоморфную сфере область U такую, что
Unf+x(So) = a. Следовательно, контуры исчезающих относительно /
отрезков Ь и Ь отсекают от поверхности Р гомеоморфную сфере область U
такую, что UnP* = а.
Приведенное рассуждение вместе с редукцией по отрезкам Ь и Ь можно
рассматривать как первый и общий шаг индукции по k. □
§ 5. Компоненты связности пространства
вещественных мероморфных функций
I. Пусть (Р, т,/) — вещественная мероморфная функция на
кривой разделяющего типа. По определению это означает, что множество
Р - Рх распадается на две компоненты связности. Пусть Р+ — одна из

154
Глава 3. Пространства мероморфных функций
них. Ориентация контура S0 по возрастанию вещественных чисел задает
ориентацию сферы S. Накрытие / переносит эту ориентацию на область Р+,
что, в свою очередь, ориентирует границу <?Р+ = Рт. Накрытие /
переводит ориентированный таким образом контур а с Рт в ориентированный
контур S0. Напомним, что степенью отображения f на овале а
(относительно области Р+) называется число обходов со знаком точкой f(p)
контура S0 при однократном обходе точкой р контура а в положительном
направлении.
Набор чисел (g, я, 1 |/ь ..., /*), где (g, &, 1)—топологический тип
кривой (Р, т), п — число листов накрытия /, а /ь ..., ik —
неупорядоченный набор степеней функции / на овалах кривой (Р, т) (относительно одной
из компонент связности дополнения Р — Рх) называется топологическим
типом функции (Р, т, /). Топологический тип (g, я, 1 |/ь ..., ik)
определен с точностью до перестановки и одновременной замены знака у всех
индексов /у. Очевидно, что топологический тип — инвариант компоненты
связности пространства Н*п.
Через //(g, я, 1 |/i, ..., ik) обозначается пространство всех
вещественных мероморфных функций топологического типа (g, я, 1 |/ь ..., ik).
Теорема 5.1. Пусть (Р, т, f) e #(g, я, 11/,, ..., ik) и D2h\ < J1 \ч\ =
= я - 2. Пусть Р+ = /~'(•§+) П Р+, где Р+ — связная компонента
дополнения Р — Р\ Тогда Р+ — связная поверхность, а ее род х не
меняется при непрерывных деформациях кривой (Р, т, /).
Доказательство. Будем считать, что степени ц определяются ком-
k
понентой связности Р+. Из соотношения £ |/у| = я — 2 сразу следует, что:
/=1
1) Л;П/"'(5о) С Рт; 2) на всяком овале нулевого индекса лежат ровно
две критические точки, а проекции двух таких овалов не пересекаются;
3) среди овалов ненулевого индекса не более чем один содержит
критические точки, причем это или одна точка порядка ветвления 3, или две точки
порядка ветвления 2.
Предположим, что овалы ненулевого индекса кривой (Р, т, /) не
содержат критических точек. Рассмотрим редукцию (Р0, т0, /о) функции (Р, т, /)
по всем овалам нулевого индекса. Пусть Р°+ — образ Р+ при этой
редукции. Тогда fc+ =fol(S0) Г\Р°+ — простой замкнутый контур. Он содержит
половину следов редукции и отделяет овалы, на которых /0 имеет
положительную относительно Р°+ степень, от овалов, на которых эта степень
отрицательна. Таким образом, контур Ь+ отсекает от поверхности Р°.
связную поверхность Р+ = /q"1 (S+) П Р+ ^ Р+.

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций
155
Ввиду леммы 4.4 для завершения доказательства достаточно показать,
что при произвольной деформации
Ф: [0, 1 ]->//(& /I, l|£i **) (Ф(0 = (Р/, т„ Л), Ф(0) = (Р, т, /))
связность и род поверхности Р+ не меняются. Эти характеристики
могут меняться лишь при изменении множества Аи C\f~l(S0). Таким образом,
надо рассмотреть 3 случая: 1) две симметричные относительно Т/ точки
ветвления порядка 2 переходят в одну точку ветвления порядка 3, лежащую
на овале положительного индекса; 2) симметричные точки ветвления
переходят в точку овала отрицательного индекса; 3) точка ветвления порядка 3
распадается на две простые точки ветвления, лежащие на овале.
В первом случае контур
ft, = (/r'(So)-/?)n (/>,)+
касается одного из овалов положительной степени. При этом связность
множества (Р/)+ сохраняется, на единицу падает число точек множества
Аи П(Р/)+ n//~'(S+) и число компонент связности границы 9(Р/)+.
Используя формулу Римана—Гурвица, нетрудно показать, что сумма
удвоенного рода поверхности (Р/)+ и числа листов накрытия //|(/>/)+ равна
разности чисел точек множества Аи П (Р/)+ n//~l(S+) и числа компонент
связности границы <?(Р/)+. Таким образом, в случае 1) род поверхности
(Р/)+ не меняется. В случаях 2) и 3) не меняется ни связность поверхности
(Р/)+, ни число точек множества Aft П (Pt)+ П /Г1 (5+)» ни число компонент
связности границы d(Pt)+. □
Пусть
k k
|E'/|<Ei'/i=*-2.
Расширенным топологическим типом кривой (Р,т, /) € #(g, я, 1 |/ь...
... ,/Л) назовем набор чисел (g, я, 1|/ь ..., /*1х)> где х — род поверхности
Р+ = /~'(S+) П Р+ (где Р+ —та связная компонента дополнения Р — Я\
относительно которой найдены степени /ь ..., ik).
При определении расширенного топологического типа имеется тот же
произвол, что и при определении топологического типа — выбор
компоненты связности Р+. При замене компоненты все степени меняют знак, а род х
переходит в род ^(g — k-\- l) — х- Таким образом, расширенный
топологический тип (g, лг, 1 |/ь ..., ik\y) определен с точностью до перестановки
чисел ij и замены

156
Глава 3. Пространства мероморфных функций
Согласно теореме 5.1, расширенный топологический тип — инвариант
компоненты связности пространства Н*п.
Обозначим через #(g, я, 1 |/ь ..., ik |x) множество всех вещественных
алгебраических кривых расширенного топологического типа (g, я, 1 |/ь ...
...,«-*1х)-
2. Приведем некоторые примеры вещественных мероморфных функций
на кривых разделяющего типа.
1) Пусть
k
(Р+, /+) € //+,(/■,..., /*), где я = JT h
/=1
(см. замечание 3.2). Заменив комплексную структуру поверхности Р+ на
комплексную сопряженную, а отображение /+ — на отображение /_ =
= тя/+ (где xR(z)=z), получаем комплексную мероморфную функцию
(Р_, /_) и обратимое антиголоморфное отображение ср: Р+ —> Р_ такое,
что /_(f(p) =f+(P) при всех р е Р+. Отождествим границу д(Р+)
поверхности Р+ = Р+ n/~'(S+) с границей <?(Р_) поверхности Р_ = Р_ n/~'(S_)
при помощи отображения (р|в/>+- Получим поверхность Р, на которой
отображение ср индуцирует антиголоморфную инволюцию т: Р —> Р, а
накрытия /+ и /_ — накрытие /: Р —> S. Нетрудно видеть, что получена
вещественная мероморфная функция (Р, т, f) € H(2g + я - 1, я, 11/,, ..., ik)y
k
причем $^/у = я. Положим
F,(P+,/+) = (P,t,/).
2) Пусть
(/". Л е//^(i,/;,..., ;;,), (Р", Г) ея;//п//(1, ;;',..., #,).
где
л' = £/; +1, я" = ^/; +1, *' + k">о.
Пусть сь ..., сг с So — попарно непересекающиеся отрезки. Положим
(Puvufi) = *(/>, Г) и (P2,T2J2) = Fl(P'\n
Рассмотрим овалы индекса 1 а' € Р]1 и а" еР?. Компактифицируем
каждое из дополнений Р\ — а' и Р2 — а" двумя контурами а±, а"± и продолжим
на них накрытия fx и /2. Выберем обозначения так, чтобы малые
окрестности контуров а\ и а" переходили под действием отображений /, и /2
в множества области S+. Ввиду однолистности функций fx и /2 на конту-

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций
157
рах а'±, а"±, существуют гомеоморфизмы ср': а'+ —> а"_ и ср": а'[ —> а'_ такие,
что
/l|a'+=/2<P' И /2|а^ =/1ф/-
Отождествив контуры с помощью этих гомеоморфизмов, получим
поверхность Р(ь на которой инволюции \\ и т2 индуцируют инволюцию т0, а
накрытия /i и /2 — накрытие /0. Нетрудно показать, что (Р0, to, /о)—
вещественная мероморфная функция, причем множество /о~'(5о) — Рх0° распадается
на два однолистные относительно /0 контура ах и а2. Положим
с{ = /о'1(с,-)Па/
и обозначим через F2((P\ /'), (/*", /")» Сь ..., сг) склейку (Р, т, /) функции
(Ль "Со» /о) по отрезкам cj.
Если Л" = 0, то g" = 0 и
(р, т, /) € /W + *' + г -1, л' +1,11/;,..., /;, о11^),
причем k'
Если k\ k" > О, то
k' k"
£/;+]T/;' = AZ'+AZ"-2, (P,T, /)€W(2(g, + g,,) + *4r-l,Az4AZ,/, 1|
/=1 /=1
/;,...,/;„-;;',..., -/;',„о,...,о|«г
3) Пусть go ^ 0, £+ + £_ 4- г > 0, t> 0, /+ > 0 (/ = 1, ..., £+) и /г > О
(/= 1, ..., £_). Пусть а,, ..., а№+ь ftf, ..., b~£+, ft/, ..., ft^_, *ь ..., 4,
C|,...,crcS — попарно непересекающиеся отрезки, причем ft* с S±
(это и аналогичные соотношения нужно понимать как два соотношения
tf С S+, ft/- С S_), су С S0. Пусть
4 iiCS
— попарно непересекающиеся отрезки, которые не пересекаются с
отрезком bf, причем
Щ=й% (/= 1 л±).
а пересечение d* П S0 состоит из одной точки.
Обозначим через /0: Р0—>S — двулистное (гиперэллиптическое)
накрытие, множество точек ветвления которого совпадает с множеством

158
Глава 3. Пространства мероморфных функций
концов отрезков аь • • •, #g0+i- Тогда (Я0, /0) е tf£2. Прообраз f^[\J аЛ
^ 1=1 '
разбивает поверхность Р0 на две однолистные области U\ и U2. Положим
bf = fc,(bf)nUl, с/ = ЛГ,(с,)П(/, и i, = K%)C\Ut.
Заменив комплексную структуру поверхности Р0 на комплексно
сопряженную, а отображение /0 на отображение /i = tr/0, получаем комплексную
мероморфную функцию (Рь f\) e //£2 и обратимое антиголоморфное
отображение ср: Р0 —> Р\ такое, что f\<p(p) =fo(p) при всех р € Р0.
Обозначим через
D(au...,ag0+i\bt,...,bt+,K .<+ ,1-1<...-.<,+ 1*Г—
+ i,i, l -t- «+.'л+_1
...^_|d-,...,d-__j...|^_J,...,rf;_._ jc,,...,^^,,...,^)
вещественную мероморфную функцию, получающуюся из комплексных
мероморфных функций (Р0, т0) и (Рь Ti) и антиголоморфного отображения ср
вклейкой овалов по отрезкам
b?%4(bf)4d%4...4d±b_x (/=1,...,А±),
склейкой по отрезкам ch cp(cy-) и расширением по отрезкам 1} и ср(^).
Множество всех таких функций обозначим
Dteo|A+|i?,...,tf+|A-|ir h-W).
По построению это множество является связным подмножеством
пространства
H(2g+kx+k2+r-\,k++k-+2t+4, 11*?" /J"+, —if —**L-0 0).
r
ТёЪрема 5.2. Набор чисел (g, я, 1 |/ь ..., ik) является
топологическим типом некоторой вещественной мероморфной функции, если
и только если имеет место один из следующих случаев:
1) п= l,g = 0, k = i{ = 1;
2) n = 2,k = g+l,ix=... = ik = 0;
3) л ^ 2, Kg+1, Jfe = g+1 (mod 2),
|£</|=£i''/i="- Ш*°;

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций
159
4) дг^З, 1 < k^g + 1, £ = g+ l (mod 2),
k k
У^ |//| ^ n - 2, ^P /y = я (mod 2).
/=i /=i
Набор чисел (g, n, 1 |/b ..., ik\y) является расширенным
топологическим типом некоторой вещественной мероморфной функции, если
и только если
1 ^k^g + 1, k = g-\- l (mod 2),
k k
/=l /=1
Доказательство. Соотношения 1 ^Hg+ 1 и^е§+ 1 (mod 2)
выполняются для всех кривых разделяющего типа (§ 1 главы 1). При п = 1
/ — тождественная функция. При п = 2 классификация вещественных
мероморфных функций совпадает с классификацией вещественных
гиперэллиптических кривых и хорошо известна (смотри, например, [58]). Пусть
п ^ 3 и пусть (Ро, т0, /о) — мероморфная функция топологического типа
(g, я, 1 |/ь ..., **)• Согласно лемме 4.4, существует функция (Я, т, f) е Н*п
такого же топологического типа. Прообраз /~'(5) точки s e R — Bf
содержит п точек и состоит из: 1) точек, лежащих на овалах положительного
индекса, 2) точек, лежащих на овалах индекса, 3) точек, не лежащих на
k
овалах. Число точек первого вида равно ^2 if. Точки второго вида разби-
/=1
ваются на пары точек, принадлежащих одному овалу. Точки третьего вида
разбиваются на пары точек, переставляемых инволюцией т. Таким
образом,
k k
Yl \li\ ^n и ^Zli = n (mod 2)*
k
Предположим, что Y2\4\ = n- Тогда PT = /_,(S0) и, следовательно,
/=i
k
П''/t^O, a /"'(5+) — связная компонента дополнения Р — Рх. Таким обра-
/=1
зом, ориентация множества Ят, задаваемая поверхностью /_,(S+), такова,
что накрытие Д |/>*: Ят —> S0 сохраняет ориентацию, т.е.
|2>|=1>
/=1 /=1

160
Глава 3. Пространства мероморфных функций
Если (Р, т, /) е H(g, я, 1|/ь ..., /*|х)>Т0Х— род части связной
компоненты дополнения Р - Р\ род которой равен -(g - k + 1). Следовательно,
Приведенные в начале этого пункта конструкции дают примеры
кривых любого топологического типа и расширенного топологического типа,
удовлетворяющего условиям теоремы. □
3. Докажем, что приведенные топологические характеристики
описывают компоненты связности пространства вещественных мероморфных
функций вещественных алгебраических кривых разделяющего типа. Далее
в этом пункте рассматриваются лишь наборы чисел (g, я, 1|/ь ..., ik) и
(gy п, 1 |/ь ..., **1х)> удовлетворяющие условиям теоремы 5.2.
При я = 2 пространство H(g, я, 1 |/ь ..., ik) состоит из вещественных
гиперэллиптических функций с постоянным числом вещественных
критических значений. Связность такого пространства очевидна.
k
Теорема 5.3. Пространство H(g, п, 1|/ь ...,/*) связно при Y1V}\ =n-
/=1
k
Доказательство. Пусть (Р, т, /)€#(g, я, 1|/,,..., /*), где 5Z|//| = /i.
/=i
Тогда /~'(S+)—связная компонента дополнения Р - Рх и (Р, т, /) =
= /7,(Р+,/+),_где (Р+,/+)— продолжение функции (Р, т, /) через границу
области /~'(S+). Таким образом,
H(g, я, 11/,,..., ik) = Fl(H+/2)ig_k+l)jt(iu ..., /*)).
Отсюда ввиду связности пространства
^<1/2)<*-А+1).Я('»'•••»**)
(замечание 3.2) следует связность пространства H(g, я, 1 |/ь ..., ik). D
I к I
Теорема 5.4. Пространство H(g, я, 1 |/ь ..., ik) связно при и2щ =
•/=1 '
*
= J] k/l — п-2. Пространство H(g, я, 1 |/ь ..., ik\y) связно.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
(/,,...,/,) = (/;,...,/;„ -с...,
где /у, /" > 0 и k' ^ /г". Положим
Л7 k"
я; = ^/; + 1, я" = £;;' + 1.
/=1 /=1

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций
161
Пусть Н — связная компонента пространства H(gy я, 1|/ь •••, **1х) или
k
пространства H(g, я, 1|/ь • • •, **)» гДе Yl \h\ = я — 2. Согласно лемме 4.4,
/=1
Н П Н*п ф 0. Пусть (Р, т, /) е И П Н*п и с,, ..., сг — все овалы
нулевого индекса функции (Р, т, /), с,- = f(Cj) и (Р0, т0, /0) — редукция функции
(Р, т, /) по этим овалам. Множество /^'(5+) распадается на две
компоненты связности Р' и Р" (теорема 5.1). Без ограничения общности можно
считать, что овалы с индексами i\, ..., i'k, принадлежат границе области Р'.
Обозначим через
(р\ n g //+ „,(1, i\,.... ;;,). (Я", /") € я+ „„(1, /;' #,)
продолжение функций (Р0, т0, /о) через границы областей F и Р"
соответственно. Тогда по определению
(P,x,f) = F2((P',r),(P",f"),c],...,cr).
Таким образом,
нп//;,„ с F2(Hpn,(l<".. • • •. **), ^.„»(1.1" *'*<<), П,
где I' — множество всех наборов непересекающихся отрезков сь...
( g(£ -*+•). если 53*/ = 5Z !'/!•
[х. если |53*,-|<53l«/|
Согласно замечанию 3.2, это множество связно.
В случае
k k
|£<-/|=£|'/|
отсюда следует, что всякая связная компонента пространства H(g, п, 11
/ь ..., ik) содержит одно и то же связное множество
F2(H(\/2)(g-k+\),n'( '» *"!' ' ' ' ' '*'). ^ап"0> '"> • • • » **")» П-
Следовательно, множество //(g, я, 1 |/ь ..., /л) связно.
и g" =

162
Глава 3. Пространства мероморфных функций
В случае
|Е'/|<1>1
всякая связная компонента пространства H(g, я, 1 |/ь ..., ik\x) содержит
одно и то же связное множество
F2(//x+„,(i, /;,..., i¥), я+/2)(г_А+1)_хл//(1, /;',..., i»,), n
и, следовательно, пространство H(g, я, 1 |/ь ..., ik\x) также связно. П
k
Теорема 5.5. Пространство H(g, я, 1 |/ь ..., ik) связно при ^ |//| ^
/=1
^я-4.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
где if > 0. Пусть Н — связная компонента пространства H(g, я, 1|/ь ...
... , ik) и (Р, т, /) е Н П Н*п (лемма 4.4). Пусть с?, ..., с°г — все овалы
нулевого индекса функции (Я, т, /), с} — /(с°) и (Р0, т0, /о) — редукция
функции (Я, т, /) по этим овалам.
Согласно теореме 4.3, существует непрерывный путь
Ф:[0, 1]-//(£,я, 1|^...,/++, -«Г.--. ~h_) (Ф(/) = (Р„т„/,))
такой, что (Рь ть /i) e Hg-r,n- Причем существуют исчезающие
относительно /i отрезки bf, ..., bf± cS± такие, что контуры отрезков bf и bf
отсекают от поверхности Рх область Uf, гомеоморфную сфере, а
(/fn/r'(5o) = a/±,
где af — овал индекса if. (Здесь и далее эти соотношения надо
понимать как пары соотношений: одно для знака «+», другое для знака «-»,
г
/'= 1, ..., k±.) Ввиду S0 Ф U Cj путь Ф можно выбирать таким образом,
/=1
чтобы Bft n с, = 0 при всех t. В этом случае, согласно лемме 4.5, путь 0
индуцирует непрерывный путь
*:[0, 1]->"(£,", Ф.,...,/*)
с началом (Р, т, /) и концом (Р, т, ~f) e H П //*„.

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций
163
Рассмотрим множество f\(Af] П Uf) и соединим его точки попарно
непересекающимися отрезками
такими, что dfm = dfm. Обозначим через
2(g-*+l).2V"-E'/j
не совпадающие с Uf редукции функции (Рь ть /i) по всем отрезкам вида
bf, bf. Пусть Cj и bf — принадлежащие поверхности Р' следы редукции
по отрезкам cf и bf. Согласно лемме 1.6, существует набор исчезающих
относительно /' отрезков аь ..., ag0+\ (g0 = -~(g — k + 1)) и отсекающих
относительно /' отрезков 1Х, ..., lt (t = - (п - Y2 |*/1)) таких, что
прообраз
/£о+1
(Г)
П"'(У«.)
отделяет от поверхности Р' область, не содержащую отрезков вида с} и bf
и пленок отрезков lh а пленки отрезков 1{ также не содержат отрезков
вида lj и bf. Но тогда
(РЛЪ = 0(а ,аЛ+1|*+...Л+Х1 <.+_,|...|<.,
dt& \b;,...,b~k_\dlv...,d- t\...\d^ ,^-_л _,|с, с,|/„...,/,).
Следовательно,
HnD(g0\k+\it,...,it+\k-\h h_\r\t)¥=e>-
Таким образом, всякая компонента связности множества H(g,n, 1 |/i,...,/*)
пересекает одно и то же связное множество. Следовательно, множество
#(g, л, 11/,,...,/*) связно. □
4. Перейдем теперь к рассмотрению вещественных мероморфных
функций (Р, т, /) на вещественных алгебраических кривых неразделя-
ющего типа. По определению это означает, что множество Р — Рх —
связно. Топологическим типом кривой (Р, т, /) называется набор чисел
(g, л, 0|/ь ..., ik), где (g, k, 0) —топологический тип кривой (Р, т), п —
число листов накрытия /, а /ь ..., ik ^ 0 — индексы функции / на овалах

164
Глава 3. Пространства мероморфных функций
а, С Р\ т.е. число обходов контура S0 точкой f(p) при однократном обходе
точкой р контура а. Топологический тип (g, n, 0|/ь ..., ik) определен с
точностью до перестановки индексов /ь ..., ik.
Приведем примеры вещественных мероморфных функций на
вещественных алгебраических кривых неразделяющего типа.
Пусть
go^O, Л>0, i7>0(/=l, ...,£), г^О, />0.
Пусть также
CL\y . . . , CLg0+\, Ь\, .. . , Dk, C\, . . . , Crj £\у .. ., t/ С S
— попарно непересекающиеся отрезки, причем при всех j, bh£jCS+,
Cj с S0, а среди отрезков а, не более чем один имеет общие точки с
£0+' £0+'
контуром S0, U Я/= U а,. Пусть d/b ..., d/,,,-1 cS — попарно непере-
1=1 i=i
секающиеся отрезки, которые не пересекаются с отрезком Ь, и dhm = dhm.
Обозначим через /0: Pq-+S двулистное (гиперэллиптическое)
накрытие, множество точек ветвления которого совпадает с множеством концов
-I /*0+l \
отрезков а\у ..., ag0+\. Прообраз /0 ( |J аЛ разбивает поверхность Р0 на
^i=i '
две однолистные относительно /0 области U\ и (У2- Положим
6/ = /o"I(ft/)nt/„ cj = fcl(ci)nUl и ^/о-'^П^,.
Инволюция комплексного сопряжения индуцирует инволюции на областях
U\ и (У2 и тем самым задает инволюцию т0: Л —► Ль такую, что (Р0, *с<ь /о) €
€//(£, 2, 0|0).
Обозначим через
вещественную мероморфную функцию, получающуюся из функции
(Ль "Со, /о) вклейкой овалов по отрезкам Ьп т06/, d/ti, ..., dhi._\ (j =
= 1, ..., &), склейкой по отрезкам ch т0С/ (/= 1, ..., г) и расширением
по отрезкам £h t0£j (j = 1, ..., t). Множество всех таких функций
обозначим D0(g0\k\ii, ..., /л|г|/). По построению это множество является
связным подмножеством пространства
H(go + k + r, k + г + 2£ + 2, 0|/,, ..., /*, 0, ..., 0).
г
Теорема 5.6. Набор чисел (g, я, 0|/ь ..., ik) является
топологическим типом некоторой вещественной мероморфной функции, если
k k
и только если O^k^g, ^ ц ^ п - 2, ^ i\ = n (mod 2).
/=i /=1

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций
165
Доказательство. Необходимость условий доказывается так же,
как и в случае функций на кривых разделяющего типа (теорема 5.2).
Кривые вида D0(d\, ..., £t) дают примеры кривых любого топологического
типа, удовлетворяющих условиям теоремы. □
Теорема 5.7. Пространство H(gy я, 0|/ь ..., ik) связно.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
ij > О при / 0+ и ij = О при / > &+. Пусть Н — связная компонента
пространства H(g, л, 0|/ь ..., ik) и (Р, т, f) е НГ\Н*п (лемма 4.4). Пусть
с°, ..., c°k_k+ —все овалы нулевого индекса функции (Р, т, /), cj = f(c(-)y
(Ль "Со» /о)— редукции (Р, т, /) по этим овалам и сп т0С/ — следы редукции.
Согласно теореме 4.3, существует непрерывный путь
Ф: [0, 1]-> //(g, az, 01/,,..., ik) (Ф(/) = (Р„ т„ /,))
такой, что (Рь ть /i) e H Г\Н*_гп и существуют попарно
непересекающиеся исчезающие относительно f\ отрезки Ь\, ..., bk+ С S+ со следующими
свойствами: контуры отрезков Ь} и Ь} отсекают от поверхности Рх гомео-
морфную сфере область Uh причем Uj n/j"'(S0) — овал индекса /,.
k-k+
Ввиду S0 ф U Cj путь Ф можно выбрать таким образом, чтобы Bft П с, =
/=i
= 0 при всех t. Согласно лемме 4.5, такой путь индуцирует непрерывный
путь Ф: [О, 1 ] —> H(g, &, О1 i{, ..., ik) с началом (Р, т, /) и концом (Р, т, /) €
Рассмотрим множество f\(Af] C\U\) и соединим его точки попарно
непрерывными отрезками dp, ..., rf/,/—i такими, что dhm = dhm.
Пусть (Р7, т', /') G H[g - k, п - Y^ */» 0| ) — не совпадающая с Uj pe-
/=1 {
дукция функции (Рь т,, /,) по отрезкам bh b, и bh i'b} — следы этой
редукции. Согласно лемме 2.5, существует попарно непересекающиеся,
отсекающие относительно /' отрезки
4,...,CcS (m = ^(„-£;,--2))
такие, что множество V концов этих отрезков удовлетворяет
условиям V ПУ = 0, а пленки отрезков не содержат следов редукции ch т0С/,
bj,-z'bj. Согласно лемме 4.5, существует непрерывный путь Ф: [0, 1]—►
-► H(g - £, 2/ + 2, 0|) с началом (Р', т', /') и концом (Р", т", /"), в
процессе которого отрезки £\, ..., £' переходят в отсекающие относительно /"

166
Глава 3. Пространства мероморфных функций
k-k+
отрезки <ь...,<шс S+. Ввиду S ф \] с-, этот путь можно выбрать таким
/=1
образом, чтобы при всех t, Bft П с} — Bft П BfLn b, = 0. Такой путь,
согласно лемме 4.5, индуцирует непрерывный путь Ф0: [0,1 ] —> H(g, я, 01 i\, ..., ik)
с началом (Р, т, ]) и концом (Рь ть /i).
Пусть (Р2, т2, /2) £ //(g - /г, 2, 0|) — редукция функции (Р", т", Г)
по отрезкам £h lh j= 1, ..., т. Согласно лемме 2.5, существует набор
ai, ..., аг-л+1 исчезающих относительно /2 попарно непересекающихся
отрезков, среди которых не более одного пересекает контур
g-k+\ g-k+\
So, (J CLi= (J a,,
i=i i=i
причем контуры отрезков а, разбивают поверхность Р2 на все
однолистные относительно /2 области Ux и (У2, одна из которых U\
содержит следы редукции по всем отрезкам вида Ьп с,, £h bh l-r Но
тогда (Р,, т,, /,) = D0(a,, ..., ag-k+x\bx, ..., bk+\dXA, ..., dIt/l_,|... |dfe+tI, ...
... , d*+t/fc+_,!<:,, ..., с*_*+|Л, ..., С) и, следовательно,
Н П D0(g - k\k+\ix ,...Jk+\k- k+\m) ф 0.
Таким образом, всякая компонента связности пространства H(g, я, 0|
/ь ..., ik) пересекает одно и то же связное множество D0(g — k\k+\i\, ...
... , ik+ \k — k+\m). Следовательно, пространство H(g, я, 0|/ь ..., ik)
связно. П
5. Кроме инволюции комплексного сопряжения tr(s) = s, на сфере Ри-
мана S = С U оо, существует еще одна топологически отличная от нее
антиголоморфная инволюция t*(s) = — s~x. По аналогии с вещественными
мероморфными функциями, определим псевдовещественную мероморфную
функцию на вещественной алгебраической кривой как тройку (Р, т, /), где
(Р, т) — вещественная алгебраическая кривая, а /: Р —> S — мероморфная
функция такая, что /т = т*/.
Как и инволюция комплексного сопряжения tr (замечание 4.1),
инволюция т* индуцирует антиголоморфную инволюцию пространства //£„.
Неподвижные точки этой инволюции совпадают с псевдовещественными
мероморфными функциями.
Псевдовещественные мероморфные функции исследуются по той же
схеме, что вещественные функции. Таким путем доказываются
Теорема 5.8. Пусть (Р, т, /) — псевдовещественная мероморфная
функция. Тогда (Р, т) — вещественная алгебраическая кривая mono-

§ 5. Пространства вещественных мероморфных функций 167
логического типа (g, О, 0), причем число листов (степень) п
функции f сравнимо с g + 1 (mod 2).
Теорема 5.9. Множество H(g, n) псевдовещественных
мероморфных функций рода g степени п непусто и связно при любых n = g-{-\
(mod 2).

Литература
[1] Ailing N. L., Green leaf N. Foundations of the theory of Klein
surfaces. Berlin—Heidelberg—N.Y.: Springer-Verlag, 1971. Lecture
Notes in Mathematics. V. 219.
[2] Arf С Untersuchungen iiber quadratische formen in Korpern der
Charakteristik 2. I // J. Reine Angew. Math. 1941. V. 183. P. 148—
167.
[3] Арнольд В. И. Топологическая классификация комплексных
тригонометрических многочленов и комбинаторика графов с
одинаковым числом вершин и ребер // Функц. анализ и его прил. 1996.
Т.ЗО. № 1. С. 1 — 17.
[4] Atiyah M. F. Riemann surfaces and spin structures // Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. (4). 1971. V.4. P.47—62.
[5] Baker H. F. Abel's theorem and the allied theory including the theory
of theta functions. Cambridge, 1897.
[6] Баранов А. M., Шварц А. С. О многопетлевом вкладе в
теорию струны // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т. 42. № 8. С. 340—342.
[7] Baranov A. M., Manin Yu. I, Frolov I. V., Schwarz A. S.
A superanalog of the Selberg trace formula and multiloop contributions
for fermionic strings // Comm. Math. Phys. 1987. V. 111. P. 373—392.
[8] Bers L. Quasiconformal mapping and Teichmuller's theorem //
Analytic Functions. Princeton Univ. Press, 1960. P. 89—119. Princeton
Math. Ser. V.24.
[9] Б о б е н к о А. И. Униформизация и конечнозонное интегрирование.
ЛОМИ, 1986. Препр. Р10—86.
[10] Бобенко А. И. Униформизация Шоттки и конечнозонное
интегрирование//Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 2. С. 268—272.
[11] Burnside W. On a class of automorphic functions // Proc. London
Math. Soc. 1892. V.23. P. 49—88.
[12] Bujalance E., Costa A. F, Natanzon S., Singer-
man D. Involutions of compact Klein surfaces // Mathematische
Zeitschrift. 1992. V.211. № 3. P. 461—478.

Литература
169
[13] Carey A. L., Hannabuss К. С. Infinite dimensional groups and
Riemann surface field theories // Comm. Math. Phys. 1996. V. 176.
№2. P.321—351.
[14] Чередник И. В. Об условиях вещественности в «конечнозонном
интегрировании» // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252. № 5. С. 1104—
1108.
[15] Clebsh A. Zur Theorie der Riemann Flacher // Math. Ann. 1873.
V.6. P. 1 — 15.
[16] Comessatti A. Sulle variata abeliane reali//Ann. Math. Рига Appl.
(4). 1925. V.2. P. 67—102; 1926. V.3. P. 27—71.
[17] Dehn M. Uber Abbildungen//Math. Tidsskr. B. 1939. S.25—48.
[18] Дубровин Б. А. Теория операторов и вещественная
алгебраическая геометрия // Глобальный анализ и матем. физика.
Воронеж. 1987. С. 42—59. — Transl.: Theory of operators and real
algebraic geometry // Global analysis—studies and applications, III.
Berlin: Springer-Verlag, 1988. P. 42—59. Lecture Notes in
Mathematics. V. 1334.
[19] Dubrovin B. Geometry of 2D topological field theories // Integrable
Systems and Quantum Groups. Berlin: Springer-Verlag, 1996. P. 120—
348. Lecture Notes in Mathematics. V. 1620.
[20] Dubrovin B. Painleve transcendents in two-dimensional topological
field theory. Preprint SISSA. 1998. 24/98/FM.
[21] Дубровин Б. А., Натанзон С. М. Вещественные двухзонные
решения уравнения Sine—Gordon // Функц. анализ и его прил. 1982.
Т. 16. № 1. С. 27—43.
[22] Дубровин Б. А., Натанзон С. М. Вещественные
тэта-функциональные решения уравнений Кадомцева—Петвиашвили. // Изв.
АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52. № 2. С. 267—286.
[23] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.
Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986.
[24] Е а г1 е С. J. On the moduli of closed Riemann surfaces with
symmetries. // Advances in the theory of riemann surfaces. Princeton Univ.
Press, 1971. P. 119—130. Ann. of Math. Stud. № 66.
[25] Falqui G., Rein a C. N = 2 super Riemann surfaces and algebraic
geometry // J. Math. Phys. 1990. V.31. № 4. P. 948—952.

170
Литература
[26] Fay J. Theta-functions on Riemann surfaces. Berlin: Springer-Verlag,
1973. Lecture Notes in Mathematics. V.352.
[27] Fried an D. Notes on string theory and two dimensional conformal
field theory. Proc. Workshop on unified string theories (Santa Barbara,
Calif., 1985). Singapore: World Sci. Publishing, 1986.
[28] Frike F, Klein F. Vorlesungen uber die Theorie der automor-
phen Funktionen. — B. 1, 2. Leipzig: Teubner, 1897, 1912. — New York:
Johnson Reprint Corp., and Stuttgart: Teubner Verlagsgesellschaft,
1965.
[29] Grepner D. Space-time supersymmetry in compactified string
theory and superconformal models // Nuclear Phys. 1988. V.296. P. 757—
779.
[30] Gross B. H., Harris J. Real algebraic curves//Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. (4). 1981. V. 14. № 2. P. 157—182.
[31] Harnack A. Uber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Kur-
ven // Math. Ann. 1876. V. 10. P. 189—199.
[32] Hurwitz A. Uber Riemannsche Flachen mit gegebenen Verzwei-
gungspunkten // Math. Ann. 1891. V.39. P. 1—61.
[33] Hurwitz A. Uber die Fourierschen Konstanten integrierbarer
Funktionen // Math. Ann. 1903. V.57. P. 425—446.
[34] Jaffe A., Klimek S., Lesniewski L. Representations of the
Heisenberg algebra on a Riemann surface I I Comm. Math. Phys. 1990.
V. 126. №2. P. 421—433.
[35] Johnson D. Spin structures and quadratic forms on surfaces //
J. London Math. Soc. (2). 1980. V.22. No 2. P.365—373.
[36] Keen L. Intrinsic moduli on Riemann surfaces // Ann. of Math. (2).
1966. V.84. № 3. P. 404—420.
[37] Keen L. Canonical polygons for finitely generated Fuchsian groups //
Acta Math. V. 115. 1965. P. 1 — 16.
[38] Keen L. On Fricke moduli//Advances in the Theory of Riemann
Surfaces. Princeton Univ. Press, 1971. P.205—224. Ann. of Math. Studies.
No. 66. — A correction to «On Fricke moduli» // Proc. Amer. Math.
Soc. 1973. V.40. P. 60—62.
[39] Kerekjarto B. Vorlesungen uber Topologie. I. Flachentopologie.
Berlin: Springer-Verlag, 1923.

Литература
171
[40] Klein F. Riemann Flachen. Gottingen: Vorlesung. 1892. B. 1, 2;
Neuedruck, 1906.
[41] Kontsevich M., Man in Yu. Gromov—Witten classes, quantum
cohomology and enumerative geometry // Comm. Math. Phys. 1994.
V. 164. №3. P. 525—562.
[42] Kravetz S. On the geometry of Teichmuller spaces and the structure
of their modular groups // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. 1959. V.278.
P. 1—35.
[43] Krichever I. M., Novikov S. P. Virasoro—Gelfand—Fuks type
algebras, Riemann surfaces, operator's theory of closed strings //
J. Geom. Phys. 1988. V.5. № 4. P. 631—661.
[44] Macbeath A. M. The classification of non-Euclidean plane
crystallography groups // Canad. J. Math. 1967. V. 19. № 6. P. 1192—
1205.
[45] M а н и н Ю. И. Супералгебраические кривые и квантовые струны
// Труды МИ АН. 1990. Т. 183. С. 126—138.
[46]Manin Yu., Merkulov S. Semisimple Frobenius (super)
manifolds and quantum cohomology of Pr // Topol. Methods Nonlinear Anal.
1997. V.9. № 1. P. 107—161.
[47] Медных А. Д. Определение числа неэквивалентных накрытий
над компактной римановой поверхностью //Докл. АН СССР. 1978.
Т. 239. №2. С. 269—271.
[48] Monastyrsky M. I., Natanzon S. M. The moduli space of
superconformal instantons in sigma models // Modern Phys. Lett. A.
1991. V.6. № 19. P. 1787—1796; 1991. V.6. № 31. P.2919.
[49] Monastyrsky M. I., Natanzon S. M. The moduli space of
instantons in N = 2 supersymmetrical a-models // Classical Quantum
Gravity. 1995. V. 12. № 9. P. 2149—2156; 1996. V. 13. P. 1277.
[50] Monastyrsky M. I., Natanzon S. M. The moduli space of
instantons in N = 2 supersymmetrial a-models // Topics in statistical and
theoretical physics. Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1996. P. 195—
202. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. V. 177.
[51] Mum ford D. Theta characteristics of an algebraic curve//Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. (4). 1971. V.4. P. 181 — 192.

172
Литература
[52] Натанзон С. М. Инвариантные прямые фуксовых групп //
Успехи матем. наук. 1972. Т. 27. № 4. С. 145—160.
[53] Натанзон С. М. Инвариантные прямые фуксовых групп и модули
вещественных алгебраических кривых: Дисс.... канд. физ.-мат. наук.
М.: ЦЭМИ, 1974.
[54] Натанзон С. М. Модули вещественных алгебраических кривых
// Успехи матем. наук. 1975. Т. 30. № 1. С. 251—252.
[55] Натанзон С. М. Пространства модулей вещественных кривых//
Труды Москов. матем. общ. 1978. Т. 37. С. 219—253.
[56] Натанзон С. М. Конечные группы гомеоморфизмов
поверхностей и вещественные формы комплексных алгебраических кривых:
Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Ярославль, 1980.
[57] Натанзон С. М. Геометрическое описание действия
гиперэллиптических инволюций на группу гомологии поверхности //
Конструктивная алгебраическая геометрия. Вып. 194. Ярославский Гос. Пед.
Инст., 1981. С. 89—96.
[58] Натанзон С. М. О числе и топологическом типе изоморфных
над С вещественных гиперэллиптических кривых // Конструктивная
алгебраическая геометрия. Вып. 200. Ярославский Гос. Пед. Инст.,
1982. С. 82—93.
[59] Натанзон С. М. Пространство вещественных мерофорфных
функций на вещественных алгебраических кривых // Докл. АН
СССР. 1984. Т. 279. № 4. С. 803—805.
[60] Натанзон С. М. Униформизация пространств мероморфных
функций //Докл. АН СССР. 1986. Т.287. № 5. С. 1058—1061.
[61 ] Натанзон С. М. Вещественные мероморфные функции на
вещественных алгебраических кривых // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297.
№ 1.С. 40—43.
[62] Натанзон С. М. Пространство Фрике суперфуксовых групп //
Функц. анализ и его прил. 1987. Т. 21. № 2. С. 80—81.
[63] Натанзон С. М. Топология двумерных накрытий и мероморфные
функции на вещественных и комплексных алгебраических кривых. I
// Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их
приложениями к геометрии, механике и физике. МГУ, 1988. Т. 23. С. 79—
103.

Литература
173
[64] Натанзон С. М. Пространство модулей
римановыхсуперповерхностей // Матем. заметки. 1989. Т. 45. № 4. С. 111 — 116.
[65] Натанзон С. М. Примианы вещественных кривых и их
приложения к эффективизации операторов Шрёдингера // Функц. анализ
и его прил. 1989. Т. 23. № 1. С. 41—56.
[66] Натанзон С. М. Клейновы поверхности // Успехи матем. наук.
1990. Т. 45. №6. С. 47—89.
[67] Натанзон С. М. Клейновы суперповерхности // Матем. заметки.
1990. Т. 48. №2. С. 72—82.
[68] Натанзон С. М. Топология двумерных накрытий и мероморфные
функции на вещественных и комплексных алгебраических кривых. II.
// Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их
приложениями к геометрии, механике и физике. МГУ, 1990. Т. 24. С. 104—
132.
[69] Натанзон С. М. Супернакрытия, SNEC-группы и внутренние
группы римановых и клейновых суперповерхностей // Успехи матем.
наук. 1990. Т. 45. № 2. С. 217—218.
[70] Натанзон С. М. Дискретные подгруппы GL(2, С) и спинорные
расслоения на римановых и клейновых поверхностях // Функц.
анализ и его прил. 1991. Т. 25. № 4. С. 76—78.
[71] Натанзон С. М. Дифференциальные уравнения на тэта-функции
Прима. Критерий вещественности двумерных конечнозонных
потенциальных операторов Шрёдингера // Функц. анализ и его прил. 1992.
Т. 26. № 1.С. 17—26.
[72] Натанзон С. М. Топологические инварианты и модули
гиперболических N = 2 римановых суперповерхностей // Матем. сб. 1993.
Т. 184. №5. С. 19—38.
[73] Natanzon S. Moduli spaces of Riemann and Klein supersurfaces //
Developments in Mathematics: The Moscow School. London:
Chapman & Hall, 1993. P. 100—130.
[74] Natanzon S. M. Moduli spaces of Riemann N = 1 and N = 2
supersurfaces // J. Geom. Phys. 1993. V. 12. № 1. P. 35—54.
[75] Natanzon S. M. Topology of 2-dimensional coverings and mero-
morphic functions on real and complex algebraic curves // Selecta
Math. Soviet. 1993. V. 12. № 3. P. 251—291.

174
Литература
[76] Натанзон С. М. Классификация пар функций Арфа на
ориентируемых и неориентируемых поверхностях // Функц. анализ и его
прил. 1994. Т. 28. № 3. С. 35—46.
[77] Натанзон С. М. О квадратичных формах над полем Z2//Успехи
матем. наук. 1995. Т. 50. № 5. С. 243—244.
[78] Natanzon S. M. Real nonsingular finite zone solutions of soliton
equations // Topics in topology and mathematical physics. Providence,
RI: Amer. Math. Soc, 1995. P. 153—183. Amer. Math. Soc. Transl.
Ser. 2. V. 170.
[79] Натанзон С. М. Тригонометрические тензоры на алгебраических
кривых произвольного рода. Аналог теоремы Штурма—Гурвица //
Успехи матем. наук. 1995. Т. 50. № 6. С. 199—200.
[80] Natanzon S. M. Spinors and differentials of real algebraic curves
// Topology of real algerbraic varieties and related topics. Providence,
RI: Amer. Math. Soc, 1996. P. 179—186. Amer. Math. Soc. Transl.
Ser. 2, V. 173.
[81] Natanzon S. M. Differential equations for Riemann and Prym
theta-functions // J. Math. Sci. 1996. V.82. № 6. P. 3821—3823.
[82] Натанзон С. М. Пространство модулей вещественных
алгебраических суперкривых N = 2 // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30.
№4. С. 19—30.
[83] Natanzon S. M. Spaces of meromorphic functions on Riemann
surfaces // Topics in singularity theory. Providence, RI: Amer. Math.
Soc, 1997. P. 175—180. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. V. 180.
[84] Натанзон С. М. Топологическая структура пространства
голоморфных морфизмов римановых поверхностей // Успехи матем. наук.
1998. Т. 53. №2. С. 155—156.
[85] Натанзон С. М. Модули римановых поверхностей, пространства
типа Гурвица и их супераналоги // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54.
№ 1. С.61 —116.
[86] Натанзон С. М. Модули вещественных алгебраических кривых и
их супераналоги. Дифференциалы, спиноры и якобианы
вещественных кривых // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. № 6. С.З—60.
[87] Р о 1 у к о v A. M. Quantum geometry of bosonic string // Phys. Lett.
1981. V. 103. P.207.

Литература
175
[88] Rosly A. A, Schwarz A. S., Voronov A. A. Geometry of
superconformal manifolds // Comm. Math. Phys. 1988. V. 119. № 4.
P. 129—152.
[89] Ruan Y., Tian G. A mathematical theory of quantum cohomology
// J. Differential Geom. 1995. V.42. № 2. P. 259—367.
[90] S e p p a 1 a M. Teichmuller spaces of Klein surfaces // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A I Math. Dissertationes. 1978. № 15.
[91] Vajsburd L., Radul A. Non-orientable strings // Comm. Math.
Phys. 1991. V. 135. P. 413—420.
[92] V i n n i к о v V. Self-adjoint determinantal representations of real plane
curves // Math. Ann. 1993. V.296. № 3. P. 453—479.
[93] Weichold G. Uber symmetrische Riemann'sche Flachen und die
Periodizitats moduln der zugerhorigen Abelschen Normalintegrale er-
ster Gatt // Zeitschrift fur Math, und Phys. 1883. V.28. S.321—351.
[94] Wo 1 p e rt S. The length spectra as moduli for compact Riemann
surface // Ann. of Math. (2). 1979. V. 109. № 2. P.323—351.
[95] Ziesc hang H., Vogt E., Coldewey H.-D. Surfaces and
planar discontinuous groups. Berlin: Springer-Verlag, 1980. Lecture Notes
in Mathematics. V.835.
[96] Здравковска С. Топологическая классификация
полиномиальных отображений // Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. № 4. С. 179—
180.
[97] Z h i v k о v A. Finite-gap matrix potential with one and two involutions.
// Bull. Sci. Math. 1994. V. 118. № 5. P. 403—440.

Сергей Миронович Натанзон
Модули римановых поверхностей,
вещественных алгебраических кривых
и их супераналоги
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.
Подписано в печать 20.12.2002 г. Формат 60x90 у1(). Бумага офсетная № 1
Печать офсетная. Печ. л. 11. Тираж 1000 экз. Заказ № 627
МЦНМО
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»,
г. Ульяновск, ул. Гончарова, д. 14. Тел. (8422) 41 — 11—57.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241—72—85. E-mail: biblio@mccme.ru

На протяжении всего века пространства
модулей римановых поверхностей
и близкие к ним пространства интенсивно
исследовались математиками.
Во многом это связано с широкими
приложениями пространств модулей.
В последние годы к чисто математическим
приложениям добавились приложения
к фундаментальным разделам
математической физики. В частности,
развитие единой теории поля потребовало
разработки некоммутативных аналогов
римановых поверхностей: римановых
суперповерхностей. Развитие теории
интегрируемых систем поставило ряд новых
задач перед теорией вещественных
алгебраических кривых.
Именно этим классическим и современным
вопросам посвящена настоящая книга.
Многие из ее сюжетов ранее содержались
лишь в отдельных журнальных статьях.
ISBN 5-94057-058-5