С.Моррис
Двойственность
Понтрягина
и строение
локально
компактных
абелевых трупп
Пусть G —некоторая \,СК-группа, а Г—двойственная к пей
группа.Тогба каноническое отображение ос группы G в Г*
является изоморфизмом топологической группы G на Г*.
Издательство
•Мир-

С.Моррис
Двойственность Понтрягина
и строение локально
компактных
абелевых групп

LONDON MATHEMATICAL SOCIETY
LECTURE NOTE SERIES 29
PONTRYAGIN DUALITY
AND THE STRUCTURE
OF LOCALLY COMPACT
ABELIAN GROUPS
Sidney A. MORRIS
Cambridge University Press
Cambridge
London New York Melbourne 1977

С.Моррис
Двойственность Понтрягина
и строение локально
компактных
абелевых групп
Перевод с английского
А.Л.Онищика
Издательство-Мир-
Москва 1980

УДК 519.4
Введение в теорию топологических групп,
основанное лишь на простейших понятиях теории
групп и общей топологии. Главное внимание
уделяется классическим теоремам о локально
компактных абелевых группах, для которых автору
удалось найти новые элементарные
доказательства. Дается также краткий обзор новых
исследований в этой области и смежных результатов
о иеабелевых топологических группах.
Книга содержит большое число упражнений,
снабженных указаниями, что делает ее удобной
для самостоятельной работы. Она вполне
доступна студентам младших курсор математических
специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
1702030000
© Cambridge University Press 1977
JVl 20203—007 7
041(01)—80 © Перевод на русский язык, «Мир», 1980

К русскому изданию
Я очень рад, что моя книга появляется теперь на русском
языке, и искренне благодарен А. Л. Онищику за его труд по
переводу, а также за то, что он обнаружил в английском
оригинале книги многочисленные опечатки. В русском варианте
они, разумеется, исправлены.
18 сентября 1978 Сидни А. Моррис
Предисловие
Большинство математиков хорошо знакомо с тем фактом,
что любая конечно порожденная абелева группа может
быть представлена в виде прямого произведения циклических
групп. Однако обобщение этого утверждения на
топологические группы известно лишь узкому кругу специалистов. Об
этом можно только сожалеть, так как соответствующая
теория не только элегантна, но и представляет собой весьма
приятную комбинацию топологии и алгебры. (Она связана также
с некоторыми задачами теории диофантовых приближений.)
Наша цель — описать строение локально компактных абе-
левых групп и познакомить читателя с теоремой
двойственности Понтрягина — ван Кампена. Эта теорема является
глубоким результатом, и ее стандартные доказательства
предполагают знание теории меры и банаховых алгебр. Чтобы
сделать материал доступным возможно более широкой
аудитории, я не буду требовать от читателя знакомства с этими
теориями. В действительности даже из теории групп и
топологии понадобится очень немногое. Предполагая известной
теорему Петера — Вейля, я даю простое и, насколько мне извест-
. 2 Зак. 561

6
Предисловие
но, новое доказательство теоремы двойственности для
компактных и дискретных групп. Затем, используя подход,
аналогичный подходу Родера [32], я распространяю теорему
двойственности на все локально компактные абелевы
группы. Одно из преимуществ этого подхода состоит в том, что
структурная теория развивается одновременно.
Эти заметки основаны на курсах, прочитанных в 1974 г. в
университетском колледже Северного Уэльса и в 1975 г. в
университете Нового Южного Уэльса. Первый курс из
двадцати лекций был прочитан аудитории, состоящей из
студентов и сотрудников, во время научной командировки автора" в
Англию. Второй курс состоял из двадцати восьми лекций и
предназначался для студентов-выпускников. В 1976 г. эти
заметки были использованы для чтения курса
студентам-выпускникам университета Ла Троб.
Я обязан Роналду Брауну, по инициативе которого был
прочитан мой первый курс по теории двойственности,
воодушевившему меня подготовить материал для публикации и
сделавшему ряд ценных замечаний. Я крайне признателен
Джону Локстону и Родни Нилсену за чтение и критику
рукописи. Полезные замечания сделали многие другие коллеги,
в частности, Питер Донован и Питер Николас. Я также
благодарен студентам, слушавшим мои лекции, за устранение
ошибок. Я должен поблагодарить Яна Д. Макдоналда за
моральную поддержку на протяжении ряда лет, а также Эдвина
Хьюитта и Кеннета Росса за готовность отвечать на мои
наивные вопросы. Я хотел бы поблагодарить Риту Уокер,
Ульрику Брэкен и Олвин Брэдфорд за тщательную
перепечатку рукописи.
Эти заметки посвящаются моей жене.
С. А. М.
Университет Ла Троб
Мельбурн
1976 г.

Глава Т
Введение в топологические группы
Определение. Пусть G — множество, являющееся группой
и топологическим пространством. Тогда оно называется
топологической группой, если
(i) отображение (х,у)>-^-ху множества GXG на G
является непрерывным отображением прямого произведения
G X G (с топологией прямого произведения) на G;
(ii) отображение х\->х~1 множества G на G непрерывно.
Примеры
(1) Аддитивная группа вещественных чисел с «обычной»
топологией (т. е. топологией, определяемой метрикой d(x, у) =
= \х — у\). Она будет обозначаться через R.
(2) Мультипликативная группа положительных
вещественных чисел с «обычной» топологией.
(3) Аддитивная группа рациональных чисел с «обычной»
топологией, обозначаемая через Q.
(4) Группа целых чисел с дискретной топологией (т. е.
каждое множество является открытым), обозначаемая
через Z.
(5) Любая группа с дискретной топологией.
(6) Любая группа с грубой топологией (т. е. открытыми
множествами являются только.0 и все пространство).
(7) «Окружность», состоящая из комплексных .чисел, по
модулю равных 1 (т. е. множество чисел вида е2яи, 0 ^ х ^
^1), групповая операция в которой есть умножение
комплексных чисел, а топология индуцирована топологией
комплексной плоскости. Эта топологическая группа будет
обозначаться через Т (или S1).
(8) Линейные группы. Пусть А = (а^) — квадратная
матрица порядка п, элементы alk которой — комплексные числа.
Через 'А обозначается матрица (а*/), транспонированная к А,
а через А— матрица (й/й), сопряженная к А, где йц,—
комплексное число, сопряженное к а/*. Матрица А называется
ортогональной, если А = А и *А = А-1, и унитарной, если
Л-1 = '(Л).
2*

8
Гл. 1
Множество всех невырожденных квадратных матриц
порядка п (с комплексными элементами) называется полной
линейной группой (над полем комплексных чисел) и
обозначается через GL(«, С). Подгруппа группы GL(n, С),
состоящая из матриц с определителем 1, называется специальной
линейной группой (над полем комплексных чисел) и
обозначается через SL(n, С). Унитарная группа U(n) и
ортогональная группа О(п) состоят соответственно из всех унитарных и
всех ортогональных матриц; они являются подгруппами в
GL(n, С). Наконец, определим специальную унитарную
группу и специальную ортогональную группу формулами SU(n) =
= SL(n, С) Л U (л) и SO(n)= SL(n, С)Г)О(п) соответственно.
Группа GL(n, С) и всё ее подгруппы могут
рассматриваться как подмножества в С" (где С — комплексная
числовая плоскость). Таким образом, GL(n, С) и все ее подгруппы
снабжены индуцированной топологией, и легко проверить, что
в этой топологии они являются топологическими группами.
Замечание. Конечно, не всякая топология, заданная на
группе, превращает ее в топологическую группу, т. е.
структура группы и топологическая структура не обязательно
совместимы.
Пример. Пусть G — группа целых чисел. Определим на ней
топологию следующим образом: множество 0 s G открыто,
если 0^ U или если G\ V конечно. Ясно, что это
(компактная хаусдорфова) топология, но следующее ниже
предложение 1 показывает, что G не является топологической группой.
Предложение 1. Пусть G — топологическая группа. Для
любого аЕ G левый и правый сдвиги на а являются
гомеоморфизмами пространства G. Взятие обратного элемента
также является гомеоморфизмом.
Доказательство. Отображение La: G-+G, заданное
XG->G, заданного формулой (х,у)>—>ху. Поэтому левый
формулой g\-^-ag, есть произведение следующих двух
непрерывных отображений: отображения G -> G X G, заданного
формулой gi-^-{a,g), где а фиксировано, и отображения G X
сдвиг на любой а е G непрерывен. Далее, La обладает
непрерывным обратным отображением, а именно ^а-и поскольку
К (£*-> (£)) = К («"*) = а («"'£) = 8> La-i (La(g))==La^ (ag)=
— a l{ag) — g. Таким образом, левый сдвиг —
гомеоморфизм. Аналогично правый сдвиг является гомеоморфизмом.
Отображение /: G-+G, заданное формулой gi—э-g-1,
непрерывно по определению. Кроме того, / обладает
непрерывным обратным отображением, а именно самим /, поскольку

Введение в топологические группы
9
ППё)) = Hg~l) = (g~l)~l = g- Значит, / также
гомеоморфизм. □
Теперь ясно, что в приведенном выше примере группа не
является топологической. Действительно, левый сдвиг на 1
переводит открытое множество {—1} в {0}, но {0} не является
открытым множеством. На самом деле мы заметили здесь,
что любая топологическая группа является однородным
пространством, в то время как в нашем примере это свойство
не имеет места.
Определение. Топологическое пространство X называется
однородным, если оно обладает следующим свойством: для
любой упорядоченной пары х, у точек пространства X
существует такой гомеоморфизм /: Х-+Х, что f(x)= у.
Хотя каждая топологическая группа является
однородным топологическим пространством, мы увидим вскоре, что
не каждое однородное пространство может быть сделано
топологической группой.
Определение. Топологическое пространство называется
Ti-пространством, если каждая его точка является
замкнутым множеством.
Определение. Топологическое пространство X называется
хаусдорфовым или Т^-пространством, если для любой пары
различных точек а и Ь в X существуют такие открытые
множества Uа и Ub, что а е Ua, b e Ub и Uaf\ Ub = 0.
Легко видеть, что любое хаусдорфово пространство
является ^-пространством, но обратное утверждение неверно.
Пример. Пусть X — бесконечное множество с кофинитной
топологией, т. е. подмножество U Е X открыто тогда и только
тогда, когда U = X, U = 0 или X \ U конечно.
Ясно, что это пространство является ^-пространством, но
не хаусдорфово, так как любая (нетривиальная) пара его
открытых множеств имеет непустое пересечение.
Мы увидим, однако, что любая топологическая группа,
являющаяся ^-пространством, обязательно хаусдорфова.
В то же время это неверно, вообще говоря, для однородных
пространств, поскольку пространство в приведенном выше
примере однородно. Поэтому мы получим в качестве
следствия, что не Любое однородное пространство можно
превратить в топологическую группу.
Предложение 2. Пусть G—произвольная топологическая
группа и е — ее единичный элемент. Если U — окрестность
точки е, то существует открытая окрестность V этой точки,
такая, что

10
Гл. 1
1) V = V~l (т. е. V симметрична);
2) V2<=U.
[Здесь V~l = {v~l|v e V} и V2 ={viv2\vi,V2^ V} (а не
{v2\ve=V}).]
Доказательство. Упражнение.
(Используйте непрерывность отображения хн-э-х-1 в
точке х = е и непрерывность отображения (х,у)*-^-ху в точке
(х,у) = {е,е).) П
Предложение 3. Любая топологическая группа,
являющаяся Т{-пространством, является также хаусдорфовым
пространством.
Доказательство. Пусть х и у — различные точки
группы G. Тогда х~1у ф е. Множество G \ {х~1у} есть
открытая окрестность точки е, и потому в силу предложения 2
существует такая открытая симметрическая окрестность V
точки е, что V2 Е G \ {х-1*/}. Таким образом, хг1уфУ2.
Множества xV и yV—это открытые окрестности точек х
и и соответственно. Предположим, что xV f\yV Ф0. Тогда
xvi=yv2, где vu vi е V, т. е. х~ y — v\V2 ^VV~ = V —
противоречие. Значит, xV (]yV = 0, так что G — хаусдор-
фово пространство. П
Таким образом, для проверки того, что топологическая
группа хаусдорфова, нужно только убедиться, что любая
точка является замкнутым множеством. В действительности в
силу предложения 1 достаточно проверить, что {е} — замкну-"
тое множество.
Замечание. Фактически все серьезные результаты в тео-1
рии топологических групп относятся к хаусдорфовым
топологическим группам. (В действительности многие авторы вклкн
чают в определение топологической группы требование
хаусдорфовости.) Вскоре мы познакомимся с одним из доводов
в пользу изучения этого класса групп. Естественно спросить:
всякая ли группа допускает хаусдорфову топологию,
превращающую ее в топологическую группу? Ответ, очевидно, утвер*
дительный — всякая группа допускает дискретную топологию..
Мы, однако, имеем в виду следующую проблему.
Вопрос. Всякая ли группа допускает хаусдорфову
недискретную топологию, превращающую ее в топологическую
группу?
Шелах (Shelah S.) недавно анонсировал отрицательный
ответ в предположении гипотезы континуума. Однако в част-

Введение в топологические группы 11
ном случае, когда группа абелева (т. е. коммутативна), ответ
положителен. Доказательство этого факта будет одной из
наших первейших задач.
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 1
1. Пусть О — топологическая группа, е — ее единичный
элемент и k — произвольный элемент группы G. Пусть V —
произвольная окрестность точки е. Покажите, что существует
открытая окрестность V точки е, такая, что
(i) V=V~h
(ii) V2<=U;
■ (iii) Ш-'сУ.
[В действительности, приложив еще немного усилий, вы
сможете показать, что если К — компактное подмножество в G,
то V можно выбрать так, чтобы выполнялось также условие
(iv) kVk'1 S U для любого k e /С]
2. Пусть G — произвольная группа, и пусть 91 =
{N}—некоторое семейство нормальных подгрупп в О. Покажите, что
семейство всех множеств вида gN, где g пробегает группу
О, а N — семейство Я, является предбазисом некоторой
групповой топологии *) на G. Такая топология называется под-
групповой топологией.
(И) Докажите, что каждая групповая топология на
конечной группе является подгрупповой топологией, причем Э1
состоит из одной нормальной подгруппы.
3. Топологическое пространство X "называется То-простран-
ством, если для любых х, у^Х, хФу, существует либо
открытое множество, содержащее х, но не содержащее у, либо
открытое множество, содержащее у, но не содержащее л;.
Топологическое пространство X называется регулярным, если
для любого х& X и любой открытой, окрестности U элемента
х существует замкнутая окрестность V элемента х, такая, что
V <=:И. Покажите, что
(i) любое ^-пространство является То-пространством,
но существуют Го-пространства, не являющиеся 7\-простран-
ствами;
(ii) любая топологическая группа есть регулярное
пространство;
(Hi) любое регулярное Т0-пространство хаусдорфово, и
поэтому любая топологическая группа, являющаяся Т0-простран-
ством, хаусдорфова.
') То есть конечные пересечения множеств вида gN образуют базис
топологии. Автор называет топологию иа группе G групповой, едли она
превращает О в топологическую группу. — Прим. перев.

12
Гл. 1
4. Пусть G— топологическая группа, А и В— ее
подмножества и g— произвольный элемент группы G. Покажите,
что
(i) если А открыто, то и gA открыто;
(И) если А открыто и В произвольно, то АВ открыто;
(iii) если А и В компактны, то Л В компактно;
(iv) если А компактно, а В замкнуто, то АВ замкнуто;
(v) если А и В замкнуты, то АВ может не быть
замкнутым.
5. Пусть S — компактное подмножество метризуемой
топологической группы G, такое, что ху е S, если хну взяты из S.
Покажите, что xS = S для любого i;eS. (Пусть у —
предельная точка последовательности х, х2, х3, ... в S; покажите,
что °°
yS= П xnS; выведите отсюда, что yxS = yS.) Опираясь
на это свойство, покажите, что S — подгруппа в G. (См. [45,
т. I, теорема 9.16].)
* * *
Определение. Пусть G\ и G2 — топологические группы.
Отображение /: G\ -*■ G2 называется непрерывным
гомоморфизмом, если оно является гомоморфизмом групп и в то же
время непрерывно. Если / при этом является гомеоморфизмом,
то оно называется изоморфизмом топологических групп или
топологическим изоморфизмом, a G\ и G2 называются
топологически изоморфными.
Пример. Пусть R — аддитивная группа вещественных
чисел с обычной топологией и Rx — мультипликативная группа
положительных вещественных чисел с обычной топологией.
Тогда R и Rx топологически изоморфны, причем
топологический изоморфизм R-»-Rx имеет вид х\—>ехр#. (В
дальнейшем мы не будем упоминать группу Rx, поскольку R и
Rx одинаковы как топологические группы.)
Предложение 4. Пусть G — топологическая группа и Н —
подгруппа в G. Если снабдить Н относительной топологией
как подмножество в G, то она станет топологической группой,
Доказательство. Отображение (х,у)>—>ху
пространства НУ.Н на Н и отображение х\—>х~1 пространства Н на
Н непрерывны, поскольку они являются ограничениями
соответствующих отображений пространств G X G и G. □
Примеры
(i) ZczR;
(И) QczR.

Введение в топологические группы
13
Предложение 5. Пусть Н — подгруппа топологической
группы G. Тогда
(i) замыкание П подгруппы Н есть подгруппа в G;
(п) если Н — нормальная подгруппа в G, то и Я —
нормальная подгруппа в G;
(Hi) если G хаусдорфова и Н абелева, то и П абелева.
Доказательство. Упражнение.
Следствие. Пусть G — топологическая группа. Тогда {е} —
замкнутая нормальная подгруппа в G; она является на самом
деле наименьшей замкнутой подгруппой группы G. Если
geG, то {g} совпадает со смежным классом g{e} = {e}g.
(Разумеется, если G хаусдорфова, то {е} = {е}.)
Доказательство. Это непосредственно следует из
предложения 5 (И), если заметить, что {е}'— нормальная
подгруппа в G. □
Предложение 6. Любая открытая подгруппа Н
топологической группы G является (кроме того) замкнутой.
Доказательство. Пусть Xi, ie/, — множество
представителей правых смежных классов группы G по подгруппе
Н. Это значит, что G= \J Hxh причем Hxif\Hx,= 0 для
любых различных i и / из множества индексов /. Поскольку
Н открыта, Hxi для любого i е / открыто. Разумеется, для
некоторого Iq^.1 имеем Hxi;> = Н, т. е.
G = Н U m НхЛ,' где / = / \ {/0}.
Эти два множества не пересекаются, а второе, будучи
объединением открытых множеств, открыто. Таким образом, Н есть
дополнение (в G) некоторого открытого множества и,
значит, замкнуто в G. □
Заметим, что обращение предложения 6 неверно.
Например, Z — замкнутая подгруппа в R, не являющаяся открытой
подгруппой.
Предложение 7. Пусть Н — подгруппа хаусдорфовой
группы G. Если она локально компактна, то она замкнута в G.
В частности, это так, если Н дискретна.
Доказательство. Пусть К — компактная окрестность
точки е в Я. Тогда существует окрестность U точки е в G,
такая, что U П Н = К. В частности, U П Н замкнута в G. Пусть
V — такая окрестность точки е в G, что V2 s U.

14
Гл. 1
Если *еЯ, то, поскольку П — подгруппа (предложение5),
ж-1 е= П. Поэтому существует элемент у ее Vxr1 f] H. Мы
покажем, что ух ge Я. Поскольку у ge Я, отсюда будет
следовать, что «ёЯ и, значит, Я замкнута, что и требовалось
доказать.
Для доказательства того, что ух^Н, мы проверим, что
ух — предельная точка множества U (]Н. Так как U (] Н
замкнуто, то отсюда будет следовать, что yx^Uf\H и, в
частности, что ух^. Я.
Пусть W — произвольная окрестность точки ух. Тогда
y~lW — окрестность точки х, и поэтому y~lW[\xV —
окрестность точки х. Так как х ее Н, то существует элемент h еЕ
<=.{y~xW [\xV)[\H. Тогда yh^W. Кроме того, уАе
<ee(Vx-1)(xV)= V2<=U и yh(EEH, т. е. yhzE W(](UCiH).
Поскольку W произвольна, это означает, что ух — предельная
точка множества U (] Я, что и требовалось'). □
Предложение 8. Пусть И—симметричная окрестность точ-
оо
ки е в топологической группе G. Тогда Я = (J Un — откры-
тая (и замкнутая) подгруппа в G.
Доказательство. Ясно, что Я — подгруппа в G. Пусть
/геЯ; тогда h ее U" для некоторого п. Поэтому h ее hU s
^ i/n+i с Я, т. е. Я содержит окрестность hU точки Л. Так как
h был произвольным элементом подгруппы Я, то Я открыта
в G. В силу предложения 6 она также замкнута в G. О
Следствие 1. Пусть U — любая окрестность точки е в связ-
оо
ной топологической группе Q. Тогда G = (J Un. Иначе го-
воря, любая связная группа порождается любой окрестностью
точки е.
Доказательство. Пусть V — симметрическая
окрестность точки е, такая, что V £ U. Согласно предложению 8,
оо
Н = (J Vn — открытая и замкнутая подгруппа в G.
ОО
Поскольку G связна, Н = G, т. е. G = U V". Так- как
я=1
оо
КеК, то V S £/" для всех п, и потому G = \J Un, что и
требовалось доказать. D
') На самом деле из этого рассуждения следует, что всякая локально
замкнутая подгруппа произвольной топологической группы О замкнута в
ней. — Прим. перев.

Введение в топологические группы
15
Определение. Топологическая группа G называется
компактно порожденной, если в ней существует такое
компактное подмножество X, что G совпадает с наименьшей
подгруппой (группы G), содержащей X.
Примеры
(i) Группа R компактно порождена отрезком [0, 1] (или
любым другим нетривиальным компактным отрезком).
(п) Разумеется, любая компактная группа компактно
порождена.
. Следствие 2. Любая связная локально компактная группа
компактно порождена.
Доказательство. Пусть К — произвольная
компактная окрестность точки е. Тогда но следствию 1 имеем
оо
G== U Кп, т. е. G компактно порождена. D
Замечание. Цель этой книги состоит в том, чтобы
описать строение компактно порожденных локально
компактных хаусдорфовых абелевых групп. Мы видим теперь, что
этот класс групп включает в себя все связные локально
компактные хаусдорфовы абелевы группы.
Терминология. LCA-группа — локально компактная хаус-
дорфова абелева топологическая группа.
Предложение 9. Компонента единицы (т. е. наибольшее
связное подмножество, содержащее е) топологической группы
является ее замкнутой нормальной подгруппой.
Доказательство. Пусть С—компонента единицы в
топологической группе G. Так как компоненты любого
топологического пространства являются замкнутыми
множествами, то С замкнута. Пусть а е С. Тогда а~1С^С, так как
а~1С связно (будучи гомеоморфным образом множества С)
и содержит е. Поэтому U а~1С = С~ С sC, откуда следует,
а<=С
что С — подгруппа. Это нормальная подгруппа, поскольку для
любого х е G множество х~1Сх связно и содержит е, так что
Предложение 10. Пусть N — нормальная подгруппа
топологической группы G. Если снабдить факторгруппу G/N фак-
тортопологией относительно канонического гомоморфизма р:
G -*- G/N (это значит, что U открыто в G/N тогда и только
тогда, когда p~l(U) открыто в G), то G/N станет
топологической группой. Далее, отображение р не только непрерывно,

16
Гл. 1
но и открыто. (Отображение называется открытым, если
образ каждого открытого множества открыт.)
Доказательство. Проверка того, что G/N с фактор-
топологией является топологической группой, проводится с
помощью стандартных рассуждений. Тот факт, что
отображение р непрерывно, очевиден (и справедлив для всех
факторных отображений топологических пространств')).
Для доказательства того, что р — открытое отображение,
возьмем открытое множество W в G. Тогда p~l(p(W)) =
= NW £ G. Поскольку W открыто, множество NW открыто.
(См. упражнения, цикл 1, задача 4.) Значит, по определению
фактортопологии на G/N множество p(W) открыто в G/N,
т. е. р — открытое отображение. D
Замечания
(i) Заметим, что факторные отображения , топологических
пространств не всегда являются открытыми.
(и) Факторные отображения топологических групп не
всегда замкнуты. Например, если R2 обозначает прямое
произведение групп RXR с обычной топологией и р — проекция
группы R2 на первый сомножитель R, то множество S =
= {(х, 1/х)\х^ R, х ф 0} замкнуто в R2, р — факторное
отображение и p(S) не замкнуто в R.
Предложение 11. Если G — топологическая группа и N —
компактная нормальная подгруппа группы G, то
канонический гомоморфизм р: G -*- G/N есть замкнутое отображение.
Гомоморфизм р является также открытым отображением.
Доказательство. Если S — замкнутое подмножество
в G, то р-1 (р(S)) = NS — произведение компактного и
замкнутого множеств в G, которое в силу задачи 4 (упражнения,
цикл 1) замкнуто. Значит, p(S) замкнуто в G/N и р —
замкнутое отображение. Так как р — факторное отображение то
из предложения 10 следует, что оно является открытым. П
Определение. Топологическое пространство называется
вполне несвязным, если компонента любой его точки
совпадает с самой точкой.
') Отображение р топологического пространства X на пространство У
называется -факторным, если оно обладает следующим свойством:
множество UcY открыто тогда и только тогда, когда p-i(U) открыто в X.
В этом случае У естественно гомеоморфно факторпростраиству
пространства X по отношению эквивалентности, которое в нем определяет р,
снабженному фактортопологией. — Прим. перев.

Введение в топологические группы
17
Предложение 12. Если G— топологическая группа и С —
ее компонента единицы, то G/C — вполне несвязная
топологическая группа.
Доказательство. Заметим, что С — нормальная
подгруппа в G, а значит, G/C — топологическая группа.
Доказательство того, что G/C вполне несвязна, оставляем
читателю в качестве упражнения. □
Предложение 13. Любая факторгруппа G/N локально
компактной группы G локально компактна.
Доказательство. Достаточно заметить, что открытый
непрерывный образ локально компактного пространства
всегда локально компактен. □
Предложение 14. Пусть G — топологическая группа и N —
ее нормальная подгруппа. Группа G/N дискретна тогда и
только тогда, когда N открыта. Далее, G/N хаусдорфова
тогда и только тогда, когда N замкнута.
Доказательство. Очевидно (если заметить, что
любая Тргруппа хаусдорфова). □
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 2
1. Пусть G и Н — топологические группы и f: G-^-H —
гомоморфизм. Покажите, что / непрерывен тогда и только тогда,
когда он непрерывен в единице, т. е. тогда и только тогда,
когда для любой окрестности U точки е в Н существует
такая окрестность V точки е в G, что /(V)s U.
2. Покажите, что окружность Т топологически изоморфна
факторгруппе R/Z.
3. Пусть fli и В2 — (вещественные) банаховы
пространства. Проверьте, что
(i) B\ я' В2 с топологиями, определяемыми их нормами,
являются топологическими группами.
(ii) Если Т: B\^t-Bi—непрерывный гомоморфизм
(топологических групп), то Т — непрерывное линейное
отображение. (Таким образом, если В\ и В2 изоморфны как тополо
гические группы, то они изоморфны как топологические
векторные пространства, но не обязательно изоморфны как
банаховы пространства.)
4. Пусть Н — подгруппа топологической группы G.
Покажите, что Н открыта в G тогда и только тогда, когда она
имеет непустую внутренность (т. е. тогда и только тогда, когда
она содержит некоторое непустое открытое подмножество
группы G).

18
Гл. 1
5. Пусть Я— подгруппа топологической группы G.
Покажите, что_
(i) Я —подгруппа в G.
(п) Если Я— нормальная подгруппа в G, то Я—
нормальная подгруппа в G.
(Hi) Если группа G хаусдорфова, а Я абелева, то и Я
абелева.
6. Пусть У— плотное подпространство хаусдорфова
пространства X. Покажите, что если У локально компактно, то
оно открыто в X. Выведите отсюда, что локально компактная
подгруппа хаусдорфовой группы замкнута.
7. Пусть С — компонента единицы в топологической
группе G. Покажите, что G/C -^- хаусдорфова вполне несвязная
топологическая группа. Далее, покажите, что если f — любой
непрерывный гомоморфизм группы G в какую-либо вполне
несвязную топологическую группу Я, то существует
непрерывный гомоморфизм g: G/C^-H, такой, что gp = f, где р: G -*■
->- G/C — проекция.
8. Покажите, что коммутант С связной топологической
группы G связен. (С порождается множеством {gr'^'&i^l&i;
82е О}.)
9. Пусть Я— вполне несвязная нормальная подгруппа
связной хаусдорфовой группы G. Покажите, что Я лежит в
центре группы G (т. е. gh = hg для всех geG и /is Я).
[Указание. Фиксируйте некоторый элемент йеЯ и
убедитесь, что отображение g^—^-ghg~l переводит G в Я.]
10. (i) Пусть G — любая топологическая группа.
Проверьте, что G/{e}—хаусдорфова топологическая группа.
Покажите, что если Я — произвольная хаусдорфова группа и /:
G-+H — непрерывный гомоморфизм, то существует
непрерывный гомоморфизм g: G/{e}^>-H, такой, что gp = f, где
р: G -*• G/{e}— каноническое отображение.
(Этот факт обычно выдвигается в качестве довода в пользу
изучения хаусдорфовых топологических групп вместо
произвольных. Однако, быть может, лучшим доводом является
следующее утверждение, согласно которому вся топология
топологической группы по существу содержится в ее «хаусдорфи-
зации» (т. е. в группе G/{e}).)
(ii) Обозначим через G, группу G, снабженную грубой
топологией, и через i: G^-d— тождественное отображение;
Проверьте, что отображение pY,i: G->-G/{e}X Gi, заданное
формулой (py.i) (g) = (p(g),i{g)), является
топологическим изоморфизмом группы G на его образ (р X 0 (G).
11. Покажите, что всякая хаусдорфова группа Я
топологически изоморфна замкнутой подгруппе некоторой линейно

Введение в топологические групны 18
связной и локально линейно связной хаусдорфовой группы G.
(Рассмотрим множество G всех функций }: [О, 1 )->-#, для
каждой из которых существует такая последовательность
О = а0 < си < а2 < ... < ап = 1, что f постоянна на
каждом [йк, йк-х)- Определим на G структуру группы формулами
(fg)(t)=f(t)g(t) и f-i(0 = /(0-1, где f.gzEG и *е[0,1).
Единицей группы G является функция, тождественно равная
элементу es//. Для е > 0 и любой окрестности V точки е
в Я обозначим через U(V, e) множество всех таких f, что
Х({*е=[0, l)\f(t)(£ V})<e, где Х —мера Лебега на [0,1).
Множество всех U(V, e) является базисом открытых
множеств для некоторой групповой топологии на G. Постоянные
функции образуют замкнутую подгруппу в G, топологически
изоморфную группе Я.)
* # #
Замечания о произведениях. Пусть {G;|ie/}—семейство
множеств, где / — некоторое множество индексов. Прямое
произведение (декартово произведение) семейства {Gi\i^I}—
это множество, состоящее из элементов вида Д git где каж-
дый gi лежит в G,; оно обозначается через Ц Git Если каж-
дое Gi является топологическим пространством, то топология
произведения (тихоновская топология) — это топология,
базис открытых множеств которой есть набор всех множеств
вида Г1 Ui> гДе каждое Ut открыто в G, и Hi = Gt для всех,
кроме конечного числа, индексов i. (Заметим, что топология
произведения в корне отличается от топологии, кажущейся
на первый взгляд более естественной, — ящичной топологии,
которая имеет в качестве базиса открытых множеств набор
всех Ц Uh где Ui открыто в Gi.) Заметим, что топология
is/
произведения — это грубейшая топология на Ц Gh для кото-
i<=I
рой каждая из канонических проекций рг. Г[Ог->Сг непре-
ie/
рывна. Наиболее важным результатом о топологиях
произведений является следующая
Теорема Тихонова. Если {Gi\i^f}—семейство
компактных топологических пространств, то Ц Gh снабженное топо-
логией произведения, компактно.
Поскольку каждая проекция рс Ц G, -> Q, непрерывна,
isl

20 Гл. 1
из компактности пространства XI Gt (с топологией произве-
isl
дения) следует, что каждое Gi компактно.
Заметим, что теорема Тихонова станет неверной, если
заменить в ней топологию произведения ящичной топологией.
(Например, если каждое G»— конечное дискретное
пространство, то Ц Gj с ящичной топологией дискретно и, значит,
isi
некомпактно, если / бесконечно и каждое G,- содержит более
одного элемента!)
Если каждое Gt — группа, то LLG, обладает очевидной
ге/
структурой группы ( П gi • П п{ = П (gihi), где g{, h{ ge GX
Если {G,|ie/}—семейство групп, то ограниченное
прямое произведение (слабое прямое произведение),
обозначаемое через Ц Gi, — это подгруппа в Ц Gt, состоящая из
таге/ iel
ких элементов Ц g{, что g,- = е для всех i е /, кроме конеч-
i<=/
иого числа.
Начиная с этого момента, для любого семейства {G,-|te
е/} топологических групп через Ц Gt будет обозначаться
isl
прямое произведение, снабженное топологией произведения.
Далее, через XI Gt будет обозначаться ограниченное прямое
iel
произведение с топологией, индуцированной на нем как на
подпространстве пространства Ц G{.
isl
Предложение 15. Если все Gi, ie/, — топологические
группы, то и Ц G; — топологическая группа, а Ц Gt — плот-
isl <е/
нал подгруппа в T\_G,.
Is/
Предложение 16. Пусть {G*|/e/} — семейство
топологических групп. Тогда
(0 Группа П Gt локально компактна тогда и только тог-
isl
да, когда каждая G,- локально компактна и все Gi, кроме
конечного числа, компактны.
(И) Группа Ц Gi локально компактна и хаусдорфова
isl
тогда и только тогда, когда каждая Gi локально компактна
и хаусдорфова и G,={e} для всех ie/, кроме конечного
числа.

Введение в топологические группы 21
Доказательство. Упражнение.
Для доказательства обещанного выше результата —
каждая бесконечная абелева группа допускает недискретную хаус-
дорфову групповую топологию — нам понадобятся некоторые
факты из теории групп.
Определение. Группа D называется делимой, если для
любого п=\,2, ... имеем {хп \ х е D) = D, т. е. каждый
элемент группы D обладает корнем n-й степени.
Примеры: R, Т, но не Z.
Предложение 17. Пусть Н — подгруппа абелевой группы О.
Если ф — произвольный гомоморфизм группы Н в делимую
абелеву группу D, то его можно продолжить до
гомоморфизма группы Q в D.
Доказательство. В силу' леммы Цорна достаточно
показать, что если х ф Н, то ф можно продолжить на группу
Н0= {xnh\h€=H, ne=Z}.
Случай (i). Пусть хпф.Н, я =1,2 Тогда положим
q>(xnh)= ф(/г). Ясно, что ф корректно определено, является
гомоморфизмом и продолжает гомоморфизм ф, заданный
на Н.
Случай (и). Пусть k~^2 — наименьшее положительное
целое п, такое, что х"еЯ. Пусть y(xk) =d^D. Поскольку
D делима, существует такой z ей, что zk = d. Положим
q>(xnh) = q>(h)zn. Ясно, что ф корректно определено, является
гомоморфизмом и продолжает гомоморфизм ф, заданный
на Н. П
Следствие. Если G — абелева группа, то для любых
g, AeO, таких, что gф h, существует такой гомоморфизм
ф: G->T, что q> (g) Ф q> (h), т. е. гомоморфизмы О ->Т
разделяют точки группы G.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать,
что для любого g Ф е из О существует такой гомоморфизм
ф: G ->- Т, что ф (g) Ф е.
Случай (i). Пусть gn = е и gk Ф е для 0 < k < п. Пусть
H={gm\m = 0, ±1, ±2, ...}. Определим ф: Н~*-1, поло*
жив ф(^) равным некоторому корню , г п-н степени из 1
(г Ф е) и q>(gm)=rm для любого т. Продолжим теперь ф
на G, пользуясь предложением 17.
Случай (И). Пусть gn Ф е для всех п > 0. Положим
фСя)^2 Для некоторого z Ф е из Т. Продолжим ф на Н и
затем, пользуясь предложением 17, на О. О
3 Зак. 561

22 . Гл. 1
Отметим также следствие из предложения 17, которое
будет использовано в дальнейшем.
Предложение 18. Пусть Н — открытая делимая подгруппа
абелевой топологической группы G. Тогда G топологически
изоморфна группе HY^G/Н. (Разумеется, G/H —
дискретная топологическая группа.)
Доказательство. Упражнение.
Теорема 1. Любая бесконечная абелева группа G
допускает недискретную хаусдорфову групповую топологию.
Доказательство. Пусть {qp,|te/}—семейство всех
различных гомоморфизмов группы G в Т. Положим Н =
= ЦГ(,где Ti = Т для всех i е /. Определим отображение
/: G-># = Ц Tiy полагая f(g)= П Ф* (§)• Поскольку каж-
дый ф« — гомоморфизм, / также является гомоморфизмом.
В силу следствия из предложения 17, он инъективен, т. е.
G изоморфна подгруппе f(G) группы Н.
Так как Н — хаусдорфова топологическая группа, то
f(G) с топологией, индуцированной топологией на Н, также
является хаусдорфовой топологической группой. Остается
только показать, что она недискретна.
- Если бы f(G) была дискретна, то, в силу предложения 7,
она была бы замкнутой подгруппой в Н. Но по теореме
Тихонова Н компактна, так что /(G) была бы компактной. Это
значит, что f(G) была бы бесконечным дискретным
компактным пространством, что невозможно. Таким образом, /(G)
недискретна. □
Замечание. Следствие из предложения 17 было
существенным для доказательства теоремы l.-Оно является
частным случаем следующей теоремы, которую мы обсудим в гл. 6.
Теорема. Если G — некоторая LCA-группа, то для любых
g, AeO, таких, что g Ф h, существует такой непрерывный
гомоморфизм ф: G-»-T, что у(д)Ф ф(Л).
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 3
1. Пусть {Gi\i^I} — семейство топологических групп.
Покажите, что
(О И Gt — топологическая группа-
(ii) ~[L Gt-- плотная подгруппа в XI Gt.
is! iel

Введение в топологические группы 23
(Ш) Группа Ц Qi локально компактна тогда и только
let
тогда, когда каждая Gi локально компактна и все Gi, кроме
конечного числа, компактны.
(iv) Группа И Gi локально компактна и хаусдорфова
тогда и только тогда, когда каждая Gi локально компактна
и хаусдорфова и Gi={e} для всех G,-, кроме конечного числа.
2. Покажите, что если G — абелева топологическая
группа с открытой делимой подгруппой Н, то она топологически
изоморфна группе ЯХ G/H.
3. Пусть G — абелева группа без кручения (т. е. дпфе
для любого g Ф е из G и любого положительного целого п).
Покажите, что если g, fteG и g Ф h, то существует такой
гомоморфизм ф: G -*■ R, что ф (g) Ф ф (А).
4. Пусть G — локально компактная вполне несвязная
топологическая группа.
(i) Покажите, что существует базис окрестностей
единицы, состоящий из компактных открытых подгрупп.
(Можно считать известным, что любое локально компактное хаус-
дорфово вполне несвязное топологическое пространство
обладает базисом открытых множеств, состоящим из
компактных открытых множеств.)
(ii) В случае когда G компактна, покажите, что
подгруппы в п. (i) можно выбрать нормальными.
(Hi) Выведите отсюда, что любая компактная вполне
несвязная топологическая группа топологически изоморфна
замкнутой подгруппе некоторого произведения конечных
дискретных групп. (Пусть {Ai\i e /}— базис окрестностей
единицы, состоящий из открытых нормальных подгрупп Пусть
Ф<: G->~G/Ai (i<=/)—канонические гомоморфизмы.
Определим Ф: G-> П GlAt, полагая Ф(§)= П ф, (gt) ~\ .
l<sl i<=l ' )
5. Пусть f: R-> Т — каноническое отображение и 6 —
любое иррациональное число. Определим в топологическом
пространстве G = R2 X Т2 операцию
V*l» *2' 1' 2) ' \*1> *2> 1' 2} ===
= (дс, + х\, х2 + х'2, tl + t[ + f (х2х[), t2 + t'2 + f (Bx^i)).
Покажите, что G является топологической группой
относительно этой операции и что коммутант группы G не замкнут
в ней.
6. Пусть /—множество, снабженное частичным порядком
<;. Пусть для каждого ie/ задана хаусдорфова
топологическая группа Gi. Предположим, что для любых i, j ^ /, та-
3*

24
Гл. I
ких, что i < /, задан открытый непрерывный гомоморфизм
fir. Gj -> Gi. Предположим, далее, что из i < / < k следует
fki = ffifk/. Объект, состоящий из множества /, групп d и
отображений fn, называется обратным спектром.
Подмножество Н произведения групп G= 11G,, состоящее из всех
таких Tlxt, что из £</ следует Xi = fn(xj), называется
проективным пределом обратного спектра. Покажите, что
Н — замкнутая подгруппа в G.
# * *
Теорема 2 (теорема Бэра о категории). Локально
компактное регулярное пространство X нельзя представить в
виде объединения счетного набора замкнутых множеств, не
имеющих внутренних точек.
оо
Доказательство. Предположим, что Х= \J An, где
каждое Ап замкнуто и его внутренность пуста, 1п\Ап = 0,
для всех п. Положим Dn = X \ Ап. Тогда каждое Dn открыто
оо
и плотно в X. Мы хотим показать, что П Опф0, что будет
п-1
ОО
противоречить равенству Х= U Л„.
п-1
Пусть Uo—; такое непустое открытое подмножество в X,
что (7о компактно. Так как D\ плотно в X, то Uof\Di —
непустое открытое подмножество в X. Используя регулярность
пространства X, можно выбрать такое непустое открытое
множество U\, что (/] s t/0 П Di- Определим по индукции U„
таким образом, чтобы U„ было непустым открытым
множеством и t/»s U„-\ ПDn. Поскольку Uo компактно и каждое
оо оо
Un непусто, Г\^п¥=0- Отсюда следует, что П А,¥=0. □
п-1 п-1
Замечание. Эта теорема остается справедливой, если
заменить условие «локально компактное регулярное» на
«полное метрическое» или «локально компактное хаусдорфово».
Следствие. Пусть G — любая счетная локально
компактная хаусдорфова топологическая группа. Тогда топология в
G дискретна.
Доказательство. Упражнение.
Теорема 3 (теорема об открытом отображении). Пусть
G — локально компактная группа, являющаяся а-компакт-

Введение в топологические группы
25
ной, т. е. G = U Ап, где каждое Ап компактно. Пусть f —
непрерывный гомоморфизм группы, G на локально
компактную хаусдорфову группу Н. Тогда f — открытое отображение.
Доказательство. Пусть U — семейство всех
симметрических окрестностей точки е в G, и пусть U' — семейство
всех окрестностей точки е в Н. Достаточно показать, что для
любого fell существует такая окрестность VеU', что
U'sf{U).
Пусть С/еИ. Тогда существует такая окрестность 1/eU,
что V компактно и P-1Ps£/. Семейство множеств {л:У|л:е
е G} является открытым покрытием группы G и, значит,
каждого компактного множества Ап. Поэтому любое
заданное Ап покрывается некоторым конечным набором этих
множеств. Следовательно, существует счетный набор {xnV\n =
= 1,2, ...}, покрывающий группу G.
Таким образом, Н = \J f (xnV) = \J f (xnV) == U f (*») f (П
n=»l n=»l n=»l
Тем самым Н представлена в виде счетного объединения
замкнутых множеств, и по теореме Бэра о категории одно
из них должно иметь непустую внутренность, т. е. некоторое
f(xm)f(V) содержит открытое множество. Тогда f(V)
содержит какое-либо открытое подмножество V группы Н.
Для завершения доказательства выберем произвольную
точку /е У'и положим V = x,~1V. Тогда
U, = x,~lV,^V,-lV,^f(V)-lf(V) = f(v-iV)sf(U),
что и требовалось доказать. □
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 4
1. Докажите теорему Бэра о категории для полных
метрических пространств.
2. Покажите, что любая счетная локально компактная
хаусдорфова группа имеет дискретную топологию.
3. Покажите, что теорема об открытом отображении
перестает быть справедливой, если отбросить условие а-ком-
пактности или условие сюръективности.
4. Покажите, что любой непрерывный гомоморфизм
компактной группы на хаусдорфову группу открыт.
5. Покажите, что для любого положительного целого п
группа Т" топологически изоморфна группе Rn/Z".
6. (i) Пусть ф — гомоморфизм топологической группы G
в топологическую группу Н. Пусть существует такое непустое
подмножество X в G, что ограничение q>: X-+H — открытое

26
Гл. 1
отображение. Покажите, что q>: G~*-H также открытое
отображение. [Указание. Для любого подмножества Ь в G имеем
<Р(£/)= U ф(£/П**>.1
(iiJ Вывести отсюда, что если G и Н — локально
компактные хаусдорфовы группы и q>: G->#— такой
непрерывный гомоморфизм, что для некоторого компактного
Подмножества К из G множество <р(К) порождает Н
алгебраически, то ф — открытое отображение. [Указание. Покажите,
что существует такая компактная окрестность U точки е, что
U Э К. Возьмите в качестве X подгруппу, алгебраически
порожденную множеством U.]
7. Пусть G и Н — топологические группы, и пусть tj —
гомоморфизм группы Н в группу автоморфизмов группы G.
Определим на множестве G X Н структуру группы, полагая
(gu hi)' (ft. h) = {gin {hi) (ft), Л1Л2).
Далее, допустим, что отображение {g,h)t—>i\(h)g множества
G X Н на G является непрерывным. Покажите, что
(i) каждый Ti(ft) есть гомеоморфизм группы G на себя;
(ii) множество G~X.fi, снабженное топологией
произведения и определенной выше структурой группы, является
топологической группой. (Она называется полупрямым
произведением группы G на Н, определенным гомоморфизмом tj,
и обозначается через G X г\Н-)
8. (i) Пусть G — некоторая а-компактная локально
компактная хаусдорфова топологическая группа, N — ее замкнут
тая нормальная подгруппа и Я — ее замкнутая подгруппа,
причем G = NHh Nf\fi = {e}. Покажите, что G
топологически изоморфна надлежащим образом определенному
полупрямому произведению NX т\Н- [Указание. Положите r\{h) («) =
= h-'nh (ЛеЯ, raetf).]
(ii) В случае когда Н также нормальна, покажите, что
G топологически изоморфна N ХН.
(iii) Пусть А и В — замкнутые компактно порожденные
подгруппы локально компактной хаусдорфовой абелевой
топологической группы G, причем А(]В = {е} и G = АВ.
Покажите, что G топологически изоморфна АХ, В.
9. Пусть G и Н — хаусдорфовы топологические группы
и f — непрерывный гомоморфизм группы С в Я.
Предположим, что G обладает такой окрестностью U точки е, что О
компактно и f(U) является окрестностью точки е в И. Пока»
жите, что {— открытое отображение.
* * ■»

Глава 2
Подгруппы и факторгруппы группы R"
В этой главе мы изучим строение замкнутых подгрупп
и хаусдорфовых факторгрупп группы R", п ^ 1.
Обозначения. Начиная с этого момента, мы сфокусируем
наше внимание на абелевых группах, которые в дальнейшем
будут записываться аддитивно. Однако мы все же будем
говорить о произведении двух групп А и В (и'обозначать его
через АХ В), а т о сумме этих двух групп. Будут
Использоваться также обозначения Ап для произведения п
экземпляров группы А и Ц А( для произведения групп Л,-, i e /. Еди-
н'ица абелевой группы будет обозначаться символом 0.
Предложение 19. Всякая недискретная подгруппа G
группы R плотна в ней.
Доказательство. Нужно показать, что для любого
iSR и любого е > 0 существует элемент g, лежащий в
G (][х — г, х + &].
Так как G не дискретна, то 0 не является изолированной
точкой. Поэтому существует элемент *ee(G \ {0})f|[0, e].
Тогда отрезки [пхе, (п + 1)хе], п = 0, ±1, ±2, ...,
покрывают R и имеют длину ^е. Значит, существует такое п, что
пхв е [я — е, х-f e] и, конечно, пхг eG. □
Предложение 20. Пусть G — замкнутая подгруппа группы
R. Тогда или G ={0}, или О = R, или G — дискретная
группа вида aZ ={0, a,—a, 2a,—2a, ...} для некоторого a > 0.
Доказательство. Допустим, что G Ф R. Так как G
замкнута и, значит, не плотна в R, то она должна быть
дискретной. Если G=t^{0}, то G содержит некоторое
положительное вещественное число Ь. Тогда [0, b](]G — замкнутое
непустое подмножество компактного множества [0, Ь]. Таким
образом, [0,6] ПО компактно и дискретно. Значит, [0, b](] G
конечно и потому в G существует наименьший элемента 1>0.

28 Гл. 2
Для любого лге G обозначим через [х/а] целую часть
числа х/а. Тогда х — [х/а]а& G и 0 ^ х — [х/а]а < а.
Поэтому х — [х/а] а = О, т. е. х = па для некоторого neZ, что
и требовалось доказать. □
Следствие 1. Если a, b e R, то подгруппа gp{a,b} группы
R, порожденная множеством {а, Ь), замкнута тогда и только
тогда, когда а и b рационально зависимы.
Доказательство. Упражнение.
Примеры. gp{l, V2"} и gp{V2> V3) плотны в R.
Следствие 2. Любая собственная хаусдорфова
факторгруппа R топологически изоморфна Т.
Доказательство. Если R/G — собственная
хаусдорфова факторгруппа группы R, то, в силу предложения 14,
G — замкнутая подгруппа в R. Согласно предложению 20,
G имеет вид аЪ, а > 0. Заметим, что отображениех*-*-(\/а)х
является изоморфизмом топологической группы R на себя и
переводит аЪ в Z. Отсюда видно, что R/aZ топологически
изоморфна группе R/Z, которая, как мы знаем,
топологически изоморфна группе Т. □
Следствие 3. Любая собственная замкнутая подгруппа
группы Т конечна.
Доказательство. Отождествим Т с факторгруппой
R/Z и обозначим через р: R-*-R/Z соответствующий
канонический гомоморфизм. Если G — произвольная собственная
замкнутая подгруппа в R/Z, то prx(G) — собственная
замкнутая подгруппа в R. Поэтому p~l(G) дискретна. В силу
предложения 10, ограничение р: p-1(G)-»-G— открытое
отображение, откуда видно, что G дискретна. Поскольку она
также компактна, она конечна ')• □
Перейдем теперь к исследованию замкнутых подгрупп в R
для п~^\. Здесь мы будем пользоваться тем фактом, что
R"—векторное пространство над полем вещественных чисел.
Обозначения. Если А — подмножество в R", то обозначим
через spR(/4) подгруппу {а\й\ + ••• +amam\ai^R, где
at е А, /=1, ..., т, т — положительное целое число},
через spQ(/4)— подгруппу {aiai+ ••• +amam\a,i^Q, a*e
еД, (=1, ..., m, m — положительное целое число} и через
gp(/4) — подгруппу в R", порожденную множеством А.
') Из этого рассуждения следует также, что О — конечная
циклическая подгруппа в Т. Действительно, G = p(p-l(G)), а
р~'(0)—циклическая подгруппа в R, в силу предложения 20. — Прим. пврев.

Подгруппы и факторгруппы группы R"
29
Ясно, что gp (A) s spQ (A) s spR (Л). Определим ранг
rank (Л) как размерность векторного пространства sp„(/4).
Предложение 21. Если {а\, ..., ат}—линейно
независимое подмножество в R", то gp{ai, ..., am) топологически
изоморфна Zm.
Доказательство. Выберем элементы am+! ап
так, чтобы система {аи .... ат, ат+\, ..., а„} была базисом
пространства R". Ясно, что если {си ..., сп)—канонический
базис в R", то gp{cb ..., ст) топологически изоморфна Ът.
В силу задачи 2 из цикла 5 упражнений, каждое линейное
преобразование пространства R" на себя является
гомеоморфизмом. Поэтому линейное отображение, переводящее а; в
cit i = 1 п, определяет изоморфизм топологической
группы gp{ai ат) на gp{c, cm}=Zm. □
Предложение 22. Пусть G— дискретная подгруппа в R"
ранга р, и пусть а\, ..., ар е G — базис для spR(G). Пусть
Р — замкнутый параллелотоп с центром О и базисными
векторами ах ар, т. е.Р==\ 2j гЛ
-1<г<<1, /=1,
..., р\. Тогда G (] Р конечно и gp(Gf\P) = ,G. Далее,
каждая точка группы G является линейной комбинацией
векторов {ai, ..., ар} с рациональными коэффициентами, т. е.
GsspQ{a, ар).
Доказательство. Так как Р компактно, а группа G
дискретна (и замкнута в R"), то G f| P дискретно и
компактно, т. е. конечно.
Из включения GsspR{a[, ..., ар} следует, что каждый
р
лей можно записать в виде х= Y. /,яг, U е R^Для любого
положительного целого m точка
zm = mx— Zi [mU\ Я/ =
р
= Е W-Nil)fli,
(-1
где символ [ ] означает взятие целой части, принадлежит
группе G. Так как O^mti — [mti] < 1, то zm^P. Имеем
р
x = zi+ Yi [/Ja,,откуда видно, что gp(G(]P)= G.
i-\

30 Гл. 2
Далее, поскольку G(]P конечно, существуют такие
целые h и k, что z/, = zk- Отсюда (h — k)ti = [htt] — [kti\,
i=l, ..., р, так что ti^Q, i = l, ..., р. Таким образом,
*^spQ{a1( ..., ар). П
Следствие. Пусть {а,\, ..., ар}—линейно независимоепод-
р
множество в R", и пусть b= £ f,a,, /<■ е R. Тогда gp{ab ...
..., ар, Ь) дискретна в том и только том случае, когда t\, ...
..., tp — рациональные числа.
Доказательство. Упражнение.
Теорема 4. Любая дискретная подгруппа G группы R"
ранга р порождается р линейно независимыми векторами и,
следовательно, топологически изоморфна Z".
Доказательство. Поскольку G имеет ранг p,G<=
£spR{a,, ..., ар}, где аи •••» о.р — линейно независимые
элементы группы G. Согласно предложению 22, G = gp{gu ...
..., gr}, где все gi лежат в spQ{al ар). Поэтому суще-
ствует такое deZ, что#, еgp {-jа{ ~daP\' i—!,-••,г.
Если теперь {Ь\, ..., bp}—некоторое линейно независи-
мое подмножество группы G, то bt = £ $цЩ> где det(Pt/)^=0 и
P;/e-jZ, так что det фц) е -^ Z. Поэтому среди всех
таких подмножеств {Ь\, ..., 6Р} существует подмножество с
минимальным |det(fy/)|. Обозначим это подмножество через
{Ь\, ..., Ьр). Мы утверждаем, что G = gp{&i, ..., Ьр) и,
значит, она топологически изоморфна Z?.
Предположим, что G=£gp{blt ..., bp). Тогда существует
такой элемент g e G, что g= £ А./6/, где не все h лежат в
1-1
Z. Предположим, что %\ = r/s, гфО и s>l. Поскольку
b\ e G, мы можем предположить, что |A.i|< 1 (этого можно
достичь вычитанием некоторого кратного элемента Ь\). Пола-
р
гая Ь\ = g, Ь\ = b( (i == 2, ..., р) и Ь\ = X Р^Оу, мы видим
/=i
тогда, что
det (ft,) = det
Я.1
Я-2
л, 0
о
det (Эг/) = Л, det Oi/)-

Подгруппы и факторгруппы группы R" 31
Поскольку | Я, | < 1, это означает, что | det (Р^) | < | det (Piy) |,
и мы пришли к противоречию. □
Предложение 23. Каждая недискретная замкнутая
подгруппа группы R", п ^ 1, содержит прямую, проходящую
через 0.
Доказательство. Так как Н не дискретна, то
существует последовательность h\, h2, ... точек из Н, сходящаяся
к 0, где все hn отличны от 0. Пусть С — открытый куб с
центром 0, содержащий все hn. Пусть тп — наибольшее из таких
целых чисел т > 0, что mhn e С. Последовательность mnhn,
я =1,2, ..., лежит в компактном множестве С и, значит,
имеет предельную точку а е С П Н.
Если \\mnhn — а||<е, то II (т„ +1)Л„ —а|1< е+ЦЛ„||, где
через || II обозначается обычная норма в R". Поскольку
Лп -»- 0 при я -*■ оо, отсюда следует, что а является также
предельной точкой последовательности (mn + \)hn, n = 1, 2, ...,
точки которой принадлежат замкнутому множеству R" \ С.
Значит, а принадлежит Gn(R"\C) — границе куба С,
откуда следует, что а ф 0.
Пусть t — любое вещественное число. Поскольку \tmn —
— l*mn]|<l, из соотношения \\mnhn — a IK e следует, что
И [tmn]hn—ta\\s^\ f|e+||An||. Поскольку Л„->-0 при я-»-оо, ta
является предельной точкой последовательности [tmn]hn,
я = 1, 2 Но точки этой последовательности
принадлежат подгруппе Н, так что ta е Н, поскольку Н замкнута.
Таким образом, Н содержит прямую, проходящую через
точки а ф 0 и 0. □
Теорема 5. Пусть G— замкнутая подгруппа в R", я^ 1.
Тогда существуют (замкнутые) векторные подпространства
U, V и W пространства R", такие, что
(i) W=UXVXW;
(n)G[)U = U;
(iii) G П V дискретна;
(iv) G[)W={0};
(v) G=(G flI/)X(GflV).
Доказательство. Пусть U — объединение всех
прямых, проходящих через 0 и целиком лежащих в G. Мы
утверждаем, что U — векторное подпространство в R". Для
доказательства этого факта возьмем х, у е U и X, р, б е R.
т«гда 8Хх лежит в U и, значит, также в G. Аналогично
8цу е G. Поэтому б {%х + цу) == 8Хх + 8цу <= G. Так как
это верно для всех 6eR, то ix + цу е U. Таким образом,
U — векторное подпространство в R" и G fl U = U,-

32
Гл.2
Пусть V— любое дополнительное к U подпространство,
т. е. Rn = U X U'. Значит, если geG, то g = h + k, где
h e U, k <= U'. Поскольку бэ(/, элемент h лежит в G, так
что k = g — h <= G. Значит, G = U X(G П I/')..
Положим l/ = spR (Gfl £/') и обозначим через W
некоторое дополнительное к V подпространство в U'. Тогда G П
[\W ={0}. Ясно, что G П V не содержит прямых, проходящих
через 0, откуда, в силу предложения 23, следует, что G П V
дискретна. П
Теорема 6. Пусть G — замкнутая подгруппа в R", л ^ 1.
Если г — ранг множества G (т. е.. spR (G) имеет размерность
г), то существует такой базис ah ..., ап пространства R",что
g = sPr{qi aP}XgP{aP+i ar}-
Таким образом, G топологически изоморфна Ир X Zr~", а
факторгруппа R"/G топологически изоморфна Tr-" X R"~r.
Прежде чем формулировать следующую теорему,
приведем некоторые факты о свободных абелевых группах.
Определение. Группа F называется свободной абелевой
группой, если она является ограниченным прямым
произведением конечного или бесконечного числа бесконечных
циклических групп. Каждая из этих бесконечных циклических
групп имеет по одному образующему, и множество S этих
образующих называется базисом группы F.
Замечания
(i) Можно показать, что абелева группа F является
свободной абелевой группой с базисом S тогда и только тогда,
когда S — подмножество в F, обладающее следующим
свойством: каждое отображение / множества S в любую абелеву
группу G продолжается единственным образом до
гомоморфизма группы F в G.
(и) Одно из следствий замечания (i) состоит в том, что
любая абелева группа G является факторгруппой некоторой
свободной абелевой группы. (Пусть F — свободная абелева
труппа с базисом S той же мощности, что и G. Тогда имеется
биекция ф множества S на G. Это отображение
продолжается до гомоморфизма Ф группы F на G.)
(Hi) Предложение 21 вместе с теоремой 4 показывают,
что любая подгруппа группы Z" изоморфна Zm для
некоторого т. Другими словами, любая подгруппа свободной
абелевой группы с конечным базисом является свободной
абелевой группой с конечным базисом. Можно показать, что
любая подгруппа свободной абелевой группы является свобод-

Подгруппы и факторгруппы группы R"
33
ной абелевой группой. Подробности см. в книге [20,стр. 119].
(iv) Наконец, отметим, что если абелева группа G
допускает гомоморфизм ф на свободную абелеву группу F, то она
изоморфна FX/4, где Л —ядро гомоморфизма ср. (Заметим,
что достаточно построить такой гомоморфизм 8 группы F в
G, что <р8 — тождественное отображение группы F. Для
построения гомоморфизма 6 возьмем базис S группы F и для
каждого s c= S выберем такой элемент gs e G, что <p(gs)= s.
Так как F — свободная абелева группа, то отображение
s^—*■gs множества S в G можно продолжить до
гомоморфизма 8 группы F в G. Ясно, что срб действует на F тождественно.)
Теорема 7. Пусть Н = УХ F, где V — делимая абелева
хаусдорфова группа, a F — дискретная свободная абелева
группа. Если G — замкнутая подгруппа в Я, то в Н
существует дискретная свободная абелева подгруппа F',
изоморфная группе F и такая, что
(i) H= VXF';
(и) G=(G()V)X(Gr)F').
Доказательство. Пусть яь #-»- К и я2: H-*-F —
проекции. Ограничение проекции я2 на G есть гомоморфизм
группы G в F с ядром G П V. Поскольку F — свободная абелева
группа и поскольку каждая подгруппа свободной абелевой
группы является свободной абелевой группой, группа G/G П V
свободная абелева. Значит, в силу приведенного выше
замечания (iv), группа G алгебраически изоморфна (бПЮХС,
где С — некоторая свободная абелева подгруппа в G.
Пусть pi и р2— ограничения проекций Я1 и я2
соответственно на С. Гомоморфизм р2 инъективен, так как С(") V —
= СПОПУ={0}.
С-^у F
Можно определить гомоморфизм Q: p2(C)-*-V, полагая
6(р2(с)) = р\(с), а затем с помощью предложения 17
продолжить его до гомоморфизма группы F в делимую группу V.
Имеем 0р2 = Pi- Если определить теперь гомоморфизм ср:
F-»-# формулой ф (х) = 0 (х) + х и положить F' = y(F), то
будем иметь Н = V X F' с алгебраической точки зрения.
Соответствующее разложение задается формулой
» + /-=(о-е(/)) + (8(/) + /) {ve-V.feF).

34 Гл. 2
Далее, Сs F', поскольку для любого с еС
с = Pi (с) + />2 (с) = 6 (р2 (с)) + />2 (с) =
= <p(p2(c))e=<p(F) = F'.
Поэтому условия (i) и (ii) выполнены в алгебраическом
__ смысл е.
Отображение ф: F-*-F'— алгебраический изоморфизм, и,
поскольку ф-1 индуцируется проекцией я2, Ф-1 непрерывно.
Но F дискретна, так что ф — гомеоморфизм и F' —
дискретная свободная абелева группа.
Для доказательства того, что Н обладает топологией
произведения относительно разложения Н= Vy,F', достаточно
показать, что соответствующие проекции п\: H-*-V и п'2:
Н -> F' непрерывны. Но это, очевидно, так, поскольку я' (А) =
= я, (А) — 6 (я2 (А)) и я2 (А) = я2 (А) + 6 (я2 (А)) для любого Ае
е Н. Значит, разложение G =(G П V)X(C? f) F') также
является топологическим. П
Следствие 1. Пусть G— замкнутая подгруппа в R"X'Zm.
Тогда G топологически изоморфна группе RaXZ6, где а^.п
и a-\-b^n + m. Далее, {RnX.Zm)/G топологически
изоморфна RcXTdXA где D — некоторая дискретная конечно
порожденная абелева группа (с f ^ m образующими) и с -\-
+ d < п.
Следствие 2. Пусть G — замкнутая подгруппа в R" X Тт X
X А где D — дискретная абелева группа. Тогда G
топологически изоморфна R" X Т* X D', где D' — некоторая
дискретная группа и a + b^n + m. Далее, (R"X TmX D)/G
топологически изоморфна Rc X Та X D", где D" — некоторая
дискретная группа и с + d ^ я + т.
Доказательство. Пусть F — дискретная свободная
абелева группа, имеющая D в качестве факторгруппы. (См.
замечания перед теоремой 7.) Тогда существует естественный
гомоморфизм факторизации р группы Rn+m X F на R"XTmX
X D. Значит, G — факторгруппа группы p~l(G)s. Rn+m X F.
Теорема 7 вместе с теоремой 6 описывают как подгруппу
p~l(G), так и ядро отображения группы p~l{G) на G, что и
приводит к нужному результату. П
Замечание. В следствии 2 мы не утверждали,, что а ^ я,
b ^ m и с ^ п. Эти неравенства в действительности верны.
Они будут следовать из доказанного выше, когда в нашем
распоряжении будет теорема двойственности Понтрягина —
ван Кампена.

Подгруппы и факторгруппы группы R" 35
Следствие 3. Пусть G — замкнутая подгруппа в Т". Тогда
она топологически изоморфна Та X А где D — некоторая
конечная дискретная группа и а ^.п.
Доказательство. Упражнение.
Определение. Топологические группы G и Н называются
локально изоморфными, если существуют такие окрестности
V точки е в G и 0 точки е в Н и такой гомеоморфизм /
окрестности V на U, что если х, у и ху одновременно
принадлежат окрестности V, то /(*{/) = f(x)f (у).
Пример. Группы R и Т локально изоморфны.
Предложение 24. Если D — дискретная нормальная
подгруппа топологической группы G, то G и G/D локально
изоморфны.
Доказательство. Упражнение.
Лемма. Пусть U — окрестность точки О в абелевой
топологической группе G и V — окрестность точки 0 в R", n ^ 1.
Если имеется непрерывное отображение f окрестности V на
U, такое, что из х <= V, у е V и х + у <= V следует f(x + y) =
= / (*) +1 (у) > т0 f можно продолжить до непрерывного
гомоморфизма группы R" на открытую подгруппу в G,
порожденную подмножеством U.
Доказательство. Упражнение.
Теорема 8. Пусть G — хаусдорфова абелева
топологическая группа, локально изоморфная R", и^ 1. Тогда G
топологически изоморфна Ra X Т6 X А где D — некоторая
дискретная группа и а + b = п.
Доказательство. По предыдущей лемме имеется
непрерывный гомоморфизм / группы R" на открытую подгруппу
Н в G. Так как группа G локально изоморфна R", то она
обладает компактной окрестностью точки 0 и, следовательно,
локально компактна. Значит, Н локально компактна.
Теорема об открытом отображении (теорема 3) утверждает, что
f — открытое отображение. Значит, Н — факторгруппа
группы R". Далее, ядро гомоморфизма / дискретно, поскольку в
противном случае существовали бы элементы х ф О,
произвольно близкие к 0 и такие, что f(x) = О, а это неверно, так
как / гомеоморфно отображает некоторую окрестность
точки 0 в G. Поэтому из теоремы б следует, что Н
топологически изоморфна Ra X Т6, где а + Ъ ^ п.
Группа Н является открытой делимой подгруппой в G, из
чего в силу предложения 18 следует, что G топологически

36
Гл.2
изоморфна Н X А где D === G/Я дискретна. Итак, G
топологически изоморфна R" X Т* X А что и требовалось. □
Следствие. Любая связная топологическая группа,
локально изоморфная R", я^1, топологически изоморфна
R*XT*, где а + Ь = п.
Замечание. В заключение этой главы отметим, что
некоторые из изложенных здесь результатов можно
распространить на произведения бесконечного числа экземпляров
группы R. Например, известно, что любая замкнутая подгруппа
оо
счетного произведения Ц Rt групп Ri, изоморфных R, топо-
логически изоморфна счетному произведению групп,
изоморфных R и Z. Однако этот результат не распространяется
на несчетные произведения. Подробности см. в [3] и [21].
УПРАЖНЕНИЯ. ЦИКЛ 5
1. Пусть я, J e R. Покажите, что подгруппа в R,
порожденная множеством {а, Ь}, замкнута тогда и только тогда,
когда а и b рационально зависимы.
2. Докажите, что любое линейное преобразование
векторного пространства R", я^ 1, на себя является
гомеоморфизмом.
3. (i) Пусть {at, ..., dp) — линейно независимое подмно-
р
жество в Rn, я^1, b==Yihat> гДе 'ieR. Покажите, что
gp{ai, ..., ap,b} дискретна тогда и только тогда, когда
ti tp — рациональные числа.
(п) Выведите отсюда следующий результат (о диофанто-.
вых приближениях). Пусть 6ь ..., 0Ч — набор из я
вещественных чисел. Для того чтобы для любого е > 0 существовали
целое число q и я целых чисел pi, i=\, ..., я,
удовлетворяющие условию
1<70/ — />/1<е, /=1, ..., я,
причем левая часть хотя бы одного из этих неравенств не
равна 0, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одно из
чисел Qt было иррациональным.
4. Покажите, что если G и Н — локально изоморфные
топологические группы, то существуют такие окрестности V
точки е в G и W точки е в Н и такой гомеоморфизм f
окрестности V на (/'.что если х, у и ху одновременно
принадлежат V, то f (ху) — f (x) f (у), и если *', у1 и х'у' одновременно
принадлежат U', то f~\(x'y'} = f~\(x/\l'1iy')_.
\

Подгруппы и факторгруппы группы R"
37
5. (i) Проверьте, что любая топологическая группа,
локально изоморфная хаусдорфовой топологической группе,
сама хаусдорфова.
(ii) Проверьте, что любая связная топологическая
группа, локально изоморфная абелевой топологической группе,
сама абелева.
(Ш) Докажите, что любая связная топологическая
группа, локально изоморфная R", п~^\, изоморфна RaXT*, где
■а + Ь = п.
6. Покажите, что если D — дискретный нормальный
делитель топологической группы G, то G и G/D локально
изоморфны.
7. Пусть U — окрестность точки 0 в абелевой
топологической группе G и V — окрестность точки 0 в R", п~^\. Пусть
имеется непрерывное отображение / окрестности V на U,
такое, что изхеК, г/еКих + г/<=К следует, что f (х + у) =
= f(x) + f{y). Покажите, что f можно продолжить до
непрерывного гомоморфизма группы R" на открытую подгруппу
в G, порожденную множеством U.
* * *
4 Зак. 561

Глава 3
Равномерные пространства
и двойственные группы
Равномерные пространства. Теперь мы остановимся
вкратце на равномерных пространствах. Дальнейшие
сведения см. в книгах [18] и [4].
Введем теперь некоторые обозначения, удобные для
нашей цели.
Пусть X — множество и X X X = X2 — произведение этого
множества на себя. Если V—подмножество в X2, то через
V-1 обозначим множество {(у, х) | {х, у) е= V}^X2. Если U и
V — подмножества в X2, то через,UV обозначим множество
всех таких пар (х, г), что для некоторого у^Х имеем
(х, у)е= U и (у, z)e= V. При V = U получаем множество U2.
Множество {(х, х) \ х <= X} называется диагональю.
Определение. Равномерная структура на множестве X —
это непустое семейство U подмножеств в Ху,Х, такое, что
(a) каждый элемент семейства U содержит диагональ;
(b) f/eU^U-'ell;
(c) если [/еИ, то существует такое Veil, что V2 s U;
(d) если {/eUHl/ett,T0(/nVeU;
(e) если £/ = U и £/ £ V £ X2, то Ve= U.
Пара (X, U) называется равномерным пространством.
Примеры. Если R — множество вещественных чисел, то
«обычная» равномерная структура на R — это семейство U
всех подмножеств U в RXR» таких, что {(х, у)\ \х — у\<
<r}Et/ для некоторого положительного вещественного
числа г.
На самом деле, если (X, d)—произвольное метрическое
пространство (d—метрика на X), то на X можно определить
равномерную структуру, взяв в качестве U набор всех таких
подмножеств U из XXX, что {(х, у) \d(x,y)<. r} s U для
некоторого положительного вещественного числа г.
Пусть G — топологическая группа и т — соответствующая
топология. В дальнейшем мы будем иногда писать (G, т)
Вместо .G, чтобы подчеркнуть, о какой топологии на G идет

Равномерные пространства и двойственные группы "39
речь. Для каждой окрестности U точки е положим
UL = {(x,y)\x-ly<=U} и Un^{(x,y)\xy-leV).
Тогда левая равномерная структура 8 на G состоит из всех
таких множеств 7eGXG, что Vэ f/L для некоторой
окрестности U. Аналогично определяется правая равномерная
структура. Двусторонняя равномерная структура состоит из
всех таких множеств W, что W э Ul или W э £/r для
некоторой U.
Если на множестве X задана равномерная структура U, то
на нем можно определить соответствующую топологию. Для
любой точки х е X положим Ux ={у <= Х\ (х, у)<= U}. Тогда
система Ux, где U пробегает семейство U, является базисом
окрестностей точки х для некоторой топологии. Это значит,
что подмножество Т множества X открыто в нашей топологии
тогда и только тогда, когда для каждой точки *еТ
существует такое 1/еИ, что Ux s T.
Легко проверяется, что чесли (G, т) — топологическая
группа, то топологии, порожденные левой, правой и
двусторонней равномерными структурами, все совпадают с заданной
топологией.
Определение. Пусть Е и F — топологические пространства,
Эй— произвольный набор подмножеств М из Е и
{У}—некоторый базис открытых множеств в F. Положим Р(М, V) —
= {f|f <= FE и f(M)^V}. (Через FE обозначается набор всех
функций f: Е-ь-F.) Семейство {Р{М, V)}, где М пробегает
ЭЙ, а V пробегает {V}, является предбазисом некоторой
топологии на FE.
Если F — хаусдорфово пространство и Эй— покрытие
пространства Е, то легко проверить, что эта топология хаусдор-
фова. Отметим два важных частных случая:
(a) Эй— набор всех конечных подмножеств в Е —
топология тогда называется р-топологией или топологией
поточечной сходимости;
(b) Эй — набрр всех компактных подмножеств в Е — тогда
мы получаем k-топологию, или компактно-открытую
топологию.
' Поскольку каждое конечное множество компактно, k-ro-
пология тоньше, чем р-топология. Значит, любое
^-компактное подмножество в FE является также р-компактным, но
обратное неверно.
Заметим, что FE с р-топологией — это не что иное, как
Ц Fx с топологией произведения, где каждое Fx гомеоморф-
лее
но пространству F.
4*

40
Гл. 3
Для нас представляет интерес подмножество C(E,F) в
FE, состоящее из всех непрерывных функций E^-F, и мы
хотим найти условия, гарантирующие ^-компактность
некоторого подмножества в С (Е, F).
Определение. Пусть Е и F — топологические пространства
и G — подмножество в FE. Топология на G называется
совокупно непрерывной, если отображение 6 произведения G X Е
в F, заданное формулой Q(g, х) = g(x), непрерывно.
Предложение 25. Любая совокупно непрерывная топология
на G E FE тоньше, чем k-топология.
Доказательство. Пусть т — некоторая совокупно
непрерывная топология на G, U — открытое подмножество в F,
К — компактное подмножество в Е и 0 — отображение,
переводящее (g, х) в g(x) (g e G, *е Е). Мы хотим показать,
что для любого /е Р(К, U) = {g\g ^ Си g(K)^ Щ имеется
такое множество W е т, что / е W = Р(К, U).
Так как 0 непрерывно по совокупности аргументов, то
множество V =(ду.К)(] Q~l(U) открыто в GXK- Если
f^P(K,U), то {/}ХК— V и, поскольку {f}y.K компактно,
существует такое W <= т, что f&W и WXk^Q~l(U).
Отсюда W<=lP{K, U), что и требовалось доказать. □
Предложение 26. Пусть Е и F—топологические
пространства и GsC(£,F). Множество G является k-компактным,
если
(a) G k-замкнуто в С(Е, F);
(b) замыкание множества {g(x)\g e G} компактно для
каждого хе£;
(c) р-тонология на р-замыкании множества G в FE
совокупно непрерывна.
Доказательство. Пусть G есть р-замыкание множе-
ства G в FE. В силу условия (Ь) множество Ц {g(x)\g^G}
хс=Е
является р-компактным^ Поскольку G является р-замкнутым
подмножеством этого множества, оно также р-компактно.
Согласно условию (с), р-топология на G совокупно
непрерывна, так что ffgC(£,f). Далее, в силу предложения 25,
р-топология на G тоньше, чем ^-топология, и, значит, эти
топологии совпадают. Таким образом, G ^-компактно. Так
как G является ^-замкнутым в C(E,F), a G является
^-компактным и содержится в C(E,F), то мы видим, что G само
^-компактно. □
Определение. Пусть Е — топологическое пространство и
F — равномерное пространство. Подмножество G в C(E,F)
J

Равномерные пространства и двойственные группы 41
называется равностепенно непрерывным в точке л;е£, если
для любого U из равномерной структуры U на F существует
такая окрестность V точки х, что (g(y), g(x))^ U для всех
j/gV и g e= G. Семейство G называется равностепенно
непрерывным, если оно равностепенно непрерывно в каждой
точке х е= Е.
Предложение 27. Пусть G — подмножество в С(Е, F),
равностепенно непрерывное в точке xg£. Тогда р-замыкание
G множества G в FE также равностепенно непрерывно в
точке х.
Доказательство. Упражнение.
Предложение 28. Пусть G — равностепенно непрерывное
подмножество в С (Е, F). Тогда р-топология на G совокупно
непрерывна.
Доказательство. Упражнение.
Комбинируя предложения 26, 27 и 28, мы получаем
следующий результат.
Теорема 9 (теорема Асколи). Пусть Е — топологическое
пространство и F — равномерное пространство.
Подмножество G в С(Е, F) является k-компактным, если
(a) G k-замкнуто.в С(Е, F);
(b) замыкание множества {g(x)\g^G} компактно для
любого хе£;
(c) G равностепенно непрерывно.
Замечание. Если Е — локально компактное хаусдорфово
пространство, a F — хаусдорфово равномерное пространство,
то справедлива теорема, обратная к теореме 9, т. е. любое
^-компактное подмножество G в С(Е, F) удовлетворяет
условиям (а), (Ь) и (с) (см. [18]).
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ в
1. Пусть (X, U) — произвольное равномерное пространство
и {X, т) — связанное с ним топологическое пространство.
Покажите, что пространство {X, х) регулярно.
2. Пусть (G, т) — топологическая группа. Покажите, что
топологии, связанные с левой, правой и двусторонней
равномерными структурами на G, совпадают с т.
3. (i) Пусть G — топологическая группа и {Un\n =
= 1,2, ...}—такой базис левой равномерной структуры на
G, что .. „•

42
Гл. 3
* 00
(а) П Un — диагональ в G X G;
(b)nbn+iUn+iUn+i^un;
(с) Un = U~l для любого п.
Покажите, что тогда на G существует такая метрика d, что
Un S {(*,у) \d{x,у) < 2-"} Е ип-\ для всех я>1 [Указание.
Определите вещественнозначную функцию f на G X G,-
полагая f(x,y)= 2-", если (^,|/)е(/н\^, и f (*, #) р= 0, если
(*, у) принадлежит всем Un. Нужная метрика d строится по
своему «первому приближению» f следующим способом. Для
любых х и у из G положим d(x,y) равным нижней грани
п
чисел X f(xi, Xi+i) по всем конечным последовательностям
хо, хи • • •. Xn+и таким, что х = х0 и у = xn+i-]
(ii) Докажите, что топологическая группа метризуема
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет первой
аксиоме счетности в единице, т. е. если она обладает счетным
базисом окрестностей единицы.
4. Пусть Е — топологическое пространство, F —
равномерное пространство и G — подмножество в C(E,F). Покажите,
что
(i) если G равностепенно непрерывно в точке х g= Е, то
р-замыкание множества G в FE также равностепенно
непрерывно в точке х;
(ii) если G — равностепенно непрерывное подмножество
в C(E,F), то р-топология в G совокупно непрерывна.
* * *
Теперь мы готовы начать изучение двойственности.
Определения. Если G — абелева топологическая группа, то
непрерывный гомоморфизм у: G-*-T называется характером.
Набор всех характеров называется группой характеров или
двойственной к G группой и обозначается через G* или Г.
Заметим, что G* становится абелевой группой, если для
любых 7ь Y2G= G* определить
(Yi + Y2)(g) = Yi(g) + Y2(g) для всех geG.
Вместо y(g), где т g Г н g g G, мы обычно будем писать
(g.Y)-
Пример 1. Рассмотрим группу Z. Каждый характер y
группы Z определяется значением y(1)> так как y(") = "Y(1)
для всех neZ. Разумеется, y(1) может быть произвольным
элементом группы Т. Для любого аеТ обозначим через уа

Равномерные пространства и двойственные группы 43
характер у группы Z, для которого у(\) — а. Тогда
отображение at-*-ya, очевидно, является алгебраическим
изоморфизмом группы Т на группу характеров группы Z. Таким
образом, двойственная группа Z* к группе Z алгебраически
изоморфна Т.
Пример 2. Рассмотрим группу Т. Мы утверждаем, что
любой ее характер у можно представить в виде у (х) — тх, где
т — целое число, характеризующее гомоморфизм у.
Для доказательства этого факта обозначим через К ядро
гомоморфизма у. Тогда, в силу следствия 3 из предложения
20, либо К — Т, либо К—конечная циклическая группа. Если
/С = Т, то у— тривиальный характер п у(х) = 0-х (JteT),
Если К—конечная циклическая группа порядка г, то, в силу
следствия 2 из предложения 20, группа Т/К топологически
изоморфна Т. На самом деле, если р — каноническое
отображение группы Т на Т//С, то топологический изоморфизм 0:
Т/К-*-Т задается формулой Qp(x) — rx. Пусть а —
непрерывный взаимно однозначный гомоморфизм группы Т в себя,
индуцированный характером у.
Т >Т
'I /
VK /
л/
т
Задача 1 из цикла 7 упражнений показывает, что а(х)=* х
для всех JteT или а(х) = —х для всех ^еТ, Поэтому
у (х) — гх или у (х) = —гх для всех х е= Т.
Значит, каждый характер у группы Т имеет вид у = ут
для некоторого weZ, где ут{х) — тх для всех хеТ.
Разумеется, ут -f уп — ут+п- Таким образом, двойственная к Т
группа Т* алгебраически изоморфна Z, причем изоморфизм
имеет вид т *-*■ ут.
Пример 3. Рассмотрим группу R. Мы утверждаем, что
каждый характер у группы R можно выразить в виде у (•*)=*
— е2яшх j^g^ где d — фиксированное вещественное чис-
^ло, определяющее у — уа- Далее, уо + у» = 7а+*- Таким
образом, двойственная к R группа алгебраически изоморфна
самой R, причем изоморфизм имеет вид d'y—>yd.
Для доказательства этого утверждения обозначим через
К ядро характера у. Если К = R, то у = у0. Если К ф R, то,

44
Гл. 3
согласно предложению 20, К изоморфна Z. Далее, в силу
следствия 2 из предложения 20, факторгруппа R//C
топологически изоморфна Т. Как и в примере 2, для
индуцированного алгебраического изоморфизма R//C->-T имеются лишь
две возможности. Из них возникают случаи у — у\/а и у ==>
= v-1/o. гДе а — наименьший элемент группы К- Таким обра-
зом, каждый у имеет вид уа для некоторого deR и,
значит, R алгебраически изоморфна двойственной к ней группе.
Теперь мы введем в G* топологию.
Замечание. Отметим, что G* есть р-замкнутое
подмножество в C(G,T).
Предложение 29. Пусть G— произвольная абелева
топологическая группа. Тогда группа G*, снабженная р-тополо-
гией или k-топологией, является хаусдорфовой абелевой
топологической группой.
Доказательство. Упражнение.
Теорема 10. Если G — произвольная LCA-группа, то G*,
снабженная k-топологией, является LCA-группой.
Доказательство. Для доказательства того, что G* с
^-топологией локально компактна, возьмем любую
компактную окрестность U точки 0 в G и положим Va—{t\t =
= е2"1* еТ и 1 > х > 1 — а или а > х ^ 0}, где а —
положительное вещественное число <1/4. Тогда Va — открытая
окрестность точки 0 в Т.
Пусть Na = P(U, Va)={y^ G*\ (g,y)<= Va для всех ge
et/}. По определению ^-топологии Заявляется окрестностью
точки 0 в G*. Мы покажем, что А-замыкание cUJVa
множества Na ^-компактно. При этом будет использована
теорема 9.
Сначала покажем, что Na равностепенно непрерывно.
Пусть задано е > 0. Мы хотим показать, что существует
такая окрестность U\ точки 0 в G, что для всех у е Na и g, h
и g — h из i/i имеем (g — h, y) = (g, y)—-(h, y)e Ve, где
Vg ={t\t = e2*'* e= T и 1 > x > 1 — e или e > x > 0}.
Предположим, что такой окрестности U\ не существует.
Не ограничивая общности, можно допустить, что е < 1/4.
Пусть п — такое положительное целое число, что 1/2 > п& >
£> а. Далее, пусть W. — такая симметрическая окрестность
точки 0 в G, что
(1) t,WtS£U, где Wi = W для вгех /.
i . ■ ■ i-i

Равномерные пространства н двойственные группы 45
Тогда в силу предположения имеем (g — h, у) ф. Ve для
некоторых g и h из W, таких, что g — AgF, и некоторого
Y e Na- He ограничивая общности, можно считать, что (g — h,
у) = е2я1х, где а > х ^ е. Пусть / — такое положительное
целое число г^о, что \/2> jx> а. Тогда (j(g — h),у)ф Va.
Но так -как jg, jh и j(g — К) все принадлежат U в силу (1),
то (j(g — h),y)^Va, что дает противоречие. Значит, Na
равностепенно непрерывно.
Согласно предложению 27, р-замыкание множества Na
равностепенно непрерывно. Так как любое подмножество
равностепенно непрерывного множества равностепенно
непрерывно и сЦ Na — подмножество р-замыкания множества Na,
то cUJVa равностепенно непрерывно.
Поскольку Т компактна, условие (Ь) теоремы 9 также
выполнено, и, значит, сЦМа — компактная окрестность точки
0. Таким образом, группа G* с ^-топологией локально ком-
пактна. D
Из доказательства теоремы 10 вытекает также
Теорема 11. Пусть G— некоторая LCA-группа, Г —
двойственная к ней группа, снабженная k-топологией, К—ком*
пактная окрестность точки 0 в G и Va = {t \ t = е2*'х е= Т, где
1 > х > 1 —а или а > х ^ 0} для некоторого положитель-
ного вещественного числа а < 1/4. Тогда Р (К, Va) — компакт*
ная окрестность точки 0 в Г.
Обозначение. Начиная с этого места, через G* или Г
будет обозначаться двойственная к G группа, снабженная k-то-
пологией.
Теорема 12. Пусть G — некоторая LCA-группа и Г — двои-
ственная к ней группа. Если G компактна, то Г дискретна.
Если G дискретна, то Г компактна.
Доказательство. Пусть G компактна и Va выбрана
так же, как в теореме 11. Тогда P(G, Va)—окрестность
точки 0 в Г. Так как Va не содержит подгрупп, отличных от {0},
то P(G,Va) = {0}. Таким образом, Г имеет дискретную
топологию.
Пусть G дискретна. Тогда по теореме 11 P({0},Va) —
компактное подмножество в Г. Но Р({0}, Va), очевидно,
совпадает с Г, так что группа Г компактна. D
Следствие. Двойственная к Т группа Т* топологически
изоморфна Z.

46
Гл. 3
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 7
.1. Покажите, что если у— непрерывный взаимно
однозначный гомоморфизм группы Т в себя, то либо у(д:) = д:для
всех д:еТ, либо у(х) = —х для всех *еТ. [Указание.
Сначала покажите, что у сюръективен. Затем убедитесь, что Т
обладает только одним элементом порядка 2.]
2. Покажите, что если G— любая абелева топологическая
группа, то G*, снабженная р-топологией или А-топологией,
будет хаусдорфовой топологической группой. [Указание.
Пусть yi — Y2 ^ Р(К, U), и пусть № — такая открытая
симметрическая окрестность точки 0 в Т, что 2№ + (yi —
*~ 72) (A) s U. Убедитесь, что
(Yi -f Р (К, W)) - (vs + Р (К, Ю) а Р (К, U).]
3. Покажите, что двойственная к Z группа топологически
изоморфна Т.
4. Покажите, что R топологически изоморфна
двойственной к ней группе.
5. Найдите группы, двойственные к дискретным конечным
циклическим группам.
6. Пусть G — произвольная абелева топологическая
группа и G* — двойственная к ней группа. Покажите, что
семейство всех множеств Р (К, Ve), где К пробегает все
компактные подмножества в G, содержащие 0, а е пробегает все
положительные числа <1, является базисом открытых окрест*
ностей точки 0 для А-топологии в (?*,

Глава 4
Введение в теорему двойственности
Понтрягина — ван Кампена
Мы начнем с формулировки теоремы двойственности.
Теорема. Пусть G— произвольная LCA-группа и Г —
двойственная к ней группа. Для фиксированного g e G
обозначим через g' функцию Г-»-Т, заданную формулой g'(y) =
= y(g) для всех у е Г. Если определить отображение а
формулой a (g) = g', то оно будет изоморфизмом
топологической группы G на Г*.
Зам ечания
(i) Грубо говоря, это значит, что каждая LCA-группа
является двойственной группой к своей двойственной группе.
(И) Эта теорема утверждает, что любая информация о
некоторой LCA-группе содержится в информации о
двойственной к ней группе. В частности, вся информация о
компактной хаусдорфовой абелевой группе содержится в
информации о двойственной к ней группе — некоторой дискретной
абелевой группе. Таким образом, любая компактная хаус-
дорфова абелева группа может быть полностью описана при
помощи чисто алгебраических свойств двойственной к ней
группы. Например, мы увидим, что если G — компактная
хаусдорфова абелева группа, то .
(a) G метризуема тогда и только тогда, когда Г счетна;
(b) G связна тогда и только тогда, когда Г — группа
без кручения.
Лемма>. В обозначениях сформулированной .выше теоремы
а есть непрерывный гомоморфизм группы Gel*.
Доказательство. Прежде всего нужно показать, что
a(j)eP, т. е. что a(g) = g' есть непрерывный
гомоморфизм группы Г в Т. "Так как a(g) (yi + Y2) = (Yi + Y2) (g) =
= Yi(g) + Y2 (g)= a (g)(Yi)+ a (S) Ы Для всех yi и у2 из Г,
то a(g) есть гомоморфизм Г->Т. Для доказательства того,
что a(g) непрерывен, достаточно заметить, что a(g)(y)& Ve,
если 7 е P({g}> Уе), где Ve — выбранная в теореме 10

48
Гл. 4
е-окрестность точки 0 в Т. Таким образом, а отображает G
в Г.
Отображение а является гомоморфизмом, поскольку из
равенств a(gi + g2) (?) = y{gi + g2)=y{gi) + уЫ =
= a(&i)(Y)+a(&2)(Y) Для всех уеГ следует, что a(gi +
+ g2)=a(gi)+ a(g2) Для всех gx и g2 из G.
Для доказательства непрерывности гомоморфизма а
достаточно проверить его непрерывность в точке OgG. Пусть
W — любая окрестность точки 0 в Р. Без ограничения
общности можно предположить, что W = P(K,Ve) для
некоторого компактного подмножества /С в Г. Нам нужно найти
окрестность точки 0 в G, которая отображается в W.
Пусть U — любая открытая окрестность точки 0 в G,
такая что О компактна. Рассмотрим окрестность Р(0, Уе/2)]
точки 0 в Г. Набор {у + P{0,Vt/2)} покрывает компактное
множество К, и потому существуют такие уь • • •. Ут е= Г,
что Ks(vi + P{0,Vtp))\) ...\)(vm + P(0,Vt/2))- Пусть
U\ — такая окрестность точки 0 в G, что U\ s U и yi(g)^
е= Vg/2 Для всех gG(/| и i= 1, ..., т. (Такую окрестность
можно выбрать, поскольку у< непрерывны.) Мы утверждаем,
что U\ — требуемая окрестность. Для доказательства этого
возьмем g e= U\ и рассмотрим a(g)(y), где у е= К. Имеем
Y e= yt + Р(0, Ve/г) для некоторого te={l, ..., m}. Поэтому
V — Y«e Р(В> VB/2). Таким образом, (у — yi) (g)^ Ve/2 для
g e= £/i = £Л Поскольку у«(#)е Уе/2, отсюда следует, что
у (g) <= Ve/2 + Ve/2 s Ve. Значит, a (g) (y) s Ve, что и
требовалось. □
Доказательство теоремы двойственности будет
продолжено в следующих двух главах. В первой из них теорема
двойственности доказывается для компактных групп и
дискретных групп. Во второй она распространяется на все LCA-
группы.
В литературе имеется несколько доказательств теоремы
двойственности. Наиболее элегантное содержится в книге Ру-
дина [33]. Хьюитт и Росс [45] используют более
классический подход, развивая сначала структурную теорию LCA-
групп, а затем' применяя ее к доказательству двойственности.
Изящное доказательство дано в работе [32]. Сошлемся
также на работы [7], [17], [31], [27] и, конечно, на книгу
Л. С. Понтрягина [29].
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 8
1. Покажите, что Z удовлетворяет теореме
двойственности. (Замечание. Это больше, чем просто показать, что
группа Z** топологически изоморфна Z. Вы должны доказать,

Теорема двойственности Понтрягина — вая Кампена 49
что отображение а из'теоремы двойственности является
топологическим изоморфизмом.) [Указание. См. примеры 1 и 2
в гл. 3.]
- 2. Покажите, что Т удовлетворяет теореме
двойственности. [Указание. Сначала покажите, что а инъективно и сюръ-
ективно. Затем используйте теорему об открытом
отображении.]
3. Докажите, что любая дискретная конечная циклическая
группа удовлетворяет теореме двойственности.
4. Докажите, что R удовлетворяет теореме
двойственности.
* * *
В оставшейся части этой главы мы сделаем несколько
наблюдений, которые понадобятся в доказательстве теоремы
двойственности, но представляют также самостоятельный
интерес.
Теорема 13. Если G\, ..., Gn — некоторые LCА-группы с
двойственными группами Гь ..., Гп соответственно, то Г =
= 1\ X Г2 X • • • X Г„ двойственна к группе G = Gx X G2 X • • •
...XG„.
Доказательство. Достаточно доказать это для
случая п = 2. Если g — g\ -\- g2 — единственное представление
элемента geG в виде суммы элементов групп Gi и Ог, то
пара характеров yi e Г] и у2s Г2 определяет характер
уеГпо формуле
(О (g, Y) = (gi> Yi) + (ft, Y2).
Поскольку каждый у е Г полностью определяется своими
значениями на подгруппах G\ и Ог, формула (1) показывает,
что с алгебраической точки зрения Г является прямым
произведением групп Г[ и Гг.
Для доказательства того, что Г имеет топологию
произведения Г] X Гг, заметим просто, что
(a) P(K,Ve)=2P(KuVe/2) + P(K2,Vt/2), где /(-любое
компактное подмножество в G = G\ X G2, Ki = pi(K), K2 —
= рг{К) и pi, p2 — проекции группы С на Oi и G2
соответственно;
(b) если Ki — компактное подмножество в G\,
содержащее 0, и К2— компактное подмножество в G2, содержащее'
О, то
P(KiXK2, vg = P(Ki, Ve) + P(K2, Ve).
(См, задачу 6 из цикла 7"упражнений.)^ □

50
Гл. 4
Следствие 1. Для любого п ^ 1 группа R" топологически
изоморфна двойственной к ней группе.
Следствие 2. Для любого п ^ 1 группы Т" и Z" являются
двойственными друг к другу.
Следствие 3. Если G\, ..., Gn — некоторые LCA-группы,
удовлетворяющие теореме двойственности, то GiXG2X •••
... X Gn удовлетворяет теореме двойственности. В частности,
теореме двойственности удовлетворяют группы вида Ra X
X Т* X G, где G — дискретная конечно порожденная абелева
группа и а и b — неотрицательные целые числа.
Доказательство. Упражнение.
Теорема 13 показывает, что группа, двойственная к
произведению, является произведением двойственных групп. Мы
увидим в свое время, что группа, двойственная к подгруппе,
является факторгруппой и что группа, двойственная к
факторгруппе, является подгруппой. В качестве первого шага
в этом направлении мы получаем следующее
Предложение 30. Пусть f — непрерывный гомоморфизм
LCA-группы А в LCA-группу В. Пусть /*: В*-*-А* —
отображение, определенное формулой f*(y) (a)= vf (a) для любых
ysB* и а^А. Тогда /* — непрерывный гомоморфизм
группы В* в А*. Если f сюръективен, то f* инъективен. Если f
одновременно открыт и'инъективен, то f* сюръективен.
A -U В
т
Доказательство. Проверка того, что f* —
гомоморфизм группы В* в А*, проводится обычным образом. Для
доказательства непрерывности отображения f* рассмотрим пред-
базисное открытое множество P(K,U) в А*, где U —
открытое подмножество в Т, а К—компактное подмножество в А.
Непрерывность гомоморфизма /* следует из того факта, что
(f*)-,(P(/C, U)) = P(f(K), U) есть открытое подмножество
в В*.
Предположим, что f сюръективен, и допустим, что /*(yi) =
= HY2), гДе 7ь У2^В*. Тогда /*(Yi) (а) = f*(y2) (а) для всех
аеЛ, т.е. yi/(«) = 7г/(а) Для Bc^x ael Поскольку /
сюръективен, отсюда следует, что yi{b) = y2(b) для всех
6еВ. Значит, 71 — уч и /* инъективен.
Предположим, что f открыт и инъективен. Пусть б е А*.
Поскольку / инъективен, из предложения 17 следует, что

Теорема двойственности Понтрягина —• ван Кампена 51
имеется (не обязательно непрерывный) гомоморфизм у:,В-*'
->Т, такой, что 8 = yf. Так как б непрерывен, a f — открытое
отображение, то у на самом деле непрерывен, т. е. уеВ*.
Поскольку f (у) = б, мы видим, что f* "сюръективен. D
Следствие 1. Если.В — факторгруппа группы А, где А и В
одновременно либо компактные хаусдорфовы абелевы
группы, либо дискретные абелевы группы, то В* топологически
изоморфна некоторой подгруппе группы А*
Доказательство. Упражнение.
Следствие 2. Если А — подгруппа группы В, где А и В —■
дискретные абелевы группы, то А* — факторгруппа группы
В*.
Доказательство. Упражнение.
Замечание. Как уже было сказано, мы увидим в свое
время, что следствие 1 и следствие 2 остаются верными, если
заменить в них предположения «компактные хаусдорфовы»
и «дискретные» на «локально компактные хаусдорфовы».
Как видно из следующей леммы, прежде чем доказывать
теорему двойственности, нам нужно показать, что характеры
LCA-групп разделяют точки.
Лемма. В обозначениях теоремы двойственности
отображение а является инъективным тогда и только тогда, когда
характеры группы G разделяют точки, т. е. когда для
любых g и h из G, таких, что g ф h, найдется такой элемент
уеГ, что у(ё)фу(Н).
Доказательство. Допустим, что а инъективно.
Предположим, что существуют g и h из G, такие, что g фп, но
y(g) = y(h) Для всех у^ Г. Тогда a{g) (y)= a (ft) (у) для
всех у е Г. Поэтому a(g)= a(h), откуда следует g = h —
противоречие. Значит, характеры группы G разделяют точки.
Допустим теперь, что характеры группы G разделяют
точки. Пусть g, ft e G и gФ ft. Тогда существует такой у е
еГ, что у(д)Фу(Щ< Значит, а^){у)Ф a(h) (у), откуда
следует, что a(g)# a (Л). Поэтому а инъективен. □
Последнее предложение этой главы должно напомнить
читателю теорему Стоуна — Вейерштрасса.
Предложение 31. Пусть G — некоторая LCA-группа и Г —
двойственная к ней группа. Пусть G удовлетворяет теореме
двойственности и обладает также следующим свойством:
любуя нетривиальная хаусдорфова факторгруппа Т/В группы Г,

52
Гл. 4 v
имеет нетривиальный характер. Если А — подгруппа в Г,
разделяющая точки группы G, то А плотна в Г.
Доказательство. Предположим, что А не плотна в
Г. Если В — замыкание подгруппы Л в Г, то Г/В —
нетривиальная LCA-группа. Поэтому существует нетривиальный
непрерывный гомоморфизм q>: Г/Б-*-Т. Пусть f —
канонический гомоморфизм Г->Г/Б. Тогда q>f—непрерывный
гомоморфизм Г-vT. Далее, фДГ)#0, но ср/(В) = 0. Так как G
удовлетворяет теореме двойственности, то имеется такой
g^G, что yf{y) = y{g) для всех у е Г. Тогда y(g) = 0 для
всех у^А. Но поскольку А разделяет точки группы G,
отсюда следует, что g = 0. Поэтому фДГ) = 0, что дает
противоречие. Значит, А плотна в Г. О
Разумеется, в дальнейшем мы увидим, что вторая фраза
в формулировке предложения 31 является излишней.
УПРАЖНЕНИЯ. ЦИКЛ в
1. (i) Покажите, что если Gu ,,,, G„ — некоторые LCA-
группы, удовлетворяющие теореме двойственности, то G\ X
X G2 X • • • X Gn удовлетворяет теореме двойственности.
(и) Выведите отсюда, что любая дискретная конечно
порожденная абелева группа удовлетворяет теореме
двойственности. [Указание. Используйте тот факт, что любая
конечно порожденная абелева группа есть прямое
произведение конечного числа циклических групп.]
(iii) Выведите отсюда, что RaXT*X<? удовлетворяет
теореме двойственности, где G — дискретная конечно
порожденная абелева группа, а и b — неотрицательные целые
числа.
2. Покажите, что если В — факторгруппа группы Л, где
Л и В одновременно либо компактные хаусдорфовы абелевы
группы, либо дискретные абелевы группы, то В*
топологически изоморфна подгруппе группы Л*.
3. Покажите, что если Л — подгруппа группы В, где А и
В — дискретные абелевы группы, то Л* — факторгруппа
группы В*.
4. Покажите, что если G — любая LCA-группа и Г — двои'
ственная к ней группа, то характеры группы Г разделяют
точки.
* * *

Глава 5
Двойственность для компактных
и дискретных групп
В предыдущей главе (см. лемму, предшествующую
предложению 31) "мы видели,, что если топологическая группа
удовлетворяет теореме двойственности, то ее характеры
разделяют точки. Уже в следствии из предложения 17 было
указано, что дискретные абелевы группы обладают этим
последним свойством. Для компактных групп мы должны
заимствовать один результат из теории представлений топологических
групп. (Краткий очерк этой теории см. в [41]. Более
подробное изложение можно найти в [1], [45, т. I], [29] и [42].)
Теорема (Петер, Г. Вейль, ван Кампен). Пусть G— ком-
. пактная хаусдорфова группа. Тогда она имеет достаточно
много непрерывных представлений унитарными матрицами.
Другими словами, для каждого g gG, g Ф е, существует
непрерывный гомоморфизм ф группы G в унитарную группу
U (и) для некоторого п, такой, что q> (g) Ф е.
Если G абелева, то без ограничения общности можно
считать, что п = \. Поскольку U(l)= T, получаем следующую
теорему.
Теорема 14. Характеры любой компактной хаусдорфовой
абелевой топологической группы разделяют точки.
Теорема 14 была впервые доказана Джоном фон
Нейманом для компактных метризуемых абелевых групп. Вывод
теоремы 14 из результата фон Неймана намечен в задачах 2
и 3 цикла 10 упражнений.
Следствие 1. Пусть G — компактная хаусдорфова абелева
группа. Тогда она топологически изоморфна замкнутой
подгруппе произведения Ц Tt, где все Ti топологически изо-
<е/
' морфны Т и I — некоторое множество индексов.
Доказательство. Упражнение,

54 Гл. б
Следствие 2. Пусть G— компактная хаусдорфова абелева
группа. Тогда каждая окрестность U точки О содержит
такую замкнутую подгруппу Н, что G/H топологически
изоморфна Т" X D для некоторой конечной дискретной группы D
и л>0.
Доказательство. Упражнение.
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 10
1. Используя задачу 4(iii) из цикла 3 упражнений,
покажите, что характеры любой компактной вполне несвязной
абелевой топологической группы разделяют точки.
2. Покажите, что любую компактно порожденную
локально компактную хаусдорфову группу G можно
аппроксимировать метризуемыми группами в следующем смысле: для
любой окрестности U точки е существует такая компактная
нормальная подгруппа Н группы G, что Я={/ и G/H метри-
зуема. [Указание. Пусть VY, У2, VW ... — такая
последовательность симметрических компактных окрестностей точки е,
что (i) Vi <= t//(ii) Уп+i = Vn для п^\; (iii) g~lVng<= Vn-i
для п ^ 2 и g e К, где К — компактное множество, порож-
00
дающее G. Положите Н = Г\ Vn и используйте задачу 3 (Н)"
. цикла 6 упражнений.]
3. Используя задачу 2, выведите утверждение (В) из
утверждения (А):
(A) Характеры любой компактной метризуемой абелевой
группы разделяют точки.
(B) Характеры любой компактной хаусдорфовой
абелевой группы разделяют точки.
4. (i) Покажите, что любая компактная хаусдорфова
абелева группа G топологически изоморфна подгруппе
произведения Ц Tt групп, изоморфных Т. [Указание. См. доказа-
i s/
тельство теоремы 1.]
(и) Если G, кроме того, метризуема, то покажите, что
множество индексов / может быть выбрано счетным.
[Указание. Используйте задачу 3(H) цикла 6 упражнений.]
(iii) Используя (i), покажите, что если G — произвольная
компактная хаусдорфова абелева группа, то любая
окрестность U точки 0 содержит такую замкнутую подгруппу Н,
что G/H топологически изоморфна Т"Х£ для некоторой
конечной дискретной группы D и п ^ 0. [Указание.
Перечитайте «Замечания о произведениях» из гл. 1. Используйте
следствие 3 теоремы 7.]

Двойственность для компактных и дискретных групп 86
5. Покажите, что любая компактная хаусдорфова группа
топологически изоморфна некоторой подгруппе произведения
оо
групп, изоморфных U, где (/ = П U (п).
«с «с «с
Следующее предложение содержит' недостающую
информацию для доказательства, теоремы двойственности для
компактных и дискретных групп. {Его следует сравнить с
предложением 31.)
Предложение 32. Пусть G— дискретная абелева группа
и Г — двойственная к ней группа. Если А — подгруппа в Г,
разделяющая точки группы G, то А плотна в Г.
Доказательство. Как следует из определения
топологии в Г, достаточно показать, что любое непустое предба-
зисное открытое множество Р(К, £/),где К—компактное
подмножество в G, a U — открытое подмножество в Т, имеет с
А непустое пересечение.
Поскольку G дискретна, К конечно. Пусть Н — подгруппа
в G, порожденная множеством К, и пусть f*: Г->-Я*
—отображение, полученное при помощи ограничения характеров
группы G на Н. Согласно предложению 30 и его следствию 2,
f* — открытый непрерывный гомоморфизм группы Г на Н*.
Так как А разделяет точки группы G, то f*(A) разделяет
точки группы Н. В силу следствия 3 из теоремы 13, группа Н
удовлетворяет теореме двойственности. Поэтому из
предложения чП следует, что f*(A) плотна в Н*. Значит, f*(P(К,
и))[\^(А)Ф 0. Иными словами, существует такой
характер у е А, что его ограничение на Н отображает К в U.
Разумеется, это означает, что у е Р(К, U)fl A. D
Теорема 15. Пусть G —компактная хаусдорфова абелева
группа и Г — двойственная к ней группа. Тогда каноническое
отображение а группы G в Г* является изоморфизмом
топологической группы G на Г*.
Доказательство. Как следует из двух лемм гл. 4 и
теоремы 14, а является непрерывным взаимно однозначным
гомоморфизмом группы G в Г*. Ясно, что a(G) разделяет
точки группы Г. Так как Г дискретна, то из предложения 32
следует, что a(G) плотна в Г*. Но a(G) компактна и,
значит, замкнута в Г*. Итак, a(G) = Y*, т. е. отображение a
сюръективно. Наконец, теорема об открытом отображении

56
Гл. б -
утверждает, что а является также открытым
отображением. □
Следствие 1. Пусть G— компактная хаусдорфова абелева
группа и Г — двойственная к ней группа. Если А — подгруппа
в Г, разделяющая точки группы G, то А = Г.
Доказательство. Это непосредственно следует из
теоремы 15, предложения 31, следствия предложения 17 и
теоремы 12. П
Следствие 2. Пусть G — некоторая LCA-группа,
характеры которой разделяют точки, и пусть К — компактная
подгруппа в G. Тогда каждый характер группы К продолжается
до характера группы G.
Доказательство. Совокупность характеров группы К,
продолжающихся до характеров группы G, составляет
некоторую подгруппу А в К*. Поскольку характеры группы G
разделяют точки, А разделяет точки группы К- Поэтому, в
силу следствия 1, А = К*. О
Следствие 3. Пусть В —некоторая LCA-группа,
характеры которой разделяют точки, и пусть f — непрерывный
взаимно однозначный гомоморфизм некоторой компактной
группы А в В. Тогда отображение f*: В* -> А*, описанное в
предложении 30, является факторным гомоморфизмом.
Доказательство. Упражнение.
Теорема 16. Пусть G — дискретная абелева группа и Г —
двойственная к ней группа. Тогда каноническое отображение
а является изоморфизмом топологической группы G на Г*.
Доказательство. Как и в теореме 15, а есть
непрерывный взаимно однозначный гомоморфизм группы G в Г*.
Так как a(G) разделяет точки группы Г и Г компактна, то
из доказанного выше следствия 1 вытекает, что a(G) = T.
Поскольку G и Г* дискретны, доказательство на этом
заканчивается. □
В заключение этой главы мы покажем, каким образом
теорема двойственности приводит к полному описанию
компактных хаусдорфовых абелевых периодических групп.
(Напомним, что труппа G называется периодической, если каждый
ее элемент имеет конечный порядок.) Первым шагом
является следующий интересный результат.
Теорема 17. Если G — прямое произведение любого
семейства {Gi[i^J} компактных хаусдорфовых абелевых

Двойственность для компактных и дискретных групп 67
групп, то дискретная группа G* алгебраически изоморфна
ограниченному прямому произведению соответствующих
двойственных групп {Ti\i e /}.
Доказательство. Каждый элемент g^G можно
представлять себе в виде строки g =(■■■, gi, ■■■), причем
групповая операция есть покомпонентное сложение. Если
у =(..., y«. •••)> гДе V е Гг и лишь конечное число
характеров y< отлично от 0, то у есть характер группы G,
определенный формулой {g, y) = 2 (&г> Yi) для всех g e G. (За-
i e= /
метим, что эта сумма конечна!) Обозначим через А
подгруппу в {?*, состоящую из всех таких у. Тогда А алгебраически
изоморфна ограниченному прямому произведению семейства
Мы утверждаем, что А разделяет точки группы G. Для
доказательства этого возьмем g e G, g Ф- 0. Тогда g =
= (..., gi, ...), причем некоторый gi отличен от 0. Поэтому
существует такой yi^Tt, что ydgi)¥::0. Полагая у =
= (..., у/, ...), где y/ = 0 во всех случаях, кроме } = i, мы
видим, что y(g) = yi{gi) ф 0. Поскольку у^А, А разделяет
точки группы G. В силу следствия 1 из теоремы 15, отсюда
вытекает, что А = G*. П
Следствие. Любая счетная абелева группа алгебраически
изоморфна факторгруппе счетного ограниченного прямого
произведения групп Z,
Доказательство. Пусть G — счетная абелева группа.
Введем в ней дискретную топологию и обозначим через Г
двойственную к ней группу. Разумеется, Г компактна.
Согласно задаче 4(i) из цикла 10 упражнений, она
топологически изоморфна подгруппе произведения Ц Tt групп, изо-
i e /
морфных Т, причем мощность множества индексов / равна
мощности группы Г*. По теореме 16 Г* топологически
изоморфна G. Поэтому она топологически изоморфна подгруппе
счетного произведения групп Т. Рассматривая двойственные
группы и используя теорему 17 и следствие 3 из теоремы 15,
мы получим требуемый результат. D
Конечно, это следствие вытекает также из того факта,
что свободная абелева группа со счетным базисом является
счетным ограниченным прямым произведением групп Z и что
любая счетная абелева группа есть факторгруппа свободной
абелевой группы со счетным базисом.
Замечание. Каплан [15] исследовал обобщения теоремы 17
на прямые произведения некомпактных групп. Так как пря-

58 Гл. б
мое произведение LCA-групп не является, вообще говоря,
LCA-группой, то мы должны, прежде всего, сказать, что
понимается под двойственной группой в общем случае. Если
G — произвольная абелева топологическая группа, то мы
определим Г как группу непрерывных гомоморфизмов группы
G в Т с компактно-открытой топологией. Тогда Г—абелева
топологическая группа, и мы можем таким же способом
построить Г*. Как и в локально компактном случае, имеется
естественное отображение а, переводящее geG в
некоторую функцию a{g): Г->Т. Мы можем теперь спросить, для
каких групп а является изоморфизмом топологической
группы G на Г*. Такие группы будут называться рефлексивными.
Удовлетворительного описания этого класса групп не
известно, но он включает не только все LCA-группы, но и все
банаховы пространства (рассматриваемые как
топологические группы); см. [36]. Каплан показал, что если {Gt\i&
е /}— семейство рефлексивных групп, то Ц Gt — также
is/
рефлексивная группа. Двойственная к ней группа
алгебраически изоморфна ограниченному прямому произведению
семейства {G* 1i e /}. Топология двойственной группы
описывается довольно сложно, но в случае, когда / счетно, она
совпадает с индуцированной топологией на подпространстве
Ц G*, если снабдить Ц G] ящичной топологией. Эти ре-
ieJ is/
зультаты применимы, в частности, к случаю, когда все Gt
являются LCA-группами, что дает обобщение теоремы 17.
Другие сведения о рефлексивных группах см. в [3], [8],
[28], [6], [9].
Для доказательства структурной теоремы о компактных
хаусдорфовых абелевых периодических группах нам
придется позаимствовать следующий результат из теории абелевых
групп (см. [39, стр. 107]):
Теорема. Абелева группа, порядки элементов которой
ограничены в совокупности, алгебраически изоморфна
ограниченному прямому произведению Ц Z(bt) с конечным числом
ie/
различных bi, где Z (6«)—дискретная циклическая группа
порядка bi-
Теорема 18. Любая компактная хаусдорфова абелева
периодическая группа топологически изоморфна П Z(6,), где
I — некоторое множество индексов и имеется лишь конечное
число различных bi.
Доказательство. Упражнение.

Двойственность для компактных н дискретных групп 59
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 11
1. Пусть f — непрерывный взаимно однозначный
гомоморфизм компактной группы А в LCA-группу В, характеры
которой разделяют точки. Покажите, что отображение /*: В*->
-*-А*, описанное в предложении 30, является факторным
гомоморфизмом.
2. Покажите, что любая компактная хаусдорфова абелева
периодическая группа G топологически изоморфна
произведению Ц Z(bt), где Z(bt) — дискретная циклическая группа
порядка bi, а /—некоторое множество индексов, причем
имеется лишь конечное число различных bi. [Указание. По-
оо
ложим G(n)={x e G\nx = 0}. Проверьте, что G== U G(„) и,
используя теорему Бэра о категории, докажите, что одна из
факторгрупп G/G(n) конечна. Выведите отсюда, что порядки
элементов группы G ограничены в совокупности. Затем
используйте теорему о строении абелевых групп с
ограниченными в совокупности порядками элементов.]

Глава 6
Теорема двойственности
и основная структурная
теорема
В главе 5 мы доказали теорему двойственности для
компактных и дискретных групп. Чтобы распространить теорему
двойственности на все LCA-группы, мы докажем два частных
случая следующего предложения: если G— некоторая LCA-
группа с подгруппой Н, причем G и Н удовлетворяют
теореме двойственности, то и G/H удовлетворяет теореме
двойственности. Мы имеем в виду случаи, когда Н компактна и
когда Н открыта. Теорема двойственности для произвольных
LCA-групп будет тогда вытекать из следующего факта.
Любая LCA-группа G имеет открытую подгруппу Н которая в
свою очередь обладает такой компактной подгруппой К, что
Н/К. — элементарная группа, которая, как известно,
удовлетворяет теореме двойственности. Под «элементарной группой»
мы понимаем группу вида Ra X Z* X Тс X'F, где F —
конечная дискретная абелева группа и а, Ь, с— неотрицательные
целые числа. Доказав теорему двойственности, мы применим
ее вместе с указанным выше результатом к доказательству
основной структурной теоремы.
Начнем с некоторых результатов о строении LCA-групп.
Определение. Топологическая группа называется моноте-
тической, если она обладает плотной циклической
подгруппой.
Примеры. Группы Z и Т монотетичны1).
Теорема 19. Пусть G — монотетическаяЪСА-группа. Тогда
она либо компактна, либо топологически изоморфна группе Z.
Доказательство. Если G дискретна, то либо G ^ Z,
либо G — конечная циклическая группа и, значит, компактна.
') Если 9 — иррациональное число, то циклическая подгруппа в Т,
порожденная элементом е?1"6,бесконечна. В силу следствия 3
предложения 20, замыкание этой подгруппы совпадает с Т. — Прим. перед.

Теорема двойственности н структурная теорема 61
Таким образом, нам нужно доказать, что G компактна, если
она не дискретна.
Допустим, что G не дискретна. Тогда плотная
циклическая подгруппа {хп\п — 0, ±1, ±2, ...}, где хп + хт = хп+т
для всех пит, бесконечна. (Если эта подгруппа конечна,
то она дискретна и, значит, замкнута в G. Поскольку она
также плотна в G, это означает, что она совпадает с G и G
дискретна.)
Пусть V—открытая симметрическая окрестность точки
О в G, причем V компактно. Если g^G, то V + £«:одержит
некоторый хн. Тогда в G имеется такая симметрическая
окрестность W точки 0, что (g — хн) + W £ V. Поскольку G не
дискретна, W содержит бесконечное число элементов хп, а из
симметричности этой окрестности вытекает, что х_„ е W, если
хп е W. Значит, существует такое j <. k, что х/ е №.
Полагая i = k — у, получаем, что i > 0 и
g — Xi = g — xk + xt(=g — xk + WsV.
оо
Тем самым доказано, что G = (J (*< + V). (Важным момен-
2-i
том является здесь то, что нам нужны только xi с i > 0.) Так
как V—компактное подмножество в G, то
_ N
(1) V s (J (*£ + V) для некоторого N.
2-1
Для любого g^G обозначим через n = n(g)
наименьшее положительное п, такое, что gGjc„-(-F. Согласно (1),
хп — gsxi-\-V для. некоторого i, 1 ^ i ^ N, так что g e
е Хп-г + Г. Так как i ~> 0, то я — i < я и, значит, в силу
нашего выбора числа п имеем п — i ^ 0. Таким образом,
п ^ i^ N. Поэтому n^.N для любого gsG, Это означает,
что
G= U (*< + ?).
2-1
Итак, G является конечным объединением компактных
множеств и потому компактна. □
Теорема 20. Компактная хаусдорфова абелева группа G
монотетична тогда и только тогда, когда G* топологически
изоморфна некоторой подгруппе в Td (окружность,
снабженная дискретной топологией).
Доказательство. Упражнение.
Мы используем теперь теорему 19, чтобы получить наше
первое описание строения компактно порожденных LCA*

62 Гл. 6
групп. (Напомним, что LCA-группа называется компактно
порожденной, если в ней существует такое компактное
подмножество V, что G алгебраически порождается этим
множеством. Без ограничения общности можно выбрать в качестве
V некоторую симметрическую окрестность точки 0.)
Предложение 33. Если G — некоторая LCA-группа,
алгебраически порожденная компактной симметрической
окрестностью V точки 0, то в G существует такая замкнутая
подгруппа А, топологически изоморфная Z" для некоторого п ^
^ 0, что G/A компактна и V Л А = {0}.
Доказательство. Если положить V\ = V и Vn+i =
оо
= Vn + V для любого п ~$* 1, то G = (J Уп-
Поскольку К2 компактно, в G существуют такие элементы
g{ gm, что V2 s U (gt + V)- Пусть Я — группа,
порожденная множеством {gu ..., gm}. Тогда У.еУ + Я для
i = 1 и i = 2. Если допустить, что Vn s V + Я, то будем
иметь
У„+1 = К + (У + Я) = У2 + Я = (К + Я) + Я = К + Я.
Отсюда по индукции следует, что Vn s V + Я для всех я ^ 1
и, значит, G = К + Я.
Пусть Я<— замыкание в G подгруппы Hi, порожденной
элементом gt, i=l m. Имеем Я = Hi + ... + Ят.
Если каждая Яг компактна, то Н компактна, и потому G =
= V-{-Я компактна (см. задачу 4(Ш) ив цикла 1
упражнений). Тогда предложение верно, причем п = 0. Если G
некомпактна, то по теореме 19 одна из монотетических групп
Hi топологически изоморфна Z. В этом случае Я,- = Hi, и мы
получили следующее утверждение:
(*) Если G = V +.Я, где Я — конечно порожденная группа
и G некомпактна, то Я обладает подгруппой,
топологически изоморфной группе Z.
Так как Я —конечно порожденная абелева группа (итак
как любая подгруппа абелевой группы с р образующими
может быть• порождена ^р элементами), то существует такое
наибольшее п, что Я содержит подгруппу А, топологически
изоморфную Z". Поскольку А дискретна, а V компактно,
множество А [\ V конечно. Без ограничения общности мы
можем считать, что А{\ К = {0}. (В случае необходимости
можно заменить А подгруппой А', которая также изоморфна Z"
и обладает свойством A'f\V =я{0}. Например, если А —
,= gp{flfi оп} и г выбрано так, что Л f| Vss{ftxflx4: •••>

Теорема двойственности н структурная теорема 63
...'•{• kndn\l—r^ki^r— 1, i=l, .... rt}, ТО ПОЛОЖИМ
А'= gp{rau ••-, гап}.)
Пусть f—канонический гомоморфизм группы G на К =
= G/A. Тогда К=. f(V)-\- f(H). Согласно задаче 2 из цикла
12 упражнений и согласно нашему выбору числа п, f(H) не
имеет подгрупп, топологически изоморфных Z. Применяя (*)
к группе К вместо G, мы видим, что К компактна, что и
требовалось. О
Доказанное предложение позволит нам сейчас доказать
чрезвычайно важную теорему, которая, разумеется, обобщает
теорему 14 и следствие из предложения 17.
Теорема 21. Характеры, любой LCA-группы разделяют
точки.
Доказательство. Пусть G — некоторая LCA-rpynna
и g— любой ненулевой элемент группы G. Пусть V
—компактная симметрическая окрестность точки • 0, содержащая
g. Тогда подгруппа Я, алгебраически порожденная
множеством V, открыта в G, в силу предложения 8. Согласно
предложению 33, Я обладает такой замкнутой подгруппой А, что
Н/А компактна и Vf\A={0}. Если обозначить через f
каноническое отображение группы Я на Н/А, то будем иметь
Согласно теореме 14, существует такой непрерывный
гомоморфизм <р: Я/Л-vT, что <р(Н£))=?^0. Тогда <р/ —
непрерывный гомоморфизм группы Я в Т. Так как Я — открытая
подгруппа в G и группа Т делима, то из предложения 17
следует, что <р/ можно продолжить до непрерывного
гомоморфизма у: G-+T. Ясно, что y{g)¥:0, так что характеры
разделяют точки группы G. □
Следствие 1. Пусть Я — замкнутая подгруппа некоторой
LCA-группы G. Если g — любой элемент группы G, не
лежащий в Я, то существует такой характер у группы G, что
у (g) Ф О, но у (К) — 0 для всех ЛеН.
Доказательство. Упражнение.
Приведенное ниже следствие непосредственно вытекает из
начала доказательства теоремы 21.
Следствие 2. Любая LCA-группа обладает открытой
подгруппой, которая является компактно порожденной LCA-груп-
пой.
Замечания. Теорема 21 была впервые доказана ван Кам-
пеном. Доказательство, основанное на теории банаховых
алгебр^ дали Ц. М Гельфаад и Д. А. Райков.,

64
Гл. 6
Теорема 21 не должна создавать у читателя впечатления,
что характеры любой хаусдорфовой абелевой топологической
группы разделяют точки. Это неверно. См. по этому поводу
§ 23.32 книги [45, т. I].
Следующее предложение дает другое полезное описание
строения компактно порожденных LCA-rpynn.
. Предложение 34. Если G— компактно порожденная LCA-
группа, то в ней существует такая компактная подгруппа К,
что G/K топологически изоморфна Ra X Z* X Тс X F, где F —
конечная дискретная абелева группа и а, Ь, с —
неотрицательные целые числа.
Доказательство. Согласно предложению 33, в G
существует такая дискретная конечно порожденная подгруппа
D, что G/Z> компактна. Пусть N — такая компактная
симметрическая окрестность точки 0, что 3N f\ D ={0}. Если /: G-*-
-*-G/D — канонический гомоморфизм, то f(N) — окрестность
точки 0 в G/D. Согласно следствию 2 из теоремы 14,
существует такая замкнутая подгруппа Bs/(iV), что (G/D)/B
топологически изоморфна ТПХ£> где Е — конечная
дискретная группа нп>0. Если положить K' = f~l(B), то группа
G/K' будет топологически изоморфна Т" X Е-
Положим K = K'f\N. Множество К компактно и-/(/() =
= В. Для доказательства того, что К — подгруппа в G,
возьмем х и у из К. Имеем х — у^К', так что существует такой
z^K, что f(z) = f(x — у). Отсюда следует, что х — y — z^D
и, поскольку 3Nf\D ={0}, что x — y — z — О. Таким
образом, х — у^К, т. е. К — подгруппа в G. Мы утверждаем, что
К' = К + D. Действительно, если k' e К', то существует
такой k^K, что f(tf) = f{k), т. eJ'-AeD. Итак, К' = К +
-f-Z). Согласно задаче 8 из цикла 4 упражнений, группа К'
топологически изоморфна KY.D. Значит, если 6 —
каноническое отображение группы G на G X К, то 6(D)
топологически изоморфна D и (G/K)/Q(D) топологически изоморфна
группе G/K', которая в свою очередь топологически
изоморфна ТПХ£- Так как 9(D) и Е дискретны, то задача 6 из
цикла 5 упражнений показывает, что G/K локально
изоморфна группе Т" и, значит, также группе R". Тогда из
теоремы 8 следует, что G/K топологически изоморфна RaX
XТсXS, где S — дискретная группа ио>0, с>0. Так как
G компактно порождена, то G/K, а значит, и S компактно
порождены. Поэтому S — дискретная ' конечно порожденная
абелева группа и, следовательно, топологически изоморфна
Z6 X ^ для некоторой конечной дискретной группы F и
некоторого Ъ ~$z 0. □

Теорема двойственности и структурная теорема 65
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 12
1. (i) Пусть / — непрерывный гомоморфизм LCA-группы
А в LCA-группу Bt Пусть f(A) плотна в В. Покажите, что
отображение /*: В*-»-Л*, описанное в предложении 30,
взаимно однозначно.
(п) Покажите, что если G— компактная хаусдорфова
абелева группа и если G монотетична, то G* топологически
изоморфна подгруппе группы Td (окружность с дискретной
топологией). [Указание. Используйте (i) для А = 2 и В —
= 0.]
(Ш) Пусть А — некоторая LCA-группа, удовлетворяющая
теореме двойственности, и В — произвольная LCA-группа.
Покажите, что если /—непрерывный взаимно однозначный
гомоморфизм группы А в В, то f*(B*) плотна в А* [Указание.
Используйте доказательство следствия 2 теоремы 15,
предложение 31 и теорему 21.]
(iv) Покажите, что если G — компактная хаусдорфова
абелева группа, причем G* топологически изоморфна
подгруппе группы Td, то G монотетична.
2. Пусть А и В — некоторые LCA-группы и Я— (не
обязательно замкнутая) конечно порожденная подгруппа в А.
Пусть / — непрерывный гомоморфизм группы А в В, ядро
которого целиком лежит в Я и топологически изоморфно
Z" для некоторого n^s 1, а образ /(Я) содержит подгруппу,
топологически изоморфную Z. Покажите, что Я содержит
подгруппу, топологически' изоморфную Zn+1. [Указание.'
Используйте следствие из теоремы 2.]
3. Пусть Я — замкнутая подгруппа LCA-группы С и g —
элемент группы G, не лежащий в Я. Покажите, что
существует такой характер у группы G, что v^^O. н0 Т(Л) = 0
для всех ЛеЯ.
4. Хаусдорфово топологическое пространство X называет-
оо
ся &й>-пространством, если X — (J -^п> гДе (а) каждое Хп
л = 1
компактно; (b) Xn s Xn+i для любого я; (с) подмножество А
пространства X замкнуто в X тогда и только тогда, когда
А П Хп компактно для каждого п. Докажите следующие
утверждения:
(i) R является Лш-пространством.
(ii) Локально компактная хаусдорфова группа является
Лш-пространством тогда и только тогда, когда она сх-компакт-
на. Покажите, что если G а-компактна, то в качестве Хп в.
йш-разложении могут быть взяты окрестности точки е.
(iii) Любая связная локально компактная хаусдорфова
группа является Аш-пространством.

66 Гл. 6
(iv) Если X = (J Xn — некоторое ^-пространство, то лю-
л=1
бое компактное подмножество К в X содержится в
некотором Х„.
00
[Указание для (п). Поскольку G а-компактна, G= (J Yh>
л=1
где каждое Yn компактно. Если V—компактная
симметрическая окрестность точки е, то положим Хп — YiV\JY2V\J ...
...ивд
5. (i) Пусть G— локально компактная хаусдорфова
группа, N — замкнутая нормальная подгруппа в Gyl f:G-*-G/N—..
каноническое отображение. Покажите, что для любого
компактного подмножества С из G/N существует такое
компактное подмножество S в G, что f(S)= С.
(И) Выведите отсюда, что если N— замкнутая
нормальная подгруппа локально компактной хаусдорфовой группы G,
причем N и G/N компактно порождены, то G также
компактно порождена.
(iii) Пусть подгруппа N в (i), кроме того, компактна.
Покажите, что f-1 (С) компактно.
(iv) Выведите отсюда, что если С — хаусдорфова
топологическая группа, имеющая такую нормальную подгруппу
К, что К и G/K компактны, то сама группа G компактна.
* * *
Определение. Пусть А, В и С — топологические группы,
fi — непрерывный гомоморфизм группы Л в В и /г —
непрерывный гомоморфизм группы В в С. Последовательность
называется точной, если
(i) /i инъективен,
(И) /2 сюръективен,
(iii) ядро гомоморфизма /2 совпадает с f\(A).
Предложение 35. Пусть К — компактная подгруппа LCA-
группы G, так что имеется точная последовательность
o^k-^g~Kg/k-+o,
где fi — открытый непрерывный гомоморфизм, a f\ гомео-
морфно отображает группу К на свой образ в G. Тогда
последовательность
f. f
0*-K*<^-G*<^-(G/K)*<-0
точна и f\ и /I — открытые непрерывные гомоморфизмы.

Теорема двойственности и структурная теорема 67
Доказательство. Согласно предложению 30, f*2
взаимно однозначен. Используя следствие 3 теоремы 15 и
теорему 21, мы вндим, что f\ открыт и сюръектнвен. Для
доказательства того, что образ гомоморфизма f*2 совпадает с
ядром гомоморфизма f*v рассмотрим диаграмму
ffw\ ^ /у
Пусть у — некоторый характер группы G/K и k — некоторый
элемент группы К- 1отт1\Г2{у){к) = у^2\1{к) = 0, так как за"
данная последовательность точна. Значит,f\f*2 (у) = 0, так что
образ f*2 содержится в ядре f\. Если теперь фе(? и
f\ (ф) — 0, то q>/, (k) = 0 для всех k^K. Поэтому существует
такой гомоморфизм б: G/K-+T, что -6^2 = Ф- Так как f2
открыт и сюръективен, то б непрерывен. Поэтому ядро f\
содержится в образе f\. Значит, эти подгруппы совпадают.
Наконец, мы должны показать, что \\— открытое
отображение. Пусть С — компактное подмножество в G/K, U —
открытое множество в Т н P(C,U)—множество всех
элементов из (G/K)*, отображающих С в U. Тогда Р(С, (/) —
предбазисное открытое множество в (G/К)*. В силу задачи
5(i) нз цикла 12 упражнений, существует такое компактное
подмножество S в G, что /г(5)==С. Тогда P(S, U)
—предбазисное открытое множество в G*, для которого f*2(P{C, £/))=-
— P{S, U)(\f*2({G/K)*). Поэтому ^—гомеоморфизм группы
{G/K)" на свой образ в G*. Поскольку К* дискретна, ядро
гомоморфизма f\ открыто в G*, т. е. образ гомоморфизма
fl открыт в G*. Поэтому ft — открытое отображение. D
Предложение 36. Пусть А — открытая подгруппа LCA-
группы G, так что имеется точная последовательность
O^A-KG-h+G/A-^0,
еде гомоморфизмы fi и f2 являются открытыми непрерыв'
ными отображениями. Тогда последовательность
f f
0 <- А* ч-L- G* *А- (G/AY <- 0
точна, гомоморфизм f\ открыт и непрерывен, a fl гомео>
морфно отображает группу {G/A)* на свой образ в G*.

' 68
Гл. в
Доказательство. В силу предложения 30, /!сюръек-
тивен, a fl инъективен. Совпадение образа fl с ядром f\
доказывается точно так же, как в предложении 35. Так как
А открыта в G, то G/A дискретна и (G/A)* компактна.
Поскольку fl инъективен и (G/A)* компактна, fl гомеоморфно
отображает группу (G/A)* на свой образ в G*.
В заключение нам нужно показать, что /* — открытое
отображение. Пусть К—компактная окрестность точки 0 в G,
лежащая в А. Если Va — окрестность, определенная в тео-
реме 11, то P(K,Va) — открытое множество в G*, причем
Р(К, Va) компактно. Разумеется, f[(P(K, Va)) состоит из тех
элементов группы А*, которые отображ'ают К в Va, и потому
открыто в А*. Если обозначить через Я группу,
порожденную множеством /'(/'(/С, Va)\ то она будет открытой
подгруппой в А*. Далее, так как gp(P(^C, Va))— открытая и
замкнутая подгруппа в G*, то Р(К, Ka)sgp(f (К, Уа)) = В.
Поскольку группа В порождается множеством Р(К, Va), она
а-компактна. Из теоремы об открытом отображении следует
тогда, что /*: В-+Н открыто. Так как В — открытая
подгруппа в G*, а Я— открытая подгруппа в А*, то гомоморфизм
f\\ G*-*-A* открыт. ,D •
Следующее предложение является следствием теоретико-
категорной леммы о пяти гомоморфизмах. Оно легко
проверяется с помощью «диаграммного поиска».
Предложение 37. Пусть А, В, С, D, Е и F — абелевы то-
пологические группы, a fu /2, }з, h, fs, U u h — непрерывные
гомоморфизмы, составляющие следующую диаграмму:
Предположим, что каждая из горизонтальных
последовательностей точна и что диаграмма коммутативна (т. е. f3fs =
= fefi и f4e = hh) ■ Если /s и f7 — алгебраические
изоморфизмы (г. е. биективны), то и fs—алгебраический
изоморфизм.
Теперь мы докажем „теорему двойственности для
компактно порожденных LCA-rpynn.
Теорема 22. Пусть G — компактно порожденная LCA-
еруппа и Г — двойственная к ней группа. Тогда каноническое
отображение а группы G в Г* является изоморфизмом
топологической группы G на Г*.

Теорема двойственности и структурная теорема 69
Доказательство. Согласно предложению 34, G
содержит такую компактную подгруппу К, что G/K
топологически изоморфна Ra X Z* X Тс X F, где F — конечная
дискретная абелева группа и о, Ь, с— неотрицательные целые
числа. Мы имеем точную последовательность
Применяя к этой последовательности предложение 35, а к
двойственной последовательности — предложение 36, мы
убедимся, что последовательность
Г Г
о -* к** -v г* -i> (G/кГ -> о
также точна. Легко проверить коммутативность диаграммы
0->/C-A>G-iVG//C->0
\ак {" [аа/к
Г Г
О -+ К**-±+ Г -U (G/KT -► О,
где ак и ав/к— канонические отображения. Так как мы уже
видели, что К и G/K удовлетворяют теореме двойственности,
то ак и ав/к являются топологическими изоморфизмами.
Отсюда следует, в силу предложения 37, что a —
алгебраический изоморфизм. Поскольку а непрерывно, а G компактно
порождена, из теоремы об открытом отображении вытекает,
что a — открытое отображение и, значит, топологический
изоморфизм. □
А теперь мы докажем теорему двойственности для всех
LCA-rpynn.
Теорема 23 (теорема двойственности Понтрягина — ван
Кампена). Пусть G — некоторая LCA-группа, а Г —
двойственная к ней группа. Тогда каноническое отображение а
группы G в Г* является изоморфизмом топологической
группы G на Г*.
Доказательство. В силу следствия 2 теоремы 21,-в
G существует открытая подгруппа А, которая компактно
порождена. Мы имеем точную последовательность
O^A-^G-^G/A^O.
Применяя предложение 36, а затем предложение 35,
получим точную последовательность
Г Г
О -» Л" -U Г* -^ (G/АГ -*- О

70 ' Гл. i
и коммутативную диаграмму
\аА \а \аО/А _
0->Л**-^Г-^(С/ЛГ + 0.
1 S
Так как А — компактно порожденная LCA-группа, a G/А —
дискретная группа, то Л и G/A удовлетворяют теореме
двойственности, так что ал и ав/л — топологические изоморфизмы.
В силу предложения 37, а — алгебраический изоморфизм'.
Поскольку flt f" и ал— открытые отображения и af, == f**ад»
мы видим, что а — также открытое отображение и, значит,
топологический изоморфизм. П
Теперь мы можем доказать структурную теорему для
компактно порожденных LCA-групп, тривиальным следствием
которой будет основная структурная теорема для всех LCA-
групп.
Теорема 24. Пусть G — компактно порожденная LCA-
группа. Тогда G топологически изоморфна Ra X Z6~X К для
некоторой компактной группы К и некоторых
неотрицательных целых а и Ь.
Доказательство. В силу предложения 34, мы имеем
точную последовательность
0-»С -Л. G -К R" X1Ь X Тс X ^-*"0,
где С--•компактная группа, F — конечная дискретная
группа и а, Ь, с — неотрицательные целые числа. Поэтому из
предложения 35 получаем точную последовательность
ft
0 «- С*ч!_ G* -*!_ R° X Ть X Zc X F «- 0,
где ^ — открытое отображение. Таким образом, G* обладает
открытой подгруппой, топологически изоморфной Ra X Т6.
Так как R и Т — делимые группы, то из предложения 18
следует, что G* топологически изоморфна Ra X Ть X D для
некоторой дискретной группы D. Поскольку G удовлетворяет
теореме двойственности, группа G топологически изоморфна
группе G**, которая в свою очередь топологически
изоморфна RaXz'X#. где K = D* — компактная группа. □

Теорема двойственности и структурная теорема 71
Так как каждая LCA-группа обладает открытой
компактно порожденной подгруппой, то мы получаем следующую
основную структурную теорему:
Теорема 25. (основная структурная теорема). Каждая
LCA-группа обладает открытой окрестностью, топологически
изоморфной Ra X К для некоторой компактной группы К и
некоторого неотрицательного целого а.
В качестве непосредственного следствия получаем такой
важный результат:
Теорема 26. Каждая связная LCA-группа топологически
изоморфна Ra X К, где К — компактная связная группа и
Замечания, (i) Теорема 24 обобщает хорошо известный
результат, согласно которому каждая конечно порожденная
абелева группа является прямым произведением конечного
числа бесконечных циклических групп на некоторую
конечную группу.
(и) Может возникнуть ощущение, что основную
структурную теорему можно усовершенствовать, показав, что
каждая LCA-группа топологически изоморфна Ra X К X А где
К компактна, D дискретна и а ^ 0. К сожалению,
следующий пример показывает, что это утверждение неверно.
Пример. Пусть G— группа Ц Hit где каждая Hi — цик-
лическая группа порядка 4. Пусть К — подгруппа в G,
состоящая из всех таких geG, что 2g = 0. Тогда К алгебраи-
чески изоморфна Ц/С*, где каждая Ki — циклическая груп-
па порядка 2. Введем в каждой Ki дискретную топологию, а
в К — топологию произведения. Тогда К — компактная
вполне несвязная топологическая группа.
Определим топологию в G следующим образом: базис
открытых окрестностей точки 0 в G состоит из всех
открытых подмножеств группы К, содержащих 0. С этой
топологией G оказывается вполне несвязной LCA-группой, в
которой К является открытой подгруппой.
Согласно основной структурной теореме, G обладает
открытой подгруппой Я, топологически изоморфной Ra X С,
где С компактна и а ^ 0. Поскольку G вполне несвязна,
а = 0. Предположим, что G топологически изоморфна Я X А
где D — дискретная подгруппа в G. Так как G некомпактна,
то D должна быть бесконечной. Но это невозможно, ибо каж-

72 Гл. в
дая бесконечная подгруппа группы G имеет бесконечно много
элементов, лежащих в К, а любая дискретная подгруппа
группы К должна быть конечной. □
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 13
1. Покажите, что если G— такая LCA-группа, что и она
сама и двойственная к ней группа связны, то G
топологически изоморфна R" для некоторого неотрицательного целого п.
2. Покажите, что гомоморфизмы некоторой LCA-группы
G в R разделяют точки тогда и только тогда, когда она
топологически изоморфна R" X D, где D — дискретная абелева
группа без кручения. [Указание. Убедитесь, что компактная
группа не допускает нетривиальных непрерывных
гомоморфизмов в R.]
3. Опишите те компактно порожденные LCA-группы, кот
торые топологически изоморфны своим двойственным
группам.
4. Топологическая группа G называется соленоидальной,
если существует такой непрерывный гомоморфизм / группы
R в G, 4TO/(R)= G.
(i) Покажите, что если G, кроме того, локально
компактна и хаусдорфова, то она либо является компактной
связной абелевой группой, либо топологически изоморфна R.
(И) Покажите, что если G — компактная хаусдорфова со-
леноидальная группа, то двойственная к ней группа
топологически изоморфна некоторой подгруппе в Rd (группа
вещественных чисел с дискретной топологией).
[Указание к (i). Проверьте, что /(R) топологически
изоморфна /?i X #2 X • • • X Rn X/C, где каждая /?, есть R.
Пусть pi — проекция группы /(R) на Re, убедитесь, что pif —
непрерывный гомоморфизм группы R в R,-.]
5. Пусть F — тело с топологией, в которой алгебраические
операции непрерывны. (Тогда по сложению F является
абелевой топологической группой.) Покажите, что если F
локально компактно, хаусдорфово и связно, то как
топологическая группа оно изоморфно R" для некоторого /г^1.
(Дальнейший анализ показывает, что F — либо поле
вещественных чисел. R (п=\), либо поле комплексных чисел
(п = 2), либо тело кватернионов (п = 4).)
6. Покажите, что если G — произвольная LCA-группа, то
существует непрерывный взаимно однозначный гомоморфизм
Р группы G на плотную подгруппу некоторой компактной
хаусдорфовой абелевой группы. Докажите это двумя
различными методами. [Указание. (1) Используйте тот факт,
что характеры любой LCA-группы разделяют точки.

Теорема двойственности и структурная теорема 73
(2) Другой способ: пусть Г — двойственная к G группа и
Га — группа Г, снабженная дискретной топологией.
Положите К = (Га)* и определите р формулой
(g, Y) = (Y, P(£)) fgeGlYer).
Группа /( = (Га)* называется боровской компактификацией
группы G.]
7. Пусть Г — произвольная LCA-группа и 71» •••> Т«еГ'
Покажите, что для любого гомоморфизма <р группы Г в Т и
любого е > 0 существует такой непрерывный гомоморфизм
tf> группы Г в Т, что |г|>(у/)—ф(?<)1< 8> '•= Ь •■•> п-
[Указание. Используйте задачу 6, метод (2).]
* * *

Глава 7
Следствия
из теоремы двойственности
В начале этой главы мы покажем, что группа,
двойственная к подгруппе, является факторгруппой, а
двойственная к факторгруппе— подгруппой.
Определение. Пусть Н — замкнутая подгруппа LCA-rpyn-
пы G, и пусть Л — множество всех таких элементов у
двойственной к G группы Г, что ^Л, y)=0 для всех h e Я. Тогда
оно называется аннулятором подгруппы Н.
Если фиксировать ЛеЯ, то из непрерывности функции
(п, у) следует, что множество всех у, удовлетворяющих
условию (п, у) = 0, замкнуто. Поэтому Л есть пересечение
замкнутых множеств и, значит, замкнуто. Ясно, что Л — группа,
так что это замкнутая подгруппа в Г.
Предложение 38. Если в предыдущих обозначениях Л —
аннулятор подгруппы Н, то Н — аннулятор подгруппы Л.
Доказательство. Если Лей, то (h,y) = 0 для всех
уеЛ. Если geG и цфН, то, в силу следствия 1 из
теоремы 21, имеется такой у е Л, что (g, у) ф 0. D
Теорема 27. Пусть Н — замкнутая подгруппа LCA-группы
G. Если Г — двойственная к G группа и Л — аннулятор
подгруппы Н, то Л и Г/Л топологически изоморфны группам^
двойственным к G/H и Н соответственно.
Доказательство. Пусть f — канонический
гомоморфизм группы G на G/H. Тогда предложение 30 утверждает,
что отображение /*: (G/#)*->G* есть непрерывный взаимно
однозначный гомоморфизм. Далее, из последнего абзаца
доказательства предложения 35 видно, что f* —
гомеоморфизм группы (G/H)* на образ /* в G*. Разумеется, из
определения отображения /* следует, что /*((G///)*) = Л, так
что Л топологически изоморфна (G///)*.
Тот факт, что Г/Л топологически изоморфна #*, следует
теперь из доказанного выше, если использовать предложение
38 и теорему двойственности. D

Следствия нз теоремы двойственности - ( 75
В качестве следствия получаем обобщение следствия 2
теоремы 15.
Следствие. Если Н — замкнутая подгруппа LCA-группы
G, то каждый характер группы Н можно продолжить до
характера группы G.
Доказательство. Если го — характер группы Н, то по
доказанной выше теореме ф g Г/Л. Если f—канонический
гомоморфизм группы Г на Г/Л и f(y) = <p, где уеГ, то
(h, y) = (h, го) для всех йеЯ. Значит, у — нужное нам
продолжение характера го. □
Остановимся теперь на приложении, относящемся к
области диофантовых приближений.
Заметим сначала, что определение аннулятора подгруппы
Н некоторой LCA-группы G имеет смысл и в том случае,
когда Н не замкнута в G. Однако очевидно, что аннулятор
Л (Я) подгруппы Н совпадает с Л (Я): Это наблюдение
будет использовано ниже.
Предложение 39. Пусть G — (не обязательно замкнутая)
подгруппа в R", п ^ 1. Пусть A(G) — аннулятор подгруппы.
G в (R«)*=R«. Тогда A(G) = {yt=Rn\ (y\x)—целое число
для всех xgG}, где у = (уи ..., yn)^Rn,x = (xu ..., х„)^
п
eGsR»« (y\x)=T,ytXi. ■ '
i-l
Доказательство. Упражнение.
В качестве непосредственного следствия предложения 38
получаем такой результат.
Предложение 40. Для любой подгруппы G из R" имеет
место равенство A(A(G))= G.
Предложения 40 и 39 приводят к характеризации точек,
лежащих в замыкании некоторой подгруппы группы R".
Предложение 41. Точка х лежит в замыкании подгруппы
G группы R", п ^ 1, тогда и только тогда, когда число {у\х)
является целым для всех таких i/eR", что (у\g)—целое
число для всех geG.
Эту характеризацию мы применим к случаю, когда G —
подгруппа в R", n^l, порожденная векторами еи ..., еп
канонического базиса и произвольным набором m точек at,
i=l, ..., m, из R". Требование, чтобы {y\ei) были целыми
числами для I— 1, ..., п, означает, что точка у должна

76
Гл.7
иметь целые координаты. Поэтому получаем следующую
теорему Кронекера.
Теорема 28 (Кронекер). Пусть a,i = (an, ..., ain) для
t=l m и b=(bu ..., bn)—точки пространства R",
п ^ 1. Для любого е > 0 существуют такие целые <7i qm
и целые ри ..., рп, что
I <7ifli/ + Я&ч + ••• +qmami — Pi~ 6/1<е для /=1, ..., п,
в том и только том случае, когда для любого набора г1( ..., гп
п
целых чисел, такого, что все числа £ а,цг, для i = 1 m
■ i-i
я
целые, число X biti также является целым,
l-i
При m = 1 получаем следствие, служащее обобщением
задачи 3(п) из цикла 5 упражнений.
Следствие. Пусть 0! 0„ — вещественные числа. Для
того чтобы для любых заданных п вещественных чисел
Хь ..., Хп и вещественного числа е > О существовали такое
целое q и такие п целых чисел pi, что
\qQt — Pj — X{ |<е для /=1, .... п,
необходимо и достаточно, чтобы не существовало соотноше-
п
ний вида X Г/6» = h, где г/ — целые числа, не все равные О,
/-1
и h — целое число: (В частности, из этого условия следует,
что ясе 0/ и отношения 0//0*, / Ф k, должны быть
иррациональными.)
Некоторые дальнейшие замечания, касающиеся этой
области теории приближений, см. в § 26.19 т. I книги [45] и
в § 1.3 книги [5].
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 14
1. Докажите, что замкнутая подгруппа компактно
порожденной группы компактно порождена. [Указание.
Используйте следствие 2 из теоремы 7.]
2. (i) Покажите, что любая замкнутая подгруппа в R"X
XTm топологически изоморфна RaXZ*X TCX D, где D —
дискретная конечная группа, о-)-*<пис<т.
(и) Покажите, что любая хаусдорфова факторгруппа
группы R" X Тт топологически изоморфна Ra X Т*, где а ^ п
и а + Ь ^ п -(- т.

Следствия из теоремы двойственности 77
(ш) Покажите, что любая замкнутая подгруппа в R" X
ХТтХЛ где F — дискретная свободная абелева группа,
топологически изоморфна Ra X Z* X Тс X D X F', где а + b ^
^ п, с ^ т, D — дискретная конечная группа и F' —
некоторая подгруппа в F.
(iv) Покажите, что любая замкнутая подгруппа в R"X
X Tm X А где D — дискретная абелева группа,
топологически изоморфна RaXT6X£)/, где D' — дискретная группа,
о < п и 6 < т.
(v) Покажите, что любая хаусдорфова факторгруппа
группы R"XTmXA где D — дискретная абелева группа,
топологически изоморфна RaXT6XA, где £>' — дискретная
группа, a s£: п и а + b sg: n-\- т.
(vi) Выведите отсюда, что любая замкнутая подгруппа
или хаусдорфова факторгруппа группы R"XZmX^> где
К — компактная хаусдорфова абелева группа, топологически
изоморфна Ra X Z6 X К', где К' — компактная группа, а ^ п
и а + b sg: n + т.
3. Пусть G— компактно порожденная LCA-группа.
Предполагая известным предложение 33, утверждающее, что G
обладает подгруппой А, топологически изоморфной Z", /г ^ О,
и такой, что G/A компактна, покажите, что G локально
изоморфна R". Выведите отсюда, что G топологически
изоморфна Ra X Z* X К. где а + b = п и К компактна.
4. Пусть G — произвольная LCA-группа. Предполагая
известной теорему 26, утверждающую, что любая связная LCA-
группа топологически изоморфна Ra X К для некоторой
компактной группы К и а ^ 0, докажите основную структурную •
теорему. [Указание. Пусть С — компонента точки 0 в G.
Убедитесь, что нз задачи 4(i) цикла 3 упражнений следует, что
G/C обладает компактной открытой подгруппой А. Поэтому
в G имеется открытая подгруппа Я, для которой Н/С
компактна. Выведите отсюда, что Я* локально изоморфна
R".]
5. Пусть G — компактно порожденная LCA-группа.
Предполагая известной основную структурную теорему, покажите,
что G топологически изоморфна Ra X Z6 X К, где К
компактна, а ^ 0 и b ^ 0. [Указание. Заметьте, что G* обладает
открытой подгруппой, топологически изоморфной Ra X Ки где
К\ компактна и fl^O, Поскольку группа К\ является
факторгруппой группы G, она должна быть конечно
порожденной. Поэтому К\ топологически изоморфна Т6Х^, где F —
конечная дискретная группа и b ^ 0.]
6. Пусть G —подгруппа в R", я^1,и A(G)—ее аннуля-
тор. Покажите, что A(G) = {i/e R"| {y\x)—целое число для
всех хеб}, где у = {у{ j/n)eR", х = {хи ..., хп) е=

78 Гл. 7
л
etfgR" и («/ |х) = X у{х{. [Указание. Вспомните, что Т =
i=i
= R/Z и используйте пример 3 из гл. 3 и теорему 13.]
7. Пусть G — некоторая LCA-группа, С — компонента
точки 0 в G, и пусть G/C компактна. Покажите, что G
топологически изоморфна R"X^C для некоторой компактной группы
К и п Sz 0.
* * *
Теорема 29. Пусть G — некоторая LCA-группа и Г —
двойственная к ней группа. Группа G метризуема тогда и только
тогда, когда Г является а-компактной.
Доказательство. Допустим, что G метризуема. Тогда
она имеет счетный базис Uu U2, ... компактных окрестно-
стей точки 0. Согласно теореме 11, множества P(Ui,Va),
t=l, 2, ..., где а = 1/5, являются компактными
окрестностями точки 0 в Г. Так как каждый характер уеГ непре-
рывен, то Г = (J P ([/,-, Va). Значит, Г является а-компактной.
Обратно, допустим, что Г является а-компактной.
Согласно задаче 4 из цикла 12 упражнений, существует такое
семейство {Yn}, п = 1, 2, ..., компактных окрестностей точки
0 в Г, что любое компактное подмножество группы Г лежит
в некотором Yn и что Yn*=Yn+u n^\. Тогда семейство
{g e= G| (g, у)е= Vi/k для всех y^Y„}, где k = 2, 3, ... и
п = 1, 2, ..., есть базис окрестностей точки 0 в G. (Эти
множества являются окрестностями, поскольку G —
двойственная к Г группа.) Таким образом, в G существует счетный
базис окрестностей точки 0, откуда, в силу задачи 3(H) из
цикла 6 упражнений, вытекает, что G метризуема. □
В качестве следствия получаем такой поразительный
результат.
Следствие. LCA-группа G компактна и .метризуема в том
и только том случае, когда Г счетна.
Доказательство. Упражнение.
Оставшаяся часть главы будет посвящена характериза-
ции тех компактных групп, которые связны.
Предложение 42. Пусть G — локально компактная хаус-
дорфова группа и К — компактное подмножество в ней. Тогда
в G существует открытая и замкнутая компактно
порожденная подгруппа, содержащая К.

Следствия из теоремы двойственности 79
Доказательство. Упражнение.
Определение. Элемент g топологической группы G
называется компактным, если подгруппа gp {g}— наименьшая
замкнутая подгруппа в G, содержащая g, —компактна.
Пример. Элемент g e G = Ra X ZbX К, где К компактна,
а^О и 6^0, является компактным тогда и только тогда,
когда он лежит в {0}Х{0}Х^С-
Предложение 43. Если G — некоторая LCA-группа, то
множество S ее компактных элементов образует в ней
замкнутую подгруппу.
Доказательство. Если g и h лежат в S, то g — fte
е gp {g} + gp {h} S gp {g} + gp {h}. Так как элемент g — h
лежит в компактной группе gp {g}+gp {h}, то он компактен
и потому принадлежит S. Итак, 5 — подгруппа в G.
Пусть теперь х е S. Согласно предложению 42, в G
имеется открытая компактно порожденная подгруппа Н,
содержащая х. По теореме 24 группа Н топологически
изоморфна RaXZbX/C, где К компактна, а^О и 6^0.
Для доказательства того, что xeS, нам нужно только
показать, что ^-компонента и гь-компонента элемента х
равны 0. Если бы одна из этих компонент была отлична от 0,
то существовала бы целая окрестность точки х, не
пересекающаяся с S, поскольку все компактные элементы группы
RaXZ*XK лежат в {0}Х{0}ХК- Это противоречило бы
тому факту, что х eS. О
Замечание. Множество компактных элементов неабелевой
локально компактной хаусдорфовой группы G не обязано
быть подгруппой в G. В качестве примера возьмем
дискретную группу G, порожденную двумя элементами а и Ь с
определяющими соотношениями а2 = Ь2 = е. Тогда а и Ъ —
компактные элементы, но аЬ некомпактен.
Теорема 30. Пусть G — некоторая LCA-группа, Г —
двойственная к ней группа, S — множество компактных
элементов группы Г и С—компонента точки 0 в G. Тогда S
является аннулятором подгруппы С в Г, а С является аннуля-
тором подгруппы S в G.
Доказательства, (i) Предположим, что в Г существует
компактная подгруппа К ф {0}. Тогда G обладает
дискретной факторгруппой К*. Так как К* несвязна, то и G несвязна.
(и) Предположим, что G вполне несвязна. Пусть у е Г,
и пусть 0 — такая окрестность точки 0 в G, что у (g),^ Vut

80
Гл. 7
для всех g e U. Так как G локально компактна и вполне
несвязна, то из задачи 4(i) цикла 3 упражнений следует, что
U содержит некоторую компактную открытую подгруппу К-
Ясно, что у(К)—подгруппа, лежащая в Vi/t; значит, она
равна {0}, т. е. у принадлежит аннулятору Л(Г, К)
подгруппы К в Г. Так как К открыта в G, то группа Д. (Г, К), будучи
двойственной к дискретной группе G/K, компактна.
Поэтому любой уеГ лежит в некоторой компактной группе.
Значит, S = Г.
(Ш) Теперь пусть G— любая LCA-группа. Тогда G/C —
вполне несвязная LCA-группа, и потому, в силу (ii),
двойственная к G/C группа содержит только компактные
элементы. Так как (G/C)* топологически изоморфна Л(Г, С),
то мы видим, что Л(Г, С)е5. Поскольку С — связная LCA-
группа, из п. (i) следует, что С* не имеет нетривиальных
компактных подгрупп, т. е. Г/Л (Г, С) не имеет компактных
подгрупп. Если yeSii у фА(Г,С), то в Г существует
компактная подгруппа К, образ которой при каноническом
отображении /: Г-»-Г/Л (Г, С) не равен 0. Этот образ f(K) есть
компактная подгруппа в Г/Л (Г, С), так что мы пришли к
противоречию. Значит, SsA(T, С). Таким образом, 5 =
= Л(Г,С).
Двойственное утверждение следует теперь из
предложения 38. □
Следствие 1. Пусть G — некоторая LCA-группа. Тогда
следующие свойства эквивалентны:
(i) группа G вполне несвязна;
(ii) каждый элемент группы G* компактен.
Следствие 2. Пусть G — некоторая LCA-группа. Тогда G
связна в том и только том случае, когда G* не имеет
ненулевых компактных подгрупп.
Следствие 3. Пусть G — компактная хаусдорфова абелева
группа и С — компонента точки 0 в G. Пусть Ф—
периодическая часть группы Г (т. е. подгруппа, состоящая из всех
элементов конечного порядка). Тогда Ф = Л(Г, С) — анну-
лятор подгруппы С в Г и C = A(G, Ф). Кроме того, Ф
изоморфна (G/C)*.
Доказательство. Первые два равенства следуют из
доказанной выше теоремы, поскольку элемент дискретной
группы компактен тогда и только тогда, когда его порядок
конечен. Последнее утверждение вытекает из двойственности
между подгруппами и факторгруппами.

Следствия из теоремы двойственности 81
Из следствия 3 непосредственно выводится интересная
характеризация тех компактных групп, которые являются
связными.
Следствие 4. Компактная хаусдорфова абелева группа
связна тогда и только тогда, когда двойственная к ней
группа не имеет кручения.
Обозначения. Пусть G— абелева группа и fn —
гомоморфизм группы G в себя, заданный формулой fn(g) = ng, где
га-^ положительное целое число. Будем обозначать fn(G)
через G(n>, a fnl(0) — через Gад-
Предложение 44. Пусть G — некоторая LCA-группа с
двойственной группой Г. Для любого п > О
(i) Л(Г,0<»>) = 1%>;
(и) Л(Г,0(я,) = Г<»>.
Доказательство. Пусть у е Л (Г, G(n>). Тогда для
любого geG имеем rag = G(n) и потому y(ng) = ny(g) — 0.
Таким образом, уеГ(Л). Обратно, если уеГ(Л), то ny(g) =
— V(ng) = Q Для всех g^G u потому т»е Л(Г, G(">). Значит,
равенство (i) верно.
Для доказательства равенства (И) рассмотрим G как
двойственную к Г группу. Тогда A(G, Г<">) = G(n), в силу (i),
и потому
fw = Л (Г, Л (G, fw)) = Л (Г, Л (О, Г<»>)) = Л (Г, G(n)). П
Теорема 31. Пусть G — некоторая LCA-группа и Г — двой-
ственная к ней группа. Если G делима, то Г — группа без
кручения. Если Г — группа без кручения, то G(n) плотна eG
для п= 1, 2 £с/ш G дискретна или компактна, то G
делима тогда и только тогда, когда Г не имеет кручения.
Доказательство. Если G делима, то G^n) = G для
любого п, так что из предложения 44(i) следует Г(П) = {0}.
Значит, Г не имеет кручения.
Если Г не имеет кручения, то предложение 44(И)
показывает, что A(G, Г(„))= G = G(n) для любого п~^\.
Если G дискретна, то подгруппа G(n> замкнута для
любого га]^ 1. Если G компактна, то подгруппа G(n) есть
непрерывный образ группы G и поэтому компактна и замкнута.
Таким образом, в обоих случаях G = Gw для всех п^\,
т. е. G делима. П
Следствие 1. Пусть G — компактная хаусдорфова абелева
группа и Г — двойственная к ней группа. Тогда следующие
свойства эквивалентны:

82
Гл.7
(i) G связна;
(ii) Г — группа без кручения;
(iii) G делима.
Следствие 2. Любая связная LCA-группа G делима.
Доказательство. Группа G топологически изоморфна
RnX^C> где К компактна и связна, откуда непосредственно
следует доказываемый результат. О
Замечания. Кроме того, компактная хаусдорфова неабе-
лева группа связна тогда и только тогда, когда она делима
(см. [25]).
Доказанное выше следствие 2 не распространяется на
неабелев случай (см. § 24.44 т. I книги [45]).
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 15
1. Пусть G — некоторая LCA-группа. Покажите, что G
компактна и метризуема тогда и только тогда, когда
двойственная к ней группа счетна. [Указание. Используйте
следствие из теоремы 2.]
2. Покажите, что боровская компактификация bG
некоторой LCA-группы G метризуема тогда и только тогда, когда
G компактна и метризуема; при этом bG = G. [Указание.
См. задачу 6 из цикла 13 упражнений и используйте
сформулированную выше задачу 1.]
3. Пусть К—компактное подмножество, локально
компактной хаусдорфовой группы G. Покажите, что существует
открытая и замкнутая компактно порожденная подгруппа
rpynnb^G, содержащая К-
4. Пусть G—некоторая LCA-группа и Г — двойственная
к ней группа. Пусть а — наименьшая мощность базиса
открытых окрестностей точки 0 в G и Ь — наименьшая
мощность семейства компактных подмножеств группы Г,
объединение которого есть Г. Покажите, что а = Ь. [Указание. Для
доказательства неравенства а^Ь обозначим через S={/4Jfe/
такое семейство компактных множеств, что Г = U Ah при-
чем Ь есть мощность множества индексов /. Для любого
i е / обозначим _через Bi открытое множество, содержащее
At и такое, что В, компактно. Пусть S' — семейство всех
конечных объединений вида Bi{ (J Bt2 (J ... \]Btn. Проверьте, что
Г — объединение множеств семейства S' и что любое
компактное подмножество группы Г содержится в некотором
множестве семейства S'. Затем надо рассуждать, как в
доказательстве теоремы 29.]

Следствия из теоремы двойственности 83
5. (i) Пусть G — компактная хаусдорфова абелева
группа, и пусть w(G)—наименьшая мощность базиса открытых
множеств группы G. Покажите, что w(G) равна мощности
группы G*. [Указание. Используйте сформулированную выше
задачу 4.]
.(и) Пусть G — компактно порожденная LCA-группа.
Покажите, что w(G) — w(G*).
(iii) Пусть G — произвольная LCA-группа. Покажите, что
w(G)=w(G*). [Указание. Если G конечна, то результаттри-
виален, так что допустим, что G бесконечна. Тогда она
обладает открытой подгруппой Н, топологически изоморфной
RnX.K, где К компактна и п ^ 0. Покажите, что
ay(G) = max(ay(RraX/C), мощность G/H).
Заметив, что G* содержит компактную подгруппу А,
топологически изоморфную (G/H)* и такую, что G /А
топологически изоморфна RnX^*. покажите, что
ш (G*) > max (ш (Rra X К*), w ((G/H)*)).}
6. Пусть G — компактная хаусдорфова абелева группа
с двойственной группой Г. Покажите, что следующие
условия эквивалентны (через с обозначается мощность
множества R):
(i) G соленоидальна;
(И) Г алгебраически изоморфна подгруппе группы R;
(iii) Г — группа без кручения и мощность Г <: с;
(iv) G связна и w(G) <; с.
[Указание. См. задачу 4 из цикла 13 упражнений. Считайте
известным следующий факт из теории абелевых групп: из
(iii) вытекает (и).]
7. Пусть G — делимая компактная хаусдорфова (не
обязательно абелева) группа. Докажите, что G связна.
[Указание. Предположите, что G несвязна, и придите к
противоречию, показав, что она содержит такую собственную
открытую нормальную подгруппу Н, что G/H — конечная
делимая группа.]

Глава 8
Локально евклидовы группы
и NSS-группы
Определение. Говорят, что топологическая группа G не
имеет малых подгрупп, или является NSS-группой, если
существует окрестность U точки е ъ G, которая не содержит
подгрупп, отличных от {е}.
Из следствия 2 теоремы 14 непосредственно вытекает
полное описание компактных хаусдорфовых абелевых NSS-
групп.
Предложение 45. Каждая компактная хаусдорфова абе-
лева NSS-группа топологически изоморфна Т"Х^ для
некоторой дискретной конечной группы D « я > 0.
. Это предложение позволит нам описать все локально
компактные хаусдорфовы абелевы NSS-группы.
Теорема 32. Каждая LCA-группа, не имеющая малых
подгрупп, топологически изоморфна R" X Т* X А где D —
некоторая дискретная группа, а и Ь — неотрицательные целые '
числа.
Доказательство. В силу основной структурной
теоремы, группа G содержит открытую подгруппу,
топологически изоморфную Ra X К для некоторой компактной группы
/Си а ^ 0. Так как каждая подгруппа NSS-группы есть
NSS-группа, то К является NSS-группой. Из предложения 45
следует, что К топологически изоморфна Т* X S, где S —
дискретная группа и 6>0. Поэтому G содержит открытую
подгруппу, топологически изоморфную RaXT*.
Предложение 18 показывает тогда, что G топологически изоморфна
RaXT*X£ для некоторой дискретной группы D. □
Замечание. В 1900 г. Давид Гильберт представил
Международному конгрессу математиков в Париже доклад,
содержащий 23 исследовательских проекта [10]. Смысл его пятой
проблемы состоял в следующем: какие топологические
условия на топологическую группу достаточны для того, чтобы

Локально евклидовы группы и NSS-группы 85
группа допускала аналитическую структуру, превращающую
ее в группу Ли? (Грубо говоря, топологическая группа
называется группой Ли, если ее компонента единицы открыта
и обладает дополнительной структурой аналитического
многообразия, относительно которой операции (х,у)>-^>ху и
дсн->лН аналитичны. В качестве примеров упомянем Rn, T" и
дискретные группы.) В частности, он задал вопрос, всякая
ли локально евклидова группа является группой Ли.
Утвердительный ответ дали в 1952 г. Глисон, Монтгомери и Зип-
пин. Другой полученный ими результат формулируется
следующим образом: локально компактная группа является
группой Ли тогда и только тогда, когда она не имеет малых
подгрупп. Доказанная выше теорема 32 является абелевым
случаем этой теоремы.
Остальная часть главы будет посвящена доказательству
того, что локально евклидова абелева топологическая группа
топологически изоморфна R" X Т* X А где D дискретна,
а>0и6>0,и потому является группой Ли.
Подробное изложение вопросов, связанных с пятой
проблемой Гильберта, см. в книгах [24] и [16]. Интерес для
читателя может представить также работа [34], где показано,
что локально компактная группа является группой Ли тогда
и только тогда, когда она локально стягиваема.
Определение. Топологическое пространство X называется
локально связным, если для любой точки не!» любой
открытой окрестности U этой точки имеется такая связная
окрестность V этой точки, что V^ U.
Определение. Топологическое пространство X называется
локально евклидовым, если каждая точка j;el имеет
окрестность U, гомеоморфную единичному шару в R" для
некоторого п ]5г 0.
Примеры. Все группы Ли локально евклидовы, в том
числе любая группа вида R" X Т* X А где D дискретна,
а > 0 и Ь > 0.
Разумеется, любое локально евклидово пространство
локально связно.
Теорема 33. Любая локально связная LCA-группа G
топологически изоморфна R° X ^С X А где К — некоторая
компактная связная локально связная группа, D — некоторая
дискретная группа «а>0.
Доказательство. Пусть С — компонента точки 0 в G.
Так как G локально связна, то С является в ней открытой
подгруппой. Согласно следствию 2 теоремы 31, С делима.

86
Гл. 8
Поэтому G топологически изоморфна С X А где D —
дискретная группа G/C. Поскольку С связна, она
топологически изоморфна R°X^C для некоторой компактной связной
группы К и а ^ 0. Поэтому G топологически изоморфна
R" X К X D. Так как она локально связна, а К есть
факторгруппа группы G, то К локально связна. □
Замечание. Доказанная выше теорема сводит задачу ха-
рактеризации локально связных LCA-групп к задаче харак-
теризации компактных связных локально связных хаусдор-
фовых абелевых групп.
Замечания о размерности. Пусть X — некоторое
множество и 2 — конечное семейство подмножеств множества X.
Для любого х^Х обозначим через т(х) число таких
множеств SeE, что xgS. Кратность т(2) семейства 2
определяется как тахт(дс). Семейство 2' подмножеств множе-
ства X называется вписанным в 2, если для любого S's2'
имеется такое S е 2, что S' s S.
Пусть теперь X — компактное хаусдорфово пространство
и п— неотрицательное целое число. Тогда говорят, что X
имеет размерность п, если удовлетворяются следующие два
условия: (i) для любого конечного покрытия пространства X
открытыми множествами существует конечное покрытие его
замкнутыми множествами, которое вписано в заданное
открытое покрытие и имеет кратность ^ft-f- 1; (ii) существует
такое конечное покрытие пространства X открытыми
множествами, что любое конечное покрытие его замкнутыми
множествами, вписанное в заданное открытое покрытие, имеет
кратность >п. (Если такого п не существует, то говорят, что
X имеет бесконечную размерность.) Мы пишем AimX = n.
Теорема. Размерность единичного шара пространства R"
равна п.
Доказательство этой теоремы нетривиально — см.,
например, [26] ')>
Нам потребуется еще один факт, касающийся
размерности, доказательство которого совсем нетрудно.
Предложение. Пусть Y — замкнутое подпространство
компактного хаусдорфова пространства X. Тогда dim У ^ dim X.
Замечания о ранге. Конечное подмножество {х\, ..., хп}
абелевой группы G без кручения называется линейно
независимым, если из равенства ш\Х\ + ... + тпхп = 0, где
1) См. также [2]. — Прим. перев.

Локально евклидовы группы и NSS-группы 87
т\, ..., т.п. — целые числа, следует, что mi = m2= ... =тп=
= 0. Линейно независимое множество {х\, ..., хп)
называется максимальным в G, если для любого дсе G\ {х\, ..., хп}
множество {х, х\ хп) не является линейно независимым.
Можно показать, что если G обладает максимальным линейно
независимым множеством {х\, ..., хп}, то никакое линейно
независимое подмножество4 в G не может содержать больше
чем п элементов. Поэтому мы можем определить ранг rank G
группы G как число элементов в любом максимальном
линейно независимом подмножестве. Если G обладает линейно
независимыми подмножествами с произвольно большим
числом элементов, то говорят, что G имеет бесконечный ранг.
Нам представится случай использовать следующее легко
проверяемое предложение.
Предложение. Пусть G — абелева группа без кручения,
имеющая бесконечный ранг. Тогда для любого натурального
числа п группа G имеет факторгруппу Н, являющуюся абеле-
вой группой без кручения ранга п.
Предложение 46. Пусть G — дискретная абелева группа
без кручения ранга п. Тогда G* содержит подпространство,
п
гомеоморфное Ц Х{, где каждое Xi гомеоморфно открытому
единичному интервалу (0, 1).
Доказательство. Пусть
{g\,--,gn}—максимальное линейно независимое подмножество группы G. Для лю-
п
бого / = (/.ь ..., /л)еД^ определим характер yt группы
G следующим образом. Если g e G, то существуют такие,
целые т, т\, ..., тп, не все равные 0, что mg = m\g\ + ...
... + tringn, положим ')
(т\ тп i \
Vt(g) = e 4m m J-
Тот факт, что yt — действительно характер, проверяется лег-
п
ко. Отображение пространства Y\.Xt в G*, переводящее t в
i=\
yt, очевидно, является взаимно однозначным. Обычная про-
п
верка показывает, что оно гомеоморфно отображает Ц Xt
i-\
на свой образ в G *. D
') Заметим, что m ф 0, поскольку множество {gi, ..., gn) линейно
независимо. Отсюда же легко следует, что числа mi/m, .... тп/т не зависят
от выбора чисел т., mi m„. — Прим. перев.

88
Гл. 8
Теорема 34. Пусть G — компактная связная хаусдорфова
абелева группа. Группа G имеет бесконечную размерность
тогда и только тогда, когда G* имеет бесконечный ранг. Если
G имеет конечную размерность, то dim G равна рангу
группы G*.
Доказательство. Заметим^ что в формулировке
теоремы подразумевается, что G*—группа без кручения. Этот
факт мы доказали в следствии 4 теоремы 30.
Сначала мы покажем, что dim G ^ rank G*. Если G*
имеет ранг п, то из предложения 46 следует, что G содержит
п
подпространство, гомеоморфное Ц Х{, где Я,-= (0,1). По-
этому dim G ^ n = rank G*. Если ранг группы G*
бесконечен, то для любого натурального числа п она имеет
факторгруппу U, являющуюся группой без кручения ранга п.
Поэтому G содержит подгруппу, топологически изоморфную Я*,
которая в свою очередь содержит подпространство, гомео-
п
морфное Г[ Xt. Значит, dim G ^ п для всех, п, т. е. G имеет
бесконечную размерность.
Теперь покажем, что rank G* ^ dim G. Допустим, что
dim G ]5г п для некоторого натурального числа п. Пусть S —
такое конечное открытое покрытие группы G, что любое
замкнутое покрытие, вписанное в него, имеет кратность >п.
Для каждого g ^ G существует такая окрестность Vg
точки 0, что g + 2Vg содержится в некотором Sg2. Так как G
компактна, то конечное число множеств g + Vg покрывает G,
т. e.G = (gr1 + Fgi)U ... U(gm+VeJ.nonoKMV = Vein...
• •• П Va . Согласно следствию 2 из теоремы 14, V содер-
жит такую замкнутую подгруппу Н, что G/H топологически
изоморфна Т* для некоторого k ^ 0. (Заметим, что G/H
связна, и потому дискретная группа в этом следствии должна
быть тривиальной.) Если f— каноническое отображение
группы G на G/H, то легко проверить, что f~l{y} для каждого
у е G/H является подмножеством некоторого Se2,
Поэтому из задачи 1 цикла 16 упражнений следует, что
dim(G/#) ]5г «, т. е. что AimTk = k ^ п. Разумеется, (G/H)*
топологически изоморфна группе Z* и некоторой подгруппе
группы G*. Отсюда rank G* ^ k ^ п. Поэтому rank G* ^
^ dim G. □
Замечание. Если G — произвольная абелева группа, то
определим ранг без кручения группы G как число элементов
в любом максимальном линейно независимом подмножестве

Локально евклидовы группы и NSS-группы
89
группы G. Тогда предыдущее доказательство показывает, что
для любой компактной хаусдорфовой абелевой группы G
размерность группы G равна рангу без кручения группы G*.
Теорема 35. Пусть G — дискретная абелева группа без
кручения конечного ранга. Тогда G* локально связна в том
и только том случае, когда G конечно порождена.
Доказательство. Если G конечно порождена, то она
топологически изоморфна Z°X^> где F—конечная
дискретная группа и a — неотрицательное целое число. Значит, G*
топологически изоморфна Ta X F и поэтому локально связна.
Пусть G* локально связна. Предположим, что G не
является конечно порожденной. Пусть S = {g\, ..., gn} —
максимальное линейно независимое подмножество в G, и пусть
W—предбазисная окрестность P(S,V\/4). Пусть Н —
подгруппа, порожденная множеством S, и пусть А = Л(Я)—ан-
нулятор подгруппы И в G*. Мы покажем, что W гомео-
морфно R"X<4-
п
Для любого t = (t\, ..., УеП4 гДе %t — открытый
i = \
интервал (—1/4, 1/4), определим характер yt группы G
следующим образом. Если ge G, то существуют такие целые
m, гп\, ..., mn, не все равные0,что mg = rti\g\ + ... + mngn.
Положим
Как и в предложении 46, yt — характер и отображение t>-~*-yt
п
пространства Ц Х{ в G* является гомеоморфизмом простран-
п
ства Ц Х{ на его образ Е в G*. Таким образом, Е гомео-
морфно R". Пусть теперь y^W. Положим ti = y{gt) (i =
= 1 ft) и t *={t\, ..., tn). Ясно, что у — yt e A = Л(#).
Значит, у ==■ yt + т), где r\ e А. Без труда проверяется, что
отображение vi~>(V''Tl) окрестности W в ЕХ.А является
гомеоморфизмом. В частности, получаем непрерывное открытое
отображение окрестности W на А. Таким образом, мы
придем к противоречию и, значит, к желаемому результату, если
сможем показать, что группа А локально несвязна.
Поскольку U конечно порождена, а G таковой не
является, из задачи 5 (и) цикла 12 упражнений следует, что G/H
не является конечно порожденной. Значит, G/H —
бесконечная периодическая группа В силу следствия 3 из теоремы 30,
двойственная к G/H группа вполне несвязна. Но А тополо-

90
Гл. 8
гически изоморфна (G/H)* и потому является бесконечной
вполне несвязной группой. Наконец, заметим, что вполне
несвязная группа может быть локально связной только в
случае, когда она дискретна, и что А не дискретна, так как она
бесконечна и компактна. Поэтому мы получаем нужное
противоречие. □
В качестве непосредственного следствия из теорем 33, 34
и 35 имеем теперь следующий основной результат настоящей
главы.
. Теорема 36. Пусть G — конечномерная локально связная
LCA-группа. Тогда G топологически изоморфна Ra X Т* X А
где D — дискретная группа, а а и Ь — неотрицательные
целые числа.
Следствие. Пусть G — локально евклидова абелева
топологическая группа. Тогда G топологически изоморфна Ra X
X Т* X D, где D — дискретная группа, а и Ь —
неотрицательные целые числа.
Замечание. Диксмье [12] охарактеризовал компактные
связные локально связные хаусдорфовы абелевы группы как
группы, двойственные к которым дискретны, не имеют
кручения и обладают следующим свойством: каждая подгруппа
конечного ранга свободна. Л. С. Понтрягин [29] получает
следующее обобщение теоремы 36.
Теорема. Каждая локально связная метризуемая LCA-
оо
группа топологически изоморфна Ra X D X П Tt или Ra X
t—1
X D X Т*, где каждая Ti есть группа Т, D — дискретная
группа, а а и Ь — неотрицательные целые числа.
К сожалению, строение неметризуемых локально связных
групп не является таким простым. Диксмье показал, что
компактная связная локально связная LCA-группа не обязана
быть линейно связной и, значит, не всегда топологически
изоморфна произведению групп Т. Некоторая дальнейшая
информация дана в работе [38].
УПРАЖНЕНИЯ, ЦИКЛ 16
1. Пусть X— компактное хаусдорфово пространство
размерности ~^п, и пусть 2 — такое конечное открытое
покрытие пространства X, что каждое замкнутое покрытие этого
пространства, вписанное в 2, имеет кратность >п. Пусть/ —
такое непрерывное отображение пространства X на
хаусдорфово пространство У, что для любого у е У множество

Локально евклидовы группы и NSS-группы 91
f~l{y} содержится в некотором множестве семейства S.
Покажите, что dim Y^ п.
2. (i) Покажите, что LCA-группа компактно порождена
тогда и только тогда, когда двойственная к ней группа не
имеет малых подгрупп.
(п) Выведите отсюда, что любая замкнутая подгруппа
или хаусдорфова факторгруппа некоторой LCA-NSS-группы
есть LCA-NSS-rpynna.
3. Покажите, что конечное произведение NSS-групп
является NSS-группой, но что бесконечное произведение NSS-
групп есть NSS-группа только в случае, когда оно в
некотором, смысле тривиально.
4. Используя сформулированную выше задачу 2(i),
покажите, что каждая LCA-группа G содержит такую
компактную подгруппу К, что G/K является LCA-NSS-группой.
5. (i) Пусть X— топологическое пространство и d—
метрика на множестве X. Говорят, что d — непрерывная метрика
на X, если отображение d: X)i(X-+R непрерывно, где Ху^Х
обозначает прямое произведение топологического
пространства X на себя. В этом случае мы говорим также, что
топологическое пространство X допускает непрерывную метрику.
Докажите, что любое компактное пространство,
допускающее непрерывную метрику, метризуемо.
(Н) Покажите, что любая локально компактная группа,
допускающая непрерывную метрику, метризуема. [Указание.
Используйте (i) и задачу 3(H) из цикла 6 упражнений.]
(ш) Пусть G— топологическая группа, имеющая такое
оо
семейство Vi, Vi, ... окрестностей точки в, что U Vn = {e}.
Покажите, что G допускает непрерывную метрику.
[Указание. См. задачу 3(i) из цикла 6 упражнений.]
(iv) Выведите отсюда, что локально компактная группа
метризуема тогда и только тогда, когда она имеет счетное
семейство Vi, Vi, ... окрестностей точки е, такое, что
оо
nva={e].
(v) Покажите, что каждая локально компактная NSS-
группа метризуема.
6. (i) Пусть G — недискретная локально компактная
NSS-группа. Покажите, что существует такая компактная
окрестность V точки е, что для всех х и у из V из равенства
х2 = у2 вытекает, что х = у. [Указание. Допустим, что G
неабелева. Если наше утверждение неверно, то существуют
две последовательности Ху, хч, ... и у\, г/2, • • • элементов
группы G, сходящиеся к е и такие, что х2=у2п, но х~1уп =

92
Гл. 8
= z„ ф е. Пусть U — симметрическая компактная окрестность
точки е, не содержащая никаких подгрупп группы G, кроме
{е}, и пусть рп — наименьшее из таких целых р > 0, что
zP+i ф. U. Покажите, что после перехода к некоторой
подпоследовательности существует 2= limzj", причем он отличен
п-+оо
от е и лежит в U. Покажите, что г = г-1 и тем самым
придите к противоречию.]
(и) Пусть U—компактная симметрическая окрестность
точки е, не содержащая никаких подгрупп, кроме {е}, и
пусть V — некоторая окрестность точки е. Докажите, что
существует число c(V)>0, обладающее следующим свойством:
если р и q— такие положительные целые числа, что р^
^c(V)q, и если *eG таков, что х, х2, ..., х" лежат в U,
то хР е V. [Указание. Предположим, что существуют такие
последовательности ри р2, ... и q\, q2, ... положительных
целых чисел, что lim (pjqn) = 0, и пусть для любого п суще-
ствует такой элемент gn е G, что g% е U для 1 ^ k ^ qn, но
gff&V. Предположим также, что последовательность gpnn
имеет предел g=£e, причем ge(/. Покажите, что gmе U
для всех т > 0, и тем самым придите к противоречию.]
(Hi) Пусть G и V — такие же, как в (i). Пусть ai,a2, ...—
любая последовательность точек окрестности V, сходящаяся
к е. Покажите, что существуют такая подпоследовательность
&ь Ь% ... последовательности а,\, а2, ... и такая
последовательность k\, k2, ... положительных целых чисел, что
последовательность b\', b\\ ... сходится к точке, отличной от е.
[Указание. Рассмотрите наименьшее из таких
положительных целых чисел k, что a*+1 ф К.]
(iv) Покажите, что если г и s — такие вещественные
числа, что последовательности b\rk'\ b[rk'], ... и b\skA, biskl], ...
сходятся в G к х и у соответственно, то последовательность
61,(г+*>*'1. b^r+s)kl\ ... сходится к ху. (Здесь через [t]
обозначается целая часть вещественного числа t.)
(v) Используя (iii) и (iv), покажите, что для любого
двоично рационального числа re[0,1] последовательность
b\rkl], b\rkA, ... сходится в G.
(vi) Пусть W — любая такая окрестность точки е, что
f S V. Покажите, что для каждого вещественного числа
ге[0, 1] существует такое двоично рациональное число s, что
bn^r+s)kn^ W для всех п. Выведите отсюда, что для любого
re[0,1] последовательность bl{kl\ b[rk'\ ... сходится к
некоторому пределу /(г). [Указание. Используйте (ii).]

Локально евклидовы группы и NSS-группы
93
(vii) Если —1 ^rsg^O, то положим f{r) = {f{—г))-1.
Покажите, что если г, s и г + s содержатся в отрезке [—1,1],
т0 f(r)f(s)= f(r -{- s), и что отображение гь-э-Дг) отрезка
[—1, 1] в G непрерывно. Выведите отсюда, что это
отображение можно продолжить до нетривиального непрерывного
гомоморфизма группы R в G.
(viii) Опираясь на предыдущую задачу, покажите, что
каждая недискретная локально компактная NSS-rpynna
содержит подгруппу, топологически изоморфную R или Т.

Глава 9
Неабелевы группы
В этой главе мы сделаем несколько замечаний
относительно неабелевых локально компактных хаусдорфовых
групп.
Для компактных хаусдорфовых (не обязательно абеле-
вых) групп имеется теория двойственности, принадлежащая
М. Г. Крейну и Таннака. Двойственный объект для
компактной хаусдорфовой группы G представляет собой не
топологическую группу, как в абелевом случае, а класс
непрерывных конечномерных унитарных представлений группы G (или
алгебру Крейна). Подробности см. в [45, т. II].
Пусть Я —комплексное векторное пространство и Т(Н) —
группа всех взаимно однозначных линейных преобразований
пространства Я на себя. Представлением некоторой группы
G называется такое отображение х*-^Тх группы G в Т(Я),
что ТХТУ = Тху для любых х и у из G. Представление U
топологической группы G называется непрерывным
неприводимым унитарным представлением, если (а) Я —
гильбертово пространство, (Ь) каждое преобразование Ux, ^eG,
пространства Я унитарно, (с) для любых | и ц из Я функция
Х1—^(их^,ц) на G с комплексными значениями непрерывна
и (d) в Я не существует собственного замкнутого
подпространства, переводящегося в себя всеми Ux, xeG.
Центральная теорема в теории представлений
топологических групп принадлежит И. М. Гельфанду и Д. А. Райкову.
Теорема (Гельфанда — Райкова). Непрерывные
неприводимые унитарные представления любой локально
компактной хаусдорфовой группы G разделяют ее точки.
Отметим два важных частных случая:
(1) Если G компактна, то каждое ее непрерывное
неприводимое унитарное представление конечномерно (т. е. Я —
конечномерное векторное пространство).
(2) Если G абелева, то каждое непрерывное
неприводимое унитарное представление группы G одномерно.

Неабелевы группы 95
Любое гс-мерное непрерывное унитарное представление
можно рассматривать как непрерывный гомоморфизм группы
О в унитарную группу V(n). Так как U(1)=T, то
одномерные представления — это не что иное, как характеры группы
G. Поэтому в качестве следствий получаются важные
результаты Петера, Г. Вейля и ван Кампена, о которых было
сказано в гл. 5 и 6.
Следствие 1. Пусть G — компактная хаусдорфова группа.
Тогда для любого g e G, g ф е, имеется такой непрерывный
гомоморфизм ф группы G в унитарную группу U(rc.) для
некоторого п, что <p(g)¥=e. Значит, G топологически
изоморфна подгруппе некоторого произведения унитарных групп.
Следствие 2. Характеры любой LCA-группы разделяют
точки.
Можно ожидать, что класс локально компактных групп,
конечномерные непрерывные унитарные представления-
которых разделяют точки, допускает красивую структурную
теорию. Это действительно так. Группы этого класса
называются максимально почти периодическими.
Теорема. Пусть G — связная локально компактная
максимально почти периодическая группа. Тогда она
топологически изоморфна R" X К, где К компактна и связна ап>0.
За информацией о максимально почти периодических
группах мы отсылаем читателя к работе [11].
Для описания строения некомпактных неабелевых
локально компактных хаусдорфовых групп мы должны вновь
обратиться к группам Ли. Для любой группы Ли можно
определить соответствующую алгебру Ли, причем две группы Ли,
имеющие одну и ту же алгебру Ли, локально изоморфны.
(О группах Ли и алгебрах Ли имеется много книг, см.,
например, [19], [30], [35], [37], [40], [43], [46].) Далее,
локально компактные группы можно следующим образом
«аппроксимировать» при помощи групп Ли.
Теорема. Пусть G — некоторая локально компактная
хаусдорфова группа. Тогда она обладает такой открытой
подгруппой Gi, что каждая открытая окрестность точки е в G\
содержит компактную нормальную подгруппу Н, для
которой G\/H — группа Ли.
Следствие. Каждая связная локально компактная
хаусдорфова группа топологически изоморфна подгруппе
некоторого произведения групп Ли.

96 Гл. 9
В заключение упомяным структурную теорему Ивасавы
[14]. (Этот результат получается из аналогичного результата
для групп Ли при помощи сформулированной выше аппрок-
симационной теоремы.)
Теорема. Пусть G — связная локально компактная хаус-
дорфова группа. Тогда она содержит максимальную
компактную подгруппу, причем все такие подгруппы связны и
сопряжены друг с другом. Пусть К — одна из них. Тогда G
содержит такие подгруппы Н\, ..., Нп, каждая из которых
топологически изоморфна R, что любой элемент g e G
единственным и непрерывным образом представляется в виде
g = hi ... hnk, где hi е//, и k e К- В частности, G гомео-
морфна R" X ^С-
В абелевом случае эта теорема сводится к теореме 26.

Список литературы
[I] Адаме (Adams J.). Лекции по группам Ли. — М.: Наука, 1979.
[2*] Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности.—
М.: Наука, 1973.
[3] Браун, Хиггинс, Моррис (Brown R., Higgins P. J., Morris S. A.).
Countable products and sums of lines and circles: their closed
subgroups, quotients and duality properties, Proc. Cambr. Philos. Soc, 78
(1975), 19—32.
[4] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука,
1968.
[5] Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и
связанные с ними группы и пространства. — М.: Наука, 1969.
[6] Варопулос (Varopoulos N. Th.). Studies in harmonic analysis, Proc.
Cambr. Philos. Soc, 60 (1964), 465—516.
[7] Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его
применения.—М.: ИЛ, 1950.
[8] Веикатараман (Venkataraman R.). Extensions of Pontryagin duality,
Math. Z., 143 (1975), 105—112.
[9] Виленкин Н. Я. Теория характеров топологических абелевых групп с
заданной ограниченностью. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 15, 1951,
с. 439—462.
[10] Гильберт Д. Математические проблемы. — В кн. «Проблемы
Гильберта». М.: Наука, 1969, с. 13—64.
[II] Гроссер, Московии. (Grosser S., Moskowitz M.). Compactness
conditions in topological groups, J. Reine Angew. Math., 246 (1971), 1—40.
[12] Диксмье (Dixmier J.). Quelques proprietes des groupes abeliens
localement compacts, Bull. Sci. Math., 81 (1957), 38—48.
[13] Дьёдонне (Dieudonne J.). Treatise on analysis, v. II, Acad. Press,
N. Y. —L., 1970.
[14] Йвасава (Iwasawa K.). On some types of topological groups, Ann.
Math., 50 (1949), 507—557.
[15] Каплан (Kaplan S.). Extensions of Pontryagin duality, I, Duke Math.
J., 15 (1948), 649—658; II, ibid. 17 (1950), 419—435.
[16] Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы. — М.:
Мир, 1974.
[17] Картан, Годеман (Cartan H., Godement R.K Theorie de la dualite et
analyse harmonique dans les groupes abeliens localement compacts,
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 64 (1947), 79—99.
18] Келли Дж. Общая топология. — M.: Наука, 1968.
19 Кон (Cohn P. М.). Lie groups, Cambridge Univ. Press, 1967.
201 Курош А. Г. Теория групп (3-е изд.). —М.: Наука, 1967.
21] Лептин (Leptin H.). Zur Dualitatstheorie projektiver Limites abelscher
Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 19 (1955), 264—268.

98
Список литературы
[22] Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. — М.: ИЛ,
1956.
[23] Маккарти (McCarty С). Topology — an introduction with applications
to topological groups, McGrow-Hill, 1967.
[24] Монтгомери, Зиппин (Montgomery D., Zippin L,). Topological
transformation groups, Interscience, N. Y., 1955.
[25] Мыцельский (Mycielski J.). Some properties of connected compact
groups, Colloq. Math., 5 (1958), 162—166.
26] Нагата (Nagata J.). Modern dimension theory, North Holland, 1965.
27' Наймарк М. А. Нормированные кольца (2-е изд.). — M.: Наука, 1968.
28] Нобл (Noble N.). k-groups and duality, Trans. Amer. Math. Soc, 151
(1970), 551—561.
[29] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы (3-е нзд.). — М.: Наука, 1973.
[30] Прайс (Price J.). Lie groups and compact groups, London Math. Soc.
Lecture Note Series, № 25, Cambridge Univ. Press.
[31] Райков Д. А. Гармонический анализ на коммутативных группах с
мерой Хаара и теория характеров. — Труды Матем. ин-та АН СССР,
т. 14, 1945, с. 1—86.
[32] Родер (Roeder D. W.). Category theory applied to Pontryagin duality,
Pacif. J. Math., 52 (1974), 519—527.
[33] Рудин (Rudin W.). Fourier anaysis on groups, Interscience, N. Y.,
1967.
[34] Сенте (Szenthe J.). Topological characterization of Lie group actions,
Acta Scient. Math,, 36 (1974), 323—344.
[35] Cepp Ж.-П. Алгебры Ли в группы Лн. — М.: Мир, 1969.
[36] Смит (Smith M. F.). The Pontryagin duality theorem in linear spaces,
Ann. of Math., 56 (1952), 248—253.
[37] Сэгл, Уэйлд (Sagle A. A., Walde R. E.). Introduction to Lie groups
and Lie algebras, Acad. Press, N. Y. — L., 1973.
[38] Фань (Fan Ky). On local connectedness of LCA-groups, Math. Ann.,
187 (1970), 114—116.
[39] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. — М.: Мир, 1974.
[40] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические
пространства.— М.: Мир, 1964.
[41] Хнггинс (Higgins P. J.). An introduction to topological groups, London
Math. Soc. Lecture Note Series, № 15, Cambridge Univ. Press, 1974.
[42] Хофман (Hofmann К. Н.) Finite dimensional submodules of G-modules
for a compact group G. Proc. Cambr. Philos. Soc, 65 (1969), 47—52.
[43] Хохшнльд (Hochschild G.) The structure of Lie groups, Holden-Day,
1965.
[44] Хусейн (Husain Т.). Introduction to topological groups, Saunders Co.,
1966.
[45] Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. — М.:
Наука, 1976; т. II. —М.: Мнр, 1976.
[46] Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1. —М.: ИЛ, 1948.

Предметный указатель
Аннулятор 74
Базис 32
Гомоморфизм непрерывный 12
Группа абелева без кручения 23
свободная 32
— двойственная 42
— делимая 21
— Ли 85
— линейная 7
полная 8
специальная 8
— максимально почти
периодическая
— ортогональная 8
специальная 8
— периодическая -56
— топологическая 7
компактно порожденная 15
— — монотетическая 60
рефлексивная 58
соленоидальная 72
сг-компактная 24
— унитарная 8
специальная 8
— характеров 42
— элементарная 60
LCA-rpynna 15
NSS-группа 84
Диагональ 38
Изоморфизм топологический 12
Коммутант 18
Компактификация воровская 73
Компактный элемент 79
Компонента единицы 15
Кратность семейства подмножеств
86
Линейно независимое подмножество
86
Локально изоморфные группы 35
Матрица ортогональная 7
— унитарная 7
Метрика непрерывная 91
Обратный спектр 24
Окружность 7
Отображение открытое 16
— факторное 16
Параллелотоп 29
" Представление 94
— конечномерное 94
— непрерывное неприводимое
унитарное 94
Проблема Гильберта пятая 85
Проективный предел 24
Произведение декартово 19
— полупрямое 26
— прямое 19
ограниченное 20
слабое 20
Пространство равномерное 38
— топологическое вполне несвязное
16
локально евклидово 85
связное 85
однородное 9
регулярное 11
хаусдорфово 9
6и-пространство 65

100
Предметный указатель
Го-пространство 11
Грпростраиство 9
Гг-пространство 9
Равномерная структура 38
двусторонняя 39
левая 39
правая 39
Равностепенно непрерывное
семейство 41
Размерность 86
Ранг 87
— без кручения 88
Сдвиг левый 8
— правый 8
Теорема Асколи 41
— Бэра о категории 24
— Гельфанда — Райкова 94
— двойственности Понтрягииа —
ваи Кампена 47, 69
— Кронекера 76
Теорема об открытом
отображении 24
— основная структурная 71
— Петера — Вейля — ваи Кампена
53
— Тихонова 19
Топология грубая 7
— групповая 11
— дискретная 7
— компактно-открытая 39
— кофинитная 9
— подгрупповая 11
— поточечной сходимости 39
— произведения 19
— совокупно непрерывная 40
— тихеиовская 19
— ящичная 19
ft-топология 39
р-топология 39
Фактортопология 15
Характер 42

Указатель упражнений, предложений и теорем
Циклы упражнений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Предложения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
стр. | Предложения
11
17
22
25
36
41
45
48
52
54
59
65
72
76
82
90
8
9
10
12
13
13
13
14
15
15
16
17
17
17
20
20
21
22
27
стр.
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Теоремы
1
2 (Бэра
о категории)
3 (об открытом
нии)
4
5
6
7
8
отображе-
28
29
29
31
35
40
40
41
41
44
50
51
55
62
64
66
67
68
74
75
75
75
78
79
81
84
87
22
24
24
30
31
32
33
35

102 Указатель упражнений, предложений н теорем
Теоремы
9 (Асколи)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23 (Понтрягнна — ван Кам-
пена)
стр.
41
44
45
45
49
^53
55
56
56
58
60
61
63
68
69
Теоремы
24
25 (основная структурная)
26
27
28 (Кронекера)
29
30
31
32
33
34
35
36
стр.
70
71
71
74
76
78
79
81
84
85
88
89
90

Оглавление
К русскому изданию 5
Предисловие 5
Глава 1
Введение в топологические группы 7
Глава 2
Подгруппы и факторгруппы группы R" 27
Глава 3
Равномерные пространства н двойственные группы 93
Глава 4
Введение в теорему двойственности Понтрягина — ван Кампеиа 47
Глава 5
Двойственность для компактных и дискретных групп 53
Глава 6
Теорема двойственности и основная структурная теорема 60
Глава 7
Следствия из теоремы двойственности 74
Глава 8
Локально евклидовы группы и NSS-группы 84
Глава 9
Неабелевы группы 94
Список литературы 97
Предметный указатель 99
Указатель упражнений, предложений и теорем 101

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
- присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП,
1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».
С. Моррис
двойственность понтрягина
и строение локально
компактных авелевых групп
Научный редактор Г. М. Цукерман
Младший научный редактор Н. С. Полякова
Художник А. Г. Антонова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. В. Вурмистрова
Корректор Т. И. Стнфеева
ИБ № 1793
Сдаио в набор 24.12.79. Подписано к печати 29.07.80.
Формат бОХЭО'Лб- Бумага типографская № 2. Гарнитура
литературная. Печать высокая. Объем 3,25 бум. л.
Усл. печ. л. 6,50. Уч.-нзд. л. 5,34. Изд. № 1/0248.
Тираж 7800 экз. Заказ 561. Цена 40 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>
129820, Москва, И-110, ГСП
1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объедннення «Техническая кннга> им. Евгении Соколовой
Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

40 коп.
Эта книга начинается с введения в топологические группы,
а дальнейшие ее главы содержат доказательство важной
теоремы двойственности Понтрягина—ван Кампена и
детальное изложение структурной теории локально компактных
абелевых групп. Дается также краткий обзор новых
исследований в этой области и смежных результатов о неабелевых
топологических группах. От читателя требуется только
минимум знаний по теории групп и топологии, что делает книгу
единственной монографией, дающей элементарное изложение
этих вопросов.
Книга содержит большое число упражнений, снабженных
указаниями, что весьма удобно для самостоятельной
работы. Она вполне доступна студентам младших курсов
математических специальностей.
129820, Москва,
И-110, ГСП, 1-й Рижский пер.,
д. 2, издательство «Мир».