.ЪиапоПопоЕ
МЕКТРО-
ДЯЯАМЯКА


7п111крсшп0пс*ю иуклелэпВо
.С? Климент Oipujcku!*
Христо Попов
ЕЛЕКТРО-
днна микд
Второ издание
Университетски издателство
„Св. Климент Охридски"
София • 1995
В предлаганото издание систематизирано, задълбочено и на съвременно научно
пиво са изложени основите на класическата електродинамика в съответствие с
университетската програма на този курс. Включено е приложение с всички необ-
ходими за разбирането на основния текст математически сведения от векторното
и интегралното смятане.
Учебникът е предназначен за студентите от всички физически специалности, като
може да се ползва от преподаватели във ВУЗ и средните училища, а в качеството
на справочник и от много специалисти.
© Христо Димитров Попов
1989,1995
ISBN 954-07-0287-9
СЪДЪРЖАНИЕ
ПРЕДГОВОР.............................................. 7
УВОД.................................................. 11
ОЗНАЧЕНИЯ И НАЗВАНИЯ НА ФИЗИЧНИТЕ ВЕЛИЧИНИИ ТЕХНИТЕ
ЕДИНИЦИ............................................... 13
ЧАСТ I.
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЪВ ВАКУУМ.............	15
1.	ЕЛЕКТРИЧНИ ЗАРЯДИ.................................. 17
Свойства на зарядите (17). Описание на разпределението на зарядите (18). Заря-
дов елсмент (19). Описание на движението на зарядите (20). Закон за запазване
на електричния заряд (22). Стационарни разпределения на заряди и токове (23).
Токови тръби и токови нишки (24). Статични заряди (25).
2.	ОСНОВНИ ЗАКОНИ НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ........... 26
Закон на Кулон (26). Принцип на суперпозицията (27). Определяне на заря-
дите (27). Далечно действие — близко действие (28). Интегрално представяне
на електростатичното поле (30). Глобални характеристики на векторните полета
(32). Глобална форма на основните закони на електростатиката (33). Диферен-
циални уравнения за електростатичното поле (35). Гранични условия за елек-
тростатичното поле (36) Локална форма на основните закони (37). Потенциал на
електростатичното поле (38).
3.	МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ.......	49
Тензор на напреженията на електростатичното поле (49). Работа на електричните
сили. Напрежение (50). Електрична потенциална енергия (51). Енергия на вза-
имодействие на заряди с външно поле (51). Енергия на система от заряди (52).
Енергия на електричното поле (54).
4.	ОСНОВНИ ЗАКОНИ НА СТАДИОН АРНИТЕ ПОЛЕТА............ 56
Стационарно електрично поле (56). Закон на Ампер за магнитната сила (57). Ин-
тегрални представяния на магнитното поле (58). Глобална форма на основните
закони на стационарното магнитно поле (61). Диференциални уравнения за стаци-
онарното магнитно поле (64). Гранични условия за стационарното магнитно поле
(65). Локална форма на основните закони на стационарното магнитно поле (67).
Магнитен векторен потенциал (67).
5.	МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО ПО ЛЕ 69
Магнитни сили, действащи на произволни токове (69). Сила на Лоренц (70). Тен-
зор на напреженията на магнитното поле (70). Работа на магнитните сили при
деформация на токов контур (71). Индуцирани ЕДС (72).
3
4 Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
6.	ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ................................ 75
Променливи полета (75). Закон на Фарадей (75). Ток на отместване (78). Уравне-
ния и граничим условия на електромагнитното поле (79). Съществуване на реше-
ние на уравненията на Максуел (82). Единственост на решението на уравненията
на Максуел (83). Глобална форма на уравненията на Максуел (84).
7.	МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ........ 86
Работа на електричните сили при протичане на ток (86). Енергия на магнитного
взаимодействие (86). Енергия на стационарного магнитно поле (88). Енергия на
електромагнитното поле (90). Вектор на Умов — Пойнтинг (91). Закон за запаз-
ване на енергията на система заряди — поле (92). Импулс на електромагнитното
поле (93).
8.	ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ПОТЕНЦИАЛИ.......................... 95
Електромагнитни потенциали (95). Калибровъчна инвариантност (96). Лоренцо-
ва калибровка (96). Кулонова калибровка (97). Вектор на поляризацията (98).
Вектор на Херц (99). Закъсняващи потенциали (100).
9.	ПОЛЕ НА ДВИЖЕЩ СЕ ТОЧКОВ ЗАРЯД..................... 103
Постановка на задачата (103). Потенциали на Лиснард — Вихерт (103). Елект-
ромагнитни потенциали на поле на равномерно движещ се заряд (106). Електро-
магнитно поле на произволно движещ се заряд (107). Електромагнитно поле на
равномерно движещ се заряд (111). Енергия и импулс на полето на равномерно
движещ се заряд (111).
10.	x МУЛТИПОЛНИ МОМЕНТИ.............................. 115
Постановка на задачата (115). Електрични мултиполни моменти (116). Поле на
електрични диполи (118). Магнитни мултиполни моменти (122). Поле на магнит-
им диполи (124). Механично действие на електрично поле върху пространствено
ограничени заряди (126). Механично действие на магнитно поле върху простран-
ствено ограничени токове (128). Поле на променливи, пространствено ограничени
източници (130). Поле на пространствено ограничени монохроматични източници
(139).
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЪВ ВАКУУМ — ЗАКЛЮЧЕ-
НИЕ................................................... 142
ЧАСТ II
СПЕЦИАЛНА ТЕОРИЯ НА ОТНОСИТЕЛНОСТТА....... 144
11.	СПЕЦИАЛНИ ТРАНСФОРМАЦИИ НА ЛОРЕНЦ..... 145
Принципи на относителността (145). Трансформации на Галилей (147). Специ-
ални трансформации на Лоренц (151). Пространствено-временен интервал (153).
Следствия от специалните трансформации на Лоренц (154).
12.	ОБЩИ ТРАНСФОРМАЦИИ НА ЛОРЕНЦ............................ 159
Ковариантни и контравариантни компоненти на 4-мерния радиус-вектор (159).
Общи преобразования на-Лоренц (160). Ковариантни величини (162). Ковари-
антни полета и техните производим (165).
Съдържание 5
13.	РЕЛАТИВИСТИЧНА ФОРМУЛИРОВКА НА ЕЛЕКТРОДИНАМИКАТА
	 167
Постановка на задачата (167). Ковариантни характеристики на полето и източ-
ниците му (167). Ковариантен запис на уравненията на електродинамиката (170).
Преобразования на Е и В при специалните трансформации на Лоренц (172). Поле
на равномерно движет се точков заряд (173). Инварианти на електромагнитното
поле (174).
14.	РЕЛАТИВИСТИЧНА МЕХАНИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА .... 176
Кинематика на материална точка (176). Динамика на материална точка (177).
Класичсски радиус на електрона (181). Лагранжова форма на уравненисто на
движение (182). Нековариантна форма на лагранжиана (183). Нековариантна
форма на хамилтониана (185). Тензор на енергията и импулса (186).
15.	ДВИЖЕНИЕ НА ЗАРЯДИ В ЕЛЕКТРИЧНО И В МАГНИТНО ПОЛЕ
	 189
Постановка на задачата (189). Движение в хомогенно постоянно магнитно поле
(189). Движение в хомогенни и постоянни електрични и магнитни полета (193).
Пиклотронен резонанс (195). Ларморова прецесия (196). Нормален ефект на Зе-
еман (198). Адиабатични инварианти (199).
ЧАСТ III
ЕЛЕКТРОМАГИИТНИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В НЕПРЕКЪСНАТИ
СРЕДИ................................................ 202
16.	ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ В НЕПОДВИЖНИ СРЕДИ.......... 203
Микроскопични величини (203). Макроскопични величини (205). Индукция на
електричното поле (209). Интензитет на магнитного поле (211). Уравнения на
Максуел за произволни неподвижни среди (214). Гранични условия (217). Урав-
нение на непрекъснатостта (218). Електромагиитни потенциали (219).
17.	ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ В ЛИНЕЙНИ СРЕДИ............. 221
Постановка на задачата (221). Електрична проницаемост (222). Магнитна про-
ницаемост (224). Уравнения на полето за линейни среди (225). Електромагиитни
потенциали (227). Закон на Ом (230). Механичен модел на токовете на прово-
димост (231). Закон на Джаул — Ленц и работа на ЕДС (233). Уравнения и
гранични условия за полето в случай на токове на проводимост (234).
18.	СТАЦИОНАРНИ ПОЛЕТА............................... 236
Стационарни електрични и магнитни полета (236). Свойства на стационарного
електрично поле (238). Закони на постоянните токове (239). Свойства на стаци-
онарного магнитно поле (242). Енергия на стационарного магнитно поле (244).
Магнитни индукционни коефициепти (246).
19.	СТАТИЧНИ ПОЛЕТА.................................. 254
Уравнения и свойства на електростатичното поле (254). Енергия на електроста-
тичното поле (258). Свойства на полето на система заредени проводници (260).
Капацитет (263). Магнитостатично поле (269).
6 Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
20.	МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ В ПРИ-
СЪСТВИЕ НА НЕПРЕКЪСНАТИ СРЕДИ......................... 275
Енергия на електромагнитното поле (275). Импулс на електромагнитното поле
(278).
21.	КВАЗИСТАЦИОНАРНО ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ............. 280
Определение (280). Уравнения на квазистационарното поле (282). Квазистацио-
нарно поле в случай на линейни и малки обемни проводники (284). Закон на Ом
за квазистационарни токове (288). Скин-ефект (291).
22.	ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ В НЕОГРАНИЧЕНИ СРЕДИ.......... 296
Електромагнитни вълни (296). Телеграфно и вълново уравнение (298). Плоски
вълни в диелектрици (299). Монохроматични вълни в диелектрици (302). Плос-
ки монохроматични вълни в диелектрици (304). Плоски монохроматични вълни в
проводници (308).
23.	ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ В ОГРАНИЧЕНИ СРЕДИ.......... 313
Пречупване и отражение (313). Формули на Френел (316). Пречупване и отра-
жение на границата на два диелектрика (318). Пълно вътрешно отражение (319).
Пречупване и отражение на границата между диелектрик и проводник (321). Въл-
новоди (322). Резонатори (327).
24.	ИЗЛЪЧВАНЕ, РАЗСЕЙВАНЕ И ПОГЛЪЩАНЕ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТ-
НИ ВЪЛНИ.............................................. 329
Реакция на лъчението (329). Излъчване на свободен осцилатор (331). Разсейва-
не на електромагнитни вълни (335). Поглъщане на електромагнитни вълни (339).
Дисперсия на електромагнитни вълни (342).
ПРИЛОЖЕНИЯ
А.	ВЕКТОРНО СМЯТАНЕ В ТРИМЕРНОТО ПРОСТРАНСТВО. 344
Б. НЯКОИ ОБОБЩЕНИЯ НА ФОРМУ ЛАТА ЗА ИНТЕГРИРАНЕ
ПО ЧАСТИ...................................... 351
В.	УСЛОВИИ РАВЕНСТВА.......................... 353
Г. ДОПЪЛНИТЕЛНА ЛИТЕРАТУРА.................... 355
ПРЕДМЕТЕН УКАЗАТЕЛ............................ 356
УКАЗАТЕЛ НА ИМЕНАТА........................... 361
ПРЕДГОВОР
Цел на настоящия учебник е да представи едно систематизирано, доста-
тъчно пълно, задълбочено и цялостно, но същевременно сбито изложение
на основите на класическата електродинамика, което да осигури на чи-
тателя единен поглед върху съвкупността от електромагнитните явления,
да го доведе до състояние да може да възприема и обработва информа-
ция от съвременни монографии и журнални статии и да му даде осно-
ва, върху която да се изграждат специализиращите курсове за обучение.
Учебникът би могъл да се използва от студентите на всички физични
специалности на нашите университети.
Възможността за достигане на очертаната цел се гарантира от факта,
че курсът по електродинамика, като част от теоретичния цикъл на обуче-
ние по физичните специалности, следва по време както курсовете по обща
физика, така и курсовете по математичните дисциплини. Първото обсто-
ятелство позволява да се смята, че читателят е запознат с феноменологи-
ята и с най-често срещаните модели за обясняване на електромагнитните
явления, а второто — че интензивно използваният тук математичен апа-
рат няма да представлява за него преградата, която скрива физиката на
явленията. Всъщност наред с подбора на материала и избора на схема
за неговото изложение трети голям проблем при изграждането на един
курс по електродинамика е намирането на онзи оптимум в съотношението
между математичната точност и физичната коректност при формулиране
на проблемите и излагане на решенията им, който би осигурил макси-
мално добро постигане на поставените цели. (За улеснение на читателя в
края на учебника е включено приложение с основни формули и теореми от
векторното смятане, както и опростени изводи на някои от използваните
интегрални зависимости.)
За достигане на указаната по-горе цел на учебника се използват ня-
колко основни идеи, които имат за задача максимално ясно да откроят
логиката на науката, нейната структура (т.е. да допринесат за по-яс-
но разграничаване на отделяйте й части и за по-силно подчертаване на
връзките между тях). Първата от тези идеи е в изложението на матери-
ала да се търси най-пълно разграничаване на фундаменталните явления,
понятия и закони на електродинамиката от онези, които се обясняват,
определят или следват от тях.
На второ място, следва да се отбележи стремежът за максимално раз-
граничаване на законите и свойствата на самого електромагнитно поле
от онези закони и свойства, които се дължат на спецификите на средите,
в които се разпространява то. Затова в учебника са обособени в самос-
тоятелни раздели електродинамиката на взаимодействията между заряди
във вакуум и електродинамиката на непрекъснатите среди. Специалната
теория на относителността се разглежда след първил раздел, като с то-
7
8 Електромагиитни взаимодействия ese вакуум
ва, първо, се манифестира лоренцовата инвариантпост на максуеловата
електродинамика и, второ, се дава една минимална подготовка на онези
читатели, конто биха желали да се задълбочат и занознаят с днешното
развитие на излаганата теория, т.е. с квантовата електродинамика.
На трето място, до голяма степей структурата на първия раздел и
начинът на излагане на материала в него се определят от стремежа. за
максимално последователно прилагане на една идея, която може да се на-
рече магнито-електричен паралелизъм. Тя не е нова и всеки системен
учебник по електродинамика в една или друга степей, по един или друг
начин я следва. Нейната същност е в следното. Известно е, че единст-
вото на електромагнитното поле проличава най-ясно, когато се използва
четиримерният формализъм на специалната теория на относителността.
Огромното мнозинство от значими за практиката електродинамични проб-
леми обаче са нерелативистични и адекватен за тях е тримерният запис
на зависимостите, при конто характеристиките на полето се разпадат на
две групп — електрични и магнитни. Магнито-електричен паралелизъм
може да се нарече идеята теорията на магнитните взаимодействия да се
изложи по същата логическа схема, по която се строи и теорията на елек-
тричните взаимодействия.
Съществуват две възможности за реализиране на тази идея. Една-
та, използвана предимно в по-стари учебници, се основава на аналогията
между законите на Кулон за взаимодействие между точкови електрични
заряди и точкови фиктивни магнитни заряди. Нейно предимство е ясната
аналогия между закономерностите на статичните електрични и магнит-
ни полета, но то едва ли може да компенсира недостатъците, които се
проявяват при изучаване на стационарните полета. (Един от тях, не най-
големият, се изразява например в това, че при този подход аналог на
интензитета на електричното поле е интензитетът на магнитното поле, а
не нсговата индукция.)
Втората възможност за реализиране на магнито-слектричния парале-
лизъм е теорията на стационарното магнитно поле да се гради на осно-
вата на закона на Ампер за взаимодействие между линейни токове. В
учебника е използвана именно тя, тъй като при нея аналогията е много
по-съдържателна и може да се проведе много по-далеч. По този начин се
използва една и съща логическа структура при изучаване и на електрич-
ното, и на магнитното поле, като във втория случай се използват готови
понятия, подходи и схеми на разсъждение. С това сё разкрива най-пъл-
но значението на дидактичния метод на аналогията, чиято конкретизация
представлява всъщност магнито-електричният паралелизъм.
По-нататък следва да се посочи и постоянният стремеж да се разгра-
ничат двете възможни форми на характеристиките на електромагнитното
поле и на законите на електродинамиката — локална (в частност дифе-
ренциална) и глобална ( в частност интегрална). По този начин по-ясно
изпъква структурата на теорията, разграничават се дефиниционните ра-
венства (отбелязани в текста с “=”) от равенствата, които изразяват при-
родни закони. Известно е, че двете формулировки на законите са еднакво
допустими. Когато обаче употребата па обобщени функции се избягва,
както е в настоящия учебник, глобалната формулировка на законите на
полето притежава по-голяма общност от локалната.
9
Накрал следва да се спомсне, че отново с цел да се подчертае кои
зависимости са основни и кои — не, всички въпроси, свързани с елек-
тромагнитното поле на пространствено ограничени заряди, са събрани
заедно. Без да включват фундаментални за електродинамиката закони,
те съдържат важни понятия, зависимости и идеи, които освен прякото си
практическо значение са необходими и за изграждане на електродипами-
ката на непрекъснатите среди.
Критерий за това, дали целта на курса е достигната, може да бъде
фактът, че след изучаването му бъдещият физик при среща с проблем от
класическата електродинамика ще успее правилно да отдели в него съ-
ществените от несъществените факти, да го класифицира въз основа на
първите и да формулира коректно математичната задача, в съответствие
с което да търси и адекватните математички методи за решаването му.
Изборът на този критерий налага в учебника да се обръща повече вни-
мание на принципните въпроси в теорията на електромагнитните взаимо-
действия. (Всъщност едва ли е реално да се поставя по-широка цел пред
един 60-часов курс.) Поради това в учебника не се разглеждат матема-
тични методи за решаване на проблемите на електродинамиката, а броят
на разгледаните примери, които са от съществено значение за разбиране
и усвояване на понятията и законите, е ограничен. В третата част не
се разглеждат редица реални физични проблеми, важни за съвременната
наука, като проблемите на магнитната хидродинамика, на разпростране-
нието на електромагнитни вълни в анизотропии и диспергиращи среди,
нелинейните електромагнитни явления и др. Авторът обаче се надява,
че начинът на разглеждане на материала спомага за развиване на физич-
ното мислене у читателя и той няма да се затрудни в практическата си
дейност при решаване на подобии проблеми. Въз основа на учебниковия
материал той трябва да може да се ориентира в тях и да намери по-за-
дълбоченото им разглеждане например в някоя от посочените в списъка
на основната литература книги. За още по-обстойно запознаване с някои
специфични проблеми може да се използва и допълнителната литература,
примерен списък на която е посочен в края на учебника.
Накрая ще отбележим, че направените в настоящото второ издание
на учебника допълнения и промени имат за цел прсди всичко да откро-
ят по-ясно основните идеи, използвани при структуриране и излагане на
материала, както и да улеснят читателя при работата с книгата.
март 1993 г., София
ОСНОВНА ЛИТЕРАТУРА
1.	Л ан дау, Л. Д., Е. М. Л и ф ш и ц. Электродинамика сплошных . р< i
М., Физматгиз, 1959.
2.	Л а н д а у, Л. Д., Е. М. Л и ф ш и ц. Теория поля. М., Физматгиз, I960.
3.	П а н о в с к и й, В., М. Ф и л и п с. Классическая электродинамика. \1 .
Гос. изд. Физ.-мат. лит-ры, 1963.
4.	Джексон, Дж. Классическая электродинамика. М., Мир, 1965
10 Електромагнитни взаимодействия ese вакуум
5.	Т а м м, И. Е. Основы теории электричества. М., Наука, 1976.
6.	Новожилов, Ю. В., Ю. А. Я п п а. Электродинамика. М., Наука,
1978.
7.	Тер л ецкий.Я. П., Ю. П. Рыбаков. Электродинамика. М., Высшая
школа, 1980.
8.	Г р о о т, С. Р., и др. Электродинамика. М., Наука, 1982.
9.	Б ре д ов, М. М., В. В. Р у м я н ц е в, И. Н. Т о и т ы г и н. Классическая
электродинамика. М., Наука, 1985.
УВОД
Електромагнитните взаимодействия са едни от фундаменталните взаимо-
действия в природата. Фактът, че с тях се обясняват почти всички яв-
ления в огромния интервал расстояния от 10~13 m до примерно 106 ш,
определя и централното място на науката за електромагнитните взаимо-
действия — електродинамиката, сред другите раздели на физиката.
Както и при другите взаимодействия, резултатите от електромагнит-
ното взаимодействие върху едно тяло могат да се опишат чрез определе-
ни сили, въртящи моменти, енергетични промени и пр. По исторически
причини тези сили се делят на два типа — на електрични и на магнит-
пи, и само на определен етап от развитието на физиката става ясно, че
и едните, и другите са резултат от едно единствено взаимодействие —
електромагнитното.
За описание на резултатите от електромагнитните взаимодействия е
достатъчно да се използват две фундаментални понятия: понятието
електричен заряд (или просто заряд) и понятието електромагнитно по-
ле. Те са фундаментални, в смисъл че в рамките на класическата елек-
тродинамика не могат да се определят чрез по-общи физични понятия и
представите за тях и техните свойства се изграждат само чрез натрупва-
не, обобщаване и осмисляне rtb опитни резултати.
Зарядът е онази характеристика на едно тяло, която определя способ-
ността му да участва в електромагнитни взаимодействия. (Това твърде-
ние придобива смисъл само когато се укаже начин за определяне на тази
характеристика.)
Съгласно полевия подход второто фундаментално понятие на елект-
родинамиката — електромагнитното поле е посредникът, чрез който се
осъществяват електромагнитните взаимодействия: всеки заряд създава
поле (е източник на поле) и всяко въздействие върху даден заряд е ре-
зултат от действието на полето върху него. С други думи, при поле-
вия подход самото взаимодействие се разделя на два етапа, а и зарядите
играят различна роля: една част от зарядите (източниците на полето)
създават поле,т.е. първият етап на взаимодействието е създаването на
полето. Вторият етап на взаимодействието се изразява във въздействие
на полето върху внесените в него заряди. По такъв начин едната част от
зарядите играе активна роля, тя създава полето, докато другата част е
в известен смисъл пасивна — изпитва въздействието на полето.
При тези разсъждения трябва да се отчита, че класическата електро-
динамика е локална теория, което означава, че действието на полето в
дадена точка от пространството и в даден момент от времето трябва да
може да се изрази само чрез характеристиките на полето в тази точка и
в същия момент.
От казаното следва, че е удобно да се отделят два екстремални, идеа-
11
12 Електромагиитни взаимодействия във вакуум
лизирани типа проблеми на електродинамиката. В проблемите от първия
тип се смята, че разпределението и движението на зарядите са известии,
отнапред зададени, а се търсят характеристиките на създаденото от тях
поле. Именно на такъв тип проблеми е посветен разделът “Електромаг-
нитни взаимодействия във вакуум”. В него се съдържат основнитс зако-
ни на електродинамиката, т.е. онези твърдения, които задават връзките
между характеристиките на източниците на полето и характеристиките на
самото поле. Ясно е, че тяхното изучаване може да стане само при разг-
леждане на взаимодействия на заряди във вакуум, тъй като присъствието
па каквато и да е среда (диелектрик, проводник и пр.) е евързано с на-
личието на огромен брой заряди (изграждащи атомите), чието движение
по принцип не може да се зададе.
Вторият екстремален тип проблеми е в известен смисъл обратен на
първия: при тях се смятат известии характеристиките на полето, а се
търси поведението (движение и пр.) на внесени в него заряди. По същес-
тво това са задачи на механиката, която изеледва движенито на телата в
зависимост от действащите им сили. И тъй като движенията на зарядите
в един случаи може да се подчиняват на законите на класическата меха-
ника, а в други — на тези на квантовата механика, тук се оформят два
големи класа задачи, методите за решаване на които, както и характерът
на решенията им, се различават съществено. В този учебник се разг-
леждат само въпроси, при чието решаване е достатъчно използването на
законите на класическата механика.
Всяка реална задача стой някъде между описаните по-горе екстремал-
ни случаи. В първия от тях разпределението и движението на източни-
ците на полето никога не може да се смята точно известно, защото то
се влияе от търсеното поле. По същия начин във вторил случай никога
електромагнитното поле не може да се смята отнапред известно, защото
неговите източници се променят под влияние па полето на зарядите, чието
движение се търси.
Следователно при всеки реален проблем разпределението и движени-
ето на зарядите се определя от характеристиките на полето, в което се
намират, а в същото време това поле се определя от разпределението
и движението на зарядите. Това означава, че във всяка реална зада-
ча по принцип трябва да се използват съвместно както основните закони
на електродинамиката, така и законите на механиката. Една подобна
програма за действие крие трудности не само от математичен характер
(значими дори за днешните поколения ЕИМ). Именно по тази причина в
учебната литература се разглеждат предимно проблеми, които с доста-
тъчна за всеки конкретен случай точност могат да се отнесат към първия
или към вторил от споменатите идеализирани типове.
Въпреки приципната трудност на реалните електродинамични пробле-
ми се оказва обаче, че в един екстремален в друго отношение случай —
когато броят на взаимодействащите заряди е огромен (например от поря-
дъка на числото на Авогадро Na = 6,022.1023 mol-1), могат да се намерят
ефективни методи, които позволяват да се получат отговори на въпроси с
изключително практическо значение. Тези методи и резултатите от тях-
ното прилагане са предмет на раздела “Електромагиитни взаимодействия
в непрекъснати среди”.
ОЗНАЧЕНИЯ И НАЗВАНИЯ НА
ФИЗИЧНИТЕ ВЕЛИЧИНИ И ТЕХНИТЕ
ЕДИНИЦИ
А — механична работа, джаул (J)
А — (магнитен) векторен потенциал, тесла-метър (Т.т)
В — индукция на магнитното поле, тесла (Т)
с — скорост на светлината във вакуум, метър в секунда (ni/s)
с,к — електростатични индукционни коефициенти, фарад (F)
С| — собствен капацитет, фарад (F)
С,к — взаимен капацитет, фарад (F)
d — електричен квадруполей момент, кулон-квадратен метър (С.т2)
D — индукция на електричното поле, кулон на квадратен метър (С/т2)
Е — интензитет на електричното поле, волт на метър (V/m)
Ё* — плътност на електродвижещите сили, волт на метър (V/m)
£ — електродвижещо напрежение, волт (V)
Ё — сила, нютон (N)
F* — електродвижеща (странична) сила, нютон (N)
/ — плътност на сила, обемна — нютон на кубичен метър (N/m3), повърхнинна
нютон на квадратен метър (N/m2)
F — тензор на електромагнитното поле, тесла (Т)
д — линейна плътност на заряди, кулон на метър (С/т)
G — линейна плътност на електрични диполи, кулон (С)
G — механичен въртящ момент нютон-метър (N.m)
h — повърхнинна плътност на заряди, кулон на квадратен метър (С/т2)
Я — хамилтониан, джаул (J)
Я — интензитет на магнитното поле, ампер на метър (А/т)
i — повърхнинна плътност на тока, ампер на метър (А/т)
I — обемна плътност на тока, ампер на квадратен метър (А/т2)
j — линейна плътност на тока, ампер (А)
J — големина на тока, ампер (А)
h — константа на Планк, джаул-секунда (J.s)
к — обемна плътност на зарядите, кулон на кубичен метър (С/т3)
к — вълново число, обратен метър (1/т)
/ — дължина на крива, метър (т)
L — крива
L — лагранжиан, джаул (J)
L, — индуктивност (коефициент на самоиндукция), хенри (Н)
L,k — коефициент на взаимна индукция, хенри (Н)
т —. маса, килограм (kg)
m — магнитен диполен момент, ампер-квадратен метър (А.т2)
М — обемна плътност на магнитни диполи, намагнитеност, магнитна поляриза-
ция, ампер на метър (А/т)
п — единичен вектор
13
14 Електромагнитни взаимодействия във вакуум
N — повърхнинна плътност на електрични диполи, кулон на метър (С/т)
р — плътност на мощността на електричните сили при протичане на ток, ват на
кубичен метър (W/m3)
р — плътност на импулс, нютон-секунда на кубичен метър (N.s/m3)
р — електричен диполен момент, кулон-метър (С.т)
Р — обемна плътност на електричните диполи, електрична поляризация, кулон
на квадратен метър (С/т2)
q, Q — електричен заряд, кулон (С)
q — обемна плътност на фиктивни магнитни маси (заряди), тесла на метър
(Т/т)
г — радиус-вектор
г — големина на радиус-вектора, разстояние между две точки, метър (т)
R — омово съпротивление, ом (Q)
S, s — повърхнина
S — действие, джаул-секунда (J.s)
5 — вектор на Умов-Пойнтинг, ват на квадратен метър (W/m2)
Т — период на периодичен процес, секунда (s)
Т — тензор на енергията и импулса на електромагнитното поле, джаул на куби-
чен метър (J/m3)
Т — тензор на напреженията на полето, нютон на квадратен метър (N/m2)
U — потенциал, скаларен потенциал, напрежение, волт (V)
V, и — пространствена облает
v — скорост, метър в секунда (m/s)
V — скаларен потенциал на магнитното поле, ампер (А)
w — плътност на енергията, джаул на кубичен метър (J/m3)
W — енергия, джаул (J)
Z — вектор на Херц, електричен — волт-метър (V.m), магнитен — тесла-квад-
ратен метър (Т.т2)
Ге — циркулация на електричното поле, волт (V)
Гт — циркулация на магнитното поле, тесла-метър (Тлп)
е — електрична проницаемост, фарад на метър (F/m)
со — електрична константа, фарад на метър (F/m)
х — електрична възприемчивост
Л — дължина на вълната, метър (т)
д — магнитна проницаемост, хенри на метър (Н/т)
ро — магнитна константа, хенри на метър (Н/т)
и — честота, херц (Hz)
о — проводимост, ом-метър (Qm)
X — магнитна възприемчивост
Фе — поток на електричното поле, волт-метър (V.m)
Фт — поток на магнитното поле, вебер (Wb)
w — кръгова честота, радиан в секунда (rad/s)
Q — пространствен ъгъл, стерадиан (sr)
ЧАСТ I
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЪВ ВАКУУМ
До основните закони на електромагнитните взаимодействия във ваку-
ум, които се съдържат в уравненията на Максуел и отразяват връзките
между характеристиките на полето и характеристиките на неговите из-
точници, може да се стигне по различии пътища. Тук е избран мето-
дът на последователните обобщения, който до голяма стелен следва
историческото развитие на науката. При него добре се илюстрира мето-
дологичният принцип на съответствието, според който всяка по-обща
теория трябва да съдържа в себе си като частей случай теорията, чието
обобщение се явява,
Методът на последователните обобщения в електродинамиката включ-
ва преди всичко избор на един набор от фундаментални електромагнитни
явления. Фиксирането на подобен набор не е еднозначно. Като фунда-
ментални явления в по-нататъшното изложение се разглеждат:
•	наличието па електрични сили, действащи между неподвижни
заряди, т.е. създаването на електрично поле от неподвижни за-
ряди;
•	наличието на магнитни сили, действащи между контури, по ко-
ито тскат постоянни токове, т.е. създаването на магнитно поле
от постоянни токове;
•	електромагнитната индукция, т.е. пораждането на електрично
поле от променливо магнитно поле;
•	токът на отместване, т.е. пораждането на магнитно поле от про-
менливо електрично поле.
Тези явления са фундаментални в смисъл, че
—	нито едно от тях не може да се обясни чрез другите или техните
следствия (независимост) (разбира се, при условие, че не се привличат
странични съображения, например евързани със специалната теория на
относителността);
—	иито едно от тях или негови следствия не противоречи на остана-
лите и техните следствия (непротиворечивост);
—	всяко друго електромагнитно явление може да се обясни чрез тези
четири явления (пълнота);
Досегашните опити потвърждават, че гореизброените четири явления
удовлетворяват изискванията за независимост, непротиворечивост и пъл-
нота и този факт гарантира, че бролт на фундаменталните явления в елек-
тродинамиката не може да бъде намален.
По-нататък методът на последователните обобщения се опира на че-
тири закона, отразяващи количествените закономерности при фундамен-
15
16
Електромагиитни взаимодействия във вакуум
талните явления — законите на Кулон, Ампер, Фарадей и Максуел. Те
представляват фундаментални експериментални закони на електромаг-
нитните взаимодействия, тъй като при избрания път за изграждане на
теорията не следват от по-общи закони, а са резултат единствено от сис-
тематизация и обобщение на резултатите от експеримента. (Както ще се
изясни в тема 6, по отношение на четвъртия закон последното твърдение
следва да се приема с известна у говорка). Чрез използване свойствата на
зарядите, също установени по експериментален път, от фундаменталните
експериментални закони се извеждат основните закони на полетата — в
тяхната локална или в тяхната глобална формулировка. Така от закона
на Кулон се извеждат основните закони на електростатичното поле, от
закона на Ампер — основните закони на стационарното магнитно поле, а
от законите на Фарадей и на Максуел — основните закони на променли-
вото електромагнитно поле (уравненията на Максуел). Както ще стане
ясно в хода на следващите разглеждания, методът на последователните
обобщения не води еднозначно до уравненията на Максуел. Затова вина-
ги следва да се отчита, че основният аргумент в подкрепа на верността
на тези уравнения е опитното потвърждение на всички техни следствия.
ЕЛЕКТРИЧНИ ЗАРЯДИ
СВОЙСТВА НА ЗАРЯДИТЕ
Във всяка наука съществуват понятия, за които в рамките на конкретна-
та наука не могат да бъдат посочени по-общи понятия, които да бъдат
използвани като родови при определянето им. Понякога такива пай-об-
щи понятия се наричат категории, но във физиката за тях по-често се
използва терминът фундаментални понятия, които ще бъде възприет и
тук. От физична гледна точка за фундаменталните понятия е характерно
това, че цялото свързано с тях наше знание произтича пряко от опита и
няма обяснение в рамките на съществуващата теория. Това показва, че
фундаменталността на едно понятие е свързана с конкретния исторически
етап в развитието на науката, т.е. едно понятие, което на даден етап е
фундаментално, в следващото развитие може да загуби това си качество.
Понятието електричен заряд е фундаментално понятие за съвремен-
ната физика: в рамките на електродинамиката не съществува по-общо
понятие, чрез което би могло да се изясни какво представлява елект-
ричният заряд. Класическата електродинамика не си поставя задача да
разкрие физичния му смисъл. Зарядът е величина, която характеризира
способността на едно тяло да участва в електромагнитни взаимодействия
и всички негови свойства се установяват само в резултат на експеримен-
тално то изучаване на тези взаимодействия*. Ако бъде създадена единна
теория на фундаменталните взаимодействия в природата, тези свойства
(или ионе някои от тях) биха могли да бъдат обяснени, т.е. да се изведат
като следствия от общите положения на теорията.
Свойствата на електричния заряд, които в една или друга степей се
използват по-нататък, се съдържат в следните твърдения:
1.	Не съществуват безмасови заредени частици. Въпреки разнообра-
зието на известните днес фундаментални частици всяка частица с елект-
ричен заряд има ненулева маса. Затова и всяко заредено тяло наред с
останалите си характеристики притежава и маса. Когато обаче масата
и другите характеристики на телата не са съществени за разглсждани-
те явления, вместо заредено тяло се използва по-краткият термин заряд,
като се има предвид именно електричен заряд, тъй като другите типове
взаимодействия в този учебник не се разглеждат.
2.	Съществуват два вида заряди, условно наречени положителни и от-
рицателни. Този факт не е тривиален тъй като при други взаимодействия
броят на съответнитё заряди е различен — за гравитационните взаимо-
действия например има само един вид заряди (масите на всички тела са
17
18 Електромагиитни взаимодействия еде вакуум
положителни), а в теорията на силните взаимодействия, квантовата хро-
модинамика, величините, които играят роля на заряди (“цветовете” на
кварките) са три.
3.	Зарядът на едно тяло не зависи от неговото движение.
4.	Зарядът е адитивна величина: на достатъчно голямо разстояние от
едно тяло способността му да участва в електромагиитни взаимодействия
може да се характеризира със заряд, който е сума от зарядите на частите
на тялото.
5.	Съществува елементарен електричен заряд е = 1,6.10“19 С, т.е. за-
рядът на всяко тяло е целочислено кратен на е.
6.	Зарядът на система, която не обменя частици с околното простран-
ство, е постоянен с времето. Това е съдържанието на закона за запаз-
ване на електричния заряд — един от най-точно проверените природни
закони.
7.	Взаимодействието между два заряда не зависи от наличието на
други заряди в околното пространство. И по това си свойство електро-
магнитните взаимодействия се различават от ядрените: ядрените сили се
насищат, което означава, че силата, с която си взаимодействат два нукло-
на например, зависи от това, дали около тях се намират други нуклони.
(Когато тук се говори за заряди, се разчита на сведенията за тях от
общата физика. Всяко от гореизказаните твърдения относно свойствата
на зарядите, което се нуждае от количествена проверка, ще придобие пъл-
ния си смисъл едва след като по-късно бъде посочен начин за определяне
на зарядите.)
ОПИСАНИЕ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕТО НА ЗАРЯДИТЕ
а)	Точкови заряди. Телата са изградени от електрони и ядра. Нито един
от опитите във физиката на високите енергии до днес не свидетелства за
наличие на краен размер на електроните. Размерите на ядрата са от по-
рядъка на 10“15 т, т.е. те са на много порядъци по-малки от размерите на
пространствените области, интересуващи класическата електродинамика.
Следователно по принцип класическата електродинамика би трябвало
да може да се изгради като теория на взаимодействията на точкови заря-
ди, т.е. заряди, формата и размерите па които в границите на точпостта
на дадено разглеждане не влияят на търсените резултати.
Разпределението на зарядите в една система от N точкови заряда е
напълно определено чрез задаване на стойността <?, и закона на движение
= rj(i) за всеки от тях (г = 1,2,..., /V). Глобална характеристика на
системата представлява нейният общ заряд
(io	(? = £>•
t=l
б)	Непрекъснато разпределени заряди. Место се налага разглеж-
дане на системи от огромен (вж.с.12) брой заряди, когато задаването на
r,-(Z) е невъзможно. Обикновено това са случаи, в които присъстват сре-
ди (диелектрици, проводници и пр.). В тези случаи (подобно на метода,
Електрични заряди 19
използван поради аналогиями трудности в механиката) зарядите се разг-
леждат като разпределени непрекъснато в пространството.
Локални характеристики: В зависимост от това, дали зарядите са
разположени в пространствена облает V, върху повърхнина S или по
крива L, се говори съответно за обемни, повърхнинни и линейни заря-
ди. Локалното разпределение във всеки от трите случая се описва с една
скаларна функция, наречена съответно обемна, повърхнинна и линейна
плътност на зарядите, която се дефинира, както следва:
(1.2,а)	k(r,t) = lim	rev, ' Ди—0 Av
(1.2,6)	A(r,t)_ hm ।	\ re 5, |Дз| — 0 |Д$|
(1.2,в)	1- Ag(r, t)	 $(M) = hm	, r E L, |Дг|—0 |An
Тук Дд(г,/) е пресметнатият по формула (1.1) заряд, който в момента t
се намира в обема Av, върху повърхнинния елемент As или по линейния
елемент Дг. При различии положения на Ди,Д$ и Дг и в различии мо-
менти t зарядът Ад може да бъде различен, така че изобщо ky Л и $ са
три функции на мястото и времето, дефинирани съответно във V, върху
S и по L. Грубо казано всяка от тях дава заряда в единица обем, върху
единица площ или на единица дължина около точката с радиусгвектор г
в момента t.
Заряд Q е разпределен равномерно в обема на кълбо с радиус а. Колко е
повърхнинната плътност на зарядите?
Глобални характеристики: Глобалки характеристики на непрекъс-
нато разпределени заряди се наричат общият заряд Qv, съдържащ се
в обем V, общият заряд Qs, разположен върху повърхнина S, и общи-
ят заряд Ql, разположен върху кривата L. Обемът V, повърхнината S
и кривата L винаги по-нататък се предполагат неподвижни, но поради
движението на зарядите Qv, Qs и Ql може да зависят от времето.
От определенията на Qv, Qs и Qi и чрез дефиниционните равенства
(1.2) се получават връзките между глобалните и локалните характерис-
тики на разпределенията на зарядите
(1.3,a)	Qv(t) = /	k(r, t)dv,
	V	
(1.3,6)	Qs(t) = J	h(f, £)|c/s|
	s	
(1-3,в)	QM = 1	5(fJ)|dr|
	L	
ЗАРЯДОВ ЕЛЕМЕНТ
Место разглежданията не зависят от това, дали зарядите са разпределени
в обемен елемент dv, върху лицев елемент ds или върху линеен елемент
20 Електромагнитни взаимодействия ese вакуум
dr. За единен запис на формулите в тези случаи е удобно да се въведе
спомагателното понятие зарядов елемент. Зарядовият елемент се беле-
жи с dq и в зависимост от типа на зарядите се дефинира чрез равенствата
(1.4,а)
(1.4,6)
(1.4,в)
{k(r,t)dv — за обемни заряди
Л.(г, t)|</s|	— за повърхнинни заряди
g(r, t)|c/r|	— за линейни заряди.
Очевидно използването на зарядовия елемент позволява обединяване на
трите формули за глобалните характеристики в една:
(15)	Q(t} = [ dq(f,t),
в която типът на интеграла зависи от вида на зарядите (обемни, повър-
хнинни или линейни).
ОПИСАНИЕ НА ДВИЖЕНИЕТО НА ЗАРЯДИТЕ
Опитите свидетелстват, че движение на заряд q със скорост v предизвиква
същите ефекти, както и движението на заряд — q със скорост —v. Поради
тази причина движението на зарядите се описва не чрез скоростите им,
а чрез друга величина (изобщо казано, ток), която се определя така , че
да бъде една и съща в споменатите два случая.
Токът, породен от движението на точков заряд q със скорост V, се
определя чрез произведението qv, което очевидно изпълнява условието
qv — (—?)(—v). Тази величина пяма да се използва по-нататък, поради
което за нея не се въвежда специално означение.
а) Локални характеристики на движението на непрекъснати заря-
ди. Когато обемни заряди с плътност к, повърхнинни заряди с плътност
h или линейни заряди с плътност g се движат със скорост v, се казва, че
текат съответно обемни, повърхнинни или линейни токове. Тяхното
разпределение локално се характеризира с величините
(1.6,а) 7(г, /) = k(r, t)v(r, t) — обемна плътност на тока,
(1.6,6) i(r, t) = h(r, t)v(f,/) — повърхнинна плътност на тока,
(1.6,в) j(r, /) = g(r, t)v(r, t) — линейна плътност на тока.
(Тук и по-нататък се разглеждат само такива движения на повърхнинните
и на линейните заряди, при които те не напускат съответната повърхнина
S или крива L, т.е. v е тангенциално на повърхността или на кривата.)
Дефиниционите равенства (1.6) показват, че плътността на тока е век-
тор с посока, съвпадаща с посоката на движението на положителните за-
ряди.
Лесно е да се съобрази, че големината на I е равна на заряда който
за единица време пресича единица повърхнина, поставена перпендикуляр-
но на скоростта на движението. Наистина за това време всички заряди,
намиращи се в прав цилиндър с височина о и основа с единица плош,
успяват да пресекат основата му, а общият заряд в цилиндъра според
(1.3,а) е ф-1) = |7|.
Електрични заряди 21
С аналогиями разсъждения може да се покаже, че |г| е равно на заря-
да, пресякъл за единица време отсечка с единична дължина, лежаща в S
перпендикулярно на v, а |}| е равно на заряда, който за единица време
преминава през дадена точка от кривата L, по която тече линейният ток.
За единен запис на редица формули е удобно въвеждането на спома-
гателното понятие токов елемент di, което се определя с равенството
(1.7)	= v(r,t)dq(r,t),
където v(r,t) е скоростта на движение на зарядовия елемент dq(f,/). С
помощта на форму лите (1.4), (1,6) и (1.7) се получават връзките между
токовия елемент di и плътностите на обемните, повърхнинните и линей-
ните токове:
(1-8,a)	f kvdv	=Idvy
(1.8,6)	dZ(r,/)=<	=Z|ds1,
(1.8,в)	( <7v|dr1 =>|rfrl-
б	) Глобални характеристики на движението на зарядите. Глобал-
ка характеристика на движението на зарядите е големината на тока (или
само токът). В зависимост от това, дали токовете са обемни, повърхнин-
ни или линейни, се говори за големина на тока Js през повърхнина S,
лежаща в пространството, в което текат токовете; за големина на тока Jl
през кривата L, лежаща върху повърхнината S, по която текат повърх-
нинни токове, и за големина Уд на тока през дадена точка А на кривата
L, по която тече линеен ток. По определение големината на тока е равна
на заряда, преминал през S, L или т. А за единица време.
В трите случая знакът на големината на тока се счита положителен ,
ако
—	при обемни токове: положителните заряди пробождат разглежда-
ната повърхнина от опаката към лицевата й страна;
—	при повърхнинни токове: единичният вектор, задаващ ориентацията
на пресичаната крива, скоростта на положителните заряди и нормалата
към повърхнината, по която текат токовете, образуват дясна тройка век-
тори;
—	при линейни токове: посоката на движение на положителните заря-
ди съвпада с ориентацията на кривата, по която тече токът.
Следователно въпреки че се нарича големина на тока, нововъведена-
та характеристика на тока не е положително определена величина — тя
може да приема както положителни, така и отрицателни стойности.*
От дадените определения за големина на тока и от (1.6) може да се
получат връзките между локалните и глобалните характеристики на дви-
жението на зарядите в трите случая:
(1.9,a)	Js(t) = f I(f,t) dsy
s
(1.9,6)	JL(t) = j(ixn)df,
L
(1.9,b)	JA(t) =
22 Електромагнитни взаимодействия във вакуум
където п е единичният, нормален към S вектор, а с /(гд) е означена про-
екцията на j(r) върху единичния тангенциален към L вектор в точка А.
Докажете валидността на формулите (1-9).
И така, докато локалните характеристики на токовете /, i и j са век-
торни величини, глобалните — големината на тока през дадена повърх-
нина, линия или точка, са скаларни величини.
ЗАКОН ЗА ЗАПАЗВАНЕ НА ЕЛЕКТРИЧНИЯ ЗАРЯД
За количествен© изразяване на закона за запазване на електричния заряд
може да се използват въведените характеристики на разпределенията на
зарядите и токовете. Наистина нека V е производна пространствена об-
лает, a S — нейната ориентирана навън повърхнина (фиг. 1.1). Съгласно
закона за запазване на електричния заряд зарядът Qv(t) на областта мо-
же да се измени само за сметка на преминаване на заряди през S. И тъй
като според казаното по-горе Js(/) е зарядът, напускал за единица време
V през S, промяната на заряда за единица време, т.е. dQv/dt, ще бъде
точно
(110)	^- = -Js.
at
Равенство (110) представлява глобалната формулировка на зако-
на за запазване на електричния заряд. Неговата валидност не зависи
от това, дали зарядите и токовете са
Пточкови, линейни, повърхнинни или
обемни.
Оттук до края на темата, освен
ако изрично не е уговорено друго,
когато се говори за заряди и токове,
ще се подразбират само обемни та-
кива, при което ще се предполага, че
Фиг. 1.1	плътностите им са диференцируеми
функции на радиус-вектора и времето.
Когато зарядите и токовете са обемни, Qv и Js могат да се изразят
посредством (1.3,а) и (1.9,а) чрез локалните характеристики, при което
(1.10) добива вида
(j) I(г, /) • ds.
s
В лявата страна диференцирането по t и интегриравсто по г могат да си
разменят местата, а дясната страна може да се преобразува по теорема-
та на Гаус-Остроградски (А.69) (вж. формулач(А.69) от Приложение А).
Тъй като полученото равенство
dk , f .. -
—dv = — / div/dv
dt /
v
v
Електрични заряди
трябва да бъде изпълнено за производна облает V, следва, че
(1.11)	—+divf=0.
С/ V
Това равенство (заради аналогията с механиката на флуидите) се на-
рича уравнение на непрекъснатостта и представлява локална (дифе-
ренциална) формулировка на закона за запазване на електричния за-
ряд. Съгласно равенство (1.11) законът за запазване на електричния
заряд налага връзка между обемните плътности на зарядите и токовете,
т.е. функциите k(r, t) и I(r, t) не могат да се задават независимо една от
друга.
По-малката общност на (1.11) в сравнение с (1.10) е очевидна, макар
и само заради това, че (1.11) е валидно само за обемни заряди и токове.
Това не означава че не могат да се запишат локални формулировки на
закона за запазване на заряда и за другите случаи, но поради по-рядката
нужда от тях не се привеждат тук.
СТАЦИОНАРНИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ НА ЗАРЯДИ И ТОКОВЕ
Зарядите и токовете се наричат стационарни, когато плътностите им не
зависят от времето. В практиката стационарните токове се наричат още
и о стоянии токове. Изискването за стационарност налага допълнително
ограничение върху движението на зарядите. Според него на мястото на
всеки напуснал дадена облает заряд в същото време трябва да постъ-
пи друг, равен нему заряд, така че общото разпределепие на зарядите в
пространството да не се променя с времето. Лесно е да се съобрази, че
стационарни могат да бъдат само обемни, повърхнинни и линейни токо-
ве. Стационарно движение в система от точкови заряди не може да се
осъществи. (Зато?)
Когато зарядите и токовете са обемни, определението за стационар-
ност означава, че dk/dt = 0 и тогава от (1.11) следва
(1.12)	div/(f) = 0.
Полученото равенство се разглежда
като условие за стационарност на	//
токовете. То показва, че векторните	/а
линии на полето /(f), които в слу-	/
чая се наричат токови линии, ня-	/
мат начало и край — обикновено или	- /Дав
са затворени линии, или идват от и
отиват в безкрайност. (Последното	/
твърдение е друга форма на прави-	ГА
лото, че постоянен ток може да тече	I
само по затворена верига).
Интересно ограничение налага ус-	Фиг. 1.2
ловието за стационарност върху ли-
нейните токове. Нека Lab е част от крива между т. А и т. В (фиг. 1.2) и
по кривата тече постоянен ток, като g(r) и j(r) са линейните плътности на
24 Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
зарядите и токовете. Очевидно разпределението ще е стационарно, т.е.
общият заряд върху Lab ще остава постоянен с времето, ако зарядът,
постъпил върху Lab през т. А за единица време, е точно равен на заря-
да, напуснал Lab през т. В за същото време. (В противен случай ще се
наруши законът за запазване на електричния заряд.)
С други думи, щом токът е стационарен, токът през т. А трябва да
бъде равен на тока през т. В. И тъй като Л и В са произволни, това
означава, че стационарният ток е един и същ през всяка точка на крива-
та, по която тече. Затова вместо да се говори за ток през дадена точка,
обикновено в случая се говори за ток по кривата.
Следователно при зададена крива L стационарният ток по нея се ха-
рактеризира напълно с един скалар — големината на тока, конто е поло-
жителен, когато векторът j е еднакво ориентиран с кривата, и отрицате-
лен — в противоположния случай.
ТОКОВИ ТРЪБИ И ТОКОВИ нишки
Нека в една пространствена облает текат стационарни обемни токове с
плътност /(f). Нека освен това S е производна повърхнина с контур
Фиг. 1.3
£и единична нормала п (фиг. 1.3).
Съвкупността от всички токови ли-
нии, които минават по L, се нарича
токова тръба. Тъй като токовите
линии не се пресичат (защо?), нито
една токова линия, влизаща вътре в
тръбата през S, не може да я напус-
не през околната й повърхнина Sq.
(Естествен© и нито една от външните
за тръбата линии не може да влезе в
нея през So-)
Ако S' е друга повърхнина, чий-
то контур лежи върху същата токо-
ва тръба (фиг. 1.3), интегрирането
на (1.12) в областта V, заградена от
S, S' и So, след прилагане на теоремата на Гаус — Остроградски (А.69)
дав а
J div/dv =
v
(Интегралът по So е ну ла, защото токовите линии не пробождат So и за
тази повърхнина / ds = 0.) Следователно Js = Js' — токът през всяко се-
чение на токовата тръба е един и същ, въпреки че както сечението й, така
и плътността на тока в различии точки могат да бъдат различии. Именно
това свойство определя важностт?1 на понятието токова тръба. (Повърх-
нините на проводниците, по които текат токове, обикновено представляват
токови тръби.)
Токова тръба, размерите на сечението на която са малки спрямо дъл-
жипата й, се нарича токова нишка. Положението на токова нитпка в
Електрични заряди 25
пространството може да се зададе, като се зададе крива L, която про-
божда сеченията As на нишката под прав ъгъл (фиг 1.4) и е ориентирана
еднопосочно с нормалата п към As. Тъй като размерите на сечението на
нишката са малки, чрез прилагане на теоремата за средните стойности от
интегралното смятане по формула (1.9,а) за тока по нишката се получава
(1.13)
където I' = I  t е проекцията на I върху единичния тангенциален към
кривата L вектор t и е равен на ±|Z| в зависимост от това, дали посоката
на тока и ориентацията на L съвпадат или не.
Место се налага токът AJ по тън-
ка токова нитка да се разглежда ка-
то линеен ток, конто с плътност j =
AJZ тече по оста L на нишката. Ако
dv = As|df| е обемът на част от ниш-
ката с дължина |Jf|, където dr е ли-
неен елемент от L, с помощта на оп-
ределенията (1.8) за токовия елемент
се получава връзката
di = Idv = ZAs|df|
= 1' A.sdr = AJdr =
Фиг. 1.4
При тези преобразувания е използ-
вано равенството I\df\ = Гdr, тъй като векторите I и dr са колинеарни
(вж. формула (А.16)).
14 така, когато токът по една токова нишка се разглежда като линеен,
за токовия елемент са валидни равенствата
(1.14)	di = Idv = J\dr\ = A J dr.
(Всъщност именно те оправдават въвеждането на понятието токов еле-
мент.)
СТАТИЧНИ ЗАРЯДИ
Статично се нарича онова разпределение на заряди, при което зарядите
са неподвижни. Това означава, че вместо (1.12) при статичнитс разпре-
деления е изпълнено по-силното условие
(1.15)	7 = 0.
Разбира се, както в стационарния случай, и сега обемната, повърх-
нинната и линейната плътност на зарядите не зависят от времето, т.е.
могат да бъдат функции само на мястото: k = k(r), h = /1(7^ и g = <j(f).
Освен това в статичния случай радиус-векторите на точковите заряди са
константи, т.е. rj не зависят от времето.
2
ОСНОВНИ ЗАКОНИ
НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ
Изучаването на електромагнитните взаимодействия започва с най-прос-
тия случай — взаимодействието на неподвижни заряди. Силите, които
са проява на взаимодействието в този случай, се наричат електрични.
ЗАКОН НА КУЛОН
Фундаменталисте явление при взаимодействие на неподвижни заряди е
привличането между разноименни и отблъскването между едноименни за-
ряди, т.е. наличието на електричните сили. Първият фундаментален
експериментален закон на електродинамиката, който описва количест-
вен© това явление, е законът на Кулон. Той описва силата на взаимо-
действие между два неподвижни точкови заряда във вакуум.
• Законът на Кулон гласи, че на всеки заряд може да се съпос-
тави едно реално (положително или отрицателно) число q —
стойността на заряда, което го характеризира така, че силата, с
която един неподвижен точков заряд q' действа на друг точков
заряд (?, е пропорционална на големината на произведението |gg'|
на зарядите и обратнопропорционална на квадрата на разстоя-
нието г между тях, като е сила на привличане или ртблъскване
в зависимост от това, дали зарядите са с различии или еднакви
знаци.
Ако г = (т,т/,г) и г' = (х',?/,/) са
радиус-векторите на точките, в кои-
то се намират q и q' (фиг. 2.1), спо-
ред закона на Кулон силата F с ко-
ято q1 действа върху q, се описва с
израза
(2.1)
/ /	-*	-*/
<i<i г _ д<г	г - 1
Атгеог2 ° 4тгб?о |r — f'|3
Лесно се проверява, че (2.1) описва
както големината, така и посоката на
Фиг. 2.1 .	F при произволпи знаци на q и q'.
В Международната система еди-
пици (SI) коефициентът на пропорционалност в (2.1) се записва във вида
26
Основни закони на електростатичното поле
27
----= 9.109, където бо се нарича електрична константа и има стойност
4тгбо
Ю7
бо =---z F/m (с = ЗЛО8 m/s е скоростта на светлината във вакуум).
4тгс2
ПРИНЦИП НА СУПЕРПОЗИЦИЯТА
Както вече бе посочено, едно от свойствата на зарядите е, че взаимодейс-
твието на два заряда не зависи от наличието на други заряди в простран-
ството. Следователно, ако на заряда q, поставен в точка с радиус-вектор
г , действат А на брой точкови заряди д,, разположени в точки с радиус-
вектори fi, силата F,, с която д, действа на q, ще се изразява чрез закона
на Кулон и тогава общата сила ще бъде
(2-2)
4тгбо|г - г<|3
Съдържанието на това равенство често се нарича принцип на супер-
позицията.
ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ЗАРЯДИТЕ
Опитите на Кулон установяват зависимостта на силата от разстояпието,
но не и от заряда. От приведената по-горе формулировка на закона се
вижда, че в първата си част той фактически постулира съществуването
на заряда като физична величина. Това означава, че с помощта на закона
стойността на един заряд може да се определи, като се измерват сили и
разстояния. По такъв начин законът съдържа определението на заряда
като величина, а не установлва зависимостта на силата от него. Затова,
докато експериментите за проверка на зависимостта F ~ 1/г2 продължа-
ват и днес с постоянно нарастваща точност, въпросът, дали зависимостта
F ~ q е точна, не може да се постави по принцип.
Измерванията върху взаимодействието на два заряда q^ и до дават въз-
можност да се определи само произведението gig2. За определяне стой-
ността на всеки от зарядите е необходимо да се правят измервания и
върху трети заряд д3. Наистина пека зарядите gb g2 и g3 се намират във
върховете на равностранен триъгълник със страна г и нека F{2 е проек-
цията на силата с която gi действа на до върху посоката от gi към до.
Ако F23 и F31 са съответните проекции на другите две сили, като се запи-
ше законът на Кулон за трите сили и се умножи скаларно с сдиничните
г 2 - Г! Г3 - Г 2	Г\ - Гз
вектори ------, ----- и ------, се получават връзките
г г	г
q{q2 = 47T60r2F1,2, g2g3 = 47Гбог2^23, g3gi = 47r60r2F31.
От тези уравнения може да се намери квадратът на gjj
2 _ л 2
«1 = 4тгбог ———.
Г 23
28 Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
Може да се иокаже, че използването на повече от три заряда не позволява
да се определи знакът на q\. Ако обаче този знак се фиксира, горните
равенства определят знака на всеки от останалите заряди. (Франклин
произволно нарича зарядите на заредени стъклени пръчки ноложителни,
поради което зарядът на електрона се оказва отрицателен.)
Едва, след направените разглеждания зарядът става напълно опреде-
лена величина и се запълва празнината, за която бе отбелязано в тема
1. От тях обаче не следва, че законът на Кулон се свежда до дефиници-
онно за електричния заряд равенство. Веднъж определена с този закон,
стойността на даден заряд става известна и може да се използва при изу-
чаване на взаимодействията му. с произволни други заряди, намиращи се
на произволни разстояния.
Заколите на Кулон и на Нютон за гравитацията са аналогични по форма.
Известно е, че чрез измервания върху движенията на две тела под дейст-
вие на гравитационната сила масите им може да се определят. По-горе бе
изтъкнато, че законът на Кулон не дава такава възможност при експеримен-
тиране с два заряда. Обяснете на какво се дължи различието между двата
случал.
ДАЛЕЧНО ДЕЙСТВИЕ — БЛИЗКО ДЕЙСТВИЕ
Отговор на въпроса, какъв е механизмът на взаимодействие на зарядите
във вакуум, може да се търси като се изхожда от два различии принципа.
Първият принцип — принципът на далечното действие, по същес-
тво снема този въпрос — възможността зарядите да си взаимодействат
във вакуум се приема като факт и вниманието се насочва към описанието
на това взаимодействие.
•	Принципът на далечното действие утвърждава, че силата, която
действа на един заряд в даден момент, се определя от моментно-
то състояние на останалите заряди, т.е. от техните положения
и скорости в същия момент.
Очевидно е, че този принцип предполага безкрайно го ляма скорост на
разпространение на взаимодействието. Ясно е, също така, че законът
на Кулон (2.1) отговаря изцяло на изискванията на този принцип, тъй
като в него електричната сила наистина се определя от положението на
взаимодействащите заряди.
•	Вторият принцип — принципът на близкото действие утвър-
ждава, че силата, действаща на един точкой заряд, и въобще
всички величини, характеризиращи явленията в дадена точка и
в даден момент, се определят напълно от състоянието на систе-
мата в същите точка и момент и техните най-близки околности.
Това означава, че взаимодействието всъщност е локално. Следова-
телно състоянието на системата трябва да може да се характеризира с
една (изобщо казано многокомпонентна) величина, която е различна в
различните точки и може да се изменя с времето и която определя напъл-
но въздействието върху даден заряд. Известно е, че подобии величини,
Основни закони на електростатичното поле
29
компонентите на които са функции на мястото (и евентуално на времето),
се наричат полета.
Съществено обстоятелството, което очертава едно от различията меж-
ду двата подхода, е, че едно и също състояние на полето в дадена точка
може да се реализира при различии положения (и скорости) на зарядите.
И така, една конкретна реализация на принципа на близкото действие е
полевият подход към електромагнитното взаимодействие. При него рав-
ноправието между участващите в закона на Кулон заряди се нарушава:
едипият заряд (</) се разглежда като източник на електрично поле, т.е.
той е активна страна във взаимодействието. Лругият заряд (<?), върху
който действа електричната сила, е пасивна страна във взаимодействието
и понякога се нарича пробен заряд. По такъв начин, взаимодействието
не е между заряд и заряд, а между заряд и поле: единият заряд създава
полето, което поле от своя страна действа върху другия заряд. Задачата
за описване на взаимодействието също се разделя на два етапа:
— първият етап включва пресмятане характеристиките на полето въз
основа на положенията и движенията на зарядите-източници, а
— вторият етап включва пресмятане действието на вече известното
поле върху внесените в него заряди.
Това разделяне на задачата на две дава определени предимства на по-
левия подход, защото могат да се развият удобни математични методи
за решаване както на първата, така и на втората част. Лруго (и всъщ-
ност решаващо) преимущество на полевия преход е възможността, чрез
развития на иегова основа апарат сравнително лесно да се отчете опитно
установената крайна скорост на разпространение на електромагнитните
взаимодействия.
Съществена особеност на полевия преход, която следва от равноп-
равното участие на двата заряда в закона па Кулон, е, че една и съща
величина — електричният заряд е достатъчна за характеризиране спо-
собността на едно тяло да участва в електромагнитните взаимодействия,
както в активно, така и в пасивно отношение.
Ясно е, че полевият подход наистина съответства на принципа на близ-
кото действие, защото въздействията върху даден заряд в една точка за-
висят само от характеристиките на полето в същата точка. Така, вместо
взаимодействие на заряд със заряд от разстояние, сега. имаме взаимо-
действие на поле и заряд в една и съща точка, т.е. близко действие.
Ясно е също така, че и полевият подход не обяснява как се осъщест-
вява взаимодействието във вакуум — той просто трансформира въпроса
в нов: какво представлява посредникът на взаимодействието — полето?
От тази именно гледна точка привличането и отблъскването между непод-
вижни заряди във вакуум остава необяснено, т.е. фундаментално явление.
Електрични полета, създадени от неподвижни заряди, се наричат
електростатични, а теорията на взаимодеЙствията на неподвижни заряди
— електростатика. От казаното по-горе следва че понятието електрос-
татичио поле е второто фундаментално понятие за електростатиката,
защото в нейните рамки не сбществува по-общо понятие, чрез което би
могло да се разкрие смисблат му.
30 Електромагнитни взаимодействия във вакуум
ИНТЕГРАЛНО ПРЕДСТАВЯНЕ НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО
ПОЛЕ
И така според полевия подход към електромагнитните взаимодействия
електричната сила (2.2) е резултат от действието върху заряда q на елек-
тричното поле, създадено от зарядите gt. Понеже наличието на по лето се
проявява посредством електричните сили, да се познава едно поле означа-
ва да може да се предскаже с каква сила то ще действа върху произволен,
внесен в него, заряд.
Записът на (2.2) във вида
(2.3)
47Г£°1Г“ Г»1
показва, че познаването на величината
(2.4)	£(г) = У  Г-,3
" 4лто|г - г,|3
позволява по формулата
(2.5)	F = qE
да се намери силата, действаща на заряда q. Известно е, че Е(г) се на-
рича интензитет на електричното поле. (В съответствие с тенденцията
за опростяване на терминологията, когато няма опасност от двусмислие,
Е се нарича и само електрично поле.)
Следователно величината Е(г) е една локална характеристика на по-
лете (т.е. характеристика в една точка — точката с радиус вектор г),
достатъчна за формулираната по-горе цел. От (2.4) се вижда, че в да-
дена точка г полето Е зависи (се определя) само от разположението и
стойностите (или по-общо — от разпределението) на зарядите, които го
създават—т.е. от qi и г,.
Формула (2.5) е принципно важно следствие от закона на Кулон. Тя
може да се разглежда като операционално определение на полето Е(г) ка-
то физична величина: чрез измерване на силата F, която действа на един
F
и същ, известен заряд до, по формулата Е(г) = — може да се определи
<7о
опитно полето в произволна точка на пространството.
Формула (2.4) е друго принципно важно следствие от същия фундамен-
тален закон. Важността й се определя от възможността, която тя дава
за пресмятане (а не за опитно определяне!) на характеристиката Е(г]
на полето—стига да е известно разпределението на неговите източници.
зарядите.
От (2.4) следва едно основно и общовалидно свойство на полето: ин-
тензитетът Е(г) е непрекъсната функция в цялото пространство с изклю-
чение на точките , в които има точкови заряди. Там тя не е дефинирана
Основни закони на електростатичното поле
31
к	1 ,	-	-
и има особеност от типа -= (т.е. при г —> г,
г1
—От нея (при N = 1) също така
7 I-&I расте неограничен© ка-
ТО
интёнзитета на полето на точков заряд q:
следва важният израз за
г
д
(2.6)
Ё(г) =
____________________________ д
47Г£о|т — f'l2 |г — г'|	4?Г£оГ2 °’
където г' и г са съответно радиус-векторите на заряда q и на точката на
наблюдение, а 7*о — единичният вектор на посоката от г* към г.
Разпределението на електричното поле се онагледява чрез неговите
силови линии: криви, които във всяка своя точка се тангират от поле-
то и са ориентирани в иегова посока.Тъй като през всяка точка, в която
Е 0, минава силова линия и е невъзможно да се начертаят всички таки-
ва линии, обикновено се прави следната допълнителна уговорка: чертаят
се само някои от линиите и то така, че броят на тези, които пресичат
единица площ, поставена перпендикулярно на полето, да бъде равен на
големината на полето (|Е|). По такъв начин картината на силовите ли-
нии дава представа не само за посоката, но и за големината на полето:
там, където |Ё| е по-голямо, там начертаните силови линии са по-нагъсто.
(Когато по-нататък се говори за брой на силови линии, се има предвид
броят именно на начертаните линии.) За да бъде спазена допълнителната
уговорка, може да се наложи в някои точки да започват силови линии, а
в други—да завършват. Такива точки се наричат скаларни източници
на полето—съответно положителни и отрицателни.
За полето на точков заряд видът
на силовите линии е показан на
фиг. 2.2. Когато полето се създава
от непрекъснато разпределени заря-
ди, интензитетът му в точката г мо-
же да се получи чрез разделянето им
на зарядови елёменти, които са тол-
кова малки, че могат да се разглеж-
дат като точкови заряди. Ако dqff')
е зарядовият елемент около точката
г', съгласно (2.6) в точка г той съз-
дава поле
( '7)	dC^ 41ге0|г-г'|2 |г-г'Г
Общото поле в точка г според принципа на суперпозиция е сума от поле-
тата на всички зарядови елементи и може да се представи като
(2.8)
Дг) =
г - г'
47Г£о|г - г'|3
dq{r'\
където видът на интеграла зависи от това, дали зарядите са обемни, по-
върхнинни или линейни.
32
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
В конкретния случай на поле, създадено от обемни заряди, които из-
пълват с плътност k(r) облает V, съгласно (1.4,а) формула (2.8) добива
вида
(2-9)
където dv' е обемният елемент около точка г', по който се интегрира.
Фактът, че когато точката на наблюдение г е в заетото от зарядите
пространство, знаменателят |г — г'| в (2.8) може да стане нула, показва,
че в тези точки полето Е може да има особености. Локазва се,че
— когато зарядите са обемни (случая (2.9)), Е(г) е дефинирана и неп-
рекъсната функция в цялото пространство, включително за. г Е V и по
повърхността на V;
— когато зарядите са повърхнинни, дефинираната с (2.8) функция тър-
пи краен скок върху заредената повърхнина;
—когато зарядите са линейни, върху заредената крива полето не е
дефинирано — с доближаване до нея то расте неограничено като 1/г.
ГЛОВАЛНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ВЕКТОРНИТЕ ПОЛЕТА
За всяко векторно поле могат да се определят две глобални характе-
ристики със скаларен характер, т.е. такива, които зависят от полето
не в една точка, а в безкрайна съвкупност от точки. Първата глобалка
характеристика на векторното поле Е е неговият поток Ф през дадена
повърхнина S, който се определя чрез равенството
Втората глобална характеристика е циркулацията Г на полето по про-
изволна крива L, която се определя чрез равенстчото
Ге = Edf.
Съгласно правилата за графично изобразяване на векторни полета по-
токът Ф е пропорционален на броя на векторните линии, които пробождат
S, а ако полето е силово (какъвто е случаят с Е), т.е. има смисъл на си-
ла, действаща върху някакъв обект, циркулацията му е пропорционална
на работата на силата при движение на приложната й точка по L.
Познаването на глобалните характеристики на едно векторно поле има
принципно важно значение, защото, според цитираната в Приложение А
теорема на Хелмхолц, едно векторно поле е напълно определено (в сми-
съл, че може да се намери локалната му характеристика), ако са известии
неговият поток през всяка затворена повърхнина и неговата циркулация
по всяка затворена крива. Затова при изучаване на различии векторни
Основни закони на електростатичното поле
33
полета по-нататък задачата е, като се използват фундаменталните експе-
риментални закони (или техни преки следствия), да се намерят въпрос-
ните глобални характеристики.
ГЛОВАЛНА ФОРМА НА ОСНОВНИТЕ ЗАКОНИ НА
ЕЛЕКТРОСТАТИКАТА
За елсктростатичното поле глобалните характеристики Ге и Фе могат да
се пресметнат и изразят чрез източниците на полето с помощта на фор-
мула (2.4).
а)	Нека L е производна затворена крива (фиг.2.3). С помощта на
(А.30,а) за циркулацията Ге на Е по L се получава
като всеки от интегралите е нула, защото е по затворена крива.
Следователно циркулацията на електростатичното поле по всяка зат-
ворена крива е нула. По силата на казаното по-горе това означава, че
общата работа на електростатичната сила при преместване на заряд по
затворена крива е нула — факт, който кратко се изразява с твърдението,
че електростатичното поле (или електростатичната сила) е консерватив-
но.
И така първото глобално следствие от фундаменталния експеримента-
лен закон на Кулон се съдържа във формулата
(2.10)
= 0.
L
34
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
б)	Нека S е производна затворена повърхнина (фиг.2.4) и пресметнем
потока Фе на полето на зарядите д, през нея. Чрез (2.4) за Фе се получава
Фе = J) Ё  d s = i г?—5|3 • ds = —— ^2 ?«' /	>
J	4%£о J г - Ti 3	47Г£о “ J
S	1=1 S	1=1	5
където d&i = ——• ds е пространственият ъгъл, под който се вижда
к - пк
лицевият елемент ds от мястото на заряда д,. За пълния пространствен
ъгъл са възможни два случая:
/	_ ( 4тг — ако г, е вътре в S,
1	0	— ако г, е извън S.
s
Следователно от общата сума отпадат всички членове, съответстващи на
s
заряди извън S. Ако в съответствие с (1.1) Qs = 22?» означава общият
i
заграден от S заряд, се получава, че
(2.11)	Фе = i Ё • ds = — Qs-
J	Со
S
Следователно потокът на електростатичното поле през производна
затворена повърхнина е пропорционален на заградения от нея заряд.
Формула (2.11) е израз на теоремата на Гаус и представлява второ гло-
бално следствие от фундаменталния експериментален закон на Кулон.
Формули (2.10) и (2.11) бяха доказани за поле на точкови заряди, но
понеже чрез вече изяснени процедури полетата на непрекъснато разпре-
делени заряди могат да се сведат до тях, следва, че те са общовалидни
по отношение вида на източниците на полето.
Твърденията, съдържащи се в (2.10) и (2.11), са следствия от фунда-
менталния експериментален закон на Кулон, като при извода им са изпол-
звани някои от също експериментално установените свойства на електрич-
ните заряди (напр. принципа на суперпозиция). Може да се покаже, че
обратното твърдение е също в сила — от (2.10) и (2.11) следва законът
на Кулон.
Връзките между характеристиките на едно поле и характеристиките
на неговите източници обикновено се наричат основни закони на съот-
ветното поле. Когато се свързват глобални характеристики се говори за
глобална форма на законите, а когато се свързват локални характерис-
тики — за локална форма. В този смисъл твърденията, съдържащи се
в (2.10) и (2.11), представляват глобална форма на основните закони на
електростатичното поле или на електростатиката.
И така основните закони на електростатичното поле гласят:
•	1е. Циркулацията на електростатичното поле по всяка затворе-
на крива е нула (Ге = 0).
•	2е. Потокът на електростатичното поле през произволна затво-
рена повърхнина е равен на разделения с Ео заряд, заграден от
повърхнината (Фе = ±Qs)-
Основни закони на електростатичното поле 35
Еквивалентните формулировки в геометрични термини гласят:
1'е. Електростатичното поле няма затворени силови линии.
2'е. Броят на силовите линии на. електростатичното поле през всяка
затворена повърхнина е пропорционален на заградения от нея заряд.
ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ЗА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО
ПОЛЕ
Освен чрез пресмятане на интеграли от вида (2.8), полето Е(г) може да
се намери и чрез решаване на частни диференциални уравнения.
За простота първо се разглежда случаят, когато полето се създава
само от обемни заряди, чиято плътност k(r) е непрекъсната функция на
мястото. В този случай търсените уравнения са пряко следствие от гло-
балните формулировки на основните закони.
а.Нека S е производна повърхнина и L е директно ориентираният й
контур (фиг.2.5). От (2.10) и теоремата на Стокс (А.74) се получава
Edf =
J rotE • ds.
s
Това равенство може да бъде изпълнено за производна повърхнина S',
само ако е нула подинтегралната функция, т.е. ако
(2.12)	rot£ = 0.
Фиг. 2.5
Фиг. 2.6
б.Нека V е производна облает и S е нейната повърхнина (фиг.2.6).
Чрез теоремата на Гаус (А.69) и (1.3, а) се получава
ф Ё • ds — j divEdv и Qs = J k(r)dv.
s V	v
Приложени към (2.11), тези формули водят до равенството
I divEdv = — [ k(r)dv,
J	to J
v	v
което може да бъде изпълнено за всяка облает V само при
divE = —к(г).
Ео
(2.13)
36 Електромагнитни взаимодействия във вакуум
И така, полето на обемни заряди с плътност k(r) удовлетворява сис-
темата от частни диференциални уравнения от първи ред
-	- к
(2.14)	rot£ = 0, div# =—.
Съгласно теоремата на Хелмхолц (А.76) познаването на скаларните
източници (т.е. на div) и на мощността на вихрите (т.е. на rot) на едно
векторно поле е достатъчно за определяне на полето. Следователно за-
дачата за намиране на Е при известно к наистина може да се сведе до
решаване системата от частни диференциални уравнения (2.14).
ГРАНИЧИМ УСЛОВИЯ ЗА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ
От основните закони (2.10) и (2.11) се извеждат определени връзки меж-
ду компонентите на полето #(г), които са валидни в случайте, когато
к(г) не е непрекъсната функция на мястото или има повърхнинни заряди
със зададена плътност /?(г). Нека 5”
7	означава съвкупността от всички по-
/върхнини, върху които или £'(г) тър-
пи скок, или има повърхнинни заря-
ди (фиг.2.7). На фигурата е изоб-
разена част от пресечницата на S*
с равнината на чертежа. Тук и по-
нататък се възприема уговорката, че
ако две близки точки са разположени
едната под, а другата над S*, стой-
ностите на величините в точката от
опаката страна на S* ще се бележат
с , а стойностите в точката от ли-
фиг. 2.7	цевата страна — със “//”.
Законът (2.10), приложен за пра-
воъгълния контур, образуван от ALi, ALo, AL3 и AL4, води до равенст-
вото
Ё df = 0.
Ако се направи граничен преход, при който дължините на AL3 и AL<
клонят към нула, вторият и четвъртият интеграл отпадат от равенство-
то. Ако освен това t е единичен тангенциален към S* и еднопосочен с ALi
вектор, то за ALi е валидно равенството Ё • dr = Ё • t\dr\ = #{|dr|, а за
Д#2 съответно Ё • dr = —Ё 	= — E"|dr], където E't и Е” са съответно
проекциите на Е върху t от опаката и лицевата страна на S*. Ако А/ е
общата дължина на ALi и А#2> отчитането на получените равенства и
теоремата за средните стойности от интегралното смятане дава
Основни закони на електростатичното поле
37
Този резултат показва, че върху S* е изпълнено равенството
(2.15)
е; - е; = о,
т.е. тангенциалните компоненти на електростатичното поле са непрекъс-
нати функции на мястото дори там, където k(r) може да търпи скок или
има повърхнинни заряди. Равенството (2.15) има смисъл на гранично
условие за уравненията (2.14), което трябва да бъде изпълнено върху
S*.
Второто гранично условие се получава чрез прилагане на (2.11) за
малката цилиндрична облает ДР с основи As] и Д«2> която пресича S* в
частта й AS* (фиг.2.8). Нека Д$о е околната повърхнина на ДР, а Д/ -
височината на цилиндъра. Като се отчете, че вътре в ДР може да има и
обемни, и повърхнинни заряди, от (2.11) се получава
Со I Ё  ds + Со / Ё • ds + £о / Ё • ds
J J J	\
\
След граничен преход Д/ —► 0 при-
носите на интегралите по Aso и ДР
стават ну л а. Прилагането за остана-
лите интеграли на теоремата за сред-
ните стойности от интегралното смя-
тане води до
eoEiJAsil + еоЕ"2|Д*2| = Л|Д»'1.
където гГ] и П2 са единичните нор-	^иг- 2-8
мални към Д«1 и Д«2 вектори. Ако п е нормалният единичен вектор на
S*, то тГ2 = п и ni = —п, откъдето следва, че Е'Пх и Е„2 са евързани с
проекциите на Е' и Е" върху п чрез равенствата Е'П1 = —Е'п и Е”2 = Е”.
Тъй като |A$i| = |Д«2| = |Д«*|, окончателно се получава
(2.16)
Следователно върху заредените повърхнини (където А / 0) нормални-
те компоненти на електричното поле търпят краен скок, който е пропор-
ционален на плътността на зарядите. Граничните условия (2.15) и (2.16)
могат да се о б единят в едно
(2-17)
Ё" - Ё‘
' А
ЛОКАЛНА ФОРМА НА ОСНОВНИТЕ ЗАКОНИ
Лиференциалното уравнение (2.12) и граничното условие (2.15) са следс-
твия от първия основен закон на електростатиката (2.10), а (2.13) и (2.16)
38
Електромагиитни взаимодействия взв вакуум
— съответно от вторил основен закон (2.11). Диференциалните уравнения
и граничните условия са локални връзки, защото свързват компонентите
на полето и производните им в една точка.
Следователно, когато полето се създава от обемни и повърхнинни за-
ряди, на основните закони може да се придаде и втора, локална форма
във вид на частни диференциални уравнения и гранични условия:
(2.18,а)
(2.18,6)
rot# = 0,	f EV*
Е” — Е[ = 0,	rES*
div# = k/Eo,	г Е V*
E'^-E'n = h/e^ ft S'
— I основен закон,
— II основен закон,
където V* е цялото пространство с изключение на точките от S*.
За случаи, когато има линейни и точкови заряди, локалната форма
на основните закони съдържа обобщени функции, поради което тук тези
случаи не се разглеждат.
ПОТЕНЦИАЛ НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ
Приложена за всяко от събираемите в (2.4), формула (А.30,а) позволя-
ва интензитетът на полето на точкови заряди д,-, намиращи се в точки с
радиус-вектори rj, да се представи във вида
(2.19)	Е(г) = —grad#(r),
където
N
(2.20)	= У2 7-----
“ 4л-£о|г - т, |
е една нова локална характеристика на полето — потенциалът на елект-
ростатичното поле. Бидейки скаларна, тази характеристика е по-просга
от интензитета и това е едно от оправданията за въвеждането й.
Тъй като производните на константа са нули, от (2.19) се вижда, че
потенциалът е дефиниран до адитивна константа — добавянето на про-
изводно число в дясната страна на (2.20) дава потенциал на същото поле
Е. В (2.20) тази константа е подбрана така (в случая — нула), че на
безкрайно разстояние от зарядите (при |г — г,-| —♦ оо) потенциалът да бъде
нула.
За частния случай на един заряд q, разположен в точка с радиус-век-
тор г0, следва, че потенциалът се описва с формулата
(2.21)	tz(f) = -2- = -—1—,
47Г60Г	47Г£о|г— г0|
като този израз често се нарича кулонов потенциал.
Повърхнина, всички точки на която имат еднакъв потенциал, се нари-
ча еквипотенциална повърхнина. Тъй като е нсвъзможно да се изобра-
зяват всички такива повърхнини, при онагледяване разпределението на
потенциала се чертаят само някои от тях, като се съблюдава допълни-
телната уговорка: разликата между потенциалите да бзде една и сзща за
Основни закони на електростатичното поле
39
всеки две свседни начертани еквипотенциални повърхнини. Формула (2.19)
гарантира, че силовите линии на полето са перпендикулярни на еквипо-
тенциалните повърхнини и са ориентирани в посоката, в която потенциа-
лът на полето намалява (поради знака минус).
От (2.21) следва, че еквипотенциалните повърхнини на полето на точ-
ков заряд са концентрични сфери с център заряда.
От (2.20) се вижда, че потенциалът на точкови заряди е непрекъснат
навсякъде с изключение на точките г,, в които са източниците на полето.
Там той не е дефиниран и има особености от типа £.
В случайте, когато полето се създава от непрекъснато разпределени
заряди, интегралното представяне на потенциала му
(2.22)
[/(г") = J
4-7гео|г — г'|
може да се получи чрез разсъжденията, с чиято помощ от (2.4) се получи
(2.8). В частния случай на поле на обемни заряди, изпълващи с плътност
к областта V, от (2.22) и (1.4,а) следва
(2.23)
Свойствата на определената с (2.22) функция зависят от типа на за-
рядите. Доказва се, че:
—	потенциалът на обемни и повърхнинни заряди е непрекъснат в ця-
лото пространство — дори и там, където к(г) търпи скок или има повър-
хнинни заряди;
—	потенциалът на линейни заряди не е дефиниран върху заредената
крива и има върху нея особеност от типа 1пг.
Освен чрез решаване на интеграли от типа (2.22) потенциалът може
да се намери чрез решаване на диференциално уравнение при съответни
гранични условия. За целта е достатъчно да се замести (2.19) в (2.18).
Поради (А.45) уравнението (2.18,а) е изпълнено тъждествено. Замест-
ването на (2.19) в (2.18,6) заедно с формулите (А.47) и (А.55) води до
равенствата
А ТТ к dU" dU' h
SU =-----и —-------— =-------,
£о дп дп с0
където и представляват нормалните производни на потенциала
съответно от лицевата и от опаката страна на S*. Към тези равенства
следва да се добави условието U" — U' = 0, което следва от непрекъсна-
тостта на потенциала на обемни и повърхнинни източници, както и изис-
кването безкрайно далече от източниците (т.е. върху безкрайната сфера
Soo) потенциалът да бъде нула.
Следователно потенциалът на електростатичното поле, създадено от
обемни заряди с плътност к и повърхнинни заряди с плътност А, удов-
летворява диференциалното уравнение
(2.24,а)
Д£/ =	V',
So
40
Електромагиитни взаимодействия във вакуум
раничните условия
(2-
24,6)	(7" — £7'= 0, гбУ,
ПЛ ч	dU" dU' h(r)
94	-----------=------— г
(2.24,в)
(2.24,г)
дп дп Е0
Uoo =0, г € Soo-
Условието (2.24,г) може да се наложи винаги когато количеството на за-
рядите — източници на полето, е крайна величина. В противен слу-
чай вместо Soo като нулева се избира друга еквипотенциална повърхни-
на. Уравнението (2.24,а) е линейно частно диференциално уравнение’от
втори ред, известно като уравнение на Поасон. В свободното от заряди
пространство (при k = 0 и h = 0) потенциалът удовлетворява уравнени-
ето на Лаплас
(2.25)
Д(7 = 0,
чиито решения по определение се наричат хармонични функции.
Системата (2.24) притежава поне едно решение — онова, което се да-
ва с интегралното представяне (2.22). Не е трудно да се докаже, че това
решение е единствен©. Наистина нека и(г) е разликата на две предполага-
еми решения t/i(r) и [^(г) на (2.24), т.е. u=U\ — U?- Ако (2.24) се запише
веднъж за U\, втори път за Uz и съответните равенства се извадят, за и
се получава
(2.26,а)
(2.26,6)
(2.26,в)
(2.26,г)
Ди = 0,
и" - и' = 0,
ди" ди'
fG V*,
fGS*,
дп дп
Uqo = 0,
г G S’,
re Soo.
Ако се образува интегралът на Дирихле
D = J grad2udi> 0,
V
чрез (А.35) и (2.26,а) той се преобразува във вида
D =
sv.
където Sv е повърхнината, заграждаща V* и ориентирана навън от нея.
От фиг. 2.9 се вижда, че всяка част на S* участва в Sv два пъти — чрез
лицевата и чрез опаката си страна. В първия случай ориентациите на S*
и Sv са противоположни, а във Ьтория — еднакви. Така интегрирането
по Sv дава два интеграла по S*, като в този, който е по лицевата стра-
на, нормалната производна ди"/дп се взема с обратен знак. Освен това
отвън V* е заградена от STO, така че
Основни закони на електростатичното поле
41
От граничните условия (2.26,б,в и
г) следва, че D = 0, което е въз-
можно само ако grad2u = 0 за вся-
ко г Е V". Следователно във всяка
свързана част на V* u(r) = const, ка-
то (2.26,6) гарантира, че тази конс-
танта е една и съща във всички та-
кива части. Накрая (2.26,г) фиксира
и стойността на констаптата — тя е
нула, т.е. U\(f) — t/o(f) = 0 в цялото
пространство. С това единственост-
та на решението на (2.24) е доказана.
Приведеното доказателство за
единственост показва, че потенциа-
лът на полето може да се определи в
Фиг. 2.9
цялото пространство, стига да се познава разпределението на зарядите в
него. В редица практически важни случаи задачата не е така обща: търси
се потенциалът на полето в ограничена облает V, като е зададено разпре-
делението на зарядите (fc(r) и h(r)) само във V. И доколкото стойностите
на U(г) във V зависят и от неизвестного разпределение на зарядите извън
V, възпиква въпросът, с какво може да се замени липсващата информация
за k и h. В теорията на елиптичните частни диференциални уравнения,
към които принадлежи (2.24,а), се доказва, че в два най-често срещани
случая потенциалът в областта У е определен напълно, ако наред с k(f)
и /г(г) за г £ V са известии още
а)	или стойностите на самия потенциал върху границата на V (задача
па Дирихле);
б)	или стойностите на нормалната производна на потенциала върху
същата граница (задача на Нойман).
Покажете, че при задачата на Нойман стойностите на dU/дп върху повърх-
ността на V не са независими, а са евързани с общин заграден във V заряд.
Примери. 1. Да се намери полето на обемно заредена сфера с радиус
а и обемна плътност на зарядите k = const (фиг. 2.10).
б) Полето може да се намери чрез
пресмятане на интеграли от типа
(2.23). Удобно е началото на ко-
ординатната система да се избере в
центъра на сферата, а оста Oz — в
посока на точката, в която се търси
полето. (Поради сферичната симет-
рия полученият резултат ще може да
се разпространи за всички точки от
сферата с център в О и радиус г, та-
ка че по-долу вместо z може да се пи-	Фиг. 2.10
ше направо г.) Тъй като в сферични
координати обемният елемент е dv' = г'2 sin 0dr'd9d^y а разстоянието от
него до точката на наблюдение е |г — г'| — \А2 + г'2 — 2rr' cos в, от (2.23)
за потенциала на полето, който в случая е функция само на г = |г|, се
42 Електромагнитни взаимодействия ese вакуум
получава
а х 2я	,
z .	1 Г Г Г fcr sin О , , ,
U(r)=------ /	/	/	/------ =dr	dOdq>.
4тгбо J	J	J	vr2 + r'2	— 2rr' cos 0
r'=0 6=0 ¥5=0
Интегрирането по и 0 води до
U(г) =  ---- [ г (г + г — |г — г |)dr .
2го^ J
о
Наличието на |г — г'| показва, че следва да се различават два подслу-
чая:
1. г > а — тогава г > г' и |г — г'| = г — г'.
2. г < а — в този случай интеграционният интервал [0, а] следва да се
раздели на два подинтервала:
О г' г, в който г — г1 = г — г' и
г = г/ = а> в който г — г' = г' — г.
Поради това потенциалът вътре и въп от сферата се описва с различии
функции, които се получават след пресмятането на оставащия интеграл
по г':
k »
(2.27,а)	вътре в сферата С7*(г) = -—(За2 — г2), г а,
ka3 1
(2.27,6) вън от сферата (7е(г) = т— •	г а.
Ако fo = г/г е единичният вектор от т. О към точката на наблюдение,
радиалната компонента на електричното поле може да се намери от (2.27)
с помощта на (2.19), (А.30) и (А.55):
г г -	- атг dU
Er = Е • г0 = -г0 • gradCZ =	.
dr
По такъв начин се получава
(2.28,а)	Е’ = Ar, Т g а>
Зе0
ka3 1
(2-28,6)	£- ™ ._L г>а.
Зео г2
От сферичната симетрия следва, че останалите две компоненти на интен-
зитета Е — полярната и азимуталната, са нули.
Тъй като q = |тга3& е зарядът на цялата сфера, (2.27,6) и (2.28,6)
могат да се представят още във вида
(2.29)	Ue =	Еег = —^—,
4тг£0г’ г 4тге0г2’
т.е. извън сферата полето е същото, каквото би било, ако целият заряд
се съсредоточи в центъра й.
Основни закони на електростатичното поле 43
От (2.27) и (2.28) се вижда, че макар и да се описват с различии из-
рази извън и вътре в сферата, и потенциалът, и интензитетът на полето
са непрекъснати функции на г навсякъде, включително и върху повър-
хността на сферата, където обемната плътност на зарядите търпи скок
(к ф 0 за г < а и к = 0 за г > а). Наистина от (2.27) и (2.28) следва
[/‘(а) = Ue(a) и Е'г(а) = Е'(а). Този факт е илюстрация на изказаното
по-горе общо твърдение, че потенциалът и интензитетът на полето на
обемни заряди са непрекъснати функции на мястото.
б)	Втори начин за намиране потенциала на полето на сферата е чрез
решаване на диференциалното уравнение (2.24,а), което за потенциала
вътре и вън от сферата е съответно
к
(2.30)	Д1/’=----, г а, и Д[7е = 0, г а.
Со
Тъй като при сферична симетрия операторът на Лаплас има вида (А.66),
общото решение на Лапласовото уравнение
(2.31)	’	е (/(г) А + В.
г аг \ аг )	г
Разбира се, че константите А и В могат да бъдат различии в двете нес-
вързани области г < а и г > а, на които повърхността на особените точки
S* — в случая повърхността на сферата, разделя цялото пространство.
Освен това, тъй като уравнението за потенциала U* е нехомогенно, общо-
то му решение ще се получи, като към (2.31) се прибави и едно частно
решение на уравнението
1 d ( Л1Р\	к
г2 dr\ dr J	Eq
Чрез двукратно интегриране по г от него се получава за търсеното частно
решение изразът
(2.32)
кг2
б£о
Следователно общите решения за потенциалите U' и Ue са
Ьг2	4‘	Ае
и1 = -—+— +В1 и Ue = — + Be.
б5о	Г	г
Константата Аг не може да бъде различна от нула, тъй като потенциалът
(7*(г) трябва да бъде непрекъснат навсякъде, дори и при г = 0. По та-
къв начин от съображение за непрекъснатост на С7* в центъра на сферата
следва А* = 0. Останалите три константи Ае, Ве и В1 могат да се опре-
делят от граничните условия (2.24,6, в и г), които, приложени за случая,
имат вида
Ue(a) - Ц\а) = 0
£/е(оо) = 0
или
или
или
44 Електромагиитни взаимодействия във вакуум
Решението на тази система от три уравнения за трите неизвестни Ае, Ве
и В1, заместено в (2.32), води разбира се, до същите изрази (2.27), които
се получават и чрез решаване на интеграли.
2. Да се намерят потенциалът и интензитетът на полето върху оста
t/(z)
(2.33)
на кръгъл диск с радиус а, хомоген-
но зареден с плътност на повърхнин-
ните заряди h (фиг. 2.11).
За намиране потенциала чрез прес-
мятане на интеграли от типа (2.22)
е удобно началото на координатната
система да се помести в центъра на
диска, а апликатата Oz да се насочи
по оста му. В този случай потенци-
алът в точка Р е функция само на z.
Като се има предвид, че в полярни
координати IJs'l = pdpdtp, а разстоя-
нието от интеграционния елемент ds'
) и (1.4, б) следва
phdpd<p
47Гбо\/р2 + z2
=	(\/а2 -Ь z2 - |г|) .
2^0 4	7
От съображения за симетрия е ясно, че единствената ненулева компонен-
та на интензитета на полето в
получава
Р е Ez, за която от (2.33) и (2.19) се
(2-34)
h
dU
dz
като горният знак се взема при z > 0, а долният — при z < 0.
Получените резултати илюстрират изказаното общо твърдение, че по-
тенциалът на повърхнинни заряди е непрекъсната функция на мястото,
включително и върху повърхнините, които са заредени, а интензитетът
търпи краен скок върху тях (в случая се вижда, че Um Ez^z} има различии
z—>0
стойности в зависимост от това, дали z > 0, или z < 0).
Формулите (2.33) и (2.34) са удобни за намиране на полето на безк-
райна хомогенно заредена равнина. За целта е достатъчно в тях да се
направи граничният преход а —оо. (При пресмятане на потенциала е
необходимо първо към израза (2.33) да се добави константата — —— т.е.
,	2б?о
потенциалът да се предефинира така, че да се анулира не в безкрайност,
а при z = 0. Това се налага от факта, че безкрайната равнина носи без-
краен заряд и в този случай граничното условие (2.24, г) не може да се
удовлетвори.) По този начин се получава
Основни закони на електростатичното поле 45
U1 = -—,	Е\ = — -— за z < 0,т.е. под равнината,
(2.35)	Ех = Еу = О,
Ue = — -—,	Ее, = —— за z > 0, т.е. над равнината.
2ео	2ео
Тъй като след прехода а —* оо понятието “център” на равнината е ед-
накво приложимо за всяка нейна точка, полученият резултат е валиден за
всяка точка от пространството. Формулите (2.35) показват, че полето на
хомогенно заредена равнина е хомогенно, а потенциалът му — линейна
функция от разстоянието до равнината.
Същият проблем — за намиране полето на безкрайна заредена равни-
на, може да бъде решен и с помощта на диференциалното уравнение (2.24,
а) и съответните му гранични условия (2.24, б, в и г). Очевидно е, че в
случая потенциалът в дадена точка може да зависи само от разстоянието
на точката до заредената равнина. В този случай, тъй като к = 0, урав-
нението (2.24, а) се редуцира до уравнението на Лаплас, което предвид
посочената симетрия придобива особено простил вид
cPU
(2.36)	ДВ = -rv = 0.
az*
Неговото общо решение е
(2.37)	[/ = Az + B.
Тъй като повърхнината на особените точки — равнината z = 0, разделя
пространството на две несвързани части z > 0 и z < 0, стойностите на
константите А и В, които участват в общото решение за потенциала, не
са обезателно еднакви за тези две области. Затова потенциалът при z < О
и z > 0 се описва съответно с изразите
(2.38)	V = A’z + В1 за z < 0 и Ue = Aez 4- Ве за z > 0.
Тъй като условието (2.24, г) е неприложимо, тук то се заменя с изиск-
ването потенциалът да се анулира върху някоя друга еквипотенциална
повърхнина—напр. равнината 2 = 0. Това изискване, наложено поотдел-
но върху Vх uUe, дава две уравнения
(2.39)	СЛ(О) = 0 или В’ = 0 и £7е(0) = 0 или Ве = 0,
изпълнението на които гарантира изпълнение и на граничното условие
(2.24, б). Трето уравнение за неопределените константи се получава от
(2.24, в), което в случал дава връзката
(2.40)
dU‘ dUi _ _h_
dz dz So
или Ae — A* = —.
EO
Недостигащата четвърта връзка може да се получи от физични съ-
ображения за симетрия: в две точки, отстоящи на равни разстояния от
двете страни на равнината, интензитетът на полето би трябвало да бъде
46 Електромагиитни взаимодействия вгв вакуум
еднакъв по големина и с противоположим посоки, което, записано във вид
на равенство, дава
(2.41)
dU‘
dz
dUi
dz
или Ae — —A*.
Уравненията (2.39), (2.40) и (2.41) определят константите А', Ае, В1 и
Ве. Заместването на получените за тях стойкости в (2.38) води отново
до изразите (2.35).
3. Ла се намери полето на линейни заряди, разположени с плътност
g = const върху отсечка с дължина 2а (фиг. 2.12).
Фиг. 2.12
Всъщност за намиране поведени-
ето на полето в близост до зареде-
ната отсечка е достатъчно да се на-
мерят интензитетът и потенциалът в
една точка Р, която лежи в равни-
на, перпендикулярна на отсечката и
пресичаща я в средата. Задачата
се решава само чрез пресмятане на
интеграли от типа (2.22), тъй като
уравнението (2.24, а) и съответните
му гранични условия са неприложи-
ми за линейни заряди. Удобно е началото на координатната система да
се помести в средата на отсечката, а апликатата Oz да бъде насочена в
направление на последната (фиг. 2.12). От съображение за симетрия е
ясно, че в цилиндрични координати за т. Р Ег = Е<р = 0, а Ер и U са
функции само на разстоянието р до отсечката. От (2.22) и (1.4, в) за
потенциала се намира
(2.42)
9 , \/р2 + а2 + а
-----In —.-------- - ----.
4тг£о \/р2 + а2 — а
От (2.42) за радиалната компонента на полето се получава
(2.43)

dU _ да
dp 2тг£0р\/р2 + а2 '
Получените формули показват, че при р —* 0 и потенциалът, и интензите-
тът на полето не са дефинирани. Лесно се вижда, че когато р <С a, U и
Ер се описват с изразите
t/(p) =
9
4тгсо
In
+ а
9 . 4а2
47Гсо р2 ’
т.е.
(2-44)
U(р) « • In 4а2 —
47Г€о
9
2тгб0
Основни закони на електростатичното поле
47
и съответно
(2.45)
да
Р
а
Р —	Г—
2тг£ора\/1 +
2 2тг£Ор
(При получаване на израза за U е използвана приблизителната формула
>/1 + с «14--, валидна при е <С 1.)
И така близо до средата на отсечката U ~ — 1пр а Ер ~ 1/р. Те-
зи резултати илюстрират по-общите твърдения, че близо до заредените
криви потенциалът на полето има логаритмична особеност ((/ ~ 1пр), а
интензитетът му — особеност от типа 1/р.
4. Да се намерят интензитетът и потенциалът на полето, създаде-
но от обемни заряди, изпълващи с плътност k = const безкраен кръгов
цилиндър с радиус а (фиг. 2.13).
Удобно е задачата да се решава в цилиндрични координати като апли-
катата на координатната система съвпада с оста на цилиндъра. Поради
симетрията около тази ос потенциалът в дадена точка от пространството
може да зависи само от разстоянието р до оста. Повърхнината на ци-
линдъра е повърхнина на особените точки, тъй като върху нея к търпи
скок. Тя разделя пространството на две несвързани помежду си части,
потенциалът в които съгласно (2.24, а) удовлетворява уравненията
(2.46,а)
(2.46,6)
k
AU' =----, р < а,
€о
Лие = 0, р а,
Съгласно (А.62) уравнението на
Лаплас в случая на цилиндрична си-
метрия има вида
(2.47) Л1/=-4-
рар
и общото му решение е
(2.48) U = A\np+B.
Тъй като едно частно решение на
1 d f dU*}	к ~Ti • кр~
~~г	- — е U = --—,
р dp \ dp	£0	4s0
общите решения за потенциала U* вътре в цилиндъра и Ue извън него ще
имат вида
(2.49)
• ко~
1/‘ = -/- + АЧпр+В’, р<а,
4е0
Ue =Ае\пр + Ве1 р^а.
48
Електромагнитни взаимодействия ese вакуум
Както и в първия от разгледаните примери, от съображения за непрекъс-
натост на t/*(p) върху оста на цилиндъра следва Аг = 0. Наличието на
безкрайно количество заряди и в този случай не позволява налагане на
условие (2.24,г). Ако вместо него се изисква изпълнението на равенствата
•	к а2
U\a) = 0, т.е.	+В‘=0,
4е0
С/е(а) = 0, т.е. Ае1па + Ве = 0,
едновременно с това ще бъде удовлетворено и граничното условие (2.24,6).
Накрая последното необходимо уравнение за неопределените константи се
получава от (2.24,в) което в случая гласи
(2-51)
dU' ,dU\
dp ?=а dp ' Р~а
= 0,
или
Ае ка
а + 2б0
Определянето на Ае,Ве и Вг от системата (2.50) и (2.51) и заместването
на получените изрази в (2.49) води до резултата
(2.52)
U* = т— (а2 -р2), р^а,
= Р>«.
2бо Р ~
От него за радиалната компонента на интензитета на полето се получава
съответно
(2.53)
ка2
2^0
Р а,
1
Р < «,
Р
Тъй като g — ла2к представлява точно зарядът на единица дължина от
цилиндъра, записването на втората от формулите (2.53) във вида
(2.54)
pji  	9	1
Р	27Г£о	Р
и сравнението с (2.45) показва, че извън цилиндъра полето е същото,
каквото би било, ако зарядът му се съсредоточи само върху неговата ос.
3
МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА
ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ
ТЕНЗОР НА НАПРЕЖЕНИЯТА НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО
ПОЛЕ
Лесно се съобразява, че изразът (2.5) за силата, с която електроста-
тичното поле действа на точков заряд q, се обобщава за непрекъснато
разпределени заряди с формулата
(3.1)
F = / E(r)dq(r).
В частния случай на обемни заряди, изпълващи с плътност к(г) областта
V, посредством (1.4,а) от (3.1) следва
(3.2)
F =
k(r)E(r)dv.
Записана в този вид, формулата за F представя силата като векторна
сума на силите, действащи върху зарядите на отделяйте обемни елементи
на V.
Напишете израз за силата, с която зарядите от една крипа L' действат върху
зарядите от крива L, ако линейните им плътности са съответно д'(т') и д(г).
От принципна важност е възможността F да се изрази не чрез харак-
теристиките на полето и на източниците (т.е. чрез Е и &), а само чрез
характеристиките на полето — Е. Наистина с помощта на (2.14) формула
(3.2) може да се запише във вида
F = бо j (EdivE — Ex rotE)dv.
v
В този израз за силата, характеристиката на източниците (т.е. к (г)) вече
не фигурира, но остават от него да се елиминират производните на поле-
то. За целта подинтегралната функция може да се преработи по следния
начин:
EdivE—Ё х rotE = E(V • Ё) - Е х (V х Е) = E(V • Е) - |vE2 + (Е • V)E
= V • (Е * Е) - |(V • d)E2 = V  (Е * Е - |е26) = Div(E * Е - ^Е2<5),
49
50
Електромагнитни взаимодействия ese вакуум
където 6 е единичният тензор. Тснзорът
Те = бо (Ё * Ё — —Ё^б) .
(3.3)
се нарича тензор на напреженията на електричното поле. С иегова по-
мощ изразът за силата, действаща на зарядите от областта V, се записва
във вида
(3.4)
j DivTedv.
v
Чрез теоремата (Л.71) обемният интеграл се преобразува в повърхнинен:
(3.5)
където п е единичният, нормален към Sv, вектор.
Доколкото Те се изразява само чрез характеристиката на полето Е,
поставената цел е достигната. Съществено е, че сега същата сила F в
(3.5) е представена като векторна сума от силите (n.Te)|</s|, с която по-
лето действа върху повърхнинните елементи ds на повърхнината Sv на
областта V. В тази трактовка величината
(3.6)	f„ = n-Te
може да се разглежда като плътност на повърхнинната електрична
сила,т.е. като силата, която действа върху единица площ с нормала п.
РАБОТА НА ЕЛЕКТРИЧНИТЕ СИЛИ. НАПРЕЖЕНИЕ
От механиката е известно, че работата на сила F при преместване dr
на приложната й точка е dA = F.dr. Когато F е електричната си-
ла, с която полето действа на точ-
и	*
/2	ков заряд q, работата и при премес-
тване на q по крива L (фиг.3.1) е
А = f F.df. Тъй като, дори и в най-
ь
общия случай на променливи полета,
електричната сила се описва с изра-
за F = qE, то отношението
(3.7)	UL = AL/q = ( E.df
L
не зависи от самия заряд. То се ол-
”i	ределя от полето и от кривата,т.е.
представлява една нова глобална ха-
Фиг- 3.1	рактеристика на полето, която се на-
рича напрежение по кривата L. Смисълът на тази нововъведена величи-
на е ясен: числено напрежението Ul е равно па работата на електричните
сили при пренасяпе единица положителен заряд по L.
Механично действие на електростатичното поле
51
В случая на електростатичното поле чрез връзките (2.19) и (А.53) за
Al получаваме
(3.8)	= да - cz2)
където £71 и U2 са потенциалите на началната и на крайната точка на
кривата L. От (3.7) и (3.8) следва:
(3.9)	Ul = Ui~U^
т.е. в този случай напрежението е равно на потенциалната разлика (факт,
който отчасти оправдана означаването на напрежението и потенциала с
една и съща буква). С други думи, в електростатичното поле от глобална
напрежението се превръща в билокална характеристика — то не зависи
от вида на кривата L, а само от положението на началната и на крайната
й точка. Формула (3.8) показва, че същото твърдение е валидно и за
работата Al на електростатичните сили.
ЕЛЕКТРИЧНА ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ
Енергия W на една система се нарича такава функция на състоянието й,
чието изменение при промяна на състоянието е равно на работата Ае на
външните сили, действащи върху частите на системата:
(3.10)	AW=W2-Wi=Ae.
Тъй като (3.10) определя енергията с точност до адитивна константа,
обикновено се прави допълнителната уговорка, че енергията е нула, ко-
гато частите на системата са безкрайно далече една от друга. При тази
уговорка от (3.10) следва, че енергията е равна на работата на външните
сили за създаване на системата,т.е. за пренасяне частите й от безкрай-
ност (Wi = 0) до положението, чиято енергия се търси.
Когато се разглежда статична система от заряди, електричните сили
на взаимодействие между тях са вътрешни за системата сили. Ако F*
и Fe са съответно общата вътрешна и външна сила, действащи на един
заряд, той ще бъде неподвижен само при условие, че F* = — Fe. Сле-
дователно при преместване на заряда работата А' на вътрешните сили и
работата на Ае на външните сили са свързани: А* = — Ае. Това равенство
води до твърдението, че енергията на системата е равна на работата А*
на вътрешните сили при раэрушаването й, т.е. при отнасяне на частиците
й в безкрайност.
Тъй като състоянието на една статична система заряди се характе-
ризира само с положенията на зарядите, енергията на такава система се
нарича електрична потенциална енергия.
ЕНЕРГИЯ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ЗАРЯДИ С ВЪНШНО
ПОЛЕ
Нека една система се състои от точков заряд q и заряди, които създа-
ват поле с потенциал U(r). Това поле се нарича външно, в смисъл че
52
Електромагиитни взаимодействия във вакуум
източниците му (неизвестни, по фиксирани) са различии от разглеждания
заряд q. Според казаното по-горе енергията W на тази система е равна на
работата на електричните сили при разрушаването й, т.е. при отнасяне
на q в безкрайност. Тъй като = 0, от (3.8) следва, че
(3.11)	W = qU(r).
Ако първата част на системата е не точков заряд, а непрекъснато раз-
пределени заряди, по познатия начин за обобщаване за енергията им на
взаимодействие с външното поле с потенциал U(r) се получава
(3.12)	W = J U(r)dq(f),
което за обемни заряди се конкретизира във формулата
(3.13)	W = У k(f)U(f)dv.
v
Поради това, че се дължи на взаимодействието на зададсни заряди с
полето на заряди, чието разпределение не се фиксира, така определена-
та енергия се нарича още енергия на взаимодействието на зарядите с
външното поле с потенциал U(r).
ЕНЕРГИЯ НА СИСТЕМА ОТ ЗАРЯДИ
Нека системата се състои от N точкови заряда д,, разположени в точки с
радиус-вектори rj. Енергията W на системата се намира чрез пресмятане
работата Аг на електричните сили при отнасяне на всички заряди в безк-
райност. Ако отнасянето става по реда на номерата им, при пренасяне на
qk върху него действат само зарядите д/, за които / > к. Тогава от (3.8)
и (2.20) за работата при пренасяне на qk в безкрайност се получава
N
Ак = qkUk = Як л-----------------=7’
l^l 47ТЕ0\гк — ril
като Uk е потенциалът на полето в
А’,т.е. енергията на системата, е
мястото на заряда д*. Общата работа
N
W = Ai = Y.Al‘ =
к = 1
к = 1 1=к + 1
ЯкЯ1
47re0|rjt -f/|’
Ако отнасянето до безкрайност е в обратен ред, т.е.
започва от ддг, по
същия начин се получава
N к-1
Jt=l 1=1
ЯкЯ1
4*г£0|гч - г/|'
От полусумата на двете равенства за енергията на системата се получава
симетричният по отношение на к и I израз
(3-14)
Механично действие на електростатичното поле 53
Величината W, описана от (3.14), има смисъл едноврсмснно на снер-
гия на взаимодействие на Лг-те точкови заряда и на енергия на самата
система (при условие, че зарядите се считат зададени, т.е. не се израз-
ходва енергия за създаване на всеки от тях: както ще се установи от
(3.23), тази енергия е безкрайно голяма).
Очевидного обобщение на формула (3.14) за случая на непрекъснато
разпределени заряди има вида:
(3.15)	w =
2 J J 4л-£оГ — г'|
Принципната разлика между (3.14) и (3.15) е, че докато знаменателите
в (3.14) не могат да приемат стойност нула, за знаменателя в (3.15) това
е възможно. Поради това например за случая на линейни заряди интег-
ралът в дясната страна на (3.15) е разходящ. Физичният смисъл на този
резултат е очевиден: за създаване на линеен заряд (както и за точков) е
необходимо външните сили да извършат безкрайно голяма работа. Зато-
на формула (3.15) се прилага само за енергия на обемни и повърхнинни
заряди. В тези случаи тя описва енергията на системата, т.е. общата
работа на външните сили при пренасяне безкрайно малките елементи (dg)
на системата до местата им. (Както ще се окаже по-долу, отново като
следствие от (3.23), в този случай вече работата за създаване на отделен
безкрайно малък елемент е нула.)
От (3.15) и (1.4,а) следва, че конкретно за системата от обемни заряди
енергията се описва с израза:
(3.16)	W = 1 / f Лк(Т-(гЪ^'
2 J J 47Г£о|г - г'|
V V
Тъй като според (2.20), (2.22) и (2.23) сумирането по / и интегрира-
нията по dq(f') и dv' дават потенциалите съответно в гк или г, форму лите
(3.14)-(3.16) могат да се запишат във вида
1 N
(3.17)	W =
4b
*=1
(3.18)	W = 5 [
(3.19)	w= i / k(r)U(r)dv,
£ J
V
От (3.18) и (1.4,6) за практически важния случай на система от по-
върхнинни заряди се получава изразът:
(3.20)	W = | /A(r)l/(r)|^1-
S
Съществена е разликата, че докато (3.12) и (3.13) описват енергията
на взаимодействие на зададени заряди с неизвестни заряди, представени
чрез тяхното поле (наречено външно), (3.18), (3.19) и (3.20) са изрази
54 Електромагнитни взаимодействия ese вакуум
за енергията, в които (7(f) е потенциалът на полето, създадено от сами-
те зарядови елементи dq(r), респективно — от обемните и повърхнинните
заряди с плътности k(r) и h(r).
ЕНЕРГИЯ НА ЕЛЕКТРИЧНОТО ПОЛЕ
Енергията на система от заряди също може да се изрази само чрез харак-
теристиката Е на създаденото от тях поле. За опростяване на разглежда-
нията тук се разглежда само случаят на обемни заряди, чиято плътност
k(r) е непрекъсната функция на мястото. В този случай W от (3.19) може
да се представи във вида
W = ]- [ kUdv =1 [ kUdv,
2 J 2 J
V	Voo
тъй като извън V k(r) = 0. Последпият израз се преобразува с помощта
на формулите (2.13 и (2.18):
UdivEdv = ~ [
2 J
[—(7divgrad(7 — grad 2 U + grad2(7]dv
I div[(7grad(7]dv + I E2dv.
£ J	£ J
Първият от получените интеграли по теоремата на Гаус — Остроградски
(А.69) се преобразува в повърхнинен интеграл по Soo, където подинтег-
ралната му функция е нула. Така окончателно се получава
(3.21)
W= [ ^-E2dv
Voo
Тук интеграционната облает вече не може да се редуцира към V, тъй
като поле има в цялото пространство. Формулата (3.21) позволява W да
се тълкува като енергия на полето, а подинтегралната величина
(3-22)	.«.(г) = ^Ё2(г)
£
— като плътност на енергията на полето, т.е., грубо казано, като ко-
личество енергия в единица обем.
Доказва се, че резултатите (3.21) и (3.22) са валидни както при нали-
чие на повърхнинни заряди, така и когато к (г) не е непрекъсната функция.
От (3.21) се вижда, че W 0, докато изходният за всички последки раз-
съждения израз (3.14) не е определен по знак. Обяснете причината за това
различие.
Пример. Да се пресметне енергията на полето на хомогенно, обемно
заредена сфера с общ заряд q и радиус а.
Израз за енергията на полето в този конкретен случай може да се по-
лучи от формула (3.19). Обемният интеграл е разпрострян във вътреш-
ността на сфера, поради което пресмятането му е най-лесно в сферични
Механично действие на електростатичното поле 55
координати, в които dv = г2 sin 0drd6d<p. Шом общият заряд на сферата е
q
q, обемната плътност ще бъде к = ----. Потенциалът във вътрешността
| тга3
на сферата се описва с формула (2.27,а). По такъв начин за енергията
W се получава
w=12-
~ 2х	х
я \ 2	1 Г	г	га
4—- )	— dip dO dr(3a2 — r2)r2sin0.
хтга3 J oco J J Jo
3	oo
След пресмятането на интеграла се получава изразът
(3.23)
5 47Г£оа
Той показва, първо, че независимо от знака на заряда енергията на по-
лето е положителна величина. Съществена е зависимостта на енергията
от радиуса на сферата: фактът, че W е обратнопропорционална на този
радиус, показва че енергията на полето на краен по големина точков за-
ряд (а = 0) е безкрайно голяма. Друго следствие от (3.23), което бе вече
споменато, се получава, ако се извърши отново граничен преход а —► 0,
но не при q = const , а при к = const. За получаване на резултата е необ-
ходимо да се замести q = |тга3£ в (3.23), при което изразът за W приема
вида:
15е0 '
От него се вижда , че при а —* 0 енергията клони бързо към нула, т.е.
наистина при обемни заряди енергията на безкрайно малки зарядови еле-
менти е безкрайно малка.
Коефициентът 3/5 във формула (3.23) е следствие от конкретното
предположение, че зарядът е равномерно разпределен в обема на сфе-
рата. При друго сферически симетрично разпределение на заряда този
коефициент би имал друга стойност, но порядъкът му се запазва, така че
важната зависимост IV ~ q2/а остава същата. (Така например, ако заря-
дът е равномерно разпределен по повърхността на сферата, стойността
на този коефициент е 1/2.)
ОСНОВНИ ЗАКОНИ НА
СТАЦИОНАРНИТЕ ПОЛЕТА
В тема 1 стационарни бяха наречени онези разпределения на зарядите и
токовете, плътностите на които не зависят от времето. Полета, създадени
от стационарни източници, се наричат стационарни.
СТАЦИОНАРНО ЕЛЕКТРИЧНО ГЮЛЕ
Нека L и L1 са две затворени криви (фиг.4.1), върху които са разполо-
жени линейни заряди с плътности съответно д = const и д' = const. С
помощта на формулите (3.1), (1.4,в)
и (2.8) за електрична. сила Fe, с ко-
ято зарядите от L' действат на тези
от L, се получава
L L'
Ако зарядите по L се движат с посто-
янна по големина проекция v на ско-
ростта върху тангентата на L, а те-
зи по L' — с постоянна по големина
проекция v’ на скоростта върху тан-
гентата на то съгласно (1.6,в) и
(1.9,в) по L и L' протичат стационар-
ни (постоянни) токове с големини съответно
(4-2)
J = gv и J' = g'v'.
Опитът показва, че в този случай формула (4.1) не описва взаимо-
действието между зарядите. Към създадената ситуация са възможни два
алтернативни подхода:
—	да се счита, че законът на Кулон, чието следствие е (4.1), за стаци-
онарни движещи се заряди не е валиден и да се търси подходящ© негово
обобщение;
—	да се счита, че законът на Кулон остава в сила и в този случай,
но движението на зарядите е причина за появата на нов тип сили и да се
търсят законите, които описват тези сили.
В развитието на физиката се е наложил вторият подход. Това озна-
чава, че стационарното движение на зарядите се разглежда като причина
56
Основни закони па стационарните полета 57
за ново фундаментално явление — магнитното взаимодействие между
постоянните токове.
От предположенного, че при стационарно движение на зарядите остава
в сила законът на Кулон, следва, че и основните закони на стационарно-
то електрично поле няма да се различават от тези на електростатичното.
В частност ще се запази и локалната формулировка на основните закони
във вида (2.18).
ЗАКОН НА АМПЕР ЗА МАГНИТНАТА СИЛА
Силите, породени от движението на зарядите, се наричат магнитни си-
ли. Законът, който описва второто фундаментално явление в електро-
динамиката, и върху който се гради теорията на магнитните сили,т.е.
следващият поред фундаментален сксперименталсн закон на елект-
ромагнитните взаимодействия, е законът на Ампер за магнитната
сила. Той дава израз-за магнитната сила Fm с която токът J' (фиг. 4.1)
действа на тока J, и има вида
(4.3)	Fm = pJJ' I hr x
4л- J J	|r - r'|3
L L‘
където — 47Г.10-' H/m e така наречената магнитна константа. От оп-
ределенията за бо (с'. 27) и ро се вижда, че двете константи са свързани
със скоростта на светлината във вакуум чрез
(4.4)	= 4-
с
В (4.3) линейните елементи drn dr1 не участват симетрично, което пос-
тавя въпроса, не противоречи ли законът на Ампер за магнитната сила
на третия принцип на Нютон. Всъщност асиметрията на (4.3) е привидпа,
което се разбира, след като се развие двойното векторно произведение и
интегралите се преобразуват, както следва:
Fm = £ jy £ Idr'^Zj^ - JJ' / / y^3(dr-.df') 
4тг J J |г-г'|3 4тг J J |г-г'|3
L L'	L L'
=	i	/ dr .grad 1	- / / P—^(df.df').
4л-	J	J |r-r'|	4л- J J |r-r'|3
L'	L	L	L'
Интегралът no L в първото събираемо e нула (вж. с. 33) и за магнитната
сила остава изразът
(4.5)
F„ = -^-JJ' I I (Г ^l(dr.dr‘).
47Г J J |r- r'|3
L L'
В него вече г и г' участват така, че замяната на г с г' и на dr с dr', която
трябва да доведе до израз за силата F'm, действаща на тока J', води
до смяна на знака на Fm, т.е. Fm = -F'm и третият принцип на Нютон
наистина е изпълнен.
58
Електромагиитни взаимодействия вбв вакуум
Формата (4.5) за закона на Ампер за магнитната сила е удобна за
сравняване на основните закони на магнитните и на електричните сили.
Преди всичко сравняването на (4.1) и (4.5) показва удивителната прили-
ка между законите на Кулон и на Ампер. И в двата случая зависимостта
от разстоянието е еднаква. Едната сила е пропорционална на заряди-
те, другата — на токовете. Съществената разлика е в това, че докато в
(4.5) фигурира dr- dr' = |dr|\df'| cos# (# e ъгълът между dr и dr'), в (4.1)
участва само |dr]|c/f'|.
Изразите (4.5) и (4.1) дават възможност и за сравняване на големи-
ните на електричната и на магнитната сила. Наистина от (4.1) векторът
d?F, =
99'
47Г£о
г — г'
г — г'|3
|dr1[df'|
\d2Fm\
\d2Fe\
може да се тълкува като сила, с която зарядите от елемента dr' действат
върху зарядите от dr. По същия начин от (4.5) чрез отчитане на (4.2) за
съответната магнитна сила може да се напише
^2Лп = Y-gvg'v' р—^(dr.dr').
4тг |г — г/|л
Тъй като dr-dirl |df]|dr'|, предвид (4.4) за отношението между големи-
ните на двете сили се получава неравенството
.	> V v'
S EoHoW = - • —.
“	с с
Тъй като при най-често срещаните токове — токовете в метални про-
водници, скоростта на насоченото движение на зарядите е v « 10“4m/s, а
с = 3.108m/s, то |d2Fm |/1d2Fe | се оказва нищожно малка величина, далеч
по-малка от относителната грешка при който и да е днешен експеримент.
Горният факт показва, че постановката от фиг. (4.1) не само не може
да се използва за изучаване на магнитните сили, но чрез нея те не могат и
да се открият. Същевременно възниква въпросът, защо все пак магнитни
сили се наблюдават в природата и, нещо повече — защо именно те се из-
ползват най-интензивно в техниката. Обяснението е, че положителните и
отрицателните заряди в телата са компенсирани с такава голяма точност,
че електричните сили са практически нула и могат да се наблюдават са-
мо при нарушаване на тази компенсация (напр. при наелектризиране на
телата). Вторият фактор, който спомага за наблюдаване на магнитните
сили, е фактът, че в проводниците се движат насочено огромен брой за-
ряди от порядъка на 1022ст-3 и сумирането на такъв голям брой, макар
и нищожно малки сили, дава един краев по големина, наблюдаем ефект.
- Принципът на суперпозицията, както показва опитът, е валиден и за
магнитните сили: магнитната сила на взаимодействие между токовете по
два линейни контура се описва със закона на Ампер независимо от това.
има ли в околното пространство други токове или не.
ИНТЕГРАЛНИ ПРЕДСТАВЯНИЯ НА МАГНИТНОТО ПОЛЕ
Според полевия подход зададената с формула (4.3) магнитна сила Fm е
резултат от действието на магнитното поле, създадено от тока J' вър-
Основни закони на стационарните полета 59
ху тока J. В съгласие с казаното по-горе създаденото от стационарни
токове магнитно поле се нарича също стационарно.
В рамките на теорията на стационарните магнитни взаимодействия
понятието магнитно ноле може да се разглежда като фундаментално по
същия начин, по който за електростатиката фундаментално бе понятието
електрично поле. Като второ фундаментално за тази теория понятие мо-
же да се разглежда понятието ток. Наистина цялата теория би могла да
се развие и без да се използва фактът, че токът е движение на заряди.
(В исторически аспект именно по този начин се е създавала теорията на
магнитните взаимодействия през първите десетилетия на XIX в. , когато
токът не се е свързвал с движението на зарядите.)
Записът на формула (4.3) във вида
(4.6)
позволява величината
(4.7)
5(0 = х
L1
да се разглежда като една локална характеристика на магнитното поле, с
чиято помощ магнитната сила, която действа върху тока J по контура L,
се изразява чрез формулата
(4.8)
Fm = J
dr х B(r).
L
Известно e, че B(r) се нарича индукция на магнитното поле (магнитна
индукция), но когато няма опасност от двусмислие, често се нарича и
само магнитно поле.
Аналогията в подхода при получаване (4.7) и (4.8) от (4.6) със случая,
в който от (2.3) бяха получени формулите (2.4) и (2.5), е очевидна.
Когато се създава не от един, а от няколко стационарни линейни тока
с големини (i = 1,2,..., А), които текат по затворените контури Lt-,
съгласно принципа за суперпозицията магнитното поле в точка с радиус-
вектор г се описва с формулата
(4-9)
Изразът (4.7) е интегрално представяне за магнитното поле на линей-
ни токове. Негово обобщение за случая на произволни (т.е. обемни и
повърхнинни) стационарни токове може да се направи като първо чрез
(1.9,в), (А.16) и (1.8,в) се получи, че израз от вида
(4-10)
Jdf= j'dir— j\dr\ = dl\r)
представлява токовият елемент dl(r') в точка г'. Заместването на (4.10)
в (4.7) показва, че В е линейна функция на токовите елементи и позволява
величината
60
Електромагнитни взаимодействия ввв вакуум
(4-П)
dB(r| = £
dl(r') х (г — г') _ цо di\r') х r0
<|г — г'|3 4тг г2
Фиг. 4.2
да се тълкува като индукция dB на
полето в точка г, създадено от то-
ковия елемент dl(f') в точка г' (фиг.
4.2). Често изразът (4.11) се нарича
закон на Био — Савар. Очевидна е
аналогията между (4.11) и (2.7).
Когато полето се създава от про-
изволни стационарни токове, общата
му индукция е сума на вектори от ти-
па (4.11), разпростряна върху всич-
ки токови елементи, т.е. за него е
валидно интегралното представяне
(4.12)
В(г) =
г- г1
г — f'l3
Не трябва да се забравя обаче, че тази формула може да се прилага
само когато токовите елементи образу ват затворени конту ри, тъй като по
незатворени контури постоянни токове не могат да протичат.
За важния частеп случай на поле на обемни токове, изпълващи с плът-
ност 7(f) областта V, чрез (1.8,а) от (4.12) се получава
(413)	В(г) =	[ /(?') х Г.~г' dv'.
4тг J	\г — г'\ J
V
Фактът, че интегралите (4.12) са еднотипни с (2.8) позволява за свойс-
твата на В в различните случаи да се съди по аналогия със съответните
случаи от електростатиката. Това означава, чеиндукцията на полето на
- обемни токове е непрекъсната функция на мястото в цялото прос-
транство, включително и по повърхнините, върху които обемната плът-
ност на токовете търпи скок;
повърхнинни токове е непрекъсната функция навсякъде с изклю-
чение на повърхнините, по които текат токовете, като върху тях търпи
краен скок;
— линейни токове е непрекъсната функция на мястото навсякъде с
изключение па кривите, по които текат токовете, като върху тях има осо-
бености от типа 1/г.
Векторните линии, чрез които се онагледява разпределението на поле-
то В(г,/) в пространството, се наричат магнитни индукционни линии
или само индукционни линии. При изобразяването им се спазват прави-
лата, формулирани за силовите линии на електричното поле (вж. с. 31),
Основни закони на стационарните полета 61
ГЛОБАЛНА ФОРМА НА ОСНОВНИТЕ ЗАКОНИ НА
СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО ПОЛЕ
Както в електростатиката, така и сега от фундаменталния експеримента-
лен закон на Ампер за магнитната сила могат да се изведат две важни
следствия за глобалните характеристики на полето.
а) Първото глобално следствие от (4.7) засяга циркулацията Гт на
магнитното поле по производна затворена крива. За получаването й е
необходимо предварително да се докаже, че зададената с (4.7) функция
може да се представи във вида
(4.14) В(г) = -^-gradQ(r),
47Г
където Q(r) е пространственият ъгъл,
под който от точка г се вижда една
повърхнина S', имаща L' за свой ди-
ректно ориентиран контур (фиг. 4.3).
За доказване на (4.14) се изпол-
зва една от теоремите, аналогични
на теоремата на Стокс — формула
(А.73). С нейна помощ и чрез (А.10)
интегралът в (4.7) може да се преоб-
разува по следния начин:
Фиг. 4.3
Тъй като div'———- = 0, а диференцирането по г' може да се замени с
|г — г
диференциране по г и смяна на знака, по-нататъшното преобразуване на
интеграла води до формулата
/ dr" х =  /= ~grad/
L'	S'	S'
Последният интеграл представлява точно фигуриращият в (4.14) прос-
транствен ъгъл П(г), т.е.
/ х 7^—= -grad^(^,
J |r-r'|d
L1
с което формула (4.14) е доказана
С помощта на (4.14) за циркулацията на В по произволна крива L се
получава
(4.15)	B.dr =	grad O. dr=
L	L	L
62 Електромагиитни взаимодействия във вакуум
Тази формула показва, че циркулацията на В по една затворена крива е
равна на пълната промяна на пространствения ъгъл, под който се вижда
токовият контур L' при обхождане на кривата L.
1. Нека кривата L е такава, че съществува повърхнина S с контур L,
която не се пробожда от L' (фиг. 4.4). Ако обходът на L започне от т.
Р, пространственият ъгъл Q ще намалява до т. Q, след това от т. Q до
т. R ще расте и накрал от т. R до т. Р отново ще намалява, за да стигне
в т. Р началната си стойност. Следователно в този случай JdQ = 0.
L
Фиг. 4.4
Фиг. 4.5
2. Нека кривата L е такава, че всяка повърхнина S с контур L се про-
божда поне веднъж от L' (фиг. 4.5). Ако обходът на L започне от т. Р,
разположена безкрайно близо до лицевата страна на S', началната стой-
ност на пространствения ъгъл е 2тг. С придвижване по L той постепенно
намалява и в определена т. Q става нула. По-нататък той е отрицате-
лен, защото от точките между т. Q и т. R се вижда опаката страна на
S'. В крайндта т. R, която е безкрайно близо до S' от опаката страна,
пространственият ъгъл е -2тг, така че общата му промяна по L е
dfl = —2тг — (+2тг) = —4тг.
L
Резултатите от разгледаните два случая се обединяват в равенството
(416)
В • dr = <
0
PoJ'
, ако L' не пробожда контура L,
, ако L' пробожда контура L.
Когато полето се създава от токовете J,, течащи по затворени линей-
ни конту ри Li(i = 1,2,... , А), индукцията ще се дава с формула (4.9) и
резултатът (4.16) ще бъде валиден за всеки член от сумата. Тогава цир-
кулацията по производна крива L на общата индукция В съгласно (4.16)
ще бъде
(4.17)
j) B.dr = /io
L
s
i
Основни закони на стационарните полета
63
като сумирането е само по онези токове, чиито контури пробождат по-
върхнината S с контур L. (Токовете, които пробождат S от опаката към
лицевата страна, са положителни, а останалите — отрицателни.) Ако
s
Ji означава общият, обхванат от кривата L ток, (4.17) добива
i
окончателно вида
(4.18)
И така: циркулацията на магнитната индукция на едно стационарно
поле по производна затворена крива L е равна на умножената с /ло голе-
мина на тока, обхванат от L.
Това твърдение и неговият математичек израз (4.18) се наричат за-
кон на Ампер за тока. Този закон е първото следствие от (4.7), т.е. от
експериментално установения закон на Ампер за магнитната сила. Той се
разглежда като първи основен закон на стационарного магнитно поле.
По ролята, която играе в теорията на магнитните полета, законът на Ам-
пер за тока е аналог на теоремата на Гаус в електростатиката. И двата
закона са следствия от фундаменталните експериментални закони за съ-
ответното поле — от закона на Ампер за магнитната сила респ. закона
на Кулон, и задават интегрална връзка между източниците на полетата
(токове и заряди) и техните характеристики (В(г) и Е(г)).
б) Нека S е производна затворе-
на повърхнина (фиг. 4.6). С по-
мощта на (4.7) може да се пресметне
потокът на полето (магнитният ин-
дукционен поток или само магни-
тен поток) през нея:
Ф,п = j> В.ds
s
= f f (dr"х d‘-
S L'
С помощта на (А.36), като се отчете,
L' S
Фиг. 4.6
че dr' не записи от г, се получава
dr'
rot ——— .ds.
|r-rz|
Интегралът по S се преобразува по теоремата на Остроградски — Гаус
(А.69) в обемен, чиято подинтегрална функция предвид (А.46) е тъждест-
вено нула. Същият резултат би се получил и за поле, създадено от токове
Ji, които текат по затворени контури Li(i = 1,2,... , А), като обобщението
се прави с помощта на формула (4.9).
И така: магнитният индукционен поток на всяко стационарно магнитно
поле през производна затворена повърхнина S е нула
(4.19)	Фт=/в.(/з = 0.
s
64
Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
Това равенство е второго следствие от закона на Ампер и принципа
на суперпозицията и се разглежда като втори основой закон на стацио-
нарното магнитно поле.
И законът на Ампер за тока, и (4.19) бяха доказали за поле на линейни
токове. Лесно се съобразява обаче, че тяхната валидност е по-широка.
Наистина, когато полето се създава от повърхнинни или обемни токове,
те винаги могат да бъдат мислено разделени на тънки токови нишки, та-
ка че токовете по всяка от тях да може да се разглеждат като линейни.
Тогава за техните полета ще бъдат в сила (4.18) и (4.19). Принципът на
суперпозицията гарантира, че тези формули ще запазят валидността си и
в този най-общ случай, като в него под Jl трябва да се разбира сумата
от всички линейни, повърхнинни и обемни токове, обхванати от кривата
L.
Следователно от фундаменталния експериментален закон за магнит-
ните сили — закона на Ампер за магнитната сила следват два основни
закона за стационарното магнитно поле. В своята глобална форма,
т.е във формата, която евързва глобалните характеристики на полето Гто
и Ф,п с глобалната характеристика на източниците — токовете <7, тези
закони гласят:
•	1m. Циркулацията на стационарното магнитно поле по всяка
затворена крива L е равна на умножената с ро големина на тока,
обхванат от ЦГт = /.iqJl).
•	2m. Потокът на стационарното магнитно поле през всяка затво-
рена повърхнина е нула (Фт = 0).
ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ЗА СТАЦИОНАРНОТО
МАГНИТНО ПОЛЕ
Освен чрез пресмятане па интеграли от типа (4.12) памирането на В(г)
може да се сведе до решаване на частни диференциални уравнения. За
простота първо се разглежда случаят, когато полето се създава от обемни
токове, чиято плътност Z(r*) е известна и непрскъсната функция в цялото
пространство.
а) Нека S е произволна повърхнина и L — директив ориентираният
й контур (фиг.4.6). Като се отчете, че съгласно (1.9,а) в случая токът,
обхванат от кривата L, е
Jl = У / • ds,
s
а лявата страна на (4.18) може да се преобразува по теоремата на Стокс
(А.74) в повърхнинен интеграл по S, то от (4.18) се получава
У гotВ.ds = У fi0I.ds.
s	s
Това равенство трябва да бъде изпълнено за всяка повърхнина S, ко-
ето е възможно само при равенство на подинтегралните изрази:
(4.20)	rotB = fi0L
Основни закони на стпационарнитпе полета 65
б)	Нека V е производна облает, a S — нейната повърхнина. Ако се
приложи за S (4.19), като интегралът се преобразува по теоремата на
Гаус — Остроградски (А.69) в обемен, се получава
J divBdv = 0.
V
Това равенство може да бъде изпълнено за производна облает V, само
ако подинтегралната функция е нула, т.е. ако
(4.21)	divB = 0
И така полето на стационарни обемни токове с плътност /(f) удовлет-
ворява системата от диференциални уравнения
(4.22,a)	rot/? = //о/
(4.22,6)	divB = 0.
Теоремата на Хелмхолц (А.76) гарантира, че уравненията (4.22) наис-
тина определят индукцията В на полето.
Очевидно (4.22,а) представлява локална форма на закона на Ампер
за тока.
Системата (4.22) показва, че стационарното магнитно поле, притежава
само векторни източници: мощността на вихрите му (rot/З) е пропорцио-
нална на плътността на тока, т.е. магнитните индукционни линии обхва-
щат (се закривяват около) токовите линии. Второто уравнение показва,
че това поле няма скаларни източници — магнитните индукционни линии
нямат начало и край.
ГРАНИЧНИ УСЛОВИЯ ЗА СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО
ПОЛЕ
От глобалната форма (4.18) и (4.19) на основните закони за стационарно-
то магнитно поле следват определени връзки и за случайте, когато 7(f) не
е навсякъде непрекъсната функция или има повърхнинни токове. Нека S*
е съвкупността от повърхнините, върху които/(г) търпи скок или текат
повърхнинни токове с плътност г(г).
а) Нека ДУ/ е елемент от крива,
лежаща в5’, и нека |Дг] и t са съот-
ветно дължината и единичният тан-
генциален на S* вектор (фиг. 4.7).
Нека освен това Д/ц, Д^г. Д7>з и
Д1/4 образуват правоъгълен контур,
две от страните на който са успоред-
ни, а другите две — перпендикуляр-
ни на Д/,*. Приложен за този кон-
тур, законът на Ампер за тока дава
равенството
Фиг. 4.7
66 Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
j) B.df= —p,o^J,
&L
където AJ е обхванатият от контура ток, който се състои от две части
— обемни и повърхнинни токове, a AL = A£i 4- Д£г + Д^з + ДТ4-
Знакът минус в дясната страна на закона се обяснява с индиректна-
та ориентация на контура спрямо нормалата N на заградената от него
повърхнина (противно на изискванията на теоремата на Стокс). Според
(1.9,а и б) големината на тока през тази повърхнина е
AJ = j I.N\ds\ 4- J (?’ х n).df.
A.S	SL*
След като се направи граничен преход, при който дължините на ДЬз и
Д£4 клонят към нула, приносът на първия от интегралите става също
нула. Освен това прилагането на теоремата за средните стойности към
линейния интеграл дава равенството
Д/ = у (г х n).t]dr| = (г х п).£|Дг|.
дь*
По подобен начин след същия граничен преход циркулацията на магнит-
ното поле по контура се оказва
У B.df4- У B.df= У B'.t\dr\- j B".t\df\ = В'.t\&r] - B".i\&f].
AZzi
Следователно от закона на Ампер за тока следва
В"Л — В'Л = /хо(г х п)Л.
Ако с индекс t се означат проекциите на векторите върху I, върху S* ще
бъде изпълнено граничното условие
(4.23)	В" - В{ = д0(г х n)t г 6 5*,
където п е единичният нормален към S* вектор (фиг. 4.7)
б) Гранично условие за нормалните компоненти В'п и В" на индукцията
В от двете страни на S* може да се получи от второто глобално следс-
твие от закона на Ампер за магнитната сила — равенството (4.19), като
то се приложи за една малка цилиндрична облает, така както това бе нап-
равено в електростатиката при получаване на (2.16). Тъй като дясната
страна на (4.19) е нула, то и съответното гранично условие ще бъде
(4.24)	B''-B'n=0 feS*.
14 така: нормалните компоненти на В са непрекъснати в цялото прост-
ранство? а тангенциалните търпят скок, който е пропорционален на плът-
ността г на повърхнинните токове, които текат по S*.
Може да се съобрази, че двете гранични условия (4.23) и (4.24) могат
да се обединят в едно векторно равенство
(4.25)	В" - В' = д0(Гх n) reS*.
Основни закони на стационарните полета 67
ЛОКАЛНА ФОРМА НА ОСНОВНИТЕ ЗАКОНИ НА
СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО ПОЛЕ
Диференциалното уравнение (4.20) и граничного условие (4.23) са след-
ствие от първия основен закон за стационарното магнитно поле (4.18), а
(4.21) и (4.24) — от (4.19), т.е. от вторил основен закон. И диференци-
алните уравнения, и граничните условия, представляват локални връзки.
Следователно освен глобална форма на основните закони на стационарно-
то магнитно поле може да се придаде и локална форма. Когато полето се
създава от обемни токове с плътност 1(г) и повърхнинни токове с плът-
ност г(г), локалната форма се сядгржа в следните диференциални уравнения
и гранични условия:
(4.26,а)
(4.26,6)
I осн. закон: rotB = f Е V*
и В" - B't = /10(г х n)t, г Е S*
II осн. закон: divB = 0, f Е V*
и В” — В'п = 0 rES*
където И* е цялото пространство с изключение на S*.
МАГНИТЕН ВЕКТОРЕН ПОТЕНЦИАЛ
С помощта на (А.36) и (А.30,а) общата формула за индукцията на стаци-
онарното магнитно поле (4.9) може да бъде представена във вида
(4.27)	В (г) = rotA(f),
където
(4.28)
dri
I’-- п|
е едно ново векторно поле, наречено магнитен векторен потенциал. То
представлява нова локална характеристика на полето. Макар въвежда-
нето й да не може да се оправдав със съображения за по-голяма простота
(каквито имат място в електростатиката при въвеждане на (/(г)), тъй като
компоненгите на А са толкова на брой, колкото и на В, по-нататъшните
разглеждания ще очертаят важната роля на тази величина. (Всъщност
съществуват редица задачи, за които наистина е по-просто първо да се
пресметне А(г) и после чрез (4.27) — и В(г).)
Лесно се вижда, че (4.28) не е единствената функция, която удовлет-
ворява (4.27) — въз основа на (А.45) може да се твърди, че всяка друга
функция А' = А + gratis където </?(г) е произволно скаларно поле, също
удовлетворява (4.27). Може да се покаже обаче, че (4.28) е единствената
функция, която (при ограничени в пространството токове) се анулира в
безкрайност и освен (4.27) удовлетворява и допълнителното условие
(4.29)	divA = 0.
68
Електромагнитни взаимодействия вдв вакуум
С помощта на (4.10) от формула (4.28) по познатия вече метод може
да се получи интегрално представяне за магнитния векторен потенциал
на полето на произволни стационарни токове
df(f')
|f-f'|’
което за важния случай на обемни токове приема вида
А(г) = *£
(4.30)
(4-31)
7*/ -а Р0 I
A^=^J
V
dv1.
Аналогията между интегралните представяния (4.30) за A(f) и (2.22)
за (7(f) дава основание за заключението, че свойствата и особеностите
на Л в случайте на обемни, повърхнинни и линейни токове са подобии на
изброените в тема 2 свойства на потенциала на електростатичното поле.
Покажете, че (4.31) наистина удовлетворява (4.29).
Освен чрез решаване на интеграли от типа (4.30) намирането на A(f)
може да се сведе до решаване на диференциални уравнения. За целта е
достатъчно представянето (4.27) да се замести в (4.20) и да се използват
формулите (А.48) и (4.29). Така се получава, че магнитният векторен по-
тенциал подобно на потенциала на електростатичното поле удовлетворява
уравнението на Поасон
АЛ = —цо1.
(4-32)
Това уравнение представлява локална връзка между източниците на
полето (7(f)) и неговия потенциал и често се използва за намиране на
потенциала при зададени токове.
5
МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА
СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО ПОЛЕ
МАГНИТКИ СИЛИ, ДЕЙСТВАЩИ НА ПРОИЗВОЛНИ ТОКОВЕ
Формула (4.8) изразява магнитната сила, с която магнитното поле, дейс-
тва върху линеен ток с големина J. С помощта на (4.10) и (1.8) тя лесно
се обобщава до формула за магнитната сила, с която стационарно маг-
нитно поле В действа върху произволни (т.е. обемни, повърхнинни или
линейни) токове от дадена облает:
(5.1)	Fm = jdIxB.
За частния случай на обемни токове, изпълващи обем V с плътност I,
от (5.1) и (1.8) следва
(5.2)	Fm = fl х Bdv.
v
Формула (5.2) може да се използва за получаване на израз за магнит-
ната сила, с която полето действа върху движещ се със скорост v точков
заряд q. За целта е необходимо първо чрез (1.6,а) подинтегралната фун-
кция да се изрази чрез v и плътността к на зарядите:
Fm = j kv х Bdv.
Vo
В случая интегрирането е ограничено само върху обема Vq на една сфера
около точковия заряд q. След прилагане на теоремата за средните стой-
ности от интегралното смятане, за магнитната сила се получава изразът
Fm = v х В J kdv.
Vo
Когато радиусът на сферата е достатъчно малък, може да се счита,че
значението на В се взема в точката, в която в дадения момент се намира
зарядът. Тъй като съгласно (1.3,а) оставащият интеграл представлява
точно qy окончателно за магнитната сила, с която полето действа върху
движещ се точков заряд, се получава
(5.3)	Fm = qv х В.
69
70 Електромагиитни взаимодействия ввв вакуум
Получениях израз показва, че магнитната сила е перпендикулярна на
скоростта v па заряда q и следователно работата, която се извършва при
движението, е нула. Магнитната сила може да променя само посоката на
скоростта на зарядите, но не и нейната големина.
СИЛА НА ЛОРЕНЦ
Сумата от електричната сила (2.5) и магнитната сила (5.3), действащи
на точков заряд q при движението му в електрично и магнитно поле, се
нарича сила на Лоренц и се описва с израза
(5.4)	Fn=q(E + vx В)
С помощта на формулите (3.2) за електричната и (5.2) за магнитната
сила, действащи на обемни заряди и токове, може да се получи и изразът
(5.5)
Гл = J (kE + I х B)dv
v
за силата на Лоренц, която действа в този случай. От (5.5) се вижда, че
величината
(5.6)
/л = kE + I х В
има смисъл на плътност на сила на Лоренц, т.е. това е силата,която
действа върху зарядите и токовете в единица обем.
ТЕНЗОР НА НАПРЕЖЕНИЯТА НА МАГНИТНОТО ПОЛЕ
Както в електростатиката, така и сега може да се покаже, че магнитната
сила, която действа върху токовете I в областта V, може да се изрази са-
мо чрез характеристиката на полето, т.е. — чрез В. Наистина с помощта
на (4.20) и (4.21) изразът (5.2) може да се запише като
Fm = I —(BdivB — В х rotB)dv.
J Ро
v
Подинтегралният израз се преобразува, както в случая на (3.3) и (3.4),
и се вижда, че за Fm е в сила и представянето
У DivTmdv,
v
където тензорът
(5.7)
Тт(г) = ^-(В(г) * B(f) - 1в2(г)6)
Но
се нарича тензор на напреженията на магнитното поле.
Механично действие на стационарното магнитно поле 71
С помощта на (А.71) обемният интеграл се преобразува в повърхнинен
и окончателно
(5-8)
където п е нормалният единичен вектор към повърхнината Sv на V.
Формула (5.8) е точно търсената форма, в която силата е изразена
само чрез индукцията на полето. Тя е забел ежител на още и с това, че в
нея магнитната сила, която действа на токовете в областта V, може да
се тълкува като резултантна на всички магнитни сили, с които полето
действа върху елементите на Sv • В тази трактовка величината
(5.9)
/п = п.Тт
представляла плътността на повърхнинната магнитна сила, т.е. сила-
та, с която полето действа върху единица площ с нормала п.
РАБОТА НА МАГНИТНИТЕ СИЛИ ПРИ ДЕФОРМАЦИЯ НА
ТОКОВ КОНТУР
Магнитната сила Fm, която действа на неподвижния токов контур L (фиг.
5.1), не извършва работа, защото приложната й точка не се премества.
Ако обаче контурът L се движи или се деформира, Fm може да извърши
работа, която се нарича работа на магнитните сили при деформация на
токовия контур. Този случай е особено важен и за практиката, защото
именно той обхваща случая на електромоторите, в които магнитните си-
ли извършват работа при движение в магнитно поле на проводници, по
които тече ток.
Фиг. 5.1
И така: задачата е да се пресметне работата на магнитните сили при
деформация на токовия контур L до положение L', при условие, че кон-
турът се намира в стационарно магнитно поле В и токът J в него се
поддържа постоянен (фиг. 5.1).
72 Електромагнитни взаимодействия ese вакуум
За простота в началото се разглежда случаят, когато деформацията
е малка. Нека S и ДВ са две повърхнини, първата с контур L, а вто-
рата — L и L' (фиг. 5.1). Нека освен това g(r) е линейната плътност
на зарядите върху L, a v — скоростта им, дължаща се на протичането
на тока. Съгласно (5.3) магнитната сила, която действа на зарядовия
елемент dq = (j(f)|(/f] от линейния елемент dr (фиг. 5.2), е
(5.10)	dFm — dqv х В,
а работата й при преместването Дг, което търпи елементът в хода на
деформацията, е d2Am = dFm • Дг = dq(y х В) • Дг. Според (1.7) и (4.10)
изразът за d2Am може да се представи във вида
d2Am = (dfx B)Af= J(drx B)Af = J(Afx dr).B.
Тъй като ds = Дг x dr e точно лицевият елемент от ДВ, който се оп-
ределя от Дг и dr, то
d2Am = JB.ds = Jd2$m,
където d2$m е магнитният индукционен поток през този елемент.
Работата dAm при малката деформация на целия контур се получава
чрез сумиране на потопите d2<bm през всички повърхнинни елементи от
ДВ. Така се получава dAm = Jd$m, като </Ф,п е промяната на заградения
от L магнитен поток при деформацията.
Тъй като производна деформация може да се представи като поредица
от последователни безкрайно малки деформации, очевидно обобщение на
получения резултат за крайна деформация е изразът
(5.11)	Ат = 7(Фт2 — Фт1)-
като Фт1 и Фщ2 са заградените от L съответно начален и краен магнитен
индукционен поток.
Покажете, че за стационарно поле при неподвижен затворен контур L стой-
ността на заградения от L магнитен поток е еднозначно определена, т.е. не
зависи от това, коя повърхнина с контур L се използва за пресмятане на
потока.
ИНДУЦИРАНИ ЕДС
Фактът, че пресметнатата от (5.11) работа на магнитните сили, изобщо
казано, не е нула, привидно противоречи на изказаното по-рано твърде-
ние, че магнитните сили не извършват работа. Противоречието е при-
видно, защото Ат от (5.11) не е цялата работа на магнитните сили. На-
истина, ако и е скоростта на деформацията на елемента dr (фиг. 5.2),
съгласно (5.3) върху същия зарядов елемент действа и допълнителната
магнитна сила
(5.12)	dF* = dquxB.
Поради обстоятелството, че тази сила се проявявав особени случаи (дви-
жение или деформация на контура, по който тече ток), тя има и специално
название — индуцирана електродвижеща сила (ЕДС).
Механично действие на стационарното магнитно поле 73
Индуцираната ЕЛС е перпендикулярна на и, т.е. не извършва работа
при деформацията, но, изобщо казано, извършва определена работа А*
при протичането на тока. Ако Аг' (фиг. 5.2) е преместването на зарядо-
вия елемент dq по посока на v за времето, за което става деформацията
Дг, тази работа е
d2A* = dF* • Дг' = dq(u х В) • Дг'.
Тъй като индуцираните ЕЛС са приложени върху движещи се заряди,
то при d2A* > 0 те се стремят да ускорят зарядите (в този случай про-
екцията на dF* върху v е положителна). Това означава, че такива ЕЛС
се стремят да увеличат големината на тока. Тъй като токът трябва да
остава постоянен, в контура L трябва да е включен и някакъв резервоар
на енергия (механична, вътрешна и т.н.), който е способен да действа
на движещите се заряди така, че да поддържа скоростта им постоянна.
Това означава, че ако А* > 0, работата на индуцираните ЕЛС ще води
до увеличаване енергията на източника, а когато А* < 0 — забавянето
на движението на зарядите по контура поради ЕЛС ще се компенсира от
притока на енергия от допълнителния източник.
Не е трудно да се покаже, че А* = — Ат. За целта е достатъчно да се
използва фактът, че общата скорост w и общото преместване Дг" (фиг.
5.2) на dq са колинеарни и затова
dq(w х В)  Дг" = 0.
Ако в този израз се заместят представянията w — й + v и Дг" = Дг + Д7Г/,
след използване дистрибутивността на произведението и факта, че в две
от четирите получени смесени произведения участват колинеарни векто-
ри, се получава
dq(u х В)  Аг" 4- dq(v х В) • Дг = 0,
или след сравняване с изразите за d2A* и d2Am
d2A* + d2Am = 0.
Получената формула е само едно потвърждение на факта, че общата ра-
бота на магнитните сили винаги е нула. Особеността на случая е в това,
че в практиката работа на магнитните сили Ат се нарича само част от
работата на общата магнитна сила — онази, която се дължи на дефор-
мацията (движението) на контура.
Величината
,	- dF*
(5.13)	Е* = ± = йхВ
dq
може да се нарече плътност на индуцираните ЕДС, защото има смисъл
на индуцирана сила, която действа на единица заряд. Тя е дефинирана
само за точките от контура L и е различна от нула само в процеса на
Деформацията (движението).
Тъй като размерностите на Е* и Е са еднакви, циркулацията на Е*
по определена крива L има размерността на въведената с формула (3.7)
74 Електромагнитни взаимодействия ввв вакуум
величина — напрежение. Поради практическото значение на тази цир-
кулация, за нея се използва специално обозначение £ и наименование —
индуцирано електродвижещо напрежение (ЕДН). И така, ЕДН по кри-
вата L се нарича величината
(5.14)	£ = [ E*dr = J(uxB)-dr.
L	L
Ако А/ е времето, за което се извършва преместване Аг на линейпия
елемент dr (фиг. 5.2), то й = и тогава
£ =	f(Аг х	‘ &
L
Тъй като и сега Ат7 х dr — ds, за случая, когато кривата L е затворена,
интегралът отново дава промяната АФГП на обхванатия от L магнитен
поток. В граничния случай А/. —► 0 се получава
(5.15)
/т*	»—*	d^&rn d	f z»—•
Е .dr =---------— = —— / B(r).ds.
dt dt J v ,
L	s(t)
В последния израз са изписани аргументите на функциите, за да бъде
ясно, че от времето, по което се диференцира, зависи не подинтегралната
функция, а интеграционната облает (с времето се изменя контурът L, а
заедно с него — и повърхнината S, през която се пресмята потокът Фт).
6
ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ
ПРОМЕНЛИВИ ПОЛЕТА
Установено бе, че стационарни заряди и токове създават полета, за които
локалните връзки между характеристиките на източниците (к и /) и тези
на полетата (Ё и В) имат вида
(6.1,a)	rotf	=	0,
(6.1,6)	rot. В = hqI,
(6.1,в)	divl? = —,
£о
(6.1,г)	divB = 0.
Уравненията (6.1,а) и (6.1,в) определят Ё, а (6.1,6) и (6.1.г) — В,
т.е. между двете полета няма връзка: Е се поражда от заряди, В — от
токове.
Следващият етап на обобщаване на теорията на електромагнитните
взаимодействия включва взаимодействията на производно движещи се за-
ряди. В този най-общ случай характеристиките и на източниците (к и /),
и на полетата (Ё и В) освен от мястото зависят и от времето (като пър-
вите са свързани с уравнението на непрекъснатостта (1.11) ). Това е
причината, поради която тези полета се наричат променливи.
Задачата е да се обобщят законите за стационарните полета за случая
на променливи полета, като при това се спази принципът на съответст-
вието: в частният случай , когато к и I не зависят от времето, новите
закони трябва да се редуцират към старите (например в локалната им
форма (6.1)).
ЗАКОН НА ФАРАДЕЙ
Първото фундаментално явление, характерно за променливите полета, е
откритата от Фарадей електромагнитна индукция. Нейната съшност се
състои в пораждането на електрично поле от промените във времето на
магнитното поле. В количествеио отношение това явление се описв<1 от за-
кона на Фарадей за слектромагнитната индукция, който представиива
75
76 Електромагнитни взаимодействия ввв вакуум
трети фундаментален експериментален закон на електромагнитните
взаимодействия.
Според глобалната форма на този закон промените с времето на
магнитното поле пораждат електрично поле, като, ако S е про-
изволна неподвижна повърхнина с контур L, циркулацията на
това електрично поле по L е равна с обратен знак на промяната
за единица време на магнитния поток през S:
или в по-разгърнат запис:
(6.2,6)	j> E(r,i)  dr = —— У B(r,t) • ds.
L	s
Електричното поле съществува независимо от това, дали по L има
заряди (токове) или не, т.е. променливото магнитно поле поражда елект-
рично поле в цялото пространство.
Фактът, чс циркулацията на електричното поле по затворена крива в
общия случай не е нула, показва, че за разлика от досега разгледаните
случаи (статичен и стационарен) възникналото вследствие електромаг-
нитната индукция промепливо електрично поле не е консервативно.
Математичният израз (6.2,6) на закона на Фарадей съвпада по форма
с израза (5.15) за циркулацията на индуцираните ЕДС, които се появяват
при движение на токов контур в постоянно магнитно поле. Това показва,
че ако по контура L, който фигурира в (6.2,6), има заряди, силите, които
ще им действат от страна на електричното поле, породено от промени-
те на магнитното поле, ще бъдат същите, каквито биха им действали,
когато магнитното поле е постоянно, но самият контур се деформира по
подходящ начин.
И така: силите, които действат на зарядите от контура L, не зави-
сят от това, дали промяната на обхванатия от контура магнитен поток се
дължи на промяна на полето или на движение на контура.
Всъщност първоначално законът на Фарадей е формулиран точно в
тази обхващаща двата случая форма, която има един и същ математичек
израз — (5.15) или (6.2,6). Формално двата случая се различават по то-
ва, че при единил — (5.15), индукцията е постоянна и диференцирането
по времето засяга промените на площта на движещия се (или деформираш
се) контур, а в другия — (6.2,6), контурът е неподвижен, а зависимостта
от времето се съдържа в
Сега вече е ясно, че тези два случая са принципнно различии. Когато
токов контур се движи в постоянно магнитно поле, индуцирани ЕДС се
появяват не в цялото пространство, а само по контура, и то при условие,
че по него има заряди, които могат да се движат. Появата на тези сили бе
обленена в тема 5 чрез законите на стационарното магнитно поле — те са
частна проява на познатите магнитни сили, действащи на всеки движет
се в магнитно поле заряд.
В другия случай появата на електрична сила, действаща на неподви-
жен заряд в промепливо магнитно поле, не може да се обясни с познатите
Електромагнитно поле 77
от преди закони — само в този случай законът на Фарадей дава нова
физична информация.
Приведените съображения представляват основание да се говори за
електромагнитна индукция в широк смисъл, когато се подразбират и
двата гореописани случая и за електромагнитна индукция в тесен сми-
съл, когато се има предвид само случая на възникване на електрично
поле. Ясно е, че електромагнитната индукция е фундаментално явление,
само когато се разбира в теснил смисъл на думата.
Електромагнитната индукция (в теснил смисъл на думата) е първото
явление, което показва директна връзка между електричното и магнитно-
то поле; показва, че те не са независими едно от друго и, че фактически
съществува един единен обект — електромагнитно поле, който се ха-
рактеризира с две векторни функции E(r, t) и В(г,/). Затова, когато се
говори поотделно за електрично поле Е и за магнитно поле В, трябва да
се отчита, че в случая в тези понятия се влага съответният математичен
смисъл на понятието поле, т.е. имат се предвид съответните векторни
функции на мястото и времето.
Наред с понятието електричен заряд, понятието електромагнитно поле
е фундаментално понятие за електродинамиката в смисъла, който бе изяс-
нен в тема 2. За разлика от заряда обаче, който и днес е фундаментално
понятие за съвременната физика въобще, електромагнитното поле е фун-
даментално само в рамките на класическата електродинамика, тъй като
съвременната квантова електродинамика разкрива неговото съдържание,
като му придава определен физичен смисъл.
Тъй като променливото магнитно поле създава електрично поле в ця-
лото пространство, въведената с (3.7) величина напрежение може да се
дефинира и сега за производна (не обезателно затворена) крива L:
(6.3)	UL = f Ё dr.
L
За разлика от статичния и стационарния случай обаче тук напрежението
съществено зависи от формата на кривата и не се определя от положение-
то на началната и крайната й точка. Тъй като полето не е консервативно,
напрежението по една затворена крива L вече може да бъде различно от
нула — от (6.2) се вижда, че това се реализира в случайте, когато обх-
ванатият от L магнитен поток се променя с времето.
От глобалната форма (6.2) на закона на Фарадей може лесно да се
получат и локални връзки. За целта към лявата страна на (6.2,6) се
прилага теоремата на Стокс (А.74), а в дясната се разменят местата на
диференцирането и интегрирането:
f Я	f дВ
/ rot£z • ds = — / -г— • ds.
J	J ot
s	s
Тъй като ‘5 e производна повърхнина, оттук следва локалната форма
на. закона на Фарадей:
(6.4)	rolE =—т—.
78
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
Ако след това глобалната форма (6.2) се приложи за затворения кон-
тур от фиг. 4.7, по същия начин, както в тема 4, може да се покаже, че
върху точките от повърхнината S*, където к или I търпят скок, или вър-
ху която има повърхнинни заряди или токове, е изпълнено граничното
условие
(6.5)	Е” - E’t = 0.
И така диференциалното уравнение (6.4) и граничното условие (6.5)
представляват локални форми на закона на Фарадей.
Законът на Фарадей показва, че за променливи полета (6.1,а) не е из-
пълпено и следва. да се замести с (6.4). При това обобщение принципът за
съответствие е очевидно изпълнен, защото за стационарни полета = О
и (6.4) се редуцира на (6.1,а).
ТОК НА ОТМЕСТВАНЕ
Лесно се вижда, че замяната на (6.1,а) с (6.4) не е достатъчна за обх-
ващане на променливите полета. Наистина, ако се вземе дивергенция от
двете страни па (6.1,6) и се има предвид (А.46), се получава divZ = 0.
Оттук и от (1.11) следва = 0, т.е. (6.1,6) може да бъде валидно са-
мо в стационарния случай. За промепливо поле то следва да се обобщи
по подходящ начин. Най-простото предположение е, че обобщението на
(6.1,6)
има вида
rotB =	+ C(r,/),
където
генция
следва
С е подлежащо на определяне векторно поле. Като се вземе дивер-
от двете страни на последното равенство и се отчете, че от (1.11)
divZ = се получава
л dk
divC-^o-^- = 0.
Следващото предположение е, че равенството (6.1,в) остава валидно и
при променливи полета, така че
div (С - Еоцо—) = 0.
Оттук следва, че С —	= rotD, където D е произволно векторно
поле. Тъй като не съществуват физични съображения, чрез които да се
определи D, следващото предположение е, че е изпълнено най-простото
— rotD = 0, и тогава
(6.6)
(6.7)
- дЁ
С = ^о-^.
По такъв начин търсеното обобщение на (6.1,6) има вида
- дЁ
rotZj — Col-io-уГ + PoZ,
С/ V
Електромагнитно поле
79
който очевидно удовлетворява принципа на съответствие: при стационар-
ни полета ^ = 0и (6.7) преминава в (6.1,6). Равенството (6.7) често се
нарича обобщен закон на Ампер, или закон на Ампер за пълния ток.
а 1?
Нововъведеният член £077 има размерност на обемна плътност на ток.
За пръв път той е въведен от Максуел и е наречен от него ток на от-
местване. Тъй като коефициентът пред е извънредно малък (според
(4.4) £ор.о = т? = |10“16 m/s), физични ефекти от тока на отместване може
да се очакват при бързопроменливи полета (когато стойностите на са
големи). В правените през първите три четвърти на XIX в. опити не е
открит нито един подобен ефект и затова добавката на член в (6.7)
се разглежда като една хипотеза на Максуел. Едва когато опитите на
Херц потвърждават наличието на електромагнитни вълни, чието същес-
твуване е възможно именно при наличие на ток на отместване, се оказа,
че хипотезата на Максуел отговаря на действителността.
Съществуването на ток на отместване (£0^7) показва, че променливо-
то електрично поле поражда магнитно поле, т.е. съществува явление, в
известен смисъл обратно на електромагнитната индукция. Това явление
може да се разглежда като четвърто фундаментално явление в елект-
родинамиката .
Количествените закономерности между величините, характеризиращи
това явление, очевидно се изразяват с формулата
- дЁ
(6.8)	rotB = £0[10 — ,
често наричана закон на Максуел за тока на отместване.Равенство (6.8)
представлява локалната форма на този закон. Ако S е произволна по-
върхнина с директно ориентирап контур L, чрез интегриране на (6.8) по
S и прилагане на теоремата на Стокс (А.74), се получава и глобалната
форма на закона на Максуел
(6.9)	Гт=£оРо^р-,
at
където ГП1 е циркулацията на магнитното поле по контура L, а Фе —
електричният поток през S.
Ясно е, че, ако токът на отместване като явление бе открит и изу-
чен преди работите на Максуел, в структурата на теорията законът (6.8)
(съотв.(6.9)) би имал статуса на четвърти фундаментален експеримен-
тален закон на електродинамиката.
Лесно може да се съобрази, че наличието на ток на отместване не води
до промяна на съответното гранично условие, което и при променливите
полета запазва вида си (4.23).
УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНИ УСЛОВИЯ НА
ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ
Нека в пространството има обемни заряди с плътност и токове с
плътност	Нека S* е съвкупността от повърхнипите, върху които
80 Електромагиитни взаимодействия във вакуум
или fc, или I търпят скок, или има повърхнинни заряди с плътност h(r, Z),
или текат повърхнинни токове с плътност i(r,t), а У* е цялото простран-
ство с изключение на точките от S*. Тогава, като се отчетат направените
обобщения и се предположи още, че (6.1,г) запазва валидност и за про-
менливи полета, се получават следните диференциални уравнения:
(6.10,а)	- дВ rot£ =	г е V , dt
(6.10,6)	7	- гм rotB =	+ МоД г G V , ot k
(6.10,в)	divE=—,	г eV*, So
(6.10,г)	div# = 0,	feV*,
и гранични условия:
(6.11,a) (6.11,6)	e"-e; = o,	res*, B" - B't = p0(i x n)t, r e S*,
(6.11,0)	E^-E^-h,	res*, So
(6.11,r)	B';-B'n = o,	res*.
Уравненията (6.10) и граничните условия (6.11) са уравненията за
електромагнитното поле в най-общия случай. Те се наричат още уравне-
ния на Максуел за електромагнитното поле във вакуум. При зададени
разпределения и движение на зарядите (т.е. k, h и I, г) те дават възмож-
ност да се определят разпределението и изменението на Е и В.
От (6.10) се вижда, че броят на неизвестните (шестте компоненти на
Е и В ) е по-малък от броя на уравненията (две векторни и две ска-
ларни представляват общо осем еднокомпонентни връзки). Следователно
уравненията на Максуел представляват една преспределена система и ще
допускат решение, само когато източниците (fc и /) удовлетворяват опре-
делени условия. За намиране тези условия образуваме дивергенция от
двете страни на (6.10,6). Като отчетем (А.46) и заместим в получена-
та връзка div£ от (6.10,в), получаваме уравнението на непрекъснатостта
(1.11). Именно то представлява условието, осигуряващо наличие на ре-
шение на системата, въпреки нейната преопределеност. И тъй като (1.11)
е израз на закона за запазваие на заряда, който е изпълнеп винаги, във
всяка реална задача източниците удовлетворяват (1.11) и уравненията
(6.10) определят електромагнитното поле.
Записани във вида (6.10) уравненията на Максуел показват, че и елек-
тричното поле, и магнитното поле имат по два вида източници. Елект-
ричното поле може да се създава както от заряди (6.10,в), който са пегови
скаларни източници, така и от променливо магнитно поле (6.10,а), като
промепите на магнитното поле са векторни източници на Е — те опре-
делят мощността на вихрите на полето. В терминологията на силови-
те линии тези твърдепия означават, че силовите линии на променливото
Електромагнитно поле 81
електрично поле могат да бъдат както затворени (в този случай те се
закривяват около посоката, в която се изменя магнитното поле с време-
то), така и отворени, като започват и свърщват в точките, в които има
заряди (к ± 0).
IIромеиливото магнитно поле няма скаларни източници (6.10,г) — не-
говите индукционни линии нямат начало и край. И двата източника на
полето са векторни — това са промените на електричното поле с времето
(токът на отместване) и токовете, дължащи се на движение на заряди, ко-
ито определят мощността на вихрите на В. Това означава, че индукцион-
ните линии на променливото магнитно поле се закривяват около посоките
на токовете и посоките, в които се изменя електричното поле.
Уравненията на Максуел бяха получени по пътя на последователните
обобщения въз основа на няколко опитно установени закона, които бя-
ха наречени фундаментални експериментални закони на електромагнит-
ните взаимодействия (законите на Кулон за взаимодействие на неподвиж-
ни точкови заряди, на Ампер за магнитното взаимодействие на постоянни
токове, на Фарадей за електромагнитната индукция и на Максуел за то-
ка. на отместване), а също така въз основа на няколко опитно установени
свойства на зарядите (закона за запазването им и принципа на суперпози-
ция). В хода на обобщенията се направиха редица предположения, което
показва, че получаването на системата (6.10) не е еднозначно. Това озна-
чава, че не е отнапред ясно дали това е единствената система уравнения,
правилно описващи електромагнитните процеси. Затова при строго изг-
раждане на електродинамиката като наука може да се подходи по друг
начин. Всички разглеждания, които доведоха до (6.10), може да се тре-
тират не като техен извод, а само като съображения, които водят до тях.
Веднъж вече написани, уравненията (6.10) може да се постулират, да се
.поставят в основата на теорията и тогава въпросът за тяхното “доказва-
не” или “извеждане” отпада — така както в механиката например не се
поставя въпрос за извеждане или доказванс на принципите на Нютон.
По такъв начин уравненията на Максуел по същество представляват
ядрото на класическата електродинамика. Както при всяка теоретич-
на схема, въпросът за правилността на теорията, опираща се върху тях,
се свежда до проверка на два вида нейни следствия. Едните следствия
са от обяснителен тип. Това означава, че всички електромагнитни явле-
ния (както тези, известии при създаване на теорията, така и откритите
впоследствие) следва да могат да бъдат обяснени на основата на ядрото
на теорията — уравненията на Максуел. Както например ще се убедим
по-нататък, всички класически електромагнитни явления в непрекъснати
среди и всички явления и закономерности на оптиката могат да се обленят
по този начин.
Вторият тип следствия от теорията са от предсказателен тип, т.е. на
основата на уравненията (6.10) се предсказва съществуването на опре-
делени явления и след това се търси експериментално тяхната проява в
природата. Такъв е например случаят с предсказаните и впоследствие
открити от Херц електромагнитни вълни.
Убеждението днес, че уравненията на Максуел адекватно отразяват
деЙствителността, се опира на факта, че до сега не е открито нито едно
електромагнитно явление, което да не може да се обясни на тяхна осно-
82 Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
ва и, че от тях не е направено нито едно предсказание, което да не се
потвърди от опита.
СЪЩЕСТВУВАНЕ НА РЕШЕНИЕ НА УРАВНЕНИЯТА НА
МАКСУЕЛ
При изграждане теориите на електростатичното и на стационарното маг-
нитно поле въпрос за съществуване на решения на системите (2.14) и
(4.22) не бе поставян поради очевидността на отговора — интегралните
представяния (2.8) и (4.12) съответно за Е и В удовлетворяват системи-
те. Две са обстоятелствата, които правят същия въпрос актуален при
променливите полета. Първо, засега не са посочени подобии интегрални
представяния за Е и В. Второ, фактът, че шестте неизвестни компонен-
ти на Е и В трябва да удовлетворяват осем уравнения (получени при
разписване на (6.10) по компоненти), показва, че уравненията могат да
бъдат съвместими само при определени условия.
По-долу ще бъде показано, че единствено условие за съвместимостта
на уравненията (6.10) (т.е. — за съществуване на решение) е източниците
(k и I) да удовлетворяват уравнението на непрекъснатостта (1.11). При
това за опростяване на разсъжденията тук и по-нататък ще бъде разг-
леждан само случаят, когато k и I са непрекъснати функции на г и t, а
повърхнинни заряди и токове пяма (което означава, че V’ = Voo).
И така, нека fc(r,/) и /(г,/) са зададени непрекъснати функции и нека
Е"о(г) и Во(г) са две отнапред избрани решения на уравненията
divE0(f) = — k(f, <о),
(6.12)	'
div Во (г) = О,
където t0 е един фиксиран момент.
Уравненията (6.10,а и б) могат да бъдат представени във вида
дЕ
~ot
1 д 1 г
----rot В------1,
£оМо бо
дВ
di
= — rotE,
в който десните им страни са непрекъснати функции както на г и i, така и
на първите нроизводни и на неизвестните. Съгласно теоремата
на Коши — Ковалевска от теорията на частните диференциални уравне-
ния от първи ред тези условия гарантират съществуването на само една
двойка функции Е(г,/) и В(г,/), които удовлетворяват (6.10, а и б) и при
t = to се редуцират на отнапред избраните функции Eq(v) и Во(г).
Остана да се покаже, че така полученото решение на (6.10, а и б)
удовлетворява и (6.10, виг). За целта следва първо да се образува
дивергенция от двете страни на (6.10, а):
^(divB) = D.
Електромагнитно поле 83
Това равенство показва, че divB не зависи от t и следователно
divB(r,/) = divB(f, t0) = divBo(r) = О,
където е използвано, че Во(г) е решение на (6.12). Следователно B(r, t)
удовлетворява (6.10, г) не само при t = to, но и за всяко t.
По същия начин чрез образувапе на дивергенция от двете страни на
(6.10,6) се получава
Q
—CodivE + div/ — 0.
dt
Но от (1.11) следва div/ = — така че
Q
^-(fodivE - k) = 0,
С/ V
което показва, че изразът в скобите също не зависи от времето и следо-
вателно за всяко t има стойността, която приема при t = to. Последната,
както сочи (6.12) е нула, което означава, че и (6.10, в) е изпълнено за
всяко t.
Следователно системата (6.10) наистина има решение и единствено ус-
ловие за неговото съществувапе е к и I да удовлетворяват уравнението
на непрекъснатостта (1.11).
ЕДИНСТВЕНОСТ НА РЕШЕНИЕТО НА УРАВНЕНИЯТА НА
МАКСУЕЛ
Нека V е ограничена облает, в която има обемни заряди и токове с плът-
ности к(г,/) и /(г,/), които са известии непрекъснати функции на своите
аргументи при t to, където to е фиксиран начален момент. Нека ос-
вен това е зададено началното разпределение на полето, т.е. функциите
Eq(t) = E(r, to) и Bo(r) = B(f,to), които удовлетворяват началните условия
div^o = —к(г, to) и divB0 = 0,
£о
а също така тангенциалната компонента на E(r, t) или на B(r,t) върху
повърхнината S на областта V за всяко t to.
При изброените условия уравненията на Максуел (6.10) имат единс-
твено решение. Наистина нека по предположение Е\, В\ и Е?, ЕЕ> са две
различии решения, т.е. удовлетворяват и (6.10) и изброените по-горе
условия. Тъй като всички връзки са линейни, разликите Е = Ei — Е?
и В = Bi — В? ще удовлетворяват хомогенните уравнения, началните и
граничните условия
а В	\
(6.13,a)	rotE = -^-	I
t to,
(6.13,6)	rotB = £0/70 — J
(6.13, в)	E(r,to) = 0, B(r,i«) = o,
(6.13,г)	E.lr.t) = 0 или Bt(r,/) = 0,
fe v,
г е s,t to.
84 Електромагнитни взаимодействия във вакуум
За доказване на единствеността со изследва интсгралът на Дирихле
(6.14)	0 ^ £>(<) = [ (€-^Ёг + ^-B2)dv.
J L 2/io
V
С помощта на (6.13,а и б), (А.39) и (А.69) неговата производна по вре-
мето се представя във вида
/(е0Е ~ 4- — В • ^)dv = / — (Ё  rot В - В • rotE)dv
at J ot ро ot J Цо
v	v
= — [ div(B x E)dv = — A(B x E)n|ds|.
Цо J	Цо J
V	s
Тъй като нормалната компонента на В х Е се изразява само чрез тан-
генциалните компонепти на Е и В, съгласно (6.13,г) производната е нула
= 0) за всяко t to- Това означава, че D(t) = D(t0), а последната
величина по силата на (6.13,в) е нула. Тъй като според (6.14) D е неот-
рицателна величина, £>(£) = 0 е възможно, само ако Е2 = 0 и В2 = 0 за
всяко t to, т.е. ако Ei = Е? п Bi = В?.
Следователно при изброените условия уравненията на Максуел наис-
тина имат само едно решение.
Когато V е цялото пространство и Е и В клонят към нула върху Soo
достатъчно бързо, интегралът върху Soo е нула независимо от това, дали
граничното условие (6.13,г) е изпълнено или не — в този случай реше-
нного отново е единствено.
ГЛОБАЛНА ФОРМА НА УРАВНЕНИЯТА НА МАКСУЕЛ
Фактът, че (6.10,в и г) и (6.11,в и г) имат един и същ вид както при ста-
ционарните, така и при променливите полета, подсказва, че и глобалпата
им форма няма да бъде променена. Законът на Фарадей бе формулиран
първоначално именно в глобалната си форма (6.2). Остава да се приведе
глобална форма на обобщения закон на Ампер (6.10,6). Тя може да се
получи, като двете страни на (6.10,6) се интегрират по производна по-
върхнина S с контур L. Прилагането на теоремата на Стокс (А.74) към
лявата страна на равенството и съобразяването с (1.9,а) води до следния
резултат:
(6.15)
/у
В  dr = СоЦо-^ + МоЛ>
L
където Фе и J са съответно потокът на електричното поле и токът, об-
хванати от L. Равенство (6.15) представлява търсената глобална форма
на обобщения закон на Ампер. Тук то бе получено като следствие от
(6.10,6), но чрез подходящи разсъждения би могло да се получи с по-
мощта на закона за запазване на електричния заряд като обобщение на
Электромагнитно поле
85
(4.18)	за променливи полета. Това свидетелства, че глобалната форма и
в случая е по-обща от локалната, съдържаща се в (6.10,6) и (6.11,6).
И така, основните закони на електродинамиката могат да се формули-
рат в следната глобална форма:
•	1. Циркулацията па електричното поле по произволна затворе-
на крива е равна на взетата със знак минус промяна за единица
време на заградения от кривата магнитен индукционен поток
^Ге = —	— закон на Фарадей^.
♦	2. Циркулацията на магнитното поле по произволна затворена
крива е равна на умножения с д0 пълсн ток, обхванат от кривата,
т.е. на тока, дължащ се на движението на зарядите, и на тока на
отместване, като последният е равен на умножената с eq промяна
за единица време на потока на електричното поле, заграден от
кривата ^Гт =	— обобщен закон на Ампер^.
•	3. Потокът на електричното поле през произволна затворена
повърхнина е равен на разделения с Ео заряд, заграден от по-
върхнината ^Фе =	— теорема на Гаус\
♦	4. Потокът на магнитното поле през произволна затворена по-
върхнина е нула (Фт = 0).
Покажете, че посочените в 1) и 2) величини Фт и + Jl не зависят от
избора на повърхнината S, която има за контур кривата L и се използва за
пресмятане на Фт, Фе и Jl-
И сега може да се каже, че глобалната форма на основните закони е
по-обща от локалната (6.10) и (6.11) — тя е в сила за всякакви източници
— точкови, линейни, повърхнинни и обемни. Разбира се, тази всеобхват-
ност е за сметка на относителната непригодност на глобалната форма за
решаване на конкретни задачи.
МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА
ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ
РАБОТА НА ЕЛЕКТРИЧНИТЕ СИЛИ ПРИ ПРОТИЧАНЕ НА ТОК
При движение на зарядов елемент dq в електрично поле електричната
сила dFe = Edq за единица време извършва работа
d ~	~ ,
—dAe = v.dFe = v.Edq.
dt
Тъй като според (1.7) vdq = di е токовият елемент, общата работа на
електричните сили за единица време в определена облает е
лд г _
(7-1)	-%- = I
at J
Оттук чрез (1.8) и (4.10) за случайте на обемни и линейни токове се
получава съответно
НА Г
(7.2)	IEd^
dt J
v
НА Г -
(7.3)	= J / E.dr.
dt J
L
Формула (7.2) показва, че изразът
(7.4)	p(r,t) = E(r,t).I(r,t)
е плътността на мощността на електричните сили при протичане на
ток, т.е. работата им за единица време в единица обем.
ЕНЕРГИЯ НА МАГНИТНОТО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Както бе посочено в тема 4, два стационарни тока J и У'.течащи по зат-
ворени криви L и L' (фиг. 4.1), си взаимодействат с определена магнитна
сила. Съгласно даденото в тема 3 определение енергията Wm на взаи-
модействие е равна на работата А1 на вътрешните сили, които действат
при разрушаване на системата, т.е. — при отнасяне па единил от конту-
рите в безкрайност. (При стационарните системи външната сила, която
86
Механично действие на електромагнитното поле
87
действа върху един елемент от системата, се уравновесява с вътрешната
по същия начин, както това има място при статичните системи!)
И така следва да се изясни какви вътрешни сили действат в разглеж-
даната система, когато единият от контурите например L, се отнася в
безкрайност. Преди всичко това е магнитната сила Fm чиято работа в
тема 5 бе означена с Ат. Бе посочено също, че движението на L е при-
чина за поява на индуцирана ЕДС F*, чиято работа бе означена с А*.
Накрая следва да се отчете, че отнасянето на L в безкрайност предизвик-
ва промяна на магнитното поле в точките от контура L'. Променливото
магнитно поле създава електрично поле и електричните сили, дължащи
се на това поле, извършват работа Ае при протичане на тока J'.
Както индуцирапите ЕДС, така и електричните сили са вътрешни за
системата сили, защото са резултат от взаимодействията на частите й.
Следователно енергията на системата е
Wm = A‘ = Am + A* + Ae.
От тема 5 е известно обаче, че Ат + А* = 0. Тъй като работата на елек-
тричните сили се изразява със (7.3), за интеграла може да се използва
законът на Фарадей (6.2). Така се получава
/ Ё.dr = f B.ds =
at J	at J	at
L'	S'
където S' e повърхнина с контур L1, а Фт — потокът на магнитното поле
на тока J, заграден от контура L'. Ако Фт е потокът преди началото
на движението на L, като се отчете, че в крайното положение (L е отне-
сен в безкрайност) Фгп = 0, от последното равенство следва Ае = J'$m.
Следователно енергията на взаимодействието на токовете е
(7-5)
Wm = ГФт.
Друг вид на тази формула се получава, като магнитният поток се изрази
посредством (4.27) чрез магнитния векторен потенциал:
Фт
J B.ds = j rotA.ds.
S'	S'
Чрез теоремата на Стокс (А.74) последният интеграл може да се преоб-
разува в линеен
(7.6)	Фт = / A.dr.
L'
Следователно магнитната енергия на взаимодействие на J и J' е
(7-7)
Wm =J'j A.dr.
L'
Тъй като за потенциала А на полето на тока J е валидно представянето
(4.28), чрез него и (7.6) от (7.5) се получава
(7-8)
L L'
dr .dr'
|f — г'| ’
Електромагнитни взаимодействия ввв вакуум
който вече е симетричен по отношение на контурите и токовете.
Когато токът J' взаимодейства не с полето на един линеен ток, а с
поле на произволни линейни токове, поради принципа на суперпозицията
енергията Wm на това взаимодействие отново ще се описва със (7.7), ка-
то в нея вече А(г) ще бъде потенциалът на външното поле, създадено от
тези токове.
Същата формула (7.7) е удобна и за следващото обобщение, при което
се разглежда енергията на взаимодействие между произволни постоянни
токове и външно поле с потенциал А(г). Тъй като според (4.10) Jdr = di
е токовият елемент, тази енергия е
(7.9)
Wm = / A(r).dl(f).
При прилагане на тази формула е важно да се помни, че А е външно поле,
което се счита известно, т.е. А не е потенциалът на полето на токовите
елементи di. Именно поради тази причина Wm се нарича енергия на
магнитно взаимодействие на токове с външно поле.
За случая на обемни токове (7.9) придобива вида
(7.10)	Wm = / EAdv.
(7.10)
Ако A(f) е потенциалът на полето на други обемни токове, които текат
в облает V1, за него може да се използва представянето (4.31), така че
за енергията на магнитното взаимодействие на токовете от областите V
и V от (7.10) се получава
(7.11)
ЦО f Г
47Г J J |r — f'|
dvdv1.
v v
Ако в тази формула произведенията I(f)dv и I^f'^dv' се заменят обрат-
но със съответните токови елементи, тя придобива вида
(7.12)
= До / f dl(r).dl(f')
4тг J J |r - f'l
който e по-удобен за следващите разглеждания.
ЕНЕРГИЯ НА СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО ПОЛЕ
Когато полето се създава от стационарни токове, условието за стационар-
ност (112) гарантира, че те мислено могат да се разделят на затворени
тънки токови нишки &Vk(k = 1,2,... , А). Енергията на тази система е
равна на работата на вътрешните сили при отнасяне на нишките до без-
крайност. (Системата следва да се разрушава именно нишка по нишка, а
не по токови елементи, защото един токов елемент не представлява ста-
ционарен ток.) От (7.12) следва, че тази работа при отнасяне на нишката
Д14 в полето на-тока, течащ по ДУ,, е
Механично действие на електромагнитното поле 89
Ако нишките се отнасят в безкрайност по нарастващ ред на номерата, при
отнасянето на Д14 върха тока Д<7 действат само токовете от нишките с
номера, по-големи от k, т.е.
N
ДА*= £ Д2Л“-
»=*+!
Пълната работа при отнасяне на всички нишки, т.е. енергията на систе-
мата, е сума от всички подобии изрази:
W	N N
wm = 52л* = 2 12 д2л“-
fc = l	k = lt=i:+l
За същата величина, ако нишките се отнасят в обратен ред (т.е. най-нап-
ред ТУ-тата), по същия начин се получава
N *-1
1г,п = 5212д2л“'
*=11=1
От полусумата на двата израза за Wm след заместване на израза за Д2Aik
следва
И, . 1 v » f
2/^,4*/ J	'
’Д-1 AV, AV*
Сумирането no i и по к води до двукратно интегриране по всички токови
нишки, т.е.
(7.13)
2 4л- J J |г - г'|
Оттук за случая на енергията на система от обемни токове се получава
(714)	Wm = 1 	[ [ ‘^^Idvdv1.
2 4тг J J |г - г'|
v v
На формула (7.14) може да се придаде и друг вид, след като се отче-
те, че съгласно (4.31) интегралът по dv1 дава точно магнитния векторен
потенциал А на полето в точка г, така че
(7.15)	IVm = 1 [ I.Adv.
V
С изключение на множителя 1/2 формулите (7.15), (7.14) и (7.13) съв-
падат с формулите (7.10), (7.11) и (7.12). Смисълът на новите формули
обаче е съвсем друг — в тях вече А е магнитният векторен потенциал на
самите токове 7(f) и е енергия на системата от тези токове, докато
преди А бе потенциал на външно, създадено от други токове поле, a Wm
съответно енергията на взаимодействие на токовете с полето.
90
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
С помощта на (4.20) и (4.27) Wm може да се изрази само чрез характе-
ристиките на полето. За опростяване отново се разглежда само случаят
на обемни токове, чиято плътност I е непрекъсната функция на място-
то. Тъй като извън V токове няма, интегрирането в (7.15) може да се
разпростре по цялото пространство:
A.Idv = 7- [ A.Idv =	[ A.rotB.dv
2 J 2д0 J
Voo	Voo
W -1
Пт2
= —[ (A.rotB	— В .rotA 4- В .rot A)dv =	—-	i	div(B x A)dv 4- ——	/	B2dv.
2/i0 J	2/i0	J	2/i0	J
Първият интеграл в последната част на тази верига от равенства се пре-
образува по теоремата на Гаус — Остроградски (А.69) в повърхнинен
интеграл по Soo, който е нула поради анулирането на Я и В в безкрай-
ност. Така за енергията се получава
(7.16)	Wm= [ ^-B2dv.
V оо
Получената формула показва, че енергията на полето е разпределена
в цялото пространство с плътност
(7.17)	wm(f) = -М2(г),
2/10
т.е. wm представлява количеството магнитна енергия на полето в единица
обем.
Съществено в случая е, че интегрирането в (7.16) не може да се реду-
цира обратно върху областта V, в която текат токовете, което показва,
че енергията на полето се разпределя в цялото пространство.
ЕНЕРГИЯ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ
При изучаване на електростатичното и на стационарното магнитно поле
бе установено, че енергията им е разпределена в пространството с плът-
ност, която се описва съответно с формулите (3.22) и (7.17). Според
концепцията за близкого действие електромагнитното взаимодействие е
локално и всички интересуващи ни величини, описващи явленията в да-
дена точка и в даден момент, могат да зависят само от състоянието на
системата (т.е. от характеристиките й) в същата точка и в същия момент.
На тази основа може да се направи предположението, че тези изведени в
два частни случая формули ще залазят валидността си и при променливо
електромагнитно поле.
И така плътността на електромагнитното поле се описва с форму-
лата
(7.18)	wcm(f,t) = !2Ё2(г,1) + d-B2(r,t).
4	2/1Q
Следва да се отбележи, че и това обобщение удовлетворява принци-
па на съответствието, защото в частните случаи на електростатично или
Механично действие на електромагнитното поле
91
стационарно магнитно поле (7.18) се редуцира съответно на (3.22) или
От (7.18) следва, че общата енергия на електромагнитното поле, заг-
радена в облает V, се описва с израза
(7.19)
J wem(f,t)dv.
v
ВЕКТОР НА УМОВ — поинтинг
Нека областта V е свободна от заряди (к = 0 и I = 0). Формула (7.19)
показва, че енергията IVern(t) във V може да се изменя с времето. Тъй
като по предположение във V няма заряди, при движението на които да
става превръщане на електромагнитната енергия в други видове енер-
гия, следва да се заключи, че енергията на полето може да се пренася в
пространството, т.е. да напуска V или да се втича в
За описание на процеса на разпространение на
енергия се въвежда векторното поле S(f, <), наречено плътност на енер-
гетичния поток. По определение S има посока на
енергията и големина, равна на енергията, пресякла за единица време еди-
ница площ, поставена перпендикулярно на S. От това определение следва,
че енергията, пресякла за единица време произволна повърхнина от опа-
ката към лицевата страна, се дава с потока на S през нея, т.е. с интеграла
нея.
електромагнитната
разпространение на
(7.20)
J S.ds.
s
Връзка между S и характеристиките E и В на полето може да се наме-
ри чрез закона за запазване на енергията. Наистина от него следва, че
нарастването за единица време (dt^m) на енергията в областта V е равно
на втеклата се за същото време през повърхността й Sv енергия. Тъй
като затворените повърхнини, каквато е Sv, по уговорка се ориентират
навън, тази енергия е — <f S.ds, така че законът за запазване на енергията
Sv
води до равенството
(7.21)
dWem
dt
divSdv
Sv
От тази глобална форма на закона може да се получи и локалната му
форма. За целта lVern в (7.21) се изразява чрез (7.19) посредством wem,
а интегралът в (7.21) се преобразува в обемен посредством теоремата на
Гаус — Остроградски (А.69). Полученото равенство
/ dwem	1
J dt	J
v	v
може да бъде изпълнено за всеки избор на V, само ако
+ div5 = 0.
dt
(7.22)
92
Електромагиитни взаимодействия взв вакуум
Очевидно (7.22) представлява локална форма на закона за запазване
на енергията. С помощта на (7.18), (А.39) и (6.10,а и б) при / = 0 за
divS се получава
divS =
д_
dt
1
Но
- дЕ 1 -. дВ
= -€оЕ.— -—В.—
X	г - Z	ut НО №
~ ~ 1 - 1	- -
E.rotB 4-B.rotE = —div(E' х В).
Но	Но
€qE~ 4- -—В"
2^о
1 -
Оттук следва, че S = ±Ё х В 4- rotD, където D е произволно векторно
поле. Тъй като обаче при електромагнитното поле законът за запазва-
не на енергията може да се проверява само за затворени повърхнини, а
потокът на всяка ротация през затворена повърхнина е нула, наличието
на последния член може да не се отчита. Така се получава, че връзката
между плътността на потока па електромагнитната енергия и характерис-
тиките на полето има вида
(7.23)
S = — Ё х В.
Но
Определеният с равенство (7.23) вектор се нарича вектор на Умов —
Пойнтинг. От начина на получаването му се вижда, че той не може да
претендира за единственост. В някои случаи се използват други изрази
за S, които се различават един от друг по избора на връзката между
члена rotD и характеристиките на полето.
ЗАКОН ЗА ЗАПАЗВАНЕ НА ЕНЕРГИЯТА НА СИСТЕМА
ЗАРЯДИ — ПОЛЕ
Дотук се предполагаше, че разпределението на зарядите и токовете е
известно, отнапред зададено. Като се отчете, че самото движение на
източниците се определя от неизвестното поле, става ясно, че такава пос-
тановка, изобщо казано, е нереалистична. В общия случай източниците
(заряди и токове) и създаденото от тях поле следва да се разглеждат
като единна система, чието състояние се изменя в съответствие с уравне-
нията на полето (6.10) и с уравненията на динамиката, които обвързват
движението на зарядите с действащите им сили.
При този общ подход трябва да се отчита първото от изброените в
тема 1 основни свойства на зарядите — че всяка заредена частица има
ненулева маса. В общия случай на променливи полета вътрешните и вън-
шни сили, действащи на един заряд, не се уравновесяват взаимно и под
действие на резултантната сила зарядът може да променя големината на
скоростта си. Шом зарядът има маса, това е свързано с промяна на ме-
ханичната му енергия, която също следва да се отчита при баланса на
енергията.
И така нека V е облает, в която има електромагнитно поле и текат
токове с обемна плътност 1(г,/). Ако на зарядите не действат външни
сили, законът за запазване на енергията приема вида
(7.24)	^(W,m + W„„)+ 1 S.ds = 0,
Sv
Механично действие на електромагнитното поле 93
където с И^мех е означена механичната енергия на зарядите. Тъй като
магнитните сили не извършват работа, промяна на IVMex може да има са-
мо за сметка на работата на електричните сили, чиято мощност се описва
със (7.1). Тъй като всяко от събираемите в лявата страна на (7.24) е из-
вестно (вж. (7.19), (7.1) и (7.23)), равенство (7.24) може да се използва
за проверка на вътрешната съгласуваност на изгражданата теория. С
помощта на уравненията на Максуел (6.10) (при I 0!) лесно се показва,
че изразът (7.24) т.е. законът за запазване на енергията, е изпълнен.
ИМПУЛС НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ
Движещите се заредени частици притежават определен механичен им-
пулс. Това дава възможност да се въведе величината плътност на меха-
ничния импулс рмех(г",/), равна на. импулса на частиците в единица обем.
Според втория принцип на динамиката промяната за единица време на
рмех е равна на резултантната на всички външни сили, действащи на тези
частици, т.е. на плътността на външните сили. Тъй като в случая това е
силата на Лоренц, чиято плътност се описва с (5.6), от втория принцип
се получава
(7.25)
= kE + I х В.
Ако V е производна облает, чрез интегриране на (7.25) в нея за про-
мяната на общия механичен импулс Рмех на частиците в областта се по-
лучава
(7.26)
dPмех
dt
}(кЁ + 1х B)dv.
V
- 1 -	~ дЁ] ,
CoEdwE-----В x rotB + EqB x —— dv.
Ho	dt
Характеристиките k и I на зарядите и токовете може да се елиминират
от (7.26) с помощта на (6.10,6 и в):
dP^ex L
di J
v
С помощта на останалитё две от уравненията на Максуел (6.10,а и г)
на дясната страна на това равенство може да се придаДе видът
dPMex
dt = J
v
= [ £(^divЁ — СоЁ х го1Ё + — BdivВ——В х rot В
J	Но	А*о
д	д В
CvEdivE-----В x rotB + 6q-x-(B x Ё) — x Ё dv
Ho	ot	ot
v
или
d Itex + Eo У Ё X Bdv
V
= fo / (^divj? —Ex rotE)dv -I--------
J	 tl0
dt
d f -	-
- —€0 (Ex B)dv,
at J
v
(BdivB — В x rotB)dv.
94
Електромагнитни взаимодействия ввв вакуум
Изразите E'divjE' —Ex rotE и BdivB — В х rotB може да се преобразуват
по същия начин, както в тема 3 и в тема 5, така че да се получи
(7.26а)
d Г 5
мех
dt
О
|в2б).
Sv
В тема 3 и тема 5 бе показано, че интегралите в дясната страна на
(7.26,а) описват съответно общата електрична и общата магнитна сила,
действащи върху системата с повърхнина Sy. Аргументите, които малко
по-горе бяха използвани за електромагнитната енергия, може да се из-
ползват и сега, за да се покаже, че същите изрази ще описват силите и
при променливите полета. По такъв начин се стига до заключението, че
дясната страна на (7.26,а) представлява общата сила, действаща върху
системата. Тогава от вторил принцип на динамиката следва, че величи-
ната
(7.27)
= Лех(<) +бо У
v
Ё х Bdv
е общият импулс на тази система от заряди и тяхното електромагнит-
но поле. И тъй като първият член е механичният импулс на частиците
следва, че
(7.28)
£0E(f,t) х B(f,t)dv
е онази част от общия импулс, която се дължи на електромагнитното
поле. Видът на (7.28) показва, че величината
(7.29)	рет = е0Ё х В
с плътност на импулса на електромагнитното поле, т.е. количеството
импулс на подето в единица обем.
Сравнението на (7.29) и (7.23) с отчитане на (4.4) показва, че
(7.30)	p-m = 1$,
с 2
т.е.импулсът и плътността на енергетичния поток са колинеарни.
Ако с равенството
(7.31)	Тст = е0(Ё * Ё - ±ё26) + —(В » В -
2/^0	2
се въведе максуеловият тензор на напреженията на електромагнитно-
то поле, както в тема 3 и тема 5, общата електромагнитна сила може да
се изрази чрез потока му през повърхнината Sy.
(7.32)
П-Тет |dfi|.
8
ЕЛЕКТРОМАГИИТНИ ПОТЕНЦИАЛИ
ЕЛЕКТРОМАГИИТНИ ПОТЕНЦИАЛИ
Хомогенните измежду уравненията на Максуел — (6.10,а и г), позволяват
шестте компоненти на електромагнитното поле (Е и В) да се изразят чрез
по-малко на брой функции. Наистина (6.10,г) гарантира, че съществува
векторно поле A(r, £) такова, че
(8.1)	В (г, t) = rotA(r,/).
С това представяне за В от (6.10,а) се получава
rot(£ + ^) = 0
О1
Това равенство гарантира съществуването на скаларно поле U(r,/) тако-
ва, че:
- дА
£? + — = —gradCA
ot
т.е. E(r, t) може да се представи във вида
(8.2)	£(r,i) = -gradt/(r,i)-^M
Нововъведените полета А и U се наричат съответно векторен и скаларен
потенциал на електромагнитното поле. Вижда се, че наистина шестте
компоненти на електромагнитното поле може да се представят като ли-
пейни комбинации от първите частни производни на само четири нови
функции - Ат, Ау, Аг и U.
Заместването на (8.1) и (8.2) в останалите две от уравненията на Мак-
суел — (6.10,6 и в), дава връзки между потенциалите А и U, от една стра-
на, и източниците на полето k и I, от друга. Използването на формула
(А.48) позволява тези връзки да се запишат във вида
- д2А /	ди\
(8.3,а)	SA-ЕоЦо—y -grad( divA + еоДо-^- I = -po/(r,Z),
(8.3,6)	MJ+ -^-divA = - —
(4	Eo
По принцип при зададени k и I от (8.3) може да се определят потен-
циалите на полето.
95
96
Електромагнитни взаимодействия вгв вакуум
КАЛИБРОВЪЧНА ИНВАРИАНТНОСТ
Нека полето Е и В е известно, както и, че дадени функции А и U са негови
потенциали, т.е. А и U удовлетворяват (8.1) и (8.2). Лесно се вижда, че
при произволен избор на скаларното поле <p(r, t) функциите
(8.4)	А' = А + grad <р, U' = U -
представляват потенциали на същото поле, т.е. и те удовлетворяват (8.1)
и (8.2). Следователно (8.1) и (8.2) не определят по единствен начин по-
тенциалите. Полетата Е и В са инвариантпи (не се променят) при преоб-
разования на потенциалите от типа (8.4). Тези преобразования се нари-
чат калибровъчни, а съответната инвариантност на полетата — калиб-
ровъчна или градиентна.
Калибровъчната инвариантност па Е и В се използва за опростяване
на уравненията (8.3), което може да се постигне чрез подходящ избор
на функцията у>(г,/.). Най-често се използват два типа калибровки — на
Лоренц и на Кулон.
ЛОРЕНЦОВА КАЛИБРОВКА
Нека е известно, че А и U са потенциали на полето Е и В. Шом А и U са
зададени, изразът div А 4- EqP-о Ще бъде известна функция на г и t. Нека
освен това у?(г,/) е едно решение на уравнението
(8.5)
л	г ди
Ду? -	— = divA + ^оРо-^-
Ако с помощта на така избраното решение се извърши градиентно преоб-
разование на потенциалите (8.4), лесно се пресмята, че за новите потен-
циали А' и U' е изпълнено равенството
divA' 4-&оРо= 0.
dt
Следователно измежду безкрайната съвкупност от потенциали на едно по-
ле има такива, които удовлетворяват т.нар. условие или калибровка на
Лоренц
Лг г
(8.6)	divA 4-бо//о-д7- = 0.
Фактът, че (8.5) притежава безброй много решения, показва, че и съв-
купността от потенциалите, които удовлетворяват (8.6), е безкрайна.
Използването на условието на Лоренц опростява системата (8.3) за А
и U, като пеизвестните се разделят, а уравненията за тях стават еднотип-
ни:
(8.7,а)
(8.7,6)
- д2А
ДА -	= -До/(г,О>
АГГ	1,/^ X
-ЕОЦо— =
Електромагнитни потенциали
97
И така при калибровка на Лоренц електромагнитните потенциали удов-
летворяват нехомогенното вълново уравнение.
КУЛОНОВА КАЛИБРОВКА
Нека А е векторен потенциал на едно поле и нека 9? е едно решение на
уравнението на Поасон
Ду? = —divA.
При това положение векторният потенциал А!, определен от (8.4), удов-
летворява условието
divA' = О,
т.е. при подходяща калибровка може да се постигне (при това не по
единствен начин) векторният потенциал да удовлетворява допълнитслно-
то условие
(8.8)	divA = О,
наречено калибровка на Кулон.
От (8.3,6) и (8.8) следва, че при тази калибровка скаларният потен-
циал удовлетворява същото уравнение
(8.9)	&U(r,t) = - —
£0
каквото удовлетворява кулоновият потенциал в електростатиката. От те-
ма 2 (вж. (2.23)) е известно, че неговото решение има вида

(8.10)
du,
47Г£о|г — г'|
Съществено в случая е, че скаларният потенциал в дадена точка и опреде-
лен момент се определя от разпределението на зарядите в пространството
в същия момент.
От (8.3,а) и (8.8) за векторния потенциал следва уравнението
/О 1 1 \	. Г	С7 zi	7	,
(Ь-11)	ДА -	+ £o^ograd—.
С помощта на (8.10) и (1.11) за втория член в дясната страна на това
равенство може да се даде интегралното представяне
^dU
EoMograd— = CoMograd
v<
div'Z(r',t) ,
4тг|г — f'|
По такъв начин уравнението за А добива вида
л л ^2А
ДА ЕоМо dt2
(т j [ div'Z(f',f) А
= -W(/ + grady -4]rjZ—|rfv)-

98 Електромагиитни взаимодействия взв вакуум
Лесно се показва, че изразът в скобите е точно напречната компонента
на тока в смисъл на разложението (А.77). Наистина неговата ротация
поради (А.45) е
.	/-	, f div'д -*	-
(8.12)	roti/+ grad / ——rz——г dv) = rot/= rot Zt,
4 '	\	J 4тг|г — r'| /
Voo
а дивергенцията му поради това, че интегралът е решение на уравнението
на Поасон с дясна страна —div/ (срв. (2.23) и (2.24)), е
(8.13)	divf/4-grad f	19 dvz)
\ J 4тг|г — г'|	/
Voo
= div/+Д [ d* dv' = div/ — div7 = 0 = divff.
J 4тг|г — r'|
От (8.12) и (8.13) следва
[ div'/(r',Z) ,
/ + grad / ————^dv = It,
J 4тг|г — r'|
vTO
така че уравнението за А окончателно приема вида
_ д7А
(8.14)	ДА — ео/^о-^2" = —/^оЛ-
И така, при калибровка на Кулон векторният потенциал удовлетворя-
ва нехомогенното вълново уравнение, в дясната страна на което участва
само напречната компонента на тока.
ВЕКТОР НА ПОЛЯРИЗАЦИЯТА
За облекчаване на следващите разглеждания ще бъде показано, че благо-
дарение на уравнението на непрекъснатостта (1.11) разпределението на
източниците може да се опише вместо с четири функции (Jb,/x,/y и 1г)
само с три.
Наистина нека при зададени източници, т.е. при известии k(f, /) и
/(г,/), P0(r,t) е едно производно, но фиксирано решение на уравнението
(815)	^p2 = f(r.O.
Ако се образува дивергенция от двете страни на (8.15) и div/ се изрази
посредством (1.11) чрез се получава
-^(^(r, t) + divP0(r, 0) = 0.
Това равенство гарантира, че както и да е избрано Pq винаги може да се
подбере подходяще скаларно поле v(r), така че
(8.16)	Ar(r,t) = ~divP0(r,t) + v(r).
Електромагнитни потенциали 99
Нека сега V(r) е едно производно решение на уравнението
divP(r) = v(f).
Това представяне за v, заместено в (8.16), води до заключението, че
k(r,t) винаги може да се представи във вида
(8.17)	k(rtt) = -divP(f,t),
където с Р е означен векторът
P = PQ-V.
Тъй като V не зависи от времето, очевидно и Р е решение на (8.15).
И така, щом к и I удовлетворяват уравнението на непрекъснатостта,
те могат да се изразят чрез производните на един вектор, наречен вектор
на поляризацията:
(8.18,а)	fc(r, t) = —divP(r,t),
(8.18,6)	/(г-,/)=£ф0
Описанието на разпределението на източниците чрез Р(г,/) е по-прос-
то, в смисъл че компонентите на Р са само три, докато компонентите на
k и I са общо четири и не са независими.
ВЕКТОР НА ХЕРЦ
Въвеждането на електромагнитните потенциали опростява задачата за
намиране на полето, защото я с вежда до намиране на четирите компонен-
ти на А и U вместо на шестте компоненти на Е и В. Не всички четири
решения на (8.7) или на (8.9) и (8.14) обаче могат да се разглеждат като
компоненти на електромагнитните потенциали, защото А и U трябва да
удовлетворяват и калибровъчните условия (8.6) или (8.8).
Може да се покаже, че това неудобство може да се избегне в случая
на калибровка на Лоренц, като четирите компоненти на потенциалите се
изразяват чрез производните на един-единствен вектор. За целта е дос-
татъчно да се забележи, че видът на условието на Лоренц (8.6) с точност
до постоянния множител соцо е същият като вида на уравнението за неп-
рекъснатостта (1.11). Поради това чрез съшите разсъждения, въз основа
на които по-горе бе въведен векторът на поляризация, и сега може да се
стигне до извода, че щом А и U удовлетворяват условието на Лоренц, то
съществува вектор Z, наречен вектор на Херц, такъв, че
(8-19,а)	=
(8.19,6)	a(r,t) = -divZ(r,t).
100
Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
Връзка между вектора на Херц и източниците на полето може да се
получи, като се замести (8.19) в (8.7). Като се отчете и (8.18), за Z
получаваме
д
dt
3/ -
еодо-^дг-е^о^-
/ - d2z
—div I AZ - €Оцо~^2
Tf- х	д?
= -p0/(r,t) =
=----k(r, t) = —divP.
бо	£о
Тази система от 4 уравнения за трите неизвестни Zr, Zy и Zz е съвместима
— достатъчно е Z да удовлетворява уравнението
д2 Z	1 -
AZ-ЕоМо-^т =------P(r,t).
О1Л	€о
(8.20)
Поради това, че Z се определя от вектора на поляризацията, често се
нарича и поляризационен потенциал.
И така при зададени източници (fc(r, /) и /(г, /)) може да се посочи след-
ната рецепта за памиране на електромагнитното поле. Първо от (8.18)
се намира съответният вектор на поляризацията Р, който съответства на
зададените източници. След това вече при познато Р се решава урав-
нението (8.20) и се намира векторът на Херц Z. Удобството сега при
решаване на нехомогенното вълново уравнение е в това, че трите компо-
ненти на Z са независими една от друга. По-нататък чрез (8.19) от Z
се пресмятат А и U и накрая при известии А и U чрез (8.1) и (8.2) се
пресмятат и компонентите на полетата Е и В.
ЗАКЪСНЯВАЩИ ПОТЕНЦИАЛИ
Уравненията (7.7) могат да бъдат решени, при което се получава интег-
рално представяне за потенциалите чрез източниците на полето. Наисти-
на нека полето се създава от източници k(r, t) и Z(f, t), чието разпределе-
ние е известно в цялото пространство. (За опростяване на разглеждани-
ята k(r, /) и Z(f, <) се предполагат непрекъснати функции, а повърхнинни,
линейни и точкови източници се изключват.) Нека освен това dv' е обемен
елемент около фиксирана точка с радиус-вектор г' и dq(r',t) е зарядовият
елемент в него. Първата стъпка към решаването на уравнението (8.7,6)
за скаларния потенциал включва определяне на потенциала 6U(r, t) на по-
лето, създадепо само от заряда dq(f',t). Съгласно (8.7,6) на крайно (в
сравнение с размерите на dv') разстояние от dq потенциалът 6U удовлет-
ворява хомогенното вълново уравнение
, д2
kbU -	= 0.
Тъй като полето на точковия източник dq притежава сферична симетрия,
Ы) те зависи от г само посредством разстоянието г = |г — г'| до dq. Из-
вестно е, че в този случай операторът на Лаплас има вида (А.66'), така
Електромагиитни потенциали 101
че уравнението за 6U е
д2 1 д2
a^-^r6u)=0-
Въвеждането на нови независими променливи
г	г
£ = t-- и г) = t + -
с	с
привежда това уравнение във вида
д2
= °-
който може да се интегрира непосредствено. Така след интегрирането по
т) се намира, че
A(rW) = <;(£),
където </(£) е производна функция на своя аргумент. При следващото ин-
тегриране по £ примитивната на g функция ще бъде, изобщо казано, нова
производна функция /(£) (т.е. J g(£)d£ = /(С))- Тъй като при това интег-
риране следва да се добави константа спрямо £, която може да зависи от
г), окончателно се получава
rt>U = /Ю + Ш,
където fi е производна функция на 77. Така след възстановяване на стари-
те независими променливи потенциалът на полето на крайно разстояние
г от източника му се описва с формулата
6U(r,t) =
От съображения, които ще се изяснят по-долу, решения, съответстващи
на втория член, не се разглеждат, така че
(8.21)
6U(r,t) =
Видът на функцията / може да се определи от разглеждане на полето
в околността на точката г'.. От (8.21) се вижда, че при г —» r'6U има
особеност ( знаменателят клони към нула). Тъй като диференцирането
по г, което се съдържа в оператора на Лаплас, усилва особеностите, то
при г —► г' членът с в (8.7,6) може да се пренебрегне спрямо Д61/,
така че уравнението на потенциала се редуцира на срещаното в електрос-
татиката уравнение на Поасон (2.24,а), чието решение за точков заряд е
известно (вж.(2.20)). Така се получава, че при г—► г'
6U(r,t) =
dq(r',t)
4тг£о|г — т '|
Като се отчете, че за съшия случай от (8.21) следва
6U(ftt) =
т
102
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
от последните две равенства се определя и видът на /(/):
/«)=*₽•
Този резултат позволява потенциалът 6U от (8.21) да се представи във
вида

47Г£о|г — г
Потенциалът на полето в точка г, създадено от всички зарядови еле-
менти, ще се получи чрез сумиране на потенциалите им, т.е. ще се изра-
зява с интеграл от вида

47Г£о|г — Г7!
Тъй като за обемни заряди dq = kdv (вж.(1.4,а)), окончателно за потен-
циала се получава търсеното интегрално представяне
(8.22)
tf(r.t)
4тг£0|г — г'|
Тъй като уравнението (8.7,а) за векторния потенциал е аналогично на
(8.7,6), неговото решение има същия вид:
(8.23)
Voo
— ||F— r'|)^,
4тг|г — f'l
Получените изрази за А и U се наричат закъсняващи електромаг-
нитни потенциали. Това название се обяснява с факта, че потенциалът
в точка г и в момент t зависи от заряда dq в точка г' не в същия, а в
един по-ранен момент t —	. С други думи, влиянието на dq в точка
—I	—	IF—г Ч z-i
г закъснява и се отразява на полето в точка г след време 1—-—L. От-
тук се вижда и смисълът на константата с — това е скоростта, с коятпо
се разпространяват електромагнитните взаимодействия. Така например,
ако внезапно в точка г' можеше да възникне заряд q, поле в точка г ще
се появи след време ।. Затова често се казва още, че с е скорост на
разпространение на електромагнитното поле, или по-конкретно — ско-
ростта на разпространение на промените на полето (доколкото полето
заема цялото пространство и от тази гледна точка то не може да се раз-
пространява).
Решения от типа (t + lr~F I) съответстват на потенциал, който в мо-
мент t в точка г се определя от заряда dq в точка г' в един бъдещ момент
t 4-	-1. Това противоречи на нашите разбирания за причинно-следст-
вените връзки между явленията, съгласно които причината винаги пред-
хожда следствието (принцип за причинност). И доколкото полето се
разглежда като следствие от наличието и движението на зарядите, него-
вите характеристики не бива да зависят от характеристиките на зарядите
и токовете в бъдещи моменти. Това е причината, поради която решения
от вторил тип не се разглеждат. (Те следва да се отчитат, когато се
разглеждат полета в ограничени пространствени области.)
9
ПОЛЕ НА ДВИЖЕЩ СЕ ТОЧКОВ ЗАРЯД
ПОСТАНОВКА НА ЗАДАЧАТА
Нека точков заряд q се движи и законът за движението му и неговите
скорост и ускорение като функции на времето t' се описват съответно с
формулите
(9.1,a)	= ro(/z),
(9.1,6)	=
(9.1,в)	О =
където е известна функция.
Като се имат предвид свойствата на 6-функцията на Дирак (А.50),
разпределението на зарядите и токовете в пространството в този случай
може да се опише с изразите
(9.2,а)	к(г/') = q6(f' - Го(/')),
(9.2,6)	/(г', Г) = qvit'W -
Задачата е да се намерят електричното поле E(f, Z) и магнитното поле
B(f,f) в производна точка г и произволен момент t.
ПОТЕНЦИАЛИ НА ЛИЕНАРД — ВИХЕРТ
Поставената задача се решава относително лесно, като първо се прес-
метнат електромагнитните потенциали на полето. За целта предварител-
но формулите (8.22) и (8.23) за закъсняващите потенциали може да се
запишат в по-симетричен вид
(9.3,a)	U(f,t)= [ 7 k(r'jt''1 6(t' - t + Jv'df,
J J 4тге0|г- r'|	c
V'oo -OO
oo _
(9.3,6) X(f,i) = ^ f [	+
4тг J J |r — r'|	c
Voo -OO
103
104
Електромагиитни взаимодействия ese вакуум
След заместване на к и I от (9.2) в тях и интегриране по г' с помощта на
(А.50) се получава
(9.4,а)
(9.4,6)
— оо
— 00
За опростяване се въвеждат следните означения:
(9.5,а) Я(0 = г - го(«')
за вектора, съединяващ заряда q в
момента t' с точката на наблюдение
Р (фиг.9.1),
(9.5,6) Я(Г) = |Я((')| = |r-ro(t')|
за неговата големина и
(9.5,в)	RQ(t') = gradtf(f')
_ R(t') _ r — rQ(t'}
|r-ro(f)l
Фиг. 9.1
за единичния, колинеарен с R(t ) век-
тор. С L на фиг. 9.1 е означена траекторията на заряда. В новите озна-
чения формулите (9.4) придобиват вида
(9.6,а)
(9.6,6)
ОО
-оо
— оо
За пресмятане на интегралите по Р се въвежда променливата
r = P -t + -R(t').
с
Понеже според (9.5,6) R(t') е известна функция на Р, (9.7) определя f
като неявна функция на т: Р — t'(r). От (9.7) следва, че
dT=de+l-d-m
с dt'
(9.7)
dt1 или dt' =
dr
1 dR(P) ‘
с dt'
От (9.1,6), (9.5,в) и (9.5,6) за
dR
— се намира
dt
dR
dP
= -R0(t') • v(t'),
Поле на движещ се тонкое заряд
105
така че окончателно за dt'/dr се получава изразът
(9.8)
dt' _ 1
dr
като в него с х(/') е означена познатата величина
(9.9)	х(Г) = 1 -	) • RQ{t').
С
Смяната на променливата t' с т в (9.6) води до изразите
(9.10,а)
(9.10,6)
оо
ТТ(^	9	[ л- 6(г)
47Г£о J х(</(т))Я(</(т))’
— оо
A(r,t) =
ИоЯ 7 . g(</(r))g(r)
47г J х(Г(т))/ф'«
-оо
След интегрирането по г с помощта на (А.50) се получава
Я
(9.11,а)
(9-11,6)
4^ox(t'(O))R(t'(O))'
Air t) =
1 ' 4т x(t'(0))R(t'(0))
Моментът to = t'(0) се определя от (9.7) при г = 0, т.е. от
(9.12)	c(t - t0) = /ф0) = |г - <o(to)|.
Оттук и смисълът на to: това е моментът, в който светлинен сигнал, из-
пуснат от движещия се заряд, достига точката на наблюдение точно в
момента на наблюдение t. Ако се въведат означенията
(9.13)	v = фо), R = R(to), Ro = Ro(to), R = /фо),	x=x(t0),
изразите за електромагнитните потенциали придобиват вида
(9.14)	Щг-,()= ' . ’	x(r,i)=^.^,
47Г£о	Х/1	47Г X/L
или в първоначалните означения
U(f, t) = ——  -----------,
Е° |г - го(1о)| -	• (f- ro(i„))
(915)	... *
Л(г*,1) =	-------------Ш,
4Т |f-ro(<o)|- —— -(f-ro(lo))
с
където to е по принцип известна функция на г и f, определена от (9.12).
Вижда се, че потенциалите в момент t зависят от положението ro(to) и
скоростта г7(<о) на q само в един предхождащ момент to.
Получените изрази за електромагнитните потенциали се наричат по-
тенциали на Лиенард-Вихерт.
106 Електромагнитни в займ о действ ил вгв вакуум
От (9.15) следва, че при - <С 1 U и А се описват с изразите
(9.16)	f7(r,t)=----- g	и A(f,t) =	.
47Г€0|г-г0(/0)|	47Г |r-r0(t0)|
Сравнението па тези изрази с (2.20) и (4.30) показва, че в точка г и мо-
мент t скаларният потенциал на полето на бавнодвижещ се заряд съвпада
с потенциала на неподвижен заряд, разположен не в точката ro(t), в която
е зарядът в момента на наблюдението, а в точката ro(to), в която зарядът
се е намирал в предхождащия момент to- Аналогично векторният потен-
циал съвпада с потенциала на токовия елемент qv(to), намиращ се също в
го(<о)-
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ПОТЕНЦИАЛИ НА ПОЛЕ НА
РАВНОМЕРНО ДВИЖЕЩ СЕ ЗАРЯД
Нека q се движи равномерно праволинейно, т.е.
(9.17)
ro(Z) = г"о + Vt, V = const, Го = const.
За елиминиране на to от (9.15) първо (9.12) се записва във вида
t = to + -|r- ro(to)|.
Чрез умножаване на двете страни с v и добавяне
на го се получава
(9.18)
V
ro(t) = ro(to) + -|r- ro(to)|.
с
Фиг. 9.2
Ако за вектора, свързващ по-
ложението на заряда в момента на
наблюдение t и точката на наб-
людение г, за големината му и за
единичния, колинеарен с него век-
тор се въведат означенията
(фиг. 9.2):
(9.19)	p(t) = г-ro(t),
/КО = 1Д01, ДЮ =
от (9.18) се получава
|r - r6(t0)| =
V
p(t) + -|f- 7*o(tO)|
Повдигането в квадрат на двете страни на това равенство води до квад-
ратно уравнение за |r — ro(to)|
(1 - v2/c2)|r - ro(to)|2 - 2(Д • -)|r - ro(to)| - р2 = 0,
с
Поле на движещ се точков заряд 107
чието единствен© положително решение с помощта на формулата (ихД)2 =
v 2р2 — (V  р)2 може да се запише във вида
V I	V
(9.20)	R = |r - ro(to)| = (	2 , 2ч Я*) • ~ + \JP2^ “(7 х •
I А — U / С I	У	С-
С този резултат от (9.18) за ft(to) се получава
(9.21)	R = f- го(/о) = p(t) 4- 7^, 2 [р(0 • 7 + \Zp2(C -(7 х А(*))2 •
J. с? / С • с V	с
Оттук и от (9.5,в) може да се изрази единичният вектор Rq:
У1 с ~ с ’
Ro — —F Ро(С
с
Последните три формули позволяват да се изключи to от (9.15) и да
се намери явната зависимост на потенпиалите от величините, характери-
зиращи заряда в момента на наблюдение (т.е. от ro(t) и v):
(9.22)
U(r, t) =-------.
4тг£0х/р2(<) - (p(t) х v/c)2
A(r t) =
4тгх/р2(<) - (p(t) x v/c)2
V2
се, че при -=• <С 1,U съвпада с кулоновия потенциал на заряд
с1
Вижда
в точка fo(t), a A — с потенциала на токов елемент qv, намиращ се в та-
зи точка, като съвпадението е с точност до величини от втори порядък
спрямо -. (Аналогичното твърдение за производно движещ се заряд се
с
отнасяше за точката г"о(/о) и бе валидно с точност до величини от пър-
v
ви порядък по отношение на -, т.е. то бе в сила, когато движението е
с
v
толкова бавно, че дори - може да се пренебрегне спрямо 1.)
ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ НА ПРОИЗВОЛНО ДВИЖЕЩ СЕ
ЗАРЯД
Интензитетът Ё и индукцията В на полето на заряд, който се движи по за-
кона (9.1,а), се получават от изразите (9.6) чрез формулите (8.1) и (8.2).
Наистина, ако 6' означава производната на едномерната б-функция, като
се отчете, че А зависи от t само посредством аргумента на 6-функцията,
a U зависи от г посредством Я(/7)> от (9-6) се получава
00
E=-gradt/-^ = Idt
at 4ireo J

оо
W *(*')	.
47 ./ dt
— оо
— оо
108
Електромагнитни взаимодействия вав вакуум
като в преобразованията е използвано равенството (9.5,в) и обозначени-
ето, въведено с (9.7). По аналогичен начин за В се получава
В = rot А =
47 J dt R\V) S(T)---------------------cR(t') 6
— ОО
Оставащото интегриране се провежда, като вместо t' за интеграционна
променлива се използва т:
q f dr rfio(f)	Яр(П	</6(т)1	цод f dr	v(f)
4тг£0 J x(f) R2(t')	cR(t')	dr .	4?r J x(t')	R(t')	dr
—oo	—oo
5 _ До</ f dr rv(f) x Яр^) v(t') x R0(t') d6(T)-
4tv J x(t') •	Я2(/')	cR(t') dr . ’
— oo
(тук t' e функция на г). Чрез интегриране по части членовете, съдържащи
—, се свеждат до интеграли, които съдържат само д(т):
dr
oo
A k
47T€o J
— oo
OO
Voq f
.xR2(t') dr'cx(t')R(t'Y.
oo
S _ ^q [
4?T J
— oo
v(f) x Ro(t') d ,v(t') x Ro(t')c
x(t')R2(t') + dr[ cx(V)R(V)
.id< *(*') q
d
Тъй като всички величини зависят от т само посредством t', въз основа
на (9.8) може да се запише
(9.23)
d dt' d 1	d
dr dr dt' x(t'(r)) dt'
Като се отчете, че при г = 0 t' = t0 (вж.(9.12)), интегрирането по т с
помощта на 6-функцията води до изразите
(9.24)
q Ro	1 d (	\
4тг£р .хЯ2 х dto'cxR.
Цо d , v
4тгх dto^R
4тг хЯ2
1 d ,v х Яох‘
х dt0 cxR .
в които отново се използвани означенията, въведени с (9.13). Окончател-
ните изрази за Е и В се намират след пресмятане на производните по /о-
За целта с помощта на (9.1,6), (9.5,а), (9.5,6) и (9.5,в) предварително се
пресмята, че
(9 25) dR° =	- d r-nj(*°) _	1 dro(Zo) _ r - rp(t0) dR
dto dto R dto R R dto R2 dto
= ~Ъ ~	• v) = ^Ro x (Ro x v).
it it	к
Поле на движещ се точков заряд
109
1
След отчитане на зависимостта uq = -=—
С“£о
R х (Ro х v)	Ro d
ex2 R	ex dto
който след известна алгебрична преработка придобива вида
за Е се получава изразът
Я До
4тг£о 1-хД2
—)
xR'I
d z v
<?_______________
4тгб0с2х dtoy xR.
- _ q Г Др - у/с Др	J 1__________1	d у ’
4тге0  х2Д2	хе dto *R	с2х dtoxR -
По същия начин за В се получава
До d , v .
— х т- (—т;)
ex dto *R J
q v
47TEQC2 .x2R2
1 d , v 4]	-
4----- -r-(—p) x До-
ex dto xR J
Сравнението между получените изрази показва, че
(9.26)
B=-Rox Е,
с
т.е. във всяка точка на пространството Е и В се перпендикулярни помеж-
ду си, като магнитното поле е перпендикулярно и на единичния вектор До,
насочен от точката ro(to), в която се е намирал зарядът в предходния мо-
мент to, към точката на наблюдение г.
Крайният резултат за Е се получава, като предварително с помощта
на (9.1,6), (9.1,в), (9.9) и (9.25) се пресметнат изразите
dto *R'
1	/ .г - а - v2 ч
^г(Яо» + -Я-у),
d / у \ у / - - у2 \	1 - а \ а
= l?4^Ra'v ~	+ ~^rRi> х х ё^ + 7?я'
След заместването им в последната формула за Е и съответната алгеб-
рична преработка получаваме израза
(9.27)
- _ q [(Др - v/c)( 1 - v2/c2) Др х [(Др - у/с) х а/с]
4тгео . х3Д2	cx3R
От него с помощта на (9.26) за В следва формулата
(9.28)
?	[(1 - v2/c2)v/c х До , До х {До х [(До - v/c) х а/с]}
В(Г’ ° - 4^ -----------xW----------+	cx^R
Формулите (9.27) и (9.28) изразяват характеристиките на полето на
движещ се по произволен начин точков заряд q, като в тях E(f,t) и B(r,t)
в точка г и момент t са изразени чрез положението, скоростта и уско-
рението на заряда в предходния момент to, определен от (9.12). Всяка
от формулите съдържа сума от два члена — единият не зависи от ус-
корението а и е обратнопропорционален на квадрата на разстоянието до
ПО Електромагиитни взаимодействия вгв вакуум
заряда, а другият зависи линейно от ускорението и е обратнопропорцио-
нален само на първата степей на това разстояние. Следователно векторът
на Умов—Пойнтинг (7.23) за това поле съдържа три типа събираеми —
едно, пропорционално на Л-4, две — пропорционални на Я~3 и едно, кое-
то е пропорционално на R~2 и зависи квадратично от ускорението а. Ако
се пресметне енергетичният поток през една сфера с център г"о(/о) и се
остави радиусът й R да клони към безкрайност, принос към този поток
ще даде само онова събираемо в израза за вектора на Умов—Пойнтинг,
което е пропорционално на R~2 (тъй като площта на сферата е пропор-
ционална на R2). И тъй като потокът на енергията през подобна сфера
представлява всъщност излъчената от заряда за единица време енергия,
следва фундаменталният извод, че електромагнитна енергия излъчват са-
мо заряди, които се движат с ускорение.
Вижда се освен това, че за големи R там, където членовете от поря-
дъка на R~2 може да се пренебрегнат, не само магнитното поле В, но и
електричното поле Е е перпендикулярно на Ro, така че там Rq, Е и В
образуват дясна тройка ортогонални вектори.
Формулите (9.27) и (9.28) са в основата на теорията на излъчване на
електромагнитна енергия. С тяхна помощ например се изучава ъгловото
разпределение и общата излъчена мощност при различии съотношения
между векторите v и а и при всевъзможни техни големини.
Нека например в момента на излъчването v/c<Cl. С точност до вели-
чини от първи порядък по отношение на г/с от (9.27) и (9.28) за елект-
ромагнитното поле следват изразите
а - 9 Яо х (Ro х а/с)
(9.29)	47ГСо _
5/- .х Q Ro х [Яо х (Rq х а/с)]
В(Г’() = 4тёоё--------М----------•
Предвид връзките с2 = --- и (9.26), за вектора на Умов—Пойнтинг се
£оДо
получава
с_ U х д- 1	Ч2*2 sin2 0 р
S~	^СЕ х (Ro х Ео) -	- 1бЛо(.з • - дг-Яо,
където О е ъгълът между Ro и а в момента на излъчването to.
Следователно бавнодвижещ се заряд не излъчва в направление на ус-
корението, а максимално количество енергия се излъчва в равнината, пер-
пендикулярна на ускорението.
Общата енергия, излъчена от заряда за единица време, се намира чрез
пресмятане на потока на S през повърхнината на една сфера с център
fo(to) и достатъчно голям радиус R:
_ 2ж т
W = i S  ds = - ? Q f dip / </0^^/?2sin0
J 1б7г2с3е0 J J R2
s	oo
или
(9.30)
Поле на двимсе.щ се тонкое заряд
111
Формулите за S и W показват, че при достатъчно малка скорост на
заряда нито ъгловото разпределение на излъчената енергия, нито общото
й количество зависят от скоростта, като се определят изцяло от неговото
ускорение.
ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ НА РАВНОМЕРНО ДВИЖЕЩ СЕ
ЗАРЯД
Изрази за характеристиките на полето на равномерно движещ се заряд
се получават от (9.27) и (9.28) при а = 0. С помощта на (9.20) и (9.21)
се получава
gif л =	~	Д')
4тге0
B(r П = - х Ё = ЯоУ<1 ~ v2/c2) I* Д')
1	’ С2	41Г	(p2(i) - (p(t) X v/c)2]3/2 ’
където отново p(t) е векторът, свързват положението на заряда q в мо-
мента на наблюдение t с точката на наблюдение г. Очевидно е, че с
точност до величини от втори порядък по отношение на v/c електричното
поле съвпада с кулоновото поле на заряд q, а магнитното поле е същото
като стационарното поле на токов елемент qv.
От (9.31) се вижда, електричното поле на равномерно движещ се заряд
няма сферична симетрия. Наистина за двата случая, когато точката на
наблюдение лежи върху правата, по която се движи зарядът, и когато тя
лежи в равнина, минаваща през заряда перпендикулярно на траекторията
му, от (9.31) се получава
4 = 4^" 	“ v2/c2)’ Al|i?’
(9.32)	4 0 Р_
Е\ =	 (1 - «’/с2)’*72. До±й
47Г£о р~
Сравнението на тези формули показва, че при еднакви разстояния до за-
ряда интензитетът на полето в направление на движението е (1 — и2/с2)3/2
пъти по-слаб, отколкото в перпендикулярно направление. При по-голяма
скорост интензитетът jEj| в надлъжно направление намалява, а в напречно
— расте. В граничния случай v —+ с електричното поле става чисто
напречно.
ЕНЕРГИЯ И ИМПУЛС НА ПОЛЕТО НА РАВНОМЕРНО ДВИЖЕЩ
СЕ ЗАРЯД
Нека полето се създава от равномерно движещ се със скорост v заряд q,
който не е точков, но размерите му са достатъчно малки, за да може с
Достатъчна точност да се прилагат получените по-горе формули. Оче-
видно картината на полето се премества в пространството със същата
112 Електромагнитни в займ о деист в гиг във вакуум
скорост v, т.е. стойностите на Е и В в точка г и момент t ще бъдат съ-
щите, каквито са в точка г + v(t' — t) в момента I'. Този факт следва от
(9.31), тъй като
p(t) = г - го(О = г — го - vt — f+ v(f -t)~ (го + v/z) = p(t'Y
Очевидно e също така, че тъй като картината на полето само се транс-
лира в пространството с течение на времето, зарядът не излъчва електро-
магнитна енергия. Наистина за големи р векторите Е и В намаляват като
1/р2 и енергетичният поток през една сфера с безкрайно голям радиус и
център в заряда ще е нула.
От механиката е известно, че частица с маса т се движи с ускорение
а, когато й действа сила F = та. Нека под действие на такава сила рав-
номерно движещият се заряд q увеличи скоростта си за интервал време
Д/, без да промеия посоката й. Тази промяна на v води до промяна на В
и съгласно закона на Фарадей в пространството ще се индуцира елект-
рично поле АЕ, което ще действа с определена електрична сила qAE на
q. От съображения за симетрия е ясно, че qAE може да бъде само по
направление на движението (гГ и а са еднопосочни). Силата qAE не може
да бъде обаче в посока на ускорението, защото тогава един равномерно
движещ се заряд при наличие и на най-малката флуктуация на скоростта
в посока па движението би започнал да се самоускорява под влияние на
възникналата сила qAE — ефект, който противоречи на законите за за-
пазване на енергията и импулса и който не се наблюдава. Следователно
допълнителната сила qAE е с посока, противоположна на ускорението а.
На тази допълнителна сила qAE може да се гледа като на своеобразна
инерчна сила. По такъв начин външната сила F, за да придаде опреде-
лено ускорение на заряда, трябва да преодолев освен инерчната му маса
7П, още и тази допълнителна сила qAE. Ефективно се оказва, че една
и съща сила при действие върху две частици с равни инерчни маси, но
едната заредена, а другата — не, придана на заредената частица по-мал-
ко ускорение. С други думи, наличието на заряд и евързаното с него
електромагнитно поле води до увеличаване масата на частицата.
Количествен израз тези разсъж-
дения получават, като се пресмет-
не електромагнитният импулс рет на
полето на равномерно движещия се
заряд (фиг. 9.3). За простота раз-
глеждането се прави в координатна
система, чиято ос Ох съвпада с тра-
екторията на заряда, така че v =
(v, 0, 0). Съгласно (7.29) и (9.31) им-
пулсът на полето на заряда е
Рет = Ео / Ex Bdv = Ц- /Ёх (и х E)dv
J	С~ J
^оо	ВОС
/ [E2v — (Ё  v)E]dv.
V»
Поле на движещ се точков заряд 113
Тъй като при направения избор на координатната система v • Е = vEx, за
компонентите на рет в посока на движението и перпендикулярно на нея се
получава
(9.33) Pem.r — j [Еу + E2]dv, Рет,у — J ExEydv
Voo	V„
И Pem,z —	9 / Ех Ezdv.
J
Voo
Очевидно e, че на всяка т.А в пространството може да се съпостави та-
кава симетрично разположена т.В, в която Ех има същата стойност, както
вт. А, а Еу за двете точки има една и съща големина, но противоположни
знаци. Следователно при интегрирането приносите на полето в т.А и т.В
към Рет,у ще се унищожат, така че общо ще се получи рет,у — 0. Същите
разсъждения водят и до извода, че рет,г = 0. Следователно импулсът на
полето е колинеарен с v и (9.33) може да се запише във вида
(9.34)
Рет = ^7» j (Еу + E^)dv.
Нека разпределението на заряда q в пространството е сферически си-
метрично. Когато скоростта му е толкова малка спрямо с, че величините
от порядък на (г?/с)2 могат да се пренебрегнгСт спрямо единицата, от (9.31)
се вижда, че Е притежава сферична симетрия и затова
)dv= \ I
о J
Voo
Следователно от (9.34) за импулса на полето се получава
-	2 £о f Д2 j
Рет = о ’ "2U / Е dv'
3 с- J
Voo
По подобен начин се пресмята и енергията Wem на полето на същия
заряд. За целта от (7.18) и (9.31) се получава
. 2 2/xq
E2dv = / E2dv = / E2dv =
*	f у	I Л
E2dv.
(9.35)
в2 dv= / !
J 2
£o 62, 1
2	2/i0c4
W
''em —
Voo
Оттук с предишната точност (v2/c2 <C 1) остава
v<
Щи/схЁ)2 dv.
Wem = V f &dv-
Li J
Voo
Сравнение™ между (9.35) и (9.36) показва, че
(9.37)	р - i .
'	'	Рет — п о
3 с*
(9.36)
em -
V.
114 Електромагнитни взаимодействия взв вакуум
Съществено е, че импулсът на електромагнитното поле се оказва пропор-
ционален на скоростта на движение на заряда. Това позволява за общия
импулс на системата заряд — поле да се напише
4 W
(9.38)	р - (т+ - • —~)v,
о С
където т е инерчната маса на заредената частица, a mv — механичният
й импулс. Резултатът (9.38) позволява величината
(9.39)
4 Wem
т'т 3 ‘ с2 ’
която има размерност на маса, поради електромагнитния си произход да
се нарича електромагнитна маса на частицата.
Следователно резултатите от опитите с една заредена частица зави-
сят само от сумата на нейната инерчна и електромагнитна маса, но не и
от тези маси поотделно. Този факт поставя въпроса, не може ли изобщо
наличието на инертност на една заредена частица да се обясни изцяло
чрез връзката (9.37) между импулса на полето й и нейната скорост. Това
е еквивалентно на предположението, че масата на частицата има елек-
тромагнитен произход. Тогава, ако се направи и предположението, че
частицата е равномерно обемно заредена сфера, от (3.23) и (9.39) се по-
лучава
(9.40)

4 q2
5 47Г£'ос2а ’
където а е радиусът на частицата. Тази формула показва, че чрез под-
ходящ подбор на а може да се обясни произволна по големина, отнапред
известна маса на частицата. Опитите обаче да се изгради последовател-
на класическа теория на заредените елементарни частици по този път,
особено интензивни в началото на нашия век, не дават резултат.
Както бе. отбелязано в тема 3, факторът 3/5 в (3.23) е резултат от
предположението за конкретното разпределение на зарядите в сферата.
При друго разпределение той има друга стойност, но запазва порядъка
си. Ето защо от (9.40), като се предположи, че цялата маса на частицата
има електромагнитен произход, а множителят 4/5 се замени с 1, може да
се определи радиусът на частицата (тп и q са измерими величини):
(9-41)
а = q2
Атгеотпс2
Ако в (9.41) за т и q = е се заместят съответните стойности за елект-
рона, се получава стойността а = 2,8 • 10“15т, известна като класически
радиус на електрона.
10
МУЛТИПОЛНИ МОМЕНТИ
ПОСТАНОВКА НА ЗАДАЧАТА
Формулите (2.22) и (4.30) изразяват потенциалите на стационарного елек-
трично и магнитно поле чрез локалните характеристики на източниците
— плътностите на зарядите k(r) и на токовете /(f). В редица случаи са
необходими изрази за потенциалите на полетата на системи, детайлното
разпределение на зарядите и токовете в които е или неизвестно, или от-
носително сложно. (Такива системи например могат да бъдат атомните
ядра, атоми или техни групировки — молекули и йони и т.н.).
Характерно за споменатите случаи е, че в тях заетата от източниците
пространствена облает няма безкрайни точки — затова такива източници
се наричат пространствено ограничени. Всеки пространствено ограни-
чен източник се характеризира със свой размер I — като такъв например
може да се разглежда максималното разстояние между две точки от из-
точника.
Задачата на следващите разглеждания е да се покаже, че далече от
един пространствено ограничен източник потенциалите на полето вместо
чрез k и I могат да се изразят като линейни комбинации от една диск-
ретна съвкупност от величипи, всяка от които характеризира източника
глобално и, което е по-важно, въпроснцте глобални характеристики могат
да се определят, без да се изеледва полето вътре в източника.
За решаване на задачата коорди-
натното начало, от което се отчитат радиус-векторите г и г' в (2.22) и (4.30), се помества в производна точ- ка от източника (фиг.10.1). Тогава 1 функцията ——— може да се раз- |т-г'| вне в безкраен ред по отрицателните степени на фиксираното разстояние г = |г| от координатного начало до точката на наблюдение Р. Наисти- на, като се отчете, че г' < / и уго- ворката, че се изеледва полето дале- че от източника (т.е. при г > /), в Дясната страна на равенствата	1	г \ \	V г*	/ Фиг. 10.1
115
116 Електромагиитни взаимодействия вгв вакуум
1 _ 1 _ ______________________________1____________
lf- г''|" '/(’=-’т')2 - / S
Гу г2 г2
величината (2—=--------) се оказва малка спрямо единицата. Това позво-
'	Т“
1	, х Зя2
лява да се използва развитието г ------ = 1 + - + —— + • • •. Като се въведе
V1 — х 2	8
_ г
означението го = - и в развитието се оставят само малките величини до
г
втори порядък включително, се получава
= 7 + X" •r" + 573 [’(го • г')2 - Г'2] +   •
(10.1)	'	'	2
= - + -4го • г' 4- iro • [Зг' * г' - Г,26] • Го -Ь • • •
г г-	2га
Тук <5 е единичният тензор и за получаване на последния израз е използ-
вана формулата (А. 10).
ЕЛЕКТРИЧНИ МУЛТИПОЛНИ МОМЕНТИ
Заместването на (10.1) в (2.22) води до представяне на потенциала на по-
лето на статични (или стационарни) пространствено ограничени заряди
във вида
(Ю.2)
<7 Р‘ го 1 rp.d.ro .
4тг€ог 4тгеог2 2 4тгеог3
където q, р и d са съответно едно-, три- и деветкомпонентни величини,
дефинирани с равенствата
(10.3)
d = / (Зг ♦ г — r26)dq
и наречени съответно електричен заряд, електричсн диполен момент
и електричен квадруполей момент на системата. От определенията
(10.3) се вижда, че техните компоненти, изобщо казано, зависят преди
всичко от разпределението на зарядите в системата, но също така и от
избора на координатното начало и посоките на координатните оси. По
своята същност мултиполните моменти представляват глобални характе-
ристики на системата. Като се отчете, че по начало полето се разглежда
само в точки, разположени далече (в сравнение с /) от зарядите, от (10.3)
произтичат следните оценки:
(10.4,а)	р ql, d qf2 и т.н.,
където р и d са кои да са от компонентите на диполния и квадруполния
момент.
Мултпиполни моменти
117
Като се има предвид (1.4,а) се вижда, че за важните случаи на обемни
заряди формулите (10.3) приемат вида
(10.4) q = J k(r)dv, р = J rk(f)dv, d= J(3r * г — r26)fc(r)t/v,
v	v	v
а когато полето се създава от N точкови заряда q,, разположени в точки
с радиус-вектори rj,
NN	N
(10.5)	9 = 52 9», Р = 52^’ d = ^2(3rJ * rj - т\2(5)д,-.
i=l	i=l	i=l
С помощта на (10.3) лесно се показва, че когато q = 0, диполният мо-
мент притежава трансформационните свойства на вектор — такава сис-
тема от заряди се нарича електричен дипол. Аналогично, когато q = 0
и р = 0, квадруполният момент представлява тензор от втори ранг, а сис-
темата се нарича електричен квадрупол. От (10.3) следва още, че d е
з
симетричен тензор, чиято следа е нула (т.е. £2	= 0), и следователно
Д = 1
броят на независимите му компоненти е не 9, а само пет. На фиг. 10.2 са
представени три най-прости системи от точкови заряди, които представ-
ляват съответно електричен дипол и така наречените линеен и равнинен
квадрупол.
- е +е
о о
о	о	Q О	О	о о
-е	+е	+е -2е	+е	+е	-е
а	6	В
Фиг. 10.2
Представянето (10.2) решава поставената задача за [/(f): вместо с k(r)
сега източникът се характеризира с една'безкрайна съвкупност от много-
компонентни величини q, р, d и т.н., които общо се наричат електрични
мултиполни моменти, така че потенциалът извън зарядите се представя
като безкраен ред по обратните степени на разстоянието от точката на
наблюдение до координатного начало. Коефициентите на този ред зави-
сят от посоката към точката на наблюдение (т.е. от f0) и представляват
линейни комбинации от компонентите на мултиполните моменти.
Мултиполните моменти зависят от разпределението на зарядите в сис-
темата (посредством к(т), респ. п), но те, бидейки глобални характерис-
тики, могат вече да се определят от наблюдения върху системата като
Няло — например, като се изучава характера на полето й извън нея, като
се следят реакциите й на външни въздействия (поведението й при облъч-
ване) и т.н.
Развитието (10.2) е удобно за намиране на U(r) при г^>/. В този слу-
чай членовете на реда намаляват бързо и потенциалът се описва доста-
тъчно точно само с първите няколко от тях. Ако q^0, на големи разстоя-
ния системата се държи като точков заряд — конкретного разпределение
118 Електромагнитни взаимодействия вев вакуум
на зарядите вътре в нея не влияе върху U(r). При q = 0 и р ф О определящ
за полето на големи разстояния е диполният член и т.н.
ПОЛЕ НА ЕЛЕКТРИЧНИ ДИПОЛИ
Електричен дипол, образуван от точкови заряди +д и — q, разположени в
точки с радиус-вектори г± и г_, съгласно (10.5) има диполен момент
(10.6)
р = qf+ — gf_ = дДг,
където Дг е отместването от отрицателния към положителния заряд. Та-
къв дипол често се нарича физичен или реален дипол. Ако се проведат
едновременно граничните преходи Дг —> 0 и q —+ оо по такъв начин, че
произведението дДг да остава крайно, се получава нов идеализиран точ-
ков източник на поле — т.нар. математичен или точков електричен
дипол. (Първи подобен идеализиран източник е точковият заряд.)
От (10.2) следва, че потенциалът на полето на математичен дипол се
описва с формулата
(Ю.7)
шр\ = Ру° - P (F~F')
4тГ£оГ2 47Г£о|г — f'l3 ’
като втората модификация задава потенциала на полето на дипол, разпо-
ложен не в началото на координатната система, а в точка с радиус-вектор
г'(г = |г — г'|, г0 = ——). При това съществено е, че за разлика от (10.2)
формулата (10.7) описва потенциала в цялото пространство.
С помощта на (2.19) за интензитета на полето на дипола от (10.7) се
получава изразът
(10.8)
р _ 3(р.гЬ)г0 - р
4тгеог3
Сравпяването на (10.7) и(10.8) с (2.20) и (2.4) показва, че както U, така
и Е за дипола намаляват с увеличаване на разстоянието до източника с
една степей по-бързо, отколкото за случая на точков заряд. Очевидна
причина за това е частичната компенсация на полетата на близко разпо-
ложените заряди с противоположни знаци.
Когато огромен брой диполи са разположени в пространствена облает
V, по повърхнина S или върху крива L, разпределението им се характе-
ризира съответно с
обемна плътност на диполите — P(r) = lim ,
v ' ДУ—>0
повърхнинна плътност на диполите — N(f) = lim
линейна плътност на диполите — G(r) = lim гФ^г,
|ДгН0 |Дг|
където Др е резултантният диполен момент на диполите съответно в обем-
ния елемент Д?;, по повърхнинния елемент Д« и върху линейния елемент
Дг.
По начина, по който в тема 2 бе получен израз за потенциала на обем-
ни заряди, и сега може да се покаже, че потенциалът на полето на обемни
Мултиполни моменти
119
на повърхнинни и линейни диполи се описва съответно с формулите
(10.9,а)
dv',
v
(10.9,6)

s
(10.9,в)
г')
Л.. 1^ -Г,13' ldr I-
L
Понякога за пресмятане на полето на обемни електрични диполи е
удобно с помощта на (А.30) и (А.35) на формула (10.9,а) да се придаде
видът
(10.9,а')
U(r) = -divZ(f),
където спомагателният вектор Z, наречен електричен вектор на Херц,
се определя с интеграла
(10.10)
v
Очевидно е, че както от интегралното представяне (2.23) следва, че
потенциалът на обемни заряди удовлетворява уравнението на Поасон
(2.24,а), така от (10.10) следва, че Z удовлетворява аналогично урав-
нение:
(10.10')
£о
Може да се докаже, че полето на обемни диполи е евквивалентно на
полето на подходящ© разположени обемни и повърхнинни заряди. Наис-
тина нека V е облает с повърхнина S и нека вътре във V има обемни
диполи с плътност Р(г). Чрез (А.35) и (А.69) изразът (10.9,а) може да
се преобразува, както следва:
Щг) = / grad'^-Цж/ = [div'
J 4тгбо |т — г'| J 4тгеок — г'|
V	V
[ div'P(f') J , Г Pn(f‘)	[ -div'^r') J ,
/   р—= Ф - ——— ds + /   р—=7|dv
J 47Г£о|г — Г I J 4л-£о|г — r | J 4лто|г —r |
v	s	v
където Pn e проекцията на P върху нормалния към повърхнината S век-
тор п. Сравняването на получените два интеграла с (2.22) показва, че
полето на обемните диполи с плътност Р е евквивалентно на сумата от
полетата на обемни заряди, изпълващи областта V с плътност
(Ю.И,a)	k(r) = — divP(r)
120
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
и полето на повърхнинни заряди, разположени с плътност
(Ю.11,6)	h(r) = Pn(f)
върху повърхнината S на областта V.
Често съдържащото се в равенствата (10.11) твърдение се нарича те-
орема за еквивалентност на полето на обемни диполи и полето на под-
ходящ© подбрани обемни и повърхнинни заряди.
По подобен начин може да се докажат още две аналогични твърдения.
На основата на формула (10.9,6) се доказва, че ако по повърхността S
има тангенциални към повърхнината диполи, тяхното поле е еквивалент-
но на полето на подходящ© подбрани повърхнинни заряди, разположени
по S, и. линейни заряди, разположени по контура L на повърхността S.
Аналогично от (10.9,в) следва, че ако по кривата L има тангенциално
разположени към нея линейни диполи, тяхното поле е еквивалентно на
полето на подходяще подбрани линейни заряди, разположени по кривата,
и подходящи точкови заряди, разположени в нейните краища.
Подобна редукция може да се направи и при полета на обемни, по-
върхнинни и линейни мултиполи от по-висок ранг. Така например чрез
подходящ граничен преход може да се дефинира точков (математичен)
квадрупол и след това да се изведат формули за потенциала на полето,
създадено от огромен брой такива квадруполи, изпълващи дадена облает
V. В този случай разпределението на източниците се описва с подходящо
поле D{r) — обемната плътност на квадруполите. Както при обемните
диполи, така и сега може да се докаже, че полето на такива квадруполи
е еквивалентно на полето на обемни заряди с плътност, пропорционал-
на на divDivZ)(r). и повърхнинни заряди и диполи с плътност съответно
пропорционална на n.DivD(f) и п.£)(г).
Изобщо казано, полето на обемни мултиполи от даден порядък е ек-
вивалентно на поле на подходящо подбрани обемни и повърхнинни мул-
типоли от с единица по-нисък порядък.
Примери. 1. Ла се пресметне полето на обемно хомогенно поляризи-
рана сфера с радиус а и плътност на диполите Р.
За намиране на полето е удобно първо да се пресметне определения!
с (10.10) електричен вектор на Херц. Тъй като по условие Р(г/) = const,
всяка от декартовите компоненти на интеграла (10.10) представлява ин-
теграл от типа на онези, които определят потенциала на полето на хомо-
генно обемно заредена сфера (вж. пример 1 от тема 2). Тази аналогия
позволява направо да се използват формулите (2.27), като в тях обемната
плътност на зарядите к се замени с обемната плътност на диполите Р:
Z' = ^-(За2 - г2), г^а,
6е0
у. _ Ро3 1
Зсо г'
Мултиполни моменти 121
От тези изрази по формула (10.9,а') за потенциала се получава съответно
. - Рг
U' = — divZ* = ——	за г < а,
Зсо	~
Ue = —divZe =	за г > а.
O€ord
Тъй като р = |тга3Р е общият диполен момент на сферата, за пресметна-
тия по (2.19) интензитет на полето се получава
Ё' = ~Т~
Зео
ge _ 3(p.fo)fo - р
4тг£о*‘3
за г а,
за г > а.
Първата от получените две формули показва, че вътре в хомогенно по-
ляризирана сфера електричното поле е хомогенно, интензитетът му е кон-
станта, а посоката му е противоположна на посоката на диполите. Срав-
нението на втората формула с (10.8) показва, че извън сферата полето е
същото, каквото би било, ако всички диполи се поставят в центъра й.
2. Да се изеледва полето на електричен двоен слой.
Според казаното по-горе отпоено възможностите за редукция на по-
лето на повърхнинни диполи свойствата на полето на тангенциални към
една повърхнина S повърхнинни диполи са аналогични па свойствата на
поле на повърхнинни заряди и на линейни заряди. Поради това интерес
представляват свойствата на полето на повърхнинни диполи, които са
нормално разположени спрямо повърхността S, която ги носи. Место по-
добна повърхнина се нарича електричен двоен слой, тъй като може да
се представи като получена от две безкрайпо близко разположени повър-
хнинни, носещи противоположни по знак повърхнинни заряди с безкрайно
големи плътности.
Удобно е първо да се изеледват свойствата на полето, създадено от
повърхнинни диполи с плътност, чиято големина е еднаква във всички
точки на повърхнината. И така нека повърхнината S е хомогенно и нор-
мално поляризирана, т.е. нека по S има повърхнинни диполи, чиято по-
върхнинна плътност N е перпендикулярна на S и освен това
Nn = n.N = const,
където п е единичният нормален към S вектор. Тъй като п и N са коли-
неарни, като се отчете, че Nn — const, с помощта на формула (А. 16) на
(10.9,6) може да се придаде видът
An Hf-r').ds
4тгбо J |г — г,|3
S
Оставащият интеграл дефинира точно пространствения ъгъл Q, под кой-
то повърхнината S се вижда от точката с радиус-вектор г. Следователно
потенциалът е
дг
4ТГ£о
122
Електромагиитни взаимодействия във вакуум
Нека сега U" и U' са стойиостите на потенциала в две безкрайно близ-
ки една от друга точки, като първата е от лицевата, а втората — от
опаката страна на S. Пространственият ъгъл, под който S се вижда от
първата точка, е 2тг, този, под който се вижда от втората — съответно
—2тг. Тогава от горната формула следва важната връзка
/V
(/"-[/' = 112-.
бо
Лесно се съобразява, че този резултат е валиден не само за частния
случай, за който бе доказан. Наистина нека S носи произволни повърх-
нинни диполи. Тяхната плътност N може да се представи като сума от
два вектора — единил тангенциален, а другия — нормален към S:
N = Ni+Nn.
Потенциалът на полето на тангенциалпите диполи ще бъде непрекъс-
нат върху S ( с изключение на точките от контура на S), тъй като това
поле е еквивалентно на поле на повърхнинни заряди по S и на линейни
заряди върху контура й. Следователно, ако потенциалът на полето има
скок върху S, той се определя от плътността Nn на нормалната компо-
нента, за която обаче сега не е изпълнено условието Nn = const. За да
се намери този скок, може около точката с радиус-вектор г да се отдели
толкова малка част Д5 от повърхнината S, че да може върху нея да се
счита Nn % const. В този случай полето в т.г може да се разглежда като
суперпозиция от две полета — полето на диполите от Д51 и полето на
диполите от останалата част на S. Но тъй като полето на последните
няма особености в т.г (едно поле може да има особености само в точките
, в които се намират източниците му!), а за потенциала на първото ва-
жи изведената по-горе формула, следва, че тя наистина описва скока на
потенциала и в най-общия случай.
И така потенциалът на повърхнинни диполи търпи върху поляризира-
ните повърхнини краен скок, пропорционален на нормалната компонента
Nn на повърхнинната плътност на диполите.
Ако нормално поляризираната повърхнина се представи като електри-
чен двоен слой, т.е. като две безкрайно близки повърхнини, заредени с
противоположни по знак и с равни по големина заряди, фактът, че между
безкрайно близките точки съществува крайна потенциална разлика, по-
казва, че в пространството между повърхнините интензитетът на полето
е безкрайно голям, както са безкрайни и големините на повърхнинните
плътности на зарядите върху тези две повърхнини.
МАГНИТНИ МУЛТИПОЛНИ МОМЕНТИ
Заместването на развитието (10.1) в (4.30) води до интеграли, които по-
ради векторния характер на магнитния потенциал са по-сложни, отколко-
то тези в (10.3). За случая на обемни токове, които текат с плътност Z(r)
в облает V, например първият от тези интеграли (с оглед на (1.8,а)) е
У dl(r') = У I(r')dv'.
v
Мултиполни моменти
123
Стационарността на токовете (div/ = 0) дава възможност за пресмята-
нето на интеграла областта V да се раздели на тънки затворени токови
нишки ДЦ, големините на токовете в които са съответно ДУ,-. Тъй като
за всяка от тях е валидно равенство (1,. 14), то
У I(f')dv' = 52 У I(r')dv' = 52 j dfi = 0,
V	‘ ДУ,	* L,
като Li e затворена крива, минаваща по нишката ДЦ, а последните ин-
теграли са нула именно поради това, че Li са затворени криви.
Вторият интеграл, който се получава при заместване на (10.1) в
(4.30)(отново за случай на обемни токове), с помощта на (А. 12) може
да се представи във вида
От (В.10) (вж. формула (В.10) от приложение В) и (А.10) се вижда оба-
че,че
У dv'f'fJtf') .fo) = — У dv'
v	v
и следователно въпросният интеграл може да се представи като
У .f')dv' = т х f0,
v
където векторът
(10.12)	т =	/ г х I(r)dv = / fxdl(r)
At I	/
V
не зависи от точката на наблюдение, определя се единствен© от разпре-
делението на токовете в системата и се нарича неин магнитен диполен
момент.
Поради по-сложния му характер третият интеграл, който се получа-
ва при заместване па (10.1) в (4.30) и определя магнитния квадруполен
момент на системата, тук не се дискутира.
И така на голямо разстояние от токовете магнитният векторен потен-
циал има вида
(10.13)	л(г) =
4тг г2
Характерна особеност на това развитие е, че за разлика от (10.2) то за-
почва с диполния член, т.е. за всяка стационарна система токове общият
“магнитен заряд” (интегралът f I(r)dv) е нула.
124
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
ПОЛЕ НА МАГНИТКИ ДИПОЛИ
Нека полето се създава от постоянен ток J, течащ по затворена плоска
крива L (фиг. 10.3). От (10.12) и (4.10) за магнитния му диполен момент
се получава
-	г/1- я-
т = J ф -г х dr.
J 2
L
Очевидно ds = lr х dr е точно лице-
вият вектор на триъгълника, обра-
зуван от f, dr и г 4-dr, и следовател-
но интегралът дава лицевия вектор s
на равнинната фигура, заградена от
L. По такъв начин за разглеждания
случай магнитният диполен момент е
(10.14)
т = Js.
Фиг 10 3	Ако едновременно се направят гра-
ничните преходи |s] —► 0 и J —► оо по
такъв начин, че произведението |Js| да остава постоянно, се получава т.
нар. математичен или точков магнитен дипол, потенциалът на който в
цялото пространство се дава с (10.13).
За случая, когато диполът се намира не в координатното начало, а в
точка с радиус-вектор г1, както в случая на (10.7), от (10.3) се получава
(10.15)
Л(О = 77
47Г
т х (г — г')
|г — г'|3
С помощта на (4.27) за индукцията на полето на магнитния дипол от
(10.13) се намира изразът
(10.16)
Но 3(m.ro)fb - m
4тг г3
Сравняването му с (10.8) показва, че картините на силовите линии на по-
лето на електричния дипол и на индукционните линии на магнитния дипол
са напълно идентични.
Когато огромен брой магнитни диполи изпълват облает V с повърх-
нина S, разпределението им се характеризира с обемната плътност на
магнитните диполи, която се определя с равенството
М(г)
където А/n е сумата от моментите на диполите в обемния елемент Av.
По начина, по който в тема 2 бе получен израз за потенциала на обем-
ни заряди, и сега с помощта на (10.15) може да се покаже, че потенциалът
на полето на обемните магнитни диполи се описва с формулата
(10.17)	А(г) = £- [ ^(r? -	~ ^Idv'.
4тг J	|г — г' 3
v
Мултиполни моменти 125
Понякога за пресмятане на полето на обемни магнитни диполи е удобно
с помощта на (А.30) и (А.36) на формула (10.17) да се придаде видът
(10.17')	А(г) = rotZ*.
където спомагателният вектор Z*, наречен магнитен вектор на Херц, се
определя с интеграла
(10.18)
V
Очевидно е, че както електричният вектор на Херц (вж. (10.10)), и маг-
нитният вектор на Херц удовлетворява уравнението на Поасон
AZ*(r) = -д0М(г).
По такъв начин един възможен път за намиране на магнитното поле
при зададен вектор на обемната плътност на магнитните диполи е след-
ният: чрез решаване на уравнението на Поасон се намира векторът на
Херц, от него по (10.17') се намира векторният потенциал и накрал чрез
още едно диференциране по (4.27) се получава и индукцията на полето
Както в случая на обемни електрични диполи, така и при обемните
магнитни диполи може да се докаже теорема за еквивалентност, спо-
ред която полето на обемни магнитни диполи е еквивалентно на полето
на подходящ© подбрани обемни токове и повърхнинни токове. Наистина
с помощта на (А.36) и (А.70) изразът (10.17) може да се преобразува,
както следва:
До	, До 7rot/M(f/)
/rot . _ .dv 4- I . _ _ । dv
4тг J	|r —r'|	47Г J |r — r'|
v	v
Цо /‘rot'M(r')	,
— I-----------dv
fa J |r —f'|
V
Ho frot'A^r')
4?r J |r — fz|
v
4tt J |r — r'I
s
ИГ1,
където n' e единичният, еднопосочен c ds' вектор. Сравняването на по-
лучените два интеграла с израза (4.30) показва, че полето на обемните
диполи с плътност М е еквивалентно на сумата от полетата на стацио-
нарни обемни токове, изпълващи V с плътност
(10.19,а)	7 = rotM,
и на повърхнинни токове, течащи по повърхността на областта с плътност
(Ю.19,6)	i = М х п.
126 Електромагнитни взаимодействия вгв вакуум
МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА ЕЛЕКТРИЧНО ПОЛЕ ВЪРХУ
ПРОСТРАНСТВЕНО ОГРАНИЧЕНИ ЗАРЯДИ
Когато ограничена облает V е изпълнена с неподвижни заряди с плътност
fc(f) и се намира във външно (т.е. създадено от други източници) поле
с потенциал [/(г) и интензитет Е(г), върху зарядите действат определена
сила Fe, въртящ момент Ge и състоянието им се характеризира с опреде-
лена електрична потенциална енергия We. Задачата е да се покаже, че и
в пасивно отношение , т.е. по отношение на изпитваните механични въз-
действия, системата се характеризира напълно със същите мултиполни
моменти q, р, d и т.н., които определят и активного й поведение, т.е. по
отношение на създаваното от нея поле.
Нека г е фиксирана точка от V, а р = (£м) — радиус -векторът на про-
изволна точка от V, отчитан от точка г. Потенциалът U(r) на външното
поле в точка г' = г + р £ V може да се развие в ред около точката г:
(10.20) 1Г(Г) = ₽(г-+р) = Г(г-) + £^ + 1 f	+
Заместването на (10.20) в (3.13) дава за потенциалната енергия на взаи-
модействието на зарядите с полето израза
W. = U(f) I dq(p) + £ У i„dq(p)
Д = 1	д
+ оЦ 52 f ~	+ • • • .
л» * О	С/ХнС/Ху I
в който последният член в третия интеграл е добавен за удобство въз ос-
нова на това, че източниците на U са извън V, поради което (вж. (2.24,а))
&U = 0. От определенията (10.3) и от (2.19) за We се получава развити-
ето
(10.20')	We = qU(r) - p.E(f) - jd.GradE(r) + • • • ,
като мултиполните моменти р, d и т.н. са пресметнати спрямо г.
Формула (10.20) показва, че ако на разстояние от порядъка на разме-
рите на системата потенциалът на външното поле се изменя слабо, про-
изведенията от типа р.Е, d.GradE и пр. са малки спрямо първия член и
следователно енергията на системата се определя от формулата (3.11) за
енергия на точков заряд. Ако зарядът на системата е нула, енергията й
се определя от израза
(10.21)	We = -p.E(r).
Тази формула определя енергията на взаимодействие на електричен ди-
пол и външно електрично поле с интензитет Е. Аналогично, ако и р = О,
от (10.20) за енергията на електричен квадрупол във външно поле се по-
лучава
(10.22)	We = -|d.Grad£(r).
6
Мултиполни моменти 127
За намирането на електричната сила Fe, която действа на системата,
развитието на интензитета
(10.23)	£(г') = Ё(г + р) = Ё(г) + p.GradF(r) + ...
се замества във формула (3.1), при което се получава
(10.24)	Fe = qE(r) + р • GradF(f) + • • •
Вижда се, че когато интензитетът на полето се изменя слабо на разстоя-
ния, сравними с размерите на системата, действащата й електрична сила
е същата, както ако целият заряд е съсредоточен в точка г. Когато q = 0,
силата е
(10.25)	Fe =p-GradE(r),
т.е. на електричен дипол действа електрична сила само когато е поста-
вен в нехомогенно поле (при GradF 0). Ако п = е единичният,
еднопосочен с диполния момент вектор, от (10.25) чрез (А.56) може да
се получи следната модификация на израза за силата, която действа на
електричния дипол:
Л С1
(10.26)	А = |Р1 -3-.
on
Поради това, че р е константен вектор, от (А.38), като се отчете, че
по силата на (2.18,a) GradF е симетричен тензор, за Fe от (10.25) се
получава и често използваната формула
(10.27)	Fe = grad(p.F(r)).
От сравнението на (10.21) и (10.27) се вижда, че силата, с която по-
лето действа върху дипола, може да се представи във вида Fe = —gradИ7
— така, както изисква механиката.
Механичният въртящ момент спрямо фиксираната точка f G V, с която
полето действа па зарядовия елемент dq, е dGe = р х dF = р х E(f + p)dq.
Следователно пълният въртящ момент е
Ge = У Р х E(r + p)dq(p).
Ако се отчете само първият член в развитието (10.23) и се вземе предвид
определението (10.3), за Ge се получава
(10.28)	Ge = pxF(r),
т.е. механичният въртящ момент не зависи от заряда на системата и се
стреми да ориентира дипола по посока на външното поле. От (10.21) се
вижда, че от двете състояния, в които Ge = 0, енергията е минимална
само при еднакви посоки на векторите р и Е и следователно това е със-
тоянието на стабилно равновесие. Състоянието с антипаралелни р и Е е
нестабилно в смисъл, че и най-малкото отклонение от него води до поява
на въртящ момент.
128 Електромагиитни взаимодействия вдв вакуум
МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА МАГНИТНО ПОЛЕ ВЪРХУ
ПРОСТРАНСТВЕНО ОГРАНИЧЕНИ ТОКОВЕ
Нека в ограничената облает V текат стационарни токове с плътност /(г) и
нека V се намира във външно магнитно поле с индукция В(г) и потенциал
А(г). Ако, както и по-горе, за индукцията на полето се напише развитие
в ред около фиксираната точка гЕ V
(10.29)	В(г') = В(г + р) = В (г) + р- GradB + • • •=B(f) + р- (V * 5(f)) 4- • • • ,
от формула (5.1) се получава следното представяне за магнитната сила
Fm, с която полето действа на токовете:
х В(г) 4- / dl(p) х р • (V * В) 4- • • •
От направените на с. 123 разглеждания следва, че първият от получените
два интеграла е нула. При преработване на втория интеграл следва да
се отчита, че операторът V действа върху В(г) (и следователно винаги
трябва да стой преди В), но по отношение на интеграционната промен-
лива р се държи като постоянен вектор. За случая на обемни токове с
помощта на (А. 10) и (4.21) изразът за Fm се преобразува, както следва:
Fm = [ dvl(p) х [р • (V » В)] = j dvl(p} х (р • V)B
V	V
= j dvl(p) X [(р • V)B - p(V • В)] = У dvl(p) X [V х (В х р)]
v
J dv(p х f(p)) • В [> 4- I dv(I(p)  Ч)р x В,
v
V
или след отчитане на (10.12)
Fm = 2grad(m • B(r)) 4- j dv(I(p) • V)p x B.
v
След преобразуване на оставащия интеграл с помощта на (В. 10) се виж-
да, че той е равен точно на —Fmy така че окончателно
(10.30)	Fm = grad(rn • B(r)).
Тъй като източниците на полето са извън V, от (4.20) следва rotB = О,
което гарантира, че GradB е симетричен тензор. В този случай от (10.30)
и (А.38) за Fm следват изразите
(10.31)
Fm — т  Grad В (г) = |тп| ——.
дп
Мултиполни моменти
129
Очевидна е пълната аналогия между формулите (10.30) и (10.31), от една
страна, и (10.27), (10.25) и (10.26), от друга.
Механичният въртящ момент, който действа върху токовия елемент
di = Idv, пресметнат спрямо точка f, е dG = р х dFm = р х (/(р) х B)dv,
така че общият механичен въртящ момент е
(10.32)
Използването на първия член от развитието (10.29) позволява за Gm да
се получи представянето
dvl(p)(p- В)-в1 dv(f(p) • д
V
J dvf(p)(p- В)-^В У dv(I(p)  gradp(p2)).
V	V
Последният интеграл е нула поради (В.4), а първият се преобразува с
помощта на (В. 10), така че се получава
х В + J dvp(I(p) • В)
v
= 2т х В — j dvl(p)(p • В) = 2т х В — G.
v
Следователно механичният въртящ момент, с който магнитното поле
действа върху токовете, се описва с формулата
(10.33)	Gm = т х В(г),
която е напълно аналогична на (10.28), т.е. и магнитното поле се стреми
да ориентира магнитните диполи по посока на индукционните линии.
Аналогията между формулите, които описват механичного действие на
електричните и на магнитните полета, се нарушава, когато се разглеж-
да енергията Wm на взаимодействие на токовете от ограничената облает
V и външното поле с потенциал А. Наистина, ако потенциалът в точка
г' = г 4- р (= V се развие в ред около г € V
А(г') — А(г 4- р) = А(г) 4- р  Grad А 4- • • •
и това развитие се замести в (7.9), за Wm се получава
j I(p)dv 4- j I(p) • (p • GradA)dv 4- • • •
v	v
Както и по-горе, първият интеграл е нула, а вторият след преработка с
помощта на познатите правила от векторната алгебра и (В. 10) може да
130
Електромагнитни взаимодействия във вакуум
се представи във вида
Wm = J 1(р) • [р  (V*A)]dv = ( j 1(р)(р  V)dv I • А
V	'V	'
(р х Z(p)) х Vdv
 А = 2т  rot А — Wm.
Като се отчете валидността на (4.27), окончателно за Wm се получава
(10.34)	W = mB.
Разликата в знаците на (10.34) и (10.21) се обяснява с факта, че при
преместване на електричен дипол в електрично поле (a W се пресмята
като работа на вътрешните сили при отнасяне на дипола в безкрайност)
не е необходимо да се извършва работа за поддържане големината на ди-
пола (разстоянието между зарядите му се счита фиксирано и вътрешните
сили не извършват работа за поддържането му.) В същото време при
отнасяне на магнитен дипол в безкрайност вътрешните сили трябва да
извършват допълнителна работа за поддържане тока в дипола постоянен
(m = <7$) — в противен случай индуцираните ЕДС ще променят самия
дипол.
ПОЛЕ НА ПРОМЕНЛИВИ, ПРОСТРАНСТВЕНО ОГРАНИЧЕНИ
ИЗТОЧНИЦИ
Нека заряди и токове с плътност k(r, I) и /(г, t) изпълват ограничената
облает V, без да я напускат при движението си. Нека / е един характе-
рен за V размер, а Т — времето, за което к и J се изменят съществено.
(Това означава, че порядъкът на характерните скорости на зарядите във
V е v ~ —.)
Т 1
Задачата е да се изеледва полето извън подобен източник,
за който е изпълнено условието I <С сТ. Тъй като Т ~ това условие
v
е еквивалентно на изискването v < с, т.е. скоростите на зарядите във V
да са много no-малки от скоростта на светлината във вакуум. И понеже
скоростите на електроните в атомите и молекулите, а така също скорос-
тите на свободните електрони в антените удовлетворяват това изискване,
получените резултати ще обхващат тези важни случаи.
Ноставената задача се решава с помощта на формулите (8.22) и (8.23)
за закъсняващите потенциали. Нри това поради сложността й обикновено
пространството се раздели на три области в зависимост от съотношени-
ето между сТ и разстоянието г от източника (областта V) до точката на
наблюдение. Областта, за която I < г <С сТ, се нарича близка или ква-
зистационарна зона, областта, за която г ~ сТ — междинна(преходна)
зона и областта, за която г сТ — далечна или вълнова зона. Комп-
лицираният характер на полето в междинната зона е причината, поради
която то не се разглежда тук.
Поле в близката зона. В близката зона условието г <С сТ гаран-
|г - f'l
тира, че членът ----- във формулите (8.22) и (8.23) за закъсняващите
Мултиполни моменти
131
потенциали (т.е. ефектът от крайната скорост на разпространение на про-
мелите на полето) може да се пренебрегне, така че тези формули приемат
вида
(10.35,а)	У(г,<) =	[ t£-^dv’,
4тгбо J |г — г'|
v
(10.35,6)	A(r,i) =
'	4тг J |г — г'|
v
Отчитането в (10.35) на първите членове от развитието (10.1), както
и преди, води до изразите
(10.36,a)	+	+
47ГЕ0Г 4тГ€0Г2
(10.36,6)	А(г-, () = ±°- / f(r-', t)dv' +	• т(<) Х г° + • • • ,
4тгг J	4тг г2
v
където р(/) и rn(t) се определят чрез формули от типа (10.4) и (10.12),
в които обаче k и I зависят от времето. (Тъй като заряди не пресичат
повърхността на V, законът за запазване на зарядите гарантира, че q не
зависи от времето.)
Формула (10.36,а) показва, че в близката зона електричното поле е
суперпозиция от полетата на постоянен точков заряд q и на променливи с
времето електричен дипол и по-висши мултиполи, чиито моменти се прес-
мятат спрямо точката, от която се измерва разстоянието до точката на
наблюдение.
Магнитното поле според (10.36,6) също е суперпозиция от полета на
променливи магнитни мултиполи (тп(£) и т.н.), но то съдържа и член, кой-
то отсъства в развитието (10.13). Причината е в интеграла f I(f‘,t)dv',
v
който (за разлика от стационарния случай — вж. с. 123) не е нула, тъй
като областта V вече не може да се раздели на затворени токови ниш-
ки. Сравняването на първото събираемо в дясната страна на (10.36,6) с
(4.30) сочи, че то съответства на потенциала на стационарното магнитно
поле на токов елемент AZ = f 1(г',t)dv'. С помощта на (В.6), (111) и
v
(10.4) се получава
(10.37) ДГ(£) = у I(r',t)dv' = -у f'div'Idv'
V	V
= 4 / r'kdv' = ^2 = p(f).
dt J	dt
v
(Както обикновено се приема, точката означава диференциране по време-
то.) Този резултат свидетелства, че Д7 е точно токовият елемент, който
се дължи на движението на зарядите, определящи електричния диполен
момент на системата.
Резултатът (10.37) позволява да се оцени порядъка на отношението
между втория и първия член в (10.36,6). Този порядък очевидно е
т
7д7
132
Електромагнитни взаимодействия ввв вакуум
т	dp	р	ql
-г-.—т-гт- Съгласно казаното по-горе — ~	~ —, а големината на маг-
r(dp/dt)	dt	Т	Т
нитния момент (вж. 10.14) е m = Js ~ ^/2, така че търсеното отношение
Т I
—- = - < 1. За точките от близката зона, които са далече от
rql г
източника, това отношение е малка величина.
е
По подобен начин може да се оцени приносът на двата потенциала U
и А към електричното поле в близката зона. Наистина за разлика от
-	-	дА
стационарния случай, в който Е = —gradU, сега Е = — grad(7-----— и за
at
\dA/dt\ Г
въпросната оценка следва да. се пресметне отношение™  ------——. С по-
|gradt/|
г I
мощта на (10.4,а) за него се получава — • — «С 1, което показва, че в
сТ сТ
близката зона приносът на векторния потенциал към електричното поле е
пренебрежим. Лори в случая, когато зарядът на системата е пула (д = 0),
у*
това отношение е по порядък (—)2, т.е. отново е пренебрежимо малко.
сТ
Друга важна оценка се получава от сравняването на големините на
магнитната и електричната сила, с които полето действа върху движещ
се в него със скорост й точков заряд Q .Според (2.5) и (5.3) по порядък
Fm иВ	-
това отношение е —------—. Тъй като В и Е намаляват с увеличаване
де Е
на разстоянието с една степей на г по-бързо, отколкото А и U, като се
използват първите членове от развитията (10.36), се получава
Fm	иВ	роА!	4тг£о*’2	_ и	Ар	и	ql	и	I
Fe	Е	4тгг2 q с2	qAt	с2	qT	с	сТ
Fm
и тъй като по предположение / <С сТ, то —- <С 1 Дори когато зарядът Q
Fе
се движи със скорост, близка до с. Нещо повече, и когато зарядът q на
системата е нула, в близката зона, т.е. при г <С сТ, отношението между
магнитната и електричната сила е малко
Fm	иВ	ДоДТ	47Г£ог3	и	р	г _ и	г
Fe	Е	4тгг2 р	с2	Т	р с	сТ^
Поради тези причини често се казва, че в близката зона полето има
предимно електричен характер. (Разбира се, ако и p(f) = 0, това твърде-
ние няма да бъде вярно.)
Получените резултати могат да се обобщят в твърдението, че в близ-
ката зона съществуват променливи електрично и магнитно полета, които
по характер съвпадат с полетата на мултиполи, чиито мултиполни момен-
ти се изменят с времето, като промените на полетата и на мултиполите
са синхронии, т.е. няма изоставане на полетата по време.
Поле в далечната зона. Условието г сТ I, което е изпълнено
в далечната зона, позволява в (8.22) и (8.23) да се използва развитието
Го • г'
|r — г'| ~ г +----, като в знаменателите на подинтегралните функции се
г
Мултиполни моменти 133
_	ГО г'
пренебрегне и величината -----, която е малка от първи порядък спря-
мо г (тук го е единичният вектор на посоката от източника към посоката
на наблюдение, т.е. го = gradr). Така потенциалите в далечната зона се
описват с изразите
(10.38,а)
(10.38,6)
С/(г,/) =
Л(г, /) =
Гр- г'
с
)dv'.
Развитието на подинтегралните функции в ред по степените на (го • —)
има вида
(10.39,a) U(r,t)=----------- [ k(r ,t-----)<lv
4тГ€0Г J v c'
v
(10.39,6)
От (10.39) с помощта на (8.1) и (8.2) следва да се пресметнат харак-
теристиките на полето, т.е. Е(г,/) и	При това трябва да се има
7	-	1	1	. г
предвид, че U и А зависят от г посредством множителите - = —, го = -
г |г| г
Р -•	7*	1
и чрез функциите --------) и --------). Тъй като производните на - и
С 1
го увеличават степените на - в знаменателите на изразите, а в далечната
г
1	1	г	1	-
зона -	—— при пресмятане на grade/, rotA и — на - и г0 трябва да се
г сТ	ot г
тлела като на постоянни множители и да се диференцират само k(r',t— -)
и
Тъй като интегралът в първото събираемо на дясната страна на
(10.39,а) задава общия заряд на системата, а законът за запазването му
гарантира, че той не зависи от времето, от гореказаното за начина на
Диференциране е ясно, че този първи член не дава принос към полето.
134
Електромагиитни взаимодействия във вакуум
Затова (с помощта на (10.4), (В.6), (1.11)) на първите членове от (10.39)
с ненулев принос към полетата може да се придаде видът
(10.40,а)
(10.40,6)
1
47Г£оС
UP(f,t) =
Поради това, че U и А се определят напълно от електричния диполен
момент на системата, се казва, че формули (10.40) описват полето на
променлив електричен дипол. От тях чрез (8.1) и (8.2) и като се пом-
ни, че диференцирането в далечната зона не засяга - и tq, се получава
(10.41,a)	Bp(r,Z) = ^[р(* “ £)] х fo,
(10.41,6)	[p(t - |)] х г0} х г0.
Нека p(t) се изменя само по големина, запазвайки направлението си.
Лко полярната ос на една сфсрична координатна система се насочи по
една от посоките на това фиксирано направление, то спрямо тази система
компонентите на го са го = (гОг, гОв, г0^ = (1,0,0) и р = (рг,Рв,Р^) = (pcosfl,
—р sin 0,0), така че за компонентите на В и Е се получава
(10.42,а) Вг = 0, Вв=0, В^ =	—p(t -
4тгс г с
(10.42,6) £г = 0, Ев = ^
4тг
Фиг. 10.4
sin 0 гч
—р(/—-), Е<р = 0,
където р = |р|. Вижда се, че в този
случай Е се изменя перпендикулярно
на г0 в равнината, определена от го
и р, а В — перпендикулярно на тази
равнина (фиг. 10.4). Може да се ка-
же освен това, че в направление на
р (т.е. при 0 = 0 и 0 = 7г) поле не
се създава, като полето е най-силно
в равнината, минаваща през дипола
и перпендикулярна на р.
По подобен начин се изследва и
полето, съответстващо на следващи-
те членове в развитието (10.39):
(10.43,a)	=
2 47Г£оС
1 d2 Г	г
XrdPjk^’t--e^-r^2dv''
V
(10.43,6)
Ж г,/) = -р-

Мултиполни моменти
135
Първият от получените интеграли може да се представи като
V ’ I / k(f\t - -)(3f' * г'
о J	С
- r,26)dr']  г0 = |г0 • d(t - -) • f0,
о	С
V
където d(t) е електричният квадруполей момент на системата, а изважда-
/2
вето на члена, съдържащ г ,
вата производна по времето е
на разглежданото поле е
не се отразява върху полето, защото него-
нула. Следователно скаларният потенциал
№ - 57,1 г\ -
г0 • d[t - -) • г0.
и(г, 4) =
(10.44)
1
6 4тгг
Подинтегралната функция на (10.43,6) може да се представи като су-
ма от два члена — единият симетричен, а другият — антисиметричен по
отношение на размяната на I и г':
(Г1  6)1 = |[(г'  r0)f - (fo • f)f'] + l[(fz • f0)l + (Fo • jjF'l
At	*
= X I) X f0 +	• (Z * f ' + r' * I).
Заместването на това представяне в (10.43,6) след отчитане на (10.12),
(В.9), (111) и (10,4) води до
(10.45) Д(Р,4) = -^-
47Г сг
1
+ 2 ’
Г
fio - d
л----r° ’ 37
4тгсг dt
г *’ dt
с
1
6 47ГГС
-
47ГСГ
т.е. в него се съдържа принос от електричния квадруполей и от магнит-
ния диполен момент на системата.
От (10.44) и (10.45) следва, че полето на променлив електричен
квадрупол има потенциали
f/d(r,t) =
Ad(r,<) =
(10.46,а)
(10.46,6)
г0 • d(t - -) • го,
б • 4лт	с
——го • d(t - -).
6 • 47ГСГ	с
С помощта на (8.1), (8.2) и правилата на векторното смятане от (10.46)
за характеристиките на полето се получава
(10.47,a)	Bd(r,t) = —^2“[f0 • d(t - -)] х f0,
24тгс2г	с
Ed(r,t) =	{[f0 • d(t - -)] x f0} x f0.
247гсг 11 v c
Накрал остана да се разгледа полето на променливия магнитен ди-
пол, за потенциалите на което са в сила формулите
(10.48,a)	£/„,(г,0 = 0,
0048,6)	=
47ГСГ
(Ю.47,6)
• г
7?г(/-------) х fo.
136 Електромагнитни взаимодействия във вакуум
Отново чрез (8.1) и (8.2) от (10.48) за характеристиките на полето се
получава
(10.49,a)	= /Х° { [т(/ - -)] х г0} х г0,
4тгс2г 1 с 1
(10.49,6)	Ёт(г, t)= -^-[rh(t --)] х f0.
47ГСГ 1	с
Сравняването на формулите (10.49) с (10.41) показва, че електромаг-
нитното поле на променлив магнитен дипол има същия характер като по-
лето на променлив електричен дипол, като, грубо казано, ролите на Е и В
са разменени. По-точно, формулите, които описват полето на магнитния
дипол, се получават от тези за полето на електричния дипол, като в тях
- г 1	- т
се направят замените Е —► сВ, В —► —Е,р —► —.
с с
Следва да се държи сметка обаче, че макар и подобии по характер,
полетата на променливите електричен и магнитен дипол не са физически
еквивалентни в следния смисъл: полето на електричния дипол се получи
от първите ненулеви членове в развитията (10.39), а полето на магнитния
— от следващите. Това означава, че ако р 0, полето, дължащо се на
магнитния диполен момент на един източник, ще бъде много по-слабо от
полето, дължащо се на електричния му диполен момент.
Сравняването на изразите (10.41), (10.47) и (10.49) за полетата на
променливи мултиполи позволява да се направят няколко общи заключе-
ния. Преди всичко от тях се вижда, че полето на всеки от мултиполите в
далечната зона е напречно в смисъл, че
(10.50)	Fro = 0=B-ro,
като за всяко от тях векторите то, Е и В образуват дясна тройка ортого-
нални вектори, свързани с равенството Е = сВ х-го, или предвид (10.50)
(10.51)	В=-г0*Ё.
с
Поради връзката (10.51) вече отношението между големините на маг-
нитната и електричната сила, които действат върху движещ се в далечна-
_	Fm иВ и
та зона със скорост и точков заряд, не е непременно малко: -р- ~ —р- ~ -
Полетата на променливите мултиполи се различават от тези на ста-
ционарните по това, че докато при повишаване порядъка на стационар-
ните мултиполи полетата им намаляват все по-бързо с увеличаване на
, q р d т ч
~ -дИ т.н.), полетата на всички променливи мултипо-
ли зависят от разстоянието по един и същ начин — те са пропорционални
на —, т.е. намаляват много по-бавно, отколкото полетата на стационарни
г
мултиполи. Причината е в наличието на два зависещи от г множителя в
1	If-r'l	- Ir-r'l,
(10.38): - и подинтегралните функции	------) и	-----)•
г	с	с
Затова при диференциране на произведенията им винаги остава събирае-
мо, пропорционално на -. Зависимостта на k и I от г пък е следствие от
г
това, че потенциалите U и А са решения на вълновите уравнения (8.7), в
137
не на уравнението на Поасон (2.24,а) или (4.32). Следователно полета,
които на голямо разстояние от източниците намаляват относително слабо
1
— като -, могат да бъдат само променливи с времето.
г
Този резултат би могъл да се предвиди качествен© въз основа на урав-
ненията на Максуел (6.10,а и б), които показват, че промените с времето
дЕ.
на ЕЧт.е. ) служат като вихри на магнитното поле, т.е. създават маг-
ot
нитно поле дори там, където I = 0, и, обратно — промените с времето
на магнитното поле създават вихрово електрично поле. По този начин
далече от източниците електромагнитното поле в известен смисъл се “са-
моподдържа” и затова отслабва по-бавно, отколкото ако се създаваше
само от първичните си източници (заряди и токове). И наистина именно
дЁ дВ
наличието на —— и —— в уравненията на Максуел обуславя присъствието
ot dt
W д2А	rr -
на -т-^- и _ в уравненията за U и А, т.е. води до закъсняващо действие
at2 otz
1
и до член, пропорционален на —.
г
Новият характер на зависимостта на Е и В от г има следното важ-
но следствие. Шом Е ~ -
г
Пойнтинг (7.23) ще бъде S
О	*
пропорционална на г , може да се очаква, че когато центърът и е разпо-
ложен в областта V, в която са зарядите и токовете, общото количество
енергия W, която пресича за единица време повърхността на сферата,
ще бъде крайно. С други думи, в този случай източникът ще излъчва
електромагнитна енергия. (Стационарни източници не излъчват енергия,
д д	1
защото за тях Е и В намаляват като — или по-бързо, и затова енергията,
г-
която преминава за единица време през сферата, ще бъде пропорционална
= — и ще клони към нула, когато радиусът на сферата клони
г2
„ 1
В ~ -, големината на вектора на Умов —
г
1 m »	л
-=•. 1ъи като площта на сфера с радиус г е
и
1
на —
г2
към безкрайност.)
Заради връзките (10.51) и (10.50) векторът на Умов — Пойнтинг за
полето на всеки от разглежданите мултиполи (p(Z), m(t), d(Z)) е
' 2 _
7*r 
(10.52) S = — Ё х В= —Ё х (г0 х Ё) = — Ё2г0,
Цо	Цос	цос
т.е. потокът на енергията е радиален, като тя наистина се излъчва
(—Е2 > 0), а не се поглъща от източника. Ако с помощта на (10.50),
(10.51) от (7.18) се пресметне плътността w на електромагнитната енер-
гия
(10.53)	w =	+ Дй2 = ~—^Е2
2 2цо цос2
и се сравни с (10.52), се вижда, че
(10.54)
S = cwfo.
138 Електромагнитни взаимодействия вгв вакуум
Тази връзка показва, че с е точно скоростта, с която електромагнит-
ната енергия се пренася в пространството.
От (10.52) за плътностите на енергетичния поток на мултиполите, чи-
ито полета се описват с (10.41), (10.49) и (10.47), се получава съответно
(10.55,а)	$р(М) -	2 [p(t ) х т0]	2, 16тГ2С 1	С	Г2
(10.55,6)	Sm(r,t) -	[m(Z ) X г0]	,
(10.55,в)	й(г,«)_	[(r0.j(Z	)) X Го] . 57б7г2с'’	с	г*
Като се	rQ.ds отчете, че —— = d\l е точно пространственият ъгъл, под г2
който се вижда лицевият елемент ds от началото на координатната систе-
ма, за излъчената за единица време енергия в трите случая се получава
съответно
(10.56,а)	Wp-({)Sp.ds-	Др х г0)2	, J	4тгс J	47г
(10.56,6)	S wm= J) sm ds =	[\т х Го)2 , J	4тгс2 J	4тг
(10.56,в)	S Wd= 1 Sd.ds = * f [(го • d) х г0]2	, J	144тгсл J	4тг S
където S е сфера с център във V и радиус г, а последните ингеграли са
по всички посоки на единичния вектор г0. Подинтегралните функции на
(10.56) могат да се представят във вида
з
(10.57,а)	(р х г0)2 = ($2 - (р • го)2 = (£)2 - ^2
3
(10.57,6) (тп х г0)2 = (ni)2 - (т г0)2 = (гп)2 - тпдп<гомгор,
M,v = l
(10.57,в)	[(го • d) X го]2 = (г0 • 7)2 - (г0 • d .г0)2
3	3
—	d цр d i>рГорГои	d d paCQ^TQVrQpTQa,
където гом и т.н. са компонентите на fb. Представянията (10.57) показ-
ват, че в (10.56) всъщност фигурират два типа интеграли: J r0lirol,~
f	-
и / горГ01/горгоа~—. 1е представляват напълно симетрични тензори съ-
J	4тг
ответно втори и четвърти ранг, чиито компоненти не могат да зависят
от избора на посоките на координатните оси, тъй като се интегрира по
= 1 ). И тъй като всички тензори от
пълния пространствен ъгъл
Мултиполни моменти
139
втори ранг, които удовлетворяват тези изисквания, са кратни на единич-
ния, то
<ZQ
r0pr0i/~.	— Xbpi) •
4тг
Коефициентът Л се определя, като се намерят следите на тензорите, чиито
компоненти стоят от двете страни на това равенство (Sp<5 = 3, Sprb*rb = 1).
Така се получава А = 1/3, т.е.
(10.58)
сЮ 1 .
По аналогичен начин се доказва, че
(10.59)
[	dQ
I r0pr0i/r0pr0a’~^^
— , - ^pv^pa 4" bppbva
15
+ Ьра^ур)
Крайният резултат за мощността на излъчването на променливите
електричен и магнитен дипол и на електричен квадрупол се получава, ка-
то участващите в (10.56) интеграли се пресметнат с помощта на (10.58)
и (10.59):
(10.60,а)	
(10.60,6)	
(10.60,в)	^(‘)=Хз ЕН-0-;))2- ДЛ=1
За случая, когато електричният дипол се състои от неподвижен заряд
-д, около който се движи заряд q, и г е отместването на q спрямо — q,
то р = qf и р = qv. Тогава от (10.60,а) се получава често използваната
формула на Лармор за енергията, излъчена за единица време от точков
заряд
(10.61)
2g2
З.(4тг£о)с3
2
^Р(/) =
ПОЛЕ НА ПРОСТРАНСТВЕНО ОГРАНИЧЕНИ
МОНОХРОМАТИЧНИ ИЗТОЧНИЦИ
От особен практически интерес е случаят, когато движенията на зарядите
в ограничената облает V са простопериодични с еднаква ъглова често-
та о/. Такива източници се наричат монохроматични. Изучаването на
полето на монохроматичните източници има и своето теоретично значе-
ние, защото според теоремата на Фурие при достатъчно общи условия
плътностите на зарядите и токовете във вески източник могат да се пред-
ставят като суперпозиция (интеграл на Фурие) от плътности на заряди
и токове, които са простопериодични функции на времето. По такъв на-
чин задачата за намиране на полето за произволен източник се разделя
на три етапа. Първият включва разлагане плътностите на зарядите и
токовете във вид на интеграли на Фурие. Вторият се състои в намиране
140
Електромагиитни взаимодействия във вакуум
на полетата, съответстващи на отделимте фуриерови компоненти (т.е. на
монохроматични източници). На третия етап трябва намерените полета
да се сумират, за да се намери общото, създадено от източника, поле.
Въпреки че реализирането на първия и третия от така формулираните
етапи често представлява трудна математическа задача, все пак за тях
съществува добре разработена теория и методи за пресмятане на Фури-
еровите интеграли. От физична гледна точка най-интересен е вторият
етап и затова тук на него се отделя по-специално внимание.
Когато плътностите k(f,t) и /(f, t) са простопериодични функции на
времето с кръгова честота ш, еднаква във всички точки на областта V.
дефинираните с (10.4) и (10.12) мултиполни моменти са също такива фун-
кции, като само фазовите константи и амплитудите на техните компонен-
ти може да бъдат различии. 14 тъй като производните на простоперио-
дичните функции са също простопериодични, от (10.40), (10.41), (10.46),
(10.47), (10.48) и (10.49) се вижда, че в този случай както потенциалите,
така и характеристиките на полетата на мултиполите са простопериодич-
ни функции на времето със същата честота.
Така например, ако изобразеният на фиг. 10.4 електричен дипол треп-
ти в направление на оста Oz по закона
(10.62)	pz = p0cos(w/ + р),
където ро И са съответно амплитудата и фазовата му константа, съг-
ласно (10.42) различимте от нула компоненти се описват с
(10.63)
, Ро^2Ро
'• =----37"
, _ Рои2Ро
4тгс
sin 0	г ,	Гч	т
— cos[w(f- -) 4-9?],
sin 0	r /	Гч	1
-^cos[w(/- -) 4-у?].
Полето, описвано с тези формули,
електромагнитна вълна. Аргументът
представлява частей случай на
на косинусовата функция
(10.64)
Ф(г,/) = cj(/ - ^) 4- р
се нарича фаза на вълната в момент i в дадената точка от пространс-
твото. Повърхнина, върху която фазата в определен момент има една и
съща стойност, се нарича фазова повърхнина. От (10.64) се вижда, че
уравнението на фазовата повърхнина, върху която в момент t фазата има
стойност Фо, представлява сфера с радиус
(10.65)
г = с0+*^*°).
СО
Поради тази причина вълната се нарича сферична монохроматична
вълна. Според (10.65) радиусът на сферата, върху която фазата е Фо.
расте с времето и константата с представлява точно скоростта на премес-
тването на сферата в пространството. Затова се казва, че с е фазовата
скорост на вълната. (Вижда се, че във вакуум скоростта, с която се раз-
пространява електромагнитната енергия, съвпада с фазовата скорост на
вълните.)
Тъй като периодът на косинусовата функция е 2тг, а фазата Ф(г,/) за-
виси и от г, и от i, сферичната монохроматична вълна е периодична и в
пространството, и във времето.
Мултиполни моменти 141
а) Времето Т, за което фазата на вълната в дадена точка нараства с
2тг, се нарича период на вълната, т.е. периодът се определя от равенс-
твото Ф(г,t + Т) — Ф(г,/) = 2тг. От тази връзка и от (10.64) се получава
(10.66)	T=V'
б)	Разстоянието между две фазови повърхнини, за които разликата
във фазите в даден момент е 2тг, се нарича дължина на вълната А, т.е.
А се определя от равенството Ф(г,/) — Ф(г + А,/) = 2тг. От тази връзка и
от (10.64) се получава
(10.67)	А=—.
ш
От (10.66) и (10.67) следва важната връзка между двете характеристики
на вълната А и Т
(10.68)	X = сТ.
Въвеждането на А позволява условието I <С сТ, при което се правят
всички разглеждания в тази тема, да се изрази по следния начин: изве-
дените формули описват електромагнитното поле на променливи източ-
ници, чиито размери са много по-малки от дължината на излъчените от
тях вълни.
Тъй като сега времето, за което стават съществени промени в разп-
ределението на зарядите и токовете, е съизмеримо с Т, дадените преди
определения за близка и далечна зона могат да се преформулират, както
следва: разстоянието г от източника до точките от близката зона е мно-
го по-малко, а за далечната зона — много погголямо от дължината на
вълната.
Чрез подобии разсъждения от (10.47) и (10.49) се вижда, че и в слу-
чайте на простопериодично изменящи се магнитен дипол и електричен
квадрупол излъчените полета представляват сферични монохроматични
вълни, като с увеличаване порядъка на мултипола се усложнява ъглова-
та зависимост на амплитудите на вълните.
Интерес представляват формулите за средната, излъчена за един пе-
риод Т мощност от трептящи с кръгова честота ш мултиполи. Тъй като
всяко диференциране на cos(cu/ + 9?) и sin(cu + 9?) дава множител си и не про-
меня простопериодичния характер на функциите, от (10.60) се вижда, че и
в трите случая следва да се осреднят функциите cos2(cut + 9?) и sin2 (си/ + 9?).
Известно е, че тяхната средна стойност е 1/2, така че ако род> т0р и
са амплитудите на компонентите на мултиполните моменти, то
4 3
(Ю-69,а)	=
Д=1
4	3
(1069’6) =
Д = 1
6	3
Вижда се, че с повишаване порядъка на мултиполите расте и зависи-
мостта на излъчената енергия от си: диполите излъчват енергия, пропор-
иионална на си4, квадруполите — на си6 и т.н.
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЪВ ВАКУУМ —
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В природата съществува електромагнитно взаимодействие и иегова проя-
ва са електромагнитните сили, с които могат да си взаимодействат телата
и частиците. Тези сили се различават от силите, породени от останалите
фундаментални взаимодействия (гравитационно и пр ), по своите специ-
фични свойства. Способността на една точкова частица да участва в
електромагнитно взаимодействие (т.е. да поражда електромагнитни сили
или да изпитва въздсйствието на такива сили) се определя от нейните
мултиполни моменти (заряд, диполен момент и т.н.). Самото взаимодейс-
твие зависи и от състоянието на частицата, характеризирано с нейното
положение, скорост и ускорение.
По отношение на статичните и стационарните взаимодействия същес-
твуват два подхода. Единият, съответстващ на принципа на далечното
действие (или принцип за действие от разстояние), се опира на зако-
ните на Кулон и на Ампер за магнитната сила. При втория, взаимо-
действието се описва с помощта на посредник — полето. По този начин
се факторизират концептуално източниците на полето от пробните тела,
върху които действат електричните и магнитните сили. За да се намери
силата, която действа на един заряд, вече не е необходимо да се знае
положението и движението на източниците — достатъчно е да се позна-
ват характеристиките на полето в точката, където е зарядът. Ако в една
точка характеристиките на полетата, създадени от две различии разпре-
деления па източниците, са еднакви, еднакви ще бъдат и силите, с които
тези полета действат върху един заряд, намиращ се в точката. Дори само
този факт вече придава определена обективност на полето, в смисъл на
известна независимост от източниците. При променливите полета обаче
крайната скорост на разпространение на промените на полето (закъсня-
ващо действие) налага на полето да се припишат определена енергия и
импулс ( а също така и момент на импулса — въпрос, който тук не бе
третиран), като по този начин се удовлетворяват законите за запазване
на тези величина. И доколкото наличието на енергия и импулс се счита
достатъчно основание, за да се твърди, че даден обект съществува обек-
тивно, дотолкова е обективно и съществуването на електромагнитното
поле.
За описание на полето и неговите източници се използват два вида
характеристики: локални и глобални. Локални характеристики на из-
точниците са плътностите на зарядите и токовете (fc(f,/), I(f, t) и пр.) а
на полето — интензитетът Е(г,/) на електричното и индукцията В(г,С
142
Електромагиитни взаимодействия взв вакуум — заключение 143
на магнитното поле. Глобални характеристики на източниците са мулти-
полните моменти (q,p,m,d и т.н.) и големините на токовете, а на полето
— потоците Фе и Фт на електричното и на магнитното поле през една
повърхнина и циркулациите Ге и Гт на полетата по дадена крива. (Стой-
ността q на един точков заряд може да се разглежда и като локална, и
като глобална иегова характеристика.)
Електричен заряд и електромагнитно поле са две фундаментални за
класическата електродинамика понятия, чиято физическа същност не мо-
же да се разкрие в нейните рамки. Всички останали понятия и съответ-
ните им величини могат да се определят с помощта на тези две и редица
понятия от механиката (сила, работа, енергия, и т.н.)
От историческа гледна точка теорията на електромагнитното взаимо-
действие почива върху няколко фундаментални експериментаални закона:
законите на Кулон, Ампер, Фарадей и Максуел, описващи количествени-
те закономерности при четири явления, които бяха избрани за фундамен-
тални, т.е. необясними: създаването на електрично поле от неподвижни
заряди; създаването на магнитно поле от постоянни токове; електромаг-
нитната индукция (в тесния смисъл на понятието); и тока на отместване.
Чрез тези четири закона и с помощта на опытно установените свойства
на зарядите (измежду които най-активно се използваха законът за запаз-
ването им и принципът на суперпозицията) се пресмятат при зададени
източници на полето силите, които са резултат на взаимодействията.
От фундаменталните експериментални закони се извеждат основните
закони на съответните полета — електростатично, стационарни елект-
рично и магнитно, променливо електромагнитно. Тези закони задават
връзката между характеристиките на източниците и на полетата. Основ-
ните закони на полетата също имат две форми: глобална, която е по-об-
ща и съдържа връзки между глобалните характеристики на източниците
и полето, и локална, която при използвания тук математичен апарат е
по-частна, защото изключва полетата на линейни и точкови заряди и то-
кове. Локалната форма е във вид на частни диференциални уравнения от
първи ред и гранични условия.
Уравненията на Максуел, най-общите уравнения на електромагнитно-
то поле във вакуум, представляват синтез на основните закони на полета-
та, но не следват от тях. Затова те се поставят постулативно в основата
на електродинамиката и тя ще се счита за единствена вярна теория на
електромагнитните взаимодействия, докато или се открие и друга такава,
или се открият явления, които тя не може да обясни, или експериментите
не потвърдят някое от нейните следствия.
И за най-сложното електромагнитно поле във вакуум може да се въ-
ведат потенциали — функции на мястото и времето, линейни комбинации
от първите частни производни на които са равни на компонентите на ло-
калните характеристики В и В. При зададени локални характеристики
на източниците намирането на потенциалите се свежда или до пресмята-
не на определени интеграли, или до решаване на частни диференциални
уравнения от втори ред. При зададени глобални характеристики на из-
точниците (т.е. на мултиполните моменти) намирането на потенциалите
извън източниците се свежда до сумиране на редове.
ЧАСТ II
СПЕЦИАЛНА ТЕОРИЯ НА
ОТНОСИТЕЛНОСТТА
В досегашните разглеждания не се поставя въпрос спрямо коя коор-
дината система се изучават електромагнитните явления. От механиката
е известно, че например скоростите на телата зависят от движението на
системата, спрямо която се определят. И тъй като в основните закони на
електродинамиката фигурират величини като скорости на заряди, ско-
рост на светлината във вакуум и т.н., въпросът спрямо коя система са
валидни тези закони е особено важен.
В този раздел се разглежда въпросът за връзката между описания-
та на едно явление, получени при изучаването му от движещи се един
спрямо друг наблюдатели. Анализът на опитните резултати показва, че
разгледаните в част I основни закони на електродинамиката са валидни
във всяка инерциална отправка система. За да се манифестира това. тяхно
свойство в явен вид е необходимо предварително да се разработи подхо-
дящ математичен апарат, който се опира на използването на ковариантни
величини в четиримерното пространство-време.
Споменатият анализ показва още, че законите на класическата меха-
ника не могат да бъдат валидни във всяка инерциална отправна систе-
ма, без това да доведе до противоречие с опитните резултати — факт,
който води до коренна промяна на концепции, лежащи в основите на кла-
сическата механика: за абсолютността на пространството и времето, за
независимостта на масата на телата от движението им и т.н.
Четиримерният формализъм, разработен в тази част и използван за
записване законите на механиката и електродинамиката в ковариаптен
вид, представлява основа, върху която по-нататък се гради цялата рела-
тивистична физика.
144
11
СПЕЦИАЛНИ ТРАНСФОРМАЦИИ НА
ЛОРЕНЦ
ПРИНЦИПИ НА ОТНОСИТЕЛНОСТТА
Описанието на всяко явление се прави спрямо фиксирана отправна сис-
тема, т.е. спрямо една съвкупност от координатна система и свързан
с нея часовник. С тяхна помощ при определена процедура на отчитане
се определят координатите и моментът от времето на всяко елементар-
но физично събитие. (В рамките на механиката най-прост пример за
елементарно събитие е присъствието на една материална точка в дадено
място на пространството и в определен момент от времето.) Очевидно е,
че едно и също явление може да бъде наблюдавано и съответно описвано
с помощта на закони от наблюдатели, които използват отправни системи,
различаващи се както по положенията на координатните начала и ори-
ентациите на координатите оси, така и по вида на движението си една
спрямо друга.
Общата цел е намиране на вр:зка между закономерностите, тарактери-
зиращи дадено явление и установени от наблюдатели, свзрзани с различии
отправни системи. За простота в началото се разглеждат само механич-
ни явления и по-конкретно — движения на материални точки.
Най-простият подход при изучаване движението на материална точка
е кинематичният — иегова цел е само описание на движението. От кине-
матична гледна точка всички отправни системи са равноправии: ако са
известии законът на движение на материална точка спрямо отправната
система К и движението на отправната система К* спрямо А', може да
се намери законът на движение на точката и спрямо А'. В зависимост
от движението на А'' последният закон може да има по-прост или по-сло-
жен вид, но в рамките на кинематиката няма съображения, които дават
предпочитание на една или друга система.
Тази еквивалентност на отправните системи се нарушава при динамич-
но разглеждане на движенията, т.е. когато в разглежданията се включат
и причините, обуславящи техния характер — силите. Една от основни-
те идеи на динамиката е, че силите, които действат на една материална
точка, са резултат от взаимодействията, в които тя участва: ако няма
такива взаимодействия, няма и сили. Тази идея вече дава възможност за
разделяне на съвкупността от отправни системи на класове. По определе-
ние към даден клас се причисляват системите, спрямо които движението
на материалната точка се описва със закони от един и същ вид (т.е., в
145
146
Специална теория на относителността
които фигурират един и същи тип сили). Законните на динамиката га-
рантират, че към даден клас принадлежат само системи, които се движат
транслационно и равномерно една спрямо друга.
В безкрайното множество подобии класове съществува един — класът
на инерциалните отправим системи, който се отличава с това, че само
спрямо него движението на една материална точка се определя единст-
вен© от силите на взаимодействие между нея и останалите тела. Това
означава, че за описание на същото движение спрямо неинерциална от-
правка система е необходимо да се въведат и друг вид сили, т. нар.
фиктивни сили, които не са резултат от взаимодействия. (Към този вид
спадат например инерчните, центробежните и т. н. сили.)
От гледна точка на споменатата по-горе основна идея въвеждането на
фиктивни сили усложнява описанието на явленията. Следователно дина-
миката дава възможност от всички отправни системи да се отдели класът
на инерциалните, който е привилегирован спрямо останалите, в смисъл
че спрямо него законите на динамиката имат най-прост вид.
В рамките на динамиката обаче всички инерциални отправни систе-
ми са равноправии: законите на механиката имат. един и същ вид спрямо
всички инерциални отправни системи (или още — механичните явления
протичат по един и същ начин спрямо всяка от тях). Това е известният
принцип на относителността на Галилей.
Може да се очаква, че по подобен начин включването на нов кръг яв-
ления (например електромагнитните) ще наруши равноправието на инер-
циалните системи, ще доводе до разделянето им на подкласове. Едно
основание за подобно очакване е фактът, че в законите на електродина-
миката в явен вид фигурира скоростта на светлината — величина, която
зависи от отправната система, спрямо която се определя. Така например
от гледна точка на класическата физика вълновото уравнение

което се удовлетворява от скаларния потенциал в свободното от заряди
пространство, може да бъде удовлетворено само в една съвкупност от
неподвижни една спрямо друга отправни системи. Ако К е една от тях
и К' се движи спрямо нея със скорост v, съгласно класическия закон за
събиране на скорости връзката между скоростите с и с' на един свет-
линен сигнал спрямо К и К' е с = с' + и. В зависимост от посоката на
движението на К' големината на с' ще бъде съответно с' = с — v (при ед-
нопосочни с и и), с; = с + г (когато посоките на с и v са противоположим)
или с' = х/с2 4- v2 (когато с и v са перпендикулярни). Това означава, че
ако вълновото уравнение е изпълнено спрямо К, в К1 то няма да бъде
удовлетворено.
И така, като че ли по отношение на електродинамиката не всички инер-
циални системи са еквивалентни. В класическата физика инерциалните
системи, в които са изпълнени законите на електродинамиката, се нари-
чат абсолютни отправни системи.
Следователно чрез електромагиитни измервания в дадена инерциал-
на система по принцип може да се определи скоростта на движението и
спрямо една абсолютна система. Това е идеята за известните интерфе-
рометрични опити на Майкелсън за измерване скоростта на светлината»
Специални трансформации на Лоренц 147
различии посоки. Наистина, щом скоростта на светлината е еднаква във
всички посоки само в абсолютните системи, то за наблюдател, движещ се
със Земята, скоростта на светлинните сигнали трябва да зависи от посо-
ката на разпространението им. Известен е обаче отрицателният резултат
от опитите на Майкелсън—всички техни модификации и усъвършенства-
ния сочат, че за земните наблюдатели скоростта на светлината е еднаква
във всички посоки. Известии са и отрицателните резултати на всички
други опити за установяване по електродинамичен път на абсолютното
равномерно праволинейно движение на телата.
Анализът на тази неочаквана от класическа гледна точка ситуация во-
ди Айнщайн до обобщаване на принципа на Галилей за относителността.
Според принципа на относителността на Айнщайн, не само законите на
механиката, а всички физични закони имат еднакъв вид спрямо всички инер-
циални отправни системи (или физичните явления протичат по еднакъв
начин спрямо тях).
Освен това обобщение на принципа на относителността Айнщайн из-
казва в качеството на принцип и едно второ твърдение, според което ско-
ростта на светлината във вакуум е еднаква във всички инерциални отправ-
ни системи, като не зависи от движението на източника и на наблюдателя.
Очевидно вторият принцип веднага обяснява отрицателните резулта-
ти от опитите на Майкелсън. С това обяснение обаче възниква следната
дилема: очакваните в опитите на Майкелсън резултати се базират на две
твърдения: на закона за събиране на скоростите и на уравненията на
Максуел (тъй като от последните следват законите за разпространение
на светлината). Отрицателният резултат от опитите означава, че едно от
тях не е вярно. Айнщайн преценява, че докато законите на електродина-
миката са установени и проверени с огромна точност за всякакви скорости
от нула до скоростта на светлината, то законите на механиката (и в час-
тност законът F = та) са установени и проверявани (до Айнщайн) само
за движения със скорости, много по-малки от скоростта на светлината.
На основата на щателен анализ на основните физични понятия за прост-
ранство и време той стига до заключение, че причината за неуспеха на
класическата физика при обяснение на явленията при разпространение на
светлината в движещи се среди следва да се търси не в електродипамика-
та, а в механиката. В резултат Айнщайн създава специалната теория на
Относителността (СТО), законите на която представляват обобщения на
законите на класическата механика за случая на движения със скорости,
сравними със скоростта на светлината.
ТРАНСФОРМАЦИИ НА ГАЛИЛЕЙ
Всяко елементарно събитие се характеризира с радиус-вектора на точ-
ката и с момента от времето, в който протича. За определяне на тези
величини се използва декартова координатна система с разположен в на-
чалото й часовник. При това положение пространствените координати на
събитието се измерват по известния от класическата физика начин, т.е.
чрез нанасяне на еталона за дължина от началото на координатна систе-
ма- до съответната проекция на точката, в която става събитието, върху
148
Специална теория на относителпостта
дадена координатна ос. За разлика от класическата физика обаче сега се
прави изричната уговорка по време на измерването еталонът да бъде не-
подвижен спрямо отправната система, тъй като се оказва, че дължината
му може да зависи от неговото движение.
За определяне момента на събитисто едновременно с него от точка-
та, в която то протича, се изпраща светлинен сигнал към началото на
координатната система. За момент на събитието се приема моментът,
в който сигналът достига началото на координатната система, кориги-
ран с времето, необходимо за изминаване на разстоянието до него. (Тъй
като скоростта на светлината е известна и еднаква във всички посоки,
въпросната корекция е винаги възможна.)
Чрез посочените процедури на всяко събитие се съпоставят четири
числа—декартовите координати я, у и z на точката, в която то протича,
и неговият момент t. Те може да се разглеждат (засега—формално) като
координати на един радиус-вектор (г,/) = (x,y,z,t) в четиримерно прост-
ранство. С други думи—съществува еднозначно и обратимо съответст-
вие между съвкупността на събитията и точките на т.нар. четиримерно
пространство-време.
Ако (f, t) и (г',/') са координатите на едно и също събитие спрямо две
отправни системи К и К1, съгласно една от основните идеи на механи-
ката трябва да съществува еднозначна и обратима връзка между тези
координати:
г' = F(r,t) ttt' = /(r,t),
където F и f са подлежащи на определяне функции по на четири аргу-
мента.
Определянето на F и f може да стане само чрез използване на инфор-
мация относно свойствата на пространството и времето. Основно тяхно
свойство, произтичащо от опита и залегнало както в класическата меха-
ника, така и в СТО, е хомогенността и изотропността на пространст-
вото и хомогенността на времето. Това означава, че всички точки на
пространството и всички моменти във времето са равноправии ( нямапри-
вилегирована точка, която да бъде избрана за начало на координатната
система, нито привилегирован момент, от който да започне отчитането на
времето), както са равноправии помежду си и посоките в пространство-
то (и следователно няма привилегировани направления за координатните
оси).
Може да се покаже, че от хомогенността и изотропността на прост-
ранството и от хомогенността на времето следва, че F и f са линейни:
х.' = од 4- аця 4- а2у + a3z + а4/,
/П	!/=/?о+/3iz + /32t/ + /?3* + /?4*,
г' = То + 71* + 72У + 7з* 4- 74*,
= <5о 4"	4- 62У 4- 63Z 4" <54*.
Наистина, ако коефициентите ад, cti,..., 64 не са константи, а зависят
от я, у, z или t, за различии точки на пространството и моменти от вре-
мето преобразованието (111) ще бъде различно, което противоречи на
предположението за хомогенност, тъй като с помощта на (111) ще може
да се различават едни точки от други и едни моменти от други.
Специални трансформации на Лоренц	149
Независимостта на ао, ot 1,..., 64 от координатите не означава независи-
мост от относителното движение на К' спрямо К. За опростяване по-долу
първо се разглежда частният случай, когато:
Фиг. 11.1
а)	съществува момент, приет за начало на отчитане на времето в К и
К', в който началата О и О' на координатните системи съвпадат;
б)	осите на координатните системи са съответно успоредни една на
друга (фиг. 11.1);
в)	К1 се движи спрямо К с постоянна скорост v, посоката на която
съвпада с посоката на оста Ох.
Ясно е, че с тези опростяващи предположения не се правят нови пред-
положения за свойствата на пространството и времето. Те обаче поз-
воляват да се определи по-голяма част от неизвестните коефициенти в
(11.1). Така например условието а) всъщност означава, че събитието с
координати (0, 0,0,0) спрямо К има спрямо К' координати също (0,0,0,0),
откъдето следва а0 = /?о = 7о = <5о = 0, т.е. преобразованията са хомоген-
ни.
От условията а), б) и в) следва,че
—	всяка точка от равнината у — 0 е същевременно точка от равнината
j/ = 0, т.е. равенството 0 = (3\х 4- faz 4- (34t е изпълнено за всяко х, z и t;
—	всяка точка от равнината z = 0 е и точка от равнината z' = 0, т.е.
равенството 0 = yix + 72У + 74* е изпълнено за всяко х, у и t;
—	всяка точка от равнината х = vt е точка от равнината х' = 0, т.е.
равенството 0 = a^vt 4- а2у +	+ ot4i е изпълнено за всяко у, z и t\
От изброените твърдения следват равенствата /3\ = /?3 = (34 = 0, 71 =
72 = 74 = 0 и «2 = <*3 = 0, а4 = —voti. По такъв начин при направения спе-
циален избор за разположението и движението на К' спрямо К връзката
между координатите на едно събитие спрямо К' и К е
(11.2)	x' = ai(x-vt), у' - /32у, z' = y3z, t'= 6iX + 62у + 63Z + 64t.
За определяне на оставащите седем константи е необходимо да се из-
ползват нови предположения за свойствата на пространството и времето.
И това точно е пунктът, в който класическата механика започва да се
различава от СТО.
Отправна точка за класическата механика е формулираната от Нютон
абсолютност на пространството и времето. Абсолютност на времето
означава независимост на продължителността на временните интервали
150
Специална теория на относителността
от отправната система. Така, ако и /2 са началото и краят на едно
явление, отчетени спрямо К, a t\ и t2—стойностите на същите моменти,
но отчетени спрямо А'', абсолютността на времето изисква равенството
t2-t\
да бъде изпълнено независимо от стойностите Xi, yi, z\ и х2, у2, z2 на
координатите на точките, в които стават събитията. Ако в последното
равенство t'2 и се изразят с помощта на (11.2), се получава връзката
<2 — й = Мж2 - ®1) + <$2(2/2 - 2/1) + <$з(г2 — г1) + <$4^2 — h)>
която може да бъде изпълнена за всички стойности на xi, yi и т.н., само
ако 61 = 62 = 63 = 0 и 64 = 1. Следователно връзката между t и t' е t' = t,
т.е. времето не се изменя при прсход между отправните системи.
Абсолютност на пространството пък означава независимост на раз-
стоянието между две точки от отправната система, спрямо която се оп-
ределя. Следователно, ако (zi,2/i,*i), (x2,y2,z2) и (х^, у\, zj), (®2>J4»4) са
координатите на двете точки спрямо К и А'', то
(xZ2 - z'i)2 + (j/2 - 2/'l)2 + (4 - ^)2 = (*2 - Z1)2 + (l/2 - I/1)2 -I- (z2 - Z1)2.
Ако x'2, x[ и т.н. се изразят от (112) посредством х2, xi и т.н., се полу-
чава равенството
а?(х2 - xi)2 + /32(у2 - yi)2 4- 7з(х2 - zj2 = (х2 - ®i)2 + (у2 - yi)2 + (z2 - z^2,
което може да бъде изпълнено за всяко xi, х2 и т.н., само ако о2 = /32 =
7з = 1. От фиг. 11.1 се вижда обаче, че от у > 0 следва у' > 0 и т.н., така
че стойността —1 отпада от възможните и окончателно 04 = /32 = 73 = 1.
По такъв начин се оказва, че предположението за абсолютност на
пространството и времето е достатъчно за определяне на участващите
в (112) константи, при което търсените връзки имат вида
(11.3)	х' — х — vt, у' = у, z' = z,t' = t.
Това преобразование се нарича специално преобразование (или тран-
сформация) на Галилей. (Терминът “специално” в случая пояснява, че
става дума за преход, отговарящ на направените три опростяващи допус-
кания за разположението и движението на К' спрямо А'.)
Ако се вземе предвид, че v е първата компонента на вектора v = (и, 0,0),
(11.3) може да се запише във векторен вид
(11.4)	г' = г — vt, t' = t,
и	~ *	- dr	df‘
който остава валиден и при производна посока на v. Ако и = — и и = -г-
dt	at
е скоростта на една материална точка, определена съответно спрямо А
и К1, чрез диференциране на (114) по t се получава споменатият вече
класически закон за събиране на скоростите
(11.5)	й' = и — v.
Вижда се, че законът за събиране на скоростите в класическата меха-
ника е следствие от трансформациите на Галилей, т.е. в крайна сметка от
допускането, че пространството и времето са абсолютни. Затова отказът
от този закон (11.5) означава отказ от абсолютността на пространството
и времето.
Специални трансформации на Лоренц
151
СПЕЦИАЛНИ ТРАНСФОРМАЦИИ НА ЛОРЕНЦ
на
за-
на
Както бе отбелязано, резултатите от опитите на Майкелсън водят до от-
каз от закона за събиране на скоростите и значи—от предположението за
абсолютност на пространството и времето. При изграждане на СТО това
предположение се заменя с принципа, според който светлината се разп-
ространява във всички посоки и спрямо всички инерциални наблюдатели
с една и съща скорост, чиято големина във вакуум е с. Тъй като връзки-
те (11.2) са изведени без използване абсолютността на пространството и
времето, сега, тръгвайки от тях, следва с помощта на въпросния принцип
да се определят оставащите седем константи.
За целта първо се разглеждат два светлинни сигнала, излъчени в мо-
мента t = t' = 0 от точката О = О' в двете противоположни посоки
абсцисата. Спрямо К' законът на движение на сигналите е
х' = ±ctz, у =0, z' = 0.
Законът на движение на същите сигнали спрямо К се получава чрез
местване тук на х', у', z' и V от (11.2);
ai(z - гЛ) = ±c(6iz + 62у +63z + 64f), &2У = О, 73Z = 0.
От последните две уравнения следва у = 0 и z = 0, така че законът
движението на сигналите в К окончателно има вида
v ± 064
х - -----~t, у = 0, Z = 0.
«1 Т с<51
Очевидно е, че коефициентът пред t представлява скоростта на сигнали-
те, която според принципа на Айнщайн следва да бъде съответно ±с и —с.
Така веднъж с горните и веднъж с долните знаци се получават връзките
v ± 064	v — 064
-----Г = с и —Т-Г = -с’
«1 — c°i	«1 + cdi
от които 61 и 64 може да се изразят посредством оц:
(11-6)	64 = ai, 61 = —гОр
с*
След това по същия начин може да се използват два сигнала, които
спрямо К' се разпространяват в двете посоки на оста О'у' по закона
х' = 0, у' = ±cf, z — 0.
Чрез заместване на х', у1, z' и t1 от (11.2) (с отчитане на (11.6)) и след
решаване на получените уравнения спрямо х, у и z за закона на движение
на същите сигнали спрямо К се получава
с (1 —v2/c2)t
х = vt, у = ±—«i	~ “
Р2
с •
1± -7-62
Р2
Тъй като коефициентите пред t в изразите за х, у и z представляват ком-
поненти на скоростта, принципът големината на последната да е точно с
Дава връзката
с2 = v2 +	V или (& =F с62)2 = а?(1 ~ v2/c2).
Р2 \\.^CO2lP2Y
152
Специални теория на относителността
Понеже /?2 / 0, единствената възможност последното равенство да е из-
пълнено и за двата знака пред <52 е 62 = 0. Това дава възможност да се
определи и /?2, така че се получават още две константи
(11.7)	62 = 0, & = «1^/1 - v2/c2.
Очевидно разглеждането на два сигнала, разпространяващи се в две
посоки на O'z', ще даде аналогичен резултат:
(11.8)	6з = 0, 7з = oti\/l - v2/c2.
Отчитането на (11.6), (11.7) и (118) показва, че във връзките (11.2)
остава неопределена само константата сц:
х1 = оц(х - vt), у' = otiy/1 - v2/c2y,
'	t' = ax(t - -^x), z’ = aiy/1 - v2/c2z.
За определяне на ai се използва изотропността на пространството,
според която по отношение на оста Оу двете посоки на оста Ох са рав-
ноправии. Това означава, че коефициентът ai^/l — v2/с2 пред у в (11.9)
не може да зависи от знака на v, т.е. от това, дали К' се движи по оста
Ох или срещу нея. И тъй като >/1 — v2/c2 не зависи от този знак, може
да се заключи, че и ai не зависи от него, т.е. е функция нал;2.
Ако сега се използва фактът, че спрямо К1 отправната система К се
движи със скорост —V = (—v, 0,0), същите разсъждения, които водят до
(11.9), при размяна на ролите на К и К' позволяват х, у, z и t да се
изразят чрез s', у1, z' vi V посредством връзките
х = ai(z' 4- vt'), у =	- v2/c2y',
t = ai(f 4- ~^x'), z =	“ v2lc2z'.
От (119) те се различават само по знака пред и. При това съществено
е, че поради зависимостта на ai от гг в (11.9) и (11.10) фигурира една и
съща константа ар
Но равенствата (119) и (11.10) задават по идея едни и същи връз-
ки—връзките между координатите на едно събитие спрямо две отправни
системи. Те не могат да зависят от това, дали се извеждат, когато К
се разглежда като неподвижна или когато неподвижна се счита К'. Това
означава, че’равенствата (11.9) и (11.10) трябва да бъдат съвместими.
Като се отчете, че ако за едно събитие у > 0, то за него и у1 > 0, се виж-
1
да, че единственото условие за тяхната съвместимост е а\ = —	—•
Заместването на този израз за «1 в (11.9) и (11.10) дава връзките
, х - vt
1 = yi-v^’ У=У'
Г = -	£	, ? = г
1/1 — V2 /с2
Специални трансформации на Лоренц 153
и съответно
х' 4- vt'
(ПЛ2)	+
t = —  --  —, z — z'.
\J\ — V2 /с2
Тези връзки се наричат специални трансформации (или преобразо-
вания) на Лоренц. (Терминът “специални’' и тук означава, че преобра-
зованията се отнасят до частния случай, онагледен на фиг. 11.1.)
ПРОСТРАНСТВЕНО-ВРЕМЕНЕН ИНТЕРВАЛ
Нека (ri,h), (г2,<2) и	(Гг',/2) са координатите на две събития
съответно спрямо К и К'. По определение величината
(11.13)	A s = \/с2(/2 - <1)2 - (Гг - п)2
се нарича пространствено-временен интервал между събитията. Съг-
ласно същото определение стойността на този интервал спрямо К' ще
бъде
As' = Ус2^-/')2-^'-^')2.
Чрез заместване на t', х', у' и z' от (11.11) в този израз директно се
проверява, че
(11.14)	As = As'.
Следователно пространствено-временният интервал между две събития е
величина, чиято стойност не зависи от отправната система, спрямо която
се определят координатите на събитията. Това заключение дава възмож-
ност за класифициране на пространствено-временните интервали между
събитията. Ако например разстоянието |f2 — fi| между точките, в които
стават събитията, е по-малко от разстоянието с(<2 - ^i), изминавано от
светлината за времето, което разделя двете събития, т.е. ако
с2(<2 - <1)2 > (г2 - fl)2, то (As)2 > О
и интервалът между събитията се нарича времеподобен. В противопо-
ложния случай, т.е. когато
с2(<2 — h)2 < (гг - и)2, то (As)2 < О
и интервалът се нарича пространственоподобен. Ако ли пък
с2(<2 - <1)2 = (^2 ~ И)2, то (As)2 = О
и интервалът между събитията се нарича изотропен.
Инвариантността, т.е. независимостта на пространствено-временния
интервал между две събития от избора на отправната система, може да
се използва, за да се докаже, че специалните преобразования на Лоренц
154
Специалиа теория на относителността
(11.11) и (11.12) гарантират, че големината на скоростта на светлина-
та във вакуум е с при разпространение в произволна посока (а не само
в посока на трите координатни оси, което бе използвано при извода на
трансформациите).
Наистина нека първото събитие е излъчването на светлинен сигнал
в точка r*i и момент ti, а второто—достигането на този сигнал до точ-
ка Г2 в момента (посоката от fi към г*2 е произволна). Ако спрямо К
светлината се разпространява със скорост с във всички посоки, очевид-
но с2(/г — <i)2 — (г? — fi)2 и пространствено-временният интервал между
събитията е нула. Но равенството (11.14) гарантира, че и в системата
К' &s' = 0, т.е. c2(f2 — /'J2 = (г21 — Л ')2. Това равенство показва, че спрямо
К' светлинният сигнал се разпространява със същата скорост с независи-
мо от посоката, в която е разположена точката г2 спрямо г\. Следоваггел-
но наистина специалните преобразования на Лоренц (11.11) осигуряват
изпълнението на вторил принцип на Айнщайн във всички инерциални от-
правни системи от частния вид, съответстващ на фиг. 11.1.
СЛЕДСТВИЯ ОТ СПЕЦИАЛНИТЕ ТРАНСФОРМАЦИИ НА
ЛОРЕНЦ
От формулите (11.11) се вижда, че когато скоростта и, с която К* се
движи спрямо К, е много по-малка от скоростта на светлината във ваку-
ум, така че отношението v/c може да се пренебрегне спрямо единицата,
преобразованията на Лоренц преминават в преобразованията на Галилей
(11.3). Това следствие е принципно важно, защото то гарантира , че меха-
никата, която се изгражда на базата на (11.11), ще бъде едно обобщение
на механиката на Нютон, обобщение, което в граничния случай на малки
скорости на движение ще дава резултатите на класическата механика и
само при крайни стойности на отношението v/c, т.е. при скорости, съ-
измерими с тази на светлината, ще дава резултати, различии от тези на
класическата механика. С други думи, именно това следствие гаранти-
ра изпълнението на принципа на съответствието, на който трябва да се
подчинява всяко обобщение на теорията.
•• Второ пряко следствие от трансформациите на Лоренц е невъзмож-
ността от съществуването на сигнал, разпространяващ се със скорост,
по-голяма от скоростта на разпространение на светлината във вакуум.
Наистина, ако такъв сигнал съществува, с него може да се свърже на-
чалото на системата К1. Тогава от (11.11) при v > с се получава, че
координатите на събитията спрямо К1 са имагинерни—факт, който про-
тиворечи на основните представи за пространството и времето.
Следователно максималната скорост, с която може да се разпростра-
нява един сигнал, е скоростта на светлината във вакуум. И тъй като
всяка движеща се частица представлява своего рода сигнал, следва, че
скоростта на движение на частиците не може да надмине скоростта на
светлината във вакуум.
Трето следствие от трансформациите на Лоренц е фактът, че понятие-
то едновременност губи своя абсолютен характер. Наистина нека (п,t) и
(f2,t) са координатите на две едповременни спрямо К събития, които про-
тичат в различии точки на пространството. Съгласно (11.11) моментите
Специални трансформации на Лоренц 155
на същите събития спрямо К' са
v	v
t---rXi	t---хХ2
с1	_ с1
\J\ — V2/с2	2	у/\ — V2/с2
и следователно
(П15)	^в~^а =
т.е. спрямо К' събитията вече (изобщо казано) не са едновременни: пър-
вото предхожда второто (/j < /2) или го следва > t2) в зависимост както
от съотношението между Xi и х2, така и от знака на v (т.е. от проекцията
на v върху оста Ох\ Само в случай, че двете събития протичат в една
и съща точка на пространството спрямо А', те ще бъдат едновременни и
спрямо всяка друга отправна система.
Въпросът за относителността на понятието време е тясно свързан с
въпроса за съществуването на сигнали, разпространяващи се с неограни-
чено го ляма скорост. Наистина, ако съществува сигнал, който се разп-
ространява с безкрайно голяма скорост, лесно може да се въведе и абсо-
лютна едновременност на събитията. А самия факт, че вторият постулат
на Айнщайн визира именно светлинни сигнали, води до това, че горната
граница за скоростта на разпространение на сигналите съвпада именно
със скоростта на светлината във вакуум.
По подобен начин се показва, че последователността на събитията във
времето е също относителна. Наистина, ако Я и В са две събития върху
оста Ох, от (11.11) следва
v
1в — ^А--— Ха)
_________С~________
у/1 — V2 jc2
Вижда се, че ако спрямо системата К събитието А предхожда събитието
В (т.е. tg—tA > 0), от това още не следва, че и > 0. В системата К'
е възможно събитието В да предхожда събитието А. Значението на фак-
та, че последователността на събитията във времето може да зависи от
отправната система, излиза извън рамките на физиката. Така например
съгласно нашите представи едно събитие А, станало в момента tA спрямо
отправната система А, може да бъде причина за друго събитие В, стана-
ло в момента tB спрямо същата система, само ако го предхожда по време.
С други думи, неравенството 1в е едно необходимо условие събити-
ето А да бъде причина за събитието В. (Причината винаги предхожда
или съвпада по време със следствието.) При това в основата на всяка
наука лежи като принцип изискването причинно-следствената връзка да
има абсолютен характер, в смисъл че, ако за наблюдател от системата
К събитието А е причина за събитието В, същата констатация следва ла
направи всеки наблюдател, свързан с друга система К'. Шом обаче от
< tB още не Следва t'A t'B, то не всички събития, които в отправна-
та система К протичат по време по-късно от А могат да бъдат негови
следствия—поне за някои от тях съществуват такива отправни системи,
в които t'A > t'B.
156 Специална теория на относителността
Равенството (11.15) показва, че следствия от събитието А могат да
бъдат само онези събития В, за които е изпълнено
. v .	.
tB - 1д ^2	~ Ха)"
Тъй като v/c < 1, това неравенство е сигурно изпълнено, ако
ХВ — хд < с(/д - /д).
Следователно събитието В може да бъде следствие от събитието А, само
ако разстоянието между събитията (а?в — гд) не надминава разстоянието,
което един светлинен сигнал изминава във вакуум за времето, разделящо
събитията (с(/д — /д)).
Лесно е да се съобрази, че тази формулировка е валидна и в случая,
когато събитията не са върху оста Ох. По еквивалентен и в редица слу-
чаи по-удобен начин тя може да се изрази, както следва: две събития
могат да бъдат в причинно-следствена връзка, само ако пространствено-
временният интервал, който ги разделя, не е пространственоподобен.
Разбира се, разглеждания от този род не могат да посочат достатъч-
но условие за причинно-следствена връзка, защото по същество техен
предмет е само кинематиката на събитията в четиримерното пространст-
во-време. Дали В е наистина следствие от А, може да каже само теория,
която отчита конкретния характер на събитията и връзките между тях.
Друго следствие от специалните трансформации на Лоренц е относи-
телността на пространствените интервали между събитията, т.е. относи-
телността на дължините. Наистина нека една отсечка лежи неподвижно
спрямо отправната система К', успоредно на оста О'х', т.е. успоредно на
посоката на движение. Ако абсцисите на началото и края на отсечката
са съответно rj и х'2, величината
(11.16)	Lq = x'2 — x\
се нарича собствена дължина на отсечката. Поради неподвижността на
отсечката спрямо К' очевидно няма значение в кои моменти един наблю-
дател от К' измерва и х2.
За определяне дължината на отсечката спрямо системата К е необ-
ходимо да се определят положенията ri и х% на краищата й в един и
същ момент t. Тогава дължината на отсечката за наблюдател от К е
L = X2 — xi. Тъй като съгласно *(11.11)
. Х\ — vt . Х2 — vt
X, = —,	= и Х-> = —.—  	=,
\/1 — V2 / С2	у/1 — V2/с2
то очевидно
или
(11.17)	L = L0yi-v2/c2.
Резултатът показва, че за наблюдател от К дължината на отсечката
L е по-малка от собствената й дължина Lq, измерена спрямо системата,
в която отсечката е в покой.
Специални трансформации на Лоренц	157
Ако отсечката е насочена по осите О'у' или O'z', от (П.П)се вижда,
че дължината й в двете отправни системи е една и съща. Следователно,
ако става дума не за отсечка, а за тяло, което се движи със скорост v
спрямо отправната система К, размерите на тялото в посока на движе-
нието се скъсяват с един множител \/1 — и2/с2, а напречните му размери
се запазват. Това означава, че собственият обем на тялото Vo> измерен
спрямо отправната система, в която то е неподвижно, и обемът му V,
измерен спрямо системата К, са свързани с равенството
(11.18)	V = Уо\/1 - v2/c2.
Разбйра се, за наблюдател от К' размерите на телата, неподвижни
спрямо А', също са намалени в посока на движението, и то също толкова
пъти, колкото и за наблюдателя от А", наблюдаващ телата в К'.
По аналогичен начин се показва и относителността на временните ин-
тервали. За целта трябва да се разгледа процес, протичащ в точка с
радиус-вектор г' спрямо отправната система А'', който има начало в мо-
мента /j и край — в момента t2. Временният интервал
(11.19)
се нарича собствено време на процеса. От (11.12) се получава
«'1 +	«2 +
tl = —.	с = и <2 = —-С --- = ,
^/1 — v2/c2	^/1 — V2/с2
така че продължителността на процеса спрямо К е
или
(11.20)
*2 - Ц
^/1-v2/c2’
/2 — <1 —
Резултатът показва, че времетраенето на процеса спрямо отправна-
та система А е по-голямо от собственото времетраене с един множител
— Разбйра се, обратното също е вярно: за наблюдател от К'
х/Г- t>2/c2
времетраенето на процесите в системата А' ще бъде също толкова пъти
по-голямо от времетраенето им спрямо наблюдателя от К.
Като следствие от (11.12) може да се получи и релативистичният закон
за събиране на скоростите. Наистина нека r(/) = (х(/), y(t), z(t)) е ради-
ус-векторът спрямо А' на движеща се материална точка. По определение
векторът
(11.21)
dx dy dz \
dt ’ dt ’ d£/
представлява скоростта на точката спрямо А'. Съгласно същото опреде-
ление, ако г'(/') =	z'it'Y) е радиус -векторът на точката спрямо
А', то скоростта й й' спрямо К' е
dx' dy* dz'\
dF’dV'dt')'
(11.22)
158
Специална теория на относителността
Връзката между и и и' може да се получи, като се диференцира (11.12) по
t и се отчете, че х', у1 и z' зависят от t посредством t'. Така се получават
равенствата
dx' dt' dt'
и _ dr ' ~dt^V~dt
Х dt ^l-v2/c2 ’
dy	dy'	dt1
y	dt	dt'	dt	’
dz	dz'	dt'
Uz	dt	dt'	dt	’
dt'	v	dx'	dt'
t =	= ~dt ' dT^ dF
dt i/l — v2/с2
-От последното равенство следва изразът
dt' _ у/1 — v2/с2
dt~ 1 + -L/’
+ с2 х
така че заместването му в първите три дава връзките
(11.23)
иу
иг -
/1 — и2/с2 .
ЦУ>
1 + & их
/\ — V2/с2 ,
“ V UZ‘
1 +
Тези равенства задават закона за събиране на скоростите, т.е. връз-
ката между скоростите и и й' на материалната точка спрямо К и К' и
скоростта v на Л'' спрямо Л'.
Лесно се вижда, че когато v<c формулите (11.23) преминават в (11.5),
които следват от трансформацията на Галилей.
От (11.23) следва, че ако например й = (с, 0,0), то и й' = (с, 0,0) не-
зависимо от стойността и знака на v. От същите формули може да се
пресметне още, че
(2 х z '2 х
1 — —fl — —
С2	С2 )
С2	/
\ С J
и тъй като както и', така и v не надминават по големина с, следва, че
и с, т.е. чрез събиране на скорости не може да се получи скорост,
по-голяма от скоростта на светлината във вакуум.
12
ОБЩИ ТРАНСФОРМАЦИИ НА ЛОРЕНЦ
КОВАРИАНТНИ И КОНТРАВАРИАНТНИ КОМПОНЕНТИ НА
4-МЕРНИЯ РАДИУС-ВЕКТОР
В тема 11 бе изведена връзка ((11.11) и (11.12)) между координатите
на едно събитие спрямо две инерциални отправки системи К и К' при
редица ограничителни предположения за тяхното относително разполо-
жение и движение. За облекчаване разглеждането на по-общия случай е
необходимо предварително да се рационализира записът на използваните
величини, с което ще се опрости видът на срещаните равенства.
За целта следва преди всичко да се изравнят размерностите на чети-
рите компоненти на 4-мерния радиус-вектор х, у, z, t. Това се постига,
като вместо времето t като координата се въведе величината ct, която
има размерността на останалите три координати х, у и z. Тези четири
величини, означени съответно с
(12.1)	х° = ct, х[ = х, х2 = у, х3 = z,
се разглеждат като контравариантни компоненти на радиус-вектора в
четиримерното пространство, наречено пространство на Минковски:
(12.2)	х = (х‘) = (х°, ж1, х2, о:3) = (х°,х).
Първата от тях — х° = ct, се нарича временна, а останалите-три обеди-
нени в тримерния радиус-вектор х — пространствени части на четири-
мерния радиус-вектор.
От (11.13) и (11.14) следва при t\ = 0 и ri = 0, че стойностите на
величината
(12.3)	х2 = (х°)2 - х2 = (х0)2 - (х1)2 - (х2)2 - (х3)2,
наречена квадрат на 4-мерния радиус-вектор, не се изменя при специал-
ните преобразования на Лоренц. За по-компактен запис на (12.3) е удобно
чрез равенствата
(12.4)	ц = gikxk
(под повтарящи се горен и долей индекс се подразбира сумиране от О
до 3) да се въведат и ковариантни компоненти на радиус-вектора. Фи-
гуриращите в (12.4) величини се определят с равенствата
(12-5)	9гк = о за 1i/k, 000 = “011 = “522 = “033 = 1,
9 = 0 за г k, д = —д = —д = —д — 1,
159
160 Специална теория на относителността
т.е. те се разглеждат като компоненти на един тензор, наречен метричен
тензор, на който спрямо всяка инерциална отправка система съответства
матрицата
/10	0	0 \
по	_ I 0 -1	0	0 |
(12 6)	9 - о 0 -1 0 I
\0 0	0	-1/
С помощта на git и д*к могат да се свалят и вдигат индекси, т.е. да се
премиНава от контравариантни към ковариантни компоненти и обратно.
От (12.4) и (12.5) следва например, че ковариантните компоненти на х са
(x°,-f).
С помощта на въведените означения, инвариантният спрямо специал-
ните преобразования на Лоренц квадрат на 4-мерния радиус-вектор се
записва компактно във вида
(12.7)	х2 = xlXi.
Компактен вид може да се придаде и на самите специални преобразо-
вания на Лоренц. За целта се въвежда матрицата Л° с елементи
(12.8)
Л° = (A°)j =
—07	0	0\
7	0	0 1
0	10’
0	0	1/
където» са използвани означенията
(12.9)
Р ~ >	7 — Г---------> / О •
с у 1 — V“/c2
Очевидно е, че равенствата
(12.10)	/*’ = (Л0)’^*
представляват запис в новите означения на специалните преобразования
на Лоренц (11.11).
ОБЩИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ЛОРЕНЦ
Трансформациите (11.11) (респ. (12.10)) са изведени при предположение,
че първо, съществува момент, в който началата О и О' на инерциалните
системи К и К' съвпадат; второ, че осите им са съответно успоредни и;
трето, че К' се движи по посока на оста Ох. Преобразованията, задава-
щи връзката между координатите на едно събитие спрямо две инерциал-
ни отправни системи К и /<', които не са свързани с тези ограничения,
се наричат общи преобразования (или трансформации) на Лоренц.
Всъщност по-долу ще бъде разгледан само случаят, когато К и К' удов-
летворяват първото ограничение — това е случаят на хомогенни общи
преобразования на Лоренц. При него координатните системи са раз-
положени примерно както на фиг. 12.1, като направеното ограничение се
отразява във факта, че скоростта v на К1 спрямо К е колинеарна с ОО'
Общи трансформации на Лоренц
161
И така задачата е да се намери
връзка между компонентите хк и х к
на едно и също събитие спрямо две
инерциални отправни системи, чието
разположение и движение една спря-
мо друга е показано на фиг. 12.1.
Тъй като общите разсъждения, до-
вели в тема 11 до (111) са валидни
и сега, като се отчете, че връзките
между хк и х к са хомогенни, те мо-
гат да се запишат във вида
(12.11) х'*’ = А*х*,£ = 0,1,2,3.
Величините А'к са елементи на ед-
на 4 х 4 матрица А. Лесно се съоб-
разява, че едно хомогенно общо пре-
Фиг. 12.1
образование на Лоренц зависи от б параметъра. Като такива може да се
разглеждат например трите ъгъла на Ойлер, които определят ориентаци-
ите на осите на К' спрямо К и трите компонента на v. От друга страна,
множеството на реалните 4x4 матрици е 16- параметрично, така че си-
гурно не всяка 4x4 матрица задава преобразование на Лоренц. Задачата
за намиране експлицитната зависимост на AJ, от избраните 6 параметъра
е, изобщо казано, трудна и тук не се дискутира. Вместо това въпросът се
стеснява, като се търси само кои измежду всички 4x4 матрици задават
преобразованията на Лоренц. Неговият отговор може да се получи, като
се отчете, че ротациите на координатните оси в тримерното пространст-
во (без смяна на координатното начало) не променят нито времето, нито
големината на пространствената част на 4-мерният радиус-вектор. Това
означава, че при тях не се изменя и комбинацията (х0)2 — х2, т.е. квадра-
тът на 4-мерния радиус-вектор е инвариантен спрямо пространствените
ротации.
Всяко общо преобразование на Лоренц обаче може да се получи (и
то не по единствен начин) чрез последователно извършване на тримерна
ротация, едно специално преобразование на Лоренц и още една ротация.
Наистина от отправната система К чрез ротация може да се получи сис-
темата К", чиято ос Ох" е еднопосочна с v (фиг. 12.1). От нея чрез спе-
циално преобразование на Лоренц може да се премине в системата К'",
чието начало съвпада с О', т.е. която се движи със скорост v по посока на
Ох". Накрая чрез още едно въртене може осите на К1" да се съвместят с
тези на К' и да се достигне желаният общ преход. Тъй като при всяко от
изброените три преобразования х2 не се изменя, ясно е, че общите преоб-
разования на Лоренц запазват квадратите па 4-мерните радиус-вектори,
т.е. х'2 = х2, или предвид (12.7)
(12.12)
X X i = X Хк
От полученото равенство може да се изведе търсеното условие, което
УДовлетворяват матриците А. За целта обаче е необходимо предварител-
но от (12.11) да се получи законът за преобразование на ковариантни-
те компоненти на х. Това се постига, като се умножат двете страни на
162 Специална теория на относителността
(12.11) с дц и се сумира по г, а хк се изрази чрез ковариантните компонен-
ти според формулата хк = дктхт. Така за търсения трансформационен
закон се получава
(12.13)	х'^Л^Хт,
където
(12.14)	АТ* =дц/ёкдкт.
С помощта на (12.11) и (12.13) за х'2 се получава x'lx’i = AJ.z*Ajz/ и
тъй като според (12.12) дясната страна трябва да бъде хкхк, следва да
се заключи, че
(12.15)	Л^л; = «1,
където е символът на Кронекер.
И така отговорът на поставения въпрос се съдържа в равенство (12.15):
измежду всички реални 4x4 матрици лоренцови преобразования задават
само онези, които удовлетворяват (12.15).
Проверете директно, че зададената с (12.8) матрица Л° удовлетворява (12.15).
Лесно се проверява, че ако Ai и Аг са две матрици, които задават
преобразования на Лоренц (т.е. удовлетворяват (12.15)), тяхното произ-
ведение А = AiAo също задава такова преобразование. Това означава, че
резултатът от последователните преобразования с матрици Аг и Ai може
да се получи с едно-единствено преобразование, задавано с матрицата А.
Казва се още, че матриците, удовлетворяващи (12.15), образуват трупа
от преобразования — трупата на Лоренц.
Получете чрез умножение на матрици от вида (12.8) закона за събиране на
скорости (11.23).
КОВАРИАНТНИ ВЕЛИЧИНИ
Известно е, че ротациите в тримерното пространство образуват трупа и
този факт позволява да се дефинират различии ковариантни величини и
действия с тях. С тяхна помощ законите на класическата физика се изра-
зяват чрез равенства или между скалари, или между вектори, или между
тензори от втори и по-висок ранг. Това заедно с факта, че при преобразо-
ванията на Галилей тези величини се преобразуват по определен начин
гарантира изпълнението на галилеевия принцип на относителността.
Съгласно принципа на относителността на Айнщайн законите на фи-
зиката са общовалидни за всички наблюдатели от инерциални отправни
системи. Целта сега е да се намери начин за записване тези закони във
вид, еднакъв за всички такива системи, при условие че преходът от една
система в друга се осъществява не с галилеевите, а с преобразованиятана
Лоренц. И тъй като преобразованията на Лоренц също образуват трупа,
за постигане на тази цел се въвеждат по подходящ начин многокомпо-
нентни ковариантни величини, които се преобразуват по определен начин
при тези преобразования. Тогава един закон ще бъде валиден във всички
Общи трансформации на Лоренц 163
инерциални отправки системи (ще бъде инвариантен спрямо преобразо-
ванията на Лоренц), ако може да бъде записан като равенство между
величини от един и същ вид.
Както в тримерното пространство, така и сега ковариантните величини
се задават чрез своите трансформационни закони. По-долу са посочени
съответните закони за контравариантните компоненти, но с помощта на
метричния тензор лесно могат да се получат и съответните закони за
трансформация на ковариантните компоненти.
За целите на по-нататъшните разглеждания е достатъчно да се въве-
дат следните ковариантни величини:
а) Скалари. Скаларът е еднокомпонентна величина, чиито стойкос-
ти а и а' в две произволни инерциални отправни системи са свързани с
равенството
(12.16)	а'= а.
За разлика от използваните досега скалари тези понякога се наричат Ло-
ренцови скалари. От казаното по-горе е очевидно, че квадратът на 4-
мерния радиус-вектор е лоренцов скалар.
б)	4-вектори. Един контравариантен 4-вектор А е четирикомпонентна
величина, чиито компоненти А* и А'к в двете отправни системи К 1л К' са
свързани с равенствата
(12.17)	А'к = А*А*,
където А* са елементите на матрицата на съответното преобразование
на Лоренц. (Поради това, че тук се разглеждат само хомогенни пре-
образования на Лоренц, законите за преобразуване на компонентите на
4-мерните радиус-вектори и на 4-векторите съвпадат.) За 4-векторите се
използват означенията А = (А‘) = (А0, А), като А° се нарича временна, а
останалите три (А1, А2, А3) = А — пространствена част на 4-вектора А.
Ако А и В са два 4-вектора, по определение величината
(12.18)	А.В = A1 Bi = А°В° - А.В
се нарича тяхно скаларно произведение. (Тук А.В е обикновеното ска-
ларно произведение между пространствените части на А и В.)
Проверете с помощта на (12.17), че скаларното произведение на два 4-век-
тора е лоренцов скалар, т.е. че А.В = А'.В'.
По определение скаларното произведение на 4-вектор сам със себе си
се нарича квадрат на 4-вектора или квадрат на големината му, т.е.
(12.19)	А2 = |А|2 = А* А, = (А0)2 - А2.
1ъй като А2 е скалар, т.е. има една и съща стойност във всички отправни
системи, това дава възможност за следната класификация на 4-векторите:
времеподобни	— онези, за които А2 > 0, т.е.|А°| > |А|;
пространственоподобни — онези, за които А2 < 0, т.е. |А°| < |А|;
изотропии	— онези, за които А2 = 0, т.е. |А°| = |А|.
164 Специална теория на относителността
в) 4-тензори от втори ранг. 4-тензорите от втори ранг са шестнаде-
сеткомпонентни величини, които според броя на ко- и контравариантните
си индекси биват 4 вида. Трансформационният закон за всеки от тях е
съответно
0)	Г“ = Л;Л^Г1’”,	= А‘Л”Р^,,
= AjAj.F,’", F',t = A'A?fmi.
С помощта на напълно антисиметричния тензор от четвърти ранг Eikim
на всеки 4-тензор от втори ранг F'k може да се съпостави друг тензор
Fim, наречен дуален нему, съгласно равенствата
(12.21)	Fik =
Покажете, че ако един тензор е симетричен или антисиметричен в една от-
правка система, това негово свойство е налице и във всяка друга отправка
система.
Покажете, че ако F'k е тензор, F- е скалар.
Ако А и F са съответно 4-вектор и 4-тензор от втори ранг, чрез ра-
венствата
(12.22,а)	В* = F'kAk
(12.22,6	)	С* = AkFki.
се дефинират векторно произведение В = F.A на тензор с вектор и
векторно произведение С = A.F на вектор с тензор.
Покажете, че дефинираните с (12.22) величини В и С са наистина 4-вектори.
По подобен начин може да се дефинират и 4-тензори от по-висок ранг.
Чрез умножаване на компонентите на 4-тензори от по-нисък ранг може
да се получават 4-тензори от по-висок ранг. Лесно се проверява напри-
мер, че ако Аул В са 4-вектори (т.е. 4-тензори от първи ранг), величините
(12.23)	Fik = А'Вк - Ак В'
са компоненти на антисиметричен тензор от втори ранг. Ако А и F са
съответно 4-вектор и 4-тензор от втори ранг, величините
(12.24)	С*к, = А*Рк1
са компоненти на 4-тензор от трети ранг и т.н.
Очевидно е, че много от правилата на познатата вскторна алгебра в 3-
мерното пространство могат да се обобщит непосредствен© и за 4-мерния
случай. Така например може да се събират и изваждат два скалара, два
4-вектора, два 4-тензора с еднакъв брой и вид индекси, като съответните
действия се извършват над компонентите им. По същия начин може да
се въведат произведения на скалар, 4-вектор и 4-тензор със скалар и т.н.
За разлика от 3-мерния случай обаче сега не може да се въведе вектор-
но произведение на два 4-вектора, защото няма билинейна комбинация от
компонентите на 4-вектори, която да се трансформира по закона (12.17).
Общи трансформации на Лоренц 165
КОВАРИАНТНИ ПОЛЕТА И ТЕХНИТЕ ПРОИЗВОДНИ
Ако компонентите на една от дефинираните по-горе ковариантни величини
(скалари, 4-вектори и 4-тензори) са функции на 4-мерния радиус-вектор
х, казва се, че е зададено едно ковариантно поле в 4-мерното простран-
ство-време. Известно е, че в 3-мерния случай от скаларните, векторните
и тензорните полета могат да се образуват различии производни полета
(grady>(r)> div{7(r), rott/(r), Div<I>(r) и т.н.), които също са ковариантни ве-
личини, т.е. притежават определени трансформационни свойства. Тези
операции може да се обобщят по подходящ начин и в 4-мерното прост-
ранство-време.
За намиране на търсеното обобщение може да се постъпи по след-
ния начин. Ако и(х) е едно скаларно поле, 'очевидно е, че и величипата
du = и(х 4- dx) — u(z) е също скалар. От друга страна обаче
ди
(12.25)	du=—— dz1,
дх'
като за dx1 е известно, че образуват компоненти на контравариантен век-
тор dx. Тогава, тъй като дясната страна на (12.25) е записана във фор-
мата на четиримерно скаларно произведение (вж. (12.18)), следва да се
ди
заключи, че у-г са ковариантните компоненти на 4-вектор. И тъй като и
е скалар, следва, че операторите
(12.26)	dt = А
О Xх
са ковариантните компоненти на един 4-векторен оператор V = (<9,), кой-
то е обобщение на 3-мерния V -оператор. С новите означения (12.25) се
записва във вида
(12.27)	du = dxidiu,
като очевидно полето с компоненти д\и е обобщение па grad^(f).
По аналогичен начин, ако U(x) е 4-векторно поле,
(12.28)	diu‘ = ^2^
1=0
е скаларно поле, обобщение на divU, а
(12.29)	Fik = d'Uk -dkU'
е обобщение на rotLT.
Ковариантни първи производни може да се дефинират и за тензори от
по-висок ранг. Така, ако Fxk е 4-тензор от втори ранг, полето
(12.30)	Ск = diFik
Ще бъде обобщение на полето Div<l> от 3-мерното пространство и т.н.
166
Специална теория на относителността
Лесно е да се намери и 4-мерно обобщение на оператора на Лаплас,
който в 3-мерния случай, се определя като Д = V2. Квадратът на 4-мер-
ния V-оператор се бележи с —□ и се нарича оператор на Даламбер, т.е.
по определение □ = —V2. От (12.18) и (12.26) за него се получава
(12.31)
□ = -<Э‘й = Д —
Като се отчете, че xq = ct, за действието на □ върху скаларното поле
9?(f, t) се получава
(12.32)
□у? =	—
1 д2<р
Развитият тук апарат на ковариантни величини дава възможност за-
коните на механиката и на електродинамиката да се запишат във вид,
инвариантен по отношение избора на инерциалната отправна система.
13
РЕЛАТИВИСТИЧНА ФОРМУЛИРОВКА
НА ЕЛЕКТРОДИНАМИКАТА
ПОСТАНОВКА НА ЗАДАЧАТА
Принципът на относителността на Айнщайн изисква законите на електро-
динамиката да бъдат изпълнени във всяка инерциална отправна система.
Това означава, че те трябва да могат да бъдат представени чрез равенс-
тва между ковариантни величини, като равенствата запазват вида си при
преход от една система в друга. Затова задачата сега е да се покаже,
че от въведените при изучаване на електромагнитното поле във вакуум
характеристики на полето може да се образуват ковариантни комбинации
(4-вектори, 4-тензори и т.н.) и че основните зависимости могат да се за-
пищат като равенства между еднородни такива величини, без в уравнени-
ята да се внасят корекции. Това всъщност ще означава, че максуеловата
електродинамика удовлетворява принципа на Айнщайн, но 3-мерният на-
чин на записване на уравненията й не манифестира в явен вид това нейно
СВОЙСТВО.
КОВАРИАНТНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ПОЛЕТО И
ИЗТОЧНИЦИТЕ МУ
Поставената задача се решава с помощта на локалните характеристики на
полето и неговите източници. За простота тук се разглеждат само поле-
та на обемни източници. Известно е, че разпределението на източниците
в този случай се описва с две локални характеристики — скаларната
обемна плътност на зарядите к(г,/) и вектора на обемната плътност на
токовете /(г,/). Известно е също така, че локалната форма на закона за
запазване на електричния заряд е уравнението на непрекъснатостта (1.11)
(13.1)	^- + div/ = 0.
01
Според принципа на относителността на Айнщайн този закон трябва да
бъде изпълнен във всяка инерциална отправна система. Този факт може
Да се използва за въвеждане на подходяща ковариантна характеристика
на източниците на полето. Наистина, ако (13.1) се запише във вида
-A-(c^) + div/ = О,
О{С1)
167
168 Специална теория на относителността
уравнението придобива форма на скаларно произведение на 4-вектора V
с компоненти (12.26) и четирикомпонентната величина
(13.2)	/(x) = (/°,/) = (ct,f),
чиито трансформационни свойства са засега неизвестни. Така в новите
означения (13.1) добива вида
(13.3)	V.Z = 0.
От трите твърдения
—	принципът на относителността изисква (13.3) да бъде изпълнено
във всяка инерциална отправна система;
—	равенство (13.3) има вид на скаларно произведение на 4-вектори,
което е лоренцов скалар само когато двата множителя са 4-вектори;
—	операторът V има трансформационни свойства на 4-вектор,
следва изводът, че въведената с (13.2) величина е също 4-вектор. Този
4-вектор е търсената ковариантна локална характеристика на източници-
те на полето и се нарича 4-мерна плътност на тока (или плътност на
4-мерния ток).
Равенство (13.3) представлява ковариантен запис на закона за запаз-
ване на електричния заряд.
Фактът, че 1° = ск и I са съответно временна и пространствена ком-
понента на един 4-вектор, води до следните заключения. Нека системите
К и К' са свързани с едно специално лоренцово преобразование, чиято
матрица Л° има вида (12.8). Като се отчете, че съгласно (12.17)
Г' = (Л°
че елементите на Л° 1 се отличават от тези на Л° само по знака пред
/? = - и че компонентите на 4-мерната плътност на тока са свързани с
с
к и I чрез (13.2), за връзките между стойностите на последните в двете
системи се получава
к' "* ~2^х	I' 4- vk'
(13.4)	к= .  с. 1Х = 7	, 1У = 1‘	1г=1'г.
V ’	y/\-v2lc2	y/\-v2/c2 V y
Нека сега зарядите са неподвижни спрямо К1 и нека плътността им
спрямо нея е Аго-Тъй като в този случай I' = 0, за наблюдател от К плът-
ността им съгласно (13.4) ще бъде
(13.5)
ку
i/l — и2/с2 ’
т.е. по-голяма от собствената плътност к$.
Ако освен това dvo е малък обем, неподвижен в К', неговият заряд
ще бъде dqo = kodvo. Като се отчете, че съгласно (11.18) големината на
същия обем спрямо К е dv = у/1 — v2/c2dv0, от (13.5) за стойността на
заряда в К се получава
(13.6) dq = kdv =	.	°	.x/\ — v2/c2dvQ — kodvo = dqQ.
Релативистична формулировка на електродинамиката	169
Следователно зарядът на едно тяло или на една частица наистина не
зависи от отправната система, т.е. — от скоростта, така както това бе
посочено в тема 1 при изброяване свойствата на зарядите. Зарядът на
един електрон например е е = 1,6.10“19 С за всеки инерциален наблю-
дател. Увеличението на обемната плътност на заряда в (13.5) се дължи
изцяло на лоренцовото скъсяване на надлъжните размери на движещото
се тяло.
Доколкото математическите изрази (13.1) за закона за запазване на
електричния заряд и за условието на Лоренц (8.6)
(13.7)	-^— + divI=0
'	'	с2 dt
за потенциалите на електромагнитното поле са идентични, със същите
разсъждения, с които от (13.1) бе въведен 4-векторът /, сега може да се
въведе и 4-мерният потенциал на електромагнитното поле. По анало-
гия с (13.2) неговите контравариантни компоненти са
и ковариантният запис на условието на Лоренц е съответно
(13.9)	V-Л = 0.
Намерете закона за преобразуване на компонентите на U и А при специал-
исте преобразование на Лоренц, осъществявано с матрицата (12.8).
Познаването на трансформационните свойства на U и А позволява да
се въведе локална ковариантна характеристика и за самото поле. За цел-
та се използват връзките (8.1) и (8.2):
Ё = — gradt/ —
В = rot Л.
Достатъчно е те първо да се запишат по
ди дАх	дАг дАу
дх dt	х ~д^ dz
__du _dAy_	_ dAx дАг
y	dy	dt	y	dz	dx
du dAz	dAy dAx
г~	dz	dt	г	dx	dy
и след това в тях да се въведат компонентите на 4-векторите (12.26) и
(13.8):
-ех = -дм0 -	= а1/0 -	= Г10
С
= -<э2л° - <%л2 = <э2л° - dQ л2 = f20
с
dA
dt '
компоненти
170
Специална теория на относителността
или общо
(13.10)
^Ег =	—д3А° - д0А3 = д3А°	- д°А3	= F30
Вх =	<Э2Л3	- <М2 = <Э3А2 -	д2Л3	=	F32
ву =	д3А1	- diA3 = а1 л3 -	а3^1	=	f13
Вг =	diA2	- дзА1 = д2Ах -	д1 А2	=	F21,
Fik = д'Ак -дкА'.
По силата на (12.23) тези равенства показват, че компонентите на
и В могат да се разглеждат като контравариантни компоненти на един
антисиметричен 4-тензор от втори ранг
(13.11)
	(0	-~сЕ-		-±Е с
F =	%	0	-вг	By
		вг	0	-вх
		-By	вх	0
наречен тензор на електромагнитното поле. По такъв начин се оказва,
че вместо с две векторни полета (Е и В) сега, в 4-мерното пространство-
време, локална ковариантна характеристика на полето е един-единствен
4-тензор от втори ранг. Разбира се, поради антисиметричността броят на
независимите компоненти на F е точно 6, т.е. колкото е общият брой на
компонентите на Е и В.
С помощта на (12.21) от (13.11) може да се построй и тензорът F,
дуален на F. Неговите контравариантни компоненти са
(13.12)
	( °	-в„	-в,	~Вг
F =	вх By	0	№ 0	~'сЕ, 1СЕ-
	to N			0 J
От (13.12) се вижда, че (13.11) не представлява единствена възможност
от компонентите на Е и В да се построй 4-тензор от втори ранг.
КОВАРИАНТЕН ЗАПИС НА УРАВНЕНИЯТА НА
ЕЛЕКТРОДИНАМИКАТА
Вече бе показано, че чрез въведените с (13.2) и (13.8) 4-вектори I и А
законът за запазване на заряда и условието на Лоренц може да се запи-
щат в ковариантна форма (вж.(13.3) и (13.9)). Пак с помощта на (13.2)
и (13.8), като се отчете и (12.32), се вижда, че нехомогенните вълнови
уравнения (8.7) за слектромагнитните потенциали могат да се обединят
в едно равенство от вида
(13.13)	DA =-pi0I.
Тъй като операторът на Даламбер □ е скаларен, (13.13) представлява
равенство между 4-вектори и следователно ще запазва вида си във всяка
инерциална отправна система.
Релативистична формулировка на електродинамиката	171
В края остава да се покаже, че и уравненията на Максуел (6.10) може
да се запишат в ковариантен вид. Третото от тях, (6.10,в), записано чрез
компоненти, има вида
я k д	д /1	\	д /1п\ ck
divF = — => — -Ех + -Ey + д-g -Ег - —2 •
£о	OX1	\С J ОХ* \С	)	ОХЛ \С J	Е3С1
Тъй като вое2 = —, а съгласно (13.2) ck = 7°, като се използва съответ-
Мо
ствието (13.11) между компонентите на Е и В и тези на F, въпросното
уравнение може да се запише във формата
d0F00 + ^F10 + 52F20 + d3F30 = д07°.
Едно сравнение с равенство (12.30) показва, че лявата част всъщност
представлява временната компонента на 4-мерната дивергенция на F, т.е.
(V.F)0 = д0/°.
По аналогичен начин първата компонента на уравнението (6.10,6) мо-
же да се представи като
rotxB - -1 • ^ = до/т => d0Fa' + 9iFn + d2F21 + 93F3' = /к,!1
cl ot
или (V.F)1 = до/1-
Като се запишат по подобен начин и останалите две компоненти на
(6.10,6) и получените резултати се сравнят с (12.30), се вижда, че общо
нехомогенните уравнения на Максуел може да се обединят в едно урав-
нение
(13.14)	V.F = д0/,
чийто ковариантен вид гарантира запазване на формата му във всяка
инерциална отправна система. Видът на (13.14) показва, че 4-мерната
дивергенция на тензора на електромагнитното поле е пропорционална на
плътността на 4-мерния ток.
Ако по аналогичен начин и хомогенните измежду уравненията на Мак-
суел, т.е. (6.10,а) и (6.10,г), се запишат посредством компонентите на
ковариантните величини V = (<9t) и F, се получават връзки от типа
(13.15)	ДКи +	= 0.
Формално за всички възможни стойкости на индексите i, k и I от 0 до 3
от (13.15) се получават 43 = 64 връзки, но като се отчете антисиметрич-
ността на тензора F, лесно се съобразява, че независими измежду тях са
само 4 — толкова, колкото са и компонентите на хомогенните уравнения
(6.10,а) и (6.10,г).
Видът на равенствата (13.15) не е явно ковариантен. Чрез директна
проверка обаче може да се.покаже, че те наистина запазват вида си при
преход в друга инерциална отправна система. Явно ковариантен запис
може да се получи, ако вместо тензора F се използва дуалният му тензор
(13.12). В този случай хомогенните уравнения на Максуел придобиват
вида
.(13.16)	V.F = 0,
172 Специална теория на относителността
който вече очевидно е един и същ за всяка инерциална система.
Явно ковариантният вид (13.14) и (13.15) на уравненията на Максу-
ел показва, че наистина класическата електродинамика е релативистична
наука, т.е. не се нуждае от поправки, за да бъде приведена в съответствие
с изискванията на специалната теория на относителността. Този факт е
естествен, защото поначало електродинамиката се изгражда като наука за
процеси, разпространяващи се със скоростта на светлината във вакуум
или сравними с нея.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА Ё И В ПРИ СПЕЦИАЛНИТЕ
ТРАНСФОРМАЦИИ НА ЛОРЕНЦ
С помощта на (12.20) и (13.11) може да се получат формулите, по които се
преобразуват компонентите на Е и В при едно специално преобразование
на Лоренц от типа (12.8). Техният вид
(13.17)
— Ех	Вх —	Вх
. _ Е, - vB.	. _
’	0-^7? у ~	Ji -
Е. =	£, + уВ,	в. =	В‘ -
1	0 - v2/c2	1	х/1 -	t?2/c2
показва, че при преход от една система в друга компонентите на Е' не
се изразяват само чрез компонентите на Е, но зависят още и от В (и
обратно), което още веднъж подчертава единната природа на електро-
магнитното поле.
На равенства (13.17) може да. се придаде по-общ вид, като се изпол-
зва, че при разглежданото специално преобразование на Лоренц компо-
нентите на скоростта v на системата К' спрямо К са v = (v, 0,0), така че
v х В = (0, — vBz,vBy) и v х Е = (0, —оЕг, vEy). Следователно, ако Ё и В се
представят във вида
(13.18)	Ё = Ец + Е±,В = В|| + В±,
където Ец и £?ц са съставящите им колинеарни с v, а Ё± и В± — съста-
вящите, съответно перпендикулярни на v, то (13.17) се записват по-ком-
пактно като
£’,|| = £'||’ ^'1 = 7(^1 + v х Bi),
В'ц - ВЦ, В'L = 7(Bl - ~ х #1).
Равенствата (13.19) показват, че при преход в нова система компонен-
тите на полето по посока на скоростта на тази система не се изменят. От
(13.19) може да се изведат важни следствия. Така например, ако в К1 има
неподвижни заряди, то В' = 0 и за същото поле в системата К от (13.19)
се получава
Релативистична формулировка на електродинамиката	173
Вц =0, Bi = х Ёг,
т.е. изобщо
(13.20)	B=^vxE.
Следователно в този случай магнитното поле в системата К се определя
напълно от електричното.
Обратно — ако в К' има само магнитно поле, т.е. Е' = 0, отново от
(1319) се получава
7>ц = 0, Е± ~ —V х
т.е.
(13.21)	E=-vxB.
В този случай електричното поле се определя напълно от магнитното.
ПОЛЕ НА РАВНОМЕРНО ДВИЖЕЩ СЕ ТОЧКОВ ЗАРЯД
Нека точков заряд q се движи равномерно праволинейно със скорост v.
Ако началото О' на подвижната система К' съвпада с положението на q
и осите Ох и О'х' са колинеарни с v, то спрямо К' полето на q е елект-
ростатично и съгласно (2.6)
47Г£ог'3
В' = 0.
От формулите, обратни на (13.17), и от (11.11) следва, че компонентите
на полето в К' са съответно
(13.22)
Е -Е' - 4х' - yx~vt
г ~ 1 ~ 4«ог'3 “	г'3 ’
Е = -5—гА Е = г—
у 4перг'3' г 4зге0 г'3'
к ьдето
г' = v/r/2 4- у'2 + z'2 = \	-|- у2 4- z2 =	- vt)2 4- (1 - 02)(у2 + z2).
*	у 1 — р
Трите уравнения (13.22) може да се запишат във векторен вид:
(1323) Ё = 4^(1 “	[(« - irf)’ + (1 - Д»)(»а + »’)]’/’
и съгласно (13.20) магнитното поле ще бъде съответно
(13 24)	=	[(х - vt)2 4- (1 - Р2)(у2 4- г2)]3/2 ’
Сравнението на (13.23) и (13.24) с (2.6) и (4.11) показва, че разглежда-
ното поле има характер на деформирани електростатично поле на точков
заряд q и на стационарно магнитно поле на токов елемент qv. На фиг. 13.1
174
Специална теория на относителността
Фиг. 13.1
е показан видът на силовите линии на електричното поле в един фиксиран
момент.
В случая, когато зарядът се движи с нерелативистична скорост (т.е.
v <С с), (13.23) и (13.24) преминават съответно в (2.6) и (4.11).
За по-удобно изследване на другия граничен случай, на ултрарелати-
вистичния — когато v ~с и 1 е удобно да се въведе радиус-векторът
s = г — vt от положението на q в момента на наблюдение t към точката на
наблюдение г (фиг. 13.2). От фигурата се вижда, че
s = |г — vt| = \/(х — vt)2 4-1/2 4- z2.
Ако ip е ъгълът между s и v, то (вж. фиг. 13.2) sin = - \Л/2 4- z2 и тогава
з
t________________________ I ..2 z2 /----------------------
- vZ)2 + (1 - /?2)<У2 + *2) = s\/l - fi2 = sJ1 - /Р sin2 ф.
V	s£ v
В новите означения (13.23) приема вида
- qs	1 — З2
<13'25)	Е = 4«о«3 ’ (l-^sin2^)3/2'
Очевидно е, че първият множител —- представлява кулоновото по-
47ГЕо33
1 - 02
ле на неподвижен точков заряд q, а вторият — ----- 9----— внася поп-
(1 — /З2 sin ipy/2
равка заради движението на заряда.
Вижда се, че в ултрарелативистичния случай (/3 » 1) полето е различ-
но от нула само в околността на равнината х = vt. за точките от която
V’ = и sinV’ = 1- Следователно полето на един бързо прелитащ покрай
наблюдателя електрон ще прилича на полето на една плоска електромаг-
нитна вълна: надлъжната (по посока на v) компонента на Е бързо сменя
знака си при преминаване край наблюдателя (сменя знака си надлъжната
компонента на s) и поради инертността си приборите не могат да я регис-
трират. Наблюдава се напречно електрично поле, а поради В = \v х Е
— и напречно магнитно поле, т.е. точно както при плоска вълна.
ИНВАРИАНТИ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ
Както от всеки тензор, така и от компонентите на F и F могат да се
образуват инвариантни комбинации, т.е. комбинации, които притежават
Релативистична формулировка на електродинамиката 175
свойствата на лоренцови скалари. Доказва се, че единствените линей-
но независими квадратични комбинации, които представляват лоренцови
скалари, са
(13.26)	Ji = \c2FikFik = Ё2-с2В2,
(13.27)	h = ~FikFik = Ё.В.
От факта, че както стойностите на J\, така и тези на във всяка отправка
система са еднакви, следват определени изводи.
а)	Ако в една система Е = 0 (или В = 0), то във всяка друга система е
изпълнено неравенството Ё2 < с2В2 (съответно Ё2 > с2В2), защото само
в този случай знакът на J\ може да бъде един и същ във всички отправ-
ни системи. Оттук в частност следва, че ако в една система Е = 0 (или
В = 0), не съществува система, в която да бъде изпълнено и равенството
В = 0 (съответно Е = 0), тъй като с това ще се наруши неравенството
Е2 < с2В2 (съответно Ё2 > с2В2).
б)	Ако в една система електричното и магнитното поле са ортогонални,
т.е. Е.В = 0, поради инвариантността на 7г това им свойство се запазва
и във всяка друга отправна система.
в)	Важен случай на електромагнитно поле е плоската вълна. Както ще
бъде показано (вж. тема 21), при плоска вълна Е.В = 0 и Е = сВ. В този
случай Ji = 0 и J2 = 0. Инвариантността на Ji и J2 гарантира че плоската
вълна е плоска във всяка инерциална отправна система.
С помощта на въведените инварианти може да се направи известна
класификация на електромагнитните полета, но следва да се отчита, че
тя е локална, тъй като J\ и Jo, изобщо казано, зависят от г и t. Тази
класификация има следния вид:
1.	Полета, за които Jo = Ё.В = 0. Възможни са три случая:
а)	ако Ji < 0 (т.е. Ё2 < с2В2), може да се покаже, че съществува сис-
тема К*, в която отлична от нула е само магнитната индукция на полето
(т.е. Ё' = 0);
б)	ако Ji = 0, случаят е на разгледаната вече плоска вълна;
в)	ако Ji > 0 (т.е. Ё2 > с2В2} може да се покаже, че съществува сис-
тема К', в която отличен от нула е само интензитетът на електричното
поле (т.е. В' = 0).
2.	Полета, за които J2 / 0. Може да се покаже, че в този случай съ-
ществува система, в която Е||В, т.е. Ё х В = 0.
14
РЕЛАТИВИСТИЧНА МЕХАНИКА НА
МАТЕРИАЛНА ТОЧКА
КИНЕМАТИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА
Когато материална точка се движи, нейните координати в 4-мерното прос-
транство-време могат да се изразят като функции на един параметър г
: х = х(т) или х' = х‘(т). Кривата, описвана в 4-мерното пространст-
во от 4-мерния радиус-вектор на точката при промяна на г, се нарича
мирова линия. Съгласно (11.13) и (11.12) инвариантният спрямо пре-
образованията на Лоренц пространствено-временен интервал между две
близки точки от мировата линия е
ds — y/dx'dxi = \/c~dt2 — dr2 = cdt \/1 — v2/c2,
където с = -^ e скоростта на точката в интервала време dt, за който
dt
преместването й е dr.
Удобно е параметърът т на мировата линия да се избере пропорцио-
нален на дължината й $, като тя се отчита от точката, в която започва
отчитането и на времето. Освен това, за да има т размерност на време,
коефициентът на пропорционалност се полага равен на 1/с, т.е.
(14.1)	dr = -ds = dty/1 — v2/с2.
с
Сравняването на (14.1) с формулата (11.20) за преобразуването на вре-
менните интервали показва, че dr има смисъл па нарастване на собстве-
ното време на движещата се точка.
Чрез деление на 4-вектора dx = (dx') и скал ара dr може да се образува
нов 4-вектор и = (и‘), който предвид (12.1) има компоненти
Той се нарича 4-мерна скорост на точката. За разлика от 3-мерната
скорост v големината на 4-мерната скорост на всички материални точки
и във всички отправни системи е една и съща:
(14.3)	и2 = и'щ — с2.
Фактът, че и2 > 0, показва, че 4-мерната скорост е винаги времеподо-
бен вектор.
176
Релативистична механика на материална точка 177
От деленето на 4-вектора du и скалара dr се получава нов 4-вектор
наречен 4-мерно ускорение на точката. Чрез диференциране на (14.3)
по г се получава
_ d . о. d , 9.	du
О = —(с2) = —(и2) = 2и • — = 2и.ш.
dr 'dr ' dr
Този резултат разкрива друга особеност на кинематиката в 4-мерното
пространство-време: 4-мерните скорост и ускорение са винаги ортого-
нални помежду си.
ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА
Лесно се проверява, че изразът (5.4) за силата на Лоренц, с която елек-
тромагнитното поле действа върху движещ се в него точков заряд q
Al = q(E + v x В),
записан с помощта на (13.11) и (14.2) чрез компонентите на тензора на
полето F и 4-мерната скорост и на заряда, има вида
(14.5)	Al = <7\Л - v2/c2(fZ).
Това равенство показва, че —~------- е пространствена част на 4-векто-
0 - «2/с2
pa qF.u (g съгласно (13.6) е скалар!). Временната компонента на същия
4-вектор е
п( р ,.\0 _ п рог. _ 1	E.v _ Fn-v
q(F.u) — qr щ —	-----— г-----------2 . , •
с \J\ — v2/c2 Ci/l — v2/с2
Тъй като работата Fji.v на силата на Лоренц за единица време по дефи-
ниция е равна на промяната dW/dt на енергията на частицата за същото
време, полученият резултат може да се запише още като
(U-6)	4(F.U)» =
Су/1 — V* fc*
От (14.5) и (14.6) следва, че величината
(14 71	т - (р 1	( dW/dt	\
(14-7)	Лм = q(F.и) = (	. = , ,---,
4Ci/l — Ц2/с2	—
наречена 4-мерна сила на Минковски, е 4-вектор.
От класическата механика е известно, че силата, която действа на ед-
на материална точка (в случая Ai)> е свързана с 3-мерния импулс на
точката чрез втория принцип на Нютон
(14.8)	/л = dl
at
178
Специална теория на относителността
Последното равенство при отчитане валидността на (14.1) позволява из-
разът за силата на Минковски да се запише като
.лл n.	/ dW	dp \ d (W \
( ‘ ) М “ ЧУ1-«2/с2Л’ 0 - v2/cW “ dr\ с ,Р)'
От това, че /до е 4-вектор, a dr — скалар, следва, че величината с конт-
равариантни компоненти
(W \
(14.10)	р= ( —,Р
\ с /
е 4-вектор. Тази величина се нарича 4-мерен импулс на частицата. При
това положение следващото от (14.9) и (14.10) равенство
(НИ)
dp
dr
може да се разглежда като релативистично обобщение на вторил принцип
на Нютон, защото (14.8) се получава от равенството на пространствените
части на участващите в него 4-вектори.
W
Фактът, че — и р образуват 4-вектор, е важен от физична гледна точ-
с
ка. Така например от това, че квадратът на всеки 4-вектор е скаларна
величина, следва, че р~ не зависи от избора на отправната система и мо-
же да зависи само от частицата, която има 4-мерен импулс р. С други
9
думи, р е една характеристика на частицата, която зависи от индивиду-
алността на последната, но не и от движението й. По съображения, които
се изясняват по-долу, за такава характеристика се избира не точно р2, а
величината
(14.12)
наречена маса на частицата*.
Решено спрямо W, равенство (14.12) дава връзка между енергията и
тримерния импулс р на частицата:
dP Г
-j- = QF-U,
(14.13)	W = сх/т2с2 +р2.
Тази връзка позволява от (14.10) 4-мерният импулс да се изрази само
чрез 3-мерния:
(14.14)	р = (у/т2с2 + р2,	.
Равенството
(14.15)
което следва от (14.9), (14.10) и (14.11), още не представлява уравнение
на движение на материалната точка, защото липсва връзката между 4-
мерните скорост и и импулс р. Известно е, че в класическата механика
’В литературата все още се среща широко разпространеният по-рано термин “мае»
в покой”, който се употребява за същата величина, дефинирана с (14.12).
Релативистична механика на материална точка
179
връзката между р и v се дава с равенството р = m'v, където т' е класи-
ческата маса на точката. В релативистичната механика тази връзка не
може да се занази в същия вид, поне когато т' се разглежда като вели-
чина, независеща от отправната система. Наистина, докато от (14.10) се
вижда, че р е пространствена част на 4-вектор, то (14.2) показва, че v не
е такава. Тези разсъждения показват, че ако и сега се положи
(14.16)	p = m'v,
величината т' не може да бъде лоренцов скалар, т.е. ще зависи от избо-
ра на инерциалната отправна система: в системата, в която частицата е
в покой, може да има една стойност, а спрямо други системи — изобщо
казано, други стойности. За намиране на тази зависимост може изразът
за р от (14.10) да се запише с помощта на (14.16) във вида
(14.17)	р = 771'5/1 — и2/с2 |	| ,
у m'c/T — v2/с2 •/! — и2/с2 J
като дясната страна е преобразувана така, че в нея да фигурира точно
пространствената част — V на четиримерната скорост и. Тъй като
х/1 - v2/c2
лявата страна на (14.17) е 4-вектор, дясната ще бъде такава, ако:
а)		= с, което равенство се получава от сравняване временните ком-
т'с
поненти на и (от (14.2)) и на 4-компонентната величина, фигурираща в
дясната страна на (14.17);
б)	rn'i/l — V2/с2 е скалар.
От първото условие следва универсалната връзка между класическата
маса и енергията
(14.18)
IV = тс2.
Тъй като от (14.13) и (14.16) следва
(14.19)
W = с\/т2с2 4- m'2v2,
от приравняването на десните страни на (14.18) и (14.19) и решаването
на полученото равенство спрямо т' се получава зависимостта
(14.20)
т
х/1 — v2/c2
на класическата маса т! на точката от скоростта на движението й. Фор-
мулата (14.20) показва, че въведената с (14.12) характеристика на час-
тицата яг наистина има смисъл на маса в покой (т.е. при v = 0), което
оправдава старото й название.
С помощта на (14.17), (14.18), (14.20) и (14.2) се получава търсената
връзка между р и и:
р — т
180
Специална теория на относителността
т.е.
(14.21)
р — ти.
По такъв начин от (14.15) и (14.21) следва, че релативистичното урав-
нение на движение на точковия заряд q с маса т в поле, чийто тензор е
F, е
(14.22)
или, като се използва отново (14.21), в еквивалентна форма
Основният извод от направените разглеждания е, че за разлика от елек-
тродинамиката класическата механика не е релативистична наука — за
привеждането й в съответствие с изискванията на СТО се налага да се
прави радикална промяна в концептуалната й основа: необходимо е да
се изостави концепцията за скаларния характер на класическата маса т',
разглеждана като коефициент на пропорционалност във връзката между
3-мерните импулс р и скорост и. От характеристика на частицата, как-
вато е в класическата механика, класическата маса т* в СТО се преврвща
в характеристика на състоянието на частицата, като зависимостта й от
скоростта на движение се описва с (14.20). И тъй като според (14.18)
/	2
класическата маса т с точност до константен множител с~ не се разли-
чава от енергията IV на частицата, по-нататъшното й разглеждане като
самостоятелна величина не е наложително.
От (14.18) и (14.20) следва, че енергията на една материална точка е
свързана с масата й и със скоростта й чрез формулата
От нея се вижда, че за разлика от класическата механика частицата при-
тежава енергия
(14.25)
JVq = тс2
дори когато е неподвижна. Тази енергия се нарича енергия в покой, или
собствена енергия на частицата. От класическата механика е известно,
че като функция на състоянието енергията на една система е дефинирана
с точност до адитивна константа. Този факт обаче не може да се изпол-
зва за елиминиране на енергията в покой чрез предефиниране на самата
енергия като W — Wo- Наистина разликата W — Wo може да се представи
във вида
W — Wo = с(т'с — тс).
От (14.10) се вижда, че W/c = т'с е временна част на 4-вектор, а тс
по определение е скалар. Следователно тяхната разлика т'с— тс няма
определени трансформационни свойства. Това означава, че въпросното
предефиниране на енергията като W — Wq не е ковариантно — ако в една
Релативистична механика на материална точка 181
система се постигне енергията в покой да бъде нула, в други системи тя
няма да бъде нула.
От (14.24) при v <С с, като се използва приблизителното равенство
-— » 1 + ^, валидно при €	1, се получава
У1 - е 2
W = Wo +
т.е. в нерелативистичния случай енергията на частицата е сума от ней-
ната енергия в покой и известната от класическата механика кинетична
енергия -mv2. Тъй като в този случай класическата маса съвпада с маса-
та (т.е. е константа), дискутираното по-горе предефиниране на енергията
може да се извърши и като енергия на точката да се разглежда само
кинетичната й енергия.
КЛАСИЧЕСКИ РАДИУС НА ЕЛЕКТРОНА
Съгласно резултатите от тема 9, когато външна сила ускорява заряд, ед-
на част от работата на силата се изразходва за увеличаване механичната
енергия на заредената частица, а другата — за излъчване на електромаг-
нитна енергия в околното пространство. Затова, ако две еднакви сили
ускоряват две неподвижни в началото частици с равни маси, като едната
от тях има заряд, а другата — не, то за единица време повече ще се уве-
личи механичната енергия (т.е. скоростта) на незаредената частица. От
гледна точка на механиката като че ли заредената частица е по-инертна,
т.е. ефективно като че ли масата й е по-голяма. Както бе отбелязано в
края на тема 9, този факт навежда на мисълта, че поне част от масата на
частицата, която е мярка за инертността, може да има електромагнитен
произход, т.е. да се дължи на наличието на заряд на частицата.
Ако отново се предположи, че цялата маса на един електрон има елект-
ромагнитен произход, може да се получи една важна оценка за размерите
на тази частица. Наистина, от една страна, енергията на частицата с
маса т според (14.25) е Ио = тс2. От друга страна, тъй като най-естес-
твено е предположението, че разпределението на заряда в една елемен-
тарна частица притежава сферична симетрия за същата енергия може да
с2
се използва и формулата (3.23) — W = ----, където а е радиусът на
заредената сфера, а е — общият й заряд. (Множителят 3/5 е изпуснат
поради съображенията, изложени в тема 9.) От двете формули за W се
получава изразът
(14.26)
е' _ /1р е
4тг€отс2 4к т’
който съвпада с получения по-рано (9.41) за класическия радиус на елек-
трона.
Класическият радиус на електрона е важен параметър, но за да има
формула (14.26) пряк физичен смисъл, е необходимо всички класически
предпоставки, при който тя бе изведена, да са валидни поне за разсто-
яния от порядъка на а. От квантовата механика е известно обаче, че
182
Специална теория на относителността
квантовите ефекти в поведението на една частица започват да се проявя-
ват при разстояния, които са от порядъка и по-малки от т.нар. комптъ-
нова дължина на вълната на частицата, която се определя от връзката
А = —, където h = 1,05.10-34 J.s е константата на Планк. Отношението
тс
Л./а се оказва равно на 137, т.е. класическите представи губят смисъл
на разстояния, значително по-големи от а. Въпреки това въвеждането
на класическия радиус на електрона е полезно и това ще се разкрие по-
късно, например при разглеждане процесите на излъчвапе, разсейване и
поглъщане на електромагиитни вълни.
ЛАГРАНЖОВА ФОРМА НА УРАВНЕНИЕТО НА ДВИЖЕНИЕ
Когато в класическата механика силата F, която действа на една мате-
риална точка, е консервативна, тя може да се представи във вида F =
—grad V, където V е нейната потенциална функция. В този случай урав-
,	dP АХ/
нението на движение приема формата — = —grad V.
at
В 4-мерния случай тензорът на електромагнитното поле F, който оп-
ределя действащата върху точковия заряд q сила, също може да се изрази
чрез производните на определена функция — електромагнитния потенци-
ал А (вж.(13.10)). Това поставя въпроса, може ли и сега уравнението
на движение на заряда да се запише във вид, в който вместо тензора F
да участва 4-мерният потенциал на полето. Отговорът на този въпрос е
утвърдителен и желаният резултат се получава, като в (14.22) компонен-
тите на F се изразят чрез А посредством (13.10). Така в покомпонентен
запис се намира
(14.27)
du*
т — = qFikut = qut(diAt - д‘Л().
аг
Тъй като по силата на (14.2) и (12.26) членовете
А г к
икдкА* = икдкА* =
ат
дА* _ dA*
дхк dr
представляват производните на А* по г, след прехвърлянето им в лявата
страна на (14.27) уравнението на движение приема вида
(14.28)
В него 4-векторът
= qukdlAk.
dr
(14.29)
7г = mu A qA = р A qA
играе роля на обобщен импулс на частицата, която има характеристи-
ки q и т и се движи с 4-мерна скорост и във въпшпо поле с 4-мерен
потенциал А.
Ако на 4-мерния радиус-вектор х и на 4-мерна.та скорост и се гледа ка-
то на независими променливи, на уравнението (14.28) може да се придаде
вид на уравнение на Лагранж от II род, т.е. да се запише като
(14.30)
d dL dL
dr дщ dxi
Релативистична механика на материална точка
183
при подходящ избор на лагранжиана L на частицата. За намиране на то-
зи лагранжиан е достатъчно да се сравнят (14.30) и (14.29). Сравнението
показва, че
(14.31)
dL i i а
—- = % — mu + qA ,
дщ
~~ = qukd'Ak.
OXi
Вижда се, че уравненията (14.31) са удовлетворени от функцията
L = ^ти‘и, + gA‘ut + const.
Удобно e константата да се положи равна на — ^тс2, така че окончател-
ният вид на лагранжиана на частицата е
(14.32)	’ т
9 у-2 - с2) + qA  и.
И така уравненията (14.28) могат да се разглеждат като уравнения на
Лагранж от II род за система, чийто лагранжиан се описва с (14.32).
От механиката е известно, че хамилтонианът на системата се опре-
деля с формулата
(14.33)	Н =	- L = тг • и — L,
дясната страна на която следва да се изрази чрез обобщените координати
г* и обобщените импулси тг’. Ако от (14.29) и се изрази чрез тг и А, за
хамилтониана от (14.33) и (14.32) се получава
(14.34)	я =- jA)J + ^.
2m	2
С иегова помощ уравненията на движение могат да се запишат и в
хамилтонова форма.
НЕКОВАРИАНТНА ФОРМА НА ЛАГРАНЖИАНА
В редица случаи вместо във форма (14.30), т.е. чрез производните по
собственото време (d/dr) на частицата, е по-удобно уравненията на Лаг-
ранж да се запишат чрез производни по времето t спрямо система, в която
частицата се движи със скорост v:
(14.35)
d (—У - —
dt J дх^
P — 2,3,
където и се разглеждат като обобщени координати и скорости на
точката. Разбйра се, подобен вид на уравненията няма да бъде ковари-
антен .
За намиране на подходящ лагранжиан е удобно първо да се разгледа
Движението на свободна частица с маса т. В този случай тензорът на
полето е F = 0 и от уравнението на движение във форма (14.22) следва
du
т— = qF • и = 0.
dr
184 Специална теория на относителността
Като се вземат предвид (14.1) и (14.2), за пространствената част на това
уравнение се получава
(14.36)
d v
dt \/1 — v2/с2
Тъй като лагранжианът LCB на свободна частица не зависи от х, с* = О
дх'
и от сравнението на (14.36) и (14.35) се вижда, че
ди»	уг-V2/с2’
където а е подлежаща на определяне константа. От последното равенство
се вижда, че с точност до адитивна константа
(14.37)
LCB. = Л\/1 - U2/c2.
В нерелативистичния случай (г <С с)£св има вида
св.
V2
2с2
От механиката е известно, че нерелативистичният лагранжиан на сво-
бодна частица съвпада с кинетичната й енергия
mv2
~2~‘
Участващата в
(14.37) константа а може да се определи от изискването в нерелативис-
тичния случай LCB да се редуцира (с точност до адитивна константа) до
то2
От това вече следва, че а = —ttiqc2 и за лагранжиана на свободната
частица окончателно се получава
(14.38)
L = —moc2\/l — v2/с2.
Когато зарядът дев електромагнитно поле, нерелативистичният му
лагранжиан е разлика от кинетичната и потенциалната енергия, т.е. Ьнерел
—qU, където U е скаларният потенциал на полето. Релативистичното
обобщение на тази формула трябва да бъде величина, линейна по отно-
шение на 4-мерния потенциал А, чиято временна компонента е qU. За
получаването й може да се използва, че съгласно (14.2) и (13.8)
U = (7^) ("/Z 2 / 2) х/1 “ v2/c2 = \Л ~ »2/с2А°и0,
\с /	- у*/сгJ
а това подсказва, че търсената величина е д(Л • u)^/! — и2/с2. От LCB. се
изважда д(Л • н)>/1 — г2/с2 и за лагранжиана на частицата в присъствие
на електромагнитно поле се получава
(14.39)	L = -т0с2У1-v2/c2 - q(A  ujy/T- и2/с2
= —(тс2 4- qA  u)\/l — и2/с2 = — тс2 \/1 — и2/с2 — qU + qA • и.
Използвайте израза (14.39) за записване нековариантния вид на уравненията
на Лагранж (14.35).
Релативистична механика на материална точка
185
С помощта на лагранжиана (14.39) може да се определи и действието
S, чрез вариране на което се получават уравненията на Лагранж. Както
е известно от механиката,
t1
(14.40)	S = +JLdt.
h
Заместването на L от (14.39) и (14.40) след отчитане на (14.1) води до
формулата
(14.41)	S = — У(тс2 4- qA • u)dT,
«1
чийто вид показва, че действието е скаларна величина.
НЕКОВАРИАНТНА ФОРМА НА ХАМИЛТОНИАНА
С помощта на лагранжиана (14.39) може да се получи и съответната неко-
вариантна форма на хамилтониана на частицата. За целта е необходимо
първо да се пресметнат каноничните импулси
(14.42)	=	=	Д= 1,2,3.
VVp V 1 — f2/c2
Резултатът показва, че 3-мерният каноничен импулс на заряд q в елект-
ромагнитно поле е
(14.43)	тг = p+qA,
където р = —. mV = е импулсът на свободната частица. Вижда се, че тг
у/1 - «2/с!
е точно пространствената част на величината тг, дефинирана с (14.29).
Съгласно съответното определение от механиката, хамилтонианът на
частицата е
(14.44)	H = tt-v-L,
като в дясната страна v трябва да се изрази посредством тг. За целта от
(14.43) и (14.16) се получава
(14.45)	v = — (тг — qA'jx/l — и2/с2.
тп
Повдигането в квадрат на двете страни на това равенство дава уравне-
ние, от което се определя гг. Заместването на намерения израз за г2 в
(14.45) дава търсената зависимост на v от тг:
_ _ с(тг — qA)
m2c2 — (тг — qA)~
Чрез този израз за v от (14.44) и (14.39) за търсения хамилтониан се
получава
(14.46)	Н = c.\Jтп2с2 4- (тг — qA)2 4- qU.
186
Специална теория на относителността
Запишете уравненията на Хамилтон за движение на частица, чийто хамил-
тониан има вида (14.46).
В нерелативистичния случай, т.е. когато т2с2 (тг —дА), за хамилто-
ниана се получава изразът
(14.47)	Н ~ тс2 4- т— (тг — qA)2 4- qU.
2т
Като се отчете, че съгласно (14.43) (тг — qA)2 = р2, а р2/2т е кинетичната
енергия на частицата, се вижда, че в нерелативисткия случай с точност
до адитивна константа, равна на собствената енергия на частицата тс~,
хамилтонианът е сума от кинетичната и потенциалната енергия на заря-
да.
ТЕНЗОР НА ЕНЕРГИЯТА И ИМПУЛСА
Изразът (5.6)
/л = кЁ 4-1 х В
за плътността на силата на Лоренц може да се запише с помощта на
компонентите на ковариантните величини, въведени в тема 13. Така нап-
ример с помощта на (13.2) и (13.11) за първата компонента на /л се
получава
/Лх = kEr + 1уВг- 1гВу = Fl0I° 4- FUI2 - F13I3 = FuIi.
Разписването и на останалите две компоненти по подобен начин убеждава,
че /л е пространствена част на 4-вектора
(14.48)	f = (f°,M = FI.
Лесно се проверява, че временпата компонента на същия 4-вектор е
(14.49)	/° = FokIk = ^Е1,
т.е. тя е пропорционална на плътността на мощността на силата на Ло-
ренц.
Може да се покаже, че векторът f е 4-мерна дивергенция от подходя-
що конструиран 4-тензор от втори ранг, компонентите на който зависят
само от компонентите на тензора на електромагнитното поле. За целта
с помощта на уравненията на Максуел (13.14) 4-мерният ток I може да
бъде изключен от израза (14.48) за /:
(14.50)	f = FikIk = —Fikd>Fjk = — d>(FikFjk) - —^Fik)Fjk.
Цо	Цо	Цо
Първият член на дясната страна на (14.50) е вече във форма на 4-мер-
на дивергенция. За привеждане и на втория в подобен вид е необходимо
да се направят следпите преобразувания:
=
£	L
Релативистична механика на материална точка 187
Съгласно хомогенните от уравненията на Максуел (13.15) изразът в ско-
бите е точно —d'Fk3, така че по-нататъшните преобразувания водят до
(3>F“)F,t = -Ud‘Fk>)Fjk = -Ь*(Fk>Fkj) =	[5’F“Fti].
*	Lt	x	X
Следователно изразът за може да се запише като
(14.51)	/*=-д%
където Ту са компонентите на един 4-тензор от втори ранг
(14.52)	l} = 2_(FilFtj +
наречен тензор на енергията и импулса на полето.
Изразяването чрез (13.11) на компонентите на F чрез Е и В дава за
контравариантните компоненти на Т изразите
Тет = е0(Ё*Ё- ^Е2)
Li
(В * В — -6В2) е максуеловият тензор на напре-
където w = —Е2--------В2 е плътността на електромагнитната енергия
2 2до
(вж.(7.18)); S = — Ё х В е векторът на Умов-Пойнтинг (вж.(7.23)), а
До
I
До
женията (вж.(7.31)).
Въвеждането и разглеждането на Т е тясно свързано със законите за
запазване на енергията и импулса на полето. Така например, ако в една
пространствена облает V няма заряди и токове, то f = 0. В този случай
(14.51) дава
(14.54)	д>Т] = 0.
Интегрирането на временната компонента на тези 4 уравнения в обема V
води до равенството
/г япрОО Л г	] d Г	1 Г _
dJT?dv = / —— dv 4- V / duT^dv =-— I wdv + - / divSdv.
3 J cot	J	c dt J c J
V	V	у	V
Ако W = f wdv e енергията на полето в областта V, след преобразуване
v
на последния интеграл чрез теоремата на Гаус - Остроградски в интеграл
по повърхността Sv на областта V се получава равенството
(14.55)
188 Специална теория на относителността
което е глобален израз на закона за запазване на енергията на полето.
По подобен начин чрез интегриране на останалите три компоненти на
уравненията (14.54) по V се получава
0= id^T^dv — ±jrfmdv- l(dsTem)“, р = 1,2,3,
V	V	Sv
където съгласно (7.30) рет = -1-S е плътността на импулса на полето. По
с*
такъв начин, ако Рет = f petndv означава общия импулс на полето във V,
v
полученото равенство
(14.56)
<fdsTtm = 0
at J
Sv
e израз на закона за запазване на импулса на полето.
15
ДВИЖЕНИЕ НА ЗАРЯДИ В ЕЛЕКТРИЧНО
И В МАГНИТНО ПОЛЕ
ПОСТАНОВКА НА ЗАДАЧАТА
В раздела “Електромагнитни взаимодействия във вакуум” бе разгледан
проблемът за намиране на електромагнитното поле, при условие че са из-
вестии неговите източници (разпределението и движението на зарядите).
Сега предстои да се обсъди обратната задача: задачата за определяне
движението на точкови заряди при зададени характеристики на външното
електромагнитно поле, в което те се движат. Ясно е, че подобна поста-
новка има смисъл само когато зарядът и движението му са такива, че
създаденото от тях поле не променя разпределението и движението на
източниците на външното поле — само при това условие то може да се
счита известно.
Тъй като външното поле определя действащата върху заряда сила (то-
ва е силата на Лоренц (5.4)), поставената задача е типична не за елект-
родинамиката, а по-скоро за механиката — това е задачата за намиране
характеристиките на движението на материална точка при зададена дейс-
тваща сила. Въпреки това на тази задача и тук се отделя определено
внимание както поради значимостта на резултатите от решаването й, та-
ка и заради спецификата на методите за достигането им, която се дължи
на факта, че действащите сили са именно с електромагнитен произход.
В случая, когато от странични съображения е известно, че скоростта
на движение е нерелативистична, решаването на задачата се осъществя-
ва с методите на класическата механика, а когато такива съображения
липсват, се използва по-общият апарат на СТО.
Във всеки от разгледаните по-долу конкретни случаи се счита, че се
движи точков заряд, като неговата стойност q и масата т са известии.
ДВИЖЕНИЕ В ХОМОГЕННО ПОСТОЯННО МАГНИТНО ПОЛЕ
в случая, когато зарядът q се движи в постоянно хомогенно магнитно
поле с индукция В, т.е. когато
Е = О, В = const,
189
190
Специална теория на относителността
от релативисткото уравнение на движение (14.23) и от (13.11) се получа-
ва
Ж7 л
~dt
(15.2)
= ±0 _г2/с2р-х В.
dt т
Първото уравнение показва, че при движението енергията W на заряда
не се изменя. Този извод съвместно с (14.19) показва, че и скоростта му
v (а заедно с нея и множителят т = —	-) има постоянна големина.
0 - v2/c2
От друга страна, (14.16), (14.18) и (14.20) позволяват второто уравнение
да се запише във вида
qc~ _ s
dl = -wvxB-
Коефициентът
2
(15.3) wl = В (в нерелативистичния случай шь — —В)
IV	*	т
се нарича ларморова или циклотронна честота. Ако п = — е единичният
Н
вектор по посока на полето и се въведе означението oil = ui£7i, уравнени-
ето за скоростта става
(15.4)
dv _	_
— = -wL х v.
at
Разлагането на скоростта на сума от надлъжна и напречна съставяща
v — иц 4-	(гГц х В = 0, vj_ • В = 0) води до връзката
dv\ </vii
-j?-+ -77 = -wl х vj_,
dt dt
от която се вижда, че движението на заряда в направление на полето е с
постоянна скорост = 0):
(15.5)	vj| = vo||.
За намиране закона за скоростта в равнината, перпендикулярна на В,
следва да се интегрира уравнението
dv±
~dF = -ULX VL-
За целта е удобно оста Oz на координатната система да се избере в посо-
ка на В, т.е. В — (0,0, В), и тогава компонентите на това уравнение имат
вида
dvx
~M=V^L-
dvy
-dT = ~VlUL-
Движение на заряди в електрично и в магнитно поле 191
Една възможност за интегриране на-тази система е да се въведе комплек-
сната неизвестна w = vx + ivy. Като се умножи второто от уравненията с
i и се прибави към първото, за w се получава уравнението
dw
— =
at
Неговото общо решение е
w(t) — woe~lu>Lt.
Ако vox и voy са компонентите на скоростта vq в началния момент (т.е.
wo — vox 4- ivoy), чрез отделяне на реалната и имагинерната част от това
решение се получава
Vx = Vox COSO) Lt 4- V oy sinw Lt,
Vy = VoyCOSU/i,/ —
или във векторен вид
(15.6)	Vj. = VoiCOSO?;,/ — (n X Uox)sinuj/J.
От (15.6) лесно се получава, че vi = voi. Следователно при движение в
постоянно хомогенно магнитно поле папречната компонента на скоростта
нс се изменя по големина (а това означава, че не се променя по големина
и напречната компонента на импулса на заряда: р± = poi).
Тъй като г7ц = и v± = интегрирането на (15.5) и на (15.6) води
до следния закон за движение па заряда:
v0± . п х Vo
.. _	Г1 =-----sinw/J 4------COSU?LZ
(15.7)	uL	uL
Гц = V0||t.
Директното пресмятане от (15.7) на израза
Г73	Z Z	ГТ
I vol •	, , п х vo	\
\	----sinu?£i 4-----coswii
у \ ul	ul J
показва, че |rj_| = const, т.е. проекцията на траекторията върху равнина-
та, перпендикулярна на В, е окръжност. Чрез (14.6), (14.18) и (15.3) за
радиуса на тази окръжност, наречен ларморов радиус, се получава
(158)	RL =	= *£.
ojl qc2B qB
Получената формула може да се използва за определяне на напречния
импулс на заряда. Тя показва, че ларморовият радиус е обратнопропор-
ционален на индукцията В на полето и правопропорционален на напреч-
ния импулс на частицата. Фактът, че Rl зависи от импулса на частицата,
позволява да се строят сепаратори на заредени частици по импулс: чрез
подбор на подходяща стойност на В от един сноп частици с разнообразии
импулси може да се отделят тези, чиито импулси удовлетворяват (15.8).
192
Специална теория на относителността
В нерелативистичния случай, когато р= mv, (15.8) приема вида
(15.9)	Rl =
— В
771
който показва, че в този случай ларморовият радиус не зависи поотделно
от q и т, а от тяхното отношение, т.е. от специфичния заряд на частица-
та.
От (15.7) и (15.3) се вижда, че периодът Т на движението по лармо-
ровата окръжност е
„ 2т 2тг1Т
15.10	Т= —= -2-.
Сл)£ qc2B
Общото движение като комбинация от равномерно движение в направ-
ление на В и равномерно движение по окръжност в равнина, перпенди-
кулярна на В, представлява движение с постоянна по големина скорост
vq = л/vqh + Vqi по винтова линия със стъпка
(15.11)
2nW
От (15.7) и (15.6) се вижда, че fj. и v± са свързани с равенството
(15.12)	vi = fi х cJ2.
Кръговото движение на точков заряд q с период Т (15.10) е еквива-
лентно на протичане на кръгов ток с големина
( 5' )	J qT 2тг 2тгИ/В’
Съгласно (10.14) на този ток съответства магнитен момент Д = Js, за
който в случая с помощта на (15.12), (15.3) и (15.13) се получава
(15.14)
1	[	с~р~
J Х ffLdt = ~2^ВЯ-
О
От сравняването на (15.3) и (15.14) се вижда, че макар частиците с про-
тивоположна знаци на зарядите да се въртят в противоположна посоли,
породените от тези движения магнитни моменти са винаги в посока, про-
тивоположна на посоката на полето.
Тъй като W/c2 = т, то в нерелативистичния случай, когато и р— mv,
за големината на магнитния момент от (15.14) следва
(15.15)	=
От механиката е известно, че механичният момент на импулса на час-
тицата има големина //мех. = mv^Rr- Чрез (15.15), (15.12) и (15.9) за
отношението между големината на магнитния и механичния момент се
(15.16)
получава
Р _ 1 . £
А*мех. 2 Ш
Последното равенство показва, че отношението д//1мех не зависи от ин-
дукцията на полето, а само от специфичния заряд q/m на частицата.
Движение на заряди в електрично и в магнитно поле
193
ДВИЖЕНИЕ В ХОМОГЕННИ И ПОСТОЯННИ ЕЛЕКТРИЧНИ И
МАГНИТКИ ПОЛЕТА
Нека характеристиките на двете полета са ортогонални, т.е.
(15.17)
ЁВ = 0.
Съгласно (13.27) това условие за Е и В ще бъде изпълнено във всяка
инерциална отправна система. За интегриране на уравнението на движе-
ние е удобно да се премине в нова система К1, в която характеристиките
на полето са съответно Е1 и В'. При това е необходимо да се различават
няколко случая.
а) Нека е изпълнено условието Е < сВ. В този случай скоростта й на
К' спрямо К се избира
(15.18)
Ё х В
Съгласно формулите (13.19) и след отчитане на (15.17) съставящите на
полетата в новата отправна система са съответно
(15.19,а)
= 7(^1 + и х В) = О, Е|| = Ё|| = О,
(15.19,6) B‘t = ВЦ = 0,	= 7(ВХ - £ х Ё) = д^(с2В2 - Ё*)В.
Двойката равенства (15.19,а) свидетелства, че в така избраната система
К' електрично поле няма — Е' = 0. Тъй като предвид (15.18)
(15.20)	7 = / 1	= /	1
0 - и?/с1	у/1 - (Е2/с2В2)
то в К'
(15.21)	В’ = 0 “ (Е2/с2В2)В, В' = -В,
7
те. в новата система магнитното поле е успоредно на полето в К, но е
1/7 пъти по-слабо.
По такъв начин за движението на заряда q спрямо К' са валидни всич-
ки изводи, направени за разгледания в началото случай. В направление
на В зарядът се движи равномерно със скорост, която се определя от
проекцията на началната му скорост върху В. Спрямо К1. проекцията
на движението върху равнина, перпендикулярна на В, е равномерно дви-
жение по окръжност. Като се има предвид движението на К' спрямо К,
може да се заключи, че за наблюдател от К траекторията на заряда ще
изглежда, както на фиг.15.1, т.е. кръговото движение се съпровожда с
равномерно постъпателно движение в посока на вектора Е х В. Това пос-
тъпателно движение се нарича електричен дрейф, а мойентният цент ьр,
около който става въртепето на частицата и който се движи със скорост
Г Ё х В
u = ——— — водещ център. Съществено в случая е, че скоростта на
194
Специална теория на относителността
Фиг. 15.1
Е
големина е и = —, не зависи нито от характе-
(q и т), нито от характеристиките на нейното
водещия център, чиято
ристиките на частицата
състояние (скорост, импулс, енергия и т.н.).
Появата на електричен дрейф може да се обясни с прости физически
съображения: тя се крие в различната по големина скорост на q в раз-
личните части на траекторията. Така например през първия полупериод
на движение електричната сила ускорява заряда, т.е. скоростта му по го-
лемина расте (дъгата АВС), а през другата половина от периода, когато
проекцията на v върху Е има обратен знак, полето забавя заряда (дъгата
CDE). Затова например по дъгата BCD скоростта средно е по-голяма
от тази по дъгата DEF. И тъй като ларморовият радиус (15.9) е право-
пропорционален на скоростта, преместването от т.В до n.D е по-голямо,
отколкото от T.D до T.F
Ако в един начален момент спрямо К зарядът се движи със скорост
Ё х В
v = ——— = и, спрямо К1 той ще бъде неподвижен. Тъй като магнитното
поле не действа върху неподвижни заряди, Е' = 0, спрямо К'
ще остане неподвижен и в следващите моменти, т.е. ще
_ Ё х В
движи равномерно и праволинеино със скорост v = ———
В2
факт се използва за разделяне на частици по скорости:
лярно па постоянни, хомогенни и ортогонални помежду
магнитно полета се пусне сноп заредени частици, независимо от техните
маси и заряди без отклонение от началното направление на движение ше
_ Ё х В
преминат само частиците, които се движат със скорост « =   —, т.е. с
В2
големина на скоростта v = Е/В.
б)Нека е изпълнено условието сВ < Е. В този случай скоростта и* на
К* спрямо А' се избира
зарядът
продължи да се
спрямо К. Този
ако перпендику-
си електрично и
(15.22)
7Ё х В
U ~С ~Ё2~'
По същия начин, както и в случай а), сега от (13.19) следва
(15.23)
В’ = 0, Ё’ = у/1-с2В2/Е2Ё
Движение на заряди в електрично и в магнитно поле 195
и следователно зарядът ще извършва ускорително движение в направле-
ние на електричното поле.
В случая, когато условието Е • В = 0 не е изпълнено, не може да
се намери отправна система, в която едното от полетата да бъде нула.
Уравненията на движение може да се интегрират и в този случай, но
разглеждането е относително по-сложно от проведените дотук.
ЦИКЛОТРОНЕН РЕЗОНАНС
Важен за практиката (при построяване на ускорители на заредени час-
тици) е случаят, когато точков заряд q с маса т се движи с нерелати-
вистична скорост в хомогенни, ортогонални едно на друго електрично и
магнитно полета (Е • В = 0), при което В е постоянно с времето, а Е се
изменя с времето по простопериодичен закон, т.е.
(15.24)	Е = EqcoswI.
Уравнението на движение в този случай е
(15.25)	т~Г = Q^ocosuit + qv х В.
dt
Ако оста Oz се избере по посока на В (т.е. В = (0,0, В)), а Ох — по
направлението на Eq (т.е. Eq = (Во, 0,0)), проекциите на (15.25) върху
координатните оси са съответно
(15.26,a)	dvx	- m—r— = qEocoswt + qvyB, dt
(15.26,6)	dl'y	D m—= —qvxB, dt
(15.26,в)	т—- = 0.
dt
Ако в началния момент t = 0 зарядът е в покой (г>о = 0), (15.26,в) показва,
че и при t > 0 той остава в равнина, перпендикулярна на В. За интегри-
ране на (15.26,а и б) може да се използва познатият метод на въвеждане
комплексната неизвестна cu =	+ ivy. Така, като се умножи (15.26,6) с i
и се прибави към (15.26,а), за w се получава уравнението
(15.27)
dw . qE0
—— = —tU>LW Ч---------COSCJI,
dt	т
където = -— е определената с (15.3) ларморова честота.
ТП
Въпреки че решаването на (15.27) не представлява проблем, от физич-
ка гледна точка е интересен случаят, когато честотата на електричното
поле е равна на ларморовата честота, т.е. когато уравнението има вида
(15.28)
dw .	, qE0
—— = — ZCU£Wd--------COSCU£l.
dt	m
196 Специална теория на относителността
Лесно се проверява, че частного решение на това линейно диферен-
циално уравнение от първи ред, което удовлетворява началното условие
vq = 0, има вида
w =
2ти>1
shuxj£,t +
2m
Чрез отделяне на реалната и имагиперната част за компонентите на ско-
ростта се получава
ЧЕ° 	4 1 ^Е°4	4	^Е°4 -	4
(15.29)	vx =  ---sinu>£i 4- ——icosw£i,	vy = — ——isinw^i.
2mw^	2m	2m
Амплитудата на първия член в израза за vx остава ограничена и ако дви-
1
жението се разглежда за интервали време, големи спрямо —, той може
да не се отчита. При това условие се вижда, че vx и vy са съответно ко-
сину сова и синусова функция с кръгова честотаа1£ и линейно нарастващи
с времето амплитуди. Именно това неограничено нарастване на ампли-
тудата на компонентите па скоростта се нарича циклотронен резонанс.
От (15.29) следва, че кинетичната енергия на заряда при циклотрон-
ния резонанс е квадратична функция на времето:
(15.зо)	1У„И„ =y(v; + »’) = М..
I	от
Ясно е обаче, че дори в идеализирания случай на пълна липса на
съпротивление нарастването на амплитудата на скоростта ще бъде ог-
раничено от поначало положеното ограничение да се разглеждат само
нерелативистични движения.
ЛАРМОРОВА ПРЕЦЕСИЯ
Нека спрямо отправната система К съществува електрично поле, което
притежава ос на симетрия. Ако в това поле се намира система от еднакви
точкови заряди q с маси т, функцията на Лагранж за тази система има
вида
(15.31)	£ = £™2_С/,
Ал
като потенциалната енергия U включва както енергиите на взаимодейс-
твие на зарядите помежду им, така и енергията на взаимодействието им
със зададеното електрично поле.
Нека сега в допълнение към електричното поле на системата от за-
ряди влияе и слабо хомогенно магнитно поле с постоянна индукция В,
еднопосочна с Е. С помощта на (4.27) и (А.44) лесно се проверява, че
магнитният потенциал на такова поле има вида
(15.32)	А=^Вхг.
Съгласно (14.39) в този случай при наличие на магнитното поле ланг-
ранжианът на системата е
(15.33)	= £ у-1/+ | $2(В х г()Л).
>	I
Движение на заряди в електрично и в магнитно поле 197
Нека сега К' е система, която се върти спрямо Л' около оста на симет-
рия с ъглова скорост Q. От механиката е известно, че скоростите щ и и\
на зарядите спрямо двете отправни системи са свързани с равенството
(15.34)	щ = v ' + Q х г •.
Нека освен това е изпълнено условието
(15.35)	|Qxr'|<<
Ако г-тият заряд извършва финитно движение, т.е. остава в ограниче-
на облает, и w, е характерната за това движение ъглова скорост, (15.35)
всъщност означава, че
(15.36)
По такъв начин направените по-долу изводи са валидни само ако често-
тите на въртене на зарядите са много по-големи от честотата на въртене
на К'.
Направеното предположение (15.35) опростява намирането на лагран-
жиана на началната система от заряди (т.е. при В = 0) спрямо К', тъй
като в него квадратичните по отношение на 9 х г' членове може да се
пренебрегнат. Така се получава, че
(15.37)	Ln =
1	I
При това съществено е, че потенциалната енергия при прехода от К в К'
не се изменя, тъй като тя зависи само от разстоянията между частиците,
от разстоянията им до оста на симетрия и от техните апликати, мерени
по тази ос, а всички тези величини при разглежданата трансформация не
се изменят.
Сравняването на (15.37) с (15.33) показва, че Lb = Ln, ако
Q= ^-В.
2т
От съвпадението на лагранжианите в двата случая следва, че поведени-
ето на зарядите спрямо системата К при наличие на магнитното поле В
ще бъде същото, каквото е поведението им спрямо А'', когато няма маг-
нитно поле. А тъй като в последния случай (спрямо К') те се въртят
със скорост — Q, може да се заключи, че при наличие на слабо хомоген-
но магнитно поле системата от заряди като цяло се върти около оста на
симетрия с ъглова скорост
(15.38)	nL = -^-B.
2т
Това движение се нарича ларморова прецесия. Сравнението между
(15.38) и (15.3) показва, че честотата Qf на ларморовата прецесия е два
пъти по-малка от циклотронната честота, с която една свободна части-
ца би се движила в същото магнитно поле. (За свободна частица не е
изпълнено условието (15.36).)
Отчитането на ларморовата прецесия е необходимо при изясняване на
Редица явления, в частност — на поведението на електроните от атомните
обвивки при наличие на външни полета.
198
Специална теория на относителността
НОРМАЛЕН ЕФЕКТ НА ЗЕЕМАН
В редица случаи представлява интерес поведението на зареден триме-
рен осцилатор в постоянно хомогенно магнитно поле. Това означава, че
се разглежда движението на заряд, комуто освен магнитната сила дейс-
тва и квазиеластична сила, насочена към неподвижен център. Ако w0
е собствената честота на осцилатора, a q и т — зарядът и масата му,
нерелативистичното уравнение на движение е
(15.39)
с/2;7	2-
d?+u°r
a dr
—— х В.
т at
Неговото решение се получава лесно, ако оста Oz на координатната сис-
тема се избере по посока на В. Тогава проекциите на (15.39) върху ко-
ординатните оси имат вида
.	d2x qB dy 9
(15 40,а)	____+Шо1 = 0,
(15.40,6)	§ + ^+^ = 0,
(15.40,в)	^-| + m2z = 0.
Последното уравнение показва, че полето не влияе върху движението
по оста Oz и в това направление осцилаторът извършва трептения със
собствената си честота то-
Уравненията (15.40,а и б) може да се интегрират по начина, по който
бе изследвано движението свободен заряд в магнитно поле — този път
чрез въвеждане на комплексната неизвестна £ = х + iy, за която се полу-
чава уравнението
dt2
т dt
Ако е изпълнено условието -— << то, неговото общо решение е
»п^(Ле.то« + Be~iuot),
където е големината на определената с (15.38) честота на ларморо-
вата прецесия, а А и В са комплексни константи, зависещи от началните
условия. Чрез разделяне на реалната и имагинерната част па £ за х и
у се получават изрази, които са линейни комбинации от cos(mo +
cos(u?o — u>L)t, sin(m0 + uL)t и sin(m0 — m/,)/.
И така при наличие на магнитно поле движението на осцилатора е су-
перпозиция от простопериодични движения с честоти mo, то+т/, и cjq-ul-
Съгласно казаното в тема 10 такъв осцилатор ще излъчва освен собст-
вената си честота ио още и две допълнителни честоти то + т^ и то — ^L-
Това разцепване на излъчената спектрална линия на класическия осци-
латор във външно магнитно поле се нарича нормален ефект на Зееман.
Движение на заряди в електрично и в магнитно поле
199
АДИАБАТИЧНИ ИНВАРИАНТИ
Разглеждането на движението на точное заряд в променливо нехомогенно
електромагнитно поле е сложен въпрос и за решаването му в зависимост
от конкретния случай се използват различии приблизителни методи. По-
долу се коментира само случаят на нерелативистично движение в слабо
нехомогенно, бавнопроменливо с времето магнитно поле. При това пос-
ледните две ограничения трябва да се разбират в смисъл на изпълнение
на неравенствата
(15.41)	«1в-1 и ^1^1 «1^1.
където шь и Rl са определените с (15.3) и (15.9) циклотронна честота и
ларморов радиус. При изпълнение на тези условия движението на заряда
може да се разглежда като суперпозиция от бързите периодични лармо-
рови движения и бавното в сравнение с тях движение на водещия център,
като параметрите на първите (wl и Rl) могат съответно да се изменят.
Такова движение може да се разглежда като почти периодично.
От механиката е известно, че ако q и р са обобщена координата и
съответният й обобщен импулс на система, която извършва периодично
движение, интегралът на действието J — <f pdq е инвариант на движени-
ето, като интегрирането се провежда по един период на движение. Ако
измененията с времето на параметрите, определящи системата (маси и
заряди на частиците, интензитети на външните полета и т.н.), стават за
интервали, големи в сравнение с периода на движение, се казва, че изме-
ненията са адиабатични. Може да се покаже, че и в тези случаи интегра-
лът на действието не зависи от времето и затова се нарича адиабатичен
инвариант.
Разгледаният в началото случай на напречно движение на свободен
заряд q в постоянно хомогенно магнитно поле В, който представлява при-
мер за строго периодично движение, дава възможност да се илюстрира
смисълът на инвариантите. (При това даже не е необходимо да се прави
уговорката, че се разглеждат само нерелативистични движения). Наис-
тина в този случай съгласно (14.43) интегралът на действие е
J = £ 7T.df = j)(p 4- qA).dr,
L	L
където интегрирането се провежда по окръжност с радиус Rl (15.9). Тъй
като според (14.21) в релативистичния случай р = туо±., a vj. може да се
изрази от (15.12), като се отчете, че v = const, за J се получава
J — ту у\г х W£,).Jf+ q J rotA.ds,
L	s
като вторият интеграл e преобразуван по теоремата на Стокс (А.74). С
помощта на равенствата шь =
Памира
в	“*	“*
—, (15.3) и В = rotA за J окончателно
В
се
J = — myuL- Ф fx dr + qB. J ds = 2my^Ls ~ q&s —
L	s
200
Специална теория на относителността
Тук Ф = Bs е потокът на магнитното поле, обхванат от траекторията на
заряда, а лицевият вектор s на кръга, заграден от траекторията, е насо-
чен противоположно на В, т.е. така, че гледано срещу s, движението по
окръжността да се вижда в директна посока (срещу посоката на движение
на часовниковата стрелка).
И така полученият резултат потвърждава, че в постоянно хомогенно
магнитно поле потокът на полето през повърхнината, заградена от тра-
екторията на заряда, е наистина инвариант.
Нека сега зарядът се движи в
постоянно, но слабо нехомогенно
магнитно поле, което има ос на
симетрия Oz, като индукцията му
расте по посока на Oz (фиг. 15.2).
Нека освен това vo и Bq са ско-
ростта и индукцията на полето в
равнината z = 0. Според казано-
то в началото в този случай по-
токът на полето, обхванат от ок-
ръжността с радиус Rl (15.9), е
адиабатичен инвариант, т.е.
(15.42)	7гЯ?£Во = irR2LB,
където Rql е ларморовият радиус
Фиг. 15.2	при z = 0, а Я£ — същият радиус,
но в точките с апликата z, където
големината на индукцията е В. Полученият резултат показва, че при
навлизане на частицата в облает с по-силно магнитно поле ларморови-
ят радиус на траекторията й намалява. При това положение от (15.9) и
(15.42) следва
(15.43)
U0±	2	2^
=	ИЛИ V± = V0± —.
r>0 В	#0
Равенство (15.43) позволява да се разбере принципът на действие на маг-
нитните оглодала (или магнитните запушалки). Наистина, тъй като го-
лемината на скоростта при движение в магнитно поле се запазва, т.е.
v2 =	4-	= Vq , за квадрата на съставящата на v, колинеарна с Oz, от
(15.43)	се получава
(15.44)	•	v2 = v2-v2r =vo-^o±4"-
По
Вижда се, че ако В стане достатъчно голямо, иг може да се анулира и
частицата не може да проникне в областта, в която индукцията на полето
v2
е по-голяма от -£-Во. Същевременно от (15.11) се вижда, че с приб-
иох
лижавапе до равнината, в която В достига тази стойност, стъпката на
винтовата линия, по която се движи зарядът, клони към нула (фиг. 15.2).
Лесно се проверява, че ларморовият радиус при това е Rl = ^^Rol-
Vo
Движение па заряди в електрично и в магнитно поле
201
В разглеждания случай фактът, че потокът на полето е адиабатичен
инвариант, може да се докаже. Наистина записването на уравнението
(6.10,г) в цилиндрични координати (А.60) при отчитане независимостта
на компонентите на В в цилиндрична координатна система от азимута <р
(поради симетрията) дава равенството
рдр(рв"'1 +
дВг
dz
Чрез едно интегриране по разстоянието р до оста на симетрия може да
се определи Вр:
(15-45)
Уравнението на движение по оста Oz е
d2z а	„ х 9 . q ->dp дВ,
— = —(v х В)г = —(vpB^ - v^Bp) = - —ррВр «	— • -д—•
dt2 т	т	* " т	2т dt dz
Тъй като = —ш, с точност до величини, малки от първи порядък, може
at
да се приеме, че
р2~^ * ~R2°lUJql =
dt	qBo
като са използвани и съотношенията (15.3) и (15.9). С отчитане на този
резултат уравнението на движение става
d2z _ ^о±
И? ~2В~0 ИГ'
След умножаване на двете на това равенство
получава един пръв интеграл на уравнението
dz
с — и интегриране по t се
dt
dt) \dt )0 Во 311
или
(15.46)	=
Вижда се, че това равенство съвпада с (15.44), което бе получено при
предположение, че магнитният поток е адиабатичен инвариант. Съвпаде-
нието показва, че в разгледания относително прост случай адиабатичната
инвариантност на потока с точност до величини, малки от първи порядък,
се доказва с помощта на уравнението на движение.
ЧАСТ III
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В НЕПРЕКЪСНАТИ
СРЕДИ
В систематизиран вид закономерностите на електромагнитните явле-
ния в непрекъснати среди се съдържат в развитата през втората половина
на XIX в., електродинамиката на Максуел. По-късно, па границата между
XIX и XX в., Лоренц създава т. нар. електронна теория, в която показ-
ва, че тези закономерности могат да се обленят чрез законите на елект-
ромагнитните взаимодействия във вакуум, като се използват представите
за дискретния строеж на средите, които на феноменологично равнище на
разглеждане се считат за непрекъснати.
Доколкото градивните частици на непрекъснатите среди (молекули,
атоми, йони, електрони и др.) се подчиняват на законите на квантовата
физика, една последователна програма за получаване законите на елект-
ромагнитните взаимодействия в непрекъснати среди трябва да се опира
съществено на законите на квантовата механика и методите на квантовата
статистика. Подобна задача излиза далече извън рамките на този учеб-
ник. В настоящия раздел феноменологичните зависимости на максуелова-
та електродинамика на непрекъснатите среди се получават с методите на
класическата физика въз основа на максимално опростени модели, които
като правило носят само илюстративен характер. Подобен подход позво-
лява да се наблегне на физическата същност на явленията, която при едни
по-адекватни на действителността модели може да се скрие зад техните
относително сложни математически детайли. Следва да се отчита обаче,
че въпросът за валидността на получените резултати въз основа на кла-
сическия модел не може да се решава отнапред и въобще — границите на
приложимостта им следва да се определят в зависимост от конкретните
случаи.
202
16
ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ В
НЕПОДВИЖНИ СРЕДИ
МИКРОСКОПИЧНЫ ВЕЛИЧИНИ
Известно е, че най-крупномащабните материални системи, които не се из-
менят в изучаваните от класическата електродинамика явления, са елек-
троните и атомните ядра. До днес не е познато явление, в което електро-
ните проявяват някаква структура (пространствена протяжност). (Засега
може да се счита, че това твърдение е вярно поне що се отнася до разме-
ри, по-големи от 10“19т.) Атомните ядра представляват сложни системи,
но техните размери (~ 10-15т) са с пет порядъка по-малки от типичните
размери на атомите (~ 10-1От). Следователно с достатъчна за нуждите
на класическата електродинамика точност може да се счита, че атомите,
а заедно с това и изградените от тях среди са съставени от положителни
(ядрата) и отрицателни (електроните) точкови заряди.
И така първата основна предпоставка на електронната теория на Ло-
ренц, първата същностна черта на класическия модел за структурата на
непрекъснатите среди е твърдението, че те са изградени от точкови за-
ряди.
Известно е, че точков заряд е, в точка с радиус-вектор г, може да се
опише като разпределен в пространството обемен заряд с плътност, про-
порционална на тримерната функция на Дирак 6(г —т\). Когато зарядите
са N на брой, тяхното разпределение се описва с формулата
(16.1)	A^(r,0 = 52е,-6(г - п(/)),
i=i
в която е отчетена възможността зарядите да се движат, т.е. радиус-век-
торите им да зависят от времето.
Ако v»(t) е скоростта на е» в момента t, в съответствие с общото оп-
ределение за плътност на ток (1.6,а) на движението на всички заряди
съответства ток с плътност
N
(16.2)	nW)-
»=1
Ако N е общият брой на електроните и ядрата в разглежданата среда,
ei) ri(t) и — съответно зарядът, радиус-векторът и скоростта на
203
204
Електромагиитни взаимодействия в непрекзснати среди
г-тата частица (електрон или ядро), то формулите (16.1) и (16.2) опис-
ват точното разпределение на плътностите на зарядите и на токовете в
пространството и във всеки момент от времето. Дефинираните по този
начин величини се наричат микроскопични плътности на зарядите и
токовете.
Проверете, че /С(г, /•) и	удовлетворяват уравнението на непрекъсна-
тостта (1.11), т.е. че законът за запазване на електричния заряд е изпълнен.
От част I е известно, че наличието и движението на заряди са из-
точници на електромагнитно поле. Полето, създадено от източници с
плътности (16.1) и (16.2), се нарича микроскопично поле, а неговите
характеристики — интензитетът на електричното поле и индукцията на
магнитното поле, тук се отбелязват съответно с £(г,/) и 5(f, i).
Ясно е, че на микроскопично равнище, т.е. когато се разглежда пове-
дението на отделните точкови заряди, изграждащи една среда, може да
се счита, че всеки електрон и всяко ядро се намират във вакуум. Оттук
следва и втората основна предпоставка, върху която се гради теорията
на Лоренц: че връзката между характеристиките на източниците К и J
на микроскопичните полета и характеристиките на самите полета се дава
от уравненията на Максуел за електромагнитно поле във вакуум (6.10),
т.е. в случая
(16.3,а)
(16.3,6)
(16.3,в)
(16.3,г)
дв
rotf = -—-,
ot
- дЕ ~
rotF = toVo-fa + Я) J,
div£? = 0.
За разлика от част I обаче, където се разглеждат проблеми, в които
източниците К, и J се считат известии, сега ситуацията е различна: функ-
циите £(г,/) и v7(f,/) са неизвестни, защото разпределението и движението
на зарядите фактически се определят от самото неизвестно поле. Следо-
вателно системата (16.3) не е достатъчна за определяне на неизвестните
величини. За да се превърне тя в една пълна система от уравнения, към
нея следва да се добавят уравненията на движение на всеки един от заря-
дите. Локолкото движенията на електроните и ядрата в средите стават
с нерелативистични скорости,- в рамките на класическата физика такова
уравнение представлява вторият принцип на Нютон
(16.4)	=
at
където тп, е масата на г-тия заряд. Тъй като тук се отчитат само елек-
тромагнитни взаимодействия, действащата сила Т7, ще бъде описвана с
формула (5.4) сила на Лоренц.
По такъв начин третата предпоставка, върху която се гради теория-
та на Лоренц, е, че движението на всеки точков заряд е класическо и се
Електромагнитно поле в неподвижни среди
205
определя от действащата върху него сила на Лоренц:
(16.5)	mi = е,(£ + щ х В).
CL С
Разглеждани съвместно, уравненията (16.3) и (16.5) вече представля-
ват една пълна система от уравнения за неизвестните £(г, /), B(r, t) и n(t).
В нея влизат както законите, които свързват полето с неговите източници
(16.3), така и законите, по които движението на източниците се определя
от полето (16.5). По принцип решението на въпросната система е опреде-
лено, ако се зададени началните разпределения на полето, т.е. функциите
£о(г) = £(г,/о) и 5о(г) = 5(г,/о), а така също началните положения rio и
скорости v.o на зарядите.
Наличието на пълна система от уравнения обаче съвсем не означава,
че проблемът за описване на електромагнитните взаимодействия в неп-
рекъснати среди е решен. В случая следва да се отчете, че броят на
зарядите (а следователно и броят на членовете в сумите (16.1) и (16.2),
както и броят на уравненията (16.5)) за обикновените макроскопични тела
е огромен — примерно от порядъка на числото на Авогадро — 1023mol-1
(а често и значително повече). За решаване на такъв брой уравнения
и дума не може да става не само поради техническите трудности, но и
заради принципната невъзможност да се зададат необходимите начални
условия: не съществува реална задача в електродинамиката на непрекъс-
натите среди, за която да са известии началните микроразпределения на
зарядите и създаденото от тях микроскопично електромагнитно поле.
Следователно задачата за намиране на микроскопичните полета и мик-
роскопичните плътности на източниците им е по принцип нерешима.
МАКРОСКОПИЧНИ ВЕЛИЧИНИ
Фактът, че микроскопичните величини не могат да се пресметнат, е факти-
чески без значение, защото тези величини са практически ненаблюдаеми,
т.е. не могат да се измерят. За да стане ясно това твърдение, следва по-
подробно да се разгледа характерът на тяхната зависимост от мястото и
времето, което може да стане, като се използват представите за строежа
на веществото и особеностите на движенията на градивните му частици.
Известно е, че разстоянията между точковите заряди, които изграж-
дат средите, са от порядъка на 10-1От и (вж. напр. (13.23) и (13'.24))
че в точките, в които се намират зарядите, характеристиките на полето
имат особености. Следователно в един фиксиран момент както характе-
ристиките К, и J на източниците, така и характеристиките Е и В на полето
търпят съществени промени на разстояния от порядъка на 10“1От.
Градивните частици на средите извършват сложни движения, които
(в много случаи условно) могат да се разделят на няколко типа. Преди
всичко следва да се отчита, че като цяло телата могат да участват в оп-
ределени движения, които, разбира се, са движения и на изграждащите
ги заряди. В този раздел обаче не се разглеждат такива случаи и се
третира само електродинамиката на неподвижните среди.
206 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Друг вид движения, за които следва да се държи сметка, са онези,
които атомите извършват като участници в хаотичното (топлинно) дви-
жение, съществуващо при температури над 0 К. След това трябва да се
отчете движението на електроните около атомните ядра, което представ-
лява периодично движение с период от порядък на 10~14-10-15 s. И това
обаче не изчерпва възможните типове движения на зарядите. Както сви-
детелстват резултатите от квантовата механика, градивните частици на
атомите притежават собствен механичен момент на импулса (спин) и този
факт има важни последствия за свойствата на средите.
Обикновено движенията на зарядите в средите са такива, че: те оста-
ват локализирани в малки пространствени области с размери от порядъка
на атомните и молекулпите размери. Такива заряди се наричат свърза-
ни. Без да се иренебрегват съществени явления, за опростяване може да
се счита, че свързани са зарядите на ядрата (като значително по-тсжки
частици) и основната част от електроните, които се движат около тях.
Известно е, че среди, в които всички заряди са свързани, се наричат ди-
електрици. Заряди, които могат да се преместват и на макроскопични
разстояния, се наричат свободни. Средите, в които има свободни заря-
ди, се наричат проводници. (В тази груба класификационна схема място
за полупроводници няма.) В типичните проводници — металите, роля на
свободни заряди играят част от електроните.
Малките периоди на изброените движения показват, че К, J, £ и 13 са
бързопроменливи функции на времето, като характерното време за тях-
ната съществена промяна е от порядъка на 10-15s.
Именно бързите промени на микроскопичните величини като функции
на мястото и времето правят невъзможно тяхното наблюдение. Разде-
лителната способност на апаратите, с които се изследват явленията, е
много по-малка от необходимата за регистриране на подобии бързи про-
мени. Това означава например, че когато се измерва по някакъв начин
интензитетът на полето в една “точка”, всъщност се измерва средната
стойност на £(г,/) в една цяла облает, която, макар и малка, все пак съ-
държа огромен брой заряди. Подобно съждение може да се изкаже и
относно измерванията на промените на една величина (напр. £(г,/)) с
времето.
От тази гледна точка микроскопичният подход, опиращ се на системи-
те (16.3) и (16.5), е твърде сложен и по същество — ненужен. Коректната
постановка на задачата за изграждане на теория, в която участват изме-
рими величини, изисква използване на микроскопичните уравнения (16.3),
на законите на квантовата механика, на която се подчиняват движенията
на микрочастиците, както и на законите на статистическата физика, които
определят поведението на ансамбли от огромен брой частици. Тук обаче
се разглеждат само явления, които могат да бъдат обяснени достатъчно
точно в рамките на класическата физика.
И така, оказва се, че наблюдаеми са не самите полета К. , J, £ и В, а
някакви техни средни стойкости и затова цялата теория, която по принцип
трябва да работи само с наблюдаеми величини, следва да се преформу-
лира на езика на тези средни стойности.
Подобна постановка изтъква на предел план процедурата за осредня-
ване на микроскопичните величини. За целта на по-нататъшните разг-
Електромагнитно поле в неподвижни среди 207
леждания е удобно да се направи следната уговорка: осредняването по
място ще се извършва по обема на една сфера с радиус 6, а по време —
за интервал с продължителност 2г. Тогава, ако г е радиус-векторът на
центъра на сферата, a t — моментът време в средата на въпросния вре-
менен интервал, в съответствие с общото определение за средна стойност
средната стойност на една бързопроменлива функция f(f, t) на мястото
и времето ще бъде
<+е
(16.6)	I dv' f dt'f(r',t').
З^3	«-•
При направения избор за формата на областта и за интервала се виж-
да, че така дефинираните средни стойности са функции както на г и t
(факт, който е отразен в записа на лявата страна на (16.6)), така също и
на константите биг. Зависимостта от б и € обаче не е интересна, защото
тези константи се считат фиксирани веднъж завинаги и за всички разг-
леждани случаи. При този избор, за да запази цялата постановка своя
смисъл, е необходимо б и г да удовлетворяват следните две условия:
а)	Радиусът б на сферата трябва да бъде достатъчно голям спрямо
разстоянията между градивните частици, така че в нея да се съдържа
достатъчен брой от тях, позволяващ да се говори за осредняване по мяс-
то. По същата причина интервалът 2г трябва да бъде достатъчно голям
спрямо най-големия от периодите на различните движения на градивните
частици в средата.
б)	Радиусът б на сферата трябва да бъде достатъчно малък в сравне-
ние с минималните разстояния, на които използваните уреди позволяват
да се регистрират промени на полетата. Също така г трябва да е дос-
татъчно малко спрямо времената, за които може да се установи промяна
на полето с времето. С други думи, биг трябва да бъдат достатъчно
малки, така че при промени наги/, които са малки спрямо тях, стойнос-
тите на наблюдаваните величини да не се изменят съществено. Очевидно
е, че горните граници за стойностите на б и г зависят от разделителна-
та способпост на използваната апаратура. Фиксираните по такъв начин
долна и горна граница за б и г определят смисъла на често използваните
понятия физически малък обем и физически малък интервал време.
За огромного болшинство практически интересни случаи съществуват
такива стойности на б и г, които удовлетворяват и двете от горепосо-
чените условия. Съществуват случаи обаче, при които тези условия са
несъвместими. Дифракцията на рентгенови лъчи през кристали например
е едно такова явление и затова за обясняването му се работи със самите
микрополета, а не със средните им стойности.
Фиксираната с формула (16.6) процедура за осредняване е една линей-
на по отношение на функцията / операция. Следователи©, ако трябва да
сетърси производна или интеграл от средната стойност на една функция,
те ще бъдат равни съответно на средните стойности на производната(ин-
теграла) па самата функция, т.е.
208
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
(16.7)
(9	.
a7/(r’i) =
Й?Ж7» =
dt '
( df(f,t)\
\ Oxi J
И т.н.
Намерените по горепосочения начин средни стойно.сти на микроско-
пичните величини се наричат макроскопични величини. За разлика от
микроскопичните величини те, изобщо казано, се изменят слабо при про-
мяна на аргументите им от порядъка съответно на 1О“10 m и 10“15 s и
затова се разглеждат като непрекъснати функции на мястото и времето.
(По-късно ще стане ясно, че при определени условия макроскопичните ве-
личини могат да търпят скок в определен момент или върху определена
повърхнина.)
В съответствие с казаното средните стойкости на микроскопичните по-
лета £ и В се наричат макроскопични полета и се бележат съответно
с
(16.8)	Ё(г,1) =£(r,t) и B(r,t) = #(г,«).
Интензитетът Ё(г,/) на макроскопичното електрично поле и индукци-
ята	на макроскопичното магнитно поле са наблюдаеми величини.
Задачата по-нататък е да се намерят уравнения, които свързват мак-
роскопичните полета с подходящи наблюдаеми величини, зависещи от
средните стойкости на микроскопичните плътности АС и У на зарядите и
токовете. Такива уравнения се получават чрез осредняване на (16.3) и с
отчитане на (16.7) и (16.8) имат вида
(16.9,а)
(16.9,6)
(16.9,в)
(16.9,г)
- дВ
toIE = - —,
dt
-»	d Ё	~
rotB =	+MoJ(r,<),
divf0^ = IC(rt t),
divB = 0.
Веднага се вижда, че хомогенните от уравненията на Максуел — (16.9,
а и г), запазват валидността си и за макроскопичните полета. Цялата
трудност по-нататък остава в намиране на връзка между средните стой-
кости на К и J с наблюдаеми (измерими) макроскопични величини.
От изложеното е ясно, че преходът към макроскопично описание има
смисъл само когато макроскопичното поле се изменя съществено на разс-
тояния. които са големи спрямо междуатомните разстояния и за временни
интервали, големи спрямо времената, характерни за движенията на гра-
дивните частици. Само при тези условия средата може и да се разглежда
като непрекъсната.
Средните стойности К н J, които фигурират в (16.9,6 и в), зависят от
макроскопичните полета и смисълът на следващите непосредствено по-
долу разглеждания е точно в разкриване вида на тези зависимости.
Електромагнитно поле в неподвижни среди
209
ИНДУКЦИЯ НА ЕЛЕКТРИЧНОТО ПОЛЕ
При обикновени условия, т.е. когато телата не са наелектризирани, заря-
дите в тях са компенсирани. Това означава, че където и да се помести
центърът на сферата, по която се прави осредняването по място, на всеки
попаднал в нея точков заряд може да се съпостави друг, равен по голе-
мина и с обратен знак заряд, така че във всеки момент общият заряд на
сферата е нула.
Има обаче случаи (например когато телата са наелектризирани), при
които във въпросната сфера количеството на зарядите от единия вид е
по-голямо от количеството на зарядите с противоположния знак. В този
случай се казва, че в средата има некомпенсирани заряди. Именно тях-
ното количество в единица обем оттук нататък се нарича обемна плътност
на зарядите (или, където има нужда от уточняване — обемна плътност
на некомпенсираните заряди). Тъй като това количество, изобщо казано,
зависи както от радиус-вектора на точката, в която се намира центърът
на сферата, по която се осреднява, така и от момента време, то ще бъде
функция на г и t, която се бележи с k(r,t). Така въведената плътност на
зарядите представлява една макроскопична величина — локална харак-
теристика на разпределението на некомпенсираните заряди.
Обемната плътност на некомпенсираните заряди обаче не може да се
идентифицира със средната стойност на микроскопичната плътност на за-
рядите, която фигурира в (16.9, в). Причината е в наличието на свързани
заряди в средите. Известно е, че силите, които определят разположени-
ето и движението на електроните около ядрата, макар и електромагнит-
ни по своя произход, поради квантовия характер на взаимодействията
са твърде сложни. Това означава, че без да се отчитат особеностите
на квантовата механика, не може да се обясни стабилността на такива
системи като атомите и молекулите например. В случая обаче такова
обяснение не е необходимо — съществуването и стабилността на атомите
и молекулите в теорията на Лоренц се приема като потвърден от опита
факт.
Съществуват два механизма, чрез които наличието на свързани заря-
ди може да се отрази върху макроскопичпото поле. Може да се окаже
например, че макар и компенсирани, разноименните заряди в една гра-
дивна частица са разположени така, че всяка от градивните частици има
различен от нула електричен диполен момент. В отсъствие на външно
поле поради топлинното движение диполните моменти на различните гра-
Дивни частици са ориентирани хаотично и резултантният диполен момент
на частиците в сферата, по която се прави осредняването, е нула. Ако
обаче средата се намира във външно електрично поле, както бе показа-
но в тема 10, то се стреми да ориентира диполите по посока на полето.
Под действие на полето се извършва частична преориентация на диполи-
те (хаотичното движение препятства ориентирането на всички диполи по
посока на полето), така че вече резултантният диполен момент на части-
чйте в сферата не е нула.
Възможно е, разбйра се, разноименните заряди в градивните части-
пи да са така симетрично разположени, че електричният диполен момент
ИД всяка от тях да бъде нула. Когато обаче среда, изградена от подобии
210
Електромагнитни взаимодействия в непрекзснати среди
частици, се намира във външно електрично поле, под действие на силите,
с които им действа полето, зарядите с разноименни знаци се отместват
в противоположни посоки — във всяка частица се индуцира електричен
диполен момент, като моментите на различните частици не са хаотично
ориентирани.
И така, независимо от вида на конкретния механизъм във външно елек-
трично поле средите се оказват изпълнени с ориентирани предимно по по-
сока на полето електрични диполи — те се поляризират, а съответното
явление се нарича електрична поляризация. Средната стойност на ре-
зултантния диполен момент на частиците в сферата, по която се извършва
осредняването, разделен с обема на сферата, се нарича вектор на елект-
ричната поляризация или електрична поляризираност на средата и се
бележи с Р(г, £). Очевидно векторът на електричната поляризация е едно
ново макроскопично поле, което зависи както от свойствата на средата,
така и от външното поле.
Наличието на обемни диполи усложнява въпроса за намиране уравне-
ния за макроскопичното поле, защото в микроскопичните уравнения няма
член, който да отчита полето на диполи. Поради това, когато се търси
връзка между макроскопичното поле и неговите макроскопични източни-
ци, може да се използва доказаната в тема 10 теорема за еквивалентност.
Според нея по отношение на създаваното поле обемните диполи са екви-
валентни на обемни заряди с плътност, задавана с формула (10.11, а), и
на повърхнинни заряди с плътност, задавана с (10.11, б).
Преди да се използва теоремата за еквивалентност обаче, следва да
се изясни следният въпрос. В доказателството на теоремата се използ-
ва съществено формула (10.7), която, строго погледнато, е валидна само
за статични диполи. Диполите, които се разглеждат сега, се намират в
непрекъснато движение, най-бързопроменливата съставяща на което има
период от порядъка на 10“15 s. Ако една градивна частица се разглежда
като трептящ с честота 1015 Hz дипол, за неговото поле може да се използ-
ват други резултати от същата тема 10. Тъй като дължината на вълната
на подобен източник е от порядъка на 10-7 m(A = сТ ~ З Ю8х 10“15 гп) и ра-
диусът <5 на сферата, по която се извършва осредняването, е по-малък от
тази величина, то тази сфера лежи изцяло в близката зона на източника.
Следователно дори без да се използват квантовомеханични аргументи, за
електричното поле може да се използва разложението (10.36, а), т.е. мо-
же да се счита, че във вески момент полето съвпада със статичного поле,
съответстващо на моментного разпределение на източниците.
Направеното разсъждение показва, че споменатата теорема за еквива-
лентпост е наистина приложима и в разглеждания случай. Според нея
полето, създадено от диполи с обемна плътност Р(г,/), е еквивалентно на
полето на обемни заряди с плътност — div/5. Тези заряди, дължащи се на
поляризацията па средата, се наричат поляризационни заряди.
И така осредняването на микроскопичната плътност на зарядите
дава в резултат сума от два члена: единият, fc(r,/), отчита възможност-
та в средата да присъстват нскомпенсирани заряди, а вторият, -divr,
отчита влиянието на поляризационните заряди:
(16.10)	K(f4) = k(f,t)-divP(f,t).
Електромагнитно поле в неподвижни среди
211
Този резултат, заместен в (16.9, в), дава връзката
(16.11)	divso-E = & — divP.
Тъй като и интензитетът Е на електричното поле, и поляризацията на
средата Р са неизвестни величини, обикновено чрез равенството
(16.12)	D(f,t) = €0E(r,t) + P(f,t)
се въвежда нова характеристика на полето — индукция на електрично-
то поле. По такъв начин (16.11) се превръща в скаларно уравнение за
електричната индукция:
(16.13)	divP(r, t) = fc(f, t).
Векторните линии, чрез които се онагледява разпределението на по-
лето D(r, /) в пространството, се наричат електрични индукционни ли-
нии. При чертането им се спазват правилата, формулирани за електрич-
ните силови линии, (вж. с. 31). От (16.13) се вижда. че електричните
индукционни линии започват и завършват върху некомпенсираните заря-
ди.
За да бъде логиката на направените разсъждения пълна, е необходи-
мо да се отговори на въпроса, защо по-горе не бе отчетена възможността
градивните частици на средите да притежават и по- висши мултиполни
моменти (квадруполни и пр.), посредством които също може да окажат
влияние върху макроскопичното поле. По принцип подобно влияние може
да се отчете чрез твърдението, което бе изказано в тема 10 — че и поле-
тата на обемни квадруполи могат да се редуцират до полета на обемни
диполи и т.н., т.е. полетата на по-висшите обемни мултиполи в крайна
сметка могат да се сведат до полета на подходящи обемни диполи. И
в този случай връзките (16.12) и (16.13) запазват валидността си, като
само смисълът на вектора Р е вече по-общ — той не съвпада с обемна-
та плътност на диполите в средата, а съдържа и приноси от по-висшите
мултиполи.
Успоредно с това следва да се отчита обаче, че съществуват съоб-
ражения, които показват, че поне в огромното болшинство от случайте
отчитането на висшите мултиполни моменти е излишно. Така например
от тема 10 е известно, че енергията на един квадрупол в електрично поле
е пропорционална на Grad#. И доколкото промените на макроскопичните
полета на разстояния, сравними с размерите на градивните частици на
средите, са пренебрежимо малки, пренебрежима ще бъде и тази енергия,
т.е. външните полета практически не могат да влияят на квадруполите.
ИНТЕНЗИТЕТ НА МАГНИТНОТО ПОЛЕ
Чрез подходящи разглеждания средната стойност J(r, t) на микроскопич-
ните токове също може да се изрази чрез съответни макроскопични ве-
личини. Причините, поради които J може да бъде различно от нула, са
следните.
212
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Преди всичко в дадена среда може да има насочено движение на за-
ряди. Ако зарядите в сферата, по която се извършва осредняването, из-
вършват само хаотични движения, макроскопичен ток не би имало. В
някои случаи обаче (например при наличие на външно електрично поле)
сумата от проекциите на микротоковете eiVi(f, f) върху дадена посока (по-
соката на полето) може да бъде различна от нула: У / 0. Разбйра се,
необходимо условие за това е в средата да има свободни заряди. Ко-
личеството свободни заряди, които за единица време пробождат единица
площ, поставена перпендикулярно на насоченото движение, представля-
ва една макроскопична величина, която се бележи с Цг,/) и се нарича
обемна плътност на тока.
Величината 3 може да бъде различна от нула и без насочено движе-
ние на зарядите. Причина за това са вътрешноядрените и вътрешномо-
лекулните движения. Така например движенията на електроните около
ядрата са еквивалентни на протичане на кръгови токове и следователно
движението на всеки орбитален (евързан) електрон е причина за поява на
магнитен диполен момент. В отсъствие на външно магнитно поле магнит-
ните диполи са ориентирани хаотично и средната стойност на плътността
на магнитния диполен момент в средата може да бъде нула. Ако обаче
средата се намира във външно магнитно поле, под негово влияние маг-
нитните диполи може да се преориентират така, че сумата от проекциите
на диполните им моменти върху дадена посока да бъде различна от нула,
Тогава макроскопичната плътност на магнитния диполен момент М(г,/),
пресметната по формула (16.6), ще бъде различна от нула.
Освен преориентацията съществува и втори механизъм, който води до
различна от нула средна стойност на плътността на магнитния диполен
момент. Ако средата се постави във външно магнитно поле, съгласно
закона на Фарадей в процеса на поставянето вътре във всеки атом и мо-
лекула се индуцира електрично поле, което променя движението на елек-
троните. Тези промени са еквивалентни на протичане на допълнителни
токове, които също създават магнитно поле, еквивалентно на полето на
магнитни диполи.
Следователно независимо от конкретния механизъм при наличие на
електромагнитно поле може да настъпи явлението магнитна поляриза-
ция, средата да се окаже магнитно поляризирана, т.е. в нея да възник-
нат обемни Магнитки диполи с плътност Л?(г,/). Векторът М се нарича
намагнитеност па средата или магнитна поляризация.
Съгласно доказаната в тема 10 теорема за еквивалентност полето на
диполите е еквивалентно на полето на обемни токове с плътност rotM и
на повърхнинни токове с плътност М х п. (Теоремата бе доказана за поле
на стационарни диполи. Съображенията, които позволяват прилагането
й в сегашния случай, са аналогични на изложените по-преди във връзка
с приложимостта на първата теорема за еквивалентност.)
Следователно дори когато няма насочено движение на заряди, магнит-
ното поле, създадено от движенията на зарядите в градивните частици
на средите, ще бъде еквивалентно на полето на макроскопични токове с
плътност rotM. Тези токове се наричат токове на намагнитване.
Съществува обаче и трето явление, което също дава принос към сред-
Електромагнитно поле в неподвижни среди 213
ната стойност на микроскопичните токове. Това е движението на свър-
заните заряди, когато външното електрично поле се изменя с времето.
Наистина, тъй като свързаните заряди са с противоположни знаци. под
действие на електричното поле те се отместват в противоположни посо-
ки. Когато полето е статично, те се установяват в определени фиксирани
положения — средата се поляризира с обемна плътност на електричния
диполен момент P(r,t). Ако обаче интензитетът на. полето се изменя с
времето, свързаните заряди ще се движат, като скоростите им ще бъдат
с противоположни посоки (отново поради противоположните им знаци).
И тъй като движението на противоположни по знак заряди в противо-
положни посоки води до различна от нула плътност на тока, трябва да
се очаква, че промените на Р(г,/) с времето ще бъдат еквивалентни на
протичане на някакъв макроскопичен ток. За намиране връзката между
плътността на този ток и плътност'та на електричния диполен момент мо-
же да се разсъждава по следния начин. По определение плътността на
тока е сума от микротоковете в единица обем. Ако е микроскопич-
ната плътност на тока в една градивна частица, а V — нейният обем, то
общият микроскопичен ток, съответстващ на движението на зарядите в
частицата, ще бъде
С помощта на равенство (Б.6), уравнението за непрекъснатост (111) и
определението (10.4) за тази величина се получава
..д/С ,	d i
dt	dt J
v
rICdv
v
j rdvfjdv = j
v	v
=
at
където p(t) e електричният диполен момент на градивната частица.Шом
dp
токът, породен от отместването на зарядите в една частица, е —, то об-
dt
< * д?
щият ток в единица обем, дължащ се на тези движения, ще бъде -7—,
Pt
където, както и по-горе, P(r, t) е макроскопичната обемна плътност на
диполите. С други думи, движението на свързаните заряди в променли-
дР
во електрично поле е еквивалентно на протичане на ток с плътност
Този ток се нарича поляризационен. 
И така в общия случай средната стойност t) на микроскопична-
та плътност на токовете е равна на сумата от плътностите на токовете,
породени от насоченото движение на свободните заряди, на токовете на
намагнитване и на поляризационните токове:
—dP(r t}
= /(r,t) + rotM(f,t) + —.
(16.14)
214
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
Заместването на (16.14) в (16.9, б) води до равенството
_	— дР дЕ
(16.15)	rotB = ц01 + rot/zoM + цо~тг + €оцо — .
at	at
Тъй като М е неизвестна величина, зависеща от неизвестното електро-
магнитно поле, обикновено тя се комбинира с индукцията В на магнитното
поле, като се въвежда едно ново векторно поле
(16.16)	Я(г,«) = —B(r,t) - M(r,t),
Цо
наречено интензитет на магнитното поле. С помощта на това опреде-
ление и (16.12) от (16.15) се получава
д D
(16.17)	rotH = — + I.
’	at
Векторните линии, чрез които се онагледява разпределението на поле-
то	в пространството, се наричат магнитни силови линии и при
изобразяването им се спазват правилата, формулирани за електричните
силови линии (вж. с. 31).
УРАВНЕНИЯ НА МАКСУЕЛ ЗА ПРОИЗВОЛНИ НЕПОДВИЖНИ
СРЕДИ
Получените дотук резултати от осредняване на микроскопичните урав-
нения на Максуел дават най-общите локални връзки между характерис-
тиките на електромагнитното поле в присъствие на непрекъснати среди.
Това са уравненията (16.9, а и г), (16.13) и (16.17):
— д В
(16.18,a)	rotE = —
л В
(16.18,6)	rolH = -г-+ 7,
at
(16.18,в)	divD = fc,
(16.18,г)	divB = 0.
Единственото ограничение, при което са изведени тези уравнения, е
изискването непрекъснатата среда да бъде неподвижна.
Ако S е производна повърхнина, a L — директно ориентираният и
контур, чрез интегриране на (16.18, а и б) по S и прилагане на теоремата
на Стокс (А.74) се получават връзките
(16.19,а)	ГЕ = -^,
at
(16.19,6)	ГН = ^ + /,
at
Електромагнитно поле в неподвижни среди
215
където
(16.20)	V е — Е  dr и Гн=^Ндг
L	L
са циркулациите на интензитетите на електричното и на магнитното поле
по затворената крива L,
(16.21)	Фв = J В  ds и Фр = J D • ds
s	s
са потоните на индукциите на полетата през S, а
(16.22)	J — J I • ds
s
е големината на тока на свободните заряди през S. Както в случая на
^Фр	(
поле във вакуум, членът —-— се нарича ток на отместване. (Вижда се, че
в случая на среди токът на отместване е сума от тока на отместване във
дЕ
вакуум £о-т- и тока, дължат се на отместването на свързаните заряди в
ot
дР .
средите —.)
О1
По аналогичен начин интегрирането на (16.18, в и г) по една произ-
волна облает V с повърхнина S след прилагане на теоремата на Гаус
(А.69) води до равенствата
(16.23,а)	Фр = Q,
(16.23,6)	Фр = 0,
където
(16.24)	Q(t) = / k(r,t)dv
v
е общият некомпенсиран заряд във V.
Равенствата (16.19) и (16.23) представляват глобална форма на урав-
ненията на Максуел за неподвижни среди. Според тях:
•	циркулацията на интензитета на електричното поле по произ-
волна затворена крива е равна на взетата със знак минус про-
мяна за единица време на потока на индукцията на магнитното
поле, обхванат от кривата (16.19, а);
•	циркулацията на интензитета на магнитното поле по произволна
затворена крива е равна на сумата от тока на свободните заряди,
пробождащ една повърхнина с контур кривата, и промяната за
единица време на потока на индукцията на електричното поле
през тази повърхнина (16.19, б);
•	потокът на индукция на електричното поле през произволна зат-
ворена повърхнина е равен на заградения от повърхнината за-
ряд (16.23, а);
216 Електромагнитни взаимодействия в непрскяснати среди
•	потокът на индукцията на магнитното поле през производна зат-
ворена повърхнина е нула (1G.23, б).
Следва да се отбележи, че подобно на случая на полета във вакуум,
и сега, макар тук да е получена от (16.18), глобалната форма (16.19) и
(16.23) на уравненията на Максуел е по-обща, тъй като тя е валидна и
за случайте, когато освен обемни в пространството има и повърхнинни.
и линейни източници на полето (заряди и токове). (Локалните уравнения
(16.18, б и в) в частност губят смисъл върху повърхнините, по които k
или I търпят скок.)
Както локалната, така и глобалната форма на уравненията на Максу-
ел показват обаче, че иптензитетите Е и Н на електромагнитното поле са
вихрови полета — промените с времето на едното поле пораждат вихри
на другото, а токовете на свободните заряди са вторият тип източници
на вихрово магнитно поле.
Втората двойка уравнения (16.18, в и г) или (16.23) показват, че не-
компенсираните заряди са скаларни източници на електричната индукция
(електричните индукционни линии започват от положителни и завършват
върху отрицателни некомпенсирани заряди), а магнитната индукция ня-
ма скаларни източници (магнитните индукционни линии са без начало и
край, най-често — затворени криви).
Общият преглед на уравненията на Максуел за непрекъснати среди
показва обаче, че както локалната форма (16.18), така и глобалната фор-
ма (16.19) и (16.23) са непълни системи от уравнения. Наистина, ако на
k(f,/) и се гледа като на известии функции, а на характеристиките
на електромагнитното поле Е, Н, В и D — като на неизвестни, за об-
що 12-те компоненти на четирите векторни неизвестни системата (16.18)
предлага само 8 уравнения. По-конкретно системата съдържа уравнения
за векторните източници на иптензитетите (т.е. за rotF и rotH), но не
дава информация за скаларните им източници (т.е. за div/s и div//). За
индукциите положението е обратното — системата фиксира скаларните
им източници (divD и divS), но не определя векторните източници (rot£)
и rotB).
Направената констатация повдига следния въпрос. Уравненията на
Максуел (16.18) бяха получени от една пълна система уравнения — урав-
ненията (16.3), които определят съдържащите се в тях две неизвестни
характеристики на полето £ и В. Въпросът е защо след осредняването на
уравненията (16.3) се получава непълна система, защо се появяват нови-
те неизвестни D и И. Очевидна причина за това е наличието на огромен
брой заряди в телата, поради което не могат да се зададат нито техните
начални положения и скорости, нито началното разпределение на полето.
Появата на новите макроскопични неизвестни полета D и И представлява
цената, която трябва да се заплати за непознаването на микроскопичните
плътности К. и J.
И така: основният извод от направените разглеждания е, че за разлика
от случая вяв вакуум, кядето за характеризиране на електромагнитните
взаимодействия са достпатячни две векторни величини — Е и В, в неп-
рекяснати среди полето се характеризира с четири векторни величини —
Електромагнитно поле в неподвижни среди
217
двата интензитета Е и Н и двете индукции D и В, като уравненията на
Максуел вече не са достатъчни за определяне на неизвестните.
ГРАНИЧНИ УСЛОВИЯ
При микроскопичпия подход, опиращ се върху дискретиата структура на
веществото, понятието гранична повърхнина няма смисъл. То се появява
при разглеждане на веществото като непрекъсната среда и от микроско-
пична гледна точка представлява тясна облает с дебелина от порядъка на
няколко атомни размера, в която свойствата на средата се изменят рязко.
При макроскопичния подход тази облает се заменя с геометрична повър-
хнина, върху която свойствата на средата се изменят със скок. Върху
подобии повърхнини както компонентите на характеристиките на полето,
така и на електричната и на магнитната поляризация могат да търпят
скок, поради което там уравненията няма да бъдат валидни. Освен това
уравненията няма да бъдат валидни и в случайте, когато в упомената-
та тясна облает плътността на източниците (некомпенсирани заряди и
токове на свободни заряди) е толкова голяма, че при прехода към непре-
къснати среди върху геометричната повърхнина се окажат повърхнинни
източници (заряди и токове).
Във всички тези случаи е необходимо да се получат гранични условия
за характеристиките на полето, които ще направят решението на задача-
та за намирането им единствепо. Удобно е тези условия да се получат от
общовалидната глобална форма на основните закони на полето (16.19) и
(16.23).
Нека S* е съвкупността от всички повърхнини, върху които свойства-
та на средата се изменят със скок, върху които k(r,/) или 1(г,/) търпят
скок, или върху които има повърхнинни източници — некомпенсирани
заряди с повърхнинна плътност или токове на свободни заряди с
повърхнинна плътност г(г,/). В тези случай диференциалните уравнения
(16.18) са валидни само в точките от областта V*, която представлява
цялото пространство 14», от което са изключени точките на S*. (Както и
във вакуум, и сега от разглежданията се изключват полетата на точкови
и линейни източници, което гарантира, че характеристиките на полето
остават ограничени функции.)
При това положение за намиране на гранични условия може да се из-
ползва методът, по който от (2.10) и (2.11) бяха получени граничните
условия за интензитета на електростатичното поле. И сега, като се при-
ложат (16.19, а и б) за повърхността на един малък правоъгълник, по-
дългите страпи на който лежат от двете страни на S*, се получават гра-
нични условия за тангенциалните компоненти на интензитетите на полета-
та, а като се приложат (16.23, а и б) за един малък цилиндър, основите
на който са от двете страни на S*, се получават гранични условия за
нормалните компоненти на индукциите:
(16.25,а)	Е” - E't = 0,
(16.25,6)	H't' - H't = (г х n)t,
218
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
(16.25,в)	D” — D'n = h,
(16.25,г)	в" - в; = О,
където, както и по-рано, с са отбелязани стойностите на величините
от опаката, а със — стойностите им от лицевата страна на S’*.
УРАВНЕНИЕ НА НЕПРЕКЪСНАТОСТТА
В тема 1 бе установено, че локална формулировка на закона за запазва-
не на електричния заряд представлява уравнението на непрекъснатостта
(1.11). Очевидно е, че то трябва да бъде удовлетворено от микроскопич-
ните характеристики
— плътностите ЛС(г, t) на зарядите и на токовете:
^ + divj = 0.
dt
Осредняването на това уравнение дава връзката
дК, л. -j п
-д- + divj = 0.
ot
Ако тук К и J се заместят съответно от (16.10) и (16.14), след като се
използва (А.46), се получава
Bk
(16.26)	— + div/ = 0.
По форма това уравнение съвпада с (1.11). В (16.26) обаче участват
макроскопичната плътност fc(f,/) на некомпенсираните заряди и макрос-
копичната плътност 1(г,/) на тока от свободните заряди.
При използване на (16.26) следва да се внимава по две причини. Пър-
во, то е приложимо само при явления, при които няма преходи на заря-
ди от свободно в свързано състояние и обратно. Второ, трябва да се
има предвид, че съществуват явления и среди, при които разделянето
на зарядите на свободни и свързани е доста условно и дори понякога —
невъзможно.
Ако в съответствие с представянията (16.10) и (16.14) с
(16.27)	fcCB. = -divP
дР
(16.28)	7СВ. = гоШ + ^-
at
се означат плътностите на свързаните заряди и токовете, дължащи се на
техните движения, то непосредствено се проверява, че
-
+ div/CB = 0,
т.е. и те удовлетворяват уравнението на непрекъснатостта (при съшото
условие за липса на преходи между свободното и свързаното състояние
на зарядите).
Електромагнитно поле в неподвижни среди 219
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ПОТЕНЦИАЛИ
В общия случай на производна среда електромагнитното поле не може да
се характеризира с потенциали. Съществуват обаче някои частни случаи,
в които това е възможно и един от тях е следният. Нека некомпенсирани
заряди и токове на свободни заряди няма (к = 0 и I = 0), а електрична-
та поляризация P(f, t) и намагнитеността M(f,t) на средата са известии
функции на мястото и времето. Ако от уравненията на Максуел (16.18) с
помощта на (16.12) и (16.16) се изключват D и Н, те придобиват вид:
rotE =
дВ
dt
- дЁ ,	- дР.
rot В =	+ Mo(rotM 4- —)
ot	ot
divE =----divP
divZ? = 0.
Както в тема 8, чрез първото и последното от тях може да се въве-
дат електромагнитни потенциали такива, че да са изпълнени както (8.1)
и (8.2), така и условието на Лоренц (8.6), т.е.
(16.29,а)	-	.ТТ д А E=-^dU-—,
(16.29,6)	В = rot А,
(16.29,в)	.. 7	dU п divA + 6o/io-£r = °- dt
Заместването на тези представяния за Ё и В във второто и третото урав-
нение на Максуел и отчитането на условието на Лоренц дава две уравне-
ния за електромагнитното поле
_	- дР
ДА - eopio= ~До(гоШ + —),
ДР -	= —divP.
dt2 бо
Лесно се проверява, че условието на Лоренц е автоматично изпълне-
но, ако компонентите на А и U се изразят чрез производните на две нови
векторни полета съгласно формулите
(16.30,a)	U = -divZ,
(16.30,6)	А = ЕоЦо -Д- + rotZ*,
(У V
където Z(r,t) и Z*(r,/) се наричат съответно електричен и магнитен
вектор на Херц. Уравненията за Z и Z* се получават чрез заместване
220 Електромагиитни взаимодействия в непреквснати средь
на (16.30) в уравненията за А и U:
д -	д2 Z	1 -	-	д2 Z*
Ео//°— (AZ ~	4--Р} 4- rot(AZ* — £оМо-^—h РоЛ/) = 0,
01	01“ Ео	01
.. /д - d2z	1 -ч л
div(AZ - ^оДо-х^- + — Р) = 0.
'	0t2	Eq
Тази система е удовлетворена, ако векторите на Херц са решения на урав-
ненията
(16.31,а)	Д2-еоЯоЙ = “Р- 0t2	Ео
(16.31,6)	_	d2Z* SZ ЕоДо
Както формулите (8.22) и (8.23) дават решения на уравненията (8.7),
така и сега закъсняващите решения на уравненията за Z и Z* се дават с
интегралите
(16.32,а)	f P(r' t - Z(f,/)= /	\ 1	‘ ’dv', J 4тгео|г—г 1 V
(16.32,6)	V
които могат да се пресметнат, щом са зададени електричната поляризация
Р и намагнитеността М. Очевидно е, че получените интегрални предс-
тавяния за Z и Z* са обобщение на получените по-рано за статичния и
стационарния случай формули (10.10) и (10.18).
След пресмятане на Z и Z* чрез връзките на Е и В с А и U и на А и
U със Z и Z* за характеристиките на полето се получават изразите
(16.33,а)
(16.33,6)
г, 1 -	- QZ*
Е =-----Р 4- rotrotZ — rot—т—,
Ео	dt
dZ
В = rotrotZ* 4-EoPorot-т—.
0t
Чрез получените формули, по принцип, се очертава една възможна
процедура за намиране на електромагнитното поле: от известните векто-
ри на поляризацията Р и М с помощта на (16.32) се намират електричният
и магнитният вектор на Херц, а от тях чрез (16.33) — и характеристиките
на самото поле.
17
ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ В ЛИНЕЙНИ
СРЕДИ
ПОСТАНОВКА НА ЗАДАЧАТА
Уравненията на Максуел (16.18), макар и валидни за произволни непод-
вижни среди, не определят характеристиките на електромагнитното по-
ле. За решаване на реални проблеми към тях следва да се добавят до-
пълнителни връзки между неизвестните величини Е, Н, D и В. Такива
връзки обикновено се наричат материални уравнения. Материалните
уравнения фактически описват реакцията на. средите на въздействията на
външните полета, която се изразява в поява на електрична и магнитна
поляризация на средите.
Точното решаване на задачата за намиране на допълнителни връзки
между неизвестните величини изисква разглеждане на движението на гра-
дивните частици на средата във външно поле с характеристики Е и В и
пресмятане на средните стойности на електричния и на магнитния дипо-
лен момент, т.е. решаване на една сложна задача за квантовата статисти-
ка. При това е ясно, че не може да се очакват общовалидни резултати —
допълнителната информация, съдържаща се в материалните уравнения,
ще зависи съществено от конкретните свойства на разглежданата среда.
От своя страна тези свойства се определят както от състава и строежа
й, така и от нейното физическо състояние (температура, налягане и т.н.).
Въпреки априорното разнообразие на възможните допълнителни връзки
между неизвестните, съществува един широк клас от практически важни
случаи, в които въпросните връзки са особено прости. Това са случай-
те, когато макроскопичните полета са много по-слаби от микрополетата,
определящи взаимодействията между градивните частици на средата. В
тези случаи реакцията на средата на въздействията на макрополетата е
линейна функция на характеристиките на тези полета, поради което се
говори за електромагнитни взаимодействия в линейни среди.
Освен предположението за линейност на реакцията на средата, по-до-
лу се прави още едно много съществено опростяващо предположение —
предположението за локалност на връзките между плътностите на елек-
тричния и магнитния диполен момент на средата от една страна и ха-
рактеристиките на макроскопичното поле от друга. Това означава, че
участващите в (16.10) и (16.14) величини Р и М в дадена точка и опре-
делен момент могат да зависят само от значенията па Е и Н в същата
точка и в същия момент (а не например от значенията на полето в окол-
221
222 Електромагнитни взаимодействия в непрекгснати среди
ното пространство или от предишните по време негови значения). С това
ограничително предположение за локалност се елиминира възможността
за разглеждане на всички дисперсионни явления (както на временната,
така и на пространствената дисперсия).
ЕЛЕКТРИЧНА ПРОНИЦАЕМОСТ
Опитът показва, че съществува връзка между поляризацията Р на среда-
та и интензитета Е на електричното поле, която не се влияе от останалите
характеристики на полето (Я и В). Сведения за конкретния вид на функ-
цията Р = Р(Е) може да се получат с помощта на методите на квантовата
статистика и при отчитане на свойствата и връзките между градивните
частици на средата. Получаването на подобии сведения обаче излиза
извън рамките на класическата електродинамика, в която зависимостта
Р = Р(Е) се разглежда на феноменологично равнище, т.е. като зависи-
мост, която се получава по опитен път.
Тъй като означението Р = Р(Е) е всъщност векторен запис на три
отделни функции — компонентите на Р, всяка от които зависи от три
независими променливи (компонентите на Е), за всяка от тези функции
може да се запише следното развитие в ред на Тейлър:
( дР \
(17.1)	Р„(Е) =/>й(0) + V л/ £-+••. М=1,2,3.
Ё=о
Полето Р0(г) с компоненти Рм(0) описва електричната поляризация на
средата в отсъствие на електрично поле (В = 0). Леветте константи
ЭЕ„' Ё=°
образуват една многокомпонентна величина, за която се доказ-
ва, че представлява тензор от втори ранг. Този тензор се нарича тензор
на електричната възприемчивост и за компонентите му обикновено се
въвежда означението
/ЭР \
(17.2)	Ь/ =е0^.
(Константата £о фигурира за обезразмеряване на тензора х.)
Ло сега в теорията се използваха два типа величини — характерис-
тики на полето и характеристики на неговите източници. Векторът Ро(,г)
и тензорът х(г) са примери за нов тип величини, наречени веществени
константи. По своята същност те са локални характеристики на средата
и се определят от нейния състав, структура и физическо състояние. Тъй
като последните три фактора може да са различии в различии точки на
пространството, компонентите на веществените константи са, изобщо ка-
зано, непрекъснати функции на радиус-вектора, като върху границата на
две среди (напр. въздух—стъкло, проводник—диелектрик и т.н.) могат
да търпят скок. По принцип веществените константи могат да зависят и
от времето. В повечето случаи тази зависимост е несъществена и затова,
ако не е изрично уговорено противпото, ще се абстрахираме от нея. Във
Електромагнитно поле в линейни среди
223
всички случаи обаче е съществено, че новият тип величини не зависят от
полето и именно това обстоятелство оправдана названието константи.
Разбира се, редът (17.1) има още безброй много членове. Съществу-
ват съображения обаче, според които техният принос към вектора Р(Е)
поне в множеството срещани в практиката случаи няма да бъде същес-
твен. Наистина стойностите на хдх/ се определят от микроскопичните
полета, от които зависят свойствата на отделната градивна частица и
взаимодействията й с нейните съседи. Интензитетите на микроскопич-
ните полета обаче са с няколко порядъка по-големи от интензитетите на
макрополетата, в които обикновено се намират средите. При това поло-
жение Ец може да се разглеждат като достатъчно малки параметри, така
че техните квадрати и по-високи степени могат да се пренебрегнат.
Опитите потвърждават правилността на тези съображения — в пове-
чето случаи и за повечето вещества отчитането само на първия отличен
от нула член в реда (17.1) осигурява достатъчна точност за описание
на процесите. Такива непрекъснати среди, за които връзката (17.1) има
вида
з
(17.3)	Ру = Род + Ер Хдр-Ё’х/,
|/=1
или векторния вид
(17.4)	Р(Ё) = Ро + Еох- Е,
се наричат линейни по отношение на електричните си свойства. (Систе-
матичното опитно изучаване на нелинейните реакции на средите, т.е. на
процесите, в които съществена роля играят следвашите членове в разви-
тието (17.1), става възможно едва след появата на лазерните източници
на електромагнитното лъчение. С тяхна помощ могат да се създадат
полета, чиито интензитети са сравними и дори по-големи от тези на мик-
роскопичните полета.)
По такъв начин от (17.4) и (16.12) се получава търсеното материално
уравнение за линейни среди:
(17.5)	D(f,/) = Ро(г) + £(г) • E(r, Z),
където тензорът
(17.6)	Ё(гЭ = Ео(6 + х(г))
се нарича тензор на електричната проницаемост на средата (6 е единич-
ният тензор). Тензорът на електричната проницаемост е нова веществена
константа и поради това за свойствата на компонентите му са валидни
всички твърдения, изказани за веществените константи въобще.
Тъй като в повечето случаи при отсъствие на външно поле средата не е
поляризирана, по-нататък, ако не е уговорено противното, ще се разглеж-
дат случаи, в които Pq = 0. По този начин се изключват ред интересни,
но все пак относително рядко срещани явления от рода на пиезоелект-
ричеството, сегнетоелектричеството, различните електретни състояния и
пр. За случайте, когато Pq = 0 материалното уравнение (17.5) приема
по-простата форма:
(177)	D(r,t) = €(r)E(r,t)-
224
Електромагиитни взаимодействия в непреквснати средь
От равенство (17.7) се вижда, че в общия случай посоките на причи-
ната — външното поле Е, и на реакцията Р или D, не съвпадат. Ако
освен линейна средата е и изотропна, т.е. ако свойствата й във всич-
ки посоки са еднакви, тензорите на електричната възприемчивост и на
електричната проницаемост стават кратни на единичния тензор. В този
случай за описване свойствата на средата са достатъчни две скаларни
функции — електричната възприемчивост х(т^ и електричната про-
ницаемост е(г) = £о( 1 + х(г))- В изотропии среди електричната индукция
и интензитетът на електричното поле са колинеарни:
(17.8)	D(f,i) = £(r)K(r,i).
Последно опростяване на връзката между D и Е се реализира в слу-
чая на хомогенни линейни изотропии среди, в които вече £ не зависи и от
мястото, т.е. представлява една истинска константа.
МАГНИТНА ПРОНИЦАЕМОСТ
Аналогични на току-що направените разглеждания може да се проведат и
за магнитната поляризация М на средата, която по традиция се разглеж-
да като функция от интензитета на магнитното поле: М = М(Н). Всъщ-
ност, последователното провеждане на аналогията с предишния случай
изисква М да се разглежда като функция на В, но доколкото в приближе-
нието, което разглеждаме, връзката между В и Н е линейна, дотолковаи
замяната на едната величина с другата е допустима.
Общото разложение на А?(Я) в ред по степените на Н има вида
3 /
(17.9)	1И„(Я) = M„(0) + V(^) Я, + ...,р= 1,2,3.
Деветте константи (дп )й-q представляват компоненти на тензор от вто-
ри ранг — тензорът х на магнитната възприемчивост:
(17.10)
дМД
dUv ) й=о
Когато в развитието (17.9) приносът на всички членове след линей-
ния могат да се пренебрегнат, се казва, че по отношение на магнитните
свойства дадената среда е линейна.
Съществената разлика от случая с електричните свойства на средите
се съдържа във факта, че относително широко разпространени са среди-
те, в които магнитната поляризация може да бъде различна от нула и в
отсъствие на външно магнитно поле. Такива например са феромагнит-
ните среди, в които е възможно Л/(0)	0. Ако началното намагнитване
на средата се означи с Мо, т.е. ако се положи
(17.11)
л70(г) = л7(0)
Електромагнитно поле в линейни среди 225
(най-често Л?о е функция само на млстото), от (17.9), (17.10) и (17.11) за
общата връзка между М и Н в линейна среда се получава
(17.12)	М(Я) = М0 + хЯ.
Заместването на (17.12) в (16.16) води до материалното уравнение
(17.13)	В = /1Я + /1ОЛ7О,
където
(17.14)	Д = до(6 + х)
е нова веществена константа — тензорът на магнитната проницаемост
на средата.
Ако освен линейна средата е и изотропна, х става кратен на единичния
тензор у = уб — в този случай магнитните свойства на средата се харак-
теризират с две скаларни величини, нейните магнитна възприсмчивост
X и магнитна проницаемост р.
Д = д0(1 + х)<5 = /16,
така че
(17.15)	В = /1Я + доМо.
Ако средата няма феромагнитни свойства, т.е. ако Мо = 0, тази връзка
придобива познатия вид
(17.16)	В=ц(г)Н.
За хомогенни среди /1(f) не зависи от радиус-вектора.
УРАВНЕНИЯ НА ПОЛЕТО ЗА ЛИНЕЙНИ СРЕДИ
Уравненията на полето в линейни изотропии среди се получават чрез за-
местване на материалните уравнения (17.5) и (17.15) в системата (16.18)
и им ат вида
(17.17,а)
(17.17,6)
(17.17,в)
(17.17,г)
- ОН дМ0
tolH -
diveB = — divВо 4- k(r,t),
div/iB = —//odivMo-
Когато в отсъствие на външно поле електрична поляризация няма, т.е
Ро = 0, а, както обикновено, магнитната поляризация в отсъствие на вън-
дМ0 п
шно поле не зависи от времето, т.е. —— = 0, уравненията се опростяват:
at
(17.18,а)	-	ОН rotE =
(17.18,6)	- дЁ — rotH = О1
(17.18,в) (17.18,г)	А'меЁ — k(r, t), div/i/7 = g(r).
226 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Участващата в (17.18, г) величина q(f) се въвежда за удобство и се
определя с равенството
(17.19)	q(r) = -^odivMo(r)-
Тя се нарича обемна плътност на фиктивните магнитни заряди (или
маси) и въвеждането й се оправдава от еднаквия вид, който с нейна по-
мощ придобиват уравненията (17.18, в и г). (Ако средата е неизотропна,
уравненията (17.18) запазват валидността си, като вместо е и р трябва
да се поставят тензорите £ и Д.)
Уравненията (17.18) са в сила за точките от пространството, в ко-
ито веществените константи £(г) и /х(г), а така също и източниците на
полето	I(r,t) и q(r) са непрекъснати функции на мястото и освен
това няма повърхнинни източници. Съвкупността от повърхнините, вър-
ху които някоя от функциите £(г), р(г), &(г,/), 7(r,t) или q(r) търпи скок
или върху които има повърхнинни заряди с плътност /г(г,/), повърхнин-
ни токове с плътност :(г, i) или повърхнинни фиктивни магнитни заряди
с плътност т(г), образува повърхнината на особените точки, върху коя-
то компонентите на полето удовлетворяват определени гранични условия.
Тези гранични условия се получават чрез заместване на (17.8) и (17.15)
в (16.25) и имат вида
(17.20,а)	Е? - E't = 0,
(17.20,6)	Н” -H't = (ixn)t,
(17.20,в)	£"Е';-е'Е'п = Ь(?),
(17.20,г)	Р"Я" - д'я; = r(r).
При това повърхнинната плътност г(г) на фиктивните магнитни заряди
е свързана с началното намагнитване Mq и единичния нормален към S*
вектор п чрез равенството г = Po(Mq — Mq)  п. Както обикновено, с “ и
“ в (17.20) са означени стойностите на величините съответно от опаката
и лицевата страна на S*.
Може да се покаже, че при зададени веществени константи (£,//), из-
точници на полето (k, h, I, i, q, г) и начални стойности Eo(r) и Ho(f) на ха-
рактеристиките му системата от уравнения (17.18) и граничните условия
(17.20) определят по единствен начин неизвестните Е(г,/) и
В заключение следва да се обърне внимание върху факта, че в линейни
среди за характеризиране на електромагнитното поле отново (т.е. както
в случая на поле във вакуум) са достатъчни само две векторни величини
— интензитетите Е и Н. От (17.18) и (17.20) се вижда, че електричното
поле има два вида източници: скаларни(некомпенсираните заряди k и h)
,	дЙ	. ЛЯ
и векторни (промените —— на магнитното поле с времето). Магнитното
С/ If
поле от своя страна може да се създава както от токове (7, г) и промени с
времето на електричното поле
така и от фиктивни магнитни заряди (g,r), които играят роля на негови
скаларни източници.
Електромагнитно поле в линейни среди 227
ЕЛЕКТРОМАГИИТНИ ПОТЕНЦИАЛИ
Както бе отбелязано в тема 16, в общия случай на произволни среди и
източници, характеристиките на електромагнитното поле Е, В, D и Н не
могат да се изразят чрез подходяще подбрани потенциали. Това може да
бъде направено само в някои частни, но важни случаи.
Един от тези случаи е, когато средите са линейни, хомогенни и изот-
ропии и освен това нямат феромагнитни свойства (т.е. £ = const, р =
const, Mq — 0). При тези опростяващи допускания системата (17.18) може
да се запише във вида
(17.21,а)
(17.21,6)
(17.21,в)
(17.21,г)
- дН
rOt£ = _д_,
го1Я = е^- + 1,
О1
- к
divE = -,
г
divpH = 0.
К = —grad
Както в тема 8, от (17.21, г) следва съществуването на функция Л(г,/),
наречена векторен потенциал на полето:
(17.22)	Н = -rotA.
И
Заместването на Н от (17.22) в (17.21,а) позволява отново, както в тема
8, чрез равенството
(17.23)
да се въведе и скаларен потенциал U(ft/).
Връзките на А и U с източниците на полето (к и I) се получават чрез
заместване на Е и Н от (17.22 и 23) в (17.21, в и б). Тъй като и в този
случай характеристиките на полето (Е и 77) са инвариантни спрямо гра-
диентното (калибровъчното) преобразувание (8.40), нееднозначността в
избора на потенциалите може да се използва за опростяване на връзки-
те им с източниците. Както във вакуум, така и тук винаги може да се
намерят потенциали, които удовлетворяват калибровъчното условие на
Лоренц, като в този случай А и U удовлетворяват нехомогенните вълно-
ви уравнения. Единствената разлика от (8.6) и (8.7) в случая е, че вместо
to и цо в новите връзки фигурират £ и ц. Подобно твърдение може да се
формулира и в случая на калибровка на Кулон.
Друг случай, в който чрез въвеждане на потенциали могат да се ре-
шават важни за практиката задачи, е, когато средите също са линейни,
хомогенпи и изотропии, но се допуска в тях да съществува електрична
ИЛИ магнитна поляризация дори когато външното поле е нула. Това
са случайте на сегнетоелектрици, пироелектрици, феромагнетици, някои
случаи на излъчвателни антени и др. В тези случаи са различии от нула
228 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среду
първите членове в десните страни на (17.1) и (17.9) и вместо със (17.4)
връзката на Р с Е се дава с равенството
(17.24)	Р = Р0 + €0хЁ,
където Pq = Р(0) е електричната поляризация на средата, която не зависи
от търсеното поле Е. По подобен начин, като се отчете, че се разглеждат
изотропии среди, от (17.12) се получава
(17.25)	М = Мо+хЯ-
За описания случай елкетромагнитни потенциали могат да се въведат
в точките от пространството, в които няма некомпенсирани заряди и то-
кове (т.е. където к = 0 и 7 = 0). Наистина при тези условия уравненията
на полето (17.17) приемат формата
(17.26,a)	rot£ + /i^ = -р0^,
ot	ot
(17.26,6)	ГО1Я-е^ = ^,
С/ <*	с/ с
(17.26,в)	divE = —divP0,
(17.26,г)	div# = ——divM0.
Както обикновено, в десните страни на равенствата са оставени функци-
ите, които се считат известии и играят роля на източници на полето. В
случая те зависят от първите производни на Ро(г,1) и Л?о(г,2).
а) Нека Mo(r, t) = 0. В този случай (17.26, а и г) имат вида
дН
(17.27,a)	rotE + /i—- = 0,
ot
(17.27,6)	divtf = 0.
Понеже (17.27) съвпадат със (17.21, а и г), отново могат да се въведат
скаларен и векторен потенциал, които удовлетворяват връзките (17.22)
и (17.23). Заместването на Е и Н от тези връзки в (17.26, бив) води
до уравнения, свързващи потенциалите с източниците на полето. Както
в тема 8, когато А и U удовлетворяват условието на Лоренц
(17.28)	divJ + ep^- = 0,
Ot
въпросните уравнения се опростяват до вида
(17.29)	=	ду _	= -IdivPo,
ot2 ot	ot2 e
т.е. А и U удовлетворяват нехомогенните вълнови уравнения. Ако в (8.7)
k(f, t) и I(r,t) се заместят с представянията (8.18), се вижда, че уравне-
нията за А и U (17.29) се получават от (8.18) формално със замяна на to
Електромагнитно поле в линейни среди 229
се и на с рс. Тъй като по същия начин (17.28) се получава от (8.6),
това е достатъчно, за да се твърди, че както в тема 8, така и сега може
да се намери векторно поле Z(r,/) такова, че
д Z
(17.30)	А = ерс-^, U = —divZ
и което удовлетворява уравнението
(17.31)	Д2-ер^=-=-P0(f,i).
сл е
Следователно за линейна, хомогенна и изотропна среда, в която k = 0,
I = 0 и Mq = 0, при зададен вектор на електричната поляризация P0(f,t)
намирането на електромагнитното поле може да стане по следната схема:
първо се решава вълновото уравнение (17.31) и се намира векторът Z,
след това посредством (17.30) от него се получават потенциалите А и U
(при което те автоматично удовлетворяват условието на Лоренц) и нак-
рал чрез (17.22) и (17.23) — характеристиките Е и Н на полето. Подобно
електромагнитно поле се нарича поле от електричен тип, а въведеният
за намирането му вектор Z — вектор на Херц.
б)	Нека Ро = 0. В този случай възможност за въвеждане на потенциали
дават уравненията (17.26, б и в), които стават хомогенни:
- дЁ
(17.32,a)	rot# = 0,
(17.32,6	)	div# = 0.
Второто от тях гарантира съществуването на векторен потенциал А* та-
къв, че
(17.33)	Ё = - jrotZ*.
Заместването на (17.33) в (17.32,а) дава връзка, която позволява да се
въведе и скаларен потенциал U*, като
_	дА*
(17.34)	Н = -gradlT -
(17.35)
Уравненията за А* и U* се получават чрез заместване на представяния-
та (17.33) и (17.34) в (17.26, а и г). Последпите се опростяват, ако на
.4* и (/* се наложи условието на Лоренц. В този случай А* и U* също
удовлетворяват нехомогенни вълнови уравнения
л Г*	дМо
дл
ДС/‘ —	= ——divA/o.
dt2 pi
Като се изключи разликата във веществените константи, тази система по
същество съвпада със (17.29). Следователно и сега може да се намери
потенциал на потенциалите, т.е. вектор на Херц Z* такъв, че
Л' = ед^-, U’ = -divZ‘,
ОС
(17.36)
230 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
като връзката на Z* с източника Л7о(г,/) на полето отново се дава с не-
хомогенното вълново уравнение
(17.37)	Д/'-£д-5п- = -^Йо(г,<).
О1~	р.
В този случай се казва, че електромагнитното поле е от магнитен тип.
Очевидно схемата за намирането му съвпада с описаната в подточка а).
ЗАКОН НА ОМ
Областта на приложимост на системата (17.18) е ограничена от обстоя-
телството, че обикновено обемната плътност I на токовете не е отнапред
зададена като функция на г и t , а зависи от електричното поле Е, т.е. от
една от неизвестните величини. Съществува обаче широк клас от важ-
ни за практиката задачи, в които зависимостта I = 1(E) има достатъчно
прост вид. При тези задачи се прилага познатият вече подход: функцията
1(E) се разлага в ред Тейлър:
з
1„(К) = /„(0) + £;(^!-)	£„ + •••, р = 1,2,3.
( 91 * )
удЕи)Ё=°
Леветте константи
представляват компоненти на симетричен
тензор от втори ранг — тензора д на проводимостта на средата:
/ д1р\
\OEje=o
Очевидно е, че компонентите на този тензор могат да бъдат различии от
нула само в проводяща среда, тъй като в диелектриците токови носители
няма и в тях винаги 1(E) = 0. За характеризиране проводящите свойс-
тва на изотропна среда е достатъчна една скаларна величина — про-
водимостта а, тъй като в този случай а е кратен на единичния тензор:
<тр1/ = <т6р1/. Проводимостта на всички проводящи среди е положителна
величина: а > 0.
Ако в разглеждания интервал от стойности за Е квадратичният и след-
ващите след него членове в развитието на 7М могат да се пренебрегнат,
връзката между I и Е остава линейна и за изотропна среда се получава
(17.38)	1(E) = 7(0)+ аЕ.
Членът 7(0) отчита възможността в един проводник да протича ток и
когато няма електрично поле (Е = 0). Този член обикновено се записва
във вида
(17.39)	1(0) = аЁ*у
където нововъведената величина Е* се нарича странична или електрод-
вижеща сила. При това положение (17.38) приема окончателно формата
(17.40)	1 = а(Ё + Ё*).
Електромагнитно поле в линейни среди 231
Токът I, дължащ се на насочено движение на токови носители в непрекъс-
ната проводяща среда, се нарича ток на проводимост. Опитът показва,
че за много проводящи среди (сред тях и металите) линейната зависимост
между обемната плътност 7 на токовете на проводимост и Е е изпълнена
в широк диапазон от стойности на полето. Връзката (17.40) е известна
като закон на Ом.
Проводимостта а и ЕДС Е* не зависят от Е — в този смисъл те пред-
ставляват две нови веществени константи, които зависят само от свойс-
твата на средата. От своя страна както <т, така и Е* могат да зависят
от мястото и времето, така че по същество (17.40) представлява локална
форма на закона на Ом, защото свързва стойностите на 7, Е, а и Е* в
една и съща точка на пространството и в един и същ момент от времето.
Начинът на получаване на (17.40) показва, че макар и изключително
важен за практическите приложения, законът на Ом не е основен закон
на електродинамиката. Единственият въпрос, на който отговор може да
даде само опитът, е доколко (т.е. с каква точност) е изпълнен законът на
Ом за дадена конкретна среда и за зададен интервал, в който се изменя
електричното поле Е.
МЕХАНИЧЕН МОДЕЛ ЗА ТОКОВЕТЕ НА ПРОВОДИМОСТ
По-дълбокият смисъл на полагането (17.39) може да се разкрие със след-
ните разсъждения. Преди всичко, кога в един проводник е възможно да
тече ток, без да има електрично поле, т.е. 7(0)	0? Ако проводникът е
хомогенен, при Е = 0 средната по време сила, която действа върху един
токов носител, е нула. В този случай токовите носители участват само
в хаотичното топлинно движение, което не поражда ток. В нехомогенен
проводник обаче поради асиметрията в обкръжението на даден токов но-
сител може да се окаже, че на него му действа определена сила и под
нейно влияние към хаотичното му движение се наслагва еднопосочно с
тази сила преместване — дрейф. Ако нехомогенността е макроскопична,
дрейфът на всички токови носители в една физически малка облает ще
бъде еднопосочен и в средата ще тече ток 7(0) / 0. Следователно ЕДС
има само в нехомогенни проводници.
При тези разглеждания понятието нехомогенност следва да се разби-
ра в най-широк смисъл — това може да бъде например нехомогенност в
химичния състав на средата, какъвто е случаят с т.нар. химични източ-
ници на ток — акумулатори, сухи елементи и пр. ЕДС може да дължат
произхода си на неравномерно разпределение на температурата в средата
(термо-ЕДС), на нехомогенност в осветлението на повърхността на сре-
дата (фото-ЕДС) и т.н. При такава постановка е ясно, че Е* ще бъде
по-голяма там, където е най-силна пораждащата я нехомогенност, където
съответните свойства на средата се изменят най-бързо — например вър-
ху граничната повърхнина между две съседни среди с различен химичен
състав, където свойствата на средата се изменят скокообразно.
(В практиката се среща един важен случай, който прави изключение
от гореказаното. Това е случаят, в който причина за насоченото движение
232 Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
на токовите носители е магнитната сила ev х В. Такава сила се проявява
например при движение на проводник в магнитно поле. Този случай по
принцип излиза извън рамките па изгражданата тук теория, която включ-
ва само явления в неподвижни среди, но причисляването на възникналите
магнитни сили към ЕЛС представлява една възможност за обхващане в
разглежданията и на тези случаи. Подобен произход имат ЕЛС в гене-
раторите, чийто ротор служи като котва, в магнито-хидродинамичните
генератори и др.)
Равенство (17.40) показва, че Е и Е* имат еднаква размерност. И
както Е характеризира електричната сила, с която полето действа върху
единица заряд, така и Е“ характеризира електродвижещата сила, дейст-
ваща на единица заряд. Трябва да бъде ясно обаче, че по своя произход
електродвижещата сили е винаги електромагнитна сила, т.е. сила на Ло-
ренц, и само на макроскопично равнище може да се прави разлика между
електрични и електродвижещи сили. (Електродинамиката не разглежда
явления, дължащи се на гравитационни, ядрени и други взаимодействия,
в които могат да участват заредените частици.)
Тълкуването на Е* като механична сила, действаща на единица свобо-
ден заряд, позволява чрез закона на Ом да се изгради следният механичен
модел за протичането на ток в проводящи среди — модел, чрез който се
обясняват закономерностите при редица явления, съпровождащи проти-
чането на ток.
Нека с k е означена обемна плътност на токовите носители в среда-
та, а с v — тяхната дрейфова скорост. Като се използва определението
(1.6,а), (17.40) може да се запише във вида
(17.41)	kv = <г(£+Е*),
който показва, че действащата на единица заряд сила (Е + Е*) определя
не ускорението (както изисква вторият принцип на динамиката на мате-
риална точка), а скоростта па v на движението. Подобен случай в меха-
никата е известен — това е случаят на движение на тяло в среда, която
му оказва съпротивление, като съпротивителната сила е от стоксов тип,
т.е. посоката й е противоположна на посоката на скоростта, а големината
— пропорционална на големината па скоростта. При това положение на
закона на Ом може да се придаде видът
(17.42)	Я+ £* + £ = О,
където
(17.43)	Fc = -(F-bE‘)
е съпротивителната сила, действаща при насоченото движение върху
единица заряд.
Всъщност (17.42) има вид на класическо уравнение за движение на бе-
зинерционно тяло, т.е. тяло, чиято маса може да се пренебрегне. Обясне-
нието на този факт е очевидно — токовите носители (в металите свобод-
ните електрони) имат действително толкова малки маси (me « 9.10-31 kg),
че при промяна на Е и Е* тяхната дрейфова скорост практически мигно-
вено се променя така, че да бъде изпълнено (17.42).
Електромагнитно поле в линейни среди 233
Направените разглеждания показват и граничите на приложимост на
използвания модел — ако полетата са бързо променливи, ускоренията а
на токовите носители може да станат толкова големи, че въпреки мал-
ката стойност на т членът та в уравнението F = та да не може да се
пренебрегне. В този случай дрейфовото движение на токовите носители
не може да се разглежда като движение на тяло в среда, която му оказва
съпротивление от стоксов тип. Следователно отклонения от развиваната
теория могат да се очакват например в оптичния диапазон, където често-
тите на електромагнитните полета са от порядъка. на 1015 Hz. Наистина
за обясняване на такова типично оптично явление, каквото е дисперсията
на светлината, трябва да се разработи по-детайлна теория.
ЗАКОН НА ДЖАУЛ — ЛЕНЦ И РАБОТА НА ЕДС
Изложеният механичен модел обяснява отделянето на количеството Топ-
лина (джаулова топлина) в проводниците, по които тече ток: съпротиви-
телните сили са дисипативни, тяхното действие предизвиква превръщане
на енергията на насоченото движение на токовите носители в енергия на
хаотичното движение на градивните частици на средата — води до увели-
чаване на вътрешната енергия на тази среда. Плътността на мощността
на топлоотделянето, т.е. количеството топлина wj, отделено за едини-
ца време в единица обем, е равно на взетата със знак минус работа за
единица време на съпротивителните сили в същия този обем. Тъй като
по определение Fc е съпротивителната сила, действаща върху единица
заряд, а в единица обем количеството на токовите носители е к, то от
(17.43) и (17.41) се получава wj = —kFc.v = <r(E + Е*)2. С помощта на
закона на Ом на този израз може да се даде видът
(17.44)	wj(r,/) =
(У
Той показва, че отделеното количество топлина е винаги положително.
Формулата (17.44) представлява локална форма на известния закон на
Джаул — Ленц.
По подобен начин може да се пресметне и плътността на мощността
W на ЕДС. По определение тя е равна на работата на ЕДС, за единица
време в единица обем. Тъй като Е* представлява ЕДС, действаща върху
единица заряд, а в единица обем плътността на токовите носители е fc, то
въпросната мощност е w* = Е*.kv или предвид (1.6, а)
(17.45)	w*(r,t) = f(r,/).E‘(r,/).
Тази формула показва, че в зависимост от посоките на I и Е* знакът на
W може да бъде както положителен, така и отрицателен. Мощността w*
еположителна, когато е положителна проекцията на ЕДС върху посоката
на. тока. В този случай ЕДС трансформират енергията на източника на
ЕДС (която може да бъде от механичен, химичен, топлинен и пр. произ-
х°д) в енергия на полето. Обратно, когато I и Е* сключват тъп ъгъл, то
w < 0 и тогава w* представлява онази част от енергията на полето, която
234 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
за единица време в единица обем се превръша в енергия на източника на
ЕДС.
УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНИ УСЛОВИЯ ЗА ПОЛЕТО В СЛУЧАЙ
НА ТОКОВЕ НА ПРОВОДИМОСТ
Закономерностите при протичане на ток във вакуум обикновено не се тре-
тират в електродинамиката на непрекъснатите среди. Във всички оста-
нали случаи, т.е. за електромагнитно поле в линейни среди, източници
на което са некомпенсирани заряди и токове на проводимост, уравненията
и граничните условия се получават чрез обединяване на (17.8), (17.20)
и (17.40). Когато няма повърхнинни токове (г — 0), тези уравнения и
гранични условия имат вида
(17.46,а)	- дн rot£= tidt,	Е{' - E't = 0,
(17.46,6)	— дЁ — - rotH = е-^- + а(Ё 4- Е*), ot	H't' - H't = 0,
(17.46,в)	diveE = k,	- e'E'n = A,
(17.46,г)	divpiH = g,	- /я; = r.
При прилагане на тази система следва да се има предвид, че сега към
повърхнипите на особсните точки S* се добавят и всички повърхнини,
върху конто някоя от нововъведените веществени константи а и Е* тър-
пи скок. Освен това трябва да се отчита, че граничното условие за Еп
има вида (17.46, в) само при предположение, че Е* е навсякъде край-
не. Както бе отбелязано, на границата между две среди Е* може да има
толкова големи стойности, че интегралът
(17.47)
E*(f,t).df,

пресметнат по една малка крива AL с начало в първата и с край във
втората среда, да бъде крайна величина. Интеграли от типа (17.47)
дефинират една нова величина, наречена електродвижещо напрежение
(ЕДН). В този случай под действие на електродвижещите сили на гра-
ницата между двете среди се образува електричен двоен слой, т.е. слой
от повърхнинни диполи, чиито диполни моменти са перпендикулярни към
граничната повърхнина между две среди. Вътре в този безкрайно тънък
слой електричното поле има безкрайно голям интензитет, така че в край-
на сметка от двете страни на разделителната повърхнина потенциалът
търпи краен скок. Понеже поначало тук се разглеждат случаи, в които
потенциалът е непрекъсната функция на мястото, задачи, в които £ 0>
няма да се третират. Тъй като £ всъщност представлява контактната
потенциална разлика между двете среди, с това допълнително ограни-
чение се изключват от разглежданията пронесите, в които контактните
потенциални разлики играят съществена роля.
а и б) могат да бъдат
Електромагнитно поле в линейни среди 235
За намиране на електромагнитното поле от системата (17.46) тряб-
ва да се познават преди всичко веществените константи б(т9, ^(г), <т(г) и
E*(r,t). Един преглед на уравненията от системата показва, че първите
две от тях са достатъчни за определяне на E(r,t) и	стига да е
известно разпределението на полето в един начален момент to, т.е. ако
са познати функциите Е(г, to) = Ео(г) и Я(г, to) = Яо(^)- Тъй като (17.46,
дЕ дЙ
решени спрямо производните по времето —, ——,
dt at
гореизказаното твърдение е пряко следствие на теоремата на Коши —
Ковалевска за системи частни диференциални уравнения от първи ред,
когато Ео(г), Яо(г) и веществените константи са непрекъснати функции
на своите аргументи.
След определянето на E(r, t) и H(r,V) от (17,46, а и б) чрез следва-
щите две уравнения (17.46, виг) може да се определят и плътностите
fc(f,t) и g(r) на източниците на полето. По такъв начин сега скаларни-
те уравнения играят дефиниционна роля за тези плътности. Аналогични
разсъждения могат да се проведат и в случая, когато в пространството
има повърхнини на особени точки S*.
18
СТАЦИОНАРНИ ПОЛЕТА
СТАЦИОНАРНИ ЕЛЕКТРИЧНИ И МАГНИТНИ ПОЛЕТА
Информацията, която може да се получи от уравненията на Максуел
(17.18) може да се обогати значително, ако се разгледа частният слу-
чай на стационарни полета. Изучаването на този случай се налага и от
голямото му значение за решаване на редица практически проблеми.
• Както и във вакуум, източниците на едно поле се наричат ста-
ционарни, когато разпределението им не зависи от времето:
1(т,/.) = 1(f) и = 7(f). Полетата на стационарни източни-
ци се наричат стационарни.
С други думи, това са полетата, създадени, когато токовете са посто-
янни. Тъй като плътностите на източниците са свързани с уравнението на
непрекъснатостта (1.11), поради условието = 0 и закона на Ом (17.40)
плътността на стационарните токове удовлетворява равенствата
(18.1)	div Г = 0 или divа(Ё + Ё*) = 0.
Може да се покаже, че когато токовете са постоянни, характеристиките
Е и Н на полето също не зависят от времето (което оправдава название-
то на полетата). За провеждане на доказателството всяко от полетата се
представя като сума от надлъжна и напречна съставяща (отбелязани
съответно с и “t"):
(18.2,a)	E(f,<) = E/(f,t) + ^(f,t),
(18.2,6)	Я(г, t) =	+ Я,(г,<).
По определение надлъжните съставящи са безвихрови, т.е.
(18.3,a)	rot Ё( = 0 и rot Я/= 0,
а напречните — чисто соленоидални, т.е. нямат скаларни източници
(18.3,6)	div Et = 0 и div Ht = 0.
След заместването на (18.2, а) в (17.18, в) и отчитане на (18.3, б) за Ei
се получава връзка, която заедно с (18.3, а) образува системата
(18.4,a)	div£(f)F/(f,O = l(f),
(18.4,6)	rotEf(f,t) = 0.
236
Стационарни полета
237
(Всъщност уравнението (18.4,а) се получава само в случай, че на разсто-
яния, на които Ei се изменя съществено, е(г) може да се счита константа,
т.е. само когато diveEi » EdivE1/. Подобно ограничение се налага по-долу
и върху промените на
В системата (18.4) неизвестната величина Е/ фигурира само чрез про-
изводните си по пространствените променливи, но не и по времето. И тъй
като нехомогенният член к(г) зависи само от мястото, следва, че надлъж-
ната съставяща на електричното поле не зависи от времето t.
По същия начин и с аналогични разсъждения от (18.2, б), (17.18, г) и
(18.3, а) се стига до извода, че и надлъжната съставяща Hi на магнитното
поле не зависи от времето.
Подобии резултати за напречните съставящи на Е и Н се получават
чрез заместване на (18.2, а и б) в (17.18, а и б) и отчитане, че Е/ и Hi не
зависят от времето:
(18.5,а)
(18.5,6)
rot Ei =
dEt
TotHi = €^^.
dt
Теоремата на Коши-Ковалевска за системи частни диференциални урав-
нения от първи ред гарантира съществуването на единствен© решение на
(18.5), при условие че са известии разпределенията на полетата в начал-
ния момент t0 : Et(r, to) = Et(r) и Ht(f, to) = Et(r).
Ако сега второто от уравненията (18.5) се диференцира по времето и
5Я*	/1 о к \
в полученото равенство ——- се замести от (18.5, а) се получава
/ 1	Лч &Et
rot (--rot Et) =
p	ot2
Като се използва отново предположението, че свойствата на средата за-
висят слабо от мястото (т.е. че р. к, const), чрез формула (А.48) и първото
от условията (18.3, б) се получава
ДЕ< - ец
d2Et
dt2
Известно е, че единственото решение на вълновото уравнение, което
се анулира в безкрайност, е нулевото решение, т.е. Et(r,t) = 0. Сле-
дователно стационарното електрично поле е чисто надлъжно и тъй като
за Ei вече бе показано, че не зависи от времето, може да се твърди, че
стационарното електрично поле изобщо не зависи от t и удовлетворява
Уравненията (18.4).
Заместването на Et = 0 в (18.5) води до равенствата
(18.6,а)
(18.6,6)
^1 = 0
dt
rot Ht = I (г).
238 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Първото от тях показва, че и напречното магнитно поле не зависи от
времето. И тъй като по-горе същото бе доказано и за Я/, то изобщо
интензитетът на магнитното поле няма да зависи от времето.
И така оказва се, че наистина, когато източниците на полето са ста-
ционарни, неговите характеристики също не зависят от времето. Елект-
ричното поле е чисто надлъжно и удовлетворява системата
(18.7,a)	rot Е = О,
(18.7,6)	dive# = fc(r),
а магнитното поле има както напречна, така и надлъжна съставяща
(18.8,a)	rotH = I(f),
(18.8,6)	div цН = q(r).
СВОЙСТВА НА СТАЦИОНАРНОТО ЕЛЕКТРИЧНО ПОЛЕ
Уравнение (18.7, а) показва, че стационарното електрично поле е консер-
вативно. За него може да се въведе скаларен потенциал така, че да бъде
изпълнена връзката
(18.9)	f =-grad Я.
Заместването на (18.9) в (18.7, б) и (18.1) води до следната система от
уравнения и гранични условия за потенциала на полето:
(18.10,а)	divegrad U = — fc(r), ди" ди' _ £ дп е дп~ h'	fe V* res*,
(18.10,6)	div <r(grad U - Я*) = 0,	fe v*,
(dU"	_ л с»
дп Еп '	( дп	г е S ’
(18.10, в)	u"-u' = o, fes*,
(18.10,r)	Я» = o, f e Soo-
В хомогенни проводници (т.е. при Е* = 0 и а = const) от (18.1) следва
(18.11)
div Ё = О,
т.е. вътре в такива проводници силовите линии на полето нямат начало
и край. От (18.11) и (18.7, б) се вижда, че там и k = 0. С други думи, ко-
гато в един хомогенен проводник тече постоянен ток, вътре в проводника
некомпенсирани заряди няма. (Електрично поле вътре в проводника оба-
че съществува, тъй като I = аЁ 0!) В този случай некомпенсираните
заряди могат да се разполагат само по повърхността на проводника.
Стационарни полета
239
ЗАКОНИ НА ПОСТОЯННИТЕ ТОКОВЕ
Използваните в практиката проводници место имат непроизволна форма,
а представляват така наречени линейни проводници. Един проводник
се нарича линеен, ако два от размерите му са достатъчно малки спрямо
третия (дължината) по такъв начин, че напречното сечение и свойст-
вата на проводника се изменят бавно по дължината, като размерите на
напречното сечение са малки спрямо радиуса на кривината на самия про-
водник. (Очевидно е, че линейността тук е свързана само с геометрията
на обектите и не бива да се смесва с линейните свойства на средите, кои-
то бяха дискутирани в тема 17.) Положението на един линеен проводник
в пространството може да се определи чрез задаване на една крива L с
параметрично представяне г = г(/), l0 I С (I —• параметър на кривата)
и една скаларна функция «(/), представляваща големината на напречното
сечение на проводниците, което също е функция на I (фиг. 18.1). Като
кривата L, така и всяко от напречните сечения се считат ориентирани —
произволно, но еднопосочно.
Очевидно е, че когато по един ли-
неен проводник, заобиколен с дие-
лектрик, тече ток, повърхнината на
проводника представлява токова тръ-
ба. От тема 1 е известно, че големи-
ната на стационарните токове е една
и съща през всяко сечение на дадена
токова тръба. Следователно токът
през един линеен проводник в стаци-
онарно поле, освен че не зависи от
времето е един и същ през всяко се-
чение на проводника. Това дава пра-
во да се говори изобщо за големи-
на на ток през проводник, без да се
указва сечението, през което се прес-
Фиг. 18.1
мята.
При направената уговорка за малки размери на напречното сечение
може да се счита, че във всички точки на едно сечение на линейния про-
водник както потенциалът U(r) на полето, така и плътността на тока 1(г)
не се изменят съществено, т.е. че фактически те са. функции само на па-
раметъра / на кривата. Ако Z'(0 е проекцията па 1 върху единичния,
тангенциален към L вектор t, който съвпада по посока с нормалния към
ладеното сечение на проводника вектор п (фиг. 18.1), то от (1.9, а) за
тока през проводника се получава
т.е.
(18.12)	J = Г(/).а(/).
При пресмятане на последния интеграл е използвана теоремата за сред-
ните стойности от интегралното пресмятане и това, че f |ds] представлява
s
240 Електромагиитни взаимодействия в непрекбснати среди
площта s на напречното сечение.) Тъй като през различимте сечения то-
кът е един и същ, от (18.12) следва, че за дадено сечение проекцията на
плътността на тока е обратнопропорционална на неговата площ. Същата
формула показва, че токът е положителен, когато посоката му съвпада с
ориентацията на L(I.t > 0), и е отрицателен, когато тази посоки са про-
тивоположим.
а) Закон на Ом за линеен проводник. Важна за практиката зависи-
мост може да се получи, ако локалната форма на закона на Ом (17.40) се
запише във вида
- = е + е*
а
и се интегрира по оста L на един линеен проводник:
(18.13)	[-.dr= I Ё.(1г+ I E*.dr.
J a J	J
L	L	L
Носледният интеграл според определението (17.47) не зависи от поле-
то и тока и представлява електродвижещото напрежение £ на проводника
(ЕЛИ).
Ако с U' и U" се означат стойностите на потенциала на полето върху
началното и крайното сечение на проводника, от (18.9) за първия интег-
рал в дясната страна на (18.13) се получава
и"
(18.14)	У E.dr = - j gradU.dr = - j dU = U' -U".
L	L	U'
Накрал чрез (18.12) за лявата страна на (18.13) се намира
(18.15)	[W=JR,
J a J	a J as
L	L	L
където
(18.16)	/?=/ —
J <TS
L
e една нова, глобална характеристика на проводника — неговото омово
съпротивление. Вижда се, че то зависи както от свойствата на про-
водника (чрез проводимостта ст), така и от размерите му (посредством
кривата L и сечението s). Ако проводникът е хомогенен и с постоянно
сечение (независимо от формата на последното), от (18.16) следва извес-
тната формула
(18.17)	R= —,
as
в която / е дължината на проводника.
С помощта на (18.15), (18.14) и (17.47) от (18.13) се получава връз-
ката
(18.18)
RJ = U' - U" + £,
Стационарни полета
241
известна като закон на Ом за постоянен ток през линеен проводник.
Този закон лежи в основата на теорията на постояннотоковите вериги, за-
щото от него следват редица други зависимости — в частност и вторият
закон на Кирхоф за разклонени вериги.
Две прости следствия от закона на Ом се получават първо, когато в
проводника няма ЕДН, т.е. £ = 0. Тогава от (18.18) следва
(18.19)	RJ = U'-U",
т.е. токът е пропорционален на напрежението U' — U" в краищата на
проводника. Ако пък проводникът е затворен (U’ = U"), законът на Ом
приема вида
(18.20)	RJ = £,
т.е. токът в затворена верига е пропорционален на включеното във вери-
гата ЕДН.
б)	Закон на Джаул-Ленц за линеен проводник. За намиране общото
количество топлина Wj, отделно за единица време в един линеен провод-
ник, е необходимо изразът (17.44) за плътността на джауловата топлина
да се интегрира по обема V па проводника. Тъй като в случая обемни-
ят елемент може да се представи във вида dv = s|df|, като се използват
(18.12) и (18.16), за Wj да се получава
Wj = [ wjdv = [ —Pdv = [ — s|df| = J2 [	= RJ2.
J	Jo	Jo	J os
v	v	L	L
Следователно мощността на топлоотделянето в проводника е
(18.21)	Wj = RJ2.
в)	Мощност на ЕДС в линеен проводник. По аналогичен начин се
получава израз за мощността, отделена от ЕДС в линеен проводник, по
който тече ток J. Като се използва фактът, че I и dr са колинеарни, чрез
интегриране на (17.45) по обема на проводника се намира
И/*
У I.E*dv = j E*.Is\dr\ = У sI'E*.df.
V	L	L
И тъй като I's = J, а оставащият интеграл дава £, в крайна сметка се
получава
(18.22)
W* = JS
Знакът на работата на ЕДС се определя от условията, обсъдени в тема
17.
г)	Работа на електричните сили. Когато постоянен ток J тече по
линеен проводник, електричните сили също извършват работа. Тяхната
мощност lVe може да се пресметне чрез интегриране на израза (7.4) за
плътността на тази мощност по обема на проводника. Ако U' и U" са
потенциалите в началото и в края му, то
I.Edv = - I
L
U
J 1'sgradU.dr = — J j
L	U'
242 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
или ако U = U' — U" е напрежението в краищата на проводника, оконча-
телно
(18.23)
We = JU.
Формулите (18.21), (18.22) и (18.23) свързват глобалните характеристи-
ки на един линеен проводник R и £ и глобалните характеристики на тока
и полето J и U с работата на всеки от трите вида сили, които могат да
се проявят при протичане на постоянен ток в линеен проводник.
СВОЙСТВА НА СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО ПОЛЕ
В широк смисъл терминът стационарно магнитно поле се отпася до маг-
нитните полета, характеристиките на които не зависят от времето. Както
се вижда от (18.8), такива полета се създават от постоянни токове и от
неподвижни постоянни магнити. В тесен смисъл стационарни се наричат
само полетата, езздадени от постоянни токове, като за полетата на маг-
нитите се резервира терминът статични магнитни полета.
Тук се разглеждат само свойствата на стационарните в тесен смисъл
на думата полета. Техните уравнения и гранични условия се получават
от (18.8) и (17.20). Тъй като повърхнинните токове се изключват от нас-
тоящите разглеждания, видът на уравненията и граничните условия е
(18.24,а)
(18.24,6)
(18.24,в)
(18.24,г)
rot/7 = f(f), г G V
div/d7 = 0, гбГ,
ц"я"-/я; = о, fes*,
като към S* принадлежат повърхнините , върху които 1(f) или ц(г) тър-
пят скок.
Уравнение (18.24, б) показва, че чрез равенството
(18.25)

може да се въведе магнитен векторен потенциал на полето, като всичко
казано в тема 4 относно нееднозначността в определянето на А остава в
сила и сега. Тъй като А(г) не зависи от /, лоренцовата и кулоновата
калибровка съвпадат и за А се налагат допълнителните условия
(18.26)
(18.27)
div А = 0,
Д» =0.
Лесно се показва, че при зададено магнитно поле Н магнитният век-
торен потенциал се определя от израза
го1'д(г')Я(г') ,
4ж|г-г'| dv
(18.28)
Стационарни полета
243
Наистина при г —► оо този израз клони към нула, така че условието
(18.27) е изпълнено. Освен това
div А = / div
rot'(//(rz)H(fz))
4тг|г — г'|
I	-1 dt/ = f rotz[p(fz)S(fz)].gradz
J	|r — r |	47Г J	|r — r I
1 /niv'rot'Wr")5(f')b.'x / div'rot'Mf')W(f')] . ,
= J d,V---------------------dv + / --------57^----------d" 
Vee	VTO
Първият от последните два интеграла се преобразува по теоремата на
Гаус-Остроградски в интеграл по Soo, където подинтегралната функция
се анулира достатъчно бързо, така че интегралът е нула. Вторият ин-
теграл също е нула, тъй като по силата на (А.46) самата подинтегрална
функция е нула. Следователно (18.28) удовлетворяваи условието (18.26).
Накрая за доказване , че изразът (18.28) изпълнява и връзката (18.25),
трябва да се отчете, че съгласно (18.28) всяка от компонентите на маг-
нитния векторен потенциал се задава с интеграл от типа (2.23) и следо-
вателно удовлетворява уравнението на Поасон
(18.29)	ДА(г) = -rot[p(r)H(r)].
Тогава, като се използват (А.48) и (18.26), (18.29) може да се запише във
вида
(18.30)	rot[rot А — pH] = 0.
Тъй като според (18.24, б) и (А.46) е валидно и равенството
(18.31)	divfrot А — pH] = 0,
то от теоремата на Хелмхолц (А.76) следва, че наистина представянето
(18.28) удовлетворява (18.25).
В случайте, когато магнитната проницаемост на средата се изменя
слабо и може да се счита константа, уравнението (18.29) се опростява и
с помощта на (18.24, а) придобива вида
(18.32)	ДА(г) = -д(г)Г(г).
По такъв начин магнитният векторен потенциал се евързва директно с
източниците на полето — токовете. Тази връзка е аналог на (4.20), но
следва да се има предвид, че докато последната е общовалидна, (18.32)
може да се прилага само при направената по-горе уговорка относно по-
ведението на р(г).
За същия случай на слабо променящо се /х(г) изразът (18.28) (с оглед
на (18.24, а)) придобива вида
4т|г - г'| dv
(18.33)
244
Електромагнитни взаимодействия в непрскдснати среди
който дава възможност изразът
(18.34)
dA(f) =
4тг|г — r'l
да се интерпретира като векторен потенциал на полето в точка г, съз-
дадено от намиращия се в точка г' токов елемент dl(f') = {(f'jdv'. От
(18.33) с помощта на (18.25) може да се пресметне интензитетът dH(r) на
магнитното поле в точка г, създадено от същия токов елемент. При това
трябва да се отчете, че съгласно условието « ц(г') и тъй като dl(f')
при диференциране по г е константа, за dH се получава
(18.35)
dH(r) =
dl(r') х (f — г')
4тг|г — г'|3
Това равенство е диференциален израз за закона на Био-Савар в случая
на стационарно магнитно поле в непрекъснати среди. Формулата (18.35)
се използва често за пресмятане на магнитни полета.
ЕНЕРГИЯ НА СТАЦИОНАРНОТО МАГНИТНО ПОЛЕ
По определение енергията W на една система токове е равна на рабо-
тата на външните сили при препасяпе на всички токови елементи di от
безкрайност до точките, в които се намира всеки от тях. За разлика от
случая на полета във вакуум в присъствие на непрекъснати среди въп-
росът за намиране на енергията се усложнява от това, че при внасяне
на даден елемент di магнитното поле на последния предизвиква допълни-
телна магнитна поляризация на средата. С други думи, сега външните
сили трябва да извършват допълнителна работа за преориентиране на
налипните в средата магнитни диполи и за създаване на нови такива.
Както и в тема 7 обаче, в случая не може да не се отчете наличието на
електрично поле. Наистина променливото магнитно поле, което съпътс-
тва внасянето на един токов елемент от безкрайност, съгласно закона на
Фарадей поражда електрично поле и работата на електричните сили при
протичането на токовете е крайна величина (вж. тема 7). Следовател-
но при пресмятане енергията на магнитното поле следва да се използват
уравненията не на стационарного, а на променливото електромагнитно
поле.
Разглежданията може да започнат с общия случай на произволни сре-
ди, за които са в сила уравненията (16.18). Тъй като токовите елементи
се внасят безкрайно бавно, промените на полетата с времето са изобщо
бавни и затова (16.18, б) може да се опрости, като токът на отместване
dD	с
се пренебрегне. Така се получава
(18.36)	rot Н = I.
И така_нска обемни токове с плътност I създават магнитно поле с ин-
тензитет Н. Ако чрез внасяне от безкрайност на нови токови елементи
Стационарни полета 245
плътността на токовете се измени с 61, индукцията на полето те се изме-
ни с 6В, а енергията му — с 6Wm, като по определение 6Wm е равно на
работата на външните сили. От разглежданията при стационарно поле
във вакуум е известно, че общата работа на външните сили, приложени
върху самия токов елемент и осигуряващи както преместването му, та-
ка и протичането на постоянен ток в него, е нула, така че 6Wm ще бъде
равно само на работата на онези от външните сили, които поддържат без
промяна плътността на внесените вече токове. Наистина при внасянето
на новия токов елемент по закона на Фарадей се получава електрично по-
ле Е и силите, с които то действа върху токовете I, извършват за време
6t работа (вж. (7.4))
(18.37)
6Ае = 6t j I.Edv.
Voo
За да не се изменят токовете /, външните сили трябва да извършат ра-
бота точно — 6Ае, така че
6Wm = -6t
I.Edv.
С помощта на (16.18, а) и (18.36) токът I може да се изключи и изразът
за да се приведе във вида
6Wm = -6t
£?.rot Hdv = 6t
=6t
j div(E x H)dv — 6t j H.rot Edv =
Voo
f Гг & в J
H.-^—dv.
s.
Интегралът no Soo e пула, защото при ограничени в пространството из-
точници Е и II клонят в безкрайност към нула поне като 1/г2. Освен
О В —
това във вторил интеграл 6t-g- = 6В представлява точно промяната на
магнитната индукция на полето, предизвикана от новите токови елементи.
Така се получава, че
6Wm = J
V'oo
H.6Bdv.
Тъй като енергията на полето Wm е сума от всички 6Wm, започвайки
от началното положение, при което всички токови елементи са още в безк-
райност и В = 0, и свършвайки с крайното състояние, в което индукцията
на полето е В, то символично
Wm =	H(r).6B(r)]dv.
о Voo
(18.38)
246
Електромагнитни взаимодействия в непрек8снати среди
По-нататъшна конкретизация на този израз (например изразяване на
Wm чрез източниците Z(f) на полето и свойствата на средата) е невъз-
можна без определени предположения за свойствата на средата. Ако раз-
глежданията се ограничат отново с частния случай на линейни изотропии
среди, за които връзката между В и Н е (17.16), то
(18.39) Ь(Н.В) = 6(^Я2) =	- 2рН.6Н = 2Н.6В
и интегрирането по 6В в (18.38) може да се проведе, като резултатът е
(18.40)
цл — 1
т ~ 2 J
v.
B(r).H(r)dv = - / p.(r)H2(r)dv.
£ J
Voo
Последните две формули позволяват величината
(18.41)
да се тълкува като обемна плътност на енергията на стационарното маг-
нитно поле. Тъй като съгласно (18.25)
В — рсН = rot А,
от (18.40) Wm може да се изрази чрез А и източниците на полето —
токовете I. Наистина от (18.40) се получава
Wm = 1 [ B.Hdv =
•/
Voo
х / Н.rot Adv
2 J
Voo
/ div(A x H)dv 4-	/ A.rotHdv.
ЛЛ J	£ I
Както обикновено, първият от тези интеграли е нула, а във втория съг-
ласно (18.36) rot Я може да се замени с I, така че окончателно
(18.42)
Wm
= | / A(r).f(r)dv.
/
Voo
По форма този израз съвпада със (7.15), но трябва да се държи сметка
за факта, че, първо, (7.15) е общовалидна формула, докато (18.42) мо-
же да се използва само за линейни изотропии среди, и второ, сега Л(г)
удовлетворява ново уравнение — (18.32), което посредством ц(г) отчита
конкретните свойства на средата.
МАГНИТНИ ИНДУКЦИОННИ КОЕФИЦИЕНТИ
В практически важните случаи, когато по една съвкупност от проводници
Vi(i =1, 2,..., N) текат постоянни токове J,, на формулата (18.42) може
да се придаде вид, в който Wm е изразена чрез токовете. Наистина, тъй
като извъп проводниците /(f) = 0, интегралът (18.42) се разпада на сума
от N интеграла по всеки един от проводниците:
1 N Г
1 = 1 V,
(18.43)
Стационарни полета 247
(г, е радиус-вектор на точка от Ц). По аналогичен начин от (18.33) по-
тенциалът в точка г, в случая се дава с израза
(18.44)
Ж)Д^)
л!-’	।
4тг|г,- - rjfcl
Заместването на (18.44) в (18.43) води до израза
(18.45)
Wm
^{fk)i{fi)T(fk)
47г|г1 - п|
dvidvk.
Тъй като поначало формулата (18.44) е валидна само при условие, че
р = const, то р може да се изнесе пред интегралите. Освен това, когато
проводниците са линейни (вж. фиг. 18.1), плътността на тока във всеки
от тях може да се изрази чрез съответната големина чрез връзката (срв.
с (18.12))
/(Й) = /'(й)Г(й) = ^Г(й),
където s, е площта на сечението на г-тия проводник в точка г», а Дп) —
единичният вектор, тангенциален към кривата Li, минаваща по оста на
проводника. Последното представяне за Дп) позволява на израза (18.45)
за енергията на полето да се придаде видът
1 N
(18.46)	И'» = 5 Е LikJiJk,
. i,k=l
където величините
(18.47)	Цк = ±Н	М
47Г J J SiSfcln - г* I
V, vk
представляват т.нар. магнитни индукционни коефициенти. Те не зави-
сят от токовете и полето, а се определят единствено от формата, разме-
рите и взаимното разположение на проводниците, както и от свойствата
на заобикалящата ги среда. Величината
(18.48)	Li = La
се нарича индуктивност или коефициент на самоиндукция на г-тия про-
водник, а величината Lik(i / к) — коефициент на взаимна индукция
между г-тия и &-тия проводник.
Па формула (18.47) за случая на коефициенти на взаимна индукция
може да се придаде и по-удобен за пресмятане вид. Наистина при г к
знаменателят й не се анулира при интегрирането. Ако обемните елементи
се представят във вида
dvi = |</st||dn| и dvk = Idsfclldfjfcl,
248 Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
където \dr\;| и \drk| са големините на линейните елементи на кривите Li и
Lk съответно, а </«, и dsk — лицевите елементи на сеченилта st- и sk, то
обемните интеграли в (18.47) могат да се представят като
(18.49)	Lik = А [ Г » / [
4тг J J SiSk J J |rf - rfc|
L i Lj k	& i & k
При интегрирането no s, и sk както посоките t(r}) и t(ffc), така и разсто-
янията |п — п| могат да се считат постоянни и да излязат пред повърх-
нинните интеграли (именно затова е необходимо условието i / kl). При
това положение двата повърхнинни интеграла дават просто s,- и sk, като
тези множители се съкращават със съответните величини в знаменателя
на (18.49). Освен това, като се отчете, че
Г(п)|(/п| = dr{ и f(ri)|dr*| = drk
са точно линейните елементи от кривите L, и Lk, се получава
(18.50)	=
4тг J J |г,- - rfc|
L, Lk
Следователно пресмятането на коефициентите на взаимна индукция се
свежда до пресмятане на двукратни криволинейни интеграли.
Намирането на коефициентите на самоиндукция е по-сложен въпрос,
който обикновено се решава косвено: първо се търси енергията на маг-
нитното поле, създадено от ток по дадения проводник, и тогава чрез срав-
няване с формулата (18.46), която за N = 1 има вида
(18.51)	Wm=X-LJ2,
Л
се определя коефициентът на самоиндукция на проводника. Такъв подход
е възможен, защото от (18.47) се вижда, че (при i = к) коефициентът на
самоиндукция на един проводник не зависи от наличието на други про-
водници в пространството. От същата формула се вижда, че подобно
твърдение е валидно и за коефициентите на взаимна индукция — Lik за-
виси само от големината, формата и взаимного разположение на г-тия и
fc-тия проводник и не зависи от това, дали има или не други проводници
в околното пространство.
Съгласно (18.41) енергията на магнитното поле е положителна вели-
чина. Оттук следват някои свойства на магнитните индукционни коефи-
циенти. Така например, щом Wm > 0 от (18.51) следва
(18.52)	Li>Q,
т.е. индуктивностите на проводниците са положителни величини.
Формула (18.50) показва, че знакът на коефициента на взаимна индук-
ция между два проводника зависи от тяхната ориентация — при смяна
на ориентацията на един от тях знакът на Lik също се сменя. Освен това
същата формула показва, че Llk = Lki1 т.е. коефициентите на взаимна
индукция са симетрични по отношение на размяната на индексите i и k.
Стационарни полета
249
От гореказаното за знака на Wm следва, че когато полето се създава
от токове Ji и Jk, течащи само по два от линейните проводници, то (вж.
(18.46))
Wm =	+ U4Jt2 + LikJ.Jk > о
и
при произволни Ji и Jk. Следователно квадратното уравнение
Ь<(т-)г + 2££4(А)+£к = 0
Jk	Jk
няма реални корени, което означава, че дискриминантата му е отрица-
телна:
(18.53)
LiLk > J>ik-
Неравенство (18.53) изразява друго важно свойство на магнитните ин-
дукционни коефициенти: квадратът на коефициента на взаимна индукция
между два проводника не може да надмине произведението от техните
индуктивности.
С помощта на магнитните индукционни коефициенти може удобно да се
пресмятат и потоните на магнитната индукция. Наистина, ако S е повър-
хнина с контур L, потокът Ф на магнитната индукция през S с помощта
на теоремата на Стокс (А.74) може да се представи във вида
Ф =
s
B.ds = j nH.ds = J rot A.ds =
s	s
j) A.dr.
L
Нека сега L e не произволна затворена крива, а точно затворен лине-
ен проводник Li от една многосвързана система линейни проводници, по
които текат постоянни токове 7,- Тогава формулата за потока Ф1 на маг-
нитното поле, заградено от Li, има вида
Ф,

Ако тук А(г\) се замести от (18.44) и се направят преобразования, подоб-
ии на тези при получаване на (18.49), резултатът е
Ф,
=е//
k=1L, vk
n(fk)I{fk).dfj
4тг|п- - fk |
dvk
t(ri).t(rk)
-----р----—.dvi dvk.
SiSk rf - г*
Съгласно (18.47) полученият интеграл e точно Lik, така че
(18.54)
N
Ф1 — LjkJk,
к=1
Те- потокът на магнитната индукция през затворен проводник е линейна
хомогенна функция на големините на токовете, като коефициенти в линей-
№та комбинация са точно магнитните индукционни коефициенти Lik 
250 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Чрез комбиниране на (18.46) и (18.54) може да се получи и друг израз
за енергията на магнитно поле, създадено от постоянни токове по линейни
проводници:
Фиг. 18.2
(18.55)	Ц/т = 1£лФ(.
2 »=1
Оттук за енергията на полето на един проводник следва
(18.56)	Wm = iiJ1 2 = Ьф,
At	At
където L е индуктивността на проводника, а Ф — заграденият от него
магнитен индукционен поток.
Пример. Да се пресметнат електричното и магнитното поле за случая
на постоянен ток J, който тече по хомогенен безкраен кръгов цилиндричен
проводник с радиус а и проводимост а.
Геометрията на задачата подсказ-
ва, че удобна за решаването й е ци-
линдрична координатна система с ос,
съвпадаща с оста на проводника, и с
начало в произволна точка от пос-
ледната (фиг. 18.2). Поради цилин-
дричната симетрия потенциалът на
електричното поле няма да зависи от
азимуталния ъгъл <р, т.е. U — U(p,z).
Тъй като обемни заряди няма, от
(18.10, а и б) следва, че като се из-
ключи повърхнината на проводника,
във всички други точки U удовлет-
ворява уравнението на Лаплас, т.е.
(вж. (А.62))
1 д , dU.	d2U	л
р др др	dz2
Чрез полагането
с; (р, г) = вдад
променливите в него се разделят, като за неизвестните функции R и Z се
получават уравненията
1 d , dR. _ 1 d2Z
pR dp^P dz ~ Z dz2 ~ '
При A > 0 потенциалът U би бил експоненциална функция на z. Това
dU
обаче не е възможно, тъй като поради Ег = —и 1г = аЕг и токът би
dz
зависел експоненциално от z, докато по условие той е постоянен и следо-
вателно еднакъв през всяко сечение на проводника. По подобен начин се
елиминира и възможността А < 0. Следователно единствената възмож-
ност е А = 0. В този случай R и Z удовлетворяват уравненията (2.47) и
Стационарни полета
251
(В Z
-—-5- = 0, чиито общи решения са от вида (2.48) и Z = Cz 4- D. Тъй като
dz*
повърхнината на проводника, която принадлежи на S*, разделя прост-
ранството на две несвързани части, във всяка
описва с функция от вида
от тях потенциалът
ще се
U' = (Л‘ In р 4-В’)(С’г 4-D1),
Ue = (Ле In р 4-Be)(Cez 4-Ве),
pda.
Тъй като в изразите за [/’ и 77е участват само произведения от
ределените константи, т.е. от значение са не самите те, а техните
шения, без ограничение на общността може да се приеме С* = С
Освен това непрекъснатостта на [/* върху оста на цилиндъра (т.е. при
р = 0) налага условието А* = 0. Накрал чрез подходяща транслация на
координатното начало по оста Oz може да се постигне анулирането и на
свободния член D', така че остава U' = B'z. Константата В1 може да се
определи чрез големината на протичащия по проводника ток. Наистина,
ако S е произволно негово сечение, то
неоп-
отно-
I.ds =
/г dUx
grad Ul.ds = —а I ——Idsl = —аВ’тга2.
J oz
s	S
Така за потенциала и
чава
интензитета на полето
вътре в проводника се полу-
(18.57)
U' =-----г,
тга*а
= 0,
полето е хомогенно ,
успоредни
силови-
на оста
т.е.
те му линии
на проводника, а еквипотенциалните
повърхнини са еквидистантни и пер-
пендикулярни на оста (фиг. 18.3).
Условието за непрекъснатост на
потенциала върху повърхнината на
проводника (т.е. при р = а) и за вся-
ко z дава връзките
De = 0 и
Ле1па + Ве = В*.
= 0 не може да се
наличието на токо-
Z
7га2а
Фиг. 18.3
Условието
наложи поради
ве в безкрайност. Очевидно, ако ци-
линдърът е единствен проводник, по-
лето не може да бъде стационарно,
тъй като в безкрайност биха се нат-
рупвали заряди. Без да се наруша-
ва цилиндричната симетрия, стаци-
онарност може да се осигури чрез втори безкраен цилиндър —
коаксиален с дадения, като при z = —00 и z = 00 двата цилиндъра са
свързани с проводящи дискове, перпендикулярни на оста на симетрия,
кух и
s
р ~ <р
(18.58)
252 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
през които се затварят токовите линии (фиг. 18.3). Ако b е вътрешния
радиус на кухия цилиндър, вместо Ue = оо може да се наложи условието
Ue(b) = 0, т.е. (Aeln6 + Be)z = О,
от което следва
Ве = - Ае In Ь.
Това уравнение заедно с уравнението, което свързва Ае и Ве с В1, опре-
деля стойностите на последните неизвестни константи. Окончателно за
интензитета на електричното поле и потенциала му извън проводника се
получават изразите
J 1п(р/Ь)
7га2<т г 1п(а/6) ’
J z_	Ее _ J ^Р/Ь)
7га2сг 1п(а/6) р'	г 7га2а 1п(а/6)
Идея за вида на еквипотенциалните повърхнини и на силовите линии може
да се получи от фиг. 18.3. Вижда се, че извън проводника електричното
поле има различии от нула както радиална, така и аксиална компонента.
След като задачата е решена, с помощта на граничното условие (18.10, а)
може да се пресметне и повърхнинната плътност на зарядите върху по-
върхнината на проводника. Ако £ е диелектричната проницаемост на сре-
дата извън проводника, от (18.10, а) и (18.58) следва (при р = а!)
ч ,dU'\	J
h(z) = — £( ——) _ =  =——777 Z.
v dp t-a 7га3сг 1п(а/6)
Следователно върху повърхнината на проводника се натрупват повърх-
нинни заряди — в случая именно те са източниците на електричното поле
както вътре, така и вън от проводника.
И така при протичане на постоянни токове електрично поле има както
вътре, така и вън от проводниците, но тъй като то е относително слабо,
обикновено не предизвиква забележими ефекти в диелектриците (в про-
водника предизвиква протичане на ток).
Накрал трябва да се отбележи, че от I = аЕ и (18.57) следва, че по
всички точки от едно напречно сечение на проводника плътността на тока
е една и съща:
(18.59)
факт, който не е отнапред очевиден.
Тъй като радиалната (/р) и азимуталната (/^) компонентата на плът-
ността на тока са нула, ако А1 и Ае са потенциалите на магнитното поле
съответно вътре и вън от проводника, то съгласно (18.33)
Л'г = A‘v = А‘ = A’v = 0.
Аксиалната компонента Аг се определя от (18.32), като се отчете, че по-
ради цилиндричната симетрия тя зависи от мястото само посредством р
253
Стационарни полета
и тогава според (А.62)
1 d , dA\ч	J
р dp dp	7га2
1 d , dAe. ч
~РТР^ =°
Общите решения на тези уравнения са
= -р-^р2 4- a* In р 4- ?,
4тгсг
за р а,
за р а.
Аег =ае1пр + (Зе,
където а’, /?*, ае и /?е са засега неопределени константи.
От непрекъснатостта на А', при р = 0 следва а1 = 0. Ако вместо усло-
вието А®(оо) = 0, което тук е неприложимо, се наложи условието потен-
циалът да се анулира върху повърхнината на проводника, т.е. А* (а) =
4®(а) = 0, се получава
А’ = ^2 (а2 “ Р2)> А* = ае 1п(р/а).
Граничното условие (18.24, в), приложено за повърхнината на цилин-
дъра, заедно с връзката (18.25) (при предположение, че магнитната про-
ницаемост на проводника не е съществено различна от тази на средата
извън пего), води до равенството
rott(A‘ — Ае) = 0,
от което се определя последната константа ае. Тъй като А^ и Ав са
тъждествено нула както вън, така и вътре в цилиндъра, за го!г(А’ — Ае)
това условие е автоматически изпълнено. За да може то да се приложи
за rotM>(A‘ — Ае), трябва да се вземе предвид, че в цилиндрични коорди-
нати компонентите на rot А се задават с (А.61). Приложени за случая,
формулите (А.61) водят до равенството
А(Л‘- Л;) - А(Л< - Л,*) = О при Р = а,
е
откъдето следва ае = — —.
2тг
След като потенциалът е определен, от (18.25) и (А.61) за компонен-
тите на интензитета на магнитното поле се получават изразите
Н>°’ Н*=2^Р’ Н’=°' ” =
(18.60)	j
е	* 2irp
Следователно и вън, и вътре в проводника магнитното поле е азиму-
тално, като вътре интензитетът му расте линейно с увеличаване разстоя-
нието до оста на проводника, а вън — намалява обратнопропорционално
на това разстояние.
19
СТАТИЧНИ ПОЛЕТА
УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ
По определение електр о статично се нарича полето на неподвижни заряди.
Неговите уравнения се получават, като към уравненията на стационарно-
то електрично поле (18.7) вместо условието за стационарност (18.1) се
добави по-силното изискване 1 = 0. Така от (18.1), (18.7) и (18.10) се
получава, че интензитетът и потенциалът на електростатичното поле в
непрекъснати среди удовлетворяват следните диференциални уравнения
и гранични условия:
(19.1,а)
(19.1,6)
(19.1,в)
(19.2,а)
(19.2,6)
(19.2,в)
(19.2,г)
divfE = fc(r), г eV, е" Е” — с'Е'п = h(f), f е S*,
divE = 0, r eV, Е” — Е[ = 0, r e S*,
a(E + £*) = 0, reV\
div egrad U = — k(r), re V*,
r-6s.,
a(grad U — E*) = 0,
u"-u' = n, res*,
Uoo = o, re Soo.
Очевидно електростатичното поле e частей случай на стационарно по-
ле. Поради това редица общи свойства на стационарното електрично
поле са налице и сега. В частност в хомогенните проводници отново няма
некомпенсирани електрични заряди.
Специфични за електростатичното поле свойства се получават от (19.1)
и (19.2). Така например от (19.1, в) за хомогенни проводници (т.е. при
а ф 0 и Е* = 0) следва
(19.3)	Дг) = 0,
т.е. второ важно свойство на електростатичното поле е, че вътре в хомо-
генните проводници интензитетът на полето е нула. За същия случай от
(19.2, 6) се получава grad U = 0 и оттук третото свойство на полето
(19.4)	t/(f) = const,
254
Статични полета
255
т.е. вътре в проводниците потенциалът е константа. И понеже той е неп-
рекъсната функция на мястото (вж. (19.2, в)), същата константна стой-
ност ще има и върху повърхнината на дадения проводник. Това дава
възможност да се говори за потенциал на проводника изобщо, без да е
необходимо да се указва потенциалът на коя точка се има предвид. С
други думи, от локална потенциалът се превръща в глобална характе-
ристика на всеки изолиран проводник.
Четвърто свойство на полето се получава от граничното условие (19.1,
б). Тъй като вътре в проводника Ё = 0, то и тангенциалната компонента
E't от вътрешната страна на повърхнината на проводника е нула. Тогава
от (19.1, б) следва, че и Е” = 0. Това означава, че от външната страна на
проводника различна от нула може да бъде само нормалната компонента
Е” на интензитета. С други думи, силовите линии на електростатичното
поле започват или завършват винаги перпендикулярно на повърхнините
на проводниците.
Следва да се има предвид, че изброените четири свойства са нали-
це независимо от това, дали общият заряд на разглеждания проводник е
нула или не.
Тъй като от (19.3) следва и Е'п = 0, от граничното условие (19.1,
а) за повърхнинната плътност на зарядите върху един проводник следва
изразът:
dU”
(19.5)	h = e"E>' = _£"™
On
Следователно общият заряд q на проводника е
s	s	s
където S е повърхността на проводника. Понеже еЕ = D е точно елект-
ричната индукция на полето, последната формула може да се запише още
и във вида
s	s
който показва, че зарядът на проводника е равен на броя на електричните
индукционни линии, които излизат от него (интегралът в дясната страна
на (19.7) представлява точно потокът на D през повърхнината S).
Важно значение има свойството на проводниците да екранират загра-
деното от тях пространство от действието на външни електрични полета.
По-конкретно, ако V е една изпълнена с диелектрик облает, заградена
от кухия хомогенен проводник Vb> и ако в диелектрика няма заряди, по-
лето в него е нула независимо от това, какво поле съществува извън Vo
(фиг. 19.1). Наистина при k = 0 от (19.2, а) и теоремата на Гаус —
Остроградски (А.69) се получава
У	У dU”
(19.8)	0= / divegrad Udv =— <v |</s|.
v	s
256
Електромагнитни взаимодействия в непреквспати среди
Фиг. 19.1
Освен това (19.4) гарантира, че по-
тенциалът върху вътрешната повър-
хнина S на проводника е константа,
т.е.
(19.9) U' = U" = C.
Тогава интегралът на Дирихле, прес-
метнат върху V с помощта на (19.8)
и (19.9), е
у egrad2t/dv = j [£grad2{7 + t/divegrad U]dv
v	v
f	f dU"	f dU"
= / div (et/grad U)dv = d>U,,€,,^-\ds\ = C <ke,,^-\ds\ = O.
J	J On	J ОП
V	s	s
Тъй като e > 0, резултатът показва, че grad2(7 = 0 и следователно grad U =
0, т.е. наистина вътре във V поле няма.
По подобен начин може да се докаже и по-общото твърдение, че ако
във V има некомпенсирани заряди, полето им във V не зависи от разпре-
делението на зарядите извън V'o- Също така може да се докаже, че когато
полето се създава от заряди в кухината, извън проводника поле има, т.е.
външното пространство не е екранирано от проводника, но все пак там
полето не зависи от конкретното разпределение на зарядите в кухината,
а само от общия заряд. С други думи, св.ойството на кухите проводници
да екранират електростатичните полета не е симетрично по отношение на
вътрешната и външната част на пространството. Твърдението, което е
симетрично по отношение на тези две части, е: размествансто па заря-
ди от едната страна па проводника не влияе вврху полето от другата му
страна.
Задачите за намиране на електростатичното поле в присъствие на про-
водници, сравнени със съответните задачи за полета във вакуум, прите-
жават следната особеност. Съгласно (19.1) или (19.2) полето е определе-
но, ако са зададени плътностите к и Л. В диелектриците и по границите
им тези функции може да се считат известии. В проводниците обемни
заряди няма, но повърхнинната плътност h върху тях най-често е също
неизвестна, тъй като по сложен начин зависи от самото поле (явлението
електростатична индукция). Обикновено се знае не локалната характе-
ристика /г(г), а една от глобалните характеристики — общият заряд на
проводника или неговият потенциал. Тази особеност налага необходи-
мостта да се докаже теорема за единственост, т.е., че уравненията на
полето определят неговия потенциал, когато се знае разпределението на-
некомпенсираните заряди в диелектриците (&(г), 7г(г)) и общият заряд щ
на всеки изолиран проводник (или неговият потенциал Ui).
Нека |/0* и SJJ са онези части на V* и S*, които лежат в диелектриците,
a Vi и Si са проводниците и техните повърхнини. Както обикновено при
подобии доказателства се допуска, че уравненията (19.2) притежават две
решения t7i(r) и ?7г(О- Това допускане дава възможност да. се запишат
връзките
Статични полета
257
(19.10,а)	div Egrad U[ = — fc,
(19.10,6)	gradUi = 0,
(19.10,в)	t/f - u[ = 0,
	„ dUV	. dU[
(19.10,г)	e A	5 A “ on	dn
(19.10,д)	U loo = 0,
div Egrad t/2 =-fc, ’T€V0‘,
grad U2 = 0, rE Vi,
u^-u^ = q, fes*,
rz,<W дЩ
дп
л = ~h'
on
re So,
U200 — 0, г G So© •
Освен това съгласно (19.6) зарядът qi на г-тия проводник може да се
изрази както чрез (7i(r), така и чрез (Z2(f):
(19.11)
s,
s,
Затова, ако u(f) = t/i(r) — U2(f) е разликата между двете предполагаеми
решения, тя удовлетворява връзките
(19.12,а)
(19.12,6)
(19.12,в)
(19.12,г)
(19.12,д)
(19.12,е)
div sgrad и = 0,
grad и = 0,
и" - и' = 0,
£„^_£,*/=0
дп дп
Доо — 0,
5,
re v0\
fe V,
fes*,
re So*,
r G Soo,
г = 1,2,
За уравненията (19.12, а и г) не може да се твърди, че са изпълнени във
Vi и по St, защото. двете полета Ui и U2 може да се получават при различ-
ии разпределения на зарядите върху проводниците (макар и при еднакъв
общ за ряд).
От (19.12, б) следва, че във всеки проводник Ц е изпълнено
(19.13)	u(f) = с,, г е Vi и f G S,.
Тъй като повърхността на Vo* се състои от безкрайната сфера Soo от лице-
вата и опаката страна на Sq и от лицевите страни на повърхнините S, на
проводниците, за интеграла на Дирихле, пресметнат по Vo*, се получава
От условията (19.12, д, в, г и е) и от (19.13) следва, че всеки един от по-
л,Учените интеграли е нула. Тъй като подинтегралната функция в лявата
258
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
страна е неотрицателна, от нулевата стойност на целил интеграл следва
grad2u = 0, т.е.
grad u(r) = 0.
Следователно u(r) = const не само в проводниците, но и в диелектриците и
понеже u(r) е непрекъсната функция, тази константа трябва да бъде една
и съща в цялото пространство. Тъй като в безкрайност стойността й е
нула (вж.(19.12, д)), следва u(r) = 0, т.е. t/i(f) = U-^r) и уравненията на
полето наистина имат единствен© решение.
По подобен начин може да се докаже, че уравненията на полето имат
единствено решение и когато вместо зарядите са зададени потенциалите
на проводниците.
ЕНЕРГИЯ НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ
От тема 3 е известно, че полето на неподвижни обемни заряди във вакуум
притежава енергия (вж.(3.19))
(19.14)	We = | [ k(r)U(r)dv.
Л» /
V
Че същата формула не бива да се използва автоматично и в случая на
поле в материални среди, е очевидно от съображения, подобии на изка-
заните в тема 18 при разглеждане на въпроса за енергията на стацио-
нарно магнитно поле. Наистина при получаване на (3.19) бе пресмятана
работата на външните сили при пренасяне на всеки зарядов елемент от
безкрайност до съответната точка на полето. При това при внасяне на
даден заряд външните сили извършват работа за преодоляване на елект-
ричната сила, с която му действат всички заряди, които вече се намират
по местата си.
Присъствието на диелектрици и проводници променя нещата, защото
при внасянето на даден зарядов елемент от безкрайност външните сили
вършат работа не само срещу електричните сили. При внасяне на новия
заряд неговото поле предизвиква допълнителна поляризация на диелек-
триците — следователно външните сили трябва да извършат допълни-
телна работа за раздалечаване на свързаните заряди на всеки дипол или
да преориентират допълнителпо налипните диполи. Освен това внасяният
зарядов елемент поради електростатичната индукция размества допълни-
телно свободните заряди върху проводниците — още един процес, който
поглъща част от работата на външните сили. И доколкото енергия We на
системата се нарича общата работа на външните сили при създаването
й, очевидно е, че изразът (19.14), в който посочените току-що два вида
работа не са отчетени, не може да се използва направо, без допълнителни
разглеждания.
Както и в аналогичния случай от тема 18, и тук при намиране на израз
за We временно се изоставя предположението за линейност на средата и
се използват общите уравнения (16.18) на полето. Нека полето се създава
от обемни заряди, чиято плътност k(r) е непрекъсната функция на мяс-
тото (несъществено опростяване, което освобождава от необходимостта
Статична полета 259
да се отчитат граничните условия). Работата bWe на външните сили при
една безкрайно малка промяна 6 к (г) на тази плътност (т.е. при внасяне
на някакъв малък заряд) съгласно (3.13) е
(19.15)	6We = у 6k(r)U(f)dv.
V»
Предвид (16.18, в) и факта, че77оо = 0, за bWe се получава още
bWe =
К
(76(div D)dv = J Udiv(6D)dv = J [div (U6D) - 6D • grad U]dv
V	v
r oo	* oo
Soo
j Ё  6Ddv,
Vaa
т.е.
(19.16)
6We = / Ё-SDdv,
където 6D е промяната на индукцията, предизвикана от промяната йк(г)
на плътността на зарядите.
Пълната работа на външните сили, т.е. енергията на полето, се на-
мира чрез интегриране на (19.16) по D от началната му стойност, когато
всички зарядови елементи са още в безкрайност (т.е. D = 0), до оконча-
телната стойност на електричната индукция, която се установява, когато
всички заряди са вече по местата си, или символично
б
We =
Ё  bD dv.
0 Voo
Това e най-общият израз за енергията на електростатичното поле.
Както бе отбелязано в тема 16 обаче, системата (16.18) не определя Е и
D, без да се направят конкретни предположения за свойствата на среда-
та. Затова и тук, както при стационарното магнитно поле, връзка между
енергията и характеристиките на полето може да се получи за частния
случай на линейни среди, в който е валидно съотношението (17.8). В
този случай
(19.17)
6(Ё  D) = 6(еЕ2) = 2еЁ -6Ё = 2Ё- 6D,
т.е.
(19.18)	Ё-ЬЁ = ^-Ь(Е • D).
Сега вече интегрирането по D в (19.17) може да се проведе:
б
[ «(£D)]d« = l
/	Л
о
IV. = 1
2 „
V,
Ё • Ddv.
260
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
Следователно в линейни изотропии среди енергията на електричното
поле е
(19.19)
Ё • Ddv.
Този вид на формулата показва, че величината
(19.20)
w.(r) = 1-Ё(г)  D(r) =
може да се интерпретира като плътност на електростатичната енергия,
т.е. като количество енергия на полето в единица обем. Тъй като we О,
общата енергия на полето е винаги положителна.
От (19.19) We може да се изрази чрез плътността на зарядите и по-
тенциала на полето. Наистина чрез (16.18, в), (А.69) и условието Uqo =0
се получава
Този израз формално съвпада с (19.14), който дава енергията на полето
на заряди във вакуум. Сега обаче е ясно при какви условия формула
(19.14) може да се използва и при непрекъснати среди — необходимо е
средите да бъдат линейни и изотропии, а под k(f) да се разбира плът-
ността на некомпенсираните обемни заряди. (Всъщност изискването за
изотропност не е съществено — в случая на неизотропна среда просто е
следва да се замени със съответния тензор на диелектричната проницае-
мост.)
В случайте на производни среди връзката между W, к и U може да бъ-
де значително по-сложна и дори в някои случаи — нееднозначна (когато
например средата проявява своего рода хистерезис, т.е. поляризацията
й зависи от предходните по време състояния на системата).
СВОЙСТВА НА ПОЛЕТО НА СИСТЕМА ЗАРЕДЕНИ
ПРОВОДНИЦИ
Обсъжданите в началото на тази тема четири свойства на електроста-
тичното поле са общовалидни. Практически важни са случайте, когато
полето се създава от заряди <?,, разположени върху повърхнините Si на
система от N изолирани помежду си хомогенпи проводника (фиг. 19.2), ка-
то в изпълненото с диелектрици пространство между тях некомпенсирани
заряди няма. Тези допълнителни ограничения водят до поява на нови
свойства, които обикновено се формулират във вид на теореми, полезни
при решаването на редица практически задачи. С цел опростяване, при
разглеждането на тези нови свойства, електричната пропицаемост на сре-
Статпични полета
261
дата е(т) се счита непрекъсната фун-
кция на мястото. Случайте, в кои-
то има повърхнини, върху които e(f)
търпи скок, могат да се третират с
помощта на граничните условия.
а)	Съотношевие на Грин за вза-
имност. Нека U(г) е потенциалът на
полето, създадено, когато плътност-
та на зарядите върху проводниците
е /i(r)(f € St), a U'(r) — потенциа-
лът, когато плътността на зарядите
е h'(r). (Ив двата случая взаимното
разположение на проводниците е ед-
но и също!) Тъй като в пространството
няма, от (19.2, а) при к = 0 следва
Фиг. 19.2
V извън проводниците заряди
[Udiv tgrad U' — [/'div egrad U]dv = 0.
v
Чрез добавяне и изваждане на egrad U grad U' към подинтегралната функ-
ция последната може да се представи във вида div [etZgrad U' — ei/'grad U],
който позволява прилагане теоремата на Гаус — Остроградски (А.69).
Тъй като полученият интеграл върху Soo е нула, остава само сума от
интеграли по повърхнините Si на проводниците
Ако Ui и U[ са константните стойности, които [/(f) и [/'(^приемат вър-
ху St, като се отчете (19.6), от последното равенство се получава
(19.21)
N	N
»=1	1=1
където с qi и q[ са означени зарядите на проводниците в двата случая.
Полученото равенство (19.21) се нарича съотношение на Грин за
взаимност.
б)	Теорема на Томсън. Теоремата на Томсън гласи, че върху по-
върхнините на проводниците зарядите се разполагат така, че енергията на
създаденото електрично поле да бъде минимална.
За доказване на теоремата се разглеждат две състояния. Първото от
тях е онова, което се реализира в действителност. Нека /i(f), Е(г) и We
означават съответно повърхнинната плътност на зарядите върху провод-
ниците, интензитета на полето и неговата енергия. Второто състояние се
получава от първото чрез разместване на зарядите по проводниците, но
така, че общият заряд на всеки проводник да не се промени. При това
условие, ако hi(r), Ei(r) и Wei са характеристиките на нового състояние,
262 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
то заради (19.5)
(19.22)
Тъй като вътре в проводниците интензитетът на реалното поле е нула
(вж.(19.3)), за разликата IVei — We се получава
където V е пространството извън проводниците. Тук сумата от интегра-
лите по Vi отчита, че в съответствие с цитираната на с. 256 теорема за
единственост, Е = 0 в проводниците само при реалното разпределение на
зарядите върху тях.
По-нататък разликата от енергиите може да се представи, както след-
ва:
Wel - lVe = i 2 J e^idv + |	“ ty2dv + / E)dv.
» = 1y.	V	V
Тъй като Ё — —gradt/, чрез изваждане на израза t/div[e(Ei — £)] (който
е нула, тъй като по условие и в двата случая обемни заряди в диелек-
триците няма — в (19.1, a) k = G) подинтегралната функция на вторил
интеграл се привежда във вида div [Ue(Ei — /?)]. Това дава възможност
да се приложи теоремата на Гаус — Остроградски (А.69) и тогава, като
се отчете, че U = Ui = const върху Si, с помощта на (19.2, г) и (19.22) за
самия интеграл следва
У Ё • е( Д - E)dv = - / div [[/e(Ei - E)]dv
V	V
j> Ue(Eni - £n)|ds| - £ / Ue(En, - £n)|ds1 = 0.
Soo	1 = 1 S,
По такъв начин, ако Ei / Е, то
(19.23)
IVei - We = 1 [ е(Ё, - E)~dv + 1
£ J	z
V
Резултатът показва, че наистина при реалното разпределение на за-
рядите върху проводниците енергията на полето е минимална.
По подобен начин се доказва и твърдеиието, че внасянето на незареден
проводник в полето на система от заредени проводници винаги води до
намаляване на енергията на полето. Наистина нека So е повърхнината на
незаредения проводник, a Vo — заетата от него част от пространството.
Статична полета 263
Ако Е(г) и We са интензитетът и енергията на полето преди внасяне на
проводника, а Е\(г) и Wei — след това, то
We - Wtl = I [ e&dv - 1 [
J	J
V	V-Vo
eE2dv = I eE2dv 4-	/
At J	At J
Vo	V-Vo
e(E2 - Ef)dv.
Че вторият интеграл e неотрицателен, се доказва по същия начин, който
бе използван по-горе при доказателството на теоремата на Томсън, като
в хода на доказателството следва да се отчете, че за незаредения провод-
ник интегралът от типа (19.22) е нула. И тъй като и първият интеграл
е положителен, то наистина
(19.24)
We > Wel,
т.е. въпреки че при внасянето по повърхността на незаредения провод-
ник се индуцират заряди, общата промяна на полето е такава, че неговата
енергия наистина намалява.
в)	Теорема на Ирншоу. Теоремата на Ирншоу гласи, че само под
действие на електростатични сили точков заряд не може да се намира в
устойчиво равновесие в диелектрика.
Доказателството се извършва чрез допускане на противното: нека в
определено място точковият заряд се намира в устойчиво равновесие.
Тогава там неговата енергия et/(f) е минимална, т.е. потенциалът на по-
лето в тази точка има минимум. Последният факт означава, че grad U = О
d2U	d2U	d2U
и освен това о > О, Q „ > 0 -т—г- > 0. Но от (19.2, а) следва, че при
ох*	оу*	oz*
к - О
div egrad U = eAU + grad s • grad U = eAU = 0, т.е.
d2U d2U d2U _
dx2 + dy2 + dz2 ~
И тъй като сумата на три положителни величини не може да бъде нула,
допускането за наличие на минимум на U(f) доведе до противоречие с
уравнението на полето.
По аналогичен начин се показва, че потенциалът не може да има и
максимум в диелектриците.
И така, когато полето се сзздава от заре дени проводница, екстремални-
те стпойности на потенциала му са верху повърхнините на проводниците.
КАПАЦИТЕТ
Лесно се доказва, че за разглежданата досега система от заредени про-
водници съществува линейна връзка между зарядите и потенциалите
Ui на проводниците. Наистина съгласно (19.2), щом в диелектрика няма
заряди, потенциалът на полето удовлетворява равенствата
(19.25,а)
(19.25,6)
(19.25,в)
divegrad U(r) = 0,
t/(0 = uit
uoo = q,
fe v,
re Si,
fe Soo-
264 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Задачата за намиране на U(r) е една гранична задача на Дирихле за
елиптичното уравнение (19.25, а) и следователно има сдинствено реше-
ние. Затова, ако от някакви съображения бъде конструирана функция,
която удовлетворява (19.25), от единстведостта на решението следва, че
тя представлява потенциалът на полето.
Нека Ui(r) са N функции, които удовлетворяват равенствата
(19.26,a)	div sgrad u,(f) = О, г G У*,
(19-2б-б>	м.-,
(19.26,в)	uioo = 0, f G Soo-
Тъй като уравнението и граничните условия за всяка една от тези фун-
кции са от същия тип като (19.25), функциите и, са също определени по
единствен начин. Очевидно е, че и,- не зависят от зарядите на провод-
ниците, но на тях може да се придаде следният физичен смисъл: ut(r)
е потенциалът на полето в диелектрика. което би се установило, когато
проводниците V* са заземени (k / г, = 0), а на проводника V, се при-
даде заряд, при който потенциалът му е единица (u, = 1). Равенствата
(19.26) показват, че функциите ut(r) зависят само от формата и взаимното
разположение на проводниците, както и от свойствата на заобикалящите
ги диелектрици.
Лесно се проверява, че линейната комбинация
N
(19.27)	U(r) = £ UiUiif),
t=l
в която щ(г) са определените от (19.26) функции, a Ui — потенциалите
на заредените проводници, удовлетворява системата (19.25). Съгласно
казаното по-горе тя представлява потенциалът на създаденото от заря-
дите поле. С представянето (19.27) за заряда на 14 може от (19.6) да се
получи изразът
5*	‘-1 5к
„ ди"
като съгласно досегашната конвенция £ и —- са стоиностите на £ и на
дп
ди<	с I	г»
от външната страна на повърхнината на к-тия проводник. Вели-
чините
Г ди"
(19.28)	cik = -
J on
sk
не зависят от зарядите на проводниците — те представляват набор от
№ константи, наречени електростатични индукционни коефициенти.
От казаното за щ(г) следва, че те се определят единствено от формата,
размерите, взаимното разположение на проводниците и от свойствата на
Статични полета 265
диелектриците, които ги заобикалят. С помощта на връзката между
qk и Ui се записва във вида
N
(19.29)	дк = y^CkiUi,
»=1
т.е. наистина между зарядите и потенциалите на проводниците същест-
вува линейна връзка.
По определение величината
(19.30)
S,
се нарича собствен капацитет на г-тия проводник, а величината
(19.31)
— взаимен капацитет между г-тия и fc-тия проводник. Записана с по-
мощта на капацитетите, връзката (19.29) между дк и Ui приема вида
(19.32)
N
4t=CiUi-'£lCnUi.
Лесно може да се покаже, че величините Cik са симетрични по отноше-
ние на индексите си. За целта явно симетричната величина
(19.33)
egrad u;.grad ukdv,
където Vo* е частта от пространството извън проводниците, следва да се
преобразува с помощта на (19.26,а) и (А.69):
Aki = у (egrad и;.grad и*, + Ufcdiv^gradujc/i» = j div (ujt^grad Ui)dv
v*	v*
vo	vo
= -£,/> u'[e" -
* J	On J on
’-1S(	Soo
Интегралът no Soo e нула поради (19.26,в), а от сумата по I остава са-
мо членът с / = k, за който = 1 (по силата на (19.26,6) останалите
събираеми са нула). Следователно
Aki = - i £"^-|ds| = cki
J on
sk
и тъй като Aki e симетрична величина по отношение на размяната на
местата на г и k, то същото свойство ще притежават и коефициентите cki.
266
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
На базата на определенията (19.30) и (19.31) и с помощта на уравнени-
ята (19.26) може да се докажат редица важни свойства на капацитетите:
1.	Собствените капацитети са положителни величини:
(19.34)	С,>0.
2.	Взаимните капацитети са неотрицателни величини:
(19.35)	Cik 1 0
като равенство е възможно само ако съществува трети проводник, който
обгръща изцяло или i-тия, или fc-тия.
3.	Сумата от взаимните капацитети на даден проводник с останалите
проводници от системата не надминава собствения му капацитет:
(19.36)	Y.Cik = Ct-
i^k
Въпреки че доказателствата на тези свойства не са сложни, тук се при-
веждат само някои насочващи съображения в полза на тяхната валидност.
Наистина, като се има предвид изложеният по-преди физичен смисъл на
ди”
функциите и, (г) и се отчете, че — «"-т-2- = е"Е”п = D”n е точно нормална-
дп
та компонента на D" в случая, когато потенциалът на i-тия проводник
е единица, а останалите проводници са заземени, то може да се твърди
следното. Съгласно (19.30) С, представлява точно потокът на Д през 5,,
т.е. броят на излизащите от i-тия проводник индукционни линии, a Cik е
броят на индукционните линии, започващи от S, завършващи върху Sk-
Тъй като в диелектрика некомпенсирани заряди няма, индукционните
линии не могат да започват или завършват в точки от диелектрика —
техните краища са обезателно върху повърхнините на проводниците или
в безкрайност.
Когато проводниците Vk са заземени (k ^4 i), а потенциалът на 5, е
единица, почти очевидно е, че общият заряд върху Si ще бъде положите-
лен. Оттук следва, че и потокът на индукцията Di през S, също ще бъде
положителен, което обяснява защо е налице свойството (19.34). Също
толкова очевидно е, че някои от започващите върху Si индукционни ли-
нии ще завършват върху Sk (освен ако някои проводник не екранира Sk от
полето на 9i). И тъй като техният брой е точно Cik, това обяснява свойс-
твото (19.35). При наличие на екраниращ проводник нито една линия,
започваща от Si, не може да завърши върху Sk, поради което Cik = 0.
Когато проводниците са разположени така, че някои от започващите
от Si индукционни линии завършват в безкрайност, очевидно общият брой
на,излизащите от Si линии (т.е. С») ще бъде по-голям от броя на онези,
които започват от S, и завършват върху някой от останалите проводници
(т.е. £2 С,л), което обяснява (19.36).
Едно общо сравнение между свойствата на въведените в тема 18 маг-
нитни индукционни коефициенти и електростатичните индукционни коефи-
циенти показва, че докато Li и Lik не зависят от останалите проводници в
пространството, то както собственият капацитет Ci на един проводник, та-
ка и взаимният капацитет Cik между два проводника зависят съществено
Статични полета 267
(посредством граничите условия (19.26)) от наличието и разположени-
ето на останалите проводници. С други думи, докато магнитните индук-
ционни коефициенти са характеристики на индивидуалните проводници,
електростатичните индукционни коефициенти характеризират системата
като цяло.
В практиката често се срещат системи от проводници, в които вза-
имните капацитети на два от тях с останалите са нула. Ако тези два
проводника се номерират с 1 и 2, за техните заряди връзката (19.32)
придобива вида
(19.37)	= Cil/i — С12^2> q2 ——Ci2Ui + C2U2.
Ако зарядите на двата проводника са равни по големина и с противо-
положен знак, се казва, че проводниците образуват кондензатор. Ако в
системата (19.37) се замести
(19.38)	q = qi=~q2
и получените уравнения се решат спрямо Ui и U2, се оказва, че между
заряда на кондензатора и напрежението
(19.39)	U = Ui - U2
между електродите му също съществува линейна връзка:
(19.40)
q = CU.
Коефициентът на пропорционалност С се нарича капацитет на конден-
затора и провеждането на току-що описаните операции позволява да се
намери връзката му със собствените и взаимните капацитети на двата
проводника:
(19.41)
CiC2-C?2
Сд + С2 — 2С12
На практика кондензаторите най-често се конструират така, че да бъ-
дат изпълнени равенствата
(19.42)
Ci = Ci2 = С2-
Те гарантират, че всички индукционни линии, започващи от единил елек-
трод, завършват върху втория и това автоматически осигурява изпълне-
нието на условието (19.38). В този случай изразът (19.41) става неоп-
ределен, но капацитетът на кондензатора може да се пресметне директно
от (19.37). Тъй като двете уравнения вече не са независими, например
първото от тях показва, че
, = „ = С,(У, - и2) = CiU
и сравпението на това равенство с (19.40) показва, че капацитетът С на
кондензатора е равен на собствения капацитет на всеки от проводниците
и на взаимния им капацитет
(19.43)
С = Ci = С2 = С'12-
268
Електромагнитни взаимодействия в непрекдснати среди
Въвеждането на собствени и взаимни капацитети дава възможност да
се получат удобни за работа формули за енергията на полето на разглеж-
даната система от заредени проводници. За целта може да се използва
една формула, аналогична на (19.14), която изразява енергията на полето
чрез плътността на повърхнинните заряди, които го създават (приложи-
мостта на (19.14) за линейни среди бе обоснована по-преди). И така, ако
полето се създава от повърхнинни заряди с плътност h, по аналогия с
(19.14) неговата енергия е
(19.44)	W, = 1 [ h(r)U(r)\ds\.
S
В разглеждания случай S се състои от N на брой повърхнини 5, —
повърхнините на проводниците, върху които U(r) приема константните
стойности Ui. Следователно енергията на системата ще бъде
] N f	1 N Г
w' = ^Er = 5EUi ih<r")idsi-
1 = 1 S,	1=1 s,
Като се отчетат връзките (1.3,6) и (19.29), се получават полезните
формули
(19.45)	We =	1 V cikUiUk.
1 = 1	£,1=1
Вижда се, че енергията на електростатичното поле е квадратична фун-
кция на потенциалите на проводниците. Обратно, ако уравненията (19.29)
се решат спрямо [7,-, т.е. ако 17, се изразят като линейни комбинации на
qk и получените изрази се заместят в (19.45), енергията може да се изра-
зи като квадратична функция на зарядите на изолираните един от друг
проводници:
N
(19.46)	W, = У dikiiqk.
i,£=l
Коефициентите <7,^, които участват в (19.46), са определени функции на
собствените и на взаимните капацитети на проводниците. В крайна сметка
те зависят от характеристиките на системата от проводници — размери,
форма, взаимно разположепие, разстояния на проводниците един от друг
и т.н. Изразът (19.46) е удобен за пресмятане на обобщените сили, кои-
то действат върху един проводник, тъй като съгласно тема 3 за тяхното
намиране е необходимо да се пресмятат производните на We по горепосо-
чените характеристики (при постоянство на заряда на всеки проводник!).
За важния случай на кондензатор от (19.45) и (19.40) се получава, че
енергията на полето на зареден кондензатор е
(19.47)
1	а2
w = ^си2 =
където С, U и q са капацитетът, напрежението и зарядът на кондензатора.
Статична полета 269
МАГНИТОСТАТИЧНО ПОЛЕ
Съгласно направената в тема 18 уговорка магнитпостатични тук се на-
ричат полетата, свздадени от постоянна магнита. Като се добавят към
(18.18) при (7 = 0) равенствата (17.20,6 и г), за интензитета на маг-
нитостатичното поле се получават следните диференциални уравнения и
гранични условия:
(19.48,a) div д(г)Я(г) = g(r), f € V*, ц"/Н'п = r(r), г е S’,
(19.48,6) rot#(f) = o, rev*, я;'-я; = о, fGS*,
където g(r) и г(г) са съответно обемната и повърхнинната плътност на
фиктивните магнитни заряди, а към S* принадлежат всички повърхнини,
върху които или g(r), или ц(г) търпи скок, както и повърхнините, върху
които г (г) ф 0.
Системата (19.48) е напълно аналогична на системата (19.1), при ус-
ловие че в последната се положи а = 0. Следователно магнитостатичното
поле има същия характер както електростатичното поле в отсъствие на
проводници. С други думи, по отношение на ’’магнитните заряди“ всички
вещества се държат като диелектрици и затова ’’магнитни токове“ няма.
(Не трябва да се забравя, че тук се разглеждат само явления в неподвиж-
ни среди!) Така например от (19.48,6) следва, че и за магнитостатичното
поле може да се въведе скаларен потенциал V по такъв начин, че
(19.49)	Я =-grad И
Лесно се установява, че потенциалът ще удовлетворява уравнението
(19.50)	div /x(f)grad У(г) = —q(r)
при гранични условия, аналогични на тези в (19.2) и т.н. Следователно
всички методи, разработени за намиране на електростатичното поле при
зададени разпределения на източниците му, може да се прилагат автома-
тично и при решаване на задачи от магнитостатиката.
(Тук следва да се отбележи, че в стационарното магнитно поле скала-
рен потенциал не може да се въведе по единствен начин дори в областите,
в които няма токове, т.е. където I = 0, и условието (19.48,6) е изпълне-
но. Причина за това е фактът, че токовите линии на стационарното поле
са затворени криви. Достатъчно е наличието на една затворена крива,
по която тече ток и по която (19.48,6) не е изпълнено и тогава остана-
лото пространство, в което rot Я = 0, вече не е едносвързана облает.
А от математичните мето ди на физиката е известно, че скаларно поле,
удовлетворяващо (19.49), може да се въведе по единствен начин само ако
областта, в която rot Я = 0, е едносвързана. Следователно стационарно-
то магнитно поле наистина не притежава еднозначно определен скаларен
потенциал.)
От (19.48,а) се вижда, че източници на интензитета на магнитостатич-
ното поле (при р. = const) са фиктивните магнитни заряди, т.е. магнитните
силови линии започват и завършват в точки, в които има обемни или по-
върхнинни магнитни заряди. Очевидно е, че магнитостатичното поле е
270 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
такова, каквото би се създало, ако съществуваха реални магнитни заря-
ди, които си взаимодействат по закона на Кулон.
Всеки постоянен магнит може да се характеризира напълно с разпре-
делението на магнитните заряди в него, т.е. със задаване на функцията
g(r). Точките с максимална по големина плътност на магнитните заряди
представляват полюсите на магнита. По принцип функцията g(f) може
да се определи чрез измерване на силите и въртящите моменти, с които
си взаимодействат магнитите, и като се използва фактът, че това взаи-
модействие е Кулоново.
В сравнение със задачите на електростатиката обаче магнито статич-
ните задачи притежават няколко особености. Първата от тях може да се
установи, като се отчете връзката (17.19) между плътността на фиктив-
ните магнитни заряди q(f) и плътността Мо(г) на магнитните диполи. Ако
V е една облает с повърхнина S, която изцяло обгръща даден постоянен
магнит, общият магнитен заряд, заграден от S, е
Qm = j q(r)dv = — j div Mo(r)dv = — £ Mo(r) • dr = 0,
V	V	s
като при преобразуванията e използвана теоремата на Гаус — Острог-
радски, а последният интеграл е нула, тъй като по интеграционната по-
върхнина Мо = 0 (S не пресича магнита!).
И така първата особеност на задачите от магнитостатиката е, че об-
щият магнитен заряд на всички тела е нула (докато общият електричен
заряд на едно тяло може и да не е нула). Това от своя страна показва,
че първият, различен от нула член в мултиполното развитие на потен-
циала V(r) на полето на един постоянен магнит може да бъде най-много
диполният член, т.е. далече от магнита полето има диполен характер.
Втората особеност на магнитостатичните задачи се дължи на факта,
че докато за всички вещества е > Е0> по отношение на магнитните свойс-
тва се наблюдава значително по-голямо разнообразие: за диамагнитни-
те вещества у < /zq» за парамагнитните у > уо, а за феромагнитните
У » Ро-
Освен с големите стойности на у феромагнетиците се отличават от
другите две групп още и с това, че строго погледнато, при тях у зависи
не само от мястото, но и от интензитета Н на магнитното поле. Това
означава, че за тях всъщност у не може да се разглежда като вещест-
вена константа. Нещо повече, опитът показва, че в този случай у дори
не е еднозначна функция на полето — то зависи и от стойностите, които
интензитетът Н на полето е имал в предходните моменти. Това явление
е известно като магнитен хистерезис. Последните две от изброените
особености могат да усложнят значително задачата за намиране на маг-
нитното поле в редица практически важни случаи.
Въпросите за обясняване на свойствата на феромагнетиците, както и
всички въпроси, свързани със стойностите и поведението при различии
физични условия на въведените дотук веществени константи с(г), у(т) и
£'*(f, Z), <т(г) излизат извън рамките на развиваната тук феноменологич-
на теория, за която е съществено само че такива величини могат да се
въведат и измерят. Отговор на подобии въпроси дават само разглежда-
Статична полета
271
ния на базата на микроскопичните уравнения, като се отчита конкретната
структура на веществото на атомно равнище и се извършат съответните
осреднявания. Подобии разглеждания се правят в теорията на твърдото
тяло, на течностите и на газовете.
Накрал за още по-ясно разграничаване на двете характеристики на
магнитното поле — индукцията В и интензитета Н, в случая на посто-
янни магнити може качествено да се разгледа идеализираният случай на
хомогенно намагнитен постоянен магнит (т.е. такъв, за който Mo = const)
(фиг. 19.3). (За диа- и парамагнитни вещества подобно разглеждане е
излишно, защото в тях В и Н са свързани с един близък до до множител,
т.е. тогава те са колинеарни.) Съгласно (16.18,г) индукционните линии
на полето (т.е. кривите, които онагледяват В) нямат начало и край — в
случая те са затворени криви. Съгласно (16.16) вътре в магнита интен-
зитетът Н на полето се получава от чрез изваждане на постоянния
вектор Мо- Картината на магнитните си лови линии може да се предска-
же и на основата на граничното условие (19.48,а). От него следва, че
те започват от точките, в които има положителни магнитни заряди (се-
верния магнитен полюс), и завършват в точки, в които има отрицателни
магнитни заряди (южния магнитен полюс). Вижда се от фиг. 19.3, че
вътре в магнитната всъщност двете полета В и Н имат противоположни
посоки. (От това и от равенството В = ^Н, разбйра се, не следва, че
д < 0, защото вътре в магнита е валидна по-общата връзка (17.15).)
Фиг. 19.3
Примори. 1. Да се изведе законът на Кулон за взаимодействие на
точкови заряди в безкраен хомогенен диелектрик.
Когато пространството е изпълнено с диелектрик с диелектрична про-
ницаемост е = const, потенциалът на полето на точков заряд д', намиращ
се в точка с радиус-вектор г', се определя от уравнението (19.2,6), което
за всички точки на пространството с изключение на т.г' има вида
div sgrad U =	= 0.
272
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
Тъй като в случая съществува симетрия по отношение на т.г', общото
решение се описва с (2.31), в което константата В се определя от (19.2,г)
и има стойност В = 0. Константата А може да се определи с помощта на
(19.6), като последната формула се приложи за сфера с център в т.г' и
г-	а'
произволен радиус. Така се получава, че А =	, т.е.
4тге

д'
4тгб|г — г'|
Сравнението на този израз с (2.21) показва, че потенциалът на полето
сега е е/ео пъти по-малък, отколкото когато зарядът е във вакуум. Физи-
ческата причина за това е ясна: зарядът q' поляризира диелектрика така,
че се оказва заобиколен от диполи, обърнати с противоположния си по
знак заряд към т.г'. Плътността на свързаните заряди се оказва пула в
цялото пространство с изключение на т.г', т.е. зарядите на най-близките
до q1 диполи екранират и отслабват полето му.
Ако в производна точка г от полето на q' се внесе втори точков за-
ряд q, той поляризира диелектрика допълнително, но тази поляризация
притежава сферична симетрия с център в точката, в която е q, и не може
да доведе до възникване на допълнителна сила, която да действа върху
него. Следователно силата ще се определя от интензитета на полето, съ-
ответстващо на намерения по-горе потенциал, т.е. и тя ще бъде е/бо пъти
по-слаба, отколкото при взаимодействие на зарядите във вакуум.
2. Да се намери интензитетът на полето след внасяне на безкрайна
плоскопаралелна диелектрична пластинка в хомогенно поле.
Нека безкрайна плоскопаралелна пластинка с дебелина d и диелект-
рична проницаемост £ = const се внася в хомогенно поле с интензитет
Eq. За намиране интензитета на полето вътре и въп от пластинката след
внасянето й в полето може да се предположи, че вън от нея полето не
се изменя, а вътре в нея се установява хомогенно поле с интензитет Е.
Ако чрез подходящ избор на Ё се удовлетворят уравнението и гранич-
ните условия за полето, теоремата за единственост гарантира, че това е
единственото решение на проблема.
Тъй като при направеното предположение некомпенсирани заряди в
диелектрика не се появяват, уравнението (19.1,а) е изпълнено както вън
така и вътре в пластинката. Ако п е единичният нормален към повърх-
ността на пластинката вектор, граничните условия (19.1,а и б) могат да
се запишат съответно във вида
СоЕо.п — еЁ.п = 0 и Ёо х п — Ё х п = 0.
От второто равенство следва колинеарност на Е и Eq, т.е. Е — Ёо = Хп.
Стойността на А се определя от първото равенство, като Е — Ёо = Ап се
умножи скаларно с п. По този начин се получава
Ё =	-(Ё0.п)п.
Ако полето е успоредно на стените на пластинката (Ёо-п = 0), то Ё = Ео,
т.е. в този случай наличието на диелектрик не води до промяна на ин-
тензитета на полето в него. В другия частей случай — когато полето
Статични полета
273
е перпендикулярно на пластинката, вътре в нея интензитетът му е e/eq
пъти по-малък, отколкото вън от нея.
3. Да се намери интензитетът на полето, получено след внасяне на
хомогенна диелектрична сфера с радиус а и диелектрична проницаемост
Е в хомогенно поле с интензитет Eq.
И в този случай се предполага, че диелектрикът се поляризира хо-
могенно. Тогава, ако с Р се означи обемната плътност на диполите в
сферата, интензитетът на създаденото от тях поле се описва с изразите,
получени при разглеждане на пример 1 в тема 10. Чрез тях за общото
поле се получава
Ё1 = Eq — -^—Р за г а,
Зео
-	-	3(Р.гЬ)г*о — Р з .
Ее = Eq 4---------х---а3 за г > а.
OEqV3
Тези изрази удовлетворяват диференциалното уравнение (19.1 ,а) с k = 0.
Векторното произведение на Ег и Ее с 77о дава тангенциалните към по-
върхността на сферата компоненти на полето — полагането в тях г = а
позволява да се провери, че и граничното условие (19.1,6) е удовлетво-
рено. При това положение за определяне на вектора Р остава само да се
поиска да бъде удовлетворено граничното условие (19.1,а) при h = 0:
EqE' — еЕ'г = £оЁе.го — eE^.vq = 0.
От това гранично условие се полу-
чава равенството
р - _ Зе°(б “ £°}(р
Р.г0 -	—{Eo.ro),
£ + 2.EQ
което трябва да бъде изпълнено за
всяка точка от сферата, т.е. при вся-
ко 770. Това е възможно само ако
- =
Е + 2Ео
Заместването на тази стойност за Р
в изразите за Е1 и Ее дава окончателно
Фиг. 19.4
Ё' = ——Ёо за г < а;
е 4-2е0	-
3(Ео.го)го - Eq (е - Е0)а3
Со +---------j-------.----—----- за г га
г3	е 4- 2е0
От тези изрази следва, че вътре в сферата полето е хомогенно, а извън
нея то е суперпозиция от хомогенно поле Eq и поле на точков дипол с
Диполен момент р = 4тг£о ———а3Ёо, поставен в центъра на сферата. На
е 4- 2ео
фиг. 19.4 са изобразени силовите линии на полето в два случая — при
€ > е0 и при е < Eq. (Във втория от тях под Eq не бива да се разбира
Диелектричната проницаемост на вакуума. Той се реализира например,
когато в безкраен диелектрик има кухина.)
274
Електромагнитни взаимодействия в непрекдснати среди
4. Ла се намери полето, създадено след внасяне на незареден хомо-
генен сферичен проводник с радиус а в хомогенното поле с интензитет
д.
При внасяне на проводника в полето върху повърхността му ще се
индуцират заряди с противоположни знаци, полето на които се добавя
към зададеното хомогенно поле. Общото поле може да се намери, като
се предположи, че извън проводника индуцираните заряди създават поле
като на точков дипол с диполен момент р, поставен в центъра на сферата.
Като се отчете, че съгласно (19.3) вътре в сферата полето има интензитет
Е' = 0, за външното поле (вж. (10.8)) може да се напише изразът
Ёе = Eq +
3(р.го)го - р
4тГ£рГ3
В този случай граничното условие (19.1,6) е достатъчно за определяне
на вектора р, тъй като равенството
Ёе х гр — Ё* х гр = 0, т.е. Ее х гр = 0,
трябва да бъде изпълнено за всяко г0. От това изискване следва
р = 47Г£Оа3^о
или окончателно
Ё‘ = Ёо + з(£°г~°)й>-£°аз
Г3
След като интензитетът на полето извън сферата е определен, от равенст-
во (19.1,а) може да се определи повърхнинната плътност на индуцираните
заряди и например да се провери, че общият заряд на проводника е нула.
20
МЕХАНИЧНО ДЕЙСТВИЕ НА
ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ В
ПРИСЪСТВИЕ НА НЕПРЕКЪСНАТИ
СРЕДИ
ЕНЕРГИЯ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ
При изучаване на електромагнитното поле във вакуум (тема 7) бе уста-
новено, че полето притежава определена енергия, чието пространствено
разпределение може да се опише с една функция wem(r,t) — обемната
плътност на енергията. Освен това се оказа, че енергията може да се
пренася от една облает в друга, като движението й се описва с вектора
на плътността на енергетичния поток — вектора на Умов — Пойнтинг S.
При разглеждането на тези въпроси, когато в пространството има неп-
рекъснати среди, може да се използва подходът от тема 7, като се отчита,
че сега в най-общия случай връзките между характеристиките на полето
имат вида (16.18):
(20.1,а)
(20.1,6)
(20.1,в)
(20.1,г)
Нека V е произволна облает с повърхнина S. Общата енергия на систе-
мата от полето и частиците е сума от енергията lVem на полето в областта
и от механичната енергия WMex. на частиците:
(20.2)	W(t) = Wem(t) + WMe^t).
За разлика от случая на частици във вакуум обаче, където IVMex. включ-
ва само кинетичната енергия на частиците, сега тя включва и енергиите
на всички останали механични взаимодействия, в които може да участ-
ва един заряд. (Тук спадат например взаимодействията, които пораждат
страничните сили Е*. Както бе отбелязано по-преди, макар и по произ-
ход да са електромагиитни, от макроскопична гледна точка те могат да
носят различии названия — топлинна, химична и пр. енергия.)
,F 9S
rot£ = -ft'
- дб -
Го1Я = —- + 7,
ot
div б = k,
div В = 0.
275
276
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
„	с дАе
От определението за енергия следва, че работата —— на външните
at
dW
сили върху системата е равна на сумата от промяната —— на енерги-
dt
ята в обема V и енергията, която за същото време е напуснала V през
повърхнината S:
(20.3)
dAe
dt
dW
S.ds,
където S e плътността на енергетичпил поток.
Ако системата е затворена и освен това в нея не действат странични
dAe
(електродвижещи) сили, то = 0 и от (20.2) и (20.3) се получава
It t
(20.4)	i S.ds = ~dW^.ex -if wem(r,t)dv.
J	at at J
S	V
Това равенство може да се използва за намиране вида на S(r, t) при усло-
вие че се направят определени предположения относно вида на гоет. Тъй
като изрази за електростатичната енергия и за енергията на стационар-
ното магнитно поле бяха получени в тема 19 и в тема 18, най-естествено
от гледна точка на полевия подход е да се предположи, че
а)	изразите (19.20) и (18.41) запазват валидност и за променливи по-
лета;
б)	плътността на електромагнитната енергия е сума от плътностите
на електричната и магнитната енергия:
(20.5)
^ет —	4“	•
(Не трябва да се забравя обаче, че изразите (19.20) и (18.41) са ва-
лидни само за линейни изотропии среди!) Освен това при отсъствието на
външни и на странични сили механичната енергия на зарядите във V мо-
же да се изменя само за сметка на работата на вътрешните сили. И тъй
като магнитните сили работа не извършват, а работата на електричните
се определя с формула (7.2), то
(20.6)
dWUCK,
dt
E.Tdv.
Като се заместят (20.5) и (20.6) в (20.4) и се извърши диференцирането
под знака на интеграла, се получава
S.ds =
(Тук отново е използвана валидността на връзките (18.39) и (19.18)). Ка-
д!) дВ
то се заместят и — от (20.1,а и б) и полученият израз се преработи,
се получава
E.rotH — Н .rotE
dv = j div(E x H)dv = y)(E x H).ds.
v	s
Механично действие на ел.-магнитното поле в непрекъснати среди 277
Лявата и дясната страна на тази верига от равенства ще бъдат равни,
ако
(20.7)	S = ExH.
Разбира се, тъй като S е затворена повърхнина, верижните равенства ще
бъдат изпълнени и ако към дясната страна на (20.7) се прибави рота-
цията на произволно векторно поле. Както и в аналогичния случай във
вакуум обаче, се приема, че векторът на Умов — Пойнтинг се дава имен-
но с израза (20.7) като винаги се държи сметка за това, че прилагането
на (20.7) за пресмятане потока на енергията през затворени повърхнини
не може да доведе до противоречие със закона за запазване на енергията.
При извода на (20.7) за простота бе предположено, че електродвиже-
щи сили във V няма. Лесно може да се покаже, че валидността на (20.7)
се запазва и при Е* ф 0. В този случай при баланс на енергиите трябва
да се отчете и енергията на източниците на ЕДС, която се е превърнала
в енергия на полето и механична енергия на зарядите.
Накрал може да се направи баланс на енергиите и в случая, когато
токовете във V са токове на проводимост, т.е.
(20.8)	7 = а(Е + Е*).
В този случай от (20.6) се получава
W Г	f
a(E + E*).Edv = а(Е + Е*).(Е + Е* - E*)dv
dt J	J
v	v
r _	_	г _	_	~ rp r _
= а(Е+ E*)2dv — а(Е + Е*).Е*= —dv- I.E'dv.
J	J	J&J
V	V	V	V
(20.9)
Съгласно (17.44) и (17.45) първият от тези интеграли дава точно от-
dWj
делената във V за единица време джаулова топлина —-—, а вторият —
at
онази част от енергията на средата (механична, топлинна, химична и
пр.), която посредством работата на ЕДС се е превърнала за единица
т/ dW* п
време в енергия на зарядите и полето във V, т.е. —-—. По такъв начин,
at
когато системата е затворена, от (20.4) се получава
dW'	dWern	dWj 2
dt dt dt J
S
Това равенство показва, че в една затворена система работата на елек-
(dW\
тродвижещите сили (—;—) води до увеличаване на енергията на полето
V dt '
iz	fdWj.
във V, до отделяне на джаулова топлина и до увеличаване на енер-
гията на полето извън V(fS.ds).
s
278
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
ИМПУЛС НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНОТО ПОЛЕ
За намиране на импулса на електромагнитното поле може да се използват
разсъждения, подобии на направените в тема 7. Изходен пункт е равенс-
твото, което се получава чрез интегриране на (7.25) по цялото простран-
ство:
(20.10)
= [(kE + I х B)dv>
dt J
Voo
което изразява факта, че промяната за единица време на пълния механи-
чен импулс на зарядите е равна на действащата им сила. С помощта на
(20.1,6 и в) от (20.10) може да се изключат к и I и да се изрази
само чрез характеристиките на полето. Ако се направят още по-силни
отпреди ограничителни предположения, като се разглеждат не само ли-
нейни и изотропии, но ощё и хомогенни среди по същия начин, както в
тема 7, се получава, че за тази система от частици и поле се запазва не
Рмех.1 а сумата от рмех и величината
(20.11)
РетМ = / х B(r,t)dv,
която представлява общият импулс на електромагнитното поле. Както и
преди, се приема, че подинтегралната функция на (20.11) представлява
израз за плътността на импулса на електромагнитното поле, т.е. че
(20.12)	рет = D х В — ерЁ х Н
е точно количеството електромагнитен импулс в единица обем. Тъй като
1
v = —— е една веществена константа с размерност на скорост, за която
по-нататък се показва, че представлява точно скоростта на разпростране-
ние на промените на електромагнитното поле в дадена среда, а съгласно
(20.7) произведението Ё х Н е точно плътността на енергетичния поток,
то (20.12) може да се запише още във вида
(20.13)	рет = 1s.
V
Ако по-нататък се разгледа системата от поле и частици в една ог-
раничена облает V с повърхнина S, както и в тема 7, за промяната на
пълният импулс на системата във V за единица време може да се получи
(20.14)
1
dt
където тензорът на напреженията на Максуел сега има вида
(20.15)	Тет = Ё * D + Н * В - ^(Ё.Ё + Н.В)6.
Шом лявата страна на (20.14) представлява промяната на пълния им-
пулс на системата за единица време, съгласно втория принцип на Пютон
Механично действие на ел.-магнитното поле в непрекаснати среди
279
дясната страна представлява израз за общата сила, действаща върху раз-
глежданата система.
Трябва да се има предвид обаче, че тези схематични разсъждения са
в сила само за хомогенни среди. Въпросите за импулса на полето и дейс-
тващите в тези случай сили в нехомогенни среди, макар и извънредно
интересни от физична гледна точка, изискват значително по-сложно раз-
глеждане, поради което тук не се поставят.
Пример. Ла се намери плътността на потока на електромагнитната
енергия в полето на постоянен ток J, течащ по безкраен кръгов цилинд-
ричен проводник с радиус а.
Компонентите на Е и Н за този случай бяха получени в тема 18. С
помощта на (20.7), (18.57) и (18.59) се получава, че вътре в проводника
единствената различна от нула компонента на вектора на Умов — Пойн-
тинг е радиалната:
(20.16) Sj, = O, Sj=O, =	=
Следователно в проводника електромагнитната енергия се разпростра-
нява към оста му (SL < 0), като върху самата ос плътността на потока
става нула. Наличието на този енергетичен поток компенсира загубите
чрез джаулова топлина в проводника и обяснява защо въпреки тези за-
губи електричните заряди, създаващи тока, не губят скоростта си, т.е.
защо въпреки загубите токът остава постоянен.
По аналогичен начин от (20.7), (18.58) и (18.59) за компонентите на
вектора на Умов — Пойнтинг извън проводника се получава
(20 17) Se ~ 0 Se -_______—___	. $е ________£______
J	2ir2a2apln(a/by г ~ 2*2а2<х\п(а/Ь) р2'
Формулите (20.17) показват, че в пространството около проводника съ-
ществува поток от електромагнитна енергия, която идва от безкрайност
(т.е. оттам, където работят електродвижещите сили, които прехвърлят
зарядите от областта z —► оо в областта z —* —оо, за да се поддържа токът
постоянен) и пресича повърхнината на проводника.
Най-важният извод от разгледания пример, който може да се обоб-
щи и за случайте на проводници с по-сложна форма, е, че енергията на
електромагнитното поле не се разпространява по дължината проводници-
те. Тя постъпва в проводниците през околната им повърхнина, като от
източниците на ЕДС до тях достига през околното пространство.
21
КВАЗИСТАЦИОНАРНО
ЕЛЕКТРОМАГНИТНО ПОЛЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Направените в тема 17 разглсждания показват, че когато няма феромаг-
нитни вещества, в линейни изотропии среди уравненията на електромаг-
нитното поле имат вида
(21.1,а)
(21.1,6)
(21.1,в)
(21.1,г)
- дН
дЁ
= е— + ,(Е<
diveF = к,
div цН = 0.
Тази система от частни диференциални уравнения е твърде неудобна
за решаване на редица практически важни проблеми. Съществува обаче
един достатъчно широк кръг от задачи, които са от особено значение за
приложенията и за които в рамките на определена грешка на базата на
(21.1) въпросът за намиране на съществените за разглежданията величи-
ни може да се сведе до решаване на обикновени линейни диференциални
уравнения. Това са случайте на така нареченото квазистационарно елек-
тромагнитно поле.
По определение едно променливо с времето електромагнитно поле е
квазистационарно, ако в уравнението (21.1,6), което определя мощност-
ЭЁ
та на вихрите па магнитното поле, токът на отместване е —— може да се
dt
пренебрегне спрямо тока на проводимост (т(Е + Е*), без това да се отрази
съществено на решенията на уравненията на Максуел.
От определението се вижда, че квазистационарните полета са преди
всичко променливи полета, т.е. както характеристиките на източниците
им (заряди к и токове Z), така и характеристиките на самото поле (Е и
Н) зависят от времето. Те обаче представляват специален клас промен-
ливи полета, за които може да се счита, че уравнението (21.1,6) съвпада
с (18.24,а), което определя стационарното магнитно поле. Именно този,
последният факт е причина за названието квазистационарни, т.е. — почти
стационарни.
280
Квазистационарно електромагнитно поле 281
От определението за квазистационарност може да се направи следпият
качествен извод. Преди всичко е ясно, че за да може да се пренебрегне
дЁ
членът е——— , е необходимо полето да не се изменя много бързо с времето
dt
дЁ
— само тогава стойността на —— ще бъде относително малка. (Ясно е, че
at
това твърдение се нуждае от конкретизиране, т.е. то ще придобие смисъл
само след като се посочи критерият, според който една промяна може да
се квалифицира като ’’много бърза“.)
Разбира се, когато е формулирана одна електродинамична задача, чи-
ето решение не е отнапред известно, горното определение не може да се
използва, за да се установи дали тя трябва да се решава като задача за
променливо или като задача за квазистационарно поле. От теорията на
диференциалните уравнения обаче е известно, че ако две диференциални
уравнения се различават едно от друго само по наличието на малък член
в едното от тях и ако са известии две техни точни решения, които при
t = t0 удовлетворяват едни и същи начални условия, то тези решения ще
бъдат близки едно до друго само в ограничен интервал време след момен-
та fo. като за достатъчно големи стойности на t може да се различават
съществено едно от друго.
Следователно, за да бъде смислен въпросът, дали едно поле е ква-
зистационарно или не, винаги трябва да се посочват, първо, границите
на областта, в която се изменят независимите променливи и се търси ре-
шението, и второ, допустимата грешка, с която може да се различават
решенията на точните и на приближените уравнения. Така например от-
напред е ясно, че ако се търси полето в цялото пространство, ако това
поле е променливо, то в никакъв случай не може ла се разглежда като
квазистационарно.
За получаване на количествен критерий, който дава отговор на поста-
вения въпрос, може да се разсъждава по следния начин. Тъй като от оп-
ределението за квазистационарност следва, че уравненията за магнитното
ноле (21.1,6 и г) съвпадат с уравненията (18.24,а и б) за стационарного
магнитно поле, даденото определение може да се преформу лира по след-
ния начин: в дадена облает едно променливо електромагнитно поле може
Дасе разглежда като квазистационарно, ако във всеки момент магнитното
поле в тази облает не се различава съществено от стационарного поле,
съответстващо на стационарни токове с плътност, равна на плътността
на променливите токове в същия този момент.
Тази модификация на определението вече води до търсения критерий,
защото в много случаи отнапред са известии времената, за които ста-
вят съществени промени с токовете, определящи магнитното поле. И тъй
като промените на електромагнитното поле се разпространяват в прос-
транството със скоростта на светлината, модифицираното определение
показва, че едно поле може да се разглежда като квазистационарно в да-
Дена облает V} ако времето, за което токовете се променят съществено, е
голямо спрямо времето, необходимо на един светлинен сигнал да пресече
областта V.
Така например, ако става дума за токовете, използвани в електро-
и радиотехниката обикновено те представляват периодични функции на
времето, чиято честота по порядък варира от няколко десетки до ми-
282 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
лиони Hz. Това означава, че времената, за които токовете се променят
съществено, са от порядъка на 10”2s в първия случай и от порядъка на
10“6 s във вторил. Тъй като един светлинен сигнал изминава разстояние
10km = 104m за време, по-малко от 10“4s и тъй като това време с грешка,
по-малка от 1 %, е пренебрежимо малко спрямо пёриода на промишлените
токове {и = 50 Hz, Т = 2.10"2s), съгласно горния критерий следва, че в
рамките на един град например (т.е. в една облает с размери от порядъ-
ка на 10 km) полето на тези токове с точност от няколко процента може
да се счита квазистационарно. По същия начин може да се покаже, че и
процесите, които стават в един радиоприемник (размери на областта от
порядъка на 1m, честоти — до няколко MHz), със същата точност могат
да се разглеждат също като квазистационарни.
При процесите, които съпътстват пренасянето на електроенергия по
електропроводите обаче (области с размери от стотици и понякога — хи-
ляди километри), трябва да се очаква, че ще се проявят ефекти, характер-
ни за променливите полета (например загуба на енергия от излъчване). С
още по-голяма сила това важи за процесите между един радиолредавател
и един радиоприемник, които са типично вълнови и при които квазиста-
ционарното приближение е недопустимо.
Приведените примери показват, че в теорията на квазистационарно-
то поле се развиват основите, върху които се изграждат такива важни
приложни науки като електротехниката и радиотехниката.
И така в известен смисъл квазистационарните полета са по-прости
от останалите променливи полета, защото при тях магнитното поле се
подчинява на законите за стационарното магнитно поле. Те обаче са по-
сложни от стационарните полета, защото електричното поле при тях се
различава съществено от стационарното електрично поле — уравнението
(21.1,а) показва, че то не е консервативно поле и следователно не може
да се изрази чрез производните на един скаларен потенциал.
УРАВНЕНИЯ НА КВАЗИСТАЦИОНАРНОТО ПОЛЕ
От даденото определение следва, че едно от уравненията на квазистаци-
опарното поле е
(21.2)	гоСЯ = 1
Освен това уравнението (21.1, г) гарантира съществуването на векторен
потенциал Я, който определя Н чрез връзката
(21.3)	/7=-гоЫ
М
За еднозначност на А се налага допълнителното условие
(21.4)	divA = 0
От (21.3) и (21.1, а) както в тема 8 при получаването на (8.2) следва,
че може да се намери скаларен потенциал U такъв, че да бъде изпълнено
равенството
_	8 А
(21.5)	Е = -grad V - -з-.
ot
Квазистационарно електромагнитно поле 283
Заместването на Ё и Н от (21.3) и (21.5) в (21.2) и (21.1, в) води
до две уравнения, които свързват потенциалите с източниците к и I на
полето:
дА
(21.6)	div (с—) + div(egrad [/) = — А:,
С/ V
(21.7)	rot (—rot A) = I.
Тъй като по предположение полетата се изменят бавно с времето, вели-
<ЭА ее	гту
чината — ще бъде, изобщо казано, малка. 1ова позволява в първото
dt
събираемо от лявата страна на (21.6) б(г) да се извади пред диверген-
цията, след което поради (21.4) се вижда, че този член е нула. Така
уравнението за скаларния потенциал става
(21.8)	div(£grad [/) = — к
Уравнението (21.7) може да се опрости, като се отчете, че в отсъст-
вие на феромагнитни среди стойностите на р. зависят слабо от г. Тогава
с помощта на (А.48) и (21.4) то добива вида
(21.9)	ДА = -рТ.
За намиране па пълпа система към досега получените уравнения се
добавят връзката между плътността на токовете на проводимост и елект-
ричното поле (17.40) и уравнението на непрекъснатостта (1.11). Така се
получава следната система от връзки между източниците и характерис-
тиките на квазистационарното поле:
(21.10,a)	£(r,t) = —grad£/(r,/) - — j"-,
Cz L
(21.10,6)	H(f,l) = -irrot/(f,J),
(21.1 0,b)	div(e(f)grad t/(f,()) = —fc(f,t),
(21.10,г)	ДЛ(г,1) = -д(г)Г(г,«),
(21.10.Д)	+ div l(f, t) = 0.
(21.10,e)	f(f,i) = <r(r)(E(f,t) +
В тази система на веществените константи е(г), а (г) и t)
трябва да се гл еда като на зададени, известии функции на мястото и вре-
мето, а на характеристиките на полето Ё, Н, U и А, както и па разпре-
Деленията к и I на зарядите и токовете — като на неизвестни. По такъв
начин са палице 14 еднокомпонентни уравнения за 14 неизвестни — ком-
понентите на Ё, Н, U, А, к и I. Тъй като обаче (21.10) бяха получени
от уравненията на Максуел при определени опростяващи допускания, не
е отнапред ясно дали те осигуряват единствен© решение за неизвестните.
284 Електромагнитни взаимодействия в непрекаснати среди
(От тема G е известно, че за уравненията на Максуел този въпрос има
утвърдителен отговор.)
Лесно се съобразява, че системата (21.10) определя по единствен па-
чин неизвестните, стига в един начален момент to да са зададспи разпре-
деленията на зарядите и токовете в цялата облает V, в която се търси
полето, т.е. стига да са. известии функциите
fc0(r) = Ar(f,«o) и I0(f) =
Една.идея за доказателството на тази по същество теорема за същест-
вуване и единственост на решението може да се получи по следния начин.
Шом са известии ko и /о от (21.10, в и г), които не съдържат производни
по времето, може да се определят потенциалите £/(г,/о) и Л(г, t0) в цялата
облает V и в същия момент to- Освен това (21.10, е) определя и интензи-
тета на електричното поле E(r, to) в този момент, но само в проводниците
(защото само за тях а / 0 и уравнението може да се раздели на <т, за
да се определи Е). При това положение от (21.10, а и д) се определят
j.	дк дА	_,
стойностите на — и — в проводниците в момента iq. Аогава чрез теоре-
мата за крайните нараствания се намират к и А в проводниците за един
следващ, близък до to момент:
A-(f, to 4- А/) = к0(г) + (|y)t=toAz> Л(г, t0 + AZ) = А0(г) 4- (^)t=<0At
Второто от.тези уравнения и (21.10, г) вече определят и токовете в този
следващ момент, т.е. /(f, to 4- ДО-
14 така, тръгвайки от едно начално положение, в което се знаят плът-
ностите &о(г), и 1о(Е) с помощта на уравненията на полето се получават
стойностите на същите тези функции в един следващ момент to 4- At Оче-
видно е, че след многократно прилагане на тази процедура и след грани-
чен преход А/ —► 0 се получават fc(f, t) и I(r,t) изобщо като функции на
времето. Тогава с помощта на (21.10, виг) може да се намерят t)
и A(r,Z), а от тях посредством (21.10, а и б) — и самите полета E(f}t) и
H(r,Z).
КВАЗИСТАЦИОНАРНО ПОЛЕ В СЛУЧАЙ НА ЛИНЕЙНИ И
МАЛКИ ОБЕМНИ ПРОВОДНИЦИ
Уравненията на квазистационарното поле са съществено по-удобни от
уравненията на Максуел, макар и само поради това, че при тях може
да се посочи последователността, в която следва да се определят не-
известните величини (вж. гореизложената идея за доказателството за
съществуването и единствеността на решението.). Те обаче са все оше
твърде сложни за решаване, защото представляват частни диференциал-
ни уравнения. В същото време редица интересни за практиката случаи
се отличават с това, че при тях токовете текат по линейни проводници,
зарядите се натрупват върху малки обемни проводници — обстоятелства,
Квазистационарно електромагнитно поле 285
които позволяват без по-нататъшни приближения за търсените величини
да се получи система от обикновени диференциални уравнения.
Определението за линеен проводник бе дадено в тема 18 и доуточнено
в тема 19. Тъй като тук се разглеждат полета, в които потенциалът U
е непрекъсната функция на мястото, а от тема 2 е известно, че потенци-
алът на линейни заряди има логаритмична особеност върху заредените
криви, тук се разглеждат само полета, при които по линейните проводни-
ци няма некомпенсирани заряди. (Това условие разбйра се, не изключва
възможността по тях да текат токове, защото токовете може да се дължат
на движението на разноименни заряди в противоположни посоки, като във
всяка точка и във вески момент плътностите на положителните и на отри-
цателните заряди се компенсират. Така например в металните проводни-
ци токовете се дължат на насочено движение на електрони, но навсякъде
зарядите на електроните се компенсират от положителните заряди на Йо-
ните в метала, така че линейната плътност на некомпенсираните заряди
е нула.)
Фактът, че от разглежданията се изключват полетата, в които има ли-
нейни заряди, води до едно важно следствие за квазистационарното поле.
Наистина, ако количеството на зарядите, които постъпват през единия
край на участък от линеен проводник за единица време, е различно от
количеството на зарядите, конто го напускат през другия край за същото
време, върху участъка ще се натрупва некомпенсиран линеен заряд,. И
тъй като току-що бе уговорено, че това е невъзможно, следва заключени-
ето, че двете количества са равни. Това всъщност означава, че токовете
през началото и края на участъка са равни. Следователно в квазистаци-
онарния случай големината на тока е една и съща през всяко напречно
сечение на проводника независимо от това, че се изменя с времето. Това
дава право да се говори не само за големина на тока през дадена точка,
но и за големина на тока в проводник въобще. Следователно и в този
случай токът е глобална характеристика за целия проводник.
Един обемен проводник може да се счита малък, ако размерите му
са достатъчно малки, а веществото му — достатъчно хомогенно и с доб-
ра проводимост, така че електродвижещите сили в него да може да се
пренебрегнат, а повърхнината му да се счита като еквипотенциална по-
върхнина на скаларния потенциал. При тези условия, както и при случая
на електростатично поле може да се говори не за потенциал на дадена
точка, а за потенциал на проводника като цяло.
Плочите на кондензаторите и жиците в електричните апарати и мре-
жи с много добро приближение удовлетворяват условията съответно за
малки обемни и линейни проводници.
На практика често се налага да се решават задачи от следния тип: за-
дадена е многоевързана система от линейни и малки обемни проводници
(фиг. 21.1) и полето се създава само от заряди, натрупани по обемните
проводници, и токове, течащи по линейните проводници.
Тъй като в диелектриците некомпенсирани заряди няма, а повърхнини-
те на обемните проводници са еквипотенциални, то въз основа на (21.10, в)
може да се твърди, че и сега зарядите и потенциалите на обемните про-
водници са свързани с връзките (19.32), които бяха установени в статич-
ния случай. Аналогично, щом токът в един линеен проводник в даден
286
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
момент е един и същ през всяко негово сечение (както при постоянни то-
кове) и щом магнитното поле съвпада със стационарното поле, съответс-
тващо на постоянни токове, връзката между циркулацията на магнитния
векторен потенциал и токовете отново ще се дава с (18.54), където Lik са
въведените там коефициенти на самоиндукция и на взаимна индукция.
И така освен веществените константи с(г) и ц(г) за известии сега се
считат омовото съпротивление Hi, електродвижещото напрежение £,(<) и
коефициентите на взаимна индукция Lik и на самоиндукция Li на всеки
линеен проводник, както и собствените и взаимни капацитети С, и Cik на
всеки обемен проводник. Задачата се състои в намиране на уравнения,
които определят потенциалите £Д(0 и зарядите д,(/) на обемните провод-
ници и токовете J,(t) и потенциалните разлики U"(t) — U-(t) в краищата
(В краищата си един линеен проводник може
линейни проводници, или с някои от обемните
на линеините проводници.
да е свързан или с други
проводници (фиг. 21.1).)
а и
Един тип връзки между неизвестните токове се получава от съображе-
ния за непрекъснатост на потенциала U(r, t). Наистина нека в една въз-
лова точка А завършват няколко линейни проводника (фиг. 21.2). Ако в
т. А има некомпенсиран точков заряд, той би създал поле с потенциал,
който има особеност от типа 1/г (вж. тема 2). Тъй като U(r,t) е неп-
рекъсната функция на мястото, следва заключението, че в т. А не може
да се натрупва некомпенсиран заряд, т.е. сумата на токовете по провод-
ниците, завършващи в т. А трябва да бъде нула. Очевидно, ако някои
от проводниците не завършват, а започват в т. А, съответните токове в
сумата следва да се вземат със знак минус. Така за всяка възлова точка
от системата се получава по едно уравнение от типа
А
(21.11)	£±4 = 0,
i
където знакът А над сумата означава, че сумирането се извършва по
всички проводници, едипият край на които е в т. А. (Не трябва да се
забравя, че токът в един проводник е положителна или отрицателна ве-
личина в зависимост от това, дали тече в посока на ориентацията на
Квазистационарно електромагнитно поле 287
проводника или обратно. Посоките на токовете обаче са, първо, неиз-
вестни и, второ, може да се изменят с времето. Поради това знаците на
отделяйте членове в (21.11) не се свързват с посоките на токовете, а с
отнапред зададените посоки на линейните проводници.)
Втори тип връзки между между
неизвестните величини се получават	У
с помощта на закона за запазване на
електричния заряд. (Между друго-
то в неявен вид този закон бе изпол-
зван и при получаване на (21.11)).
Според този закон промяната dqi/di
на заряда на г-тия обемен проводник	Ln
Vi за единица време трябва да бъде	/
равна на общия постъпил за същото
време върху Ц- заряд по свързаните	’
с него линейни проводници. Това оз-
начава, че ако всички свързани с Ц	^иг' ^1-3
линейни проводници завършват вър-
ху него (фиг. 21.3), dqi/dt ще бъде точно равно на сумата от токовете по
тях. Както и в предния случай, когато някои от линейните проводници
започват, а не завършват върху Ц, токовете по тях съответно трябва да
се вземат със знак минус, така че изобщо
(21.12)	=
i
като знакът Ц- над сумата означава, че се сумира по всички линейни про-
водници, единият край на които е върху Ц.
Трети тип връзки между неизвестните величини са уравненията (19.32),
съгласно които зарядите qi(t) на обемните проводници са линейни комби-
нации от потенциалите им:
(21.13)	4i(t) = CM(t)
kyti
Накрал последен тип уравнения се получават от разделянето па (21.10,
е) на <т и интегрирането му по оста Li на г-тия линеен проводник:
(21.14)
/ /(Г’,У- = [ E(r,t).dr+ [ Ё-(г, /).dr.
J <r(r) J	J
L,	L,	Lt
Съгласно (18.15) първият от тези три интеграла е точно RiJi(t), а от
определението (17.45) се вижда, че третият представляла включеното в
Li електродвижещо напрежение £i(t), което е зададена функция на време-
то. За пресмятане на вторил интеграл се използва (21.10, а), от което
следва, че
IE.dr= — [grad U.dr — [^--.dr= — fdU —-j- IA.dr =	—
J	J	J ot	J at J	at
L,	L.	L,	L,	L,
288 Електромагнитни взаимодействия в непреквенати среди
където U-(t) и (/"(t) са потенциалите в началото и в края на L,, ас Ф,(/) е
означена циркулацията на магнитния векторен потенциал А по проводни-
ка L{. Интеграли от типа на Ф1 бяха пресмятани в случая на стационарно
магнитно поле за затворени контури с помощта на (18.54), но лесно се
съобразява, че поради линейността на връзките тази формула запазва
валидността си и за незатворени криви, т.е. и сега
Ф» —
к
Проведените разсъждения показват, че (21.14) може да се запише във
вида
(21.15) Л,Л(О = t/'(l) -	+ £(() - У*
к
Физичният смисъл на последний член в това равенство е очевиден — той
представлява общото напрежение, което по закона на Фарадей се индуци-
ра в Li от промените па токовете в проводниците.
Уравненията (21.11), (21.12), (21.13) и (21.15) представляват вече ед-
на система от обикновени диференциални уравнения, която, изобщо каза-
но, съдържа повече уравнения, отколкото са неизвестните, но уравнени-
ята й са съвместими, така че винаги притежават решение.
ЗАКОН НА ОМ ЗА КВАЗИСТАЦИОНАРНИ ТОКОВЕ
В един практически важен случай два по два обемните проводници са
групирани в кондензатори по такъв начин, че собствените и взаимният
капацитет на електродите на всеки кондензатор са равни, а взаимните им
капацитети с електродите на други кондензатори са нула.
Пека един линеен проводник L\
завършва върху първия електрод на
кондензатор с капацитет С,-, а друг
проводник L" започва от втория елек-
трод на същия кондензатор (фиг. 21.4)
Нека R[ и R", £! и £" са омовите
съпротивления и електродвижешите
напрежения на всеки от проводници-
те, L'ik и L"k — коефициентите на вза-
имна индукция между L* и L" от една
страна, и fc-тия проводник L^ от сис-
темата — от друга, a L<f, LJ' и Мн
— индуктивностите на Л- и L" и коефициентът на взаимната индукция
между тях. Нека освен това U[ и U" са потенциалите в началото на L'i и в
края на L”, J- и J" — токовете през тях, a q~, U~, q+ и U* — съответно
зарядите и потенциалите на двата електрода на кондензатора.
От равенството между собствените капацитети на електродите на кон-
дензатора и взаимния капацитет между тях и от (19.37) следва, че
(2116)	?,+(<) = -<(/) = С,(l/^(t) - U-(<)).
Квазистационарно електромагнитно поле
289
Освен това от (21.12) се получават равенствата
(21.17)	=	Л"(/) = -^Г
които, комбинирани с (21.16), показват, че
(21.18)	=	=	=
т.е. във всеки момент в двата проводника £'• и L" текат токове с еднак-
ва големина Ji. Чрез интегриране на (21.18) и използване на (21.16) за
напрежението на кондензатора се получава
(21.19)	- C/-(t) = Л(П<Й.
Ако сега равенство (21.15) се приложи за всеки един от разглежданите
проводници, в съответствие с приетите означения се получава
Я'Л = и; - и- + £! - £ L'ik^- - L'^ -
*—*	at at at
Ь#»
R'lJi = uf- и'1 +«/'-£ L';t d-K - L';t
at at at
k^i
От сумирането на двете равенства и след отчитане на (21.19) се намира
(21.20)	(я; + я;.')л +1- [ Jidt + (l;.,. + l;; +
Ct J	dt
= U!_ u;1 + £[ + £" - £(£k + Lii)^.
at
k^i
IIIom по L[ и L" тече един и същ ток, на (21.20) може да се даде след-
ното тълкуване. Може да се счита, че има не два линейни проводника,
между които има копдензатор, а един линеен проводник с включен в него
кондензатор. Ако по определение
(21.21)	Я, = Я' + Я",	= +
Lik = L'ik + L'Ui / k), Li = LL + L<< + 2.Мц
сетретират съответно като омово съпротивление, електродвижещо напре-
жение, коефициенти на взаимна индукция и коефициент на самоиндукция
на този общ проводник, (21.20) добива вида
(21.22)	ад + 1- [ Jidt + Li^- = Ul-U;' + £i-yiLik^K.
Cj J	dt	, dt
k^t
И така, когато обемните проводници са комбинирани два по два в кон-
Дензатори, многосвързаните системи могат да се разглеждат като съста-
иени само от линейни проводници, но сега освен с омовото си съпротивле-
ние Я,, електродвижещото напрежение индуктивността Li и коефици-
рнтите на взаимна индукция Lik с останалите линейни проводници, един
290
Електромагнитни взаимодействия в непреквенати среди
линеен проводник се характеризира и с капацитета С, на включения в не-
го кондензатор. (Ако в проводника кондензатор няма, в (21.22) следва да
се положи С, —* оо. Наистина липсата на кондензатор води до U* — U~,
което се получава при безкрайно близки електроди на кондензатора, от-
където пък следва, че капацитетът му е безкрайно голям.)
При това положение на (21.22) може да се гледа като на обобщение
на познатия от теорията на постоянните токове закон на Ом. В лявата
страна на равенството са оставени членовете, които представляват съот-
ветно падовете на напрежение в омовото съпротивление (Я,7,), в конден-
затора f Jidt\ и падът, дължащ се на самоиндукцията в проводника
{LidJ{/dt). В дясната страна стоят всички причини за движението на за-
рядите: потенциалната разлика U- — U" между краищата на проводника,
електродвижещото напрежение £, и напрежението — 52 LikdJk/dt, индуци-
рано в Li от промените на токовете Jt в останалите линейни проводници
от системата. Тъй като лявата страна на (21.22) може да се запише и
във вида
(21.23)
Я» + — [ dt + Li — Ji — U'i — U" + Si —	Lik —j—,
C-t J	dt J	‘—	dt
,	, d
dt и L, — , които се добавят към омовото съпротивление
dt
1
операторите —
Ct
Ri, често се наричат съответно капацитивно и индуктивно съпротивле-
ние на проводника. По такъв начин обобщеният закон на Ом гласи,
че сумата от падовете в омовото, капацитивното и индуктивното сгпро-
тивление на един проводник е равна на сумата от потенциалната разлика
в краищата на проводника, електродвижещото му напрежение и напреже-
нието, индуцирано в проводника от промените на токовете в останалите
проводници.
От извода на (21.23) обаче се вижда условният смисъл, който се вла-
™	г dJ<
га в тълкуването на някои величини. Хака например, ако членът м-гг
at
остане в дясната страна на (21.23) вместо пад на напрежението в ин-
дуктивността, той би имал смисъл на самоиндуцирано в Li напрежение,
дължащо се на промените на тока Ji в същия проводник.
И така в една многоевързана система от линейни проводници и кон-
дензатори задачата за намиране на токовете и напреженията в краищата
на проводниците и на кондензаторите може да се реши само с помощта на
уравненията (21.11) за възловите точки и (21.22) за проводниците. Лесно
се съобразява, че достатъчен брой уравнения се получават, ако се запи-
щат всички възможни връзки от типа (21.22) и всички връзки от типа
(21.11) с изключение на уравнението, което съответства на една коя да
е от възловите точки (то е следствие от останалите). Така се получава
една система, част от уравненията на която са интегродиференциални,
защото в тях фигурират не само производни, но и интеграли от неизвест-
ните токове. Чрез еднократно диференциране по времето от (21.22) се
Квазистационарно електромагнитно поле
291
получава
(21.24)	+	+	dF
at U,	<
dt? - dt и‘+ и"+ £i SL'‘ dt ’
kyti
което вече представлява едно обикновено линейно диференциално уравне-
ние. Така цялата задача се свежда до решаване на система от обикнове-
ни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Такива системи
лежат в основата на цялата теория на електричните кръгове, които се
използват широко в радиотехниката.
Ако пък електродвижещите напрежения £,(/) са простопериодични фун-
кции на времето с еднакви честоти, какъвто е важният случай с промиш-
лените токове, задачата за намиране решение на системата се опростява
допълнително. Наистина от общата теория на подобии системи е извес-
тно, че те притежават частни решения, които са простопериодични фун-
кции със същата честота. (Решенията на хомогенните уравнения, които
не зависят от Ki за реалните проводници, т.е. при Я, / 0, затихват експо-
ненциално с времето и затова обикновено не се отчитат. Те обаче са от
значение при изследване на преходните процеси във веригите).
Шом и токовете са простопериодични функции на времето, може да се
използва комплексното представяне на такива функции. Като се положи:
(21.25)	Ki(t) = Kieiu,t и J^t) = JieiuJt,
където
(21.26)	Ki =	и Ji = \Ji^
са комплексните амплитуди на токовете и напреженията, а |£,|,
|Л|, pi и ipi — съответно амплитудите и фазовите константи на прос-
топериодичните величини, от (21.24), (В.8) и (В.9) се намира
(21.27)	(-W2 Li + iuRi + Ji = iu(u; - С" + £,) + “Т LikJk.
kyti
Това e вече едно алгебрично уравнение за неизвестните комплексни амп-
литуди Ji, U- и U". По този начин въпросът за намиране на токовете и
напреженията в този случай се свежда до решаване на една алгебрична
система от линейни уравнения.
По-нататък от уравненията (21.27) може да се изключат неизвестни-
те потенциални разлики U- — U". За целта е достатъчно да се напишат
уравненията от типа (21.27) за всички проводници от системата, които
образуват затворен контур, и да се съберат. По този начин се получава
известният втори закон на Кирхоф, който задава едно удобно правило при
решаване на подобен тип задачи. Уравненията (21.27) и (21.11) лежат в
основата на теорията на променливите токове.
СКИН-ЕФЕКТ
Едно съществено следствие от разгледания в тема 18 пример бе заклю-
чението, че плътността на постоянен ток в хомогенен линеен проводник е
292
Електромагиитни взаимодействия в непрекъснати среди
една и сына за различните точки от едно негово напречно сечение. Лесно
е да се съобрази, че когато токът е променлив, това твърдение не може
да бъде повече валидно. Наистина, ако ABCD (фиг. 21.5) е затворен кон-
тур вътре в безкрайния цилиндър, разгледан в тема 18, нри протичане
на променлив ток променлив ще бъде и потокът на магнитното поле през
заградената от контура площ. По закона на Фарадей за електромагнитна-
та индукция тези промени пораждат електрично поле с различна от нула
циркулация по ABCD. И тъй като в безкрайния проводник страните AD
и ВС са еквивалентни, следва да се заключи, че стойностите на интен-
зитета на полето върху АВ и DC са различии. От това заключение и
от връзката I = сгЕ следва, че разпределението на променливия ток по
сечението на проводника не е равномерно.
Фиг. 21.5
Фиг. 21.6
За изясняване количествената страна на явлението може първо да се
разгледа случаят, когато хомогенен проводник изпълва полупространс-
тво™ z > 0 (фиг. 21.6) и на повърхността му се поддържа насочено по
оста Ох периодично електрично поле:
(21.28)
E = (Eoeiwt,0,0).
Целта е да се намери електричното поле в проводника и чрез него —
плътността на тока при z > 0.
Преди да се разгледа този конкретен случай, може да се направи една
по-обща бележка относно възможността за съществуване на некомпенси-
рани заряди в проводниците. Ако средата е хомогенна, от уравненията
(1.11), (17.40) и (18.7, б) следва, че плътността на некомпенсираните за-
ряди удовлетворява уравнението
dk
oi
а ,
Ч—к = 0,
£
чието общо решение е
(21.29)
k(f,t) = ko(r)e е*.
Стойността на проводимостта ст за металните проводници е толкова го-
ляма, че дори ако вътре в един проводник се създадат некомпенсирани
Квазистационарно електромагнитно поле 293
заряди, поради наличието на експоненциалния фактор в (21.29) те се раз-
сейват бързо (в сравнение с характерните за квазистационарното поле
времена). Следователно за хомогенни метали може да се счита, че е из-
пълнено условието
(21.30)
divE = О,
което бе в сила и за стационарния случай (срв. с (18.11)). В този случай
д Н
чрез диференциране на (21.1,6) по времето, заместване на —— от (21.1,а)
dt
и прилагане на формулата (А.48) с отчитане на (21.30)) се получава
(21.31)
От съображения за симетрия е ясно, че за описания по-горе конкретен
случай решение на уравненията на полето вътре в проводника следва да
се търси от вида
(21.32)
Е = (Е,0,0).
ЭЕ
От (21.32) и (21.30) следва, че — =0. И тъй като от същите съоб-
ражения за симетрия следва, че Е не може да зависи и от у, то един-
ствената пространствена променлива, от която може да зависи Е, е z,
т.е. Е = E(t,z). При това положение, ако за търсената функция E(t,z)
се положи E(t,z) = E(z)elu,t, от (21.31) за E(z) се получава обикновеното
диференциално уравнение
(21.33)
Неговото характеристично уравнение а2 = шар има корени
и следователно общото му решение е линейна комбинация от функциите
Частното решение от първи тип, което нараства неограничено в дъл-
бочината на проводника, е явно неприемливо от физични съображения.
Затова, като се има предвид граничното условие (17.20, а) при z 0, за
търсената функция E(z) се получава
Z . Z
(21.34)
Тук констаптата
E(z) = Е$е бе г 6.
(21.35)
/> =
а>ар
294 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
е равна на отчитаното от повърхнината на проводника разстояние, на
което амплитудата на полето намалява е = 2, 71... пъти. Тъй като зави-
симостта на полето от времето е простопериодична, функцията E(t,z) ще
бъде
(21.36)	E(t,z} =
Щом полето е най-силно до повърхнината на проводника, заради връз-
ката I = <тЕ там и плътността на тока ще бъде най-голяма, а в дълбо-
чина ще намалява експоненциално. Именно това явление на намаляване
на плътността на променливите токове в дълбочината на проводника се
нарича скин-ефект, а константата 6 — дълбочина на скин-слоя. От
(21.35) се вижда, че дълбочината на скин-слоя намалява с увеличава-
не на честотата на тока като —=. Същата е зависимостта на д и от
yw
а. Оказва се например, че за меден проводник и полета с честотата на
промишлените токове (^ = 50 Hz)<5 « 2 cm, а при честота 0,5.106 Hz —
<5 ~ 2.10“5 т. Тъй като според тези оценки радиусите а на използваните
в електротехниката проводници обикновено са значително по-малки от 6
(т.е. а < 6), отчитането на скин-ефекта за тях не е задължително. При
радиочестотите обаче 6 <С а и ролята на скин-ефекта е съществена. На-
истина от това, че токът I намалява експоненциално в дълбочината на
проводника, следва, че ефективно той тече само близо до повърхността
— ненавлизането на токовите линии в целия обем на проводника води до
увеличаване на съпротивлението на последния.
Пример. Ла се намери съпротивлението на хомогенен проводник с
проводимост а и форма на прав кръгов цилиндър с радиус а и дължи-
на I за простопериодичен ток с кръгова честота и, ако дълбочината на
скин-слоя удовлетворява неравенството 6 а.
В тема 18 величината съпротивление бе въведена като характеристи-
ка на линейните проводници, която участва във връзката (18.18) между
постоянния ток по един проводник и причините за тока — потенциалната
разлика U' — U" между краищата му и ЕЛН £. Оказа се също така (вж.
(18.21)), че от R зависи и отделената в проводника джаулова топлина.
Сега, преди разглеждането на примера, е необходимо да се обобщи по-
нятието съпротивление така, че да може да се използва и при променливи
токове. Обобщението се прави с помощта на формула (18.21). За просто-
периодичните токове се дефинира характеристиката, наречена ефективна
стойност Jeff. По определение, ако J е амплитудата на тока, то
(21.37)	Jtff = -Lj.
У
Тогава, ако IVj е средната джаулова топлина, отделена за единица време
в проводника, съпротивлението му R се дефинира по такъв начин, че фор-
мула (18.21) да. запазва валидността си и когато в нея вместо W фигурира
W, а вместо J — Jeff, т.е
(21.38)	W=RJ^.
След тези по същество предварителни бележки може да се пристъпи
към разглеждане на посочения пример. Условието 6<о гарантира, че
Квазистационарно електромагнитно поле
295
резултатите, получени за проводник, изпълващ цяло полупространство,
могат да се приложат и в случая на цилиндричен проводник. В този
случай (21.36) ще описва аксиалната компонента на полето, като вместо
със z разстоянието до повърхнината на проводника може да се замести с
а — г (фиг. 21.7). По такъв начин аксиалната компонента на плътността
на тока ще бъде
(21.39)
а —г ./ . а —г \
/(r,t) = ffEoe-~e,\ut-~).
Общият ток през сечението на про-
водника е
а
J(t) = 2тг j I(r,f)rdr
о
= (1 — €)тгаа6Еое1Ш*
= у/2тг<та6Е0Аш'~^.
Според определението (21.37) ефек-
тивната му стойност е
(21.40) Jeff = тгасгбЕ'о.
Тъй като за простопериодични-
те функции се използват комплексни
представяния, средната стойност wj
на плътността на джауловата топлина
се комбинира с (В.11):
Фиг. 21.7
трябва да се пресмята, като (17.44)
Средното количество джаулова топлина, отделена за единица време в
обема на целия проводник, е
Wj =
wjdv ~ ^-ттбааЕп! = т—-—
2	0 2тг6асг
От сравнение™ на този резултат с (21.38) следва
(21.41)
2тг6асг
Ако с s — 2тга6 се означи площта на скин-слоя, т.е. площта на пръсте-
на с външен радиус а и дебелина 6, се вижда, че фактически и в този
1
случаи R = —, т.е. съпротивлението (с точпост до направените прибли-
crs
жения) се описва със същата формула, която бе получена в тема 18 за
съпротивлението по отношение на постоянен ток. Следователно наистина
съпротивлението на проводника за променливи токове се определя само
от напречното сечение на скин-слоя — общото съпротивление на провод-
ника е без значение, поради което например (за икономия на метал) той
може да се направи кух.
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ В
НЕОГРАНИЧЕНИ СРЕДИ
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ
По-нататъшните разглеждания се правят при определени ограничителям
предположения за свойствата на средите, в които се разпространява елек-
тромагнитното поле. До тези ограничения се стига чрез отчитане общите
особености на огро>мен брой интересни за практиката случаи, така че без
да стесняват съществено кръга на разглежданите явления, същевременно
те опростяват силно математическите разглеждания.
Първото от споменатите предположения е, че средите са линейни и
изотропии. Освен това се предполага, че електродвижещите сили в про-
водниците са пренебрежими, т.е. Е* = 0. (С други думи, проводниците
трябва да бъдат достатъчно хомогенни). Накрал се прави и използваното
вече в тема 18 предположение, че е(г), и а(^) не се изменят същес-
твено на разстоянията, на които характеристиките на полето се изменят
съществено. Това позволява в частност да се счита, че например
diveE = Ediv£ + Е.grade « edivE.
(За светлинните вълни от оптичния диапазон последното предположение
е със сигурност оправдано, защото Е и И се изменят съществено на разс-
тояния от порядъка на 10-6т, докато е(г), /i(r) и а(г) търпят съществени
изменения само на значително по-големи разстояния.) Впоследствие ще
се окаже, че наложеното ограничение върху характера на функциите Е, р
и а не изключва възможността с помощта на съответните гранични усло-
вия за Е и Н да се третират и явления върху границата между две среди
с различии свойства, т.е. там, където е, ц или а се изменят много бързо,
със скок.
Паправените предположения позволяват уравненията на Максуел и съ-
ответните им гранични условия (17.46) да се запищат във вида
дН
(22.1,а)	го1й = -д —,	£" — £{ = О,
к/ V
д F
(22.1,6)	rottf = E—+ <тЕ,
\J V
(22.1,в)	div£=*,	е”Е^ — s1 Е'п = ht
296
Електромагнитни ввлни в неограничен^ среди
(22.1, г)	div/7 =-,	д"Я"-/я; = г.
д
297
Ако всяко от полетата Е и Н се представи, както в тема 18, като сума
от надлъжна и напречнасъставяща (вж. (18.2), (18.3) и (18.4)) и предста-
вляете (18.2) се замести в уравненията (22.1), за надлъжните съставящи
се получават съответно системите от уравнения
(22.2)
(22.3)
div#/ =
div/7/ =
</(0
д(г)’
rot#/ = О,
rot Hi = 0.
Съгласно теоремата на Хелмхолц при зададени fc(r, t) и с(г) уравненията
(22.2) определят напълно Ei, а при зададени q(r) и р(г) (22.3) определят
Я/. Тъй като в тези уравнения производни по времето не участват, т.е.
t фигурира само като допълнителен параметър, решаването им може да
стане по методите известии от теорията на статичните полета. По същата
причина свойствата на Ei(r,t) са подобии на свойствата на електроста-
тичните полета с тази разлика, че сега, изобщо казано, Ei зависи и от
времето. Още по-силно твърдение може да се изкаже огносно свойствата
на Hr. доколко в неподвижни среди плътността па фиктивните магнитни
S	dHi п
заряди не зависи от времето, то Hi е чисто статично поле — —- = 0 и
dt
Hi = Й,(г).
Поради гореизложените съображения по-нататък надлъжните полета
не се разглеждат. За получаване на уравнения за напречните полета е
необходимо представянията (18.2) да се заместят в (22.1, а и б). След
отчитане на (18.3, а) се получава
(22.4а)	rotEt =
ot ot
(22.4,6)	rotHt = 8^- + ffEt +6^7- + (?Ei.
ot	ot
Тъй като = 0, уравненията (22.4, а) представлява връзка само между
dt
напречни полета. За елиминиране на надлъжните полета и от (22.4, б),
може да се използва уравнението на непрекъснатостта (1.11), което пред-
вид връзката I = сгЕ и условието (18.3, б) има вида
дк -
— 4- diver/?/ = 0.
ot
(22.5)
дк
Производната — може да се намери чрез диференциране на (22.2). За-
at
местването й в (22.5) дава връзката
(22.6)
div(£^- -I- aEi) = 0.
298 Електромагиитни взаимодействия в непрекзснати среди
Уравнението (18.3, а) обаче гарантира, че и
dEi
(22.7)	rot(e-^ + vEi) = 0.
Тогава от (22.6) и (22.7) по теоремата на Хелмхолц следва, че
£^ + <7Ё| = 0.
dt
По такъв начин се оказва, че последните две събираеми в дясната стра-
на на (22.4, б) се унищожават взаимно и въпросното уравнение също се
превръща във връзка само между напречни съставящи на полето.
От комбинирането на (22.4) и (18.3, б) за напречните съставящи на
електромагнитното поле се получава системата
- дН
(22.8,a)	rot#	=
-* дН —
(22.8,6)	rotH	=	+	аЁ
(22.8,в)	div Я = 0
(22.8,г)	divH = 0
в която индексът “t” е изпуснат, тъй като по-нататък се разглеждат само
напречни полета.
Поради причини, които се изясняват по-долу, електромагиитни полета,
удовлетворяващи системата (22.8), се наричат електромагиитни вълни.
ТЕЛЕГРАФНО И ВЪЛНОВО УРАВНЕНИЕ
Директното решаване на (22.8) се затруднява от факта, че всяко от урав-
ненията съдържа по няколко от неизвестните компоненти на векторите
Е и Н. Неизвестните функции може да се разделят, като се образува
ротация от двете страни на всяко от уравненията (22.8, а и б). Чрез
използване на (А.48), (22.8, в и г) и заместване на получените при ди-
ференцирането rotF и rot// съответно от (22.8, а и б) се получават две
векторни уравнения:
о2 гр	Q ГР
(22.9,a)	-а/i—= 0,
л2 и	air
(22.9,6)	Д/7-^^—=
ot£	at
В тях вече неизвестните са разделсни, т.е. за всяка от компонентите на Е
и // се получава отделно уравнение. Интересен е фактът, че в декартови
координати всяка от тези компоненти удовлетворява уравнение от един и
същ тип
(22.10)	Ди-ер^-^^=0.
atz at
Електромагнитни вални в неограничени среди 299
В математическата физика това уравнение е известно като телеграфно
уравнение.
В случайте на диелектрични среди (т.е. при а = 0) телеграфного урав-
нение се редуцира на познатото вълново уравнение
_	1 д2 F
(22.11,а)	ДЕ-^.^	= 0,
1 И
(22.11,6)	Дн--._ = О,
или за отделните компоненти
(22.12)	ди_^.^ = 0,
където
да”>	*» = WOT
е величина с размерност на скорост, която зависи от мястотр, но не и от
полетата Е и Н, т.е. представлява веществена константа.
Именно фактът, че в диелектрик компонентите на Е и И удовлетво-
ряват същото уравнение, което описва и отместванията от равновесните
положения на частиците на една среда, в която се разпространява меха-
нична вълна, е причина такова поле да се нарича електромагнитна вълна.
Направените разглеждания показват, че щом Е и Н удовлетворяват
(22.8), те удовлетворяват и (22.9) (респ. (22.11)). Обратного твърдение,
изобщо казано, не е вярно — не всеки 6 решения на вълновото уравнение
могат да се разглеждат като решения на уравненията на Максуел. Това
се дължи на факта, че телеграфного и вълновото уравнение се получават
от уравненията на Максуел чрез диференциране (образуването на рота-
ция от (22.8, а и б)) и като уравнения от втори ред притежават, грубо
казано, много повече решения, отколкото изходната система (22.8).
Уравненията (22.ip) и (22.11) са удобни поради факта, че за решава-
нето им съществуват добре разработени математички методи. Във всеки
конкретен случай обаче, след като се намерят техни решения от опре-
делен тип, следва допълнително да се провери при какви условия те са
решения и на уравненията на Максуел (22.8).
ПЛОСКИ ВЪЛНИ В ДИЕЛЕКТРИЦИ
Една електромагнитна вълна се нарича плоска, ако компонентите на Е и
Н зависят от компонентите на радиус-вектора само посредством комби-
нацията
(22.14)	п.г = £,
където п е константен единичен вектор (?г2 = 1), т.е. ако
(22.15)	E(r,t) = E(n.r,Z),
300 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Тъй като (22.14)е уравнение на равнина с нормален вектор п, отстояща
от началото на координатната система на разстояние £, от определението
за плоска вълна следва, че във всички точки на равнината п.г = £ коя да е
от компонентите на Е или Н ще има една и съща стойност — факт, който
оправдава
Нека
(22.16)
наименованието на този тип вълни.
u(r, t) = u(n.f, t)
е коя да е компонента на една плоска вълна. Шом разглежданията се ог-
раничават до диелектрици, и трябва да удовлетворява вълновото урав-
нение (22.12). Затова е необходимо първо да се провери дали то допуска
решения от типа (22.16). За целта е необходимо преди всичко да се прес-
метне лапласианът от (22.16). С помощта на (А.47), (А.23), (А.42) и
(А.35) се получава
Ди = divgradu(f,/) =
д2и
д£2'
Заместването на този резултат в (22.12) води до уравнението
(22.17)
д2и 1 д2и _
дё ~ ^ dt2 ~ °’
Чрез смяна на независимите променливи
. е .л
р = t--и q = I 4- -
v	v
то може да се приведе във вида
(22.18)
dpdq
Уравнение от същия тип се получи при намиране на закъсняващите по-
тенциали (вж. тема 18). Както и там, чрез двукратно интегриране на
(22.18) за общото решение се получава
(22.19)	« = ЛИ + Л(«),
където /1 и /а са две производни функции, но вече по на една независима
променлива. По съображения, които ще се изяснят по-късно, решения от
типа /а(?) не са интересни и затова не се разглеждат.
И така изискването компонентите на плоската вълна да удовлетворя-
ват вълновото уравнение редуцира броя на независимите променливи, от
които зависи и, до една:
(22.20)	E(f,t) = E(t-^-) и Я(г,<) = #(<-—).
И доколкото по-горе бе изяснено, че не всеки две решения Е и Н на
(22.11) са решения и на (22.8), по-нататък следва да се види какви ог-
раничения върху функциите Е(г) и Н(т) се налагат от изискването те да
удовлетворяват и (22.8), като тук с т е означена променливата
(22.21)	r = t-—.
v
Електромагнитни вълни в неограничени среди
301
производните
За целта с помощта на (А.24) и (А.25) се пресмятат
дН _ dH
dt dr ’
Гг 1 -
rot// = —п
V
Ай
div// = п,——.
v dr
води до система от обикновени ди-
dE
X -т-
dH
дЁ_ _dE_
dt dr ’
- 1 -
toIE = —п
v
V Г l-d^
divb = п.-т—,
v dr
Заместването им в (22.8) (при а = 0)
ференциални уравнения
1 _ дЁ	dH
v _ dr	dr
^dE п
п.—— — 0
dr
които могат да се интегрират по т
небрегнат адитивните константи, тъй като те не зависят от времето, а
статичните полета в случая не представляват интерес, се получават връз-
ките
dH dE
* dr~ € dr
dr=°’
непосредствен©. След като се пре-
1 _
— п
V
.. dH
п.
X
(22.22,а)
(22.22,6)
Н = — п
pv
Ё = —п
EV
Ё.п = 0,
х Ё,
х Н,
Н.п = 0.
вълновото уравнение представля-
(22.22,в)
(22.22,г)
Те показват, че решенията (22.20) на
ват електромагнитна вълна само тогава, когато функциите Ё(/ - —) и
Й (/ - ^-) във всеки момент от времето и във всяка точка на пространст-
вото удовлетворяват връзките (22.22).
От (22.22, виг) следва, че както електричното, така и магнитното
поле в плоска вълна са перпендикулярни на вектора п, т.е. те лежат
в равнината п.г = £. Освен това (22.22, а) показва, че Е и Н са пер-
пендикулярни и помежду сиг така че трите вектора n, Е и Н образуват
дясна тройка взаимноортогонални вектори. Нещо повече, (22.22, а или
б) показват, че Ё и Н не са независими един от друг вектори. Така нап-
ример от (22.22, а) следва, че Н се получава от Е чрез едно въртене
около п в директна посока на ъгъл 90° и умножаване с константата —.
ди
Това позволява по-нататък при изследване на вълната вниманието да се
„	Л/ П.Т\
съсредоточи само върху свойства на вектора E\t-----).
Условието (22.22, в) представлява допълнителна връзка между ком-
понентите на Ё, така че само две от тях могат да се разглеждат като
независими. Ако вълната се изследва спрямо координатна система, ап-
ликатата на която е еднопосочна с п, т.е.
(22.23)	п = (0,0,1),
302 Електромагнитни взаимодействия в непрекеснати среди
тогава от (22.22, в) следва Ег = 0 и като независимы може да се изберат
проекциите на Е върху останалите две оси, лежащи в равнина, ортого-
нална на п.
Ако с помощта на (19.20), (18.41) и (22.22, а) се пресметнат плътнос-
тите на енергията на електричното и на магнитното поле на вълната, се
получава
(22.24)	w. = wm = е-Ё2 = %Н2.
Следователно в диелектрик плътността на енергията на плоската елект-
ромагнитна вълна е разделена по равно между електричното и магнитното
поле. Общата плътност на енергията на полето е
(22.25)	wem = we + wm = еЁ2.
По подобен начин от (20.7) и (22.22, а) за вектора на Умов — Пойн-
тинг се получава
(22.26)	S = Ё х Н = — Ё2п.
pcv
Тъй като е, /1 и и са свързани с (22.13), от (22.25) и (22.26) следва
(22.27)	S = vwemn.
По определение wem е енергията в единица обем, a S — количеството
енергия, пресичаща за единица време единица площ, поставена перпенди-
кулярно на посоката на разпространение на енергията. Видът на форму-
ла (22.27) показва, че електромагнитната енергия на полето на плоската
вълна се разпространява в посока на единичния вектор п със скорост,
която съвпада с въведената чрез (22.13) величина v. По такъв начин на
п и v може да се придаде следния физичен смисъл: те задават посоката
и големината на скоростта, с която се пренася енергията в една плоска
вълна.
Ако подобии разглеждания се направят за решенията на вълновото
уравнение, които зависят от променливата q = / + —, би се получило, че
v
на тях съответстват вълни, в които енергията се пренася в посока, обрат-
на на п. Това обаче не е достатъчно основание, за да бъдат обсъждани
по-подробно решения от този тип.
МОНОХРОМАТИЧНИ ВЪЛНИ В ДИЕЛЕКТРИЦИ
Една електромагнитна вълна се нарича монохроматична, когато всички
компоненти на Е и Н са простопериодични функции на времето с една и
съща кръгова честота cu. С други думи, ако и(г,/) е коя да е от тези ком-
поненти и се използва комплексното представяне за простопериодичните
функции (В.7), то
(22.28)	u(f,t) = U(r)eiu>t,
където U(г) е комплексната амплитуда на съответната компонента.
Електромагнитни вълни в неограничени среди 303
Тъй като при комплексного представяне на простопериодичните фун-
кции операцията диференциране по времето се свежда до умножение с iw
(В.8), от (22.8, а) следва, че за една монохроматична вълна е изпълнено
равенството
Гг -1 я
Н = -—rotE,
гшр
т.е., както и за плоската вълна, магнитното поле се определя напълно от
електричното.
Заместването на (22.28) във вълновото уравнение (22.12) води до
уравнение за амплитудата U(r) от вида
си2
(22.29)	&U + — U = 0.
В математическата физика то е известно като уравнение на Хелмхолц.
Известно е, че при достатъчно широки условия върху поведението на
функцията U(г) тя може да се представи във вид на интеграл на Фурие:
(22.30)	[/(f) = У [/(/С)е“<й fd3/C,
където U(JC) е фурие-компонентата на [/(f), съответстваща на вълнов век-
тор К,. Заместването на представянето (22.30) в уравнението на Хелмхолц
(22.29) води до равенството
У С/(Г)(/С2 - ^е~^?<13К = 0,
което показва, че между кръговата честота ш на вълната и големината
k = |/С| на вълновия вектор, наречена вълново число, съществува опре-
делена връзка:
(22.31)	k=-.
V
Тази връзка остава валидна и когато едно от ограничителните предполо-
жения, при които тук се развива теорията на електромагнитните вълни
— предположението, че е и р са веществени константи, не е изпълнено.
Това е случаят на вълни в диспергиращи среди, за които връзки от ти-
па (17.8) и (17.16) могат да се запишат само за монохроматични вълни.
В този случай е и р зависят от една от характеристиките на полето -
неговата честота, откъдето следва, че и скоростта на вълната ще зависи
от w: v = v(w). Тогава, ако (22.31) се реши спрямо w, се получава връзка
от типа
(22.32)	w = w(fc),
наречена дисперсионна формула. Конкретният вид на функцията о>(А:)
зависи от вида на градивните частици на средата, от тяхното взаимо-
действие и от физического състояние на средата.
И така изискването една монохроматична вълна да удовлетворява въл-
новото уравнение води до връзката (22.32) (или (22.31) при липса на дис-
персия) между нейната кръгова честота и вълновото число на всяка от
нейните компоненти.
304 Електромагнитни взаимодействия в непрекбснати среди
Ако представянето (22.30) се замести в (22.28) и се отчете (22.31), за
монохроматичната вълна се получава
(22.33)	u(r,t) = Zl7(/C)e‘(u'f-^r’W = j	d3IC,
където п = K,/k.
Равенството (22.33) показва, че всяка монохроматична вълна може да
се представи като суперпозиция от плоски монохроматични вълни, тъй
като изразът Ее'ш' v ' в подинтегралната функция удовлетворява оп-
ределенията и за плоска, и за монохроматична. вълна. Това. нал ага да се
отдели по-голямо внимание на изучаването на плоските монохроматични
вълни.
ПЛОСКИ МОНОХРОМАТИЧНИ ВЪЛНИ В ДИЕЛЕКТРИЦИ
Като се има предвид, че компонентите на Е и II са равни на реалните
части на използваните дотук комплексни представяния за простоперио-
дичните функции, може да се заключи , че зависимостта от г и t на коя
да е от тези компоненти на една плоска монохроматична вълна ще бъде
(22.34)	u(f,/) = acos[cu(f — —) + у?],
където а и <р са съответно модулът и фазовата константа на комплек-
сната амплитуда V на съответната компонента, т.е. в означенията от
(22.33)
(22.35)	U = aei,p.
Величината
,	j") г
(22.36)	<D(f,t) = w(Z-—)+^
v
се нарича фаза на компонентата на вълната. Фазите на различимте
компоненти па Е и Н се различават евентуално само по стойностите на
фазовите константи <р.
Тъй като созФ е периодична функция с период 2тг, при нарастване на
фазата с 2тг поради промяна на t или г стойностите на u(r,/) също ще се
изменят периодично. Времето, за което Ф при фиксирано г нараства с
2%, се нарича период на вълната и се бележи с Т. Записано във вид на
равенство
Ф(г, t + Т) - Ф(г, t) = 2тг,
това определение, комбинирано с (22.36), дава връзката между периода
и кръговата честота на вълната
(22.37)	Т=—.
си
Следователно във всяка точка на пространството компонентите на Е и Н
се изменят простопериодично с времето с период Т или с честота
1 ш
(22.38)	i/=- = —.
’	Т 2тг
Електромагнитни osahu в неограничени среди 305
Съвкупността от точките с една и съща фаза се нарича фаэова по-
върхнина. От (22.34) се вижда, че във всички точки от една фазова
повърхнина коя да е от компонентите на Е и Н има еднакви стойности.
От определението следва, че уравнението на фазовата повърхнина, върху
която фазата на вълната е а, има вида
/ п.т\	_ .	— а
(22.39)	w(t------) + <z> = а или п.г =-----v + vt.
v	ш
Тъй като това е уравнение на равнина, следва, че фазовите повърхнини
са равнини, успоредни една на друга и ортогонални на п, като отстоят от
началото на координатната система на разстояние
V
£(t) = v/-|-(y>-(*)-.
U)
За дадена фазова повърхнина (т.е. при фиксирано а) £ е функция на вре-
мето, т.е. равнината се движи в пространството, оставайки ортогонална
на п. Скоростта на това движение е
— = V.
dt
Поради тази причина v се нарича още фазова скорост на вълната. По-
лученият резултат показва, че за плоските монохроматични вълни в ди-
електрици фазовата скорост е равна на скоростта, с която се пренася
енергията на вълната, и зависи само от свойствата на средата.
И така, щом фазовите повърхнини се движат, цялата картина па раз-
пределението на полето ще се транслира в пространството със скорост v
в посока на вектора п.
По определение разстоянието между две фазови повърхнини, разлика-
та във фазите на които е 2тг, се нарича дължина на вълната А. Ако п и
г*2 са радиус-векторите на две точки от такива повърхнини, според това
определение:
Ф(г1,/) - Ф(г2, t) = 2тг.
Оттук и от (22.36) сё получава
—п.(г2 — Г1) = 2тг
V
и тъй като n.(f2 — и) е точно разстоянието между равнините, то
(22.40)	А = — v = - = Tv.
Ш У
И така, в един фиксиран момент t картината на вёкторите Е и Н е ед-
наква върху всички равнини, перпендикулярни на п и отстоящи на равни
разстояния А една от друга. Обратно — в дадена точка (т.е. при фик-
сирано г) стойностите на компонентите на Е и Н се повтарят с времето
през период, равен на Т.
По-нататък е нужно да се изеледва по-подробно поведението на век-
тора Е(г\ <) в дадена точка. Удобно е разглеждането да се направи ,в
306 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
координатната система, спрямо която е изпълнено (22.23), тъй като в нея
различии от нула са само Ех и Еу. Доколкото в тази система n.r= z, то
(22.41 ,а)	Ех = a cos [w(t-)+у?],
(22.41,6)	Еу = 6cos[<u(t - -) +
(22.41,в)	Ег = 0.
От (22.41) се вижда, че една плоска монохроматична вълна е определена
със седем реални параметъра: кръговата честота си, единичния вектор п,
реалните амплитуди а и b и фазовите константи и V’-
Траекторията, описвана от края на вектора Е в дадена точка, може да
се намери, като (22.41, а и 6) се запишат във вида
а
= cos a cos cut — sin a sin cut,
b
= cos (3 cos cut — sin (3 sin cut,
където a = ----z и /? = --z. Ако тази система се реши спрямо coscut и
v	V
sin cut и намерените изрази се заместят в тъждеството cos2 cut + sin"cut = 1,
се получава равенството
(22.42)	“Т + ТГ “	cos(y> - ^) = sin2(y> -
a* о ab
Плоска монохроматична вълна,
в което вече времето не фигурира,
т.е. това е търсената траектория.
Резултатът показва, че краят на век-
тора Е се движи по крива от втора
степей и тъй като според (22.41) Ех
и Еу са ограничени, тази крива мо-
же да бъде само елипса (фиг. 22.1).
Фактът, че в (22.42) не фигурира ра-
диус-векторът, показва, че във всич-
ки точки на пространството елипси-
те, по които се движи краят на Е, са
еднакви и еднакво ориентирани спря-
мо координатните оси. От фиг. 22.1
се вижда и геометричният смисъл на
амплитудите а и 6. На същата фигу-
ра е изобразена и елипсата, по която
се движи краят на вектора Н (съг-
ласно равенството (22.22, а)).
в която краят на вектора Е описва
елипса, се нарича елиптично поляризирана.
В частния случай, когато а = 6и<р-^ = (2fc + 1)у, където к е цяло
число, елипсата (22.42) се изражда в окръжност:
(22.43)
Е2 + Е2 = а2,
Електромагнитни вълни в неограничени среди 307
поради което в този случай вълната се нарича кръгово поляризирана.
Ако пък р — гр = kn, елипсата се изражда в двойна отсечка:
(22.44)	(—±ф-)2 = 0.
а b
В този случай краят на Е остава върху отсечка, минаваща през точката,
в която се разглежда полето. Ъгловият коефициент на правата, върху
Ь	и	<_>
която лежи отсечката, е =р-. В този случаи вълната се нарича линейно
а
поляризирана.
Равнината, определена от посоката на разпространение на вълната и
малката полу ос на елипсата (22.42), се нарича равнина на поляризаци-
ята, а равнината, определена от посоката на разпространение и голямата
полуос — равнина на трептенето. (Очевидно е, че за кръгово поляри-
зирани вълни тези две равнини не са определени.)
Векторът
(22.45)	i=^x7
2 at
се нарича площна скорост на вектора Е, тъй като големината му е равна
на описаната от Е за единица време площ. От (22.41) следва, че различ-
на от нула може да бъде само z-ата компонента на а. Резултатът от
пресмятането й дава
(22.46)	аг = ^wabsin(<£> — гр).
Това равенство показва, че за всички точки на пространството площна-
та скорост на Е е постоянна с времето величина. Вижда се още, че при
0 < <р — гр < 7г векторите а и п са еднопосочни — подобна вълна се на-
рича ляво поляризирана. Гледано срещу посоката на п, движението
на Е по елипсата за ляво поляризирана вълна става в директна посока,
т.е. обратно на движението на часовниковата стрелка. Обратно — при
-% < <р — гр < 0 векторите 5 и п са с противоположни посоки и, гледа-
но срещу п, движението на Е се извършва по посока на движението на
часовниковата стрелка. В този случай вълната е дясно поляризирана.
Накрая следва да се пресметнат плътностите на енергията и на енер-
гетичния поток за една плоска монохроматична вълна. Тъй като обаче
E(r,t) за всички интересни за практиката честотни диапазони (дори за
най-дългите радиовълни) е бързопроменлива функция на времето, инте-
ресни са само средните по време стойности на шегп и S. Като се отчете,
че cos2(w< + <р) = i от (22.24), (22.27) и (22.41) се получава
Л
(22.47)	0^7 = |(а2 + 52),
(22.48)	5= ^(a2 + 6’)n.
Вижда се, че средните по време стойности на шет и 5 не зависят и от
мястото. Големината на вектора S обикновено се нарича интензитет на
вълната.
308
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Едно сравнение между получените тук формули за плоските монохро-
матични вълни и съответните формули за електромагнитното поле в да-
лечната зона на пространствено ограничено монохроматични източници
(тема 10) показва, че в области с размери, малки в сравнение с разсто-
янието до източника (т.е. когато г и го могат да се считат постоянни),
електромагнитното поле на източника може да се разглежда като плос-
ка монохроматична вълна. Това е всъщност и начин за получаване на
подобии вълни.
ПЛОСКИ МОНОХРОМАТИЧНИ ВЪЛНИ В ПРОВОДНИЦИ
Изследването на електромагнитните вълни в проводници се усложнява
от факта, че поради крайната стойност на проводимостта <т в съгласие с
формула (17.44) в средата ще става непрекъснато преобразуване на енер-
гията на вълната във вътрешна енергия на средата (отделя се джаулова
топлина). Затова следва да се очаква, че при разпространение в провод-
ници електромагнитната вълна ще губи постепенно енергията си, т.е. ще
затихва.
Поради споменатото усложнение разглежданията поначало се ограни-
чават само върху монохроматични вълни. Като се използва комплексного
представяне за простопериодичните функции (В.7), Е(г,/) и H(r,t) в слу-
чая могат да се запишат във вида
(22.49)	Ё(гJ) = Ё(г)е'ш* и Я(г,<) = Я(г)е‘ш<,
където Е(г) и Н(г) са комплексните амплитуди на двете полета. Формула
(В.8) позволява за комплексните представяния на полетата да се запишат
връзките

1 dH(f,t)
iu dt
dE(f,t) _ _1_ d2E(f,t)
dt iu dt2
dH(f,t) _ d2H(r,t)
dt iu> dt2

С тяхна помощ на основните уравнения за електромагнитните вълни в
проводящи среди (22.8) и (22.9) може да се придаде следният вид:
(22.50,а)
div Ё = 0,
div/? = 0,
(22.50,6)
-
ю1Е =
Ю1Н = е(1 +
гше dt
SE - де(1 + -Д-)	= 0,
гш£ dt2
.	a xd2H
SH - рг(1 + -—)	= 0.
гшг' dt2
Едно сравнение между (22.50) и уравненията, които определят полето в
случая на диелектрици (т.е. при а = 0), показва, че единствената раз-
лика между тях е наличието на допълнителния множител (1 + -^-) там,
' 1ШЕ '
Електромагнитни вълни в неограничени среди 309
където при диелектриците участва константата е. Следователно изслед-
ването на електромагнитните вълни в проводници може да се проведе по
същата схема, по която бяха изследвани свойствата на монохроматични-
те вълни в диелектрици, като във всички получени формули за полето в
диелектрици се извърши замяната
(22.51)	€ —б(1 + А).
Принципната разлика между уравненията на полето в диелектрици и
(22.50) е в това, че коефициентите на последните зависят не само от ха-
рактеристиките на средата (е, р, и а), но и от една от характеристиките
на полето — неговата кръгова честота со. Това още веднъж напомня, че
всички изложени по-долу резултати са валидни само за монохроматични
вълни, т.е. за случая, когато со има точно определена стойност.
Шом компонентите на Е и Н удовлетворяват (22.50, б), което е подоб-
но на вълновото уравнение (22.11), може да се твърди, че в проводящите
среди може да съществуват плоски монохроматични вълни, т.е. (22.50, б)
допускат решения от вида
(22.52,а)	Е(г,0 = Ёое^-^\
(22.52,6)	Н(г4) =
където Ео и Но са два константни вектора с комплексни компоненти, на-
речени комплексни амплитуди на Е и Н, а константата и се определя не
от връзката (22.13), а съгласно (22.51) от равенството
(22.53)
1
и = —	------.
По-удобно е вместо чрез комплексната величина и чрез връзката
(22.54)
1 _ 1 — гх
и w
да се въведат двете реални величини w и х. Величината w има раз-
мерност на скорост и се нарича скорост на вълната, а безразмерната
величина х се нарича коефициент на затихване. (Смисълът на тези
названия се изяснява по-долу.)
След заместване на представянето (22.54) в (22.52) се получава
(22.55,a)	£(r,t) = Ёое~ w	,
(22.55,6)	Я(г,<) = Яое_ёх(ЙУ)е,ъ(‘-1^).
Тези функции са решения на вълновото уравнение. Както бе изяснено
по-преди обаче, те трябва да удовлетворяват и уравненията на Максуел.
Заместването на (22.55) в (22.50, а) води до допълнителни връзки между
Е, Н и п от вида
(22.56,а)	Е.п = 0, Я.п = 0,
(22.56,6)	Н = ——пхЁ, Ё= -^-н хп,
p.w	1 — гх
310 Електромагнитни взаимодействия в непрекгснати среди
които очевидно представляват едно обобщение на (22.22). От (22.56, а)
се вижда, че както в диелектриците, така и в проводниците векторите Е
и Я са перпендикулярни на посоката п на разпространение на вълната,
а (22.56, б) показва, че и в проводниците магнитното поле се определя
напълно от електричното (и обратно).
Лко вълната се разгледа относно координатна система, в която п има
вида (22.23), различии от нула ще бъдат само първите две компоненти
на Eq, т.е
(22.57)	Ёо = (ае^.бе^.О).
Като се заместят (22.57) в (22.55, а) и се отчете, че в избраната систе-
ма n.r = z, за реалпите компоненти на електричното поле се получават
изразите
(22.58,а)	Ех(г,Г) = ае~шйг cos[u?(t —	>
(22.58,6)	Ey(r,t) = 6e“ww2 cos[w(/ — —) 4-i/>\,
(22.58,в)	Ex(f,t) = 0.
Сравнението на (22.58) с (22.41) показва, че и сега електричното поле
представлява една вълна, чиито фазови повърхнини са перпендикулярни
на п, че краят на вектора Е в дадена точка на пространството отново ще
се движи по елипса и т.н., т.е. съществува тясна аналогия между раз-
пространението на плоските монохроматични вълни в диелектрици и в
проводници.
В същото време обаче между тези два процеса съществуват и същес-
твени различия. Преди всичко в проводяща среда фазова скорост на
вълната е не v = 1/^/ё/Т, а определената с (22.54) константа w и, което е
най-същественото — фазовата скорост зависи от кръговата честота ш на
вълната, т.е. в метали по принцип съществува дисперсия.
Втората съществена разлика между двата случая е, че сега амплиту-
дите на Ех и Еу не са едни и същи във всички точки на пространството
X
— те зависят от мястото посредством множителя е ши>г. Наличието му
показва, че с навлизане в средата (т.е. при нарастване на г) амплитудите
затихват експоненциално и при това толкова по-бързо, колкото по-големи
са коефициентът на затихване х и кръговата честота w. Както бе спо-
менато, причина за това затихване е отделянето на джаулова топлина в
проводниците. Величината
(22.59)	d=—,
шх
която има размерност на дължина, очевидно дава разстоянието на кое-
то амплитудата на вълната намалява е = 2,71 пъти. Тази величина се
нарича дълбочина на проникването.
Третата разлика сс получава от анализа на първото от съотношени-
ята (22.56, б). Наличието на комплексния множител (1 — гх) показва, че
фазите на компонентите на	се получават от фазите на компонен-
тите на E(f, f) чрез добавяне на величината 6 = —arctgx. (Комплексното
Електромагнитни ввлни в неограничени среди 311
число 1 — гх може да се представи във вида 1 — гх = >/1 + x2e“’arctgx.)
Следователно в проводяща среда векторът Я, макар и перпендикулярен
на п, изобщо казано, няма да бъде перпендикулярен на Е, а ще изостава
по фаза от него на постоянен ъгъл arctgx.
Накрал четвъртата съществена разлика засяга разпределението на
енергията на вълната между електричното и магнитното поле. Наистина
съгласно (19.20) и (В. 11) за средната стойност на плътността на елект-
ричната енергия може да се напише изразът
= ||Е|2.
По аналогичен начин от (18.41), (В.11) и (22.56) се намира и израз за
средната по време плътност на енергията на магнитното поле:
wm =
4	4 /гм2
От изразите за we и мП1, като се отчете, че съгласно (22.54) величината
~ iuj£
е реална и положителна, за отношението w^/wm се получава.
we	(1 — гх)2	|1 — гх|2
=	= |1-<хР(1+^) = |1-.хР|1+^|
= 11+&Г
Следователно за разлика от случая в диелектрици средната плътност
на електричната енергия на вълната в проводници не е равна на средна-
та плътност на магнитната енергия. При добрите проводници (металите)
дори в оптичния диапазон на честотите е изпълнено съотношението
(22.60)	— > 1,
ше
така че при тях we/wm ~ — <С 1, т.е. енергията на електричното поле е
СТ
пренебрежимо малка спрямо енергията на магнитното. Поради това обик-
новено се казва, че електромагнитното поле в проводниците има предимно
магнитен характер.
Доколкото всички изброени различия са свързани с величините w и
х, следва да се разгледа по-подробно тяхната зависимост от характерис-
тиките на средата и от м. За целта е необходимо да се отделят реалната
от имагинерната част на дефиниционното равенство (22.53) и получените
две реални уравнения да се решат спрямо w и х. В резултат на тези
действия се получава
(2261)	= |^У1+Ф2 + 1).
(22.62)	х = — (</1 + (—)2-1).
(7 V
312
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
(Знаците пред квадратните радикали са избрани така, че при а = 0 да се
получават известните резултати за диелектрици, т.е. w♦ v = 1/у/ер и
х —0.)
В случая на лоши проводници и немного ниски честоти, т.е. когато
е изпълнено условието — < 1, изразите (22.61) и (22.62) за w и х се
1л>£
редуцират на
(22.63)
1	а
w ~ ——	и х ~	.
В този случай скоростта на разпространение на вълната не зависи от
кръговата
(22.63) се
честота (няма дисперсия). Ако получените изрази за х и w от
заместят в (22.59), за дълбочината на проникване се получава
т.е. и тя не зависи от честотата.
Както бе отбелязано по-горе, при добрите проводници е изпълнено ус-
ловието (22.60). За тях от точните формули (22.61) и (22.62) се получава
(22.64)
В този случай за дълбочината на проникване от (22.59) се получава из-
разът
(22.65)
d %
който съвпада с определената чрез формула (21.35) дебелина на скин-
слоя за квазистационарното поле. Като се вземат предвид дадените при
изучаването на скин-ефекта оценки, се вижда, че на практика високочес-
тотните полета въобще не проникват в дълбочината на добрите провод-
ници, затихвайки бързо още в един тънък слой около повърхността им.
Накрая следва да се отбележи, че щом в добрите проводници х « 1,
от равенството 6 = -arctgl = - — следва, че в този случай магнитното Поле
Н изостава от електричното Е по фаза на ъгъл —.
23
ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ В
ОГРАНИЧЕНИ СРЕДИ
ПРЕЧУПВАНЕ И ОТРАЖЕНИЕ
В тема 22 бе разгледано разпространението на електромагнитни вълни в
неограничени хомогенни и изотропии среди. Когато средата е ограниче-
на, т.е когато съществуват повърхнини, върху които веществените конс-
танти е, /1 и а търпят скок се наблюдават нови явления, известии като
пречупване и отражение на електромагнитните вълни, за чието обясне-
ние е необходимо да се използват граничните условия, удовлетворявани
от компонентите на полето. Най-простият случай, с който започва изу-
чаването на тези явления, е случаят, когато средата е диелектрик и е
ограничена само от една страна, като границата й е плоска.
И така нека хомогенен диелект-
рик с диелектрична проницаемост fo
и магнитна проницаемост ро изпъл-
ва цялото пространство над безкрай-
ната равнина S". (Означаването на
константите с £о и до не означава
непременно, че над S* пространство
е вакуум.) Нека веществените конс-
танти, които характеризират среда-
та от другата страна на граничната
повърхнина S*, са съответно £, р и <т
(засега се допуска, че втората среда
може да бъде проводяща). Гранич-
ната повърхнина се счита ориенти-
Фиг. 23.1
рана от първата среда към втората
и нейният единичен нормален вектор е означен с /7 (фиг. 23.1).
Нека една плоска монохроматична вълна с кръгова честота ш се раз-
пространява в първата среда по посока на единичния вектор п, който
сключва остър ъгъл с р, т.е. п.и > 0. Тъй като такава вълна непременно
достига до S*, тя се нарича падаща вълна. Равнината S, определена от
векторите п и р, се нарича равнина на падане, а ъгълът 0 между тези
вектори — ъгъл на падането.
Според резултатите от тема 22 комплексните представяния на полето
на падащата вълна имат вида
_	—	• П.г \	Й.Г X
(23.1)	E(r,t) =
313
314 Електромагнитни взаимодействия в непрекаснати среди
където комплексните амплитуди Ёо и Hq са Константин вектори, които
съгласно (22.22) удовлетворяват връзките
(23.2)	Eo.fi = 0 = Но.п, Hq = —n х Eq.
Hoc
„ 1
С с = ——= тук е означена скоростта на вълната в първата среда.
Очевидно е, че във втората среда, в която скоростта на вълната е
и, вълната не може да има същите амплитуди и да се разпространява
в същата посока, защото в този случай няма да бъдат удовлетворени
граничните условия (22.1, а и б). За удовлетворяването им може да се
предположи, че наличието на падаща плоска монохроматична вълна по-
ражда още две плоски монохроматични вълни: едната с кръгова честота
ш', разпространяваща се в първата среда по посока на единичния вектор
п', който сключва тъп ъгъл с if, т.е. n'.v < 0, наречена отразена вълна,
и втора, наречена пречупена вълна, разпространяваща се във втора-
та среда с кръгова честота по посока не единичния вектор п", който
сключва остър ъгъл с v, т.е п".и > 0. Оказва се, че това предположение
е достатъчно за удовлетворяване на граничните условия (22.22)и, нещо
повече — от тези условия по единствен начин се определят елементите на
отразената и на пречупената вълна (техните честоти, посоки на разпрос-
транение и комплексни амплитуди). Последният факт заедно с теоремата
за единственост на решението на уравненията на Максуел при съответ-
ните гранични условия гарантира, че освен въпросните — отразена и
пречупена вълни, няма други, породени от падащата вълна.
И така по предположение отразената и пречупената вълна съответно
имат вида
(23.3,a)	E\r,t) =	H'(r,t) = H'Qe^' (‘"V)
(23.3,6)	E"(f,t) = Е^е V-—Я"(г,«) = Я"е|и' V"—
където комплексните амплитуди Е'о, H'Q, Eq и Hq по силата на (22.22)
удовлетворяват връзките
(23.4,а)	Ё'0.п' = 0 = Н'0.п', Н'о =-п' х Ё'о,
Яос
(23.4,6)	Ёо.п" = 0 = HQ.n”, Hq = —п" х
ри
а скоростта и на вълната във втората среда в случая ст / 0 (граница
между диелектрик и проводник) е комплексна величина (вж. (22.53)).
Тъй като в първата среда се разпространяват две вълни (падащата
и отразената), а във втората среда — само пречупената, граничните ус-
ловия (22.1, а и б) за непрекъснатост на тангенциалните компоненти на
електромагнитното поле ще имат вида
(23.5,а)
(23.5,6)
Et(r,t) + E't(f,t) - E"t(f,t) = 0, г G S*,
Ht(r, 0 + Я\(г, 0 - H"t(r, 0 = 0, reS*
Електромагнитни вълни в ограничена среди 315
където с индекс е означена проекцията на съответното поле (Е, Е',
Е", /7, Н', Н") върху произволен вектор t, тангенциален към S*. Ка-
то се имат предвид представянията (23.1) и (23.3), ясно е, че всяко от
уравненията (23.5) представлява връзка от вида
(23.6)	«"(*-¥) + V) -	= о,
където а, а' и а" са проекциите на съответните комплексни амплитуди
върху вектора t.
От изискването равенството (23.6) да бъде изпълнено във всеки мо-
мент следва равенство на коефициептите пред времето t във всяка от три-
те експоненти
(23.7)	=
Така от граничните условия се получи първият закон, валиден при пре-
чупване и отражение: кръговите честота на пречупената и на отразената
вълна са равни на кръговата честота на падащата вълна.
За извеждане на други следствия от (23. 6) е необходимо да се въведе
подходяща координатна система. В случая е удобно началото на послед-
ната да се разположи върху S*, оста Ох да се насочи по пресечницата
на равнината на падане S с граничната повърхнина S’*, и то така, че да
се сключва остър ъгъл с п, апликатата да се избере еднопосочна с век-
тора р, а оста Оу — така, че трите оси да образуват дясна координатна
система. При този избор единичният вектор п има компоненти
(23.8)	п = (sin 0,0, cos#),
а точките от S* се характеризират със z = 0. Компонентите на п' и п",
които са неизвестни, може да се означат съответно с
п' = «^,У) И п" = {a",fl"n").
При това положение, щом z = 0, скаларните произведения п'.г и п".г ще
бъдат
п'.г = а'х + /?' у,п" .г — а"х + fl" у.
Тъй като равенството (23.6) трябва да бъде изпълнено за всяка точка
от S’*, т.е. за произволни стойности на х и у, както при получаването
на (23.7), следва да се приравнят коефициентите пред х и у във всяка от
трите експоненти. Така се получават равенствата
(23.9,6)	0 = fl' = fl".
От равенствата (23.9, б) следва вторият закон, който гласи, че три-
те вектора п, п' и п" са компланарна, т.е. векторите п' и п" лежат в
равнината на падансто. Ако с О' и се означат ъглите, заключени съот-
ветно от п' и —и, от една страна, и п" и и — от друга, наречени ъгъл
на отражението и ъгъл на пречупването, тогава компонентите на п' и
п" ще бъдат
(23.10)
п' = (sin#', 0, -cos#') и п" = (sin</>, O.cosy?).
316 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
От (23.9, а) и (23.10) се получават последимте два закона
(23.11)	0'=0,
sin 0 с
---= - = п,
sin т? и
т.е. ъгълът на отражението е равен на ъгъла на падането, а отношението
на синусите на ъглите на падане и пречупване не зависи от ъгъла на падане
и е равно на отношението от фазовите скорости на вълните в двете среди.
Това отношение п се нарича показател на пречупване на втората среда
спрямо първата. Равенство (23.12) се нарича закон на Снелиус. Ко-
гато и втората среда е диелектрик, показателят на пречупване е реална
величина.
Равенствата (23.7), (23.9, б), (23.11) и (23.12) изразяват така нарече-
ните кинематични зависимости при пречупване и отражение. Те опреде-
лят посоките на отразената и пречупената вълна и не отчитат векторния
характер на полетата.
ФОРМУЛЫ НА ФРЕНЕЛ
Тъй като въз основа на кинематичните зависимости множителите exp{iu(/-
—)} в равенство (23.6) са равни, в граничните условия (23.5) те се сък-
ращават и последните се превръщат във връзки само между комплексните
амплитуди на падащата, отразената и пречупената вълна:
(23.13,a)	Eot + E’ot - E''t = 0,
(23.13,6)	Hot + H'ot - Я" = 0.
Тъй като съгласно (23.2), (23.4, а и б) Я0) Н'о и Яд могат да се изразят
чрез Яо, Е'о и Eq, второто от последните равенства може да се запише
още във вида
(23.13,в)	—(Й х £„), + —(Й' х Ё')( - —(n" х ЁЦ), = 0.
Нос	ЦоС	ци
Целта е от (23.13, айв) амплитудите Е'о и Eq на отразената и на пре-
чупената вълна да се изразят чрез амплитудата Eq на падащата вълна,
която се счита зададена. За тази цел трябва да се използват три спо-
магателни координатни системни К, К' и К”, свързани с всяка от тези
вълни. Апликатите на всяка от тях се избират еднопосочни с п, п' и
п" съответно, ординатите се избират успоредни на оста Оу, а абсциси-
те — така, че всяка една от трите координатни системи да бъде дясно
ориентирана (фиг. 23.1). Тъй като всяка от трите вълни удовлетворява
съответно условията (23.2), (23.4, а и б), компонентите на Eq, Е'о и Eq в
съответната координатна система ще бъдат
Ё0 = (А, В, 0), Ё'о = (А', В',0), % = (А", В", 0).
Тук А, В, А' и т.н. са комплексни числа, представляващи проекциите
на комплексните амплитуди Eq и пр. съответно върху единичните векто-
ри р, q, р' и т.н. От фиг. 23.1 се вижда още, че проекциите на същите
317
Електромагнитни вълни в ограничени среди
комплексни амплитуди върху От, Оу и Oz са съответно
Eqx = A cos 0,
-В'0 у = В,
Еог = —A sin 0,
Е'Ох — —A' cos В,
Е'Оу = В',
Е'Ог = —Л'sin0,
ЕЧХ = A" cos у>,
г?Н __ пН
^Оу — В >
= - Л" sin
Тъй като осите От и Оу задават две независими направления върху S*,
условията (23.13, айв) ще бъдат удовлетворени, ако са удовлетворе-
ни за проекциите на тези вектори върху От и Оу. Така от (23.13, а) се
получават две равенства:
(23.14,а)	A cos В — A' cos 0 — A" cos у? = О,
(23.14,6)	В 4-В' -В" = 0.
За да се приложи и условието (23.13, в), трябва да се отчете, че компо-
нентите на п, п' и п" се задават с (23.8) и (23.10). Тогава, като се избере
единичният тангенциален към 5* вектор веднъж еднопосочно с От и втори
път еднопосочно с Оу, от (23.13, в) се получават още две уравнения:
(23.14,в) ------------В cos0 -I—— В' cos0 4- — В” cos у? = 0,
/1ос	Цос	р.и
(23.14,г)	——Л - —А' + — + А" = 0.
Д0С ДоС До«
Четирите уравнения (23.14) образуват линейна система с четири не-
известни, която позволява А', А", В' и В" да. се изразят посредством А и
В. Решението на тази система се опростява в случая, когато средите са
неферомагнитни, т.е. когато може да се счита р. ~ /ло. (Обикновено имен-
но това са интересните случаи.) За този случай решението на (23.14) има
вида
(23.15,а)
(23.15,6)
. tg(g - у)
tg(«+¥>) ’
2 cos 0 sin уз
д" _ ____________________
cos(0 — у?) sin(0 4-
B, = _sin(g-y)0|
sin(0 -|- у?)
в„ = 2cos0siny>^
sin(0 4- у?)
При получаването му в такава форма е използван и законът на Снелиус
(23.12).
В оптиката равенствата (23.15) са известии като формули на Френел.
Фактът, че амплитудите А' и А" зависят само от Л, но не и от В, а
В1 и В" зависят от В, но не и от Л, е съществен. Той показва, че ако
падащата вълна е поляризирана в равнината на падането (т.е. ако Л = 0),
отразената и пречупената вълна са също линейно поляризирани в тази
равнина (т. е. А! — А" = 0). Ако падащата вълна е поляризирана в
равнина, перпендикулярна на равнината на падането (т.е. ако В = 0),
отразената и пречупената вълна са линейно поляризирани също в рав-
нини, перпендикулярни на равнината на падането (т.е. В' = В" = 0). С
други думи, падащи вълни от горепосочените два вида се пречупват и
отразяват независимо една от друга.
318 Електромагнитни взаимодействия в непрекзснатпи среди
ПРЕЧУПВАНЕ И ОТРАЖЕНИЕ НА ГРАНИЦАТА НА ДВА
ДИЕЛЕКТРИКА
Какви следствия може да се извлекат от формулите на Френел за случая,
когато и втората среда е диелектрик? Характерно за него е, че скоростта
и, показателя! на пречупване п и ъгълът на пречупване 9? са реални вели-
чини (вж. (23.12)). Оттук следа, че всички коефициенти във формулите
(23.15) са реални.
Тъй като коефициентите в (23.15, б) са и положителни, следва, че
фазовите константи на компонентите на пречупената вълна са равни на
фазовите константи на съответните компоненти на падащата вълна. По-
добно твърдение обаче не може да се изкаже и за отразената вълна. На-
истина, ако отражението става от оптически по-плътна среда (п > 1),
тогава в > р и ако ъгълът на падане не е много голям (при 0 +	< г),
коефициентът пред В в (23.15, а) ще бъде отрицателен. Това показва,
че фазата на В' се отличава от фазата на В с 7г(— 1 = е,г). При същи-
те условия коефициентът пред А е положителен, но тъй като самата ос
р' е противоположно пасочена спрямо р (вж. фиг. 23.1), фактически и
между фазовите константи на А и А' съществува разлика тг. И така при
.	7Г ,
отражение на оптически по-плътна среда и в + р < — фазовите
ти на компонентите на отразената вълна се различават с тг от фазовите
константи на съответните компоненти на падащата вълна. (При & + > у
положението е малко по-сложно.)
Фактът, че коефициентите в дясната страна на равенствата (23.15, а)
са различии, показва, че съотношението между А' и В' е различно от съ-
отношението между А и В. А тъй като А! и В', от една страна, и А и В —
констан-
от друга, определят поляризациите на двете вълни, следва заключението,
че поляризацията на отразената вълна е, изобщо казано, различна от по-
ляризацията на падащата (т.е. изменят се и ориентациите, и големините
на полуосите на елипсите, по които се движат краищата на векторите Е
и Е').
Характерен в това отношение е случаят, когато е изпълнено условието
0О -I- <р0 = —. Ъгълът на падане, при който е изпълнено това условие, се
нарича ъгъл на Брюстер. Поради това, че при ъгъл на падане, равен на
ъгъла на Брюстер, коефициентът пред А във формула (23.15, а) е нула,
отразената вълна независимо от поляризацията на падащата е линейно
поляризирана в равнината на падането. От закона на Снелиус (23.12) за
ъгъла на Брюстер следва
(23.16)
sintfo
siny?o
sin0o
= tg^o,
т.е.
tg0o = n.
п =
Последният резултат показва, че ъгъл на Брюстер съществува независи-
мо от това, дали п > 1, или п < 1.
Аналогични разсъждения може да се проведат и за пречупената въл-
на. Равенствата (23.15, б) показват, че и в този случай поляризацията
на пречупената вълна е различна от тази на падащата, но тъй като в тях
коефициентите пред А и В не могат да бъдат нула, ако падащата вълна
Електромагнитни вълни в ограничена среди 319
не е линейно поляризирана, и пречупената не може да бъде линейно по-
ляризирана. (Може да се покаже, че при ъгъл на падане, равен на ъгъла
на Брюстер, пречупената вълна е максимално поляризирана в равнина,
перпендикулярна на равнината на падане.)
Във важния за практиката случай на нормално падане (0 = 0) форму-
лите на Френел (23.15) добиват вида
ft — 1 .	п — 1 „
А =------А,  В' ----------В,
п + 1	п -|- 1
(23.17)
(При извода на тези изрази е използвано, че за малки ъгли sin0 яз 0,
sin у? яз <р и съгласно закона на Снелиус 5Ш « — = п.) Фактът, че коефи-
циентите пред А и В както във формулите за отразената вълна, така и
във формулите за пречупената вълна са равни, е следствие от невъзмож-
ността в този случай да се дефинира равнина на падане (векторите п и и
са колинеарни).
ПЪЛНО ВЪТРЕШНО ОТРАЖЕНИЕ
Формулите на Френел са изведени без ограничителни предположения вър-
ху стойностите на коефициента на пречупване п и ъгъла на падане 0. То-
ва позволява с тяхна помощ да се анализира явлението пълно вътрешно
отражение, което настъпва, ако са изпълнени следните две условия:
а)	отражението е от оптически по-рядка среда (т.е. п < 1) и
б)	ъгълът на падане е по-голям от един граничен ъгъл, определен с
равенството
(23.18)
sin0' = п < 1.
От закона на Снелиус (23.12) се вижда, че при граничния ъгъл на падане
ж	а
ъгълът на пречупване е — и при 0
в интервала 0^0^—, то
> 0', тъй като sin0 е растяща функция
(23.19)
Sin0 Sin0
smo =-------> ------= 1.
п п
Следователно при 0 > 0' няма реален ъгъл на пречупване, който да удов-
летворява закона на Снелиус. Наистина в този случай
/	•	*> /з	1
(23.20)	cosy? = у/1 — sin2y? = \ 1 — Sm_ = —Vsin20 — n2.
V	гп
За да се разкрие смисълът на комплексния ъгъл на пречупване, следва
да се използва фактът, че всяка от компонентите на пречупената вълна
пп т
зависи от мястото и времето посредством множителя ехр{га>(/ — ——)}.
Тъй като компонентите на п" се описват с (23.10), чрез (23.19) и (23.20)
този множител може да се представи във вида
(23.21)	e-^T^s,n2fl-n ze‘w^-—u ) =e-7Vs,n	).
320
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Той показва, че във втората среда по посока на оста Ох се разпространя-
ва една нехомогенна вълна, т.е. вълна, чиято амплитуда намалява бързо
(експоненциално) в дълбочината на средата. Фазовата скорост на тази
вълна е	„
с с
sin# < п
т.е. тя е по-малка от фазовата скорост на плоските монохроматични въл-
ни във втората среда.
Наблюдаването на ефекти, предизвикани от нехомогенната вълна във
втората среда, може да стане само с достатъчно фини опити, тъй като
дълбочината, на която амплитудата намалява е пъти, е от порядъка на
дължината на вълната:
с _ А
w\/sin2# — п2 2?rx/sin2# — и2
Едно по-детайлно изследване на вълната във втората среда показва, че
средният по време енергетичен поток на електромагнитната енергия е раз-
личен от нула и е еднопосочен с Ох, т.е. няма пренос на енергия от пър-
вата среда към втората. Произходът на тази енергия може да се изясни
само ако се разгледа нестационарният процес, протичащ, когато вълната
от първата среда достигне границата с втората.
Ясно е, че ако в дясната страна на (23.20) се вземе противоположният
знак на квадратния радикал, във втората среда би се получила вълна
чиято амплитуда нараства експоненциално с навлизане в дълбочината на
средата. При безкрайна среда този резултат няма физически смисъл,
но когато втората среда е ограничена, възможността за възникване на
подобна вълна следва да се отчита.
Направеният анализ на явленията във втората среда по същество не се
опира на формулите на Френел. Те обаче помагат да се изяснят процесите
в първата среда. Преди всичко следва да се има предвид, че ъгълът на
отражение е винаги реален (#' = #) и затова множителят ехр{о>(/-—)},
чрез който компонентите на отразената вълна зависят от г и t, опреде-
ля една плоска монохроматична вълна. За изследване на амплитудите
й е удобно с помощта на елементарни тригонометрични преобразования
формулите (23.15, а) да се представят във вида
t _ sin # cos 0 — sin cos у?
sin 0 cos # + sin y? cos (p
_ sin <p cos 0 — cos 9? sin в &
sin y? cos 0 + cos sin 0
Заместването на siny? и cosy? от (23.19) и (23.20) води до изразите
(23.22)
n2 cos 0 4- iv/sin2 0 — п2 .
А =--------------- =А,
п2 cos 0 — г\/sin2 0 — п2
_ cos# + i\/sin2# — n2
cos # — i \/sin2 # — n2
Електромагнитни вгдни в ограничени среди
321
Тъй като коефициентите пред Я и В в тези формули представляват отно-
шения на комплексно спрегнати величини, модулите на съответните амп-
литуди са
(23.23)	|А'| = |А| и |В'| = |В|.
Като се отчете, че интензитетът на плоска монохроматична вълна се оп-
ределя от формула (22.48), от (23.23) следва, че интензитетът на отразе-
ната вълна е равен на интензитета на падащата — факт, който оправдана
названието пълпо вътрешно отражение.
Формулите (23.22) показват още, че при пълното вътрешно отражение
фазовите константи на двете компоненти на вълната се променят различ-
но. Наистина, ако А = ае‘“, В = be'0, А' = а'е'а и В' = Ь'е*0 са комплекс-
ните амплитуди, а р и и две константи, определени с равенствата
— п2	Vsin20 — п2
= n^cosO И tg"= corf ’
от (23.22) следват съотношенията
а' — (д' = а — (3 + 2(д — р).
Фактът, че промяната 2(/z — и} на фазовата разлика може да се контро-
лира чрез подбор на подходящи стойности за показателя на пречупване
п и на ъгъла на падане 0, се използва за промяна на поляризацията на
светлинни снопове — например за получаване на кръгово поляризирана
вълна от вълна с линейна поляризация.
ПРЕЧУПВАНЕ И ОТРАЖЕНИЕ НА ГРАНИЦАТА МЕЖДУ
ДИЕЛЕКТРИК И ПРОВОДНИК
Когато разпространяваща се в диелектрик плоска монохроматична вълна
достигне граница с проводник, настъпват явления, които по принцип се
описват с изведените дотук формули. Интерпретацията на тези форму-
ли обаче се усложнява значително от това, че съгласно (23.12) и (22.54)
в този случай показателят на пречупване е комплексно число. От това
следва например, че определеният със закона на Снелиус (23.12) ъгъл на
пречупване също е комплексен и следователно няма просто геометрично
тълкуване.
Фактът, че ъгълът на пречупване е комплексна величина, има далеч
отиващи последствия. От него следва, че коефициентите във формулите
на Френел (23.15) са също комплексни. Това означава например, че дори
в отразената вълна, която както и преди, се разпространява в диелектрик,
ще настъпят характерни промени във фазите на комплексните амплитуди
А и В, в резултат на което поляризацията на вълната няма да се променя
по същия начин, по който се променя при отражение от друг диелектрик.
Тъй като елементите на отразената вълна зависят от р>, а самият ъгъл
р съгласно (23.12) зависи от комплексната фазова скорост на вълната в
проводника, т.е. от неговите веществени константи Е, р и а, се появя-
ва принципната възможност посредством измервания върху отразената
вълна да се определят веществените константи па проводника. (Поради
322 Електромагнитни взаимодействия в непрекзснати среди
бързото затихване на вълните вътре в проводниците измерванията върху
пречупената вълна обикновено са практически невъзможни.)
Сложността на явленията, които настъпват при достигането на плоска
монохроматична вълна на границата между диелектрик и проводник, не
позволява кратко изложение на обясненията им.
За вълните от оптичния диапазон тези явления се изучават подробно
в раздела от физичната оптика, наречен металооптика.
вълноводи
Когато средата, в която се разпространяват вълните, е ограничена в по-
вече от една посока, явленията пречупване и отражение протичат неза-
висимо върху всяка от граничите и се подчиняват на изучените дотук
закони. Наличието на повече от една граница (плоскопаралелни плас-
тинки. клинове и пр.) може да доведе до поява на многократно отразени
вълни, сумирането на амплитудите на които да не е лека задача и да води
до преразпределение на интензитетите (интерференция), но не е свързано
с принципно нови явления.
Интересен от физична и от приложна гледна точка е случаят, кога-
то границите на областта, в която се разпространяват вълните, са иде-
ални проводници, т.е. проводимостта им е толкова голяма, че може да
се счита безкрайно голяма. Разглеждането на този случай разкрива за-
кономерности, които лежат в основата на действието на такива широко
разпространени устройства, каквито са например вълноводите.
Вълновод изобщо се нарича отворена в двата края метална тръба с
производно по форма напречно сечение и произволна форма на кривата,
която представлява нейна ос. Дължината на вълновода може да бъде
както крайна, така и безкрайна. За опростяване тук се разглежда само
случаят, когато оста на вълновода е права, т.е. когато той представлява
прав цилиндър, а пространството във вътрешността му е вакуум. Целта
е да се установи какъв тип вълни могат да се разпространяват в подобен
вълновод.
Преди всичко следва да се изясни характерът на граничните условия
за полето върху стените на вълновода. От равенствата а = оо и I = (тЕ
следва, че вътре в стената на вълновода Е = 0 — в противен случай
безкрайната плътност на тока би довела до отделяне на безкрайно коли-
чество джаулова топлина, а подобно явление е физически безсмислено.
Но щом вътре в стената на вълновода Е = 0, то поради граничното усло-
вие (16.25, а) тангенциалната компонента на електричното поле ще бъде
нула и от външната страна, т.е. едното гранично условие е
(23.24)	Et=0.
Второто гранично условие може да се получи, като се отчете, че кога-
то се използва комплексното представяне за простопериодичните функции
на времето, за разглежданите тук монохроматични вълни уравнението на
Максуел (22.8, а) има вида
(23.25)
rot# = —iaill.
Електромагнитни вглни в ограничени среди
323
Тъй като нормалната към повърхността на вълновода компонента на rotE
се изразява посредством тангенциалните компоненти на Е, пресметнати
в тангенциални направления, а те според (23.24) са нули, следва, че на
повърхността
(23.26)	Нп = 0.
Доколкото за монохроматични вълни уравнението (22.8, б) има вида
(23.27)	rottf = шЕ,
задачата е да се намери какви типове решения допускат уравненията
(23.25) и (23.27) при гранични условия (23.24) и (23.26).
Нека вълноводът е безкраен и оста Oz на координатната система,
спрямо която се разглежда задачата, е успоредна на образувателните на
цилиндъра. Решение на поставения проблем може да се търси с помощта
на въведения в тема 17 вектор на Херц. Тъй като по предположение въл-
новодът е кух, векторът на Херц Z, който определя полето от електричен
тип, удовлетворява уравнение, което се получава от (17.31) при Ро = 0,
AZ-
d2Z
За монохроматични решения Z ~ е'ш* и това уравнение преминава в урав-
нението на Хелмхолц
(23.28)
&Z + k2Z = 0,
в което вълновото число к се определя от връзката
(23.29)	к2 = Ео^ош2 или к = —.
с
Интересно е да се намери електромагнитното поле, което съответства
на вектор на Херц, колипеарен с оста Oz, като аксиалната му компонента
е простопериодична функция на z. т.е.
(23.30)	Zx = 0, Zy= 0, Zz = Z(x, у)е~*к*г,
където к\\ е параметър. Заместване-
то на (23.30) в (23.27) показва, че не-
известната функция Z(x,y) удовлет-
ворява двумерното уравнение на
Хелмхолц
(23	31) д^+ д^ + к±2-°’
където
(23.32) kl = k2-k^.
Теорията на елиптичните диферен-
циални уравнения от втори ред (как-
вото е уравнението (23.31)) гаранти-
ра единственост на решението, стига
Фиг. 23.2
да са известии граничните условия.
324 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Ако С е кривата, която се получава от пресичане на вълновода с равни-
на, перпендикулярна на Oz (фиг. 23.2), на Z(x,y) се налага граничното
условие
(23.33)	Z(r,j/) = 0 върху С.
При това положение чрез (17.30) могат да се намерят компонентите на
електромагнитните потенциали А и U, а от тях чрез (17.22) и (17.23) —
компонентите на Е и Я. Резултатът е
(23.34,а) Ех =	Е, = -ifc—e-'*!', Ег =
"ох	оу
(23.34,6)	Цх=:-~е-^, Н9 =, Н. = 0.
с оу	с ох
Лесно може да се покаже, че полученото решение за Е и Я удовлет-
ворява граничните условия (23.24) и (23.26). Наистина от (23.34, а) и
(23.33) следва, че съставящата на Я, еднопосочна с Oz, която е танген-
циална към стената на вълновода, е Ег = 0, т.е. удовлетворява (23.24).
Нека г е единичен, тангенциален към С вектор (фиг. 23.2), а х = х(1)
и у = у(1] — параметричното представяне на контура С, в което I е дъл-
жината на кривата, отчитана от определена нейна точка. Тогава
(23.3S)	?= (д’’ Ш'
и проекцията на Е върху т е
„ л	dx „ dy
Е, = Е-т = Ех— + Ея — .
Като се използва (23.34, а), за Ет се получава
Er = -ik^e-^‘=0,
т.е. (23.24) е удовлетворено за всяка от тангенциалните компоненти на Е.
Проверката на граничното условие (23.26) се извършва, като се има
предвид, че единичният нормален към С вектор п има компоненти
(23.36)	й=(_^, ^,о).
Тогава чрез (23.34, б) за Яп се получава
й. = ^=.Л+я* 4|е-*> = о,
т.е. (23.26) наистина е удовлетворено.
И така във вълновода може да съществува електромагнитно поле с
компоненти, описвани с формулите (23.34). За разлика от вълните в сво-
бодното пространство сега полето не е чисто напречно: напречно е маг-
нитното поле (Яг = 0), но електричното поле има различна от нула и
Електромагнитни взлни в ограничени среди 325
надлъжна компонента (Ег ф 0). Такава вълна се нарича електрична или
Е-вълна. Казва се още, че вълната е от ТМ-тип (напречна магнитна).
От теорията на елиптичните частни диференциални уравнения от вто-
ри ред е известно, че (23.31) има решения само за дискретни стойности
на константата fcj. — това са т.нар. собствени стойности, които зависят
от вида на кривата С. На всяка собствена стойност съответстват две
стойности на параметъра &ц =	— к~± и съответно — две решения за
Z(x,y). Ако числото &ц е реално, вълната се разпространява във вълно-
вода без загуби, а ако е имагинерно — от (23.34) се вижда, че ще затихва
експоненциално. Тъй като ако а е характерният за напречното сечение на
вълновода размер, то минималната собствена стойност за к± е от порядъ-
ка на 1/а. Минималната честота, над която във вълновода започват да се
разпространяват незатихващи вълни, се определя от условието к2-~ 0
а2
или (чрез (23.29))	с
wmin ~
а
По аналогичен начин може да се покаже, че във вълновода може да
се разпространява и магнитна вълна (Н-вълна), т.е. електромагнитно
поле от ТЕ-тип, в което напречно е електричното поле, а магнитното има
и надлъжна съставяща. За целта от уравнението (17.37) при Мо = 0 за
вектора на Херц Z*, който определя полетата от магнитен тип, трябва
да се намери решение от типа (23.30) и от пего чрез формулите (17.36),
(17.33) и (17.34) да се намерят компонентите на Е и Н. За последните в
този случай се получава
Еу = ik^e-ik«‘
у ох
н,=
87*
(23.37,а) Ех = -ik—e~iku*,
оу
(23.37,6) Hx = -i^~-e~ik*z
с ох
като Z*(x,y) удовлетворява също-
то двумерно уравнение на Хелм-
холц (23.31), каквото удовлетво-
рява и Z(x,y). Разликата от пре-
дишния случай е в граничното ус-
ловие за Z* върху С: вместо чрез
(23.33) удовлетворяването на
(23.24) и (23.26) се достига, ако
—— = 0 върху контура С.
Може да се докаже, че всяка
вълна в един вълновод се предс-
тавя чрез суперпозиция от подхо-
дящо подбрани вълни от Е- и 77-
тип.
Пример. Да се намерят въл-
ните от ТМ- и ТЕ-тип, които мо-
гат да се разпространяват в безк-
раен вълновод с правоъгълно нап-
речно сечение с размери а и b (а > 6) — фиг. 23.3.
Ег =0,
326 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
За вълните от ТМ-тип граничното условие (23.33) в случая има вида
(23.38)	Z(x,0) = Z(a,y)
= Z(®,6) = Z(0,!/) = 0.
Едно решение на (23.31), което удовлетворява (23.38), е
(23.39)	Z(x,y) = Zosin(m7r—)sin(n7r^),
където т и п са цели числа и тп2 + п2 0. При това от (23.39) и (23.31)
следва, че между т, п и к± съществува връзката
Тогава за кръговата честота на вълната от (23.32) и (23.29) се получава
(23.40)	ш = с^к2 + k2L=cJ+ (—) + (-у) .
Тази формула определя спектъра на възможните честоти на вълните от
ТМ-тип. Минималната възможна честота се получава от нея при £ц = 0:
(23.41)	wmjn = С7Г1/ — + —.
V а о
Компонентите на Е и Н могат да се намерят от (23.39) по формулите
(23.34).
э	mr?	3Z* п
За случая на ГЕ-вълни граничното условие —— = 0 сега има вида
дп
Решението на (23.31), което удовлетворява тези условия, е
(23.42)	Z*(x,y) = Zocos(m7r—)cos(n?r^),
където вече т или п може да бъде и нула. Локолкото връзката (23.40)
се запазва и в този случай, то за разлика от ТМ-вълните (при а > Ь)
минималната честота на вълните от ТЕ-тип е по-малка и е
(23.43)	Wmjn = С7Г-.
а
Компонентите на Е и Н се получават от (23.42) по формулите (23.37).
И в двата случая константите Zq и Zq са произволни и зависят от
условията на възбуждане на вълните.
Електромагнитни ввлни в ограничени среди
РЕЗОНАТОРИ
327
Всеки резонатор представлява ограничена кухина, стените на която са
(идеално) проводящи. Основният въпрос, свързан с наличието на елект-
ромагнитни вълни в един резонатор, е отново въпросът за типовете въз-
можни вълни. Неговото решение за случая на монохроматични вълни се
намира на основата на уравненията (23.25) и (23.27) при гранични усло-
вия (23.24) и (23.26) (като се има предвид, че в тях Е и Н са амплитудите
на съответните полета, т.е. коефициентите пред множителя e'ut). Всъщ-
ност (23.25) показва, че намирането на електричното поле вече определя
магнитното, така че достатъчно е да се изследва електричното поле.
Уравнение само за Е се получава чрез образуване на ротация от двете
страни на (23.25) и отчитане валидността на (А.48), (23.27) и (22.8, в).
Това е отново уравнението на Хелмхолц
(23.44)	AE-U2£ = 0,
в което връзката между вълновото число к и кръговата честота w се за-
дава с (23.29).
По такъв начин въпросът за намиране на електромагнитното поле в
един резонатор се свежда до намиране онези решения на (23.44), които
удовлетворяват (22.8, в) при гранично условие (23.24).
В най-простия случай резонато-
рът представлява куб с ребро а. Удоб-
но е началото на координатната сис-
тема да се избере в един от върхо-
вете на куба (фиг. 23.4), а осите
й да се насочат по три от ръбове-
те така, че вътрешността на резона-
тора да се определя с неравенствата
О < х < а, 0 < у < а, 0 < z < а.
Тогава, като се има предвид, че за
стените х = 0 и х = а тангенциални
са компонентите Еу и Е2 за стените
у = 0 и у = а — Ег и Ег, аза z = 0 и
z = а — Ех и Еу, граничните условия
придобиват вида
Фиг. 23.4
и х = а,
и у = а,
и z = а.
(23.45)
Ех = Ег = 0 за х — О
Ег = Ех = 0 за у = О
Ех = Еу = 0 за z = О
Лесно се съобразява, че решението на (23.44), което удовлетворява
(23.45), е						
	Ех = Acos|	/	X П17Г — \	а,	1 sin |	( у' n27T- \ а>	1 sin |	( z n3ir- \ а
(23.46)	Еу — Bsin	( х' П17Г — к а >	1 cos |	к сч с	1 sin |	a Ч О | N
	Ег = Csin (	х\ П17Г — а /	1 sin (	П21Г- а )	| cos 1	3 и ц В | N
328 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
където А, В и С са три константи, а целите неотрицателни числа гц,
п-2 и пз са свързани с вълновото число к и с кръговата честота ш чрез
съотношенията
(23.47)	к = —yjnf +	+ По, w = —\Zn? 4- n? + п|.
а *	а *
Изискването (23.46) да удовлетворява (22.8, в) налага върху А, В и
С връзката
(23.48)	njj4 4- п^В Ч" П3С — 0.
Компонентите на Н се получават, като Ех, Еу и Ег се заместят от
(23.46) в (23.25).
Като се има предвид, че временната зависимост на полетата се задава
с множителя е'ш*, ясно е, че (23.46) описва една стояща обемна вълна в
резонатора. Следователно в разглеждания резонатор може да съществу-
ва набор от стоящи вълни, всяка от които се определя с три цели числа
П1, П2 и пз и честотата на които се определя от (23.47).
Резонатор от по-общ тип се получава, ако разгледаният по-горе ци-
линдричен вълновод с произволно напречно сечение се прегради с отсто-
ящи една от друга на разстояние L проводящи стени, перпендикулярни на
образувателната на цилиндъра. Типовете възможни вълни и сега се на-
мират както във вълновода, но наличието на гранично условие при z = 0
и z = L (началото и края на резонатора) има за следствие факта, че и А:ц
(вж. напр. (23.30)) може да взема само дискретни стойности, а вълните
са стоящи.
За намиране на вълни от електричен тип е необходимо да се избере
вектор на Херц от вида
(23.49)	Zx = Zy — 0, Zz = Z(x, t/)cosfc||Z,
където Z(x,y) e отново решение на (23.31) при гранично условие (23.33).
Ако от този вектор се пресметнат компонентите на Е и Н, се получа-
ва, че Ех и Еу са пропорционални на sinfc||Z и понеже те са тангенциалпи
компоненти при z — 0 и z = £, граничното условие (23.24) ще бъде из-
пълнено, ако
к\\
където п е произволно цяло число. В този случай
кръговата честота на съответната монохроматична вълна се определя от
равенствата
(23.50)
При това следва да се има предвид, че съгласно казаното по-горе к±
взема също само дискретни стойности, спектърът на които зависи от фор-
мата на напречното сечение на вълновода (тук — резонатора).
По подобен начин може да се покаже, че в резонатора може да същес-
твуват и стоящи вълни от магнитен тип. Те се получават от вектор на
Херц с компоненти
(23.51)	z- = z; = o, z; = Z,(I,!/)sin4||2,
от които по вече познатия път се получават компонентите на векторите
Ё и Н.
24
ИЗЛЪЧВАНЕ, РАЗСЕЙВАНЕ И
ПОГЛЪЩАНЕ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ
ВЪЛНИ
РЕАКЦИЯ НА ЛЪЧЕНИЕТО
Въпросът за излъчване на електромагнитни вълни бе разгледан в тема 9
и тема 10. Особеност на тези разглеждания е предположението, че дви-
жението на излъчващите заряди е отнапред зададено, известно. Макар
и в редица случаи оправдано, това предположение не отчита, че поведе-
нието на всеки ускорено движещ се заряд се влияе и от излъченото от
самия заряд електромагнитно поле. Една коректна постановка на зада-
чата изисква съвместно разглеждане на уравненията на Максуел, които
определят полето при зададено разпределение и движение на зарядите, и
уравненията на механиката, свързващи движението с действащите сили,
към които принадлежи и силата, породена от действието върху зарядите
на излъчените от тях полета. Че такава сила наистина съществува, по-
казва следното разсъждение: както бе показано в тема 9, всеки ускорено
движещ се заряд излъчва електромагнитна енергия, а според (20.13) —
и определен импулс. В резултат на излъчването импулсът на частицата
намалява, което от гледна точка на механиката може да се интерпретира
като резултат от действието на една допълнителна сила Еизл , наречена
реакция на лъчението.
Сравнително лесно може да се посочи критерий за разграничаване
случайте, в които реакцията на лъчението може да се пренебрегне и дви-
жението на зарядите да се счита отнапред известно, от онези случаи,
когато реакцията на лъчението следва да се отчита. За целта е доста-
тъчно да се сравнят излъчената от заряда за време Д/ енергия АИ/’изл
и предизвиканата от действието на външните сили промяна ДРКкин на
кинетичната енергия на частицата за същия интервал време.
Удобно е Д1УИЗЛ. и ДРУкин. да се оценят спрямо отправна система, в
която движението на заряда е нерелативистично. В този случай от (9.30)
излъчената за време Д< енергия е
(24.1,а)
Д1ГИЭЛ.
е2(и)2	е2
= 7-------з = 7----------j»' • &V,
VTTEqC'5	07Г£оС
където е е зарядът, v =	— ускорението му, а Дг7 = v  At — изменени-
(I t
ето на неговата скорост за време At. От друга страна, изменението на
329
330
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
кинетичната енергия е
(24.1,6)
A	А /	\	- А -
АРГКИн = А —— ) = mv • Av.
Реакцията на лъчението може да се пренебрегне, ако А1ГИ,Л AIVKHH >
т.е. ако е изпълнено неравенството
е2	_
-----~v • Av << mv  Av.
отгегос^
v	е^
Като се отчете, че At » а според (14.26) а = --------------- е класическият
v	'	' Ьтгсотс2
радиус па частицата, това неравенство се представя във вида
(24.2)	А(»? - =
6 С о
а
където т = - е времето, за което светлината изминава разстояние, рав-
с
но на размерите на частицата. За електрона това време е по-малко от
10“23 s и следователно реакцията на лъчението може да се пренебрегне
във всички случаи, когато съществените промени на скоростта настъпват
за времена At, много по-големи от 10-23 s. С други думи, тази реакция е
пренебрежима, когато движението на заряда е достатъчно плавно и ско-
ростта не се изменя съществено при премествания от порядък на а.
Големината на реакцията на лъчението Гизл може да се оцени чрез
изискването работата й за време At да бъде равна на излъчената за то-
ва време енергия. Тъй като работата на ГИЗл. е отрицателна, като се
използва (9.30), това изискване води до равенството
Ь	о *3
Гиэл. • vdt = ---- / (v)2dt.
б7Г€оСл J
<1	ti
След интегриране по части от него се получава
^ИЗЛ.  ^dt =	—	—
б7Г£оС^
Ако движението е периодично и разликата t2 — ti = At е кратна на
*2
периода му, което е един често срещан случай, членът v v е нула. Съ-
щият резултат е валиден и при движение в магнитно поле, когато изобщо
v V = 0. Съществуват и други важни случаи, в които първото събираемо
в дясната страна на последното равенство е пренебрежимо малко, и то-
гава законът за запазване на енергията ще бъде изпълнен в средно (т.е.
за целия интервал At), ако
(24.3)
5	_	_
изл — 7	5——
б7Г£оС^
2
-mrv.
О
Излъчване, разсейване и поглъщане на електромагнитни вълни 331
Изводът на (24.3) е достатъчно нестрог, за да не предизвика удивле-
ние фактът, че наличието на подобна сила води до физически неприемливи
ефекти. Така, ако на един заряд не действат други сили, уравнението на
движението му
2	з .
mv = -тти или v — —v
3	2т
д, - -
допуска решение от вида v(t) = v(0)e2 т , според което зарядът ще се са-
моускорява неограничено.
Изобщо казано, фактът, че според (24.3) РИзл. зависи от производната
на ускорението, противоречи на принципното изискване в уравненията на
механиката да не участват производни по времето от радиус-вектора с
ред, по-висок от втори. Затова полученият израз (24.3) за Гиэл може да
се използва в класическото уравнение на движение
(24.4)	mv = Fe + F„3JIs.
само когато /’иэл. може да се разглежда като малка поправка към външ-
ната, действаща на заряда, сила Fe.
ИЗЛЪЧВАНЕ НА СВОБОДЕН ОСЦИЛАТОР
Осцилатор се нарича частица с маса тп и заряд е, свързана чрез сила
на еластичност с неподвижен център. Доколкото в непрекъснатите среди
роля на подобии частици играят свързаните електрони, за конкретност
по-нататък се разглеждат не частици и заряди въобще, а именно елект-
рони. Поведението на тези електрони се определя от законите на кван-
товата механика, но редица закономерности при излъчване, разсейване и
поглъщане на електромагнитни вълни в непрекъснати среди могат да се
обяснят, като се изследва класическото движение на тези осцилатори.
От класическата механика е известно, че силата на еластичност, която
връща осцилатора към равновесното му положение, е F = —тпшцГ, където
г е радиус-векторът на електрона, отчитан от това равновесно положение,
а ио представлява константа — така наречената собствена кръгова чес-
тота на осцилатора. При това положение, ако осцилаторът не излъчва,
уравнението на движението му е
(24.5)	тг + mugf = О
и неговите решения са незатихващи простопериодични функции на време-
то с кръгова честота а>о-
По-последователното отчитане на ефектите обаче изисква към дейс-
тващите сили да се добави и реакцията на лъчението. Като се отчете
(24.3) и фактът, че v = г, уравнението на движение на излъчващия ос-
цилатор добива вида
(24.6)	г + ш%г=-тг.
О
332
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Това е едно обикновено линейно диференциално уравнение от трети ред с
постоянни коефициенти. Неговото характеристично уравнение е кубично
и макар изрази за корените му да могат да се напишат, те са относително
сложни. Редица физически важни резултати обаче могат да се получат и
чрез едно приблизително решение, което се получава, като се отчете, че
(24.6) има смисъл само когато реакцията на лъчението може да се раз-
глежда като малка поправка към действащата външна сила — в случая
— тш%г. Последният факт позволява да се приложи методът на последо-
вателните приближения. В нулевото приближение е валидно уравнение
(24.5) и тъй като решенията му са простопериодични функции на време-
то, за комплексните им представяния са валидни равенствата г = — и
г = — LOgf. Като се замести това нулево приближение за г в (24.6), за
уравнението на движение на осцилатора се получава
(24.7)	г 4- Гг 4- cjqT = О,
където
(24.8)
т, 2 2
Г =
О
е константа с размерност на време в степеп минус първа. Тъй като връз-
ката между wq и честотата 1/0 на собствените осцилации (без излъчване)
2	7"
е wo = 2тгро>то Г = -(2тгро)2т ~ т е- е толкова пъти по-малка
от собствената честота на осцилатора, колкото пъти времето т, за кое-
то светлината пресича обема на частицата, е по-малко от периода Т на
трептенето й.
В уравненията на движението на материална точка членовете от вида
Гг = Ги присъстват, когато на частицата действа сила на триене от сток-
сов тип. Тъй като в случая подобна сила се появява поради реакцията
на лъчението, често тази сила се нарича радиационно триене. При това
следва да се има предвид, че когато осцилаторът е част от непрекъсната
среда, подобна сила на триене се появява и като резултат от взаимодейс-
твията му с другите осцилатори в средата. Нещо повече — обикновено
тази сила на триене е много по-голяма от радиационната, но това не из-
меня характера на явленията. Единствената разлика е в това, че в този
случай стойността на Г не се определя само от характеристиките на ос-
цилатора, т.е. от (24.8).
г-	( Г V
Като се пренебрегнат членовете от порядък I — I , решението на
\w0 /
(24.7) е
(24.9)

Тъй като в случая се разглеждат нерелативистични движения, съгласно
(9.29) и отново с пренебрегване на членове от порядък (Г/wo)2 (т.е. като
се счита изпълнено равенството г = — ojqt) от (24.9) за интензитета на
полето във вълновата зона се получава изразът
(24.10)	E(r,t) = E(r)e-^rt+iUot,
Излгчване, разсейване и поглещане на електромагнитни ввлни 333
където Е(г) зависи от мястото. Получава се, че възбуденото от излъчващ
осцилатор електромагнитно поле затихва с времето експоненциално.
Очевидно е, че формула (24.10) не може да бъде валидна за всяка
стойност на t — в противен случай при t —► —оо тя води до безсмислен
от физична гледна точка резултат. Затова една по-реалистична поста-
новка изглежда, както следва: нека в интервала —оо < t < 0 осцилаторът
е в равновесното си положение. При t = 0 той се извежда от него (т.е.
придава му се еднократно определено количество механична енергия) и
се оставя свободно да трепти. Тогава формула (24.10) ще описва полето
му за t > 0. От нея се вижда, че излъченото поле, макар и монохрома-
тично, няма постоянна амплитуда в дадена точка на пространството. От
теорията на интегралите на Фурие обаче е известно, че полето може да
се представи като суперпозиция от монохроматични полета с постоянни
амплитуди, т.е.
оо
(24.11)	E(r,t)= j Ew(f)eiwtdu.
-оо
Фурие-компонентите в това представяне се определят от:
(24.12)
оо
Z'K J
— оо
Като се има предвид, че съгласно гореказаното в интервала —оо < t < О
полето е E(f, t) = 0, интегралът в (24.12) може да се пресметне:
(24.13)
1
хГ + t(w -cj0)
£
Чрез формула (22.48) за интензитета 1Ш на фурие-компонентата с кръ-
гова честота ш се получава
I. =	 (u)_J+rV4-
Ако с 10 се означи пълният интензитет на лъчението в точка с радиус-
вектор г, т.е.
оо
/о = j
о
на формулата за 1Ш може да се придаде видът
(24.14)
1и~1о2п' (Ш-ШОУ + ГУ4'
(Пресмятането на интеграла по ш може да стане, като предварително се
О» — Uq
направи смяна на интеграционната променлива и> с у = 2—-—
а долната
334 Електромагнитни взаимодействия в непреквснати среди
2wq	W	Г
граница —— на получения интеграл се замени с —оо, тъй като Г << wo-
Така се получава
ОО
/du _ 2тг
(w — wo)2 4-Г2/4 ~ ~Г”
о
Формулата (24.14) описва спектралното разпределение на енергията,
излъчена от един класически осцилатор. Графиката на 1Ш като функция
от и описва формата на излъчената спектрална линия — в случая се
казва, че тя има лоренцова форма. Очевидно е, че кривата притежава
г 2-^°	н
един максимум = —— при и — ио, конто е толкова по-висок, колкото
ТГ!
по-малко е радиационното триене. (При пренебрегване на радиационното
триене осцилаторът би излъчвал само на собствепата си честота wq.)
Нека и' и и" са честотите от двете страни на максимума, при които
интензитетът е два пъти по-малък от максималния. Очевидно и' и и"
могат да се намерят като корени на уравнението
Г	1	_ 1 270
10 27г ' (w - w0)2 4- Г2/4 “ 2 ' тгГ ’
Неговите решения са
/ Г „ Г
w — wo — — и w _ wo 4*
At	Li
откъдето се вижда, че
(24.15)
r=w"-w' = Aw,
т.е. Г е ширината на честотния интервал, в който интензитетът на из-
лъчената енергия е по-голям от половината на максималния интензитет.
Поради това за Г често се използва названието собствена ширина на
линията (фиг. 24.1).
Фиг. 24.1
Реалните форма и ширина на спек-
тралните линии зависят от редица
други фактори (например от взаимо-
действията между осцилаторите, от
топлинното им движение и пр.). Те-
зи фактори обикновено предизвикват
разширяване на линиите и (при ед-
наква излъчена енергия) намаляване
на стойността на максимума.
Като се вземе предвид, че от А =
2тгс
--- следва
w
* Ч	ГЧ AW
АА = — 2тгс——,
w2
за ширината на спектралната линия, пресметната в дължини на вълната
от (24.15), (24.8) и (24.2), се получава
2л-с 2 2	4
|АА| = — • —w0 г = -7га.
и1 3	3
Измчване, разсейване и поглъщане на електромагнитни вълни 335
От послсдното равенство се вижда, че ДА е универсална константа,
която не зависи от честотата на осцилатора и по порядък е равна на
10“14 m (за видимата светлина дължината на вълната е от порядък на
10"6 — 10“7 ml).
РАЗСЕЙВАНЕ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ
Нека осцилатор от разглеждания тип се намира в пространство, в което
се разпространява плоска монохроматична вълна с кръгова честота ш. В
съответствие с резултатите от тема 10 при нерелативистични скорости
на движение на електрона магнитната сила, която му действа, може да
се пренебрегне. При това положение в уравнението на движение наред
с вече разглежданите сили на еластичност и на реакция на лъчението
участва и електричната сила, с която полето на вълната действа върху
електрона:
.. о ...	р _	.
(24.16)	г- -т т + ш2г = — Еое'ш*.
3	т
Тук с Eq е означен интензитетът на полето на вълната в равновесното
положение на електрона. Фактът, че не се отчита зависимостта на Е(г,/)
от мястото, е едно следващо опростяване, което е оправдано, тъй като
отместванията г на електроните от равновесните им положения в оптич-
ния диапазон на вълните са много по-малки от дължината па вълната,
т.е. от разстоянията, на които E(r, t) се изменя съществено. (Очевидно
това опростяване ще бъде още повече оправдано за по-дълговълновите
диапазони от спектъра на електромагнитните вълни.)
Общото решение на (24.16) е сума от общото решение на хомогенпото
уравнение (вж.(24.6)), което според (24.9) затихва експоненциално, и ед-
но частно решение на нехомогенното уравнение. Именно последното дава
израз за полето, установяващо се след затихване на преходните процеси,
поради което по-долу се изеледва само то. Тъй като това частно реше-
ние е простопериодична функция на времето с честота ш, то г — —ш2т и
затова, като се въведе означението
(24.17)	Г'=|тш2,
О
уравнението (24.16) добива вида
(24.18)	f+r'F+u>Jr = — Eoeiut.
Заместването на полагането r(/) = foe,wt в (24.18) позволява да се намери
комплексната амплитуда fo, така че окончателно
(24.19)	r(t) = Eq---г---
'	т u)q — и* + iPw
336 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
Малката стойност на т гарантира, че определената с (24.17) величи-
на Г' е също малка, което е указание, че членът о>Г' е съществен само в
резонансната облает па честотите — при и ~ wq, т.е. когато честотата на
падащата вълна е близка до собствената честота с^о на осцилатора. Тъй
като в този случай Г' съвпада с Г (вж.(24.8)), по-долу вместо Г' ще бъде
използвана Г.
От закона за движение (24.19) за ускорението на електрона следва
изразът
••	— е	—со2
(24.20)	f(t) = Ео----5----2-Г~те 
т Wq — w2 + 1ш1
Наличието на ускорение показва, че при това си движение електронът
излъчва в околното пространство електромагнитни вълни. Следователно
осцилаторът приема енергия от падащата електромагнитна вълна и пре-
излъчва в околното пространство част от нея. Тези разсъждения обясня-
ват качествено механизма па поглъщапе и разсейване па електромагнитни
вълни в средите, които са изградени от огромен брой осцилатори. Реше-
нието (24.19) и резултатите от тема 10 за излъчване на трептящ дипол
дават възможност да се направят и количествени оценки за тези явления.
а) Разсейване от свободни заряди. На свободен електрон сила на
еластичност не действа, т.е. за него с*?о = 0. Ако се пренебрегне и реак-
цията на лъчението (Г = 0), ускорението му съгласно (24.20) е
(24.21)	— Eoeiuit.
т
Тъй като електричният диполен момент на точков заряд е е по оп-
ределение р = ег, то от (10.55, а), (24.21) и (В.11) следва, че средната
стойност на радиалната компонента на вектора на Умов - Пойнтинг за
излъчената от електрона вълна е
1 /Eo",esina|rk 2 _ 1 /?о”
2 у /10 4тг£0с2г '	2 у до
e2sina|^0|x2
4irEQC2mr '
Фиг. 24.2
където а е ъгълът, заключен между
Ео и посоката към точката на наб-
людение (фиг. 24.2). Тъй като а =
е2
------7 е класическият радиус на елек-
4тгеотсг
трона, а
(24.22)	/о = £££|Ёо|2 = 1.Д|Ёо|г
2	2 у ДО
е интензитетът на падащата вълна,
интензитетът на разсеяната под ъгъл
а спрямо Е вълна е
г 2 ^0 . 2
I = a —sin
г 2
(24.23)
Излвчване, разсейване и поглвщане на електромагнитни вглни 337
Общата излъчена за единица време енергия се получава чрез интег-
риране на I по сфера с център в заряда и произволен радиус г. Тъй като
лицевият елемент от сферата в сферични координати е |ds| = г2 sin a da dp,
резултатът е
2 т
dW
~dT
(24.24)
/г	g
/ Ir2 sin a da dp — -ira^Io.
J
y?=0 a=0
~	dW
Отношението между общата разсеяна за единица време енергия —— и
dt
енергията Iq, падаща за единица време върху единица площ, поставена
перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната, е величи-
на, която има размерност на площ и се нарича ефсктивно сечение за
разсейване върху един електрон. Формула (24.24) се нарича формула
на Томсън за разсейване върху свободен заряд. От нея следва, че ефек-
тивното сечение (което в случая се нарича томсъновско) за разсейване се
дава с израза
(24.25)
8 2
0-0 =
о
Характерно за томсъновското сечение е, че то не зависи от честотата
на разсейваната вълна. От (24.25) се вижда, че с точност до множител
8/3 томсъновското сечение съвпада с площта на кръг с радиус а, което
е още едно оправдание за тълкуването на а като класически радиус на
електрона.
На практика е по-удобно вместо като функция от ъгъла а интензитетът
на разсеяната вълна да се разглежда като функция от ъгъла 0, заключен
между посоката на разпространение на падащата вълна (посоката на оста
Oz на фиг. 24.2) и посоката към точката на наблюдение. Ако падащата
вълна е линейно поляризирана и векторът Е в нея трепти в равнина,
сключваща ъгъл р с равнината xOz, между ъглите 0, р и а съществува
връзката
sin2 а = 1 — cos2 </?(! — cos2 0).
За неполяризирана вълна ъгълът р може да взема произволни стойности.
Тъй като средната стойност на cos2 р е cos2 р = след осредняване по р
се получава
sin2 а = ^(1 + cos2 0).
£
В този случай от (24.23) за интензитета на разсеяната под ъгъл 0 вълна
се получава
/(г,0) = а2^.|(1 + cos2 0),
а за общата разсеяна за единица време енергия
dW Т 2 f 1 + cos2 0	8 2
-77- = т / -----7---= 77*аlo-
ut	J Z--------о
(24.26)
От последната формула следва, че диференциалното сечение за раз-
сейване, което се дефинира като отношение между разсеяната за единица
338 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
време в единица пространствен ъгъл енергия и интензитета на падащата
вълна, е
(24.27)	^ = l(l + cos20)«2.
б) Разсейване от свързани електрони. Разсейването на плоска мо-
нохроматична вълна с кръгова честота ш от еластично свързан елект-
рон със собствена честота о>о може да се изеледва отново с помощта на
(10.55, а). Ако ускорението се вземе от (24.20), а средната стойност на
вектора на Умов - Пойнтинг се пресметне по (В.11), то
- еос , esino
Оттук, както в случая на разсейване върху свободен електрон, може да
се пресметне пълното сечение за разсейване а:
о?4
(24.28)	(Т — <То 7 2	242	42^’
- ш2)2 4- (Гш/
където ао е определеното с (24.25) томсъновско сечение за разсейване.
Пълното сечение сега зависи от честотата на падащата вълна и в това
отношение може да се разграничат три характерни честотни области:
1.	Облает на високите честоти — ш ^>u>q. От (24.28) за този случай
се получава а = со- Следователно за честоти на вълната, много по-висо-
ки от собствената честота на електрона, пълното сечение за разсейване
е равно на томсъновското. От физична гледна точка този резултат не е
изненадващ: когато периодът Т на вълната е много малък, за краткия
интервал Т скоростта на електрона не успява да се измени съществено, а
щом v = const, както при свободните частици, то и разсейването от такъв
електрон ще бъде като от свободна частица.
2.	Облает на резонансното разсейване — ш « шо- В този случай от
2
(24.28) следва а = аоуу и тъй като Г << о>о, резонансното сечение преви-
шава многократно томсъновското.
3.	Облает на ниските честоти — ш <С wq- (Съотношението ш и>о не
предполага обезателно малка стойност наш — необходимо е само елект-
ронът да е достатъчно силно свързан с равновесното си положение, което
означава го ляма стойност на собствената му честота.) В този случай от
(24.28) следва
(24.29)
( ш 4 4
= <То(----)
ш0
Тъй като ш ~
томсъновското
1
-, сечението за р
и, второ, то е обратнопропорционално на четвъртата сте-
пей на дължината на вълната. (Тази зависимост е използвана от Релей
за обяспявапе синил цвят на небето.) Този случай се нарича релеевско
разсейване.
СъщНОСТНа черта на ВСИЧКИ разгледани случаи на pajtenudne на елел-
тромагнитните вълни от класически осцилатори и свободни заряди е, че
разсеяната вълна притежава същата честота, както и вълната, която се
Излъчване, разсейване и поглъщане на електромагнитни вълни 339
разсейва. Това свойство е характерно за класическото разсейване и не
се запазва, когато се отчитат квантовите ефекти (ефект на Комптън).
Тук бе разгледано само разсейване на електромагнитни вълни от от-
делни осцилатори. За обясняване на закономерностите на разсейването в
непрекъснати среди е необходимо да се отчита, че в тях има огромен брой
осцилатори. При това са възможни следните случаи: първо, в разредени
среди взаимодействията между съседните осцилатори може да се пренеб-
регнат, но в твърди и течни среди разстоянията между тях са такива, че
е необходимо да се отчита влиянието върху даден осцилатор от страна
на съседите му. Второ — от значение е дали в пространственото разп-
ределение на осцилаторите има определен порядък (какъвто е случаят в
монокристалите например) или не и т.н. Изследването на тези случаи се
провежда въз основа на формулите, получени за разсейване върху отде-
лен осцилатор, но излиза извън целите на настоящото разглеждане.
ПОГЛЪЩАНЕ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ
Електричната сила, с която полето на електромагнитна вълна действа
върху осцилатор, извършва механична работа. Посредством тази рабо-
та част от енергията на вълната се превръща в енергия на осцилатора
— казва се, че осцилаторът поглъща енергия от вълната. По-нататък
една част от погълнатата енергия се преизлъчва във вид на вторична
(разсеяна) вълна, а друга (ако на осцилатора действа сила на трепте-
не отчитаща взаимодействията му със съседните осцилатори) отива за
увеличаване на вътрешната енергия на средата (отделя се определено
количество топлина).
Тъй като плоската монохроматична вълна трае във времето безкрай-
но дълго, за поглъщането на електромагнитна енергия е по-показателен
случаят, когато върху един осцилатор пада електромагнитен импулс с
крайна продължителпост. В този случай интензитетът на електричното
поле в мястото на осцилатора се представя във вид на интеграл на Фурие
ОО
(24.30)	E(t)= У E(w)eiu'‘dw,
— ОО
където фуриеровите амплитуди Е(ш) се определят от обратното преобра-
зование
ОО
(24.31)	^(w) = J- [ E(t)e-iutdt.
2тг J
— оо
(Тук отново се прави опростяващото предположение, че отместването на
осцилатора е малко спрямо дължината на падащата вълна, така че зави-
симостта на Е от мястото не се отчита.) При това, ако E(t) е реална фун-
кция на времето, чрез комплексно спрягане на (24.30) лесно се проверява,
че комплексните фуриерови компоненти удовлетворяват равенството
(24.32)	Ё(-ш) = E*(w),
340
Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
където със * е отбелязана операцията комплексно спрягане.
Под действие на монохроматичното поле Е(и)е'ш* осцилаторът извър-
шва трептене, чиято амплитуда се описва с (24.19):
(24.33)
.1
771 CU2 — Ш2 4- 7UT ’
а общото му отместване ще бъде суперпозиция от подобии простоперио-
дични трептения:
ОО	оо _	.
iut. _ е [	Е(и>)е“*	,
771 J CUq — си2 4- 7CUl
— оо
(24.34)
— оо
От (24.34) за скоростта на осцилатора се получава
е . icue,u'< ,
—) -2---------2 , • г
т tug — ш11 4- гш!
г(/) = у
— оо
Тъй като работата на електричните сили за единица време е еЕ.г,
общата работа, т.е. погълнатата от осцилатора енергия, е
ОО
AW = / eE(t)j(t}dt.
(24.35)
(24.36)
-оо
С използване на формулите от (24.30) до (24.35) този израз се преоб-
разува, както следва:
оо
(24.37) AW = e J F(t).
— ОО	—оо	—оо
оо	оо
Ё(ш).г(—w)dco = 2тге J
— ОО
оо	оо
[ E^eiutdudt = e [
оо
= 2тге
— ОО
— оо
= 2тге
0	оо
( Ё(ш).г* (u>)daj 4- J
о
оо
OO
= 4тге /
-оо
,е|Ё(и)|2
ioj	i
2-----5---U/ =
771 Uq —	4- ICUL
о
Този резултат дава основание величината
dW Aire2	ш2Г
du т (cuq — cu2)2 +
О
ОО
f ,	. ,«»	Си2Г
/ Д") Г~2-----2X2“
f (^o“w) -
du>.
(24.38)
т
о

да се интерпретира като енергия, погълната в единица честотен интервал.
Излъчване, разсейване и поглъщане на електромагнитни вълни 341
По подобен на използвания по-горе начин може да се пресметне и об-
щата енергия Wo, пренесена от падащата вълна през единица площ, пос-
тавена перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната. С
помощта на (22.26) и връзката сое =------ за IVq се получава
дос
оо	оо	оо	оо
(24.39)	Wo= У |5(«)|Л = £Ос [ E2(t)dt = еос j E(t). J E(u)eiwtdudt
— oo	— oo	—oo —oo
oo	oo
= 2тггос J E(u).E(—u)dw = 4тг£Ос J |E(w)|2dw.
— oo	0
От (24.39) се вижда, че
(24.40)	= 4tt£oc|^(w)|2
au
представлява енергията, преминала през единица площ в единица често-
тен интервал.
По определение отношението
. . _ dW .dWo
<Г„ОГЛ.(«) _	/ dw
се нарича сечение на поглъщане. От (24.38) и (24.40) следва
е2	^2Г
(24.41)	^погл.(^)	• о 2\2 i ( Г\2 "
eocm (w2 - wg)2 + (о?Г)2
Както и в случая на разсейване, Тс1ка и сега, в трите характерни честот-
ни области сечепието за поглъщане се описва със съответно опростени
изрази:
1.	В областта на високите честоти и » wq
е2Г 1
(24.42)	Спогл.(^) —	• о-
гост ш2
2.	В резонансната облает ш ~ о>о и (ш2 — cv2) = (и о — w)(o>o + w) «
2u>o(cv — ujq), така че
е2	Г
(24.43)	0погл.(^) — и	\2 i /П/о\2 ’
'	4€0ст (ш0 - w)2 + (Г/2)2
3. В нискочестотната облает ш <С шо
е2Г
• (24.44)	я’погл.С^) =	4" w •
Cocmw^
Пълното сечение за поглъщане може да се пресметне чрез интегриране
на (24.41) по целия честотен интервал:
°°	„	°о
[ _	/ xj _ е2Г‘ [	du
О-погл. = / <т„огл.(и)^ - — J	_	-	+	2.
о	о
342 Електромагнитни взаимодействия в непрекъснати среди
В случая, когато резонансната крива на осцилатора е много по-тясна от
спектралното разпределение на външното поле, интегралът може да се
пресметне приблизително, след като се отчете, че основен принос в него
идва от резонансната облает, т.е. при w В този случай
(24.45)	а =	= <ЧГ 7
'	'	€ост J [2w0(w — wo)]2 4-wjT2 2еостпш%Г J /2(и>-^0)\2
О	о \ Г /	1
оо	оо
_ е2 f d£ ~ е2 Г d£ _ тге2 _
2£остп J £2 4- 1 2focm J £2 4- 1 2еостп
където а = -------т е класическият радиус на електрона.
4ireo7ncJ
ДИСПЕРСИЯ НА ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ВЪЛНИ
Моделът на класическите осцилатори, с чиято помощ бяха обяснени из-
лъчването, разсейването и поглъщането на електромагнитните вълни, мо-
же да се използва за обяснение и на друго явление — дисперсията, т.е.
на зависимостта на показателя на пречупване от честотата на вълната.
Наистина съгласно (24.19) амплитудата на диполния момент на осци-
латора, който се намира във външно монохроматично поле, е
(24.46)	р = ег =	.	•
т Wq — ш2 4- twT
Ако N е концентрацията на осцилаторите, т.е. броят на осцилаторите в
единица обсм, обемната плътност на електричните диполи ще бъде
(24.47)
-	Ne2
Р = Np=---
т
Eq
Wq — w2 4- iwT
От (24.46) и от дсфиниционното за електричната възприемчивост х ра-
венство Р = CqxEq следва, че електричната възприемчивост на среда,
състояща се от подобии осцилатори, е
(24.48)
Ае2/тео
Wq — w2 4- twf
Тъй като е = Ео(1 4- х), а показателят на пречупване е п = - = Су/ёр, щом
х зависи от честотата w, от нея ще зависи и показателят на пречупване.
От (24.48) чрез разделяне на реалната и имагинерната част се полу-
чава
(24.49)
Ne,2	, ,2\
Rex -	0 ~	} и
(w02-w2)2 + (wr)2
-
Ш ГПЕо (Wg - w2)2 4- (wT)2 
Излъчване, разсейване и поглъщане на електромагнитни вълни
343
На фиг. 24.3 са показани графи-
ките на Rex и Imx като функции на
честотата на външното поле. В об-
ластите, в които Rex е растяща фун-
кция на и, се наблюдава нормална
дисперсия, т.е. там показателят на
пречупване п расте с увеличаване на
честотата. Обратно, близо до собст-
вената честота а>о на осцилатора как-
то Rex, така и показателят на пре-
чупване намаляват при
на со — това е областта
дисперсия.
Освен това от тема
но, че имагинерната част на фазова-
та скорост определя затихването на
вълната с напредването й в една сре-
да. Следователно колкото по-голя-
мо (по абсолютна стойност) е Imx,
толкова по-големи ще бъдат съответно имагинерните части на показа-
теля на пречупване и на фазовата скорост, т.е. затихването и поглъ-
щането на вълните. Острият минимум на Imx в областта на резонанса
(фиг. 24.3)свидетелства, че в тази облает е особено силно и поглъщането
увеличаване
на аномална
22 е извест-
Фиг. 24.3
на вълните.
Направените разсъждения по-скоро демонстрират възможността за
обясняване на дисперсията на електромагнитните вълни, отколкото дават
обяснения на експериментално наблюдаваните зависимости. За подобии
количествени обяснения е необходимо да се отчете, че средата може да
е изградена от осцилатори с различии собствени честоти, че в кондензи-
раните среди осцилаторите не могат да се разглеждат като независими
и т.н. — въпроси, които са по-скоро обект на разглеждане от страна на
физичната оптика.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. ВЕКТОРНО СМЯТАНЕ В ТРИМЕРНОТО ПРОСТРАНСТВО
Означения и определения:
а, 6, с, • ••• — Константин скалари
А, В, С, - • • — Константин вектори
А или |А| — големина (модул) на вектора А
А' или Ап — проекция на вектора А върху определена посока
Ф, Ф — Константин тензори от втори ранг
r = (x,y}z) = (а?1,я:2,Дз) — радиус-вектор
г = |г| = л/х2 + j/2 + z2 — големина на радиус-вектора г
г = |г — го| = \/(х — До)2 + (у — З/о)2 +	— zq)2 — разстояние между точки с
радиус-вектори г и го.
_ г
г0 =----единичен вектор, еднопосочен с г
г
- Г - Го	_
го = тт;—zt — единичен вектор, еднопосочен с г — г0
|г- г0|
u(r), v(r), w(r) — скаларни полета
V(r), W’(f) — векторни полета
Ф(г), Ф(г) — тензорни полета
6 — единичен тензор с компоненти
за // ф р,
за у. = и
ц,у= 1,2,3
— компоненти на напълно антисиметричния тензор от трети ранг
10, ако поне два от индексите са равни (а,/?, у= 1,2,3)
Са/Зу = < 1, ако (а,/?, 7) е четна пермутация на (1,2,3),
1—1, ако (а,/?, 7) е нечетна пермутация на (1,2,3).
Векторна алгебра:
(А.1) А-В= £ АаВа
а=1
_	3
(А.2) (А х B)Q = Е ^аруАрВу
Д,т=1
(А.З) (А * В)ар = АпВр
скаларно произведение на вектори
векторно произведение на вектори
тензорно произведение на вектори
344
Приложения
345
_ з
(А.4) (Ф • А)« = Е Ф^ЛЙ
0=1
(А.5) (ЛФ)« = Z Af*fa
д=1
_	3
(А.6) (Ф х А)ар = £ Фа7Аб£7б/?
-М=1
_	з
(А.7) (А X Ф)а/3 — У7 ЕаубАуФбр
7,«=1
3
(А.8) (ФФ)а/? = Z *ау*ур
7=1
3
(А.9) Ф:Ф = ВР(ФФ) = £ Фар^ра
а,р=1
векторно произведение на тензор с
вектор
— векторно произведение на вектор с
тензор
— тензорно произведение на тензор с
вектор
— тензорно произведение на вектор с
тензор
— тензорно произведение на тензори
— скаларно произведение на тензори
Многократпни произведения:
(А.10)	(АВ)С = А(В*С)
(А.11)	(АхВ)-С = А (В хС)
(А.12)	(А х В) х С = (А • С)В - (В  С)А
(А.13)	(А х В)-(Сх D) = (А-С)(В-D)-(A-D)(B-С)
(А.14)	(А • Ф) • В = А • (Ф • В) = А  Ф • В
(А.15)	(А х Ф) -В = А • (Ф х В)
—*
(А.16)	ако А х В = 0, то А'В = АВ, където А' = А —.
Векторен анализ:
~ (д д д\
V = I —, —, — — набла-оператор в декартови координати
\дх оу дг /
- д2	д2	д2	_
А = V“ = yr—г +	+ тгт — оператор на Лаплас в декартови координати
охг оу2, oz2
(А. 17)	grad и = V и
(А.18)	divt7 = Vt7
(А.19)	roti7 = Vx(7
(А.20)	Grade? = V * {J
(А.21)	В1уФ = '7Ф
(А.22)	й,о1Ф = V х Ф.
346
Електродинамика
Ако и = и (г) е скаларно поле, то
(А.23)
. х df
grad f(u) = — grad и
du
(A.24)	div U(u) =	• grad и du
(A.25)	/7/ x	dU rot U(u) = — — x grad и du
(A.26)	Grad U(u) = (grad u) * du
Ако с “ се означават производните по компонентите на г', то
(A.27) (A.28) (A.29) (A.30)	grad u(|f — f'|) — —grad' u(|r — r'|) div U(\r — f 'j) — —div'(7 (|f — f'|) rot(7(|f — f'|) = —rot'tZ(|f — f'|) grad r — fo
(A.30, a)	1	To	r 8ardr = r2 = r3
(A.31) (A.32) (A.33)	div r = 3 rot f = 0 Grad f — 8.
Производни на произведения от два множителя:
(А.34) grad(uv) = v grad и + и grad v
(А.35)	div(ut7) = и div U + U  grad и
(A.36)	rot(u(7) = и гоШ — U x grad и
(A.37) Grad(u U) = и Grad U + (grad u) ♦ U
(A.38) grad(l7 • V) = (Grad U) • V 4- (Grad V) • U
(A.39) div(C7 x V) = V • rot U - U • rot V
(A.40) rot U x V = U div V - V div U - U • Grad V + V • Grad U
(A.41) Div (U * V) = V div U + U • Grad V
(A.42) grad (A • r) = A
(A.43) div (A x r) = 0
(A.44) rot (A x r) = 2 A.
Приложения
347
(А.45)
(А.46)
(А.47)
Втпори производни:
rot grad и — О
div rot U — О
div grad и = Аи
(А.48)
(А.49)
rot rot U = grad div U — AU
A- = A-—-7 = -4тг6(г — r0),
r |r-r0|
където <5(r —r0) = 6(x — x0)6(t/— yo)6(z — zo) e тримерната функция на Дирак
с основно свойство
(А.50)
[	( /(г0) за Го 6 V,
у /(r)«(r-ro)dv=| 0' за
Развития в ред на Тейлър на скаларно
и векторно поле:
«(’’) = и(о) + Е(аг) I- + 2 S (эГаГ) 1»1- +
Я = 1 Х^м/f=0	Z Д(„ = 1 \ОХИиХ"/г=0
(А.51)	= и(0) 4- г • grad u(0) 4- тг • (Grad grad u(0)) • f 4- • • •
(A.52)	U(r) = Г(0) 4- r • Grad U(Q) 4- • • •
Безкрайно малки нараствания на скаларно и векторно поле:
(А.53)
(А.54)
du = df- grad и
dU = dr-Gra.dU.
Производна в посока на единичная вектор п:
(А.55)
(А.56)
ди
— = п- grad и
дп
АП
—— = п  Grad U.
дп
348
Електродинамика
Векторно смятане в криволинейни координати:
—връзка между декартовите компоненти (Ах, Ау, Аг) на вектор А и ком-
понентите му във:
а)	цилиндричпа координатна система:
(А.57)
Ае = Ах cos р 4- Av sin р
Ay, = —Ах sin р А Ау cos у?
Аг = Аг
б)	сферична координатна система:
Аг = Ах sin О cos р A Ay sin 6 sin р 4- А2 cos О
(А.58)	Ав = Ах cos О cos р А Ау cos 0 sin р — Аг sin 0
Av = — Ах sin р А Ау cos р
—диференциални операции във:
а) цилиндрични координати:
(А.59)
(А.60)
(А.61) rot U =
(А.62)
ди 1 ди ди\
др' р др' дг)
-	1 д . „ ч 1 dU<p диг
div V = -^-(pUe) +	+ —L
р др	р др dz
\дУг _dU^ dU±_dU_L 1 д_ _ 1 д^
р др dz ' дг др ' р др Р р др
А	1
Ди =-----
Р^Р
б) сферични координати:
grad и =
ди
рдр
1 д2и
р2 др2
д2и
д!2
(А.63)
grad и —
(А.64)
.. и 1 д
d,vl/=^
ди 1
дг ’ г
1
ди 1
ди
(А.65)
(А.66)
д0 ’ г sin 0 др /
д ,ТТ . л. 1 dU*
г sin 0 др
dU6y
др )'
\диг'
г дО
1 д2 и
г sin 0 д0
( д
1
г sin 0\д0
1 диГ 1 д 1 д
r^TUv}'r^rUt}~
1 д
rott/ =
г sin# д<р
. _ 1 д
Ли “ г2 дг
г2 sin О д0
З'пвдё
г2 sin2 0 др2
В случай, че и зависи от мястото само посредством разстоянието г до
една фиксирана точка (сферична симетрия), освен във вида, който следва
непосредствено от (А.66), лапласианът на и може да се запише още във
вида:
и^> sin 0
2
Г
(А.66')
А / \	1 ^2
Аи(г) = "Уз
г аг2
Приложения
349
Интегрални теореми:
Теорема на Гаус — Остроградски в операторен вид:
(А.67)
където S е ориентираната навън повърхнина на областта У. Чрез умно-
жаване на (А.67) отдясно с различии полета се получава:
(А.68)
(А.69)
(А.70)
(А.71)
j rot U dv = j) ds х U
V	Sv
J Div $dv = £ ds Ф.
V	Sv
Обикновено под теорема на Гаус — Остроградски се разбйра (А.69)
Теорема на Стокс в операторен вид:
(А.72)	j ds х V = j) dr
s	L
където L e директно ориентираният контур на S. Чрез умножаване на
(А.72) отдясно с различии полета се получава:
(А.73)	J ds х grad и = (j) udf
s	L
(А.74)	J rot U • ds = j> U dr
s	L
Обикновено именно (А.74) се нарича теорема на Стокс.
Формула на Грин:
dv ди
|ds|.
(А.75)
350
Електродинамика
Теорема на Хелмхолц:
В нейната глобална формулировка теоремата на Хелмхолц гласи, че ед-
но векторно поле е определено, ако са известии неговата циркулация по
произволна затрорена крива и неговият поток през всяка затворена по-
върхност. Разбира се, в пълната формулировка на теоремата фигури-
рат определени изисквания относно поведението на полето, които, както
е възприето в тази книга, не се уточняват, като се разчита, че в случа-
йте, които може да се срещнат при разглеждане на електромагнитните
взаимодействия, тези изисквания са изпълнени. (Твърдението, че полето
е определено, следва да се разбира в смисъл, че чрез потока през про-
изволна затворена повърхнина и циркулацията по произволна затворена
крива може да се определи локалната характеристика на полето. )
Глобалната форма на теоремата на Хелмхолц е валидна при произвол-
ни източници на полето — точкови, линейни, повърхнинни и обемни. В
случая, когато източниците на полето са само обемни и техните плътнос-
ти са непрекъснати функции на мястото, на теоремата може да се придаде
и локална форма. Наистина нека Г(г) е плътността на векторните източ-
ници на полето, aS — произволна повърхнина с директно ориентиран
контур L. Ако /(г) е локалната характеристика на полето, неговата цир-
кулация по L е
Г = у I dr = у V.ds.
L s
След преобразуване на линейния интеграл чрез теоремата на Стокс
(А.74) в повърхнинен и отчитане, че повърхнината S е произволна, се
получава
rot/= V.
Нека освен това V е произволна облает с външно ориентирана зат-
ворена повърхнина S, a v(f) е плътността на скаларните източници на
полето. Потокът на полето през S е:
След преобразуване на повърхнинния интеграл в обемен чрез теоре-
мата на Гаус — Остроградски (А.69) и отчитане, че областта V е про-
изволна, се получава:
divZ = v.
Следователно за случая локалната формулировка на теоремата на
Хелмхолц утвърждава, че едно векторно поле е определено, ако се поз-
нават неговите дивергенция и ротация, т.е. плътностите на скаларните
и на векторните му източници. В тема 2 бе показано как от глобалната
формулировка за случая, когато полето има повърхнинни източници, или
когато съществуват повърхнини, върху които плътностите на обемните
източници търпят скок, следват определени гранични условия за нормал-
ните и тангенциалнте компоненти на полето.
Приложения 351
Доказва се, че за локалната характеристика на полето е валидно след-
ното интегрално представяне посредством плътностите на скаларните и
векторните му източници:
(А.76)
7(f) = rot
4тг|г — г '|
dv1 —
4тг|г — г
Следствие: Векторното поле I по единствен начин може да се предста-
ви като сума от надлъжна съставяща 7/, която е безвихрово (потенциално)
поле, и напречна съставяща Ц, която е вихрово (соленоидално) поле:
(А.77)

където
(А.78)	rot/J = О
(А.79)	divJt = 0.
Според теоремата на Хелмхолц 7/ се определя от (А.78) и уравнението
div7/ = v, a It се определя от (А.79) и от уравнението rot7t = V.
Б. НЯКОИ ОБОБЩЕНИЯ НА ФОРМУЛАТА ЗА ИНТЕГРИРАНЕ ПО
ЧАСТИ
Формулата за интегриране по части
ь
У f(x)g' (x)dx = f(x)g(x)
а
b b
- J g(x)f'(x)dx
a a
може да се обобщи, първо, за случайте, когато f и g са функции на по-
вече променливи, и, второ, когато те са многокомпонентни функции. При
доказване на търсените обобщения се използват две спомагателни алгеб-
рични твърдения:
I Ако за всеки вектор В е изпълнено равенството
(Б.1)	А.В = 0, то А = 0.
II Ако за всеки два вектора А и В е изпълнено равенството
(Б.2)	А.Ф.В = 0, то Ф = 0.
Верността на (Б.1) и (Б.2) се вижда веднага, след като за вектора
В в първия случай и за Л и fl във вторил се изберат всички възможни
комбинации от векторите (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).
1. Ако 7 и и са съответно векторно и скаларно поле, то
(Б.З)	У 7.gradudv = j> u7n|ds| — J udivTdv.
v	sv	v
352
Електродинамика
(Б.4)
(Б.5)
Доказателството на (Б.З) се опира на (А.35) и (А.69):
J I- gradudv = J div (и Г) dv — J udivldv = £ uln\ds\ — J udivldv.
v	v	v	sv	v
В частния случай, когато I няма скаларни източници във V (div/ = 0)
и когато векторните линии на I не пробождат Sy (1п = 0), от (Б.З) следва,
че за всяко скаларно поле
J 7*.grad udv = 0.
v
2. Ако I е векторно поле, то
J rdivldv = £ rln |ds| — J Idv.
v	Sv	v
За доказателство на (Б.5) се използва (Б.1), като се показва, че скалар-
ните произведения на лявата и на дясната част на (Б.5) с произволен
вектор А са равни. За целта чрез (А.42) се получава
A. J Idv = J (I.A)dv = J T*.grad(A.r)dv-
V	V	V
Чрез прилагане на (Б.З) към дясната страна при и = А.г се получава
= А-
rdivldv .
v Sv	v	Sv	v
Тъй като А е произволен вектор, оттук следва (Б.5).
Ако векторните линии на I не пробождат Sy, от (Б.5) следва
j Idv ~ ~ J rdivldv.
V	V
Ако освен това I няма скаларни източници във V, то
(Б.7)	У Idv = 0.
v
3.	Ако I е векторно поле, то
(Б.6)
Ф =
г * rdivldv.
Sv	v
За доказателство на (Б.8) лявата и дясната му страна се умножават с
производни вектори А и В. С помощта на (А.10) се получава
J (I * г + г * I)dv.B — А.
v
(Б.8)
А.(Ф.В) = А.
I [I(r.B) + r(I.B)]dv
v
v
v
Приложения
353
Оттук с помощта на (А.34) следва
7*.grad [(А. г) (В. 7r)] dv.
Прилагането на (Б.З) към дясната страна на това равенство води до
Sv
V
j f* fdivldv .В >.
v
= А.<
Sv
Оттук по силата на (Б.2) следва верността на (Б.8).
В частния случай, когато векторните линии на полето 1 не пробождат
повърхността Sv (Jn = 0), от (Б.8) следва
(Б.9)
(г * 1 I * r)dv = — / г * rdivldv.
V	V
Ако освен това I няма скаларни източници във V(divZ = 0), то
I * fdv — — I
v
(Б.10)
f* Idv.
В. УСЛОВИИ РАВЕНСТВА
По определение две комплексни числа са равни в условен смисъл, ако са
равни реалните им части. Това означава, че от условното равенство
(В.1)	а + ib = с + id
(a,b,c и d — реални числа) следва само
(В.2)	а = с,
но не непременно и b = d, както би било, ако (В.1) бе едно обикновено
равенство.
Тъй като събирането и изваждането на комплексни числа, а така също
и умножаването и деленето им с реални числа са операции, които засягат
поотделно реалните и имагинерните им части, условните равенства могат
да се събират, изваждат, умножават и делят с реални числа. Нещо по-
вече — поради това, че диференцирането и интегрирането са операции,
които в крайна сметка се свеждат до изваждане, делене, умножаване и
събиране, то ако две комплексни функции на реален параметър са равни
в условен смисъл, това равенство може да се диференцира и интегрира
по параметъра, като новополучените равенства че бъдат валидни отново
в условен смисъл.
За условните равенства се използва същият знак (=), който означава
и обикновените равенства.
354 Електродинамика
Тъй като съгласно тъждеството на Ойлер
(В.З)	е,а = cosa 4- г sin а,
в условен смисъл е изпълнено равенството
(В.4)	cosa = е‘“.
Именно това равенство позволява простопериодичната функция на време-
то
(В.5)	f(i) = a cos(a4 + у?)
в условен смисъл да се представи във вида
/(О = ae‘>t+*’\
Комплексно™ число
(В.6)	А = ае***
се нарича комплексна амплитуда на функцията. С нейна помощ комплек-
сно™ предотавяне на f придобива окончателен вид
(В.7)	f(t) = Aeiu,t.
Комплексните представяния от типа (В.7) са удобни, защото при тях
диференцирането и интегрирането се свеждат до алгебрични операции
(В.8)
(В.9)	/	= Л/.
J	гш
Представянето (В.7) дава възможност и за лесно пресмятане средната
по време стойност на произведение™ от две простопериодични функции
с равни честоти. Наистина, ако
/(<) = acos(Wt + ¥>) = Aeiut (А = ае*),
( ‘ }	p(t) = b cos(w< + V») = Beiut (В = 6?*)
и Т = е периодът на f и д, то средната по време стойност на произве-
дение™ им е
т
ЛОХ*) =	= ^cos((p- ip)
-L J	&
0
= ^Ree’^-^) = iRefae’^e-^] = |Re(AB*),
ki	kt	kJ
където със e означено комплексно™ спрягане. По такъв начин
(В.11)	70Ы0 = |не(4В”),
kJ
т.е. средната по време стойност на произведение™ от две простопери-
одични функции на времето с равни честоти е равна на половината от
реалната част на произведението от комплексната амплитуда на едната
функция и комплексно спрегнатата амплитуда на другата функция.
______________________________________________________________________ж
Г. ДОПЪЛНИТЕЛНА ЛИТЕРАТУРА
1.	А м п е р, А. Электродинамика. М., АН СССР, 1954.
2.	Бин с, К., П. Лауренсон. Анализ и разчет электрических и магнитных
полей. М., Энергия, 1970.
3.	В л а с о в, В. Макроскопическая электродинамика. М., Гос. изд. техн.-те-
орет. лит-ры, 1955.
4.	Вычислительные методы в электродинамике. Под. ред. Р. Митры, М., Мир,
1977.
5.	Г а л и ц к и й, В. М. Макроскопическая электродинамика. М., Высшая
школа, 1988.
6.	Г о в о р к о в, В. А. Электрические и магнитные поля. М.-Л., Госэнерго-
издат, 1960.
7.	Г р и н б е р г, Г. А. Избранные вопросы математической теории электри-
ческих и магнитных явлений. М., АН СССР, 1948.
8.	Зоммерфельд, А. Электродинамика. М., Изд. иностр.лит-ры, 1958.
9.	Л о р е и т ц, Г. А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и
теплового излучения. М., Гос. изд. техн.-теорет. лит-ры, 1956.
10.	М а т в е е в, А. Н. Электродинамика. М., Высшая школа, 1980.
11.	Миролюбов, Н. Н., и др. Методы расчета электростатических полей.
М., Высшая школа, 1963.
12.	П а п а з, Ч. Г. Теория разпространения электромагнитных волн. Ереван,
АН Арм. СССР, 1974.
13.	П о л я к о в, Г. Ф. Анализ и разчет электростатических систем. Новоси-
бирск, Наука, 1976.
14.	С м а й т. В. Электростатика и электродинамика. М., Изд. иностр.лит-ры,
1954.
15.	Туров. Е. А. Материальные уравнения электродинамики. М., Наука,
1983.
16.	Ш м у т ц е р, Э. Основные принципы классической механики и электроди-
намики. М., Мир, 1976.
17.	Abraham, М. Theorie der Elektrizitat. Leipzig, Teubner, 1918.
18.	В e c k e r, R. Theorie der Elektrizitat. Leipzig, Teubner, 1951.
19.	В e c k e r, R. Electromagnetic fields and interactions. London etc, Blackie, 1964.
20.	D о r i n g, W. Einfuhrung in die Theoretische Physik, Bd. II Das Elektromagnetis-
che Feld. Berlin, W. de Gruyter, 1968.
21.	H о f m a n n , H. Elektromagnetische Feld. Springer—Verlag, Wien - N.Y., 1974.
ПРЕДМЕТЕН УКАЗАТЕЛ
Абсолютна отправна система 146
Абсолютност на времето 149
— на пространството 150
Адиабатичен инвариант 199
Аномална дисперсия 343
Безвихрово поле 236
Близка зона 130, 131, 210
Вектор на поляризацията 98, 210
— Умов-Пойнтинг 92, 277
— Херц 99, 229, 323, 325, 328
---- електричен 119, 219
----магнитен 125, 219
Векторен потенциал 95, 210, 227, 282
Веществени константи 222
Взаимен капацитет 265
Водещ център 193
Времеподобен вектор 163
— интервал 153
Вълна от ТЕ-тип 325
—	ТМ-тип 325
Вълнова зона 130
Вълново уравнение 96, 299
—	число 303
Вълновод 322
Глобална форма на основни закони 33,
34, 61, 84, 215
характеристики 19, 21, 51, 117
----на векторни полета 32
Големина на ток 21
Градиентна инвариантност 96
Граничен ъгъл 319
Гранични условия 36, 65, 79, 217
Трупа на Лоренц 162
Далечна зона 130, 132
Действие 185
Лиамагнетизъм 270
Диелектрици 206
Диспергиращи среди 303
Дисперсионна формула 303
Дисперсия 342
Диференциални уравнения на полета
35, 64, 80, 214, 238, 242, 254, 269,
283
Диференциално сечение за разсейване
337
Дрейф 231
Дуален тензор 164, 170
Дълбочина на проникване 310
Дълбочина на скин-слоя 294
Дясно поляризирана вълна 307
Еквипотенциална повърхнина 38
Електричен двоен слой 121
— дипол 117, 118, 134
— диполен момент 117
— заряд 17, 116
— квадрупол 117, 135
—	квадруполей момент 117
—	дрейф 193
—	възприемчивост 224
—	Е-вълна 325
индукционни линии 211
—	константа 27
—	мултиполни моменти 117
—	поле 30
—	поляризация 210
—	потенциална енергия 51
—	проницаемост 224
—	сили 26
—	силови линии 31
Електродвижеша сила 230
—	напрежение 234
Електродинамика 11
Електромагнитна вълна 140, 298
—	индукция 15, 75
—	маса 114
— потенциали 95, 218, 227
—	ноле 77
Електронна теория на Лоренц 202
Електростатика 29
356
357
Предметен указател
Електростатични индукционни
коефициенти 264
Електростатично поле 29, 254
Елементарно събитие 145
Елиптично поляризирана вълна 306
Енергия в покой 180
Енергия на взаимодействие на заряди
с външно поле 52
		на токове с външно поле 88
—	електричното поле 54, 258
—	магнитното поле 88, 244
—	система 51
-----от заряди 52
-----от токове 88
Ефективно сечение за разсейване 337
Задача на Дирихле 41
— Нойман 41
Закон за запазване на електричния
заряд 18, 22, 167, 217
— енергията 91, 92, 188
— импулса на полето 188
— събиране на скорости 150, 158
Закон на Ампер за магнитната сила 57
-----за тока 63, 65
-----за пълния ток 78
—	Био—Савар 60, 244
—	Джаул—Ленц 233, 241
—	Кулон 26, 271
—	Максуел 79
—	Ом 230, 272, 288
—	Снелиус 316
—	Фарадей 75
Закъсняващи потенциали 100
Заряди свободни 206
—	свързани 206
—	статични 25
—	точкови 18
Зарядов елемент 19
Изотропен вектор 163
—	интервал 153
Изотропност на пространството 148
Импулс на електромагнитното
поле 93, 277
Инварианти на електромагнитното
поле 175
Индуктивност 247
Индукция на електричното поле 211
—	магнитното поле 59
Индуцирана ЕДС 72
—	ЕДН 74
Инерциални отправни системи 146
Интеграл на Дирихле 40, 84
Интезитет на вълната 307
—	електричното поле 30
—	магнитното поле 214
Калибровъчна инвариантност 96
—	преобразования 96
Калибровка на Кулон 97
—	на Лоренц 96
Каноничен импулс 185
Капацитет 263
Квазистационарна зона 130
—	поле 280
Класически радиус на електрона 114,
181
Ковариантни величини 162
—	компоненти 159
—	полета 165
Коефициент на взаимна индукция 247
—	на затихване 309
—	самоиндукция 247
Компенсирани заряди 208
Кондензатор 267
Консервативност на елекростатичното
поле 33
Контактна потенциална разлика 234
Контравариантни компоненти 159
Кръгово поляризирана вълна 307
Кулонов потенциал 38
Лагранжиан на заредена частица 183
Ларморова прецесия 196
—	радиус 191
—	честота 190
Линеен проводник 239
Линейна плътност на електрични
диполи 118
		заряди 19
		токове 20
Линейна среда 223, 224, 225
Линейно поляризирана вълна 307
Локална форма на основни закони 37,
38, 67
Локални характеристики 19, 20, 30,
38, 59
Локалност 28, 221
Лоренцова калибровка 96
Ляво поляризирана вълна 307
358
Електродинамика
Магнитен векторен портенциал 67,
242
—	дипол 124
—	диполен момент 123
—	заряд 123, 270
—	индукционен поток 63
—	поток 63
—	хистерезис 270
Магнитна възприемчивост 225
—	Н-вълна 325
—	индукционна линия 60
—	индукция 59
—	константа 57
—	поляризация 212
—	проницаемост 225
—	силова линия 214
Магнитни индукционни коефициенти
247
—	сили 57, 69
Магнитно огледало 200
Магнитно поле 59
Магнитостатично поле 269
Макроскопични величини 208
—	полета 208
Малък обемен проводник 285
Маса 178
Математически дипол 118, 124
Материални уравнения 221
Междинна (преходна) зона 130
Метод на пос ледов ателните обобще-
ния 15
Метричен тензор 160
Микроскопични величини 203
—	плътности на заряди и токове 204
—	полета 204
Мирова линия 176
Монохроматична вълна 302
Монохроматични източници 139
Мощност на ЕЛС 241
—	на излъчване на мултиполи 139
Мултиполни моменти 116
Набла-оператор 345
Намагнитеност на среда 212
Надлъжна съставяща 236
Напрежение 50, 77
Напречна съставяща 236
Некомпенсирани заряди 209
Нормален ефект на Зееман 198
Нормална дисперсия 342
Обемна плътност на електрични дипо-
ли 118
----заряди 19, 209
----магнитни диполи 124
----ток 20, 212
----- фиктивни магнитни заряди (ма-
си) 226
Обобщен закон на Ампер 78, 84
—	импулс на частица 182
Общи преобразования на Лоренц 160
Оператор на Даламбер 166
----Лаплас 345, 348
Основни закони 12, 16, 34, 64, 85, 143
Основни закони на електростатичното
поле 30, 37
— — стационарното магнитно поле
64, 67
Осцилатор 331
Отправна система 145
Парамагпитни вещества 270
Плоска вълна 299
Площна скорост 307
Плътност на енергетичния поток 91,
276
—	енергията на електричното поле 54
	електромагнитното поле 90, 276
	магнитното поле 90
—	импулса на електромагнитното по-
ле 94, 278
—	индуцирана ЕЛС 72
—	мощността на електричните сили
86
----ЕДС 233
—	повърхнинната електрична сила 50
----магнитна сила 71
—	сила на Лоренц 70
Повърхнинна плътност на електрични
диполи 118
---- заряди 19
----ток 20
Поглъщане на електромагнитни вълни
339
Поле от електричен тип 229
—	магнитен тип 230
Полеви подход 29
Поляризационен потенциал 100
—	ток 213
—	заряди 210
Поляризация на вълна 307
Поляризираност на среда 210
359
Предметен указател
Постоянни токове 23
Потенциал на електростатичното поле
38
Потенциали на Лиенард-Вихерт 105
Поток на векторно поле 32
Пречупване и отражение 313
Принцип на близкото действие 28
—	далечното действие 28, 142
—	действие от разстояние 142
—	относителността 146, 147
—	суперпозицията 27
—	съответствието 15, 78
—	причинност 102
Пробен заряд 29
Прово димост 230
Проводници 206
Променлив електричен дипол 134
----- квадрупол 135
—	магнитен дипол 135
Променливи полета 75
Пространствено-временен интервал
153
Пространствено ограничени източни-
ци 115, 130
Пространственоподобен вектор 163
—	интервал 153
Пълно вътрешно отражение 319
Пълно сечение за поглъщане 341
Равнина на поляризацията 307
—	трептенето 307
Радиационно триене 332
Разсейване на електромагнитни вълни
335
-------от свободни електрони 336
-------от свързани електрони 338
Реакция на лъчението 329
Ред на Тейлор 347
Резонатор 326
Релеевско разсейване 338
Свободни заряди 206
Свързани заряди 206
Сечение за поглъщане 341
Сила на Лоренц 70, 177
—	Минковски 177
Си лова линия — 31, 214
Скаларен потенциал на електромаг-
нитното поле 95
Скаларен източник на поле 31
Скин-ефект 294
Скорост на вълна 309
— електромагнитните взаимодействия
102
Собствен капацитет 265
—	ширина на спектрална линия 334
Солепоидално поле 236
Специална теория на относителността
147
Специално преобразование на Гали-
лей 150
-----на Лоренц 153
Средни стойкости 207
Статични заряди 25
Стационарен ток 23
—	полета 56, 236
—	електрично поле 56, 238
—	магнитно поле 59, 242
Странична (електродвижеша) сила
230
Сферична монохроматична вълна 140
Съотношение на Грин за взаимност
261
Съпротивителна сила 232
Съпротивление (омово) 240
Телеграфно уравнение 298
Тензор на електричната възприемчи-
вост 222
----- проницаемост 223
—	електромагнитното поле 170
—	енергията и импулса 187
—	магнитната възприемчивост 224
----- проницаемост 225
— напреженията на електричното по-
ле 50
-----електромагнитното поле 94, 278
-----магнитното поле 70
—	проводимостта 230
Теорема за еквивалентност 120, 125
Теорема на Гаус 34
—	Гаус—Остроградски 349
—	Ирншоу 263
—	Коши—Ковалевска 82
—	Стокс 349
— Томсън 261
—	Хелмхолц 350
Ток 21
—	намагнитване 212
—	отместване 79
—	проводимост 231
Токов елемент 21
360
Токова линия, нишка, тръба 24
Точков дипол 118, 124
—	заряд 18
Трансформации на Галилей 150
—	Лоренц 153, 160
Уравнение на Лагранж от втори род
182
—	Лаплас 40
—	непрекъснатостта 23, 217
- Поасон 40, 68
— Хелмхолц 303, 323, 327
Уравнения на Максуел (уравнения на
електромагнитното поле)
— във вакуум 80, 85
— в линейни среди 225
в произволни среди 214
— в случай на токове на проводимост
234
Условие за стационарност на токове
23
— на Лорепц 96, 169
Фаза на вълната 140, 304
Фазова повърхнина 140, 305
— скорост 140, 305
Феромагнитни среди 224, 270
Физичен дипол 118
Физически малък интервал време 207
---- обем 207
Формула на Грин 349
— Лармор 139
— Томсън 337
Формули на Френел 317
Функция на Дирак 347
Фундаментални експериментални за-
кони 16, 26, 57, 75, 79, 143
понятия 11, 17, 59, 77, 143
— явления 15, 26, 57, 75, 79, 143
Хамилтониан на заредена частица
183, 185
Хармонична функция 40
Хипотеза на Максуел 79
Хомогенност на пространството и вре-
мето 148
Електродинамика
Четиривектор 163
Четиритензор 164
Четиримерен импулс 178
— плътност на тока 168
— потенциал 169
— пространство-време 148
—	сила на Минковски 177
—	скорост 176
—	ускорение 177
Ъгъл на Брюстер 318
Циклотронен резонанс 195
— честота 190
Циркулация на векторно поле 32
УКАЗАТЕЛ НА ИМЕНАТА
Айнщайн 147
Ампер 57, 63, 78
Био—Савар 60, 244
Брюстер 318
Вихерт 103
Галилей 146, 150
Гаус 34, 349
Грин 261, 349
Даламбер 166
Джаул 233, 241
Дирихле 40, 84
Зееман 198
Ирншоу 263
Ковалевска 82, 237
Комптън 339
Коши 82, 237
Кулон 26, 96, 271
Лагранж 184
Лаплас 40, 166
Лармор 139, 190
Ленц 233, 241
Лиенард 103
Лоренц 70, 96, 153, 160, 334
Максуел 79, 80, 171, 214
Мипковски 177
Нойман 41
Ом 230, 240, 288
Остроградски 349
Поасон 40
Планк 182
Пойнтинг 92, 277
Релей 338
Снелиус 316
Стокс 349
Томсън 261, 337
Умов 92, 277
Фарадей 75
Френел 317
Хамилтон 186
Хелмхолц 303, 323, 327, 350
Херц 79, 99, 119, 125, 229, 323
361
ЕЛЕКТРОДИНАМИКА
Хр. Попов
РЕЗЮМЕ
Автор книги — доцент на кафедре Теоретической физики Физического
факультета Софийского университета им. “Климента Охридского”. В ее
основу положен курс лекций, который автор читал в течение многих лет
студентам третьего года обучения специальностей инженерная физика и
учитель физики и математики.
Относительно небольшой объем книги с необходимостью приводит к
тому, что в ней рассмотрены только основы классической электродинами-
ки. Так как автор ставит перед собой задачу дать ясное представление о
физических основах электродинамики, подобрана такая структура изло-
жения, при которой наиболее четко выступают ее фундаментальные поня-
тия, явления и законы. При этом намеренное сосредоточение внимания на
систематическом выводе основных связей между характеристиками поля,
его источников и механических величин, при ограниченном объеме, неиз-
бежно сужает круг рассматриваемых явлений и уменьшает глубину этих
рассмотрений.
Первая часть учебника посвящена теории взаимодействия зарядов в
вакууме. Изложение основано на методе последовательных обобщений.
Вторая часть содержит основы специальной теории относительности. В
третьей части электродинамика зарядов в вакууме рассматривается как
микроскопическая теория, на основе которой выводятся уравнения Макс-
велла для сплошных сред. Дедуктивным путем получаются зависимости,
используемые в важнейших применениях электродинамики.
Учебник может быть использован студентами всех физических специ-
альностей, а в качестве справочника — и многими специалистами.
362
ELECTRODYNAMICS
Ch. Popov
Summary
The author of this textbook is an associate professor in the Theoretical Physics
division of the Faculty of Physics, Sofia University.
Text is based on the lectures which in the coures of many years have been
attended by third grade students, preparing for a high school teacher’s carrier, as
well as by students, specializing in industrially applied physics.
In this not very large book only the basic ideas, facts and relations of the classical
electrodynamics have been enlighted. Since the author has aimed at giving a clear
understanding of the physical grounds of the science, he has structured the text in
a manner most favourable for underlining the fundamental phenomena, concepts
and physical laws. The accent has been put on a systematic derivation of the basic
relations between the characteristics of the electromagnetic field, its sources and
the classical mechanical quantities. In result an inavoidable restriction of the scope
of the tackled phenomena as well as a sometimes superficial treatment of the above
has occured.
The First Part of the textbook is dedicated to the theory of electromagnetic
interactions of charges in vacuum and follows a strategy of step by step generalisa-
tions. The Second Part is a brief introduction to the main ideas of Einstein’s special
relativity. In Part Three the electrodynamics of charges in vacuum is treated as
a microscopic theory, from which the Maxwell equations in the case of media are
derived. Further the logic of deduction is extended to obtain some of the relations,
most useful for practical applications.
The textbook could be useful to students, specializing in all branches of physics
and many other specialists could find in it a very useful reference material.
363
доц. Христо Димитров Попов
ЕЛЕКТРОДИНАМИКА
Българска
Второ издание
Редактор Виктория Лазова
Технически редактор Елена Пискова
Худ. редактор Красимира Михайлова
формат 70/100/16
Печ. коли 23 Изд. коли 30
Университетско издателство „Св. Климент Охридски"