МЕХАНИКА
А. М. Зайцева
ЗАДАЧНИК-
ПРАКТИКУМ
ПО ОБЩЕЙ
ФИЗИКЕ
Под редакцией проф. Н. В. Александрова
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физико-математических факультетов
педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» МОСКВА 1972

530
3-17
Зайцева А. М,
3-17 Задачник-практикум по общей физике. Механика.
Под ред. проф. Н. В. Александрова. Учеб. пособие
для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов.
М., «Просвещение», 1972.
128 с. с илл.
Книга представляет собой учебное пособие для студентов <
и физико-математических факультетов педагогических институтов
ное по программе курса общей физика для пединститутов. '
530
28-72 ™

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый задачник-практикум
предназначен для студентов физических
и физико-математических факультетов пе-
педагогических институтов. Он составлен в
соответствии с программой курса общей
физики для пединститутов в Междуна-
Международной системе единиц (СИ) и с учетом
требований новой программы по физике
для средней школы. Задачник-практикум
рассчитан на повышение активизации и
самостоятельную работу студентов.
Каждому разделу предпослано неболь-
небольшое введение с указанием основных за-
законов и формул. Далее следует ряд во-
вопросов, ответы на которые требуют пред-
предварительного изучения студентами мате-
материала по учебнику. Приводятся примеры
решения ряда задач с подробным анали-
анализом всех этапов решения.
Предлагаемое пособие несколько лет
опробировалось на занятиях со студента-
студентами-физиками Московского ордена Трудо-
Трудового Красного Знамени государственного
педагогического института им. В. И. Ле-
Ленина.
Все критические замечания автором
книги будут приняты с благодарностью.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
При решении задач рекомендуется определенная последова-
последовательность.
1. Приступая к решению задач по какой-либо теме, изучаемой
по учебникам, ознакомьтесь с введением, содержащим обзор поня-
понятий и соотношений, используемых в данном пособии.
Для проверки правильности усвоения изучаемой темы, для
углубления и закрепления теоретического материала ответьте
на вопросы, помещенные после введения.
2. Разберите приведенные решения некоторых задач, а затем
решите задачи, пользуясь указаниями. Указания,^ как правило,
имеют общий характер, поэтому ими следует пользоваться и при
решении задач такого же типа, данных для самостоятельного реше-
решения.
3. Перейдя к самостоятельному решению задач, вникните в
смысл задачи. Представьте себе не только физическое явление, о ко-
котором идет речь, но и те упрощающие предположения, которые сле-
следует сделать, проводя решение. Если позволяет характер задачи,
обязательно сделайте рисунки, поясняющие содержание и решение.
Решив задачу в общем виде, проверьте ответ по равенству раз-
размерностей отдельных членов формулы.
4. Прежде чем делать числовые расчеты, переведите все данные
величины в одну систему единиц» Необходимые для решения зада-
задачи величины, не приведенные в условии, найдите в таблицах, по-
помещенных в конце книги. При расчетах пользуйтесь логарифми-
логарифмической линейкой.
Получив числовой ответ, оцените его правдоподобность.

§ 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1. Поступательное движение материальной точки характеризу-
характеризуется линейной скоростью v и линейным ускорением а
v ~~1Г' a ~ dt '
где s — вектор перемещения.
2. Вращательное движение материальной точки характеризуется
угловой скоростью о и угловым ускорением ц
da dca
0) = , Г] = ,
dt ' dt
где а — угловое перемещение.
3. Линейные скорость и ускорение материальной точки, принад-
принадлежащей вращающемуся телу и находящейся от оси вращения на
расстоянии /?, определяются соотношениями
4. При криволинейном движении материальной точки танген-
тангенциальное ускорение ах и нормальное ускорение ап являются состав-
составляющими вектора полного линейного ускорения а
а=ап+ах, ап = — — /?, ат-= —-,
где i? — радиус кривизны траектории в данной точке.
5. При гармоническом колебании материальной точки смеще-
смещение х, соответствующее моменту времени /, определяется уравне-
уравнением
х = хт cos № + Ф)>
где Хт—амплитуда колебания, со — циклическая частота, ср —
начальная фаза.

ВОПРОСЫ
1. В каком случае величина вектора средней скорости совпада-
совпадает со значением скорости, измеряемой отношением длины участка
пути ко времени, затраченному на его прохождение?
2. На рисунке 1 представлен график зависимости пути прямоли-
прямолинейного неравномерного движения от времени. Как по этому графи-
графику определить:
а) среднюю скорость за промежуток времени /2— tu
б) скорость в момент времени /?
О
Рис. 1
Рис. 2
3. На рисунке 2 представлены графики пути для трех прямо-
прямолинейных движений. Чем отличаются эти движения?
4. Точка равнозамедленно движется по окружности. Как на-
направлены векторы угловой скорости, углового ускорения, танген-
тангенциального ускорения, нормального ускорения, полного линейного
ускорения? Как с течением времени меняется угол между линей-
линейным ускорением и радиусом-вектором?
5. Колесо радиуса R вращается против часовой стрелки с пос-
постоянной угловой скоростью со. Укажите направление и величину
вектора нормального и тангенциального ускорений для точки, нахо-
находящейся на ободе колеса. Какой путь прошла взятая точка и каково
ее перемещение, если колесо сделало один оборот?
Рис. 3
Рис. 4

6. Когда колесо катится, то часто бывает, что нижние спицы
видны отчетливо, а верхние как будто сливаются. Почему?
7. Что можно сказать о двух колебаниях, если результат их
сложения изображен на рисунке 3?
8. Сравните колебания, дающие результирующие движения,
изображенные на рисунке 4 (стрелка показывает направление
движения).
Примеры решения задач
1. Мяч, упавший с высоты 1 ж, два раза ударяется о наклонно
поставленную доску. Расстояние между точками удара мяча о
доску 4 ж. Удар мяча о доску абсолютно упругий. Сопротивлением
воздуха пренебрегите. Определите угол между доской и горизон-
горизонтом; уравнение траектории мяча; радиус кривизны его траектории
в точке наивысшего подъема после первого удара.
Решение,
Дано: А = 1 м
s = 4 м
R — ?
Делаем чертеж (рис. 5). Угол между доской и горизонтом обо-
обозначим а. Отмечаем траекторию движения мяча: точка А — точка
первого удара мяча, точка В — точка второго удара мяча о доску.
Мяч, упавший с высоты А, в момент первого удара о плоскость
в точке А имеет скорость
Так как удар мяча о
доску абсолютно упру-
гий, то мяч отскочит от
доски со скоростью v
под углом 2а к верти-
вертикали.
Выберем прямоуголь-
прямоугольную систему координат
так, чтобы вертикаль-
вертикальная ось OY проиищ че-
через точку первого уда-
удара, а ось ОХ — через
точку второго удара (см.
рис. 5). Движение тела,
брошенного под углом к
горизонту, можно пред-
В X
Рис. 5

ставить как результат сложений двух более простых движений:
вдоль поверхности земли и перпендикулярно этой поверхности.
В горизонтальном направлении на мяч силы не действуют, по-
поэтому его движение будет равномерным. Перемещение мяча описы-
описывается уравнением
х = vt sin 2cc. B)
В вертикальном направлении на мяч действует сила тяжести,
поэтому движение вначале будет равнозамедленным, а потом рав-
равноускоренным с ускорением свободного падения g. Перемещение
мяча в выбранной системе координат описывается уравнением
у = s sina -f- vt cos 2a — —. C)
Уравнения B) и C) справедливы для любой точки траектории.
Координаты точки В равны
х = s cos a; у = 0.
Подставляя значения координат точки В в уравнения B) и C), имеем
s cos a = vt sin 2a.
0 = s sin a + vt cos 2 a — ^—,
где / — время движения мяча в воздухе от первого до второго уда-
удара о доску.
Исключив время из последних двух уравнений, получим
sg = 4v2 sin a. D)
Подставив значение скорости v из уравнения A) в уравнение D),
решим его относительно sin a
sin a = —.
8h
Проверим размерность и произведем расчет
[sina] = ?¦ =1;
sina = -j; a= 30°.
Для нахождения траектории движения точки — мяча, нужно
найти связь между ее координатами а: и у в произвольный момент
времени /.
Из уравнения B) найдем время t и, подставив его в уравнение C),
получим
. E)

Это уравнение вида у — —ах2-\-Ьх+с представляет собой уравне-
уравнение параболы, не проходящей через начало координат и обращен-
обращенной выпуклостью вверх.
Для определения радиуса кривизны R я какой-либо точке тра=
ектории нужно знать в этой точке скорость v и нормальное ускорь
ние ап
R^v~ F)
ап
Так как никакие силы, кроме силы тяжести, на брошенное тело
не действуют, то полное ускорение в любой момент времени и в
любой точке траектории равно ускорению свободного падений
или ? =
G)
где ап — нормальное ускорение, характеризующее изменение ско-
скорости по направлению, а а^ — тангенциальное ускорение, характе-
характеризующее изменение скорости по модулю.
В точке наивысшего подъема мяча вектор скорости направлен
горизонтально, а полная скорость равна горизонтальной составляю-
составляющей скорости, которая во время движения остается постоянной.
Следовательно, тангенциальное ускорение в этой точке траектории
равно нулю, а полное ускорение равно нормальному ускорению
Учтя уравнения A) и G), получим
R = 2h sin2 2а.
Проверим размерность и произведем расчет
[R] = м; Я = 1,5 м.
2. Колесо радиуса г катится без скольжения по прямолинейному
участку пути с угловой скоростью со. При этом точка М, находящая-
находящаяся на ободе колеса, движется по траектории (рис. 6), параметричес-
параметрическое уравнение которой
х ¦= г (о)/ — sin (о/),
у = гA — cos о)/).
Рис. 6

Определите зависимость линейной скорости от времени; коор-
координаты точек траектории с наименьшей и наибольшей линейными
скоростями относительно неподвижного наблюдателя.
Решение. Линейная скорость точки в любой момент времени
определяется векторной суммой скоростей в направлении осей
ОХ и 0Y.
Следовательно,
t,*= v\ + v) = х2+ у2. A)
Из уравнения траектории определяем
х = rco(l + cos ©/), B)
у = га sin cot.
Подставив уравнение B) в уравнение A), получим числовое зна-
значение линейной скорости точек обода в любой момент времени
v = го) ]/2A — cos 0H- C)
Когда cos о)/ = 1, то линейная скорость наименьшая amm = 0;
точка М переместится в точку Л14. Это соответствует углу поворота
радиуса-вектора, проведенного в точку М из центра колеса
ф1= ©/= 2я - л (/г = 0, 1, 2 . . .).
Координаты этих точек определяем из исходного уравнения
х = 2пг - п (п = 0, 1, 2, . . .)
Когда cos о)/ = —Г, то линейная скорость наибольшая vmax =
= 2 го); точка М переместится в точку М2» это соответствует углу
поворота радиуса-вектора точки М:
ф2= О)/ = ПП (П = 1, 2, 3 . . .).
Координаты этих точек
х = пг (л=1,2,.. .); у = 2г.
3. Наибольшие смещение и скорость точки, совершающей гар-
гармонические колебания, равны соответственно 5 см и 12 см/сек.
Определите наибольшее ускорение; скорость и ускорение точки
в тот момент, когда смещение равно 3 см.
Решение.
Дано:
vm = 0,\2м/сек
х - 0,03 м
10

Зависимость смещения от времени для гармонического колеба-
колебания выражается соотношением:
x-Xmcos И + ф), A)
где Хт— амплитуда смещения, a (со/ + ф) — фаза колебаний.
В данной задаче начало отсчета выбираем произвольно. Поло-
Положим ф = 0, тогда за начало отсчета примем момент времени,
когда смещение максимально, т, е.
х — Xmcos со/в
Мгновенная скорость равна
v = -^ = — coXm sin cot B)
at
где coXm = vm — амплитуда скорости.
Мгновенное значение ускорения равно
а
^cosco/, C)
dt
где co2Xm = am — амплитуда ускорения.
Сравнивая значения vm и ат в уравнениях B) и C), получаем
*«= ф- D)
Ат
Если задано смещение точки в момент времени /, то из соотно-
соотношения A) находим
COS (x)t = —.
Подставляя значение cos со/ в уравнение C), получим мгновен-
мгновенное значение ускорения
о
а = ?-* E)
и из уравнения B) мгновенное значение скорости
Проверим размерность и произведем расчет
\а 1 - м* -
Из уравнения D) получаем
144 • Ю-4
5 • Ю-2
1!

Из упавнения E) получаем мгновенное ускорение, а из уравне-
аия F) мгновенную скорость
144 . Ю-4 . 3 . Ю-2 17 |Л-
5 . Ю-3 5
Знак « — » указывает на то, что смещение и ускорение сдвинуты
по фазе на л или находятся в противофазе,
Решите задачи, пользуясь указаниями
4. При свободном падении тело в последнюю секунду прошло
путь вдвое больший, чем в предыдущую. Определите высоту, с ко-
которой падало тело; время падения; скорость тела при ударе о землю.
Указания. 1. Сделайте схематический чертеж.
2. Весь путь разбейте на отдельные участки и рассмотрите дви-
движение на каждом из них. На каждом участке отметьте все кинема-
кинематические характеристики движения (перемещение точки за рассмат-
рассматриваемый промежуток времени, мгновенную скорость в начале и
конце этого перемещения, ускорение и время).
3. С помощью основных законов равноускоренного движения
установите связь между величинами, отмеченными на чертеже.
4. Составив кинематические уравнения, описывающие движе-
движение тела на отдельных участках, запишите уравнения, вытекающие
из условия задачи (перемещение на третьем участке вдвое больше,
чем на втором).
5. Полученную систему уравнений решите относительно иско-
искомых величин.
5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым
ускорением. К концу пятого оборота после начала движения ли-
линейная скорость точек обода равна 0,1 м/сек. Определите угловое
ускорение колеса; тангенциальное ускорение точек обода; нормаль-
нормальное и полное ускорения для точек обода через 20 сек после начала
движения.
Указания. 1. Принципиально решение задач на движение по ок-
окружности не отличается от решения задач на прямолинейное движе-
движение точки. Однако наряду с общими формулами кинематики сле-
следует учитывать связь между угловыми и линейными характеристи-
характеристиками движения.
2. Установите характер движения точек обода колеса. Составь-
Составьте полную систему кинематических уравнений, описывающих вра-
вращательное движение тела.
3. Так как требуется найти не только характеристики враща-
вращательного движения тела (rj), но и характеристики поступательного
12

движения точки (а^ , ап), то запишите урав-
уравнения, связывающие линейные и угловые ха-
характеристики движения.
4. Из полученной системы уравнений най-
найдите т), а%> ап.
5. Для нахождения полного линейного
ускорения точек обода необходимо найти
связь между полным, тангенциальным и
нормальным ускорениями.
Рис. 7
6« Круг с черным сектором, централь-
центральный угол которого 40°, вращается относи-
относительно оси, проходящей через центр круга перпендикулярно его
плоскости, с частотой оборотов 1500 мин,-1 (рис. 7). Что будет
видно на круге, если в темной комнате его осветить светом, мигаю-
мигающим 100 раз в секунду, причем длительность каждой вспышки
света равна 0,003 сек? Решите эту задачу при частоте оборотов
/2= 1470 мин'1.
Указания. 1. Учтите, что длительность сохранения зрительного
восприятия глаза ^0,04 — 0,06 сек. Если частота вспышек совпа-
совпадет с числом оборотов круга, то круг кажется неподвижным.
2. Определите число вспышек за время одного оборота при дан-
данной частоте вращения.
3. Определите, в каких положениях находится черный сектор
во время вспышек.
4. Учтя длительность каждой вспышки, найдите видимый угол
сектора.
5. При частоте вращения диска /2» видимо, не будет кратности
между частотой вспышек и частотой вращения круга, в результате
чего за время между двумя последующими вспышками круг не успе-
успеет повернуться на —.
Задачи для самостоятельного решения
7. На рисунке 8 представлены графики зависимости скоростей
от времени при прямолинейном движении точек Л, В, С, Д. Вычер-
Вычертите для этих же точек графики зависимости пути и ускорения от
времени.
8. Начертите графики зависимости пути и ускорения от време-
времени для некоторой материальной точки, если зависимость скорости
от времени этой точки представлена графиком (рис. 9).
9. Автомобиль остановился перед светофором, но как только
зажегся зеленый свет, автомббиль продолжал движение. В этот
момент с ним поравнялся другой автомобиль, дви>1$ущийся с посто-
постоянной скоростью. Графики зависимости скорости от времени для
автомобилей изображены на рисунке 10. Через сколько времени
после встречи у светофора скорости автомобилей будут одинаковы?
13

(Г
сек
1\
А
О
У'
\
\
\
44
Рис. 8
Рис. 9
0,005
Рис. 10
tt4ac
Через сколько времени по-
после встречи у светофора
первый автомобиль дого-
догонит второй и какой путь
они пройдут до встречи?
Начертите графики зави-
зависимости путей и ускоре-
ускорений от времени для этих
автомобилей.
10. Тело движется пря-
прямолинейно. Зависимость
пройденного пути от вре-
времени определяется урав-
уравнением
s = @,5/ + Р)м.
Определите зависимость
скорости и ускорения от
времени; среднюю скорость
тела за вторую секунду;
путь, пройденный телом за
пятую секунду. Начертите
графики зависимости пу-
пути, скорости и ускорения
от времени.
11. Тело, двигаясь пря-
прямолинейно с постоянным
ускорением, проходит по-
последовательно два равных
участка пути по 20 м каж-
каждый. Первый участок прой-
пройден за 1,06 сек, второй за
2,2 сек. Определите уско-
ускорение тела, скорость в на-
начале первого и в конце вто-
второго участка пути; путь,
пройденный телом после
прохождения второго уча-
участка. Начертите графики
зависимости пути и скоро-
скорости от времени.
12. Зависимость пере-
перемещения от времени вы-
выражается уравнением
s= so + At2—Bts,
где А и В — постоянные.
14

Определите и дайте график зависимости скорости и ускорения от
времени; перемещение тела через 3 сек, если наибольшая ско-
скорость тела через 2 сек после начала движения 3 м/сек.
13. Автомобиль, двигаясь с постоянной по величине и направ-
направлению скоростью 15 м/сек, промчался мимо милицейского поста,
нарушив правила уличного движения. Спустя 4 сек милиционер
начал преследование на мотоцикле, двигаясь с постоянным ускоре-
ускорением. Проехав 380 м, милиционер настиг нарушителя. Определите,
сколько времени для этого потребовалось; ускорение мотоцикла;
скорость мотоцикла в тот момент, когда он поравнялся с автомобилем.
14. Туристы, определяя скорость течения воды в реке, около
лагеря опустили в воду кусок пенопласта и начали на лодке грести
по течению. Через 20 мин они достигли деревни, находящейся ниже
лагеря на 0,5 км и повернули лодку назад. Поймав пенопласт, они
снова повернули лодку по течению и через 10 мин вернулись в де-
деревню. Какая скорость течения воды в реке, если считать скорость
воды и лодки постоянной и время на пов0роты лодки не учитывать?
15. Гребец ведет лодку, удерживая ее все время перпендикуляр-
перпендикулярно направлению течения, со скоростью у4= 1 м/сек относительно
воды. Ширина реки Ъ = 200 м. Определите время переезда через
реку; расстояние от исходного места до места причаливания лодки
вниз по течению реки.
Задачу решите при условии: 1) скорость течения воды постоян-
постоянна по всей ширине реки и равна vz= 0,5 м/сек; 2) скорость течения
воды меняется по закону
где у — расстояние от берега, Ъ — ширина реки.
16. Ракета, запущенная вертикально вверх в течение 10 сек
работы двигателя,- движется с ускорением 2g. Определите макси-
максимальную высоту подъема ракеты; скорость падения ракеты на
Землю. Начертите график зависимости скорости от времени для
всего полета. Считайте, что тормозные системы при спуске не ра-
работают и сопротивления воздуха нет.
17. Тело, находящееся на высоте 45 м от земли, начинает сво-
свободно падать. Одновременно из точки, находящейся на меньшей
высоте, вертикально вверх бросают второе тело. Оба тела падают
на Землю одновременно. Определите начальную скорость второго
тела; характер движения второго тела по отношению к первому;
расстояние между телами через 1 сек; характер движения второго
тела по отношению к первому, если: а) оба тела начинают падать
одновременно; б) второе тело начинает падать на 1 сек раньше пер-
первого. Сопротивлением воздуха пренебрегите.
18. По гладкой наклонной доске толкнули снизу вверх шарик.
На расстоянии 40 см от начала доски он был два раза: через 0,5 сек
и через 1 сек после начала движения. Определите начальную ско-
15

рость шарика; его ускорение; путь, пройденный шариком по пло-
плоскости; угол между доской и горизонтом. Начертите графики зави-
зависимости скорости и пути от времени. Считайте силу трения отсут-
отсутствующей.
19. Камень, брошенный горизонтально, упал на Землю через
0,5 сек на расстоянии 5 ж от места бросания. Определите высоту,
с которой брошен камень; начальную и конечную скорости движе-
движения камня; уравнение траектории движения; угол с горизонтом
скорости камня через 0,2 сек после начала движения; нормальное и
тангенциальное ускорения камня через 0,2 сек после начала движе-
движения и радиус кривизны траектории в этот момент. Постройте годо-
годограф скорости. Сопротивление воздуха не учитывайте.
20. Два тела одновременно падают с одной и той же высоты Я.
Перед ударом о землю оба тела упруго ударяются о наклонные
площадки, расположенные под углом 45° к горизонту, одно проле-
пролетев 0,5 Я, другое — 0,75 Я. Определите отношение времени движе-
движения этих тел; отношение их скбростей при ударе о землю; отноше-
отношение путей, пройденных в горизонтальном направлении.
21. Начинающий теннисист, тренируясь перед вертикальным
деревянным щитом, находящимся на расстоянии 5 ж, ударяет по
мячу в горизонтальном направлении. Мяч отскакивает от щита на
30 см ниже уровня, с которого брошен, и ударяется о ракетку. Оп-
Определите начальную скорость мяча; под каким углом к горизонту
и на сколько нужно опустить ракетку, чтобы мяч ударился пер-
перпендикулярно ей; если играющий останется на месте; промежу-
промежуток времени от первого до второго удара мяча о ракетку. Удар мяча
о щит считайте абсолютно упругим. Сопротивлением воздуха пре-
пренебрегите.
22. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы
высота подъема была равна дальности полета? В какой точке траек-
траектории его нормальное ускорение и радиус кривизны траектории
максимальны?
23. Наибольшая высота подъема тела, брошенного под углом к
горизонту 10 м, а радиус кривизны траектории в точке наивысшего
подъема 20 м. Определите начальную скорость тела; скорость,
радиус кривизны траектории; нормальное и тангенциальное уско-
ускорения тела через 1 сек после бросания; дальность полета; время
движения в воздухе; уравнение траектории. Постройте годограф
скорости.
24. Движение материальной точки по двум взаимно перпенди-
перпендикулярным направлениям определяется уравнениями:
х = E + 4t2)m;
у = ЗЛи.
Определите зависимость перемещения, скорости и ускорения от
времени. По какой траектории движется тело? Постройте годограф
скорости.
16

25. Начальная скорость брошенного камня 10 м/сек, а спустя
0,5 сек скорость камня стала 7 м/сек. Определите высоту подъема
камня через 0,5 сек и радиус кривизны траектории в этот момент;
максимальную высоту подъема камня.
26. Движение тела в горизонтальном и вертикальном направ^
лениях определяется уравнениями:
х = 250/ м;
у - D30/ — 4,9/2) м.
Определите уравнение траектории движения; скорость в началь-
начальный момент; полное ускорение; наибольшую высоту подъема тела и
дальность его полета; радиус кривизны траектории в момент паде-
падения и в момент наивысшего подъема.
27. Уравнение траектории тела, движущегося в поле Земли
имеет вид
у = (_0,196jc2+ 1,732х) м
(ось X — горизонтальна, ось Y — вертикальна). Определите
начальную скорость тела; полное, нормальное и тангенциаль-
тангенциальное ускорения в момент удара о землю; время движения.
28. Уравнение траектории материальной точки имеет вид
а зависимость пути от времени определяется уравнением
s = B/2+ t + 1) м.
Определите кинематические характеристики поступательного дви-
движения материальной точки через 1 сек после начала движения; коор-
дицаты точки через 1 сек, если в начальный момент они были равны
х = 2, у = 0.
29. На наклонную плоскость, расположенную под углом 30°
к горизонту, с высоты 0,5 м падает шарик. Определите соотношение
расстояний по наклонной плоскости между точками второго и
третьего ударов и точками первого и второго ударов; расстояние
между точкой падения шарика на плоскость и точкой третьего
удара.
30. На учебных лагерных сборах дано задание: из миномета,
установленного на расстоянии 5 км от вертикального обрыва овра-
оврага, поразить цель, находящуюся на дне оврага глубиной 100 м.
На каких расстояниях от основания обрыва будут поражены объек-
объекты, если начальная скорость мин 400 м/сек? Сопротивление воздуха
не учитывайте.
31. В аттракционе «стрельба по движущейся цели» приспособле-
приспособление, подбрасывающее диск вертикально вверх со скоростью 17,3 м/сек,
находится на расстоянии 10 м от стреляющего. Стрелок спускает
курок, когда цель находится в наивысшей точке подъема. Опреде-
11

лите, под каким углом к горизонту производится выстрел: через
сколько времени пуля настигнет цель.
32. Трактор движется прямолинейно по горизонтальной дороге
со скоростью v = 5 м/сек. Расстояние между гусеницами d — 1,5 м.
Тракторист уменьшает скорость правой гусеницы на Av — 0,5 м/сек.
Как при этом изменится траектория движения трактора? Опреде-
Определите кинематические характеристики движения центра массы.
33. Два колеса начинают вращаться одновременно. Через
10 сек второе колесо опережает первое на полный оборот. Угловое
ускорение первого колеса 0,1 сек~2. Определите угловое ускорение
второго колеса; сколько оборотов сделает каждое колесо через
20 сек.
34. Для определения скорости полета пули на горизонтальную
ось мотора, вращающегося со скоростью 24 об/сек, жестко насажи-
насаживают два диска из тонкой бумаги на расстоянии 80 см друг от дру-
друга. Пуля, пущенная горизонтально, пробивает оба диска, причем
вторая пробоина смещена относительно первой на угол 54°. Оп-
Определите скорость пули.
35. Вращающееся колесо, имеющее 6 спиц, освещают неоновой
лампой, которая работает на переменном токе. Лампа вспыхивает
и гаснет 100 раз в секунду. Определите наименьшую угловую ско-
скорость колеса, при которой оно кажется неподвижным. Каким будет
казаться движение колеса при вращении его по часовой стрелке
со скоростью 16 об/сек?
36. Колесо турбины радиусом R = 1 м из состояния покоя
приводят во вращение, при этом за одну минуту при равноуско-
равноускоренном движении оно должно достигнуть угловой скорости со =
= 24 сект1. Определите угловое ускорение; число оборотов, кото-
которое сделает колесо за это время; линейную скорость точек обода ко-
колеса при этой угловой скорости; угол между полны л линейным уско-
ускорением и линейной скоростью через 10 сек после начала движения.
37. Маховик радиусом 2 м приводится в движение. Точка,
находящаяся на ободе, имеет уравнение движения s = 0,2 ft м.
Через некоторое время точки на ободе имеют линейную скорость
5 м/сек. Для этого момента времени Ьпределите нормальное и тан-
тангенциальное ускорения точки обода; угловые скорость и ускорение
обода; сколько оборотов сделает обод с начала движения и через
сколько секунд это произойдет. Постройте годограф скорости.
38. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением
2 сек~2. Через 1 сек после начала движения полное линейное уско-
ускорение точек на ободе колеса равно 2,7 м/сек2. Определите угол,
составляемый вектором полного линейного ускорения с вектором
линейной скорости в этот момент; зависимость пути от времени для
точек на ободе колеса; радиус колеса.
39. Материальная точка двигается по окружности радиусом
10 см с постоянным по величине угловым ускорением 0,5 сек~2.
Определите полное линейное ускорение точки через 2 сек после на-
18

чала вращения; ее нормальное ускорение через один оборот; угод
между вектором полного ускорения и радиусом окружности; сколь-
сколько оборотов сделает точка через 10 сек после начала движения.
40. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота ра*
диуса колеса от времени определяется уравнением
а = A + 2t — 2t3).
Нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса к концу
второй секунды движения, равно 200 м/сек2. Определите зависи-
зависимость от времени угловой и линейной скоростей, углового и полно-
полного линейного ускорений для точек, лежащих на ободе колеса; ра-
радиус колеса.
41. Стена здания (рис. 11) освещается равномерно вращающим-
вращающимся фонарем с небольшим светящимся окном. В начальный момент
времени свет падает перпендикулярно на стену, находящуюся
на расстоянии 5 ж от фонаря. Луч света перемещается по стене дли-
длиной 10 м в течение 2 сек. Определите угловую скорость вращения
фонаря; отношение наибольшей и наименьшей линейных скоростей
перемещения светового луча по стене.
42. Обруч радиусом R = 0,5 м катится без скольжения по го-
горизонтальной поверхности .с постоянной скоростью 5 м/сек (рис. 12).
Определите относительно неподвижного наблюдателя величину и
направление линейных скоростей точек Л, J5, С и D; полное ускоре-
ускорение этих точек; угловую скорость обруча относительно осей, про-
проходящих через точки О и А; линейную скорость точки К, находя-
находящейся над поверхностью на высоте h = —R; геометрическое место
точек, имеющих такую же по абсолютной величине линейную ско-
скорость, как центр обруча; уравнение траектории точки на обруче.
43. Автомобиль движется по шоссе так, что зависимость его
скорости от времени определяется уравнением
v = A + 50 м/сек.
Небольшой камешек застрял в узоре протектора автомобильной
шины радиусом 40 см, Определите относительно неподвижного наб-
R
Ф
-О
Рис. 11
Рис. 12
19

людателя зависимость от времени линейной скорости камешка в
моменты его касания с землей и при наибольшем его удалении от
земли; линейное ускорение камешка и угловое ускорение колеса
через 0,5 сек после начала ускоренного движения; число оборотов
колеса за 2 сек ускоренного движения автомобиля.
44. Уравнение смещения материальной точки имеет вид
х = 3 sin n(t + 0,5) см.
Определите максимальные смещение, скорость и ускорение точки;
период колебаний. Начертите графики зависимости смещения, ско-
скорости и ускорения от времени.
45. Амплитуда гармонического колебания равна 5 см, период —
4 сек. Определите уравнение смещения, если в начальный момент
времени точка находится в положении максимального смещения;
максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки; через
сколько времени после начала колебаний смещение равно половине
максимального смещения.
46. Смещение материальной точки описывается уравнением
х = Хт cos (cot + ф). Максимальное смещение точки 10 см. Через
1 сек после начала колебания оно равно 5 см, а через 2 сек — нулю.
Определите период колебания; уравнение смещения; максимальные
скорость и ускорение; скорость и ускорение через 1 сек после нача-
начала движения.
47. При сложении двух одинаково направленных гармоничес-
гармонических колебаний одинаковой частоты получается колебание с ампли-
амплитудой 9 см. Одно из складываемых колебаний описывается уравне-
уравнением Xi^ 5 sin 40/ см, другое имеет амплитуду 7 см. Определите
уравнения смещения другого складываемого колебания и резуль-
результирующего колебания.
48. Смещение материальной точки по двум взаимно перпенди-
перпендикулярным направлениям описывается уравнениями:
х = 10 cos 3t см;
у = 10 sin 3/ см.
Определите уравнение траектории движения; линейную скорость и
ускорение движения; характер движения по найденной траектории.
49. Смещение материальной точки по двум взаимно перпенди-
перпендикулярным направлениям описывается уравнениями:
х = 10 sin 2t см;
у = 5 sin B/+ 1,57) см.
Определите уравнение траектории; зависимость линейной скорости
от времени; скорость точки в момент времени t = 0,5 сек; макси-
максимальную скорость; координаты точек траектории, в которых ско-
скорость наибольшая и наименьшая.
20

§ 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1. Уравнение движения материальной точки
где ^F)— сумма сил, действующих на материальную точку, р —
импульс.
2. Координаты центра масс системы точечных тел определяются
формулами:
п п п
2
. v -i. til
1=1
где тп xif yl9 zt — масса и координаты тел, составляющих систему.
3. Полный импульс замкнутой системы сохраняется (по вели-
величине и направлению)
где М — масса системы, уЦЛ1 — скорость центра масс.
4. Уравнение движения тела, с ежесекундно уменьшающейся
массой,
т— = — и +
dt dt Гв,
где и — скорость отделяющейся массы, относительно тела;
п .+.
2F,— векторная сумма внешних сил, действующих на тело.
*=i
ВОПРОСЫ
1. Два человека тянут веревку в противоположные стороны с си-
силами по 50 н каждый. Разорвется ли веревка, если она выдержи-
выдерживает натяжение 60 я?
2. Опытный баскетболист, ловя мяч, расслабляет руки и слег-
слегка подается назад вместе с мячом. Зачем он это делает?
3. Машинист тепловоза, приводя в движение тяжелый товарный
железнодорожный состав, сначала толкнет состав немного назад,
а затем дает передний ход. Зачем машинист это делает?
21

4. Изменится ли сила давления экскаватора на грунт при уско-
ускоренном подъеме ковша; опускании ковша?
5. Два шара одинакового радиуса, соединенные невесомой не-
нерастяжимой нитью, лежат на гладкой горизонтальной поверхности.
У правого шара масса больше. С одной и той же силой тянут вна-
вначале правый шар вправо, а затем левый — влево. Одинаково ли
натяжение нити при установившемся движении шаров в этих двух
случаях?
6. Как будет меняться форма поверхности жидкости в сосуде,
если он движется по наклонной плоскости под углом а к горизонту
равномерно; с ускорением а = g sin а; с ускорением а > g sin а?
7. Доска, наклоненная под углом а к горизонту, лежит на опо-
опорах, по которым она может скользить вниз без трения под действи-
действием силы тяжести. В каком направлении и как (равномерно или
равноускоренно) должен двигаться по доске человек, чтобы она не
скользила?
Примеры решения задач
50. Скорость электропоезда на закруглении 72 км/ч, радиус за-
закругления 400 м. Под каким углом к горизонту нужно расположить
полотно железной дороги, чтобы избежать бокового давления колес
ца наружный рельс?
Решение.
Дано: v = 72 км/ч = 20 м/сек
R = 400 м
а — ?
Чтобы избежать бокового давления на наружный рельс, нуж-
нужно создать условия, при которых была бы сила, изменяющая нап-
направление скорости и не было бы силы, производящей боковое дав-
давление на рельс. Для создания этих условий при закруглении по-
полотна железной дороги наружный рельс прокладывают выше внут-
внутреннего.
Электропоезд при повороте движется по дуге окружности на-
наклонного полотна железной дороги. На центр массы электропоезда
действуют сила тяжести Р и реакция опоры N (по третьему закону
Ньютона, равная силе давления |#| = |^|)« Векторная сумма
этих сил сообщает центру масс в горизонтальной плоскости нор-
нормальное ускорение, которое и обеспечивает изменение скорости по
направлению (рис. 13).
Запишем уравнение движения
^ = P + N. A)
22

направление
Учитывая
сил, получим
Отсюда
Проверим размерность
произведем расчет
Л/
тя
сек2 - м-м
tga = 0,102; a
Рис. 13
51. На озере для перевозки грузов используют плот массой
1000 кг и длиной 10 м. Когда плот был неподвижен, одновременно
навстречу друг другу с противоположных концов плота пошли
взрослый человек массой 80 кг и мальчик массой 30 кг. Определите
смещение плота относительно земли в тот момент, когда взрослый
человек пройдет весь плот, а мальчик будет на середине плота.
Сопротивление воды не учитывайте.
Решение.
Дано: т= 1000 кг
1= 10 м
т±= 80 кг
т2= 30 кг
Так как внешние силы можно не учитывать, то систему тел
(плот, взрослый человек, мальчик) считаем замкнутой.
Скорость центра массы системы тел, составляющих замкнутую
систему, остается постоянной по величине и направлению. Ско-
Скорость центра массы системы до перемещения и при перемещении
людей равна нулю, т. е. положение центра массы системы не изме-
изменится.
Выберем систему координат так, чтобы ось ОХ совпадала с нап-
направлением возможного перемещения плота.
По определению, координата центра массы системы равна
i=\
т,
23

X
Совместим начало коорди-
координат системы с точкой дна, ле-
лежащей под взрослым челове-
человеком до его перемещения
(рис. 14). Масф системы
складывается из массы
плота т, массы взрослого че-
человека mi и массы мальчи-
мальчика т2.
Когда люди на плоту не-
неподвижны, то координата х
центра массы системы равна
*о,-т' , У,^- F)
/72j + tV.2 + ttl
По условию задачи происходит перемещение взрослого человека
относительно плота на /, а мальчика в противоположную сторону на
—. Плот за это время переместился относительно дна на х. Пос-
После перемещения людей координата центра массы системы равна
oi
Рис. 14
Приравняем координаты центра массы до перемещения xoi
и после перемещения х02. Решив полученное уравнение относитель-
относительно х, получим
X =
Проверим размерность и произведем расчет
кг
м = м\
10
<80-15).tu =0б9
1000 + 80 + 30
52. Советская автоматическая станция совершила мягкую по-
посадку на поверхность Луны. Масса станции после выведения на
траекторию полета к Луне была равна 1583 кг. За 48 сек до посадки
по команде радиовысотомера была включена тормозная двигатель-
двигательная установка. Система управления посадкой обеспечила гашение
скорости с 2600 м/сек до нуля у поверхности Луны. Топливо со-
составляет половину веса станции перед ее торможением, и можно счи-
считать, что оно израсходовано полностью. Какая реактивная сила
24

торможения действовала на станцию при посадке? Силу тяготения
не учитывайте.
Решение.
Дано:
т0 = 1533 кг
t0 = 48 сек
v0 = 2600 м/сек
vk = 0
F-?
Внешние силы на станцию не действуют. Масса ее при движении
во время торможения меняется, ежесекундно рт станции отделяет-
отделяется масса — = |л. Уравнение движения станции имеет вид
dt
т^=-ри, A)
dt
где т — масса станции, v — ее скорость, и — скорость газов,
выбрасываемых тормозной установкой относительно станции, \iu —
тормозная реактивная сила, всегда направленная навстречу ско-
скорости и. Перед посадкой станции тормозные двигатели выбрасыва-
выбрасывают струю газа по направлению движения.
Определим скорость выбрасываемых газов и. Перепишем урав-
уравнение A)
<#~ dt
В полученном дифференциальном уравнении разделим переменные
л dm /o\
do — — и —. B)
т
В начальный момент времени v = t>0, m — m0, в конечный момент —
v = 0, т = п—. Учтя это, проинтегрируем уравнение B)
о ~, ~
р С dm
\ dv = — и \ ~^\ — vо = —
Откуда
и = —^-. C)
In 2 V ;
Реактивная сила торможения равна
F -dt = -dm-u. D)
25

В начальный момент времени t = 0, т = т0, в 'конечный мо-
мот — / = tQ9 m = -°.
Проинтегрируем уравнение D):
Учтя уравнение C), получаем
р —
2t0 In 2*
Знак «—» показывает, что сила торможения противоположна
направлению скорости станции v0.
Проверим размерность и произведем расчет
Р =
2600
м - кг
сек ¦ сек
1583
2. 48 • 0,693
6,2-
Решите задачи, пользуясь указаниями
53. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол
30°, движется тело массой 5 кг. К этому телу с помощью нерастяжи-
нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок, привязано другое те-
тело такой же массыу движущееся в вертикальной плоскости (рис. 15.)
Коэффициент трения скольжения между телом и наклонной пло-
плоскостью 0,05. Определите ускорения тел; силу, действующую на ось
блока.
Указания. 1. Установите, какие элементы механической систе-
системы можно заменить материальными точками.
2. Рассмотрите силы, действующие на каждую материальную
точку, и нанесите их на чертеж.
3. Для каждой материальной
точки запишите уравнения дви-
движения.
4. Решите полученную сис-
систему уравнений, учитывая ус-
условия, накладываемые связями
на силы и ускорения.
5. Сила, действующая на ось
блока, равна векторной сумме
сил, действующих в точке С.
54. Клин массы М лежит на
гладкой горизонтальной поверх-
Рис. 15 ности, по которой он может
26

Рис. 16
скользить, не испытывая сил
трения. О грань, образую-
образующую с горизонтом угол а,
ударяется шарик массы т,
дви гающийся вертикально
вниз и имеющий в момент
удара скорость v. Определите
скорость клина после удара
шарика.
Указания. 1. Для каждого
тела системы нанесите на чер-
чертеж вектора импульсов в на-
начале и конце процесса.
2. Выберите систему координат. Одну из осей координат удоб-
удобнее совместить с направлением интересующего перемещения.
3. Проекция общего импульса системы шарик-клин на горизон-
горизонтальное направление и направление вдоль наклонной плоскости
должна оставаться постоянной (равной нулю), так как внешние
силы в этих направлениях не действуют.
4. Запишите законы сохранения импульса для указанных на-
направлений и решите полученные уравнения.
55. Определите положение центра массы половины сплошного
диска радиуса R (рис. 16).
Указания. 1. Выберите систему координат. Удобнее начало ко-
координат совместить с центром диска. Вспомните, как рассчитывает-
рассчитывается координата центра массы по каждой оси.
2. Определите координату центра массы по оси ОХ.
3. Разбейте диск на отдельные бесконечно малые элементы пря-
прямоугольной формы шириной dx. Введя плотность материала р и
толщину диска Л, определите массу и центр массы каждого элемента.
4. Так как элементы выбраны бесконечно малыми, то при на-
нахождении координаты центра массы всего тела по оси OY проведи-
проведите интегрирование. (Учтите, что уравнение окружности х2 +
Задачи для самостоятельного решения
56. Под действием какой силы у тела массой 10 кг при прямоли-
прямолинейном движении изменение пути со временем происходит по закону
s = 10/ A — 2f) м? Постройте графики зависимости пути, скорости
и ускорения от времени.
57. Тело массой 1 кг движется с ускорением, которое определяет-
определяется уравнением а = Ft — 10) м/сек2 (t — отсчитывается с момента
наблюдения). Определите силу, действующую на тело через 2 сек
после начала действия; скорость и путь, пройденный телом за
10 сек. Начертите график зависимости скорости и силы, действую-
действующей на тело, от времени.
27

58. Нить переброшена через блок. К одному ее концу привязан
брусок, лежащий на горизонтальной поверхности, а к другому —
динамометр (рис. 17). Если за динамометр тянуть вниз, то брусок,
двигаясь равноускоренно, перемещается на 50 см в течение 0,5 сек.
Динамометр во время движения показывает F = 40 н. Коэффициент
трения скольжения бруска о поверхность 0,3. Определите массу
бруска; время прохождения бруском этого же пути, если к динамо-
динамометру подвесить груз весом 40 н. Что при этом показывает динамо-
динамометр, если его массой можно пренебречь?
59. Быстроходные лифты Останкинской^ телевизионной башни,
работающие до высоты 337 м> имеют скорость равномерного движе-
движения 7 м/сек и поднимаются за 60 сек. Считая ускорение постоянным,
определите силу давления груза массой 100 кг на дно лифта в нача-
начале, середине и конце подъема. Начертите график зависимости ско-
скорости от времени.
60. На концах нити, перекинутой через блок, висят две гири
разной массы. В начальный момент времени они на одинаковой вы-
высоте. Через t = 2 сек расстояние между ними по высоте равно
h = 1,2 Л1. Масса большей гири Ш{= 0,2 кг. Блок и нить считайте
невесомыми. Определите массу меньшей гири; натяжение нити;
силу давления на ось блока.
61. Через легкий блок перекинута нерастяжимая-нить, к кон-
концам которой прикреплены грузы с общей массой т = 10 кг. После
освобождения грузы приходят в движение и за t = 0,5 сек каждый
смещается на 0,75 м. Определите силу давления на ось блока; натя-
натяжение нити; массу каждого груза.
62. Через невесомый блок перекинута веревка, к концам которой
прикреплены грузы массами mi= 100 г, т2— 200 г. Блок движется
вверх с ускорением а— 2 м/сек2. Пренебрегая трением, определите
ускорения грузов относительно Земли; силу давления на ось блока.
63. Грузы, массы которых trti— 2 кг и т2— 3 кг, висят на нити
перекинутой через невесомые блоки. К подвижному блоку прикреп-
прикреплен груз массой тъ— 4 кг (рис. 18). В начальный момент все грузы
/77
Рис. 17
Рис. 18
28

закреплены и находятся на одной
высоте, потом грузы одновремен-
одновременно освобождают. Пренебрегая тре-
трением, определите натяжение нити;
ускорение каждого груза относи- % ч--^ I M
тельно Земли; расстояние между
грузами через 1 сек после начала рис, 19
движения; на сколько опустится
подвижный блок за это же время.
64. Через блок малой массы перекинут легкий шнурок. На од-
одном конце шнурка привязан груз массой т — 1 кг, по другому
скользит кольцо массой mt= 0,4 кг. Ускорение кольца относитель-
относительно шнурка а = ? Определите ускорения тел относительно Земли;
силу трения, действующую на кольцо (другие силы трения
отсутствуют); силу трения, при которой ускорение кольца относи-
относительно Земли составляет половину ускорения груза.
65. Два груза т4= 2 кг и т2— 3 кг, лежащие на горизонталь-
горизонтальном столе, связаны нитью. Когда эту систему тянут в горизонталь-
горизонтальном направлении за груз т^ с силой F = 80 н, нить обрывается.
Определите прочность нити.
66. На горизонтальной плоскости лежат пять связанных нитью
грузов массой т каждый. На нити, прикрепленной к этим грузам и
перекинутой через блок, подвешен груз массой 2т. Коэффициент
трения скольжения между плоскостью и грузами jli — 0,1. Опреде-
Определите ускорения грузов; силу натяжения веревки Fu действующую
на груз наиболее удаленный от блока; во сколько раз сила натяже-
натяжения веревки F2 между двумя ближайшими к блоку грузами больше
силы Ft; силу, действующую на ось блока.
67. Ледяная гора составляет с горизонтом угол 30°. Из некото-
некоторой точки по ней снизу вверх движется тело с начальной скоростью
10 м/сек. Коэффициент трения скольжения 0,1. Определите ско-
скорость тела при его возвращении в ту же точку; высоту поднятия
тела.
68. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой
М --' 2 кг, на котором находится другой брусок массой т— 1,5 кг.
Бруски соединены легкой нитью, перекинутой через невесомый
блок (рис. 19). Коэффициент трения скольжения между брусками
\л = 0,4. Нижний брусок под действием постоянной силы переме-
перемещается на s = 0,5 м за 1 сек. Определите силу, действующую на
нижний брусок; силу натяжения нитей.
69. По наклонной плоскости, составляющей угол а = 30°
с горизонтом, опускается брусок массой mi= 0,4 кг. Коэффициент
трения скольжения между бруском и плоскостью |л = 0,1. Брусок
с помощью системы легких блоков и нерастяжимых нитей связан с
грузом массой т2^ 0,3 кг (рис. 20). Определите направление и
величину ускорения груза т2; натяжение нитей.
29

Рис. 20
Рис. 21
70. На столе лежит доска массой т2= 2 кг, на доске груз мас-
массой т^— 1 кг. Коэффициент трения скольжения между грузом и
доской \xi= 0,25, между доской и столом jll2= 0,05. Какую силу
нужно приложить к доске в горизонтальном направлении, чтобы
доска выскользнула из-под груза?
71. На наклонной плоскости, составляющей угол а = 20° с го-
горизонтом, закрепили синтетическое покрытие и на него положили
деревянную доску массой mi=5 кг и длиной / = 1 м. На верхний
конец доски поместили брусок массой т2= 2 кг с коэффициентом
трения между доской и бруском |х2= 0,2. При движении доски по
плоскости брусок двигался по доске и через / = 0,77 сек после на-
начала движения соскользнул с доски. Определите коэффициент
трения между доской и плоскостью.
72. По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол
а = 30°, скользит без трения клин, верхняя плоскость которого го-
горизонтальна (рис. 21). По горизонтальной поверхности клина сколь-
скользит груз массой т. Коэффициент трения скольжения между грузом
и клином jut = 0,1. Определите ускорение груза относительно
Земли в горизонтальном направлении. При каком максимальном
угле а груз перестанет скользить по поверхности клина?
73. На конец нити длиной / = 50 см, имеющую предел проч-
прочности F = 10 н, привязали шарик массой т = 200 г и начали вра-
вращать в вертикальной плоскости. Определите наименьшую угловую
скорость вращения, при которой нить разорвется; высоту центра
окружности над поверхностью Земли, по которой происходит вра-
вращение, если оторвавшийся шарик упал на горизонтальную поверх-
поверхность на расстоянии 3,70 м.
74. В вагоне движущегося поезда производится взвешивание
тела на пружинных весах, свободно перемещающихся относительно
точки подвеса. При движении поезда по закруглению со скоростью
и = 72 км/ч весы показывают F%= 50,25 «, при движении по
прямолинейному горизонтальному пути с постоянной скоростью
весы показывают F2— 50 н. Определите радиус закругления желез-
железнодорожного полотна.
30

Рис. 22
Рис. 23
75. К вращающемуся горизонтальному диску на расстоянии
d = 10 см от оси вращения привязана нить длиной / = 60 см с гру-
грузиком на конце (рис. 22). Нить с вертикалью составляет угол а =
— 45°. На каком расстоянии от оси вращения диска может удержать-
удержаться небольшое тело, положенное на него, если коэффициент трения
скольжения \х = 0,25.
76. На стержне, жестко соединенном с вертикальной осью и
вращающемся с угловой скоростью со, на расстоянии / от верхнего
конца, находится небольшая муфта, способная перемещаться вдоль
стержня (рис. 23). Определите положение муфты при увеличении
угловой скорости в 2 раза; коэффициент трения скольжения между
муфтой и стержнем.
77. Из облака, находящегося на высоте А= 1 км, в безветренный
день падают на Землю дождевые капли массой т = 3,2 • 10~6 кг.
Учитывая, что коэффициент пропорциональности между силой соп-
сопротивления воздуха и скоростью капель такого размера г =
= 7-10-вн-сек/ми масса капли во время падения не меняется, опре-
определите относительно неподвижного наблюдателя характер движения
капли; скорость капли у поверхности Земли; время ускоренного
движения капли; во сколько раз сопротивление воздуха уменьшает
скорость капли у поверхности Земли?
78. Моторная лодка массой т = 200 кг двигалась по озеру со
скоростью v = 20 м/сек. После выключения мотора лодка прошла
путь s = 40 м и остановилась. Считая силу сопротивления воды
движению лодки пропорциональной квадрату скорости, определите
зависимость скорости лодки и пройденного ею пути от времени
после выключения мотора; коэффициент пропорциональности между
силой сопротивления и квадратом скорости; время движения лодки
с выключенным мотором.
79. Парашютист массой 80 кг совершает учебный прыжок с вы-
высоты h — 1 км и приземляется, имея вертикальную составляющую
скорости vB=5 м/сек. Считая силу сопротивления воздуха пропор-
пропорциональной квадрату скорости парашютиста, определите коэффи-
31

циент пропорциональности между силой сопротивления и квадра-
квадратом скорости; время ускоренного движения.
80. Определите положение центра массы фигуры в виде тонкого
круглого диска с радиусом ri= 5 дм, в котором вырезано два круг-
круглых отверстия с радиусами г2= 1,5 дм> причем центры отверстий
лежат на расстоянии d = 2,5 дм от центра диска на двух взаимно
перпендикулярных диаметрах диска (рис. 24).
81. Определите положение центра массы плоской фигуры в виде
трапеции ABCD. Как изменится положение центра массы, если
на эту фигуру наклеить треугольную пластинку ABC из такого же
материала и такой же толщины так, как показано штриховкой на
рисунке 25.
82. Определите положение центра массы пластинки, имеющей
форму сегмента с углом ~.
83. Масса Луны составляет 1,2% от массы Земли. Расстояние
от Земли до Луны 384 000 км. Определите положение центра массы
системы Земля — Луна.
84. Лодка массой т±= 120 кг неподвижна в стоячей воде. На-
Находящийся в лодке человек массой тг~ 80 кг переходит с одного
конца лодки на другой. При этом лодка относительно дна смещает-
смещается на s — 80 см. Пренебрегая сопротивлением воды, определите
длину лодки.
85. Две лодки идут навстречу параллельными курсами. Когда
лодки находятся друг против друга, с каждой лодки во встречную
одновременно перекладывают груз массой т = 50 кг, в результате
первая лодка останавливается, а вторая идет со скоростью v3—
= 2,55 м/сек в прежнем направлении. Оцределите скорости лодок
до обмена грузами, если массы лодок с грузом равны mi= 500 кг и
т2= Ю3 кг?
86. На железнодорожной платформе, движущейся со скоростью
v = 5 м/сек, укреплено орудие. Масса платформы с орудием М —
= 104 кг. Из орудия, ствол которого приподнят над горизонтом на
у
А.
/
•ME Э№«-
, >. —5
2h
В
-с
С
Рис. 24
Рис. 25

угол а = 60°, производится выстрел. Масса снаряда m = 25 кг,
начальная скорость снаряда относительно орудия и = 500 м/сек.
Определите скорость платформы, если ствол орудия направлен в
сторону движения и против движения платформы.
87. Плот массой М^бОО кг и длиной I = 12 м самосплавом пе-
переправляют по реке со скоростью i\= 1 м/сек. Одновременно с од-
одного конца плота на другой переходят два человека, один массой
т4= 40 кг идет по течению реки, другой массой т2= 100 кг ему
навстречу. Оба движутся со скоростью v2= 0,8 м/сек относительно
плота. Определите смещение плота относительно Земли к тому мо-
моменту, когда сплавщики поменяются местами.
88. Снаряд, запущенный под углом а = 30° к горизонту, разры-
разрывается в верхней точке траектории на высоте !г = 35,1 м на две оди-
одинаковые части. Одна часть падает на землю через 1 сек после взры-
взрыва под местом взрыва. Определите скорость первой части снаряда
при падении на землю; отношение расстояний, на которых части
снаряда упали от места выстрела.
89. В воздушно-реактивном двигателе самолета скорости входа
воздуха 200 м/сек и выхода газа 400 м/сек относительно самолета.
За 1 сек через двигатель проходит газ т = 20 кг. Масса самолета
М = 104 кг. Сопротивлением среды движению самолета пренебре-
пренебрегите. Определите путь, пройденный самолетом при этих условиях
за 1 ч после включения двигателя.
90. Масса метеорологической ракеты в момент запуска т0 =
= 0,25 кг, масса заряда в ней т3= 0,16 кг. Скорость выхода про-
продуктов сгорания относительно ракеты и — 30 м/сек. Ежесекундно
выбрасывается газ массой \х = 52,3 г/сек. Пренебрегая сопротивле-
сопротивлением воздуха и изменением ускорения силы тяжести с высотой,
определите скорость ракеты в момент полного сгорания заряда;
время подъема ракеты на максимальную высоту.
91. Одноступенчатая ракета перед запуском имеет массу т0 =
= 500 кг. Она запускается вертикально вверх и должна приобрести
скорость v = 98 м/сек при скорости истечения газов и = 35 м/сек.
Считая, что полное сгорание горючего произошло за t0 = 5 сек и
ускорение силы тяжести с высотой не меняется, определите массу
горючего в ракете при старте; ускорение ракеты через время т =
= —; максимальное ускорение ракеты; время подъема до макси-
мальной высоты.
92. 3 ракете-перехватчике массой т0 = 103 кг запас горючего
составляет 80% веса ракеты. При вертикальном подъеме вверх
ракета приобретает наибольшее ускорение — 10g и наибольшую
скорость через t0 = 60 сек после запуска. Определите наибольшую
скорость ракеты без учета ускорения силы тяжести; величину ре-
реактивной силы.
2 Заказ 1857 33

§ 3. РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, МОЩНОСТЬ
1. Элементарная работа силы F на участке ds, по которому пере-
перемещается точка приложения,
йА = f- dt
2. Мгновенная мощность
dt
3. Кинетическая энергия точки или тела, движущегося посту-
поступательно со скоростью v
4. Потенциальная энергия тяготения тела, поднятого на высо-
высоту, много меньшую радиуса Земли (Л <^ R)
Wn = mgh.
5. В замкнутой системе полная энергия постоянна. В незам-
незамкнутой системе изменение энергии равно работе внешних сил.
6. Два тела с массами т{ и тг и скоростями vt и v2 после упру-
упругого центрального удара имеют скорости
7. Два тела с массами^ и m2 и скоростями и4 и у2 посленеуп-
ругого центрального удара имеют скорость
1. Какую работу совершает сила тяжести при перемещении те-
тела по горизонтальной поверхности; вертикально вниз; вертикально
вверх?
2. Какую работу совершает равнодействующая всех сил, при-
приложенных к телу массой т, равномерно движущемуся по окруж-
окружности со скоростью у?
3. Цилиндр и куб из одинакового материала и одинаковой
массы стоят на горизонтальной поверхности. Диаметр цилиндра
равен стороне куба. Какое из этих тел труднее опрокинуть, если
куб опрокидывать вокруг ребра? Почему?
4. На сортировочной станции с горки скатываются два вагона:
один груженый, другой порожний. Сравните пути, проходимые
вагонами по прямолинейному участку после скатывания.
5. Два автомобиля одинаковой массы трогаются с места и дви-
движутся равноускоренно. Во сколько раз средняя мощность мотора
34

первого автомобиля больше средней мощности второго, если за одно
и то же время первый развивает скорость в два раза больше второ-
второго (силами сопротивления пренебрегите)?
6. На горизонтальной поверхности лежат шесть одинаковых
костяных шаров. Что произойдет, если в пять соприкасающихся
шаров, центры которых находятся на одной прямой, ударится шес-
шестой? (Удар считайте абсолютно упругим.)
7. Небольшое тело скользит без начальной скорости с наклон-
наклонной плоскости высоты Я. Определите характер движения тела,
после того как оно покинет наклонную плоскость, если удар о го-
горизонтальную плоскость абсолютно упругий; абсолютно неупру-
неупругий. Трение отсутствует.
8. Шары А я В абсолютно упругие. Шар В неподвижен. При
каком условии после соударения с шаром А шар В придет в движе-
движение, а шар А остановится; шар В и шар А будут двигаться в про-
противоположных направлениях?
Примеры решения задач
93. Уклон участка шоссе равен 0,05. Спускаясь под уклон при
выключенном двигателе, автомобиль движется равномерно со ско-
скоростью 15 м/сек. Масса автомобиля 1,5 • 103 кг. Определите мощ-
мощность двигателя при подъеме автомобиля по такому же уклону
шоссе с той же скоростью?
Решение.
Д а н о: sin a = 0,05
v = 15 м/сек
т= 1,5- 103 кг
При равномерном движении автомобиля мощность двигателя
N =* F ¦ у, A)
где F —сила тяги автомобиля, v — скорость равномерного движе-
движения.
При равномерном движении автомобиля вверх по уклону, рав-
равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль в направле-
направлении перемещения, равна нулю (рис. 26, б).
FTp + mg sin a = F. B)
Сила трения при движении вверх и вниз по уклону для одного
тела остается постоянной. При равномерном движении вниз (рис.
26, а) сила трения
/ЧР = fHgsina. C)
2* 35

N
Рис. 26
Решая совместно уравнения A), B) и C), находим мощность
двигателя
N = 2mg sin a • v.
Проверим размерность и произведем расчет
№ =
кг • м ¦ м
сек2 • сек
—=вт; N = 2- 104 вт.
сек
94. Три одинаковых упругих шара висят, касаясь друг друга,
на трех параллельных нитях одинаковой длины. Один из шаров
отклоняют по направлению, перпендикулярному прямой, соединяю-
соединяющей центры двух других шаров, и отпускают. Каковы скорости ша-
шаров после удара, ^сли скорость ударяющего их шара в момент уда-
удара V?
Решение. В системе отсчета, связанной с Землей, выберем сис-
систему координат так, чтобы скорость движущегося шара совпадала
с направлением оси OY. Так как непосредственно перед соударе-
соударением скорость шара горизон-
горизонтальна, а в горизонтальном на-
направлении внешние силы не дей-
действуют (в вертикальном направ-
направлении сила тяжести уравнове-
уравновешена реакцией подвеса), то сис-
систему можно считать замкнутой.
Импульс системы шаров до
соударения должен быть равен
импульсу после соударения
ти
#?(/
ты.
Рис. 27
mv = тщ+ ти2+ тщ или
V = tt,+ U2+ Щ. A)
Спроектируем импульсы шаров
до и после соударения на оси
ОХ и 0У\
36

Векторное уравнение A) эквивалентно двум уравнениям для
проекций скоростей на оси ОХ и OY (рис. 27).
Проекция на ось ОХ:
О = и2х— u%x.
Но из симметрии задачи и2= щ. Поэтому проекция на ось 0Y:
v = 2u2 cos a — и4. B)
По закону сохранения энергии
тх)ъ 2ти% ти\
= i -\ i. C)
2 2^2 W
Решим систему уравнений B) и C)
(v = 2и2 cos a — tit;
\v2= 2u22+ uf;
v + щ= 2и2 cos a. B6)
(v + ид (v — ид = 2u\. C6)
Разделив уравнения C6) на B6), найдем a4
(v-ud=~*-~. C)
cos a
Откуда
cos a
Из уравнения B)
щ = 2иг cos a — a E)
Приравняв уравнения D) и E), найдем иг
и2= 2cosa .у. F)
2 2cos2a+l V !
V =
•4+'
Подставив найденное значение и2 в уравнение E), найдем
и - 2 2V* Г5 р о - 1 о
1 5 2 5
95. Небольшое тело соскальзывает вниз по наклонному жедобу,
переходящему в «мертвую петлю» радиуса R (рис. 28). С какой вы-
высоты h должно начать двигаться тело, чтобы не оторваться от жело-
желоба в верхней точке траектории?
Решение, За уровень отсчега потенциальной энергии примем
низшее положение тела (уровень 00).
37

V
В начальном положе-
положений тела (I) скорость v^O,
высота подъема h. В конеч-
конечном положении (положе-
(положение в верхней точке тра-
траектории (II) скорость у,
высота подъема 2R.
В процессе движения
на тело действуют две си-
силы: сила тяжести Р и ре-
реакция опоры N. Работа си-
силы тяжести определяется
Рис* 28 изменением потенциальной
энергии, работа реакции опоры N равна нулю, так как сила
перпендикулярна перемещению. Поэтому энергия тела в начальном
и конечном положениях равны между собой:
Откуда
2gh == v2+ 4gR. A)
В верхней точке траектории (точка А) равнодействующая силы
тяжести Р и силы реакции опоры N сообщает центростремительное
ускорение
f
При уменьшении начальной высоты скорость тела уменьшается
и при некотором значении h становится такой, что тело пролетает
верхнюю точку петли, не производя давления, в этом случае N =0,
и уравнение движения имеет вид:
Р = И*. или g = ?. B)
R R
Решая совместно уравнения A) и B) относительно /г, получим
h = 2,5 R.
96. Однородная цепочка длиной 2 м лежит на столе. 0,18 ж
этой цепочки спускают со стола так, что она начинает скользить
вниз. Масса цепочки 5 кг, коэффициент трения между столом и
цепочкой 0,1. Какая работа против силы трения совершается при
соскальзывании всей цепочки?
Решение.
Дано: / = 2 м
/0 = 0,18 м
т = 5 кг
И- = 0,1
Л — ?
38

Масса единицы длины цепочки —.
Сила трения действует на часть цепочки, лежащую на столе.
Если на столе находится цепочка длиной ху то сила трения равна
Fr9 = \>jxg. A)
При перемещении цепочки на бесконечно малое расстояние dx
силу трения можно считать постоянной величиной и тогда работа
против силы трения, совершаемая при таком перемещении, равна
dA - -FTpdx. B)
Соскальзывание начнется тогда, когда часть цепочки длиной /0,
свесится со стола. Следовательно, работа будет совершаться при
изменении длины цепочки, находящейся на столе, от (/ — /0) до 0.
Учитывая эти граничные условия и уравнения A) и B), можно за-
записать, что работа против силы трения равна
о
Проверим размерность и произведем расчет
г А 1 /С<? * ЛЬ * JvL
[4]
м • сек2
= н • м = дж.
Л = 0,1 5^-^B — 0,18J - 4,05 Зле.
Решите задачи, пользуясь указаниями
97. Тело массой т = 10 кг брошено с высоты Н = 100 м вер-
вертикально вниз со скоростью v = 14 м/сек. Определите среднюю
силу сопротивления грунта, если тело углубилось в песок на s =
= 0,2 м. Сопротивление воздуха не учитывайте.
Указания. 1. Сделайте чертеж.
2. Выберите уровень отсчета потенциальной энергии, его удоб-
удобнее связать с самым нижним положением тела.
3. Расставьте силы, действующие на тело, отметьте кинемати-
кинематические характеристики тела (скорость, высоту), определяющие
механическую энергию тела в начальном и конечном положе-
положениях.
4. Запишите закон сохранения и превращения энергии в этих
положениях; работа, совершаемая против внешней силы (силысоп-
(силысопротивления грунта), равна изменению энергии.
98. При спуске груза весом Р = 2 • 103 н с высоты А = 2 jh
на землю по наклонному настилу с углом наклона а = 30° груз
39

придерживают и тормозят канатом, натянутым во время спуска в
горизонтальном направлении силой F — 0,2 Р. Коэффициент трения
груза о настил \i = 0,1. Определите работу тормозящей силы; ско-
скорость груза у поверхности Земли.
Указания. 1. Сделайте чертеж. Укажите на нем силы, прило-
приложенные к телу.
2. Установите, чему равен угол между вектором силы, работу
которой нужно вычислить, и направлением перемещения (скорости).
Определите величину пути, на котором действует сила. Подставьте
нужные величины в формулу работы и произведите расчет.
3. Для нахождения скорости груза выберите уровень отсчета
потенциальной энергии и запишите энергию тела в начале и конце
спуска. Изменение энергии равно работе, совершаемой телом про-
против внешних сил (силы трения и силы торможения каната).
Решите полученное уравнение относительно скорости.
Задачи для самостоятельного решения
99. Тело массой т = 50 кг двигалось по горизонтальной поверх-
поверхности на восток со скоростью vt= 5 м/сек. В течение 30 сек на тело
действовала сила, постоянная по величине и по направлению, в ре-
результате чего тело начало двигаться на запад со скоростью v2—
= 10 м/сек. Определите величину силы; работу, совершенную над
телом.
100. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется
прямолинейно, причем путь, пройденный телом, зависит от време-
времени s — B/2+ 4t + \) м. Определите работу силы за 10 сек с начала
ее действия; зависимость кинетической энергии от времени и от
пути.
101. Тело массой т = 200 а брошено под углом а = 60° к гори-
горизонту и упало на землю на расстоянии s = 10 м через t =» 2 сек.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите работу при бро-
бросании; кинетическую и потенциальную энергии тела в высшей точ-
точке траектории.
102. Кусок льда один раз бросают под углом 45° к горизонту,
а другой раз пускают с такой же скоростью по горизонтальной по-
поверхности льда. Во втором случае брошенный лед переместился на
расстояние в 10 раз большее, чем в первом. Определите коэффициент
трения скольжения льда о лед.
103. Оконная солнцезащитная штора массой 1 кг и длиной 2 м
при открывании окна свертывается в тонкий валик наверху окна.
Какая при этом совершается работа?
104. Прямоугольная яма, площадь основания которой S = 2 м2
и глубина Н = 5 ж, наполовину заполнена водой. Насос выкачи-
выкачивает воду и подает ее на поверхность земли через цилиндрическую
трубу радиуса R = 10 см. Определите мощность насоса, если он
выкачал всю воду за / = 10 мин.
40

105. Буксирный пароход тянет баржу со скоростью v =
= 12 км/ч. При этом натяжение каната Т = 90 000 н. Без баржи
при движении с той же скоростью двигатель буксира развивает
мощность 7,35 /сет. Сила сопротивления воды пропорциональна
квадрату скорости. Определите мощность двигателя парохода при
буксировке баржи; коэффициенты сопротивления воды движущей-
движущейся баржи и парохода; мощность двигателя парохода при увеличении
скорости в два раза.
106. Мощность двигателя катера массой 103 кг равна
40 кет. Коэффициент пропорциональности между силой соп-
сопротивления и скоростью движения катера 150 н • сек/м. Оп-
Определите максимальную скорость, которую может приобрести
катер.
107. При ходьбе на лыжах по горизонтальному пути центр
массы спортсмена совершает колебания с периодом 4 сек. Ампли-
Амплитуда колебаний в вертикальной плоскости 8 см. Масса лыжника
80 кг. Коэффициент трения лыж о снег равен 0,05. Дистанцию в
20 км лыжник прошел за 1 ч 30 мин. Определите работу лыжника
при этом переходе; его среднюю мощность.
Учтите, что работа, которую затрачивают мышцы лыжника,
чтобы затормозить опускающийся центр массы, составляет 0,4
от работы при подъеме центра массы на ту же высоту.
108. Масса вертолета равна т = 3 • 103 кг. Диаметр винта,
отбрасывающего вниз цилиндрическую струю воздуха того же диа-
диаметра, равен d — 8 м. Определите мощность мотора, если вертолет
неподвижен; вертолет поднимаетсй вертикально вверх с ускоре-
ускорением а = 0,2 м/сек2.
109. Водитель оставил на шоссейной дороге, имеющей уклон
0,002, машину массой 5 • 103 кг без присмотра. Машина от случай-
случайного толчка пришла в движение, прошла под уклон 50 м> а затем
еще некоторый путь по горизонтальной дороге, и остановилась. Оп-
Определите наименьшую работу, которую должен совершить мотор
машины, если водитель поведет ее в обратном направлении. Счи-
Считайте коэффициент трения величиной постоянной.
110. Груз массой т = 100 кг равноускоренно поднимают по
наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизонтом.
Коэффициент трения скольжения между грузом и плоскостью
{I = 0,3; длина наклонной плоскости / — 2 м. Определите величи-
величину силы тяги; работу при подъеме груза в течение 2 сек; энергию
тела после подъема.
111. Тело скользит с вершины неподвижной наклонной пло-
плоскости под углом а = 30° к горизонту. Высота наклонной плоскости
h = 50 му коэффициент трения скольжения \i = 0,05. Определите
время движения; скорость тела в конце наклонной плоскости; путь,
пройденный телом по горизонтальной поверхности до остановки.
41

Решите задачу двумя
способами: пользуясь за-
конами динамики и ки-
нематики; пользуясь за-
законом сохранения и пре-
вращения энергии.
112. Определите мощ-
ность трамвайного мо-
Рис 29 тора, если он тянет со-
состав массой 5 • 103 кг со
скоростью v = 6 м/сек
в гору с уклоном а = 20°. Коэффициент трения скольжения
fi = 0,1; коэффициент полезного действия мотора ц = 0,9. При ка-
каком угле наклона затрачиваемая мощность будет максимальна и
чему она равна?
113. Два человека поднимаются на поверхность земли из метро;
первый — по неподвижному эскалатору, второй — по эскалатору,
движущемуся вниз со скоростью v — 0,5 м/сек. Оба поднимаются
на высоту h = 10 м. Эскалаторы составляют с горизонтом угол
а = 45°. Время подъема первого по эскалатору t= 20 сек, второго—
в два раза больше. Сравните работу и мощность, производимую при
подъеме каждым из поднимающихся. На что идет работа человека
в обоих случаях?
114. Тележка массой тх~ 0,5 кг и длиной / = 40 см движется
без трения по горизонтальным рельсам со скоростью v = 1,25 м/сек.
На передний край тележки положили небольшое тело массой т2—
= 100 г, которое через некоторое время остановилось на середине
тележки. Определите коэффициент трения между телом и тележкой;
время движения тела по тележке; работу протвд силы трения.
115. На небольшой платформе массой т2= 500 г закрепляют
один из концов сжатой пружины. Около другого конца пружины
помещают шарик массой т^ 40 г (рис. 29). Платформу устанавли-
устанавливают на краю горизонтальной площадки MNt поднятой на высоту
h = 30 см над столом и освобождают пружину. При выпрямлении
пружины платформа приходит в движение и останавливается на
расстоянии s = 15 см от края площадки, а шарик падает на стол
на расстоянии / = 80 см. Определите коэффициент трения между
платформой и поверхностью MN.
116. Через гладкое бревно перекинут канат, единица длины
которого имеет массу р. Концы каната связаны и образуют петлю.
Гимнаст массой т, взявшись за вертикальный участок каната,
пытается подняться вверх, но, подтягиваясь, остается все время
на одной высоте. Определите зависимость мощности гимнаста от
времени; мощность гимнаста в момент его касания первичной точ-
точки захвата каната.
117. Небольшое тело, находящееся на гладкой цилиндрической
трубе, получает небольшой толчок в горизонтальном направлении.
42

Прэйдя путь s = 0,125 м по
поверхности трубы в направле-
направлении, перпендикулярном обра-
образующей цилиндра, тело отрыва-
отрывается от трубы. Радиус трубы
R = 0,25 м. Определите началь-
начальную скорость тела; при каких
начальных скоростях тело не
будет двигаться по поверхности
трубы.
118. Шарику, подвешенному ис>
на нити длиной 1—2 м, толчком
сообщили скорость v = 8 м1сек. Определите высоту, на которой
нить не будет натянута и шарик перестанет двигаться по окружности;
скорость шарика в этот момент; высоту поднятия шарика над точ-
точкой подвеса.
119. Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости,
переходящей в мертвую петлю, в которой вырезана дуга, симмет-
симметричная относительно вертикального диаметра. Радиус мертвой
петли R = 1 ж, хорда АВ = 1,73 м. Трением и сопротивлением
воздуха пренебрегите. Определите высоту, с которой должно спус-
спускаться тело, чтобы из точки А оно попало в точку В, двигаясь по
воздуху (рис. 30).
120. На очень тонкой нити подвешен шарик. Шарик поднимают
до точки подвеса так, что нить становится горизонтальной, и отпус-
отпускают. Определите точки траектории, в которых полное линейное
ускорение направлено вертикально вниз, вертикально вверх,гори-
вверх,горизонтально; величину ускорения в этих точках.
121. Для определения скорости пули, вылетающей из духового
ружья, проделали следующее. Стальной шар массой т^ = 5 кг под-
подвесили на шнур длиной / = 4 м и выстрелили в него по горизонталь-
горизонтальной прямой, проходящей через центр шара. При этом пуля массой
т2— 0,005 кг упруго от него отскочила, а шнур отклонился на угол
а = 10°. Определите скорость пули.
122. Два шара одинаковой массы т = 0,2 кг из абсолютно не-
неупругого материала висят на нитях длиной /= 1 ж, касаясь друг
друга. Один из шаров отводят в сторону так, что нить образует с
вертикалью угол а = 60°, и отпускают. Определите наибольшую
высоту поднятия их общего центра массы после соударения; наи-
наибольшее натяжение нити.
123. Боек автоматического молота массой mt= 100 кг падает
на заготовку детали, масса которой вместе с наковальней т2=
= 2000 кг. Скорость молота в момент удара и{— 2 м/сек. Считая
удар абсолютно неупругим, определите энергию, идущую на де-
деформацию заготовки.
124. Частица, движущаяся со скоростью у, испытывает упругое
нецентральное соударение с такой же частицей, находящейся в
'43

покое. Определите угол меж-
между направлениями движения ча-
частиц после соударения; скорость
движения каждой частицы, ес-
если движущаяся частица изме-
изменила направление движения на
Рис. 31 Уг°л 30°.
125. В неподвижный атом во-
водорода попадает а-частица, дви-
движущаяся со скоростью 2-106 м/сек. Определите скорость атома водо-
водорода и а-частицы после упругого соударения, если обе частицы ста-
стали двигаться в одном направлении; а-частица изменила направление
движения на угол 30°, а угол между направлениями движения час-
частиц 100°.
126. Покажите, что скорость центра массы двух шаров после
удара равна скорости центра массы этих шаров до удара, независи-
независимо от того, упругое или неупругое соударение.
127. Тяжелая горизонтальная плита движется вертикально
вниз с постоянной скоростью и0. На плиту падает маленький лег-
легкий шарик, пройдя до первого упругого соударения с плитой путь
h0. Определите относительно неподвижного наблюдателя скорость
шарика после первого соударения; высоту подъема шарика над
плитой после третьего соударения. Начертите график зависимости
скорости от времени, начиная с момента первого соударения.
128. Веревка длиной / = 2 м свешивается со стола. Коэффициент
трения между веревкой и столом \х = 0,1. Определите длину конца,
свисающего со стола, при которой начнется скольжение веревки;
скорость веревки в тот момент, когда длина свисающего конца рав-
равна 6=1 м.
129. На стенку вогнутой сферической чаши радиуса R положи-
положили небольшое тело (рис. 31). В начальный момент времени центр
массы тела поднят над горизонтальной поверхностью на высоту
Ло = —. Предоставленное само себе тело начинает скользить и ос-
останавливается на высоте вдвое меньшей. Определите коэффициент
трения скольжения между телом и поверхностью чаши.
§ 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1. Координаты и время в двух инерциальных системах отсчета
К и К! связаны между собой формулами преобразования Лоренца
у'=у; г' =
44

Соответствующие оси координат систем К и К 'параллельны между
собой. Относительная скорость v направлена вдоль оси ОХ. Начала
координат систем К и К' в момент / = /' = О совпадают.
2. Длина тела /, движущегося в направлении оси ОХ со ско-
скоростью vy связана с собственной длиной /0 (длиной в системе отсче-
отсчета, по отношению к которой тело покоится) соотношением:
3. Промежуток времени А^ между двумя событиями, происхо-
происходящими в системе, движущейся со скоростью о, связан с собствен-
собственным временем А/о (временем в системе отсчета, по отношению к ко-
которой часы неподвижны) соотношением:
4. Полная энергия частицы с массой покоя т0, движущейся со
скоростью v, равна
ВОПРОСЫ
1. От каких постулатов, положенных в основу классической
механики Галилея — Ньютона, отказывается специальная теория
относительности?
2. Как определяются кинематические величины, характеризую-
характеризующие движение тел с большими скоростями?
3. Законы классической или релятивистской механики лежат
в основе расчета движения космических кораблей, элементарных
частиц в ускорителях?
Примеры решения задач
130. В ускорителях элементарных частиц скорость частиц
определяют по их кинетическим энергиям.
Определите отношение кинетической энергии частицы к ее энер-
энергии покоя, при котором относительная ошибка при расчете скорости
по формулам классической механики не превышает 1 %.
Решение. Обозначим vK — скорость, определяемую по законам
классической механики; vp — скорость, определяемую по законам
релятивистской механики.
Условие требует, чтобы
•^=^р ^ 0,01 или 5ё < 0,01. A)
vp vp
45

Кинетическая энергия частицы в классической механике равна
T = —* откуда и* = —.
2 m0
Кинетическая энергия частицы в релятивистской механике равна
Т = (m-mo)c* = Ео{ Х - - l
где mQc2= Ео — энергия покоя частицы.
т
Обозначим отношение —= а.
Решая уравнение C) относительно v2p получаем:
(а + I)*
Разделив уравнение B) на уравнение D) и учтя требование урав-
уравнения A), получим:
' \2 О //» I t\2
к \ \^* "~г" *¦) 1 /ло /?\
pj = a + 2 = '
Из уравнения E) получаем а = 0,013.
т
Следовательно, если — < 0,013, то ошибка при расчете скорости
по формулам классической механики, не превышает 1%.
Решите задачу, пользуясь указаниями
131. В системе К частица движется вдоль оси ОХ с ускорением
ах. Система координат К' движется по отношению к неподвижной
системе со скоростью v в направлений оси ОХ. Определите ускоре-
ускорение частицы а'х в системе /<".
Покажите, что при малой скорости v полученное значение уско-
ускорения совпадает с ускорением в системе /(.
Указания. 1. В любой системе координат кинематические ха-
характеристики движения вычисляются, исходя из их определения
dr , drr dv , dv'
2. Пользуясь преобразованиями Лоренца или формулой сложе-
сложения скоростей, определите скорость v'x в системе К' .
3. Определите а! = ~. Учтите, что dt a df неодинаковы.
dt'
46

Задачи для самостоятельного решения
132. Длина неподвижного стержня /0. Определите длину стерж-
стержня, движущегося вдоль своей оси в направлении оси ОХ некоторой
неподвижной системы координат К со скоростью vy двумя способа-
способами: рассчитайте разность координат начала и конца стержня в сис-
системе координат, связанной со стержнем; рассчитайте промежуток
времени, в течение которого стержень проходит мимо фиксирован-
фиксированной точки системы координат /С, и умножьте его на скорость стержня.
133. В системе координат К частица движется вдоль оси ОХ со
скоростью vx. Система координат К' движется вдоль оси ОХ отно-
относительно системы К со скоростью и. Пользуясь преобразованиями
Лоренца, определите скорость частицы в системе /('. Чему равна
скорость частицы в системе К', если и < с; если и = с.
134. В системе координат К частица движется в плоскости
YOX под углом а к оси ОХ со скоростью v. Система координат К'
движется по отношению к исходной системе со скоростью и в на-
направлении оси ОХ. Определите скорость частицы в системе коорди-
координат К'.
135. л-мезон — нестабильная частица, имеющая в системе, свя-
связанной с этой частицей, среднее время жизни 158-10~8 сек. Пучок
л-мезонов можно получить в синхроциклотроне в результате столк-
столкновения протонов с мишенью, при этом скорость частиц в пучке
0,6 с. Определите среднее время жизни л-мезонов; путь, пройденный
частицами за это время относительно Земли.
136. При какой скорости кинетическая энергия любой элемен-
элементарной частицы равна ее энергии покоя?
137. Плотность тела в неподвижной системе координат р. Тело
имеет форму куба, ребра которого параллельны координатным
осям. Определите плотность тела в инерциальной системе координат,
движущейся относительно неподвижной со скоростью и; во сколь-
сколько раз увеличится плотность тела, движущегося в неподвижной
системе координат со скоростью 0,5 с. Покажите, что при небольшой
скорости и плотность тела остается величиной постоянной.
138. Определите скорость электронов, достигающих анода в
двухэлектродной лампе с разностью потенциалов между анодом и
катодом 300 в; электронов, получивших в ускорителе энергию
30 Мэв; протонов, получивших в ускорителе энергию 30 Мэв.
—>
dp ~^
139. Исходя из уравнения поступательного движения — = F,
dt
определите коэффициенты пропорциональности между силой и уско-
ускорением, если скорость и сила параллельны друг другу; перпенди-
перпендикулярны друг другу. Покажите, что при небольших скоростях коэф-
коэффициенты пропорциональности одинаковы и равны массе покоя.
140. Определите соотношение между полной энергией Я, Энер-
Энергией покоя ?0 и импульсом р частицы, движущейся с большой ско-
скоростью V.
47

141. Протон движется со скоростью 0,5 с. Энергия покоя прото-
протона 938 Мэв. Определите относительную ошибку, которую делают
при расчете кинетической энергии протона по формулам классичес-
классической механики; импульс протона.
142. Частица с массой покоя т0, движущаяся со скоростью
0,8 с, испытывает неупругое соударение с покоящейся частицей
такой же массы. Определите скорость и массу образовавшейся
частицы.
§ 5. СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ
ТЯГОТЕНИЯ
1. Сила гравитационного взаимодействия двух точечных масс
nti и тъ находящихся на расстоянии г,
где у — гравитационная постоянная.
2. Потенциальная энергия двух взаимодействующих точечных
масс
W = — y ЩЩ.
г
3. Законы Кеплера
1) Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых
находится Солнце.
2) Радиус-вектор планеты в равные времена описывает площади
одинаковой величины.
3) Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся
как кубы больших полуосей их орбит:
ВОПРОСЫ
1. Как меняются вес и масса тела, находящегося внутри косми-
космического корабля, движущегося от Земли к Луне, если дви-
двигатели выключены на высоте, где нет сопротивления земной ат-
атмосферы.
2. Какие траектории движения имеют спутники, получившие
первую, вторую, третью космические скорости?
3. Планета вращается по эллипсу, в одном из фокусов которого
находится Солнце. В какой точке траектории скорость планеты наи-
наибольшая, в какой — наименьшая?
4. Солнце притягивает любую точку на земной поверхности
сильнее, чем Луна, а между тем явление приливов и отливов вызы-
вызывается главным образом действием Луны. Почему?
48

5. Две ракеты при горизонтальном старте на одной большой
высоте над поверхностью Земли получили начальные скорости
4,1 км/сек и 8,7 км/сек. По каким траекториям будут двигаться ра-
ракеты? Как к их движению в поле Земли применить первый закон
Кеплера?
Примеры решения задач
143. В свинцовом шаре радиуса R и массой М сделана
сферическая полость радиусом —, поверхность которой касается
поверхности шара. Определите, с какой силой этот шар будет при-
притягивать маленький шарик массой т, находящийся на расстоянии
d от центра свинцового шара по прямой, соединяющей центры шаров
(рис. 32).
Решение. Если бы шар с массой М был сплошным, то он притя-
притягивал бы маленький шарик с силой
г, Mm
Можно считать, что эта сила складывается из двух сил:
Ft— силы притяжения шара со сферической полостью и F2— силы
R
притяжения шара радиусом — такой же плотности, как сплошной
шар, и заполняющим полость шара.
Сила F2 определяется уравнением
F = y - '
V
ir
Vi
где
4 R3 М
= — яр — = масса шара,
1 3 Г 8 8
яр
3 Г 8 8
Тогда сила Ft= F — F2
заполняющего полость.
Примечание. Нельзя
вначале вычислить положение
центра массы шара с полостью
и затем рассчитывать силу вза-
взаимодействия между этим телом
и шариком т.
144. С какой скоростью упа-
упадет на поверхность Луны метео-
Рис. 32
49

рит, скорость которого вдали от Луны мала? Атмосфера на Луне
отсутствует.
Решение.
Данные из таблицы:
Мл -7,35 • 1022 кг
R, = 1,74 • 106 м
у - 6,67 • Ю-11 м*/кг-сек2
Энергия тела, находящегося «вдали» от Луны и движущегося
с малой скоростью, очевидно, равна нулю, а у поверхности Луны
1V7 mv1 Мл
Из закона сохранения энергии получаем:
Проверим размерность и произведем расчет:
з_ i_
о о
мг • кг
j — = м/сек\
/се2 • сек • м2
v - -l/ 2 • 6,67-10-". 7'35 ' 1(Я = 2,35 •
F 1,74 • 106
Решите задачу, пользуясь указаниями
145. Шарик с массой mi находится на расстоянии а от конца
тонкого однородного стержня, масса которого т2 и длина / (рис. 33).
Определите силу притяжения шарика и стержня; как изменится
сила притяжения, если стержень заменить шариком массой тъ
помещенным в центр массы стержня, и если длина стержня / = 2а.
Указания. 1. Разбейте стержень на элементы массы dm =
= Spdx и запишите силу взаимодействия dF между шариком и каж-
каждым элементом.
2. Воспользуйтесь правилами интегрирования и найдите силу
взаимодействия между стержнем и шариком.
L *
x
\
a ;
Рис. 33
50

Задачи для самостоятельного решения
146. Определите силу взаимодействия между кольцом из тонкой
проволоки, радиус которой г, и небольшим шариком массой ту кото-
который находится на оси кольца на расстоянии L от его центра (рис. 34).
Радиус кольца /?, плотность проволоки р.
147. С какой силой взаимодействуют шарик массой mt= 10 г и
свинцовый шар, имеющий сферическую полость? Радиус шара
Ri=- 20 см, радиус полости /?2= 10 см, расстояние между шариком
mi и поверхностью шара / = 80 см (рис. 35). С какой силой свинцо-
свинцовый шар будет действовать на шарик, если последний находится
внутри полости?
148. На какой высоте над поверхностью Земли напряженность
поля тяготения 0,5 н/кг? Определите потенциал поля тяготения на
той же высоте.
149. На сколько процентов меняется напряженность и потенциал
гравитационного поля Земли при подъеме на высоту: ht= Ю6 м;
h2=z R == 6400 км. Каково ускорение свободного падения на высо-
высотах hi и А2?
150. Считая Землю шаром, определите ускорение свободного
падения на полюсе; экваторе; на широте Москвы (ф = 56°).
151. Расстояние от Солнца до Земли в 390 раз больше расстояния
от-Луны до Земли. Луна совершает 13 обращений вокруг Земли в
течение года. Считая орбиты Земли и Луны приблизительно круго-
круговыми, определите отношение масс Земли и Солнца.
152. Расстояние от Луны до центра Земли изменяется от
363 300 км в перигее до 405 500 км в апогее, период обращения
Луны 27,32 суток. Искусственный спутник Земли «Космос-275»
выведен на орбиту с параметрами: в апогее расстояние от поверх-
поверхности Земли 805 км, в перигее — 284 км. Средний диаметр Земли
12 756 км. Определите период обращения спутника.
153. Масса Земли в 81,3 раза больше массы Луны. Радиус Зем-
Земли в 3,66 раза больше радиуса Луны. Определите первую и вторую
космические скорости для Земли; напряженность и потенциал гра-
гравитационного поля Луны на поверхности Луны; эо сколько раз
космические скорости для Земли больше, чем для Луны.
154. Определите высоту подъема снаряда зенитного орудия,
запущенного вертикально вверх со скоростью 2 • 103 м1сек. Какой
т
Рис. 34 Рис. 35
51

путь пройдет снаряд за первую секунду своего падения на Землю?
Наличие атмосферы у Земли не учитывайте.
155. В качестве спутника связи решили запустить искусствен-
искусственный спутник Земли, круговая орбита которого лежит в плоскости
экватора. С Земли спутник должен казаться стоящим над определен-
определенной точкой экватора. Определите направление движения и время
одного оборота спутника; его высоту над поверхностью Земли;
скорость движения; энергию спутника на орбите, если его масса
2 • 103 кг.
156. Спутник связи «Молния-1» имел апогей 39 380 км, перигей
397 км. Считая, что начальная скорость при выведении на орбиту
перпендикулярна радиусу-вектору, определите радиус кривизны
траектории в апогее и перигее? отношение максимальной и мини-
минимальной скоростей на орбите; начальную скорость при выведении
на орбиту.
157. При запуске советской автоматической станции «Венера-1»
вначале запустили на круговую орбиту с радиусом около 250 км
первую космическую базу. С этой базы стартовала ракета-носитель,
которая при помощи собственной тяги увеличивала скорость, и уже
от нее отделилась «Венера-1» массой 634,5 кг со скоростью 11 860 м/сек
относительно Земли. Станция приблизилась к планете Венера
на расстояние 105 км и покинула ее, став спутником Солнца с перио-
периодом обращения 296 суток. Определите, по какой траектории относи-
относительно Земли стала двигаться станция после отделения от ракеты-
носителя; средний радиус орбиты станции в гравитационном поле
Солнца; энергию станции при вращении по орбите. При расчете при-
примите среднее расстояние от Солнца до Земли 149 • 109 м> период
обращения Земли 365 суток, массу Солнца 2 • 1030 кг.
158. 6 современных ракетах скорость истечения газа достигает
4 км/сск. Одноступенчатая ракета должна выйти на круговую око-
околоземную орбиту. Какую часть массы ракеты перед стартом состав-
составляет горючее?
§ 6. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Уравнение движения твердого тела, имеющего ось вращения:
dt
где М = 2 №//] — вращающий момент, К = /о) — момент им-
пульса, / — момент инерции тела относительно оси вращения.
2. Момент инерции твердого тела
52

где rL—расстояние элементарной мас-
массы mi от оси вращения.
3. Теорема Штейнера
/ = /0 + та\
где / — момент инерции относитель-
относительно любой оси, /0 — мохмент инерции
относительно оси, проходящей через
центр массы этого тела параллельно Рис- 36
данной оси, а — расстояние между
осями.
4. Кинетическая энергия твердого тела, имеющего относитель-
относительно оси вращения момент инерции /,
* 2
5. Мощность при вращении твердого тела
N = Af©.
6. В замкнутой системе векторная сумма моментов импульсов
тел постоянна по величине и направлению
к =
ВОПРОСЫ
1. На рисунке 36 представлено тело, ось вращения которого
проходит через точку О, перпендикулярно чертежу. Как определить
момент силы F, приложенной в точке А? Как направлены вектор
момента силы, вектор момента импульса?
2. Два сплошных цилиндра, сделанные из разных материалов,
имеют одинаковые массы и радиусы основания. Сравните их мо-
моменты инерции относительно осей симметрии.
3. Два сплошных диска, сделанные из разных материалов, име-
имеют одинаковые массы и толщину. Сравните их моменты инерции
относительно осей симметрии.
4. Два цилиндра имеют одинаковые размеры и массы. Как, поль-
пользуясь наклонной плоскостью, определить, какой из цилиндров
сплошной, какой полый?
5. Почему лыжник, прыгающий с трамплина, при приземлении
перемещает руки?
6. Почему сваренное вкрутую яйцо способно долго вращаться,
а сырое яйцо раскрутить не удается?
7. Три одинаковых тяжелых диска приводят во вращение со
скоростью со так, чтобы крайние вращались по часовой стрелке,
53

а средний — против часовой стрелки. С какими скоростями будут
двигаться диски после соприкосновения, если до и после соприкос-
соприкосновения они вращаются, находясь в одной плоскости; их оси вра-
вращения совпадают.
Примеры решения задач
159. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начи-
начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одина-
одинаковой массы и одинаковых радиусов. Определите отношение ско-
скоростей этих тел на данном уровне; отношение скоростей этих тел в
данный момент времени.
Решение. Задачи, в которых рассматривается качение тел, мож-
можно решать двумя способами: а) рассматривать движение как слож-
сложнее, т. е. как поступательное движение центра масс тела и враща-
вращательное движение тела относительно оси, проходящей через центр
масс; б) рассматривать вращение относительно мгновенной оси.
Так как от скорости тела зависит кинетическая энергия, найдем
отношение кинетических энергий на одном уровне. Работа против
сил трения не совершается, поэтому по закону сохранения энергии
при одинаковом изменении потенциальной энергии должна быть
приобретена одинаковая кинетическая энергия
W — W (I)
w цилиндр — w шара* V1/
Рассчитаем эту энергию двумя способами.
1-й способ:
W = — 4- i^, B)
22 v
где /0 — момент инерции тел относительно оси, проходящей через
центр массы.
Для цилиндра /0,ц = 0,5 т/?2, для шара /о.ш = 0,4 т/?2. При
отсутствии скольжения со = —.
Подставив эти значения в уравнение B) и учитьТвая A), получим
Откуда
— = 1/ -• C)
U щ f It/
2-й способ:
W = f, D)
54

где / момент инерции тел отно-
относительно мгновенной оси, про-
проходящей через точку Л (рис. 37),
определяется по теореме Штей-
нера / = /0 + mr2.
Для цилиндра /ц= 1,5 mi?2,
для шара /ш = 1,4 mR2. E)
Подставив эти значения в
уравнение D) и учитывая A),
получим
ОС/
Рис. 37
Следовательно, на данном уровне скорость шара больше ско-
скорости цилиндра.
Скорость в данный момент определяется уравнением
v = at.
Отношение скоростей -5 в данный момент времени опреде-
определяется отношением линейных ускорений —. При одинаковых
радиусах и отсутствии скольжения отношение линейных ускорений
равно отношению угловых ускорений —.
Для определения отношения угловых ускорений воспользуемся
основным законом динамики вращательного движения
М - 1ц.
Вращающие моменты относительно мгновенной оси у тел одина-
одинаковы М = mg sin a • R.
Поэтому
^цПц ~ Ли ' Лш-
Учитывая уравнение E), получаем
Следовательно, в данный момент времени скорость шара больше
скорости цилиндра.
160. Человек стоит на диске, который вначале неподвижен, но
может вращаться относительно вертикальной оси, проходящей че-
через его центр. Момент инерции Диска с человеком 48 кг • м2. В ру-
руках человек держит колесо, ось которого вертикальна и расположе-
расположена на расстоянии 50 см от центра диска. Колесо вращается, делая
10 об/сек. Определите угловую скорость вращения диска, если че-
человек повернет ось колеса на 180°*

Решение,
Дано, п = 10 об1сек
а - 180°
т — 3 кг
R = 0,50 ж
г = 0,40 м
/ = 48 /сгж2
со —?
Человек с колесом в руках, стоящий на диске, представляет со-
собой систему, на которую не действуют моменты сил относительно
вертикальной оси. Поэтому систему можем рассматривать как
замкнутую.
Применим к ней закон сохранения момента импульса:
2 Ifi>i = const.
Представим систему состоящей из двух частей: человек—диск
с моментом инерции / относительно оси, проходящей через центр
диска, и колесо с моментом инерции
Ik = mr2+ mR2 (i)
относительно той же оси.
Примем первоначальное направление момента импульса за по-
положительное, тогда момент импульса системы до поворота колеса
/Ct= /fc©i+ / • 0, B)
где o)i— 2nn.
После поворота колеса на 180° вектор угловой скорости враще-
вращения колеса изменяет направление на противоположное и ось колеса
вращается с угловой скоростью диска со2. Момент импульса системы
после поворота колеса
/С2= —/*©!+ (/* + /)<*>2. C)
По закону сохранения момента импульса /Ci= ^Сг:
Решив уравнение D) относительно оо2, получим:
_ 2т (R2 + г?) 2пп
Проверим размерность и произведем расчет:
г , кг - м2 • се/с*1
1@21 в
кг - м2 • се/с*1 1
=сек ;
= 2.3.@,ie + o,a5).2.3,M.jo = з 14
* 3@,16 + 0,25) + 48
56

Рис. 38
161. Маховик массой 1 т свя-
связан со шкивом s (рис. 38). К шкиву,
радиус которого 0,15 м, приложе-
приложена постоянная сила 500 н по ка-
касательной. Определите, через сколь-
сколько времени после начала враще-
вращения маховик достигнет скорости
6,28 сек'1. Маховик представляет
собой диск радиусом 1 м.
Решение.
Дано: М = 103 кг
7?- 1 м
F - 500 я
г = 0,15 м
о) = 6,28 Мсек
t — ?
Постоянная сила F в течение времени t совершила работу, которая
пошла на увеличение кинетической энергии маховика.
Вращение маховика под действием постоянного момента силы
равноускоренное, в начальный момент угловая скорость равна
нулю, поэтому угол поворота маховика ф = —$ конечная угло-
угловая .скорость со = r\t. Используя это, получим
ф=|. A)
Работа постоянного момента силы М, действующего на вращаю-
вращающееся тело, равна
А - Мф = F/чр, B)
где М = Fr, так как сила F и ее плечо г постоянны и взаимно пер-
перпендикулярны.
В результате совершенной работы маховик приобрел энергию
2 4 #
Приравняв B) и C) и используя A), получим
Откуда
Fr—t =
2
t =
2Fr
Проверим размеренность и произведем расчет:
t =
кг - мл
сек • н • м
500 . 0,15
кг • м2 • се/с2
= щс;
се/с • /сг • jK-jw
3 14 . 1 лл
= 42 сек.
57

Рис. 39
Решите задачи,
пользуясь указаниями
162. Маятник Максвел-
Максвелла представляет собой
сплошной диск, наглухо
насаженный на валик, к
которому прикреплены две
нити одинаковой длины,
при помощи которых ва-
валик с диском подвешива-
подвешивают к штативу. Нити наматывают на валик так, что диск может сво-
свободно подниматься и опускаться (рис. 39). Масса диска 1 кг, радиус
диска 10 см, масса выступающих частей валика 0,2 кг, а его радиус
1 см. Диск и валик сделаны из одного материала. Определите уско-
ускорение опускающегося диска.
Указания. 1. Чтобы не ошибиться в нахождении моментов сил,
чертеж сделайте так, чтобы ось вращения была перпендикулярна
плоскости чертежа. Нанесите на чертеж действующие силы.
2. Центр массы тела двигается поступательно. Это движение
описывается уравнением движения материальной точки. Вращение
можно считать происходящим как относительно оси, проходящей
через центр масс (сообщает момент силы натяжения), так и относи-
относительно мгновенной оси (сообщает момент силы тяжести). Так как
неизвестны линейное ускорение центра масс и сила натяжения нити,
то из трех уравнений, определяющих движение этого тела, следует
выбрать два уравнения движения.
3. Используя основные законы кинематики поступательного и
вращательного движений, запишите соотношения между угловым
ускорением системы и линейным ускорением центра масс, между
линейным ускорением центра масс и линейным ускорением точек
на поверхности валика.
4. Решите полученную систему уравнений относительно ускоре-
ускорения центра масс.
163. На вращающемся столике, употребляемом в физических
кабинетах для демонстраций законов вращательного движения, стоит
человек, держащий в руках горизонтально расположенную штан-
штангу так, что середина штанги находится над осью вращения столика.
На концах штанги укреплены одинаковые тяжелые грузы. Система
вращается, делая один оборот за 3 сек. Определите угловую ско-
скорость вращения системы, если штанга наклонена под углом 45° к го-
горизонту. Моментом инерции столика и человека пренебрегите.
Указания. 1. Установите, будет ли система человек — штанга —
столик изолированной. (Моментами сил трения по отношению
к оси вращения столика пренебрегите.)
2. Запишите закон сохранения момента импульса и решите урав-
уравнение относительно угловой скорости.

Задачи для самостоятельного решения
164. Три шарика массой 100 г каждый расположены в вершинах
равностороннего треугольника и скреплены между собой легкими
стержнями длиной 10 см каждый. Определите момент инерции сис-
системы относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника
и проходящей через центр описанной окружности; лежащей в
плоскости треугольника и проходящей через один из шаров парал-
параллельно прямой, соединяющей два других шара; проходящей через
один из шаров и лежащей в плоскости, перпендикулярной плос-
плоскости треугольника.
165. Стальная пластинка толщиной d = 10~3 м имеет форму
прямоугольника со сторонами а = 0,1 ми Ъ — 0,2 м. Определите
момент инерции относительно оси, проходящей через центр массы
пластины параллельно меньшей стороне.
166. Цилиндрическая муфта имеет массу т = 0,2 кг, внутрен-
внутренний радиус г = 0,03 м, внешний R — 0,05 м. Определите момент
инерции муфты относительно оси, совпадающей с осью симметрии.
167. Полый шар имеет массу т = 0,5 кг. Внешний радиус шара
/? = 0,08 ж, внутренний г = 0,06 м. Определите момент инерции
шара относительно оси, проходящей через их общий центр.
168. Медный диск радиусом R = 0,1 м и толщиной Ь = 10~3 м
имеет 6 вырезов радиусами г = 0,02 м. Центры вырезов находятся
на окружности, проведенной из центра диска радиуса гх= 0,06 м
на равных расстояниях друг от друга (рис. 40). Определите момент
инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска,
перпендикулярно его плоскости.
169. Два шара из разного материала с радиусами гх= 5 см и
г2= 10 см закреплены на концах тонкого стержня, масса которого
значительно меньше массы каждого из шаров. Масса меньшего
шара тх= 1 кг, большего шара тг~ 2 кг. Расстояние между поверх-
ностямл шаров / = 0,5 м. Определите момент инерции системы от-
относительно оси, проходящей через середину стержня, Перпендику-
Перпендикулярно его длине, считая шары мате-
материальными точками; момент инерции
системы относительно той же оси,
не пренебрегая размерами шаров; мо-
момент инерции системы относительно
оси, перпендикулярной к стержню и
проходящей через центр большого
шара; момент инерции системы отно-
относительно оси, перпендикулярной к
стержню и проходящей через центр
масс системы.
170. Два одинаковых однородных
тонких стержня длиной 0,4 м и массой
0,2 кг каждый скреплены под пря- Рис. 40

IB
Рис. 41 Рис. 42
мым углом. Определите момент инерции системы относительно оси:
проходящей через конец одного из стержней и лежащей в той же
плоскости, что и стержни; проходящей через точку соединения стерж-
стержней и лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости, в
которой находятся стержни.
171. На катушку радиусом г, вращающуюся с постоянной уг-
угловой скоростью, наматывается лента шириной а, плотностью р,
толщиной Ъ. Момент инерции катушки без ленты /0. Определите
зависимость момента инерции катушки с лентой от времени; ско-
скорость изменения радиуса катушки со временем.
172. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 0,05 м вращается
вокруг оси, проходящей через его центр. В точке, наиболее удален-
удаленной от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверх-
поверхности. Угол поворота шара меняется по закону
Ф = 2 + 2t — t2.
Определите величину действующей силы; тормозящий момент;
время равнозамедленного движения.
173. Через неподвижный блок, представляющий собой сплош-
сплошной диск радиусом г = 4 см и массой т = 0,2 кг, переброшена
легкая нерастяжимая нить, на концах которой привязаны грузы
массами mi= 0,3 кг и т2 — 0,2 кг. При движении нить по блоку не
не скользит. Определите ускорение грузов; давление на ось блока.
174. Тело приводится во вращение вокруг горизонтальной
оси с помощью падающего груза, привязанного к шнуру, предвари-
предварительно намотанному на ось. Груз массой т — 2 кг в течение
t = 6 сек опускается на расстояние h = 2 м. Радиус оси г = 8 мм.
Пренебрегая силой трения, определите момент инерции тела.
175. Однородный циЛиндр, масса которого М и радиус R, вра-
вращается вокруг горизонтальной оси под действием груза Р, прикреп-
прикрепленного к нити, намотанной на цилиндр (рис. 41). Определите угол
поворота цилиндра в зависимости от времени, если t = 0 ф = 0;
ускорение груза Р.
176. На одной из чашек весов укреплен блок радиуса /?, спо-
способный вращаться относительно горизонтальной оси. На блок на-
намотана нить с грузом, масса которого т. Момент инерции блока /.
G0

Весы уравновешены, когда нить закреплена и груз не опускается
(рис. 42). На какую чашку весов и какой величины следует положить
перегрузок для возобновления равновесия, если груз опускается вниз?
177. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложе-
приложена постоянная тангенциальная сила F = 100 н. При вращении на
диск действует сила трения, момент которой Л1тр = 5 я. м. Опре-
Определите массу диска, если известно, что он вращается с постоянным
угловым ускорением ц = 100 сек~2.
178. На ступенчатый вал, радиусы которого 0,3 и 0,1 ж, намота-
намотаны в противоположных направлениях нити (рис. 43). К концам ни-
нитей привязаны грузы массой 1 кг каждый. Момент инерции вала
0,3 кг • м\
Пренебрегая силой трения, определите ускорения грузов,* на-
натяжение нитей.
179. С какой силой следует прижать тормозную колодку к ко-
колесу, делающему п = 30 об1сек, для его остановки в течение t =
= 20 сек, если масса колеса распределена по ободу и равна
т = 10 кг, диаметр колеса d = 20 см? Коэффициент трения между
колодкой и ободом колеса (л = 0,5.
180. При испытаниях электромотора на его шкив диаметром
d = 10 см набросили брезентовую ленту (рис. 44). К одному концу
ленты подсоединили закрепленный динамометр D, к другому под-
подвесили груз массой т = 5 кг. Мотор делает 24 об/сек. Показание ди-
намомеТра F = 80 н. Определите мощность мотора.
181. Маховик в форме сплошного диска имеет массу т =« 50 кг
и радиус R = 0,2 м. Он раскручен до п = 8 об/сек и затем предос-
предоставлен самому себе. Под влиянием силы трения, приложенной по
касательной к ободу, маховик останавливается. Определите силу
трения, считая ее постоянной, если маховик останавливается через
50 сек; маховик до полной остановки сделал 200 оборотов.
182. С наклонной плоскости, состав-
R .г, ляющей с горизонтом угол 30°, скатыва-
скатываются шар, диск и обруч/Длина наклон-
наклонной плоскости 4 м. Пренебрегая трением,
определите линейные ускорения движения
т
Рис. 43
Рис. 44
61

центров массы скатывающихся
тел; время скатывания каждого
тела;х скорость каждого тела в
конце наклонной плоскости.
183. Шар и цилиндр одина-
одинаковых масс и радиусов движут-
движутся с одинаковой линейной
скоростью по горизонтальной
плоскости, а потом вкатывают-
вкатываются вверх по наклонной плоско-
PliC* 45 сти. Определите отношение вы-
высот подъема.
184. Массивный металлический диск радиусом R, укрепленный
п
на стержне радиуса г= -g-с малым моментом инерции, скатывает-
скатывается без скольжения по желобу длиной /, составляющему с горизон-
горизонтом угол а (рис. 45). Определите соотношение между кинетическими
энергиями поступательного и вращательного движений; линейную
скорость центра массы и точек обода диска, лежащих на диаметре,
проходящем через точку касания стержня с желобом, в момент
спуска; время спуска.
185. На плоскость, составляющую угол а с горизонтом, поло-
жены^два цилиндрических катка массой 2 т каждый и на них доска
массой т. Определите ускорение центра массы доски, если она дви-
движется без проскальзывания по каткам; время движения доски до
соскальзывания с одного из катков, если в начальный момент рас-
расстояние от верхнего конца доски до центра массы этого катка /.
186. Веревка массой М = 5 кг и длиной / = 10 м переброшена
через небольшой блок (сплошной диск) массой т = 2 кг. В началь-
начальный момент веревка висит симметрично и покоится, а затем в ре-
результате незначительного толчка движется без скольжения по
блоку. Трение в блоке очень мало. Определите скорость веревки,
когда она сойдет с блока; время движения веревки по блоку.
187. Маховик, масса которого 200 кг распределена по ободу
диаметром 1 м, увеличивает число оборотов от 0 до 2 об/сек в тече-
течение 10 сек. Пренебрегая трением, определите энергию, сообщенную
маховику; момент силы, действующей на маховик; момент импуль-
импульса относительно оси вращения через 10 сек после начала дви-
движения.
188. Два маленьких шарика с массами т = 0,1 кг и т2= 0,2 кг
соединены легким стержнем. Расстояние между центрами масс
шариков / = 0,9 м. Система начинает вращаться с постоянным уг-
угловым ускорением rj = 0,5 сек относительно оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к стержню и проходящей через центр массы. Определите момент
импульса и момент силы через t = 10 сек после начала движения;
работу, совершенную за это время.
62

189. По окружности шкива радиуса г— 5-10~2 ле, скрепленного
с валсм махового колеса, намотана нить, к концу которой прикреп-
прикреплена гиря массой т = 2 кг. Гиря в течение t =± 6 с?/с спустилась
на А = 1,5 ж, и нить оборвалась. Вал после прекращения действия
силы совершил до остановки п = 30 оборотов. Определите момент
инерции вращающейся системы.
190. Тело приводят во вращение вокруг горизонтальной оси с
полощью падающего груза, привязанного к шнуру. Шнур намотан
на вал радиусом R = 2 • 10"*2 м. Груз массой т = 0,4 /сг опускает-
опускается за ^=5 с?/с на Ai= 1,2 ж, а затем вследствие вращения тела
поднимается на высоту А2= 0,8 ж. Определите момент инерции
тела.
191. Однородный тонкий тяжелый стержень, длина которого
/ = 1 My висит на горизонтальной оси, проходящей через один из
концов. Стержень отклонили от положения равновесия на угол
а=60° и отпустили. Определите «линейные скорости конца стержня
и центра массы при прохождении через положение равновесия.
192. Тело цилиндрической формы массой т = 2 кг и радиусом
г — 10 см скатывается без скольжения по наклонной плоскости
длиной / = 4 м и углом наклона а = 30°. Скорость центра массы
тела в конце наклонной плоскости v = 2 м/сек. Определите момент
инерции тела относительно оси симметрии; силу трения сцепления
с плоскостью; момент силы трения качания.
193. На двух параллельных горизонтальных брусьях лежит
полый цилиндр массой М, на который намотан шнур. К опущенно-
м
му концу шнура привязан груз массой т = — • Внешний радиус
цилиндра R, внутренний — г = —. Ось цилиндра перпендикуляр-
на брусьям, центр его тяжести и спускающийся шнур лежат в вер-
вертикальной плоскости, проходящей посередине между брусьями
(рис. 46). Определите горизонтальное ускорение центра массы ци-
цилиндра; минимальное значение коэффициента трения сцепления
между цилиндром и брусьями, при котором происходит качание без
скольжения.
т
Рис. 46
Рис. 47
63

194. На сплошной цилиндр радиусом /? = 0,2 м и массой
т = \ кг навит шнур. Цилиндр положен на два параллельных
бруска, наклоненных к горизонту под углом а = 5°48'. Свободный
конец шнура перекинут через неподвижный блок так, что натяги-
натягивается грузом, подвешенным к шнуру, параллельно брусьям
(рис. 47). Цилиндр без скольжения поднимается вверх, вращаясь
относительно оси симметрии с- угловым ускорением т) — 2 сек~2. Оп-
Определите массу груза, опускающегося вертикально вниз; силу тре-
трения сцепления между брусьями и цилиндром.
195. Катушку ниток, лежащую на столе, плавно тянут под
углом а к горизонтальной поверхности с силой F = 0,1 я за конец
нитки (рис. 48). Радиус катушки R = 0,05 м> ее масса т = 20 гу
намотанные нитки имеют цилиндрическую поверхность радиуса
г = 0,045 м. Момент инерции катушки считайте постоянным и
равным / = 4 • 10~5 кг • ж2. Определите величину и направление
линейного ускорения катушки, катящейся без скольжения по столу,
если at= 60°; а2= 10°.
196. С помощью тяжелого каната, имеющего один закреплен-
закрепленный конец, с высоты h опускают на землю небольшую бочку радиу-
радиусом /?, массой М. Канатом обхватывают бочку, которую можно при-
принять за сплошной цилиндр, так, чтобы канат был равноудален от
оснований. Свободный конец каната держат вертикальноj(pnc. 49).
Масса одного метра каната т. Скольжение каната по поверхности
бочки отсутствует. Определите скорость бочки у поверхности
земли.
197. Дифференциальный ворот, приведенный в движение мо-
мотором, состоит из двух цилиндров различного радиуса, закреплен-
закрепленных на общей оси (рис. 50). На-цилиндрах укреплена веревка, кото-
которая при вращении ворота наматывается на цилиндр большего ра-
радиуса R и сматывается с цилиндра радиуса 0,5 R. На образуемой
канатом петле подвешен блок, который можно принять за цилиндр
массы т. Груз Р прикрепляют к оси блока и поднимают на высоту Н
Рис. 48
64
Рис. 49
Рис. 50

за время t. При работе ворота
веревка не скользит по блоку.
Момент инерции ворота /. Оп-
Определите мощность мотора, при-
приводящего в движение ворот, и
его момент силы, если груз под- ЖШ
нимают равномерно. Сколько |Д
оборотов сделает при этом во- р ,.,
рот?
198. Человек стоит на неподвижной скамейке Жуковского и
ловит мяч массой т^0,3 кг, летящий в горизонтальном направле-
направлении на расстоянии /^=60 см от вертикальной оси вращения ска-
скамейки. После этого скамейка стала поворачиваться с угловой ско-
скоростью со = 1 сек. Момент инерции человека и скамейки / =
=6 кг • м2. Определите скорость мяча.
199. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму дис-
$а радиусом 2 м, массой 200 кг, стоит человек, масса которого 60 кг.
Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей
через ее центр. Пренебрегая трением, определите угловую скорость
вращения платформы, если человек будет идти вдоль ее края со
скоростью 1 м/сек относительно платформы; угол поворота плат-
платформы, если человек, обойдя ее по краю, вернется в исходную точ-
точку; угловую скорость вращения платфЪрмы, если человек перейдет
по радиусу платформы от края к центру. Момент инерции человека
рассчитайте как для материальной точки.
200. В центре скамейки Жуковского стоит человек и держит
в руках металлический стержень, расположенный вертикально по
оси вращения скамейки. При этом скамейка вращается с угловой
скоростью 4 сек-1. Момент инерции человека и скамейки 6 кг • м%.
Длина стержня 1,5 м, его масса 8 кг. Определите число оборотов
скамейки в 1 сек, если ось вращения скамейки проходит через сере-
середину стержня, и человек повернет стержень в горизонтальное по-
положение; на угол 30° от вертикали; работу, совершенную человеком
в том и другом случае.
201. Стержень А, на конце которого укреплен вращающийся
волчок, может вращаться в вертикальной и горизонтальной плос-
плоскостях. Груз массой т = 100 г уравновешивает вращающийся
волчок (рис. 51). Расстояние между осью вращения и точкой за-
закрепления массы равно / = 0,2 м. Момент инерции волчка / =
= 4 • 10~3 кг • ж2, его скорость вращения со = 50 сект1. Определи-
Определите направление вращения стержня и угловую скорость вращения,
если на груз положить перегрузок Аш=10г; направление вращения
и угловую скорость вращения, если груз приблизить к оси враще-
вращения на А/ = 4 см.
3 Заказ 1367 65

§ 7. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
1. В системах отсчета, движущихся с тангенциальным ускоре-
ускорением ах, кроме сил, обусловленных взаимодействием тел, на тело
массы т действует сила инерции: Fu = —maT . Сила инерции в
этом случае не зависит от движения тела относительно сис-
системы.
2. В системах отсчета, вращающихся с угловой скоростью со,
на тело, неподвижное относительно системы, действует сила инер-
инерции (центробежная сила) F = тсо2/?.
3. В системах отсчета, вращающихся с угловой скоростью со,
на тело, поступательно движущееся со скоростью v относительно
системы отсчета, действует сила инерции (сила Кориолиса)
F = 2т[ш].
ВОПРОСЫ
1. Тяжелый шарик подвешен на нерастяжимой нити в покоящем-
покоящемся вагоне. Вагон начинает ускоренно двигаться, и нить подвеса ша-
шарика отклоняется в сторону, противоположную движению вагона.
Как объясняет этот факт наблюдатель, стоящий на платформе?
Какое допущение вынужден сделать наблюдатель, находящийся
внутри вагона, может ли он указать тело, со стороны которого
на шарик действует отклоняющая сила?
2. Велосипедист, движущийся по дуге окружности с постоянной
линейной скоростью, наклоняется к горизонту. Как это объяснит
неподвижный наблюдатель и наблюдатель, связанный с велосипе-
велосипедистом?
3. В закрытом кузове автомашины поперек пола перекатывается
кусочек мела. Один раз траектория движения мела прямая, другой—
кривая, вогнутая по отношению к кабине водителя. Что может
сказать о движении машины наблюдатель, находящийся в машине?
4. На вращающемся горизонтальном диске тело получило не-
небольшую начальную скорость, направленную по радиусу. Двига-
Двигаясь по диску, тело описало траекторию, имеющую вид расширяю-
расширяющейся спирали (рис. 52). В каком направлении вращается диск?
Как объяснить полученную траекторию?
5. Почему при повторении опыта Фуко пользуются математи-
математическим маятником большой длины? О чем говорит результат этого
опыта?
Примеры решения задач
Чтобы показать особенности в рассуждении наблюдателя, свя-
связанного с ускоренно движущейся системой координат, проведем
решение задачи с двух точек зрения: с точки зрения неподвижного
наблюдателя (так решали раньше) и с точки зрения движущегося
наблюдателя, связанного с системой, имеющей ускорение.
66

Рис. 52
202. Горизонтально расположенный стержень
имеет длину 1,2 ж и может вращаться относитель-
относительно вертикальной оси, проходящей через один из
его концов. На другом конце стержня установле-
установлена мишень. На расстоянии 1 м от мишени нахо-
находится дуло закрепленного пружинного пистолета,
сообщающего снаряду-шарику скорость 60 м/сек
вдоль стержня. При неподвижном стержне шарик
попадает в мишень, в точку А. Определите, как
далеко от точки А пролетит шарик, если стержень начнет вра-
вращаться против часовой стрелки с угловой скоростью 3 сек.
Решение.
Дано: L = 1,2 м
/= 1 м
и = 60 м/сек
= 3 сек

Неподвижный наблюдатель.
Система координат, в которой находится наблюдатель, связа-
связана с неподвижной Землей. На шарик-снаряд, вылетевший из дула,
действует только сила тяжести. Так как скорость шарика большая,
то время действия этой силы мало и изменение скорости шарика,
вылетевшего из дула, можно не учитывать. В горизонтальной плос-
плоскости шарик движется по прямой в направлении скорости, которую
он имел, покидая дуло. Находясь в дуле, шарик имел линейную
скорость
«i= [©# 1 = ML -?) ].
В результате действия пружины шарик вдоль стержня полу-
получил скорость и (рис. 53).
Скорость шарика в мо-
момент выхода из дула равна
V =
U.
При вращающемся стер-
стержне шарик летит к концу
стержня столько же време-
времени Д/, сколько он летел
бы при неподвижном стер-
стержне
& = L. A)
Рис. 53
67

За это время шарик сместится в направлении, перпендикулярном
стержню, на расстояние
s^u^t =JLi(L — l). B)
Но за то же время конец стержня сместится по дуге на расстояние
L L I
2 I C)
и
Следовательно, шарик отстанет от конца стержня и ударится в ми-
мишень правее точки А на расстоянии
s^sz — s^—l*. D)
и
Подвижный наблюдатель.
Система координат, в которой находится наблюдатель, связа*
на со стержнем. Если система вращается, то имеется ускорение.
На шарик, покинувший дуло, в горизонтальной плоскости силы,
порожденные взаимодействием тел, не действуют. Уравнение дви-
движения шарика
та - Ftt.
Во вращающейся системе на поступательно движущееся тело дей-
действует сила инерции
"?й = 2т[иа>]. E)
Так как «иш взаимно перпендикулярны, то сила инерции ша-
шарику сообщает ускорение
а = 2и(о. F)
Сила действует столько времени, сколько шарик движется от
дула к мишени
Ы = 1. G)
и
Следовательно, смещение шарика за это время равно
s = «?р = ±. i\ (8)
Для определения направления смещения воспользуемся уравне-
уравнением E). Шарик сместится вправо от направления движения пули.
Указания к решению задач
1. Выберите систему координат.
2. Сделайте чертеж, нанесите на него все действующие силы.
3. Запишите основные уравнения динамики в этой системе и
решите их.
68

Задачи для самостоятельного решения
203. На плоскости с углом наклона а лежит тело (рис. 54).
Определите наименьший коэффициент трения между телом и наклон-
наклонной плоскостью при отсутствии скольжения тела, если плоскость
движется вправо равномерно; равноускоренно; равнозамедленно.
204. Горизонтально расположенный диск вращается около вер-
вертикальной оси, проходящей через центр. На расстоянии R = 5 см
от оси вращения лежит груз. Определите коэффициент трения между
телом и диском, если при угловой скорости со = 4 сек'1 груз начи-
начинает скользить по поверхности диска; вид траектории, по которой
движется груз до края диска.
205. Мотоциклист описывает на горизонтальной поверхности
дугу радиусом R = 50 м. Коэффициент трения скольжения [i —
= 0,4. Определите максимальную скорость мотоциклиста; угол
отклонения его от вертикали; максимальную скорость мотоциклиста
при переходе на трек с углом наклона к горизонту 30° (радиус кри-
кривизны траектории остался тот же).
206. Внутри вертикально расположенного конуса с углом при
вершине а = 60° находится небольшое плоское тело. Коэффициент
трения между телом и поверхностью конуса ^х = 0,3. Конус вра-
вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью о) = 6 сек~1.
Определите расстояние от вершины конуса, на котором остановит-
остановится тело; как изменится это расстояние, если вращающийся конус
начнут поднимать вверх с ускорением а = 1 м/сек2.
207. На нити длиной 0,5 м подвешен шарик массой 100 г. Нить
привязана к подставке, укрепленной на тележке (рис. 55). При дви-
движении тележки нить отклонилась от вертикали на угол 30°. Опре-
Определите направление и характер движения тележки относительно
Земли; натяжение нити; характер движения шарика, получившего
небольшой толчок, относительно наблюдателя, находящегося на
тележке; период колебания шарика.
208. Тело массой т = 103 кг находится на экваторе. Определите,
на сколько изменится сила, действующая на поверхность Земли,
если тело, движущееся с востока на запад с постоянной скоростью
v = 20 м1 сек, изменит направление движения на противоположное.
U
Рис. 54
Рис. 55
69

209. Тело массы т нахо-
находится на Земле на широте ф.
Определите вертикальную и
горизонтальную составляю-
составляющие силы, действующей на
тело, если тело неподвижно?
движется по параллели с за-
запада на восток с постоянной
56 скоростью v; движется по
меридиану с юга на запад с
той же скоростью.
210. Тело находится на Земле на широте ф = 60°. Определите
минимальную скорость, с которой должно двигаться тело по парал-
параллели, чтобы его давление на Землю уменьшилось на 0,001 от силы
тяжести.
211. На широте ф — 60° производится выстрел. Ствол ружья
расположен в плоскости меридиана и в момент выстрела направлен
на юг. Начальная скорость пули v = 500 м/сек. Определите вели-
величину и направление поперечного смещения пули за первую секунду
ее полета, считая скорость пули постоянной.
212. На широте Москвы (ф = 55°45') с высоты h = 500 м уро-
уронили тело. Определите, на сколько в момент приземления откло-
отклонится тело от земного радиуса, продолженного до начального поло-
положения тела; сравните полученное отклонение с отклонением тела,
упавшего с такой же высоты на экваторе. При расчете не учитывай-
учитывайте изменение ускорения свободного падения с изменением высоты.
213. Маленькая воронка с песком подвешена на бифилярном
подвесе длиной 49 см над вращающимся горизонтальным диском
так, что нить покоящегося маятника проходит через ось диска.
На рисунке 56 изображены кривые, вычерченные песком на диске
при колебаниях маятника. Определите способ получения той и
другой траектории; угловую скорость вращения диска. При расче-
расчете периода колебаний воронки с песком считайте маятник матема-
математическим.
§ 8. СТАТИКА
1. Условия равновесия твердого тела: сумма сил, действующих
на тело, равна нулю
/=0
сумма моментов этих сил относительно любой произвольно выбран-
выбранной неподвижной оси равна нулю
4= о.
70

2. Равновесие устойчивое, если потенциальная
энергия тяготения для данного тела имеет наи-
наименьшее значение.
ВОПРОСЫ
1. Какой гамак скорее порвется при одних и
тех же нагрузках туго натянутый или провисаю-
провисающий?
2. Чтобы сплошной цилиндр оставался стоять
на доске, какой наибольший угол с горизонталь-
горизонтальной поверхностью должна составлять доска, если
диаметр цилиндра равен высоте?
3. В системе, имеющей невесомые блоки, грузы находятся
в равновесии (рис. 57). Что произойдет при перемещении точки за-
закрепления нити вправо; влево?
4. Если игрушку «Ванька-встанька» положить на бок, то она
поднимается. Как это объяснить?
Рис. 57
Примеры решения задач
214. Из ямы с помощью деревянного настила, наклоненного к
горизонту под углом а = 30°, и блока вытаскивают бревна (рис. 58).
Бревно АВ массой Ю2 кг в некоторый момент составляете горизон-
горизонтом ф = 20°. К концу бревна А привязана веревка, перекинутая
через блок С, за которую вытаскивают бревно (часть веревки АС па-
параллельна настилу). Коэффициент трения между бревном и землей
jul!-= 0,5, коэффициент трения между бревном и настидом \л2= 0,1.
Пренебрегая трением на блоке и толщиной бревна, определите силу
натяжения веревки; силу давления бревна на настил и на землю.
Решение.
Дано:
а =
ф =
т =
зоэ
20°
10а кг
0,5
S
Рис. 58
F 4
/V-?
Сделаем чертеж и нанесем
на него силы (рис. 59).
На бревно действуют: си-
сила тяжести Р = mg (точка
приложения — середина бревна), сила реакции опоры со стороны
земли N{1 сила трения/1тр, препятствующая скольжению по земле,
сила реакции со стороны настила N2, сила трения /2ip, препят-
препятствующая скольжению по настилу, сила натяжения каната F. Си-
71

л/,
imp
ла давления бревна на
настил F2 численно рав-
равна реакции опоры Nu
но направлена в про-
противоположную сторону.
Сила давления бревна
на землю F{ численно
равна реакции опоры
Ni. Поэтому
/2тр - \i2N2.
Рис. 59
Для ответа на вопрос за-
задачи найдем силы Nfl N2.
Чтобы тело не участвовало в поступательном ускоренном дви-
движении, необходимо, чтобы сумма всех сил, действующих на тело,
равнялась нулю. Так как все силы действуют в одной плоскости,
то выберем систему координат ХОУ и спроектируем все силы на
оси ОХ и ОУ. Силам, имеющим направление, совпадающее с поло-
положительным направлением осей, припишем знак «плюс», а совпадаю-
совпадающее с отрицательным направлением осей,— знак «минус». Найдем
суммы проекций сил
27\, = 0; — F cos a + N2 sin a + \i2N2 cos a + fiiA^ 0. A)
%Fy = 0; Fsm a + N2 cos a — \i2N2 sin a — P + JV4= 0. B)
Чтобы тело не участвовало во вращательном движении, необхо-
необходимо, чтобы сумма моментов сил относительно любой произвольной
оси равнялась нулю. Удобнее выбрать ось вращения, проходящую
через точку Л, так как в этом случае моменты сил равны нулю.
Моменты сил, вращающие тело по часовой стрелке, считаем поло-
положительными, против часовой стрелки — отрицательными.
Найдем сумму моментов сил:
- 0;
Р— cos ф —
/ COS
sin ф == 0. C)
Уравнения A), B), C) определяют условия равновесия бревна.
Решив их совместно, найдем силы F, Niy N2. Из уравнения C)
;
АЛ
1
= 275 н.
Решение уравнений A) и B) дает Af2= 555 н, F = 535 н.
Решите задачи, пользуясь указаниями
215. У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о
стену \ii= 0,2, коэффициент трения лестницы о землю \\2-= 0,5,
Центр массы лестницы можно считать находящимся в середине ее.
72

Определите наименьший угол ср, который может образовать лест-
лестница с горизонтом, не падая.
Указания. 1. Сделайте чертеж. Укажите на нем все силы, дей-
действующие на тело.
2. Выберите систему координат. Спроектируйте на оси коорди-
координат действующие силы. Какую проекцию силы считают положи-
положительной, какую — отрицательной? Приравняйте нулю сумму про-
проекций сил на каждую ось.
3. Выберите ось вращения. Найдите плечо каждой силы отно-
относительно выбранной оси вращения. Какие силы имеют положитель-
положительный момент, какие — отрицательный? Приравняйте нулю сумму
моментов сил.
4. Решите совместно полученную систему уравнений.
Задачи для самостоятельного решения
216. Грузоподъемность сенопогрузчика F = 2000 н. Стрела
погрузчика укреплена на платформе массой т = 103 кг. Расстояние
между осями колес /. Центр массы тележки расположен на равном
расстоянии от осей (рис. 60). Стрела состоит из двух частей:
АВ = 4/, ВС = 2/, наклоненных к горизонту под углами а = 80
и р = 30°. Определите величину балласта Б,' у крепленного на те-
тележке, если сила тяжести балласта проходит через одну из осей.
217. На линиях электрифицированных железных дорог воздуш-
воздушные провода поддерживаются в натянутом состоянии при помощи
блоков с грузами Р (рис. 61). Угол между горизонтом и тросом а.
Расстояние между точками крепления провода и изолятором А ра-
равно /. Наибольшее провисание провода от горизонта h. Определите
силу натяжения провода; массу провода.
218. Доска длиной / стоит на шероховатом полу и опирается
на гладкую стену. Наименьший угол, который доска может обра-
Рис. 60
Рис. 61
73

зовать с полом не падая, равен а = 40°. Определите коэффициент
трения между доской и полом.
219. Половина сплошного шара массой т^ опирается выпуклой
стороной на гладкую горизонтальную плоскость. На край плоской
поверхности полусферы положили тело массой т2= — , которое
4
осталось неподвижным. Определите угол между плоской поверх-
поверхностью полусферы и горизонтом; коэффициент трения скольжения
между полусферой и телом.
220. Для перевозки труб большого диаметра используют спе-
специальные железнодорожные платформы. Масса каждой трубы т,
диаметр, d. На платформу погружены три трубы. Расстояние
между нижними трубами равно — (рис. 62). Определите силу дав-
давления каждой трубы на гладкое дно и боковые стенки платформы.
221. Тяжелый однородный стержень, длина которого /, опира-
опирается на горизонтальную плоскость и неподвижный полуцилиндр
радиуса R (рис. 63). Коэффициент трения стержня о цилиндр и о
плоскость равен \х. Каково наибольшее значение угла ос, при кото-
котором стержень находится в равновесии?
222. На качелях, сделанных из доски (длина 2/, вес Р), под-
подвешенной па двух веревках равной длины, стоит человек массой т
на расстоянии Ь от конца доски. Обе веревки отходят от точки под-
подвеса и каждая составляет с доской угол р. Определите для случая
неподвижных качелей угол наклона доски к горизонту; натяжение
веревок.
223. Тяжелый однородный брусок АВ опирается на горизон-
горизонтальный пол и поддерживается в точке В веревкой (рис. 64). Коэф-
Коэффициент трения бруска о пол равен jx. Угол, образуемый бруском
с полом, а — 45°. При каком угле наклона веревки к горизонту
брусок начинает скользить?
224. Трехметровая лестница массой т4— 10 кг стоит под уг-
углом а = 30° к стене. Коэффициент трения скольжения между сте-
стеной и лестницей |Lt±== 0,3, между полом и лестницей \х2= 0,5. Оп-
Определите высоту, на которую может подняться по лестнице человек
массой т2= 60 кг,
225. В гладкий цилиндрический стакан массой т2 помещена
стеклянная палочка массой т{. Радиус дна стакана г, высота h
(рис. 65). Определите максимальную длину палочки, при которой
стакан устойчив.
226. Однородный диск, диаметр которого 0,5 м и масса 6 кг,
удерживается на наклонной доске веревкой, прикрепленной к дос-
доске и диску. Веревка натягивается горизонтально (рис. 66). Угол
наклона доски а = 20°. Определите силу натяжения веревки; коэф-
коэффициент трения между доской и диском.
227. У гладкой стены стоят два одинаковых деревянных шара
массой т, соединенные вплотную деревянным стержнем (рис. 67).
74

d
h
Рис. 62
Рис. 63
Рис. 64
Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
Рис. 68

Шары поставлены к стене так, что центр массы нижнего шара нахо-
находится на расстоянии двух радиусов шара от стены и дальнейшее
удаление приводит к падению шаров. Определите коэффициент ста-
статического трения шара о пол; силы, действующие на пол и стену.
228. К однородному бруску массой т и высотой h симметрично
на расстоянии / прикреплены два легких полуцилиндра из разного
материала радиусами г. Закрепив брусок на полуцилиндрах как
на опорах, его спускают по наклонной плоскости. Коэффициент
трения скольжения о плоскость передней опоры \ки задней ¦—
fi2 (рис. 68). При каком угле наклона плоскости к горизонту брусок
движется равномерно?
§ 9. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
1. Уравнение Бернулли
р _j_ г 1_ pgh = const,
2
где р — плотность жидкости, р — статическое давление жидкости,
v — скорость течения жидкости, h ¦— высота сечения трубки тока
над некоторым уровнем.
2. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через трубку
длиной / при ламинарном течении (формула Пуазейля),
8/ri '
где г — радиус трубки, Ар — разность давлений на концах трубки,
yj — вязкость жидкости.
3. Число Рейнольдса:
а) для потока жидкости в длинных трубках
где d — диаметр трубки, U — средняя по сечению скорость течения
жидкости;
б) для движения шарика в жидкости
Re = E^f
Г)
где v — скорость движения шарика, d — его диаметр.
ВОПРОСЫ
1. На чашках весов стоят два одинаковых стакана, до краев
наполненные водой. В одном из стаканов плавает деревянный поп-
поплавок. Какая чашка весов перетягивает?
2, На весах уравновесили сосуд с водой. Как изменится равно-
равновесие, если в сосуд опустить конец деревянной палочки, держа ее
за другой конец рукой?
76

3. Для определения объема тела неправильной формы проделали
такой опыт. На одну чашку весов поставили сосуд с водой, на дру-
другую — штатив с нитью, к которой привязали исследуемое тело.
Весы уравновесили. Потом тело, привязанное к нити, опустили в
сосуд с водой, не касаясь стенок сосуда. Равновесие весов наруши-
нарушилось. Для восстановления равновесия воспользовались гирей в
20 г. На какую чашку весов положили гири? Каков объем тела?
4. На дне сосуда, наполненного водой, закреплен конец пру-
пружины, к другому концу прикреплена пробка Л, полностью погру-
погруженная в воду (рис. 69). Как изменится положение пробки при сво-
свободном падении сосуда?
5. Модель корабля пускают плавать в керосин, воду, ртуть.
В какой из жидкостей модель будет плавать наиболее устойчиво?
Как при переходе от одной жидкости к другой изменится взаимное
расположение центров массы модели корабля и вытесненной им
жидкости?
6. Один и тот же гидравлический пресс используют на Земле,
Луне, искусственном спутнике Земли. Что можно сказать о его
работе в каждом случае?
7. На Земле в герметически закрытом сосуде, частично заполнен-
заполненном водой, плавает тело, полностью погруженное в жидкость. Как
изменится положение тела в воде, если сосуд доставить на Луну,
на искусственный спутник Земли?
8. Для того чтобы отделить друг от друга тонкие листы бумаги,
сложенные в пачку, достаточно подуть сбоку в торец этой пачки.
Чем объясняется этот прием?
9. На рисунке 70Г представлена трубка переменного сечения, по
которой течет жидкость в указанном направлении.Как установятся
уровни жидкости в манометрических трубках, если жидкость
идеальная; жидкость с большой вязкостью?
10. Футбольный мяч при 'ударе по йему приобрел поступатель-
поступательное и вращательное движение. В каком направлении должен вра-
вращаться мяч для получения большей дальности полета?
Рис. 69
Рис. 70
77

Вода
Рис.
Решение.
Дано:
71
б
D
Н
d
L
h
О
= 10-
= 2 •
= 3 м
= 0,62
хс
8 м
ю-2
2 м
ю-3
м
Примеры решения задач
229. Поплавок — указатель уровня во-
воды в отстойнике — изготовлен из листо-
листовой латуни толщиной б = 1 мм в виде
цилиндрической коробочки диаметром
D = 8 см, высотой Н = 10 см. По оси
поплавка закреплен латунный прут —
указатель уровня d = 2 лш и длиной
L = 3 м. Определите плотность жидкости,
находящейся над водой, если указатель
поднимется над поверхностью жидкости
на h = 62 см. Считайте, что поплавок на-
находится в воде наполовину (рис. 71).
Р:с - ?
При равновесии сила тяжести поплавка Р равна выталкивающей
силе F.
На поплавок с указателем действует сила тяжести
На часть поплавка, погруженную в воду, действует выталки-
выталкивающая сила
На часть поплавка, погруженную в другую жидкость, действует
выталкивающая сила
^-J—S + Px — ( L — h)g.
Используя условие равновесия поплавка, получим
— J
рлб [nDH + 2— J + рл— L = Рв у— + Р, Т— + Р^-^
X (L - Л).
78

Решив это уравнение, найдем рх:
рлб nDH
лП2
•9л-
nd2
jiD2 . Jid2
Я — + —(L-A)
Проверим размерность и произведем расчет
кг
> — — • м*
/сг
м3 +
Рис. 72
По таблицам определим плотность воды рв =
~103 кг1мъ, плотность латуни рл= 8,5 • 103 кг/м3.
Учтем, что величина р, — L = 8 • 10~5 кг ма-
4
ла по сравнению с другим слагаемым.
После вычисления получаем
рх = 0,81 • 103 кг/м*.
230. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой
8 м, имеет форму усеченного конуса, сужающегося вверх. Диаметр
нижнего сечения 5 см, верхнего 1 см. Высота сопла 0,5 м. Опреде-
Определите расход воды, подаваемой фонтаном; на сколько давление в
нижнем сечении больше атмосферного. Сопротивлением воздуха
в струе и сопротивлением в сопле пренебрегите.
Решение.
Дано: Н = 8 м
D = 5 • Ю-2 л*
d = Ю-2 м
h = 0,5 м
Q-?
Ар-?
В потоке жидкости, в сопле, проведем два горизонтальных сечения:
нижнее (I) и верхнее (II) сечения (рис. 72).
Расход воды в 1 сек равен объему жидкости V, протекающей
за 1 сек через любое сечение S. Скорость воды, протекающей через
II сечение, найдем по высоте подъема воды в поле тяжести
A)
тогда
B)
Применим уравнение Бернулли к потоку жидкости через I и
II сечения:
^+p^ + p. C)
79

Из уравнения C) найдем избыточное давление
Для нахождения скорости воды в сечении 1 воспользуемся уравне-
уравнением неразрывности струи
откуда, учтя A), получим
v 1=*&=*-уЪ?Н. E)
Подставим уравнения A) и E) в уравнение D)
Ар = Р?* + Р*Я (!-?)¦ F)
Проверим размерность и произведем расчет:
сек сек
кг • м - м н
V =
лг • сек
3,14
4
Др - 103 • 9,8 • 0,5 + 103.9,8-8A 1^—\ = 83,3 . 103 н/м\
н [ 625.10-*/
231. Определите наибольшую величину диаметра трубы, при
котором на достаточном удалении от входа будет иметь место лами-
ламинарное течение, если через поперечное сечение трубы протекает
2 л/сек керосина кинематической вязкости 5 • 10~6 м2/сек. Какова
при этом средняя скорость течения керосина?
Решение.
Дано: V = 2 - Ю-3 м'Чсек
v = 5 ¦ Ю-6 мЧсек
d — ?
v — ?
Характер движения среды определяется безразмерным числом
Рейнольдса
Re=&, A)
- Г)
где d — диаметр трубы, v — средняя скорость жидкости по сече-
сечению, р — плотность жидкости, г\ — вязкость жидкости.
Если число Re > 2300, то движение жидкости в трубе из лами>
нарного становится турбулентным.
80

При нахождении наибольшего диаметра трубы, при котором
движение жидкости остается ламинарным, следует считать
Re = 2300.
Кинематическая вязкость жидкости — величина, численно рав-
равная отношению вязкости ц к плотности р:
v = J-. B)
Р
Объем керосина, протекающий через любое поперечное сечение
трубы в 1 сек, равен
V = v.S = v^. C)
4
Решив совместно уравнения A), B), C), получим
d = -^~; D)
E)
Проверим размерность и произведем расчет!
г ,, мъ - сек
[d] = — = м\
мг • сек
г , м* - сек м
сек2 • м? сек
d = illlM = о,255 щ
5- Ю-»-3,14-2000
v = 4 . IQi . 25 . Ю-ч.3,14 ^ 392 . ш,2
4 • 2 . Ю-3
Решите задачи, пользуясь указаниями
232. В двух цилиндрических сообщающихся сосудах, имеющих
поперечные сечения 10 см% и 20 см%, находится ртуть. Поверх ртути
в первый сосуд наливают 1 л воды и опускают в воду тело массой
200 г. На сколько поднимется уровень ртути во втором сосуде,
если тело плавает в воде?
Указания. 1. Сделайте чертежи, соответствующие уровням рту-
ртути без воды и с водой.
2. За уровень поверхности отсчета выберите границу раздела
сред (ртуть — вода) и запишите условие равновесия жидкости.
При этом учтите: а) сосуды имеют разное поперечное сечение;
б) тело, плавающее в воде, влияет на давление жидкости; в) высота
столба ртути над поверхностью отсчета складывается из высоты
подъема ртути во втором сосуде и опускания ртути в первом сосу-
сосуде по сравнению с первоначальным уровнем.
81

233. Пожарный, стоя на лест-
лестнице, тушит огонь из брандспой-
брандспойта, диаметр которого на выходе
2 см, а в том месте, где находятся
руки, диаметр 8 см. Скорость
струи на выходе из брандспойта
5гм/сек. С какой силой пожарно-
пожарному приходится удерживать бранд-
брандспойт, если он держит его под уг-
Рие. 73 лом 20° к горизонтальной поверх-
поверхности: расстояние между выход-
выходным отверстием и руками пожарника равно 70 см?
Указания. 1. Проведите в трубке тока (потоке жидкости в бранд-
брандспойте) два сечения: одно—через выходное отверстие, другое — на
расстоянии / от первого.
2. Определите разность высот между выбранными сечениями
по вертикали.
3. Запишите уравнение Бернулли для потока жидкости через
выбранные сечения.
4. Пользуясь уравнением непрерывности и уравнением Бернул-
Бернулли, определите избыточное давление в верхнем сечении. Определи-
Определите величину и направление силы реакции струи воды в верх-
верхнем сечении, зная площадь сечения и избыточное давление.
Задачи для самостоятельного решения
234. В цилиндрический сосуд налиты одинаковые массы воды
и ртути. Общая высота двух слоев жидкости 58 см. Определите дав-
давление на дно сосуда. Как изменится это давление, если в воду опус-
опустить деревянный шарик?
235. Две трубки диаметром 4 см соединены в нижней части ко-
короткой трубкой небольшого диаметра. В одну трубку наливают
0,5 л воды, в другую — 0,5 л керосина. Определите высоты жидкос-
жидкостей в обеих трубках (объемом соединительной трубки пренебре-
пренебрегите).
236. Для определения количества меди и серебра в сплаве его
взвешивают на рычажных весах. При взвешивании в воздухе весы
показывают 245,6 г, а при погружении сплава в воду — 221,6 г.
Сколько граммов меди и серебра в сплаве?
237. На два деревянных бревна диаметрами D и d, длиной L
каждое положен деревянный настил шириной Ъ и весом Q так, что
он имеет консоли по обеим сторонам, равные С (рис. 73). Какой ве-
величины и где следует положить добавочный груз Р, чтобы настил
держался горизонтально и только бревна были бы погружены в
воду?
238. В цилиндрическом сосуде с водой плавает брусок высотой
L и сечением S^ Действуя на верхнюю грань бруска силой, его мед-
82

ленно опускают на дно сосуда. Сечение сосуда 5 = 2Sb начальная
высота воды в сосуде L, плотность материала бруска р в два раза
меньше плотности воды. Какая работа совершена при опускании
бруска?
239. Прямоугольный сосуд с отверстием в дне укреплен на
легкой тележке, движущейся горизонтально. Отверстие находится
на расстоянии — от стенки. Масса сосуда с тележкой М. Высота
о
сосуда by длина /, площадь основания S. С какой силой и в каком
направлении надо действовать на тележку, чтобы в сосуде осталось
максимальное количество воды? Трение отсутствует.
240. В середине дна цилиндрического ведра имеется небольшое
отверстие, сквозь которое вытекает вода. Уровень воды в ведре на
0,3 м выше дна. Площадь дна 0,125 ж2, площадь отверстия 2,5- 10~*м2.
Сколько времени понадобится для полного вытекания воды через
отверстие в следующих случаях: ведро неподвижно; ведро
равномерно поднимается; ведро движется с ускорением 120 см/сек2
вниз; ведро движется с тем же ускорением в горизонтальном на-
направлении.
241. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр dt= 20 см.
В нем движется поршень со скоростью v = 1 м/сек, выталкивая
воду через отверстие диаметром d2= 2 см. Определите скорость
вытекания воды; давление воды в цилиндре насоса.
242. Ствол гидромонитора имеет выходной диаметр d = 2 см
(рис. 74), диаметр сечения в плоскости А равен D = 8 см. Скорость
струи на выходе из гидромонитора vt= 25 м/сек. Пренебрегая соп-
сопротивлением, определите силу крепления ствола в сечении А.
243. Расход воды в дождевальном агрегате, закрепленном на
тракторе, Q = 50 л/сек. Агрегат имеет N = 52 короткоструйных
насадки, каждая из которых имеет несколько отверстий с общей
площадью S = 2,2 см2. Входное отверстие трубы, забирающей
воду из оросительного канала, находится на h = 3 м ниже отвер-
отверстий насадок. С какой минимальной скоростью должен двигаться
трактор при поливке растений, если: насоса на тракторе нет;
имеется насос, создающий дополнительный напор Ар=2-104 н/м2.
244. Определите максимальное давление ветра на вертикальную
стену, если ветер дует перпендикулярно стене со скоростью v =
=- 20 м/сек.
245. Схема устройства пульверизатора изображена на рисун-
рисунке 75. Добавочное давление перед входом в трубку А, где скорость
очень мала, равно Ар = 1,2 • 103 н/м2. Определите максимальную
высоту h, на которую пульверизатор может засасывать спирт из
сосуда. Вязкостью воздуха пренебрегите.
246. На рисунке 76 представлена схема водомера. По горизон-
горизонтальной трубе переменного сечения протекает вода. Сечения гори-
горизонтальной трубы у основания трубок SA и S2. Определите расход
83

Рис. 74
Рис. 75
Ряс. 75
а
У
а
-* *н
У
а
BJ
0
Рис. 77
a b с d
- - -1
-с
———
~—-
—1
———————
'-—-
7—7"J
Рле 78
Рис. 79
Рис. 80

воды Q по разности уровней воды в двух манометрических трубках.
Вязкостью воды пренебрегите.
247. Йа легкой тележке стоит широкий цилиндрический сосуд,
наполненный водой. Высота воды в сосуде Я = 1 ле. С противо-
противоположных сторон сосуда сделаны два отверстия: на высоте Ai—
== 25 см с площадью отверстия Sx= 0,5 см2 и на высоте (Я — А) над
дном сосуда с площадью отверстия S2~ 1 см2. Какую силу и в ка-
каком направлении нужно приложить к тележке, чтобы при открытых
отверстиях она оставалась в покое?
248. Определите силу, которая вырывает из бака сливную тру-
трубу АВ (рис. 78). Поперечное сечение струи S = 4 см2, высота уров-
уровня жидкости над отверстием трубы А = 1,2 ж.
249. На рисунке 77 схематически изображена установка, де-,
монстрирующая течение вязкой жидкости по горизонтальной тру-
трубе. Манометрические трубки впаяны в трубу на равных расстоя-
расстояниях а = 10 см. Высота уровня жидкости в широком сосуде Я ==
= 26 см. Прямая АВ, проведенная через уровни жидкости в мано-
манометрических трубках, образует с горизонтальной трубой угол
а = 30°. Определите скорость вытекания жидкости.
250. По горизонтальной трубе (рис. 79) течет вязкая жидкость.
Разность уровней этой жидкости в трубках аи b — ДА, в трубках а
и с — Д/ (все впаянные трубки имеют одинаковый диаметр). Коли-
Количество жидкости, протекающей через трубу в одну секунду У, рас-
расстояние между трубками а и с равно s, плотность жидкости р. Оп-
Определите динамическую вязкость жидкости (скорость течения
по сечению трубы считайте одинаковой).
251. В трубопроводе происходит плавное изменение площади
поперечного сечения от S4 к S2 (S2>Si). В каком из этих сечений
число Рейнольдса будет большим?
252. По трубопроводу диаметром d = 203 мм перекачивается
Q = 100 л/сек мазута, кинематическая вязкость которого v посте-
постепенно увеличивается вследствие остывания. Определите, при каком
значении вязкости v в трубе начнется турбулентное движение.
253. На каком расстоянии х от оси трубы радиуса R следует
установить трубку Пито в вязкой жидкости, чтобы в ламинарном
потоке измерять среднюю скорость? Скорость по диаметру трубы
меняется по закону
v
4г) I М
Ар
где ц — динамическая вязкость, JL — изменение давления по
длине трубы.
254. Трубка Пито установлена по оси газопровода диаметром d
(рис. 80). Разность уровней в спиртовом манометре ДА, плотность
спирта рс, плотность газа р. Определите объемный расход газа в
1 сек.
85

255. Определите массу нефти, проходящую через самотечный
нефтепровод диаметром d = 20 см, длиной L = 10 км. Кинемати-
Кинематическая вязкость нефти v= 1,46- 10~*м2/сек, плотность р = 900 кг/мг.
Начало нефтепровода лежит выше его конца на АЛ = 5 м.
§ 10. УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ
1. Закон Гука:
а) при продольном растяжении или сжатии
а = еЕ,
где а — нормальное напряжение, г — относительное удлинение,
Е — модуль Юнга;
б) при сдвиге
ах = yG,
где ох — тангенциальное напряжение, у — относительная дефор-
деформация, G — модуль сдвига.
2. Плотность энергии деформации:
а) при продольной деформации
0 2
б) при сдвиге
3. Относительное изменение объема при продольной деформации
— =еA—2|х),
где jit — коэффициент Пуассона, равный отношению поперечной
деформации к продольной.
4. Угол закручивания стержня
e 2MI
где М — вращающий момент, / — длина стержня, R — радиус
стержня.
ВОПРОСЫ
1. На рисунке 81 изображены графики зависимостей относи-
относительного удлинения от небольшого напряжения для медной и сталь-
стальной проволоки. Какой из графиков относится к меди?
2. Железная и медная проволоки одинаковых размеров висят
в вертикальной плоскости. Нижние концы проволок прикреплены
к горизонтальному стержню. Сохранится ли горизонтальность стер-
стержня, если к его середине прикрепить груз?
86

3. Что можно сказать о напряжении в металлическом бруске?
а) движущемся равномерно, а потом ускоренно в горизонтальном
направлении; б) вращающемся вокруг вертикальной оси; в) свобод-
свободно падающем; г) висящем в вертикальной плоскости.
Примеры решения задач
256. Какое давление изнутри может выдержать стеклянная
трубка, наружный и внутренний диаметры которой соответственно
8 мм и 7 мм? Наружное давление 10* н/лг2.
Решение.
Дано: di = 8 • 10~3 м
d2 = 7 • Ю-3 м
рн = 105 н/м2
Из трубки мысленно вырежем кольцо высотой dh и из него выде-
выделим бесконечно малый элемент -^ da (рис. 82).
На каждый элемент трубки действуют:
сила давления изнутри трубки
где р6 — давление изнутри трубки,
поверхность элемента.
•Сила давления снаружи трубки
== Рн
2= — da - dh — внутренняя
где Si= —-
• dft — внешняя поверхность элемента.
Силы напряжения со стороны соседних элементов
Рис. 81
Рис. 82
87

где о — напряжение в стекле, S = — dh — боковая поверх-
поверхность элемента.
Элемент трубки будет находиться в равновесии, если векторная
сумма сил, действующих на него, равна нулю. При увеличении силы
давления изнутри трубки сила напряжения будет увеличиваться.
Наибольшее напряжение а, которое может быть между элементами,
равно разрушающему напряжению ат.
Выберем систему координат XOY так, как показано на рисун-
рисунке 82. Спроектируем силы, действующие на выбранный элемент,
на ось OF, и запишем условие равновесия
PR-S2-pu.Si-2om.Ssindf = 0. A)
Подставим в это уравнение значениеЗь S2, S и учтем, что sin— « —.
После сокращения на — Ф О перепишем уравнение A)
РЛ- РЛ- от (di— d2) = 0. B)
Отсюда
 «2 «2
Так как по условию трубка тонкая, то ~^ 1.
Проверим размерность и произведем расчет
[Рв1 = пг-
м2
Из таблицы разрушающее напряжение для стекла
am=^3- 101 н/м2
рв = 3> 10?-(8^7) + юз = 4,3 • 106 + 105 == 4,4 • 1(Рн/м*.
Решите задачи, пользуясь указаниями
257. Однородный стержень, длина которого / = 1 ж, масса
m = 1 /сг, вращается с угловой скоростью со = 2 сек*1 в горизон-
горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через его конец. Опре-
Определите силу напряжения в стержне на расстоянии— от оси враще-
вращения; отношение напряжений в сечениях, расположенных на рас-
расстояниях — и — от оси вращения.
Указания. 1. Разбейте стержень на бесконечно малые элементы
и рассмотрите силы, действующие на каждый элемент.
2. Определите,, массу каждого элемента.
88

3. Примените II закон Ньютона к одному из элементов (ускоре-
(ускорение точек каждого элемента можно считать одинаковым, ускорение
силы тяжести не учитывайте).
4. Определите сумму сил, действующих на все элементы, начиная
от элемента, находящегося на расстоянии х от оси вращения и кон-
кончая элементом, находящимся на конце стержня. Полученное зна-
значение силы определяет силу напряжения в сечении, находящемся
на расстоянии х от оси вращения. Дайте объяснение.
5. Найдите силы напряжения в сечениях, находящихся от оси
вращения на расстояниях xt= — и х2= —•
258. Стальная проволока длиной / = 4 м и диаметром d = 2 мм
растягивается силой F = 1000 н. На сколько при этом изменится
объем?
Указания. 1. Найдите коэффициент Пуассона и коэффициент
поперечного сжатия в таблицах.
2. Учтите, что изменение объема — это разность объемов де-
деформированной и недеформированной проволоки.
3. Пользуясь законом Гука, определите относительное удлине-
удлинение.
Задачи для самостоятельного решения
259. На проволоке длиной / висит груз Р. Проволоку сложили
вдвое и подвесили тот же груз. Сравните абсолютное и относитель-
относительное удлинения.
260. Какой наибольший груз может нести железный стержень
сечением 8,3 см2, не давая остаточной деформации, если нужен
двойной запас прочности?
261. Стальной канат, выдерживающий вес неподвижной каби-
кабины лифта, имеет диаметр 8 мм. Лифт во время работы при внезап-
внезапной остановке получает ускорение 8 g. Определите, сколько таких
канатов следует соединить параллельно при установке лифта.
262. Тонкое свинцовое кольцо вращается относительно непод-
неподвижной оси, проходящей через центр массы, перпендикулярно
плоскости кольца. Определите максимальное значение линейной
скорости при вращении.
263. Определите наименьшую толщину стенок стеклянной ци-
цилиндрической трубки, если давление внутри трубки может увеличи-
увеличиваться до рв = 7 * 105 н/м2, не вызывая разрушения. Внешнее
давление рп = 105 н/м2, внутренний диаметр трубки d — 0,1 м.
264. Чему равно относительное удлинение проволоки из меди,
подвешенной за конец? Чему равно при этом относительное измене-
изменение объема проволоки? При какой длине проволока разорвется под
действием силы тяжести?
265. Относительное изменение объема при продольной дефор-
деформации стержня равно нулю. Определите коэффициент Пуассона ма-
материала стержня.
89

7. Амплитуда скорости вынужденных колебаний
8. При резонансе смещения со = |Ао2о— 2а2, при резонансе
скорости со = соо.
ВОПРОСЫ
1. Как изменится период колебаний математического маятника,
если его точку подвеса перемещать с ускорением а < g: вверх; вниз;
горизонтально.
2. Точка подвеса математического маятника -закреплена на вер-
вертикальной доске. Доска начинает свободно падать в момент, когда
маятник:
1) находится в одном из крайних положений;
2) проходит через положение равновесия;
3) находится в каком-нибудь промежуточном положении.
Как в каждом из этих случаев будет двигаться маятник относи-
относительно доски?
3. Два одинаковых полых шара подвешены на нитках одинако-
одинаковой длины. Один из них заполнен водой. Сравните их периоды коле-
колебаний и время колебаний до остановки, если начальные амплитуды
одинаковы?
4. Тело, совершающее собственные колебания, вначале находит-
находится в воздухе, потом в глицерине. Как изменятся при этом кинема-
кинематические характеристики движения? Изобразите графически зави-
зависимость смещения от времени для обоих колебаний, считая началь-
начальное смещение одинаковым.
5. Два одинаковых маятника, связанных легкой пружиной,
совершают колебания в плоскости чертежа с одинаковой амплиту-
амплитудой в одну и ту же сторону. Как изменится период колебаний, если
середину пружины закрепить?
6. На рисунке 83 изображена для двух различных маятников
зависимость In — от числа колебаний п. Какой из маятников име-
хп
ет большую добротность?
Примеры решения задач
273. На чашку весов, подвешенную на пружине, падает с вы-
высоты h груз массы т и остается на чашке. Коэффициент жесткости
пружины k (рис. 84). Масса пружины и чашки по сравнению с мас-
массой груза мала. Удар груза о чашку считайте абсолютно неупру-
неупругим. Определите зависимость смещения груза на чашке от времени.
92

'"t
Рис, 83
За начало наблюдения примите
момент наинизшего положения
груза.
Решение. Уравнение движе-
движения груза при деформации пру-
пружины
Q
Рис. 84
тх = —kx.
Решением этого уравнения является
х = Хт cos ю0/.
Найдем значение циклической частоты соо и амплитуды Хт.
Циклическая частота равна
со,
-VI
Для нахождения амплитуды воспользуемся законом сохранения
энергии. В начальный момент груз, поднятый на некоторую высоту
над чашкой, обладает запасом потенциальной энергии, пружина не
растянута и ее потенциальная энергия равна нулю.
После падения груза на чашку пружина деформируется, и по-
потенциальная энергия груза переходит в энергию растягиваемой
пружины и кинетическую энергию движущегося груза.
За уровень отсчета потенциальной энергии выберем наинизшее
положение груза на чашке 00 (рис. 84). Груз будет колебаться око-
около положения, при котором постоянно действующая сила тяжести
равна силе напряжения пружины (O'0'j,
mg = —kb, C)
где b — удлинение пружины.
Смещение от положения равновесия О'О' до положения 00, соот-
соответствующее наибольшему растяжению пружины, является иско-
искомой амплитудой Хт. Обозначим (Ь + Хт) — у.
При максимальном растяжении пружины груз находится в наи-
наинизшем положении, и энергия системы определяется потенциаль-
потенциальной энергией упруго деформированной пружины.
93

По закону сохранения энергии
Решив это уравнение относительно у, получим
У _-_-; —
Знак «—» перед радикалом опускаем. Отрицательное значение у
не имеет физического смысла, так как у <С b быть не может.
Учитывая значение b из уравнения C) и введенное обозначение
для у, получаем
Уравнение смещения груза имеет вид:
X ¦= ^
к
/л . 2hk -ш Г k ,
1 Н -cos 1/ —/.
mg у m
274. Ареометр массой 0,08 кг с цилиндрической трубкой диа-
диаметром 0,3 см плавает в жидкости, плотность которой 1,2 • 103 кг/м3.
Ареометр получает небольшой импульс в вертикальном направле-
направлении и опускается в жидкость на глубину Хо = 3 ель. Коэффициент
сопротивления г = 0,01 кг/сек при движении ареометра остается
постоянным. Определите циклическую частоту колебаний; через
какое число колебаний амплитуда уменьшится в е раз; работу про-
против сил трения за первый период. Движение жидкости не учиты-
учитывайте.
Решение.
Дано: т = 0,08 кг
d = 0,3 см
р = 1,2 • 103 кг/м3
Хо = 3 см
г = 0,01 кг /сек
со — ? п — ? АЛ — ?
На ареометр, плавающий в жидкости, действуют две равные и
противоположно направленные силы: сила тяжести и выталкиваю-
выталкивающая сила.
При опускании ареометра вниз появляются дополнительные
силы, направленные вверх, выталкивающая сила, не уравновеши-
уравновешиваемая весом ареометра,
F
и сила сопротивления
/ = — /XN= — ГХ.
94

Уравнение движения ареометра
nd2
щх = pgx — гх
4
имеет такой же вид, как уравнение движения тела, совершающего
затухающие колебания
тх — —kx — гх.
Следовательно, ареометр будет совершать затухающие колебания
с начальной амплитудой Хо — 3 см и циклической частотой
о = ]/со02 — а2,
где
т 2 У т
а = А B)
2т
Используя это, получаем
со
Амплитуда затухающих колебаний с течением времени убывает
по закону
V
Так как по условию амплитуда уменьшилась в е раз, то —- = е
т
и, следовательно, at — 1. За это время / произойдет п колебаний
Используя уравнения B) и C), получаем
Работа за бесконечно малый промежуток времени против силы
трения равна
dA = fdx = — rvdx = —rt;2d/. E)
Зависимость смещения от времени при затухающем колебании оп-
определяется уравнением
х = X0<r-a'coscD/. F)
Коэффициент затухания
2т 2 • 0,08
95

величина небольшая. Поэтому можно принять, что за один период
практически амплитуда не изменится. Так как время колебаний
равно произведению Т на число колебаний пу заменим at = аТп и
перепишем уравнение F)
х = X0e-°6/ircos со/.
Тогда
v= — = — Хош~апТ sin со/. G)
dt
Работа против силы трения с учетом уравнений E) и F) за период Т
равна
AT T
Л = J A4 = —f rv4t = — reanT X0V fsin2 cotdt =
0 0 6
(8)
Проверим размерность и произведем расчет.
Из уравнения C):
/сг2 \i/2
г , \ ^3 сел2 сек2 I 1 1,-1
[со] = ^ =—; со;^ \сек \
кг сек
Из уравнения D):
(м1 • кг - м > кг - сек2
ж3 • сел:2 • кг2
Из уравнения (8):
л \1/2
1 = 1;
]
[А] = ^г'ж2 = 5ж; АЛ = 1,3 . 10 дж.
сек - сек
275. Амплитуда смещения вынужденных колебаний тела при
очень малой частоте вынуждающей силы Ао = 2 лш, а при резо-
резонансе Лр = 32 л«ле. Коэффициент затухания много меньше единицы.
Определите добротность системы; логарифмический декремент за-
затухания.
Решение. По определению Добротности
п о полная энергия системы я /1Ч
Ц = 2Я= A)
Ц 2Я.
потери энергии за период б
Так как коэффициент затухания мал а <? 1, то 2а2 < соо2
и можно считать, что резонанс смещений наступает при частоте
о) = со0. Тогда добротность-
JL=±^ B)
аТ 2 a w
96

и амплитуда колебаний при резонансе
Fm
* т • 2ао)о
Если частота вынуждающей силы очень мала, то амплитуду
смещения можно считать равной статическому смещению
А. = -4-. D)
Разделим уравнение C) на D)
4
2L
Ло 2асоо 2а
Сравнив E) и B), получим, что добротность равна
E)
Q = ^L; Q = 16.
Логарифмический декремент затухания из уравнения A) равен:
6= —^0,2.
Решите задачи, пользуясь указаниями
276. Однородный прямоугольный стержень длиной / колеблет-
колеблется в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, которая
может перемещаться вдоль длины стержня. Определите зависимость
периода колебаний от расстояния между осью вращения и центром
массы; наименьший период колебаний стержня при малых откло-
отклонениях от положения равновесия.
Указания. 1. Напишите уравнение движения стержня при ма-
малых углах отклонения от положения равновесия.
2. Запищите период колебания как функцию расстояния от
оси вращения до центра массы стержня.
3. Воспользовавшись правилом определения экстремума функ-
функции, определите, при каком расстоянии от оси вращения до центра
массы период наименьший.
4. Определите значение наименьшего периода.
277. Математический маятник длиной / = 24,7 см совершает за-
затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания
б = 0,01. Определите время, в течение которого энергия маятника
уменьшится в 9,4 раза; время колебаний маятника.
Указания. 1. Выразите отношение энергий через амплитуды
колебаний.
2. Запишите отношение амплитуды колебаний и коэффициент
затухания через искомое время t.
4 Заказ 1867 97

3. Используя другие данные величины, получите уравнение для
определения t.
4. Практически можно считать, что колебания прекратились,
если амплитуда их упала до 0,01 от начальной величины. Запиши-
Запишите отношение амплитуд через период колебаний, логарифмический
декремент затухания и искомое время т. Решите полученное урав-
уравнение относительно т.
Задачи для самостоятельного решения
278. На тело массой 0,1 кг действует сила / =—4,1 х н (х — сме-
смещение от положения равновесия). В начальный момент времени
смещение тела х0 = 1,72 см, а через /t= 0,3 сек оно стало максималь-
максимальным. Определите кинематические характеристики движения тела}
путь, пройденный телом за период; работу силы за период.
279. Колебания материальной точки, масса которой т = 10~* кг,
описываются уравнением
х = 0,1 sin (~ * + -?\ м (t — в сек).
Определите период колебаний; максимальное значение возвращаю-
возвращающей силы; полную энергию колебаний материальной точки; отно-
отношение кинетической и потенциальной энергии точки для тех мо-
ментов времени, когда смещение составляет —2 (Хт —амплитуда);
постройте на одних осях координат в пределах одного периода за-
зависимость смещения и силы, потенциальной, кинетической и полной
энергий от времени.
280. Полная энергия тела, совершающего гармонические коле-
колебания W = 5 • 10~7 дж} амплитуда колебаний Хт = 2 • Ю м.
Определите смещение, при котором на тело действует сила Ft=
= 2,25-10~~5 н\ максимальную силу, действующую на тело; долю пе-
периода между моментом действия на тело силы/7! и максимальной силы.
281. Маленький шарик массой 0,1 кг подвешен к невесомой ни-
нити длиной 2 м. Шарик отвели от положения равновесия на угол 5° и
отпустили. Определите уравнение колебаний шарика; полную
энергию; ближайший момент времени, когда потенциальная и ки-
кинетическая энергии шарика одинаковы; натяжение нити через
Т
ti= — после начала движения.
8
282. К спиральной пружине подвесили груз, масса которого
0,1 кг значительно больше масЫ пружины, при этом пружина удли-
удлинилась на 5 см. Потом груз оттянули на 3 еж и отпустили. Опреде-
Определите уравнение смещения груза; скорость в момент прохождения
равновесия; полную энергию колеблющегося груза; соотношение
между периодом колебаний кинетической (потенциальной) энергии
и периодом свободных колебаний.
98

283. Две одинаковые цилиндрические пружины с коэффициен-
коэффициентом жесткости k соединены вначале последовательно, потом парал-
параллельно. Пружины могут колебаться в вертикальной плоскости. Оп-
Определите отношение частот собственных колебаний груза с массой
гораздо большей массы пружины, подвешенного вначале к после-
последовательно, потом к параллельно соединенным пружинам.
284. На подставке лежит груз массой т. К нему прикрепляют
вертикальную спиральную пружину с коэффициентом жесткости k
так, что пружина не деформируется. Потом подставку без толчка
убирают. Определите зависимость смещения груза от времени,
считая, что при t — О, х = 0; наибольшее натяжение пружины.
285. Один конец горизонтальной доски закреплен, на другом
лежит груз массой 2 кг. Доска выведена из положения равновесия
и начинает совершать гармонические колебания в вертикальной
плоскости с периодом Т = 0,5 сек и амплитудой Хт = 2 см. Опре-
Определите зависимость смещения груза от времени (считая, что в на-
начальный момент груз находился в наинизшем положении); зависи-
зависимость силы давления груза на доску от времени; амплитуду колеба-
колебаний Ль при которой груз в некоторые моменты времени не будет
оказывать давления на доску; как будет двигаться груз, если ампли-
амплитуда колебаний доски будет больше Л4.
286. Тело неправильной формы прикрепили к вертикальной
проволоке с закрепленным верхним концом. После воздействия
вращающего момента период крутильных колебаний стал То =
==3сек. Потом к этой же проволоке прикрепили однородный цилиндр
массой m — 1 кг, радиусом R = 5 см так, что ось цилиндра и про-
проволоки совпадают. Новый крутильный маятник имеет период коле-
колебаний 7\= 1,3 сек. Определите момент инерции тела относительно
оси, совпадающей с осью проволоки.
287. Из однородйого диска радиусом R сделали физический
маятник. Вначале ось проходит через одну из образующих диска,
R
потом на расстоянии — от центра диска, параллельно первой оси.
Определите отношение периодов колебаний диска; расстояние от
центра до оси, перпендикулярной к плоскости диска, относительно
которой период колебаний наименьший.
288. На гвозди, вбитые горизонтально в стену, повесили тонкий
обруч радиуса /?, половину обруча и какую-то часть такого же
обруча (рис. 85). Каждое тело небольшим толчком в плоскости об-
обруча выводят из положения равновесия. Определите периоды коле-
колебаний и приведенную длину каждого маятника, полученного та-
таким способом.
289. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М,
прикрепленный к горизонтально расположенной пружине с коэф-
коэффициентом жесткости k. В шар попадают пули массой т, имеющие
в момент удара скорость v, направленную вдоль оси пружины

Рис. 85
Рис. 86
(рис. 86). Считая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой
пружины и сопротивлением воздуха, определите амплитуду и пе-
период колебаний шара, если первая пуля ударяется в неподвижный
шар в тот момент, когда пружина не деформирована; амплитуду и
период колебаний шара, если вторая пуля ударяется в шар в мо-
момент наибольшего сжатия пружины.
290. На горизонтальной поверхности лежит тело массой т,
прикрепленное к горизонтальной цилиндрической пружине. Коэф-
Коэффициент жесткости пружины k, коэффициент трения между телом и
плоскостью \х. Тело смещено от положения равновесия на / и от-
отпущено. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха,
определите уравнение движения тела;, характер движения тела;
число колебаний; путь, пройденный телом до остановки.
291. При равновесии системы, показанной на рисунке 87, лег-
легкая пружина растянута по сравнению с недеформированным состоя-
состоянием на А/ = 5 см. Шар массой т2= 0,2 кг лежит на абсолютно
гладкой поверхности и к нему нитью, перекинутой через блок,
прикреплен груз массой rrii= 0,1 кг. Блок — сплошной однородный
цилиндр массой ms= 0,3 кг. Определите частоту свободных колеба-
колебаний шара, если груз тА без толчка немного оттянули вниз и отпус-
отпустили.
292. Сплошной цилиндр радиуса г катается без скольжения по
внутренней стороне полой цилиндрической трубы радиуса R. Дока-
Докажите, что при отсутствии трения движение цилиндра при малых
отклонениях от положения равновесия — гармоническое колеба-
колебание. Определите частоту свободных колебаний цилиндра.
Рис. 87
Рис. 88
1С0

293. При затухающем колебании материальной точки амплиту-
амплитуда в начальный момент Ло = 2 см, а через /4= 4 шс амплитуда
Ai= 0,7 ом. Определите, через сколько секунд амплитуда станет
А%— 0,4 см; энергия колебаний уменьшится в п = Ю4 раз.
294. Тело массой 0,01 кг подвешено к легкой спиральной пружи-
пружине с коэффициентом жесткости k = 25 w/ж и опущено в жидкость.
После получения импульса в вертикальном направлении т^ло на-
начало колебаться. Логарифмический декремент затухания 6 = 0,004.
Определите число колебаний тела за время уменьшения амплитуды
в два раза; время, за которое амплитуда уменьшится в два раза.
295. На рисунке 88 показана диаграмма для свободных колеба-
колебаний материальной точки. По оси абсцисс отложена величина смеще-
смещения (х), по оси ординат — величина, равная скорости, деленной на
циклическую частоту ML]. Каждая точка кривой соответствует
определенному моменту времени; точка А — начальному моменту,
точка В—моменту через 2 сек после начала движения. Пользуясь ри-
рисунком, определите уравнение смещения колеблющейся точки; вид
таким образом построенной диаграммы для затухающих колебаний.
296. К вертикальной спиральной пружине подвешен стальной
шарик радиусом R — 10~2 м. Циклическая частота его колебаний
в воздухе соо= 5 сек, а в некоторой жидкости со=4,06 сек. На-
Начальное смещение равно амплитуде колебаний в жидкости А = 5 см.
Определите коэффициент вязкости жидкости; уравнение смещения
шарика.
297. Тело массой m == 1 г совершает затухающие колебания
с частотой со = 3,14 сек. В течение времени t = 50 сек тело поте-
потеряло 80% своей энергии. Определите коэффициент затухания;
коэффициент сопротивления среды; добротность системы.
298. Тело массой т = 0,01 кг, совершавшее свободные колеба-
колебания с частотой со0 =100 сек'1, перенесено в среду с большим коэф-
коэффициентом затухания, в результате чего амплитуда за период умень-
уменьшилась в 4 раза. Определите: на сколько процентов частота свобод-
свободных колебаний больше, чем затухающих; коэффициент сопротив-
сопротивления среды; добротность системы; коэффициент сопротивления,
при котором колебания прекратятся.
299. Уравнение х = 0,3 e~°>2t cos Ы см описывает смещение ко-
колеблющейся материальной точки. Определите моменты времени, в ко-
которые смещение максимально; путь, пройденный материальной
точкой до остановки; добротность колебательной системы.
300. Предположим, что опыт Фуко решили проделать на полюсе
g математическим маятником длиной 9,8 м. Во время опыта хотят
заметить поворот плоскости колебаний маятника на 4°, при умень-
уменьшении амплитуды колебаний в два раза. Определите добротность
маятника, пригодного для этого опыта. Во сколько раз уменьшится
амплитуда колебаний маятника через час после начала опыта?
101

301. Тело массой 10 г совершает затухающие колебания, опи-
описываемые уравнением
х= \0e~6t cos 10,5 nt см.
На тело начала действовать внешняя периодическая сила, и колеба-
колебания стали описываться уравнением
х — 5 cos A0 nt + ф) см.
Определите циклическую частоту свободных колебаний; разность
фаз между действующей силой и смещением; уравнение внешней
периодической силы.
302. Груз массой 0,1 кг подвешен на пружине с коэффициентом
жесткости 10 н/м. На груз действует вынуждающая сила, описы-
описываемая уравнением F = 2 cos 8^ н. Коэффициент затухания а =
= 0,5 сек. Определите уравнение смещения установившихся вы-
вынужденных колебаний; время установления колебаний.
303. Под действием внешней силы F = F m cos at материальная
точка совершает вынужденные колебания, описываемые уравнени-
уравнением х =Xmcos (со/' + ф). Определите работу силы за период колеба-
колебания; работу силы за период колебания при со — со0 и при со <^ со0,
если со0 — частота свободных колебаний материальной точки.
304. Материальная точка массой 0,1 кг имеет период свободных
колебаний То = 0,5 сек. На тело действуют силы Fi= 10 ~2 cos со/«
и F2 =—0,14 х н(х — смещение от положения равновесия). При
этом наблюдается резонанс смещения. Определите частоту вынуж-
вынуждающей силы; уравнение смещения при резонансе, амплитуду силы
сопротивления; добротность системы.
305. Амплитуды скорости при циклических частотах вынуждаю-
вынуждающей силы o>i= 200 сек и со2 =300 сек'1 равны между собой и рав-
равны половине максимальной скорости, наблюдаемой при резонансе.
Считая, что амплитуда вынуждающей силы остается постоянной,
определите частоту вынуждающей силы при резонансе скорости;
коэффициент затухания; изменение резонансной скорости при
уменьшении коэффициента затухания в 2 раза.
§ 12. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ. АКУСТИКА
1. Плоская бегущая волна смещений описывается уравнением
\
где v — скорость распространения волнового движейия, ?0 — сме-
смещение от положения равновесия, х— расстояние от источника коле-
колебаний.
2. Стоячая во^на смещения описывается уравнением
I = 2?0 cos —— sin со/.
л
Ю2

3. Плотность потока энергии волны
где р — плотность среды.
4. Скорость распространения продольных волн в тонких стерж-
стержнях
где Е — модуль Юнга, р -<- плотность среды.
5. Скорость распространения поперечных волн в струне
где F — сила натяжения, S — площадь поперечного сечения, р —
плотность струны.
6. Амплитуда звукового давления
Др = ру(со?о) = pvv0,
где vQ — амплитуда скорости частиц среды.
7. Уровень интенсивности звука
L* = 10 lg— C6),
'о
где /0*= Ю~12 вт/м2—интенсивность, условно принятая за нуле-
нулевой уровень.
8. Уровень громкости
L= 101g~--20 1g-^- (фон),
где Др — амплитуда звукового давления, Др0 — амплитуда звуко-
звукового давления на пороге слышимости для данной частоты.
9. Уровень громкости звука зависит от уровня его интенсив-
интенсивности и частоты. Эта зависимость изображена графически на ри-
рисунке 89. На графике по горизонтальной оси отложены логарифмы
частот (сами частоты указаны под соответствующими им логариф-
логарифмами), каждая кривая на графике соответствует определенному
уровню громкости.
10. Частота звука, воспринимаемого наблюдателем (эффект Доп-
плера)
—и
103

50
100 500
Частота^ гц
Рис. 89
где с — скорость звука в среде, v — скорость наблюдателя относи-
относительно среды (v > 0, если наблюдатель приближается к источнику),
и — скорость источника звука относительно среды (и > 0, если
источник приближается к наблюдателю).
ВОПРОСЫ
1. Плоская бегущая волна смещений описывается уравнением
I = lQ cos (at — х ] см.
Запишите уравнение волны скоростей и давлений.
2. Уравнение смещения точечного источника колебаний имеет
вид
1 — lQ COS (i)t
Не учитывая поглощения энергии средой, запишите уравнение
смещения частиц среды, в которой распространяются колебания в за-
зависимости от расстояния х до источника. Во сколько раз уменьшит-
уменьшится интенсивность принимаемых сигналов от этого источника, если
расстояние от него до приемника увеличится в 2 раза?
3. Где человек слышит более громкий звук: в пучности или в
узле смещения стоячей волры?
104

4. Какой камертон звучит дольше: закрепленный в тисках или
стоящий на резонаторном ящике?
5. Звук при прохождении через стену ослабляется по амплиту-
амплитуде давления в 103 раз. Во сколько раз уменьшится при этом интен-
интенсивность звука? На сколько децибелл изменится уровень интенсив-
интенсивности?
6. Какое влияние оказывает на акустический эффект Допплера:
1) ветер, дующий перпендикулярно прямой, соединяющей источник
звука с наблюдателем; 2) ветер, дующий вдоль прямой, соединяю-
соединяющей источник звука с наблюдателем.
Примеры решения задач
306. Звуки, дошедшие до наблюдателя от двух небольших по
размерам источников, работающих на разной частоте (v4= 70 гц
и v2= 1000 гц) на расстоянии ri— 10 ж, имеют одинаковый уровень
громкости Lt= 10 фон. Пренебрегая поглощением энергии возду-
воздухом, определите для каждого звука на расстоянии г2= 3,16 ж от
источника: уровень громкости; уровень интенсивности; интенсив-
интенсивность.
Решение.
Дано: L4= 10 фон
гх = 10 м
г2 =3,16 м
___ ^ ^ ^
Так как по условию задачи среда (воздух) энергии не поглощает,
-то через любой волновой фронт в единицу времени от каждого из
источников проходит одинаковая энергия, а так как размеры источ-
источника малы, то волновой фронт сферический. Следовательно, если
/4— интенсивность звука одной частоты на расстоянии г4, /2— ин-
интенсивность звука этой же частоты на расстоянии гъ то
It 4пгх2= I24nr22.
Откуда
h r2
Уровень громкости на расстоянии гх равен Li= 10 lgA-Js а на
о
расстоянии г2 — L2= 10 lg -~2-, где /0 — интенсивность иа пороге
'о
слышимости для звука данной частоты.
Учитывая соотношение A), получим
(В)
105

Уравнение B) показывает, что два звука разной частоты, имеющие
одинаковый уровень громкости на одном расстоянии от источника,
имеют одинаковый уровень громкости и на другом расстоянии
L2= 10 + 20 lg 3,16 - 20 фон.
По диаграмме рисунка 89 уровень интенсивности для частоты
70 гц Lt*= 60 дб, для частоты 1000 гц L2* = 20 дб. Для частоты
1000 гц уровень громкости в фонах численно равен уровню интен-
интенсивности в децибеллах.
Интенсивность звука равна
/ = |^, C)
2 ру
где pv = 428 я • сек/мв— акустическое сопротивление воздуха
при нормальных условиях, Ар — амплитуда акустического дав-
давления. По диаграмме рисунка 89 при уровне громкости 20 фон
амплитуда звукового давления для частоты 70 гц ^ 2 • 10~2 я/ж2,
а для частоты 1000 гц « 2 • 10~4 я/ж2. По формуле C)
для частоты 70 гц 1г= 4,6 • Ю вт/м2,
для частоты 1000 гц /2= 4,6 • 10~и вт/м2.
Интенсивность звука частотой v4= 70 гц при одинаковом уровне
громкости 20 фон в 104 р'аз больше интенсивности звука частотой
v2= ЮОО гц.
Решите задачи, пользуясь указаниями
307. Звуковая волна распространяется по узкой цилиндричес-
цилиндрической трубе длиной 10 ж. Уровень интенсивности звука у начала тру-
трубы Li*= 10 дб. Коэффициент поглощения звука в среде р —
= 4 • 10~3 м. Определите уровень интенсивности звука у дру-
другого конца трубы.
Указания. 1. Вспомните, от каких величин, характеризующих
волну, зависит уровень ийтенсивности L2*.
2. Запишите разность уровней интенсивностей у начала и кон-
конца трубы. (Она зависит от отношения интенсивностей.)
3. Установите причину изменения интенсивностей (изменение
поверхности волнового фронта, поглощение энергии средой). За-
Запишите аналитическое выражение, определяющее отношение ин-
интенсивностей как функцию расстояния и коэффициента поглоще-
поглощения.
4. Вернитесь к уравнению, определяющему разность уровней
интенсивностей, и, используя найденное в предыдущем указании,
решите уравнение относительно L2*.
106

308. Высокий вертикальный цилиндр, заполненный водой, око-
около дна имеет кран. Над цилиндром помещают концы ножек камер-
камертона, частота колебаний которого 440 гц, и открывают кран. Раз*-
ность уровней воды по вертикали, при которых происходит усиле-
усиление звучания камертона, равна 39 см. Определите скорость рас-
распространения звука в воздухе. Почему происходит усиление
звука?
Указания. 1. Установив причину усиления звука, свяжите
частоту колебаний воздушного столба с частотой колебаний камер-
камертона.
2. Используя граничные условия для волны, установившейся в
воздушном столбе, свяжите длину волны в воздухе с разностью
уровней воды.
3. Выразите скорость распространения колебаний в воздухе
через длину волны и частоту колебаний.
Задачи для самостоятельного решения
309. В упругой среде слева направо распространяется волна.
На рисунке 90 изображено смещение от положения равновесия
частицы среды с координатой л: в зависимости от времени. Начертите
графики, показывающие смещение частиц, начиная с этого же мо-
момента времени, если координаты частиц х -\ , х -\ , х + — X .
310. В упругой среде в направлении оси X распространяется
волна. На рисунке 91 изображено смещение I частиц среды из
положения равновесия как функция координат частиц х в некото-
Рис. 90
Рис. 91
107

\—, ui Sii \J тографии, показывающие
Рис 92 смещение этих же частиц
через t0 + X, t0 +L, to+
+ — Покажите на полученных графиках области, в которых име-
ется максимальная потенциальная и кинетическая энергии. Пока-
Покажите направления скоростей частиц в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 в
случае продольной и поперечной волны.
311. Скорость звука в воде 1450 м1сек. Источник колебаний,
находящийся в воде, имеет частоту 200 гц. Определите длину зву-
звуковой волны в воде; расстояние между ближайшими точками, совер-
совершающими колебания в противоположных фазах; разность фаз двух
точек, находящихся на расстоянии 1 м.
312. Механические колебания частотой 400 гц и амплитудой
смещения |0 = 0,25 мм распространяются в воздухе при темпера-
температуре 0° С вдоль цилиндрической трубы. Определите уравнение вол-
волны смещения; длину волны; максимальную скорость частиц возду-
воздуха; среднюю плотность энергии; плотность потока энергии.
313. Смещение материальной точки, находящейся в воздухе,
описывается уравнением \ = 2 cos 2nt см. Считая среду, в которой
распространяются колебания, безграничной и не поглощающей
энергии, определите смещение от положения равновесия точки сре-
среды, находящейся на расстоянии 40 м от источника, через 1 сек пос-
после начала колебаний; разность фаз между источником волн и этой
точкой среды; отношение интенсивностей волн на расстояниях 10 м
и 40 ж от источника колебаний.
314. Амплитуда колебаний скорости в волне v0 — 1,38 м/секу
амплитуда колебаний смещения в волне ?0 = 5 • 10~4 м. Плоская
акустическая волна распространяется в воде. Определите частоту
колебаний; смещение точки, отстоящей от источника колебаний на
расстоянии х = — через t = — после начала колебаний; уравне-
уравнение волны смещения; уравнение волны скорости; уравнение волны
давления.
315. Интенсивность волны на расстоянии г%= 20 м от источника
небольших размеров /^З-10" гдж/м2-сек. Коэффициент поглоще-
поглощения в среде р = 4 • 10~3 м. Определите интенсивность волны на
расстоянии г2= 120 ж от источника; мощность источника.
316. Два точечных когерентных источника колебаний находятся
на расстоянии / в узкой трубе, заполненной воздухом (рис. 92), и
имеют уравнение смещения
Z = AQ sin со/.
1Q8
рый момент времени tQ.
Начертите мгновенные 6о-

Определите уравнение смещения точки Л, лежащей на прямой,
соединяющей источники, на расстоянии d от источника S2; уравне-
уравнение смещения точки В, лежащей на прямой, соединяющей источни-
источники, на расстоянии d от источника Si. Рассмотрите случаи, когда
/ = —; / > — (к — длина волны в воздухе).
317. Волны равные по интенсивности и частоте распространя-
распространяются одна в воде, другая — в воздухе. Определите отношение ам-
амплитуд давления волн; отношение амплитуд смещения этих волн.
318. Плоская бегущая волна имеет длину 0,16 м. Определите
положение двух ближайших к отражающей поверхности узлов и
пучностей смещения волны, если: отражение происходит от менее
плотной среды; от более плотной среды.
319. Смещение отдельных точек среды, имеющих координату
(измеренную в м), определяется уравнением:
I = 2 cos — sin 110,7 nt мм.
о
Определите координаты точек, имеющих максимальную и минималь-
минимальную скорости, если начало координат совпадает с пучностью смеще-
смещения; длину волны; уравнения бегущих волн, определяющих про-
процесс в среде.
320. На какие частоты будет резонировать труба длиной 1,6 м
при температуре 0° С, заполненная воздухом, если: труба открыта
на концах; закрыта с одного конца.
321. Камертон имеет основную частоту колебаний 440 гц. Тем-
Температура в комнате 20° С. Определите положение узлов и пучностей
смещения на камертоне; длину резонансного ящика.
ЗЙ2. В цилиндрической открытой с одного конца трубе возбуж-
возбуждаются колебания, соответствующие второй гармонике. Запишите
уравнения волны смещения, скорости и давления. Покажите графи-
графически распределения амплитуд смещения, скорости и давления для
т
двух моментов времени, отличающихся на —. Покажите на графиках
4
области, в которых имеется максимальная потенциальная и кинети-
кинетическая энергии.
323. Латунный цилиндрический стержень, закрепленный посе-
посередине, имеет длину 1 м. При трении возникают продольные коле-
колебания, основная частота которых 1740 гц. Определите скорость
звука в стержне; модуль упругости латуни.
324. Один конец струны при-
соединили к ножке электрического
камертона, другой перекинули че-
через неподвижный блок и подве-
подвесили к нему груз (рис. 93). Ча-
Частота колебаний камертона 50 гц.
На горизонтальном участке стру-
струны длиной / = 0,91 м и площадью Рис. 93
109

поперечного сечения S = 2 мм2 при грузе Р = 36 н возникают
4 узла смещения (не считая точку А). Определите массу единицы
длины струны; величину груза, при котором установится наимень-
наименьшее число пучностей.
325. Между полюсами электромагнита натянута струна длиной
/ = 1 м и диаметром d = 1 мм. По струне пропускают переменный
ток частотой v = 50 гц. При натяжении струны силой F = 2,8 н
на ней устанавливается пять полуволн. Определите плотность ма-
материала струны.
326. При определении скорости звука в твердых стержнях мето-
методом стоячей волны (методом Кундта) исследуемый стержень зажи-
зажимают посередине, а один из его концов, оканчивающийся порш-
поршнем, помещают в стеклянную трубку. Возбуждая трением продоль-
продольные волны в стержне и меняя длину воздушного столба, в трубке
добиваются резонанса, в результате чего в трубе, где насыпаны проб-
пробковые опилки, получают устойчивую картину стоячих волн (рис. 94).
В одном из опытов при длине стержня I = 80 см длина полуволны
в воздухе оказалась равной 8 см. Температура воздуха 18° С. Оп-
Определите скорость звука в стержне; для каких наибольших частот
применим этот метод, если считать, что наименьшее различимое
расстояние между пучностями в воздухе приблизительно равно
5 мм.
327. При натяжении стальной струны силой 121 н струна с ка-
камертоном дает 10 биений в секунду. При увеличении силы натяже-
натяжения на 6н струна настраивается в унисон с камертоном. Определите
частоту колебаний камертона; максимальную частоту основного
тона струны.
328. В воздухе при температуре 0° С распространяется плоская
акустическая волна. Смещение точек волны описывается уравне-
уравнением
I = 0,005 sin A256/ — 3,8*) см
(t — в сек). Определите длину волны; амплитуду колебаний ско-
скорости молекул воздуха; интенсивность волны; амплитуду звуково-
звукового давления на пороге слышимости.
329. На расстоянии 100 м от точечного источника звука, нахо-
находящегося в воздухе, амплитуда звукового давления волны равна
0,2 я/ж2. Частота колебаний источника 500 гц. Не учитывая Погло-
Поглощения среды, определите мощность источника; урбвень громкости;
расстояние, на котором звук не слышен.
110

330. Интенсивность звука, распространяющегося в сухом воз-
воздухе, при температуре 0° С равна №~~2вт/м2. Частота звука 1400 гц.
Определите уровень интенсивности и уровень громкости; амплитуду
звукового давления; амплитуду скорости молекул воздуха.
331. Уровень интенсивности шума мотора 70 дб. Определите
уровень интенсивности при одновременной работе в одном месте двух
моторов; во сколько раз уменьшится интенсивность звука, если
уровень интенсивности шума мотора уменьшится в 2 раза.
332. На расстоянии 5 ж от источника звука, размеры которого
малы, уровень интенсивности звука частотой 103 гц равен 10 дб.
Звук распространяется в воздухе при температуре 18°С. Пренеб-
Пренебрегая поглощением энергии воздухом, определите мощность источ-
источника; уровень интенсивности звука на расстоянии 2 м; расстояние,
на котором звук не слышен.
333. Свисток, издающий звук частотой 540 гц, вращается по
кругу радиуса 0,8 м с угловой скоростью 15 сек. Звук распростра-
распространяется в воздухе при температуре 0°С. Определите граничные
частоты, слышимые неподвижным наблюдателем на большом рас-
расстоянии от свистка.
334. Подводная лодка, движущаяся со скоростью v= 15 м/сек,
посылает ультразвуковой сигнал частотой 40 кгц по направлению
движения. Сигнал, отразившись в воде от неподвижного препят-
препятствия, возвращается обратно. Определите разность частот приня-
принятого и посланного сигнала.
335. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого кате-
катера, движущегося со скоростью v = 10 м/сек, посылается ультра-
ультразвуковой сигнал частотой vi= 50 кгц, который распространяется
в воде. Сигнал после отражения от второго катера принят на первом
катере с частотой v2= 52 кгц. Определите скорость движения вто-
второго катера.
336. Электропоезд проходит мимо наблюдателя со скоростью
v = 72 км/ч и дает гудок, частота которого v = 300 гц. Температу-
Температура воздуха 18°С. Определите скачок частоты, воспринимаемой наб-
наблюдателем.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Единицы измерения механических величин
Наименование
величины
Длина
Масса
Время
Скорость
Ускорение
Частота
Угловая ско-
скорость
Угловое уско-
ускорение
Сила
Давление
(напряжение)
Плотность
Импульс
Работа, энергия
Мощность
Момент силы
Момент инерции
Момент импуль-
импульса
Определя-
Определяющее урав-
уравнение
—
—
—
S
At;
а = —
М
'=1
Ф
со — -L
Дсо
F = та
F
т
р = mv
А = F • s
М = F-r
1= тг2
1 = /со
Единицы измерения
СИ
М
кг
сек
м/сек
м/сек2
гц
рад/сек
рад/сек2
н
н/м2
кг/м3
кг • м/сек
дж
вт
н • м
кг • м2
н • м • сек
сгс
г
сек
см/сек
см/сек2
гц
рад/сек
рад/сек2
дн
дн/см2
г/см3
г • см/сек
эрг
эрг/сек
дн . см
г • см2
дН'СМ'Сек
Размер-
Размерность (СИ)
м • сек-1
м • сек~2
сек'1
сек~1
сек~2
кг-м- сек~2
кгм~гсек~2
кг м~3
кг-м-сек-1
кг-м2- сек2
кг • м2 X
X сек~3
кг • м2Х
X сек-2
кг • м2
кг- м*Х
X сек-1
Коэффициент для приве-
приведения к единицам СИ еди-
единиц системы СГС и внеси-
внесистемных единиц
1 см = Ю-2 м
1 г = Ю-3 кг
1 см /сек == Ю-2 м/сек
1 сж/шс2 = Ю-2 м/сек2
1 дя = 10-5 н
1 /сГ = 9,8 н
1 dw/сж2 = \бар= Ю-5
«/ж2
1ятж=1,013-105я/м2=
= 760 мм рт. ст.
1 г/см*= 103кг/м3
1 г- см/сек — 10 5/сг X
X м/сек
1 зрг = Ю-7 дж =
=2,39 • Ю8 кал
1 5б= 1,602-Ю-19 а^с
1 эрг/сек = 10~7 в/п
1 л. с. = 735,5 вт
1 дя- еж = 10~7 н - ж
1 8-см2 = Ю-7 л^ . ж2
1 д« • еж • сек = 10~7
«• ж • сек;
112

II. Основные физические константы
(Значения округлены до 3-х значащих цифр; в скобках указано, до какого
знака измерена или вычислена величина.)
Скорость света (вакуум)
с = 3,00- 108—.
сек
Гравитационная постоянная
V = 6,67 . 10-11—— .
кг • сек*
Ускорение свободного падения для широты 45^
gsBt 9,81 —.
s сек2
Элементарный заряд электрона
е= 1,60 -Ю-19 к
Удельный заряд электрона
— = 1,76- 1011—.
т кг
Масса покоящегося электрона
т., = 9,11 . Ю-31 кг.
Масса протона
тр= 1,67 . Ю-2? кг.
Масса нейтрона
тп= 1,68 • Ю-27 кг.
III. Астрономические величины
F)
D)
F)
F)
E)
E)
Солнце
Земля
Луна
Венера
Марс
Масса (кг)
1,97 • Ю80
5,976 . 1024
7,35 . 10м
4,86 . 102*
0,646 • 102*
Среднее расстояние:
от Земли до Солнца — 150 • 109 м
от Венеры до Солнца —108 • 109 м
от Марса до Солнца —228 • 109 м
бт Земли до Луны — Ш • 106 м
Один световой год =» 9,46 • 1015 м
Один парсек = 3,26 свет, годам = 3,08 • 101* м
Средний радиус (м)
696 . 10«
637 • 10*
172,2 • 10*
605 • 10*
336 • 10*
113

IV. Плотности
а) Газы при нормальных условиях
Воздух . . .
Углекислый газ
1,293 кг/м3 Кислород 1,429 кг/м3
1,977 » Водород 0,08988 »
б) Жидкости
Бензол .
Керосин
Скипидар
. 0,88 • 103 кг/м3
0,80 • 103 кг/м3
0,85 • 103 кг/м3
Спирт . • .
Ртуть . . .
Эфир B0° С)
. 0,79 • 103 кг/м3
. 13,6 • 103 кг/м3
0,714 • 103 кг/м3
в) Твердые вещества
Висмут . ¦ . .
Вольфрам . . .
Гуммигут . .
Железо (сталь)
Лед
. . 9,7 • 103 кг/м3
. 19,0 . 103 »
. 1,2 • 103 »
. 7,8 • 103 »
.0,917 • 103 »
Медь 8,9 • Ю3 кг/м*
Натрий хлористый . . 2,17 • 103 »
Никель 8,8 • 103 »
Свинец 11,3 • 103 »
Цинк 7,0 • 103 »
V. Моменты инерции
Тело массы М
Однородный тонкий
стержень длины /
Прямоугольная
пластинка, стороны ко-
которой а и Ъ
Сплошной цилиндр
радиуса г и длины /
Полый цилиндр, где
/?.-— внешний радиус,
г — внутренний ра-
радиус , / — длина
Сплошной шар ра-
радиуса г
Как проходит ось вращения
Через центр массы,
перпендикулярно длине
Через центр массы,
перпендикулярно плос-
плоскости
Через центр массы, па-
параллельно стороне Ь
По оси цилиндра
Через центр массы, пер-
перпендикулярно оси ци-
цилиндра
По оси цилиндра
Через центр массы,
перпендикулярно оси ци-
цилиндра
Через центр
Момент инерции тела
Ml2
12
12
12
»i
«(?+т)
i-M(#2_r2)
\12 т 4 )
тМг3
О
114

VI. Упругие постоянные
Название
материала
Сталь
Железо
Медь
Свинец
Стекло
Модуль Юнга,
Е, н/м2
19,6 • 10Ю
19,6 • 10Ю
11,7 • 10Ю
16,7 • 10»
4,2 • 10Ю
Модуль сдвига,
н/м2
7,8 • 1010
7,8 • 10Ю
4,4 • 10Ю
5,5 • 10-9
3 • 10 ю
Коэффициент
Пуассона -
0,25 — 0,33
0,29
0,34
0,44
0,17—0,32
Предел упруго-
упругости, н/м2 (пре-
(предел пропорцио-
пропорциональности)
2,16 • 108
3,1 . Ю8
4,9 . Ю7
2,46 • 10е
Предел
прочности.
н/мг
2,4 • 107
2,0 . Ю7
3,0 • Ю7
VII
Вещество
. Скорость звука
Температура.
СС
Газы
Воздух
Водород
Кислород
0°-
18°-
0°-
Жидкости
Вода
Вода морская
Спирт
20°-
20°-
8,4°^
Твердые тела
Алюминий
Железо литое
Латунь
Медь
Сталь
Скорость .звука,
м/сек
332
1800
317
1410
1540
1260
5100
4300
3650
3970
5000

ОТВЕТЫ.
4. Я = 30,6 ж; t = 2,5 шс; о= 24,5 ж/се/с. 5. г)= = 1,59 • 10-яшг2;
7 ' 4я/г#2
at = 1,59-10~3 ж/се/с2; an= 16^8/y =* l0~2 И|/шс2; a= ^ an + a?== 1'01x
ХЮ~2 м/сек2. 6. На круге видно четыре неподвижных размытых темных
сектора, каждый около 67*. Секторы кажутся вращающимися в сторону, проти-
противоположную вращению диска с п — 0,5 сек'1. 7. (рис. 95). 8. (рис. 96). 9. /х=
= 18 се/с; ?2 = 40,5 сек; s = 450 ж (рис. 97). 10. у = @,5 + 2/) м/сек; а =
=2 jw/ce/c2; iw= 3,5 ж/се/с; s = 9,5 ж (рис. 98). 11. а = 6м/сек2; vx= 22м/сек;
v2 = 2,44 м/сек; s = 0,5 м (рис. 99). 12. v = 3* — 0,75 /2; a = 3 — 1,5 ? s =
= 6,75 м (рис. 100). 13. t = 21 се/с; a = 1,725 м/сек2; v = 36,3 м/сек. 14. ир =
= 0,104 м/сек. 15. /х= 200 сек; s^ 224 ж; ^2= 200 сек; s2 = 316 ж. 16. Я =
=2940 ж; у = 240 ж/се/с; (рис. 101). 17. vQ == 7 ж/се/с; равномерное; As = 14 ж.
48. t» = 1,2 ж/се/с; а = 1,6 ж/се/с2; s = 0,9 ж; a == 9°24' (рис. 102). 19. Я =
=1,225 ж; ьн=\0м/сек; vK= 11,1 ж /се/с; у = — ^~*2; a = ПО6'; % = 9,6 ж/се/с2;
at = 1,89 ж/се/с2; ^ =10,8 ж; вертикальная прямая. 20. -1-= 1,03; — ==» 1;
— = 1,16. 21. v0 = 20,2 ж/се/с; a = 76°30'; 1,19 ж; т == 0,49 се/с. 22. В точке
наивысшего подъема; a = 76°. 23. vQ = 2y gH = 19,8 м/сек; v = 14,6 ж/се/с; an =
= 9,4 ж/се/с2; at =2,83 ж/се/с2; /?х= 22,5 ж; s = 19,7 ж; * = 2,83 сек; у = 0,995 jc —
— 0,025 х2; вертикальная прямая. 24. s = 5^2 ж; у = 10^ ж/се/с; a = 10 м/сек2;
прямолинейно; прямая. 25. Н = 2,57 ж; /? = 5,42 ж; ЯтаЛ- « 3 ж. 26. у =
«=1,72* — 7,8 • Ю-6*2; у0 = 496 ж/се/с; a = ^ =- 9,8 ж/се/с2; НтаХ = 9250 ж;
s = 2,01 • 10б ж; /?! = 4,95 • 10* ж; Я2 = 6250 ж. 27. у0 = 10 м/сек; а = g ==»
= 9,8 ж/се/с2; at = 8,5 ж/се/с2 ; art = 4,9 ж/се/с2; t = 1,77 се/с. 28. s = 4 ж; w =
= 5 м/сек; ах = 4 м/сек2; ап = 12,5 м/сек2; а— 13,1 м/сек2; х± = —0,83ж; ух =
=1,82 ж. 29. — = 2; /13 == 6 ж. 30. 278 < * < 3000 ж. 31. a « 57?; ^ «
= 1,065 се/с. 32. Центр массы перемещается по дуге окружности радиусом
R = 14,25 ж; иц.м = 4,75 ж/се/с; ац.м = 1,58 ж/ се/с2. 33. ц = 0,2256 се/с^2; /г2 =
= 7,16 об; % = 3,16 об. 34. и = —— = 128 м/сек. 35. &min = 104,5 се/с;
116

Рис, 98
Рис. 99
Рис. 10Э
Рис. 101
Рис. 102
117

вращающимся против часовой стрелки со = 42 сек'1. 36. г) = 0,4 сек~2\ п =
= 114об; v = 24 ж/шс; а « 88°34'. 37. ал = 12,5 ж/шс2; ат = 0,4 м/сек2; со =
= 2,5 сек-1; ц = 0,2 селг2; п = 2,5 об; / = 12,5 сек; Архимедова спираль.
38. а « 63°30'; s = 0,62 /2 ж; # = 0,62 ж. 39. а = 0,112 жДж2; ап =
= 0,628 ж/атс2; а = 49 36'; л w 4. 40. со = 2 — б/2; и = Д B — б/2); г) =-
= —12/; а=2Я/1 + 30/2 + 9/4 ; R = 0,41 ж. 41. со = 0,66 сек-1; -^^ = 4,13.
42. и. = 0; ив = 2v0 — 10 ж/се/с; vQ = vD = ^ |/2"= 7,05 л*/<ж; а == — =
А
= 0,5 м/сек2; со == 1 шс'1; v^ = t>0}^3~ ~ 8,65 ж/шс; дуга окружности радиу-
радиуса R, проведенная из т. Л; у == R A — cos -f~ /); л; = а0/ — R sin — /.
\ R / R
43. При касании с землей v± = 0, при наибольшем удалении v2 = 2 A+5/) м/сек;
а = 30,9 ж/шс2; т] = 12,5 свят2; л = 4,8 об. 44. Хтадг == 3 см; vmax=9,42 см/сек;
атах = 29,58 см/сек2; Т — 2 сек (рис. 103). 45. х = 5cos— /еж; vmax=mXni=i
= 7 fib см/сек;
49,3
t = --ceK. 46. Г=12 се/с; дс=
о
:» ята^=02Хт=2,74сж/се/с2; v=4,5cM/ceK;
а= — 1,37 см/сек2. 47. у2 = 7 sin D0/ + 0,467я) см; у =** 9 sin D0/ +
х2 у2
+0,282я) еж. 48. — + ~г = 1; v = 0,3 ж/се/с; а = 0,9 ж/се/с2; равномерное
100 1UU
х2 у2
движение по окружности г — 10 см против часовой стрелки. 49. — +— = 1;
У2 = ЮО + 300 cos22/; v = 0,137 м/сек; vmax = 0,20 м/сек; vmax при х = 0,
у = 5 см; vmin при у = 0, х = 10 еж. 53. а = — A —sin а —jli cos а) = 2,2 м/сек2;
4 R
F = 2 m (g — a) cos а = 65,7 я. 54. 2,17 м/сек. 55. На расстоянии от цен-
3 л
t t
тра диска. 56. F= 400 я. 57. F= 2я; v= \ a dt=200 м/сек; s= Г (З/2—10/) d/ =
о о
= 500 ж; (рис. 104). 58. m =
F -t2
Л 1
а
и
->>
\
1
1
> /
\
/
/
/
1
Ч
У
/ \
1 \
1 у
-. if
Л-
N t
\
\
\
\
59. Nx = m (gr + a) = 1039 я; /V2 =
= 980 «; N3=m(g — a)= 921 w.
рис. юз
T=m1(g — a) =1,9 я; Fg = 3,8 я,
/ a2 \
61. F = P 1 — —- J = 62 w; Г =
= у = 31 я; mi - 1,85 кг; m2 -
118

8,15 кг. 62. a1 = a
-2M/ce^F
4m1m2g — (mf
UceK)
Рис. 104
_(ma--m1)(g + fl)
m1+m2
1 + m2)
6 м/сек2; а2 —а —
63. Г =
{т2—т1) (g+a)
mL -f- m2
¦= 2,14 «; а, =
• = 0,091g; я2 =
/7Z^ (/72^ -f- 3/7t2)
1,78 ж; ДЛ = ^ =0,445 ж. 64. fll = 0,57 g; a2 = -- 0,07 g; /Tp - m (g —
2 —5ix
a) = 4,22 «; /1Tp = 4,91 «. 65. Г =F
tn1
¦ = 48 н. 66. a =
2,1 л(/шс2;
= 0,314 mg; -S=4;
= Vo
= 2,24 mg. 67. у =
=4,35м. 68. F =
v\ sin a
sina + jicosa '' ' 2^(jxcosa + sin a)
sbb (M + m) a + 2|xmg = 15,3 я; T = m (a —ji^)=7,35 я.69. й2=0,0168^ (вер-
(вертикально вверх); 7\ « 1,5 я; Г2^ 3 «. 70. F > (/% + w2) (fxx + (дя)^ > 22 н.
71. м-1 = !^2 Н ^ • "Г: «0,3. 72. a = cos a g (sin a — ficos a) =•
x + m2 fig cos a
=¦ 0,357 g;
74. /? =
F — mg
", a = 6°. 73. 0 = l/ :—-^ = 4
jx (^ +/ sin a) _
tga
-=20,4 jk. 75. /?=
от верхнего конца стержня уменьшится в 4 раза; (Л =
•+ /? =17,15 ле.
0,13 м. 76. Расстояние
со2/ sin ф + g cos ф
If sin ф—со2 / sin ф cos ф*
'9. ah
= 30,2 раз. 78. vt=*
mg m I/O
77. v = -^ == 4,6 дс/се»с; t=——= 0,46 се/с; Л== Hi
г г v
mv m t m \ m
.__ . s— — }п (rvf -\- т)\ г = — =5 кг/м; t = =2 сек.
rvt -\- tn r s a г
79. г= —•= 32/сг/ж;
a±
= 0,81 сек.
80.
¦= —0,112дл*,у0 = —0,112 дм (начало координат в центре большого диска, осилен
2 4,1,1
у проходят через центры вырезов). 81. хо=-- h; у0 = — h; x = -*-h\ у =-rh.
У У ^ о л
119

4 R —
82. На биссектрисе прямого угла на расстоянии * = У 2 от вершины.
3 я
83. х0 ¦¦ 4553 км (от центра Земли). 84. /= — х —— = 2 м. 85. и. =
т2
Л Л , « , (Л4 + w) и — т (у + и cos a)
= 0,3 м/сек; v2 = 2,7 м/сек. 86. ^ = - ! ^—^ ¦ -=4,37л*/се/с;
М
= 5,6 м/сеК.
. 87. . - L- (^F~^?) ~ = 16 м. 88. , -
— 40 лс/свк; — « 35. 89. s = 2,6 • 103 км. 90. v =u In —^ gt =
Sl m0 — ^8
e= 1,2 лс/св/с; /n «= —- +~ = 3,12 шс. 91. m2 = * 375 кг; а== —
— —^—r + g= 1,4 л/се/с2; ят<^ = — И ж/се/с2; / = *0 + — = 15 сек.
Щ — V* 8
•2. t^mojr = 2,5 g/0 In 0,25 /0 « 4050 м/сек; F = 2 mogr = 2 • 104 «. 97. Fc =
1385 te; у =
[ + (H + ) 1= 5,5 • 10* я# 98> л « _ /: л ctg а =_ 1385
—[ictg а — 0,2 ctg а = 4,35 jm/cw. 99. F =
25 w; A=~~ [y\ — v\ |= 1875 дж. 100. Л = 8^2 + 16 t = 960 дж; Wk =
-=8^2+ 16/+8; ^k= 4 (s+1). 101. Л = 9Ш\ = 10 дж;
2t2 cos2 а
\ГП = 7,5 дж. 102. |л = -— = 0,05. 103. Л = mg — = 9,8 дне. 104. W =
3 DSgH* 1 1M3Я3
^ ? ^ — = 306,3 вт. 105. JV = No + Ту = 373,6 кет; k^
8 / 16 si2R2t3
= ~ = 2040 кг/л; /е2 = —- •= 8160 кг/м; Nx = 2940 /сет. 106. v = Т/" 2iV
i>3 У2
v3 v2 \ к
с=25 ,2 м/сек. 107. Л « 10е дж; N = 193 em. 108. Nx = 1/" m3g3 . = 314 /cem;
Г nd2p
N2 = 325 /cem. 109. Л = 2mgs sina = 104 дж. 110. F = mg (sin a +ji cos a) +
21 -, / kl
+ m—=858 н; А=-\1\%дж; №пол=1200 дж. 111. / = T/
t2 V (sina—l
(sina—p,cosa)g sin a"
66,5^/c; у = V2gh A —|a ctg a) « 14 л1/се/с; s = ~-= 200 jk. 112. tf =
г] 2 Лг
2/y sin a M> , и sin at vnm i
24 Xo6 + 1,2. 114. |i»—-^ -=0,33;
+ T2,4; o,6 +
h r Nx h (Щ
t = — = o,32 ce/c; Л = /тр • -~ = 0,064 дж. 115. \i = = ,024.
y 2 4/
120

= 3,97м/сек [а =*= — ; vo>
, L_ R i
-ш / XT ¦
= 2'84 *: *>:
¦g = 2,87 м/сек', Н
v2 sin 2a
= 3,19jm. 119. h
= •— R= 2,Ь м. 120. Нить горизонтальна: % = g; нить вертикальна: аа= 2g;
нить с вертикалью составляет угол а = 54°42' :
И1-*в-5Гх
X/21g A — cos а) = 540 м/сек. 122. h == — A — cosa) = 0,125ж; Г =
4
=3,92 «. 123. Ц7 = —— A * =190 дж. 124. а = —; v2
-—; v2 = —. 125. ut = 3,2 • 10е м/сек\ и2 = 1,2 • 106 ж/
== 4,09 X
к; и2 = 1,92 • 106м/сек. 127. »= —
(рис. 105). 128. к=Л „— 0,182 дс; о =
-= 2,73 At/cw. 129. р, = 0,125.
2uo\ h =-
' "л;
Рис. 105
vx— u\ vx — с 134. v' -
v2 -|- a2 ¦—' 2at; cos a) — u2v2 sin a
Указание. Используйте решение задачи № 133 пункт 1 или формулу сло-
сложения скоростей.
135. Г = 2,25 • 10-8 сек; s = 4,05 м. 136. v — 2,6 . 108 л*/сюс. 137. р'™ 8—.
-11--- 1,33. 138, ъ = 2,2 • Ю2 л</с^; t^ == 0,315 с; v3 « 0,089 с.
139. т{
Указание. Предварительно найдите-*- и результат используйте при
at
решении.
J21

140. Е2 =» El + Р*с*. 141. 0,19; р = 2,9 • 1(И9 ^А 142. у = 0,5 с; М
о сг/с
?Z_ в 2,2 . Ю-11 я; /^ = 0. 148. h « 22 . 10е ж; ф - — 1,42 X
X 101 дж/кг. 149. Уменьшится на 2% и 1,6% соответственно; уменьшится на
75% и 50% соответственно; gx =• 0,98 g0, g2 = 0,25 gOt где g0 — ускорение у
поверхности Земли. 150. gn = 9,83 м/сек2; #э = 9,78 м/сек2; gM = 9,8 м/сек2.
М
151. — =¦ 2,86 . 10'6. 152. Гс = 1,58 ч. 153. у х = 7,9 • 103 ж/се/с; у2- 11,2х
Мс
X Ю3 м/сек; 0л = 1,62 м/сек2; ф = —2,82 • 106 дж/кг; — = 4,7, 154. /г =»
= 2,1 • 105ж; s= 4,6 ж. 155. С запада на восток Т= 2Ач;к= 3,6 • 107 м; v =¦
= 3,0 . 105ж/шс; Г =- —9,2 . 10» джс. 156. /? = 11,8 . 103 км; — » 6,8; у0 «
« 10* Jd/ceic. 157. По гиперболе; Rc= 1,32 -Ю11 м; W = — 3,1 • 10й dw.
158.0,867. 162. fl - 3m.2+(Ц/+12) - °>23 */**'- 163- w = 4'18 ^-
164. Ix = Ю-3 «г • ж2; /a = 1,5 • Ю-3 кг • ж2; /3 = 2 • 10 /сг • ж2. 165. / =
=5,2 • Ю-4 яг • м2. 166. /= —m (i?2 + г2) = 3,4 • 10-* кг - ж2. 167. /= — m X
-& о
Db r5 j[
X — = 1,69 • Ю-3 кг . ж2. 168. / = — nR*pb — 6 я г26р @,5 г2 + г?) =
= 1,15 . 10~3 кг • ж2. 169. 1Х =* 0,334 /сг • ж2; /2 =- 0,343 кг • ж2; /3 =
=0,42 кг • ж2; /4 = 0,282 кг-м2. 170. /х = — ml2 =* 4,26 • 10 /сг . ж2; /2 =
3
= Лп/2 - 1,33 • Ю-2 кг-м\ 171. /- -^ [(tobt + пг0)*- г* ]+/»; ^-=~<ob.
12 2я3 ° dt тс
172. F - 0,04 «; М = —2 . 10~3 я- ж; * =- 2,73 св/с. 173. д= (mi
(тх + гп2) + —
m (^2 __ 2h) г2
= 1,63 ж/шс2; F = 6,71 «. 174. / = — = 1,11 • Ю"а кг • ж2.
2/i
Pt2 P
175. ф — *; а =¦ . 176. Уменьшить разновесы на
2#fo,5M+—) 0,5M+ —
= Ю,29 и.
179. F = -^^ - 9,4 «. 180. iV =-(F - mg) ^пд - 234 em. 181. Fx «
5«; F2 =^ *~т:г~ »* 5 я. 182. Шар: а = 3,5ж/се/с2; ^=» 1,51 eem t»« 5,3ж/се/с;
122

диск: а = 3,27 м/сек2, t= 1,55 сек; v = 5,07 м/сек; обруч: а = 2,45 м/сек2, t =
= 1,79 -^=_4,37 м,ш. 183. Ь = ? 184. |^2 @ = };
=2 V njr-. ^ 4уо; ¦„ = 2^2"/п7^ 185> a=1'2gsina;
,= т/з.34-4—• 186. a= l/r^h=4,8 „/«г. ,= \/Щ±4 =
f g sin a r 3 (Л4 +m) Г Mg
= 2,07 се/с. 187. Г = 3,94 /сд:ж;М = 62,8 н • м\ К = 628 я • ж • се/с. 188. /(=-
J2t2 m-,m2l2r\
= 1,35 н • ж • сек; М = х 2 ' = 2,7 • 10~2 w • л; Л =
= 16;9 а.. ,89. / = JnHM^HL^ о,56 кг. ж, 190.
| ^^ — 11 = 1,
2я/тг
33 • Ю-2 кг • м2. 191. vk = /3^/ A— cos a)
—
= 3,84 ж/се/с; иц.м = 0,5 % = 1,92 м/сек. 192. F = ml^sina—-—I = g}g я.
/ = —Bm g/ sin a~my2-2 Я) = 8,8 . 10 кг • м2. Mk = Fr — / ¦— =
у2 2/r
4 8 1,5m/?r] + ^Я sin a
=0,44 Н'М. 193. а= —g; \а = —. 194. m = -1 LJ— = 0,052 кг;
= 0,187 сек~х\ ф = 135°; co2 = 0. 200. nx = 0,51 об/се/с; п2 = 0,6 об/се/с;
^4X = 9,6 дж; А2 = 3 5iw. 201. В горизонтальной плоскости против часовой
стрелки, О)! = =9,8- \0~2сек~1', в горизонтальной плоскости по часовой стрел-
mgM g sin a — cos a g sin a + a cos a
-^—=0196cw1. 203. ii^tga;!!^ ;li=
0,196cw. 203. iitga;!!,;li2=.
/со g cos a + a sin a g cos a — a sin a
2/?
204. 1Л= =0,081. Кривая обращена выпуклостью по направлению вра-
g
щения. 205. vmax = V\igR = 14 м/сек; р ^ 21,5°; vx = 1/ gi? g a . ^ »
f 1 — [г tga
g ctg a — li
« 25 jw/ce/c. -206. / = — —2 = 0,39 м. Тело поднимается на Д/ =
(о2 1+jxctga
a ctg a — (A
s=! T""^ 1—^ 0,039 м. 207. Тележка движется налево равноускоренно; N =*
ga F J F
= г=1,13н; свободное колебание; Т=2я/ —> =0,129 се/с.
cosa V /g2 + a2
208. AF = 4у со m =- 5,8 «. 209. ^ = v ^~j- — mw2 R cos29; ^ = v ^-j- —
123

— mco2 r cos ф—2m v со cos ф; N" = mco2 r sin ф + 2muco sin ф; N^= у - ¦
— mo2 r cos ф, N"=* mco sin ф Vto^R2 cos2 ф+ 2 у2 . 210. v— —!—— »
2co cos ф
= 135 м/сек. 211. л; = yoco/2 $Щ = 3,16-10 м. 212. *= — Л© ~l/ — созф=»
= 0,138 лс; =1,78. 213. Маятник отпущен в положении наибольше-
наибольшего отклонения. Маятник получил толчок, находясь в положении равновесия,
со =- 1,28 сек-1. 215. tgф = ~ ^2 , ф = 42°. 216. Fx = F Bcosa+ cos P) —
2fi2
-?-1.2.10.«. 217.^PA + COSaVpT4^ffi^2P/tA+C°Sa).
2 / Ig
1 3
218. fi = — tg a = 0,595. 219. a » 33°40'; ц= 0,667. 220. iVA = — P; Л/с =»
= 0.565Я 221. sin a - l/-^-. 222. tg a=
V /A+Ц2) 8
(mg + P) cos (P -a) (mg + />) cos (a-ft)
= ^ T~ 5^
•223> tgф
n p
/fx2 (mx + m2) (cos a + jxx sin a) — m1 — sin a A -f
224. a; = =2,4jm. 225.
m2sina(l + ^fx2)
^ ^77 7~~- 226- r == 10,5 н\ a = 0,225. 227. p, = 0,183; /V, =
mx (AiJ + 4r-)
N% w 0,366m^. 228. tga = /(И<1 + ^ -. 232. A/i = 3,66 • 10 м.
2/ + (Л + 2гHха-ц1)
233. F= 228 н. 234. p = 1,06 • 104 я/ж2, при опускании шарика давление увели-
увеличится. 235. hB = 0,355 ж; /ik = 0,442 м. 236. тс = 207,3 г; тм =38,2 г.
nLg
237. Груз Р = —— (d2 + D2) (р —рё) — Q следует положить на расстоянии
°Т бреМа меньшего Диметра. 238. Л
g(+)(p + 9g)Q
= -tL2S^pb. 239. F= [M + '—bSp ) — gf; тележка должна двигаться так,
62, \ 3 / 2/
чтобы отверстие было ближе к передней стенке сосуда. 240. t± = 124 се/с; ^2 =
== 124 сек; /3=132 сек; /4=124 се/с. 241. у2 = — = 100 м/сек; Др = — ( v\ —
— i>J)= 5 • 106н/л«2. 242. F=~i s2 — -1- I =¦ 31 «. 243.
2
= V (^
—
244. p = ~= 258 «/ж2. 245. Л = 0,153 м. 246. Q = St S2 / o2^ o2 ¦
247 . Нужно приложить силу F = 2pg [5ХЯ — hx {St + S2)] = 0,245 н со сто-
124

роны нижнего отверстия. 248. F = Sp2?/t/2=13,3 н. 249. i>=/2g(tf-4atg а)=*
VAlo
= 0,755 jw/ce/c. 250. У] = igA/ . 251. Турбулентное движение начинается в
16:riA/is
узких частях трубы. 252. vkp
40
= 2,7 . 10~4
. 253. х
254.
. L.
. r
3
= — mo>2 /=1,5 «; 1,25. 258. AV =A —
8
- 8 • Ю-9 ж3. 259. ~ =» 4;
^-=2. 260. F => 1,28 . 10* я. 261. л = 9. 262. vmax*= Л/ «42 ж/се/с.
с v P
Л,м* 4*-7.4.ioTfc 4 = 7 <»
It VI
2,2- l(Hfc /m^=-~-=275
265.
= 0,5. 266. Энергия
^ /A/\2
?(t)w
^^- идет на нагревание груза. 267. IF = -~—= 9» дж- 268'
/сА/2
V2/2-+
«Г J
+ /A/ — A/2
+ 2A/
= 3,64 ж/сек.
271. С = — = 0,0115 я- -w/радиан; №п =-|- = 4,37 • 10 джс. 272. а
= 1,6 •
«;; 0=="
= 6,2 . 106 яМ2; у = — = 4,33 .
=/itgv= 1,6 • 10"? м. 276. Г=-2л
277. U = 120 се/с; т = 455 се/с. 278. /-\8 cos F,4 / + 0>,94 л) см; v
=-30,8 sin F,4/ + 0,94л) см/сек; а = - 197 cos F,4/ + 0,94л) - аи/се/с2; s ¦
г
_ 4Хт = 19,2 еж; Л = Г bd/ « 0.
mcoMo
279. Г=4 С?/с;
Г = 2,44 . Ю-4 дж\ ^т = 2»92;
106). 280. х = 5- Ю-3 ж; "/w =5-10 «;
*= 0,074 се/с. 281. л: == 0,174 cos 2,22/;
284.
Г == 0,689 н. 282. * = 0,03 cos 22/ м;
W = 0,02 дж; vmax = 0,66 ж/сес;
^i =—. 283.— == 0,5.
« ^ f 1 J |
285. x = 0,02 cos 4л/ ж; Fg = B0 +
+ 6,4 cos 4л/) н\ Аг = 6,32 см; груз от дос-
- cos J/2L
Рис. 106
125

ки в верхней точке будет отскакивать. 286. / =¦ = 6,6 • 10 кг • ж2.
287. — = 1: х =» 0,707 R. 288. 7\ = Т2 => Т3 =2яТ/~Н?.; 2/?. 289. At =
'2 V ё
М + т .
; Л2 = mv0
i\
k(tn+M)(M+2m)
M +2m
. 290. Тело движется к положению равновесия mx -j-kx—
к
—/mp = 0, тело движется от положения равновесия т х + kx + /mp ^ ®> коле-
колебание с частотой 1/ — и амплитудой, убывающей по арифметической прогрес-
прогрести т
4/mp Ik—iimg Г 2/тр]
сии с разностью Ах = —~ ; л== ; sn = п \1 — (/г — 1) -\.
к 4\xmg I к J
293. /а=^| 1+ j~ |==6,15 се/с; ;3= "° д" -^=17,5с»с. 294. п =
1,73 . 102; / = 2яд I/ Л. = 21,7 се/с. 295. х = 4 • 10~3 cos ^- B^+
= 2яп l/"— = 21,7
У k
4
+1) ж; спираль, скручивающаяся к центру. 296. rj = —#2ра=0,346«- сек/м2;
у
х =*= 0,05 e-^.cos 4,9 tM. 297. а = 4*,2 . 10 сек-1', г = 8,4 • 10"^ /сг . сек~\
0„ — со -, /" (In 4J
2= 3740. 298. — = 1 — 1/ 1 — — ~
* (о У (In 4L-<
Aп4J+4я2 ' /0> ]/"Aп4J+4я2""
(/ а \
arctg I — — 1
i ^- +
я
+ л I = 0,628 @,994 + п) сек, (п = 1, 2, 3, . . .); s = -^—-1-1 = 4 см;
q = — = 12,5. 300. Q = 690; k к 13. 301. 0H = 33,6 се/с; ф « — 0,4я;
f = 0,09 cos Юя / «. 302. х = 0,54 cos (8* —0 ,07 я )м\ т = 2 се/с. 303. Л = —
FXincp; Л^ — FmXmn\ Лг^О. 304. Xw==0,02 м\ а)яз7,7 се/с; д: ==
Я \ ?t»a — COi
,7^— — U; F02=0,0216 «; Q=9. 305. ш=245 ад а== !
2
U; F020,0216 «; Q9. 305. ш245 ад а ,! 7Т
2 / 2 У о
увеличится в 2 раза . 307. L*2 = 9,65 56. 308. о = 343 м/сек. 311. fc= 7,25 ж;
/ х \
3,625 ж; Аф = 0,276я. 312. g=0,26cos800яU—^z)mm\ k= 0,83ж; vmax =¦
\ 332/
= 0,628 ж/сг/с; ш == 0,25 дж/м*; I =« 83 дяе/ж2 • се/с. 313. | =- 3,6 * 10 ж;
126

Аф=0,24л; — = 16. 314. v = 444 сек'1; ? = 4,33 -Ю ж; ?=5-10-4X
Xcos2780 (t — —^ ж; v = 1,38 sin B780^ — 1,92*) ж/шс; p = — 2,02 . 10eX
\ 1450/
2
I e-23(r2~r
У sin B780^—1,92x) я/ж2. 315. /a= /i( —I e-23(r2~ri) = 3,78 • 10~5 дж/м2- сек;
^ = 17,5 em. 316.^ = 2Л0 sin Lf —(/ + 2d) vl cos ~
L J "
- 2Aosin /g>/ — — ^ cos [(/ - 2d) -?-1. 317. ^ = 58; -|^- =1,71 - 10.
\ / L J p
318. Пучности — 8 еж, 16 еж, узлы — 4 еж, 12 см; пучности — 4 см, 12 см;
узлы — 8 см, 16 еж. 319. ит,л при х = 1,5; 4,5; 7,5 ж; amaje при х =>
==0; 3; 6; 9 ж; X = 6 ж; gx = 10-3 sin 110,7 я ( t — —
o51 /
=10 sinllO,7rt / + — ) м. 320. vx = n • 104 гц; v2 = n • 52 гц (n = 1, 2,
\ 351/
5l ! x \
3, . . . ); 321. / = — = 0,195 ж. 322. g = 2g0 cos 2я- cos со/; v =
4 \л /
/ JC \ / Я\ ^ + T
= 2y0 cos 2jtl-r- cos I©/ — -r-J; p == 2p0 cos 2зх—-— cos (соt). 323. v—
\ A J \ 2 J Л
B 25 \2
-i—j == 8,7 • 10-2 лг/ле; F =
/ /v \2 Z7 /25 \2
= Ыто=320я-325-р=^Ь)
Z /25 \
m0 = 320 я. 325. p = — f ~ j =8,9 . 103 кг/м3. 326. v = 3420 ж/се/с;
= 4,27 • 104 гц. 327. vk = 410 сект1; vmax = 427 ce/c. 328. X = 1,65 ж;
U/7^, = 6,28 • 10-^ jn/щс; / = 8,45 • 10 дж/м2 • сек; Аро= 5 • 10~4 н/м2.
329. N = 6 em; L « 80 фо«; /? = 3,8 • 105ж. 330. L* = 100 дб; L = 95 фон;
Ар = 1,6 н/ж2; am^ = 3,74 • 10~3 м/сек. 331. 73 дб\ у-= 3160. 332. JV =
== 3,14 • Ю-11 em; L * » 18 дб; х = 5 ж. 333. vm/rt = 520 г^; vmax= 561 г^.
2у v2 (с — v) —v, (с + v)
334. Av = v ¦: = 0,836 кгц. 335. и = с —^ lV =19,5 м/сек.
c—v v(c v)+v(c + v)~
2vc
336. Av= v 2__ 2 = 35 гц.

Оглавление
§ 1. Кинематика материальной точки б
§ 2. Динамика материальной точки 21
§ 3.( Работа, энергия, мощность 34
§ 4. Элементы специальной теории относительности 44
§ 5. Силы тяготения. Движение в поле тяготения 48
§ 6. Динамика твердого тела 52
§ 7. Неинерциальные системы отсчета 66
§ 8. Статика 70
§ 9. Механика жидкостей и газов 76
§ 10. Упругие деформации 86
§ 11. Динамика механических колебаний 90
§ 12. Волны в упругих средах. Акустика 102
Приложения 112
Ответы 116
Анна Михайловна Зайцева
ЗАДАЧ НИ К-ПРАКТИКУМ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
Редактор А. И. Юдина.
Художник Б. Д. Константинов.
Художественный редактор Л. Ф. Малышева.
Технический редактор Е. Н. 3 е л я н и н а.
Корректор Н. И. К о т е л ь н и^к о в а.
Сдано в набор 28/V 1971 г. Подписано к печати 19/1 1972 г, бОХЭО1/^. Бумага газетная,
Печ л. 8,0. Уч.-изд. л. 7,36. Тираж 100 тыс* экз. (Пл, 1972 г. № 28). А07П0.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР,
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени полиграфиче-
полиграфического комбината Росглавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров
РСФСР в областной типографии Ивановского управления по печати, гл Иваново,
ул. Типографская, б,
Заказ № 1867.
Цена 22 коп.